Автор: Тихонов А.Н. Васильева А.Б. Свешников А.Г.
Теги: дифференциальные, интегральные и другие функциональные уравнения конечные разности вариационное исчисление функциональный анализ математический анализ математика дифференциальное исчисление дифференциальные уравнения издательство наука главная редакция физико-математической литературы
Год: 1985
Текст
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
Д.Н. ТИХОНОВ
А. Б. ВАСИЛЬЕВА
А.Г. СВЕШНИКОВ
КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Выпуск 7
А. Н. ТИХОНОВ, А. Б. ВАСИЛЬЕВА,
А, Г. СВЕШНИКОВ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ
ИЗДАНИЕ ВТОРОЕ,
ПЕРЕРАБОТАННОЕ И ДОПОЛНЕННОЕ
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебника для студентов университетов,
обучающихся по специальностям «Прикладная математика» и «Физика»
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
19 85
ББК 22.161.8
Т46
УДК 517.9
КУРС ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
Под редакцией
А. II. ТИХОНОВА, В. А. ИЛЬИНА,
А. Г. СВЕШНИКОВА
Рецензент член-корреспондент АН СССР Л. Д. Кудрявцев
©
1702050000—159 г
Т 053 (02)-85 7 4-8,3
Издательство «Наука».
Главная редакция
физико-математической литературы, 1080;
переработанное и дополненное, 1U85
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию . . .... 5
Предисловие к первому изданию . . ... 6
Глава 1. Введение ......... . . 7
§ 1. Понятие дифференциального уравнения...................... 7
§ 2. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравне-
ниям ................................................' . 12
Глава 2. Общая теория..................................... .... 23
§ 1. Элементарные методы интегрирования.......................23
§ 2. Теоремы существования и единственности решения начальной
задачи для одного уравнения первого порядка, разрешенного от-
носительно производной. Алгоритм ломаных Эйлера . ' . . . 31
§ 3. Уравнение, неразрешенное относительно производной . .. . . . 39
§ 4. Теорема существования и единственности решения нормальной
системы.......................................................46
§ 5. Зависимость решений от начальных значений и параметров . . 51
§ 6. Метод последовательных приближений (метод Пикара) ... 59
§ 7. Принцип сжатых отображений. Теорема о неподвижной точке 63
Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения.....................67
§ 1. Уравнения движения маятника как пример линейного уравне-
ния. Основные свойства линейного уравнения с постоянными
коэффициентами . ....................................67
§ 2. Общие свойства линейного уравнения я-го порядка .... 73
§ 3. Однородное линейное уравнение n-го порядка...............76
§ 4. Неоднородное линейное уравнение n-го порядка.............79
§ 5. Линейное уравнение я-го порядка с постоянными коэффициен-
тами . . '............................................ 82
§ 6. Системы линейных уравнений. Общая теория.................88
§ 7. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоян-
ными коэффициентами ..........................................96
§ 8. Построение решения линейного уравнения в виде степенного ряда 101
Глава 4. Краевые задачи . € , ’..............................105
§ 1. Постановка краевых задач и их физическое содержание . . 105
§ 2. Неоднородная краевая задача..................... .110
§ 3. Задачи на собственные значения.................. . 123
Глава 5. Теория устойчивости . . . . . . 128
§ 1. Постановка задачи . ............................ . 128
§ 2. Исследование на устойчивость по первому приближению , . 134
§ 3. Метод функций Ляпунова ..................................138
§ 4. Исследование траекторий в окрестности точки покоя .... 144
Глава 6. Численные методы решения обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений................................................ 151
§ 1. Разностные методы решения начальной задачи...............151
§ 2. Краевые задачи ... ............................167
Г л а в а 7. Асимптотика решений дифференциальных уравнений по ма-
лому параметру.............................................. 177
§ 1. Регулярные возмущения . . 177
§ 2. Сингулярные возмущения . . 183
Глава 8. Уравнения в частных производных первого порядка . . . 209
§ 1. Линейное уравнение.......................................209
§ 2. Квазилинейное уравнение..................................218
Список литературы................................................228
Предметный указатель .............229
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Второе издание курса «Дифференциальные уравнения» пред-
ставляет собой существенно переработанный текст первого издания.
Ие меняя основного содержания курса, мы внесли значительные
изменения в характер его изложения.
В новом издании изложение узловых положений курса строится
на- основе общих идей метода дифференциальных неравенств, ба-
зирующегося на теореме Чаплыгина. Этот метод наглядно выделяет
идейную сторону доказываемых в курсе основных теорем существо-
вания и зависимости от параметров решения начальной задачи как
для одного уравнения, так и для системы уравнений. При этом во
многих случаях значительно снижаются технические трудности при
доказательстве соответствующих теорем, а сами доказательства ста-
новятся более алгоритмичными.
На идейной основе метода дифференциальных неравенств пост-
роено также изложение рассматриваемых в книге вопросов числен-
ных и асимптотических методов решения дифференциальных
уравнений. В главу о численных методах внесены, кроме того,
значительные редакционные -изменения в целях улучшения изло-
жения с методической точки зрения.
Подвергся переработке и текст гл. 4, посвященной краевым
задачам. Дано доказательство теоремы существования решения
неоднородной краевой задачи. Более подробно разбирается понятие
обобщенной функции Грина. Внесены некоторые изменения и в ха-
рактер изложения задач на собственные значения.
Помимо этих основных изменений в текст книги внесено большое
количество более локальных изменений для улучшения стиля изло-
жения. Изменен и ряд обозначений.
Авторы выражают свою искреннюю благодарность Л. Д. Куд-
рявцеву, внимательно просмотревшему рукопись 'настоящего изда-
ния, а также всем лицам, приславшим свои замечания по первому
изданию книги.
Авторы
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Предлагаемая книга представляет собой очередной выпуск серии
«Курс высшей математики и математической физики» под редакци-
ей А. Н. Тихонова, В. А. Ильина, А. Г. Свешникова.
В основу книги положен курс лекций, который в течение многих
лет читается на физическом факультете Московского государствен-
ного университета. Изложение отвечает современному состоянию
теории дифференциальных уравнений в той мере, как это требуется
будущим специалистам по физике и прикладной математике, и в то
же время достаточно элементарно.
Большое внимание уделяется в книге приближенным методам
решения и исследования дифференциальных уравнений — числен-
ным и асимптотическим, которые в настоящее время лежат в основе
изучения математических моделей физических явлений. Читатель
получит представление о различных методах численного решения
как начальных, так и краевых задач, о таких фундаментальных по-
нятиях теории численных методов, как сходимость разностной схе-
мы, аппроксимация и устойчивость. В главе, посвященной асимпто-
тическим методам, содержатся, в частности, сведения из так
называемой теории сингулярных возмущений (метод пограничных
функций, метод ВБК, метод усреднения), которая бурно развивается
в последние десятилетия в связи с потребностями таких разделов
физики и техники, как теория автоматического регулирования,
гидродинамика, квантовая механика, кинетика, теория нелинейных
колебаний и др.
Рукопись книги была просмотрена Е. А. Гребениковым и
Л. Д. Кудрявцевым,1 сделавшими ряд ценных замечаний. Неоцени-
мую помощь в подготовке рукописи к печати оказал Б. И. Волков.
Всем им авторы выражают свою искреннюю благодарность.
1980 г.
Авторы
ГЛАВА 1
I
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Попятив дифференциального уравнения
В настоящей книге рассматриваются дифференциальные уравне-
ния, т. е. соотношения между неизвестной функцией, ее производ-
ными и независимыми переменными. Уравнения, содержащие
производные по многим независимым переменным, называются
уравнениями в частных производных. Уравнения, содержащие
производные лишь по одной из независимых переменных, называют-
ся обыкновенными дифференциальными уравнениями. Изучение
свойств и методов решения обыкновенных дифференциальных урав-
нений и составляет основное содержание данной книги, лишь по-
следняя глава посвящена некоторым специальным классам уравне-
ний в частных производных.
Независимую переменную, производная по которой входит
в обыкйовенное дифференциальное уравнение, обычно обозначают
буквой х (или буквой t, поскольку во многих случаях роль незави-
симой переменной играет время). Неизвестную функцию обозначают
через у(х).
Обыкновенное дифференциальное уравнение можно записать
в виде соотношения
(i.i)
V ал dx ]
В уравнение (1.1), помимо неизвестной функции, ее производных
по независимому переменному х и самого независимого перемен-
ного х, могут входить и дополнительные переменные ц(, ..., щ.
В этом случае говорят, что неизвестная функция зависит от пере-
менных Ц1, ..., р4 как от параметров.
Порядок старшей производной, входящей в уравнение (1.1),
называется порядком уравнения. Уравнение первого порядка
имеет вид
и связывает три переменные величины — неизвестную функцию, ее
производную и независимую переменную. Часто это соотношение
8
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. 1
удается записать в виде
^ = Жу).
(1.3)
Уравнение (1.3) называется уравнением'первого порядка, разрешен-
ным относительно производной. Изучение теории обыкновенных
дифференциальных уравнений мы начнем с уравнения (1.3).
Наряду с дифференциальными уравнениями (1.1) — (1.3) для
одной неизвестной функции в теории обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений рассматриваются системы уравнений. €истема урав-
нений первого порядка, разрешенных относительно производных
ЙУ;
“2^-'=/г (^. ....УД « = га, (1.4)
называется нормальной системой. Вводя векторные функции
У = (У1, f =
можем записать систему (1.4) в векторной форме
-^ = / (^ У)-
Легйо видеть, что уравнение га-го. порядка (1.1), разрешенное
относительно старшей производной
dxn ' I ,У’ dx' dxn~l Г
(1.3Г
(1.6)
может быть сведено к нормальной системе. Действительно, введем
обозначения
, . /ч dy dyt dy,,^
у (x) = yt (x),; = y2 (x).......................(x).
a, dny dyn
Тогда, вследствие очевидного равенства —— = —j—, уравнению
dx'1 ах
можно сопоставить нормальную систему
dy.
-dT-y^
(1.7)
(1.6)
. (1.8)
dx ~ Уп'
dUn ,, .
=/(^, Ук ...,У«).
В уравнениях (1.1) — (1.5) независимую переменную будем пола-
гать действительной. Неизвестные функции могут быть как действи-
тельными, так и комплексными функциями действительной пере-
менной.
S 1] ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ 9
Очевидно, если y(x) = y(x) + iy(x), где у (х) и у(х) — соответ-
ственно действительная и мнимая части функции у (х), уравнение
(1.3) эквивалентно системе обыкновенных дифференциальных урав-
нений для действительных функций:
= Re/(z, у, y)t ^Imf(x,~y, y).
Решением системы дифференциальных уравнений (1.4) называ-
ется всякая совокупность функций Уг(х) ($•= 1, ..., п), которые при
подстановке в уравнения обращают их .в тождества. Как правило,
и как это будет видно из последующих примеров (см. § 2), если
дифференциальное уравнение разрешимо, то оно обладает бесчис-
ленным множеством решений. Процесс нахождения решений назы-
вается интегрированием дифференциального уравнения.
Обычно рассматриваются системы (1.4) с правыми частями, не-
прерывными в некоторой области D изменения неизвестных функ-
ций у(.и независимой переменной х. Очевидно, что при этом решения
у,(х) представляют собой непрерывно дифференцируемые функции.
Однако в приложениях иногда приходится иметь дело с уравнения-
ми, правые части которых имеют, разрывы (например, при описании
ударных нагрузок, мгновенно приложенных сил и т. д.), поэтому
и сами решения будут иметь разрывы производных. Тогда естествен-
но в качестве решения (1.4) рассматривать непрерывные функции
У'(х) с кусочно непрерывными производными. При подстановке
в уравнения они дифференцируются всюду, за исключением точек
разрыва (или отсутствия) производных. Такое решение естественно
назвать обобщенным решением.
Всякое решение у.(х) (i = 1, ..., п) системы (1.4) можно интер-
претировать геометрически как кривую в (п 4- 1)-мерном простран-
стве переменных х, yt, ..., уп, которая называется интегральной
кривой. Подпространство переменных ylt ..., у„ называется фазовым
пространством, а проекция интегральной кривой на фазовое про-
странство — фазовой траекторией.
Уравнения (1.4) определяют в Каждой точке области D некото-
рое направление, задаваемое вектором т = (1, ..., /„). Такая об-
ласть пространства с заданным в каждой точке направлением
называется полем направлений. Интегрирование системы уравнений
(1.4) геометрически интерпретируется как нахождение кривых,
у которых направление касательной в каждой точке совпадает с на-
правлением т, заданным в данном поле направлений.
Как отмечалось выше, дифференциальное уравнение имеет^вооб-
ще говоря, бесчисленное множество решений. Поэтому, интегрируя
систему (1.4), мы найдем бесчисленное множество интегральных
кривых, лежащих в области определения правых частей системы
(1.4). Чтобы из всей совокупности решений выделить отдельную
интегральную кривую, представляющую собой так называемое част-
10
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. 1
ное решение системы (1.4), надо задать дополнительные условия.
Во многих, случаях такими дополнительными условиями являются
начальные условия
Уг^о) “Уь. «= (1.9)
определяющие ту точку (п + 1) -мерного пространства переменных
х, yt, ..., уп, через которую проходит данная интегральная кривая.
Задача интегрирования системы (1.4) с начальными условиями
(1.9) называется начальной задачей или задачей Коши.
В простейшем случае одного уравнения
< = ' (1-10)
функция f(x, у) определяет поле направлений в той области D
плоскости (х, у), где'задана правая часть (1.10). Это поле направле-
ний в каждой точке области D задается
вектором т(х, у) с угловым коэффици-
ентом f(x, у) (tga = /(z, у)) (рис. 1).
Решение начальной задачи с задан-
ным начальным условием у (х0) = у а
в этом случае заключается в построении
в области D интегральной кривой у =
•=у(а:), выходящей из начальной точ-
ки (а:0, у о) ив каждой своей точке
(х, у) касающейся вектора т с угловым
коэффициентом f(x, у).
Приведенная геометрическая интер-
претация поведения интегральных кри-
вых делает наглядным доказательство следующей теоремы.
Теорема 1.1 (теорема Чаплыгина о дифференциальных неравен-
ствах'). Если при х0 е [хв, X] существует решение начальной задачи
С1-11)
являющееся однозначной функцией х0, и если z(x)—непрерывная
и непрерывно дифференцируемая на [2?0, X] функция такая, что
^<j(x,z), X], z(x0)<p0, (1.12)
то имеет место неравенство
z(x)<y(x), хе(х0, X].
(113)
Доказательство. По условию теоремы неравенство (1.13)
выполняется в точке ха. Следовательно, в силу непрерывности у(х)
и z(x), оно выполняется также в некоторой окрестности правее
точки xt.
8 11
ПОНЯТИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ
11
Предположим, что xt е [я0, X] — ближайшая к х0 точка, в кото-
рой неравенство (1.13) нарушается, т. е. z(x,) = y(xt). Геометриче-
ски это означает, что кривые z(x) и у(х) при x — Xt пересекаются
dz
или касаются. Но тогда должно быть (^i) / (#ц y(xi))i что про-
тиворечит (1.12). Теорема доказана.
Сделаем существенные для дальнейшего замечания к доказанной
теореме о дифференциальных неравенствах.
Замечания. 1. Мы предполагали z(xa)<y0, но теорема оста-
ется справедливой, если г(х0)=у0. В этом случае существование не-
которой окрестности правее точки х0, в которой выполнено неравен-
ство (1.13), следует из того, что
(*о) <7 z (*о))" = / (х01 Уо) = -J- (4
Г •
Дальнейшие рассуждения совершенно такие же, как для слу-
чая z(x0) < у0.
2. Если функция z(x) удовлетворяет неравенствам
^~>f(x,z),. х^[х0,Х], z (х0) = у0,:
то знак неравенства в (1.13) также изменится на противоположный.
3. Теорема остается справедливой и в том случае, когда z(z)' ку-
сочно дифференцируема на [ar0, X] и неравенство (1.12) выполняется
„ dz
для предельных значении производной —в точках ее разрыва.
При решении ряда вопросов бывает удобно сводить задачи для
дифференциальных уравнений к некоторым интегральным урав-
нениям. ч
Лемма1.1. Пусть f(x, у) непрерывна по совокупности аргументов
в некотором прямоугольнике
D = {I# — х0| <а, \у — у0\^Ь}.
Тогда начальная задача
У\ У fo) = Уо (1.14)
эквивалентна интегральному уравнению
X
y(x)-y0:+ J У®)<%. (1.15)
х0
Доказательство. Пусть на сегменте |х — х«| ^а существует
решение начальной задачи — функция у(х), причем у9~ Ь^у(х)^
^Уо + b (эти неравенства означают, что при |х—„л:,| интеграль-
12
ВВЕДЕНИЕ
(ГЛ. t
над кривая находится в области D, где /(х, у) непрерывна). Под-
ставив у(х) в уравнение (1.14), получим тождество. Интегрируя это
тождество от х0 до х е [х0 — а, х0 + а] и используя начальное условие
р(х0)“у0, получим (1.15). Следовательно, решение начальной зада-
чи (1.14) удовлетворяет интегральному уравнению (1.15). С другой
стороны, если существует непрерывное решение интегрального урав-
нения (1.15)—функция у(х), причем у0 — b «S у(х) С уа + Ъ, то,
в силу непрерывности /(х, у) и следующей' отсюда непрерывности
функции /(g, у(£)) как сложной функции интеграл в правой ча-
сти (1.15) является непрерывно дифференцируемой функцией х.
Следовательно, и левая часть (1.15), т. е. функция у(х), имеет не-
прерывную производную, причем эта производная равна /(х, у(х)),
а значит, у.(х) есть решение уравнения (1.14). Выполнение началь-
ного условия проверяется непосредственно. Лемма доказана.
Замечание. Аналогичная теорема об эквивалентности имеет место и
для системы дифференциальных уравнений, т. е. для задачи (1.4), (1.9).
Лемма 1.1 остается в силе, когда функция /(х, у) является ку-
сочно непрерывной функцией переменной х. При этом интегральное
уравнение (1.15) имеет непрерывное решение у(х), являющееся
кусочно дифференцируемой функцией х. Это решение удовлетворяет
уравнению (1.14) на участках непрерывности функции /(х, у).
Возможны и другие способы задания дополнительных условий,
выделяющих определенное частное решение системы (1.4). К их.
числу относятся: так называемые краевые задачи, в которых опре-
деленное частное решение выделяется требованием, чтобы удовлетво-
рялись дополнительные условия в нескольких различных точках об-
ласти определения решения; задачи на собственные значения, со-
стоящие в определении некоторых параметров в уравнении, при
которых существуют частные решения, удовлетворяющие поставлен-
ным дополнительным требованиям; задачи поиска периодических
решений и ряд других постановок, позволяющих однозначно выде-
лить требуемое частное решение уравнения.
§ 2. Физические задачи,
приводящие к дифференциальным уравнениям
- В настоящем параграфе будет приведен ряд типичных задач фи-
зики и механики, изучение которых методом математических моде-
лей приводит к исследованию дифференциальных уравнений.
1. Радиоактивный распад. Физический закон, описывающий про-
цесс радиоактивного распада, заключается в том, что скорость
распада отрицательна и пропорциональна количеству пераспавшегося
к данному моменту времени вещества. Коэффициент пропорциональ-
ности- %, являющийся характерной для данного вещества постоян-
ной, не зависящей от времени, носит название постоянной распа-
да. Математическое выражение закона радиоактивного распада
S 2J ПРИМЕРЫ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 13
имеет следующий вид:
^- = -Ш(0, (1.16)
где m(t) — количество нераспавшегося к моменту времени t вещест-
ва. Это соотношение представляет собой дифференциальное уравне-
ние первого порядка, разрешённое относительно производной.
Непосредственной проверкой легко убедиться, что решение (1.16)
имеет вид
тп(0 = Се-и, (1.17)
где С — произвольная постоянная, которая может быть определена
из дополнительного условия, например из 'начального условия
— т0, задающего количество исходного вещества в начальный
момент <о- Частное решение соответствующей начальной задачи
имеет вид
т (t) = тое <0\ ' (1.18)
Одной из важных физических характеристик процесса радиоактив-
ного распада является период полураспада — промежуток време-
ни Т, за который количество распадающегося вещества уменьшает-
ся вдвое. Из (1.18) найдем
откуда
7, = 4-1п2. (1.19)
Отметим, что уравнение (1.16) является математической мо-
делью не только процесса радиоактивного распада, но и многих
других процессов деления или размножения, характеризуемых тем,
что скорость деления (размножения) пропорциональна количеству
вещества в данный момент времени, причем коэффициент пропор-
циональности есть некоторая постоянная, характеризующая рас-
сматриваемый процесс. Как мы убедились, типичной постановкой
задач для этого класса уравнений является начальная задача (зада-
ча Коши).
2. Движение системы материальных частиц. Математической мо-
делью движения ’ системы N материальных частиц массы
(i=l, ..., N), принятой в теоретической механике, являются урав-
нения движения, следующие из второго закона Ньютона:
d2r. I dr.\
V’ Г]' N- C1-20)
Здесь mt— массы частиц, постоянные во времени, — радиус-
векторы частиц, Fi — вектор силы, действующей на t-ю частицу и
14
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. i
зависящий, вообще говоря, от времени, координат i-й частицы, вза-
имного расположения частиц системы и их скоростей. Система
(1.20) представляет собой систему N векторных уравнений второго
порядка. Если массы частиц не меняются в процессе движения, то,
обозначив декартовы координаты радиус-
dxi
и вводя новые переменные Р;х — Щу.=
вектора скорости i-й частицы), можем з:
мальвой системы 6N уравнений первого г
- dyi .
ИГ = v'ix' ПГ = Viyf-
dvix - 1 F* dV^V _ 1 F
dt ~ dt ~ 1
Сложность интегрирования системы
определяется видом правых частей, т. е
мостью компонент вектора силы от переменных t, Xi, yi, zt, п,х>
viv, uiz. Во многих случаях получить значения частного решения
системы с заданной степенью точности удается лишь численными
методами, используя современные ЭВМ. Типичной задачей для си-
стемы (1.21) является начальная задача, заключающаяся в опреде-
лении траекторий частиц по заданным в начальный момент време-
ни ta положениям и скоростям всех частиц системы
П(М = Г?, Pi(U = P? (1.22)
вектора
dy,
~dT' Viz
dzi
dt
d,’iz
dt
Ti через xt, yt, zt
dzi,
= -^-(компоненты
(1.20) в виде нор-
1
(1.21) в первую
. функциональной
Fiz.
(1.21)
очередь
зависи-
—
при известных правых частях (заданных внешних силах; действую-
щих па систему, и силах взаимодействия между частицами). Другой
Рис. 2
типичной задачей для системы (1.21) является крае-
вая задача определения траектории, проходящей
через заданные начальную и конечную точки в фа-
зовом пространстве. К этой задаче мы, в частности»
приходим при расчете траектории космического ап-
парата, направляемого с Земли па Лупу или какую-
либо планету.
В ряде случаев рассматриваются и другие поста-
новки задачи определения частного решения систе-
мы (1.21).
Важным частным случаем системы (1.20) являет-
ся уравнение колебаний физического маятника.
Обычно физическим маятником называют абсолютно-
твердое тело, которое может вращаться под действи-
ем силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не про-
ходящей через центр тяжести С (рис. 2).
Рассмотрим сечение данного тела плоскостью, перпендикулярной
оси вращения и проходящей через центр тяжести. Точку пересечения
оси вращения с данной плоскостью обозначим О. Очевидно, положе-
9 21
ПРИМЕРЫ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
15
ние физического маятника в любой момент времени можно характе-
ризовать углом ф, который составляет прямая ОС с вертикальной
осью z, проходящей через точку О. Для вывода уравнения движения
воспользуемся вторым законом Ньютона в применении к вращатель-
ному движению (угловое ускорение пропорционально главному мо-
менту внешних сил). Тогда, пренебрегая силами сопротивления,
получим
,2
7 -^2. — mgd s{n (1.23)
где I — момент инерции тела относительно оси вращения, a d —
расстояние от точки О до центра тяжести С.
Общее уравнение (1.23) колебаний физического маятника явля-
ется нелинейным. В случае малых колебаний, ограничиваясь первым
членом разложения функции sin ф, получим
,2т
44+ <->4=0,. (1.24)
dt
где через со' обозначено отношение mgd/I. Очевидно, размерность
{<о] = 1/с, что и оправдывает введенное обозначение. Заметим, что
в случае уравнения (1.24) возвращающая сила пропорциональна
смещению от положения равновесия.
Как легко убедиться непосредственной проверкой, уравнение
(1.24) имеет периодические решения частоты о:
ф(£) = A cos cot + В sin coi, (1.25)
где А и В — произвольные постоянные, определяющие амплитуду
периодических колебаний.
При учете сил сопротивления, пропорциональных угловой скоро-
сти, уравнение (1.24) перейдет в уравнение вида
А +к| + й2фт0. (1.26)
Как будет показано ниже (см. гл. 3), уравнение (1.26) определя-
ет затухающие колебания.
3. Уравнения переноса. Пусть по трубе постоянного поперечного
сечения, ось которой совпадает с осью х, движется поток воздуха,
скорость которого вдоль оси трубы в точке х в момент времени t
есть заданная функция р(ж, t). Пусть воздух переносит некоторое
вещество, линейную плотность которого в сечении трубы с коорди-
натой х в момент времени t обозначим и (х, t). В процессе переноса
вещество осаждается на стенках трубы. Будем считать, что плот-
ность распределения осаждающегося вещества задается выражением
f(x, t)u(x, t)(f(x, ^ — заданная функция), т. е. пропорциональна
концентрации вещества (это можно рассматривать как линейное
приближение к более сложному закону, справедливое при достаточно
16
ВВЕДЕНИЕ
[ГЛ. 1
малых в). Это значит, что количество вещества, которое осаждается
па участке стенки трубы между сечениями х и х + &х за промежу-
ток времени [Z, t 4- Д £], дается законом
«+Л» t+At
j J /(?,T)w(?> T)dgdT.
x t
Для получения дифференциального уравнения относительно и
рассмотрим баланс вещества в области между сечениями х и х + Ах.
Процесс диффузии не будем учитывать, что естественно, если ско-
рость v достаточно велика.
За время AZ изменение количества вещества в рассматриваемой
области равно
в 4-Ах
J [в & t + AZ) - и a, Z)] <%.
ОС
Это изменение определяется, во-первых, разностью потоков вещест-
ва: втекающего через сечение х и равного
t+Af
J v (х, т) и (х, т) dx
t
и вытекающего через сечение х + Дж и равного
ГЧ-А*
J v (х + Дж, т). и (ж + Аж, т) dx,
t
а во-вторых, убылью количества вещества (за счет осаждения па
стенке), равной
ос+Дх 1+Д|
— J J / (£, т) и (L т) d% dx.
х t
Таким образом, закон сохранения вещества дает
«+Дх
J [в (£, t + AZ) - и (£, Z)1 dl = -
ас
t+Af
= j [в (ж, т) и (ж, т) — и (ж + Дж, т) в (ж + Дж, т)] dx —
t
х+Дх t+At
— J J / (5, T) в (£, т) dt, dx. (1.27)
X t
Пользуясь теоремой-о конечном приращении для подынтегральных
выражений в предположении наличия непрерывных частных произ-
S 2]
ПРИМЕРЫ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
17
водных у рассматриваемых функций и вычисляя интегралы по тео-
реме о среднем, получим
(х*, t) |(=j. AxAt = — — (v (x, t**) и (x, t**)) и=я»» Ax At —
— / (x***, t***j и (x***, t***) Ax At, (1.28}
где x*, x**, x***, t*, t**, t*** — некоторые точки из отрезков
[х, х + Ax], [t, t + At] соответственно. Деля затем равенство (1.28)
на Ax At и устремляя Ах и At к нулю, в силу непрерывности всех
членов соотношения (1.28) получим окончательное уравнение
I? + W+/u = °, (1.29)
пли
^7 + у (-М) ^-+ с(х; t) п = О, (1.30)
где
= (М).+/GM). ' (L31>
Уравнение (1.30) является уравнением в частных производных пер-
вого порядка. Для него можно поставить, например, следующую за-
дачу. Пусть известна концентрация вещества, при х = хв
u(x„, t) = u0(t), (1-32)
где u„(t)— заданная функция. Требуется определить u(x, t) для
х х0. Ниже (в гл. 8) мы увидим, что условие (1.32) однозначным
образом определяет решение уравнения (1.30).
4. Задача о просачивании воды сквозь песок. Пусть вода просачи-
вается через песок сверху вниз. Направим ось х вниз. Через u(x, t)
обозначим плотность воды в песке (t — время). Скорость движения
воды р, очевидно, зависит от ее плотности, т. е. v = v(u), где у (и)
есть заданная функция, причем и возрастает вместе с и.
Рассмотрим баланс воды в слое [х, х + Ах]. За время At измене-
д + Да
иие количества воды равно j [и (1, / + At) — и (fe, t)J Это изме-
X
пение происходит за счет разности входящего потока
j v (и (х, т)) и (х, т) dx
t
и выходящего потока
(+А(
j и (и (х + Ах, т)) и (х + Ах, т) dx.
t
18
ВВЕДЕНИЕ
1ГЛ. 1
Таким образом,
ж+Дж
f [u(M +
V
Ж
t+At
— [у (и (х, т)) и (х, т) — v (и (х + Ах, т)) и (х + Ах, т)] dr.
t
Предполагая наличие непрерывных частных производных у и и
дифференцируемость v(u), применим теорему о конечном прираще-
нии и формулу среднего значения для вычисления интегралов. По-
делив затем на Дх At, устремим Ах и At к нулю. Получим уравнение
ди , ди d ... . f.
— + -х- -j— (v (u) и) = О,
dt 1 дх du ' ' ' > ’
ИЛИ
f+Р(и)£- = о„ (1.33)
где
р(и) = у (и) + u-g (1.34)
есть заданная функция и.
Уравнение (1.33), так же как и (1.30), является уравнением
в частных производных первого порядка. Типичными задачами для
него являются как задание функции u(x, t) при фиксированном
значении х = х0:
u(x0, t) = w0(t)
(т. е. задана плотность воды на .границе слоя песка во все моменты
времени), так и задание функции u(x, t) для фиксированного мо-
мента t = ta;
и(х, t») = wt(x)
(т. е. задано распределение плотности воды по разрезу слоя песка
в определенный момент времени ta).
Отметим, что уравнение (1.33), в котором множитель р(ц) при
производной зависит от неизвестной функции, сложнее уравнения
(1.30), в которое как производные неизвестной функции, так и сама
неизвестная функция входят линейно. Уравнение (1.33) носит на-
звание квазилинейного уравнения. Изучению квазилинейных урав-
нений будет посвящена гл. 8.-
5. Колебания упругого стержня. Рассмотрим задачу о малых про-
дольных колебаниях упругого стержня. Пусть в недеформированном
состоянии стержень имеет длину I, ось его совпадает с осью х
и В процессе его колебаний под действием внешних сил, направлен-
ных по оси х, поперечные сечения стержня смещаются как целое,
не деформируясь в своей плоскости. Тогда процесс колебаний стерж-
ня можно характеризовать одной скалярной функцией п(х, t)—
§ 21 ПРИМЕРЫ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ 19
смещением в момент времени t сечения стержня, имевшего
в недеформированном состоянии координату х. Будем рассматривать
стержень переменной плотности р(х), подчиняющийся закону Гуказ
упругая сила, деформирующая бесконечно малый элемент стержня,
заключенный между сечениями х и х 4- Дх, пропорциональна отно-
сительному удлинению этого элемента. Коэффициент пропорциональ-
ности (модуль упругости) также будем считать переменным
вдоль стержня и обозначим его через к (х). Подсчитаем относитель-
ное удлинение е выделенного элемента. Очевидно, длина этого эле-
мента в момент времени t равна
Д/ = (х + Дх) + и(х + Дх, t)— х — и(х, £) = Дх + и(х+ Дх, /) — »(x, f),
откуда относительное удлинение
AZ — Дх и (х Дх, t) — и (х, i)
Дх Дх
Переходя в выражении (1.35) к пределу при Дх -► 0, предполагая
функцию п(х, t) непрерывно дифференцируемой и воспользовавшись
законом Гука, получим, что сила упругого напряжения в сечении х,
действующая со стороны правой части на левую, равна k(x)ux(x, t).
Заметим, что полученное выражение для силы упругого напряжения
справедливо лишь в случае малых колебаний, когда можно при-
менять закон Гука к бесконечно малому элементу стержня.
Чтобы получить уравнение колебаний стержня, применим второй
закон Ньютона к выделенному элементу. Будем считать, что внеш-
ние силы, приложенные к стержню, распределены с плотностью
/(х, i), так что импульс силы, действующей па элемент Дх за про-
межуток времени Д£, равен
t+At х+Дх
Д/= j J /(|,т)^т. (1.36}
t х
Кроме того, на граничные сечения выделенного элемента действуют
определенные выше силы упругого напряжения. Тогда уравнение
второго закона Ньютона запишется в виде
к+Дх
J [р (ё) ut (|, t + Д/) - р ® щ (£, 01 =
X
t+At
= J [/с (х + Дх) их (х + Дх, т) — к (х) их (х, т)] dx +
t ~
t+At х+Ах
+ j f /(|,T)^dT. (1.37>
‘t X
Это — иптегродифференциальное уравнение колебаний упругого
стержня. Предполагая непрерывную дифференцируемость функций,
20
ВВЕДЕНИЕ
(ГЛ. 1
стоящих в квадратных скобках под интегралами выражения (1.37),
и непрерывность f(x, t), используя теорему о конечных приращени-
ях и вычисляя интегралы по теореме о среднем, получим
р (х*) utt (х*, t) |(=i* Ьх =
= (к (х) их (х, £*♦)) |х=х»» Дж &t + / (ж***, £***) Дж Дг,
где ж*, ж**, ж***, £*, t**, t*** — некоторые точки из отрезков
[ж, ж + Дж], [i, I + Д£] соответственно. Поделив на Дж Д£ и переходя
к пределу при Дж -* 0, Д< 0, в силу введенного выше условия глад-
кости функций и(х, t), р(ж), к(х), f(x, t) получим окончательно
дифференциальное уравнение продольных колебаний упругого
стержня
р(ж)«н(ж, t) — [k(x)ux(x, /)]» + /(ж, t). (1.38)
Это — уравнение в частных производных второго порядка, являю-
щееся математической моделью колебаний в пространстве и во вре-
мени непрерывной упругой среды. В статическом случае (щ 0)
стержень под действием постоянной во времени внешней силы и
сил упругого взаимодействия принимает некоторое состояние стати-
ческого равновесия, которое описывается обыкновенным дифферен-
циальным уравнением
[Л(ж)щ(ж)]х + /(ж) = 0. (1.39)
Типичной задачей для уравнения (1.39) является краевая'задача,
Когда задаются смещения граничных точек стержня
ц(0)=щ, H(7)=ult (1-40)
или напряжения, приложенные к граничным Течениям
k(0)ux(0,) = ft, к(Г)их(1)=-Ь. (1.41):
В ряде случаев приходится рассматривать и другие постановки
краевых задач.
Общее уравнение колебаний распределенной системы (1.38)
переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение и в тех слу-
чаях, когда рассматриваются периодически колебания, происходящие
под действием периодической внешней силы. Пусть /(ж, £)=>
= /(ж) cos Будем искать решение (1.38) также в виде и (ж, t) =
== п(ж)соз Тогда для и (ж) — амплитуды периодических колеба-
ний, установившихся в системе под действием периодической внеш-
ней силы, получим обыкновенное дифференциальное уравнение
[&(ж)их(ж)]х+ (в2р(ж)м(ж)= — f (ж).- (1-42)
Типичной краевой задачей определения частного решения уравнения
(1.42) опять является краевая задача с граничными условиями
чипа (1.40), (1.41) или более сложного вида.
ПРИМЕРЫ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
21
t 21
В ряде случаев интерес представляет определение частот соб-
ственных колебаний системы — частот тех установившихся перио-
дических колебаний, которые возможны в системе при отсутствии
внешних сил, как распределенных, так и сосредоточенных в гранич-
ных сечениях. Эта задача сводится к краевой задаче для однородно-
го уравнения (1.42):
[А (я) иж (а:) ]х + ы!р (х) и (х) =• 0. (1.43)
Требуется определить те значения параметра со’, при которых
уравнение (1.43) имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее
заданным однородным граничным условиям, например u(0) = u(Z) =
«= 0. Такая задача носит название краевой задачи о собственных
значениях.
6. Уравнение теплопроводности. Одним из типичных уравнений математи-
ческой физики является уравнение теплопроводности, к выводу которого мы
сейчас перейдем. Тепловое состояние тела D можно описать с помощью ска-
лярной функции и(М, t) —температуры в точке М тела в момент времени t.
Теплофизические характеристики тела описываются функциями плотности
р(М) и теплоемкости с(М), которые в широком интервале температуры можно
считать не зависящими от температуры, а также теплопроводностью к(М), яв-
ляющейся коэффициентом пропорциональности между плотностью потока теп-
лоты через элементарную площадку AS и градиентом температуры в направ-
лении нормали к этой площадке:
ди
&q ——к(М)-^ &S. (144)
Мы считаем поток теплоты направленным от более нагретой стороны площадки
к менее нагретой (градиент температуры в этом направлении отрицателен),
что определяет знак «минус» в формуле (1.44).
Чтобы построить математическую модель изменения температуры в рас-
сматриваемом теле, составим уравнение баланса. Изменение количества теп-
лоты Д<2, в элементе объема ДУ за промежуток времени от момента t до момен-
та t + At
Д(21= У с (М) р (М) [и (М, I -ь At) — и (М, t)J dV (1.45)
av
определяется потоком теплоты Д<?2 через боковую поверхность AS рассматри-
ваемого объема,
t+At
Д<?, = | | к (АГ) da dx (1.46)
* J J дп
t AS
(производная берется по направлению внешней нормали, что определяет знак
«плюс» перед интегралом в (1.46)), и количеством теплоты Д(?3, выделяемой
внешними источниками, распределенными в пространстве и во времени с
плотностью f(M, t),
t+At
Д|?з = J f f (Mi T) dV dx. (1.47)
t AV
Имеем
Д<21 = Д<?2 + Д(?з.
(1-48)
22
ВВЕДЕНИИ
[ГЛ. 1
Преобразовав поверхностный интеграл в выражении для Д(?2 по формуле Ост-
роградского (при этом мы предполагаем необходимую гладкость функций
к(М) и и(М, <)), получим интегральное соотношение баланса теплоты в виде
J с (М) р(М) [и (М, t + Д«) — и (М, t)l dV «
ДУ
t+Д* t+Ai
= J J div [Л (AQ'grad и(М, т)] dV dx-^ J J f(M, т) dV dx.' (1.49}
t ду t ду
Заменив выражение в квадратных скобках в левой части (1.49) по форму-
ле конечных приращений, вычисляя интегралы по теореме о среднем значе-
нии и переходя в полученном выражении к пределу при ДУ->0, As —0, по-
лучим дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет температура
внутри тела D:
ди
с (М) р (М) — div [A (М) grad и (М, t)] + f (М, t). (1.50}
При этом, так же как и при выводе уравнения упругих колебаний (1.38), пред-
полагаем, что неизвестная функция и (М, t) и коэффициенты уравнения (1.50)
обладают достаточной гладкостью. ’
Уравнение (1.50) является уравнением в частных производных — мы по-
строили математическую модель изменения температуры и в пространстве и
во времени. Стационарное распределение температуры под действием не зави-
сящих от времени источников описывается уравнением
div [А (М) grad и (Л/)] +f(M) = 0. (1.51)
Это, вообще говоря, также уравнение в частных производных — температура
аависит от нескольких пространственных координат. В частном случае, когда
стационарное распределение температуры зависит только от одной пространст-
венной координаты, например, в случае распределения температуры в стерж-
не с продольной осью х, получим обыкновенное дифференциальное уравнение
[А (г) и, (*)]« + /(*) =0. (1.52)
Типичными задачами определения частных решений уравнения (1.52) так
же, как и в случае уравнения (1.39), являются краевые задачи о заданными
граничными условиями.
ГЛАВА 2
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
§ 1. Элементарные методы интегрирования
Решение дифференциального уравнения, как правило, не удается
выразить в виде элементарных функций или квадратур от них и для
получения частных решений приходится прибегать к различным
численным методам, эффективность которых неизмеримо возросла
с появлением и развитием современных ЭВМ. Однако до появления
ЭВМ стремление «проинтегрировать дифференциальное уравнение
в квадратурах» определяло одно из основных направлений в иссле-
довании обыкновенных дифференциальных уравнений и привело
к появлению многочисленных справочников *) по решению диффе-
ренциальных уравнений. В настоящем параграфе мы кратко оста-
новимся на некоторых простейших и наиболее распространенных
в приложениях случаях, когда удается получить решение уравнения
первого порядка
(2-1)
в квадратурах. Во многих случаях переменные х и у в (2.1) равно-
правны. Это дает основание наряду с уравнением (2.1) рассматри-
вать и уравнение
dx__ 1
dy~ / (X, уУ
а также уравнение первого порядка, записанное в виде
Л(х, y)dx + fz(x, y)dy = O.
1. Уравнение с разделяющимися переменными. Так называется
уравнение вида
(2-2)
dy fl <x>
dx f2 (y)
(2.3)
или
ft(x)dx + f2(y)dy = 0.
(2.4)
*) См., например, Э. Камке «Справочник по обыкновенным дифферен-
циальным уравнениям» (5-е изд,—М.: Наука, 1976).
24
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. 8
Предположим, что уравнение (2.4) имеет решение в некоторой об-
ласти Z) = {lx — я01 ly — у0|<СЬ} плоскости (х, у). Функции
/,(х) и /2(у) определены и непрерывны соответственно на |ж — х01
и \у — у0| С 6. Подставив это решение в (2.4), получим тожде-
ство, интегрируя которое, будем иметь
J Д (х) dx + J /2 (у) dy = const. (2.5}
Неопределенные интегралы в (2.5) носят название квадратур, от-
куда и возник термин «интегрирование уравнения в квадратурах».
Выражение (2.5) можно переписать в виде
Ф(х, у) = С. (2.6)
Это означает, что функция Ф(х, у) сохраняет постоянные значения
на решениях уравнения (2.4) (различным решениям отвечают раз-
личные постоянные).
При каждом фиксированном значении С выражение (2.6) опре-
деляет некоторое частное решение у = у(х) уравнения (2.4) как
неявную функцию переменного х. Если же С рассматривать как
параметр, то выражение (2.6) определяет семейство решений у =
— у(х, С). Выражение (2.6) называется интегралом соответствую-
щего дифференциального уравнения. Если выражение (2.6) пли
в более общем случае выражение вида Ф(х, у, С) = 0, в котором С
рассматривается как параметр, определяет все множество решений
соответствующего дифференциального уравнения, то это выражение
называется общим интегралом данного дифференциального уравне-
ния, а полученное из него выражение у = у(х, С), содержащее все
решения данного уравнения, называется общим решением данного
дифференциального уравнения.
Выражение (2.5), очевидно, является общим интегралом уравне-
ния (2.4).
Чтобы выделить частное решение уравнения (2.4), определяемое
начальным условием
у(хс) = у0, (2.7)
достаточно в выражении общего интеграла (2.5), записанного в виде
х Ч
У Д (х) dx + j /2 (у) dy = Clr
*0 «о
определить постоянную Ct. Требование удовлетворения начальному
условию дает С, = 0, откуда искомое частное решение в неявной
форме определяется интегралом
X у
j /i (х) dx + j f2 (у) dy = 0. (2.8)
3 и
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
25
Легко видеть, что ряд уравнений может быть приведен к уравне-
нию с разделяющимися переменными (2.4). Так, уравнение
А gi(У) dx 4- /2 (x)g2 (у)Uy = 0 (2.9)
после деления на gt(y)/z(z) приводится к требуемому виду. Надо
иметь в виду, что при этом могут быть потеряны частные решения,
обращающие в нуль произведение gi(y)/z(^).
П р и м е р 2.1. Простейшим уравнением с разделяющимися переменными
является уравнение
dy
- ^=/(ж). (2.10)
Его общий интеграл имеет вид
у-J/(x) = (2.11)
а частное решение, удовлетворяющее начальному условию (2.7) —
У = J f U) dx -f- у0. (2.12)
*о
В случае уравнения (2.10) с постоянной правой частью
du
di = a (213>
получим частное решение, удовлетворяющее начальному условию (2.7), в виде
У = а (х — ха) + у а- (2.14)
Пример 2.2.
/о 4гл
Сделаем замену искомой переменной, положив z = у/х. Так как при этом
dy dz
9 ~ xz' die ~ х dx' z' т0 УРавнение (2-15) переходит в уравнение
х dz + [z— f{z)}dx = Q (2.16)
вида (2.9).
К виду (2.9) приводится и уравнение
•^ = /(^ + М. (217)
где а и Ь — постоянные. -Введем новую искомую переменную z = ах + by.
Тогда
rfz du
dx ~~ а b dx’
и уравнение (2.17) переходит в уравнение
dz — [а + bf(z)]dx — 0. (2.18)
Рассмотрим теперь уравнение
М(х, y)dx 4- N(х, y)dy = 0, - (2.19)
20
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. 2
где М(х, у) и N(x, у)— однородные функции переменных х, у одной
степени. Функция f(x, у) называется' однородной функцией пере-
менных х, у степени к, если имеет место соотношение
/(te, ty) = thf(x, у). (2.20)
(у \
7) является однородной функцией нулевой степени.
Записав уравнение (2.19) в виде
мы видим, что при сделанных предположениях относительно функ-
ций М(х, у) и N(x, у) правая часть (2.21) является однородной
функцией нулевой степени и, следовательно, с помощью замены
z = ylx, так же как в примере 2.2, уравнение (2.19) приводится
к уравнению типа (2.9).
2. Линейное уравнение первого порядка. Уравнение называется
линейным, если оно линейно относительно неизвестной функции и
ее производных. Линейное уравнение первого порядка имеет вид
% + p(z)y{z) = -f(z). (2.22)
Если /(х)^0, то уравнение называется однородным. Как легко ви-
деть, линейное однородное уравнение
| + р(*) !/(•*) = 0 '(2.23)
dy ,
приводится к уравнению с разделяющимися переменными — +
4- р (х) dx = 0, общий интеграл которого имеет вид
lnli/l + j p(x)dx = Clf (2.24)
а общее решение —
у _ Ce-№ (2.25)
где С =/= 0. Очевидно, что частное решение у(х}= 0 уравнения (2.23),
которое мы потеряли, разделив (2.22) на у, содержится в формуле
(2.25) при С = 0. Поэтому (2.25), где С — теперь уже любое вещест-
венное число, является общим решением уравнения (2.23).
Из (2.25), записывая первообразную J р (х) dx в виде определен-
я
ного интеграла J р (х) dxt получим частное решение уравнения
“о
(2.23), удовлетворяющее начальному условию у(яо) = Уч в виде
X
- J p(x',dx
У = Уое
о
(2.26)
§ и
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
27
Заметим, что по самому способу построения формула (2.26) яв-
ляется доказательством единственности решения начальной задачи
для уравнения (2.23), в предположении, что это решение существу-
ет. Действительно, подставляя любое решение начальной . задачи
в уравнение (2.23) и проводя последовательно преобразования
(2.24)—(2.26), мы всегда придем к одному и тому же результату —
формуле (2.26). Чтобы доказать существование решения данной за-
дачи, достаточно путем непосредственной проверки убедиться, что
для непрерывной функции р(х) функция у(х), определенная форму-
лой (2.26), удовлетворяет всем условиям начальной задачи для урав-
нения (2.23). Очевидно, подобные рассуждения можно провести
и в случае начальной задачи для уравнений с разделяющимися
переменными, рассмотренных в п. 1 настоящего параграфа.
Решение линейного неоднородного уравнения (2.22) найдем ме-
тодом вариации постоянной, который состоит в том, что мы исполь-
зуем специальную замену неизвестной функции
У (*) = С (х) (2.27)
где С(х) — функция, подлежащая определению. Подставляя такой
вид решения в уравнение, получим
g e-jP(3c)dx _с^р + р (я) С = у
откуда
Интегрируя это равенство, найдем
С (х) = J f(x) e№x)dx dx + Clt
и окончательно
В « - С1е-!МЛ + 3’““ J t W г1*'"1 *. (2.28)
Из полученного выражения следует, что общее решение линей-
ного неоднородного уравнения (2.22) представляется в виде
суммы общего решения (2.25) линейного однородного уравнения
(2.23) и частного решения неоднородного уравнения (2.22), в чем
легко убедиться, подставив второе слагаемое формулы (2.28) в не-
однородное уравнение (2.22).
Решение начальной задачи у{хй)’=у1> для уравнения (2.22) най-
дем, определяя из начального условия постоянную (\ в формуле
(2.28). При этом в качестве первообразных функций, записанных
28
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. 2
в (2.28) в виде неопределенных интегралов, удобно взять определен-
X
ные интегралы J. Тогда С\ -= у0 и
“о
х а £
- f КМ - f P&)dl х J P(£)d£
У^) = уое *e +eX” J
“o
t. e.
— x — Jji(E)d£
j/(x) = y0« +Je* /(£)<£• (2-29)
X
0
Таким образом, искомое решение определяется как сумма решения
однородного уравнения (2.23), удовлетворяющего заданному началь-
ному условию г/(х0)= г/0, и решения неоднородного уравнения, удов-
летворяющего нулевому начальному условию.
Представление (2.29) получено в предположении существования
решения. Оно доказывает единственность решения начальной задачи
для неоднороного уравнения (2.22).
Существование решения начальной задачи для уравнения (2.22)
при непрерыйпых функциях р(х) и /(х) устанавливается непосред-
ственно подстановкой формулы (2.29) в уравнение и начальное
условие.
Замечание. Единственность решения этой задачи можно уста-
новить, пользуясь также следующими рассуждениями, характерными
вообще для линейных задач. Предположим, что существуют два раз-
личных решения начальной задачи j/i(x) и j/2(x). Рассмотрим их
разность z(x) = У1(х)~Уг(х). Очевидно, функция z(x) является ре-
шением начальной задачи для соответствующего однородного урав-
нения с нулевым начальным условием
g + р (х) Z (х) = О, Z (х0) = 0.
Отсюда, в силу единственности решения начальной задачи для ли-
нейного однородного уравнения, следует, что z(x) = 0,
Получим важную оценку роста решения начальной задачи для
линейного уравнения. Пусть в уравнении (2.22) функции р(х) и
/(х) на рассматриваемом промежутке изменения независимой пере-
менной удовлетворяют условиям
|р(х)|«£А, |/(х)|^Л/.
(2.зо);
611
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
29
Тогда для решения начальной задачи из представления (2.29) для
х х0 следует оценка
|Л (*)1 < IУпI РЯ"’в) - 1). (2-31>
В заключение этого пункта укажем некоторые часто встречаю-
щиеся в приложениях уравнения, которые соответствующими под-
становками могут быть сведены к линейному уравнению.
Рассмотрим так называемое уравнение Бернулли
g + рИу = №)у\
где п =£ 4, иначе уравнение уже линейное. Введем новую неизвест-
ную функцию z = у'~п. Тогда уравнение перейдет в линейное
уравнение
г=т£ +
общее решение которого дается формулой (2.29).
Более сложное уравнение Риккати
£ + Р (*) У U) + У (*) У2 (*) = /(*)
в общем случае в квадратурах не интегрируется. Однако оно облада-
ет следующим важным свойством: если известно какое-либо частное
решение y = yi(x) уравнения Риккати, то нахождение его общего
решения сводится к решению линейного уравнения. Действительно^
введя новую неизвестную функцию
z(z) = y(z)-p,(z),
получим для нее уравнение Бернулли
+ IP (*) + 2g (х) у1 (г)] z(x) + q (х) z2 (х) = О,
что и доказывает высказанное утверждение.
3. Лемма о дифференциальных неравенствах. В дальнейшем бу-
дет использовано следующее утверждение.
Лемма 2.7 (лемма о дифференциальных неравенствах). Пусть
функция z(x) непрерывна и имеет кусочно непрерывную при х^
[z0, X] производную, удовлетворяющую неравенству
+ _ (2.32>
где N^O, а 5* О— положительные постоянные. (В точках разрыва
производной неравенству (2.32) удовлетворяют ее предельные зна-
чения.) Тогда имеет место оценка
lz(z) I s (z), ze(z0, A’], (2.331
so
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
(ГЛ. 2
где s{x)— решение начальной задачи для линейного дифференциаль-
ного уравнения
%~Ns + a, з(хо) = Ь>]г(хо)|^О. (2.34)
Доказательство этой леммы проводится аналогично дока-
зательству теоремы Чаплыгина. Рассмотрим функцию s(x), являю-
щуюся решением начальной задачи
= TVs + а,; , s (х0) ==&>&,
где N > N, а > а, Ъ > Ь, а в остальном N, а, Ъ — произвольные числа.
Заметим, что ?(х)>0. Так как (^о) < Т" (^о)> то в некоторой
CLX dX
-окрестности правее точки х« имеет место неравенство z(x)<s(x).
Пусть х = х, > ха — наименьшее значение х, при котором это нера-
венство нарушается, т. е. z(xj) = s(xt). Но тогда
£(*i) >£(*i) = Ь (*i) + a = Nz (хх) 4- а„
что противоречит (2.32), (Если xt — точка разрыва производной, то
dz .
вместо в неравенство входит левая производная от z в точке Xi.)
Аналогично из неравенства (х0) > — (х0) следует, что в окрест-
dX dx
ности х0 имеет место неравенство z(x)> — s(x), и первое нарушение
этого неравенства при х = х2>х0, т. е. равенство z(x2) = s(x2), при-
водит к тому, что -т- (#2) — Т' (х2/> а отсюда опять следует противо-
dX их
речие с (2.32).
Таким образом, справедлива оценка
. , , । . Т N(x—хп\ а ( Н(х—ха) ,\
| z (х) I < s (х) = be v + 0> — 1)
(для s (х) здесь выписано явное выражение, найденное, например,
по формуле (2.29)). Так как N = N + е2, а — а+е2, И = Ь + е.3
(ef>0, i = l, 2, 3), то, переходя в последнем неравенстве к пределу
-* 0, получим оценку
I ‘ WI < -1) -. W,
где з(х) — решение начальной задачи (2.34). Лемма доказана.
Функцию з(х) запишем также в удобном для дальнейшего виде
s(x) = bsl(x) + as2(x), (2.35)
где
S1 (х) = (2.36)
8 2]
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
31
1). (2.37>
Замечание. Оценку (2.31) легко получить из доказан-
ной леммы. /
§ 2. Теоремы существования п единственности решения
начальной задачи для одного уравнения первого порядка,
разрешенного относительно производной.
Алгоритм ломаных Эйлера
В предыдущем параграфе с помощью явных формул было до-
казано существование и единственность решения начальной задачи
для линейного уравнения (2.22). Перейдем теперь к рассмотрению
соответствующих теорем для начальной задачи (задачи Коши)
^ = /(^,У)« = (2.38>
при достаточно общих условиях, наложенных на функцию /(х, у).
При этом доказательство будет опять проведено конструктивным
путем — одновременно с доказательством теоремы существования
решения задачи (2.38) будет дан алгоритм построения функции
у(х), сколь угодно точно аппроксимирующей решение исходной за-
дачи. Идея этого метода принадлежит Эйлеру. Метод состоит в том,
что интегральная кривая, являющаяся решением задачи (2.38), по-
следовательными шагами приближенно заменяется некоторой лома-
ной — ломаной Эйлера.
Пусть функция /(х, у) задана в области G плоскости (х, у)<
Построим в этой области замкнутый прямоугольник £> = {|х —х0|
< а, |у — у<>| < Ы с центром в начальной точке (х0, у0) и поставим
своей целью определение интегральной кривой у(х), выходящей из
данной начальной точки (х0, у0) и идущей в сторону возрастаю-
щих X > Xt>.
Предположим, что в G функция /(ж, у) непрерывна и удовлетво-
ряет условию Липшица по переменной у
1/(^, #1)- f (Я, у2) I Alyi - у21, (2.39)
где N — постоянная, не зависящая ни от х, ни от у. Заметйм, что из
непрерывности функции /(х, у) в замкнутой области D следует ее
ограниченность в данной области:
|/(х, у)|СА/, (х,у)е£>. (2.40)
Искомая интегральная кривая, если она существует, пересечет
либо вертикальную х = х0 + а, либо горизонтальную у = у0 + Ъ или
у — уо — Ь границу области D. В последнем случае абсцисса точки
пересечения меньше х„ + а и искомая интегральная кривая определе-
на не на всем отрезке х0 х =£ х0 + а. Однако из простых геометри-
32
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
(ГЛ. 2
ческих соображений (Ъ/М^а— см. рис. 3, Ь/М^а— рис. 4; I —
интегральная кривая, проходящая через точку (ха, у<>); II —прямые
с тангенсом угла наклона, равным ±М) ясно, что до точки х0 + ~
она не пересечет горизонтальной границы. Поэтому в дальнейшем
Рис. 4
Рис. 3
вместо области D будем рассматривать прямоугольник А =
= {|х — д?01 Н, \у — i/oI Ь), где Н = min {а, ЫМ).
Перейдем .теперь к построению ломаных Эйлера. Разобьем отре-
зок [х0, X], X — ха + Н на п частей точками х = ха, х^ хг, ..., хп = X.
Обозначим Xi — Xt-i = ht и h — max {hj}. На первом шаге «заморозим»
f(x, у) в точке (х,, у0), т. е. заменим правую часть (2.38) значением
/(х0, Уо). Тогда получим уравнение с постоянной правой частью
$ = Ж,//о), (2.41)
интегральной кривой которого служит отрезок прямой
У (*£)= У» 4* f (х0, Уо} (х Хо}, х [хо, (2.42)
В точке это решение принимает значение i/i — у» +
+ f(x0, Уо) (xt — х0). На втором шаге примем за новую начальную
точку (xi, У1) и опять, заморозив /(х, у) в этой точке, построим сле-
дующее прямолинейное звено и т. д.
Полученная таким путем ломаная называется ломаной Эйлера.
Нетрудно видеть, что на отрезке [х0, X] ломаная Эйлера пе выйдет
из прямоугольника А. Действительно, из (2.42) получим, что при
х s [х0, Xi] у(х) удовлетворяет неравенству
|у (х) — у о I М (х — Хо) МН < Ь,
т. е. первое звено ломаной не выходит из А. Поэтому 1/(хь у,)|
С М. Тогда на следующем шаге х s [х1( х2] имеем
1у (*)-У«1 1у(^)~У11 + lyi-i/ol =
= l/(xi, г/t) I (x-Xi)+ lyt-J/ol
г? М(х — Х4) + М (Xi — Хо) = М (х — Хо) < МН < Ь,
х. е. и второе звено ломаной Эйлера пе выходит из А. Продолжая
аналогично, получим, что и вся ломаная Эйлера не выходит из А.
? 21
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ
33
При достаточно мелком шаге разбиения естественно считать
ломаную Эйлера приближенной интегральной кривой. Таким обра-
зом, мы получаем алгоритм построения приближенного решения
начальной задачи.
Для обоснования описанного алгоритма достаточно доказать,
что последовательность ломаных Эйлера {у (п) (х)} при h -► 0 схо-
дится и предельная функция у(х) является решением начальной
задачи (2.38). Это одновременно является и доказательством тео-
ремы-существования решения начальной задачи.
Определение. Непрерывная на отрезке [^0, X] функция у(х)
с кусочно непрерывной. производной график которой целиком
лежит в Д, называется е-приблишенным по невязке ре-
шением начальной задачи (2.38), если |у.(х0) —у0| е и
при подстановке функции у(х) в уравнение (2.38) последнее при-
нимает вид ' /
= f (^, У) + (2-43)
где невязка i|?(x) удовлетворяет неравенству
sup | ф (х) | е.
х=[х0,Х]
(2-44)
Очевидно, точное решение начальной задачи, если оно сущест-
вует, можно считать е-приближенным по невязке решением
при е = 0.
Пусть для любого е > 0 существуют е-приближепные по невяз-
ке решения начальной задачи (2.38). Тогда имеет место следую-
щая лемма.
Лемма 2.2. Для любого сколь угодно малого е > 0 можно ука-
зать такое е(>0, что все е.,-приближенные по невязке решения
задачи (2.38) отличаются между собой на отрезке [х^,, X] не более,
чем на 8.
Доказательство. Возьмем два произвольных бгприближен-
пых по невязко решения задачи (2.38) y<i}(x) и ут(х). Очевид-
но, что
££(1) =/(*,£(.)(*)) +1Мт),; (2-45)
= /(*,Р(2)(*)) + Ы*), (2-46)
где
I У( 1) (*0) — У(2) (*0) I 2&j, (2.47)
sup | ipi (ж) — (х) К 2ev (2.48)
XSpO.A]
84
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. 2
Обозначим
. */(2) СО — Ум СО = 2 (О,: (2.49)
- ^2 (х) — 'I’l (О = Ф СО- (2.50)
Вычитая (2.45) из (2.46), получим
- £“/(*>W*))-f(x>£(i)C0) + ФСО- (2-51>
Так как У(1)(х) и ут(х) ие выходят из Д, где функция f(x, у)
удовлетворяет условию Липшица (2.39), то из (2.51) получим диф-
ференциальное неравенство
|g|< JV|z| + 2er. (2.52)
В силу леммы 2.1 имеем
|z(z)l ^s(x), (2.53)
где s(x) — решение начальной задачи
^ = ^+261, s(x0) = |z(x0)|. (2.54)
Воспользовавшись явным выражением функции s(x) (2.35), по-
лучим
Так как на основании оценки (2.47) |z(ar0) I < 2et, то это неравен-
ство принимает вид
12 СО I = I Ум(х)~Ум СО I < 2ei [еЛ(х"Хо) + (<?Л(Ж“Х(,) — 1)J. (2.55)
Отсюда
sup |у(2) (^ — У(1)(^)|<2е1Гелн + 1 (eVH —1)1 = 2ехй, (2.56)
[ N J
где Q > 0 — не зависящая от et постоянная. Выбирая e1<e/(2Q),
мы и получим утверждение леммы.
Пусть {yw(x)}— некоторая последовательность е„-прибл пшен-
ных по невязке решений, т. е.
sup 14’п (х) | < е,„ | у(п) (х0) — у0 | < ип. (2.57)
xG[x0,XJ
Определение. Если lim е„ = 0, то Последовательность {у{н}(х)}
П-><Х>
назовем сходящейся по невязке.
Так как в оценке (2.56) постоянная Q не зависит от х, то из
леммы 2.2 следует, что сходящаяся по невязке последовательность
сходится равномерно па [х0, X].
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ II ЕДИНСТВЕННОСТИ
35
S 2)
Имеет место следующая основная теорема.
Теорема 2.1. Пусть в начальной задаче
у), У (*о) = Уо
функция f(x, у) в области D непрерывна и удовлетворяет условию
Липшица по переменной у. Тогда последовательность у{п}(х'), схо-
дящаяся по невязке на отрезке [ar0, X], сходится равномерно на
зтом отрезке к функции у(х), являющейся решением начальной
задачи.
Доказательство. В силу леммы 2.2 последовательность
{у(п) (я)} удовлетворяет критерию Коши равномерной сходимости
на отрезке [х0, X]. Тем самым существует функция у(х), к которой
последовательность {!/(,>) (я) 1 сходится равномерно, и эта функция
будет непрерывной, поскольку yw(x) непрерывны.
Подставим е„-приближенное решение у{п} (х) в уравнение (2.38)
и заменим получающееся при этом тождество эквивалентным ин-
тегральным соотношением (см. лемму 1.1)
У(Ю (X) = У(П) (х0) + J [/ (£, ум (£)) + фп (В)] (%. (2.58)
хо
Так как II =5 е„ и 1у(„, (х0) — гл>1 < е„, то, переходя в (2.58.) к пре-
делу- при е„ 0, получим
X
У(х) = У0 + J f&y (&)<%. (2.59)
*0
Из последнего тождества следует, что предельная функция у(х)
дифференцируема. Дифференцируя, находим
g = /(^,Z/). (2.60)
Кроме того, у(х0) = у0. Таким образом, предельная функция после-
довательности {у(пу{х)} является точным решением начальной за-
дачи (2.38). Теорема доказана.
Для доказательства теоремы существования решения начальной
задачи (2.38) нам теперь остается' показать, что существует сходя-
щаяся по невязке последовательность е„-приближенных по невязке
решений этой задачи. Сейчас мы покажем, что построенные выше
ломаные Эйлера образуют такую последовательность.
Теорема 2.2. Если выполнены условия теоремы 2.1, то последо-
вательность ломаных Эйлера при h-> 0 сходится равномерно на
отрезке X] к функции у(х), являющейся решением начальной
задачи.
Доказательство. Так как начальные значения ломаных
Эйлера У[П}{х) по построению совпадают с у0, то достаточно убе-
86
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
1ГЛ. 2
диться в том, что при h -+ 0 невязки ipn (я) равномерно на [х0, X]
стремятся, к нулю.
Подставляя ломаную Эйлера у(п} (х) на произвольном шаге
x.^x^X'+i в уравнение (2.38), для невязки фп(х) получим
(*) = У(п) (ж) — / (х, У(П) (х)) =
*= /(zs, J/(n) (*»)) — f(x, ?«(*)), x<= [xs, xJ+J. (2.61)
Поскольку lx —x.lCA и y(n}(x) = yw(xs) + (x — x,)f(x„ У(пу(х,)),
x e [x„ x,+J], то имеет место оценка
|j/(„) (x) — yln) (x.) I C Mh. (2.62)
В силу равномерной непрерывности функции /(х, у) отсюда и сле-
дует, что для любого сколь угодно малого е > 0 найдется такое
fe0(e), что при h < /i0(e)
sup | фп (я) | е, (2.63)
что и доказывает, в силу теоремы 2.1, равномерную сходимость на
отрезке [х0, X] последовательности ломаных Эйлера при h -► 0 к
функции у(х), являющейся решением начальной задачи. Теорема
доказана.
Из доказанных теорем следует
Теорема 2.3 (теорема существования). Если функция f(x, у)
в области D непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по
переменной у, то на отрезке [х0, X] существует решение начальной
задачи.
При сделанных предположениях относительно функции f(x, у)
решение начальной задачи (2.38) единственно. Имеет место
Теорема 2.4 (теорема единственности). При выполнении усло-
вий теоремы 2.3 начальная задача (2.38) имеет на [х0, X] единст-
венное решение.
Эту теорему можно рассматривать как следствие леммы 2.2.
Если допустим, что имеются два точных решения задачи Коши, то
их начальные значения совпадают, а их невязки равны нулю. По-
этому по лемме 2.2 эти решения полностью совпадают па отрез-
ке [х0, X].
Кроме введенного выше понятия е-приближенного по невязке
решения часто используется понятие решения, приближенного по
отклонению. Дадим его определение.
Определение. Ограниченная на [х0, X] функция у (х) называется
е-приближенным по отклонению решением задачи
Коши (2.38), если точное решение у(х) задачи Коши сущест-
вует и
sup 1 у (х) — у (х) | е, (2.64)
ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ЕДИНСТВЕННОСТИ'
37
Из предыдущих рассуждений вытекает, что из сходимости по-
следовательности решений, приближенных по неявке, следует и их
сходимость по отклонению.
Заметим, что обратное утверждение неверно: если отклонения
приближенных решений от точного стремятся к нулю, то сами ре-
шения могут при этом иметь сколь угодно большие невязки, более
того, решения, приближенные по отклонению, могут быть не диф-
ференцируемы и даже не непрерывны.
Замечания. 1. Метод ломаных Эйлера не только позволяет
доказать существование решения рассмотренной начальной задачи,
по и дает непосредственный алгоритм построения приближенного
решения, сколь угодно близко аппроксимирующего точное. Этот
метод легко реализовать на ЭВМ. Поэтому он является одним из
эффективных методов численного решения начальных задач. При
его конкретной реализации естественно возникают вопросы точно-
сти полученного приближения и ряд специфических вычислитель-
ных аспектов общей проблемы численных методов. Эти вопросы
подробнее будут рассмотрены в гл. 6.
2. Мы доказали существование и единственность решения р.(я)
начальной задачи (2.38) лишь на отрезке [х0, X]. Пусть функция
/(я, у) непрерывна и удовлетворяет условию Липшица (2.39) в ис-
ходной области G. Так как при х = X интегральная кривая не вы-
шла из области то, взяв точку х = X, у *=у (X) за начальную,
можпо, повторив проведенные выше рассуждения, продолжить ре-
шение на новый отрезок [X, Х^. Можно показать, что, продолжая
этот процесс, удается построить интегральную кривую, сколь угод-
но близко подходящую к границе области G.
Мы рассмотрели алгоритм построения интегральной кривой у(х)
в сторону возрастающих х > ха. Очевидно, аналогичные рассужде-
ния могут быть проведены и для построения интегральной кривой
в сторону убывающих х < х0. При этом соответствующий процесс
построения интегральной кривой можно опять продолжать до тех
пор, пока интегральная кривая пе подойдет к границе области G.
3. Можно доказать существование решения начальной задачи
и при одном требовании непрерывности функции f(x, у) (теорема
Пеапо). Однако одной непрерывности функции f(x, у) недостаточ-
но для единственности решения начальной задачи. Так, например,
задача
У (0) = 0 (2.65)
помимо тривиального решения у = 0 имеет еще решение
у = х74, (2.66)
удовлетворяющее пулевому начальному условию. (Как легко ви-
деть, правая часть уравнения (2.65) в окрестности точки (0, 0)
38
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. 2
имеет неограниченную производную и ие удовлетворяет условию
Липшица.)
4. Если через точку (zo, у0) проходит единственная интеграль-
ная кривая, являющаяся решением задачи (2.38) для данного
дифференциального уравнения, то точка (ж0, у0) называется обыкно-
венной точкой данного уравнения. Точка (х, у) области G, не
являющаяся обыкновенной, называется особой точкой данного диф-
ференциального уравнения. Через особую точку либо не проходит
ни одной интегральной кривой, либо проходит по крайней мере
две интегральные кривые (через особую точку может проходить и
бесконечное число интегральных кривых).
Если в окрестности точки (д?0, у0) выполнены условия теорем
существования и единственности, то точка (х^ у0) будет обыкно-
венной. При этом следует иметь в виду, что нарушение сформули-
рованных выше условий теорем существования и единственности
решения начальной задачи служит лишь необходимым, но не обя-
зательно достаточным условием того, что данная точка является
особой. Поэтому для окончательного решения вопроса, является ли
данная точка особой,, необходимо дополнительное исследование.
5. В начале § 1 гл. 2 указывалось, что во многих случаях сле-
дует наряду с уравнением (2.1) рассматривать уравнение (2.2).
Если при этом в точке (х0, у0) для (24) нарушаются условия тео-
ремы 2.3 в результате обращения f(x, у) в бесконечность, то
1//(х, у) в этой точке обращается в нуль и для уравнения 2.2
условия теоремы существования и единственности выполнены. Та-
ким образом, в этом случае точка (xQ, уа) является обыкновенной,
но проходящая через нее интегральная кривая имеет вертикальную
касательную.
6. Если функция f(x, у) является разрывной в области G, име-
ющей разрывы первого рода на прямых x = xk — const (k = 1, 2, ...
..., N), то даже при условии, что f(x, у) удовлетворяет требовани-
ям теоремы 2.3 на участках своей непрерывности, в области G не
существует обычного, так называемого «классического» решения
начальной задачи (2.38). Однако, как нетрудно видеть, в этом слу-
чае можно реализовать алгоритм последовательного построения ло-
маных Эйлера {у(п)(х)}. Точки разрыва хк мы каждый раз будем
включать в число точек разбиения отрезка [х0, X] и в качестве
замороженного значения функции /(^, у) на шаге, начинающемся
в точке разрыва, брать определенное, например правое, предельное
значение функции f(x, у). При этом предельная функция у(х)
последовательности {yw(x)} при fe-*-0, очевидно, окажется непре-
рывной с кусочно непрерывной производной, имеющей разрывы
первого рода па прямых х — хк. При подстановке функции у(х)
в исходное дифференциальное уравнение невязка • на участках не-
прерывности f(x, у) равна нулю. Эта предельная функция у(х)
является обобщенным решением начальной задачи (2.38) на отрез-
ке X], понятие о котором было дано в § 1 гл. 1.
| 3] УРАВНЕНИЯ ВИДА F(x, у, у') =0 39
§ 3. Уравнение, неразрешенное относительно производной
1. Теорема существования и единственности решения. Перейдем
теперь к рассмотрению дифференциального уравнения первого по-
рядка общего вида
F(x, у, /) = 0 (2.67)’
и выясним достаточные условия существования решений этого
уравнения. Функция F в области своего определения задает соот-
ношение между неизвестной функцией у, ее производной у’ =
и независимой переменной х. Если это соотношение удается раз-
решить относительно производной у', то получаем одно или не-
сколько дифференциальных уравнений первого порядка, разрешен-
ных относительно производной
у' = №,у) (* = !, 2, ...). (2.68)
Пусть функции fk(x, у) в окрестности точки (х0, у0) плоскости
(х, у) удовлетворяют условиям теорем существования и единствен-
ности решения начальной задачи Коши для уравнения первого по-
рядка, разрешенного относительно производной. Тогда через точку
(ха, Уа) проходит по одной и только одной интегральной кривой
Ук(х) каждого из этих уравнений (k = i, 2, ...). Все эти интеграль-
ные кривые являются решениями исходного дифференциального
уравнения (2.67) (при подстановке в уравнение (2.67) функции
ул(х) обращают его в тождество). Направление вектора касатель-
ной к интегральной кривой yt(x) уравнения (2.68) в точке (х0, уа)
определяется значением функции А(хо, у о). Если эти значения
различны, то через точку*(хп, у<>) проходит несколько интеграль-
ных кривых уравнения (2.67) (столько, каково число уравнений
(2.68), полученных при разрешении уравнения (2.67) относительно
производной), но направления векторов касательных к этим кри-
вым в точке (х0, у0) различны. Поэтому, чтобы выделить опреде-
ленное решение уравнения (2.67), надо не только задать начальные
данные — значение решения у (х) в точке z0, т. е.
у(хо) = у<>, . (2.69)
но и значение производной решения в этой точке у’ (г0) = уа. Оче-
видно, это значение не может быть задано произвольно: у0 должно
быть корнем уравнения
^(^о, Уч, /) = 0. (2.70)
Итак, существование решения уравнения (2.67) связано с возмож-
ностью разрешить его относительно у' и существованием решений
уравнений (2.68). Тем самым достаточные условия разрешимости
уравнения (2.67) определяются известными из курса анализа уело-
40 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ [ГЛ. 2
виями существования неявной функции и ее непрерывности вместо
с производной. Имеет место следующая теорема.
Теорема 2.5. (существования и единственности). Если в неко-
тором замкнутом трехмерном прямоугольнике D3 с центром в
точке (ж0, уп, z/o), где у9 — действительный корень уравнения
F (х0, у0, у') —0, выполнены условия-.
а) Г (%, у, у') непрерывна по совокупности аргументов вместе
с частными производными — и о) (а:0, у0, уй) О,
то в окрестности точки х = ха существует решение у = у(х) урав-
нения (2.67), удовлетворяющее условиям
y(xt)<=yo, у'(х0) = уо, (2.71)
причем это решение единственно.
Доказательство. В силу условий а) и б) теоремы, в ок-
рестности точки (#0, у0, р0) выполнены условия существования и
единственности неявной функции
у'~!&У), (2.72)
удовлетворяющей условию ’
Уо = Ц^,У«), (2.73)
причем найдется такой замкнутый прямоугольник D2 с центром
в точке (х0, у»), в котором функция f(x, у) непрерывна вместе с
производной вычисляемой по правилу дифференцирования не-
явной функции
0F
д±__ п ...
dydF ’ (—‘V
gy (х, У, / (х, У))
Ио это означает, что начальная задача у(Жо)=г/о для уравнения
(2.72) имеет, и притом единственное, решение на отрезке
Ix-zol^#, (2.75)
так как выполнены все условия теорем существования и единст-
венности 2.3 и 2.4. Теорема 2.5 доказана.
Если интегральные кривые уравнений (2.68), пересекающиеся
в точке (хо,‘ Уо), имеют общую касательную в этой точке, направ-
ление которой определяется значением у0, то в этой точке, очевид-
но, будут нарушены сформулированные выше условия единствен-
ности решения уравнения (2.67) относительно у'.
Пример 2.3. Рассмотрим уравнение
(/)2— (2л: + у)у' + 2ху = 0. (2.7С)
Разрешая его относительно производной у', получим два уравнения первого
§ 3]
УРАВНЕНИЯ ВИДА F(x, у, у') = О
41
порядка, разрешенные относительно производной,
/ = !/, ' (2.77)
у'.= 2х, (2.78)
правые части которых удовлетворяют условиям теорем 2.3 и 2.4 существова-
ния и единственности решения начальной задачи в любой точке плоскости
(х, у). Общие решения уравнений (2.77) и (2.78) имеют вид
у = С>е* (2.79)
у = х2 + С2, (2.80)
где постоянные Ci и С2 определяются из
деть, через любую точку плоскости
(х, у) проходят как интегральная кри-
вая семейства (2.79), так и интеграль-
ная кривая семейства (2.80), причем в
точках прямой у — 2х кривые этих се-
мейств имеют общую касательную
у'(хй) = 2х0 (рис. 5; 1 — кривая у ='х2,
2 — кривая у = х2 + 1, 3 — кривая у =
= (2/е)е*, 4 — кривая у — (2/е)2ех, 5 —
прямая у = 2х). (В точке (0, 0) интег-
ральная кривая у = х2 касается пря-
мой г/ == 0, являющейся частным реше-
нием уравнения (2.77), которое может
быть получено из формулы (2.79) при
C'j — 0. Эта же интегральная кри-
вая у = х2 пересекается в точке
х = 2, у = 4 с интегральной кри-
вой у = (2/е)2е* семейства (2.79);
причем в этой точке обе кривые
имеют общую касательную у' = 4.)
Прямая у = 2х представляет собой гео-
пачальных условий. Как легко ви-
метрическое место точек, в которых
нарушены условия единственности решения уравнения (2.7G). (В этих точках
пе выполнено условие б), поскольку =0.)
0у 1у=2х
2. Интегрирование уравнения, неразрешенного относительно про-
изводной, путем введения параметра. Доказанная в предыдущем
пункте теорема 2.5 гарантирует при выполнении определенных
условий возможность сведения исходного уравнения (2.67) к урав-
нению (2.68) и разрешимость последнего. Однако практическая
реализация этой возможности и последующее интегрирование полу-
ченного уравнения (2.72) часто вызывают значительные трудности.
Поэтому в ряде случаев представляются-более удобными другие
способы интегрирования уравнения (2.67). Начнем со случая, когда
уравнение (2.67) легко можно разрешить относительно самой не-
известной функции
у (*) = /(*, у'}- (2.81)
Для дальнейшего удобно ввести обозначение у' •= р и перепи-
сать (2.81) в виде
у(х) = !(х, р(х)).
(2.82);
42
общая теория
(ГЛ. 2
Предполагая существование решения у (х) исходного уравнения
(2.67), мы можем продифференцировать соотношение (2.82) по не-
зависимой переменной х. Тогда получим
%- = р (х) = d/. (2.83)
dx / ' дх др ах . ' ’
Полученное соотношение представляет собой дифференциальное
уравнение первого порядка, разрешенное относительно jp Общее
решение (2.83) можно записать в виде однопараметрического се-
мейства
р(з:) = (р(х, С). (2.84)
Отсюда, используя (2.82), получим семейство решений исходного
уравнения (2.67) в виде
y = /(x,(p(a:,C)) (2.85)
и для решения начальной задачи остается определить значение по-
стоянной С из начальных условий.
Пример 2.4. Рассмотрим уравнение
(у')’-ху' + у = 0. ’(2.86)
Очевидно, это уравнение легко переписать в виде (2.82)
у = хр - р\ г (2.87)
dp
откуда р = р + (х — 2р) -j-, т. е.
(x-2p)g = 0. (2.88)
Уравнение (2.88) имеет семейство решений
р(х)=С (2:89)
и, кроме того, решение
р(х) *= х/2. (2.90)
Отсюда, учитывая. (2.87), получим решения исходного уравнения (2.89) в виде
у(х)=Сх — С2 (2.91)
у(х)=х2/4. (2.92)
Легко проверить, что через точку (г0, Уо), принадлежащую области сущест-
вования решения уравнения (2.86), проходят две различные интегральные
кривые (2.91), соответствующие двум значениям постоянной С (рис. 6):
Для выделения единственного решения начальной задачи, проходящего че-
рез точку (хо, у0), должно быть еще задано значение у' (^0) = у0, определяю-
щее направление касательной к интегральной кривой в этой точке. Нетрудно
также усмотреть, что решение (2.92) уравнения (2.86) обладает тем свойст-
§ 3]
УРАВНЕНИЯ ВИДА F(x, у, у') = а
43
вом, что кривая у — ж2/4 в каждой своей точке касается какой-либо кривой
(2.91). Это означает, что кривая у = х2/4 представляет собой геометрическое
место точек, через которое проходят два решения уравнения (2.86),
имеющие общую касательную в этой точке. В точках кривой у = х2/4 пару-»
шается условие б) теоремы 2.5:
dF Г
т-7 = 21/ —XI «, = 0.
дУ 1у=х2/4 У=х
(2.94)
Тем самым решение у — я2/4 оказывается в определенном смысле особым
решением уравнения (2.86).
Прежде чем переходить к рассмотрению общего случая, отметим,
что поскольку в исходном уравнении (2.67) переменные х и у рав-
ноправны, то проведенные выше рассмотрения сохраняют силу и в
том случае, когда исходное уравнение легко разрешить относитель-
но независимой переменной х. Например, это имеет место в случае
так называемого уравнения Лагранжа
z<p(/) + (/4(/) = X(/), (2.95)
линейного относительно переменных х и у. Частным случаем урав-
нения Лагранжа и является уравнение, рассмотренное в при-
мере 2.4.
Перейдем теперь к изложению общего метода интегрирования
уравнения первого порядка (2.67), неразрешенного относительно
производной, путем введения параметра. Обозначив у' = р, запи-
шем уравнение (2.67) в виде
F(x, у, р)=0. (2.96)
Уравнение (2.96) определяет некоторую поверхность в трехмерном
пространстве (х, у, р). Как известно, путем введения двух пара-
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. 2
метров и, V, данная поверхность может быть задана в параметри-
ческом виде
х = Х(и, v), y = Y(u, v), р = Р(и, и). (2.97)
В пашем случае функции X, У и Р связаны соотношением (2.96)
и соотношением dy = p dx. Из последнего соотношения получим
~ du 4-dv = Р (u, v) du + dv\. (2.98)
ди dv ' ’ '13м dv I ' '
Отсюда следует, что величины и и v не могут быть независимыми.
Пусть н = н(н). Тогда из (2.98) получим, что связь параметров
и и v представляет собой обыкновенное дифференциальное уравне-
ние относительно функции v.
дХ dY
dv_ = р^' ди-----ди .99)
причем это уравнение — разрешенное относительно производной. Се-
мейство решений уравнения (2.99) можно записать, в виде
y = <p(u, С). (2.100)
Тогда в силу (2.97) получим семейство интегральных кривых урав-
нения (2.67), записанное в параметрической форме
х = Х(и, ф(п, С)), у = У(п, <р (и, С)), (2.101)
что и решает задачу интегрирования уравнения (2.67).
Очевидно, что в том случае, когда исходное уравнение легко
разрешить относительно переменной у (переменной х):
y=-f(x,p), (2.102)
в качестве параметров и, v в параметрическом представлении
(2.97) следует выбирать оставшиеся переменные х, р (или у, р):
х = х, y = f(x,p), р = р. (2.103)
Как легко проверить, получающееся при этом уравнение (2.99) для
определения функции р(х) будет совпадать с уравнением (2.83).
3. Особые решения уравнения первого порядкй, неразрешенного
относительно производной. В рассмотренном выше примере 2.4 мы
получили особое решение у = х2/4 уравнения первого порядка, не-
разрешенного относительно производной (2.86), обладающее тем
свойством, что во всех его точках нарушена единственность реше-
ния начальной задачи Коши. Рассмотрим теперь в общем случае
условия существования особого решения.
Множество точек (х, у), в которых нарушается единственность
решения 'уравнения (2.67), будем называть особым множеством
этого уравнения. Ясно, что в точках особого множества не выпол-
$ 3] УРАВНЕНИЯ ВИДА F(х, у, у') = 0 45
яено по крайней мере одно из условий теоремы 2.5. Чаще всего
нарушается условие б), т. е. = 0. Тогда при выполнении в
точках особого множества условия а) и нарушении условия б)
в этих точках одновременно имеют место соотношения
Р (*, У, Р) = 0. у, р) = 0. (2.104)
Исключив р из соотношений (2.104), получим неявное уравнение
так называемой р-дискриминантной кривой
Ф(х, у) = 0. (2.105)
Будем называть особым решением интегральную кривую, во всех
точках (х, у) которой = 0. Если какая-либо из ветвей р-дис-
криминантной кривой представляет собой интегральную кривую
уравнения (2.67), то она является его особым решением. Заметим,
что не обязательно всякая р-дискримипантная кривая представляет
собой особое решение уравнения (2.67), она может и не являться
интегральной кривой этого уравнения. Так, например, как легко
проверить, в случае примера 2.3 р-дискриминантная кривая у “ 2х
уравнения (2.76) не является интегральной кривой, а тем самым
и особым решением этого уравнения. Найденное в примере 2.4 осо-
бое решение у = х2/4 уравнения (2.86) является его р-дискрими-
нантной кривой.
В тех случаях, если множество решений уравнения (2.67) мо-
жет быть записано в виде одпопараметрического семейства
Ф(х,у,С) = 0, (2.106)
в котором значения постоянной С определяют различные интеграль-
ные кривые, и семейство функций (2.106) имеет огибающую
y = j/(x), то, очевидиц, эта огибающая также является интеграль-
ной кривой уравнения (2.67) и через каждую точку огибающей
проходит интегральная кривая семейства (2.106), имеющая в этой
точке общую касательную с огибающей. Тем самым огибающая
семейства интегральных кривых (2.106) представляет собой особое
решение' уравнения (2.67). Как известно, огибающая однопарамет-
рического семейства (2.106)- может быть найдена путем исключе-
ния параметра С из соотношений
Ф(х, у, 0 = 0, g(x, у, 0 = 0. (2.107)
•J и
Полученная при этом кривая V (х, у) = 0 называется С-дискрими-
нацтнбй кривой. Так, найденное в примере 2.4 особое решение
у = х2/4 уравнения (2.86) является, как легко проверить, С-дискри-
минаптной кривой семейства решений (2.91).
В заключение заметим, что система соотношений (2.107) опре-
деляет не только огибающую семейства (2.106), по и множество
46
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. 2
кратных точек этого семейства, в которых частные производные
йф - -
и или не существуют, или одновременно обращаются в
нуль. Поэтому условием существования огибающей семейства
(2.106), а тем.самым и особого решения уравнения (2.67) является
5Ф йФ
существование ограниченных частных производных и —,
удовлетворяющих условию
§ 4. Теоремы существования и единственности
решения нормальной системы
Основные идеи метода ломаных Эйлера могут быть использованы
для конструктивного доказательства существования решения не
только в случае одного уравнения, разрешенного относительно про-
изводной, но и в случае нормальной системы. Эти вопросы и состав-
ляют основное содержание настоящего, параграфа.
Итак, рассмотрим начальную задачу для нормальной системы
уравнений первого порядка
ЙУ;
У1, Ут), (2.109)
yi(ta) = yl г = 1,2, ...,тп.
Пусть функции fi(t, yt, ..., ут) определены в области D, пред-
ставляющей собой (т + 1)-мерный параллелепипед
D = (|i— £0|О, \yi — yi\<,bi (г = 1, 2, ..., те)}
с центром в точке (t0, у”, ..., гД). Предположим, "что в области D
функции yt, ..., уп) непрерывны (и, следовательно, ограпиче-.
ны) и удовлетворяют условию Липшица по переменным yt, ..., у,„,
т. е.
1/<(^ Уь • ••, гм)1
т
I fi У1> • • •, Ут) fi (^, У1, • • •, Ут) 2 I У) Уз It (2.110)
причем постоянные М и N не зависят от I.
Повторяя рассуждения, проведенные в случае одного уравнения,
легко установить, что исковая интегральная кривая (если она су-
ществует) не выйдет из области D на отрезке [£0, 71] изменения не-
зависимой переменной t, где Т = t0 + Н, а значение II определяется
как
{min ЬД
a, -ijjj-). (2.111)
ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ
47
S 4j
Для построепия ломаной Эйлера па отрезке [f«, Г] разобьем этот
.отрезок на п частей точками деления t0, tt, .tn=*T и так же, как
и в § 2, обозначим ti — = hi, h — max Ztj.Ha первом шаге «замо-
i
розим» функции ji(t, J/i, yn) В точке (f0, У®, . . . , Ут) и, ин-
тегрируя полученные уравнения с постоянными правыми частями,
найдем значения функций у,(1) на отрезке [i0, tj:
У> (0 -= У? + А Go, Уъ ..., У°т) (t - U- (2.112)
Найденные функции определяют в (т+1) -мерном пространстве
переменных t, уь ..., ут па участке [£0, Л] некоторый прямолиней-
ный отрезок, который является первым звеном ломаной Эйлера.
Значения функций yf(0 в точке t = tl примем за новые началь-
ные значения и, повторяя вышеописанный алгоритм, получим ло-
маную Эйлера па отрезке [£0, Г]. При помощи оценок, аналогичных
оценкам в случае одного уравнения, проведенным в § 2, можно
доказать, что построенная по данному алгоритму ломаная Эйлера
ла отрезке [f0, 71] не выйдет из области D.
Введем понятие е-приближенного по невязке решения началь-
ной задачи (2.109), аналогичное соответствующему понятию для
случая одного уравнения.
Определение. Непрерывная ' на отрезке [£0, Г] вектор-функция
y(t) — (yi(t), • • •, У«(0) с кусочно непрерывными производными
dih,
график которой целиком лежит в области D, называется
е - приближенным по невязке решением начальной за-
дачи (2.109), если
maxlyJQ — у® | < е,
г
и при подстановке функций yt(t) в уравнения (2.109) получим
dy; ~ ~
^ = А(АУ1, ...,Ут) + фг(0, (2.113)
где невязки г|^(/) удовлетворяют неравенству
max sup | фг (01 е. (2.114)
г гер0,т]
Чтобы доказать, теорему существования, так же, как и в случае
одного уравнения, докажем, что последовательность ломаных Эйле-
Ра{у<п)(01 при h -* 0 образует равномерно сходящуюся на отрезке
1^0, последовательность е„-приближеиных по невязке решений
начальной задачи, а предельная вектор-функция этой последова-
тельности y(t) удовлетворяет всем условиям исходной задачи
(2.109). Это делается путем рассуждений, аналогичных проведен-
ным в § 2.
48
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. 2
Лемма 2.3. Для любого е>0 можно указать такое ejX), что
все ^^приближенные по невязке решения начальной задачи (2.109)
различаются между собой на отрезке [<0, Т] не более, чем на е.
Доказательство. Возьмем два ei-приближенных по невязке
решения задачи (2.109) y(i)(i) и y^lt). Это значит, что
= /i G, У <.1)1, • •. , У(1)т) + (/),; (2.115)
У<2)1 = fi (h У(2)1.....У(2)т) + 4>(3)i (0j (2.116)
где
щах | ^0)j (Q — yWi (f0) | < 2elt (2.117)
max sup | ip(j)i (0 — ip(2)i (t) |< 2ev (2.118)
i tG[«0,r]
Полагая
Z/(2)t('i) — j/(iji(i) = z((i), (2.119)
ф<2)<(0 —,Ф(*>'(0 = Ф<(0 (2.120)
и вычитая (2.115) и;г (2.116), получим
-^ = A (t, У(2)1, У(2)т) — h (t, уМ1, ..., У(1)т) + epi (t). (2.121)
Так как y^ilt) й ywt(t) не выходят из области D, где функция
ji(t, yh ..., ym) удовлетворяет условию Липшица (2.110), то имеет
место оценка
<^2h;(/)| + 2gl. (2.122)
2=1
Введем функцию р(0— у zf (/) и рассмотрим ее произ-
водную
1V
dt р ’ dt ’
Тогда, учитывая, что IzJ Ср, в силу оценки (2.122) получигн
m . , .
5 <S™’P + 2'»».. <2-'23>
г=1
|^|<Мп2р + 2теР (2.124)
В силу леммы 2.1 для р справедлива оценка
p(t)Cs(i),
S 4]
ТЕОРЕМА существования для системы
49
где s(i) — решение начальной .задачи для линейного уравнения с
постоянными коэффициентами
/?<?
— = Nrn^s + 2?ne1, s(i0) — р (Zo). (2.125)
at
Согласно (2.117) начальное значение s(i0) удовлетворяет неравен-
/т
У z? (<0)< 2/тп ех. Поэтому для p(t) окоп-
V '<=1
чательно получим
p(/)<2ymeje +л5г'е
С 2ех [ елт2'г + (eA^r - 1) ] = 2еА (2.126)
где постоянная Q не зависит от еь Очевидно, оценка (2.126) спра-
ведлива и для |zf(i)l (i= 1, ..., zn). Выбирая е> = е/(2Q), мы и
получим утверждение леммы.
Определение. Последовательность еп-приближенных по невязке
решений уw(t) назовем сходящейся по невязке, если е„-*0.
Из доказанной леммы следует, что всякая последовательность
{.У(п)(^)), сходящаяся по невязке, является равномерно сходящейся
на отрезке [?0, Г].
Последующие теоремы доказываются полностью аналогично со-
ответствующим теоремам в случае одного уравнения.
Теорема 2,6. Пусть в начальной задаче
dy.
-М = fi(t, у±, ..у,п), yi(ta)=-yi, i = l, ...,m,
функции yt, ..., у,„) в области D непрерывны и удовлетворяют
условию Липшица по переменным yh ..., ym. Тогда последователь-
ность сходящаяся по невязке на отрезке [Zo, Т], сходится
равномерно на этом отрезке к функции y(t), являющейся решени-
ем начальной задачи.
Теорема 2.7. Если выполнены условия теоремы 2.6, то последо-
вательность ломаных Эйлера при h->- 0 сходится равномерно на
отрезке [f«, Г] к функции у (I), являющейся решением начальной
задачи.
Отсюда следует
Теорема 2.8 (существования). Если функции fi(t, yt, ..., уп)
(г = 1, ..;, m) в области D непрерывны и удовлетворяют условию
Липшица по переменным yh ..., ym, то на отрезке [t0, Г] существу-
ет решение начальной задачи.
Так же как и в случае одного уравнения, имеет место
Теорема 2.9 (единственности). При выполнении условий теоре-
мы 2.8 начальная задача ~ (2.109) имеет на [#0, Т] единственное
решение.
so
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. 2
Итак, теоремы существования и единственности решения на-
чальной задачи для нормальной системы полностью доказаны. При
этом замечания, сделанные в § 2 по поводу теорем существования
и единственности решения начальной задачи для одного уравнения,
остаются справедливыми и в случае нормальной системы.
В гл. 1 было показано, что уравнение n-го порядка (1.6) экви-
валентно нормальной системе (1.8). Отсюда следует, что если пра-
., „. v . du dn~iy )
вая часть уравнения (1.о)— функция ] г, у, тг, ..., ——г- — удов-
1 at fit1 а I
летворяет условиям теоремы 2.8, то решение начальной задачи для
(1.6) существует и единственно.
Особо следует подчеркнуть, что рассмотренный метод доказа-
тельства теоремы существования с помощью ломаных Эйлера пред-
ставляет собой теоретическую основу эффективных алгоритмов чис-
ленного решения начальной задачи для достаточно сложных систем
дифференциальных уравнений, приведенных к нормальному виду.
В дальнейшем (в гл. 6) будут рассмотрены и другие, более совер-
шенные в практическом отношении алгоритмы численного решения
дифференциальных уравнений (улучшающие, например, быстроту
сходимости приближений). Сейчас ограничимся примером числен-
ного решения задачи для достаточно сложной нормальной системы,
которое практически осуществимо только при использовании со-
временных ЭВМ.
§ 5] ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ ПАРАМЕТРОВ 51
Рассмотрим задачу о движении ракеты в межпланетном прост*
рапстве, испытывающей тяготение со стороны Земли, Луны, Солит
ца. Такая задача возникает при расчете полета ракеты к Луне*
Это движение описывается системой уравнений движения четырех
тел типа (1.20), где F, (i = 1, 2, 3, 4) — равнодействующая сил.
ньютоновского притяжения, действующих па i-e тело со стороны
всех остальных, причем силами, действующими на небесные тела
со стороны ракеты, можно, разумеется, пренебречь. Таким образом,,
приходим к системе 12 уравнений второго порядка или к нормаль-
ной системе 24 уравнений с правыми частями, имеющими сложную
аналитическую структуру; формул для правых частей мы здесь не
выписываем. Для применения алгоритма Эйлера и других числен-
ных алгоритмов достаточно иметь возможность вычислять правые
части при различных положениях движущихся тел; при этом кон-
кретный вид аналитических формул для правых частей не имеет
значения для метода интегрирования.
На приведенном здесь рис. 7 изображена одна из проекций тра-
ектории движения автоматической межпланетной станции, запу-
щенной в СССР 4 октября 1959 г., с помощью которой впервые была
сфотографирована обратная сторона Луны.
§ 5. Зависимость решений
от начальных значений и параметров <
В реальных задачах, связанных с решением дифференциальных
уравнений, начальные значения обычно известны лишь с некото-
рым приближением, так как они определяются экспериментально
или вычисляются, а это неизбежно связано с появлением погреш-
ностей. Кроме того, в правые части уравнений могут входить какие-
либо параметры, характеризующие физическую природу изучаемой
системы (массы, заряды, упругие характеристики и т. п.), и зна-
чения данных параметров также определяются приближенно. В свя-
зи с этим возникает вопрос о том, как изменяется‘решение началь-
ной задачи при небольших изменениях пачальнЫх значений и
параметров и зависит ли оно от этих величин непрерывно. Этот
вопрос мы и рассмотрим в данном параграфе. Заметим, что анало-
гичный вопрос можно поставить и для неограниченного промежут-
ка (tQ, °°), если решение на нем определено. Этот вопрос состав-
ляет содержание так называемой теории устойчивости, которой
посвящена специальная глава (гл. 5).
Будем рассматривать начальную задачу для нормальной систе-
мы дифференциальных уравнений
f = /(</, t, fl), у ^(У1, f = (А, ...,/Л1) (2.127}
с начальными условиями
У (to) = Уо> Уо = (Уы,'. • , Ут0)- (2.128}
52
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. 2
Здесь p = (pi, ..р,)—вектор, описывающий параметры _ р,,
,.р3, входящие в правую часть системы.
Нас интересует характер зависимости решения этой задачи от
г/io, ..ут<> и щ, ..., р3. Заметим, что исследование зависимости ре-
шения от начальных значений yit>, ..., ут0 и можно свести к за-
даче об изучении зависимости от параметров в правой части систе-
мы. В самом деле, сделаем в (2.127) замену
У; = г/,о + Zi (г = 1, ..., т), t = ta + x (2.129)
и запишем уравнение для новых неизвестных функций г,:
</z.
= ф«(г, Т, Р, уь, /0), 1 = 1,...,
(2.130)
<Pi(z, Т, р, J/O, ^) = /i(«/o + г, t0 + X, р).
При t — t0 новая переменная г = 0 и начальные значения для zt
теперь оказываются фиксированными:
21(О)=г/;(/о)-у,о = О. (2.131)
Значения j/i0 и /0 входят в правые части (2.130) как параметры на-
ряду с параметрами р(, ..., р3. Задача сводится, таким образом, к
исследованию зависимости г( от параметров г/10, t0. Имеет место и
обратная редукция: изучение зависимости от параметра можно рас-
сматривать как некоторый частный вид зависимости решений от
начальных значений. В самом деле, поскольку параметры рь ..., р,
в (2.127) фиксированы и принимают, например, значения рм {к =*
— 1, ..., s), то к уравнениям (2.127) е начальными условиями
(2.128) можно добавить уравнения вида — 0 с начальными
условиями Ць(/о)= рм. Тогда получим новую систему
f = У (г/, t, р), f = о, yi (t0) = pi0, pft (i0) = pft0. (2.132)
Теперь вопрос о зависимости yt от pft сводится к исследованию за-
висимости решений задачи (2.132) от начальных значений
Р10, • • •, р,о- .
Ниже мы исследуем зависимость решений от параметров, а за-
ключение о зависимости от начальных значений сделаем, исходя из
установленной эквивалентности.
Рассмотрим сначала скалярное уравнение
5 =/(у, t, р) (2.133)
со скалярным параметром р и фиксированным начальным
значением
1/(М = У о-
(2.134)
S 5J
ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ ПАРАМЕТРОВ
53
Пусть правая часть /(у, р) определена в параллелепипеде
D = {If — t0| а, \у — г/оI Ь, |р — р0| < с), непрерывна в D по со-
вокупности переменных ц, кроме того, удовлетворяет в D условию
Липшица по у
t, p)-f(y2, t, p)l (2.135)
где N — одна и та же постоянная для всех р из отрезка
Ip — Pol «5 С.
При каждом фиксированном р, согласно теореме существования,
на отрезке [£0, t0 + Н] (Н = min {a, bjM}, М = sup | / (у, t, р) |)
D
определена интегральная кривая — решение начальной задачи.
(2.133), (2.134). Меняя р, получим в силу независимости констант
М и N от ц, что на [t0, t0 + Н] определено семейство интегральных
кривых y(t, р).
Будем исследовать зависимость y(t, р) от р. Докажем справед-
ливость следующей теоремы.
Теорема 2.10. Пусть f(y, t, р) определена и непрерывна в D и
удовлетворяет условию Липшица (2.135) по переменному у. Тогда
решение y(t,p) задачи (2.133), (2.134), определенное на отрезке
[t0, + непрерывно по р при любом р из отрезка |р— р01 с.
Доказательство. Теорема будет доказана, если убедимся,
что для любого 8>0 существует 6(e) такое, что при |Др| <6
справедливо неравенство
ly(t, р + Ар)— y(t, р)I < в (2.136)
для любых р и р + Др из отрезка I р — р01 с. Воспользуемся лем-
мой 2.1 о дифференциальных неравенствах. Имеем
^y(t, р + Др)=/(у (t, р + Др), t, р + Др), y(t0, р + Др) = у0,
р) = f{y(t, р), t, р), y(t0, р) = у0.
Вычитая одно соотношение из другого, получим для разности
Ду = y(.t, Н + Дв)~ y(t, н)
тпДу=Н/(у(Л р + Др), Р + Др) — /(у(Л И), р + Др)) +
(О'
+ [/(у(«» и). р + Др) — f(y(t, р), t, р)], Др|(=,в = О. (2.137)
В силу непрерывности f(y, t, р) по совокупности аргументов и в
силу того, что. \y(t, р)— yd «S b при |t— tol С Н, для любого е > О
существует бДе) такое, что если |Др| < 6lt то
\f(y(t, р), t, р + Др) — !(y(t, р), t, р) | < в.
54
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. 2
равномерно относительно t е [f0, fo + Я]. Пользуясь этим фактом и
условием Липшица, будем иметь
|-^ Ay | < Я| Ау |-У 81Ф (2.138)
I I
Поэтому, согласно лемме 2.1 и формуле (2.35), получим
- l)<s (2.139)
при е, < б2(е), т. е. при 1у — у01 < 6i(62(e)) = 6(e).
Теорема доказана.
Замечания. 1. Из процесса доказательства нетрудно видеть,
что неравенство (2.136) выполняется равномерно относительно t
для If— £01 < Н, т. е. функция у (t, у,) непрерывна по у. равномер-
но относительно t; другими словами, при достаточно малом измене-
нии параметра различие двух интегральных кривых будет равно-
мерно малым на всем исследуемом отрезке [f0, t0 + Я].
2. Пользуясь доказанной теоремой и теоремой анализа *), не-
трудно получить утверждение о непрерывности y(t, у) по совокуп-
ности переменных t, у при If — fol < Я, |у — у0| с. В самом деле,
непрерывность у по у, равномерная относительно f, только что до-
казана, а непрерывность у по f, равномерная относительно у, сразу
следует из того, что | | = | /1 М.
3. Если у является векторной величиной, /(у, f, у) определена и
непрерывна по совокупности переменных в
P={|f — f(,l<a, |у — У0К&,
|ул — У® 1<ск}
и удовлетворяет в D условию Липшица по у с постоянной N, пе
зависящей от у, то доказанную теорему можно применить, подра-
зумевая под у одну из компонент у. Неравенство (2.136) означает
непрерывность у по этой компоненте, равномерную относительно f
и других компонент у, а тогда, согласно замечанию 2, y(f, у)
является непрерывной функцией по совокупности аргументов
f, уь .. ., у„ ..
*) Теорема. Пусть при, ас/1, fefl задана функция у (а, р) к пусть
у (а, р) непрерывна при любом аеД равномерно относительно реВ и не-
прерывна при любом РеВ равномерно относительно а е А. Тогда у (а, р)
непрерывна по совокупности аргументов а, Р при а е А, р е В.
Доказательство. Рассмотрим разность Ду == у (а + Да, Р + ДР) —
— у (а, р). Имеем
I Ду | < | у(а + Да, Р + Др) — у (а, Р + ДР) | + I у (а, р + ДР) — у(а, Р) |.
Для любого е > 0 первое слагаемое справа меньше е/2 при | Да | < СДг) и
любом р + Др е В, а второе меньше е/2 при |Др| < б2(е) и любом аеЛ,
и таким образом |Ду | < е при |Да| < 61(e), |Др| < 62(е).
§ 5)
ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ ПАРАМЕТРОВ
55
Остановимся теперь на исследовании зависимости решения от
параметра у0. Пусть этот параметр меняется на отрезке | у0 — Уо I’C
<Д. Пусть f(y, t) определена и непрерывна в D [11 — t0|^fl,
\у— Тогда из геометрических соображений очевидно, что
семейство интегральных кривых y(t, у0) существует на отрезке
[i0, te + Я], где Н = min {а, (Ь — Д)/М), М = sup [ /|. Сведем эту за-
D
дачу указанным выше способом к уже рассмотренной задаче о за-
висимости решения от д. (вводя z = у — уа и полагая у0 == р). Полу-
чим тогда как следствие теоремы 2.10, что функция y(t, у0), опре-
деленная на [i0, io + Я], непрерывна по у0 при любом у0 из проме-
жутка | у0 — Ро I < Д-
Точно так же можно рассмотреть зависимость решения от пара-
метра i0, который меняется на отрезке | i0 — to | 6,_и получить,
что p(i, to), определенная на отрезке [tj, io + II], где 77 =
= min^a — 6, — б}, непрерывна по to при |t0— t“ | б.
Если у является векторной величиной, то справедливы аналогич-
ные результаты, которые могут быть доказаны, если воспользовать-
ся той же леммой 2.1 о дифференциальных неравенствах и сообра-
жениями, имевшими место при доказательстве теоремы существова-
ния для системы уравнений.
Синтезируя все сказанное, приходим к следующему утвер-
ждению для общего случая (2.1^7), (2.128). Пусть i0, z/i0 явля-
ются параметрами, меняющимися в области 110 — t^ | 6,
I У а» —' Уы Дц а входящий в систему вектор-параметр ц меняется
в области |— рА|^сА. Пусть правые части системы (2.127) не-
прерывны по совокупности аргументов в параллелепипеде
7)= IIt-td<«. hi-hft-н’Г<сА] (2.140)
и удовлетворяют в D условию Липшица по у,, ..., ут. Тогда функ-
ции !/i(i, to, уl(l, ..., у,по, Д1, ..., P-s), определенные на отрезке
to 4- 77], где
f min (b-— ДА. )
II = min a — 6, —v-------------6, Mi = sup | |(
I llld-A. 2’1
и являющиеся решением задачи (2.127), (2.128), непрерывны по
совокупности аргументов при
|i — to I 7/, 110 t01 6, |y;0 ^/го1^Д1, I Ma— Ma|^ca*
Свойство непрерывности по параметрам имеет существенное зна-
чение для возможности использования начальной задачи (2.127),
(2.128) в качестве математической модели многих естественно-на-
учных задач. Действительно, как уже отмечалось, на практике па-
56
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
(ГЛ. 2
чальные данные и параметры, входящие в правые части уравнений,
как правило, заданы не точно, а лишь с некоторым приближением.
Однако, в силу теоремы о непрерывной зависимости от параметров,
малое изменение начальных данных и правых частей уравнений си-
стемы приводит соответственно к малым изменениям решения. Это
и оправдывает использование полученных решений задачи (2.127),
(2.128) для интерпретации того реального процесса, математиче-
ской моделью которого служит данная система.
Перейдем к исследованию возможности дифференцирования ре-
шений по параметрам и начальным значениям. Рассмотрим этот во-
прос опять-таки для скалярного уравнения и скалярного параметра
ц. Дополнительно к условиям теоремы 2.10 потребуем, чтобы
/(у, t, ц) в области D обладала непрерывными частными производ-
ными /в(у, t, ц) и /и(у, t, ц).
Если бы решение y(t, у.) задачи (2.133), (2.134) обладало про-
изводной по параметру ц, то, подставив y(t, у) в (2.133), (2.134)
и дифференцируя полученные тождества по щ мы имели" бы
М = Н)Й + /и(У(*. И)-. G М)'» (2.141>
цл </р< ир>
^(<0, Н) = 0. (2.142)
Убедимся, что при наложенных на /(у, t, ц) дополнительных
ду
условиях действительно существует и удовлетворяет уравнению
(2.141) и начальному условию (2.142). Для этого рассмотрим на-
чальную задачу
щ = И), Л + fvtytt, ц), t, у), (2.143)
z(tQ, pi)=0 (2.144)
для новой неизвестной функции z(t, ц). Уравнение (2.143) линей-
но относительно z, и его коэффициенты являются непрерывными
функциями t при И — £0| Н, где непрерывна у(£, ц). Поэтому ре-
шение z(Z, у) начальной задачи (2.143), (2.144) может быть выпи-
сано в явном виде по формуле (2.29) и является непрерывной
функцией t при If — iol ^Н.
Обозначим
Лг _ _ w(2.145)
Убедимся, что lira w(t, у, Ay.) = z(t, ц). Отсюда следует, что
ди->о
производная существует и равна z(t, у), т. е. действительно
удовлетворяет уравнению (2.141) и начальному условию (2.142),
« 51
ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОТ ПАРАМЕТРОВ
57
Пользуясь (2.137), имеем
dw _ ц-|-Дц), t, Ьр) — Цу (I, ц), t, р + Др)
dt ~~ Др +
. / (у и), t, ц-|-Др) — / (у (Л и), <, И)
Др ”
-= fv (у (*> н) + МУ- t, и + Ди) w + /ц (у (£, и), t, и + е2Дц); (2.146)
О < 0! < 1, 0 < 02 < 1.
Очевидно,
ш|<=(о = 0. (2.147)
Составим уравнение относительно разности w — z. Заметим предва-
рительно, что, в силу непрерывности Д,. и /м и, непрерывности
y(t, g), имеет место представление
fv(y(t, ri+Mii, t, и + Лн) = Му(д И), t, p) + p(t, р, Др),
где 1р1 <61 при I Лр1 < 61(6^ равномерно относительно t. И точно
так же
fAy(.t, м), t, и +02Ди) = Л(у(^ и), t, И)+ и, Ди)'.
где Igl <61 при |Др| < 62*(et) равномерно относительно t. Вычитая
(2.443), (2.144) из (2.146), (2.147), получим теперь следующее
уравнение Относительно w — z:
J (W — z) = fy (y (t, и), t, h) (W — Z) + p (w — z) + pz + q. (2.148)
При этом
(w-z)^ =0. (2.149)
Так как переменная z ограничена, то \pz + q\<.e.z при |Дн1 <
< 63(е2). Кроме того, так как J/„| < Q, то |/, + pl <<?+ е2. Поэтому
|^(ш — г) |<«? + ех)| w — z{ + еа (2.150)
и для оценки w — z можно опять воспользоваться леммой 2.1.
В результате получим
lw~2l<(J^(e(0+ei)H —1)<6 (2-151)
при 1Д|л( < 6(e) для всех t е [£о, t0 + Я], что и требовалось.
Таким образом, доказана следующая теорема.
Теорема 2.11. Пусть f(y, t, и) определена и непрерывна по со-
вокупности аргументов в области D = {|i — tol а, \у — уц\^Ь,
1р — и»1 С1 вместе с частными производными fv(y, t, р) w
fu(y. и)- Тогда решение y(t, р) начальной задачи (2.133), (2.134)
при каждом р из промежутка |р — р01 с имеет производ'ную по р,
58
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
(IJT. 2
которая удовлетворяет уравнению (2.141) и начальному условию
(2.142), получаемым дифференцированием уравнения (2.133) и на-
чального условия (2.134) по ц.
Уравнение (2.141) часто называют уравнением в вариациях по
параметру р, для уравнения (2.133).
Замечание. Коэффициенты уравнения в вариациях (2.141)
являются непрерывными по совокупности аргументов t, р в силу
требований, наложенных на /, и замечания 2 к теореме 2.10. По-
этому, применяя к задаче (2.141), (2.142) теорему 2.10, получим
ду . ' -
утверждение о непрерывности по t и р.
Совершенно аналогичным образом может быть исследовап воп-
рос о существовании производной по начальному значению у0.
п ду
В результате получим, что удовлетворяет уравнению в ва-
риациях
(2.152)
полученному дифференцированием (2.133) по у0. Свободный член
в этом уравнении отсутствует, так как уа в правую часть (2.133)
явным образом ре входит. Начальные значения для у- будут, па-
^0
против, отличными от нуля, а именно, дифференцируя (2.134) по
получим
(2.153)
(2.154)
— I «= 1
Ч lt=<0
Может быть исследован вопрос о дифференцировании решения по па-
ду
чальному значению to. Производная — удовлетворяет уравнению в варй-
dt0
ациях
, d ду ду
dtT^W’^'
полученному дифференцированием уравнения (2.133) по to. Чтобы получить
начальные условия, заменим исходную задачу (2.133), (2.134) интегральным
уравнением
У(г> «oWo + f Ф(т> го)’ T)dT-
Дифференцируя по t0, будем иметь
Ay(t, to) = _/(y(tn, Г
t
[4(!/(т. у,
'О
Отсюда, полагая t = to, получим
ду I
010 = " } (У (Jo’ *»)’
(2.155)
У-6)
МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
59
Все сказанное сохраняет силу и для общего случая (2.131),
(2.132) при условии, что в области D (см. (2.140)) обладают не-
прерывными частными производными по всем г/4, ..., у™ и по тому
из параметров, по которому производится дифференцирование. Так,
д^г
производная — удовлетворяет системе уравнении в ва-
например,
риациях
Вопрос о существовании и непрерывности производных высших
порядков исследуется аналогично. Можно показать, что существова-
ние непрерывных частных производных до порядка к от функций
ft по »/1, ..ут, Ца, ..., щ обеспечивает существование непрерывных
частных производных к-ro порядка по параметрам у1й, ,.ута,
Pi, ..., ц, от решения задачи (2.127), (2.128).
Замечание. Имеет место
Теорема Пуанкаре. Если функции fi являются аналитическими
функциями своих аргументов, то и решение задачи (2.127), (2.128)
оказывается аналитически зависящим от параметров.
§ 6. Метод последовательных приближений (метод Пикара)
Рассматривая в § 2 начальную задачу Коши для одного уравне-
ния, мы доказали существование и единственность решения этой
задачи методом ломаных Эйлера, представляющим собой одновре-
менно и эффективный алгоритм численного решения. В настоящем
параграфе мы вернемся к проблеме существования и единственно-
сти решения начальной задачи и дадим ее доказательство методом
последовательных приближений, основные идеи которого восходят
к исследованиям Пикара. Не являясь столь же эффективным в ал-
горитмическом плане, как метод ломаных Эйлера, метод последова-
тельных приближений обладает большой общностью и находит ши-
рокие применения при исследовании вопросов существования и
единственности решения задач из различных разделов математики.
Поэтому знакомство с основными идеями этого метода на примере
рассматриваемой в данном параграфе задачи целесообразно.
Итак, рассмотрим начальную задачу
g = /(x, J/), у(х0)~у3, (2.157)
где функция /(z, у) задана и непрерывна в прямоугольнике D =
= {|х — щ,! «5 а, |у — у0| < Ь). Тогда найдется постоянная М та-
кая, что
|/(zr, у)| (х, y)^D. (2.158)
GO
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
(ГЛ. 2
Кроме того, предположим, что f(x, у) удовлетворяет в D услоътию
Липшица по у
1/(я, У1)-Цх, Уа)1 «йА^-Уг!, (х, у,)еО, (х, уг)е£>. (2.159)
Мы покажем, что при выполнении условий, наложенных на f(x, у),
существует одно и только одно решение задачи (2.157). Наше до-
казательство будет основываться на сведении задачи (2.157) к эк-
вивалентному интегральному уравнению.
К
y(*)-y0 + fу(М (2.160)
яо
и применении к последнему метода последовательных приближе-
ний. Указанная эквивалентность задачи (2.157) интегральному
уравнению была установлена выше, в § 1 (лемма 1.1).
Перейдем теперь к построению последовательных приближений.
В качестве нулевого приближения возьмем произвольную непре-
рывную на отрезке [z0, X] функцию ут(х), график которой на
[хс, X], X « xt + Н, целиком лежит в области D, и определим по-
следовательные приближения у(п) (%) соотношением
Ж
У(п) (*) = Уо + J / & У(п-1) ©) (2.161)
ко
Как и в § 2, значение Н определяется из условия Н =
*= min {а, b/М}. Легко доказать, что при выбранном начальном при-
ближении графики функций у(п) (х) на отрезке [х0, X] также цели-
ком лежат в области D. Действительно,
эс
У(1)(*) = Уо + У /а,у(0)(М; (2.162)
х0
так как график yw (х) лежит в области D, то, в силу оценки
(2.158), получим
1у(1)М{х — х») МН < Ь. (2,163)
Отсюда следует, что график функции у{1}(х) на отрезке [х0, X] ие
выходит из области D. Повторяя проведенные выше рассуждения,
методом математической индукции установим справедливость вы-
сказанного утверждения для любого приближения.
Лемма 2.4. Если непрерывная в области D функция f(x, у)
удовлетворяет условию (2.159), то построенная по формуле (2.161)
последовательность {у(п)(х)} сходится равномерно на [х0, X].
Доказательство. Рассмотрим ряд
8(х) = У<о> (*) * [У(11 (*) ~ Уо (*) 1 + [Уоо (*) ~ У(п-1) (*)] + ••• (2-164)
5 6)
МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
61
Очевидно, п-я частичная сумма S„{x) ряда совпадает с n-м членом
последовательности {у(я) (ж)). Оценим члены ряда. Очевидно,
I Ум (*) — уп (*) КI Ум (*) — г/J + I г/н» (*) — у<> 1 < Ж
X
11/(2) (*) - Ум (*) I < J I / (?, Ум (?)) -V (?, Ум (?)) I <%-
х0
Тогда, в силу условия (2.159), имеет место оценка
I Ум (*) — Ум (Ж)К N J I Ум (?) — Ум (?) I й? < 2bN {х — х0). (2.165)
*о
Аналогично
I Ум (*) — Ум (*) К
С ' Г /г-х!2
< N J | yw (В) - у. © | <*? С 2Ь№ j (g - х0) = 2&№
ж0 Х0
Методом индукции получим для n-го члена оценку
|y(n)(X) - у(„_» (х) I < 26А"-1 (*7.У,),- (2.166)
Из оценки (2.166) следует, что на отрезке [х0, X] члены функцио-
нального ряда мажорируются членами сходящегося числового ряда
I Ум (х)~Усп-т> {*) I (2.167)
что и является достаточным признаком равномерной сходимости
ряда (2.164). Лемма доказана.
Доказанная лемма позволяет доказать следующую теорему:
Теорема 2.12 {существования). Если функция j{x, у) непрерыв-
на в D и удовлетворяет, условию Липшица (2.159), то на отрезке
[х0, X] существует решение начальной задачи (2.157).
Доказательство. В силу леммы 1.1 достаточно доказать
существование на отрезке [.То, X] решения интегрального уравне-
ния (2.160). Согласно лемме 2.4 последовательность {у(п) (х)}, по-
строенная по формуле (2.161), сходится равномерно на [ж0, л). Так
как все члены последовательности {г/{тг)(ж)} по построению являют-
ся непрерывными функциями, то и предельная функция у(х) не-
прерывна па [л?0, X]. Равномерная на [т0, X] сходимость последова-
тельности {у(П)} является достаточным условием .возможности пре-
дельного перехода в формуле (2.161). Переходя к пределу при
п °0, получим, что предельная функция последовательности
<!/(»).(*).}
у{х) = lim yw{x) (2 Л 68)
П-*ОО
€2
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. 2
удовлетворяет интегральному уравнению (2.160), эквивалентному
исходной задаче (2.157). Теорема доказала.
Перейдем к рассмотрению вопроса единственности решения.
Теорема 2.13 (единственности). Интегральное уравнение (2.160)
имеет не более одного непрерывного на [х0, X] решения.
Доказательство. Предположим, что уравнение (2.160)
имеет на [х0, X] два различных решения у\(х) и у2(^), и составим
их разность
z(x) = г/2(ж). (2.169)
Очевидно,
•С
* (*) - J {/ ft, г/1 (У) - / ft, Z/2 ft))} <ft, * е К, X]. (2.170)
ко
Будем сначала рассматривать (2.170) на отрезке [ж0, £,], значение
х, выберем в дальнейшем.
Воспользовавшись условием Липшица (2.159), получим
I* (х) К N (х — х0) sup ]yift) — y2ft)l<
[Vl]
<X(^i — *о) SUP I г ft) I, я <= [z0, .zj. (2.171)’
[XO.X1]
Отсюда
sup | z (x) | N (zx — zu) sup | z (x) |. (2.172)
[ж0,Х1] [vO’*ll
Выберем теперь Xi так, чтобы N(xl — xn) < 1. Тогда (2.172) возмож-
но лишь при условии, что
sup | z (х) | = 0, т. е. z (х) = 0 при х е [ж0, х^],
/
и (2.170) можно записать в виде
X
2 (*) = J {/ ft, У1 ft)) - / & Уг ft))} * е [*i, XJ. (2.173)
*1
Повторяя проведенные рассуждения необходимое число раз, убеж-
даемся, что z(x)=Q при х s [х0, X], что и доказывает теорему.
Сделаем несколько замечаний к доказанным теоремам.
Замечания. 1. Мы доказали теоремы существования, показав, что при
любом нулевом приблия?ении уъ(х), представляющем собой непрерывную на
[жо, А'] функцию, график которой не выходит из области D, последователь-
ность {у(п>} сходится к решению исходной задачи. В качестве пулевого при-
ближения Ут(х) в ряде случаев удобно бывает выбрать начальное значе-
ние Уо, ПОЛОЖИВ i/(0)(l) г уа.
2. Метод последовательных приближений может быть использован не
только для доказательства существования, но и для построения решения
конкретных задач. При этом эффективность его применения определяется как
классом функций f(z, у), для которых разработаны эффективные алгоритмы
§ 71 ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ 8$
вычисления правой части формулы (2.61), так и выбором начального при-
ближения.
3. Мы рассмотрели применение метода последовательных приближений
для доказательства существования и единственности решения начальной за-
дачи для одного скалярного уравнения первого порядка. Аналогичные рас-
смотрения могут быть проведены и в случае начальной задачи для нормаль-
ной системы.
§ 7. Принцип сжатых отображений.
Теорема о неподвижной точке
Рассмотренный в предыдущем параграфе метод’ последователь-
ных приближений основывается на общем математическом принци-
пе, известном под названием «принцип сжатых отображений», ос-
новные идеи которого будут изложены в настоящем параграфе.
Будем рассматривать произвольное полное метрическое прост-
ранство М. Пространство М называется метрическим, если каждой
паре х, у элементов этого пространства поставлено в соответствии
число р(х, у), обладающее следующими свойствами:
1) р(х, у)> 0, причем р(х, у) = 0 только при х = у,
2) р(я, у)= р(у, ж);
3) для любых х, у, z е М имеет место неравенство треугольника
p(z, у)^р{х, z)+p(z, у).
Число р(х, у} обычно называется расстоянием мел«ду элемен-
тами х и у.
Последовательность {хт} элементов пространства М называется
фундаментальной, если для любого е>0 существует N(е) такое,
что при n>N(e) и любом р>0 справедливо неравенство
р (хт, хт+Р)<е. Метрическое пространство называется полным, если
всякая .фундаментальная последовательность {хт) элементов этого
пространства сходится к некоторому элементу х е М, т. е. сущест-
вует хе М такое, что Ит р (х, хт) = 0 (обозначается х = lim х„Л.
ш-»оо \ т->эо )
Примером полного метрического пространства является прост-
ранство непрерывных па сегменте х е [а, й] функций у(х), в кото-
ром расстояние р(у, z) между элементами у(х) и z(x) задается
в виде
р {у, z) = sup | у (х) — z (х) |. (2.174)
xG[<x,t>]
Выполнение свойств 1) и 2) очевидно. Проверим, что выполнено 3).
Для любого х е [а, Ь] имеем | у (х) — z (х) | | у (х) — и (х) | + | и (х) —
— z (х) | <: sup | у (х) — и (х) | + sup | и (х) — z (х) |. Но так как,
xefa.b] хе[а,Ъ]
в силу непрерывности, sup |р(х)—z(x)l достигается при некото-
vS[a,b]
ром х*е [а, Ь], то sup |у(х)— z (х) | = | у (х*) |—z(x*)| и поэтому
sup | у (х) — Z (х) | sup | у (х) — u(x)|+ sup | и (х) — z(x)|,
ке[а,Ь] xsfa.b] х=[а,Ь]
64
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
[ГЛ. 2 '
Принцип сжатых отображений является мощным методом иссле-
дования проблем существования и единственности решения функ-
циональных уравнений в метрических пространствах.
Пусть в полном метрическом пространстве М задан оператор А,
обладающий следующими свойствами:
а) оператор Л отображает пространство М в себя, т. е. перево-
дит точки пространства М в точки того же пространства:
Ах = у (х, у^М); (2.175)
б) оператор А сближает элементы пространства М, т. е. для лю-
бой пары хи х2 элементов пространства М имеет место неравенство
р(ЛХ|, Ах2)^ ар(а:1, хг), (2.176)
где а <1.
Имеет место
Теорема 2.14 (принцип сжатых отображений). Если в полном
метрическом пространстве М задан Оператор А, удовлетворяющий
условиям а) и б), то функциональное уравнение
Ах — х (2.177)
в пространстве М имеет единственное решение.
Доказательство. Выберем произвольный элемент еМ
и построим последовательность {хп}:
хп = Ах„~1. (2.178)
Докажем, что так построенная последовательность {хп} является
фундаментальной. Действительно,
р(^п+й •Тп) р (Ахп, j)C ОСр(Хп, Хп—1) ==
= ар(Ях„~1, Ахп-г) *5 • • • < а”р(Ж1, х0). (2.179)
Пользуясь этой оценкой и неравенством треугольника, получим
Р (Tn+tni Ci) Р (^n+m, Я-п+пг—1) 4" Р (^-n+m—1, ) + ...
... + р (*п+ь ж«) < «пр (х1, хо) (ат-1 +...+!) =
4 «у
= а ____а р (xt, х0) _а р (хи x0)t (2.180)
что при условии а < 1 и доказывает утверждение о фундаменталь-
ности последовательности (хп). В силу полноты пространства М от-
сюда следует сходимость последовательности {хп}, т. е. существует
х е М такой, что
х = Ит хп. (2.181)
П-*оо
Рассмотрим теперь элемент у = Ах и покажем, что оп совпадает с
элементом х. Действительно,
р(я, у) Ср (.г, яя+1)+ р(ж„+1, у), (2.182)
S 7J
ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
65
где xn+i — произвольный элемент последовательности {хп}. Оценим
последнее слагаемое:
р(тп+1, у) = р(Агп, ар(хп, х). (2.183)
В силу доказанной выше сходимости последовательности {.та} для
любого е > 0 можно указать такое N, что для всех п > N р (хп, х) <
< е/2.
Тогда из (2.182) следует, что
р(*, у)<е, (2.184)
откуда, в силу произвольности е, получаем р(х, у) = 0, т. е. х — у,
следовательно, решение уравнения (2.177) существует.
Доказательство единственности решения уравнения (2.177) про-
ведем от противного. Пусть х и х — два различных решения этого
уравнения:
Ах — х,Ах—х. ' (2.185)
Рассмотрим
р(х, х)— р(Ах, Ах)< ад(х, х). (2.186)
Но при а<1 неравенство (2.186) возможно лишь при р(х, х)=0,
т. е. при х = х. Итак, теорема доказана полностью.
Доказанная теорема имеет простую -геометрическую интерпретацию. Ес-
ли рассматривать элементы метрического пространства как точки некоторого
множества, то сжимающее свойство б) оператора А означает, что расстояние
р(.'/ь .'/2) между образами j/i = Axlt у2 — Лх2 точек xi и х2 меньше расстоя-
ния р (xt, х2) между исходными точками ад и х2. Поэтому, когда строим по-
следовательность {ж„} по формуле (2.178), расстояния между соседними точ-
ками при возрастании номера п неограниченно уменьшаются и в пределе
мы получаем неподвияшую точку х,~ которая оператором А переводится са-
ма в себя, Ах = х.
Применим теорему о неподвижной точке для доказательства су-
ществования и единственности решения начальной задачи
| = У^0) = У0, (2.187)
которая, как мы установили в предыдущем параграфе, эквивалент-
на интегральному уравнению
. X
У№ = У0 + $ f&y®)<%. (2.188)
ХО
Рассмотрим оператор
X
+ J/(|,y©)^ (2.189)
хо
в полном метрическом пространстве М непрерывных па отрезке
[z0, X] функций у (х). Покажем, что оператор А удовлетворяет ус-
ловиям а) и б). В предыдущем параграфе было показано, что если
66
ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
(ГЛ. 2
функция f(x, у) непрерывна в прямоугольнике D = Ия — rroi а,
1у —у01 < Ь} и удовлетворяет в D условию Липшица по у, то при-
менение оператора А к непрерывной на [х0, X] функции у(х), гра-
фик которой не выходит из D, дает также непрерывную функцию
Ау(х), график которой не выходит из D. Тем самым оператор А
удовлетворяет условию а). Остается проверить сжимающее свойство
оператора А. Для этого рассмотрим
Р ИУи АУг) “ sup
«e[«0,xj
9
sup J i/a,y1a))-/(s,ya©)i^. (2.190)
Воспользовавшись условием Липшица для функции /(ж,у),получим
X
р (Aylt Ау3) X sup f | УД?) —
«s[x0,x]
C-Vla:— a:0] sup (y3 (x) — y2 (x) |<NHp (yn ya). (2.191)
xepc0,X]
Выберем теперь H таким, чтобы удовлетворялось условие
NH = а < 1. (2.192)
Тогда оператор А будет сжимающим и, в силу теоремы 2.14, мы
можем утверждать существование и единственность решения на-
чальной задачи (2.187) на отрезке [х0, X]. Распространение реше-
ния па больший отрезок производится рассмотренными выше
методами.
Замечание. Принцип сжатых отображений был применен для доказа-
тельства существования и единственности решения начальной задачи (2.187)
для одного скалярного уравнения. С помощью принципа сжатых отображе-
ний легко доказать аналогичную теорему и в случае нормальной системы.
ГЛАВА 3
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Уравнение движения маятника как пример
линейного уравнения. Основные свойства
линейного уравнения с постоянными коэффициентами
Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка назы-
вается уравнение вида
- а0(ж)р(п) + а1(х)у(п~" + ...+ ап(х}у = f(x). (3.1)
Это уравнение обладает рядом замечательных свойств, облегчающих
его исследование, а в ряде случаев и решение. Изучение этих
свойств и составляет содержание настоящей главы.
В приложениях линейные уравнения естественно получаются,
если пренебречь членами более высокого порядка (см. § 2 гл. 1).
Ознакомимся с основными свойствами линейного уравнения на.
примере уравнения маятника (см. п. 2 § 2 гл. 1)
у" + ay' + ку = f(t), а>0, Те > 0, (3.2)
которое является линейным уравнением второго порядка с постоян-
ными коэффициентами.
Рассмотрим сначала случай /= 0. В этом случае уравнение на-
зывается однородным. Физически это означает, что маятник дви-
жется свободно, на него не действуют внешние (вынуждаю-
щие) силы,
у" + а.у' + ку = 0. (3.3)
Будем искать решение этого уравнения в виде у = еи, где А — не-
которая не известная заранее постоянная. Подставляя искомый вид
решения в (3.3) и сокращая на е,л, получим
V + аХ + к = 0. (3.4)
Это уравнение называется характеристическим уравнением диффе-
ренциального уравнения (3.3). Ему должно удовлетворять А. для то-
го, чтобы еи было решением (3.3). Решая уравнение (3.4), получим
, — а + У^а2 — 4fc
Al,г -----g-------’•
Исследуем разные случаи.
68
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 3
а) а*—,4&>0. Физически это соответствует достаточно сильно-
му трению (сопротивлению) среды. Оба корня и в этом слу-
чае действительны, различны и отрицательны, и им отвечают два
Xit Ant
решения Уцу — е , р(2) == е .
Рассмотрим начальную задачу
»(0) = У?, /(0) = у?. (3.5)
Для любых двух п раз дифференцируемых функций yi(z), у2(х)
справедливо тождество (Ct и С2 — константы)
(С1У1 {х) + С2у2 (z))<n> = С1У? + с2у™. (3.6)
Основываясь на. этом тождестве, нетрудно убедиться, что выражение
V = CiVw + С2у(2) = С?/1* + С2Л\ (3.7)
где Ci и С2 — произвольные постоянные (линейная комбинация
J/(i) и у(2)) является решением уравнения (3.3). Эти постоянные
можно однозначно определить из начальных условий (3.5). Дейст-
вительно, подставляя (3.7) в (3.5), имеем
Уо ~ 4* ^г> У1 — С2Х2.
В силу Ха определитель этой линейной алгебраической системы
относительно С1 и С2 отличен от нуля. Полученное таким образом
решение начальной задачи
У = "¥ е + г —"Г"е ’ (3-°)
Л2 Aj А* А2
не осциллируя, приближается o' ростом t к положению равнове-
сия у = 0. -
Так как любое наперед заданное решение уравнения (3.3) удов-
летворяет некоторому начальному условию (3.5), а по заданному
начальному условию (3.5) однозначно определяется решение (3.8),
то можно сказать, что в формуле (3.7) содержится любое решение
уравнения (3.3). С другой стороны, при любых значениях постоян-
ных формула (3.7) дает некоторое решение уравнения (3.3). Та-
ким образом, формула (3.7) содержит все решения уравнения (3.3)
и только решения этого уравнения. Формулу, обладающую таким
свойством, мы будем называть общим решением. Формула (3.7)'
представляет собой общее решение уравнения (3.3).
б) а2 — 4А < 0. Физически это соответствует достаточно слабому
трению (сопротивлению) среды. В этом случае X, и Х2 являются
комплексно сопряженными: Х2 = Xi и
—«t/2 I Р . . 6 .\ *
Уы=е1=е l/4(cos-!p + isin4p L =
где р = V4A — а2.
§ t]
УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАЯТНИКА
69
Пользуясь тождеством (3.6), нетрудно видеть, что yt=, Re у(11,
i/2=Imi,(i| также являются решениями уравнения (3.2). Дейст-
вительно,
(Ут + г>2)* + «(Ут + %)' + *(Ут + %) =
= (l/i + аг/i + /сг/О + i (у'2 + ау’2 + ку,) = 0„
откуда, приравнивая нулю отдельно вещественную и мнимую части,
получим требуемое. Возьмем линейную комбинацию yt и у2:
у = С1у1 + С2у2 = С1б-“(/2 cos 4 t +. C2e-at/2 sin 11. (3.9)
Нетрудно убедиться, что, как и прежде, и Сг однозначно опреде-
ляются условиями (3.5) и, таким образом, (3.9) является общим
решением уравнения (3.3). Заметим, что в рассматриваемом случае
в качестве общего решения можно по-прежнему взять (3.7), по
при этом постоянные С2 будут комплексными.
Решение задачи (3.5):
у=y^t/2 cos 41 + 4 + 4 4e-e'/2 sin4' <зл°)
описывает колебательный процесс. Колебания затухают по закону
ехр [—oc.Z/2]. С ростом t это решение также стремится к положению
равновесия у — 0.
Если а.= 0 (сопротивление отсутствует), то получаем периоди-
ческие колебания с частотой ю0 =
у.= yocos(o0t + (3.11)
• о
в) а2 — кк = 0. В этом случае описанный способ дает только од-
но решение г/(|) = е“, где X = — а/2. Нетрудно, однако, непосредст-
венно проверить, что в этом случае решением является также у>г) =
= te21. Беря линейную комбинацию этих двух решений, можно
удовлетворить условиям (3.5),. Практически X, и не бывают в
точности равны, но такое решение описывает математическую аб-
стракцию, соответствующую случаю близких и Л2.
Рассмотрим теперь вынужденные колебания под действием пе-
риодической вынуждающей силы. Они описываются уравнением
(3.2), где / = A cos at (Л, oj = const). Сопоставим этому уравнению
следующее уравнение с комплексной неизвестной функцией z:
z" + az' + kz = Ле’ш|. (3.12)
Подставляя в это уравнение z = г/, + iffa ' и приравнивая отдельно
действительные и мнимые части, получим, что yt удовлетворяет
уравнению (3.2), в котором / = A cos at, а у2 — уравнению (3.2), в
котором / ’= A sin at. Таким образом, для получения , требуемого ре-
70
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
шения уравнения (3.2) нужно найти решение уравнения (3.12) и
взять его действительную часть.
Решение уравнения (3.12) естественно искать в виде
z = ае’“‘, (3.13)
где а — не известная заранее постоянная. Подставляя (3.13) в
(3.12) и сокращая на е’“‘, найдем а = А/(—сог + taco + fc) и, следо-
вательно,
«м L. 2
= А 77--2 2 C0S + А 77----------2^ , 2 2 sil1 (ЗЛ4)
(к — w ) -|- aw (Л — w ) + aw
(3.14) представляет собой частное решение уравнения (3.2), в ко-
тором / = A cos a>t, имеющее периодический характер с частотой,
равной частоте со вынуждающей силы. Это решение, однако, не
удовлетворяет (3.5). Добавим к нему линейную комбинацию реше-
ния однородного уравнения (3.3) (для определенности аг — ik < 0):
у — yi + С1У1 + С2у2. (3.15);
Пользуясь (3.6), убеждаемся, что это выражение является решени-
ем того же неоднородного уравнения (3.2), а пользуясь произволом
выбора Сх и С2, можно подобрать их так, чтобы удовлетворить (3.5).
Действительно, Ct и находятся из алгебраической системы урав-
нений, отличающейся от той, которая была при получении (3.10),
только неоднородными членами. Решение, удовлетворяющее (3.5),
имеет вид '
У = У1 + [у? — У1 (0)] e~ai/2 cos t +
+ {М-£(0) + -J W (0))]e-“f/2sin-g-(3-16)
а (3.15), таким образом, является общим решением неоднородного
уравнения (3.2), где f = A cos cot. Из (3.15) видно, что общее реше-
ние неоднородного уравнения представляет собой сумму частного
решения того же неоднородного уравнения и общего решения соот-
ветствующего однородного уравнения.
С ростом t в формуле (3.16) в^е члены, кроме первого, затухают
и остаются только вынужденные колебания г/ь
Обратим внимание на важное явление — так называемое явле-
ние резонанса. Решение yi теряет смысл, если в исходной системе
нет трения (а = 0) и частота со вынуждающей силы равна частоте
со0 = У/с, с которой колеблется маятник без воздействия вынуждаю-
щей силы (см. (3.14)), так как в знаменателе появляется нуль.
Чтобы найти частное решение в этом случае, т, е. частное ре-
шение уравнения
у " + ку = A cos coot,
(3.17),
g 1] УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ МАЯТНИКА 71
перейдем снова к комплексной форме
z"+ kz = Ae“°'. (3.18)
Обратим внимание на то, что корни характеристического уравнения
равны Xi, 2 = ±ги0. Попытаемся искать z в виде
z •= (3.19)
Подставляя (3.19) в (3.18), определим а и получим z — Ае °f.
Rez дает частное решение уравнения (3.17):
У1 = А sin aot. (3.20)
Так как практически полное отсутствие трения и точное равен-
ство се и (о» не осуществляются, то решение такого типа практиче-
ски не реализуется. Реализуется (3.14), но если частота © близка
к ©о, а а мало, то знаменатель в (3.14) мал и амплитуда решения
велика. Таким образом, физически явление резонанса состоит в том,
что при о ~ <1)0 и малом а наблюдается заметное увеличение ам-
плитуды вынужденных колебаний (3.14).
Математически же случаем резонанса будем называть такой слу-
чай, когда в (3.2) f (t) — S (t) е*‘, где S(t)—многочлен, а х совпада-
ет с корнем характеристического уравнения. В рассмотренном выше
уравнении (3.18) х = i©0, т. е. совпадает с одним из корней харак-
теристического уравнения.
Итак, на’примере уравнения второго порядка выявлен ряд ха-
рактерных свойств линейного уравнения с постоянными коэффици-
ентами. Оказывается, эти закономерности имеют общий характер.
Сформулируем их, пока без доказательств, для уравнения поряд-
ка п как естественное обобщение того, что наблюдалось для уравне-
ния второго порядка. Доказательства будут даны ниже, в § 5.
Рассмотрим сначала однородное уравнение
аоу(п} + + ... +апу =0 (а( = const). (3.21)
Сопоставим (3.21) его характеристическое уравнение (ср. (3.4))
а0Х" + аД"-1 + ... + ап — 0. (3.22)
Это алгебраическое уравнение порядка п и имеет корпи X* — ph +
4- iqk (к =1, ..., п).
1. Если все действительны и различны, то, беря линейную
комбинацию
п х f
У = 2 где ум = eh , (3.23}
fc=i
72
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 3
можно получить любое решение уравнения (3.21), . определяя
..., Сп из начальных условий
у' {Q = yt • • .,y(n-1)(Q = Уп (3.24)
(ср. (3.7), (3.5)), т. е. формула (3.23) является общим решением
уравнения (3.21).
2. Если некоторые Хк комплексные, то утверждение 1 остается
в силе, но определяемые из (3.24) константы Ск будут комплексны-
ми и решение будет представлено в комплексной форме.'.Чтобы по-
лучить решение в действительной форме, в наборе решений
вместо пары решений у = е<р+'”‘ и у* = e^I‘~iч),, отвечающих двум
комплексно сопряженным корням X = р iq (так как характери-
стическое уравнение имеет действительные коэффициенты, то вмес-
те с X = р + iq корнем будет также X* = р — iq), можно взять пару
действительных решений Re у = ер( cos qt и Im у = ept sin qt
(ср. (3.9)).
3. Если X — кратный корень характеристического уравнения
(3.22) кратности т, то ему отвечает т решений еи, teu, ...,
(обобщение случая в), где т — 2).
- Объединяя все случаи, можно сформулировать следующее
правило:
Пусть характеристическое уравнение (3.22) имеет г действитель-
ных корней Хц кратности тпк, а прочие являются комплексно сопря-
женными вида Xi = pi + iqt и кратности mi. Тогда общее решение
уравнения (3.21) может быть записано в виде
71 —Г
т 2
У =*= s Rk (t) eVh* + 2 {Pi{t)eVli cosqit + Qi (t) ePl‘sin qtt}, (3.25)
h=l Z=1 ' _ '
где Rk{t), Pi{t), Qi{t) — многочлены .степени mk — 1, тщ — 1, mt — 1
соответственно, коэффициенты которых произвольны. Эти .коэффи-
циенты однозначно определяются начальными условиями (3.24).
Точно так же можно, обобщая факты, полученные для уравне-
ния второго йорядка, сформулировать правило построения частного
и общего решений неоднородного уравнения
аву(п) + а^"-" + ... + апу = S{t) е", (3.26)
где S{t)—многочлен степени s, х— постоянная, вообще говоря,
комплексная.
Пусть в уравнении (3.26) х не совпадает ни с одним корнем
X» характеристического уравнения (3.22) {так называемый нерезо-
нансный случай). Тогда частное решение уравнения (3.26) можно
записать в виде
y = T{t)e«, - (3.27)
где T(t) —многочлен той же степени, что и S(t). Коэффициенты
многочлена T{t) определяются уз алгебраических уравнений, полу-
g 2] ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЯ 73
ценных подстановкой (3.27) в (3.26) и приравниванием членов
е одинаковыми степенями t (ср. (3.12), (3.13); в этом простейшем
случае S(t) является константой, А, т. е. многочленом нулевой сте-
пени, а многочлен T(t) также является константой: Т = а).
Если и совпадает с корнем характеристического уравнения X,
имеющим кратность m (так называемый резонансный случай), то
частное решение (3.26) следует искать в виде
y = T(t)tmea, (3.28)
где T(t) —многочлен той же степени, что и S(i). Коэффициенты
Т (t) по-прежнему определяются подстановкой (3.28) в уравнение
(3.2б) (ср. (3.19), где появляется множитель t в соответствии с
кратностью m = 1 корня гш0). •
Если х = а + $ комплексно, то действительная (соответственно
мнимая) часть решения (3.28)‘является решением уравнения с пра-
вой частью S(t)eal cos (соответственно S(t)ea‘ sin §i).
Общее решение неоднородного уравнения (3.26) представляется
в виде суммы общего решения (3.25) однородного уравнения (3.21)
и частного решения (3.27) или (3.28) неоднородного уравнения
(3,26) (ср. (3.15)).
Все эти утверждения в дальнейшем будут строго доказаны
(см. теоремы 3.12, 3.13, 3.14, 3.15).
§ 2. Общие свойства линейного уравнения и -го порядка
Обратимся к уравнению (3.1). Если в рассматриваемой области
изменения независимого переменного аа(х)^0, то, поделив на а0(х)
и обозначая полученные коэффициенту и правую часть вновь че-
рез а,(х), ..., ап(х), f(x), будем иметь
у{п) + а,(х)у{п~1> + + ап(х)у = j(x). (3.29)
Определение. Уравнение (3.29) называется о д но р о д н ы м, ес-
ли f(x) = 0, в противном случае — не о дно родным.
Пусть а,(х) (I === 1, ..., п) непрерывны на некотором интервале
X (X может быть как конечным интервалом, так и бесконечным,
например, (—°°, °0)). Общая теорема существования и единствен-
ности (см. теоремы 2.8 и 2.9 § 4 гл. 2) гарантирует, что на некото-
ром сегменте -1з> — ха I =£ Н, принадлежащем X, существует единст-
венное решение у(х) уравнения (3.29), удовлетворяющее началь-
ному условию
У Ы = У1, У' (*о) = Уз, • • •, У("-1) (х0) = Уп. (3.30)
Для уравнения (3.29) можно доказать более сильное утверждение.
Теорема 3.1. Если at(x) (i = 1, ..., п), f(x) непрерывны на X,
то решение начальной задачи (3.29), (3.30) существует и единст-
венно всюду на X.
74
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 3
Так как начальная задача для уравнения n-го порядка является
частным случаем начальной задачи для системы *п уравнений пер-
вого порядка (см. § 4 гл. 2), то теорему 3.1 можно получить как
частный случай аналогичного утверждения для системы линейных
уравнений, которая имеет вид
. п
^ = ^iaih{x)yk +(3.31)
а соответствующие начальные условия —
Уг W = Уь < = (3.32)
Теорема 3.2.Если aik(x), fi(x) (i, к = 1, ..., п) непрерывны на
X, то решение задачи (3.31), (3.32) существует и единствен-
но на X.
Достаточно доказать,..что решение существует и единственно ид
любом отрезке [#o, + Д] с X. Теорема существования и единст-
венности гарантирует решение на некотором отрезке [г0, х,} 4- Н],
как уже указывалось выше. Точку (х0 + Н, у((х0 + Н)) можно при-
нять за новую начальную точку (см. замечание 2 к теоремам
§ 2 гл. 2) и получить решепие_на большем отрезке [лго, ха + Я,],
Hi> И, и т. д. Пусть [ж0, х0 + Н), где Н =5 А,— максимальный по-
луинтервал, на котором существует единственное решение задачи
(3.31), (3.32). Возьмем произвольную последовательность Н.
Убедимся, что существует lim р, (хи + Нп). Пусть
п-*оо
N = max sup | aih (х) |, у = max sup I / (х) |.
i.ft [Ао, a0+A] i [х0,х0+Д]
Тогда па любом отрезке [х0, ха + Нп] справедливо неравенство
5=1
Введя р (х) = у 2 У^ (х) и повторяя в точности рассуждения, про-
веденные при доказательстве леммы 2.3 § 4 гл. 2, получим
и, следовательно, для любого [ж0, ха + Нп] справедливо неравенство
а тогда справедливо также неравенство
|$i|<n2V5 + у = С.
I ах | ’
ОБЩИЕ СВОЙСТВА УРАВНЕНИЯ
75
§ 2]
Пользуясь этим и учитывая, что Нп -> Н, получим \yt(xt + Нп+т)—
— У<(яо + -Йп) <С|Я,+я-Нп\ < 8 при n>7V(e) и любом т. Отсюда
по критерию Коши делаем вывод о сходимости последовательности
у,(х0 + Н„) к некоторому пределу щ. Будем считать этот предел
значением-г/; в точке х0 + Н, т. е. положим у,(Х(, + Н) = yt. Таким
образом, интегральная кривая оказывается непрерывно продолжен-
ной вплоть до точки х0 + Н. В силу самой системы уравнений
dyi
(3.31) тем же-свойством обладают производные Тогда в слу-
чае И — А теорема доказана. Рассмотрим случай Н < А. Нетрудно
убедиться, что этот случай не реализуется. Действительно, приняв
х0 + Н, у,(х0 + Н) за новую нача’льную точку, можно продолжить
решение на участок [х0, х0 + Н + 6], 6 > 0, что противоречит опре-
делению Н.
Итак, ft = А, т. е. решение существует и единственно на отрез-
ке [х0, Хц + А], что и требовалось.
Дальнейшее рассмотрение системы (3.31) отложим до § 6 и вер-
немся снова к (3.29). Для уравнения (3.29) справедлива следую-
щая теорема, называемая принципом суперпозиции.
Теорема 3.3. Пусть в уравнении (3.29)’ правая часть f(x) явля-
к
ется линейной комбинацией функций fi{x'j, т. е. /(£) = 2 aifi
•i=i
где а{ — постоянные числа, и пусть yi(x) являются решениями
уравнений
у^ + (х) р)”"1’ + ... + ап (xj-y'i => Д (х). (3.33)
Тогда линейная комбинация yi(x) с теми же коэффициентами а{,
к
т. е. функция Я (^) = 2 ; (•£) является решением уровне-
г=1
ния (3.29).
Значение этого принципа в том, что правую часть уравнения
(3.29) можно представить как линейную комбинацию более про-
стых элементов и свести решение уравнения к решению несколь-
ких более простых уравнений (3.33). С точки зрения физики это
означает, что результат сложного внешнего воздействия на некото-
рый объект, выражаемого функцией j(x), можно представить как
суперпозицию результатов отдельных элементарных воздействий.
Доказательство теоремы 3.3 основано на тождестве, спра-
ведливом для к произвольных п раз дифференцируемых функций
щ, ..., ик и следующем непосредственно из свойств дифферен-
цирования
(л V(n) / к \(п-1) к
2 cciUt (х) + аг (х) I У, (х) I + ... + ап (х) У, (х) =
i=l / V—1 / i=l
к
= У a, [«in) (х) + а± (х)и\п~^ (х) + ,., + ап (х) щ (х)]. (3.34)
76
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 3
Полагая и. = j/,(x), где р((х)—решения уравнений (3.33), получим
л
для у (.г) = 2 (*)
г=1
h
У'"' (х) + (х) + . . . + ап (х) у(х) = 2 “г/i (х) = / (х),
г=1
что и требовалось.
Замечание. Левую часть уравнения (3.29) можно рассматривать как
оператор Ly, определенный на множестве п раз дифференцируемых функ-
ций у. Тогда (3.34) означает, что этот оператор — лилейный.
Отметим важные частные случаи теоремы 3.3, формулируя их
как отдельные утверждения.
Теорема 3.4. Линейная комбинация решений однородного урав-
нения, есть решение однородного уравнения.
(Это частный случай принципа суперпозиции, когда А = / *= 0.)
Замечание. На языке линейной алгебры это можно выразить следу-
ющим образом: множество решений однородного уравнения является линей-
ным пространством.
Пусть теперь к = 2, А = А, 03 = 1, а2 = —1 и, следовательно,
/=г0. Таким образом, имеет место
Теорема 3.3. Разность двух решений неоднородного линейного
уравнения удовлетворяет однородному уравнению.
В теореме 3.3 сс< могут быть и комплексными.
Теорема 3.6. Пусть yi(x), у2(х) удовлетворяют уравнениям
(3.33) (i = l, 2). Тогда z(x) —yl(x)+iy2(x) удовлетворяет урав-
нению
z<n> 4- at (х) z'”-1’ +... 4- ап (x).z = А + if2. (3.35)
Обратно', пусть z(x)~ у^х)+iy2(x) удовлетворяет уравнению
(3.35). Тогда yt(x), уг(х) удовлетворяют уравнениям (3;33).
Прямая теорема является частным случаем теоремы 3.3 (ai = 1,
a2 = 0. Для получения обратного утверждения надо к левой части
(3.35) применить тождество (3.34), полагая щ = ^i, и2 = у2, ai = l,
a2 == i, после чего приравнять действительную часть полученного
выражения величине АГ а мнимую часть — величине А согласно
правилу сравнения комплексных чисел.
Все перечисленные свойства характерны именно для линейных
уравнений и существенно облегчают их исследование и решение.
| 3. Однородное линейное уравнение п-го порядка
Обратимся к изучению уравнения
у(п> 4- a1(x)t/<n-‘) 4-... 4- а„(х)у = 0, (3.36)
коэффициенты которого a((x) (i = 1, ..., п) непрерывны па интер-
вале X. Как было пбказано в предыдущем параграфе, решение па-
§ 3] ОДНОРОДНОЕ ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ 77
чальпой задачи существует и единственно на X, чем будем сущест-
венно пользоваться ниже.
Определение. Будем говорить, что функции, иДх), иР(х)
линейно зависимы на' и нт е р в ал е X, если существуют по-
стоянные Ct, ..СР, не все равные нулю, такие, что имеет место
тождество
р
2 Cii4i(x)~0( хе=Х. (3.37)
i=l
В противном случае (т. е. если (3.37) выполняется только при
Ct =... = Ср — 0) будем говорить, что ut(&), ..., щ>(х) линейно
независимы. •
Пусть уДх), ..., у„(х) — решения уравнения (3.36).
Определение. Назовем детерминант
Уг (х) •••%(*)
А(х) = у[ (х) ... Уп (х> (3.38)
У^Чх) • • УпП-1) (*)
определителем Вронского*}.\
Теорема 3.7. Если решения yt(x), .... уп(х\ уравнения (3.36)'
линейно зависимы на X, то А (х) 0 на X.
п
В самом деле, согласно (3.37) имеем 2 СгУх (х) = СТ. Продиф-
i=l
ферепцнровав это тождество п — 1 раз, получим
2 Ciyi (х) - 0, ..., 2 С^-» (х) ~ 0. (3.39)
j=i i=i
При любом х е X эти соотношения можно рассматривать как систе-
му линейных однородных алгебраических уравнений относительно
С,, ..., С„, имеющую нетривиальное решение по условию линейной
зависимости функций yt. Следовательно, определитель системы
А (х) = 0 при любом х е X, т. е. А (х) = 0 на X.
Замечание. Из доказательства теоремы видно, что она справедлива
пе только для решений уравнения (3.36), но для любых п — 1 раз дифферен-
цируемых функций.
Теорема 3.8. Если А(х) = 0 хотя бы для одного х0^Х, то реше-
ния yt (х), ..., уп(х) уравнения (3.36) линейно зависимы на X.
Доказательство. Действительно, возьмем точку х = х0, в ко-
торой А(хо)=О, и составим систему линейных алгебраических
*) Иногда бывает удобно обозначение Д(уДх), .... у„(х)).
78, ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ.. 3
уравнений относительно С>, С, с определителем Д(х0):
п h
S ciyi (яв) = 0, ..., 2 (*0) = 0. (3.40)
t=l i==l
Так как А (х0) = 0, то эта. система имеет нетривиальное решение
п
С,, ..., Сп. Рассмотрим линейную комбинацию у (х) = 2 С *Уг (^).
i=l
Согласно теореме 3.4 у(х) является решением уравнения (3.36),
а (3.40) означает, что это решение удовлетворяет в точке ха нуле-
вым начальным условиям' у (х0) = 0, y<n-i) (х0) s= 0. Так как три-
виальное решение уравнения (3.36) у(х) = 0 удовлетворяет, оче-
видно, тем же начальным условиям, то, в силу теоремы единствен-
п
иости, у {х}^ у (х)^ 0, т. е. 2 £\у{(х)==0, где по построению пе
г=1
все Ci равны нулю, а это и означает линейную зависимость
У1(х), ..., уп(х). '
Из доказанных теорем непосредственно вытекает следующая
альтернатива.
Теорема 3.9. Определитель Вронского А (я) либо тождественно
равен нулю, и это означает, что-решения yi(x), ..., у„{х) линейно
зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке X, и это
означает, что^у^х), ..., уп(х) линейно независимы.
Ситуацию можно выразить следующей схемой:
।——- А (х) = 0 j/i (я), ..., уп (х) линейно зависимы
А (я)
1—— А (я) =£ 0 Ух (х), ,.., уп(х) линейно независимы
при любом X Е X.
Определение. Фундаментальной системой решений
уравнения (3.36) будем называть любые п линейно независи-
мых решений уравнения (3.36).
Теорема 3.10. Линейное однородное уравнение имеет фундамен-
тальную систему решений.
Д о к а з а'т е л ь с т в о. Действительно, возьмем произвольный от-
личный от нуля определитель А0 с элементами atj. Определим ре-
шения уДя), уп(х) уравнения (3.1) следующими начальными
условиями;
Ус (*о) = «н, • • •, ^"-1) (хй) = (3.41)
Составим определитель Вронского А (я) . В силу (3.41) А (я0) = Д°
¥=0. А тогда, в силу теоремы 3.9, уДя), ..., уп(х) линейно неза-
висимы.
§ 41
НЕОДНОРОДНОЕ ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ
7®.
Замечание. Так как существует бесконечно много определителей, от-
личных от нуля, для каждого уравнения существует бесконечно много фуя-
даментальных систем решений. Кроме того, линейное невырожденное преоб-
п
разование у,- »= 2 сг^з пеРеводит одну фундаментальную систему решений
i=i
в другую.
Докажем теперь основную теорему данного параграфа^.
Теорема 3.11. Если yi(x), .... уп(х)—фундаментальная система
решений, то любое решение у(х) уравнения" (3.36) представимо
в виде
у(х) = Ciy^x),. (3.42)
3=1
где Ct, ..., Сп — некоторые постоянные.
Доказательство. Пусть у (х0) = у°, ..., уп~1 (х0) =. у®. Опре-
делим постоянные Ct, ..С„ линейной системой уравнений с де-
терминантом, равным A(xo);?faO:
2 Ctyi W = Ui, • • •, 1 (ze) = уХ (3.43)
1=1 1=1
n
и построим у(х)= 2 С,у{{х). Согласно теореме 3.4 у (ж) является
7=1
решением уравнения (3.36), а (3.43) означает, что это решение
удовлетворяет тем же начальным условиям, что и у(х). Тогда,
в силу единственности (ср. доказательство теоремы 3.8), у(х)33
п
У (я) = 2 Сц/i г что и требовалось.
1=1
Замечания, 1. Формула (3.42), где Ci, ..., Сп—произвольные постоян-
ные, является общим решением уравнения (3.36) в том же смысле, как в § 1,
т. е. (3.42) является формулой, содержащей все решения уравнения (3.36) и
не содержащей ничего, кроме решений. В самом деле, по теореме 3.4 при лю-
бых Ci, ..., С„ (3.42) является решением уравнения (3.36), а согласно только
что доказанной теореме в (3.42) содержится любое решение уравнения (3.36).
2. На языке линейной алгебры теоремы 3.10 и 3.11 означают, что в прост-
ранстве решений линейного однородного уравнения (3.36) имеется базис из п
элементов, т. е. это пространство п-мерно.
§ 4. Неоднородное линейное уравнение га-го порядка
Рассмотрим теперь уравнение
у(п) + а, (х)у(п~1) + .., 4- ап(х)у — f(x), (3.44)
где а{(х) (I = 1, ..., п) непрерывны па интервале X.
Теорема 3.12. Если yt(x), ..., уп(х) — фундаментальная система
решений однородного уравнения (3.36), а у(х)—частное реше-
ние неоднородного уравнения (3.44), то любое решение у(х)
80
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 3
неоднородного уравнения (3.44) представимо в виде
У (*) =* У (•*) + 2 CiZ/i (*), (3.45)
i=l
где Ci, ..., Сп — некоторые постоянные.
Замечания. 1. Теорема справедлива при любом выборе частного реше-
ния у(х).
2. Теорему 3.12 можно сформулировать и так: общее решение неоднород-
ного уравнения есть сумма частного решения неоднородного уравнения и об-
щего решения однородного уравнения.
Доказательство. Рассмотрим разность у (я) — у(х). Соглас-
но теореме 3.5 эта разность удовлетворяет однородному уравнению
(3.36), и, значит, по теореме 3.11
У (*) — У (*) = S CiVi (*)•
г—1
Отсюда и последует (3.45).
Таким образом, для построения общего решения' неоднородного
уравнения путно помимо фундаментальной системы решений" од-
нородного уравнения знать хотя бы одно частное решение неодно-
родного уравнения. Покажем сейчас, что, зная фундаментальную
систему решений, можно найти квадратурой некоторое частное ро
шенйеу(х) неоднородного уравнения.
Зададимся целью построить частное решение у(х), удовлетво-
ряющее начальным условиям -
у(хо) = О, ..., p<n~,) (яо) = 0. * (3.46)
С этой целью воспользуемся следующим эвристическим рассужде-
пией. Представим /(х) приближенно как сумму функций (элемен-
тарных воздействий), равных /(£) в промежутке (£ — Д£, |) и пу-
лю в остальных точках. Решение у, отвечающее каждому такому
элементарному воздействию, имеющее при х = х0 равные нулю
производные до (га—1)-го порядка включительно, является тож-
дественным нулем вплоть до £ — Д£, но
=Ъ(П) (1 - Д|)'Д1 + aty^ (£ - Д£) Д£ + ... + апу (£ - Д1) Д|] =
= /(£ —Д£)Д|,
т. е. у(я"1)(^) равно уже не нулю, а /(£)Д£ и, таким образом, далее
решение также будет не нулем. В силу принципа суперпозиции до-
статочно построить решение однородного уравнения (ведь, вне
(£ —Д£, £) правая часть равна нулю), принимающее в точке | ну-
левое значение вместе с производными до (га —2)-го порядка вклю-
чительно и с производной (га—1)-го порядка, равной единице
(обозначим это решение (х, %), указывая зависимость от началь-
ной точки, и назовем его импульсной функцией), а затем умножить
НЕОДНОРОДНОЕ ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ
81
§ 4]
его на Итак, J£(x, |) строится как решение однородного
уравнения, удовлетворяющее условиям
Х(М) = 0, = = (3.47)
а решение, отвечающее элементарному воздействию, имеет видТ
(х, £)/(£) Д£. Суммируя теперь элементарные воздействия на ос-
новании того же принципа суперпозиции и переходя от суммы к ин-
тегралу, получим решение р(х), удовлетворяющее условию (3.46):
X
у(х) ^ (3.48)
*0
, Формула (3.48) получена па основании эвристических сообра-
жений, но нетрудно непосредственной проверкой убедиться, что
(3.48) есть частное решение уравнения (3.44). В этой проверке и
будет состоять доказательство следующей теоремы:
Теорема 3.13. Выражение (3.48), где функция ^(х, |), назы-
ваемая импульсной функцией, удовлетворяет Однородному уравне-
нию (3.36) и начальным условиям (3.47), является частным реше-
нием неоднородного уравнение (3.44), удовлетворяющим нулевым
начальным условиям (3.46).
Доказательство. Найдем из (3.48) у', ..., у(п). Предвари-
тельно заметим, что так как £ является параметром, принадлежа-
щим тому же множеству, что и х, то (3.47) равносильно записи
У£ (х, х) = 0, .... (х, х) = 0, (х, х) = 1.
Дифференцируя (3.48), имеем-
«К X
У’ (X) = J У£'х (х, I) / © + Ж (х, х) / (х) = J X (х, g) / ©
у{п-1}(х)^= J Mn-1) (X,
xo
y(n} (x) = J M”’ (x, %) / (5) + УС(X, x) f (x) =
xo
= I f (I) d^ + f (x).
xa
Возможность дифференцирования под знаком интеграла следует из
теоремы о непрерывной зависимости решения системы дифферен-
циальных уравнений от х и начального значения переменной х,.
82
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 8
т. е. в данном случае от £ (см. § 5 гл. 2). Подставляя у, у',..у{п}
в (3.44), получим
Уп) + ах + '... + апу =-
К
= f (*, I) + «1 (*) Х"“1) (*Л) +...
*0
... + ап (ж) Ж (х, £)] / G) + f (,r) = / (ж),
так как [•] под интегралом обращается в нуль в силу определения
Ж(х, £). Таким образом, у(х) действительно является решением
уравнения (3.44) и, кроме того, очевидно, удовлетворяет (3.46).
Замечание. В частноети, для уравнения первого порядка формула
(3.48) совпадает с формулой (2.29) при уа = 0. В (2.29) импульсной функцией
является множитель е , который, согласно (2.26), удовлетворяет од-
нородному уравнению и обращается в единицу при х = g.
Пример 3.1. Приведем пример построения импульсной функции. Рас-
смотрим уравнение, представляющее собой неоднородное уравнение типа урав-
нения Эйлера
+ ^у —f[x), х> 0.
Фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения
имеет вид уА = У х cos —у2 = х sin —у—. (Можно непосредственной про-
веркой убедиться, что t/i и у2 удовлетворяют уравнению; нетрудно подсчитать
также определитель Вронского Д(х) и убедиться, что он равен 1/2.)
Функцию ЛГ(х, g) будем искать в виде Х(х, g) = Ciyi + С2у2. Условия
g) = 0, Хх&, g) = 1 приводят к системе уравнений относительно С\ и С2:
^Vlcos^-H- С2 У1 sin Цп = 0,
1 [ Ing lng\ 1 / Ing
С1 Ту! (C0S ~ ~ Sin ~ J + 2Vt rn~
, Ing
(- cos —2~
= 1.
Определив C\ и C2, приходим после несложных преобразований к следующему
выражению для Ж(х, g):
Jif(x, g) = 2 Vxg-sin
§ 5. Линейное уравнение n-го порядка
с постоянными коэффициентами
Знание фундаментальной системы решений обеспечивает воз-
можность найти любое решение однородного уравнения, а с приме-
нением квадратуры — также и решение неоднородного уравнения.
Существование фундаментальной системы решений было доказано
УРАВНЕНИЕ С ДОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
83
f 5)
(см. теорему ЗЛО), однако вопрос о ее эффективном построении
остался открытым.
Пусть в (3.36) at = const:
г/<п) + +... + апу = 0. (3.49)
Этот класс уравнений замечателен тем, что для него нахождение
фундаментальной системы решений сводится к алгебраическим
операциям, а именно к решению алгебраического уравнения п-й
степени.
Сопоставим уравнению (3.49) многочлен относительно X, назы-
ваемый характеристическим многочленом уравнения (3.49):
М(Х) = V + аА"-1 +... + ап.
Лемма 3.1.Справедливо тождество
Т-п 1^/ (*)] + (*)] + ...+ (х) =
dx dx
= еу'х\м (X) / (х) + М' (A) f {х) + У" + .., +
(3.50)
Доказательство. Это тождество доказывается непосредст-
венным вычислением с использованием формулы Лейбница для
дифференцирования произведения. Имеем
Л/ = /7,
JL (V + /') = (Л/ + Г/'),.
= >^(Х7 + 2Х/‘ + /") = (tff +
_ n(n —1) ... (n —(ft —1)1 ^n-yh) =
-4Ш7гк..+^ъ.. + вЯ.
Складывая полученные равенства, умножив их предварительно на
соответствующее а,, приходим к (3.50),
Замечания. 1. Если /(х) = х$, то (3.50) принимает вид
,Г‘ лп~г
(е^х?) + ах 74=5- (^х”) + ... + апе^ =
ах ах
= [м (Л) х? + рМ' (%) х®-1 + ... + Р"' -P^k + i}- M(h) W xP~k + • • •
... + M<P>(X). (3.51)
84
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 3
В частности, при р = 0 имеем
+ а _77=7^ + -•+.«п«Хх = ^Л/а). (3.52)
dx 1 dxK * ’
2. Тождества (3.50) — (3.52) можно записать компактнее, если обозначить
dy
через/) оператор дифференцирования: ~^=Dy. Если воспользоваться прави-
лами сложения и умножения операторов*), то левую часть уравнения (3.49)
можно записать в виде
(Оп + aiD”~' + ... + ап) у = М(D) у.
Оператор M(D) называется операторным многочленом. Он имеет ту же струк-
туру, что и характеристический многочлен М(к).
Введя M(D), Можно тождества (3.50) — (3.52) записать в виде
( Л/(”> п) /(") (х\)
М (D) e^-f (х) = еХх \М (X) f (х) + М\ (Ш' (О + •. • +-^ГГ----J- <3-53>
М (Р) еХхх₽ = еКх рИ (X) хр + ... + -Р " ‘ (Р~--+1) Mw (А) хр~к + ...
... + M(₽)(A)j, (3.54)
M{D)eix = ekxM (X). (3.55)
Отметим также следующее свойство операторных многочленов, которое
понадобится в .дальнейщем. Рассмотрим наряду с М (D) некоторый другой опе-
раторный многочлен N(D). Пользуясь правилом сложения и умножения опе-
раторов, нетрудно убедиться, что операторные многочлены перемножаются по
правилу обычных многочленов:
M(D)N(D) = N(D)M(D) = Dn+‘ + (<ц + 6t)0"+s-1 + • • • + «пЬ».
Приравнивая М(X) пулю, получим алгебраическое уравнение
л-й степени относительно А — так называемое характеристическое
уравнение
X" + а4Х" ’ + ... + ап — 0. (3.56)
Предположим, что это уравнение имее’т корни Хь ..Х( кратностей
/711, . . ., mi (7711 + . .. + Tty = 7l) .
Теорема 3.14.1. Корню X» характеристического уравнения (3.56)
кратности mk отвечают mk частных решений вида
в , хе , ..., х е . (3.57)
2. Решения (3.57), где k = 1, I, образуют фундаментальную
систему решений уравнения (3.49).
*) Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра.— 3-е изд.— М.: Па-
ука, 1984, гл. 5, § 1. ,
УРАВНЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
85
« 5]
Доказательство. 1. Воспользуемся (3.51) или (3.54). Если
X* является корнем характеристического уравнения кратности тк, то
м (Xft) = М' (xft) = ... = (U = о *).
Поэтому правая часть (3.51) обращается в пуль для р —0, 1, ...
..., mh — 1, а это означает, что xveKf{X (р = 0,1, ..., mh — 1) удовлет-
воряет уравнению (3.49), что и требуется.
2. Предположим противное, т. е. что решения (3.57) (к =
— 1, ..., Z) линейно зависимы. Это означает, что справедливо тояс-
дество
7?! (х) еЧх + ... + Rt (х) = 0, (3.58)
где через- ЯДх) обозначены многочлены степени. ms— 1, не все
равные нулю. Допустим, что отличным от нуля является Rt (этого
можно добиться соответствующей нумерацией %), а в 2?1 старший
отличный от нуля член имеет степень pi (/дСт, —1), т. е.
7?i (х) т=-С10 + СцХ -|- ... + ClPjx-
причем С1₽1 =# 0.
Умножим (3.58) па е • Получим
R, (х) е(К1~К‘)Х + ... + Rt-r (х) + Rt (х) = 0. (3.59)
Продифференцируем это тождество на единицу большее число раз,
нежели степень pi mt — 1 многочлена Rt (х). Предварительно за-
метим, что для выражения Л(х)е“х, где а = const, Л(х)— много-
член, при произвольном к имеет место тождество
^Л(х)е“* = 2?(х)е“’,
где 5(х)—многочлен той же степени, что и Л(х), причем его
старший коэффициент равен старшему коэффициенту Л(х), помно-
женному на а". Это тождество летко получить либо из (3.53), по-
лагая — к = а, /(х) = Л(х), либо просто из формулы
Лейбница. Итак, дифференцируя (3.59), получим - -
Qt (х) + ... + (х) = 0(
или
Q, (х) Л’ + ... + (х) Л”1* = 0, (3.60)
где <2<(х), ..., Qt-l (х) — многочлены той же степени, что 7?t,...,
причем коэффициент старшего члена Qt(x) есть С1Р1 (Хх — l;)₽i+1.
*) И л ь и я В. Л., Позняк Э. Г. Основы- математического анализа.
Ч. I.— 4-е изд.— М.: Наука, 1982, гл. 7, § 3.
86
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 3
Проделывая с (3.60) ту же операцию, что и с (3.58), и продолжая
этот процесс, приходим к тождеству вида
(х) еК1Х — 0 или (х) = 0, (3.61)
причем коэффициент старшего члена Si(x') есть — A/)₽z+1 ...
...(Al — Аа)**2*1 и в силу (3.61) он должен равняться нулю, а это
противоречит тому, что С1Р1Ф 0, Ai — А; =# 0, ..., Ах — Аг#=0. Проти-
воречие приводит к выводу, что решения (3.57) линейно независимы,
т. е. образуют фундаментальную систему решений, и, утверждение 2,
таким образом, доказано.
В силу теоремы 3.14 общее решение уравнения (3.49) явля-
ется линейной комбинацией решений (3.57) (А = 1, ..., Z). Однако
в случае комплексных А„ такое - представление не всегда удобно.
Можно, однако, вместо фундаментальной системы решений (3.57)
пользоваться другой фундаментальной системой решений, состоя-
щей из действительных функций.
Пусть Ah = рл + iqk. Тогда двум комплексным решениям вида
♦
т т
хе , х е через л* обозначен корень характеристического урав-
нения, комплексно сопряженный Aft; такой корень существует в
силу действительности коэффициентов характеристического уравне-
ния) соответствуют, в силу теоремы 3.6, два действительных ре-
шения:
„ ( , . Рьх - ( т Кьх\ т р, х .
Re lx е I = х е cos qhx, Im (я е ) — х е sin qkx.
Таким образом, вместо комплексных решений можно построить
столько же действительных решений; они образуют другую фунда-
ментальную систему решений, будучи линейно независимыми в си-
лу того, что матрица перехода от пары комплексно сопряженных
/1 п
решений к их действительной и мнимои частям имеет вид Ь — J
и имеет отличный от пуля определитель, равный —2i.
Беря линейную комбинацию полученных действительных реше-
ний, * приходим к представлению (3.25), которое теперь, таким об-
разом, доказано.
Рассмотрим теперь неоднородное'уравнение
ум + а1У<п-1} +... + апу = f(x)(3.62)'
Зная фундаментальную систему решений (3.57), можно построить
eto частное решение по теореме 3.13. Практически это, однако,
требует довольно громоздких выкладок, в связи с чем представляет
интерес класс f(x), для которого можно построить частное реше-
ние, не обращаясь к формуле (3.48), а пользуясь чисто алгебраиче-
скими операциями.
§ 5]
УРАВНЕНИЕ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
87
Теорема 3.15, Пусть f(x) = S {х)е**, где X = const, S(x) — много-
член степени з. Пусть к не совпадает ни с одним корнем X* харак-
теристического уравнения (3.56) (так называемый нерезонансный
случай). Тогда существует частное решение уравнения (3.62),
имеющее вид
у{х) = Р{х)е^, (3.63)
где Р(х)— многочлен той же степени, что и S{x). Если X совпадает
с корнем характеристического уравнения X* кратности mh {так на-
зываемый резонансный случай), то существует частное решение
уравнения (3.62), имеющее вид
у{х) = Т (х) /Vя,, (3.64)
где Т {х) — многочлен той же степени, что и S{x).
На основании этой теоремы частное решение ищется в указан-
ном виде, где многочлен Р(х} или Т{х) записывается с неизвест-
ными коэффициентами. Подставляя в уравнение (3.62), сокращая
на е>х и приравнивая члены с одинаковыми степенями х, получим
систему неоднородных алгебраических уравнений относительно не-
известных коэффициентов многочлена Р(х) дли Т{х). Эта система
будет разрешимой, поскольку существование решения такого вида
обеспечено теоремой 3.15.
Доказательство теоремы 3.15 приведем для резонансного
случая (3.64), так как (3.63) получается из (3.64) при mk = Q.
Подставим (3.64) в (3.62):
М {D) Т (х) х^е^ = euS (х) (3.65)
и убедимся, что отсюда можно определить последовательно коэф-
фициенты многочлена Т{х), начиная с коэффициента при старшей
степени х’. Выделим в многочленах Т{х) и S{x) старшие члены:
S {х) — a6xs + Si {х), Т (х) = boxa + Т, {х).
Имеем тогда
М (D) b0 xs+mheKx + М (D) x^Ti (х) еКх = eKxaax* + eKxSl (х).
Распишем первое слагаемое слева, пользуясь формулой (3.54) и
учитывая, Что М (X) = М' (X) = ... = h (X) = 0, а (X) =#=
^=0. Получим
М(т'‘)(Х) (s + mj ... (* + 1)
+ (mft + l)l Х +
+ М {D) х^Т^ (х) е1х =
= e^aoxs + eKxS L {х). (3.66)
88
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(ГЛ. 3
Заметим, что в {.} первое слагаемое имеет степень s, а прочие —
более низкую. Приравнивая старшие члены и сокращая на е’ххг,
будем иметь
° ' ' mh\ 0
Отсюда определится Ьо через а0 в силу М(тл)(Х)^=0. После этого
(3.66) можно записать в виде
М (D) (х) еКх = (х), (3. б7>
где St{x)— многочлен степени не выше s— 1, полученный в резуль-
тате перенесения вправо всех членов выражения (кроме
первого), которые теперь известны.
Соотношение (3.67) представляет собой уравнение., аналогичное
(3.65),. но степени многочленов Т1 (х) и St(х) на единицу ниже
Т (х) и S(x). Из (3.67) аналогично предыдущему определится стар-
ший коэффициент многочлена Tt (х) — а^~1 + Т2 (х), т. е. определят-
ся уже два старших члена многочлена Т (х). Продолжая процесс,
определим последовательно всё члены Т(х).
Метод отыскания частного решения, основанный на доказанной
теореме, будем называть методом неопределенных коэффициентов.
Итак, для уравнения с постоянными коэффициентами фунда-
ментальная система решений, а в случае правой части вида e^S^x)
также и частное решение неоднородного уравнения могут быть по-
строены в эффективной форме путем алгебраических операций.
В -заключение укажем один специальный класс уравнений с пере-
менными коэффициентами, для которого фундаментальную систе-
му решений также можно построить эффективно. Это так называе-
мое уравпепие Эйлера
х"а^у(п> + xn~ialy(n~t'1 + ... + апу = 0, щ = const. (3.68)
Непосредственной выкладкой нетрудно убедиться, что заменой
независимого переменного х = ei уравнение (3.68) сводится к урав-
нению с постоянными коэффициентами, что и решает вопрос об
эффективном построении фундаментальной системы решений.
Для отыскания частного решения неоднородного уравнения
Эйлера в’ случае,, если правая часть имеет вид zx5(ln х), применим
метод неопределенных коэффициентов.
§ 6. Системы линейных уравнений. Общая теория
Обратимся к изучению системы линейных дифференциальных
уравнений
y'i = 2 (*) yh + /» (-г),; i = 1, (3.69)
А=1
§ 6]
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
89
Система (3.69) называется однородной, если — O (i = 1, ..n),
в противном случае — неоднородной. Будем предполагать aih(z)
и fi(x) непрерывными па интервале X. Как было доказано выше
(см. § 2), при этих условиях на X существует единственное реше-
ние системы (3.69), удовлетворяющее начальному условию
Уг (*0) = У?, i = 1, ..., (3.70)
Для системы, уравнений справедливы теоремы, аналогичные тем,
которые были доказаны для одного уравнения п-го порядка.
1. Матричная запись. В целях максимального упрощения фор-
мы изложения нам будет удобно пользоваться матричной записью.
Напомним основные факты матричного исчисления, которые пона-
добятся для этого.
1°. Матрицей размерности пХт (или (п X т)-матрицей) на-
зывается таблица чисел aik вида
(ап “и ••• “1m \
\ani ап2 ••• °пт/
Числа ал называются элементами матрицы.
В настоящем параграфе мы будем использовать квадратные мат-
рицы (иначе (п X и)-матрицы) и так называемые столбцы (или
(п X 1)-матрицы)
f“n\ /“А
: I или просто I.
\“п1/ \anJ
Будем обозначать матрицы а, Ь, с и т. д., а их элементы соот-
ветственно aih Ь,„ Сц и т. д.
2°. Матрицы а и Ь считаются равными* если — Матрицам
считается равной пулю, если ац — 0.
3°. Над (re X~zn)-матрицами определены операции сложения и
умножения па число. •
Суммой матриц а и b называется матрица с (обозначается с =
= а + Ь) такая, что Сц — ац + Ьц. ч
Произведенпем матрицы а на число а называется матрица с
(обозначается с = аа) такая, что Сц = aa(j.
4°. Если а является (п X т)-матрицей, а b является (пгХр)-
матрицей, то произведением матриц а и Ь называется матрица с
размерности пХр (обозначается c — aVy такая, что
тп
Су = ZU
1=1
Умножение матриц обладает сочетательным и распределительным
свойствами.
90
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 3
Для квадратных матриц одинаковой размерности определено и
произведение ab и произведение Ьа, но коммутативным свойством
умножение матриц, вообще говоря не обладает, т. е. ab Ьа.
5°. Матрицей, обратной к (пХ и)-матрице а, называется матри-
ца с (обозначается с = а-*) такая, что су = дАй где A = Deta,
а Ац — алгебраические дополнения к элементам а^. Имеют место
следующие равенства: аа~* = а~'а = Е, где
/1 ... 0\
.£= ••••
\о ... 1/
— так называемая единичная матрица, у которой отличны от нуля
и равны единице только элементы, находящиеся на главной диа-
гонали.
Будем .рассматривать также матрицы, у которых элементы яв-
ляются функциями х. Для таких матриц, помимо вышеуказанных
операций, определены также операции анализа — дифференцирова-
ние и интегрирование.
6*1. Производной а'(х) от матрицы а(х) с элементами а^(х) на-
зывается матрица с элементами ац(х}. Правила дифференцирова-
ния суммы и произведения сохраняются и для матриц, только при
дифференцировании произведения матриц необходимо сохранять
порядок сомножителей:
(ab)' = а'Ь + аЬ'.
X
7°. а (х) dx определяется как матрица с элементами
*о
X
J a y (х) dx.
хо
2. Общие свойства системы линейных уравнений. Обратимся к
системе (3.69). Обозначим через у, / и у0 столбцы
а через Л (я) обозначим (п X ?г)-матрицу с элементами а(1(х):
... а1п (х)\
A (z) = I................
\«Й1 W • • • апп (х) J
Тогда систему (3.69) можно записать в виде одного уравнения
у'= А (х)</+ f (я) (3.71)
точно так же, как и начальные условия
//(*<>) = /. (3.72)
8 6]
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
91
Пользуясь правилом умножения 4°, правилом сложения 3’ и
правилом равенства матриц 2°, нетрудно убедиться в том, что
(3.71) и (3.72) то же самое, что и (3,69). и (3.70).
В силу свойств умножения и дифференцирования матриц для
дифференцируемых столбцов имеет место тождество (ср. (3.34)),
в котором а. — постоянные числа,
/7г \ f / h \ Л
2 atU(i) 1—^2 I = 2 «i(w(i) — (3.73)
/ \i=l / i=l
выражающее свойство линейности оператора у' — Ay = Л[у] на
множестве дифференцируемых столбцов.
Здесь и в дальнейшем для нумерации столбцов будем употреб-
лять индекс, заключенный в круглые скобки, оставляя индекс без
скобок для обозначения элементов (компонент).
Непосредственным следствием этого тождества является прин-
цип суперпозиции.
Теорема 3.1в. Пусть в уравнении (3.71) /(х) является линей-
ной, комбинацией /(.)(А), т. е.
h
/(х^'Яа^х),
i=l
где а, — постоянные числа, и пусть у(^ (х) является решением
уравнения
У (Л) — А У<г> + /(<)•
Тогда линейная комбинация с теми же коэффициентами
k
т. е. столбец у (х) = 2 агУ<л) (х),. является решением уравнения
(3.71).
Имеют также место теоремы, аналогичные теоремам 3.4—3.6.
3. Однородное уравнение. Рассмотрим более детально однород-
ное уравнение
У~А(х)у. (3.74)
Пусть имеется п столбцов
у<л> = и I-
vw/
Составим из этих столбцов матрицу И7(х):
A1J1W
W (х) = ............ • • • . (3.75)
V(1)»W ••• У(п)П(х)/
Сопоставим уравнению (3.74), правая и левая части которого —
столбцы, аналогичное уравнение
W' = A(x)W, (3.76),
92 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ГЛ. 3
правая и левая части которого — матрицы размерности (п X п)'
и. в котором неизвестной является матрица W(x).
Теорема 3.17. Пусть у\1}, ..., у(п) есть п решений уравнения
(3.74). Тогда (пХ п)-матрица IV(х), образованная из них по фор-
муле (3.75), является решением матричного уравнения (3.76).
Обратно-, если W(х) является решением уравнения (3.76), то
каждый столбец матрицы W (х) является решением уравнения
(3.74).
Доказательство. Достаточно расписать (3.76) и (3.74) по-
элементно. Действительно, (3.76) означает
W-j = S aikWk} (3.77).
fe=i
или
n
= 2 (3./8)
a (3.74) означает
di = 2 aikyh. (3.79)
k=l
Поэтому если y(j} являются решениями (3.74), то каждое j/(j, удов-
летворяет (3.79), т. е. справедливо (3.78) или, что то же, (3.77),
а значит, и (3.76), и наоборот, если справедливо (3.76), то и
(3.78), а это в сопоставлении с (3.79) означает, что у(Л (/ = !,...,«)
является решением уравнения (3.74).
Отметим еще следующие факты, проверяемые столь же просто.
Теорема 3.18. Если IV (я)— решение-уравнения (3.76), то выра-
жение WB является решением уравнения (3.74), если В—произ-
вольный постоянный столбец, и решением уравнения (3.76), если
В — произвольная постоянная (м Х п) -матрица.
Определение. Будем говорить, что столбцы и(1), ..., и(Р) линей-
но зависимы на интервале X, если существуют постоянные
Ci, ..., СР, не все равные нулю, такие, что имеет место тождество
р
2 ^iU(i) 00 = О’, х^Х. (3.80)
i=i
Если же (3.80) выполняется только при Ct = ... = С& = 0, то будем
говорить, что П(|), .. ., и(Р) линейно независимы.
Рассмотрим п дифференцируемых столбцов yw, ..., у(п). Запи-
шем для’ пих равенство (3.80):
2^ = 0. (3.81)
1=1
§ 61 .
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ
93-
Введем в рассмотрение постоянный столбец
{сл
С — I : I. Пользуясь
\^п}
этим столбцом и матрицей ИДх), составленной из j/(i) по правилу
(3.75), можно (3.81) записать в виде
WC = 0.
(3.82)
Так как, согласно правилу матричного исчисления, 2° считается
С = 0, если все (? = 1, ..п) равны нулю, то определение ли-
нейной зависимости и независимости у(1), ..., у(я) можно сформу-
лировать следующим образом.
Определение. Будем говорить, что столбцы yw, ..., у(я) линей-
но зависимы на интервале X, если существует постоянный стол-
бец С=£0 такой, что тождественно на X имеет место (3.82).
В противном случае, т. е. если (3,82) справедливо только при
С = 0, будем говорить, что у^, ..., у(П) линейно независимы.
Определение. Назовем А (х) = Det ИДх) определител ем
Вронского для yw, ...., у(я).
Теперь можно сформулировать и доказать теоремы, аналогич-
ные теоремам 3.7—3.9 из теории уравнения «-го порядка. Все эти
доказательства записываются весьма компактно, если пользоваться
введенной матричной записью, которая очень удобна и требует
лишь некоторого навыка.
Теорема 3.19. Если решения уц}, ..., у(„} уравнения (3.74) ли-
нейно зависимы на X, то Х(х)^0 на X.
Доказательство. Имеем WC = 0, С¥=0. Эта запись явля-
ется кратким обозначением того факта, что при каждом х величи-
ны ..., Сп удовлетворяют системе линейных алгебраических
уравнений с определителем &(х), и так как решение нетривиаль-
ное, то Д(х) = 0 при любом х е X, т. е. Д(гг) = О.
Теорема 3.20. Если Д(х) = 0 хотя бы для одного х0<^Х, то ре-
шения у(1), ..., у(я) уравнения (3.74) линейно зависимы на Г.
Доказательство. Запишем кратко доказательство этой тео-
ремы, уже не давая дополнительных разъяснений, как в предыду-
щей. Возьмем Хц^Х, и пусть Д(^Д =0. Составим уравнение
И7(хо)С = О относительно С. В силу Д(^о)==О существует решение
С =й= 0. Положим- у(х)= W(x)C. Согласно теореме 3.18 это решение
уравнения (3.74), причем у(ха) — n7(z0)C = 0, а тогда, в силу тео-
ремы единственности, и, таким образом, W(z)C = 0, что
означает линейную зависимость у(1), ..., у(п}.
Теорема 3.21 (альтернатива). Определитель - Вронского либо
тождественно равен нулю, и это означает, что решения у(„, ..., у(я>
линейно зависимы, либо не обращается в нуль ни в одной точке X,
и это означает, что решения у()), ...., у(я) линейно независимы.
Определение. Фундаментальной системой решений
уравнения (3.74) будем называть п линейно независимых
решений у(1), ..., уравнения (3.74), а соответствующую
94 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
им по формуле (3.75) матрицу W(х) будем называть /фундамен-
тальной матрицей.
На основании теоремы 3.20 можно дать другое (эквивалентное)
определение фундаментальной матрицы.
Определение. Решение W (х) уравнения (3.76)\ для которого
Д(*) отлично от нуля всюду на X, называется фундаменталь-
ной матрицей.
Теорема 3.22. Линейная однородная система уравнений имеет
фундаментальную матрицу.
В силу теоремы 3.21 достаточно взять произвольную матрицу
а = const с отличным от пуля определителем и задать для W на-
чальное условие W (х0) = а.
Теорема 3.23. Если W (х) — фундаментальная матрица, то любое
решение у(х) уравнения (3.74) представимо в виде
y(z) = W(x)C, (3.83)
где С — некоторый постоянный столбец.
Доказательство. Пусть- y(^0) = уа. Определим С уравнени-
ем W(xs,)C = у", которое разрешимо в силу A(xo):#O. Построим
^(х)= W(x)C. Так как у(х0) = W(xo)C = у0, то в силу теоремы
единственности у(х) = у (х) =W(x)C, что и требовалось.
Замечание. На языке линейной алгебры теоремы 3.22 и 3.23 означают,
что пространство решений уравнения (3.74) ге-мерио.
Построим решение уравнения (3.74), удовлетворяющее условиям
(3.72), выразив с/помощью И7 (я) величину С через уа. Имеем
г/(х0)= W(xr,)C = y°,
откуда С — W~l(x0)y<> и, следовательно,
, y(x)=W(x)W~'(x»)y°.
Матрицу (х, xa)—W(x)W~t(x<>), являющуюся функцией двух
переменных х и х0, назовем (ср. § 4) импульсной матрицей, или
матрицантом. В силу теоремы 3.18 Ж(х, х0) как функция я’удов-
летворяет уравнению (3.76). Кроме того, очевидно, что
Ж (ха, х<)) = Е.
Таким образом, справедлива
Теорема 3.24. Решение задачи (3.74), (3.72) имеет вид
у(х) = Ж(х,х»)у\ (3.84)
где матрица Ж (х, х0) удовлетворяет по аргументу х матричному
уравнению (3.76) и условию Ж (хй, ха') = Е.
4. Неоднородное уравнение. Рассмотрим теперь неоднородное
уравнение (3.71).
Теорема 3.25. Если W (х)—фундаментальная матрица, а у(х) —
частное решение неоднородного уравнения (3.71), то ‘ любое
§ 6] СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ 95
решение у(х) уравнения (3.71) представимо в виде
y(x)=*W(x)C + y(x), (3.85)
где С — некоторый постоянный столбец.
Доказательство точно такое же, как в случае уравнения
n-го порядка, и мы его опускаем.
Построим частное решение у(х), удовлетворяющее пулевым на-
чальным условиям у (х0) = 0. Будем искать его в виде
y(x) — W(x)C(x),
где С(х)—неизвестный столбец. Это фактически просто замена пе-
ременных. Подставляя у(х) в (3.71), получим
W'C + WC' =AWC + f.
Так как W удовлетворяет (3.76), то W'—AIV = 0 и, следовательно,
WC' = f. Отсюда С' = W~*f. А так как у(х0) = И/(л:0)С(л:о) = 0, то
С (xj = 0 и, следовательно,
X --
<?(*) = { И'~1©/(М.
*0
Таким образом,
ос . X
у (X) = J W (х) W-1 © / © = j Ж (х, I) / (5)
к0 х0
и справедлива
Теорема 3.26. Частное решение у(х} уравнения (3.71), удовле-
творяющее условию у (xt) = 0, имеет вид
х \
= f (3.86)
“о
где J4f(x, £)—импульсная матрица, или матрицант,— решение" мат-
ричного уравнения (3.76), удовлетворяющее условию J$f(£, —
Замечания. 1. Изложенный метод построения частного ре-
шения системы линейных уравнений фактически является вариан-
том метода вариации постоянных, который для одного уравнения
использовался в гл. 2 (с. 27—28).
2. В силу принципа суперпозиции*решенпе у(х) задачи (3.71),
(3.72) имеет вид
у(х) = Х(^^)у« + J (3.87)
“в
Q6 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
§ 7. Системы линейных дифференциальных уравнении
с постоянными коэффициентами
Пусть в (3.74) А — постоянная матрица,
у' — Ау, Л = const. ' (3.88)
В этом случае построение фундаментальной системы решений или
фундаментальной матрицы сводится к алгебраическим операциям.
Будем искать частное решение системы (3.88) в виде ае*1, где
X — неизвестный параметр, а — неизвестный постоянный столбец.
Подставляя это выражение в (3.88), получим taxe1* = Лае11. Отсюда
делаем вывод, что а должно быть решением алгебраической систе-
мы уравнений
(Л-ЛЯ)а = 0. (3.89)
Для того чтобы а. было нетривиальным решением, нужно потребо-
вать, чтобы
Det(4-M?) = 0. (3.90)
Это уравнение является алгебраическим уравнением степени п и
называется характеристическим уравнением уравнения (3.88).
Пусть Xi, ..., — простые корни -характеристического уравне-
ния (3.90). Каждому отвечает af(|=#0 (собственный вектор мат-
рицы А), который находится из (3.89), где положено Х = В ка-
честве компонент a(f) можно взять, например, алгебраические
дополнения к одной из строк определителя Det (Л — XJE).
- Теорема 3.27. Пусть X,, ..., —простые корни характеристи-
ческого уравнения (3.90) и пусть — решение (нетривиальное)
уравнения (Л — ^,/?)а = 0. Тогда столбцы а^е 1 (i = l. ...,п)
образуют фундаментальную систему решений уравнения (3.88).
Доказательство проводится по схеме, которая была исполь-
зоваиа в § 5. Предположим, что решения линейно зависимы:
2 С,а(,/'х = 0, (3.91)
1—1
Отсюда имеем
^1^(1)^ ‘ • • • “Г 1^(п—1)^ + Ьла(п) — и.
Дифференцируя это равенство, приходим к соотношению типа
(3.91), содержащему уже п— 1 слагаемых. Повторяя операцию,
приходим в конце концов к равенству C(a(n = 0. Так как хотя бы
одна из компонент а(|) отлична от нуля, то получаем отсюда С, = 0,
•что противоречит (3.91).
Обратимся к общему случаю. Пусть характеристическое уравне-
ние (3.90) имеет корни A,t, ..., кратностей hit, ..., m( (m, + ...
Х^х
... + m( = п). Из предыдущего ясно, что a(i)e , где а(<) — соост-
СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
97
₽ 7]
венный вектор, отвечающий Х<, будет решением уравнения (3.88).
Каждому в рассматриваемом случае может отвечать несколько
собственных векторов, но, вообще говоря, их число р, < mt. Таким
образом, решений вида а^е ‘ может быть меньше п и они, следо-
вательнЪ, не образуют фундаментальной системы решений.
Для того чтобы выяснить, откуда взять «недостающие» реше-
ния, потребуются некоторые построения; к которым и перейдем.
Пусть у — решение уравнения (3.88). Тогда компоненты yt этого
решения удовлетворяют системе уравнений
' aSiyt + ... + ainyn - Dyt = 0, i = 1, ..., п, (3.92)
где D — оператор дифференцирования (см. замечание 2 к лем-
ме 3.1). Определитель Det(H — ED)^ M(D) представляет собой не-
который операторный мпогочлеп n-й степени. Если вместо D под-
ставить X, то получится левая часть характеристического уравнения
(3.90) или характеристический многочлен системы (3.88). Так как
умножение операторных многочленов можно производить по пра-
вилу умножения обычных многочленов, то, умножая (3.92) па
алгебраические дополнения Atl(D) определителя Det (Л — ED)
(умножение понимается как умножение операторов) и суммируя
по I, получаем
M(D)y5 = 0, 7 = 1, ...,п,
а это — дифференциальное уравнение порядка п относительно yit
характеристический многочлен которого совпадает с характеристи-
ческим многочленом системы (3.88). Таким образом, справедлива
следующая
Теорема 3.28. Каждая компонента у) решения у системы (3.88)
удовлетворяет уравнению п-го порядка, характеристический много-
член которого равен характеристическому многочлену системы
(3.88).
Рассмотрим корень X* кратности mk. Индекс к будем в нижесле-
дующих рассуждениях опускать, так как будем иметь дело только
с одним корнем. Этомужорпю X отвечает решение у системы (3.88),
j-я компонента которого у* в силу теоремы 3.28, имеет вид (см. тео-
рему 3.14)
У)< = {Ся + C2jx + ... + Cmjx™~') е^,
где Ckl = const, и, таким образом,
С21гг\
(/= ...................... И- (3.93)
\С1П + С2ПХ + • • • + Cmnxm
В этом выражении, однако, поскольку компоненты у, не независи-
мы, а связаны системой (3.92), постоянные Си не являются незави-
симыми.
98
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(ГЛ. 3
Оказывается, в выражении (3.93) число независимых констант
Ckj равно кратности m корня %. Обоснованием этого факта мы зай-
мемся ниже, а пока выясним, что это дает для построения фунда-
ментальной системы решений уравнения (3.88).
Обозначим свободные постоянные через Ct, ..., Cm. Подставим
(3.93) в (3.88), сократим на и приравняем члены с одинаковы-
ми степенями х. Тогда получится линейная алгебраическая систе-
ма m однородных уравнений с m X п неизвестными Cw, которые
можно выразить линейно через свободные постоянные Ct, ..., Cm.
После этого (3.93) можно записать в виде
У = [C>Pi (#) + • • • + Cmpm(x)]eM, (3.94)
где р,(х)—столбцы, компоненты которых являются вполне опре-
деленными многочленами относительно х степени не выше ш — 1.
Из (3.94) следует, что корню характеристического уравнения X
кратности т отвечают т решений вида pi(x)eK!‘ (i = l, ..., т).
Такое построение можно проделать для каждого кратности
В результате получим mt + ... + т, — п рещений.
Ниже будет доказано, что полученные описанным способом п
решений образуют фундаментальную систему решений уравнения
Д3.88).
Практически для нахождения фундаментальной системы реше-
ний рекомендуется для каждого А. написать выражение (3.93), за-
тем подставить в (3.88) и из получепной'указанным выше спосо-
бом алгебраической системы выразить все постоянные через сво-
бодные постоянные. То, что число свободных постоянных заранее
известно и равно кратности m корня Z-, помогает решению этой
алгебраической системы, так как это означает, что заранее известен
ее ранг.
Пример- 3.2. v
»i = — j/2, у'2 = 3У] + у2 — у3, у3 = У1 + у3. (3.95}
Характеристическое уравнение, отвечающее этой системе, имеет корень X, = 2
кратности mi = п = 3. Согласно изложенному выше правилу пишем выра-
жение
“о + V + аах2
b0 + blX + b2xi
% + С1Х + v2
(3.96)
Подставляя его в (3.95), сокращая на е2* и приравнивая члены с одинаковыми
степенями х, полчуим следующие 9 уравнений для определения 9 коэффици-
ентов:
fll = 2a0~fc0- 2a2 = 2fll-\> ° = 2a2-ft2’
bj = ч - b0 - c0, 2^ = 3^-^- cv 0 = 3a2 - - c2, (3.97)
cl = eo-fo> 2^ = ^-^, 0=fl2-V
₽ 7]
СИСТЕМЫ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
99
Заранее известно, что ранг этой системы равен 6 и свободных неиз-
вестных 3;
Записывая определитель этой системы, расположив неизвестные в поряд-
ке «о, 6о, со, «1, bi, ci, a-г, l>2, с2, легко видеть, что правый верхний определитель
6-го порядка отличен от нуля и равен, очевидно, произведению диагональных
элементов, т. е. -8, так как справа от главной диагонали — пули. Следователь-
но, в качестве свободных неизвестных можно взять а0, Ьо, с0. . ’
Первая группа уравнений (3.97) уже дает выражения для яь bt, ct через
«о, bQ, е0, а подставляя это во вторую группу уравнений (3.97), получим
1 < 1
a2=T (%-Л+%)- 62 = % - Ь0 + %’ С2 = Т (% " Ь0 + %)’
Третья группа уравнений (3.97) обращается автоматически в тождество.
Подставляя полученные выражения в (3.96) и приводя его к виду (3.94),
будем иметь
(3.93)
Здесь яо, Ьо, с0 — произвольные постоянные (можпо их обозначить Ct, С2, С3,
как в (3.94)), векторы pi(x), р?(х), рз(х) усматриваются в правой части (3.98).
Таким образом, получено решение системы (3.88) в виде линейной комбинации
трех линейно независимых решений pt(x}e2x (i = 1, 2, 3).
Чтобы обосновать указанный прием, нужно фактически обосно-
вать два момента: во-первых, то, что в выражении (3.93) число
независимых констант Сы равно кратности т корня X, и, во-вто-
рых, то, что решения вида (Z = 1, ..., тк\ k = i, ..., I)
действительно образуют фундаментальную систему решений урав-
нения (3.88). Для этого потребуется более точное представление,
о структуре решений, отвечающих каждому корню характеристи-
ческого уравнения, чем то, которое дается формулой (3.93). Пе-
рейдем к получению такого представления. Будем иначе вести
нумерацию корней характеристического уравнения или, что то же
самое, характеристических чисел матрицы А, а именно будем
нумеровать собственные векторы. Тем самым каждое значение X
нумеруется столько раз, сколько линейно независимых собственных
векторов ему отвечает. . Например, если Xi отвечают собственные
векторы «(и), а(12>» • •,«(ip1), а Х2— собственные векторы «(21),
«(22), • •, «(2р2) и т. д., то будем говорить, что имеются характери-
стические числа %i, Х2, • • •, Хрр Хр1+1, • •., ^Pj+Pj и т. д. (при этом
Xi= ...= lp1,Xpi+i =...= Хр1+р2).Таким образом, имеются Хц ...
..., Ха, каждому из которых отвечает собственный вектор.
Дальнейшие построения основаны на следующей алгебраиче-
ской теореме.'
100
ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[ГЛ. 3
Теорема 3.29 *). Существует п линейно независимых постоянных
векторов (столбцов) (k = 1, з; Д = 1, ..., qk), удовлетворяющих
соотношениям
^e(ki) =
^e(hz) = hk?(k2) + e(ki) A: = 1, ..., s; (h + ... + qs — n, (3.99)
Ле№) = + е(ИА-1)к
причем сумма qk, отвечающих ^одинаковым равна m, где m —
кратность корня кк характеристического уравнения (3.90).
В (3.99) через е(к1} обозначен собственный вектор, отвечаюгций
кк. Векторы е<й2), ...,e^gh) называются присоединенными вектора-
ми, порожденными собственным вектором е(А1). Таким образом,
каждому отвечают qk линейно независимых векторов, среди ко-
торых один собственный вектор и остальные присоединенные,, а всем
Z-i, ..., X, отвечают п линейно независимых векторов. Напомним,
что Хц для разных к могут быть одинаковыми.
Рассмотрим кк. Ему заведомо^’отвечает решение Уад = «(М)г
Оказывается, ему отвечает еще qk—i (и всего, таким образом, qk)
решений, как утверждается следующей теоремой.
Теорема 3.30. Каждому кк отвечает qk решений вида
У(м) ~ ^(Ю) ехР
У (1<2) = (е(А2) + Хеип)) еХР (.к^), v
f \ (3.100)
У Ы) = + хео<,з-1) + ... + ц Jохр (кьх),
I Л”1 \
У (Ъ<1к) = + . . . + ^1) у 6ХР (киХ)-.
Доказательство. Это нетрудно доказать непосредственной
проверкой, пользуясь (3.99).' Действительно,
f xi-1 1
(Л — ED) + ... + 1 >j exp (к^х) =
( х>~2 )
= (Л — khE) {...} — [«(М-Ц + • • • + 77—2)Т е</,1)) ехр =
= ехр (kkx) |(4 — кьЕ) в/ii + • • • + уу—(^ — кьЕ) —
— ye(A,j-i) + • .. + (j _ 2)! e<kl>] ехР (к/<х) ~
*) И л ь и н В. А., П о з в я к Э. Г. Линейная алгебра.— 3-е изд,— М.г
Наука, 1984.
g 8]
РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
101
( xi—2 I
= exp + • • • + (у _ 2) 1 e(M)J —
— р(л,Н) + • • • + (j ii’-jji' e(M)} exP (kkx) = 0.
Итак, каждому (k = i, ..., s) отвечает qh решений вида
(3.100), и, таким образом, всего имеется qt + .., + q, — п решений:
J/(U)) • • ч Z/(19jp •••, У(*1)> • • ч y\sqs)' (3.101)
Теорема 3.31. Решения (3.101) образуют фундаментальную си-
стему решений.
Доказательство. Действительно,
У(ю) (0) = е(М), • •, У(кдк) (0) = e(kqJiy к = 1, ...,$,
а согласно теореме 3.29 столбцы ..., (к — 1, ..., s) в ко-
личестве <?! + ... + q„ — п являются линейно независимыми и, сле-
довательно, Det ИДО) 0. В силу теоремы 3.19 отсюда «следует, что
решения (3.101) линейно независимы, т. е. образуют фундамен-
тальную систему решений.
Вернемся теперь к прежней нумерации корней характеристи-
ческого уравнения, когда нумеруются различные по величине X.
Каждому Л может отвечать несколько групп решений вида (3.101)
по числу отвечающих этому А собственных векторов, но общее
число решений в этих группах равно кратности m корпя X. Таким
образом, действительно, линейная комбинация решений, отвечаю-
щих данному к, имеет вид (3.93), где независимых констант бу-
дет т, так как число решений типа (3.101), отвечающих этому к,
есть т. Заметим, что, как видно из (3.100), (3.101), старшая сте-
пень многочленов в (3.93), вообще говоря, меньше, чем т— 1.
При практическом вычислении фундаментальной системы ре-
шений можно пользоваться (3.100), предварительно найдя все соб-
ственные и присоединенные векторы, но проще поступать, как
указано выше, подставляя (3.93) в исходное уравнение (3.88)
и выделяя т свободных неизвестных Ch}.
§ 8. Построение решения линейного уравнения
в виде степенного ряда
Линейное уравнение с постоянными коэффициентами представ-
ляет собой некоторый класс уравнений, для которых фундамен-
тальная система решений может быть выписана эффективным
образом. ' ’
Как же строится фундаментальная система решений- в общем
случае уравнения с переменными коэффициентами? Цель настоя-
щего параграфа — дать представление о способе построения фунда-
ментальной системы решений, использующем теорию степенных
102 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
рядов и применимом, когда коэффициенты уравнения являются
аналитическими функциями, т. е. представимы в виде степенных
рядов. Идея метода такова. Решение ищется в простейшем случае
оо
в виде ряда У, затем этот ряд подставляется в уравнение,
h=0
в котором коэффициенты записываются также в виде степенных
рядов, после чего вся левая часть записывается в виде степенного
ряда. Приравнивая в полученном степенном ряде коэффициенты
при каждой степени х нулю, получим уравнение для определения ак.
Отметим, что, строя решение в виде степенного ряда, мы во мно-
гих случаях получаем так называемый специальные функции, широ-
ко используемые как в теоретических, так и в прикладных вопросах
(например, функции Бесселя, гипергеометрическ'ие функции и др.).
Не задаваясь целью изложить метод в общем виде — это явля-
ется предметом специального раздела теории дифференциальных
уравнений, так называемой аналитической теории дифференциаль-
ных уравнений.*),— продемонстрируем его на примере одного урав-
нения, нередко встречающегося в приложениях.
Рассмотрим уравнение
у" + ху = 0, (3.102)
называемое уравнением Эйри. Оно встречается в различных прило-
жениях, например в квантовой механике. Это простейшее уравне-
ние второго порядка с переменным коэффициентом, однако оно не
поддается решению элементарными методами.
Будем искать решение уравнения (3.102) в виде так называемо-
го формального ряда
у = У akx\ (3.103)
h=o
Заранее ничего не известно о сходимости этого ряда, и поэтому- все
операции, которые мы сейчас будем проделывать с этим рядом,
будут носить формальный характер; на эти операции надо смотреть
как на алгоритм определения коэффициентов ряда ak. Когда же
коэффициенты будут определены, перейдем к этапу обоснования
того, что ряд (3.103) в самом деле сходится и определяемая им
функция у(х) действительно является решением уравнения (3.102).
Итак, дифференцируем формально ряд (3.103) и подставляем
в (3.102). Получим
S ahk (к - 1) xh~2 + £ akx1'+l = 0. (3.104)
k=2 . h=0
♦) См., например, В. И. Смирнов «Курс высшей математики» т. III,
ч. II (9-е изд.— М.: Наука, 1974, гл. 5).
£ 81
РЕШЕНИЕ МЕТОДОМ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
103
Приравниваем теперь коэффициенты при одинаковых степенях х.
Имеем
х°) а2 • 2 { — 0; отсюда а2 = 0,
<2
х1) а3-3-2 + аи = 0; отсюда а3 = — (3 105)
xh 2) ай..А-(/с~1) + ал_3 = 0; отсюда ай = —
Из (3.105) видно, что
1) коэффициенты вида азч выражаются через а0:
1 (— I)* 4
°39 ~ 39(3<?-1) азч-з-... — 3Q.(3,_i) ...3.2 я»’
причем само а0 остается неопределенным,
2) коэффициенты вида «зщ выражаются через at:
I- I)9
аз9+1 — (3д_|_ п.з? ... 4.3 а1’
причем само а, остается неопределенным, и, наконец,
3) коэффициенты вида a3gi.2 выражаются через аг:
I)9
039+2 = (Зу + 2)-(Зу + 1) ...5-4 а2 = °’
так как а2 — 0.
Положим аа = 1, ал = 0. Получим ряд
□О 00
Vi (*) = 2 а’^34 = 1 + 3y.(3yi 1) ...'3.2 х&<‘ (3-106)
q=0 *3=1
Полагая, напротив, а0 = 0, at = 1, получим ряд
У1 (х) = 2 a3«+i*39+l = я + 2 (3?4- 1)-3g 4-3(3-Ю’*')
Теорема 3.32. Ряды (3.106) и (3.107) сходятся, и определяемые
ими функции pi(i) и у2(х) образуют фундаментальную систему
решений уравнения (3.102).,
Доказательство. Действительно, сходимость рядов (3.106)
и (3.107) элементарно устанавливается для любого х, например, по
признаку Даламбера*), и, таким образом, рДх) и у2{х) определены
*) Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа.—*
Ч. I.— 4-е изд,— М.: Наука, 1982.
104 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. 3
всюду на (—оо, <*>). Так как степенной ряд на интервале схо-
димости можно почленно произвольное число раз дифференциро-
вать, то; проделывая это дифференцирование, подставляя в левую
часть (3.102) (см. (3.104)) и складывая затем оба ряда, получим,
в силу самого определения коэффициентов щ, ряд, состоящий из
нулевых членов. Тем самым уравнение обращается в тождество.
Линейную независимость у> (z) и у2(х) можно доказать от про-
тивного. Пусть (z) + С,у2(х) = 0, причем Ci + Со =/= 0. Положим
х = 0. Тогда t/z(0) = 0, i/1(0)= 1, следовательно, 64 = 0. Имеем'тогда
С2г/г(л:)^О, но тогда у2(х)^ 0, что противоречит, например, тому,
что у2 (0) — 1. Таким образом, теорема доказана.
ГЛАВА 4
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
§ 1. Постановка краевых задач и их физическое содержание
В предыдущих главах изучение дифференциальных уравнений
было в основном посвящено решению начальной задачи, в кото-
рой в качестве дополнительных условий задаются начальные
условия, определяющие значения неизвестной функции и ее про-
изводных при фиксированном значении независимой переменно!;.
Однако, как указывалось в гл. 1, начальные условия не являются
единственно возможной формой дополнительных условий, выделя-
ющих определенное частное решение. Во многих случаях в качест-
ве дополнительных условий задаются граничные условия, опреде-
ляющие значения неизвестной функции и ее производных (или
некоторых выражений от них) при нескольких фиксированных
значениях независимого переменного. Задачу определения частного
решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего задан-
ным граничным условиям, будем называть краевой задачей. Иссле-
дование общих свойств и методов решения краевых задач и со-
ставляет содержание настоящей главы, при этом основное внима-
ние будет уделено изучению краевых задач для линейных диффе-
ренциальных уравнений второго порядка.
К краевым задачам для дифференциальных уравнений сводятся
многие математические и физические задачи. Так, рассмотренная
в гл. 1 задача определения состояния статического равновесия за-
крепленного в граничных сечениях упругого стержня с коэффи-
циентом упругости к(х) под действием внешней силы f(x) сводит-
ся к краевой задаче
= u(0) = 0, м(/) = 0. (4.1)
Аналогично для амплитуды и(х) установившихся гармониче-
ских колебаний частоты со получим краевую задачу
i [A<z)Zr] + <°2P (*) “ (*) = -/(х). н (0) = О, и(1) = 0. (4.2)
Здесь р(х) — плотность стержня. В случае задания величины
смещения граничных сечений или задания действующих на гра-
ничные сечения внешних сил однородные граничные условия
106
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. 4
следует заменить на неоднородные условия вида
и (0) = и0 или /c(O)g(O) =/(0). (4.3)
К краевой задаче для системы дифференциальных уравнений
второго порядка .
сводится задача определения траектории материальной точки мас-
сы т, выходящей в начальный момент t0 из заданной точки
гп (г ((о) = го) и попадающей в момент tt в точку (г (tj) = rj.
В дальнейшем будут рассматриваться краевые задачи на отрез-
ке [0, Z] оси х для линейных дифференциальных уравнений второго
порядка
у" +g(x)y' + h(x)y = fl(x), (4.5)
где g(x), h(x), fi(x)—непрерывные функции на [0, Z]. Введем
функцию
X
р (х) = (4.6)
и заметим, что
Р И + Р (х) g (*) % = i [р (х) М (4-?)
д-г 144- 144 444 .
Умножая (4.5) на р{х) (Очевидно, р(х)^0 на [0, /]), получим
L[y]^^-\p(x)^\ — q(x)y(x) = f(x), (4.8)
где q(x) = — p(x)h(x), f(x)==p(x)/i(x), а через L[y] мы обозначали
дифференциальный оператор в левой части (4.8). Из проведенных
рассмотрений следует, что без ограничения общности рассмотрение
краевых задач для общего линейного дифференциального уравне-
ния второго порядка (4.5) может быть сведено к изучению краевых
задач для уравнения (4.8).
Краевые задачи для уравнения (4.8), как правило, рассматри-
ваются с линейными граничными условиями вида*)
«У(0)+PiP(O) = uo, -
а.2у' (l)+ ^2y(l)=ut, :
где af, (i = l, 2), Но, щ— заданные числа, некоторые из кото-
рых могут быть равны нулю, причем &i + Pi=/=0 (i — i, 2). Если
а, = 0 (/=1, 2), то соответствующее граничное условие обычно
*) В (4.9) предполагаются односторонние производные.
§ 1] ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 107
называется условием первого рода", если [}< = 0 (4 = 1, 2) — усло-
вием второго рода; если а< и |3( одновременно отличны от нуля —
условием третьего рода.
. Краевые задачи, в которых правая часть уравнения не равна
нулю, будем называть неоднородными краевыми задачами. Рас-
смотрению этих задач посвящен § 2 настоящей главы.
Краевые задачи для однородного уравнения с однородными гра-
ничными условиями будем называть однородными краевыми за-
дачами.
Очевидно, что однородная краевая задача, например задача
Ду] = 0, 0<х<1, у(0) = 0, у(4) = 0, ' (4.10):
всегда имеет тождественно равное нулю, так называемое тривиаль-
ное решение у(х)^=0. Может оказаться, что других решений зада-
ча не имеет. Это означает, что, решая на отрезке’ 0 < х I началь-
ную задачу для, уравнения L[y] = 0 с начальными условиями
у(0) = 0, у'(О) = у, (в силу теоремы существования решения на-
чальной задачи — теорема 3.1 —такое решение существует и при
у,=#0 не равно тождественно нулю), мы при всевозможных зна-
чениях у1=И=О получим функцию'у (г, yi), обладающую тем свой-
ством, что. у (4, У1)=^0. Аналогичное положение будет и при зада-
нии соответствующих начальных условий на правом конце отрез-
ка и построении интегральных кривых справа налево. Например,
задача
Г(*) = 0, 0<х<1, у(0) = у(1) = 0
имеет только тривиальное решение у (х) = 0.
Если же при некотором значении у, =# 0 построенное указанным
способом решение у(х, у,) начальной задачи при х = 1 удовлетво-
ряет второму граничному условию у (4, у,) = 0, то это означает, что
данная однородная краевая задача помимо тривиального имеет еще
и пе равное тождественно нулю решение. Такое решение однород-
ной краевой задачи будем называть нетривиальным. Отметим* что
в силу линейности задачи в этом случае и функция Су(х, у,) при
любом значении постоянной С^О является' нетривиальным реше-
нием данной однородной задачи. Например, задача
у"+у = О, 0<х<л, у(0) = у(л) = 0,
как легко проверить, помимо тривиального решения у(т) — () имеет
и нетривиальное решение у (х) = С sin х.
Приведенные рассуждения справедливы и в случае более общих
граничных условий (4.9).
Важным случаем однородных краевых задач являются так на-
зываемые задачи на собственнее значения, состоящие в определе-
нии значений параметров, входящих в дифференциальное уравне-
ние, при которых существуют нетривиальные решения однородной
краевой задачи.
108
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
(ГЛ. 4
Типичной задачей на собственные значения для линейного диф-
ференциального уравнения второго порядка является задача опре-
деления значений параметра X, при которых существуют нетриви-
альные на [0, Z] решения задачи
L[y] + Xp(x)j/(x) = 0, 411).
<Х1/(0)+ р1г/(О) = О, а2у' (Z) +^2y(Z) = 0,
где L[y] — тот же дифференциальный оператор, что в (4.8), р(х) —
заданная функция, непрерывная на [0, Z], а а,, (Z = l, 2)—за-
данные постоянные, часть которых может быть равпа нулю.
К задаче на собственные значения (4.11) сводятся, в частности,
задачи определения собственных колебаний материальных систем
с распределенными характеристиками — поперечные колебания
струны, продольные колебания упругого стержня звуковые коле-
бания в трубах, электрические колебания .в проводах и т. д.
Пусть, например, в задаче о гармонических колебаниях упру-
гого стержня (4.2) правая часть равпа нулю, т. е. внешняя сила
отсутствует, а <в является параметром. Требуется выяснить, воз-
можны ли гармонические колебания некоторой частоты <о в отсут-
ствие внешней силы (такие колебания называются собственными
колебаниями), т. е. существуют ли такие значения и, при которых
имеются нетривиальные решения однородной (f(x) — 0) зада-
чи (4.2).
Значения параметра X, при которых задача (4.11) имеет нетри-
виальные решения, называются собственными значениями, а соот-
ветствующие им нетривиальные решения — собственными функция-
ми краевой задачи на собственные значения.
Замечания. 1. Не ограничивая общности, неоднородную крае-
вую задачу можно рассматривать с однородными граничными усло-
виями. Действительно, в случае неоднородных граничных условий
решеиие задачи можно искать в виде
}y(x)=Y(x)+ z(x), (4.12)
где функция Y(х) удовлетворяет лишь заданным граничным усло-
виям, а в остальном произвольна. Очевидно, такую функцию всегда
можно построить. Например, в случае граничных условий первого
рода р(0) = ио, J/(Z)==U| в качестве функции У (х) можно выбрать
линейную функцию
у + (4ЛЗ)
/
Тогда для функции z(x) получим неоднородную краевую задачу с
несколько измененной правой частью, но однородными граничными
условиями.
§ 1]
ПОСТАНОВКА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
109
2. В общем случае для уравнения n-го порядка приходится рассматривать
краевые задачи с граничными условиями более общего вида
Р.(г/(О), ЙО, ...,</<"-»(/))= о, (4.14)
где п — порядок уравнения, a Pi (•) — заданные функции от значений реше-
ния и его производных в граничных точках. Например, условиям типа (4.14)
удовлетворяет задача определения периодических решений, в которой допол-
нительные условия имеют вид
У(О) = У(1), /(0) = у'(Г).....Й’-'ЧО) = (4.15)
Отметим важные для дальнейшего свойства решений уравненйя
(4.8). Пусть у(х) и z(x) удовлетворяют уравнениям
L =)£ [?(*) .g —= (4.16)
И
Ltz]=^]p(x)^] — q(x)z=g(x). (4.17)
Умножая (4.16) на z(x), (4.17) на у(х) и вычитая почленно,
получим
z (*) 4 Гр (х) ~] — У (х) £ fp (х) =-f (х) z(x)—g (х) у (х). (4.18)
Так как
/ dy dz
Z з---(/у
I dx dr
d Г i \ dz 1 , , . [dz dy dy dz
PWT +PW T-T — Т-1Г
a dx I ' v ’ dx I r ' I dx dx dx dx
to (4.18) может быть записано в виде
£ [р (*) (z g - у g) ] = / (X) Z (X) - g (X) у (х).
(4.19)
Это соотношение носит название тождества Лагранжа. Его инте-
гральная форма называется формулой Грина:
i
f (zb [у] — yL [?]) dx = (р (х) lz g — у g)l I =
0
I
= J V (*) z (x) — g (x) у (x)) dx. (4.20)
0
Из формулы (4.19) следует, что если yi(x) и уг(х) — два линей-
но независимых решения однородного уравнения (/(х) = g(x)=a 0)
< A[yJ = g[p(z)g]-g(z)y = O, (4.21)
Uvi> 1ЛЛ/ j
110
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. 4
то они удовлетворяют соотношению
. , Г dy dy ]
Р^[У^-У^\ = С’
откуда следует, что определитель Вронского этих решений имеет
вид
Д(У1, = <4-22*
р \Х1
Замечания. 1. Поскольку решения однородного уравнения
определены с точностью до произвольного множителя, константу С
в (4.22) можно определить, лишь выбрав множители у. решений,
т. е. проведя так называемую нормировку решений.
2. Из соотношения (4.22) следует, что если известно какое-либо
решение yt(x) однородного уравнения, то любое линейно незави-
симое с ним решение у(х) этого уравнения удовлетворяет лилей-
ному дифференциальному уравнению первого порядка
У1 т ~ У = —ГТ- (4.23)
1 ' ' dx dx 4 ' р (х) ' '
Если у1(х)¥:0 на [0, Z], то, поделив (4.23) на У1(х), получим
d (у И \ = с
dx У1 Wу р (х) i/j (х) ’
что позволяет записать общее решение (4.23) в виде
(4.24)
• X
о
(4.25)
§ 2. Неоднородная краевая задача
Рассмотрим краевую задачу
Lly] — f{x), (4.26)
aty' (0) + (0) = 0, a2y' (Z) + $гу (0 = 0.
Пусть функция р (х) > 0 положительна и непрерывно дифферен-
цируема на [0, Z], а действительные функции q(x) и /(х) непре-
рывны на [0, (]. Решением краевой задачи (4.26) будем называть
непрерывно дифференцируемую на [0, Z] функцию у(х) с непре-
рывной второй производной на (0, /), удовлетворяющую па (0, /)
уравнению и граничным условиям (4.26). В начале наших рас-
смотрений будем предполагать, что соответствующая однородная
краевая задача имеет только тривиальные решения. Другими слова-
ми, мы предполагаем, что Х = 0 не является собственным значением
соответствующей задачи (4.11).
в 2]
НЕОДНОРОДНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
111
Отметим сразу, что, в силу линейности задачи (4.26), из этого
предположения следует, что если решение данной задачи сущест-
вует, то оно единственно.
Наша ближайшая цель заключается в доказательстве существо-
вания решения задачи (4.26) при сделанных предположениях о
коэффициентах и правой части уравнения. При этом доказатель-
ство существования решения будет одновременно содержать и алго-
ритм его конструктивного построения.
Начнем с наводящих соображений. Предположим, что существу-
ет решение задачи (4.26) при специальном способе задания правой
части уравнения, а именно при функции /(х), отличной от‘нуля
лишь в e-окрестности некоторой фиксированной точки х = £®(0, Z):
/(х) =
О, х^£— е,
/е('г), £ — 8<х<£ 4- е,
.0, х>£ + е,
причем функция /«(х) >0 и
5+е
f fe(x) dx = 1.
5-е
(4.27)
(4.28)
Решение этой задачи будем обозначать функцией уе(х, |).
Интегрируя уравнение (4.26) с так заданной функцией f(x) по
отрезку [В — е, ё + е], получим
р й + е) Уе (£ + е- £) — Р (I — е) Уе (I — е, £) —
5+е 5+е
— j <1(х)Уе(х, l)dx=^ $ fe(x)dx = l. (4.29)
5-е 5-е
Рассмотрим теперь предельный процесс при е 0, предполагая,
что (4.29) справедливо при любом в и, следовательно,
5+е
lira j /6(х)с?х = 1. (4.30)
е-»о
Будем предполагать, что предельная функция
limye(x, £) =(?(х, £) (4.31)
е-*о
существует и непрерывна на [0, Z], Тогда, совершая предельный
переход при е -► 0 в (4.29), получим, что производнаяG(x, £)
в точке х = £ должна иметь разрыв первого рода, причем разность
правого и левого предельного значений этой производной в точке
х •= g определяется выражением
^-Glx Ы ^_£g(x, g)l (4.32)
dx v |х=5+о dx 4 |х=5-о Р (5) '
112
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. 4
Подводя итог проведенным рассмотрениям, мы можем утвер-
ждать, что если функция G(x, %) существует, то она подчиняется
следующим условиям:
1) как функция переменной х, G(z,’£) удовлетворяет однород-
ному уравнению (4.26) при 0<х<£и£<х<2;
2) G(x, £) удовлетворяет граничным условиям (4.26);
3) G(x, £) непрерывна на [О, Z], а ее первая производная имеет
в точке х = £ разрыв первого рода с величиной скачка предельных
значений, равной
' <4'32'>
Функцию, удовлетворяющую' условиям 1), 2), 3), назовем
функцией Грина краевой задачи (4.26). Существенное
значение функции Грина заключается, в частности, в том, что через
нее может быть выражено решение краевой задачи (4.26) с про-
извольной правой частью /(т).
Действительно, пусть существуют решение задачи (4.26) и
функция Грина G(x, ,|). Применяя формулу Грина (4.20) к этим
функциям на отрезках [0, £ — е] и [| + е, Z], где функции у(х)
и ~G(x, g) непрерывно дифференцируемы и обладают вторыми не-
прерывными производными, получим
|-е ’ I
= j G(x, £)f(x)dx + J G(x, ^)f{x)dx. (4.33)
0 g'+e
Так как и у (х) и G(x, £) удовлетворяют однородным граничным
условиям (4;26), то подстановки при х = 0 и х — I обращаются , в
нуль. Переходя в (4.33) к пределу при е -> 0, в силу определения
функции Грина получим
i
y® = $G(x, T-,)f(x)dx, (4.34)
о
что и доказывает высказанное утверждение.
Покажем теперь, что функция Грина краевой задачи (4.26) су-
ществует, и дадим алгоритм ее построения. Построим функцию
Pi(x), являющуюся решением однородного уравнения (4.26), удов-
летворяющим левому краевому условию
аУг (0) + РгУх (0) = 0. (4-35)
Очевидно, в силу сделанных предположений о коэффициентах урав-
нения, функция у>.(х} всегда может быть построена как решение
начальной задачи для уравнения (4.26) с начальными условиями
У1(0) = -Са1, J/1(O)==CP1, (4.36)
§ 2]
НЕОДНОРОДНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
113
где С — произвольная постоянная, В случае сделанного предполо-
жения о существовании лишь тривиальных решений однородной
краевой задачи построенная таким образом функция yi(x) не удов-
летворяет правому граничному условию
Ю + Р2У1 (0 ¥= 0.
, (4-37)
Аналогичным образом построим функцию у2(х), являющуюся ре-
шением однородного уравнения, удовлетворяющим правому гранич-
ному условию
«2*4 (0 + 02^2 (0 = 0.
•(4.38)
Легко видеть, что построенные указанным образом функции г/Дх)
и у2(х) линейно независимы. Действительно, предполагая линей-
ную зависимость функций уДх) й i/2(z), например,
yi(x) = Су2(х),
(4.39)
получим, что !/i (х) удовлетворяет правому граничному условию,
что противоречит (4.37). Итак, мы построили два линейно неза-
висимых решения однородного уравнения (4.26), каждое из кото-
рых удовлетворяет только одному из двух однородных граничных
условий.
Будем искать функцию G(x, %) в виде
|С2г/2(х),.
(4.40)
Ясно, что при этом функция (4.40) удовлетворяет однородному
уравнению (4.26) при х Ф £ и однородным граничным условиям.
Для того чтобы удовлетворить условиям непрерывности функции
G(x, %) и скачка ее производной (4.32), остается найти постоян-
ные и С2 из соотношений
^2®-^!© = о, с2у;©-с1г/;© = 1/Р®. (4.41)
Определитель этой линейной алгебраической системы, представля-
ющий собой определитель Вронского линейно независимых реше-
ний yi(x) и у2(х), отличен от нуля и в силу (4.22)
А(У1, Уг)^С/р(х),
где постоянная С определяется нормировкой решений yi(x) и у2(х).
Отсюда следует, что система (4.41) разрешима единственным обра-
зом. Подставив полученные значения О и Сг в (4.40), получим
окончательное выражение функции Грина краевой задачи (4.26):
G(x, £)= -
С bl(fc) У2 (*),’
(4.42>
114
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
(ГЛ. 4
где постоянная равна
(4.43):
Проведенные рассмотрения являются доказательством существо-
вания и единственности функции Грина краевой задачи (4.26) в слу-
чае, когда соответствующая однородная задача имеет только три-
виальное решение.
Замечания. 1. Из явного выражения функции Грина (4.42)
следует, что она является симметричной функцией своих аргументов
G(x,g) = G(B,x).
(4.44)
/2. Как следует из наводящих соображений, предшествовавших построе-
нию функции Грина, опа имеет простой физический смысл, представляя со-
бой решение краевой задачи в случае- сосредоточенной нагрузки.
Пример 4.1. В качестве простейшего примера рассмотрим построение
функции Грина краевой задачи
у" == / (х), 0 < х < I,
р(0)=0, y'(Z)=O.
Легко проверить непосредственно, что соответствующая однородная задача
имеет только тривиальное решение. В-качестве функций у\ (х) и уг(х}, удов-
летворяющих соответственно левому и правому граничному условию, выберем
Уь(х) = х и уг(х) = 1. Согласно (4.40) ищем функцию Грина рассматривае-
мой задачи в виде
(С,х,
G(t, В)= 1
IS’
Удовлетворяя условию непрерывности функции G(x, §) при х — 6 и условию
на величину скачка ее производной в этой точке, получим = С2, —С\ = 1.
Отсюда Ci = —1, Сг = —£, и окончательно выражение функции Грица рас-
сматриваемой задачи принимает вид
G(r, £) = -{*
0<х<5,
Отметим, что в силу (4.1) построенная функция Грина определяет форму
статического равновесия под действием внешней продольной сосредоточенной
силы однородного упругого стержня, левый конец которого жестко закреплен,
а правый свободен. Функция Грина G(z, £) выражает величину смещения се-
чения х, если в точке £ приложена сосредоточенная сила, сжимающая стер-
жень. Как видно из выражения для G(z, £), при данных условиях смещение
сечений стержня, расположенных левее точки приложения силы (х £) бу-
дет неравномерным и тем большим, чем ближе данное сечение к точке | при-
ложения силы, а вся часть стержня, находящаяся правее точки приложения
•силы, переместится как целое.
Перейдем теперь к вопросу о существовании решений исходной
краевой задачи. Имеет место следующая
Теорема 4.1. Если однородная краевая задача (4.26) имеет толь-
ко тривиальное решение, то решение неоднородной краевой задачи
существует для любой непрерывной на [О, Z] функции f(x) и
§ 2] НЕОДНОРОДНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА __ Ц5
выражается формулой
у(х) = Jg(x, ?)/(?) d?. (4.45)
о
Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно
непосредственной проверкой убедиться, что функция у(х), задан-
ная формулой (4.45), удовлетворяет всем условиям определения
решения краевой задачи (4.26).
’ Действительно,-запишем формулу (4.45) в виде
X I
у (х) = J G, (хх I) / (?) dt + J G2 (xt ?) / (?)
О К
1 1
где Gx(x, ?) = y2 (I) y2 (x), G2(x,^') = ^y2(t) y1(x) являются непре-
рывными функциями x и ? вместе с производными до второго по-
рядка, причем условие непрерывности G(x, ?) в точке х = ? можно
записать в виде GJ?, ?) = G2(?, ?) или
Gi(x, х) = G2(x, х),
а условие скачка производной (4.32) — в виде
Gix (х, х) —G2x (х, х) = 1/р (х).
Пользуясь этими соотношениями между Gt и G2, получим в ре-
зультате дифференцирования интегралов по известным правилам*)
у' (х) = Gj (х, х) / (х) + J G'lx (х, I) / (?) d? — G2 (х, х) / (х) +
О
I х I
+ J G2x (X, ?) / (?) dl = J G'lx (x, ?) / (?) d? + j G2x (x,. ?) / (?) dt„
x 0 x
у" (x) = G\x (X, x) / (x) + J G"txx (x, g) / (g) d£ —
0
- G'2x (X, X) / (x) + j G2xx (X, I) / (Ю dt =
x I
= + J G"lxx (x, g) / (?) d? + J G'2XX (x, ?) / (?) dg.
0 X
*) Ильин В. Л., Позняк Э. Г. Основы математического анализа.—
Ч. II.— 2 е изд.— М.: Паука, 1980.
не
краевые Задачи
[ГЛ. 4
Отсюда
L [у (*)] = РУ" + Р'у’ — УУ^
X I
= J L [GJ / ® + f L [G2] / (g) dl + / (x) = / (x),
О x
что и доказывает утверждение теоремы.
Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда однородная
краевая задача (4.26) имеет нетривиальное решение. Для упроще-
ния последующих выкладок будем рассматривать краевую задачу
с граничными условиями первого рода
L[y]-=f(x), у(0) = 0, у (0 = 0. (4.46)
По условию существует функция ф0(х), являющаяся решением
соответствующей однородной краевой задачи
Цфо(х)] = О, ф9(0) = 0, фо (0 = 0, (4.47)
Функцию фо(х) можно рассматривать как собственную функцию
задачи на собственные значения (4.11), где ai = a2 = 0, соответст-
вующую собственному значению X = 0. В дальнейшем будем счи-
тать, что однородная краевая задача (4.47) не имеет других реше-
ний, линейно независимых с фо (я). Функцию ф0(х) нормируем
так, что.
i
j Фо (х) dx — 1. (4.48)
о
Отметим сразу, что если решение у (х) краевой задачи (4.46) су-
ществует, то правая часть уравнения, функция f(z), должна быть
ортогональна на [0, Z] функции ф0(л?). Действительно, применив
формулу Грина (4.20) к функциям у(х) и фо(х), получи*'
i i
J (фо (*) Lly]—y (х) L (ФоД dx = J Фо (*) / (*) dx =
о о
= (р (*) (фо СО У' (?) — У <х) Фо (-0)1 V» = Q, (4-49)
откуда и следует наше утверждение.
Другими словами, справедлива следующая
Лемма 4.1. Необходимым условием разрешимости краевой зада-
чи (4.46) является условие ортогональности правой части уравне-
ния (4.46) нетривиальному решению соответствующей однородной
краевой задачи (4.47).
В дальнейшем будем считать, что необходимое условие разре-
шимости краевой задачи (4.46) выполнено. Покажем, что в этом
случае решение краевой задачи существует и может быть построе-
но с помощью соответствующим образом определенной функции
НЕОДНОРОДНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
117
§ 2]
Грина. Заметим, что если функция у (х) является решением крае-
вой задачи (4.46), то любая функция у(х) вида
5f(x) = Z/(;t:) + C<po(x), (4.50)'
где С — произвольная постоянная, является решением той же за-
дачи, поскольку функция фо (я) — решение соответствующей одно-
родной задачи. Поэтому, чтобы определить единственное решение
краевой задачи, его надо подчинить Дополнительному условию.
В качестве такового поставим условие ортогональности искомого ре-
шения собственной функции ф0 (х) :
г
j У Фо (*) dx = °- (4.51)
о
Покажем, что задача (4.46), (4.51) может иметь только одно ре-
шение. Очевидно, что в силу линейности задачи для этого достаточ-
но показать, что соответствующая однородная задача имеет только
тривиальное решение.
Лемма 4.2.0днородная задача (iAl), (4.51) имеет только три-
виальное решение. <.
Доказательство. По условию все решения однородной за-
дачи (4.47) представимы в виде у0(х) = Сфо(х). Условие (4.51)
дает
i i
J У о (х) Фо (х) dx^c\ фо (х) dx =0,
о в
откуда С = 0, и лемма доказана.
Перейдем к построению так называемой обобщенной функции
Грина задачи (4.46), (4.51). Так как существует нетривиальное
решение однородной краевой задачи (4.47), то для построения
нужной нам функции Грина ограничиться только решениями одно-
родного уравнения нельзя. Поэтому определим обобщенную функ-
цию Грппа G(x, £) как решение следующей задачи:
1. G(x, £) удовлетворяет неоднородному уравнению
^(хЛ)] = -ф„(^)ф0(х) (4.52)
при 0<х<£и|<х</.
2. G(x, £) удовлетворяет тем же граничным условиям, что и
искомое решение
G(0, T-) = G(l, g) = 0. ' (4.53)
3. G(x, g) непрерывна на [0, Z],
4. Первая производная G (х, £) имеет разрыв первого рода
при х = причем величина скачка равна
118
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
(ГЛ. 4
5. G(x, |) ортогональна на [О, Z] собственной функции <р0(;г):
г
J G (х, I) <р0 (х) dx = 0. (4.55)
о
Покажем сразу, что если решение исходной краевой задачи
(4,46), (4.51) и обобщенная функция Грина существуют, то реше-
ние задачи (4.46), (4.51) выражается через обобщенную функцию
Грина по формуле, аналогичной (4.34). Действительно, применяя
формулу Грина к функциям у(х) и G(x, £) на [0, В — е] и [£ + е, ZJ
и переходя к пределу при е -* 0, аналогично предыдущему получим
i
Р (В) У (Ю = J {G (х, I) / (*) + У (*)ф0 © <Ро GO) dx> (4-56>
О
что, в силу условий (4.54) и (4.51), окончательно дает
i
y(g) = $G (х, I) / (х) dx. (4.57)
о
Мы укажем алгоритм явного построения определенной условия-
ми 1—5 обобщенной функции Грина. Тем самым будет проведейо
и конструктивное доказательство ее существования^
Выберем какое-либо частное решение ы(х) неоднородного
уравнения
L[co(.r)] = -q)o(£)<Po(z) (4.58)
на (0, I) (например, решение начальной задачи для уравнения
(4.58) с начальными условиями ю(0) = а, <о'(0)=^).
Наряду с функцией <ро(я) рассмотрим линейно независимое с
ним решение cpt(x) однородного уравнения (4.46):
Л[ф1(х)] = 0, (4.59)
причем будем считать, что cpi(x) нормировано так, что
Д(ф!(х), ф0(х))= i/p(x). (4.60)
Отметим сразу, что, в силу линейной независимости функций <р0(;г)
и q)i(a:), функция cpt(z) не может удовлетворять тем же однород-
ным граничным условиям, что и <р0 (х):
. ср! (0) ¥= 0, <pi(Z)¥=O. (4.61)
Выбранное частное решение со(х), вообще говоря, также не удов-
летворяет однородным граничным условиям (4.53). Однако можно
так выбрать линейные комбинации функций е>(.г) и <р, (х) на от-
резках [0, £] и [£, Z], чтобы удовлетворить условиям (4.53). Но при
этом не остается достаточных степеней свободы для того, чтобы
удовлетворить остающимся условиям 3—5. Это можно сделать, до-
§ 2) НЕОДНОРОДНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА 119
-ч
бавив линейно независимое с <р1 решение однородного уравнении —
функцию фо, которая, удовлетворяя однородным условиям (4.53),
не может их испортить. Поэтому обобщенную функцию Грина бу-
дем строить в виде
G (х, В) = со (х) 4- {„ , , „ . . „ . . , (4.62)
. k ICs’PiC*) + с4Фо(*),
подбирая постоянные С,, С2, С3, С4 так, чтобы удовлетворить всем
условиям. Условия (4.53) дают
©(0) + C1V1(0) = 0, co(/) + C2q>l(Z) = 0. (4.63)
В силу (4.61) отсюда однозначно определяются постоянные С( и Сг.
Условия непрерывности функции G(z, В) и скачка ее производной
при х — В приводят к уравнениям
. (С'2-С1)ф1а) + (С4-С3)фи© = 0, //р/ч
, , (4.Ь4)
- (Сг - С.) Ф1 (В) + (С4 - С3) ф0 (В) = 1/р (В).
В силу (4.60) эта система однозначно разрешима относительно
С2 — Ct и Ci — С,:
Cz — Ct = - фо(В), Cl — С3 = ф1(В). (4.65)
Значения С2 и С( были уже найдены из (4.63). Покажем, что они
удовлетворяют (4.65). Применим формулу Грина к функциям co(z)
и фо(х):
i
J (Фо (*) L I®] — ю (z) L [ф0J) dx =
О
I
= {р (*) (фо (х) «>' (х) — ® (х) Фо (*))l Io = — J Фо (х) Фо (£) Фо (х) dx-,
О
получим
- р (Z) ш (Z) Фо' (Z) + р (0) со (0) Ф; (0) = - Фо (В). (4.66)
Но в силу (4.60)
P(Z)T;(Z) = 1/T1(Z), р(О)фо(О) = 1/Ф1(О), (4.67)
и па основании (4.63) формула (4.66) переходит в выражение
С2 — Ct = — фо (В), совпадающее с (4.65). Итак, С, и С2 определены
однозначно. Выразим С4 через Са из (4.65), получим
С4-П + ф,(В), (4.68)
и перепишем (4.62) в виде
|С1ср1 (z), O^z^B,
G (z В) == ® (z) + С3ф0 (z) + „ t E (4.69)
• ' 0 l^cp^z) + ф1(В;ф0(г)1 B<^<Z. v '
120
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ’
(ГЛ. 4
Здесь остается неизвестным лишь коэффициент С3. Подставляя
(4.69) в условие (4.55), получим для определения коэффициента (
С3 выражение
1 ( 1
С3 [ срд (х) dx = С3 = — К со (х) <р0 (х) dx +
о 1о
5 I i •
+ сл У ф! (х) Фо (х) dx+ С2 j фй (х) ф0 (х) dx + фх (g) J Ф® (х) dx
о Е 5 .
(4.70)
Коэффициент С4 выражается через С3 по формуле (4.68). Итак,
обобщенная функция Грина построена.
Проведенные рассмотрения позволяют сформулировать следую-
щую теорему.
Теорема 4.2. Необходимым и достаточным условием однознач-
ной разрешимости краевой задачи (4.46), (4.51) является условие
(4.49) ортогональности правой части f(x) уравнения (4.46) собст-
венной функции ф0(я). При этом решение выражается в виде
i
у(х) = УС(^Л)/®^. (4.71)
о
Доказательство. Необходимость условия ортогональности
(4.49) и единственность решения краевой задачи были доказаны
ранее (см. леммы 4.1 и 4.2); доказательство того, что функция
у(х), определенная формулой (4.71), при выполнении условия
(4.49) является решением краевой задачи, может быть проведено
путем непосредственной проверки.
Замечания. 1. Для упрощения выкладок рассматривалась краевая за-
дача с граничными условиями первого рода. Аналогичные рассмотрения и по-
строение обобщенной функции Грина могут быть проведены и в случае общих
граничных условий.
2. Мы предполагаем, что однородная краевая задача (4.47) имеет лишь од-
но линейно независимое решение <fo(z). Соответствующие рассмотрения могут
быть проведены и в том случае, когда эта задача имеет два линейно незави-
симых решения <pi (х), <р2 (х) (число линейно независимых решений, очевидно,
не более двух, так как порядок уравнения равен двум). При этом собствен-
ному значению Z = 0 краевой задачи на собственные значения (4.24) отве-
чают две линейно независимые собственные функции q>i(х), <р3(х).
Для разрешимости неоднородной краевой задачи в этом случае должны
выполняться условия ортогональности правой части уравнения обеим собст-
венным функциям:
I
J / U) Ф; (•') dx = 0, i = 1, 2. (4.72}
о
Чтобы имела место единственность, решение краевой задачи надо подчинить
аналогичным условиям ортогональности всем собственным функциям, а обоб-
щенную функцию Грина строить как решение неоднородного уравнения, в пра-
вой части которого выбирается линейная комбинация собственных функций.
§ 2] НЕОДНОРОДНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА 121
Пример 4.2. Рассмотрим краевую задачу
у" + У = f(x),-0 < х < я, у(0) = О, у(л)=0.
I
Как легко видеть, соответствующая однородная, краевая задача имеет нетриви-
альное решение <р0(ж) = }'2/л sin х (коэффициент Г'2/л выбран из условия нор-
мировки (4.48)). Поэтому решение неоднородной краевой задачи существует
лишь тогда, когда правая часть f(x) удовлетворяет условию ортогонально-
сти (4.49)
л
J f (г) sin х dx = О,
о
У
и для того, чтобы это решение представить по формуле (4.57), пунша обоб-
щенная функция Грина.
' Перейдем к ее построению. Найдем частное решение <о(х) уравнения
2
о)" о) = — — sin х.
Будем искать его в виде ы = Ах cos х. Непосредственной подстановкой в урав-
„ л 1 , t ।
нение найдем значение постоянной А = — sin g и получим-
со (х) — — (sin £) х cos х.
В качестве частного решения однородного уравнения, пе удовлетворяющего
заданным граничным условиям, выберем функцию tpi(x) = cos х.
Согласно (4.62) обобщенную функцию Грина рассматриваемой задачи сле-
дует искать в виде
1 (G, cos х + С. sin х, 0 х g,
G (х, %) = — (sin g )х cos х + { .
11 t [С2 cos х + С sin х, |^х^л.
Требование удовлетворения граничным условиям G(0, |) =0, G(n, £) =
=?= 0 дает уравнения для определения постоянных Ct и С2: *
Ci = 0, —sin В — Ci — 0, откуда С( =0, Сг = —sin
Условия непрерывности функции G(x. В) при х = £ и скачка ее произ-
водной в этой точке с учетом найденных значении (7, и б'2 приводят к уравне-
ниям для постоянных С. и Ct:
C.i sin J + sin £ cos E, — C, sin £ = 0, '
sin2 g + C4 cos — Съ cos £ = 1. «
откуда Ci — C3 + cos£ п выражение для G(x, £)„ принимает вид
1 f 0, 0 х< g,
G(x,E,) =—• (sin E)x cos x4- C.. sin x -I- > . t
' ’ ' л ' ’ <* I—sin £ cos x -|- cos £ sin x, £ i --С. л.
122
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. 4
Постоянную Ct найдем из условия ортогональности функции б(я, £) к
функции <рц (х) = sin
л
G (х, g) sin х dx = 0.
а •
Вычисляя соответствующие интегралы, получим
л — | 1
C3=--7-cosg-2SsIng,
что дает окончательное выражение обобщенной функции Грина рассматрива-
емой задачи в виде
1 1
G (х, £) = — (х sin £ cos х -J- £ cos 5 sin x) — sin gsinx —
("cos £ sin x,
(sin £ cos z, £^х^л.
С помощью найденного выражения обобщенной функции Грина и пред-
ставления (4.57) легко получить решение неоднородной краевой .задачи в том
случае, когда правая часть f(x) уравнения удовлетворяет условию ортого-
нальности
л
[ (z) =
о
Зададим функцию f(x) конкретно, а именно положим /(х) = cosz и будем ис-
кать решение краевой задачи
у" + У — cos х, 0 < х < л, у (0) = 0, у (л) = 0,
ортогональное собственной функции sin х, соответствующей однородной крае-
вой задаче
п
J у (х) sin х dx = 0
> о
Пользуясь только что полученным выражением обобщенной функции Грина
и представлением (4.57), после несложных вычислений элементарных инте-
гралов найдем ,• ,
X л
у (х) = sin х — sin х.
Легко проверить, что найденное решение удовлетворяет условию ортогональ-
ности собственной функции sin х.
Отметим, что, в силу уравнения (4.2), построенная обобщенная функция
Грина определяет амплитуду установившихся гармонических колебаний за-
крепленного на концах однородного упругого стержня при внешнем воздейст-
вии специального вида. А именно, частота внешней силы — резонансная, т. е.
совпадает с частотой собственных-колебаний стержня, при которой амплиту-
да собственных колебаний стержня описывается функцией <p0(x). Однако про-
странственное распределение амплитуды внешней силы таково, что амплитуда
вынужденных колебаний, не нарастая во времени, остается ограниченной. Это
достигается выполнением условий ортогональности: и правая часть уравне-
ния, а также обобщенная функция Грина, и само решение неоднородной крае-
вой задачи ортогональны собственной функции <po(z)- .
§ 31 ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 123
В данном примере обобщенная функция Грина G{x, g) имеет физический
смысл амплитуды у установившихся колебаний закрепленного на концах уп-
ругого стержня при периодическом внешнем воздействии с резонансной часто-
той, которое представляет собой сумму сосредоточенной силы, приложенной
в точке £, и силы, распределенной по всему стержню с плотностью sin х и ам-
„ 2 • Е
плитудои — sin
Заметим, наконец, что мы рассматривали идеализированный случай точ-
ного выполнения условий ортогональности амплитуды внешнего воздействия
амплитуде собственных колебаний. В реальных задачах эти строгие условия,
как правило, не выполняются, что может привести к очень большим амплиту-
дам установившихся колебаний при частоте внешнего воздействия, близкой
к резонансной, или к несуществованию решения рассматриваемой задачи об
установившихся колебаниях. При этом следует иметь в виду, что в случае
больших амплитуд рассматриваемая линейная математическая модель, доста-
точно адекватно описывающая малые колебания, уже не' применима и долж-
на быть заменена более сложной нелинейной моделью.
§ 3. Задачи на собственные значения
В § 1 была поставлена задача на собственные значения, заклю-
чающаяся в определении тех значений параметра X, при которых
на [0, 7] существуют нетривиальные решения однородного уравне-
ния
L[y] + Ьр(х)у (z) = 0, (4.73)
удовлетворяющие однородным Граничным условиям
а,у'(0)+(0) = 0, аг/(0+М(0 = 0. (4.74)
Будем считать, что, функция р(х)>0 непрерывна на [0, Z],
а в отношении коэффициентов, входящих в дифференциальный
оператор L, выполнены те же требования, что и в § 2. При этом
функция Грина Краевой задачи (4.26) существует и является сим-
метричной функцией своих аргументов.
Задачу на собственные значения, т. е. задачу отыскания нетри-
виальных решений однородного уравнения (4.73), удовлетворяю-
щих однородным граничным условиям (4.74), часто называют зада-
чей Штурма — Лиувилля, а сами нетривиальные решения — собст-
венными функциями этой задачи.
Собственные функции задачи Штурма — Лиувилля обладают ря-
дом замечательных свойств, которые широко используются не толь-
ко при решении краевых задач для обыкновенных дифференциаль-
ных уравнений, но и при решении краевых задач для уравнений
в частных производных, а также для решения многих других ма-
тематических проблем. Большинство этих свойств можно проще
всего доказать лутем сведения краевой задачи (4.73), (4.74) к ин-
тегральному уравнению Фредгольма второго рода с симметричным
ядром. Однако изучение интегральных уравнений выходит за пре-
124
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
(ГЛ. 4
делы материала настоящей книги*). Поэтому мы приведем здесь
частично без доказательства основные 'свойства собственных значе-
ний и собственных функций краевой задачи (4.73), (4.74). В кон-
це параграфа будет дано сведение рассматриваемой краевой задачи
к интегральному уравнению Фредгольма второго рода.
Имеют место следующие свойства собственных значений и соб-
ственных функций краевой задачи (4.73), (4.74):
1. Существует бесконечное счетное множество {%„} собственных
значений и соответствующая им бесконечная последовательность
{уп(х)} собственных функций. Все собственные значения можно
занумеровать в порядке возрастания их абсолютной величины
1М1<|Л2|С... (4.75)
7 2. Каждому собственному значению соответствует с точностью
до постоянного множителя только одна собственная функция.
В этом смысле говорят, что ранг собственных значений равен
единице.
Доказательство. Действительно, предположим, что одному
собственному значению отвечают две линейно независимые собст-
венные функции yi(x) и у2(х) (более двух не может быть, так
как порядок уравнения равен двум). Из (4.74) следует сцу, (0) 4-
+ ^1/, (0) = 0 (г = 1, 2). Отсюда Д(у1(О), Уг(О)) = О и, следователь-
но, У1(х), у2(х) линецно зависимы.
Замечание. В случае более сложных краевых условий ранг
собственного значения может быть равен двум (но пе более двух,
так как порядок уравнения, равен двум): Собственные значения
ранга 2 будут иметь место, в частности, при периодических гра-
ничных условиях. В качестве примера рассмотрим краевую задачу
у"+2л/ = 0, у(0) = у(2л), у' (0) = / (2л). (4.76)
Как легко видеть, собственные значения = пг этой задачи имеют
ранг, равный двум. Каждому соответствуют две линейно неза-
висимые собственные функции
г/„, (<) (х) — sin пх, уп> (2) (х) — cos пх.
3. В случае граничных условий у(0,) — у(1) — 0 и при выполне-
нии условия q(x)^.f) все собственные значения краевой задачи
(4.73), (4.74) положительны: Z.n>0.
Для доказательства умножим уравнение для собственной функ-
ции уп(х)
л Г dil n
/>(*)-£---q(x)yn(x) + 1пр(х)уп(х) ==0 (4.77)
*) Основные сведения об интегральных уравнениях можно найти, напри-
мер, в книге В. И. Смирнова «Курс высшей математики», т. 4, ч. I (6-е изд.—
М.: Наука, 1974).
§ 3]
ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ
125
на функцию z/n (я) и проинтегрируем результат по [О, Z], Получим
г I I
р Уп (х) ^х— Jq (х) у2п (х) dx + Хп f р (х) у2п (х) dx = 0.
J dx 1
Преобразуя первый интеграл по частям, в 'силу граничных условий
окончательно получим
Xnj* Р (*) Уп (*) dx =
о
dx+
У q (х) yl (х) dx%
О
(4.79)
что и доказывает утверждение.
4. Собственные функции уп(х) образуют на [0, Z] ортогональную
с весом р(я) систему {уп(х)}:
z
j Уп (х) ym (х) р (х) dx = О, п^т. (4.80)
о
Действительно, так как каждому собственному значению отве-
чает только одна собственная функция, то остается рассмотреть
случай, когда собственные функции уп{х) и ут(х) соответствуют
различным собственным значениям Хи =/= hm.
Запишем для этих собственных функций уравнения
£[</?.] +Х„р (я) z/„ = 0, A[(/m]-bAmp(a:)i/m = 0 (4.81)
и, применив формулу Грина, получим
i
J {Уп (*) Ь [Ртп! — Ут (X) L (!/„]} dx =
О
I
= (An — Xm) J У>, (х) Ут (х) Р (.Г) dx = ,
о
= [р (х) (уп(х) у'т (х) — Ут (х) уп (я))] |^. (4.82)
Полученное выражение, очевидно, обращается в нуль, так как обе
собственные функции у„ (,г) и ут(х) удовлетворяют однородным
граничным условиям (4.74). Так как Хп^Х™, то отсюда и следует
наше утверждение. •
5. Теорема разложимости В. А. Стеклова. Если функция f{x)
дважды непрерывно дифференцируема на [0, /] и удовлетворяет
однородным граничным условиям (4.74), то она разлагается в аб-
солютно и равномерно сходящийся на [0, Z] ряд по собственным
функциям у,.(х) задачи (4.74)
оо
/ W = Z- hyn (х). (4.83)
Ji—L
126
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
[ГЛ. 4
Доказательства теоремы Стеклова мы здесь приводить не будем.
Укажем только, что свойство ортогональности собственных функ-
ций позволяет легко определить коэффициенты разложения /„ в
формуле (4.83). Действительно, умножая обе части формулы (4.83)
на ут(х)(>(х) и интегрируя результат по [О, Z] (почленное интегри-
рование ряда возможно в силу его равномерной сходимости), на
основании (4.80) получим
i
f f W Ут (*) Р (т) dx
fm = JL_-------------. (4.84)
J Ут W P W dx
0
Выражение, стоящее в знаменателе, называется квадратом нормы
•собственной функции и обозначается
i
II Ут ||2 = Nm = J Ут (х) р (х) dx. (4.85)
о
Так как собственные функции определены с точностью до мно-
жителя, то во многих случаях их нормируют так, чтобы Nm='l.
В этом случае система {у„(х)} является ортонормированпой.
В заключение кратко остановимся на сведении рассматривае-
мой краевой задачи (4.73)-, (4.74) к интегральному уравнению
•Фредгольма второго рода с симметричным ядром. Согласно сделан-
ным выше предположениям функция Грина G(x, £,) задачи (4.26)
существует и является симметричной функцией своих аргументов.
Записав уравнение (4.73) в виде
4y] = -Ap(i)jl.(i), (4.86)
на основании результатов предыдущего параграфа получим
i
y(x)=-^G(x^)p®y®dt. (4.87)
о
Соотношение (4.87) называется однородным интегральным урав-
нением Фредгольма второго рода. Из приведенных рассуждений
следует, что любое нетривиальное решение краевой задачи (4.73),
,(4.74) удовлетворяет, и интегральному уравнению (4.87). С другой
стороны, если у(х) является решением уравнения (4.87), то из
теоремы 4.1 следует, что у(х) является решением краевой задачи
(4.26), где f(x) — — Кр(х)у(ж), т. е. у(х) является решением задачи
(4.73), (4.74). Тем самым имеет место эквивалентность исходной
краевой задачи Штурма — Лиувилля и интегрального уравнения
(4.87). Те значения параметра X, при которых существуют нетри-
виальные решения уравнения (4.87), называются собственными
значениями, а соответствующие им решения — собственными функ-
$ 3] ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ 127
циями уравнения (4.87). Из установленной эквивалентности сле-
дует, что краевая задача (4.73), (4.74) и интегральное уравнение
(4.87) имеют одни и те же собственные значения и собственные
функции.
Так как функция Грина (?(х, £) является симметричной функ-
цией своих аргументов, ядро — G(x, £)р(£) интегрального уравне-
ния (4.87) f вообще говоря, несимметрично. Однако это уравнение
легко свести к интегральному уравнению с симметричным ядром.
Действительно, умножив (4.87) на Ур(х) и обозначив н(х) =
= 1/р(х)у(х), получим интегральное уравнение .
- i
(4.88>
О
с симметричным ядром
Х(х, l) = -G(x, (4.89}.
Очевидно, краевая задача (4.73), (4.74) и интегральное уравне-
ние (4.88) имеют общие собственные значения Х„, а соответствую-
щие этим собственным значениям собственные функции уп(х)
краевой задачи (4.73), (4.74) и собственные функции п„(х) инте-
грального уравнения (4.88) связаны соотношением
у„(х) = vn(x)/l/p(x). (4.90)
Тем самым известные из теории интегральных уравнений свойства,
собственных значений и собственных функций интегрального урав-
нения Фредгольма второго рода с симметричным ядром дают воз-
можность сделать заключение о свойствах собственных значений и
собственных функций краевой задачи Штурма — Лиувилля.
ГЛАВА 5
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
§ 1. Постановка задачи
Рассмотрим систему уравнений
^ = F(t,y), (5.1)
в которой неизвестной является n-мерная вектор-функция у с ком-
понентами yi, ..., уп. Зададим начальное условие
J/(O) = y.. (5.2)
Из § 5 гл. 2 известно, что при определенных естественных ус-
ловиях гладкости на правые части (5.1) решение y = y(t, Уо) зада-
чи (5.1), (5.2) является непрерывной функцией t, уа в точке (i, у0),
где t — произвольное значение из не-
которого конечного сегмента [О, Г].
Геометрически это означает (рис. 8,
на котором представлен случай од-
номерного у), что для любого е>0
существует столь малое I Ду0|, что
интегральная кривая y = y(i, у» +
+ Дуо) будет лежать в полосе ши-
риной 2е около интегральной кри-
вой у = у (i, уо), если is [О, Г]. Та-'
ким образом, малая погрешность в
начальных условиях не оказывает
существенного влияния на характер, процесса, если процесс рас-
сматривается на некотором конечном отрезке [О, Г] времени t.
Однако нередко требуется* исследовать процесс на как угодно
больших промежутках изменения времени, что математически вы-
ражается в том, что решение задачи (5.1), (5.2) следует рассмат-
ривать при 0 < t < Будем заранее предполагать, что решение
задачи (5.1), (5.2) существует на этом бесконечном промежутке.
Возникает вопрос, останется ли кривая y = y(t, у0 + Ду0) в е-поло-
се около кривой y = y(t, у0) для всех t > 0, если только |Ду0| до-
статочно мало или с ростом i кривые разойдутся?
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
129
9 И
Примеры показывают, что может реализоваться и тот и другой
случай. Рассмотрим простейший пример. Уравнение — ау — 1
обладает решением y(t, уе)=1/а, начальное значение которого
р0 = 1/а. Пусть теперь начальное значение равно у о + Ау0. Отвеча-
ющее этому начальному значению решение дается формулой
p (t, у0 + Ау0) = (у0 + Луо — у) + У = + 7-
Отсюда видно, что если а< 0, то | Ар1 = | у (t, у0 + — у1 =
= |Др0|еа(<е для всех £>0, если только I Ау01 < е. Если же а>0,
то при достаточно больших t значение |Ау| становится сколь угод-
но большим, как бы мало ни было I Др01 •
Интегральная кривая, обладающая тем свойством, что все доста-
точно близкие к ней при t = 0 интегральные кривые остаются
близкими к ней и для всех О0, называется устойчивой интеграль-
ной кривой, а соответствующее ей решение — устойчивым реше-
нием. В противном случае говорят, что решение неустойчиво.
В рассмотренном примере решение у —На при а<0 является
устойчивым решением, а при а>0 — неустойчивым решением. Ре-
шения, рассматриваемые на [0, °°), делятся, таким образом, на два
непересекающихся класса: устойчивые и неустойчивые.
Понятие устойчивости решения было введено А. М. Ляпуновым.
Им же были заложены основы методов исследования на устойчи-
вость. Идеи А. М. Ляпунова сохранили свое значение до сих пор
и широко используются в современных исследованиях вопросов
устойчивости.
Дадим теперь строгое определение понятия устойчивости. Вве-
дем обозначение II у || = ]/" У* +....+ Уп, где у< (i = 1, ..., «) —ко-
ординаты вектор-функции у.
Определение*). Решение y = y(t, у0) задачи (5.1), (5.2) назы-
вается устойчивым по Ляпунову, если для любого е>0
существует 6(e) такое, что при НДуо11 < 6(e) для всех t>0 справед-
ливо неравенство
Wy(t, уй + &ye)-y(t, ро)П<е. (5.3)
Среди устойчивых решений может встретиться решенпе, обла-
дающее тем свойством, что все близкие к нему в начальный момент
решения не только не удаляются с течением времени, но бесконеч-
но приближаются к нему. Поэтому вводится еще одно
Определение. Решение y — y(t, yQ) задачи (5.1), (5.2) называ-
ется асимптотически устойчивым, если 1) оно устойчиво
*) В этом .определении и в дальнейшем речь идет об устойчивости отно-
сительно начальных данных. Аналогично можно было бы ввести понятие устой-
чивости относительно параметров, входящих в правую часть уравнения.
130
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
(ГЛ. 5
и 2) существует такое достаточно малое б0 > 0, что при II Др0И < б0
Пт (у (t, у0 + Др0) — у (t, уа)) = 0. (5.4)
f-»o°
Исследование на устойчивость решения у (t, y0J можно свести к
исследованию на устойчивость тривиального, т. е. тождественно
равного нулю решения некоторой другой системы, связанной с
(5.1). Действительно, перейдём от неизвестного у к новому неиз-
вестному я по формуле х = у — у (t, уа). Тогда система (5.1) примет
вид
;£ = Ж*), (5.5)
где f(t, х) = F(t,x + у (t, у0)) — У о)-Решению у (t, у„) в преж-
них переменных отвечает решение х = 0 системы (5.5). Обозначим
ха — у (б, р» + Др») - у (0, р0) = Apo, x{t, Хо) = у (t, Ро + Дро) - у (t, р0).
Тогда в переменных I, х определения устойчивости и асимптотиче-
ской устойчивости выглядят следующим образом..
Определение. Тривиальное решение системы (5.5) называется
устойчивым по Ляпунову, если для любого е > 0 существу-
ет 6(e) такое, что при 11х0И < 6(e) для всех t>0 справедливо не-
равенство
llx(f, х0) И < е. (5.6)
Определение. Тривиальное решение ’ системы (5.5) называется
асимптотически устойчивым, если 1) оно устойчиво и
2) существует 60 > 0 такое, что при Нх0Н < 60
lim х (£, х0) = 0. (5.7)
(->0©
Замечание. Иногда в записи х(£,х0) опускают зависимость
от х0 и пишут x(t), а х0 можно тогда записать как х(0), и тогда
устойчивость означает, что
llx(Z)H<e (5.8)
при
Пх(О)Н <6(е), (5.9)
а асимптотическая устойчивость — что, сверх того,
Игах (0 = 0, (5.10)
$-►00
если Их (0) И < 60.
В дальнейшем мы будем знакомиться с методами исследования
на устойчивость именно тривиального решения.
Устойчивость тривиального решения допускает удобную геомет-
рическую интерпретацию не только в (п + 1)-мерном пространстве
переменных t, х, но и в n-мерном фазовом пространстве перемен-
61]
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
131
ных х (понятие фазового пространства было введено в гл. 1). На-
глядное изображение здесь можно дать для случая п = 2 (рис. 9).
Тривиальное решение в фазовом пространстве изображается точ-
кой — началом координат. Неравенство (5.8) в двумерном случае
означает, что фазовая траектория при t > 0 лежит в круге радиуса
е с центром в начале координат, а не-
равенство (5.9) — что начальная точка
траектории лежит в круге радиуса 6(e),
т. е. траектория, начинающаяся в 6-ок-
рестности начала координат, не выйдет
из е-окрестности начала координат при
всех t > 0; в случае асимптотической
устойчивости траектория при t -* °°
бесконечно приближается к началу
координат.
Замечание. Вместо того чтобы го-
ворить об устойчивости тривиального ре-
шения, часто говорят об устойчивости
точки (0,' ..., 0) фазового пространства.
Рассмотрим систему двух линейных однородных уравнений с
постоянными коэффициентами ,
% = (5.11)
где А — постоянная (2 X 2)-матрица:
(а а
11 ..12
fl21 а22
Система (5.11) имеет тривиальное решение х = 0. Будем иссле-
довать его на устойчивость. Поскольку решение системы (5.11),
удовлетворяющее произвольным начальным условиям, выписывает-
ся явно, то устойчивость или неустойчивость тривиального решения
можно установить непосредственно. В общем случае этого сделать
нельзя. Однако результаты, которые мы получим для (5.11), под-
скажут направление исследования общего случая.
Получим сначала некоторые вспомогательные неравенства.
Согласно изложенному в §§ 6 и 7 гл. 3 решение x(t, х0) системы
(5.11), принимающее начальное значение х0, представимо в виде
x(t, х0) — Ж(t, О)хо, (5.12)
где Ж(t, 0) = W (t) W~' (0); 17(i)—фундаментальная матрица, име-
ющая в качестве столбцов два линейно независимых решения:
=
/“(2)1) At
х, = е .
2 \“(2)2/
(5.13)
Здесь — характеристические числа матрицы А (корпи харак-
1 32
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
(ГЛ. 5
теристического уравнения), а а(^< — некоторые числа, если X, =£ К2,
и многочлены по t степени не выше первой, если X, = Z2.
Пусть kj = р5 + iqj. Тогда |\ = ePjt и для элементов УС^ мат-
рицы УС (Z, 0) справедлива следующая оценка:
'IXJ <(G + C2i)ep', (5Л4)
где р — max {pn р2); С{, С2— некоторые постоянные, причем С2 = 0
в случае Неравенство (5.14) можно записать (учитывая,
что при
также в
любом у > 0 имеет место неравенство te~yt е
следующей форме:
IXJ <(G + С^)е-Т'е!р+”' <(С\ + С’2с3)е(р+П',
т. е.
\УС»\<Се^\
(5.15)
Получим еще одно вспомогательное неравенство. Пусть у =
= Л(/)х, где у, х — столбцы, 4(f)—квадратная матрица. Пусть
элементы A(t) подчиняются неравенству |щДг) I <a(t). Тогда
Hpllc2a(f)IW. (5.16)
Действительно, для двумерного случая имеем = altXi + а12х2 и,
следовательно,
= йцХ^ + a12^2
< а^х2! + aVs + I «ц|1 «121 («ч + xl) С 2a2 (x2 + xty.
Учитывая аналогичную оценку для р2, получим у\ + y2^4a2(xl 4-
4- я£), что равносильно (5.16).
Применяя неравенство (5.16) к (5.12) и беря в качестве a(t)
правую часть (5.14) или (5.15), получим (коэффициент 2 можно
включить в С( или С)
"lU(t, х0)И =С (G + GO^'IM, (5.17)
lkc(f,a:0)ll Ce(₽+T)'Hxoll. (5.18)
Обратимся теперь непосредственно к исследованию тривиаль-
ного решения.системы (5.11). Рассмотрим разные случаи.
1. Пусть pi = ReM<0, p2 = ReX2<0. Тогда р = max {р„ р2) <
< 0 и, следовательно, при достаточно малом у имеем р + к < 0.
Тогда для любого е>0 получим из (5.18) 11х(7, х0) II СНл^Н < е,
если llxoll < е/С = 6(e), и, таким образом, тривиальное решение си-
стемы (5.11) устойчиво. Из (5.18) видно также, что я(£, Яо) “*• 0
при t -* °° и, таким образом, решение асимптотически устойчиво.
2. Пусть среди р2 имеется хотя бы одно положительное,
например р,. В этом случае, как нетрудно видеть, тривиальное
решение системы (5.11) устойчивым не является. Допустим про-
тивное, ,т. е. что для любого е>0 существует 6(e) такое, что при
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
133
§ 1]
llaroll < 6 (е) справедливо 11x11 < е. Дальнейшие рассуждения будут
несколько различаться в зависимости от того, являются действи-
тельными или комплексно сопряженными. При действительных Х(
достаточно рассмотреть решение x = Cx(iy. При достаточно малом
ICI, очевидно, llzr0U < 6(е), но неравенство Ы < в не может быть
р t
выполнено при всех t > 0, так как е -> оо при t -*' со. Если же Х<
комплексные, то pi — рг = р, Xi = р + iq и рассмотрим решение х =
= CRex(1). При достаточно малом |С| по-прежнему Нх011 < б(е).
Возьмем одну из компонент этого решения, отличную от тожде-
ственного нуля, например xt = C$t(t)ept, где Pi(t) — некоторая
вполне определенная линейная комбинация cos qt и sin qt. Очевид-
но, Xi не является ограниченным при t -*• °°, и поэтому неравенство
1Ы1 < е также не может быть выполненным при всех t>0.
3. Осталось рассмотреть случай, когда р, = 0, р2 < 0 или pt =
= р2<=0. Последнее означает, что Xt и Х2 либо чисто мнимые, либо
равные нулю и кратные. В случае pt = 0, р2 < 0 или чисто мнимых
Ху в формуле (5.17) р = 0, Сг^О, так что Их (t, х0) II < GIIxqII и ре-
шение устойчиво по тем же причинам, что и в 1. Асимптотической
устойчивости здесь, однако, уже не будет, так как, очевидно, най-
дутся решения4, не стремящиеся к нулю при £-*<». В случае р, = О,
р2<0 такйм решением будет, например, решение вида x — Cx(Vl,
для которого при достаточно малом |С| Величина Пх0П как угодно
мала, однако Hxll = const -А 0 при t -* °°. При чисто мнимых Х(,
очевидно, х = С Re х(1) -ft- 0 при <-><».
Если же Xi = Х2 = 0, то е = е 2 = 1, a a(ilf — линейные функ-
ции t, и поэтому неравенство Hx(t, х0)11 <е не может выполняться
для всех £ > О, за исключением того случая, когда все вырож-
даются в многочлены нулевой степени. Но'этот случай реализуется
лишь при aik — 0, и решение тогда имеет вид xf = xOi, х2 = х02 и,
очевидно, является устойчивым, но не асимптотически.
Замечание. Нетрудно видеть, что проведенный анализ в зна-
чительной мере остается справедливым и для «-мерного случая. Так
сохраняется оценка (5.15) для неравенство (5.16), в котором
изменится только то, что вместо коэффициента 2 появится некото-
рая величина, зависящая от п. Останется справедливым неравен-
ство (5.18). Нетрудно видеть также, что рассуждения, приведенные
в 1, 2, фактически без изменений переносятся на n-мерный случай.
Подводя итоги, можно сделать вывод, что тривиальное решение
однородной системы нелинейных уравнений устойчиво и притом
асимптотически, если Re Ху < О для всех i, и неустойчиво, если
Re Х< > 0 хотя бы для одного i.
При наличии характеристических чисел с равной нулю действи-
тельной частью ситуация является более сложной. Дополнительный
анализ показывает, что если характеристические числа с равными
134 ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ’ [ГЛ. 5
»
нулю действительными частями, не являются кратными, то при
условии, что прочие X удовлетворяют требованию Re X < 0, будет
иметь место устойчивость, но не асимптотическая. Если же среди
X с нулевыми действительными частями имеются кратные, то устой-
чивости, вообще говоря, не будет, даже если для прочих X имеет
место неравенство Re X < 0. *
§ 2. Исследование на устойчивость
по первому приближению
Обратимся к системе общего вида (5.5) и рассмотрим так назы-
ваемый автономный случай, когда / не зависит явно от t. Запишем
систему в координатной форме
~ fi (’'!> • • •, г = 1, ..., и. (5.19)
Так как понятие устойчивости тривиального решения связано
с малой окрестностью начала координат в фазовом пространстве,
то естественно ожидать, что поведение решения системы (5.19) бу-
дет определяться главными членами разложения / по х в окрестно-
сти х = 0. Так как /4(0, ..., 0) = 0 (поскольку х — 0 является реше-
нием системы (5.19)), то главными членами будут линейные чле-
ны разложения / по х, или, как их иначе называют, члены первого
приближения.
По формуле Тейлора, учитывая, что fi (0, ..., 0) = 0, имеем
п
fi (^Tj • • *» хп) ==== ^ikxh 4е ^(2)i (5.20)
А=1
где
atA=^(0, ...,0),
1 ” д2/-
^(2)i = ~2 дх-дх • • • 1 XjX{. (5.21)
i,i=i ’ 1
Если в (5.20) отбросить то вместо (5.19) получим линей-
ную систему вида
, п
dx. ж-,
= (5.22)
А=1
которую будем называть системой первого приближения для систе-
мы (5.19). Поведение системы (5.22) в отношении устойчивости
или неустойчивости тривиального решения определяется свойствами
корней X характеристического уравнения, как было выяснено в кон-
це предыдущего параграфа. Можно ожидать, что те же требования
на X обеспечат не только устойчивость или неустойчивость триви-
ального решения системы (5.22), но и тривиального решения ис-
S 2]
ИССЛЕДОВАНИЕ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
135
ходной системы (5.19). Как будет видно ниже, это предположение
оправдывается. Однако, прежде чем формулировать соответствую-
щую теорему, докажем лемму, содержащую некоторые вспомога-
тельные неравенства, которые потребуются при доказательстве тео-
ремы. В дальнейшем, как это нередко делается, все встречающиеся
положительные постоянные, величина которых не играет существен-
ной роли, будем обозначать одной и той же буквой С (так, в (5.17)
можно было бы написать Ня(/, я0)Н <(С + Ct)epiWx0\\ и т. д.).
Лемма 5.1. Имеют место следующие утверждения:
1°. Пусть у является вектором с компонентами
п
У1 = 2 а* (О Xh,
Л=1
где |aiA(Z)l <a(i). Тогда
llyll < Са (£)
2°. Пусть у является вектором с компонентами
п
yt — 2 (t) ЪЪ,
3,1=1
где |а(5((/)1 <а(£). Тогда
IIi/И < Са (t) Hxll2.
3°. Для любой пары векторов х и у справедливо неравенство
Ня + у!1 С С(11я11 + Пг/11).
4°. Для любого вектора у справедливо неравенство
II о о
5°. Для матрицантаЖ (t, %) линейной системы (5.22) справедли-
во неравенство
\Ж»(1, £)| = ЦГЙ(^^,О)| (5.23);
где р— max (Re Xi), у — положительная постоянная.
Доказательство. 1°. Утверждение было доказано для дву-
мерного случая (см. (5.16)). Для произвольного п, как было уже
отмечено в предыдущем параграфе, доказательство проводится по-
добным же образом.
2°. Утверждение доказывается при помощи аналогичных сообра-
жений, поэтому доказательство опускаем.
136
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. 5
3е. Имеем
(х + у\ — xt '+ уг [(z + ?/)i]2 = х® + У? + 2лг,у{ <
<1И12 + h II2 + 2ИИИ- (И + Ы1)2=Н* + уГ<
«О(И + Ы)2=М* + И<С(И + М) (c = /z7).
4е. Имеем
Замечание. Указанные неравенства легко следуют из теорем линейной
алгебры.
5°. Для Ж^, %) справедливо неравенство (5.15):
1ХДМ))| <Се'р+™ (5.24)
(см. замечание в конце § 1). Убедимся, что J4f(i, £) = Ж(t — g, 0).
Действительно, Ж (t, £) удовлетворяет уравнению -^Ж(1, £) ==
- А.Ж (£, 5) (Л г1- матрица с элементами a,ft) и начальному условию
•= Ж (£, %) = Е. Заменяя независимое переменное t на t — £•
и учитывая, что Л = const, получим, что Ж(1 — 5, 0) удовлетворяет
.тому же уравнению и начальному условию Ж 1(-^=0 = J5?(0, 0) = Е.
Поэтому в силу теоремы единственности
Ж(1, I) 0).
Отсюда и из (5.24) последует (5.23).
Сформулируем теперь теорему, обеспечивающую возможность
судить об устойчивости или неустойчивости тривиального решения
системы (5.19) по характеристическим числам матрицы первого
приближения.
Теорема 5.1. Пусть в некоторой окрестности точки xt = 0, ...
..., хп = 0 , ..., хп) (i = 1, ..., п) непрерывны вместе с про-
изводными до второго порядка включительно. Тогда, если все харак-
Q f ’
теристические числа kt матрицы с элементами aik = (0, ,,., 0)
°хь
удовлетворяют условию Re kt < 0, то тривиальное решение системы
(5.19) устойчиво и притом асимптотически.
Доказательство. Пользуясь представлением (5.20) для
правых частей (5.19) и рассматривая (5.19) как систему (3.71),
в которой / — 2?(г), перейдем от дифференциального уравнения (5.19)
с начальным условием я(0) —х0 к эквивалентному интегральному
S 2]
ИССЛЕДОВАНИЕ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ
137
уравнению (см. (3.87))
' t
X = х (t, 0) х0 + J Ж (t, 5) я(г) (Ю <%.
о
(5.25)
Рассмотрим некоторую окрестность й точки гж0 фазового про-
странства. Пусть для определенности Й задается равенством Uarll =S
К, где К — некоторая постоянная. Согласно лемме 5.1 в области
Й для Rm справедлива оценка < СЫа и от (5.25) можно
перейти к неравенству
|| х \\^Ce~at || хй || + С J || х ||2dg, (5.26)
О
где — а = р + ^. Так как в рассматриваемом случав р < 0, то при
достаточно малом 7 имеем а > 0.
Рассмотрим теперь вспомогательную скалярную задачу
—az + Cz2, z (0) = z0 > С || x01]. (5.27)
Это уравнение элементарно интегрируется (как уравнение с раз-
деляющимися переменными или как уравнение Бернулли), и ре-
шение имеет вид
az„
z ---------.
Czo+ (a ~ Czo) еа‘
Это решение, как нетрудно видеть, обладает следующими свой-
ствами:
1) z > 0 при £ >0, если z0 достаточно мало: z0 < а/С;
az
2) для любого е > 0 имеем z < ——-—— >= z0 и, следова-
cz0 -[-a — cz0
тельно, z < е, если z0 < е;
3) z (£) -* 0 при t -> 00.
Напишем теперь для z(t) интегральное уравнение по типу
(5.25):
t
z = zoe~“( + С j e"e(<-’>z2dg (5.28)
О
и сравним Ы и z. Убедимся, что при t > 0 справедливо неравен
ство
Ох» < Z. (5.29)
В самом деле, при £ = 0 неравенство (5.29) справедливо, так
как, полагая в (5.26) i*=0, получим Нх0И< z0. Предположим, что
при некотором значении t — неравенство (5.29) перестает выпол-
няться и имеет место 11х(^)Н = z(^). Из свойства 2) функции з(£)
следует, что при достаточно малом z0 имеем llzll «S К для t > 0.
188
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
(ГЛ. 5
При' О С t tt справедливо (5.29), и поэтому 11x11 < К (т. e. isQ),
Таким образом, при справедливо неравенство (5.26), и
при t “ ti имеем
Ч
z^-y a4 + cje а(Ч l}z2d^ = || х (tj) || <
0
*1’
<C||x0||e"^+ Cj e-a('1-E)||x||2^<z0e'a/1 + C \ e~*(i
о 0
Сравнивая крайние члены этой цепочки неравенств, получим про-
тиворечив в виде 1 < 1, что и доказывает справедливость (5.29)
Для t > 0.
А теперь, воспользовавшись неравенством (5.29), нетрудно уже
получить утверждение теоремы. В самом деле, пусть задано любое
е>0. Возьмем Пя:011 < е/(2С) = 6, а z0 выберем так, чтобы выполня-
лось неравенство Сб < z0 < 2С6 = е. Тогда будет выполнено требо-
вание zQ > Cllxoll в (5.27), и, в силу (5.29) и свойства 2) функции z,
будем иметь 1Ы1 < z < z0 < в при Их0И < б, т. е. тривиальное решение
системы (5.19) устойчиво. То же неравенство (5.29) вместе со
свойством 3° функции z(i) обеспечивает асимптотическую устойчи-
вость тривиального решения системы (5.19).
Замечания. 1. Нами доказана теорема об асимптотической
устойчивости. Имеет место также следующее утверждение о не-
устойчивости: если Re Х( > 0 хотя бы для одного i, то тривиальное
решение системы (5.19) неустойчиво.
2. Утверждения об асимптотической устойчивости и о неустойчивости ос-
таются справедливыми и для случая, когда / зависит явно от t, если только
71
справедливо представление fi (х, t) = У, + R, где a,s = const, а ||Я|| <
/1=1 .
< СПхН1 +“, a > 0 — любое.
3. Если среди X встречаются такие, для которых Re X = 0, то даже если
тривиальное решение системы первого приближения (5.22) устойчиво, три-
виальное решение системы (5.19) в зависимости от Я может быть как устой-
чивым, так и неустойчивым. В этом случае, который обычно называется
критическим, зная только характеристические числа матрицы первого приближе-
ния, нельзя, вообще говоря, сделать вывод об устойчивости при неустойчи-
вости тривиального решения системы (£.19). В критических случаях метод
исследования на устойчивость по первому приближению теряет силу и нуж-
но использовать свойства последующих членов в разложении (5.20) или дру-
гие методы.
I ' § 3. Метод функций Ляпунова
Метод исследования на устойчивость, изложенный в предыду-
щем параграфе при всей его естественности не всегда дает ответ
на поставленный вопрос.
S 3]
МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА
139
А. Мх Ляпуновым был предложен также и другой метод. В этом
методе заданной системе уравнений сопоставляется некоторая
функция от аргументов xt, ..хп, называемая функцией Ляпунова,
и по ее свойствам можно делать вывод об устойчивости решения.
Проиллюстрируем идею метода на простейшем примере
rfz dr
— + ~м= — 2х2 = /2. (5.30)
По предыдущему мы знаем, что тривиальное решение этой системы
устойчиво, так как = — 1 < 0, Х2 = —2 < 0. Однако, для того чтобы
убедиться в устойчивости тривиального ре-
шения, можно рассуждать и по-другому.
Рассмотрим функцию V (xlt х2) = 2х{ + х2.
Эта функция положительна всюду, кроме
точки Xt = 0, х2 = 0, где она обращается в
нуль. В пространстве переменных х2, V
уравнение V = + х2 определяет парабо-
лоид с вершиной в начале координат. Линии
уровня этой поверхности па плоскости («„
х2) представляют собой эллипсы. Зададим
произвольно малое е. Построим на плоско-
сти (х(, х2) круг ие радиуса е. Возьмем одну
из линий уровня — эллипс, целиком лежа-
щий внутри круга сое. Построим другой круг
внутри эллипса (рис. 10). Пусть начальная
<в«, целиком лежащий
точка А (а;), о, х2, о) ле-
жит внутри СОе.
Рассмотрим функцию двух переменных W(xt, х2) = (grad V, f}.
Легко видеть, что если вместо xt, х2 подставить решение x^t),
x2(t) системы (5.30), то полученная таким образом функция от t
dV
будет представлять собой полную производную от V'(xt (t),
x2(t)) вдоль траектории решения системы (5.30). Если эта про-
изводная вдоль любой траектории, начинающейся в <щ, неположи-
тельна, то это будет означать, что такая траектория не сможет
покинуть ®г, так как иначе между 1 = 0 и значением t = tt, при
котором она попадает на границу (ое, найдется значение t •= t*,
для которого ^>0, поскольку V(xt(tt), x2(ti))>V(xi,0, Ж2|о).
То, что ни одна траектория, начинающаяся в ©б, не покидает ни
при одном t > 0 круг ие, означает устойчивость тривиального ре-
шения.
„ dV _
Итак, мы должны проверить знак вдоль траектории. Для
этого надо знать саму траекторию. Хотя в данном примере это
можно сделать, но метод Должен быть рассчитан на систему общего
вида, для которой жД!), x2(t) нельзя выписать явно и тем самым
проверить нужное неравенство. Поэтому мы будем требовать, чтобы
140
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
[1’Л. б
функция FF(xlt х2) была неположительной как функция двух не-
зависимых переменных xJt х2 по крайней мере в некоторой окрест-
ности (0,0). Это условие можно проверить непосредственно по пра-
вым частям системы, не зная-решения. В нашем примере именно
так и будет, поскольку W (xlt х2) = — 2 [(хх— т2)а + х% + х%] ^0
всюду на плоскости (xt, х2), а тем самым вдоль любой траектории,
и устойчивость тривиального решения гарантирована.
Функция У(хь х^, участвующая в этих рассуждениях, и есть
функция Ляпунова для рассматриваемого примера. Она имеет вид
квадратичной формы 2xJ + х%,- хотя в принципе вместо 2х{ + х2
можно было бы взять и другую функцию, лишь бы она была поло-
жительной всюду, кроме точки (0,0), где Она обращается в нуль,
а выражение (grad V, f) s W (xb x2) было неположительным. Под-
черкнем еще раз, что в приведенных рассуждениях важны как по,-
ложительность функции V, так и неположительность функции W,
значение которой вдоль траектории представляет собой полную про-
изводную от V по t вдоль траектории.
Обратимся теперь к формулировке и доказательству некоторых
общих теорем, в основу которых положена эта идея. Будем иссле-
довать тривиальное решение системы (5.5):
£-/(».*)• (5.31)
Все дальнейшие построения будем вести в некоторой й-окрестности
начала координат в фазовом пространстве. Пусть для определен-
ности й задается неравенством Ы =5 К, где К — некоторая посто-
янная.
Определение. Функция F(xt, ..., хп) (или, короче, F(x)) назы-
вается положительно определенной в й, если F(x)!>0
в й, причем V(x) — 0 лишь при x = Q.
Лемма 5.2. Пусть F(x)—положителъно определенная и непре-
рывная в й функция. Тогда
а) для всех х, удовлетворяющих неравенству iljcll е, > 0, суще-
ствует е2>0 такое, что F(x)^e2;.
б) обратно, из неравенства F(x)^=e2>0 следует существование
81 > 0 такого, что 11x11 > е,.
Доказательство обоих утверждений проведем от противного.
а) Пусть при выполнении неравенства Ы > et ни для какого
е2 неравенство V(x)^e2 не выполнено. Тогда для любого e(i)2 су-
ществует х(1), удовлетворяющее неравенству Нх(1)И > 6] и такое, что
F(x(i))< е(1)2. Возьмем последовательность e(„)2-*0. Ей будет от-
вечать последовательность точек х(п) таких, что Их(п)И > е4, а
V(Z(n))< е(п)2-* 0. (5.32)
Имеем С Нх(п)П < К. Поэтому из последовательности х(п, можно
выделить подпоследовательность (которую, введя новую нумерацию,
5 3] МЕТОД ФУНКЦИЙ ЛЯПУНОВА 141
снова обозначим xw), имеющую предел х; при этом
et НхИ С К. (5.33)
В силу непрерывности V(х) имеем lim V (x(n)) « V (х). Но из не-
П-*оо
равенства (5.32) следует, что lim V (х(п)) = 0. Таким образом,
V(х) = 0 =*х = 0, что противоречит (5.33).
5) Пусть при выполнении неравенства V (х) > е2 ни для какого
8i неравенство llxll > 8t не выполнено. Тогда для любого е(1)1 суще-
ствует х(1), удовлетворяющее неравенству Hx(i)U < е(1)1, в то время
как V(х(1))> е2. Возьмем последовательность е(п)1-*0. Ей будет
отвечать последовательность точек х(П) такая, что 7(х(п))>е2,
а Их(П)Н С е(п)1-* 0. Но последнее означает, что х(„;-*0. Поэтому,
в силу непрерывности V (х), имеем lim V (х(П>) = г (0) == 0. Но
с другой стороны, lim V (х(п)) е2, т. е. 0 5= е2 (противоречие).
П-»оо
Теорема 5.2 (об устойчивости). Пусть в Q существует непре-
рывная, вместе с частными производными первого порядка положи-
тельно определенная функция V (х) такая, что функция
W(х, f) = (grad V, f(t, х))
удовлетворяет неравенству
W(x,t)^Q для t>0, хеЙ. (5.34)1
Тогда тривиальное решение системы (5.31) устойчиво.
. Доказательство. Зададим любое е > 0. Лемма 5.2 обеспе-
чивает (положим е1 = е) существование ег(е) такого, что для
11x11 > 8 имеем V(x)>e2. Далее, в силу непрерывности У(х) (при
х = 0) * существует 6i(e2) = 6(e) такое, что при 11x11 < б имеем
7(х)<82/2.
Возьмем начальную точку х(0)==х0 в 6-сфере <вв фазового про-
странства переменных х (рис. 11 наглядно иллюстрирует ситуацию
на двумерном случае), т. е. пусть Нх(О)Н<б. Тогда Й(х(0)) =5 е2/2.
Нужно доказать, что траектория останется для всех t > 0 в е-сфере
<о8 (см. (5.8)).
Предположим противное, т. е. что траектория при некотором
i = покинет со. (оставаясь в Q). Тогда F(x(ii))>82. Имеем, та-
ким образом,
r ел
v (G)) - V (0)) > еа - > 0.
Но с другой стороны,
(5.35)
Г (г0 - V (х (0» _ £ (1 - ( grad V, t, -
= (grad V, f(t*, x(t*)))ti =W(x(t*), (5.36)
142
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. S
так как (5.34) выполняется всюду в Й, а тем более вдоль траекто-
рии. Неравенства (5.35) и (5.36) составляют противоречие, дока-
зывающее теорему.
Теорема 5.3 (об асимптотической устойчивости). Пусть дополни-
тельно к условиям теоремы 5.2 для t Э* 0, х е Q выполняется нера-
венство И7 (я, 0 < — W(x), где W (х) —
положительно определенная в Q функ-
ция. Тогда тривиальное решение систе-
мы (5.31)» асимптотически устойчиво.
Доказательство. Устойчивость
тривиального решения следует из пре-
дыдущей теоремы. Убедимся, что
lim х (0 = 0. (5.37)
Используя выражение для полной про-
изводной от V вдоль траектории, полу-
чим = Ж (х (0, 0 < — W (х (0) < О,
т. е. V(x(t)) с ростом t монотонно не возрастает. Поэтому суще-
ствует lim V (х (0) — а 0. Докажем, что а = 0. Предположим,
t-»oo
что а>0. Так как Г(х(0)>О (V стремится к пределу сверху),
то, полагая в пункте б) лечимы 5.2 е2 = а, будем иметь Их (0II > е„
а тогда по той же лемме, (п. а)) имеем 1У(х(())> 0 > 0, т. е.
-ТР(х(0)С-0<О. Поэтому V (х (0) — V (х (0)) = |(=(* £«2
—W(x(t*) )t —0t. Отсюда получим, что V(x(t)) -+ —<» при t -*
-*-<». Но с другой стороны, так как, в силу устойчивости, х(0<=!2,
то V(x(i))>0. Противоречие приводит-к выводу, что а = 0.
Итак,
lim V (х (0) = 0. (5.38)
(-»°О
Докажем, что отсюда следует (5.37).
Допустим противное. Тогда существует е, > 0 и такая последо-
вательность £„-><», что Их (£п) И е,. Но тогда по лемме 5.2
F(x(i„)) > е2, что противоречит (5.38). Противоречие доказывает
(5.37), а вместе с тем и всю теорему.
Пример 5.1. В рассмотренной выше системе (5.30) имеет место не толь-
ко устойчивость, но и асимптотическая устойчивость, так как — W(х\, х2) не
зависит от t й является положительно определенной функцией. Однако на этом
примере нельзя убедиться в важности теорем 5.2 и 5.3, поскольку здесь при-
менимы соображения предыдущего параграфа и асимптотическая устойчи-
вость следует из отрицательности М и Х2.
Приведем пример системы, когда теорема 5.1 о первом приближении не-
применима, а функция Ляпунова дает ответ:
dx. „ » dx. „ .
—1 = 2х„ — X? яЛ, —2 = — Зх, — X®.
dt 2 1 dt 12
в 3)
МЕТОД ФУНКЦИИ ЛЯПУНОВА
143
Возьмем V (х)= 2^. Тогда W (х, t) = — ein2 t — 4x® < 0.Следователь-
но, по теореме 5.2 тривиальное решение устойчиво. Теорема 5.1 вдеоь ответа
не дает, так как характеристические числа матрицы первого приближения
являются чисто мнимыми.
Можно использовать аналогичные идеи для доказательства не-
устойчивости тривиального решения системы
теоремы впервые были предложены
Н. Г. Четаевым. Мы приведем здесь
простейший вариант теоремы о не-
устойчивости.
Теорема 5.4 (о неустойчивости).
Пусть в Q существует непрерывная
вместе с частными производными пер-
вого порядка функция V(х) такая, что
а) в любой ^-окрестности <в« начала
координат существует точка х, в" кото-
рой ^V(x)>Q (и, следовательно, область,
в которой V(х) > а, где а > 0 — неко-
торое число),
б) для любого а > 0 существует >
(5.31). Такого рода
>0 такое, что из условия х^аз, («е —
некоторая ъ-окрестность начала координат), V (х)&* а следует не-
равенство W (х, t) = (grad V, f(t, х)) (3, справедливое при всех 1^0.
Тогда тривиальное решение системы (5.31) неустойчиво.
Доказательству теоремы предпошлем пример. Рассмотрим систе-
му вида
dx
2
!•
Возьмем V(х) = XtXz. Очевидно, в любой сов существует точка (ле-
жащая, например, в первом квадранте) , где V — XjXa > 0. Пусть
начальная точка такова, что х[х^ = а > 0. На рис. 12 заштрихована
часть со“ круга сое, выделяемая гиперболой х,х2 “ а, в которой
У>а. Очевидно, в справедливо неравенство x^ + xl'^2a, т. е.
Ilxll > V 2a. Тогда, в силу леммы 5.2, существует у > 0 такое, что
х2 + xi Y и> следовательно, W (х, t) > ay — 0. По теореме 5.4 мож-
но тем самым заключить о. неустойчивости тривиального решения.
Теорема 5.1 (см. замечание) в этом случае не работает, так как все
элементы матрицы первого приближения равны нулю.
Доказательство теоремы 5.4 проведем от противного. Пред-
положим, что тривиальное решение устойчиво. Тогда для любого
е>0 существует 6(e) такое, что Пх(1)И<в для 1^*0, если
Нх(О)И < 6(e). Так как по условию а) теоремы 5.4 в найдется
точка х0 такая, что У(х0)>а, возьмем ее за начальную: х(0)“х9.
Убедимся, что при всех £ >0 справедливо неравенство V(х(£))>«,
144
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. 5
Действительно, пусть при некотором t = tL > 0 имеет место
Тогда, с одной стороны,
АУ=7(г(11))-7(1(0))<0,
а с другой стороны,
ЛУ =°?|t=*»*1== г*Нх-
Так как по предположению об устойчивости x(t)& а, .при f>0,
то ж(/*)е= щ,. Кроме того, У(z(i*))> а. А тогда, в силу условия
б) тёоремы 5.4, имеем ТУ (a:(Z*), £*)> р и, следовательно, AV>
> fHj > 0. Противоречие приводит к заключению, что V(x(t))>a
для t > 0. Имеем тогда
.y(x(<))-F(«(0))=l7(a:(f**),^*)i>pL
Отсюда следует, что У (я (£))-»- <» при !-»-<», но, с другой стороны,
У («(!)) должно быть ограничено в силу того, что x(t)<=tot. Проти-
воречие завершает доказательство теоремы.
Замечания. I. Недостаток изложенных в настоящем параграфе мето-
дов заключается в том, что не существует достаточно общего конструктивного
способа 'построения функций 7(г). Тем не менее для ряда весьма важных
классов дифференциальных систем такое построение возможно.
2. Одним из таких классов является линейная система с постоянными ко-
эффициентами. Теорему 5.1 об устойчивости по первому приближению можно
доказать, используя функцию Ляпунова для линейной системы с постоянными-
коэффициентами, как это делается, например, в учебнике Л. С. Понтрягина*).
3. Для дифференциальных уравнений, описывающих некоторые механи-
ческие системы, роль функции Ляпунова играет потенциальная энергия 7(я).
Сама система имеет вид nix — —grad V. Положение равновесия в системе оп-
ределяется условием grad V = 0 (с математической точки зрения положение
равновесия — это решение типа х = х = const; соответствующим преобразова-
нием переменных точку х всегда можно сделать началом координат), т. е.
положение равновесия является стационарной точкой для потенциальной энер-
гии. Если стационарная' точка является точкой минимума потенциальной энер-
гии, то положение равновесия устойчиво. Действительно, в этом случае в ок-
рестности начала координат V(^) является положительно определенной функ-
цией, а соответствующая функция W(z, t), равная (grad V, j) =— (grad 7) \
очевидно, также удовлетворяет условиям теоремы 5.2.
§ 4. Исследование траекторий в окрестности точки покоя
В ряде вопросов возникает потребность, помимо исследования
точки (0, ..., 0) фазового пространства на устойчивость, выяснить
тайже расположение траекторий в окрестности этой точки.
Не ставя целью рассматривать этот вопрос во всей общности,
ограничимся случаем п = 2 (фазовая плоскость) и линейной систе-
*) Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения,—
5-е изд.— М.: Наука, 1983.
9 4]
ТРАЕКТОРИИ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ПОКОЯ
145
мой уравнений с постоянными коэффициентами (5.11) I
~^Ах, ““Y. (5.39)
\a2i а22/
Эта система обладает тривиальным решением Xi = 0, хг = 0. С ки-
нематической точки зрения это состояние покоя, поэтому отвечаю-
щая этому решению точка (0, 0) фазовой плоскости называется
точкой покоя.
Заметим, что фазовую траекторию системы (5.39) можно рас-
сматривать как интегральную кривую уравнения
а11х1 "I" а12ж2
ica!=en1i + v1’
(5.40)
В точке- (0, 0) правая часть уравнения (5.40) разрывна, т. е. нару-
шено условие теоремы существования и единственности. Точка
(0, 0) является согласно терминологии гл. 2 особой точкой. Поэто-
му априори через точку (0, 0) может не проходить ни одной ин-
тегральной кривой уравнения (5.40), а также может проходить
более одной и даже бесконечно много интегральных кривых.
Как будет показано, расположение траекторий в окрестности
точки (0, 0) определяется, как и свойство ее устойчивости или не-
устойчивости, характеристическими числами матрицы А.
Рассмотрим -разные случаи.
а) Пусть характеристические числа и Х2 действительны, раз-
личными одного знака. Положим, для определенности, что X2<Xi<
< 0. В этом случае решение системы (5.39) имеет вид (см. § 7
гл. 3)
X ~ (5.41)
*
тцр а/n = I — некоторые постоянные столбцы — собственные
\a(i)2 '
векторы матрицы А, отвечающие собственным значениям (1 =
«= 1, 2).-Точка (0,0) является согласно теореме 5.1 асимптотически
устойчивой, и х -* 0 при t -* оо. Исследуем характер приближения
более подробно. Имеем
= Cli^ia(i)2e 1 + с’2^,2а(2)2е 2
1 1 4" ^2^2а(2)1е 2
Отсюда видно, что если С, 0, то
, . «(1),
lim —-2 =
i-юо “(1)1
т. е. все интегральные траектории, кроме одной, отвечающей Ct = 0,
входят в (0, 0) с общей касательной, уравнение которой п = х2
(обозначим ее I). Заметим, что прямая 1 сама является
a(Di
146
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. 5
одной из траекторий, а именно той, которая отвечает С2 = 0. Тра-
ектория, отвечающая С{ = 0, также является прямой и имеет урав-
нение х2<= ~^-х1 (обозначим ее II). Прямые I и II не совпада-
ет
ют, поскольку в силу линейной
независимости векторов а(<) имеем
а(1)1а(г)2 — а(2яа(1)2 0. Располо-
жение прямых I и II и прочих
траекторий схематически пред-
ставлено на рис. 13. Стрелками
обозначено направление возраста-
ния t.
Если Х2 > 2ч > 0, то характер
расположения траекторий пол-
ностью сохраняется (можно
устремить t к —со и провести
рассуждения, аналогичные про-
веденным выше для t -> оо). Если
стрелками по-прежнему указы-
вать направление возрастания ?,
то направления стрелок теперь изменятся на противоположные по
Сравнению с рис. 13. Точка (0, 0) в этом случае неустойчива *).
Точка покоя, отвечающая случаю действительных характеристи-
ческих чисел М, Х2, не равных друг другу, но имеющих одинаковый
знак, называется узлом. Узел является асимптотически устойчивым
при Xi < 0, Z2 < 0 и неустойчивым при >0, Х2 > 0.
• б) Пусть характеристические числа 2^ и Х2 действительны, раз-
личны и разных знаков: Zt >0, Z2 < 0. Точка покоя в этом случае
неустойчива. Представление (5.41) сохраняется. Из (5.41) видно,
что через (0, 0) проходят две траектории: одна из них (обозначим
ее I) отвечает С2 = 0 и имеет уравнение х2 = хи а другая
“(Di
(обозначим ее II) отвечает С4 = 0 и имеет уравнение х2 = хг,
“(2)1
Но па этом сходство с узлом кончается. Вдоль траектории II х -*• 0
при t «>, а вдоль траектории I х -> 0 при t — °о, и стрелки, ука-
зывающие направление возрастания t, направлены от точки (0, 0).
Нетрудно видеть, что прямая I является асимптотой при t -> °°
1 * ^2 1 )2
для всех траекторий, кроме II, так как пт— = -—. Прямая II
“(1)1
играет аналогичную роль при i->— оо. Расположение траекторий
схематически представлено па рис. 14.
*) Иногда говорят, что точка устойчива при —со. Определение устой-
чивости при t — оо можно дать совершенно аналогично определению устой-
чивости при t оо, которое было дано в § 1 этой главы, и сформулировать
теоремы, аналогичные теоремам §§ 2 и 3.
9 4]
ТРАЕКТОРИИ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ПОКОЯ
147
-• Точка покоя, отвечающая случаю действительных характеристи-
ческих чисел противоположного знака, называется седлом. Седло
является неустойчивой точкой
покоя.
Траектории I и II, проходящие
через седло, называются сепара-
трисами.
в) Пусть характеристические
числа матрицы А — комплексные.
В силу действительности А они
будут комплексно сопряженными,
т. е. = Х2 = X. Соответствую-
щие компоненты собственных век-
торов а(,-) будут также комплексно
Рис. 14
сопряженными, а так как мы рас-
сматриваем действительные решения, то и произвольные постоян-
ные должны быть комплексно сопряженными. Таким образом,
х^Со^е™ + С*а*ек*1, х2 = Ca2eKt + C*a*ef'*‘. (5.42)
Подставляя сюда X = р + tq, можно преобразовать эти выраже-
ния к виду
— е₽| (2а cos qt — 2;3 sin qt), x2 — ept (2y cos qt — 26 sin qt),
(5.43)
где а = Re (Са^, [J = Im (Са,), у = Re (Ca2), 6 = Im (Ca2). Отсюда
имеем
p2 = Xj + x2 = eipt [(2a cos qt — 2|J sin qt)2 + (2y cos qt — 26 sin <#)’].
Если p = 0 (характеристические числа — чисто мнимые), то xt,
х2 и р являются периодическими функциями
хг t периода 2n/q. Это значит, что каждому С
Рис. 15
на фазовой плоскости отвечает некоторая
замкнутая кривая. Эти кривые не пересека-
ются, так как всюду, кроме точки (0, 0),
для (5.40) справедлива теорема единствен-
♦г ности (рис. 15).
' Более детальное исследование показыва-
ет, что замкнутые кривые, о которых идет
речь, являются эллипсами. В самом деле,
определитель
12a
|2у
-2₽|
— 2в|
=#=о(
в противном случав существовало бы решение вида х, = ах2 (а ве-
щественное). Так как х, и хг выражаются по-формулам (5.42), то
ив равенства xt •= ахг в силу линейной независимости еи и е ‘
148
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
(ГЛ. 5
(а.\
матрицы А,
а2 /
соответствующий собственному значению X, находится из уравнения
(аи — X)»! + а12а2 = 0, которое при txi = аа2 дает (аи — Х)а — — а12,
что возможно лишь при вещественных к.
Итак, (5.43) можно разрешить относительно cos и singi и,
приравнивая сумму их квадратов единице, получить
' + &12Х2)2 + (Ь2(Х( + Ь2гХ2)г = 1.
Если же р =/= О, то при изменении t на величину периода р уже
не возвращается к прежнему значению, а уменьшается или уве-
личивается в соответствии с р < 0 или р > 0.
На фазовой плоскости получаются уже не замкнутые, а спира-
левидные кривые. Если р < 0, то р -* 0 при t °°, спираль сходит-
ся в точку (0, 0), которая „.является асимпто-
тически устойчивой (рис. 16). Если же р>0,
то аналогичная картина имеет место при t -*
/____________ '-* —оо, а с возрастанием t спираль расходится
/ / ,из точки (0, 0).
/ [ у. . Точка покоя, отвечающая комплексно со-
. / / Z—)—*- пряженным характеристическим числам с от-
[ I V J j I ' личной от нуля действительной частью р, на-
\ \ V J зывается фокусом. При р < 0 фокус асимпто-
. \ — X тически устойчив, а при р > 0 неустойчив.
Точка покоя, отвечающая чисто мнимым
характеристическим числам, называется цент-
Рис. 16 ром. Центр является устойчивой, но не асимп-
тотически устойчивой точкой покоя (см. § 1).
Мы не будем останавливаться на случае кратных характеристи-
ческих чисел*), а. также на случае, когда имеется характеристи-
ческое число, равное нулю.
Замечания. 1. Точка (0, 0) была названа выше точкой по-
коя для линейной системы (5.39). Дадим общее определение точки
покоя, из которого будет ясно, что точка нокоя не обязательно
является началом координат, а для нелинейной системы точек покоя
может быть несколько. Рассмотрим нелинейную автономную систе-
му (5.19) при т? = 2. Пусть Xi = Xi (( = 1, 2) удовлетворяют систе-
ме уравнений f^Xt, х2) = 0. Тогда, очевидно, те же х{ = х*.удовлет-
воряют дифференциальной системе (5.19), поскольку х, не зависят
от t. Это решение описывает состояние покоя и на фазовой плоско-
*) См., например, В. В. Степанов «Курс дифференциальных уравнений»
(8-е'изд.— М.: Гостехиздат, 1959); Л. С. Понтрягин «Обыкновенные диф-
ференциальные уравнения» (5-е изд.-М.: Наука, 1983).
8 4]
ТРАЕКТОРИИ В ОКРЕСТНОСТИ ТОЧКИ ПОКОЯ
149
сти изображается точкой. Точки фазовой плоскости, отвечающие
решениям вида Xi = xt = const, называются точками покоя. Соответ-
ствующей заменой переменных каждую точку покоя можно пере-
вести в начало координат. Тогда, если представима в виде (5.20),
то система первого приближения (5.22) совпадаете (5.39).
Согласно теореме 5.1 в случае Re X 0 устойчивость или неустойчивость
точки (Q, 0) системы (5.19) обеспечивается теми же самыми требованиями
на X, которые обеспечивают устойчивость или неустойчивость точки (0, 0) для
системы первого приближения (5.22), т. е. члены Т?(2>< не влияют на устойчи-
вость или неустойчивость точки (0, 0). Что касается расположения траекторий,
то точное исследование *) показывает, что при наличии узла, седла или фо-
куса у системы (522) (во всех этих случаях Re X 0) качественный характер
расположения траекторий системы (5.19) в достаточно малой окрестности точ-
ки (0, 0) будет тем же самым. Если же в точке (0, 0) система (5.22) имеет
центр, то без дополнительного исследования членов R<i,i о характере распо-
ложения траекторий системы (5.19) ничего сказать нельзя.
2. Исследование расположения траекторий в окрестности точек
покоя дает некоторую информацию относительно расположения фа-
зовых траекторий на всей плоскости, но, конечно,-
полного решения этой сложной глобальной задачи
не дает.
Для изучения картины на фазовой плоскости,
пли, как иногда говорят, фазового портрета систе-
мы (5.19), важно исследовать не только точки
покоя. Нередко встречаются замкнутые траекто-
рии (замкнутая траектория означает периодиче-
ское движение), обладающие тем свойством, что
в окрестности таких траекторий нет других за-
мкнутых траекторий, а все траектории как бы
«наматываются» на эту единственную замкнутую траекторию, кото-
рая получила название предельного цикла, или, наоборот, «сматы-
ваются» с нее. Предельные циклы, таким образом могут быть ус-
тойчивыми и неустойчивыми (на рис. 17 изображен устойчивый
предельный цикл). Исследование предельных циклов важно также
с точки зрения существования устойчивых периодических режимов
в физических системах.
Например, система
= — хг (]/~Xi -j- х2 — а) — х2, = — х2 {уx'i + х\— а) + хг
(5.44)
имеет точку покоя х^ = 0, хг = 0 и предельный цикл х% + х% == а2.
Б существовании такого цикла легко убедиться, перейдя к полярным
*) См., например, Л. С. Понтрягин «Обыкновенные дифференциальные
уравнения» (5-е изд.— М.: Наука, 1983), § 30..
150
ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ
[ГЛ. 5
координатам = р cos 9, ^“psinG, в которых система (5.44) при-
нимает вид
|=-р(р-в),. ^-1.
3. С повышением размерности п фазовая картина существенно усложня-
ется, возникают новые явления, для изучения которых развиты многочислен-
ные методы.
Исследование фазового портрета системы дифференциальных уравнений
является одной из задач так называемой качественной теории дифференци-
альных уравнений *).
*) См., например, В. В. Немыцкий, В. В. Степанов «Качественная
теория дифференциальных уравнений» (2-изд.— М.; Л.: Гостехиздат, 1949);
Н. И. Баутин, Е. А. Л е о н т о в и ч «Методы и приемы качественного иссле-
дования динамических систем на плоскости» (М.: Наука, 1976, с. 496).
ГЛАВA 6
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
При практическом решении задач для обыкновенных дифферент
циальных уравнений, как правило, не удается получить решение
в квадратурах, выраженное через элементарные или специальные
функции (определенное исключение составляют линейные уравне-
ния, рассмотренные в гл. 3). В то же время интенсивное приме-
нение дифференциальных уравнений в качестве математических
моделей широкого круга естественно-научных задач требует разра-
ботки методов их исследования, позволяющих получить с достаточ-
ной точностью числовые характеристики рассматриваемой задачи.
Наиболее эффективными здесь оказываются численные методы.
Благодаря бурному развитию электронной вычислительной техники
численные методы нахбдят широкое применение в различных об-
ластях математики и ее приложениях, в частности, и при решении
обыкновенных дифференциальных уравнений. За последнее время
появилось достаточно большое количество учебных пособий, посвя-
щенных этой проблеме*). В настоящей главе будут Изложены
лишь простейшие вопросы, относящиеся к численным методам ре-
шения обыкновенных дифференциальных уравнений.
§ 1. Разностные методы решения начальной задачи
1. Разностная схема. Понятие сходимости. Наиболее распростра-
ненными и эффективными численными методами решения многих
математических задач и, в частности, начальных и краевых задач
для дифференциальных уравнений являются так называемые раз-
ностные методы, в основе которых лежит рассмотрение конечно-
разностной задачи вместо исходной дифференциальной задачи. По-<
следняя представляет собой задачу относительно большого, но
конечного числа неизвестных, являющихся значениями функции
дискретного аргумента, определенной в точках разбиения отрезка
интегрирования. Если значения этой функции близки к значениям
точного решения исходной задачи в соответствующих точках, то
*) См., например, А. А. Самарский «Введение в численные- методы»
(М.: Наука, 1982); Г. И. Марчук «Методы вычислительной математики» (Мл
Наука, 1977); Н. С. Б а х в а л о в «Численные методы» (Мл Наука, 1975) и др.
152 ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОДЫ [ГЛ. в
ев можно рассматривать как приближенное решение исходной зада-
чи. Конечно-разностная • задача, соответствующая исходной диффе-
ренциальной задаче, называется разностной схемой. Максимальное
расстояние между точками разбиения отрезка интегрирования явля-
ется параметром разностной схемы, поэтому исходной дифферен-
циальной задаче сопоставляется семейство разностных схем, зави-
сящих от этого параметра. В теории разностных схем решения
дифференциальных уравнений основным является вопров о сходи-
мости семейства приближенных решений к точному решению
исходной дифференциальной аадачи при стремлении параметра
разбиения к нулю. Здесь будет уточнено понятие сходимости при-
ближенного решения к точному.
Следует подчеркнуть, что разностная схема представляет собой
самостоятельный математический объект исследования. Теории
разностных схем посвящена обширная учебная и специальная лите-
ратура*). Мы остановимся лишь на простейших общих понятиях.
Чтобы наглядно проиллюстрировать эти понятия, все рассмотре-
ния будем проводить на примере численного решения начальной
задачи для обыкновенного дифференциального уравнения первого
порядка, которую запишем в виде
%- У) = 0, у(х0) = у0. (6.1)
Как уже отмёчалось, в основе применения разностных схем к
дифференциальной задаче лежит построение приближенного реше-
ния, определенного лишь в конечном числе точек xt отрезка [х», X]
интегрирования исходной дифференциальной задачи. Множество
точек со,, = {#,} (1 = 0, 1, ..., п), на котором ищется приближенное
решение, называется сеткой. Отдельные точки этого множества —
узлы сетки. Обозначим ht — xi+i — (i — 0, 1, ..., n — 1) расстояние
между соседними узлами. Величину h = max ht будем называть ша-
гом сетки. Сетка может быть неравномерной (ht Ф const) и равно-
мерной (hi = h = const). Очевидно, в последнем случае величина
шага сетки на отрезке [a:0, X] равна h = IX — a:ol/n. В дальнейшем,
если не оговорено особо, будем рассматривать равномерные сетки.
Функция дискретного аргумента и (xt), определенная лишь в уз-
лах сетки, называется сеточной функцией. Значения сеточной функ-
ции и на сол будем обозначать щ (i = 0, 1, ..., п). Для определения
сеточной функции и, являющейся приближенным решением исход-
ной дифференциальной задачи (6.1), должна быть задана разност-
ная схема — система уравнений, связывающих между собой зна-
чения сеточной функции ut, заданных дополнительных условий и
правой части уравнения в узлах xt сетки о»/,.
*) См., например, книгу А. А. Самарского «Теория разностных схем»
(М.: Наука, 1083).
§ И
РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ
153
Пусть дифференциальная задача имеет вид
£рл=ф(х).
(6-2)
Здесь символом L будем обозначать не только задание уравнения,
но и задание дополнительных, например, начальных или краевых
условий, записанное в определенном порядке. Через <р(ж) обозна-
чены как правая часть уравнения, так и правые части дополнитель-
ных условий, записанные в соответствующем порядке. Так, задача
(6.1) может быть записана в виде
ЬУ
у fo) J Ш
(6.3)
Соответствующую разностную задачу будем записывать в виде
Lhuk = <pft, (6.4)
где через Lh обозначается задание разностного уравнения и отве-
чающих ему дополнительных условий, а через фл — входные дан-
ные задачи, т. е. значения сеточной функции /л — правой части раз-
ностного уравнения,— в совокупности с правыми частями дополни-
тельных условий.
Задача определения сеточных функций ик должна быть постав-
лена так, чтобы при стремлении шага h сетки к нулю сеточные
функции сходились в определенном смысле к точному решению
исходной Задачи (6.3).
Для определения сходимости семейства сеточных функций к ре-
шению исходной задачи в пространстве {к*} сеточных функций не-
обходимо задать расстояние между отдельными функциями как
норму их разности. Понятие нормы в „пространстве сеточных функ-
ций можно ввести по-разному. Чаще всего используется так назы-
ваемая равномерная или чебышевская норма, определяемая выра-
жением
Ц щ || = max | Vi |, i = 0, 1, ...,и. (6.5)
В ряде случаев применяется среднеквадратичная (гильбертова)
норма
/п-i \i/2
1клк= 2 , (6.6)
\i=o * /
где pf — заданные весовые коэффициенты. В некоторых случаях
применяются и другие нормы, например энергетические.
Определение. Будем говорить, что семейство сеточ-
ных функций {ик} сходится к точному решению
у(х) исходной задачи, если ' .
Нт || uh - [р1л || = 0, (6.7)
/1-»0
154
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГД. в
где через [у]л обозначены значения функции у(х) на сетке шА.
Если, кроме того, существует такое ha, что при
Пил — [у]JI Ch\
(6.8)
где С и к — некоторые постоянные, не зависящие от h, то будем
говорить, что имеет место сходимость порядка к в со-
ответствующей норме.
2. Разностная схема Эйлера. Рассмотрим простейшую дифферен-
циальную задачу (6.1) или (6.3). Заменив выражение для произ-
водной в точке хп приближенным отношением
(з?п_|_1 т^^А),
сопоставим (6.3) следующую разностную задачу:
В данном случае значения сеточной функции вычисляются очень
просто. Имеем последовательно
«о = Уо,
Ui = и0 + hf(x9, и0),
Uh = Uk-x + Un —1),
Такого типа схемы с последовательным вычислением и0, ult . на-
зываются явными схемами.
Нетрудно в описанном алгоритме заметить сходство с построе-
нием ломаной Эйлера в гл. 2. Разница заключается в том, что те-
перь в рассмотрение включаются лишь вершины этой ломаной,
а шаг является постоянным. Разностная схема (6.9) называется
разностной схемой Эйлера с постоянным шагом для задачи (6.3).
Доказанная в гл. 2 теорема 2.2 дает возможность утверждать
сходимость семейства сеточных функций, построенных по схеме
Эйлера, к решению исходной задачи (6.3), так как в силу этой тео-
ремы, очевидно, выполняется условие (6.7) в норме (6.5),
Замечание. Сходимость сеточных функций, определяемых простейшей
разностной схемой Эйлера, к точному решению явилась следствием резуль-
татов гл. 2. Это связано с тем, что в самом доказательстве существования ре-
шения задачи (6.1) в гл. 2 использовались ломаные Эйлера, получаемые из
сеточной функции соединением точек, отвечающих на графике значениям се-
точной функции, прямолинейными отрезками. В более сложных случаях раз-
ностных схем нужно убедиться в существовании решения соответствующей
разностной задачи, прежде чем выяснять вопрос сходимости.
§ 1]
РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ
155
Оценим теперь порядок сходимости при h 0 последователь-
ности сеточных функций, построенных по разностной схеме Эйлера,
пользуясь опять-таки результатами и методами гл, 2. В гл, 2 было
доказано, что как решение дифференциальной (6.3), так и решение
разностной (6.9) задачи определены на сегменте [х0, X] и не вы-
ходят из области D, где задана функция {(х, у). Пусть /(х, у) не-
прерывна в области D по совокупности аргументов и удовлетворяет
условию Липшица по каждому из переменных, т. е. пусть имеют
место оценки ((х, у) е D, М и N не зависят от х, у).
\f(x, y)\<M, 1/(х„ р)-/(х2, у)| <TV|x,-x2l,
1/(г, Jh) —Ж г/z)! <N\yi — y2].
В дальнейшем, исследуя другие разностные схемы для задачи
(6.3), мы будем предполагать, что решение разностной задачи не
выходит из D.
Итак, оценим разность между сеточной функцией, отвечающей
точному решению задачи (6.1), и сеточной функцией, построенной
по разностной схеме Эйлера. Для этого достаточно оценить раз-
ность между точным решением у(х) задачи (6.1) и ломаной Эйлера
у(п)(х), которая удовлетворяет уравнению и начальному условию
У<П) (xi)) = 0, xi ^5 X У(п) (жо) *“ Уо' ((Э-11)
Составим разность z(x) между точным решением у(х) исходной
задачи (6.1) и ломаной Эйлера у(п) (х):
z(x) = p(x)-y(n>(x). (6.12)
В силу (6.1), (6.11), (6.12) получим
£ = /(х,у(х))-/(х{,у(„)(х;)), Z(xo)-O. (6.13)
Оценим правую часть (6.13), пользуясь условиями (6.10). Так как
/U, yw(xf)) = f(z, y(x))-f(xt, г/(х))+
+ /(xf, р(х))-/(х<, j/w (я) ) + /(#«, £(п)(я))-/(хъ у<п)(х,)),
то согласно обозначению (6.12) при х,5? х х{+1
1Ж J/U) )“/(*., У(п>(х,)) I <
<N\x — х,| + 2V|z(x) I +Х1у(п)(х) — у(п)(х()I. (6.14)
Оценим последнее слагаемое в формуле (6.14). Согласно (6.11)
1^<ю(«)-^(п)(х<) 1 = |х-хЛ/(х<, yw (х()) I,
откуда, в силу (6.10) и условия |х — х,1 С h, получим
1у(п)(х) —у(„)(х<)| (6.15)
Подставляя (6.15) в- (6.14), получим для производной -у-
156
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. 8
окончательную оценку
|g|<iV|z(*)| +WV(1 + М) (6.16)
на любом участке разбиения х{ «£ х < х1+1. Согласно лемме о диф-
ференциальных неравенствах отсюда следует
4 |z(x)|<A(l + 2H)(Z(s~Xo)-l), . xt<x<X. (6.17)
Из этой формулы видно, что разность между точным решением и
ломаной Эйлера стремится к нулю как h (остальные величины в
(6.17) фиксированы), тем самым выполняется (6.8) при к=>1. Это
позволяет сделать вывод, что разностная схема Эйлера имеет схо-
димость первого порядка.
Замечание. Полученные результаты справедливы и в случае неравно-
мерной сетки ht const, h = max /ij.
г
На рис. 18, а приведены интегральная кривая, представляющая
решение начальной задачи для линейного уравнения
= аУг У (жо) = Уо, а== const,,
и ломаные Эйлера, полученные для различных значений шага h.
Расхождение носит экспоненциальный характер, что соответствует
оценке (6.17); при h -* 0 его величина на конечном отрезке [х0, X]
равномерно стремится к нулю. Однако при достаточно крупном шаге
h приближенное решение, построенное по методу Эйлера, может
существенно отличаться от точного. В частности, при а < Q и
g 1] РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ 157
ha < —2 приведенная на рис. 18, б ломаная Эйлера ничего общего
не имеет с точным решением.
Сеточная функция и* и решение дифференциального уравнения
у удовлетворяют уравнениям разной природы. Поэтому в общем
случае не удается повторить рассмотрения, приводящие для простей-
шей схемы Эйлера к оценке (6.17). В частности, для сеточной функ-
ции uh, являющейся решением достаточно сложной разностной схе-
мы, трудно предложить такой алгоритм интерполяции, чтобы полу-
ченная кривая являлась интегральной кривой дифференциального
уравнения, в определенном смысле близкого к исходному, и можно
было бы воспользоваться методом дифференциальных неравенств
для оценки разности между решением исходного и полученного
дифференциальных уравнений.
В общем случае для оценки сходимости приходится пользоваться
другими путями, вводя понятия аппроксимации и устойчивости
разностной схемы.
3. Порядок аппроксимации разностной схемы. Для рассмотрения
понятия порядка аппроксимации разностной схемы потребуется
ввести норму фл— правой части разностной схемы (6.4). Как уже
отмечалось выше, фл представляет собой правую часть уравнения —
сеточную функцию fh в совокупности с дополнительными условиями
для искомой сеточной функции -uh. Они могут быть и начальными,
и краевыми. Занумеруем их в определенном порядке. Соответствую-
щие правые части пусть будут gr,~..., gq.
Обозначим ||«л|1о = max |^i |и введем норму НфЛ, полагая
HqJlj = max {ll/JIJliiJIo}. (6.18)
Пусть разностная схема (6.4) однозначно разрешима при всех
h hQ. Если значения [у]л решения у (х) исходной дифференциаль-
ной задачи на сетке соЛ точно удовлетворяют разностной схеме (6.4),
то, найдя решение разностной схемы ин, получим значение точного
решения в узлах сетки [у]л = uh.
С таким положением мы встречаемся крайне редко. Как прави-
ло, при подстановке значений [г/]Л в разностную схему (6.4) мы не
получаем тождества, а (6.4) удовлетворяется с некоторой невязкой
^л[р]л = фл + бфл. (6.19)
Величина невязки бфЛ разностной схемы на решении исходной за-
дачи и является характеристикой аппроксимации разностной схе-
мы исходной задачи.
Замечания. 1. Отметим принципиальное отличие введенного
понятия невязки аппроксимации разностной схемой дифференциаль-
ной задачи от использованного в § 2 гл. 2 понятия невязки при
подстановке приближенного решения в виде ломаной Эйлера в ис-
ходное дифференциальное уравнение. Это отличие связано с тем,
158
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
(ГЛ. в
что ломаная Эйлера является непрерывной и кусочно дифференци-
руемой функцией, которую можно подставить в левую часть исход-
ного дифференциального уравнения, в то время как решение раз-
ностной схемы есть функция дискретного аргумента, определенная
лишь в узлах сетки. Решение исходной задачи определено всюду
на отрезке интегрирования, и его значения [y]h в узлах сетки можно
подставить в разностную схему (6.4) и, исполь&уя информацию о
гладкости точного решения исходной задачи, оценить величину не-
вязки разностной схемы на точном решении.
2. Функция дискретного аргумента [рф очевидно является ре-
шением разностной схемы (6.4) с видоизмененной, или, как говорят,
возмущенной правой частью + 6<рл. '
Перейдем теперь к определению понятия порядка аппроксима-
ции разностной схемы на решении дифференциальной задачи.
Определение. Будем говорить, что разностная схема имеет
к-й порядок аппроксимации на решении исходной
задачи, если существует такое h0, что при h^h0
11Гл[р]л-<рЛ1<С/г\ (6.20).
где С и к — некоторые постоянные, не зависящие от h.
Определим порядок аппроксимации схемы Эйлера (6.9), предпо-
лагая, что функция ](х, у) в уравнении (6.1) имеет первые не-
прерывные частные производные по обоим аргументам в прямо-
угольнике D. В этом случае точное решение у(х) исходной задачи,
очевидно, имеет вторую непрерывную производную. Это позволяет
записать р&зложение
y(Xi + h) == y(xt) + hy’ (о\) + ^-y" (Xi+ Qh), 0<0<l. (6.21)
В силу (6.21) при подстановке точного решения у(х) задачи
(6.1) в левую часть уравнения (6.9) получим
у', (*i) + 4 у" (Ъ + 9/г) - / (^, у (Xi)) = |у” (Xi + 97г) (6.22)
(первое и третье слагаемые в левой части (6.22) взаимно уничто-
жаются', поскольку у(х) является точным решением уравнения
(6.1))’. Тем самым невязка в уравнении имеет первый порядок.
Решение разностной задачи (6.9) удовлетворяет тому же началь-
ному условию, что и решение задачи (6.3). Отсюда следует, что
схема Эйлера аппроксимирует задачу (6.3) с первым порядком.
Замечание. Первый порядок аппроксимации схемы Эйлера связан с
тем, что в этом методе первая производная у'(ац) аппроксимируется разност-
ным отношением (i/i+i — yt)lh. Легко видеть, что, выбирая другие прибли-
женные формулы для первой производной, можно повысить порядок аппрок-
симации. Действительно, заменим первую производную симметричным раз-
ностным отношением в соседних точках
((/>+1 - i/i-i)/2fe. (6.23)
g 1J РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ 159
Предполагая непрерывность третьих производных решения (что будет
иметь место при соответствующих условиях гладкости функции f(x, у) в пра-
вой части уравнения (6.1)), будем иметь
Ъ2 h3
у^ + к) = у (xj + hy' (х.) + h у" (х.) + h- у"' (х. + 0ХЛ),
2 з <6-24>
у (х{ - h) = у (х.) - hy' (х{) + L у" (х.) - |- у"’ (х. + 02Л).
Аппроксимируем задачу (6.3) разностной схемой (ю— значение сеточной
функции в первом узле — пока оставим неопределенным, но это значение не-
обходимо задать, чтобы последовательно определить u2, и3, .'..)
Проводя рассмотрения, аналогичные предыдущим, получим, что разностное
уравнение (6.25) аппроксимирует исходное уравнение (6.1) со вторым поряд-
ной. Чтобы определить порядок аппроксимации условия в первом узле, опять
воспользуемся разложением точного решения по формуле Тейлора
^о+ = У (*о) + hy' (жо) +
J 2 L2
+ ^+у"{хйЛ-^-у1=у0 + Щхо, + + (6.26)
Из (6.26) следует, что если выбрать
yi = У а + hf(x0, i/o), (6.27)
то и второе начальное условие в (6.25) аппроксимируется со вторым поряд-
ком. Первое начальное условие выполняется точно. Отсюда следует, что при
выполнении дополнительного условия (6.27) разностная схема (6.25) аппрокси-
мирует исходную задачу со вторым порядком.
Естественно предположить, что для того, чтобы решение uh раз-
ностной схемы было близко к решению исходной задачи, невязка
должна быть достаточно малой. Возникает вопрос, является ли
малость невязки бср* достаточной для того, чтобы обеспечить бли-
зость и* к решению исходной задачи, т. е., иными словами, обеспе-
чивается ли сходимость разностной схемы, если имеет мес^о аппрок-
симация? Оказывается, одной аппроксимации, вообще говоря, не-
достаточно, чтобы разностная схема давала приближенное решение
дифференциальной задачи. Помимо аппроксимации нужны еще ка-
кие-то дополнительные свойства разностной схемы. Таким свойством
является так называемая устойчивость разностной схемы.
4. Устойчивость разностной схемы. Перейдем к определению
устойчивой разностной схемы. Рассмотрим разностную схему (6.4)
и соответствующую так называемую возмущенную задачу
Lhuh = <рл + (6.28)
где 6qph называется возмущением входных данных. В дальнейшем
160
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. »,
будем рассматривать тот случай, когда возмущенная задача (6.28)
однозначно разрешима при достаточно малом возмущении, т. е. су-
ществуют такие б0 и Ло, что при НвфА < б0 и h < ha задача (6.28)
имеет решение, и притом единственное. Погрешностью решения
схемы (6.4) по-прежнему назовем выражение биА = uh — щ. Вели-
чина бфл, как и <рА, оценивается в норме
Нбфл11, *=тах {ИбДП, ИбщМ, (6.29)
где НбДП — норма возмущения правой части уравнения, а ПбиАП0 —
норма возмущения дополнительных условий. Дадим определение
устойчивой разностной схемы.
Определение. Схема (6.4) называется устойчивой по
начальным условиям и правой части уравнения
(или просто устойчивой), если существует такая постоянная hOt
что при h<ha для нормы погрешности решения выполняется не-
равенство
Пбщ>11 < СИбсрЛ, (6.30)
где постоянная С не зависит от h.
Данное определение, очевидно, означает непрерывную зависи-
мость решения разностной схемы (6.4) от входных данных зада-
чи—начальных условий и правой части уравнения: малое измене-
ние входных данных приводит к малому изменению решения.
Замечание. В случае линейного оператора Lh введенное определение
устойчивости разностной схемы (6.4) эквивалентно требованию, чтобы схема
S6.28) была однозначно разрешима при достаточно малом возмущении б<рА и при
i < Ло выполнялось условие
1Ы1ссн<М1.. (6.31)
где С — некоторая не зависящая от h постоянная *).
Перейдем теперь к доказательству устойчивости схемы Эйлера
(6.9) в случае общей задачи (6.1). Пусть функция /(х, у) непре-
рывна в области D и удовлетворяет условию Липшица по перемен-
ной у, т. е. имеют ме^то оценки
\f(x,y)\<M, \f(x,yl)-f(x,yi)\<N\yi-y2\, (x,y)eD. (6.32)
Возмущенная разностная схема, соответствующая схеме (6.9),
имеет вид
(6.33)
где /< =
нения,
j(x(, Hi), б/< — возмущение правой части разностного урав-
8о — возмущение начального условия. Для погрешности
*) См., например, книгу С. К. Годунова и В. С. Рябенького «Раз-
ностные схемы» (М.: Наука, 1977).
§ 1]
РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ 161
решения бщ — щ, очевидно, получим
— — /(х<, Ui) + /(хй щ) =6/i, бм0 = е0. (6.34)
Отметим, что согласно введенным выше определениям
16/il < Нб/JI, IlSuJIj 1е0|. (6.35)
Из (6.34) в силу оценок (6.32) и (6.35) получим
|6u<+1|'*S |бщ| +ЛЛШ-1 +АН6Д11 -
= (1 + ЛЛГ)|5и<1+/г116АИ«5
С (1 + hNy^u^ + h{ (1 + hN)+ 1WJ. '(6.36)
Применяя этот процесс последовательных оценок, после (£+1)-го
шага найдем
|6ui+1|C(l+ ЛЛТ+1|е0| + М(1 +W + ... +1)11 ад <
<(1 + hN)i+1||М10 + ± (1 + hN)i+1iyhl, (6.37)
откуда получим
»м<(1+wfjisMo + yim). (6.38)
Так как X — x0*=nh, то, в силу неравенства (1 + hN)^X
N(x~xo)
, окончательно будем иметь
ibuhII < eN{X~^ (|| 8uh |]0 + ± II6/Л]|) < СЦ 6фЛ ||х (6.39)
при лк>бом h, что и доказывает устойчивость разностной схе-
мы (6.28).
5. Теорема о сходимости. Введенные выше понятия порядка ап-
проксимации и устойчивости разностной схемы позволяют доказать
следующую теорему, играющую фундаментальную роль при иссле-
довании сходимости разностных схем.
Теорема 6.1. Если разностная схема (6.4) устойчива и аппрок-
симирует задачу (6.2) с порядком к, то решения uh при h-+Q
сходятся к решению у (х) дифференциальной задачи, причем по-
рядок сходимости также равен к, т. е. имеет место оценка
Ищ- [у]Л <Ch\ (6.40)
где постоянная С не зависит от h.
Доказательство. Обозначим разность значений сеточных
функций uh и [i/]h через zh:
Zh — Uh — М*.
(6.41)
162
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. в
В силу определения порядка аппроксимации
Му]* “ фл + бфл, (6.42)’
где для невязки йфь имеет'место оценка НбфЛ < CJi*. Так как [у]А
является решением возмущенной разностной схемы (6.42), то в силу
устойчивости разностной схемы (6.4) й оценки (6.30), входящей в
определение’ устойчивости, получим
llzjl< СНбфлИ, CCth\ (6.43.)
Сохранив для произведения постоянных CCt обозначение С, полу-
чим соотношение (6.40). Теорема доказана.
Выше было показано, что схема Эйлера устойчива и аппрокси-
мирует задачу (6.1) с первым порядком. Из доказанной теоремы
следует, что семейство решении иА, полученных по схеме Эйлера
при h -> 0, сходится к точному решению задачи (6.1) также с пер-
вым порядком. Этот факт был установлен в п. 1 с помощью прямых
оценок.
Заметим, что в оценках (6.30) и (6.40) не зависящая от h
постоянная С может иметь достаточно большое значение. Так, в слу-
Ct(x—
чае схемы Эйлера постоянная С имеет порядок е и при а > 0
достаточно велика.
Рассмотрим в качестве примера, показывающего важность поня-
тия устойчивости для сходимости разностных схем, задачу (6.1)
для следующего линейного однородного уравнения с постоянным
коэффициентом:
+ аг/ = О, у (г0) = у0. (6.44)
Сопоставим этой задаче следующую разностную схему:
Нетрудно убедиться, как это было сделано выше для схем (6.9) и
(6.25), что разностная схема (6.45) аппроксимирует решение ис-
ходной задачи с первым порядком.
А теперь построим точное решение разностной задачи (6.45).
Перепишем уравнение из (6.45) в виде
Un+i — (3 + ah) ип + 2un-i = 0. (6.46)
Найдем частное решение этого разностного уравнения в форме
и„ — к", где А — пока неизвестная постоянная (это делаем по ана-
логии с отысканием частного решения линейного однородного диф-
51]
РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ
163
ференциального уравнения с постоянными коэффициентами в фор-
ме е>х), Имеем тогда Х"*1 — (3 + аЛ)Х" + 2ХП-1 = 0 или
X2 - (3 + ah)K + 2 = 0. (6.47)
Полученное уравнение называется характеристическим (опять же
по аналогии с теорией дифференциальных уравнений) для разност-
ного уравнения (6.46). Находя из (6.47)
3 -J- ah — /1 + 6а/г + а2/? 3 + ah + /1 + ба/t + а2Л2
Л1в' 2 1^2 . 2 ’
(6.48)
получим два частных решения уравнения (6.46) в виде un(i) =
= Xi, Un(2) = Хг- Попытаемся удовлетворить условиям в нулевом и в
первом узле, т. е. условиям н0 = j/t, Ui — у0, взяв линейную комби-
нацию этих решений (являющуюся также решением в силу линей-
ности уравнения)
Un = CXi + С2ХП2- (6-49)
Имеем Ci + С2 ~ у<>, Ci'ki + С^2 = у0. Отсюда
ci=V-'r^ (6-5О>
* - ^2 ^*1 ^1 *
Итак, формула (6.49), где Ci и С2 определены формулами (6.50);
дает решение разностной задачи (6.45). Нетрудно убедиться, что
оно является единственным, так как, предполагая, что имеются два
решения задачи (6.45), получим, что их разность в силу линейности
является решением опять-таки задачи (6.45), где 1/0 = 0. Отсюда
последовательно получим, что все значения сеточной функции,
отвечающей разности предполагаемых различных решений, равны
нулю.
Исследуем построенное решение задачи (6.45) при h -* 0. Поль-
зуясь известными методами анализа, нетрудно, получить, что при
достаточно малых h*)
Х1 = 1-аХ + б?(Л2), Х2 = 2 + 2аЛ + С^(Л2),
_ уа (1 + О (h)) y0(ah+-C(h2})
1+<7(Л) ’ °2- 1 + '
При h-+Q и а>0 имеем С, -* у0, а | X”| <1, и поэтом;7 Crtf =
= CjXi*" ограничено при h -* 0. В то же время Ха > 2П, и
IВД1 > сЛ2п = 1-^1аЬ2(Хп'Х°)/Л. (6.51)
*), Символом обозначается величина, модуль которой меньше САЛ,
где С — не зависящая от h постоянная.
464'
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. в
Чтобы получить посредством разностной схемы решения в.
фиксированной точке х отрезка [я», X], нужно сделать такое число-га
шагов, чтобы хп-1<х^хп, а для такого п величина «2
^й-2^ -> оо при й -* 0, так как х фиксировано; т. е. при фикси-
рованном значении х е [<г0, X] и h -> 0 второе , слагаемое в формуле
(6.49) неограниченно возрастает по абсолютной величине. Тем са-
мым сеточная функция, отвечающая разностной схеме (6.45), не
может сходиться к решению дифференциальной задачи (6.3) в
смысле (6.7).
Итак, схема (6.45) обеспечивает первый порядок аппроксима-
ции, но не сходится к решению дифференциальной задачи. Легко
видеть, что этот результат связан с отсутствием устойчивости дан-
ной разностной схемы. Чтобы в этом убедиться, достаточно рас-
смотреть возмущенную задачу, в которой возмущаются только на-
чальные данные:
О
Ро + 8
У» + е
Тогда для погрешности решения 8и* = и* — uh получим формулу
(6.49), в которой ул следует заменить, на. е. Из оценки (6.51) сле-
дует, что при любом фиксированном е >0 величина |СД"| неогра-
ниченно расте4 при h -* 0, что и доказывает неустойчивость данной
разностной схемы.
6. Метод Рунге — Кутта. Как мы уже отмечали, схема Эйлера
имеет лишь первый порядок сходимости, и для получения высокой
точности по этой схеме приходится вести вычисления с очень мел-
ким шагом, что приводит к значительному росту времени счета.
Поэтому естественно искать схемы, обладающие более высокими
порядками сходимости. Одним из классов таких схем являются, схе-
мы Рунге — Кутта. В основе этого метода лежат следующие сообра-
жения. Рассмотрим тождество у' (х) = /(х, у (х)). Согласно формуле
Лагранжа о конечных приращениях на отрезке [х<, xi+i] существует
такая точка х*, что
y(xi+i)- y(Xi)^(xi+i- Х;)У (x*) = hj(x*, у(х*)). (6.52)
Однако значение ж* нам неизвестно. В схеме Эйлера положено х* =
= Xi, что и дает всего лишь первый порядок точности. Основная
идея метода Рунге — Кутта заключается во введении в разностную
схему ряда дополнительных параметров, уточняющих приближенное
определение значения х*.
§ <1
РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ
165
(6.54)
Будем по-прежнему рассматривать начальную задачу (6.1)
(или (6.3)):
= !°1 (6.53)
I у(х0) | Ьо)
Условия гладкости функции f(x, у) будут сформулированы ниже.
Сопоставим задаче (6.1) разностную схему
- (р^ + ...+ Jo
u0 j .
где
= f(%i, u;),
К2 = f(xi + 04/1, и, + aJiKi), (6.55)
/С; = / (x^ -f- и, +
a pi, ..., pi, (Xi, ..., a.i-t — некоторые параметры, выбором которых
можно обеспечить требуемый порядок аппроксимации схемы (6.54)
на решении задачи (6.53).
В частном случае при 1 = 1, р — 1 схема (6.54) переходит в схе-
му Эйлера (6.9), имеющую первый порядок аппроксимации. Пона-
ткем, что при 1 = 2 можно так выбрать параметры р„ р2 и с^, что
схема (6.54) будет иметь второй порядок аппроксимации. Пусть
функция Цх, у) имеет в D непрерывные частные производные до
второго порядка по обоим аргументам, что достаточно для сущест-
вования непрерывной третьей производной от решения. Тогда ре-
шение задачи (6.53) может быть представлено по формуле Тейлора
1,2 ь3
У (*i+i) = У fa) + hy' (х^ + J у” (х^ + -g-у'" (x*). (6.56)
Подставляя это выражение в схему (6.54), получим
- V " — - (р1К1 + р2К2) = у' (X.) + | у" (х{) + О (ht) -
— Pif (®i, У (*:)) — Pit (*i + у (ж,) + a2hf (xit у (я,))). (6.57)
Воспользовавшись разложением
f(xt 4- aji, у (х^ + athf (хи у (я:,))) = Цхь у (ж,)) +
+ «ill %, (*й У fa)) + М/ (xt, У (*;)) (Ъ, У (*«)) + О (h2) (6.58)
и**' U У
и очевидным соотношением
/ (*») = д/х (*г, У (*{)) + (*г, У (^г)) У' (^i) =
' = g (^ Ч У (*г)) + / (^»! У (^i)) д/у (^г, У (^г)), (6.59)
166
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. 6
перепишем (6.57) в виде
л&Цггй-сл. + РЛ)-
= у' Оч) — (Pl + Р2) t (*;, У (*<)) + hy" (Xi) (1/2 — a^) + o (h2).
(6.60)
Отсюда следует, что при
Pi + рг = 1, atp2 = 1/2 (6.61)
схема (6.54) при I — 2 имеет второй порядок аппроксимации. При
этом at может быть выбрано произвольно. Наиболее широко при-
меняются схемы (6.54) с Oi = 1 и cci = 1/2. Заметим, что путем
выбора Й! повысить порядок аппроксимации схемы (6.54) при 1 — 2
нельзя.
При а, = 1 из (6.61) получим pt = р2 — 1/2, и схема (6.54) при-
нимает вид
~ — у.1/ (*b ui) + / + h, и, + hl (xit Uj))] = 0. (6.62)
Геометрическая интерпретация этой формулы ясна из рис. 19.
Сначала по методу Эйлера находим точку yi+i — ut+hf(xi, и<), за-
тем находим среднее значение уг-
ла наклона касательной к интег-
ральным кривым на шаге h: tga =
= 2-(ui + Pi+i) и по нему уточня-
ем значение u(+i. Аналогичные рас-
смотрения легко провести и для
случая а = 1/2. Подобные схемы
обычно носят название «предик-
Рис 1Э тор-корректор».
Мы рассмотрели схемы со вто-
рым порядком аппроксимации.
Аналогичные рассмотрения могут быть проведены и для схем более
высокого порядка (Z>2). При этом приходится налагать на функ-
цию f(x, у) все более высокие требования гладкости. Наиболее
широкие практические применения находят схемы четвертого по-
рядка. В большинстве библиотек стандартных программ для ЭВМ
используется следующая схема:
{и- , _ — и. 4 .
'-^K1 + 2K2 + 2K.j + Ki) = О
ий I W
где
/Гг = /(а;ьи{), K3 = f(xi +
к . h , h I- *) '
+ y, Ui + y*ij, Ki = / (Xi + h) u. +
(6.63)
(6.64)
S 2]
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
167
Легко проверить, что эта схема имеет четвертый порядок аппрок-
симации.
В силу теоремы 6.1 для определения порядка сходимости схем
Рунге — Кутта достаточно доказать их устойчивость. Это доказа-
тельство можно провести в полной аналогии с доказательством
устойчивости схемы Эйлера. Действительно, все схемы типа (6.54)
имеют вид
Lhuh
G (Х{, U;)l (01
j ~ W
(6.65)
где функция G(z, у) представляет собой линейную комбинацию
функций f(x, у) от промежуточных значений аргумента. Поэтому
оценки для функции G(x, у) и ее производных легко выразить че-
рез соответствующие оценки функции f(x, у) и ее производных,
используемые при доказательстве устойчивости метода Эйлера, .от-
куда и следует сделанное утверждение.
В частности, имеет место следующая
Теорема 6.2. Пусть функция f(x, у) имеет в D непрерывные
частные производные четвертого порядка. Тогда схема Рунге — Кут-
та (6.63) сходится с четвертым порядком точности, т. е.
1)щ — [р]АИ < С/г4. (6.66)
Отметим в заключение, что схемы Рунге — Кутта допускают
вычисления и с переменным шагом. Начиная с любого индекса i,
можно уменьшить или увеличить последующий шаг сетки.
Замечание. В этом параграфе были рассмотрены численные методы ре-
шения начальной задачи (6.1) для одного скалярного уравнения первого по-
рядка. Без существенных изменений разобранные методы переносятся на слу-
чай начальной задачи и для нормальной системы уравнений первого по-
рядка*).
§ 2. Краевые задачи
В этом параграфе будут рассмотрены простейшие численные ме-
тоды решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных
уравнений. Постановка этих задач и общие свойства их решений
были изучены в гл. 4.
1. Метод стрельбы. Основная идея этого метода заключается в
сведении решения исходной краевой задачи к многократному ре-
шению вспомогательных задач Коши для заданного дифференциаль-
*) См., например, книгу А. А. Самарского «Теория разностных
схем» (М.: Наука, 1983).
168
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. 6
ного уравнения. Проиллюстрируем эту идею на примере краевой
задачи на отрезке [О, Z] для уравнения второго порядка.
<6-67>
Фг (у (0), g(0)) = О, (6.68)
Ф2 (z/(Z),g(0) =0, (6.69)
где /, <р15 ф2 — заданные функции своих аргументов. Пусть функции
/, фь ф2 являются достаточно гладкими и выполнены условия, при
которых решение краевой задачи (6.67) — (6.69) существует и
единственно, а также существуют единственные решения началь-
ной задачи для уравнения (6.67) при произвольных начальных
условиях, -заданных при х = 0 или х = I. Выберем некоторые на-
чальные условия у(О) = уо, ^-(0) = !/!, удовлетворяющие левому
граничному условию (6.68). Это можно, например, сделать, задав-
шись значением уя и разрешая полученное уравнение
Ф1(ую^<°))=° (6.70)
относительно ^(0) = yt. В силу сделанного предположения задача
определения решения у(х) уравнения (6.67), удовлетворяющего
выбранным начальным условиям, разрешима единственным образом.
Если бы полученная при этом функция у (х) удовлетворяла и пра-
вому граничному условию
фа (у (Z),^G)) — ож (6.71)
то исходная краевая задача была бы решена. Однако в общем слу-
чае полученная функция у(х) не удовлетворяет правому гранйчному
условию (6.71). По способу своего построения функция у(х) зави-
сит от значения у0 как от параметра; у(х, yQ), причем в силу об-
щих свойств решения начальной задачи, изученных в гл. 2, эта
зависимость непрерывная. Меняя значения у0 и повторяя описан-
ный выше алгоритм, получим однопараметрическое семейство
у(х, Уч) решений начальных задач для уравнения (6.67), удовлет-
воряющих левому граничному условию (6.68). Задача заключается
в том, чтобы из этого семейства выделить функцию у (х), удовлет-
воряющую и правому граничному условию (6.69). Этого можно
достичь различными способами. Например, можно выбирать наудачу
значения у„ до тех пор, пока при некоторых близких значениях
У», <-i> у», < не получатся разные по знаку левые части (6.69). Это
? 2]
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
169
будет означать, что искомое значение «взято в вилку»’ и можно
вести «пристрелку», уточняя искомое значение у0. В силу указан-
ной выше непрерывной зависимости решений начальных задач от
начальных данных искомое значение. у0 лежит между у0,и у о, <•
Этот способ решения краевой задачи (6.67) — (6.69) и носит назва-
ние метода стрельбы.
Если решение задачи Коши у(х, уа) находится в квадратурах,
то соотношение (6.71) представляет собой некоторое, вообще говоря,
трансцендентное уравнение
ф(Уо) = ф2 (у U.Fo), (г,?о)) = 0 (6.72)
относительно искомого значения Уч- Тем самым задача сводится к
задаче нахождения корня уравнения (6.72). Ре1пив это уравнение
(аналитически иля численно), мы получим начальные условия у(0),
jj(O), которым'удовлетворяет решение исходной краевой задачи.
JB общем случае функции у(хч, уч) не имеют явного аналитиче-
ского выражения и могут быть найдены лишь численно для каж-
дого конкретного значения параметра уч. Тогда можно воспользо-
ваться численными методами решения уравнения (6.72) — различ-
ными модификациями метода Ньютона, метода парабол и т. д.
Например, можно по описанному выше алгоритму для значений
параметра у0, равных у0, <-4 и у0,построить функции у(х, <-i) и
у (я, у0,,). Тогда новое значение параметра уо.нь согласно методу
секущих, находится из соотношения
УоЛ + 1 — Уо,г
Ч’С'м) - 'f-Oo.i-l) '
(6.73)
Отметим, что если начальное значение^уа выбрано вблизи корня
уравнения (6.72), то итерационный процесс (6.73) быстро сходится.
Проведенные рассмотрения справедливы в общем случае нели-
нейной краевой задачи. В случае линейной краевой задачи
L М *= £ [р (*) х] — я (Х>У (ж) = / (6.74)
ai/(0)+M(0) = 0, (6.75)
°зд'(0 + М(0= о (6.76)
можно предложить модификацию метода стрельбы, позволяющую
получить решение исходной краевой задачи, сведя ее к решению
сравнительно небольшого числа начальных задач.
Построим функцию У1(я:), представляющую собой решение зада-
чи для неоднородного уравнения (6.74) с начальными условиями
• УЛ0) = ^, *4<0) = -|\. (6.77)
170
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
|ГЛ. 6
Очевидно, в силу (6.77) функция у<{х) удовлетворяет левому гра-
ничному условию (6.75). Определим функцию Уо(х) как решение
задачи для однородного уравнения (6.74) с теми же начальными
условиями
£/„(0) = ^, ^(О) = -Рр Гб.78)
В силу линейности задачи и однородных условий функция Су0 (х)
также представляет собой решение однородного уравнения (6.74),
удовлетворяющее левому граничному условию (6.75). Поэтому ре-
шение исходной краевой задачи можно искать в виде
y(x) = y^x) + Cy„(x), (6.79)
определяя постоянную С из требования удовлетворения функцией
(6.79) правому граничному условию (6.76):
а2/ (0 + Р2У, (0 + с [а2£/о (0 + РгУо (0] = 0. (6.80)
Заметим, что в силу сделанного предположения о едииственности
решения исходной краевой задачи выражение в квадратных скобках
в (6.80) заведомо отлично от нуля; тем самым постоянная С из
этого соотношения определяется однозначно. Таким образом, в рас-
сматриваемом случае решение краевой задачи сводится к решению
всего двух начальных задач, что может быть осуществлено рассмот-
ренными в § 1 настоящей главы численными методами.
Замечания. 1. Решение краевых задач для уравнений и систем более
высокого порядка, чем второго, также может быть проведено методом стрель-
бы. Основные идеи метода при этом существенно не меняются, однакр вместо
одного уравнения (6.72) мы в общем случае получим систему р трансцендент-
ных уравнений типа (6.72) относительно параметров yt, у?, ..., ур, где р— чис-
ло левых граничных условий. Это приводит к значительной технической труд-
ности при практической реализации решения систем высокого порядка мето-
дом стрельбы. Исключение составляют лишь линейные системы, для которых
задача сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений.
2. В методе стрельбы решение исходной краевой задачи сводится к ре-
шению ряда вспомогательных начальных задач. Из полученных выше (§ 1)
оценок зависимости ошибки численного решения начальной задачи от ошибок
задания начальных данных и вычисления правых частей уравнений следует,
что эта ошибка может экспоненциально нарастать с увеличением длины от-
резка [0, t], па котором решается краевая задача. Это приводит к необходимо-
сти или значительной модификации метода стрельбы (так называемый, метод
дифференциальной ортогональной прогопки) *), или применения для решения
краевых задач прямых конечно-разностных методов, изложению которых и
будет посвящен следующий пункт.
2. Конечно-разностные методы. Как мы уже отмечали, суть этих
методов сводится к замене исходной задачи для дифференциального
уравнения системой алгебраических уравнений для значений се-
*) См., например, книгу Н. С. Бахвалова «Численные методы» (М.:
Наука, 1975).
§ 2]
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
171
толпой функции, аппроксимирующем на сетке решение исходной
задачи. Рассмотрим основные идеи этого метода на примере про-
стейшей линейной краевой задачи для уравнения второго порядка
У" =
(6.81)
Z/(O) = y(Z) = O.
(6.82)
Легко видеть, что при q(x)>0 краевая задача (6.81), (6.82)
имеет единственное решение. Это утверждение является следствием
общего свойства задачи на собственные значения, рассмотренной в
гл. 4. Как было показано, при q(x)>Q все собственные значения
соответствующей задачи на собственные значения строго поло-
жительны: > 0. Поскольку X = 0 не является собственным зна-
чением этой задачи, краевая задача (6.81) — (6.82) разрешима един-
ственным образом.
Единственность решения задачи (6.81), (6.82) можно доказать
и непосредственно, опираясь на так называемый принцип максиму-
ма. Предположим, что существует нетривиальное решение однород-
ной краевой задачи (6.81), (6.82)—функция у0(х). Эта функция
непрерывна на замкнутом отрезке [0, Z], следовательно, по извест-
ному свойству непрерывных функций принимает в некоторой точке
ха этого отрезка свое максимальное значение М:
у0(х)^М = ya(xv), же[0, Z], (6.83)
причем М 2г 0, поскольку (0) = г/0 (Z) = 0. Точка ха может быть
либо граничной, либо внутренней точкой [0, Z], Пусть х<> — гранич-
ная точка. Но тогда Af = O, поскольку уа (0) = у0 (1) = 0. Допустим
теперь, что ха — внутренняя точка; тогда в этой точке имеется
максимум и у" (х0)^0. Но из самого уравнения (см. (6.81) при'
/(л:) = 0) следует
= = (6.84)
а это может выполняться лишь при Л/ = 0. Итак, М = 0. Аналогич-
ным образом легко показать, что и минимальное т значение функ-
ции уо(х) на замкнутом отрезке [0, Z] равно нулю: тп = 0. Отсюда
следует, что уа (х) s 0, х е [0, Z], что и доказывает утверждение об
единственности решенир краевой задачи (6.81), (6.82).
Перейдем к построению разностной схемы, аппроксимирующей
задачу (6.81), (6.82). Введем на отрезке [0, Z] сетку «ц и рассмот-
рим сеточную функцию у^}, определенную в узлах сетки. Вторую
производную у” (х) аппроксимируем разностным отношением
(Z/i+i — 2i/i + yi-J/h2 (6.85)
172
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
(ГЛ. в
и сопоставим исх одной. краевой задаче копечно- разг ГОСТЕ fwi 0 ° ую схему
Lhy(h) = y(h>o У(1Оп = 1 (6.86)
где qmt = q (xf), =
. Схема (6.86), очевидно, представляет собой систему п + 1 ли-
нейных алгебраических уравнений относительно значений сеточной
функции в п + 1 узлах сетки. При исследовании этой схемы мы
должны выяснить вопросы, связанные с ее разрешимостью, устой-
чивостью и сходимостью семейства сеточных функций при h -* О
к решению исходной задачи, и указать алгоритмы построения се-
точных функций.
Начнем с выяснения вопросов разрешимости схемы (6.86). По-
скольку эта схема представляет собой систему линейных уравнений,
то для существования и единственности решения неоднородной си-
стемы достаточно установить отсутствие нетривиальных решений у
соответствующей однородной системы. Предположим, что однородная
система имеет нетривиальное решение у((1)0 = 0, ..., ¥= 0, ...
• • •, У<.ь}п — 0. Наибольшее из этих п + 1 чисел обозначим через Л/:
= yWk. (6.87)
Так как y(ft)(l = г/(Л)п = 0, то М > 0. Будем теперь рассуждать, как
при доказательстве отсутствия нетривиального решения у однород-
ного уравнения (6.81). Пусть М достигается в одном из граничных
узлов. Тогда М == 0. Если же М достигается во внутреннем узле
i~k, то в силу однородного уравнения (6.86) имеет место ра-
венство
(2 + Л-2д(*)л)у(л)* = (2 + h2q(h}k)M = у^}к+1 + С 2М. (6.88)
Если М > 0, то отсюда получим противоречие, поскольку, в силу
условия q(x)>0, имеем (2 +/Л/((1)|1)Л/> 221/. Поэтому и в этом слу-
чае М = 0. Итак, М = 0. Аналогичным образом легко показать, что
минимальное т значение п+1 чисел, у<ь^., .У^-а,- также
равно нулю: т = 0-.- Следовательно, все значения y(ft)0, . • ., У^}п
равны нулю, что означает отсутствие нетривиальных решений у од-
нородной системы линейных алгебраических уравнений (6.86).
Итак, разностная схема (6.86) однозначно разрешима для любой
правой части /(Л) при любом п.
Перейдем теперь к изучению аппроксимирующих свойств схемы
(6.86). Пусть функции q{x) и /(х) имеют вторые непрерывные
производные на отрезке [0, /].' Тогда из (6.81) следует’, что решение
краевой задачи (6.81), (6.82) обладает на отрезке [0,2] непрерыв-
ными и ограниченными производными до четвертого порядка. Раз-
лагая точное решение краевой задачи по формуле Тейлора и
8 21
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ
173
подставляя это разложение в левую часть уравнения (6.86) :
[у (*i) + hV' (Ж«) + 7 У" (Xi) + J У'" (*<) +
+ ^УаЛГ) (xi + 0{Л) 2У (*1) + У (**) — hy’ (*:) + з у” (£{) —
- § У'" (*<) + ЙУа V' & - М)) - У У (° < ei < *« О<02<1).
(6.89)
р" (х-) — q (Xi) у (Xi) + [y,IV) (Xi + 0^) + y(TV) (Хх — 02/i)] = / (ж.,),
(6.90)
откуда следует, что порядок аппроксимации схемы (6.86) равен 2.
Рассмотрим вопрос об устойчивости разностной схемы (6.86) по
отношению к возмущениям граничных условий и правой части
уравнения. Возмущенная задача имеет вид
Л1У(Л) —
^(Л)г+1 — 2^(Л)1 + ~
-------------^2-----------------?(Л)1У(Л)г
У(Л)О
У(Н)п
7(Л)1 + 6/(Л){'
ео
. ®п
... (6.91)
Обозначив погрешность решения
(6.92)
и вычитая (6.91) из (6.86), получим в силу линейности
(2 + ^2?(Л)<) = бУ(^)<+1 "Ь бУ(Ь)<-1 ^2б/(Л)<» (6.93)
6У(Л)0 = 6о, бУ(Л)П — 8„.
Выберем то значение i=-k (i = l, ..., га—1), при котором абсолют-
ная величина погрешности наибольшая:
16у<л))11 > 1бу(л)<1, i = l, ..., га-1. (6.94)
Из уравнения (6.93) имеем •
(2 + Лгд(й)|,) |бу(л)ц1 1бУ(Л)л->1 Л21б/(Л)*|. (6.95)
Неравенство (6.95) только усилится, если заменить 1бу(л)*+11 и
1бР(М1к-il на максимальное значение I6t/(h)).l, а 1б/(л>)|1 — на макси-
мальное значение |6/(Л)I. Тогда (6.95) дает
• <Л2Иб/(лЛ (6.96)
Отсюда получим
|6'/(Л)Л| <||6/(A)|ilmin q(x), к= 1Л —1,
ЦО,О
174
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. 8.
а так как 1бу(М*1 шах {|е01, 1е„|} (к —О, п), то окончательно
||б!/(л)|Ктах
[о,П I
(6.97)
что и доказывает устойчивость схемы (6.86) по граничным усло-
виям и правой части уравнения.
Установленные свойства аппроксимации и устойчивости схемы
(6.86) позволяют на основании теоремы 6.1 утверждать справедли-
вость следующей теоремы:
Теорема 6.3. Если функции q(x) >0 и f(x) дважды‘непрерывно
дифференцируемы на отрезке [0, Z|, то семейство y(h} решений раз-
ностной схемы (6.86) сходится при k -* 0 к точному решению за-
дачи (6.81), (6.82), причем порядок сходимости равен 2< .
Остановимся теперь на вопросах реализации схемы (6.86). В от-
личие от рассмотренных выше разностных схем решения, начальной
задачи (схемы Эйлера, Рунге — Кутта), данная схема не дает яв-
ного алгоритма последовательного вычисления значений сеточной
функции в узлах сетки, а представляет собой систему линейных ал-
гебраических уравнений, в которую входят неизвестные значения
сеточной функции во всех узлах сетки. Поэтому для численного
решёния задачи (6.86) можно воспользоваться общими методами ре-
шения линейных алгебраических систем. Однако в случае достаточ-
но большого порядка п эти методы оказываются весьма трудоемки-
ми. Естественно воспользоваться специальными свойствами матри-
цы, полученной алгебраической системы. В данном случае матрица
системы трехдиагональная — лишь на главной диагонали и двух
побочных диагоналях элементы матрицы отличны от нуля. Это по-
зволяет предложить для решения системы (6.86) весьма эффектив-
ный специальный метод, к изложению которого мы и перейдем.
3. Метод алгебраической прогонки решения линейных алгебраи-
ческих систем с трехдиагональной матрицей. Рассмотрим этот ме-
тод для следующей системы, являющейся некоторым обобщением
схемы (6.86):
— С,yt + Biyi+i = '—Fit i = 1, ..., п — 1, (6.98)
. Уо = ayt + р, уп = уг/п-! + б. (6.99)
Пусть коэффициенты, входящие в уравнения (6.98) и гранич-
ные соотношения (6.99), удовлетворяют условиям
Л,, 5,, С,>0; С(>А< + Вц 0^а<1; 0<7<1. (6.100)
Очевидно, в рассмотренном выше случае схемы (6.86) условия
(6.100) выполнены. Так же, как и в случае схемы (6.86), нетрудно
показать, что при выполнении условий (6.100) задача разрешима, и
притом единственным образом.
? 2]
КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ .
175
Будем искать такие коэффициенты ocf, pf, чтобы для всех значе-
ний индекса i = 1, 2, ..., п имело место соотношение
у(_, = + рй (6.101)
Подставим искомый вид решения (6.101) в уравнение (6.98);
получим о
(Лд( - Ct) yt + B(yt+l + (4(p< + Л) = 0., (6.102)
Выражая yt через yt+i но формуле (6.101), перепишем (6.102)
в виде
[ (Ла, - С() а<+1 + + [ (4Д - G) + F,| = 0. (6.103)
Для того чтобы (6.103) удовлетворялось тождественно при i =
= 1, 2, ..., и — 1, достаточно потребовать, чтобы каждая из квад-
ратных скобок обращалась в нуль при 1 = 1, 2, ..., п~ 1. Это тре-
бование дает рекуррентное соотношения для последовательного оп-
ределения по заданным значениям а = и £ = р! «прогоночных»
коэффициентов сц+1 и pi+i («прямая прогонка»):
В. A&- + F-
<^0=^ = (6.104)
Легко показать, что при выполнении условий (6.100) знаменатели
в формулах (6.104) отличны от нуля и, более того, 0 =?«(<!.
Действительно, перепишем второе условие (6.100) в виде
Сх = At + Bi + Dh Di > 0. (6.105)
Тогда первую формулу (6.104) можно записать в виде
В-
“i+1 = + (lla.) + ZY (6-106)
Так как 0 оц < 1, А(, Bi > 0 и Di > 0, отсюда следует, что и для
всех at, вычисляемых по формуле (6.106), выполняется условие
0Са<<1. Итак, все знаменатели в формуле (6.104) строго больше
пуля, что позволяет найти все прогоночные коэффициенты.
Вычислив а„ и р„ из (6.101), получим
Уп-, = апуп + р„. (6.107)
С другой стороны, в силу граничного условия (6.99)
l/n= lyn-i + б = 7(а„г/п + р„)+б, (6.108)
откуда
y„=(7Pn + 6)/(l-"fa„). (6.109)
176
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ
[ГЛ. 6
Выше мы показали, что 0 <5 an < 1. Поэтому в силу условия
(6.100) (0 =£ 7 < 1) знаменатель и этого выражения отличен от ну-
ля. Тем самым уп определено. Теперь по формуле (6.101) можем
последовательно вычислить все неизвестные yi-l (i = n, п — 1,...,.1)
{обратная прргонка).
Замечания. 1. В силу установленного соотношения 0 а,- < 1 ни при
прямой; ни при обратной прогонке не происходит накопления погрешностей
вычисления.
2. Мы рассмотрели схему метода прогонки, в которой сначала определя-
ются прогоночные коэффициенты при переносе левого граничного условия,
а затем восстанавливается решение по формуле (6.101). Очевидно, аналогич-
ным образом может быть рассмотрена схема, в которой прогоночные коэффи-
циенты, определяются прогонкой справа налево правого граничного условия,
а решение восстанавливается прогонкой слева направо. ч
ГЛABA 7
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ
Необходимость развития приближенных методов решения диф-
ференциальных уравнений отмечалась выше. Гл. 6 была посвящена
так называемым численным методам решения дифференциальных
уравнений, которые дают возможность для данного уравнения с
конкретными дополнительными условиями получить с произвольной
степенью точности таблицу значений решения в узлах сетки. В на-
стоящей главе будет идти речь о другом классе приближенных ме-
тодов, о так называемых асимптотических методах, которые ставят
своей целью получение формулы, описывающей качественное пове-
дение решения на некотором интервале изменения независимого пе-
ременного. Точность такой формулы имеет естественное ограничние
(подробнее об этом см. ниже). Заметим сразу же, что численные и
асимптотические методы не исключают, а взаимно дополняют друг
друга.
§ 1. Регулярные возмущения
1. Понятие асимптотического представления. В § 5 гл. 2 по-
дробно исследовался вопрос о зависимости решения начальной за-
дачи от входящих в уравнение параметров. В настоящем парагра-
фе мы положим i0 = 0, чего всегда можно добиться заменой незави-
симого переменного, и ограничимся скалярным случаем (у — ска-
ляр, |л — скаляр), что не принципиально, а делается лишь в целях
краткости изложения. Итак, рассмотрим начальную задачу
= i,H), И0,Ю = Л (7.1)
При этом будем считать, что ц изменяется в некоторой окрестности
значения |Д = 0, чего тоже можно добиться соответствующим выбо-
ром начала отсчета по оси ц.
В гл. 2 (теорема 2.10) было доказано, что при соответствующих
условиях на правую часть (7.1) решение y(i, ц) задачи (7.1.) су-
ществует и является непрерывной функцией t и р. на множестве
t <= [0, Т], I ц I < с.
Доказанная теорема заключает в себе следующую возможность
построения приближенного решения задачи (7.1). Рассмотрим зада-
178
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ
[ГЛ. 7
чу, которая получается из (7.1), если в ней формально поло-
жить р = 0:
g = р(О) = уО. (7.2)
Задача (7.2), вообще говоря, проще исходной задачи (7.1), и ее ре-
шение, которое обозначим y(t), исследовать проще, а возможно, да-
же удастся эффективно построить. Из теоремы 2.10 следует, что на
некотором сегменте [0, Г]
U(t, = e(t, р), (7.3)
где в(£, р)=* 0 при р -* 0. Таким образом, y(t) служит для y(t, р)
приближенным выражением, а е (£, р) есть погрешность этого при-
ближения.
Формула (7.3) является простейшим вариантом так называемой
асимптотической формулы (или асимптотического представления)
решения y(t, р) по малому параметру р. Асимптотическими форму-
лами по малому параметру мы будем называть такие формулы,
в которых некоторые члены, называемые остаточными членами, вы-
писываются не точно, а указываются лишь их свойства при р 0,
например порядок стремления к нулю при р 0.
В формуле (7.3) е(7, р) является остаточным членом. Теорема
2.11 дает возможность указать порядок стремления e(i, р) к нулю.
В самом деле, существование производной по р дает возможность
написать
y(t,li) = y(t) + d^(t,eli)li, О<0<1 (7.4)
й установить тем самым, что е(7, р)=О>(р). Здесь и в дальнейшем
подобного рода равенство означает, что le(f, р) I Ср, где С — не-
которая постоянная, не зависящая от р при достаточно малых р.
Чем меньше р, тем лучше y.(t) приближает y(t, р). Однако в
реальных задачах р является малой, но не бесконечно малой вели-
чиной. Поэтому асимптотическая формула произвольную степень
точности обеспечить не может и это является ее принципиальным
недостатком. Тем не менее асимптотические формулы очень удобны
в тех случаях, когда требуется получить качественную картину
решения.
Замечание. Сказанное относится к задачам, в которых малый пара-
метр р является естественным физическим малым параметром. Существуют,
однако, задачи иного рода, например задачи, возникающие при обосновании
вычислительных алгоритмов, когда искусственно вводится некий малый па-
раметр, скажем величина шага, значением которого можно распоряжаться
произвольно. В такого рода задачах обеспечивается произвольная степень
точности.
§ 11
РЕГУЛЯРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
179
Результаты гл. 2 позволяют получить для y(t, р) асимптотиче-
скую формулу-с остаточным членом более высокого порядка мало-
сти, чем С?(р)*), если f(y, t, р) удовлетворяет условиям, обеспечи-
вающим существование п + 1 непрерывных производных по р.
Сформулируем этот вывод из § 5 гл. 2 в виде отдельной теоремы.
Теорема 7.1. Пусть в некоторой'области D переменных у, t, р
функция f(y, t, р) обладает непрерывными и равномерно ограни-
ченными частными производными по у и р до порядка п +1
включительно. Тогда существует сегмент [О, Т], на котором для ре-
шения y(t, р) задачи (7.1) справедливо асимптотическое пред-
ставление
y(t, Н) = У&) + °) + ... + °) + (7-5>
где en+1(i, p)=>0 при p -* 0, 0 t < T, причем en+1(f, p) = C’’(p"+I).
Замечания. 1. Величины —b (t, 0) определяются из урав-
нений в вариациях, выписанных в § 5 гл. 2. Представление (7.5)
можно получить и иначе. Подставим в (7.1) выражение для у в
виде формального ряда
У = Уо(О+ РУ1(г)+ •••. (7.6)
Раскладывая после подстановки величину f(yQ + ру1 + ,.., t, р)
также формально в степенной ряд, получим
dya dy
+Р-77 + ... =
dt dt
Ж> 0) + f,O)(py1+ ...) + |£-(y0, t, 0)p + ...
... + ^((14/1+ + 0)+ •••;
yo(O)+ pjh(O)+ ... = /...
Приравнивая члены с одинаковыми степенями р, будем иметь
^ = /(Уо^,О), Уо(О) = У% (7.7')
= Ту (Уо, t, 0) У1 + (у0, t, 0), У1 (0) = 0, (7.7")
Но &
Решая последовательно эти задачи, определим члены ряда (7.6).
Задача (7.7') для i/o(i) совпадает с задачей (7.2), и, стало быть, в
*) См. сноску на с. 163.
180 асимптотика решений по Малому параметру (гл. т
силу единственности j/o(i) = y(O‘ Задача (7.7")—с задачей для
—- (i, 0) (см. (2.141)), и, стало быть, У1 (0 = (i, 0) и т. д.
2. Если /(у, t, ц.) обладает в D непрерывными и равномерно
ограниченными производными любого порядка, то в (7.5) п являет-
ся величиной произвольной. Для у(£, р) тем самым определен ряд
Маклорена с общим членом u”y„ (t) — р” (t, 0) такой, что
ду.
разность en+1(t, р) между частичной суммой этого ряда и решени-
ем y(t, р) есть б7(рп+4). Такой ряд называется асимптотическим
рядом, или асимптотическим разложением по малому параметру р
для y(t, р). Подчеркнем, что s„+1(Z, p) = (7'(pn+1) при фиксирован-
ном пи р0. Если же р фиксировано, а п -* °0, то en+1(i, р) мо-
жет предела не иметь, т. е. построенный таким образом ряд сходя-
щимся, вообще говоря, не является.
3. Вместо терминов «асимптотическая формула», «асимптотическое пред-
ставление», «асимптотическое разложение» употребляется краткое название
«асимптотика».
Теория, развитая в § 5 гл. 2, и следующая из нее теорема 7.1
дают математическое обоснование «обычной» для физики и техники
операции отбрасывания малых членов в уравнении. Эти малые чле-
ны часто называются возмущениями. В связи с этим уравнение
(7.2) называется невозмущенным уравнением, а уравнение (7.1) —
возмущенным уравнением. Теория, имеющая целью обоснование
асимптотики по малому параметру р, часто называется теорией
возмущений.
Теорема 7.1 справедлива при условиях достаточной гладкости
(или, как говорят, регулярности) правой части (7.1) по у и р. Воз-
мущения, подчиняющиеся требованиям теоремы 7.1, называются ре-
гулярными возмущениями. Этим разъясняется название настояще-
го параграфа.
Пример 7.1. Получим справедливую на [0, Т] асимптотическую форму-
лу с остаточным членом О (р.2) для решения y(t, р) задача
= а (0 У + Ъ (t) + pc (t) у2, у (0) = 0.
Это уравнение Риккати, решение которого эффективно получить не удается.
Функции же y0(t) и yi(t) строятся квадратурами, а именно,
§ = «(t)y0+b(t), Уо(0)=0,
dt 0 и
следовательно,
t
J a(t)dt
b (т) е dx;
dy,
= a (0 + с (О У%, У± (0) = 0
о
РЕГУЛЯРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
181
₽ И
я, следовательно,
t
t J “(i>dt \
»lW = j«W»JWeT dv, y(t, p)'= J/O («) + ^ (t) + O’(ji2).
0
2. Существование решения возмущенной задачи. Результаты, по-
лученные в § 5 гл. 2, обладают той особенностью, что справедли-
вость асимптотического представления гарантируется на некотором
сегменте [О, Г], определяемом свойствами правой части (7.1), одно-
временно с существованием и единственностью как невозмущенно-
го, так и возмущенного уравнений.
Можно ставить вопрос иначе. Допустим, что решение невоэ-
мущенной задачи (7.2) существует, единственно и принадлежит не-
которой области-G пространства переменных (у, t) при О t Т.
Величину Т в данном случае можно, например, установить непос-
редственно из явного вида y(t). Будет ли при достаточно малых р
решение задачи (7.1) также существовать на всем [О, Z] и подчи-
няться формуле (7.3)? Ответ на этот вопрос дает следующая
Теорема 7.2. Пусть в области G — {0 < К Т, |у| ^Ъ, |р| Ср)
функция f(y, t, р) непрерывна по совокупности аргументов и удов-
летворяет условию Липшица
IZ(t/i, t, р)-f(y2, t„ р)| ^N\yi-yl\,
где N—одна и та же постоянная для всех р из отрезка |р| р.
Пусть решение y(t) задачи (7.2) существует и. единственно на
[О, Г] и принадлежит D = {0 < t Т, \у\ < Ь}. Тогда при каждом
достаточно малом р решение y(t, р) задачи (7.1) также существу-
ет и единственно на [О, Т7] и принадлежит D, причем имеет место
равномерный относительно t предельный переход
]irny(f, р) = y(t). (7.8)
Доказательство. Перейдем в (7.1) к новой неизвестной
функции А = у — y(t), которая является решением начальной за-
дачи (ср, (2.137)); получим
= [f(y + A, t, р) -/(у, I, р)]+ [/(у, t, р) -f(y, t, 0)], A (0) = 0.
(7.9)
Рассмотрим следующую область переменных A, t:
Ь' = (0 t Т, I АI < С}, где С = Ъ — р, р = sup |-у (1) |.
[о,Г]
При IAI < С имеем lyl < \у I + | А | < р + С = Ь, т. е. при IAI < С
аргументы /(г/, i, р) остаются в области G. Тогда, в силу условия
182
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ
(ГЛ. 7
Липшица,
\f(y + Д, t, м) —f(y, t, ц)1 < wlДI,
а в силу непрерывности /(у, t, р) заключаем, что /(у, t, р) —
— f(y, t, 0)-*-0 при р-* О равномерно относительно i, т. е. сущест-
вует некоторая функция со (р), зависящая только от р и стремяща-
яся к нулю при р -> 0, такая, что
I/G7, t, н) — /(у, t, 0)1 <со(р).
Воспользуемся теперь теми же соображениями, что и при дока-
зательстве теоремы 3.2. Теорема существования и единственности
обеспечивает существование и единственность Д(£, р) и выполне-
ние неравенства |Д| < С на некотором отрезке [0, Я]. Принимая
Н, &(Н, р) за новую начальную точку, можно продолжить реше-
ние на больший отрезок [0, Я,] (Я, > Я) и т. д. Пусть [0, 11)
(Н «S Т)—максимальный полуинтервал, на котором существует
единственное решение Д(£, р) задачи (7.9), принадлежащее D,
а Я„ -> Я — произвольная последовательность. Докажем, что су-
ществует lim Д (Я„, р).
П-*оо
Так как для любого п на [0, Я„] имеем |Д (t, р) | < С, то
а тогда, согласно лемме 2.1,
. I Д I (е™ - 1) = ®т (р), (7.10)
где а>1(р) обладает теми же свойствами, что и ы (р). Следовательно,
I^I^AwJp) + ®(р).
I I
Па основании этого неравенства доказывается существование пре-
дела lim Д (Нп, р) точно так же, как при доказательстве, теоремы
71—>оо
3.2. Поскольку IД (Я„, р) I < W1 (р)< С, то и lim Д (Яп, р) (р) <
71.—»оо
< С. Дальнейшие рассуждения полностью совпадают с теми, ко-
торые были проведены при доказательстве теоремы 3.2, и приводят
к выводу, что Н = Т и Д(1, р) существует и единственно на отрез-
ке [0, Z1]. Из неравенства (7.10) следует равномерное стремление
Д (^, р) к нулю при р0, т. е. следует (7.8). Теорема доказана.
Замечания. 1. Теорема доказана для скалярного случая, но аналогич-
ное утверждение справедливо и для случая, когда у — вектор.
2. Теорема 7.2 остается справедливой, если имеет место возмущение не
только в уравнении, по и в начальных условиях, т. е. если (7.1) имеет вид
' dy о
= / 0/, t, Р). У (Р), Р) = У + «2 (р)-
f 2]
СИНГУЛЯРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
183
§ 2. Сингулярные возмущения
В приложениях нередко встречаются случаи, когда малый пара-
метр р, входит в уравнение таким образом, что теория предыдущего
параграфа неприменима. Рассмотрим в качестве простейшего при-
мера движение маятника (см. гл. 1, § 2),
ру" + ау' + ку = f(t), (7.11)
где I = р является малым параметром. В случае, разобранном в
предыдущем параграфе, в целях Получения приближенного выра-
жения для решения можно было в уравнении формально положить
р — 0 и взять решение полученного таким образом упрощенного
уравнения. Можно ли поступить так же в случае X7.ll)?
Движение маятника в (7.11) определяется заданием начального
положения и скорости У(О)=Уо, у'(О)=у". Полагая в (7.11) р = О,
мы получим уравнение более низкого (первого) порядка, решение
которого определяется только заданием у(0). Тем самым заранее!
ясно, что, поступая так, мы не можем учесть ‘все факторы, опреде-
ляющие решение (7.11), и по крайней мере в окрестности началь-
ной точки правильной модели не получим.
Таким образом, выводы предыдущего параграфа в данном слу-
чае несправедливы и, стало быть, условия теорем предыдущего па-
раграфа нарушены. Чтобы понять, какие условия нарушены, запи-
шем (7.11) в форме (7.1) (уравнение уже будет векторным, но, как
отмечалось выше, это не принципиально):
, — az — ку + f (t) , .
z ----------------= /l(Z, У, t, ц),
У' = Z = А(2, у, t, |Л).
Отсюда видно, что /, не является непрерывной функцией ц при
р, = 0, т. е. не выполнено основное требование теории предыдущего
параграфа — требование непрерывности правых частей. Другими
словами, можно сказать, что в данном случае правая часть зависит
от у нерегулярным, или сингулярным, образом. Поэтому возмуще-
ния типа цу", т. е. когда малый параметр входит как множитель
при старшей производной, получили в литературе название сингу-
лярных возмущений.
Простейшие примеры показывают, что сингулярно возмущенные
системы обладают рядом свойств, коренным образом отличающих их
от регулярно возмущенных систем, исследованных в § 1.
Рассмотрим уравнение
ру' = ау + b; a = const, Ъ — const, _ (7.12)
при начальном условии у (0, ц) = у\ Его точное решение имеет вид
y(t, = + (7ЛЗ)
184
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ
[ГЛ, 7
Полагая в уравнении (7.12) р, «= 0, получим (применяя обозна-
чения § 1) у = —Ъ/а. Анализируя (7.13), можно видеть, что бли-
зость у к у имеет место лишь при выполнении некоторых специаль-
ных условий, о которых не было речи в § 1. А именно, если рас-
сматривать решение начальной задачи вправо от t = 0, то у -> у,
если а < 0, а р -* +0 (или а > 0, а —0). Если же ц -* 0 произ-
вольным образом, то ни при а < 0, ни при а > 0 решение у предела
не имеет и является неограниченным. Кроме того, если даже вы-
полнены условия а < 0, р -> +0 (или а > 0, р —0), предельный
переход у -* у имеет место для t, строго больших нуля, так как при
t — 0 у(0, р)= у0, а у0, вообще говоря, не равно —Ыа.
Все эти факты говорят о том, что в сингулярно возмущенных
системах пренебрегать малыми членами можно лишь при выполне-
нии особых условий и выяснение этих условий требует специальной
теории, к которой мы и перейдем.
1. Уравнение с малым параметром при старшей производной.
Теорема о предельном переходе. Рассмотрим систему дифференци-
альных уравнений вида
у, t), | = /(2, у, t), (7.14)
где ц > 0 является малым параметром. Поставим начальную, задачу
z(0, ц)=Д у(О,\)=у°. (7.15)
Начальная задача для уравнения (7.11), очевидно, содержится
здесь как частный случай.
1°. Правые части (7.14) будем предполагать непрерывными
вместе с частными производными по z и у в некоторой области
Н = {(у, £)е= D = {0 £ < Т, |у| =5 Ь}, |z| < d}.
Полагая в (7.14) формально ц = 0, получим невозмущенную си-
стему уравнений, или, как ее называют в теории сингулярных воз-
мущений, вырожденную систему, так как ее порядок ниже, чем по-
рядок системы (7.14):
0 = F(z, у, £), ^ = /(z, у, £). (7.16)
Чтобы определить решение этой системы, надо, прежде всего, раз-
решить первое из уравнений (7.16), которое является конечным (не
дифференциальным), относительно г. Это уравнение нелинейное и
поэтому может иметь несколько решений. Мы будем предполагать,
что все решения (корни) z = <р(у, £) этого уравнения действитель-
ны и изолированы в D. Надо выбрать один из корней z = <р(у, £) и
подставить его во второе уравнение (7.16). Вопрос заключается в
том, какой из корней следует выбрать, чтобы обеспечить близостй
конструируемого нами решения системы (7.16) к решению z(£, у),
у(£, ц) задачи (7.14), (7.15). Правило выбора корня <p(y, t) будет
£ 2)
СИНГУЛЯРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
185
сформулировано ниже (см. 3°, 5е). После подстановки г = ф(у, /)
во второе уравнение (7.16) получится дифференциальное уравнение
относительно у и для однозначного определения у потребуется за-
дать начальное условие. Естественно предположить, что из двух на-
чальных условий (7.15) следует оставить лишь одно: условие на у.
Итак, мы приходим к задаче
^- = /(ф(у4 t), у, t), у(0) = у°„ (7.17)
где ф(у, t) — один из корней уравнения F(z, у, £)=0.
2°. Будем предполагать, что функция ф(у, t) непрерывна вместе
с производной по у, когда (у, Z)e D.
Определение. Корень z — <p(y, t) будем называть устойчи-
вым в области О, если при {у, t) '^D выполняется неравенство
0<0. (7.18)
Замечание. Ср. требование а < 0 в рассмотренном выше примере.
3°. Будем предполагать, что в (7.17) ф(у, i) является устойчи-
вым корнем.
4е. Будем предполагать, что решение y(t) задачи (7.17) опреде-
лено на сегменте 0 t Т и принадлежит D = {0 =5 t =£ Т, |у| < Ь}.
Прежде чем производить дальнейшее исследование задачи, рас-
смотрим один частный случай, а именно
р^ = Е(2), z(0, p) = z«. (7.19)
Этот случай, во-первых, интересен своей геометрической наглядно-
стью, а во-вторых, соответствующие результаты пригодятся при
рассмотрении общего случая (7.14).
Пусть 2 = ф является устойчивым корнем уравнения F(z)=0.
ф в данном случае является константой, a D — любым интервалом
вещественной оси. Условие устойчивости (7.18) имеет вид ^-(ф)<0.
Пусть кроме ф уравнение E(z)=0 имеет еще корни ф1( ф2, . .„ при-
чем ф1 и ф2 — два ближайших к ф корня соответственно снизу и
сверху (рис. 20, на котором представлена полоса 0 t Т, где Т —
любое положительное число). Проследим за полем направлений
уравнения (7.19). При достаточно малом р, векторы, касательные к
интегральным кривым, расположены почти параллельно оси z (за
исключением малой окрестности корней уравнения F(z)=0).
«+» и «—» на рисунке указывают знак функции F(z). Заметим,
dF , . п'
что, поскольку (ф) =#= V, корень ф является простым и при z = ф
происходит смена знака функции F(z).
Пусть ф1 < z“ < ф2. Рассмотрим множество точек lz — ф|=^е,
где е произвольно мало (е-окрестность корня ф). Характер поля
186
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ
[ГЛ. 7
направлений сразу дает возможность заключить, что интегральная
кривая, начинающаяся в точке (0, z°) (на рисунке приведены два
варианта: г°<ф и г°>ф), будет резко идти вверх (при z° < ф)
или, наоборот, вниз (при z° > ф) и, достигнув е-окрестности <р, да-
лее из нее уже не выйдет, если только р. достаточно мало. Это и оз-
начает, что решение z(t, ц) задачи (7.19)
при р. -> 0 близко к решению' ф вырож-
Рис. 20
денного уравнения E(z) = 0, если не счи-
тать некоторой окрестности t = О
(см. пример).
Из этого геометрического рассмотрения
ясно также, насколько важно, чтобы на-
чальное значение z° лежало в области ф1 <
< ф < ф2, называемой областью влияния
(или областью притяжения) корня ф. Ес-
ли, например, z° < ф] и F < 0 при z < фъ
то интегральная кривая уйдет вниз от
Ф1 41 тем самым не может приблизиться
к ф, а если z° < ф, и F > 0, то кривая
приблизится к фь т. е. опять-таки, не к ф.
Результат, полученный нами из геометрических соображений,
можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 7.3. Если ф — устойчивый корень уравнения F(z)=0,
а начальное значение z° лежит в его области влияния, то решение
z(t, ц) задачи (7.19) существует на сегменте [0, Т] и для него име-
ет место предельное соотношение
lim z(t, р.) = ф при Q<Zt^.T.
Ц->0
(7.20)
Доказательство. Приведем аналитическое доказательство
утверждения (7.20). Пусть для определенности z° < ф. Рассмотрим
прежде всего область z° z ф — е, 0 «S 1 < е, где в > 0 произволь-
но мало. В этой области рассмотрим задачу (7.19), беря z в качест-
ве независимого переменного: f(z°) = O. Если ц доста-
точно мало, то, как следует из теоремы 7.2, на сегменте [z“, ф — в]
существует единственное решение i(z) этой задачи и оно сколь
угодно близко к вертикали t — 0 (в смысле расстояния вдоль оси
1). Кроме того, оно положительно в силу положительности F(z).
Таким образом, интегральная кривая, начинающаяся в точке (0, z°),
входит в е-окрестность z = ф при t = t0, где £0 = и(ц) < в.
Нетрудно убедиться, что, попав в в-окрестность z = ф, интег-
ральная кривая из нее уже не выйдет, пока t0 t =5 Т. Для этого
воспользуемся рассуждениями, подобными тем, которые проводились
в теории устойчивости (гл. 5). Введем функцию 7(z) = (z — ф)2.
Предположим, что интегральная кривая при
дит из е-окрестности прямой z = ф. Тогда имеем
t = tt > t0
dV
dt
\l=tt
>0.
выхо-
Ho
S 2]-
/ СИНГУЛЯРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
187
с другой стороны,
р)-Ф1'г(,(^ >‘))<0
в силу свойства F(z)^0 при z <р, обеспеченного условием устой-
dF
чивости (ф)<0. Противоречие приводит к выводу, что ин-
тегральная кривая останется в е-окрестности z = ср. Так как она
попадает в эту окрестность при t = t0 < е, то в силу произвольной
малости е это фактически" означает справедливость (7.20).
Утверждение (7.20) можно записать также в следующей удоб-
ной для дальнейшего форме. Введем независимое переменное
т = t/p. Тогда задача (7.19) примет вид
z(0) = z°. (7.21)
Утверждение (7.20) означает, что lim z (т) = ср, или, иначе, для
Т->оо
любого в существует т0(е) такое, что при т т» справедливо не-
равенство
1г(т)-ср|<8. (7.22)
Замечания. 1. Как видно из проведенных рассуждений,
предельный переход (7.20) не является равномерным относительно
t е (0, Г], что хорошо иллюстрируется рис. 20.
2. Термин «устойчивый корень» ие является случайным. Нетрудно про-
следить связь проделанных построений с теорией устойчивости (см. гл. 5).
Действительно, z = q> является точным решением уравнения (7.21), причем,
в силу —(<р) < 0, это решение асимптотически устойчиво по Ляпунову. Чтобы
dz
убедиться в этом, достаточно сделать замену переменных х — z — <р и восполь-
зоваться теоремой 5.1 или теоремой 5.3, взяв в качестве функции Ляпунова
V — xs. То, что интегральная кривая z = z (т) остается в е-окрестности пря-
мой z = <р, обеспечено устойчивостью решения z = <р уравнения — — F (г).
ат
Вернемся к общему случаю (7.14), (7.15). При рассмотрении
этого случая идеи теории устойчивости будут сочетаться с идеями
теории регулярных возмущений.
Сопоставим задаче (7.14) (7.15) задачу
dz
p^ = F(z0, у*, 0), zo(0) = z°.. (7.23)
Эта задача является исследованной уже задачей типа (7.19), В си-
лу 3° z0 = <p(p°, 0) является устойчивым корнем уравнения
F(z0,oJ/0, 0)= 0.
5°. Будем предполагать, что начальное значение z“ принадлежит
области влияния корня ср (у0, 0) уравнения F(z°, у°, 0)=0.
188
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИИ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ
[ГЛ. 7
Теорема 7.4 (теорема Тихонова). При выполнении условий
1°—5° решение z(t, р), y(t, р) задачи (7.14), (7.15) существует
на [О, Т] и имеет место предельный переход
limу (ti у) = у (t) при (7-24)
н-»о
limz(Z, р) = <p(y(Z)t t) = z{t) при 0<Zt^.Tt (7.25)
ц-*о "
где y(t) —решение вырожденной задачи (7.17).
Доказательство разобьем на несколько этапов. 1) Рас-
смотрим сначала окрестность точки t = 0. Сделаем в (7.14) замену
переменных т = 1/р. Получим
= у, тр), z|t=0 = Z%
d4 „ . 0 (7.26)
= и/(2, У, тр), У|т=о = 1Л
= z°,
(7.27)
= У°-
На любом конечном промежутке изменения т эту систему можно
рассматривать как регулярно возмущенную, причем соответствую-
щая невозмущенная система имеет вид
dz^
— = F(z0, у0, 0), z0|г=0
>-0, лк-
Отсюда Po(x) s у\ а
dz
^~F(zo,yO,0), ' z0 [т==0 = z°- (7.28)
Эта задача равносильна задаче (7.23) и является задачей типа
(7.21). Поэтому согласно теореме 7.3 (см. (7.22)) получим, что для
любого е>0 существует т0(е), при котором справедливо не-
равенство *
|2о(то)-ф(у°, 0)1 < е/3. (7.29)
Сравним задачи (7.26) и (7.27). Из 1° следует выполнение ус-
ловий теоремы 7.2 о регулярном возмущении для т т, где т как
угодно велико и фиксировано. Решение невозмущенной задачи
(7.27) определено при всех -г и, в частности, на [0, т0]. Поэтому
согласно теореме 7.2 (вместе с замечанием 2) получим, что для
любого е > 0 при достаточно малых р на 0 т < т0 (или на
О < t < тор) существует решение задачи (7.26) (или, что то же са-
мое, решение z(t, р), y(t, р) задачи (7.14), (7.15)) и справедливы
неравенства
l2(£, р)—z0(t) I < е/3, |j/(f, р)— г/°| < е/3. (7.30)
S 21
СИНГУЛЯРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
189
Принимая во внимание непрерывность <р(у, t), можно, обеспечив
достаточную малость |y(i, р) — р°|, обеспечить также неравенство
|<p(y(i, р), t) — <р(у\ 0) I < е/3 при 0 t < Тор. (7.31)
Из (7.29) — (7.31) получим, что при t = тор = i0(p)
|z(i, р) —<р(у(Г, р), i)| < е. (7.32)
2) Обозначим Д(i, p)=z(t, р)—<p(y(i, р), i), Соотношение
(7.32) говорит о том, что Д (£, р) как угодно мало при i = i0(p).
Неравенство (7.32) будет оставаться выполненным в некоторой
окрестности справа от точки t0. Величина этой окрестности заранее
не известна. Может случиться, что неравенство (7.32) выполнено
для всех t > i0 вплоть до t — Т, а может оказаться, что найдется
значение «£ Т, при котором (7.32) перейдет в равенство. Убедим-
ся, что в первом случае при всех t е [Z(J, Г], а• во втором при всех
ie[i«, ii] величина y(i, р) как угодно близка к y(t). Для этого
перепишем второе уравнение (7.14) в виде
f = / (ф (У, t) + Д (t, р), у, t), у |(=(о(ц) = у° + 6 (р), (7.33)
и сравним эту задачу с задачей (7.17). Согласно полученному в
предыдущем пункте величины i0(p), |6(р) I как угодно малы при
достаточно малом р и величина |Д (i, р) I как угодно мала при до-
статочно малом р и ie[io, 7] или t е [i0, ij. Задача (7.33) являет-
ся регулярно возмущенной задачей по отношению к задаче (7.17)
(см. теорему 7.2 вместе с замечанием 3). Поэтому при t s [/0, 7]
или t е [iOl t,] p(t, ц) существует, принадлежит D и, кроме того,
для любого Б] > 0 справедливо «неравенство \y(t, р) —
при t е [i0, Г] пли t е [i0, it], если только р достаточно мало.
3) Убедимся теперь, что неравенство (7.32) выполнено для всех
t е [io, 7], т. е. из двух возможностей, указанных в 2), реализуется
только одна, а предположение о существовании точки i, 7, для
которой. lA(t, р)| = е, приводит к противоречию.
Пусть при t, =5 7 достигается равенство IД (i,, р) I = е. Введем
в рассмотрение функцию
V(z, У, i)=[z-<p(y, i)]2.
В силу предположения о точке it имеем — ^0. Но
ul |i
f = 2[z-t(!z, .)]_g f у,
Так как F(z, у, t)|<=(1g^O, то знак {•} при достаточно малых р
определяется знаком F(z, у, t), а, следовательно, в силу малости
Д — знаком
(ф (у, 01 У, 0 [Z - <Р (у, .')].
190
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ
(ГЛ, 7
тем самым знак всего выражения определяется знаком
dF
'fa (ф (У> 0, У, 0- Так как согласно полученному в предыдущем
пункте y(t, р,) принадлежит D, то согласно 3° и (7.18)
f)F
fa (Ф (У (in: Н), ii)>. У (tn И), ti) < О
и, следовательно, 371, , < 0.
dt 1
Противоречие приводит к выводу, что lA(t, ц) I < 8 при t0 «ё
sSt’CT’ и, следовательно, lp(i, р) — y(i)l<8j при t0 «5 t «S Т. Учи-
тывая оба эти неравенства, а также то, что \y(t, р) — у°| < е/3 при
(см. (7.30)) и \y(t)—y°\ <Ei при получим ут-
верждение теоремы 7.4.
Замечания. 1. Из доказательства видно, что предельный
переход (7.24) является равномерным на [0, Г], а предельный пе-
реход (7.25), справедливый на (0, Г], равномерным не является.
В окрестности t = 0 имеется область, в которой z-компонента ре-
шения задачи (7.14), (7.15) сильно отличается от z-компоненты
решения вырожденной задачи, т. е. от ф(^(^), i). Эта область, хо-
рошо заметная на рис. 20 для случая системы (7.21), называется
пограничным слоем.
Заметим также (это опять видно из самого доказательства), что
на отрезке [t0 (р), Т] (тем более на любом отрезке [t0, Г], где t0 как
угодно мало, но фиксировано при р -* 0) оба предельных перехода
(7.24) и (7.25) носят равномерный характер.
9F
2. Из доказательства теоремы видно, что отрицательность нужна фак-
тически лишь на вырожденном решении, т. е. достаточно, чтобы выполнялось
dF —
условие (<р (у (t), ()> У (*), 0 < 0.
3. Теорема 7.4 распространяется на векторный случай. Некоторые допол-
нительные трудности возникают при этом с определением понятия области
влияния. Что касается условия устойчивости, то оно может быть сформули-
ровано как естественное требование, чтобы характеристические числа X(t)
д F
матрицы ^-(q)(y, 0, у, t) удовлетворяли неравенству Re X < 0. Имеется и бо-
лее общая формулировка условия устойчивости, данная А. Н. Тихоновым*).
2. Асимптотическое разложение решения задачи (7.14), (7.15).
На основании теоремы 7.4 можно написать следующее асимптоти-
ческое представление для решения задачи (7.14), (7.15):
£/(i, И).= И0+ ei(t, И), z(f, p) = zf<)+e2(i, ц)
(z(t)=<p(y(t), t)).
*) В а с и л ь е в а А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложе-
ния решений сингулярно возмущенных уравнений.— М.: Наука, 1973.
СИНГУЛЯРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
191
§ 2]
При этом остаточный член e2(t, р) в выражении для z(t, р) не яв-
ляется равномерно малой величиной. Естественно предположить,
что если к z(t) добавить разность z0(t)—ф(у°, 0), то получится
формула z(t, р) = z(0+z0(r)—ф (р°, 0)+е3(£, р), где е3(4, р)=*0
на [0, Т]. Убедимся, что это действительно так. Величина е3(£, р) =
— z(t, р)—z (0—z0(t)+ф(г/°, 0). Разобьем отрезок [0, 71] па два
участка [0, #0(р)] и [/0(р), Т], где t0 (р) = тор — величина, введен-
ная при доказательстве теоремы 7.4, т0 достаточно велико и фикси-
ровано при р -* 0. На [0, to (р) ] представим е3 в виде
Вз(«, р)= [z(f, р)- Zo(t)J - [z(0- <р(У°, 0)].
Здесь |z(f, р)—z0(t)I < е/2 при р -*• 0 (это то же самое, что
(7.30)), а
If (0 - ф(/,0) I = lz (0 - z(0) I < е/2,
так как Zo (р) —0 при р -*• 0. Следовательно, на [0, /0(р)] имеем
1е3| <е равномерно относительно t при р 0. На [t0(p), Г] пред-
ставим е3 в виде
8з(0 р)= [z(t, ц)-2(0]-[го(т)-ф(у0, 0)].
Здесь |г(/, р) —f(0 I < е/2 (см. замечание 1 к теореме 7.4 о рав-
номерности предельного перехода (7.25) на |0(ц), 71]). И точно
так же Iz0(t)—ф(р0, 0) I < е/2, поскольку это то же неравенство,
по для частного случая (7.23), т. е. и на f/o(p), 71] имеем |е3| <е
равномерно относительно t при р0. Таким образом, е3(/, р)=>0
при р 0 па [0, 7'].
Заметим, что разность z0 (т) — ф (р°, 0) осуществляет поправку
на «потерю» начального условия z(0, p)=z°, которому не может
удовлетворить z(t), Выражение f (0+zo(-0—ф(у°, 0) уже будет
удовлетворять начальному условию при t = 0.
Ниже (теорема 7.5) будет доказано, что e3(i, р)=О(р),
е3(/, р)=0(р). Более того, при достаточной гладкости правых ча-
стей (7.14) можно построить асимптотическое представление для
решения задачи (7.14), (7.15) с остаточным членом О(р’,+1), но,
в отличие от регулярного случая (см. теорему 7.1), это представле-
ние будет, помимо степенных по р (или регулярных) членов, со-
держать некоторые функции (так называемые пограничные члены),
зависящие от р не степенным образом; пограничные члены имеют
заметную величину в окрестности t = 0, а далее с ростом t быстро
убывают. Введенная выше разность z0(t)—ф(г/°, 0) представляет
собой пограничный член в асимптотической формуле с остаточным
членом О(р).
После этих предварительных замечаний перейдем непосредствен-
но к описанию общего алгоритма построения асимптотики решения
сингулярно возмущенной задачи (7.14), (7.15).
Представим z и у в виде суммы двух формальных рядов (здесь
и в дальнейшем под х будем понимать z и у в совокупности,
(7.37)
192 АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ [ГЛ. 7
т. е. если выписывается некоторое соотношение для х, то это зна-
чит, что имеют место два в точности таких же соотношения
для z и у) .
x = x(t, р,)+Пя(т, ц), (7.34)
где
x(t, р) = x0(t)+ px1(f)+ (7.35)
— так называемый регулярный ряд (ср. (7.6)), т. е. ряд по степе-
ням ц с коэффициентами, зависящими от t, а
Пх(х, ц)= Пол:(т) + рП1а:(т)+ ... (7.36)
— так называемый пограничный ряд, представляющий собой также
ряд по степеням ц, но с коэффициентами, зависящими от х. Члены
этого ряда называются пограничными членами.
Подставим (7.34) в (7.14), умножив для симметрии второе урав-
нение на р:
+ +Ш,у +Пу, 0,;
Ult tL b
н J + ^nJ/ = +nz,y+ Пу,/).
Введем величины F и П7\ полагая
F — F(z(t, р), y(t, j*), t),
HF = F(z(t|t, ц) + Пг(т, ц), y(xp, ц) + Пг/(т, ц), xp)—
-Г(з(хр, p), у(хщц), xp)
(аналогичные величины J и П/ введем для /). Тогда (7.37) запи-
шется в виде
+1Пг = ? + ПЛ +.4П^ = Н(7 + П/). (7.38)
Разложим теперь F и Ш7 формально по степеням р (коэффици-
енты этих разложений будут зависеть от t и х соответственно):
F = Fo + pFt + ..., nF = n0F + цП1/? + ..., после чего в (7.38) при-
равняем коэффициенты при одинаковых степенях р, причем отдель-
но зависящие от t и отдельно зависящие от х:
= ^=7/6 (7.39)
^nfez=nftF, ^nfty=nft_J. (7.40)
U v CL v
Тем самым мы получили уравнения для определения членов разло-
жений (7.35) и (7.36).
Выпишем эти уравнения более детально для к = 0. Имеем
О = Ро F уп, t\ = / (10, у9, t). (7.41)
СИНГУЛЯРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
193
Эта система совпадает, как и следовало ожидать, с вырожденной
системой (7.16). Имеем также (учитывая первое из уравнений
(7.41))
£ IIoz = n0F F ( z0 (0) + Пог, уо(О) + Поу, 0) - F (70 (0), уи (0), 0) =
Р (\ (0) + Пог, у0 (0) + Поу, 0), ± Поу = 0. (7.42)
Начиная с к = 1, уравнения (7.39) и (7.40) будут линейными
относительно zh, ук и llftz, IV. Обратим внимание на то, что систе-
ма (7.39) не содержит производной от zA, а только производную
от ук, а система (7.40) имеет ту особенность, что второе уравнение
в ней отделяется, так как его правая часть содержит члены только
предыдущих номеров.
Для того чтобы из полученных уравнений (7.39), (7.40) опреде-
лить члены разложений (7.35), (7.36), нужно задать начальные
условия. Для этого подставим (7.34) в (7.15):
х0 (0) + рх, (0) + ... + Пох (0) + рП1х (0) + ... = х° (7.43)
и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях р в обеих
частях этих равенств. Приравнивание коэффициентов при нулевой
степени р дает
Zo(O)+noz(O)=z’, у0(0)+Поу(О)= у’. (7.44)
Рассмотрим второе из этих равенств. Без каких-либо дополни-
тельных соображений из него нельзя определить у0(0) и Поу (0).
Однако на пограничные члены, которые призваны играть роль по-
правок в окрестности t = 0, а при t > 0 стремиться к пулю вместе
с р, следует наложить дополнительное условие П,х 0 при т -*• °°.
Отсюда приходим к выводу, что Поу(О) = О, так как иначе
(см. (7.42)) Поу (т)= Поу(О) = const А 0. Л тогда из (7.44)
Уо(0)=У°- (7.45)
При этом условии решаем систему (7.41) и получаем, что z0(I),
yo(t) совпадают с решением z(t), y(t), которое уже встречалось в
теореме 7.4. Из (7.41) получим z0(0) = <р(у (0), 0) =ц>(у°, 0),
а тогда первое из равенств (7.44) дает начальное условие для Пог.
Итак, начальные условия для системы (7.42) имеют впд
Поу (0) = 0, II oz (0) = z° - Zo (0) = z° - ф (у0, 0). (7.46)
Поэтому Поу(т) = О, а Пог(т) является решением следующей на-
чальной задачи:
1 Пог = F (ф (г/°, 0) + noz, у0, 0),
П0г(О)=2°-ф(у°, 0).
194
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ
[ГЛ. 7
Сравнивая задачу (7.47) с задачей (7.28), нетрудно установить,
что Пог = з0(т)—ср(у0, 0)-. Об этой разности уже шла речь выше
перед началом описания общего алгоритма. Полученное выше нера-
венство (7.29) означает, что Поз(т)->- 0 при т -* <».
Итак, нулевые члены разложений (7.35), (7.36) полностью
определены.
Приравнивая в (7.43) коэффициенты при первой степени ц, бу-
дем иметь
71(0)+П1г(0) = 0, у,(0)+П,у(0)=0. (7.48)
Кроме того, нужно воспользоваться условием П^ 0 при т
Из второго уравнения (7.40) (при к = 1) имеем
X
П1У (т) = Пту (0) + J n0/ds,
О
откуда в силу условия на П^ при т следует
ОО
П1У (0) = - J Щ/ds. (7.49)
0 > 1
Сходимость появившегося здесь интеграла будет доказана ниже
(см. (7.54)) и вообще всё выкладки ведутся пока формально. С уче-
том (7.49) для П1У получим
ОО
Пху (Т) = - f n0/(fe. (7.50)
т
Из второго равенства (7.48) теперь следует
ОО
У1 (0) = J П0/ск (7.51)
О
Это и будет начальным условием для системы (7.39) при к = 1, от-
куда определятся Zi(t). После этого из второго равенства
(7.48) получим
n1z(0)=-zi(0). (7.52)
Это условие позволяет найти ntz из первого уравнения (7.40) при
к — 1, поскольку П^у уже определено.
Совершенно аналогично определяются Щу, ук, zk, Ylhz {к = 2,
3, ...) из системы (7.39), (7.40) с помощью дополнительных
условий
Пкх -* 0 при к о®,
ОО
~Ук (0) = j nftz(0) = - ZA(O). (7.53)
О
Тем самым описание построения ряда (7.34) закончено.
СИНГУЛЯРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
195
§ 2]
В теории сингулярных возмущений доказывается, что для П*ж
имеет место оценка
|П*ж1 <Ce-"tl\ k = Q, 1.................... (7.54)
где С > 0, х > 0 — некоторые постоянные. Эта оценка означает
экспоненциальное стремление Щж к нулю при т -* это же нера-
венство обеспечивает сходимость интегралов в (7.53).
Основное утверждение, относящееся к только что проведенным
построениям, заключается в том, что ряд (7.34) является асимпто-
тическим рядом для решения x(t, у.) задачи (7.14), (7.15), а имен-
но, в теории сингулярных возмущений доказывается, что разность
между x(t, ц) и n-й частичной суммой ряда (7.34) имеет порядок
О(цп+1). Таково обобщение теоремы 7.1 на сингулярно возмущен-
ную систему. Подробнее с этим можно, ознакомиться в книге *),
Приведем доказательство асимптотического представления для решения
задачи (7.14), (7.15) с остаточным членом О’(у), а именно, докажем, что
z(t, у.) = zo(t) -|- n0(z)+ n0(z) + <7(р), y(t, у) = y0(t) + С7(р.). Доказательство
представления с остаточным членом (7(p.n+1) сложнее лишь в чисто техниче-
ском отношении.
Дадим формулировку соответствующей теоремы.
Теорема 7,5. Пусть выполнены условия:
1°. F(z, у, ’t) и f(z, у, t) непрерывны по совокупности аргументов в неко-
торой области Н.
2°. На сегменте [О, Т] определено решение j?o(O, ^o(i) задачи (7.41), (7.45),
и это решение принадлежит Н.
3°. Fz(zo(t), Va(t), t), существует, непрерывна и отрицательна при <р(уа, 0).
4°. z° принадлежит области влияния <р(у°, 0).
5°. При 0 t sg Г, |Д| < е, |6| < е (е — некоторое, может быть, доста-
точно малое, но фиксированное, не зависящее от ц число) функции
F(z0-f-nz + A, уо + б, t), /(zo + noz-|-А, уо + 6, t) некрерывны вместе с произ-.
водными до второго порядка включительно по К и f>.
Тогда на 0 t Т справедливы равномерные относительно t оценки
z(t, ц) — z0(«) — noz(«/p) =<7(р), (7.55)
y(t, р.) -Го(О =67(И). у (7.56)
Доказательство теоремы основано на нескольких леммах.
Лемма 7.1. Имеет место неравенство
|П02| < Се-^1», (7.57)
где С > 0, к > 0— некоторые постоянные.
Доказательство. Мы уже видели виде, что П02 -> 0 при т оо. Сей-
час требуется лишь уточнить характер этого стремления к нулю. Обратим
внимание на то, что (7.57) — это (7.54) при х = z, к = 0. Из (7.47) имеем (на-
помним, что <р(у°, 0) = zo(O), у° = уо(О))
й Пе’ = (I (°) + <4^0 (0), 0) Пй2,
*) Васильева А. В., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения
решений сингулярно возмущенных уравнений.— М.: Наука, 1973.
196
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ
[ГЛ. 7
откуда
т
5г2(го(0)+еПог.У(|(0),о)Л
IIoz = [z° — <р (у0, 0)] е°
Выберем То так, чтобы noz для т т0 было достаточно малым, и фиксируем
ато То. Поз должно быть малым настолько, чтобы как следствие 3° было вы-
полнено неравенство Fx(zo(O) + 0Пог, уо(0), 0) <’—х < 0. Имеем тогда
то }
J Fzdt J Fzdt
I noz ] = | z° — <р (у0, 0) I е° ет° <
I F2dx
< I Z° — ф (у0, 0) I е° е~'л(т~хо) < с~™
то
J dx
так как | z° — <р (у®, 0) | е° еХТ® < С.
Подставим в (7.14), (7.15) вместо точного решения главные члены асимп-
тотики, т. е. выражения z0 + IIoz, у0. Подстановка дает
+ ЯП»2 = (0 + П«2’ (0’ 0 “ Л1’
(7.58)
^-0 = /p0« + no2-^oW-J)-/?2’
где —Ri, —R2 — соответствующие невязки.
Лемма 7.2. Справедливы оценки
Ri{t, ц) = <7(ц), R2(t, ц) = ^(е-'/е).
Доказательство. Оценка для R2 получается сразу из леммы 7.1, так
как если учесть (7.41), то R2 = /Z(zo + 6Поз, у», t)Iloz.
Чтобы получить оценку для Ri, достаточно убедиться, что Rid) =
=k(zo+ Пв2, у0, t) ^-^П0з = О (ц). Используя (7.47), представим R?i<i> в виде
*1(1) = F По (‘) + По2- W^)~F По (0) + noz, ~у0 (0), 0) =
1
= Ф (Пог, t) — Ф (По2, 0) = t J Ф( (Пог, 6г) dQ.
о
Но
<МПог> 6г) =
= Fz (\ (et) + по2> ~У0 (0г)- е0 X (0i) + FV (•) ^0 (0t> + Ft (•) =
= Fzz (4 W + 01ПО2’ \ (0<)’ 0O X <0« Пог-
Здесь учтено, что F(zo, уо, 0 =0, и; следовательно, Fz ( zQ, у0, t) z'-|-
4 + = ОтС1°Да
1л1(1)|<ч^1ЬИ1пвг1<^“к1/и<^>
§ 2]
СИНГУЛЯРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
197
так как sup (2е_‘1,/ц) = це_,/х. Здесь постоянная Се-!/х вновь обозначена че-
*
рез С. Условимся в дальнейшем все не зависящие от р постоянные обозначать
одной и той же буквой С, за исключением отдельных случаев, как это уже
делалось в § 2 гл. 5.
Доказательство теоремы 7.5. Положим А «= z — Го — Пог, б = у — ус-
Вычитая (7.58) из (7.14), получим
1‘ = F (7о + По2 + А' \ + S’ О - F (7о Пвг’ ^о> 0 + Rv
(7.59)
§ = / (^0 Н- Пог + A, + б, i) - /(70 -г Пог, у0, t) +
Очевидно
А (0, ц)=0, 6(0, р)=0. (7.60)
Систему уравнений (7.59) можно переписать в виде
^5Г = йпА + аТ2*5 + Л1* 5F = Й2ТА + “аз6 + Л2’ (7-61>
где
1
(А, 6, t, р) = + Пог + ОД, 70 + «,,«) <Ю,
О
1
а12 (А, б, I, р) - JX (% + П о2, -у0 + 05, t) <70,
О
^21 п аза имеют аналогичную структуру. Равенство правых частей (7.59) п (7.6!)
легко проверить непосредственно, если заметить, что под интегралом в выра-
1 dF *— —
жепии для аи .стоит величина д-jg- ( 2о+Поз-|-0Д, Уо + 5,1) и применить
аналогичные'соображения к остальным коэффициентам «<*.
".Из первого уравнения (7.61) выразим А через б (будем в дальнейшем
употреблять обозначение А(2), 6(2), опуская зависимость от р):
t
t W“iidt
Pg *
A («) = J -------(aJ26 (?) + <£• (7.62)
О
Подставим результат во второе уравнение: t — |andt ' t nJ <25 fe * dt -°226 + ff21J Ц (ai26' 0 Отсюда получим t t c J*’22'" c -h2<!t ?e 6 (f) — 1 e* j e= I - 0 0 0 ;E) + rj <1? -ь л2. rJX* _ ц («12б (9) + R j drj.
198
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ
[ГЛ. 7
Меняя порядок интегрирования во втором слагаемом, приведем это уравнение
к следующему виду:
t
6 (t) = [ Jif (t, Л- p) 6 (n) di] 4- /?,
О
где X(t, Т], к) = ai2q(t, П. И),
q («, Т], р) = j а21е« ----------d?,
Я
t
t .f°22dJ t
Л = J e6 T?2dg + J /?19di).
0 0
(7.63)
(7.64)
(7.65)
Следует заметить, что в уравнении (7.63) величины 34f(t, т). р) на самом де-
ле зависит от Д и б, поскольку ац зависят от Д и 6, но входящие в ац вели-
чины Д и б мы рассматриваем как известные функции t.
Оценим теперь величины q и Я, пользуясь уже доказанным в начале дан-
ного пункта равномерным стремлением к нулю Д и б. Сначала оценим q. В си-
лу равномерного стремления Д и 6 к нулю при р -> О получим оц = F(z0 + Пог,
у0, t) + Т(^ р)» гДе 7(^ Р) =*-0 при р->0. Пользуясь теперь соображениями,
аналогичными применявшимся при оценке По? в доказательстве леммы 7.1, не-
трудно получить
£
-fand‘
п)
(7.66)
Действительно, согласно 3° имеем Fz(z0(«), уо(О. 0 < 0- Поэтому, как и в дока-
зательстве леммы 7.1, в силу малости Пои при t Тор, где То достаточно ве-
лико, а р->0, и равномерной малости 7 (i, р) при р?->-0, имеем ап < — Х| < 0.
Дальнейшее является повторением рассуждений леммы 7.1.
Итак, имеет место (7.66). Далее, очевидно, первый экспоненциальный сом-
ножитель в выражении, стоящем под знаком интеграла в q, ограничен по мо-
дулю не зависящей от р константой С, и поэтому
С . f и '
I g I < Се-------<Ц<С.
J Р
п
Оценим теперь Я. В силу леммы 7.2 имеем
(7.67)
t t
I R | < J Ce-^dl + f Cp dr] < Cp, (7.68)
0 0
другими словами, R
Обратимся теперь к уравнению (7.63). Пользуясь оценками (7.67) и (7.68),
получим неравенство
t
| б I < С J I б | dq + Ср. ' (7.69)
О
g 2]
СИНГУЛЯРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
199
t
Введем и = | б | dq. Тогда Г^ = ]б|, и (7.69) дает
О
Idu I
я|<С|«1 + О*. (7.70)
Пользуясь леммой 2.1 о дифференциальных неравенствах, получим отсюда
|u| <p(eci —1) sJp,(eCT —1) <Сц. (7.71)
Следовательно, в силу (7.70) < Ср, т. е.
[б| < Ср.
(7.72)
Пользуясь теперь (7.62), оценкой (7.72), тем что |Я1| < Ср, и оценкой (7.66),
получим
I -------Cpd^<Cp.
J Iх
о
(7.73)
Оценки (7.72) и (7.73) и составляют утверждение теоремы 7.5, которая, таким
образом, доказана.
3. Построение асимптотики фундаментальной системы решений
для линейного уравнения второго порядка с малым параметром при
старшей производной. В ряде задач теории колебаний, квантовой
механики и др. встречается сингулярно возмущенное уравнение вида
Цгу" +<22Wz/ = 0, (7.74)
не удовлетворяющее требованиям предыдущего пункта. К типу
(7.74) принадлежит, в частности, уравнение движения маятника
(7.11) при отсутствии трения, т. е. в случае а =,0. Чтобы уравне-
ние (7.11) свелось к системе типа (7.14), для которой выполнено ус-
ловие устойчивости (7.18), лежащее в основе всей теории п. 1,'
нужно, чтобы а было отличным от нуля. Если же а = 0, то теория
п. 1 неприменима. Как известно, в этом случае решение уравнения
(7.11) носит колебательный характер (вследствие малости ц ко-
лебания будут иметь очень большую частоту), т. е. явление качест-
венно отличается от. рассмотренного в п. 1.
Пользуясь линейностью уравнения (7.74), мы не будем связы-
вать построение асимптотики с заданием дополнительных условий,
как это было сделано в предыдущем пункте, где рассматривалась
начальная задача, а поставим целью построить асимптотику фунда-
ментальной системы решений, что даст возможность получать
асимптотику решений, определяемых самыми разнообразными до-
полнительными условиями.
Будем предполагать, что Q(x) 0 на сегменте а х Ъ и явля-
ется трижды непрерывно дифференцируемой функцией (для опре-
деленности будем считать Q{x)>Q). /
200
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ
(ГЛ. 7
Перейдем в уравнении (7.74) к новой неизвестной функции и,
положив
у — uvt тцр v = ехр
(7.75)
Заметим, что и в случае Q = const переходит в
ехрГ-^- Q (х — а)1 и
выражение у — ии, где и = const, является просто точным решением.
Произведя в (7.74) указанную замену, получим уравнение
ри" + 2iu'Q'+ iuQ' =• 0, которое запишем в виде системы
pz' = —2izQ — iuQ', и' — z.
(7.76)
Положив здесь формально р = 0, получим 2zQ = —uQ’, и' = z,
откуда
, 1 <?'
u -~2QU'
Возьмем частное решение этого уравнения, имеющее вид
и (ж) = -Л=. (7.77)
Оказывается, если u(t) подставить в (7.75) вместо и, то полу-
чится приближенное (в асимптотическом смысле) представление
для некоторого решения уравнения (7.74), которое назовем уДх).
Обозначим через 1/г(х) ’ решение, комплексно сопряженное
уДх): у2 = У1.
Теорема 7.6. Пусть функция Q(x} >0 и -трижды непрерывно
дифференцируема на [а, 6]. Тогда на [а, &] существует фундамен-
тальная система решений уравнения (7.74) вида
• я
а
(7.78)
Уз = + 62 (z’ ехр ~
. LV<2(.r) J I
я
причем et(x, р) = (7(р), е2(х,.р) = (7(р)._ _
Доказательство. Положим и — и = б, z — z = Д, где и оп-
ределено формулой (7.77), a z = и'. Для Д и б получим систему
рД' = —2i@A — iQ'd — pz', б' = Д (7.79)
и определим эти функции начальными условиями
б (а) = 0, Д(а)=0 (7.80)
(тем самым мы фактически задаем начальные условия для и и z).
§ 2]
СИНГУЛЯРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
201
Разобьем доказательство на два этапа.
1) Докажем сначала, что
б = О'(р), А = 0>(р). (7.81)
(7.81) означает, что существуют решение системы (7.76), имею-
щее вид и = й + С?(ц), z = z + О (ц), и, следовательно, решение г/(
уравнения (7.74), представимое первой формулой (7.78). Что каса-
*
ется второго решения р2, то, так как у2 = уг,представление для уг
отдельного доказательства пе требует. При этом ег(х, р) = gj (х, р).
Для доказательства (7.81) перейдем от (7.79), (7.80) к эквива-
лентной системе интегральных уравнений
® —fodje
“х drt
I И (7.82)
б(Ж) = Ja^x
а
откуда перейдем к уравнению, содержащему только А (я) ,
X
х — —' J Qdx
— J z' (т)е М х dx = (1) + (2). (7.83)
Интегрируя по частям второе слагаемое этого выражения,
получим
Преобразуем теперь (1) таким же интегрированием по частям:
202 АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ - [ГЛ. 7
Таким образом, уравнение (7.83) принимает вид
X Т X
А (х) = j 0 (х, т, р) dx J A (£) dt, + J у (х, х, р) А (т) dx + a (х, р) р,.
а а а
при этом |а(ж, р)1 < а, |0(х, т, р) I < 0, 1у(ж, т, р) I < у, где а, 0,
у — некоторые, не зависящие от р постоянные. Меняя в первом
слагаемом порядок интегрирования, получим
XX X
J A (g) J 0 (х, х, р) dx = J 0 (х, I, р) A (g) tflj,
' а I а
где 0(х, р)<б, б — не зависящая от р постоянная. Тем самым
уравнение (7.83) преобразуется к окончательному виду
X
А (х) = J К(х, х, р) А (т) dx + а (х, р) р, (7.84)
а
где К(х, т, р)= 0(^, т, р)+ i(x, т, р),и, следовательно, (х, т, р) I <
(постоянная К не зависит от р).
Перейдем от уравнения (7.84) к неравенству
| А (х) | < J К | А (т) | dx 4- ар. (7.85)
а
я
Введем новую функцию w (х) = J | А (т) | dx (аналогичные постро-
о
ения были проделаны при доказательстве теоремы 7.5). Тогда
= I Д I, | ^ | = IА |, и из (7.85) следует
|g|<^|w| + ap.
Пользуясь леммой 2.1 о дифференциальных неравенствах, получим
отсюда
। w । < - о < (Л(ь-и)-1) < ср.
К- к
/
Следовательно, [А (х) | = | <KCii + ap< Ср, что и требу-
ется. Аналогичная оценка для б (ж) получается из второго уравне-
ния (7.82). Таким образом, оценки (7.81) доказаны.
2) Убедимся теперь, что решения г/i и у2 = pi линейно незави-
симы, доказав, что определитель Вронского О (у,, у2) отличен от
в 2]
СИНГУЛЯРНЫЙ возмущения
203
нуля. Имеем
D (У1, у2) =
и* а*
и* V*' 4~ z*a*
В (У1, У 2) = vv*
Учитывая, что v' = — Qv, пдлучим далее
Н
и. и*
-u*^Q + * “
и + (7(ц) — u* + O’(p.)l= + <7(р)] =
= -2-^[u« + C7(h)L
откуда уже ясно, что эта величина отлична от нуля.
Таким образом, уь л у2=- уг действительно образуют фундамен-
тальную систему решений, и теорема 7.6 доказана.
Замечания. 1. Можно доказать, что аналогичный результат
имеет место и для уравнения"у.2у" — Q2(.x)y = 0, с той разницей,
что в (7.78) следует i 'заменить единицей.
2. Полученные асимптотические формулы (7.78) теряют смысл, если на
[«, Ь] имеются точки, где Q (х) обращаются в нуль. Такие точки называются
точками поворота. Термин происходит из квантовой механики, где некоторые
задачи для уравнения Шредингера в одномерном случае, приводятся к уравне-
нию типа (7.74). При наличии точек поворота асимптотика строится более
сложным образом и соответствующая теорий выходит за рамки настоящего
учебника. Метод построения асимптотики решений уравнений типа (7.74) в
физике часто называется ВБК-методом по имени ученых — физиков Венцеля,
Бриллюэна и Крамерса, разработавших соответствующий алгоритм.
3. Метод нами продемонстрирован на примере (7.74). Следует, однако, заме-
тить, что этот метод распространяется на сингулярно возмущенные систему
более общего вида*).
4. Метод усреднения. Рассмотрим уравнение
d£-pY(y,t)t у(О,р) = у°. (7.86)
Из предыдущего известно, что при условии достаточной гладкости
правой части (7.86) на некотором сегменте [0, Г] решение задачи
(7.86) представимо асимптотически многочленом по степеням ц
(теорема 7.2). Однако при решении ряда вопросов математической
*) См., например, С. А. Ломов «Введение в общую теорию сингулярных
возмущений» (М.: Наука, 1981), где приведен подробный анализ основных идей
метода, его дальнейшее развитие и связь с вопросом так называемой регуляри-
зации сингулярно возмущенных задач.
2С4
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ [ГЛ. 7
физики приходится исследовать решение на произвольно большом
промежутке изменения t, например, для t ~ 1/р.. В этом случае
описанные в § 1 методы неприменимы.
Этот случай естественно отнести к классу нерегулярно возму-
щенных. Обратим внимание па то, что замена переменных £ = 7р.
приводит к конечному промежутку изменения £, но уравнение при-
нимает вид
f = У(у,»
В этой форме нерегулярность возмущения становится особенно хо-
рошо заметной.
В настоящем пункте мы опишем асимптотический метод для
нерегулярно возмущенных систем,— так называемый метод усред-
нения, основы которого заложены Н. М. Крыловым и Н. Н. Бого-
любовым*). Этот метод, как будет видно ниже, особенно удобен
для описания нелинейных колебательных процессов.
Сформулируем правило построения асимптотики, которое дает
метод усреднения. Введем функции
т
У(п)= lim 1 fy(n, Z) Л,: (7.87)
Т-»ОО 1 О
О
являющиеся средними значениями правой части по явно входяще-
му переменному t. Переменное т) при этой операции считается фик-
сированным.
Замечание. В случае ограниченных периодических по t
функций (с периодом 2л для определенности)
У(п) = J y(n,7) dt.
о
Действительно, Т = 2/сл + т (О т 2л) и
- Т 2Лл+т
,Ит Г f Y (п, t) dt = lim--------- 1 - - f У (7], t) dt =
л—"too л J СО OJ I J » __i
0 + °
2hlt 2Л
' j y(n,i) dt.
о 0
*) Крылов II. M., Боголюбов H. H. Введение в нелинейную меха-
нику.— Киев: Изд-во АН УССР, 1937.
§ 2]
СИНГУЛЯРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
205
Предположим, что кроме предельных соотношений (7.87) спра-
ведливы также соотношения
(7'88>
о
dY
т. е. среднее значение производной равно производной от
среднего значения У.
Поставим в соответствие уравнению (7.86) следующее, так на-
зываемое усредненное уравнение, которое в принципе проще (7.86):
7Г = НУ(т]), n(O) = J/°. (7.89)
Справедлива следующая
Теорема 7.7. Пусть
1°. В некоторой области lyl С Ъ, 0 < t < «> функция Y(у, t) не-
прерывна и равномерно ограничена вместе с производной первого
порядка по у.
2°. При 1у| 6 существует среднее значение (7.87), а также
справедливо (7.88), причем предельный переход в (7.87) и (7.88)
имеет место равномерно относительно г] е [—Ь, Ь].
3°. Решения у и т] задач (7.86) и (7.89) существуют, и принад-
лежат (—Ь, Ь) при 0 < t < Z7p, где L—не зависящая от р, посто-
янная.
Тогда равномерно относительно t е [0, L/p] имеет место пре-
дельный переход
lim (у—1]) = 0. (7.90)
|Л-»О
Доказательство. Рассмотрим величину
t
u(n,O = f [У(ц, t) - Y (tj)1 dt,
О
а также ее производную по ц
t _
ди f Г dY . . dY 1 ,
<7T J L<7n “ dn Jdt*
о
(7.91)
(7.92)
и докажем, что в области |г]1 Ъ, 0 =5 t «С L/у. справедливы соот-
ношения
ци = е (р), ц — = е (р). (7.93)
Здесь и в дальнейшем условимся через 8 (р) обозначать любую ве-
личину, бесконечно малую вместе с р равномерно относительно тех
других переменных, например ц и t, от которых эта величина зави-
206 АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ПО МАЛОМУ. ПАРАМЕТРУ [ГЛ. 7
сит. Иными словами, (7.93) означает равномерное относительно
• ди
р и t стремление ри и р к нулю.
Докажем первое из соотношений (7.93). Второе доказывается
аналогично. Имеем
t
ци (pt t) = pt • у J [У (р, i) — У (p)J dt = ptE (р,: t).
О
Пусть 0 t 1/Гр. Тогда pt^Vp, У(р, t) равномерно ограничено
относительно р s [— Ь, 8] в силу равномерности предельного пере-
хода (7.87), т. е. ра(р, i)=<9’(l'p). Если же 1/Vp «5 t L/р, то
pt < L, а в силу (7.87) для любого 6>0 существует р»(б) такое,
что при р<р0(б) выполнено W (р, t) I < 6/Z5, т. е. |ри| <8 для
всех I р I Ь. Поэтому pu(p, i)=e(p) для 0 t L/р, что и тре-
бовалось.
Введем теперь в рассмотрение функцию
У(*, Р) = Р(0 + Ни(п(О\ t). (7.94)
Эта функция удовлетворяет уравнению
у' = рУ(у, t)+'R, у(0, р)= у’,
где В = (р + рн)' — рУ (р + р«, t) = рУ (р) + Р ^7 — Р^ (р + P^, t).
Учитывая, что ~ рУ (р) + что = У (р, t) —У (р) и что
dY
У (р + put t) = У (р, t) + (р*, t) ри, получим
й = р2У (р) — P2u J (р*, t) = рс (р) = о (р).
Нетрудно убедиться, что Д = у — у =► 0 при р 0 равномерно от-
носительно t е [0, L/р]. В самом деле,/величина Д удовлетворяет
уравнению
^=Р^(у + 0Д,ОД + 7?. (7.95)
При этом 0 0 С 1, В = о(р), Д (0, р) = 0. В силу, условия 3’ тео-
ремы |у + 0Д| < Ъ при 0 t «S L/p. Поэтому существует не завися-
щая от р постоянная N такая, что ||—G + 9Д^ t) <Л\ и из (7.95)
1^7 I
получим
С ®+eA,t)rf(
Je* R<%
о
. L /vb
< о (р) - е f
Г
S 2)
СИНГУЛЯРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ
207
откуда и следует равномерное относительно t е [0, L/y.] стремление
А к нулю при у, -* 0.
Пользуясь этим результатом, соотношением (7.94) и оценкой
(7.93), получим (7.90), й теорема 7.7 тем самым доказана.
Замечания. 1. Утверждение теоремы 7.7. остается справед-
ливым для случая, когда в (7.86) величина у является вектор-
функцией. В условиях теоремы вместо — естественным образом
появятся производные В доказательстве встретятся небольшие
технические осложнения при оценке А, которые можно преодолеть,
пользуясь соображениями § 4 гл. 2.
2. Теорема 7.7 была сформулирована и доказана при упрощаю-
щем предположении, что не только решение т) (/, у.) более простой,
чем исходная, усредненной системы лежит в (—Ь, Ь), нои решение
y(t, р) исходной системы также лежит в (—Ь, Ь). От этого послед-
него требования можно избавиться, наложив дополнительное тре-
бование на т] (t, у): т] е [—Ъ +6, b — б] при 0 t «5 L/y. Отсюда не-
равенство \y(t, р) I < Ь можно получить как следствие. В самом
деле, пусть при некотором Т А/у имеем \у(Т, р) I = Ъ, т. е. интег-
ральная кривая выходит .на границу области. Возьмем Т* < Т, до-
статочно близкое к Т, чтобы у(Т*, р) отличалось от у(Т, р) не бо-
лее чем на 6/4. Поскольку \y(t, р)|<6 при 0 t =5 Т*, то при
0 =£ t < Т* справедлива теорема 7.7 и при достаточно малых р
^(Т*, р) отличается от у(Т*, р) не более чем на 6/4. А тогда
т) (Т*, р) отличается от у(Т, р), равного b или —Ъ, не более чем на
6/2, что противоречит тому, что
Я е [— Ъ + 6, Ъ — 6].
Противоречие приводит к выводу, что ]y(t, р)1 <Ъ для 0 t «S L/p,
а тогда, как было доказано, (7.90) справедливо на всем [0, L/р].
Можно было бы не предполагать также и существования реше-
ния y(t, р), а доказать его существование в окрестности т)(£), по-
добно тому, как это было сделано, например, в теореме 7.2.
3. Мы привели здесь простейшую теорему метода усреднения.
Существует обширная литература, посвященная методу усреднения,
в которой приводятся доказательства различных более тонких и
сложных теорем и строятся приближения, дающие любую асимпто-
тическую точность *).
*) Подробнее с этим кругом вопросов можно ознакомиться, например, по
книгам:
Боголюбов Н. Н., Митропольский Ю. А. Асимптотические ме-
тоды нелинейных колебаний.— М.: Наука, 1974.
Митропольский Ю. А. Метод усреднения в нелинейной механике.—
Киев: Наукова думка, 1971.
Волосов В. М., Моргунов Б. И. Метод осреднения в теории нели-
нейных колебательных систем.— М.: Изд-во МГУ, 1971.
208
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ
(ГЛ. 7
Пример 7.2. Рассмотрим уравнение ван дер Поля
х" — u(l — x2)i' + x = 0, (7.96)
описывающее ламповый генератор на триоде с колебательным контуром в
анодной цепи*). Перепишем (7.96) в виде системы
х' = и, и" = р (1 — хг) и — х
и зададим начальные условия х (0, р.) = т°, и (0, ц) = 0.
Введем новые переменные iji и у?, положив
х )= yt cos (t + !/г), и = —J/i sin (t -f- у2).
В переменных уь у2 получим систему
!Л У.
— у cos 2 (t + Уа) + -g- cos 4 (t + У2)
1 / ;/l
~2 l1_”2 j sin2(« + y2)--8-sin4(« + y2)
при условиях у 1(0, ц) — ха, у2(0, ц) =0, являющуюся системой типа (7.86).
Усредненная система (7.89) имеет вид
= il T ( 1 — т1а = °; П1(0) = г . . п2(°)=0-
Отсюда ц2(0 ^0. Уравнение для щ отделяется. Если построить плоскость f,
»]i, то, как на рис. 20 (данный случай отличается только масштабом по оси t),
нетрудно проследить, что если х° > 0, то существует решение Ц|(«), прибли-
жающееся при t -> оо к = —2. Эти решения можно записать в виде квад-
ратур. Приближенное решение уравнения (7.96), получающееся по методу
усреднения, имеет, таким образом, вид
х — hi(‘. И) + б(р)] cos (t + е(р)). . (7.97)
Уравнение для тц имеет два стационарных решения гр = ±2. Им отвечают
решения уравнения (7.96) вида х = [±2 + е(ц)] cos (t + е(ц)).
Заметим, что разложением по параметру ц в степенной ряд (7.6) представ-
ление (7.97) не получится.
*) См., например, кпигу Е. Ф. М и щ е п к о и it. X. Розова «Дифферен-
циальные уравнения с малым параметром и релаксационные, колебания» (М.:
Паука, 1975). В книге дается вывод уравнения ван дер Поля. Что касается
асимптотики, то авторы интересуются случаем, когда ц не мало, а, напротив, ве-
лико. Поделив па этот большой параметр, получим уравнение, в котором ма-
лый множитель стоит при х". Такое уравнение тоже принадлежит к тину
сингулярно возмущенных, по описывает колебания, не близкие к гармониче-
ский, как в случае (7.96), а колебания иного типа — так называемые релак-
сационные колебания. Монография Е. Ф. Мищенко и Н. X. Розова посвящена
асимптотической теории релаксационных колебаний для систем общего вида,
развитой Л. С. Понтрягиным и авторами монографии.
ГЛABA 8
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ПЕРВОГО ПОРЯДКА
Уравнения в частных производных первого порядка традиционно
рассматриваются в курсе обыкновенных дифференциальных уравне-
ний по той причине, что построение их общего решения может быть
проведено методами, развитыми в теории обыкновенных дифферен-
циальных уравнений.
Дифференциальное уравнение в частных производных первого
порядка имеет вид
и, О, (8.1)
( 11 ’ ’ ’ ’ дхп) 1 ' '
где F — некоторая заданная функция своих аргументов, а неизвест-
ной функцией является и, зависящая от аргументов xlt ..., хп.
Мы остановимся па двух частных случаях (8.1), Это так назы-
ваемое линейное уравнение
п
2м*х, -0 (8.2)
1=1 *
и квазилинейное уравнение
п
2 «> (*1. • • . и)~ = a (xlt ..., Хп, и), (8.3)
{=1' ‘
где а„ а — заданные функции своих аргументов.
§ 1. Линейное уравнение
Обратимся к изучению уравнения (8.2):
Я1 (^1, + ... + ап (^1, .... = о. (8.4)
Пусть xt, ..., хп изменяются в некоторой области G, и пусть в этой
области функции ai(xl, ..., хп) (i = 1, ..., п) обладают непрерывны-
210
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
(ГЛ. 8
ми частными производными и пе обращаются одновременно в пуль,
что можно выразить в виде условия
S ^п)=#0.
i—1
Решением уравнения (8.4) будем называть любую функцию,
обладающую частными производными по аргументам Xi, ..хп, ко-
торая обращает (8.4) в тождество. Геометрически решение можно
интерпретировать как поверхность в пространстве xt, ..., хп, и. Бу-
дем называть эту поверхность интегральной поверхностью.
1. Двумерный случай. Рассмотрим сначала случай п = 2 и на нем
поясним основные идеи построения-решения *)
4(х, у)д^ + В(х, y)g = O. (8.5)
Выражение слева можно интерпретировать как скалярное произ-
ведение векторного поля {Л, В} па grad и = j, и, таким обра-
зом, (8.5) означает, что производная от и по направлению вектора
{Л, В} равна нулю. Обозначим через Г кривую па плоскости (х,у),
которая обладает тем свойством, что касательный вектор к этой кри-
вой коллинеарен {Л, В). Ее параметрическое представление (пара-
метром является t) можно получить из системы уравнений
^ = Л(ж, у), ^ = В(х, у). (8.6)
Фазовые траектории системы (8.6) на плоскости (х, у), которые
являются интегральными кривыми уравнения
dy В (х, у) ( dx А (.г, у)\
/ = или уравнения — = , (8.7)
dx А (х, у) dy В (х, у)р ' '
называются характеристиками уравнения в частных производных
(8.5). Вместо пары уравнений (8.7) часто записывается одно урав-
нение в симметричной относительно х и у форме
dx ' ау ' > /о m
А (х, у) В(х, у)'
В силу условий, наложенных на Л и В (Л2 + В2 =# 0), через каждую
точку G проходит одна и только одна характеристика (см. гл. 2, § 2,
замечание 7).
Пусть и = и(х, у) — интегральная поверхность уравнения (8.5)'.
Будем рассматривать ее над характеристикой. При этом и будет
сложной функцией t: и = u(x(t), y(t)). Нетрудно видеть, что пол-
*) Доказательство, посвященное многомерному случаю, будет содержать-
ся в и. 2.
8 1]
ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ
211
Рис. 21
ная производная от и по/в силу (8.6) совпадает елевой частью (8.5) j
du ди dx , ди du . , \ ди т, , . ди 1О
У^ + В V)<8-9>
Следовательно, в силу уравнения (8.5) = 0, над характеристи-
кой апликата и интегральной поверхности сохраняет постоянное
значение, т. е. характеристика является ли-
нией уровня интегральной поверхности. .
Рассмотрим некоторую кривую у, не сов-
падающую с характеристикой (рис, 21). Че-
рез каждую точку М(z, у) области G про-
ведем характеристику. Точка ее пересечения
с кривой у однозначно определяет эту харак-
теристику, т. е. характеристики образуют
бднолараметрическое семейство, В качестве
параметра можно взять, например, расстоя-
ние 0 по кривой у от некоторой фиксирован-
ной точки (xQ, Уо). Положение точки М па каждой характеристике
определяется параметром t. Как видно, из (8.6), t можно задать в
точностью до произвольного слагаемого, поэтому будем считать, что
точка пересечения каждой характеристики с кривой 7 соответствует
значению t = to.
Таким образом, в области G каждой точке М(х, у) можно поста-
вить в соответствие пару чисел (0, t): 0 определяет характеристику,
проходящую через М, a t — значение параметра на характеристике,
отвечающее точке М. Тем самым мы имеем взаимно однозначное со-
ответствие (х, у) (0, t) или, аналитически,
x^X(G,t), y — Y{Q,t),
0 = ©U, у), t~T(x,y). А }
В переменных (0, t) уравнение характеристики имеет вид
— 0, откуда 0 = С. Таким образом, вдоль характеристики
• Q(x, у)=С. (8.11)'
Переменные 0, t удобны в том отношении, что, перейдя к этим-пере-
менным, мы можем легко получить решение уравнения (8.5).
Обозначим
и(х, у) = и(Х(0, /), У(0, t)) =н(0, t}.
В силу (8.10) уравнение (8.5) в переменных v, 0, t имеет вид = 0
(решение сохраняет свое значение вдоль характеристики). Так как
— 0, то v является функцией только 0, т. е. v =F(0), а тем самым
н(х, у) -=F(0(x, у)), (8.12)'
где F — произвольная функция своего аргумента.
212
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
(ГЛ. В
Мы приходим, таким образом, к выводу: общее реииение уравне-
ния (8.5) имеет вид (8.12), где F—произвольная функция аргу-
мента 0(х, у), a Q(x, у) — левая часть (8.11).
С другой стороны, если нам каким-то образом удалось найти
функцию <р(х, у), обладающую тем свойством, что она тождественно
обращается в постоянную вдоль каждой интегральной кривой урав-
нения (8.8), т. е. вдоль каждой характеристики, то в переменных
(О, t) эта функция должна зависеть только от 0, но не от t, т. е.
<р(Х(0, £), У(9, /))=ф(0). Поскольку в (8.12) F — произвольная
функция, выражение для общего решения можно писать не только
в виде (8.12), но и в виде
н(я, к) у)). (8.13)
Действительно, F((p) = /’(ф(0)) = F(Q), и мы приходим опять к
(8.12).
ках у и у + Ду полный аргумент F один
сдвига есть гп.
Пример 8.1. Пусть в (8.5) коэффициенты являются постоянными: А =
«= 40, В = Во. Из (8.7) находим у = vox = const, где v0 = ВоМо. Тогда, сог-
ласно (8.13), общее решение име-
ет вид и(х, y)=F(y — vox).
Функция F(y — vox) называ-
ется бегущей волной со скоростью
i»o и профилем F(y). Легко понять
смысл этого названия, если х
интерпретировать как время, за-
менив х на t. Нарисуем профили
волны в моменты Ц и t2 (рис.22).
При vo > 0 и t2 > t| второй про-
филь сдвинут вправо как еди-
ное целое па величину Ду =
— (<2— И) го. Действительно, у 4-
+ Ду — vtAi — у — vtjti, т. е. в’точ-
и тот же, а &у)Ы — v0, т. е.
Согласно (8.12) или (8.13) общее решение уравнения в частных
производных зависит от произвольной функции, т. е. содержит еще
большую степень произвола, чем в случае обыкновенного дифферен-
циального уравнения. Рассмотрим вопрос о том, каким образом из
множества (8.12) можно выделить единственное решение.
Пусть на кривой у,, уравнение которой х = х (•>), y — y(s) и ко-
торая не совпадает с характеристикой ни на одном интервале поло-
жительной длины, задано дополнительное условие
и(х, у)|ъ = ю(х),
(8.14)
где 'co(s) —заданная функция переменной а. Это задача называется
начальной задачей, или задачей Коши для уравнения (8.5).
Так как не является характеристикой, то 0(х, у) вдоль ме-
няется: © (х, у) |V] = g = 0(z(s), z/(s)), т. е. является функцией s.
Тем самым s = Q(|), а а($) =®[Q(|)]. Значение и в точке § па
кривой есть to[Q(£)]. Если теперь через точку £ кривой h прове-
§ <1
ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ
213
сти характеристику, то ее уравнение будет иметь вид 0(х, у) =5,
а значение решения в точках этой характеристики равно
<о[Й(0(;г, у))].-А так как через каждую точку G проходит характе-
ристика, то эта формула является выражением для решения в лю-
бой точке области G:
и(х, у) = ы[й(0(х, у))].
(8.15)'
Соответствующая геометрическая картина представлена на рис. 23.
Нетрудно и непосредственно проверить, что формула (8.15) дает
нужное решение: во-первых, это
решение, так как содержится в
(8.12), а кроме того и(х, у)|Т1 =
= со[Й(|)] = ы(з), т. е. удовле-
творяется условие (8.14).
Замечания. 1. Вместо Q(x, у) во всех этих рассуждениях можно поль-
зоваться <р(ж, у) (см. (8.13)).
2. Конечно, следует иметь в виду, что для получения О(§) нужно, чтобы §
вдоль "fi зависела от s монотонно, как, например, на участке (sb s2) (рис. 24).
Тогда s = £2(£) определено однозначно.
Пример 8.2. Рассмотрим уравнение из примера 8.1 и в качестве (8.14)
возьмем условие
u(t, 0) = p(t). (8.16)
Здесь "fi есть прямая у = 0, параметром s служит t. В этом случае
<Р(t, у) = у — гоб ф(t, у)|Vi = — г0« = g, t = fi(g) = —5/f0.
(<p (Z, у) \ / у \
__ — I = ц I t — — . Таким
1 о / \ /
образом, решение является бегущей волной, профиль которой однозначно опре-
деляется заданной функцией p(t).
Пусть теперь п совпадает с какой-либо характеристикой. Здесь могут пред-
ставиться разные случаи.
а) и(х, у) |v^ = const = Тогда решение, очевидно, определяется неод-
нозначно, так как решением этой задачи будет любая функция и (ж, у) =
= /(0(ж, у)), лишь бы /(0 (х, у) | ) = и0 . Например,' можно получить
/(0 (х, y))=F(Q(x, у)) — F (0 (х, У)|Г1) + «0 (напомним, что F £0 (ж,
у) ) = const), где F — уже произвольная функция.
214
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
ДГЛ. 8
б) и (я, у) ^const. В этом случае решение вадачи ие существует, так
как всякое решение уравнения (8.5) постоянно вдоль характеристики и,
следовательно, поставленное на fi условие удовлетворено .быть не может.
2. Многомерный случай. Рассмотрим теперь общий случай (8.4)
в предположениях, сформулированных в начале § 1.
Поставим в соответствие уравнению (8.4) систему (ср. (8.6))
dx,
-jt -= CLi (xt, ..., хп), i = 1, ...,«. (8.17)
и систему для фазовых траекторий (ср. (8.8))
Интегральные кривые системы уравнений (8.18) называются харак-
теристиками уравнения в частных производных (8.4). В силу усло-
вий, наложенных на коэффициенты at, рля системы (8.18) имеет ме-
сто теорема существования и единственности, и через каждую точку
«-мерной области G проходит одна и только одна характеристика.
Теорема 8.1. Вдоль характеристики решение и(х1,...,хп) урав-
нения (8.4) сохраняет постоянное значение.
Доказательство. Действительно (ср. (8.9)),
= = = (8.19)
dt дх, dt дх, 11 ' '
t=l 1 i=l 1
т. е. и const.
Идея построения общего решения уравнения (8.4) является есте-
ственны/! обобщением того, что имело место для п = 2. Область G
покрывается характеристиками, которые образуют семейство, зави-
сящее от п — 1 параметров 6,, ..., 0п_ь Каждой точке (хи ..., х„)
области G может быть поставлена в соответствие система значений
0„ ..., 0n-i, t, при этом 0j •= 0i (xt, ..., хп), t = Т (xt, ..., хп). Зада-
ние 015 ..., 0„_, выделяет характеристику из семейства, a t — пара-
метр, определяющий точку на характеристике. Имеем u(xt,...,х„) =
= к(01, ..., 0n_j, £). В переменных 0Ь ..., 0n_t, t уравнение (8.4)
принимает вид -у = 0. Таким образом, v — F(0t, ..., 0„-i) и, следо-
вательно (ср. (8.12)),
и(х„ ..., Xn) = F(®l\xl, хп), ..., Qn-itx,, ..., хп)). (8.20)
Для обоснования формулы (8.20) нам потребуется поня-
тие первого интеграла системы уравнений (8.18). При этом будем
предполагать, что ап(х„____ хп) ¥= 0 в G. Тогда (8.18) можно запи-
сать в виде нормальной'системы
^1 = ^., i = l, ...,«-1. (8.21)
§ 1]
ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ
215
а в качестве 0„ ...» 0П_, можно взять начальные значения
ж?, ..., х9_х; тп будет играть роль t. Семейство решений системы
(8.21) имеет вид
х< = Xifzn, х?,..х^_ъ x9),. i = 1, .n — 1. (8.22)
Xi выражает закон соответствия между парой точек интегральной
кривой: начальной и текущей. Их можно 'поменять ролями, и тогда
цолучим
х$ e Xi х^, •.., Хп—Хп)^ i =: 1, •., п — 1, (8.23)
где Xt — те же самые функции, что и в (8.22), так как выражают
тот же закон соответствия.
Замечание. То, что справа- в (8.22) и в (8.23) мы имеем одни и те
же функции, удобно продемонстрировать на примере линейной системы с
независимым переменным хп и неизвестной вектор-функцией х с компо-
нентами х1( .... zn-t. Формула (8.22) имеет вид (см. (3.84))
* = w (z„) х if-1 (4) 4 s ye (xn, 4) 4.
Разрешая относительно x°, получаем (8.23), т. e. z° = IF ^z9) IF-1 (.rn) z =
— ye (z9, zn) x.
Функции Xi(xt,..., x„) (x9 в (8.23) фиксировано) можно исполь-
зовать в качестве в построении общего решения (8.20). Заметим
еще, что из взаимной обратимости формул (8.22) и (8.23) следу-
О (X,, .... Х„.)
ет, что —------------—44 =^0 в G.
и , ..., х„_1)
Определение. Первым интегралом системы (8.18) на-
зывается функция ф(хи ..., хп) , обращающаяся тождественно в по-
стоянную, когда точка хь ..., хп пробегает интегральную кривую
системы (8.18)* *).
Очевидно, функции X<(xi, ..., х„) в формулах (8.23) являются
первыми интегралами системы (8.21), так как при подстановке
(8.22) в правые части (8.23) опи обращаются тождественно в х9.
Однако первыми интегралами могут быть и другие функции и, что
особенно удобно при практическом решении, первые интегралы не-
редко могут быть получены, например, методом интегрируемых
комбинаций (для получения (8.23) надо решать начальную задачу
и это менее удобно).
Пример 8.3. —= ^2=.г1. Складывая эти уравнения, получим
dx3 21 dx3 1
d х ,
-f- ®2) = (z£ + z2). Отсюда + x2 = Се 3, и первым интегралом будет
4>i = (*i + xt> е~*3.
*) Иногда первым интегралом называют не функцию <р, а соотношение
<р = const.
216
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
(ГЛ. 8
Вычитая уравнения, получим ^(^ - х2) = - - х2), откуда найдем дру-
гой первый интеграл;
Пусть найдены п — 1 первых интегралов фДх,, ..хп) (i = 1,
..п—1) системы (8.18) и при этом ’
....w^ObG* (8-2j)
т. е. интегралы фь ..<р^-± независимы *) ((8.23) представляет со-
бой пример системы п — 1 независимых первых интегралов).
Теорема 8.2.Всякое решение ф(Х1, ..хп) уравнения (8.4) .явля-
ется первым интегралом системы (8.18), и, обратно, всякий первый
интеграл ф (xt, ,.хп) системы (8.18) является решением уравне-
ния (8.4).
Доказательство. Прямое утверждение фактически было до-
казано выше (см. теорему 8.1, цепочку тождеств (8.19)’, где м = ф).
Для доказательства обратного утверждения заменим в (8.19) и
на ф и возьмем в качестве исходного тождество — = 0, а в качестве
п
конечного получим g; == 0. Это последнее можно гарантировать
i=i
лишь по переменному t, т. е. вдоль характеристики. А для того что-
бы <р(.Г1, ..хп) можно было считать решением уравнения (8.4),
нужно, чтобы это тождество было тождеством по переменным
xt, ..., хп. Однако, поскольку через каждую точку G проходит
характеристика, то тождественное равенство нулю вдоль каждой
характеристики означает тождественное равенство пулю всюду в G.
Теорема8 .3..Всякое решение и = ф (xh ..., х„) уравнения (8.4)
представимо в виде
и = Т(ф1(Я1, ..., Хп), ..., фп-Длл, ..., хп)), (8.25)
где Ч7(фи ..., фп-0 —некоторая дифференцируемая функция своих
аргументов ф», ..., фп-1, а фДла, хп) (г = 1, ..., п — 1) — первые
интегралы системы (8.18), удовлетворяющие условию (8.24).
Доказательство, ф, а также ф, (по теореме 8.2) являются
решениями (8.4), т. е.
+ ••• + Оп57п = 0-
*) И ль ин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа.
Ч. 1,— 4-е изд.— М.: Наука; 1982.
§ 1J
ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ
217
дф
дх.
дф, .
В каждой точке области G эти соотношения можно рассматривать
как систему линейных алгебраических уравнений относительно
п
at, ..ап. По условию 2 а? ¥= О, т. е. имеется нетривиальное ре-
<=1
шепие. Следовательно, определитель этой системы равен нулю
всюду в G:
Отсюда по теореме анализа *) между “ф, ф„ ..ср,,-, имеется функ-
циональная зависимость и в силу условия (8.24) эта зависимость
может быть представлена в разрешенном относительно ф виде
ф — V (<pi, ..<рп-1), что и требуется,
Замечания. 1. Доказанная теорема дает обоснование приведенной
выше формуле (8.20).
2. Формула (8.25) при произвольной дифференцируемой V обладает тем
свойством, что в ней, согласно теореме 8.3, содержится любое решение
уравнения (8.4). С другой стороны, легко проверить непосредственно, что-
при любой дифференцируемой Ч' функция и из (8.25) удовлетворяет урав-
нению (8.4); тем самым формула (8.25) представляет общее решение уравне-
ния (8.4).
Поставим теперь дополнительное условие, дающее возможность
из множества (8.25) выделить одно решение. Для этого нужно ва-
дать в области G многообразие п — 1 измерений и на этом много-
образии задать значение искомого решения (в случае в = 2 в и. 1
задавалась кривая у^). Пусть это многообразие (обозначим его тоже
уг) задается параметрически (через параметры .., s„-i) в виде
Xi — .., «„-)) (i = 1, ..., п) и искомое решение на нем задает-
ся также как функция параметров «4, ..s„-t:
и |Т1 -= <о (slt ..., sn_i) (8.26)
(начальная задача, или задача Коши).
Пусть известны п — 1 независимых первых интегралов срт. Имеем
<Pi 1Т1 = (“1 («1, . • • , «п-1), •• •>(|)« («Ы • • •, «п-1))-
Обозначим =* <pi(«1(si, ..sn-t), ..<on(«i, - --, «п-i)) (t“l, • ••
..., n — 1). Предположим, что эта система п — 1 уравнений с п — 1
*) И л ь и и Вк А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа..
Ч. I.— 4-е изд,—М.: Наука, 1982, гл. 15, теорема 15.4.
218
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
(ГЛ. 8
неизвестными s„-, разрешима относительно s(, ..sn_t, так
что = £n-i) (i = 1, ..п— 1). Тогда решением постав-
ленной задачи будет
U(xt, .... Хп) = О)[Й1(ф1(х1, Хп}, фп-ДХь ,.х„)}, ...
...» й„_ 1(ф1(х1, х„), ..., ф„-1(х1, ..Хп))]. (8.27)’
Действительно, это выражение является решением уравнения
(8.4), так как содержится в формуле (8.25) (см. замечание к теоре-
ме 8.3). Кроме того, учитывая, что ф ,|V1 = получим и |?1 =
w [Qj (5Х, ..., i)» ..., Qn-i Qi, ... i Sn—i)l =“ ® (sn ...,
т. e. удовлетворяется условие (8.26).
Исследованием вопросов однозначной или неоднозначной разре-
шимости задачи (8.26) мы в общем виде заниматься не будем. Для
п — 2 это было сделано выше, в п. 1.
§ 2. Квазилинейное уравнение
Обратимся к изучению уравнения (8.3):
• п ’
...,хп,и)^- = а(х1г ...\хп,и). - (8.28)
i=l »
Будем предполагать, что а{ (г = 1, ..., п) и а являются дифферен-
цируемыми. функциями своих аргументов xt, ..., х„, и в некоторой
области D (п+ 1)-мерного пространства переменных xlt ..., х„, и.
Решением уравнения (8.28) будем называть любую функцию
от аргументов xt, ..., х,„ обладающую частными производными по
этим аргументам и обращающую уравнение (8.28) в тождество. Как
и в случае линейного уравнения, это решение можно геометрически
интерпретировать как поверхность в пространстве х„ ..., хи, и.
1. Общее решение и начальная задача. Сопоставим уравнению
(8.28) следующее линейное уравнение:
п
2®^!........u)£ + a(xi’ ••’“)£ = °- (8-29)
i—1 1
Теорема 8.4. Пусть v — V(xt, ..., хп, и) —решение уравнения
(8.29). Пусть уравнение У(хь ..., хп, и) = 0 определяет в области G
переменных х„ ..., х„ некоторую дифференцируемую функцию
« = ф(х!, ..., хп), и пусть lu-ф^О в G. Тогда и-==ф(х1, ..., хп)’‘
является решением уравнения (8.28).
Доказательство. По теореме о неявной функции
дф dVIdV
d.ci д-слди
в 2]
КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ
219
(8.30)
и тем самым левая часть уравнения (8.28) равна
2дУ [дУ
дх,1ди*
i=l ‘I
а это в силу (8.29) есть а(х„ »»., ср), т. е. уравнение (8.28) удовлет-
воряется.
Доказанная теорема и результаты предыдущего параграфа при-
водят к следующему способу построения решений уравнения (8.28).
Нужно написать систему уравнений, определяющую характеристики
линейного уравнения (8.29):
du
Интегральные кривые системы (8.30), т. е. характеристики линей-
ного уравнения (8.29), мы будем называть характеристика ми
квазилинейного уравнения (8.28). Если уравнение (8.29)
удовлетворяет условиям, наложенным на лилейное уравнение в § 1,
то эти характеристики заполняют область D переменных х,, ..., х„, и,
так что через каждую точку D проходит одна и только одна харак-
теристика. Далее, по формуле (8.25) строим общее решение уравне-
ния (8.29) (только теперь независимых интег-ралов будет п и они
будут функциями х,, ..., хп, и):
v — W (<pj(a:i, ..., хп,и), ..., срп (х„ ..., хп, и)). (8.31)
Затем, полагая v = 0, получим уравнение для определения множе-
ства решений уравнения (8.28):
V(<$>1 (х,, ..., хп, и), ..<р„{х,, ..., х„, и)) =0. (8.32)
Замечание. Как было показано, формула (8.31) при достаточ-
но общих предположениях содержит все решения уравнения (8.29). Можно-
ли сказать, что формула (8.32) содержит все решения уравнения (8.28)?
Проанализируем доказательство теоремы 8.4. При проверке тождества (8.28)
мы использовали тождество (8.29), и нам достаточно, чтобы (8.29) был»
тождеством по ..., хп (при этом и = ф(хь ..., х„)). -Однако при построе-
нии V(xi, ..., хп, и) требуется большее, а именно, чтобы (8.29) было тожде-
ством по ла, ..., хп, и. Поэтому априори не исключена возможность, что мо-
гут быть такие решения (8.28), для которых (8.29) удовлетворяется не тож-
дественно по xi, ..., хп,' и, а только при и = <p(a;i, ..., хп). Такие решения,
вообще говоря, не содержатся в формуле (8.32). Они называются специаль-
ными решениями. Можно показать, что специальное решение.— случай ис-
ключительный; и в дальнейшем рассмотрении мы их принимать во внимание
не будем.
В отличие от линейного случая, в квазилинейном случае харак-
теристики лежат не в пространстве х,, ..., хп, а в пространстве
х,, ..., хп, и, и поэтому геометрический смысл характеристики здесь
иной. Докажем следующий факт.
Теорема 8.5. Всякая интегральная поверхность u — f(x„,.., хп)
состоит из характеристик в том смысле, что через каждую точку
220
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
(ГЛ. 8
этой поверхности, проходит некоторая целиком лежащая на ней ха-
рактеристика.
Доказательство. Рассмотрим систему уравнений
dx. dx„
------------77--------й = • • • 1Ъ(8.33)
аЛхг ’xn>f(x1................хп))-М*!.xn’i{xv->xn)y K '
или
~ ai (^1 > • • •,Дп, / (#1 г • • •» 3-n)) , (8.34)
определяющую кривые в пространстве х,, ..хп. Возьмем одну
из них: Xi = xi(t). В пространстве xt, ..хп, и ей будет отвечать
кривая
Xi = Xi(t), и = ffaft), ..xn(t)),
лежащая по построению на интегральной поверхности и =
= f(xt, xnj. Докажем, что это — характеристика. Действительно,
так как имеет место (8.33), то для доказательства того, что удовлет-
воряются уравнения (8.30), достаточно проверить, что = а. Но
du V8 df_ _
dt ях dt дх, а
г=1 oxt i=i *
в силу (8.28), чем и завершается доказательство.
Пусть интегральная поверхность нам неизвестна, но известны
характеристики; тогда, если мы сумеем «склеить» из характеристик
гладкую поверхность, то она будет интегральной поверхностью, так
как вектор {а„ ..., а„, а), касательной к характеристике, будет так-
же касательным к поверхности, а следовательно, будет ортогональ-
р/ д/ д
ным к вектору дхп' д’ нормальному к поверхности,
я условие ортогональности как раз и означает выполнение урав-
нения (8.28).
Эти геометрические соображения приводят к следующему истол-
кованию формулы (8.32). Система уравнений (8.33) дает п-парамет-
рическое семейство характеристик, которое можно, используя п пер-
вых интегралов, представить в виде
ср,-(а?1, ..., хп, и) = 0,-, i = 1, ..., п. ъ (8.35)
Это семейство характеристик заполняет всю область D. Наша зада-
ла— выделить .из этого множества (п—1)-мерное подмножество,
которое будет образовывать интегральную поверхность. Для этого
достатЪчно параметры 0И ..., 6„ связать, наложив произвольную до-
статочно гладкую связь вида
Т(0,.....0„)=О. (8.36)
Подставляя сюда (8.35), получим (8.32).
§ 2] КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ 221
Эти же геометрические соображения дают возможность предло-
жить следующую процедуру для решения задачи с дополнительным
условием (задачи Коши), которая ставится следующим образом:
через (п — 1)-мерное многообразие Г, в пространстве xt, ..хп,и
провести интегральную поверхность. Это многообразие можно задать
параметрически в виде
^ = <0,(5,, i=l, ..., п,
и = <d(slt ..
Таким образом, задача по существу та же, что и для линейного
уравнения.
Теперь мы должны связь (8.36) наложить не произвольным об-
разом, а исходя из (8.37). Для этого подставим (8.37) в (8.35):
ф,(и, (з„ ..., s„-j), :.., <o(si, ..., s„-i)) = 0it i-= 1, ..., n,
и, исключая отсюда s,, ..., s„-i, получим искомую связь (8.36),
в которой 'Г будет уже, вообще говоря, вполне определенной функ-
цией, а (8.32) будет давать решейие' задачи (8.37).
Не проводя в общем виде анализа того, какие особенности могут
представиться при выполнении описанной процедуры, проследим это
па трехмерном случае (подобно тому, как было сделано в § 1), кото-
рому отвечает уравнение
А(х,у,и)^ + В(х,у,и)^ = С{х,у,й). (8.38)
Зададим Г, (в трехмерном случае это кривая):
я = Х(з), y = K(s), u = t/(s). (8.39)
Выписываем систему (8.30), имеющую вид
dx dy____du
Т = в — ~c'
и находим два первых интеграла (я, у, и) (i —1, 2). Подставляя
(8.39), получим
ф,(Х(з), Y(s), U (s)) = 0.-, i = 1, 2. (8.40)
Исключая из этих двух уравнений s, найдем связь
т(е„ е2)=о. (8.41)
Тем самым.уравпепие искомой поверхности будет
ТДфДж, г/, и), ср2(х, у, и)) =0. (8.42)
Геометрический смысл процедуры очень простой: из каждой точ-
ки заданной кривой Г, выпускается характеристика, и все такие ха-
рактеристики в совокупности образуют искомую интегральную по-
верхность (рис. 25).
222
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
[ГЛ. 8
Вместо представления (8.42) для интегральной поверхности,
имеющего форму непосредственной связи между х, у, и, иногда удоб-
но параметрическое представление, если в качестве параметров
взять 8 и, скажем, х. Пусть, например, С (х, у, и) = 0. Тогда один из
ц первых интегралов равен и, другой —
<Ра(я, у, и) и искомую поверхность можно
ваписать в виде
х = х, u — U(s), y = y(x,s), (8.43)
где у (х, s) определяется неявно уравнением
' <Pz(x, у, t7(s)) =<р2(ВД, У(8), U(s)).
/У Это последнее уравнение дает проекцию
на плоскость (х, у) характеристики, про-
ходящей через точку s заданной кривой Г,,
Рис. 25 a>u = U(s) дает значение апликаты и над
этой проекцией.
При выполнении процедуры, приводящей к (8.42), может пред-
ставиться особый случай, а именно, левые части обоих уравнений
(8.40) могут обратиться в константы и (8.40) примет вид
0j = Ci = const.
(8.44)
В этом случае связь (8.41) также имеет место, по содержит боль-
шую степень произвола, а именно, может быть любой функцией,
лишь бы V (с,, с2)= 0. Например, можно положить
lF(ob е2) = Ф(0„ е2)-Ф(с„ с2),
где Ф — уже произвольная функция двух аргументов.
Равенство (8.44) означает, что Г, является характеристикой, и,
таким образом, через характеристику можно провести бесконечно
много интегральных поверхностей.
Пример 8.4. Рассмотрим уравнение переноса (1.30) из гл. 1, в котором
v — постоянная,
с условием (1.32), где положим =s0,
u(0, t) = u0(t).
В этом случае (8.30) имеет вид
dt dx du
1 v с (х, t) и’
Отсюда сразу паходим один из первых интегралов: дч = z — vt. Далее имеем
du ,
= — с (x,t) и = — с (tpj + vt, t)u = о (t, и,
откуда u= const где bi — одна из первообразных от Ъ (папомним,
§ 2]
КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИИ
223
что cpi = const). Таким образом, другой первый интеграл имеет
—b,(t,x—vt)
Фа = ue 1
вид
При х = 0 имеем (8.40):
0Х = — Vt, 02 = и0 (t) е bl(t’ °0.
Отсюда находим связь (8.41):
02 = %
и формула (8.42) дает
—»t)
ие = u0
я
Можно найти также явное выражение для и(х, t):
х
—,x—vt
V
( х\ Ь1(Ь*-
u=un It — — I е
° \ v 1
квазилиней-
является и.
Пример 8.5. Линейное уравнение можно трактовать как
ное. При этом а =0 и заведомо одним из первых интегралов
Это соответствует установленному в § 1 факту, что вдоль характеристики
u = const (теорема 8.1).
Рассмотрим уравнение
ди ди
у-х~ — — О
• дх ду
(8.45)
я решим его «квазилинейным» способом. Соответствующая система (8.32)
дает два первых интеграла: <pi = и, <р2 = х2 + у2. Формула (8.32) дает
У (и, х2 + у2) = 0, откуда и = ip(z2 + у2). Таким образом, решением уравнения
(8.45) является произвольная гладкая поверхность вращения.
Рассмотрим теперь различные дополнительные условия:
А. Г1 — прямая линия, х = s, у = s, и = з. Описанный прием дает
0i= s, 02 == 2з3 => 0а == 203, и решением задачи будет х2 + у2 = 2и2 — конус.
Б. Г]—окружность: х = cos t, y = sint, » = 1. Таким образом, Г| явля-
ется характеристикой уравнения (8.45), рассматриваемого как квазилинейное
уравнение. В данном случае имеем 0i = 1, 02 = 1, и решением будет поверх-
ность вида Ф(и, х2+ у2) — Ф(1, 1) = 0. Геометрически ясно, что через заданную
окружность действительно можно' провести бесконечно много поверхностей
вращения.
В. Рассматривая (8.45) как линейное уравнение, можно продемоцстировать
случай, описанный в конце п. 1 § 1, когда решение задачи Коши не существует.
Пусть Ki задана в виде х = cos t, у =s= sin t, а и| ?l = t. Любая поверхность вра-
щения имеет постоянную апликату на заданной- окружности "р, и, таким об-
разом, условие = t удовлетворено быть не может.
2. Понятие о разрывных решениях. Ударные волны. В настоящем
пункте мы рассмотрим одно характерное для квазилинейных урав-
нений явление, которого не наблюдалось для линейного случая. Про-
демонстрируем это явление на простейшем примере квазилинейного
224
УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
[ГЛ. 8
уравнения в трехмерном пространстве (в переменных t, х, и), при
этом положим С (7, х, и) = 0. Такой случай уже был описан в пре-
дыдущем пункте и на нем была продемонстрирована параметриче-
ская форма записи (8.43) поверхности (8.42). В этом случае имеем
два первых интеграла и и <pz(t, х, и), а семейство характеристик
(8.35) имеет вид и = 01,*ф2(<, х,‘и) = 02. Проекции этих характери-
стик на плоскость (t, х), вообще говоря, могут пересекаться (в от-
личие от картины, изображенной на рис. 21, относящейся к линей-
ному уравнению). Это приводит к следующему на первый взгляд
парадоксальному результату.
Рассмотрим такой пример:
Зададим дополнительное условие и (0, х) =и0(х). В данном случае
кривая Г1 — это t = 0, х = s, u = Uo (s). Первыми интегралами будут
х
Рис. 26 Рис. 27 .
и и а: — u2i. Предоставление для искомой интегральной поверхности
можно получить, пользуясь формулой (8.43). Оно имеет вид
t = t, х = s + и2о (s) t, u = u,t (s). (8.46)
Уравнение x = s + Uq (s) t описывает проекцию па плоскость (7, х)
той характеристики, которая проходит через точку з кривой Г,,
а нс(з) есть значение и над этой проекцией.
Зададим конкретно гг0(з) = 1 — з. Рассмотрим характеристику,
проходящую через точку Г,, отвечающую з = 0. Ее проекция есть
х •= t (прямая 1 на рис. 26). Точке з == 1/2 отвечает характеристика
с проекцией х = t (прямая 2) и точке з = 1 — характеристи-
ка с проекцией х — 1 (прямая 3). Над прямой 1 имеем и = u0(s)=l,
над прямой 2 имеем и = 1/2 и над прямой 3 имеем и = 0. Но пря-
мые 7, 2 и 3 пересекаются, и получается, что, например, в точке А
значение апликаты искомой интегральной поверхности должно быть
одновременно равно и пулю и единице (I).
§ 21
КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ
225
Чтобы разъяснить этот кажущийся парадокс, найдем решение
поставленной задачи в явном виде. Имеем и — 1 — s, х = s +
+ (1 — s)2t, откуда, исключая s, получим
u = (8.47)
(радикал берется со знаком «—», чтобы удовлетворялось условие
м(0, х) = 1 — х).
Из выражения (8.47) непосредственно видно, что решение опре-
делено левее гиперболы: 4f(l — х) «1 (рис. 27, кривая L). В точ-
ках гиперболы L подкоренное выражение обращается в нуль, а да-
лее с ростов t становится отрицательным. Таким образом, в точках
гиперболы решение перестает существовать. Заметим, что при этом
ГТ ' '
-> оо. Нетрудно проверить, что на линии L нарушается условие
фигурирующее в теореме 8.4.
Слева от гиперболы пересечения проекций характеристик не про-
исходит и никакой «неоднозначности» в решении нет. Прямая х = t
«пе доходит» до прямой х = 1, так как прямая х = t сначала обяза-
на пересечь гиперболу, а на ней решение перестает существовать.
Замечание. Гипербола L является местом пересечения бес-
конечно близких проекций, в данном случае огибающей семейства
я = х+(1 — s)2t. Ее можно найти, воспользовавшись а-дискрими-
нантной кривой этого семейства.
То, что решение существует лишь в ограниченной области, мож-
но наблюдать и для обыкновенных дифференциальных уравнений,
но разобранный сейчас случай интересен тем, что он имеет непо-
средственную связь с рассмотренными физическими задачами.
Обратимся к задаче п. 4 § 2 гл. 1:
+ Р = °’ и(х,0) = н0(ж). (1.33)
Функция /?(н), которую можно получить экспериментально, имеет
характер, представленный на рис. 28. Таким
образом, физически интересный случай ка-
чественно не слишком сильно отличается
от примера р — иг, который только что
был исследован. Естественно ожидать, что
в рассматриваемой физической задаче реше-
ние перестает существовать на некоторой
линии L, при этом обратится в бесконеч-
ность производная по х, подобно тому,
как в разобранном примере. Но ведь физи-
чески процесс имеет место и за линией L,
т. е. для больших t. Возникает вопрос, каким же образом получить
отвечающее данному физическому процессу решение, справедливое
за линией L?
226 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ [ГЛ. 8
Для рассматриваемой задачи решение можно записать в виде,
аналогичном (8.46):
t = t, X = 8 + p[u0 (в) ]f, U = Uo (s). (8.48)
Лийию L можно найти так же, как и в примере, используя s-ди-
скриминантную кривую, т. е. исключая s из системы
<х = s + р [u0 (s)] t, 0 = 1 + // [u0 (з)] и'о (s) t.
Кривую L удобно представить параметрически (опять через з)
в виде
/ =_________1 j. - Р1%^1
р' [“о W] ио W’ Р' 1“о WJ “о W
Проекции характеристик в данном случае, как и в примере, пред-
ставляют собой прямые, причем прямая, выходящая из точки t = 0,
х = з, имеет наклон р[и0(з)]. Пусть и0(з) убывает по з. Так как р(и)
возрастает по и (см. рис. 28), то наклон характеристики убывает
с ростом з, т. е. характеристики «сходятся» к линии L, аналогично
тому, как это изображено на рис. 27 для примера с р = иг.
Если наблюдать процесс при фиксированном х = ха, т;о при при-
ближении t к ^Дточка (io, х0) лежит на L) увеличивается, т. е.
наблюдается резкое изменение плотности. Наблюдая физическое яв-
ление, можно в самом деле отметить в определенный момент време-
ни резкое изменение плотности: через точку х0 в момент ta проходит
так называемая ударная волна. Затем процесс снова идет достаточно
плавно, пока не образуется новая ударная волна, но может случить-
ся также, что новой ударной волны не возникает.
Как же описать процесс после прохождения ударной волны? Ре-
шение, определяемое как дифференцируемая функция, удовлетворя-
ющая уравнению (8.38), дает возможность описать процесс только
до возникновения ударной волны. Естественно, напрашивается мысль
о расширении понятия решения уравнения (8.38). Мы будем искать
решение в классе разрывных функций, подчиняя характер разрыва
определенным требованиям, соответствующим физической природе
описываемого явления. Такое решение мы будем называть обоб-
щенным.
Не задаваясь целью построить обобщенное (разрывное) решение
для общего случая (8.38), рассмотрим, как оно строится для нашего
физического примера.
Слева от кривой L (в области I) решение строится методом, опи-
санным в п. 1; такое решение мы будем называть классическим. Да-
лее, принимая L за проекцию некоторой новой начальной кривой,
будем снова строить классическое решение методом п. 1. Вопрос за-
ключается в том, какое значение и следует взять вдоль кривой L
для построения этого решения.
§ 2]
КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИИ
ЗЙ7
классического реше-
предельное значение
Для выяснения этого вопроса мы используем физические сообра-
жения — все тот же закон сохранения количества вещества, кото-
рый привел к дифференциальному уравнению (1.33).
Обозначим через и, предельное значение и на линии L (ее можно
назвать линией разрыва), которое получено из
ния, определенного начальными данными, т. е.
Изнутри области I (До разрыва). Для
построения следующего гладкого
участка нам нужно найти предель-
ное значение и2 изнутри области II
(после разрыва), которое примем за
начальное для. построения решения
на следующем после разрыва этапе.
Уравнение баланса запишем с
этой целью в следующем виде (учи-
тывая, что и(х, = и(х, £ + Д/) =
= и2, и(х— Дх, Z) = н2; см. рис. 29,
где изображен бесконечно малый прямоугольник, левая верхняя
вершина которого лежит в области I бесконечно близко к линии L,
а остальные в области II):
— (иг — нДДх = [r(u,)a, — ^(и^ггДДг.
Переходя к пределу Дх -* О, Д£ 0 и учитывая, что ~ стремится
dx
к производной jpOT функции, описывающей кривую L (эту произ-
водную естественно назвать скоростью движения разрыва гр),'
получим
Гр =
“1 г
“1 - %
(8.49)
Зная Ui и можно по этой формуле определить и2.
Зная гг2, можно снова построить гладкий участок решения до но-
вой кривой типа L. Такой кривой может, однако, и не возникнуть.
Мы уже видели выше, что возникновение первого разрыва было свя-
зано с тем, что характеристики «сходились». Второго разрыва не
возникает, если после разрыва характеристики окажутся «расходя-
щимися». Аналитически возникновение или отсутствие разрыва вы-
ясняется точно так же, как это делалось выше для решения (8.48).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Еругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных
уравнений,— Минск: Наука и техника, 1972.
2. Карташев А, П., Рождественский Б. Л. Обыкновенные диффе-
ренциальные уравнения и основы вариационного исчисления,— 2-е изд.—
М.: Наука, 1980.
3. Петровский И. Г, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений.— 7-е изд., М.: Изд-во МГУ, 1984.
4. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения,— 5-е
изд.— М.: Наука, 1983.
5. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений.— 8-е изд.— М:. Гос-
техиздат, 1959.
6. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения,— М.: Мир,
1970.
7. Э л ь с г о л ь ц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисле-
ние.— 2-е изд.— М.: Наука, 1969.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Аналитическая теория дифференци-
альных уравнений 102
Аппроксимация разностной схемы,
порядок аппроксимации 158
Асимптотика 180
Асимптотическая формула 178
Асимптотический ряд 180
Асимптотическое представление 178
— разложение 180
Бегущая волпа 212
Возмущение правых частей (вход-
ных данных) 158, 159
— - регулярное 180
— сингулярное 183
Возмущенная задача 159
Возмущенное и невозмущенное
уравнения 180
Вырожденная система 184
Граничные условия первого, второго
и третьего рода 107
С-дискриминаптная кривая 45
р-дискриминантная кривая 45
Задача краевая 107
— на собственные значения (задача
Штурма — Лиувилля) 107, 123
— начальная (задача Коши) 10
Импульсная матрица 94
— функция 81
Интеграл дифференциального урав-
нения 24
Интегральная кривая 9
— поверхность 210
Интегральное уравнение И
---Фредгольма второго рода
126
Интегрирование в квадратурах 24
— дифференциального уравнения
9
Интегро-дифференциальное уравне-
ние 19
Качественная теория дифференци-
альных уравнений 150
Квадратура 24
Лемма о дифференциальных нера-
венствах 29
----------столбцов 90, 93
Линейная зависимость и независи-
мость столбцов 90, 93
---------- функций 77
Ломаные Эйлера 32
Матрицант 94
Матричная запись системы линей-
ных уравнений 90
Метод вариации постоянной 27
— ВБК 203
— неопределенных коэффициентов
88
— последовательных приближений
(метод Пикара) 27
— стрельбы 167
— усреднения 203
Метрическое пространство 63
Независимость первых интегралов
216
Неподвижная точка 63
Неустойчивость решения 143
Норма равномерная (чебышёвская)
153
— собственной функции 125
— среднеквадратичная (гильберто-
ва) 153
Нормальная система дифференциаль-
ных уравнений 8
Область влияния устойчивого корня
186
Обобщенное решение квазилинейно-
го уравнения 226
— — обыкновенного дифференци-
ального уравнения 12, 38
Общее решение линейного неодно-
родного уравнения 80
-------однородного уравнения 68,
79
— — — уравнения в частных про-
изводных 217
— — системы линейных уравнений
94
Общий интеграл 24-
Обыкновенная точка 38
Однородные и неоднородные крае-
вые задачи 107
230
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Операторный многочлен 84
Определитель Вронского 77, 93
Особая точка 38
Особое решение 45
Остаточный член асимптотической
формулы 178
Первый интеграл 215
Пограничные члены 192
Пограничный ряд 192
— слой 190
Лоле направлений 10
Порядок аппроксимации 158
— дифференциального уравнения 7
Предельный цикл 149
Принцип максимума 171
— сжатых отображений 64
— суперпозиции 75, 91
Присоединенные векторы 100
Прогонка алгебраическая 174
— обратная 176
— прямая 175
Пространство решений линейного
однородного уравнения 76, 79
— — системы линейных уравнений
94
«-приближение по невязке 34, 49
---— отклонению 36
Разностная схема «предиктор — кор-
ректор» 166
---Рунге — Кутта 164
— — Эйлера 154
— — явная 154
Регулярный ряд 192
Резонансный и перезопапспый слу-
чай в неоднородном линейном
уравнении 72, 87
Релаксационные колебания 208
Решение общее 24
— частное 9, 24
Седло 147
Сепаратриса 147
Сетка, сетки узел, сетки шаг 152
— равномерная и неравномерная 152
Сеточная функция 152
Система линейных уравнений 74, 88
— первого приближения 134
Собственное значение, его ранг 108
Собственные колебания 108
— функция 108 -
Специальные функции 102
Среднее значение 204 _
Сходимость по повязке 34, 49 -
— разностной схемы 153
Теорема о неподвижной точке 63
— о неустойчивости 143
Теорема об общем решении линей-
ных уравнений 79, 94
— об устойчивости 141
— об устойчивости асимптотической
142
— Стеклова о разложении по собст-
венным функциям 125
существования и единственности
решения краевой задачи 120.
— Тихонова о сингулярно возмущен-
ной системе 188
— Чаплыгина о дифференциальных
неравенствах 10
Теоремы существования и единст-
венности решения начальной зада-
чи для нормальной системы урав-
нений 49
---:----------------уравнения, не-
разрешенного относительно произ-
водной 40
---------------------первого по-
рядка 36, 61, 62
Теория возмущений 180
Тождество Лагранжа 109
Точка поворота 203
— покоя 145, 148
Тривиальное решение 78, 107
Ударная волна 226
Узел 146
Уравнение Бернулли 29
— ван дер Поля 208
— в вариациях 58
— в частных производных 7
— в частных производных, квазили-
нейное 209
— в частных производных, линей-
ное 209
— колебаний упругого стержня 20
— Лагранжа 43
— линейное, первого порядка 26
— линейное, п-го порядка 67, 73
— маятника 15, 67
—, неразрешенное относительно
производной 39
— обыкновенное 7
— переноса 17
— Риккати 29
— с разделяющимися переменными
23
— теплопроводности 22
— Эйлера 88
— Эйри 102
Условие Липшица 31, 46, 60
Устойчивость асимптотическая 129
— по Ляпунову 129
— разностной схемы 160
Устойчивый корень 185
ПРЕДМЕТНЫЙ* УКАЗАТЕЛЬ
231
Фазовая траектория 9
Фазовое пространство 9
Фазовый портрет 149
Фокус 148
Формальный ряд 102, 191
Формула Грина 109
Фундаментальная матрица 94
— система решений 78, 93
Функция Грина краевой задачи 112
----обобщенная 117
— Ляпунова 140—142, 144
— положительно, определенная 140
Характеристики квазилинейного
уравнения в частных производных
219
— линейного уравнения в частных
производных 210, 214
Характеристический многочлен 83
Характеристическое уравнение 67,
71, 84, 96, 163
Центр 148
Андрей Николаевич Тихонов
Аделаида Борисовна Васильева
Алексей Георгиевич Свешников
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Редакторы М. М. Горячая, И. Е. Морозова
Художественный редактор Т. Н. Колъченко
Технический редактор Е. В. Морозова
Норректор Т. С, Вайсберг
ИВ № 12448
Сдано в набор 25.02.85. Подписано к печати' 17.10.85. Фор-
мат GOXOO'/is. Бумага тип. № 3. Гарнитура обыкновенная.
Высокая печать. Усл. печ. л. 14,5. Усл. кр.-отт. 14,5. Уч.-изд,
л. 14,98. Тираж 20 000 экз. Заказ JMI 623. Цена 80 коп.
Ордена Трудового Красного Знамени издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
4-я типография издательства «Наука»
630077 г. Новосибирск-77, Станиславского, 25