Г.И.Архипов В.А.Садовничий
В.Н.Чубариков
ЛЕКЦИИ
ПО
МАТЕМАТИЧЕСКОМУ
АНАЛИЗУ
Рекомендовано Министерством общего
и профессионального образования
Российской Федерации
в качестве учебника
для студентов университетов
и педагогических вузов
Москва
«Высшая школа» 1999
УДК 517
ББК 22.161
А87
Федеральная целевая
программа книгоиздания России
Рецензент:
академик РАН С.М. Никольский (МИАН им. В.А. Стеклова)
Архипов Г.И., Садовничий В.А., Чубариков В.Н.
А87 Лекции по математическому анализу.: Учебник для универ-
ситетов и пед. вузов / Под ред. В. А. Садовничего -- М.:
Высш. шк. 1999. — 695 с.
ISBN 5-06-003596-4
Книга является учебником по курсу математического анализа и посвя-
щена дифференциальному и интегральному исчислениям функций одной
и нескольких переменных. В ее основу положены лекции, прочитанные
авторами на механико-математическом факультете МГУ им. М. В. Ло-
моносова.
В учебнике предложен новый подход к изложению ряда основных
понятий и теорем анализа, а также и к самому содержанию курса.
Для студентов университетов, педагогических вузов и вузов с углу-
бленным изучением математики.
ISBN 5-06-003596-4
© Издательство “Высшая школа’', 1999
ПРЕДИСЛОВИЕ
В России исторически сложилось так, что представление об обра-
зовании включает в себя органичное единство школы как системы
приобретения знаний, фундаментальной науки как показателя уров-
ня подготовки специалистов и гуманитарной культуры как основы
духовного богатства человека.
Формулируя задачи образования, академик А. Н. Крылов говорил:
“Школа не может дать вполне законченного знания; главная задача
школы — дать общее развитие, дать необходимые навыки, одним
словом... главная задача школы — научить учиться, и для. того,
кто в школе научится учиться, практическая деятельность всю его
жизнь будет наилучшей школой.”
Отметим, что особенность отечественной школы состоит в соче-
тании четкости рассуждений с глубиной содержания и простотой,
доступностью, конкретностью изложения материала, которые всегда
предпочитаются формальным конструкциям. Практическое воплоще-
ние данных идей подразумевает наличие высококвалифицированных
и творчески мыслящих преподавателей.
Математическое образование и математическая культура составля-
ют стержень научного знания и значение математики как основы
фундаментальных исследований постоянно возрастает.
Для решения этих задач требуются учебники, отражающие в опре-
деленной полноте современное состояние исследований и мировоззрен-
ческие принципы данной области науки.
Предлагаемые к публикации избранные учебники по математике
реализуют указанный выше подход. Они написаны, в основном, про-
фессорами Московского государственного университета им. М. В. Ло-
моносова.
Книга Г. И. Архипова, В. А. Садовничего, В. Н. Чубарикова
“Лекции по математическому анализу” является учебником' по курсу
математического анализа и посвящена дифференциальному и инте-
гральному исчислениям функций одной и нескольких переменных.
В ее основу положены лекции, прочитанные авторами на механико-
математическом факультете МГУ им. М. В. Ломоносова. В учебнике
предложен новый подход к изложению ряда основных понятий и те-
орем анализа, а также и к самому содержанию курса. Она доступна
широкому кругу читателей, а первая ее часть может быть использо-
вана при изучении ряда тем по алгебре и началам математического
анализа в математических школах.
Предполагается также издать учебники И. М. Виноградова “Элемен-
ты высшей математики (Аналитическая геометрия. Дифференциаль-
ное исчисление. Основы теории чисел)”, И. И. Привалова “Введение
в теорию функций комплексного переменного”, В. А. Садовничего
“Теория операторов”, С. Б. Гашкова, В. Н. Чубарикова “Арифметика.
Алгоритмы. Сложность вычислений” и др.
Надеюсь, что данные книги положат начало новой серии базовых
учебников по высшей математике для вузов с повышенным уровнем
математической подготовки.
Кроме практической ценности эта серия призвана подвести неко-
торые итоги работы российских ученых и педагогов-математиков по
созданию базовых учебников по математике на рубеже второго и
третьего тысячелетий. Серия не ограничивается указанными книга-
ми. В дальнейшем предполагается продолжить отбор и издание как
современных, так и классических учебников, которые отвечают изло-
женной выше концепции, не потеряли своей новизны и актуальности
и пользуются заслуженной популярностью и авторитетом у студентов
и педагогов.
Академик
Российской академии наук
В. А. Садовничий
ЧАСТЬ I
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Изложение предмета математического анализа ставит задачу опреде-
ления содержания курса в объеме, допускающем усвоение аудиторией
основных его элементов. Многое здесь зависит от формы, в которой
преподносится материал курса, поскольку слово, идущее от ощуще-
ний к представлениям, от представлений к понятиям, от понятий к
суждениям, от суждений к умозаключениям будет гораздо интереснее,
доступнее и удобнее для восприятия, чем изложение, опирающееся
на сухие суждения и отвлеченные умозаключения.
В основу данной части книги положены лекции первого из четырех
семестров основного курса математического анализа, читаемого авто-
рами в течение последних лет на механико-математическом факульте-
те Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова.
Ее содержание охватывает дифференциальное исчисление функций
одной переменной.
Следует обратить внимание на существенное различие между сти-
лем изложения в учебнике и конспекте лекций. Дело в том, что в
учебнике, как правило, доказательство утверждений подготавливает-
ся предварительными разъяснениями и примерами, в то время как
конспект, в основном, включает в себя формулировки и доказатель-
ства. В связи с этим при подготовке курса лекций среди прочих
решается и задача выделения необходимого минимума сопутствующе-
го материала, обеспечивающего усвоение основного содержания. Мы
стремились соединить доступность изложения, свойственную учебни-
ку, с краткостью конспекта. С математического анализа как учебной
дисциплины начинается процесс обучения высшей математике в ву-
зе. Обилие и сложность новых понятий при этом часто подавляют
творческое восприятие содержания курса. Для того чтобы правильно
сориентировать читателя, мы сознательно допускаем определенную
категоричность суждений, имея в виду, что в процессе обучения
он сам разберется во всем многообразии связей между различными
аспектами предмета.
. Преподавание математического анализа в Московском государствен-
ном университете им. М. В. Ломоносова подчинено особым требовани-
ям, обусловленным необходимостью подготовки высококвалифициро-
ванных специалистов, способных в будущем не только получать новые
5
научные результаты, но и в значительной степени определять мировое
развитие математики. В силу этого курс математического анализа, как
основа всего математического образования, должен характеризоваться
широтой охвата материала, строгостью и полнотой доказательств. Он
должен учитывать современные тенденции развития математики и в
то же время отличаться определенным консерватизмом, продолжая
традиции преподавания, которые обеспечивают преемственность в со-
хранении передовых позиций отечественной математической школы.
Курс анализа также призван подготовить учащихся к восприятию
более глубоких математических понятий.
Авторы стремились прежде всего облегчить процесс усвоения зна-
ний за счет доступного изложения и упрощения доказательств. Здесь
следует заметить, что краткость доказательства не всегда говорит
о его простоте. Иногда более короткое доказательство бывает ма-
лодоступно и, по существу, затрудняет усвоение материала. В то
же время, мы исходим из того, что доказательство утверждений и
примеры должны отличаться живостью, интересом, убедительностью
и особенно краткостью. Для более краткой записи рассуждений и
утверждений часто используют символику кванторов. Однако она
затрудняет непосредственное восприятие материала и ограничивает
возможность следить за логикой рассуждений. Мы стараемся не
злоупотреблять этой символикой, чтобы упростить сопоставление от-
влеченных понятий со сходными явлениями из внешнего, доступного
нашим чувствам, мира, сделать понятия более наглядными.
Обратим внимание еще на одно обстоятельство. Первые лекции
по каждому из предметов, с которых начинается преподавание выс-
шей математики на первом курсе университета (как правило, это
математический анализ, алгебра и аналитическая геометрия), бывают
посвящены изложению основ теории множеств. Подобный паралле-
лизм создает у части студентов неверное впечатление о предмете
математики в целом и затрудняет восприятие материала. К тому
же положение усугубляется непривычной абстрактностью этих новых
понятий. К сожалению, выделение их в рамки одного предмета
представляется нецелесообразным, поскольку в каждой дисциплине
факты из теории множеств приводятся в расчете на излагаемый мате-
риал. Обычно в той или иной форме на эту особенность обращается
внимание.
Мы выражаем глубокую благодарность Ф. М. Малышеву и А. М. По-
лосуеву за многочисленные полезные замечания по содержанию первой
части книги.
6
Глава I
ВВЕДЕНИЕ
Лекция 1
§ 1. МНОЖЕСТВА. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ.
ДЕКАРТОВО ПРОИЗВЕДЕНИЕ МНОЖЕСТВ. ОТОБРАЖЕНИЯ
И ФУНКЦИИ
Мы приступаем к изучению курса математического анализа. Под
термином “математический анализ” подразумевается прежде всего
дифференциальное и интегральное исчисление, созданное Ньютоном
и Лейбницем в XVII в., хотя некоторые основные понятия анализа
сформировались гораздо раньше. Сейчас его в значительной степени
рассматривают как устоявшуюся, учебную дисциплину. Однако из
сказанного не следует делать вывод, что в математическом анализе
не осталось тем для научных исследований и глубоких открытий.
Дело в том, что составные части математического анализа настоль-
ко разрослись, что давно превратились в отдельные математические
дисциплины, такие, как теория функций действительного переменного
(ТФДП), теория функций комплексного переменного (ТФКП), теория
вероятностей, дифференциальные уравнения, математическая стати-
стика, уравнения в частных производных, уравнения математической
физики, вычислительная математика и т.д. В широком смысле мате-
матический анализ включает в себя все эти области, т. е. почти всю
математику.
В узком же смысле, как учебная дисциплина, математический
анализ представляет собой составную и, пожалуй, большую долю той
части математического знания, которая сейчас является общей для
всех современных математических дисциплин. И потому понятна та
совершенно исключительная роль, которую играет математический
анализ в математическом образовании. Он, по существу, является
фундаментом математических знаний.
Не будет преувеличением сказать, что стержневое понятие всего
курса анализа — это понятие предела во всевозможных его про-
явлениях. В общих чертах вы с ним уже знакомы из школьной
математики. Тем не менее получить совершенно ясное и отчетливое
представление о пределе — самая большая трудность при изучении
всего курса анализа и самый важный его момент. Так как понятие
предела является начальным понятием анализа, то к его изучению
мы приступим очень скоро.
Каждый должен и может овладеть этим понятием. Тот, кто этого не
7
сделает, освоить курс не сможет, так как вся оставшаяся часть курса
анализа будет представлять собой использование понятия предела
в различных ситуациях. Для тех, кто овладеет этим понятием, в
дальнейшем при изучении основного курса потребуется в большей
степени усердие, чем способности.
Понятие предела является главным, но, разумеется, не единствен-
ным понятием анализа. Оно само опирается на понятия множества,
отображения и функции. Наше изучение мы и начнем с этих понятий.
Определение 1. Множество — это совокупность объектов любой
природы.
Посмотрим на это определение внимательно. На первый взгляд,
оно никуда не годится, поскольку вводимое понятие, т.е. “множество”,
определяется через четыре (!) других понятия, никак нами не
определенных. Однако это не совсем так. Дело в том, что назначение
определений — это вовсе не наведение логической строгости как
таковой. Устанавливать логическую строгость требуется только там,
где нестрого введенные понятия приводят к недоразумениям.
А как решить, что ведет к недоразумениям, а что нет? У совре-
менной математики есть только такие средства: логический анализ,
практика и интуиция.
Имеется два типа определений: 1) логически строгое сведение
определяемого объекта к уже введенным понятиям; 2) описательное
определение с помощью слов разговорного языка.
Определение множества есть определение второго типа. В мате-
матике предпочитается, конечно, первый тип определений, но, увы,
начальные понятия, к которым и относится понятие множества, прихо-
дится вводить описательно. Это плохо по многим причинам, и прежде
всего потому, что приводит к противоречиям (есть так называемые
парадоксы теории множеств). Однако иного подхода не найдено и
приходится доверяться интуиции. Здравый смысл подсказывает, что
по-другому и вообще нельзя сделать ([19]. С. 352-403).
Определение 2. Объекты, образующие в своей совокупности дан-
ное множество, называются его элементами или точками.
Для обозначения различных множеств мы чаще всего будем ис-
пользовать заглавные (прописные) буквы латинского алфавита, а для
обозначения элементов этих множеств — малые (строчные) буквы.
Определение 3. Два множества X и Y называются равными,
если они состоят из одних и тех же элементов.
Это записывают так:
X = У или У = X.
8
Если элемент а принадлежит множеству А, то пишут:
а 6 А (или А Э а).
Если а не принадлежит А, то этот факт записывают в виде:
а £ А (или аЁА).
Определение 4. Если все элементы множества В принадлежат
множеству А, то В называется подмножеством множества А и
пишут:
В С А (или A D В).
Очевидно, что если В С А и А С В, то А = В.
Обычно удобнее рассматривать все множества, участвующие в
каком-либо рассуждении, как подмножества некоторого фиксирован-
ного множества Е, которое мы будем называть универсальным.
Таким образом,
А С Е для любого множества А.
Для того чтобы с определенностью говорить о каком-либо множе-
стве А (являющемся, как мы договорились, подмножеством Е), мы
должны иметь четкий критерий, правило, условие, свойство, которое
дает возможность установить, какие именно элементы входят' в А.
Если обозначить это условие через а, то тот факт, что условие а
порождает множество А, будем записывать следующим образом:
А = {а €	.
Читается это так: множество А совпадает с множеством тех элементов
(из множества Е), которые удовлетворяют условию а.
Может оказаться, что для некоторого свойства а во всем множестве
Е вообще нет элементов, ему удовлетворяющих. Для единообразия
считают, что и в этом случае запись
А = {a 6 Е'|а}
определяет особое множество, называемое пустым множеством. Пу-
стое множество не содержит ни одного элемента. Оно обозначается
символом 0. В наших обозначениях можно записать, например, так:
0 = {а € E'la а}.
Здесь а — это свойство, что а а.
9
Для краткости вместо некоторых часто употребляемых выражений
общепринято использовать особые математические значки, называемые
кванторами:
3 — “существует”;
3! — “существует строго один элемент” или “существует един-
ственный элемент”;
V — “для всякого”, “для всех”;
=> — “справедливо”, “следует”, “имеет место”.
В качестве примера в этих обозначениях запишем следующее утвер-
ждение:
VA С Е => 0 С А.
Здесь утверждается, что пустое множество является подмножеством
любого множества из Е. Это утверждение следует из наших опре-
делений, так как оно означает, что если элемент принадлежит 0,
то он принадлежит А, что действительно так, поскольку в пустом
множестве 0 вообще нет ни одного элемента и для доказательства
справедливости этого утверждения его не надо проверять ни для
одйого элемента.
Определение 5. Множество С называется объединением (или
суммой) множеств А и В, если оно состоит из тех и только тех
элементов, которые принадлежат хотя бы одному из указанных мно-
жеств.
Объединение С множеств А и В обозначается так:
С = AUB.
С в о й с т в a: A U В = ВОД A U (В U С) = (A U В) U С.
Определение 6. Пересечением множеств А и В называется мно-
жество С, состоящее из всех элементов, принадлежащих одновременно
и А, и В, т.е. элементов, общих для этих множеств.
С в о й с тв а: А О В = В А А, А А (В А С) = (А А В) А С.
Заметим, что доказать равенство двух множеств — это значит дока-
зать, что всякий элемент х, принадлежащий правой части равенства,
принадлежит и левой, и наоборот.
Для произвольной совокупности множеств Аа, где а пробегает все
элементы некоторого множества I, пишут
С= IJ Aa = jAa,
если С есть объединение всех множеств Аа, а 6 I.
Аналогично, С = Q Аа, если С — пересечение всех множеств Аа-
01
10
Определение 7. Разностью С = А \ В двух множеств А и В
называется множество, состоящее из всех элементов А, не принадле-
жащих В.
Множество А' = Е \ А называется дополнением А или дополне-
нием до Е множества А. Если множество индексов I — есть просто
множество натуральных чисел, т.е. натуральный ряд 1,2,3,..., то его
оо	оо
обозначают I = N, а вместо |J Aa и Q Aa пишут |J Ап и Q А„.
а	а	п=1	п=1
Определение 8. Симметрической разностью С = АДВ двух
множеств А и В назовем множество
С = (A U В) \ (АП В).
Свойства операций над множествами
1°.А С А.
3°.АС В, ВсС => А С С.
5°.((jAa) nB = J(AaOB).
7°.А С В => AUB = B, А П В = А.
9°.0' = Е,Е' = 0.
n0.(p|Aa)' = |jA;.
2°.А С В, В С А => А —В.
4°.0 С A VA.
6°.(р|Аа) UB = Q(AaUB)
8°.AU А' = Е, АП А' = 0.
10°.(jAa)' = r|A'a.
Of	Of
12°.АДВ = (A\B)U(B\A).
Все эти свойства доказываются весьма просто. Покажем для
примера, каким образом доказывается последнее свойство. Нам надо
доказать, что если
Ci = (A U В) \(АЛВ) и C2 = (A\B)U(B\A),
то Ci = С2. Это значит, что надо доказать утверждения:
1) Va £ С\ => a £ С2, откуда имеем Ci С С2;
2) Va 6 С2 a £ Ci, т.е. С2 С G.
Мы ограничимся только доказательством утверждения 1, т. е. что
Ci С С2. Пусть a £ Ci. Тогда a Е A U В, но a £ А П В. Но если
a Е A U В, то или a Е А, или a Е В. Рассмотрим первый случай, т.е.
a Е А. В этом случае a £ В, так как иначе было бы я Е АПВ, что
неверно. Тогда a Е А \ В, откуда a Е С2 = (А \ В) U (В \ А), что и
требовалось доказать. В первом случае справедливость соотношения
11
Ci С Сг мы доказали. Второй случай разбирается точно так же,
только А и В меняются местами. Поэтому всегда имеем С1СС2.
Следующим после множества и тоже важнейшим понятием мате-
матики является понятие отображения, а также эквивалентное ему
понятие функции. Но сначала мы дадим определение декартова
произведения множеств.
Определение 9. Декартовым произведением С = А х В мно-
жеств А и В называют множество всех возможных пар (х,у), где
первый элемент х каждой пары принадлежит А, а второй ее элемент
у принадлежит В.
Определение 10. Подмножество F декартова произведения двух
множеств Ах В называется отображением множества А в множество
В, если выполнено следующее условие:
Ух Е А 3! пара (х, у) £ F.
Пример. Пусть А = {1,2,3}, В = {2, 3,4,5}. Тогда подмножество
F = {(1,3), (2,2), (3,3)} множества Ах В является отображением, а
подмножество Ф = {(2,2), (2,3), (3,3), (3,4)} не является отображением.
Понятия “отображение” и “функция” — синонимы. Они несколько
отличаются только буквенной символикой и сферами употребления.
Мы будем гораздо чаще употреблять термин “функция”. Тот факт,
что F является отображением А в В, записывают так:
F : А —> В или А В.
Определение 11. Пусть отображение F : А —> В определяется
следующим образом: Ух £ А 3! у £ В, такое, что (х,у) £ F. Тогда
элемент у Е В называется образом х при отображении F и это
записывается так:
У = F{x).
Элемент х называется прообразом (одним из возможных) эле-
мента у.
Множество F(A) всех элементов F(x) Ух 6 А называется образом
множества А при отображении F, т. е.
F(A) = {yeB\y=F(x), х£ А}.
Для множества С = F(A) само множество А при отображении F
называется (полным) прообразом множества С.
12
Как уже говорилось, термины “отображение” и “функция” —
синонимы, но при употреблении слова '‘функция” вся терминология
обычно меняется. Множество А называется областью определения,
а множество F(A) С В — множеством (или областью) значений.
Каждый элемент х G А называется значением аргумента (или
просто аргументом), а элемент у — F(x) — значением функции в
точке х.
Для того чтобы конкретно задать какое-либо отображение, т. е.
функцию, надо, вообще говоря, определить способ (правило), как из
всего декартова произведения А х В выбрать множество F с нужными
свойствами. Указание этого способа, по существу, и задает функцию.
Поэтому для функции очень часто дается следующее определение:
Определение 12. Функцией F называется правило, по которому
каждому элементу х Е А ставится в соответствие строго один элемент
у множества В. При этом пишут у = F(x).
Недостатком этого' определения является то обстоятельство, что
функцией оказывается правило, а не множество, как в предыдущем
случае, что неестественно, так как из школьного курса математики
известно, что функции можно складывать, умножать и выполнять с
ними другие арифметические операции.
Считается, что употребление термина “отображение” больше свой-
ственно геометрическому стилю изложения, а термина “функция” —
аналитическому стилю.
Некоторые типы отображений. Обратная функция.
Взаимно однозначное соответствие
1.	Отображение F называется сюръективным, или отображением
“на” (т.е. отображением А на В), накрытием, если F(A) = В.
2.	Отображение F называется инъективным, или вложением,
если у каждой точки у = F(x) существует строго один прообраз, т.е.
из условия у = F(xi) = F(x2) следует, что Zj = Х2-
3.	Отображение F называется биективным, или взаимно одно-
значным, если оно является накрытием и вложением одновременно.
В этом случае отображению F : А —> В можно поставить в соответ-
ствие обратное отображение F~l : В —> А по правилу: вместо пар
(х,у) в декартовом произведении Ах В надо рассмотреть соответству-
ющие пары (у, х) из В к А, поменяв х и у местами. Очевидно, что
F-1 — это также отображение. Кроме того,
F~1(F(x)) = х ЧхЕА и F(F~l(y)) = у \/уЕВ.
Биективное отображение называется еще взаимно однозначным
соответствием или биективным соответствием.
Лекция 2
§ 2. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ МНОЖЕСТВА. СЧЕТНЫЕ И
НЕСЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА. МОЩНОСТЬ КОНТИНУУМА
Понятие взаимно однозначного соответствия играет большую роль
при перенесении представления о “количестве” элементов множества
с конечных множеств на бесконечные. Это необходимо, поскольку мы
постоянно имеем дело с бесконечными множествами. Вот некоторые
из них.
N — множество всех чисел натурального ряда;
Z — множество всех целых чисел (положительные, отрицательные
целые числа и нуль);
Ж — множество вещественных чисел на прямой;
RxR — множество точек на координатной плоскости.
О количестве точек множества можно говорить только для конеч-
ных множеств, а для бесконечных — нельзя. В этом случае говорят
о мощности множества. Таким образом, мощность множества —
это понятие, которое обобщает понятие “количество элементов” на
случай бесконечных множеств. Если же множество конечно, то тер-
мины “мощность множества” и “количество элементов множества” —
синонимы.
Определение 1. Множества А и В называются эквивалентными
или равномощными, если между ними можно установить взаимно
однозначное соответствие. Это обозначается так: А ~ В.
Свойства: 1) А ~ А; 2) А ~ В => В ~ А; 3) А ~ В,
В~С => А ~ С.
Другими словами, можно биективно отобразить одно множество на
другое. Если А и В эквивалентны, то говорят еще, что они имеют
одинаковую мощность.
Приведем важный пример эквивалентности бесконечных множеств.
Утверждение 1. Множество N (натуральных чисел) и множество
Q (рациональных чисел, т.е. всех дробей m G Z, п 6 N, (т, п) =1)
эквивалентны.
Здесь символом (т, п) обозначен наибольший общий делитель чисел
тип.
Доказательство. Достаточно показать, как присво-
ить собственный номер каждому рациональному числу. Для этого
представим каждое рациональное число в виде несократимой дроби:
г=~, р G Z, q Е N, (р, g) = 1.
9
14
Такое представление единственно. Высотой рационального числа
г — p/q назовем величину |р| + q = h. Эта высота сама является
натуральным числом, т.е. принимает значения 1,2,3, ... и т.д. При
фиксированном h > 1 существует не более 2/i различных несократимых
дробей, так как тогда знаменатель q может принимать значения
1,2,..., h — 1 (число которых равно h — 1), а для данного q числитель
р числа г может принимать не более двух значений: ±(/1 — 9) (точнее,
либо два, если дробь p/q получается несократимой, либо ноль, если
она — сократима, так как тогда она имеет другое значение "q в
представлении в виде несократимой дроби). Таким образом, с данной
высотой h число рациональных чисел не более 2(Л — 1) < 2Л.
Будем нумеровать дроби в порядке возрастания h; при фиксиро-
ванном h в порядке возрастания q, а при фиксированных h и q — в
порядке возрастания р. Тогда получим
и т.д. Ясно, что каждое рациональное число когда-нибудь получит
свой порядковый номер. При этом все номера 1,2,3,... будут ис-
пользованы и разные рациональные числа получат разные номера.
Тем самым построено взаимно однозначное соответствие множеств Q
и N. Утверждение 1 доказано полностью.
Определение 2. Всякое множество, эквивалентное (равномощное)
множеству натуральных чисел, называется счетным множеством.
Таким будет, как мы показали, множество рациональных чисел.
Утверждение 2. Всякое непустое подмножество счетного множе-
ства конечно или счетно.
Доказательство. Занумеруем элементы счетного
множества и перенумеруем затем элементы подмножества в порядке
возрастания этих номеров. Если мы исчерпаем все подмножество на
конечном шаге, то оно конечно, иначе — счетно.
15
Утверждение 3. Сумма, конечного или счетного числа счетных
множеств с четна.
Доказательство. Проведем нумерацию элементов
суммы множеств по следующей схеме:
Ai:=(aii, ai2,—>«1з,	• •),
I / / /
А.2*~(«21, «22, «23, ••),
Лз:=(«з1, «32, «зз, • •),
I/ Z
и т.д. (при этом пропускаем уже встречавшиеся элементы). За 2г2
шагов будут заведомо занумерованы все элементы а*,;, k +1 < г.
Доказательство закончено.
Обратим внимание, что бесконечные множества, рассмотренные в
утверждениях 1-3, оказались равномощными, точнее, счетными. Но
не все бесконечные множества равномощны. Имеет место следующее
утверждение.
Теорема!.. Совокупность Z = П(Х) всех подмножеств любого
множества X сама образует множество, не эквивалентное X.
Эта теорема (точнее, ее модификация: N Ж) была доказана
Г. Кантором (1845-1918) в 1874 г.
Доказательство будем вести от противного. Пусть
F
Z ~ X. Значит, имеется биективное соответствие X —> Z. Тогда,
если а £ X, то ему однозначно соответствует А & Z, т.е. F(a) = А,
F~*(A) = а. Теперь всякую точку а £ X назовем правильной, если
она принадлежит своему образу, т.е., если a 6 F(a). В противном
случае эту точку а мы будем называть особой точкой. Назовем
дефектом множество D С X, состоящее из всех особых точек a € X.
Тогда ясно, что D является элементом множества Z. В силу наличия
взаимно однозначного соответствия F между X и Z найдется такая
точка d Е X, что F(d) = D. При этом сама течка d обязана быть либо
правильной, либо особой. Но первое не имеет места, поскольку тогда
бы по определению правильной точки она принадлежала бы D = F^d),
что невозможно, так как ко множеству D по построению отнесены
только особые точки. Но второй случай приводит к противоречию,
так как тогда по определению особой точки d F(d) = D, а, с другой
стороны, тогда точка d как особая точка должна войти в дефект D
по его построению.
16
Таким образом, предположение о существовании биекции между Z и
X во всех случаях ведет к противоречию, т.е. Z ф X. Доказательство
закончено.
Следует отметить, что как результат, так и доказательство теоремы
1 справедливы и в том частном случае, когда X есть пустое множество
0. Тогда мощность множества X равна 0, а множество Z — П(Х)
состоит ровно из одного элемента, т.е. самого X и поэтому его
мощность равна 1 = 2°. Заметим еще, что для конечного множества
X, состоящего из к элементов, мощность множества Z — П(Х) равна
в точности 2*.
Определение 3. Бесконечное множество называется несчетным,
если оно не эквивалентно N.
По теореме 1 несчетным множеством, например, является мно-
жество подмножеств N, а значит, множество последовательностей,
составленных из 0 и 1 (к-й член последовательности равен 1 или О,
в зависимости от того, принадлежит или не принадлежит число к
подмножеству).
Прием, с помощью которого мы доказали теорему 1, называется
канторов диагональный процесс. Впервые он был применен Г. Канто-
ром в 1874 г. при доказательстве несчетности точек на отрезке. Этот
процесс называется диагональным, потому что если в теореме 1 в
качестве X взять натуральный ряд N, то получится, что множество
подмножеств, т.е. совокупность последовательностей, составленных из
нулей и единиц, не эквивалентно X. Доказательству теоремы 1 в
этом случае можно придать такой вид.
Предположим, что N ~ Z = Q(N). Тогда имеем взаимно однозначное
соответствие
1	• • •);
2	О Н2 = (/>21, /122, ^23, • • • )
и т.д. (здесь символами Hi, Н2,... обозначены некоторые различные
последовательности из нулей и единиц).
Возьмем последовательность, составленную из “диагональных” эле-
ментов: (Ли,Л22,Лзз> • • •), и поменяем все разряды на противополож-
ные, т.е. единицы заменим на нули, а нули — на единицы. Получим
Н = (Л11,Л22,Лзз, ...).
Этот элемент не совпадает ни с одним из Нт, т.е. он не занумерован.
Имеет место противоречие.
Определение 4. Мощность множеств, эквивалентных множеству
всех последовательностей, составленных из нулей и единиц, называется
мощностью континуума.
17
Утверждение 4. Множество I точек отрезка [О, 1] имеет мощность
континуума.
Доказательство. В двоичной записи каждая точка
единичного отрезка [0,1] может быть записана в виде
О,	, hk = { J , k = 1,2,3,...
Такая запись единственна, за исключением чисел вида n/2fc, к, п g N.
А числам такого вида соответствуют в точности две записи (у одной,
начиная с некоторого номера, все цифры равны 0, а у другой —
все единицы). Для всех точек, за исключением точек вида n/2fc,
установим соответствие так:
X = (xi, Х2, . ) О, Х1, Х2, ... .
А так как множество точек вида п/2к счетно, то счетным множеством
является также множество последовательностей, им соответствующих.
Следовательно, между ними можно установить взаимно однозначное
соответствие и тем самым будет установлено взаимно однозначное
соответствие между точками отрезка [0,1] и множеством последова-
тельностей, составленных из нулей и единиц, т.е. множество точек
отрезка имеет мощность континуума.
Лекция 3
§ 3.	ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
В этом семестре и далее мы преимущественно будем иметь дело с
числовыми функциями, областью определения и множеством значений
которых являются числовая ось, отрезки, интервалы, промежутки
на этой оси или какие-нибудь другие ее подмножества. При этом
потребуется более глубокое представление о вещественных числах,
чем то, с которым имеет дело школьная программа по математике.
Подчеркнем, однако, что мы будем целиком на нее опираться, и
уточним только то, что действительно требует большей ясности.
В отношении рациональных чисел мы ничего уточнять не будем.
Рациональные числа — это обыкновенные дроби. Вещественные чи-
сла, которые рациональными не являются, как известно, называются
иррациональными.
Следует отметить, что вещественные числа — как рациональные,
так и иррациональные — в природе не существуют. Они — абстракция
и придуманы для практических нужд, о чем говорит здравый смысл.
Можно сказать, что они породили саму математику, а в дальнейшем
она предъявила к числам свои требования. И оказалось, в частности,
что одни только рациональные числа этим требованиям не отвечают.
Самое простое и естественное назначение чисел в математике —
измерение длин отрезков. Это означает, что длина каждого отрезка
должна измеряться вещественным числом. С другой стороны, заме-
тим, например, что диагональ единичного квадрата на координатной
плоскости не может измеряться рациональным числом а.
Действительно, если это число рациональное, то а =	(m, п) = 1,
и по теореме Пифагора имеем
Следовательно, т2 = 2п2. Рассмотрим возможные случаи: 1) т
нечетно; 2) т четно.
1.	Если т нечетно, то т = 2k + 1, т2 = 4&2 + 4k + 1 нечетно и
потому равенство т2 = 2п2 невозможно.
2.	Если т четно, то т = 2k, т2 — 4k2 и 2k2 = п2. Но тогда,
рассуждая аналогично, получим, что п тоже четно. А это значит, что
оба числа т и п делятся на 2, откуда (т, п) > 2, что противоречит
условию. Значит, а — не рациональное число, что и требовалось
доказать.
19
Задача измерения длины отрезка (относительно заранее заданного
“эталонного” единичного отрезка) решается полностью с помощью
бесконечных десятичных дробей. Их-то мы и будем называть веще-
ственными (действительными) числами.
Итак, вещественное число — это бесконечная десятичная дробь,
взятая со знаком “плюс" или “минус”.
Замечания. 1. Знак “плюс” в записи можно опустить.
2.	Десятично-рациональные числа, т.е. числа вида Л/10* имеют
при этом два представления, которые нами отождествляются, и мы
можем считать, что нет десятичных дробей, имеющих цифру 9 на
всех местах, начиная с некоторого.
3.	Мы отождествляем вещественные числа и точки вещественной
числовой оси, служащей изображением множества вещественных чи-
сел.
4.	Множество всех вещественных чисел обозначается буквой К.
Основные свойства вещественных чисел.
1°.	Уа,6 имеем:	или а — Ь, Ь = а, или	а > Ь, Ь < а,	или	а	< Ь, Ь> а.
2°.	Если а > Ь,	Ь> с, то а > с. Если	а = b, Ь — с,	то	а	=	с.
3°.	Уа, b g R 3!	число с £ R, такое, что а -I- Ь = с.
4°.	Уа, Ь, с £ R имеем (а -I- Ь) -I- с = а +	(Ь + с).
5°. Уа, Ь € R имеем a -f- b = Ь + а.
6°. 3! число 0 £ R такое, что а + 0 = 0 + а=а.
7°. Уа £ R 3! (—а) £ R такое, что а + (—а) = 0.
8°. Уа, Ъ £ R 3! с € R такое, что ab — с.
9°. Уа,6, с£® имеем (а6)с = а(6с).
10°. Уа,б£® имеем ab = ba.
11°. 3! число 1/0 такое, что а • 1 = 1 • а = а.
12°. Уа 0 3! а-1 такое, что аа-1 = 1.
13°. (а -|- Ь)с = ас+ Ьс.
14°. Если а > Ь, то а + с > Ь + с.
15°. Если а > Ь, с > 0, то ас > Ьс.
Указанные свойства вещественных чисел призваны отражать ко-
личественные характеристики простейших математических объектов,
таких, например, как длины отрезков, площади прямоугольников и
объемы прямоугольных параллелепипедов, а также изменения этих
величин при различных преобразованиях.
Запись числа в виде бесконечной дроби, которую мы отождествили
с самим числом, можно было бы рассматривать как одно из подобных
свойств. С другой стороны, свойствам 1° — 15° обязаны отвечать ре-
куррентные процедуры определения последовательности десятичных
20
знаков для результатов арифметических операций над двумя веще-
ственными числами, заданными бесконечными десятичными дробями.
Эти процедуры могут быть заданы на основе правила сравнения ве-
личин бесконечных десятичных дробей, которое будет рассмотрено
далее при доказательстве полноты множества вещественных чисел.
Априорность свойств вещественных чисел, т.е. тот факт, что они
рассматриваются в качестве исходных для построения дальнейшей
теории, наводят на мысль считать их аксиомами, которые определяют
(вместе с двумя другими свойствами) само множество вещественных
чисел. Однако подобный подход нас не вполне устраивает, поскольку
понятие натурального числа неявно присутствует в законах логики,
на которые мы опираемся в своих рассуждениях ([19], с. 372-378).
Подчеркнем однако исключительную плодотворность аксиоматиче-
ского метода для обоснования исходных принципов в других областях
математики. Прекрасным примером этого является идущая от Ев-
клида аксиоматика элементарной геометрии.
Есть еще несколько важных свойств вещественных чисел. К ним
прежде всего относится аксиома Архимеда (287-212 гг. до н.э.), он
сформулировал ее для отрезков:
16 °. Va € R, а > О Э п G N такое, что an > 1.
Доказательство. Если a > 1, то можно взять п = 1 и
доказывать больше нечего. Если же 0 < a < 1, то
a = 0,0.. .dfedfc+i... , di = • ••'= dfc_i = 0, a* / 0.
Тогда имеем
10* a = dfc,dfc+i • • • > а^ > 1,
т.е. свойство 16° имеет место при п = 10*, что и требовалось доказать.
Свойство 17° сформулируем и докажем позже.
Рассмотрим теперь только неотрицательные числа. Договоримся,
что для десятично-рациональных чисел рассматривается только за-
пись, заканчивающаяся нулями. Число, стоящее перед запятой в
десятичной записи числа х, будет целым, и оно называется целой
частью х или антье от х. Пишется так: [х]. Число, стоящее после
запятой, называется дробной частью х. Пишется так: {х}. Очевидно,
[х] + {х} = х. Имеем, что [х] есть наибольшее целое, не превосходящее
х. Это свойство берется в качестве определения значения символа
[х] при отрицательных х.
Примеры: [1,5]= 1; [0,3] = 0; [-0,7] =-1; [-3,5] =-4.
Далее, при х < 0 символу {х} дробной части числа х мы припи-
сываем значение: {х} = х — [х]. Таким образом, при всех х значение
символа {х} удовлетворяет условию 0 < {х} < 1.
21
Определим модуль, или абсолютную величину, числа х:
если х > О,
если х < О
(|х| выражает расстояние от нуля до точки х на вещественной оси).
Имеет место следующее неравенство (неравенство треугольника):
|а + Ь\ < |а| + |6|.
Докажем это неравенство. Имеем:
1) если аЬ > 0, то |а + 6| = |а| + |6|;
2) если ab < 0, то |а + 6| < |а| + |6|.
Множество М точек х, удовлетворяющих неравенствам:
а < х < Ь, называется интервалом (пишут: М = (а, 6));
а < х < b или а < х < b — полуинтервалом (М — (а, 6] или
М = [а, 6));
а < х < b — отрезком или сегментом (М — [а, 6]);
каждое из них называется промежутком.
Множество L точек х, определяемое соответствующим условием,
называется:
х < а или х > а — открытый луч (обозначения: L = (-оо,а) или
L ~ (а,+оо));
х < а или х > а — замкнутый луч (обозначения: L = (—оо,а]
или L = [а, +оо));
а — вершина луча.
Здесь символ +оо читается плюс бесконечность, а символ —оо —
минус бесконечность.
Лекция 4
§ 4. ПОЛНОТА МНОЖЕСТВА ВЕЩЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
Определение 1. Непустое множество А на вещественной оси №
называется ограниченным сверху, если существует число b £ №
такое, что для всех a Е А выполнено неравенство a < b. Другими
словами,
Va Е А => a < b.
Число Ь называется верхней гранью множества А. У ограничен-
ного сверху множества существует бесконечно много верхних граней,
например 6+1, 6 + 2,5 и т.д.
Аналогично определяем нижнюю грань d непустого множества А:
Va Е А => d < a.
Непустое множество А называется ограниченным, если существует
6 > 0, такое, что для всех a Е А имеем |а| < 6.
Множество В всех верхних граней 6 непустого ограниченного сверху
множества А является ограниченным снизу. Действительно, каждая
верхняя грань b Е В удовлетворяет неравенству a < 6 при любом
фиксированном а из множества А. Это и означает, что а есть нижняя
грань для В.
Сформулируем теперь свойство полноты множества вещественных
чисел № (свойство, упомянутое в лекции 3.)
17°. Для всякого непустого ограниченного сверху множества А
множество В его верхних граней 6 содержит минимальный элемент
6', т.е. существует единственный элемент Ь' Е В такой, что:
1) Ь' — верхняя грань множества А, т.е. для всех a Е А имеем
6' > a ;
2) Ь' — наименьший элемент множества В, т.е. для всех b Е В
справедливо неравенство Ь' < Ь.
Элемент 6' называется точной верхней гранью или супремумом
множества А. Обозначение: 6'= sup А.
Прежде чем доказывать это свойство, следует сказать, что точно
так же обстоит дело и с множеством нижних граней D ограниченного
снизу множества А, а именно: существует единственный элемент
d' Е D такой, что:
1) Va Е А => d' < а;
2) Vd Е D => d' > </; d1 = inf А (читается: точная нижняя грань,
или инфимум).
23
Доказательство свойства 17°. Мы построим число Ь1
конструктивно. Можно считать 0 € А, и тогда для всех b Е В имеем
b > 0. Действительно, возьмем какое-нибудь аг Е А. Заметим, что
для любой верхней грани b Е В выполнено неравенство b > aj, откуда
b — aj >0.
Теперь вместо множества А рассмотрим множество А' чисел вида
a — ai. Если нам удастся доказать, что существует число Ь\ = supA',
то тогда очевидно, что будет существовать и число b' — sup А, причем
b' = b । Т а 1.
Договоримся десятично-рациональные числа записывать только с
нулями на бесконечности. Заметим, что справедливо следующее
правило сравнения чисел между собой. Если a > 6, то выполнено
одно из двух условий:
1) Ы > И;
2) [а] = [6], {а} > {6}, причем, если {а} = 0, а^а? .. .а*, ... и
{6} — 0,61 &2   • bk ..., то найдется номер к такой, что
ai = 61,..., ak-i = 6/с-1, но ак > Ьк-
В множестве А возьмем подмножество Aq, состоящее из всех а Е А
с условием а > 0, т.е.
Ад = {a Е А | а > 0}.
Для каждого из чисел а Е Ас, рассмотрим его целую часть [а] = По(а)-
Так как 0 < [а] < а < Ь, то функция [а] при а Е Aq принимает лишь
конечное число значений. Наибольшее из этих значений обозначим
через zq. Рассмотрим множество Ai С Aq, состоящее только из тех
чисел a Е Ао, для которых [a] = zq. Заметим попутно, что для всех
а Л1 имеем неравенство а < х0.
На множестве Ai определим функцию ni(a), равную числовому
значению первого десятичного знака после запятой у числа а. Всего
она принимает не более 10 значений. Наибольшее из них обозначим
через хг. Образуем множество Аг, состоящее из чисел, принад-
лежащих Ai, у которых ni(a) = хг. Обозначим через «1(a) число,
получаемое из а заменой всех, начиная со второго, десятичных знаков
числа а нулями, т.е. если а = no,ni... , то «1(a) = Тогда
для любого a Е Аг имеем «1(a) = но при всех а Аг выполнено
неравенство а < xq,xi. Для всех а Е Аг определим функцию Пг(а),
равную значению ее 2-го десятичного знака. Наибольшее его значение
выразим через х?. Образуем множество Аз С Аг такое, что Va Е Аз
24
П2(а) = Х2- Тогда для ^(а), т.е. для числа, полученного заменой
всех, начиная с третьего, десятичных знаков числа а нулями, справед-
ливы соотношения «г(«) = xq,XiX2 Va 6 A3; а < xq,xiX2 Ча A3.
Продолжая этот процесс далее, на к-м шаге, будем иметь
Sk(a) = х0, zi;e2 .. ,хк Ча Е Ак+^;
а < Хо,Х!Х2 .  .хк Ча£Ак+1.
Таким образом, мы получили последовательность знаков, ко-
торые определяют число Ь1, имеющее десятичную запись вида
Ь' — Х0, Х!Х2 ....
Докажем, теперь что Ь' является точной верхней гранью множества
А, т.е. что b' = sup А. Для этого надо проверить следующие условия:
1)	6' — верхняя грань, т.е. для всех a 6 А имеем а < Ъ';
2)	Ъ' — наименьшая из всех верхних граней, т.е. если Ъ < Ь', то
существует а G А такое, что а > Ь.
Докажем условие 1). Допустим противное. Это значит, что
существует а 6 А, такое, что а > Ь‘. Тогда из правила сравнения
чисел имеем, что существует номер к такой, что
Sfc(a) > х0, xi ...хк — sk(b').
А это противоречит построению числа Ь'.
Теперь докажем условие 2). Если 6 < 6', то по правилу сравнения
вещественных чисел существует номер к 6 N такой, что
60Д1  • Ьк = Sk(b) < Sk^b') = Х0, 351   -хк.
Но по построению найдется элемент a g Ak+i такой, что sk(a) = sk(b'\
Отсюда имеем Sfc(6) < sk(a), b < а. Тем самым свойство 17° доказано
полностью.
Заметим, что число b' = sup А может принадлежать А, а может и
не принадлежать.
В качестве примера рассмотрим множество А рациональных чисел
а с условием а < 0 или а2 < 2 и множество В = Q \ А, составленное
из положительных рациональных чисел 6 с условием Ь2 > 2.
В силу того, что не существует рационального числа, ква-
драт которого равен двум, имеем: 1) A U В = Q; 2)А О В = 0;
3)	А ф 0, В ф 0; 4) для любых чисел а Е А и любых чисел b Е В
справедливо неравенство а < Ь.
Определение 2. Любое разбиение рациональных чисел на два мно-
жества со свойствами 1) - 4) называется сечением (дедекиндовым
сечением).
25
Ясно, что множество В “ограничивает сверху” множество А, т.е.
при любом фиксированном b Е В выполняется условие 4), и множество
В исчерпывает все множество верхних граней множества А.
Покажем, что множество В не имеет наименьшего элемента, а мно-
жество А, являющееся множеством всех нижних граней для множества
В, не имеет наибольшего элемента. Это означает, что множество Q ра-
циональных чисел не является “полным”, т.е. для него не выполнено
свойство 17°.
Действительно, предположим противное, т.е. существует минималь-
ное число &о в множестве В. Рассмотрим число Ьо — к, к Е Q такое,
что 0 < к < Тогда имеем
62 — 2
(6о - к)2 = Ъ20 + к(к - 26О) > Ь2 - к • 260 > Ъ20 - -2— • 26О = 2.
4U0
Следовательно, Ьо~к Е В, что противоречит минимальности числа Ьо-
Допустим теперь, что ао — максимальное число множества А.
Рассмотрим неотрицательное число h < 1 с условием h < 2	. Тогда
имеем
(ао + h)2 — а2 /i(2ao + h) < ад + Л(2ао -Ь 1) < ag (2 — ag) = 2.
Таким образом, число ao + к E А, что противоречит предположению
о максимальности числа а0 в множестве А.
Понятие сечений в множестве рациональных чисел было введено
Ю. В. Р. Дедекиндом (1831 - 1916) для построения теории веществен-
ных чисел. Хотя в нашем курсе эта же задача решается с помощью
бесконечных десятичных дробей, следует отметить, что дедекиндовы
сечения оказываются полезными и в других .вопросах. В частности,
на них фактически опирается строгое определение степенной и пока-
зательной функций при произвольных значениях показателя степени
и аргумента.
Определение 3. Функции Sfc(a) будем называть округлением
числа а до кто знака после запятой.
Свойство точной верхней грани. Если b = sup А, то
Уе > О 3 a Е А такое, что a > b — е.
Доказательство проведем от противного. Предположим,
что найдется е > 0 такое, что для всех а Е А выполняется неравенство
Ь — а > е. Но тогда Ъ' = Ь — е является верхней гранью множества
А, которая меньше, чем Ъ, а это невозможно, поскольку b есть
наименьшая из верхних граней, что и требовалось доказать.
Докажем еще одно свойство вещественных чисел.
26
Л е м м a 1. Для любых вещественных х, у S IR с условием х < у
существует рациональное число m/n Е Q такое, что х <	< у.
Доказательство. В силу аксиомы Архимеда (свойство
16°) для положительного вещественного числа у — х существует на-
туральное число п такое, что справедливо неравенство п(у — х) > 2.
Отсюда следует, что интервал (пх, пу) имеет длину, превосходящую
2. Следовательно, на этом интервале найдется целое число т такое,
что пх < т < пу (например, т — [пу] — 1). Согласно свойству 15° из
последнего неравенства получим искомое неравенство.
Лемма 1 доказана.
Замечание. Так же просто показывается, что между любыми чи-
слами х < у найдется- иррациональное число. Действительно, в силу
леммы 1 между числами xjy/2 и у/у/Ъ лежит некоторое рациональное
число т/п. Но тогда иррациональное число ту/2/п находится на
интервале (х,у).
§ 5. ЛЕММЫ ОБ ОТДЕЛИМОСТИ МНОЖЕСТВ, О СИСТЕМЕ
ВЛОЖЕННЫХ ОТРЕЗКОВ И ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
СТЯГИВАЮЩИХСЯ ОТРЕЗКОВ
Л[ е м м а 1 (об отделимости множеств). Пусть А и В — непустые
множества на вещественной прямой, т.е. А ф 0, В / 0, А С ®, В С К.
Пусть также для любых a Е А и для любых b Е В выполнено
неравенство a < Ь.
Тогда существует число х такое, что для всех a Е А и для всех
b £ В справедливо неравенство a < х < Ь.
Д о к а з а тельство. Из определения множества В
следует, что каждая его точка является верхней гранью множества
А. Положим х = sup А. Тогда, поскольку х — это верхняя грань,
для всех а S А имеем неравенство a < х. и так как х — точная
верхняя грань А, то х < b для любого b Е В, т.е. для всех a Е А и
для всех b Е В имеем a < х < Ь. Лемма 1 доказана.
Определение 1. Системой вложенных отрезков называется
множество М, элементами которого являются отрезки, причем для
любых Д1, Д2 Е М выполнено одно из условий: Д1 С Дг или Д2 С Д1,
т.е. все точки одного отрезка принадлежат другому отрезку.
Л е м м а 2 (о системе вложенных отрезков). Пусть М — система
вложенных отрезков. Тогда существует число х такое, что для любого
отрезка' Д Е М имеем, что х Е Д. Это значит, что все отрезки Д из
множества М имеют общую точку х.
27
Доказательство. Пусть А — множество левых концов
отрезков, принадлежащих М, В — множество их правых концов.
Тогда для всех а Е А и для всех b Е В имеем а < 6. Действительно,
пусть а — левый конец отрезка [а, 6'] Е М и Ь — правый конец
другого отрезка [а', 6] Е М.
Возможны два случая: 1) [а', 6] С [а, 6'] ; 2) [а', 6] Э [а, 6'].
В случае 1) имеем а < а' < b < Ь1, а в случае 2) имеем а' < а < Ь1 < Ь.
Тогда в силу леммы об отделимости существует число х такое,
что для любого отрезка [а, 6] Е М справедливо неравенство а < х < Ь.
Лемма 2 доказана.
Замечание. С помощью леммы 2 (о системе вложенных отрезков)
можно доказать несчетность множества точек отрезка. (Указание.
Предполагаем, что все точки пересчитаны. Отрезок делим на три
части. Тогда точка с номером один не принадлежит одному из
этих отрезков. Делим его на три части. Точка с номером два не
принадлежит одному из получившихся отрезков деления и т.д. По
лемме 2 существует точка х, принадлежащая сразу всем отрезкам,
но эта точка не занумерована.)
Определение 2. Система М вложенных отрезков называется по-
следовательностью вложенных отрезков, если все эти отрезки
занумерованы, причем любой отрезок с большим номером содержится
в любом отрезке с меньшим номером.
Определение 3. Последовательность вложенных отрезков называ-
ется стягивающейся, если среди отрезков, в нее входящих, имеются
отрезки сколь угодно малой длины. Другими словами, каково бы ни
было положительное число е, в последовательности стягивающихся
отрезков содержится и такой отрезок, длина которого меньше е.
Л е м м а 3. Последовательность стягивающихся отрезков содер-
жит общую точку и притом только одну.
Доказательство. Первая часть утверждения следует
из леммы 2.
Докажем его вторую часть. Если бы все отрезки содержали
одновременно две различные точки а и b (где а < 6), то тогда длина
каждого отрезка из М была бы больше, чем b — а > 0, но это не
так, поскольку по определению в М есть отрезки и меньшей длины.
Теперь лемма 3 доказана полностью.
Глава II
ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Лекция 5
§ 1. МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ИНДУКЦИИ. БИНОМ
НЬЮТОНА И НЕРАВЕНСТВО БЕРНУЛЛИ
Для обоснования метода математической индукции мы будем ис-
пользовать следующее свойство натуральных чисел: в любом не-
пустом подмножестве множества натуральных чисел существует
наименьшее число.
Убедимся в том, что данное свойство действительно имеет место.
Для этого возьмем какой-нибудь его элемент (это можно сделать, так
как данное подмножество не пусто). Если окажется, что выбранный
элемент минимален, то свойство доказано. В противном случае
натуральных чисел, меньших данного числа, конечно. Рассматривая
их последовательно, мы найдем требуемый минимальный элемент.
Метод математической индукции состоит в следующем: для спра-
ведливости любого утверждения, высказанного для всех натуральных
чисел п > 1, достаточно:
1)	доказать это утверждение для п = 1;
2)	предположить его справедливость при n = к и к > 1;
3)	доказать, что оно верно при п = к + 1.
Действительно, отсюда следует, что высказанное утверждение верно
для всех натуральных п. Допустим противное. Тогда множество тех
п, для которых утверждение неверно, содержит наименьший элемент
т. Число m / 1, поскольку утверждение верно для п = 1. Число т
не может быть больше 1, так как утверждение в этом случае было
бы верно для т — 1 и в силу п. 3 оно было бы справедливо и для
т, что противоречит выбору числа т.
Замечание. Методом математической индукции можно доказывать
утверждения, справедливые и при п > т, где т > 1. В ходе
доказательства надо заменить первый шаг', доказать утверждение при
п = ш, а все остальное оставить, как и прежде, при необходимости
пользуясь тем, что п > т.
Перейдем к рассмотрению формулы бинома Ньютона. Сначала
определим величину
n! = n(n — 1).. .2 • 1, 0! = 1
29
(п! читается: эн-факториал). В частности, имеем
0!=1, 1! = 1, 2! = 2-1 = 2, 3! = 3  2 1 = 6 и т.д.
Теорема1. Имеет место равенство (формула бинома Ньютона)
(1 + х)п = С° +	+ • •  + Скхк +  + (Дхп.
(Коротко эту формулу можно записать так:
(1 + г)" = £С*Л
к=0
Ск = (”) =
п!
к\(п — А:)!
— биномиальный коэффициент.)
Доказатель
с т в о проведем методом математической
индукции.
1. При п = 1 формула верна:
1 + х = 1 + х, поскольку
2. Пусть формула бинома Ньютона справедлива при п = t, t > 1.
3. Докажем, что она верна при п = t + 1. Сначала докажем
вспомогательное утверждение о биномиальном коэффициенте: при
О < к < п — 1 имеем
/п\	/ п \ _ /п + 1\
+ \Л + 1/
Действительно,
п!	п!
А:!(п - &)! (к + 1)!(п — к - 1)!
n! / 1	1 \
к*.(п - к - 1)! \п - к + к + 1J
п + 1\
к + 1)
Далее имеем
зо
Теорема 1 доказана.
Замечание. Подобным образом доказывается и формула для поли-
нома Ньютона от s неизвестных вида
где к 1,..., к, — целые положительные числа.
При изложении теории предела последовательности нам потребуется
приводимое далее неравенство Бернулли.
Теорема 2. При х > —1, х 0 и при целом п>2 справедливо
неравенство (неравенство Бернулли)
(1 + х)п > 1 + хп.
Доказательство (по индукции). Сначала убедимся,
что при п = 2 оно верно. Действительно,
+ г)2 = 1 + 2х + х2>1 + 2х.
Предположим, что для номера п = к оказалось, что утверждение
справедливо:
(1 + х)к > 1 + кх,
где к > 2. Докажем его при п = к + 1. Имеем
(1 + x)fc+1 = (1 + x)fc(l + х) > (1 + Лх)(1 + х) =
= 1 + (к + 1)х + х2 > 1 4- (к + 1)х.
Теорема 2 доказана.
Следует отметить, что метод математической индукции допускает
многочисленные, иногда неожиданные, модификации. В качестве
примера приведем доказательство одной теоремы из книги известного
норвежского математика Т. Нагелля [34].
Под методом мультипликативной индукции мы будем понимать
доказательство, которое проводится по следующей схеме.
1.	Опытным или каким-либо другим путем выдвигается гипотеза
о том, что для каждого номера n(> 1).выполнено свойство Е.
2.	Проверяется, что свойством Е обладают все простые числа р.
3.	Предполагается, что некоторое натуральное число т обладает
свойством Е.
31
4.	Исходя из предположения индукции доказывается, что числа
вида тр тоже обладают,этим свойством.
5.	Отсюда по теореме об однозначности разложения на простые
сомножители натуральных чисел, больших единицы, вытекает, что
свойством Е обладают все натуральные числа, и тем самым устано-
влена справедливость гипотезы из пункта 1 ([34], с. 16).
Докажем этим методом свойство мультипликативности функции
Мёбиуса, определяемой на множестве натуральных чисел следующим
образом:
{1	,	если	п = 1,
О	,	если	р2 делит п,
(—1)г	,	если	п = pi .. . pr, Pfc	/	pi,k	/ /,	1 < к,1 < г.
Будем говорить, что функция /(п) натурального аргумента является
мультипликативной, если для любых взаимно простых чисел тип
справедливо равенство /(mn) = /(m)/(n).
Достаточно доказать утверждение о мультипликативности функции
Мёбиуса только для чисел т и п, не делящихся на квадрат про-
стого числа, т.е. бесквадратных чисел. Зафиксируем произвольное
т. Покажем, что утверждение имеет место для п = р, где р —
произвольное простое число. Действительно, поскольку (rn,n) = 1, то
p(mp) = ( —l)r+1, если т = pi .. .рг и pi,,.. ,рг — различные простые
числа. Следовательно,
р(тр) - р(т)р(р).
Пусть утверждение верно для п = к. Докажем его для п = кр, где
р — произвольное простое число. Так как п — бесквадратное число,
то (к,р) = 1. По условию (m,n) = 1, поэтому (тк,р) = 1. Тогда по
доказанному утверждению для простых чисел и по предположению
индукции имеем цепочку равенств
д(тп) = р(ткр) — р(тк)р(р) =
= м(”»)я(*)м(р) = м(™)м(*р) =
Тем самым мультипликативность функции Мёбиуса доказана.
Заметим, кстати, что функция Мёбиуса возникает во многих обла-
стях математики, играя важную роль при изучении ее дискретных
объектов.
32
§ 2. ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. БЕСКОНЕЧНО
МАЛЫЕ И БЕСКОНЕЧНО БОЛЬШИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
И ИХ СВОЙСТВА
Определение 1. Функция, определенная на множестве натураль-
ных чисел N и принимающая числовые значения, называется число-
вой последовательностью или просто последовательностью.
Обозначения: Xi, Х2, хз..., или, коротко, {хп}, или, если это не
вносит путаницы, просто хп.
Примеры. 1. Последовательность 6П длин вложенных отрезков
(см. определение 2 §5) {Дп}, Дп С К, Дп-ц С Дп V п 6 N.
2.	хп = с при всех натуральных п (постоянная последовательность).
Определение 2. Если {хп} и {уп} —Две числовые последователь-
ности, то {хп+Уп} называется суммой двух числовых последователь-
ностей, {хп — t/п} — разностью двух числовых последовательностей,
{хпУп} — произведением двух числовых последовательностей, при
уп ф 0 последовательность {хп1уп\ называется частным двух число-
вых последовательностей.
Замечание. Обычно мы подразумеваем, что запись а/b сама по себе
предполагает выполнение условия Ь 0.
Последовательности бывают:
1)	ограниченными сверху, если найдется а такое, что для всех
членов последовательности .выполняется хп < а;
2)	ограниченными снизу, если существует b такое, что xn > b при
всех п £ N;
3)	ограниченными, если существует с такое, что для каждого
номера n 6 N имеем |хп| < с.
Определение 3. Последовательность {хп} называется бесконечно
большой, если для любого с > 0 множество тех членов последова-
тельности, которые удовлетворяют неравенству |хп| < с, конечно.
Другими словами, это значит, что для всякого с > 0 существует
номер По = По(с), такой, что все члены последовательности {хп} с
номерами, большими чем Пд, удовлетворяют неравенству |хп| > с.
Коротко это определение записывается так:
V с > 0 3 По = по(с)такое, что V п > по имеем |хп| > с.
Пример. Последовательности {уп — n}, {zn = —п} — бесконечно
большие последовательности.
2 Лекции по математическому анализу
33
Определение 4. Последовательность {хп) называется бесконечно
малой, если для всякого е > 0 множество членов последовательности
{хп}, удовлетворяющих неравенству
конечно.
Коротко это определение записывается так:
V е > 0 3 по = п0(е) такое, что V п > по => |хп| < е.
Примеры. 1. Длины отрезков из последовательности стягиваю-
щихся отрезков (см. определение 3 §5) образуют бесконечно малую
последовательность.
2. хп.= 1/п — бесконечно малая последовательность.
Чтобы это доказать, надо для всякого £ > 0 найти хотя бы одно
натуральное число по = по(е) такое, что
V п > по имеем |хп| < е.
В качестве такого по = по(е) возьмем число [1/е] + 1. Тогда для
каждого п с условием
п > по(е) =
имеем 1 < е, что и требуется.
И вообще, если надо доказать, что {хп} — бесконечно малая
последовательность, то, по существу, надо найти хотя бы одно п0(е)
с нужными свойствами, т.е. такое, что если п > Пд(е), то выполняется
неравенство |хп| < е, или хотя бы каким-либо образом доказать его
существование.
Теорема1. Бесконечно малая последовательность ограничена.
Доказательство. Пусть {гп} — бесконечно
малая последовательность. Тогда, например, неравенству |xn| > 1
удовлетворяет лишь конечное множество ее членов. Сумму модулей
таких членов обозначим через с0. При этом считаем, что со = 0, если
таких членов вообще нет. Очевидно, тогда для каждого члена хп
имеем неравенство
|х*| < с = с0 + 1.
Следовательно, бесконечно малая последовательность {zn} ограни-
чена. Теорема 1 доказана.
34
Теорема 2. Если {zn} — бесконечно большая последователь-
ность и хп / 0, то {1/хп} — бесконечно малая последовательность,
и наоборот, если {атп} — бесконечно малая последовательность и
хп /0, то {1/хп} — бесконечно большая последовательность.
Доказательство. Ограничимся рассмотрением только
прямого утверждения. В этом случае при любом е > 0 неравенство
|1/х*;| > е равносильно неравенству |хп| < с = 1/е, которому, в свою
очередь, удовлетворяет лишь конечное множество членов, поскольку
{zn} — бесконечно большая последовательность. Это значит, что
{1/гп} — бесконечно малая последовательность. Теорема 2 доказана.
Теорема 3. 1. Если {хп} — бесконечно малая последо-
вательность, то {|хп|} — бесконечно малая последовательность, и
наоборот.
2. Сумма (разность) двух бесконечно малых последовательностей
есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Первое утверждение теоремы непосред-
ственно следует из определения бесконечно малая последовательность.
Докажем второе утверждение.
Пусть {хп} и {уп} — бесконечно малая последовательность. Тогда
для любого е > 0 существуют номера пДе/2.) и п2(е/2) такие, что
Vn > ”ч|)	1Хп1< |
и Vn>nJ|j => Ы<|.
Тогда, полагая no — max(ni(е/2), П2(е/2)), имеем
Vn > п0 => |®п ± Уп| < |хп| + |уп| < т + z - £
Следовательно, {хп ± уп} — бесконечно малая последовательность.
Теорема доказана.
Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного
числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая
последовательность.
Доказательство очевидно.
Теорема 4. Произведение бесконечно малой последователь-
ности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая
последовательность.
Доказательство. Пусть {г*} — бесконечно малая
последовательность, а последовательность {у*} ограничена. Тогда
при некотором с > 0 имеем |уп| < с для всех n £ N. Далее, так
35
как {я/с} — бесконечно малая последовательность, то для всякого
е > 0 найдется номер ni(ei) с условием, что |xn| < Ei = е/с для всех
п > ni(Ei). Поэтому, полагая n0(e) = пДе/с), будем иметь
Vn > п0(е) => \хп  уп\< \хп\ с < -  с - г.
С
Другими словами, {хпуп} есть бесконечно малая последовательность.
Теорема 4 доказана.
Следствие!. Произведение двух бесконечно малых
последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Согласно теореме 1 одну из
двух бесконечно мешая последовательность мы можем рассматривать
как ограниченную последовательность. Тогда их произведение будет
бесконечно малой последовательностью в силу предыдущей теоремы.
Следствие доказано.
Следствие 2. Произведение любого конечного числа
бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая после-
довательность.
Доказательство получается очевидным последовательным
применением предыдущего утверждения. Следствие доказано.
Теорема 5. Если {хп} — постоянная и бесконечно малая
последовательность, то хп = 0.
Действительно, если хп = с ф 0, то в |с|/2-окрестности нуля нет
ни одной точки нашей последовательности, и это значит, что {хп} не
является бесконечно малой последовательностью. Теорема 5 доказана.
Примеры. 1. {gn} — бесконечно малая последовательность при
М < 1-
Действительно, если 0 < q < 1, то q — ------, где h > 0. В силу
1 + h
неравенства Бернулли
(1 4- h)n > 1 + nh при п > 2.
Отсюда имеем
qn < ------ < —.
1 4- nh nh
Зададим теперь е > 0. Нам надо выбрать по = по(е) так, чтобы
для каждого п > по выполнялось неравенство qn < е. Для этого
достаточно, чтобы было справедливо такое неравенство:
1 , 1 1
— < е nh > - п> —.
nh	е	he
36
Положим
По = п0(е) =
Покажем, что для всех п > ng имеем дп < е. Это следует из цепочки
неравенств
n 1 1 1 _
*7	nh + 1	71g Л	1/he • h
следовательно, {g"} есть бесконечно малая последовательность.
2. nqn — бесконечно малая последовательность при |g| < 1.
Рассмотрим случай 0 < q < 1. Тогда q = ------где h > 0. Из
1 + п
формулы бинома Ньютона имеем
(1 + h)n >	ПРИ п > 2.
Отсюда получим
n п	2	2	2
П9 " (1 + Л)" < (n- 1)Л2 <£’ П l> eh2' П> еЛ2+1,
Положим
’ 2 ‘
п° —	+ 2.
ЕЙ2
Тогда для всех п > ng будем иметь nqn < е.
Лекция 6
§ 3. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Определение 1. Последовательность {ап} называется сходящей-
ся, если существует число I 6 № такое, что последовательность
an = an — I является бесконечно малой последовательностью.
В этом случае говорят, что {ап} сходится или что {ап} имеет
предел и этот предел равен I. Записывают это так:
lim an = I или ап —> I при п —> оо.
п—>оо
Это определение на “е-языке” можно записать следующим образом:
Ve > 0 3 по = по(е), такое, что Vn > п0 имеем |ап — /| < е.
Будем говорить также, что последовательность {ап} расходится к
“плюс бесконечности”, если для любого с > 0 лишь для конечного
числа членов ее выполняется неравенство
an < с.
Обозначается это так:
lim an - +оо или an —) +оо при п —) оо.
п—>оо
Последовательность {ап} расходится к “минус бесконечности”, если
для любого b < 0 лишь для конечного числа членов её выполняется
неравенство
an > b.
Обозначается это так:
lim an — —оо или an —) —оо при п -> оо.
п—>оо
И, наконец, последовательность {ап} расходится к “бесконечности”,
если для любого с > 0 лишь для конечного числа членов ее выпол-
няется неравенство
|а„| < с.
Обозначается это так:
lim ап = оо или an —> оо при п —> оо.
п—к»
38
Утверждение 1. Если {ап} сходится, то она имеет единственный
предел.
Доказательство. Пусть это не так. Тогда существуют
числа li ф I? такие, что последовательности an = an — li и = ап — 12
обе являются бесконечно малыми последовательностями. Отсюда
an -f-Zj = ап — /Зп +1?, поэтому li —12 — Рп - ап есть бесконечно малая
последовательность. Но тогда по теореме 5 § 2 имеем 1\ —	— 0, т.е.
h — h-
Утверждение 2. Если {ап} — бесконечно малая последователь-
ность, то lim an = 0.
n—>00
Доказательство. Действительно, при I = 0 имеем
ап — 0 = ап есть бесконечно малая последовательность, т.е. предел
{ап} при п ->оо равен 0.
Утверждение 3. Если {ап} сходится, то она ограничена.
Доказательство. Если {ап} сходится, то найдется
число I такое, что an — ап—1 — бесконечно малая последовательность.
Значит, существует с > 0 такое, что при всех натуральных п имеем
|ап| < с. Но а„ = I + ап, откуда
|«п| - |/ + «п| < |/| + |«п| < |/| + с = Ci,
т.е. {ап} — ограниченная последовательность, что и требовалось
доказать.
Утверждение 4. Если lim an — I и ап ^0, I О, то существует
n —>оо
По 6 N, такое, что при всех п > по имеем |а„| > |/|/2 (или, что то же
самое, 1/|ап| < 2/|/|/.
Это означает, что последовательность {1/ап}, составленная из
обратных величин, ограничена.
Доказательство. В силу условия имеем, что an — an —I. —
бесконечно малая последовательность. Тогда вне |1|/2-окрестности
нуля лежит только конечное число членов последовательности {ап}.
Пусть по — самое большое значение номера таких членов; тогда
при всех п > п0 имеем |ап| < |/|/2. Отсюда при этих п получим
(1~ап- а„)
|/| = |ап - а„| < |ап| + | - ап| = |ап| + |а„|.
Следовательно,
 I 171 к Ь 1/1 1'1 1'1
|ап| > HI - lQn I > |‘| - у = у,
что и требовалось доказать.
39
Утверждение 5. Если ап h, bn -» /2 при п —> оо, то сп =
ап ± Ьп -> /1 ± I2 при п —> оо. Другими словами, для сходящихся
последовательностей предел их суммы равен сумме их пределов.
Доказательство. Из условия имеем an = ап — li, 0П =
bn - h — бесконечно малые последовательности. Следовательно,
сп - (/i ± /2) = (ап ± М - (/1 ± /2) = (*п ± /?п = 7п —
бесконечно малая последовательность. Значит, из определения преде-
ла имеем
lim сп =li
n—loo
что и требовалось доказать.
Утверждение 6. Если ап —> li, bn -> I2 при п -> оо, то сп = апЬп —>
1112 при п —> оо (предел произведения равен произведению пределов).
Доказательство. Имеем an = li + ^п, bn = h + fin,
cn = anbn = hh + ctnh + РД1 + anftn = lih + 7n- Ho 7n — бесконечно
малая последовательность, так как она есть сумма трех последователь-
ностей, каждая из которых есть бесконечно малая последовательность.
Отсюда
lim сп = lih-
n—loo
Доказательство закончено.
Утверждение 7. Пусть lim ап = /1, lim bn = h, h 0. Тогда
П—>ОО	П-+О0
,. яп 11
lim — — —, т.е. если предел знаменателя не равен нулю, то предел
П-4-ОО Ьп 1"2
отношения равен отношению пределов.
Д о к a з a m
an
cn = —- и
bn
e л ь c m в о. Рассмотрим последовательности
/1	11 n	11
Уп = Cn — 7- — 7
I2	bn	I2
Яп^2 ЬД1
bnh
Un — 11 T &n — On	— bn 12-
Из условия вытекает, что ап, /?п есть бесконечно малая последова-
тельность . Нам достаточно доказать, что тоже является бесконечно
малая последовательность. Для этого запишем уп в виде
_ (h + O!n)^2 — (h + flnfli _ аДг — Pnli 1
7" ~	Vb	~ h	Гп
ГГ,	«Ж /?Д1	(
теперь заметим, что последовательность --------------- является бес-
<2
конечно малой в силу утверждений 5 и 6, а последовательность
1/&п ограничена в силу утверждения 4. Но тогда по теореме 4 §2
последовательность уп является бесконечно малой. Таким образом,
lim cn = h/h, что и требовалось доказать.
40
Пример. Сумма членов бесконечно убывающей геометрической
прогрессии. Пусть sn = а + aq +----t-aqn~l. Тогда
n-1 п	а — aqn
qsn = aq-\----Ь aqn + aq , sn = —---------.
1 - 9
Так как при |g| < 1 имеем {?"} — бесконечно малая последователь-
ность, то
s = lim sn = :---•
n—icc	1 — q
Доказательство закончено.
Заметим, что величину s можно представить в виде
s — lim sn = --------------------------•
n—>оо	1 — q
где sn =	называется n-й частичной суммой ряда, а
величина rn = s — sn — остатком ряда.
§ 4. ПРЕДЕЛЬНЫЙ ПЕРЕХОД В НЕРАВЕНСТВАХ
Утверждение 1. Пусть lim ап = I; тогда, если для всякого п
п—>оо
имеет место неравенство ап > с (или ап > с), то I > с.
Доказательство. Из условия имеем, что ап —
ап — I — бесконечно малая последовательность, причем ап = ап —
с - I
I > с — I. Если допустить, что с — I > 0, то тогда при е =	—
получим, что Е-окрестность нуля вообще не содержит ни одной точки
последовательности {ап}- Это противоречит тому, что {ап} есть
бесконечно малая последовательность. Значит, с — I < О, I > с, что и
требовалось доказать.
Утверждение 2. Пусть lim an = I; тогда, если ап < с (или ап < с)
п—>оо
при всех п е N, то I < с.
Доказательство. Если Ьп = — ап, то bn -» — I при
п -4- оо, Ьп > — с (или Ъп > —с). Тогда из утверждения 1 имеем, что
—I > —с, т.е. I < с, что и требовалось доказать.
Утверждение 3. Пусть 1нПп-юо ап — llt Птп-юо bn — 12. Тогда:
1) для ап < Ьп имеем Zj < 1%;
2) для ап < Ьп имеем h < 12-
Доказательств о. Рассмотрим сп = Ьп —ап. По условию
сп > 0 (или сп > 0 ) при всех п и сп —> б = h —при п —> оо.
Согласно утверждению 1 в обоих случаях имеем 5 > 0, т.е. I2 >li,
что и требовалось доказать.
41
Утверждение 4. Если {ап} — бесконечно малая последователь-
ность и при всех натуральных п имеем |/?n| < а„, то Зп — тоже
бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Из условия следует, что любая
Е-окрестность нуля вместе с точкой ап содержит и точку /?п, так
что вне этой Е-окрестности могут находиться /Зп только с такими
номерами, для которых |ап| > е. Но так как {ап} — бесконечно малая
последовательность, то их число конечно, и поэтому {/Зп} — тоже
бесконечно малая последовательность. Доказательство закончено.
Утверждение 5. Пусть an < cn < Ьп для всех п 6 N, и пусть
limn-юо an = I, 1ш1п_юо/>п = /• Тогда существует предел	сп
существует и равен I.
Доказательство. Из условия следует, что 0 <
сп — ап < Ьп — ап- Но справедливо соотношение (&п — ап) —> 0, т.е.
Ьп — ап — бесконечно малая последовательность . Но тогда по
утверждению 4 (сп— ап) — тоже бесконечно малая последовательность,
т.е. (сп — ап) -> 0. Следовательно, сп = (сп - ап) + ап —> 0 + / = I при
п —> оо, что и требовалось доказать.
Примеры. 1. Если а > 1, то limn-»» у/а = 1.
Действительно, Да = 1 + ап, ап > 0. Тогда
(X — 1
а = (1 + an)n > 1 + пап, 0 < ап < ---.
п
По утверждению 5 имеем lim ап — 0, откуда следует, что lim Да =
п—>оо	п—>оо
1.
2.	lim Дп — 1.
п—>оо
Действительно, положим д/п=1 + ап- Тогда
п(п — 1) ,	п(п — 1) ,	„	/ 2
п = 1 + пап +-------а„ + • • • >--х--ап, 0 < ап < Д- -.
2	2	у п — к
По утверждению 5 имеем lim ап = 0, откуда следует, что
п—>оо
lim д/п = 1.
П—>00
3.	Пусть lim ап = а. Тогда
п—>оо
r Ctl + • • • + Яп
lim -----------------= а.
п-+оо	71
Действительно, пусть Ь.
доказать, что
а. Тогда lim bn = 0, и достаточно
lim
п
= 0.
42
Так как {fen} — бесконечно малая последовательность , то суще-
ствует с > 0 такое, что при всех п имеем
|fen| < с при всех п.
Кроме того, для любого е > 0 существует по = по(е) такое, что при
всех п > по справедливо неравенство |6П | < е. Следовательно,
fei Т • • • Т ЪПа 4- fenp-n Т • •  Т fen
п
спо + (» - п0)£ < 2е
п п	’
если только сп^/п < е, п > с.п^/е, т.е. n > max ( по, сп0/г I. Отсюда
уже легко следует требуемый результат. Доказательство закончено.
Теорема! (теорема Штольца). Пусть: 1) уп+\ > уп >
О, 2)	уп = Too, 3) существует lirrin^^ yZ+i-v" ~ 1 Тогда
существует предел
Нт = /.
п-»оо уп
Доказательство. Из условия теоремы вытекает, что
Т с*п, где ап — бесконечно малая последовательность.
Поэтому для всякого е > О существует N = N(e) такое, что при всех
n> N имеем |оп| < е/2.
Полагая значение номера равным последовательно N,... ,п, полу-
чим следующую систему равенств:
®п+1 1уп + 1 = Хп — 1уп т Оп(3/п + 1	Уп)'.
XN+1 — lyN+l = XN — lyN Т <Хк(ум+1 — ух).
Сложим эти равенства:
г-п+1 - lyn+i = %х - lyx Т ап(Уп+1 - Уп) Т---Ь алг(з^+1 - ух)-
Заметим, что все разности вида уь+\ ~Ук, k — 1,..., N в этом равен-
стве положительны. Поэтому выполняя очевидные арифметические
преобразования и переходя к неравенствам, получим
kn+l - lyn+x | <	- 1ук] Т |«п||з/п+1 - Уп|т---Ь |o!n||2/n+i - Ух\,
lx’n+i — lyn+i I <	— 1ук \ Т |s/2|(yn+i — уп) Т • •  Т |е/2|(ух+i — Уя),
Уп+1
~ lyN |	£ ?М+1 - Уы
Уп+1	2	2/n+i
43
Поскольку lim уп = +оо, то существует п\ = пДе), такое, что для
п—>оо
всех п > п\ справедлива оценка
|ждг - /удг I £
Положим no = max(ni,Ar). Тогда для любого п > ni будем иметь
аТпч-1
Уп + 1
Е.
Следовательно, при п —> оо имеем хп/Уп I- Теорема 1 доказана.
Лекция 7
§ 5. МОНОТОННЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ. ТЕОРЕМА
ВЕЙЕРШТРАССА. ЧИСЛО “е” И ПОСТОЯННАЯ ЭЙЛЕРА
Определение 1. Последовательность называется
невозрастающей, если хп+\ < хп для всех п G N (обозначение:
Хп I);
неубывающей, если xn+i > хп для всех натуральных п (обозна-
чение: хп t};
убывающей, если xn+i < хп для всех п g N (обозначение: хп
возрастающей, если xn+i > хп (обозначение: хп ff).
Теорема1 (теорема Вейерштрасса). Пусть {ап} — неубываю-
щая и ограниченная сверху последовательность. Тогда {ап} сходится
и lim an = sup{an).
п—>оо
Доказательство. Так как {ап} ограничена сверху,
то существует sup{an}. Пусть I = sup{an}. Покажем, что lim an = I.
п—>оо
Другими словами, требуется доказать, что
On On I
есть бесконечно малая последовательность, т.е. что для любого е > О
существует номер п0 = ng(e) такой, что при для всех п > по имеем
|an| < £ Но sup{an} = 0. Это значит, что:
1) ап < 0 для любого
2) для любого е > 0 найдется число к такое, что — е <	< 0.
Но ак не убывает, поэтому при всех п > к имеем
-г < afc < ап < 0, |an| < |«к| < £
Таким образом, в качестве щ = по(г) можно взять указанное выше
число к.
Теорема 2. Невозрастающая, ограниченная снизу последо-
вательность имеет предел, равный inf{an}.
Доказательство. Вместо {an} рассмотрим последо-
вательность {6„}, Ьп = -ап. Тогда inf{an) = -sup{6n) и теорема 2
следует из теоремы 1.
45
Пример. Итерационная формула Герона.
Пусть
1 / а \
®n+i — z I хп + — I >
* \ /
где а — фиксированное положительное число, Ж; — любое положи-
тельное число. Докажем, что {жп} — убывающая последовательность
при п > 2, ограниченная снизу величиной у/а, и что Ншп-юо хп = у/а.
Действительно, имеем:
1) !„+! - у/5 = |(х„ +	- yfa =	> 0;
2) хп - жп+1 = хп - ^(хп +	> о.
Из предыдущих формул получим х? > • • • > хп > у/а.
Далее, в силу теоремы Вейерштрасса для монотонной последо-
вательности существует lim хп = х > у/а > 0. Тогда справедливо
п—>оо
равенство
1-	1 (	а \
lim Жп+1 = - lim хп + —------ ,
п-юо	2 \п-юо	hm хп/
п—>оо
т. е.
При вычислении квадратного корня из положительного числа по
итерационной формуле Герона число верных десятичных знаков бы-
стро растет. Важно отметить, что если в процессе вычислений допу-
щена ошибка, то в дальнейшем она будет автоматически исправлена
(саморегулирующийся итерационный процесс).
Дадим другое доказательство того, что хп —> > равенства Т + /П- (Жп ± xn+1±v^- 2жп имеем Г-	/	г-\	2 V® 	 1	у® \ хп+1+-Уа	\xn +	y/aj Положим ж, — у/а । /~ = <Г Ху + у/а При > 0 имеем < 1. Далее получим X fl —" у/о,	пП—1 t Т~Ч хп + у/а откуда	/а при п —> оо. Из
46
л	Г ^Ч	г
Дп — V Я — .	2n-1 V Я-
1 — q2
Заметим, что величина Дп определяет скорость сходимости данного
итерационного процесса.
Далее так как q2"	— бесконечно малая последовательность, то
lim хп = у/а.
п-юо
Число е.
ТеоремаЗ. Последовательность
Яп
п
имеет предел.
Доказательство. Сначала заметим, что при k > 1
к'. = к(к- 1).. .2 • 1 > 2fc-1.
По формуле бинома Ньютона получим
Но тогда
"	1	1
ап < 2 + TjfcZ? = 3 - 2^Т < 3’
fc=2
Кроме того, в выражении <т при к > 2 с ростом п возрастает к-й
член суммы и число членов всякий раз увеличивается на единицу,
т.е. ап не убывает и {ап} ограничена.
По теореме Вейерштрасса последовательность {ап} сходится. Тео-
рема 3 доказана.
Следуя Эйлеру, предел этой последовательности обозначают через
е- Известно, что
е = 2,7 1828 1828459045 ...
Постоянную е называют неперовым числом или числом Д. Непера
(1550-1617). Логарифм числа а по основанию е называется натураль-
ным логарифмом числа а и обозначается символом In а.
47
Рассмотрим далее последовательность Ьп
. Имеем
b
п
lim bn
П—ЫХ>
lim
n—>оо
lim (14— ) = е.
n-+oo V 71 J
Последовательность {6П} убывает. Действительно, из неравенства
Бернулли при п > 1 имеем
_Л 1	V+1 п + 1 Л п + 2 \ п+ 1 _
\"^п2 + 2п/	п + 2>\+ п(п +1)/ п + 2
_ (п + I)3 + п(п + 1)
п(п + 2)2
Следовательно, Ьп > е. Так как Ьп > е > ап, то
/	1 \п 1	з
О <С гп — е ап <С bn ап — ( 1 + I •	.
\	п) п	п
Величина гп характеризует скорость сходимости последовательно-
сти {ап}.
Поскольку число е играет важную роль в анализе, дадим для него
другое выражение.
Т еорема4. Пусть
, 1 1 1
Сп~1 +Й + 2!+”' + ^!'
Тогда lim сп — е.
п—>оо
Доказательство. Имеем, что последовательность {сп}
является монотонно возрастающей и ограниченной. Действительно,
сп<1 + 1+^ + ^ + - -+2^1 = 3-^-<3.
Следовательно, существует предел 1нпп_юо сп =ej. Далее, так как
48
то е < ej.
Тогда при фиксированном s < п имеем
A	V' 1	1
fc! “ (п + 1)!
е — иррациональное.
ь с т в о. Допустим противное. Тогда e — pfq,
сделанного выше замечания имеем
0 < е — с.
1
Отсюда
е = lim ап > lim d,(n) — с3,
П—¥<Х>	П—>OQ
т.е. e — верхняя грань для {с,}. Но так как
lim с, — sup{c,} = ej,
З-ЮО	3
то е > ei- Следовательно, е — е\. Теорема 4 доказана.
Заметим еще, что если е — сп + гп, то
1	1
+ п + 2 + (п + 2)2 + "
_	1_______1	_ п + 2	1
(п + 1)! 1 — 1/(п + 2) (п + 1)(п + 1)! < п • п!
Теорема 5.
Доказател
(p,q) = 1, И с учетом
Домножая обе части неравенства на </!, получим, что А = д!(е — сч)
есть целое число и в то же время 0 < А < 1/q, что невозможно.
Доказательство закончено.
Дадим определение еще одной известной константы, играющей
важную роль в математическом анализе.
Теорема 6. Пусть
, 1	1	,
7n = 1 + х Ч-1---Inn.
2	п
Тогда существует предел у = lim уп.
п—>оо
Д о к а з ательств о. Последовательность {7п} монотонно
убывает. Действительно,
7п+1 - 7п = ——т - In (п + 1) + In п = —Ц- - In | 1 +	<0,
п+1	п+1	\ п I
49
так как
/	। \ п+1
1 < In I 1 + - )
X	п /
поскольку
/	1 \ п+1
е < 1 + -	=Ь,
\	п)
что было уже доказано выше.
Далее покажем, что последовательность {7П} ограничена снизу
числом 0. Из доказательства теоремы 3 имеем
In
< 1,
т.е.
In
п + 1
п
1
п
Поэтому
,	1	1	1	!	2	1	3	! П+ 1	1
7n = 1 + - +-1--In п > In - + In - Ч-h In-In n =
2 n	12	n
Следовательно, по теореме Вейерштрасса последовательность {7n}
имеет предел, что и требовалось доказать.
Данный предел называется постоянной Л. Эйлера и обычно
обозначается буквой 7 или буквой С. Для этой константы Эйлер
вычислил 15 десятичных знаков после запятой, а именно:
7 = 0,5 77215664 9015 32...
Отметим, что с арифметической природой постоянной Эйлера свя-
зан ряд старых математических проблем. В частности, до сих пор
неизвестно, является ли константа 7 алгебраическим или трансцен-
дентным числом. Попытки выразить эту константу через известные
величины, например, через тг, е или логарифмы алгебраических чи-
сел, пока тоже не имели успеха. Поясним, что число называется
алгебраическим, если оно является корнем алгебраического много-
члена с целыми коэффициентами. Заметим также, что если у этого
многочлена коэффициент при старшей степени неизвестной равен еди-
нице, то данное число называется целым алгебраическим числом.
Очевидно, что к алгебраическим числам относятся все рациональные
числа. Если же число не является алгебраическим, то оно называется
трансцендентным.
В качестве еще одного приложения теоремы Вейерштрасса о пределе
монотонной последовательности приведем пример последовательности,
задаваемой с помощью простой формулы и принимающей только
значения простых чисел.
50
Теорема 7( теорема Миллера). Существует такое вещественное
число а > 1, что если
а = а0, 2а° = «1,.. .,2“п = а„+1,..
то [ап] — простое число при всех n > 1. Другими словами, существует
вещественное число а > 1 такое, что при всех n > 1 натуральные
числа
являются простыми числами при всех n > 1.
Доказательство теоремы 7 опирается на знаменитую
теорему П. Л. Чебышёва, известную так же как “постулат Бертрана”
(см., например, [18]): для любого х > 1 существует простое число р
такое, что х < р < 2z.
Построим последовательность рп — [ап] по индукции. Положим
Pi — 3. По теореме П. Л. Чебышёва существует простое число Рп+i,
удовлетворяющее условиям
2Pn <Pn+i <Pn+1 + l < 2Pn+1.
Если Pn+i + 1 — 2Pn+1, то pn+i = 2Pn+1 — 1 не может быть простым,
так как оно имеет делитель 2г(р"+1) — 1. Следовательно,
2₽n <pn+1 <р„+1 + 1 <2Pn+1.
Положим
U„ = log2...log2pn,vn = log2   .log2 (Pn + 1).
n	n
Очевидно, из неравенств
Pn < log2pn+1 < log2 (p„+i + 1) < pn + 1
имеем un < u„+i < vn+i < vn, так что un, vn — монотонные после-
довательности. Следовательно, по теореме Вейерштрасса существует
предел lim un — а и un < а < vn.
п—>оо
а = log2 .. .log2 an,
n
то в силу монотонности функции у = log2 х получим рп < an < рп + 1,
т.е. р„ = [ап]. Доказательство теоремы 7 закончено.
51
Лекция 8
§ 6. ТЕОРЕМА БОЛЬЦАНО-ВЕЙЕРШТРАССА
О СУЩЕСТВОВАНИИ ЧАСТИЧНОГО ПРЕДЕЛА
У ОГРАНИЧЕННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Определение 1. Пусть {ап} ;— некоторая последовательность и
пусть {Д} — некоторая строго возрастающая последовательность,
состоящая из натуральных чисел. Тогда последовательность Ьп = akn
называется подпоследовательностью последовательности an.
Определение 2. Если существует lim bn = I, то I называется
n->oo
частичным пределом или предельной точкой последовательности
{«п}-
Теорема! (теорема Больцано-Вейерштрасса). Из всякой
ограниченной последовательности {ап} можно выбрать сходящуюся
подпоследов ательнос ть.
Д о к а з a m е л ь с m в о. По условию имеем, что найдется
с > 0 такое, что |ап| < с для всех п. Разделим отрезок Д = [—с, с]
пополам. Один из получившихся отрезков содержит бесконечное
число членов последовательности. Назовем его Ц и в качестве
первого члена в искомой подпоследовательности возьмем какой-либо
элемент аП1 g Д, т.е. положим Д = аП1. Затем отрезок Д снова
разобьем на два и обозначим через Д ту его половину, которая
содержит бесконечно много членов последовательности {ап}. Среди
них выберем такой член аП2, номер которого пг превосходит число ni,
и положим Д = аП2. Повторяя описанную процедуру применительно
к отрезку Д, получим отрезок Д С Д и член Д = аПз с условием
пз > П2- Далее таким же образом найдем 64 = an„ Е Ц С Д,
Д = «п5 6 Д С Д и т.д. В результате мы получим числовую
последовательность {Д} и последовательность вложенных отрезков
{Д}, причем Д g Д, Д = аПк, nk < nk+\ при всех k Е Ы. Другими
словами, {Д} будет подпоследовательностью для {а*}.
Осталось показать, что {Д} сходится. Для этого заметим, что
длина Д отрезка Д равна с • 2~fc+1, откуда Д —> 0 при к —> оо. Это
значит, что последовательность вложенных отрезков {Д} стягивается
и все отрезки Д имеют единственную общую точку I. Именно это
число I и будет пределом для {Д}. Действительно, если Д = [sfc, Д],
то sfc < Z < Д, Д -	= Д, Ofc = / -	< Д, /Д = Д - Z < Д. Но так
как Д —> 0 при к —> оо, то щ -> 0 и Д 4 0, откуда sk — I 4- а* —> I,
tk = I + 0k —> I- И так как Д = аПк, sk < аПк < tk, то Д = аПк —> I при
к —> оо, что и требовалось доказать.
52
§ 7. КРИТЕРИЙ КОШИ ДЛЯ сходимости
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
Очевидно, что из теоремы 1 §6 прямо вытекает следующее необхо-
димое и достаточное условие сходимости последовательности.
Определение 1. Последовательность {ап} называется фундамен-
тальной или последовательностью Коши, если выполнено условие:
V е > 0 3 по = по(е), такое, что V m, п > по имеем |ат — ап| < г.
Теорема1 (критерий Коши). Для того чтобы последова-
тельность {ап} сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была
фундаментальной.
Доказательство. Необходимость. Если liningan = I,
то для любого £ > 0 существует по = По(г), такое, что для всякого
п > По имеем |ап — /| < е/2.
Следовательно, для любых т, п > по
|an dm | = |(Нп ty ~ {dm 01 — I®” — 0 3"	0 < Q + 9 = £-
Поэтому {ап} — фундаментальная последовательность.
Достаточность. По условию последовательность {ап} является
фундаментальной.
1. Докажем, что {ап} ограничена. В самом деле, возьмем £ —
1. Тогда найдется п0 = п0(1) такое, что для всех п > по имеем
|ап - аПо| < 1. Но тогда
|апI < |ап - ап„| + |вп0| < 1 + |«ПО| = h.
Отсюда
|а„| < max(|ai|,..., |аПо|,й) = с.
2. В силу теоремы Больцано-Вейерштрасса существует сходящаяся
подпоследовательность аП1,..., аПк,-> а при k —> оо.
Условие ее сходимости можно записать так:
Ve > 0 3 fcj = кДе) такое, что V к > к] имеем |аПй — а| < е/2.
Пусть Ni = n/tl и N = max ^по ^s/2^,	. Тогда для всех n > N
и nt > N имеем
£ £
l&n <з| — |<3п аПк Ч- апк а| < 1ап I 4" |anfc < q 4” л ~
л
т.е. последовательность {ап} сходится. Теорема 1 доказана полностью.
Важно отметить, что теорема 1 допускает следующую перефор-
мулировку, полезную для доказательства расходимости конкретных
последовательностей.
53
Теорема 2. Для расходимости последовательности {ап}
необходимо и достаточно, чтобы она не была фундаментальной, т.е.
существовало число е > 0 такое, что для каждого п0 6 N нашлись бы
номера тп> по и п > по, для которых выполнялось бы неравенство
Примеры. 1. an = 1 + | +-----1- Возьмем е = 1/2. Тогда при
любом m имеем неравенство
1	1ml
X2m Xm —	: 7 + ‘	+ X > Z — ~ •
m +1	2m 2m 2
Последовательность {ап} расходится (здесь мы полагаем m = по,
п = 2m).
2. Для решения уравнения Кеплера
x — asinx = y (0 < a < 1)
используют метод последовательных приближений:
хо = У, XI = у + asinxo,..., хп — у + ot sin xn_i.
Докажем, что существует £ = lim хп и что х = f является един-
п—>оо
ственным корнем уравнения Кеплера.
Согласно критерию Коши для любого е > 0 существует число
no = n0(e) такое, что при всех п > по и при всех р > 1 имеем
|хп+р—хп| < £. Оценим модуль разности |агп+р—тп|. В силу неравенства
|sinj/| < |1/| имеем
l^-n-ьр Хп | — о^| sin Хп+р— 1 sin хп_ 11 < а|zn^_p_j	тп_j <
< а2|тп+р_2 - хп-2| < ап|тр - х0| = an+1|sinxp_i| < an+1.
Далее поскольку |a| < 1, последовательность {an+1} является бес-
конечно малой последовательностью. Поэтому для любого е > О
существует ni = пДе) такое, что при всех п > ni имеем |an+11 < е.
Теперь в теореме 1 положим по = щ. В результате получим,
что последовательность является фундаментальной и, следовательно,
сходится к некоторому числу £. Поэтому, переходя к пределу при
п —> оо в равенстве хп = у-у asinxn_i, получим £ = j/+asin£, т.е.
х — £ есть решение уравнения Кеплера. Далее, если — другое его
решение, то тогда |£i	= a|sin<! — sin<| < a|<i - £|, и если 0 <,
то отсюда имеем 1 < а, что не так по условию. Другими словами,
х = £ — единственный корень уравнения, что и требовалось доказать.
Уравнение Кеплера ввел в рассмотрение И. Кеплер (1571-1630) при
изучении движения планет по эллиптической орбите (задача двух
тел).
Глава III
ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Лекция 9
§ 1. ПОНЯТИЕ ПРЕДЕЛА ЧИСЛОВОЙ ФУНКЦИИ
Мы познакомились с понятием предела числовой последовательно-
сти. Последовательность — это функция, определенная на множестве
натуральных чисел. Но еще большую роль в анализе играет по-
нятие предела функции, определенной на всей числовой оси или
на каком-либо ее промежутке либо луче. В дальнейшем мы будем
рассматривать целый ряд понятий подобного рода. Эти понятия по
своему духу близки как между собой, так и с уже рассмотренным
нами понятием предела последовательности. Перечислим наиболее
важные из них:
1)	I = lim f(x) -— предел функции f(x) в точке го;
2)	I = lim f(x) — правый предел функции f(x) в тачке го;
3)	1= lim /(г) — левый предел функции /(г) в точке го;
Г—►Г о —
4)	I = lim /(г) — предел функции /(г) при г —> оо;
X—
5)	I = lim /(г) — предел функции /(г) при г -> ±оо;
Будем считать, что функция /(г), о пределе которой будем го-
ворить, определена на всей числовой прямой R или на некотором
множестве А, являющемся его подмножеством, т.е. А С R. Этим мно-
жеством А, например, может быть интервал, отрезок, совокупность
промежутков и вообще какое угодно бесконечное множество. Важно
только, чтобы точка го, к которой устремляется аргумент функции
/(г) (т.е. г —> го), являлась предельной точкой множества А, а
именно: чтобы в любой 5-окрестности точки го содержалось беско-
нечно много точек из множества А. В случае г —> оо или г —> ±оо
это означает, что множество А должно быть: не ограничено, если
г —> оо; не ограничено сверху, если г —> +оо; не ограничено снизу,
если г —> —оо.
В дальнейшем нам понадобится следующее определение.
Определение. Множество точек г, принадлежащих А и удовле-
творяющих неравенству 0 < |г — го| < 5, называется проколотой
6-окрестностью точки го (относительно множества А).
При А = Ш проколотая 5-окрестность точки го состоит из двух
интервалов: (го — 5, го) U (го, го + 5).
55
Определения предела .
Обозначения	По Коши	По Гейне
1 -- lim f(x) ИЛИ f(x)->l при х —> aro	Число 1 называется при х - Vs > 0 3 6 = <5(е) > 0 такое, что Var: (х 6 А, 0 < |аг — а?о| < <S) =►!/(*)-/|<е	пределом функции /(х) -> xq, если V последовательности {a:n}: хп / х0 Vn Е N хп Е А и хп -4 х0 при п -4 оо имеем f(xn) —> 1
1 = lim f(x) Г->-Го + ИЛИ /(*)-►/ при х -4 хо+	Число 1 называется прав при х - Ve > 0 3 6 = <5(е) > 0 такое, что Var: (х € А, 0 < х — аго < <£) =► |/(х)-/| < е	>ым пределом функции f(x) 4 Хд, если V последовательности {хп}: хп > х0 Vn Е N хп Е А и хп -4 а?о - при п -4 оо имеем /(агп) -4 1
1 = lim f(x) х-Ио — ИЛИ f(x)^l при X -4 Х$ —	Число 1 называется лев при х - Ve > 0 3 S = <5(е) > 0 такое, что Var: (а: Е А, — 6 < х — хд < 0) =► |/(х) - Z| < е	ым пределом функции f(x) 4 а?о > если V последовательности {агп}: хп < х0 Vn Е N хп Е А и хп -4 Хо при' п -4 оо имеем /(а:п) -4 1
1 = lim f(x) X—юо ИЛИ /(*)-►* при X —¥ 00	Число 1 называется при х - Vs > 0 3 с = с(е) > 0 такое, что Vx: (х Е А, |х| > с) =► |/(X) - Z| < £	пределом функции /(х) оо, если V бесконечно большой последовательности {а;п}: хп 6 А, при п -4 оо имеем f(xn) -4 1
1 = lim f(x) T->+oo v ' ИЛИ при х -4 +оо	Число 1 называется при х — Vs > 0 3 с = с(е) > 0 такое, что Vx: (а: Е А, х > с) =Я/(*)-Л<Е	пределом функции f(x) З-оо, если V бесконечно большой^ пос- ледовательности хп > 0: хп 6 А, при п -4 оо имеем f(xn) -4 1
1 = lim f(x) х-*-оо или при X -4 —оо	Число 1 называется при X —! Vs > 0 3 с = с(е) < 0 такое, что 'ix: (х £ А, х < с) => |/(х)	< £	аределом функции f(x) —оо, если V бесконечно большой пос- ледовательности хп < 0: хп Е А, при п -4 оо имеем f(xn) -4 1
56
Для всех этих видов пределов справедливы теоремы, аналогичные
теоремам о пределах последовательности. Например, если f\ (х) -> li,
/2 (х) —> I2 (при одном и том же виде стремления аргумента х), то:
1)	/1(а:)±/2(х)->/1,±/2,
2)	fi(x)h(x)-+hl2,
3)	Ш ь при 12 * °’
Если с(г) — постоянная, т.е. с(х) = I для любого х 6 А, то c(ar) -> I.
Доказательства этих теорем, по существу, повторяют доказатель-
ство утверждений для сходящихся последовательностей. Но тем не
менее их надо провести, а это заняло бы у нас очень много времени.
Для того чтобы этого избежать, мы дадим общее определение преде-
ла, под которое будут подходить все рассмотренные, нами пределы, в
том числе и предел последовательности. Речь идет о так называемом
пределе по базе множеств..
§ 2.	БАЗА МНОЖЕСТВ. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ ПО БАЗЕ
Определение 1. Пусть А есть область определения функции f(x).
Тогда совокупность множеств {6} = В, где b С А, называется базой
множеств или просто базой для множества А, если для ее элементов
выполняются следующие условия:
1)	В состоит из бесконечного числа непустых множеств {&};
2)	V 61,62 6 В 3 63 £ В такое, что 63 С 61 П 62.
(Здесь надо помнить, что 61, 62, 63 суть подмножества множества А.)
Элементы множества В называются окончаниями базы В. Само
множество А будем называть основным множеством базы В. Далее
для любых двух окончаний 61 и 62 базы В с условием 62 С 61 будем
говорить, что 62 следует за 61, а 61 предшествует 62.
Определение 2. Число I называется пределом функции f(x) по
базе В, если для любого е > 0 существует окончание 6 £ В такое,
что при всех х £ 6 имеем неравенство |/(х) — /| < £.
Обозначение:
limf(x)=l или f(x)—>l (по базе В).
В
В этом случае еще говорят, что f(x) сходится к I по базе В.
Аналогично определяются следующие пределы:
lim f(x) = 00 (±00).
В
Следует заметить, что с точки зрения формальной корректности
определения 2 предела функции по базе В, вообще говоря, требование
бесконечности множества окончаний в базе В является избыточным.
57
В случае конечного количества окончаний данное определение мало-
содержательно и не отражает в достаточной степени существа понятия
предела.
Важно отметить, что если вместо основного множества А базы В
взять любое ее окончание Ьо, то совокупность В' окончаний базы В,
следующих за Ьо, с учётом сделанного выше замечания, тоже образует
базу множеств. При этом из существования предела limf(x) = I
следует, что существует предел lim f(x) = I и наоборот. В силу этого
В*
свойства на практике между базами В и В' фактически не делается
никакого различия.
Примеры баз.
1.	А = N. База Во (обозначение: п —> оо) состоит из множеств /> =
Ns, s > 1, где N-, — множество натуральных чисел {s, s +1, s + 2,...}.
Тогда предел по базе Во — это предел последовательности {ап}:
х = п, fix) = ап и limfix) = lim ап.
Bq	П—tCO
2.	А = Ж. База Bi состоит из всех проколотых 5-окрестностей
точки хо, 5 > 0 (обозначение: х —> го). Тогда lim f(x) — это предел
Bi
при х —> хо, т.е.
lim f(x) = lim f(x).
Bl	Т-4-Яо
3.	A = Ж. База В? (x —> xq+) состоит из всех интервалов вида
(х0,г0 + <5), где 5 > О,
limfix) = lim fix).
Bi ' r-»ro+
4.	A — Ж. База B$ (x —> xq—) состоит из всех интервалов вида
(х0 -6,х0), где 5 > О,
lim/(x) = lim /(х).
В$	—
5.	А = IR. База В4 (х -> оо) состоит из всех множеств {6}, где Ь
есть объединение двух лучей: (—оо, — с) U (с, +оо), О О,
lim/(x) = lim fix).
Bt	C-+00 ' '
6.	A = Ж. База B$ (х —> +оо) состоит из всех лучей вида (с, +оо),
где с > О,

7.	A = IR. База Bg (х —> — оо) состоит из всех лучей вида (—оо,с),
где с < О,
58
Легко убедиться в том, что все эти совокупности множеств
Bi, Вг,..., В7 действительно удовлетворяют определению базы. Про-
верка всех этих множеств на соответствие определению базы одно-
типна. Поэтому мы ограничимся рассмотрением только множества
В2.
1) В2 состоит из окончаний Ь — bg вида (xq — S, aio) U (^о, *о + <9	0,
где 8 — произвольное положительное число. Следовательно, В?
является бесконечным множеством, и каждое его окончание Ь( не
пусто.
2) При всех <51 < 82 имеем bg, nbg3 = bglt т.е. и второе условие базы
выполнено.
Таким образом, множество В2 является базой множеств.
Определение 3. Пусть множество D С А (где А — область опре-
деления f(x)) и пусть существует с > 0 такое, что |/(аг)| < с при всех
х Е D. Тогда функция f(x) называется ограниченной (числом с) на
множестве D.
Аналогично определяется ограниченность функции f(x) на множе-
стве D сверху и снизу.
Определение 4. Функция, ограниченная (ограниченная сверху,
снизу) на каком-либо окончании базы В, называется финально огра-
ниченно^ финально ограниченной сверху, снизу) относительно
этой базы.
Утверждение 1. а) Пусть f(x) = с при всех х £ Ь, где b —
некоторое окончание базы В. Тогда lim/(аг) = с.
б) Если предел функции по базе В существует, то он единственен.
Доказательство, а) Для любого е > 0 возьмем
окончание b Е В. Тогда при всех х Eb имеем |/(а;) — с| = 0 < е.
б) Допустим противное, т.е. что существуют /1 ф I2 такие, что
lim f(x) = /1, lim/(a;) = l2.
В	в
Возьмем е = ^~<31. Тогда:
3 bi = 6i(e) £ В такое, что V х Е 61 имеем |/(аг) —/ J < е;
3 62 = 62(г) 6 В такое, что V х £ 62 имеем \f(x) — /2| < е.
По определению базы существует 63 такое, что 63 С 61 П 62. Выберем
какое-нибудь х Е 63. Тогда имеем
1*1 - /21 = |(/(х) - /2) - (f(x) -11 )| < |/(х) -h| + |/(а:) - /11 < 2£ = |h -/21,
что невозможно. Утверждение 1 доказано полностью.
59
Утверждение 2. а) Если lim/(x) = I, то функция f(x) финально
В
ограничена числом |/| + 1.
б) Если lim/(x) = I и I /0, то функция д(х) = 1//(х) финально
ограничена числом 2/|Z| на окончании 6(]Z|/2), а функция f(x) на том
же окончании имеет знак, совпадающий с I.
Доказательство.
Для базы Bi (х —> хо)	В общем случае
а) Возьмем е = 1. Тогда найдется 6 = 5(1) такое, что при всех х из проколотой 5-окрестности имеем 1Ж) -'1 < 1. Отсюда при всех х: 0 < |z — z0| < 5 имеем |/(ж)| = |(/(х) - Z) + Z| < <|/(z)-Z| + |Z|<l + |Z|, что и требовалось доказать.	а) Возьмем е = 1. Тогда найдется Ь = 6(1) — окончание базы В такое, что при всех х Е 6 имеем |/(z)-Z|<l. Отсюда при всех х Е 6 получим l/(z)| = №) -Z) + Z|< <l/(*)-'l + l'l<i + l'l, что и требовалось доказать.
б) Разберем только случай 1 > 0 (второй случай аналогичен). Возьмем е = Z/2. Тогда найдется 6 = 5(e) >0 такое, что при всех х: 0 < |х — zq| < 5 имеем |/(z) — Z| < е = Z/2. Следовательно, справедливы неравенства: /(х) - Z >-Z/2, /(*)>'/2>0, 0 < д(х) = l//(z) < 2/Z. Утверждение 2 доказано.	б) Разберем только случай 1 > 0 (второй случай аналогичен). Возьмем £ = Z/2. Тогда найдется 6 = 6(e) >0 — окончание базы В такое, что при всех х Е 6 имеем |/(z) — Z| < е = Z/2. Следовательно, справедливы неравенства: /(я) — Z > —Z/2, /(*) > Z/2 > 0, 0 < g(x) = l//(z) < 2/Z. Утверждение 2 доказано.
Утверждение 3. Пусть существуют пределы
lim/(z) = /1, Нтз(х)=/2-
В	в
Тогда справедливо равенство
lim(/(z) +<z(z)) = Zi +l2-
В
Выражаясь не вполне строго, можно сказать, что предел суммы двух
функций равен сумме их пределов.
60
Доказательство.
X -> Хо	В общем случае
В качестве радиуса искомой (5-окрестности возьмем 8 = тш((51(е/2),<У2(£/2)), где 51 (е/2) — это радиус проколотой (51-окрестности точки то, в которой |/(т) — /1| < е/2, a J2 — это радиус проколотой (52-окрестности точки xq, где |^(т) — /2| < е/2. Тогда проколотая (5-окрестность ТОЧКИ То содержится и в (51-окрестности, и в (52-окрестности точки то- Поэтому имеем Vt ; 0 < |т — т0| < (5 |(/(т) +5(т)) - (/i +/2)| < < |/(®) -/11 + |р(ж) — /г| < е, что и требовалось доказать.	В качестве окончания Ь(е) возьмем одно какое-либо окончание 63 такое, что />з С &1(е/2) П 62(е/2), где &i(s/2) — окончание, на котором |/(т) - /1| < г/2, а 62(г/2) — это окончание, на котором |(?(т) — /2| < е/2. Тогда Vt Е />з имеем |(/(т) + <,(т))-(/1+/2)|< < |/(х) - /11+ |р(т) - /2| < е, что и требовалось доказать.
Утверждение 4. Пусть f(x) = д(х) при всех х Е Ь, где Ь —
некоторое окончание базы В и Нт/(т) — I. Тогда lim<?(r) = I.
В	в
Доказательство. Имеем g(x) — f(x) + ((/(т) — /(т)).
Так как при всех х Е b имеем g(x) — f(x) = 0, то по утверждению 1 а)
получим Нт(^(т) — f(x)) = 0. Отсюда
Ит<7(ж) = lim f(x) + 1пп(<7(т) — f(x)) — I + 0 = I,
В	В	В
что и требовалось доказать.
Определение 5. Если Нта(т) = 0, то функция а(х) называется
в
бесконечно малой функцией по базе В.
Замечание. Из утверждений 1 а) и 3 следует, что условие суще-
ствования предела lim/(z) = I эквивалентно условию, что функция
а(т) = fix) — I
«
есть бесконечно малая по базе В.
Утверждение 5. Пусть функция а(х) является бескрнечно малой
по базе В, f(x) финально ограничена по той же базе,
< |а(т)/(т)|.
Тогда функция В(х) будет бесконечно малой по базе В.
61
Доказательство.
X—>Xq	В общем случае
Для любого s>0 надо указать число 5=5(г)>0 такое, что Vx: 0<|х—х0|<<£ => |/?(х)|<Е В силу финальной ограниченности функции /(х) существует <51 >0 такое, что Vx:0<|x—х0|<51 |/(х)|<С. Найдется <52=<У2(е/С7)>0 такое, что Vx: 0<|х—хо|<<^2 имеем |a(x)|<si. Положим 5=пйп(51,<52(г)). Тогда Vx: 0<|х—х0|<£ имеем |^(х)|<|о(х)|-|/(х)|<г/С-С=£, что и требовалось доказать.	Для любого £>0 надо указать окончание 6=6(г) базы В такое, что при всех xEb => |/3(х)|<е. В силу финальной ограниченности функции /(х) окончание i>i такое, что при всех xgi>i => |/(х)\<С. Найдется 62=62(ei)£B такое, что при всех xEb2 => |а(х)|<г/С’. Возьмем окончание 63 из условия &зС61П62(£1). Тогда при всех хЕб(е) имеем |^(x)i<|o(x)H/(a;)|<e/C.C=£, что и требовалось доказать.
Утверждение 6. Пусть limf(x) =li, lim^ar) = l2. Тогда
lim/(x)</(x) = lrl2.
В
Доказательство. Имеем /(x) = l\ + a(x), g(x) = l2+/3(x),
где a(x), /3(x) — бесконечно малые функции по базе В. Тогда получим
f(x)g(x) - /Д2 = а(х)/2 + /3(x)li + а(х)13(х) — б.м.,
что и требовалось доказать.
Утверждение 7. Пусть lim/(x) = /1, lim^(x) = /2, h ф 0. Тогда
В	в
lim—г = —.
В д(х) /2
Доказательство. Имеем
f(x) _	h _ h + а(х) _ Л	_ а(х)12 - P(x)li	1	_ ,
р(х)	12	/2 + /?(х)	/2	/2	д(х) 7 Х	’
a(x)l2 - 0(x)li
Здесь ------------------- — бесконечно малая функция по базе В,
h
1/д(х) — финально ограниченная функция по той же базе, поэтому
7(х) есть бесконечно малая функция по базе В, что и требовалось
доказать.
Лекция 10
§ 3. СВОЙСТВО МОНОТОННОСТИ ПРЕДЕЛА ФУНКЦИИ
Утверждение 1. Пусть с 6 К, lim f(x) = I и, кроме того, f(x) > с
В
(или f(x) > с) на некотором окончании Ь базы В. Тогда I > с.
Д о к а з a m е л ь с m в о. По условию a(x) = f(x) — I —
бесконечно малая функция, причем для всех х Е Ъ
a(ar) = f(x) — I > с — I.
Допустим, что с — Z > 0. Тогда для е = найдется окончание
G В такое, что при всех х € bi имеет место неравенство |а(х) | < г.
Заметим, что найдутся окончание 62 С b П Ь\ и точка х Е 6г, для
которой выполнены неравенства
е > |a(ar)| > a(x) >с — I = 2г > 0.
Отсюда вытекает, что 0 < 2г < г, что невозможно. Тем самым
утверждение 1 доказано.
Утверждение 2. Пусть limg f(x) = li, lima g(x) = 1%,
f(x) < g(x) на некотором окончании b базы В.
Тогда li < 12-
Доказательств о. Рассмотрим h(x) = g(x) — f(x). По
условию h(x) > 0, lim/i(z) = I l2 —1\. Из утверждения 1 имеем I > 0,
В
т.е. /2 > h, что и требовалось доказать.
Утверждение 3. Пусть f(x) < g(x) < h(x) на некотором окончании
базы В,
lim/(x)=Z, lirn6(z)=Z.
в	в
Тогда существует lim</(z) = Z.
В
Доказательство. Из условия имеем
0 < <?(«) ~ f(x) < h(x) - f(x),
а(х) — h(x) — f(x) —> 0 (по базе В),
63
т.е. a(ar) — бесконечно малая функция по базе В.
Но так как |^(а:)-/(2:)| < <Дх), то по утверждению 5 § 2 g(x)-f(x) —
бесконечно малая функция по базе В. Тогда
lim5(ar) = lim(<?(x) - f(x)) + lim/(ar) = 0 + I = I,
В	в	в
что и требовалось доказать.
§ 4. КРИТЕРИЙ КОШИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ПРЕДЕЛА
ФУНКЦИИ ПО БАЗЕ
Теорема (Критерий Коши). Для существования предела
функции f(x) по базе В необходимо и достаточно, чтобы для любого
е > 0 существовало окончание Ь — Ь(е) такое, что при всех х,у 6 b
было справедливо неравенство
|/(*) -№)1 < £•
Доказательство. Необходимость. Пусть limp f(x) = I.
Тогда для любого е > 0 существует окончание Ь\ — bi(e/2) Е В такое,
что при всех х, у g 61 имеем
Отсюда при всех х, у 6 61
1/(*) -	< 1№) - Л + |/(У) - /| < | + | = е.
Достаточность. Докажем, что /(х) финально ограничена. Дей-
ствительно, возьмем е = 1. Тогда существует 6(1) £ В т^кое, что при
всех х,у 6 6(1) имеем |/(ar) — /(t/)| < 1. Зафиксируем у. Тогда при
всех х Е 6(1)
1/(*)1<1/(*)-/(2/)1 + |/(у)1< 1 + 1№)|.
В силу условия Коши для любого е > 0 существует 6(г) £ В такое, что
при всех x,2/g6(e) имеем |/(х)— f(y)\ <е. Но это значит, что е есть
64
верхняя грань значений величины |/(х) — /(^)| для всех х, уЕ 6(г).
Используя также финальную ограниченность /(х), получим
m(e) = inf У(х) 6 R, Л/(г) = sup f(x) Е R,
®€Ь(е)	г€6(с)
£ > sup |/(х) - /(у)| = sup (/(аг) - /(у)) =
= sup /(х)— inf f(y) = Л/(г) - т(г).
г6Ь(с)	У£Ь(с)
Положим s = sn = 1. Тогда можно считать, что б(^) С при
всех П2 > П]. Действительно, если, например, б(|)	6(1), то вместо
б(|) можно взять 63 из условия 63 С 6(1) П б(|) и т.д. В силу этого
имеем
m(~-) < т(^-)’ м(-М > м("М•
«1	«2	«1	П2
Кроме того, при всех х Е 6(e) справедливо неравенство
т(£) < f(x) < W)-
Каждому е = еп > 0 соответствует свой отрезок In = [m(i),M(£)].
Вся совокупность отрезков 1п образует последовательность стягиваю-
щихся отрезков, так как при еп > е.
т(еп) < т(Е,) < М(е,') < М(еп),
т.е. I3 С 1п. .
По лемме о системе стягивающихся вложенных отрезков существует
точка I такая, что для любого номера п имеем I Е 1п-
Докажем, что
lim/(x) = I.
Для этого нам надо доказать, что для любого ео > 0 существует
&1(£о) £ & такое, что при всех х Е 6Де) справедливо неравенство
|/(х) -/| < ео-
В качестве бДео) возьмем б(^), где п > 2EQ1. Тогда при всех
Х<У € М£о) по условию Коши выполняется неравенство
1/(*)-№)1<^<у-
п 2
•1екнин по математическому анализу
65
И при всех х Е 6i(so) имеем
Кроме того, I 6 Это значит, что
ml — < < < м I — 1.
\п J “ ~	\п/
Отсюда
|/(ar) -/| < М (-) - т(-) <	< го-
\ П/ \ nJ 2.
Теорема доказана полностью.
Определение. Две базы Bi и Вг называются эквивалентными,
если любое окончание базы Bi содержится в некотором окончании
базы В2, и наоборот.
Заметим, что для эквивалентных баз утверждения о пределах будут
выполняться одновременно.
Лекция 11
§ 5. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЙ СХОДИМОСТИ ПО
КОШИ И ПО ГЕЙНЕ
Теорема. Сходимости функции f(x) по Коши и по Гейне
при х •—> хо эквивалентны. Другими словами, существование предела
функции по Коши при х —> Хц влечет за собой существование предела
функции по Гейне по той же базе и наоборот, причем в обоих случаях
значения пределов совпадают.
Доказательство. 1. Пусть существует lim f(x) по
Коши. Докажем, что существует соответствующий предел по Гейне.
Действительно, из условия имеем, что
V е > О Э 8 = 5(e) > 0, такое, что V х : 0 < |х — хо| < <5
выполняется неравенство |/(х) — /| < г.
Пусть {хп} — произвольная последовательность, стремящаяся к
хо при п —> оо и хп ф хо при всех n £ N. Тогда для любого 8 > О
существует Aj = АД5) такое, что при всех п >
О < |хп - х01 < 8.
Так как 8 можно взять любым, то и для 8 = 8(e) справедливо то же
утверждение.
Нам надо доказать, что для любого е > 0 найдется номер N(e)
такой, что
V n > N(e) имеем |/(хп) - /| < е.
Положим N(e) = N\(8(e)). Тогда, ввиду того, что
О < |х„ - х0| < 5(e),
имеем |/(хп) — 1| < е. Тем самым прямое утверждение доказано.
2. Докажем теперь обратное утверждение. Пусть для любой после-
довательности {хп} с условиями хп —> хо и хп ф хо имеем /(хп) —> I
при п —> оо.
Далее будем рассуждать от противного. Пусть I не является
пределом функции /(х) по Коши. Это значит, что найдется е > О,
такое, что
V 5 > О Э х : 0 < |х — хо| < 5,
Для которого выполняется неравенство |/(х) — /| > Е.
3»
67
Рассмотрим последовательность 8п — 1/п. Тогда для любого п
найдется число хп такое, что: 1) хп Хо, 2) |xn - zo| < 1/п> но
3) |/(zn) - /| > е. Заметим, что числа {агп} образуют последо-
вательность, сходящуюся к- х0- Следовательно, в силу сходимости
по Гейне при п —> оо существует предел lim f(xn) = I. Но то-
п—юо
гда, переходя к пределу в неравенстве |/(а:п) — /| > £, будем иметь
О = |/ —/| > s. Полученное противоречие устанавливает справедливость
второго утверждения теоремы. Доказательство закончено.
§ 6. ТЕОРЕМЫ О ПРЕДЕЛЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Напомним, что сложной функцией /г(г) называют функцию вида
= №(х)),
где /(у) и д(х) — некоторые функции такие, что область определе-
ния f(y) содержит все множество значений, принимаемых функцией
д(х). Функцию h(x) еще называют композицией (или суперпозицией)
функций f и д. Символически это записывается так: h = f°g-
Следовало бы ожидать, что справедлива следующая теорема:
Пусть lim д(х) = уо, lim f(y) = I. Тогда, имеем
lim f(g(x)) = I.
Такое утверждение справедливо, например, для непрерывных функ-
ций. Однако в общем случае эта теорема неверна.
Пример.
f(x)
О,
1,
если х О,
если х — О,
Я(я) = 0.
Тогда
lim д(х} = 0,
lim f(x) = 0,
х —>0
/(«/(я)) = 1 v X е R, lim f(g(x)) = 1.
х—>0
Тем не менее, справедливы следующие утверждения.
Теорема1. Пусть lim д(х) = yG, lim f(y) = f(yo). Тогдг
имеем *
lim f(g(x)) - f(y0).
68
Д о к а з а тельств о. Нам надо доказать, что для
любого е > 0 существует 6 = <5(е) > 0 такое, что при всех х с
условием 0 < |х - хо| < 5 имеем |/(д(х)) ~ /(Уо)| < Далее, для
любого заданного е > 0 существует 5Х = Ai (г) > 0 такое, что при всех
у- |!/-Уо| < 51 имеем \f(y) - f(yo)\ < £ Для этого <5г существует
5 — 5(51) > 0 такое, что при всех х с условием 0 < |х — хо| < 5 имеем
|j(«) - 2/о| < •
Полученное 5 нам и требовалось найти.
Теперь при всех х с условием 0 < |х — ато| < 5 имеем |</(х) —j/o| < 51
Следовательно, \f(g(x)) — f(yo)\<£. Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть lim хп = a, lim f(y) = f(a). Тогда имеем
п—>оо	у-+а
lim f(xn) = /(а),
rwco
Доказательство. Надо доказать, что для любого
е > 0 существует no — по(е) такое, что при всех п > по выполняется
неравенство |/(агп) — /(а)| < е. По условию имеем:
1) для любого е > 0 существует <5i = <5i(e) > 0 такое, что при всех
у с условием |у — а| < 51 выполняется неравенство |/(у) — /(а)| < С
2) существует по = но(<51) такое, что при всех п > по выполняется
неравенство |хп — а| < <51.
Положим по = по(<М£))- Тогда при всех п > по имеем
|хп - а| < 51 и |/(х„) - /(а)| < е.
Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Пусть lim g(x} = уо, причем для всех х из
некоторой проколотой окрестности точки xq имеем д(х) / у0, и пусть
lim №) = I-
У~*Уо
Тогда
lim /(g(x)) =/.
Доказательство. Нам надо доказать, что для любого
s > 0 существует 6 = 5(г) > 0 такое, что при всех х с условием
О < |х — х0| < 5 выполняется неравенство
|/(д(х)) -/| < £.
69
По условию имеем, что для любого е > 0 существует = <5i(e) > О
такое, что при всех у с условием 0 < |j/ — 3/01 < выполняется
неравенство
1№)-Л<е-
Для заданного <$i > 0 имеем также, что существует 6^ — <5(<5\) > О
такое, что при всех х с условием 0 <	— а?о I < <^2 выполняется
неравенство |^(х) — j/o| < <51- И, кроме того, по условию существует
<5з > 0 такое, что при всех х с условием 0 < |аг. — а?о| < <^з справедливо
неравенство д{х) / т/о- Тогда возьмем
5 = min(<53,52(<М£)))-
Получим, что при этой величине 6 выполняется требуемое неравенство.
Теорема 3 доказана.
Пусть теперь f(x) имеет предел по базе В. В каком случае
сложная функция h(t) = f(g(t)) по некоторой другой базе D имеет
тот же предел? Другими словами, когда в функции, стоящей под
знаком предела, разрешается делать замену переменной х на новую
переменную t с соответствующей заменой базы В на новую базу
D так, чтобы значение предела сохранялось? Здесь имеет место
следующая теорема.
Теорема 4. Пусть lim/(ar) = I. Тогда для того чтобы
существовал
= I,
достаточно, чтобы при отображении х = g(t) каждое окончание Ъ базы
В содержало (целиком !) образ некоторого окончания d базы D.
Доказательство. В силу определения предела функции
по базе В имеем, что для всякого г > 0 существует окончание
b ~ 6(г) Е В такое, что при всех х Е Ь имеем |/(х) — < е.
Из условия теоремы следует, что существует окончание d Е D
такое, что g(d) С Ь, и, следовательно, для любого t Е d
что и означает справедливость утверждения теоремы. Доказательство
закончено.
Примеры. 1. Пусть
lim fix) = I, х —
X —>ОО	t
70
Тогда
lim f ( -
t-+o ' \ t
Действительно, любое окончание b = {ж | |ж| > с} базы В (ж —> оо)
содержит целиком образ окончания d = {t | |/| < 1/с} базы D (/ —> 0).
2. Пусть
1,	если х = 0,
0,	если х / 0,
К*) = {
и g(t) = 0. Тогда
lim f(x) = 0, но lim/(^(/)) = 1,
т.е. сложная функция имеет другой предел. В этом случае окончания
b$ 6 В (х —> 0) имеют вид 0 < |ж| < 5, но образ любого окончания
d Е D, d = {t \ 0 < |t| < Ji}, имеет вид х = 0, т.е. в окончании Ь$
базы В не содержится образ ни одного окончания базы D, т.е. не
выполнены условия теоремы 1.
3.	Пусть f(x) -> I при х —> а и g(t) -+ а при t -> b, причем g(t) / а
в некоторой проколотой окрестности точки Ь. Тогда для сложной
функции h(t) имеем h(t) — f(g(t)) —> I при t —> b.
Действительно, каждое окончание базы х —> а представляет собой
некоторую проколотую окрестность точки х = а. Но в силу условия
g(t) —> а и g(t) / а при t —> b эта окрестность содержит образ некоторой
проколотой окрестности точки t = b при отображении х = g(t). Таким
образом, здесь выполнены условия теоремы 1, и поэтому h(t) —> I при
t —> b, что и требовалось доказать.
Доказанные нами теоремы применяются при вычислении пределов
функций.
4.	При х —> 0 имеем
ж2 + 2ж + 1 О2 + 2 • 0 + 1
ж3 + х + 1 О3+ 0+1
5.	При х —> 2 имеем
22 + 2 • 2 + 1 _ 9
23 + 2 + 1 “ ТТ’
6.	При х —> оо имеем
/(ж) =
->0.
71
§ 7. ПОРЯДОК БЕСКОНЕЧНО МАЛОЙ ФУНКЦИИ
Определение 1. Пусть а(х), 0(х), у(х) бесконечно малые функции
по базе В. Тогда, если а (г) представлена в виде
«(®) = P(xYf(x),
то говорят, что а(х) имеет больший (или более высокий) порядок
малости, чем (3(х) или у(х).
Определение 2. Бесконечно малые функции а(г) и /3(х) называ-
ются эквивалентными (по базе В), если разность
6(х) — а(х) — /3(х)
имеет более высокий порядок малости, чем а(х) (или (3(х)). В этом
случае пишут: а ~ (3 (по базе В).
Утверждение 1. Следующие утверждения эквивалентны: 1) а ~ (3
(по базе В); 2) £ ~ 1 (по базе В), j ~ 1 (по базе В).
Доказательство. 1) По условию 6 = а — [3 имеет более
высокий порядок малости, чем а, т.е. 6 = a~f, где 7 — бесконечно
малая функция. Следовательно, имеем (3 = а — 6,
(3 а-6	а(1 -7)
— =-----—---------= 1 — 7 —> 1.
а а	а
2)	Обратное утверждение доказывается аналогично.
Определение 3. Пусть функция д(х) не обращается в нуль на
некотором окончании базы В.
1.	Если функция h(x) = финально ограничена (по базе В), то
пишут
f(x) = О(д(х)) (по базе В).
Читается: f есть О большое от д по базе В. Или пишут так:
f(x) д(х) (по базе В).
В случае, когда f(x) д(х) << /(ж), говорят, что функции f(x) и
д(х) имеют одинаковый порядок по базе В.
2.	Если функция h(x) — бесконечно малая, то пишут f(x) = о(д(х)).
Читается: f есть о малое от д.
3.	Если существуют число 6 > 0 такое, что для любого окончания
b базы В найдется х Е b с условием |/г(ж)| > 6 > 0, то пишут
f(x) — Q(<jr(;r)) (по базе В).
Читается: f есть омега от g (по базе В).
4.	Функция f(x) = O(xm) при х -> 0 называется бесконечно малой
порядка тп.
Знаки О(д), о(д), £1(д) предложены Э. Ландау, а знак < ввел
И. М. Виноградов.
72
Примеры. 1. При г —> оо
^±1 = 0(1).
х + 2 v '
2.	При х —> оо
sin ж	sin ж	sinz _/1
	= о(1),		— ОI — ,		= Q —
х-------------------------------------х-\х)	х \х
3.	При х —> 0+ имеем у/х — х ~ у/х.
/vskip5mm
4,	При х —> +оо имеем у/х — ж ~ —х.
Глава IV
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Лекция 12
§ 1.	СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ В ТОЧКЕ
Определение 1. Функция /(х) называется непрерывной в точке
хо, если выполнено одно из следующих эквивалентных условий:
l)Vs>035 = 5(e) > О V х: |х — х0| < 5 => |/(х) — /(х0) | < е;
2)	lim /(х) = /(хо);
г->г0
3)	lim f(x) = f\ lim x);
X—^Xq	V X—¥Xq J
4)	/(x) = /(xq) + a(x), где a(x) — бесконечно малая функция при
х -> хо, о(хо) = 0;
5)	для любого е > 0 имеем: е-окрестность точки /(х0) содержит
образ (при отображении f) некоторой окрестности точки xq.
Эквивалентность этих определений следует из доказанных ранее
теорем о пределах.
Определение 2. Функция называется непрерывной справа, если
/(х0+) = lim f(x) = f(x0)-
x-txo +
непрерывной слева, если
/(хо-) = lim /(х) = /(х0).
г-+г0-
Утверждение 1. Для того чтобы f(x) была непрерывной в точке
х0, необходимо и достаточно, чтобы f(x) была одновременно непре-
рывна справа и слева.
Доказательство. Необходимость. Если /(х)
непрерывна, то /(х) —> /(хо) при х —> xq. Это значит, что для любого
е > 0 существует 6 = 5(e) > 0 такое, что при всех х: |х — хо| < 5
справедливо неравенство |/(х) — /(хо)| < е. Но тогда при всех х:
—5 < х — хо < 0 имеем |/(х) — /(хо)| < £, т.е. /(х) непрерывна слева.
Непрерывность справа устанавливается аналогично.
74
Достаточность. Функция /(ж) непрерывна справа и слева при
ж->ж0. Тогда
V Е>0 3 5i=<Ji(e)>0 V х: 0<ж-ж0<£1 =► |/(ж)-/(ж0)|<£;
3 <J2=<f2(e)>0 V х: -52<ж-жо<О =>• |/(ж)-f(x0)|<е.
Возьмем 6 = min(<Ji,J2)- Тогда для любого е > 0 существет 6 > О
такое, что при всех х: |ж — ж0| < 6 имеем [/(ж) — /(жо)| < £, т.е. /(ж)
непрерывна в точке xq. Утверждение доказано.
Пример. Пусть f(x) непрерывна в каждой точке отрезка [а, 6].
Тогда функция
FW = 12	“ Лж) ^2 Сп
а<п<х	а<п<х
тоже непрерывна в каждой точке отрезка [а, 6] (непрерывность в
концевых точках отрезка понимается как непрерывность справа или
слева).
Действительно, имеем: функция F(x) непрерывна при х = х0, где
xq — нецелое число, поскольку в некоторой окрестности этой точки
G(x) — 52 сп/(п), А(х) = 52 с« — постоянные. Пусть х0 —
а<п<х	а<п<х
целое число. Тогда
F(x0+) = lim F(x) = V cnf(n) - f(x0) V c„ = F(z0),
x —►Tqt	*' ~	~	t
a<n<x0	a<n<xo
F(xo-) - lim F(x) = V cnf(n) - f(x0) V cn = F(x0).
T—^Xq—	•
a<n<XQ— 1	a<n<xo— 1
В силу предыдущего утверждения F(x) непрерывна в точке х = ж0.
Свойства непрерывных функций вытекают из соответствующих
свойств пределов.
Пусть /, д непрерывны в точке х0. Тогда в точке жо имеем:
а)	cif + c?g непрерывна для всех ci, с2 G К;
б)	fg непрерывна;
в)	f/в непрерывна, если <z(xo) / 0;
г)	если /(ж0) / 0, то существует 5 > 0 такое, что
/(ж)/(жо) >0 V ж G (хо - <5, жо + <f)
(т.е. /(ж) сохраняет знак);
75
д)	f(x) ограничена в некоторой окрестности точки xq.
е)	если f(x) непрерывна в точке хо, д(у) непрерывна в точке
у0 = /(жо), то h(x) — g(f(x)) непрерывна в точке ж0.
§ 2. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
Перечислим элементарные функции.
1.	Р(х) — многочлен, Р(х) — аохп + • • • + ап.
2.	Рациональная функция /(ж) = P(x)/Q(x), где Р(ж), Q(x) —
многочлены.
3.	Показательная функция /(ж) = ах, а > 0, а / 1.
4.	Степенная функция /(ж) = ха = еа1пх.
5.	Логарифмическая функция /(ж) = loga ж, а > 0, а 1.
6.	Все тригонометрические функции.
7.	Всевозможные суперпозиции всех этих функций.
Эти функции носят название элементарных потому, что только они
рассматриваются в рамках элементарной математики. Описание их
функциональных свойств существенным образом опирается на опреде-
ление понятий показательной, степенной и логарифмической функций,
а также на определения функций синус и косинус от вещественного
аргумента. Следует сказать,- что в элементарной математике свойства
перечисленных функций устанавливаются, в основном, описательно,
исходя из наглядных арифметических и геометрических соображений.
В курсе математического анализа эти функции используются главным
образом в качестве материала для применения общей теории, и мы
могли бы оставаться на данной “наивной” точке зрения на них. Одна-
ко средства математического анализа позволяют дать вполне строгое
определение всех основных элементарных функций. Для показа-
тельной, логарифмической и степенной функций это будет сделано
нами сразу после изучения свойств монотонных функций. Несколько
сложнее ситуация с тригонометрическими функциями, поскольку их
определение должно опираться на понятие длины дуги окружности
или на понятие степенного ряда, которые будут изучаться нами лишь
во второй и третьей частях курса. Пока же, отвлекаясь от строгих
определений и опираясь на основные функциональные свойства, мы
докажем непрерывность показательной функции у = ах и функции
у = sin ж.
Утверждение 1. При любом ж0 6 К функция у = ах непрерывна.
Доказательство. Пусть a > 1. Тогда надо доказать,
что для любого е > 0 существует 5 = 5(e) >0 такое, что при всех ж
76
с условием |ж — zqI < <5 имеем |а* — аХо| < е, или, что то же самое,
|аг-*° — 1| < еа~х° — Заметим, что можно ограничиться случаем
fj < 1. В качестве 5(e) мы возьмем число Jj = 51(еД > 0 такое, что
из неравенства |ж — жо| < 51 следует неравенство [а1-®0 — 1| < ej.
Далее положим 5(e) = 51(еД =
Имеем —51 < х — xq < 5i. Так как а > 1, то
а-*1 < a1"10 <а\
a~Si - 1 < ах~х° - 1 < <Л - 1.
Сначала докажем, что aSl — 1 < е^. Положим
Тогда 1/51 > ЛГ, т.е. < 1/./V.
Так как
(1 + ei )ЛГ > 1 + CiN > 1 + ei — > а,
£1
то
1	+ ei > а1^ > а61.
Отсюда следует, что
Окончательно имеем
-е! < a~S1 - 1 < ах~х° - 1 < aSl - 1 < ei,
следовательно,
|аг-г° - 1| < £1.
Тем самым доказана непрерывность /(ж) = ах в точке xq. Доказа-
тельство закончено.
77
Утверждение 2. Функция f(x) =sinx непрерывна в точке х0.
Доказательство. Вспомним, что | sin х| < |ят|. Имеем
тогда
| sin ж — sin «о | —
, X Xq X {" Xq
2	Sin —-— • COS---------------
2	2
X — Xq
= к - xob
< 2
Таким образом, для любого е > 0 положим 5(e) = е, и получим
| sinх — sinхо| < £ V х : \х — xq\ < е.
Следовательно, функция f(x) = sin ж непрерывна. Эти утверждения
можно записать так:
sin х = sin Xq + «(ж), ах = ах° + /?(х),
где а(х), /?(х) — бесконечно малые функции.
При х —> 0, т.е. при хо = 0, имеют место более точные соотношения,
которые называются замечательными пределами:
1) sin х/х ~ 1,
2) (е®-1)/х~1.
Эти пределы используются далее для изучения дифференциальных
свойств элементарных функций.
Лекция 13
§ 3.	ЗАМЕЧАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЕЛЫ
Утверждение 1. Имеют место соотношения:
/ \ х
a)	lim ( 1 Т £ ) = е;
х—>оо у	х J
б)	lim(l Т х)1/* = е;
в)	ХПт'^^ = 1-,
' х-+0 х
г)	lim = 1.
7 т-+0	1
Доказательство, а) Рассмотрим сначала случай
х —> Too. В силу свойства монотонности показательной функции
справедливы неравенства
Но мы знаем, что
( 1\”
lim 14—	= е.
п—Too V	nJ
Отсюда
/	1	\”	/	l\n+1
lim ( 1 4--т ) ~ е, lim (14— )	= е,
П-ТОО У п 4“ 1 /	п-тоо у nJ
т. е. справедливы утверждения
V е > 0 3 м = АДе) : V п > Nt =>
3 N2 = N2(e) : V п > N2 =>
Тогда при п > max(Ai, Аг) имеем
А 1 V
е - е < 14----г < е Те;
\ n Т 1/
/	l\n+1
е — г < ( 1 4— )	< е Т Е.
\ п)
Если х > 1 Т max(Ai, N2) = N, то [я] > max(Ai, N2) = N — 1. Следо-
вательно, при х > N справедливы неравенства
/	1 \М /	/	। \Ы+1
е — е < I 1 Т г , —г )	<114— ) < ( 1 Т 7-7 )	< е Т Е.
\	[ж] Т 1 /	\ х)	\ 1х /
79
Таким образом, получим
V г > 0 3 N : V х> N =>
Это значит, что ^1 4-	—> е при х —> +оо.
Рассмотрим теперь случай х —> —оо. Положим у = — х. Тогда,
используя теорему 4 §6 гл. III о пределе сложной функции, будем
иметь
е = lim ( 1 +--------
у->+оо у у — 1
/ 1\”у
= lim I 1-----I
У-++ОО у у
lim 1 + -
Соединяя вместе случаи х —> 4-оо и х —> —оо, приходим к соотношению
lim (14— I = е.
Утверждение а) доказано.
б) Для доказательства соотношения lim (14-ж)1/* = е воспользуемся
г—>0
той же теоремой 4 §6 гл. III. Полагая х = 1/у, получим
/	1 \ у
е — lim I 1 + - I = lim(l 4- х)1!*
в) Так как
1 /	Id (l-f-т)
(l + a?) 7 = е х	—> е при х —> О,
то из непрерывности и монотонности функции у = ех следует, что
г) Вновь воспользуемся теоремой о пределе сложной функции,
полагая
д(х) = ех — 1 —> 0 при х —> О,
/(у) = —	-> 1 при у -> 0,
У
и, кроме того, /(0) = 1.
Тогда имеем f(g(x)) =	-> 1 при х -> 0. Отсюда следует
утверждение г).
Утверждение 1 полностью доказано.
80
Утверждение 2. lim =1.
x-+0 x
Доказательство. При 0 < х < тг/2 рассмотрим сектор
единичного круга, отвечающего дуге длины х, и два треугольника,
один из которых вписан в сектор, а второй, прямоугольный, содержит
его, имея с ним общий угол и сторону на оси абсцисс. Сравнивая
площади этих фигур, имеем
sin х х tg х
~2~ < 2 <
Отсюда получим
sin х
cos х <---< 1.
х
Последние неравенства связывают четные функции, поэтому они
имеют место при 0 < |ж| < тг/2. Так как cos ж — непрерывная
функция, то по теореме о переходе к пределу в неравенствах имеем
lim — = 1.
г-+0 X
Доказательство закончено.
Примеры вычисления пределов.
1. lim (1+а2°~г- = а.
т-+0 х
(1 + ху  1 _ е« 1п(1+г)  ] _ еат+о(т)  J _
XXX
1 + ах + о(ж) - 1
= --------*------= а + о(1) —> а при х —> 0.
X
Этот прием называется заменой бесконечно малой функции на экви-
валентную ей.
2. lim = 1.
т-ю х 2
1 — cosх _ 2sin2 f _ 2(f 4- o(z))2 _ у-+ о(ж2) _ 1
ж2	х2	х2	х2 2
Таким образом:
1)	(1 + х)а = 1 ах + о(ж). при х —> 0;
2)	cos х = 1 —	+ о(х2) при х —> 0;
/	\ п
3)	lim | 1 + - I = ех. Положим хп — - —> 0 при п —> оо. Тогда по
п-»оо \	/
теореме о пределе сложной функции имеем
lim fl + -) = lim ((l + xn)1^»)’= exlim»-“ = Д.
n—>OO \	nJ	n—>oo
81
§ 4.	НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ НА МНОЖЕСТВЕ
Определение 1. Функция /(ж) называется непрерывной на мно-
жестве А, если она непрерывна во всякой точке х Е А.
Если не все точки множества А входят в него с некоторой окрест-
ностью, то это определение чуть-чуть меняется, например:
Определение 1а. Функция f(x) называется непрерывной на от-
резке / = [а, 6], если она непрерывна при всех х0 с условием a < х0 < Ь,
непрерывна справа в точке а и непрерывна слева в точке Ь.
Определение 2. Функция f(x) на множестве А называется
а)	неубывающей (/| на А), если f(a) < f(b) при всех значениях
a,b Е A, a < b;
б)	невозрастающей (/ J. на А), если f(a) > f(b) при всех значениях
a,b Е A, a < b;
в)	(строго) возрастающей (/ ТТ), если f(a) < f(b) при всех
значениях a,b Е A, a < b;
г)	(строго) убывающей (/ Д), если f(a) > /(6) при всех значениях
a,b Е A, a < Ь.
Если f(x) неубывающая, или невозрастающая, или возрастающая,
или убывающая на А, то f(x) называется монотонной функцией
на А.
Определение 3. Если в своей области определения функция /(ж)
не является непрерывной в точке xq, то она называется разрывной
в точке х0. Точка хо называется точкой разрыва f(x).
Определение 4. Точка xq называется точкой разрыва первого
рода функции f(x), если существуют конечные пределы lim f(x)
и lim f{x). В противном случае точка разрыва функции f(x)
X—¥Xq —
называется точкой разрыва второго рода.
Примеры. 1. у — {ж} имеет разрывы первого рода в целых точках.
2.	y = sinl/x в точке xq = 0 имеет разрыв второго рода. (Рассмо-
треть две последовательности xn = yn =	•)
Определение 5. Разрыв первого рода в точке хо называется устра-
нимым, если существует lim f(x) = I, но I ф /(ж0).
Этот разрыв устраняется, если по-новому определить (или, возмож-
но, доопределить) /(ж) в точке х — х0, положив /(ж0) = lim^r,, /(ж).
Если f(x) —> I при х —> х0, но /(ж) не определена при х = жо, то
говорят также, что имеет место устранимый разрыв. В противном
случае разрыв первого рода называется неустранимым.
82
Теорема! (о точках разрыва монотонной функции на
отрезке). Пусть функция f(x) — монотонная на отрезке [а,6]. Тогда
она может иметь на этом отрезке разрывы только первого рода.
Более того, при всех xq 6 [а, />] имеем
lim f(x) = inf f(x) = li, lim f(x) = sup f{x) = 12,
X—X>Xq	X—X<Xq
h<f{x0)<h,
если /(x) не убывает. Если же функция f(x) не возрастает, то
lim f(x) = sup f(x) — Б, lim f(x) = inf f{x) = I2,
X~>Xo+	Г>Го	X-¥Xq —	X<Xq
h < /(®o) < h-
Доказательство. Рассмотрим только один случай,
когда функция /(т) не убывает (УТ) на [а,6]. Остальные случаи
рассматриваются аналогично. Докажем теорему в этом случае:
lim f(x) = inf f(x)=l\.
Z->X0 +	x>zD
Совершенно аналогично доказывается, что
lim f(x) = sup f(x) = 12.
Х-+ГО-	x<xa
Так как l\ — точная нижняя грань множества значений f(x) при
х > то, то:
1) /(г) >1] V х > т0;
2) V е > 0 3 Ti > то такое, что /(xi) < li 4- е.
В силу того, что /(т) неубывающая функция, имеем
Ух : то < х < Т] =>• li < /(х) < li + е,
следовательно, l\ = limr_>.j:o+ /(х). Имеем еще, что число /(то) есть
нижняя грань для {/(ж)} при х > хц, откуда /(то) < 1\.
Аналогично /(хо) > 6, откуда 12 < /(хо) < Л, что и требовалось
доказать.
Теорема2 (критерий непрерывности монотонной функ-
ции). Пусть f(x) определена и монотонна на отрезке [д, 6]. Тогда
для непрерывности ее на этом отрезке необходимо и достаточно, что-
бы для любого I G [/(а),/(6)] нашлась точка хо € [а, 6] такая, что
/(•Го) =1.
Доказательство. Рассмотрим только случай неубывающей
Функции /(т) на отрезке [«,!>].
83
Необходимость. Возьмем любое число I 6 [/(я), /(6)]. Рассмотрим
множество X = {а:} С [я, 6], для которых /(х) > /, и пусть х0 = inf X.
Тогда, поскольку /(х) неубывающая функция, имеем
lim /(х) = inf /(х) = If > I.
X—>Хо+	Г>Го
При х < хо (если х0 / а) /(х) < I. Отсюда
lim /(х) = l2 < I,
Г—►Гр —
т.е. 12 < / < /j-
Если /(х) непрерывна на [я, 6], то /(х) непрерывна в точке xq, т.е.
l2=l\= f(x0). (Следовательно,
/ = /2 =/! =/(Хо).
Если же xq — а, то
/(«)</</,,
но из непрерывности функции /(х) в точке я- слева следует, что
/(я) = /], а значит, I — f (я) = /1.
Достаточность. Будем рассуждать от противного. Пусть /(х)
имеет разрыв в точке xq и /(х) не убывает на [я, 6]. Тогда для
значений /i = lim /(х), l2 = lim /(х) выполняются неравенства
Г—>Го+	X—>Го —
/2 < /1 и. 12 < /(хо) < /].
Возьмем I Е (/о. G) И I f(xoY Имеем:
I > /(х) при х < Х'о,
I < /(х) при х > Xq,
I f(x) при X = Хо,
т.е. функция не принимает значение / на [я,6]. Таким образом мы
пришли к противоречию. Теорема доказана полностью.
ТеоремаЗ (об обратной функции). Пусть функция у — f(x)
строго возрастает и непрерывна на отрезке [я, 6]. Тогда существует
функция х =^д(у), строго возрастающая, определенная на отрезке
[/(а),/(^)1 и непрерывная на нем, такая, что g(f(x)) = х, т.е. g = f~x.
Доказательство. 1. Отображение [я, 6] —> [/(я),/(/>)]
инъективно, где [я,/>] = /], [f(a),f(b)] = 12, т.е. является вложением.
Другими словами, для любых точек X] / х2 имеем неравенство
/(xi)^/(x2).
84
2. Отображение f сюръективно, т.е. является накрытием. Это
имеет место по теореме 2, утверждающей, что для любого числа
I g [/(а),/(&)] найдется точка х0 6 [аД] такая, что /(го) = /•
Следовательно, / есть биекция, т.е. / устанавливает взаимно од-
нозначное соответствие между Л и /2.
Тогда существует обратное отображение д, т.е. обратная функция
х = д(у)-
1. Эта функция монотонно возрастает, так как если t/i > у2, то
</(2/1) = и Ду2) = х2, причем /(жД = и и f(x2) = у2. Отсюда
xi > х2, поскольку /(ж) монотонно возрастает.
2. Эта функция д(у) принимает все значения из [а, 6], так как для
каждого Xi существует у такое, что д(у) = х, и этим у является число
f(x)-
Отсюда в силу теоремы 2 имеем, что функция д(у) непрерывна на
отрезке /2.
Теорема полностью доказана.
Используя доказанные выше теоремы о монотонных функциях,
снова обратимся к изучению элементарных функций. Прежде всего,
заметим, что при натуральном т функция f(x) — хт = х .. .х является
т
непрерывной и строго возрастающей при х > 0.
Действительно, если а > b > 0, то
ат > ^т-1ь > am-2b2	аЬт-1 > ьт
Непрерывность же функции /(ж) = хт следует из того, что она
является произведением т непрерывных функций вида у = х.
По теореме 3 при всех х > 0 для нее существует обратная функция
д(г), которая тоже непрерывна и строго возрастает. Для нее, как
известно из курса элементарной математики, используется обозначение
д(х) = у/х и она называется операцией извлечения корня m-й степени.
Зафиксируем теперь число х > 0 и натуральное т и рассмотрим числа
у = у/х, z = у/х”. Тогда ут = х, утп = хп, zm = хп, откуда имеем
(уп)т = zm и уп = z, т.е. ( у/х)" = '/х". Это значит, что операция
извлечения корня и возведения в целую степень перестановочны, и
для числа z возможно использовать обозначения вида z — хп^т и
г-1_ х-п)т
Пусть теперь г = а/b и гг — a^/bi рациональные числа, причем
a,ai — целые числа, a b,bi —натуральные числа. Положим d =
—	будем иметь
хгхг' = dabidaib = dabl+aib -	- xr+ri .
Аналогично, получим
(xr)ri = (dabl)^ = daai =х^ = xrr>.
85
Таким образом, для рациональной степени фиксированного числа х
выполняются де же функциональные соотношения, что и для целой
степени того же числа х.
Далее, используя прежние обозначения, допустим, что г > п и
х > 1. Тогда d > 1, a/>i > а^Ь и dabl > daib, хт > xri.
Следовательно, при возрастании рационального числа г при х > 1
значения хг возрастают. Далее положим х = е. Ранее для любого
натурального Ь нами были получены неравенства
Отсюда следует, что
__1_ , 1 1
е‘+> < 1 + - < е‘.
о
Выполняя очевидные преобразования, получим
_д_	,	1	1	,	1
e*+i < 1 + - = -----г-, е <+! > 1 - -—
Ь 6+1
Далее, пусть |г| < 1 и г = m/п. Тогда |ш| < п. Применяя неравенство
Бернулли, приходим к неравенству
(e±i/")l"’l > (1 ± l/n)|m|, em'n = ег > 1 + г.
Отсюда в случае 0 < г < 1 будем иметь
_г	г 1	г
е > 1 — г, е < --------= 14-------•
1 — г 1 — г
Пусть теперь а — иррациональное число, и пусть рациональные числа
Г1 и г2 удовлетворяют неравенствам и < а < г2. Тогда если {r*i} —
множество всех рациональных чисел, определяемых условием п < а,
то соответствующее ему множество чисел Mi = {еГ1} ограничено
сверху числом еГ2. Следовательно, существует число 71 = sup{eri}.‘B
ri<a
силу аналогичных соображений относительно множества Л/2 — {еГ2}
существует число 72 = inf {еГ2}.
Г2>«
Покажем, что на самом деле имеет место равенство 71 =72- Для
этого сначала заметим, что каждое из чисел еГ2 является верхней
гранью множества Mi, в то время как 71 есть точная верхняя
грань этого множества. Следовательно, для любого г2 > а выполнено
неравенство 71 < еГ2. Это значит, что 71 есть нижняя грань множества
М2. Но так как 72 — это точная нижняя грань данного множества,
то 71 < 72.
86
Выберем- теперь некоторые значения rj и с условием
[а] < п < а < Г2 < [а] + 1.
Тогда справедливы неравенства
ег* < 71 < 72 < еГз < eW+1,
О < 72 - 71 < еГ2 - ег‘ = ег" (еГ2-Г1 - 1) < е^+1 -—Г————
-	-	~	1 - (г2 - Г1)
Но поскольку число 72 — 71 — фиксировано, а число г2 — П > О
может быть сколь угодно малым (например, в качестве п и гг можно
выбрать любые округления числа а с избытком и недостатком), то
отсюда следует, что 72—71 = 0, т-е- 72 =71- Указанную величину
7! = 72 = 7 мы возьмем в качестве значения степени еа, т.е. мы по
определению полагаем
7 = 71 = 72 = е®.
Тем самым мы определили функцию у = ех для всех возможных
вещественных значений х.
Осталось показать, что эта функция строго возрастает и удовле-
творяет функциональному уравнению вида
е*1е®2 — е®1+®2
Прежде всего следует сказать, что из ее определения вытекает, что
если Г] < а < Г2, где Г{ и г2 — рациональные числа, то имеет место
неравенство
еГ1 < е“ < еГ2.
Но тогда, если а < 0, то на интервале (а,0) найдется рациональное
число гз«такое, что имеет место неравенство
е“ < еТз < е13.
Таким образом, строгая монотонность функции у — ет установлена.
Пусть теперь р = а +'0. Заметим, что если у — рациональное число,
то и в этом случае при рациональных п и г2 имеем
ем = sup еГ1 - inf еГ2.
Г1<М	Г2>М
Доказательство последнего равенства по существу повторяет рассу-
ждения, проведенные нами выше для иррационального числа у.
Представим теперь число Г] в виде Г] = г( + г", где г, < а и г" < 0,
а число г2 — в виде г2 = г2 + г2, где г2 > а и г" > 0.
87
Тогда будем иметь
er. = er'l+r" < еае0 < eri+r'' _ ег> < ем < ег>
Отсюда следует, что
Л = |ем — е“е^| < еГ2 — еГ1.
Но ранее мы уже показали, что данное неравенство при произвольных
рациональных значениях п и гг с условием п < д < гг влечет за
собой равенство h = 0. Другими словами, это означает, что
_ еа+0 = еае0,
и тем самым все требуемые свойства функции у — ех, определенной
ранее на всей вещественной оси, полностью доказаны.
Тогда у функции f(x) = ех, отображающей вещественную ось К
на луч (0,+оо), существует обратная функция д(х), отображающая
луч (0,+оо) на всю вещественную ось К. Эта функция называется
натуральным логарифмом и обозначается так: д(х) = In ж. Она всюду
непрерывна, строго возрастает и удовлетворяет условию: х = elnl.
Отсюда имеем
elnx« ~ ху — е1п:се|пу = е|п1+1пУ.
Поэтому справедливо равенство In ху = In х + In у. Тем самым устано-
влено основное свойство функции у = 1пж.
Обратимся теперь к степенной функции у = ха, где х > 0. Для
рациональных значений а ее свойства уже описаны при определении
показательной функции. Если же а — иррациональное число, то
тогда эту функцию мы можем определить равенством
j.a-galnr
В этом случае все ее элементарные свойства следуют из уже рассмо-
тренных свойств показательной и логарифмической функций.
Здесь уместно снова подчеркнуть, что строгое обоснование свойств
тригонометрических функций в этой части курса по указанным ранее
причинам проводиться нами не будет.
В заключение рассмотрим несколько примеров на применение до-
казанных выше теорем.
Примеры. 1. Функции у = arcsinx, у = arccosx, у = arctgx —
непрерывные на всей области их определения. Это утверждение
является прямым следствием доказанных выше теорем.
88
2. Существует единственная функция х = ж(у) (—оо < у < +оо),
удовлетворяющая уравнению Кеплера
х — e sin х —у (0 < е < 1).
Действительно:
при Х1 > Х2
1) функция у(х) монотонно возрастает, так как
! •	\	л •	£1+^2
У1 — у2=Х1— х2— e(sin £1—sin x2)=xi— х2—2esm —-— cos —-—
. Xi— X2 Xi+x2
2e sin —-— cos —-—
<2e X-^
У1-У2>(1-е)(®1~®2)>0;
2) y(z) = x — esin x — функция’непрерывная.
По теореме 3 отсюда следует, что на любом отрезке а < у < Ъ су-
ществует единственная непрерывная функция ж (у), удовлетворяющая
уравнению Кеплера.
Лекция 14
§ 5. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИЙ, НЕПРЕРЫВНЫХ НА
ОТРЕЗКЕ
Теорема! (об обращении функции в нуль). Пусть функция
f(x) определена, и непрерывна на [а, 6] и на концах этого отрезка
она принимает значения разных знаков, ‘т.е. f(a)f(b) < 0. Тогда
существует с £ (а, Ь) такое, что
/(4=0.
Доказательство проведем методом Больцано. Отрезок
Jo = [а,/>] разделим пополам точкой х^ = 2^.. Если /(xj) = 0, то все
доказано. Если нет, то /(xi) имеет знак, отличный либо от /(а),
либо от f(b). Обозначим через Ji тот из двух отрезков [a, хг] или
[а?1, Ь], на концах которого /(х) принимает значения разных знаков.
Теперь разделим Jj пополам точкой хг и выберем отрезок J2 так,
чтобы на концах его /(х) имела значения разных знаков. Поступая
так и далее, получим последовательность вложенных отрезков Jo Z)
Ji Z) J2 Z) • •. Это последовательность стягивающихся отрезков, так
как длина Jn = &п =	—> 0 при п —> оо. Пусть хо — общая точка
всех отрезков. Тогда если Jn = [an,6n]> то ап —> хо и Ьп —> хо при
п —> оо, и отсюда
/(«п) -> /(®о) и f(bn) -> /(х0) при п -> оо.
Так как f(an)f(bnJ < 0, то lim f(an)f(bn) = /2(хо) < 0. Следова-
п—>оо
тельно, /(хо) = 0, что и требовалось доказать.
Теорема2(о промежуточном значении непрерывной
функции). Пусть f(x) непрерывна на [а, 6], /(а) = а, /(b) = ft и пусть
с — любое число, удовлетворяющее условию
ос < с < ft, если ос < ft,
ft <с <ос, если ft < ос.
Тогда существует точка Xg Е [а, Ь] такая, что /(хо) = с.
Доказательство. Рассмотрим функцию g(x) = f(x) — с.
Если д(а) или д(Ь) = 0, то тогда хд = а или хд = Ь. Если же
д(а)д(Ь) / 0, то д(а) и д(Ь). имеют значения разных знаков. По
теореме 1 существует точка хд Е [а, 6] такая, что д(хд) = 0, откуда
f(xg) = с, что и требовалось доказать.
90
ТеоремаЗ (об ограниченности непрерывной функ-
ции). Функция, непрерывная на [а, 6], ограничена на этом отрезке.
Доказательство. Проведем доказательство методом
Больцано. Предположим противное, т. е. пусть /(ж) не ограничена.
Тогда разделим отрезок Jo = [в, &] пополам. В качестве Д выберем
ту половину, где f(x) не ограничена. Снова делим пополам Д и
выбираем в качестве J2 ту половину, на которой f(x) не ограничена.
Имеем Jo D Ji D J2 Э • • • D Jn Э • • • • Получена последовательность
стягивающихся отрезков. Пусть жо — их общая точка. В ней
/(ж) непрерывна. Возьмем <5(1) — окрестность точки хд, в которой
|/(«)-/(®o)l < 1- Тогда
I/WI =	~ Л*о)) + /(хо)| < |/(®) - /(®о)| + |/(*о)| < 1 + |/(*о)|
и /(ж) ограничена в <5(1)-окрестности точки хд. Поскольку <S(1) > О,
то в ней целиком содержится всякий отрезок Jn, если только его
длина <5П = ^о/2п < £(1). Но тогда f(x) будет ограничена и на Jn,
что противоречит построению {Jn}. Теорема доказана.
Теорема4(о достижении непрерывной функцией точной верх-
ней и нижней граней). Функция, непрерывная на отрезке, достигает
своей точной верхней грани и точной нижней грани, т. е.
3 116 [а,6] такое, что sup f(x) = /(жД,
г£[а,Ь]
3 Х2 G [а, 6] такое, что inf /(ж) = /(жг).
cg[a,t>]
Докажем теорему только для sup/(ж), так как для случая inf/(ж)
можно рассмотреть функцию Д(ж) = —/(ж).
Доказательство. От противного. Пусть А = sup /(ж),
А /(ж) при всех ж 6 [а, 6]. Тогда А > f(x) для любого ж. Но тогда
А — f (ж) — непрерывная функция и A — f(x) > 0 при всех ж 6 [а, 6].
Следовательно, д(х) =	тоже непрерывна. Поэтому </(ж)
ограничена по теореме 3 и, значит, найдется В > 0 такое, что
А - /(ж)
Отсюда
Л-/(*)> 4,
D	D
т е. число А — есть верхняя грань, которая меньше, чем А, но это
противоречит тому, что А — наименьшая верхняя грань. Теорема
Доказана.
91
Так как для непрерывной функции f(x) на отрезке точная верхняя
грань и точная нижняя грань достижимы, то А = sup/(ж) называ-
ют максимальным значением /(ж), а В — inf /(ж) — минимальным
значением /(ж) й пишут
А= max f(x), В= min /(ж).
®e(a,t>]	«€[<».*]
Пример. Пусть функция /(ж) непрерывна на отрезке [а, 6] и пусть
а = Ж1 < Ж2 <  • • < хп = Ъ. Тогда существует точка £ 6 [а, 6] такая,
что выполняется равенство
= f(x^+f(x2)+-- + fM
п
Действительно, пусть
т = min (/(ж1), /(ж2), ,	М = max(f(xi), /(ж2),..., /(*«))
Тогда, очевидно, справедливо неравенство
т < Л*1) +Л*г) + —+ Л*п) = А < м
~	п	—
Следовательно, в силу теоремы 2 о промежуточном значении не-
прерывной функции отрезок [m, М] принадлежит области значений
функции /(ж), и потому существует точка £ 6 [а, 6] такая, что /(£) = А.
Это и есть искомая точка.
Лекция 15
§ 6. ПОНЯТИЕ РАВНОМЕРНОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ
Запишем определение функции, заданной на множестве X и не-
прерывной в точке х0 Е X: для любого е > 0 существует <5 = <5(е) > О
такое, что при всех х 6 X и |х — х0| < 6 имеем (/(х) — /(хо)| < £
Вообще говоря, при фиксированных £ > 0 у каждой точки xq будет
свое значение величины ^(е), т.е. 6(e) зависит от ж о и это можно
символически записать так:
<5(е) =<5(е, я0).
Если оказалось, что для любого е > 0 и всякой точки ж0 6 X величина
<5(е) не зависит от xq, то функция f(x) называется равномерно
непрерывной на множестве X.
Запишем это определение более четко в эквивалентной форме.
Определение. Функция f(x) называется равномерно непрерыв-
ной на X, если
V £ > 0 3 6 = 6(e) > 0 такое, что
|xi - хг! < 6 => |/(a:i) -/(ж2)| < £
Теорема (теорема Гейне - Кантора). Функция, непрерывная
на отрезке, равномерно непрерывна на нем.
Доказательство. (От противного). Пусть f(x)
непрерывна, но не является равномерно непрерывной на [а, &]. Тогда
3£>0:V<J>0: 3 а,/? 6 X : |а — /?( < (J и |/(а) — f(/3)\ > е.
Рассмотрим последовательность 6 — 6п = 1/п. Каждому п тогда
соответствует пара точек ап,0п такая, что
1«п - /?п| < 1/п, l/(«n) - Ж)1 > е.
Последовательности {а„} и {/?п} являются ограниченными. По те-
ореме Больцано-Вейерштрасса из ап можно выбрать сходящуюся
подпоследовательность {аПк}, т.е. ant —> xq € X при к —> оо. Далее,
1«п, - A.J < 1/п*,
93
следовательно, 7Пк = аПк — /3Пк есть бесконечно малая последова-
тельность и -> «о при к -4 оо. Но тогда у* = /(anJ -4 /(«о),
г* =	-> /(«о) при к -> оо, т.е. tk = |у* - zfe| -> 0 при к -4 оо. Но
это противоречит тому, что
tk = \ук - Zk \ > Е,
так как, переходя в этом неравенстве к пределу при к —> оо, получим
О > е, что неверно. Доказательство закончено.
Доказательство теоремы Кантора проходит аналогично и для мно-
жества X, которое не обязательно является отрезком. Достаточно,
чтобы множество X было ограниченным и содержало все свои пре-
дельные точки.
$ 7. СВОЙСТВА ЗАМКНУТЫХ И ОТКРЫТЫХ МНОЖЕСТВ.
КОМПАКТ. ФУНКЦИИ, НЕПРЕРЫВНЫЕ НА КОМПАКТЕ
Определение 1. Множество точек (на вещественной прямой) на-
зывается замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки.
Напомним, что xq — предельная точка множества А, если во всякой
окрестности точки хо находится бесконечно много точек, принадлежа-
щих А (а сама точка ж0 может принадлежать или не принадлежать
А).
Определение 2. Множество называется открытым, если каждая
его точка содержится в ее 4-окрестности, целиком состоящей из точек
этого множества.
Пример. Интервал — открытое множество, а отрезок — замкнутое
множество.
Определение 3. Ограниченное замкнутое множество (на веще-
ственной прямой) называется компактом.
Утверждение 1. а) Если А — замкнутое множество, то А\ = Ж\А
открыто.
б) Если В открыто, то Bi = Ж\В замкнуто.
Доказательство, а) (От противного). Если
существует а 6 Ai, у которой нет окрестности, целиком состоящей из
точек множества А\, то во всякой (5-окрестности точки а есть хотя
бы одна точка из А, отличная от а, а следовательно, и бесконечно
много точек из А. Но тогда а есть предельная точка множества А,
и ввиду замкнутости А имеем, что а 6 А, но а £ Ai. Имеет место
противоречие.
94
б) Пусть /3 — предельная точка для Bi и /3 6 В. Тогда в любой
ее окрестности есть точки Bi, а это противоречит тому, что у любой
точки множества В есть окрестность, состоящая из одних только точек
множества В. Это значит, что (3 В, т.е. /? £ Bi, следовательно, Bi
замкнуто, что и требовалось доказать.
Утверждение 2. а) Любое объединение открытых множеств от-
крыто, конечное пересечение открытых множеств — тоже открытое
множество.
б) Любое пересечение замкнутых множеств замкнуто, конечное
объединение замкнутых множеств замкнуто.
Доказательство. Пусть а 6 (J Аа. Тогда существует номер
а
ао такой, что а£Лао, и существует «^-окрестность точки а, целиком
принадлежащая Аа. Обозначим ее Og(a). Тогда Os (а) С т.е.
а
п
(J Аа открыто. Пусть теперь a G П А/,. Тогда 3 Oira(a) С Ат V т и
а	/с=1
при 6 = min(<5i,..., 6т) имеем
Os(a) = П Oik(a) С П Ак.
*=1 *=1
Таким образом, утверждение а) доказано, а утверждение б) следует
из утверждения 1 б), что и требовалось доказать.
Определение 4. Пусть заданы множество А и система множеств
{В}. Будем говорить, что В есть покрытие А, если для любого
a 6 А существует В 6 {В} такое, что а £ В.
Следующее утверждение обычно берут за определение компакта.
Утверждение 3 (лемма Бореля). Из любого покрытия компакта
открытыми множествами можно выбрать конечное подпокрытие.
Доказательство. От противного. Пусть А — компакт,
тогда 3 отрезок Jo, такой, что А С Jo (поскольку А ограничено).
Делением отрезка пополам строим систему стягивающихся отрезков
Jo Э Л Э • • • Э Jk Э  • • с условием, что множества ЛА Jk не допускают
конечного покрытия для любого к. Пусть жб — их общая точка.
Поскольку Jk Г) А не допускает конечного покрытия, в каждом
отрезке Д есть точки из А. Это значит, что точка xq 6 А, так
как А замкнуто. Всякая точка множества А покрыта некоторым
множеством из системы множеств {В}, т.е. существует множество В
такое, что zq 6 В. Далее, существует номер к такой, что Д С В,
поскольку длина Д -> 0, а В открыто. Тем самым В покрывает Д и
ЛАД допускает конечное покрытие. Противоречие. Лемма доказана.
95
Теорема 1(обобщение теоремы Гейне - Кантора). Функция,
непрерывная на компакте, равномерно непрерывна на нем.
Доказательство. Возьмем любое е > 0 и зафиксируем его.
Каждую точку ж0 € К накроем «^'-окрестностью радиуса 6' = |<5(|,хо),
где хо) — $ определяется из условия, что для любого х Е К с
условием |х — х0| < <5 имеем |/(х) — /(«о)| < е/2. Каждая такая
^'-окрестность — это открытое множество. По лемме Бореля выберем
конечное подпокрытие для К. Пусть оно состоит из интервалов
Ji,...,Jfc с длинами соответственно 6i,...,6k и центрами ai,...,ak.
Положим 6(e) = min((Ji,.. .,£*). Если теперь xi и х2 таковы, что
1^2 — xj| < ^(е), тогда при некотором а = а, имеем, что точка Xi
принадлежит 16(|, а)-окрестности точки а, т.е. |хх — а| < |«5(|,а). Но
<5(е) < |<5(|,а), поэтому
|«2 - а| = |(«2 - «1) + («1 ~ а)| < |«2 ~«1| + |«1 - а| < jQ.a).
Отсюда |/(х2) -/(а)| < е/2. Но так как |/(xi) - f(a)\ < е/2, то
|/(«1) - /(х2)| = |(/(Ж1) - /(a)) + (/(a) - /(хх))| <
<|/(«1)-/(«)| + 1/(«2)-/(а)|<£.
Это и означает, что /(х) равномерно непрерывна на К. Доказательство
закончено.
Примеры. 1. Функция у = у/х равномерно непрерывна при х > 1.
Действительно, для любых xi,x2 > 1 имеем неравенство
!-1	1«1-®2| .. |«1 - «2| ( ' 6 _ Д
=	<---------I < - = е I.
V«1 + V«2	* X *	/
Отсюда для любого е > 0 получим, что при 6 = 2е
V Х1,х2 £ (1,+оо) : |xi-x2|<(5 => \y/xi - у/х?\ < £
2. Функция у = х1 не является равномерно непрерывной на К,
поскольку при е = 1 справедливо неравенство для разности
j/(« +- гАп) = (п+~)2~ (”)2 = 2+ ~2>1 = е
при всех натуральных п, а это означает, что не существует числа
<5(1) >0 такого, что для любых двух точек, находящихся на расстоянии
меньшем <5(1), модуль разности значений функции х2 в этих точках
был меньше 1.
Ради полноты приведем позитивную формулировку свойства функ-
ции /(х) не быть равномерно непрерывной на множестве А.
96
Определение 5. Функция f(x) не является равномерно непре-
рывной на множестве А, если можно указать такое е > 0, что
при всяком S > 0 найдутся числа ai = ai(<S) g А и a2 = a2(J) Е А с
условием |<31 — а2| < S, для которых
|/(ai) -/(а2)| > е.
Замечания. 1. В данном определении вместо всех S > 0 достаточно
ограничиться только числами 6 вида 6 = 6П = 1/п.
2. Непрерывность функции в некоторой точке xq предполагает,
что функция /(ж) определена в некоторой J-окрестности этой точки.
Доказанная выше теорема 1 справедлива в несколько более общей
ситуации. Приведём соответствующее определение.
Определение 6. Функция f(x), определенная на множестве А,
называется непрерывной в точке ж о относительно данного мно-
жества А, если для любого е > О найдётся 6 = 6(e) > 0, такое,
что при всех х Е А с условием |х — Жо| < 6 выполнено неравенство
|/(х) — /(ат0)| < £•
С учетом сделанных ранее замечаний, данное определение непре-
рывности можно записать через предел функции по некоторой базе.
Рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 1, остают-
ся полностью справедливыми и в том случае, когда условие непре-
рывности функции в точке заменяется на сформулированное выше
определение непрерывности относительно множества А, если только
множество А — К является компактом.
4 Лекции ио математическому анализу
Глава V
ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ
ПЕРЕМЕННОЙ
Лекция 16
§ 1. ПРИРАЩЕНИЕ ФУНКЦИИ. ДИФФЕРЕНЦИАЛ И
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
Свойство функции /(ж) быть непрерывной в точке х — а равносиль-
но тому, что разность а(ж) = /(ж) — /(а) является бесконечно малой
при ж —> а.
Другими словами, это означает, что
/(ж) = /(а) 4- а(ж),
где а(ж) — бесконечно малая функция при ж —> а.
Таким образом, для всякой непрерывной функции в точке ж = а
имеет смысл рассматривать аналитическое выражение (т.е. формулу)
о(ж) - f(x) -Да).
Это выражение называется приращением функции /(ж) в точке
ж = а. Оно обозначается так: а(ж) = Д/(ж). Данное обозначение
используется даже и в том случае, когда /(ж) не является непрерывной
функцией в точке ж = а.
Итак, если Д/(ж) —> 0 при ж —> а, то функция /(ж) будет непре-
рывной в точке ж = а, и наоборот. Для простейшей функции /(ж) = ж
ее приращение а(ж) = ж — а называется приращением аргумента,
поскольку при /(ж) = ж значение функции /(ж) равно значению ар-
гумента. Это выражение имеет специальное обозначение: а(ж) = Дж.
Имеем, что Дж —> 0 при ж —> а.
Аргумент,ж можно выразить через его приращение Дж. Действи-
тельно, ж = a + (ж — а) = a + Дж. Следовательно, при фиксированном
а приращение Д/(ж) можно рассматривать как некоторую функцию
от Дж, т.е.
а(ж) = Д/(ж) = /(ж) - /(а) = /(а + Дж) - /(а) = /?(Дж).
Когда хотят подчеркнуть, что значение Д/(ж) равно А при х = а и
Дж — Ь, то пишут
Дь/(а) = А или Д/(ж)| ®=а = А.
98
Пример. Если f(x) = ж2, х — 1, Дж = 2, то
Д(ж2)| г=1 — ((ж + Дж)2 — ж2)| i=i =9—1 = 8.
Теперь рассмотрим более подробно приращение Д/(ж) как функцию
от приращения аргумента Дж. Очень важным для построения всего
курса математического анализа является случай, когда Д/(ж) беско-
нечно мала и при этом еще и эквивалентна линейной функции вида
сДж, где с — некоторая вещественная постоянная. В этом случае
говорят, что приращение Д/(ж) имеет линейную часть, называемую
дифференциалом функции /(ж) в точке ж = а, а функция /(ж)
называется дифференцируемой в точке ж = а.
Другими словами, мы приходим к следующему определению. Пусть
/(ж) определена в некоторой 5-окрестности точки ж = а.
Определение 1. Линейная функция д(Ах) = сДж называется диф-
ференциалом приращения Д/(ж) (или дифференциалом самой
функции /(ж) в точке ж = а), если
Д/(ж) ~ сДж при Дж —> О,
Д/(ж) = сДж + 7(Дж)Дж,
где с G К и 7(Дж) —> 0 при Дж —> 0.
Дифференциал функции /(ж) обозначается df(x) или просто df. Из
определения вытекает, что
Если при этом с 5Z: 0, то
А/
——> 1 при Дж —> 0.
df
Отметим, что функция 7(Дж) определена в некоторой проколотой
окрестности точки ж = а, функция Д/(ж) определена в некоторой
5-окрестности этой точки, а функция df(x) = сДж определена для
всех ж € К. Нам удобно будет доопределить функцию 7(Дж), полагая
7(0) = 0. В результате в равенстве
Д/(ж) = df(x) 4- 7(Дж)Дж,
определяющем дифференциал <//(ж), все участвующие функции будут
определены и непрерывны в некоторой окрестности точки Дж = 0.
Далее, легко видеть, что Дж = dx.
4*
99
Определение 2. Число с = называется производной функ-
ции /(ж) в точке х = а. Для производной используются следующие
общепринятые обозначения:
С =	=Df(x)\I=a.
aJ: x=a
Если df(x) существует, то, исходя из определений 1 и 2, мы также
можем написать
/'(<.) = lim	= е,
z-+a х — а
т.е.
f(x) — f(a) ~ f'(a)(ж — а) при х —У а.
Введенные выше понятия дифференциала и производной функции
имеют не только глубокий аналитический смысл, но вполне опреде-
ленный физический, точнее, механический, а также геометрический
смысл.
Введем понятие касательной к кривой в данной точке.
Определение 3. Касательная, точнее, наклонная касательная
к кривой у = /(ж) в точке координатной плоскости с координатами
х = а, у = /(а) — это такая прямая, которая проходит через точку
(а,/(а)), и ее угловой коэффициент k, т.е. тангенс угла ее накло-
на, равен пределу углового коэффициента А(Дж) “секущей” прямой,
проходящей через точки (a,f(a)) и (а + Дж, f(a + Дж)) при Дж -у 0.
Поэтому говорят, что касательная — это предельное положение
секущей.
Геометрический смысл производной раскрывается следующим ее
свойством: число /'(а) есть тангенс угла наклона касательной к
кривой, задаваемой уравнением у = f(x), на координатной плоскости
хОу в точке (а,/(а)).
Механическая интерпретация. Если t — текущее время; s(t) —
путь, пройденный телом за отрезок времени t — to, где to — начало
отсчета, то
Д«(<) jt=a
есть путь, пройденный телом за время от t = а до t = а + At, т.е.
As(t) = s(a + At) — s(a).
Отношение
Д«(^
At
есть средняя скорость на отрезке времени [a,a-|-At], а предел этой
скорости при At —у 0 — мгновенная скорость тела в момент времени
t = а. Именно эту величину показывает спидометр автомобиля при
его движении.
100
Утверждение 1. Если функция f(x) дифференцируема, в точке
х — а, то она непрерывна в этой точке.
Действительно, тогда Д/ ~ df = сДх, поэтому Д/ бесконечно мала
при Да? —> 0, а значит, /(х) непрерывна в точке х = а.
Примеры. 1. Пусть /(а?) = х2, а —2,5. Тогда
Д/(х) = (а + Дх)2 — а2 — 2аДх + (Да:)2, Д/(2  5) = 5Дх + (Да;)2,
Дх = dx, df(x) = 2adx, df(2,5) = 5dx.
2.	Пусть /(х) = За: — 1, а = 2. Тогда
Sf(x) |,=2= /(2 + Дх) - /(2) = ЗДх = d/(2) = 3dx.
Дифференциал функции, если он существует, является линейной
функцией приращения аргумента, поэтому его называют линейной
частью приращения аргумента. Если /'(а) / 0, то дифференциал
в точке х = а называется еще главной частью приращения. Это
название отражает свойство разности вида /?(Дх) = Д/ — df, которая
есть о(Дх), а следовательно, и o(df), т.е.
bf-df=o(df).
Таким образом, эта разность является бесконечно малой более
высокого порядка, чем df, и поэтому дифференциал df вносит при
малых Дх главный вклад в значение приращения Д/.
Легко привести пример функции /(х), непрерывной в точке х = О,
но не дифференцируемой в этой точке (т.е. /(х) не цмеет дифферен-
циала и производной в этой точке). Действительно, для функции
[ х, если х > О,
f(x) = И = )	А
I —х,	если х < О,
имеем Д(|х|) = |х + Дх| — |х|. Отсюда при х = 0 получим
Д(|х|) |г=0= |Дх|.
Тогда
> 1 при Дх —> 0+,	> -1 при Дх —> О-,
Дх	Дх
Т. е. lim не существует.
Но все же правый и левый пределы в этом случае существуют.
Они называются правой и левой производной функции.
Приведенный пример показывает, что непрерывная функция может
и не иметь дифференциала. Для некоторого класса таких функций
вводится более общее понятие односторонних производных.
101
Определение 4. Конечные пределы (если они существуют)
Д/ .. fix) — /(а)	Д/	fix) — 'f(a)
lim ~ = lim	и Inn ~ = lim
Дг-+о+ Дх	х->а+	X — а	Дг->0- Дх г->а- х — а
называются соответственно правой и левой производной функции
/(х) в точке х — а.
В рассмотренном выше случае у = |х| односторонние производные
в точке х = 0 существуют, при этом правая производная в этой
точке равна +1, а левая —1. Связь понятий односторонних и обыч-
ной производных между собой выражается следующим очевидным
утверждением.
Утверждение 2. Функция f(x) имеет производную в точке х = а
тогда и только тогда, когда существуют левая и правая производные
и они равны между собой.
Лекция 17
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Теорема1. Пусть функция y>(t) дифференцируема в точке
t — а, причем <p(a) = b, <p'(a) = a. Далее, пусть функция f(x)
дифференцируема в точке х = Ь, причем f'(b) = /3. Тогда сложная
функция
<?(0 = №(*))
дифференцируема в точке t = а, причем
g'(t) =  a.
Доказательство. В силу дифференцируемости функций
:/?(/) и /(х) имеем
Ду>Ц) = аД4 + «1(Д<)Д<, оДО) = 0;
Д/(х) =ДДх + Д1(Дх)Дх, /?1(0) = 0.
Здесь аЦД/) и /?1(Дх) определены в некоторых окрестностях точек
At — 0 и Дх = 0 соответственно и стремятся к нулю при Д< —> 0 и
при Дж —> 0.
Возьмем во втором равенстве величину Дж равной Д^(/). Тогда
получим
д/(х) =	=
— (ЗаЫ + ДЦа^ЦД^Ц)) + 07 (Д«)А (Ду(/))).
Кроме того, инеем, что Д/(х) — Ag(t), т.е.
A#(t) = [За№ + Д<7(Д<),
где
7(Д<) = а/31(Д^(0) + аДД^ЦДу^)).
Но Ду(<) -> 0 как функция Д/ при Д< -> 0, поскольку функция ^(t)
дифференцируема в точке t = а. Отсюда по теореме о пределе сложной
Функции имеем, что /?1(Ду>Ц)) и оДДД есть бесконечно малые при
At —> 0. Следовательно, функция 7(ДД — тоже бесконечно малая
при Д< —> 0. А это означает, что (3aAt — дифференциал функции
g(t) в точке t — а, т.е.
dg(t) = paAt = Padt, = /fa.
юз
Теорема 1 доказана.
Замечание. Область определения функций О1(Д/) и /?](Дж)
Ду = aSt + а1(Д<)Д/,
Д/ = /?Дж + /?1 (Дж) Дж-,
целиком содержит некоторые окрестности точек Д( = 0 и Дж = О,
поскольку при определении дифференциала мы доопределили эти
функции в нуле по непрерывности, положив оДО) = /?Д0) = 0. Если
этого не сделать, то наши рассуждения при доказательстве теоремы
о дифференцируемости сложной функции будут ошибочны, так как
аДД/) может принимать значение, равное 0, даже тогда, когда Д< / 0
для некоторых Д/, принадлежащих той окрестности точки 0, в которой
была определена функция.
Заметим также, что мы говорим о производной функции /(ж) в
точке ж = а только в том случае, когда эта точка — внутренняя
точка области определения /(ж). Если же говорится только о правой
производной /'(а+), то область определения /(ж) должна содержать
промежуток (а, а + <5), а если о левой — то (—<5 +а, а).
Дифференциал df(x) функции /(ж) в любой точке ж = жо отрезка
[а, 6] является линейной функцией сДж от аргумента Дж. Здесь для
каждого значения производная /'(жо) = с имеет свое собственное зна-
чение. Таким образом, процедура взятия дифференциала порождает
отображение отрезка [а, 6] в множество линейных функций. Это ото-
бражение не является числовой функцией, так как его образ состоит
не из чисел, а из функций. За такими отображениями утвердилось
название “оператор”, в данном случае — дифференциальный опера-
тор. А сама процедура отыскания дифференциала или производной
функции в точке, как уже говорилось, называется операцией диффе-
ренцирования или просто дифференцированием. Напомним также, что
функция, для которой существует производная в точке жо, называется
дифференцируемой в этой точке.
Пример. Пусть /(ж) = ж2 при 0 < ж < 1. Тогда имеем
/'(ж) = 2ж при 0 < ж < 1, /'(0+) = 0, /'(1—) = 2-
Докажем теперь теорему о производной обратной функции. Вообще
говоря, правило дифференцирования обратной функции просто следует
из теоремы о производной сложной функции, но мы докажем его
при более слабых предположениях, не требуя заранее существования
производной обратной функции.
104
Теорема2(о производной обратной функции). Пусть функция
f(x), определенная и непрерывная на отрезке [а, 6], имеет обратную
функцию д(у), определенную на отрезке I, концами которого являются
точки f(a) и f(b). Пусть х0 — внутренняя точка отрезка [а, 6], а
у0 — внутренняя точка I, причем f(xo) = уо и д(уо) — х0. Пусть в
точке х = хо функция f(x) имеет производную, отличную от нуля, т.
е- f (®о) / О-
Тогда в точке уо функция д(у) имеет производную д'(уо), причем
’’Ы 1'Ы /'(*) !„„<„>
Доказательство. Если известно, что д'(уо) существует,
то воспользовавшись предыдущей теоремой, получаем:
^(/(х))=х, (g(f(x)))'x = 1,
НО

Следовательно,

Если существование производной заранее не предполагается, то
доказательство проведем так. Заметим, что /(х) строго монотонна
на [а, 6], следовательно, д(у) непрерывна на I и строго монотонна на
нем. По определению производной
д'Ы = lim
у - Уо
если этот предел существует.
В силу непрерывности f(x) в точке х = xq и теоремы о пределе
обратной функции имеем, что д(у) -> д(уо) = xq при у —> уо.
Определим на I функцию F(x), полагая F(xq) = l/f'(xo) и
F(x) -____-___^2____
1 ’ ~ /(*) - fM
при X / Xq.
Тогда F(x) непрерывна в точке х = Xq, поскольку
F(x0) = lim -ттг-r------------——г — lim	—г = —.—г.
fix) — f(xo) x-»-x0	/ (хо)
105
Сделаем замену переменной вида х = д(у):
р/ -	9^ ~	- 9^ ~ 9^
"/Ш) - Жуо)) у ~ уо
Применяя теорему о пределе сложной функции, получаем, что суще-
ствует предел
lim F(g(yY) = F(x0) =
У~+Уо
1
f (ж) х=д(ув)
Но, с другой стороны,
lim F(g(y)) = lim	= д'(у0)-
у-+ув	у-+уо у-уо
Тем самым доказательство теоремы 2 закончено.
ТеоремаЗ (об инвариантности формы первого диффе-
ренциала). Если вместо дифференциала независимой переменной х в
формулу для дифференциала df(x) функции f(x) подставить диф-
ференциал некоторой функции х = то полученное выражение
окажется дифференциалом сложной функции g(t) = /(^(/)).
Другими словами, пусть df = adx — дифференциал функции f(x)
в точке х = a, dip = c2dt — дифференциал <p(t) в точке t = а, причем
р(а) = а. Тогда функция c^dp = c\c2dt — дифференциал функции
g(t) =	в точке t = а.
Доказательство. Эта теорема является прямым
следствием теоремы о дифференцируемости сложной функции, так
как согласно последней
dg(t) = g'(t)dt = c\c2dt = C\d<p(t),
что и требовалось доказать.
Смысл этой очень простой и, казалось бы, “пустой” теоремы станет
понятным позже, когда мы увидим, что дифференциалы высших
порядков уже не обладают свойством инвариантности.
Пример. Решение уравнения Кеплера х — х(у): х — esinx = у, 0 <
£ < 1 — дифференцируемая функция в силу теоремы о производной
обратной функции, причем
Х 1 — ecos х(у)'
106
§ 3. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
Пусть /(х), д(х) дифференцируемы, с Е В. Тогда имеем:
1)	(cf(x)Y = cf'(x);
2)	Если f(x) = const, то f(x) = 0;
3)	+д(х))'= f (x)+g'(x).
Эти утверждения следуют из определения производной. Докажем,
например, утверждение 3. Имеем: Д(/ + д) = Д/ + Д5. Откуда
Д(/ + <7) = Д/ ! Д<7
Дх Дх Дх
4)	(f(x)g(x))' = /'(x)j(x) +/(х)д'(х).
Доказательство. Имеем
A(fg) _ f(x + Дх)^(х + Дх) - /(x)g(x) _
Дх	Дх
/(х + Дх)^(х + Дх) - /(x)g(x + Дх) + /(х)д(х + Дх) - /(х)д(х)
Дх
Дг	Да?
-> g(x)f'(x) + /(х)/(х) при Дх —> 0,
так как
д(х + Дх) ->5(х),
А/
Ад
----> У(х) при Дх —> 0.
Дт
/ 1 у _	д'(я)
\д(х)'	я2(х)’
Доказательство. Имеем
А(1/д) _ a(t+At) д(х)
д(х) - д(х + Дх)
Ах	Дх
Дх  д(х)д(х + Дх)
д
->---=• при Дх -> 0,
д2
поскольку
Ад ,
Дх 9 ’
------т—г -> -т-Т при Дх -> 0
д\х + Дх) д(х)
Следствия:
п
1- (51  • •  -дп)' = Z 51 • • • • • д'к   • • • 5«-
*=1
107
f'g-g'f
g2
Производные элементарных функций
(zn)' = пхп~1;
.г+Дг _ -г	„Дг _ 1
(ех)' = lim ------------= ех lim —---------= ех;
Дг-+0 Дх	Дг-+0 Дж
. .	sin(x + Дх) — sinz	sin
(sm ху = lim —1--------------------= lim
Дг-+о Дг	Дг-+о Дх
= cos х;
2
(cos х)' = — sin х, так как cos х = sin (j — x'j;
= йй = = ?^ = ? /(1) = ь*’ »<’> =*
обратная функция;
у= ха, а / 0 — степенная функция,
(х“)' = (еа1пт)' = (alnz)' • ealn* = az*"1;
,	/sinzV cosz  cosz + sinz • sinz 1	,
(lgI) = =tg ’+1;
= (tg (i - «))' =	' _ x}	= -_±-;
r • v 1	1	1
(arcsinz)' =--:--------r = -—======= =	.	.	
cos(arcsmz) Л -2/	•	\ vl — z2
v ' у 1 — sm (arcsm z) v
i v (v -V 1
(arccos x) = ( — — arcsin x =-----===:
(Kctgl)' =	= T7P;
(arcctgz)'= — y-j—
Из теоремы 2 о дифференцировании сложной функции и из правил
дифференцирования следует:
(ах)' = (exlnay = erlno(zlna)' = a* In a;
zlnr\' 1	1
(logez)' = 1—1 = — •
\ In a /	In a x
/	u'\
(и*у = (eu ln u)' = ev ln u(v In u)' = uv [v1 In и + v • — J.
Замечание. Если h(x) — f(g(x)), то символы /£(<7(z)) и fg(g(x))
определяются равенствами f^(g(x)) = h'(x), fg(g(x)) = fi(g(x)y где
fi(x) = f(xy
Лекция 18
§ 4. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ
ПОРЯДКОВ
Пусть /(х) является дифференцируемой в каждой точке интервала
ia,b). Тогда каждой точке х 6 (а, Ь) можно поставить в соответствие
число — производную /'(х) в этой точке. Полученная функция
называется функцией, производной от .данной, и обозначается также
/'(х). Может случиться, что она сама тоже имеет производную.
Тогда эта производная называется второй производной функции
/(х) и обозначается так:
Г(х) = (Г(х)у.
Подобным образом определяются третья, четвертая и все последу-
ющие производные:
Г'(х) = (Г(х))',	/(п)(х) = (/”-1)(х))'.
Пример, (х3)" = ((х3)')' = (Зх2)' = 6х.
Теорема 1 (формула Лейбница). Пусть и, v имеют п-е
производные. Тогда справедлива формула
(uv/n) = u^v +	---^-u^n~2^v" +  •  + uv^ =
2
где г№ = u, = v.
Доказательство. (По индукции). При n = Г утверждение
теоремы справедливо. Предположим, что оно верно при n = s > 1.
Докажем его при п = 4 + 1. Имеем
109
поскольку
s +1
t
Теорема 1 доказана.
Имеется еще одно обозначение для n-й производной, а именно:
f^(x) = Dnf(x) = ^^.
Последнее обозначение связано с понятием дифференциала выс-
шего порядка, к определению которого мы приступаем.
Пусть функция /(х) дифференцируема на (а, Ь). Тогда существует
ее дифференциал
df(x) — f'(x)dx.
Зафиксируем значение приращения аргумента dx = Дх — h. Тогда
df(x) можно будет рассматривать как функцию от х, заданную на том
же интервале (а, 6). Если она дифференцируема, то дифференциал
имеет вид.
</(/'(х)Л) = /"(х)ЛДх.
Если мы в этом случае значение Дх возьмем снова равным h, то
получим
d(f'(x)h) = f"(x)h2 = f"(x)dx2.
Это выражение называется вторым дифференциалом и обознача-
ется d2f(x), т.е.
d2/(x) = f"{x)dx2.
110
Аналогично определим:
d3f(x) = d(d2f(x)) = f'"(x)dx3,
(ГДх) = rf(dn-7(x)) = f^(x)dxn.
Очевидно, в силу такого определения можно записать:

Целесообразность введения понятия n-го дифференциала будет ясна
позднее. Например, далее мы увидим, что приращение Д/(ж) во
многих случаях можно представить в виде
. r df d2f d3f dnf
л/-Т!+_2Г + ^Г + ‘” + “^Г + "-
(формула Бернулли). Смысл этого равенства мы уточним тогда,
когда будем его доказывать.
Заметим, что уже второй дифференциал не обладает свойством
инвариантности. Действительно, если
f'(x) = f1(x) И f"(x) = f2(x),
то при х = g(t) имеем
Шт = (ШШШ = 6ДО)) • G/W)2 + А(<Ж))<т
Отсюда получим
d2f(g(x)) = шт2 = ГШтаШ +
в то время как второй дифферёнциал функции /(х) равен
d2f(x) = f'Jx(x)dx2>
и при подстановке в правую часть равенства функции g(t) полу-
чим выражение fgg(g(x))(dg(x))2, которое, как видим, отличается от
правой части равенства для </2/(д(х)). Следовательно, свойство инва-
риантности для второго дифференциала не имеет места.
111
Для того чтобы глубже прояснить сущность свойства инвариантно-
сти дифференциала, мы рассмотрим несколько более общие понятия.
Будем называть дифференциальным мономом Dk порядка к от
п функций f(x),g(x),.. ,,h(x), п < к, одной переменной х следующее
выражение
Dk = cf^(x)gw (x)...	(x) dxk,
где a + /3 +    + у = k, причем a, /?,..., у являются натуральными
числами и с — некоторая вещественная постоянная.
Всякая линейная комбинация дифференциальных мономов фиксиро-
ванного порядка от одного и того же набора функций f,g,...,h назы-
вается однородным дифференциальным выражением порядка
к. Неоднородным дифференциальным выражением называется
линейная комбинация конечного числа мономов разного порядка, но
от тех же функций f,g,...,h.
Следует отметить, что на любое дифференциальное выражение
можно смотреть как на функцию двух независимых переменных,
а именно: х и dx. Но в данный момент нас будет интересо-
вать не функциональная, а алгебраическая сторона вопроса, точ-
нее, свойство дифференциального выражения сохранять свою фор-
му при замене независимой переменной х на функцию ip(t) и,
соответственно, dx на d<p(t) = dt. Поясним более четко, что
конкретно имеется в виду. Если подставим в однородное диф-
ференциальное выражение D порядка к вместо х функцию <p(t),
то вместо дифференциала dxk будем иметь выражение (dtp(ty)k =
=	(t))k(dt)k, а вместо производных /^“^(х),^^)(х),.. ,,h^(x) — вы-
ражения	<7^(^(Z)),..., h$(<p(t)), т.е. мы получим некоторое
дифференциальное выражение Bi, завсящее от t и от dt. Другое диф-
ференциальное выражение В?, зависящее от тех же величин t и dt,
получим, если то же однородное выражение D применим к функ-
циям f(<p(t)),g(<p(t)),... ,h(<p(t)), т.е. вместо f^a\x),g^(x),..., /^(х)
рассмотрим	g^ (^(t)), •  , hty\<p(t)), а вместо (dx)* — вы-
ражение (dt)k. Если при этом оказывается, что вне зависимости от
вида функции <p(t) имеет место равенство В\ = В%, то мы говорим,
что дифференциальное выражение D обладает свойством инвари-
антности, или инвариантно относительно замены переменной.
В противном случае мы считаем, что оно указанным свойством не
обладает. Иными словами, инвариантность В означает возможность
перестановки порядка выполнения операции замены переменной и
операции вычисления этого дифференциального выражения, т.е. ком-
мутативности этих двух операций.
В смысле введенных нами понятий дифференциалы первого и
112
высших порядков являются однородными дифференциальными выра-
жениями, причем первый дифференциал обладает свойством инвари-
антности (относительно любой замены переменной), а дифференциалы
порядка, большего единицы, этим свойством не обладают. Заметим,
однако, что в случае линейной замены переменной инвариантность
все же имеет место.
Возникает вопрос о том, существуют ли дифференциальные выра-
жения порядка, большего единицы, обладающие свойством инвариант-
ности. Было известно, что, вообще говоря, инвариантные дифферен-
циальные выражения от нескольких функций существуют. В течение
ряда лет профессор МГУ А. А. Кириллов привлекал внимание ма-
тематиков к идущей от О. Веблена проблеме, связанной с описанием
классов инвариантных дифференциальных выражений. Прояснить си-
туацию в указанном круге вопросов в значительной степени удалось
Ф. М. Малышеву в 1978 г. Единственным инвариантным диффе-
ренциальным выражением, зависящим от одной функции, является
первый дифференциал. Для двух функций f и д все инвариантные
выражения порождаются двумя однородными дифференциальными
выражениями Bi и Вг вида Bi = f'g'dx2, B% = (f"g‘ — f'g")dx3. Он
доказал общую теорему о конечности количества N(n) “образующих”
однородных дифференциальных выражений от п функций и получил
оценку А(п) < п!. Кроме того, для степени инвариантного дифферен-
циального выражения имеет место неравенство к < п(п + 1)/2 [23].
В заключение приведем еще одну теорему, которая касается про-
изводных высших порядков от сложной функции.
Теорема 2(теорема Валле Пуссена). Пусть функции F(x)
и и(х) имеют п-е производные. Тогда для n-й производной функции
G(x) = F(u(x)) имеет место следующая формула
G(n)(x) =	12	- >(u)Fa+/?+7+... ,
а+20+3-/ +  =n
n! fu'\a fu"\0
Pa+l3+y+... -	J 2[J	3! J
Поясним, что суммирование в правой части ведется по всем целым
неотрицательным числам а, 0, у,..., удовлетворяющим равенству
О + 2В + 37 +  •  = п.
Доказательство. Последовательно применяя правило
дифференцирования сложной функции, мы, очевидно, приходим к
из
равенству вида
п
G^(x) = ^ck(x)F^(u),
*=i
где ск(х) — некоторые выражения, вид которых не зависит от конкрёт-
ного задания функций у = F(u), и = f(x). Поэтому для определения
точного выражения ск(х) через функцию и(х) мы можем использовать
любые удобные для нас функции. В силу этого будем считать, что
F(u) и и(х) — многочлены n-й степени, записанные в виде
F(u) = F(u0) + *^^
FW(uo)
n! ’
UW = U(W + i) = UM +	+  -  +
Здесь мы полагаем, что переменные z и t определены равенствами
z = и — ио, ио = «(жо), t = х — хо- В этом случае функция G(x)
будет представлять собой многочлен степени п2, который может быть
записан в виде
G(x) = G(x0) +
G'(*o).,	,G(n)(^o).„,	. G^o) 2
___z + ...+ ___ t +...+ ..-^rt ,
и, кроме того, в виде
G(x) = F(u0) +
Fz(u0) (u'(xp)
1!
1 + +
1!	n!
F^(u0) (u'(xo)	«(n)W,„
Раскрывая скобки в последнем равенстве с помощью полинома Нью-
тона (см. замечание к §1 гл. II) и сравнивая коэффициенты при
tn в получившемся выражении с первым равенством, приходим к
утверждению теоремы. Теорема 2 доказана.
114
§ 5.	ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ
Пусть хо — внутренняя точка области определения f(x).
Определение. 1. Функция f(x) возрастает в точке х = хо, если
существует некоторая окрестность этой точки, в которой:
a)	f(x) > f(x0) при х > х0,
б)	f(x) < f(x0) при х < х0.
Ясно, что точка х = xq является Точкой возрастания функции f(x),
если
АЛ?) > о при Дх / О
Дх
в некоторой окрестности точки х = xq.
2.	Функция f(x) убывает в точке х = хо, если существует неко-
торая окрестность этой точки, в которой:
а)	/(®) < /(®о) при х > х0;
б)	f(x) > /(хо) при х < х0.
Точка х = хо является точкой убывания функции /(х), если в
некоторой окрестности этой точки выполняется неравенство
АЖ<0 при Дх/0.
Дх
3.	Функция имеет в точке локальный максимум (локальный мини-
мум), если в некоторой проколотой окрестности этой точки выполня-
ется неравенство /(хо) > /(х) (соответственно /(хо) < /(х)).
4.	Функция /(х) имеет локальный экстремум в точке х = хо,
если в этой точке она имеет или локальный максимум, или локальный
минимум.
Теорема (достаточное условие возрастания или убывания
функции в точке). 1. Если f'(xo) = с > 0, то тока х = хо — точка
возрастания функции /(х).
2. Если f'(xo) = с < 0, то функция f(x) убывает в точке х = xq.
Доказательство. 1. Так как
гы = lim
x-¥Xq X — Xq
то существует число 6 = $(c/2) > 0 такое, что неравенство
/(*) - /(др)
X - Хо
с
2
115
выполняется для всех точек проколотой (5-окрестности точки х. = xq.
В этой окрестности имеем
£ < А*) ~ Лжо) < 3£
2 х — хо 2
Следовательно, Д/ имеет тот же знак, что и Дх, т.е. хо — точка
возрастания. Случай 2 сводится к случаю 1 заменой /(х) на — /(х).
Эта теорема называется леммой Дарбу.
Лекция 19
§ 6. ТЕОРЕМЫ РОЛЛЯ, КОШИ И ЛАГРАНЖА
Теорема1 (теорема Ролля). Пусть функция f(x) непрерывна,
на [а, 6] и дифференцируема во внутренних точках этого отрезка.
Пусть также f(a) = f(b). Тогда на интервале (а,Ь) существует точка
£ такая, что f'(£) — 0.
Доказательство. Функция f(x) непрерывна на [а, 6].
Следовательно, на этом отрезке найдётся точка xi, в которой f(x)
имеет максимум, а также точка х?, являющаяся точкой минимума
для f(x). Если xi = Х2, то f(x) постоянна на отрезке [а, 6] и f'(x) = 0
всюду на [а, &]. Если же Xi / Х2, то либо f(x\), либо /(хг) не равна
/(а) = /(6). И та точка из них, для которой равенство не имеет
места, будет внутренней точкой отрезка [а, 6] и одновременно точкой
локального экстремума. Обозначив ее через £, имеем /'(£) = 0,
поскольку в противном случае была бы точкой возрастания или
точкой убывания функции f(x). Теорема 1 доказана.
Теорема2 (теорема Коши). Пусть функции f(x) и д(х)
непрерывны на отрезке [а, 6] и дифференцируемы внутри него. Пусть
д'(х) / 0 при всех х 6 [а, 6]. Тогда на интервале (a,b) найдется точка
с такая, что
/(а) —/(6) _/'(с)
<?(«)- g(l>) д'(с)'
Доказательство. Преобразуя эквивалентным образом требуемое ра-
венство с учетом того, что д'(с) /0, имеем
(/(а) - /(Ь))д'(с) - (д(а) - g(b))f(c) = 0.
Заметим, что слева в последнем равенстве стоит значение производной
функции Н(х) в точке х = с, где
Н(х) = g(x)(f(a} - f(b)) - f(x)(g(a) - g(b)).
Таким образом, нам достаточно доказать существование точки с, в
которой Я'(с) = 0. Но функция Н(х) дифференцируема во внутренних
точках отрезка [а, 6] и
Я(а) = H(b) = —g(a)f(b)+f(a)g(b).
Поэтому по теореме Ролля существует точка с € (а, 6) такая, что
Я'(с) = 0, что и требовалось доказать.
117
Следствие (теорема Лагранжа). Пусть функция f(x)
непрерывна на отрезке [а, 6] и дифференцируема на интервале (a,b).
Тогда имеет место формула
f(a)-f(b)=f'(c)(a-b),
где с — некоторая внутренняя точка этого отрезка.
Доказательство. Утверждение следствия является част-
ным случаем теоремы Коши при д(х) = х. Это следствие называется
также формулой конечных приращений.
Замечания. 1. (О схеме доказательства леммы Дарбу). Эта
лемма утверждает, что если /'(xq) >0, то в точке хо функция
f(x) возрастает. С другой стороны, ее возрастание означает, что
приращение функции Д/(х) = f(x) — /(xq) и приращение аргумента
Дх = х — хо имеют одинаковый знак и Д/(х) / 0 при Дх / 0 в
некоторой окрестности точки xq. Доказательство этого факта, по
существу, основано на свойстве функции, имеющей положительный
предел, быть положительной на некотором окончании базы. В данном
случае
'(10) = 1йп Л1) -	> 01
X-+XQ X ~ Xq
и поэтому в некоторой проколотой окрестности точки яо мы имеем
неравенство
/(х) - /(х0) > 0
X - Хо
Это и означает, что в данной проколотой окрестности точки хо
значения Д/(х) и Дх имеют одинаковый знак и Д/(х) / 0 при
Дх 0.
2(a) (По поводу теоремы Коши). Для справедливости утвержде-
ния теоремы, в частности, требуется, чтобы </'(х) / 0 для любого х,
принадлежащего отрезку [а, 6]. Отсюда следует, что д(а) — д(Ь) / 0, т.е.
в знаменателе отношения в формулировке теоремы стоит ненулевое
число. Действительно, если мы предположим, что д(а) = д(Ь), то по
теореме Ролля существует число с такое, что д'(с) = 0, но по условию
теоремы это не так.
(б) (Геометрическая интерпретация теоремы Коши). Пусть
при а < t < b имеем
У =g(t)-
Тогда в некоторой точке с тангенс угла наклона касательной к
этой кривой равен тангенсу угла наклона хорды:
5'(с) д(а) - д(Ь)
118
3. (По поводу теоремы Ролля). Эта теорема, по существу, утвер-
ждает, что при некоторых дополнительных условиях между двумя
“нулями” функции всегда лежит “нуль” ее производной. Доказатель-
ство теоремы основано на том, что если точка глобального экстремума
является внутренней, то она не может быть точкой возрастания или
убывания, а отсюда уже следует, что производная в этой точке
обращается в нуль.
Докажем несколько более общую теорему, а именно, теорему
Ферма: Пусть, как и ранее, f(x) непрерывна на [а, Ь].
Определение 1. 1) Внутренняя точка, хо называется точкой не-
собственного локального максимума (или локального максиму-
ма в широком смысле), если существует проколотая 6-окрестность
точки хо, в которой
Sf(xo) = f(x) - f(x0) > 0.
2) По аналогии определим, что такое точка несобственного ло-
кального минимума: f(x) имеет несобственный локальный минимум
(локальный минимум в широком смысле) в точке хо, если существует
проколотая 6-окрестность, в которой
= f(x) - /(хо) < о.
3) Точки несобственного локального минимума и максимума назы-
ваются точками несобственного локального экстремума.
Ясно, что экстремальные точки можно рассматривать и как несоб-
ственные экстремальные точки, но не наоборот.
ТеоремаЗ (теорема Ферма). Пусть внутренняя точка хо
отрезка [а, 6], на котором определена и непрерывна функция f{x),
является точкой экстремума (в широком смысле) этой функции и
пусть 3 /'(хо). Тогда имеем f'(xo) = 0.
Доказательство. Точка х0 не может быть точкой
возрастания (убывания), так как тогда в некоторой проколотой 6-
окрестности этой точки
Д/(хр) > 0 / А/(»о)
< 0 соответственно ).
Но тогда неравенства /'(хо) > 0 (Г(хо) < 0) йбвозможны. Остается
принять, что /'(хо) = 0, что и требовалось доказать.
Докажем еще одну теорему об обращении в нуль производной.
119
Т е о р е м a 4. Пусть функция f(x) дифференцируема на (a,b),
a < ai < bi < Ь и /'(ai)  f'(bi) < 0. Тогда существует точка £ € (ai,bi)
такая, что /'(£) = 0.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай /'(ai) > 0.
Пусть £ — точка максимума на отрезке [<xi,6J. Тогда она является
внутренней для этого отрезка, так как Oj — точка возрастания, а
bi — точка убывания. Но тогда имеем /'(£) = 0. Второй случай,
/'(oj) < 0, сводится к первому с помощью замены функции f(x) на
р(ж) = —/(ж). Теорема 4 доказана.
Следствие (теорема Дарбу). Пусть функция f(x) диффе-
ренцируема на (a,b) и для некоторых ai,bi g (a,b)
f'(ai) = a, f\bi) = /3.
Тогда для всякого числа лежащего между а и Д найдется точка
х0 G [ai, 61] такая, что f'(x0) = С
Доказательство. Рассмотрим функцию g(x) — f(x) — х£.
Имеем
У(а1) = а-^,	ff'(6i) =/?-£.
Но так как £ лежит между а и /? , то а - ( и /3 — £ имеют разные
знаки. Тогда по теореме 4 имеем, что существует точка Жо такая,
что д'(хо) — 0. Отсюда следует, что
/Ч^о)—€ = 0, т.е. /'(ж0)=С
Доказательство закончено.
Теорема 5. Функция д(х).= Г(х) не может иметь разрывов
первого рода.
Доказательство. Пусть
/'(ж) —> а при ж —> жо+, f'(x) —> 6 при ж —> жо — 
Докажем, что а = 6. Предположим, что это не так. Тогда а / 6.
Пусть
1	1
Хп = 2-0 Н-> ®о + , Уп = Хо-> Ж0-,
п	п
тогда
/'(жп) —> а при п —> оо, f'.(yn) —> 6 при п —> оо.
Так как а / 6, то или а //'(жо), или 6//'(жо).
120
Допустим, что имеет место случай а ф /'(жо)- Так как число
L	находится между /'(хп) и /'(х0), то в силу теоремы
Дарбу существует сп с условием хп < сп < xq, кроме того,
1 (п> ~	2	'
Поскольку сп —> xq, согласно определению правого предела по Гейне
имеем
f'(cn) -> а.
Отсюда а =	, те а = /'(я0), а это противоречит тому, что
f'(xo) ф а. Следовательно, предположение, что а ф Ь, неверно и а = Ь.
\ это значит, что функция /'(х) не может им^ть разрывов первого
рода. Теорема 5 доказана.
Попутно мы доказали, что если f'(x) -> zq при х —> х0+ (или
х -> х0-), то zq = /'(х0).
Пример точки разрыва производной. Положим
, „	( х2созД если х О,
/(*) = ) n п
(, 0,	если х = 0.
При х ф О
/'(x) = 2xcos—I-sin —,
х х
а при х = 0 по определению производной
/'(0) = lim	= |im (^)3eosl/Ag = 0
Дг->0 Дх	Дт->0 Дх
В точке х = 0 не существует ни правого, ни левого предела /'(х).
Определение 2. Если	—> 4- оо при х —> xq, то говорят,
(~)
что f(x) в точке Xq имеет бесконечную производную, и пишут:
/'(жо) = + оо.
То же самое говорят и пишут о правой и левой производных.
Пример, /(х) = у/х. При х ф 0 имеем /'(ж) = о Тогда
/'(0+) =
lim
Да:—>0
V'Дх — О
Дх
= 4-ос.
121
Лекция 20
§ 7. СЛЕДСТВИЯ ИЗ ТЕОРЕМЫ ЛАГРАНЖА
Теорема!. Пусть f'(x) = 0 при всех х G (а, Ь). Тогда
f(x) = const = /(^у^)-
Доказательство. По теореме Лагранжа имеем
АУа + Ц ,/ ч rfa + b\ гч \( а + Ц п
Д/(-у ) = /(*) - /( ~2~J = f (с) ( х ) = О-
Отсюда
/м=/(4^).
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть функция f(x) дифференцируема на
(a,b). Тогда для того чтобы f(x) не убывает на (а, Ь), необходимо и
достаточно, чтобы
/'(х)>0 V xE(a,b).
Доказательство. Необходимость. Условие неубывания
функции /(х) эквивалентно тому, что > 0. Переходя к пределу
в неравенствах, получим
f'(x)= lim ^>0.
Дг-»0 Дх
Достаточность. Если /'(х) > 0, то по теореме Лагранжа
при некотором с € (а,Ъ), т.е. функция /(х) не убывает на (а, Ь).
Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Если f'{x) > 0 на интервале (а, Ь), то функция
/(х) монотонно возрастает на (а,&).
Доказательство. По теореме Лагранжа имеем
Д/(х) = f'(c)Ax > 0 при Дх > 0,
что и требовалось доказать.
122
Теорема 4. Пусть f(x) дифференцируема на отрезке
[а, 6]. Тогда для того чтобы функция f(x) строго возрастала на нем,
необходимо и достаточно, чтобы f'(x) > 0 на интервале (a,b) и f'(x)
не обращалась в нуль тождественно ни на каком отрезке
лежащем внутри отрезка [а, 6].
Доказательство. Необходимость (от противного). Если
условие теоремы не выполнено, то или /'(хо) < 0 для некоторой точки
г о € (а,Ь), или /'(х) =0 при всех х € [ai,bi]. Тогда в первом случае
хо — точка убывания функции f(x), а во втором — f(x) = const на
[ai,bi]- Это противоречит условию возрастания функции /(х).
Достаточность. Так как по условию f'(x) > 0, то при любых
ai < Ь\ , где ai, bi € [а, Ь], имеем
f(bi)-f(ai)=f'(c)(bi-ai)>0,
т.е. f(x) не убывает.
Докажем, что f(x) возрастает. Пусть это не так, и /(ai) = f(bi)
при bi >0]. Но тогда в силу неубывания /(х) на отрезке [ai,b»i]
имеем, что f(x) = const на нем, и, следовательно, f'(x) = 0 на (ai,bi),
что противоречит условию теоремы. Тем самым теорема 4 доказана
полностью.
§ 8. НЕКОТОРЫЕ НЕРАВЕНСТВА
Теорема (неравенство Юнга). Пусть аД > 0, а + /3 = 1.
Тогда при х > 0 имеем
ха < ах + /3.
Доказательство. Рассмотрим функцию f(x) = ха — ах — /3.
Заметим, что /(1) = 1 — а — /3 = 0. Далее, поскольку
f'(x) = а(ха~1 — 1) < 0 при х > 1,
при х > 1 функция f(x) убывает. Следовательно, при х > 1 выполнено
неравенство f(x) < /(1) = 0.
Если же 0 < х < 1, то
f'(x) = a(x°'~1 — 1) > 0.
Отсюда получим, что f(x) < /(1) = 0 при 0 < х < 1. Таким образом,
для всех х > 0 выполнено неравенство ха — ах — (3 < 0, откуда следует
справедливость теоремы.
123
Положим х = a/b > 0. Из неравенства Юнга имеем aab^ < аа + 0Ь.
Это неравенство справедливо при любых а, Ь > 0.
Положим теперь
а =
1 /а
г—\п	1/л ’
i/p
ь-
1>p=i
up, гр > 0,
и просуммируем по и от 1 до п. Получим
т. е.
Это неравенство называется неравенством Гельдера.
Докажем теперь неравенство Минковского. Пусть выполняются
следующие условия: р > 1; Др, 6р > 0, и = 1,..., п. Тогда
Доказательство. Введем обозначение 1/р 4- 1/q = 1.
Используя неравенство Гельдера, имеем
п	п	п
А = £(ар + Мр = £	+ ^)₽-1 + L + ^)Р-1 = В + С>
|/=1	|/=1
n	/ П	\ 1/р / П
в = £ Яр(др + Ьр)р-1 < (52 °р) (52 <а- + М9(р-1)
l/=l	'l/=l '	'i/=l
п	/П\1/Р/П
с=52 &р(«р+Ьр)”-1 < (52	+м9(р-1)
l/=l	'i/==l	'	'‘Р=:1
Так как g(p — 1) = р, то
/ / п \ 1/р	/ п \ 1/р\
+(£^) И1'”’
откуда, поскольку 1 — 1/д = 1/р, имеем
А1^ =
124
что и требовалось доказать.
§ 9. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ
Пусть <p(t) и — две функции, заданные и дифференцируемые
на [0,1], и для всех t 6 [0,1] имеет место неравенство > О
(или < 0). Тогда <p(t) строго возрастает стропу убывает
при <р' < 0) и эта функция имеет обратную функцию t = д(х).
Совокупности пар (<^(t),^(t)) задают функцию у = f(x) такую, что
(х,у) = (х, /(х)) - (^(f), V’(t)),
где х - t = д(х), f(x) =
Найдем ее производную. Имеем
! И = ««(«))? W =
поскольку
/(*) = ,/1/ -л- •
Это равенство для f'(x) можно записать в следующем виде:
/;wo) = 5g.
что дает нам правило нахождения производной функции, заданной
параметрически. Таким же образом можно вычислить производные
любого порядка. Найдем, например, формулу для второй производной.
Имеем
С одной стороны, справедливо равенство

С другой стороны, имеем
(/>(«))); =

Следовательно,
V>V - ^'<р"
=
(^)3
Лекция 21
§ 10. РАСКРЫТИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Теорема1 (первое правило Лопиталя; неопределенность
вида - при х —> а—). Пусть:
1)	f(x) и д(х) определены и дифференцируемы в некотором интер-
вале
2)
3)
4)
lim f(x) = lim g(x) = 0;
X—>a—	X —► £ —	ч
f'(x), g'(x) ф 0 при всех x € (« — <5г, а) при некотором 8^ > 0;
существует конечный или бесконечный предел При х —> а—
т.е.
Тогда существует
предел отношения и имеет место равенство
lim - lim
-►a- g(X) х-+а-
ъ с m в о. Можно считать,
Доказател
х —) а— является конечным числом и равен I, поскольку если это не
так, то можно рассмотреть отношение
Доопределим f(x) и д(х) в точке х = а, полагая /(а) = д(а) = 0.
Тогда функции /(ж) и д(х) непрерывны в точке а слева. Поскольку
—> I при х —> а—, для любого е > 0 существует 63 = 83(e) > 0
такое, что при всех х € 1(8з) = (а — <5з, а) имеем
g(x) — д(а) 1
Положим 8 = тт(^1,^2,^з)- Тогда для каждого х Е (а — 8, 8),
используя теорему Коши, получим
/(*) , =
$(*)
где с Е (х, а) С (а - <5, а).
Таким образом, по определению предела
Пп, ф>=(,
д(х)
что и требовалось доказать.
126
Следствие!. В теореме 1 можно заменить условие х —> а—
и интервал (а — <5, а) на условие х —> а+ и интервал (а, a + £).
Для доказательства этого факта достаточно сделать
замену переменной у = 2а — х и применить теорему 1 к функциям
/1 (у) = /(®) и <71 (у) = У(х)- Очевидно, эти функции удовлетворяют
условиям теоремы, причем у = 2а — х —> а— при х —> а+.
Следствие2 (первое правило Лопиталя; неопределенность
О	ч гг
вида - при х —> а). Пусть:
1)	/(ж) и д(х) определены на некотором интервале (а — 6, а + <У) и
дифференцируемы на нем, за исключением, быть может, точки х — а;
2)	lim f(x) = lim g(x) = 0;
x—ta	x-+a
3)	f'(x),g'(x) ф 0 при x E (a — 6,a + 6), хф a;
4)	существует конечный или бесконечный предел: limr_>a
_	f(x)
Тогда существует предел lim . и имеет место равенство
9(х)
..	f'(x)
lim —7-7 = lim —; . .
г-ю 5(ж) r-ю g (х)
Доказательство непосредственно вытекает из теоремы 1
и следствия 1.
Похожая теорема имеет место для предела отношения и в том
случае, когда f(x) и д(х) стремятся к оо при х -> а (неопределенность
вида Однако доказательство в этом случае усложняется по
причине, которая будет ясна дальше.
Справедлива следующая теорема.
Теорема2 (второе правило Лопиталя; неопределенность
вида — при х —> а—). Пусть:
оо
1)	f(x) и д(х) дифференцируемы в интервале вида (a — h,a), h > 0;
2)	f'(x),g'(x) ф 0 при всех х 6 (а — h,a);
3)	f(x) —> 00, g(x) —> 00 при х —> a—;
4)	существует конечный или бесконечный предел lim ъттг-
x-ta- я УХ1
Тогда предел отношения функций также существует и имеет место
равенство
г /(ж) г
lim •	= lim
х—►a— g(x)	х—►а —
У'(*) ’
Доказательств
о. Очевидно, что можно считать
lim
х-ю-
/'(*)
= 1 GR,
127
т.е. предел конечен. Действительно, если
lim < = оо, то
х-+а- Я (®)	’
lim $4 = 0.
r-fa- f'(X)
И вместо того чтобы доказывать, что lim = оо, достаточно
х-+а- Я(х)
показать, что lim = 0. Одновременно это будет означать, что
х-¥а-
lim = оо.
x-ta- Я\х)
Как и при доказательстве теоремы 1, будем использовать формулу
Коши. Но здесь ситуация сложнее, так как мы не можем сразу
отношение заменить на  Тем не менее, это можно сделать
с малой погрешностью, которая, по существу, стремится к нулю.
Будем считать, что в некоторой полуокрестности (a — hi, а) точки
а выполняется неравенство /(х) $ 0 и д(х) ф 0. Это возможно,
поскольку /(z) —> оо, p(x) —> оо при х —> а—.
Пусть Ei — любое число, 0 < £i < 1/2. Возьмем = ^i(ei) > О
так, чтобы неравенство
д'(х)
Ji < min(ft, hi)
< >
выполнялось для всех х из интервала (а — О i, а). Это возможно, так
как
lim =
Х-fa- д (X)
существует по условию. Пусть х$ — некоторая точка из этой
окрестности. Поскольку limr_>.a_ f(x) = оо, то найдется 62 — ^2(^1) > О
такое, что
|/(Z)| > 1Л££1! у хЕ (а-62,а).
£1
Аналогично найдется 63 = £з(£1) > О такое, что
|5(Х)| >	у хЕ(а-63,а).
£1
Пусть 64 = min(Ji,J2><M> Д =	| х Е (а —£4,0)}. Тогда для
любого х Е I4 в силу теоремы Коши имеем
Д/(*о)
Д^(®о)
f^)-f(x0)
д(х)-д(х0)
< £1,
128
где с€ (х,х0) С Ц- Отсюда получим
д/ы
ДД^о)
ДЛ*о) Л ,,
< El + |/| < 1 + |/|.
Далее для тех же значений х будем иметь цепочку неравенств:
Л*)
Л*)
Дх) _ ддЖо) + ДЛ*о) _ z
д(х) ДД«о) ДД^о)
Но так как
то
< /1^1
~ 9&)
мм
ДД^о)
ДЛ*о)
ДДяо)
Дд(до)
g(g)
Д/(До)
/(»)
ДЛ*о) ,
ДД®о)
+ £1 —
д/
д^
Д0	,	9(хо)	. ,	, ,
— =	1---—т-	= 1 + а,	где |а|	< ег
9	9{х)
1 + а _ |а - 2ei _
1 + /?	11 + .Щ-0,5-
Следовательно, получаем
Л^) ,
9(х)
< (|/| + 1)4^1 4- £i — £j(4|Z| + 5) — £.
Положим
Тогда для любого £ =
найдено & — Де) = Д () такое,
что для любого х 6 (а — 6, а) выполняется неравенство — Z| < е.
Это значит, что
lim
г—^а—
9^)
I £	\
(О, |(4|/|+5))
А + £1 .
Теорема 2 доказана.
5 Лекции по математическому аиалпл
129
Следствие!. Если в теореме 2 условия х —> а— и
х Е (а — h,a) заменить на условия 'х —> а+ и х Е (а, а + Л) , то
утверждение теоремы остается в силе.
Для доказательства достаточно применить теорему 2
к функциям
fi(y) = Л(2а-х) = /(z), дг(у) = gi(2a-x) = д(х).
Следствие2 (второе правило Лопиталя; неопределенность
вида — при х —> а). Пусть:
оо
1)	f{x), д(х) определены и дифференцируемы в проколотой h.-
окрестности точки а;
2)	f'(x),g'(x) -ф- 0 в той же окрестности точки а;
3)	f(x) —> оо, д(х) —> оо при х —> а;
4)	существует предел отношения производных limr_>a Тогда
предел отношения функций существует и равен
г-+а д(х)
= lim
х—►а
/'(*)
р'(г)'
Доказательство
следует из утверждений теоремы
этого утверждения непосредственно
2 и следствия -1.
Замечания. 1. В теоремах 1 и 2 условие х —> а— можно заменить
условием х —> Ч-оо или х —> — оо, а во вторых следствиях теорем 1 и
2 — на х —> оо.
Доказательство проводится посредством подходящей замены пере-
менной. Например, в случае lim надо положить х = — 1/t.
Тогда
Ш _ //(- 1)/А _ Л(-1) _ Ш
9'(х) x=-i/t	9'dt)'
Отсюда следует существование предела
t->0- g’Jx)
= к
и затем по теореме 1 имеем
fi(x) , к /(«)
hm —— = ( = lim —
t->°-51(x) г->+оо д(х)
2. Применение теоремы Штольца о пределе отношения двух после-
довательностей позволяет существенно упростить довольно громоздкий
130
вывод второго правила Лопиталя. Далее мы приведем еще один ва-
риант доказательства теоремы 2, основанный на указанной выше
идее.
Доказательство теоремы 2. В силу определения
предела по Гейне мы имеем, что условие	—> I при х —> а—
означает выполнение условия	—> I для любой возрастающей
последовательйости {хп}, сходящейся к а, хп а. Но так как по
условию теоремы д(х) —> оо при х —> а—, то и д(хп) —> оо при п —> оо,
а это значит, что к отношению	можно применить теорему
Штольца. Поэтому, используя еще и теорему Коши, будем иметь
lim
п—too
lim f(xn+1)-f(xn)
n-юо g(xn+i) — g(xn)
lim
n—too
f'M
<7'(cn) ’
fM
если только последний предел существует. Но для чисел сп мы имеем
здесь неравенства хп < сп < xn+i, откуда следует, что сп —> а при
п —> оо, поэтому последний предел существует и равен I.
Таким образом, теорема 2 доказана полностью.
Примеры. 1. lim хх = 1. По второму правилу Лопиталя имеем
s->o+
IX I 1П «
In ж = ж In ж = —7—,
\/х
lim = lim	У Ж = lim (—ж) = О,
Г-70+ \/х	Г-70+ — l/x1	Г-70+
1_х lim г In г п
lim х = lim е = ех_‘°+	= е° = 1.
х—»-04“	х—>0+
2. Используя первое правило Лопиталя, получим
х — sin х
lim------5---
г->0	Хл
1 — COS X . sin X
= hm ——-г— = lim —— =
r->0 3xJ x->-0 ox
1
6’
5*
Лекция 22
§ 11. ЛОКАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
В качестве приложения докажем формулу Тейлора с остаточным
членом в форме Пеано или, как ее еще называют, локальную формулу
Тейлора.
Мы видим, что дифференциал df приближает приращение Д/ с
точностью до бесконечно малой порядка, большего 1. Это означает
также, что
Д/(а) - rf/(x)|r=a = о(Дх), т.е. имеем
f(x)-f(a)-f'(a)(x-a) = o(\x-a\) при х-» а.
Правило Лопиталя позволяет обобщить это утверждение.
Рассмотрим многочлен Тейлора степени п:
<?(*) = /„(a, х) = f(a) + Дх + ^(Дх)2 + • • • + ^^(Дх)",
где Дх = х — а.
Теорема (формула Тейлора с остаточным членом в форме Пе-
ано). Пусть f(x) дифференцируема п — 1 раз в некоторой окрестности
точки х = а и существует f^(a). Тогда
г(х) = /(х) - fn(a,x) = о((Дх)п) при Дх-> О,
Доказательство. Применим первое правило Лопиталя
п — 1 раз при х —> а к отношению
Получим
Hm = Hm . .....................
x-t-a (х — а)” х-*а п(х — а)”-1
,. Г<п-!)(х)	1	/(п-1)(х)-9<п-1)(х)
= hm -г-.---—( = — hm-------—------------—
х->а п!(х — а) п! х->а	X — Я
132
Далее имеем

Отсюда
Г /АГ г(П-Щх)
lma(I)=hm((i_a)n))„_„ =
1 ..
— lim I ------------------------
п! х-+а у	X — а
Другими словами, а(х) есть бесконечно малая функция при х -> а.
Следовательно, г(а) = (х- а)па(х), где а(х) — бесконечно малая, т.е.
г(х) = о((ж — а)”).
Теорема доказана.
Формулу Тейлора с остаточным членом в форме Пеано удобно
использовать для вычисления пределов. Действительно, при х —> О
имеем, например,
х3 х5 5
sin я = я- — + 5г + о(® )•
Отсюда
sinx — х + х3/6	х5/120 + о(х5)	1
®->о х5	г->о х5	120
Важно отметить, что локальная формула Тейлора имеет и глубокий
содержательный смысл. В частности, она обобщает понятие диффе-
ренцируемости функции в точке, поскольку при n = 1 мы получаем
из нее данное выше определение дифференциала функции.
Будем говорить, что при некотором п G N функции f(x) и д(х)
имеют касание n-го порядка в точке «о» если при х —> хо вы-
полняется соотношение f(x) — д{х) = о((х — хо)п). Тогда локальная
формула Тейлора утверждает, что многочлен Тейлора /п(х) имеет
касание n-го порядка с функцией /(х).
Заметим, что если два многочлена n-й степени Рп(х) и Qn(x) имеют
касание порядка п в некоторой точке ю с какой-либо функцией д(х),
то их коэффициенты совпадают и Рп(х) = Qn(xY Действительно,
тогда имеем
Мж) = рп(х) - Qn(x) = (Рп(х) - д(х)) + (д(х) - Qn(x)) = <>((« - ®о)")-
133
Но так как многочлен hn(x) имеет степень п, то, устремляя х —> жо, по-
лучим, что все коэффициенты hn (х).равны нулю. Это и означает, что
Рп(ж) и Qn(x) представляют собой один и тот же многочлен. Отсюда
также следует, что многочлен Тейлора fn(x) = fn(a,x), из доказанной
выше теоремы, определен однозначно. Производные функции /(ж) в
точке а выражаются через его коэффициенты с* по формулам
Л(а) = k'.ck, k = 1,.. .,п.
Интересно, что возможна ситуация, когда в точке а функция /(ж)
вторая производная f"(a) уже не существует, и в то же время в этой
точке имеет место касание порядка п > 2 этой функции и многочлена
Рп(х) степени п. Тогда при к > 2 величины
где Ck — коэффициенты многочлена Рк(х) = £ с*(ж — а)*, можно
к=0
рассматривать как обобщение понятия производной соответствующего
порядка функции /(ж) в точке ж = а. Будем называть э!и числа
метками fc-ro порядка функции /(ж) в точке ж — а и обозначать их
через дк = 5*(/(а)).
Приведем пример, в котором на отрезке [а, 6] функция /(ж) “почти
всюду” разрывна, но в то же время она на “всюду плотном множестве”
имеет не только производную первого порядка, но и метки dk(f(x))
любого порядка (точный смысл слов, взятых в кавычки, станет ясным
ниже). Эта функция задается так
О, если ж — иррациональное,
п~п,  если ж = ^, (m, n) = 1.
Относительно данной функции ограничимся доказательством утвер-
ждения, касающегося существования только первой производной.
Очевидно, что если жо — рациональное число из отрезка [0,1],
то /(ж) разрывна в точке жо- Если жо — иррациональное число,
то для любого е > 0 существует лишь конечное число дробей со
знаменателями, не превосходящими N = [£] + 1, а именно, и,.. .,»>.
Пусть 6 = min |жо — г,|. Тогда для любого ж с условием |ж — жо| < 6
i<k
имеем
|/(ж) - /(жо)| = |/(ж)| < N-” < N-1 < е.
134
Далее нам потребуются следующие определение и теорема. Число а
называется алгебраическим, если оно удовлетворяет алгебраическо-
му уравнению с целыми коэффициентами. Оно будет иррациональным,
если любой многочлен первой степени с целыми коэффициентами не
обращается в нуль.
Теорема (теорема Рота). Пусть £ — иррациональное
алгебраическое число и р > 2 — произвольная постоянная. Тогда
существует конечное число пар (р, q) целых чисел, q > 1, (р, q) = 1
таких, что
1£--I <<Г'-
ч
Пусть хо — любое алгебраическое иррациональное число. По
теореме Рота при р > 2 неравенство
|®о - -I <
9
1
9"
имеет лишь конечное число решений. Обозначим эти решения через
..., Зададимся произвольным е > 0 и положим
N = max(gi,..., qr, р, [1/е] + 1), 6 = min xq----
*<r 4i
Тогда, если |х — хо| < <$, то при х = rn/n, (m,n) = 1, имеем, что
n> N' I? ~ ж°| -	~ = i
I n I	nn
Следовательно,
/(g)-/(*o)
x - x0
Если же x — иррациональное число, то
f(x) - f(x0)
X - Хо
= 0 < £.
Таким образом установлено, что при алгебраическом иррациональном
числе го функция /(г) имеет производную, равную нулю.
135
Назовем множество А всюду плотным на отрезке [а, 6], если для
любой точки х Е [а, 6] в каждом интервале, содержащем х, находится
хотя бы одна точка множества А.
Тогда указанная выше функция будет: 1) разрывна на всюду
плотном множестве отрезка [0,1], 2) непрерывна на всюду плотном
множестве в [0,1], 3) иметь производную на всюду плотном множестве
в [0,1] (см. [34]).
В связи с рассмотренным примером может возникнуть вопрос'.
Будет ли функция д(х) на отрезке [а, 6] дифференцируема п раз,
если в каждой точке этого отрезка у функции д(х) существует метка
дпд(ху? Пример функции у — e~l^z sine1/® дает отрицательный ответ
на этбт вопрос.
В заключение приведем другое доказательство локальной формулы
Тейлора, допускающее простое обобщение на случай функций от
нескольких переменных.
Второе доказательство теоремы. Применим метод
математической индукции по параметру п. При п = 1 утверждение
теоремы следует из определения дифференциала функции. Предпо-
ложим теперь, что п > 1. Из условия теоремы вытекает, что функция
г(х) дифференцируема (п — 1) раз в некоторой окрестности U точки
х = а, и в самой точке дифференцируема п раз. Кроме того, в точке
а сама функция и все ее производные до n-го порядка включительно
равны нулю.
Далее, пусть х Е U и Дх = х — а. Обозначим через g(t) функцию
вида
g(t) = г(а + <Дх).
Тогда имеем
г(х) = г(х) - г(а) = г(а + Дх) — г(а) = ^(1) — ^(0).
Отсюда, применяя формулу Лагранжа к функции g(t), при некотором
С, 0 < £ < 1, получим
г(®) = д'(Я) = гх(а + €Дя)Дх.
Заметим, что точка а + £Дх Е U. Поэтому к производным в
правой части последнего равенства можно применить предположение
индукции с заменой значения параметра п на п — 1. Тогда будем
иметь
г Да + £Дх) = о(|х — а|п-1).
136
Отсюда следует, что г(х) = о(|ж — а|”). Теорема доказана.
§12. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА С ОСТАТОЧНЫМ ЧЛЕНОМ В
ОБЩЕЙ ФОРМЕ
Согласно формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
в окрестности точки
можно записать приближенное равенство
/(«) « /п(я.®)-
Оказывается, что многочлен fn(a, х) может хорошо приближать /(х)
и в некоторой, иногда весьма большой, окрестности точки а. Более
того, знание всех чисел /(п)(а), соответствующих только одной точке
а, часто позволяет вычислить f(x) при любом х с любой требуемой
степенью точности. Этот факт важен не столько для вычислений,
сколько для построения теории. Выражаясь более точно, мы сейчас
докажем одну из важнейших теорем анализа, центральную теорему
курса в этом семестре, а именно: формулу Тейлора с остаточным
членом в общей форме (или в форме Шлемильха-Роша).
Теорема (формула Тейлора). Пусть f(x) — (n+ 1) раз диф-
ференцируемая функция на интервале (хо,®1)- Пусть а <Ь — любые
две точки из этого интервала. Тогда для любого положительного
a > 0 существует точка с, лежащая между а и b такая, что
k\ n+lfb-a\a	j /("+1) (c)
rn(J>) = f(b) - fn(a,b) =- ---- • 6-c n+1  -...
a \b — c J	(n+ 1)!
Напомним, что
/„(a, b) = f(a) +	-«) + ••+ !^l(b - a)".
1!	n!
Доказательство. Определим число H равенством
_ f(b) — fn(a,b)
(b - a)“
По существу, нам надо доказать, что на интервале (а, 6) найдется
точка с такая, что
Н = 1±1(6-с)п+’-“
а
/("+!) (с)
(п + 1)! 
137
Докажем это, опираясь на теорему Ролля. Равенство, определяющее
число И, можно записать так:
f(b) — fn(a,b) — H(b — a)a=O.
Рассмотрим функцию определенную на [а, 6] соотношением
<p(t) = f(b)-fn(t,b)-H(b-t)a.
Тогда, очевидно, <р(а) = 0. Кроме того, имеем, что <p(t) дифференци-
руема на (а, Ь) я непрерывна на [а, 6]. Далее, так как справедливо
равенство /„(6,6) = f(b), то
у,(6) = /(6)-/(6)-Я(6-6)“=О.
Следовательно, по теореме Ролля на интервале (а, 6) производная
обращается в нуль в некоторой точке с, т.е.
— 0 при t = с, с Е (а, 6).
Запишем в развернутой форме:
^'(/) = -/;(/, 6)+ аЯ(6-if"1 =
= (/(<) +	-<) + ••• + ^^(6 - t)n) + аЯ(6 - t)*"1
\	А!	П!	/t
Так как при s=l>...,n имеем
(f^(b	-f{3+1}^(b /Р ^<ь /Р-1
ТО
^'(/) = аЯ(6 - <)“-1 ~	(6 - t)n:
п!
Отсюда при t = с получаем
р'(с) = аЯ(6-с)а-1 - /(»+1)(с)^~сГ = 0.
п!
Следовательно,
Я = ^±1(6-с)п+1-“
а
/(п+1)(с)
(п + 1)!
Доказательство закончено.
138
Следствие. Формула Тейлора с остаточным членом в
форме Шлемильха - Роша верна и при а >Ь.
Доказательство. 1. Если b = а, то fn(a,b) = f(a), rn(b) = 0 и
формула имеет место.
2. Если b < а, то применим теорему к функции д(х) = f(2a — х),
Ь\ = 2а — Ь. Тогда Ь\ > а и справедливо равенство
g(bi) = gn(a,b1) + Rnlbi).
Но легко убедиться в том, что g(bi) — f(b), gn(a,bi) = fn(a,b),
Rn(bi) = rn(b). Действительно, имеем
(bi-a/^a-b)’ = (-l)'(b-a)’;
5n(ai &i) — g(a) + (bi — a) +-1- -—r-^(bi — a)" =
1!	n!
= /(а) + ^(Ь-а)4-...+ ^1(Ь-аГ=/„(а,Ь).
Далее при некотором
Ci, a < ci < b, справедливо равенство
Bn(bi) =
n + 1 / bi — a
a \bi — ci
(bi - ci)"
+iff(n+1)(ei)
(n+1)!
Положим c = 2a — Ci. Тогда b < c < a,
Rn(bi) =
n+1 fb — a
a kb — c
/(n+1)(ci)
(n+1)!
(b-c)"+1
= rn(b).
Таким образом, формула Тейлора с остаточным членом в форме
Шлемильха-Роша в случае a > b имеет тот же вид, что и при а < Ь.
Следствие доказано.
Частные случаи формулы Тейлора.
1. Остаточный член в форме Лагранжа (о = п+1). В этом случае
rn(b) =
П + 1
n + 1
Дп+1)(с) _ Д» + 1)(с)
(п + 1)!	(п+1)!
2. Остаток в форме Коши (a = 1):
Гп(Ь) =
1 Ь-г 1	'	(п+1)!’’
с = а + в(Ь — а), 0 < 9 < 1, 1 — 9 = -------------
b - а
rn(b) = (b-a)n+1(l-9)n
f^)(a + 9(b-a))
п!
139
Замечания. 1. Формула Тейлора (с остаточным членом в лю-
бой форме) в частном случае а = 0 обычно называется формулой
Макларена.
2. Сравнивая формулы Тейлора с остаточными членами в общей
форме и в форме Пеано, видим, что в первом случае имеем более
точный результат, однако достигается это за счет более жестких тре-
бований к функции. В самом деле, в первом случае в окрестности
точки, в которой рассматривается разложение, требуется существова-
ние (п + 1)-й производной данной функции, а во втором случае —
только (п — 1)-й производной, то есть на две производные меньше.
Лекция 23
§ 13. ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА К НЕКОТОРЫМ
ФУНКЦИЯМ
1.	Показательная функция: f(x)=ex. Имеем
/(0) = /'(0) = • •  = /п>(0) = 1, f^n+1\x) = ех.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа принимает
вид
X X2
Й + 2Г
X1'	х'^1 йг
---1--------ев
п! (п+ 1)!
о < е < 1.
При любом фиксированном х остаток в ней стремится к нулю,
поскольку
xn+1
lim ------—
П-40О (П -J- 1) J
= 0.
2.	Функция /(ж) = sins. Имеем
= sin ух +	>
/<2*+1)(0х) = sin ^9x + (2fc + 1)^ = (-l)fc cos 0s.
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа дает
~3	_5	_2fc —1	-,2к + 1
= * - ЗГ+ 5! - + ргстп + <-D‘ (гГ+Т)!
3.	Функция /(s)=coss. Имеем
fM(x) = cos \ х + n^J >
f(2k\()x) = cos (дх + 2k  J = (~l)fc cos 0г.
Тогда
т2 т4	т2к-2	_2к
COSI=1__+__...+(_1)*-.—cosfe
141
4.	Функция f(x) = ln(l 4- x). Имеем

= (—I)"-1
(п-1)!
(14-x)n’
Следовательно,
,2	_з	_п
1п(1 + X) = X -	4-	- • • • 4- (-1)”-1- + Яп,
X	О	71
хп+1 /	1
п 4- 1 \ 1 4- Ох
Заметим, что если |х| < 1, то Rn —> 0 при п —> оо. Кроме того,
а) если 0 < х < 1, то |Яп| <
б) если -1 < — г < х < 0, то |Я„| <	, где
_ (-1)" xn+1 / 1 - 0 V
п 1 4- 0х \ 1 4- 0х /
(остаток в форме Коши).
5.	Функция f(x) = (14-х)“. Имеем
f{n}(x) = а (а — 1)... (а — п 4-1)(1 4- х)а~п,
поэтому
,	а(а — 1) 2 а(а—1)(а —2) 3
(1 4-х) =1 4-ОХ4- -Ц,—-х2 4-—--------’-х3 4-.. -
а(а — 1)...(а-п+ 1)
4----------:------X 4- яп,
п!
где
Ъ = 2.(.а.-1)~n).^+1(i	о<^<1
(п 4- 1)!
(остаток в форме Лагранжа),
= o(a-l)J^in+	/	0<
(п4-1)!	\ 14-02®/
(остаток в форме Коши). Если |х| < 1, то Яп —> 0 при п —> оо. Мы
видим, что во всех этих случаях Яп -> 0 при п —> оо.
Другими словами,
lim /п(0,х) = /(х).
п—юо
142
Это предельное выражение символически записывается так:
/(*) = /(а) + ^(* -«) + •••+ ^ЦХ~аУ + ...
и называется рядом Тейлора функции /(х) в точке х = а.
Заметим, что при всех п € N для n-го члена ряда имеет место
равенство
т—а
Дг=г—а
Поэтому ряд Тейлора можно переписать в следующем виде
. , df d2f	(Г1 f
Л/“1Г + "2Г + ”' + ~^Г + --- •
Тем самым определен точный смысл равенства, приведенного ранее
в лекции 18, §4.
Замечание. Ряд Тейлора не всегда сходится к породившей его
функции.
Пример.
1
е~^
'<’> = {о, '
если х ф О,
если х = 0.
Тогда при любом натуральном к имеем
= 0.
Таким образом, мы видим, что ряд Тейлора нулевой, а породившая
его функция отлична от тождественного нуля.
143
Лекция 24
§ 14.	ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ
ПРОИЗВОДНЫХ. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ТОЧКИ. ВЫПУКЛОСТЬ
Наша дальнейшая цель — применение построенной теории к ре-
шению задач, связанных с изучением поведения функций. Одна
из них — задача отыскания локальных и глобальных экстремумов
функций. Ранее мы уже доказали ряд утверждений подобного типа.
Напомним их, а заодно и некоторые понятия, которые потребуются
далее.
1.	Точки х, в которых f'(x) = 0, называются стационарными.
2.	Критерий возрастания (в широком смысле) на интервале
(а, 6) дифференцируемой функции: для того чтобы функция /(ж) не
убывала на (а, Ь), необходимо и достаточно, чтобы f'(x) > 0 на (а, 6).
3.	Критерий возрастания в строгом смысле: для того чтобы
f(x) строго возрастала на (а,6), необходимо и достаточно, чтобы
f'(x) > 0 на (а, Ь) и, кроме того, f'(x)	0 ни на каком интервале
(а1Д1) Э
Отсюда имеем достаточное условие строгого возрастания: для
того чтобы /(ж) строго возрастала, достаточно, чтобы f'(x) > 0 при
всех х Е (а, 6).
4.	Теорема Ферма. Если в точке хо € (а, Ь) имеется несоб-
ственный локальный экстремум функции /(ж), то xq — стационарная
точка.
Далее мы выведем несколько достаточных условий достижения
функцией локального экстремума в заданной точке.
Теорема 1. Пусть f(x) дифференцируема, в некоторой
окрестности стационарной точки хо (т.е. в этой точке f'(xg) = 0).
Тогда:
1а) если f'(x) > 0 слева от ж о и f'(x) < 0 справа от жо, то х0 —
точка строгого локального максимума функции f(x);
16) если f'(x) < 0 слева от х0 и f'(x) > 0 справа от ж0, то ж0 —
точка строгого локального минимума f(x);
2) если f'(x) имеет справа и слева от точки xq один и тот же знак,
то жо не является точкой экстремума ни в широком, ни в строгом
смысле.
Доказательство. 1а. По теореме Лагранжа имеем
/(ж) = /(ж0) + f(c)(x - ж0),
где точка с находится на интервале с концами ж0 и ж.
144
Из условия следует, что /'(с)(х — хд) < 0. Действительно, если
х — хо > 0, то с > х0 и, значит, /'(с) <0, (х — х0)/'(с) < 0; если
же х — х0 < 0, то /'(с) >0 и (х — х0)/'(с) < 0. Отсюда получим,
что /(х) < /(хо), что и требовалось доказать. Доказательство п. 16
проводится аналогично.
2. Если f'(x) > 0 справа и слева от хо, то /'(с)(х—х0) < 0 слева и > 0
справа. Отсюда имеем /(xi) < /(xq) < /(хз) при xi < хо < хз, что и
требовалось доказать. Случай f'(x) < 0 рассматривается аналогично.
Доказанная нами теорема позволяет сформулировать следующее
правило исследования стационарной точки на экстремум:
Если при переходе через стационарную точку слева направо про-
изводная меняет знак + на знак —, то функция имеет локальный
максимум в этой точке, если меняется знак — на знак +, то функция
имеет локальный минимум, и если она не меняет знак, то локального
экстремума нет.
Теорема 1а. Пусть f(x) непрерывна в некоторой окрестности
точки и дифференцируема в проколотой окрестности этой точки. Если
f'(x) меняет знак + на знак — при переходе через точку х0 слева
направо, то f(x) имеет локальный максимум, если знак — на знак
4-, то локальный минимум, и если не меняет знак, то локального
экстремума нет.
Доказательство совершенно аналогично Доказательству
теоремы 1, так как там мы нигде не пользовались существованием
производной функции /(х) в точке Х = Хд.
Общее правило отыскания (локального и глобального) экстре-
мума функции /(х) на отрезке в случае, когда /(х) непрерывна и
кусочно-дифференцируема (т.е. дифференцируема всюду, за исключе-
нием, быть может, конечного числа точек).
Находим все стационарные точки и точки, в которых /'(х) не
существует, и проверяем их на экстремальность. Затем, добавляя
концевые точки и выбирая наибольшее и наименьшее из значений
функции в этих точках, находим ее глобальные экстремумы.
Теорема2 (второе достаточное условие экстремума). Пусть
/'(х0) = 0 и существует f"(x0). Тогда:
1) если f"(x0) < 0, то точка хо — точка (строгого) локального
максимума;
2) если f'(xo) > 0, то точка xq — точка (строгого) локального
минимума.
Доказательство. 1. Так как /"(xq) < 0, то f'(x)
убывает в точке х — хд, и поскольку /'(хо) = 0, то f'(x) меняет знак
145
с + на — при переходе через xq слева направо. Поэтому по теореме 1
точка хо является локальным максимумом.
2. /"(х0) > 0, поэтому /'(х) возрастает в точке х = х0.
Из теоремы 1 тогда следует, что хо — точка локального минимума.
Доказательство закончено.
ТеоремаЗ (третье достаточное условие экстремума). Пусть
=  = /^-^(хо) = 0, /(2fe)(xo) # 0.
Тогда:
1) если /<2/сДхо) < 0, то х0 — точка локального максимума;
2) если /(2/с)(х0) > 0, то хо — точка локального минимума.
Доказательство. 1. При k = 1 утверждение следует
из теоремы 2. Пусть к > 1. Выразим /'(х) по формуле Тейлора:
f'(x) = /'(х0) +	- хо) + • • • +	- ^o)2fc-3+
Отсюда
(2* — 2)!
(х - х0)2/с-2.
/'(х) =
/(2^-1)(С)
(2* — 2)!
(х - x0)2fe-2.
Так как /(2*Дхо) < 0, то /(2* ^(х) убывает и, следовательно,
y(2fc-1)(a;) меняет знак + на — при переходе через точку хо, а
значит, и f'(x) мейяет знак 4- на —. Поэтому хо — точка локаль-
ного максимума. Случай 2 рассматривается аналогично. Теорема
доказана.
Определение 1. Функция f(x) называется выпуклой вверх на
интервале (а, Ь), если график функции лежит под касательной для
любой точки данного интервала.
Это значит, что если хо — произвольная фиксированная точка из
(а,Ь) и
fi(x) = /(х0) + f'(x0)(x - Хо),
то
/1(х) > /(х) Vx G (a,t>).
Поясним, что график линейной функции /Дх) является касательной
к графику /(х) в точке xq.
146
Определение 2. Функция f(x) называется выпуклой вниз на
(a,b), если график ее лежит над касательной, т.е.
/1(®)</М VxG(aJ).
Теорема 4. 1. Если f"(x) < 0 на (a,b), то f(x) выпукла
вверх на (а,Ъ).
2. Если f"(x) > 0 на (a,b), то f(x) выпукла вниз на (a,b).
Доказательство. 1. Из формулы Тейлора имеем
/(х) = f(x0) + f'(x0)(x - Xq) +	- Х0)2,
где с G (а, Ь).
Так как f"(c) < 0, то f(x) < fi(x) Ух G (а,Ь), что и требовалось
доказать. Случай 2 доказывается аналогично.
Теорема 4а. Если f"(xo) < 0 и f”(x) непрерывна в хо, то
3 6-окрестность точки xq, в которой f(x) выпукла вверх.
Доказательство. Поскольку J"(x) непрерывна в
точке хо и /7/(хо) < О, существует число <51 > 0 такое, что f'(x) < 0 в
<51-окрестности точки xq, и в ней по теореме 4 функция /(я) выпукла
вверх, что и требовалось доказать.
Замечание. Если в определениях 1 и 2 имеют место строгие неравен-
ства, то функция f(x) называется строго выпуклой. Строгие знаки
неравенства в теоремах 4 и 4а влекут за собой строгую выпуклость
функции f(x).
Теорема 5. Пусть функция f(x) имеет первую производную
на интервале (a,b) и выпукла на этом интервале. Тогда производ-
ная f'(x) является непрерывной и монотонной функцией на этом
интервале, причем строгая выпуклость f(x) влечет за собой стро-
гую монотонность f'(x). Выпуклость вверх при этом соответствует
убыванию, а выпуклость вниз — возрастанию производной f(x).
Доказательство. Мы ограничимся рассмотрением
только одного случая, а именно, когда функция выпукла вниз в
нестрогом смысле. Выберем произвольным образом на интервале
(а,Ь) две точки xj < ж2- Пусть щ = /(xt) и у2 = f(x2). Точки (xi,l/i)
и (Х2,У2) на координатной плоскости соединим хордой и ее угловой
коэффициент обозначим через ko- Через точку (xi,yi) проведем
касательную прямую к графику функции у = fix)- Поскольку f(x)
выпукла вниз, эта касательная лежит под графиком, следовательно,
и под хордой, имея с ней общую точку (xi,m). Но это возможно
147
лишь в том случае, если угловой коэффициент касательной f'(x\) не
превосходит углового коэффициента хорды ко, т.е. если f'(xi) < ко.
Рассуждая подобным образом относительно точки (хг,У2), приходим
к неравенству ко < /'(хз), откуда имеем /'(xi) < ко < f'(x2). В силу
произвольности выбора точек х\ < х2 это означает, что f'(x) не
убывает на (а, Ъ).
Теперь заметим, что по теореме Дарбу функция f'(x) принимает
все свои промежуточные значения, а это ввиду монотонности /(ас)
влечет за собой непрерывность функции /'(х). Таким образом, рас-
сматриваемый случай разобран полностью.
Другие случаи рассматриваются совершенно аналогично, поэтому
теорему 5 можно считать доказанной.
Замечание. Из определений 1 и 2 следует, что всякая хорда, со-
единяющая две различные точки графика функции, выпуклой вверх,
лежит под ее графиком, а для функции, выпуклой вниз, она лежит
над графиком. Это свойство часто берется в качестве исходного
определения выпуклости функции (вверх или вниз соответственно).
Рассмотрим его подробнее на примере функции выпуклой вверх. За-
пишем свойство выпуклости вверх функции в аналитической форме с
помощью неравенств. Значения координат точки (х, у), находящейся
на хорде с концами в точках («i,l/i), yi = f(xi) и (х2,у2), у2 = f(x2)
при «1 и х2, принадлежащих интервалу (а, 6), с условием xi < х2
можно записать в виде
х = Aixj + А2Х2, у = А1У1 + Х2у2,
где Ai >0, А2 > 0 и Ai + Аг = 1. Поскольку величина у в этом случае
не должна превосходить /(х), то условие выпуклости вверх будет
выражено следующим соотношением
/(Aixi 4- Аг^г) > У = Aiyi + Х2у2 = Ai/(xi) + X2f(x2).
В этом случае функция /(х) непрерывна на интервале (а, Ь) и имеет на
нем правую и левую производную. Далее мы докажем непрерывность
функции и ограничимся рассмотрением только правой производной.
Сначала докажем непрерывность справа функции /(х) в любой
точке хо интервала (а, Ь). Прежде всего отметим следующий геоме-
трический факт, состоящий в том, что всякая прямая пересекает
график функции f(x) либо по некоторому отрезку, либо не более чем
в двух точках. Действительно, если бы нашлись три такие точки
А = (®i,!/i), В — (х2,у2) и С = (х3,уз), X! < х2 < х3, то на интервале
(xi,a:2) или на интервале (х2,хз) существовала бы точка х$, для
которой точка D = (0:4,/(г4)) не лежит на хорде с концами А и С.
Но тогда при х Е (xi,x2) точка D обязана лежать выше хорды АВ и
148
хорда DC лежит выше точки В, что противоречит выпуклости вверх
функции f(x). Если бы точка х$ лежала на интервале (х2,хз), то
выше точки В проходила бы хорда AD.
Отсюда следует, что если точка х$ 6 (а, 6) лежит левее точки хо, то
часть графика функции f(x), отвечающая точкам х > xq, лежит, под
продолжением хорды Zi, соединяющей точки (xs,f(x5)) и (xo,f(xo)).
Это значит, что если к\ — угловой коэффициент хорды Zi, то при
всех х > хо имеем Д/(а5о) < к^&х, где Дх = х — хд. Следовательно,
при Дх > 0 заключаем, что
Д/(хо) = О(Дх) —> 0 при Дх —> 0+,
т.е. /(х) непрерывна справа в точке хо € (а, 6). Подобным же образом
можно установить, что функция /(х) в точке xq непрерывна слева.
Таким образом, во всех точках интервала (а, 6) эта функция является
непрерывной.
Переходя к доказательству существования правой производной
функции /(х) в точке х = xq, заметим, что для любых точек х@
и и с условием х0 < х6 < х7 хорда, соединяющая точки (хо,/(хо))
и (хб,/(хб)), лежит не ниже хорды, соединяющей точки (хо,/(хо)) и
(х7,/(х7)), поэтому для угловых коэффициентов к6 И ^7 этих хорд
справедливо неравенство кв > кт, т.е.
_ Д/(х0)
*6 —
Дх
~ Дх
ДХ-Х© —Го
= к7.
Дг=Г7 — Хо
Таким образом, отношение' не убывает при монотонном стремле-
нии величины Дх к нулю справа. С другой стороны, это отношение
ограничено величиной к^, рассмотренной выше при доказательстве
непрерывности справа функции /(х) в точке х = х0. Следовательно,
согласно свойству монотонных функций существует предел отношения
lim
Дх—►ОЧ-
А/(х0)
Дх
который по определению и называется правой производной функции
Дх) в точке xq. Случай левой производной аналогичен.
Итак, мы доказали, что у выпуклой вверх функции правая и левая
производные в любой внутренней точке отрезка [а, 6] существуют, хотя
они и не обязаны быть равными.
С другой стороны, мы установили, что правая производная функции
/(х) в точке хо не превосходит углового коэффициента к7. Но предел
величины к? при х7 —> хо есть левая производная /'(xq—) функции
/(х) в точке х — хо, откуда следует, что в любой точке интервала
149
правая производная не превосходит левой производной. Если же
рассмотреть две различные точки xq < xi, то угловой коэффициент
к хорды, соединяющей точки (хо,/(хо)) и (xi, /(xj)), “разделяет”
значения правой производной /(хо+) в точке хо и левой производной
/'(xi—) в точке Xi, т.е.
f'(xo+) > к > /'(X!-) > /'(х1+).
Отсюда следует, что /'(х+) не возрастает на (а, 6). То же справедливо
и для левой производной. Поскольку обе эти функции монотонны,
каждая из них имеет не более чем счетное множество точек разрыва
первого рода. Все остальные точки интервала (а,Ь) являются точками
непрерывности обеих функций. Но в этом случае в силу последнего
неравенства их значения совпадают, и тогда функция /(х) имеет
обычную производную
/'(®о) = Г(х0+) = f'(x0-),
которая к тому. же будет непрерывной и невозрастающей функцией
в этой точке.
Кроме того, по свойству точки разрыва первого рода в ней существу-
ют правые и левые пределы для /'(х+) и f'(x—) и они одновременно
совпадают соответственно с правой и левой производными в этой точ-
ке. Дело в том, что у функции выпуклой вверх правая производная
в каждой точке непрерывна справа, а левая производная — непре-
рывна слева. Снова будем рассматривать только правую производную
функции /(х) в точке х0. По определению она равна предельному
значению чисел к, являющихся угловыми коэффициентами хорды,
соединяющей точки (xq,/(xq)) и (х,/(х)), когда х стремится к хо
справа. Отметим, что при уменьшении х величина к не убывает.
Если хо < Xi < х, то угловой коэффициент к\ хорды, проходящей
через точки (xi,/(x!)) и (х,/(х)), не превосходит /'(xi+). Величина
же ki стремится к к при хх —> х. Поэтому предел I функции f'(xi+)
при Xi —> хо+ не меньше, чем к, т.е. I > к. Отсюда следует, что
I > lim к = /'(х+),
Г->Го +
но в силу того, что f'(x+) не возрастает, всегда имеем, что I < /'(х+),
т.е. I = /'(х+), что и означает непрерывность справа функции f'(x+)
в точке хо.
Лекция 25
§ 15. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
Определение 1. Точку хо из интервала (а, 6) будем называть
точкой перегиба дифференцируемой функции f(x) (или ее графика),
если существует проколотая 6-окрестность точки х0 такая, что и в
правой, и в левой ее полуокрестностях функция f(x) имеет выпуклый
график, но направление выпуклости справа и слева разное.
Л е м м а 1. Если хо — точка перегиба функции f(x) и f'(x)
существует на (a,b), то в некоторой 6-окрестности точки х0 разность
r(x) = f(x) - (f(x0) + f'(x0)(x - Xq))
является неубывающей или невозрастающей функцией в точке xq (в
зависимости от изменения направления выпуклости).
Доказательство. Возьмем проколотую «J-окрестность точки
х0, в правой и левой частях которой f(x) имеет разные направления
выпуклости. Пусть для определенности при хо — 6 < х < хо функция
f(x) выпукла вверх, а при хо < х < хо + <5 — выпукла вниз.
Надо доказать, что г(х) > 0 при всех х 6 (х0, хо + 6) и г(х) < 0 при
всех х € (х0 — 6, х0). Рассмотрим сначала первый случай. Имеем
т(х) = /(х) - (/(хо) + f'(x0)(x - х0)) = (f(x) - f(x0)) - f (х0)(х - хо).
К разности /(х) — /(х0) применим теорему Лагранжа. Тогда при
некотором X! G (хо,хо + <5) будем иметь
г(х) = f'(xi)(x - х0) - f(x0)(x - хо) - (f'(xi) - f'(x0))(x - Xq).
По теореме 5 на интервале (хо,хо + ^) функция /'(х) непрерывна
и не убывает. Точно так же доказывается, что f(x) не убывает
и непрерывна на (хо — 6, хо). Но так как производная не может
иметь разрывов первого рода, а монотонная функция не может иметь
разрывов второго рода, то f'(x) непрерывна и в точке х0. Далее, в
силу того, что f(x) ие убывает в проколотой окрестности точки хо
и на основании ее непрерывности в этой точке имеем, что и в точке
х0 она тоже не убывает. Но тогда /'(xi) — f(xo) > 0, откуда
r(x) = (//(xi)-/'(^o))(x - ®о)>0.
Случай х < хо разбирается совершенно аналогично. Лемма 1 доказана.
151
Теорема1 (необходимое условие перегиба). Если f(x) в точке
х — хд имеет вторую производную и точка хо — точка перегиба, то
Л*о) = О
Доказательство. (От противного). Допустим, что
f"(x0) / 0. Легко видеть, что г"(х) = f"(x). Поэтому
г"(г0) = /"(г0) / 0.
Но поскольку
г'(хо) = /'Ы-/'(®о) = 0,
то по второму достаточному признаку экстремума функция т(г) име-
ет строгий локальный экстремум. Это противоречит утверждению
леммы, по которому г(г) не убывает или т(г) не возрастает.
Отсюда следует, что /"(го) = 0. Теорема 1 доказана.
Далее будем говорить о точках перегиба только в строгом смысле,
имея в виду, что в определении точки перегиба имеет место строгая
выпуклость в обеих полуокрестностях.
Теорема2 (первое достаточное условие строгого переги-
ба). Пусть f(x) дважды дифференцируема в проколотой окрестности
точки х — х0 и f"(x) имеет в ней разные знаки при х < х0 и х > хо-
Тогда, если f"(xo) = 0 или f"(x0) не существует, то хо — точка
строгого перегиба графика функции f(x).
Доказательство. Так как f"(x) сохраняет знак при
х < хо и х > xq в некоторой проколотой ^-окрестности, то /(г) имеет
разные направления строгой выпуклости в этих частях <5-окрестности.
По определению это означает, что Xq — точка строгого перегиба.
Теорема 2 доказана.
Эту теорему можно сформулировать так: если f"(x.0) = 0 и f"(x)
строго возрастает в точке Xq, то г о — точка строгого перегиба
(то же и в случае f"(xo) = 0, /"(г) строго убывает).
ТеоремаЗ (второе достаточное условие строгого пере-
гиба). Пусть f(x) дважды дифференцируема на (a,b), /"(г0) = 0 и
существует /'"(го)	0.
Тогда хо — точка строгого перегиба.
Доказательство. Так как /(3\го) / 0, то либо
/(3)(яо) > 0, либо /(3)(го) < 0. В первом случае имеем /"(г) строго
возрастает в точке го, а во втором — f"(x) строго убывает в точке
го. Поэтому из теоремы 2 в обоих случаях следует, что го — точка
строгого перегиба. Теорема 3 доказана.
152
Теорема4 (третье достаточное условие строгого пере-
гиба). Пусть х0 G (а, Ь) и пусть f(x) дифференцируема 2k раз на
[а,&]. Пусть существует f(2k+l\xo) 0 и /<2)(х0) = /(3Цх0) — ...
= /(2fc)(xo) = 0. Тогда хо — точка строгого перегиба.
Доказательство. Заменим, что хо в силу усло-
вия /2*+1>(*о) 0 О является точкой возрастания или убывания для
у(2*)(х). Рассмотрим проколотую J-окрестность U точки хо, в которой
f(2k\x) меняет знак при переходе через хо и сохраняет знак внутри
каждой из двух ее полуокрестностей.
Далее можно считать, что k > 2, так как при k = 1 теорема 4
следует из теоремы 3. Пусть х Е U. По формуле Тейлора имеем
О у .	I Z К At j.
где с = с(х) Е U и (х — х$)с(х) > 0. Но (х — xo)2fc-2 сохраняет знак
при х Е U, a f^2k\c) меняет знак. Поэтому и f^(x) меняет знак,
следовательно, по теореме 2 точка хо — точка строгого перегиба.
Теорема 4 доказана.
Примеры. 1. у = х3: точка 0 — точка перегиба (строгого).
2. y = x2k+1: точка 0 — точка перегиба (строгого).
Определение 2. Прямая х = а на плоскости хОу называется
вертикальной асимптотой функции /(х), если один из пределов
lim /(х) или lim /(х)
х—►а —	х—►a-f
равен ±оо.
Пример, у = \/х. Здесь прямая х = 0 — это вертикальная
асимптота.
Определение 3. Прямая у = kx + Ь называется наклонной асим-
птотой функции f(x) (или, точнее, графика функции у = f{x}) при
х —> +оо, если
а(х) = /(х) — kx — Ъ -> 0 при х -> +оо.
Аналогично определяется асимптота при х —> —оо.
153
Теоремаб. Для существования наклонной асимптоты
у — кх + 6 при х —> +оо у функции f(x) необходимо и достаточно,
чтобы при х -> +оо (одновременно) выполнялись два условия:
1) lim = к, к ей,
' ®->+оо ®
2) lim (/(х) — кх) = Ь, 6 € К.
Доказательство. Необходимость. Пусть у = кх + Ь —
асимптота, тогда
а{х) = /(х) — кх — b -> 0 при х —> +оо.
Следовательно,
fix) — кх — b Л
—------------> 0 при х -> 4*00,
X
откуда
Ilin
г-»+оо X
Далее,
lim (/(х) — кх) = lim ((/(х) — кх — Ь) + Ь) = Ь.
х—>4*оо	х—>оо
Тем самым первая часть теоремы доказана.
Достаточность. Так как limr_>+oo(/(2:) — кх) = Ь, то
lim alx) = lim (fix) — кх — 6) = lim (Ifix) — кх) — b) = Ь — b = 0.
Теорема доказана полностью.
Если для функции fix) выполнено условие 1 теоремы 5, то мы
будем говорить, что прямая у = кх задает асимптотическое напра-
вление.
Пример нахождения наклонных асимптот в случае функции, за-
данной неявно.
Рассмотрим уравнение кривой
х3 + у3 — Заху = 0.
Зададим ее параметризацию, полагая у = tx. Тогда получим
х3(1 +t3) — Зах2/ = О,
1+<з_За«=0
х	1 +t3
Отсюда имеем: = t = t(x) — ограниченная величина при х —> оо
и t(x) —> —1. Следовательно, t — — 1, т.е. прямая у = — х задает
154-
асимптотическое направление. Найдем теперь значение параметра b
в уравнении касательной у = —х + Ь. Имеем
У = -х + 6 + о(1),
х3 + (—х + 6)3 — Зао;(—х + 6) = о(х2),
откуда
3®2(6 + а) + Sx(ab — 62) + Ь3 = о(®2),
Ъ + о +
аЬ — Ь2 Ь3
Переходя в последнем равенстве к пределу при х -> оо для постоянного
Ь, получим равенство b + а = 0, откуда Ь = —а, я, следовательно,
искомое уравнение асимптоты при х —> оо имеет вид у = —х — а.
Краевой экстремум. Пусть f(x) задана на отрезке [а, 6].
Определение 4. Точка, а называется точкой краевого ло-
кального максимума (минимума), если существует интервал
(а, а + 6) € [а, 6], для всех точек х которого справедливо неравен-
ство
f(a) > f(x) (соответственно f(x) > /(а)).
При /(а) > f(x) имеет место несобственный (локальный) максимум;
при f(a) < f(x) — несобственный (локальный) минимум.
То же самое можно определить и для точки Ь, только интервал
(а,а + <У) надо заменить на интервал (Ь — 6, Ь).
Краевые максимум и минимум называются краевыми экстрему-
мами.
Л е м м а 2. Для существования (собственного) краевого экстре-
мума в точке а (или Ь) достаточно, чтобы в этой точке существовала
отличная от нуля односторонняя производная функции f(x).
Доказательство аналогично доказательству леммы
Дарбу.
Например, если f'(x) > 0 при х Е (а, а + <5), то а — краевой
минимум, поскольку при а: Е (а, а + <£) существует сЕ(а,а + <5) такое,
что
f(x) - f(a) = f'(c)(x-a) > 0, т.е. f(x) > f(a).
Лемма 2 доказана.
155
Общая схема построения графика функции f(x)
1.	Найти область определения функции f(x).
2.	Учесть особенности функции (четность, периодичность, знакопе-
ременность). Найти пересечения графика с осями координат.
3.	Отметить значения функции на границе области определения и
в точках разрыва. Найти вертикальные асимптоты.
4.	Найти наклонные асимптоты.
5.	Определить участки монотонности. Определить локальные и
краевые экстремумы.
6.	Найти промежутки выпуклости и точки перегиба.
7.	Отобразить перечисленные особенности функции при построении
ее графика.
Лекция 26
§ 16. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ
Целью интерполирования, или интерполяции, является приближен-
ное нахождение функции по известным значениям этой функции и ее
производных в некоторых заданных точках области ее определения.
Эта задача становится определенной, если задан вид функции и число
неизвестных параметров не превышает количества заданных значений
функции и ее производных. Так, например, многочлен n-й степени
имеет п + 1 параметров (его коэффициенты) и может быть определен
по значениям его в п + 1 различных точках.
Пусть в точках х\,.. ,,хп многочлен Р(х) принимает соответственно
значения /(xi),..., f(xn).
Теорема 1. Существует единственный многочлен Р(х) степени
п — 1 такой, что P(xk) = f(xk), k — 1,..., n.
Доказательство. Имеем
[1, если х = хк,
Qk(x) — ] п
I 0, если х = xi,..., хк-1, xk+i,   , хп,
где
И (х) = (g ~ Д1) •  	~ xk-l)(x ~ хк + 1)   , (х - Хп)
(хк - ц) .. ,(хк - xk-i)(xk - xk+i) ...(хк -хп)'
Тогда Р(х) можно записать в виде
Р(х) = /(xi)Qi(x) + • • • + f(xn)Qn(x).
Докажем, что многочлен Р(х) единственен. Действительно, допустим,
что существует еще один многочлен с указанными свойствами, т.е.
Q(xk) = f(xk).
Отсюда получим, что многочлен (п — 1)-й степени
F(x) = P(x)-Q(x)
имеет п корней, а именно, F(xk) = 0, k = 1,...,п. Следовательно,
F(x) = 0, т.е. многочлены Р(х) и Q(x) тождественно совпадают.
Теорема 1 доказана.
I
Формула, задающая многочлен Р(х), называется интерполяцион-
ной формулой Лагранжа. При этом точки xi,...,xn называют
Узлами интерполяции.
157
Пусть /(х) — некоторая функция. Обозначим через Р*(х) мно-
гочлен степени к — 1, принимающий в точках xi,...,Xk значения
/(хх),..., f(xk)- Тогда интерполяционную формулу можно записать в
виде
п
Р(х) = Pt(x) + ^Рк(х) - Рк-1(х)) = Р„(х).
к—2
Многочлен Рк(х) — Pk-i(x) степени к — 1 в силу определения обра-
щается в нуль в точках xj,..., Xk-i. Следовательно, он имеет вид
Ак(х — ®о) • • • (z — Хк-1)- Коэффициент Ак совпадает со старшим ко-
эффициентом многочлена Рк(х) ц в силу интерполяционной формулы
Лагранжа равен
Лк _	Л*1)	,
Лк ^-х2)...(хг-хкУ
+___________/(*2)_____________ + . . . + __/(**)________
(*2 ~ ®1)(®2 - Хз) . . . (х2 - Хк)	(Хк - ®1) . • • (хк ~ Xk-i) '
Таким образом, коэффициент Ак является некоторой функцией от
xi,...,Xk. Обозначим ее через Ак = fk(xi,..., Хк). Тогда интерполя-
ционный многочлен Р(х) можно записать так:
P(x)=f1(xi)+(x-xi)f2(xi,x2)+-  -+(x-Xi) ... (x-Xn-^fnin,..., хп),
где, очевидно, полагая х = ц, имеем 7i(®i) = f(xi). Эта форму-
ла называется интерполяционной формулой Ньютона. Функции
fk(xi,..., Хк), к = 1,. ...я, называются интерполирующими функ-
циями.
Полагая в формуле Ньютона х = хп, получаем
f(xn) - р(х„) = f(xt) + (х„ - Xl)/2(2;i,®2) + •• •
Т(®п 2-1) • • • (хп Хп — 1)/п	,..., хп).
Здесь узел интерполяции хп — произвольное число, поэтому, заменяя
хп на х, будем иметь
f(x) = f(xy) + (х - ж 1 )/2(ж 1, х2) + •  • + (х - ®i) ... (х - Хп-1)/п(Х1, ..., х).
Уменьшим количество узлов интерполяции на один, исключив точку
хп_!, запишем эту формулу для узлов интерполяции xi,..., хп_2, х
и вычтем получившееся тождество из предыдущего. Тогда получим
/П(Х1,..., хп_ь х) =	’ х^1’~ fn~^xh •  • >
X Хп — 1
158
Таким образом, при п = 2,3,... имеют место соотношения
f, „ч _ /(®) “ Л®1) f „ х _/2(11,®)-/2(11,12)
/г(®1,®) =--------, /з(®1, ®2,х) ---------------------,
X — Xi	Xi — ®2
которые позволяют с помощь® простого алгоритма вычислить ин-
терполирующие функции. Для определения всех коэффициентов ин-
терполяционного многочлена Ньютона (п — 1)-й степени достаточно
вычислить значения интерполирующих функций в п^п2~^ точках (с
учетом кратности). Здесь существенно, что при добавлении новой
точки интерполяций интерполирующие функции, вычисленные ранее,
сохраняются и надо только добавить к ним значения интерполирую-
щих функций в этой точке.
Теорема 2. Пусть функция /(х) имеет п-ю производную на
отрезке [а, 6], a < Xi < х? <    < хп < Ь. Тогда имеет место формула
Д6) = РП(6) + Я(6),
где
R(b) = ^^(b-xl)...(b-xn),
п!
причем с — некоторая точка, принадлежащая (a,b).
Доказательство. Рассмотрим вспомогательную функцию
R(x) = f[x) - Pn(x) - (х - ici)... (х - xn)H,
где Н — некоторое число, значение которого мы выберем ниже.
Имеем
Я(®1) = •• = R(xn) =0.
Величину Н найдем из соотношения R(b) = 0. Отсюда по теореме
Ролля, примененной п раз, получим, что существует числд. с € (а, 6),
для которого R<n\c) = 0, откуда
/п>(с) - п\Н = 0.
Следовательно,
/(п)(с)
я!
Теорема 2 доказана.
Лекция 27
§ 17. МЕТОД ХОРД И МЕТОД КАСАТЕЛЬНЫХ (МЕТОД
НЬЮТОНА). БЫСТРЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ
Пусть функция f(x) дифференцируема на отрезке [а, 6]. Тогда f(x)
непрерывна на [а, 6] и по теореме Коши о промежуточном значении для
любого а € JR, лежащего между числами /(а) и /(6), внутри отрезка
[а, 6] найдется точка с такая, что /(с) = а. Естественной и важной
задачей и в теоретическом, и в практическом смысле является задача
вычисления приближенного значения числа с с наперед заданной
точностью. Например, можно поставить вопрос о нахождении корня
уравнения х2 = 2 с точностью до десяти знаков после запятой, т.е.
для у/2 найти приближенное значение Со такое, чтобы имело место
неравенство ]>/2 — cq| < 1О~10 и т.п.
Рассмотрим два естественных метода нахождения таких приближен-
ных значений, а именно: метод хорд и метод касательных, который
еще называют методом Ньютона, поскольку Ньютон первым его при-
менил. Эти методы важны не столько сами по себе, сколько тем, что
они являются простейшей моделью многих вычислительных процессов,
применяемых в гораздо более сложных ситуациях. Оба метода итера-
ционные, т.е. они состоят в последовательном вычислении некоторых
чисел xi, Х'2,..., хп,.... При этом разность |с — хп | —> 0 при п —> ос, и
поэтому , начиная с некоторого номера по, она должна стать меньше
наперед заданного значения, называемого заданной точностью или
погрешностью вычисления.
Метод хорд. Число х^ определим как абсциссу точки пересечения
горизонтальной прямой у = а с “хордой” графика функции у = f{x),
т.е. с отрезком, соединяющим точки (а,/(а)) и (6,/(6)). Обозначим
отрезок [а, 6] через /0- Полагая А = f(a) и В = /(6), исходя из
подобия соответствующих треугольников для нахождения величины
xi имеем уравнения:
а — А В — а а — В
х\ — a b — Х[ Xi — b
Отсюда находим
хДа — А) — Ь(а — А) = х^(а — В) — а(а — В),
—а(а — В) + Ь(а — А)
В-А
160
Залем в качестве Д берем один из отрезков [a, xj] или [x'i,6] так,
чтобы число а вновь находилось между значениями /(ж) на его
концах, т.е. на концах отрезка h функция f(x) — а имеет значения
разных знаков. По тому же правилу находим I2 и т.д. Получим
систему вложенных отрезков: /о Э А 3 ••• 3	Как известно,
они содержат общую точку с.
Если, например, f'(x) > 0, то f(x) не убывает, и тогда из непре-
рывности /(х) следует, что /(с) = а, поскольку на концах каждого из
отрезков 1п функция р(х) = /(х) — а имеет значения разных знаков.
Метод касательных. Этот метод состоит в следующем. Пусть
для простоты а — 0. (Если это не так, то вместо уравнения /(х) = а
рассмотрим уравнение д(х) — 0, где д(х) = f(x) — а.) Величину xi
определим из соотношения
О — Х1
Ж
ш
— Ъ —
При п > 1 далее имеем
^n-f-1 — хп
f(xn)
f'M
В обоих методах надо еще уметь определить момент, когда сле-
дует оборвать процесс вычислений. Чтобы упростить решение этого
вопроса и сократить объем вычислений, применяют следующий ком-
бинированный метод.
Метод хорд и касательных; Сущность этого метода состоит
в нахождении пар точек хп,уп, подчиненных следующему условию
хп < с < уп- Схема вычисления величин хп и уп такова. Пусть
Г (х) > 0 на /о = [«., &]• Определим ц по методу хорд, а у\ —
по методу касательных. Тогда имеем Xi < с < j/i, и далее за Д
принимаем отрезок [xi, j/i]. Точно так же, находя х^ по. методу хорд,
а у2 по методу касательных, получим отрезок /2 = [хэ> Уг] и т.д. Как
только окажется, что |хп — уп| < 8, на этом процесс*-вычисления с с
точностью до <5 обрывают.
Пример. Пусть /(х) = х2 — а, а = 0, а = 2.
Применим метод касательных. Для определенности положим х0 = 1.
Величина xn+i определяется по формуле
Лекции по математическому анализу
161
Для того чтобы Выяснить, как быстро сходится этот вычислитель-
ный процесс, проведем оценку погрешности на (п + 1)-м шаге. С этой
целью обозначим через гп величину rn = 1у/а — жп|. Тогда
гп - (х/а ~ хп}2 = а - 2хпу/а + х?,
откуда
zL _ 1 (JL х
2хп 2	+ Х'
а — г„+1.
Из неравенства > Vab получаем, что при п > 1
Следовательно,
так как а = 2.
Отсюда можем заключить, что если хп приближает у[а с точностью
до к десятичных знаков после запятой, т.е. гп < 10_к, то xn+i
приближает у/a уже с точностью до 2к знаков, т.е. rn+i < 10“2*.
Если за хо возьмем, например, число 1,4, которое, как известно,
приближает у/2 с точностью до одного знака, т.е. |\/2 — 1,4| < 10-1,
ТО ПОЛУЧИМ И < 10-2, Г2 < 10-4, ..., гп < 10-2”, ... Мы видим,
что за п шагов точность составит величину, не меньшую чем к знаков,
где к = 2". Так что для вычисления числа у/2 с заданной точностью
в к знаков достаточно выполнить п итераций, где
n = [Iog2 fc] + I.
Такого же типа оценки для метода Ньютона имеют место и в общем
случае решен'ия уравнения f(x) = 0, если начальное приближение
взято достаточно “хорошим”. Доказательство этого утверждения
основано на применении формулы Тейлора с разложением до второго
члена.
Обратим внимание на следующий факт: при оценке эффективности
вычислительного алгоритма надо обращать внимание не только на
количество итераций, но и на количество арифметических операций
в каждой итерации. Например, при вычислении у/a количество
162
арифметических операций в каждой итерации равно 3: одно деление,
одно сложение и одно умножение. Следовательно, для вычисления у/а
с точностью до к знаков надо выполнить 3[log2 Л] + 3 арифметических
операций. Но и это еще не все. Во-первых, надо иметь в виду, что
нет необходимости в начальных итерациях учитывать все к знаков,
так как точность приближения от этого не возрастает; во-вторых,
проводить деление в столбик 'гораздо труднее, чем умножать числа,
а умножать труднее, чем складывать.
Отметим, что метод Ньютона дает возможность заменить деление
умножением. Действительно, имеем
• f(x) =----а, х0 = 1.
X
. Тогда
_	f(xn) __	-~Qt	2
X„+1-Xn	/z(a.n) -Хп- -31Д2 -2хп-ахп.
Как и раньше, имеем
9	1	2«?п	9	*)	1	.	9.
Г" =	“ + Хп’ ~ а ~ ^2Хп +	= Г"+ь
Теперь, например, при а < 1 и го < 10-1 для величины п —
количества, итераций — при вычислении с точностью до к десятичных
знаков после запятой имеем п < [Iog2 Jt] + 1..
Еще более строгий подход к вопросу об эффективности вычи-
слительного алгоритма состоит в учете операций над цифрами, с
помощью которых записывается число. Тогда можно сказать, что,
например, сложение двух n-значных натуральных чисел требует не
более Зп операций, а “школьный” способ умножения чисел в столбик
требует порядка п2 поразрядных умножений и порядка п2 сложений.
Поэтому кажется естественным, что быстрее чем за О(п2) опера-
ций умножить два n-значных числа нельзя. В 50-х гг. академик
А.Н. Колмогоров поставил задачу доказать это, на первый взгляд,
правильное утверждение. Но оказалось, что это не так..
В 1961 г. А.А. Карацуба доказал замечательную теорему, которая
положила начало совершенно новому направлению в вычислительной
математике — теории быстрых вычислений. Он доказал, что два п-
значных числа можно умножить не за О(п2), а за O(nlog’3) операций.
б*
163
Теорема (теорема А. А. Карацубы). Существует алгоритм,
позволяющий умножить два п-значнух числа за О(п1О8«3) операций.
Доказательство. Представим числа в двоичной записи:
а = dn ... ai, b = Ьп •.  61. Заметим, что
а6=1((а + 6)2-(а-6)2).
Для деления числа на 4 достаточно сдвинуть его на 2 разряда вправо,
это займет только О(п) операций. Так что достаточно доказать, что
возведение в квадрат n-значного числа потребует указанного числа
операций. Доказательство проведем по индукции. Пусть для простоты
n = 2к и пусть
а = 2"/2 а + 0,
где а и 0 — n/2-значные числа. Тогда имеет место тождество
а2 = а2(2" - 2п/2) + (а + Д)22п>2 - £2(2"/2 - 1).
Если число операций для возведения в квадрат n-значного числа
обозначим через К{п), то
/£(п)	< 3/£(п/2) + сп,
Я(п/2) < ЗК(п/4) + сп/2,
К(2)	<ЗК(1) + с,
ВД < 3* + с(п + 3^ + З2 £ + • • • + 3*),
где k = log2 п. Отсюда имеем .
К(п) <3fe(3c+l).
Теорема доказана.
В заключение укажем на одно соображение общего характера,
лежащее в основе многих итерационных вычислительных алгоритмов.
Пусть требуется найти значение функции в точке xq, т.е. вычислить
/о = f(xo). Обозначим через fn приближение к /о с точностью Дп
(до п десятичных знаков):
дп = |/„ -/о|.
164
Допустим, нам известна функция G(x) со следующим свойством:
ед) = л,	= о.
Тогда имеем
G(fn) = G(f0) + G'(f0)(fn - f0) + ^(/n - /о)2,
откуда |/a - G(/n)| < сД2, где с = max lG 2^l.
Теперь, полагая /n+i = G(fn), получим приближение к /0 с точно-
стью порядка 2п десятичных знаков после запятой. Тем самым мы
имеем быстросходящийся алгоритм для приближенного вычисления
значения /о- Заметим, что рассмотренный выше алгоритм вычисления
корня квадратного из числа хо является частным случаем данного
при f(x0) = у/хо и G(fn) = |(/п + д)•
Глава VI
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Лекция 28
. § 1. ТОЧНАЯ ПЕРВООБРАЗНАЯ. ИНТЕГРИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
Определение 1. Функция F(x) называется точной первообраз-
ной для функции f(x) на (a,b), если при любом х Е (а, Ь) имеем
F'(x) — f(x), т.е. в каждой точке х интервала (a,b) значение функции
f(x) является производной для функции F(x).
Теорема1. Пусть f(x) определена на (a,b) и F%(x), F2(x) —
две ее точные первообразные. Тогда существует число с E'R такое,
что при любом х (z {a,b)
Fx(x) - F2(x) = с.
Доказательство. Пусть функция
G(x) = Fi (х) - F2(x).
Тогда G(x) — дифференцируемая функция, причем всюду на (а, 6)
G'(x) = F[(x) - F'(z) = f(x) - /(z) = 0.
Положим x0 = 2^. Тогда по формуле Лагранжа конечных прира-
щений имеем
G(z) - G(x0) = G'(C)(x - х0) = 0,
G(x) — G(®o) V х € (a,6).
Но, полагая c = G(x0), получим, что G(x) = с для всех точек x
интервала (a, b). Теорема 1 доказана.
Замечание. Из теоремы 1 следует такое утверждение: любые две
первообразные F(x) и G(x) функций f(x) и д(х) отличаются на
константу тогда и только тогда, когда их производные совпадают, т.е.
166
когда F1 = f = g = G'. Ранее мы видели, что далеко не все функции,
заданные на каком-либо интервале (а, Ь), имеют производную.
Аналогично обстоит дело и с первообразной, т.е. не все функции
имеют1 производную. Но если функция f(x), определенная на (а, 6),
имеет первообразную, то она называется интегрируемой. Прежде
чем перейти к йзучению класса интегрируемых функций, несколько
обобщим понятие точной первообразной.'
Определение 2. Непрерывная функция F(x) называется перво-
образной функции f(x) на интервале (a,b), если в каждой его точке
х за исключением, быть может, конечного их числа выполняется
равенство F'(x) = f(x).
Теорема 2. Пусть Fi(x) и F2(x) — первообразный для
функции f(x) на (a,b). Тогда найдется число с такое, что всюду на
этом интервале
Fi(x) - F2(x) = с.
Доказательство. Пусть х\,..., хп — конечное множество
точек, на котором не существует F((x) или F?(x). Тогда множество
(а, 6) состоит из конечного числа интервалов Д, на которых произ-
водные обеих функций существуют. Следовательно, по теореме 1 их
разность постоянна на каждом таком интервале. Кроме того, эта раз-
ность является непрерывной функцией на всей области определения.
Отсюда следует, что в общей граничной точке любых двух смежных
интервалов ее значение равно одновременно пределу справа и слева.
Эти значения, в свою очередь, совпадают с ее значениями на смеж-
ных интервалах. А это значит, что функция на смежных интервалах,
включая точку их общей границы, постоянна. Следовательно, она
постоянна на всем интервале (а, Ь), что и требовалось доказать.
Определение 3. Совокупность всех первообразных функций для
какой-либо одной функции f(x) на интервале называется неопреде-
ленным интегралом от функции /(®). Эта совокупность обозначается
символом f f(x)dx (читается: интеграл от f(x)dx).
Из теоремы 2 следует, что все функции этой совокупности от-
личаются друг от друга на постоянную. Поэтому, если F(x) —
какая-нибудь одна первообразная, то можно записать равенство
f(x)dx — F(x) + с,
(1)
где с — произвольное число.
167
Это равенство надо понимать как равенство двух множеств, со-
стоящих из функций, определенных на (а, 6), причем слева стоит
совокупность, образующая неопределенный интеграл от /(х), а спра-
ва — совокупность функций, отличающаяся от функции F(x) на
функцию, значение которой равно числу с для всех точек х этого
интервала.
Примеры.
1.	J1  dx = х + с, так как х' = 1.
2.	J 0 • dx = с,
3.	J cos х dx = sin х + с, так как (sin х)' = cos х.
Для доказательства этих равенств надо продифференцировать пра-
вую часть и убедиться, что ее производная равна функции, запи-
санной слева между знаком J и символом dx. Она называется
подынтегральной функцией. Знак J называется знаком интегра-
ла, а выражение, записываемое справа от него, — подынтегральным
выражением.
Легко видеть, что подынтегральное выражение есть не что иное,
как дифференциал любой первообразной функции для f(x). Действи-
тельно, если F(x) — первообразная для f(x), т.е. F'(x) = f(x), то по
определению дифференциала
dF(x) = f(x)dx.
А так как
У f(x)dx = F(x) + с, d(F(x) + с) = dF{x),	(1)
то можно записать равенства
У dF(x) = F(x) Тс, d(y f(x)dx^ = dF(x) = f(x)dx, (2)
причем знак равенства в последнем соотношении означает, что все
функции, входящие в совокупность J f(x)dx, имеют один и тот же
дифференциал dF(x). Также имеем
(^1 f(x)dx^ = /(х).	(3)
Определение 4. Нахождение неопределенного интеграла от
функции /(х), заданной на (а, 6), называется интегрированием
этой функции. Саму задачу нахождения неопределенного интеграла
можно рассматривать как обратную к задаче нахождения дифферен-
циала функций.
Лекция 29
§ 2.	СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Из правил дифференцирования функции и теоремы 2 следует ряд
свойств неопределенного интеграла. Приведем некоторые из них,
которые задаются равенствами и доказываются с помощью диффе-
ренцирования обеих частей этих равенств. Прежде всего докажем,
что равенство
f(x)dx = f g(x)dx	(4)
эквивалентно одному из следующих четырех равенств:
a)	(f f(^)dx') = (j g(x)dxj ;
6)	f f(x)dx) =(^(f ff(x)dx);
в)	f(x) = g(x);
r) f(x)dx = g(x)dx,
которые имеют место при всех х € (а, 6), за исключением, быть может,
конечного числа точек.
В самом деле, силу приведенных выше свойств (1)-(3) равенства
а)-г) действительно эквивалентны. А равенство (4) означает лишь то,
что любые две первообразные F, G для функций fag отличаются
между собой на константу. Но согласно замечанию к теореме 1
для этого необходимо и достаточно, чтобы f = д, т.е. равенство (4)
равносильно равенству в).
Замечание. Свойство (4) дает критерий равенства двух неопре-
деленных интегралов: они совпадают тогда и только тогда, когда
совпадают их производные или дифференциалы. Докажем теперь
следующее свойство:
\х,
а
(5а)
(56)
Эти равенства надо понимать как совпадение двух совокупностей
функций, стоящих в этих равенствах справа и слева. (Напомним,
что два множества равны, когда они состоят из одних и тех же
элементов.) Надо пояснить, что совокупность
X
169
состоит из всевозможных функций, образованных суммами функций
F(z) + G(x), где F(x) G J f(x)dx, G(x) G f g(x)dx, т.е.
f(x)dx + I g(x)dx = {F(x} + G(x)},
где
{F(i)} = У f(x)dx, {G(x)} = У g(x)dx.
Теперь для доказательства (5) в силу свойства (4) достаточно про-
дифференцировать эти равенства. Доказательство закончено.
Заметим, что для простоты применения на символы J f(x)dx и
J g(x)dx удобно смотреть, как на обычные функции, подразумевая
под ними некоторые первообразные для функций f(x) и д(х) соот-
ветственно, а равенство между выражениями, в которые они входят
линейно, понимать с “точностью до постоянной”, имея в виду, что
правая и левая части отличаются на функцию, постоянную на (а, 6).
С помощью свойства (4) можно легко установить еще два свойства
неопределенных интегралов, важных для непосредственного интегри-
рования:
правило интегрирования по частям
правило замены переменной
f(x)dx= / f(<p(t))g>'(t)dt,
(7)
где х = <p(t) — дифференцируемая функция от t, определенная на
интервале (о,/?), причем множество значений {^(<)} принадлежит
интервалу (а, Ь). Мы предполагаем, что в обоих равенствах инте-
гралы в левых частях действительно существуют; из этого следует
существование интегралов и в правых частях этих равенств.
Докажем свойство (6). Так как по условию интеграл в левой части
равенства существует, то ее дифференциал равен
d(uv — У м = и dv + v du — u dv = v du.
Отсюда в силу свойства (4) следует справедливость свойства (6).
Для доказательства свойства (7) заметим, что по правилу диффе-
ренцирования сложной функции и свойству (3) при х = ^>(t) имеем
^У/(х)^ = ^jf(x)dx) = /(ж)|c=v,(t) ¥>'(<) =
170
Следовательно, согласно свойству (4) интеграл f f(x)dx при х = <p(t)
есть в то же время и неопределенный интеграл от функции /(^>(t))^>'(t),
т.е.
J f(x)dx = J f(<p(t)d<fi(t) = J f(<?(t))<p'(t)dt,
что и требовалось доказать.
С помощью дифференцирования легко убедиться в том, что спра-
ведливы следующие равенства для неопределенных интегралов от
простейших элементарных функций:
1)	f xndx = т^-4-с, пф -1;
2)	f т- = 1п Н + с>
3)	f = arctga:-|-c;
4)	f = HFtI+c;
5)	Г = arcsin x + c:
6)	=l“l«++c>
7)	faxdx= j^ + c, a> 0, a 1,
f e*dx = e* + c;
8)	f sinxdx = — cos x + c;
9)	f cos x dx = sin x + c;
10)	J'sfc = -ctSI + 4
11)	/sfc = •«« + «
12)	f In xdx = x In x — x + c.
Как1 мы уже отмечали, не всякая функция имеет точную перво-
образную, потому что «не всякая функция является производной от
другой функции. Рассмотрим, например, функцию
	1, если	х € (0,1),
/(*) = <	2, если	х = 1 ,*
	3, если	X 6(1,2).
Эта функция определена на (0,2) и не может являться производной
какой-либо функции F(x) на (0,2), так как по теореме Дарбу произ-
водная принимает все свои промежуточные значения, a f(x) — всего
три значения: 1, 2, 3.
171
В дальнейшем мы докажем формулу Ньютона-Лейбница, из ко-
торой следует, что функция, непрерывная на интервале, имеет пер-
вообразную, т.е. интегрируема. Поэтому все элементарные функции
интегрируемы на всех интервалах, входящих в их области опре-
деления. Однако в результате интегрирования далеко не всегда
получаются снова элементарные функции, как это имеет место при
дифференцировании. Например, можно доказать, что функции
/dx ,	, .
5— (интегральный логарифм),
шх
/sinx ,	,	.
----dx (интегральный синус)
х
не являются элементарными.
Функции, сами не являющиеся элементарными, но определяемые
через них с помощью аналитических соотношений типа интегрирования
и дифференцирования, обычно называют специальными функци-
ями. Однако следует отдавать себе отчет в том, что, например,
с вычислительной точки зрения специальные функции, вообще го-
воря, “ничуть не хуже”, чем элементарные, а иногда и “лучше”.
Но все же простейшие элементарные функции имеют преимущество,
состоящее в простоте тех функциональных соотношений, которым они
удовлетворяют.
Еще раз подчеркнем, что единого метода интегрирования элемен-
тарных функций существовать не может, так как первообразная может
и не быть элементарной функцией. Но для нахождения первообраз-
ной в явном виде имеется несколько приемов. Говоря о методах
интегрирования, снова напомним, что для выяснения того, является
ли известная нам функция F(x) первообразной для /(х), нет необхо-
димости “брать интеграл”, т.е. вычислять / f(x)dx, здесь надо просто
найти F'(x) и сравнить ее с /(х) .
Примеры. 1. Пусть функция /(х) имеет непрерывную производ-
ную на (а,6), С(х) = £ сп- Тогда
а<п<г
F(x) = спЦп) - C(x)f(x) = -[ C(x)f'(x)dx.
a<n<r	7
Действительно, если х — не целое число, то, поскольку С(х)
и 22 сп кусочно-постоянны на интервалах, не содержащих целых
в<п<г
точекГ
F'(x) = -С(х)/'(х).
Ранее мы убедились, что F(x) непрерывна на (а, 6). Так что F(x)
есть первообразная для функций С(х)/'(х).
172
2. Пусть функция f(x) им£ет' непрерывную производную на (а, Ь),
р(х) = | — {г}. Тогда имеет место формула
= Е /(п) - />(*)/(*) + Р(а)/(а) = ((f(x) - p(x)f'(x))dx.
а<п<г
Действительно, если х — не целое число, то
F'(x) = (-/>(*)/(*))' = f(x) - p(x)f'(x).
Д,алее, так как F(x) — непрерывная функция, то F(x) — перво-
образная для функции f(x) — p(x)f'(х).
Иногда дифференцирование ответа оказывается очень громоздкой
процедурой, так что целесообразно с помощью различных приемов
сводить процесс вычисления к табличным интегралам. Для того что-
бы уверенно и быстро вычислять интегралы, необходим определенный
навык применения стандартных приемов интегрирования. Самые про-
стые и самые общие из этих приемов — это метод замены переменной
и метод интегрирования по частям [см. свойства (5) и (6)].
Подробнее с различными методами интегрирования можно позна-
комиться, например, в [4, 7, 15, 16].
Лекция 30
ДОПОЛНЕНИЕ. ОБОБЩЕНИЕ ПОНЯТИЯ ПРЕДЕЛА ПО ГЕЙНЕ
НА ФУНКЦИИ, СХОДЯЩИЕСЯ ПО БАЗЕ МНОЖЕСТВ
Предметом настоящей лекции является распространение классиче-
ского понятия предела функции по Гейне на общий случай сходимости
по базе множеств. Как известно, построение курса математическо-
го анализа основано на двух эквивалентных понятиях сходимости:
пределах по Коши и по Гейне. Одновременное использование обоих
понятий в курсе мотивируется его содержанием. В частности, это
позволяет унифицировать и сделать значительно яснее использование
пределов во всем их разнообразии, включая теорию интегрирования,
функции многих переменных и др.
Необходимо отметить, что понятие сходимости по базе множеств
было впервые сформулировано А. Крыжановским [22] (в несколько от-
личающейся терминологии). В 1937 г. В.И. Гливенко [23] использовал
это понятие для общего определения интеграла. Позже, как отмечал
А.Н. Колмогоров, французская математическая школа пришла к тому
же понятию в рамках теории фильтров.
В связи с успешным развитием теории сходимости по Коши возни-
кла неотложная необходимость в соответствующем обобщении понятия
предела функции по Гейне [24],[25]. Здесь мы решаем эту задачу.
Введем понятие Я-предела по базе, которое совпадает с класси-
ческим определением предела по Гейне в простейших конкретных
случаях. Затем установим эквивалентность понятия Я-предела по ба-
зе, введенного нами, и общепринятого определения предела функции
по Коши. Наконец, как нетривиальный пример введенного понятия
Я-сходимости по базе, мы продемонстрируем новый подход Тс опре-
делению и исследованию верхнего и нижнего пределов функции по
базе.
1. Пусть А — основное множество элементов х, А = {а:}, и пусть
В — база его подмножеств, которая состоит из бесконечного числа
окончаний Ь, т.е. b С А, б€ В, удовлетворяющих следующим условиям:
1)	каждое окончание является непустым множеством;
2)	для любых двух окончаний 61, 62 существует окончание Ьз такое,
что 63 С 6i CI62.
Определение 1. Мы называем последовательность {zn}> хп € А,
фундаментальной по базе В, если для любого окончания 6 существует
только лишь конечное число членов последовательности, которые не
принадлежат 6.
174
Определение 2. Фундаментальная последовательность называется
монотонной (по базе В), если условие хп € b влечет условие arn+i € Ь
для каждого окончания Ь.
Далее мы ограничимся базами В, удовлетворяющими также сле-
дующим условиям:
3)	для любых двух окончаний frj, 62 имеем, что либо b\ С 62, либо
b2 С 61;
4)	существует по крайней мере одна монотонная последовательность
по базе множеств В\
*5) Г| Ь = 0.
ьев
2. Докажем несколько свойств монотонных последовательностей по
базе.
Л е м м а 1. Пусть {хп} — монотонная последовательность по
базе В. Тогда существуют ее подпоследовательность {у/;}, ук — хПк,
и последовательность окончаний € В, зависящая от {у*} , такие,
что хПк € bk, но хПк £ bk+i, bk+i С bk-
Доказательство. В качестве Ь\ выберем произвольное
окончание из В. Существует только конечное число членов последо-
вательности, которые не принадлежат Ь\. Пусть хП1 € Ъ\, тогда для
любого k > 0 имеем гП1+* € (по свойству монотонности {гп})- В
качестве Ъ2 выберем некоторое окончание, которому не принадлежит
хП1. Такое 62 существует, поскольку Нв = Пьев Ъ = 0. Действитель-
но, если xni 6 b для любого окончания Ь, то хП1 € Нв- Но тогда
Нв не будет пустым множеством. В качестве хП2 выберем член
последовательности с минимальным индексом, начиная с которого все
последующие члены последовательности принадлежат Ь2, и т.д.
Таким образом, мы получаем две последовательности: элементов
у, = хп, и окончаний {Ь,}, Ь, € В таких, что хп, € ba, хп, &»+i и
61+i С bs для каждого s> 1. Лемма 1 доказана.
Заметим, что последовательность {у,}, очевидно, является мо-
нотонной по базе В. Последовательность {6П} назовем основной
последовательностью окончаний.
Л е м м а 2. Пусть {6П} — основная последовательность окон-
чаний. Тогда для каждого окончания Ь € В существует окончание
bn G В такое, что bn С Ь.
Доказательство. Предположим противное. Пусть Ь*
такое окончание, что для всех п имеем Ьп <£Ь*. Тогда в соответствии
со свойством 3 базы В выполняется следующее условие: bn D Ь*
для всякого n > 1, т.е. b* С Qn bn = D. Из леммы 1 имеем,
что Уп bn+i  Следовательно, уп Пп bn = D, т.е. бесконечно
175
много, даже все члены последовательности {j/n} не принадлежат D.
Далее, так как Ь* С D, то окончанию Ъ*не принадлежит бесконечно
много членов последовательности {j/n}- Это противоречит тому, что
последовательность является фундаментальной. Лемма 2 доказана.
3. Пусть /(я) — вещественная функция, определенная на А. Мы
называем число I С-пределом функции f(x) по базе В, если для
всякого е > 0 существует окончание Ь = Ь(е) такое, что для всех х € Ь
имеем |/(х) — /| < е.
Обозначение: I = C-lim/(z) или просто I ~ lim f(x).
Это соответствует определению предела функции по Коши. Дадим
теперь аналогичное определение предела по Гейне.
Число I будем называть Яш-пределом функции f(x) по базе В,
если для каждой монотонной последовательности {г„} по базе В
имеем, что
lim f(xn) = I.
n—too
Обозначение: I = Ят-lim f(x).
Теорема 1. Для того чтобы существовал C-Yimf(x). не-
В
обходимо и достаточно, чтобы существовал Ят-1пп/(я); более того,
имеем
Hm-limf(x) = C-lim/(x).
В	в
Другими словами, понятия Ят-предела и С-предела функции по
базе В являются эквивалентными.
Доказательство. Необходимость. Пусть С-предел
существует, т.е.
С — hmf(x) = I.
Тогда по определению для любого е > 0 существует Ъ = Ь(е) такое,
что при всех х 6 Ь справедливо неравенство |/(х) — /| < е.
Рассмотрим произвольную последовательность {хп}> монотонную по
базе В. Из условия монотонности следует, что существует по такое,
что для всех п > по имеет место соотношение хп € Ь. Следовательно,
|/(ж„) - /| < е V п> п0,
т. е.
lim f(xn) = I.
n—too
Достаточность. Предположим противное. Пусть Ят-Нт/(ж) = I,
но С-предел не существует или не равен I. Это означает, что
176
существует е > 0 такое, что для каждого окончания Ъ € В найдется
х € Ъ, для которого |/(х) — /| > Е.
Рассмотрим основную последовательность окончаний {6П}. Пусть
21 G 61 и |/(zi) - /| > е. Так как Нв =	6=0, то существует
окончание 6^) € В такое, что zi 0 6^). В силу леммы 2 при некотором
П1 имеем 6П1 С №. Следовательно, Z\ $?6П1.
Далее, существует точка z2 € 6П1 такая, что |/(z2) — /| > е. Как и
выше, мы находим окончание 6„2, удовлетворяющее условию z2 ^6„2.
Затем выбираем z3 € 6„2 такое, что |/(z3) — 1| > е, и т.д. Таким
образом, мы-получаем последовательность {zn}, которая удовлетво-
ряет условиям г* G 6„fc_,, г* 6nt, и последовательность окончаний
61 = 6По Г» 6П1 D 6„2 D ... -
Покажем, что последовательность {zn} является фундаментальной
и монотонной по базе В.
Фундаментальность. Возьмем любое окончание 6* € В. По лемме
2 существует окончание 6* такое, что 6* С 6*. Если п5 > к, то 6n, С
bk С 6*. Окончанию 6П, не принадлежат только элементы zi,.,.,z,
последовательности {zn}, и для любого п > s имеем zn G 6n, С 6*.
Значит, последовательность {zn} является фундаментальной.
Монотонность. (От противного). Предположим, что существует
окончание 6* € В такое, что для некоторого номера к имеем Zk G
6*, Zfe+1 6*. Из построения последовательности {zn} получим, что
^fc+i € ЬПк. Следовательно, ЬПк Э 6* (по свойству 3 базы). Так как
Zfc G 6*, то .Zk € ЬПк. Однако это противоречит тому факту, что по
построению последовательности {z*} справедливо условие Zk £ ЬПк.
Таким образом, последовательность {z*} является монотонной.
Далее, из того, что
Нт- Inn f(x) = I,
имеем
lim /(zn) = I.
П-i-OQ
Следовательно, мы можем перейти к пределу в неравенстве
|/(zn)-/|>E>0.
Получим 0 > £ > 0, что невозможно. Теорема доказана.
Будем говорить, что число I называется Н-пределом функции
f(x) по базе В, если для любой фундаментальной последовательности
{жп} по базе В выполнено условие
lim f(xn) = I.
П—>OQ
Обозначение: I = Я-limf(x).
177
Теорёма2. Следующие три понятия предела, эквивалентны:
1) lim f(x) - I;
2)	H-\imf(x) = I;
3)	=1.
В
Доказательство. Имеет место следующая цепочка
утверждений: 1 => 2 => 3 => 1. Первые два из них очевидны, а
третье следует из теоремы 1.
4.	Теперь докажем несколько свойств верхнего и нижнего предела
по базе.
Пусть {хп} — монотонная последовательность по базе В и пусть
существует
lim/(*„) =/.
п-юо
Тогда I называется частичным пределом по базе В. Наибольший
из частичных пределов (если он существует) называется верхним
пределом функции /(ж) по базе В и обозначается lim/(г); по-
добным образом наименьший частичный предел называется нижним
пределом по базе В и обозначается lim/(ж).
в
Число G называется верхним предельным числом, если
Л = inf sup f(x),
ьев^ь
а число /г — нижним предельным числом, если
12 = sup inf f(x).
ьев x^b
. Теорема 3. Пусть f(x) финально ограничена. Тогда верхний
и нижний пределы f(x) по базе В существуют и
^f(x) =t inf sup/(г),
в	ьев х$ь
lim/(ar) = sup inf f(x).
в	ьевх^ь
Доказательство. Для любых двух окончаний bi, Ь?
базы В имеем
inf f(x) < sup f(x).
x€bi
Действительно, если Ьз — окончание базы В и 63 С &i П 62, то
inf f(x) < inf /(г) < sup f(x) < sup f(x).
сег>1 хеь3	хеь2
178
Следовательно, в силу финальной ограниченности f(x) по базе В
существует такое число А, что
А = inf sup/(г).
ь^в х£Ь
Докажем, что
lim/(ar) = А.
Шаг 1. Мы можем найти окончание Ь* € В, для которого /(ж) < А+1
для любых х € Ъ*. Из леммы 2 следует, что существует окончание
6П1 ЕВ с условием ЬП1 С Ь*. Покажем, что можно найти элемент
xi € ЬП1 с условием
А + 1 >/(xi)>A-l.
Достаточно показать, что
sup f(x) > f{xi) > А - 1.
®ебп!
Если бы такого элемента xi не было, то V. х € Ъщ выполнялось
неравенство f(x) < А — 1. Следовательно,
sup f(x) < А — 1,
теЬщ
откуда имеем
А = inf sup f(x) < А — 1.
ь$в x£b
Имеет место противоречие.
Далее мы можем найти окончание такое, что xi 6^. (Такое
окончание существует, поскольку Нв =	0 )
Шаг 2. Выберем окончание € В, подчиненное условию
/(г) < А + | V г €
Рассмотрим окончание С П 6g1 \ Окончанию Е В не
принадлежит xi. Далее, как и в шаге 1, существует окончание
t>n2 С которое содержит точку х? xi такую, что
А-| < /(^) < А + |,
и т.д. Наконец мы получаем последовательность {хД, которая удо-
влетворяет условиям
х, € bnt} xs ЬПя_1, А —<сУ(^з)*сА-|-—.
s	s
179
Как и при доказательстве теоремы 1, устанавливаем, что {хп} —
монотонная последовательность по базе В. Кроме того, при п —> <х>
справедливо равенство Ншп-юо f(xn) = А, т.е. А — частичный предел
по базе В.
Шаг 3. Покажем, что любой частичный предел функции /(г) по
базе В не превосходит А. Из определения величины А имеем, что
для любого е > 0 существует окончание Ь с условием
sup/(z) < А 4- £.
хеь
Пусть {®п} — произвольная монотонная последовательность по базе
В, для которой существует lim f(xn). В силу фундаментальности
п—Юо
последовательности {хп} только конечное число ее членов не при-
надлежат Ь, т.е. существует номер п0 такой, что для всех номеров п,
больших по, имеем f(xn) < Х + е. Переходя к пределу при п -> оо,
получим
lim f(xn) < Х + е.
п—юо
Ввиду произвольности е > 0 имеем limn-юо f(xn) < А. Теорема дока-
зана.
Пусть li и /г, как и прежде, верхнее и нижнее предельные числа
соответственно. Мы назовем число l2 li >0 колебанием функции
f(x) по базе В и обозначим
oscffx) =l2-li.
В
Критерий Коши в этих обозначениях формулируется следующим обра-
зом.
Для существования предела функции f(x) по базе В необходимо
и достаточно, чтобы osc/(x) = 0.
Отметим, что из теоремы 3, в частности, следует, что:
1)	lim f(x) = inf sup/(ж);
2)	lim f(x) = inf sup f(x)-,
T>0|«|>T
3)	lim /(г) — inf sup /(г).
4>0 0<|t-®o|<4
Замечания. 1. Теорема 1 даже в простейших случаях несколько
сильнее, чем классическая теорема, утверждающая эквивалентность
поточечной сходимости по Коши и Гейне, поскольку требуются только
монотонные последовательности. Это, в свою очередь, иногда удобно
в приложения^.
180
С другой стороны, можно рассматривать базы, для которых ка-
ждая фундаментальная последовательность не является монотонной.
В этом случае, конечно, Ят-сходимость не определена, тем не ме-
нее, теорема 2, утверждающая эквивалентность Я- и С-сходимости,
остается справедливой, так как ее доказательство, по существу, то-
ждественно с выводом теоремы 1 при очевидной подстановке просто
фундаментальной последовательности вместо монотонной.
2.	Необходимо подчеркнуть, что понятия Нт-, Я-сходимости могут
быть определены в том случае, если существует по крайней мере од-
на монотонная фундаментальная последовательность по базе. Кроме
того, как показано в лемме 1, для такой базы всегда существу-
ет основная последовательность окончаний, которая сама является
счетной базой, кофинальной к первоначальной. На языке теории
фильтров это означает, что проблема обобщения теоремы Гейне об
эквивалентности Я- и С-сходимости может рассматриваться только
для фильтров со счетной базой.
3.	Мы ограничиваемся рассмотрением понятия сходимости только
для числовых функций. Однако результат теоремы 2 без труда может
быть распространен на общий случай отображений двух баз тогда и
только тогда, когда они допускают существование монотонных или
просто фундаментальных последовательностей.
4.	Условие 3, налагаемое на базу В, иногда оказывается невыпол-
ненным. Обычно в этих случаях можно вместо базы В рассматривать
базу D, удовлетворяющую этому условию, заданную на том же основ-
ном множестве и эквивалентную базе В в том смысле, что сходимость
любой функции по одной из этих баз влечет за собой ее сходимость
и по другой базе к тому же самому значению.
Примером эквивалентных баз являются база В и основная после-
довательность окончаний {Ьп} из леммы 1.
ЧАСТЬ II
ИНТЕГРАЛ РИМАНА. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ
ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ.
Эта часть курса математического анализа читается во втором се-
местре и включает в себя основы интегрального исчисления функций
одной переменной и дифференциального исчисления в пространстве
нескольких измерений. Обе темы объединяет появление в них геоме-
трических понятий как главного объекта изучения.
Следует отметить, что источником основных понятий математи-
ческого анализа во многом являются представления о простейших
свойствах геометрических объектов в реальном пространстве. В ка-
честве примера можно указать на метод вычисления площадей у
Архимеда или метод “исчерпывания” Евдокса. Чтобы быть ближе
к сущности предмета устанавливается взаимосвязь понятия интегри-
руемости функции по Риману и вопроса о существовании площади
криволинейной трапеции, т. е. ее измеримости по Жордану.
Второй источник понятий математического анализа — арифметика.
Поэтому мы стремились к раскрытию арифметических аспектов мате-
матического анализа, понимая под этим, скорее, их обусловленность
дискретными элементами, имеющими арифметическую природу, свя-
занную, в конечнрм счете, со свойствами натуральных чисел. Сюда
можно отнести доказанные в курсе формулы суммирования Эйлера и
Абеля, метод интегральных сумм, равномерные разбиения в теории
интеграла Римана, критерий Г. Вейля для равномерного распределе-
ния последовательности по модулю единица, признак алгебраичности
функций, данный Эйзенштейном. Упомянем также об упрощении в
изложении вывода формулы длины дуги кривой.
Необходимо сказать еще о том, что в этой части книги рассматри-
вается ряд понятий, которые в дальнейшем более подробно изучаются
в рамках других предметов. Здесь дается о них первое и в то же
время достаточно отчетливое представление с тем, чтобы облегчить
усвоение соответствующего материала в будущем, и, может быть,
что еще в большей степени обеспечит понимание специальных курсов
естественнонаучного содержания.
182
Глава VII
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Лекция 1
§ 1. ВВЕДЕНИЕ
Пусть функция f{x) определена на интервале (а,/?), содержащем
отрезок [а, Ь]. Определенным интегралом от функции /(г) на этом
отрезке [а,Ь] называется число, равное площади криволинейной тра-
пеции, т.е. фигуры, заключенной между прямыми х = а, х = b, у = О
и кривой у = f(x), причем площадь той части, которая лежит выше
оси абсцисс берется со знаком +, и ниже ее — со знаком - Интеграл
обозначается так:
ь
J" f(x) dx,
а
где число а называется нижним, а число b — верхним пределами
интегрирования.
В связи с данным определением интеграла возникает ряд вопросов.
Во-первых, что такое площадь? Этот вопрос — принципиальный, и
им мы будем заниматься далее, и весьма продолжительное время.
Более простыми являются следующие вопросы.
1) Почему эта площадь обозначается почти так же, как и неопре-
деленный интеграл?
2) Какая связь существует между неопределенным и определенным
интегралами?
Забегая несколько вперед, дадим ответы на последние вопросы.
Прежде всего, заметим, что на определенный интеграл можно
смотреть как на функцию верхнего (или нижнего) предела интегри-
рования, считая другой предел интегрирования фиксированным, т.е.,
если зафиксируем, скажем, число а, то при любом {а,Р) мы бу-
дем получать свои величины, равные значению интеграла на отрезке
[а, 6]. Тем самым, определяется некоторая функция F(b), заданная на
интервале	Оказывается, что если f(x) непрерывна на (о,/?),
то из теоремы Ньютона - Лейбница, о которой мы будем говорить
далее, следует, что функция F(x) является дифференцируемой, и,
более того, она является первообразной для функции f(x), т.е. имеем
F'(x) = f(x), и, кроме того, справедливо равенство
6
[ f(x) dx = F(b) - F(a).
183
Пусть Fi (г) — другая первообразная для f(x), Тогда, поскольку
Fi(r) = F(x) + c, где с — некоторая постоянная, то
ь
F^b) - Fi(a) = F(b) + с - F{a) - с = F(b) - F(a) = f f(x) dx.
a
Другими словами, это равенство имеет место для любой первообраз-
ной из семейства, образующего неопределенный интеграл, т.е. теорема
Ньютона - Лейбница указывает на то обстоятельство, что неопре-
деленный и определенный интегралы — это тесно связанные между
собой понятия. И для того чтобы их далее изучать, надо разобрать-
ся, какой же смысл вкладывается в понятие “площадь криволинейной
трапеции”. Заметим, что к этому вопросу можно подходить по раз-
ному, и в зависимости от этого у одной и той же трапеции площадь
может существовать или не существовать. Но если в двух различных
смыслах она существует, то всегда в обоих случаях она должна быть
одной и той же величиной.
§ 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА РИМАНА
Мы уже говорили о том, что понятие “определенный интеграл” по
существу сводится к определению понятия “площадь криволинейной
трапеции”, т.е. площадь фигуры, лежащей в полосе а < х < Ь, и
заключенной между графиком функции у = f(x) и осью абсцисс.
Другими словами, эта фигура образована множеством А точек вида
{(г, у)| а < х < Ь, 0 < у < f(x)},
и множеством В
{(*> 2/)1 а < х < b, f(x)<y< 0}.
Площадь всякой плоской фигуры D будем обозначать через p(D).
Заметим, что площадь любой фигуры на плоскости — это неотрица-
тельное число. Определенный интеграл отличается от площади тем,
что он равен разности площадей фигур А и В, т.е.
ь
! f(x) dx = р(А) - д(В),
а
а не их сумме, как можно было бы ожидать.
184
Из школьного курса геометрии известны следующие простейшие
свойства фигур, имеющих площадь:
1)	Если Di С £>2, то м(£*1) < д(£*2);
2)	Если Di П D2 = 0, то д(£>1 U D2) = p(Di) + l*(D2)-,
3)	Площадь прямоугольника равна произведению длин двух сосед-
них его сторон.
Фигуры, составленные из прямоугольников со сторонами, парал-
лельными осям координат, будут иметь площадь. Такие фигуры
назовем простейшими.
Теперь можно определить понятие площади криволинейной трапе-
ции D, а значит, и понятие определенного интеграла I от функции f(x)
на отрезке [а, 6] следующим образом. Здесь для простоты рассуждений
рассмотрим только случай, когда функция f(x) неотрицательна.
Впишем в фигуру D и опишем вокруг нее простейшие фигуры соот-
ветственно Di и D.2. Для наглядности можно положить, что функция
f(x) является непрерывной. Очевидно, имеем Oi С О С Oj. Отме-
тим также, что некоторые части границ фигур Z>i и Е>2 являются
ступенчатыми функциями на отрезке [а,6]. Напомним, что функ-
ция h(x) называется ступенчатой, если на каждом промежутке
(r,_i,я<), i = 0,l,...,n, а = xq < xi < • • ' < xn = b, она принимает
постоянное значение Л,. Пусть фигуре Di отвечает ступенчатая функ-
ция h(x), а фигуре D2 — ступенчатая функция д(х). Тогда имеем
/i(x) < f(x) < д(х). Интегралом от ступенчатой функции h(x) на-
п
зовем величину 1(h) = £ ht&Xi. Справедливо неравенство 1(h) < 1(g).
i=i
Рассмотрим два числовых множества А — {/(А)} и В = {1(g)}. В силу
леммы об отделимости этих множеств найдется число I, их разде-
ляющее. Если оно единственно, то мы назовем его интегралом от
функции f(x) на отрезке [а, 6], а саму функцию — интегрируемой
на этом отрезке.
Известно, что если числа inf 1(g) и sup 1(h) совпадают, то их
D2DD	DiCD
общее значение и равно I. Поэтому справедлив следующий критерий
интегрируемости ограниченной функции f(x) на отрезке [а, 6].
Теорема1. Для того чтобы ограниченная на отрезке
функция f(x) была интегрируема на нем, необходимо и достаточно,
чтобы для любого с > 0 существовали ступенчатые функции h(x) и
д(х) с условием h(x) < f(x) < д(х), и такие, что 1(g) — 1(h) < t.
9ту теорему мы доказывать сейчас не будем, поскольку постро-
им теорию интеграла Римана, основываясь на более традиционном
подходе, и в рамках этого подхода критерий интегрируемости и бу-
дет доказан. Тем самым, покажем, что оба подхода к построению
интеграла Римана дают один и тот же класс интегрируемых функций.
Отметим также, что рассмотренный выше подход дает возможность
определить понятие площади фигуры D через вписанные и описанные
185
простейшие фигуры. Подобным образом далее определим фигуры,
измеримые по Жордану, и докажем, что для измеримости по Жордану
криволинейной трапеции, отвечающей функции /(х), необходимо и
достаточно, чтобы f(x) была интегрируема по Риману.
Существуют и другие конструкции, с помощью которых можно вве-
сти понятие и площади, и определенного интеграла, интересующего
нас в первую очередь. Смысл этих конструкций состоит в том, чтобы
поставить в соответствие каждой функции из некоторого класса свое
число таким образом, чтобы при этом выполнялось ряд естественных
свойств, которыми обладает площадь простейших фигур. Заметим,
что чем сложнее конструкция, тем шире становится класс функций,
для которых понятие “определенный интеграл” приобретает смысд.
Мы здесь будем рассматривать конструкцию, предложенную немецкий?
математиком Б. Риманом, и поэтому соответствующий интеграл будем
называть интегралом Римана. Также познакомимся и с интегралом
более общего вида: интегралом Лебега, но, в основном, будем за-
ниматься интегралом Римана. Изложение оригинальной конструкции
Б.Римана можно найти в его- статье “О возможности представления
функции посредством тригонометрического ряда”, написанной им в
1853 году. Впервые эта статья была опубликована в 1867 году. На рус-
ском языке она появилась в 1914 году (“Харьковская математическая
библиотека”, серия В, №2).
Заметим, что, например, интеграл Лебега является более общим,
чем интеграл Римана, на том основании, что все функции, интегри-
руемые по Риману, также являются интегрируемыми по Лебегу, но
не наоборот. Но подчеркнем, что если функция интегрируема двумя
разными способами, то значения интеграла всегда обязаны совпадать.
Так что задача расширения понятия интеграла может состоять только
в том, чтобы приписать числовые значения определенным интегралам
от все более широких классов функций, не меняя при этом значений
интегралов для тех функций, у которых это значение установлено.
Переходим к изложению конструкции интеграла Римана. Будем
считать, что функция f(x) определена на интервале содержащем
отрезок [а, 5].
Определение 1. Конечное множество Т точек xq,xi,... ,хп назы-
вается (неразмеченным) разбиением отрезка [a, fr], если п> 1 и
а = Xq < xi <  - • < хп = Ъ.
Определение 2. Будем говорить, что разбиение 7i предшеству-
ет разбиению Т? (или разбиение следует за разбиением Т\),
если имеет место теоретико-множественное включение Т) С (или
^2 Э 71/ Разбиение Т? называется измельчением разбиения Тр
Очевидно, справедливы следующие свойства.
1°. Всякое разбиение есть измельчение самого себя.
186
2°. Если Тз = 7iUT2, то разбиение Тз есть измельчение и разбиения
Т\, и разбиения Тч.
Для любого разбиения Т = {жо, Ж1,..., жп] через Д* обозначим
отрезок вида [ж*_1,ж*]. Длину этого отрезка обозначим так:
Д®* = хк ~ Хк-1-
Определение 3. Величина Дт = max Дж* называется диаме-
l<fc<n
тром разбиения Т.
На каждом из отрезков Д* выберем точку £*, k= 1,...,п, т.е.
xk-i <&< хк-
Определение 4. Совокупность точек {жо, • • •, яп,£1,... ,£п) назы-
вается размеченным разбиением отрезка [а, 6].
Обозначим его через V, а соответствующее ему неразмеченное
разбиение — через Т = T(V).
Определение 5. Сумма
п
= /(6)Д*1 + • • • + f(№n = X^tt^Xk
k=1
называется интегральной суммой функции f(x), соответствующей
размеченному разбиению V.
Определение 6. Число I называется определенным интегралом
(Римана) от функции f(x) на отрезке [а, 6], если для всякого е > О
существует <5 = <5(е) > 0 такое, что для любого размеченного разбиения
V отрезка [а, 6] с условием Ду < 6 справедливо неравенство
т.е.
п
]1-^Ш^Хк\<£.
*=т1
Для интеграла 7 используют обозначение
ь
I = J f(x) dx.
187
Определение 7. Функция f(x), для которой существует интеграл
Римана, называется интегрируемой (по Риману) на отрезке [а, 6].
Легко доказать следующее утверждение. Если существуют два
числа li и А> удовлетворяющие определению интеграла Римана от
функции f(x) на отрезке [а, 6], то ойи совпадают, т.е. А = А-
Действительно, если, например, А < 1%, то в качестве величины е
возьмем число, равное ^(1г~ А)- Тогда в силу определения интеграла
существует число J = 6(e) >0 такое, что для любого размеченного
разбиения V с условием Ду < 6 имеем
|сгу - /J < е, |ау — /2| < Е-
Следовательно,
А — А = |А — А| < |А - ду| + \&v — А| < 2е = А — А-
Отсюда получим А — А < А — А> что невозможно, так что имеем
А = А- Утверждение доказано.
ь
Определенный интеграл J f(x) dx можно рассматривать как предел
a
по некоторой базе. Определим эту базу, т.е. опишем множество
окончаний, из которых она состоит. .
Напомним определение базы В подмножеств b основного множества
А. Окончания Ъ С А базы В, т.е. ее элементы, удовлетворяют
следующим условиям:
1) пустое множество не является окончанием базы;
2) для любых двух окончаний A, А базы В найдется окончание
Ьз € В с условием 63 С А О А-
В качестве основного множества А возьмем множество всех раз-
меченных разбиений отрезка [а, 6]. Для каждого <5 > 0 рассмотрим
множество Ь$ С А, состоящее изо всех размеченных разбиений с диа-
метром Ду меньшим, чем 6, т.е. Ду < 6. Совокупность множеств {А}
и будет искомой базой. Интегральная сумма <r(V) является функци-
ей, определенной на множестве А размеченных разбиений V. Тогда
определенный интеграл от функции f(x) на отрезке [а, 6] оказывается
не чем иным, как пределом интегральных сумм <r(V) по базе В, т.е.
ь
1=1 f(x) dx = limo’(V).
J	Ё
a
Напомним, что это равенство означает следующее: для всякого числа
е > 0 существует окончание А = А(е) базы В, такое, что для любого
размеченного разбиения V Е А(е) имеет место неравенство
ИЮ - 7| < Е.
188
Отметим, что в предыдущем определении интеграла в качестве
8 = <5(е) > 0 надо взять величину А, которая порождает окончание
М*)-
Так как интеграл — это предел интегральных сумм по базе В, то
к нему применимы теоремы о пределе функции по базе множеств.
Докажем следующее важное свойство интегрируемых функций.
Теорема 2. Пусть функция f(x) интегрируема, на отрезке
[а, 6]. Тогда она ограничена на нем.
Доказательство. Предположим, что функция f(x) не
ограничена на отрезке [а, 6]. Возьмем любое разбиение Т : а = xq <
xi < • • • < хп = b этого отрезка такое, что Ду < 6. Тогда существует
отрезок Дг = [ягна котором функция /(аг) не ограничена.
Покажем, что <r(V) не ограничена. Возьмем любое число М > 0.
Построим разметку V разбиения Т такую, что |a(V)| > М. С этой
целью точки ,..., £r-i, £r+i,...,возьмем произвольно. Положим
п
Е
fc=l,fc#r
/(^)Дх*
Поскольку функция /(ж) не ограничена на отрезке Дг, существует
точка 8,г € Дг такая, что
I/O >
М + А
Дхг
Отсюда имеем
ИЮ1>Ж)Дхг|-
/(&)Да*
М + А
Дхг
Дхг — А = М,

следовательно, <т(У) не ограничена, т.е. функция /(ж) — не интегри-
руема. Теорема 2 доказана.
Лекция 2
§ 3. КРИТЕРИЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ ПО РИМАНУ
Установим критерий интегрируемости по Риману функции, ограни-
ченной на отрезке.
Определение 1. Верхней суммой Дарбу функции f(x) на от-
резке [а, 6], отвечающей разбиению Т = {®о, • • •, называется сумма
п
S(T) = Y'Mkbxk,
k=l
где Mk — sup f(x), A* — отрезок, [xfc-i.x*], а Дж* — его длина,
«ед*
Нижней суммой Дарбу называется сумма
п
s(T) ~
fc=i
где mk = inf f(x).
®€Д*
Определение 2. Число Г = ?inf, S(T) называется верхним инте-
гралом, а число Ц = sup s(T) — нижним интегралом от функции
тел1
f(x) на отрезке [а, 6], где А — множество всех разбиений [а, ф
Теорема1. (Критерий Римана интегрируемости функции на
отрезке). Для того чтобы ограниченная функция была интегрируема
на отрезке, небходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
lim (S(T)-s(T)) = 0.
Для доказательства этого критерия нам потребуются следующие
свойства верхних и нижних сумм Дарбу.
Лемма!. Для любого размеченного разбиения V имеем
*(Ж)) < *(Ю < S(T(V)).
Л е м м а 2. Пусть То — любое фиксированное разбиение и
а (То) — множество разметок этого разбиения. Тогда
s(T0) = inf a(V), 5(Т0) = sup <r(V).
Vea(T0)	Vga(To)
190
Л е м м а 3. Для любых неразмеченных разбиений Ti и Т2 имеем
S(Ti) < S(Ta).
Л е м м а 4. Для ограниченной функции верхний и нижний
интегралы I* и I. существуют, причем для любого разбиения Т
справедливы неравенства-
s(T) < Д < Г < S(T).
Л е м м а 5. Диаметры размеченного разбиения V и отвечающего
ему неразмеченного разбиения Т — T(V) совпадают, поэтому если V G
Ь{, то T(V) € bg. Здесь bs — окончание базы размеченных разбиений
и bg — окончание базы неразмеченных разбиений, отвечающие числу
6.
Л е м м а 6. Для любого разбиения Т имеем
Г -I.< S(T) - s(T) = Q(T).
Доказательство этих утверждений не представляет
большого труда. Поэтому докажем только леммы 3, 4 и 6. Начнем с
леммы 3. Отметим, что при измельчении разбиения Т нижняя сумма
Дарбу s(T) может разве что возрасти, а верхняя сумма S(T) разве
что уменьшиться, а потому возьмем разбиение Тз = TjUTb и получим,
что
й(Тх) < а(Т3) < S(T3) < S(T2).
Лемма 3 доказана.
Доказательство леммы 4 по существу вытекает из леммы 3. Если
мы образуем числовое множество Mi всех значений величин s(T) и
множество М2 всех значений S(T), то утверждение леммы 3 означает,
что любой элемент а 6 М2 есть верхняя грань для множества Mi.
Но тогда наименьшая верхняя грань множества Mi, т.е. величина Ц,
не превосходит а. А это означает, что Ц — нижняя'грань множества
М2, а по своему определению Г есть точная нижняя грань множества
М2, поэтому имеем
s(T) </.</*< S(T).
Лемма 4 доказана.
Утверждение леммы 6 следует из цепочки неравенств
5(Т) - s(T) > Г - в(Т) > Г - Д.
Утверждение остальных трех лемм непосредственно следуют из
определений.
191
Теперь можно Перейти к доказательству критерия интегрируемости
функции по Риману.
Доказательство теоремы 1. Необходимость. Пусть
lim <r(V) = I. Это значит, что для любого числа ei > 0 найдется
Ду-»о
число <5i =<5i(£i) > 0 такое, что для любого размеченного разбиения
V с диаметром Av < имеем |<r(V) — Z| < ej, т.е.
1-£1<.<ДУ)<1 + е1.	(1)
Рассмотрим произвольное неразмеченное разбиение Т с условием
Ду <	. Имеем
s(T)= inf a(V), S(T) = sup <r(V).
V6a(T)	V6a(T)
Тогда из (1) вытекает, что
Z-£i < s(T) < I + ei, I-£i < S(T) <I + £i.
Следовательно, числа s(T) и S(T) лежат на одном отрезке [Z —£i, Z+£i]
длины 2si, т.е.
IS'(T) - s(T)| < 2£1.
Если мы возьмем £i = е/3 и & = <5\(г/3), то получим, что для всякого
е > 0 существует 6 = 6(е) > 0, такое, что для всякого разбиения Т с
условием Дг < <5(г) имеем неравенство |5(Т) — s(T)| < е, т.е.
lim (5(Т) - s(T)) = 0.
Необходимость утверждения доказана.
Достаточность. Докажем, что из условия lim (5'(Т) — s(7’)) = 0
Дт->о
следует существование предела lim cr(V).
У	Ду-»о
Сначала убедимся, что верхний и нижний интегралы I* и I, равны
между собой. В силу леммы 6 имеем
0< Г -I. <S(T)-s(T).
Следовательно, при Д-р —> 0 получим h = I* — I. —> 0, т.е. h = 0 и
7* = !, = !.
Осталось доказать, что lim <r(V) =. I. Зададимся произвольным
Av —>0
е > 0. Тогда существует <5 — 6(e) > 0 такое, что для любого разбиения
Т с условием Дт < 6 выполняется неравенство
S(T) - s(T) < е.
192
Цо тогда для любого размеченного разбиения V с условием Av < <f
имеем
S(T(V)) - s(T(V)) < е,
и, кроме того,
s(T(V)) < <т(V) < S(T(V)), s(T(V)) < I < S(T(V)),
т.е. обе точки <r(V) и / лежат на отрезке [s(T(V)), S(T(У))], длина
которого меньше е, но это значит, что расстояние между любыми
точками его меньше, чем е. Другими словами, для любого разбиения
V' с условием Av < <5 справедливо неравенство |<т(У) — 7| < е, т.е.
имеем lim <т(У) — I. Теорема 1 доказана полностью.
iv-tO
Замечание. При доказательстве достаточности в критерии интегри-
руемости установлена справедливость следующего утверждения.
Пусть для ограниченной функции выполняется условие
lim (S(T) - s(T)) = 0.
Ду—>0
Тогда имеет место равенство Г — I..
Примеры. 1. Функция Дирихле
( 1, если х — рациональное число,
( 0, если х — иррациональное число,
не является интегрируемой по Риману на отрезке [а, Ь].
Действительно, возьмем любое разбиение Т этого отрезка. На
любом промежутке А,- разбиения Т содержатся как рациональные
точки, так и иррациональные, поэтому колебание функции на
этом промежутке равно 1. Следовательно,
 П(Т) = 5(Т) - s(T) = Дх< = £ Дц = 6 - а.
=i	i=i
Но по критерию интегрируемости функции по Риману должно выпол-
няться условие
lim (S(T) - s(T)) = 0.
Дт-»-0
Значит, функция Дирихле D(x) неинтегрируема по Риману.
2. Функция Римана
, f если х = (тп, n) = 1,
ад = < n n V '
t 0, если х — иррациональное число,
интегрируема по Риману на отрезке [0,1].
7 Лекции по математическому анализу
193
Зададимся произвольным числом £ > 0. Положим число N, равным
величине
2
£
N =
+ 1
и возьмем число 5 из условия 0 < <5 < Возьмем теперь любое
разбиение Т с условием Ат < S. Колебание w, функции R(x) на
любом промежутке А; удовлетворяет условию 0 < w, < 1. Представим
сумму П(Т) = S(T) — s(T) в виде суммы двух слагаемых Jlj и П2
в соответствии с тем, что выполняется неравенство 0 < ш, <
и < ш,i < 1. В сумму П2 входят промежутки А,-, содержащие
рациональные точки со знаменателем, меньшим, чем N. Количество
таких точек не превосходит №. Поэтому получим
П(Т) = ъ + П2 < 1 £'Дг,- + £"Дг, < 1 +<>№ < | +1 = £,
где штрих и два штриха в знаке суммы означают, что промежутки
А, входят соответственно в суммы Qi и П2.
Следовательно, функция Римана Щх) интегрируема.
Лекция 3
§ 4. ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ ТРЕХ УСЛОВИЙ
ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ ПО РИМАНУ
Докажем критерий интегрируемости функции по Риману в трех
эквивалентных формах.
Теорема1. Для интегрируемости ограниченной на отрезке
функции необходимо и достаточно, чтобы выполнялось хотя бы одно
из трех эквивалентных условий:
1)	hm (S(T) - з(Т)) = О,
Дт-»-0
2)	Г = 1„
3)	inf(5(7) — s(T)) = 0.
Доказательство. Мы докажем, что имеет место
следующая цепочка заключений: 1) => 2) => 3) => 1), откуда и следует
искомая эквивалентность.
В силу замечания к теореме 1 §3 получим, что из 1) => 2).
Докажем, что из 2) => 3). Справедливо следующее соотношение:
inf (S(T) — s(T)) = h = I* — I*.
а)	Сначала покажем, что h является нижней гранью множества
5(7)-s(T). Имеем
I* < S(T), -1, < -s(T).
Следовательно,
S(T)-s(T) > Г -Ц.
б)	Докажем теперь, что величина h является точной нижней
гранью множества S(T) — s(T), т.е., что для любого е > 0 число h + e
не является нижней гранью. Из определения верхнего и нижнего
интегралов следует, что найдутся разбиения Т\ и Т2 такие, что
S{T1)<r + £-, s(T2) > 7* - |.
Отсюда для разбиения Тз = Т\ U Т2 имеем
S(T3) < 5(7J < Г + L *(Тз) > s(72) > Г - £~.
Следовательно,
5(Т3) - s(T3) <Г-1, +6 = h + e,
7*
195
т.е. h + е действительно не является нижней гранью множества
значений S(T) — в(Т).
Так как утверждение 2) состоит в том, что Л = 0, то из доказанного
выше имеем inf(S(T) - s(T)) = 0. Таким образом, из утверждения 2)
мы вывели утверждение 3).
Докажем теперь, что из 3) => 1). В силу условия 3) имеем, что для
любого е > 0 существует разбиение 7\ такое, что S(T\) — s(T\) < |.
Обозначим через п число точек разбиения Т\. В силу ограниченности
на отрезке функции f(x) существует число М > 0 такое, что для всех
точек х из этого отрезка имеем |/(х)| < М. Положим 6 = Далее
возьмем любое разбиение Т с условием Дт < Тогда для разбиения
Т2 — Т U Т\ имеем
£
S(T2) — s(T2) < S(Ti) — s(Ti) <-,
Л
или, что то же самое, S2(T2) < O(Ti) < |. Аналогично, имеем Т2(Т2) <
ад.
Оценим сверху величину fi(T). Поскольку
ад = ад2) + (si(T) - ад)),
достаточно оценить Я(Т) — П(Т2). Разбиение Т2 является измельчением
разбиения Т и получается из него так, что на некоторые промежутки
разбиения Т добавляются точки разбиения 7\. Количество таких
промежутков не превосходит п, длина каждого из них меньше <f, а
колебание функции f(x) на этих промежутках не превосходит 2М.
Следовательно, П(Т) — 12(Т2) < 2MnS.
Таким образом, получим
ЩТ) <^+2Мп6-е.
£
А это означает, что для любого е > 0 существует 6 = такое, что
для любого разбиения Т с условием Дт < <5 выполняется неравенство
П(Т) < £, т.е.
lim (S(T) - з(Т)) = 0.
Дт-►<>
Теорема 1 доказана полностью.
§ 5. СПЕЦИАЛЬНЫЙ КРИТЕРИЙ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ
ФУНКЦИИ ПО РИМАНУ
Верхнюю (соответственно нижнюю) сумму Дарбу функции f(x) на
отрезке [а, 6], отвечающую разбиению Тп отрезка [a, 6J на п равных
частей, обозначим через Sn (соответственно sn).
Докажем следующий специальный критерий интегрируемости функ-
ции по Риману.
196
Теорема!. Для интегрируемости ограниченной функции
f(x) на отрезке [а, 6] необходимо и достаточно, чтобы выполнялось
условие
lim (Sn - sn) = 0.
. n*+oo
Доказательство. Необходимость следует из критерия
Римана (теорема 1 §4).
Достаточность. Пусть
Г =AnfS(T), I, = sups(T).
Г	Т
Тогда для любого разбиения Т будем иметь
в(Т) < I, < Г < S(T).
Следовательно,
sn < I, < Г < Sn.
Отсюда получим
Sn ~ sn > I* — 7» > 0.
Но поскольку lim (Sn — sn) = 0, то Г = 7» = I, и в силу теоремы 2
П-4ОО
§4 (условие 2) функция /(х) интегрируема на отрезке [а, Ь]. Теорема
1 доказана полностью.
Следствие. Для интегрируемости ограниченной функции
на отрезке необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из
следующих эквивалентных условий:
4) lim (Sn - sn) = 0,
П-400
5) inf(Sn - sn) = 0.
n
Условия 4) и 5) дополняют условия 1),2) и 3) теоремы 2 §4.
Доказательство. Очевидно, имеем цепочку заключений
5) => 3) => 1) => 4) => 5).
Следствие доказано.
Пример. Рассмотрим последовательность {хп}, 0 < xn < 1. Пусть
а и /3 — любые числа с условием 0 < or < /3 < 1. Обозначим чррез Nq
количество членов последовательности {х*}, 1 < k < Q, попадающих
на отрезок {а,/3], т.е. а < х* < /3, 1 < к < Q.
Будем говорить, что последовательность {хп} равномерно рас-
пределена по модулю единица (p.p. (mod 1)), если выполняется
соотношение
г nq о-
hm -£ = /3 - а.
<?-юо Q
Докажем следующий критерий равномерной распределенности, при-
надлежащий Г.Вейлю.
197
Теорема 2. (Критерий Г. Вейля/ Для того чтобы последо-
вательность {in} была равномерно распределена по модулю единица,
необходимо и достаточно, чтобы для любой интегрируемой по Риману
функции 'f(x) имело место равенство
Q	1
niim	(и
Q->°° Q тД	J
r-i	0
Доказательств
функция f(x) с периодом 1,
о. Достаточность. Периодическая
/(*) = у>(т) = { J’
если а < х < (3,
в противном случае,
интегрируема на отрезке [0,1].
Кроме того, имеем
Q
nq =
Следовательно,
т.е. последовательность {хп} равномерно распределена по модулю
единица. Достаточность доказана.
Необходимость. Пусть f(x) — произвольная интегрируемая по
Риману функция на отрезке [0,1]. Тогда в силу критерия интегриру-
емости для любого е > 0 существует разбиение Т, такое, что
ад = ад - S(T) < €~, з(т) = £т,дт„ад) = £1и,дг,-.
i=i	i=i
Очевидно, справедливо неравенство
1
»(Т)< / /(*) dx<S(T).
о
Положим
( 1, если х 6 Д1,
( 0, если х Д,-,
198
n	n
^(s₽) =	ф(аО =
i=i	1=1
Заметим, что если равенство (1) выполняется для некоторых
функций fi(x), fz(x),..., fr(x), то оно справедливо и для функции
д(х) = ci/i(x) + cififx) Ч--|-сг/г(г). Поэтому, исходя из определения
равномерной распределенности, получим:
1
lim — V <р(хг) =
Q->oo Q Н'	'
Г = 1
<р(х) dx = в(Т),
1 9
lim — V
Q—юо Q
1
о
Следовательно, для всякого е > 0 существует Qo = Qo(e) такое, что
для всех Q > Qo имеем
, о
1 9
Далее, поскольку имеет место неравенство <р(х) < f(x) < Ф(х),
Е 1 .9	1 ь9	1 _5?_	F
»р) - з -	< sen+1.
9 1
Следовательно, как £ f(xr)> так и значение интеграла f f(x) dx
4 r=l	о
принадлежат отрезку [s(T) - $,S(T) + j]. Поэтому имеем
Q	1
dx
r=i	0
<fi(T) + f <e.
Теорема 2 доказана полностью.
199
§ 6. МЕТОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ СУММ
Метод интегральных сумм основан на следующей лемме.
Лемма. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке [а,Ь],
и пусть {Vn} — любая последовательность размеченных разбиений
с условием, что последовательность диаметров разбиений {Ду,} —> О
при п —> оо. Тогда при п —> оо имеем:
a)Sn = S(T(Vn)) -> /; 6)sn = s(T(Vn)) -)• /; в)ап = a(Vn) -> I.
Доказательство. По определению интеграла и по
критерию интегрируемости функции по Риману для всякого числа
е > 0 существует число 6 = <5(е) >0 такое, что если Ду, = Дт(уп) < <5,
то имеем
kn - Л < I'S’n - /| < ^ < е, |sn - Л < к < е-
Но так как последовательность {Ду,} стремится к нулю при п —> оо,
то вне соответствующей ^-окрестности нуля лежит не более конечного
числа по(6) значений Ду,. Поэтому вне Е-окрестности числа I тоже
лежит не более, чем т»о(<£) значений величин пп, Sn, sn. Следовательно,
I = lim <rn = lim Sn = lim sn.
П-4-00	П-400	П-4СЮ
Лемма доказана.
ь
Примеры. 1. Имеем f e* dx = eb — ea.
a
Поскольку функция e® непрерывна на отрезке [а, 6], она интегри-
руема на нем. Для того чтобы найти значение интеграла, остается
только выбрать последовательность {Vn} и вычислить предел lim <rn-
Положим при к = 0,..., п
,Ь — а .	. b — а ,	. .
хк = а + к--, & = Xk-i, Лхк -----= Д, Хк = а + ЛД.
п	п
Отсюда имеем
п—1
<тп = еа+*А  Д = Деа(1 + еА + • •  + е^-1^) =
к=0
= Дев
1 — епА
1 — еА
Д
~ ед-1
•(еь-ев)-
200
Так как при п —► оо справедливо равенство lim = 1, то
lim <тп = еь — е° =
П-+ОО
Ь
е* dx.
ь
2.	Пусть 0 < а < Ь. Тогда имеем /	|
а
Возьмем произвольное разбиение отрезка [а, 6]: а = xq < • • • < хп =
b и положим = -^/Xfc-iXfc, к = 1,... ,п. Тогда для соответствующей
интегральной суммы <тп будем иметь
Г——=
ifei Хк-^Хк	хк-1Хк
Следовательно,
lim ап
n-юо
Г dx_ 11
J x2 a b
a
3.	Найти предел ton	‘ ‘	= l-
Очевидно, имеем
. A i i
l = hm > -------r- • -
n-»oo ' 1	— П
dx
1 + x
Отсюда по формуле Ньютона - Лейбница, которая будет доказана
чуть позже, получим I = In 2.
В частности, используя это, найдем сумму ряда
оо / i\fc-l / 2п
Т------------= lim (Ё
К	п->00 \
\fe=l
Л-1
fc=i
,	1	1
,	.	= hm I 1	—	- +	-
к	I	n-+oo \	2	3
1
2п
4.
— lim i , 
П-+ОО \ П + 1 п + 2
= In 2.
Справедливо следующее равенство:
Г 2тг1п|а|,
) dx = <
I О,
если
1
1
1
п + п
о
201
Положим Xk =	& = Xk к = 1,.. .,n. Тогда имеем Дх* =
Следовательно,
<тп = £ln(l — 2acosx* + а2)— = яУ^1п |(а — е’х,‘)(а' - е~’х*)|— =
fe=i	”	*=i	”

— я In JJ |(or - e,x*)(a — e *x*)|— = % In |a2n — 1| —.
fe=i	n
Переходя к пределу при n —> оо, получим искомое значение интеграла.
5.	Пусть f(x) не убывает и ограничена на отрезке [а, 6]. Тогда для
величины
А "	/ А \ Г
<Jn =----(а + к------------ f f(x) dx
п < П а
имеют место неравенства
— — п
Очевидно, имеем
_2_ f / А	\
0<<5п = £	/	(f(a+^(b-a))-f(x)} dx <
к=1^(Ь-а)
|(b-a)
п С f	L	1р_ 1	\
Е /	/(а+-(6-«))-/(а+-— (6-а))) dx <
J \ п	n	J
b — а г-'' (г, к,,	..	к — 1
—Е ра + ~(ь -«)) - /(а+—(б - °))) =
п \п	п	J
= Ц^(/(б) -/(«))•
А это и доказывает требуемое неравенство.
6.	Пусть функция f(x) имеет на отрезке [а, 6] ограниченную и
интегрируемую производную, и пусть символ 6п обозначает то же,
что и в примере 5. Тогда
lim п6п
п->со
(6-а)(/(6)-/(а))
2
202
В силу теоремы Лагранжа о конечных приращениях на каждом от-
резке А* = [х&-1, Xfe], к = 1,..., п, для любой точки г 6 Дк существует
точка принадлежащая интервалу (хк-\,Хк), такая, что
1е	к
f(a + £(6 - а)) - f(x) = f'(tk)(~(b - а) - х).
Пусть mk,Mk — соответственно нижняя и верхняя грани производной
f'(x) на отрезке Afc. Тогда тп^ </'(&)< Mk-
Из определения 6п имеем
а+ -(& - а) - х ) f'(tk) dx.
П	/
Отсюда следуют неравенства
1/1	\ 2 п
1 / о — а \	\
5 £
>	\ 2 п
Ь — а\ <—
п }
' fc=i
Домножая обе части неравенства на п и переходя к пределу, получаем
требуемое предельное соотношение.
Отсюда, в частности, для последовательности примера 3, имеем
lim п
п—юо
4------- "1-----------------;—
п 4- 2 п + п
1
4
7.	Пусть р(х) непрерывна и положительна на отрезке [0,1]. Тогда
справедливы неравенства
Положим Xk = к = 0,... , п. Тогда для соответствующих инте-
гральных сумм в силу неравенств между средними гармоническим,
геометрическим и арифметическим имеем
=	< р(ц.)+•••?(*»)
+ ' • • + п
Переходя в этих неравенствах к пределу при п -> оо, получаем
искомое неравенство.,
Лекция 4
§ 7. СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА РИМАНА КАК ПРЕДЕЛА ПО БАЗЕ
Напомним данное в конце $ 1 определение интеграла Римана как
предела по некоторой базе.
Пусть А — совокупность всех размеченных разбиений отрезка [а, 6].
Множество А будет основным множеством базы В. При всяком 6 > О
окончаниями b = bf G А этой базы В являются множества, состоящие
изо всех размеченных разбиений V € А с диаметром разбиения Ду,
меньшим <$. Другими словами, окончание bf задается так:
bs = {V G А| Ду < J).
Пусть, как и раньше, <т(У) — интегральная сумма, отвечающая
размеченному разбиению V = {xo,xi,...,хп;&,т.е.
<г(У) = £/(^)Дх*.
fe=l
Тогда число I называется интегралом Римана от функции /(х) на
отрезке [а, 6], если
I = lim<r(V).
Другими словами, число I — интеграл от функции /(х) на отрезке
[а, Ь], если для всякого е > 0 существует число 8 = 6(e) > 0 такое,
что для любого размеченного разбиения V отрезка [а, 6] с условием
Ду < 6 имеем
\I-<r(V)\<e.
Пусть теперь А' — совокупность неразмеченных разбиений отрезка
[а,6]. Это множество А' является основным множеством базы В',
состоящей из окончаний bf, причем bs состоит изо всех неразмеченных
разбиений Т с диаметром Дт < 6.
Дадим определение верхнего и нижнего интегралов Дарбу.
Пусть S(T) и s(T) — соответственно верхняя и нижняя суммы
Дарбу, отвечающие неразмеченному разбиению Т в ЩТ) — S(T)—s(T).
Тогда число
I* =hti'S(T)
называется верхним интегралом Дарбу, а число
Ц = sup s(T)
тел'
204
— нижним интегралом Дарбу от функции f(x) на отрезке [а, 6].
Возьмем любое фиксированное неразмеченное разбиение То- Обо-
значим через а(То) множество всех тех размеченных разбиений V,
которым соответствует одно и то же неразмеченное разбиение То,
т.е. множество всех его разметок. Тогда, исходя из леммы 2 §3,
определение верхнего и нижнего интегралов Дарбу «можно записать н
так:
Г — inf sup -<т(У),/, = sup inf <r(V).
Отметим несколько свойств введенных выше понятий.
Л е м м а 1. Пусть размеченное разбиение V есть разметка
разбиеиия То, т.е. V G а(То). Тогда, если V Ebg, то:
1) “(?о) С bf,
2) U а(Т0) = U ot(To) = bs.
То,Дто<«	To€bi
Действительно, имеем Дт0 = Av- Следовательно, для любого раз-
меченного разбиения Ц е «(То) получим Av, = Av < <5, поэтому
а(То) С bg. Свойство 2) проверяется аналогично. Лемма 1 доказана.
Отметим теперь несколько свойств базы В. Кроме указанных ранее
двух свойств:
1)	любое окончание базы — непустое множество;
2)	для любых окончаний bi я Ь? существует окончание 63 с условием
Ьз С 6i U 62, выполняются следующие три свойства:
3)	Для любых окончаний Ь\ я 62 выполняется одно из условий:
либо 61 С 62, либо 62 С 61.
4)	Напомним определение фундаментальной и монотонной последо-
вательности по- базе множеств (см. лекцию 30, ч. I). Последователь-
ность разбиений {VnJ называется фундаментальной по базе В, если
для любого окончания 6 е В существует только конечное множество
членов последовательности, не принадлежащих 6. Фундаментальная
последовательность {VnJ называется монотонной по базе В, если
для любого окончания 6 из условия Vn € 6 следует, что Vn+i € 6.
В качестве монотонной пбследовательности по базе В можно взять
последовательность {Vn} размеченных разбиений отрезка [а, 6] таких,
что Тп =T(Vn) является разбиением его на п равных частей.
5)	Л 6=0.
Ь€В
Введем следующие обозначения для верхнего я нижнего пределов
по базе В :
J* = lim<r(V,)) J, = limofVk
в	в
Справедливо следующее утверждение.
205
Теорема1. Имеют место неравенства:
Д<Е<Г< J*-
Отсюда в силу критерия Коши получим следующий критерий
интегрируемости функции по Риману.
Т е о р е м а 2. Для того чтобы функция была интегрируема
по Риману, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
Доказательство теоремы 1. Из определения верхних
интегралов Г и J* и свойств верхнего предела по базе множеств
(теорема 3, лекция 30, ч. I) имеем
Г = inf SIT) = inf sup <r(V) = inf inf sup <r(V) <
T	T Vea(T)	S>° At<<5V£a(T)
< inf inf sup <r(V) = inf sup <r(V) = lim<r(V) = J*,
<S>0 At<i5 Vgbj i>a6Bvgba	B
т. e. Г < J*. Аналогично, получим, что Д < Д. Теорема 1 доказана.
Замечание 1. Итак, мы видим, что критерий Римана для существо-
вания интеграла в форме Т = Ц на языке понятия предела по базе,
в сущности, эквивалентен критерию Коши существования предела по
базе Av -> 0.
Замечание 2. Из эквивалентности понятий предела по Коши и по
Гейне для базы Дт -> 0 вытекает, что функция интегрируема тогда
и только тогда, когда для любой последовательности разбиений {Уп}
с условием Дуп —> 0 при п —> оо последовательность интегральных
сумм {cr(Vn)} является сходящейся последовательностью. С другой
стороны, специальный критерий интегрируемости, который был дока-
зан ранее, говорит о том, что здесь можно ограничиться лишь одной
последовательностью равномерных разбиений отрезка интегрирования.
В этом проявляется специфика рассматриваемой базы Дт —> 0.
Уточним теорему 1, а именно, покажем, что верхний предел по
базе В интегральных сумм совпадает с верхним интегралом Дарбу.
Для этого нам будут необходимы несколько лемм.
JI е м м а 2. Пусть модуль функции f(x) ограничен на отрезке
Е — [а, &] числом М. Пусть Т — разбиение этого отрезка с диаметром
5 > 0. Пусть также разбиение Т\ получается из Т добавлением к
нему одной точки. Тогда для разности верхних сумм Дарбу S(T) и
S{Ti) имеем оценку
\S(Ti) - S(T)| < 2М6.
206
Доказательство. Рассмотрим отрезок Eq = [во, &о],
являющийся отрезком разбиения Т и содержащий точку t е Т\, не
входящую в разбиение Т. Тогда наборы точек т = {во < &о} и
Г1 = {а0 < t < &о} можно рассматривать как неразмеченное разбиение
отрезка Ёо. Пусть при этом S(r) и 5(п) есть верхние суммы Дарбу
на этом отрезке. Тогда из определения следует, что
S(T!)-S(T) = S(n)-S(r).
Отсюда имеем
|S(Ti) - S(T)| = |S(rx) - S(r)| < |S(n)| + |S(r)| < M6 + M6 = 2M6.
Лемма 2 доказана.
Л e м м a 3. Если в условиях леммы 2 разбиение 7j получается
из разбиения Т добавлением не более, чем п точек, то имеет место
оценка
|S(Ti) -S(T)\ < 2MSn.
Доказательство. Справедливость леммы 3 устанавливается
п кратным применением леммы 2. Лемма 3 доказана.
Л е м м а 4. Пусть разбиение Т отрезка -Е = [а, 6] удовлетворяет
условию леммы 2, а разбиение Т\ того же отрезка содержит не более
п внутренних точек. Тогда справедливо неравенство
' S(Г) <S(Ti) + 2MSn.
Доказательство. Рассмотрим разбиение Тг — Т U 71.
Тогда в силу основного свойства верхних сумм Дарбу справедливы
неравенства
S(T2)<S(T), S(T2) < S(Ti).
Далее применим лемму 3 к суммам S(T) и S(T2), получим
S(T) - S(T2) < 2M6n.
Отсюда следует, что
,S(T) < S(T2) + 2M6n < S(Ti) + 2M6n.
Лемма 4 доказана.
207
Теорема 3. Пусть модуль функции f(x) ограничен на
отрезке Е = [а, 6] числом М > 0. Пусть, далее, I* — верхний Интеграл
Дарбу от функции f(x), а <т(У) — интегральная сумма, отвечающая
размеченному разбиению V отрезка Е. Пусть также J* — Jim <r(V).
aiv-*o
Тогда имеет место равенство J* = I*.
Замечание. В силу ограниченности функции /(х) числа Г и J*
Существуют.
Доказательство. Обозначим через T(V) неразме-
ченное разбиение отрезка Е, полученное из размеченного разбиения
V отбрасыванием точек разметки, а через а(То) — множество всех
размеченных разбиений V с условием T(V) = Tq.
Тогда непосредственно из определений и свойств верхнего предела
по базе и из леммы 1 вытекает
S(T0) = sup <т(У),Г = infS(T) = inf inf S(t),
V€a(T0)	T	S>OAT<i
J* =? lim <r(V) = inf sup <r(V) =
Av-*0
= inf sup sup <r(V) = inf sup S(T).
1>0Лт<1У(а(Т)	1>°ЛТ<1
Таким образом всегда имеет место неравенство
Г = inf inf S(T) < inf sup S(T) = J*.
6>0bT<S	~ i>O^T<S
Нам надо доказать, что I* = J*. Заметим, что для любого числа
£ > 0 число Г +е уже не является нижней гранью множества значений
5(Т), поэтому существует разбиение То такое, что
Г<5(То)<Г+е.
Далее-заметим, что величина sup S(T) как функция от 6 является
Дт<^
неубывающей. Поэтому существует <$о > 0 такое, что для всякого 6 с
условием 0 < <$ < <$о имеем
J* < sup S(T) < J* +е.
Дт<£
Отсюда, в частности, следует, что существует разбиение Ti с условием
ATi < <5 такое, что
J* — е < 5(Ti) < J* 4" s.
Обозначим через п количество внутренних точек разбиения То. Тогда
по лемме 4 справедлива оценка
S(Ti) < S(T0) + 2М6п.
208
Следовательно,
J* - е < S(7\) < S(T0) + 2MSn < Г + e + 2M6n.
Поэтому справедливо неравенство
0< J* - Г < 2£ + 2Min.
Но так как числа e > О и 0 < S < So можно выбрать сколь угодно
малыми, то J* — Г = О, J* = Г. Теорема 3 доказана.
Следствие теоремы 3. Справедливо равенство J» = I*.
Доказательство. Рассмотрим функцию g(x) = — f(x). Тогда
по доказанной теореме 3 имеем, что J*(g) = 1*(д), но J*(g) =
и Г(д) — Отсюда получим J»(/) = Ц(/).
Следствие доказано.
§ 8. КЛАССЫ ФУНКЦИЙ, ИНТЕГРИРУЕМЫХ ПО РИМАНУ
Докажем, что любая непрерывная на отрезке функция и любая
монотонная на отрезке функция являются интегрируемыми на этом
отрезке.
Теорема 1. Всякая функция, непрерывная на отрезке,
интегрируема на нем.
Доказательство. В силу теоремы Кантора функция
f(x), непрерывная на отрезке [а, 6], является равномерно непрерывной
на нем. Поэтому для любого числа £ > 0 найдется <5 = <5(е) > 0 такое,
что для любых точек х, у G [а, 6] с условием |г — у| < 6 выполняется
неравенство |/(х) - /(у)| <
Возьмем любое разбиение Т отрезка [а, 6] с диаметром Дт < S.
Тогда будем иметь
w* = sup (/(х) - /(у)) < Х7т—•
г.уед*	2(о а)
Отсюда получим
п	п
П(Т) = 5>Дх* < ——- £	= 2 < £
к=1	'	' fe=l
Следовательно, для всякого е > О мы нашли число 6 = <5(е) > О
такое, что для любого разбиения Т с диаметром Дт < S выполняется
неравенство Q(T) < е, т.е. lim Q(T) = 0. Отсюда в силу критерия
Дт—*0
интегрируемости следует, что функция f(x) интегрируема на отрезке
[а, 6]. Теорема 1 доказана.
209
Теорема 2. Всякая функция f(x), ограниченная и монотонная
на отрезке [а, 6], интегрируема на нем.
Доказательство. Без ограничения общности можно
рассмотреть только случай неубывающей на отрезке [а, 6] функции
f(x). Зададимся произвольным числом е > 0 и положим
е _________I________
/(6-0)-/(а + 0)+1’
w* = sup (/(®)-/(?/)) =/(xfc-0)-/(rA_1+0)j.
х.УЁАк
Тогда для любого разбиения Т : а = хо < • • • < хп = Ь с диаметром
Дт < S будем иметь
п	п
fi(T) = 5>кДя* < <5	- 0) - f(a + 0))<5 < е,
*=i	fc=i
т.е. получим, что lim О(Т) = 0, и, значит, в силу критерия инте-
Ат—>0
грируемости функция f(x) интегрируема на отрезке- [а, 6].
Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Всякая ограниченная на отрезке [а, &] функ-
ция, непрерывная всюду, за исключением конечного числа разрывов,
интегрируема на этом отрезке.
Доказательство. В силу критерия интегрируемости
функции /(г) в форме inf Q(T) = 0 нам достаточно для любого е > 0
построить разбиение Т с условием £2(Т) < е.
Пусть количество точек разрыва /(г) равно т и М =• sup |/(z)|.
г£[а,Ь]
Каждую точку разрыва ds, s = 1,..., т, окружим окрестностью вида
ДА =	, d, 4- 8Д^-). Тогда в каждом из отрезков
«
Д' =	+ 8лЬ’<'' “ йЬ!’Г = 1..т+1'
функция /(г) непрерывна, и, значит, по теореме Кантора она являет-
ся равномерно непрерывной на каждом из этих отрезков. Поэтому мы
можем выбрать число 6 = <J(e) > 0 такое, что для любых точек х,у,
принадлежащих этим отрезкам, и |ж —у| < 6, выполняется неравенство
1/(*)-№)1< 2(^а) • Построим теперь произвольное разбиение То ука-
занных отрезков так, чтобы выполнялось условие Дт0 < <5. Объединим
это разбиение То с построенными ранее окрестностями точек разрыва,
получим разбиение Т отрезка [а, 6].
Далее имеем
П(Т) = ^ + П2)
210
m
= ^^WfcAarfc < 2Mm
k=l
e _ £
Шт ~ 2’
Q2=	^A^<(&-a).-27^y =
Д*€Т0	V '
К>| <ъ
Следовательно, ЩТ) < e. Теорема 3 доказана.
Лекция 5
§ 9. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Рассмотрим свойства интеграла, связанные с интегрируемостью на
заданном фиксированном отрезке. Множество всех интегрируемых
функций на отрезке [а, Ь] будем обозначать символом Я[а,6] или
просто IR.
Утверждение 1. Пусть функция f(x) отличал от нуля только в
I точках. Тогда f € IR и
ь
У /(х) dx = 0.
а
Доказательство. Пусть М = шах |/(»)|. Возьмем
произвольное число е > 0 и положим 6 = 5707  Тогда для любого
размеченного разбиения V с условием Av < <5 имеем
k(V)| = | £ №) Ах*] <l.-L-.M=e-<e.
fc=l
Здесь мы воспользовались тем, что сумма <т(У) содержит не более I
слагаемых, отличных от нуля, и тем, что Дх* < 6.
В силу произвольности выбора числа s > 0 мы получим, что
lim <t(V) = 0.
Av-+0
Утверждение 1 доказано.
Утверждение 2. Пусть функции f(x) и д{х) интегрируемы на
отрезке [а, 6]. Тогда
1) функция f(x) + д(х) € Я[а, 6] и
ь	ь	ь
J(f(x) +g(x)) dx = У f(x) dx + Jg(x) dx;
a	a	a
2) для любого вещественного числа к функция kf(x) € Я[а, 6] и
ь	ь
У kf(x) dx = к У f(x) dx.
а	а
212
Доказательство. 1) Поскольку /(х) и д(х)
интегрируемы на отрезке [а, 6] и для любого размеченного разбиения
V : а = Xq <	< Xi < • • • <	< хп = 6 справедливы равенства
<rj(V) + <rg(V) = <r/+g(V),
переходя к пределу при Ду —> 0, мы видим, что предел левой части
равенства существует, следовательно, существует и предел правой
части, т.е. функция /(х) + д(х) интегрируема на отрезке [а, 6], и,
кроме того, имеет место равенство
В случае 2) имеем, что = k<Tj(V). Из этого следует инте-
грируемость функции /(х) и выполнение равенства
Утверждение 2 доказано.
Утверждение 3.
1) Пусть функция f(x)
[а, 6]. Тогда
интегрируема и неотрицательна на отрезке
ь
2) Пусть функция /(х) интегрируема и неотрицательна на от-
резке [а, 6], и пусть в точке х = Хо непрерывности f(x) выполнено
неравенство /(хо) > 0. Тогда
ь
Доказательство. 1) Составим для любого размеченного
разбиения V интегральную сумму <т(У). Она — неотрицательна,
и, следовательно, интеграл как предел интегральных сумм будет
величиной неотрицательной.
2) Поскольку хо — точка непрерывности и /(хо) > 0, существует
число <5 > 0 такое, что для всех х с условием |х — хо| < 6 имеем
Дх) > Возьмем любое размеченное разбиение V с диаметром
213
Av < Тогда на интервале (zq - <5, х0 + <5) будут содержаться
полностью некоторые отрезки разбиения V с суммой длин не меньшей,
чем rfo- Отсюда получим
<т(И> Wlxo) >0
Л!
Утверждение 3 доказано.
Утверждение 4. Пусть функция f(x) непрерывна и неотрицатель-
ь
на на отрезке [а, 6] и f f(x) dx = 0. Тогда для всех точек х € [а, 6]
а
имеем f(x) =0.
Доказательство. (От противного.) Допустим, что
существует точка хо € [а, 6] такая, что /(®о) > 0. Тогда из утверждения
ь
3 имеем, что f f(x) dx>0: Противоречие,
а
Утверждение 4 доказано.
Утверждение 5. Пусть а < b и на отрезке [а, 6] справедливо
неравенство f(x) > g(x). Тогда имеем
ь	ь
У f(x) dx > J g(x) dx.
a	a
Доказательство. Рассмотрим функцию h(x) =
ь
= f(x) — g(x) > 0. Тогда из утверждения 3 следует, что f h(x) dx > 0,
а
а из утверждения 2 имеем
ь	b	b	b	ь
У f(x) (Л(х) + g(z)) dx = У h(x) dx + Jg(x) dx> Jg(x) dx.
a	a	a	a	a
Утверждение 5 доказано.
Утверждение 6. Пусть а < b и на отрезке [а, 6] справедливо
неравенство m < f(x) < М. Тогда имеем
ь
т(6 — а) < У f(x) dx < M(b — а),
а
Доказательство. Утверждение 6 является простым
следствием утверждения 5.
214
Утверждение 7. Пусть функция f(x) интегрируема, на отрезке
[а, 6]. Тогда функция |/(®)| интегрируема на нем и имеет место
неравенство
ь
ь
Доказательство. Поскольку |/(х) — /(у)| > |/(0l — |/(j/)l.
имеем
sup 1/(0 - /(01 > sup (|/(х)| - |/(у)|),
х,у€Д*	®,у€Д*
и, следовательно, шь(/) > wfc(|/l)- Отсюда для любого разбиения Т
имеем, что
Я/(Т) > Я|/|(Т).
По условию функция, f(x) интегрируема на отрезке [а, 6], следова-
тельно, существует разбиение Т такое, что Q/(T) < е. Отсюда имеем
П|;|(Т) < е. А это по критерию интегрируемости означает, что функ-
ция |/(г)| интегрируема на отрезке [а,6].
Так как имеет место неравенство
-1/(01 < /(О < 1/(01.
то для любого размеченного разбиения V получим
-<п/|(И<<МИ<*|/|(П
Переходя в последнем неравенстве к пределу, будем иметь
ь	ь	ь
- У 1/(01 dx < У f(x) dx < J\f(x)\dx,
т. e.
ъ
f f(x)dx
ь
< /1/(01 dx.
a
Утверждение 7 доказано.
Утверждение 8. Пусть f(x) € Я[а,6]. Тогда /2(х) € 7?[а,6].
Доказательство. Обозначим через М супремум
функции |/(г)1 на отрезке [а, 6]. Тогда справедливо неравенство
1/2(О-/2(у)1<2М|/(О-/(у)1,
и, следовательно, «fc(/2) < 2Mwfc(/). Отсюда получим
fir(T) < 2Mfiz(T),
значит, по критерию интегрируемости функция /2(®) интегрируема
на отрезке [а, 6]. Утверждение 8 доказано.
215
Утверждение 9. Пусть функции /(х) и д(х) интегрируемы на
отрезке [а, 6]. Тогда их произведение f(x)g(x) также интегрируемо на
отрезке [а, 6].
Доказательство. Имеем
/<7=|((/ + 5)2-(/-5)2).
4
Тогда из утверждений 8 и 2 следует, что произведение функций /(х)
и д(х) интегрируемо на отрезке [а, 6]. Утверждение 9 доказано.
Теорема (об интегрируемости сложной функции). Пусть /(х)
интегрируема на отрезке [а, 6], тп — inf f(x),M = sup /(х), и пусть
*е[а,Ь]	*е[а,Ь]
<р(х) непрерывна на отрезке [т,Л£].
Тогда сложная функция h(x) = <^(/(х)) интегрируема на [а, 6].
Доказательство. Возьмем произвольное е > 0. Тогда
в силу равномерной непрерывности функции ^(х) на отрезке [m, М]
имеем, что существует число 8 = 6(e) > 0 такое, что для любых
€ [m, М] с условием |xi — х2[ < 6 выполняется неравенство
|y>(xi) — р(х2)| < £ Далее, в силу критерия интегрируемости функции
/(х) на отрезке [а, б] найдется разбиение Т этого отрезка такое, что
п
П/(Т) = 2>fc(/)Axfc < е£,
*=i
где Wfe(/) — колебание функции /(х) на отрезке Д& разбиения Т.
Разобьем все отрезки Д*, k = 1,..., п, разбиения Т на два класса. К
первому классу отнесем те Д&, для которых справедливо неравенство
ы*(/) < 6. На этих отрезках также имеет место неравенство шДД) < е.
Ко второму классу отнесем все остальные отрезки разбиения Т, т.е.
те, для которых w*(/) > 6. В связи с этим сумму Qa(T) представим
в виде Q*(T) = fh + П2, где
«1 = $2^(Л)Дх|?, П2 = £"^(Л)Дхк,
к	к
причем знак “штрих” в сумме fij означает, что суммирование ведется
по к, отвечающим отрезкам Д^ разбиения Т, относящимся к первому
классу, а знак в сумме О2 показывает, что суммирование ведется
по числам к, отвечающим отрезкам Д* из второго класса.
Из определения суммы Qj имеем
= 52'wfc(h)Axfc < е^Г'Дхь < е(Ь — а).
к	к
216
Оценим сверху сумму длин отрезков ДА, принадлежащих второму
классу. Имеем
<5£"4rfc <	< 22 u/fc(/)Axfc = Qf(T) < J£.
к	к	к
Следовательно, ]Г"ДхА < £.
к
Пусть С = max |^(х)|. Тогда для суммы ГЪ получим оценку
г^[т,М]
П2 = 22 "Шк < 2С 22 "Да* < 2Се.
к	к
Таким образом, имеем ПА(Т) < е(Ь — а + 2С), т.е. в силу произволь-
ности выбора числа £ > 0 получим соотношение
infQA(T) = 0,
а это в силу критерия интегрируемости означает, что Л(х) = у?(/(х))
интегрируема на отрезке [а, б]. Теорема доказана.
§ 10. АДДИТИВНОСТЬ ИНТЕГРАЛА РИМАНА
Свойство аддитивности интеграла выражается следующим утвер-
ждением.
Теорема. Пусть функция /(х) интегрируема на отрезке [а, 6].
Тогда для любой точки с G [а,6] она интегрируема на отрезках [а, с]
и [с, J]. И наоборот если f(x) интегрируема на [а, с] и [с, 6], то она
интегрируема на [а, 6], причем
Доказательство. Пусть функция /(х) интегрируема
на отрезке [а, 6]. Тогда в силу критерия интегрируемости имеем, что
infQ(T) = 0, т.е. для любого £ > 0 существует разбиение Т такое, что
Й(Т) < £. Рассмотрим разбиение То = Т U {с}»отрезка [а,&]. Получим
П(То) < П(Т) < £. Разбиение То можно представить как объединение
разбиений Ti отрезка [а, с] и Т2 отрезка [с, 6]. Поэтому
П(Т1) + П(Т2) = П(То) < £.
217
Следовательно,
ОД) < е, ОД2) < е.
В силу инфимум-критерия интегрируемости функции f(x) отсюда
имеем, что f(x) интегрируема на отрезках [а, с] и [с, 6].
Пусть теперь f(x) интегрируема на [а, с] и [с, JJ. Тогда для любого
е > 0 существует разбиение Tj отрезка [а, с] и существует разбиение
Т-2 отрезка [с, 6] такие, что
< |, П(Т2) < |.
Следовательно, для разбиения Т = 7i U Т2 отрезка [а, &] имеем
И(Т) = ОД)+ОД)<|+ ^ = £.
Отсюда в силу инфимум-критерия интегрируемости /(х) следует,
что /(х) является интегрируемой на [а, 6]. Возьмем произвольные
размеченные разбиения отрезка Ц отрезка [а, с] и V2 отрезка [с, 6],
У=У1ОУ2 отрезка [а, 6]. Имеем равенство
a(V) = a(Vi) + <r(V2).
Переходя в нем к пределу при Ду —> 0, получим равенство (1).
Теорема доказана.
По определению, положим,
а	Ь
У /(х) dx = J /(х) dx — 0.
а	6
Пусть /(х) интегрируема на [с,а]. Тогда при с < а, по определению,
полагают
с	а
У /(х) dx = — f f(x) dx.
a	c
В силу этого определения утверждение теоремы можно переформу-
лировать так.
Следствие. Пусть хо < xi, а, 6, eg [xo,2?i] и функция /(х)
интегрируема на отрезке [x0,xi]. Тогда
с	Ь	а
f(x) dx + j f(x) dx + j f(x) dx = 0.
a	c	b
Здесь утверждается также, что интегралы на указанных отрезках
с концами а, 6, с существуют.
Для доказательства ввиду симметричности равенства относительно
точек а, 6, с достаточно рассмотреть один случай а < с < Ь. Но это
точно совпадает с утверждением теоремы.
Глава VIII
ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛА РИМАНА
Лекция 6
§ 1. ИНТЕГРАЛ РИМАНА КАК ФУНКЦИЯ ОТ ЕГО ВЕРХНЕГО
(НИЖНЕГО) ПРЕДЕЛА ИНТЕГРИРОВАНИЯ. ПРОИЗВОДНАЯ
ИНТЕГРАЛА
В предыдущей главе доказано, что если функция /(®) интегрируема
на отрезке [a, t], то для любого х € [а, 6] она интегрируема на отрезке
[а, я], т.е. существует функция
F(x) = J f(u)
du.
Докажем несколько свойств этой функции.
Теорема1. Пусть f(x) интегрируема на отрезке [а,6]. Тогда
X
F(x) = f f(u) du является непрерывной функцией на этом отрезке,
a
Доказательство. Из интегрируемости функции f(x)
следует, что она ограничена на отрезке [а, 6], т.е. найдется постоянная
М > 0 такая, что для всех х € [а, 6] выполняется неравенство |/(х)| <
М. Возьмем любые точки х, х + Дг е [а,6]. Имеем
|ДГ(®)| = |F(x + AaO-F(x)|
У f(udu)\< У |/(u)| du < М|Дх|.
X	X
Зададимся произвольным числом е > 0. Тогда для любой величины
Лх с условием |Дх| < имеем |ДЕ(г)| < е. Следовательно, функция
ДР(х) является бесконечно малой при Дх->• 0,-т.е. функция F(x)
непрерывна на отрезке [а, 6].
Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть функция f(x) интегрируема на отрезке
[а, 6] и непрерывна во внутренней точке хд этого отрезка. Тогда
X
F(x) = f f(u) du дифференцируема в точке х = xg и F'(ro) = /(^о)-
а
Доказательство. В силу непрерывности функции
/(г) в точке Хо для всякого числа е > 0 существует <5 = 6(e) > 0
219
такое, что для всех и с условием |u —хо| < <У справедливы неравенства
/(х0) - £ < /(«) < /(®о) + S'-
Возьмем любое |Дх| < S так, чтобы отрезок с концами хо и хо + Дх
содержался бы в отрезке [а, 6]. Интегрируя неравенства, получим
1
Дх
«о+А*
У (/(*о) -e)du<
Дх ~ Дх J
Го
т.е. при любом Дх с условием |Дх| < 6 выполняются неравенства
/(хо)-£<^^</(хо)+£-
Отсюда имеем
Г(х0)= lim ^1 = /(хо).
Теорема 2 доказана.
§ 2. ТЕОРЕМА НЬЮТОНА - ЛЕЙБНИЦА- ФОРМУЛЫ
СУММИРОВАНИЯ ЭЙЛЕРА И АБЕЛЯ
Формулу Ньютона - Лейбница называют основной теоремой
интегрального исчисления, поскольку она связывает понятия опреде-
ленного и неопределенного интегралов.
Теорема1 (Формула Ньютона - Лейбница). Пусть фу акция
f(x) ограничена на отрезке [а, 6] и имеет не более конечного числа
X
точек разрыва. Тогда функция F(x) = f /(u) du является первообраз-
а
ной для функции /(х) на отрезке [а, 6] и для любой первообразной
Ф(х) справедлива формула
ь
f(u) du = Ф(6) — Ф(а).
\ Доказательств о. Из теорем 1 и 2 предыдущего параграфа
X
следует, что функция F(x) = f f(u) du является непрерывной на
а
отрезке [а, 6] и во всех точках непрерывности функции /(х) существует
производная от F(x) и она равна /(х). Следовательно, функция F(x)
220
является первообразной для функции f(x), кроме того, имеет место
формула
У f(u)'du = F(b) = F(b) - F(a), F(a) = I f(u) du = 0.
Пусть Ф(х) — любая другая первообразная функция для f(x). Тогда
по свойству первообразной функции существует такое число с, что
ф(х) = F(x) + с. Следовательно, имеет место равенство
Ф(Ь) - Ф(а) = Г(6) - Г(а) = / /(u) du.
Теорема 1 доказана.
В качестве приложения формулы Ньютона - Лейбница выведем
формулы суммирования Эйлера и Абеля.
Теорема2 (Формула суммирования Эйлера). Пусть функция
f(x) имеет непрерывную производную на отрезке [а, 6], р(х) — | —
{г}. Тогда при любом х, принадлежащем отрезку [а, 6], справедлива
формула
У2 Лп) ~ P(x)f(x) = / f(u)du- / p(u)f(u) du- p(a)f(a).
Доказательство. Обозначим левую часть последнего
равенства через G(x). Легко видеть, что функция G(x) непрерывна
на отрезке [а, 4]. Действительно, если число х — нецелое, то она
будет даже дифференцируема, а если число х = п — целое, то сумма
в выражении для G(x) возрастает на величину /(п), а функция
p(x)f(x) убывает ровно на /(п) при переходе через точку х = п, так
что скачок суммы гасится скачком функции p(x)f(x). Следовательно,
можно применить формулу Ньютона - Лейбница.
Но тогда при нецелом х имеем
G(x) = G(a) + / G'(u) du = -p(a)/(a) + / (-p(u)/(u))' du =
= -Р(а)/(я) + У /(«) du - У p(u)/'(«) du.
221
Теорема 2 доказана.
Ценность этой формулы состоит в том, что она позволяет прибли-
женно заменить сумму на интеграл. Заметим, что часто удобно в
качестве пределов суммирования брать полуцелые числа.
Пример. (Упрощенная формула Стирлинга .) При п > 2 справед-
ливы неравенства
7 < “~Т < 5-
5 “ n"+i “
Действительно, из формулы суммирования Эйлера получим
п+0,5	п+0,5
Inn! = 1п 1+1п2Ч----Мпп =	lnm = [ In t dt— f dt =
0,5<m<n+0,5	(j .	q к
= (n + 0,5) ln(n + 0,5) — n — 0,5 — 0,51n0,5 + 0,5 - r(n).
t
Оценим величину r(n). Полагая <r(t) = f p(u) du, |<т(/)| < будем
о
иметь
п+0,5
0,5
п+0,5
f dcr(t) cr{t)
J t ~ ~T
0,5
n+0,5
0,5
n+0,5
0,5
Следовательно, справедлива оценка
|r(n)|<22.| = |.
О Z
Таким образом, находим
Inn! = (п + 0,5)Inn - п + (п + 0,5) 1п(1 +	+0,51п2 - г(п),
All
|1пп! — (п + 0,5)Inn + п| < (п + 0,5) In(1 + -^) + 0,51п2 + |г(п)| <
о
< 0,51п2 + - < 1п5.
О
Потенцируя это неравенство, получим сформулированную оценку.
Заметим, что в случае, когда пределы суммирования в теореме
2 — целые числа, то его можно переписать в несколько иной форме.
222
Теорема 3. Пусть а и Ь — целые числа и функция f(x)
имеет Непрерывную производную на отрезке [а, 6]. Тогда справедлива
следующая формула:
Доказательство. Так как а и b — целые числа, то
р(а) = р(Ь) = Кроме того, имеем
Подставляя полученные выражения в формулу теоремы 2, приходим
к утверждению теоремы 3.
Пример. При целом N > 1 имеет место соотношение
Л1 .	1	1	_ / 1 \
>- = 1пп + 7+ — + ——у + О 1 —з .
n	2N 12N2 \Nd)
П = 1	'
В силу теоремы 3 получим
—^dx.
Обозначим через 7 следующее выражение 7 = 1 — f Qdx. Будем
1
иметь
ОО	ОО	оо
. ..	1 f dx f р(х) .... If dcrlx)
sjv = lnW + 7+- / -у- / ~-dx = lnW + 7 + —- - / —
2 J xl J хг	2N J x2
NN	N
где p(x) = I - {x}, cr(x) = J p(t) dt.
0
Интегрируя последний интеграл по частям, получим
I кг	1	о f J
SN = In W + 7 + —--i-yi- 4- 2 / -V-dx.
2N N2 J xA
N
223
И наконец, положим <Tq(x) = <т(х) — ffi(x) = f <г0(<) dt. Очевидно,
о
N
имеем = Jfo(O Л = 0. Интегрируем в последней формуле для
о
sn интеграл по частям, находим
ОО	оо
, '	1	1 С dx п С
eN=lnN + y + — + -J -s + 2j
N	N
t3 ‘
Отсюда имеем требуемую формулу для s^.
Докажем теперь формулу суммирования Абеля.
Теорема 4. Пусть функция f(x) имеет непрерывную
производную на отрезке [а, 6] и пусть А(х) = £ ат. Тогда при
а<т<»
любом х*€ [а, 6] имеем
9
52 а„/(п) - А(х)/(х) = - f A(t)f'(t) dt.
a<n<s	a
Доказательство. Обозначим через G(x) левую
часть последнего равенства. Аналогично доказательству теоремы 2
функция G(x) имеет непрерывную производную в нецелых точках, а
при целых значениях она является непрерывной функцией. Заметим
также, что при нецелых значениях х имеет место равенство А'(х) = 0.
Следовательно, продифференцировав G(x) при нецелых х, получим
G'(x) = —А(х)/'(х). Но и производная правой части рассматриваемого
равенства равна той же функции. Тогда из формулы Ньютона -
Лейбница имеем искомое равенство. Теорема 4 доказана.
Лекция 7
§ 3. ФОРМУЛЫ ЗАМЕНЫ ПЕРЕМЕННОЙ И ИНТЕГРИРОВАНИЯ
ПО ЧАСТЯМ В ОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
Важную роль при вычислении интегралов играют формулы замены
переменной и интегрирования по частям. Они являются следствием
формулы Ньютона - Лейбница. Имеет место следующее утверждение.
Теорема1 (о замене переменной). Пусть функция f(x)
непрерывна на некотором отрезке [яо> ®1]- Пусть также точки a,b G
[lo.^i] a < b, <p(a) = a, y>(/3) = b и множество. значений функции
<p(t) при a <t < fl является подмножеством отрезка [iq, a?i]. Пусть,
кроме того, производная <p'(t) непрерывна на отрезке [а,/?]. Тогда
справедлива формула
ь	Р
j f(x) dx = j f(<f>{t}W(t) dt.
a	a
Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна
на отрезке [а, 6], то по теореме Ньютона - Лейбница существует ее
. ь
первообразная F(x) и F'(x) = f(x), f f(x) dx = F(b) — F(a).
a
При всех t € [a, fl] по условию теоремы определена функция G(t) =
F(<p(t)), которая на этом отрезке имеет производную, причем
G'(t) = F't(<p(t)) =	 /(t) =
А это значит, что функция G(t) является первообразной функции
/(y>(f)) Следовательно, имеет место равенство
£	ь
j f^(t))V'(t) dt = F(p(fl)) - F(p(a)) = F(b) - F(a) = j f(x) dx.
a	a
Теорема 1 доказана.
Теорема2 (Формула интегрирования по частям). Пусть на
отрезке [а, 6] заданы гладкие функции f(x) и д(х). Тогда имеем
ь	ь
У" f(x)g'(x) dx = /(r)p(a:)|* - J f'(x)g(x) dx,
a	a
8 Пекин» по математическому анализу
225
где символ А(ж)|* означает разность h(b) — h(a).
Доказательство. Пусть h(x) = f(x)g(x). Тогда имеем
л'(*) = f'(x)g(x) + f(.x)g'(x)-
Следовательно,
а	а	а
По теореме Ньютона - Лейбница получим
ь
I h'{x) dx = h(b) - h(a) = f(x)g(x)\ba .
a
Подставляя последнюю формулу в предыдущую, получим искомую
формулу. Теорема 2 доказана.
§ 4. ПЕРВАЯ И ВТОРАЯ ТЕОРЕМЫ О СРЕДНЕМ ЗНАЧЕНИИ
ИНТЕГРАЛА
Теорема1 (первая теорема о среднем значениии). Пусть
функции f(x) и д(х) интегрируемы на отрезке [а, 6]. Пусть также на
этом отрезке функция д(х) неотрицательна, а для функции f(x) при
некоторых вещественных числах m и М имеют место неравенства
тп < /(х) < М. Тогда найдется вещественное число ц с условием
m < р < М такое, что
ь	ь
У f(x)g{x) dx = р У <7(х) dx.
а	а
Доказательство. Поскольку справедливы неравенства
т^(т) : интегрируя их, получим ь т j"g(x) dx < а	а	< f(x)g(x) < Мд(х), ь	ь { f(x)g(x) dx < М д(х) dx.	(1) >	а
226
ь
Заметим, что f д(х) dx > 0, так как д(х) > 0.
6	а
Тогда если Jд(х) dx = 0, то из неравенства (1) имеем
а
	6	6 У f(x)g(x) dx = 0 = У д(х) dx а	а
и число ц можно положить равным т.
ь
Если f д(х) dx > 0, то получим
а	ь f f(x)g{x) dx т < -— 	< М. ~~~	b	“ dx а
Положим отношение интегралов равным д. Тогда будем иметь
	ь	ь У f(x)g(x) dx = д У д(х) dx, А	а
где т < д < М. Теорема 1 доказана.
Следствие!. Пусть функции f(x) и д(х) интегрируемы
на отрезке [а, 6]. Пусть также на этом отрезке функция д(х) неполо-
жительна, а для функции f(x) при некоторых вещественных m и М
имеют место неравенства m < f(x) < М. Тогда найдется вещественное
число д с условием m < р < М такое, что
	6	ь У f(x)g(x) dx = д У д(х) dx. а	а
Доказательство. Положим gi(x) = — д(х). Тогда
функции f(x) и ‘«и (ж) удовлетворяют условиям теоремы 1 и мы имеем
равенство	ь	ъ У f(f)gi(x) dx = pjдг{х) dx,
где т < д < М.	О	л
Подставляя в следствия.	это равенство д\{х) = — <?(»), получим утверждение
в»
227
Следствие 2. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке
[а, 6] и функция д(х) интегрируема на этом отрезке, причем для всех
точек х € [а, &] функция д(х) неотрицательна. Тогда существует точка
с£[а,&] такая, что
У f(x)g(x) dx = f(c) j д(х) dx.
Доказательство. По теореме Коши о промежуточном
значений непрерывной функции на отрезке существует точка с, а <
< с < b такая, что р = /(с), т < р < М. Отсюда в силу теоремы 1
получаем утверждение следствия.
Следствие 3. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке
[а, &]. Тогда на отрезке [а, 6] найдется точка с такая, Что
! f(x) dx = /(с)(6 - а).
Доказательство. Данное утверждение получается из
следствия 2 при д(х) = 1.
Замечание. Среднее арифметическое значений арифметических
функций на отрезке [а,&] стремится к величине
-i- f f(x) dx,
о — a J
поэтому говорят, что интеграл — это среднее значение функции f(x),
на отрезке [а, 6].
Теорема2 (вторая теорема о среднем значениии). Пусть
функции f(x) и д(х) интегрируемы на отрезке [а, 6] Пусть, далее,
функция д(х) на этом отрезке неотрицательна и не убывает. Тогда
на отрезке [а, 6] найдется точка с такая, что
f{x)g{x) dx = р(6) / /(г) dx.
Доказательство. Рассмотрим последовательность
разбиений Тп : а = ю < •  • < xn = b с условием, что диаметр Тп,
равный 6П, стремится к нулю при п —> оо. (Например, всегда можно
228
считать, что разбиение отрезка [а, 6] есть разбиение на п равных
частей и тогда <5П = !•/«)• Положим
f(x)dx,M = sup |/(я)1>
х g [а <Ъ]
Wk(g) = sup |р(х') -р(х")| = g(zk - 0)	+ 0).
Имеем

*fc-i

dx < M6n ^2uk(g) < M6ng(b).
k = l

Следовательно,
lim an
n—^OQ
Поскольку интеграл как функция нижнего предела есть непре-
,	ь
рывная функция, функция F(x) — f f(t) dt является непрерывной и
X
достигает своего минимального и максимального значений на отрезке
[а, 6], соответственно, в точках а и /3.
Теперь преобразуем сумму ап. Имеем
f(x) dx
= ^д(як)Р(хк-1) - ^Tp(a:fc)F(xfc) =
fc=l	k=l
- YLa(Xk+1)F(Xk) ~ Y^3(xk)F(xk) =
fc=0	k=l
n — 1
= g(xi)F(a) + 52(<z(^+i)-g(xk))F(xk).
k=l
229
Так как для любого х Е [а, 6] справедливы неравенства
F(a) < F(x) < F(/3), д(х) > О,
и функция д(х) не убывает, то из последнего неравенства для trn
получим
F(a)g(b) < °п < F(/3)g(b).
Переходя к пределу при п —> оо, будем иметь
ь
F(a)g(b) < I f(x)g(x) dx < F(/3)g(b),
а
т. е.
ь
F(a) - И*) /f{x}9{x) dx - F{®'
а
Поскольку функция F(x) непрерывна на отрезке [а, 6], по теореме
Коши о промежуточном значении найдется точка с G [а, 6], такая, что
ь
F(c) =	/ КХЫХ) dx
а
ИЛИ
Ь	Ь
У f(x)g(x) dx=g(b) ! f(x) dx.
a	c
Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Пусть функции f(x) и д(х) интегрируемы на
отрезке [а, 6]. Пусть, далее, функция д(х) на этом отрезке неотри-
цательна и не возрастает. Тогда на отрезке [а, 6] найдется точка с
такая, что
Ь	с
У f(x)g(x) dx = g(a) У f(x) dx.
а	а
Доказательство. Положим х\ = —х, /i(xi) =
= f(—x), <7i(a?i) = g(~x)- Тогда в силу того что д(х) не возрастает
на отрезке [а, 6], то функция pi(xi) не убывает на отрезке [—6,—а].
Поэтому к функциям /i(a:i) и pi(a:i) можно применить теорему 2.
Отсюда следует, что на отрезке [—6, —а] найдется точка —с такая,
что
—а	-а
У	dxi=gr(-a) j fi(xj) dx^.
— c
230
В интегралах последнего равенства сделаем замену переменной вида
х —-х\. Получим
f{x)g(x) dx = д(а) I f(x) dx.
Теорема 3 доказана.
Следствие. Пусть функции f(x) и д(х) интегрируемы на
отрезке [а, 6] Пусть, далее, функция д(х) монотонна на этом отрезке.
Тогда на отрезке [а, 6] найдется точка с такая, что
У /(?ЫЖ) dx = 9(a) У f(x) dx + g(b)! f(x) dx.
Доказательство. Пусть сначала функция д(х) не
убывает на отрезке [а,6]. Тогда функция gi(x) = д(х) — д(а) будет
неотрицательной и неубывающей на этом отрезке. Следовательно, по
теореме 2 имеем
У f(x)gi(x) dx = gi(b) У f(x) dx.
Подставляя сюда выражение для gi(x), получим утверждение след-
ствия.
Пусть теперь функция д(х) не возрастает на отрезке [а, 6]. Тогда,
положим, gi(x) = д(х) — д(а). Функция дДх) — неотрицательная и
невозрастающая. Следовательно, к функциям /(х) и дДх) применима
теорема 3. Отсюда и следует искомая формула. Следствие доказано.
Пример. Пусть b > а > 0. Тогда справедливо неравенство
/sinх ,	2
—~ dx < —.
х ~ а
Действительно, функция - — положительна и невозрастающая на
отрезке [а, 6]. Тогда по теореме 3 найдется точка с € [а, 6] такая, что
- / sinx dx
a J
| cos с — cosa| 2
а ~~ а
Наконец, приведем вариант доказательства второй теоремы о сред-
нем для гладких функций.
231
Теорема 4. Пусть фуякция f(x) непрерывна и фуякция
д(х) дифференцируема, на отрезке [а, 6], причем производная д'(х) яа
этом отрезке неотрицательна и непрерывна. Тогда яа отрезке [а, 6]
найдется точка с такая, что
Доказательство. Пусть
F(t) =
Тогда' функция F(t) как функция верхнего предела является диф-
ференцируемой, поскольку подынтегральная функция f(x) — непре-
рывна. Следовательно, имеем
ь	ь
/ = / ^x^9^dx = f dF(xY
а	а
Интеграл I проинтегрируем по частям. Получим
ь
У F(x)dg(x).
Но так как д'(х) неотрицательна, F(x) и д'(х) непрерывны на отрезке
[а, 6], то по первой теореме о среднем значении интеграла имеем
ь	ь
У F(z)g'(x) dx = F(c) jд'(x) dx = F(c)(g(b) - g(a)).
a	a
Следовательно,
c	b
1 = g(b)F(b) - g(b)F(c) + g(a)F(c) = g(a) J f(x) dx + g(b) J f(x) dx.
a	c
Теорема 4 доказана.
Лекция 8
§ 5. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА С ОСТАТОЧНЫМ ЧЛЕНОМ В
ИНТЕГРАЛЬНОЙ ФОРМЕ
Равенство, которое доказывается в следующей теореме, называет-
ся формулой Тейлора с остаточным членом в интегральной
форме.
Теорема. Пусть п > 0 — целое число и пусть функция
f(x) имеет (п + 1)-ю непрерывную производную на отрезке [а, 6]. Тогда
имеет место формула
f(b) = fn(a,b) + Rn(a,b),
где /п{л,Ь} — многочлен Тейлора, т.е.
fn(a,b) = f(a) + Ш(ь - a) + ... + ^^-(b - a)",
и остаточный член Rn(a, b) имеет вид
ь
Rn(a,b)=^l^n+1\t)(b-t)ndt.
a
Доказательство проведем методом математической
индукции. При п = 0 должно иметь место равенство
ь	ь
f(b) = f(a) + 1У f (t) dt = f(a) + j f'(t) dt.
a	a
Это есть формула Ньютона - Лейбница. Так что при п = 0, теорема
доказана.
Пусть при n = к утверждение теоремы уже доказано, т.е. справед-
ливо равенство
f(b) = fk(a,b) + Rk(a,b).
Докажем его при n = fc-f-1. Для этого проинтегрируем Rk(a,b) по
частям. Получим
ь
Rk(a, b) = ±f fk+1\t)(b - t)k dt =	/ f{k+i4t) d(b - Z)fc+I =
233
ь	ь
= -7ГТп/‘+1,<‘><1-,>‘+1 + ТТЛ? f/(*+г|(‘-<)‘+1 <“ =
а \K+L)'J
а
Ь
= тглуг “ - “>‘+‘+ (ГП)! I - ‘>‘+1 л
а
Подставляя это выражение в равенство, справедливое по предполо-
жению индукции при п = к, будем иметь
/(6) = fk+i(a,b) + Rk+i(a>b).
Теорема доказана.
Замечания. 1. После замены переменной интегрирования вида
t = a+u(6—а) остаточный член в формуле Тейлора можно представить
в виде
1
Rn(a,b) = {Ь~^П+1 [ /^"+1)(a + u(6 — a))(l — u)n du.
о
2. Если применить к остатку Rn(a,b) теорему о среднем, то
можно получить формулу Тейлора с остаточным членом в форме
Шлемильха - Роша, но, правда, при более жестких условиях на'
функцию /(ш). Действительно, при любом a > 0 имеем
ь
Rn(a,b)=-, [ /(п+1)(<)(6 - t)”+1-“(6 - *)"-1 Л =
н’ J
а
= 4-/(п+1)(с)(6 - с)”+1-"(Ь - а)а,
nla
где с — некоторая точка интервала (а,Ь).
В' качестве примеров получим формулу Тейлора с остаточным
членом в интегральной форме для некоторых элементарных функций
при а = 0 и b = х. В двух первых примерах воспользуемся формулой
Тейлора из доказанной выше теоремы, а в остальных ее вывод- мы
упрощаем за счет применения специальных приемов.
1-	Показательная функция. Из теоремы следует, что
х^	хп
fir = l + z+ ‘X7 + ,''H-Г + Rn >
2!	п!
где
п+1	1
Rn = Rn(Q, х) = У еги(1 - и)" du.
о
234
2.
Тригонометрические функции. Имеем
ь (2k -1)!
(-1)*х2*
где
3.
_ (-1)»х2»+1 ,
(2п + 1)! J
о
_ (~1)"х2" Г
п (2п)! J
о
Логарифмическая функция. Пусть /(х) = In (1 + х). Тогда по
формуле суммы геометрической прогрессии получим
cos их du,
2” cos их du.
1
1
п—1
к=0
Интегрируя это равенство пределах от 0 до х, найдем
/(«) = in(i+») = £S-Jj— + Л,, я„ = (-1)" / _S.
is ‘	J 1+(
4.	Арктангенс. Пусть /(x) = arctg x. Тогда
ГЫ =
1
1 + x2
1 + X2
Проинтегрируем это равенство в пределах от 0 до х. Получим
п-1
• arctg х =
*=о
(-1)*®2*+1
2k+ 1
+ Яп>
X
О
t2ndt
1 + t2’
Из теоремы о среднем
такая, что 0 < 0 < 1 и
следует, что существует величина О = 6{х}
(-1)" х2"*1
1 + 0х2 2п + Г
Отсюда имеем, что при |х| < 1 предел Rn равен 0 при п -> оо, т.е.
0°	.
при |х| < 1 сходится ряд 52 2fe+i z2k+1 и он равен arctg х.
k=0
235
5.	Формула бинома. Пусть /(х) = (1 + х)а. Ранее было доказано (ч.
I, лекция 23, пример 5), что многочлен Тейлора д(х) = <?п-1(х), п > 2,
этой функции в окрестности точки х = О имеет вид
/ \	.	а(а - 1) • • • (а — п + 2)	. v~' к
tf(x) = 1 + ах + •   + -i-?п_ Л;-----х = 52 акХ >
'	*'	к=0
оо
и, более того, ряд Тейлора ^2 акх>! сходится при |х| < 1 и равен
к=0
(1 + х)а. Далее, функция /(х) удовлетворяет следующему дифферен-
циальному уравнению:
а/(х) - (1 + х)/'(х) =0.
Подставляя в это уравнение вместо функции /(х) ее ряд Тейлора
и приравнивая к нулю коэффициенты при степенях аргумента х,
получим равенства
как — (а — к + 1)а*-1 = 0, к > 1.
Отметим, что справедливость их можно проверить непосредственно.
Найдем формулу для выражения Л(х) = а^(х) — (1 + х)р'(х). Имеем
п-1	п-1 .
Л(х) = а 57 акХк - (1 + х) 57 какхк~1 =
к=0	к=1
п — 1	п —2	п — 1
= 52 ааьхк - 52^+1)a*+izfc - 52какхк =
к—О	к=0	к=1
п-2
= (aa0-ai) + ^((oi-k)ak-(k+l)ak+1)xk + (аап_1 - (п-l)an-i)xn-1 =
fc=i
— (а - п + l)an-ix"-1 = папхп~х.
Следовательно, остаточный член R = Яп(х) = /(х) — <?(х) формулы
Тейлора удовлетворяет уравнению
aR — (1 + x)R' = nanx”-1,
т.е. справедливо равенство
/ R	папхп~1
\(1 + х)“/	(1 + х)а+1’
236
Интегрируя его в пределах от 0 до х, получим
(1 + t)*+i *
о
Таким образом, мы доказали, что имеет место формула
(1 + х)а = 1 + ах + • • • +
(п- 1)!
a(a-l)...(a-n + 2) j
-----7----m-------х + г,
ип xdu
(1 + хи)а+1
6.	Арксинус. Пусть f(x) = arcsinx. Тогда имеем /'(х) = (1 —х2) г/2.
Отсюда по формуле бинома получим
х2
Г(х) = 1- т+ - +
(4)Н-Ч-, г
Далее, имеем
(-1) (-1-О - (-1 -*~Ы) _	(2&-1)!! _ ,fc(2fc—1)!!
k\	1 ’ 2kkl ’	(2*)!!
Следовательно,
1 (2n - 1)!! x2" f u"-1^
|Г| - 2 (2n - 2)1! J ’
о
Используя формулу понижения, получим
u” 1du
л/1 — u
-2/(l~‘) Л-2(2пТ1)!Г
о
Отсюда имеем
j.2n
л/1 — X5
237
Теперь проинтегрируем формулу для /'(аг). Тогда при некотором
6 = 0(х), |0| < 1 получим
arcsin x
fc=i
(2fc - 1)!! х*+' ,
(2*)!! 2*+1+
где
_ Z t2ndt
о
Заметим, что предел последовательности {Яп} при п -> оо равей О,
если |ат| < 1. Следовательно, при |ат| < 1 ряд Тейлора
~ \	(2fc- 1)!! x2*+1
(2*)!! 2* + 1
к = 1
сходится к функции arcsin х.
1. Интегральный синус. Пусть функция /(a:) = J Тогда из
о
примера 2 имеем
sin а: _	(-1)*-1а:2*72
где
1
/_ 1An_2n
Г ~ Гп (*) = /9_ . П| / U “ U)2"+1 008 (иг) du-
(2п + 1)! J
о
Интегрируя равенство для f'(x) в пределах от 0 до х, получим
,к-lx2k-1
о
(2* - 1)(2* - 1)!
где
J.2H + 1
(2n + l)!(2n + 1)(2п + 2)
О
Отсюда следует, что для любого х G Ж выражение R стремится к
нулю при п —> оо. Следовательно, для любого а: € К имеет место
разложение в ряд Тейлора
оо
Л-i^-i
О
" (2fc — l)(2fc — 1)!’
238
§ 6. НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ИНТЕГРАЛЫ
Теорема 1 (неравенство Гельдера). Пусть p,q> 0, р + д=1
и пусть f(x), д(х) интегрируемы на отрезке [а, 6]. Тогда справедливо
неравенство
Доказательство. Функции |/(х)|₽, |р(я)|9 интегрируемы
на отрезке [а, 6] по теореме об интегрируемости сложной функции
(теорема §9 гл. VII).
Рассмотрим разбиение Тп : а = х0 < • < xn = Ь отрезка [а, 6] на п
равных частей. Тогда. искомое неравенство получается предельным
переходом в неравенстве для их интегральных сумм

или эквивалентном неравенстве
f(*k)g(xk)
*=1
Последнее же неравенство есть неравенство Гельдера для сумм (§8
гл. V). Теорема 1 доказана.
При р = q = 2 приведенное выше неравенство называется неравен-
ством Коши — Буняковского.
Теорема 2(неравенство Минковского — обобщенное неравенство
треугольника). Пусть р > 1, и пусть f(x), g(x) интегрируемы на
отрезке [а, 6]. Тогда справедливо неравенство
Доказательство. Случай р = 1 — очевиден. Возьмем,
как и в предыдущей теореме 1, разбиение Тп отрезка [а, 6] на п равных
частей. Тогда достаточно доказать неравенство для соотвествующих
интегральных сумм
' П	\ 1/р
Л=1	/
239
/ n	.	\ VP / n	\ 1/P
\fc = l	/	Vs=l	/
ИЛИ
' n	\	Vp / n	\ '/P	/ n	\ l/p
^|/(xfc)+p(xfc)|H	< E|/(*)H + £>MIP
л=1	/ \fc=l	/	\fc=l	/
Последнее же неравенство есть неравенство Минковского для сумм
(§8 гл. V). Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Пусть функции /Дх),...,/т(х) интегрируемы
на отрезке [а, 6]. Тогда справедливо неравенство
Доказательство. Разделим отрезок [а, 6] на п равных
частей и положим Xk = а + к = 0,1,..., п. Для соответствующих
интегральных сумм должно иметь место неравенство
.	\2	/ п	,	\2
Js = l	/	\fc = l	/
/ n	. _ \ 2
< I 52\//i(a:*) + -- + A2(a:*)^ •
Vs = l	/
Действительно, оно выводится из следующей цепочки соотношений
m/n	\	т / п	\/п
«=1 \k=l	/	j=l \kl=l	/ \k2 = l
m
Ea2(^2) =
t=i

Заметим, что неравенство в этой цепочке соотношений следует из
неравенства Коши. Теорема 3 доказана.
Лекция 9
§ 7. КРИТЕРИЙ ЛЕБЕГА ИНТЕГРИРУЕМОСТИ ФУНКЦИИ ПО
РИМАНУ
Ранее мы доказали и уже неоднократно использовали критерий
интегрируемости функции на отрезке, принадлежащий Риману. Этот
критерий имеет вид: ограниченная на отрезке функция интегрируема
тогда и только тогда, когда имеет место одно из эквивалентных
соотношений:
a) lim П(Т) = 0 или б) infQ(T) = О,
Ат*—►О	Т
где понятие омега-суммы определено ранее (лемма 6 §3 главы VII).
Как Видим, этот критерий непосредственно ничего не говорит о
том, какие именно функции интегрируемы по Риману, а какие — нет.
На данный вопрос и отвечает критерий Лебега.
Для его формулировки определим понятие множества, имеющего
нулевую меру Лебега.
Определение. Множество А точек на числовой прямой имеет
лебегову меру нуль, если для всякого числа с > 0 существует
конечное или счетное покрытие А интервалами с общей длиной,
не превосходящей е. Другими словами, для всякого е > 0 найдутся
интервалы Д,..., 1П, • • • с длинами их соответственно б1,... ,бп,...
таких, что AC U /п и для любого натурального п имеет место
П = 1
неравенство sn = Ai Ч--F 6П < (
Это обозначают так: р(А) = 0.
Утверждение 1. Любое не более чем счетное множество точек
{гп} на числовой прямой имеет лебегову меру нуль.
Действительно, можно взять интервалы с центрами в этих точках
и длинами 51 = е/2,..., 6П = е/2”,.... Тогда имеем
€ €
Sn = 2 + '"+2^
Утверждение 2. Пусть В С А и р(А) = 0. Тогда и р(В) — 0.
Доказательство. Утверждение следует из того, что
всякое покрытие множества А интервалами является и покрытием
для множества В.
Теперь сформулируем критерий Лебега.
241
Теорема 1. Для того чтобы ограниченная на отрезке [а, 6]
функция f(x) была интегрируема на нем, необходимо и достаточно,
чтобы множество А — точек разрыва этой функции имело лебегову
меру нуль, т.е. р(Л) = 0.
Прежде чем доказывать этот критерий, дадим его применения.
Теорема 2. Пусть функция д(х) интегрируема на отрезке [а, 6]
и тп = inf g(x), М = sup g(x), и пусть функция f(t) непрерывна
«б[в>4	х€[а,Ь)
на отрезке [т,М]. Тогда функция f(g(x)) интегрируема на [а, 6].
Доказательство. Пусть xq — точка непрерывности
функции д(х), тогда по теореме о непрерывности сложной функции
h(x) = f(g(x)) является непрерывной функцией в точке хо-
Следовательно, точками разрыва функции Л(х) могут быть только
точки разрыва функции д(х). Пусть А — множество точек разрыва
д(х), а В — множество точек разрыва Л(х). Тогда имеем В С. А.
Поскольку функция д(х) интегрируема на отрезке [а, 6], по критерию
Лебега получим, что д(Л) = 0. Отсюда в силу утверждения 2 имеем
р(В) = 0. Таким образом, по тому же критерию Лебега функция
h(x) = f(g(x)) является интегрируемой на отрезке [а, 6]. Теорема 2
доказана.
Теорема 3. Пусть функция f(x) монотонна на отрезке [а, 6].
Тогда она интегрируема на отрезке [а, 6].
Доказательство. Покажем, что множество точек
разрыва функции f(x) является счетным. В главе IV §3 (теорема
1) доказано, что f(x) имеет разрывы только первого рода. Пусть
Хо — точка разрыва, тогда в этой точке существуют левосторонний
и правосторонний пределы: lim f(x) = Ц, Нт^/(х) = I?, причем
11 / /г- На интервале с концами в точках li и I? можно выбрать
рациональное число г, и это рациональное число поставим в соот-
ветствие данной точке zq. Множество всех выбранных таким образом
рациональных чисел г, как подмножество всех рациональных чисел,
является не более чем счетным. По утверждению 1 не более чем
счетное множество имеет лебегову меру, равную нулю. Следователь-
но, согласно критерию Лебега монотонная на отрезке функция будет
интегрируемой на этом отрезке. Теорема 3 доказана.
§ 8. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО КРИТЕРИЯ ЛЕБЕГА
Пусть функция f(x) ограничена на отрезке [а, 6]. Обозначим через
1 — 1(3, Хо) промежуток (х0 — <5, хо + 3) П [а, 6], если хо — внутренняя
242
точка отрезка [а, 6], и соответственно, промежуток [а,а+<5) или (Ь-6,Ь],
если Хо — а или Хо = 6.
Определение. Колебанием функции /(х) в точке х0 назовем
величину
ш(хо) = w/(xo) = inf sup (/(х) - /(у)),
другими словами, величина ш(хо) определяется равенством
. ш(хо) = inf(Afi(x0) - m<5(zo))>
$>0
где
ЛМ*о) = sup f(x), ms(x0) = inf /(х).
sr€/(i)	«€/(«)
Имеет место следующий критерий непрерывности функции в точке.
Л е м м а 1. Функция f(x) непрерывна в точке хо тогда и только
тогда, когда колебание w/(xo) функции f(x) в точке хо равно 0.
Доказательство. Необходимость. Предположим
противное, т.е., что имеет место равенство wj(xq) = а > 0. Рассмотрим
последовательность <Sn = 1/n, п = 1,2,... . Пусть I = 1(1/п). В силу
определения инфимума имеем
sup (f(x) - f(y)) = M1/n(x0) - mi/„(x0) > a.
Далее, в силу определения супремума получим, что существуют
точки хп, уп € /(1/п), такие, что /(xn) — f(yn) > f > 0. Но так как
длина промежутка /(1/п) стремится к нулю при п, стремящемся к
бесконечности, то имеем lim xn = lim уп = х0-
П—>ОО	п—юо
Переходя в последнем неравенстве к пределу, используя непрерыв-
ность функции /(х) в точке хо, получим 0 >	> 0. Имеет место
противоречие.
Следовательно, w/(xo) = 0.
Достаточность. Нам дано, что шДхо) = 0. Но тогда для всякого
е > 0 существует 6 = 6(e) > 0 такое, что для любых х,у € 1(6)
имеем |/(х) —/(у)| < е. Положим здесь у = х0. Тогда получим условие
непрерывности функции /(х) в точке xq. Лемма доказана полностью.
Доказательство критерия Лебега. Необходимость. Нам
дано, что функция /(х) интегрируема на отрезке [a,fc]. Надо доказать,
что множество D точек разрыва функции /(х) имеет лебегову меру
нуль.
Предположим противное, т.е. что множество D не является множе-
ство нулевой меры. Тогда существует число ео > 0 такое, что для лю-
ОО
бого множества интервалов, покрывающих множество D, D С U 1П,
П = 1
243
найдется натуральное число по с условием <51Ч-hJno > Со- Отметим,
что число по зависит от последовательности интервалов {/п}-
Рассмотрим теперь любое разбиение Т отрезка [а, 6]. Среди отрезков
[х*_1,х*] разбиения Т выделим те, внутри которых содержится хотя
бы одна точка множества D. На каждом таком отрезке [x*_i,x*]
колебание функции /(х) не меньше, чем а. Сумма длин этих отрезков
будет не меньше, чем £о, поскольку множество D содержится в них,
за исключением, быть может, конечного числа точек, попадающих
в точки Хк разбиения Т. ( Если бы оказалось, что сумма длин
указанных отрезков [x*_i,x*] была бы меньше, чем Со, то, покрывая
точки х* Е D конечным числом интервалов так, чтобы общая сумма
длин всех интервалов, покрывающих D, оказалась меньше, чем £о,
получим систему интервалов, покрывающих D и имеющих общую
длину, меньшую, чём Со, что невозможно.)
Таким образом, для любого разбиения Т отрезка [а, 6] имеем
0(7’) > <X€q.
Следовательно, inf О(Т) > «Ео > 0, а это в силу критерия интегрируй
емости функции по Риману означает, что функция /(х) не является
интегрируемой. Противоречие. Необходимость доказана.
Достаточность. Для любого е > 0 построим разбиение Т такое,
что ЩТ) < е. Пусть М = max |/(х)|. Положим 6 =	= г(Ь-д) •
Так как множество D имеет лебегову меру нуль, то его можно по-
крыть системой интервалов I, имеющих сумму длин меньшую, чем 6.
В каждой точке Хо множества К — [а, 6] \ I колебание функции /(х)
равно 0, поэтому существует интервал, покрывающий эту точку Хо,
на котором колебание функции будет меньше, чем а. Итак, получим
систему интервалов J, покрывающих множество К. Из системы ин-
тервалов IU J, покрывающих отрезок [а, 6], можно выделить конечное
покрытие [а, 6]. В качестве точек Xk разбиения Т концы интервалов
этого конечного покрытия.
Сумму О(Т’) представим в виде 0(7’) = Qi + 02, где 0г и 02 пред-
ставляют собой суммы слагаемых вида Wk&Xk, причем в первой сумме
01 переменная суммирования к пробегает значения, удовлетворяющие
условию (x*_i,x*) С I, а все оставшиеся значения к входят во вторую
сумму 02.
Тогда для 0(Т) получим оценку вида
£1(Т) = 01 + 02 < 2MS + а(Ь - а) = | | = с.
Л
Отсюда в силу того, что inf 0(7’) = 0, следует интегрируемость
функции /(х). Теорема доказана полностью.
244
При использовании критерия Лебега (в частности, для доказатель-
ства неинтегрируемости функции по Риману) иногда бывает полезна
другая его формулировка в виде приведенной ниже.теоремы. Докажем
сначала одно вспомогательное утверждение — лемму 2.
Пусть D(a) обозначает множество точек отрезка [а, 6], дЛя которых
выполнено неравенство ш(х) > а.
Л е м м а 2. Множество точек D(a) является замкнутым.
Доказательство. Пусть х0 является предельной
точкой множества D(a). Тогда существует последовательность {хп},
сходящаяся к х0 при п —> оо, причем колебание функции /(х) в
точках хп не меньше, чем а, т.е. ш/(хп) > а. Заметим, что каково
ни было число 6 > 0, найдется член последовательности хп Е Ig (хо).
Положим
61 = min (хп - «о + 6, хо + <5 —
т.е. величина 61 равна расстоянию от точки хп до границ интервала
Ig(xo). Тогда получим, что Ig1(xn) С Ig(xo). Отсюда имеем
АГг(хо) - ms(x0) > MS1(xn) - mjjxn) > wz(x„) > а.
Так как при произвольном числе 6 > 0 имеем неравенство Mg(xo) —
тг(хо) > а, то
inf(Af$(xo) - m«(x0)) = w/(x0) > а.
Следовательно, всякая предельная точка множества D(a) принадле-
жит ему самому, т.е. D(a) — замкнуто. Лемма доказана.
Теорема. Для того чтобы ограниченная на отрезке [а, 6]
функция была интегрируема по Риману, необходимо и достаточно,
чтобы для любого а > 0 множество D(a) имело лебегову меру нуль.
Д о. казательств о. Необходимость. Поскольку
функция /(х) интегрируема по Риману, по доказанному выше крите-
рию Лебега мера множества точек разрыва ее равна нулю, p(D) = 0.
Но для любого а > 0 имеет место следующее включение D(a) С D.
Следовательно, p(D(a)) = 0. Необходимость доказана.
Достаточность. Очевидно, D = U D(l/n). По условию теоремы
П = 1
для любого натурального числа п имеем д(П(1/п)) = 0. Следовательно,
p(D) = 0, и по критерию Лебега функция /(х) интегрируема. Теорема
доказана.
Глава IX
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
Лекция 10
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ПЕРВОГО
И ВТОРОГО РОДА
Наша дальнейшая цель состоит в распространении понятия ин-
тегрируемости функции по Риману на новые классы функций, а
именно:
1) на функции, заданные на бесконечном промежутке;
2) на неограниченные функции. .
Понятие предела, которым мы владеем, позволяет достичь этой
цели без особого труда, а обобщение понятия интеграла Римана при
этом называется несобственным интегралом.
Для первого случая интегралы типа
j f(x) dx, j f(x) dx, j f(x) dx
называются несобственными интегралами первого рода, во вто-
ром случае, когда функция f(x) является неограниченной на конечном
ь
отрезке [а, 6], интеграл f f(x) dx называется несобственным инте-
гралом второго рода.
Случай, когда и промежуток интегрирования, и сама функция не
ограничены, не вносит ничего нового в эту проблематику, так как его
можно свести к случаю несобственных интегралов первого и второго
родов простым разбиением промежутка интегрирования на части, и
потому отдельно мы его рассматривать не будем. Разберем более
подробно понятие несобственного интеграла первого рода, при этом
остановимся только на случае интегралов вида f f(x) dx.
Определение. Пусть а — вещественное число и пусть для любого
А> а функция f(x) интегрируема по Риману на отрезке [а, А] и
F(A) = / f(x) dx.
246
Если при А —> +оо существует предел
1= lim F(A),
А-Ц-оо
то этот предел I называется несобственным интегралом первого
рода от функции f(x) на промежутке (а,4-оо).
Для интеграла 1 используется обозначение:
Если предел I существует, то говорят, что несобственный интеграл
ОО
сходится. Если же этот предел не существует, то выражение f f(x) dx
a
понимают как некий символ, который тоже называют несобственным
интегралом, но говорят про него, что он расходится.
Аналогично определяется несобственный интеграл вида
+оо
а несобственный интеграл f f(x) dx понимают как сумму двух
!	-оо
несобственных интегралов
Замечания. 1. В отличие от несобственных интегралов обычный
интеграл Римана по конечному промежутку называется собственным.
2. Из свойств собственного интеграла и определения несобственного
интеграла для любых вещественных а и b тривиально имеем
ь	+
У /(х) dx + j
а	Ь
Примеры. 1. При а > 0 справедливо равенство
lim (In Л — In а),
A-f+oo
lim
Л—»+оо
-а1""),
если а / 1,
если а = 1.
247
Отсюда следует, что этот интеграл сходится при а > 1 и равен
и расходится при а < 1.
2. При натуральном числе п интегрированием по частям получим
+оо
У Ге"‘Л = п!.
о
§ 2. КРИТЕРИЙ КОШИ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ
СХОДИМОСТИ НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ
Из критерия Коши существования предела функции при А —> ор
непосредственно получается следующая теорема.
Теорема1 (Критерий сходимости несобственного интеграла
+оо
первого рода). Для сходимости интеграла J /(я) dx необходимо и
а
достаточно, чтобы выполнялось условие Коши, т.е. чтобы для всякого
е > 0 существовало число В = В(е) >0 такое, что для всех чисел
Ai, А2, больших В, выполнялось неравенство
Символически это условие Коши можно записать так:
Ve > 03В = В(е) > 0 : VAi, А2 > В
Теорема2 (общий признак сравнения). Пусть для всех
х Е [а,+оо) справедливо неравенство |/(т)| < д(х) и пусть интеграл
+оо	' +оо
J д(х) dx сходится. Тогда будет сходиться интеграл f f(x) dx.
a	a
Доказательство. Докажем, что выполнено условие Коши
для сходимости несобственного интеграла от функции /(ж). В силу
сходимости интеграла от функции д(х) имеем, что для любого £ > 0
существует В = В(е) > 0 такое, что при любых Ai,A2, Ai > А2 > В
Лз
справедливо неравенство f д(х) dx < е. Но поскольку
248
условие Коши выполняется и для интеграла от функции f(x) с тем
же самым В = В(е). Теорема 2 доказана.
Пример. Пусть при некотором а > 1 и при х —> оо выполняется
неравенство
1Л*)1« if
X
т.е. пусть существуют с> 0 и Хо = Хо(с) > 0 такие, что |/(ж)| < сх~а
+оо
при х > хо- Тогда интеграл J f(x) dx сходится.
а
Действительно, имеем
/(х) dx =
То
У f(x) dx +
а
+оо
У f(x) dx.
Первый из интегралов суммы является собственным, а второй инте-
+<х>	+ОО
грал f f(x) dx сходится по признаку сравнения, поскольку J ds.
Xq	Xq
сходится при а > 1.
§ 3. АБСОЛЮТНАЯ И УСЛОВНАЯ СХОДИМОСТЬ
НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИЗНАКИ АБЕЛЯ И
ДИРИХЛЕ
Сначала дадим определения понятий абсолютной и условной схо-
димости несобственных интегралов.
4-00
Определение 1. Несобственный интеграл f f{x) dx называется
a
+оо
абсолютно сходящимся, если сходится интеграл f |/(х)| dx.
a
+оо
Определение 2. Несобственный интеграл J f(x) dx называется
a
-I-оо
условно сходящимся, еслд интеграл f f(x) dx сходится, а интеграл
- a
+ оо
f |/(х)| dx расходится,
a
Из общего признака сравнения непосредственно следует, что абсо-
лютная сходимость интеграла влечет за собой его условную сходи-
мость. Обратное неверно.
Как и ранее, будем считать, что функция f(x) интегрируема на
отрезке [а, А] при любом А > а.
249
Теорема! (признак Дирихле). Пусть при любом числе
X
х G [а,+оо) функция F(x) = f f(u) du ограничена, и пусть функция
a
д(х) неотрицательна и, не возрастая, стремится к нулю при х —> +оо.
Тогда интеграл
+оо
1 = f dX
a
СХОДИТСЯ.
Доказательство. Поскольку функция д(х) на
плюс бесконечности не возрастает и стремится к нулю, для всякого
£1 > 0 существует В = B(ei) > а такое, что для всех х > В имеем
неравенство 0 < д(х) < Пусть, далее, М = sup|F(x)|. Тогда по
«>о
второй теореме о среднем для любых Л1,Л2, Л2 > Л1 > В найдется
такое число Аз, А\ < Аз < А%, что
Ад
41
= ei
< 2eiAf.
Если теперь мы зададимся произвольным е > 0, то, взяв £i =
получим, что для любых Л1,Л2, Л2 > Ai > В (5^) выполнено
неравенство
т.е. выполняется условие Коши, поэтому интеграл I сходится. Тео-
рема 1 доказана.
4-00
Теорема2 (признак Абеля). Пусть интеграл f f(x) dx exo-
a
дится и пусть функция д(х) неотрицательна, монотонна и ограничена
сверху на промежутке (а,+оо). Тогда интеграл
f(x)g(x) dx
250
сходится.
+оо
Доказательство. Поскольку f f(x) dx сходится, в силу
а
критерия Коши имеем: для всякого Si > О существует В = B(fii),
такое, что для всех Аг,Аз, А2 > Ai > В справедливо неравенство
а2
У /(*) dx
41
< £1.
Далее, по второй теореме о среднем существует число A3, Ai <
A3 < Аз такое, что
Положим М = sup<jf(xr). Но так как
х>а
/(ж) dx
< «1,
то получим
< 2Мег.
Поэтому, взяв Ei = будем иметь, что для любых чисел
Ai, А2, А2 > Ai > В (5^) справедливо неравенство
< Е.
Следовательно, по критерию Коши интеграл I сходится. Теорема 2
доказана.
Примеры. 1. По признаку Дирихле при а > 0 сходится интеграл
+оо .	А
f	так как для любого А > 1 функция F(x) = f sin х dx
1	1
ограничена, а при а > 0 и при х. —> +оо функция х~а, монотонно
убывая, стремится к нулю.
251
2. Пусть f(x) — многочлен степени большей, чем 1. Тогда
+оо
сходится интеграл f sin f(x) dx.
о
Без ограничения общности можно считать, что старший коэффици-
ент многочлена f(x) положителен. Тогда, начиная с некоторого А > О,
производная его f'(x) будет положительна и монотонно возрастать
к плюс бесконечности. Достаточно доказать, что сходится интеграл
+оо	В
f sin f(x) dx. Для любого В > А в интеграле f sin f(x) dx сделаем
л	л
замену переменной интегрирования у = /(х), х — f~1(y). Получим
интеграл
f sin у
J f'(f-Hy))
f-ЦА)
dy.
По второй теореме о среднем он ограничен величиной и ПРИ
А —> +оо будет стремиться к нулю. А это и доказывает сходимость
исходного интеграла.
Лекция 11
§ 4. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ВТОРОГО РОДА
Определение 1. Пусть 1) функция f(x) задана на промежутке
[а, Ь) и не ограничена на нем;
2) для любого а, а < а < Ь, функция f(x) ограничена и интегрируема
на отрезке [а,or];
a
3) существует предел I = lim f f(x) dx.
a-+b- a
Тогда этот предел I называется несобственным интегралом
второго рода от функции f(x) на отрезке [а, 6]. При этом для
предела I используется обозначение
ь
f(x) dx.
Замечания. 1. Точка Ь называется особой точкой интеграла I.
2.	Если предел /Ей существует, то говорят, что несобственный
ь
интеграл J f(x) dx сходится, а если — нет, то говорят, что этот
а
интеграл расходится.
ь
3.	Если особой точкой интеграла f f(x) dx является нижний предел
а
интегрирования, то несобственный интеграл второго рода определяется
аналогично.
4.	Если особая точка с лежит внутри отрезка [а, 6], то несобствен-
ь
ный интеграл J f{x) dx определяется как сумма двух несобственных
а
интегралов:
b	с	b
J f(x) dx — f f(x) dx + j f(x) dx.
a	a	c
Пример. Справедливы равенства:
I,	1 j lim т-Ц- (1 — a1-“), если a^l,
f dx ..	[ dx o-40+ 1-“ v	’ ’	’
I — = ‘lm I — —	,
J xa a-to+J xa hm (—ma),	если a = 1.
0	a	a-^0+
1
Отсюда следует, что интеграл J ~ сходится при a < 1 и равен
о
и расходится при а > 1.
253
Перейдем теперь к рассмотрению оснорных свойств несобственного
ь
интеграла второго рода на примере интеграла f /(х) dx с единственной
а
особой точкой Ь. Эти свойства аналогичны свойствам несобственных
интегралов первого рода.
1.	Критерий Коши сходимости несобственного интеграла второго
ь
рода. Для сходимости интеграла J f(x) dx необходимо и достаточно,
а
чтобы имело место условие Коши: для всякого е > 0 нашлось число
6 = <5(е) > 0 такое, что при любых 01,02 с условиями 01,02 €
(6 — <5, б), oi <02, выполнялось неравенство
2.	Общий признак сравнения. Пусть для всех х Е [а, 6) справедливо
ь
неравенство |/(х)| < д(х) и несобственный интеграл f д(х) dx сходится-
а
b
Тогда сходится интеграл f f(x) dx.
а
b
3.	Несобственный интеграл второго рода f f(x) dx называется абсо-
a
b
лютно сходящимся, если сходится интеграл f |/(z)| dx, и условно
a
сходящимся, если он сходится, но не абсолютно, т.е. интеграл
ь
f |/(х)| dx расходится,
a
Можно сформулировать признаки, аналогичные признакам Абеля
и Дирихле для интегралов первого рода.
И наконец, любой интеграл с бесконечными пределами интегриро-
вания (или одним бесконечным пределом интегрирования) и конечным
числом особых точек можно рассматривать как сумму несобственных
интегралов, каждый из которых имеет одну особую точку, являющу-
юся границей отрезка интегрирования (точки +оо и —оо также можно
считать особыми), т.е. исследование любого несобственного интеграла
сводится к несобственным интегралам первого и второго рода.
254
§ 5. ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО
ЧАСТЯМ В НЕСОБСТВЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ
Теорема!. Пусть производная <p'(t) непрерывна на отрезке
[а, /3] и отлична от нуля на интервале (а,/?), и пусть функция f(x)
непрерывна на интервале (у>(а), у>(/7)). Тогда имеет место формула
J f(x) dx = У	dt
¥>(“) “
как для собственных, так и для несобственных интегралов.
Доказательство. Пусть сначала точки а и р являются
конечными. Тогда особыми точками функций /(ж) и /(у>(<)) могут
быть концы соответствующих отрезков. Ввиду монотонности функции
х = <p(t) каждое значение х принимается лишь один раз, когда
переменная t изменяется на интервале (а,р). Тогда для любых ei > О
и ег > 0 по теореме о замене переменной для собственного интеграла
имеем
У -/(х) dx = У f(<p(t))<p'(t) dt.
<p(a+ti)	a+ti
Переходя к пределу в этом равенстве при ei —> 0 и сэ -> 0, получим
искомую формулу.
Если же а и Р — бесконечны, то, взяв а\,р\ € Ж и используя вновь
теорему о замене переменной для собственного интеграла, получим
¥>(01)	01
У f(x) dx = У f(<p(t))<p' (t) dt.
¥>(«1) “1
Отсюда, переходя к пределу при ai -> —оо и pi —> +оо, получим
искомое равенство. Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть:
1) функции f'(x) и д'(х) — непрерывны на промежутке (а,+оо);
2) сходится хотя бы один из несобственных интегралов
+оо
У f'(x)g(x) dx;
и
3) существует предел li = lim
®-»+оо
особая точка, то существует предел
f(x)g(x), а в случае если а —
h - limf(x)g(x).
255
Тогда существуют оба интеграла и имеет место равенство
+оо	+оо
У f(x)g'(x) dx = f(x)g(x)\*°° - j f'(x)g(x) dx.
a	a
Доказательство. Рассмотрим собственные интегралы
на отрезке [а + б, 6]. По теореме об интегрировании по частям в
собственном интеграле будем иметь
ь	ь
У f(x)g’(x) dx = /(x)<?(x)|*+f - У f(x)g(x) dx.
a+«	a4-t
Устремив в этом равенстве б к нулю, а 6 к плюс бесконечности,
получим искомую формулу. Теорема 2 доказана.
Иногда полезными оказываются следующие специальные определе-
ния несобственного интеграла.
4-Л
Определение 1. Вещественное число I — lim f f\x) dx назы-
4->+оо_л
+оо
вается главным значением fno Коши) интеграла f f(x) dx и
— ОС
обозначается так:
4-оо
I = v.p. У f(x) dx.
— оо
Определение 2. Если с — особая точка несобственного интеграла
второго рода от функции f(x) и с Е (a,b), то главное значение
интеграла определяется так:
Глава X
ДЛИНА ДУГИ КРИВОЙ
9 Лекции по математическому аналп »у
Лекция 12
§ 1. КРИВЫЕ В МНОГОМЕРНОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Определение 1. Кривой L в пространстве Жт (пространствен-
ной кривой в т-мерном пространстве) называется множество то-
чек М С Rm, состоящее из всех значений	неко-
торой вектор-функцйи	(t),..., xm =	, причем функции
, ^m(Z) заданы на некотором промежутке I С К и непрерывны
в каждой точке его.
Под промежутком мы понимаем либо конечные отрезки, интервалы
и полуинтервалы, либо бесконечные интервалы и полуинтервалы.
Для простоты в дальнейшем будем рассматривать случай I -- [я, 6].
Напомним, что в концах отрезка непрерывность понимается как
односторонняя непрерывность.
Определение 2. Точка с = (cj,..., cm) € L называется кратной
точкой кривой L, если имеются по крайней мере две различные
точки tj I? промежутка I такие, что 9?i(^i) =	(<2) ~ £1,   ,	=
= ^m(^2) ” Ст-
Точки кривой, не являющиеся кратными, называются простыми
точками кривой.
Кривая L, имеющая только конечное число кратных точек, назы-
вается параметризуемой кривой.
Кривая L, не имеющая кратных точек, за исключением, быть
может, концевых точек промежутка I, называется простой кривой.
Если только в концевых точках й и <2 отрезка / значения функций
<Р1 (/),..., совпадают, то простая кривая называется простой
замкнутой кривой.
Лемма. Всякую параметризуемую кривую можно представить
в виде объединения конечного числа простых кривых.
Доказательство. Достаточно отрезок I разбить
на конечное число отрезков с концами в кратных точках исходной
кривой.
Определение 3. Функция f(t), непрерывная на отрезке [а, £>], назы-
вается кусочно-л инейной [я, £>], если для любого значения t Е [я, 6],
за исключением конечного их числа: ti,...,/n-i, имеем: f'(t) равна
постоянному значению на каждом отрезке [<л,<*+i], k = 0,...,п. Это
257
означает также, что на любом отрезке [Z*, t*+i] имеет вид f(t) = а*<+6*
(здесь <о = л, tn = Ь).
Определение 4. Простая кривая L называется ломаной линией,
если <pi(/),..., являются кусочно-линейными функциями.
Очевидно, что каждая ломаная состоит из отдельных отрезков,
которые называются ее звеньями, а концы этих отрезков — точ-
ки Ai,... ,Ап, называются ее узлами. Точки t0,...,tn, которым
соответствуют эти узлы, образуют разбиение отрезка [а, 6].
Рассмотрим одно звено лбманой с начальной точкой Ai(xi,... ,xm)
и конечной точкой Аг(у1,...,ут)- По теореме Пифагора его длина |/|
равна величине
HI = л/(У1 - *1)2 +  • • + (ym - Хт)2.
Если же точки Ao(®i,o>  • , жт,о), • • •, An(®i,n> • •  >®m,n) являются после-
довательными узлами ломаной I, то длина этой ломаной обозначается
символом Н| и, очевидно, она равна
HI = У? у (Ж1Л — Я1Л-1)2 + • •  + (®m,k — Zm.fe-l)2-
k=l
Определение 5. Ломаная I, соответствующая разбиению Т отрезка
[а, 6], называется вписанной в кривую L, задаваемую уравнениями
Xi — ipi(t),...,xm = <pm(t), t € [а,6], если начальная точка звена
совпадает с концом предыдущего и узлы ломаной I лежат на кривой
L.
Определение 6. Простая кривая L называется спрямляемой,
если длины HI всех ломаных I, вписанных в кривую L, образуют
ограниченное сверху множество.
Определение 7. Длиной |£| спрямляемой кривой L называется
число, равное точной верхней грани'длин всех ломаных, вписанных
в данную кривую.
Замечания. 1. Очевидно, что если мы хотим правильно определить
понятие длины кривой, то мы должны требовать, чтобы вписанная
ломаная была короче самой кривой. В данном случае это так,
поскольку кратчайшее расстояние между двумя точками, как известно,
достигается на отрезке прямой, проходящей через эти точки.
2. Бывают неспрямляемые кривые, но они задаются очень сложно,
и поэтому примеров их мы приводить не будем.
258
§ 2. ТЕОРЕМА О ДЛИНЕ ДУГИ КРИВОЙ
Теорема. Пусть функции ^i(Z),.. .,	, задающие простую
кривую L, имеют непрерывные производные на отрезке [а, 6]. Тогда
кривая L — спрямляема и ее длина |£| выражается формулой
ь
|Ь| = / У(^(0)2 + --- + Ш*))2Л-
a
Доказательство. Покажем сначала, что длина любой
ломаной не превосходит величины
ь
А = I vW))2 + -+(^(0)2 dt.
Пусть узлы ломаной I соответствуют точкам <оЛ1>-  • Лп разбиения
Т отрезка [а, 6] : а = to < t\ <  • • < t„ — b. Тогда имеем
n
HI = $2	“ ^l(^-l))2 + • • • + GMM - ^m(<S-l))2 =
3 = 1
- Далее., в силу неравенства (см. гл. VIII, §6, теорема 3)
получим
п	________________________
И <52 / \/(¥’'10))2 + -- +(^Ю)2л = а.
’=Ч_,
Таким образом мы доказали,
ломаных I, вписанных в кривую
емой.
Покажем, что А есть точная
т.е. длина кривой L равна А.
что А — верхняя грань длин всех
L, т.е. кривая L является спрямля-
верхняя грань длин таких ломаных,
9»
259
Поскольку функции ^(t), к = 1,.. .,т, непрерывны на отрезке [а, 6],
по теореме Гейне - Кантора они являются равномерно непрерывными
на этом отрезке. Следовательно, при всех к =	для всякого
е > 0 существует число 6 — <5(г) > 0 такое, что для всех t',t" € [а, 6] :
\t' — t"\ < <5 выполняется неравенство
Возьмем любое разбиение Т отрезка [а, 6] с диаметром Aj1 < Л, Т :
а = to <	 • ' < tn — Ъ, и пусть ломаная I соответствует этому
разбиению Т.
Оценим теперь сверх}' разность А — |/| > 0. Имеем
а
Ш)2 + --Я»л-Е
m
к=1
A9?fc(*,-i)\
Ai,-i J
dt,
где Д^(<,_1) = <pk(ts) - <?k(t,-i), A/,_i =t„ - t,-!.
Далее применим неравенство треугольника в следующем виде.
Пусть заданы вершины 0(0,..., 0), A(ai,..	В{Ь\,...,Ьпг) тре-
угольника О АВ. Тогда имеет место неравенство треугольника (нера-
венство Минковского при р = 2):
Е(а*-М2-
к = 1
Следовательно, получим
А
A^fc(f,-i)\
Д<,-1 /
dt =
€i\/rri dt = £\y/m(b — а) = е,
где T)ktS — некоторая точка отрезка <»]. Теорема доказана.
260
Следствие. Пусть s = s(u) — длина дуги кривой L,
задаваемой уравнениями xi — x\(t),... ,xm = zm(/), a < t < u. Тогда
для дифференциала длины дуги кривой ds справедлива формула
(ds)2 = (dzi)2 +-------------------h (dxm)2.
Доказательство. Из теоремы имеем
U
«(«) = / У(<(0)2+ ••+(< W)2dt
а
Дифференцируя это выражение, найдем
ds(u) — yj(х'Ди))2 + • • • + (x'm(u))2du, или ds = \Z(dXi)2 4-h (dxm)2.
Следствие доказано.
Отсюда имеем, что квадрат дифференциала длины дуги плоской
кривой (т = 2) в полярных координатах (г, р) равен
ds2 = dr2 + г2 dp2, .
где координаты г и р определяются по формулам:
х = г cos р, у — г sin р, г > 0, 0 < р < 2тг.
Действительно,
dx — cos р di— г sin р dp, dy — sin р dr + г cos pdp.
Следовательно, получим
ds2 = dx2 + dy2 = dr2 4- r2dp2.
В частности, если уравнение эллипса задано в параметрической форме
г = r(p) = (a cos р, 6 sin р), а>Ь>0,
и угол 'р между осью Ох и радиус -вектором г изменяется от нуля
до 2тг, То для дифференциала длины дуги эллипса имеем
ds = \Ja2 sin2 р 4- b2 cos2 р dp.
Пример. Найти длину дуги кривой (циклоиды)
( х = R(t — sin/),
I у = R(1 — cos/),
где 0 < t < 0 < 2тг. Имеем: ds2 = dx2 4- dy2, ds2 = 4/?2sin2 |(d/)2, ds =
2d?sinjd/. Следовательно,
s = s(0) = 4R(1 — cos-).
Заметим, что эта кривая задает траекторию движения точки на ободе
катящегося колеса радиуса R.
Глава XI
МЕРА ЖОРДАНА
Лекция 13
§ 1. ПЛОЩАДЬ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ И ОБЪЕМ ТЕЛА.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ МЕРЫ ЖОРДАНА
О площади плоской фигуры мы уже говорили, когда вводили поня-
тие определенного интеграла как площади криволинейной трапеции.
Причем, давая точное определение этого понятия, мы исходили из
основных свойств площади фигуры, справедливых для площадей про-
стейших фигур, например, таких, которые являются объединением
конечного числа прямоугольников и треугольников.
Сформулируем эти свойства. Обозначим через ц(Р) площадь фи-
гуры Р.
1°. Для каждой фигуры Р, имеющей площадь, функция р(Р)
неотрицательна и однозначно определена.
2°. Площадь квадрата со стороной, равной единице, также равна
единице.
3°. Функция р(Р) является аддитивной, т.е., если фигура Р разбита
на две непересекающиеся фигуры Pi и Р2, Р' = Pi U Р2, Pi И Р2 = 0,
то
р(Р)=р(Р1)+М(Р2).
4°. Функция д(Р) является инвариантной относительно всех дви-
жений плоскости. Другими словами, если фигуры Pi и Р2 можно
наложить одну на другую так, чтобы все их точки совпали, т.е.
Pi и Р2 можно совместить при помощи поворота плоскости вокруг
некоторой неподвижной точки или параллельного переноса плоскости,
то д(Р1) = д(Р2).
5°. Функция д(Р) является монотонной, т.е., если Pi С Р2, то
Д(^1)<Д(Р2)-
Заметим, что эти свойства имеют место не только для площадей
простых фигур, но и для объемов простых тел, а также для суммарных
длин простейших множеств на прямой, т.е. множеств, составленных
из конечного числа промежутков и отдельных точек.
В дальнейшем простейшей будем называть фигуру, являющуюся
объединением конечного числа прямоугольников, стороны которых
параллельны осям координат. Такие прямоугольники мы будем на-
зывать стандартными прямоугольниками.
Заметим, что стандартный прямоугольник может включать в себя
любое подмножество точек, лежащих на его сторонах. Как известно,
262
каждый стандартный прямоугольник имеет площадь, равную произ-
ведению длин его смежных сторон.
При определении площади фигуры в общем случае, как и в слу-
чае криволинейной трапеции, мы можем действовать по аналогии с
критерием Римана существования определенного интеграла.
Для этого естественно для плоской ограниченной фигуры Р ввести
понятие верхней площади фигуры (по аналогии с верхней суммой
Дарбу) как точную нижнюю грань площадей д(Р1) всех открытых
простейших плоских фигур Р\, описанных вокруг Р, т.е. Р С Pi; а
также нижнюю площадь этой фигуры как верхнюю грань площадей
д(А) всех замкнутых простейших фигур Д, вписанных в Р, т.е.
Р2 С Р.
Введенная таким образом верхняя площадь обозначается через
д*(Р), а нижняя — через д,(Р).
Заметим, что для простейшей фигуры Р имеем
д.(Р)=д(Р)=д*(Р).
Если для фигуры Р справедливо равенство ц*(Р) = Ц*(Р), то
эта величина называется площадью фигуры Р и обозначается
через ц(Р). Точно так же обстоит дело и с объемом трехмерных
фигур, т.е. аналогично определяются верхний и нижний объемы
трехмерной фигуры. Для них используются те же самые обозначения:
д«(Р),д*(Р),д(Р), где, по определению, для измеримой фигуры Р
полагают ц(Р) = д»(Р) = Р*(Р)-
Введенное понятие площади фигуры называется мерой Жордана,
а сами фигуры, которым с помощью этого определения приписыва-
ется значение площади (или объема в трехмерном пространстве) —
квадрируемыми (или кубируемыми в случае объема) или изме-
римыми по Жордану. Для таких фигур вычисление площади (или
объема) сводится к вычислению определенного интеграла Римана.
Примеры. 1. Плоская мера Жордана отрезка /, параллельного
одной из осей координат, равна нулю. Этот отрезок содержится внутри
прямоугольника, одна из сторон которого имеет длину, равную нулю.
2.	Любой отрезок I имеет нулевую меру Жордана, так как этот
отрезок можно поместить в простейшую фигуру сколь угодно малой
площади.
3.	Пусть Р — простейшая фигура. Тогда мера Жордана ее границы
дР равна нулю. Границей Р служат стороны прямоугольников,
составляющих фигуру Р. Их конечное число, и каждый из них можно
поместить в прямоугольник с одной стороной, имеющей длину, равную
нулю.
4.	Объединение, пересечение и разность простейших фигур является
простейшей фигурой.
263
Действительно, пересечение двух стандартных прямоугольников
будет стандартным прямоугольником. Поэтому для фигур A = UPfe
к
и В = UQi, состоящих из стандартных прямоугольников Pk,Qi, их
пересечение АЛВ = А= U(Pfe DQ/) является простейшей фигурой.
*>•
Разность двух стандартных прямоугольников является простейшей
фигурой. Покажем, что разность А \ В двух простейших множеств А
и В является простейшим множеством. Пусть Р — прямоугольник,
содержащий A U В, тогда А\В = АП (Р\ В).
§ 2.	КРИТЕРИЙ ИЗМЕРИМОСТИ МНОЖЕСТВА ПО ЖОРДАНУ
Как и в случае интеграла Римана, можно сформулировать критерий
квадрируемости фигуры, аналогичный критерию Римана с омега -
суммами (по форме он напоминает критерий Лебега). Для этого
введем понятие границы дР фигуры Р, которое, в свою очередь,
использует следующие понятия.
1.	Пусть 6 > 0. Тогда d-окрестностью точки х0 на плоскости
назовем множество точек х, лежащих внутри круга радиуса 6 с
центром в точке хо-
2.	Точка хо называется внутренней точкой множества Р, если
найдется 5-окрестность Е(х0,д) точки х0 целиком принадлежащая Р,
т.е. Е(хо,6) С Р.
3.	Точка xi называется внешней точкой множества Р, если
существует окрестность Е(х\,6) такая, что Е(х\,6) ПР = 0.
4.	Если точка х не является ни внутренней, ни внешней точкой
множества Р, то она называется граничной точкой множества Р.
5.	Множество всех граничных точек фигуры Р называется его
границей и обозначается через дР.
Теорема (Критерий квадрируемости фигуры). Фигура Р —
квадрируема тогда и только тогда, когда мера ее границы равна
нулю, т.е. ц(9Р) = 0.
Доказательство. Необходимость. Нам надо
доказать, что если Р — квадрируемая фигура, то ДдР) = 0. Для
этого достаточно при любом е > 0 указать простейшую фигуру Н
такую, что дР С Н и д(Я) < е.
Поскольку фигура Р — квадрируема, существует величина д(Р) =
рДР) = д*(Р). Следовательно, для всякого Ei > 0 найдутся открытая
простейшая фигура Р\ и замкнутая простейшая фигура Р2 такие, что
Р2 С Р С Pi и, кроме того, справедливы неравенства
м(Р) = м*(Р)<д(Р1)<м(Р) + е1,
264
ц(Р) - ei < М(Р2) < М(Р) = рДР).
Рассмотрим фигуру Рз = Pi\ Р?- Она является простейшей. Пусть
В = Р3. Тогда вне этой фигуры Н содержатся только внешние
или внутренние точки фигуры Р. Поэтому дР С Н. Далее, имеем
Рг = Р2иРз, Р2Г)Рз = 0, следовательно, p(Pi) = д(Р2) + д(Рз), откуда
М(Рз) = М(Р1) - М(Р2) < М(Р) + £1 - р(Р) + £1 = 2£1.
Заметим, что д(Рз) = р(Рз)1 так как граница простейшей фигуры
имеет нулевую меру.
Возьмем £i = е/2, получим, что ц(Н) < е, дР С Н, следовательно,
ц(дР) = 0. Необходимость доказана.
Достаточность. Нам дано, что граница дР фигуры Р имеет
нулевую меру. Надо доказать, что фигура Р измерима по Жордану,
т.е. имеет место равенство д*(Р) =/1*(Р).
Для этого потребуется одна лемма, полезная и сама по себе.
Лемма (О связности отрезка на плоскости). Пусть на плоскости
заданы отрезок L с концами и Аз и некоторое множество М,
причем Ai Е М, Д2 М. Тогда существует точка Ао Е I такая, что
Ао Е дМ.
Доказательство леммы. Для каждой точки
а € I рассмотрим функцию р(а), равную расстоянию от нее до точки
А1- Очевидно, что для любой точки а Е I справедливо неравенство
р(а) < |/|. Пусть В = I П М. Тогда множество В непусто, так как
точка Ai принадлежит и отрезку I, и множеству М. Пусть, далее,
Ро = sup р(А). Рассмотрим точку ао, лежащую на расстоянии ро от
Лев
точки Ар Любая точка а, удаленная от точки Ж на расстояние
р{а) > ро, не принадлежит как В, так и М, поэтому ао не может
быть внутренней точкой множества М. С другой стороны, в любой
окрестности точки ао на отрезке I найдется точка, принадлежащая
В С М. Поэтому точка ао не является внешней точкой множества
М, следовательно, ао Е дМ. Лемма доказана.
Итак, пусть р(дР) — 0- Это значит, что для любого е > 0 существу-
ет открытая простейшая фигура Рз такая, что дР С Рз, р(Рз) < £
Граница ее дРз состоит из конечного числа отрезков, параллельных
осям координат. Заключим эти фигуры Р и Рз в квадрат К со сто-
ронами, параллельными осям координат. Далее, продолжим отрезки
границы дРз,- параллельные оси Ох, до пересечения со Сторонами
квадрата К. Тогда квадрат К и фигура Р$ разобьются на отдель-
ные стандартные прямоугольники. Пусть это будут прямоугольники
Ai,...,/im (каждый из них будем раассматривать без границы). Тогда
прямоугольники hs, s = 1,..., m, либо целиком принадлежат Рз, либо
Л5ПР3=10,
265
Покажем, что если прямоугольник h, не является подмножеством
Р3, но имеет хотя бы одну общую точку с фигурой Р, то ha С Р.
Действительно, если в этом прямоугольнике xi € Р, жг Д то неко-
торые точки отрезка I, соединяющего эти точки (а он тоже целиком
принадлежит прямоугольнику ha), принадлежат Р, а некоторые точки
не принадлежат Р. По лемме отрезок I содержит точку хо € дР, т.е.
точка хо € ha, х0 € дР С Рз, а это значит, что ha С Рз, что проти-
воречит условию, что.прямоугольник ha не является подмножеством
Рз.
Таким образом, если ha Л Р £ 0, то прямоугольник h, целиком
лежит в Р. Объединим все такие прямоугольники ha во множество
Р2. Очевидно, что Р2 С Р
Рассмотрим еще простейшее множество Pi = Рз U Р3. Докажем, что
Р С Pi • Действительно, фигура Р, как и всякая фигура, состоит из
внутренних точек, образующих множество Р \ дР, и некоторого под-
множества Г С дР, — множества своих граничных точек. Достаточно
показать, что дР С Pi, Р \ дР С Pi-
Включение дР С Pi следует из того, что дР С Рз С Pi- А всякая
внутренняя точка множества Р по построению принадлежит: 1)
либо Рз; 2) либо некоторому-открытому прямоугольнику Л,; 3) либо
его границе dha. Но тогда в первом случае точка х € Рз С Pi, и,
следовательно, она принадлежит Pi; во втором случае .х Е ha, х Е Р,
а это значит, что ha С Рз (по способу построения множества Рз),
т.е. х € ha С Рз С Pi; в третьем случае имеем, что внутренняя
точка множества Р лежит на границе открытого прямоугольника
ha. Но тогда некоторая с - окрестность этой точки целиком состоит
из точек множества Р и в то же время в ней содержатся точки
из прямоугольника ha, тогда ha С Рз, откуда dh, С Р2, а потому
х Е dha С Р2 С Р. Отсюда имеем: Р С Pi- Далее, имеем Рз Л Рз = 0,
кроме того, Р1,Рг и Рз — простейшие фигуры. Поэтому
Д(Р1) = д(Дг) + д(Рз) < м(Рг) + £
Следовательно,
м(Рг) < Р.(Р) < М*(Р) < Д(Р1) < М(Л) + е-
Таким образом, получим
о < Д*(Р) - Д.(Р) < д(Р2) + е - д(Р2) = е.
Но так как е > 0 — произвольно, то, следовательно, д*(Р) — Ц*(Р),
т.е. фигура Р — измерима по Жордану. Теорема доказана полностью.
Лекция 14
§ 3.	СВОЙСТВА МЕРЫ ЖОРДАНА
Проверим, что неотрицательная функция ц(Р), определенная нами
для измеримых фигур на плоскости, обладает - свойствами монотон-
ности, инвариантности относительно движений, плоскости и аддитив-
ности, имеющих место для простейших фигур.
Во-первых, покажем, что множество измеримых фигур замкнуто
относительно теоретико-множественных операций: объединения, пере-
сечения и разности множеств. Другими словами, если фигуры Pi
и Р2 — измеримы, то измеримыми по Жордану являются фигуры
A U Р2, Pi П Р2, Pi \ Р2.
Докажем сначала измеримость объединения двух множеств. В силу
критерия измеримости множества по Жордану достаточно показать,
что ц(д(Р1 U Р2)) = 0. Докажем, что
d(Pi U Р2) С дРг U дР2.
Возьмем любое х 6 д(Р\ U Р2). Предположим, что х dPi, х дР2.
Тогда точка х является либо внутренней точкой Pi, либо внутренней
точкой Р2, либо внешней точкой и Pi, и Р2. Отсюда следует, что
точка х по отношению ко множеству PiUP2 является либо внутренней,
либо внешней точкой. Но это противоречит тому факту, что точка
х принадлежит границе множества Pi U Р2. Следовательно, граница
объединения двух множеств является подмножеством объединения
границ этих множеств.
Поместим измеримые множества Pi и Р2 в стандартный квадрат К.
Тогда множества К \ Pi и К \ Р2 являются измеримыми по Жордану,
так как их граница содержится в объединении границ множеств К, Pi
и Р2. Отсюда следует измеримость множеств
Р1 \р2, Р1ЪР2 = К\(К\Pl) U (К \ Р2).
Перейдем теперь к свойству монотонности функции д(Р). Если
Pi С Р2, то всякая простейшая фигура, описанная вокруг Р2, содержит
и Pi, а потому p*(Pi) < д*(Р2). Но так как фигуры Pi и Р2 измеримы,
то
р(Р1) = р*(Р1) < р’(Р2) = р(Р2).
Это и означает, что функция д(Р) является монотонной.
Инвариантность меры Жордана относительно параллельных пе-
реносов следует из того, что при параллельном переносе площадь
267
простейшей фигуры не меняется, поэтому при сдвигах плоскости не
меняется значение величин Ц*(Р) и
Далее, как известно, по теореме Шаля все движения плоскости
сводятся либо к сдвигам, либо к поворотам плоскости относительно
некоторой неподвижной точки. Так что для завершения доказатель-
ства инвариантности меры Жордана относительно движений плоскости
нам достаточно показать, что она инвариантна относительно поворо-
тов плоскости вокруг некоторой неподвижной точки. Заметим,, что
при повороте плоскости площадь простейшей фигуры не меняется,
но, к сожалению, она уже перестает быть простейшей.
Итак, пусть задана измеримая по Жордану фигура Р. Тогда
существуют простейшие фигуры Pi, Р2 такие, что Pi С. Р С Ръ,
причем
Д(А) < А»(Р) < М(Л) + е, м(Рг) - е < ц(Р) < ц(Р1),
и Pi, Р2 представляются в виде объединения конечного числа стан-
дартных прямоугольников. При повороте плоскости вокруг неподвиж-
ной точки фигуры Р, Pi и Р? перейдут соответственно в измеримые
фигуры Q,Qi и Qz, причем Qi С Q С Qi.- Очевидно, достаточно пока-
зать, что если стандартный прямоугольник при повороте „переходит в
прямоугольник П, то его можно заключить в открытую простейшую
фигуру Пх и вписать в него замкнутую простейшую фигуру П2, такие,
что П2 С П С П1 и разность д(П1) —р(П2) может быть сделана сколь
угодно малой. Для этого обрамляем прямоугольник П прямоуголь-
ником По со сторонами, параллельными сторонам П и находящихся
от них на достаточно малом расстоянии. Затем вписываем в По
простейшую фигуру, которая содержит П. Она и будет искомой.
Докажем теперь свойство аддитивности меры Жордана. Заметим
сначала, что для простейших фигур справедливо неравенство
В) < д(Л) + д(В).
Далее, пусть фигуры Pi и Р% измеримы по Жордану и пусть Р =
Pi U F2, Pi О Pi = 0- Тогда по критерию измеримости множества
фигура Р измерима, поскольку граница объединения двух множеств
содержится в „объединении границ самих множеств. Докажем, что
имеет место равенство
д(Р)=д(Р1)+д(Р2).
В силу измеримости фигур Pi и Р2 для всякого е > 0 найдутся
простейшие фигуры Qi и Q2, Ri и Я2 такие, что
M(Qi) < Р(А) < М(<Э1) + е, ИФг) - г <>(Р1) < м(<Эг),
268
д(Я1) < д(Р2) < n(Ri) + e, м№) - e < /j(P2) < м(Я2).
Кроме того, для простейших фигур Qi и Й1 с условием Qi Л Ri = 0
имеем p(Qi U/?i) = p(Qi) + /i(7?i), а также /j(Q2Uй2) < /i(Q2) + /Дй2).
Поэтому, учитывая теоретико-множественные включения
Qi U Я1 С Pi U Р2 = Р С <?2 и Я2,
получим
р(<91) + м(Р1) = и Я1) < /1(Р) < /1(<Э2 и R2) <
< /2(^2) + р(Л2) < m(Qi) + p(Pi) + 2е.
Очевидно также имеем
m(Qi) + м(Р1) < м(Р1) + /1(Р2) < д(<21) + fi(Ri) + 2е.
Из последних неравенств найдем
|/i(P)-/i(P1)-/i(P2)| < 2£.
В силу же произвольности выбора е > 0 будем иметь
р(Р) = /j(Pi)+/j(P2).
Это и доказывает свойство аддитивности меры Жордана.
§ 4.	ИЗМЕРИМОСТЬ СПРЯМЛЯЕМОЙ КРИВОЙ
Цель этого параграфа показать, что если L — спрямляемая кри-
вая, то ее плоская мера Жордана равна нулю. А значит, в силу
критерия измеримости фигуры по Жордану будет измеримой фигура,
ограниченная спрямляемой кривой.
Для дальнейшего нам потребуется одна полезная лемма о спря-
мляемых кривых.
Лемма. Пусть кривая L задается уравнениями вида х =
93Ц), у = ^(Ц, t € [а, 6] и является спрямляемой кривой. Тогда
длина s(t) части этой кривой, соответствующей отрезку [a,t], где
t £ [а, £>], является непрерывной и монотонно возрастающей функцией
параметра t.
Доказательство. Возрастание функции s(t] следует из
свойства аддитивности длины дуги кривой. Действительно, при Ц < t2
имеем s(t2) = s(ti)-f-so, где «о — длина дуги кривой, находящейся
269
между точками Ai =	^(<1)) и Л2 = (^(t2), 1^2)), т.е. величина
«о — положительна. Отсюда имеем: s(t2) > s(ti).
Докажем, что функция s(t) не имеет разрывов. В самом деле, пусть
в точке to функция s(t) имеет разрыв. Тогда в силу монотонности
s(t) точка to является точкой разрыва первого рода со скачком h > 0.
Значит, для любого отрезка [ti,t2], содержащего эту точку to, длина
дуги кривой, отвечающей этому отрезку [ti,t2], превосходит h.
Далее, исходная кривая L является спрямляемой, поэтому для
всякого числа е > 0 существует вписанная ломаная I такая, что
0 < s(L) — s(l) < е. Эта ломаная порождает неразмеченное разбиение
Т : а = to < ti < • • • < tn = Ь, отрезка [a, 6], и каждая точка А* =
(9?(tfe), ^i(tfc)) отвечает некоторому узлу ломаной I. Очевидно, для
любого наперед заданного положительного числа <5 можно считать, что
Ду < 6. Ясно, что длина Д звена ломаной с номером к удовлетворяет
условию
4 < s(tk) - s(tfe-l).
Пусть точка to принадлежит некоторому интервалу (t*-i,t*+i). В
силу равномерной непрерывности функций <p(t) и на отрезке
[я, 6] существует положительное число 6 такое, что для всех t',t" с
условием |t'— t"| <5 выполняются неравенства
о	о
Следовательно, имеем
Л-< ±1к+1 <
Отсюда и из условия спрямляемости кривой получим
= Л - 2^ < s(tfc+i) - s(tfc) - (/fc A tfc+1) < s(L) - s(l) < e.
Последнее неравенство справедливо при любом е > 0, но при е = > 0
оно противоречиво. Следовательно, предположение о разрывности
функции s(t) не имеет места. Лемма доказана.
Теорема. Пусть L — спрямляемая кривая. Тогда она имеет
плоскую меру Жордана, равную нулю.
Доказательство. Разделим кривую L на п дуг, длина
каждой из которых равна а = Это возможно, поскольку функция
s(t) является монотонной и непрерывной. Тогда к-я дуга кривой
L при к = 1,...,п целиком лежит внутри квадрата со сторонами,
параллельными осям координат и равными 2я, и центром в &-й точке
деления кривой L. Объединение всех квадратов образует простейшую
фигуру Р, целиком покрывающую. L, причем
,о ,2	’	s2(L)	4s2(T)
д(Р) < п(2я)2 = 4п  —V- = *-2..
71х	П
Устремим п к бесконечности, получим p*(L) = 0, а значит, и ДЬ) = 0.
Теорема доказана.
270
Следствие. Пусть граница фигуры Р является спрямляемой
кривой. Тогда Р измерима по Жордану.
Доказательство. В силу критерия измеримости
и предыдущей Теоремы получаем измеримость фигуры Р, что и
требовалось доказать.
§ 5. СВЯЗЬ МЕЖДУ ИНТЕГРИРУЕМОСТЬЮ ФУНКЦИИ ПО
РИМАНУ И ИЗМЕРИМОСТЬЮ ПО ЖОРДАНУ ЕЕ
КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ
Рассмотрим криволинейную трапецию Р, ограниченную кривыми
у = f(x), у = О, х — а, х = Ь. Имеет место следующий критерий
интегрируемости функции по Риману.
Теорема. Пусть функция f(x) ограничена и неотрицатель-
на на отрезке [а, 6]. Тогда для интегрируемости функции f(x) по
Риману необходимо и достаточно, чтобы криволинейная трапеция Р,
отвечающая кривой y — f(x), была измерима по Жордану.
Доказательство. Необходимость. Нам дано,
что функция /(х) интегрируема по Риману. Тогда в силу критерия
интегрируемости имеем, что для любого е > О найдется разбиение
отрезка [а, 6] такое, что S(T)—s(T) < е, где S(T),s(T) — соответственно
верхняя и нижняя суммы Дарбу, отвечающие разбиению Т.
Заметим далее, что замкнутая простейшая фигура Pi, соответству-
ющая верхней сумме Дарбу S'(T’), объемлет криволинейную трапецию
Р, а замкнутая простейшая фигура Р%, соответствующая нижней сумме
Дарбу s(T), вписана в нее, т.е. имеют место теоретико-множественные
включения Р? С Р С Pi и отвечающие им неравенства
«(Л = м(Р2) < дф(Р) < /(Р) < р(Р1) = S(T).
Поскольку справедливо неравенство S(T)—s(T) = д(Р1)—д(Р2) < Е,
то д*(Р) — р„(Р) < е. Отсюда в силу произвольности выбора числа
6 > 0 будем иметь, что р*(Р) = д»(Р), т.е. криволинейная трапеция
Р измерима по Жордану. Необходимость доказана.
Достаточность. В силу критерия измеримости граница ЭР
криволинейной трапеции Р имеет плоскую жорданову меру нуль.
Следовательно, плоская мера Жордана ее части: кривой L вида
у = f(x), а < х < Ь, — равна нулю. Поэтому для всякого е > О
существует простейшая фигура Q такая, что L С Q, p(Q) < е. Про-
должим вертикальные отрезки сторон стандартных прямоугольников,
составляющих фигуру Q, до пересечения с осью Ох. Эти точки
пересечения дадут разбиение Т отрезка [а, 6]. Обозначим через Qi
271
простейшую фигуру, лежащую под фигурой Q в области у > 0, а
через Q2 обозначим фигуру Q U Qi. Тогда имеем
<21 С Р С Q2, м(<2г) ~ м(<21) = М(<2) < £•
Заметим, что фигуре Qi соответствует нижняя сумма Дарбу, а
фигуре Q2 — верхняя сумма Дарбу. Следовательно, S(T) — s(Ti) < е,
т.е. имеем
inf(S(T) — s(T)) = О,
значит, по критерию интегрируемости функция f{x) является инте-
грируемой. Теорема доказана.
Примеры. 1. Соображения, использованные нами при доказатель-
стве первой части предыдущей теоремы, показывают, что площадь
криволинейной трапеции
Р : у — f(x) >0, у = 0, х = а, х = Ь,
равна
ь
м(Л = У /(*) dx.
а
2. Площадь криволинейного сектора Р, граница которого зада-
на в полярных координатах уравнениями г = /(9?), 93 = а, <р = /3,
определяется по формуле
0
= У f2(<p) d<p.
а
Доказательство этой формулы опирается на свойство
монотонности меры Жордана. Разобьем отрезок [а,/?] на п равных
частей точками а = <ро <	<  • • < <рп = (3. Кривая г = /(9?) точками
Pk), rk = f(Pk), разбивается на п дуг, а сектор Р — на п
малых секторов Рк- Пусть
fk = min /(93), Fk = max /(93).
,¥>k]
Тогда площадь к -го криволинейного сектора содержит круговой сек-
тор радиуса Д и находится внутри сектора радиуса Fk. Используя
формулу площади кругового сектора и свойство монотонности пло-
щади, имеем
yfk^-Pk < fi(Pk) < ^F^ifik, &f>k = 9’fc+i _ 9’fc'
272
Откуда получим
Sn = 7j i>2 fk&Pk < Ж?) < 7j i>2 Fk^k - Sn.
2 fc=l	2 fc = l
Суммы sn и Sn являются нижними и верхними суммами Дарбу для
интеграла
Р
I=l f -f2^) d(f'
Ct
Поскольку функция f(<p) — непрерывна,	— непрерывна и
интегрируема, а потому при п —> оо имеем sn —> /, Sn —>• I. Отсюда
получим р(Р) = I. Утверждение доказано.
Аналогично можно вычислять и объемы различных фигур, впи-
сывая в них и описывая вокруг них простейшие фигуры, зависящие
от некоторого параметра п, и устремляя потом его к бесконечности.
Подобным образом находил площади и объемы еще Архимед, т.е. мы
применили метод исчерпывания, принадлежащий Архимеду.
Итак, понятие измеримости по Жордану позволяет значительно
расширить класс фигур Р на плоскости и в пространстве, которым
можно приписать значение площади или объема д(Р). Однако легко
можно указать пример плоского множества Р, не измеримого по
Жордану. Например, рассмотрим функцию Дирихле у(х) на отрезке
[О, 1] :
fl, если х —рациональное число,
Х(х) = i п
[ 0, если х — иррациональное число.
Пусть Р есть криволинейная трапеция, соответствующая этой функ-
ции, т.е. множество точек (х,у) на плоскости хОу, определяемое для
всякого х, принадлежащего отрезку [0,1], условиями 0 < у < х(г)-
Очевидно, что любая простая фигура, содержащая Р, должна
содержать единичный квадрат, и поэтому верхняя мера ее ц*(Р)
равна ёдинице. Но в то же время простые фигуры, вписанные в
Р, могут, очевидно, состоять только из конечного числа отрезков, и
они имеют поэтому нулевую площадь, следовательно, нижняя мера
фигуры Р равна нулю. Значит, фигура Р неизмерима по Жордану.
Но здравый смысл говорит о том, что фигуре Р, тем не менее,
разумно приписать меру нуль, и вот по какой причине.
Как известно, рациональные точки отрезка можно занумеровать,
потому фигура Р состоит из счетного числа отрезков. Возьмем любое
е > 0 и накроем первый отрезок прямоугольником, площадь которого
равна г/2, второй отрезок — прямоугольником площадью е/22, и
т.д. Тогда вся фигура покроется счетным количеством стандартных
прямоугольников, а их общая площадь не превышает величины
е	е	е
— -I- — -I--£
2 22 23
273
Так как фигура Р накрыта прямоугольниками, общая площадь
которых не превышает е, то, естественно, считать, что и площадь
фигуры Р тоже не превосходит е, а это может быть только в том
случае, если она равна нулю.
Мы подошли тем самым к способу определения понятия площади
даже для тех фигур, которые неизмеримы по Жордану. Развивая этот
подход, приходим к понятию меры Лебега, которое можно построить
для пространства любой фиксированной размерности, в том числе и
для прямой Ж.
Глава XII
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МЕРЫ И ИНТЕГРАЛА ЛЕБЕГА.
ИНТЕГРАЛ СТИЛЬТЬЕСА
Лекция 15
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И СВОЙСТВА МЕРЫ ЛЕБЕГА
Рассмотрим случай плоской меры Лебега.
Определение 1. Пусть ограниченная плоская фигура Р по-
крыта конечным или счетным множеством стандартных открытых
прямоугольников hn, n = 1,... . Совокупность Н = {Л„} всех этих
прямоугольников назовем покрытием плоского множества Р (или
фигуры Р). Величину
рн = Hm р( U Лэ)
п—►оо	«=1
назовем мерой покрытия Н. Множество Н называется простейшим
множеством.
Заметим, что величина рн всегда неотрицательна.
Определение 2. Число р*(Р) = infpn, где инфимум берется по
всем возможным покрытиям простейшими множествами фигуры Р,
называется верхней мерой Лебега фигуры Р.
Очевидно, имеем 0 < д*(Р) < +оо, поскольку в силу ограниченности
фигуры Р найдется стандартный квадрат К со стороной I такой, что
Р С К. Отсюда получим, что р*(Р) < I2.
Определение 3. Пусть СР = К\Р, где К — стандартный квадрат,
покрывающий фигуру Р. Нижней мерой Лебега плоского множества
Р назовем число
р.(Р) = р(К) - р*(СР).
Определение 4. Плоское множество Р называется измеримым
по Лебегу, если
р'(Р) = р.(Р) = р(Р),
а число р(Р) называется плоской мерой Лебега.
Докажем следующий критер’ий измеримости множества по Лебегу.
275
Теорема!. Пусть А — ограниченное множество. Тогда для
измеримости по Лебегу множества А необходимо и достаточно, чтобы
выполнялось условие: для всякого е > 0 существовало бы простейшее
множество В — В(е), такое, что справедливо неравенство
рПА&В) < £.
Это значит, что любое измеримое по Лебегу множество с лю-
бой степенью точности может быть аппроксимировано простейшими
множествами.
Доказательство. Необходимость. В силу ограниченности
множества А существует стандартный квадрат К, покрывающий А,
т.е. А С К. Нам дано, что множество А — измеримо. Следовательно,
д*(А)=д.(А), т.е. д*(А) + д*(К\ А) = р(К).
Далее, из определения верхней меры Лебега имеем, что для любого
с > 0 существует последовательность открытых стандартных прямо-
угольников {Сп}> покрывающая множество Л, т.е. А С С = U Сп, и
такая, что	п_
^М)<£иСп)</х‘(л) + |.
П = 1
Аналогично, найдется последовательность стандартных прямоуголь-
ников {£)„} такая, что
ОО
ОО	* 1	F
К\АС U Dn = D,p*(K\A) < У>(В„) <р*(К\А) + ^.
n=l	*	2
П = 1
Отметим, что множества С и D образуют покрытие квадрата К.
ОО
Далее, так как ряд Р(Сп) сходится, то существует номер к =
П = 1
&(е/2) такой, что £2 Р(Сп) < е/2.
n = fc + l
Положим
В = U Сп, Р = U Сп, Q = В П ( U Dn\.
n = l	n=fc + l	\п = 1	/
Заметим, что множества В и Р образуют покрытие множества.А, т.е.
В U Р D А, и, следовательно, множество Р содержит А\В.
Имеем также, что множество Q содержит В \ А. В самом деле,
Q = В П D D В Л (К \ А) = В \ А.
Таким образом,
Р U Q D (А \ В) U (В \ А) = АДВ.
276
Оценим сверху величину p(PuQ).
Поскольку для любых двух простейших множеств F и G справед-
ливо равенство
p(F U G) = p(F) + P(G) - p(F О G),
получим
p(F U Q) = р(С ПО) = д(С) + р(В) - д(С UO) <
<ц*(А)+е- + ^(К\А)+е--^К) = е.
Следовательно, для любого е > 0 мы нашли множество В = В(е)
такое, что
ц*(АЛВ) < fi(PUQ) <е.
А это и завершает доказательство необходимости.
Достаточность. Нам дано, - что для любого е > 0 существует
простейшее множество В = В(е/2) такое, что /х*(АДВ) < |. Далее,
поскольку В П (А \ В) = 0, А П (В \ А)'= 0, справедливы неравенства
р(В) + р*(А\В)> р‘(А), р*(А) + Д(В \ А) > р(В).
Отсюда и из условия А \ В С АДВ, В \ А С АДВ имеем
р‘(А) - р(В) < /х*(А \ В) < р*(АДВ) < |,
д(В) - Д*(А) < /С (А \ В) < р’(АДВ) < |,
т.е. |д*(А) — р(В)| < j.
Далее, поскольку множество А ограничено, существует стандартный
квадрат К такой, что К D А. Очевидно, имеем
(А\А)Д(К\В) = АДВ.
Поэтому, как и раньше, получим
|/х*(Д\А)~д(Д\В)|< |.
Используя равенство д(В) + ц(К \ В) = получим
|ц‘(А) + цДК \ А) - ц(К)\< |/A(A) - р(В)| + |/(К\ А) -	\ В)| < е,
т.е. \ц*(А) + (К \ А) — ц(К)\ < е. В силу произвольности выбора
числа е > 0 отсюда следует, что
р‘(А) + р‘(7<\А)-р(7<) = 0,
277
т.е. р*(Л) = р(К) — р*(К\А) = рДА). Последнее равенство и означает,
что множество А измеримо. Теорема 1 доказана.
Исходя из доказанного критерия, очевидно, имеем, что для любых
измеримых множеств Л и В их объединение, пересечение, разность и
симметрическая' разность являются измеримыми множествами. Более
того, если измеримые множества А и В не пересекаются, то
р(ЛиВ) = д(Л)+р(В).
Мы не будем детально изучать свойства множеств, измеримых
по Лебегу, но следует отметить, что это ненамного сложнее, чем
изучение измеримости по Жордану. Тем не менее, мера Лебега
обладает существенным преимуществом перед мерой Жордана, так как
помимо свойств инвариантности относительно движений плоскости и
монотонности, она обладает свойством счетной аддитивности взамен
свойства конечной аддитивности, которым обладала мера Жордана.
Уточним, что имеется в виду.
Теорема 2. Пусть Ai,... ,Ап,... — бесконечная последова-
тельность непересекающихся множеств, измеримых по Лебегу. Пусть
их объединение А = U Лп является ограниченным множеством. То-
П = 1
гда множество А измеримо по Лебегу, причем
ОО
д(Л) = lim (р(Лх) + • • • + р(Л„)) = ^2 М(лп).
п—►оо	г
п=1 •
Доказательство. Так как множество Л — ограничено,
то существует стандартный квадрат К, содержащий Л. В силу этого
и свойства конечной аддитивности для любого фиксированного числа
k > 1 имеем соотношения
* к
$2/ЛЛ>) =	Л„) < р(К).
П = 1
00
Отсюда следует, что ряд ^2 Р(-^п) сходится, и поэтому для любого
П = 1
е > 0 существует ко = &о(е) такое, что для любого числа к > ко
ОО
выполняется неравенство £2 д(-^п) < f-
Зафиксируем какое-нибудь число к, большее ко- Тогда множество
k
С = U Л„ — измеримо, следовательно, по критерию измеримости
П = 1
(теорема 1) для всякого е > 0 существует простейшее множество
В = В(|) такое, что р*(СДВ) < |.
278
Очевидно, справедливо следующее соотношение:
А&В C(CAB)U( U Ап).
n=fc + l
Тогда, используя неравенство
оо
Е С(Л.) <
п=/с+1
получим, что р*(АДВ) < е. Следовательно, множество А — измеримо.
00 U
Аналогично доказывается, что и множество = U Ап является
измеримым.
Далее, в силу свойства конечной. аддитивности имеем
к
p(A) = £>A„ + p(Cfc).
П = 1
Кроме того, ранее мы показали, что lim pCfc = 0. А это значит, что
/с—►ОО
оо
р(А) = £2 Теорема доказана.
П = 1
Важным следствием доказанного выше свойства счетной аддитив-
ности меры Лебега является измеримость пересечения счетного числа
измеримых множеств, а также измеримость объединения счетного или
конечного числа измеримых множеств при условии ограниченности
этого объединения.
В частности, отсюда имеем измеримость любого ограниченного
открытого множества Как объединения не более чем счетного числа
открытых стандартных прямоугольников. Но тогда и любое замкнутое
множество будет измеримым как дополнение до открытого множества,
а следовательно, будет измеримым по Лебегу и любое не более, чем
счетное, объединение и пересечение открытых и замкнутых множеств.
Докажем еще одно полезное свойство меры Лебега: свойство
непрерывности.
Теорема 3. Пусть Ai,..., Ап,... — измеримые множества,
ОО
и пусть А = Ап —- ограниченное множество. Кроме того, пусть
Ai С А2 С •  • С Ап С ... . Тогда р(А) = lim д(Ап).
П—*00
Доказательство. Имеем
Ап = Ai U (А2 \ Ai) U • •  U (Ап \ Ап-1), А = Ai ,У2(А» \ А,_1),
279
причем для любых s,t > 2,s t, справедливы соотношения
Ai Л (А, \ A,_i) = 0, (А, \ A,_j) Л (At \ At-i) = 0.
Тогда в силу свойства счетной аддитивности меры получим
lim /х(А„) = д(А1) + У2д(Аа \A,-i) = р(А).
п->оо	‘’
3-2
Теорема 3 доказана.
Отметим, что не всякое множество на плоскости измеримо по
Лебегу, но неизмеримые множества имеют довольно экзотический
вид.
Можно поставить вопрос о том, как связаны между собой понятия
измеримых множеств для разных размерностей. Например, если мы
имеем измеримую плоскую фигуру Р и будем пересекать ее прямыми,
параллельными одной из осей координат. Тогда в сечении будут
получаться линейные ограниченные множества. Измеримы ли они по
Лебегу? Этот, вопрос на самом деле имеет принципиально важное
значение и вот ответ на него. Да; но за исключением некоторого
множества прямых, которое в пересечении с другой осью координат
образует множество линейной меры нуль.
Вообще, если какое-нибудь условие выполнено для всех точек
множества М С Ж, за исключением множества точек М' С М, мера
которого равна нулю, д(М') = 0, то говорят, что это условие имеет
место для почти всех точек множества М. Термин почти все в
смысле меры Лебега означает, что некоторое свойство выполняется
на всем множестве, за исключением, быть может, множества меры
нуль.
Рассмотрим теперь линейную меру Лебега, т.е., меру Лебега для
ограниченных множеств на числовой прямой Ж. Очевидно, что счет-
ное множество имеет меру нуль. Возможен тогда второй вопрос:
существуют ли несчетные множества меры нуль? Да, существуют,
например, канторово совершенное множество М, являющееся подмно-
жеством отрезка [0, 1] и состоящее из тех чисел, которые записываются
в троичной системе счисления в виде бесконечной дроби, не содер-
жащей цифры 1. Например, числа 0,2; 0,200202; 0,222 .. .2 • •• = 1 и
Т.д.
Очевидно, множество М имеет мощность континуума, в то же
время оно получается так: отрезок [0,1] делится на три равные части
и выбрасывается средний интервал (1/3,2/3), затем эта процедура
повторяется с каждым из двух отрезков, полученных после первого
деления, и т.д.
Пусть Ео — исходный отрезок [0,1], Е\ — то множество, которое
осталось после первого шага, Е% — множество, оставшееся после
второго шага, и т.д.
280
Очевидно, Eq D Ei D • • • D En D ... и множество M равно О Еп.
П = 1
Тогда при любом п > 1 для верхней меры множества М справедливы
оценки р*(М) < ц(Еп). Очевидно, имеем
р(^п) —
Следовательно, мера множества М равна 0.
На этом мы завершаем изучение основ теории меры Лебега.
Лекция 16
§ 2. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА
Понятие линейной меры Лебега позволяет расширите класс инте-
грируемых функций с помощью введения понятия интеграла Лебега.
Для того чтобы сказать, что это такое, сначала введем понятие
измеримой функции.
Определение 1. Функция f(x), заданная на отрезке [а, 6], называ-
ется измеримой на этом отрезке, если для всякого у € Ж множество
Е точек х € [<х, 6], для которых выполняется неравенство f(x) < у,
является измеримым множеством на отрезке [а, 6] в смысле линейной
меры Лебега.
Из свойств меры Лебега, доказанных в предыдущем параграфе,
имеем, что вместе с множеством Е измеримыми будут множества
точек х G [а, 6], для которых справедливы соотношения
/(«) > У, Л*) = У> 2 < Л*) < У-
В частности, любая непрерывная на отрезке [а, 6] функция /(г)
измерима, поскольку множество Iy = {х € [а, 6]| f(x) > у} будет
замкнутым, а любое замкнутое множество является измеримым.
В качестве второго примера измеримой на отрезке I = [а, 6] функ-
ции /(г) рассмотрим ограниченную функцию, имеющую разрывы на
множестве лебеговой меры нуль. В силу критерия Лебега она бу-
дет интегрируема по Риману. Покажем, что эта функция является
измеримой.
Возьмём любое число у € Ж- Достаточно показать, что множество
1у = {« G I |Л*) > У)
является измеримым. Предельные точки xq множества 1У могут
быть двух видов: точками непрерывности функции /(г) и ее точками
разрыва. Если такая точка То — точка непрерывности, то она обязана
принадлежать 1У. Действительно, поскольку хо — предельная точка
множества 1У, существует последовательность точек xn G 1У таких,
что
lim хп = х0, f(xn) > у.
П~¥<Х)
Отсюда в силу непрерывности /(а;) в точке хо имеем
у < lim /(гп) = /( lim г„) = Лго),
“ П-ЮО	П-¥<Х)
282
т.е. точка xq принадлежит 1у.
Если же предельная точка хо множества 1У не принадлежит ему,
то она является точкой разрыва функции f(x). Обозначим множество
всех таких точек «о через F. Множество F имеет меру нуль как
подмножество множества нулевой меры Лебега.
В силу того, что множество А = Iy U F — замкнуто, оно измеримо.
Следовательно, множество 1у — измеримо, как разность измеримого
множества и множества меры нуль.
Тем самым установлена измеримость функции, имеющей множество
точек разрыва нулевой меры Лебега.
Рассмотрим далее функцию /(®), заданную на отрезке [а, 6], ограни-
ченную и измеримую на нем. Тогда для некоторого М > 0 для всех то-
чек х G [а, 6] выполняется неравенство |/(х)| < М. Отрезок [—М, М] на
оси ординат разобьем на п равных частей: — М < уо < yi • • • < уп — М.
Множество точек х, удовлетворяющих условию у, < f(x) < t/,+i, обо-
значим через Е,, s = 0, ...,n— 1. Заметим, что множество Ег —
измеримо. Положим ц, = р(Е3).
п —1
Определение 2. Сумму Sn = £2 назовем интегральной сум-
»=о
мой Лебега.
Можно доказать, что всегда существует предел /= lim Sn- Этот
n—too
предел называется интегралом Лебега от функции /(г) по отрезку
ь
[а, 6] и обозначается так: (L) f f(x) dx.
а
Поскольку для любой интегрируемой по Риману функции мно-
жество точек разрыва имеет меру нуль (критерий Лебега), в силу
доказанного выше она измерима по Лебегу. Более того, интеграл
Лебега от этой функции равен интегралу Римана. Действительно,
пусть Т : а = xq .< ху <  •  < хп = Ъ — произвольное разбиение отрез-
ка [а,6], Д, = [г,-i,®,], Дх,- = Х{ — ®<-1, гл,- = inf f(x),Mi = sup f(x).
Тогда для интеграла Лебега имеют место неравенства
f(x) dx < Mi&Xi.
Следовательно, в силу аддитивности интеграла Лебега, для верхней
S(T) и нижней s(T) сумм Дарбу получим
*(Л <
/(г) dx < S(T).
а
283
Отсюда, переходя к пределу при диаметре Дт разбиения Т, стремя-
щемся к нулю, будем иметь
ь
lim «(Т) = lim S(T) = (Я) [ f(x) dx.
Д^нО	Дт"*0	J
Таким образом, мы доказали, что интеграл Лебега равен интегралу
Римана, если последний существует. Заметим, что поэтому для инте-
грала Лебега используется то же обозначение, что и для интеграла
Римана.
Перейдем теперь к рассмотрению неограниченных измеримых функ-
ций на отрезке [а, 6]. Рассмотрим сначала случай неотрицательной
функции f(x). Для любого вещественного числа у определим функ-
цию fy(г) следующим образом:
Г /(г), если |/(г)| < у,
( у, если |/(г)| > у.
Эта функция измерима. Тогда
отрезке [а, 6] называется предел
интегралом от функции f(x) на
а	а
Если этот предел конечен, то функция /(г) называется суммиру-
емой. Очевидно, что суммируемая функция может обращаться в
бесконечность лишь на множестве лебеговой меры нуль.
Пусть теперь функция f(x) принимает значения произвольного
знака. Тогда определим функции
/+(г) = тах(/(г), 0), /_(г) = тах(-/(х), Q).
Будем говорить, что функция f(x) суммируема, если суммируемы
обе функции f+(x) и /-(ж), и интеграл от функции f(x) равен
разности интегралов от функций f+(x) и /-(х).
Отметим, что в случае ограниченной функции f(x) на отрезке
[а, 6] понятия суммируемой и измеримой функций совпадают. Из
определения суммируемой функции непосредственно следует, что:
1)	вместе с f(x) будет суммируемой функция |/(г)|, при этом
модуль интеграла от подынтегральной функции f(x) не превосходит
интеграла от модуля этой функции;
2)	если f(x) — измерима и |/(г)| — суммируема, то функция
/(г) — суммируема;
284
3)	если f(x) — измерима и модуль ее не превосходит суммируемой
функции д(х), то функция /(г) — суммируема;
4)	если /(г) — суммируема и д(х) — ограниченная измеримая
функция, то их произведение является суммируемой функцией;
5)	если f(x) — суммируемая функция и д(х) не совпадает с ней на
множестве меры нуль,, то функция д(х) -— суммируема, и интегралы
от этих функций равны между собой.
Отметим еще, что для интеграла Лебега от суммируемой функции
верны те же свойства, что и для интеграла Римана, но кроме
этого добавляется еще одно важное свойство: свойство счетной
аддитивности интеграла Лебега. Его можно сформулировать так.
Пусть на отрезке [а-, 6] задано счетное разбиение единицы, т.е.
задано счетное множество измеримых функций дп(х), принимающих
всего два значения 0 и 1, причем для любого х Е [а, 6] одна и только
одна функция дп(х) отлична от нуля. Тогда для всякой суммируемой
функции /(г) на отрезке [а, 6] имеем
b
//(«)
а
оо Ь
dx - ^2 / f(x)9n(x}
n=1Ja
dx.
Это свойство можно сформулировать и по-другому. Пусть отрезок
[а, 6] разбит на непересекающееся семейство измеримых множеств Еп.
Тогда интегралы от функции /(г) по множествам Еп существуют и
имеет место равенство
Интеграл по множеству Еп можно записать и так:
ь
у* f(x) dx = У f(x)gn(x) dx,
Е„	а
где дп(х) — индикаторная функция множества Еп, т.е.
, . Г 1,
М®) = < 0
если х Е Еп,
если х Еп.
В заключение отметим, что в случае интеграла Лебега упрощается
по сравнению с интегралом Римана предельный переход под знаком
интеграла. Приведем точную формулировку этого утверждения.
285
Теорема (теорема Лебега). Пусть на отрезке [a,fr] после-
довательность измеримых функций fn(x) сходится к функции f(x) и
пусть для некоторой суммируемой функции д(х) на отрезке [a, fr] вы-
полнено неравенство |/п(х)| < д(х)- Тогда предельная функция f(x) —
суммируема и имеет место равенство
ь	ь
lim / fn(x) dx = I f(x) dx.
n-*oo J	J
a	a
Доказательство. По условию теоремы абсолютные
величины функций fn(x\ 1, не превосходят суммируемой функции
<р(х). Следовательно, и абсолютная величина предельной функции f(x)
не превосходит <р(х), и значит, она является суммируемой функцией.
ь
Нам надо доказать, что lim Jgn(x) dx = 0, где gn(x) = f(x) — fn(x).
Зададимся произвольным числом £ > 0. Для каждого n > 1 опре-
делим множество Ап тех точек г, для которых |<7г»(ж)| > £i =
Тогда в силу упомянутого выше свойства счетной аддитивности меры
Лебега справедливо равенство lim рАп = 0. В противном случае на-
п—►оо
шлась бы точка х такая, что для бесконечного множества значений п
выполнялось неравенство hfr>(z)l > £1- А это противоречит тому, что
lim gn(x) ~ 0.
п—►оо
b
Представим интеграл J = f gn(x) dx в виде
a
J - Ji + 72,где Д = у* gn(x) dx, J2 = f gn(x) dx, I = [a, 6].
/\Лп '
По теореме о среднем имеем
1Л1 < fl(6-a) = £
О
а для интеграла J2 справедлива оценка
|Л| < j |Рп(г)| dx < 2 У <р(х) dx.
А п	Ап
Пусть Вт ={хСЛп| <р(х) > т}. Тогда в силу сходимости интеграла
Ф = / 9?(г) dx имеем
А,
lim / <р(х) dx = 0.
m-+oo /
286
Следовательно, существует mo € N такое, что для всех т > то имеет
в,
место неравенство J <р(х) dx <
в„
Далее, представим интеграл Ф в виде Ф = Ф1 + Ф2, где
Ф1
<р(х) dx, Ф2 =
<р(х) dx.
^n\^m
В силу теоремы о среднем имеем
|Ф2| < тц(Ап \Вт) < тц(Ап).
Поскольку мера множества Ап стремится к нулю при п —> оо, то при
любом фиксированном т > то можно указать по € N такое, что для
всех п > п0 справедливо неравенство
|Ф2| < тц(Ап) < е~.
О
Следовательно, для любого € > 0 мы нашли no € N такое, что для
всех п > по выполняется неравенство
т.е.
lim / дп(х) dx = 0.
п—►оо /
Теорема доказана.
Отметим еще один факт, состоящий в том, что для ограниченной
неотрицательной функции интегрируемость по Лебегу эквивалентна
измеримости по Лебегу ее криволинейной трапеции.
Для более полного изучения теории интеграла Лебега можно по-
знакомиться со следующими оригинальными работами: Н. Lebesgue.
Integrate, Longueur, Aire. These, Paris, 1902; C. de la Vallee Poussin.
Integrates de Lebesgue. Fonctions d’erisemble. Classes de Baire.
Gauthier - Villars et C'e, Paris, 1916; А. Лебег. Интегрирование и
отыскание примитивных функций, М. - Л., 1934; Н. Н. Лузин. Ин-
теграл и тригонометрический ряд, ГИТТЛ, М. - Л., 1951; Ш. де ла
Валле Пуссен. Курс анализа бесконечно малых. Т.1, ГТТИ, М. - Л.,
1933.
Лекция 17
§ 3. ИНТЕГРАЛ СТИЛЬТЬЕСА
Имеется еще одно обобщение понятия интеграла Римана — это
интеграл Стильтьеса. Он отражает другую особенность интеграла
Римана по сравнению с интегралом Лебега. Если мера Лебега
и интеграл Лебега вводились для того, чтобы расширить класс
измеримых множеств и класс интегрируемых функций, То введением
интеграла Стильтьеса мы решаем другую задачу. Дело в том, что
на интеграл
' ь
I = f f(x) dx
а
можно посмотреть вот с какой стороны. При фиксированном отрезке
[а, 6] интеграл I — это число, которое ставится в соответствие ка-
ждой интегрируемой функции. Тем самым, интеграл Римана задает
некоторую числовую функцию, определенную на множестве {/} всех
функций, интегрируемых на отрезке [а,6]. Сузим класс функций и
будем рассматривать непрерывные функции, определенные на отрезке
[а, 6]. Множество всех таких функций принято обозначать символом
С[а,6], причем для каждой функции / € С’[а,6] определяют величину
||/|| = max |/(х)|, называемую нормой функции /(г) в пространстве
rg[a,b]
С[а, 6]. Пусть / € С[а, 6], тогда, как мы знаем, / — интегрируема по
Риману на отрезке [а, 6] и
ь
1(f) = I f(x) dx.
а
1(f) — линейная числовая функция, т.е. для любых f,g€C[a,b] и
любых а, 0 6 Ж справедливо равенство /(а/4- 0д) = al(f) + 01(g).
Напомним, что числовые функции, определенные на множестве,
элементами которого являются функции, во избежание путаницы,
называют функционалами. Более того, функционал I, ставящий
всякой функции / € С [а, 6] в соответствие число 1(f), называется
линейным функционалом, если выполняются следующие свойства:
1°. Аддитивность: /(/i + /2) = I(fi) + I(fi) 4fi, f'i E C[a, 6];
2°. Однородность: I(cf) = cl(f) Vc G R, V/ G C[a, 6];
3°. Ограниченность: существует M > 0 такое, что для любой функ-
ции / G С[а,6] справедливо неравенство |/(/)| < Af||/||. Наименьшее
из таких чисел М называется нормой линейного функционала I
и обозначается ||/||.
288
Таким образом, интеграл Римана /(/) задает линейный функционал
на пространстве С[а, 6]. С помощью интеграла Римана на пространстве
С [а, 6] можно построить много других линейных функционалов. На-
пример, для любой фиксированной интегрируемой по Риману функции
д(х) на пространстве С [а, 6] можно задать линейный функционал
ь
Igif) = //(г)р(®) dx.
а
Заметим, что, если функция G(x) такова, что для всякого х € [а, 6]
справедливо равенство д(х) = G'(x), то Ig(f) можно представить в
виде
ь
= / /(*) dG(x).
а
Для развития теории интегрирования и для некоторых ее приложе-
ний, например, для теории вероятностей, вариационного исчисления,
теоретической механики, важно иметь ответ на вопрос: любой ли ли-
нейный функционал 9?(/) на пространстве С[а,6] можно представить
в таком виде, т.е. всегда ли найдется такая функция д(х), что
ь	ь
Я/) = МП = //(*)$(*) dx = l/(х) dGfr).
а	а
Легко понять, что если мы имеем дело с обычным интегралом Римана,
то ответ отрицательный, так как тогда, например, функционал у>(/) =
/(хо), где хо — фиксированная точка отрезка [а, 6] (в частности,
хо = в таком виде представить нельзя. Но мржно расширить
понятие интеграла Римана таким образом, что уже любой линейный
функционал 9?(/) на пространстве С’[а,6] можно будет представить в
виде
b
Я/) = //(*) dG(x).
а
Расширение понятия интеграла Римана в указанном направлении и
достигается введением понятия интеграла Стильтьеса. Для этого
нам потребуется определить новый класс функций.
Определение. Функция и(х) называется функцией с ограничен-
ным изменением или, что то же самое, функцией ограниченной
вариации на отрезке [а, 6], если существует вещественное число
10 Лекции по математическому анализу
289
М > 0 такое, что для любого разбиения Т : a = to <t\ <    <tn = b
выполняется неравенство
п
И/;Л = Е№)-«М1<М-
J=1
Величина, равная supV(/;T) = Va(/), называется полным изме-
т
нением или полной вариацией функции f(x) на отрезке [а, 6].
Отметим следующие свойства функций с ограниченным изменением
на отрезке.
1°. Сумма двух функций с ограниченным изменением есть функция
с ограниченным изменением.
Действительно, пусть Л(х). = f(x)+g(x). Тогда для любого разбиения
Т отрезка [а, 6] справедливо неравенство V(h,T) < V(f, Т) + V(g,T).
Отсюда следует, что полное изменение Va(/i) функции h(x) не пре-
восходит суммы полных изменений функций f(x) и д(х).
2°. Ограниченная монотонная функция на отрезке [а, Ь] — функция
с ограниченным изменением.
Рассмотрим только случай неубывающей функции f(x) на отрезке
[а, 6]. Имеем
Vb(f) = /W - /(«)•
3°. Пусть a < с < b и функция f(x) имеет ограниченное изменение
на отрезке [а, 6], тогда имеет место равенство Va(/) = Va(/) + Vcb(/).
Возьмем любые разбиения и 7г отрезков [а, с] и [с, 6] и положим
T = TiOT2. Тогда V(f,T) = V(f,Ti)+y(f,T2). Так как
supy(/,Ti) = Vac(f), sup V(/,T2) = Кь(/),
Ti	Ti
то, переходя в предыдущем равенстве к супремумам по разбиениям
Т\ и 7г, получим
W) +Vcb(/) = sup V(f,T)< Vab(f).
T—TjUTt
Возьмем теперь любое разбиение Т отрезка [а, 6] и добавим к нему
точку с. Получим разбиения Т\ отрезка [а, с] и 7г отрезка [с, 6]. Тогда
И/, Л <V(f,Ti) + V(f,T2).
Переходя в этом неравенстве к супремумам по всем разбиениям Т,
получим
Vab(f) < sup(V(/,Ti) + V(/,T2)) < V'(f) + Vb(f).
т
290
Вместе с ранее доказанным противоположным неравенством это дает
Vab(f) = W) + veb(f).
4°. Каждая функция с ограниченным изменением на отрезке [а, 6]
может быть представлена как разнорть двух ограниченных монотонно
возрастающих функций.
Положим <f>(x) = Тогда функция <р(х) не убывает и неотри-
цательна на отрезке [а, 6]. Далее, положим ф(х) = <f>(x) — f(x). При
xi > х? имеем
V-(xi) - 1/>(х2) = V*' - V*' - f(X1) + f(x2) =	- f(x2)) > 0,
так как
n
= sup V(f,T) > sup 1£(/(a,) - /(a,-0)1 = ]/(x2) -
T	T 7^
5°. Функция с конечным числом максимумов и минимумов на
отрезке [а, 6] является функцией с ограниченным изменением.
Пусть отрезки [x,_i,xt], s —	задают участки монотонности
функции /(х) на отрезке [а, 6]. Тогда
W) = Е	= 1/(®Л - /(^-1)1-
Э = 1
Пример. Найти полное изменение функции /(х) = sinx при
х € [0,2зг].
Разобьем отрезок [0,2тг] на отрезки монотонности функции sinx :
[0, у], [у, у], [у-, 2тг]. Тогда согласно свойствам 5° и 3° будем иметь:
если 0 < х < тг/2,
если тг/2 < х < Зтг/2,
если Зтг/2 < х < 2тг.
Пусть /(х) — непрерывная функция и и(х) — функция с огра-
ниченным изменением на отрезке [а, 6], и пусть V = {а = to < h <
  • < tn = Ь,	. , £n} — размеченное разбиение отрезка [a, 6] и
Т = T(V) — соответствующее ему неразмеченное разбиение. Пусть,
кроме того,
Д,и = u(t,) - a(V) = ffu(V) = £2/(&)Д,и.
*=i
{sinx,
2 — sinx,
4 + sin x,
io*
291
Тогда ст(У) называется интегральной суммой Стильтьеса.
Если существует предел
lim <т(У) =/и(/),
Ду->0
то функция f(x) называется интегрируемой по функции и(х) на
отрезке [а, 6], а величина I = Iu(f) — интегралом Стильтьеса от
функции f(x) по функции и(х) (или относительно функции и(х)) и
обозначается так:
ь
I = I»(f) = У f(x) du(x).
а
Этот предел можно рассматривать как предел по базе В, окончаниями
которой Ъ = bf служат множества, состоящие из размеченных разбие-
ний U с диаметром Ду < <5. Следовательно, предел I единственен.
Докажем теперь одно достаточное условие существования интеграла
Стильтьеса.
Теорема (достаточное условие интегрируемости). Пусть
функция и(х) имеет ограниченное изменение на отрезке [а,Ь]. Тогда
ь
для существования интеграла Стильтьеса f f(x) du(x) достаточно,
а
чтобы функция f(x) была непрерывной на [а, 6].
Доказательство. По критерию Коши имеем, что
существование предела интегральных сумм Стильтьеса, lim <r(U),
Ди->0
эквивалентно выполнению условия Коши: для всякого е > 0 должно
найтись число 6 = 6(e) > 0 такое, что для любых размеченных
разбиений Ui и £72 с условием Д^, < <5, Дсг3 < 6, следует, что
справедливо неравенство [<r(Z7i) — <т(С/2) | < е.
Обозначим через v полное изменение функции и(х) на отрезке [а, 6].
Зададимся произвольным числом е > 0. Тогда в силу непрерывности
функции f(x) существует число 6 = <f(e) >0 такое, что для любых
xi, х2 с условием |xi—T2| < 6 выполняется неравенство |/(ti) —/(х2)| <
Si = e/2v. Возьмем теперь любые размеченные разбиения Ui и С/2 с
диаметрами Д^, и Ду2, меньшими 6. Пусть Т\ = T(U\) и Т2 = Т(£72) —
соответствующие им неразмеченные разбиения отрезка [а, 6]. Разбиение
Тз = 71 U 7г является измельчением разбиений 71 и Т2, и пусть U3 —
произвольное разбиение с условием 7з = Т(Вз). Тогда
П	n kj
HfA) - <т(£7з)| =	/(х,)Д,и - ££/(х.-7)Д.,>Ы)| =
i=i	«=1 >=1
i=l ;=1
292
Аналогично доказывается, что |<r(t/j) — <т(^з)| < «1«- Следовательно,
ИГЛ) - <т(<73)| < И^) - <r(U3)| + |<r(U3) - <r(U3)| < 2eiv = e.
Теорема доказана.
Укажем основные свойства интеграла Стильтьеса.
1°. Если функция и(х) дифференцируема, то имеет место равенство
где последний интеграл понимается как интеграл Римана.
2°. Свойство линейности:
ь	ь	ь
!(Л(®) + Л(®)) du(x) = ! fi(x) du(x) + У f2(x) du(x),
3°. При a < с < b имеем
(свойство аддитивности).
4°. Если f'(x) и и(г) интегрируемы по Риману, то имеет место
следующее правило интегрирования по частям:
ь	ь
У /(«) du(x) = /(х)и(г)|‘ - У f'(x)u(x) dx,
а	а
где последний интеграл понимается как интеграл Римана.
5°. Если и(х) монотонно возрастает на отрезке [а, 6] и f(x) > g(x)
на этом отрезке, то
Приведем примеры вычисления интегралов Стильтьеса.
293
1. Пусть {х} — дробная часть числа х, т.е. {х} = х — [х], где
[х] = т € Z — целая часть числа х, т < х < т + 1. Найти значение
з
интеграла J х d{x}.
о
Имеем:
з	з
У X d{x} = У X dx + 1 • (-1) + 2 • (-1) + 3  (-1) = -1,5.
о	О
2. Пусть
{sinx, если 0 < х < тг,
cos x, если тг < х < 2тг.
2»
Вычислить интеграл I — f х du(x).
о
Имеем:
ж	2ж
1 = У xdsinx-J- У х dcosx + (—1) • тг = —2.
О	Я-
В заключение приведем теорему об общем виде линейного функ-
ционала в пространстве С[а,6].
Теорема. 1) Пусть функция и(х) имеет ограниченное
изменение на отрезке [а, к]. Тогда интеграл Стильтьеса
ь
1(f) = У /(х) dx
a
является линейным функционалом в пространстве С[а,6].
2) Пусть 1(f) — любой линейный функционал в С[а,6]. Тогда
существует функция и(х) с ограниченным изменением на отрезке
[а,&] такая, что 1(f) представляется в виде
ь
1(f) = У f(x) du(x).
a
Мы не будем давать полного доказательства этой теоремы, оста-
новимся только на его основных моментах.
1) Аддитивность и однородность 1(f) следует из линейности ин-
тегральных сумм Стильтьеса <r(U), соответствующих размеченному
разбиению U отрезка [а,6], Т — T(U). Для этой суммы справедливо
неравенство
k(l/)| < ll/ll -V(u,T) < ll/H ,Vb(u).
294
Переходя в нем к пределу при Д v —> О, получим
ь
11/(z) du(z)| < ||/||K6(u).
Тем самым, доказана ограниченность 1(f).
2) Пусть 1(f) — линейный функционал на пространстве С[а, 6].
Этот функционал можно продолжить на пространство ступенчатых
функций. Пусть отрезок [а,/?] содержится в отрезке [а,6]. Тогда
положим
{О, если х = а, /3 < х < 6,
1, если а < х < р.
Далее определим функцию 1р(х) — и(/3). Эта функция и(0) имеет
ограниченное изменение на отрезке [а, 6].
Зададимся произвольным е > 0. Тогда в силу равномерной непре-
рывности f(x) на отрезке [а, 6] будем иметь, что существует число
6 = 6(е) > 0 такое, что для всех zi, х? с условием |zi — zj| < 6 выпол-
няется неравенство |/(zj) — /(х?)| < Возьмем теперь размеченное
разбиение U : {а = zo < zj < • • • < хп = 6,ft,... ,ft»} с диаметром Ду,
меньшим 6.
Рассмотрим функцию
п
ч>(*) = /(ft)xr>(®) +	- х^-Ах))-
к=2
Отсюда имеем
п
и?) = /(6)«(«i) + 52/(&)(«(**) - «(**-1))-
к=2
Далее, из определения функции <р(х) получим, что для любого z € [а, 6]
справедливо неравенство |/(z) — y>(z)| < е. Следовательно, имеем
|//-Лр| = |/(/-р)|<е||/||.
А это означает, что при Ду —> 0 величина If является пределом
величин 1у>, но предел 1у> представляет собой интеграл Стильтьеса
На этом и завершается доказательство теоремы.
Глава XIII
НЕКОТОРЫЕ ПОНЯТИЯ ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ.
МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА
Лекция 18
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ПРОСТРАНСТВ
В предыдущей главе было показано, что с помощью интеграла
Стильтьеса можно выражать линейные функционалы, определенные
на пространстве непрерывных функций С[а, 6]. На примере простран-
ства С[а,6] мы познакомились с функциональным пространством.
Может возникнуть в'опрос: почему множество С[а,6] непрерывных на
отрезке [а, 6] функций называется пространством? Ответ достаточно
прост. Дело в том, что термин “пространство” по существу экви-
валентен термину “множество”. Отличие состоит в том, что термин
пространство “в чистом виде” употребляется редко, а чаще в соче-
тании с другими терминами, например: топологическое пространство,
метрическое, линейное, нормированное пространства и т.д. Все эти
понятия играют важную роль в математике вообще и в математиче-
ском анализе в частности. Здесь мы познакомимся с некоторыми из
них. Рассмотрим следующую схему.
Пространства
Топологические Линейные (векторные)
4	\	Ф
Хаусдорфовы Линейные топологические
4.	;
Метрические —> Нормированные
Полные —> Банаховы —> Гильбертовы —> Евклидовы
На этой схеме показаны те некоторые из рассматриваемых в матема-
тйке пространств, определения которых мы дадим. Стрелки имеют
следующий смысл: то пространство, на которое указывает стрелка,
является частным случаем того, из которого она “выходит”.
296
Перейдем к определению пространств, указанных на схеме.
Пусть X — некоторое множество, Е = Е% — множество, состоящее
из некоторых подмножеств множества X, т.е. Е С О(Х), где П(Х) —
множество всех подмножеств X. Пусть Е обладает следующими свой-
ствами:
1°. X е Е, 0 6 Е;
2°. а) Если А и В 6 Е, то А Г) В 6 Е;
б) Объединение любого числа элементов из Е принадлежит Е.
Для того чтобы указать, что элементами Е являются некоторые
подмножества множества X, говорят, что Е есть некоторая система
подмножеств.
Определение 1. Каждая система подмножеств Е, удовлетворя-
ющая свойствами 1° и 2°, называется топологией на множестве
X.
Определение 2. Пара множеств (X, Е) называется топологиче-
ским пространством.
Часто говорят просто, что X — топологическое пространство, если
на нем задана топология Е. Каждый элемент <т Е Е, т.е. каждое под-
множество <т С X, принадлежащее системе Е, называется открытым
множеством (в топологии Е).
Любое подмножество А С X такое, что X \ А 6 Е, называется
замкнутым множеством (в топологии Е).
Пусть х — некоторая точка, принадлежащая X. Тогда любой
элемент «7 6 Е, которому принадлежит точка х, называется окрест-
ностью точки х, т.е. любое открытое множество, содержащее точку
х, называется ее окрестностью. Фиксированные окрестности точки х
часто обозначают символом <тх.
Определение 3. Топологическое пространство Т = (X, Е) называ-
ется хауедорфовым, если любые две различные точки х и у этого
пространства имеют непересекающиеся окрестности ах и ау € Е, т.е.
<7Г Л (Ту = 0. ’
Пример хауедорфова пространства (IR,E). Пусть множество Е
состоит из всевозможных подмножеств вещественной оси Ж, имеющих
в своем составе конечное или счетное число непересекающихся интер-
валов. Тогда пространство (Ж,Е) является хауедорфовым, поскольку
любые две различные точки х и у можно окружить непересекающи-
мися открытыми «J-окрестностями.
Отметим, что изучение различных топологических пространств со-
ставляет предмет теоретико-множественной топологии.
297
Определение 4. Пусть задан декартов квадрат X2 = X х X неко-
торого множества X и пусть на множестве X2 определена числовая
функция p(xi,X2) со следующими свойствами:
1)	.для любых (xi,X2) 6 X2 имеем p(xi,X2) > 0, причем p(xi,X2) = О,
если Xi = Х2 (неотрицательность);
2)	для любых (xi,Х2) 6 X2 имеем p(xi,X2} =/>(®2,®i) (симметрич-
ность);
3)	для любых x,y,z € X справедливо неравенство треугольника:
Р(Х,У) < />(*.*) + Р(г,у).
Тогда пара (X, р) или само множество X называется метрическим
пространством, а функция р(х\, хг) называется метрикой этого
пространства, или расстоянием от точки х\ до точки Х2, или
функцией расстояния.
Примеры. 1. Пусть X — произвольное множество и
О, бели х = у,
1, если х £ у,
тогда пара (Х,р) является метрическим пространством.
2. Пусть на множестве вещественных чисел расстояние задается
по формуле р(х,у) = |г — у|, тогда пара (®,р) является метрическим
пространством.
Отметим, что метрику на одном и том же множестве X можно
задавать по-разному. При этом получаются различные метрические
пространства. Например, на плоскости R2 можно задать расстояние
между точками х = (11,12) и у = (yi, 2/2) как по формуле
Ро(х,у) = шах(|х! - J/i|, 1*2-У2|),
так и по формуле
р(*,у) =
р(х, у) = \/(®1 - !/1)2 + (*2 - У2)2
Для всякого числа е > 0 определим открытые е-окрестности точек
х £Х в метрическом пространстве (X,р) (обозначим их через <rr(t))
как множество точек, содержащееся в X и состоящее изо всех то-
чек точек у 6 X с условием р(х,у) < е. Множества <т, являющиеся
объединением любой совокупности, составленной из е-окрестностей
различных точек х € X, назовем открытыми. Тогда можно пока-
зать, что система Множеств Е = {<т} задает на множестве X тополо-
гию и превращает это множество в топологическое хаусдорфово
пространство. Заданная топология называется топологией, поро-
жденной метрикой р.
298
Определение 5. Последовательность точек xi, xj,..., хп,... метри-
ческого пространства (X, />) называется последовательностью Коши
или чаще фундаментальной последовательностью, если она удо-
влетворяет условию Коши, а именно: для всякого числа е > О
наймется номер n0 = no(f) такой, что для всех номеров П1,пг > по
имеем р(хП1,хП2) < е.
Определение 6. Последовательность {xn € X} называется сходя-
щейся к точке a € X, если числовая последовательность рп = р(хп, а)
сходится к нулю при п, стремящемся к бесконечности.
Этот факт записывается так: lim xn = а.
П—>00
Из неравенства треугольника легко можно показать, что такая
точка а € X единственна.
Определение 7. Метрическое пространство (X, р) называется пол-
ным, если всякая последовательность Коши сходится к некоторой
точке a € X.
Теперь обратимся к линейным пространствам, которые должны
быть знакомы из курса высшей алгебры.
Определение 8. Множество X = {х} назовем линейным про-
странством, если выполнены следующие условия:
1)	для любых двух элементов х,у g X однозначно определен
элемент z такой, что z = х + у, называемый их суммой,
причем:
а)	х + (у + z) = (х + у) + z-,
б)	х + у = у + х;
в)	существует нулевой элемент 0, такой, что для любого х G X
имеем х + 0 = х;
г)	для всякого х € X существует обратный элемент (—х), такой,
что х + (—х) = 0;
2)	для любого вещественного числа а и любого х 6 X определен
элемент ax € X (произведение элемента х G X на число а € Ж),
причем:
a)	a{fix} = (afl)x;
б)	1  х = х;
3)	операции сложения и умножения связаны свойством дистрибу-
тивности:
а)	(а + /?)х = ах + 0х;
б)	а(х + у) = ах + ау.
Примерами линейных пространств являются n-мерное векторное
пространство, пространство непрерывных функций С[а,6].
Элементы линейного пространства называются векторами.
299
Определение 9. Линейное пространство X называется норми-
рованным, если для любого вектора х определена его норма ||х||,
обладающая следующими свойствами:
1)	1Ю|| = 0;
2)	для любого х / 0 имеем ЦхЦ >0;
3)	для всякого вещественного числа а имеем ||ai|| = |а||И|;
4)	для любых элементов х,у 6 X справедливо неравенство тре-
угольника: Цх + j/Ц < ||х|| + ||j/||.
Заметим, что пространство С[а, 6] функций, непрерывных на отрезке
[a, 6], является нормированным пространством с нормой
11/11 = max 1/(а:) |.
x<z[a,b]
Утверждение. Функция р(х,у) = Цх — у||, определенная на декар-
товом квадрате X2, где X — нормированное пространство, является
метрикой на пространстве X.
Доказательство. Покажем, что функция р(х, у)
является метрикой. Для этого надо проверить, что функция р(х,у):
1) неотрицательна; 2) симметрична и 3) удовлетворяет неравенству
треугольника.
Действительно, имеем:
1)	р(х,у) = ||х - !/|| > 0 и р(х,у) = ||х - у|| = 0 тогда и только
тогда, когда х = у,
2)	р(х,у) = ||х-j/Ц = | - 1| • ||j/-x|| =р(у,х);
3)	пусть а = х — z, b = z — у, тогда имеем
р(х, у) = ||а + 6|| < ||а|| + Н&П = ||х - z|| + ||z - ж|| = р(х, z) + p(z, у).
Утверждение доказано.
Определение 10. Полное нормированное пространство называется
банаховым пространством.
Теперь мы переходим к определению гильбертова пространства.
Для этого нам потребуется определение скалярного произведения.
Пусть на множестве X задана структура линейного пространства.
Определим функцию /(а, 6) на декартовом квадрате X2, т.е. на
множестве пар (a,b), где a 6 X, b£X. Пусть далее функция f(a,b)
обладает следующими свойствами.
1°. Для любого элемента a € X имеем /(а, а) > 0 при a / 0
(положительность).
2°. Для любых элементов а, b € X имеем /(а, 6) = f(b, а) (симме-
тричность) .
зоо
3°. Для любых элементов a, b, с € X имеем f(a, b+c) — f(a, b) + f(a, с)
(аддитивность).
4°. Для любых элементов a,b € X и любого вещественного числа
А справедливо равенство /(Аа, b) = f(a, Ab) = А/(а,6) (однородность).
Функцию /(а, Ь) со свойствами 1° - 4° называют скалярным
произведением. Будем записывать ее просто как (а, Ь).
Оказывается, что функция у/(а, а) — ||а|| является нормой, и само
пространство X с этой нормой, таким образом, является нормиро-
ванным.	_____
В самом деле, неотрицательность и однородность функции у/(а, а)
очевидна. Осталось проверить неравенство треугольника. Сначала
докажем неравенство Коши:
(*,3/)2 < (х,х)(у,у).
Положим Xi = j/i = Тогда последнее неравенство следует
из того, что |(xi,yi)| < 1. Действительно, без ограничения общности
можно считать, что (xj,JZ1) > 0, и тогда имеем
О < (zi - 1/1, а?! - j/J = (xi.xj) + (j/i, j/i) - 2(xi, j/i) = 2 - 2(x1,y1),
откуда получим (xi,yi) < 1, что и требовалось доказать.
Докажем теперь неравенство треугольника:
у/(х +у,х + у) < у/(х,х) + у/(у, у).
Используя неравенство Коши, имеем
||х + 3/112 - (х + у,х + у) = (х, х) + (у, у) + 2(х, у) <
< Н*1|2 + Нз/ll2 +2|И| -1Ы1 = (||х|| + ||у||)2.
Полное метрическое пространство X с метрикой р(х, у) = ||х — у||
называется гильбертовым пространством. Следовательно, гильбер-
тово пространство — частный случай банахова пространства X с
нормой ||х|| = у/(х, х). Конечномерное гильбертово пространство назы-
вается евклидовым пространством. Рассмотрением этих пространств
мы и ограничимся, и в дальнейшем более подробно будем изучать
метрические пространства.
Лекция 19
§ 2. ХАУСДОРФОВОСТЬ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА В
ЕСТЕСТВЕННОЙ ТОПОЛОГИИ
Сначала введем понятие открытого множества в метрическом про-
странстве.
Определение 1. При любом е > 0 открытым шаром О(я,е)
радиуса. € с центром в точке а в метрическом пространстве (X, р) на-
зывается множество, состоящее из всех точек х G X, удовлетворяющих
условию
р(а, х) < е.
Определение 2. Шар О(а,е) называется также s-окрестностью
точки а.
Определение 3. Множество точек К(а,е), определяемое условием
р(а,х) < е, называется замкнутым шаром радиуса £ > 0 с центром
в точке а.
Заметим, что при Ei < Ег имеем
О(а,Е1) С О(а,Е2), K(a,£i) С А(а,Е2)-
Определение 4. Точка a G М С X называется внутренней точкой
множества М, если она имеет е-окрестностъ, целиком составленную
из точек множества М.
Определение 5. Множество М называется открытым, если
любая его точка является внутренней.
Пример. Для всякой точки а G X любая ее Е-окрестность будет
открытым множеством.
Действительно, если точка у G O(a,s), то имеем ро = р(а,у) < £
Возьмем si - окрестность точки у, где Ei = Тогда эта окрестность
целиком принадлежит множеству O(a,s), так как для всякой точки
z£O(y,Ei) из неравенства треугольника имеем
p(a, z) < p(a, у) + р(у, z)<p0+	= | + у < е,
т.е. p(a,z) < S, следовательно, точка z- G O(a,s), что и требовалось
доказать.
Докажем несколько свойств открытых и замкнутых множеств.
302
Утверждение !. Пересечение двух открытых в X множеств Mi
и М2 — открытое множество.
Доказательство. Пусть х € AfiDAf2, тогда х € Mi, х G Mi-
Поскольку Mi и Mi — открытые множества, найдется ei-окрестность
точки х, содержащаяся в Mi, и найдется £2-окрестность точки х,
содержащаяся в М2. Возьмем е = min(si,s2). Тогда Е-окрестность
точки х принадлежит и множеству Mi, и множеству ЛГ2, т.е. е-
окрестность точки х содержится в AfiQAf2, что и требовалось доказать.-
Утверждение 2. Объединение V любого числа, открытых множеств
М является открытым множеством.
Доказательство. Возьмем любую точку х £ V. Тогда
существует множество М С V такое, что х G V, и точка х — внутрен-
няя точка множества М. Следовательно, существует s-окрестность
точки х, целиком содержащаяся в М, а значит, содержащаяся в V,
что и требовалось доказать.
Итак, введенные нами открытые множества образуют тополо-
гию, которую называют естественной топологией метрического
пространства. Это пространство будет и хауедорфовым. Действи-
тельно, пусть х,у — любые точки метрического пространства X и
х / у, р(х,у) = ро > 0, тогда окрестности О{х, ^-) и О(у, ^-) этих
точек, согласно неравенству треугольника, не пересекаются. Если бы
существовал элемент z £ О(х, !~\О(у, то
Ро =р(х,у) <p(x,z)+p(z,y) <	+	,
V V	м
т.е. ро = 0, но это не так.
§ 3. ВНУТРЕННИЕ, ВНЕШНИЕ И ГРАНИЧНЫЕ ТОЧКИ
МНОЖЕСТВА В МЕТРИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ
Определение 1. Любое открытое множество <т, содержащее точку
х, называется окрестностью точки х.
Определение 2. Всякое множество х метрического пространства
X, дополнение которого <г = Х\х — открыто, называется замкнутым.
Определение 3. Внешней точкой множества А называется всякая
внутренняя точка его дополнения В = X \ А.
Определение 4. Точка z называется граничной точкой множества
А, если она не является ни внутренней, ни внешней точкой этого
множества.
Множество {z} всех граничных точек А называется границей и
обозначается через дА.
зоз
Утверждение 1. Пусть В = Х\ А. Тогда. 9А = 9В, т.е. множества
А и В имеют общую границу.
Действительно, если z •— граничная точка множества А, то любая
ее окрестность содержит как точки из множества А, так и точки
из множества В, а потому z — граничная точка множества В. И
наоборот, если z € 9В, то z е 9А. Следовательно, границы множеств
А и В совпадают, т.е. 9А = 9В, что и требовалось доказать.
Утверждение 2. Если множество А —- замкнуто, то 9А С А.
Действительно, в силу того, что множество В — X \ А — открыто,
точки его границы 9В не принадлежат В, а значит, они принадлежат
его дополнению, т.е. множеству А и 9В С А, но так как 9А = 9В,
то 9А С А, что и требовалось доказать.
Определение 5. а) Точка а называется предельной точкой
множества А, если в любой е-окрестности точки а содержится хотя
бы одна точка х G А такая, что х ф а.
б) Точка а называется предельной точкой множества А, если
существует последовательность точек {xnJ С A, xn а такая, что
lim xn = а.
п—>оо
Утверждение 3. Определения а) и б) эквивалентны.
Докоза тел ь с те о. Докажем, что из а) следует б).
Для этого нам надо построить последовательность {х„}, сходящуюся
к а, хп / а. Строим ее так. Точку Zi G А выбираем произвольно
в 1-окрестности точки а, точку х? — в 1/2-окрестности точки а и
т.д. Тогда для любого числа е > 0 вне любой s-окрестности точки а
содержится не более По = По(е) = [1/е] + 1 точек последовательности
{хп}, т.е. точка а является пределом последовательности {хп}-
Докажем теперь, что из б) следует а). Поскольку последователь-
ность {z„J бесконечна и вне любой окрестности точки а лежит лишь
конечное число членов последовательности, в ней содержится хотя
бы один член этой последовательности, что и требовалось доказать.
Определение 6. Если точка х Е А, но не является предельной
точкой множества А, то она называется изолированной точкой
множества А.
Теперь заметим, что в определении сходимости в полном метриче-
ском пространстве последовательности {хп} к точке а не обязательно
требовать, чтобы {хп} была фундаментальной, так как, если для
любого е > 0 существует по = по(е) такое, что для любого п > по
выполнено неравенство p(xn,a) < е/2, то тогда для любых П1,П2 > По
имеем
р(хП1,хП2) < р(хП1,а) + р(хП2,а) < - + - = е,
т.е. последовательность {яп} фундаментальна.
Докажем еще одно простое утверждение.
304
Утверждение 4. Если последовательность {хп} имеет предел, рав-
ный числу а, то а — единственная ее предельная точка.
Действительно, пусть 6 — другая предельная точка. Тогда
p(a,b) = ро > 0. Возьмем ро/2-окрестность точки а. Вне ее нахо-
дится лишь конечное число точек последовательности. Тогда внутри
/>о/2-окрестности точки b будет находиться лишь конечное число
членов этой последовательности, быть может, ни одного. Противо-
речие. Следовательно, последовательность, имеющая предел, имеет
единственную предельную точку, что и требовалось доказать.
Докажем теперь критерий замкнутости множества.
Теорема, а) Множество является замкнутым тогда и только
тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.
б) Множество А замкнуто тогда и только тогда, когда его граница
ЗА содержится в нем, т.е. 9А С А.
Доказательство. Сначала докажем утверждение а).
Необходимость. Пусть lim хп = а, хп € А. Надо доказать, что
п—>оо
а € А. Точка а не может быть внешней для множества А, так как
в любой ее окрестности есть точки из А. Значит, она является либо
внутренней, либо граничной, т.е. а Е А или a Е 9А С А, и в обоих
случаях точка а принадлежит множеству А. Необходимость доказана.
Достаточность. Пусть множество А содержит все свои предельные
точки. Нам надо доказать, что его дополнение В = X \ А является
открытым множеством, т.е. любая точка х G В является внутренней
точкой множества В. Если х Е В, то точка х или внутренняя точка
В, или граничная точка В. В первом случае доказывать нечего.
Разберем второй, случай х Е В и х Е дВ, т.е. х — граничная точка
множества В. Но с одной стороны эта точка не принадлежит А, так
как х Е В, ас другой стороны — точка х Е ЗВ = дА, т.е. в любой
окрестности точки х есть точка из множества А,, и потому х Е А
по условию теоремы, но это невозможно, так как х Е В, по нашему
предположению, и ЛПВ = 0. Следовательно, точка х дВ, т.е. имеет
место только первый случай: х — внутренняя точка множества В,
что и требовалось доказать.
Докажем теперь утверждение б). Необходимость. Ранее мы уже
доказали, что если А — замкнуто, то дА С А.
Достаточность. Нам надо доказать, что если ЗА С А, то мно-
жество В = X \ А — открыто. Мы знаем, что дА = дВ, и поэтому
ЗВ С А, откуда дВ П В = 0. Это значит, что граничные точки мно-
жества В в него не входят, а входят только внутренние точки В, т.е.
точки множества В — внутренние. Следовательно, множество В —
открыто, а значит, множество А — замкнуто.
Теорема доказана полностью.
305
§ 4. ЛЕММА О ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ СТЯГИВАЮЩИХСЯ
ШАРОВ. ПРИНЦИП СЖИМАЮЩИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Рассмотрим два свойства полных метрических пространств. Пер-
вое — лемма о последовательности стягивающихся шаров.
Л е м м а. Пусть K(x\,ri) D K(x2,ri) D ... —последовательность
вложенных замкнутых шаров в полном метрическом пространстве
X, причем lim rn = 0. Тогда существует единственная точка xq,
п—*оо
принадлежащая всем шарам.
. Доказательство. Прежде всего заметим, что после-
довательность центров шаров {яп} будет фундаментальной. Действи-
тельно, зададимся произвольным е > 0. Тогда существует по = по(е)
такое, что для всякого п > по имеем гп < е, а потому при любых
П1 > п2 > по. согласно включению К(хП1,гП1) D К(хПз,гП2) имеем
р(хП1, яП2) < ГП1 < £> т.е. последовательность {хп} удовлетворяет
определению фундаментальной последовательности.
Так как {гп} — фундаментальна, то в силу полноты пространства
X существует предел lim xn = х0 Е X, причем xq является предельной
п—>оо
точкой для каждого шара, а поскольку они замкнуты, то для любого
натурального числа п имеем xq Е К(хп,гп).
Покажем, что точка xq является единственной точкой, принадле-
жащей одновременно всем шарам. Пусть это не так, т.е. найдется
точка уо Е Г1Х(а!п,Гп), р(хо,Уо) — р- Очевидно, существует п такое
гп < 2- Из неравенства треугольника получим
Р = р(хо,Уо) < р(хп,хо) + р[хп,у0) + = р.
Z Z
Противоречие. Следовательно, xq является единственной общей точ-
кой для всех шаров. Лемма доказана.
Определение. Пусть X — полное метрическое пространство, и
пусть f : X —> X — отображение этого пространства в себя, причем
существует вещественное число а с условием 0 < а < 1 такое, что
для любых a,b Е X имеем
P(f(a),f(b)) < <*р(а,Ь).
Тогда отображение f называется сжимающим.
Докажем теперь принцип сжимающих отображений.
Теорема. Если f : X -> X — сжимающее отображение, то
существует единственная точка xq Е X такая, что /(х0) = го-
Точка Xq называется неподвижной точкой сжимающего отобра-
жения f.
306
Доказательство. Пусть zi — любая точка, принадлежа-
щая X, Х2 — /(^1), • • • !®n+i = f(Xn)- Докажем, что последовательность
{хп} фундаментальна. Действительно, пусть рп — р(хп, xn+i). Тогда
Рп = р(хп,хп+1) = p(f(xn_i),f(xn)) < ap(xn-i,xn) - арп_х.
Следовательно, рп < ап~хрх. Отсюда, используя неравенство треуголь-
ника, получим
Р(^п>Хп+т) < рп + Рп + 1 +   Fpn+m-1 <
< (а”"1 + а" + • • • + ап+т-2)Р1 <	Р1.
1 — а
Поскольку 0 < а < 1, при п -> оо имеем ап-1 —> 0. Следовательно,
для всякого е > 0 найдется по = п0(е) такое, что при любом п > по
и любом т > 1 выполняется неравенство р(хп,хп+т) < £, что и
означает фундаментальность последовательности {яп}- Так как X —
полное метрическое пространство, то существует точка Zg, такая, что
lim хп = Xq.
п—¥00
Теперь докажем, что /(х0) = х0. От противного. Пусть f(x0) =
уо / х0 и р(х0,у0) = h > 0. Возьмем число п0 = п0(Л/2) такое, что
для любого п > п0 имеем р(хп,х0) < h/Ч. Тогда
P(^n+i,2/o) = />(/(*п),Л*о)) < />(хп,®о) < р(хп,хо\
Следовательно,
/>(*o,2/o) < р(хо,хп+х) + р(хп+1,уо) <	= h = р(хо,уо),
что при h > 0 невозможно. Итак, х0 — неподвижная точка отобра-
жения /. Она будет единственной неподвижной точкой, так как если
а и b — неподвижные точки, т.е. /(а) = a, f(b) = b, то
р(а, b) = p(f(a),f(b)) < ар(а, Ь) < р(а, 6),
что невозможно. Теорема доказана полностью.
Лекция 20
§ 5. НЕПРЕРЫВНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ МЕТРИЧЕСКИХ
ПРОСТРАНСТВ
Определение. Пусть заданы два метрических пространства (Х,рх)
и (У,ру), и пусть определено отображение F : X У. Тогда отобра-
жение F называется непрерывным в точке хо, если для всякого
е > 0 найдется 6 = 5(e) > 0 такое, что для любого х с условием
рх(х,хо) < 8 имеет место неравенство py(F(x), F(xq)) < е, т.е. в
пространстве У любая е-окрестность Oy(F(xo),e) точки F(xq) G ¥
содержит целиком образ некоторой 8-окрестности этой точки при
отображении F, а именно:
F(Ox(x0,8))cOy(F(x0),e).
Пример. Сжимающее отображение F : X -> X является непрерыв-
ным. В этом случае достаточно взять 5(e) = е.
Определим базу множеств х -+ xq для точек метрического про-
странства X как множество всех открытых 5-окрестностей точки xq.
Тогда определение непрерывности выглядит так: lim F(x) = F(xq),
где х,х0 G X, F(x),F(x0) G Y.
Заметим также, что определение предела по базе множеств В
отображения F : X —> У метрического пространства X в метрическое
пространство У будет иметь вид: точка уо G У называется пределом
отображения F : X —> У по базе В, если для всякого е > 0 найдется
окончание Ь = 6(c) G В такое, что для всякой точки х G 6 имеем
ру (F(x), уо) < с. Для числовых функций остается прежнее определение
предела функции f : X -> IR по базе В со всеми доказанными ранее
свойствами предела.
Докажем теперь теорему о непрерывности сложного отображения.
Теорема 1. Пусть отображения F : X —> У и G : У -> Z
таковы, что отображение F непрерывно в точке Xq G X, а отображение
G непрерывно в точке уо — F(xq) G У. Тогда композиция отображений
F и G, т.е. отображение Н : X -> Z, где Н(х)' = G(F(x)), является
непрерывной функцией в точке xq.
Доказательство; Положим zq = G(yo). Тогда
справедливы равенства H(xq) = G(F(x0)) = G(y0) = z0. Так как
отображение G непрерывно в точке у0, то для любого числа s > О
найдется 8 = 8(e) > 0 такое, что при любом у G Oy(j/0i5) имеем
G(y)eOz(z0,e).
308
Далее, в силу непрерывности отображения F в точке xq найдется
$1 = <51(<5(е)) > 0, такое, что для всякого х €	имеем F(x) G
Оу(уоЛ) = Оу(уо,6(е))-
Отсюда следует, что для всякого s > О нашлось <$i = 5i(5(e)) > О
такое, что при любом х € Ох(яо,<М имеем Н(х) = G(F(x)) 6 Oz(z0, е),
т.е. отображение Н(х) непрерывно в точке xq, что и требовалось
доказать.
Теорема2. Пусть последовательность {хп} в метрическом
пространстве X сходится к точке xq, а отображение F : X -> У
непрерывно в точке хо- Тогда имеем
lim F(xn) = F(x0), т.е. F( lim ~n) = lim F(xn).
n—►€»	П—>OO	ПЧОО
Доказательство. В силу непрерывности отображения
F для всякого е > 0 найдется 6 = 5(e) > 0 такое, что для любого
х€Ох(&) имеем F(x) G Оу(Г(г0),Е).
Далее, так как lim хп = хо, то можно указать п0 = no(5) = п0(5(е))
п оо
такое, что для любого п > по имеем xn G Ox(xq,6). Отсюда следует
утверждение теоремы.
Задачи. 1. Пусть функция f(x, у) определена во всех точках
квадрата К G ®2, и пусть для любого фиксированного у функция
g(x) = f{x,y) непрерывна для каждой точки х. Тогда внутри ква-
драта К найдется точка непрерывности /(г, у) как функции двух
переменных.
2. Пусть функция f(x,y) определена на ®2, и пусть для каждого
фиксированного значения одной переменной она является многочленом
по другой переменной. Тогда функция f(x,y) является многочленом
от двух переменных.
3. Построить замкнутое множество А, содержащееся внутри за-
мкнутого единичного квадрата на плоскости хОу, которое обладает
следующим свойством: для любого линейного замкнутого множества
L на отрезке [0,1] С Ох найдется точка yi € [0,1] С Оу такая, что
проекция на ось Ох множества точек плоскости, лежащих на пересе-
чении с горизонтальной прямой у = Уь, точно совпадает с множеством
L.
§ 6. ПОНЯТИЕ КОМПАКТА. КОМПАКТЫ В И ПОЛНОТА
ПРОСТРАНСТВА Жлг. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
НА КОМПАКТЕ
Определение 1. Множество К в метрическом пространстве X
называется компактом, если из любого покрытия открытыми мно-
жествами этого компакта можно выделить конечное подпокрытие.
309
Определение 2. Множество В метрическом пространстве называ-
ется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре О(хо,г)
с центром в точке хо и радиуса г.
Л е м м а 1. Компакт является ограниченным множеством.
Доказательство. Пусть К обозначает компакт. Возьмем
любую точку хо € К. Тогда шары Оп = О(х0,п) в совокупности
покрывают все пространство X, в том числе и Я. В силу компактности
К из них можно выделить конечное подпокрытие
{Otl С 0t, С • • • С Ot„ h < t2 < • • • < t,; К C Ot,},
а это означает, что компакт К является ограниченным множеством.
Лемма 1 доказана.
Л е м м а 2. Пусть К — компакт. Тогда любая бесконечная
последовательность {xn} С К имеет хотя бы одну предельную точку,
принадлежащую К.
Доказательство. Будем рассуждать от против-
ного. Пусть последовательность {гп} не имеет предельных точек,
принадлежащих К. Тогда любую точку х G К можно окружить своей
Е-окрестностью О(х,е), внутри которой не будет точек из {гп}, кроме,
может быть, самой точки х. Получим покрытие компакта К открыты-
ми множествами. Выберем из него конечное подпокрытие. Но тогда
получим, что точками К, принадлежащими последовательности {хп},
могут быть только центры выбранных Е-окрестностей, а их конечное
число. Следовательно, множество точек последовательности {яп} —
конечно. Противоречие. Лемма 2 доказана.
Л е м м а 3. Компакт К является замкнутым множеством.
Доказательство. Достаточно показать, что компакт
К содержит все предельные точки. Действительно, пусть xq —
любая предельная точка К. Тогда можно указать последовательность
{яп} С К такую, что при п / т имеем хп / хт и xn -> хо при
п -> оо. Отсюда по лемме 2 получим, что xq G К. Лемма 3 доказана.
Перейдем теперь к описанию компактов в n-мерном пространстве
и доказательству полноты пространства К”.
Теорема1. Любой замкнутый куб в IRn, т.е. множество
точек х = (я?1,..., хп) с условием а, < xs < xs+l, s = 1,..., п, является
компактом.
Доказательство. Будем рассматривать только случай
Ж2, так как общий случай Жп принципиальных отличий не имеет.
Итак, пусть h — замкнутый квадрат покрыт бесконечной системой
открытых множеств {(/}. Надо доказать, что из этого покрытия
можно выделить конечное подпокрытие. Докажем это утверждение от
зю
противного. Разделим Л на 4 равных квадрата прямыми, проходящими
через середины его сторон, параллельно осям координат. Так как
квадрат Л не допускает конечного подпокрытия, то, по крайней мере,
один из четырех новых замкнутых квадратов не допускает конечного
подпокрытия. Тогда этот квадрат делим на 4 равных квадрата и т.д.
Мы получим систему вложенных квадратов. Их проекции на любую
из двух осей образуют систему стягивающихся отрезков, которая имеет
единственную общую точку, т.е. существует точка xq на оси Ох, и
аналогично, точка уо на оси Оу такие, что го принадлежит проекциям
всех вложенных квадратов на ось Ох, а уо — проекциям на ось Оу.
Но тогда точка А = (®о,!/о) принадлежит всем квадратам. Кроме
того, она покрыта каким-то открытым множеством Ко из покрытия
{(/}. Следовательно, найдется е-окрестность О(А,е) С Uo, целиком
накрывающая некоторый квадрат из построенной системы вложенных
квадратов. В частности, таким может быть квадрат Ко с длиной
стороны меньшей, чем е/\/2. Но тогда квадрат Ко будет покрыт всего
лишь одним множеством Uo- Противоречие. Теорема 1 доказана.
Теорема 2. Пусть для любых двух точек а,Ь G R"
определено скалярное рроизведение (а, 6) и метрика р(а,Ь) задается
равенством p(a,b) = y/(a — b,a — b). Тогда метрическое пространство
Rn с метрикой р является полным.
Доказательство. Достаточно показать, что
любая фундаментальная последовательность {zn} сходится к элементу
этого пространства. Очевидно, что {zn} ограничена, и потому ее
можно покрыть замкнутым кубом К. Поскольку К — компакт, по
лемме 2 существует предельная точка xq € К последовательности
{хп}. Следовательно, {хп} сходится к то, так как фундаментальная
последовательность не может иметь более одной предельной точки.
Теорема 2 доказана.
Докажем теперь критерий компактности множества в Rn.
ТеоремаЗ. Множество К С ®п является компактом тогда
и только тогда, когда К ограничено и замкнуто.
Доказательство. Необходимость. Если К — компакт,
то по леммам 1 и 3 это множество ограничено и замкнуто.
Достаточность. Проведем доказательство от противного. Сначала
в силу ограниченности К поместим его внутрь куба Л. Предположим,
что существует покрытие множества К открытыми множествами {{7},
не допускающее конечного подпокрытия. Тогда куб Л можно разбить
на 2” равных куба (аналогично разбиению теоремы 1). Далее возьмем
один из получившихся кубов Л1, не допускающий конечного подпо-
крытия, и т.д. Последовательность кубов {Лп} сходится к одной точке
xq, которая является предельной точкой К и потому принадлежит К.
Некоторое открытое множество U (Е {{7} покрывает эту точку. В силу
311
того, что это множество открыто, оно будет покрывать и некоторый
куб Лп, что противоречит построению hn. Теорема 3 доказана.
Напомним, что числовой функцией на множестве А называется
отображение F : А -> К. Далее под термином “функция” мы будем
понимать только числовые функции. Докажем несколько свойств
функций, непрерывных на компакте.
Теорема 4. Пусть f(x) непрерывна на компакте К С ®п.
Тогда:
1) f(x) — ограничена на К;
2) существуют xi,	такие, что
f(x\) — М = sup f(x), f{x2) = m = inf f(x).
тек
Доказательство. 1) Для каждой точки х €
К найдется окрестность O(z,<5(z)) этой точки, в которой функция
f(x) ограничена. . Эти окрестности образуют покрытие открытыми
множествами. Выделим из него конечное подпокрытие и получим,
что f(x) ограничена на всем компакте К.
2) Проведем доказательство от противного. Пусть ни в какой точке
функция f(x) не принимает максимальное значение. Тогда функция
^(г) = М-Дт) является непрерывной на компакте К. Следовательно,
по утверждению 1) этой теоремы она ограничена. Отсюда имеем
0 <	\	> или /(х) <	“ 77"-
М - f(x)	Mi
т.е. число М — -верхняя грань значений функции f(x), меньшая,
чем М. Это противоречит определению числа М. В случае нижней
грани значений функции f(x) доказательство проводится аналогично.
Теорема 4 доказана.
§ 7. СВЯЗНЫЕ МНОЖЕСТВА И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Определение 1. Множество А в метрическом пространстве X
называется связным, если при любом его разбиении на два непустых
непересекающихся подмножества Ai и Аг они будут иметь общую
граничную точку, принадлежащую А, т.е. точку а с условиями:
1) а е А;
2) в любой t-окрестности точки а есть как точки из множества Ai,
так и точки из множества Аг, отличные от а.
Примерами связных множеств на плоскости являются отрезок,
прямоугольник, круг.
Связное открытое множество называется областью, а связное
множество, являющееся компактом, — континуумом.
312
Теорема1. Пусть А — связное множество в функция
F(x) непрерывна, на А, и пусть существуют точки xi,x2 G A, F(xi) =
a, F(xj) = a < b. Тогда для любого числа с G (a,b) существует
точка хз G А такая, что F(x3) — с.
Доказательство. Рассмотрим два множества
Mi = {х Е Л| F(x) < с}, М2 = A\Mi.
В силу связности множества А существует точка х3, являющаяся
граничной точкой как для множества Mi, так и для множества М3.
В каждой из окрестностей Оп = О(хз, 1/п) есть точка an G Mi и
точка bn G М3. Последовательности {ап} и {6П} сходятся к х3. Тогда
из непрерывности функции F(x) имеем:
F(x3) = F( lim an) = lim F(an) < c,
n-t<x>	n-foo	—
F(r3) = F( lim bn) = lim F(6n) > c,
n->oo	n-foo '	"
т.е. в точке x3 функция F(x) равна с. Теорема 1 доказана.
Глава XIV
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ
МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Лекция 21
s 1. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ В Ж*
Еще раз обратим внимание на тот факт, что поскольку понятие
непрерывности функции определяется как предел функции по базе,
над непрерывными функциями п переменных в точке х = х0 можно
совершать арифметические операции с сохранением их непрерывности
с обычной оговоркой о необращении в нуль знаменателя частного
в точке х = Хо- Справедливы также теоремы о неравенствах для
непрерывных функций в точке х = хо типа таких: если f(x0) > д(хо),
то в некоторой окрестности точки х = xq имеем f(x) > д(х).
Будем, как и раньше, говорить, что функция f(x), заданная на
множестве А С ®п, является непрерывной на множестве В С А, если
f(x) непрерывна для любой точки х G В. Напомним, что для функции,
непрерывной на компакте, справедливы теоремы об ограниченности
функции на нем, о достижении ею точной верхней и точной нижней
граней и о равномерной непрерывности, а для непрерывной функ-
ции, заданной на связном множестве, справедлив аналог теоремы о
промежуточном значении.
Но кроме этих свойств есть свои специфические особенности функ-
ций многих переменных.
Пусть а = (ai,..., ап) — некоторая точка из Ж” и функция /(£)
определена в некоторой окрестности точки а. Выделим одну из коор-
динат точки а. Пусть это будет координата с номером s, 1 < s < n,
и обозначим через М С К” множество всех тех точек, у которых
все координаты, кроме s-й, совпадают с координатами точки а. Если
в качестве аргумента х рассматривать точки х G М, то мы полу-
чим функцию одной переменной х,, <р(ха) = /(aj,..., х3,..., an).
Например, если f(xi,Xi) = я? + ®1Х2, то = а% + а^Х2-
Определение 1. Будем говорить, что функция f(x) непрерывна
в точке а по переменной х,, если <р(х,) непрерывн( в точке х3 — аа.
Можно дать более общее определение непрерывности функции /(г)
по любому направлению.
Определение 2. Направлением в Кп называется любой единич-
ный вектор ё G ®”.
314
Определение 3. Множество всех точек х вида х = а + te называ-
ется:
а)	открытым лучом, выходящим из точки а в направлении ё,
если t > 0;
б)	замкнутым лучом, — если t > 0;
в)	прямой, проходящей через точку а в направлении ё, если t —
произвольное вещественное число.
Рассмотрим функцию ^(0 —	.
Определение 4. Будем говорить, что функция f(x) непрерывна
в точке а по направлению ё, если V*(Z) непрерывна в точке t = 0.
Имеет место следующее очевидное свойство. Если f(x) непрерывна
в точке х = а как функция п переменных, то она непрерывна в точке
а по любому направлению ё. Обратное, вообще говоря, неверно.
Примеры. 1. Пусть функция f(x, у) задана следующим образом:
( ХИ
л^у) = {;3+у2’
если х1 2 + у2 / 0,
если х = у = 0.
Она непрерывна в нуле по г и по у, но разрывна в этой точке как
функция двух переменных х, у.
2. Пусть функция f(x,y) задана соотношениями:

если х2 + у2 / О,
если х = у = 0.
Она является непрерывной по любому направлению, проходящему
через точку х — 0, у — 0, но разрывна как функция двух переменных
в этой точке.
Рассмотрим теперь отображение F : Жп -> Жт. Этому отображе-
нию однозначно соответствуют m функций tpi(x),...,<pm(x), которые
представляют собой координаты точки у = F(x) G Ж"*, т.е.
у= (^(£),...,y>m(f)), у, = <рДх), s- 1,...,т.
Утверждение. Для непрерывности отображения F : Жп —> Ж"* в
точке xq € Ж” необходимо и достаточно, чтобы все функции <р,(х)
были бы непрерывны в точке х = xq.
Доказательство непосредственно следует из определения
непрерывного отображения, поскольку
1а«
Переформулируем теперь теорему о непрерывности сложного ото-
бражения метрических пространств на случай функций многих пере-
менных.
315
Теорема 1. Пусть f : IR” -> Rm, g : IR"* -> К, и пусть отобра-
жение f(x) непрерывно в точке х = х0, а функция д(у) непрерывна
в точке уо = f(x0). Пусть также в некоторой окрестности точки
определена сложная функция h(x) = g(f(x)). Тогда функция h(x)
непрерывна в точке х = xq.
Определение 5.' Функция F : А -> Ж, А С ®", называется рав-
номерно непрерывной на множестве А, если для любого е > О
существует число 6 = 5(e) > 0 такое, что для любых х,у G А с
условием р(х,у) < 6 имеем |F(i) — F(y)| < е.
Теорема 2. Функция F, непрерывная на компакте К,
является равномерно непрерывной на нем.
Доказательство. Зададимся произвольным е > 0.
Возьмем число ei = е/2 и для каждой точки х € К рассмотрим
окрестность О(х,5г(е1)) точек у с условием |/(я) —/(£)1 < £1- Тогда
“усеченные” окрестности O(x,|5x(ei)) покрывают компакт К. По
определению компакта из этого покрытия можно выделить конечное
подпокрытие. В качестве 5 = 5(e) возьмем минимальный из конечного
числа радиусов выбранных шаровых окрестностей.
Если теперь возьмем любые х,у с условием р(х,у) < 5, то оказыва-
ется для точки х, покрытой некоторой окрестностью O(io, |5eo(ei)),
выполняются неравенства
|/(®) - /(i0)| < El, р(х,х0) < ^5Xo(ei).
Кроме того, имеем р(х,у) < 5 < |5Jo(ei). Поэтому
р(у,*о) < р(у,х) + р(х,х0) < 51о (ej,
откуда следует, что |/(j/) — /(хо)| <Ei- Значит,
|/(*) - №)| < |/(*) - /(®о)| + |/(*о) - /(у)| < 2ei = е.
Таким образом, для любого числа е > 0 мы указали 5 — 5(e) такое,
что для любых х, у G К с условием р(х,у) < 6 выполнено неравен-
ство |/(х) — /(у)| < Е, следовательно, функция f(x) — равномерно
непрерывна на компакте К. Теорема 2 доказана.
316
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ В Ж*
Пусть числовая функция f(x) определена в некоторой окрестности
точки х = a G Жп.
Определение 1. Приращением Д/(х) функции /(ас) в точке
х = а называется разность Af(x) = f(x) — f(a). Разность Ах = ас - a
называется приращением аргумента» х.
Длина вектора Ах обозначается через |Дас| и равна р(х,а).
Утверждение 1. Если функция f(x) непрерывна в точке х — а,
то приращение ее Af(x') стремится к нулю при Дас, стремящемся к
нулю, т.е. Af(x) = о(1).
Доказательство очевидно следует из определения и
свойств предела функции по базе множеств.
Определение 2. Линейная функция от приращения аргумента Дас
называется дифференциалом df(x) функции /(ас) в точке х = а,
если приращение Д/(ас) при Ах —> 0 можно представить в виде
Af(x) = df(x) + о(| Д£|).
Будем говорить, что функция /(£) дифференцируема в точке
х - а, если существует дифференциал df(x') функции в точке х — а.
Утверждение 2. Если функция дифференцируема в точке х = а,
то она непрерывна в этой точке.
Доказательство очевидно следует из того, что
приращение Д/(ас) стремится к нулю при Дас -> 0.
Итак, подчеркнем еще раз, что дифференциалом df(x) функции /(ас)
в точке ас = а называется линейная или главная часть приращения
функции /(ас) в точ^е х = а. Поскольку df(x) — линейная функция,
ее можно записать в виде
п
df(x) = Ai(acj - ai) + • • • + Ап(хп - ап) = ^А.Ах,,
8 = 1
где А, — некоторые вещественные числа и Ах, = х, — а,. Если
/(4) = х,, то df(x) = dx, = Ах,.
Теорема1. Пусть f(x) дифференцируема в точке х = а,
тогда все координатные функции <р,(х,) = /(ai,..., х,,..., ап) диффе-
ренцируемы в точках х, = a,, s = 1,..., п, причем А, = <р,(а,).
Доказательство. В формуле для приращения Д/(ас)
в точке х = а через его дифференциал положим хг = аг при г / s.
Получим
Д/(«) = /(*) - /(а) = А, Ах, + о(|Дас,|).
317
Тогда согласно определению функции ^,(х,) будем иметь
f(x) - /(а) = <р,(х,) - <р,{а,) = А,Дх, + о(|Дх,|),
т.е.
А,
lim
д®,->о Дх,
= <Р,М-
Определение 3. Производная ^,(а,), когда она существует, назы-
вается частной производной функции /(х) в точке х = а по s-й
переменной и обозначается так:
_ д/(а) _ df(x)
дх, дх,
Следствие. Дифференциал функции Дх) в точке х = a
однозначно записывается в виде
W)a_ ,	. W)A_
(*)U=a -	+ • • • +
Доказательство очевидно.
Пример. Пусть Дх,у) = х2 + ху. Тогда
= 2х + у,	= х,d/(x,у) = (2х + y)dx + xdy.
ох	Оу
Итак, необходимым условием дифференцируемости функции в точ-
ке является существование всех ее частных производных в этой точке.
Докажем теперь одно достаточное условие дифференцируемости функ-
ции в точке.
Теорема 2. Пусть в некоторой окрестности точки а
существуют все ее частные производные , s = 1,...,п, и эти
частные производные непрерывны в точке х — а. Тогда функция f (х)
является дифференцируемой в этой точке.
Доказательство. Только для краткости записи будем
считать, что п = 2. Приращение Д/(х,у) функции Дх,у) в точке
(а, 6) можно записать так:
ДДя, у) = f(a + ^х, b + Ду) - f(a, Ь) =
= (/(а + Дх,6+ Ду) - f\a, b + Ду)) + (Да,Ь + Ду) - Да, 6)).
К каждой из двух разностей в скобках можно применить форму-
лу конечных приращений Лагранжа, поскольку в рассматриваемой
318
окрестности точки (а, 6) функция f(x,y) имеет непрерывные частные
производные по х и по у. Получим
=	+ WM-MAy)
ох	Оу
где £, г/ — некоторые постоянные, 0 < £, т) < 1.
Далее, в силу непрерывности частных производных при Да: -> О
имеем следующие соотношения:
df(a+^x,b+ Ду) 9f(a,b)
-------Т---------=	+ °w-
df(a,b + r)Ay)	df(a,b)
-----Ту-----= ~йГ + ,,(1)'
Отсюда следует, что
A/(z>S/) = Ах^’^-Ду + 0(|Д»| 4- |Ду|).
ОХ	оу
Поскольку
|Дх| < |Д«|, |Ду| < |Дх|, Дж — (Дж, Ду),
имеем
ДЛ*. У) = dx + дДа,&) dy + 0(|Дг|) = df(x) + о(|Дх|),
ОХ	Оу
т.е. функция f(x,y) дифференцируема в точке (х,у) — (а,Ь). Теорема
доказана.
Приведем пример непрерывной, имеющей частные производные,
функции в окрестности точки (0,0), но недифференцируемой в этой
точке: z — \/|®у|-
Частные производные этой функции, очевидно, существуют при
х2 + у2 /0. По определению они существуют в точке (0,0) :
Az(0,0) _ z(Aa:,0)-z(0,0) _	Дг(0,0) _
Да:	Да:	’ Ду ’
следовательно, zT(0,0) = 0, гу(0,0) = 0.
Если же Да: = Ду > 0, то приращение функции z(x,y) в точке
(0,0) равно Дг, но по определению дифференциала оно должно быть
о(Да:).
Таким образом, функция z — \/|а:у| не является дифференцируемой
в точке (0,0).
Лекция 22
§ 3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛОЖНОЙ ФУНКЦИИ
Теорема. Пусть <р(х) = (y>i(x),... ,<рт(х)) есть отображение
из ®п в Rm, определенное в некоторой окрестности точки х = а и
дифференцируемое в этой точке. Пусть, далее, для всякого € > О
при отображении образ некоторой 6-окрестности О(а,6) содержится
в е-окрестности точки b = ¥>(<*). Пусть, наконец, для любой точки
у Е О(Ь, е) определена числовая функция f(y), которая является
дифференцируемой в точке Ь. Тогда сложная функция Л(х) = f(<p(x))
является диф>ф>еренцируемой в точке х = а, причем имеют место
равенства
dxs dyi дх,	дут дх, ’	’''' ’
Здесь частные производные по переменной х, рассматриваются в
точке х = а, а частные производные по yi, I = 1,..., m — в точке
У = Ь.
Доказате ль с т в о. Ввиду дифференцируемости функции
/(у) в точке у — I приращение функции Д/ при произвольном
приращении аргумента Ду = у — b можно представить так:
Д/ = # + о(|Ду|),
где
Подставим вместо Ду< приращение Ду>< функции ^<(х) соответствую-
щее приращению Дх аргумента х. Тогда слева в этой формуле мы
получим ДЛ(х) и она принимает вид
т df_
dyi
В силу дифференцируемости функций <pi(x) имеем
. VXs
*h(x) = £
Ду>Цх) + о(|Ду>(х)|).
320
Частные производные функций ^/(i) в точке х = а — это конкретные
вещественные числа. Поэтому существует число М > 0, такое, что
они по абсолютной величине не превосходят М. Тогда имеем
|Д^(£)| < 2Мп|Дг|, |Др| < 2Mn2|Ai|.
Отсюда найдем
о(|Ду?(х)|) -- о(| Дх|).
Подставляя теперь значения Д^((г) в формулу для ДЛ(ж), получим
утверждение теоремы. Теорема доказана.
Следствие! (инвариантность формы первого дифферен-
циала). Если в выражение для первого дифференциала df(y) вместо
независимого приращения Ду3 подставить дифференциал функции
уа = <рз(х), то полученное выражение будет дифференциалом слож-
ной функции h(x)=f(p(x)). Другими словами, форма первого диф-
ференциала функции не изменится, если независимые переменные
оказываются зависимыми функциями.
Доказательство. Утверждение следствия — простая
переформулировка утверждения теоремы.
Следствие2 (правила дифференцирования). Справедливы
следующие формулы:
a)	d(cu) — cdu Vc € ®;
б)	d(u ± v) = du ± dv,
в)	d(uv) = udv 4- vdu;
г)	d(^) = v-^^ при v(xo)/0.
Доказательство. Ограничимся доказательством только
свойства в). Пусть z — г(н, г) = uv, тогда
, dz	dz	,
dz = — du 4- -—dv — vdu 4- udv.
du	dv
В случае, если u и v являются функциями от других независи-
мых переменных, то воспользуемся свойством инвариантности формы
первого дифференциала (следствие 1). Свойство в) доказано.
§ 4. ПРОИЗВОДНАЯ ПО НАПРАВЛЕНИЮ. ГРАДИЕНТ
Пусть задано направление ё = (ei,... , еп), |ё| = 1, и k\,...,kn —
направления векторов осей координат Ох\,... ,Охп. Тогда, очевидно,
если а, есть угол между ks и ё, то
еа = (ё,к,) = |ё|  |1,|со8а, = cosa5.
Н Лекции по математическом; анализу	321
В силу этого определения числа ei,...,en называются направляю-
щими косинусами направления ё.
Пусть /(х) — дифференцируемая функция в точке х = а, и ё —
некоторое направление. Рассмотрим сложную функцию h(t) = f(a+te).
Она является функцией от одной переменной t, и в силу теоремы
о дифференцируемости сложной функции при 4 = 0 справедливо
равенство
= Л'(0)Л = £	• е, dt.
Тогда имеем
Определение 1. Эта величина
функции f(x) по направлению ё
h'(0) называется производной
в точке а. Обозначение:
5/ = df(x)
де де
= Л'(0).
Определение 2. Вектор
(df_
\5xj
= V/
называется градиентом функции /(х) в точке х = а и обозначается
так:
V/ = grad /.
Таким образом,
— = (ё, grad/) = (ё,Г/),
где
д
' дхп
называется оператором “набла”.
Отметим некоторые свойства производной по направлению.
1°. Максимальное значение производной функции /(х) по напра-
влению равно длине вектора градиента и достигается при ё = ]^/у-
2°. Производная по направлению равна нулю, если вектор градиента
равен нулю или он ортогонален вектору направления.
3°. Минимальное значение производной функции /(х) по направле-
нию равно — | grad /|, если ё = — jvyy-
322
Отсюда видно, что скорость возрастания функции в направлении
градиента — наибольшая.
§ 5. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ДИФФЕРЕНЦИАЛА
Для простоты изложения будем рассматривать функции двух пе-
ременных.
Определение 1. Поверхностью Р в й3 называется график всякой
непрерывной функции z = f(x,y), заданной В некоторой области
Q С й2- Другими словами, поверхность Р — это множество точек
(x,y,z) € Ж3, где координата z € ® и точка (х,у) 6 Ж2 связаны
соотношением z — f{x,y).
Напомним, что под областью понимают связное открытое множе-
ство.
Определение 2. Говорят, что поверхности z = fi(x,y) и z = f2{x, у)
касаются друг друга в точке (a,b,c), если с = /i(a, fc) = f2(a,b) и
разность
r(x,y) = fi(x,y) - f2(x,y)
является величиной о(|х — а|) при |ж — а| —> 0.
График линейной функции z = kx + ly + rn, k,l,m € К является
плоскостью в Ж3.
Теорема. Пусть функция f(x), х 6 О(а,<) Сй2 — диффе-
ренцируема в точке х = a = (ai,a2) и z0 = /(а). Тогда плоскость П,
задаваемая линейным уравнением вида
2 ~ 20 " ~d^X1 ~ в1) + ~d^{X2 ~ a2)>
касается поверхности P : z = f(x) в точке x = a.
Доказательство. Рассмотрим плоскость П как график
линейной функции д(х), где
д(х) = z0+df(x).
Поскольку функция f(x) дифференцируема в точке х = а, имеем
/(£) - д(х) = f(a) + df(x) + о(| Дх|) - z0 - df(x) = о(| Д£|).
Следовательно, исходя из определения поверхности, П и Р касаются
ДРУГ друга. Теорема доказана.
В дальнейшем нам понадобится понятие нормали к поверхности.
Определение 3. Нормалью к поверхности Р : z = f(x,y) в точке
(хо,Уо,?о) называется прямая, проходящая через точку (хо, уо, ^о).
параллельно вектору (fx, / , — 1).
11*
Лекция 23
§ 6. ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
Пус^ь f(x) имеет в некоторой 6-окрестности О(а, е) все первые
частные производные , s = 1,...,п. Эти частные производные
сами являются функциями от п переменных и могут иметь частные
производные, т.е. можно определить следующие величины
д ( &f\	&2f	/'	// V
aj; (.aij =	=	= P-L. ’ s'r=1......."
Эти величины называются частными производными второго по-
рядка. Если s / г, то они называются смешанными производны-
ми.
Имеют место следующие теоремы о равенстве смешанных произ-
водных второго порядка.
Т е о р е м а 1 (теорема Шварца). Пусть функция f(x) в некоторой
окрестности точки х = а имеет смешанные частные производные
d2f а2}
второго порядка g’^gx и dx2dxt ’ пРичем он1{ непрерывны в точке
х = а. Тогда в точке х = а эти производные равны между собой, т.е.
Доказательство. Без ограничения общности можно
считать, что п = 2 и /(х) = /(х1,хг). Положим
Д2/ = /(«1 + hi, а2 + /12) — /(«1 + h\, <12) — f(ai, а2 + /12) + f(ai, <12),
¥?(*) = Дх, а2 + h2) - f(x, а2).
Применяя дважды формулу Лагранжа конечных приращений, по-
лучим
+ hi) - <p(ai) = hi<p'(ai + 0ihi) =
= (/ti (ai + ^ihi, a2 + /12) — fXl («1 + Oihi, 02)^ =
= hih2fX1T3(ai + f)ihi, a2 + f)2h2).
В силу непрерывности функции fX1X3(xi,x2) в точке х — а имеем
V’iai + Л1) - p(ai) = hih2(f‘^iX2(ai,a2) + о(1)).
324
С другой стороны,
^(<11 + Л1) - v?(«i) = ^(«2 + h2) - Ф{а2),
где ф(х) = f(ai +/11, х)-/(си, л).
Вновь применяя теорему Лагранжа, находим
^(«2 + h2) — ^(а2) —	+ /*1,02 + #2) — Zr2(fll,fl2 + $2)) =
= /ii^2/i2ll(ai + 9>1h1,a2 + ^/12) = hih2(fX2Xi (ob a2) + »(1))-
Отсюда
M2(£ll2(ai,a2) + o(l)) = /»i/i2(/x2ll(ai,a2) +o(l)),
т.е. получаем справедливость равенства
C3M = £2ri(ai,a2).
Теорема 1 доказана.
Теорема2 (теорема Юнга). Пусть функции /^(ari,^) и
/'2(xi,z2) определены в некоторой окрестности точки х = а= (ai,a2)
и дифференцируемы в точке а. Тогда
Zcjr2 (^1 > ^2) J’^2) •
Доказательство. Рассмотрим функции
А2/ = /(ai + h,a2 + h) - /(ai + h, a2) - /(ai,a2 + /1) + /(ai,a2),
¥>(*) - f(x, a2 + /1) - f(x, a2).
Имеем
A2/ - ^(<11 + h) - ^(aj).
Из теоремы Лагранжа следует, что
А2/ = /i^'(ai + М) = h + 0ih,a2 + h) - f'Xi (ai.+ 6Д, a2)).
В силу того что функция /' (xi,a:2) дифференцируема в точке х = а,
f'Xi (ai + Si h, а2 + h) - f'Xi (аг, a2) = hf”lXi (a) + 'hfX1X2 (a) + o(h),
Лх(а1 +^i/l,a2) -/^(«1-^2) =	+ o(h).
Следовательно,
A7 = ^7^2(a) + o(h2).
С другой стороны,
A2/ = i[>(a2 + h) - ip(a2),
где V'(j/) = /(^1 + h,y) — /(ai, у). Аналогично предыдущему получим
^f = h^f^Xi(a) + o^).
Таким образом,
fxlX3(ai>a2) = fX2Xl(ai,a2).
Теорема 2 доказана.
325
Следствие. Теоремы Юнга, и Шварца имеют место при
п > 2.
Доказательство. Надо зафиксировать все перемен-
ные, кроме хг, хг, и применить доказанные теоремы к получившимся
функциям.
Определение. Функция f(x) называется дважды дифференци-
руемой в точке, если все первые производные дифференцируемы.
Вообще, функция f(x) называется п раз дифференцируема, если
все частные производные (п — 1)-го порядка являются дифференци-
руемыми функциями.
ТеоремаЗ (достаточное условие дифференцируемости). Для
того чтобы функция f(x) была п раз дифференцируема в точке, до-
статочно, чтобы все частные производные порядка п были непрерывны
в этой точке.
Доказательство проводится по индукции.
Следствие (из теоремы Юнга). Если функция f(x)
является п раз дифференцируемой, то смешанные частные производ-
ные до порядка п не зависят от порядка, в котором производится
дифференцирование.
Доказательство получается индукцией из теоремы
Юнга.
§ 7. ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. ФОРМУЛА
ТЕЙЛОРА
Пусть функция /(£) дважды дифференцируема в точке х = а.
Зафиксируем приращение dx = h. Тогда получим новую функцию
р(ж) = д(х, Л), определяемую выражением
«1 ах>
Это дифференцируемая функция в точке х = а, и ее дифференциал
равен
. z-ч ’Г'' ®9(&} л
т.е.
d9(i) = 1212 h’&Xr
г=1 « = 1
д fdf(x)\
дхг \ dxs )
г=а
326
Положим теперь hs — &xs = dxs. Тогда получим
V''V4	j j
<'/(«)=EE i^d‘-dd'
r = l 3 = 1
Это выражение называется вторым дифференциалом функции
f(x) в точке х = а. Аналогично определяется дифференциал dkf(x)
порядка к :
Г=1	»=1
Очевидно, это выражение можно символически записать так:
где для получения развернутого выражения надо формально возвести
выражение в скобках в степень как многочлен, ’считая символы
dxs, Ъх~ как бы независимыми переменными, а затем к числителю
выражения д—-'•у*- справа приписать /(а).
Отметим, что drf(x) при г > 2, вообще говоря, не обладает свой-
ством инвариантности, т.е. если, скажем, вместо dxs в выраже-
ние для d2f(x) подставить первые дифференциалы d<ps(t) функций
х, = то получится выражение, которое уже не будет вторым
дифференциалом.
Действительно, если /i(f) = /(^(t)), то
= £2 is +is 7r~d2<?1-
1	« CfXgUXf	их$
s = l r=l	3 — 1
Здесь мы воспользовались тем, что
, ( 9/ . > j I Sf \ ,	»/ л
Но если ^s(i) — линейные функции, т.е.
У’ЛО — Ао,з + А1Д1 + •   + Xn,stn,
то d2<ps = 0 и инвариантность второго дифференциала все же име-
ет место. Аналогичное утверждение справедливо и для третьего
дифференциала и т.д.
В силу этого, например, если х = а + te и g(t) = f{a + te), то
+ fe-)|t=0 = ^(i)|f=0 = 5(r)(0 W,
т.е. функция g(t) является г раз дифференцируемой.
Воспользуемся последним замечанием для вывода формулы Тей-
лора для функции от п переменных.
327
TeopeMhl (формула Тейлора с остаточным членом в форме
Пеано). Пусть функция /(х) дифференцируема к раз в точке х = а.
Тогда при х, стремящемся к а, справедлива следующая формула
f(x) = Р(х) + г(х),
где
Р(х) = f(a) + df(a)\di=i_-a + 1 ^2/(a)Ls=s_a + •••
r(x)^o(\x-a\k).
Доказательство. Применим метод математической
индукции по параметру к. При к = 1 утверждение теоремы следует
из определения дифференциала функции. Предположим теперь, что
к > 1.
Из условия теоремы вытекает, что функция г(х) в некоторой
окрестности U точки х = а имеет все производные до порядка (к — 1)
включительно. Кроме того, в точке а сама функция и все ее частные
производные др к-го порядка включительно равны нулю.
Далее, пусть х G U и Дх = х — а. Тогда имеем
г(х) = г(х) — г(й) = г(й + Дх) — г(й) = Di + • • • + Dn,
где при s = 1,..., п величины Ds определены равенствами
Ds = r(ai Ч- Дх1,... ,а, + Дх,,а,+1,..., ап)~
-r(ai + Дх1,..	+ Дх,_1,а,,.. ,,а„) = д(а, + ДхД -g(at).
Отсюда, применяя формулу Лагранжа к каждой величине D3, при
некоторых с условием 0 < £, < 1 получим
D, ~ 9'х,{а» +6Дг,)Дх3 = г^(й + г,)Дх3,
где ц, = (Дх1,..., Дх,_1,^,Дх,, Од..., 0). Следовательно,
r(x) =	Н----h r'Xn{a + йп)Дхп.
Заметим, что точка а + v, Е U для каждого s= 1,...,п. Поэтому
к частным производным в правой части последнего равенства можно
применить предположение индукции с заменой значения параметра к
на к — 1. Тогда при всех s от 1 до п будем иметь
4,(а +««) = °(1® - alfc-1)-
Отсюда следует, что г(х) = о(|х — й|к). Теорема 1 доказана.
328
Теорема2 (формула Тейлора с остаточным членом в форме
Лагранжа). Пусть функция f(x) имеет (к + 1)-й дифференциал для
любого х G О(а,е), где е — некоторое положительное число. Тогда
для любой точки b 6 О(а, е) существует точка с — a+9(b — а), 0 < 9 < 1,
такая, что
/(») = /(«) + £
s!
. dk+1f<S)
=S-~a	(*+1)!
а
Доказательство. Пусть g(t} = f(a + t(b — а)). Тогда
по формуле Тейлора для одной переменной с остаточным членом в
форме Лагранжа имеем
з(1) - «(0) + -уг + " + -j,- +
где 0 < 9 < 1 — некоторая постоянная. Поскольку справедливы
равенства
3(0) = /(S). з'(0) = rf/(0)l«=i_......з<‘>(0)	=	,
з<‘+’1(») = <'*+7(3)L=s_,.
подставляя их в предыдущее соотношение, получим утверждение те-
оремы; Теорема 2 доказана.
Замечание. Подчеркнем разницу в условиях существования фор-
мулы Тейлора с остаточными членами в форме Пеано и Лагранжа
(теоремы 1 и 2). Она состоит в том, что в первом случае Аг-кратная
дифференцируемость функции f(x) предполагается только в точке
х = а, в то время как во втором случае требуется (fc + 1)-кратная
дифференцируемость ее в окрестности O(a,s). Обратим внимание на
то, что в случае функции одной переменной ^-кратная дифференци-
руемость ее в точке х — а обеспечивает (fc — 1)-кратную дифферен-
цируемость в окрестности, в кратном же случае это условие дает
существование в этой окрестности только частных производных до
(£ — 1)-го порядка включительно.
Лекция 24
§ 8. ПРИЛОЖЕНИЕ ФОРМУЛЫ ТЕЙЛОРА. ЛОКАЛЬНЫЙ
ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Определение точки локального экстремума для функции многих
переменных дословно совпадает с аналогичным понятием для функции
одной переменной, и, вообще, для функций, определенных в любом
метрическом пространстве, только s-окрестность точки, в которой
функция имеет экстремум, определяется соответствующей метрикой.
Определение 1. Точка а 6 R" называется точкой строгого ло-
кального максимума функции f(x), если существует е-окрестность
О(а,е) точки а такая, что для любой точки х / а и х 6 О(а,е) имеем
неравенство f(x) < f(a);
если f(x) <	f(a),	то	точка	а	—	точка нестрогого максимума;
если f(x) >	f(a),	то	точка	а	—	точка строгого минимума;
если f(x) >	f(a),	то	точка	а	—	точка нестрогого минимума.
Строгие локальные максимумы и минимумы в точке называются
локальными экстремумами в точке,, а нестрогие — нестрогими
локальными экстремумами в точке.
Теорема1 (необходимое условие экстремума). Если a —
точка локального экстремума (нестрогого) функции f(x) и существует
дифференциал df(x) ее в этой точке, то для любого приращения Ах
имеем
#(*)1«=а = °- или 8rad /(*)1*=а = О-
Доказательство. Очевидно, достаточно доказать, что
при s — 1,..., п выполняются равенства
dx.
= 0.
£=а
Рассмотрим функцию g(t) — f(a + tes), где ё, — направляющий век-
тор оси Ох,. Тогда ясно, что g(t) имеет в нуле точку локального
экстремума, откуда д'(0) = 0. Но так как
=/(») = о,
их$
то это доказывает утверждение теоремы 1.
Определение 2. Точка а, в которой градиент функции f(x) обра-
щается в б, называется стационарной точкой функции f(x).
Заметим, что второй дифференциал d2f(x) функции f(x) в точ-
ке х — a 6 Жп является квадратичной формой от п переменных
dx\,...,dxn-
ззо
Определение 3. Стационарная точка а функции f(x) называется
регулярной, если в этой точке существует второй дифференциал
d2f(x), и он является невырожденной квадратичной формой от пе-
ременных dxi,... ,dxn, т.е. определитель матрицы этой квадратичной
формы отличен от нуля.
Перейдем теперь к выводу достаточного условия экстремума функ-
ции.
Теорема2 (достаточное условие экстремума). Пусть а есть
регулярная стационарная тбчка функции f(x), т.е. дифференциал
этой функции в точке а обращается в нуль и существует второй
дифференциал в этой точке с невырожденной квадратичной формой
от переменных dx\,..., dxn Тогда
1)	если в этой точке d2f(x) является положительно определенной
квадратичной формой, то в точке х = а функция f(x) имеет локальный
минимум;
2)	если d2f(x) — отрицательно определена, то a — точка локального
максимума;
3)	если d2f(x) является неопределенной формой, то точка а не
является точкой локального экстремума.
Доказательство. Рассмотрим пункт 1). Обозначим через А
матрицу квадратичной формы d2f(x) от переменных Дхл, s = 1,...,п,
а через 5(a) — множество точек х € йп с условием |Д£| — 1.
Множество 5(a) ограничено и является замкнутым, так как со-
впадает со своей границей dS(a), и поэтому содержит эту границу.
Следовательно, 5(a) — компакт, а потому на множестве 5(a) вто-
рой дифференциал как функция от приращения Дх достигает своего
минимума т, т.е. найдется вектор ёо, |ёо| = 1 такой, что
т > °-
Заметим, что для любого вектора Дх,‘Дх = |Дх|ё, |ё| = 1, имеем
По формуле Тейлора с остаточным членом в форме Пеано получим
Д/(£) = df(a) 4- ^d2f(a) + о(|Дх|2) > ^|Дх|2т(1 + о(1)),
т.е. найдется е > 0, такое, что для любой точки х € О(а,е)
выполняется неравенство Д/(х) > 0. Первый пункт рассмотрен,-
Пункт 2) рассматривается аналогично. Перейдем к третьему пункту.
В силу неопределенности квадратичной формы d2f(a] получим т <
0 < М, где
М — sup d2/(a), m = inf d2/(d),
|дг|=1	|д«|=1
331
причем величина М достигается на векторе ё\, а величина т — на
векторе е2. Тогда функция gi(t) = f(a+tei) при t = 0 имеет локальный
максимум, а функция д2(^) = /(а+<ё2) — локальный минимум, а сама
функция /(£) в любой окрестности точки а принимает значения, как
большие /(а), так и меньшие f(a), т.е.» точка а не является точкой
локального экстремума. Теорема 2 доказана.
§ 9.	НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ
Пусть заданы точка (a,b) = (aj,... ,an-i,t) € некоторая ее
е-окрестность и множество точек, принадлежащих этой е-окрестности
и удовлетворяющих уравнению f(x,y) = 0.
Определение 1. Функция <р{х), зависящая от (п— 1)-й переменной
х = (xi,...,хп-1) и заданная в некоторой 6-окрестности точки а, назы-
вается неявной функцией, соответствующей уравнению f(x,y) = 0,
если для любой точки х из этой 6-окрестности имеет место равенство
= 0.
Определение 2. Функция f(x) называется гладкой в области
Q СК", если для любой точки х € П она является дифференцируемой
и ее частные производные непрерывны.
Докажем теперь теорему о неявной функции.
Теорема (теорема о неявной функции). Пусть:
1)	функция f(x,y) непрерывна в некоторой е-окрестности Q точки
(a,fc)e®2;
2)	f(a,b) = 0;
3)	для любой точки (х.у) е О частные производные и
являются непрерывными функциями;
4)	а£й>о.
Тогда существует единственная функция у = <р(х), определенная в
некоторой 6-окрестности точки а, такая, что:
1) <р(а) = Ъ;
2) для любой точки х, принадлежащей 6-окрестности, имеет место
равенство f(x, р(х)) = 0; Более того, оказывается, что эта функция
<р(х) является гладкой, причем
= _ „=„(,)
332
Доказательство. Так как /Дх,у) — непрерывна на Q
и fy (а, Ь) > 0, то существует замкнутый .квадрат К с П с центром в
точке (а,Ь) и со сторонами, параллельными осям координат, длины
2Л, внутри которого минимальное значение fy(x,y) равно т > 0. В
силу того, что fy(x,y) > 0, функция f(a,y) возрастает. Далее, так как
/(а, Ь) = 0, то /(а, b 4- Л) > 0 и /(а, Ь — Л) < 0. В силу непрерывности
функции f(x, у) существует число <5 > 0 такое, что для любого
значения х е [а — 6, а 4- <5] ймеем f(x, Ъ 4- Л) > 0 и /(х, b — h) < 0.
Отсюда следует, что’ на отрезке, соединяющем точки Ау = А\(х) =
= (х,Ь — Л) и А? = А?(х) = (x,b + h), монотонная функция д(у) = f(x,y)
обращается в нуль только в одной точке ух.
Каждой точке х 6 [а — <5, а 4- 5] поставим в соответствие точку ух.
Оно определяет функцию у = Дх) = ух, для которой
/(х,^(х)) = f(x,yx) = 0, 
при этом из равенства /(а, Ь) = 0 имеем Да) = уа = Ь.
Функция Дх) и является искомой. Надо только доказать, что
у — Дх) дифференцируема внутри интервала (а — 5, а + 6), причем
Докажем сначала непрерывность Дх). Пусть точки х и xq принад-
лежат интервалу (а — 6, а-|-<5). Покажем, что Д^?(хо) = Дх) — Дхо) —> 0
при Дх = х — хо -4.0. Положим
У = ДД, Уо = У>(*о),	= Д^(*)-
Имеем f(x,y) = Дхв,уо) = 0. Следовательно, для функции g(t) =
/(хо 4- <Дх, уо 4-1Ду) справедливы равенства у(0) = у(1) — 0. Функция
g(t) при любом t 6 [0,1] имеет производную
y'(t) = /'(хо 4- t&x,y0 -НДу)Дх 4- fy(x0 4- *Дх,у0 4- «Ду)Ду.
По теореме Ролля существует число 0 € (0,1) такое, что д'(в) = 0.
Отсюда получим
Ду= Ш
Д* ftf)’
где £ = (хо 4- 0Дх, уо 4- #Ду). Следовательно,
Ду
Дх
М
< —, М = max|/;(x,y)|, т = min|/'(x,y)| > 0,
ТП	к	к
333
т.е. величина — ограничена. Поэтому имеем, что Ду = ДхО
при Дх —> 0, т.е. у?(х) является непрерывной функцией. Кроме того,
так как при Дх —> 0 имеем, что Ду —> 0, то £ —> (хо,Уо)- Далее, в
силу непрерывности частных производных f'T и /' > 0 получим
.. Ду	fxtxу У)\у—<р(х)
lim —	у1"	।
Дх-+0 Дх /,',(х, у) , .
'У' > а' 1утхц>(х)
Теорема доказана.
Замечания. 1. Случай fy(x,y) < 0 сводится к рассмотренному
заменой функции f на у = — f.
2. График функции у = у?(х) является частью линии уровня z = О
для поверхности z = f(x,y).
Следствие (общая теорема о неявной функции). Пусть:
1) функция f(x,y) непрерывна в некоторой г-окрестности Q точки
(a,b) = (ai,.. ,,an_i,6) € й2;
2)/(а, fc) = 0;
3) для любой точки (х, у) € П частные производные ...,
и являются непрерывными функциями;
4)^>0.
Тогда существует единственная функция у = у>(х), определенная в
некоторой 6-окрестности точки а такая, что:
1)	у?(а) = Ъ;
2)	для любой точки х, принадлежащей 6-окрестности, имеет место
равенство /(х,у>(х)) = 0;
3)	функция у?(х) является гладкой, причем
Vx.^) =
№<=¥>(г)
.Доказательств о, по существу, дословно совпадает
с доказательством теоремы. Надо только вместо точек (а, b ± Л)
рассмотреть точки (a,b±h), а вместо интервала (а — <5, а + <5) — шар
О(а,6).
В качестве приложения предыдущей теоремы рассмотрим задачу
об арифметических свойствах неявных функций, представимых сте-
пенными рядами. Приводимый здесь результат является частным
случаем одной теоремы Эйзенштейна.
Теорема 2. Пусть задано алгебраическое уравнение F(x, у) =.0
с целыми коэффициентами, причем F(0,0) = 0 и F'(0,0)	0. Пусть
ОО
также степенной ряд у = у(х) — У) anxn является решением этого
п=0
334
уравнения, т.е. у — у(х) — алгебраическая функция. Пусть, далее,
коэффициенты а^, к > 0, — рациональные числа. Тогда существует
такое целое число I, что при замене х на 1х коэффициенты степенного
ряда, получившегося из ряда у = у(х), будут целыми числами, за
исключением, быть может, ао-
Доказательство. В силу теоремы о неявной
функции существует единственная функция у0 = уо(®)> удовлетворя-
ющая уравнению F(x,y) = 0 в некоторой окрестности точки (0,0).
Следовательно, эта функция совпадает со степенным рядом у = у(х).
Запишем многочлен F(x,y) в виде
F(x, У) = Л) + Р1У + • • • + РтУт ,
где Ро = Ро(х),   >Рт = Рт(х) — многочлены от переменной х. Так
как Р(0,0) = 0, то Ро(0) = 0. Из условия Fy(0,0) / 0 получим: Fi(0)
0 Представим многочлены Ро = Р0(х),..., Рт = Рт(х) в следующей
форме:
Ро = 9ох + h^x2 + ...,
Pl =91 + hix + • • •, gi / 0,
Pm — 9т 4" kmx 4“    -
Положим теперь
( х = 9it,
I У = <7i«,
где t и u — новые переменные.
Сократим равенство F(gjt,giu) на д2. Получим
Got 4- Pot2 4- • • • 4- (1 4- Git 4- H\t2 4-... )u 4- (Gm 4- Hmt 4- • • • )um = 0,
где Go, Hq, ..., Gi,Hi,..., Gm, Hm,... — целые числа.
Из последнего уравнения имеем
_ Got 4- Hot2 4- •..	Gm 4- Hmt + ... m
U~ 1 +Git 4-Pit2 4-...	1 + Git + H1t2 + ...U "
Далее при |z| < 1 воспользуемся равенством
—J—= 1 - z + z2------4-(—l)nzn + ... .
1 4- z
Тогда предыдущее выражение для величины и принимает вид:
п = (Л^ + Azt? 4-' • • ) 4- (Ро 4- Pit + ... )и2 4- • • • .
335
Будем искать функцию и — u(t) в следующей форме:
и = m\t + Ш2<2 + mat3 + ... .
Коэффициенты mj, m2, m3,... тогда определяются из равенств
mi = Ai,
т2 = Л2 4- В0т2,
m3 = A3 4- 2Во’711’712 + Bim2,-
Отсюда следует, что числа ту, т?. m3, ... — целые. Теорема 2
доказана.
В частности, из последней теоремы следует, что функции
оо ь	00	к
=	In (1 + *) = £(-!)*-
k=0 '	k=l >
не являются алгебраическими.
Лекция 25
§ 10. СИСТЕМА НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЙ
Рассмотрим отображение
/	/(x) = (/1(x),...,/m(f)).
Пусть все функции f\ (ж),..., fm (ж) являются гладкими в £-окрестнрсти
О(а,е) точки а. Тогда такое отображение называется гладким.
Определение 1. Пусть функции fi(x),..., fm(x) дифференцируемы
в точке х £ ®п. Тогда матрица
J = Jj —
dfk(x)
dx,
k — 1,..., m; s = 1,..., n;
имеющая тп строк и n столбцов, называется матрицей Якоби ото-
бражения /(х) — (fl(x), . . . , fm(x)).
Строки матрицы Якоби представляют собой градиенты функций
fk(x), к = 1,.. .,т.
Пусть т < п. Рассмотрим какие-либо т различных столбцов матри-
цы J. Они образуют подматрицу	, кт) порядка тх т матрицы
J, где ki,...,km — номера выбранных столбцов.
Определение 2. Определитель Н матрицы J(ki,..km) называет-
ся якобианом (одним из якобианов) отображения f(x) и обозначается
так:
H = -F77------------Г-
D{Xki,---,Xkm)
Определение 3. Дифференцируемое отображение f(x) называется
невырожденным в точке х — а, если один из якобианов этого
отображения отличен от нуля.
Это означает, что:
1) матрица J имеет максимальный ранг или
2) градиенты функций /Дх),..., fm(x) — линейно независимы в
этой точке.
Теорема (теорема о системе неявных функций). Пусть
п = тп + р, р > 0, и пусть:
1) отображение / : ®n -> ®т — невырожденное в точке (a,b). где
a = (ai,... ,чр) и b = (bi,..., bm), и гладкое в некоторой окрестности
Q = O((a,b),e) точки (х,у) = (a,b);
337
2) ЛМ) = О;
V = sfesfej * 0.
Тогда в некоторой окрестности O(a,6) = Qi С й₽ точки а суще-
ствует единственное гладкое отображение <Дх) = (^ (£),..., ym(£)),
где х = (xi,..., Хр), обладающее следующими свойствами:
1)	f(a,<f>(a)) = 0;
2)	для всех х G Qi имеем f(x,ip(x)) = 0;
3)	Jv{x) = -А~1В, где А = В =
Здесь А и В — две части матрицы Якоби Jj, отвечающие пере-
менным yi,... ,Утп и Xi,.. ,,хр соответственно.
Другими словами, эта теорема утверждает, что система уравнений
fk(x-L,.. .,Хр,ух,.. ,,ут) = о, k = 1,.. ,,т,
разрешима относительно переменных уг,.. ,,ут как функций от пере-
менных (х1,...,хр) таким образом, что функции у\ =	, ут =
удовлетворяют тождествам
Д(£,у(£)) = 0 V£ € Qi,
где Qi — некоторая окрестность точки а, причем:
a)	f(a,p(a)) = 0;
б)	f(x,y) является невырожденным гладким отображением в неко-
торой окрестности точки (а, Ь) с условием
Д(Л,---,/т) ,
D(jjl ,...,Ут)^ '
Замечания. 1. Матричное равенство п. 3 дает выражение для всех
частных производных вида
d<?k(x)
-	, к = 1,... ,т, s = 1,    ,р.
2. Если /(£) — линейное отображение, то утверждение теоремы
есть простой факт из линейной алгебры о решениях, системы линейных
уравнений.
Доказательств, о. Рассмотрим определитель Якоби
Н(у) матрицы А. Разложим его по последнему столбцу. Получим:
л 5/1	„ д/г ,	д?т
Я (у) — Hi -г-Ь Л2д--- + • • • + Нт д-•
дут дут	дут
Так как Н(у) не обращается в нуль в точке (а,Ь), то по Крайней
мере один Из миноров матрицы А не равен нулю. Без ограничения
общности можно считать, что Я1 / 0.
338
Будем проводить доказательство методом математической.индукции
по числу уравнений т. При т = 1 утверждение теоремы доказано в
предыдущем параграфе. Предположим, что теорема верна для т — 1
уравнения. Докажем ее для т уравнений.
Поскольку Я1 0, применяя предположение индукции к функциям
у), • •  >	у), получим, что существуют функции
2/1 = Ф1(х,ут), - - .,ут-1 = V’m-lfi.S/m),
удовлетворяющие условиям
..., ^т-1,!/т) = о, к = 2,.. .,т,
для любой точки (х,ут) в некоторой окрестности По точки (а,Ьт).
Подставим теперь V»i,..., V’m-i в функцию fi(x, у). Имеем:
fl(x,l/>(x,ym), .  .,1/>т-1(х,Ут),Ут) = Ф(х,ут).
Покажем, что 0 в точке (а,Ьт). Действительно,
дФ _	dfi д-фт-1	dfi_
дут	дуг дут дут-1 дут	дут ’
0 _ dfa d^i + ... + дфт-i dfa_
dyidym	дут-}. дут	дут’
0 _ dfm	_ dfm дфт-1 dfm
dyi дут	дут—i дут	дут
Домножим первое уравнение на Н\, второе — на Яг и т.д. Сложим
получившиеся выражения. В результате будем иметь
так как при к / т справедливо равенство
dfs
дук
- О,
а при к = т эта сумма равна Н.
Далее, поскольку Я и Я] не равны нулю,
дФ _Н_,п
дут ~ Hi*
339
Следовательно, по теореме о неявной функции существует единствен-
ная функция Ут = ‘Рт(х), такая, что /1(х,^(£)) = 0 в некоторой
окрестности Q точки а, где

При к — 2,... ,m в области П имеем Д(х, <р(х)) =0.
В силу инвариантности. формы первого дифференциала при к --
1,..., т имеем
0 = dfk = '—^dxi +----F ^-dxp +	4----1- ^-d<pm(x).
Ox i	0xp dyi	aym
В вёкторном виде это можно записать так:
Bdx +'Ad<p(x'} 0,
Далее, имеет место равенство
d<p(x) = J.^x^dx,
где
Таким образом, получим
AJif>(x)dx 4- Bdx = 0, т.е. + А 1 B)dx — 0.
Итак, линейное отображение переводит любой вектор dx G !R₽ в
нулевой вектор. Следовательно, это нулевое отображение и
^(г)+Л iB = 0, т.е. J^x) = — А ГВ.
Теорема доказана полностью.
340
Следствие (теорема об обратном отображении). Пусть
гладкое отображение :.R" —> R" в окрестности точки х = а, невыро-
жденное в этой точке. Тогда существует обратное гладкое отображение
’№) = у>-1(у), определенное в некоторой 6-окрестности точки b = <р(а),
т.е. такое отображение, что V>(y>(x)) = х, причем матрица Якоби Д,
отображения тДу) равна
4 = ^’.
Доказательство. Эта теорема является прямым следствием
теоремы о системе неявных функций. Надо только записать равенство
у — <р(х) = 0 в виде системы неявных функций
/i(i,y) = y>i(x) - уг = О,
fn(x,y) = <fn(x) - yn = О,
а затем по этой теореме выразить х через у.
§11. УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ ФУНКЦИИ МНОГИХ
ПЕРЕМЕННЫХ
Определение 1. Пусть Q — область точек R", на которой опре-
делены гладкие функции <рДх),... ,<рт(х), т < п. Тогда множество
П1 С О решений системы уравнений <р(х) = 0, к = 1,.. ,,т, называет-
ся многообразием, порожденным функциями <р\,... ,<рт- Уравнение
Pk(x) =0 называется уравнением связи для многообразия Qi.
Определение 2. Точка а называется точкой условного локаль-
ного максимума на многообразии Q, если в некоторой окрестности
точки а для любой точки х, принадлежащей этой окрестности и мно-
гообразию П, справедливо неравенство f(x) < /(d).
Аналогично определяются точки условного локального минимума
и экстремума.
Замечание. Если связи отсутствуют, то условный локальный экс-
тремум называется безусловным экстремумом.
Определение 3. Точка а функции f(x) называется особой, если
grad/(d) = б, и неособой, если grad/(d) / б.
Определение 4. Многообразие Q] называется невырожденным,
если для любой точки х Е векторы градиентов Ф, = grady>3(5)
при s = 1,..., m являются линейно независимыми.
341
Теорема (необходимое условие условного экстремума). Для
того чтобы неособая точка а функции f(x) была бы точкой условного
экстремума функции f(x) на невырожденном многообразии Qi, необ-
ходимо, чтобы вектор F = grad f(x) в точке х = а выражался в виде
линейной комбинации градиентов Ф1 = grady>i(z),..., Фт = grady>m(z)
в этой точке, т.е. чтобы существовали вещественные числа Ai,... ,Ат
такие, что
F = А1Ф1 + • • • + АтФт.
Утверждение этой теоремы допускает следующую переформулиров-
ку для практического нахождения условного экстремума.
Следствие (метод множителей Лагранжа). Пусть
Ai,..., Ат — независимые вещественные переменные. Рассмотрим
функцию Лагранжа
L(x, А) = f(i) - АррЦзс)---Am<pm(z).
Для того чтобы неособая точка а функции f(x) была бы точкой
условного экстремума этой функции на невырожденном многообразии
f2i, необходимо, чтобы при некотором А = Aq имело место равенство
dL(x, А)|г=а х=а0 = О,
т.е. чтобы все частные производные функции L(x, А) по переменным
х3 и Аг обращались в нуль.
Доказательство следствия. Если мы приравняем к нулю
частные производные по переменным Аг, то получим уравнения связи.
А если продифференцируем по xs, s= 1,...,п, то получим условие
выражения градиента функции f(x) в виде линейной комбинации
градиентов функций v’r(x), что по теореме и является необходимым
условием. Следствие доказано.
Доказательство теоремы. Идея доказательства
состоит в том, чтобы найти п — т. линейно независимых векторов
am+i,. ,.,dn G IR” таких, что каждый из этих векторов одновременно
перпендикулярен вектору F и векторам Ф1,...,Фт. Отсюда будет
следовать, что линейное пространство L, состоящее из всевозможных
линейных комбинаций этих векторов, обладает свойством F ± L и
Ф* ± L, k = 1,...,т. Ортогональное дополнение пространства L, т.е.
пространство IL1, состоящее из всех векторов х € Ж”, ортогональных
к L, содержит вектора F и Ф1,.. . ,Фт. Размерность пространства 1Л
равна п—т. Поскольку вектора Фх,... ,Фт — линейно независимы, они
образуют базис L. Следовательно, вектор F есть линейная комбинация
векторов Ф1,..., Фт.
Заметим, что на самом деле L состоит из всех векторов, лежащих
в каждой из касательных плоскостей к поверхностям >ра(х) = 0, s =
1,..., т, в точке х = а.
342
Итак, осталось указать векторы dj,..., ап_т G Lx. Их мы будем
выбирать следующим образом. Без ограничения общности можно
считать, что
D&ly-iPm) , п
D(xlt...,xm)
По теореме о системе неявных функций в некоторой е-окрестности
точки а € Ж” существует т гладких функций ^1(г), • • •, ^т(г), гДе
z = (xm+i,.. .,хп) таких, что
PkWi(z),..	= О,
а также
¥>kWi(z0),..^т(го), го) = 0, (V’i(^o), • • •, Фт(г0), го) = а.
Пусть ёг — направляющий вектор оси Oxr, г ~ т+ 1,.. ,,п. Рассмо-
трим функции
Л*,г(О - 4>к(^1(го + <ег),..^»п(го +ier),z0 +ter) = О,
где к = 1,..., т, а также функцию
А0,г(<) = /(^1(го +<ег),.. ,,^т(г0 +ter),z0 +ter).
В точке 4 = 0 производные всех функций равны нулю: у первой,
..., т-й — потому, что они есть тождественно равные нулю функции,
а у функции ho,r(t) — потому, что точка 4 = 0 должна быть точкой
локального экстремума этой функции.
Вычисляя h'k г(4)| по теореме о производной сложной функции,
получим	“
,7 7Л|	_ д<рк	д'фх	д<рк д$т	д<рк
*,г -'lt=o gX1	QXr	gXm gXr	gXr >
h> it\l - df
0,r 'lt=o gX1	gXr	gXm gXr	gXr'
где fc = 1,.. .,m; г = m + 1,..., n; т.е. имеем
4,r(O|t=o = (^>«r) = о, 4,r(<)|t=0 = (Лаг) = o,
причем
^1 д'фт
дхТ' "' дхг	" ’
число 1 находится на тп +r-м месте.
343
Таким образом, все векторы dm+i,...,dn перпендикулярны каждо-
му из векторов Г,Ф1,. . .Фт, при этом, очевидно, векторы Фь .. .Фт в
силу невырожденности многообразия П) будут линейно независимы.
Теорема доказана.
§ 12. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ.. МАТРИЦА
ЯКОБИ
Покажем, что матрица Якоби отображения / : К" —> IRm обладает
некоторым важным свойством, аналогичным свойству производной
функции.
Определение 1. Пусть отображение a : IRn —> IRm определено в
некоторой окрестности точки х — б. Тогда будем говорить, что а(х)
есть о-малое от длины вектора х, и обозначать это так:
а(г) = о(|х|),
а(х)
если hm 	- — 0.
r-t-o х
Определение 2. Линейное отображение 1(Дх) из К" в К"1 на-
зывается дифференциалом отображения fix') в точке х = а,
если
Af(x) = 1(&х) + о(| Дх|).
Обозначение: /(Дх) = <//(ж)|г=а	 Если существует дифферен-
циал отображения в точке, то оно называется дифференцируемым
в этой точке. Дифференциал отображения можно определить следу-
ющим равенством:
1™ |Д№Ь-№)1
Дх-»0 |Дх|
= 0.
Утверждение 1. Если дифференциал отображения существует, то
он определен однозначно.
Доказательство. Пусть /j (Дх) и /г(Дх) — дифференциалы
отображения /(х) в точке х = а. Положим /(Дх) = /ДДх) —/2(Дх).
Из неравенства треугольника имеем
|/(Дх)| < |Д/(х) - G(Дх)| + |Д/(х) - /2(Дх)|.
В силу определения дифференциала отображения отсюда получим
lim
Дг—^0
|/(Аж)|
"|Дх|
= 0.
344
Далее, поскольку отображение /(Дх) — линейно, для любого прира-
щения Дх будем иметь
= „т Щ!АЙ! = 0.
,|Дх|	t—ко |/Дх|
Таким образом, отображение /(Дх) переводит все линейное простран-
ство в нулевой вектор. Следовательно, отображение /(Дх) — нулевое,
что и требовалось доказать.
Утверждение 2. Пусть f(x) — дифференцируемое отображение.
Тогда имеет место равенство
Af(x) = Jj(a)  Дх + о(|Дх|),
где выражение Jf(a) • Дх понимается как умножение матрицы Якоби
Jj(a) на вектор Дх.
Доказательство очевидно.
Приведем еще несколько свойств дифференциала отображения, ко-
торые непосредственно выводятся из его определения.
1°. Дифференциал df(x) отображения /(х) существует тогда и
только тогда, когда существуют все дифференциалы' dfk(x) функций
fk(x), /(х) = (/i(x),...,/m(x).)
2°, Если отображение у = д(х) дифференцируемо в точке а, а
отображение f{y) дифференцируемо в точке Ь = д(а), и образ некото-
рой окрестности точки а при отображении д содержится в некоторой
окрестности точки Ь, то отображение h(x) = f(g(x)) дифференцируемо
и
Л(х) = Jf(g(x))  Jg(x).
3°. Отображение f : К" —> К”*, которое является гладким в некото-
ром шаре О(а,е), a G К", е > 0, заведомо будет дифференцируемым
во всем шаре О(а,е).
ЧАСТЬ III
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ И
ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ.
В последнее время в преподавании университетского курса ма-
тематики наметился отход от излишней абстрактности изложения в
сторону его содержательности. До известной степени это перекликает-
ся с представлениями математиков прошлого. Прекрасным примером
сочетания четкости изложения с конкретностью и идейной ясностью
является учебник Ш.Ж. ла Валле-Пуссена “Курс анализа бесконечно
малых” (Л.; М., 1933), который во многом служил для нас образцом.
Эта часть книги охватывает материал, излагаемый в третьем
семестре, в рамках курса математического анализа на механико-
математическом факультете МГУ. Как мы отмечали в предисловии
к первой части, замысел этого учебника предполагает соединение
краткости изложения, свойственной конспекту лекций, с доступно-
стью и полнотой учебника. С другой стороны, наша концепция курса
включает в себя выделение роли понятия предельного перехода во
всевозможных его проявлениях как фундаментальный принцип из-
ложения предмета. Следует также отметить, что материал третьего
семестра несет в себе наиболее существенные элементы всего курса ма-
тематического анализа, связанные с одновременным рассмотрением и
перестановкой порядка выполнения нескольких предельных переходов
в сочетании с понятием двойного предела.
Здесь мы рассматриваем такие приложения общей теории, как бес-
конечные произведения и бесконечные определители, основы теории
эйлеровских интегралов, задача Кеплера о движении двух тел и функ-
ции Бесселя, формула Лагранжа для обратной функции, обобщающая
формулу Тейлора, формула суммирования Пуассона и вычисление
точного значения суммы Гаусса. Другое приложение теории — это
изложение асимптотических методов Лапласа и стационарной фазы,
являющихся, как известно, вещественной интерпретацией метода пере-
вала в теории функций комплексного переменного. Обратим внимание
читателя на то обстоятельство, что лекции, в которых излагается
материал приложений, как правило, превосходят по объему отдельные
лекции, содержащие теоретические основы курса. Заметим еще, что
выбор приложений обусловлен нашим стремлением привить студентам
определенный математический вкус и любовь к предмету.
346
Глава XV
ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ
Лекция 1
§ 1.	ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ. КРИТЕРИЙ
КОШИ
Эта часть курса математического анализа охватывает три большие
темы, а именно:
1)	числовые и функциональные ряды;
2)	интегралы, зависящие от параметра;
3)	ряды и интегралы Фурье.
Заметим, что третья тема при формальном подходе должна быть
отнесена к двум первым, однако ввиду особой важности и специ-
фических особенностей ее традиционно выделяют в самостоятельный
раздел. Изложение материала начинается с числовых рядов.
Понятие числового ряда вскользь рассматривалось еще в первом се-
местре при изложении темы о числовых последовательностях. Теперь
остановимся на этом вопросе более детально.
Напомним основные определения.
Определение 1. Пусть {ап} — произвольная числовая после-
довательность. Числовым рядом или просто рядом называется
формальная бесконечная сумма S вида
S = ai + а2 + аз + ... .
Обычно используется следующая сокращенная запись:
ОО
S=^2an,
П = 1
или просто £2an.
Здесь натуральный параметр п в знаке суммы определяет номер
члена последовательности. При фиксированном п соответствующий
ее член an называется n-м членом ряда. В то же время сим-
вол an, рассматриваемый как функция своего номера, называется
общим Членом ряда. Вместо буквы п можно, разумеется, использо-
вать любую другую букву, обозначающую переменную, принимающую
натуральные значения.
347
Рассмотрим теперь новую последовательность sn, задаваемую ра-
венством
п
sn — О1 + •  • + ап — а/с 
к=1
Определение 2. Последовательность зп называется последова-
тельностью частичных (или частных) сумм ряда £2ап, а ее п-й
член называется n-й частичной суммой этого ряда.
Определение 3. Если последовательность зп частичных сумм ряда
Y' an сходится к числу s, т.е. если lim sn = s, то ряд У} an называется
%	п^>оо
сходящимся (к s), а число s — его суммой. В этом случае пишут:
- 5? q» ~ S.
п-1
Если же последовательность {sn} не имеет предела, то говорят, что
ряд У^ап расходится.
В основном нас будут интересовать сходящиеся ряды.
Определение 4. Если ряд £2 an сходится к числу s, то последова-
тельность rn s — sn называется остаточным членом или остатком
ряда.
Заметим, что так как sn —> s при п —> оо, то rn —> s — s = 0 при
п —> .оо.
Несколько модифицируем введенные определения и обозначения.
Если в числовой последовательности an отбросить несколько началь-
ных членов, например, в количестве тп > 0, то оставшиеся члены
Лт-ц, Пт+2, •   в совокупности можно снова рассматривать как некую
новую последовательность Ьп, задаваемую равенством bn = am+n.
ОО
Рассматривая Ьп как общий член ряда Ъп, для его частичных
П —1
сумм sn получим равенство
~ by 4-  - • 4- Ьп =. (im+i 4-  •  4- am+n ~
n	m+n
2	2	~ ^'ш+п ^п •
/с = 1	fc=m+l
Кроме того, ряд Ьп как формальную бесконечную сумму можно
п = 1	.	 '
записать в виде
оо	оо
У2 &n “ &1 +	’ 1 — Дт+1 + Дт+2 4" • • • — У2 •
n = l	n=m + l
348
оо
Таким образом, бесконечную сумму У ап тоже можно рассма-
тривать как ряд.
оо
Далее будем рассматривать также формальные ряды вида ^2 anj,
где п3 — какая-либо последовательность натуральных чисел, и ис-
следовать их на сходимость.
Утверждение 1. Остаточный член гп ряда £ можно предста-
k=zl
оо
вить в виде ряда У в том смысле, что:
k~n~j-1
1)	его сумма равна гп, когда исходный ряд У а« сходится;
п~1
2)	это представление понимается как формальное равенство, когда
оба ряда расходятся;
3)	другие случаи не имеют места.
Доказательство начнем с п.З. При k > 1 для
,	оо	оо
частичных сумм зк ряда У ап и s/t+n ряда У ап имеет место
n=fc-J-l	П = 1
равенство = $ь+п — sn.
Ясно, что при фиксированном п сходимость и расходимость после-
довательностей sk и Sk+n имеют место одновременно, что и означает
справедливость утверждения п. 3.
В случае 1, т.е. когда оба ряда сходятся, можно перейти к пределу
при к —> оо в равенстве sk — s^+n — sn. Тогда получим
s = lim sk — lim s/t+n - sn — s - sn — rn;
k-+oQ	k—>oc
тем самым утверждение п. 1 доказано.
Относительно утверждения п. 2 следует заметить, что формальное
равенство
ОО	И	ОО	оо
к — 1	/с = 1	fc=n + l	fc — 1
можно рассматривать как определение одной из возможных опера-
ций над формальными числовыми' рядами. При введении подобных
операций необходимо только требовать, чтобы правые и левые части
равенств переходили бы в равенство между числами в случае наличия
сходимости хотя бы для одной из частей равенства, что действитель-
но имеет место в нашем случае. Доказательство утверждения 1
закончено.
349
оо
Примеры. 1. Ряд 52 п(п+1) сходится, и его сумма равна 1.
П = 1
Действительно, имеем
1 1 1
Sn~ 1-2 + 2-3 + ”+п(п+1) "
/	М	ОН /1	1 А	,	1
= I 1	-’	о /	+	( о ~ т)+”+(й	-	ZTT /	—	1 “	Z7Z	Г	1
\	2/	\2 о/	\П	Пт1/	Пт	1
при п —> оо, т.е. s = lim sn = 1.
n-юо
2. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии вида
а 4- aq 4- - • • + aqn 4- , при а / 0.
В случае q = 1 имеем sn = па, и ряд расходится. При q / 1
справедливо равенство
sn=a + aq-{--h aqn 1=a(l+g + ••• + ?" г) =
- a(1~gn) _ а _ аяп
~	1-q	~ l-q 1-q'
Известно, что qn —> 0 при |?| < 1 и {?п} расходится при |?| > 1.
Таким образом, указанный ряд сходится к сумме s = при
|g| < 1 и расходится при |g| > 1, а / 0.
3. Гармонический ряд 52 Vn = 1 4- 1/2 4- • •  4- 1/п 4- ... расходится,
а ряд 52 1/п" = 1 + 1/2° 4--F \/па 4-... сходится при а > 1.
Заметим прежде всего, что расходимость ряда есть расходимость
последовательности его частичных сумм, т.е. надо доказать, что
sn = 14----F 1/п расходится. Для этого достаточно показать, что эта
последовательность не ограничена.
При п = 2* имеем
, 1 /1 1\ А 1 1 1\
S”-S2k-1 + 2+(<3 + 4) + U + 6 + 7 + 8;+-'
( 1 , , 1 \
" + \2*-1 4-1 + "+ 2к) ~
, 1 „ 1	j 1 к к
> 14 1-2- к • • • 4- 2*-1 • —г = 1 4— > —.
-	2	22	2*	2	2
Отсюда следует, что, каково бы ни было число М > 0, всегда найдется
номер п = 2*, такой, что sn > к/2 > М. Для этого достаточно
выбрать натуральное число к большим, чем 2М. Другими словами,
350
подпоследовательность не ограничена и потому она расходится,
как и сам гармонический ряд.
Для доказательства сходимости ряда 52 по теореме Вейерштрас-
са достаточно доказать ограниченность его частичных сумм
tn = 1 + 1/2“ + - •+1/п“,
поскольку они монотонно возрастают. Рассмотрим какое-либо к с
условием п < 2*. Тогда справедлива следующая оценка
, 1/1	1\ / 1	1	1	1А
<„<«2‘ = 1 + ^+^— + ~ J + ^- + ^ + ^ + ~ J+.-.
/	1	_	, 1 А ,
’ ’ ’ + \(2*-1 + 1)“ + ' ’' + 2ка) ~
, , /1 1 \ / 1 1 1 1 \
< 1 + 1 + ।	I + I —— + — + — + — I + ...
-	\2“ 2а/	\4“ 4“	4“	4“J
, (	Х . . 1 V-
’' ‘+	+ ’ ’' + 2(fc-D“) ~ ,
< 1 + 1 + + 2 '	+  • + 2fc_1 • 2(Л)^ 1 + ГТ^Г
Таким образом, частичные суммы {£п} ограничены в совокупности,
что и означает сходимость искомого ряда.
Установим теперь несколько простейших свойств сходящихся рядов.
Утверждение 2. Отбрасывание любого конечного числа членов в
бесконечной сумме или добавление к ней любого конечного числа
новых слагаемых не влияет на сходимость ряда.
Доказательство. Рассмотрим случай отбрасывания слага-
емых, так как второй случай разбирается аналогично. Итак, пусть мы
отбросили члены ряда 52 ап с номерами п, < • • • < п*. Оставшиеся
слагаемые перенумеруем в порядке возрастания их прежних номе-
ров. Общий член получившейся таким образом последовательности
обозначим через Ьп. Тогда при любом т > п* будем иметь
m	m—к
У = У Ьп +	4-  •  4- апк 
п=1	П=1
Отсюда следует, что последовательности частичных сумм этих рядов
т	т—к
зт = 52 ап и з'т = 52 Ьп = sm-ani-------ап>1 сходятся и расходятся
п—1	п=1
одновременно. Утверждение доказано.
351
Утверждение 3. Если 22 ап — s и с € R, то £сап = cs.
Утверждение 4. Если 22 “n = s и ^2fen = t, то 22(ап + Ьп) = s +1.
Доказательство утверждений 3 и 4 есть прямое
следствие определения суммы ряда и арифметических свойств сходя-
щихся последовательностей sn и tn как частичных сумм рядов ^ап
и £Ьп. Доказательство закончено.
Утверждение 5 (необходимый признак сходимости ряда). Если
ряд 22 ап сходится, то ап —> 0 при п —> оо. Другими словами, ап есть
бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Имеем an = sn — sn-i- Отсюда при
п —> оо получим ап —> s — s = 0, что и требовалось доказать.
Примеры. 1. Ряд 22X1 (“О” 1 =	+ - - - расходится,
так как an = (—1)п-1 не стремится к нулю. Заметим, что Л. Эйлер
приписывал этому ряду сумму, равную 1/2. И хотя в рамках
наших определений это неверно, существует иной, более общий взгляд
на проблему, и он позволяет придать утверждению Эйлера строгий
математический смысл. Речь идет о корректной и продуктивной
постановке задачи суммирования расходящихся рядов. Например,
можно сумму расходящегося ряда рассматривать как значение особого
линейного функционала, определенного на последовательности {сх„},
и т.п. Однако здесь мы этих вопросов, по существу, касаться не
будем.
ОО
2. Ряд 22 sinn расходится. Чтобы доказать это утверждение,
П = 1
достаточно установить, что равенство lim sinn = О не имеет места.
П-400
Действительно, пусть sinn —> О при п —> оо. Тогда, так как
sinn = sin ((n — 1)+ 1) = sin (n — l)cos 1 + sin 1 cos (n — 1),
sin 1/0, cos 1/0,
то, переходя к пределу в предыдущем равенстве, получим
0 = lim sin n = cos 1 • lim sin (n — 1) + sin 1 • lim cos (n - 1) =
n—koo	П-4ОО	П—koo
= 0 + sin 1 • lim cos (n — 1).
fl-4 CO
Отсюда имеем lim cos (n — 1) = 0. Но тогда при n —> оо
n-юо
1 = (sin n)2 + (cos n)2 —>0 + 0 = 0,
352
что невозможно. Следовательно, ряд ]Csinn расходится, что и
требовалось доказать.
Рассмотренные примеры показывают, что даже простейшие при-
знаки сходимости ряда оказываются полезными при исследований
рядов на сходимость. С другой стороны, наличие общего крите-
рия Коши для сходимости последовательности позволяет установить
соответствующий критерий и для числового ряда.
Теорема1 (критерий Коши). Для сходимости ряда. J3221 an
необходимо и достаточно, чтобы для любого е > 0 существовал номер
по = по(е) такой, что при всяком натуральном р и всех п > п0(е)
имело место неравенство
l^n+p
п+р
m=n + l
Доказательство. Утверждение теоремы равносильно
критерию Коши для сходимости последовательности sn частичных
сумм ряда, что согласно определению и есть сходимость его самого.
Тем самым теорема 1 доказана.
Теорему 1 можно переформулировать таким образом, чтобы иметь
критерий расходимости ряда 52ап в прямой форме.
Теорема2 (критерий Коши для расходимости ряда). Для
расходимости ряда 52 ап необходимо и достаточно, чтобы существовало
хотя бы одно е > 0 с условием, что для любого п0 > 1 найдутся
натуральные п > по и р, для которых справедливо неравенство
п+р
т=г>+1
> е.
п+р
Определение 5. Всякое выражение вида sn+p — sn =	52 am
m=n+l
называется отрезком ряда 52 ап-
ОО
Примеры. 1. Ряд 52 сходится.
П = 1
Для доказательства воспользуемся теоремой 1. Имеем
cos(n+l)	cos (n + p)
(n + I)2 +	+ (n + p)2
1 1 1 ________________________________1______
_(n +l)2+	+ (n + p)2 _ n(n + 1) +	+ (n + p-l)(n+p)
12 Лекции по математическому анализу
353
1__1_\	/ 1_______1_\ = £___1 < £
п п+1)	\п + р-1 п+р) п п + р п
Требуемое неравенство |sn+p-sn| < е будет выполнено, если, например,
1/п < е, т.е. п > \/е. Положим n0(e) = [1/е] + 1- Тогда по(е) > 1/е
и для любого натурального р и любого п > по(е) выполняются
неравенства
1/n < l/n0(e) < е, |s„+P - sn| < е,
следовательно, по теореме 1 ряд сходится.
2. Гармонический ряд 1 + 1/2 + 1/3 + ... расходится. Применим
теорему 2. При всех п и р = п имеем
s2n sn —
1 11 11
	+ 	 > — + -- -Ч-= -
n+1------------------2n ~ 2n 2n 2
Таким образом, условия теоремы 2 будут выполнены, если положить
f = 1/2 и при любом no > 1 в качестве пир взять числа п = р = по-
Тем самым расходимость ряда установлена.
3. Ряд
V 1 _ 1	1
nlnn 2 In 2 +	+ п In п + • • •
расходится. Действительно, при любом натуральном к имеем
1	2*	_	1
nlnn - г^+ЦЛ + О^г ~ 2{к + 1)1п2‘
Следовательно, при к > 1 получим
1	1 к _ 1
s22* -s2‘ > 2(А+ 1)in2 + '  + 4fcln2 > 4Мп2 " 41п2’
Положим е = 1/(4In2). Тогда, если в качестве п и п+р взять числа
п = 2к и п + р= 22к, то при любом к > 1 выполняются условия
теоремы 2, и, значит, данный ряд расходится.
Обратим еще раз внимание на тесную связь между теорией схо-
димости рядов и последовательностей. Мы установили, что всякий
ряд порождает последовательность частичных сумм, которая опреде-
ляет его сходимость. Имеет место и обратный результат, а именно:
всякую последовательность можно рассматривать как последователь-
ность частичных сумм некоторого ряда. Действительно, если {6П} —
некоторая последовательность, то с ней можно связать ряд £2ап,
полагая <ц = и a„+i = 6п+1 — Ьп при n > 1.
Лекция 2
§ 2. РЯДЫ С НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ЧЛЕНАМИ
Определение 1. Ряд ап называется рядом с неотрицатель-
ными членами, если при всех п имеем ап > 0.
Ряды с неотрицательными членами — это простейший тип числовых
рядов. Их свойства используют при изучении рядов общего вида, и
поэтому изложение теории рядов обычно начинают именно с рядов
с неотрицательными членами. Для общего члена такого ряда будем
преимущественно Использовать обозначение рп (вместо ап). В основном
нас будут интересовать вопросы сходимости этих рядов.
Теорема1. Для сходимости ряда £рп, где рп > 0 при всех
п, необходима и достаточна ограниченность последовательности его
частичных сумм.
Доказательство. Пусть sn — n-я частичная
сумма ряда ^рп- Поскольку рп > 0, имеем, что последовательность
{sn} не убывает. Теперь требуемый результат вытекает из крите-
рия Вейерштрасса для сходимости монотонной последовательности.
Доказательство закончено.
Пример. Пусть Ьп -> +оо и {6П} не убывает и положительна.
Тогда ряд £2(&п+1 “ М расходится, а ряд £ (&7 “ сходится.
Действительно, для частичных сумм sn и tn этих рядов имеем
, , л 1 1 1
— 6^+1 ~~ t>n +оо, tn — т— < т—.
И	Оп + 1	61
Теперь требуемый результат вытекает из теоремы 1.
Теорема2 (признак сравнения). Пусть ^рп и ^qn— два
ряда с неотрицательными членами и пусть, начиная с некоторого п0,
для всех п > по имеем 0 < qn < рп  Тогда:
а)	сходимость ряда ^,Рп влечет за собой сходимость ряда
б)	из расходимости ряда следует расходимость ряда ]Грп.
Доказательство. Без нарушения сходимости можно
отбросить первые п0 членов каждого ряда. При всех п > по полагаем
п	п
=	Pm j tn —	Ят •
m=no+l	m=no+l
12*
355
Тогда для любого п > по имеем 0 < tn < sn. В случае а) последо-
вательность {s„} ограничена, следовательно, и {tn} тоже ограничена
и ряд 52 9п сходится. В случае б) последовательность tn —> +оо,
поэтому «п -> +оо, т.е. ряд 52Рп расходится. Теорема доказана.
Определение 2. Ряд 52 Рп в теореме 2 называется мажорантой
для ряда. ^,qn, а ряд 52 9" — минорантой для ряда 52 Рп  Говорят
еще, что ряд ^рп мажорирует ряд 52 9п, а последний, в свою
очередь, его минорирует.
Аналогичное определение имеет место и для неотрицательных чи-
словых последовательностей.
Схема применения признака сравнения состоит в подборе подходя-
щей мажоранты для доказательства сходимости ряда или миноранты
для доказательства его расходимости. Обычно в качестве мажоранты
и миноранты используются ряды с общим членом более простого
вида, чем у исходного ряда, либо ряды общеизвестные, например
гармонический ряд, геометрическая прогрессия и т.д.
Пример. (Признак разрежения Коши). Если последовательность
ОО	.оо
Рп > 0 не возрастает, то ряды 52 Рп и 52 ^kP2k сходятся и расходятся
n=l	fc = l
одновременно.
Доказательство. Поскольку рп > 0, последовательность
частичных сумм ряда 52 Рп не убывает, а любая ее подпоследователь-
ность snt сходится и расходится одновременно с sn. Далее, для любого
натурального п найдется целое число к с условием 2*-1 < п < 2к. Для
таких п и к определим последовательность Ьп — р2к  Тогда согласно
условию выполнены неравенства
Ъп = Р2к <Рп < Р2к~1 = Ъ2к-1,
2* 1Р2‘ < Р2к~1+1 + •   + Р2к < 2* ^р^к-1.
Следовательно, для частичных сумм a2k-i и д2* ряда 52 ^п имеем
2*	к	2к
<Т2к = ^2 Ьп = 52 2т-1Р2'» < 52 Рп =
п=1	т=1	п=1
2k-i	2fc-i
=	< 2 Ьп — 2тР2т -- 2<T2fc-1 •
п=1	т=1
Это значит, что д2к является минорантой, a 2ct2*-i — мажорантой
для s2k. Таким образом, ряды 52Рп и 52^кР2к сходятся и расходятся
одновременно, что и утверждалось выше.
356
Идея, заложенная в признаке сравнения, позволяет вывести и
некоторые другие полезные утверждения подобного рода. Следующая
теорема относится к их числу.
ТеоремаЗ (обобщенный признак сравнения). Если в условии
теоремы 2 неравенство qn < рп заменить неравенством	то
ее утверждение также будет иметь место.
Доказательство. Поскольку отбрасывание нескольких
первых членов ряда не влияет на его сходимость, с самого начала
можно считать, что По = 1. Перемножая все неравенства из условия
теоремы до номера п включительно, приходим к неравенствам вида
Qn Рп
— < —, <7nPi < Рп91-
91 Р1
Применяя теорему 2, мы получаем требуемый результат относи-
тельно рядов Pi 52^=19п и *7il2nLiPn> а так как умножение всех
членов ряда на одно и то же число, отличное от нуля, не влияет на
сходимость, то тем самым теорема 3 доказана полностью.
Теорема4 (признак Даламбера). Пусть для членов ряда
Y^Pn, начиная с некоторого номера по, выполнены условия:
1) Рп > 0;
2) Dn =	<q, где 0 < q < 1.
Тогда ряд ^2рп сходится. Если же при всех п > по вместо
неравенства 2 имеем рп+Дрп > 1, то ряд ^рп расходится.
Доказательство. Сравним ряд 52 Рп с0 сходящимся
рядом 52 ^п, где bn = qn. При п > по имеем
----— ч ~ L
Рп
Поэтому первое утверждение теоремы 4 вытекает из теоремы 3.
Во втором случае надо положить bn = 1 для всех п. Тогда ввиду
расходимости ряда 52 &п и неравенств
Рп + 1 >1   ^п + 1
Рп	^п
из той же теоремы 3 следует расходимость ряда 52Рп- Теорема 4
доказана полностью.
357
Теоремаб (признак Даламбера в предельной фор-
ме). Рассмотрим ряд 52 Рп с условием рп > 0 для всех п. Положим
q = lim , г = lim .
П —> ОО рп	П -+ ОО рп
Тогда, при q < 1 ряд 52 Рп сходится, а при г > 1 — расходится.
Напомним, что
lim an = inf аир an,	lim an = sup inf an.
п-Юо	n	n-too	m6x n
n>m	rl>m
Доказательство. Рассмотрим сначала первый случай.
Положим Qi = Тогда q < qi < 1. Поскольку lim = q, при
1	П-4ОО ”п
некотором По имеем
Рп+1
sup -----
п Рп
Ч + 1 _ , 1 - ч
2 Ч+ 2
Следовательно, ряд 52 Рп сходится в силу первого утверждения тео-
ремы 4.
Рассмотрим теперь второй случай. Положим ri