Лейбсон К.
Сборник
практических заданий
по математике
Часть 2
9 класс

УДК 51(075.3)
ББК В10я721-4
Л42
Лейбсон К. Л.
Л42 Сборник практических заданий по математике. Часть 2.
9 класс —М.: МЦНМО, 2009, —184 с.
ISBN 978-5-94057-527-6
Сборник предназначен для использования в математических шко-
лах (классах) и включает в себя задания по алгебре и геометрии. В его
основе лежат занятия автора со школьниками Физико-математического
лицея № 239 г. Санкт-Петербурга.
ББК В10я721-4
ISBN 978-5-94057-527-6
© Лейбсон К. Л., 2009.
© МЦНМО, 2009.
Оглавление
АЛГЕБРА
Повторение материала 8 класса............................. 5
Глава 2. Буквенные выражения (продолжение)............... 11
§10. Степени и корни натурального показателя ............ 11
§ 11. Степени с показателями из R........................ 20
Глава 3. Уравнения и неравенства на множестве действительных
чисел.................................................... 29
§1	. Уравнения........................................ 29
§2	. Системы уравнений................................ 43
§3	. Неравенства...................................... 47
Глава 4. Основы тригонометрии............................ 64
§ 1. Тригонометрические функции........................ 64
§ 2. Основные формулы тригонометрии.................... 79
Глава 5. Числовые функции натурального аргумента......... 94
§1	. Последовательности. Арифметическая и геометрическая
прогрессии............................................ 94
§2	. Возвратные последовательности. Суммирование......105
§3	. Метод математической индукции....................107
Образцы вариантов контрольных работ......................113
Образцы итоговых работ по курсу 9 класса.................121
Образцы государственных экзаменационных работ............126
ГЕОМЕТРИЯ
Повторение материала 8 класса............................131
Глава 3. Векторы (продолжение)...........................133
§ 8. Скалярное умножение векторов......................133
§9. Геометрия масс ....................................135
Глава 4. Окружность и круг...............................140
§ 1.	Измерения, связанные с окружностью и кругом.......140
4 Оглавление
§ 2.	Вписанная и описанная окружности.................143
§ 3.	Взаимное расположение окружностей. Кривые второго по-
рядка ..................................................
Глава 5. Преобразования плоскости ......................155
§1	. Перемещения плоскости...........................155
§2	. Подобия плоскости...............................159
Образцы вариантов контрольных работ.....................161
Ответы..................................................169
АЛГЕБРА
Повторение материала 8 класса
Найдите значения следующих числовых выражений (1—7):
1. а) 0,03 + 0,07 •	24 зо —	1
б)1,4 + 0,9.(з1+0,98:(1|-^-й)).
2. а) (о,216ц:	-0,13m:52 + 1 кг560г-2,5^ • (з^ -2|=);
б) (0,02 км  0,125 + 3,4 см • 15 - 4,92 дм : 1,2) : (164 мм  0,75 -
-42,75 см: 22,5).
1,1(6) + 4|- (0,625 -1,64:1,6)
3’	(0,75 — 0,25 • 4,2): 0,2(45) + | ’
б) (/52 - 0,5 • /13 - 4,5)  (/13 + 3): (2,5(6) - б|).
4. а) 5,(42) - 2,5 - 1,(09)): (/14 - б/5 + /5 - 4,(2));
/43 - б/Ю + 4/115 - 30 ЛЗ
б) у-------------5----------/3,6.
5. а) (2^ - 2,(2) - (0,91 (6))2) : (5/3 + 1,(3) - /79-20/5);
б)	(/114-56/2- 7/2 + 1,(6)): (1,0(5) + 0,(1)).
6.	а) (Зх/18: s/274-5\/6 —2): (>/54—1);
б)	(2/3^5 - /126 + 3) • (3 + /56).
7.	a) • /2 + /3; б) ( J^= + z-b=) '
’ /2 —/3	W4-/7	/4+/7'
8.	Пусть т = 1,7 • х, п = 2^:у, т:п = 2,6. Чему будет равно зна-
з
чение т: п, если значение х уменьшить в 2^ раза, а значение у
увеличить в 3 раза?
9.	Пусть т = х: 1|, n=l,5y, тп-п = -2,5. Чему будет равно значе-
ние т — п, если каждое из значений х и у уменьшить на 3,5?
Постройте графики следующих функций (10—15):
10.	а)/(х) = |х + 2| — |х —3|;	б) /(х) = х2 -/х2 - 4х + 4.
11.	а) /(х) = |х2 — 5х + 6|;	б)/(х) = х2 - 2 • |х| - 3.
6
Повторение материала 8 класса
12. а
13- •)/(»)-&£
1*4	1
14. а) Дх) = V'lxl - 2;
б) ^^ = "Т=?=Т=Г7-
ух1 -4x4-4
<О/Ю = |тгг|-
при
15. а) /(х) = <
х2 — 4х 4- 3
. у/х2 — 2х 4-1
х2 4- Зх 4- 2
при
при х < О,
б) f(x) — ' \/х2 4- 2х 4-1
, х2 — 2х — 2|х — 1| — 7 прих^О.
Найдите множество значений функции f(x) (16—18):
б) Дх) = х —З^/х-ЬЗ.
б) /(х) = (х2—4х)2 + 10(х2—4х)—3.
б)	f(x) = (x2 -2х + 4)-1.
— Xх.
а) Д®)=
16. а) /(х) = х4 + Зх2 - 2;
И- а)/(х) = ^;
18. а) Дх) = 2\/х +1 — х;
19.	Постройте график функции Дх) и укажите множество значений
этой функции:
а) Дх) = х2 -	;	б) Дх) =	-х2.
у/ 4х2 — 4х 4-1	у/х2 4- 2х 4-1
20.	Постройте график функции Дх) и укажите все значения а, при
каждом из которых уравнение Дх) = имеет ровно два корня:
а) Дх) = |х + 1|-|2х-3|;	б) Дх)=х24-2х-|х2-4|.
21.	Постройте график функции Дх) и укажите число корней урав-
нения Дх) = ~ в зависимости от а:
|х4-1| при х^О,	1—х —2х2
9	б) Дх) =	=.
х2—2x4-3 при х>0;	\/х24-2х4-1
22.	Постройте график функции Дх) и укажите число корней урав-
нения Дх) = в зависимости от а:
\ г/ у i Па:+2|-11 ПРИ ж<1>
а) Дх)=<
|2х—х2| при х^1;
Упростите следующие выражения, указав области их определения
(23—27):
23	а) ^х — 3 х — 1 ,	1 .
Зх2—х —10  3x4-5	2 —х!
б) Дх) = У + |Д| 10 .
у/4- 4|х| 4-х2
Повторение материала 8 класса
7
	.	2	2	4х2 4- 16х 4-15 °) 2x4-3 1 34-7х4-2х2 ’ 4х2 4-22х 4-30 ‘
24.	/ 3	4	2х2 \ . 2х2 4-1 аЦх2-3 5х2-г4-6	12-2Г	6	’
25.	а) у/х + 11 — бх/i + 2 4- xjх 4- 3 + 2\/а: 4- 2; 2^~1 . + 1 1 Зх-84-5Тх ‘ 37x4-8	1-^х'
26.	х/а — 2у/а — 1 — 1	g.	47 а 4-1 — а — 1 7а 4-3 — 47а — 1	х/а — 47“ 4-14-54-2
27.	. а2 — 2аTab — 3ab	g\ а	° а 2Ь^/1 - x/ab + a'	a-4x/ab+3b Решите уравнения (28—34):
28.	a) |2x-l|-|x + 2| = 3;	6) |x4-14-1-x - 3|| - 6 = x.
29.	“>77-4 = ^	%-2|-.+4^3 + 1’5=°-
30. 31. 32. 33.	a) |2x2 — 3x — 5| 4-x = 7;	6) |x2-5x4-2| 4-x2 = 5. a) x/x4 4- 2x2 4- x - 5 4- x2 = 2;	6) 2x - Vx3 4- 2x2 - 3x = 0. a) T9-6x4-x24-Ti-4 = 3;	6) x/x4-4x2+4-x/x2-5=5. а) Зх — 1 — x/x2 - 3x - 5 = 19;	6) x/2x2 - x- l- x = 5.
34.	a) Tx2 — 4x —x2 — 4x —6;	6)	। i_2i—
Решите неравенства (35—41):
35.	а)
' X — 2 X 4- 2
36.	а) |х- 1| + х2 5;
38.	а) Ух4- |2х - 1| х/3;
39.	а) у/2х2 - |х4-1| < 3;
40.	а) |х2 - 4х| —2х;
41.	а) |2ш2 4- х — 5| |х2 — Зх|;
б) < х — 1.
б) |х2 -4|4-|х4-3| >4.
|х-2|	1
' X2 — X + 1 ' X '
б) ТЗх2-х-1<1.
б) \1^т х/Ьх2 ~ 1-
б) |х2 + х —4|>2.
6>(^)!<|ттг|+6'
8
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
50.
51.
52.
53.
54.
55.
Повторение материала 8 класса
Решите следующие системы (42—45):
ху + 2х + 2у = 0,
а)	о	,
х у -Ь ху + ху + 4 = 0;
[ х + у = 2,
а) <
[ |х -у - 1| + у = х+ 1;
’ х < 1
а)	< ® — 4 х — 3 ’
,2х2 -11х+14^0;
а) ?
5~Х >9-
5 +2а:	’
При каких значениях параметра а решение неравенства |3ят — а| <
<2х +6а содержит отрезок [—1; 2]?
б)
б)
х — 2у = 4.
х2 + у2 = 8,
х2у2 — 3>х,у = 4.
б)	* з 2
„ 1 —х	а? + 3‘
(х-2)(х2 + 2х + 3)
х2 + х —12
б)
При каких значениях а решение неравенства |х + а| 2а: — а со-
/Ж — 7	1 О
держит решение неравенства W <1?
При каких значениях х е Z значение данного выражения является
целым числом:
ч 2x4-3	2х2 — х — 5 „
а) 3x4-2’	б) х4-1	'
При каких целых а данное уравнение имеет два рациональных
корня:
а) ах —6—^-,	б) (а4-2)х2-я4-а4-5 = 0?
2х3 — х2 4- 3
На графике функции /(х) = ~^2 ,	1 найдите точки с целочис-
ленными координатами.
Решите в Z уравнение:
а) ху - 2а: + Зу + 1 = 0;
Найдите остаток от деления:
а) 7171 на 11; б) -З100 на 7;
б) Зху + 2а; — у + 1 = 0?
Решите систему уравнений
ления 51991 на 7.
„	28 fc2-7fc+13
Вычислите: g A.2_7fc+12-
в) З8 на 13.
2а: + |у| = а,
где а — остаток от де-
х + ху = 2,
Докажите, что при любом натуральном п выполняется равенство:
1-3 + 3-5 +--’+ (2п-1)(2п+1) 2п + Г
Повторение материала 8 класса
9
56.	Найдите корни многочлена Р(х) = х3 4- ах2 4- (а — 7)х 4-18, если
остаток от деления Р(х) на х 4- 2 равен 20.
57.	Остаток от деления многочлена Р(х) на х 4- 2 равен 7, а остаток
от деления Р(х) на х — 3 равен —5. Найдите остаток от деления
Р(х) на —х2 +:г+ 6.
58.	Найдите Р2(х), если Р(Р(х)) = х4 4- 2а:3 — 4х2 — 5х 4- 3.
59.	Найдите наименьшее четырехзначное натуральное число, которое
при делении на 17 дает остаток 6, а при делении на 9 — остаток 2.
60.	Сколько существует целых чисел, удовлетворяющих неравенству
|х| 1000 и кратных 8 или 12?
61.	Найдите натуральное число п, удовлетворяющее следующим
условиям: [х/п -23] = 26, n=-2(modll), d(n) = 12.
62.	Решите уравнение: а) 2{х} 4- х2 = 8; б) а;2 - 2х — [х] = 3.
63.	Найдите все значения т, при которых неравенство
(т2 — 1)х2 4- 2(т - 1)х 4- 2 > 0
выполняется при х Е К.
64.	При каких значениях а уравнение ах4 — 2(а 4- 1)х2 = 3 не имеет
действительных корней?
65.	При каких значениях а уравнение (а 4- 2)х2 — а • |х| 4-1 = а имеет
четыре действительных корня?
66.	Найдите — 4- —, где Х\ и х? —корни уравнения 2х2 4- Зх = 7.
Х2
2	2
67.	Найдите -- уу- 4-	, где Xi и Хг — корни уравнения Зх2 — х = 5.
68.	Найдите все такие значения г, при которых уравнение х2 4-
4- (г — 1)х — 2(г — 1) = 0 имеет действительные корни xj и хд,
удовлетворяющие условию Xi — ха = 3.
69.	При каких значениях а уравнение (а — 1)х2 -ах-а4-2 = 0 имеет
два действительных корня xi и хг, удовлетворяющих условию:
xi__|_X2__£ । 1 +	7 ,,
Х2 Xi Xl Х2 4Х\Х2
70.	Докажите, что многочлен х8 4- х6 - 4х4 4- х2 4-1 не принимает
отрицательных значений. 2	2
71.	Докажите, что выражение 3 	4-	— 8'	+ у) + Ю прини-
мает неотрицательные значения при любых значениях а и Ь, не
равных нулю.
72.	Докажите, что для любых положительных чисел а, Ь. с справед-
Ъс ас ab ,
ливо неравенство: - + ~ + — ^а + Нс.
10
Повторение материала 8 класса
73.	Из пункта А в пункт В, находящийся на расстоянии 12 км от А, по
горной дороге со скоростью 6 км/ч поднимается в гору пешеход.
Одновременно с ним из пункта А в пункт В выехал автобус.
Доехав до пункта В менее чем за один час, автобус поехал обратно
навстречу пешеходу и встретил его через 12 минут после начала
движения из пункта В. Найдите скорость автобуса на подъеме,
если известно, что она в два раза меньше его скорости на спуске.
74.	Трое рабочих должны сделать 80 одинаковых деталей. Работая
вместе, эти рабочие могут сделать 20 деталей за 1 ч. К работе при-
ступил сначала первый рабочий. Он сделал 20 деталей, затратив
на это более 3 ч, а оставшуюся часть работы выполнили вместе
второй и третий рабочие. На всю работу ушло 8 ч. Сколько часов
потребовалось бы первому рабочему, если бы он ее полностью
выполнил один?
75.	Два крана, работая совместно, выполняют всю работу за 3 часа
44 минуты. Один из них может выполнить всю работу на час
быстрее, чем другой. За какое время они совершают всю работу
в отдельности?
76.	Колхозная бригада должна убрать урожай картофеля в опреде-
ленный срок. После того, как было убрано 60% всего картофеля,
в помощь бригаде был направлен комбайн, что сократило срок
уборки на 5 дней. Сколько дней понадобилось бы на уборку кар-
тофеля без помощи комбайна, если известно, что комбайн мог бы
выполнить всю работу на 8 дней скорее, чем бригада?
77.	Пароход идет из города А в город В в течение двух суток, а воз-
вращается обратно в течение трех суток. Сколько времени будет
плыть плот из города А в город В?
78.	По окружности длиной 60 м равномерно в одном направлении
движутся две точки. Одна делает полный оборот на 5 с скорее
другой, при этом одна догоняет другую через каждую минуту.
Найдите скорость движения каждой точки.
79.	Из города А в город В, расстояние между которыми 100 км,
выехал велосипедист. Через час после этого из А выехал второй
велосипедист, который, нагнав первого, с той же скоростью дви-
нулся обратно и возвратился в Л в тот же момент, в который
первый достиг В. Какова скорость первого велосипедиста, если
скорость второго 30 км/ч?
80.	Катер прошел по течению 90 км за некоторое время. За то же
время он прошел бы против течения 70 км. Какое расстояние за
это время проплывет плот?
Глава 2
Буквенные выражения (продолжение)
§ 10.	Степени и корни натурального показателя
81.	Для данного числа т укажите наименьшее натуральное п, для
которого произведение т  п является точным кубом:
а) т = 936, б) т = 21675.
82.	Для данного числа т укажите наименьшее натуральное п, для
которого произведение т  п является четвертой степенью нату-
рального числа:
а) т = 540, б) т = 16464.
83.	Найдите наименьшее натуральное число п, для которого данное
число является рациональным числом:
а) (/Й2п: б) ч/270п.
Найдите область определения данного выражения (84—89):
84.	а) у/6 - х — х2;	б) ^х +
85.	а) /(х) = у/бх - х2 - х • у/х2 - Зх + 2;
б)	/(х) = \/-х4 — 6х3 - 8х2.
86.	а) ^/|2х - 1| — |х+ 2|;	б) ^9~42~-~-
„„ Ч 4Л7—1---7 ю/2х —х2 —3	е/ , /х-бА-1 2ч/х
87.	а) у/8х *-1- у7х_х2_^	б)уа:+(—)
88.	а) У(3-х)л/^4;	б)	3
89.	а) -5=^-;	б) /(х) = (у/6 - х - х2 - 2)*1.
ч/х+ 1
90.	При каких значениях а область определения выражения
У—х2 + 2х + а — у/х — 4,
состоит из одной точки?
12
91.
92.
93.
94.
95.
96.
97.
98.
99.
100.
101.
102.
103.
104.
105.
106.
107.
108.
109.
110.
111.
112.
Глава 2. Буквенные выражения (продолжение)
При каких значениях параметра а выражение >/ах2 + ах + 2 опре-
делено на R?
При каких значениях параметра а выражение ^ах-|-24- у/ах24-4
определено при любом значении х, удовлетворяющем неравен-
ству |х| < 2?
Постройте графики следующих функций (93—100):
а)/(х) = 4 —х4;	б) /(х) = 1 - (х +1)4.
а) /(щ) = (|щ| - I)8;	б) /(х) = —|х6 —1|.
а)/(х)=</2=7;	б)/(х)=УЙ-1.
а)/(х) = (х4-2)3;	б) /О) = |щ3-1|.
а) /(х) = х3  sign(x - 1);	б) /(х) = -х4  sign(x 4- 1).
а) /(®) =	б) /(х) = 2 -
2 — I 17’1
а) /W=W-W+<)-;	6>
2 • 1у/(х2 — IVе
а)	№)=—- ®2; б) /(х) = |х2 +	- V(^-1)IOI-
Решите уравнения (101—121):
а) (Зх2 - х - I)4 = 1;	б) (х2 + 2х - 5)6 = 64.
а) (2х - |х - 2|)12 = 84;	б) (х2 - |х4- 6|)10 = 45.
а) (х2 4- х - 2)18 = (2х2 - З)18;
б)	(х +12)12 • 163 = (х6 - Зх4 + Зх2 - I)4.
а)	(х2 - 4х 4- З)4 • (х2 - I)6 = (х2 - 2х - З)6 • (х - З)8;
б)	(х2 -1)5 • (х2 4- 2х - З)3 = (2х2 - х - З)8 • (х2 4- 4х 4- З)3 • (х 4-1)2.
а) (х2 — 2х — I)5 = (2x4-1)10; б) (Зх - |х - 2|)9 =х18.
а)	(х - З)7 • (х 4-1)8 • (2х - I)5 = (2х2 4- х - 1) • (2х - I)11;
б)	(Зх24-5х — 2)5-(х34-6х24-12х4-8) = (х2 — 2х4-1)-(х24-х- 2)3.
а) (Зх4—2х2 —1)19=(2—х2)19;
a)	v^x2 — Зх — 1 = 1;
а) х14 =24 4- 5  х7;
а) х16 = 12 4-4х8;
б)	(х - 2у/х - 5)37 = х18 • у/х.
б) </2х2 - |х4- 3| = 2.
б) 2х10 4-х5 = 15.
б) Зх8 = 2х4 + 1.
а) (/х6 - 9х3 4-2 = 0;
а)	у/х — 1 = 2 4- у/х - 1;
б)
б)	у/2х — 1 — 3 4- 2 • vz4x2 — 4х 4-1.
§10. Степени и корни натурального показателя
13
»’• а>МгТ‘ШгГ = 41	6)1^-45-51 = 3.
114.	а) Ух • (2 • Ух + 1) = 1;	б)|Й“3 = ¥’
115.	а) Ух2-Зх-5=УГП;	б) Ух6-2х3-9 = ^+1.
116.	а)	Ух6 —2х4 —Зх2 + 1 + х=0;	б)	Ух2 - Зх - 1 = У2^+Т.
117.	а)	УЗх8 + 9х4 - 26 + 2х = 0;	б)	У2х2 - х3 + х = 1.
118.	а)	Ух2-Зх-“1 + ?2х2+4х=0;	б)	+ ^5 = 27.
119.	а)	(х2 — Зх)  УТ^х2 = 0;	б)	(х + 2) • + 1 = 0.
120.	a)(x + l).y^^jl-(x-2).y^^+4^2-x-2 = 6;
б)	х • (/^г + Ух2 + 2х = 2х.
121.	а) (х-1)- ^а._1)2 -3-(х + 1)- у ^ + ^5 =4;
б)	Ух2 — 1 + у/х2 — 2х — 3 = 4  Ух2 + 2х + 1.
122.	При каких значениях параметра а уравнение (х2+ах)5 = (2х-а)°
не имеет действительных корней?
123.	При каких значениях параметра а уравнение ах6 + х3 + а = 0
имеет два корня?
124.	При каких значениях параметра а уравнение х8 + (4а — 1)х4+а=0
не имеет корней?
125.	При каких значениях параметра а уравнение (а - 2) • ( 'Ух)2 =
= а • (2  'Ух — 1) имеет ровно один корень?
126.	При каких значениях параметра а уравнение (а + 2) • (Ух)2 +
+ 2а  Ух + 1=0 имеет хотя бы один корень?
127.	При каких значениях параметра р уравнение (р - 1) • (Ух)2 =
= р  ^/х + 1 имеет не более одного корня?
128.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых урав-
нение (х2 — ах)4 = (х — I)4 имеет ровно три корня?
Решите системы уравнений (129—133):
Ут+Уу = 3,	( у/х+ y/у + уху = 21,
,__	б) <	.--	---
у/х-у- у/ху2^ 3;	[ ух3?/ + уху3 = 90.
14
130.
131.
132.
133.
134.
135.
136.
137.
138.
139.
140.
141.
142.
143.
144.
145.
146.
147.
148.
Глава 2. Буквенные выражения (продолжение)
а)	<	2х3 + 3^ = 11, Зх3-у4 = 11;	б) -	н н >и ю 1 + СО N3 II II СО JO
а)	<	у/х2-3у = 2,	б) «	\/х+2у=у/х-2у-8,
		[ $/-Зх + 2у + ^2 = 0;		[ у/Зх+7у+$/Зх+7у=2.
а)	<	з/х-2у J х+у у х+у у х—2у ’ _ у/х++у=х/3;	б) <	Ух2+2- f/xy=8 - _ ^+ {/у?=5.
а)	<	х- v/4 + V^=2, V х3 v	б) < tfxy = 3 + x-,	(® -у) х2 + у2	V(x-y)5 + Va: у °’ = 98.
Решите неравенства (134—152):	
а) х4 16;	б) х4>81.
а) (Зх + I)6 < 64;	б) (2-х)4 >625.
а) (2х-1)26>(х + 1)26;	/	9\ 14 б)(^-|) ^97.
а) (х2 - I)3 > 125;	б) (3 —2х)5>32.
а) (х + 2)»	J. >	1 х8 (х2 + 4х+4)2‘
Ч 8?	>	1 (х2 - 4)21	(х2 - 2х - 8)21 ’	б) (х4 - 5х2 — 5)15 - З30 > 0.
а) ^Зх-1<2;	б) s/х2 — х - 5 С 1.
а) х6 — Зх3 + 2 > 0;	б) х8 + Зх4 - 4 0.
а) х12 — х6 — 12 0;	б)		8 0- 7 5х4 4- 6 — Xs
а) (/(2х2 - х)6 > х + 4;	б) 2- х/х^ + 5- Ух>3.
а) 'х/(х2 — Зх)-10 х-1;	б) ^(х + 2)-е + (х+1)-1<2. 8/Z
а) у^х2 — Зх > х;	г—< V/ о 4 1 > S'
\ «/ х2 — Зх , i а) \ —гт~ < 1; 7 у х+5	’	й. з/2х2-х —1 бЧ	>"1-
а) \/х24-2х-2-^х2 + 2х^З;	б) #x-l'*vX-
а)	б)2
§ 10. Степени и корни натурального показателя
15
149. 150.	а) уМт2- 4ш-|-14-1^6;	б) у/х3 — х2 — Зх — х > 2. б) |^1-х-У1-х-4|>2.
151.	а) \/х4 — х3 — 2х2 х;	б) Ух5 + х4 — 6х3 ^х.
		^12+х-х2 . >/12+х — х2 б>	.т-1	>	х+2
152.	а) (3 - 2х)  ^6 - х - х2 0;	
		Решите системы неравенств		(153—157):
153.	a) J	16х4>81, (х2 — Зх)6 > 64;	б) J	'4^8, Ж3 (х + 3)8>1.
154.	а) *	’ (х4 — 2х2 — I)4 16, 1 >1-	б) <	' (х2+4х + 4)8<216,
		1 (х + 2)4		1 (х + 1)3
155.	а) <	' (2x-3Vx)10^l, 1	3 \25.	б) ’	' (0,4х2 + 0,6.x)5 > х10 х15	^/64\5
		(х25^\х + 1/ ’		. (х — I)15 ' \х3 J
156.	а) <	</(х2-2х+1)2^2х, v'/z2 + у/х 6;	б) <	</х2+4х + 4^2, ЬЛЛ1*0'
157.	а)	'3^x2+ ^Х2 >2,	б)	
		у/2х2 + х — 1 \/2х\		. Vx2 + 2^i^3\/2.
158.	При каких значениях параметра а неравенство (ах — I)30 <
< (х2 4- З)30 выполняется для всех действительных х?
159.	При каких значениях параметра а неравенство (х2 + а)18 х18
не имеет решений?
160.	При каких значениях параметра а неравенство а3 • (а;2 + I)3
$ 64т3 выполняется только для одного значения х?
/ а \8	1
161.	При каких значениях параметра а неравенство I _2 ) >
выполняется при всех х е R_?
162.	При каких значениях параметра а неравенство х6 + х3 > а вы-
полняется при всех значениях х?
163.	При каких значениях параметра а неравенство х8 + ах4 С а не
имеет решений?
16
Глава 2. Буквенные выражения (продолжение)
164.	При каких значениях параметра а неравенство (а 4- 2)^/х —
— а • ^х +1^0 выполняется при всех допустимых значениях х?
165.	При каких значениях параметра а неравенство \/2х - а - 1 <
< ^2а^ х — 3 не имеет решений?
166.	При каких значениях параметра а неравенство ч/т2 - х —2
\/2х2 4- ах не имеет решений?
167.	При каких значениях параметра а неравенство \/х + 2а - 1 <
< \/2х + а выполняется на луче [1; +оо)?
168.	При каких значениях параметра а неравенство ’у/(а;4-1)4 <
< у/4 —а(т + 3) выполняется на отрезке [—2; 3]?
Найдите множество значений данной функции (169—174):
169.	а) /(ж) = 1 - Уж - 2;	б) /(х)= У17 + 6ж-2т2.
170.	а) f(x>) = х6 — 4х4 — 2;	б) /(х) = 10 —2х3 —ж6.
171.		г, ч Уж + 3 б> /w-««+r
172.	а) /(^-2x4-г	
173.	а) /(х) = </х + 4Ух- 1;	б) /(ж) = -2^/х2 + 5^/х - 1.
174.	a) f(x)=x4-4х3 + 8ж — 1;	б) /(х)=а:2 + 4а: + 34-2\/а,-2 + 4ж.
Является ли данное число рациональным? (175—180):
175.	а)	^432;	б)	(/З37о:	в) </3375.
176.	а)	У7776;	б)	^5^;	в)
177.	а)	Уё+Зч/5;	б)	\/7 - 5ч/2+ч/2;	в)2-у/5-у/6.
178.	а) У2+4/З-4/З; б) ^8-\/2у^+1 - 2^8; в)
у/16ч/2
179.	а) У8Л62- ч/W;	б) </4-ч/7- ^4+ч/7- ^9;
в) \/ч/ТТ- ч/2 • \/ч/Т1+ч/2.
180.	а) ^96-х/0Д4); б) 1^:^18; в) ((У5-2)~1 + (у/5+2)-1) ^25.
181.	Найдите [д], если:
а) х = У172;	б) х = </-527;	в) х = </1375.
182.	Найдите [.г] + [2т], если:
а)т=</41;	б)х=ч/ЗЙ;	в)х=^=2Т.
§ 10. Степени и корни натурального показателя
17
183.	Упростите данное выражение:
{$17} - {$15}	{$33}	{-У102} - {ч/12}
$17—$15 ’	$11-$9’	В $2-$6-$17 ‘
184.	Найдите натуральное число п, удовлетворяющее следующим
условиям: [$й] =5, n = 2(modl7), n = l(modll).
185.	Найдите натуральное число п, удовлетворяющее следующим
условиям: [$2г| +1] = 3, n = l(mod3), 3n = 2(mod7).
186.	Сколько существует натуральных чисел п, удовлетворяющих
следующим условиям: [\dln — 3] = 7, n = 2(mod5)?
Упростите данные числовые выражения (187—193):
187.	а)	л/=2-У16-У5^;	6)	^^ - $№
188.	а)	($162: $3: $2 + 2 $9): $729;	б)	($24 + $6)2 : (4$3 +Зч/б).
189.	а)	(х/3- 2) - \/15х/3-4- 26;	б)	$7 + 4$3- $2 - ч/З.
190. а)	/2$2-(1 + $4)	1	\ к $4—1	$2 + 1/	($2-1);	б)	ч/З + $15 - 2 $45 (ч/З - $45)2
191. а)	$23- $80"1 -1,2(3);	6) ж $6	$5:	$3» — 2,(36).
193. а) $29ч/2 + 45- $3-2ч/2; б) </б\/3 —10 4- \/19 — 8д/3.
Избавьтесь от иррациональности в знаменателе (194—199):
194.		29	б)	1		24
	а)	3+ $2’		$3-ч/2’	в;	ч/2+ $2’
195.			б)	1		1
	а)	$х —2’		$а + 1	в)	$г2 — 3- $х + 9
196.	а)	1	б)	$3+1	п')	3- $5-2
		$4 + $2 — 2’		$9 —2$3 —З’	BJ	2- $25+ $5- 10
197.	а)	$2 + 1	б)	1		2 $3+1
		$4+ х/2 + З'		$2 + $2 + 1 ’	BJ	$9 + 2$3 + 5
198.	а)	ч/3-l	б)	$2 + 1		$2
		2 + ч/3-ч/2’		ч/б + ч/2 -1 ’		$4+ $2 — 1
JJ>Глава 2. Буквенные выражения (продолжение)
199.	а) —-	1-------- б)	2
^12^9-13^ + 4	у/4-3- •У5 + 2\/5- У125
3
200.	Найдите число а, для которого числа а — </2 и----у4 + у2
являются целыми.
201.	Найдите число а, для которого числа а + \/9 и - + 2</9 + Зу^З
являются целыми.
202.	Дан многочлен Р(х) = х3 — 2х2 — Зх -1. Найдите:
а)Р(1-^2); б) Р«/3 + 2);	в)Р(^+у/3).
203.	Докажите, что число у^2 + \/03 является корнем уравнения
2х3 —6х —5 = 0.
204.	Дана функция /(х) = { (/х} - 2[18х]. Найдите:
б)/(3,375).
205.	Дана функция /(х) = (/х2 - Зх - 1 - |х - 3| - х. Найдите
а) 7(0);
з/ЦТТТ
206.	Дана функция /(х) = —- ' Найдите /(0) • /(2).
I “ 1| т Z
207.	Дана функция /(х) = х3 — 1.
а)	Решите уравнение /о2(х) = 7.
б)	Постройте график функции /°(-1)(х).
{—	при х < 0,
х3	при х > 0.
а)	Решите уравнение |/°(-1\х)| = 2.
б)	Решите неравенство /(х) > х.
Сравните данные числа (209—214):
209.	а) 615 и 1510;	б) 243 и 714.
210.	а) 515 и З23;	б) 523 и И15.
211.	а) У5 и </23;	б) х/2  </3 и (/5.
212.	а) —у/7 и -^51;	б) — </73 и у/2-</=3.
213.	а) (/10 + 1 и х/10;	б) ^6-1 и (у/5 + 2)-1.
214.	а) х/3 + 2\/2 и У35;	б) >/4-2’/Зи х/бд/З-Ю.
215. Расположите в порядке возрастания числа:
§ 10. Степени и корни натурального показателя
19
Упростите выражение (216—229):
y/ab  (у/а — у/b) У16а6 • (а + у/а^Ъ + УаЬ)
б) (tfb-~
223.
224.
225.
226.
а)
а)
б)
х2 + 2х-3 + (я; + !)•	18т2+81
х2 - 2х - 3 + (х - 1) •
х- Уд4+4т3-2х2-12ж + 9 + т2-Зх + 2
(х - 2) • у/х2 + 2х-3 + х2 + Зх
20
227.
228.
229.
230.
231.
232.
233.
234.
235.
236.
Глава 2. Буквенные выражения (продолжение)
х /\/2а; + 3-4-/2а:-1\-1	—------
I-----27^5--------) “ >/4х2-4x4-1;
\/х + 3 — 2у/х + 2 — >/х + 1
о) ---- -	------.
\/х + 3 + 2у/х + 2- 1
а + 25'(а2 + аЬ-За-ЗЬ	4а + 3) 9’
§11. Степени с показателями из R
Найдите значение числового выражения (230—236):
а) 2 • З-1 + (—2)-2;	б) (—0,1)—3 + 3 • (-0,5) ~6.
, /2\~4 / 1 \-2.	гб-1-^))-2
a)W	’	б) --3”5^-----•
a) 49-(3-v^)-2-(^)-1-2; б) ((-З)"1 + (-v/2)"4)"1.
а)	(((ч/3)-4-(75)-2)-1 + 10,5)-1;
б)	((0,3)°  2-1 - (У5 - 2)-1) • (3 - 2^5).
(-3)3-35	(0,4)-2  (2,5)-4
’	(-3)9 ’	°' (0,16)-5:((6,25)-2)-з-
а) (1,5)-3-(3 375)-4: б) ((_17)-4)-б ; ((_ 17)-13)-2.16+ (17 V2
(2,25)-2-(j)	U6'
(Л-1Г3-((ч/2+1)3)-4 z.
a)	((v^+i)-4)2
б)	((УЗ)"11 •37-2vz3)"2-(0,(3))-1.
Представьте данные числа в виде степени с основанием а (237—243):
237. а) 64; а = 2;	б) 256: 0,25; а = 4.
238.	а)81;1;а=|;	б) 0,04; 25; а = |.
и	О
§11. Степени с показателями из R
21
239.	а) 0,01; 10000: а = 10;
240.	а) 27; а = >/3;
241.	а) 16;а = -2;
242.	а) тб; ~io', а = т2;
243.	а) 3 — 2\/2; V^+l; а=у/2-1;
б) 1,5; 3,375; а = 0,(6).
б) 8; 0,125; а=-^.
б) 100; -10; а =-0,1.
б) тп9; —лт; а = т~3.
'	’ тп15 ’
б) У5-2; 38 + 17^/5; а = \/5 + 2.
Упростите данные выражения (244—252):
244.	а) (а-а-1:-а —1; б) (а-2 - Ь~2) • (5 + а)-1 + Ь~2 • а-1.
245.	а)	— 1 — 2 • (1+x)_1;
б)	(1+а-1+а-2) • (а2 - а) + а-1.
246.	а) ) "(а2Ь)-3; б) (4mn-1 — m-1n) • (2n-1 — m-1)-1.
247.	a) (9x-5 :x-1)-2 •	;
6)	x~2 • (x - 2 — 3x-1)-2 : ((x + I)-2 • (x — 3)-3).
248.
б)	Л^^^ + ^^-гх-1-!).
249.	a) (p2-?-2)-1-(pq + I)2 ?-2;
6)	pg((p - g)-1 • (p2g-1 - g2p-1) +1) • (p+g)-2-
250.	a)((^-^)-2 + (^x+^)-2):^|^:
6)	(«^+^y)-2-(^-^/)-2)^xp-	
' V® у У '
251.	a) (\/ху-2 + y/x~2y): (x-1 + j/-1);
(№+tfb)2-tfieab +	1	_ /a-fe\-i\~2
\ a —5	>/a + Vb ' 2\/b / /
22
Глава 2. Буквенные выражения (продолжение)
253. Упростите выражение 1	И2  fl - fт——2т') )
(1-(а + ®) *)2 \	\1 —(а2 + х2)/ /
1
если х =-----т.
а -1
254. а) Упростите выражение
((х + 2)“2 — 1)(х +2) : (х + 3) + (х2 + Зх +2)’1.
б) Найдите значения х, при которых значение данного выраже
ния равно (0,4(3))-1.
Постройте графики следующих функций (255—260):
6) /(*) = |®| 3-
б) /(х) = |2-х-2|.
б) /(х) = (|х|-1)-5.
б) /(х) = (|х| + 1)-4.
б) Дх) = х~2 sign(2x - х2).
255. а) /(х) =х 2 + 2;
256. а)/(х) = —(х + I)-3;
257. а)/(х) =,2 — (х —1)~2;
258. а)/(х) = |х—1|~3;
259. а) /(х)=х-1 sign(x2-2х-3);
260. а) У(х) = <	у/1 - х	при х 0.
	х-1	при х > 0;
б) f (х) = <	[ - 2х~2	при X
	.(1*1 + 1)	-1 при X
1,
1.
Решите уравнения (261—263):
261.	а) (х2 -х-2)"4 =	б) (х2 + 2х- 1)~3 = 8.
262.	а) (х2 —2х + 1)-3 = (2х-1)~6; б) (^х)"4 = x/^F2 +1.
263.	а) (х2 + х-2)-20 = (х3-1)-20;
б)	(х2 - 2х - З)-36 = (х3 + Зх2 - 2х - 4)-35.
Решите неравенства (264—266):
264.	а) (2х - I)"3 > 8;	б) (х + 2)~6 (0,5)6.
265.	а) (х+1)"Ч32;	б) х~34 (2х + 8)~17.
266.	а) (х2 — х — 6)-3 < (х + 2)~6; б) (х2 — 4)-16 < (х2 — 5х + 6)“16.
Найдите значение числового выражения (267—273):
267.	а) (з|)~3;	б) (0,25)*.
268.	a)8i-(^)“4;	б) (0,008)’* - (2g) §.
§11. Степени с показателями из R
23
269.	a) (2i-3*)-(2$+6i+3§); б) (б*-3*) • (5* 4-3*) • (б*+3*).
270.	а) (2* + (^2)>)3; б) 10~* • (7 (2* + б*)-1 + 3 • (2* - б*)"1).
271.	а) (2 • ^2)“* • (0,5)* • ч/б;	б)
272.	a) ((3-2i)-1 + (3 + 2i)-1)-1;
б)	((3 - (0,2)-*)-! - (3 + (0,2)~)-1) • (0,008)"*.
273.	а) (11664*-24'(3))1,5;	б) (11907^ - 2352^)4.
Представьте данное числовое выражение в виде степени
с основанием а (274—278):
274.	а) ч/2-^, а = 2;	б) 0,2 •	• </125, а = 5.
275.	а) ^0Ж->/10-У710, а = 10; б)а = 0,(1).
V о
276.	а) ^/б-ч/б^Й, а = 0,04; б) ^8  4/2^2, а = 0,25.
277.	а)	а=у/х; б) х	а = х~2, где х>0.
х В	VI4
278.	а) у/х- у/х • //х, а = х3, где х 0;
б) \/х~1  \/х~3  \/х2} а = х~*.
Найдите область определения выражения (279—285):
279.	, /2т + 5\ * S>U-2) ;	б) (х2 -Зх +2)3.
280.	а) (3 - |х2-4|)1,5;	б) (х2 - |Зх4-2|)"2,1.
281.	а) (^2-х-1)"?;	( I Х + 2 oV’2 б^\у2х —1	2)	
282.	а) (х4 - 5х2 —6)8;	б) ((^ + 1)-1-0,5)-3’6.
283.	а) (9 — х2) * — 2  ’Ух-1;	б) (Зх-2х2—х3)^4-(16—x4)i
284.	а) (9-х-|х|)*;	6)(2-^)-i + (*t3J •
285.		1 1 Не» х— СЧ н 1 н 1 СО G4
’ х2 - 2х 1 при х < 0,
286. Дана функция f(x) =	,	,	Найдите:
(2х*—Зх* прих^О.
а)/(-5); б) /(64-1).
24
287.
288.
289.
290.
291.
292.
293.
294.
295.
296.
Глава 2. Буквенные выражения (продолжение)
Дана функция /(®') = |3ж-5| - |as-i-1|. Найдите 4-/(4).
Дана функция /(х) = <
а) (/2(-3)4-/(1))/(8).
3 —|х4-2|
х~*
при X < 1,
Найдите:
при х> 1.
Упростите данные выражения (289—294):
а)а + Ь+^^.(^+^); б)--------- Х + у
X — X* уз + хз •уз * X
а)	(х* 4-y*)(xi
б)	(+ уд)  (Д + Д).
\	х*4-а$	J
. /0,5-а*	(2 —а)*-а~*\	.
а)	I  -ГТ +---2---) = (2a - a2) 4  a;
\(2 — a) 4	-4	/
g, а$а  j 2a2 - lab
a? 4-bi b* — ai a —b
(J.b-4-J.bi)3 + 3-(Qi-(a3b)i) _ (a-b)2	a + b
(x/a-1 4- фЬ-1)  (ai — ai • b* + bi) 2-(a + b) 2
6)	(x4-ai : x/x)5 • (1 - \/f +	/^) °-(®-о)0,3-
(_^y+2ai+^
v \ >/a+vbJ________у ab — a
3a2 + 3b  \/ab	ai — by/a
C1 ( a —4b	a — 9b \ b~i
'a + (ab)i— 6b a4-6(ab)i 4-ЭЬ-' ai — 3bi
( 4a-9a-1 , a-44-3a~1\2
aJ ^2ai-3a-i + ai-a-i J 5
й\ „4 (	2a2 - 16a 1	\ 1	1
O> a Ul’5 + 2a«.5 + 4a-o^	a-3 + 2a-i'
Упростите выражение (xi 4-2xi 4-4J(x-8)-1 и найдите его
значение при х = 27.
Существует ли такое значение переменной х. при котором зна-
чение выражения
3_______3 _ 1-х* \~г
^х2-^х4-1	1 + 1	х&-1)
(14-х *)2 —х *
отрицательно?
§11. Степени с показателями из R
25
Постройте графики следующих функций (297—300):
297. а)/(х) = —(х + 1)з;	б) /(х) = (2 - я)-!.
298. а)/(х) = 2-|х|г;	б)/(®) = |хз - 2|.
299. а) /(х) = (х - 2)(х2+4х +4)0,5;
б) /(х) = (х3 — Зх2 — х + 3)(х2 — 2х + I)-0’5.
300.	а) /(х) = |хз - 1|;	б) /(х) = -|х i -1|.
	Решите уравнения (301—306):	
301.	а) (х2 — 2х — 3) з = 4;	/2х —1\ з 1 бЦх + 1)	=3-
302.	а) х»  (х‘ +322) =6;	б) (хз —2х2) *-2-(хз-2)®=81з.
303.	а) (х3—х2—2х+3)з=х;	б) (х2 — 2х+ 1)з = (х2 — 2х — 8)з
304.	, /х - 2\ з	/х- 2\ ~з аЦГГз) +2-и+з)	= 3;
	б) X-1 • (х + 1)з + (х+ 1)* -	= 32-хз.
305. а) (х + 1)(3х+I)-0,5 = (2х+I)0,5;	б) (х+1)> + (7-х)< =2.
306. а) (2 - х)"1’5 = (х4 - 7х2 - х + 8)"1’5;
«((О-1)’''10 (О-1- <з>)’-
307.	При каких значениях параметра а уравнение
х0’5 + 3 = а + (2а + 1) • я0,25
имеет два корня?
308.	При каких значениях параметра а уравнение
х°'(6) - 2(а + 1)х°’(3) + 4а = 0
имеет единственный корень?
309.	При каких значениях параметра а уравнение
xi — 1 г ,
—---- - х4 + а
х» — 1
имеет единственный корень?
310.	При каких значениях параметра а уравнение
ах0'4 + (а - 2)х0,2 + 1 = 0
не имеет корней?
26
Глава 2. Буквенные выражения (продолжение)
311.	При каких значениях параметра р уравнение
х? +р2 + р = 2 + 2р-х%
не имеет корней?
312.	При каких значениях параметра т уравнение
m • (х3 — х1,5 +1) = 1
имеет ровно два корня?
Найдите множество значений данной функции (313—314):
313.	а) Дх) = 2 —(® + 1)0,5;	б) Дх) = (х2 +1)1 - 3.
314-	а) =	б)/(®)=^^.
1 + (х + 1)3	X '	1
315.	Дана функция /(х) =	
а)	Постройте график /(х).
б)	Найдите множество значений функции Дх).
2
316.	Дана функция Дх) =
а)	Найдите значение а, если /(—2) = 4.
б)	Найдите множество значений функции Дх) при найденном
значении параметра.
317.	Найдите все значения параметра а, для которых множество
значений функции Дх) = (х + а)_з + а2 + а совпадает с лучом
(2; +оо).
Решите системы уравнений (318—320):
( х^ +уз =3,
(ту = 8;
б)
318.
319.
320.
а)
б)
а)
б)
х5 - X?  yi +у^ = 7,
, X* + у* + (ху)^ = 11.
/(й?)*Д^)‘=ад-
. \/х - у + 3 = 0;
’ х0,4 - 2(ху)0,2 - Зу0,4 = 0,
‘ х°’4 + у°’4 = 5.
( 2- (х + у)3 + 3- (х + 3у)~з =7)
[ (х + у)5 +(х + 3у)~з =3;
2  (х + у)^ + (Зх + 2у)з =3,
<
. Vх + У + \/Зх + 2у + 3  у?Зх2 + 5ху + 2у2 = 5.
§11. Степени с показателями из R
27
Решите неравенства (321—326):
321. а)х°-5О°'25 + 6;	б) (^)^1.
322. а)2хЗ+2^5-х<;	б) (т + т) > ^б-
323. а) (х3 — 2)~* < (х6 —14)—$;	б)	>х°-3.
324. а) (2 — х)^+2 > (2 - х)^;	б) (2i+l)~5>(2х+1)"*+2.
325. а) (х + 2)1,5 > х3;	б) (^у|) ’ XV+)0’4-
326. а) хз+2$ >3-(2х)з;
б) х-°’2 • (1 + 2 • х-°’2) > (0,5)-°-2 • (1 + 21'2).
327.	При каких значениях параметра а решение неравенства
(х + а)"з > (2х - |а|)—з содержит луч [1, +оо)?
328.	При каких значениях параметра а решение неравенства (2х +
+ 3 — а)» <2 • а® является непустым множеством, содержащемся
в промежутке [—2, 2]?
329.	При каких значениях параметра а все корни уравнения х2 + ах +
+ 2а2 = (а2 + 2)х 4- 2а удовлетворяют неравенству (х — а) з <2?
Постройте графики следующих функций (330—332):
330.	а)/(х) = 1-2г;	б)/(х)=(|)" \
331.	а)/(х) = |3Х —1|;	б)/(х) = (|)И.
332.	а) /(от) =2l®-1l;	б)/(х) = г1"!1'.
Найдите значения следующих выражений (333—340):
333.	a) log0>5 8-2 log9 3;	б) log2(|) logi9.
334.	a) 21+loga3;	6) giog32-i
335.	a) 2log“9 • log9 27;	6) 25log0 *3 • log§ 16.
336.	a) log л 27-42-31oge3;	6) log 3/5(44/2)-5logo ^ 4
337.	a) [log2 23];	6) [log370].
338.	a) [log0,25 61];	6) [log0>(3) 137].
339.	а) 4<ioga 11}.	6) 25{log°-22}.
340. а) з1о8о(°-04) + ^8- у/20-5 • 5logo-2 9;
б) 82-1о«-9 - </б?(2) • ^+5 • бй : З1’75.
28
Глава 2. Буквенные выражения (продолжение)
Сравните данные числа (341—342):
341.	a) 4~з и 2-0,75;	б) 250’3 и (0,2)-°’5.
„ „	/1 \ -0,9	_ _	/ 1 \ 9,(6)
342.	а) 27°’6 и ;	б) (16^2)-? и (^=)	.
Решите уравнения (343—347):
343.	а) З4*-1 = 9х; б) 4*2 = 2®+10.
344.	а)21-ж = 3;
345.	а) |5Х-3|=4:
346.	а) 4х + 2х = 12;
347.	a) 32x+1 = 3x+log32 + 8;
б) 32х+1 = 5.
б) 2lxl+1=3.
б) 9х —Зх+1=54.
б) 52x-1 = 5x+log34 + 25.
348.	При каких значениях параметра а уравнение «4х = (а + 1)2* — 3
имеет ровно один корень?
349.	При каких значениях параметра а уравнение (а + 1 )25х = 2а(5х 4-
+ 1) имеет хотя бы один корень?
350.	Дана функция /(х) = (6 — х — х2)-0,5.
а)	Найдите D(j).
б)	Найдите /(log2 0,25).
в)	Решите уравнение /(х) = /(log2 3).
.	( |2Х —1|	при х 1,
351.	Дана функция /(х) = <
1-3 при х> 1.
а)	Постройте график функции /(х).
б)	Укажите промежутки убывания данной функции.
в)	Найдите /(log0>5 3) + /(log9 16).
Глава 3
Уравнения и неравенства на множестве
действительных чисел
§1. Уравнения
352.	Даны уравнения:
Зх2 4-х —2 = 0 (1);	2х24-х — 1 = 0 (2);	1 = 0 (3)-
Какие из этих уравнений будут равносильны на следующих мно-
жествах: a) Z; б) R+; в) R?
353.	Даны уравнения:
2х2 —3x4-1 = 0 (1);	2х2 4-Зх —2 = 0 (2);
х3 4- Зх2 - 4 = 0 (3);	2j3+2CJz:i5—' = 0 (4)-
Какие из этих уравнений будут равносильны на следующих мно-
жествах: a) N; б) Q; в) г) R?
354.	При каких значениях параметра а уравнения х2 - х - 2 = О
и а2х2 — (а 4- 1)2х 4- а + 3 = 0 равносильны на множестве: a) Z;
б) N?
355.	При каких значениях параметра а уравнения х2 4- Зх = 4 и х3 —
— (а 4- 1)х2 - (2 - а)х 4- а2 4-1 = 0 эквивалентны на множестве
R+?
356.	При каких значениях параметра а уравнения 2х2 — (За 4- 1)х 4-
4- а2 = 1 и х2 — (а 4- 3)х 4- 6а — 2а2 = 0 эквивалентны на на луче
(-оо; 1]?
357.	При каких значениях параметра а данные уравнения:
а)	|2х - 3| = х2 - 2х; х3 - (а2 - 2а)х2 4- (а2 - 6а)х -9 = 0;
б)	ах2 4- (За2 - 1)х = За; х2 4- (2 - 5а)х 4- 4а2 = 8а
эквивалентны?
^58. При каких значениях параметра а уравнения:
а)	|х2 -х- 1| = |2х —1|; х3 4- (а2 4- За - 1)х2 4-х • (1 - а) = 4;
б)	х2 - (а4-2)х4-а4-1 =0; 2х2 — ах- 1 = 0
эквивалентны на множестве ®_?
30
Глава 3. Уравнения и неравенства
359.	При каких значениях параметра а уравнения (а + 2)а: = 3 и (а2 +
+ а — 2)s = 1 эквивалентны?
360.	При каких значениях параметра а уравнения х2 — (а+2)а:+2а=0
и х2 + ах + а2 — а — 6 = 0 эквивалентны на промежутке [1, 4]?
361.	При каких значениях параметра а уравнения х2 + ах - 1 = 0
и х2 + (а + 1)а: + 2а = 0 эквивалентны на промежутке [—2, 0]?
362.	При каких значениях параметра Ь существует хотя бы одно зна-
чение параметра а такое, что уравнения г2 + (а + Ь)х + 5=0
и |х + а| = Ь эквивалентны?
363.	При каких значениях параметра а уравнения х2 — (а+2)а:+2а=0
и х3 + (1 — 2а)х2 — (За2 — 11а + 10)х + ба2 — 14а + 8 = 0 эквива-
лентны на множестве К_?
Решите уравнения (364—459):
364.	а)	х3 — Зх2 — 14а: + 40	„	б) =_2 J 2х —(х—I)-1	
		х2 — Зх — 4		
365.	а)	1 1 1		1 1	2	X — '3 X— 1 ~ X— X2'
		х — 2 х2 — х х2 — За: + 2 ’		
366.	а)	к-3|+а: , х	б)	1 _ 1 + 1
		2а:2 —т—3 1 х+1	’		х2 — х — 2 х — 2 ' х +1 ‘
367.	а)	х4 — 9 = х  (а: + 6);	б)	(2а:2 — За: + I)2 + 4а:3 = 4а:2 + х4
368.		(х 2)5	32	б)	х2 + х + 1	7 а: +1
	а)	(	“) - (а:+1)в’		х2 — а: + 1 — 9 х — 1 ‘
б) 4х4 + 1 = 4а:2 + (а:2 — х — I)2.
б)(йл)2+|ёт1=12'
б>&^ + 1Л=2-(3)-
369. а) а?4 = (а:2 + За: — I)2 — 6а:2 - 9;
370. а) |т3 + 2х + 1| = |т3 - х2 - 1|;
’«• “)(ёз)2=,|ёдИ
Ж' а) 12^-11 + ^21=3;
373-	а) И+2	+2^-т-1=3’(6);
х~3	1*2~а:-11 _ т -
|i2 — х — 1|	х — 3	’
374.	a) (-^h-V+f — V=4,25;
'	+ 1/	\ х )
10 й 2
6) ГТ---;—а = 6 - а: - аг.
' 1 + X + X2
375.	а)а:2+а:------2 3	= 1; б) (о: + 1)(щ + 2)(ат + 3)(а: + 4) = 120.
2/ г X -г а
§ 1. Уравнения
31
376- «>^ + ^-2,5;
/х4 1\2	5 х2 — 1 /х - 1'
\х —2/	2 х2-4 + \х4-2,
(s-ЗХ2 _ 9 х-3 _ 3 _ „
\x4-l/	х24-х х2
(х-1)2-х
(х2-х4-1)2 Л Л
1	.	18
б) ((х4-1)2-5)2 = 9-(х24-2х).
378. а)
379. а)
б)
18

х2 + 2х — 3
б)
—2
= 1,(1)-
380. а)
24	12	, 2
------ —-----------L т”4
381. а)
382. а)
х* — 2х х£ — х
2х2 + -^^ + ^4 = 3;
(х — З)2 х — 3
х2 4- А 4- Зх 4- - = 0;
х2 х
/х4-1\ / , 9 — 7х\
б)
х2 — 10х + 15 Зх
х2—6x4-15 х2 — 8х + 15’
б) За:2 4-	_10 4-
+ (х4-2)2 - W + Х4-2-
б)х2-2х-7+^ + ^=0.
пп	/50—х\/ , 50—х\ ___
383.	а)
384.	а) (а:2 - За:)2 4- (2х 4- 1)(х2 — За:) = 6(2х 4-1)2;
б) (а:2 4- 4а: - 5)2 = 2х(х2 - х - 5).
,в,	\ х2 4-2x4-7 4х	2 С , О 2х2-6х-3
385.	а -------— = -я—=——z:	б) х2 - 6х 4- 8 =-=—;—
' т* — т J- 7	т* — 7 т 4-7	*	— 1
х
х — 1
х2 — х 4- 7 х2 — 7х 4- 7 ’
(|х-1|-2х + 2 V q |х-1| = 28.
б) (а:2 4- 1х 4- 4)2 4- 4х(х 4- 2)2 = 0.
387. а) 2а:5 4- х = 3;	б) (а:3 4- 2а: - I)3 = 9 — х.
388. а) а:6 4- 2х2 = 3;	б) Зх8 = 5 — 2|х|.
389.
х — 2
у/х2 — х — 2 _ у/х2 — х — 2
а)	3:2-31 + 2 2х 4- 3	’
б)	(а: 4- 2) • ^6 - а; — т2 = (а; 4- З)-1 • \/6 — х- х2.
390.
391.
б) Ух2 -Зх 4- 2 + </4^25 4-	= </2.
а) у/(х — 5)(х 4- 7) - 52 = (х — 11)(х 4-13);
392.
а) х2 — 4х — 6 = у/2х2 - 8х 4- 12;
х3 - х2 + х - 1 - у/х(х - 1) = х - 1.
32
Глава 3. Уравнения и неравенства
393.	а) аг24-3 - \/2а:2 — 3x4-2= | • (а:4-1);
б)	^2 + 10ж + 21= ?/	31. е.
У Ьх —	- 5
394.	а) х/ТТ72т-а: = 7;	б) </2 - 4т2 4- \/3^ = 0.
39S-	»)
б)	\Лг 4- 3 — 4х/ж — 1 4- \/а:4-8 —6х/х — 1 = 1.
396.	а) х/х2 • (х — I)2 4- W + 3-4.T2 = 0; б)	=4 •
397.	а) х/Зж2 - 2а; 4-15 4- у/Зх2-2х + 8 = 7; б) . /-±- = х.
х 2 у х ~~ 2
398.	а) + ^+7= -L=;
хЛс +1	х/ж+1
б) х/2(а: - 1) - xZF+T + х/ж^2 = 1.
399. а) х2 — 2х = х •
„. п	_ 3 t 18-х
^18-ж -	2 у х - 1
400. а) -Уз2 —я + 1 + 4- у/х(х2 -х + 1)=5\/х-,
6 • х/3 — ж — Зж х
х/3 — х + 2т	х/3 —ж
б)
= 28;
h-^4
402.	а) 2^ж+Т-	= х/Т2^!:
2ж- 1 „ж - 1 _	/2ж2 - Зж 4-1
°' ж + 1	Ож + 2-йу ж2+Зж + 2 •
403.	а)	1/^=2- ^аГЛ1 = 3;	б)	^2ж^Т+	^10 - 2т = 3.
404.	a)	^F+45 + s/16^ = 1;	б)	У^+З +	^б^Т2 = 3.
405.	а)	^+4+ ’Ут2^3 = 3;	б)	v/rT+3+	^6^з = 3.
406.	а) х/ж2 + За; 4- yjx2 - 2х = хЛг2 4- 19а;;
б)	х/2а;2 - За; 4-1 4- х/За;2 + 5а;-8 = х/т2 - 22а: 4- 21.
407.	а) 71~2х^Т^~4-2а;2 = 1; б)	= i _ 8х2.
у	"	у	2
408.	а) л/12 —бх/я: —44- \/б —Зх/8 —ж= х/6;
б)	\/4 - а;2(2а: 4-1) - 2х/2(а; 4- у^ -а:2) 4- х = 2\/2 - 4.
§ 1. Уравнения
33
409. а) х/Зх2+22х—45+х+ V6х2—49а;+65=22+ \/х+9+\/2х —13;
б) >/2х2 + 7х + 3-3VxT7 = 4 - х/2л;2 + 15х + 7 + Зх/х + З.
410.
411-
412.
413.
414.
415.
416.
417.
418.
419.
420.
421.
422.
423.
424.
425.
426.
427.
428.
429.
430.
431.
432.
433.
434.
а) 3-3Х = 9»;
б) 4х = 5 • 2х - 6.
а) 2х" -Зх = 3*а -2х;
а) >/х+ 1 + \/х + 5 = 6;
а) Зх/я; + 1 + Ух-2 = 10 - х;
а) ^2х+Т+2^х + 9 = 3;
а) 2х+^=^_-,
а) 2Х=11 —х;
а) х3 + 6а;2 + 7х — 2 = 0:
б) З®2 •52i+6 = 5x2-32i+5.
б) + \/2х2 + 3 = 5.
б) У4 + Зх — \/9^-4х + 1 = 0.
б) #8^+?- ^х = 2.
б) х3 + х/х-2 = ^-|7у.
б) 2х + 3х = 5.
б) За;3 + х2 — 5х + 2 = 0.
х4 — х3 — х2 + 4х — 3 _ х2 + 4х + 6
х2 — 1
X + 1
б) |Зх3 + х - 3| = х - 2.
а)	2х4 + х3 — 9х2 - 2ят + 8 = 0;
б)	6х5 + 7х4 - 18.x3 - 16х2 + х + 2 = 0.
а) х2  |х - 3| = 6а: - 8;	б) х  \х2 - 6| = Зх2 - 8.
а) 8х3 + 2х2 - 19х — 12 = 0; б) 6х4 — 23.x3 - 25х2 + 59а: + 15 = 0.
а) 6хв + 13х4 - 6х2 - 8 = 0; б) бх6 - 5.x4 - 16.x2 + 16 = 0.
а) х4 - 4х3 + 7х2 - 8х + 4 = 0; б) х4+ 2х3 - 9х2 - 6х +9 = 0.
а) х4—4х3 —|5х2-4х| + 1=0; б) |----------=х2 - 1.
а)	4х4 + 2х3 - 10х2 - х +1 = 0;
б)	9х4 — 24х3 + 24х2 — 16х + 4 = 0.
а)	4х5 — 2х4 — 16х3 + 11х2 + 12х —9 = 0;
б)	8х6 - 18х4 + 2х3 + 9х2 - 1 = 0.
а) х4 — 4х3 + 2х2 + 4х — 1 =0;	б) 2х4 —8х3 + 13х2 —10х—1=0.
а) х4 + х3 - Зх2 - 8х - 6 = 0;	б) 2х4 - х3 - 7х2 + Зх + 4 = 0.
а) (х — 2)4 + (х - 6)4 =40;	б) (2х+3)4 + (2х-5)4 = 1000.
а)	(х2 + 2х - 2)2 + х2 = 7;
б)	(х2 + х + 2)2 + (х2 - З)2 = х3 - 9х + 25.
а)	18х4 — 12х3 — х2 + х — 2 = 0;
б)	4(х + 5)(х + 6)(х + 10)(х + 12) = Зх2.
а) х8 - 6хе + 8х4 + Зх2 = 2;	б) х12-х9- 10х6 + 2х3+4=0.
а)	х4 + 4х - 1 = 0;	б) х4 - 4х3 - 1 = 0.
а) (х2 - Зх + 1)  (х2 + Зх + 2) • (х2 - 9х + 20) + 30 = 0;
б)	х • |х + 4| • (х2 + 14х + 45) + 96 = 0.
34
Глава 3. Уравнения и неравенства
435.	а) х3 + Зге — 5 = 0;
436.	а) х3 — Зх2 4- Зх +1 = 0;
437.	а) 8х3 —6х + 7 = 0;
438.	а) а;6 - х3 - За:2 - За: - 1 = 0;
б)	а:3 + 6а:2 + 12а: — 3 = 0.
б)	2а:3 + 9а: - 14 = 0.
б)	2х3 + 6х2 — 6а: — 25 = 0.
б) х6 - Зх4 + х3 - Зх2 + 12х - 9 = 0
439.
440.
441.
442.
443.
444.
445.
446.
447.
448.
449.
450.
451.
452.
V® , 2 X
а) х- 1 + 3 “ х/7-
б)
\/х + 10
\/^+2-3^ +
3/ о
£i+o’(6)=o-
а)	(х3 + 2х2 —Зх)з = (1-Зх)з;
б)	(2х4 - Зх3 - 14а:2 + 4х + 4)"$ = (2 + х - х2)~ <.
а) х2—Ху/х —103:4-4^/5+16=0; б) 4х-6- Ух3 -3- ^х + 1 = 0.
а)	(9 — 8х3)~з = (12х — 4х4)_з;
б)	(4х4 — 4а:3 — 4х2 + 4х — 6)з = (х2 + х — 2)з.
а)	у/х3 - х2 -9х + 3 + х—1-
б)	у/4х4 — 6х3 — 5а:2 + Зх + 2 + 2 = х(х + 1).
а) </Зх3 + 4х2 + 2х — 3 + 1 = х; б) \/Зх3 - 6х2 - х + 3 = у/х^Т.
а)	-УЗх4 - 13а:3 + 18х2 - 22х + 24 + 2 = х;
б)	\/4х4 - 10х3 + Зх2 + Зх - 2 = tyx2 - 2х - 3.
a)	v^x4 — 10х3 + 28х^ — 16х + 6 = у/х — 3;
б)	 \/3 • (х2 + 2х +2) =
а)	х2 + 4ху/х — х— 10у<г + 4 = 0;
б)	х2 - 2х1,5 + 7х - 6х°’5 -7 = 0.
а)	х + 2хз = 3xi + 4x3 + 5;
б)	2xs + 6xs + 8 = 3xi + Юхе.
б) \/10х3 —6х2 — 15х + 3 = 2х2.
б) х4-3^х= 1.
= 4.
а) х + у/2х- 1 = х2;
а)
а) s/2 - х = х + 1;
а)	х3 + (1 —\/2)х2-(1 +\/2)х +\/2 = 0;
б)	х3 + 2 у/Зх2 + Зх + \/3 - 1 = 0.
453.	a) (x2-x-1)2 + 2(x2-x-1) = 2 + 2V5;
б)	х3-Зх=(1 + х/2)3-3(ч/2+1).
454.	а) ^2 + 5^1 ~ х + 7+Т + Г+2 ~ 0;
2	3	,	3_ ,	2	_
х + 5 ‘ х + 4 х + 1 х —2 х —3
455.	а) (х3 + х - 2)3 = 4 - х3;
б)	2х - 5 + (х - 3) у/х2 - 6х+ 11 + (х - 2)у/х2 - 4х + 6 = 0.
§ 1. Уравнения
35
456.	а) [х] + /х = 8,5;
457.	а) \Де2 + 3 = 2z + [х] - 6;
458.	а) /2-х + {ж} = 2,25;
459.	а) \/8[^х] -х2 = х;
б) /х + 6 + [2х] + 6,5 = 0.
б) a/i2- 2х+9=2х+1 + 2[х].
б) /4 — х2 - {х} = а/3 — 1.
б) х2 — 3[х] = 2{х} + 7.
Решите уравнения и расположите корни в порядке возрастания
(460—464):
460.	а) Зх3 — 10х2 — 17х — 6 = 0;
б)	6х4 - 49х3 + 14х2 + 351х + 308 = 0.
461.	а) х4 + 2х3 - 12х2 — 4х + 4 = 0; б) 4х4 — 12х3 + х2 + 12х - 3 = 0.
462.	a) Зх4 - 4х3 + 18х2 - 54т + 40 = 0;
б)	Зх4 - 8х3 - 18х2 + 12т + 96 = 0.
463.	а) 2х5 + Зх4 + 10х3 + 16х2 - 15х + 2 = 0;
б)	х5 + х4 — 10х3 — 18х2 + 6х +105 = 0.
464.	а) (х2 + Зх - 4)(х2 - х - 6)(х2 + х + 1) + 36 = 0;
б)	(х2 — 2х - 1)(х2 + 5х + 6)(х2 - 9х + 20) = 48.
465.	Решите уравнение ах3 — х2 — 7х — 3 = 0, если одним из его корней
является —0,5.
466.	Решите уравнение 2х3 + ах2 — 4х — 1 = 0, если одним из его кор-
ней является 1 — /2.
467.	Решите уравнение х4 + ах3 + 2х2 — 5х + 1 = 0, если одним из его
корней является —2 — /5.
468.	Известно, что число - а/3 является корнем многочлена х3 - (2а -
— 1)х2 + 36х - 25 + а, где а и b — целые числа. Найдите а и b
и остальные корни этого многочлена.
469.	Решите уравнение Р(х) = 2х3 + ах2 + Ъх — 3 = 0, если известно,
что остатки от деления многочлена Р(х) нах + 1 и х — 2 равны
соответственно 2 и —7.
470.	Решите уравнение Р(х) = х4 + ах3 — 5х2 — 2х + Ь = 0, если оста-
ток от деления Р(х) на х2 — х — 1 равен —4х.
471.	Решите уравнение 2х4 + ах3 — 12х2 + 2х + 15 = 0, если одним из
„	1 - \/13
корней является —%—.
472.	Решите уравнение Р(х) = х4 — х3 + ах2 — 11х — 3 = 0, если извест-
но, что многочлен Р(х) делится нацело на х2 + 2х+ 3.
473.	Решите уравнение Р(х) = 4х4 + ах3 + Ьх2 + 34х +12 = 0, если а
и Ъ — целые числа и Р(1 - /2) = 207 - 145\/^. Корни расположи-
те в порядке возрастания.
36
Глава 3. Уравнения и неравенства
474.	Решите уравнение \/ах = х — а — 5, если одним из корней явля
ется У10 + 3.
475.	Решите уравнение \/2х3 + х + а + х 4- а = 0, если одним из корней
является 1.
Решите уравнения с параметром (476—515):		
476.	а) (а - 2)х 4- 4 = а2;	б) а2 • х = х + 1 4- а.
477.	а) ах2 = а + 2;	б) а • (|х - 1| — 1) =а2.
478.	а) |х4- 2а\ =х;	б) |х-а| = 2х4-а.
479.	а) а — |х| — 1 - а2 • х;	б) |х - 1| +х = а.
480.	а) (а2 4- а - 2)х + а2 = 1;	б) (а2 - а - 6) • х = 2 — а — а2.
481.	а) (а2 — 1) • |х| 4- а2 = а 4- 2;	б) а • |х| = а - 1.
482.	а) |х4- 1| =ах — 3;	б) |2х — а| =ах — 2.
483.	а) |х - 2| 4- |х 4- а| = 5;	б) |х — а| 4-|х 4~ а 4-1| = 3.
484.	а) |х-2|4-|х4-1|=ах4-а4-3;	б) |х 4- 2| 4- |х| = ах 4- 2х - а.
485.	. х2 — 2х - 3	_ а) 	;	= 0; ' х + а	х2 - а2 4- За п б) х-2	“°-
486.	\ х а) у,—:— = а; ' За: + а	б) — =2. 7 х — а
487.	\ х2 — Зах 4- 2а2	_ а)	х-1	~0;	-х х2 4- ах — 2а.2 п б) „	_	—0. '	х2 — х — 6
	. х2 + ах — а—1	2a:2 - ах —а2	_
	1 (х4-3)(х —a) U’	} х24-(а-1)х-а “U-
	х la:-21-3	la: — а| — 1
489.	а) 1	-	= 2; 1 х —а	б> х + 2 -3’
490.	а) х • [я 4- 11 = а;	б) х- |х — а| = 2.
491.	а) 2ах2 — ах — 1 = 0;	б) (а2 - 1)х2 4- 2(а — 1)х = 3.
492.	а) ах2 4- (а - 2)х 4- 2а = 0;	б) (а 4- 1)х2 4- ах 4- а 4-1 = 0.
493.	а) х2 4- |х| 4- а = 0;	б) х2 — 2|х| — а = 1.
4Q4	д') а -4-	о.	х	2	1
	J х-1 1 х4-1	б' а	(а: — 2) х2 4- х — 6 х 4- 3 ’
495.	а) ах2 4- 2 — (1 + 2а)х;	б) а	(я2 4- 3) = (а2 — 2а 4- 3)  х 4- 6.
496.	а) х4 4- (а - 2)х2 = 2а;	б) х4 — 4х2 4- 4а — а2 = 0.
497.	а) х2 = 2 • |х - а| - 2 • |х — 2|;	б) |х - а| — х2 — х.
498.	а) х34-(а — 1)х24-(1 — а)х—1=0;	б) х34-(1 - а)х2 - 2ах - а = 0.
499.	а) х4 - 2х3 + 2х2 — 2ах — 4х - а2 -	2а = 0;
	б) 2х3 — 6т2 + ах2 — 5ах — а2 = 0.	
§ 1. Уравнения
37
500. 501. 502. 503. 504. 505.	а) х4 - 2ах2 — 6х2 4- 4х 4- 2а 4- а2 = 0; б) х4 - 2х3 - 2ах — а2 = 0. а) а • 2х = 2 - а;	б) (а2 - 4)3* = а2 - 5а 4- 6. а) у/х = х4-а;	б)у/ах = 14-х. а) у/2х 4- а = х;	б) у/х - а 4- х = 2. а) у/х2 4-х — 2 = х 4- а;	б) у/ах 4- 2а2 — 5а 4-14- 2 = х. а) у/х2 4- 2а = (а4- 2) • \/х;	б) ^х-а-§/х = 1.
506.	a) 2х- \J~~ 4- у/х1 - 2х = а;	б) (а2 — 1) • у/х = (а 4-1) • х.
507. 508. 509. 510. 511.	а) у/х2 — ах — 44-х = 3;	б) у/х4 4-ах 4-х - 24-х = 0. а) у/х2 - 4-(ха - 1) = 0;	б) у/9-х2-(х2-х-а24-За-2) = 0. а) (х2 — 4ах) 1 =’х;	б) (х2 — 2х) 7 = (х 4- 2а) ?. а) х§ —4хз 4-2а = 0;	б) а-х°’54-2а-х°’25 4-а-2 = 0. а) |у/х-а-х| = 2; б) 2у/|х|4-х4-а = 0.
512.	а) у/2х2 — х — а4-1=х;	б) у/2х2 4-х-|-а4-х = 2.
513.	а) х •	4-Х2 4-2х = а;	б) х-4-х2 4-ах = 6.
514. 515.	а) х2 = 14-у/2ах2 4-ах — х3 — а2 4-1; б) xjb— 1 — у/б4-х = х4-1. а) у/х 4- а 4-1 - х = 2;	б) у/3 - а - х - а = х.
Укажите число корней уравнения в зависимости от параметра а
(516—532):
516.	а) |х — 3| =2.т +а;
517.	а) |х — а| 4-2х = 3;
518.	а) х2 4-1= ах;
519.	а) х4 — х2 — а = 0;
520.	а) х3 4- ах2 — 2х 4-1 — а = 0;
521.	а) |х2 — х| 4-Зх = а;
522.	а) |х| 4- |х4- а| = 5;
523. а) х4 — 4х3 4- 8х2 — 8х 4- а = 0;
524. а) х3 — 12х4-а = 0;
525. а) у/х2 4-2 4-х = а;
б) а  (х — 2) = |х|.
б) |2х —а| - х = 5.
б) ах2 =х4-1.
б) х4 4- а • (х2 4-1) = 0.
б) х3 4- (а - 2)х2 4- (4 — 2а)х -8 = 0.
б) х2 - 2|х| 4- а - 1 = 0.
б) |х — а| 4- 3|х 4-1| = 6.
б) х4 4-4х3 4-ах2 4-12x4-9=0.
б) х3 4- 6х2 — 15х — а 4-1 = 0.
б) у/х 4-2 4-х = а.
526. а) х = у/х 4-а; б) у/х 4- а — х = 2.
527. a) (х — I)2 = у/х2 — 2х 4- а;
б) х2-6х-5(х-2)- У|^| = а24-а-14.
38
Глава 3. Уравнения и неравенства
528.	а) у/х2 - 2х 4- а = х - а-,	б) yJ2x2 — х + а = х + 2.
529.	а) у/х2 —х—а-(х2+х—2)=0;	б) у/ах-х2 • (х2 — х — а) = 0.
530.	. у/х - а — 2 а) - 2	.	=0; ' х2 — 4	-v х — Jax 6>^+x-6-0-
531.	а) х2 4- у/х2 4-1 4- а = 0;	б) х2 4- а - \/х2 4-4 = а.
532.	а) у/2 — х + х = а;	б) у/4 — х2 + х = а.
533. При каких значениях параметра а уравнения у/х + а = х + 2
и \/х + 2 = х + а имеют одинаковое число корней?
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых данное
уравнение имеет один корень (534—540):
534. а) Х~ аХ га=0; ' х2 - х - 6	’ 535. а) Х* + Х~\=0; ' х2 + ах —3	’	х2 4- (За — 1)х 4- 2а2 — 2 б> -°- 61	2д3-9дг+2з+1 2х-|х4-а|-4х4-2—|х4-а| ~
х'2 4- ах 4- 6	п 536‘ а> хЗ-Зх24-х + 2-0; . 2х4-|х-6| 537. а) 9 । < ю — ' х2 4- 4х - 12	61 g2 ~ 3°;г + 2а2 4- а — 1 _ '	12х3 4-8х2 -х - 1 -U- |2х - 3| 4- х _ х2 — 4x4-3 а'
538. а) х 4- 2 4- а-у/х 4- а = 0; 539. а) у/ах 4- 3 — а2 4- х2 4- 2 = х;	б) х - 2ау/х - 2 4- а = 0. б) yjx2 — ах — а2 4- х = 4.
540. а) х2 4- 2х 4- 2х \J:!~ + а = 0:
б) х2-2х4-3(т-3),/^Ц=а24-а+1.
V X о
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых данное
уравнение имеет два корня (541—545):
541.	а) ах2 —х 4-2;	б)	ах2 4- 4|х| 4- а = 2.
542.	а) х3 4-Зх2 4-а = 0;	б)	х3 4- ах2 4-4 = 0.
543.	а)(т4-2)А/|||||=а;	б)	а /||±Б = а;+L
у I I	у I Я* — *5 I
544.	а) х3 — х2 • |24-а| 4-ах = а• |2 4-а|;
б)	х3 4- а(х2 4- х) 4- а2 = 2|х|(х 4- а).
545.	а) >/4х4-а = х;	б) у/-2х + а + х-4.
§1. Уравнения
39
При каких значениях параметра а. данные многочлены имеют хотя
бы один общий корень? (546—552):
546.	х2-Зх-2; ах2 4- (а - 1)х 4- 1.
547.	х2 + ах -I- а - 1; ах2+х + 2.
548.	х2 4- ах — 2; х2 4- а.
549.	х3 + 2х2 -4x4- 1; 2х3 4-7х2 4-х 4-а.
550.	2х3 4- х2 — 7х + 3; х2 4- (а2 - 3)  х - а - 1.
551.	х2 - Зх-1; б) х4 - 4х3 4-Зх2 4-(а 4-3)х 4-2а2 - 3.
552.	2х34-5х2-5х4-1; б) х4 4- (а 4- 1)х3 - (а 4- 2)х2 4- 2(а+ 1)х - а2.
553.	При каких значениях параметра а все корни уравнения 2х3 4-
4- 5х2 4- х - 2 = 0 удовлетворяют неравенству |
554.	При каких значениях параметра а все корни уравнения
(а -1) • х=а2 - За 4- 2 удовлетворяют неравенству |а2 + х - 11 а?
555.	При каких значениях параметра а все корни уравнения
ах2 4- (а - I)2 • х + а = 2 удовлетворяют неравенству
556.
557.
558.
При каких значениях параметра а хотя бы один из корней
уравнения х2 — (а 4- 1)х 4- За = 6 удовлетворяет неравенству
х3 — ах 4- 8	„?
х2 + а2х + а — 4
Найдите все значения параметра а, для каждого из которых
существует только одно значение х, удовлетворяющее системе
уравнений:
а) <!
б) «
|х2 — 4| 4- 2х2 — 2х - |х| - 2 = О,
(а — 1)х2 - (а2 - 1)х 4- а = 0;
|х2 - 7х 4-10| - 9х2 4- 13х 4- Ю • (х - 1) • |х - 1| = 0,
х2 — 2ах 4- (а — I)2 = 0.
При каких значениях параметра а все решения уравнения 2х3 —
— 5х2 — Их — 4 = 0 удовлетворяют неравенству |х — а2| 2х 4-
4-а4-1?
559.	При каких значениях параметра а уравнение
х 4- у/ах + х2 + а-1 = 5 не имеет решений?
560.	При каких значениях параметра а уравнение
14-	\/4х2-ах—2х 4- 5 = 2х имеет хотя бы один корень?
561.	Найдите число положительных корней уравнения | ухТТ — х| = а
в зависимости от а.
40
Глава 3. Уравнения и неравенства
562.	Найдите число отрицательных корней уравнения |х/я? -4- 4 — х| = а
в зависимости от а.
Для данной функции f(x) найдите f'(x) (563—566):
563.
564.
565.
566.
567.
568.
а) /(®) = 2х2 - Зх -1;
а) f(x) = —+ 2т2 4- 5х 4-1;
а) /(х) = -х4 - 4х3 4- 2х2 - 5;
б) f(x) = l:Xa -2х + ±
О	Z
б) f(x) = |х4 - Зх2 - х - |
б) f(x) = х5 — 4х3 4- 2х2 — 1
а) /(®) = I
б) /(х) = /
2х2 4-х — 1 при х < 1,
х34-2х2-1 прих>1;
— х34-2х2-2 прих<—1,
2.x4 4-х	прих^-1.
2
Дан многочлен Р(х) = — jjX3 4- х2 4- 4х — 3.
а)	Решите уравнение Р'(х2) =0.
б)	Решите неравенство Р'(х) 0.
в)	Решите неравенство |Р"(х)| > Р'(х).
Дан многочлен Р(х) = х4 — 4х3 — 16х 4-16.
а)	Найдите р(2- Р'(^~^ 4-40^.
б)	Решите уравнение Р'(х) = 48.
в)	Решите неравенство |Р"(х)| ^12.
569.
570.
Дана функция /(х) =
2х3 — Зх2 — 12x4-1
х3 4- 6х2 — 36х
а)	Постройте график функции уз(х) = /'(х).
б)	Решите неравенство f'(x) 0.
в)	Решите неравенство (/'(ж)! > fix).
при х 1,
при х > 1.
Дана функция /(х) = |х4 - 2х3| - х4 4- х2 4- 3.
а)	Решите уравнение f'(x) = 0.
б)	Решите неравенство /'(/"(х)) > 0.
Постройте графики следующих функций /(ж) и укажите количество
корней уравнения /(ж) =а в зависимости от а (571—576):
571.	а)/(х) =х3 — 6х2 — 15х 4-7;
572.	а)/(х) = -х34-Зх4-2;
573.	а)/(х) = 4|х|3 —15х24-12|х|4-2;
574.	а) /(х) = х4 - 4х2 - 16х 4- 30;
б) /(х) = 2х3-5х2-16х —12.
б) f(x) = —х3 4- Зх2 4- 9х — 5.
б) f(x) = |4х3 — 15х2 4- 12х4- 2|.
б) /(х)=х4-4х3—2х24-12x4-8.
§ 1. Уравнения
41
575.	а) /(х) = -х4 4-4х- 1;	б) f(x) = -х4 4- 8х3 4- 2.
576.	а) /(х) = хб — 5х3 4- 10х - 2; б)/(х) = 2х7 - 7х4 - 42х 4-3.
577.	Дан многочлен Р(х) = 2х3 + 12х2 + 18х 4- 3.
а)	Докажите, что многочлен Р(х) имеет три корня.
б)	Найдите количество корней многочлена Ро2(х).
в)	Найдите сумму кубов корней многочлена Р(х).
578.	Дан многочлен Р(х) = -4а:3 4- 24х2 4- 60а: 4- 3.
а)	Докажите, что многочлен Р(х) имеет три корня.
б)	Найдите приближенное значение среднего корня, указав
первую цифру после запятой.
в)	Составьте примитивное уравнение третьей степени с целыми
коэффициентами, корнями которого будут числа а =	+ х?,
0 — Xi 4- хз, 7 = хг + Хз, где xj, хг, хз — корни данного много-
члена.
579.	а) Постройте график функции /(х) = 2х3 — 5х2 — 16х - 12.
б)	Укажите центр симметрии этого графика.
в)	Определите корни уравнения /(х) = 0, указав один верный
знак после запятой.
г)	Укажите число корней уравнения |/(х)| = 2 — а в зависимости
от а.
580.	а) Постройте график функции /(х) = |х3 — 4х| — 2,5х2 — 4х.
б)	Решите уравнение /(х) = 0.
в)	Найдите все значения параметра Ъ, для каждого из которых
существует хотя бы одно значение параметра а такое, что урав-
нение /(х) = ab(a 4-1) — 100 имеет непустое множество решений.
581.	Определите количество корней уравнения /о2(х) =а, где /(х) =
= х3 — Зх 4-1, в зависимости от а.
582.	Дан многочлен Р(х) = 2х4 4- 12х3 - 14х2 — 24х 4- 37.
а)	Сколько корней имеет многочлен Р(х)?
б)	Найдите целую часть каждого корня.
в)	Найдите сумму квадратов всех корней Р(х).
г)	Найдите сумму чисел, обратных по отношению к квадратам
корней.
583.	а) Постройте график функции Р(х) = х4 4- 4х3 — 8х - 3.
б)	Решите уравнение Р(х) = 0.
в)	Составьте примитивное уравнение четвертой степени с це-
лыми коэффициентами, корнями которого являются квадраты
корней данного многочлена.
42
Глава 3. Уравнения и неравенства
584.	а) Найдите а и Ь, если известно, что график функции /(а:) =
= -2а:4 + ах3 + Ьх2 — 12а: 4-1 симметричен относительно прямой
х = 2.
б)	Сколько корней имеет уравнение Р(а;2) = О?
в)	Сколько корней имеет уравнение Р(Р(х)' sign(l - а:)) = О?
585.	а) Составьте примитивное уравнение третьей степени с целы-
ми коэффициентами, одним из корней которого является число
а = х/3-2^2 + \/3 + 2 У2.
б)	Докажите, что а £ Q'.
586.	Составьте примитивное уравнение четвертой степени с целыми
коэффициентами, одним из корней которого является данное
число и решите полученное уравнение:
а) 2 - 7з~72; б) 1 + 72 + у/2.
587.	Составьте примитивное уравнение четвертой степени с целыми
коэффициентами, одним из корней которого является данное
число и докажите, что это число — иррациональное:
а) 275 - Тб; б) 2 + ^~^.
588.	Докажите, что число Тб + 2Тб + Тб — 2 Тб является иррацио-
нальным.
589.	Вычислите:
а)	726—1573 + 726 + 15у/3;
б)	717-1272- У17+12Т2;
в)	797-5673 - 797 + 5673.
590.	Пусть а — корень уравнения х3 + х - 3 = 0. Найдите примитив-
ное уравнение третьей степени с целыми коэффициентами, кор-
нем которого будет число: а) а2; б) а-1.
591.	Пусть а — корень уравнения х3 + 2х2 — 5 = 0. Найдите прими-
тивное уравнение третьей степени с целыми коэффициентами,
корнем которого будет число: а) а2; б) q Q .
592.	Пусть а — корень многочлена х3 + 2х2 — х — 5. Упростите следу-
ющее числовое выражение: а5 + а4 — а3 + За.
593.	Пусть а — корень уравнения х3 - х — 1 = 0. Найдите 73а2 - 4а +
+ аТ2а2 + За + 2.
594.	Упростите следующее выражение:
595.	а) Докажите, что число а = 2 — 71 + 73 является алгебраиче-
ским числом четвертой степени.
50-3272-674
74-472 + 3
§2. Системы уравнений
43
б)	Укажите все числа, сопряженные по отношению к а.
596.	Найдите какой-нибудь примитивный многочлен с целыми коэф-
фициентами, одним из корней которого является число а = д/2 —
-^3.
тт	Л	Лб-Л-4х/5
597.	Найдите фундаментальный многочлен числа а =--j-----.
598.	Числа а и 0 удовлетворяют равенствам: а3 - За2 + 5а = 1,
З3 - З/З2 + 5/3 = 5. Найдите а + /3.
§ 2. Системы уравнений
Решите системы уравнений (599—630):
2х3+3х2?/+5х?/2+2?/3=0,
599.	а) <	2х2—?/=4;
600.	a) J	2х + у— 3, ху2 — бху + 14х + 3 = 0
601.	а) <	' х3 + ?/3 = 26, ху = -3;
602.	а) <	' |2х + у\ = х - у, х2у - 2х + у2 + 7 = 0;
603.	а)	Г ж2	10	х _У _ 23 у2	х2	у х 4 ’
б) <
б)
б)
б)
2х3-7х2?/+2х?/2+3?/3=0,
х2+х?/-Зх+1=0.
Зх — у2 + 1 = 0,
ху + Зх — 2у = 5.
х4 + ?/4 = 146,
ху = 5.
2х3-7х2у+7ху2-2у3=0,
±-(х-у)-ху.
б)
х-у=1;
|х + 3/1 = 2х - у,
у2х2 — 4у3 + 4у2х - 4ху — 32?/ - 2х — 36 = 0.
604.
б)
х । У. 25х 2'Уу Q _ п
у2 х2 бу 6х ’
х + 2у = 4;
х4 + 4х2?/ - х2 + 4у2 - 2у - 2 = 0,
х + ?/ = 3.
605.
. х + ху + у = 9:
44
606.
607.
608.
609.
610.
611.
612.
613.
614.
615.
616.
617.
618.
Глава 3. Уравнения и неравенства
х + у = 9,
б)
s/x- Уу = 2,
ху = 27.
а)
х/х+у + у/2х+у+2=7,
3х4-2у=23;
б)
а)
а)
а)
а)
а) <
а)
х + у 4- \/х + у = 20,
х2 + у2 = 136;
х2 -у = 28;
\/х+у/у = 3,
12
х-у’
3-(х2-Зу)--^==5,
\/х+у
2-(х2-Зу) + -^==7;
\/х4-у
х2 + Зху = 4,
2х2 — у2 = 1;
хь = 5х3у2 - 19,
2у4 = Зх3у2 + 20;
х2-у2 = 3,
2х2 - Зху + 2у2 = 4;
х-у = 1,
х3 - у3 = 7;
х2 - ху 4- 2х = 2,
у2 - ху - 2у = 6;
2х2 - ху - у2 = 2х - Зу,
2	2
х2 + у2 = X + 2у-
[ (х2-Зху+у2)у/х+у=2,
[ (х2+ху + у2)'/х + у = 26;
б)
б)
б)
б)
б)
б)
б)
/ 2х — 1
V у + 2
х + у = 2.
\/х2 + у2 + у/2ху=8\/2,
. х/х + ^/у=4.
2-^-2-
х- у = 63.
= 2,
ХУ>
х2 +ху +у2 = 3,
х4 + Зх2у2 + у4 = 29.
-1=4=
б)
б) -
б)
б)
\/х3у+ \/ху3 = 5х/б.
'х2 + 2у2 = 17,
х2 — 2ху = -3.
х2 + 4ху = -3,
Зх + бу + 4у2 = 1.
f у2 + 2ху = 3,
х2 + Зх + Зу = —5.
х + 2у = 4,
х3 + 8у3 = 16.
1 _ ЗхН~ 1 _ „
х-1 у + 1 ~2’
2х - 2 Зу + 3
. Зу-1 + 3x4-1
х2 - 2ху - Зу2 4- Зх 4- бу = 0,
х2 - у2 - х + 2у = 0.
у - х3у = 9,
х2у-х3у = 12.
§2. Системы уравнений
45
	3	2	10	2		+ 5 =3
619- а) 1	х у~ х + у' х2 + 2ху + 3у = 27; 5х2 - бху + 2у2 — 2у + 2х +1	6) < =0,	X-y 2x2 -	1 2x + y у -У2 = 7. x + \/y = 6,
620- а) <	х2 + ху - Зу2 + Зу + 2х +1 = 4у2-4ху+х2-4у + 2х + 1 =	0; =0,	O) <	y + y/x = 6. x3 + y3 = 1,
621- а) *	х2 + у2 - Зху + 5 — 0;		6	X4 +y4 = 1.
622. а) <	у/«/+У^=6> (х+у)2+22(х + у) = 240; 2г+1 + Зу-1 =6,(6),	6) <	2x — у = 3x2y, y — x = 2xy2. ’	+ 5J/+1 = 17,	
623. а)	41+1+9у-1 = 36/4); log2 X 4- log2 у = 3,	6) <	3%+y logs 5 _ g log3(x+2y2)=!,	
624. а)	log2 X + log2 у = 5; ' 4х — у — 3z = 12,	6) <	log2(- — X	-y)+log2(x-3y)=l. 4- у+ 4z = 5,
625. а) <	2x4- Зу - z= 1, к бх 4-Зу — 5z = 15; ' x + y + z = 3,	6)	3x — 2y- 6z = —10. 4x + y — 8z = —6. ( x + y + 2z — 4,	
626. а) •	x + 2y — z = 2, х 4- yz 4- xz = 3; ' x + y + z = 6,	6)		\ /		 HI-	to +	+	1 « |W N	tc 1	*° 1 II	1 N 1 tO	"	N II	H -4	2"*	
627. а)		s	z		 H	H +	H tei «	4-4- 4"	NN II	" Ю P° «"	6)	^-1 + 1=8, X у z ' 2x + y + 3z = l. x2+^/y+z=0,	
628. а)	X2 + y2 + z2 = 6, , x3 4- y3 4- г3 = 8; (^ = 1,5, xy	6) - к	x4+y+z2=14, x4yz +x4z2 y/y+x2yz2 =42. ' xy = -2,	
629. а)	£±* = 1,(3), *±£ = 0,8(3); к yz	'	6)	xz = yz =	= -6, 3.
46
Глава 3. Уравнения и неравенства
		' x(y + z) =4,		
630.	а)	y(x + z) = -5,	б) „ z(x4-y) = 3; Решите системы с параметром		°	СП	СлЭ а? “	<е IH Н In + + w	н |<e N |Н О» 		' II	II И-*	КЭ GO	О
631.	а) <	(а— 1)х4-у = 1, 2х — ау = а;	б) <	2х — ау — а, х + у = а— 1.
632.	а) <	а-х + у = 5, 2х4-(а-1)у = 1;	б) •	х2 - 2х 4- 3 4- ау = 0 х4-у=1.
633.	а) <	ах + у = 2, х2 + у = а;	б) <	х 4- ау = 1 х2 + ау = а.
634.	а) <	х + у = а, у/х + 2у = а;	б) <	у/х 4- у 4- у/х = а, 2x4-у = 5.
635.	а) <	х2 4- (1 - а)ху - ау2 = 0, х2 4- 2у = 8;	б)-	\/х+у/у = а, х + у = а2 -4.
636.	а) 1	у/х — у/у = а, Зх 4- Зу — ху 4- 6 = 0;	б)-	х2 4- ху = а, ху + у2 = 2.
Укажите количество решений данной системы в зависимости от
параметра а (637—641):
637. а)
638. а)
639. а)
640. а)
641. а)
Г х2 + у2 = 4,
1 х 4- у = а;
( х2 +у2 = а,
[г 4- у = 2;
х2 4- у2 = 4х,
|х|4-у2 = а;
х 4- у 4- y/ху = а,
Vx + y/y = 6;
я3-у34-(ху4-4)(у-х)=0,
2х+у=а;
у 4- х2 = а,
. |®|4-|у| = 4.
[ х + у = а,
( х2 - ху 4- у2 = 4.
( х2 +у2 = 4у +а,
[ |х|-у2 = 2.
6) У2 х2 +	+ а
2|х| + у2 = а.
х4 4- у2 = у4 4- х2,
Зх 4- 4у = а.
б)
б)
б)
б)
§ 3. Неравенства
47
а;2 + у2 = а,
При каких значениях параметра а система	имеет
у + х2 = 4
643.	ровно три решения? 2|®| + |У|=2, При каких значениях параметра а система	имеет _ |z| + y =а ровно четыре решения?
644.	х2 + у2 = 4х—2у + а При каких значениях параметра а система х + у - 2 имеет единственное решение?
J х2+ у2 = 2(у-х),
645. При каких значениях параметра а система <
I у — 2х = а
имеет единственное решение?
§3. Неравенства
Являются ли данные неравенства равносильными? (646—653):
646.	а)	*L12z + l >0. х + 2	х + 2	б)	"ЧУ1 ^0; -^^0.
647.	а)	О Л см I 1 н HI о Л |СМ Н 1 1 Н	б)	-Ат>0; х2-2а;^0.
648.	а)	|а; + 1| 2; х2 + 2т 3;	б)	а;-1 > 2; х <
649.	а)	— 4 -—z + 2^0; X —“ 2	б)	JL±J_ > о- 2д~3 > 0 2т-3	’ х+1 ^и’
650.	а)	X2 + 2т + 4 п. 3 х _ 2	0; а;0 8;	б)	н 1 ю Л Н to V
651.	а) а;3 — Зх + 2 > 0; х3 +6т2 + 12а;+ 8 > 0; б) х 2^9;х2^Л.
У
652.	а) \/х + 2 < 2; |.т| $ 2; б) \Лт2 + За; - 4 .т; |т +1| |а; - 3|.
653.	а) 't/х2 ^х + 1; х6 а;3 + За;2 + За; +1;
tyx + 2 — Ух ,
б)	ж2 — 4	I2"! > 2‘
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых данные
неравенства равносильны (654—661):
654.	а) а;2-За;>4;	-2гт>1.
655.	а)^4>1; аа;>За + 8.
' х + 1
48
Глава 3. Уравнения и неравенства
656.	а) ах > 4;		(2а- 1)т + 4<0.
657.	а)	(а - 1).т 5	Д; (4 - 2а)х 5 - 2а.
658.	а)	(а2 - а)х	< 1; (а2 — За + 2)х< 2.
659.	а)	|ж — а| < 2	!; х2 + 5 < 2ах.
660.	а)	х3 >®2; ах^ у/х-,	б)	
661.	а)	хз \/х + 2; ах2 ж;	
б)
х2 + (а + 2)а: + 2а
ах2
’ х + а
При каких значениях параметра а данные неравенства равносилы
на множестве R+? (662—664):
662.	(а — 1)а: < а2 — 3; х2 + (1 — а)х < а.
663.	ах2 -(1 + 2а)х + 2^0; х2 + (1 + 4а)х + 4а 0.
664.	х2 + (2 - а)х - 2а> 0; 4ах2 + х^1.
При каких значениях параметра а данные неравенства равносилы
на множестве R_? (665—667):
(2а + 1)ж>а; виг>1.
665.
666.
667.
668.
|ах + 2|<3; х2 + За < (3 + а)х.
Найдите все пары (а, Ь), для которых данные неравенства рав-
носильны:
а) ах2 +х<Ь; у—у >0,(1);
Найдите все значения параметра а, для которых верно следующее
утверждение (669—671):
одг__2
669.	Для выполнения неравенства —— ---------- 0 необходимо, чтобы
Xл — 6Х — 4
670.	Для выполнения неравенства 2х2 — 5х а достаточно, чтобы
у/х>х — 6.
671.	При любом значении х выполняется хотя бы одно из неравенств:
2 -	, п ат + 2 .
ах2 х + 2; —0.
’ х + 2
§3. Неравенства
49
(2х — 3) • (х3 + 4х — 5)
(х + 2)2-(5-х)
Решите неравенства (672—732):
х3 + 2х24-х < 0.	gx
672- а) х3 — х2 — 4	°'
б73 а) (я2 4- 2х - 1) • (2х2 4- 4х - 1) < 10;
б) (х 4-1) • (х - 2) > (х 4-2) (х — 3)'
	1 - 2х _	1 — 2х
	' х2 4-1 х3 — 2х 4-1 ’
х3 675- а) 2а; -1	®’	. х4 - 2х3 — 12х2 4- 4х + 4	„ °	х3 4- х2 — х — 1
576- a) |l + i |<х; . I х-1 I 3	| 2x4-11 677. а)|2з.+ 1| 2x4-! | х-1 Р3'	б) |х — 1| > |2х 4-1|. б) |х-1|>1-х.
678. а) х4 4- Зх3 — 5х — 3 0;	б) х4 4- Зх3 4- 2х2 4- 2х < 4.
679’ а) (х + 21) ^4 + 3' х + 2 ; т4	х2 дел	-L	> 9П-	б) 2х44-12х34-17х2>Зх4-1. б) |х2 — 2х| 4- |х 4-11 5. fi. х3 4- 2х - 2 х3 + х 4- 3 х3 4- 2х - 3 х3 4- х 4- 2 ’
С80. а) х2_2х+г	--“О. 681. а) (х - 1 )4 4- (х 4- З)4 > 100;	
682. а) х3 4-2х2 — х - 2 <-;	б) Зх3-6х24-2х4-1^у.
683. а) х4 - 6х3 4- 7х2 - 4х - 2 > 0;	б) х2 4- 8х 4-13	.
684- а) pfer |>к2-91;	б)	^|х2-х-6|.
685. а) |х3 4-2х - 3| + |х2 - 1| |х34-х2 + 2х - 4|;
б) I®2 - 4х — 3| 4- |х2 4- Зх| |х 4- 3 - 2х2|.
а)	|а;2 4- х - 2| + |х2 4- 2х - 3| > |2х2 4- Зх - 5|;
б)	|3х —1| 4- |х2 — 4| > |5 — Зх -
„	4х2 х2
a)x2 + ^ + ^+2>°;
а) х16 -Зх12+х84-Зх4 - 2 >0;
а) х(х 4- 1)(х - 1)(х 4- 2) > 24;
а) х2 > 8 Ух;
а) (2х2 - 7х 4- 3)  У2х 4-5^0;
б) (5х - х2) • Ух3 - 2х2 -2x4-3 > 0.
686.
687.
688.
689.
690.
691.
2 ,	9x2	, д2
б) х + (х + 3)2 ^6+х4-3'
.	4х3 + 17
о> х6-2х34-1 "
&/х(х 4- 1)(х -4)(х — 5) 6.
gj 2а: +15 п
у/х2 — 5х — 24
50
Глава 3. Уравнения и неравенства
692.	ач ^х + 2 4-1	3	1 2-^х + 2''-	) ^1 —2ге —2	&1-2х-Г
693.	Уб-х-х2 ч/б - х - т2	. ч/х2 -4 -Ух2 -4 х3 + 3	х + 3	’	10 — х2 х2 + х ’
694.	а) х  у/.j + 3 0;	б) |х-1 — 5 •	| < 6.
695.	а) х-3 2\Д + а4з^З;	б) х2-5x4-ч/х2 - 5х4-4< 2
696.	а) \/х + 3-4ч/х - 1 + у/х 4- 8 - б^/х -1^1; 64 з/| д + 2 I > х + 2 ' у |х- 11 •" х-Г
697.	Я^--3Гг<2-
698.	а) ^х4-4х3 + 2х2 + 2х^^6-х2; б)
699.	а) хл-х + ч/х3-х + 1^1; б) (3x4-9) • </^11 4-х2 4-2х 7. у X “г О
700.	а) (х + 1) • ч/х2 - 3 < х2 - 1;	б) (х - 2)  ^х + 6 ,т2 - 2х.
701.	а)	^2x4-5 4-1;	б) -Д=^^1 + 2х-1.
702.	а) ^х + 4 -1 > ^х - 3:	б) ^2х - 1 х.
703.	а) ч/х2-2х+^х2+Зх^ч/2-|х|;	б) (угу)4 ‘У^2.
704.	а) чУ—2х4 + 11x4 2х > 43 + 8: б) - /f+ 4д + 4	1. ч/д2-х-2 + х
705.	а) -/х +12 + х0;	б) а/8 — Зх — х2+ х^ 1.
706.	а) 2- ^х- ч/х~4 1;	б) у/4х3 4- 2 у/1х - 4х2.
707.	а)	\/х + 2\/х- 1 - \/х-2\/х- 1 > 1; б)	^ + 5 - 4\4 + 1 + у'т - 1 - /i + 1 3.
708.	а) ч/д2 — Зх + 2 + х > 2;	б) х+ 4 < ч/-х2 - 8х - 12.
709.	а)У2х+Р1;	б) ч/11-5х+1^х.
710.	а) ^х+К)-х2	0;	ч/2х2 + 7х —4	1 ч/х + 6 —х ' '	'	х + 4	^2'
711.	а) (х2 - 1) • \/х2 + 4х + 3>0; б) ч/Зх2 + 5х + 7 - ч/Зх2 + 5x4-2 > 1.
§3. Неравенства
51
712- 713-	а) у/—z2 + z + 2 4- 2z 4- 1 > 0;	® — 2 < ’ а) \/2z—1 + ч/б-а:^>/За:+1 4- ч/4 —2z; б) у/1 - 2z — у/Ь 4- х > у/^х.
714.	а) ^4-3s$ ^41--^;	б) 1 + 2x^2-у/х2+ Ъх +у/х- х/ж-Ь9.
715.	а)	б) ^ + 3-^-1>^2х-1.
716. 717.	а) х/25 - х2 + у/х2 4- 7z > 3;	б) s/2 —z4-ч/я — 1 > 1- а) ^+1-чЛ¥^1;	б) ч/z2 — 4z 4-4 4-2 • y|z-2|>8.
718.	а) у/х + 7- 1 < у/-х -5 4- у/\х + 7)(-z - 5);
719.	б) ч/х + бС 1 + /-z-3-Ь \/(z4-5)(-z —3). а) у/х — 1+ х — 3 > у/2{х — З)2 4- 2х — 2; б) у/2 - х 4- х ч/2а:2 - 2х 4- 4.
720.	а) у/3 - 2х + х < у/2х2 - 4х 4- 6;
721.	б) У16ж — 8 + х 4-1 < у/2х2 4- 36а: — 14. ч /„	9	/	9	,ч /z2 - 1	/х-1 х — 1 а) у/9--<х-у/х-х,	б) у х 7 х > ~ 
722.	а) у/х2 + ?>х + у/х'2	48а: 9; б) 2у/х2 4- 3z 9 - 2z — у/х — ч/а; + 3.
723. 724.	а) ч/96 + 10а:2-а:4< х/111 Н-за — Z3; б) z2 4- 2 > 4ч/х3 4- 1. )дг - 2z — 5| — |г —1| ? 0;	б)	(о. ’	|® + 2|-ч/Ю —I2	1* - х - 3| - |z|
725. 726. 727. 728. 729. 730. 731. 732. 733.	. у/х2 + 2х - у/х + 6	\/ба: — а:2 — у/а: + 4 а)	а;3-а:-6	U’	°Ча:2 + 2х)5 - (z + 6)5 /(z) < —4, где /(z) = min < 3z - z2; z — 5 >. /(z) 2z2 + 3z, где /(z) — max < z3; z >. /(/(г)) s% /(z), где /(z) = max < z3; 4z >. /(z) > 9, где /(z) = min < z3 + 8; 4z2 >. a) 2[z] + {z} 3,	6)z + 2{z}^l. a) 2z2 — [z]<8,	6) z2 + 2[z]<—1. a)[z]-{z}>3,	6) [z]-{z}^-l. Решите следующие системы (733—741): f z3 • (2 —z)-1 > 1,	( x3+x2 — 6z + 4^0, ^2z8^z4 + 3;	1 z4+2z3 —6z2 + 7z—4^0.
52
Глава 3. Уравнения и неравенства
734. а) -
735. а) <
|х2-х-2|>|х|,
х2 + 4-6х+ —+4^0;
xz х
|гг2 - х - 3| + х 4.
х-8+х_4^2;
б)
б)
х4-5х3+8х2-5х+1^0.
' х4 —6х3+13х2 —12х—5^0,
* 1*2-3|
|х—1|—2<2’
' х/х . 1
736. а)
б)
ж+1
737. а)
б) <
738. а)
б)
х/х + З + х 3,
(2-х)- у^-х2 > 0;
Т^2+4^0’
х/П-х-х2 „ V12-X-X2
х-2
739. а)
к-2|
, 1-ч/9^Р
(2а:3 + х2 + Зх — 2) • \/я2 — Зх - 4 0,
-i
б)
740. а)
, х/х + 2 х + 2.
' \/4 — х + х > 2,5,
б)
741. а)
3 • |х— 1| — xjx1 — 4а;+ 4 = За:2.
\/а:2 — 4 + \/9 — х3 = \/х2 + 2х + 2,
§3. Неравенства
53
j | </х2 — 4я?-Ь4 — 1| 2,
б)	| ^14г - 33 - г2 + у/16х - 55 - ж2 = ж2 - 23г + 132.
Решите совокупности неравенств (742—744):
	' 2г3 + г2 + Зг - 2 0.	
742. а) < 743. а) -	г2 + 4г - 5	> „ . г3 + г2 — 5г + 3 ' ' г6-2г3-8^0, г2	б)	/	 	X to	Ы 1 + м о\	н 7	ох т. i <и <w	4~ W	Н н Н] М to —	“ | to Н	н, +	-Iю ‘ +	+	1	н	1	- <"	<Ц	4^	|Ы	•? Н)	Н|	Н	'	7 ||	। “	L СП	н loo W /Л	1	+ to >-*	~	>-* V	** о	/Л
744. а) 	г2 + г-6 V4 - г > г, г > \/г + 6;	
Укажите множество всех тех значений х, для которых выполняется
ровно одно из данных неравенств (745—756):
745.	2г3 —i2—х>0;	' ? I > 1-
I x — 1 |
746.	9’(i + 1)-45-j; |2x —l|>x2.
747.	2г3 - x2 - lx - 3 < 0; l^l +	<2-
| X — 1 I I X + 3 I
748.	x3 — 8x — 8>0; x4 — 4г3 + 2г2+4г —15^0.
749.	г4 + 6^7г2; |г2 -x-3| < 2г + 1.
750.	£^Ц1; 2г4 - Зх3 - 11г2 + 9г +18 > 0.
2х +1	’
751.	|2г — 1| > |г + 2|; г2+5г4-22>112-(5-х)_1.
/ 2г - 1 \ 2 п | 2г - 11 , Q 1 - Зг 1 - Зг
' \г+1/	’ I г + 1 | + г2 — 1 г2 + г - 2 '
2
753.	2г2 + 2г - 3 — г3 0: g + > 1; |г2 + 2г| > 4г + 1.
754.	г-2 >0,25; |г2-3г|^4; г3 — Зг2 - г +6 > 0.
755.	\/Зг + 2 г; у/г2 - 4г < х/ге Н- 6.
756.	>0; х/2(г2-1)^х^+1.
ч/8 + 2г-г2	4	'
Найдите область определения выражения (757—760):
757.	а) \/3 - >/5 —г - 2г;	б) (9 - 6г — г2)I + (
54
Глава 3. Уравнения и неравенства
758.	а) \/4х — 3  \/х — 1;	б) J- (3 + 2х - х2) т.
у X Z
та9-s)
760.	а) 'Ух4-2х3 —Зх2 + 8х —4;	6) ffo3+ д2 ~	+ 5 V°'J
' \	6 — х — х2 )
Укажите множество всех тех значений х, для которых оба данных
неравенства определены и не выполняются (761—762):
761.	(х3-2х2-7х + 8)-Д^>0; ^~^<х-1.
т3 - 2т2
762.	>0; х4 + 2х3 - 12х2 -4х + 4< 0.
у9 — х2
Решите неравенства с параметром (763—786):
763.	а) -2-~3?~4 > 0; ' х — а	б) - ° 1 ^0. ' х + 2а
764.	а) ах 2  (х + 2);	б) ах2 - 4 > 0.
765.	а) |х — 2| ^ах;	б) |х +1| <3х-а.
766.	а) |2х — а| > |х + 2|;	б) |х — а| + |х - 2| 5.
767.	а) (х - 2) • |х| < а;	б) (х + 2) • |х- 1| а.
768.		б)Х93^о.
769.	а) |х + а| + За > |х + 4а|;	б>1й1|<2-
770.	а) х2 + 2х + а > 0;	б) х2 + ах + 1 0.
771.	а) ах2 + 2х +1 > 0;	б) (а- 1)х2 + (1-2а)х + 2^0.
772.	а) |х-а| ^2х + 1;	б) |х + а| >2-Зх.
773.	\ ах , л а) х + 2 <1;	б> W»2-
774.	а) х2 - 2|х| < а;	б) х4 - 2х2 1 - а.
775.	а) а:6 + х3 > а;	б) ах6 - (2а + 1)х3 + 2^0.
776.	а)	> °; ' ах +1	’	б)	< 1. ' ах — 2
77Т. a)±L<2:	«) sS?!»®-
778. а) i/2x+l < 2 - а;	б) ч/Зх-2 3 - 2а.
§3. Неравенства
55
—		 779. а) х/х + а^ у/2х — 3;		6) (	г - а\	. т+1) <Ь
780. а) х + а > -/Й;		Л.\	3/	х2 + (а + 1) • у/х + а < 0.
781. а) х/х2-4х + а2> а;		б) у/х2 - 4 + х2 - а > 6.	
782. а) 3 у/х2 - а + х;		б) 2a: - 1 > у/а-х.	
783. а) а	у/х + 1 < 1;	б) (а + 1)--/2-х<1.	
784. а) х	+ 2> у/а-х + х\	б) а	у/х -1 > X.
785. а) у/х + а+у/х>2-,		б) у/х — а— у/х С 3.	
786. а) \/а + х+ у/а-х>а-,		б) X/	х — 2а+ у/а — х < а + 2.
Решите системы неравенств с		параметром (787—802):	
	о		Q..4" 1
	х^-,	б) *	Ж > 	Г?, а + о
787. а)	з		1
	х <	т; а -1		.Х^ а + 2'
	х а,		|ш — 2| < а,
788. а)	6 .	б) <	
	Х а + Г		
	ах > 1,		ах < 1,
789. а) <	Х< "“ГТ’ а 4-1	б) ‘	(а+1)х^2.
7ЧП n't <	(а - 1)з;^.т + 2,	б) <	ах 2,
	ах < 3;		ах < х — 1.
	х2 + а.х + а>1,		ах22х,
791. а) <	9 х > ах\	б) <	х2 + 2а (а + 2)ш.
	х2 — 4 > 0,		j х2 - х ^6,
792. а)	ах 2;	б)	1 (а — 1)т> 1.
793. а)	f х2 + 2х 8,		2a;2 х + 3,
	1 |гс — а| < 2;	б)	|х + а| 1.
794. а)	[ т3-Зх + 2<0,		( х3 + х2 - х — 1 0,
		б)	На + l)a; > 1 - а.
	[ах^2а + 1;		
795. а)		б)	т2 		< 9
	, х2 < ах-,		х2>{а- 1)х.
56
Глава 3. Уравнения и неравенства
796.			х2 + 4х > 5.		X2
	а)		2	2	б) <	х-2 ^°>
			«Ь	U/	Ui ~~ CL.		. ах2 - (а2 + 4)х + 4 > 0.
797.	а)		х2 — (а + 2)х + 2а^0,		’ х2 - Зх > а2 - а - 2,
			х2 + ах 1 - а;	4 °) '	х2-(а+1)х^6-3а.
			' х2 С ®3,		®2>х + 6,
798.	а)		ах 1,	б) 1	|® — а| > а,
			k (а 4- 1)х > а;		k (а-2)х^ а.
			’ х>4®-1,		1 -х>2а,
799.	а)	<	(а - 1)х>а,	б)	|®+ 1|<а,
			(2 — а)х 1;		„ |® + а|<1.
800.	а)		х/2 - х > а,	б) <	\/1 - х а,
			2х + а^ 1; (2х - а)^ <2,		х>а.
801.	а)			б) <	\/х2 - Зх — 4^Jvz4-x
			у/х3 + 1 Уж3 + х;		у/х + 2а < л/4а - х.
802.	а)	<	ил,	iL *4“ ~1 • /х + 2\3 , 2\1 llrnj <(х )55	б) <	у/4х - х2 < \/2, х/х + а < у/2х.
Решите совокупности неравенств с параметром (803—809):
803.	а)	’Х>ТГ2- L а — 1 ’	б)	ах 3, х За.
804.	а)	। । То тг 1	1 Й н V W Н-» f—.	б)	(а + 2)х<2, (1 - а)х^ 1.
805.	а)	х2 4х, х>-^—	б)	"|х2 - 2х| < 3, (1 -а)х^ 1 +а.
		а-2’		
806.	а)	HtI*1- ах2 4х;	б)	’х3^Зх + 2, ах2 < 2 - а.
807.	а)	|х + 2|"Ч0,(3), ах2 + 2х 0;	б)	|х + 2| + |х — 2| 4, а • х ., . 1 — X
§ 3. Неравенства
57
808.
УЗ — х > а,
у/х — 2 а;
У1 - х + Ух - 2 + 1 > 0,
-Ут2 - 2х + а х.
809. а)
В зависимости от параметра а укажите множество всех тех значений
ж, для которых выполняется ровно одно из данных неравенств
(810—812):
810.	2ах > 6 — а; х3 — 4х2 4- 8х — 8 0.
811.	(1—а)х<а4-2; ах^2х + 5.
812.	х2^ах; х4 — 2х3 — 7х2 4-20х — 12 0.
813.	При каких значениях параметра а, где а У 0. любое решение
неравенства ах 2 не удовлетворяет неравенству х — а > 1?
814.	При каких значениях параметра а каждое решение неравенства
х2 + х — 6 С 0 удовлетворяет неравенству ах < 1?
815.	При каких значениях параметра а хотя бы одно решение нера-
венства 2х 4- 1 < а удовлетворяет неравенству х2 — х — 2 < 0?
816.
817.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых дан-
ная система не имеет решений:
[ (а4-2)х < 1,
cl) X
х~£ 2а + 3;
б)
(х —) • (ах — 2а — 3) 0,
ах >4.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых ре-
шение данной системы состоит из одной точки:
а)
' (а —2)(х — 1)^2,
х2 4- 2а (а 4- 2)х;
б)
ах2 2х,
|х — а| 1.
818.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых ре-
шение неравенства > 0 содержит все решения неравенства
х2 4-х 2.
819.
При каких значениях параметра а все решения системы
{х+ау=а+1,
удовлетворяют неравенству |3х — 2у < х — у 4- а?
2х-т/=|а|
820.	При каких значениях параметра а уравнение Ух2 4-6x4-8 =
= У а 4- Зх имеет на луче (—ос; 0) единственное решение?
821.	При каких значениях параметра а уравнение Ух2 — 4х 4- 3 =
= У3х4- а имеет единственное решение на луче (0; 4-схз)?
58
Глава 3. Уравнения и неравенства
822.	Найдите все значения параметра а, для каждого из которы
( х2 + у2 С 6(|ат| 4- |у|) - 17,
система <	имеет хотя бы одно решение
[ х2 4- у2 = 2у 4- а2 - 1
823.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых р<
шением неравенства (а - 2)х2 — (а2 - 2а + 3)х 4- За О являете
промежуток длины 1-.
824.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которы
{х а 4- 5,
2	являете
ах — (2 + За)гг + 6^0
825.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которы
сумма длин интервалов, составляющих решение неравенств;
х2 + (2а2 4- 6)z — а2 4- 2а - 3
2 , / 2 , т------ТТТ---о < 0 не меньше 1.
х2 4- (а2 4- 7а — 7)х - а2 4- 2а - 3
826.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых мно-
жество решений одного из неравенств содержится в множест!
решений другого:	> 0: х2 4- (2 — а)х > 2а.
827.
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых нер;
венство х2 4- |i
а|<
1 имеет хотя бы одно положительное реше-
ние.
828.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых нера-
венство х2 — 4 4- |.г 4- а| < 0 имеет хотя бы одно отрицательное
решение.
829.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых чис-
ло а2 — а удовлетворяет неравенству х2 4- (5а 4- 2)х 4- 4а2 + 2а < 0.
830.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых су-
ществует хотя бы одно решение неравенства х2 — (За 4 1)1 4
4- 2а2 4- 2а < 0, удовлетворяющее условию х 4- а2 = 0.
831.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых су-
ществует хотя бы одно общее решение неравенств х2 4- 4ах 4- За2 >
> 1 + 2а и х2 4- 2ах < За2 - 8а 4- 4.
832.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
наибольший корень уравнения а:3 4- (а - 5)х2 4- (6 4- а — 2а2)х —
— 6а 4- 4а2 = 0 удовлетворяет неравенству х2 < а • (х 4-1).
833.	При каких значениях параметра а решение неравенства х3 —
- ах2 4- (а — 1 — 2а2)х 4- 2а - 2а2 0 имеет вид (—оо, 6] U {с}?
§3. Неравенства
59
834.	При каких значениях параметра а решением совокупности
ах2 + (а - 2)х < 2,
। 1	является R?
X — 2
835.	При каких значениях параметра а решением неравенства ах4 —
— ж3 — Зах2 4- (2а 4- 3)х — 2^0 является промежуток вида [Ь, с]?
836.	При каких значениях параметра а для любого действитель-
ного числа х выполняется ровно одно из данных неравенств:
|2ж — 3| > 2а 4-1; ах2 Зх?
837.	При каких значениях параметра а для любого положитель-
ного числа х выполняется ровно одно из данных неравенств:
(а — 1)х > а2; (а2 — 4а 4- 3)ж 16?
838.	При каких значениях параметра а неравенство х2 4- (а 4- 7)х >
> 2а2 — Па - 6 выполняется на луче (1, +оо)?
839.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых мно-
жество решений неравенства (2 — а — х)  (а — х2) > 0 не содержит
ни одного решения неравенства х2 1.
840.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых оба
корня уравнения ж2 — 2(а — 1)ж4-а4-1 = 0 больше единицы.
841.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых один
из корней уравнения х2 + 4ах 4- За 4-1 = 0 больше 5, а другой
является отрицательным числом.
842.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых урав-
нение ах2 4- (а 4- 1)х — 2 имеет два корня, каждый из которых
меньше 2.
843.	Пусть Xi, Х2 — корни уравнения (За4- 2)х2 4- (а — 1)ж 4- 4а 4- 3 = 0.
Найдите все такие а, что х\ и ад удовлетворяю!' условиям
Xj < —1 < Х2 < 1.
844.	При каких значениях параметра а уравнение
(х2 — 2г)2 — (а 4- 2)(г2 — 2х) = а 4-1
имеет четыре корня?
845.	Дано уравнение х2 = (а 4- 1)ж 4- 2а2 — 2а.
а)	При каких значениях параметра а данное уравнение имеет два
различных корня, каждый из которых больше —3?
б)	При каких значениях параметра а данное уравнение имеет два
различных корня, расположенных между корнями уравнения
|ах| = 2?
60
Глава 3. Уравнения и неравенства
846.	Найдите все значения параметра а. при каждом из которых хотя
бы одно решение неравенства у/х —а + 2 4- х 0 удовлетворяет
неравенству 2х 4- 3 < а.
847.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых все
решения неравенства у/а — 2х — 1 х не удовлетворяют неравен-
ству х + 2а > 1.
848.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых хотя
бы одно решение неравенства у/х + а — х 4- 1 0 не удовлетворяет
неравенству 1 (5 — ж)-1.
849.	Найдите все значения параметра т, при каждом из которых
неравенство х2 4- тх 4- т2 4- 6m < 0 выполняется при всех х,
являющихся решениями неравенства х2 - Зт 4- 2 < 0.
850.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых урав-
пение (2а 4- 3)х2 4- (а -Г 1)х 4-4 = 0 имеет два корня, принадлежа-
щих интервалу (—2; 0).
851.	При каких значениях параметра т множество решений неравен-
ства (т 4- 1)х2 — тх 4- 2 < 0 содержится в множестве решений
неравенства х2 — Зге 4?
852.	При каких значениях параметра т уравнение (т - 1)х2 4-
4- (т 4- 2)х = 3 имеет хотя бы один корень, меньший 2?
853.	При каких значения параметра т уравнение
(т — 1)х2 - (т 4- 4)х 4- т --- 0
имеет два корня, удовлетворяющих неравенству |х| > 1?
854.	При каких значениях параметра т неравенство х2 — (т — 1)х 4-
4- 2т 4-1 > 0 выполняется при всех положительных х?
855.	Найдите все значения параметра т, при каждом из которых
неравенство х2 4- 2тх 4- т2 — т 4-1 > 0 выполнено при всех зна-
чениях х. принадлежащих интервалу (—2; 0).
856.	При каких значениях параметра а уравнение у/—х — а 4- х = 1
имеет два корня?
857.	При каких значениях параметра а система
.	8
< х + ~	имеет единственное решение?
(а — 1)х2 — ах — 2а 4-1 = 0	. .-----
4	Г ух 4- 5 > х 4- 3,
858.	При каких значениях параметра а система <	,,
имеет хотя бы одно решение?	I — а^х + ах = 3
§3. Неравенства
61
{У5 — х — х 1,
2
(3—а)х + х + а=2
860.	При каких значениях параметра р неравенство
(р — 1)х2 — (р 4- 3)х 4- Зр > О выполняется па луче (—оо, 1]?
861.	Найдите все значения параметра, с, при каждом из которых урав-
нение х4 -I- 6х3 -I- 12х2 + 9х + с = 0 имеет четыре отрицательных
корня.
862.	Найдите все значения параметра Ь, при каждом из которых урав-
нение х4 — 2х3 -I- Ьх2 — 6.т + 9 = 0 имеет четыре корня.
863.	Найдите все значения параметра р. для каждого из которых
уравнение х4 — 4х3 + х2 4- 6х 4- р = 0 имеет четыре различных
корня, каждый из которых больше —1.
864.	При каких значениях параметра р уравнение (2 4- р)х — ру/х = р
не имеет' корней?
865.	При каких значениях параметра р уравнение 2р • |аг| + 2р 4- 5 =
= |х| 4- (2р 4- 3) • >/|х| 4-1 имеет четыре корня?
866.	При каких значениях параметра р уравнение (р — 1)х2 + 7р —
= 9 4- (р 4-1) • у/х2 4- 9 имеет два корня?
867.	При каких значениях параметра а уравнение
(а2 4- а 4-1) • у/х2 4-1 4- (а3 - 3) • у/х2 4-14-3 = 0 имеет три корня?
868.	При каких значениях параметра р уравнение
(р 4-1) • х4 4- Зр 4- 4 4- 2р • у/х4 4- 4 = 0 имеет хотя бы один корень?
869.	При каких значениях параметра с уравнение
с2 4- 3 = х~2  (с2 4- 2) 4- (2с 4-1) • \/1 — х~2 имеет два корня?
870.	При каких значениях параметра а уравнение (а 4- 2)х2 — 2ат. 4-
4-1 = 0 имеет на интервале (—1, 2) больше корней, чем вне этого
интервала?
871.	При каких значениях параметра а уравнение х4 — 4.т2 = а2 - 4а
имеет на промежутке [—3, 4] больше корней, чем вне этого про-
межутка?
872.	При каких значениях положительного параметра а уравнение
х4 — (а 4- 2)х2 4- 4а — 2а2 = 0 имеет на промежутке [—а, За] мень-
ше корней, чем вне этого промежутка?
873.	При каких значениях параметра а уравнение
(я: — а)4 — 2 • (а 4-2)(х — а)2 4-2а 4-3 = О
имеет больше отрицательных корней, чем положительных?
62
Глава 3. Уравнения и неравенства
874.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых ура
нение (х — а)2 • (а  (а; — а)2 — а — 1) +1 = О имеет больше полож:
тельных корней, чем отрицательных.
875.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых р
шением неравенства \/х + 2а \/4а2 — х —1 является промеж;
ток длины 9.
876.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых бол
ший корень уравнения ах2 — 2ах — 2 — 0 удовлетворяет нераве!
ству |.т| > 3.
877.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых вс
положительные корни уравнения ||т — 2| — «| = 3 удовлетворяю
неравенству х + а > ч/т2 + 5т —6.
878.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых хс
тя бы один корень уравнения |2.т — а| = |гг2 — 4| удовлетворяв
неравенству х4 + х3 — 17т2 + 15а: > 0.
879.	При каких значениях параметра а уравнение х2 — 2х— 2  (х — 3) X
/х+1	1
х </---х=а имеет ровно один корень, удовлетворяющий нера-
у X —’ «5
венству а:3 + х2 + х + 6 > 0?
880.	При каких значениях параметра а уравнение а:2+6а; + 5-(г: + 2) х
Х + 4	2 . , 1 л п
х +	2 — а + а+14 = 0 имеет ровно один корень, удовлетворя-
ющий неравенству х + 2а > 0?
881.	При каких значениях параметра а существуют ровно два целых
значения х, для которых выполняется неравенство х < \/х + а?
882.	При каких значениях параметра а не существует целого значения
х, удовлетворяющего неравенству х + 1 < у/х — а2
883.	При каких значениях параметра а имеет хотя бы одно решение
{\/-у2 - 2х = ах,
у ^2,5 + а?	(	.	>2
I у> (х-а),
884. При каких значениях параметра а система <	9 имеет
единственное решение?	11	~ а)
885.	Найдите все значения параметра к, при каждом из которых оба
корня уравнения х2 + (к -I- 1).т + 2 = 0 лежат между корнями
уравнения х2 + кх = 3.
886.	Найдите все значения параметра к, при каждом из которых все
корни уравнения х2 + Зх + 2к = 0 и х2 + 6х + 5k = 0 различны
и перемежаются.
§3. Неравенства
63
ggf. Найдите все значения параметра р, при каждом из которых оба
корня уравнения а;2 + рх + 5 = 0 больше обоих корней уравнения
2х2 — рх + 4 = 0.
gg8. Найдите все значения параметра р, при каждом из которых оба
корня уравнения х2 — рх — 6 = 0 меньше обоих корней уравнения
х2 + (2р - 5)х +12 = 0.
889.	При каких значениях параметра а корни уравнений
х3 + х2(1 -а) - (а + 2)х + 2а = 0 и 2х2 + (2-а)х — а = 0
чередуются?
Исследуйте возможные варианты взаимного расположения корней
данных уравнений в зависимости от параметра к в предположении,
что каждое из данных уравнений имеет по два корня и все они
различны (890—893):
890.	х2 + 2кх +1 = 0;	х2	— кх + к + 1 = 0.
891.	х2 + j_x - 2к = 0;	х2	+ ^х - к = 0.
892.	х2 + 4.т + 4к = 0;	х2	+ Зх + 6к = 0.
893.	as2 — 2i + k = 0;	х2+кх — к = 0.
Глава 4
Основы тригонометрии
§ 1. Тригонометрические функции
894.	Изобразите на числовой окружности точки, соответствующие:
а) числам: л, —у 4, 8, —5:
б)	углам: 855°, -720°, -135°, 1140°, -840°.
Укажите число, принадлежащее данному промежутку
и изображаемое той же точкой числовой окружности, что и данное
число (895—899):
895.	, 375л ,п „ . а) —, (0, 2л):		б) -15, (0, 2л).
896.	а)	И, (-7Г, тг);	б) -у—, (-Л, л).
897.	а)	-3,(6), (I !=);	,,	65л (л 5л \ ’ Ь’ т/
898.		287л / л Зл \	5л /10л 16л \
	а)	4 ’ С2’ 2 /’	б> -Т’ (—’ "Г)
899.	а)	5, (-27, -27 +2л);	б) -7, (17, 17 +2л).
Укажите все числа, принадлежащие данному промежутку
и изображаемые той же точкой числовой окружности, что и данное
число (900—903):
900.	a) J, (-2, 12);
901.	а) —3, [л, 7л];
902.	а) 4,5, [-5, 100];
903.	а) \/3—1, (—3, 12);
б) -f, (-5, 20).
,, л Г5л 13л 1
б) 2- [Т’ТJ’
б) -7,5, [-20, 40].
б) ч/5-З, (-8л, 0).
Укажите все числа, изображаемые той же точкой числовой
окружности, что и данное число, и удовлетворяющие данным
неравенствам (904—907):
904.	а) -у, 2х2 — 5х — 33 0;	б)-22, |	| 1.
	§ 1. Тригонометрические функции	65
-——			17тг	.	_ Пл х3 + 2х2 — 2х + 3
905.	4= оЗ н 1 >-* /А н 1 к j—- а 4 н 1 сл /? G
906.	а)	|2л-3х|<11;	б) Юл, х2 - 4л2 < 0. О
907.	а)	100, х4 + 22z3 - 24т2 - 22х + 23 С 0; кп Д2 — 23х +130 г, б)	-50, ,, , . ~	г^0. '	45 + 12а; — х2
908.
909.
Решите системы неравенств (908—909):
7Г2 — а:2 > 0,	[ \/х2 +х -2 < 1,
б)
2 +	1 х;	2х2 — лх +1 > 0.
2л2ж2>тг® + 1;	[ лх2 + 2лх + 3^0.
Укажите координаты точек, соответствующих данным числам на числовой окружности (910—913):							
910.	а)	5л 6 ’	2л. б) -у,	в)	7л 4 ’	г)	101л.
		17л.	19 л		83л		88л
911.	а)	” 4 ’	б)- —	;	в)	6 ’	г)	3 ’
		7Г	61Л		5л		95л
912.	а)	“12;	б>-й'	в)	12’	г)	- 12 ’
		7Г			33л		41л
913.	а)	8’	б)—:	в)	8 ’	г)	8 ’
Найдите |МЛГ|, где М и N — точки числовой окружности,
соответствующие данным числам (914—916):
П1 . к бтг	с\ 13тг 25л
9i4.	а) 2, —g-;	б)	.
_ 35л	Юл 39л
915.	а) -7л, —;	б) . —.
_1Й	, 31л	Юл.	_28л _17л
916.	а) —, —3-;	°) - 3 ,	6 •
Найдите |M7V|, где М — данная точка координатной плоскости,
a N — точка единичной окружности, соответствующая данному
числу t (917—918):
917.	а) М(3, 3); t = — 5тг;	б) M(-3\/2, у/2)-, t =
918.	а)Л/(1, -^);«=у;	б)М(2,-2^3);t=y.
66
919.
920.
921.
922.
923.
924.
925.
926.
927.
928.
929.
930.
931.
932.
933.
934.
935.
Глава 4. Основы тригонометрии
На оси абсцисс и на числовой окружности расположены точки
М и N, соответствующие данному числу а. Найдите |Л/ЛГ|:
а) а = тг;	_ 4тг	Эл-	.	23тг B)Q = __; г)а =	— Вычислите (920—926):
a) sin(-37r);	б) cosв) sin у
a) cos 780°;	б) sin(—405°);	в) COs(-y).
, . 7тг a) sin у	б) cosy;	B)sin(-y).
a) tg570°;	б) ctg(—960°);	B)sec(-y).
\	4- 7Я a) ctg —;	б) cosec(—870°);	в) tg(-y).
a) sin(Trfc);	б) cos(2ttA:);	в) tg^ —, где к е Z.
(21- - 1)тг a) cos	2	!	Г4/ь ~’ 1 ) 7Г б) sin 2	; в) sec(4fc + 3)тг, где к € Z.
Найдите значение выражения (927—930):
a) 2sny - \/3-cosy	б) tg(-240°) + 3sin(-420°).
ч /х / 19тг\	. 5тг	. 4тг . 7тг _	/ 13тг\
a) V2cos(—-т- -4secy б) sin-5-: ctg-^--2 cos I—=-).
\	4 /	4	О	О	\ О /
\ /о~ 5тг 2тг Ютг
а)	у 8 sin -g- + sec у tg —;
,, /. г бтг ,	.. 5тг , / Зтг\-1
6)	у 3 + cosecd — + I cos .
, Г_ бтг] . ( 7тг\	e-\\a i. ( 13тг\1	„
a) 12cos-g-1-sinI—g-);	6) 6-tg(—g-l -созЗтг.
Найдите значение данной функции f в данных точках а и Ь
(931—948):
/(а:) = sin 2а: • cos ; а=тр ^=—
/(а:) = 3 tg -у- + 5cos2a;; а = тг; Ь=~^-.
f(x) = 4ctg3a: + 5 • | sm4a:|; а=у-;	6=-^.
/(a:) = sin(7ri) - 2tg(3?ra:); а = -|; 6 = 2,(6).
/(а:) = cos2 (у) - \/1 + tg2(7ta:); а = 0,75;	6 = -3,(6).
§ 1. Тригонометрические функции
67
,, \ |sin3rr|	7тг , 7тг
936. /(*)-1^2x1+ 1; а“ 6 ’ Ь~ 24‘
937. /(х) = y^tg | + 2 sec у;	а=^5	6=-4тг.
2тг
938. /(х) =sin(7rcosx); а=-х-;	Ь= —Зтг.
О
939. /(х) = cos 1	;	а=-1;	6 = 2 - х/З.
940.	/(x) = -	/Х , 7Г\ COS(2 + 4j sin 2x — | sinx|	при x 0, при x > 0;	а =	117Г	,	317Г —г; ь = ~-
941.	/(x)=<	t . Ttx smy cos(|tt(x — 2)| -	при X у) прих>	1, 1;	а=1; 6=1,1(6).
942.	/(*) =	/	,1	. 7ГХ (-x)* -sm-jg (| cosx| + 3,5)^	при х < 0, при х 0;	а =	-4; 6=^.
943.	/(*) =	2 sin p + cos xj -	1=1 со 1 II И	6	— — ~ 2 ’
944. /(х)= ^{|}-[3sm(irx)]; а=|; 6 = -у
945.	/(х) = cos (у (2 - signs)); а = 2,5; 6 =-2,5.
946.	/(х) =х-sign cos (у + х); а=у 6=у.
947.	/(х) = уур • sign(sinx); а = 3;	6 = 5.
948.	/(х) = 2sign(cosx) - signup); а=-|;	6=-3,2.
Найдите значение данного числового выражения, где /(х) —данная
функция (949—952):
949.	/(х) =sin2x - cos(x + ^);	2/(0)-/3(р).
sinff + s')
950.	/(х)=;  >	2/(f) - Тб • /(0).
|tg(x+f)| + l 427
951.	/(s) = cos|- (sin2x-sin(x+^));	/(^) •/(^)-
952.	/(x)=[x-sin^]; (/(-0,5) + /(2)) :/"1(-2|).
68
953.
954.
955.
956.
957.
958.
959.
960.
961.
962.
963.
964.
965.
966.
Глава 4. Основы тригонометрии
Решите уравнения (953—967):
6) cos 2a: = —1;
6) sin^2a: -	= 1;
6) cos(|a:| - 5 ) =1;
\	«J /
6) cos2 у = 1:
6) sin -T- = -1;
о
a) sin = 0;
a) cost ж + тг) =0;
\ о /
a) sin4 За: = 1;
a) sin(|a:| + 2) = 0;
a) cos(~x) = 1;
a) cos(| -з) = -1;
a) sin2 х + cos2 5 = 0;
в) ctg4 | + sin2 5=0.
a) sin х  y/cosx = 0;
в) cos (2а: -	• x/tg 2х = 0.
sin (а: 4- f)
a) cos3x+l =0;
„/"t2*-*) 0
' sin 4x4-1
a) sin2 x 4- sin x = 2;
в) 2 sin 2x — V'sin 2x = 1.
в) tga; = O.
в) ctg| = -l.
в) |tg2x| = l.
в) аес(зх — -
в) tg(|a;|+^
6) sin^ir • |a:| 4-^=0;
x	/ ТГХ , , \
в) cosec ( — 4-1} = —1.
6) sin 2a- 4- cos 1,6a; = 2;
6) sin |  ctg | = 0;
6) 2 cos2 5 — 3 cos 5 - 5
z z
a) 14-3 sin a; = cos2 a;;
в) 2x/1 — cos2 x = 3 - sin a:.
a) cos3 14-cos2 -2cos| =0;
в) sin3 x - 3 sin2 x - 3 sin x 4- 5 = 0.
6) 2 sin2 ixx 4- cos тга: 4-1 = 0;
6) sin4 2a; - 3 sin2 2a: 4- 2 = 0
a) sin x  V4-x2 = 0;	6) cos 2a; • V6 - a: - x2 = 0;
в) tg• >/2—x-x2= 0.
sin(2^) =	с°з(н^) _
V-2x-x2	’	^/42x - a2 - 440	’
в) (—a:2 — 9,5a: — 12)_i • ctg = 0.
О
§1. Тригонометрические функции
69
967. а) х/25тг2 - х2 • sin ^ = 0;
б) cost • (30 — я) з • (56л — х2 — 768)~* = 0;
в) (15а;2 + 2а:3 - a;4)-s • sin тгх = 0.
Решите следующие системы (968—972):
	sin тгх — 0,
968. a) < 969. a) <	( x + 1 Зтга; „ COS -г- = 0, 4 • nx л sin — = 0; tg тгх = 0,
970. a) <	11 > 2- x + 3	’ cos(2a: - т ) = 1.
971. a) <	\	4/ , sin 4a; = 1;
972. а)
2тгя? | _.
з Г1’
|S“____________
•х/18 4- За; — а;2 < 3;
973. Найдите cos а и tga, если sin а = 0,6 и а€ nJ.
(Зтг
7Г,
(Зтг \
~*2*’ ~
976.	Найдите ctg а и sin а, если tg а = 3.
5	/ Зтг \
977.	Найдите sin а — cos а, если tg a = и at hr, 1.
978.	Найдите 2 sin а + cos а, если ctg а = 0,75.
979.	Известно, что ctga = 3. Найдите:
х 2 sin a —cos а	,, sin а —2 sin a cos a —cos a
a) —:---------;	о) ------------------------
‘ sm a + cos a	snr a + 2 cos2 a
980.	Известно, что tg /3 = — >/5. Найдите:
sing + cos/3	sin2/3 + 3sin(3cos(3
a' 2 sin [3 — cos (3 ’	2 + cos2 /3
70
981.
982.
983.
984.
985.
986.
987.
988.
989.
990.
991.
992.
993.
994.
995.
996.
997.
998.
999.
Глава 4. Основы тригонометрии
Известно, что ctg а =-2. Найдите:
х _____2 sin3 а 4- cos3 а_
sin3 а — sin a cos2 а — cos3 а ’
2 sin а 4-3 cos а
о) —;---——.
sin а 4- 3 sm а  cos а 4- 5 cos3 а
Известно, что tga = —0,5. Найдите:
, sin а  (sin2 а - 2 cos2 а)	sin а + 2 cos3 а + 3sin3 о
'	(sin а + cos а)3	’	'	2 cos а — sin3 а
Найдите sin а  cos а, если sin а 4- cos а = .
Найдите tg а 4- ctg а, если sin а — cos а = — |.
Найдите sin3 х 4- cos3 х, если sin х + cos х = —0,7.
Найдите sec х 4- cosecх, если sin х 4- cos х = 2~i.
Найдите tg2 х 4- ctg2 х, если sin х — cos х = —З-*.
Найдите sin5 х 4- cos5 х, если sin х 4- cosх = — 0,5.
Найдите sin а — cos а, если sin а • cos а = -0,2 и а 6 (—у о).
Найдите sin а + cos а, если tg а + ctg а = 2,5 и а G (л, у) .
Найдите sin а • cos а, если sec а 4- cosec а = У15 и а G (о, (j ).
Найдите tg/3 4- ctg (3, если sec/3 — cosec 0 = 2v6 и 0 G (у, 2л).
Найдите tg а 4- ctg а и tg2 а 4- ctg2 а, если sec а — cosec а = — 2
/Зтг \
и аб I -у, -7г )•
Найдите sec2 0 4- cosec2 /3, если tg0 4- ctg0 = 2,1 (6).
Найдите sin4 0 + cos4 0 и sin6 0 4- cos6 0, если tg 0 4- ctg /3 = 3.
Найдите sin а, если	f—Цг, —5л) и cos a является одним из
корней уравнения За:3 — 10а;2 — 5а: + 2 = 0.
Найдите cos а, если a 6 (зл, у) и sin а является одним из кор-
ней уравнения а;4 - 2а:3 — За:2 4- 4т 4- 3 = 0.
Найдите sin а + cos а, если a € (—3, —2) и sin a-cos а является
одним из корней уравнения 6а:4 — 11а:3 — 34а:2 — х 4- 10 = 0.
Найдите sin а — cos а, если a € (5, 6) и sin а • cos а является одним
из корней уравнения 6а:4 — 17а;3 4- 2а:2 + 8х 4-1 = 0.
§ 1. Тригонометрические функции
71
1000.	Известно, что tg а + ctg а является корнем уравнения х3 + 2х2 —
— 13т -6 = 0. Найдите sin а - cos а, если а е (-тг, и
| sina| > | cosa|.
1001.	Найдите sma—. если cos а является одним из корней уравне-
z + cos а
ния \/т3 + 6т2 -т —2 + х + 1 = 0 и аб	о).
1002.	Найдите tga и sec а, если sin о является одним из корней урав-
нения т4 + 2т3 - 9т2 - 6т + 9 = 0 и а ё (у я).
(Зтг\
л, -у) и tga является одним
из корней уравнения х/2т3 + 2х2 — 15т + 7 +1 =т.
Найдите область определения данного выражения и упростите его
(1004—1006):
,пп. V sin2 а
1004-	а)
1005.	a) ctg т +
____	,	sin2 a—tg2a
1006.	a) tg6 а-----5---—2—;
cos2 а—ctg2 а
cos4а , . .з
б) :-------Ьsma - sin а.
' 1+sina
б) sin6 х + cos6 х + 3 sin2 х • cos2 х.
б) (2 sin2 х + sin х — 1) • sec2 x.
Докажите тождество с указанием области его определения
(1007—1010):
, sin a , 1 + cos а „
1007.	т—----------:----= 2 cosec а.
1 + cos a	sin а
1008.	sec2 (3 — sin2 f3 — ctg-2 [3 = cos2 /3.
1009.	tg2 | + ctg2 - (sec • cosec = -2.
1010 sin x + cos x _ sec2 т + 2__2
sin x — cos x tg2 x — 1	tg x +1 ’
1011.	Докажите, что если A = т—U—, В =	\ —, то 4(A • В)2 -
1 — Bill	1 I Olli At
-2(A'B) = A2 + B2.
1012.	Докажите, что если sina + cosa = l, a e рЭ, to \/sina +
+ Vcos a = 1.
Докажите, что при всех допустимых значениях а выполняется
неравенство (1013—1016):
1013.	(1 - cos4 а — sin4 а) • ctg2 a < 2.
72
Глава 4. Основы тригонометрии
1014.	tg2 а + ctg2 а 2.
1015.	tg2 а + ctg2 о; + sec2 а + cosec2 а >6.
1016.	9 cos2 а — ctg2 а 4.
Упростите данное выражение и укажите область его определения
(1017—1019):
1017.	ctg(7r-t- a) -f-tg(—а)	ctg ( 2 + cos(2?r - а) + sin(— a) sin(?r + a) sin(^-a) ctg(f+a)	3
1018.	
1019.	tg(l,57r — a) + cos(-zr + a) • sm(o7r — a) (cos(5,5tt — a)+sin(l,57r + a))2 — 1
1020.	Найдите cos^-y + a), если cos(tt — a) = 2 • 5“5 и tg a > 0.
1021.	Найдите tg ( ~ - a), если sin (a -	= 0,6 и sin a < 0.
1022. 1023.	Найдите ctg(a — 3,5тг), если sin(a — Зтг) = — 3_5 и cos a > 0. Найдите sin(—a) • cos(1,5tt + a), если tg a = 2.
1024.	Найдите sin(7r+a)-sin^+a^, если tg(7r + a)-tg^+a^ = \/5. Решите уравнения (1025—1032):
1025.	a) sin(x —1,5тг) = —1;	б) cos(?r — х) = 1.
1026.	а) зш(3,5тг — 2х) = 0;	б) tg(1,5тг +=0.
1027.	а) соз(тг(х - 1,5)) = —1;	б) ctg(?r(2,5 - 2а;)) =0.
1028.	а)	соз(тг —x) + 2sin^x— =3; б)	2sin(7r(x - 1)) = соз(тг(а; + 0.5)).
1029.	sin(a: — 3,5тг)	cos(f(д-1)) _ sin(l,25Tr + 0,5x) “ ’	sin(f(x + 3)) “°'
1030.	a) cos2(7r-a:) + 2 = 3sm(l,57r + a;); б) 2 sin(7T + х)  зш(тг - х) + 3 cos(a; — 0,5тг) + 5 = 0.
1031.	a) sin(l,5(7r — ш)) • \= 0; б) cos(l,5тг(1 — гг)) -,—^ = 0.
у I т Z	у X — 21
§ 1. Тригонометрические функции
73
1032.	a) sin(7r(a; + 3)) • у sin^(a: +
б) cos(7tt - 0,5ж) • x/cosz = 0.
= 0;
Найдите все значения параметра р, при каждом из которых одним из
корней данного уравнения является данное число а (1033—1035):
1033.	a) p-sinf 7+т')+р2 • cosf - г) + 1 = 0: «=?.
1034.	а) (р + 1) • cos(.r —	+ |р| • sin^.E -	+ 1 =0; а = — ^у.
1035.	а) Зр• sin(z +	-р2 -cos(ir + ^0 +2 = 0; а=^у-.
Найдите область определения функции (1036—1042):
1036.	a) J (ж) = V-sina;;	б) /(я) = (secrcp.
1037.	а) У (а:) =	sin х — /! - cos2 х-, 6) f(x) = y/tg xy/ctgx.
1038.	а) У(г) = А/ ь1-п~- =;	6) f(x) = \/созх\/4 + Зх-х2. у уб + х — X2
1039.	а) у (ас) = yjcos(Tra) • \/4 — х\ / 	
	б) У(х) = ^8т(тга:) • \/3 + 5х — 2х2.
1040.	а\ f(x} — 'У^+Пх-Зх2 _	g,.	_ УЗ - д - ас + 1 1 _ sin х — COS2 х’	/ J \ J	gin х — COS X
1041.	\ pf \	\/2 4” ж	f/ \	\Z2.t х,~ а)У(х) = -	—г;	б)У(ас) = 7г-:	т. 7 J ' ’	1 + соз(тгзс) ’	! J \ >	2 sin х -1
1042.	а) У(^) = v^6-X-2х2 • tgx;	б) У(х) = (2-х2)-^ •ctg(27ra:).
Постройте графики следующих функций (1043—1062):
1043.	a) y(x) = 2cos|;	б) f(x) = — sin2x.
1044.	а) У(я) = -|соз(з:+^)|;	б) У(щ) = sin(|x| 4- у).
1045.	а) У(х) = — tg |я;|;	б) y(x) = |ctg2x|.
1046.	а) У(ж) = sin(x - |я:|);	б)У(а:)-2соз 2 .
1047.	a) fix') = 1 — 2 sin щ;	б) У(х) = |tg(x- J) .
1048.	a) y(a:) = 2sec2s;	б) У(х) = — cosec у
1049.	a) y(x) = 2sina; — |sinас|;	б) f(x)=cosx — 2 |cosx
74
Глава 4. Основы тригонометрии
1050.
1051.
1052.
1053.
1054.
1055.
1056.
1057.
a) /(х) = | tgarj — tga;;
a) /(a;) = cos^2a; —
a) /(x)=sin(2|a;|4-^);
а) /(х) = —2sin lZ97rl;
a) f(x) = sin  sign(cosx);
б) f(x) = \/l+tg2 х • sin х.
б) /(x) = |sin(^ + ^|.
б) /(x) = cos||- J|.
б) Дх) = 2 sin|а: + I • Vх 1 - cos2 ж.
б) f(x) = tga;-sign(sinx).
a) Дх) = 2-1 cosar| -sign(tga;);
6) f(x) = ctg |a?| • sign(cos 2a;).
а) Дх) = -	sin 2а; | cosa:|	при х 0, п б f х = при х > 0;	' 1 - COSX п . X l2sin2	при х < 0,	
				при Xf	iQ.
а) Дх) = <	2 sin |х	при |а?| тг,			
	7Г — X	при |а;| >тг;			
б) Дх)=<	|c°s^|	при |а;| < 2тг			
	2тг4-1	- |а>| при |а;| > 2тг.			
1058.
1059.
1060.
1061.
1062.
a) f(x)=
6) Дх) = <
cos a: — | cosa;|
при x <,
. я
при a; >
_ я
при ®>~2>
при x < — 2 -
a) f(x)=
sin a: 4- 2
sin x 4- 1 ’
6) f(x) =
2 4-1 cosa:|
1 — cos X
a) f(x) = \/2 - cos a;;
6) Дж) = — 5/2 4- |sina;|.
a) Дх) = -
5 4- cos x
cos x + 2 ’
6) Дх) =
I sinx'l — 1
sin x 4- 2
a) f(x) =
2\/l - cos2 ж
sin a: ’
6) №) =
cos z
у/1 — sin2 x
Найдите множество значений данной функции f(x) (1063—1071):
1063. а)/(а;) = |3 — 5sinx|;
1064. а) Да;) = 2cosa; 4-1 cosa;|;
1065. a) f(x) = 4 sin х — sin2 а;;
1066. а)/(а;) = 1 —| cos а; |—2 sin2 а:;
б) /(®) = 3-5-|sinx|.
б) Дх) = sina; — 3 • | sina:|.
б) /(а;) = 2 sin2 х 4- cos х.
б) /(х) = 2 cos2 х 4- \/1 - cos2 х 4- 3
§ 1. Тригонометрические функции
75
1067.
1068.
1069.
1070.
1071.
1072.
1073.
1074.
1075.
1076.
1077.
1078.
1079.
1080.
1081.
a) f(x) = 3 — 2 cos x 4- cos2 x;
а) /(x) = 2sin2x — 4|cosx| + l;
a) f(x) = tg2 x + 2 tg x;
a) J(x) = sec2x-2secx-l;
a) /(x) = (tg2 x + 1) cos2 x;
a) /(x) = tg2 x + 4 sec x;
a) =
a)	/(x) = 2cosx — | cosx|-sign(cosx);
6)	/(x) = sinx + | sin x| cosec x.
a) /(®) = 4smx —sign(cosx);
a\ r(x\ — _3sinx_
'	'	2 sin x — 1 ’
a) /(x) = \/5 —cosx;
a) /(x) = — ^4 — 12 sinx;
a) /(x) = (2 4-sinx)-2;
a)	J(z) = (4 - | sin2x|)0,s;
a) /W = cos^~4—J;
6) f(x) = 2 + | sin x | + cos2 x.
6) f(x) — 6 cos2 x — sin4 x.
6) /(x) = 5-4|tgx| -tg2x.
6) f(x) = 3 - 2| cosecx| — 5 cosec2 x.
6) f(x) = 5 sin2 x - 2 tgx ctg x.
6) f(x) — sec4 x — tg2 x.
f/ \	2 cos x
6) Aa?)=c6sx^2‘
6) /(x) = 2cosx + sign(sinx).
e- \ r / \ COS X
6)	2sinx+ Г
6)	— cos x + 4\/cosx - 3.
6)	f (z) = cosx — 1.
6)	/(x) = (3-|cosx|)-2.
5) /(z) = (2 cos I -l)3-
6) f(x} =sin(sinx).
Решите неравенства (1082—1092):
1082.	a)cos2x>0;	6)sin^^0;	e)tg^^0.
•j	z
1083.	a)cos7rx^0;	6)sin-y>0;	B)ctg3x<0.
1084.	a) sin(y - 2x) > 0;	6) cos^1 2~-^0;	в) tg(2?rx) < 0.
1085.	a) sin(^ + |)	>0;	6) cos^2x- 0 <0;	в) ctg(^-x) >0.
1086.	a) sin2x4-2sinx>0; 6) 2cos2x>3cosx; в) tgx + ctgx<0.
1087.	a) sin2 x>sinx;	6) cos(tf - x) + sin2 x 1;
в) tg3 x + tg x 2 tg2 x.
„	sin f + x^
1088.	a) COS.'C 2 0; 6) —:------^0; в) tgx• (sinx)-5 0.
' sm x	' sin x — 2	’	' 0	'	'
1089.	a) sin x • cos x 0;	6) cos2x  ytg^^ 4-x) 0;
в) sin2x• (tgx)~s 0.
76
Глава 4. Основы тригонометрии
1090.
a)	sin^ - х) • x/sinx 0;
в) tg(|-x) - (соSX)i ^0.
б)	cosQ - sin 0;
1091. а) х/6 - х — х2 • sin х 0;
в) x/secx • (12 — х — х2) 0.
1092. a) v^sina: + cos х > 0;
в) ,/ctgx • tg (я -	<0.
б) \ / 5 , о • cos тгх 0:
' у х 4- 2
б) x/sin(7rrr) •
Решите следующие системы (1093—1104):
. /	2х \ Л 81п(тг+ -^- ) =0, 1093. а)	V	3 )	б)< х2 + 17х + 70^0; . /Зтг	\ sm( -=— тгх = 0, 1094. а)	V 2	>	б) < х/х + З + х^З; ( зт(5тг + 3х) = 1, 1095. а) { л,—	б) < к X	’ 7г(а:4-3) cosec —т— = 1, 1096. а)	, 1	6Н	COS 61	(’-!)	= 1,
	х—10 cos + 2тга ’ cos(tt(x-5)		;)+1 = 0, ) = -1,
	х/6 — X — X2 1	X созес(тг + 3а;		) = -1,
	х + 2	> Uzx-ik1’ ( tg(^ + 3aA=0, 1097. a)	U	7	б) 1 ' х — 1 (	. /о	Зтг X sin(2x—2-) = -1! 1098. а) <	4 J 7	б) - ] . х	у/2	' 1 sin 2 ~ 2 ’ cos2 X COS X, 1099. а) ,	б) х2^х+12; . тг(2х — 3) sm	z—- < 0, 1100. а)	2	б) < 2х2 — х — 5^ х’	1 4- \/9 — х2 х. 7Г(2 — х) ctg 2	- 0, X \/х + 6. cos^3x ~	= 1> • г,	х/3 sm 2х = —. sin 2x^0, х4 +х3 — 2х2 - Зх -1 $ 0. тг(х +1) cos -Н5—~ 0, -^-г 04 - 2х - х2. к х — 1		
§ 1. Тригонометрические функции
77
1101.
| sina:| $ cost ~2~ + х
cos 2а; + sin2 2а; 1;
1102. а)
х 2 + у/х — 1;
{sin( ~ +х)	|cosx|,
1 + sin 2а: cos2 2а:.
{ctgTra: > 0,
--------------------
лг+я-Оуб — х — а:2.
[ cos 2а: 0,
1103. а) <	,	,
I а:4 - 2а:3 - 14а:2 + 30а: + 9 sj 0;
{1+2 cos 2х sin2 2а;,
х < 3 + у/х - 1.
1104.
а:4 - 4а:3 + 2х2 + 4х — 3 < 0,
sin a: 0;
f 2х4+Зх3 —15х2—ж+15С0,
б) <
cosa:>0.
Упростите следующие выражения (1105—1110):
1105.	а) у/\ — sin2 X — COS Х\	б) \/1 + ctg2 X  COS X + Ctg X.
\ I sin si + 2 sin x	.	... _n
1106.	a) —7 —;	6) (1 - | cosa:|) • sin 2 x.
v 1 — cos2 x
.,	. о T й 7	cos(?r — ж) — I cos о:I
1107.	a) 2- у sin2 x-(l + tg2 x)~ tga:;	6) —. .
Jl -cos2^| + x)
. -i/l — cos2(ttx) — 2sin(тгх)	,	, .	/	„ /тг 7
1108.	a) ----------; 6) cos(ttx) • . /1 + ctg2 (x + тгх) - 2.
'	cos(ttx)	'	' V \2	)
x , /l+cosa	_/	7Г \
1109.	ctga+л/т--------, если aG —я, — 7Г .
° V 1 — cos a1	\	’	2 /
1110.	^/sin2 a(l - ctga) +cos2a(l - tga), если a6 тг).
Найдите все значения параметра а, при каждом из которых график
данной функции f (х) проходит через данную точку М (1111—1112):
1111. /(а:) = a sin а: + (2 — a) cos 2а;;	4).
1112. /(а:) = a2sin 5 — acosfa:+Л1(^, б\
Укажите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение /(ж) = а имеет на данном промежутке хотя бы один
корень (1113—1119):
1113. а)/(а;) = —3 sin ;	[0, тг];
6)/W=2eos(f + f); [-f.f].
78
Глава 4. Основы тригонометрии
1114.
1115.
1116.
1117.
1118.
1119.
a)/(x) = 3sinx-2-|sinx|; [-?, xl;
б) /(я) = 2sinx — 3 — 2cos2 х; [0, тг].
а)	/(х) = 2 + 3 cos2 х;
б)	f(x) = 1 — 2 sin4 х;
'тг ТГ 1
.4’ 2J’
'тг 2тг 1
3’ 3 J
a)/(x) = tg|x|; [-тг, -у];
б)	/(®) = 2-| tgх| - tgx; [у, у].
а)	/(х) = 2 cos у sign(sin х);	[- |, |];
б)	/(x) = siny-sign(cosx);
а)	/(®) =
б)	/(«) =
2 sin ж 4-1
sin х + 1 ’
4 cos д + 3
2 cos х + 1 ’
5тг 5тг ~|
6 ’ 4 J ’
"Т> "2
a)	/(x) = \/3-2sinx; [у у];
б)	/(®) = cosх — 2 — у/— cosх;	[|, у].
Сравните данные числа а и Ь	(1120—1138):
1120.	а)	а = sin7°, b = sin371°;	б)	a-cos 100°, b= -sin 15°.
1121.	a)	a = tgy, 6 = tgyf;	б)	a = ctgу b = ctg215°.
1122.	а)	a = tgyy 6 = ctg у;	б)	a = tg576°, b = ctg 1314°.
1123.	а) а = sec205°, b— sec 155°; б) а = cosec 255°, b = cosec290°.
1124.	а) a= |cosl70°|, 6= |cosy|; б) a= |sin ур|,	|sin 162°|.
1125.	а) a = cos5, i> = cos2 у	б) а = cos у-. b — cos • sin
1126.	а) a = sin|, b= y/sin^-	6)a=^sin^y^ , &=(sinyp) \
1127.	а) a = cos 119°-cos 117°, cos 117° -cos 115°;
„	 тг . 4л ,	. 7тг , 4tt
6)	a = siny-tgy, & = siny-tgy.
/ \ -1
1128.	a)a=(tg|) \ b= (tg23°)-i;
6)	a = (tgy) , b = (ctg 172°)-4.
§ 2. Основные формулы тригонометрии
79
Ц29.	a) a = cos3, b = cos4;	б)	а = sin9,1, b-sin9,2.
ИЗО.	а) а = sin2, b = sin32;	б)	a = sin7, Ь= (sin7)-1.
1131.	a) a = tgl, 6 = tg5;	б)	a = tg 1, b = tg2 1.
1132.	a)	a = sinfcos^, d = sin(cosy);
6)	a = cosfsiny-), b = cos(cosy).
1133.	a) a = tg(sin2), 6 = tg(sin3);
6)	a = ctg(cos2), 6 = ctg(cos3).
1134.	a) a = sin2 10° -2 sin 10°, b = sin2 15° -2 sin 15°;
6)	a = cos2 у + 3cos ij, b = cos2 + 3cos
. _ cos 17° - 1 > _ cos 20° - 1 _
1135. a) a- 2cosi7o +3-°-2cos20° +3’
3sin^-l 3sin^- - 1
6)	a sin 4-1 ’ sin y- + 1
1136.	a) a={sin207°}, b={sin345°};
6)	a = {2 cos 130°}, b = {2cos 140°}.
1137.	a) a = {tg50°}, b={tg235°};
6)a={|tgl60°},6={itgl70°}.
1138.	a) a = (sin20°)i. b = 1 - (sin70°)$;
6)	a = (cos40°)1,5, b= 1 - (cos50°)2,5.
Докажите, что при всех допустимых значениях аргумента
выполняется неравенство (1227—1228):
1139.	a) |tgx + ctgx| ^2,	б) v/sinx+x/cosx^l.
1140.	а) 4 cos2 х + tg2i>3,	б) 9 cos2 х sj 4 + ctg2 х.
1141. a) cos 15°;
§ 2. Основные формулы тригонометрии
Вычислите (1141—1246):
• 7,г
б) sin 12,
37Г
б) COS-g-,
б) cos 36°,
-cos 10° - cos35°;
1142.	a) sin22°30';
1143.	a) sin 18°;
1144.	a) sin 10° • sin 35°
тг . 7тг , 7тг . тг
б) cos тг • sin уд 4- cos yjr • sin 5.
\ * 41тг
в) tg^y.
в) ctg^.
в) sin 54°.
80
1145.
1146.
1147.
1148.
1149.
1150.
1151.
1152.
1153.
1154.
1155.
1156.
1157.
1158.
1159.
1160.
1161.
1162.
1163.
Глава 4. Основы тригонометрии
a)	tg28° + tg32°	l + tg5°-tg50°	
	1-tg 28°tg32°’		tg 5° — tg 50°
a)	Utt	5tt COS -yy- +cos yy;	6)	sin 105° — sin 165°.
a)	sin 55° - sin 5°	6)	cos 20° + cos 70°
	cos 70° — cos 20° ’		sin 85° + sin 35° ‘
a)	cos 17° +sin 17°	6)	sin 82° - cos 52°
	cos 32° + sin 2° ’		cos 23° — sin 23° '
a)	l-2cos275°;	6)	2 sin2 22° - 1
			cos 16° — sin 14° ‘ sin 17° • cos 17° • cos 34°
a)	5tt	5tt smyy-cosyy;	6)	
			cos 8° + sin 38°
a)	cos 14° — sin 16°	6)	sin 78° - cos 78°
	sin 136°		sin 93° — cos 63° ’
a) sin 17° • sin 8° + cos2 12°30' - sin 34°30' • sin 25°30';
б) sin 15° - cos?0 4-cos 101° • cos 11° — sin4° • sin94°.
’ l-tg275°’
a) tgl°-tg2°-tg3°-...tg89°;
sin^f-sin^-cos^sin^
sin y- • sin - cos • sin || ’
sin | • sin - cos • cos
a)
6)
cos Ц • cos § + cos	• sin ’
tg2 W ~	£
tgaf|tg2^-l’
a) cos 20° • cos 40° • cos 80°;
a)	cos 75° — sin 75°;
\	2 7тг о 2tt
a) cos2 22 + cos2-;
a)
. 2 ctg 10° tgllO0
ctg2 10° — 1
6)	tg2°-tg4°-tg6°-...-tg88°.
l-tg2||-tg2>
tg2^~tgaI= ’
6)	sin 20° • sin 40° • sin 80°.
z-\ , Зтг	Зтг
6)	tg-g-4-ctg-g-.
6)	ctg^+ctg-p
a)	tg + ctg yy:	6) tg4^ + ctg4yy+tg4^ + ctg4|y.
, . 4 sin 23°  cos 27°  sin 40° + cos 36°
a	cos 27° • cos 17°	’
6)	(8 cos 10° • cos 20° • cos 50° - 1) • sec 20°.
x . 4тг 2тг 4tt
a) sm yy • ctg jY - cos yy;
/ 2тГ . 9 7Г . 2тг	7Г \ о 7Г
б)	(cos — ctg2 у + sm — ctg у J tg2 у.
а)	х/З  cos 1° • cos 14° — sin 1° • cos 14° — cos 17°;
6)	8 cos 15° • cos 18° • cos 27° - (v/6 + \/2) • cos 9°.
§ 2. Основные формулы тригонометрии	81
71-cos			yi + cos £
1164.	а)	sinW	sin>
1165.	а)	cosec 18° — cosec 54°;	6) sec 144° + sec 72°.
1166.	а)	. Зтг . тг smio’slI1io;	6) sin 10° • cos 20° • cos 40°.
		2тг . Зтг	. 7тг . 5тг . тг
1167.	а)	COS “=	Sin 777; □	iU	6) sm yy • sm yy  sm yy.
1168.	а)	16 cos 6° • cos 12° • cos 24° • cos 48°	-ctg 6°;
		тг	2тг	Зтг	4tt	5тг
	б)	COS yy • COS у • COS yy • COS yy • COS yy.	
		тг	4тг	5tt	.	тг . Зтг . 5тг	. 31тг
1169.	а)	cos у • cos — • cos —;	o) sm	77 • sm 77 • Sin 77 ... • Sin -ТГ. 64	64	64	64
		7Г	37Г	2тг ,	4тг	бтг
1170.	а)	cos-+cos-3-; 0	0	б) cos — 4- cos — + cos —.
1171.	а)	 2	. • 2 2тг , . 2 Зтг sin у + sin — + sm -y;	б) cosq Т + cos* —.
1172.	а)	sin 2° + sin 6° + ... + sin 178° — cosec 2°;	
	б)	cos 1° +cos 11° 4- ...4-cos 171° -	sin 4° sin 5° ’
1173.	а)	cosec 10° — 4 sin 70°;	6) tg 20°+4 sin 20°.
1174.	а)	4cos20° - y/3-ctg20°;	6) (1 - 2cos80°) • sec20° • cosec 10°.	
1175.	а)	cos 24° - cos 84° - cos 12° 4- sin 42°;	
	б)	tg9° - tg63° 4-tg81° - tg27°.	
1176.	а)	ctg 10° • tg20° • tg40°;	6) tg 5° • tg 55° • tg 65° • tg 75°.
1177.	а)	cos2 73° + cos 47° • cos 73° + cos2	47°;
	б)	cos2(7,5)° 4- cos(7,5)° • cos(52,5)c	' + cos2 (52,5)°.
1178.	а)	tg 1 ° + ctg 46° + tg 44° • ctg 89°;	6) tg2 10° 4-tg2 50° +tg2 70°.
1179.	а)	(tg зо° + tg 40° + tg 50° + tg 60°;	I sec 200°;
	б)	ctg 50° - 4 sin 40°.	
1180.		7Г	2тг	тг 2тг Зтг 4tt
	а)	cos 7 cos -7-; □	5	6) COS T COS	cos — cos —. 7	5	0	0	0
. тг . 2тг	. тг . 2тг . Зтг . 4тг
1181. a) sin у sin у;	б) sm у sin у sm-у sin у.
1182.	a)	cos у cos — cos —;
тг 2тг Зтг	4тг	5тг бтг
б)	cos у cos — cos — cos -у	cos -у cos -у.
1183.	a)	sm у sin — sin —;
. тг . 2тг . Зтг .	4тг	.	5тг . бтг
б)	sin у sin — sin -у sm	— sin	— sin —
82
Глава 4. Основы тригонометрии
1184.	a) cos -rg- 4- cos у- +... + cos	;
JLo	16	lo '
n , 5?r • 9~ • 13л . 17л . 21л
6)	sm 24 ЬШ 24 Sln 24 Sm ~24 Sm IT Sm ~24'
1185.	sin^ 4-а), если tga = 2 и 0r,
1186.	cos^^y- - a), если sin a = —0,6 и a6 oj.
1187.	4-a), если sina = 2-5~$ и a 6	л).
1188.	ctg^ — Q)’ если cosa = -| и ae (ту, л).
1189.	tg(a4-/0,
если sina = --^=, aC (-ту, o), cos/3=|, 0e (-ту, i
1190.	sin(a4-/0.
если tga = -2, ae (ту, л), cos/3= -0,8, 0e (л, ^0
1191.	cos(^+a-/з),
если sina = |, ae (o, 70, tg/3 = -2“i, /Зе (-|, o)
1192. tg(a + /3), если ctga = 2 и ctg/3=— 3.
1193.	cos/3, если cos ( +/3^ = | и/3 e (o, 70.
1194.	tga, если tgf - a) =
\ «5 J
1195.	sina, если cos(^ - a) = и a€ (0, 70.
1196.	a, если sin(a + f4 и a 6	3лj.
1197.	0, если tg(a + /3) = -3, ctga = | и 0e (тг,
1198.	7, если sin(a + 7) = 30*o cos a = 0,6;
ae 2л), 76 ^-2л, -у-)-
1199.	a, если cos(a-/3)=	g2^, sin.0 =
a ( Зтг\	/ 7% . \
/Зе (л,	Q<= 47Гг
1200.	a + 0, если ae (о, ^), 0& (o, tga = 2, tg/3 = 3.
§2. Основные формулы тригонометрии
83
1201.
1202.
1203.
1204.
1205.
1206.
1207.
1208.
1209.
1210.
1211.
1212.
1213.
1214.
а-0, если аб (т^, л), (Зе (-|, о); ctga —-2, ctg/3 = 8
а + /3, если аб (о, ту), /Зе (о, ту); cosa=|, cos0 =	—-.
а + (3, если а € (ту, я), 06 (л, ^);
„_1 . п -VG-2V3
sin а = 3 5, sin 0 =-g----.
а-0, если а6 (о, ту), 06 (~v> -7Г)>
sin а = З-1, cos0 = - (1 + 2v%) • 6-1.
sin(a + 0 - ^), если а 6 (ту, л), sina = |, 0 6 (~^, о)
Л 2
COS0= 3.
cos(a-0-7), если аб (-^, о), tga=-2, 06 (ту, л),
д %/5	_ / Зл\	\/б
sm0= —; 76 (л, ?-)> COS7= —Tj~.
а + 0 + 7, если а 6 (о, 5), sina = |; 06 (о, тр, cos0 =
/п л\ t Зч/2
7€(°,	= — •
sin 2а, если а 6
cos
,если а 6
х/6
и cos а = --х-.
О
V2
и cosa= -5-.
О
tg 2а, если sin а = 5 *, а 6 (ту, лJ.
ctg(2a- если sina = —0,8, а6 (л,
л 1
cos4а, если cosa = — 3.
sin(^- — а^. если cos = —5“i и а 6 (л, 2л).
sin За, если а 6 (л, и tga = 3.
(7Г \	_1
- 2,0) и sina = -5 5.
1216. tg3a, если tga = 2.
1217. sin(^ - За), если tga = 2 и а6
84
Глава 4. Основы тригонометрии
1218.	cos(2a + /?), если sin а и cos/? являются различными корнями уравнения 2а:3 — 5а:2 + 1 = 0; а £ (ту, тг), /3 € (ту, тг).
1219.	sin(^ — 2а), если cos а является корнем уравнения За:3 — 16а:2 + + 9а;+ 14 = 0 и а€ (ту, тг).
1220.	tg ( ^ — 2а), если sin а является корнем уравнения \/5а: — 2 + / 7тг	\ + 5а: = 4 и а£ 1 — -у, —Зтг).
1221.	sin 2а, если sin а + cos а = 0,8.
1222.	.	.	V5 cos 4а, если sin а — cos а =	.
1223.	cos 4а, если tg а + ctg а = 3.
1224.	cos (4 (а — ^)), если tga + ctga = —5 и а£ (^, тг).
1225.	. а	.	а/5	_ (тг \ sin ту, если sin а = -у- и а £ ту, тг .
1226.	, 1 тг а \	1	_ (Зтг _ \ tg( з - 'J )> если cosa=g иаб (	2тг 1.
1227.	tga, если ctg2a = 3 и а£ (ту, тг).
1228.	ctg у, если tg2a = Зу и а £ (— ту, о).
1229.	. ( , тг\	. а 1 sin! а + д ), если tg у = ту•
1230.	cos a	.al 2 —3sina’ еСЛИ tg 2 — 2'
1231.	sin(^- - 2а), если ctga = —2.
1232.	cos(^ +/?), если ctg у =3.
1233.	sin 4а, если tg а — ctg а = 3.
1234.	. _	cos а + 3 sin а	„ sin 2а, если 	= —2. ’	2 sin а — cos а
1235.	/тг \	. а	п cos 1 у - а 1, если tg у = —2.
1236.	tg у, если ctg а является одним из корней уравнения х4 — 2х3 — — 7х2 — 10а: — 2 = 0 и a £	. 2тг).
1237.	(a , тг\	,	_	( Зтг\ cos 1 ту + g 1, если tg a = 2 и a £ Гтг, -у ).
§ 2. Основные формулы тригонометрии
85
1238.
1239.
1240.
1241.
1242.
1243.
1244.
/2тг
cost -3— а
1
если tg а = -
sin2а + 3cos2а = 3,4 и а€ (тг,
sin 2а, если ctg а является одним из корней уравнения 2т3 4-
4- Зт2 — 6т 4- 2 = 0 и а& ( , тг Y
cos 4а, если tga является наибольшим из корней уравнения
т4 — 6т2 4- 4т2 4- 12т 4-4 = 0.
a)	sin 5а — sin За, если sin а = |;
б)	cos8а4-cos6а 4- 2sin5а - sinЗа, если sina= —
«J
a)	cos если 6 sin2 а 4 4- cos a, cos 2а — х, a G (тг, 2тг).
2	У
tg(a4- -у), если 3sin2а —cos2а = 3: аЕ (у
1245. a) sin 2а — у10  cos —. если sin а = 0,6 и а S
 5а За	_	„ с _ /:
sin -у • cos-у, если cos2а = -0,6 и аб I:
б)
1246. а)
б)
cos 5а 4- cos а . у2
-------я-----. если sin а = -^-;
cos За ’	3 ’
sin 8а 4- sin 2а	1
-----:—=-----, если cos а = — о •
sin 5а ’	3
Упростите данное выражение и укажите область его определения
(1247—1258):
1247. а) cos За • cos 4а - sin За  sin 4а;
cos 2а  sin За - sin 2а  cos За
'	sin а
cos 4а + sin2 а
cos 2а ’
1248. а)
б)
sin а
1 — cos 2а ‘
1249. а)
1 — cos 2а 4- sin 2а
1 4- cos 2а 4- sin 2а ’
б)
1 + cos а 4- sin а
sin - 4- cos f
1250. а)
sin 2а 4- sin 4а .
cos 4а — cos 2а ’
б)	cos2 (a —-cos2 (а4- j
1251. а)
б)
3 cos а — 2 sin а 2 4- cos2 а.
sin а 4- cos a cos 2а
sin2 (а — /3) 4- sin2 (а 4- /3)
2 cos2 а • cos2 /3
tg2 а - tg2 /3.
(cos а 4- cos |У 4- (sin a 4- sin y)
2 sin -
(cos a — sin 3a)2 4- (cos 3a — sin a)2
sin 2a — cos 2a
86	Глава 4. Основы тригонометрии
1253.	, 3-4cos2a + cos4a	, cos 4а  tg 2а - sin 4а ' 3 + 4 cos 2а + cos 4а	' °	cos 4а • ctg 2а + sm 4а
1254.	ч /1—cos 4а	2 + cos 2а — у/З sin 2а a) V й ;	б)	.	. v	о	v 3 cos а — sin а
1255.	.	1 - sina	-л 1 + sin 4а a)sinf_cost>	bJsin(2a + *)'
1256.	а) \/1+tg2a + seca;	б) \/1 +ctg22а — 2cosec2a.
1257.	ч sec х — cos х cosec ic — sin x a' tg X + 1	ctg X + 1	’ g, sina । cos a 	1	 1 1 + ctg a 1 + tg a sin a + cos a' .	. .	.	sin2 f ? + o') — sin2 f? — o')
1258.	1 -S‘nQ.	zn	к 8	/	k8 ) a) ® \ 4	2 7 cos a ’	sin 2a Упростите данное выражение (1259—1269): 2cos( 7 — a ) — \/2cosa	2cos( £ + a) — cosa
1259.	a)	.	.	; 6)	.	.	-ctga. 2 sin I § + aj - x/3sina	2sin( a - | j - v3sina
1260.	. sin 3a — sin a  cos 2a	2 cos a + cos 3a + cos 5a a' cos 5a — cos a ’	' cos 3a + sin a • sin 2a
1261.	a)	1 cos 2a + sin a, если a G [тг, 2тг]; V Z Z б)	cos 2a - cos если a G	2тг).
1262.	a)	\/2 + x/2 + 2cos2a, если aG	2тг); 6)	Xj/0,5 - 0,5 • x/0,5 + 0,5cos4a, если aG (y, тг).
1263.	\	2 i	о / 7Г i \ .	2 /	\ a)	cosz x + cos 1 3 + x I + cos 1	— x 1; 6)	cos2 (a + /3) + cos2 (a — /3) — cos 2a • cos 20.
1264.	. sin a — sin 3a + sin 5a	-.4 cos 3a + cos 5a + cos 7a cos a — cos 3a + cos 5a ’	sin 7a + sin 5a + sin 3a ‘
1265.	a)	2 • (sin6 x + cos6 x) - 3  (sin4 x + cos4 x); 6)	4  (sin8 x + cos8 x) — 8 • (sin4 x + cos4 x) — 0,5  sin4 2x.
1266.	, sin 6a , cos(6a —тг)	.	tg4a a)—	3	;	6) cos 8a ——3	— 7 sm 2a	cos 2a ’	7	tg 8a — tg 4a
1267.	,	,	лЧ . /тг a\ е-ч	2sin22a—1 a) (tga + sec a l)-sin(	9 ); 6)	,	,	,	.. V4 27	ctg(*+2a) cos2(^-2a)
§ 2. Основные формулы тригонометрии
87
1268. а) ^ + 4 sin2 а;
7 cos а	’
б)
sin За
sin(a4-f)
, л 2/27Г	\
4-4coszl -g—а J.
1269. a) sec6 a - tg6 a - 3 tg2 a • sec2 a;
6) ctg(30° — a) • ctg(150° - a) • ctg 3a.
Докажите следующие тождества (в общей области определения
левой и правой частей) (1270—1282):
1270. а)
б)
sin а 4- sin 2a
.......	— tR СЕ*
14- cos a 4- cos 2a	° ’
cos4 a - sin4 a 4- sin2a = \/2 • cos^ — 2a
1271.	a) 1 - 2sin2 a = 2ctg(y -a) -cos2^ 4-a);
. ctga4-l . /тг \
б) T2-----г = ctg -T - a .
' ctg a — 1	° \ 4	)
1272.	a) \/3 4-2 sin 2a = 4 sin (a 4- ^) ’cos(f ~Q)’
6)	4 sin2 a - 1 =4 sin (a — ^) • sin (a 4- ^).
1273.	a) sin2 (a — -y ) - cos2 —	) =	’ cos 2a;
6)	sin2^ 4-a) -sin2^ -a) -sinу -cos^y 4-2a) =sin2a.
1274.	a) sin a 4- sin 2a 4- sin 3a 4- sin 4a = sin 2a • sin -y • cosec 7;
• na • (n+l)a
sin ~ • sm  j-2-
6) sin a 4- sin 2a 4- sin 3a 4-... + sin na =-------.
Sin 2
1275. a) cos a 4-cos 2a 4-cos 3a 4-cos 4a 4-cos 5a = cos 3a-sin-y  cosec y.
sin Дг • cos (n+^a
6) cos a 4- cos 2a 4- cos 3a 4-   • + cos na =-:—g-.
'	Sln "2
1276. а) 1 4- 2 cos 2a 4- 2 cos 4a 4- 2 cos 6a =	;
6) 1 -2cos4a4-2cos8a —2cosl2a4- cos=0.
'	cos 2a
1277. a) ctg a — tg a = 2 ctg 2a;
6) 8 ctg 24a 4- 4 tg 12a 4- 2 tg 6a 4- tg 3a = ctg 3a.
1278. a) tg 3a — tg 2a — tg a = tg 3a • tg 2a • tg a;
6) tg 3a 4-tg ( y-— 2a) -tg(a-^) =
= tg3a• tg^2a4- ^) -tg(a- |).
88
Глава 4. Основы тригонометрии
1279.	a) sec x  sec 2x 4- sec 2x  sec 3® 4-... 4- sec 9®  sec 10® =
= 2 sin 9® • cosec 2®  sec 10®;
6)	cosec ® • cosec 3® 4- cosec 3® • cosec 5® 4-... 4- cosec 11®* cosec 13® =
= sin 12®* cosec®* cosec 2®* cosec 13®.
inon \ x л , л cos 2a 4-sin 2a
1280.	a) tg 4a 4- sec 4a =---7-----r—7—;
' °	cos 2a — sm 2a
sin2 4a	„ .	. „
6 7------------5—;-----— = 2 sm a • sm 2a.
' 2 cos a + cos 3a + cos 5a
1281.	a) sin-p-• sin 7^ •
' 4n 4n
6)
. • sm----;-----— 777:
4n 2" ’
тг Зтг	(2n - 1)тг -/2	M
cos 7- • cos 7— *... • cos-----;-----= -7—. где n G N.
4n 4n	4n 2n
sin a + 2 sin ( 7 — a)
1282. а)
2 cos
-----= v3 • ctg a;
cos a
б)
2 sin
—- = V3.
cos a
б) cos 11а — cos За.
б) sin а 4- sin 5а 4- 2 cos 2а.
с\ (* ,	\	• /"тг
б) cos I = 4- а I — sin I -т - а
Представьте данные выражения в виде произведения (1283—1295):
1283.	а) sin a 4-sin 7a;
1284.	a) sin a 4-cos 5a;
1285.	а) 1 — 2 sin 3a;
б) cos а — sin а — cos За.
б) cos 4- cos -J— 2 cos а.
1287.	a) 1- sin (Д 4- 2а j;
1288.	а) \/34-2cos|;
1289.	a) sin а 4-sin 9а - sin 5а;
1290.	a) cos а 4-cos 4а 4-cos 8а 4-cos 11 а;
6)	sin a — sin 5а 4- sin 7а — sin 11а.
1291.	a) cos a —cos За-cos 9а 4-cos 11а;
б)	2 sin 4- sin а — sin 2а - sm — 4- sin За 4- sm .
1292.	a) 2 cos2 а 4-3 cos а 4-1; 6)3-4sin2a.
1293.	a) cos а 4- cos За 4-... 4- cos(2n4- l)a;
6)	sin a — sin 3a 4- ••• 4- sin(4n 4- l)a — sin(4n 4- 3)a.
1294.	a) sina4-sin(a 4-<p) 4-... 4-sin(a 4-7199);
6)	cosa — cos(a4- 99) 4-cos(a4- 299) — ... 4- (—1)” *cos(a4-nyi).
б) cos 5а 4- cos 7а — cos4а.
§ 2. Основные формулы тригонометрии
89
1295.
1296.
1297.
1298.
1299.
1300.
1301.
1302.
1303.
1304.
1305.
1306.
1307.
1308.
1309.
1310.
sin(a + 0 + у)
cos а • cos 0  cos 7 ’
a) tga + tg/3 + tg7 —
б) sin2 а + sin2 0 + sin2(a + /3) - 2.
Докажите следующие числовые равенства (1296—1303):
\	л ко	\/2 4- у/З
a) cos 15 =-----2----->
,	тг	2тг 4тг	1
a) cos д • cos -д- • cos -д- =
a) 0,5 4-sin =sin
a)	ctg 10° • ctg 50° • ctg 70° = УЗ;
6)	sin 20°  sin 40° • sin 60° • sin 80°
6) tg7°30' = vz6+\/2-v/3-2.
6) sin 10° • sin 50° • sin 70° = |.
О
. ТГ ТГ 1
6) sm^-cos = д.
=3 • sin 10° • sin 30° • sin 50° • sin 70°.
a)	sec 34° 4- ctg 56° = ctg 28°;
6)	2 -4 sin 50° = sec 160°.
a)	ctg 70° + 4 cos 70° = \/3;
6)	sin 18° • sin 54° = 0,25.
. 2тг 4тг бтг 8тг Ютг 1
a)	cos yy + cos — + cos + cos + cos = ~ 2 ’
б)	tg Yy+4sin yy = v/ll-
a)	sin 1° • sin 3° •... • sin 87°  sin 89° = 2-44,5;
6)	tg5° • tg55° • tg65° • tg75° = 1.
Докажите, что tga-tg/34-tg/3- tg74-tg7-tga = 1, если a + 0 +
ТГ
+ 7=2-
Докажите, что tga 4- tg/3 4- tg7 = tga • tg0  tg7, если a 4- 0 +
+ 7 = tt.
Докажите, что для углов любого треугольника АВС справед-
л 4 В С
либо равенство sin А 4- sin В + sin С = 4 cos у • cos -%  cos —.
Найдите величины а и 0 смежных углов параллелограмма, если
. (	0\	.(а Л 1
sinl a — - J +sin( - 0) = I.
Докажите, что если в треугольнике величины углов связаны со-
а п . 0	7
отношением cos = 2 sin cos %, то треугольник является рав-
нобедренным.
Найдите величину угла А треугольника, если:
а)	sin4 А = cos4 А 4- 0,5; б) sin3 А  cos А = 0,25 - cos3 А  sin А.
Найдите величины а и 0 смежных углов параллелограмма, если
sin a 4- sin 0 = \/2 • sin(a —/3).
90		Глава 4. Основы тригонометрии
1311.	В равнобедренном треугольнике АВС АВ = ВС. Найдите меры углов А и В, если^ a) cos А + V3 • cos В = 0;	б) х/2 • cos А + cos В — 1.
1312.	Найдите величины а и 0 острых углов прямоугольного тре. угольника, если cos а 4- sin(a — /3) = 1.
1313.	Найдите sin а и sin/З, где а и 0— острые углы треугольника 4	к АВС, если sin(a 4 0) = g и sin(a — 0) = .
1314.	Докажите, что треугольник, углы которого удовлетворяют ра- венству sin2 А 4 sin2 В 4 sin2 С = 2  (cos2 А + cos2 В 4 cos2 С), является прямоугольным.
1315.	В равнобедренном треугольнике с основанием а и боковой сторо- ной Ь угол при вершине равен 20°. Докажите, что а3 4- Ь3 — ЗаЬ2. Решите уравнения (1316—1319):
1316.	. sin3x + sin5x п	cos х — cos 5х _ а) —— — 0;	б)		= 0. '	coszx	1	'	sin 4#
1317.	, sin a: —sin Зх n	cos 2x4 cos 6х _ a) ,	_ .	0;	6)	0. sm(x+i-j	Cos(x-2j
1318.	a) sin2 4 2cost4 1 = 0;	6) cos2 t = cos 2т.
1319.	, 2 cos 5 ~ 3 cos x 4 1	2 sin2 x 4 3 4 5 cos 2x n a)	. x	—0;	o)	. t _	—0. sin J	'	sin x 4-1
1320.	Найдите все корни уравнения 2 sin Зх  cos х 4 2 cos 2х 4 1 = 0, принадлежащие промежутку [5; 6].
1321.	Найдите все корни уравнения cos т  cos 5т 4 cos 2т - | cos 6т = удовлетворяющие неравенству у/х 4- 2 4 х < 2.
1322.	Найдите все корни уравнения 2 sin • cos 4 sin 2х = 0, удовле- 3 творяющие неравенству 2	+ .
1323.	Решите системы: ( \/1 — cos 4т 4 у/2  cos 2т = 0,	( 2sinTrr4 tg =£ + 3 = 0, а) <		 	 б) <		2 ( V 12 -т — т2 \/т + 4;	[ т 1 + \/2т — 1.
1324.	Решите неравенства: a) sin 2тгт + tg 7гт < 0;	б) 2 cos2 т + cos2 2т 1.
Найдите область определения данной функции /(ж) (1325—1327):
1325. a) f(x) = y/cosx- sinT - у/— sin я;
б)	/(т) = Vcosz + sinrr + 2^/tgT.
	§ 2. Основные формулы тригонометрии	91
1326.	a) f(x) = \/9 - х2 - у/- cos х-, 	 б) /(х) — \/sin х — cos 2х — 2 4- V-x2 — 8х — 15.
1327.	«)/(*)-№ + «	6)/W-2^/X + y-igi.
Найдите значение данного числового выражения, где /(х) —данная
функция (1328—1334):
1328.	/(х) = sinхsin 2х - cosxcos2х;	/(v)
1329.	/(х) = cosх + cosЗх + cos5х + cos7х: З/^) -7/^^.
1330.	/(х) = sinх + sin5x + sin9x + sin 13x + sinl7x;	+/(^) _ -/(-?)•
1331.	c, .	(1 + cos2 X	\ .	\	Зтг Д®) = 4inr sinxl-tgx; /(x0), где Xo-- . . \	Dill »4z	у	-±
1332.	p f \ 		COS X	SIM X	л /	\	О7Г '"E' cosx 4- sin r cost — sin т ’	/ \3'0/>	x0 — c  LUo JL Dill X	tUo X — Dill X	О
1333.	/ 2соз22х-ч/З ып(4т + тг)-1	\-1	- /(®)=(	/	X	+1	;	/(хо), гдехо- ''2cos2(2x + ^l + x/3-sin4x— 1	'	12
1334.	f(x)~ cost cos2(x+tt); /(x0), где x0 - 8 .
Найдите множество значений данной функции f(x) (1335—1344):
1335. 1336.	a) /(x) = 3 - 2cosx + cos2x;	6) /(x) = 2sinx — cos2x. a) /(x) = 5 sin2 x — cos 2x;	6) /(x) = sin4 x + cos4 x.
1337.	a)	/(x) = 3cos(x+ -sin^x— 6)	/(x) = |sin(x+ 0 -sin^x-
1338.	a) /(x) = sin x + 2 cos x;	6) /(x) = 3 cos - 4 sin -.
1339.	a)	f(x) — \/3 + y/2 + 2cosx; 6)	/(x) = \/4 sin x cos x + 2 cos2 x - 2 sin2 x.
1340.	a) /(x) — sinx — cosx’	6) /(x)— 2 + |3sinx + 4cosx|'
1341. 1342. 1343.	a) /(x) = 2 sin2 x + 3 cos2 x;	6) /(x) = 2 sin2 x - 3 cos2 x. a)/(x)=5sin2x —2tgx-ctgx;	6) /(x) = (tg2x +1)• cos3x. a) /(x) = tg2x-4secx;	6) /(x) = tg2x+ tg2_ 1.
1344.	a) /(x)-2cos4x + cos22x;	6) /(x)- coga. .
92
Глава 4. Основы тригонометрии
Постройте графики следующих функций (1345—1356):
1345.	а) /(а) = cos2 а;	б) f(x) =	•
1	а.-
1346.	а)	/(а) = (sina + cosa)2;	б)	/(а) =	1 — 4sin2 х.
1347.	а)	/(а) = cos х — sinх;	б)	/(а) =	у/З • sin — cos
1348.	а)/(а) = \/2 —sina —cosa;	б)	/(a) =	|sina + y/3-cosx|.
1349.	а)/(a) = 2sin 7--— 2cos?;
б)	f(а:) = -а/З cos^x + (0 — sin(a +
\ г/ \ sin г + sin За:	с, , cosa + cos3a
1350.	а)/Н= sin2x ;	6)f(x) = |cos2a| •
cos (a+ ;
1351.	a)/(a) = |seca|—seca-sign(sina); 6)J(a) =—9f
1352.	a) /(a) = \/l + tg2 a:;
6)	/(a) = sin 2a- \/l + ctg2 x.
1353. a)/(a) = 4sina-sin3a + 2cos4a;
6)	/(a) = 2 sin fa — ?) + cosfa + 7Й + cosfa -
1354. a) f(x) = <
б) /(а;) = 
. х
-sing
2 — cos2 х
— 2 cos х
sin2 х — 2
при х > 0;
при х < 0,
1355. a) /(a) = sin2 x — 2 sin x — 3; 6)/(a) = cos 2a:+ 4 cos a; —5.
1356. a)/(a) = I sin2 a 4-2sin.t|;	6)/(a) = | cos2a - cosa| — cosa.
Укажите все значения параметра а, при каждом из которых
уравнение /(ж) = а имеет на данном промежутке хотя бы один
корень (1357—1359):
[-Ш
[-и
1357.
а)	/(а) = 2 sin а — 2 cos а;
б)	/(а) = у/З • cosa — | sina|;
1358. a)/(a) = sina-cosx + 3-|sin2a|;
б)/(а) = 2cos 1,5а cos0,5а;
§ 2. Основные формулы тригонометрии
93
1359. a)/(a;) = sin2a;-2(sina:4-cosa;);
б)	/(х) = 2 + sin 2х — sin х 4- cos х-
Гтг Зтг]
[4’ 4 ];
Г ТГ ТГ1
Г4; 4J'
Сравните данные числа а и Ь (1360—1361):
\	тг , . тг , 2тг , . 2тг
1360.	а) а = cos 5+sin jr,	o = cos-g-4-sm—;
ТГ . ТГ , Зтг . Зтг
б) а = cos у — sin у, o = cosyj-sin-y^-.
1361.	a) a =\/3-sin55°+ cos55°, b= \/3-sin65o + cos65°;
/п 17тг . 17тг ,	тг . 13тг
б)	а = v3 • cos —— - sm0 = - Vo  cos py 4-smp
Докажите, что на всей оси выполняется неравенство (1362—1365):
1362.	a) sin х  cos х 0,5;
1363.	a) sin2 х sin2 х  cos4 а:;
1364.	a) sin2 х  cos2 х $ 0,25;
1365.	a) cos4 х cos4 х  sin3 2х\
б) sin4 х 4- cos4 х 0,5.
б) cos4 х cos4 х  sin3 х.
б) sin6 х 4- cos6 х 0.25.
б) 4 sin2 х sin2 2х.
Докажите, что на интервале 0; -х ) выполняется неравенство
\	£ J
(1366—1368):
1366.	a) tg х + ctg х 2;	б) sin х + cosec х 2.
1367.	a) sin а; + cosa: >1;	б) sec2 х + cosec2 х 4.
1368.	a) tg2 х + ctg2 х 4; б) tg2 х 4- ctg2 х 4- sec2 х 4- cosec2 х 6.
1369.	Докажите, что на интервале (0; тг) выполняется неравенство
sin 2а < 2 sin а.
1370.	Докажите, что при а€ (О; и /Зе (о: 5) выполняется нера-
венство cos(a — /?) < cos а 4- sin 13.
1371.	Докажите, что при ^0: у-) и /3 G (О; у-) выполняется нера-
венство tg(ce 4- /3) > tg а 4- tg /3.
1372.	Докажите, что значение выражения \/4cos4a — 6cos2a4-3 4-
+ v4sin4 a + 6cos2a + 3 не зависит от a.
1373.	Докажите тождество:
а 4-
а) cos За = 4 cos a cos (^
б) sin a sin (а 4- х) sin
Глава 5
Числовые функции натурального аргумента
§1. Последовательности. Арифметическая
и геометрическая прогрессии
Последовательность (ап) задана формулой общего члена. Найдите
at при указанных значениях k (1374—1391):
1374.	а„ = Зп - 8;		a) k = 2,	6) fc = 5,	в) к = т + 1.
1375.	ап = 5 — 2п;		a) к = 1,	6) k = 7,	в) к — 21 — 1.
1376.	2п — 1 а”~ п +1 ’		a) fc = 3,	6) A = 9,	в) к = 2п.
1377.	ап = п2 — 2п — 1;		a) A = 2,	6) A = 5,	в) A=3m—1.
1378.	ап = 2” - Зп;		a) к = 1,	6) A = 3,	в) к = п + 2.
1379.	ап=32п-1—5п;		a) A = 2,	6) A: = 3,	в) к = 21.
1380.	ап = 2-п — (—1)3п+1	»	a) fc=l,	6) fc = 4,	в) к = 2п+ 1.
1381.	°п = sin 2п;		a) A = 2,	6) fc = 3,	в) к = т + 2.
1382.	тг(2п — 1) ап = 2п  cos	g	;		a) k = 1,	6) k = 2,	в) к = п+ 2.
1383.	ап = |3п2 — п4 — 1|;		a) k = 2,	6) fc = 3,	в) А: = 31.
1384.	ап = |2п —4| —|2п —16|;		a) к = 2,	6) A = 3,	в) к = 2т— 1.
1385.	|3п— 171 — 1 “ |4п — 17| + Г		a) A = 3,	6) A = 6,	в) к = 2п + 5.
1386.	7ГП I 7ГП I ап = sm— • cos-у		a) к = 2,	6) A = 5,	в) А: = 3/.
1387.	7ГП I . 7ГП| ап = cos -у • sm —		a) к = 6,	б) к = 18,	в) к = 2/4-1.
1388.	ГЗп —111 ап - [ 5 ],		a) fc = 3,	б) к = 14,	в) fc = 5n + 2.
1389.	( 17 —3п1 5		a) к = 2,	б) k = 7,	в) А = Зп + 4.
1390.	О 3 II со 1 to 1 -4| 3 + 1 WI3	h	a) fc = 3,	б) к = 10,	в) к = 21/.
1391.	ed + Sib- il е в		a) к = 6,	б) к = 13,	в) к = 7п - 1.
§ 1. Последовательности
95
	Последовательность (<	тп) задана формулой общего члена.	
	Найдите следующие выражения (1392—1402):		
1392.	ап = 2 - Зп;	a) a2fc - a*;	6) ' an
1393.	ап = 2п2 — 1;	a) an+i	6) ^2m
1394.	(-1)" ап~ п ’ ап = 2-3’*-1;	Я.) (I471 ”1” ’ @ '2п • к Gn+1+ Gn-1 a)	2	6) 2^. On+l
1395.			в) y^n+l’^n-b
1396.	ап = 22п+3 -3-5”;	a) a2n+i + 5  an-i;	6) ' ak
1397.		Зп1 а”_ 5п + 2’	G-n+l “ ^n—li	6)
1398.	+ Si-? II с	a) O-4n4-l	&4n>	6)	+a4jt + O4fc+i.
1399.	ап = (-1)"а-2п4-(-1)	a) a2jt • a2k+i;	6) a<- + afc+2 + ajt+4
1400.	ГЗп—11 Гп1 4 J [б]’	a) a4k — авь;	6) 2fc-ai2fc.
1401.	7ГП — sin >	а) азк + О'бк-	6) Обп—1 ’®6n4-l*
1402.	. 7Г ап = sm 7—; 4п’	a) —; ' 0.2k	6) (an + a2n): sin
Являются ли данные числа членами последовательности (Ьп),
определенной формулой общего члена? Если являются, то укажите
соответствующие значения п (1403—1408):
1403.	Ь„=17-Зп; а)-16; б)-123.
, .п. к	2n- 1	, 21	69
1404.	Ьп-3п + 1; а) 34; б) 107-
1405.	Ь„=п2-п-6; а) 100; 6) 924.
1406.	Ьп = {^}; а)|; б)
1407.	bn = cos -2-	; а) 0; б) — |.
1408.	bn=sin^p; а)-1; б) —^.
Найдите все члены последовательности (Ьп), определенной
формулой общего члена, для которых выполняется данное
неравенство (1409—1417):
1409.	Ьп = 1,5 —?; Ьп^0.
О
96
Глава 5. Числовые функции натурального аргумента
1410.	Ьп=п2-Ъп\ Ъп<4.
1411.	Ьп = 2п2 + п; |6п —5|$3.
1«2- =	М>0’5'
i«’- =	HI»1'
1414. bn = |3n - 7| - n; bn < 3.
1415. bn=|n2-2n-3|; Ьп^З.
1416. 6„ = |n-2| + |n-5|; bn<4.
1417. 6^ = n2 + 3 (-l)” n; |i>„-5|<7.
Последовательность (cn) задана формулой общего члена.
Определите количество членов этой последовательности,
удовлетворяющих данному условию (1418—1429):
1418.	Зп — 119 Сп -	5	|х - 0,(6)| 2.
1419.	с„ = Зп + 8:	х G [200; 800].
1420.	_ Зп - И С” ~ 5п — 8 ’	|х — 0,6| > 0,5.
1421.	Сп =п2 - 5п — 1;	|х- 5|^12.
1422.	Сп = 35 — 4п;	® 6 ©(/), где f(x) - х 3 .
1423.	(~1)"+9 Сп~ 10п —9 ’	те (0,02; 0,22).
1424.	_|15-7п[. ^”1 31 Г	|а7|<3.
1425.	Сп = |3п- 16|;	х е Е(/), где /(х) = -2х2 + Зх + 7.
1426.	. 7ГП сп = sin -у;	х G {-1; 0}, если п 90.
1427.	Сд = 71 - 4п;	x = 3(mod5), если 100.
1428.	Сп = 2п2 + п - 3:	х = 4 (mod 7), если п — трехзначное число.
1429.	сп = {2 cos	х е Z, если п — двузначное число.
Укажите наименьший из номеров членов последовательности (Сп),
определенной формулой общего члена, для которых выполняется
данное условие (1430—1436):
1430. сп = Зп-7:	я >100.
1431. Сп = п2 фЗп-20; |х-5|>27.

§ 1. Последовательности
97
1432.	c,i = 13n + 4;	x = ll(mod23).
1433.	2n + 3 Cn ~ 4n +1 ’	1® - 0,5| <0,1.
1434.	100л cn.-sin n2 + 1,	x >0,5.
1435.	Cn = |n - 2| - 2n;	|x| > 20.
1436.		3n 4~ 7 “ 5 - 2n ’	|2z + 3| ^0,(3).
Найдите первые пять членов последовательности (ап), заданной
рекуррентным способом (1437—1459):
1437.	aj =—1;	яп+1 = — 2 + an.
1438.	(ii — 2:	1 =	3u^.
1439.	di= 3*,	— 2an.
1440.	ai=5;	an+1=-^.
1441.	ci] “ 3.	i 5ti„ — t•
1442. ai=0,5; a„-an+i=4.
, . .„	2	_ 2 + an-i
1443.	ai--3; а«-1 + ап_1-
1444.	Q-i = I, fl-n =	3 • dn—1
1445.	(z ]	1.	— dfi * sin •
1446.	ai = l; an+i =sin(^yL).
1447• G-i — 2 i ^n+i = 3 (Ln • 2 .
1448.	ai = 4; an+] = p-y22] -	•
1449.	ai=2; an = {^^}-{j}.
1450.	ai = -0,8(3); an = p3^] - {^}.
1451.	Oj = 2; G2 = 1?	^n4-2 =
1452.	ai = —1; 0,2 = 2*5	^n+2 = 3 * 2n fln+i
1453.	czj = 3; o>2 = 2j (in-^-2 ~ l^n+i ~Ь ®л| 2ctn*
1 О	an+14-вл
1454.	ai=—l:a2 = 3:	an+2 =-----•
1455.	Q-j = 4j fl2 =	Qtj,-{.2 = у/G-n-f-1 ’ (Ln^
i jrz»	о	i	2an+iOn
1456.	ai=2;a2 = l; an+2 = On+1 +
I
98
Глава 5. Числовые функции натурального аргумента
1457. ai — 1, а 2 — 2, 0.3 — 0,	а,,4-3 — 5а,,4-2 ®п+1 2ап.
1458. О1 — I, 02 — Г <23 — 1.	®n+3 — ^^n+2 + 3(2n-Fl
1459. aj = 1; «2 = 1; 03 — 2;	0,14.3 = a-n+2 + tin+i • an-
Последовательность (an) является арифметической прогрессией.
Найдите формулу ее общего члена, если (1460—1467):
1460.	а) aj = —3, d=0,5;	б)	aj =2, d= — 0,5.
1461.	а) ai = — 5, а? = — 7;	б)	ai =4, ag - 18.
1462.	а) ад = 2, as = -18;	б)	аз - — 5, 09 = 4.
1463.	а) аз = у/2, сю = 8\/2;	б)	а$ = >/3, ag = — 5\/3.
1464.	а) о6 = 2-(2Л+1), d=v/3;	б) о8 = 3-5\/2, d= 1 - \/2.
1465.	а) 04 = 6 + 2, оц = 86 + 9;	б) 05 = 3 — 2a, 012 = 10 + 5a.
1466.	0.3 + 05 = 10;	07 + Oio = 28.
1467.	2о4-оо = -2,5; a5 + 3ag = —31.
Найдите значения х, при которых данные три числа являются
последовательными членами некоторой арифметической прогрессии
(1468—1472):
1468.	Зх;	2х-1.
1469.	Зх2; 2; Их.
1470.	|х+1|; Зх; х2 -17.
1471.	[х];	2{х} + 1; х.
1472.	|х —2|; Зх-4; |2х + 1|.
1473.	Число —173 является членом арифметической прогрессии 44,
37, 30, ... Найдите номер этого члена.
1474.	Число 52 является членом арифметической прогрессии —23,
—20, —17, ... Найдите номер этого члена.
1475.	Число 725 является членом арифметической прогрессии, в ко-
торой аг = И, 04 = 25. Найдите номер этого члена.
1476.	Пусть (an) арифметическая прогрессия, в которой а8 = —7,
аю = 3. Найдите а0  ai 1.
1477.	Пусть (ап)—арифметическая прогрессия, в которой an = 2,
an = —5- Найдите 16а8 - оц.
1478.	Между числами —5 и 10 вставить число так, чтобы получилось
три последовательных члена арифметической прогрессии.
§ 1. Последовательности
99
1479.	Между числами —6 и 8 вставить два числа так, чтобы получи-
лось четыре последовательных члена арифметической прогрес-
сии.
1480.	Между числами -15,5 и —13,1 вставлено пять чисел таким об-
разом, что получилось семь последовательных членов ариф-
метической прогрессии. Является ли разность этой прогрессии
1х|
решением неравенства	— 2?
1481.	Могут ли числа 2, у/З и —1 быть членами одной арифметиче-
ской прогрессии?
1482.	При каком значении разности арифметической прогрессии,
восьмой член которой равен 3, произведение пятого и десятого
членов будет наибольшим?
1483.	В арифметической прогрессии четвертый член равен 4. При
каком значении разности этой прогрессии сумма попарных про-
изведений первых трех членов прогрессии будет наименьшей?
1484.	Пятый и двадцатый члены некоторой арифметической прогрес-
сии являются соответственно тридцатым и двадцать пятым чле-
нами другой арифметической прогрессии. Найдите отношение
разности первой прогрессии к разности второй прогрессии.
1485.	Докажите, что произведение любых четырех натуральных чи-
сел, являющихся последовательными членами арифметической
прогрессии, сложенное с четвертой степенью разности этой про-
грессии, есть полный квадрат.
1486.	Найдите общий член убывающей арифметической прогрессии,
в которой сумма первых трех членов равна 27, а сумма их
квадратов равна 275.
1487.	Дано п положительных последовательных членов некоторой
арифметической прогрессии (ап), разность которой равна d.
Упростите выражение:
записав ответ через: a) ai, d, п; б) а], ап, п.
1488.	Тройки различных чисел х, у, z и х, Зу, 6г образуют в указан-
ном порядке арифметические прогрессии. При каком значении р
числа х, ру. llz также образуют арифметическую прогрессию?
1489.	Докажите, что последовательность, общий член которой равен
ап = 5 — 2п, является арифметической прогрессией.
100
Глава 5. Числовые функции натурального аргумента
1490.	Докажите, что общие члены двух арифметических прогрессий
— 17, —13, ... и —15, —12, ... образуют арифметическую про-
грессию и найдите десятый член этой прогрессии.
1491.	Найдите наибольшее трехзначиое число, принадлежащее двум
арифметическим прогрессиям: —25, —13, ... и —37, —19, ...
1492.	В арифметической прогрессии 3, 6, 9, ... содержится 463 члена,
в арифметической прогрессии 2, 6, 10, ... содержится 351 член.
Сколько одинаковых членов содержится в этих прогрессиях?
1493.	Найдите сумму первых двадцати членов арифметической про-
грессии (ап), если аг = —1, as = —19.
1494.	Найдите сумму первых тринадцати членов арифметической
прогрессии (ап), в которой а? = 4,5.
1495.	В арифметической прогрессии (ап) аз =5 и Sis=300. Найдите
04 + 05 + Об + ••• 4* 020-
1496.	В арифметической прогрессии (an) S12 = —72 и S15 = —135. Най-
дите О5 + О8 + Оц + • • • + 023-
1497.	Сумма Sn первых п членов некоторой последовательности (ап)
при любом п равна 2п2 + Зп. Докажите, что (ап) является ариф-
метической прогрессией и найдите формулу ее общего члена.
1498.	Докажите, что если в арифметической прогрессии Sn = Sm
(n^m), то Sn+m = 0.
1499.	В арифметической прогрессии (ап) известно, что S8 — 32 и
S20 = 200. Найдите <115.
1500. В арифметической прогрессии (ап) известно, что S15 = 20
и $20 = 15- Найдите S35.
1501.	Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые при делении
на 13 дают остаток 5.
1502.	Найдите сумму всех двузначных чисел х. которые удовлетворя-
ют сравнению 6т = 4(mod 14).
1503.	Найдите все значения х, при которых числа |т — 4|, х — 1
и 9 — Зт. расположенные в некотором порядке, образуют ариф-
метическую прогрессию, разность которой больше 2.
1504.	Найдите число х < —20, если известно, что оно является седь-
мым членом некоторой бесконечной арифметической прогрес-
сии, сумма первых семнадцати членов которой равна 51, и число
—6т также является членом этой прогрессии.
1505.	Известно, что ai и а? — корни уравнения т2 — 5т + тп = О
(ai < аг); аз и ад — корни уравнения т2 — 9т + п = 0 (аз < ад).
§ 1. Последовательности
101
И числа ai, аг, аз, й4 в указанном порядке образуют арифме-
тическую прогрессию. Найдите т и п.
1506.	В арифметической прогрессии, разность которой отлична от
нуля, сумма первых Зп членов (при некотором п) равна сумме
следующих п членов. Найдите отношение суммы первых 2п
членов к сумме следующих 2п членов.
1507.	Числа |, |, | являются членами арифметической прогрессии
с возрастающими номерами. Какое наибольшее значение может
принимать разность прогрессии?
1508.	Углы выпуклого многоугольника образуют арифметическую
прогрессию: а, 2а,... Найдите значение а для такого
многоугольника с наибольшим возможным числом сторон.
1509.	Треугольник, длины сторон которого образуют арифметиче-
скую прогрессию с разностью 1, вписан в окружность радиуса 2.
Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник.
Последовательность (Ьп) является геометрической прогрессией.
Найдите формулу ее общего члена, если (1510—1514):
1510.	a) bi = -2, q=\~,	б) 51 = 2, д = -|.
1511.	а) Ь2 = 3, q = 9;	б) Ь3 = 4, д = |.
1512.	а) Ьз = 8, Ьв = 64;	б) Ь2 = |, Ь5 = -9.
1513.	64 = 48, Ь2:Ь5 = 0,125,	
1514. д3 = —15,	56 = 954.
Найдите значения х, при которых данные три числа являются
последовательными членами геометрической прогрессии
(1515—1516):
1515.	2х; х-8; х — 2.
1516.	х — 5; — 2х\	—а: —15.
1517.	Число 128 является членом геометрической прогрессии -1, 2, ...
Найдите номер этого члена.
1518.	Число 32\/2 является членом геометрической прогрессии 2,
2х/2, ... Найдите номер этого члена.
1519.	Между числами 4 и 9 вставьте положительное число так, чтобы
получилось три последовательных члена геометрической про-
грессии.
102
Глава 5. Числовые функции натурального аргумента
1520.	Найдите числа х и у такие, что числа —1, х, у, 8 в указанном
порядке являются последовательными членами некоторой гео-
метрической прогрессии.
1521.	Докажите, что последовательность (хп), общий член которой
равен 5 • 23п-1, является геометрической прогрессией.
1522.	Найдите сумму первых восьми членов геометрической прогрес-
сии (6П), если Ьг — —0,5, t>5 =4.
1523.	Найдите сумму 243 + 81 + ... + если ее слагаемые являются
членами геометрической прогрессии.
1524.	Найдите пятый член геометрической прогрессии, в которой q = 3
и Ss = 484.
1525.	Найдите четыре числа, составляющих геометрическую прогрес-
сию, в которой сумма крайних членов равна 27 и произведение
средних членов равно 72.
1526.	Число членов геометрической прогрессии четно. Сумма всех ее
членов в три раза больше суммы членов, стоящих на нечетных
местах. Найдите знаменатель прогрессии.
1527.	Сумма п первых членов последовательности (хп) равна 2П — 1.
Докажите, что эта последовательность является геометриче-
ской прогрессией.
1528.	Первый член геометрической прогрессии (6„) равен единице.,]
При каком значении знаменателя прогрессии величина 4&г + 5&з
имеет наименьшее значение?
1529.	Пусть /(х) = 8х - х2, <?(х) = 72х -х2; Xi, хг — корни уравнения
/(х) = а; Хг, Х4 —корни уравнения д(х) = Ь. Найдите а: Ь, если:
Xi, хг, хз, Х4 образуют геометрическую прогрессию.
1530.	Числа а, Ь. 12 образуют арифметическую прогрессию: числа
За — 2, Ь + 5, 36 образуют геометрическую прогрессию. Найдите-
а и Ь.
1531.	Три числа, сумма которых равна 93, составляют геометриче-
скую прогрессию. Эти же числа можно рассматривать соответ-
ственно как первый, второй и седьмой члены арифметической
прогрессии. Найдите эти числа.
1532.	Три числа, сумма которых равна 15, составляют арифметиче-J
скую прогрессию. Если к ним прибавить соответственно 1, 4
и 19, то получатся числа, составляющие геометрическую про*
грессию. Найдите эти числа.
§ 1. Последовательности
103
1533.	Найдите четыре числа, из которых первые три составляют гео-
метрическую прогрессию, а последние три — арифметическую
прогрессию. Сумма крайних равна 14, а сумма средних равна 12.
1534.	Положительные числа х + у, Зх + у, 2х + 2у образуют арифме-
тическую прогрессию. Числа (у —х)2, ху + 5, (у + 1)2 образуют
геометрическую прогрессию. Найдите х и у.
1535.	Второй, первый и третий члены арифметической прогрессии,
разность которой отлична от нуля, образуют в указанном по-
рядке геометрическую прогрессию. Найдите ее знаменатель.
1536.	Три различных числа х. у, z образуют геометрическую прогрес-
сию, а числа х + у, y + z, z + x образуют в указанном порядке
арифметическую прогрессию. Найдите знаменатель геометри-
ческой прогрессии.
1537.	Найдите сумму первых п членов последовательности (ап), кото-
рая определена следующими условиями: ах = —1, an_|_i =ап+2.
1538.	Три числа составляют геометрическую прогрессию. Если из них
третий член уменьшить на 64, то полученные три числа со-
ставляют арифметическую прогрессию. Если затем второй член
этой арифметической прогрессии уменьшить на 8, то получится
геометрическая прогрессия. Найдите эти числа.
1539.	Найдите сумму первых десяти членов последовательности (an),
1	о
которая определена условиями: ai = х, an+i — 2ап.
1540.	Найдите трехзначное число, если его цифры образуют геомет-
рическую прогрессию, а цифры числа, меньшего на 400 — ариф-
метическую (порядок цифр сохраняется).
1541.	Числовая геометрическая прогрессия состоит из четырех чле-
нов. После умножения ее третьего члена на некоторое число х,
отличное от единицы, она превратилась в арифметическую про-
грессию (порядок членов сохраняется). Найдите значение х.
1542.	Три различных числа а, Ь, с, наименьшее из которых равно —6,
в указанном порядке образуют арифметическую прогрессию.
Найдите эти числа, если известно, что некоторой перестановкой
ее членов она превращается в геометрическую прогрессию.
1543.	Зная сумму Sn первых п членов геометрической прогрессии
и сумму S’n обратных величин этих членов, найдите произве-
дение первых п членов прогрессии.
104 Глава 5. Числовые функции натурального аргумента
Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии
(Ьп), если (1544—1545):
1544.	а) е=|, Ь3 = |;	б) q = -Ь4 =
1545.	a) b3 = -|, Ьв=-^;	б) Ь2 = -3, Ь6 =
1546.	Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии рав-
на 4, а сумма кубов ее членов равна 192. Найдите третий член
этой прогрессии.
1547.	Сумма S бесконечно убывающей геометрической прогрессии на
2 больше суммы первых трех членов этой прогрессии. Сумма
первых шести членов равна 3. Найдите S.
1548.	Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрес-
ти 2
сии: уЗ. —=----, ...
х/3 + 1
1549.	Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии рав-
на 9, а сумма квадратов ее членов равна 40,5. Найдите сумму
кубов членов этой прогрессии.
1550.	Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрес-
сии, если известно, что сумма квадратов первых пятнадцати ее
членов равна сумме первых тридцати ее членов, а сумма кубов
первых пятнадцати ее членов в три раза меньше суммы первых
сорока пяти ее членов.
1551.	Решите уравнения:
а)
г- , , 1	1 ,	16
в) 1251-1»-21+1х-213-- • 25_1*“21 = 5.
1552.	Суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий с
первыми членами 1 и 2 и знаменателями соответственно р и q
равны соответственно 3 и 10. Найдите сумму бесконечно убыва-
ющей геометрической прогрессии с первым членом 3 и знаме-
нателем pq.
1553.	Найдите все значения параметра а, при которых множество
решений неравенства х{х — 2) (а + 1)(|т - 1| - 1) содержит все
члены некоторой бесконечно убывающей геометрической про-
грессии с первым членом, равным 1,7, и положительным знаме-
нателем.
§ 2. Возвратные последовательности. Суммирование
105
§ 2.	Возвратные последовательности. Суммирование
Найдите формулу общего члена последовательности (хп), если
(1554—1573):
1554.	Xi = — 1, хг = —13; xn+2 = 5xn+i — 4хп.
1555.	#1 =10, £2 = 4; жп+2 = 4;еп.
1556.	Xi =9, Х2 = 3; 2хп+г = xn+i + хп.
1557.	xi =0, х2 = 14, хз = 18; хп+з = 2хп+2 Ч- xn+i - 2хп.
1558.	zi =9, Х2 = 3, хз = 45; хп+з = 2хп+г + 5xn+i - 6хп.
1559.	Xi = -9, Х2 — -9; xn+2 = 6xn+i - 9хп.
1560.	®i = —®2 = 0; 4®п+2 = —4®п+1 — ®п.
1561.	xi — -6, Х2 = 36, хз = -136; хп+з = -6хп+2 - 12xn+i - 8хп.
1562.	xi = -8, Х2 = 14, хз = 76; хп+з = 5хп+2 - 3xn+i - 9хп.
1563.	= 3, X2 = 22, хз = 61, 2:4 = 180;
®п+4 = 2Тп+3 Ч" 3:Еп+2 ~ 4®п+1 4хп.
1564.	®i = 3, Х2 = 2, хз = 27, ®4 = 40:
Хп+4 — ЗХц-|-3 Ч" ЗХп+2 US'n-f-l Ч- бхп.
1565.	= -4, ®2 = 12,	=96; хп+з = 6Хп+2 - 12xn+i Ч-8хп.
1566.	Xi = —2; xn+i =2х„ - 1.
1567.	=3; ®n+i = 3®пЧ-2пЧ-1.
1568.	Xj = 1, Х2 = -1; Хп+2 = 5®п+1 - 6хп — 1.
1569.	= -2; хп+1 Ч-2хп = 3(-2)п.
1570.	®i = 0, ®2 = 4; ®п+2 = 4®п Ч-п • 2П.
1571.	= 14, Х2 — 42; хп+2 = 3,5x„+i - 1,5хп - 4п - 6 Ч- 7,5 • Зп.
1572.	art = 2, ®2 = —2, ®з = 0; хп+з = 3zn+i Ч- 2хп ч- 4п - 3.
1573.	X] = —2, ®2 = 0; хп+2 Ч-®п+1 - 2хп = п2 Ч- 5 • Зп.
Найдите общее решение возвратного уравнения (1574—1578):
1574.	2х,,-|-з = 3x714-2 Ч" 11®п+1 бхд.
1575.	хп+4 = -2хп+з Ч- Зхп+2 Ч- 4xn+i - 4хп.
1576.	хп+2 = 2xn+i - хп Ч- Зп - 1.
1577.	xn+2 = 3xn+i - 2хп Ч- 2п+2 Ч- Зп.
1578.	хп+з = Зхп+2 - 4хп Ч- (Зп - 1)2п Ч- п2.
1579.	Найдите общий член последовательности (х„), определенной
следующим образом: Xi = 2; если п — четное, то хп+1 = 2хп Ч- 3;
если п — нечетное, то xn+i = 2хп Ч- 5.
106 Глава 5. Числовые функции натурального аргумента
1580.	Найдите общий член последовательности 3, 5, 10, 18, ..., в кото-
рой разности жп+1 -хп образуют арифметическую прогрессию
с разностью 3.
Найдите какую-либо суммирующую функцию для
последовательности (ап) с данным общим членом (1581—1586):
1581.	а)	ап = 2п + 3;	б)	ап — -Зп +1.
1582.	а)	ап = 2п2 + п;	б)	an =п2 — Зп — 2.
1583.	а)	ап — п • 2П;	б)	ап = (2п - 1) • 3~п.
1584.	а)	an = 3-5n+1;	б)	ап = 2 -Зп -5 -3-п
1585.	а)	1	б)	4
		ап~п3 + 2п'		— п2+Зп + 2‘
1586.	а)	_ 2п2 + 2п — 1 п* 4- п	б)	п2 — 4п — 6
				ап~ п2 + 2п •
Найдите суммирующую функцию f (п) для последовательности (а„)
с данным общим членом, удовлетворяющую поставленному условию
(1587—1591):
1587.	а)	а„=Зп + 5; /(2)=0:	б)	ап = -±п + 2; /(!) = —2.
1588.	а)	ап=п2 — 2п— 1; /(1)=3;	б)	ап=4п2 + п; /(3) = -4.
1589.	а)	ап = 3-2п; /(1),= 0;	б)	ап = 1 —2-Зп; /(2) = —1.
1590.	а)	ап=(Зп+2)-4п; /(1) = 5;	б)	а„ = п-2-п-3; /(1) = 0.
1591.	а)	ап = -^—; /(1) = 1; п2 + п ’ J v ‘	'	б)	а”-п2 + 2п’ A1)” L
Последовательность (ап) задана формулой общего члена.
Найдите а*. (1592—1598):
fc=i
1592.	a)	1 an ~ 4n2 -1 ’	6)	2
				n2 + 3n + 2’
1593.	a)	an = n2 + 3n;	6)	an =n2 — 5n — 1.
1594.	a)	an = (2n - I)2;	6)	an = 3n2 — 2n.
1595.	a)	ап = (2п — I)3;	6)	an = n(n+ l)(n-f-
1596.	a)	an = n • 2_";	6)	an = n  3n.
1597.	a)	an = (n- 1) • 5n;	6)	an = (2n + l) -2n.
1598.	a)	an=n2•3-n;	6)	an = n  2n+1.
§ 3. Метод математической индукции
107
Е (2fc + 3)2.
fc=-3
ш+2	2
F + 7fc + 12‘
2m
E (2fc-l)-3A\
E (23-fc —l)-fc.
k=-2
Найдите следующие суммы (1599—1602):
1599. a) f^(3fc-l)2;	б)
fc=3
30	,
1600.	б)
п+1
1601. а) Е fc-2fc;	б)
к=3
10
1602. а) £ (6 —fc)-2_fc;	б)
fc=-5
п+2
1603. Найдите Е где последовательность (un) определена следу-
fc=i
ющим образом: щ = —2, «2 = 1, пп+2 = 6un — un+i-
Fl
1604.	Найдите E а*и гДе последовательность (an) определена следу-
fc=i
ющим образом: aj. = 2, аг = 8, ап+г — 2an+i — ап + 4.
1605.	Последовательность (х„) определена следующим образом:
Х1 = 2, х? = -22, жп+2 = 4rcn+i — Зяп - 3 • 2П.
а)	Найдите формулу общего члена данной последовательности.
п
б)	Найдите Е хк-
к=1
в)	Найдите остаток от деления гсгоод на 13.
1606. Найдите остаток от деления числа (2 + \/5)1996 + (2 - х/5)1996
на 5.
1607. Найдите остаток от деления числа (3 — %/7)2004 + (3 + \/7)2004
на 7.
1608.	Найдите остаток от деления числа /2004 Фибоначчи на 17.
1609.	Докажите, что существует число Фибоначчи, оканчивающееся
на: а) 0001; б) 9999.
§ 3. Метод математической индукции
Докажите, что при любом натуральном п справедливо данное
равенство (1610—1640):
1610.	1 • 4 + 2 • 7 4- 3 • 10 +... + п • (Зп + 1) = п • (n + I)2.
.	.	71(71 + 1)(п 4* 2)
1611.	1-2 + 2- 3 + 3- 4 + ... + п- (п+1) = —-.
о
108
Глава 5. Числовые функции натурального аргумента
1612.	12 + 22 + ... + п2= П^П+1^2п+1\
6
1613.	i3 + 23 + ... + n3=(2(!Ltl))2.
1614.	0 • l2 4-1 • 22 4- 2 • З2 4-... 4- (n - 1) • n2 = n(n2-*)(3w + 2)
1615.	т—= 4- у-о 4-... 4--*	. = —г'
‘•о n-(n + l) n4-l
1616.	—1----1______L_ ।	_|_____1_______ 1 . f1________1
1-2-3	2.3-4	"• n(n+ l)(n 4- 2)	2 \2	(n4-l)(n4-2)
1617.	f| = 2-^P.
fc=i 2	z
1618 У' Д-4 — n^n l)(2n ~l~ l)(3n2 4~ 3n — 1)
fc=l	30
1619. E W = 21-"4-2(n-l).
fc=i 2
1620 Г ______________1___________= n(n + 2)
(2* - 1)(2* + l)(2fc + 3)	3(2n + l)(2n + 3) '
1621. £ (-if"1  fc2 = (-If1  --*.
fc=i	2
1622. £ fc(fc4-l)(*4-2) = in(n4-l)(n4-2)(n4-3).
k=l	4
n	1
V"* _______-______
fct'j (3fc-2)(3fc+l)	“Зп+Г
1624. V ----------—------—	n(n + l)
fc=i (2fc-l)(2A;+l)	2(2n+l)'
1625 Г (2fc- l)(2fc4-5) _ n(6n4-l)
fc=i (2fc4-l)(2k + 3)	3(2714-3)'
1626 V ——+ 1	pfc-i — 2П	1
fct'i (fc + 2)(fc + 3) Z “ n + 3 3'
1627.	f; (2fc 4-1) • 2fc-x • fc! = 2” • (n 4-1)! - 1.
*=i
1628.	f А.(/г + 1)!==(2+Д_2.
1629.	£ (fc 4-2) • 2A’= (n4-1) • 2n+1 - 2.
fc=i
§ 3. Метод математической индукции
109
1630.
V1 2fc~1 _ _ п + 2
3fc “1 3n+1 
1631. £ (fc + l)(3fc - 1) • 4fc-' = (n +1)2 • 4n+1.
fc=l
1632.
1633.
1634.
1635.
1636.
(n + 1)! (n + 2)! (n + m)! (n + m + 1)!
n! + “IT" + ~2!~ + • • •+ ~= rn!(n+l)
n! x n! (
sin 2“ . sin <n+1>°1
52sin(fc-a;)=	2gina 2
fc=l	Sln 2
n	sin^l.cos(2±l)2
52 cos(fc • a) =----------------
fc=l	Sln 2
—+ —
2!	3!
52 sin(2fc — 1) • a
----------------=tg(na).
52 cos(2fc — 1)  a
k=l
(meN).
n — 1
1637.
n	sin(n  a) — 2n sin +  cos
52 fc • sin(fc  a) =
fc=i
1638‘ £ (2fc)3 - 2fc n+1 + n + 2 +--'+ 2n 2п + Г
1640. fl• (1-s') ••••• (l-Л) =	(™>2)-
\	4 / \	9/	\	n2/ 2n 4	'
Докажите, что при всех натуральных п выполняется неравенство
(1641—1644):
1641. а)4п>2п + 1;	б)3">п + 2.
1642. а)Зп>п2 + 1;	б)1+2п^п2.
1643. а)5п>Зп + 2;	б)5п>7п-3.
1644. а) 3" 2" + п;	б) 4П 2П + 2п.
Докажите, что при всех натуральных п таких, что п по,
выполняется данное неравенство (1645—1650):
1645. 2п>2п+1; п0=3.
1646. 4”>3П + 2П;	п0 = 2.
1647. 2п~1>п(п+1); по = 7.
по
Глава 5. Числовые функции натурального аргумента
1648. 5П>3П + 4П; п0 = 2.
1649. 2" > п3; по = 10.
1650. Зп тг2 + 3?г + 9; по —3.
При каких целых п выполняется данное неравенство? (1651—1653):
1651. 4п>Зп+1+п.
1652. 4”-1>Зп + 2п.
1653. 4п~1+4п^Зп.
1654.	Докажите, что при всех натуральных п
_J_ + _L_+ +^->1
п+1 п + 2 зп+1 ь
1655.	Докажите, что для любых положительных чисел а и Ь и нату-
ральном п выполняется неравенство: 2п~1 • (а" + 6П) (а + Ь)п.
1656.	Докажите, что при всех натуральных п
\/п 5$ 14—7= 4—7= 4~ ... 4—т= < 2 у/п.
V2 V3	у/п v
1657.	Докажите, что при всех натуральных п
1.3 5	2n-1	1
2 ’ 4 ‘ 6	2п " ^/Зп + 1 ’
1658.	Докажите, что при всех натуральных п, где п > 1, справедливо
неравенство: у<1 + | + | + ... +	<п.
Докажите, что при всех натуральных п справедливо данное
утверждение (1659—1664):
1659.	7" + Зп. — 1 кратно 9.
1660. 5  23л"2 + З3”"1 кратно 19.
1661.	22”-1 — 9п2 + 21п — 14 кратно 27.
1662.	32л — 8п — 1 кратно 16.
1663.	6п+1 + 72л~1 кратно 43.
1664.	23" + 1 кратно Зл+1 и не кратно Зп+2.
Последовательность (ап) задана рекуррентно следующими
условиями. Докажите, что общий член этой последовательности
имеет указанный вид (1665—1671):
1665.	ai = —4; а,2 = -2; ап+2 = 5 • an+i - 6an; ап = 2 • Зп - 5  2”.
§ 3. Метод математической индукции
111
1666.	а\ = 7; «2 = 17; «п+2 = 7 -an+i - 10ап; ап = 3 • 2П 4- 5”' *.
1667.	ai = —11; аг = 13; «п+2 — ~ап+1 + 2ап; «п = (—2)п+2 — 3.
1668.	«1	1. «2	7, «з — 27, «п+3 — 6 * «п+2	11^п+1 4“ 6 ’ «т
ага = 4-3"-1 — 2п —1.
1669.	«1 = 7; а2 = 27; «3 = 85; ап+з = 6 • ап+2 - 5ап+1 - 12 • ап;
ап = 22п-1 + (-1)п + 2-Зп.
1670.	«1 = 3; «2=6; ап+2 — 3  а„+1 + 2  ап = -1; ап = 2п 4-п.
71Ч- 2
1671.	ai = 2;an+i = ——ап; ап = п(п+1).
1672.	Докажите, что все члены последовательности (ап), определен-
ной условиями ai — \/2, ап+1 = х/2 4-аП! удовлетворяют неравен-
ству ап < 2.
1673.	Докажите, что все члены последовательности (an), определен-
«	о	«п 4“ 2
ной условиями «1 = 3, an+i = -х-, удовлетворяют неравенству
& • On
®n+l<®п*
1674.	Докажите, что все члены последовательности (ап), определен-
„	л	«П 4“ 1
ной условиями «1 = 2, an+i = ——х, удовлетворяют неравенству
On "Г о
Оп+1<Оп.
1675.	Докажите, что все члены последовательности (an), определен-
«	1	8
нои условиями ai = l, an+i = 7--, удовлетворяют неравенству
о ап
^п+1>On*
1676.	Докажите, что если х 4- - — целое число, то для любого целого
п ,	1
п число х714- — также является целым.
1677.	Последовательность (an) задана формулой общего члена:
Докажите, что все члены последовательности являются целыми
числами.
1678.	Последовательность (an) задана формулой общего члена:
Докажите, что все члены последовательности являются целыми
числами.
112
Глава 5. Числовые функции натурального аргумента
Последовательность Фибоначчи определяется следующим образом:
сц = а2 = 1; On-i-2 = an+i + а„. (тг € N). Докажите, что для членов
этой последовательности выполняются следующие равенства
(1679-1687):
1679.	а^+1 =ап • ап+2 + (—1)".
1680.	Oj • 02 + 02  ЙЗ +  • • + Й2П-1  а2п = а2п.
1681.	О; • 02 + 02 ' Оз + . . . + О2п • O2n+1 = °'2n+l —
1682.	Оп+1'Оп+2 Оп•Оп+З = ( 1)п-
1683.	О1 4- 2а2 4- Заз 4-... 4- тг • ап = тг • Яп+2 ~ Оп+з 4- 2.
1684.	тг-Oj 4-(тг — 1)-02+(тг — 2) -аз +.. .+2ian_i4-an=on+4 — (тг+3).
1685.	Од_|.т — on — i • ат -j- On * оп,-|_]	(/тг G N).
1686.	£ a£=an-an+i.
fc=i
2п+1
1687.	£ (-l)fc+1-afc = a2n + l.
fc=i
Образцы вариантов контрольных работ
Контрольная работа 1
Вариант I
1.	Вычислите ^5-^ + У0,027 — х/$- \/9.
_ v	У^-аУб4
2.	Упростите выражение —-=—4/——
ах/ab — х/Ь2а*
3.	Решите неравенство \/2х — 1 < Уа:2 — 5х + 5.
4.	Докажите, что (2УЗ + Уб) G Q'.
5.	Найдите область определения выражения
6.
7.
4/9	в/ , 1П , 36
\ - — х — \ X + 10 + ——X.
у X у	Х — 2
Ух	2Ух-1
Решите уравнение	= -4.
Постройте график функции /(х) = | *У(х4 - 4х3 + 4х2)9 - х2|.
Вариант II
1. Вычислите
{ У423} + {У^234}
У52- У94
У4
„	х2-х-6+ Ух4- 18х2+81
2.	Упростите выражение --- 3 + +2) У 2 9—’
3.	Решите уравнение xyjx g~ + Ух2 — 4х = 6.
4.	Решите неравенство Ух3 — х + 3 > ‘Ух3 + х2 4-х.
5.	Найдите область определения выражения
Ух6 4- 5х3 — 6 - 4
е / 5 — Уз — х
у х2 — 4х + 4 ’
6. При каких значениях параметра а неравенство ‘Уах + 2 < УЗх — 1
имеет своим решением конечный промежуток?
7.
Постройте график функции /(х) =
2 х2 — 3|х| — 4
3' У(х2-8|х| + 16)3
3 ’
114
Образцы вариантов контрольных работ
Контрольная работа № 2
Вариант I
1. Вычислите 18 0,5  \[2 — (5°’<6))3 4- 2420,5 : 240,25 : 36-0,125.
(2	\fx\ —2	,
—„	)	• 4 V®3.
—6х 1 /
3. Решите уравнение (2т — 1)_т = (®3 — 2а:2)-?.
4. Решите неравенство (а;2 4-2®)“?
5. Постройте график функции
/(*) =
'(З-а:)*
Да:-2)-1
при х € (~оо; 1] U {2},
при х е (1; 2) U (2; оо).
6. Составьте уравнение касательной графика функции f(x) =
перпендикулярной прямой 2® + 5у 4- 3 = 0.
4т —3
2®4-1’
7. При каких значениях параметра р уравнение (р + 2)®“0,5 + 3 =
= р(®“°'25 4-1) имеет ровно один корень?
Вариант II
1. Вычислите ^40,5 • 64“® • \/2°'5 - 821°8“3-l°8ias5.
2. Упростите выражение
(а + 5 + 2(а + 4)*)* -1
(а + 5 - 2(а + 4)1)? + (а + 4)? '
3. Решите систему уравнений <
(®2 —11®)? =у,
у2 + 2х2 - 22® = 80.
4.	Решите неравенство (2.т3 4-1)« < (®6 - 6®3 4-1)1.
5.	Постройте график функции
Ж) =
"(®+1) 2
\|2-(® + 1)?|
при х € (-оо; —1)U(—1; 1],
при х € {-1} U (1; оо).
6.	Составьте уравнение касательной графика функции /(®) = —-+9-,
проходящей через точку (-1; 14).
7.	При каких значениях параметра а решение неравенства
(т 4- а — I)-0,6 > (2® — |а| — 2)-0,6 содержит луч [2; 4-оо)?
Образцы вариантов контрольных работ
115
Контрольная работа № 3
Вариант I
1.
Решите уравнения:
.12 2х 3
а) 4-х2~ х+1 1-2’
а:+ 2	__
----7 — X = 2
X — 1	’
6)^Т + Ш = 1'58(3>'
г) ч/21-1 + ^ = 2±|.
2. Найдите все значения параметра а, для каждого из которых урав-
нения х3 — За:2 — 9а: + 2 = О и ах2 + (а2 — 2)а: 4- За2 — 9а = 0 эквива-
лентны на R_.
3. Решите уравнение |ах + 2| + 2 = х с параметром а.
Вариант II
1.	Решите уравнения:
ч 2а:2 _ За;+ 4 2
	х2 — 1 х2 + х — 2 х3 + 2z2 — х — 2 ’
б)	(а: - 3)(а: + 1)(а:2 — 4) = 5;
в)	у/х2 — 4 — \/х2 — х — 2 = у/х2 — 5а: + 6;
2.	Решите уравнение (а + 1) у/х - ау/х = 2 с параметром а.
3.	При каких значениях параметра а уравнение у/ах+9-6а+х = 3 не
имеет корней?
Контрольная работа № 4
Вариант I
1.	а) Дан многочлен Р(а:) = х3 + 6а:2 + 9а: - 20. Постройте график
функции /(а:) = Р(а:) • sign(-a: — 1).
б) Укажите те значения параметра а, для которых уравнение
/(а:) = а имеет три корня.
2.	Решите уравнения
а)	За:4 - 5а:3 - 34а:2 + 10а: +12 = 0;
б)	2 + \/2а:4 — 6а:3 — а:2 — 2а: + 1 = а:2.
3.	Найдите все значения параметра а, для каждого из которых много-
члены а:2 - 2ах — 1 и ах2 + (а — 2)а? - 2 имеют хотя бы один общий
корень.
116
Образцы вариантов контрольных работ
Вариант II
1.	а) Постройте график многочлена Р(х) = —Зх4 4- 14т2 — 21т2 4-
4-12а;-2,1.
2
б) Найдите сумму всех чисел вида —, где т, — корни данного мно-
гочлена.
2.	Решите уравнения
а) х3 4-За;2 — 21х — 87 = 0;	б) (х - З)4 4-(х + I)4 = 52.
о ___ 1
3.	Избавьтесь от иррациональности в знаменателе: —т- V—т=---.
^44-2^2 + 3
Контрольная работа № 5
Вариант I
1.	Решите следующие системы уравнений:
а;2 = у 4-1,
а) ,
у 4- 4у - 4ху = 5;
( х2 - 2х|у| = 3,
в) < _
(у24-Зх|у| = -2.
х2У~2 + У2®-2 = ®У-1 4- ух-1
2	2	с параметром а.
х 4“ у = 2ц
б)
?=1
2.	Решите систему <
3.	Укажите количество решений системы 
от а.
Вариант II
х24-у2 = 9,
в зависимости
х2 4- 2у = а
1. Решите следующие системы уравнений:
а) <
х2 + ху + у2 = 14;
х4,4- Зх3у 4- 4х2у2 4- вху2 4- 4у4 = 0.
б) ,
х2 — Зху = 10;
х2 4- 2у = 4,
2. Решите систему <	с параметром а.
у +ху = ау + ах
(х 4- у)ху = 6,
(х - у)ху = 2.
3. При каких значениях параметра а система <
четыре решения?
|у|4-х2 = 4,
имеет
х 4- у = а
Образцы вариантов контрольных работ
117
Контрольная работа № 6
Вариант I
1.	Решите неравенства:
а) Зх* 2 + х + 1	б) |т + 2| — х > у/х1 — 4т.
2.	При каких значениях х выполняется ровно одно из данных нера-
венству
^Ц + ^Ц^12; т4-Зт3-8т2 + 6т + 4^0?
X 3 X 3
3.	Решите неравенство 1 + \/2х — а > у/х с параметром а.
4.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых
неравенство (а + 2)х2 + (1 — а)х + а + 1 > 0 выполняется на луче
[0; +оо).
Вариант II
1.	Решите неравенства:
Q
(т - 2)(2т + 3) С (а._1)(2а; + 5) •
б)	у/5-х — у/Зх - 5 < v'll — 2т — у/2х + 1.
2.	Решите совокупность неравенств:
т4 + 6т3 + 7 т2 > 6(т 4- 4),
д - 1
2т +1'
3.	Найдите все значения параметра а, при каждом из которых системе
у/х + у/3-х^2,
удовлетворяет ровно одно значение х.
ах2 + 20т > 32
Контрольная работа № 7
Вариант I
1. Найдите значение числового выражения:
sin 210°  ctg(-60°)	/ 2	\2
cos510°	\ sec 135°/
2. Найдите cosec а и ctg а, если cos а = —0,6 и а€ (-у; тг).
3. Упростите выражения:
a) tg^Ty- - а)  tg(7r + a) - cos^ + а) ып(я + a);
Я» 1	/ X 1	। л 4
27+7 V 2z + l + V
118
Образцы вариантов контрольных работ
б)
sin(7r + x) — | sin ж|
4.	Найдите tg а + ctg а, если sin а + cos о совпадает с одним из корней
уравнения За:3 - 8а:2 - 26а: + 20 = 0.
{sec (Ътга: -	— 1,
2 — а:> у/х+ 1.
6.	Найдите D(f), где f(x)~ \/ - sin х\/12 -х-з?.
7.	Постройте график функции /(а:) = -2 cos2а: • sign(sina:).
Q г.	2tgl00° —1 ,	2tgl05° —1
8.	Сравните данные числа: tgl0()o+1 i Ь=-^Т05° + 1 •
Вариант II
1.	Найдите значение числового выражения:
/ 2тг\ 7тг . ( 35тг\
соЧ-т;-^-б”81п(-—)
2.	Найдите sin а и ctg а, если tga = -2Уб и а G (тг; 2тг).
3.	Докажите тождество, указав область его определения:
1 + cos/3 —sin/3 —ctg/7 = (1 - ctg/3)(l -sin/3).
4.	Найдите sin а — cos а, если sec2 а + cosec2 а = 6,25 и а е ("тг: Y
\ ’ 4 /
5.	Найдите 2sin а соьа. если tga является одним из корней урав-
cos° а -Ь sm а	1 J
нения 4а:4 + 9а;2 +11а: + 3 = 0.
sin (ттх —
6. Решите систему: <
9а: — 2 — 2а:2 х 1.
7.	Найдите E(f), где f(x) = 4 cos3 | + 9 cos2 | - 12 cos - 5.
8.	Постройте график функции /(а:) = |sin(| “ ^) |-
9.	Дана функция f(x) = \/5 4-2sin(7ra:). Укажите все значения пара-
метра а, при каждом из которых уравнение f(x) = а имеет хотя бы
один корень на отрезке [0,(6); 1,5].
Контрольная работа № 8
Вариант I
1.	Вычислите:
Образцы вариантов контрольных работ
119
a)	sin(a + /3), если cos а = -0,6, а 6 (^; тг); ctg/3 = |, (тг; ^у).
1	/ 7Г \
б)	tg3a, если sina = —д, аб (-2; /’
. sin 110° — cos 80°
cos 10° + sin 20°
2.	Докажите тождество и укажите область его определения:
(ctgа + ctg(ту + а)) cos(^ -2а) = 2sin(^ + 2а).
а
3.	Упростите выражение и укажите область его определения: ctg +
sin а
+ 1 + cos а'
4.	Постройте график функции /(s) = sins• |coss|.
5.	В треугольнике АВС |АД| = 3, А=^; ВК и BL — трисектрисы,
К € AL, |АК| = 1. Найдите |АС| и |ВС|.
Вариант II
1.	Вычислите:
a)	cos(^y -2а), если tga = -2:
б)	ctg если cos2a = 0,6 и а€ (qp; тг);
, ,rn ,rn>9 cos35°-sin5°
в)	(sm 15 — cos 15 г -	,,0 , 	•
' '	' cos 55° + sin 265°
2cos(30° + a)
2.	Упростите выражение —у=— -------и укажите область его опреде-
ления.
3.	Найдите корни уравнения sin(s + ^) + cos 5s = О, удовлетворяю-
щие условию |s| < уг.
4.	Найдите E(J), где/(s) = 2cos2s — sins — 1.
5.	Составьте уравнения прямых, проходящих через точку (-4; -2)
и образующих угол 60° с прямой хх/З + 2у - 1 = 0.
Контрольная работа № 9
Вариант I
1.	Докажите, что последовательность (an), в которой при любом тг
Sn = 1,5п2 - 6,5тг, является арифметической прогрессией. Найдите
разность этой прогрессии.
120
Образцы вариантов контрольных работ
2.	В арифметической прогрессии (уп) известно, что ув = —5, уп = —15.
Найдите у20.
3.	При каких значениях х числа 1 + х, х2 + 4, 2х + 9, 9т являются че-
тырьмя последовательными членами арифметической прогрессии?
4.	Знаменатель геометрической прогрессии равен —0,5; третий член
равен 16. Найдите сумму квадратов первых пяти членов.
5.	Найдите знаменатель геометрической прогрессии, если отношение
суммы первых ее девяти членов к сумме следующих за ними девяти
членов этой же прогрессии равно 512.
6.	Найдите четыре числа, из которых первые три составляют ариф-
метическую прогрессию, последние три — геометрическую прогрес- I
сию; сумма крайних членов равна —11, а сумма средних равна —2.
7.	Сумма квадратов членов бесконечно убывающей геометрической
прогрессии относится к сумме кубов ее членов как 31:60. Найдите
сумму членов этой прогрессии, если сумма первых двух членов
равна 2,4.
Вариант II
1.	В арифметической прогрессии (с„) cq = -5, Si2 = -15. Найдите eg. 1
2.	При каких значениях х числа 6х, х2 +1, -2 являются последова-
тельными членами некоторой арифметической прогрессии?
3.	Меры углов некоторого треугольника образуют арифметическую
прогрессию. При этом меньший из углов равен 45°. Найдите синус
большего из углов.
4.	Найдите пятый член геометрической прогрессии, если третий ее
член равен 2^2 — 6, а четвертый член равен 4 — 6\/2.
5.	Четвертый член геометрической прогрессии на 18 больше второго
члена, а сумма первого и третьего членов равна —15. Найдите
сумму первых восьми членов этой прогрессии.
6.	Между числом 3 и неизвестным числом вставлено еще одно число
так, что все три числа образуют геометрическую прогрессию. Если
средний член увеличить на 1,5, то полученные числа будут образо-
вывать арифметическую прогрессию. Найдите первое неизвестное
число.
7.	Найдите пятый член бесконечно убывающей геометрической про-
грессии, если ее сумма равна 4, разность между первым и третьим
7
членами равна а знаменатель прогрессии является рациональ-
ным числом.
Образцы итоговых работ по курсу 9 класса
Вариант I
( 12	1 - \/а\ 2а + 5\/а-3
1.	Упростите выражение: (g_" —	—g) • —г—
2.	Найдите область определения функции /(х) = (х2 — 24)~з 4-
+ >/375 - 200х + 10х2 + 8х3 — х4 5.
3.	Найдите величины а и /3 острых углов прямоугольного треуголь-
ника, если cos а + sin(a — /3) = 1.
4.	Два электропоезда выходят одновременно навстречу друг другу из
городов А и В, расстояние между которыми 112 км, и встреча-
ются через 56 мин. Продолжая движение, первый приходит в В
на 15 мин раньше, чем второй — в Л. Найдите скорость движения
каждого поезда.
5.	В уравнении 4х2 — 2ах + 1 = 0 определите а так, чтобы для различ-
ных действительных корней xj и хг этого уравнения выполнялось
условие — + — = 5,5 + xi + Х2-
J	Х2 X)
Вариант II
(0,5 :1,25 + 1,4 :1|-£)-3
1. Вычислите: ----------г----------.
(1,5+|): 18,(3)
|ж — 2|	/ — 2| \
2. Решите неравенство: —----(—-—1 ^3,75.
3. Найдите значения х, при которых функция /(х) = \/3 • cos2 х +
+ 0,5 • sin 2х принимает наибольшее значение.
4. В арифметической прогрессии среднее арифметическое ее первых
п членов равно (2п - 7) при любом п. Найдите формулу ее общего
члена.
5. Из двух различных пунктов одновременно в направлении пункта N
отправляются два судна А и В и движутся равномерно и прямоли-
нейно. В момент отправления, треугольник ABN — равносторон-
ний. После того, как первое судно прошло 80 км, треугольник ABN
стал прямоугольным. В момент прибытия первого судна в пункт
назначения второму остается пройти 120 км. Найдите расстояние
между пунктами отправления судов.
122
Образцы итоговых работ по курсу 9 класса
Вариант III
1.	Решите уравнение:	— 4х 4- у/х2 — х — 3  у/х = 0.
2.	Сплав меди и цинка содержит 5 кг цинка. Его сплавили с 15 кг
цинка, в результате чего содержание меди в сплаве понизилось на
30%. Сколько весил сплав первоначально?
о о	1 — 2а:	5а: 4- 1	24
3.	Решите неравенство: х——г------г-	—-.
г	За: 4-1 а: — 1	2а; — За;2 4-1
4.	Упростите выражение: cos2 а 4- cos2 /3 — cos(a + /3) • cos(a - /3).
5.	Докажите, что при любом натуральном п имеет место равенство:
J- + -L-+ +______________1____- = -ДД-
1-4 ‘ 4-7 (Зп — 2) • (Зп 4-1) Зп+Г
Вариант IV
1.	Вычислите: (>/1 — sin2 153° + x/tg2 207° — sin2 207°)  sin 63°.
2.	Решите уравнение: (т - З)4 4- (я 4-1)4 = 100.
3.	Два велосипедиста выехали одновременно из пункта А, первый со
скоростью 24 kjw/ч, второй —18 км/ч. Спустя час вслед за ни-
ми выехал автомобиль, который обогнал второго велосипедиста на
10 мин раньше, чем первого. Найдите скорость автомобиля.
4.	Докажите, что при любом натуральном п число 2 • 72п 4-16" 4- 8 • 5П
кратно И.
5.	При каких значениях параметра а уравнение
(а 4-1) • х2 — (2о 4- 5) • х 4- а = 0
имеет два действительных корня, больших —1?
Вариант V
у/ а 4~ 9 — 6\/о 4- 2 \/ё
1. Упростите выражение: ----а + 2>/аГП3--'
2. Найдите площадь фигуры, определенной в системе координат не-
равенством |3х - 5| 4- |2у 4- 7| 6.
3.
4.
Определите остаток от деления числа п = —68*431 на 11, если
остаток от деления числа 7п 4-1 на 9 равен 5.
Решите систему неравенств: <
я2 4-
4а:2
(а; 4-2)2
«U2,
_ sin 2л <0.
5. В арифметической прогрессии пятый член равен 2. При каком зна-
чении разности d этой прогрессии сумма всевозможных попарных
произведений четвертого, седьмого и восьмого членов прогрессии
будет наименьшей?
Образцы итоговых работ по курсу 9 класса
123
1.
2.
Вариант VI
Найдите значение выражения: \/7 - 3\/б • (3 + х/б) — (>/2 — З)4 5 —
-134\/2.
Два насоса за 4 часа совместной работы подают 96 кубометров
воды. Если бы второй насос подавал в час на 6 м3 больше, чем он
подает сейчас, то тогда на накачивание каждого кубометра второй
насос расходовал бы на 3 мин больше, чем расходует на накачи-
вание каждого кубометра первый насос. Сколько кубометров воды
в час подает первый насос?
3.
4.
5.
2 , 6 — Зх
/З-cosx^sinx.
Решите уравнение: {.т} + 2х2 = 2 4- Зх.
Найдите где Дх) = х4 — 6х3 + Зх2 + 18х + 5.
Решите систему неравенств: <
1.
Вариант VII
Найдите все натуральные трехзначные числа, каждое из которых
обладает следующими тремя свойствами: вторая цифра в два ра-
за меньше последней его цифры: сумма самого числа с числом,
получающимся из него перестановкой первой и третьей его цифр,
делится на 10 без остатка; разность между этим числом и единицей
кратна 7.
2.	Найдите все действительные значения параметра а, при каждом из
/	2	2
5а4-\/5а-ж-“4-я:-|-~- = 0 имеет непустое
которых уравнение 1
множество решений.
3. Решите неравенство:
4. Упростите выражение:
а — Ь
cos — cos f
5. Постройте график функции /(х) = г-—--------
\J 2 — 2 cos 2lc
|sin^|.
Вариант VIII
1. Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые при делении на
11 дают остаток 5.
2. Упростите выражение: sin2 а + sin2 0 + 2 sin а • sin /3  cos (а + 0).
124
Образцы итоговых работ по курсу 9 класса
3.	Найдите корни многочлена Р(х) = х4 - 4х3 — Зх2 + ах + Ь, если
известно, что при делении Р(х) на х2 - Зх - 4 остаток равен 2х + 1.
4.	Докажите, что число \/4 — \/15 4- \/4 + У15 является иррациональ-
ным.
5.	При каких значениях параметра а неравенства (а 4- 2) • х > 1
и (4 4- а) • х2 4- (2 + а) • х > 2 эквивалентны в К_?
Вариант IX
1.	Сосуд емкостью 20 л наполнен обезвоженной кислотой. Часть кис-
лоты отлили, а сосуд долили водой. Затем снова отлили столько
же жидкости, сколько в первый раз кислоты, и сосуд опять долили
водой. После этого в полученном растворе оказалось кислоты втрое
меньше, чем воды. Сколько кислоты отлили из сосуда в первый
раз?
Г 1 8
2.	Решите графически систему уравнений: <	„
х - Зх — 4 „
х+1	~2'
3.	Найдите sin(^ — а 4- /3). если tga = 2, a G (тг; у-); sin/З = 5_5,
/Зе(5;тг).
4.	Положительные числа х 4- у 4-1, Зу 4- х, Зу + 2х составляют ариф-
метическую прогрессию, а числа (2у - I)2, 4х 4- Зу, (4х - Зу)2 со-
ставляют геометрическую прогрессию. Найдите х и у.
5.	При каких значениях параметра а уравнения х2 — 5х — 6 = 0
и х2 — (8 — 5а)х - а — 9 = 0 имеют каждое по два действительных
корня и оба корня одного уравнения содержатся между корнями
другого уравнения?
Вариант X
, D	х/12 — х — х2 \/12 — х — х2
1.	Решите неравенство: —2х — 7г— -----г—5----'
2.	Вычислите: sin 50° (1 — 2 cos 80°).
3.	В арифметической прогрессии (an) ai = 100, a22 —ее первый отри-
цательный член. Какие значения может принимать разность про-
грессии?
{2х если х 1
’ , д(х) = 2 — 2х — х2. Ре-
4 — х, если х > 1
шите уравнение /(2 — |t|) = <;(£).
Образцы итоговых работ ио курсу 9 класса	125
| х — 4
5. Постройте график функции /(х) = —Г-‘
Вариант XI
1.	Вычислите: (119O70 25 - 23 520'25)4.
2.	Найдите tga:4-2ctgT, если 4cos2тЧ-5sin2т = 2sin2 л,	^—тг; — 2)-
3.	Сумма первых девяти членов геометрической прогрессии в девять
раз больше ее первого члена, а сумма первого, десятого и девят-
надцатого членов равна 6. Найдите сумму первых двадцати семи
членов этой прогрессии.
4.	Три цистерны одинакового объема начинают одновременно запол-
няться водой, причем в первую поступает 120 литров воды в мину-
ту, во вторую — 40 л. Известно, что в начальный момент времени
первая цистерна пуста, а объем воды в третьей цистерне в два раза
меньше, чем во второй, и что все три цистерны будут заполнены
одновременно. Сколько литров воды поступает в одну минуту в тре-
тью цистерну?
5.	Пусть f(x) = min (i2 +4t + 5). Решите неравенство /(т)^3.
te[i—2; г]
1.
2.
3.
4.
5.
Вариант XII
\/3 cos(a +15°) Ч- sin(a + 15°)
Упростите выражение: -------sin(105° - а)----’
Пусть Ж1 и Х2 — корни уравнения х(2.т — 3) = 1. Найдите
xl(l 4-®г)-1 +х|(1 4-а:!)-1.
2х2 — Зху - 5у2 = 0,
Решите систему уравнений:	2
2т I Зу I х 0.
Решите уравнение \/т2 — 6т Ч- 6 Ч- \/2т — 1Ч- х = 9.
Найдите наименьшее значение выражения
у/х2 - 4з; Ч- 2у Ч- у2 Ч- 5 Ч- т/л2 Ч- 4т Ч- ?/2 - бу Ч-13.
Образцы государственных экзаменационных работ
Вариант I (1995 г.)
1. Упростите выражение:
/	5с2 — с	4
V 25с2 —10с+1 + 1 —25с2
с
4. Вычислите cos а, если sin
1-3	_
5с - 1) 5с + Г
2. Найдите первый член арифметической прогрессии, если ее раз-
ность равна 8, а сумма первых двадцати членов равна сумме сле-
дующих за ними десяти членов этой прогрессии.
3. Найдите все значения х, при которых график функции у = 1 —  4 -
X
,	,	5
лежит ниже графика функции у= ^714а. + 4 
тг\ 13 тг ттт
- g J=—14’ аа“ з —угол III четверти.
( х + у- у/х+ ^-2у/ху = 2,
5. Решите систему уравнения:
. у/х + ^у = 8.
6. Для каждого значения параметра а решите уравнение — 2| —
— а = 0.
Вариант II (1996 г.)
1 I х
1.	Найдите область определения функции у =	----.
v 2 + Зх — 5а;2 3 4 5 6
2. Упростите: \/б4-\/5---1
х/11 — 2>/30
3. Два экскаватора, работая совместно, могут вырыть котлован за 48
часов. За какое время каждый из них может вырыть котлован,
работая в отдельности, если первому нужно для этого на 40 часов
больше, чем второму?
л \т	4 cos а
4. Упростите выражение:	—ctg2 а 
5. Решите уравнение: (а:2 - 6а: — 9)2 = х(х2 — 4х — 9).
6. Докажите, что уравнение х2 + Ьх + с = 0 имеет 2 различных дей-
ствительных корня, если 0,25 + с < 0,56.
Вариант III (2000 г.)
1. Из города в деревню вышел пешеход. Через 45 мин после его
выхода в том же направлении выехал велосипедист. Спустя полчаса
Образцы государственных экзаменационных работ
127
он был на расстоянии 2,5 км впереди пешехода. Еще через пол-
часа расстояние от деревни до велосипедиста, ранее проехавшего
деревню, было на полкилометра больше расстояния от пешехода
до деревни. Какова скорость пешехода и велосипедиста, если рас-
стояние от города до деревни 15 км?
2.	Найдите наименьший по длине отрезок, содержащий ровно два
числа, удовлетворяющие неравенству (5 — х2)  (х2 — (7 4- у/5)х 4-
4- 7>/5) СО.
„ _	_ п2 — п + 15
3.	При каких натуральных значениях п дробь —^п + З— является
правильной и несократимой?
4.	Постройте график функции у = /(.т), где f(x) = |2|х| - ж21 - 3, и,
используя его, найдите промежутки убывания функции f(x) и все
значения, принимаемые функцией нечетное число раз.
5.	Докажите неравенство y^sin 10° 4- \/sin 80° > 1.
6.	Найдите все значения параметра а, при которых корни квадрат-
ного трехчлена (а2 4- За - 4)х2 - (За 4- 1)х 4-1 имеют разные знаки
и расположены по разные стороны от числа 1.
Вариант IV (2001 г.)
1.	Упростите выражение:
/ 16а2 - 24а 4- 9	1	\	_ 7а \ _ 1
\	9—16а2	4а2+3а/ \ а-lj а'
2.	Определите наибольшее и наименьшее значения выражения cos а 4-
4-	—= sin а.
V3
3.	Две трубы, работая вместе, наполнили бассейн за 12 ч. Первая
труба, работая в отдельности, наполняет бассейн на 18 ч быстрее,
чем вторая. За сколько часов наполняет бассейн вторая труба?
4.
Решите систему уравнений:
2ху 4- у2 = 8,
х2 — 4ху 4-7 = 0.
5. Пять различных чисел составляют арифметическую прогрессию.
Если удалить ее второй и третий члены, то три оставшихся числа
составят геометрическую прогрессию. Найдите ее знаменатель.
6. Найдите все пары (а; Ь), для которых неравенства х2 -я(5 4-5)4-
4- 55 0 и |т - 7| а равносильны.
128
Образцы государственных экзаменационных работ
Вариант V (2002 г.)
1.	Две бригады, работая совместно, закончили посадку деревьев за 4
дня. Сколько дней потребовалось бы на эту работу каждой бригаде
в отдельности, если одна из них может выполнить работу на 15 дней
быстрее другой?
2.	Определите, является ли число ч/З - корнем уравнения 3t3+
+ 9t —8 = 0.
3.	Вычислите cosa, если sin(a+ =~Ц’ а (а~ f) —угол Ш чет-
верти.
4.	Найдите сумму длин интервалов, на которых выполняется нера-
2	36
венство х* —х< —----.
х2 — х
5.	Постройте график функции f(x) = х|5 — ®| — 1 и определите, в ка-
ких пределах изменяется значение функции, если х принимает зна-
чения на отрезке [-2; 6].
6.	Найдите все значения параметра а, для каждого из которых корни
уравнения (х2 - (2 + а)х + 2a)(x2 - (1 + За)х + За) = 0 различны
и образуют арифметическую прогрессию. Для каждого такого a
укажите наименьший член соответствующей прогрессии.
Вариант VI (2003 г.)
1.	Найдите j 1	, где xi и Х2—корни уравнения 2х2 -
— Зх —11 = 0.
2.	Ящик вмещает 12 кг крупы высшего сорта или 16 кг крупы третье-
го сорта. Если ящик заполнить крупой высшего и третьего сортов
так, что их стоимости одинаковы, то в ящике окажется 15 кг смеси
на сумму 90 р. Сколько стоит 1 кг крупы третьего сорта?
3.	Решите неравенство: |х2 + Зх — 4| + |х2 — 16| > |2х2 + Зх — 20|.
1 + cos ^2x4-
4.	Упростите выражение: ---------------—--------. Существует ли
(1 + ч/З) cos х - (х/3 - 1) sin х
какое-нибудь значение переменной, при котором данное выражение
равно нулю?
5.	Пусть функция у = /(х) для всех ненулевых значений аргумента
(4 \	5
- ) =х - -. Найдите /(1).
6.	Найдите наибольший член последовательности ап =	11.
Образцы государственных экзаменационных работ
129
Вариант VII (2004 г.)
1.	Упростите выражение:
/ 1	1	, 9У3 ~ У А .	! 4-2
1 + 3у + 9у2 + 27y3-l)  ^у +	•
2.	При делении двузначного числа на произведение его цифр в част-
ном получится 3. а в остатке 9. Если же из квадрата суммы цифр
этого числа вычесть произведение его цифр, то получится данное
число. Найдите это число.
3.	Решите уравнение: х(х + 1)(х + 2) = 2 • 3 • 4.
х + lx — 2|
4.	Постройте график функции у = —— и укажите ее область
определения и множество значений.
5.	Запишите в порядке возрастания следующие числа: sin53°; sin 36°;
У cos 37°; cos4 5 6 7 * 54°; tg	tg3 cos 360091°.
О	о
6.	Определите все значения, которые может принимать выражение
Зх - 4у, если ху = —3.
Вариант VIII (2006 г.)
1.
Сократите дробь
х +169
У^х + 13
2. Изобразите множество осек точек (х; у) координатной плоскости
Оху, для каждой из которых
ху — 9
х-у
4	16
3. Решите неравенство	+ 15 < 0.
4. Маша и Настя вымоют окно за 20 минут. Настя и Лена вымоют это
же окно за 15 минут, а Лена и Маша за 12 минут. За какое время
девочки вымоют окно, работая втроем?
5. Найдите седьмой и четырнадцатый члены возрастающей геометри-
ческой прогрессии, если их сумма равна 21, а произведение десятого
и одиннадцатого членов этой прогрессии равно 98.
6. Найдите натуральные числа к и /, если известно, что из трех сле-
дующих утверждений два истинны, а одно — ложно:
1) 5fc + 8Z = 120; 2) 8А: + 5/= 120; 3) 7к + 101= 195.
Вариант IX (2007 г.)
1. Найдите коэффициенты а, b и с в уравнении квадратичной функ-
ции у = ах2 -I- bx -I- с, зная, что вершина параболы расположена
в точке (1: 24), а дискриминант уравнения ах2 4- Ьх + с= 0 равен 4.
130
Образцы государственных экзаменационных работ
2. Решите систем у уравнений: <
а;2 — 4сгу + 4у2 = 0,
х2
q d	(ж2 - 5а> + 6)2
3.	Решите неравенство: —^-—7.------я- ^0-
X	о
4.	Во время загородной поездки автомобиль на каждые 100 км пути
расходует на 2 л бензина меньше, чем в городе. Водитель выехал
с полным баком, проехал 120 км по городу и 110 км по загородному
шоссе до заправки. Заправив автомобиль, он обнаружил, что в бак
вошло 30 литров бензина. Найти расход бензина на 100 км пути
при поездке по городу.
5.	Найдите все возможные значения х, при которых числа 2\/2т, —8,
3 х/8гг являются, в некотором порядке, последовательными членами
некоторой арифметической прогрессии.
6.	В портфеле у начинающего инвестора есть акции нескольких ком-
паний. Если акции первой компании подорожают на 25%, а акции
остальных компаний не изменятся в цене, то весь портфель подо-
рожает на 15%. Если же акции второй компании подорожают на
25%, а акции остальных компаний не изменятся в цене, то весь
портфель подорожает на 10%. Найдите, акции скольких компаний
есть в портфеле начинающего инвестора, и наименьшую стоимость
портфеля вначале, если цены акций могут быть только целыми
числами.
ГЕОМЕТРИЯ
Повторение материала 8 класса
1.	В треугольнике АВС |АВ|=8, |АС| = 11, В = arccos(-0,4). Най-
дите: a) S(ABC)-, б) |СМ|, где М — середина АВ-, в) г.
2.	В треугольнике АВС |ВС| = 7, |АС| = 6; BL — медиана, |ВВ| =
= 2>/7; AN — биссектриса, AN П BL = О. Найдите:
а) |АВ|; б) |ВО|: \OL\-, в) R.
3.	В треугольнике АВС М е АВ, |АМ| : |АВ| = 1:4; К G АС,
|АК|: |АС| =3:5, СМОВК = О.
а)	Найдите S(ABC), если S(KOC) = S.
б)	Выразите ВО через АО и С^.
4.	В треугольнике АВС К G АВ, |АВ|: |КВ| = 4:3;
L ё ВС, \BL\: |ВС| =2:3, (KL) А (АС) = М.
а)	Найдите S(CLM): В(АВС).
б)	Выразите ML через АВ и АС.
5.	В равнобедренном треугольнике основание равно 8 см, боковая
сторона равна 5 см. Найдите:
а)	длину биссектрисы, проведенной к боковой стороне;
б)	расстояние от вершины этого треугольника до указанной бис-
сектрисы;
в)	расстояние между центрами вписанной и описанной окружно-
стей.
6.	Высота АК треугольника АВС расположена внутри этого тре-
угольника; S(ABK): S(ACK) = 1:6; О ё АК, |АО|: |ОВ| = 2:3.
Через точки В и О проведена прямая, пересекающая сторону АС
в точке L; (СО) А (АВ) = М. Найдите:
a) S(AOL): В(ВОВ); б) р(£; (ВС)): р(М; (ВС)).
7.	В прямоугольном треугольнике АВС из вершины А прямого уг-
ла проведена высота АК\ [АЛ"! = 2, |АВ|: |АС| = 3:2. Найдите:
a) S(ABC); б) р(К; АВ).
8.	В треугольнике АВС А = 30°, С = 90°, | АС| = 4%/3. Найдите длину:
а) высоты СВ; б) биссектрисы В К данного треугольника.
9.	В треугольнике АВС высота AM расположена внутри треуголь-
ника. На сторонах АВ и АС взяты точки К и L соответственно
так, что |А7<|: |КВ| = |AL\: |LC| = 1:4. Известно, что \АМ| = 10,
|ВВ| = 11, |СВ| = 13. Найдите В(АВС).
132
Повторение материала 8 класса
10.	В параллелограмме ABCD М е ВС, \ВМ|: |ВС| — 3:5;
АС П BD = О, DM OAC = F; S(ABCD) = S.
а)	Найдите S(CFD).
‘ > -------------------------•
б)	Выразите DM через ВО и AD.
в)	Выразите DF через МО и AC.
11.	В параллелограмме ABCD |AC| = 2^/17, |AB| : |AL>| =3:4.
S(ABC) = 16v/2. Найдите: a) S(ABCD); 6) |BD|.
12.	В параллелограмме ABCD |AB| =5, |AD| = 2, |AC'| = 6. Найдите:
a) |BD|; 6) p(C; (AD)).
13.	В параллелограмме ABCD AC Q BD = О, L -середина DO,
Te[DA), \DT\ = 1,5|ZM|.
---r	---*	>
а)	Выразите вектор LT через векторы ВО и СО.
б)	Найдите S(TBL), если S(ABCD) = S.
14.	В трапеции ABCD |А£>| : |ВС| =5:3. АС И BD = О. Найдите
S(AOD): S(ABCD).
15.	В трапеции ABCD | АВ| = |ВС\ = 7, |CD| = 8. |АО| = 12. Найдите:
a) S(ABCD); б) \BD\.
16.	В трапеции ABCD |А£>| = 12, \ВС\ = 4, |АС| = 10, \BD\ = 12,
АС П BD = О. Найдите:
a) S(OCD); б) P(ABCD); в) выражение СО через АВ и AD.
17.	В системе координат даны точки А(— 1; 3), В(3; 7), С(5; —1).
а)	Найдите расстояние от точки В до прямой АС.
б)	Составьте уравнение прямой, проходящей через точку В и пер-
пендикулярной прямой АС.
18.	В системе координат даны точки А(—2; 3), В(3; 1). (7(1; —5). Най-
дите: a) S(ABC);
б)	координаты центроида Z треугольника АВС;
в)	координаты ортоцентра Н треугольника АВС.
19.	В системе координат даны точки А(3; —1), В(—5; 5), (7(—1; —3).
Найдите:
а)	проекцию точки А на прямую ВС;
б)	точку М прямой ВС такую, что S(ABM) = 25.
Глава 3
Векторы (продолжение)
§ 8. Скалярное умножение векторов
20.	Дан прямоугольник ABCD. в котором |АВ| = 3, |АО| = 4,
АСПBD = О. Найдите: а) AC-В&, б)вд-С5; в) AC d3.
21.	Дан параллелограмм ABCD, в котором |АВ| = 4, |AD\ = 5,
А = arccos К — середина CD. Найдите:
a) BD • AC; 6)BKDC; в)ВК-АС.
22.	В треугольнике АВС \АВ\ = 4, |ВС| = 7, |АС| = 5; К € ВС,
| ВК |: | КС\ = 2; М — середина АК. Найдите:
а) ВС • СА-, б) АВ- КМ; в) ВК  AM.
23.	В треугольнике АВС |ДВ| = 7, |ВС\ = 8, А = arccos Z — центро-
ид данного треугольника; К е ВС, |СД| =2. Найдите:
а) АК • CZ; 6)AZ-BC; в) ZK  АВ.
24.	Дана трапеция ABCD, в которой |АВ| = 4, |ВС| = 3, |AD| = 6,
В AD = 90°; АС О BD — О, L -середина CD. Найдите:
a) BL • AD; б^АВ-ВО; в)ОЬ-АВ.
25.	Найдите \2~а + Ь |, если |а*| = 6, |Т| = 2. ("o'; Т) = 60°.
26.	При каких значениях параметра а векторы ~с = ар — 2~q и d =
= 15"р + а 7 взаимно перпендикулярны, если |"р | = 4, |7| = 3,
(У?7) = 120°?
27.	Каким должен быть угол между векторами "а и Ь , если |7| = 2,
|Т| = 1, |37 -2VI =4?
28.	Найдите угол между векторами ~р = 3"а + b u~q =~а - 2 b , если
1*0*1 = 1, | Ь | = 2, ( о*; b ) = arccos |.
29.	Найдите угол между векторами ~а и b , если
|Т| = 2,	+ 26*1 = 4/13, (2Д*-Т)-(3’а+Т) = 53.
134	Глава 3. Векторы (продолжение)
30.	Найдите |37? - 2 b |, если 17Г| = 2, | b | = 1, |2"а + b | = 2>/5.
31.	Дан треугольник АВС, в котором |АВ| = 6, |АС| = 4, А — 120°;
К 6 АВ, |АК| = 2; L — середина СК, Z — центроид данного тре-
угольника. Найдите:
a)|ZL|; б) ((Z^UAL)).
32.	Дан треугольник АВС, в котором |АВ| = 5, |ВС| = 6, |АС| — 9;
К е АВ, |А/С| = 2: L - середина ВС, (KL) А (АС) = М; CN —
биссектриса данного треугольника. Найдите:
а) \BM\-, б) |ЛГЛГ|.
33.	Дан параллелограмм ABCD, в котором |АВ| = 5, |AD\ = 6,
Т	2
А = arccos о, АС Л BD = О. Точка N определяется равенством
DN = 2АВ + |AD. Найдите: а) |АЮ|; б) ((B2V)T(AC)).
34.	В треугольнике АВС |АВ| = 6. |ВС| = 7, В = arccos(-|); М —
середина АВ, N G ВС, |СМ| = 2. Через точку В проведена прямая
р, перпендикулярная прямой MN. Прямая р пересекает прямую
АС в точке L. Найдите |В£|.
35.	Дан треугольник АВС, в котором | АВ\ = 7, |ВС\ — 6, | АС\ = 4,1 —
центр вписанной окружности, К — середина медианы AM. Най-
дите: а) |СК|; б) |ZJC|.
36.	Пусть М — произвольная точка окружности, описанной около
равностороннего треугольника АВС с дайной стороны а. Найдите
|МА|2 + |Л/В|2 + |МС|2.
37.	Дан квадрат ABCD. Найдите геометрическое место точек М
плоскости, для которых Ш • МВ = МС • MD.
38.	В системе координат даны точки А(5; —3), В(1; 5), С(—5; 7),
О(-2; -4). Найдите:
а)	проекцию точки С на прямую АВ;
б)	угол между прямыми АВ и CD-,
в)	на прямой АВ точку М, дтя которой (2СМ + ЗАВ) • DC = -280.
39.	В системе координат даны точки А(1; 7), В(—4; —4), С(5; —1);
точка К определяется равенством АК = ЗАВ. Найдите:
а) проекцию точки С на прямую АВ;
б)	КВС;
в)	(2ВС + КС)(А&-ВК).
40.	Решите уравнение:
а) 3%/3 — х2 + 2у/х2 — 1= \/26; б) 4\/х + 6 + Зу/х — 1 = х +15.
§9. Геометрия масс
135
41.	Найдите проекцию вектора р = 2 а + Ь — с иа вектор Ъ , если
| а*| = 2, |Т| = |"с | = 3; (а ; ~Ь) = 120°, (Т; "с) = 60°.
42.	В параллелограмме ABCD |АВ| = 6, |AZ>| = 4\/2, А = 45°,
АС Г) BD — О. Найдите iip^rg АО.
43.	В системе координат даны точки А(-3; 1), В(1; 7), С(—1: -2),
0(6; 3). Пусть Ai и Bi —проекции точек А и В на прямую CD.
Найдите |AiBj|.
44.	В треугольнике АВС |АВ| = 5, |ВС| = 7, |АС| = 9; К G АС,
|А/Г| = 2; Z— центроид. Пусть Ai и В\—проекции точек А и В
на прямую KZ. Найдите |Aj В^ |.
45.	Докажите, что в любом параллелограмме выполняется неравен-
ство |а2 - 52| < е/, где а, b — длины сторон, е, / - - длины диагона-
лей.
46.	Даны три единичных вектора "е i, "?2, ~<?з- для которых ~е\ • ~ei +
+	•'ё>з + 'ё>2-'ё*з = — 1- Докажите, что два из трех векторов
противоположны.
47.	Дан четырехугольник ABCD, в котором М и N — середины со-
ответственно АС и BD. Докажите, что
\АВ |2 + | ВС|2 + \CD |2 + | D А|2 = \АС\2 + | BD |2 + 4|A/JV |2.
48.	Докажите, что площадь параллелограмма ABCD может быть
найдена по формуле: S = |АВ|2 • | АО|2 — (АВ  АО)2.
49.	Докажите, что в любом треугольнике АВС выполняется равен-
ство ОН = О А + О В + ОС, где О — центр окружности, описанной
около данного треугольника, и Я — его ортоцентр.
§ 9. Геометрия масс
50.	На прямой АВ взята точка М такая, что AM :МВ = —3'. 5. Най-
дите массу тп так, чтобы точка М являлась бы ц. т. двух м. т.'.
2А и ттгВ1.
51.	На плоскости даны м. т.: 2А, ЗВ, ЮС. Пусть М — ц. т. 2А и ЗВ,
Z— ц. т. данных трех м. т. а) Найдите \АМ|: \МВ|. б) Выразите
AZ через АВ и АС. в) Выразите MZ через МС.
52.	Дан равносторонний треугольник АВС с длиной стороны 2, в вер-
шинах которого помещены массы: 1А, 2В, 1С. Пусть Z — ц. т.
этой с. м. т.
1 Ц. т. — центр тяжести; с. л<. т.—система материальных точек
136
Глава 3. Векторы (продолжение)
а) Выразите AZ через АВ и АС. б) Найдите |AZ|.
53.	В системе координат даны м. т.:
2А(-3;-1), (-3)5(2; 6), тС(х; -4).
Найдите значения тих, если ц. т. данной с. м. т. является
точка 7(2; -10).
54.	В треугольнике АВС |А5| = 4, |АС| = 6, 15(71 = 7. В его верши-
нах помещены массы: ЗА, 15, (-2)0. Пусть М — ц. т. точек 15
и (-2)С; Z — ц. т. данных трех м. т. Найдите:
a) |AZ|; б) \MZ\.
55.	В системе координат даны м. т.:
ЗА(—2;-3), т5(1;5), (-2)0(4;-2).
Найдите значение т так, чтобы \ZP\ — 2\/26, где Z—ц.т. данной
с. м. т., 5(5; 3).
56.	Даны м. т.: ЗА(—3; —5). 25(5; 7). Пусть прямая АВ пересекает
ось ординат в точке К и прямую у = 2х в точке ЛГ. Найдите массу
т, которую надо поместить в точку К так, чтобы ц. т. с. м. т.
ЗА, 25, тК находился в точке N.
57.	В декартовой системе координат даны м. т.:
тпА(1;3), (—1)5(5; -1), ЗС(-1;-3).
Известно, что ц. т. Z системы этих м. т. принадлежит прямой
х — 2у + 3 = 0. Найдите: а) массу т: б) p(Z; (А5)).
58.	В вершинах параллелограмма ABCD помещены массы: 2А, (—3)5,
40, (-1)0. Известно, что |А5| =3, \АС\ = х/9Т, |АО| = 7. Пусть
Z — ц. тп. данных четырех м. т. и Z\ — ц. т. первых трех из этих
точек. Найдите: a) |ZjC|; б) |ZZj|.
59.	Дана трапеция ABCD, в которой |А5| = |СО| = 5, |АО| = 10,
|5О| =4. В вершинах этой трапеции помещены массы: 2А, 35,
10, 45. Пусть Z — ц. т. системы этих четырех м. т. Найдите:
а) |AZ|; б) S(AZB).
60.	В треугольнике АВС: К е АВ, |АД| : |К5| = 3 : 2; L 6 ВС,
|5L|: |LO| = 5 : 2: О е KL, |#О|: |OL| = 1:3; (АС) П (50) = М.
Найдите S(MLC): S(A5C).
61.	Дан треугольник АВС, в котором |А5|=8, |5С| = 5. |АС| = 4;
К е ВС, \ВК\ =2\ L& AC, IAL\ = 1; Т € KL, |ДТ|: \TL\ = 1:2;
М = (СТ)Г\(АВ). Найдите:
а) \TM\-, б) S(ATM).
§9. Геометрия масс
137
62.	В треугольнике АВС: | АВ| = 6, |ВС| = 7, |АС| = 9; М е АВ.
\АМ| : \МВ\ = 1:2; N G ВС, |.ВЛГ| : |NC| =4:3; AN Л CM = E.
Найдите S(ENC).
63.	Дан треугольник ABC, в котором
|АС| = 6, IВС\ =4. С = 120°; Р G АВ, |ВР| : |РА| = 3:2;
N G [СР), |СЛ7| = 3-|СР|; (АЛГ)Л(ВС) = Q.
Найдите S(CPAQ).
64.	В треугольнике АВС: |АС| = 10; A = arccos^: В = arccos( — к
М G [АС), |АМ\ = 15; N е (АВ), |AN\ = 20; ВМ OCN = Q. Найди-
те: a) |ATQ|: |QC|; б) |AQ|.
65.	В треугольнике АВС: |АВ| = 7, |ВС|=9, |АС| = 6; СК биссек-
триса. На стороне АС взяты точки Е и F, делящие эту сторону
на три равные части. Пусть СК пересекает BE и BF в точках М
и N соответственно. Найдите S(BMN).
66.	В треугольнике АВС |АВ\ = 9, |АС| = 7. А = arccos	F — точка
Жергона. Найдите |AF|.
67.	В треугольнике АВС: |АВ| = 4, |ВС| = 5, |АС| = 7; К € ВС,
|СК| = 2; L е АВ. |AL\ = 1; АК Л CL = М, (ВМ) Л (АС) = N.
Найдите: а) б) S(AMN).
68.	Дан треугольник АВС, в котором |АВ\ = 4, |АС| = 3, S(ABC) = 2.
► >
Точка К определяется равенством АК = 1,5АВ; L — середина КС,
(AL) Л (ВС) = М. Найдите: a) AL: LM; б) \МК\.
69.	Пусть прямые Чевы АК, BL, СМ треугольника АВС пересека-
ются в точке О. Докажите, что имеют место следующие равенства
Жергона:
АО	ВО	+ СО	_ АО^	ВО^	СО =
OK	OL	ОМ	OK	OL	ОМ
АО	ВО	СО	_2-
АК	BL	СМ	~
КО \ LO	\	м5_1
кЛ	LB	Мс	'
70.	В треугольнике АВС чевианы АК. BL, СМ пересекаются в точке
О. Известно, что |АО\ : |О/<| = 1:2, |СО| : \ОМ\ = 4. |В£| = 8.
Найдите: а) |ВО|; б) \ВК\: |КС|.
71.	В треугольнике АВС чевианы АК, BL, СМ пересекаются в точке
О. Известно, что |АО|: |О7<| = 5:4, |ВО|: |ОВ| =3:2, \СМ| = 9 см.
Найдите |ОМ|.
а)
б)
в)
138
Глава 3. Векторы (продолжение)
72.	В треугольнике АВС чевианы АК, BL, СМ пересекаются в точке
О. Известно, что |АО|: |О/<| = 1:2 и S(BOC) = 33S(MOL). Най-
дите S(BOM): S(LOC).
73.	Дан параллелограмм ABCD; К € CD, |С7< |: | KDI = 3:2; М G АК,
{AM|: |ЛП<| =2:3; (DM) П (ВС) = Q. (DM) П (АВ) = Р. Найдите:
а) |АР|: |РВ|; 6)CQ:QB.
74.	Дан параллелограмм ABCD, в котором |АВ| = 6, |А£>| = 3,
А = 60°. Точки L и М определены следующими равенствами:
CL = 5BL, AL = 1,5АМ. Прямая ВМ пересекает прямые AD и CD
в точках соответственно Р и Q. Найдите: а) |PQ|; б) S(PQL).
75.	Дан параллелограмм ABCD, К 6 АВ, |АК|:	= 3:2; £ € CD,
|С£| : |LZ)| = 3; М б KL, |КМ\: |М£) = 2:5. Прямая р проходит
через точку М и пересекает прямые ВС и AD в точках Е и F со-
ответственно. Найдите: a) \FM|: |Л/Р|; б) S(AMD): S(ABCD).
76.	Дан параллелограмм ABCD, в котором |АВ| = 4%/2, |А£>| = 6,
А = 45°; К б (ВС), ВК :КС = -3; L & (AD), AL :LD = -1 : 5;
М 6 KL, \LM|: \МК| = 7:5. Прямая AM пересекает прямую CD
в точке Е. Найдите: а) |АЛГ|: |Л/Р|; б) S(AED).
77.	Дана трапеция ABCD, в которой |АВ| = |СР| = 10, |ВС| = 4,
|АО| = 16. В вершинах трапеции помещены массы: 2А, ЗВ, 1С,
(—2)D. Пусть Т — ц. ш. 2А, 1С, (~2)D; Z — ц. т. 2А, ЗВ, 1С,
(~2)D. Найдите: а) р(Т; (AD)); б) |BZ|.
78.	Дана трапеция ABCD, в которой |АВ| = 3, |В(7| = 5, |А£>| = 9,
BAD = 90°; К б АВ, |AK| = 2; L б CD, |DL| = 2; N б KL,
|К7V|: |2VL| = 3:2. Прямая р проходит через точку N и пересекает
прямые ВС и AD в точках соответственно Е и F. Найдите:
a) \EN\: |7VF|; б) S(BNL).
79.	В треугольнике АВС |АВ| =6, |АС| =5, А = arccos |; Z— центро-
ид; К — точка пересечения серединного перпендикуляра стороны
АС и стороны ВС. Найдите: а) |у4./С|; б) |/fZ|; в) р(К; АВ).
80.	Дана равнобедренная трапеция ABCD, в которой |ВС| = 3.
| AD| = 15, А = arccos т. Найдите наименьшее значение выражения
|АЛ/|2 + |ВЛ/|2 + |СЛ/|2 + \DM|2, где М — произвольная точка
плоскости.
81.	В треугольнике АВС |АВ| = 6, А = arccos^— у), С = arccos уу; Z —
центроид, О — центр описанной окружности, I — центр вписанной
окружности. Найдите: a) |OZ|; б) |/Z|.
§ 9. Геометрия масс
139
82.	В системе координат даны точки: А(-5; 3), В(3; —3); С(7; 5). Най-
дите: a) cos В; б) р(ВС; Z); в) |OZ|, где Z — центроид, О —
центр описанной окружности треугольника АВС.
83.	Даны параллельные прямые а и Ь. Точки А и D принадлежат
прямой Ь: точки В и С принадлежат прямой а; К е (АВ),
АК.КВ = р- Le (CD), d! -.LC = v, Ое (KL), KO-.OL = X.
Через точку О проведена прямая р, пересекающая а и b в точках
-------------------------------------> --->
соответственно N и М. Найдите МО: ON.
84.	В параллелограмме ABCD К G АВ, | АЛ"|: |/<В| =3:2; Те CD,
|СТ|: |Т£)| =3:1; Те KL, ^Т|: |TL| = 1:2. Пусть прямая прохо-
дит через точку Т и пересекает AD и ВС в точках соответственно
М и N. Найдите |ЛТТ|: |ТЛД
85.	Дан треугольник АВС с длинами сторон а, Ь, с; радиус описан-
</q2 _i_ ^2	^2
ной окружности равен R. Докажите, что R =------------ тогда
и только тогда, когда треугольник является равносторонним.
86.	а) Докажите, что в любом треугольнике с длинами сторон а, Ь, с
и радиусом г вписанной окружности выполняется неравенство:
г2 > |(аЬ + ас + Ьс) - Д (а2 + Ь2 + с2).
б)	Докажите, что равенство в неравенстве пункта а) имеет место
тогда и только тогда, когда треугольник является равносторон-
ним.
87.	Докажите, что в любом треугольнике с длинами сторон а, Ь, с,
радиусом R описанной окружности, радиусом г вписанной окруж-
ности выполняются равенства:
a) |7Z| = | ^/5(а6 -I- ас 4- Ьс) - 36 Д г — 4р2;
3(аЬч-ас + Ьс) - (а2 + Ь2 +с2) аЪс
9	р ’
где I — центр вписанной окружности, Z — центроид, р — полупе-
риметр данного треугольника.
88.	Докажите, что если центроид прямоугольного треугольника АВС
с прямым углом С лежит на окружности, вписанной в этот тре-
угольник, то с = 0,6(Л + а + Ь), где h — высота, проведенная из
вершины прямого угла.
б) |/Д| =
Глава 4
Окружность и круг
§1. Измерения, связанные с окружностью и крутом
89.	Точки А и В делят окружность на две дуги, меры которых
относятся как 5:13. На одной из дуг взята точка М такая, что
ВАМ — АВМ = 40°. Найдите ВАМ.
90.	Хорды АВ и АС стягивают дуги одной окружности. Меры этих
дуг равны соответственно 95° и 45°. Найдите ВАС.
91.	Через точку, лежащую вне окружности, проведены две секущие
прямые, образующие угол меры 40°. Известно, что мера меньшей
из двух дуг, заключенных между этими секущими, равна 20°.
Найдите меру большей из этих дуг.
92.	Хорда АВ делит окружность на две части, градусные меры ко-
торых относятся как 5 :7. Через центр окружности, точку О,
проведена прямая, пересекающая прямую АВ в точке N, нахо-
—— —  
дящейся вне круга. Найдите NO А, если ON В = 10°35'.
93.	На полуокружности АВ взяты точки К и L такие, что |/<Т| = 3.
Найдите радиус окружности, если:
а) АК = 142°, BL = 98°; б) АК = 23°, BL = 22°.
94.	Хорда АВ делит окружность на две дуги, градусные меры кото-
рых относятся как 13:11. Через точку М, лежащую на меньшей
из указанных дуг, проведена касательная пересекающая прямую
АВ в точке К. Найдите ВКМ, если Af АВ = 60°50'.
95.	Около треугольника АВС описана окружность. Известно, что
|.4В| = 8, |>K7| = 5 и АС В = 120°. Найдите: а) радиус указанной
окружности; б) S(ABC).
96.	Точки А, В, С расположены на окружности радиуса 4 см и цен-
тром О. Известно, что АВС : ВС А : С АВ = 5 : 10 : 9. Найдите:
а) Р(ЛВС); б) S(ABC).
97.	Хорда АВ окружности с центром О делит эту окружность в от-
ношении 3:5; |АВ| =8 см. Найдите: а) радиус данной окружно-
сти; б) р(О; АВ).
§ 1. Измерения, связанные с окружностью и кругом
141
98.	Хорды АВ и CD окружности радиуса 15 и центром О пересека-
ются в точке Е и взаимно перпендикулярны: |^4jE7| : |В£| = 1:2;
|СГ>| =29. Найдите |ДВ|.
99.	В треугольнике АВС |АВ| = 6, |ВС| = 7, X=arccos -jy: К. L, М —
точки касания вписанной в данный треугольник окружности сто-
рон соответственно АВ, ВС, АС; О — центр этой окружности.
Найдите: a) KML; б) LOM; в) S(KLM).
100.	В окружности радиуса 5 проведены две параллельные хорды KL
и MN. Известно, что |KL\: |A4W| = /б : 3 и расстояние между
хордами равно 2. Найдите длины хорд.
101.	ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность; М - - точ-
ка пересечения его диагоналей. Известно, что |Д В| = 2, |ВС| = 1,
|СП| = 3, |СМ|: \МА\ = 1:2. Найдите |ЛО|.
102.	Точки А, В, С расположены на окружности, причем |ЛС| > |ВС|.
Пусть D — середина дуги АС В и DH — перпендикуляр, опущен-
ный из D на АС. Докажите, что |ЛЯ| = |ЯС| + |СВ|.
103.	В окружности радиуса \/3 см проведена хорда, стягивающая
дугу 60°. Через ее середину проведена другая хорда, которая
делится этой точкой в отношении 1:2. Найдите расстояние от
центра окружности до второй хорды.
104.	Хорды АВ и CD пересекаются в точке Е и взаимно перпендику-
лярны; |Д£|: |ЕВ| = 1:2, | AC| = /13. |СД| = 11. Найдите \BD\.
105.	Из одной точки проведены две касательные. Расстояние от дан-
ной точки до точки касания равно 2/10. а расстояние между
12/10 „ „	-
точками касания равно —=—. Найдите наибольшее возможное
расстояние от данной точки до точек окружности.
106.	Дана окружность с центром О и радиусом 2 и точка D такая,
что |ОВ| = 7.
а)	Найдите длину отрезка касательной, проведенной через сере-
дину отрезка OD, к данной окружности.
б)	Существует ли секущая, проходящая через точку D такая, что
одна из точек ее пересечения с окружностью является серединой
отрезка между D и второй из этих точек?
107.	В окружности проведены две пересекающиеся хорды АВ и CD.
Известно, что |ЛВ| = 7, |СД| = 5 и точка М пересечения хорд
делит CD в отношении 2:3. Найдите отношение (меньшее еди-
ницы), в котором точка М делит хорду АВ.
142
Глава 4. Окружность и круг
108.	В треугольнике АВС известны стороны; | АВ| = 2, | АС| = 4. В ка-
ком отношении делит АС окружность, проходящая через В, С
и середину АВ?
109.	В окружность радиуса 3 см вписан угол АВС, мера которого
равна arccos Через точку М — середину АС — проведена хор-
да EF, делящаяся точкой М в отношении 2:3. Найдите: а) |ВВ|;
б) |оАВС|; b)|vECF|.
110.	Около треугольника АВС, в котором | АВ| = 4у/2, |ВС| = 3,
|АС\ = х/17, описана окружность. Найдите:
а) | ^АВС|;
б)	длину большей из дуг АВ;
в)	площадь меньшего из сегментов с хордой АС.
111.	В окружности радиуса 8 взята хорда АВ длины 10. Пусть М —
середина АВ и CD — хорда, проходящая через точку М. В каком
отношении (большем единицы) точка М может делить хорду
СВ?
112.	В окружности хорды АВ и CD пересекаются в точке М. Рассто-
яние от центра О данной окружности до хорды АВ равно \/29.
Известно, что \СМ| = 12, \МВ| = 8, | AM|: \МВ| = 1:6. Найдите:
а) |АВ|; б) длину большей из дуг АВ; в) площадь меньшего
из сегментов АВ.
113.	Наибольшее расстояние от точки М до точек окружности ради-
уса 6 и центром О равно 14. Через точку М проведена секущая,
длина отрезка KL которой внутри окружности равна 4. Найдите:
а) |МВ|; б) площадь части круга, заключенной между прямыми
KL и МО.
114.	Основание АВ равнобедренного треугольника АВС является
хордой окружности, которая касается прямых С А и СВ в точках
А и В. Известно, что АС В = и |АВ| = 6 см. Найдите:
а) длину большей из дуг АВ этой окружности;
б)	площадь той части треугольника АВС, которая лежит вне
данной окружности.
115.	В треугольнике АВС, в котором |АВ| = 7, |ВС| = 6, |АС| = 5,
вписана окружность, которая касается сторон АВ и АС в точках
соответственно К и L. Найдите: а) периметр криволинейного
треугольника AKL\ б) площадь этого треугольника.
116.	Найдите площадь круга, вписанного в треугольник АВС, если
|АВ| = 5, |ВС| =4, В = тг - arcsin |.
§2. Вписанная и описанная окружности
143
117.	В круге с центром О и радиусом 6 проведены две параллельные
хорды, удаленные от О на расстоянии 2 и 3. Найдите площадь
той части круга, которая заключена между этими хордами.
118.	В круге из одной точки окружности проведены две хорды, со-
ставляющие угол 120°. Найдите площадь части круга, заклю-
ченной между ними, если длина каждой хорды равна 4 см.
119.	Найдите периметр и площадь фигуры, определяемой в декарто-
вых координатах следующей системой:
х2 + у2 < Ау — 4т - 3,
120.	В системе координат даны окружность ш, определяемая уравне-
нием х2 4- у2 = 4т — 2у + 20, и прямая р, проходящая через точки
А(—9; 1) и В(12; 4).
а)	Докажите, что р и w пересекаются.
б)	Найдите длину соответствующей хорды.
в)	Найдите площадь меньшего из сегментов, отсекаемого прямой
р от соответствующего круга.
г)	Найдите координаты точки М, равноудаленной от центра ок-
ружности ш и концов вышеуказанной хорды.
121.	Найдите площадь фигуры, определенной в системе координат
х2 + у2 < 25,
следующей системой: <
т2 4- у2 28у — 4т — 75.
§ 2.	Вписанная и описанная окружности
122.	Найдите площадь равнобедренного треугольника, если центр
вписанной в него окружности делит высоту, проведенную к осно-
ванию, в отношении 3:2, считая от вершины, и боковая сторона
равна 6.
123.	Найдите периметр прямоугольного треугольника, если точка ка-
сания вписанной в этот треугольник окружности делит гипоте-
нузу на отрезки длиной 3 см и 7 см.
124.	В треугольнике АВС радиус вписанной окружности равен 6 УОД;
|АВ|: |ВС|: |АС| =4:7:9. Найдите:
а) периметр треугольника;
б)	|L4|, где I — центр указанной окружности.
144
Глава 4. Окружность и круг
125.	В треугольнике АВС |= 5, |ВС\ =8, A — arccos Найдите:
а) радиус вписанной окружности;
б)	площадь треугольника;
в)	расстояние от центра вписанной окружности до центроида.
126.	В треугольнике АВС |.4В| = 7, |ВС\ = 6, В = 60°. Найдите: а) та-
б) длину дуги окружности ша, заключенной внутри угла СОаА.
127.	В треугольнике АВС |ЛВ| =6, г —	. тс ~	. Найдите:
а) ть; б) S(ABC).
128.	В треугольнике АВС |ЛВ| = 11, |ВС| = 9, |АС| = 8. Пусть окруж-
ность wc этого треугольника касается прямой ВС в точке К; N —
точка Нагеля этого треугольника. Найдите:
а) гс; б) |AZ<|; в) |CW|.
129.	В треугольнике АВС |ЛВ| =4; |ЛС| =5, го = 4\/б. Найдите:
а) г; б) |ОО„|; в) |ОЯОС|.
130.	В треугольнике АВС радиус вписанной окружности равен
\/3 см. а радиусы га, гь, гс вневписанных окружностей относятся
как 10:15:6. Найдите периметр треугольника.
131.	В треугольник АВС, в котором |ЛВ| = 7, |ВС| = 9, |АС| = 12,
вписана окружность. Через центр этой окружности — точку О —
проведена прямая, параллельная АС, которая пересекает сто-
роны АВ и ВС в точках К и L. Найдите радиус окружности,
описанной около треугольника KBL.
132.	Докажите, что в любом треугольнике выполняются равенства:
4Я
a) Пдг = —; б) га 4- гь 4- гс = 47? 4- г, где R — радиус окруж-
ности, описанной около данного треугольника; г — радиус впи-
санной окружности; та, гь, тс— радиусы вневписанных окруж-
ностей; П .у — произведение отношений Чевы для точки Нагеля.
133.	В треугольнике АВС |АВ| =5, |ЛС| =8, |ВС| =7. Найдите рас-
стояние между ортоцентром и центром Оа вневписанной окруж-
ности.
134.	Докажите, что в прямоугольном треугольнике с катетами а
и Ь числа та и гь являются корнями квадратного уравнения
х2 + (г — гс)т 4- г • тс = 0.
135.	Докажите, что во всяком треугольнике выполняются следующие
равенства:
а) га • гь — г • гс= х(а2 4-62 — с2); б) S =
§ 2. Вписанная и описанная окружности
145
136.	В треугольнике АВС |АВ| = 5, |ВС| = 7, В = arccos^- 35);
К € АВ, |АК\ = 2; L € ВС, |С£| = 3; Т G KL, |Л'Т|: \TL\ = 1:2;
(ВТ) П (АС) = Е. Найдите:
а) |АЕ|:|ЕС|; 6) пр^ВЕ; в) |О/|; г) |ООа|.
137.	Докажите, что треугольник является равнобедренным тогда
и только тогда, когда какие-либо два отрезка Нагеля этого
треугольника равны.
138.	Сумма двух противоположных сторон описанного четырехуголь-
ника равна 16 см, а длина окружности, вписанной в этот че-
тырехугольник, равна 8тг см. Найдите площадь этого четырех-
угольника.
139.	Четырехугольник ABCD описан около окружности радиуса
4 см. Известно, что |АВ|: \CD| = 3:5 и | AD|: |ВС| = 1:3. Найдите
длины сторон этого четырехугольника, если его площадь равна
40 см2.
140.	Дана прямоугольная трапеция, в которую можно вписать окруж-
ность. Найдите ее радиус, если длины оснований трапеции равны
а и b (а > Ь).
141.	В трапеции ABCD А = 90°, 6 = 60°, |С£>| =4\/3. Найдите пло-
щадь этой трапеции, если в нее можно вписать окружность.
142.	В треугольнике АВС периметр равен 18. К окружности, вписан-
ной в треугольник, проведена касательная, параллельная сто-
роне АС. Ее отрезок, заключенный внутри треугольника, равен
2. Найдите |АС|.
143.	В равнобедренную трапецию с основаниями 3 и 7 можно вписать
окружность. Найдите:
а)	площадь трапеции;
б)	расстояние от центра указанной окружности до боковой сто-
роны трапеции.
144.	Дана трапеция ABCD. в которой |АВ| = 5, |ВС| =4, |CD| = 9.
Известно, что в эту трапецию можно вписать окружность. Най-
дите длину этой окружности.
145.	Дана окружность радиуса 6 см. Найдите: а) периметр пра-
вильного треугольника, описанного около этой окружности;
б) площадь правильного шестиугольника, описанного около этой
окружности.
146.	В системе декартовых координат даны точки А, В, С. Составьте
уравнение окружности, вписанной в треугольник АВС, если:
146
Глава 4. Окружность и круг
а)	Л(-2у^; —2х/2 - 4); В(-2ч/2; 2у/2 + 4); С(4; 0);
б)	Л(0; -8); 23(0; 0); (7(6; 0);
в)	Л(7; -5); В(-10; -5); cf-4 ю|\
147.	Около треугольника АВС, в котором одни из углов в два раза
больше другого и на 20° меньше третьего, описана окружность.
Через вершины треугольника к этой окружности проведены ка-
сательные, которые попарно пересекаются в точках Ль В\, Ci,
Найдите меры углов треугольника Л1В1Сь
148.	В окружность радиуса 4 вписан шестиугольник, одна из сторон
которого равна 2\/2, а остальные равны между собой. Найдите
углы этого шестиугольника.
149.	Дан треугольник АВС, в котором |ЛС| = 6, ВС — 7, C=arccos
Около этого треугольника описана окружность с центром О.
Найдите: a) |OZ|; б) |О7|; в) |О(Л|-
150.	Отрезок АВ, длина которого равна 10, является диаметром ок-
ружности. На этой окружности по разные стороны от прямой
АВ взяты точки С и D так, что |ВС| = |7?77| — 6. Найдите рас-
стояние между центрами вписанной и описанной окружностей
треугольника ACD.
151.	Дан треугольник АВС, в котором |ЛВ| = 3, |7?С|=5, |ЛС| = 6,
М — середина АС. Прямая ВЫ пересекает окружность, описан-
ную около данного треугольника, в точке К. Найдите:
а) |Л7С|; б) |СА'|; b)S(ABCK).
152.	В треугольнике АВС |ЛС| = 7, |ЛВ| = 2\ВС1,	— а) Най-
дите |ООь|. б) Пусть биссектриса угла А пересекает описанную
окружность ш в точке D. Найдите | Л£>|.
153.	В треугольнике АВС | ВС\ = 10, sin С : sin В — 1 : 3, S(ABC) =
= 4уТ1, Р(ЛВС)еН. Найдите: а) |СН|; б) |ООС|; в) |ОН|.
</7Q
154.	В треугольнике АВС та : ть: гс = 4 :6:3 и |О/| = ——. Найдите:
a)	|OZ|;
б)	площадь круга, описанного около данного треугольника.
155.	В треугольнике АВС |ЛВ| = 7, |В(7| = 10, г = \/б. Биссектриса
угла С пересекает описанную около этого треугольника окруж-
ность в точке D. Найдите: а) |С£>|; б) S(ADBC).
156.	Дан диаметр АВ некоторой окружности; точки С и D лежат
на этой окружности по разные стороны от АВ. Известно, что
|ЛС7| = 3, |ДС| =4, \AD\ = 2. Найдите |С£>|.
§ 2. Вписанная и описанная окружности
147
157.	Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что
|ЛВ|=5, |ВС| =9, |ЛС| =8, |А0|=3|С£>|. Найдите |ВВ|.
158.	Четырехугольник ABCD вписан в окружность радиуса Я;
|ЛВ| = |ВС|, \AD\ = 6, |С£>|=4. 8(ЛВСО) = ^^. Найдите:
а) |ЛВ|; б) |ЛС|; в) \BD\- г) R.
159.	Дан треугольник АВС, в котором | ЛВ| = 7, |ЛС| = 9, |ВС| = 4.
Около этого треугольника описана окружность и па ее дуге АС
взята точка D (В и D по разные стороны от ЛС) такая, что
\CD| = 2|ЛВ|. Найдите:
а) В(ЛВСВ); б) 8(ЛВСО): в) |ВВ|.
160.	В треугольнике АВС С = 30°, А = 45°; высота BD равна 5 см.
На отрезке BD. как на диаметре, построена окружность, пере-
секающая стороны АВ и ВС в точках Е и F соответственно.
Найдите S(BFDE).
161.	Дана окружность радиуса 4 с.м.. Найдите:
а)	площадь правильного треугольника, вписанного в эту окруж-
ность;
б)	периметр квадрата, вписанного в эту окружность.
162.	Около правильного шестиугольника описана окружность и около
этой окружности описан правильный треугольник. Найдите пло-
щадь этого шестиугольника, если площадь треугольника равна
6,75 см2.
163.	Около правильного треуголышка описана окружность. Около
этой окружности описан квадрат. Найдите отношение площади
треугольника к площади квадрата.
164.	Составьте каноническое уравнение окружности, описанной около
треугольника ЛВС, где:
а)	Л (1: 0); 8(5; 0); С(3: 2 + 2>/2);
б)	Л(—2; 0); 8(0: -8); <7(6: -8);
в)	Л(—1; -3); В(5; 1); С(17; -17).
165.	Вписанный четырехугольник называется гармоническим, если
произведения длин его противоположных сторон равны. Дока-
жите, что в гармоническом четырехугольнике каждая диагональ
делится точкой их пересечения в отношении, равном отношению
квадратов длин прилежащих к этой диагонали сторон данного
четырехугольника.
148
Глава 4. Окружность и круг
§ 3. Взаимное расположение окружностей. Кривые второго
порядка
166.	Даны окружности Wi(Oi; rj) и cu2(<92; г2). Найдите длину общей
хорды этих окружностей, если:
а) П=4, т2=6, |OiO2| = 8; б) r^vTf, r2=3, |(?iO2|=J
167.	Окружности гд) и cu2(O2; г2) пересекаются, а—длина их
общей хорды. Найдите г2, если:
а) п = 15, |OiO2| = 25, а = 24; б) п = 15, |OiO2|=17, а= 18.
168.	Окружности wi(Oi; г,) и ш2(О2; г2) пересекаются, а — длина их
общей хорды. Найдите |О1О2|, если:
а) п = 20, т2 = 15, а. = 24;	б) и = 17, г2 = 20, а = 30.
169.	В угол, мера которого равна 120°, вписаны окружности радиусов
2 и 4.
а)	Докажите, что эти окружности пересекаются.
б)	Найдите длину их общей хорды.
170.	В угол АОВ, мера которого равна 60°, вписана окружность ра-
диуса 4, а в смежный угол АОС вписана окружность радиуса 8.
Найдите: а) расстояние между центрами Oi и О2 этих окруж-
ностей; б) расстояние между точкой пересечения прямых OiO2
и ВС и точкой О.
171.	Окружности радиусов 6 и 4 пересекаются; длина отрезка их
общей касательной между точками касания равна 2д/3. Найди-
те: а) длину общей хорды; б) расстояние от центра меньшей
окружности до точки пересечения общих касательных данных
окружностей.
172.	Даны окружности шДОх; ?д) и ш2(О2; г2). Для каждой из общих
касательных этих окружностей найдите длину отрезка между
точками касания,если:
a) T1 =5, т2 = 1, |OiO2| - 5; б) п =6, r2 = 3, |О1О2| =9;
в) Г1 =4, г2 = 3, |О1021 = К).
173.	Даны взаимно перпендикулярные прямые а и Ь. Окружности
wi(Oi; 4) и w2(O2; 1) касаются каждой из этих прямых. Найдите
hw.
174.	Дан треугольник АВС, в котором |ДС| — 8, А = агссозЦ,
С = arccosyy. Пусть си — вписанная в этот треугольник окруж-
ность и Wi — окружность, касающаяся сторон АВ и ВС данного
треугольника и окружности ш. Найдите радиус окружности од.
§3. Взаимное расположение окружностей. Кривые второго порядка 149
175.	В угол, мера которого равна arccos^, с вершиной О, вписаны
окружности u?i(Oi; 2) и о?2(02; г), которые касаются друг друга.
Найдите: а) г; б) |О2О|.
176.	Даны три окружности o>i(Oi;2), о72(О2; 3), о7з(Оз; 4), кото-
рые попарно касаются друг друга внешним образом. Найдите
5(О1О2Оз).
177.	Окружности wi(Oi;2) и о72(О2: 3) касаются друг друга внеш-
ним образом и обе касаются внутренним образом окружности
о?з(Оз; ’’)• Известно, что S(OiO2Oi) = г. Найдите г.
Даны окружности a>i(Oi;ri) и оДСЬ; т-2)- Пусть (A'L)— внешняя
общая касательная этих окружностей, где A'Go>i, L € и?г; (MN)-
внутренняя общая касательная, М Сод, N € О72; (KL)n(OiO2) = Р,
(MN)n(OxO2) = Q.
Найдите (178-180): a) |FOi|; б) |FQ|; в) |АГА|; г) |КМ|:
178.	п=4, г2=3, |О1О2| = Ю.
179.	n=l, r2 = 5, |OiO2|=8.
180.	п = 2, г2 = 4, |OiO2| = 12.
Даны окружности o7i(Oi;t-i) и о72(О2; гД- Пусть (A'lLi) и (А'2А2)
внешние общие касательные этих окружностей, где К\ G o7j, К2 Сод,
L\ € сиг, L2 € о?2; МN — отрезок внутренней касательной, где М € А'Д]
и N&K2L2$	(MN)C\(OiO2) = Q.
Найдите (181—183): a) |О2А',|; б) |OiM|; в) |A'iA’|; г) S(OiMO2):
181. и =5, 7-2 = 3, |OiO2| = 8.
182. n = 2,7-2 = 4, |OiO2|=6.
183. n=6, r2 = 4, |OiO2| = 10.
Даны окружности оДОи тд) и л2(О2-,г2). Пусть (A'iAi) и (K2L2) —
внешние общие касательные этих окружностей, где Ад Go7i, К2 Go»i,
Ai G072, L2 Go?2j (A'iLi) П (OiO2)= P
Найдите (184—186): a) |OiP|: 6) |AiA2|; в) |A"ji’ii|;r) S(A'iAjL2K2):
184. n = 5, r2=4, |OiO2|=4.
185.	n=5, r2 = 2, |OiO2|=5.
186.	n =3, r2=6, |OiO2|=8.
Даны окружности o7i(Oi; тд) и oj2(O2; г2). Пусть p общая касатель-
ная этих окружностей; М — общая точка этих окружностей; q — пря-
мая, которая проходит через точку О\ и касается окружности о>2 в точ-
ке ЛГ; р Г) q = L.
150
Глава 4. Окружность и круг
Найдите (187-189): а) \MN\-, б) |ЯГ|; в) |O2L|; г) S(O2NLM)-.
187.	п=6, г2 = 2, |OiO2| = 4.
188.	п=8, г2=3, |О1О2|=5.
189.	и =9, r2 = 3. |OiO2| = 6.
190.	Даны окружности wi(Oi;5) и ш2(О2; г2), где г2 > 5 и r2 € Q,
которые касаются внешним образом. Их общие внешние каса-
тельные пересекаются под углом 60°; К—точка их пересечения,
L-- точка касания внешней общей касательной окружности ш2.
Найдите: а) г2; б) |О2Л'|; в) |OiL|; г) р(О2; (СЛ L)).
191.	Окружности радиусов 5 см и 3 см пересекаются; расстояние
между их центрами равно 6 см. Проведены две общих каса-
тельных и две касательных, параллельных общей хорде (которые
с объединением окружностей имеют единственную общую точ-
ку). Найдите:
а)	площадь образовавшейся трапеции;
б)	отношение площадей частей этой трапеции при пересечении
ее прямой, содержащей общую хорду.
192.	В системе координат даны две окружности: а:2 4- у2 4- 28 = 12у;
х2 4- у2 4- 14 = 8х. Составьте уравнения внешних общих касатель-
ных.
193.	Найдите площадь треугольника, образованного тремя общими
касательными к окружностям х2 4- у2 = 4 и х2 4- у2 = 6а; + 8у — 16.
Составьте уравнения всех общих касательных данных окружностей
(194—196):
194.	х2 4- у2 = 5, х2 4- у2 = 12х 4- 4у — 35.
195.	х2 4- у2 = бу — 6а; — 9, х2 4- у2 = 2х 4- бу — 9.
196.	х2 4- у2 — 6х 4-7. х2 4- у2 = 18х — 53.
На плоскости даны точки А и В. Найдите геометрическое место
точек М плоскости, для которых выполняется следующее условие
(197—202):
197.	|МЛ|24-|МВ|2 = 12, |ЛВ|=4.
198.	|МЛ|2 4- |МВ|2 = 32, |ЛВ|=8.
199.	2\МА\2 + \МВ\2 = 33, |ЛВ| = 6.
200.	\МА |2 + 3|МВ|2 = 100, |ЛВ| = 10.
201.	\МА\ = 3\МВ\, |.4В| = 16.
202.	|МВ| = 2|МА|, |А£?| = 9.
§3. Взаимное расположение окружностей. Кривые второго порядка 151
На координатной плоскости даны точки А, В, С. Среди всех точек
М плоскости, удовлетворяющих данному условию, найдите точку,
ближайшую к точке С (203—205):
203.	А(—1; -5); В(1; 3); С(0; 0); |АМ|2+|ВМ|2 =36.
204.	А(4; 0); В(-2; 6); С(-5; -7); |АМ|2+|ВМ|2 =40.
205.	А(2; —6); В(0; 2); С(5; 3); |АМ|2 + |ВМ|2 = 66.
Пусть D — некоторая точка прямой АВ, определенная следующим
условием. Найдите множество точек М плоскости, для которых
выполняется данное равенство (206—208):
206.	AD = DB, |АВ| = 4, |МА|2 +|1И£>|2 + |МВ|2 = 71.
207.	BD + 2AD = 0*, |АВ\ = 6, \МА\2 + 21Л/Z?|2 + |МВ|2 = 48.
208.	AD = 3BO, |АВ|=8, |Л-Ы|2 + 3|Л/В|2 - |МО|2 = 6.
Составьте каноническое уравнение эллипса, фокусы которого
находятся в точках Fj и F? и которому принадлежит точка М
(209-212):
209.	Л(-4; 0); F2(4; 0); М(-4; 1,8).
210.	Л(0; -3); F2(0;3); Л/(УЗ;-^).
211.	Fi(-l;-3); F2(3;-3); Af(2;-3-^y^).
212.	Fi(l; -1); F2(l; -5);	-4).
213.	Составьте уравнение эллипса, если его центр совпадает с цен-
тром окружности х2 + у2 + 4я: = 2; точка Л/(1; 1) лежит на эл-
липсе и сумма квадратов полуосей эллипса равна 16.
Составьте каноническое уравнение эллипса, фокусы которого
находятся на данной прямой и проходящего через данные точки
А, В и С (214—215):
214.	х=-2, А(-4:3); в(-1;	с(-3; G+/^).
215.	j/ = 3, А(1-2\/2;2); В(1+2у/2; 4), С(1;3-\/3).
Найдите координаты фокусов эллипса, имеющего центром данную
точку О, проходящего через данную точку М и полуоси которого
удовлетворяют данному условию (216—217):
216.	0(2; -1); Л/(4; -2,(6)), а2 + 1 =262.
152
Глава 4. Окружность и круг
217.	О(—2; 2); М(-4; 4 ^). 2а2 = 7 + Ь2.
Докажите, что данные уравнения определяют эллипсы и найдите
координаты их фокусов (218—219):
218.	5х2 + 3у2 + 6у = 27.
219.	2а;2 + Зу2 = 12х — бу + 3.
Найдите каноническое уравнение геометрического места точек М
плоскости, для которых выполняется данное условие (220—221):
220.	|MFi| + |MF2| = 10, где Fi(3;-1), F2(3; 5).
221.	\MFj | + iJWFal = 12, где Ft(-6; 2), F2(4; 2).
Составьте каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой
находятся в точках Fi и F2 и которой принадлежит точка М.
Найдите уравнения асимптот гиперболы (222—225):
222.	F,(-3; 0). F2(3: 0), Л/(—ДО; -2).
223.	Fi(0; -1), F2(0; 3), М(Д; 1 + 2>/3).
224.	Fj(-6;4), F2(2; 4), М(-2+Дб; 4-Д).
225.	Fi(l;-2), F2(l: 8), Л/(1 + 2Д; -1,5).
Составьте каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой
совпадают с фокусами данного эллипса и проходящей через данную
точку М (226—228):
226.	У + у = 1; М(6;-Д3).
227.	х2 + 4х + бу2 + 24у = 2; М (-7; -2 -	.
228.	4а:2 — 8х + у2 — бу + 1 = 0; Л/(3,5; 6).
Докажите, что данные уравнения О1гределяют гиперболы. Найдите
координаты их фокусов и уравнения асимптот (229—232):
229.	4.т2 =3(у2 +12).
230.	у2-За:2 = 12(2-ж).
231.	х2 - у2 = 4(9 - х - у).
232.	9а:2 — 4у2 — 36а: —8у = 4.
§3. Взаимное расположение окружностей. Кривые второго порядка 153
Составьте каноническое уравнение гиперболы, асимптотами которой
являются данные прямые и проходящей через данную точку М
(233—235):
233.	у = 1,5® - 3; у = -1,5® + 3; М{2 4- 2\/2; -3).
234.	Зу-4х 4-3 = 0; Зу4-4х4-3 = 0; М(3\/2; 4у/3- 1).
235.	Зу —2x4-11 =0; Зу 4-2® 4-7 = 0; М(7; -3- >/15).
236.	Составьте каноническое уравнение гиперболы, центр которой на-
ходится в точке (—3; —2), один из фокусов находится в точке
F(—3 4- л/4Т; —2) и одна из асимптот имеет уравнение 4у 4- 5х 4-
4-23 = 0.
237.	Составьте каноническое уравнение эллипса, фокусы которого
совпадают с фокусами гиперболы 4т2 — 8х — 5у2 — 10у = 21
и проходящего через точку М ^0; -1 - —-=^.
238.	Составьте каноническое уравнение гиперболы, фокусы которой
совпадают с фокусами эллипса Зх2 4- у2 4- 6х — 4у 4-1 = 0 и про-
ходящей через точку М(2; 4).
Найдите каноническое уравнение множества точек М плоскости, для
которых выполняется данное условие (239—240):
239.	||MFi|-|MF2||=6, где Fi(l-2\/3; -1); F2(14-2\/3; -1).
240.	||MFi|- |MF2|| = 4y/2, где Fi(3; -3); F2(3; 5).
Составьте каноническое уравнение параболы, директрисой которой
является данная прямая и фокус которой находится в данной точке
F (241—242):
241.	а) ® = —2; F(l;-2);	б) у = 2; F(3; -4).
242.	а) у = 2; F(2; 6);	б) х = 1; F(-4; 1).
Найдите уравнение директрисы и координаты фокуса параболы,
определенной данным уравнением (243—244):
243.	а) у2 4-6x4-12 = 0;	б) у = -2®2 - 4x4-1.
244.	а) х2=4(2у —х — 1);	б) у2 =4(х4-у 4-1).
245.	Составьте уравнение гиперболы, один из фокусов которой сов-
падает с фокусом параболы у2 4- 4у 4- 8х — 60 = 0 и асимптоты
имеют уравнения Зу — 4х 4-10 = 0 и Зу 4- 4х 4- 2 = 0.
246.	Составьте каноническое уравнение параболы, вершина которой
находится в нижнем фокусе эллипса Зх2 — 12® 4- у2 — 2у 4- 7 = 0
и фокус которой находится в верхнем фокусе этого же эллипса.
154
Глава 4. Окружность и круг
247.	Составьте каноническое уравнение параболы, вершина которой
находится в одном из фокусов гиперболы х2 — 2?/2=4(2 — Зу + 2а:)-
директриса параболы проходит через второй фокус гиперболы
параллельно оси ординат и точка М(3; 3 — 2\/3) лежит на пара-
боле.
Глава 5
Преобразования плоскости
§ 1. Перемещения плоскости
248.	На плоскости даны точки А и В. Известно, что |АВ\ = 6. При
некотором перемещении f плоскости образами точек А и В яв-
ляются точки А' и В' соответственно. Известно, что |АА'| = 8.
Найдите наименьшее и наибольшее возможные значения вели-
чии: а) |А'В|; б) \В'В\.
249.	На плоскости даны точки А и В. При некотором перемещении f
плоскости образами точек А и В являются соответственно точки
А' и В'. Известно, что | АВ| = 6 и |В1 В| = 20. Найдите наименьшее
и наибольшее возможные значения величин: а) |АВ'|; б) |АА'|.
250.	На плоскости даны точки А и В: М — середина АВ: |АВ| = 8.
При некотором перемещении f плоскости образами точек А, В, М
являются соответственно точками А', В', М'. Известно, что
|АА/'| =4. Найдите наименьшее и наибольшее возможные значе-
ния величин: а) |АА'|; б) |Л/В'|.
251.	В декартовой системе координат даны точки А(2; 4) и В(-2; 0).
При некотором перемещении плоскости эти точки переходят со-
ответственно в точки А'(3: —1) и В', причем точка В' лежит на
оси ординат. Найдите координаты образа середины отрезка АВ
при этом перемещении.
252.	В декартовой системе координат даны точки А(2; 1) и В(-2; -2).
При некотором перемещении плоскости эти точки переходят со-
ответственно в точки А'(—1: 3) и В'(—1; 8). Найдите координаты
образа точки М(3; 1) при указанном перемещении.
253.	В системе декартовых координат даны точки .4(0; 4) и А(3; 0).
При некотором перемещении / плоскости точка А отображает-
ся в точку А'(4; 0) и точка В' = f(B) лежит на одной из осей
координат. Найдите координаты точки О', являющейся образом
начала координат при данном перемещении.
254.	В системе декартовых координат дана прямая у = х + 3. При
некотором перемещении плоскости эта прямая отображается на
156
Глава 5. Преобразования плоскости
прямую у = —2х. Известно, что точка А(1; 4) имеет своим обра-
зом точку А'(—1; 2). Найдите при данном перемещении образы
точек: а) В(-3; 0); б) (7(0; 3).
255.	В системе декартовых координат прямая З.т + 4у — 4 = 0 при
некотором перемещении отображается на прямую х = —2. Най-
дите уравнение образа прямой За; 4- 4у = 0 при этом же переме-
щении.
256.	Дан треугольник АВС, в котором А — 90°, В = arccos |, |ВС| = 9.
При некотором перемещении / плоскости точка А отображается
в середину отрезка АС, а точка С отображается в некоторую
точку С' — f(C), принадлежащую прямой АС, причем |АС'| < 12.
Найдите все возможные значения для а) \ВС|; б) |ВВ'|.
257.	Дан треугольник АВС, в котором |АВ| = |ВС| = 8, |АС| = 12.
При некотором перемещении f плоскости точка А отображается
в точку В, а образ В' точки В принадлежит прямой ВС. Найдите
все возможные значения для |АС'|.
258.	Дан треугольник АВС, в котором |АВ| = 7, |ВС| = 5, |АС| = 8.
При некотором перемещении f плоскости известно, что /(А) —
середина АС и /(В) е (АС). Найдите:
а) р(/(С); А); б) р(/(В); О),
где О — центр окружности, описанной около данного треуголь-
ника.
259.	Дан квадрат ABCD с длиной стороны 2. При некотором пере-
мещении плоскости точка А отображается в точку В и точка В
отображается в точку С. Найдите: а) |АС'|; б) S(A'D’D).
260.	Дан прямоугольник ABCD, в котором |АВ| =3, |АВ| =4. При
перемещении f плоскости точка А является неподвижной точкой
и B'<=AD. Найдите: а) |СС'|; б) ((ВСОДСВ')).
261.	На координатной плоскости дано отображение f плоскости в
х' = у + 2,
себя:	,
у =-х + 1.
а)	Докажите, что f является перемещением.
б)	Найдите расстояние между точкой М(3; —1) и ее образом при
указанном отображении.
в)	Найдите площадь фигуры, являющейся пересечением фигуры
F, определенной неравенством х2 + у2 < 4.Z' + 5, и прообразом
этой фигуры при данном отображении.
§ 1. Перемещения плоскости
157
262.	На координатной плоскости дано отображение f плоскости в се-
{х' =4 - х,
У = ~У>
а)	Докажите, что f является перемещением.
б)	Найдите расстояние между прямой 6х + у — 6 = 0 и ее образом
при указанном отображении.
в)	Найдите площадь пересечения треугольника АВС,
где А(0; 0), В(4; 6), С(4; -2), и его образа при указанном отоб-
ражении.
263.	В системе декартовых координат дана прямая р, определяемая
уравнением За: + 2у — 6 = 0. При параллельном переносе <р плос-
кости точка А(—3; 1) переходит в точку А'(1; 3). Найдите уравне-
ние прямой р', являющейся образом прямой р при отображении
264.	В системе декартовых координат даны точки А(1; 2), £?(—3; 0),
М(-4; 2), JV(3; -1). Найдите:
а)	образ точки А при параллельном переносе плоскости на вектор
~а = 2ВМ+ NM;
б)	расстояние между прямой АВ и ее образом при параллельном
----------------------------->
переносе плоскости на вектор М N.
265.	Параллельный перенос плоскости переводит точку (—1; 2) в точ-
ку (3; —1). Найдите уравнение образа окружности х2 + у2 —4х
при этом переносе.
266.	Дан правильный треугольник АВС с длиной стороны о; О
центр этого треугольника. Пусть треугольник А'В'С — образ
данного треугольника при параллельном переносе плоскости на
-------------->
вектор АО. Найдите:
а) |АС'|; б) ((АС"); (ВС)); в) S(ABCUA'B'C).
267.	Дана окружность радиуса г, в которую вписан квадрат ABCD.
Найдите площадь пересечения данного круга и его образа при
параллельном переносе плоскости на вектор АВ.
268.	В декартовой системе координат даны прямая р, определяемая
уравнением 2х + 4т/ - 7 = 0 и точка Q(-2; 0). а) Составьте урав-
нение образа р' прямой р при центральной симметрии плоскости
с центром Q. б) Найдите расстояние между прямыми р и р'.
269.	В системе координат даны точка Q(—2; 1) и прямая р своим
уравнением 2х — Зу — 6 = 0. Пусть р' = Sq(p). Найдите:
а) р(р; р');
158
Глава 5. Преобразования плоскости
б)	площадь равностороннего треугольника, две вершины которо-
го принадлежат одной из указанных прямых и третья вершина —
другой;
в)	расстояние от начала координат до прямой р'.
270.	В системе координат даны точка А(-2; 0) и А'(4; 6), где А' =
= Sp(A). а) Выразите координаты х', у' образа М' = 5д(М) про-
извольной точки Л/(х; у) плоскости через х и у. б) Найдите
уравнение образа прямой 2х + Зу + 6 = 0 при центральной сим-
метрии плоскости с центром Р.
271.	Пусть О — центр правильного треугольника АВС с длиной сто-
роны а и А'В'С—образ этого треугольника при центральной
симметрии плоскости с центром О. Найдите:
а) |А'В|; б) S(ABCnA'B'C’).
272.	Дан прямоугольник ABCD, в котором |АД| = 2, |А£)| = 4. Пусть
А'В'CD'—образ этого прямоугольника при центральной сим-
метрии плоскости с центром В. Найдите:
а) |АГ>'|; б) р(А; (СА')).
273.	Дан параллелограмм ABCD, в котором |АВ| = 4, |АД| = 3,
А — АС П BD = О. Пусть A'B'C'D' — образ этого паралле-
лограмма при перемещении Sp плоскости. Найдите:
а) |ОС"|; б) S(BB'A').
274.	В системе декартовых координат даны прямая р: 2х — у + 3 = 0
и точки А(—1; 3), В(1; -1). Пусть р' = 5л(р) и р" = SB(p). Най-
дите р(р', р").
275.	В системе координат даны точки Л (0; 4), Р2(-1; —2) и уравнение
прямой а: х + 2у + 4 = 0. Пусть f = Sp,o Sp2. Найдите:
а) уравнение прямой а', являющейся образом прямой а при отоб-
ражении /;
б)	расстояние между прямыми а и а'.
276.	В системе координат даны точки А(1; 2), В(-2; 4), С(-3;-2),
Л1(3; —1). Найдите координаты точек М' =	° SB)(M) и
ЛГ = (5во^о5д)(М).
277.	Дан правильный треугольник АВС с длиной стороны а. Рас-
сматривается перемещение f = So °	> где О — центр данного
треугольника, ~а =АС. Пусть A' — f(А) и В' = f(B). Найдите:
а) |АА'|; б) \ВВ'\-, в) |А'В|.
278.	Дан параллелограмм ABCD, в котором |АВ\ = 4. |А£>| = 8,
А = 60°: АС П BD = О. Пусть f — Spo So и А' = /(А). Найдите:
§ 2. Подобия плоскости
159
а) |ВА'|; б) S(ABCA').
279.	В системе декартовых координат даны прямые р, q, а своими
уравнениями соответственно: 2х — у + 5 = 0, х + 2у = 0, Зх — 2у +
+ 6 = 0. Найдите уравнения прямых, являющихся образами пря-
мой а при перемещениях: a) SQ; б) SqoSp.
280.	В системе координат даны прямая р: Зх + 5у — 13 = 0 и точка
Л/(1; — 1). Найдите:
а)	образ точки М при осевой симметрии плоскости относительно
прямой р;
б)	уравнение образа прямой р при центральной симметрии плос-
кости относительно точки М.
281.	Дан треугольник АВС, в котором |АВ| = 6, |ВС| = 7, |АС| = 5.
Рассматривается перемещение f = о S(ac)- Пусть А'В'С —
образ данного треугольника при этом перемещении. Найдите:
а) |ВС'|; б) р(В; (В'С')).
282.	Дан треугольник АВС, в котором |ЛВ| = 8, |АС| = 5, А = 45°.
При некотором перемещении f этот треугольник отображается
на треугольник А'В'С', где А' — С, С = А. Найдите \ВВ'|.
283.	На координатной плоскости даны точка А(3; 1) и прямая р, опре-
деляемая уравнением у + 2х + 4 = 0. Составьте уравнение пря-
мой р', получаемой при повороте плоскости с центром А на угол
7Г
“2*
284.	Дан квадрат ABCD с длиной стороны а и точкой О пересечения
тт
диагоналей. При повороте плоскости с центром (J на угол
образом данного квадрата является квадрат А'В'CD'. Найдите:
a) S(ABCD П A'B'C'D')-, б) S(ABCD U A'B'C'D').
§ 2. Подобия плоскости
285.	В системе координат даны точки >1(2; -1), Д(-3; 2), С(0; -4).
Найдите:
а)	координаты точки Нд(В);
б)	Яа3(Л);
в)	уравнение образа прямой АС при гомотетии плоскости с цен-
тром В и коэффициентом
286.	На координатной плоскости даны точки Д(3; 1), В(—1; —3),
С(—5;4). Пусть С' = ЯД(С). Найдите:
а)	р(С'; (ВС))-,
160
Глава 5. Преобразования плоскости
б)	уравнение образа прямой АВ при гомотетии плоскости с цен-
тром С и коэффициентом -2.
287.	В системе координат даны вершины треугольника: А(—2;-1),
В(2; 3), С(4; -5). При гомотетии Н^, где М(-2; 2), треугольник
АВС отображается на треугольник А'В'С. Найдите:
a) S(A'B'C); б) р(С"; (АВ)).
288.	Даны подобные треугольники АВС и А'В'С, где А(—1; 3),
В(2; 3). С(-2;0), А'(2; 1), В'(2; —5). Найдите координаты точ-
ки С.
289.	В системе координат даны точки А(—3; —5), 3(1; 3) и прямая р:
х + у = 0. Найдите:
а)	координаты образа точки А при отображении Н^2 о Sp;
б)	уравнение образа прямой р при отображении Нд оНд.
290.	Дан треугольник АВС, в котором |АВ\ = 6, |АС\ — 5, А =
2 \/б
= arcsin —5—. Пусть А'В'С — образ данного треугольника при
центральной симметрии Вд; А" В"С" - образ данного треуголь-
ника при гомотетии Н^2. Найдите:
а) \В'В"\; б) p(Z; (В'В")),
где Z — центроид данного треугольника.
291.	Дана равнобедренная трапеция ABCD, в которой |AD\ — 8,
|ВС| = 2, А = 60°. Рассматриваются преобразования и
о Нд. Пусть А'В'С и А"В"С" образы данной трапеции при
указанных преобразованиях плоскости соответственно. Найдите:
а) |С'О|; б) |С"В|.
292.	В остроугольном треугольнике АВС высоты пересекаются в точ-
ке В; S(ABH) = \/б. Расстояние от центра окружности, опи-
санной около треугольника АВС, до сторон АС и ВС равны
соответственно \/2 и 1. Найдите угол С.
293.	Параллелограмм имеет стороны 1 и 2. Прямая р делит этот па-
раллелограмм на два параллелограмма, один из которых подобен
данному. Найдите отношение площади большего из образовав-
шихся параллелограммов к площади меньшего.
294.	Периметр трапеции ABCD равен 2 дм 8 см; |АВ| на 5 см больше
|ВС|. Прямая р делит трапецию на две подобных и пересекает
стороны АВ и CD в точках соответственно К и L. Известно, что
|AD\ на 3 см больше |ДЛ|. Найдите периметр бблыпей из тех
трапеций, на которые прямая р делит трапецию ABCD.
Образцы вариантов контрольных работ
Контрольная работа № 1
Вариант I
1.	В системе координат даны точки: А(-3; -5), Д(2; 2), С(5; -7).
а) Найдите координаты проекции точки А на прямую ВС. 6) На
прямой АВ найдите такую точку М, что \СМ • АВ\ = 122.
2.	Известно, что |‘а’| = 3, | b — 2"сГ| = \/21. | b + 3"а*| = \/166. Найди-
те: а) |Т|; б) прт_^.(2 Ь + ~а).
3.	В треугольнике АВС: |АВ| = 4\/2, А = 60°, С = arccos(13-0,5);
AM — медиана. Через вершину В перпендикулярно прямой AM
проведена прямая, которая пересекает прямую АС в точке F.
Найдите |AF|.
Вариант II
1.	В системе координат даны точки: А(2: 8), В(5; 1), С(-7; —3),
О(-2; 4). а) Найдите проекцию точки В на прямую АС. б) Най-
дите угол между векторами ~а =2А& — BD и b=B& + WA.
2.	Даны векторы ~р и ~q, для которых известно, что |"р | = 1, |"д*| = 3,
(“р, 7f) = arccosf -з J. Рассматриваются векторы а = 3р — q
v	дГ'тл (-И\/збзб\
и о = х р + 2 q . Известно, что ( а , о ) = arccosl----I.
 '
Найдите: а) х\ б) пр2^>__(2 а - Ь ).
3.	Дан параллелограмм ABCD, в котором |АВ| = 5, |АД| = 7,
A = arccos|; К&ВС, \ВК\: |КС| = 2 :3; L G АВ, |AL|:|LB| = 3:4;
АК C\CL = O. Найдите ((ДАТ); (ВО)).
Контрольная работа № 2
Вариант I
1.	В декартовой системе координат даны материальные точки:
4А(3; 5), тВ(-3; -5), (-2)С(2; -2). Известно, что центр тяже-
сти Z системы этих материальных точек принадлежит прямой
4х 4- у — 1 = 0. Найдите: а) массу т: б) p(Z\ (АС)).
162
Образцы вариантов контрольных работ
2.	Дан треугольник АВС, в котором точка К определяется равенст-
вом : СК = 3:1; L 6 AC, (BL) П (АК) = О, (СО) П (АВ) = М;
СО: МС =-5:9. Найдите: а) В(5: Ut; б) вЯ: АЛ/.
3.	Дан треугольник АВС, в котором |АС| = 5, |ВС| = 6, С =
= arccos(-|). Пусть К 6 АС, |АК| : |2<С'| = 2:3; точка L
определяется равенством cL = 1,5С^; СМ — медиана данного
треугольника; (СМ) П (KL) = Т. Найдите:
а)|СТ|; б)р(Г;(ВС)); в) \IZ\.
Вариант II
1.	Дан параллелограмм ABCD, в котором |АВ| = 4, |АВ| = 6.
|ВВ| =5. В вершинах этого параллелограмма помещены массы:
ЗА, 5В, 1С. 5D. Пусть Zj— центр тяжести ЗА, 5В, 5D; Z?—
центр тяжести 5В, 1С, 5Z); Z — центр тяжести ЗА, 5В, 1С, 5D.
Найдите: a) IZ1Z2I; б) |ZiZ|.
2.	Дан треугольник АВС, в котором К е АВ, |А/С|: |КВ| =3:2;
L G ВС, \BL|: |LC| = 1: 3; AL П СК = Т, (ВТ) П (АС) = М. Най-
дите: а) |АТ\: \TL\-, б) \ВТ\: \ВМ|.
3.	В треугольнике АВС: |АС| = 11, B = arccos(-yj), C = arccos||;
К G АВ, |АК\ : |КВ| =3:1, L — середина ВС, AL П СК — М.
Найдите:
а) |СЛ/|; б) р(М; (АС))-, в) \HZ\.
Контрольная работа № 3
Вариант I
1.	Хорда АВ делит окружность с центром О на две части, гра-
дусные меры которых относятся как 5 : 7. На окружности
—------------------------------- —— —
взята точка С такая, что ВАС = 25°36'. Найдите ВМС, где
М = (АС) П (ВО).
2.	Расстояние от центра О окружности до некоторой хорды АВ
этой окружности равно 3 см. Точка М принадлежит этой хорде
и |АЛ/|: |МВ\ = 3:2. Через точку М проведен диаметр CD; при
этом точка О лежит между С и М и разность между длинами от-
резков, на которые точка М разбивает диаметр, равна 2\/10 см.
Найдите: а) радиус окружности; б) |ВС|.
Образцы вариантов контрольных работ
163
3.	Около треугольника АВС, в котором |АВ| = 3; |АС| = 2\/2,
А = 0,75тг, описана окружность. Найдите:
а)	длину меньшей дуги ВС этой окружности;
б)	площадь части круга, заключенного внутри угла АВС.
Вариант II
1.	Хорда АВ делит окружность на две части, градусные меры ко-
торых относятся как 3:5. Через центр окружности — точку О
проведена прямая р, которая пересекает прямую АВ в точке М.
Известно, что Л/ОВ = 27°44'. Найдите АМО.
2.	Через точку А проведены две касательные к окружности ш;
М и N — точки касания. Известно, что |АЛ/| = 6 и |M.ZV| = 5.
Найдите:
а)	радиус окружности;
б)	длину дуги окружности ш, находящейся вне треугольника
AMN.
3.	В треугольнике АВС, в котором |АВ| = 8; |АС| = 7, А = агссоз д,
вписана окружность. Эта окружность касается сторон АВ и ВС
соответственно в точках К и L. Найдите:
а)	|ЛЧ|; б) площадь криволинейного треугольника KBL.
Контрольная работа № 4
Вариант I
1.	В треугольнике АВС: |АВ| = 11; |ВС| = 7, |АС|=6. Найдите:
а)|Юс|; 6)|OCZ|.
2.	Около четырехугольника ABCD, в котором А = 60°, В = 90°,
ВС А: DC А = 3:5, описана окружность радиуса 3 см. Найдите:
а) периметр данного четырехугольника;
б)	площадь меньшего из сегментов, определяемых хордой AD.
3.	Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Известно, что
|АВ] = 7; |ВС| = 5, |АС| = 10, |AD] = |С£>|. Найдите S(ABCD).
Вариант II
1.	Дан треугольник АВС, в котором |АС| = 8, B = arccos|, А —
= arccos д. Найдите: а) |ОаОс|; б) |ОСО|-
2.	Дан треугольник АВС, в котором |АВ| =5, та : гг = 3 :2, га : г =
— 11:4. Около треугольника описана окружность и проведена
164 Образцы вариантов контрольных работ
биссектриса угла В, которая пересекает эту окружность в точ-
ке D. Найдите: а) |АВ|; б) S(ABCD).
3.	В трапецию ABCD можно вписать окружность. Известно, что
|А£>| = 8, А = 90°, 5 = 60°. Найдите S(ABCD).
Контрольная работа № 5
Вариант I
1.	Дан треугольник ЛВС, в котором \АС\ = 11, |ВС| = 9, B=arccos|.
Найдите радиус окружности, касающейся сторон АВ и ВС дан-
ного треугольника и вписанной в него окружности.
2.	Даны точки А и В, расстояние между которыми равно 4.
Найдите геометрическое место точек М плоскости, для которых
|МА|2 + 2|МВ|2 = 16.
3.	Составьте каноническое уравнение гиперболы, фокусами кото-
рой являются точки Fi(0;-5) и В2(0; 5) и одной из асимптот
является прямая Ау + Зх = 0.
4.	а) Эллипс касается оси ординат в начале координат. Центр эл-
липса находится в точке (5; 0), а один из его фокусов находится
в фокусе параболы у2 = — 8х + 40. Составьте каноническое урав-
нение эллипса.
б) Составьте уравнение гиперболы, сопряженной с гиперболой,
фокусы которой совпадают с фокусами эллипса (см. а)) и точка
М(7; 3) принадлежит ей.
Вариант II
1.	Даны окружности Wi(Oi;7) и w2(O2; 3); |OiO2| = 20. Найдите
расстояние между точкой пересечения их общих внутренних ка-
сательных и точкой пересечения их общих внешних касательных.
2.	Даны точки А и В такие, что |АВ| = а. Точка С определена
>	-—4
равенством АС = ЗВС. Найдите геометрическое место точек М
плоскости (в зависимости от а), для которых |МА|2 + 2|Л/В|2 +
+ |Л/С|2 = 20.
3.	Составьте каноническое уравнение параболы, проходящей через
точку (5; —1) и имеющей своей директрисой прямую у — 5, если
известно, что фокус параболы лежит на прямой х = — 1.
4.	а) Составьте каноническое уравнение гиперболы, асимптоты
которой заданы уравнениями 2у - Зх = 7 и 2у 4- Зх = 1 и один
Образцы вариантов контрольных работ
165
из фокусов которой совпадает с одним из фокусов эллипса
7х2 + 3у2 = 21.
б) Составьте каноническое уравнение параболы, фокус которой
совпадает с левым фокусом гиперболы (см. а)), а вершина нахо-
дится в правом фокусе гиперболы.
Контрольная работа № 6
Вариант I
1.	В трапеции ABCD .4=90°, £> = 60°, |АВ| = |ВС|, |СВ| = 4;
A'B'C'D' — образ данной трапеции при параллельном переносе
плоскости на вектор ВС; A"B"C"D" — образ данной трапеции
при осевой симметрии относительно прямой АС. Найдите:
a) S(ABCD U A'B'C'D')-, б) |£>'D"|.
2.	Дан треугольник АВС, в котором |АВ| = 4, |АС| = 5, |ВС| = 7.
Пусть А!В'С — образ данного треугольника при перемещении
<р = Sc ° Sa', А"В”С" — образ данного треугольника при пово-
роте с центром В на угол в положительном направлении.
Найдите: а) |В'А|; б) |В'А"|.
3.	Даны прямые р и q в системе координат своими уравнениями со-
ответственно: х + Зу + 5 = 0, 2х — у -I- 3 = 0. Составьте уравнение
прямой р', являющейся образом прямой р при осевой симметрии
относительно прямой q.
Вариант II
1.	Дан прямоугольник ABCD, в которой |АВ| =3 см, |АВ| =4 см.
Пусть А'В'СD' — образ данного прямоугольника при осевой
симметрии относительно прямой АС; А" В"С” D" образ дан-
ного прямоугольника при параллельном переносе на вектор сХ
Найдите: a) S(ABCD ПA'B'C'D')-, б) \D'D"\.
2.	Дан треугольник АВС, в котором |АВ| = 6, |АС|=5. А = 60°.
Пусть Д' —образ точки А при перемещении <p = Sc°Se-, А'' —
образ точки А при гомотетии Н^2. Найдите: а) \А'В|; б) |А'4"|.
3.	В декартовой системе координат даны точки Л£(-3; 5), ЛГ(1; 1)
и прямая р, определяемая уравнением у — 2х — 3. Пусть f =
=	°$м- Найдите уравнение образа прямой р при переме-
щении /.
166
Образцы вариантов контрольных работ
Итоговые работы
Вариант I
1.	В треугольнике АВС, площадь которого равна 1, на медиане В К
взята точка М такая, что |Л/К| = | |ВК|. Прямая AM пересекает
сторону ВС в точке L. Известно, что |АВ| = 1, | АС| = 3, А >
Найдите: а) S(ALC); б) |KL|.
2.	На координатной плоскости даны материальные точки 2А(5; 1),
ЗВ(1; —1), 5С(—3;5). Найдите:
а)	расстояние от точки В до прямой АС;
б)	расстояние между ортоцентром треугольника АВС и центром
тяжести данных материальных точек.
3.	Три круга радиусов 2т, 1,5г, 1,5г расположены на плоскости так,
что каждые два из них касаются друг друга внешним образом.
Найдите радиус окружности, в которую можно вписать данную
систему трех кругов.
Вариант II
1.	В треугольнике АВС |АВ| = 2х/65, |ВС| = 7, |АС| = 15; К € АВ,
|АК|: |АВ\ =3:4; L& ВС, |BL|: |LC| =4:3; (KL) П (AC) = М.
Найдите:
а)	радиус окружности, вписанной в треугольник LMC;
б)	расстояние от центра этой окружности до точки А.
2.	В декартовой системе координат даны прямые р и q, определяе-
мые уравнениями соответственно 3?/4-4х—12 = 0 и 2?/ —Зх —5 = 0.
Найдите:
а)	площадь треугольника, образованного прямыми р и q и осью
абсцисс;
б)	уравнение прямой q' — образа прямой q при осевой симметрии
относительно прямой р.
3.	Даны векторы а и b такие, что ( а ; Ь ) =	| а 4- b  х/3| = 1;
|2"а* — b  д/3| = х/зТ. Найдите |3 b - 2 0*1.
Вариант III
1.	В треугольнике АВС |АВ|: |АС| = 2:3, |ВС| = 7, В = arccos -у;
К е (АВ), АК : ВК = 1: 4; L е (AC), AL : LC = -5 : 2; (BL) П
П(СК) = М, (АМ)П(ВС) = Г. Найдите: а) |АТ|; б) S(AMC).
Образцы вариантов контрольных работ
167
2.	В системе координат даны точки А(-3; —1), В(1; 4), С(5; —3).
а)	Найдите площадь треугольника AM С, где М G (АВ) и прямые
СМ и АВ взаимно перпендикулярны.
б)	Составьте уравнение окружности, проходящей через точку С
и касающейся прямой АВ в точке М.
3.	В трапеции ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке
О. Известно, что |АС| = 8, |ВС| = 6, |А£>| = 10, S(BOC) =	
Найдите |BD|.
Вариант IV
1.	В прямоугольнике ABCD |AD| = 5; острый угол между диаго-
налями равен АО В = arcsin	(О — точка пересечения диаго-
налей); К G ВС, |В7<| : |КС| = 2 : 3; L G CD, |CL|: |CZ>| =2:3.
Найдите: а) |2АК - £В|; б) угол между лучами BL и АК.
2.	В треугольнике АВС |АВ| = 4, |ВС| = 7, |АС| = 9. Найдите:
а) |О77|; б) площадь ортотреугольника.
3.	В окружность радиуса R вписан правильный многоугольник,
площадь которого больше 2/?2, а длина каждой стороны больше
R. Найдите число сторон многоугольника.
Вариант V
1.	В трапеции ABCD A = D= |AjD| = 3 см и известно, что в тра-
пецию можно вписать окружность. Найдите:
a)	S(ABCD);
б)	длину хорды, которая образуется при пересечении прямой BD
и указанной окружности.
2.	В угол, мера которого равна 90°, вписаны две окружности, ка-
сающиеся внешним образом друг друга в точке С и одной из
сторон угла в точках Ап В. Радиус большей окружности равен
5 см. Найдите:
а)	радиус окружности, вписанной в криволинейный треугольник
АВС-,
б)	площадь этого криволинейного треугольника.
3.	Дан треугольник АВС, в котором |АВ| = 6, |ВС| = 9, |AC| = 7.
Перемещение / = 3ь°8д плоскости является композицией двух
центральных симметрий, где L& ВС, |BL|: |LC| =2. На стороне
АВ взята точка К так. что |А7<|: | АВ| = 2:3. Пусть М = (KL) П
П(АС') и М'— f(M). Найдите |Л/'В|.