яврадыно
ЛИНЕЙНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
И
БОРНОЛОГИЯ
ЯБРадыно
ЛИНЕЙНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
и
БОРНОЛОГИЯ
1982
УДК 517.982+517.983.22+517.983.5+517.986.9
Рекомендовано Советом механико-математического факультета
Белгосуниверситета имени В. И. Ленина
Рецензенты: П. Е. Соболевский, доктор физико-ма-
тематических наук; Е. А. Лифшиц, кандидат физико-мате-
матических наук
Радыно Я. В. Линейные уравнения и борнология.—Мн.:
Изд-во БГУ им. В. И. Ленина, 1982.— 200 с.
Книга представляет собой введение в теорию борнологиче-
ских векторных пространств. На многочисленных примерах
показана естественность понятия борнологии и ее преимущест-
ва в ряде задач анализа перед топологией. Изложены струк-
турные теоремы о борнологических выпуклых векторных про-
странствах и мультипликативно выпуклых борнологических
алгебрах. Дано применение теории борнологий к линейным
дифференциальным уравнениям в локально выпуклых про-
странствах.
Рассчитана на математиков различных специальностей, в
особенности работающих в области функционального анализа
и его приложений. Может быть полезна физикам-теоретикам,
аспирантам и студентам университетов и пединститутов.
Библ. 32 назв.
1702050000—044
Р----------------32-81
М317—82
© Издательство БГУ им. В. И. Ленина, 1982
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................................... 5
Указатель принятых обозначений........................ 8
Глава 1. Элементы теории категорий и функторов	9
§ 1.	Понятие категории........................... 9
§ 2.	Функторы .	 12
§ 3.	Представимые функторы.......................16
§ 4.	Подобъекты, фактор-объекты,	финальные	и	иници-
альные объекты	19
§ 5.	Проективный и индуктивный	пределы	функторов	.	21
Глава 2. Борнологические векторные пространства	26
§ 1.	Борнологические множества........................26
§ 2.	Основные операции над борнологиями ....	29
§ 3.	Борнологические векторные пространства ...	31
§ 4.	Отделимость, замыкание...........................34
§ 5.	Пределы в смысле Макки...........................36
Г л а в а 3. Пространства линейных отображений	41
§ 1.	Функтор Leb................................ ...	42
§ 2.	Функтор	Lee.....................................43
§ 3.	Функтор	Lub.....................................47
§ 4.	Функтор	Lvb.....................................49
§ 5.	Топологическо-борнологические векторные прост-
ранства ..............................................51
Функтор	Lbc.....................................55
Функтор	Lbc.....................................57
Глава 4. Структуры выпуклого типа.....................58
§ 1.	Полунормированные пространства...................59
§ 2.	Категория борнологических векторных выпуклых
пространств...........................................60
§ 3.	Категория отделимых борнологических выпуклых
векторных пространств............................63
§ 4.	Категория полных борнологических выпуклых век-
торных пространств...............................63
§ 5.	Пространства линейных отображений ....	68
§ 6.	Топологическо-борнологические векторные	прост-
ранства выпуклого типа	73
§ 7.	Регулярные борнологические пространства	.	74
§ 8.	Собственные борнологические пространства	. .	76
Глава 5. Двойственность...............................78
§ 1.	Дуальные системы ................................78
§ 2.	Пространство, бор но логически сопряженное к бор-
нологическому выпуклому векторному простран-
ству .................................................80
3
§ 3.	Борнологии, согласующиеся с заданной двойствен-
ностью ...............................................82
§ 4.	Двойственность между произведениями и прямыми
суммами, подпространствами и фактор-пространст-
вами..................................................83
§ 5.	Борнологическая рефлексивность...................86
§ 6.	8-Рефлексивность	:......................88
Г л а в а 6. Борнологические алгебры..................89
§ 1.	Определение борнологических алгебр	....	89
§ 2.	Выпуклые борнологические алгебры	....	91
§ 3.	Мультипликативно выпуклые борнологические ал-
гебры ................................................92
§ 4.	Спектральная теория в мультипликативно выпук-
лой борнологической алгебре...........................97
§ 5.	Голоморфное функциональное исчисление .	104
§ 6.	Инволютивные борнологические алгебры .	. ПО
Глава 7. Линейные дифференциальные уравнения в
локально выпуклых пространствах......................117
§	1.	Векторнозначные функции.......................118
§ 2.	Регулярные операторы и их свойства .	.. .	.	135
1.	Регулярные операторы..........................136
2.	Транспозиция.................................138
3.	Регулярные операторы в пространствах линей-
ных непрерывных операторов......................139
4.	Операторная экспонента.......................143
5.	Интегралы Рисса..............................145
6.	Некоторые «перенормировки» пространства в
связи с регулярным оператором...................147
§	3.	Примеры регулярных операторов.................149
1.	Элементарные примеры..........................150
2.	Регулярные операторы в пространствах последо-
вательностей ...................................150
3.	Регулярные операторы, ассоциированные с не-
ограниченными операторами в банаховых прост-
ранствах .......................................154
§ 4.	Интегральные и дифференциально-операторные
уравнения в локально выпуклых пространствах .	163
1.	Принцип неподвижной точки.....................163
2.	Регулярные семейства регулярных операторов .	164
3.	Интегральные и дифференциальные уравнения в
л.в.п.........................................168
§ 5.	Свойства решений линейных дифференциальных
уравнений в локально выпуклых пространствах	.	175
1.	Ограниченность решений однородного	уравнения	177
2.	Существование ограниченного решения у неод-
нородного уравнения......................180
3.	Управляемость линейными системами	.	.	'.	187
4.	Управляемость задачи Гурса..............189
Литература .	 193
Предметный указатель............................195
ПРЕДИСЛОВИЕ
Борнология (от франц, borne — ограниченный) изучает
векторные пространства с выделенной системой подмножеств,
называемых ограниченными, причем структура ограниченных
множеств согласуется со структурой векторного пространства.
Иными словами, сумма А + В ограниченных множеств А и В
ограничена в векторном пространстве и лроизведение ограни-
ченного множества на ограниченное множество из поля тоже
ограничено в векторном пространстве. Таким образом, поня-
тие борнрлогии аналогично понятию топологического вектор-
ного пространства с заменой открытого множества на ограни-
ченное. При этом необходимо отметить, что понятие ограни-
ченного множества появляется в различных вопросах анализа
так же естественно, как и понятие открытого, а не возникает
как итог абстрактных обобщений. По-видимому, впервые по-
нятие борнологической сходимости ввел Г. М. Фихтенгольц в
1939 г., исследуя различные виды сходимости функциональных
последовательностей. Изучая пары векторных пространств,
находящиеся в двойственности, Дж. Макки в 1942 г. впервые
явно подчеркнул важность понятия ограниченного множества.
На это потом неоднократно указывали Ж. Дьедонне, Л. Шварц,
Ж. Себаштьян э Сильва.
Теория топологических векторных пространств наиболее
активно развивалась в 50-е гг. нашего столетия и основные ее
направления были определены к 1957 г. Но, как оказалось, в
ряде вопросов концепция топологического векторного про-
странства является слишком узкой, а рассмотрение наряду с
топологией или вместо нее борнологии позволяет продвинуть
решение конкретных задач.
В настоящее время теорию двойственности топологических
векторных пространств, которая является ядром всего функ-
ционального анализа, трудно себе представить без борнологии.
В самом деле, если в двойственности заданы два векторных
пространства Е и F, то одна из основных задач теории двой-
ственности— определить подходящую топологию на одном из
них посредством другого. Естественный способ решить эту
задачу — задать соответствующую борнологию на двойствен-
ном пространстве и в качестве окрестностей нуля, например в
F, рассматривать поляры ограниченных множеств из Е отно-
5
сительно заданной двойственности. Таким образом, векторные
борнология и топология являются различными взаимодопол-
няемыми сторонами теории двойственности.
Имеются многочисленные примеры, где без борнологий
обойтись практически невозможно. Например, если Е — ло-
кально выпуклое пространство (ненормируемое), ЦЕ)— ал-
гебра непрерывных линейных отображений в Е, то на ЦЕ)
не существует никакой о-топологии, при которой операция
умножения была бы непрерывна. Также неизвестно ни одной
о-топологии на ЦЕ). при которой множество обратимых эле-
ментов в ЦЕ) было бы открыто. С другой стороны, на ЦЕ)
существуют естественные бориологии, где операция умноже-
ния ограничена, а множество обратимых элементов борнологи-
чески открыто.
Многочисленные попытки построения дифференциального
исчисления в ненормируемых пространствах показывают пре-
имущество борнологии перед топологией.
Теория борнологий развивалась в работах Дж. Макки,
Л. Вальброока, Ж. Дьедонне, Ж. Себаштьяна э Сильва,
А. Хохбе-Нленда. Ей посвящены монографии [25], [29]. На
русском языке литература по этому вопросу отсутствует.
В настоящей монографии систематически излагаются основы
теории борнологических пространств и даются некоторые при-
менения борнологии к исследованию свойств решений линейных
дифференциальных уравнений в локально выпуклых про-
странствах. Изложение ведется с категорной точки зрения и
поэтому в гл. 1 сформулированы необходимые понятия теории
категорий и функторов. Основные понятия борнологических
множеств и борнологических векторных пространств приведе-
ны в гл. 2. В гл. 3 изучаются пространства линейных отобра-
жений и естественные борнологические и топологические струк-
туры на них. В гл. 4 основным является понятие выпуклости.
Изучаются борнологические векторные пространства с базой
выпуклых ограниченных множеств. Доказана теорема о пред-
ставлении таких пространств: они, грубо говоря, являются
индуктивными пределами банаховых пространств, если эти
пределы рассматривать в категории борнологических вектор-
ных пространств. В гл. 5 освещены вопросы двойственности
борнологических пространств, а также различные понятия реф-
лексивности борнологических и топологических векторных про-
странств. В гл. 6 изложены спектральная теория борнологиче-
ских алгебр (теория Гельфанда) и голоморфное функциональ-
ное исчисление. В заключительной главе показано применение
6
теории борнологий к исследованию свойств решений (дихото-
мия, периодичность, почти периодичность, управляемость)
дифференциально-операторных уравнений в отделимых ло-
кально выпуклых пространствах.
Необходимость вместить довольно обширный и новый ма-
териал в столь малый объем определила возможно слишком
сжатый и формализованный стиль изложения, за что автор
приносит свои извинения читателю. Предполагается, что чита-
тель знаком с основами теорий топологических векторных
пространств, полугрупп в локально выпуклых пространствах,
банаховых алгебр и дифференциально-операторных уравнений
в банаховых пространствах.
Автор глубоко благодарен профессорам А. С. Мищенко,
П. Е. Соболевскому, доктору физико-математических наук
Е. А. Горину, доцентам О. Г. Смолянову и Е. А. Лившицу,
прочитавшим рукопись и сделавшим много полезных заме-
чаний.
Я. В. РАДЫНО

УКАЗАТЕЛЬ ПРИНЯТЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ
С”4""
А^, Аа	139	£р 167	Lbc	57
Ао АЬ	78 10	ЕМ(А) 158	Leb Lee	42 43
Abe	97	Ех 158	Lub	47
Abtnc	93	Ens 9	Lvb	49
Alb	90	Ebe 61	tn (F, E)	80
BE	32	Ebcc 64	Q (C)	105
Вог	27	Ebes 63	Q(K)	105
G	9	Evb 31	Ob G	9
G0	10	Evbs 35	p+, p_	147
Cat	19	Evtb 51	П r	10
Catgn	15	Evtbs 53	11 Gt	
С(Й, Е) Со (К) Cm(Q, Е) mn(Q! Е)	119 116 119 119	Evtbc 73 ExpAx 156 £хрл(т, E) 158	tQl 2?(X, x) r(x) s(F, E) Sn	98 99 80 59
О™ (К, Е) Е) D(Q, Е) Dk (Q, Е)	119 119 120 120	Ещ 80 Funct (Glt G2) 14 G 10 GA(t) 181	sp A sp+ A sp_ A spfe A	136 146 146 145
Dual	78	Гд (0 184	sp X	98
Ё	35	Hp,q 132 Wa(E) 154	Spec E	119
			o(Ft E)	80
Е Е	46 53	HomG (A, B) 9	ТЕ	54 132
Е'	79	JA 9	Hop	10
Ех	79	bB(£) 139	t(£, F)	80
f'	80 80 80	bp(Q, 1», E) 115	fu Vec^t	79 12
ф Е		Ep(Q, g. E) 126	X	101
G Ех Е (Q, Е)	80 120	Ibmft) 153 ^toc (C) 150	x^ X(4^	110 99 99
Е^<А)	157	*o(C) 150	X(A)	99
Lbc
55
Глава 1
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ КАТЕГОРИЙ И ФУНКТОРОВ
Сведения о категориях и функторах в настоящей
главе изложим с возможно более «наивной» точки
зрения. Для более глубокого изучения этих понятий
отсылаем читателя к монографии [2].
§ 1.	Понятие категории
Определение 1. Будем говорить, что задана ка-
тегория если задан класс OW элементов, назы-
ваемых объектами (класс Ob'?) может и не быть
множеством в строго математическом значении
этого слова), такой, что:
1)	для любой пары объектов А, BdObff задано
множество Нот^ (А, В), называемое множеством
морфизмов объекта А в В. Вместо uCHom<g (А, В)
и
часто пишут и:А^>~В, или А—»~В;
2)	для каждой тройки объектов А, В, С опреде-
лено отображение
Нот (Л, В) X Hotn (B, Q-^Hom^H, С);
3)	множества Нот-,(Л, В) и композиция морфиз-
мов удовлетворяют следующим аксиомам:
а)	композиция ассоциативна: если заданы мор-
физмы и:А-*-В, v:B->-C, w:C->-D, то w°(v°u) =
= (WoV)oU',
б)	для каждого объекта AGObff существует та-
кой морфизм /а:А->~А (тождественный, или еди-
ничный), что /А°и=и, voIA==v для любых морфиз-
мов и:В-*-А, п:Л->С;
в)	если пары (А, В), (А', В') различны, то пере-
сечение множеств Hoitk (Л, В), Нот-, (Л', В') пу-
©	<3
сто.
Примеры:
1.	Категория &ns. Объекты этой категории — множества,
морфизмы — отображения одного множества в другое. Под
&
композицией (и, v)-^v ° и понимается обычная композиция
отображений.
2.	Категория ЯГор. Объектами этой категории являются то-
пологические пространства. Hom^-ор (А, В) для любых двух
топологических пространств А и В есть множество всех непре-
рывных отображений А в В. Под композицией понимается
обычная композиция отображений.
3.	Категория Объекты категории — группы. Нош^(4,
В)—множество всех гомоморфизмов группы А в группу В.
Под композицией понимается обычная композиция гомомор-
физмов.
4.	Категория М. Объекты этой категории — абелевы груп-
пы, а морфизмы —* гомоморфизмы групп.
В дальнейшем будут встречаться и другие кате-
гории.
Определение 2, Для каждой категории дуаль-
ная категория <₽>0 определяется следующим обра-
зом:
1)	объекты категории те же, что и у катего-
рии т. е. ОЬ <й70= ОЬ
2)	за множество Нот (А, В), по определению,
принимается множество Нот-,(В, Л);
©
3)	композиция Нот-,. (А, В) X Нот,-,. (В, С)->-
С)
->Нот (А, С) определяется так, что если мб
6Нот (А, В), Нот (В, С), то v°u=u°v.
Очевидно, что (®>0)°=<?7.
Понятие дуальной категории удобно тем, что
каждому понятию или утверждению, относящемуся
к категории путем «обращения стрелок» сопо-
ставляется дуальное понятие или утверждение, от-
носящееся к категории
Определение 3. Пусть (ffi) iQi — семейство кате-
горий. Назовем категорией произведения катего-
рий категорию	которая получается сле-
дующим образом:
1)	объектами категории JJ&i являются всевоз-
iGI
можные семейства (Аг)гбг, где AiQOb&i для каж-
дого №/, т. е.
оьп^=поь®у,
iGI	iGI
10
2)	если (Aijiei,	то
гб!
Hoinn ^.((4f)ie/,	= П Hom^.(4h Вг);
i ei
3)	композиция морфизмов определяется следую-
щим образом: если
€ Homjj^	(Уг)»67 €
€ Homjj^. ((ВДе/, (^zheA
iQl
то
(^г)гб^ ° (^г) г’е* ==	0 ^0
Определения 4. Категория называется подка-
тегорией категории если
1)	Ob^czOb^;
2)	Hom^, (4, B)czHom<2?(4, В), 4, В6ОЬ^';
3)	закон композиции морфизмов в <g?' индуциру-
ется их композицией в
4)	все тождественные морфизмы из 48' являются
тождественными морфизмами в 48.
Определение 5. Подкатегория 4?' категории
называется полной, если Нотж (Д, В) = Нот™ (Д,
С>
В) для любых А, В£О№?'.
Примеры:
1. Категории Я"ор, %, М) не являются подкатегориями кате-
гории &ns.
2. Категория М является полной подкатегорией катего-
рии
Определение 6. Пусть задана категория Мор-
физм и:А-+В в категории ?? называется обратимым
слева (соотв. справа), если существует морфизм
и:В->4 такой, что v^u — Ia (соотв. uou = /b). Мор-
физм и называется обратимым, или изоморфизмом,
если существует у:В->4 такой, что v°u=IA и u°v=
=1в, v называют обратным к и. Нетрудно видеть,
что морфизм v единственный. Кроме того, и явля-
ется изоморфизмом тогда и только тогда, когда он
обратим справа и слева одновременно.
Два объекта категории называют изоморфны-
ми, если существует изоморфизм одного объекта в
11
другой. Понятие изоморфизма объектов является
отношением эквивалентности в классе ОЬ??.
Определение 7. Подкатегория категории ??
называется наполненной, если всякий объект из
изоморфный в некоторому объекту из ??', при-
надлежит
§ 2.	Функторы
Определение 1. Пусть заданы две категории и
Под ковариантным функтором F :	пони-
мают:
а)	задание объекта F(A)6 0b<g,2 для каждого
X6 0b??i;
б)	задание морфизма F(u):F(A)^F(B) для ка-
ждого морфизма и:А^В.
При этом должны быть выполнены следующие
условия:
1) F(Ia)=If(A) для каждого ЛбОЬ^;
2) F(v°u) =F(v)°F(и) для любых и:А^В, v:B^-
Контравариантным функтором F:<S,^<&2 называ-
ется ковариантный функтор
Если заданы три категории ^1, ??2» ^з, то бифунк-
тором из категорий и ^2 в категорию ??з, ковари-
антным по первому и контравариантному по второ-
му переменному, называется ковариантный функтор
Аналогично можно определить понятие мульти-
функтора.
Примеры:
1.	Рассмотрим категорию Vect векторных пространств. Если
каждому векторному пространству ставить в соответствие его
сопряженное пространство и каждому линейному отображе-
нию его сопряженное, то получим контравариантный функтор
Vect Vect.
2.	Определим так называемый стирающий функтор. Рас-
смотрим, например, категорию М. Каждой абелевой группе
поставим в соответствие AZOb&tts, а каждому гомо*
морфизму групп ставится этот же гомоморфизм, рассматри-
ваемый как отображение множеств.
Аналогично строятся стирающие функторы на других кате-
гориях.
3.	Произведение категорий П Ч?г обладает проектирующими
iez
12
функторами Pi s П	которые определяются посредством
формул
РН(Л-Ье/) = Аь Pi ((ttO/e/) = «ж.
4.	Если каждому множеству А поставить в соответствие сво-
бодную группу F(A), порожденную множеством А, то каждое
отображение и : А В может быть продолжено до единствен-
ного гомоморфизма F(u) : F(A) -+F(d). Следовательно, опре-
делен функтор F : &ns ->
5.	Пусть Ф — категория и X — фиксированный объект ка-
тегории Получим контравариантный функтор hx :	&ns,
если для любого объекта Y С ОЬ положим hx (У) =
= Horrtg, (У, X) и для любого морфизма и«У-*[У' из Ч? опре-
делим hx (и) • Нот^ (У', X) Э v -*• v о и q Нот^ (У, X).
Аналогично определяется ковариантный функтор hx:&
если для любого УЭОЬ^, hx(Y) = Нот<^(Х, У) и любого
«бНот^У, У')
*hx (и): Нот^ (X, Y)qv -> «о vq Нот^(Х, У').
Определение 2. Пусть и — категории. Ко-
вариантный функтор F:<S>i-^(S,2 называется унива-
лентным (соотв. вполне унивалентным), если для
каждой пары (X, Y) объектов из отображение,
определяемое функтором F из Hom^ (X, У) в
© 1
Нот (F(X), F(Y)), инъективно (соотв. биектив-
С? 2
но).
Примеры:
1. Стирающий функтор из категорий &~ор, 3 и М является
унивалентным, но не вполне унивалентным.
2. Если <ё' — подкатегория (соотв. полная подкатегория)
категории то канонический функтор из *??' в '8’ является
унивалентным (соотв. вполне унивалентным).
Определение 3. Функтор F из 'й’, в называется
обобщенно сюръективным, если для каждого объ-
екта УбОЬ'й’г найдется по крайней мере один объект
такой, что F(X) изоморфен У.
Определение 4. Пусть F и G — ковариантные
функторы из категории в категорию ^2- Говорят,
что задан функторный морфизм f функтора F в
функтор G, если для каждого AGOb^i задан мор-
физм f(A) : F(A)->G (А) в ^2 такой, что для любо-
го морфизма и : А->В в 'g’l диаграмма
13
F(A)L^G(A)
F(u)
f(B)
G («)
F(B)--->G(B)
коммутативна.
Если f(A) — изоморфизм для каждого A60W1,
то f — функторный изоморфизм.
Если f — функторный морфизм F в G и g —
функторный морфизм G в Н, то можно получить
функторный морфизм h из F в Н, положив Л(А) =
=g(A)°f(A) Для каждого объекта	Этот
функторный морфизм h называется композицией
функторных морфизмов f и g и обозначается g°f.
Введенная так операция композиции ассоциативна.
Если — малая категория (схема), т. е. Ob^i
образуют множество, то получается новая катего-
рия Funct (^1, ^2), называемая категорией функто-
ров, или категорией диаграмм. Объектами этой ка-
тегории являются ковариантные функторы из ^1 в
^2,. а морфизмами — функторные морфизмы. Если
обозначить HomfF, G) все функторные морфизмы
функтора F в функтор G, то Hom (F, G) — множе-
ство. Очевидно, что два элемента F и G из катего-
рии Funct (^1, ^2) изоморфны тогда и только тогда,
когда существует функторный изоморфизм F в G.
Замечание. Если категория не является схемой, то
класс Нот (Л G) функторных морфизмов функтора F в функ-
тор G не является, вообще говоря, множеством и потому класс
Funct(^ь ^2) не является категорией. Обойти эти логические
трудности можно, вводя понятие универсального множества
Ф/ Гротендика и ^-категории. Это понятие позволяет рассмат-
ривать не только категорию функторов, но и категорию кате-
горий.
Учитывая это замечание, будем пользоваться ка-
тегорией Funct (^1, ^2) даже тогда, когда не яв-
ляется схемой.
Аналогично, допуская оговоренные выше неточ-
ности, введем Cat — категорию категорий. Ее объ-
ектами являются ^-категории, морфизмами — ко-
вариантные функторы.
Два объекта ^1, ^2 этой категории изоморфны,
если существуют ковариантные функторы >^2,
G :	такие, что G°F=I~ , FoG — K .
С? 1	<5 2
14
И наконец, рассмотрим категорию Categ. Объекта-
ми ее являются ^-категории, а морфизмами катего-
рии в категорию 82 являются классы эквива-
лентности ковариантных функторов из 8Х в &2 по
отношению к эквивалентности «изоморфизм» в кате-
гории Funct (^ь ^2).
Две категории, изоморфные в категории Categ,
будем называть эквивалентными.
Таким образом, две категории &х и эквива-
лентны, если существуют ковариантные функторы
F:®’]-*^,	такие, что функтор G°F изо-
морфен тождественному функтору а функтор
FoG функтору Л, . Справедливо следующее
2
Предложение 1. Для того чтобы категории 8Х и
82. были эквивалентны, необходимо и достаточно,
чтобы существовал ковариантный функтор F:®’J->-
-+82, вполне унивалентный и обобщенно сюръек-
тивный.
Доказательство. Пусть категории 8Х и 82
эквивалентны. Тогда существуют ковариантные
функторы F.-^’1->^’2, G:8g-+-8X такие, что
FoGts'l-, . Пусть <p:GoF->/_ и ib:F°G->7„ —функ-
© 2	<51	<5 2
торные изоморфизмы. Тогда для каждого Уб ОЬ^,
2
будем иметь изоморфизм ty(Y):F(G(Y))-+-Y. Это
означает, что функтор F обобщенно сюръективен.
Сейчас покажем, что F вполне унивалентен, т. е.
что для любой пары (X, У) объектов из категории
81 отображение F(X, У) : Hom^, (X, Y)$u.-*~F(u)fi
6 Нот„ (F(X), F(y)) биективно.
<3 2
Определим отображение
f :Hom^ (F(X).F(y))^
-нр(У) о G(v) о<р-‘(Х)6 Нош (X, У).
© 1
Из коммутативности диаграмм
GF(X)^J-2x
GF (и)	и FG (v)	°
GF Y) У	FG (В) В
15
вытекает, что f=F(X, Y)~l, т. е. F(X, У) — биекция.
Обратно, пусть существует обобщенно сюръек-
тивный и вполне унивалентный функтор F.'g’i-»-^.
Функтор G-S8r^\ зададим следующим образом:
а)	каждому объекту УбОЬ^г в силу обобщенной
сюръективности F положим G(Y)£O№?i такой,
VY
что Y-+FG(Y) — изоморфизм;
б)	для каждого морфизма w:Y-+Z в ё? определим
морфизм w':FG(Y)^>-FG(Z) такой, что коммутатив-
на диаграмма
VY
У—_*.FG(Y)
w	w'
- vz
Z---->FG (Z)
Ввиду полной унивалентности функтора F сущест-
вует единственный морфизм G(w):G(Y)^G(Z)
такой, что F(G(w)) = w'.
Осталось определить функторные морфизмы
<р : G о F-+I , ф : F о G-+I .
i	2
Пусть А — произвольный объект в и В=
= GF(A). Рассмотрим изоморфизм : F(A)->
->F(B). Ввиду полной унивалентности F сущест-
вует единственный изоморфизм Ф1(А) :	такой,
что F^i(A)) =0р(д). Изоморфизм ф(А) =
=Ф1(А)-1 : GF(A)->A определяет функторный изо-
морфизм ф : G ° F-+I .
V 1
Для каждого УбОЬ^г имеем изоморфизм
ф(У)=с~1 : FG(y)~>y, который определяет функ-
торный морфизм ф : Fo G-+I& .
2
§ 3. Представимые функторы
Пусть ё — категория и Funct (ё°, <Sns) — кате-
гория контравариантных функторов из ё в &ns. По-
кажем, что категория ё эквивалентна подкатего-
рии Funct(ё°, &ns). (Объекты этой подкатегории
называются представимыми функторами.) Эквива-
лентность категории ё категории функторов со
значением в категории множеств является важным
16
способом задания на некоторых понятий, извест-
ных на множествах.
Чтобы получить желаемую эквивалентность, со-
гласно предложению 1 из § 2, достаточно определить
ковариантный функтор Л.'^-^Funct (^°, &ns), впол-
не унивалентный.
Функтор h определим следующим образом:
1)	Для каждого Х€ Obg7 положим hx :	—
контравариантный функтор, действующий по пра-
вилу:
а)	для каждого УбОЬ^ (У) = Нот (У, X);
<5
б)	для каждого морфизма g : У->У' морфизм
hx(g) : Нот,-(У', X)*k-+k о Нот^(У, X);
с?	е?
2)	для каждого морфизма f : Х-+-Х' hf==h(f) :
hx-+hX’— такой функториальный морфизм, что:
а)	для vyeOb^i, hf(Y) : hx(У) = Hom^(У, Х)Э
^k-^fok& Hom (У, Х')=/гхДУ);
©
б)	если g : У'-*У — морфизм в <SF, то диаграмма
Нот^ (У, X) = hx (Y)^SQ.hx, (У) в Нот^ (У, X')
hx (g)	hx-(S)
Нот^ (У', А) = hx (Yr) l±-+hx, (У') ® Нот^ (У', X')
коммутативна.
Нетрудно видеть, что h — действительно ковари-
антный функтор. Чтобы установить полную унива-
лентность функтора h, надо показать, что если X,
Х'ЕОЬё', то отображение Hom^> (X, X')$f-+hf(<
6Нот(Лх, hx') является биекцией.
Предложение 1. Пусть F :	ns — контравари-
антный функтор. Тогда существует биективное
отображение a:Hom(/ix> F)-^F(X).
Доказательство. Пусть u:hx~>-F — функто-
риальный морфизм, тогда ы('Х):Нот(Х, Х)->'
-^F(X)—отображение. Положим а(и) = и(Х)(1х),
где 1х:Х-^>-Х — тождественный морфизм. Покажем,
что a — биекция.
Действительно, пусть g.Y-^-X — морфизм. Тогда
диаграмма
2. Зак. 927	U
«w
Hom (X, X) = hx (X)-(X)
hX(g)
Hom (Г, X) = hx (У)
u(Y) I
----*F(Y)
F{g)
коммутативна. Следовательно, имеем равенство
F(g)(«(X) (/х))=«(У) (ftx(g)(/x)),
т. е.
F(g) (а (и)) = и (У) (Лс о g) = и (У) (g).
Отсюда заключаем, что а инъективно. Действи-
тельно, если а(ы)=а(ы')> то «(У) (g) =u'(Y) (g)
для Vg; vy, т. e. u=u'.
Покажем, что а сюръективно. В самом деле, если
Р — элемент из F(X), то для каждого Уб ОЬ по-
ложим о (У) : Нот (У, X)9g->F(g) (р)6Г(У). Тогда
множество отображений v(У) определяет функто-
риальный морфизм v : hx->-F.
Действительно, пусть f : У'-»-У — морфизм. Надо
показать, что диаграмма
»(У)
hx(Y)---->Р(У)
hx (f)
hx (У')
»(У')
----
F(f)
Y')
коммутативна, т. e. надо показать равенство
F(f)oy(y)=v(y') ahx(f).
Для любого морфизма g6 Hom (У, X) имеем (F(f) °
oo(y))(g) = F(f)(v(y)(g)) = F(f)(F(g)(f>)) =
= F(gof)(fi) = v(nU’f) = (v(Y')°hx(f))(g),
т. e. требуемое равенство доказано.
Предложение 2. Построенный выше функтор
h : ®’->Funct С?10, Я ns ) вполне унивалентен.
Доказательство. Как уже отмечалось, до-
статочно показать, что отображение Нотс23(Х, Х')Э
<3
Нот (hx, hX') биективно. Полагая в пред-
ложении 1 F=hX’, имеем F(X) =hX'(X) =
= Нот (X, X') и а : Нот (hx, hx-)-^ Нот (X,
С?
18
X') — биекция. Пусть ыб Hom (hx, hxr)- Тогда
ha(u)(Y) (g)=a(u) °g=u(Y)g для всех Y и g : У'->
—>У. Это означает, что /ia(u)=«.
С другой стороны, a(hf)=hf(X) (Ix)=f- Это
означает, что а является обратным к исходному
отображению.
Определение 1. Контравариантный функтор
F:<&-+&ns называется представимым, если сущест-
вует X60W такой, что функтор F изоморфен функ-
тору hx- Если F — представимый функтор, то пара
(X, и), где Хб ОЬ~ и и : hx~>F— функториальный
©
изоморфизм, называется представляющей.
Двойственным образом определяется копредстав-
ление ковариантного функтора G. Это его изомор-
физм й функтору hx-
Предложение 3. Если (X, и) и (X', и') —пред-
ставляющие пары одного представляющего функ-
тора F, то X и X' изоморфны.
Доказательство. Действительно, и'~1<>и:
: hxr^-hx,— функториальный изоморфизм. Посколь-
ку Л — вполне унивалентный функтор, то существу-
ет единственный изоморфизм f:X-*-X' такой, что
Л/=м'-1о«.
Обратно, если (X, и) — представляющая пара
функтора F и f:X—>~X' — изоморфизм, то hf:hx~+-
-+hx,— функториальный изоморфизм и пара (X',
Uohy1) представляет F.
Понятие представимого функтора может быть
использовано для введения новых понятий в произ-
вольных категориях.
§ 4. Подобъекты, фактор-объекты, финальные
и инициальные объекты
Определение 1. Морфизм f:X-*-Y в категории, &
называется мономорфизмом, если для каждого
Z6Ob<?’ отображение hf(Z) : Hom<g> (Z, X)^g-+f°g(i
6 Hom„(Z, У) инъективно.
Таким образом, мономорфизм — это морфизм, на
который можно сокращать слева, т. е. f :	—
мономорфизм тогда и только тогда, когда для лю-
2*
19
бого zeob& И любых gi: Z-+X, gz: Z-+X таких, что
fogi=f°g2, следует g\=§2-
Двойственным образом определяется эпимор-
физм.
Определение 2. Морфизм f:X-+Y в категории Ф
называется эпиморфизмом, если для каждого Z6
6Ob'?? отображение h'f (Z) : Hom (У, Z)^g^>-g°f(i
6 Hom (X, Z) инъективно.
Другими словами, эпиморфизм — это морфизм,
на который можно сокращать справа.
Если А (соотв. В)—объект категории то рас-
смотрим категорию 91а (соотв. Лв), объектами
которой являются пары (X, и), где ХбОЬ®’, м:Х->-
-+А — мономорфизм (соотв. и : В-+Х — эпимор-
физм).
Если (X, и), (Y, v) —объекты категории 91а (со-
отв. Л в), то их морфизмом называется морфизм
f: X—>У такой, что коммутативна диаграмма
Определение 3. Класс эквивалентных объектов
категории 91а (соотв. Л в) называется подобъек-
том (соотв. фактор-объектом) объекта А (соотв.
В).
Определение 4. Объект А (соотв. В) категории
называется инициальным (соотв- финальным)
объектом категории если для любого X60W,
Нот(4, X) (соотв. Нот<2?(Х, В)) состоит из одно
<5	0
го морфизма.
Нулевым объектом категории ‘ё’ называют ини-
циальный и финальный объекты одновременно.
Из определения немедленно вытекает, что если
инициальный (соотв. финальный, нулевой) объект
существует, то он определен однозначно с точ-
ностью до изоморфизма.
Предложение!. Пусть Я?— категория, BiGOb1?’
(соотв. AiGOb'g’). Рассмотрим контравариантный
функтор F.<g’->-{B1} (соотв. ковариантный функтор
20
G.'S’-Hdi}). Функтор F (соотв. G) представим
(соотв. копредставим) тогда и только тогда, когда
в существует финальный (соотв. инициальный)
объект. Представление (соотв. копредставление)
F (соотв. G) является с точностью до изоморфизма
финальным (соотв. инициальным) объектом.
Доказательство проведем только для
функтора F. Пусть функтор F представим и (В,
и)— его представление. Это значит, что и : hB->~
-*-F — функториальный изоморфизм, иначе, что
и(Х) ; Ab(X)^~F(X)— изоморфизм для каждого
ХССЬ^. Другими словами, ы(Х):Нот(Х,
— изоморфизм, т. е. В — финальный объект
в
Проведя рассуждение в обратном порядке, дока-
жем достаточность.
§ 5. Проективный и индуктивный
пределы функторов
Пусть <ё>, И?' — две категории и F : Ч?'-*-'?’ — ко-
вариантный функтор. Определим контравариант-
ный функтор G :	следующим образом.
Для каждого XGOb'g’ положим G(X) —подмно-
жество в П Hom^(X, F(4)), состоящее из
Ав ОЬ %"
морфизмов (р^)л60Ь<^, таких, что для любого мор-
физма f :	в категории диаграмма
коммутативна.
Для морфизма и : X—>-У положим G (ы) X
Х(Рд) Ав0Ь^=(р1О«) АвОЬ^- ЛеГК0 ВИДОТЬ’ ЧТ0
G :	— контравариантный функтор.
Определение 1. Говорят, что функтор F обладает
проективным пределом, если определенный выше
функтор G представим. Если (X, и)~—представле-
21
ние G,to его обозначают X=limF, или X=limprojF.
Изоморфизм и определяется элементом а (и) 6
6G(X) (см. § 3), т. е. семейством морфизмов
(иА) , ил • X-+F(А) согласуются с морфиз-
мами из и обладают универсальным свойством:
для любого УЕОЬ'®’ и любого (pj )леоь^„6О(У)
существует морфизм р : Y-+-X такой, что ua » p=pj
для всех Л 6 Ob'?7'.
Другими словами, lim F — это финальный объект
в категории, объектами которой являются пары
(X, (рд) Aeob-g’)’ Ob V, и диаграмма
коммутативна. Морфизмы (X, (рА)А60Ь^,)-*(Л
(Р^дбоь#') определяются естественным образом.
Предложение 1. Пусть '5F и Ч?'— две категории,
F, F' :	— два ковариантных функтора и
v : F-+F' — функториальный морфизм. Если (X,
и) = lim F и (X', и') = lim F', то существует един-
ственный морфизм lim v : X—>Х' такой, что для
каждого Лё ОЬ <₽" и'А° lim и=и(Л) о иА-
Доказательство. Согласно условию, для
любого морфизма f : А-^В в категории (ё” диа-
грамма
коммутативна. Поэтому, ввиду универсального
свойства проективного предела X', существует
22
единственный морфизм lim v : Х-*-Х' такой, что
и'А<> lim v=v(A) ° uA.
Двойственным образом определяется индуктив-
ный предел функтора. Если Ч? и — две катего-
рии и F :	— ковариантный функтор, функтор
Н :	определяем следующим образом:
1) для каждого ХбОЬ1^ положим Н(Х)—под-
множество в П Hom^(F(A), X), состоящее из
А 6 ОЬ
морфизмов (р£)Л6	,6 П Honi^ (F(А), X) та-
ле ОЬ#-
ких, что для любого морфизма f : А-+В в катего-
рии диаграмма
Fferfy
коммутативна;
2) для морфизма u : X-^Y положим //(и)Х
X (Р1) ле оь «>- = (« ° Рх ) ле оь • Легко ВИДеТЬ’ что
Н : ^-^ns — ковариантный функтор.
Определение 2. Функтор F обладает индук-
тивным пределом, если функтор Н копредставим.
Если (X, и) — копредставление Н, то его обозна-
чают Х= lim F, или X— lim ind F.
Изоморфизм и определяется элементом a(w)6
£Я(Х), т. е. семейством морфизмов (иА) А60Ь^„,
иА ‘.F(A)-^X согласуются с морфизмами из и
обладают универсальным свойством: для любого
УбОЬ^ и любого (pi) лРПъ<2>.еЯ(у) существует
единственный морфизм р : Х->У такой, что рА =
= р ° иА для всех Дб ОЬ
Как и в случае проективных пределов, индуктив-
ный предел обладает «функториальным харак-
тером».
Предложение 2. Пусть 'g’ и <&' — две категории, F,
F' :	— два функтора и v : F-^F' — функто-
23
риальный морфизм. Если (X, и) — limF и (X', и') =
— lim Г', то существует морфизм limo : Х-+Х' та-
кой, что для каждого объекта Дб Ob®", lim и о иА=
= wA°v(A).	"*
Доказательство. Согласно условию, для
любого морфизма [:А-+В в диаграмма
UA F(A)
ъ(В)
1&+f{(a)^ uIa
коммутативна. Ввиду универсального свойства ин-
дуктивного предела, существует единственный мор-
физм lim v:X-+X' такой, что lim v<>uA = u'A°v(A).
Определение 3. Если категория обладает толь-
ко конечным числом объектов и конечным числом
морфизмов, функтор F:<&'-+& обладает проектив-
ным (соотв. индуктивным) пределом, то этот про-
ективный (соотв. индуктивный) предел называют
конечным.
Определение 4. Пусть ё’ъ — две категории и
— функтор. Функтор F коммутирует с
проективными пределами (соотв. конечными проек-
тивными пределами), если для всякой категории
(соотв. всякой категории Ф', имеющей только ко-
нечное число морфизмов) и всякого функтора
F':'&>'-*-(&l, обладающего проективным пределом
(соотв. конечным проективным пределом), функтор
F°F' также обладает проективным пределом, и
справедливо равенство
lim (Г ° F') =F ° (lim F').
Заменив в этом определении слово «проектив-
ный» на «индуктивный», получим определение ком-
мутации функтора с индуктивными и конечными
индуктивными пределами.
Рассмотрим частные случаи введенных выше
понятий проективного и индуктивного пределов.
Пусть — произвольная категория и (Aj)iei —
семейство объектов из ё?. Рассмотрим категорию
24
<ё", объектами которой являются элементы из /,
морфизмами — тождественные морфизмы. Таким
образом, отображение /&i->-At6 ОЬ определяет
функтор F :	Если функтор F обладает про-
ективным пределом, то этот проективный предел
называется прямым произведением объектов
и обозначается ДА/. Обозначая ыг- : ДА/->-
гЫ	iei
канонические морфизмы, имеем характеристи-
ческое свойство: для каждого объекта УбОЬ®’
отображение Нот (У, ДАг)Эр->(«г ° p)ieI6
i6i
€ II Нот (У, А{) биективно.
Двойственным образом определяется прямая
сумма объектов, т. е. индуктивный предел функто-
ра F : I?'—если он существует, называется пря-
мой суммой объектов (Л,)гв/ и обозначается Д А,,
jei
либо ФА,-. Если V/: А/->-ЦА/— канонические
/61	гв!
морфизмы, то характеристическое свойство выра-
жается следующим образом: для каждого Уб ОЬ®’
отображение Нот ( Д А/, У) Эр—>- (р о у,) ie/6
iei
ед Нот (А,, У) биективно.
Предположим, что / — упорядоченное множество,
и рассмотрим категорию объектами которой
являются элементы множества 1. Если t, /б/, то
Hom(t, /) =
ац, К. Г,
I,
10» i>/-
Предположим также, что если i<.j<.k, то а# °
°an=aik- Рассмотрим функтор F :	такой,
что F(i) =Ai, F(a,ij)=Uij : Ai-^Aj, i<_j, и Ujk °
о Uij=Uik. Проективный (соотв. индуктивный) пре-
дел функтора F, если он существует, называется
проективным (соотв. индуктивным) пределом се-
мейства (Аг) ш и обозначается lim А/ либо
limprojA, (соотв. lim А/ либо limindA/).
.$6/	?	.	iGI
25
Г л а в a 2
БОРНОЛОГИЧЕСКИЕ векторные пространства
В этой главе излагаются основы теории борноло-
гических пространств: § 1 содержит определение
борнологических множеств, ограниченных отобра-
жений и приведены многочисленные примеры; в § 2
рассматриваются основные операции (прямая сум-
ма, индуктивный предел, произведение и т. д.) над
борнологиями; § 3 является центральным в этой
главе. Здесь изучается категория борнологических
векторных пространств, обсуждаются наиболее
фундаментальные факты, касающиеся этой катего-
рии; в § 4 и 5 изучаются чрезвычайно важные поня-
тия борнологической сходимости (сходимости Мак-
ки) и борнологической отделимости.
§ 1.	Борнологические множества
Определение 1. Пусть задано множество Е и &—
подмножество из Ф (Е). Говорят, что $ определяет
борнологию на Е, если оно обладает следующими
свойствами:
Bi)	если Лб$, Вб &, то Л()Вб
В2)	если ЛсВ и Вб^?, то Л б
В3)	для каждой точки х&Е множество {х}б$.
Множество Е с заданной на нем борнологией &
называют борнологическим множеством и обозна-
чают (Е, &). Подмножества борнологического
множества Е, принадлежащие борнологии на-
зываются ограниченными.
Определение 2. Подмножество борнологии &
на множестве Е называют базой борнологии, или
фундаментальной системой ограниченных мно-
жеств из если каждое множество из & содер-
жится в некотором множестве из ^0.
Предложение 1. Для того чтобы множество She
с^(£) было базой некоторой борнологии на Е,
необходимо и достаточно, чтобы оно обладало сле-
дующими свойствами:
а)	если Л, Вб^о, то существует Сб^о такое, что
ЛиВсгС;
26
б)	U А=Е, т. е. £0 образует покрытие Е.
Доказательство. Если —база некоторой
борнологии & на Е, то указанные свойства выпол-
няются очевидным образом в силу определения 2.
Обратно, если для &о<^-&(Е) выполняются свой-
ства а) и б), то множество & всех подмножеств
множеств из образует борнологию с базой до-
определение 3. Пусть Е и F — два борнологиче-
ских множества, и : E-+F — отображение. Будем
говорить, что и ограничено, если оно преобразует
ограниченное множество из Е в ограниченное мно-
жество из F.
Таким образом, мы рассматриваем некоторую
категорию, которую обозначим &ог. Ее объектами
являются борнологические множества, морфизма-
ми — ограниченные отображения.
Примеры:
1.	Пусть Е — произвольное множество. Множество всех под-
множеств множества Е определяет на Е борнологию, называе-
мую тривиальной. Аналогично множество всех конечных под-
множеств из Е задает на Е борнологию, называемую дискрет-
ной.
2.	Пусть Е — направленное множество; множество всех по-
рядковых интервалов задает на Е борнологию, которую будем
называть порядковой борнологией.
3.	Пусть Е — метрическое пространство с расстоянием d.
Множество подмножеств AczE таких, что sup d (х, у) <+°°,
х,у$А
т. е. ограниченных в смысле метрики, образует борнологию
на Е.
4.	Пусть Е — отделимое топологическое пространство. Мно-
жество всех относительно компактных подмножеств из Е об-
разует так называемую компактную борнологию.
Пусть F — другое отделимое топологическое пространство и
f: E-+F—непрерывное отображение, тогда f будет ограничен-
ным, если Е и F наделить компактными борнологиями.
Таким образом, мы определили функтор из категории &"ор
отделимых топологических пространств в категорию &ог.
5.	Если Е — равномерное пространство, то множество всех
предкомпактных множеств из Е образует борнологию на Е,
называемую предкомпактной борнологией.
Как ,и в предыдущем примере, это соответствие определяет
ковариантный функтор из категории °Uni равномерных прост-
ранств в категорию #ог.
6.	Пусть Е — топологическое пространство, F — равномер-
ное пространство. В множестве С(Е, F) непрерывных отобра-
жений из Е в F равностепенно непрерывные множества обра-
зуют борнологию, которую будем называть борнологией равно-
степенной непрерывности.
27
7.	Аналогично предыдущему, если Е и F —равномерные
. пространства, то на множестве °U(E, F) равномерно непрерыв-
ных отображений из Е в F семейство равномерно равностепен-
но непрерывных отображений определяет борнологию равно-
мерной равностепенной непрерывности.
8.	Пусть Е — топологическое векторное пространство
(т. в. п.). Множество всех подмножеств из Е, которые погло-
щаются каждой окрестностью нуля, образует борнологию, на-
зываемую борнологией фон Неймана, или канонической борно-
логией.
9.	Пусть Е и F — два т. в. п. Множество равностепенно не-
прерывных подмножеств пространства &(Е, F) непрерывных
линейных отображений из Е в F образует борнологию, назы-
ваемую равностепенно непрерывной борнологией в S?(E, F).
Эта борнология, играющая фундаментальную роль в теории
топологических векторных пространств, не является, вообще
говоря, борнологией фон Неймана никакой а-топологии на
&(E,F)l
10.	Пусть Е — множество, о—некоторое семейство подмно-
жеств из Е, F — борнологическое множество. Семейство И
отображений из Е в F будем называть а-ограпиченным, если
для каждого Аба Н(А) — [\ и(А) ограничено в F. Таким об-
uqH
разом, на множестве BaFE отображений из Е в F, множество
a-ограниченных подмножеств образует а-борнологию, если
каждый элемент из В о-ограничен.
11/ Пусть Е и F — борнологические множества. Если о — все
ограниченные множества в Е, то a-ограниченное множество
отображений из Е в F называют эквиограниченным. На мно-
жестве ограниченных отображений из Е в F семейство эквиог-
раниченных подмножеств образует борнологию (эквиборноло-
гию). Полученное таким образом борнологическое множество
будем обозначать £(Е, F).
Определение 4. Пусть Е — множество, и —
две борнологии на Е. Будем говорить, что борноло-
гия сильнее борнологии $2, если ^jcz^.
Таким образом, чем сильнее борнология, тем
меньше ограниченных множеств она содержит, т. е.
множество борнологий на заданном множестве
упорядочено по обратному включению. В дальней-
шем увидим, что именно такое определение сравне-
ния борнологий естественно.
Примеры:
1.	Тривиальная борнология является самой слабой, а диск-
ретная — самой сильной среди всех борнологий на множестве.
2.	Если Е — не дискретное бесконечное метрическое прост-
ранство, то его метрическая борнологйя сильнее тривиальной
и слабее дискретной борнологии.
3.	Если Е — метрическое пространство, то его метрическая
борнология слабее, вообще говоря, предкомпактной.
28
Предложение 2. Пусть Е — множество, SBi и _
две борнологий на нем. Борнология сильнее
тогда и только тогда, когда тождественное отобра-
жение Е(Е,	^2) ограничено.
Доказательство. Перефразировка опреде-
ления 4.
§ 2. Основные операции над борнологиями
Теорема 1.Пусть (Ei)iei — семейство борнологи-
ческих множеств и Е — произвольное множество.
Предположим, что для каждого i€/ задано отобра-
жение fi: E—^Ei. Тогда на Е существует единствен-
ная инициальная борнология-относительно fi, т. е.
самая слабая из всех борнологий на Е, при которых
все отображения fi ограничены.
Доказательство. Достаточно найти борно-
логию на Е, удовлетворяющую следующему усло-
вию: пусть g — отображение некоторого борнологи-
ческого множества G в борнологическое множество
(Е, SS). Для того чтобы g было ограничено, необхо-
димо и достаточно, чтобы каждое отображение
fi°g : G-+Ei было ограничено. Нетрудно видеть, что
множество подмножеств А из Е таких, что fi(A)
ограничено в Et для каждого t€7 удовлетворяет
требуемому условию.
Следствие 1. Пусть (Sii)— семейство бор-
нологий на множестве Е, тогда	есть борно-
iei
логия на Е, которая является верхней гранью се-
мейства	(относительно естественного поряд-
ка).
В частности, пусть зй-с^&^Е). Тогда на Е сущест-
вует самая сильная из всех борнологий, содержа-
щих зФ, которая является пересечением всех борно-
логий, содержащих зФ- Говорят, что эта борнология
порождена множеством з&. Если з& содержит конеч-
ные множества, то множество конечных объеди-
нений множеств из з£ образует базу этой борноло-
гии.
Следствие 2. Пусть F — подмножество бор-
нологического множества. Ограниченные подмно-
жества из Е, содержащиеся в F, образуют борноло-
29
гию на F, о которой говорят, что она индуцирована
из F
Следствие 3. Категория &ог обладает проек-
тивными пределами.
Доказательство. Пусть	— проектив-
ная система борнологических множеств и пусть Е—
проективный предел множеств Ei, a fi: E-^Ei —
канонические отображения. Теперь достаточно на-
делить Е инициальной борнологией относительно fi.
С лед ст в ие 4. Категория £ог обладает произ-
ведениями.
Доказательство. Пусть (Ei)tei— семейст-
во борнологических множеств и £=П£'г-. Теперь на
iei
Е зададим инициальную борнологию относительно
pri.
Теорема 2. Пусть (Ei)ici — семейство борнологи-
ческих множеств, Е — произвольное множество и
пусть для каждого iG/ задано отображение fi: Ег-*~
-*Е. Тогда на Е существует единственная борноло-
гия, финальная относительно fi, т. е. самая сильная
борнология на Е, при которой все ft ограничены.
Доказательство. Пусть $г- обозначает бор-
нологию на Ei, тогда понятно, что борнология на Е,
порожденная множеством (jfi(£i), отвечает тре-
„ ‘et
буемым условиям.
Следствие 1. Пусть (3Si)iei — семейство бор-
нологий на множестве Е. Борнология, порожденная
множеством (J есть нижняя грань этого се-
fei
мейства.
Следствие 2. Пусть Е — борнологическое
множество, F — произвольное множество, и : Е-+-
-+F— сюръективное отображение. Образы ограни-
ченных множеств из Е образуют борнологцю на F
(фактор-борнологию).
Следствие 3. Категория 3Sor обладает ин-
дуктивными пределами.
Доказательство. Если (Ei)tei — направ-
ленная индуктивная система, Е — ее индуктивный
предел и f(: Ei-^E — канонические отображения,
то ограниченными в Е являются множества вида
fi(Ai)> ifil, Ai ограничено в Ei.
30
Очевидно, что на каждом ограниченном подмно-
жестве А борнологического множества Е индуци-
руется тривиальная борнология. Поэтому мы име-
ем Е— limind А, где &— борнология на Е.
§ 3. Борнологические векторные пространства
В этом параграфе Е будет обозначать векторное
пространство над полем К (считаем, что /<=R либо
К=С). На К. всегда имеем в виду, если не оговоре-
но противное, борнологию, определяемую расстоя-
нием d(x\ = —у\. Ее назовем естественной.
Если на К задана естественная борнология, то
следующие отображения ограничены:
Кх№(х, у)-+х+у£К, K^x^-xGK,
КхЮ(х,у)-+ху£К.
Определение 1. Пусть Е — векторное пространст-
во над К., 38—борнология на Е. Говорят, что 38—
векторная борнология или что она согласуется со
структурой векторного пространства, если отобра-
жения
KXE*(t, x)->/xGE,
ЕхЕ*(х, у)-*х+у£Е
ограничены.
Векторное пространство, наделенное векторной
борнологией, называют борнологическим вектор-
ным пространством (б.в.п.).
Таким образом, мы имеем новую категорию &vb,
объектами которой являются борнологические век-
торные пространства, а морфизмами — линейные
ограниченные отображения.
Предложение!. Пусть Е — векторное простран-
ство над К. Всякая векторная борнология на Е об-
ладает базой ограниченных множеств удовлет-
воряющей следующим свойствам:
BVi) если A, BG£o, то существует CG38o такой,
что А А-В а:С;
BV2) если BG38o, то KBG38o для любого №К;
BV3) множества из 38о уравновешены.
31
Обратно, пусть ^о— база ограниченных мно-
жеств на Е, удовлетворяющая свойствам BVi—BV3.
Тогда порождает векторную борнологию.
Доказательство. Необходимость. Пусть
____база некоторой векторной борнологии $ на Е.
Обозначим — множество всех гомотетичных об-
разов множеств из и, наконец, — уравнове-
шенные оболочки множеств из В силу предло-
жения 1 § 1, является базой борнологии Оче-
видно, что отвечает требуемым условиям.
Достаточность. Чтобы доказать, что М) определя-
ет векторную борнологию, достаточно установить
следующие свойства:
BV') сумма двух ограниченных множеств огра-
ничена;
BV') гомотетия ограниченного множества —
ограниченное множество;
BV'3) уравновешенная оболочка ограниченного
множества ограничена. (Последние непосредствен-
но вытекают из свойств BVi—BV3.)
Примеры:
1.	Тривиальная борнология на векторном пространстве яв-
ляется векторной.
2.	На К, рассматриваемом как векторное пространство над
К» только тривиальная и естественная борнологии являются
векторными. Это немедленно следует из того, что всякое не-
ограниченное уравновешенное множество из К совпадает с К.
3.	Пусть Е — отделимое т. в. п. Тогда борнология фон Ней-
мана, предкомпактная и компактная борнологии являются век-
торными.
Векторное пространство Е, наделенное борнологией фон Ней-
мана, обозначают В£.
4.	Пусть Е — топологическое пространство, F — т. в. п. Бор-
нология равностепенной непрерывности на С(Е, F) согласует-
ся с векторной структурой на С(Е, F).
5.	Аналогично, если Е — равномерное пространство, то
борнология равномерной равностепенной непрерывности на
%l(E, F) является векторной.
6.	Пусть Е — борнологическое множество, F — б. в. п. Экви-
борнология пространства 8f(E, F) согласуется с естественной
векторной структурой на 0S(Ef F).
7.	Борнология равностепенной непрерывности на 9?(Е, F)
является векторной борнологией. Здесь Е и F — т. в. п.
Предложение 2. Пусть (Ei)iei — семейство б.в.п.
и £ — векторное пространство; пусть для каждого
i67 задано линейное отображение ft: Е^Е{. Ини-
32
циальная борнология на Е относительно ft являет-
ся векторной.
Доказательство. Пусть аЕ: Е\Е^Е —
операция сложения в £ и для каждого i&I aEi : ЕгХ
XEj-^Ei — операция сложения в Е^ Так как fi ли-
нейны, то для каждого №1 имеем коммутативную
диаграмму
аЕ
ЕхЕ----
fi X fi а fii
у fy Г
EiXEi------
которая показывает, что отображение fi°aE ограни-
чено. Это означает, что аЕ ограничено.
Аналогично доказывается ограниченность опера-
ции произведения К X
Следствие /. Верхняя грань (т. е. борнология
пересечения) семейства векторных борнологий яв-
ляется векторной.
Пусть — семейство подмножеств векторного
пространства £. Согласно следствию 1, среди век-
торных борнологий на Е, содержащих существу-
ет самая сильная. Она называется векторной бор-
нологией, порожденной семейством Если со-
держит все конечные подмножества (что всегда
можно предполагать), то, применив к операции
конечного объединения, конечных сумм, гомотетий
и уравновешенной оболочки, получим базу искомой
борнологии.
Если — множество конечных подмножеств из
Е, то векторная борнология, порожденная явля-
ется самой сильной векторной борнологией на Е.
Естественная борнология на К является самой
сильной векторной борнологией. То же самое на
пространстве Кп\ борнология произведения являет-
ся самой сильной векторной борнологией.
Следствие 2. Пусть F — векторное подпрост-
ранство б.в.п. £. Борнология, индуцированная на
F из Е, является векторной.
Следствие 3. Категория &vb обладает проек-
тивными пределами.
Предложение 3. Пусть (Ег)гы — семейство б.в.п.,
3. Зак. 927
33
р __ векторное пространство и fi:Ei-+E линей-
ные отображения. Тогда на Е существует векторная
борнология, которая является финальной относи-
тельно fi (т. е. является самой сильной векторной
борнологией на Е, для которой все f{ ограничены).
Доказательство. Векторная борнология,
порожденная множеством U fi (•$»)	(^г — борно-
isi
логин на Ег), является векторной борнологией, фи-
нальной относительно fi.
В частности, если ^fi(Ei)=E, то множества
гвг
вида ^ifi(Ai) (Д< ограничено в £,, /— конечная
<ej
часть из /) образуют базу этой борнологии, когда
Ai пробегает и J пробегает все конечные мно-
жества из I.
Следствие 1. Каждое семейство векторных
борнологий на Е обладает нижней гранью в мно-t
жестве векторных борнологий на Е.
Следствие 2. Пусть Е — б.в.п., F — векторное
пространство, и : E-+F — линейное сюръективное
отображение. Борнология образа борнологии из Е
на F относительно и является векторной.
С ледствие 3. Категория &vb обладает индук-
тивными пределами.
Замечание. Если (E,)ZeZ—индуктивная направленная
система и Е = lim ind Ei, то множества вида ft (Л), где А огра-
iei
ничено в Et, a ft— канонические отображения из Ei в Е, обра-
зуют базу индуктивной борнологии.
§ 4. Отделимость, замыкание
Определение 1. Говорят, что б.в.п. Е отделймо,
если единственным ограниченным подпространст-
вом в Е является {0}, или, что то же самое, Е не
содержит ограниченной прямой.
Определение 2. Говорят, что векторное подпрост-
ранство F борнологического пространства Е замк-
нуто, если Е/F (наделенное фактор-борнологией)
является отделимым б.в.п.
редложение 1. Замкнутые подпространства в
б.в.п. Е являются ядрами морфизмов из £ в отдели-
мые (б.в.п.).
34
Доказательство. Пусть № — замкнутое
подпространство в Е и <р	— каноническое
отображение. Тогда E/JC отделимо и Jf— ker ср.
Обратно, пусть F — отделимое б.в.п. и и : E^-F—
морфизм, тогда Im и — отделимое б.в.п. и £/ker и
изоморфно Im и. Следовательно, £/ker и отделимо и,
значит, ker и замкнуто.
Следствие 1. Пусть Е и G — б.в.п., v : G^E—
морфизм и F — замкнутое подпространство в Е.
Тогда замкнуто в G.
Доказательство. Согласно предложению
1, существуют отделимое б.в.п. Et и морфизм и : £-*-
-^Ei такие, что F= kerы = ы-1(0). Следовательно,
u-1(F) =п-1(«-1(0)) = («ov)-1(0) = ker(«ои) замк-
нуто в G.
Пусть Е — б.в.п. Для всякого подпространства
F существует (см. следствие 2 предложения 3 § 5)
самое малое замкнутое подпространство, содержа-
щее F. Это подпространство будем называть замы-
канием F и обозначать F.
Пусть и : E-+G — морфизм б.в.п. Е в отделимое
б.в.п. G. Тогда и обращается в нуль на всех огра-
ниченных подпространствах из Е и поэтому на их
объединении N. Таким образом, мы получаем фак-
торизацию и через E/Jf-.
и : E-+ElJe-+G.
Определение 3. Пространство EIJF, полученное
выше, называется отделимым, ассоциированным с
Е, и обозначается Ё.
Отделимые б.в.п. и их морфизмы образуют кате-
горию, которую будем обозначать &vos.
Нетрудно видеть, что отображение Е-+Ё опреде-
ляет функтор &vb^>~&vbs, сопряженный к функто-
ру <£vbs-^$vb, стирающему отделимость.
Предложение 2. Проективный предел Е—
= limprojfi (в категории &vb) проективной систе-
мы отделимых пространств (£i)i6i отделим.
Доказательство. Пусть А — ограничен-
ное подпространство в Е . Это эквивалентно
тому, что fi(A) ограничено в £; для каждо-
го i€7. Здесь f&E-^Ei — канонические отображения.
з*
35
Так как пространства Е, отделимы, то ft(A)—О
для любого /б/. Следовательно, Д = {0}, т, е. Е от-
делимо.
Таким образом, проективный предел в категории
ffvb является проективным пределом и в категории
gvbs. Другими словами, функтор включения gvbs-*
-+<gvb коммутирует с проективными пределами.
Напротив, индуктивный предел £'=limind£'i в
iei
категории &vb индуктивной системы отделимых про-
странств (Ei)iei не является отделимым б.в.п. и
индуктивный предел семейства (Ei)tei в категории
&vbs есть не что иное, как пространство Ё, ассоци-
ированное с Е.
Однако справедливо
Предложение 3. Пусть (Ei)i^i— индуктивная
система отделимых б.в.п. Обозначим через Е ее ин-
дуктивный предел в категории &vb и предположим,
что канонические морфизмы fi: Ei-^-E инъективны.
Тогда Е — отделимое б.в.п.
Доказательство. Пусть / — конечное мно-
жество, тогда E=^Ei. Множество Ас.Е ограни-
iei
чено тогда и только тогда, когда А — 22 А/, где Aj
ограничено в Ei. Если А — подпространство, то Ai
тоже, следовательно, Д;={0} и, значит, А = {0}.
Если 1 бесконечно, то, выбирая конечные подмно-
жества J в I и образовывая суммы, можно по-
строить направленную систему, эквивалентную си-
стеме (Ei)iei. Поэтому будем предполагать индук-
тивную систему (Ei)^! направленной. Тогда огра-
ниченные множества в Е есть множества вида
fi(B), i(<I, В ограничено в Е{. Так как Ei отделимы,
то никакая прямая в Е не ограничена, т. е. Е отде-
лимо.
§ 5. Пределы в смысле Макки
Определение 1. Пусть Е — борнологическое век-
торное пространство и (х\,)кел — направленность в
Е. Говорят, что направленность (х^)^л сходится к
О в смысле Макки, или борнологически сходится,
если существует ограниченное множество ВаЕ
36
такое, что для любого 8>0 найдется такое Хс? что
хх^еВ при всех Х>Х0.
Будем говорить, что направленность (х^Дед
сходится к л? в смысле Макки, если направленность
(хь—х) сходится к 0 в смысле Макки.
Определение 2. Множество Лс=Е буде^м называть
замкнутым в смысле Макки, если оно содержит
пределы всех сходящихся в смысле Макки после-
довательностей из А.
Примеры:
1.	В б.в.п. К с естественной борнологией сходимость в
смысле Макки совпадает со сходимостью в обычном смысле.
2.	В нормированном пространстве Е с естественной борноло-
гией фон Неймана, или, что то же самое, борнологией, опре-
деляемой расстоянием d(x, i/) = ||x—у\\, сходимость в смысле
Макки совпадает со сходимостью по норме.
3.	Пусть Е— т. в. п. с борнологией фон Неймана. Если нап-
равленность (х^) сходится к 0 в смысле Макки, то она
сходится к 0 и в смысле топологии. Однако обратное, вообще
говоря, неверно. В связи с этим говорят, что локально выпук-
лое пространство Е удовлетворяет условию сходимости Макки,
если сходимость последовательностей в л. в. п. Е эквивалентна
сходимости этих последовательностей в смысле Макки в бор-
нологии фон Неймана.
Можно показать, что метризуемые <л.в.п. удовлет-
воряют условию сходимости Макки. Пространство,
сильно сопряженное к квазибочечному пространст-
ву Шварца, также удовлетворяет условию сходимо-
сти Макки [22]. Однако проблема характеризации
локально выпуклых пространств, удовлетворяющих
условию сходимости Макки, до сих пор не решена.
Предложение 1. Для того чтобы последователь-
ность (хп) в б.в.п. Е сходилась к 0 в смысле Макки,
необходимо и достаточно, чтобы существовали по-
следовательность скаляров Лпл сходящаяся к 0, и
ограниченная последовательность (уп) элементов из
Е таких, что хп = 1кпУп^
Доказательство. Необходимость. Пусть
хп—сходящаяся к нулю в смысле Макки последова-
тельность элементов из Е и пусть В— ограниченное
в Е множество такое, что для всякого.	су-
ществует Л такое, что XnG|iB при n^Jf. Предпо-
ложим, что — сходящаяся к нулю последователь-
ность скаляров. Для каждого |ife выберем соответ-
ствующее такое, что xn6|ifeB при	Поло-
37
жим теперь Хп = 1л£> если	Тогда ясно,
ЧТО Хп-*"0 И Х'пбХиД Т. е. Хп=^пЦп> Уп^-В.
Достаточность. Выберем ограниченное уравнове-
шенное множество В в Е таким образом, чтобы
(t/n)n351czB. Тогда будем иметь для всех 0=^X6 Д’
х„бХ„В=-г-ХВ.
Л
Поскольку %п->0, то при достаточно большом п
|Х„| < |Х| и —Поэтому при достаточно
Л
м
большом п Хп&ЬВ, т. е. хп —> 0 (хп стремится к О
в смысле Макки).
Предложение 2. Пусть Е, F, G — б.в.п., (х^) —
направленность в Е сходящаяся к а, (у^) — направ-
ленность в F сходящаяся к Ь. Тогда для всякого ли-
нейного ограниченного отображения и : E-+F на-
правленность ы(хх) сходится к и(а) и для всякого
билинейного ограниченного отображения v : Ex
XF-+G направленность v(x^, Уц) сходится к и (а, Ь).
Доказательство немедленно получается из
определений.
Предложение 3. Для того чтобы борнологическое
векторное пространство Е было отделимым, необ-
ходимо и достаточно, чтобы всякая сходящаяся по-
следовательность в Е обладала единственным пре-
делом.
Доказательство. Пусть Е отделимо и хя
сходится одновременно к а и к Ь. Тогда последова-
тельность уп = 0 сходится к а—Ь, т. е. существует
ограниченное множество В такое, что для любого
Хб/С уп—(а—b) = b—а&КВ. Это означает, что пря-
мая {Х(Ь—a)}faK ограничена. Следовательно, а—Ь.
Обратно, если Е не отделимо, то существует огра-
ниченная прямая, например, {Ха}л.ею а=#0. Значит,
найдется ограниченное множество Вс.Е такое, что
ХабВ для всех Х6/С Это означает, что последова-
тельность хп = а сходится одновременно к 0 и к а.
Следствие 1. Пусть Е — б.в.п. и F — его под-
пространство. Для того чтобы F было замкнуто в Е,
необходимо и достаточно, чтобы F содержало все
пределы сходящихся в Е последовательностей из F,
т. е. чтобы F было замкнуто в смысле Макки.
38
Доказательство. Пусть F замкнуто, xn£F
и хп сходится к а в Е. Тогда 0=(р(Хп) сходится к
<р(а), где <р : E-+E/F— каноническое отображение.
Так как Е/F отделимо, то, ввиду предложения 3,
ф(а)=0, т. е. aEF.
Обратно, пусть F не замкнуто, следовательно,
EIF не отделимо, поэтому нулевая последователь-
ность в Е/F обладает ненулевым пределом. Это
означает, что всякая последовательность из F имеет
предел, не принадлежащий F.
Следствие 2. Пусть Е — б.в.п. Пересечение
замкнутых подпространств из Е замкнуто в Е.
Определение 3. Последовательность точек бор-
нологического векторного пространства Е называет-
ся последовательностью Коши — Макки, если двой-
ная последовательность хп—хт стремится к 0.
Всякая последовательность Коши ограничена.
Всякая сходящаяся последовательность является
последовательностью Коши.
Определение 4, Борнологическое векторное про-
странство называется полуполным, если оно отдели-
мо и каждая последовательность Коши обладает
пределом (необходимо единственным).
Предложение 4. Пусть Е — б.в.п. и F — подпро-
странство. Тогда:
а)	если Е полуполно и F замкнуто, то F полупол-
но;
б)	если Е отделимо и F полуполно, то F замкнуто.
Доказательство стандартно.
Предложение 5. Проективный предел семейства
полуполных пространств полуполон.
Доказательство. Пусть (£J г-б1 — проек-
тивная система полуполных пространств и Е — про-
ективный предел этой системы. Согласно след-
ствию 2 предложения 3, Е замкнуто в произведении
п £i. Поэтому достаточно доказать предложение
г£.Г
для случая 5= ЦЕ{.
iei
Известно (см. предложение 2 § 4), что Е отдели-
мо. Пусть (хп) — последовательность Коши в Е,
тогда рГгХп — последовательность Коши в £г- для
каждого i6/ и поэтому она сходится к а* в £<. Де-
39
лая сдвиги, если это необходимо, можно, без огра-
ничения общности, считать, что Ui = 0.
Пусть С — ограниченное множество в Е вида
С= п Сг (где Сг ограничено в £г) такое, что для
гЫ
каждого ХЕК найдется п0 такое, что хп—хт(<кС при
т^по. Тогда рГгХп—priXmQKCi для п:>По,
т^по и всех iQI.
Пусть теперь для каждого /б/, Bi— ограниченное
множество в Ei такое, что для каждого 0#=^6
GK priXm^Bi для т достаточно больших. Отсюда
prixnEKCi+hBi для n>n0 и всех iQI. Следователь-
м
но, хп6Л(С4-В) для п^п0, т. е. хп—>0.
Предложение 6. Пусть (Ei)iei — индуктивная си-
стема полуполных борнологических векторных про-
странств и £=limind£i- Предположим, что канони-
ческие отображения fi: Ei-^E инъективны. Тогда £
полуполно.
Доказательство. Можно предполагать все-
гда, что рассматриваемая индуктивная система на-
правлена (см. предложение 4 из § 3). Согласно
этому же предложению, £ отделимо. Пусть (хп)—
последовательность Коши в Е, В — ограниченное
множество в £ такое, что хп—хт&кВ. Так как ин-
дуктивная система является направленной и после-
довательность Коши ограничена, то (см. замечание
к следствию 3 предложения 3 § 3) существует ин-
декс г, ограниченное множество В' в Ei и последо-
вательность (х'п)с=£г такие, что fi(x'n)=xn и
fi(B')=B. Поскольку fi инъективно, то х'п—х'т&кВ'
для достаточно больших пит, т. е. (х'п) — после-
довательность Коши в Ei и поэтому х'п сходится к
а'6£г. Следовательно, хп сходится к fi(a').
Наконец, приведем предложение, которое харак-
теризует отделимые конечномерные борнологичес-
кие векторные пространства.
Теорема 1. Пусть £ — отделимое борнологическое
векторное пространство размерности п. Тогда £
изоморфно Кп, наделенному борнологией произве-
дения.
Доказательство теоремы существенно опирается
на следующий факт.
40
Лемма 1. Замкнутая гиперплоскость Н в отдели-
мом б.в.п. Е обладает прямым борнологическим до-
полнением в Е, т. е. прямым дополнением в катего-
рии &vb.
Доказательство. Пусть D — алгебраиче-
ское дополнение к И в Е, наделенное борнологией,
индуцированной из Е. Тогда каноническое отобра-
жение ф : D^-EIH ограничено и является алгебраи-
ческим изоморфизмом. Кроме того, D и Е)Н отдели-
мы. Обратное отображение отображению ф ограни-
чено в силу определения борнологий в Е/Н и D,
Таким образом, ф — изоморфизм. Следовательно,
H-\-D изоморфно Е.
Доказательство теоремы 1. Пусть
dimE=l, тогда Е алгебраически изоморфно К, и на
К единственной отделимой борнологией является
естественная.
Далее доказательство ведем индукцией по раз-
мерности пространства Е. Предположим, что теоре-
ма справедлива для dimE=n—1. Докажем ее для
п. Пусть И — гиперплоскость в Е. Следовательно,
Н изоморфна Кп~1 в силу предположений индукции
и поэтому Н полуполно. Значит, Н замкнуто в Е.
По лемме 1, Н является прямым слагаемым в Е.
Это доказывает, что Е изоморфно Кп.
Глава 3
ПРОСТРАНСТВА ЛИНЕЙНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
В главе рассматриваются пространства линей-
ных отображений борнологических и топологиче-
ских векторных пространств, естественные вектор-
ные борнологий и топологии на этих пространствах.
Изучаются вопросы отделимости и полноты этих
пространств, а также обсуждается представление
пространств линейных отображений в проективных
и индуктивных пределах семейств борнологических
и топологических векторных пространств.
41
§ 1. Функтор Leb
Пусть Е и F — два борнологических векторных
пространства. Множество Нош^^(Е, F) линейных
ограниченных отображений наделено естественной
векторной структурой.
Определение 1. Векторное пространство
Нош^ь (Е, F), наделенное эквиборнологией, т. е.
борнологией, индуцированной в 3&(Е, F) (см. при-
мер 11 § 1 гл. 2), будем обозначать Leb (Е, F).
Таким образом, множество /7cLeb(E, F) огра-
ничено в Leb (Е, F), если множество Н(А) = U и (А)
uqH
ограничено в F для любого ограниченного множест-
ва А из Е.
Нетрудно видеть, что отображение (Е, F)-+-
-> Leb (Е, F) определяет бифунктор
(&vb)°X#vb-+&vb.
Предложение 1. Для каждого б.в.п. Е простран-
ства Leb(X, Е) и Е борнологически изоморфны.
Доказательство. Рассмотрим отображение
F:Leb(X Ери->м(1)ЕЕ.
Поскольку и — линейное отображение, то ясно,
что и(к) =Хи(1). Поэтому F — линейное биективное
отображение. По определению борнологии в Leb(E,
Е), множество 7/<=Leb(7C Е) ограничено в Leb (К,
Е) тогда и только тогда, когда множество {и (1)}иьн
ограничено в Е, т. е. тогда и только тогда, когда
F(H) ограничено в Е. Таким образом, F является
изоморфизмом.
Предложение 2.. Пусть (Ех)ХеЛ_, (FJ — два
семейства б.в.п. Если Е= limindEx, F= limproj FM
X	ц
в категории &vb, то Leb (Е, F) борнологически изо-
морфно limproj Leb (Ex, Fg), где проективный пре-
дел взят в категории &vb.
Доказательство. Пусть е^.Е^Е, f^F^-F^—
канонические отображения. Им соответствуют сле-
дующие морфизмы борнологических векторных
пространств:
<РХ, ц : Leb (Е, F) о f о Leb (ЕЛ, FJ.
42
Векторное пространство LebfE, F) является про-
ективным пределом векторных пространств Leb (£Л,
F^) относительно отображений ф^ц. Чтобы доказать
борнологическое равенство, достаточно доказать,
что всякое подмножество А из Leb(£, F) такое,
что для каждой пары (%, ц) множество Фл, цИ) =
=/цоДоех является эквиограниченным множеством
отображений из в F^, есть эквиограниченное мно-
жество отображений из Е в F.
Пусть В — ограниченное множество из Е вида
В = У,	где Ви ограничено в Е^. Для
i^i^n
каждого индекса ц имеем, что множество
/Ц(Д(В))= Z
1^г=^п
ограничено в F^, т. е. А (В) ограничено в F.
Предложение 3. Если F — отделимое б.в.п., то
Leb(B, F) тоже отделимо. Если В=£{0} и Leb(B, F)
отделимо, то F отделимо.
Доказательство. Пусть F отделимо. Если
Leb(В, F) не отделимо, то существует эквиограни-
ченное множество линейных отображений из Е в F
вида Ku, и=#0. Пусть х—такая точка из Е, что
и(х)--^0, тогда Ки(х)—ограниченная прямая в F,
что противоречит отделимости F.
Обратно, предположим, что В=#{0} и F не отде-
лимо, и пусть х—такая точка в F, что прямая Кх
ограничена в F. Выберем f—ненулевую линейную
форму на Е. Рассмотрим линейное отображение
u:E^y-^f(y)XdF. Отображение и ограничено и мно-
жество Ки— эквиограниченное множество линей-
ных отображений. Следовательно, Leb (В, F) не от-
делимо.
§ 2 Функтор Lee
Пусть В и F — т.в.п. Как мы уже отмечали (см.
§ 3 гл. 2), борнология равностепенной непрерывно-
сти на пространстве
(Е, F)
непрерывных
линейных отображений согласуется с векторной
структурой.
Определение 1. Векторное пространство
43
F)
с борнологией равностепенной не-
прерывности будем обозначать Lee (£, F).
Таким образом, множество HczLec(E, F) ограни-
чено в Lec(£, F), если для любой окрестности V
нуля в F множество П u~l(V) является ОКреСТ-
ие^
ностью нуля в Е.
Отображение (Е, F)->Lec(£, F) определяет би-
функтор
(&vty>x&vt-^vb.
Предложение!. Пусть (£х)хбл и (Рц)ЦбМ — два
семейства т.в.п., Л конечно. Если £=limind£x,
к
F= limproj/^ в категории gut, то Lee (£, F) бор-
ц
нологически изоморфно проективному пределу
limproj Lee (£х, F^), который рассматривается в ка-
X, ц
тегории Svb.
Доказательство. Как и в предложении 2
§ 1, обозначим вх.*£х->£, f^:F^F^—канонические
отображения. Пусть Н — множество линейных не-
прерывных отображений из £ в F такое, что для
любой пары (X, |л)6ЛхЛ1, является равно-
степенно непрерывным множеством линейных ото-
бражений из £\ в £и. Достаточно доказать (см.
предложение 2 § 1), что Н равностепенно непре-
рывно. Пусть W — окрестность нуля в F и р — чис-
ло элементов в Л. Существует такая окрестность
W' нуля в F, что
"	-	-у ~
р
Более того, можно предположить, что W' имеет вид
W' = П	^.— окрестность нуля в £ц..
Согласно предположениям, для каждого XGA су-
ществует окрестность нуля в £*, такая, что
Обозначая через V окрестность нуля в £ вида
V=	будем иметь
ЛбЛ
Я(У)с:Г/+...+Г/(=Г,
р
что завершает доказательство.
44
Предложение 2. Пусть Е и F — дват.в.п. Отобра-
жение Тес (£, F)->Lec (£, F), ассоциированное с
каноническим отображением <р : F-*-F отождеств-
ляет Lee (Е, F) с пространством Lee (Е, F). В част-
ности, если F отделимо, то и Lee (Е, F) отделимо.
Обратно, если {0} и Lec(E, F) отделимо, то
F отделимо. Здесь, как и в § 4 гл. 2, F означает от-
делимое т.в.п., ассоциированное с т.в.п. F.
Доказательство. Пусть Л9 — замыкание
множества {0} в F. Для всякого линейного непре-
рывного отображения g:E-+F существует линейное
отображение f : E-+F такое, что g=q>°f- Отображе-
ние Lee (Е, F)->-Lec (Е, F) сюръективно, если f не-
прерывно. Докажем, что f непрерывно.
Для каждой окрестности U в F выберем окрест-
ность нуля W такую, что W+WczU. Для окрестно-
сти W найдется окрестность V нуля в Е такая, что
g(V)cq(W). Это записывается в виде
f (V)c=W+Jf<=.W+W<=U
(Л9 является пересечением окрестностей нуля в F).
Таким образом, f непрерывно.
Далее вычислим ядро линейного отображения
Lec(£, Fj-^-Lecff, F). Пусть f:E^>-F — линейное не-
прерывное отображение такое, что <p°f=O. Это оз-
начает, что f(E)ajf. Так как Л9 является пересече-
нием окрестностей нуля из F, то ясно, что Kf(E) =
=f(E)a:jf. Следовательно, Kf— равностепенно
непрерывное множество.
Обратно, если Kf — равностепенно непрерывное
множество, то для каждой окрестности W нуля из
F существует окрестность V нуля из Е такая, что
f(E) = Kf(V)czW, т. е. f(E)<=jf.
Таким образом, видим, что множество всех ли-
нейных непрерывных отображений f из Е в F таких,
что фо^=0 совпадает с множеством таких f, для
которых прямые Kf ограничены, т. е. отделимое
пространство, ассоциированное с LecfE, F), совпа-
дает с Lec(£, F).
Обратно, предположим, что E=F={0} и F не отде-
лимо. Тогда Л9#^}. Выберем О^г/бЛ9 и произ-
вольный линейный функционал h:E-*-K, h=£0. Рас-
45
смотрим отображение f:E$x^h(x)y(<F. Очевидно,
что f(E)cz:Jf. Следовательно, прямая Kf в Lec(E,
F) ограничена, что противоречит отделимости
Lec(E, F).
Если Е — топологическое векторное пространст-
во, то символом Ё будем обозначать пополнение Е
как равномерного пространства.
Предложение 3. Пусть F — полное т.в.п., тогда
канонический морфизм Е^Ё определяет изомор-
физм борнологических векторных пространств
Lee (Е, F) и Lee (Е, F).
Доказательство. Пусть (р:Е->£—канониче-
ский морфизм и 7:Lec(£, F)Bu->uoq)6Lec(E, F) —
определяемое им отображение. Так как Е плотно в
Ё, то Т линейно и инъективно. Ввиду полноты F,
отображение Т сюръективно.
Пусть BczLecfE, F)—ограниченное множество,
т. е. для любой окрестности W нуля в F существует
окрестность V нуля в Ё такая, что u(V)czW для
всех ибВ._Согласно конструкции окрестностей нуля
в Ё, V=U (замыкание в Ё), здесь U— окрестность
нуля в Е. Таким образом, ограниченность В эквива-
лентна тому, что u(V)cz.W для всех ибВ, или тому,
что Т(В) ограничено в Lec(E, F).
Если Е — т.в.п., то на нем определяется борноло-
гия фон Неймана, которая, как уже отмечалось вы-
ше, согласуется с векторной структурой. Эта борно-
логия на т.в.п. Е называется канонической, и полу-
ченное таким образом б.в.п. будем обозначать BE.
Следующее предложение показывает, что канони-
ческая борнология на т.в.п. Е является естествен-
ной.
Предложение 4. Пусть Е — т.в.п., тогда простран*
ства Lec(7C, Е) и BE борнологически изоморфны.
Доказательство. Требуемым изоморфиз-
мом является каноническое отображение Lee (К,
Е)*НМЕ.
Действительно, оно линейно и биективно. Пусть
BcLecfK, Е)—ограниченное множество в LecfK,
Е), т. е. для любой окрестности V нуля в Е найдет-
ся 6>0 такое, что fV для всех |Х|<6 и всех
f&B, или, другими словами, f(7)G—V для всех
46
.Последнее означает,что множество В(1) =
= {f (Н./бВ) ограничено в Е.
Предложение 5. Пусть Е — т.в.п. Борнологиче-
ское пространство BE отделимо тогда и только тог-
да, когда отделимо т.в.п. Е.
Доказательство. Является непосредствен-
ным следствием предложений 2 и 4.
Нетрудно видеть, что отображение Е-^-ВЕ опре-
деляет функтор В из &vt в Из предложения
1 вытекает
Предложение 6. Функтор В перестановочен с про-
ективными пределами.
Замечание. Однако этот функтор не коммутирует с ин-
дуктивными пределами, даже с конечными. Действительно, су-
ществует монтелевское пространство, обладающее немонтелев-
ским фактор-пространством (см. [22] гл. 2 п. 3).
Предложение^?. Пусть Е—т.в.п. Если В ограни-
чено в BE, то и В ограничено в BE.
Доказательство. Немедленно вытекает из
свойств топологии т.в.п.
Предложение 8 (А. Н. Колмогоров). Пусть Е—
т.в.п. Для того чтобы множество В из Е было огра-
ничено в BE, необходимо и достаточно, чтобы для
каждой последовательности Хп точек из В и каждой
последовательности скаляров \п, стремящихся к О,
последовательность стремилась к 0 в £.i
Доказательство. Необходимость очевидна.
Достаточность. Предположим, что В не ограниче-
но. Тогда найдется окрестность V нуля в Е, которая
не поглощает В, т. е. для каждого п можно найти
хп£В и ХпбЛ такие, что 1Хп|^~и кпхп§У. Это озна-
п
чает, что Хп->0, но Znxn не сходится к нулю в Е.
Следствие, Для того чтобы множество было
ограничено в BE, необходимо и достаточно, чтобы
каждая его счетная часть была ограничена в BE.
§ 3.	Функтор Lub
Пусть Е — б.в.п. и F — т.в.п. На множестве
Hom^>^(E, BF) линейных ограниченных отображе-
47
ний из Е в BF определим а-топологию равномерной
сходимости на всех ограниченных подмножествах
из Е. Нетрудно проверить, что эта топология согла-
суется со структурой векторного пространства
Hom<m (Е> вг>	/
Определение 1. Векторное пространство
Horn^)fo(£, BF) с о-топологией равномерной схо-
димости на всех ограниченных подмножествах из Е
будем обозначать Lub (Е, F).
Отображение (Е, F)-^Lub(E, F) определяет би-
функтор
(&vb)*x8vt-+8vt.
Предложение 1. Пусть (ЕДхед— семейство б.в.п.,
(F^mm — семейство т.в.п. Если Е= limindEx в
лед
категории &vb, a F= lim proj в категории &vt,
цем
то Lub (Е, F) топологически изоморфно проектив-
ному пределу limproj Lub (E-f,, Ец), взятому в кате-
Л, ц
горни &vt.
Доказательство. Согласно предложению 6
§2, BF= lim proj BFp. Следовательно, векторное
пространство Hom^b(E, BF) изоморфно вектор-
ному пространству lim proj Hom^rb (£Х, BFy,). Не-
посредственно проверяется, что на Hom^rb(E, BF)
топология равномерной сходимости на всех огра-
ниченных множествах из Е является инициальной
относительно отображений Нот^юЬ (Е, BF)—>-
->Lub (Ем Fp,). Это завершает доказательство.
Предложение 2. Если Е — б.в.п., a F — т.в.п,, то
В Lub (Е, F) = Leb (Е, BF).
Доказательство. Множество //czLubfE, F)
ограничено в BLubfE, F) тогда и только тогда,
когда для любого множества А, ограниченного в
Е, и любой уравновешенной окрестности нуля V в
F найдется ненулевое такое, что	V).
(Здесь 7’(4,V) = {M6Hom^t,b(E, BF):и(А)aV}-
окрестность нуля в Lub (Е, F.).)
48
Таким образом, включение ЛЯс:Т(Л, V) означа-
ет, что\H(A)c=.V, т. е. Н(А) ограничено в ВЛ По
определению, это означает, что Н ограничено в
Leb (Е, BE).
Предложение 3. Пусть Е — б.в.п., F — т.в.п. Ото-
бражений Lub (Е, Е)—>-Lub (Е, Е), ассоциирован-
ное с каноническим отображением Е->Е отождеств-
ляет Lub (Е, Е) с пространством Lub (Е, Е). В част-
ности, если F отделимо, то и Lub (Е, F) отделимо.
Обратно, если Е^={0} и если Lub (Е, Е) отделимо,
то Е отделимо.
Доказательство. Вытекает из предложений
3 § 1, 5 § 2 и предложения 2 данного параграфа.
Предложение 4. Пусть Е— б.в.п., Е — т.в.п. Если
Е отделимо и полно, то Lub(E, F) отделимо и полно.
Доказательство. Отделимость Lub(E, F)
установлена в предложении 3. Пусть (ихАед — на-
правленность Коши в Lub(E, F), т. е. для любой ок-
рестности нуля V в Е и любого ограниченного мно-
жества А в Е найдется ХобЛ такое, что при всех
Х>Х0, |л>%о «л—«|лбГ(Д, V). Таким образом, для
каждого хЪЕ направленность (и^(х))^\ является
направленностью Коши в Е. Ввиду полноты Е, иу.(х)
сходится к u(x)£F равномерно на каждом ограни-
ченном множестве А из Е. Отображение u:E^>~F ли-
нейно, так как все и\ линейны. Для завершения до-
казательства достаточно показать, что и ограниче-
но. Так как и—uifeT(A, V), то и(А)сУ+и>,1(А).
Поскольку ик0(А) ограничено в BE, то существует
абК такое, что ux„(A)czaV. Следовательно, и(А)а
czV+aV, т. е. отображение и ограничено.
§ 4.	Функтор Lvb
Определение 1. Пусть Е — т.в.п., Е — б.в.п. Бу-
дем говорить, что линейное отображение u:E-*-F
борнантно, если существует окрестность V нуля в
Е,. образ u(V) которой ограничен в Е.
Определение 2. Будем говорить, что множество
Н линейных отображений из Е в Е эквиборнантно,
если существует окрестность V нуля в Е такая, что
множество H(V)= U u(V) ограничено в Е.
uqH
4. Зак. 927
49
Множество эквиборнантных подмножеств на век-
торном пространстве всех линейных бор^антных
отображений из Е в F определяет векторную борно-
логию. Полученное таким образом борнолргическое
векторное пространство будем обозначать через
Lvb (E,F).
Отображение (Е, E)->-Lvb (Е, F) определяет би-
функтор
(&vty>X&vb-+gvb.
Предложение!. Если (Ех)хел— семейство т.в.п,
(Еи) нем — семейство б.в.п., где Л и М конечны, и
если Е= limindEx в категории &vt, a F=
хед
= lim proj Ец в категории Svb, то пространство
целг
Lvb (Е, F) борнологически изоморфно проективно-
му пределу limprojLvb (Ex, Ец), взятому в катего-
рии &vb.
Доказательство. Обозначим ez:E;.->E,
: Е->ЕЦ — канонические отображения. Пусть Н —
множество линейных отображений из Е в Е таких,
что для каждой пары (X, р) множество яв-
ляется эквиборнантным множеством линейных ото-
бражений из Ех в Ец. Покажем, что в этом случае
Н эквиборнантно. Поскольку борнология LvbfE, F)
инициальна относительно отображений
Lvb (Е, E)->Lvb (Ex, Ец),
то это завершит доказательство.
Так как М конечно, то существует для каждого X
окрестность Ух нуля в Ех такая, что (Vk) ог-
раничено в Ец для всех р. Так как Л конечно, то
(fu » Я) (Z ex(Vx)) = 2Ж 0 Я о О (Ух)
Хед	хед
ограничено для всех ц. Это показывает, что
Н(2Zex(Vx)) ограничено в F. Так как У! еЦУх) —
Хед	Хед
окрестность нуля в Е, то Н эквиограничено.
Предложение 2. Если F — отделимое б.в.п., то
б.в.п. LvbfE, Е) отделимо. Обратно, если Е=/={0} и
LvbfE, F) отделимо, то отделимо и F.
Доказательство. Предположим, что Lvb (Е,
F) не отделимо. Тогда существуют ненулевое бор-
50
нантнЗе линейное отображение u:E^F и окрест-
ность V нуля в Е такие, что А= U X«(V) = и(Е) ог-
раниченр в F. Так как и=#0, то Л=#{0}. Следова-
тельно, £ не отделимо.
Обратно, предположим, что £=#{0} и F не отде-
лимо. Пусть у — такая точка в F, что прямая Ку ог-
раничена в F. Выберем ненулевую форму f на Е.
Рассмотрим линейное отображение u:E^x-^f(x)y&
QF. Отображение и борнантно и множество Ки эк-
виборнантно. Следовательно, Lvb(£, F) не отдели-
мо.
§ 5.	Топологическо-борнологические
векторные пространства
Определение 1. Пусть Е — векторное пространст-
во, наделенное векторными топологией и борно-
логией Говорят, что ?Г и & согласуются, если:
1) & сильнее борнологий фон Неймана, ассоции-
рованной с т. е. множество, ограниченное в
поглощается каждой окрестностью нуля из 9";
2) замыкание (по топологии каждого ограни-
ченного множества из ограничено в
Векторное пространство, наделенное согласую-
щимися векторными топологией и борнологией бу-
дем называть топологическо-борнологическим век-
торным пространством (т.-б.в.п.).
Таким образом, получена новая категория, объ-
ектами которой являются т.-б.в.п., а морфизмами—
линейные непрерывные ограниченные отображения.
Эту категорию будем обозначать &vtb.
Примеры:
1.	Пусть Е — т.в.п. Его каноническая борнология согласует-
ся со своей топологией.
2.	Пусть Е — т. в. п. Предкомпактная борнология на Е сог-
ласуется со своей топологией.
3.	Пусть Е — отделимое т. в. п. Компактная борнология на
Е согласуется со своей топологией.
4.	На векторном пространстве самая сильная борнология
согласуется с любой отделимой векторной топологией.
В дальнейшем приведем более сложные примеры
топологическо-борнологических векторных прост-
ранств.
4*
51
Отметим, что, кроме всего, мы имеем двХ «сти-
рающих» функтора: &vtb-^(£vt и ffvtb^&vb-
Предложение 1. Категория &vtb обладает/ проек-
тивными пределами. Функторы &vtb-+&vt и &vtb->
-+&vb коммутируют с проективными пределами.
Доказательство. Пусть (Ек)кел—Проектив-
ная система т.-б.в.п. Обозначим борнологию, а
3"л топологию на Е^> Е — проективный предел про-
странств Ек и е^.Е-^Еь — канонические отображе-
ния. Пусть 3~ — инициальная относительно топо-
логия на Е, $ — инициальная относительно и
JfX борнология на Е. Докажем, что они согласу-
ются.
В силу предложения 6 § 2, каноническая борноло-
гия, ассоциированная с топологией У', является
инициальной относительно канонических борноло-
гий, ассоциированных с топологиями 3~\. Это пока-
зывает, что борнология 3S сильнее канонической
борнологии, ассоциированной с топологией 3". Да-
лее, пусть А — ограниченное множество в тогда
для каждого X имеем, в силу непрерывности ек,
включение ек(А)<^ек(А) (А— замыкание в
вх(Д) —замыкание в 3"\). По условию предложе-
ния, вх(А) ограничено в и поэтому тоже
ограничено в следов_ательно, е^(А) ограничено
в Для любого X, т. е. А ограничено в 3S.
Утверждения, касающиеся функторов & vtb^-
-+&>vt и ffvtb-^&vb, очевидны.
Предложение 2. Категория &vtb обладает конеч-
ными индуктивными пределами.
Доказательство. Пусть	— конечная
индуктивная система, 3"к — топология на —
борнология на Е^ Е — индуктивный предел вектор-
ных пространств Е^> е^:Е^Е — канонические отоб-
ражения, 3" — финальная топология топологий 3"%.
Обозначим через 31 борнологию на Е, имеющую в
качестве базы, замыкания в 3~ множеств S
где при каждом X пробегает Очевидно, что
2Г и согласуются на Е.
Определение 2. Говорят, что т.-б.в.п. отделимо,
если отделимы его топология и борнология.
Согласно предложению 5 § 2, для отделимости
52
т.-б.в.Ь. достаточно отделимости только топологии.
С ка\ждым т.-б.в.п. Е ассоциируется отделимое
т.-б.в.ш Е следующим образом: обозначим через Ё
отделимое т.в.п., ассоциированное с т.в.п. Е, и на
Ё зададим борнологию & База борнологий & со-
стоит из замыкания в Ё образов ограниченных мно-
жеств из Е при каноническом отображении Е-+Ё.
Очевидно, что полученное т.-б.в.п. Е удовлетворяет
требуемым свойствам.
Таким образом, отображение Е^Ё определяет
функтор &vtb-^&vtbs, где &vtbs — категория отде-
лимых топологическо-борнологических векторных
пространств.
Определение 3. Пусть Е — отделимое т.-б.в.п. Го-
ворят, что Е квазиполно, если каждое ограничен-
ное (по борнологий) и замкнутое (по топологии)
множество полно (по равномерной структуре т.в.п.).
Обозначим через <£vqc категорию квазиполных
т.-б.в.п. Сейчас определим функтор квазипополне-
ния &vtb^$vqc.
Пусть Е — т.-б.в.п. и Ё — пополнение т.в.п. Е,
<р:Е->£ — каноническое отображение. Обозначим
ё= и фИ), где А пробегает все ограниченные мно-
aqe
жества в Е.
Ясно, что Ё—подпространство в Ё, Наделим Ё
топологией из £ и борнологией, базу которой обра-
зуют множества где А —ограниченное мно-
жество в Е. Таким образом, получим квазиполное
т.-б.в.п., которое будем называть квазипополнением
т.-б.в.п. Е. Полученное квазипополнение единствен-
но в том смысле, что всякий морфизм из Е в квази-
полное пространство F единственным образом про-
пускается через Е.
Как уже отмечалось в начале этого параграфа,
определены два «стирающих» функтора Svtb-^Svt
и &vtb-^&vb.
Нетрудно построить и два «поднимающих» функ-
тора &vt-+&vtb и &vb^&vtb.
Пусть Е — т.в.п. с топологией 3". Тогда на Е су-
ществует (единственная) самая слабая из всех
векторных борнологий на Е, согласующихся с .
Это каноническая борнология, т. е. борнология фон
53
Неймана. Таким образом, отображение Е—>В£ оп-
ределяет функтор <Вvt—>&vtb.	।
Аналогично, если Е — б.в.п. с заданной борноло-
гией «$, то на Е существует (одна) самая сильная
из всех векторных топологий, согласующихся с
борнологией ж Это верхняя грань всех векторных
топологий, согласующихся с борнологией Если
обозначить это т.в.п. хЕ, то отображение Е~+хЕ оп-
ределяет функтор &vb->&vtb.
Если Е — б.в.п. с борнологией то на Е суще-
ствует самая сильная из всех векторных топологий,
при которых каждое множество, ограниченное в
ограничено в топологии. Т.в.п. с такой топологией
будем обозначать ТЕ. Нетрудно видеть, что фунда-
ментальная система окрестностей нуля этой топо-
логии состоит из всех противоограниченных мно-
жеств, т. е. из множеств, поглощающих все ограни-
ченные множества из Такую топологию назовем
канонической топологией борнологического вектор-
ного пространства Е. Таким образом, отображение
Е-^ТЕ определяет функтор &vb-+&vt. Однако ТЕ
не является, вообще говоря, т.-б.в.п. Борнологиче-
ские векторные пространства Е, обладающие тем
свойством, что ТЕ есть т.-б.в.п., рассмотрим немного
позже7 (см. § 7 гл. 4).
Очевидно, что если Е — б.в.п., то исходная борно-
логия сильнее (вообще говоря, строго), чем ВТЕ.
В связи с этим
Определение 4. Борнология б.в.п. Е называется
топологической борнологией, или нормальной, если
справедливо борнологическое равенство Е=ВТЕ.
Б.в.п. Е с топологической борнологией называют
топологическим б.в.п.
Аналогично, если Е — т.в.п., то, вообще говоря,
Г BE сильнее исходной топологии.
Определение 5. Топология на Е такая, что Е—
= ТВЕ называется борнологической топологией,
или нормальной топологией. Т.в.п. с борнологиче-
ской топологией называется борнологическим т.в.п.
Из определения функтора Т следует
Предложение 3. Для того чтобы т.в.п. Е было
борнологическим т.в.п., необходимо и достаточно,
чтобы для любого т.в.п. F каждое линейное отобра-
54
женйе u:E->F такое, что и :B£->BF ограничено,
было\ непрерывным, другими словами, тогда и
только тогда, когда функтор В вполне унивалентен.
Функтор Lbc
Пусть Е и F — два т.-б.в.п., Нот „	(Е, F) есть
не что иное, как Leb (£, F) П Lee (£, £). Следова-
тельно, можно наделить Hom^,c(b (£, F) борноло-
гией пересечения борнологий, индуцированных из
Leb (£, F) и из Lee (£, F).
С другой стороны, так как каноническая борно-
логия на F, ассоциированная с топологией, слабее
заданной борнологии на F, то имеем включение
Нот^ю(Ь (£, £)czLub(£, £). Теперь можно наде-
лить Hom^cJ6 (£, £) топологией, индуцированной
из Lub (£, F).
Предложение 4. Борнология и топология, таким
образом определенные на Hom^,ijib(£, F), согла-
суются между собой.
Доказательство. Действительно, борноло-
гия пространства Leb(£, £)f)Lec(£, F) сильнее
борнологии Leb(£, F), которая, в свою очередь,
сильнее борнологии Leb(£, BF). Но Leb(£, BF) =
= BLub (£, F) (см. предложение 2 § 3). Следова-
тельно, условие 1 определения 1 выполняется. До-
кажем теперь выполнение условия 2 определения 1.
Пусть Н — эквиограниченное и равностепенно не-
прерывное множество линейных отображений из
т.-б.в.п. £ в отделимое т.-б.в.п. F, Н-—замыкание
Н в топологии Lub(£, F). Ясно, что элементы из
Н — линейные отображения. Если А ограничено в
Е, то R(A)czH(A). Но Н(А) ограничено b_F, со-
гласно условию 2 определения 1, значит, Н экви-
ограничено. С другой стороны, пусть W— замкну-
тая окрестность нуля в F; существует окрестность
V нуля в £ такая, что H(V)cW. Тогда H(V)<z:
aH(V)c:W, следовательно, Н равностепенно непре-
рывно.
55
Определение 6. Топологическо-борнологическое
векторное пространство, полученное выше, будем
обозначать Lbc(E, F).
Отображение (£, F)->Lbc определяет бифунктор
(gvtb) «X %vtb-+£vtb.
Предложение 5. Пусть (Ек)къл.— индуктивное се-
мейство т.-б.в.п. (Л конечно); (/у)цбМ — проектив-
ное семейство т.-б.в.п. Если E=limind£; в кате-
хел
гории &vtb и F= limproj Гц в категории gvtb, то
цбМ
Lbc (Е, F) изоморфно lim proj Lbc (Ек, F„) в кате-
А, ц
гории &vtb.
Доказательство. Как векторное простран-
ство Lbc (Е, F) изоморфно векторному простран-
ству limproj Lbc (Ек, Ец). Ввиду предложений 2
Л, у.
§ 1 и 1 § 2, они имеют одинаковые борнологии. Тог-
да, согласно предложению 1 § 3, заключаем, что
топологии их совпадают.
Предложение 6. Пусть Е и F — т.-б.в.п. Если F
отделимо, то отделимо и Lbc(E, F). Обратно, если
Е=£{0} и Lbc(E, F) отделимо, то отделимо и F.
Доказательство. Немедленно следует из
предложений 3 § 1, 2 §2,3 §3.
Предложение 7. Пусть Е и F — т.-б.в.п. Если F
квазиполно, то Lbc(E, F) квазиполно.
Доказательство. Пусть Н — равностепен-
но непрерывное эквиограниченное множество ли-
нейных отображений из Е в F. Тогда для каждого
ХЕЕ множество Н(х) = {и(х):и6Н} ограничено в
F. Следовательно, его замыкание Н(х) в F ограни-
чено и полно в F. Согласно Бурбаки ([4, гл. X, § 1,
п. 5, предлож. 5, следствие 3]), замыкание И мно-
жества Н в &~<з(Е, F), где о — все ограниченные
множества из Е, есть полное пространство. По-
скольку топология &~а(Е, F) на Н совпадает с топо-
логией Lub(E, F) на Н и пространство Lbc(E, F)
является т.-б.в.п. (см. предложение 4), /7cLbc(E,
F) и Н полно.
Теперь назрела необходимость выяснить связь
56
равностепенной непрерывности с эквиограничен-
ностью. Ответ на этот вопрос дает
Теорема 1 (Банах — Штейнгауз). Пусть Е и F —
два топологическо-борнологических векторных
пространства.
1) Если F — т.в.п. с канонической борнологией,
то каждое равностепенно непрерывное множество
линейных отображений из Е в F эквиограничено.
2) Если Е — пространство Бэра, то всякое экви-
ограниченное множество линейных непрерывных
отображений из Е в F равностепенно непрерывно.
Доказательство. 1) Пусть Н — равносте-
пенно непрерывное множество линейных отображе-
ний из Е в F, А — ограниченное множество в Е,
W — уравновешенная окрестность нуля в F. Тогда
существуют уравновешенная окрестность V нуля в
Е и скаляр такие, что H(V)czW, XczXV. От-
сюда следует, что H(A)czlkH(V)<z.'kW, т. е. Н(А)
ограничено в F.
2) Пусть Н — эквиограниченное множество ли-
нейных непрерывных отображений из Е в F. Для
произвольной уравновешенной окрестности V нуля
в F выберем замкнутую уравновешенную окрест-
ность W нуля в F такую, что W—WczV. Множество
= f|	замкнуто и уравновешено в Е.
U£H
С другой стороны, для каждой точки хЕЕ мно-
жество Н(х) ограничено в F, т. е. существует Xfj/C
такое, что H(x)czlkW1 или хб f| u-1(X№) =М/“1(№).
UGH
Это означает, что множество Н~1(№) является по-
глощающим в Е. Следовательно, Е= (J пН~1(№).
п—1
Отсюда заключаем, что	имеет непустую
внутренность. Значит, Н~1 (№) —Я-1 (№) — окрест-
ность нуля в Е. Так как Н~1( V)	—IT) о
оЯ-ЦИ?)—Я-ЦИР), то	—окрестность ну-
ля в Е.
Функтор Lbc
Определение 7. Пусть Е и F — два т.-б.в.п. Линей-
ное отображение u:E^>~F будем называть квазине-
прерывным, если его сужение на каждое ограничен-
ное множество из Е равномерно непрерывно.
57
Аналогично множество Н линейных отображений
из Е в F назовем равностепенно квазинепрерыйным,
если для каждого ограниченного множества; А из
Е, множество (m|a)uGh равностепенно равномерно
непрерывных отображений из А в F.
Линейные квазинепрерывные и ограниченные
отображения из Е в F образуют векторное подпро-
странство L пространства всех линейных отображе-
ний из Е в F, в котором эквиограниченные и равно-
степенно квазинепрерывные множества образуют
векторную борнологию. Так как LczLubfE, F), то
наделим L топологией из Lub(E, F). Легко прове-
рить, что L, наделенное этими структурами, являет-
ся т.-б.в.п. Обозначим его Lbc(E, F). Отображение
(Е, F)->Lbc(E, F) определяет бифунктор
(&vtb)<>X&vtb-+&vtb.
Предложение 8. Пусть Е и F — т.-б.в.п. Если F
отделимо (соотв. квазиполно), то Lbcf-E, F) отде-t
лимо (соотв. квазиполно).
Доказательство. Пусть ST—топология на
Е и &&— его борнология. Обозначим \ самую силь-
ную из всех векторных топологий на Е, обладаю-
щую тем свойством, что она индуцирует на всех
ограниченных подмножествах из Е ту же равномер-
ную структуру, что и $Г. Очевидно, что согласу-
ется с борнологией 3%. Обозначим Е\ т.-б.в.п., наде-.
ленное топологией i и борнологией Канониче-
ское отображение <p:£->Ei линейно квазинепрерыв-
но, ограничено и определяет морфизм топологиче-
ско-борнологических векторных пространств Lbc(Ei,
£)Эи->ио(фбЬЬс(Е, F). Этот морфизм является
изоморфизмом. Теперь наше предложение следует
из предложений 6 и 7.
Глава 4
СТРУКТУРЫ ВЫПУКЛОГО ТИПА
В настоящей главе излагается теория векторных'
пространств с заданными на них топологиями или
борнологиями выпуклого типа. Задание топологиче-
58
ских или борнологических выпуклых структур поз-
воляет значительно развить теорию, получить тео-
ремы о такого рода пространствах в виде индуктив-
ных либо проективных пределов в соответствующих
категориях нормированных пространств.
§ 1. Полунормированные пространства
Определение 1. Векторное пространство Е назы-
вается полунормированным, если на Е определена
конечная полунорма, т. е. такое отображение р : Е-+-
->R+, что
1) р(Хх) = |Х|р(х), A.GK, х£Е;
2) Р(х+у)^р(х)+р(у), х,увЕ.
Множество полунорм на Е будем обозначать
Spec Е.
Открытым (соотв. замкнутым) единичным полу-
шаром относительно полунормы р называется мно-
жество Вр(0, 1)=р-1((0, 1)) (соотв. ВР(0, 1) =
=Р-’([0,1])).
Пусть (Е, р) и (F, q) — полунормированные про-
странства, тогда на множестве L(E, F) линейных
отображений определена полунорма г:
r(u)= sup -
р(х)=#0
?(«(*))
р(х)
Очевидно, что q(u(x))^r(u)p(x).
Рассмотрим категорию полунормированных про-
странств объектами которой являются все полу-
нормированные векторные пространства, а морфиз-
мами—линейные отображения и такие, что г(и)^.
<1, т. е. ^(«(х)Хр(х).
Определение 2. Пусть Е — векторное пространст-
во.'Говорят, что две конечных полунормы р\ и рг на
Е Эквивалентны, если существуют а>0, Ь>0 такие,
что api^pz^bpi.
Пусть (Е, р) — полунормированное пространство.
Множество гомотетичных образов единичного полу-
шара Вр(0, 1) образует базу ограниченных мно-
жеств (соотв. фундаментальную систему окрестно-
стей нуля) векторной борнологии (соотв. топологии)
59
на £ и определяет функтор В : Sn-+gvb (соотв.
функтор Т : Sn-^&vt).
Предложение 1. Пусть Е и F— полунормирован-
ные пространства, и: E-+F — линейное отображе-
ние. Для того чтобы и было морфизмом в категории
Sn, необходимо и достаточно, чтобы и : B£->BF,
и : TE-+TF были морфизмами в категориях <£vb и
vt соответственно.
Доказательство. Немедленно вытекает из
определений.
Предложение 2. Пусть £ — полунормированное
пространство. Тогда следующие условия эквива-
лентны:
1)	£ нормированное;
2)	ТЕ отделимо;
3)	В£ отделимо.
Доказательство. Следствие определений.
Предложение 3. Пусть £ — нормированное про-
странство. Тогда следующие утверждения эквива-
лентны:
1) ТЕ полно;
2) В£ полуполно.
Доказательство. Очевидно, так как в нор-
мированном пространстве сходимость по топологии
эквивалентна сходимости по Макки.
§ 2. Категория борнологических векторных
выпуклых пространств
Определение 1. Борнологическое векторное прост-
ранство называют борнологическим пространством
выпуклого типа, или борнологическим выпуклым
векторным пространством (б. в. в. п.), если его бор-
нология обладает базой выпуклых уравновешенных
множеств (дисков).
Теорема 1. Для борнологического векторного про-
странства £ следующие свойства эквивалентны:
1)	£ — борнологическое выпуклое векторное про-
странство;
2)	дисковая оболочка ограниченного множества в
£ ограничена;
3)	£ является индуктивным пределом (в катего-
рии &vb) полунормированных пространств.
60
Доказательство. 1) => 2). Пусть & — база
борнологии на Е, состоящая из дисков, А — произ-
вольное ограниченное множество в Е. Тогда суще-
ствует ВЪ& такое, что ЛсВ. Следовательно, и дис-
ковая оболочка множества А содержится в В.
2) => 1).Пусть — база борнологии б. в. п. Е.
Для каждого	рассмотрим di В — дисковую
оболочку множества В. Семейство £= {di В : Bf<$i},
как нетрудно видеть, образует базу исходной век-
торной борнологии Е.
1) => 3). Пусть обозначим Ев— векторное
подпространство в Е, порожденное диском В. Так
как & — база, то Е= U Ев. На каждом Ев опреде-
лен
лим полунорму калибровочной функцией рв, или,
как ее еще называют, функционалом Минковского
диска В, т. е. для каждого хбЕв положим
рв(х)= inf {Х>0 :
По определению индуктивного предела в катего-
рии &vb, имеем
Е= lim ind ВЕв.
ве&
3) => 1). Пусть £= lim ind В£\, где (£\)х6л —
лед
индуктивная система полунормированных про-
странств с полунормами (рх)лвд- Тогда база огра-
ниченных множеств в Е состоит из единичных по-
лушаров (Врк(0, 1))л.ед, которые, очевидно, явля-
ются дисками.
Выпуклые борнологические векторные простран-
ства образуют полную подкатегорию <$Ьс категории
&vb.
Предложение 1. Категория 8Ьс обладает индук-
тивными и проективными пределами.
Доказательство. Для индуктивных преде-
лов это очевидно. Для проективных следует из того,
что всякий проективный предел дисков является
диском.
Пусть Е — б.в.п. и — множество всех ограни-
ченных дисков в Е. Тогда Е= lim ind Да как век-
Aejg
61
торные пространства. Однако борнология
lim ind ВЕа является выпуклой и б.в.в.п. lim ind ВЕА
АЪ^ф
называется борнологическим выпуклым векторным
пространством, порожденным пространством Е.
Предложение 2. Если Е — б. в. п., a F — б. в. в. п.,
то Leb (Е, F) тоже б. в. в. п.
Доказательство. Поскольку F выпуклое
борнологическое пространство, то Leb (Е, F) не из-
менится, если борнологию в Е заменить на выпук-
лую борнологию, порожденную Е. Поэтому можем
предполагать, что оба пространства Е и F имеют
выпуклый тип.
Пусть (соотв. — множество всех ограни-
ченных дисков в Е (соотв. F). Тогда
Leb (Е, F) Leb (lim ind ВЕА, F) ~
lim proj Leb (ВДА, F)s*
££ lim proj lim ind Leb (BEA, BFB)&
ве#
= lim proj lim ind В Homsn (EA, FB).
А*# ве#
В силу теоремы 1, lim ind В Homgn (EA, FB) —
Begg
борнологическое выпуклое векторное пространство.
Теперь результат следует из предложения 1.
Предложение 3. Если Е — б. в. в. п., то топологи-
ческое векторное пространство ТЕ является локаль-
но выпуклым.
Доказательство. Так как Е — б.в.в.п., до,
ввиду теоремы 1, Е= lim ind ВЕв, где SS—база
ве#
борнологий в Е, состоящая из дисков, и индуктив-
ный предел взят в категории &vb. Согласно опре-
делению топологии ТЕ, имеем топологическое ра-
венство ТЕ— lim ind ТЕВ. Предложение доказано.
ве#
62
§ 3. Категория отделимых борнологических
выпуклых векторных пространств
Определение 1. Диск А в борнологическом век-
торном выпуклом пространстве называют сепарант-
ным, если Еа— нормированное пространство.
Теорема 1. Для того чтобы борнологическое вы-
пуклое векторное пространство Е было отделимо,
необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно
из следующих эквивалентных условий:
1) каждый ограниченный диск в Е является сепа-
ра нтным;
2) Е — индуктивный предел нормированных про-
странств с инъективными морфизмами.
Доказательство. Пусть Е отделимо и А —
ограниченный диск в Е. Пусть Кх — ограниченная
прямая в Еа, тогда она ограничена в Е и поэтому
Кх={0}. Значит, ЕА — нормированное пространст-
во, т. е. условие 1) выполняется. Выполнение усло-
вия 1) влечет выполнение условия 2), а условие 2)
влечет отделимость Е (см. предложение 3 § 4 гл. 2).
Тем самым теорема доказана.
Будем обозначать Sbcs полную подкатегорию ка-
тегории ё> Ьс> объектами которой являются отдели-
мые борнологические выпуклые векторные про-
странства.
Предложение 1. Отделимое пространство Ё, ассо-
циированное с б. в. в. п. Е, выпукло.	__
.Доказательство. Действительно, Ё=Е/ {0}
выпукло, в силу предложения 1 § 2.
Таким образом, отображение Е-+Ё определяет
функтор ё’Ьс-^Ьсз.
§ 4. Категория полных борнологических
выпуклых векторных пространств
Определение 1. Говорят, что диск А в б.в. в. п. Е~
является наполняющим, если ЁА— банахово про-
странство.
Определение 2> Отделимое борнологическое вы-
пуклое векторное пространство называют полным,
если его борнология обладает базой, состоящей ив
наполняющих дисков.
63
Пусть Е — б.в.в.п. и «$/ — множество всех напол-
няющих ограниченных дисков в Е. Тогда Е--
= lim ind BE а как векторное пространство. База
Ае^
борнологии в lim ind ВЕд состоит из всех напол-
няющих ограниченных дисков в Е.
Обозначив &Ьсс категорию полных борнологиче-
ских выпуклых векторных пространств, имеем функ-
тор ffbcs-^&bcc, определяемый соотношением Е-+-
-* lim ind ВЕд.
AW
Теорема 1. Пусть Е — борнологическое векторное
пространство. Следующие свойства эквивалентны:
1)	Е — полное б. в. в. п.;
2)	Е — индуктивный предел банаховых про-
странств с инъективными морфизмами;
3)	Е отделимо и является индуктивным пределом
банаховых пространств;
4)	Е — отделимое пространство, ассоциированное
с индуктивным пределом банаховых пространств;
5)	Е — отделимое б. в. в. п., для каждого полу-
нормированного пространства F отображение
Leb (BE, E)->Leb(BE, Е) биективно.
Доказательство. 1) => 2). Вытекает из тео-
ремы 1 § 3 и рассуждений, предшествующих теоре-
ме 1.
2)	=> 3). Следует из предложения 3 § 4 гл. 2,
3)	=> 4). Очевидно.
4)	=> 1). Пусть (Ех)хел — индуктивная система
банаховых пространств и пусть Е= lim indE\/A',
Лед
где N — замыкание нуля в lim ind Е\ (замыкание в
Хед
смысле Макки). Обозначим АГ^^ф-ЦАТ), где фл :
Е}.->Е — каноническое отображение. База ограни-
ченных множеств из Е состоит из образов замкну-
тых ограниченных дисков банаховых пространств
Ex/Nk.
1) =4- 5). Так как Е — полное б.в.в.п., то Е =
= lim ind BE а, где «9^ — множество всех ограни-
А6^
ченных наполняющих дисков в Е. Поэтому будем
иметь последовательность изоморфизмов:
64
Leb (BF, E)^ lim ind В Homs„ (F, EA)^
s* lim ind В Homsn (Д EA)= Leb (ВД £).
5)	=> 3). Следует из того, что для каждого А£$,
где Я — база борнологий в Е, каноническое отобра-
жение ВЕа-+Е продолжается до отображения
Вёа-+Е и поэтому Е= lim ind ВЁА.
Ai3S
Теорема 2. Счетный индуктивный предел в кате-
гории &Ьс полных б.в.в.п. с инъективными морфиз-
мами есть полное б.в.в.п.
Доказательство. Все инъективные мор-
физмы будем считать вложениями. Пусть (En)n6N—
расширяющаяся индуктивная последовательность
б.в.в.п. и Е— lim ind Еп. Согласно теореме 1, Е—
п
= limind£’i, где (Eni)iei— индуктивная система
гё!
банаховых пространств, и л”. : Eni-+Enj, — инъ-
екции. Семейство (fnOneN, iei заменим эквивалент-
ным ему семейством (&£.) банаховых пространств,
полагая E'n.=Eni Ф En-i„i с топологией суммы. Се-
мейство (Е'п.) индуктивно с каноническими инъек-
циями. Кроме того, понятно, что в алгебраическом
смысле имеется равенство £^='lim ind£^. =Еп-
Покажем, что оно справедливо и в борнологическом
смысле. Если А ограничено в Еп, то найдется та-
кое io, что AczEnit, и А ограничено в £Пг0- Следова-
тельно, А ограничено в Е' и тем более в Е'п.
Обратно, если А ограничено в Е'п, то найдется io
такое, что А содержится и ограничено в Е' . Дру-
гими словами, А=АП{0 ф Ап-1,г„, где Ап«0 ограни-
чено в Enia, Ап-л, io ограничено в £n-i, i0 и, следова-
тельцо, в £п-ь а значит, и в Еп. Поэтому обяза-
тельно найдется /0 такое, что An~i, <0 содержится и
ограничено в £n-i, i0. Выбрав i^io, i^/o, будем
иметь, что А содержится и ограничено в Еп, j и по-
этому в Еп, т. е. E'h=En в алгебраическом и бор-
нологическом смыслах. Теперь ясно, что в
6. Зак. 927
65
алгебраическом смысле справедливо равенство
lim indE' =Е= lim ind Еп. Покажем, что оно спра-
ni	г
печ, iel	«ей
ведливо и в борнологическом смысле. Если А ограни-
чено в Е, то существует п0 такое, что А ограничено
в Е„. = limind Е' ., т. е. найдется i0 £ I такое, что А
IqI •
ограничено в Е^. Отсюда следует, что А ограни-
чено в limind Е^. Обратно, если А ограничено в
«eN> lei
lim indE^, то А ограничено в некотором Е' . и, сле-
ne4,ie!	”
довательно, в Е„о, а значит, и в Е.
Предложение 1. Категория &Ьсс обладает проек-
тивными пределами.
Доказательство. Пусть (Ед) дбЛ — проек-
тивная система полных б.в.в.п. Как показано ранее
(см. предложения 1 § 2 и 2 § 4 гл. 2), борнологиче-
ское пространство lim proj Ед выпукло и отделимо.
мд
Для завершения доказательства воспользуемся
свойством 5 теоремы 1. Пусть F — полунормиро-
ванное пространство, тогда имеем последователь-
ность изоморфизмов:	Leb (BF, limprojЕд)^
lim proj Leb (BF, Ед) lim proj Leb (BF, Ед)
MA	MA
Leb (BF, E), что завершает доказательство.
Предложение 2. Пусть Е, F — б.в.в.п. Если F пол-
но, то полно и Leb (Е, F).
Доказательство. Согласно предложениям
2 § 2 и 3 § 1 гл. 3, пространство Leb (Е, F) выпукло
и отделимо. Для доказательства полноты восполь-
зуемся свойством 5 теоремы 1. Пусть G — полунор-
мированное пространство. Тогда имеем последова-
тельность изоморфизмов: Leb (BG, Leb (Е, F))s
^Leb(E, Leb (BG, F))~Leb(E, Leb (BG, F))~
Leb (BG, Leb (E, F)), что доказывает предло-
жение.
Пусть Е — б.в.в.п., & — база борнологии, состоя-
щая из дисков. Рассмотрим борнологическое век-
торное пространство (lim ind ВЕв)т. е. отделимое
вв^
б.в.в.п., ассоциированное с б.в.в.п. lim ind ВЕв. Со-
вед
66
гласно свойству 4 теоремы 1, оно является полным
борнологическим выпуклым векторным простран-
ством.
Поскольку для любого полного б.в.в.п. F имеют
место изоморфизмы Leb (Е, F) Leb (lim ind В£в,
ве^
F)s; lim proj Leb (ВЕв, F)^ limproj Leb (B£B, F) =
ве^	вед;
si Leb (lim ind B£B, F) Leb ((lim ind B£B)', F), to
B6#	B6Jf
пространство (HmindB£B)* будем обозначать E и
W
называть борнологическим векторным пополнением
пространства Е. Таким образом, отображение Е->£
определяет функтор &bc-+&bcc.
Однако, как показывает следующий пример, при-
веденный Вальброоком [31], отображение Е-^Ё мо-
жет не быть инъективным, даже если Е отделимо.
Пример [31]. Пусть Е—множество полиномов $ [х], об-
ращающихся в нуль в начале координат. Базу борнологии оп-
ределим дисками
Ап={ре^[х]-. sup |р(х)|<1).
		
п---------------------п
„	Г	1	1 1
Ясно, что Е, = С — — , ---- и поэтому lim ind Еа„
лп	[	п	п J	п п
есть пространство ростков непрерывных функций, обращающихся
в нуль в нуле с тривиальной борнологией. Следовательно (см.
определение 2 § 4 гл. 2), Ё = {0}.
Класс б. в. в. п., для которого таких патологий не
бывает, рассмотрим в § 8.
Сейчас выясним отношение между полными и
полуполными б. в. в. п.
Согласно предложению 6 § 5 гл. 2 и теореме 1,
каждое полное б. в. в. п. полуполно. Далее, согласно
предложению 2, если Е — полное б. в. в. п., то для
любого б. в. в. п. F пространство Leb (F, Е) полу-
полно. Обратно
Теорема 3 (Вальброок). Для того чтобы отдели-
мое б. в. в. п. Е было полным, достаточно, чтобы для
каждого борнологического множества F борнологи-
ческое множество £or(F, Е) было полуполным.
5*
67
Доказательство. Пусть В — ограниченный
диск в £; обозначим через if • Еяг*-Ев каноническое
отображение, В — единичный шар в ёв- Ясно, что В
плотно в В. Следовательно, для каждого хб£ су-
ществует последовательность (хп)сгВ такая, что
Хп-^х в Ёв- Определим отображения <рп : В-+В фор-
мулой <рп(х) =хп- Следовательно, фофп—>7 в Ев
равномерно на В. Поэтому <рп — последовательность
Коши — Макки в борнологическом множестве
&ог (В, В) и, значит, в ffior (В, Е).
Согласно условию теоремы, существует <рб 9Иог (В,
Е) и <ри-хр в борнологии множества £ог (В, Е). До-
кажем теперь, что ф(Ах+р//)=Хф(х)-|-цф(г/) для
любых Хиц таких, что | К | +1 р |	1 и любых х, yd
QB. Действительно, <pn(Xx4-pi/)—Хфп(х)—цфп («/)->•
-нр(Лх+р1/)— Хф(х) — |x<p(z/). Так как ф(фп(А,х+
+pt/)—Лхрп(х)— рфп(у))->0 в В и ф— изоморфизм
Еа на ф(£д), то фп(Лх+р#)— %фп(х)— pxpn(t/)->0 в
В и, значит, в Е.
Таким образом, отображение ф продолжается до
линейного ограниченного отображения из Ёв в Е.
Поэтому Е= limind В£в, где £— база борнологии,
В6^
состоящая из ограниченных дисков. Теорема до-
казана.
§ 5. Пространства линейных отображений
Как известно из теории топологических вектор-
ных пространств, каждое локально выпуклое про-
странство является проективным пределом полунор-
мированных пространств. Точнее, если Е — локаль-
но выпуклое пространство (л.в.п.) и <U — фунда-
ментальная система дисковых окрестностей нуля в
Е, то Е= lim proj TEv, где Еи — полунормирован-
и&ц
ное пространство £’/р~1(0) с полунормой ри — ка-
либровочной функцией множества U.
Предложение!. Пусть (Дл)лед— индуктивная
система л.в.п. и (Гц)цем — проективная система
л.в.п., тогда имеет место,изоморфизм Lee (lim indЕ-,„
лед
68
lim proj Ftl) s Hm proj Lee (E% : Гц) в категории g’le
цбМ	A., p.
локально выпуклых пространств.
Доказательство. Пусть : Е^Е, : F-+-
— канонические морфизмы. Чтобы установить
требуемый изоморфизм, достаточно показать, что
равностепенная непрерывность множества Ясг
с: Lee (lim indЕц lim proj ЕД эквивалентна равно-
к
степенной непрерывности множества fц о Н о excz
cz Lee (£\, F^) для любых ХбЛ, цбМ.
Пусть множество Н — равностепенно непрерыв-
ное множество, т. е. для любой окрестности V нуля
в limproj F^ множество	будет окрестностью
нуля в £, что эквивалентно тому, что	) —
окрестность нуля в Ех для любого лбЛ. Согласно
определению топологии пространства, limproj FJA
нем
[23], это эквивалентно тому, что (е~‘ о Н-i о/-1) х
X (Уц) — окрестность нуля в Е^ для любого рбМ.
Предложение 2. Если Е — л.в.п., то BE — б.в.в.п.
Доказательство. Ввиду предложения 6
§ 2 гл. 6, имеем соотношения ВЕ^В lim proj Ev^
и
& lim proj ВЕи. Теперь предложение вытекает из
и
предложения 1 § 2 гл. 4.
Предложение 3. Пусть Е, F — топологические
либо борнологические векторные пространства; обо-
значим через L(E, F) пространство линейных ото-
бражений с соответствующей структурой, т. е. L(E,
F)—одно из пространств Leb (Е, F), Lee (E,F),
Lub (Е, F), Lvb (Е, F). Если F — пространство вы-
пуклого типа, то ЦЕ, F) также выпуклое простран-
ство.
Доказательство. Выпуклость Leb (Е, F)
установлена предложением 2 § 2. Рассмотрим дру-
гие структуры:
Lee (Е, F)^ Lee (Е, lim proj TEV) =
v
lim proj Lee (lim proj TEV, TFV)
v	и
=£ lim proj T HomSn (Ev, Fy),
V, и
69
где U и V пробегают фундаментальные системы
дисковых окрестностей нуля в Е и F соответственно;
Lub (Е, F)^Lub (lim ind В£А, lim proj TFV)^
л	v
lim proj T HomSn (EA, Fv),
A, V
здесь А пробегает дисковые оболочки ограниченных
множеств из £, V — дисковые окрестности нуля в F;
Lvb (£, F)^Lvb (limproj TEu, limindB£B)^
и	в
a
= lim ind В HomSn (Eu, FB),
и, в
где U пробегает множество дисковых окрестностей
нуля в Е, В — множество ограниченных множеств
из F. Последний изоморфизм следует из предложе-
ния 4.
Предложение 4. Пусть (£%)хел — проективная си-
стема т.в.п. такая, что морфизмы : lim proj Е^Е^
16Л
сюръективны, и пусть индуктивная система
отделимых б.в.в.п. такая, что морфизмы : F^-*-
-Him ind инъективны. Тогда имеет место изо-
цбМ
морфизм а:
lim ind Lvb (£\, F^j^Lvb (lim proj EK, lim ind FM).
X, ц	X	ц
Доказательство. Обозначим E = limprojE\,
к
F=limindFp,. Отображение а определим следую-
щим образом: для каждого Ыхцб Lvb (Ек, F^) поло-
жим а(«хц) =/ц ° «хц ° eiG Lvb (£, F). Инъектив-
ность а следует из инъективности /ц и сюръектив-
ности в/,. Покажем теперь, что а сюръективно.
Пусть f — произвольный элемент из Lvb (Е, F).
Тогда найдется такая окрестность VX нуля в Е^,
что /(^‘(Ко)) —ограниченное множество в F. Это
значит, что существует такой, что f (V\o))
<=^0(^0) ограничено в /цо(ГИо). Следовательно,
70
f(f (e~' (0))) — ограниченное подпространство в
F^o и поэтому f~1(f(e-1(0))) = {0}. Таким образом,
имеем отображение gK()ll(=f-i 0 f а е~* такое, что
f=/no°£>ono° т- е. f=a(g). Для завершения
доказательства покажем, что множество Hcz
с Lvb (Е, F) ограничено тогда и только тогда, ког-
да а (Я) ограничено в некотором Lvb (Е^, F^j.
Действительно, пусть //с Lvb (Е, F) — ограни-
ченное множество, тогда найдутся Хо€Л, робМ,
окрестность V нуля в Е>,0 л А — ограниченное мно-
жество из ЕЦо такие, что и(е^1(У))с/Цо (4) для
всех иВН, т. е. g,.„ ц0 (V) = (f-J ° и □ е-‘) (V) для
всех йен, или а-1 (Я) ограничено в Lvb (£\0, F^).
Ограниченность же отображения а следует непо-
средственно из его определения.
Предложение 5. Если л. в. п. Е полно, то BE бор-
нологически полно.
Доказательство. Пусть Е — полное л. в. п.
и F — произвольное полунормированное простран-
ство. Тогда
Leb (BF, ВЕ)^ Lee (TF, Е)^ Lee (TP, E)^
s Leb (BF, BE)
и результат следует из теоремы 1 § 4.
Замечание. Обратное, вообще говоря, неверно, т. е.
BE может быть полным, даже если Е неполно (см. пример
Вальброока на с. 67).
Предложение 6. Пусть Е — т. в. п., F — полное
л. в. п. (соотв. F — полное б.в.в.п.). Тогда
Lee (Е, F) (соотв. Lvb (Е, F)) — полное б. в. в. п. и
Lvb (Е, F)~Lvb (Е, F).
Доказательство. Как было показано ранее
(см. предложения 3, 2 §2 гл. 3, 2 § 4 гл. 3),
Lee (Е, F) и Lvb (Е, F) выпуклы и отделимы. Пусть
G — произвольное полунормированное пространст-
во. Тогда
71
Leb (BG, Lee (£, F))~ Lee (E, Lub (BG, F))s
s Lee (£, Lub (BG, F))ss Leb (BG, Lee (E, F)).
В силу теоремы 1 § 4, Lee (E, F) полно. Далее,
Lvb (E, F) == lim ind В HomSn (Eu, FA),
V, A
где U пробегает дисковые окрестности нуля в Е, А—
ограниченные наполняющие диски в F. Поэтому
(см. теорему 1 § 4) Lvb (Е, F) полно.
Осталось доказать требуемое равенство. Действи-
тельно,
Lvb (Е, F)^ lim ind Lvb (E, BFA) =
A
lim ind Lee (E, TFA) lim ind Lee (Ё, TFA)^
££ lim ind Lvb (E, BFA) Lvb (£, F).
A
Сейчас перейдем к рассмотрению естественных
топологий на борнологических пространствах огра-
ниченных линейных отображений: Leb (Е, F),
Lee (Е, F), Lvb (Е, F).
Предложение 7. Пусть Е и F — б. в. в. п. Тогда
имеет место вложение вместе с топологиями
Т Leb (Е, F)<=Lub (Е, TF)
Доказательство. Действительно, имеем по-
следовательность морфизмов:
Т Leb (Е, F)-+T Leb (Е, ВТВ Lub (Е, TF)^
->Lub (Е, TF).
Предложение 8. Пусть Е и F — л. в. п. Тогда
имеет место вложение вместе с топологиями
TLec (Е, FJczLub (BE, F).
Доказательство. Вытекает из последова-
тельности канонических морфизмов:
Т Lee (Е, F)-*T Leb (BE, BF)~
s*TB Lub (BE, F)->Lub (BE, F).
Предложение 9. Пусть E — л. в. n., F — б; в. в. п.
Тогда имеет место вложение вместе с топологиями
Т Lvb (Е, F) с= Lub (BF, TF).
Доказательство. Непосредственно вытека-
ет из определения топологий.
72
§ 6. Топологическо-борнологические
векторные пространства выпуклого типа
Определение 1. Говорят, что топологическо-борно-
логическое векторное пространство (т.-б. в. п.) Е
является пространством выпуклого типа (т.-б. в. в.
п.), если его топология локально выпукла и борно-
логия имеет выпуклый тип.
Таким образом определена полная подкатегория
gvtbc категории &vtb, объектами которой являют-
ся т.-б. в. в. п., а морфизмами — непрерывные и
ограниченные линейные отображения.
Предложение 1. Категория gvtbc обладает про-
ективными и индуктивными пределами.
Доказательство. Предложение 1 § 5 гл. 3
показывает, что если борнология и топология на
проективной системе выпуклы, то они выпуклы и на
самом пределе.
Далее, если (£д.)хел—индуктивная система
т.-б.в.в.п. и £= lim ind£\. На Е определим локаль-
%ел
но выпуклую топологию индуктивного предела л.в.п.
E-h и борнологию, порожденную замыканиями отно-
сительно этой топологии ограниченных множеств из
борнологии индуктивного предела. Полученные то-
пология и борнология согласуются, следователь-
но, Е — т.-б.в.в.п.
Предложение 2. «Стирающий» функтор &vtbc—^
-+&vtb коммутирует с конечными индуктивными
пределами, а «стирающий» функтор S’vtbc-^g'bc —
с произвольными.
Доказательство. Пусть (Дд.)хед — индук-
тивная система т.-б. в. в. п. В силу предложения 1
§ 5 гл. 3, если Л конечно, то функтор Svtbс-+<8vtb
коммутирует с индуктивным пределом. Второй функ-
тор коммутирует с индуктивными пределами всегда
(это следует из определения топологии на т.-б. в. в.
п.).
Предложение 3. Если Е и F — т.-б. в. в. п.» то про-
странства Ё, Ё и Lbc (Е, F) являются т.-б.в.в.п.
Доказательство. Из предложения 1 следу-
ет, что Ё — т.-б.в.в.п. Пространство Ё — также
т.-б. в. в. п., ибо его топология индуцируется локаль-
73
но выпуклой топологией из Ё (см. [23]), а борноло-
гия, являющаяся замыканием в Ё ограниченных вы-
пуклых множеств из Е (см. с. 53), тоже выпукла.
Утверждение относительно Lbc (Е, F) очевидно,
так как его топология индуцирована из Lub (Е, F),
а борнология — из Leb (Е, F)(]Lec (Е, F). Теперь
применяем предложение 3 § 5.
§ 7. Регулярные борнологические пространства
Как уже отмечалось (см. § 5 гл. 3), топология
т. в. п. ТЕ не обязательно согласуется с исходной
борнологией на Е. В связи с этим
Определение 1. Говорят, что б. в. в. п. Е регуляр-
но, если его борнология согласуется с топологией
ТЕ, т. е. существует база ограниченных замкнутых
в ТЕ множеств.
Очевидно, что нормальное борнологическое про-
странство (см. с. 54) регулярно.
Предложение 1. Проективный предел регулярных
борнологических пространств регулярен.
Доказательство. Очевидно из определения
борнологии и топологии произведений и подпро-
странств.
Предложение 2. Прямая сумма отделимых регу-
лярных борнологических пространств есть регуляр-
ное пространство.
Доказательство. Пусть (Ел) лед — семей-
ство регулярных отделимых борнологических про-
странств, ЛсдЛ — конечное множество. Для каж-
дого Х6Л обозначим Вл— ограниченный диск,
замкнутый в ТЕ-,. и сводящийся к {0}, если и
пусть У. Вх. Для каждого Х€Л можно найти про-
бел
тивоограниченный диск Uy.ciE-,. такой, что
+Вл. Отсюда получим ( У Вл) + ( У. t/л) - Это
Хед лед
показывает, что У, Вл замкнуто в Т У. Ел-
Хед	лед
Замечание. Поскольку борнология полунормированного
пространства регулярна, то, ввиду теоремы 1 § 2, следует, что
не всякий индуктивный предел регулярных пространств регу-
лярен. Ибо в противном случае, всякое б. в. в. п. было бы регу-
лярным, что неверно.
74
Предложение 3. а) Пусть Е и F — л. в. п., тогда
Lee (Е, F) — регулярное борнологическое простран-
ство.
б) Пусть Е и F — б. в. в. п. Если F — регулярное
пространство, то и Leb (Е, F) регулярно.
в) Пусть Е — л. в. п. и F — б. в. в. п. Если F ре-
гулярно, то регулярно и Lvb (Е, F).
Перед доказательством данного предложения
приведем следующую лемму.
Лемма. Пусть Е — б. в. в. п. и F — л. в. п., ДсЕ,
В — замкнутый диск в F. Тогда множество Яс=
c=Lub (Е, F) такое, что H(A)czB — замкнутый
диск.
Доказательство. Поскольку
Н= П {«€ Lub (Е, F) : и(х)£В},
то достаточно рассмотреть случай, когда А={х}.
Пусть ио: E-^BF — линейное ограниченное отоб-
ражение, не принадлежащее Я, и пусть U — диско-
вая окрестность нуля в F такая, что Uo(x) + U не
пересекаются с В, Тогда множество К={и£
б Lub (Е, F) : u(x)QU} — дисковая окрестность нуля
в Lub (Е, F) и (ио+К)(]Н=0.
Доказательство предложения 3.
а) Пусть U пробегает дисковые окрестности нуля в
Е, а V — замкнутые дисковые окрестности нуля в
F, тогда множество ЯсгЬес (Е, F) равностепенно
непрерывных отображений таких, что H(U)aV, об-
разует базу борнологии в Lee (Е, F). Согласно лем-
ме, Н — замкнутый диск в Lub (BE, F). По предло-
жению 8 § 5, И — замкнутый диск в Т Lec (Е, F).
б) Пусть А пробегает базу ограниченных дисков
из Е, В — базу ограниченных дисков из F, замкну-
тых в TF, Тогда множества /JczLeb (Е, F) пробе-
гают базу борнологии в Leb (Е, F). Согласно лемме,
они являются замкнутыми дисками в Lub (Е, TF) и,
по предложению 7 § 5, они замкнуты в Т Leb (Е, F).
в) Используя лемму и предложение 9 § 5, доказы-
вается аналогично.
75
§ 8. Собственные борнологические пространства
Если Е — б. в. в. п., то, как показывает пример
Вальброока (см. § 4), каноническое отображение
Е^-Е, где Ё — борнологическое пополнение, не яв-
ляется, вообще говоря, инъективным. Рассмотрим
класс б. в. в. п., в которых таких неприятностей не
случается.
Определение 1. Говорят, что борнологическое вы-
пуклое векторное пространство Е собственно, если в
Е существует база ограниченных множеств, замкну-
тых в смысле Макки.
Предложение 1. Для того чтобы ограниченный
диск А был замкнут в Е в смысле Макки, необходи-
мо и достаточно, чтобы для каждого ограниченного
диска ВоА, множество А было замкнуто в Ев.
Доказательство. Поскольку Е = lim ind Ев,
в
где_В пробегает все ограниченные диски из Е, то
А ограничено в Е только в том случае, если сущест-
вует Во такое, что АсЕв„ и А ограничено в ЕВо.
Следовательно, А ограничено в Ев для любого дис-
ка В=>В0 и А замкнуто в смысле Макки тогда и
только тогда, когда А замкнуто в Ев„. Этим самым
доказательство завершено.
Следствие. Для того чтобы ограниченный
диск А был замкнут в смысле Макки, необходимо и
достаточно, чтобы для каждого ограниченного дис-
ка В^зА было справедливо A = H{A + ZB).
Предложение 2. Регулярное пространство собст-
венно.
Доказательство. Пусть Е — регулярное
б. в. в. п. и & — база борнологий, состоящая из
ограниченных дисков В, замкнутых в ТЕ. Следова-
тельно, В замкнуто и в смысле Макки, т. е. Е соб-
ственно.
Замечание 1. Существуют собственные пространства,
которые не являются регулярными.
Замечание 2. Существуют также полные б. в. в. п., не
являющиеся собственными. Например, пусть 2?=С[0,1]—прост-
ранство непрерывных на [0,1] функций с борнологией, опреде-
ляемой базой дисков Ап, состоящих из функций f, непрерывно
дифференцируемых на таких, что	для всех
76
1
х6[0,1] и	для всех хб[О,—]. Тогда E=limindEA ,
&	п
Е полно, но не собственно, так как замыкание Ап в Лп+₽ не
ограничено.
Предложение 3. Всякий проективный предел соб-
ственных борнологических пространств — собствен-
ное борнологическое пространство.
Доказательство. Вытекает из того, что про-
ективный предел дисков, замкнутых в смысле Мак-
ки, замкнут в смысле Макки.
Предложение 4. Пусть Е и F — б. в. в. п. и F —
собственное пространство. Тогда и Leb (Е, F)—соб-
ственное б. в. в. п.
Доказательство. Не представляет труда,
поскольку для каждого х&Е и каждого ограничен-
ного замкнутого в смысле Макки диска В в F мно-
жество Яс{«6 Leb (Е, F) : и(х)6В}с Leb (Е, F)
замкнуто в смысле Макки в Leb (Е, F).
Предложение 5. Пусть Е — л. в. п. и F — б. в. в. п.,
Если F — собственное пространство, то пространст-
во Lvb(E, F) собственно.
Доказател ьство. Аналогично доказатель-
ству предложения 4.
Предложение 6. Пусть (Ел)хел— индуктивная
система б.в.в.п. таких, что морфизмы ср,, : Et-^Ej
инъективны и что существует база ограниченных
дисков в Е{, образы которых в Ej при j^i замкну-
ты в смысле Макки. Тогда пространство Е=
= lim ind Ел собственно.
к
Доказательство. Пусть А — ограниченный
диск в Е. Следовательно, существует Хо€Л такое,
что АсзЕло — ограниченный диск. Ввиду предполо-
жений, найдется ограниченный в Е^ диск BzdA та-
кой, что <pgx0(B) замкнут в смысле Макки в Еи,
Следовательно, Ас2фцл0(^)—замкнутый в
смысле Макки диск в Е, т. е. Е собственно.
Следствие. Прямая сумма отделимых собст-
венных пространств — собственное пространство.
Предложение 7. Если Е — отделимое собственное
борнологическое пространство, то канонический
морфизм Е-гЁ инъективен.
Доказательство. Пусть & — базис ограни-
77
ченных дисков в Е, замкнутых в смысле Макки. По-
скольку Е отделимо, то ё= IimindBEB отделимо.
С другой стороны, для любого	такого, что
ВоД, канонические отображения ЕА-+ЕВ обладают
свойством, требуемым в предложении 6. Поэтому
отображения ёа—^ёв обладают этим же свойством.
Предложение доказано.
Глава 5
ДВОЙСТВЕННОСТЬ
Теория двойственности занимает центральное
место в современной теории топологических вектор-
ных пространств, так как она позволяет поставить
наиболее глубокие и наиболее красивые задачи
предмета. Кроме того, именно теория двойственно-
сти показывает, что «естественной» структурой на
дуальном пространстве к топологическому вектор-
ному является структура борнологического вектор-
ного пространства и наоборот.
§ 1. Дуальные системы
Определение 1. Пусть Е и F — векторные прост-
ранства над полем К, ф : EXF->K — билинейная
форма. Дуальной системой над К будем называть
тройку (Е, F, <р).
Определение 2. Если заданы две дуальные систе-
мы: (Е, F, ф) и (Et, Fi, ф1), то морфизмами этих си-
стем будем называть пару линейных отображений
и : E-^Ei, v : Fi-^-F, связанных соотношением
Ф1(м(х), 1/1)=Ф(х, v(t/i)), х£Е, yiGF.
Таким образом, семейство дуальных систем над
К образует категорию S)ual, объектами которой
являются дуальные системы, а морфизмами — мор-
физмы дуальных систем.
Определение 3. Пусть (Е, F, ф) — дуальная си-
стема и 4cz£ — подмножество. Полярой множества
А называется множество
A°={yeF : |ф(х, у) |^1, хбД}.
78
Следующие свойства поляр очевидны.
Предложение 1. Пусть (Е, F, <р) — дуальная си-
стема, А — подмножество в Е. Тогда:
а)	отображение А-*-А°, определенное на подмно-
жествах из Е со значением в диски из F, является
убывающим;
б)	(М)°=х-‘Д0, (1М<)0=ПЛ% (ПЛ)°=>1М«,
г‘61	гЫ	iei	iei
XGK, (Ai)i6i — произвольное семейство подмно-
жеств из Е;
в)	АсА00, в частности А°=А°00;
г)	если АсЕ, BczF, то отношения «А0 поглощает
В» и «В0 поглощает А» эквивалентны.
Если заданы две дуальные системы: (Е, F, <р) и
(Ei, Ft, q>t), (и, v) —морфизм этих систем, то для
любого AczE имеет место равенство
(w(A))°=t>-1(A0)
(функториальный характер полярности).
Определение 4. Говорят, что дуальная система
(Е, F, <р) отделима (соотв. коотделима), если Е°=
= {0} (соотв. Е°={0}).
Если задана отделимая и коотделимая дуальные
системы (Е, F, ф), то говорят, что пара векторных
пространств (Е, Е) находится в двойственности,
либо говорят, что задана дуальная пара (Е, F) и
вместо ф(х, у) пишут <х, у>.
Определение 5. Если заданы две дуальные пары
(Е, F) и (Ei, Fi) и их морфизмы (и, v) : (Е, F)-+-
->(Ei, Fi), то отображение v называется сопряжен-
ным, или дуальным, отображению и, и обозначает-
ся tu.
Определение 6. Если Е — л.в.п. (соотв. б.в.в.п.),
то сопряженным, или дуальным к Е, называют про-
странство Hom^/c (Е, К) =Е' (соотв. Нот^,Ьс(Е,
К)=Е*).
Понятно, что пары (Е, Е') и (F, Fx) являются ду-
альными системами, здесь Е — л. в. п., F — б. в. в. п.
Заметим, что система (Е, Е') коотделима и
отделима (теорема Хана—Банаха). Однако система
(F, Fx), вообще говоря, не является отделимой.
Если пара векторных пространств (Е, F) нахо-
дится в двойственности, то этой двойственностью
79
задаются следующие топологические и борнологи-
ческие структуры на Е и F:
Ef — векторное пространство с выпуклой борно-
логией, базой которой являются дисковые оболочки
конечных множеств из Е. Это сильнейшая выпуклая
борнология на Е;
£ф— векторное пространство с выпуклой тополо-
гией, фундаментальной системой окрестностей нуля
которой являются поглощающие диски. Это силь-
нейшая выпуклая топология на Е;
о(Е, F) — слабая топология на Е, фундаменталь-
ной системой окрестностей нуля которой являются
поляры дисковых оболочек конечных множеств из
F, т. е. поляры ограниченных множеств из F/;
Еа—векторное пространство со слабой топологией;
s(F, Е) —слабая борнология на F, базой огра-
ниченных множеств которой являются поляры по-
глощающих дисков в Е, т. е. поляры окрестностей
нуля из Eq,;
Fm— векторное пространство, наделенное ком-
пактной борнологией, ассоциированной со слабой
топологией c(F, Е). Эта борнология называется бор-
нологией Макки и обозначается m(F, Е). Таким об-
разом, база ограниченных множеств в борнологии
Макки состоит из слабо компактных множеств;
Ех — векторное пространство с топологией Макки
х(Е, F), т. е. топологией равномерной сходимости на
всех слабо компактных выпуклых множествах из
F. Другими словами, базис окрестностей нуля в то-
пологии Макки состоит из поляр ограниченных
множеств из Fm-
§ 2. Пространство, борнологически сопряженное
к борнологическому выпуклому
векторному пространству
Пусть Е — б.в.в.п. Как уже отмечалось (см.
определение 5 § 1), борнологическим сопряженным,
или борнологическим дуальным £х к пространству
Е, называем множество всех ограниченных линей-
ных форм на Е. Пространство может быть три-
виально, если Е не тривиально. Другими словами,
дуальная система (Е, Ех) не всегда отделима.
80
Определение 1. Б. в. в. п. Е называют регулярно
отделимым, если дуальная система (£, £х) отдели-
ма, т. е. (Е, Ех) образует дуальную пару.
Предложение 1. Б.в.в.п. £ регулярно отделимо
тогда и только тогда, когда топология ТЕ отделима.
Доказательство. Поскольку £х = (ТЕ)',
что проверяется непосредственно, то требуемое
утверждение вытекает из теоремы Хана—Банаха.
Определение 2. Если £ — регулярно отделимое
б. в. в. п., то на £х существует «естественная», топо-
логия, т. е. топология пространства Lub (Е, К).
Фундаментальной системой окрестностей нуля этой
топологии являются поляры ограниченных множеств
из £ относительно двойственности (Е, Ех).
Аналогично, если £ — отделимое л. в. п., то на
Е' определена «естественная» борнология Lee (Е,
К), т. е. ограниченными множествами в £' являются
равностепенно непрерывные множества.
Также если £ — регулярно отделимое б. в. в. п.,
то на £х задается «естественная» борнология эк-
виограниченных множеств. Кроме того, на £, £х и
Е' определены некоторые борнологии и топологии,
заданные дуальными парами (£, £х) и (£, £')
(см. § 1).
В дальнейшем в этой главе, если не оговорено
противное, всегда будем считать, что б. в. в. п. регу-
лярно отделимо.
Предложение 2. Пусть £ — б. в. в. п., тогда £х,
наделенное естественной топологией (соотв. борно-
логией), — отделимое полное л.в.п. (соотв.
б. в. в. п.)
Кроме того, £х с естественной борнологией —
регулярно отделимое б. в. в. п.
Доказательство. Первая часть предложе-
ния вытекает из предложений 3§3гл. 3 и 4 § 3
гл. 3 (соотв. 3 § 1 гл. 3, 2 § 4 гл. 4).
Вторая часть вытекает из первой части предло-
жения 1 и предложения 7 § 5 гл. 4.
Предложение 3. Пусть £ — отделимое л. в. п.
Тогда £', наделенное своей естественной борноло-
гией, т. е. борнологией равностепенной непрерывно-
сти, является отделимым полным б.в.в.п. (£' так-
же регулярно отделимо).
6. Зак. 927
81
Доказательство. Первая часть утвержде-
ния является следствием предложений 2 § 2 гл. 3,
3 § 5 гл. 4 и 6 § 5 гл. 4.
Регулярная отделимость Е вытекает из предло-
жений 1 и 8 § 5 гл. 4.
§ 3.	Борнологий,
согласующиеся с заданной двойственностью
Определение 1. Пусть векторные пространства
(Е, F) образуют дуальную пару. Говорят, что регу-
лярно отделимая выпуклая векторная б'орнология
3$ на Е согласуется с заданной двойственностью
между Е и F, если E*=F.
Теорема 1. Пусть (£, F) —дуальная пара вектор-
ных пространств. Тогда следующие свойства экви-
валентны:
а)	на Е существует борнология, согласующаяся с
двойственностью между Е и F;
б)	каноническая борнология слабой топологии
в(Е, F), т. е. борнология фон Неймана топологии
в(Е, F), согласуется с двойственностью между Е
и F;
в)	топология Макки х(Е, F) (см. § 1) является
борнологической (см. определение 5 § 5 гл. 3).
Доказательство. а) => б). Пусть на Е за-
дана борнология, согласующаяся с двойственностью
(Е, F), т. е. (TE)'=F. Согласно теореме Макки (см.,
например, [19, с. 167]), борнологий ВТЕ и ВЕа сов-
падают. Следовательно, совпадают топологии ТЕ=
= ТВТЕ и ТВЕа. Поэтому (В£а)х = (ТВЕа)'=
= (ТЕ)'=Е*.
б) => а). Очевидно.
а) =>• в). Векторное пространство Е с тополо-
гией х(Е, F) обозначим Ех. Нам надо показать ра-
венство топологий ТВЕХ=ЕХ. Достаточно доказать,
что топология ТВЕХ слабее Ех. Согласно а), (ТЕ)'—
=F, т. е. о(Е, F)czTEc:x(E, F). Следовательно,
BEcdBTEczBEx и так как В£’(Т=В£'Т (теорема
Макки), то ТЕ=ТВТЕ=ТВЕХ. Отсюда (ТВЕх)'—
= (TE)'=F. Значит, ТВЕХ слабее х(Е, F).
в) =ф- а). Поскольку TBEX=EX, то (ТВЕа)'=
=E'x=F, т. е. (B£t)x=F.
82
Следствие. Если задана дуальная пара
(Е, F), то не обязательно на Е существует борноло-
гия согласующаяся с двойственностью между Е и
F. ’
доказательство. Ввиду теоремы 1, до-
статочно привести дуальную пару (Е, F) такую,
чтобы топология х(Ё, F) не была борнологической,
т. е. чтобы на Е существовала ограниченная форма,
которая не является х(Е, F)-непрерывной.
Пусть X — нерефлексивное банахово пространст-
во. Обозначим Е=Х'О(Х' ,х->. Тогда Е'=Х и каждое
ограниченное в Е множество равностепенно непре-
рывно (X бочечно). Отсюда Ех=(Х')х—простран-
ство линейных ограниченных форм на б. в. в. п. X'
с равностепенной непрерывной борнологией. Таким
образом, имеем включения £'czXczX"o(X')x=^x-
Поскольку X не рефлексивно, то E'czEx и Е'^=ЕХ,
т. е. на Е существует ограниченная, но разрывная
форма.
§ 4. Двойственность между произведениями
и прямыми суммами,
подпространствами и фактор-пространствами
Предложение!. Пусть (£>.)лвл— семейство регу-
лярно отделимых б.в.в.п., Е= ГТЕ» и F= ® Ех —
Л,ед	xga
произведение и прямая алгебраическая сумма соот-
ветственно. Следующие два утверждения эквива-
лентны :
а)	пространство, борнологически сопряженное к
пространству Е, наделенному борнологией произве-
дения Ех, совпадает с F, наделенным борнологией
суммы Ех ;
б)	мощность Л борнологична, т. е. это наиболь-
шая мощность, при которой произведение борноло-
гических топологий борнологично.
Доказательство. Пространства Е и F обра-
зуют дуальную пару (Е, F) относительно канони-
ческой двойственности <х, л:х>== ^<Хх, **>, где х=
хед
= (^х)лелбЕ, xx6F. Кроме того, справедливо топо-
логическое соотношение
6*
83
x(E, F) = 1№, Е*)
лед
(см. [22, с. 174]). Теперь требуемое предложение
вытекает из теоремы 1 § 3.
Предложение 2. Пусть Е= ®ЕК — прямая бор-
ЛвЛ
нологическая сумма регулярно отделимых б.в.в.п.
Тогда £х изоморфно Ц £х.
Лед
Доказательство. Пространства ® Ек и
хед
п £х образуют дуальную пару относительно кано-
Лвд
нической двойственности. Кроме того (см., напри-
мер, [22, с. 176]),
т(Ф£л, ПЕ*)=Фт(Ел,£0.
к к к
Предложение вытекает из теоремы 1 § 3 и того, что
сумма борнологических топологий борнологична.
Предложение 3. Пусть Е — регулярно отделимое
б. в. в. п., М — его векторное подпространство. На-
делим E/tM фактор-борнологией. Для того чтобы
(Е/М)*=М° (М° — поляра М в £х), необходимо
и достаточно, чтобы М было а(Е, Е*)-замкнутым.
Доказательство. Достаточность. Так как
пространства Е/М и М° образуют дуальную пару,
то для доказательства утверждения достаточно по-
казать, ввиду теоремы 1 § 3, что топология т(£/И4,
ЛЮ) борнологична. Если Мо(Е, £х) -замкнуто, то
топология Макки х(Е/М, М°) является фактор-топо-
логией топологии х(Е, £х) (см. [22, с. 172]). По-
следняя борнологична, в силу теоремы 1 § 3, следо-
вательно, х(Е]М, М°) борнологична.
Необходимость. Из справедливости равенства
(£/М)х=АЮ= (ТЕ/М)' вытекает, что топологии
Т(Е/М) и TEIM дают одно и то же сопряженное
пространство. Поскольку эти топологии бор нело-
гичны (ибо (ВТ£)хс:£х = (ТЕ)', т. е. каждая огра-
ниченная на ТЕ форма непрерывна), то они совпа-
дают с топологией х(Е[\М, М°). Но так как по ана-
логичной причине ТЕ/М=х(Е, Е*)/]М, то х(Е/М,
М°)=х(Е, Е*)ДМ. Следовательно (см., например,
[22, с. 172]), пространство М о(Е, £х)-замкнуто.
84
Предложение 4. Пусть Е = lim ind Ек — регуляр-
Аед
но отделимый индуктивный предел семейства (Е?_,
w?.n)xeA регулярно отделимых б.в.в.п. Тогда Ех то-
пологически изоморфно проективному пределу
lim proj Ех семейства (Ех, ««лц) л.в.п., где tu-hll —
ASA
отображение, сопряженное к «хц-
Доказательство. Отметим, что отображе-
ние *4^ существует. Действительно, поскольку
«хи  Ех-э-Е^ ограничено, то оно непрерывно при
топологиях о(Е'к, Ех) и ст(Ем, Е*). Более того, ясно,
что lim ind ТЕ^ (индуктивный предел в категории
&1с) сильнее ТЕ. Следовательно, (TE)'=Excz
<= (Jim ind ТЕь)'= lim proj Ех (алгебраическое
х	к
включение).
Наконец, х(Е, lim ind Ех) = т( lim ind ТЕ-,.,
А	К
limproj Ех) = limindт(Е^, Ех). Значит, топология
А	А
т(Е, limindTEx) борнологическая. Согласно теоре-
ме 1 § 3, lim proj Ех является пространством, со-
А
пряженным к Е с канонической борнологией, ассо-
циированной с о(Е, limproj Ех). Но эта борнология
слабее борнологии lim ind Ед,. Следовательно,
А
lim proj ЕхсдЕх Откуда алгебраический изомор-
физм. Топологическое равенство следует, из пред-
ложения 1 § 3 гл. 3.
Предложение 5. Пусть Е — регулярно отделимое
б. в. в. п. и А! — векторное подпространство с инду-
цированной борнологией. Для того чтобы Мх совпа-
дало алгебраически с пространством Ех1Мй, необ-
ходимо и достаточно, чтобы линейная ограниченная
форма на М продолжалась на все пространство Е.
Доказательство. Обозначим ]м- М-+Е —
вложение. Соответствие Ex$f-+-f °/мбА1х является
линейным отображением. Сюръективность этого
отображения эквивалентна алгебраическому изо-
морфизму ЕХ1М° и Мх-
85
Замечание. Условие продолжения ограниченной * линей-
ной формы с подпространства выполняется не всегда. Дейст-
вительно, пример отделимого б. в. в. п с нулевым сопряженным
(пример Вальброока) показывает, что в случае борнологиче-
ских пространств общая теорема типа Хана—Банаха о продол-
жении линейной ограниченной формы с произвольного под-
пространства не имеет, вообще говоря, места. В случае борно-
логических выпуклых векторных пространств проблема Хана-
Банаха состоит в том, чтобы охарактеризовать отделимые
б. в. в. п., для которых можно продолжить линейные ограни-
ченные функционалы с подпространств.
§ 5. Борнологическая рефлексивность
Пусть Е — регулярно отделимое б. в. в. п. и Ех—
его борнологическое сопряженное пространство.
Тогда имеем равенство ВТЕ=ВЕа, где ВЕСТ — кано-
ническая борнология, ассоциированная со слабой
топологией о(Е, Ех). Ввиду того, что замыкания
выпуклых множеств в топологиях, согласующихся с
двойственностью, совпадают, то топологии ТЕ и
с(Е, Ех) одновременно согласуются либо не согла-
суются с исходной борнологией на Е. Поскольку,
как уже отмечалось (см. замечание 2 к предложе-
нию 2 в § 8 гл. 4), существуют нерегулярные (см.
§ 7 гл. 4) пространства, определение имеет смысл.
Определение 1. Говорят, что б.в.в.п. Е полярно, ес-
ли оно регулярно отделимо и слабая топология
о(Е, Ех) согласуется с исходной борнологией из Е.
Ввиду теоремы о биполяре, б.в.в.п. Е полярно,
если оно регулярно отделимо и биполяра каждого
ограниченного из Е множества ограничена в Е.
Предложение 1. Борнологическое выпуклое век-
торное пространство Е полярно тогда и только тог-
да, когда оно отделимо и регулярно (см. § 7 гл. 4).
Доказательство. Пусть Е — полярное б. в.
в. п. Поскольку топология ТЕ сильнее топологии Еа,
а последняя отделима, то и ТЕ также отделима. Так
как ТЕ и (у(Е, Ех) согласуются с двойственностью
(Е, Ех), то ТЕ согласуется с борнологией в Е.
Обратно, пусть Е — отделимое и регулярное
б. в. в. п. Так как В={0} ограничено в Е, то замы-
кание нуля в ТЕ ограничено в Е. Ввиду отделимо-
сти Е имеем равенство {0} = {0}, ибо ограниченных
подпространств в Е нет. Таким образом, множество
86
{0} замкнуто в локально выпуклой топологии ТЕ,
т. е. ТЕ отделимо, следовательно, £х#={0). Так как
топологии ТЕ и а(Е, Ех) согласуются с двойствен-
ностью (Е, Ех), то пространство Е полярно.
Примеры:
1.	Если Е отделимое л.в.п., то б.в.в.п. BE полярно. Дейст-
вительно, топология Г BE отделима (она сильнее топологии Е)
и поэтому BE регулярно отделимо. Пусть А ограничено в
BE, тогда и его дисковая замкнутая оболочка, совпадающая с
Л00, ограничена в BE. В частности, всякое нормальное отдели-
мое б. в. в. п. полярно.
2.	Если Е — отделимое л. в. п., то Ef с канонической борно-
логией полярно (см. предложение 3 § 7 гл. 4).
3.	Если Е — регулярно отделимое б. в. в. п., то Ех с кано-
нической борнологией полярно (см. предложение 3 § 7 гл. 4).
Если Е регулярно отделимое б. в. в. п. с борноло-
гией 3&, то борнология на £, имеющая в качест-
ве базы а(Е, Ех) —замыкания ограниченных мно-
жеств из £, согласуется с двойственностью между
Е и £х. Действительно, обозначим через £0 борно-
логическое пространство (£, ^о), тогда
£х= (В7£) хс= (£0) Х(=£х.
Следовательно, £х=£х и £0 регулярно отделимо.
Поэтому £0 полярно.
Определение 2. Построенное пространство (£о,
•^о) будем называть полярным б. в. в. п., ассоцииро-
ванным с £.
Если £ — регулярно отделимое б. в. в. п., то £х
означает борнологически сопряженное пространст-
во, наделенное топологией равномерной сходимости
на всех ограниченных множествах. Это — отдели-
мая локально выпуклая топология и, следователь-
но, определено пространство (£х)', топологически
сопряженное к £х. На пространстве (£х)' рассмат-
ривается естественная борнология, т. е. борнология
равностепенной непрерывности. Б. в. в. п. (£х)', как
уже отмечалось, полярно.
Определение 3. Говорят, что регулярно отделимое
б. в. в. п. £ рефлексивно, или борнологически реф-
лексивно, если £=(£х)' (алгебраически и борно-
логически).
Теорема (Макки — Аренса). Регулярно отдели-
мое б. в. в. п. £ рефлексивно тогда и только тогда,
87
когда оно обладает базой борнологий, состоящей из
о(Е, Ех) -компактных дисков, т. е. когда борноло-
гия является компактной борнологией, ассоцииро-
ванной с а(Е, Ех)-топологией.
Доказательство. Необходимость. Если Е
рефлексивно, то £=(£х)' полярно и база борноло-
гии (Е*у состоит из поляр равностепенно непре-
рывных множеств из Ех. Но, как известно (см. [22,
с. 184], [19, с. 96]), такие множества являются о(£,
Ех) -компактными дисками.
Достаточность. Пусть & — база борнологий £,
состоящая из о(£, £х)-компактных дисков. Алгеб-
раическое включение £c(£x)z очевидно, ибо
(£х)'— J £оо—, g в=£. Так как сужение тополо-
ве^ вь&
гии ст((£х)', £х) на £ сильнее топологии а(£, £х),
то В°°=В для любого В. Следовательно, (£х)'=£
алгебраически и борнологически, ибо база борно-
логии в (£х)' состоит из множеств {В00}
§ 6. е-Рефлексивность
Пусть £ — отделимое л. в. п. и £'— его сопряжен-
ное пространство, наделенное борнологией равно-
степенной непрерывности.
Определение 1. Топологию ТЕ' на £', ассоцииро-1
ванную с естественной борнологией, называют
ультрасильной топологией.
Ультрасильная топология всегда отделима, пото-
му что она мажорирует сильную и слабую тополо-
гии на £'.
Предложение 1. Л. в. п. ТЕ' является ультрабор-
нологическим л. в. п., т. е. индуктивным пределом
семейства банаховых пространств в категории Sic.
Доказательство. £' — полное б.в.в.п., со-
гласно предложению 6 § 5 гл. 4. Следовательно,
В£'= lim ind В£д. Поскольку топология ТЕ' бор-
нологична (см. доказательство предложения 3 § 3
гл. 4), то ТЕ'= lim ind ТЕВ в категории Sic. Здесь
S3 — база борнологий в £'.
Таким образом, б. в. в. п. Е' регулярно отделимо.
88
Следовательно, определено борнологическое сопря-
женное пространство (£')х к пространству Е'.
Определение 2. Говорят, что отделимое л. в. п. Е
е-рефлексивно, если Е и (£')х алгебраически изо-
морфны.
Предложение 2. Если Е — 8-рефлексивное л. в. п.,
то Е и (Е')х изоморфны топологически.
Доказательство. Немедленно вытекает из
того, что фундаментальная система окрестностей ну-
ля в (£')х состоит из биполяр окрестностей нуля
в Е.
Предложение 3. е-Рефлексивное л.в.п. полуреф-
лексйвно и полно.
Доказательство. Поскольку ТЕ' сильнее
р(Е', £), то £<=£"= (£'p)'cz(7’E'),= (£')x=£, т.е.
Е полурефлексивно. С другой стороны, поскольку
топология ТЕ' борнологична, то (ТЕ')ц полно (см.
[22,с. 188]).
Глава 6
БОРНОЛОГИЧЕСКИЕ АЛГЕБРЫ
В настоящей главе изложены основные вопросы
теории борнологических алгебр. Первое системати-
ческое изучение таких алгебр было предпринято
Л. Вальброоком [29, 30]. Общая теория выпуклых
борнологических алгебр в настоящее время далека
от завершения. В данной главе изложены элементы
гельфандовской теории коммутативных мультипли-
кативно выпуклых борнологических алгебр. Как
оказывается, именно этот класс выпуклых алгебр
характеризуется тем, что для него существует голо-
морфное функциональное исчисление (теорема 2
§ 5). В нашем изложении мы следуем работам
А. Хохбе-Нленда [25] и Л. Вальброока [29].
§ 1. Определение борнологических алгебр
В настоящей главе Е будет обозначать ассоциа-
тивную алгебру с единицей над полем К. (Если Е—
алгебра без. единицы, то известным способом всег-
да ее можно присоединить.)	.:	:
89
Определение 1. Пусть Е — алгебра, которая яв-
ляется борнологическим векторным пространством.
Говорят, что векторная борнология согласуется со
структурой алгебры, если умножение
ExE$(x, y)-+xyf<E
ограничено.
Пара (£, $), образованная алгеброй Е и борно-
логией согласованной со структурой алгебры,
называется борнологической алгеброй.
Определение 2. Морфизмом борнологических
алгебр называется ограниченный морфизм алгебр,
т. е. линейное мультипликативное ограниченное ото-
бражение.
Изоморфизм борнологических алгебр определяет-
ся естественным образом. Борнологические алгеб-
ры с морфизмами борнологических алгебр образуют
категорию stlb.
Предложение 1. Категория si-lb обладает проек-
тивными пределами.
Доказательство. Пусть (Ек, ыкц)кед —про-
ективная система борнологических алгебр и Е =
= lim proj Ei. — алгебра с борнологией проектив-
Хел
ного предела. Достаточно показать, что векторная
борнология проективного предела на Е согласуется
со структурой алгебры. Но это вытекает из комму-
тативности следующей диаграммы:
ЕхЕ -> Е
Следствие. Произведение произвольного се-
мейства борнологических алгебр и подалгебра бор-
нологической алгебры являются борнологическими
алгебрами.
Предложение 2. Категория обладает индук-
тивными пределами.
Доказательство. Пусть	— индук-
тивная система борнологических алгебр и Е=
= limind£\ в категории &vb. Понятно, что полу-
ченная борнология на Е согласуется со структурой
алгебры Е.
90
Следствие. Фактор-алгебра борнологической
алгебры Е по идеалу I является борнологической
алгеброй.
§ 2. Выпуклые борнологические алгебры
I
Определение /. Выпуклой борнологической алгеб-
рой (в. б. а.) называется борнологическая алгебра,
являющаяся б. в. в. п., т. е. обладающая базой бор-
нологии, состоящей из дисков.
)	Выпуклые борнологические алгебры с морфизма-
ми борнологических алгебр образуют категорию
з&Ьс.
Предложение 1. Категория &Ьс обладает индук-
тивными и проективными пределами.
Доказательство. Является следствием
предложений 1 § 1, 2 § 1, 1 § 2 гл. 4.
Определение 2. В. б. а. Е называется полной, если
полно б. в. в. п. Е.
Примеры:
1.	Нормированная алгебра Е с борнологией нормированного
пространства Е является выпуклой борнологической алгеброй.
2.	Пусть Е — отделимое л. в. п., наделенное структурой
।	алгебры, для которой умножение раздельно непрерывно, такое,
что ВЕ полно (например, секвенциально полно). Тогда ВЕ—
полная борнологическая выпуклая алгебра.
Действительно, если А и В — пара наполняющих дисков в Е,
то сужение умножения в Е на ЕаХ^в-^Е1 раздельно непре-
рывно, следовательно, непрерывно и поэтому ограничено на
АХВ.
3.	Пусть Е—-отделимое л. в. п. Тогда LecE^=Lec(E, Е) яв-
ляется полной выпуклой борнологической алгеброй, если Е —
! полное л. в. п. (см. предложения 6 § 5 гл. 3).
Можно утверждать, что б. в. a. LecE полна, если л. в. п. Е
квазиполно. Действительно, д. в. п. Е с канонической борноло-
гией ВЕ образует топологическо-борнологическое векторное
пространство (см. § 5 гл. 3) и LecE=LbcE (см. определение 6
§ 5 гл. 3). Борнологическое равенство вытекает из теоремы
Банаха—Штейнгауза (см. теорему 1 § 5 гл. 3). В силу же
предложений 7 § 5 гл. 3 и 3 § 6 гл. 4, LbcE — квазиполное т.-б.
в. п., т. е. LecE — полное б. в. в. п.
4.	Пусть Е — б. в. в. п. Тогда алгебра Leb(E) ^Leb(E, Е)
является полной в. б. а., если Е полное (см. предложение 2 § 4
гл. 4).
Всякая выпуклая борнологическая алгебра изоморфна под-
алгебре алгебры LebE.
5.	Пусть Е — л. в. п. Тогда алгебра Lvb = Lvb (Е, BE) явля-
ется в. б. а. Алгебра LvbE полна, если ВЕ — полное б. в. в. п.
(см. предложение 6 § 5 гл. 4).
91
§ 3.	Мультипликативно выпуклые
борнологические алгебры
Выпуклые борнологические алгебры не являются
наилучшими возможными расширениями нормиро-
ванных алгебр (в противоположность тому, что
борнологические выпуклые векторные пространства
являются обобщениями нормированных прост-
ранств), поскольку предположение выпуклости
ограниченных множеств никаким образом не свя-
зано с умножением в алгебре.
Естественным борнологическим расширением нор-
мированных алгебр являются мультипликативно
выпуклые борнологические алгебры.
Определение 1. Подмножество А алгебры Е на-
зывается идемпотентным, если А2=ААсА.
Идемпотентные множества обладают следующи-
ми свойствами.
Предложение 1. а) Если 1 —единица алгебры Е
и А — идемпотентное множество в Е, то Aj {1} —
идемпотентное множество в Е.
б)	Выпуклая оболочка, дисковая оболочка, образ
и прообраз при морфизме алгебры, пересечение —
операции, сохраняющие идемпотентность множеств.
в)	Множество U А” (АП=АА...А) является идем-
п > .	'-•--*
1	п
потентной оболочкой множества А, т. е. пересечени-
ем всех идемпотентных множеств, содержащих А.
г)	Если Е — коммутативная алгебра, А й В —
подмножества в Е, то идемпотентной оболочкой
множества AJB является AUB(JAB. В частности,
объединение двух идемпотентных дисков содержит-
ся в идемпотентном диске.
д)	Гомотетия идемпотентного диска необязатель-
но идемпотентное множество.
Доказательство. Утверждения а), б) и д)
очевидны.
в) Множество U Ап идемпотентно и содержит А:
С другой стороны, если идемпотентное множество
содержит А, то оно содержит и U Ап.
г) Поскольку Е — коммутативная алгебра с еди-
92
ницей то идемпотентная оболочка множества А\}В
есть U И1|В)п,т. е.
Так как ЛиВсЛВ, то идемпотентная оболочка
множества Д1)В содержится в АВ, которое является
диском, если А и В — диски.
Определение 2. Выпуклая борнологическая ал-
гебра называется мультипликативно выпуклой бор-
нологической алгеброй (м. в. б. а.), если база ее
борнологии образована идемпотентными дисками.
Отметим, что нормированную алгебру можно
определить, как выпуклую борнологическую алгеб-
ру, обладающую ограниченным противоограничен-
ным идемпотентным диском. Это эквивалентно в
нормированном случае ограниченности умножения.
Однако в ненормированном случае существование
базы борнологии, состоящей из идемпотентных дис-
ков, не вытекает из ограниченности умножения.
Прежде чем привести примеры мультипликатив-
но выпуклых алгебр, изучим их структуру и некото-
рые свойства.
Мультипликативно выпуклые борнологические
алгебры и морфизмы борнологических алгебр обра-
зуют категорию sl-bmc.
Предложение 2. Категория з&Ьтс обладает произ-
вольными индуктивными и конечными проективны-
ми пределами.
Доказательство. Тот факт, что произволь-
ный индуктивный предел м. в. б. а. является м. в.
б. а., следует из предложения 1 § 2 и борнологии
индуктивного предела.
Очевидно, что конечное произведение м.в.б.а.
является м. в. б. а., а также, что подалгебра м. в. б. а.
является м. в. б. а. Это и доказывает существование
конечных проективных пределов в категории s^bmc.
Замечание. Отметим, что бесконечное (даже счетное)
произведение м. б. в. а. не обязательно является м. б.' в. а.
Теорема 1. Борнологическая алгебра Е является
мультипликативно выпуклой борнологической ал-
геброй тогда и только тогда, когда Е является бор-
нологическим индуктивным пределом полунормиро-
ванных алгебр.
93
Доказательство. Необходимость. Пусть 39—
база борнологии в Е, образованная идемпотентны-
ми дисками. Меняя каждое ВЕ39 на BU{1} (если
есть необходимость, в силу предложения 1а)), всег-
да можем считать, что 16В для каждого В £39. Тог-
да векторное пространство Ев является полунорми-
рованной алгеброй. Если ДсВ, то канонические
вложения иАв: ЕА~^-ЕВ являются морфизмами бор-
нологических алгебр и ясно, что E=limindEB. Ин-
в^я
дуктивный предел взят в категории &vb.
Достаточность. Следует из того, что индуктивный
предел мультипликативно выпуклых алгебр явля-
ется м. в. а. (см. предложение 1).
Определение 3. М. в. б. а. Е называется отделимой
(соотв. полной), если б. в. п. Е отделимо (соотв.
полно).
С л е д с т в и е. М. в. б. а. Е отделима (соотв. пол-
на) тогда и только тогда, когда Е является борно-
логическим индуктивным пределом нормированных
(соотв. банаховых) алгебр.
Определение 4. Пусть Е — в. б. а. Ограниченное
множество В в Е назовем регулярно ограниченным,
если В поглощается некоторым ограниченным идем-
потентным диском.
Другими словами, ограниченное множество В ре-
гулярно ограничено, если его идемпотентная диско-
вая оболочка ограничена или если существует огра-
ниченный идемпотентный диск А такой, что В огра-
ничено в полунормированной алгебре ЕА-
Определение 5. Элемент х выпуклой борнологиче-
ской алгебры Е называют регулярным элементом,
если множество {х} регулярно в Е.
Следующая теорема характеризует регулярные
элементы в. б. а.
Теорема 2. Пусть Е — в. б. а. и х6£. Следующие
свойства эквивалентны:
а)	х — регулярный элемент.
б)	Существует пара (F, ср), образованная полу-
нормированной алгеброй F и морфизмом борнологи-
ческих алгебр <р : Е-*~Е, такая, что у(у)=х, y£F.
в)	Существует скаляр Х>0 такой, что множество
{xnXn}n>i ограничено.
94
г)	функция С6Л-*(Х-1—x)~lQE определена и
ограничена в окрестности бесконечной точки.
Доказательство, а) => б). Из определения
4 вытекает существование ограниченного идемпо-
тентного диска А такого, что хбЕд. Полагаем F=
=Еа и ф • Еа-+Е — каноническое вложение.
б)	=> в). Пусть II-Hf — полунорма в F. Так как
y(<F, то существует Х>0 такое, что II-7-II ^1-
II Л, Пр
II Уп II	,
Следовательно, | ——|	для всех п^1, т. е.
II Лп Нр
{цп 1
? ограничено в F. Поскольку
Лп * П>1	/
Ф — морфизм борнологических алгебр, то множест-
во точек	/’	ограничено в Е.
в)	=► а). Согласно предложению 1в), множест-
{Хп 1 I | X”
—— }•	= U -т— является идемпотент-
Г х 1
ной оболочкой множества < — г . Кроме того, оче-
V Л J
видно, что хб%В. Дисковая оболочка множества В
удовлетворяет требуемым условиям (см. предло-
жение 16)).
а) =>г). Так как элемент х регулярен, то сущест-
вует ограниченный идемпотентный диск В такой,
что х является элементом полунормированной ал-
гебры Ев. Так как спектр элемента х в алгебре Ел
компактен, то функция С^Х->-(Л-1—х)-16£ опреде-
лена и ограничена в окрестности бесконечно уда-
ленной точки.
г)	=>- в). Существует ограниченный диск В в Е та-
кой, что функция С^Х->(Х—х)-1бЕв определена и
ограничена в окрестности бесконечно удаленной
точки. Из классической теории следует, что в окре-
стности этой точки рассматриваемая функция голо-
морфна и разлагается в ряд Лорана:
(Х-х)-‘=Х-‘ 2-£--
95
Следовательно, последовательность —— }•
I Лп J П>1
ограничена в Ев, т. е. существует константа с>0
хп	f хп 1
такая, что -—^сВ. Значит, jJ- ограииче-
/v	I ЛП ) п>1
на в Е.
Теорема 2 показывает, что регулярные элементы
в нашем определении суть в точности регулярные
элементы Л. Вальброока, /-ограниченные элементы
С. Варнера, ограниченные элементы Ж. Аллена и
регулярные элементы Н. Бурбаки.
Предложение 3. Пусть Е — б. в. a., SSr— множе-
ство всех регулярно ограниченных множеств из Е и
Ег— (J В. Тогда Ег — подалгебра в Е, состоящая в
в^г
точности из всех регулярных в Е элементов, и 3ST—
мультипликативно выпуклая борнология на Ег. Ал-
гебра (Ег, &г) является наибольшей м. в. б. а., со-
держащейся в Е.
Доказательство. Пусть — множество
всех идемпотентных ограниченных дисков в Е, со-
держащих единицу. Понятно, что Er= U В. Так
г
как множество направлено по возрастанию, то
Ег — коммутативная алгебра (с единицей). Следо-
вательно, Ет — м.в.б.а. с борнологией и базой
SS'r. Согласно определению 4, Ет состоит в точности
из регулярных в Е элементов. Из равенства Ег=
— U В видно, что подалгебра Ег — максималь-
ве^<
Г
пая из мультипликативно выпуклых подалгебр в Е
с ограниченным вложением.
Определение 6. Определенная выше алгебра (Ег,
&г) называется м. в. б. а., ассоциированной с Е, или
регулярной частью алгебры Е.
Примеры:
/. Локально выпуклые алгебры с непрерывным обратным.
Секвенциально полная локально выпуклая алгебра Е называ-
ется алгеброй с непрерывным обратным [30], если отображе-
ние ЕВх-+х-1£Е определено в окрестности единицы и непре-
рывно в единице. Хорошо известно (ом.,^например, [30]), что
в таких алгебрах всякий элемент регулярен. Алгебра Е=ЕГ,
96
наделенная своей канонической мультипликативно выпуклой
борнологией, является м. в. б. а.
2.	Локально ограниченные топологические полные алгебры
[30]. Полная топологическая алгебра называется локально
ограниченной, если она обладает ограниченной окрестностью
нуля, рассматривая мультипликативно выпуклую борнологию,
ассоциированную с борнологией наполняющих ограниченных
дисков из Е, получим, что Е — м. в. б. а.
3.	Алгебры борнантных операторов [30]. Пусть Е — отдели-
мое л. в. п. такое, что В£ полно (например, секвенциально
полно). Алгебра Lvb£^Lvb(£, В£) с канонической борноло-
гией является м. в. б. а. Действительно, для каждой окрестно-
сти V нуля из £ и каждого замкнутого ограниченного в В£
диска В обозначим £(V, В) —множество непрерывных линей-
ных отображений в £, отображающих V в ХВ при некото-
ром X. Векторное пространство E(V, В) с нормой |[и|| =
= sup||u(X)||B, где ||-||в—калибровочная функция множества
xqV
В, является банаховой алгеброй. Задавая на множестве пар
(V, В) порядок (Уь Bi)<(V2, В2), если ViZdV2 и Bi<zB2, бу-
дем иметь каноническое вложение E(Vi, Bi)-+E(V2, В2). Ясно,
что Lvb£=lim ind E(V, В). Следовательно, LvbB— полная
м. в. б. а. (см. теорему 1).
4.	Алгебра компактных операторов. Это подалгебра (без
единицы, если dim£=4-oo) алгебры Lvbf.
5.	Алгебра ядерных операторов. Пусть Е — отделимое сек-
венциально полное л. в. п. и для каждого V и В обозначим
через В) подалгебру в E(V, В) (см. пример 3), образо-
ванную ядерпыми операторами из в Ев, с ядерными нор-
мами. Тогда алгебра ядерных операторов в В, которую обо-
значим Л9(В), является индуктивным пределом банаховых
алгебр Л°( V, В).
§ 4.	Спектральная теория в мультипликативно
выпуклой борнологической алгебре
Предложение 1. Пусть Е — полная м. в. б. а. Груп-
па обратимых элементов в Е открыта в топологии
ТЕ.	;
Доказательство. Ввиду следствия теоре-
мы § 3, Е= limind£$ (в категории Mme), Ei—
банаховы алгебры. Поскольку ТЕ= lim ind TEi (в
i£l
категории <В7с), то множество GaE открыто в ТЕ
тогда и только тогда, когда его сужение G\Ei на
каждое подпространство Ei открыто. Теперь пред-
ложение вытекает из аналогичного утверждения
для банаховых алгебр.
7. Зак. 927
97
Предложение 2. Пусть Е — полная м. в. б. а.,
тогда максимальный идеал I в Е замкнут в ТЕ.
Доказательство. Такой идеал не пересека-
ется с группой обратимых элементов G в Е, кото-
рая открыта в ТЕ (см. предложение 1). Следова-
тельно, замыкание J идеала I в ТЕ не пересекается
с G и поэтому 1=/=Е. Значит, 1=1, т. е. идеал I замк-
нут.
Определение 1. Пусть Е — алгебра и 1 —ее еди-
ница. Для каждого xQE, как обычно, спектром эле-
мента х относительно Е называется множество
spx={%GC : Х-1— х не обратим в Е}.
Предложение 3. Пусть Е= limind (£<, л«) —
полная м.в.б.а. и пусть для каждого хб£ /(х) =
= {iG/: xG£i}. Обозначив sp<x спектр элемента х
относительно банаховой алгебры £», имеем равен-
ство
spx= П sp,x.
iei(x)
Доказательство. Поскольку элемент х£Е
обратим в Е только в том случае, если он обратим
в подходящем пространстве Ei, то отсюда и выте-
кает предложение.
Определение 2. Пусть Е — м. в. б. а. и пусть xQE.
Для каждого XGCXspx положим R(k, х) = (Л7—
—х)-1. Функция C\spx9X->£(X, x)QE называется
резольвентой х.
Теорема 1. Пусть Е — полная м. в. б. а. и хб£.
Тогда:
а)	спектр элемента х в Е — не пустое компактное
подмножество в С, если £#={0};
б)	резольвента R (%, х) — голоморфная функция
из C\spx в Е, равная нулю на бесконечности.
Доказательство, б) В соответствии с обо-
значениями предложения 3, С\ sp х= U С\ sp, х.
гвГ(х)
Ввиду классической теоремы, отображения С\ sp; хЭ
x)G£ аналитичны и обращаются в нуль
на бесконечности. Отсюда утверждение б).
а) Непустота спектра spx вытекает из утвержде-
ния б) и теоремы Лиувилля. Компактность же его
является следствием предложения 3 и классическо-
го результата.
93
В связи с теоремой 1, спектральным радиусом
элемента х называют число rx= max |Л|. Если обо-
Лб sp X
значить Гг(х)—спектральный радиус элемента х
банаховой алгебры Eit то из предложения 3 выте-
кает следующее равенство:
rx= inf Гг(х).	(1)
гб!(х)
Или, учитывая выражение для спектрального ра-
диуса в банаховых алгебрах, получаем равенство
rx = inf Tim .	(2)
XqI{X) П-+<*> г ”	1|С1
Если х — регулярный элемент б.в.а. Е и —
со
дисковая оболочка множества U“r—, то, по опре-
п=о
делению регулярного элемента, обязательно су-
ществует %>0 такой, что х^Ев. и 1—— L, =1.
Л II дп II Евк
Следовательно, гЕп (х) = |Х|. Отсюда, ввиду (2),
имеем
{хп	1
Х>0, —— ограничено в Е г.	(3)
лта	)
Теорема 2 (Гельфанда—Мазура). Пусть Е—пол-
ная м. в. б. а. над С. Если Е — тело, то Е изоморф-
на С.
Доказательство. Если xGE, то существует
XGC такой, что X—х не обратим (см. теорема 1а)),
откуда следует, что %—х;=0, т. е. xGC.
Определение 3. Пусть Е — коммутативная алгеб-
ра. Характером алгебры Е называется морфизм
алгебр X : Е->С. Множество характеров алгебры Е
обозначается через Х(Е).
Все алгебры, которые мы рассматриваем, предпо-
лагаются с единицами.
Пусть А и В— две коммутативные алгебры с еди-
ницами 1а и 1в соответственно и h : А-*-В — гомо-
морфизм алгебр. Отображение Х(В)Эх-*х°^бХ(А)
обозначается через Х(Л). Очевидно, что если k : В->
— гомоморфизм, где Е — коммутативная алгеб-
7*	99
pa, то X(k°h) =Х(Л)оХ(&), и если 1а — единица
алгебры А, то X ( 1а) — тождественное отображе-
ние множества Х(А).
Если h : А-^-В — сюръективный гомоморфизм, то
нетрудно видеть, что Х(Л) —изоморфизм Х(В) на
множество тех характеров алгебры А, которые ан-
нулируются на ядре гомоморфизма h.
Предложение 4. Пусть Aj, ..., Ап — коммутатив-
ные алгебры и А=А1Х...ХАп— коммутативная
алгебра, щ : А-*Аг-— проекции. Обозначим Х; =
=Х(л<) (Х(А{)). Тогда Х(А) = U X,.
г=1
Доказательство. Поскольку щ — сюръек-
ция, то Х(лг) есть биекция Х(Аг) на Хг-, т. е. на
множество тех характеров алгебры А, которые
обращаются в нуль на ДА,-. Ясно, что ХгПХ,=0,
»=#=/. С другой стороны, -пусть Х6Х(А) и пусть i —
такой индекс, что х(х)=/=0 для некоторого хбА,.
Тогда для всех /=#i и всех г/6А3- имеем
X О) X (У) =Х (ху) =х(0) =0.
Следовательно, x(Aj)=O и поэтому характер анну-
п
лируется на п Aj. Таким образом, Х(А)= U Х<.
З^г	i=i
Предложение 5. Пусть At, , Ап — коммутатив-
ные алгебры и B=Ai® ... ®АП— коммутативная
алгебра. Тогда Х(В) отождествляются с X(Ai) X ...
...ХХ(Ап).
Доказательство. Рассмотрим два отобра-
жения
/ :Х(В)Эх->(х|А1,х|А2,...,х|Ап)е
GX(Ai)X ... ХХ(АП);
g : X(Ai)X ... ХХ(АП)Э(Х1, JC2, ..., Хп)->
->Xi® •••®Хп^Х(В).
Непосредственная проверка показывает, что g°f=
= 7Х(в) и f°g=I±(Ai)x...X(Any Таким обРазом’ предло-
жение доказано.
100
Предложение 6. Пусть А — коммутативная алгеб-
ра и У — множество ее идеалов коразмерности I.
Тогда отображение Х(Л)Эх->-кег хбУ является
биекцией.
Доказательство. Если /6У, то существует
единственный изоморфизм алгебры A/J на С. Сле-
довательно, отображение A-+AJ-+C является един-
ственным характером алгебры А с ядром J.
Обратно, если %6Х(4), то кег%бУ.
Следствие. Если х^Х(Л) и хбЛ, то х(х)б
6 sp х.
Доказательство. Так как х(х(х) • 1 —~х) —
=0, т. е. х(*)— хбкегх, то х(х)—х необратим (см.
предложение 6). Поэтому х (-*) б sp х.
Определение 4. Для каждого элемента х комму-
тативной алгебры Л обозначим через х функцию
Х(Л)Зх-*-х(х)бС, называемую преобразованием
Гельфанда элемента х.
Отображение х->х является гомоморфизмом ал-
гебры Л в алгебру комплекснозначных функций
СХ<А> на Х(Л). Будем предполагать, что множество
Х(Л) наделено топологией простой (точечной) схо-
димости на Л и топологическое пространство Х(Л)
будем называть пространством характеров алгебры
Л. Эта топология в Х(Л) является слабейшей, в ней
функции х для всех хбЛ непрерывны.
Если h : Л->В — гомоморфизм алгебр, то отобра-
жение X (Л) : Х(В)->-Х (Л) непрерывно.
Предложение 7. Если h : Л—<-В — сюръективный
гомоморфизм алгебр, то X(/i) является гомеомор-
физмом Х(В) на замкнутое подмножество в.Х(Л).
Доказательство. Так как Х(й) (Х(В)) есть
множество всех характеров алгебры А, равных ну-
лю на ядре гомоморфизма h, то Х(й) (Х(В)) замк-
нуто в Х(Л). С другой стороны, топология на
Х(й)(Х(В)), индуцированная топологией из Х(В)
с помощью отображения Х(й), является топологией
простой сходимости на Л, т. е. эта топология инду-
цируется топологией из Х(Л). Предложение дока-
зано.
Следствие. Пусть Л1,..., Ап — коммутативные
алгебры, тогда Х(Л1Х ... ХЛП) отождествляется с
топологической суммой пространств Х(Л1), ...,
101
X (А„), а X (Al 0... 0 А„) — с топологическим произ-
ведением тех же пространств.
Доказательство. Вытекает из предложений
7, 4 и 5.
Рассмотрим характеры коммутативной мульти-
пликативно выпуклой борнологической алгебры, ко-
торую считаем всегда с единицей.
Предложение 8. Пусть Е — полная м. в. б. а.
Тогда отображение %->кег% является биекцией Х(Е)
на множество максимальных идеалов в Е.
Доказательство. Ввиду предложения 6,
достаточно доказать, что всякий максимальный иде-
ал в £ имеет коразмерность 1. Действительно,
пусть I — максимальный идеал в Е. Согласно пред-
ложению 2, он замкнут в ТЕ. Следовательно, E/I —
полная м. в. б. а., которая является телом. По тео-
реме Гельфанда—Мазура, Е/I изоморфна С, т. е.
codim /=1.
В силу предложения 8, пространство характеров
Х(Е) обозначают часто Л и называют пространст-
вом максимальных идеалов полной мультиплика-
тивно выпуклой борнологической алгебры.
Определение 5. Радикалом м. в. б. а. Е называется
пересечение всех максимальных идеалов этой ал-
гебры. Обозначается rad Е. Если radE={0}, то
алгебра Е называется полупростой.
Теорема 3. Пусть Е — полная м. в. б. а. Тогда:
а)	пространство характеров Х(Е) алгебры Е
компактно;
б)	для каждого хбД преобразование Гельфанда
х является непрерывной функцией на Х(Е);
в)	преобразование Гельфанда х->Х является го-
моморфизмом алгебры Е на подалгебру Ё алгебры
С (Л), причем ядро этого гомоморфизма совпадает
с радикалом алгебры Е;
г)	для каждого элемента хб£ множество значе-
ний х (Л) функции х совпадает со спектром spx это-
го элемента, в частности, элемент xQE обратим тог-
да и только тогда, когда х нигде не обращается в
нуль.
Доказательство, а) Пусть Е= limind (Et,
iei
л,г) — полная коммутативная м.в.б.а., где Ei — ба-
102
наховы алгебры, лц : Ei-*Е, — канонические отоб-
ражения (i^/). Тогда л'..: £'->£' — сопряженное
отображение непрерывно в слабых топологиях.
Здесь Е'.— сопряженное пространство к банахову
пространству Поскольку X (£<)<=£'., то обозна-
чим также через л'.. сужения отображений л'., на
X(Ej). Будем иметь проективную топологическую
систему (Х(£{), n'J. Поскольку слабая топология
перестановочна с проективными пределами (см.
[22, с. 179]), то будем иметь Х(£) =
= limproj (X(£i), л'.).
iei
Так как для банаховых алгебр Е{ классический
результат дает, что X(Ei) — компактное простран-
ство (см. [20, с. 300]), то утверждение а) доказано.
б)	Очевидно из определения топологии на Х(Е).
в)	В силу утверждения б) отображение х-^-х пере-
водит алгебру Е в алгебру С (Jt). Непосредственная
проверка показывает, что это отображение является
гомоморфизмом. Действительно, пусть х, у£Е,
GX(£)=X XGC. Тогда
(Хх) (х) =х(^х) =Хх(х)=Х • ^(х), т. е. Хх—Хх;
(х+у) (х) =Х (Х+Ю =х(х) +х (у) =
=*(х№(х)=(Ж) (х);
Й)(х)=хЙ)=хМ • х(Ю=х(х)#(х) =
= (^^)(х).
Нетрудно видеть, что ядро гомоморфизма х-+х
состоит из тех хб£, для которых ^(х)=х(х)=0
при всех x^Jt, т. е. П кегх- Согласно предложе-
хех(Е)
нию 8, П ker х= rad Е.
х
г)	Число XGC тогда и только тогда, когда при-
надлежит множеству значений функции х, когда % =
=х(х)=х(х) Для некоторого Тогда, согласно
следствию предложения 6, Х6 sp х.
103
§ 5. Голоморфное функциональное исчисление
Покажем, каким образом можно распростра-
нить на полные мультипликативно выпуклые борно-
логические алгебры основную теорему о голоморф-
ном функциональном исчислении, приведенную
Н. Бурбаки ([6, гл. 1, § 4]) для банаховых алгебр.
Оказывается, что полные мультипликативно вы-
пуклые алгебры как раз и образуют тот естествен-
ный класс алгебр (топологических или борнологи-
ческих), для которого имеет место теорема о голо-
морфном исчислении. Ниже будем следовать
рассуждениям, приведенным в [25].
Пусть Е — полная м. в. б. а.
Определение 1. Для каждой системы а=(аг)гег
элементов из Е совместным спектром этой системы
будем называть (и обозначать spa) образ Х(Е) в
С1 при непрерывном отображении х~>(х(аг))«ег-
Предложение 1. Совместный спектр любой систе-
мы a=(ai)iej элементов полной м. в. б. а. Е ком-
пактен.
Доказательство. Совместный спектр sp а
является образом компактного множества Х(Е)
(см. теорему 3 § 4) при непрерывном отображении
Х->(х(а<))«ег-
Предложение 2. Точка X=(Xi)iejGC2 принадле-
жит sp(aj) тогда и только тогда, когда элементы
(X,— а,) порождают собственный идеал в Е.
Доказательство. По определению 1 (Xi)teiG
6sp(ai) тогда и только тогда, когда существует
хбХ(Д) такой, что Xi=x(a«) =а<(х), т- е- только в
том случае, если существует %аХ(Е) такой, что Xi—
— aiGkerx. Но согласно предложению 8 § 4, kerx=
= m€v<=X(£). Другими словами, если существует
максимальный идеал т такой, что все элементы
Xi—-ai, ifil, принадлежат т. Это доказывает предло-
жение.
Определение 2. Пусть UczCn—открытое множе-
ство. Обозначим через комплексное вектор-
ное пространство функций, голоморфных в U со
значением в С, снабженное топологией компактной
сходимости. Пространство Cf (U) является простран-
ством Фреше.
104
Теперь пусть К — компакт в Сп и % — убываю-
щее фильтрирующееся семейство его открытых
окрестностей. Если U, U'&U и U'<z.U, то имеется
отображение сужения : О(U)-+0((/')• Индук-
тивный предел в категории ё 1с пространств 0(U)
относительно отображений сужения является л. в. п.
и обозначается О (К). На О(К) рассматривается
борнология каноническая.
Определение 3. Векторное пространство 0(К)
называют пространством ростков функций, голо-
морфных в окрестности компакта К.
Ясно, что 0(U) и О(К) — алгебры с единицей.
Пусть М — некоторое множество. Если а=(аь ...,
ап)6Л4п й tn^n, то положим Лт, n(a) = (ait ..., ато).
Предложение Si Если Е — м. в. б. а. и а(±Еп, то
имеет место равенство
Лт, n ( Sp О) = Sp ( Лтп (<*))
Доказательство. Согласно предложению
2, вектор Х=(М, ..., Ат) принадлежит sp (лтп(а))
тогда и только тогда, когда существует максималь-
ный идеал m^Jt такой, что Аг=йг(/п), i=l, ..., т.
Но последнее соотношение означает, что А=
— (А1, . .. , Am) ^Лтп ( Sp 41).
Отображение
Лтп : sp а->Лтп( sp а) = sp (Лтп(а) )
определяет гомоморфизм
Л‘тп ’• <7 ( Sp (Лтп («) ) )	° Лтпб(7 ( Sp а) .
оо
Положим £°°= U’ Еп. Теперь можно сформулиро-
П=1
вать основную теорему этого параграфа.
Теорема 1. Пусть Е — коммутативная полная
м. в. б. а. Тогда существует (и притом единствен-
ное) отображение а-+@а, которое каждому аб£<0О)
ставит в соответствие гомоморфизм борнологиче-
ских алгебр 0а : C?(sp а)^Е, обладающий следую-
щими свойствами:
1) Если а=(аь ап) и zi,	zn— ростки коорди-
натных функций на Сп в окрестности sp а, то
0a(zi)=ai, 0a(zn)=an.
105
2) Если а=(аь ап), т^п и fd
6(7 ( Sp (Лтп (а))), то
Другими словами, следующая диаграмма
(f) е О^а))
£
коммутативна.
Доказательство. Предполагаем известной
эту теорему для случая, когда Е — банахова алгеб-
ра (см. [6, гл. 1, § 4]).
Согласно предположению, Е— lim ind Е,-, где Ei—
коммутативные банаховы алгебры. Индуктивный
предел рассматривается в категории sf-lb (катего-
рии борнологических алгебр). Для а= (а^ ..., ап) 6
6ЕП обозначим I(a) = {ifil : а&Е"}. Следовательно,
применяя эту теорему для банаховых алгебр, для
каждого i6/(a) имеем ограниченный гомомор-
физм
e^:ff(spia)-^Ei,	(1)
здесь spia — совместный спектр элемента a=(ai,
ап) относительно Ei.
Сначала покажем, что
0 ( sp а) = lim ind О (spv а)	(2)
ifij(a)
алгебраически и борнологически. После этого про-
верим, что система ограниченных морфизмов (1)
индуктивна. Тогда, переходя к индуктивному преде-
лу в (1), будем иметь
©a= limind©’ : (7(sp a)^Ej.
i6I(a) а
Итак, докажем борнологическое равенство (2).
Покажем, что
sp а— р sp, а.	(3)
г'6Г(а)
106
Пусть X=(Xi, Xn)6spa. Следовательно, су-
ществует характер %6Х(Е) такой, что ^i=x(ai)> ...
..., Xn=x(fln)- Но поскольку для Vi67 Х(£)сг
cX(fi), ТО Х6 п spia.
j6I(a)
Обратно, если sp а, то существуют элементы
(bt...bn)fiEn такие, что
Е (Xi-ai)bi=l.	(4)
г=1
Пусть /67 такой индекс, что ait bi&Ej для всех I—
= 1, ..., п. В силу определения 1(a), ясно, что jfil(a).
Ввиду равенства (4), имеем Mjisp/z. Таким образом,
равенство (3) выполняется.
Для каждой пары (i, j) элементов из 1(a) таких,
что t^/, имеем каноническое вложение лц: Ej-*-Ej
и поэтому получим естественное вложение
Ра : sp, a-> sp, а.	(5)
Отображение (5) определяет гомоморфизм алгебр
р*. : C? (spja)->O,(spJ a).
По построению понятно, что система (^(spja), р*г)
является индуктивной системой борнологических
алгебр.
Рассмотрим limindС?( sp, а). Если В — ограни-
iej(a)
ченное множество в lim indС?( sp» а), то найдется
iej(a)
индекс to67 (а) такой, что BczCTfsp^a). Это озна-
чает, что существует U — открытая окрестность
spi0 а такая, что Ba0(U) и В ограничено в O(U),
Поскольку sp acz spl0 а, то U — открытая окрест-
ность sp а и, значит, Bc:0(spa). Это показывает,
что lim ind 0 ( sp, a) аС ( sp a) алгебраически и
t’GI(a)
борнологически.
Обратно, пусть В — ограниченное множество в
6?(spa). Это означает, что найдется открытая
окрестность U множества sp а такая, что В — огра-
ниченное подмножество в Так как, соглас-
но (3), spa= Q spi-a, семейство компактных мно-
iei(a)
жеств (spia)i6i(a) фильтрируется по убыванию, то
107
обязательно найдется ioG/(a) такое, что U будет
открытой окрестностью множества spi0 а. Следова-
тельно, равенство (2) доказано в алгебраическом i
и борнологическом смыслах.	|
Теперь построим гомоморфизм 0О. Пусть для
каждого iG/(a) гомоморфизм ©’:(?( sp, a)->Е{ яв-
ляется голоморфным функциональным исчислением
относительно банаховых алгебр Е<. Для каждой
пары (i, /) элементов из 1(a) таких, что t^/, мор-
физмом гомоморфизма 0^ в гомоморфизм 03а будем
считать пару отображений (р*., ид), ибо диа-
грамма
О’ (sp,e) -> Ei	I
р* v ei	J
O (spya) -> Ej	|
коммутативна (см. [6, гл. 1, § 4, п. 4, предлож. 2]).
Тогда положим ®а— limind©’. Отображение @а
iel(a) а
является гомоморфизмом алгебры <7(spa) =
= lim indО( sp, а) в алгебру limindEi=E. По-
г'61(а)	iGj(a)
следнее равенство вытекает цз того, что подмно-
жество 1(a) кофинально в 1. Гомоморфизм 0а
обладает свойствами 1) и 2), ибо этими свойствами
обладают гомоморфизмы 0’.
Для завершения доказательства теоремы оста-
лось установить единственность отображения a->6a-
Пусть a-^Q'a—второе отображение, удовлетворяю-
щее условиям теоремы 1, и a=(ait ..., an)€En.
Для каждого iG/(a) обозначим — сужение 0'а
на 6?(sp,a). Так как отображение в' ограничено,
то 0'j : (У( spi a)->E ограничено и поэтому сущест-
вует j(il(a) такой, что 0'’ : (У( spi а)-+Е$ ограни-
чено.
Пусть k£I(a) такой, что kZ^i, k^j. Тогда гомо-
морфизмы
0j : О ( sp, a)-^Ei-^Ek;
в'а{ : <7( spj a)->Ej-^-Efe
108
совпадают на полиномах. В силу предложения 3 и
леммы 10 из [6, гл. 1„ § 4, пп. 5, 6]), имеем, что
©г=@'«. Следовательно,
а а
0а= Ит ind 0* = lim ind 0'’=0'.
a	a a
Теорема доказана.
Замечание. В одном из наиболее часто встречающихся
случаев, когда п=1, гарантируемый теоремой 1 гомоморфизм
во строится в явном виде, используя интегрирование функций
со значением в борнологическом выпуклом пространстве. (Мы
к этому вопросу вернемся немного позже.)
Сформулируем теорему, обратную, в некотором
смысле, теореме 1.
Теорема 2. Пусть Е — отделимая борнологиче-
ская алгебра, для которой имеет место голоморф-
ное функциональное исчисление (теорема 1). Тогда
всякий элемент из Е регулярен, и Е может быть на-
делена борнологией полной м. в. б. а.
Доказательство. Поскольку каждый эле-
мент из Е является образом при гомоморфизме ал-
гебр 0О некоторого элемента полной м. в. б. а. С (К),
то, ввиду теоремы 2 6) § 3, он является регуляр-
ным элементом в Е. Так как 0а-—сюръективный
гомоморфизм, то каждое ограниченное множество в
Е является образом некоторого ограниченного мно-
жества из (У(К). Но поскольку <У(К) — мультипли-
кативно выпуклая алгебра, то каждое ограниченное
множество в О'(К) содержится в регулярно ограни-
ченном и, следовательно, каждое ограниченное мно-
жество в Е содержится в регулярно ограниченном
(см. теорему 2 6) § 3), т. е. борнология на Е мульти-
пликативно выпуклая. Теорема доказана.
Теперь пусть а= (ai, ап)GEn, fi, .... fnG
€C?(spa) и ..., fn). В силу предыдущего,
определен элемент f(a) = (fi(a), fn(a))GEn.
Соотношение между sp а и spf(a) устанавливается
в следующей теореме.
Теорема 3 (Данфорда). Пусть Е — полная
м.в.б.а., а= (аь ..., an)GEn fi, fnGO( sp a), f=
= (fi, fn) и f(a) = (fi(a), ..., fn(a)f. Тогда
spf(a)==f(sp a).
109
Доказательство. Согласно определению
совместного спектра, достаточно доказать равен-
ство
X(f(a))=f(x(ai). •••, х(ап))
для любого характера %€Х(£). Ввиду предложе-
ния 2, это эквивалентно тому, что элементы
ft (х))— fi (а) принадлежат некоторому макси-
мальному идеалу т в Е. Разложим fi (а (х)) — fi (а)
в некоторой окрестности точки а= (ai, ..., ап) &Еп:
fi№(z))-fi(a) =
= 2 cai...an (di(x)-ai)“i... (й„(х)-а„)“н.
Здесь ряд сходится в смысле борнологии Е. По-
скольку йДх)— а&т для всех i=l, ..., и, а т —
максимальный идеал, то, учитывая предложение 2
§ 4, будем иметь, что fi («(х)) —fi(a)&n. Теорема
доказана.
§ 6.	Инволютивные борнологические алгебры
Определение 1. Инволютивной борнологической
алгеброй называют борнологическую алгебру, наде-
ленную ограниченной инволюцией	Подмно-
жество А инволютивной алгебры Е называется са-
мосопряженным, если 4=Л*.
Примеры:
1.	Инволютивная нормированная алгебра.
2.	<§ (Й) — алгебра бесконечно дифференцируемых на откры-
том в Rn множестве Й функций с естественной борнологией.
3.	^>(Й) —алгебра бесконечно дифференцируемых на откры-
том в Rn множестве й функций с компактным носителем, на-
деленная канонической борнологией топологии Шварца.
4.	S (Rn)—алгебра бесконечно дифференцируемых в Rn
быстро убывающих функций с канонической борнологией.
5.	С (й) — алгебра непрерывных на открытом в Rn множе-
стве Й функций с борнологией, определяемой топологией ком-
пактной сходимости.
6.	JSf(Q)—алгебра непрерывных на открытом в Rn множе-
стве й функций с компактным носителем и канонической бор-
нологией, определяемой топологией пространства.
7.	О (К) — алгебра ростков функций, голоморфных около
компакта К.
8.	Любая инволютивная алгебра ростков непрерывных функ-
ций.
110
Пусть Е — инволютивная алгебра, тогда элемент
хбЕ называют эрмитовым, если х=х*, и нормаль-
ным, если хх*—х*х. Каждый эрмитов элемент явля-
ется нормальным. Множество эрмитовых элемен-
тов — вещественное векторное пространство в Е.
Предложение 1. Если Е — инволютивная алгебра,
то каждый элемент хвЕ единственным образом
представляется в виде x=xt + ix2, где xlt х2—эрми-
товы элементы.
Доказательство. Положим Xi= -% (х-|-х*),
х2= -Jr- (х—х*). Тогда Xi, х2— эрмитовы и х=
=xi+ix2.
Обратно, если x=xi+ix2, где Xi, х2 — эрмитовы,
то х‘=Х1—1x2 и, следовательно, xi= — (x-f-x*),
1 ,
Xz=~2T
Предложение 2. Для того чтобы элемент хвЕ
был обратим, необходимо и достаточно, чтобы эле-
мент х* был обратим, и тогда (х*)-1= (х-1)*-
Доказательство. Если х обратим, то
хх-1=х-1х=1. Следовательно, 1 = 1*=х*(х-1)* =
= (х-1)*х*, т. е. х* обратим и (х*)-1= (х-1)*.
Обратное утверждение следует из равенства
х**=х.
Следствие. Для каждого элемента х инво-
лютивной алгебры Е справедливо равенство
sp х*= sp х.
Доказательство. Немедленно следует из
равенства (X —х)* = Х— х* для любого ХбС.
Определение 2. Элемент хб£ называется унитар-
ным, если хх* = х*х=1, т. е. если х обратим и х-1 =
=х*.
Определение 3. Пусть Е — инволютивная алгебра.
Если f — линейный функционал на Е, то функция
£'Эх->/(х*) GC также является линейным функцио-
налом на Е. Этот функционал называется сопря-
111
женным с f и обозначается* f*. Говорят, что функ-
ционал f эрмитов, если/==/*.	„	.	.
Предложение 3. Любой линеиныи функционал f
на Е единственным образом представляется в виде
f=ft + if2. где ft, fe— эрмитовы функционалы.
Доказательство. Дословно повторяет до-
казательство предложения 1.
Предложение 4. Для того чтобы линейный функ-
ционал f на инволютивной алгебре Е был эрмито-
вым, необходимо и достаточно, чтобы он был ве-
щественным на множестве эрмитовых элементов Ен
алгебры Е.
Доказательство. Пусть f — эрмитов функ-
ционал, т. е. f(х) =f*(x) =f(x*) для любых хбЕ.
Следовательно, для любого yfiEh, т. е. для любого у,
такого, что у=у*, будем иметь f(y) =f(y).
Обратно, пусть f — линейный функционал на Е,
принимающий действительные значения на Ен, и
пусть х€£. Тогда x=xi+ix2 (предложение 1), где
Xi, xzGEh и f (х) =f (xt)+if (х2), f(xi), f(x2)€R. Тогда
f* (х) =f (х‘) =f(xi)—tf(x2) = f (Xi) +if (x2) = f (X14-
+ix2) =f (x), t. e. f — эрмитов.
Следствие. Алгебраическое сопряженное к
вещественному пространству Ен совпадает с вещест-
венным пространством эрмитовых функционалов.
Доказательство. Изоморфизм устанавли-
вается отображением
Если % — характер Е, то х*— тоже характер и ото-
бражение Х(£)^х->х*6Х(£) является гомеоморфиз-
мом.
Определение 4. Пусть Е — борнологическая инво-
лютивная алгебра. Говорят, что Е — мультиплика-
тивно выпуклая борнологическая инволютивная ал-
гебра (м. в. б. а. инволютивная, или *-м. в. б. а.), ес-
ли Е обладает базой борнологий, образованной
идемпотентными самосопряженными дисками.
Предложение 5. Пусть Е — борнологическая ин-
волютивная алгебра. Для того чтобы Е была
112
м. в. б. а. инволютивной, необходимо и достаточно,
чтобы Е было индуктивным пределом (в категории
борнологических инволютивных алгебр) полунор-
мированных инволютивных алгебр.
Доказательство. Немедленно вытекает из
теоремы 1 § 3 и определения инволютивной м. в. б. а.
Примеры:
1. Предыдущие примеры 1, 6, 7, 8 алгебр являются инволю-
тивными м. в. б. а.
2. Индуктивные пределы в категории &Ьс С*-алгебр.
Определение 5. Ограниченный диск В инволютив-
ной борнологической алгебры Е называют звездным
диском, если он является самосопряженным идем-
потентом, и для каждого xGB справедливо равенст-
во ||х||| =||х*х||в, где ]| • ||в—калибровочная функция
диска В.
Определение 6. Звездной борнологической алгеб-
рой будем называть инволютивную борнологиче-
скую алгебру, обладающую базой борнологии, об-
разованной звездными дисками.
Предложение 6. Полные звездные борнологиче-
ские алгебры являются индуктивными пределами
(в категории борнологических инволютивных ал-
гебр) С*-алгебр.
Доказательство. Немедленно вытекает из
определений 4 й 3 и теоремы 1 § 3.
Примеры:
Все приведенные выше примеры инволютивных борнологи-
ческих мультипликативно выпуклых алгебр являются также
примерами звездных борнологических алгебр.
Определение 7. Если Е — инволютивная алгебра,
то линейная форма f на Е такая, что f(xx*)^0 для
всех хб£, называется положительной линейной
формой.
Примеры:
1. Распределения положительного типа.
2. Положительные меры.
Предложение 7. Положительный линейный функ-
ционал на полной инволютивной м. в. б. а. огра-
ничен.
Доказательство. Пусть Е — индуктивный
8. Зак. 927
113
предел (в категории борнологических инволютив-
ных алгебр) семейства банаховых алгебр (Ei)iei с
инволюцией, здесь I — фильтрирующееся семейство
индексов, и лц: Er+Ej— инъективные морфизмы-
Предположим теперь, что f : Е->С—положительный
функционал. Согласно определению борнологии на
Е, функционал f ограничен тогда и только тогда,
когда ограничены функционалы	Поскольку
все fi положительны, то они ограничены ввиду клас-
сической теоремы (см., например, [6, гл. II]). Сле-
довательно, f ограничен.
В том случае, когда Е — банахова алгебра с ин-
волюцией, то известна характеристика положитель-
ных линейных функционалов в терминах мер на не-
которых топологических пространствах. Эта харак-
теристика дается теоремой Бохнера (см., например,
[20, с. 321]).
Всякий положительный линейный функционал на
коммутативной банаховой алгебре Е однозначно
представляется с помощью положительной меры
Радона ц на пространстве эрмитовых характеров
алгебры Е в виде
f(x)= J xdp..
н
Можно показать, что сформулированный выше
результат, вообще говоря, не верен в случае ненор-
мированных алгебр. Однако справедлива
Теорема 1 (см. [6, общая теорема Бохнера]).
Пусть Е — полная инволютивная м. в. б. а. Для вся-
кого положительного линейного функционала f су-
ществует единственная положительная мера р Ра-
дона на пространстве эрмитовых операторов Н та-
кая, что
f(x) = f X(x)jp(x).
н
Доказательство. Пусть Е= limindЕ^ где
iGI
Ei — банаховы алгебры с инволюцией, / — филь-
трирующееся семейство индексов, jiji : Ei-+Ej —
инъективные морфизмы. Для каждого /6/ обозна-
чим через Hi компактное пространство эрмитовых
114
характеров алгебры £\, Н — пространство эрмито-
вых характеров алгебры. Нетрудно видеть, что
Н= lim proj (Hi, X(jtji)).
iei
Здесь проективный предел рассматривается в
категории £Гор топологических пространств относи-
тельно отображений
Х(лд) : #?х~*Х°
Обозначим Si (соотв. S) сужение на Hi (соотв. Н)
преобразования Гельфанда алгебры Ei (соотв. Е) и
Х(лг) \H^Hi каноническую проекцию. Тогда для
x^Ei и i^j следующая диаграмма
коммутативна.
Сужение f на инволютивную банахову алгебру Ei
определяет положительный функционал на Ei и,
следовательно, существует на Hi единственная по-
ложительная мера Радона ц; такая, что
f(x)= J (^)(xWi(x) Для всех xGEi. (1)
Семейство (p-j, Х(л,»)) является проективной си-
стемой мер Радона на проективной системе (Н,,
Х(л^-)) компактных пространств (см. [3, гл. 3, § 5,
п. 6]). Действительно, для этого достаточно пока-
зать, что Х(лд)р.^=|Лг для j^j. Ввиду коммутатив-
ности вышеприведенной диаграммы, для каждого
xQEt имеем
J (Ы (Х)й(х(лд)рп (х)= J [(ад -
н.	н.
г	3
8*
115
°х(ля)](х)^(х)= J (М(х)<Ых)=/ДО.
В силу единственности меры щ в (1) имеем тре-
буемое равенство. Теперь, применив предложение 8
из [3, гл. 3, § 5, п. 6], получим утверждение теоре-
мы.
Пусть К — компактное топологическое простран-
ство, являющееся проективным пределом компакт-
ных топологических пространств относительно
отображений рц, т. е. К= lim proj (Kj, рц). Через
C0(Kj) обозначим банахово пространство непрерыв-
ных на компакте Kj функций, обращающихся в нуль
на бесконечности. Относительно отображений
C0(Ki)^u-^~u°pji^C0(Kj) семейство (Co(Ki))iei об-
разует индуктивную систему.
Определение 8. Индуктивный предел Сй(К) =
=lim ind Co(Ki) (в категории ё'Ьс) будем называть
«классами непрерывных функций» на компакте К.
Теорема 2 (Гельфанда— Наймарка). Пусть Е —
коммутативная полная звездная м. в. б. а. Тогда
преобразование Гельфанда является изоморфизмом
алгебры Е на звездную м. в. б. а. С(1(Х(Е)) классов
непрерывных функций на пространстве характеров
Х(Е).
Доказательство. Изоморфизм строится
следующим образом. Е является индуктивным пре-
делом в категории инволютивных борнологических
алгебр системы (£;, пц) коммутативных С*-алгебр
Ei. Для i^/ отображение яц : Ei-^Ej непрерывно,
следовательно, Х(лд) : Х(£3)Эх->-х ° лд-бХСЕД не-
прерывно и поэтому отображение Кц : Со(Х(£г))Э
y<p-^-<poX(nJi)6Co(X(£';)) непрерывно. Семейство
С*-алгебр (Со(Х(£г)), Хд) образует индуктивную
систему и Со(X(£)) = limind С0(Х(£<)). Посколь-
гбГ
ку для каждого iG/ преобразование Гельфанда S’,
является изометрическим изоморфизмом С*-алгеб-
ры Ei на С*-алгебру Со (X (£;)), то индуктивный
предел 3 = lim ind 3i существует и устанавливает
изоморфизм Е на С0(Х(£)).
116
Теорема 3. Функциональное исчисление в
звездных м.в.б.а. Пусть Е — звездная полная
м.в.б.а., х&Е— нормальный элемент H(J(spx)—
звездная борнологическая алгебра ростков непре-
рывных ограниченных функций в окрестности спек-
тра. Тогда существует единственный инволютив-
ный гомоморфизм 0 : С( sp х)-+Е такой, что
0 (z) =х, где z — росток функции на sp х.
Доказательство. Пусть <p6C(spx) и U —
открытая окрестность sp х такая, что <р непрерывна
и ограничена в U. Так как sp х— П spjX (см. до-
iei(x)
казательство теоремы 1 § 5), то 17 содержит, по
крайней мере, один spfX. Пусть <p$=<p|sPix и 0« :
С ( spi х)—— инволютивный гомоморфизм С*-ал-
гебр, даваемый классическим функциональным
исчислением в С*-алгебрах (см., например, [6,
гл. I, § 6, п. 5]). Для каждого <р<бС( spjx) элемент
не зависит от i‘67 и поэтому определен
гомоморфизм 0 : С( sp х)->-£, удовлетворяющий
требуемым условиям. Независимость 0Д<р,)б£ от i
вытекает из следующего: пусть U содержит sp,x
и spjX, тогда t/^spsx, k^i, k^j. Отображения
С ( spi х) 9ф->-0* (ip) £Ei, С (spft х) 9ip-^-0ft (ip | sPhx) 6Ek
совпадают на многочленах от гиг, которые плот-
ны в С ( sp, х), и поэтому совпадают везде. Следо-
вательно, 0i(q>i) ==0л(<рл) =вДф;>). Тем самым тео-
рема доказана.
Замечание. Поскольку О (sp х) cz С (sp х), то гомомор-
физм 0 из теоремы 3 является продолжением гомоморфизма 6
из теоремы 1 § 5.
Глава 7
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
В ЛОКАЛЬНО ВЫПУКЛЫХ ПРОСТРАНСТВАХ
В этой главе теория борнологий применяется для
исследования свойств решений линейных дифферен-
циальных уравнений в л.в. п.
В § 1 вводятся различные функциональные про-
странства гладких и интегрируемых функций со
117
значением в локально выпуклом либо борнологиче-
ском выпуклом пространствах. Различные свойства
(топологические и спектральные) так называемых
регулярных операторов в л. в. п. Е, т. е. регулярных
элементов борнологической алгебры Lee Е, будут
рассмотрены в § 2. В § 3 даны многочисленные при-
меры регулярных операторов в различных л. в. п.
Кроме того, приведено построение, показывающее^
что многие неограниченные операторы в банаховых
пространствах могут рассматриваться как регуляр-
ные в соответствующих локально выпуклых про-
странствах, причем при таком переходе спектр опе-
ратора может только уменьшаться. В § 4 вводится
понятие регулярного семейства регулярных опера-
торов, зависящего от параметра суммируемым либо
гладким образом. Затем решаются интегральные
уравнения Вольтерра, ядра которых задаются регу-
лярными семействами операторов, задача Коши для
уравнения x(t)=A(t)x(t) + f(t) и задача Гурса для
д^х
уравнения(/)*+/(/), где A(t)—семей-
utidt2
ство регулярных операторов. В § 5 изучается пове-
дение решений однородного уравнения х=Ах на
бесконечности в связи с характером расположения
регулярного спектра регулярного оператора Л. При-
водятся условия ограниченности на всей оси реше-
ний однородного уравнения. Затем выясняются ус-
ловия, касающиеся существования на полуоси и всей
оси ограниченных, периодических и почти периоди-
ческих решений. И. наконец, исследуется вопрос о
возможности управляемости решениями задачи
Коши для дифференциального уравнения в л. в. п. с
операторным коэффициентом, порождающим ло-
кально равностепенную полугруппу, и управляемо-
сти решениями задачи Гурса.
§ 1. Векторнозначные функции
Рассмотрим различные классы функций, опреде-
ленных на тех или иных множествах из Rn со зна-
чением в векторных пространствах, которые будут
наделяться топологической либо борнологической
структурой.
118
Сначала введем необходимые пространства глад-
ких функций, а затем пространства интегрируемых
функций.
Определение 1. Если Q — топологическое прост-
ранство, а Е — полное л. в. п., то символом С(й, Е)
будем обозначать векторное пространство непре-
рывных отображений из Q в Е.
В дальнейшем символом SpecE будем обозна-
чать множество всех полунорм на л. в. п. Е, опреде-
ляющих его топологию.
Если Q — локально компактное счетное на беско-
нечности топологическое пространство, то С(й, Е)
является полным локально выпуклым пространст-
вом с топологией, определяемой полунормами
рк, (х)= supp(x(0), рб SpecE, (1)
tGK.
J
где (K/heN—исчерпывающая Q система компак-
тов. Очевидно, что если Е — пространство Фреше,
то таковым является и C(Q, Е).
Если Q — открытое множество в Rn (или п-мер-
ное гладкое многообразие), то сейчас можно опре-
делить пространство Е) — /n-раз непрерывно
дифференцируемых на Q со значением в Е функций
x(t). Наделим Е) топологией, определяемой
полунормами
р(х)= sup pa(D$x(t)), paG SpecE. (2)
/ек, ipi^m
Определение 2, Если К — компактное множество
в Rn, то под Ст(К, Е) будем понимать сужение на
К функций из некоторого	Е), где QzpK.
В Ст(К, Е) задана топология равномерной сходи-
мости на компакте К, т. е. топология, определяемая
полунормами
р(х)= sup pa(D$x(t)), paG SpecE. (3)
*ек, IPKm
В дальнейшем нам понадобится пространство
Стр •••’mn (Q, Е), которое, по определению, полагаем
>^n(Q, E) = {x(t) : £>“%(/)6C(Q, Е),
|a|	. +mn, ak^rnk}.
119
В этом векторном пространстве топологию зада-
дим полунормами
р(.х) = sup Pf>(Dax(t)), pfje Spec£. . (4)
|aKm4+... +mfe
Определение 3. Если К — компактное множество
в Rn, то, как и в случае пространства Ст(К, Е),
под Cmv — тп (К, Е) будем понимать сужение* на К
функций из некоторого Cmf --тп (й, Е) (йзэК) с
топологией равномерной сходимости на К.
Естественным образом определяется пространст-
во <S (й, Е) бесконечно дифференцируемых функ-
ций, определенных в й со значением в л. в. п. Е.
Пространство <S (й, Е) наделяем топологией, опре-
деляемой системой полунорм
Pxi, >n(x)= sup р (£)“%(/)), pGSpecE, (5)
КК., |a|<m
Й= U Kj.
J=1
Предложение 1. Если Е — полное л.в.п., то про-
странства Ст(й, Е), Ст(К, Е), Cmi......т»(Й, Е),
С”1*.тп (К, Е) и <S (й, Е) являются полными л.в.п.
Доказательство. Утверждение вытекает
из полноты пространства С(й, Е) и секвенциальной
замкнутости оператора дифференцирования в про-
странстве С (К, Е).
Кратко опишем стандартную конструкцию топо-
логии пространства 5)(Й,Е) — пространства беско-
нечно дифференцируемых на й со значением в
л. в. п. Е функций с компактным носителем в й.
Если К — компактное множество в Й, то <2>к(й, Е)
будет обозначать те функции из SD (й, Е), носители
которых содержатся в К. Наделим ^>к(й, Е) топо-
логией из #(Й, Е). Поскольку 55 (й, Е) = U 3)K(Q,
ксй
Е) — объединение по всем компактам К из Й, то в
5>(й, Е) зададим топологию индуктивного предела,
т. е.
S) (Й, Е) = lim ind 3)к (Й, Е).
к<=а
120
Сейчас покажем, как быть в случае, если Е —
б. в. в. п., другими словами, что при этом следует
понимать под гладкими функциями. Пусть й — то-
пологическое пространство и Е — полное борноло-
гическое выпуклое векторное пространство. Соглас-
но теореме 1 § 4 гл. 4, Е= lim indE,- (в категории
<е/
&Ьс), где (Ei)m — семейство банаховых про-
странств и : Ei-^-Ej, i-^-j — канонические отобра-
жения. Рассмотрим семейство векторных про-
странств (С(й, Ei))i6j непрерывных функций. Это
семейство образует индуктивную систему относи-
тельно отображений
я*. : С(й, Ei)^x(t)->jijiX{t)^C(й, Ej).
Определение 4. Индуктивный предел этой систе-
мы векторных пространств и будем называть про-
странством непрерывных функций на й со значени-
ем в б. в. в. п. Е.	'	•
Таким образом, по определению, C(Q, Е) =
= lim ind С(Й, Ei). Здесь имеется в виду индуктив-
iei
ный предел в категории Vect векторных про-
странств.
Теперь надо естественным образом ввести борно-
логию на С(Й, Е). Для этого достаточно определить
ее на пространствах С(й, Е{), а затем предел
lim ind С(й, Ei) рассматривать в категории &Ьс.
Если й — локально компактное пространство,
счетное на бесконечности, с компактной борноло-
гией, тогда С(й, Ei) наделяется естественной бор-
нологией, индуцированной из пространства Л(Й,
BEi) (см. гл. 2, § 1, пример 11), т. е. борнологией
равномерной ограниченности на каждом компакте.
Предложение 2. Если Е — банахово пространст-
во, й — локально компактное пространство, счет-
ное на бесконечности, то борнологическое векторное
пространство С(й, Е) с борнологией компактной
сходимости является полным б. в. в. п.
Доказательство. Заметим, что указанная
борнология совпадает с борнологией фон Неймана
топологии компактной сходимости. В последней же
топологии С(й, Е) является пространством Фреше.
121
Тогда предложение следует из предложений 5 § 2
гл. 3, 2 § 5 гл. 3, 6 § 5 гл. 3.
Предложение 3. Если Q — локально компактное
счетное на бесконечности пространство, Е =
= limindEj— полное б.в.в.п., то борнологическое
множество С(й, Е) =lim ind С(й, Ei) является по-
луполным б.в.в.п. Если Е имеет счетную базу огра-
ниченных множеств, то С(£1, Е) полно.
Доказательство. Согласно теореме 1 § 4
гл. 4, канонические морфизмы пц: Ei-^Ej(i^j)
инъективны. Пространства C(Q, Ei) полны (см.
предложение 2) и канонические морфизмы л*;.
: C(Q, Ej)-»-C(Q, Ej) инъективны, поэтому С(Й,
Е) — отделимое б.в.в.п. (см. предложения 3 § 4
гл. 2 и 1 § 2 гл. 4). Кроме того, С(й, Е) полуполно
(см. предложение 6 § 5 гл. 2). Если Е имеет счет-
ную базу, то J счетно и предложение вытекает из
теоремы 2 § 3 гл. 4.
Предложение 4. Если Q — компактное топологи-
ческое пространство, а Е — полное б. в. в. п., то
C(Q, Е) — полное б. в. в. п.
Доказательство. В силу теоремы 1 § 4
гл. 4, Е= lim ind Ej в категории <F6c, где (Et)iej —
iei
семейство банаховых пространств с инъективными
морфизмами JUj : Е,—*-Ej (i^/). Тогда простран-
ства C(Q, Ei) являются банаховыми и, ввиду инъек-
тивности канонических морфизмов : C(Q, Ej)-»-
->C(Q, Ej), пространство C(Q, E) полно.
Если Q — открытое множество в Rn (или «-мер-
ное гладкое многообразие), то аналогично опреде-
лим пространства дифференцируемых на Q функ-
ций со значением в б. в. в. п. Е.
Если Е= limindEj в категории §Ъс, (Ej)j6j —
ini
семейство банаховых пространств, то определяем
векторные пространства Сто(й, ЕД, <S(й, Ej) и
^2>(й, Ej). На каждом из этих пространств опреде-
лим их естественную борнологию, т. е. борнологию
фон Неймана, определяемую канонической тополо-
гией, которая уже определена выше.
Определение 5. Если Е — б.в.в.п., то, по опреде-
лению, полагаем Cm(Q, Е) = limind Сга(й, Ej),
122
$ (Q, Е) = lim ind $ (Й, Ei), S) (Q, E) = lim ind S> (Q,
iGJ	iGI
Ei). Все индуктивные пределы здесь рассматри-
ваются в категории <£Ьс.
Предложение 5. Если Е — полное б. в. в. п. (со-
отв. полное б.в.в. п. со счетной базой ограничен-
ных множеств), то все пространства Cm(Q, Е),
^(£2, Е), Si)(Q, Е) полуполны (соотв. полные б. в.
в. п.).
Доказательство. Так как Е — полное
б.в.в.п., то, согласно теореме 1 § 4 гл. 4, Е=
=lim ind Ei, где Ei — банаховы пространства и пре-
дел в категории <о Ьс. Если Е имеет счетную базу
ограниченных множеств, то семейство индексов I
счетно. Поскольку локально выпуклые пространст-
ва СШ(Й, Ei) <У(Й, Ei) и Ег) полны (см. пред-
ложение 1), то они полны как борнологические про-
странства. Поэтому результат вытекает из предло-
жений 3 § 4 гл. 2 и 1 § 2 гл. 4. В случае, если Е
имеет счетную базу ограниченных множеств, то до-
казательство вытекает из теоремы 2 § 3 гл. 4.
Перейдем к изложению теории интегрирования
функций со значением в произвольном локально вы-
пуклом либо борнологическом векторном простран-
стве Е. Напомним некоторые определения и факты,
связанные с интегралом Бохнера [8], [21].
Определение 6. Пусть й — локально компактное
топологическое пространство с мерой Радона р на
нем и Е — векторное пространство над К. Функция
х: £№t->x(t)f<E называется счетнозначной, если она
принимает не более счетного числа значений, при-
чем каждое свое значение, отличное от нуля, x(t)
принимает на некотором р-измеримом множестве.
Определение 7. Пусть Е—л. в. п. (соотв. б. в. в. п.).
Функция №t^x(t)£E называется сильно измери-
мой в смысле топологии Е (соотв. в смысле борно-
логии Е), если существует последовательность счет-
нозначных функций, сходящаяся к x(t) в смысле
топологии Е (соотв. в смысле борнологии Е) р-поч-
ти везде.
Если Е — нормированное пространство, то гово-
рят только о сильной р-измеримости функций, ибо
123
сходимости в нормированном пространстве в
смысле топологии и борнологий совпадают.
Определение 8. Пусть Е — банахово пространст-
во. Счетнозначная функция №t-*x(t)(<E называет-
ся ц-интегрируемой в смысле Бохнера, если число-
вая функция ||х(01| ц-интецрируема.
Интеграл Бохнера от счетнозначной функции
x(t), по определению, полагается равным
оо
J x(t)dp(t) — 2
Я	А=1
где	: x(f)=xk} и ц(й&) = j ха*(0^и(0 —
Qk
мера множества хо* — характеристическая
функция множества
Определение 9. Функция Q$t-*-x(t)^E со значе-
нием в банаховом пространстве Е называется ц-ин-
тегрируемой в смысле Бохнера (сильно интегри-
руемой), если существует последовательность счет-
нозначных ц-интегрируемых функций (хп(/)),
сходящаяся к x(t) ц-почти всюду, и такая, что
lim J ||х(/)—xn(Z)||d|ji(f) =0.
При этом, по определению, полагают
J x(f)dy,(t) = lim J xn(t)dn(t).
я	я
Такое определение интеграла корректно (см., на-
пример, [21, гл. Ill, § 1]).
Большим достоинством интеграла Бохнера явля-
ется тот факт, что интегрируемые по Бохнеру функ-
ции могут быть легко охарактеризованы. Действи-
тельно, имеет место
Теорема 1 ([Г]). Для того чтобы функция
-*-x(t)(iE была ц-интегрируемой в смысле Бохнера,
необходимо и достаточно, чтобы она была сильно
измерима и функция ||х(/)|| была ц-интегрируема.
124
Определение 10. Множество ц-интегрируемых по
Бохнеру функций обозначим Li(Q, ц, Е).
Теорема 2 ([21, с. 96]). Множество Li(Q, ц, Е)
является банаховым ^пространством.
Для каждого числа 1ср<оо определяются про-
странства Lp(Q, ц, Е).
Определение 11. Множество всех ц-из меримых
функций	таких, что функции ||х(/)||р
ц-интегрируемы, образует множество LP(Q, ц, Е).
Множество LP(Q, ц, Е) является банаховым про-
странством с нормой
П\1/р
1|х(ОН|^(О ) •
Покажем, как естественным образом определить
пространства интегрируемых функций со значением
как в борнологическом выпуклом, так и в локально
выпуклом пространствах.
Итак, пусть Е — полное борнологическое выпук-
лое векторное пространство (см. определение 2 § 4
гл. 4) (соотв. Е — полное л.в.п.). Согласно общей
теории борнологических выпуклых векторных про-
странств (см. теорему 1 § 4 гл. 4) (соотв. общей
теории л.в.п. см. [19]), £=limind£i (соотв. Е=
iei
= lim proj Ei) в категории &bc (соотв. в категории
iei
fflc). Здесь (£г)гбг — семейство банаховых про-
странств.
Для каждого /6/ и каждого 1^р<оо определим
банахово пространство LP(Q, р,, £г). Если семейст-
во (Ei)iei образует индуктивную (соотв. проектив-
ную) систему относительно отображений иц, то се-
мейство (LP(Q, р, Ei))iei образует индуктивную
(соотв. проективную) систему относительно отобра-
жений LP(Q, р, Ei)$x-+Uji<> x6£P(Q, р, Ej).
В силу сказанного выше, естественно принять
Определение 12. Если Е — lim ind Ei — полное
iei
борнологическое векторное выпуклое пространство,
то положим, по определению,
Lbp (Q, р, Е) = lim ind Lp (Q, p, Ei).
iei
125
(Индуктивный предел взят в категории Sbc.) Век-
торное пространство LJ(Q, р, Е) будем называть
пространством борнологически р-интегрируемых
функций.
Определение 13. Если Е — lim proj £% — полное
XGA
л.в.п. (проективный предел банаховых пространств
в категории Sic), то полагаем, по определению,
(Q, р, Е) = lim proj Lp (Q, p, EJ.
Х6Л
(Проективный предел взят в категории Sic.) Век-
торное пространство L* (Q, р, Е) будем называть
пространством топологически р-интегрируемых
функций со значением в л. в. п. Е.
Предложение 6. Если Е — полное б.в.в.п., то
Lbp (Q, р, Е) полное б.в.в.п. Если Е — полное л.в.п.,
то U (Q, р, Е) полное л.в.п.
Доказательство. Немедленно вытекает из
теорем о структуре полных б. в. в. п. и полных
л. в. п.
Большим достоинством борнологически и топо-
логически р-интегрируемых функций является то,
что они, так же как и р-интегрируемые по Бохнеру
функции, могут быть легко охарактеризованы. Дей-
ствительно, имеют место следующие предложения.
Предложение 7. Пусть Е — полное б.в.в.п. Функ-
ция Q^^x(/)6E борнологически р-интегрируема
тогда и только тогда, когда x(t) борнологически
р-измерима и существует ограниченный в Е диск
В такой, что функция >||х(t) ||в р-интегрируема.
Доказательство. Следует из [21, теоремы
3.7.4] и определения 12.
Предложение 8. Пусть Е — полное л.в.п. Функция
Q^/->x(/)GE топологически р-интегрируема тогда
и только тогда, когда x(t) топологически р-измери-
ма и функция t-+p(x(t)) р-интегрируема для каж-
дой непрерывной на Е полунормы р.
Доказательство. Следует из теоремы 3.7.4
[21] и определения 13.
Если Е — полное л.в.п., то BE — полное б.в.в.п.
(см. предложение 5 § 5 гл. 4). Следовательно, опре-
126
делены пространства (Q, у,, Е) и Lb^(Q, у, ВЕ).
Каково соотношение между этими пространствами?
Ответ на этот вопрос дает
Теорема 3. Пусть Е — полное л.в.п. Тогда для
любого 1^р<+оо имеет место включение Lb (Й,
ц, BE)czZ? (Й, ц, Е).
Доказательство. Пусть x(t)f<Lbv (й, у, ВЕ).
Согласно определению 12, это означает, что су-
ществует ограниченный диск BczE такой, что
х(/)б£Р(й, р, Ев). Другими словами, существует
последовательность счетнозначных, функций №t-+-
-+xn(t)£EB таких, что ||хп(/) — Х(Ь 11в->0 р-почти
везде и ||x(i) ||В6ЕР(Й, у). Отсюда следует, что
||хп(0—х(/)||р-Н) p-почти везде для любой дис-
ковой окрестности нуля U в Е, т. е. x(t) топологи-
чески р-измерима.
Поскольку ||x(Z) ||t7^Cul|x(Z) ||в для любой дис-
ковой окрестности нуля U, где Си — некоторая
положительная константа, то, по теореме Лебега,
Цх(7)||у(<ЕР(й, р). Ввиду предложения 8, х(^)6
6е;(й, р, е).
Замечание. Нетрудно видеть, что каждая функция
(Q, р, Е) интегрируема в смысле Миллионщикова [10].
Перейдем к изучению пространств, сопряженных
к Lbp (Q, ц, Е) и Z? (Q, ц, Е). Напомним, что если
Е — отделимое л.в.п., то на его топологически со-
пряженном Е' будет рассматриваться естественная
борнология, т. е. борнология равностепенной непре-
рывности. Если же Е — регулярно отделимое
б.в.в.п. (см. определение 1 § 2 гл. 5), то на его бор-
нологически сопряженном Ех всегда будем иметь
в виду естественную топологию равномерной схо-
димости на всех ограниченных в Е множествах.
Предложение 9. Пусть Е= lim proj (Ej, иц) —
jeJ
приведенный проективный предел в категории Sic
(см. [23, с. 177]). Тогда E'=limind (Е', и') в ка-
№
тегории Sbc.
127
Доказательство. Обозначим S= ]JEj —
зы
л.в.п. Тогда S'= ®Е'. (см. [23, с. 174—175]). Бор-
jeJ 3
нологическое равенство немедленно следует из
определения канонической борнологии. Для каж-
дой пары отображение иц : Ej-^E, непрерыв- j
но, поэтому и'..: Е'.->-Е'. слабо непрерывно и спра- 
ведливо равенство и' (£7°) = («“*(£/)) °, где U —
окрестность нуля в Ei. Отсюда следует, что и'..—	,
ограниченное отображение в канонической борно-	]
логии.
Рассмотрим борнологический индуктивный пре-	1
дел lim ind (Д'., и'..).. По определению, это есть
З&г 3 гз
( Ф Д'.) /F, где F — векторное пространство, по-
W 3
рожденное множеством U Img,-,-. Здесь gi}=Ui—
i^3
—Ujou'.., Ui— (pri) : E'->~S'= ф E'.. Так как, no
условию, pri&=Ei (ибо проективный предел при-
веден), то отображения щ : Д'-»-<!Г— инъективные |
вложения.	?
Пространство limind (Д'., и'..)—регулярно отде- J
К1	3	13
лимое б.в.в.п. (см. определение 1 § 2 гл. 5). Так
как S — отделимое л.в.п., то S'= Ф Д' с канони-
jeJ 3
ческой борнологией регулярно отделимо (ем. пред-
ложение 3 § 2 гл. 5). Как и для локально выпук-
лых пространств (см. [23, с. 178]), доказываем,	:
что пространство F c(S', S} -замкнуто в S', или, что	I
F=E° поляра в S'. Следовательно, имеем, что F !
a (S', S'x) -замкнуто в S' и поэтому (S'/F* =	f
=F°czS''><- (см. предложение 3 § 4 гл. 5).	|
Но так как S' — регулярно отделимо, то (S',	j
S'*} образуют дуальную пару и поэтому (S'/F,F°)—	jj
также дуальная пара, т. е. S'/F регулярно отдели-
мо. Таким образом, доказано, что S'/Ей=
= lim ind (Ej, и'..)—регулярно отделимое борно-
зе/	гз
логическое векторное пространство. С другой сто-
роны, Д' с канонической борнологией регулярно
отделимо и алгебраически Д'=S'/Ей. Борнологи-
Г28
ческое же равенство следует из определения кано-
нической борнологии и борнологии индуктивного
предела. Предложение доказано.
Следствие 1. Пусть (£4) i6j — отделимые
л в п. несли Е= limproj Ei в категории &1с, то
ier
£'х= lim proj £'х.
461	’
Доказательство. Ввиду предложения, 9,
£'х = (limproj Ei)'x= (limind£')x.	Применяя
46/	»er
предложение 4 § 4 гл. 5, будем иметь (lim ind Е'.)х =
iei
= lim proj £'х. Отсюда утверждение.
iei
Следствие 2. Если (£»)46i — регулярно от-
делимые б.в.в.п. и £= lim ind Ei в категории Sbc
iei
и £ регулярно отделимо, то £х'= lim ind £х'.
~	iei г
Доказательство. Вытекает из предложений
9 и 4 § 4 гл. 5.
Следствие 3. Проективный предел в катего-
рии Sic е-рефлексивных л.в.п. е-рефлексивен (см.
гл. 5, § 6). Регулярно отделимый индуктивный пре-
дел в категории Sbc рефлексивных б.в.в.п. (см.
гл. 5, § 5) — рефлексивное б. в. в . п.
Доказательство вытекает из следствий
1 и 2.
Теорема ,4. Если £ — рефлексивное борнологиче-
ское пространство такое, что £= lim ind Ei, где Ei—
рефлексивные банаховы пространства, то (2Л(Й,
р, E)x=Lt<i (Q, р, £х),	= 1. Если £ — е-реф-
лексивное л.в.п. такое, что £= lim proj Ei, где Ei —
е-рефлексивные банаховы пространства, то (£f (Q,
Ц,Е)У^.^щ,Е').	Р
Доказательство. Пусть £ — такое реф-
лексивное б.в.в.п., что £= lim ind Ei, где Ei — реф-
tei
лексивные' банаховы пространства. Тогда выпол-
няется равенство - (£ь (Й, р, £))х — (lifhindLP(Q,
р	; iei _
p., Ei))x. Ввиду предложения 4 §’4 гл. 5,' будем
9. Зак. 927	(£9
иметь (Lb (й, p, E))x= lim proj £х(й, p, Ei). Так
как £Х(Й, M> Ei)=Lq(Q, p, E'.) (см. [3]), to
(Lb (Й, p, E))x — limproj Lg(Q, p, E'.) — Ц(й, p,
lim proj E'.)=D (Й, p, £').
iei
Вторая часть теоремы доказывается аналогично.
Лемма 1. Пусть <£, £'> — векторные простран-
ства в двойственности, BczE — поглощающий диск,
В^Е'— его поляра, || -|)в— калибровочная функ-
ция множества В. Тогда
|<х, х'>| sCIWIb • Цх'Иво.
Доказательство. Так как для любого
8>0	•	---QB И	-Z||X—:-6В°> то
ЦхЦв+e	||х ||во+е
I (--т-Дт---, „ z.< —;—5	т- е- |<х> я'Ч’С
I \ IWIb-|“8	||Х ||в°-|-8 / I
<1И1в • II-^||В°-]-8 (IIxIIb+IIx'IIb») Н-82.
Предложение 10. Пусть Е — полное отделимое
л.в.п., Е' — его сопряженное с канонической бор-
нологией. Если х(/)бА^(й, р, Е) й x'(/)GLb (й, р,
Е'), то <х (/), x'(/)>GLi(Q, р).
Доказательство. Покажем сначала, что
функция <x(Z), x'(t)> р-измерима. Так как x(t)fi
62/ (й, р, Е), то x(t) топологически р-измерима,
т. е. существует последовательность (хп(0) счет-
нозначных в Е функций таких, что x(t) = limxn(0
П-*ОО
р-почти везде, или ||х(/)—хп(/) ||с->0 , р-почти
везде для каждой дисковой окрестности нуля
U в Е.
Аналогично, поскольку x'(Z)GLb (Q, р, Е'), то су-
ществует некоторая дисковая окрестность Uo нуля
в Е такая, что х'(t)BLq(Q, р, Е^).. Это значит,
что найдется последовательность (х'п (t)) счетно-
значных в Е'у0 функций таких, что ||х'(£) —
~х'п (ОПго->-0 р-почти везде.
130
Легко видеть, что функция <xn(t), x'm(t)> счетно-
значная. Кроме того, ввиду леммы 1, имеем | <x(t),
x'(t)>-<x'n(t\ x'm(0>|^|<x(0-x„(0. х'(0>|Ч-
+ |<Xn(0>	x'(t)— х^(0>|^||х„— х||р • ||х'Цг„+
+ Iknllt7o • Ik'—x^llt/o-^-0 ц-почти везде, так как
llxnlltzo. ограничена, ибо хп — сходящаяся последо-
вательность.
Аналогично доказывается
Предложение 11. Пусть Е — полное регулярно
отделимое б.в.в.п. и Ех — его борнологическое со-
пряженное с канонической топологией. Если х(/)6
e.Lbp (Й, ц, Е) и x*(/)GP(Q, ц, Ех), то <х(/),
xx(Z)>GLi(Q, ц).
Теорема 5. Пусть Е и F — полные б.в.в.п. и
Т : E-+F — ограниченное линейное отображение.
Если х(/)бЕьр(й, ц, £), то Tx(t)QLbp (й, ц, Е) и
Т (J х (0 du (О) = J Тх (/) du (t), х (t) G Li (й, р, Е).
Q	Q
Доказательство. Пусть Е= limindEf, F=
i*i
= limindFx, где Ei, Fx— банаховы пространства.
AGA
Индуктивные пределы рассматриваются в катего-
рии &Ьс, Так как оператор Т : E-+F ограничен, то
для каждого iGZ существует %6Л такой, что
Т : Ei-^F^ ограничен. Если х(/)ЕЕ^(й, р, Е), то
x(£)f<Lp(Q, |л, Ei) для некоторого iGE Поэтому
Tx(/)6Lp(Q, р, Fx) и справедливо требуемое ра-
венство, т. е. теорема доказана.
Теорема 6. Пусть Е, F — полные л.в.п. и Т : Е^-
->F— непрерывное линейное отображение. Если
x(/)6L^(Q, р, Е), то 7х(/)еЕ^(Й, р, Е) и
Т ( f x(t)dii(t) ) = J Tx(t)dn(t), Х(/)6Ц(Й, и, Е).
'а	7 а
Доказательство. Пусть Е — lim proj Ег\
гб!
F= lim proj Fx, где Eit FK — банаховы простран-
X.GA
9*
131
ства. Проективные пределы берутся в категории
&1с. Так как Т непрерывно, то для любого ХбЛ
найдется i0G/ такое, что Т : Eio-+E>, непрерывно.
Каждый элемент х(/)6А‘р(й, ц, Е) записывается
в виде =	где Xi(t)f<Lp(Q, ц, Ei) для
каждого i€/. Так как для каждого к найдется свое
io такое, что (7’x(i))x=Txi0(i) и Т : Eio-+EK непре-
рывно, то из аналогичной теоремы для банаховых
пространств следуют Tx(f)GL* (Q, ц., Е) и требуе-
мое равенство.
Перейдем к интегрированию функций со значени-
ем в пространстве линейных отображений. Пусть Е
и F — отделимые л. в. п. и Т : E-+F — непрерывное
линейное отображение, т. е. для каждой непрерыв-
ной на F полунормы р существуют непрерывная на
Е полунорма q и число С>0 такие, что р(Тх)^
^Cq(x) для всех хб£.
Обозначим
||Л1р, q= sup р(Тх) — inf С.
q(x)^i
Символом 3?(Е, F) будем обозначать множество
линейных непрерывных отображений из Е в F без
какой-нибудь структуры. Очевидно, что множество
Н<^3? (Е, F) равностепенно непрерывно тогда и
только тогда, когда для любой рё Spec F найдется
qft SpecE такая, что ||Л1р,«СС Для всех ТЪН. По-
этому среди всех допустимых q можно выбрать
такие, что С=1. (Мы всегда это будем делать.)
Таким образом,, множество HczS(E, F) равносте-
пенно непрерывно, если II • Из», д ограничено1, едини-
цей на Н для всех рб Spec F и соответствующих
pGSpec£.	. 
Итак, пусть
F) : p(Tx)^q(x)}.
Вычислим отсюда калибровочную функцию мно-
жества Hp, q
рн(Т) = inf Х>0 :-Р-бНр,Д ,
р» у	Л	J
имеем
рн\ q (Т) = inf {Х>0; Р (Тх) ^kq (х)} = II Л1р, д.
132
Если Н — равностепенно непрерывное множество,
то Н= П Нр, д- Тогда
pG Spec Е
рн(Т)= sup pHpq(J).
ре Spec F
Пусть 3?н(Е, F)—банахово пространство, по-
рожденное множеством И. Тогда для каждого Td
d3?n(E, F) имеет место ||Т||Р19^рн(Т') ддя всех
pd Spec F и соответствующих им qd Spec Е. Поэто-
му, если Тп-+Т в 3?н(Е, F), то ||ТП—ТЦр,д->0 для
всех pd Spec F и соответствующих им q.
Теорема 7. Пусть Е, F — полные л.в.п. Если
T(f)dL* (Q, р, Lee (Е, F)) и x(f)GL*(Q, р, £), то
T(t)x(t)dL\(Q, р, F), -1 + -1=1.
Доказательство. Ввиду предложения 8,
достаточно доказать, что функция T(t)x(t) тополо-
гически р-измерима и р(Т(Z)x(i))GA1(Q, р) для
любой pd Spec F. Пусть xn(t), Tn(t) —счетнознач-
ные функции такие, что xn(t)->-x(t) в Е р-почти
всюду и Tn(t)-^~T(t) в 2?ц(Е, F) р-почти всюду
для некоторого равностепенно непрерывного диска
НаЗ^(Е, F). Следовательно, ||7’п(/)— 7’(/)||р,Q->0
р-почти везде для всех pd Spec F и соответствую-
щих им qd Specf.
Очевидно, что функции Tn(t)xn(t) счетнознач-
ны и p(Tn(t)xn(t)—T(t)x(t))^p(Tn(t)xn(t) —
- Tn(t)x(t)) + p(Tn(t)x(t) - T(t)x(t)) <
^\\Tn(t)\\p>q. q(xn(t)-x(t)) +\\Tn(t) - T(OI!p,gX
Xq (x(t))-+-6 р-почти везде при n->oo. Таким обра-
зом, р-измеримость функции T(t)x(t) доказана.
Кроме того, p(7’(/)x(/))^||7’(OI|p,q<7(x(O)^
^pH(T(t))q(x(t)). Но по условию, ввиду предло-
жений 2 и 3, рн(Т(t))dLp((,i, р), q(x(t))dLg(Q, р).
Следовательно, по теореме Лебега, р(Т(t)x(t))d
GLi(Q, р). Тем самым теорема доказана.
Л е м м а 2. Пусть Е — л.в.п. и S’ (Е) =Z (Е, Е).
Если [a, b]$t-+G(t) d3? (Е)—сильно непрерывное
равностепенно непрерывное семейство и функция
[a, b]$t-+x(t)dE непрерывна, то функция [a, b]^t->-
->G(t)x(t) непрерывна.
Доказательство. Пусть tod [а, &]. Тогда
133
G(t)x(t) - G(t0)x{t0)=G(t)[x(t)-x(t0)] + [G(t)^
— G (tQ)]x(to). Отсюда для любого 8>0 и любой
pESpecE найдется 6>0 такое, что при р—6)|.<б
₽	8
q(x(t)-x(t0))^	p([G(O-G(MWo))sS-2--
И поэтому p(G(t)x(t) — G(t0)x(t0)) <1е.
Теорема 8. Пусть [a, b]$t->-G (/)(<£’ (Е) —сильно
непрерывное равностепенно непрерывное семейство.
Если x(06L‘p(Q, р, Е), то G(t)x(t)QDp (Й, ц, Е).
Доказательство. Пусть xn(t)—последо-
вательность непрерывных функций и xn(t)-^-x(t)
p-почти везде. Тогда, по лемме 2, функции G(t)xn(t)
непрерывны и p(G(t)xn(t)—G(t)x(t))^Cq(xn(t)—
—х(/))->0 ц-почти везде. Таким образом, функция
G(t)x(t) топологически р-измерима. Кроме того,
[p(O(/)x(./))]P;g:Cp[<7(x(/))p6Li(a, b). Все ос-
тальное следует из теоремы Лебега.
Сейчас ( в случае одной переменной) построим в
явном виде тот единственный гомоморфизм, суще-
ствование которого устанавливается теоремой 1
§ 5 гл. 6. Справедлива следующая
Теорема 9. Пусть Е — коммутативная полная
м. в. б. а., аб£. Тогда для каждого fGt?(sp а) имеем
.ea(f)=f(a) = -L- J /(Х)(%1-а)-Ш
2Ш Л
(Га—контур, охватывающий спектр sp а). Интегри-
рование ведется со значением в борнологическом
пространстве Е по мере Лебега dh.
Доказательство. Пусть U — открытое мно-
жество, содержащее sp а. Выберем контур Га, охва-
тывающий sp а и содержащийся в [7, и пусть /б
6C?(t7). Если Е — lim ind Ek (при обозначениях
AGj(a)
теоремы 1 § 5 гл. 6), то, по упомянутой теореме,
найдется такое, что 0a(f)=0^(f). Но, со-
гласно лемме 1.4.7. из [6]:
villi' >
rfe
134
(Г* — контур, охватывающий sp^a). Интегрирова-
ние ведется со значением в банаховой алгебре. £\,
т. е. со значением в м.в.б.а. Е (см. § 1).
Обратно, если взять выражение
~~ J f(K)R(k,a)dK,
то Га окружает некоторый sp& а, ибо sp а= f| sp^ а.
k£I(a)
И тогда
-A-J/(%)/?(%, а)а=
а
= -^~Г J ПМШ a)dk=e*(f)
г*
х а
(см. [6, лемма 1.4.7]). По теореме 1 § 5 гл. 6, будем
иметь
0o(f)=f(a) = _L_ J f(k)R(K, a)dk.
Тем самым теорема доказана.
§ 2. Регулярные операторы и их свойства
Здесь будет рассмотрен класс непрерывных опе-
раторов в произвольном локально выпуклом про-
странстве, называемый регулярными операторами,
установлены простейшие их свойства. Наиболее
важными фактами являются оценка операторной
экспоненты (предложение 7), а также предложение
9, показывающее, что при подходящей «перенор-
мировке» топологии исходного пространства регу-
лярные операторы допускают чрезвычайно простое
описание. Здесь будем следовать работе автора
[13].
135
1.	Регулярные операторы
Пусть Е — квазиполное л.в.п., тогда, как уже от-
мечалось (см. гл. 6 § 2 пример 3), множество LecE
непрерывных эндоморфизмов Е с борнологией рав-
ностепенной непрерывности является полной вы-
пуклой борнологической алгеброй.
Определение 1. Оператор A6LecE будем назы-
вать регулярным, если он является регулярным эле-
ментом выпуклой борнологической алгебры Lee Е
(см. определение 5 § 3 гл. 6).
Предложение 1. Оператор A6LecE является ре-
гулярным тогда и только тогда, когда существует
М>0 такое, что для каждой полунормы рб SpecF
найдется такая полунорма дб SpecE, что
p(Anx)^Mnq(x) для всех хбЕ и п=1,2, ... . (1)
Доказательство. Следует из борнологии
алгебры Lee Е и теоремы 2 § 3 гл. 6.
Определение 2. Пусть A6LecE— регулярный
оператор. Регулярным спектром spA оператора А
называют множество всех %6С таких, что оператор
V—А не имеет обратного в множестве регулярных
операторов.
Если A6LecE— регулярный оператор, то его
бикоммутант {А}" образует коммутативную борно-
логическую алгебру с единицей. Причем оператор
А регулярен в алгебре {А}". Взяв регулярную часть
(см. предложение 3 § 3 гл. 6) алгебры {А}" и обо-
значив ее LecAE, будем иметь коммутативную
м. в. б. а.
Предложение 2. Если Е — квазиполное л. в. п. и
А — регулярный оператор в Е, то LecA Е является
полной м. в. б. а.
Доказательство. При условии предложе-
ния Lee Е — полная выпуклая борнологическая ал-
гебра. Покажем, что коммутативная алгебра {А}"
замкнута в смысле Макки в LecE. Действительно,
пусть Хп£{А}", Хпб Lee Е и Хп-+Х в смысле Макки.
Если Y — произвольный элемент из {А}', то XnY~+
~>ХУ и YXn-^YX в смысле Макки. Поскольку
XnY=YXn, то, ввиду отделимости LecE (см. пред-
ложение 2 § 2 гл. 3), будем иметь ХУ=УХ, т. е.
136
Хб{Л}". Согласно предложению 3 а) § 7 гл. 4,
Lee Е — регулярное б. в. в. п. и поэтому Lee Е соб-
ственно (см. предложение 2 § 8 гл. 4). Следова-
тельно, {Л}"—борнологически замкнутое собст-
венное подпространство полного пространства
LecE. Отсюда следует, что борнология {4}" обра-
зована дисками, полными в смысле Макки, т. е.
{А}77—полная б. в. а. Доказательство завершается
применением предложения 3 § 3 гл. 6.
Обозначим через spLecAs4 спектр элемента А
борнологической алгебры LecA Е. Совершенно по-
нятно, что sp Лс= spLecAjM, так как каждый эле-
мент из LecAE является регулярным оператором.
Обратно, если %6spLecAr^, то V—А не имеет
обратного в LecAE. Отсюда немедленно следует,
что V—А не имеет обратного во множестве^ регу-
лярных элементов, ибо в противном случае, если
(X/—Д)”1 регулярен, то (V—Д)-1б LecA Е. Таким
образом, sp А = spbecAr А.
Применяя к алгебре LecAE общую теорию, изло-
женную в гл. 6, будем иметь, что регулярный спектр
регулярного оператора А — непустое компактное
множество и спектральный радиус
г(Л) = inf {Л4>0 : р(Апх) ^Mnq(x)},	(2)
или *
г(Д)= inf Hmvrp(Anx)	(3)
pgSpec Е
xqE
(см. § 4 гл. 6).
Далее, если А), то, как было показано в
предыдущем параграфе, строится голоморфное
исчисление по формуле
f{A)==~^r f	(4)
ГА
где Га— контур, охватывающий спектр sp А, ин-
тегрирование ведется в полном борнологическом
пространстве LecE. Полученный оператор f(A)
137
является регулярным и, согласно теореме Данфор-
да (см. теорему 3 § 5 гл. 6), справедливо равенство
sp (/(Л))=/(зр Л).	(5)
2.	Транспозиция
Рассмотрим некоторые простейшие свойства ре-
гулярных операторов. Прежде всего нас будет
интересовать вопрос: когда оператор, сопряженный
к регулярному оператору, будет регулярным?
Итак, пусть Е — л. в. п., Е$ — пространство,
сильно сопряженное к Е, и 3?(Е) —алгебра непре-
рывных эндоморфизмов в Е. Пусть Н<^3?(Е) — рав-
ностепенно непрерывное множество. Обозначим
Я'=	: и^Н}. Известно (см. например,
[23, с. 250]), что если Е квазибочечно, то равносте-
пенная непрерывность Н эквивалентна равносте-
пенной непрерывности Н'. Напомним, что л. в. п. Е
называется квазибочечным, если каждая бочка, по-
глощающая все ограниченные множества, является
окрестностью нуля. Это эквивалентно тому, что
семейство всех равностепенно непрерывных мно-
жеств сопряженного пространства совпадает с се-
мейством всех сильно ограниченных множеств.
Итак, если Е квазиполно и квазибочечно, а зна-
чит, и бочечно (см. [23, с. 181]), то Е'$ квазиполно.
Следовательно, Lee Е$ — полная выпуклая борно-
логическая алгебра и ограниченные множества
этой алгебры в точности совпадают с образами ог-
раниченных множеств из Lec£ при отображении
Lee £^u->u'GLec £р. Таким образом, получено
Предложение 3. Если Е — квазиполное бочечное
л. в. п. (например, рефлексивное пространство или
пространство Фреше), то регулярные элементы пол-
ной борнологической алгебры Lee Е$ в точности
совпадают с операторами, сопряженными к регу-
лярным элементам алгебры Lee £.
138
3.	Регулярные операторы в пространствах линейных
непрерывных операторов
Если Е — л.в.п. и 3?$(Е)—пространство непре-
рывных эндоморфизмов в Е с топологией равно-
мерной сходимости на всех ограниченных подмно-
жествах из Е, то наряду с оператором А :
часто приходится изучать операторы s£g : 3?$(Е)Ъ
ЭХ-^А о XG2M£) и : S^E^X^Xo AGS’p(E).
В случае, когда Е — банахово пространство, а А —
ограниченный оператор, 3?$(Е)—банахово про-
странство и операторы	ограничены. Для ре-
гулярных операторов в локально выпуклых про-
странствах справедливо аналогичное утверждение.
Предложение 4. Если Е квазиполно и бочечно и
А : £->£ — регулярный оператор, то операторы s£g,
^4-d : 3?р(£) регулярны и, кроме того,
sp sp A, sp ^Zdcz sp А.
Доказательство. Если Е квазиполно и бо-
чечно, то, согласно теореме Банаха — Штейнгауза
и теореме Ш.4.4 из [23], пространство З’р(Д)
квазиполно, а поэтому Lec27p(£)—полная в.б.а.
По определению топологии в £р(£), имеем
Spec 3?$(Е} = {р& (X) — sup р(Хх) : рб Spec Е,
хе<у
0 ограничено в Е}.
Пусть М>г(А), тогда для любой p6Spec£ най-
дется qf< Spec Е такое, что
р^ (^Z"X) = sup р(Ап о Хх) С5
х<-0
^Мп sup q (Хх) =МП • q0 (X).
х&о	"
Отсюда видно, что оператор s£g регулярен,
r(^g)^Mz и, следовательно, r(^g)^r(A).
Докажем теперь регулярность оператора s&d.
Пусть М>г(А)—произвольное число. Тогда се-
мейство {Ап/Мп : п=0, 1, ...} равностепенно не-
UAn(0)
——------
ДДп
п=1
139
ограничено в Е для любого ограниченного мно-
жества О<^Е (см. [23, с. 107]). Таким образом,
/	' I v Ап \
Р	— SUP Р ( % ° “77---* I
г С \ Д/[п	г \ Ш /
С supp(Xp)=p<7(X)
для всех n=0, 1, ..., т. е. ^d регулярен и r(^d)
^г(Л).
Сейчас докажем требуемые включения. Пусть
sp А, тогда, согласно теореме 1 § 4 гл. 6, су-
ществует е>0 такое, что семейство ((V—
—А)-1)хбВ(л0,е) равностепенно непрерывно, т. е. для
любой pGSpecf найдется (/GSpecf такая, что
р[(М—А)~‘х] ^<?(х) для всех хбЕ и ||%—%о|<е.
(6)
Из этого неравенства получаем для любого огра-
ниченного в Е множества С?
ро [(V-^g)-1X]= sup p[(V-A)-‘ о Хх] <
С sup<7(Xx)=^ (X)
х60
(7)
для всех |А—Хо|<е. Это означает, согласно теоре-
ме 1 § 4 гл. 6, что sp s/-g. Таким образом, пока-
зано, ЧТО Sp sp А.
Теперь пусть sp А. Тогда имеем
р [(V-^d)"‘X] = sup р[Хо (V—А)-1х] <
sup р(Хх) —р0 W для всех |Л,—Х0|<е, (8)
где (31= (J	(V—А)~1((3) ограничено в Е для
А>6_В(Хо, 8)
любого ограниченного в Е множества С?. Из послед-
него неравенства и теоремы 1 § 4 гл. 6 имеем
140
sp si-d- Следовательно, sp sp А и предложе-
ние доказано.
Предложение 4 в сочетании с операторным ис-
числением позволяет получить формулу Крейна
[8] для разрешимости уравнений вида А о X-j-
-J-X о В = Y в случае локально выпуклых пространств
почти без всяких изменений в доказательствах.
Пусть Е — квазиполное бочечное пространство.
Рассмотрим уравнение
£ cjhA^XoB^ = Y .	(9)
j, fe=0
в пространстве ^₽(Е), где — комплексные чис-
ла; Х(&р(Е)—искомый элемент; УбЗ’р(Е) — за-
данный элемент; А, В — заданные регулярные опе-
раторы в Е.
Рассмотрим теперь операторы &g, tffid- Очевидно, .
что они коммутируют. С помощью многочлена
п
Р(Л, ц,)= 2j	запишем, оператор
j, А=0
pA.B=P(&g, g§d)= Z	(Ю)
. -j, fe=0 ,.	.
Тогда уравнение (9) примет вид'	. >
Pa,bX=Y.	(11)
Выясним условия существования оператора
Р"1 в. Ввиду предложения 4, операторы s£g и fSd
регулярны в S’ft(E) и sp(j/g)cspA, sp ($&d)cz
sp В. Поэтому по формуле (4) имеем
1	<•
<2^^= ———г-	(А/—
ГА
=	' ^(ХУ-А)-Ш.
ГА
Аналогично и для оператора Тогда оператор
(10) примет вид
141
Ра,в =---f f Р(1, р)(1/-^)"1Х
4л2 f’B
X (n/-^d)-‘dXdn.	(12)
Сходимость в этих интегралах понимается в смысле
борнологии равностепенной непрерывности, и они
сходятся ввиду теории операторного исчисления для
регулярных элементов в полных борнологических
выпуклых алгебрах. Отметим, что из этой сходимо-
сти следует существование интегралов в топологии
точечной и ограниченной сходимостей.
Если XczC — произвольный компакт, то через
(7(Х) обозначим алгебру ростков функций, голо-
морфных в окрестности X (см. определение 3 § 5
гл. 6). Для каждой q>(X, p) 66?(sp A><sp В) -опреде-
лим оператор
фА, B=q>№g, %d) =
= —_1_ J J <p(x, g)(v—(13)
4л2 гл гв
Нетрудно видеть, что, ввиду голоморфного исчисле-
ния, формулой (13) устанавливается гомоморфизм
между алгебрами б?(spdXsp В) и LecS’p(E), а
именно
С?( sp Лх sp В)9ф(Х, ц.)-нрА, вб LecS’p(E). (14)
Справедливо
Предложение 5. Пусть Е — квазиполное бочеч-
ное пространство, Л и В — регулярные операторы
в Е и пусть <р(Х, р.) 6(7(sp Л х sp В) не обращается
в нуль при (%, р)ё spA X .spB. Тогда у оператора
Фа, в имеется обратный оператор фА, в, где ф(Х, р) =
= 1/ф(А,, р).
Доказательство. При выполнении условий
предложения ф(Х, p’)6t7(sp AXsp В), и поэтому
результат следует из того, что отображение (14)-
есть гомоморфизм алгебр.
Применяя предложение 5 к уравнению (9), будем
иметь
142
Предложение 6. Если выполняется условие
р)= S	(X, р.) G sp Д X sp В,
j, k=0
то уравнение (9) при каждом YGS’p(E) имеет един-
ственное решение XG2’₽(E), которое представим в
виде
1 Г Г (U-A)-‘o уо (и/-В)-1
4л2 J J Р(М0
А В

4.	Операторная экспонента
В теории дифференциальных уравнений важную
роль играет операторная экспонента где А —
регулярный оператор в Е. Эту функцию можно оп-
ределить, как мы уже отмечали, формулой
е*л= J ем(м-Д)-Ш, (15)
2311 р
А
или задать выражением
eiA= ^tkAk/k\	(16)
k=a
В этих формулах рассматривается сходимость в
смысле борнологии пространства LecE. Функция
etA образует однопараметрическую группу. Из ра-
венства (16) и оценки . (1) получаем, что для любой
pGSpecE существует <?GSpecE такая, что при всех
xGE имеем
p(etAx) С 2 Р (-пгт*- ) С
й=0 х «I 7
2°0 tkMh
—^—q(x)=etMq(x), f>0.	(17)
Это неравенство дает оценку роста экспоненты.
143
Сейчас установим более тонкую оценку, учиты-
вающую .расположение спектра оператора А.
Предложение 7. Для того чтобы при заданном р
для любой pGSpecfi существовала gGSpecfi такая,
что справедлива оценка
p(etAx) ^еР*<7(х) для всех t^O и хб£ (18)
необходимо, чтобы ReXcp при XGspA, и достаточ-
но, чтобы ReX<p при XGsp А.
Доказательство. Пусть неравенство (18)
выполняется. Тогда для любого натурально-
го п имеем p((etA)nx) =p(etnAx) ^.e?tnq(x) —
= (epf)nq(x). Это означает, что r(etA')^Le<3t.
Согласно теореме Данфорда о спектре, имеем
sp (etA) = {p,GC : ц=еи, XGspA}.
С другой стороны, sp (etA) лежит в круге | ц |
^.r(etA), т. е. |ц| = |eXt| =eReX,t^r(etA) От-
сюда Re Х^р.
Обратно, так как
etAX=-J—j e}tR^,A)xdk,
где ^контур Га может быть выбран лежащим цели-
ком в полуплоскости ReX<p, то при любой
pGSpecE имеем неравенство
^А
ГА
^ept_J_maxp(R(X, А)х)
ЛбГЛ
(/ — длина контура Га). ;
Так как А регулярен, то R(X, А) регулярен при
Msp А. Следовательно, p(R(X, А)х)<<?'(х), где q'—
некоторая полунорма из Spec Е. Значит,
144
p (etAx) e₽t -77— q' (х) = e^q (х), q(i Spec E,
Zjt
Таким образом, теорема доказана.
Следствие. Для того чтобы при заданном ве-
щественном р для любой pGSpecf существовала
^GSpecE такая, что справедлива оценка
р(е*Ах)^.е~^(х) при f<0,	(19)
необходимо, чтобы ReA>—р при XGsp А, и доста-
точно, чтобы ReX>—р при Лбвр А.
Доказательство. Обозначив т = —t, полу-
чим, что (19) эквивалентно неравенству
р(ег(-Л)х) ^е₽т^(х), т>0.	(20)
Но формула (20)—это неравенство (18) для опе-
ратора —А. Согласно предложению 5, для выпол-
нения (15) необходимо, чтобы ReX^p при XG
6 sp (—А)=—sp4, т. е. ReA,:>—р при XGsp4, и
достаточно, чтобы ReX>—р при XGsp4.
Предложение 8. Если для любой pG Spec Е су-
ществует <?G Spec Е такая, что выполняется нера-
венство p(etAx)^.q(x) для всех х^Е и всех ZGR, то
спектр оператора А лежит на мнимой оси.
Доказательство. Немедленно вытекает из
предложения 7 и его следствия.
5.	Интегралы Риоса
Пусть А—регулярный оператор в Е и sp А —
несвязное множество в С. Замкнутая часть спект-
ра, имеющая в нем замкнутое дополнение, называ-
ется спектральным множеством. Предположим, что
sp А= (J spfe А,	(21)
Л=1
где spft4 (Л=1, 2,...) — непересекающиеся спект-
ральные множества. В. дальнейшем будем считать,
что контур Га состоит из непересекающихся частей
(й=1, 2, ...), каждая из которых окружает об-
ласть Gh, содержащую спектральное множество
10. Зак. 927
145
spM- Определим ростки функций <pfe(X)6C?(sp Л),
полагая	:
f 1, X6Gft;
ю, и Gjt j=£k.
Ввиду голоморфного исчисления, имеют смысл
операторы
Pk=^r J	Л)а=-^- f Я(Х, A)d\.
2т р	2т /
A	fe
, m - (22)
Так как в области G= U G* выполнены соотноше-
fe=i
m
ния фИМфЯМ =блж(м>	то справед-
ь=1
ливы равенства
PkPi=0 P\=Pk, ZPft=l. (23)
fe=i
Из формулы (22) следует, что
РкА=АРк (А= 1, 2, ..., т),	(24)
где Рк — регулярный оператор. Таким образом,
выражения (23) показывают, что операторы Рк
(k = \, ..., т) являются проекторами, а равенство |
(24) —что подпространства Ек=РкЕ инвариантны
по отношению к А. Ясно, что оператор Ак есть су-
жение оператора А на Ек и является регулярным
оператором в Ек. Кроме того, 8рЛь=8р&Л. Дей-
ствительно,
Ак= j Хфй(Х)/?(Х, A)dK
А
но, ввиду теоремы Данфорда о спектре, sp Ак=
= (М>ь(М) ( sp Л) = эрлЛ.
В дальнейшем будем рассматривать оператор Л,
спектр которого не пересекается с мнимой осью.
В этом случае всегда будем обозначать sp+Л и
sp-Л — спектральные множества оператора, нахо-
дящиеся соответственно в правой и левой полу-
плоскостях. Записывается это так: 8рЛ = зр+Ли
146
jsp_А. Через P+, P- обозначаются спектральные
проекторы, соответствующие спектральным множе-
ствам sp+Л и sp_A
6.	Некоторые «перенормировки» пространства
в связи с регулярным оператором
Пусть £ — л. в. п., если Spec Е— множество всех
полунорм, определяющих топологию на £, или,
другими словами, множество всех непрерывных по-
лунорм на £, то подмножество BSpec £czSpec Е
называют базисом непрерывных полунорм на £,
если для любой p6Spec£ найдутся ^6BSpec£ и
С>0 такие, что p^Cq.
Пусть А : £->£ — такой линейный оператор, что
существует константа Л4>0 такая, что для любой
полунормы p6BSpec£ справедливо неравенство
р(Ах)^Мр(х), %6£.	(25)
Нетрудно видеть, что такой оператор регулярен.
Справедливо в некотором -смысле и обратное
утверждение.
Предложение 9. Каждому регулярному операто-
ру А : Е-+Е соответствует базис BASpec £ непре-
рывных полунорм на £ такой, что рлС^х) <МрА(х)
для любой полунормы рлбВлЗрес £.
Доказательство. Пусть А—регулярный
элемент в Lee £ и справедливо неравенство
p(Anx)^Mnq(x), хб£, п=1, 2, ..., р, qQSpecE.
(26)
Для каждого рб Spec £ положим
р (Лпх)	_
'Pa(x)=sup-----.	(27)
п>0
Ввиду (26), справедлива оценка рл(х)^д(х), и
значит, что рл — непрерывная полунорма на Е.
. р(Апх)
Кроме того, неравенство p(x)^sup-------------=
п>0
=Ра(х) показывает, что множество {pA}p6spec£
10*
147
образует базис непрерывных полунорм на Е. Это
и есть искомый базис В a Spec Е, так как
su₽	=МРл (х).

Предложение доказано.
Пусть А — регулярный оператор в Е. Предполо-
жим, что эрД лежит внутри левой полуплоскости.
Тогда при любом v>0 таком, что ReX<—v при
всех %Gsp А, в силу предложения 7, для каждой по-
лунормы pGSpecE найдется полунорма <?GSpecE
такая, что
p(etAx) ^2e~vtq(x) при всех t^O и xGE. (28)
Оценка (28) позволяет для каждого опреде-
лить функцию рА, г ’• E->-R+ по формуле
Ра,г(х) = ( J pr(etAx)dt^/ .	(29)
Нетрудно видеть, что рл, г— полунорма на Е.
Предложение 10. Полунормы рд,г образуют ба-
зис непрерывных полунорм, когда р пробегает
Spec Е.
Доказательство. В силу (28) для каждой
полунормы pGSpec Е существует </GSpec Е такая,
что
Ра ,r (*) < Я (х) {f e~vrtd/}1 !r=	q (x).
Это доказывает непрерывность полунормы Рл,т-
Далее, для любой полунормы pGSpecE справед-
ливо неравенство p(x)=p(e~tA ° etAx)^eMtq(etAx)
с некоторой полунормой qf< Spec Е, существование
которой обеспечено природой оператора А. Из по-
следнего неравенства получаем
148
p (x) = p (x) '/Mr {f e~rMtdt] 1 =
b
= Vх Mr | J [e-Affp (x)]r di]
0
Mr x {j q (etAx) dt\ ' = ^ЛГ?л,г (*)»
что завершает доказательство предложения.
Предположим теперь, что регулярный оператор
А имеет спектр, не пересекающийся с мнимой осью
и разделяющийся этой осью на две части: эрЛ =
= sp-p4(Jsp-A Пусть jE-h Е-—инвариантные под-
пространства оператора Л, Р+ и —соответствую-
щие спектральные проекторы. В каждом из этих
подпространств по формуле (29) (с заменой в
оператора А на —Л) определим полунормы
со
и)1/г
pr(etAx)dt J , xQE-
О
и
со
Г f	р/г
р_А+,г(х)= j pr(e~tAx)dt | , х£Е+.
о
TV__007.
Введем в Е полунорму по формуле рл,г(х) —
=Ра_,г(х)+р-а+,т(х).
Аналогично проверяется, что (ра, г) ре spec е обра-
зует базис непрерывных полунорм в Е.
I
§ 3. Примеры регулярных операторов
В данном параграфе приведем различные приме-
ры регулярных операторов, которые показывают
достаточно широкие возможности теории, разви-
ваемой в последующих параграфах. Изложение
следует работам автора [12], [15], [18].
149
1.	Элементарные примеры
1)	Пусть Е — банахово пространство, 3?$(Е)—
пространство всех линейных непрерывных отобра-
жений в Е с нормированной топологией. Тогда
каждый элемент Tf<S?fi(E) регулярен.
2)	Пусть Е — банахово пространство, 9?s(E)—
пространство всех линейных непрерывных отобра-
жений в Е с топологией точечной сходимости, т. е. с
топологией, определяемой семейством полунорм
рх(Т) =||7х||, ТМ(Е).
Операторы Tgf<3? (S?s(E)) являются регулярными.
3)	Если Е — локально выпуклое пространство,
то каждый борнантный оператор, а следовательно,
компактный и.ядерный операторы являются регу-
лярными (см. пример 3 § 3 гл. 6).
4)	Если Е — локально выпуклое пространство и
А : Е-+-Е — линейный оператор такой, что р(Ах)^
^ZMp(x) для любых pGSpecE и xGE, то А является
регулярным оператором в Е.
2.	Регулярные операторы
в пространствах последовательностей
Приведем достаточные условия для того, чтобы
матрицы определяли регулярные операторы в про-
странстве всех последовательностей и в простран-
стве последовательностей Кёте.
В* дальнейшем нам будет удобно пользоваться
следующими обозначениями:
^ос(С) = П^ = С для любого
fe=i
/2 (С) = ф Ek, Ek=C для любого
fe=i
т. е. /Joc (С)—пространство всех последовательно-
стей с топологией точечной сходимости, определяе-
мой системой полунорм
11<„=2Ы!,
fc=l
150
a /2 (С) — пространство финитных последователь-
ностей с топологией строгого индуктивного предела
расширяющейся последовательности конечномер-
ных гильбертовых пространств.
Нетрудно видеть, что ^ос(С)—пространство
Фреше, a I2 (С) — неметризуемое пространство ти-
па Из теоремы IV.4.3. и ее следствия 1 ра-
боты [23] немедленно вытекает, что пространства
/2qc (С) и /2 (С) рефлексивны и сопряжены друг к
ДРУГУ-
Пусть A=(ciij) —заданная бесконечная матрица
с комплексными элементами. Будем предполагать,
что строки матрицы А принадлежат пространству
/2 (С). Тогда обозначим
i=l 3=1
Определение 1. Длиной строки i матрицы А бу-
дем называть и обозначать пА (!) наибольшее чис-
ло, при котором fli,nA(i)¥=0 и ац=0 при j>nA(i).
Таким образом, здесь мы рассматриваем матри-
цы с конечными длинами строк.
Определение 2. Обозначим через Л9 а (п) =
= max пА (k), т. е. Л°а (п) — максимальная длина
l^A^n
п первых строк матрицы А.
Предложение!. Оператор А : l2Qc(C)-^l2oc(C),
задаваемый матрицей с конечными длинами строк,
определен и непрерывен.
Доказательство. Непосредственно выте-
кает из неравенства
п ~ I £ UkiUij2^
k=l i=l
п оо
<Е(£1М2)( Z |«г|2)^
fe=l 1=1	г=1
Л°А(п)
=SMIItc.n 2 W2=ll<c „ !!<	,.
i=l	А
151
Матрицей Гильберта — Шмидта называют мат-
рицу А= (ац) такую, что
МН|= Е |а«|2<+оо.
г, j=l
Если A—(aij) является матрицей Гильберта —
Шмидта, то справедливо очевидное неравенство
1И111ОС,п<||Л||2 для всех и.	(1)
Теорема 1. Оператор, задаваемый нижнетреуголь-
ной матрицей Гильберта — Шмидта, регулярен в
пространстве Фреше 1*qg(C).
Доказательство. Для любого номера и и
любого элемента u6/2qc(C) при доказательстве
предложения 1 получено неравенство
l|Au||ioc,n^||A||loc,n • М1ос ^(n).	(2)
Поскольку матрица А — нйжнетреугольная, то
Л9л(и)^п. Ввиду предположений теоремы и нера-
венств (1) и (2), имеем
Mullioc, ||А ||г • ||^||1ос,п	(3)
для любого и. Ввиду примера 4) из п. 1, оператор
А ZL(C)^o0(C) регулярен.
Теорема 2. Оператор, задаваемый матрицей, со-
ставленной из нулевых столбцов, начиная с неко-
торого, регулярен в пространстве Фреше ^ос(С).
Доказательство. Предположим, что опе-
ратор определяется матрицей А. Пусть, начиная с
номера По, все столбцы матрицы А нулевые. Тогда
Л?л(п)^по для любого и. Поэтому неравенство (2)
будет иметь вид
II AuIIЮс,	IIА ||1ос, п • II U ||1ос, п0
для любого n6N. Следовательно, ввиду примера 3
из п. 1, оператор А : ^ос (С)-И*ос (С) регулярен.
Поскольку Zioc(C) квазиполно и бочечно, то, со-
гласно предложению 3 § 2 и теоремам 1 и 2, Спра-
ведливы следующие предложения.
152
Теорема 3. Оператор, задаваемый верхнетре-
угольной матрицей Гильберта — Шмидта, является
регулярным в пространстве /о (С).
Теорема 4. Оператор, задаваемый матрицей, со-
ставленной из нулевых строк, начиная с некоторого,
регулярен в пространстве (С).
Теперь перейдем к изучению регулярных опера-
торов в «эшелонированных» пространствах Кёте.
Напомним кратко их конструкцию.
Пусть b т—	• • •,	• • •) — заданная после-
довательность положительных чисел (вес). Опре-
делим пространство 1?Ът (С) как пространство всех
комплексных последовательностей u=(ui, ...
00
Un, ...) таких, ЧТО ряды 2Z^mn|«n|2 сходятся
71=1
для каждого т. Пространство /2т(С) наделяется
топологией, определяемой полунормами
11«Н^= f bmh\uh\\
' k—l
Очевидно, что если Ьт=(Д, -	1, ...) для всех т,
то /2^(С)=/2(С). Если же Ьтп=тп, то ?Ьт(С).
изоморфно пространству голоморфных функций на
плоскости.
Теорема 5. Если оператор определяется матри-
цей А = (a,j) такой, что
оо
с некоторой константой С>0 для всех mfjN, то он
регулярен в пространстве /2т(С). В частности,
диагональный оператор Гильберта — Шмидта ре-
гулярен в пространстве /2т(С).
Доказательство. При выполнении усло-
вий теоремы справедливо неравенство
СО	ОО	2	00	130 d
ft=l i=l	fe=l	Umi
153
X V bmt Wj|2<2	=
£=1 umi i=z[
00 b
= (2 i^i2) n< =	h- < эд2*»-
k,i=l
Отсюда следует, ввиду примера 4) из п. 1, что one-
ратор А : 'РЬт(С)^12Ьт(С) регулярен.
3.	Регулярные операторы, ассоциированные
с неограниченными операторами
в банаховых пространствах
Пусть Е—банахово пространство, А:ЕзэР(А)->
->£ — некоторый линейный замкнутый неограни-
ченный оператор . с областью определения D(A).
Будем предполагать, что
D(A°°)= П D(A»)#={0}.	(4)
п=1
Отметим, что если А — инфинитезимальный произ-
водящий оператор сильно непрерывной полугруп-
пы, то D(A°°) =Е.
Легко видеть, что пространство D(A°°) с тополо-
гией, определяемой полунормами
Рп(и)=^\\Аки\\	(5)
h=0
является пространством типа (^). В дальнейшем
на £>(А°°) всегда будем иметь в виду эту топо-
логию.
Определение 3. Обозначим 3@а(Е) — векторное
пространство:
ос
5^а(£) = { м€О(А°°) : 2 _^_||АМе<+оо,
71=0
V	.
154
Топологию в 3^а(Е) определим полунормами
оо
2тп
—Г- II(6)
п=0 Л1
Векторное пространство 3@а(Е) с топологией, оп-
ределяемой полунормами (6), будем называть про-
странством Л-голоморфных элементов из Е.
Из замкнутости оператора А немедленно вытека-
ет следующее
Предложение 2. Векторное пространство Э@а(Е)
является пространством типа (^").
Лемма 1. Если |£|< 1, то
СО
2. k\
n=0	'	'
Доказательство. Так как (л-|-й) ... («+
+ 1)/* =(/”+*) <4 то
оо	оо
2 (л+й) ...(«+!)/«=. 2 (/”+*)<*>=
п=0	п=0
/ V Vft> / th Vft> . k\
= (2 ^n+,‘) = (	>
n=0	4	' .
что доказывает лемму.
Предложение 3. Оператор А в пространствах
Фреше D(A°°) и 3@А(Е) непрерывен.
Доказательство. Непрерывность оператора
А в пространстве D(A°°) вытекает из неравенства
рп(Аи) = 22 IHft+MI <Pn+i(«),
л=о
а в пространстве 2^а(Е) —из неравенства
. Рт{Аи)^ у	у
155
х ||дп+1«ц£=— 2 (я +1) [—V
—0	\ mi J
т"+1
(п+1)!
„1	“	/ т	т*
х IIА +	и\\Е = -У	п	— )	-у-
mi	^=i	\ mi /	п!
X ||Ап«||£< —
tni
mi
(mi — т)2
lpmt (U) — ||И||£] <
<——т*	pmt(и), для mi>m.
(пц — т)г
Определение 4. Будем говорить, что элемент
uGZ>(A°°) является элементом А-экспоненциального
типа т, если
lim + ||Алы||£ = т.
'(7)
Множество элементов А-экспоненциального типа,
меньшего или равного т, обозначим ё^хрдх.
Справедливо следующее
Предложение 4. Для любого т>0 справедливо
включение
^хрАхаЗвд (£).
Доказательство. Если и(&хрАг, . то
___п_______ к_________________________
lim]/ ||Anu||jE=Ti^T, т. е. inf sup У ||Afe«||E=Ti. Это
п->оо	п к^п
означает, что для каждого е>0 найдется нату-
ральное «о такое, что для всех k^no будем иметь
1|А*ы|1е< (Ti+e)ft. Поэтому
оо
Рт(и)= 2 уу-||Апы||Е<
п=0
156
По
2тп
—— ||Лпм||Е+е’п(х+<!)<+оо Для любого т.
-	fl I
k=0
Предложение 5. Множество <SхрАг является век-
' торным пространством.
Доказательство. Очевидно, что множество
£т>е(А) = {м6О(Л~) : ||A*u||e< (т+б)*-С8(М)
!	-	для всех k}
является векторным пространством для любого
е>0. Здесь С8(м)—положительная константа, за-
висящая от и и б. Докажем, что
^>хрАх== Л
I	е>0
Пусть иб Г1 еИ). Значит, ||Aftu||E^ (т+
z	е>0
+e)ftCe(M) для всех k и любого е>0. Следователь-
t но, У	(т+e) V С8(ы). Откуда lim У ||Лйм||
fe->00-
____А______
^т-f-e для любого е>0. Поэтому limy||Лйм||^т,
&->оо
т. е. ufi&xpAx.
Обратно, пусть и(&хрАх. Следовательно, для
любого б>0 существует по(и, в) такое, что ||Лйы||
, ^(xi+e)ft для всех	Другими слова-
ми, ||Лйи||^ (Ti+e)ftCe(M) для всех k, где
/ \ J и и 1И«11е
СЕ(и) = max { | w Ie,---:—,
I Т14-6
Г	||Л»«->«||е
(Ti+e)n<|_1 i
Это означает, что и^Ех, е(А) для всех б>0, т. е.
«6 Л Ех,е(А).
е>0
Определение 5. Пусть <!Г — л.в.п., А :	— ли-
* нейный непрерывный оператор. Обозначим
157
равностепенно
непрерывно
^Т(Д)= П ^м(А).
М>Т
Предложение 6. Множество &х(А) является ло-
кально выпуклым пространством, на котором опе-
ратор А : &х(А)-г&х(А) является регулярным опе-
ратором со спектральным радиусом г(Л)=т.
Доказательство. По определению, &м(А) —
векторное подпространство в <£, на котором опе-
ратор А : &’м(А)-+&м(А) регулярен. Нетрудно
видеть, что ^м(А), а значит, и ^х(А) замкнуто в <5.
Таким образом, &х(А) —локально выпуклое про-
странство, на котором оператор А регулярен и его
спектральный радиус г(4)=т, ибо на &х(А) се-
f Ап 1
меиство <	} равностепенно непре-
’• (T-f-e)n J
рывно при любом е>0.
Определение 6. Пусть <5 — локально выпуклое
пространство и А •. &-+<£ — линейный непрерыв-
ный оператор.Обозначим
О	____ k______
&хрА(г, $’)={мб$’ : lim V p(Aku)
fe->oo
для всех рб Spec<F}.
Замечание. Так же, как и в предложении 5, доказыва-
ется, что &хрД (т, — векторное подпространство в Однако
юно не замкнуто в Поэтому наибольшее подпространство в
& хрЛ (т, замкнутое в обозначим &хрд (т, &).
Определение 7. Локально выпуклое пространство
называют ультрабочечным, е^ли всякое замкнутое
-его подпространство бочечно.
Пространство Фреше ультрабочечно..
Предложение 7. Если & —ультрабочечное про-
странство и А :	— непрерывный линейный
оператор, то <В\(А) =&хрА(х, А). Другими слова-
158
Дп
-I-рЛп U
Тогда семейство
ми, А : #хРа(т, Л)->^хра(т, Л) регулярен со спек-
тральным радиусом г(А)=х.
Доказательство. Включение <§Гт(А)с:
а^хрА(х, А) доказывается аналогично первой
части предложения 6. Действительно, пусть мб
равно-
п>1
степенно непрерывно по п для любого е, т. е. для
любой полунормы рб Spec <£ существует полунорма
рб Spec <8 такая, что
р (Апи) ^2 (т+е) nq (и) для всех п.
7U_____ П
Следовательно, ур(Апы) (т+е) У р(ы). Отсюда ,
____п;_____
limУ р(Апи) ^т+е для любого s>0, т. е. мб
П->0О
е^хрА(г, Л-
Пусть теперь и&8хрА(х, 8}. Следовательно, для
любого е>0 существует «о такое, что р(А"и)^
^(Ti+e)n для любой, полунормы рб Specif и всех
л^по (ti^t), т. е. последовательность {Апи/ (ti+
+е)п} ограничена при л^ло. Так как эта последо-
вательность ограничена всегда, то последователь-
ность {Апи/(ti+s)n}n>i ограничена на &хрА(х, <8).
Ввиду наших предположений и теоремы Банаха —
Штейнгауза, семейство {Ап/ (Ti+e)n}n>i равно-
степенно непрерывно на &хрА(х, &) для любого
«>0. Это означает, что &хрА (х, ^>)с^’г(А).
Следствие. Если Е — банахово пространство
и А : Е-+Е — замкнутый линейный оператор такой,
что <Жа(£)¥={()}, то в пространствах <&хрА(х,
£>(А°°)) и &хрА(х, 3@а(Е)) оператор регулярен и
имеет спектральный радиус х.
Каким более простым способом можно описать
пространства <8хрА(х, D(A°°)) и <8хрА(х, 2ёА(Е))?
- П___
Лемма 2. Если С>0, ап^0, то lim У Сап =
П-*оо
____п___
= limyan-
п->оо
Предложение 8. Пусть Е — банахово простран-
ство, А : Е^Е — замкнутый линейный оператор та-
кой, что Жа (Е) У= {0}. Тогда
159
&xpA(x, D(A°°))=ffxpA(x, ЗвА(Е))=&хрАх.
Доказательство. Обозначим через & про-
странства £>(Д“) либо 3€А(Е} и покажем, что
о	о
&хрА(х, <S}c:<SxpAx. Действительно, пусть «б,
________________________________п\________
6^хра(т, &}. Следовательно, lim У р(Апи) ^.х для
П-ХЮ
каждой полунормы p6Spec#. Так как не-
прерывно вложено, то ||ы||е^Ро(м) Для некоторой
полунормы роб Spec <S и всех ыб#. Поэтому
___п,_____
lim У ||Дпы||^т, т. е. u&SxpAx.
П-*<х>
о	о
Сейчас докажем, что &хрАх<=.&хрА(х, Э@А(Е)).
Пусть ыб^хрлт, тогда для любого е>0 найдется
«о такое, что ||Дпы||е^ (Ti+e)n для всех
(т^т). Так как
со
РтИМ = 2	М”+М,
А	***
п=0
то для любого 8>0 при всех k^no будем иметь
оо
2тП
—— (Ti+e)n+ft= (Ti-|-e)ftem(Ti+8).
A '	•
n=0
k----------------------
Следовательно, sup У e~m^'+^pm(Aku) <ti+8 для
А-^По
всех m. Отсюда
________________к________________
lim у e-m<T‘+8)pm(4ft«)
fe->oo
для всех m. Учитывая лемму 2, имеем
__________________________ _________________________ 	_ k_
lim У е-т^'+е)рт (Ahu) = lim У pm (Aku),
fe->oo___________________________________A.->oo
т. e. мб^хрА (т, Ж (E)).
О	о
Осталось доказать включение ^хрАхс^^хрА(хт
Пусть иа&хрлт:, следовательно, для лю-
160
бого е>0 существует п0 такое, что ||AMe<(ti+
4-е)h для всех «о (п^т). Так как
рт(ЛМ = ЕМЛ+Мя>
п=0
то при всех k^no будем иметь
рт(Айи)< 23 (Ti4-e)n+fe= (n+e)ft2] (ti+e)ns
71=0	n=0
s(Ti+e)ftpm(Ti+e).
Ясно, что Pm(Ti+e) >0. Следовательно,
k______________________________
sup V 'nTr'LLeV pm (Aku>> ^T1+8
k>nj Pm(Ti+e)
для всех m. Отсюда, учитывая лемму 2, имеем
lim У рт(Апи) г^т, т. е. м€^хРа(т, D(A°°)).
П->оо
Обозначим Вхр%А — наибольшее подпространст-
о
вов^хртЛ, замкнутое либо в Р(Л°°), либо в
З^а(Е), Хотя эти подпространства и различны по
запасу элементов и топологии, однако, ВхрТА —
пространство Фреше.
Учитывая предыдущие предложения, имеем сле-
дующую теорему.
Теорема 6. Пусть Е—банахово пространство,
А : £->£— замкнутый неограниченный оператор
такой, что (£) =И= {0} и %о6С — регулярное зна-
чение оператораЛ. Тогда оператор А : ВхрА(х,
^)-х!Гхрл(т, <F) регулярен со спектральным радиу-
сом т, если ВхрАх наделяется топологией из £(Л°°)
либо из <Жа(£) и, кроме того, Хо является регуляр-
ным значением этого регулярного оператора.
Доказательство. Если обозначим через В
пространства £(Л°°) либо 5^а(£), то оператор
Л : В-+В непрерывен (см. предложение 3). По-
скольку В — пространство Фреше, то В ультрабо-
чечно.	Согласно	предложению 7, оператор
о	о
Л : ВхрА(у, В)-+ВхрА(х, В) регулярен со спек-
тральным радиусом г(Л)=т. Применяя предло-
жение 8, получим, что оператор Л : ВхрАт-^ВхрАГ
11. Зак. 927
161
регулярен со спектральным радиусом т. Пусть
Хобр(А), где р(А) •—множество регулярных значе-
ний неограниченного оператора А : Е^-Е. Тогда
(л0/—А(Хо, А) : Е-+Е— ограниченный опе-
ратор. Поскольку для всех xQD(A) справедливо
равенство Ао/?(Л0, A)x=W?(Xo, А)х—x=R(ho,
А)Ах, то Afto7?n(Xo, А)х=/?п(Ло, А) о Акх для всех
х6Р(А°°) и всех k, n6N. Отсюда
pUWoM)x)= Е 1|А*Я«(Хо, А)*11 =
fe=0
= Е IIWo, А)А*х||<11Я(Ьо, А)||”Рт(х)
к=0
для любых хб/)(А°°)
и
оо
pm(Rn(h, А)х) = 2	А)х||^
й=0 Й
^||7?(Хо, А) ||прт (х) для любых ХЕЗ%>А(Е).
Эти два неравенства показывают, что оператор
R(Xo, А) :	регулярен. Следовательно, точка
ХобС является регулярной точкой регулярного опе-
ратора А : <£хрАх-+<8хрАх. Тем самым теорема до-
казана. .
Если в теореме 6 в качестве Е взять LP(R) и
А=&1<1х, то D(A°°) =0lp(R) с топологией сходи-
мости функций и всех их производных в норме
пространства £P(R). Пространство &хрАх есть 2ЯТР,
которое состоит из функций экспоненциального ти-
па, не превосходящего т, принадлежащих LP(R)
[24]. Но, согласно неравенству Бернштейна,
II(R) для любых M62RTp. Отсюда
следует, что замкнуто в ^>Lp(R) и, значит,
Таким образом, справедлива
следующая
Теорема 7. Единственное замкнутое подпростран-
ство в S)Lp (R) = {u(jC°°(R) : w<fe)6Lp(R), V&}, в ко-
тором оператор дифференцирования- регулярен и
162
имеет спектральный радиус т, является простран-
ство функций экспоненциального типа, не пре-
восходящего т, принадлежащих LP(R).
§ 4. Интегральные и дифференциально-
операторные уравнения
в локально выпуклых пространствах
Введем в рассмотрение семейство A(t) регуляр-
ных операторов, достаточно «гладким» образом за-
висящее от параметра t [17]. Такие семейства бу-
дем называть регулярными семействами операто-
ров. Для дифференциально-операторных и инте-
гральных уравнений, коэффициентами которых яв-
ляются регулярные семейства операторов, форму-
лируются теоремы разрешимости. Доказательства
основываются на элементарном, обобщении, прин-
ципа сжатых отображений.
1. Принцип неподвижной точки
В этом пункте Е будет обозначать счетнополное
равномерное хаусдорфово пространство с равно-
мерной структурой, определяемой семейством псев-
дометрик (di)ie/ [4]. Отображение Т . Е-+Е назы-
вается липшицевым [22], если для любой псевдо-
метрики di6(di)iej найдутся константа С>0 и
псевдометрика d26(di)tei такие, что d\(Tx, Ту)^
^Cdz(x, у) для всех х, увЕ. Очевидно, что любая
степень Тп липшицева отображения является лип-
шицевым отображением. В связи с этим дадим
Определение 1. Липшицево отображение Т: Е-+
-+Е будем называть регулярным липшицевым, если
найдется константа kT>0, зависящая только от 7,
такая, что для любой псевдометрики diG(di)iez
существует псевдометрика	такая, что
неравенство
di(Tnx, Тпу) ^k*d2(x, у)
справедливо для всех х, у&Е и всех п= 1,2,....
Определение 2. Регулярное липшицево отобра-
жение Т будем называть сжимающим, если найдет-
ся константа kr<l.
и*
163
Справедлива следующая
Теорема 1. Пусть Е счетнополное равномерное
хаусдорфово пространство. Если Т : Е->Е — сжи-
мающий оператор, то у него существует единствен-
ная неподвижная точка.
Доказательство. Проводится методом
последовательных приближений. Так же, как и в
классическом случае, справедливо обобщение это-
го утверждения, которым мы будем в дальнейшем
пользоваться.
Теорема 2. Пусть Е — счетнополное равномерное
хаусдорфово пространство и Т : Е->Е — регуляр-
ное липшицево отображение. Если некоторая сте-
пень оператора Т является сжимающей, то Т обла-
дает единственной неподвижной точкой.
2. Регулярные семейства регулярных операторов
Пусть Е — отделимое л. в. п. с семейством полу-
норм Spec Е, определяющих топологию на Е. Рас-
смотрим семейство регулярных операторов
А (0 : Е->Е.
Определение 3. Семейство регулярных операто-
ров R9i->A (/) G£? (Е) будем называть регулярным
семейством, если существует положительная функ-
ция R9f-^-Af (Z)GR+ такая, что множество
(J4(Q/Af(f) регулярно ограничено (см. определе-
teR
ние 4 § 3 гл. 6) в борнологическом выпуклом про-
странстве Lee Е.
Другими словами, семейство операторов A(t) ре-
гулярно, если найдутся функция R9/->Af(£)GR+ и
равностепенно непрерывный идемпотентный диск
такой, что A(t)^M(t)H для всех ZGR.
Теорема 3. Семейство операторов R9£->-A (t) G
GS’(E) регулярно тогда и только тогда, если суще-
ствует положительная функция R9/->M(/)GR+ та-
кая, что для каждой полунормы pGSpec Е сущест-
вует полунорма pGSpec Е такая, что
р(А(А) ... A(tn)x)^M(ti) ...M(tn)q(x)
для всех xGE и любого конечного набора
164
Доказательство. Необходимость. Если се-
мейство (A(0)teR регулярно, то существуют функ-
ция (t) GR+ и равностепенно непрерывный
идемпотентный диск Н в 3? (Е) такие, что банахово
пространство 3?н(Е), порожденное диском Н, яв-
ляется банаховой алгеброй (см. теорему 1 § 3 гл. 6)
" (~Af (7J ' ) для всех Здесь рн— ФУНК*
ционал Минковского множества Н. Учитывая обо-
значения § 1, будем иметь
Н= л Hp,q.
рб Spec Е
Напомним, что HPiq={Tfi3?(E) : p(Tx)^q(x)},
11Л1р,q—pHP,<,(T), рн(Т) = sup ||T||pt(Z. Посколь-
рб Spec Е
ку Н — идемпотент, то для любого конечного на-
бора {/fe}i<*<nC=R
Д(М A(tn)
M(h) ••• M(tn) е •
Отсюда
рн (A (М... A (tn))	(А) ... М (tn).
Следовательно, для любой полунормы рб Spec Е
найдется полунорма рб Spec Е такая, что
||А(6) ...A(MHp.qCWi)
т. е.
p(A(h) ...A (tn) x)^M(h) ...М (tn) q(x)
для всех хб£ и любого конечного набора {/n}c:R.
Достаточность. Наше условие означает, что для
каждой полунормы рб Spec Е найдется рб Spec Е
такая, что
||А (h) ... A (tn) IIр, 9<М(Ь)... М (tn)
для любых {//JissfesgnCzR. Следовательно,
sup ||А(Л) ...A(/n)||p,g^M(/i) ...M(tn).
рб Spec Е
Обозначим Но= Л HPt q — равностепенно не-
рб Spec Е
прерывный диск, и тогда
165
Рио И (М ... А (/„))	(Л) ... М (/п)
для любых {/fe}i=^fe=^nCzR.
Обозначим через Н идемпотентную оболочку
множества UA (/)/Л1(/) (см. предложение 1 § 3
teR
гл. 6). Тогда очевидно, что HczH0, т. е. Я —равно-
степенно непрерывный идемпотентный-диск.. Теоре-
ма доказана.
.Если семейство операторов R^/->A(f)G2?(E) ре-
гулярно, то будем говорить, что функция R^->~
-+А (t) £3? (Е) интегрируема, непрерывна и т. п.,
если она принадлежит пространству интегрируе-
мых, непрерывных и т. п. функций со значением в
выпуклом борнологическом пространстве Lee Ё.
Заметим, что если функция R^->A,(/) GLec Е не-
прерывна либо интегрируема, то числовая функция
рн(А(/)) соответственно непрерывна либо интегри-
руема. Поэтому, не ограничивая общности, всегда
можно считать, что функция М(/), участвующая в
определении регулярного семейства, соответственно
непрерывна либо интегрируема.
Примеры:
1.	Любое семейство ограниченных операторов A(t) : Е-+Е
в банаховом пространстве Е.
2.	Линейный оператор Л (/):£-> Е в л. в. п. Е такой, что
р (Л (t) х) < М (/) р (х) для любой полунормы р £ Spec Е.
3.	Если Л : Е -► Е — регулярный оператор вл. в. п. Е и
оо
f (/, х) = 2	— аналитическая функция по х, то Л (/)=
00
= 2 ak (О Л* — регулярное семейство операторов. В частности,
к=0
регулярными являются семейства А (/) = ап (/) Ап + . . . + я0А
A (t) = а (/) А и е#л.
4.	Семейство вполне непрерывных операторов А (/) : Е-+Е
в л. в. п. £, т. е. такое семейство операторов, для которых су-
ществует полунорма #6SpecE такая, что для любой полунормы
p6Spec£ найдется такая положительная функция M(t), что
p(A(t)x)^M(t)q(x) для всех х£Е,
Справедливы следующие утверждения, Касаю-
щиеся свойств регулярных семейств операторов.
Предложение 1. Если Е — квазиполное бочечное
л.в.п. и A (t) : £->£ — регулярное семейство one*
166
раторов, то семейство A'(t) : Е'->Е'р является ре-
гулярным семейством операторов с той же функ-
цией M(t). Здесь Е'— л.в.п., сопряженное к Е, с
сильной топологией.
Доказательство. Поскольку А (£) — регу-
лярное семейство, то существуют положительная
функция М. (I) и равностепенно непрерывный идем-
потентный диск НаЗ?(Е) такие, что A(t)QM(t)H
для всех Z6R. Следовательно, A'здесь
H'={u'Q2’(E'fi) : ыбЯ}. Из предложения 3 § 2 сле-
дует, что Н' — равностепенно непрерывный диск в
.S’(E'). Кроме того, очевидно, что Н' идемпотентен.
Значит, A'(t) —регулярное семейство операторов
в£'₽.
Предложение 2. Если Е — квазиполное л.в.п. и
А (/) : Е-^-Е — регулярное семейство операторов, то
семейства операторов •st-git), s4-d(i) : J?p(E)->-
-+3??,(Е) регулярны (см. § 2, п. 3).
Доказательство. Как уже доказано в
предложении 4 § 2, операторы и «?/</(/) при
каждом t являются регулярными в полной в.б.а.
LecS’p(E). Поэтому для доказательства восполь-
зуемся теоремой 3. По определению топологии в
.З’р(Е), Spec2’p(£) = {p<?(X)=supp(Xx) : рб
б Spec Е, О — ограниченное множество в Е}. По-
скольку A (t) — регулярное семейство, то найдется
функция M(t) такая, что для любой полунормы
рб SpecE найдется полунорма <?б SpecE такая, что
Л(^) ...A(tn)
\
х ^q(x)
для всех хбЕ и любого конечного набора {tn} <=R-
Тогда имеем для любого конечного числа точек
{M<=R
PG^g(ti) ...s£g(t)X) = sup p(A(ti) ...A(tn)Xx)^.
хЪ(У
supq(Xx)=M(t!) ...M(tn)q (X),
167
что доказывает регулярность семейства s&g(t). Ана-
логично
РС M(ti) ...M(tn)
= sup р
xtQ
A(/i) ...A(tn)x
MW ...M(tn)
supp(Xy)=p (X),
«6<7i	*
I 1 A (ti) ... A (tn)
где (7i= U —тз .. .------r,.-. v~ О— ограниченное
un)cR	H
A(tt) ...A(tn)
множество, ибо семейство —гг7г-^---»,	,— равно-
M(tt) ...M(tn)
степенно непрерывно по всем конечным наборам
{/n}cR. Это завершает доказательство предло-
жения.
3. Интегральные и дифференциальные уравнения в л. в. п.
Покажем, что интегральные уравнения Вольтер-
ра, обыкновенные дифференциальные уравнения и
некоторые уравнения с частными производными в
локально выпуклых пространствах с коэффициен-
тами, задаваемыми регулярным семейством опера-
торов, обладают решениями.	/
Интегральные уравнения Вольтерра. Пусть Е —
полное л. в. п., K(t, т) : £->£ — регулярное семейст-
во операторов, непрерывно зависящее от двух пе-
ременных. Другими словами, существует положи-
тельная функция M(t, т), непрерывная по обеим
переменным, такая, что для каждой полунормы
p6Spec£ найдется полунорма <?6Spec£ такая, что
Т1)К(/2, т2) ...К (tn, тп)х)^
п)Л1(/2, т2) . ..Af(/n, %n)q{x)
для всех конечных наборов {tn}, {тп}с=И и всех
хб£.
168
Предполагая эти условия выполненными,' спра-
ведлива
Теорема 4. Интегральное уравнение Вольтерра
t
х(£) = J K(t, x)x(x)dx+g(x)
a
имеет единственное непрерывное решение для каж-
Aofig(t)GC(a, Ь, Е).
Доказательство. Проводим стандартными
методами, используя принцип неподвижной точки
(см. теорему 2), в полном простр анстве С (a, b, Е)
t
к оператору (Sx)(/)= J K(t, x)x(x)dx. Поскольку
а
.  * ..  .-
(S«x) (0=£(0+.[ш Мя(Д)^+...
а
t tn~2	*f
••• + J I -	*0 ••• J
a a	a;
t tn—i
... K(tn-2, tn—i)S(tn—i)dtn—i... d^i4“ J J *’*
I	CL (t
•
••••J K. (ty ti) K[tt, t2),.. К (tn-i, tn) x(<n) dti... dtn,
a
to Sn — сжимающее отображение в C (a, b, E).
Задача Kotuu. ' Рассмотрим дифференциальное
уравнение'’ 4
^^=A(t)X(t).-pHt)	' ’	(1)
с начальным условием .	 -
x(t0) ==хо,	(2)
где Л (/) — регулярное семейство операторов, не-
прерывно зависящее ОТ t, f(t)—непрерывная
169
функция со значением в Е. При наших предположе-
ниях, задача (1)—(2) эквивалентна уравнению
Вольтерра
t	t
x(f) = J Д(т)х(т)йт+ f f(x)dr,
to	to
которое, согласно предыдущему, обладает единст-
венным решением.
Если А :	— регулярный оператор, то зада-
ча Коши
dx л /лх
=Ах, х(0) —х0
имеет единственное решение x(f) =с,АХо. Рассмат-
ривая вместо уравнения dx/dt—Ax неоднородное
уравнение dxldt—Ax+f(t), где f(t) —непрерывная
функция, и применяя метод вариации постоянной,
получим решение задачи
dx
_=4x+f(Z), х(О)=хо
в виде
t
x(t)=etAxo+ J e^t~*)Af(s)ds.
о
Задача Гурса. Пусть £>=[0, Л]Х [0, П], t=
— (ti, tz)^D и Е— полное л.в.п. Рассмотрим в D
уравнение
^uss	+л (0 «(0 =f (0,	(3)
<741012
где Dbt-^A (t) fiS? (Е) — регулярное семейство опе-
раторов, непрерывно зависящее от t= (t\, tz).
Для уравнения (3) ставится задача Гурса: найти
решение этого уравнения, удовлетворяющее усло-
виям
и|«2=о=ф(/1), и|(1=0=ф(/2).	(4)
Для этого, очевидно, необходимо потребовать вы-
полнения условий согласования
ф(0)=ф(0).
(5)
170
Справедлива следующая
Теорема 5. При выполнении требуемых условий
для любых f£C(D, Е), <р6С‘(0, Л, Е) и ф6С(0, Т2, Е)
таких, что ф(0)=ф(0), существует единственное в
Е) решение задачи (3) — (4).
Замечание. Обозначения пространств см. в § 1.
Доказательство. Очевидно, что задача
(3) — (4) эквивалентна разрешимости уравнения
ti h
u(t) = — J J Д(т)м(т)£/т+ф(М+’1’(М— ф(0) +
О о
tl ti
+ J J
о 0
в пространстве E). Топология в Cl i(D, Е)
задается полунормами рл 1(и) = supl ро(м)4-
teo 1
/ ди \	/ ди \	/ д2и \ I
+Mad+dad+d awdl- Расс"°т-
рим в С1’1^, Е) оператор
tl t2
(Su) (/)= —J J A (ti, t2)u(ti, T2)dTidT2+g(/i, t2),
0 0
ti ti
где g(ti, /2)=ф(/1)+ф(/2)—ф(0)+ J J f(t)t/T, и no-
9 0
кажем, что он удовлетворяет условиям теоремы 2:
t t"-1
(S«u)(0-(Snv)(0 = (-i)«n [П -
о о
- fj Д(т‘) ...А(?")(«(*”)-
О
"I
—v(xn)dx2.. dxn.	(6)
171
Обозначив x(t)=u(l)—v(t) и Sju=
tl tj
= — J J Д(т)м(т)б/т, равенство (6) перепишем в
о о
виде
#1 t2
(S’jx) (/) = (—l)n j J Л(^р, Z«)S«-‘x(^, /п)Х
о о
tl tz
Xtft”d^=(—1)" J[ J A(t”, t»)x
о 1 o'	- •
XSn-‘x(l», t^)dtn2 ]dt”.	(7)
Отсюда
tl
-^- = (-1)” f A(t±, t^Sn-ix^, tydfy (8)
a‘‘	о
ti
= (-!)” J A(t* t2)Sn-iX(tn, t2)dtn- (9)
u‘2	0
^1 = (-1)»Л(/1, /2)S«-‘X(^, t2).	(10)
tl
f Ox
Так как x(0, t2) —x(ti, 0) =0, то I —r—dxi=x(t).
0 °^Ti
Отсюда для любой полунормы рб Spec Е имеем
/ дх ” \	ч ’ ••
рс(х)^Т1рс (-дт— ) , i=l,2.	(11)
\ uti /
Обозначив М= max M(t), из (7) —(11) получим
ч >	16D
1 tlt*	п
Ро (5"х) < —— [ f f Д(т„ т2) dTidT2] sup q9 (х)<
(«О2 l(U	. J ‘ео
sun q9 (x,(f)) <	sup <7o (* (0);
(n!)2 te»	((n— I)!)2 teo
172
pi
Г™ SUP „(* (<»<
(n— l)!n! teD
((n—I)!)2 teD
sup <n
((n—l)!)2*eo
Аналогично
(ask( M’m sup,,(_^L( 
\ St, ! ' ((n— !)’)= <eo \ St, )
( s>s-,x у M-rtT", ( л \.
dtid^ ((n— I)!)2 teD \ dttdt2 ]
Отсюда :
P ci, i (S-x)	sup [ q0 (x) +
((n—l)!)2 Яс 1W‘
Полагая
большом
при достаточно
п0 получим ><”"<1. Тогда имеем
Pci, 1 ^J(n°nqcl, i (х).
Теорема доказана.
Сейчас выведем формулу, дающую решение за-
дачи Гурса.
Пусть Е квазиполно и бочечно. Рассмотрим для
каждого ZGD функцию	ъ(Е), удовле-
творяющую уравнению.
4vdTT) +/Мт)°Л=0	(12)
UT1OT2
и условиям
T?t|i2=t2=/».	|т1=41'^=Л	(13)
Теперь к уравнению (12) применим предложение 2
и теорему 5.
173
Решение (т) =/? (f, т) задачи (12), (13) называ-
ется операторной функцией Римана для задачи
Гурса. Применим теперь функцию Римана к обеим
частям уравнения (3), учитывая (12). Получим
равенство
д^и	д2и
Rt Дт ar А и =Rt ат ат ~
ОТ1ОТ2	OT1OT2
d2Rt(t) _ д ( п / х ди \
дпдп U дт2 ' 4 dti '
д ( dRt(x) \ п / ч
Интегрируя это равенство по прямоугольнику 0<
<Ti<7i, 0<Т2<^2, имеем
(|	«2	t|
J j Rt(t)f(r)dx— j Rt(ri, 0)<p'(Ti)dTi=
0 0	о
f ^t(0, T2) L, .. ,
= J ---------------ф(т2)</т2+
, '	tt	г.
-	। ( d / d«(Ti, t2)	.
° +J Rt(ti, -------------------------dxi=
0
= — J Rt(O, ТгН^тгИтг+Я^О, Тг)ф(т2) Ц2+
о
<•
tl
Ч-/?«(Т1,/г)и(Т1, Mio1— J ^^Т1’	. Ц(Т) t2)dti=
‘	= — J Rt (0, т2) 'ф' (тг) (r2) —
0
-/?z(0)v(0)+w(0-w(0, /2).
174
Отсюда выражаем решение задачи Гурса (3) —(4)
u(ti, <2)=Яе(0)<р(0)+ J Rt(n, О)ф'(Т1)сГг1-Ь
о
ti	tl t%
+ J Rt(Q, T2)l|)'(T2)dT2+ J f Rt(T)f(t)dr.
0	0 0
§ 5. Свойства решений линейных
дифференциальных уравнений
в локально выпуклых пространствах
В. данном параграфе изучаются свойства реше-
ний линейных дифференциально-операторных урав-
нений в локально выпуклых пространствах, коэф-
фициентами которых являются регулярные опера-
торы. Ниже будем следовать работам автора Г111,
[12], [14], [16].
Пусть Е — квазиполное бочечное пространство,
А : Е->Е — регулярный оператор. Рассмотрим сле-
дующую задачу Коши:
(!)
x(0)=Xq.	(2)
Предположим, что sp А лежит внутри левой полу-
плоскости, т. е. существует v>0 такое, что Re%<
<—v для всех ЛбзрД. Так как решение задачи
Коши для однородного уравнения представимо в
виде х(0 =etA х0 и, в силу предложения 7 § 2, для
любой полунормы pGSpecE найдется полунорма
^GSpec Е такая, что
p(etAx0) ^.e-vtq(xo), t^Q.	(3)
Отсюда немедленно следует, что решение х(^)->0
при Ввиду того же предложения 7 § 2, верно
и обратное, а именно, если неравенство (3) справед-
ливо для всякого решения уравнения (1), то спектр
sp А оператора А лежит внутри левой полуплоско-
175
сти. Если sp А лежит внутри левой полуплоскости,
то топология пространства Е определяется полу-
нормами
00
Ра, i(x) = J p(etAxo)dt, pGSpecE
о
(см. § 2). Легко видеть, что полунорма каждого
решения уравнения (1) монотонно стремится к
нулю при /->оо. Действительно,
оо
Ра, i(x(O) = J p(esAx(t)yds=
О
— J p(e(s+OAXo)ds== J p(esAxo)ds,
о	t
откуда
d
-ц- pA, i(x(t)) = —p(etAx0) <0.
Предположим теперь, что sp A = sp+AUsp-4, при-
чем sp+A=/=0. Пусть Р+, Р-—спектральные про-
екторы на подпространства Е+ и Е_ соответственно
и £ = Е+ФЕ_. Так как Е± инвариантны относитель-
но А, то они инвариантны и относительно etA (Ос
С1<оо). А это означает, что решение x(t)=etAXo
уравнения (1), начинающееся в каком-нибудь из
этих подпространств, уже не выходит из него.
Введя функцию
со
fA(x) = J {p(etAP_x) — p(e~tAP+x)}dt, .
О
получим, что
со	со '
fA(x(t)) = § p(eaAP_x())ds— J p(e-aAP+x0)ds.
t	-t
Отсюда
-^-/а(х(0)=— р(е*АР_х0) — p(etAP+x0)^(). (4)
176
Таким образом, значения функции /а на каждом
решении уравнения (1) монотонно убывают.
Замечание. Неравенство (4), как и аналогичное нера-
венство для полунормы рл,ъ является строгим для некоторого
pfSpecE ввиду отделимости пространства Е.
Рассмотрим теперь два случая:
а)	Пусть Р+хо=О, т. е. х&Е— Тогда fA(*o) =
=Pa,i(xo).. В этом случае x(t) —etAx<£E+, и зна-
чит, что fA(x(t)) =Ра, i(x(/) )^0 монотонно при
/->оо. Таким образом, если XqQE-, то решения урав-
нения (1) стремятся к нулю.
б)	Пусть Р_Хо=О, т. е. хоб£+, следовательно,
x(t)=etAxof}E+. Этот случай сводится к предыду-
щему заменой А на —А и обращением времени.
В результате получаем, что ненулевое решение за-
дачи (1), (2) уходит на бесконечность при t-*oo.
Отметим, что из разложения x(t)=etAXo—
= etAP+x9A-etAP-Xo=P+etAxo+P-etAXo следует не-
ограниченное возрастание любого решения, для ко-
торого Р+Хо#=О.
1.	Ограниченность решений однородного уравнения
Выясним, когда решения уравнения (1) ограни-
чены на всей вещественной оси.
Так как совокупность решений уравнения (1) за-
дается выражением x(t)—etAx0, то из требования
ограниченности будем иметь оценку p(etAxo)^
^Ср,Хо (—oo</<-j-oo) для любой полунормы рб
б SpecE. Константа Ср,Хо зависит только от р и хо.
Если Е бочечно, то, ввиду теоремы Банаха —
Штейнгауза, семейство {etA} равностепенно непре-
рывно для всех ?6R. В силу предложения 8 § 2
заключаем, что спектр оператора А лежит на мни-
мой оси.
Сейчас исследуем тот же вопрос для уравнения
второго порядка вида
(Pli i Я 7\	7 С\
+Дм=0,	(5)
аР
где А : Е-+Е — регулярный оператор. Сведем (5) к
уравнению первого порядка в пространстве Е2=
= Е\Е с топологией, определяемой полунормами
12. Зак. 927	177
^>(х) =p(xi)+q(x2), р, ^6 Spec Е,
х= (х1; х2)6Е2.	(6)
тт	«	du
После стандартной замены и=Х{,	=х2 урав-
нение (5) примет вид
dx ,	,	/	° 1 \
—	^=(_л 0).	(7)
Очевидно, что
/ Ак 0 \
,^=(-1)4	I
К ; \ 0 Ak Г
(8)
\_Дй+1 о /
Кроме того, ясно, что <s/6.£’(Е2). Покажем, что
— регулярный оператор в Е2.
Так как •s/eS’fE) регулярен по условию, то для
всех мбЕ и n6N имеем оценку
р(Апи) ^2.Mnq(u), p,qfiSpecE.
Для любого ^6 Spec Е2 и хбЕ2 из (8) и (6) имеем
(А2кх) = 9 (Aftx1( Aftx2) =
= р (АЧ) + q (Aftx2) <	(х),
& (A2fe+1x) = ^(Afex2, — A^xJ = p(Aftx2) +
+ q (A^’x,) <	(x2) + Mft+,71 (X,) =
Выбрав ^sGSpecE2 таким, чтобы max (^i,
^2), получим
^»(з/пх)^Л4п/2^3(х), n6N.
Таким образом, .s/eS’ (Е2) —регулярный оператор,
и, следовательно, определяется функция
178
оо
etA — 2 tn
n!
00
= 2 ^2ft
k=0
tf2*
(2i)T
CO
+2 *2ft+i
й=0
^2k+l
(2^+1)! '
Принимая по аналогии co скалярным случаем обо-
значения
оо
cos/А‘/2= 2 (—l)fe
h=0
/2ЛДЛ
W;
2°°	/2fe+121fe
„./“‘’'(й+ПГ
будем иметь
/ cosM‘/2	—4‘/2sin^V2\
\ -Л‘/2 Sin MV2 COS M V2 /•	( '
В результате, если Xo=(uo, u'o), то решение урав-
нения (5), удовлетворяющее условию и(О)=Мо,
и'(О)=м', имеет вид x(t)=etAxo или, учитывая
(9),
u(t) = (cos ^А1/2) Ыо+ (А-i/2 sin tA^)u'o. (10)
Из последней формулы очевидным образом вы-
текает, что ограниченность при каждого реше-
ния уравнения (5) эквивалентна сильной ограни-
ченности оператор-функций cos/А*/2 и А~1/2 sin (А1/2
при ZGR. Покажем, что достаточно потребовать
ограниченности функции A-1/2 sin tA^2 при ZGR. По-
ложим y(t) = (A-1/2 sin М1/2) г/о- Из формулы (9),
счетной полноты пространства Е и регулярности
оператора А непосредственным вычислением полу-
чаем, что
/(/) = ( cos/АI/2) ^о,
У". (О = - (А-1/2 sin tA 1/2) уй=-Ау (0.
По условию, функция y(t), а значит, и y"(t) (ибо
А непрерывен) ограничена при каждом фиксиро-
12*
179
ванном yQ. Покажем, что у' (/) ограничена на R.
Положим
(11)
Очевидно, что f(t) ограничена вместе с y(V) и y"(t).
Рассматривая (11) как дифференциальное уравне-
ние, выразим его ограниченное на всей оси решение
формулой
У(0 = 4- f e^f(s)ds. (12)
—оо
Интеграл в (12) сходится абсолютно, что прове-
ряется непосредственно ввиду полноты Е и регу-
лярности А. Дифференцированием равенства (10)
устанавливается неравенство
sup p(y'(t)) sup p(f (0) для любого рб SpecE.
t	t
Таким образом, получена
Теорема 1. Если каждое решение уравнения
=Ах ограничено на всей оси, а Е — бочечное
пространство, то sp А лежит на мнимой оси.
тт	еРи .
Для того чтобы все решения уравнения---------Ь
dt* 2
+Аи=0 были ограничены на всей оси, необходимо
и достаточно, чтобы были ограниченными решения,
удовлетворяющие условию и(0) =0.
2. Существование ограниченного решения
у неоднородного уравнения
Возьмем неоднородное уравнение
dx
— =Ax+f(t),	(13)
f(t)— непрерывная функция. Предположим, что
спектр оператора А распадается на два спектраль-
ных множества sp X=spp4|Jsp24, Еь Е2— инва-
риантные подпространства оператора А, соответст-
вующие этим множествам, и Р\, Р2—соответствую-
щие спектральные операторы
180
Pk= ~^F I
rk
Рассмотрим функцию Грина
etAPi = -
^RKdy>Ot
< *	(И)
^лр	—_ j. eMRKdKt<$
~	2ni J
G(i) =
Так как сходимость интегралов (14) понимается _в
смысле борнологии равностепенной непрерывности,
они сходятся во всех операторных топологиях
в^(Е).
Функция G(f), определяемая (14), обладает сле-
дующими проверяющимися вычислением свойст-
вами:
1)	при £#=0, G(t)BS’(E) непрерывна, дифферен-
цируема и удовлетворяет уравнению
-^--4-0(0;
2)	скачок G(t) в нуле равен тождественному
оператору;
ъ
3)	функциях (t) = J G(t—s) f (s) ds удовлетворяет
a
при	уравнению (13).
Теперь рассмотрим случай, когда sp^=sp4-4(J
(Jsp-Л. Функцию, определяемую формулой
{etAp t>0;
/?о.	<15>
называют главной функцией Грина уравнения (13).
Так как зрД не пересекается с мнимой осью, то
из предложения 7 § 2 следует существование числа
v>0 такого,, что для любой полунормы p6Spec£
существует gGSpecf такая, для которой выпол-
няется неравенство
p(GA(^)x)^e-v|i|7(x), /6R,	(16)
181
Теорема 2. Для того чтобы любой ограниченной
на всей оси непрерывной функции f(t) соответ-
ствовало одно ограниченное решение уравнения
(13), необходимо, чтобы собственные значения опе-
ратора А не лежали на мнимой оси, и достаточно,
чтобы спектр оператора А не пересекался с мни-
мой оёью. Это решение дается формулой
4-00
х(0 = J GA(t-s)f(s)ds. (17)
—00
Доказательство. Пусть любой ограничен-
ной функции f(t) соответствует единственное огра-
ниченное решение. Положим f(t)=y и x(t) —
единственное ограниченное решение уравнения
dx
—= Ах+у. Вектор х(/+т) при любом т также яв-
dt
ляется решением этого уравнения. В силу единст-
венности x(t-\-x)—x(t), т. е. x(t) =x=const.
Следовательно, Ах=—у. Ввиду произвольно-
сти у, оператор А сюръективен. Инъектив-
ность оператора А следует из того, что если у—О,
то х=0 ввиду единственности. Таким образом,
Х=0 не является собственным значением операто-
ра А.
Для того чтобы увидеть, что каждое мнимое чис-
ло не является собственным значением оператора
А, рассмотрим уравнение
dx
=Ax+ye()it, p6R.
Очевидно, что функция f(t)=ye>>it ограничена при
любом p6R. Поэтому это уравнение обладает един-
ственным ограниченным решением x(t). Делая за-
мену х=|еР»*, придем к уравнению
_^-=(Д_рД)В+Г/,
обладающему единственным ограниченным реше-
нием |(0, которое постоянно. (Рассуждаем так же,
как и выше, учитывая тот факт, что оператор
182
регулярен вместе с оператором А для любо-
го л.) Таким образом, pi не является собственным
значением оператора А.
Для доказательства достаточности воспользуем-
ся неравенством (16), из которого следует, что
функция (17) ограничена. То, что она удовлетворяет
уравнению (13), установлено ранее. Осталось толь-
ко показать, что при предположении непересечения
спектра с мнимой осью ограниченное решение
единственно. Для этого достаточно проверить, что
dx .
при этих предположениях уравнение -------=Ах не
dt
имеет ограниченных на всей вещественной оси ре-
шений, кроме нулевого. Предположим, что таковое
есть: x(t) =etAXo. Полагая А_—Р_° А, А+=Р+° А,
запишем его в виде
x(t) =etA-P_Xo+etA±P+Xo-
Поскольку sp А_= sp_A находится в левой полу-
плоскости, то первое слагаемое при />0 ограниче-
но, а значит, ограничено и второе, т. е.
p(etA4-P+xo) <.Ср, t>0 для любого pGSpec£.
Но sp+A = spA+ лежит внутри правой полуплоско-
сти, значит, sp(—А+) лежит внутри левой полупло-
скости и, ввиду предложения 7 § 2, имеем
р (Р+х0) =р (e~tA+ (е*А±Р+хй)) <
^e~vtq(etA+P+Xo) ^e~vtCq
для любой полунормы рб Spec E. Переходя к пре-
делу при /->оо из отделимости Е заключаем, что
Р+хо=О.
Переписывая х(1) в виде
x(t) =e-i(~A-'>P-x0+e-t^A^P+x0
и учитывая, что sp (—А+) =—sp А+ лежит внутри
левой полуплоскости, второе слагаемое в x(t) огра-
ничено при /<0. Следовательно, ограничено и пер-
вое, т. е.
p(etA-P-x0) <zCp для любого pGSpecf.
1»3
Из неравенства
р(Р_хо) — p(e-tA-(etA-P_xo) ^.evt ° Ср при /<0
получим, переходя к пределу при t-+—<x>, что
р(Р_го)=О для всех рб SpecE, т. е. P_a;o=O. Та- j
ким образом, установлено, что хо==О, а это значит,
что х(/)=0. Теорема доказана.
Рассмотрим теперь уравнение (13) на всей оси,
предполагая, что f(t) непрерывна и Т-периодична,
т. е.	j
fG+T)-f(O.	(18)
Оператор-функцию Гт (О OS’(Е) будем называть
Т-периодической функцией Грина уравнения (13),
если
1)	Гт(О=Гт(/+Т);
2)	Гт (0 непрерывна в S’p(E) на всей оси, исклю-
чая точки t=Tk (k=0, ±1, ±2, ...), причем <
Гт(0+)-Гг(0-)=/;
3)	в точках непрерывности функция Гт (0 диф-
ференцируема со значением в	и удовлетво-
ряет дифференциальному уравнению
---=ДоГт(0-	(19)	*
Теорема 3. Если А — регулярный оператор, при-
.	„ 2kni
чем sp А не содержит точек мнимои оси —-—
(k=0, ±1, +2, ...), то существует единственная
Г-периодическая функция Грина уравнения (13)	»
rT(0=eiA(/-e^)-i приО<Г<Т.
Доказательство. В силу предположений
теоремы и предложения 4 § 2 видим, что непрерыв-
ное решение уравнения (19) имеет вид Гт(0 =
=etA°C, где С — постоянный оператор. Согласно j
свойству 2), в определении Т-периодической функ-
ции Грина, функция etA<>C должна быть непрерыв-
на на (О, Г) , и потом продолжена периодически
ввиду свойства 1). Следовательно, Гт (0—) —
= Гт(Т_) и должно выполняться равенство
Гт (0+) -Гт (0-) =Гт (0+) —Гт (Т-) =
= С-е^оС=/.	(20) J
184
Из последнего равенства имеем (/—еТА) о С=1 и
С— (1—еТА)~1, так как —?— $ sp А и по теоре-
ме Данфорда 1 =e2ftn’^ Sp етд
Теорема 4. Если sp А не содержит точек мнимой-
2fcrci
оси-^— (я=0, ±1, ±2, ...), то уравнение (13) при
любой непрерывной Т-периодической функции f(t)
имеет одно и только одно Т-периодическое решение
x(t):
г
x(t) = J rT(t^s)f(s)ds,	(21}
о
где Гт (0 — Т-периодическая функция Грина урав-
нения (13).
Доказательство. Периодичность и сущест-
вование функции x(t), определяемой равенством
(21), следуют из свойств функции Гт(^). Записывая:
(21) в виде
т	т
х(/) = J rT(t-s)f(s)ds+ J rT(t-s)f(s)ds
О	t
и дифференцируя по t, получим х'(t) =Лх(^)+/(О-
Осталось доказать только единственность Т-пе-
риодического решения. Для этого покажем, что та-
ковых нет у однородного уравнения. Допуская про-
тивное, получим соотношение etAxa=x(t)=x{t-{-
+ Т) = eTA°etAXo, т. е. хо—еТАха, что показывает-
несуществование оператора (/—еТА)~1. Другими
словами, / = e2feni6sp еТА. Отсюда, по теореме Дан-
форда об отображении спектра регулярных опера-
2&ni‘ л
торов, следует —^-ЕврЛ, что противоречит пред-
положению. Теорема доказана.
Определение 1. Непрерывную функцию f : RW-»--
->/(^)6£ назовем почти периодической, если мно-
жество функций ft(t) =/(*+?) (—оо<т<-|-со)
секвенциально компактно в смысле равномерной
на всей оси топологии пространства C(R, Е)
(llfllp= sup
ten.
18S.
Из определения следует, что множество значений
почти периодической функции секвенциально ком-
пактно и, значит, ограничено.
Ввиду теоремы 2, для существования единствен-
ного ограниченного решения уравнения (13) до-
статочно предположить, чтобы sp А не пересекался
с мнимой осью, и тогда это решение записывается
в виде
+оо
x(t) = j* GA(t—s)f(s)ds, (22)
—00
где GA(t)—главная функция Грина уравнения
(13).
Теорема 5. Если sp А не пересекается с мнимой
осью, то дифференциальное уравнение (13) с почти
периодической функцией f(t) имеет одно и только
одно почти периодическое решение (22).
Доказательство. Из предположений и пре-
дыдущих рассуждений видно, что (22) является
единственным ограниченным решением уравнения
(13). Докажем, что оно почти периодично. Следо-
вательно, надо установить, что множество функций
xx(t) =х(^4-т) (—оо<т<+<»)
секвенциально компактно в смысле равномерной
сходимости.
Рассмотрим произвольную последовательность
Xxh(t). Ввиду почти периодичности функции f(t) из
последовательности f-x^t) можно выделить после-
довательность Коши (t). Тогда
j
оо
Xrh	f GA(t—s)f(s—rk)ds=
i	-oo
4-oo
= J GA(t—s)f-xk (s)ds.
—x>	i
Отсюда следует, что (t) — последовательность
j
Коши в C(R, E). Действительно, для любой полу-
нормы рб SpecE имеем
186
p(xXfi (t)-xXh	J e-^qif^ (s) —
i	1	-oo 3
—f-^h (s))ds^	sup q(f-xk (s)-
—oo<s<+oo	j
4-00
(S)) J e-v|s|ds.
—rvt
Из полноты C(R, E) следует секвенциальная ком-
пактность множества функций xx(t) =х(Н-т), т. е.
почти периодичность.
3. Управляемость линейными системами
Пусть Е — полное отделимое л. в. п., А : Е->Е —
производящий оператор локально равностепенной
полугруппы G(0 ([27], [28]), F — полное рефлек-
сивное л. в. п. и В : F-+E — непрерывный линейный
оператор.
Рассмотрим линейное уравнение вида
— =Ax(t)+Bu(t)	(23)
с начальным условием
х(О)=хое£>(Л).	(24)
Если u(t) —достаточно гладкая функция, то су-
ществует единственное решение задачи (23), (24)
и дается формулой
t
x(t) = G(t)x0+ j G(t—r)Bu(x)dr.	(25)
о
Однако интеграл в правой части (25) может суще-
ствовать и при более общих предположениях отно-
сительно свойств гладкости функции u(t), напри-
мер, если u(t) топологически интегрируема (см.
§ 1), ибо полугруппа G(t) локально равностепенно
непрерывна. В этих случаях функцию, определяемую
формулой (25), будем еще называть решением за-
187
дачи Коши (23), (24). В дальнейшем будем пред-
полагать, что
u(t)f}L*p(R+, Е) 1^р<оо.	(26)
Определение 2 ([1]). Обозначим через Q(T)
множество элементов (состояний), достижимых из
начала координат за время Т для системы (23),
т. е. множество элементов из Е вида
т
х(Т)= ' G(T-x)Bu(x)dx,
о
где и(т) удовлетворяет (26).
Определение 3. Система (23) называется управ-
ляемой (достижимой), если для любого е>0, лю-
бого элемента е&Е и каждой полунормы pGSpec Е
найдется Г<-|-оо такое, что р(х(Т)—е)<е. Други-
ми словами, система (23) управляема, если мно-
жество (J Й(Т) плотно в Е.
т>о
Рассмотрим еще одно отделимое локально вы-
пуклое пространство Н и непрерывное линейное
отображение С: Е-+Н, которое будем называть
наблюдением.
Определение 4. Будем говорить, что система (23)
С-наблюдаема [1], если из равенства С ° G(t)x=0,
следует, что х=0.
Справедлива следующая
Теорема 7. Для того чтобы система (23) была
управляема, необходимо и достаточно, чтобы со-
пряженная система была В'-наблюдаема.
Доказательство. Пусть U Й(Т) плотно в
т>о
Е и пусть В' ° G'(t)y'=O для всех t^O. Следова-
тельно, для каждого uGLfp (R+, F)
<и(х), В'° G'(Т—х)у'>=0, т^О.
Поэтому
т
J <G(t-x)B(x)u(x), y'>dx=0,	(27)
О
188
т. е.
G(t—т)В(т)и(т)с/т, у'
=0.
Другими словами, у' аннулируется на множестве
U Q(T). Следовательно, у'=0.
Т>0
Обратно, пусть сопряженная система В'-наблю-
даема, но множество U не плотно в В. Со-
т>о
гласно теореме Хана — Банаха, существует эле-
мент х'£Е', х'=/=0 такой, что
<Q(T), х'>=0 для всех Г,	(28)
т. е.	>
т
0= / J G(T—x)Bu(x)dx, х' \ =
4 о	'
т
= J <и(т), В'° G'(T—x)x'>dx.	(29)
о
Учитывая теорию интегрируемых функций, разви-
тую в § 1, из равенства (29) следует, что B'oG'fT—
—х)х'=0 или B'°G'(t)x'=0, что приводит к про-
тиворечию.
Следствие. Для того чтобы система (28)
была управляема, необходимо и достаточно, чтобы
U Im (G(7) °В)=Е.
4. Управляемость задачи Гурса
В настоящем пункте решается задача нахожде-
ния необходимых и достаточных условий управ-
ляемости абстрактной задачи Гурса со значением
в отделимом локально выпуклом пространстве
[11]. Доказательство основано на «явном» пред-
ставлении решения задачи Гурса через функцию
Римана (см. § 4, п. 3) и на теории интегрирования
со значением в векторном не нормируемом прост-
ранстве (см.§ 1).
189
Пусть Е будет обозначать полное бочечное
л.в.п., £>=[0, Г1] X [0, Тг]—прямоугольник на
плоскости переменного t= (Л, t^), D^t->A(t)Q
QS’(E) — регулярное семейство операторов, непре-
рывно зависящее от ts) (см. § 4, п. 2), F —
полное л.в.п., D$t-*~B(t)fi3?(F, Е) —равностепен-
но непрерывное семейство сильно непрерывных
операторов. Рассмотрим следующую задачу Гурса:
+л “ (П =в (0 * (0;	(30>
011012
и\ /1==о=^|/2=о=О.	(31)
Здесь	— непрерывная заданная функ-
ция. Согласно теореме 5 § 4 и выражению решения
задачи Гурса, через операторную функцию Римана
/?Дт), получаем, что решение задачи (30), (31) за-
писывается в виде
«(0=J J^(t)B(t)o(t)</t.	(32)
о о
Однако интеграл в правой части (32) может суще-
ствовать и при более общих предположениях отно-
сительно функции о(<), например, если v(tf)6
GL p(Z>, F) (см. § 1). В этом случае функцию, опре-
деляемую формулой (32), все еще будем называть
решением задачи Гурса (30), (31). В дальнейшем
будем предполагать, что
v(t)eUp(D, F), 1<р<оо.
Определение 5. Систему (30) будем называть
управляемой, если для любых е>0, е£Е и полунор-
мы pGSpecE найдутся 7’1< + оо, 7’2<-|-оо такие,
что р (и (Ti, Т2) — е) <е.
Очевидно, что
Т1 Г2
и(Т1г Т2)= J f RT(x)B(r)v(r)dr. (33)
о о
Множество элементов вида (33), когда и(т) пробе-
гает Lp (D, F), т. е. множество состояний, достижи-
190
мых из начала координат, обозначим Й(ГЬ Т%).
Теперь определение 5 можно сформулировать в
следующей форме.
Определение 5'. Система (30) называется управ-
ляемой, если множество (J Q(7\, Тг) плотно в Е.
Т|, Тг>о
Справедлива следующая
Теорема 8. Для того чтобы система (30), (31)
была управляемой, необходимо и достаточно, что-
бы соотношение В'(x)R'T(x)y'=Q для всех т влек-
ло г/'=0.
Доказательство. Пусть система (30), (31)
управляема и B'{x)R'T (х)у'=0 для всех т. Следо-
вательно, для каждого v(x)£Lfp(D, F) имеем ра-
венство <о(т), B'(x)R'T (х)у'>—0. Поэтому
Т1 Тг
°= f J <^(т), B'(x)R'T(x)y'>dx=
о о
Т1 т2
= j* f <Rt(x)B(x)v(x), y'>dx —
о о
Т1 т2
= ( J f RT(t)B(x)v(x)dx,y'\. ,
' о о	'
Но так как (J Й(7\, Т^=Е, то /=0.
Т|, г2>о
Обратно, пусть B'(x)R'T (х)у'=0 для всех т>0
влечет	но U Q(Ti, Tz)=/=E. Тогда, по
Т1, Т2>0
теореме Хана — Банаха, существует элемент x'QE'
такой, что х'#=0 и <Й(Л, Т2), х'>=0 для всех Л, Т2,
т. е.
T1 т2
°-=(f J RT(x)B(x)v(x)dx,y'\ =
' о о	z
Tt т2
= J J <»(t), B'(x)R'T(x)y'>dx.
о о
191
Поскольку о(т) пробегает //(£>,£), то
B'(x)R'T (t)i/'=0 для всех т, что ведет к противо-
речию.
Следствие. Для того чтобы система (30)
была управляемой, необходимо и достаточно»
чтобы
U 1т/?т(т)В(т) =Е.
т
Рассмотрим теперь частный случай: задачу
Гурса с постоянным оператором-коэффициентом»
т. е. задачу
д^и
——+AU(t)=bv(t)-,	(34)
011012
w |/1==о==и |/2=о==О,	(35)
где А — регулярный оператор, b — элемент из Е.
Согласно следствию теоремы 8, задача (34), (35)
управляема тогда и только тогда, когда семейство
{/?т(т)6}тх> плотно в Е. Но при каждом тбД эле-
мент 7?т(т)Ь является пределом элементов вида
рп(А)Ь, где рп— полином степени п. Следовательно,
Е является замыканием линейной оболочки мно-
жества {АпЬ}. Таким образом, справедлива
Теорема 9. Для того чтобы система (34), (35)
была управляема, необходимо и достаточно, чтобы
Е являлось замыканием линейной оболочки мно-
жества {АпЬ}п&>.	— . -
ЛИТЕРАТУРА
L Балакришнан А. Введение в теорию оптимизации в гиль-
бертовом пространстве.— М.: Мир, 1974.
2.	Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и
функторов.— М.: Мир. 1972.
3.	Бурбаки И. Интегрирование: Меры, интегрирование
мер —М.: Наука, 1967.
4.	Бурбаки Н. Общая топология: Использование вещест-
венных чисел в общей топологии, функциональные простран-
ства, сводка результатов.— М.: Наука, 1975.
5.	Бурбаки Н. Топологические векторные пространства.—
М.: ИЛ, 1959.
Бурбаки Н. Спектральная теория.—М.: Мир, 1972.
7.	Гротендик А. О пространствах (LF) и (DF).— Матема-
тика, 1358, № 3, с. 81—127.
8.	Далецкий Ю. Л.> Крейн М. Г. Устойчивость решений
дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.—
М.: Наука, 1970.
9.	Массера X. Л., Шеффер X. X. Линейные дифференциаль-
ные уравнения и функциональные пространства.— М.: Мир,
1970.
10..	Миллионщиков В. М. К теории дифференциальных урав-
нений в локально выпуклых пространствах.— Мат, сб.^ 1962,
т. 57 (99), № 4, с. 385—406.
11.	Минюк С. А., Радыно Я. В. Управляемость задачи Гур-
са в локально выпуклых пространствах.— Изв. АН БССР. Сер.
физ.-мат. н., 1978, № 2, с. 127.
12.	Радыно Я. В. О свойствах решений дифференциальных
уравнений в топологических векторных пространствах.— В кн.:
IV Республиканская конференция математиков Белоруссии.
«Проблемы развития прикладных наук математических иссле-
дований».— Тез. докл. Ч. 2. Минск, 1975, с. 52.
13.	Радыно Я. В. Линейные дифференциальные уравнения в
локально выпуклых пространствах: I. Регулярные операторы
и их свойства.— Диф. уравнения, 1977, т. 13, № 8, с. 1402—
1410.
14.	Радыно Я. В. Линейные дифференциальные уравнения в
локально выпуклых пространствах: II. Свойства решений.—
Диф. уравнения, 1977, т. 13, № 9, с. 1615—1624.
15.	Радыно Я. В. Линейные дифференциальные уравнения
в локально выпуклых пространствах: III. Примеры регулярных
операторов.— Диф. уравнения, 1977, т. 13, № 10, с. 1796—1803.
16.	Радыно Я. В. К вопросу управляемости линейных си-
стем в локально выпуклых пространствах.— Диф. уравнения,
1977, т 13, № 12, с. 2199—2206.
17.	Радыно Я. В, Принцип сжатых отображений и некото-
рые его применения.— Изв. АН БССР. Серия физ.-мат. н.,
1977, № 5, с. 26—31.
13. Зак. 927
193
18.	Радыно Я. В. Топологические векторные пространства,
ассоциированные с неограниченными операторами.— В кн.:
VII Всесоюзная топологическая конференция: Тез. докл. и
сообщ.— Минск, 1977, с. 160.
19.	Робертсон А.> Робертсон В. Топологические векторные
пространства.— М.: Мир, 1967.
20.	Рудин У. Функциональный анализ.—М.: Мир, 1975.
21.	Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и под-
группы.— М.: ИЛ, 1962.
22.	Шварц Л. Анализ. Т. 2.— М.: Мир, 1972.
23.	Шефер X. Топологические векторные пространства.— М.:
Мир, 1971.
24.	Boas R. Entiere fonction.— New York, 1954.
25.	Hogbe-Nlend H. Theorie des bornologies et applications.—
Lecture Notes, Springer, 1971.
26.	Hogbe-Nlend H. Les Fondements de la Theorie Spectrale
des Algebres Bornologiques — Bol. Soc. Bras. Mat., 1972, v. 3,
N 1.
27.	Komura T. Semigroups of Operators in Locally Convex
Spaces.— J. of Funct. Anal., 1968, v. 2, p. 258—296.
28.	Ouchi «$. Semigroups of Operators in Locally Spaces.—
J. Math. Soc. Japan, 1973, v. 25, N 2.
29.	Seminaire Banach.— Lectures Notes, Springer, 1972.
30.	Waelbroeck L. Etudes spectrale des algebres completes.—
Brussels, 1960.
31.	Waelbroeck L. Theorie des algebres de Banach et des
algebres localment convexes.— Univ, de Montreal, 1962.
32.	Waelbroeck L. Le complete et le dual d‘un espace «a bor-
ne».—Compes rendus, 1961, t. 253, N 25, p. 2827—2828.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Алгебра борнологическая 90
---выпуклая (в.б.а.) 91
—	полная 91
--------инволютивная 112
---звездная 113
---мультипликативно выпуклая (м.в.б.а.) 93
--------, ассоциированная с в.б.а. 96
--------отделимая 94
-------- полная 94
—	борнантных операторов 97
—	компактных операторов 97
—	локально выпуклая с непрерывным обратным 96
—	полная топологическая локально ограниченная 97
—	ядерных операторов 97
Алгебры характер 99
База борнологий 26
Борнологическая топология 54
Борнологически замкнутое подпространство 34
Борнологическое множество 26
—	топологическое векторное пространство 54
Борнология 26
—	более сильная 28
---слабая 28
—	векторная 31
—	выпуклая сильнейшая 80
—	дискретная 27
—	каноническая 28
Борнология компактная 27
— Макки 80
—	метрическая 27
—	нормальная 54
— порожденная 29
—	порядковая 27
—	предкомпактная 27
—	равномерной равностепенной непрерывности 27
— еда ба я 80
—	, Согласующаяся с заданной двойственностью 82
—	типологическая 54
—	тривиальная 27
—	фбн Неймана 28
Диск 60
—	звездный 113
—	наполняющий 63
— сепарантный 63
13*
195
Дуальная система 78
---коотделимая 79
— отделимая 79
е-рефлексивное локально выпуклое пространство 89
Задача Гурса 170
— Коши 169
Идемпотентное множество 92
Изоморфизм 11
— функторный 13
Индуктивный предел семейства объектов 25
Индуктивный предел функтора 23
Категории изоморфные 14
— эквивалентные 15
Категория 9
— абелевых групп (М) 10
— борнологических множеств (£ог) 27
---векторных пространств (&vb) 31
---выпуклых векторных пространств (&Ьс) 61
---алгебр (Mb) 90
---выпуклых алгебр (Мс) 91
—	векторных пространств (Vect) 12
—	групп (S?) 10
—	дуальная (^°) 10
—	дуальных систем (<2)иа1) 78
—	категорий (Cat) 14
— квазиполных топологическо-борнологических векторных
пространств 57
— малая 14
— множеств (&ns) 10
— мультипликативно выпуклых	борнологических алгебр
(Мтс) 93
— отделимых борнологических	векторных пространств
(&vbc) 35
-------выпуклых векторных пространств (&bcs) 63
------ топологическо-борнологических векторных пространств
(&vtbs) 53
— полных борнологических выпуклых векторных ..пространств
—	полунормированных пространств (Sn) 59
—	произведения категорий 10
— топологических пространств (&"ор) 10
— топологическо-борнологических векторных пространств
(Zvtb) 51
-------выпуклых векторных пространств ($vtbc) 73
— функторов (Funct) 14	..
— эквивалентных категорий 15	\
Квазипополнение 53
Классы, непрерывных функций на компакте 116
196
Макки сходимость 37
— топология 80
1	— условие сходимости 37
М	ножество Макки замкнутое 37
—	регулярно ограниченное 94
—	спектральное 145
—	эквиограниченное 28
’	мономорфизм 19
морфизм, обратимый слева 11
-----справа 11
— обратный 11
— функторный 13
Морфизмов множество 9
Объект 9
—	инициальный 20
—	нулевой 20
—	финальный 20
О	бъектов прямое произведение 25
— прямая сумма 25
Оператор регулярный 136
Отображение дуальное 79
— липшицево 163
----регулярное 163
----сжимающее 163
сопряженное 79
Подкатегория 11
— наполненная 12
— полная 11
Полунорма 59
Полунормы эквивалентные 59
Полушар 59
Поляра множества 78
Последовательность Коши—Макки 39
Представляющая пара 19
Преобразование Гельфанда 101
Проективный предел семейства объектов 25
-----функтора 21
Пространство борнологическое векторное 31
------отделимое 34 .
---------, ассоциированное с исходным 35
------полуполное 39
-----выпуклое векторное 60
---------отделимое 63
---------полное 63
---------полярное 86
-----------ассоциированное с заданным 87
------ — регулярное 74
-------- — регулярно отделимое 81
-------- — собственное 76
— Кете 153
197
—	локально выпуклое е-рефлексивное 89
-------, удовлетворяющее условию Макки 37
-------ультраборнологическое 88
—	полунормированное 59
—	ростков голоморфных функций 105
—	сопряженное к борнологическому выпуклому векторному
пространству 80
—	топологическо-борнологическое выпуклое 51
---квазиполное 53
—	топологическо-борнологическое выпуклое векторное 73
Радиус спектральный 99
Регулярная часть алгебры 96
Регулярное семейство операторов 164
Резольвента элемента алгебры 98
Система наблюдаемая 188
—управляемая 188
Спектр регулярный регулярного оператора 136
—	совместный элементов алгебры 104
—	элемента алгебры 98
Топология естественная дуального пространства к б.в.в.п. 81
—	каноническая борнологического выпуклого векторного про-
странства 54
—	Макки 80
—	слабая 80
—	, согласующаяся с борнологией 51
—	ТЕ 54
—	ультрасильная 88
Фактор-борнология 30
Фактор-объект 20
Функтор вполне унивалентный 13
—	квазипополнения 53
—	ковариантный 12
—	контравариантный 12
—	копредставимый 19
—	, коммутирующий с индуктивным пределом 24
—	,--проективным пределом 24
—	обобщенно сюръективный 13
—	представимый 19
— стирающий 12
—	унивалентный 13
Функторный изоморфизм 14
—	морфизм 13
Функционал Минковского 61
Функция Грина 181
--периодическая 184
калибровочная 61
198
— измеримая в смысле борнологии 123
---------топологии 126
—	почти периодическая 185
—	Римана 187
—	счетнозначная 123
Эквиборнология 28
Элемент Л-голоморфный 155
—	Л-экспоненциального типа 156
—	нормальный 111
—	регулярный 94
—	унитарный 111
Эпиморфизм 20