/
Автор: Зорин В.А.
Теги: анализ математический анализ функциональный анализ математика
ISBN: 5-94057-056-9
Год: 2002
Текст
В. А. Зорич
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ
АНАЛИЗ
Часть I
Издание четвертое,
исправленное
Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебника для студентов
математических и физико-математических
факультетов и специальностей
высших учебных заведений
мцнмо
Москва, 2002
УДК 517
ББК 22.16
386
Рецензенты: Отдел теории функций комплексного переменного Математического института им. В. А. Стеклова Российской Академии Наук. Заведующий отделом академик А. А. Гончар.
Академик В. И. Арнольд.
Зорич В. А.
386 Математический анализ. Часть I. — Изд. 4-е, испр. —
М.: МЦНМО, 2002. —XVI+ 664 с. Библ.: 52 назв. Илл.: 65.
ISBN 5-94057-055-0
ISBN 5-94057-056-9 (часть I)
Университетский учебник для студентов физико-математических спе-
циальностей. Может быть полезен студентам факультетов и вузов с рас-
ширенной математической подготовкой, а также специалистам в области
математики и ее приложений.
ББК 22.16
ISBN 5-94057-055-I&
ISBN 5-94057-056-9 (часть I)
Зорич, 1998, 2001, 2002.
© МЦНМО, 2001, 2002.
«Полная строгость изложения соединена с доступностью и полнотой, а также воспита-
нием привычки иметь дело с реальными задачами естествознания».
Из отзыва академика А. Н. Колмогорова
о первом издании учебника
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловия к четвертому и третьему изданиям................. IX
Предисловие ко второму изданию................................ X
Из предисловия к первому изданию............................ XII
Глава I. Некоторые общематематические понятия................. 1
§ 1. Логическая символика................................. 1
1. Связки и скобки (1). 2. Замечания о доказательствах (3). 3. Не-
которые специальные обозначения (3). 4. Заключительные заме-
чания (4).
Упражнения ............................................. 5
§ 2. Множества и элементарные операции над множествами... 5
1. Понятие множества (5). 2. Отношение включения (8). 3. Про-
стейшие операции над множествами (9).
Упражнения ............................................ 12
§ 3. Функция............................................. 13
1. Понятие функции (отображения) (13). 2. Простейшая класси-
фикация отображений (18). 3. Композиция функций и взаимно
обратные отображения (20). 4. Функция как отношение. График
функции (22).
Упражнения ............................................ 26
IV
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 4. Некоторые дополнения................................. 29
1. Мощность множества (кардинальные числа) (29). 2. Об акси-
оматике теории множеств (32). 3. Замечания о структуре ма-
тематических высказываний и записи их на языке теории мно-
жеств (34).
Упражнения ............................................. 37
Глава II. Действительные (вещественные) числа................. 40
§ 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действи-
тельных чисел............................................. 41
1. Определение множества действительных чисел (41). 2. Некото-
рые общие алгебраические свойства действительных чисел (45).
3. Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани
числового множества (50).
§2 . Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные
аспекты операций с действительными числами................ 52
1. Натуральные числа и принцип математической индукции (52).
2. Рациональные и иррациональные числа (56). 3. Принцип Ар-
химеда (60). 4. Геометрическая интерпретация множества дей-
ствительных чисел и вычислительные аспекты операций с дей-
ствительными числами (62).
Задачи и упражнения..................................... 76
§3 . Основные леммы, связанные с полнотой множества действи-
тельных чисел............................................. 81
1. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши-Кантора) (81).
2. Лемма о конечном покрытии (принцип Б ореля-Лебега) (82).
3. Лемма о предельной точке (принцип Больцано-Вейерштрас-
са) (83).
Задачи и упражнения..................................... 84
§ 4. Счетные и несчетные множества...................... 85
1. Счетные множества (85). 2. Мощность континуума (87).
Задачи и упражнения..................................... 88
Глава III. Предел ............................................ 91
§ 1. Предел последовательности............................ 92
1. Определения и примеры (92). 2, Свойства предела последова-
тельности (94). 3. Вопросы существования предела последова-
тельности (99). 4. Начальные сведения о рядах (ПО).
Задачи и упражнения.................................... 121
ОГЛАВЛЕНИЕ
V
§ 2. Предел функции.................................... 124
1. Определения и примеры (124). 2. Свойства предела функ-
ции (130). 3. Общее определение предела функции (предел по
базе) (148). 4. Вопросы существования предела функции (153).
Задачи и упражнения.................................. 171
Глава IV. Непрерывные функции.............................. 175
§ 1. Основные определения и примеры ................... 175
1. Непрерывность функции в точке (175). 2. Точки разрыва (181).
§ 2. Свойства непрерывных функций...................... 184
1. Локальные свойства (184). 2. Глобальные свойства непрерыв-
ных функций (186).
Задачи и упражнения.................................. 197
Глава V. Дифференциальное исчисление....................... 202
§ 1. Дифференцируемая функция.......................... 202
1. Задача и наводящие соображения (202). 2. Функция, диф-
ференцируемая в точке (208). 3. Касательная; геометрический
смысл производной и дифференциала (211). 4. Роль системы ко-
ординат (214). 5. Некоторые примеры (216).
Задачи и упражнения.................................. 222
§2. Основные правила дифференцирования................ 224
1. Дифференцирование и арифметические операции (224).
2. Дифференцирование композиции функций (228). 3. Диффе-
ренцирование обратной функции (232). 4. Таблица производ-
ных основных элементарных функций (238). 5. Дифференциро-
вание простейшей неявно заданной функции (238). 6. Производ-
ные высших порядков (243).
Задачи и упражнения.................................. 247
§ 3. Основные теоремы дифференциального исчисления..... 248
1. Лемма Ферма и теорема Ролля (248). 2. Теоремы Лагранжа и
Коши о конечном приращении (251). 3. Формула Тейлора (255).
Задачи и упражнения.................................. 270
§ 4. Исследование функций методами дифференциального исчисле-
ния ................................................... 274
1. Условия монотонности функции (274). 2. Условия внутрен-
него экстремума функции (276). 3. Условия выпуклости функ-
ции (282). 4. Правило Лопиталя (291). 5. Построение графика
функции (293).
Задачи и упражнения.................................. 303
VI
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5. Комплексные числа и взаимосвязь элементарных функций . . . 307
1. Комплексные числа (307). 2. Сходимость в С и ряды с ком-
плексными членами (312). 3. Формула Эйлера и взаимосвязь эле-
ментарных функций (317). 4. Представление функции степен-
ным рядом, аналитичность (321). 5. Алгебраическая замкну-
тость поля С комплексных чисел (326).
Задачи и упражнения.................................... 334
§ 6. Некоторые примеры использования дифференциального исчи-
сления в задачах естествознания.......................... 335
1. Движение тела переменной массы (336). 2. Барометрическая
формула (338). 3. Радиоактивный распад, цепная реакция и
атомный котел (340). 4. Падение тел в атмосфере (343). 5. Еще
раз о числе е и функции ехр х (345). 6. Колебания (348).
Задачи и упражнения.................................... 352
§ 7. Первообразная....................................... 356
1. Первообразная и неопределенный интеграл (357). 2. Ос-
новные общие приемы отыскания первообразной (359). 3. Пер-
вообразные рациональных функций (366). 4. Первообраз-
ные вида f R(cos х, sin х) dx (371). 5. Первообразные вида
J R(x, 2/(т)) dx (373).
Задачи и упражнения.................................... 377
Глава VI. Интеграл........................................... 383
§ 1. Определение интеграла и описание множества интегрируемых
функций.................................................. 383
1. Задача и наводящие соображения (383). 2. Определение инте-
грала Римана (385). 3. Множество интегрируемых функций (387).
Задачи и упражнения.................................... 402
§ 2. Линейность, аддитивность и монотонность интеграла... 404
1. Интеграл как линейная функция на пространстве И[а, Ь] (404).
2. Интеграл как аддитивная функция отрезка интегрирова-
ния (405). 3. Оценка интеграла, монотонность интеграла, тео-
ремы о среднем (408).
Задачи и упражнения.................................... 417
§ 3. Интеграл и производная.............................. 418
1. Интеграл и первообразная (418). 2. Формула Ньютона-Лейб-
ница (421). 3. Интегрирование по частям в определенном инте-
грале и формула Тейлора (422). 4. Замена переменной в инте-
грале (425). 5. Некоторые примеры (427).
Задачи и упражнения.................................... 432
ОГЛАВЛЕНИЕ
VII
§ 4. Некоторые приложения интеграла..................... 436
1. Аддитивная функция ориентированного промежутка и инте-
грал (436). 2. Длина пути (438). 3. Площадь криволинейной тра-
пеции (446). 4. Объем тела вращения (447). 5. Работа и энер-
гия (448).
Задачи и упражнения................................... 455
§ 5. Несобственный интеграл............................. 456
1. Определения, примеры и основные свойства несобственных
интегралов (457). 2. Исследование сходимости несобственного
интеграла (462). 3. Несобственные интегралы с несколькими осо-
бенностями (469).
Задачи и упражнения................................... 473
Глава VII. Функции многих переменных, их предел и непре-
рывность ................................................. 476
§ 1. Пространство К”1 и важнейшие классы его подмножеств .... 477
1. Множество К”1 и расстояние в нем (477). 2. Открытые и за-
мкнутые множества в К”1 (478). 3. Компакты в К”1 (482).
Задачи и упражнения................................... 484
§ 2. Предел и непрерывность функции многих переменных.... 484
1. Предел функции (484). 2. Непрерывность функции многих пе-
ременных и свойства непрерывных функций (491).
Задачи и упражнения................................... 497
Глава VIII. Дифференциальное исчисление функций многих
переменных ............................................... 498
§ 1. Линейная структура в .............................. 498
1. как векторное пространство (498). 2. Линейные отобра-
жения L: К”1 —> Кп (499). 3. Норма в К”1 (500). 4. Евклидова
структура в (502).
§ 2. Дифференциал функции многих переменных............. 504
1. Дифференцируемость и дифференциал функции в точке (504).
2. Дифференциал и частные производные вещественнозначной
функции (505). 3. Координатное представление дифференциала
отображения. Матрица Якоби (509). 4. Непрерывность, частные
производные и дифференцируемость функции в точке (509).
VIII
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3. Основные законы дифференцирования ................ 511
1. Линейность операции дифференцирования (511). 2. Диффе-
ренцирование композиции отображений (514). 3. Дифференци-
рование обратного отображения (520).
Задачи и упражнения.................................. 522
§ 4. Основные факты дифференциального исчисления вещественно-
значных функций многих переменных...................... 528
1. Теорема о среднем (528). 2. Достаточное условие дифференци-
руемости функции многих переменных (530). 3. Частные произ-
водные высшего порядка (532). 4. Формула Тейлора (535). 5. Экс-
тремумы функций многих переменных (537). 6. Некоторые гео-
метрические образы, связанные с функциями многих перемен-
ных (546).
Задачи и упражнения.................................. 550
§ 5. Теорема о неявной функции......................... 557
1. Постановка вопроса и наводящие соображения (557). 2. Про-
стейший вариант теоремы о неявной функции (560). 3. Переход
к случаю зависимости F^x1,... ,хт,у) = 0 (564). 4. Теорема о
неявной функции (567).
Задачи и упражнения.................................. 573
§ 6. Некоторые следствия теоремы о неявной функции..... 577
1. Теорема об обратной функции (577). 2. Локальное приведение
гладкого отображения к каноническому виду (582). 3. Зависи-
мость функций (587). 4. Локальное разложение диффеоморфиз-
ма в композицию простейших (589). 5. Лемма Морса (592).
Задачи и упражнения.................................. 596
§ 7. Поверхность в R" и теория условного экстремума.... 597
1. Поверхность размерности к в Жп (598). 2. Касательное прост-
ранство (603). 3. Условный экстремум (609).
Задачи и упражнения.................................. 624
Некоторые задачи коллоквиумов.............................. 630
Вопросы к экзамену......................................... 636
Литература................................................. 641
Предметный указатель...................................... 645
Указатель имен............................................. 656
ПРЕДИСЛОВИЯ К ЧЕТВЕРТОМУ И ТРЕТЬЕМУ
ИЗДАНИЯМ
Промежуток времени, прошедший с момента выхода третьего издания,
слишком мал, чтобы можно было получить достаточно много новых
замечаний читателей. Тем не менее, в четвертом издании исправлены
некоторые погрешности и сделана локальная правка текста.
Москва, 2002 год
В. Зорич
Эта часть I книги выходит вслед за выпущенной ранее тем же издатель-
ством более продвинутой частью II курса. Для единообразия и преем-
ственности оформление текста приведено в соответствие с уже приня-
тым в части II. Рисунки выполнены заново. Исправлены замеченные
опечатки, добавлены некоторые задачи, расширен список дополнитель-
ной литературы. Более полные сведения о материале книги и некото-
рых особенностях курса в целом даны ниже в предисловии к первому
изданию.
Москва, 2001 год
В. Зорич
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
В этом, втором издании книги, наряду с попыткой устранить опечат-
ки первого1), сделаны отдельные изменения изложения (в основном это
касается вариантов доказательств отдельных теорем) и добавлены не-
которые новые задачи, как правило, неформального характера. В пре-
дисловии к первому изданию этого курса анализа уже дана его общая
характеристика, указаны основные принципы и направленность изло-
жения. Здесь я хотел бы сделать несколько практических замечаний,
связанных с использованием книги в учебном процессе.
Любым учебником обычно пользуются как студент, так и препода-
ватель— каждый для своих целей. Сначала и тот, и другой заинтере-
сованы иметь книгу, где, помимо формально необходимого минимума
теории, имеются по возможности разнообразные содержательные при-
меры ее использования, пояснения, исторический и научный коммента-
рии, демонстрируются взаимосвязи, указываются перспективы разви-
тия. Но в момент подготовки к экзамену студент желает видеть тот
материал, который выносится на экзамен. Преподаватель точно так
же, завершая подготовку курса, отбирает только тот материал, кото-
рый может и должен быть изложен в отведенное курсу время.
В этой связи следует иметь в виду, что текст данного учебника,
конечно, заметно шире того конспекта лекций, на базе которого он на-
писан. Что составило эту разницу? Во-первых, к конспекту добавлен,
по существу, целый задачник, состоящий, не столько из упражнений,
^Не следует огорчаться: вместо исправленных опечаток не сохранившегося набо-
ра первого издания заведомо появится комплект новых опечаток, так оживляющих,
по мнению Эйлера, чтение математического текста.
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
XI
сколько из содержательных задач естествознания или собственно мате-
матики, примыкающих к соответствующим разделам теории, а иногда
и существенно расширяющих их. Во-вторых, в книге, конечно, разобра-
но много больше примеров, демонстрирующих теорию в действии, чем
это удается сделать на лекциях. Наконец, в-третьих, ряд глав, пара-
графов или отдельных пунктов сознательно написаны как дополнение
к традиционному материалу. Об этом сказано в разделах «О введении»
и «О вспомогательном материале» предисловия к первому изданию.
Напомню также, что в предисловии к первому изданию я желал
предостеречь и студента, и начинающего преподавателя от чрезмерно
долгого сквозного изучения вводных формальных глав. Это заметно
откладывает собственно анализ и сильно смещает акценты.
Чтобы показать, что на деле остается в реальном лекционном курсе
от этих формальных вводных глав, и чтобы в концентрированном виде
изложить программу такого курса в целом, а также отметить возмож-
ные ее вариации в зависимости от контингента слушателей, я в конце
книги привожу некоторые задачи коллоквиумов, а также экзаменаци-
онные вопросы последнего времени за первые два семестра, к которым
относится эта часть I.
По экзаменационным вопросам профессионал, конечно, увидит и по-
рядок изложения, и степень развития в нем фундаментальных понятий
и методов, и привлечение порой материала второй части учебника, ко-
гда рассматриваемый в первой части вопрос уже доступен слушателям
в более общем виде1).
В заключение хотел бы поблагодарить знакомых и незнакомых мне
коллег и студентов за отзывы и конструктивные замечания к первому
изданию курса. Особенно интересно и полезно мне было прочитать ре-
цензии А. Н. Колмогорова и В. И. Арнольда. Разные по объему, форме
и стилю, они в профессиональном плане имели так ободряюще много
общего.
Москва, 1997 год В. Зорич
Часть записей соответствующих лекций опубликована и формально я даю ссыл-
ку на изданные по ним брошюры, хотя понимаю, что они уже малодоступны (лек-
ции были прочитаны и изданы ограниченным тиражом в Математическом колледже
НМУ и на механико-математическом факультете МГУ).
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ
К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Создание Ньютоном и Лейбницем три столетия тому назад основ диф-
ференциального и интегрального исчисления даже по нынешним мас-
штабам представляется крупнейшим событием в истории науки вообще
и математики в особенности.
Математический анализ (в широком смысле слова) и алгебра, пе-
реплетаясь, образовали теперь ту корневую систему, на которой дер-
жится разветвленное дерево современной математики и через которую
происходит его основной живительный контакт с внематематической
сферой. Именно по этой причине основы анализа включаются как необ-
ходимый элемент даже самых скромных представлений о так называе-
мой высшей математике, и, вероятно, поэтому изложению основ анали-
за посвящено большое количество книг, адресованных различным кру-
гам читателей.
Эта книга в первую очередь адресована математикам, желающим
(как и должно) получить полноценные в логическом отношении доказа-
тельства фундаментальных теорем, но вместе с тем интересующимся
также их внематематической жизнью.
Особенности настоящего курса, связанные с указанными обстоя-
тельствами, сводятся в основном к следующему.
По характеру изложения. В пределах каждой большой темы
изложение, как правило, индуктивное, идущее порой от постановки за-
дачи и наводящих эвристических соображений по ее решению к основ-
ным понятиям и формализмам.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
XIII
Подробное вначале, изложение становится все более сжатым по мере
продвижения по курсу.
Упор сделан на эффективном аппарате гладкого анализа. При изло-
жении теории я (в меру своего понимания) стремился выделить наибо-
лее существенные методы и факты и избежать искушения незначитель-
ного усиления теорем ценой значительного усложнения доказательств.
Изложение геометрично всюду, где это представлялось ценным для
раскрытия существа дела.
Основной текст снабжен довольно большим количеством примеров,
а почти каждый параграф заканчивается набором задач, которые, на-
деюсь, существенно дополняют даже теоретическую часть основного
текста. Следуя великолепному опыту Полна и Сеге, я часто старал-
ся представить красивый математический или важный прикладной ре-
зультат в виде серий доступных читателю задач.
Расположение материала диктовалось не только архитектурой ма-
тематики в смысле Бурбаки, но и положением анализа как составной
части единого математического или, лучше сказать, естественно-мате-
матического образования.
По содержанию. Курс издается в двух книгах (части I и II).
Настоящая первая часть содержит дифференциальное и интеграль-
ное исчисление функций одной переменной и дифференциальное исчи-
сление функций многих переменных.
В дифференциальном исчислении выделена роль дифференциала
как линейного эталона для локального описания характера изменения
переменной величины. Кроме многочисленных примеров использования
дифференциального исчисления для исследования функциональных за-
висимостей (монотонность, экстремумы), показана роль языка анализа
в записи простейших дифференциальных уравнений — математических
моделей конкретных явлений и связанных с ними содержательных за-
дач.
Рассмотрен ряд таких задач (например, движение тела переменной
массы, ядерный реактор, атмосферное давление, движение в сопроти-
вляющейся среде), решение которых приводит к важнейшим элементар-
ным функциям. Полнее использован комплексный язык, в частности,
выведена формула Эйлера и показано единство основных элементар-
ных функций.
Интегральное исчисление сознательно изложено по возможности на
наглядном материале в рамках интеграла Римана. Для большинства
XIV
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
приложений этого вполне хватает1). Указаны различные приложения
интеграла, в том числе приводящие к несобственному интегралу (на-
пример, работа выхода из поля тяготения и вторая космическая ско-
рость) или к эллиптическим функциям (движение в поле тяжести при
наличии связей, маятник).
Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных до-
вольно геометрично. В нем, например, рассмотрены такие важные и по-
лезные следствия теоремы о неявной функции, как криволинейные ко-
ординаты и локальное приведение к каноническому виду гладких ото-
бражений (теорема о ранге) и функций (лемма Морса), а также теория
условного экстремума.
Результаты, относящиеся к теории непрерывных функций и диф-
ференциальному исчислению, подытожены и изложены в общем инва-
риантном виде в двух главах, которые естественным образом примы-
кают к дифференциальному исчислению вещественнозначных функций
нескольких переменных. Эти две главы открывают вторую часть кур-
са. Вторая книга, в которой, кроме того, изложено интегральное ис-
числение функций многих переменных, доведенное до общей формулы
Ньютона - Лейбница - Стокса, приобретает, таким образом, определен-
ную целостность.
Более полные сведения о второй книге мы поместим в предисловии
к ней, а здесь добавим только, что кроме уже перечисленного матери-
ала она содержит сведения о рядах функций (степенных рядах и рядах
Фурье в том числе), об интегралах, зависящих от параметра (включая
фундаментальное решение, свертку и преобразование Фурье), а так-
же об асимптотических разложениях (они обычно мало представлены в
учебной литературе).
Остановимся теперь на некоторых частных вопросах.
О введении. Вводного обзора предмета я не писал, поскольку
большинство начинающих студентов уже имеют из школы первое пред-
ставление о дифференциальном и интегральном исчислении и его при-
ложениях, а на большее вступительный обзор вряд ли мог бы претен-
довать. Вместо него я в первых двух главах довожу до определенной
Более «сильные» интегралы, как известно, требуют более кропотливых и вы-
бивающихся из основного русла теоретико-множественных рассмотрений, мало что
прибавляя к эффективному аппарату анализа, который и должен быть освоен в пер-
вую очередь.
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
XV
математической завершенности представления бывшего школьника о
множестве, функции, об использовании логической символики, а также
о теории действительного числа.
Этот материал относится к формальным основаниям анализа и ад-
ресован в первую очередь студенту-математику, который в какой-то
момент захочет проследить логическую структуру базисных понятий
и принципов, используемых в классическом анализе. Собственно мате-
матический анализ в книге начинается с третьей главы, поэтому чита-
тель, желающий по возможности скорее получить в руки эффективный
аппарат и увидеть его приложения, при первом чтении вообще может
начать с главы III, возвращаясь к более ранним страницам в случае, ес-
ли что-то ему покажется неочевидным и вызовет вопрос, на который,
надеюсь, я тоже обратил внимание и предусмотрительно дал ответ в
первых главах.
О рубрикации. Материал обеих книг разбит на главы, имею-
щие сплошную нумерацию. Параграфы нумеруются в пределах каждой
главы отдельно; подразделения параграфа нумеруются только в пре-
делах этого параграфа. Теоремы, утверждения, леммы, определения и
примеры для большей логической четкости выделяются, а для удобства
ссылок нумеруются в пределах каждого параграфа.
О вспомогательном материале. Несколько глав книги на-
писаны как естественное окаймление классического анализа. Это, с од-
ной стороны, уже упоминавшиеся главы I, II, посвященные его фор-
мально-математическим основаниям, а с другой стороны, главы IX,
X, XV второй части, дающие современный взгляд на теорию непре-
рывности, дифференциальное и интегральное исчисление, а также гла-
ва XIX, посвященная некоторым эффективным асимптотическим ме-
тодам анализа.
Вопрос о том, какая часть материала этих глав включается в лекци-
онный курс, зависит от контингента слушателей и решается лектором,
но некоторые вводимые здесь фундаментальные понятия обычно при-
сутствуют в любом изложении предмета математикам.
В заключение я хотел бы поблагодарить тех, чья дружеская и ква-
лифицированная профессиональная помощь была мне дорога и полезна
при работе над этой книгой.
Предлагаемый курс довольно тщательно и во многих аспектах со-
гласовывался с последующими современными университетскими мате-
матическими курсами — такими, например, как дифференциальные
XVI
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
уравнения, дифференциальная геометрия, теория функций комплексно-
го переменного, функциональный анализ. В этом отношении мне были
весьма полезны контакты и обсуждения с В. И. Арнольдом и, особен-
но многочисленные, с С. П. Новиковым в период совместной работы в
экспериментальном потоке при отделении математики.
Много советов я получил от Н. В. Ефимова, заведующего кафед-
рой математического анализа механико-математического факульте-
та МГУ.
Я признателен также коллегам по кафедре и факультету за замеча-
ния к ротапринтному изданию моих лекций.
При работе над книгой ценными оказались предоставленные в мое
распоряжение студенческие записи моих лекций последнего времени, за
что я благодарен их владельцам.
Я глубоко признателен официальным рецензентам издательства
Л. Д. Кудрявцеву, В. П. Петренко, С. Б. Стечкину за конструктивные за-
мечания, значительная часть которых учтена в предлагаемом читателю
тексте.
Москва, 1980 год
В. Зорич
ГЛАВА I
НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ПОНЯТИЯ И ОБОЗНАЧЕНИЯ
§ 1. Логическая символика
1. Связки и скобки. Язык этой книги, как и большинства мате-
матических текстов, состоит из обычного языка и ряда специальных
символов излагаемых теорий. Наряду с этими специальными символа-
ми, которые будут вводиться по мере надобности, мы используем рас-
пространенные символы математической логики Л, V, =>, для обо-
значения соответственно отрицания «не» и связок «и», «или», «влечет»,
«равносильно» .
Возьмем, например, три представляющих и самостоятельный инте-
рес высказывания:
L. «Если обозначения удобны для открытий ... , то поразительным
образом сокращается работа мысли» (Г. Лейбниц* 2)).
Р. «Математика — это искусство называть разные вещи одинаковы-
ми именами» (А. Пуанкаре3)).
логике вместо символа Л чаще используется символ &. Символ => импликации
логики чаще пишут в виде —>, а отношение равносильности — в виде <—> или о.
Однако мы будем придерживаться указанной в тексте символики, чтобы не пере-
гружать традиционный для анализа знак —> предельного перехода.
2) Г. В. Лейбниц (1646-1716)—выдающийся немецкий ученый, философ и мате-
матик, которому наряду с Ньютоном принадлежит честь открытия основ анализа
бесконечно малых.
3) А. Пуанкаре (1854-1912)—французский математик, блестящий ум которого
преобразовал многие разделы математики и достиг ее фундаментальных приложе-
ний в математической физике.
2
ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
G. «Великая книга природы написана языком математики»
(Г. Галилей1)).
Тогда в соответствии с указанными обозначениями:
Запись Означает
L => Р L&P ((L => Р) Л ^Р)) => ЬЬ) ^G)V(P^ G)) L влечет Р L равносильно Р Если Р следует из L и Р неверно, то L неверно G не равносильно ни L, ни Р
Мы видим, что пользоваться только формальными обозначениями,
избегая разговорного языка, — не всегда разумно.
Мы замечаем, кроме того, что в записи сложных высказываний, со-
ставленных из более простых, употребляются скобки, выполняющие ту
же синтаксическую функцию, что и при записи алгебраических выра-
жений. Как и в алгебре, для экономии скобок можно договориться о
«порядке действий». Условимся с этой целью о следующем порядке при-
оритета символов:
A, V, =>, О.
При таком соглашении выражение -<А Л В V С => D следует рас-
шифровать как (((-М) А В) V С) => D. а соотношение А V В => С —
как (Л V В) => С, но не как А V (В => С).
Записи А => В, означающей, что А влечет В или, что то же самое,
В следует из А, мы часто будем придавать другую словесную интер-
претацию, говоря, что В есть необходимый признак или необходимое
условие Л и, в свою очередь, А — достаточное условие или достаточ-
ный признак В. Таким образом, соотношение А о В можно прочитать
любым из следующих способов:
А необходимо и достаточно для В;
А тогда и только тогда, когда В;
:)Г. Галилей (1564 - 1642) —итальянский ученый, крупнейший естествоиспыта-
тель. Его труды легли в основу всех последующих физических представлений о про-
странстве и времени. Отец современной физической науки.
§ 1. ЛОГИЧЕСКАЯ СИМВОЛИКА
3
А, если и только если В;
А равносильно В.
Итак, запись А О В означает, что А влечет В и, одновременно, В
влечет А.
Употребление союза и в выражении А Л В пояснений не требует.
Следует, однако, обратить внимание на то, что в выражении
А\/ В союз или неразделительный, т. е. высказывание А V В считается
верным, если истинно хотя бы одно из высказываний А, В. Например,
пусть х — такое действительное число, что х2 — Зя+2 = 0. Тогда можно
написать, что имеет место следующее соотношение:
(х2 - Зх + 2 = 0) о (х = 1) V (я = 2).
2. Замечания о доказательствах. Типичное математическое
утверждение имеет вид А => В, где А — посылка, а В — заключение.
Доказательство такого утверждения состоит в построении цепочки
А => Ci =>...=> Сп => В следствий, каждый элемент которой либо
считается аксиомой, либо является уже доказанным утверждением1).
В доказательствах мы будем придерживаться классического прави-
ла вывода: если А истинно и А => В, то В тоже истинно.
При доказательстве от противного мы будем использовать так-
же принцип исключенного третьего, в силу которого высказывание
А V -А (Л или не А) считается истинным независимо от конкрет-
ного содержания высказывания А. Следовательно, мы одновременно
принимаем, что -«(-iA) А, т. е. повторное отрицание равносильно
исходному высказыванию.
3. Некоторые специальные обозначения. Для удобства чита-
теля и сокращения текста начало и конец доказательства условимся
отмечать знаками ◄ и ► соответственно.
Условимся также, когда это будет удобно, вводить определения по-
средством специального символа := (равенство по определению), в ко-
тором двоеточие ставится со стороны определяемого объекта.
Например, запись
ь
[ f(x)dx-.= Km a
J А(Р)->0
а
Запись А=^В=^С будет употребляться как сокращение для (А=ф-В) Л (В=>С).
4
ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
определяет левую часть посредством правой части, смысл которой
предполагается известным.
Аналогично вводятся сокращенные обозначения для уже определен-
ных выражений. Например, запись
п
i=i
вводит обозначение a(J;P,£) для стоящей слева суммы специального
вида.
4. Заключительные замечания. Отметим, что мы здесь гово-
рили, по существу, только об обозначениях, не анализируя формализм
логических выводов и не касаясь глубоких вопросов истинности, дока-
зуемости, выводимости, составляющих предмет исследования матема-
тической логики.
Как же строить математический анализ, если мы не имеем форма-
лизации логики? Некоторое утешение тут может состоять в том, что
мы всегда знаем или, лучше сказать, умеем больше, чем способны в
данный момент формализовать. Пояснением смысла последней фразы
может служить известная притча о том, что сороконожка даже ходить
разучилась, когда ее попросили объяснить, как именно она управляется
со всеми своими конечностями.
Опыт всех наук убеждает нас в том, что считавшееся ясным или
простым и нерасчленяемым вчера может подвергнуться пересмотру
или уточнению сегодня. Так было (и, без сомнения, еще будет) и с мно-
гими понятиями математического анализа, важнейшие теоремы и ап-
парат которого были открыты еще в XVII-XVIII веках, но приобрели
современный формализованный, однозначно трактуемый и, вероятно,
потому общедоступный вид лишь после создания теории пределов и
необходимой для нее логически полноценной теории действительных
чисел (XIX век).
Именно с этого уровня теории действительных чисел мы и начнем
в главе II построение всего здания анализа.
Как уже отмечалось в предисловии, желающие быстрее ознакомить-
ся с основными понятиями и эффективным аппаратом собственно диф-
ференциального и интегрального исчисления могут начать сразу с
главы III, возвращаясь к отдельным местам первых двух глав лишь
по мере необходимости.
§ 2. МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
5
Упражнения
Будем отмечать истинные высказывания символом 1, а ложные — симво-
лом 0. Тогда каждому из высказываний -nA, A f\ В, А \/ В, А => В можно
сопоставить так называемую таблицу истинности, которая указывает его
истинность в зависимости от истинности высказываний А, В. Эти таблицы
являются формальным определением логических операций Л, V, =>. Вот
они:
А 0 1
-нА 1 0
AVB
\В А\ 0 1
0 0 0
1 0 1
1. Проверьте, все ли в этих таблицах согласуется с вашим представлением
о соответствующей логической операции. (Обратите, в частности, внимание
на то, что если А ложно, то импликация А => В всегда истинна.)
2. Покажите, что справедливы следующие простые, но очень важные и
широко используемые в математических рассуждениях соотношения:
а) ->(A Л В) -нА V -1В;
b) -н(А V В) -А Л -1В;
с) (А => В) ФФ- (-В => -nA);
d) (А => В) -А V В;
е) -.(А => В) <£> А Л -1В.
§ 2. Множества и элементарные операции
над множествами
1. Понятие множества. С конца XIX-начала XX столетия наи-
более универсальным языком математики стал язык теории множеств.
Это проявилось даже в одном из определений математики как науки,
изучающей различные структуры (отношения) на множествах1).
^Бурбаки Н. Архитектура математики. В кн.: Бурбаки Н. Очерки по исто-
рии математики. М.: ИЛ, 1963.
6
ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
«Под множеством мы понимаем объединение в одно целое опреде-
ленных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мы-
сли»— так описал понятие «множество» Георг Кантор1), основатель те-
ории множеств.
Описание Кантора, разумеется, нельзя назвать определением, по-
скольку оно апеллирует к понятиям, быть может, более сложным (во
всяком случае, не определенным ранее), чем само понятие множества.
Цель этого описания — разъяснить понятие, связав его с другими.
Основные предпосылки канторовской (или, как условно говорят,
«наивной») теории множеств сводятся к следующему:
1° множество может состоять из любых различимых объектов;
2° множество однозначно определяется набором составляющих его
объектов;
3° любое свойство определяет множество объектов, которые этим
свойством обладают.
Если х — объект, Р — свойство, Р(х)— обозначение того, что х об-
ладает свойством Р, то через {х | Р(х)} обозначают весь класс объ-
ектов, обладающих свойством Р. Объекты, составляющие класс или
множество, называют элементами класса или множества.
Множество, состоящее из элементов xi,... ,хп, обычно обозначают
как {ti, ... ,тп}. Там, где это не вызывает недоразумения, для сокра-
щения записи мы позволяем себе обозначать одноэлементное множест-
во {а} просто через а.
Слова «класс», «семейство», «совокупность», «набор» в наивной тео-
рии множеств употребляют как синонимы термина «множество».
Следующие примеры демонстрируют применение этой терминоло-
гии:
множество букв «а» в слове «я»;
множество жен Адама;
набор из десяти цифр;
семейство бобовых;
множество песчинок на Земле;
совокупность точек плоскости, равноудаленных от двух данных
ее точек;
^Г. Кантор (1845-1918)—немецкий математик, создатель теории бесконечных
множеств и родоначальник теоретико-множественного языка в математике.
§ 2. МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
7
семейство множеств;
множество всех множеств.
Различие в возможной степени определенности задания множества
наводит на мысль, что множество — не такое уж простое и безобидное
понятие.
И в самом деле, например, понятие множества всех множеств просто
противоречиво.
◄ Действительно, пусть для множества М запись Р{М) означает,
что М не содержит себя в качестве своего элемента.
Рассмотрим класс К = {М | Р(М)} множеств, обладающих свой-
ством Р.
Если К — множество, то либо верно, что Р(К}, либо верно, что
-iP(A"). Однако эта альтернатива для К невозможна. Действительно,
Р(К) невозможно, ибо из определения К тогда бы следовало, что К
содержит К, т. е. что верно -iP(K); с другой стороны, -Р(К) тоже
невозможно, поскольку это означает, что К содержит К, а это проти-
воречит определению К как класса тех множеств, которые сами себя
не содержат.
Следовательно, К — не множество, к
Это классический парадокс Рассела1), один из тех парадоксов, к
которым приводит наивное представление о множестве.
В современной математической логике понятие множества подвер-
гается (как мы видим, не без оснований) тщательному анализу. Одна-
ко в такой анализ мы углубляться не станем. Отметим только, что в
существующих аксиоматических теориях множество определяется как
математический объект, обладающий определенным набором свойств.
Описание этих свойств составляет аксиоматику. Ядром аксиомати-
ки теории множеств является постулирование правил, по которым из
множеств можно образовывать новые множества. В целом любая из су-
ществующих аксиоматик такова, что она, с одной стороны, избавляет
от известных противоречий наивной теории, а с другой—обеспечива-
ет свободу оперирования с конкретными множествами, возникающими
в различных отделах математики, и в первую очередь именно в мате-
матическом анализе, понимаемом в широком смысле слова.
^Б. Рассел (1872-1970) — английский логик, философ, социолог и общественный
деятель.
8
ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
Ограничившись пока этими замечаниями относительно понятия
множества, перейдем к описанию некоторых наиболее часто исполь-
зуемых в анализе свойств множеств.
Желающие подробнее ознакомиться с понятием множества могут
просмотреть пункт 2 из § 4 настоящей главы или обратиться к специ-
альной литературе.
2. Отношение включения. Как уже отмечалось, объекты, соста-
вляющие множество, принято называть элементами этого множест-
ва. Мы будем стремиться обозначать множества прописными буква-
ми латинского алфавита, а элементы множества — соответствующими
строчными буквами.
Высказывание «х есть элемент множества X» коротко обозначают
символом
х G X (или X Эх},
а его отрицание — символом
х X (или X $ х).
В записи высказываний о множествах часто используются логиче-
ские операторы 3 («существует» или «найдется») и V («любой» или «для
любого»), называемые кванторами существования и всеобщности со-
ответственно.
Например, запись Vrc ((х G А) О (х G В}} означает, что для любого
объекта х соотношения х G А и х G В равносильны. Поскольку множе-
ство вполне определяется своими элементами, указанное высказывание
принято обозначать короткой записью
А = В,
читаемой «А равно В», обозначающей совпадение множеств А и В.
Таким образом, два множества равны, когда они состоят из одних
и тех же элементов.
Отрицание равенства обычно записывают в виде А В.
Если любой элемент множества А является элементом множества В,
то пишут А С В или В D А и говорят, что множество А является под-
множеством множества В, или что В содержит А, или что В включает
в себя А. В связи с этим отношение А С В между множествами А, В
называется отношением включения (рис. 1).
§ 2. МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
9
Итак,
(А С В) := Vx ((ж G А) => (х G В)).
Если А с В и А В, то будем говорить, что
включение А С В строгое или что А — собственное
подмножество В.
Используя приведенные определения, теперь можно
заключить, что
(А = В) о (А С В) Л (В С А).
Если М — множество, то любое свойство Р выделяет в М подмно-
жество
{ж G М | Р(х)}
тех элементов М, которые обладают этим свойством.
Например, очевидно, что
М = {ж G М | х G М}.
С другой стороны, если в качестве Р взять свойство, которым не обла-
дает ни один элемент множества М, например Р(т) := то мы
получим множество
0 = {ж G М | х ж},
называемое пустым подмножеством множества М.
3. Простейшие операции над множествами. Пусть А и В —
подмножества множества М.
Рис. 2.
Рис. 3.
Рис. 4.
Рис. 5.
10
ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
а. Объединением множеств А и В называется множество
A U В := {ж G М | (х G А) V (х G В)},
состоящее из тех и только тех элементов множества М, которые содер-
жатся хотя бы в одном из множеств А, В (рис. 2).
Ь. Пересечением множеств А и В называется множество
А П В := {ж G М | (ж G А) Л (х G В)},
образованное теми и только теми элементами множества М, которые
принадлежат одновременно множествам А и В (рис. 3).
с. Разностью между множеством А и множеством В называется
множество
А \ В := {ж G М I (ж G А) Л (х £ В)},
состоящее из тех элементов множества А, которые не содержатся в
множестве В (рис. 4).
Разность между множеством М и содержащимся в нем подмноже-
ством А обычно называют дополнением А в М и обозначают через
См А или С А, когда из контекста ясно, в каком множестве ищется до-
полнение к А (рис. 5).
Пример. В качестве иллюстрации взаимодействия введенных по-
нятий проверим следующие соотношения (так называемые правила де
Моргана1^):
См(АиВ) = СмАпСмВ, (1)
См (А П В) = СмА U СмВ. (2)
◄ Докажем, например, первое из этих равенств:
(х G См(А U В)) => (i (Ли В)) => ((ж А) Л (ж $ В)) =>
==> (х G СМА) Л (ж G СМВ) => (ж G (СМА П СМВ)).
Таким образом, установлено, что
См (A U В) С (СмА П СМВ). (3)
С другой стороны,
^А. де Морган (1806-1871)—шотландский математик.
§ 2. МНОЖЕСТВА И ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ
11
(х G (См А Я С мВ)) => ((х € См А) Л (ж G СмВУ) =>
=> ((х А) Л (ж В)) => (х (A U 5)) => (я G См(А U В)),
т. е.
(СмАпСмВ) gCm(AUB). (4)
Из (3) и (4) следует (1). ►
d. Прямое (декартово) произведение множеств. Для любых двух
множеств А, В можно образовать новое множество — пару {А, В} =
= {В, А}, элементами которого являются множества А и В и только
они. Это множество состоит из двух элементов, если А В, и из одного
элемента, если А = В.
Указанное множество называют неупорядоченной парой множеств
А, В, в отличие от упорядоченной пары (А, В), в которой элементы
А, В наделены дополнительными признаками, выделяющими первый и
второй элементы пары {А, В}. Равенство
(A,B) = (C,D)
упорядоченных пар по определению означает, что А = С и В = D.
В частности, если А В, то (А, В) (В, А).
Пусть теперь X и Y — произвольные множества. Множество
X xY := {(х,у) | (х Е X) Л (у G У)},
образованное всеми упорядоченными парами (х, у), первый член ко-
торых есть элемент из X, а второй член—элемент из У, называется
прямым или декартовым произведением множеств X я Y (в таком
порядке!).
Из определения прямого произведения и сделанных выше замечаний
об упорядоченной паре явствует, что, вообще говоря, X х У У х X.
Равенство имеет место, лишь если X = У. В последнем случае вместо
X х X пишут коротко X* 2.
Прямое произведение называют также декартовым произведением в
честь Декарта1), который независимо от Ферма2) пришел через систему
бР. Декарт (1596-1650)—выдающийся французский философ, математик и фи-
зик, внесший фундаментальный вклад в теорию научного мышления и познания.
2^П. Ферма (1601 -1665) — замечательный французский математик, юрист по спе-
циальности. Ферма стоял у истоков ряда областей современной математики: анализ,
аналитическая геометрия, теория вероятностей, теория чисел.
12
ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
координат к аналитическому языку геометрии. Известная всем система
декартовых координат в плоскости превращает эту плоскость именно
в прямое произведение двух числовых осей. На этом знакомом объекте
наглядно проявляется зависимость декартова произведения от порядка
сомножителей. Например, упорядоченным парам (0,1) и (1,0) отвечают
различные точки плоскости.
В упорядоченной паре z = (a?i, х?), являющейся элементом прямого
произведения Z = Х± х Х2 множеств X] и элемент х± называется
первой проекцией пары z и обозначается через prx z, а элемент Х2 —
второй проекцией пары z и обозначается через рг2 z.
Проекции упорядоченной пары по аналогии с терминологией анали-
тической геометрии часто называют (первой и второй) координатами
пары.
Упражнения
В задачах 1, 2, 3 через А, В, С обозначены подмножества некоторого
множества М.
1. Проверьте соотношения
а) (А С С) А (В С С) О ((A U В) С С);
b) (С С А) А (С С В) О (С С (АП В));
с) См (См А) = А;
d) (А С См В) » (В С См А);
е) (А С В) & (СМА D СМВ).
2. Покажите, что
a) A U (В U С) = (A U В) U С =: A U В U С;
Ь) А П (В П С) = (А П В) П С =: А П В П С;
с) А П (В U С) = (А П В) U (А П С);
d) A U (В П С) = (A U В) П (A U С).
3. Проверьте взаимосвязь (двойственность) операций объединения и пере-
сечения:
а.) См (A U В) = См А Г) СмВ',
Ь) См(А П В) = См A U СмВ.
4. Проиллюстрируйте геометрически декартово произведение
а) двух отрезков (прямоугольник);
Ь) двух прямых (плоскость);
с) прямой и окружности (цилиндрическая поверхность);
§ 3. ФУНКЦИЯ
13
d) прямой и круга(цилиндр);
е) двух окружностей (тор);
f) окружности и круга (полноторие).
5. Множество Д = {(rri,a;2) € X2 | дц = х2} называется диагональю декар-
това квадрата X2 множества X.
Проиллюстрируйте геометрически диагонали множеств, полученных в
пунктах а), Ь), е) задачи 4.
6. Покажите, что
а) (Хх У = 0) » (X = 0) V(K = 0),
а если X х Y / 0, то
Ь) (А х В С X х У) о (А С X) Л (В С У),
с) (X х У) U (Z х У) = (X U Z) х У,
d) (ХхУ)п (X' х У') = (ХП X') х (У п У').
Здесь 0 — символ пустого множества, т.е. множества, не содержащего эле-
ментов.
7. Сравнив соотношения задачи 3 с соотношениями а), Ь) из упражнения 2
к §1, установите соответствие между логическими операциями Л, V на
высказываниях и операциями С, Г), U на множествах.
§3. Функция
1. Понятие функции (отображения). Перейдем теперь к опи-
санию фундаментального не только для математики понятия функци-
ональной зависимости.
Пусть X и У — какие-то множества.
Говорят, что имеется функция, определенная на X со значениями
в У, если в силу некоторого закона f каждому элементу х g X соот-
ветствует элемент у G Y.
В этом случае множество X называется областью определения
функции; символ х его общего элемента— аргументом функции или не-
зависимой переменной; соответствующий конкретному значению xq G
€ X аргумента х элемент уо G У называют значением функции на эле-
менте Хо или значением функции при значении аргумента х = хц и
обозначают через /(то). При изменении аргумента х G X значения у =
= /(я) G У, вообще говоря, меняются в зависимости от значений х.
По этой причине величину у = /(ж) часто называют зависимой пере-
менной.
14
ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
Множество
/(X) := {у е Y | Зх ((х G X) Л (у = /(х)))}
всех значений функции, которые она принимает на элементах множе-
ства X, будем называть множеством значений или областью значений
функции.
В зависимости от природы множеств X, Y термин «функция» в раз-
личных отделах математики имеет ряд полезных синонимов: отобра-
жение, преобразование, морфизм, оператор, функционал. Отображе-
ние— наиболее распространенный из них, и мы его тоже часто будем
употреблять.
Для функции (отображения) приняты следующие обозначения:
/:Х->У, Х-ЛК
Когда из контекста ясно, каковы область определения и область
значений функции, используют также обозначения х »-> /(ж) или у =
= f(x), а чаще обозначают функцию вообще одним лишь символом f.
Две функции /1, /2 считаются совпадающими или равными, если они
имеют одну и ту же область определения X и на любом элементе х G X
значения /Дх), /2 (ж) этих функций совпадают. В этом случае пишут
/1 = /2-
Если А С X, a f: X -> Y — некоторая функция, то через f\A или
/Ц обозначают функцию ср: А —> Y, совпадающую с f на множестве А.
Точнее, /|д(х) := tp(x), если х G А. Функция /|д называется сужением
или ограничением функции f на множество А, а функция f: X -> Y по
отношению к функции tp = /|д: А -> Y называется распространением
или продолжением функции tp на множество X.
Мы видим, что иногда приходится рассматривать функцию tp: А ->
-> Y, определенную на подмножестве А некоторого множества X, при-
чем область значений <р(А) функции <р тоже может оказаться не совпа-
дающим с Y подмножеством множества Y. В связи с этим для обозначе-
ния любого множества X, содержащего область определения функции,
иногда используется термин область отправления функции, а любое
множество Y, содержащее область значений функции, называют тогда
областью ее прибытия.
Итак, задание функции (отображения) предполагает указание трой-
ки (X,/, У), где
§ 3. ФУНКЦИЯ
15
X — отображаемое множество, или область определения
функции;
Y— множество, в которое идет отображение, или область
прибытия функции;
f— закон, по которому каждому элементу х Е X сопоста-
вляется определенный элемент у 6 У.
Наблюдаемая здесь несимметричность между X и У отражает то,
что отображение идет именно из X в У.
Рассмотрим некоторые примеры функций.
Пример 1. Формулы I = 2тгг и V — ^тгг3 устанавливают функци-
<э
овальную зависимость длины окружности I и объема шара V от радиу-
са г. По смыслу каждая из этих формул задает свою функцию f: IR_|_ —>
—> , определенную на множестве JR_|_ положительных действительных
чисел со значениями в том же множестве IR_|_.
Пример 2. Пусть X—множество инерциальных систем коорди-
нат, а с: X —> К — функция, состоящая в том, что каждой инерциаль-
ной системе координат х G X сопоставляется измеренное относительно
нее значение с(т) скорости света в вакууме. Функция с: X —> К посто-
янна, т. е. при любом х G X она имеет одно и то же значение с (это
фундаментальный экспериментальный факт).
Пример 3. Отображение G: R2 —> R2 (прямого произведения
R2=RxR = RtX]Ra. оси времени IR* и пространственной оси R^)
на себя же, задаваемое формулами
х' = х — vt,
t' = t,
есть классическое преобразование Галилея для перехода от одной инер-
циальной системы координат (x,t) к другой — (x',t'), движущейся от-
носительно первой со скоростью v.
Той же цели служит отображение L: R2 —> R2, задаваемое соотно-
шениями
, х — vt
16
ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
Это — известное (одномерное) преобразование Лоренца^, играющее
фундаментальную роль в специальной теории относительности; с —
скорость света.
Пример 4. Проектирование pij: Xi х Х2 —> Xi, задаваемое соот-
ветствием хЛг 9 (ti,X2) ।Xi Е Xi, очевидно, является функцией.
Аналогичным образом определяется вторая проекция рг2: Xi х Х2 ->
Пример 5. Пусть Р(М)—множество всех подмножеств множе-
ства М. Каждому множеству A G Р(М) поставим в соответствие мно-
жество См A G Р(М), т. е. дополнение к Ав М. Тогда получим отобра-
жение См - Р(М) —> Р(М) множества Р(М) в себя.
Пример 6. Пусть Е С М. Вещественнозначную функцию Хе :
М -> R, определенную на множестве М условиями (хе(ж) = 1, если х Е
Е Е) /\ (хе(х) = 0, если х Е СмЕ), называют характеристической
функцией множества Е.
Пример 7. Пусть M(X-,Y)—множество отображений множест-
ва X в множество Y. а tq—фиксированный элемент из X. Любой
функции У G M(X',Y) поставим в соответствие ее значение У(жо) €
£ У на элементе то- Этим определяется функция F: M(X\Y) —> Y.
В частности, если Y — К, т. е. если Y есть множество действительных
чисел, то каждой функции f: X -> R функция F: М(Х;1№.) —> R ста-
вит в соответствие число F(J) = /(то)- Таким образом, F есть функ-
ция, определенная на функциях. Для удобства такие функции называют
функционалами.
Пример 8. Пусть Г — множество кривых, лежащих на поверхно-
сти (например, земной) и соединяющих две ее фиксированные точки.
Каждой кривой 7 G Г можно сопоставить ее длину. Тогда мы получим
функцию F: Г —> R, которую часто приходится рассматривать с целью
отыскания кратчайшей линии или, как говорят, геодезической линии
между данными точками на поверхности.
Пример 9. Рассмотрим множество М(R; К) всех вещественно-
значных функций, определенных на всей числовой оси R Фиксировав
1Т. А. Лоренц (1853-1928)—голландский физик. Указанные преобразования бы-
ли найдены им в 1904 г. и существенно использовались в сформулированной в 1905 г.
Эйнштейном специальной теории относительности.
§3. ФУНКЦИЯ
17
число а 6 К, каждой функции f G M(R;R) поставим в соответствие
функцию fa G M(R;IR), связанную с ней соотношением fa(x) = (х + а).
Функцию fa(x) обычно называют сдвигом на а функции f(x). Возника-
ющее при этом отображение А: М(R; R) —> М(R; К) называется опера-
тором сдвига. Итак, оператор А определен на функциях и значениями
его также являются функции: fa = A(f').
Рассмотренный пример мог бы показаться искусственным, если бы
мы на каждом шагу не видели реальные операторы. Так, любой радио-
F v
приемник есть оператор f i—> У, преобразующий электромагнитные
сигналы у в звуковые f; любой из наших органов чувств является опе-
ратором (преобразователем) со своими областью определения и обла-
стью значений.
Пример 10. Положение частицы в пространстве определяется
упорядоченной тройкой чисел (ж, у, z), называемой ее координатами в
пространстве. Множество всех таких упорядоченных троек можно се-
бе мыслить как прямое произведение К X К х К = R3 трех числовых
осей R.
При движении в каждый момент времени t частица находится в не-
которой точке пространства R3 с координатами (ж(£), y(t), Таким
образом, движение частицы можно интерпретировать как отображение
7: R -> К3, где К—ось времени, ай3 — трехмерное пространство.
Если система состоит из п частиц, то ее конфигурация задается
положением каждой из частиц, т. е. упорядоченным набором (xi,yi,Zi’,
Ж2, У2,2г;.. .;хп, Уп, Zn) из Зп чисел. Множество всех таких наборов на-
зывается конфигурационным пространством системы п частиц. Сле-
довательно, конфигурационное пространство системы п частиц можно
интерпретировать как прямое произведение R3 х R3 х .., х В3 = Е3п
п экземпляров пространства R3.
Движению системы из п частиц отвечает отображение 7: К —> R3n
оси времени в конфигурационное пространство системы.
Пример 11. Потенциальная энергия U механической системы
связана с взаимным расположением частиц системы, т. е. определяет-
ся конфигурацией, которую имеет система. Пусть Q — множество ре-
ально возможных конфигураций системы. Это некоторое подмноже-
ство конфигурационного пространства системы. Каждому положению
q Е Q отвечает некоторое значение U(q) потенциальной энергии систе-
2-4573
18
ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
мы. Таким образом, потенциальная энергия есть функция U: Q —> R,
определенная на подмножестве Q конфигурационного пространства со
значениями в области R действительных чисел.
Пример 12. Кинетическая энергия К системы п материальных
частиц зависит от их скоростей. Полная механическая энергия систе-
мы Е = К + U, т. е. сумма кинетической и потенциальной энергий,
зависит, таким образом, как от конфигурации q системы, так и от
набора v скоростей ее частиц. Как и конфигурация q частиц в прост-
ранстве, набор v, состоящий из п трехмерных векторов, может быть
задан упорядоченным набором из Зп чисел. Упорядоченные пары (q, г),
отвечающие состояниям нашей системы, образуют подмножество Ф в
прямом произведении R3n х R3n = К6”, называемом фазовым прост-
ранством системы п частиц (в отличие от конфигурационного про-
странства R3n).
Полная энергия системы является, таким образом, функцией
Е: Ф —> Ж, определенной на подмножестве Ф фазового пространст-
ва Ж6” и принимающей значения в области Ж действительных чисел.
В частности, если система замкнута, т. е. на нее не действуют внеш-
ние силы, то по закону сохранения энергии в любой точке множест-
ва Ф состояний системы функция Е будет иметь одно и то же значение
Eq 6 Ж.
2. Простейшая классификация отображений. Когда функ-
цию f: X Y называют отображением, значение f(x) 6 Y, кото-
рое она принимает на элементе х Е X, обычно называют образом эле-
мента х.
Образом множества А С X при отображении f: X —> Y называют
множество
/(А) := {у Е Y | Эх ((ж Е А) Л (у = /(ж)))}
тех элементов У, которые являются образами элементов множества А.
Множество
r1^) := {xEX\f(x)EB}
тех элементов X, образы которых содержатся в В, называют прообра-
зом (или полным прообразом) множества В С У (рис. 6).
Про отображение f: X —> У говорят, что оно
сюръективно (или есть отображение X на У), если f(X) = У;
§3. ФУНКЦИЯ
19
Рис. 6.
инъективно (или есть вложение, инъекция}, если для любых эле-
ментов Ж1, х2 множества X
№1) = /(ж2)) => (®1 = х2},
т. е. различные элементы имеют различные образы;
биективно (или взаимно однозначно}, если оно сюръективно и инъ-
ективно одновременно.
Если отображение f: X —> Y биективно, т. е. является взаимно од-
нозначным соответствием между элементами множеств X и Y, то ес-
тественно возникает отображение
которое определяется следующим образом: если У (ж) = у, то У-1 (у) =
= х, т. е. элементу у G Y ставится в соответствие тот элемент х G X,
образом которого при отображении f является у. В силу сюръектив-
ности f такой элемент х € X найдется, а ввиду инъективности f он
единственный. Таким образом, отображение У-1 определено коррект-
но. Это отображение называют обратным по отношению к исходному
отображению f.
Из построения обратного отображения видно, что У-1: Y —> X само
является биективным и что обратное к нему отображение (У-1)'1 :
X -> Y совпадает с f: X —> Y.
Таким образом, свойство двух отображений быть обратными явля-
ется взаимным: если у-1—обратное для f, то, в свою очередь, f —
обратное для У-1.
20
ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
Заметим, что символ у-1 (В) прообраза множества В с Y ассоции-
руется с символом У-1 обратной функции, однако следует иметь в виду,
что прообраз множества определен для любого отображения /: X —>
—> Y, даже если оно не является биективным и, следовательно, не имеет
обратного.
3. Композиция функций и взаимно обратные отображения.
Богатым источником новых функций, с одной стороны, и способом
расчленения сложных функций на более простые — с другой, является
операция композиции отображений.
Если отображения f: X —> У и д: Y —> Z таковы, что одно из них
(в нашем случае д} определено на множестве значений другого (У), то
можно построить новое отображение
gof: X-^Z,
значения которого на элементах множества X определяются формулой
Построенное составное отображение д о у называют композицией
отображения f и отображения д (в таком порядке!).
Рисунок 7 иллюстрирует конструкцию композиции отображений
f и 9-
Рис. 7.
С композицией отображений вы уже неоднократно встречались как
в геометрии, рассматривая композицию движений плоскости или про-
странства, так и в алгебре при исследовании «сложных» функций, по-
лученных композицией простейших элементарных функций.
§3. ФУНКЦИЯ
21
Операцию композиции иногда приходится проводить несколько раз
подряд, и в этой связи полезно отметить, что она ассоциативна, т. е.
h ° (д ° f) = (Л ° д) ° /•
◄ Действительно,
ho (до у)(ж) = h((g о /)(ж)) = h(g(f(x))) =
= (hog)(f(x)) = ((hog)of)(x). ►
Это обстоятельство, как и в случае сложения или умножения не-
скольких чисел, позволяет опускать скобки, предписывающие порядок
спаривания.
Если в композиции fn ° • • • ° fi все члены одинаковы и равны f, то
ее обозначают коротко /п.
Хорошо известно, например, что корень квадратный из положитель-
ного числа а можно вычислить последовательными приближениями по
формуле
1 / а \
2-n+l Л I ”1 I )
2 \ xnJ
начиная с любого начального приближения xq > 0. Это не что иное,
как последовательное вычисление /п(жо)5 где f(x) = (ж + ^). Такая
процедура, когда вычисленное на предыдущем шаге значение функции
наследующем шаге становится ее аргументом, называется итерацион-
ным процессом. Итерационные процессы широко используются в мате-
матике.
Отметим также, что даже в том случае, когда обе композиции до f
и У о д определены, вообще говоря,
g°f^f°g-
Действительно, возьмем, например, двухэлементное множество
{а, Ь} и отображения f:{a,b} —> а, д: {а, Ь} —> Ь. Тогда, очевидно,
д о у: {а, Ь} —> Ь, в то время как fog: {а, 6} —> а.
Отображение f: X —> X, сопоставляющее каждому элементу мно-
жества X его самого, т. е. х х, будем обозначать через ех и назы-
вать тождественным отображением множества X.
Лемма.
(до у = ех) => (д сюръективно) Л (У инъективно).
22
ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
◄ Действительно, если f: X —> У, д: Y —> X и д о f = ех X -+ X,
то
X = ех(Х) = (д о /)(Х) = 5(/(Х)) с <?(У)
и, значит, д сюръективно.
Далее, если Xi G X и. ж2 6 X, то
(ал Ж2) =>» (ех(ж1) е%(ж2)) => ((jz ° /)(«1) (д о /)(ж2)) =>
=> WW) g(f(x2)) => №1) / /(ж2)),
следовательно, / инъективно. ►
Через операцию композиции отображений можно описать взаимно
обратные отображения.
Утверждение. Отображения f:X —> Y, д'. Y X являются
биективными и взаимно обратными в том и только в том случае,
когда д ° f = ех и f о д = еу.
◄ В силу леммы одновременное выполнение условий д о f = ех и
f о д = еу гарантирует сюръективность и инъективность, т. е. биек-
тивность каждого из отображений f, д.
Эти же условия показывают, что у = /(ж) в том и только в том
случае, когда х = д(у). ►
Выше мы исходили из явного построения обратного отображения.
Из доказанного утверждения следует, что мы могли бы дать менее на-
глядное, но зато более симметричное определение взаимно обратных
отображений как таких, которые удовлетворяют двум условиям: g°f =
= ех и f о д = еу (см. в этой связи задачу 6 в конце параграфа).
4. Функция как отношение. График функции. В заключение
вернемся вновь к самому понятию функции. Отметим, что оно претер-
пело длительную и довольно сложную эволюцию.
Термин «функция» впервые появился в период 1673-1692 г. у Г. Лей-
бница (правда, в некотором более узком смысле). В смысле, близком к
современному, этот термин установился к 1698 г. в переписке Иоганна
Бернулли1^ с Лейбницем.
1^И. Бернулли (1667-1748) —один из ранних представителей знаменитого семей-
ства швейцарских ученых Бернулли; аналитик, геометр, механик. Стоял у истоков
вариационного исчисления. Дал первое систематическое изложение дифференциаль-
ного и интегрального исчисления.
§3. ФУНКЦИЯ
23
Описание функции, почти совпадающее с приведенным в начале
параграфа, встречается уже у Эйлера (середина XVIII столетия). К на-
чалу XIX века оно появляется уже в учебниках математики С. Лакруа,1)
переведенных на русский язык. Активным сторонником такого пони-
мания функции был Н. И. Лобачевский2). Более того, Н. И. Лобачевский
указал, что «обширный взгляд теории допускает существование зави-
симости только в том смысле, чтобы числа одни с другими в связи
понимать как бы данными вместе^. Это и есть идея точного опреде-
ления понятия функции, которое мы теперь собираемся изложить.
Приведенное в начале параграфа описание понятия функции пред-
ставляется весьма динамичным и отражающим суть дела. Однако с
точки зрения современных канонов оно не может быть названо опреде-
лением, ибо использует эквивалентное функции понятие соответствия.
Для сведения читателя мы укажем здесь, каким образом дается опре-
деление функции на языке теории множеств. (Интересно, что понятие
отношения, к которому мы сейчас обратимся, и у Лейбница предше-
ствовало понятию функции.)
а. Отношение. Отношением TZ называют любое множество упо-
рядоченных пар (ж, у).
Множество X первых элементов упорядоченных пар, составляю-
щих 1Z, называют областью определения отношения TZ, а множество Y
вторых элементов этих пар — областью значений отношения TZ.
Таким образом, отношение 1Z можно интерпретировать как под-
множество TZ прямого произведения X х Y. Если X С X' и Y С Y', то,
разумеется, И с X х Y С X' х Y', поэтому одно и то же отношение
может задаваться как подмножество различных множеств.
Любое множество, содержащее область определения отношения, на-
зывают областью отправления этого отношения. Множество, содер-
жащее область значений отношения, называют областью прибытия от-
ношения.
1)С. Ф. Лакруа (1765 -1843) — французский математик и педагог (профессор Нор-
мальной и Политехнической школ, член Парижской академии наук).
2^Н. И. Лобачевский (1792 - 1856) —великий русский ученый, которому, наряду с
великим немецким естествоиспытателем К. Ф. Гауссом (1777-1855) и выдающимся
венгерским математиком Я. Бойяи (1802 -1860), принадлежит честь открытия неев-
клидовой геометрии, носящей его имя.
31Лобачевский Н. И. Полное собр. соч. Т. 5. М.-Л.: Гостехиздат, 1951. С. 44.
24
ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
Вместо того чтобы писать (т,у) Е "Я, часто пишут ж "Я у и говорят,
что х связано с у отношением Я.
Если Я С X2, то говорят, что отношение Я задано на X.
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 13. Диагональ
Д = {(а,Ь) <=Х2 | а = 6}
есть подмножество X2, задающее отношение равенства между элемен-
тами множества X. Действительно, а Д b означает, что (а, 6) Е Д,
т. е. а = Ь.
Пример 14. Пусть X — множество прямых в плоскости.
Две прямые а Е X и b Е X будем считать находящимися в отно-
шении Я и будем писать a Tib, если прямая b параллельна прямой а.
Ясно, что тем самым в X2 выделяется множество И пар (а, Ь) таких,
что а ИЬ. Из курса геометрии известно, что отношение параллельности
между прямыми обладает следующими свойствами:
аНа (рефлексивность);
а 11 b => b 11 а (симметричность);
(аНЬ) Л (Ь Н с) => а Н с (транзитивность).
Любое отношение 11, обладающее перечисленными тремя свойства-
ми, т.е. рефлексивное1^, симметричное и транзитивное, принято назы-
вать отношением эквивалентности. Отношение эквивалентности обо-
значается специальным символом ~, который в этом случае ставится
вместо буквы 11, обозначающей отношение. Итак, в случае отношения
эквивалентности будем писать а ~ b вместо а 11 b и говорить, что а
эквивалентно Ь.
Пример 15. Пусть М — некоторое множество, а X = Р(М) — со-
вокупность всех его подмножеств. Для двух произвольных элементов
а и b множества X = 'Р(М'), т.е. для двух подмножеств а и b мно-
жества М, всегда выполнена одна из следующих трех возможностей:
а содержится в 6; b содержится в а; а не является подмножеством b и
b не является подмножеством а.
^Полезно для полноты отметить, что отношение Н называется рефлексивным,
если его область определения и область значений совпадают и для любого элемента а
из области определения отношения Н выполнено а На.
§3. ФУНКЦИЯ
25
Рассмотрим в качестве отношения в X2 отношение включения
для подмножеств X, т. е. положим по определению
a Л b := (а С Ь).
Это отношение, очевидно, обладает следующими свойствами:
а Л а (рефлексивность);
(а Л Ь) Л (6 Л с) => а Л с (транзитивность);
(а Л Ь) Л (Ь Л а) => а Д Ь, т. е. а = b (антисимметричность).
Отношение между парами элементов некоторого множества X, об-
ладающее указанными тремя свойствами, принято называть отноше-
нием частичного порядка на множестве X. Для отношения частичного
порядка вместо а Л Ь часто пишут а =3: b и говорят, что b следует за а.
Если кроме отмеченных двух свойств, определяющих отношение ча-
стичного порядка, выполнено условие, что
Va V6 ((а ЛЬ) V (ЪЛа)),
т. е. любые два элемента множества X сравнимы, то отношение Л на-
зывается отношением порядка, а множество X с определенным на нем
отношением порядка называется линейно упорядоченным.
Происхождение этого термина связано с наглядным образом число-
вой прямой R, на которой действует отношение а < Ь между любой
парой вещественных чисел.
Ь. Функция и график функции. Отношение Л называется функ-
циональным, если
(х Л yi) Л (жТгу2) => (У1 = У2)-
Функциональное отношение называют функцией.
В частности, если X и Y — два не обязательно различных множест-
ва, то определенное на X отношение Л С X х Y между элементами х
из X nywaY функционально, если для любого х € X существует и при-
том единственный элемент у EY, находящийся с ж в рассматриваемом
отношении, т.е. такой, для которого хЛу.
Такое функциональное отношение Л С X х Y и есть отображение
из X в Y, или функция из X в Y.
26
ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
Функции мы чаще всего будем обозначать символом /. Если f —
функция, то вместо х f у мы по-прежнему будем писать у = f(x) или
х у, называя у = /(ж) значением функции / на элементе х или
образом элемента х при отображении f.
Сопоставление по «закону» f элементу х € X «соответствующего»
элемента у € У, о чем говорилось в исходном описании понятия функ-
ции, как видим, состоит в том, что для каждого х Е X указывается
тот единственный элемент у EY, что х f у, т. е. (ж, у) € / С X х Y.
Графиком функции /: X —> Y, понимаемой в смысле исходного опи-
сания, называют подмножество Г прямого произведения X х Y, элемен-
ты которого имеют вид (х,/(ж)). Итак,
V-.= {(x,y)EXxY\y = f(x)}.
В новом описании понятия функции, когда мы ее задаем как под-
множество / С X х Y, конечно, уже нет разницы между функцией и ее
графиком.
Мы указали на принципиальную возможность формального теоре-
тико-множественного определения функции, сводящуюся по существу
к отождествлению функции и ее графика. Однако мы не собираем-
ся в дальнейшем ограничиваться только такой формой задания функ-
ции. Функциональное отношение иногда удобно задать в аналитиче-
ской форме, иногда таблицей значений, иногда словесным описанием
процесса (алгоритма), позволяющего по данному х Е X находить соот-
ветствующий элемент у EY. При каждом таком способе задания функ-
ции имеет смысл вопрос о ее задании с помощью графика, что форму-
лируют так: построить график функции. Задание числовых функций
хорошим графическим изображением часто бывает полезно тем, что
делает наглядным основные качественные особенности функциональ-
ной зависимости. Для расчетов графики тоже можно использовать (но-
мограммы), но, как правило, в тех случаях, когда расчет не требует вы-
сокой точности. Для точных расчетов используют табличное задание
функции, а чаще — алгоритмическое, реализуемое в вычислительных
машинах.
Упражнения
1. Композиция Тг2 °К1 отношений Hi, 7^2 определяется следующим обра-
зом:
7^2 0 7^i := {(x,z) | Зу (a; T^i у) А (yft? z)}-
§ 3. ФУНКЦИЯ
27
В частности, если 7£i с X х Y и 7^ С У х Z, то = 7^2 ° 7£i С X х Z, причем
х Tlz := Зу ((у е У) Л (а; 7^1 у) Л (у 7£2 х)).
а) Пусть Дх — диагональ множества X2, а Ду — диагональ множества Y2.
Покажите, что если отношения 7£i С X х Y и 7^2 С Y х X таковы, что
(Тг2 о 7^1 = Дх) Л (7^1 о 7^2 = Ду), то оба они функциональны и задают
взаимно обратные отображения множеств X, Y.
Ь) Пусть TZ С X2. Покажите, что условие транзитивности отношения TZ
равносильно тому, что 7£ о Н с К.
с) Отношение В! С Y х X называется транспонированным отношением
К С X х У, если (у В! у).
Покажите, что антисимметричность отношения И С X2 равносильна усло-
вию И П 7J' С Дх •
d) Проверьте, что любые два элемента множества X связаны (в том или
ином порядке) отношением X С X2, если и только если X U X' = X2.
2. Пусть /: X -> У — отображение. Прообраз f~l(y) С X элемента у €
G У называется слоем над у.
а) Укажите слои для отображений
рг^: Xi х Х2 -> Xi, рг2: Х± х Х2 -> Х%-
Ь) Элемент xi € X будем считать связанным с элементом Х2 € X отноше-
нием 7? СХ2 и писать xi X Х2, если У(®1) = /(атг), т. е. если Xi и Х2 лежат в
одном слое.
Проверьте, что X есть отношение эквивалентности.
с) Покажите, что слои отображения f: X —> У не пересекаются, а объеди-
нением слоев является все множество X.
d) Проверьте, что любое отношение эквивалентности между элементами
множества позволяет представить это множество в виде объединения непере-
секающихся классов эквивалентных элементов.
3. Пусть /: X —> У — отображение из X в У. Покажите, что
если А и В—подмножества X, то
а) (А С В) => (У(А) С У(В)) (А с В),
Ь) (А / 0) => (У(А) / 0),
с) /(АПВ)С/(А)П/(В),
d) /(AUB) = /(A)U/(B);
если А' и В' — подмножества У, то
е)(А' С В')=> (У-1(А') С ГЧВ'У),
f) /-!(А' ПВ') = У"1 (А') П У-1^'),
g) f~\A' U В') = y-!(A')U f~\B'y,
если У D A' D В', то
28
ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
h) /-1(А'\В') = /-1(А')\/"1(В'),
i) f-\CYA') = Cxf-\A'y,
для любого множества А С X и любого множества B'CY
j) ГЧЯА^ЗА,
к) /(/-*(В'))СВ'.
4. Покажите, что отображение ft X —> Y
а) сюръективно, если и только если для любого множества В' С Y спра-
ведливо /(/-1(В')) = В';
Ь) биективно, если и только если для любого множества А С X и любого
множества В' С Y справедливо
(/-1(/(Л))=А)А(/(Г1(В')) = В').
5. Проверьте эквивалентность следующих утверждений относительно ото-
бражения f: X —> Y:
a) f инъективно;
Ь) /-1(/(А)) = А для любого множества А С X;
с) f(AriB) = /(А) П f(B) для любой пары А, В подмножеств Х-,
d) /(А) П /(В) = 0 4^ АПВ = 0;
е) /(А \ В) = /(А) \ /(В), если X D A D В.
6. а) Если отображения ft X —> У и д: Y —> X таковы, что д о f = е%,
где ех—тождественное отображение множества X, то д называется левым
обратным отображением для /, a f — правым обратным для д. Покажите,
что, в отличие от единственного обратного отображения, может существовать
много односторонних обратных отображений.
Рассмотрите, например, отображения ft X -> У и р: У —¥ X, где X —
одноэлементное, а У — двухэлементное множества, или отображения последо-
вательностей
(*О, . . . , Хп , • • • ) I («, Х1, . . . , Xnj . . . ),
(У2,---,Уп,---) Л (У1, У2,-.
Ь) Пусть ft X —> У и gt Y —> Z — биективные отображения. Покажите,
что отображение д о ft X —> Z биективно и что (р о /)-1 = /-1 ° р-1.
с) Покажите, что для любых отображений ftX-^Y, g tY -> Z и любого
множества С С Z справедливо равенство
(5o/)-1(C) = /-1(fl-1(O).
d) Проверьте, что отображение Ft X xY -> У х X, задаваемое соответ-
ствием (х, у) i-> (у,х), биективно. Опишите взаимосвязь графиков взаимно
обратных отображений ft X —> У и /-1: У —> X.
§4. НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
29
7. а) Покажите, что при любом отображении /: X —> Y отображение
F-. X -> X х У, определяемое соответствием х >—> (а;,/(а;)), является инъек-
тивным.
Ь) Пусть частица движется равномерно по окружности Y; пусть X — ось
времени и х у — соответствие между моментом времени х € X и поло-
жением у = fix') € Y частицы. Изобразите график функции /: X —> Y в
XxY.
8. а) Для каждого из разобранных в § 3 примеров 1-12 выясните, является
ли указанное в нем отображение сюръективным, инъективным, биективным
или оно не принадлежит ни одному из указанных классов.
Ь) Закон Ома I = V/R связывает силу тока I в проводнике с напряже-
нием V на концах проводника и сопротивлением R проводника. Укажите,
отображение О: X —> Y каких множеств соответствует закону Ома. Под-
множеством какого множества является отношение, отвечающее закону Ома?
с) Найдите преобразования G~\ L~1, обратные к преобразованиям Гали-
лея и Лоренца.
9. а) Множество S С X называется устойчивым относительно отображе-
ния /: X —> X, если /(5) С S. Опишите множества, устойчивые относительно
сдвига плоскости на данный лежащий в ней вектор.
Ь) Множество I С X называется инвариантным относительно отображе-
ния /: X -> X, если /(/) = I. Опишите множества, инвариантные относи-
тельно поворота плоскости вокруг фиксированной точки.
с) Точка р 6 X называется неподвижной точкой отображения f :
X -> X, если f(p) — р. Проверьте, что любая композиция сдвига, вращения и
гомотетии плоскости имеет неподвижную точку, если коэффициент гомоте-
тии меньше единицы.
d) Считая преобразования Галилея и преобразования Лоренца отображе-
ниями плоскости на себя, при которых точка с координатами (х, t) переходит
в точку с координатами (а/, Г), найдите инвариантные множества этих пре-
образований.
10. Рассмотрим установившийся поток жидкости (т. е. скорость в каждой
точке потока не меняется со временем). За время t частица, находящаяся в
точке х потока, переместится в некоторую новую точку ft(x) пространст-
ва. Возникающее отображение х ft(x) точек пространства, занимаемого
потоком, зависит от времени t и называется преобразованием за время t. По-
кажите, что ft2 о ftl = ftl о ft2 = ftl+t2 и ft о f_t = f0- ex.
§4. Некоторые дополнения
1. Мощность множества (кардинальные числа). Говорят, что
множество X равномощно множеству У, если существует биективное
отображение X на У, т. е. каждому элементу х € X сопоставляется
элемент у G У, причем различным элементам множества X отвечают
30
ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
различные элементы множества Y и каждый элемент у € У сопоставлен
некоторому элементу множества X.
Описательно говоря, каждый элемент х € X сидит на своем месте
у € У, все элементы X сидят и свободных мест у € У нет.
Ясно, что введенное отношение XУ является отношением экви-
валентности, поэтому мы будем, как и договаривались, писать в этом
случае X ~ У вместо X1ZY.
Отношение равномощности разбивает совокупность всех множеств
на классы эквивалентных между собой множеств. Множества одного
класса эквивалентности имеют одинаковое количество элементов (рав-
номощны) , а разных — разное.
Класс, которому принадлежит множество X, называется мощно-
стью множества X, а также кардиналом или кардинальным числом
множества X и обозначается символом card А". Если X ~ У, то пишут
card А = card У.
Смысл этой конструкции в том, что она позволяет сравнивать коли-
чества элементов множеств, не прибегая к промежуточному счету, т. е.
к измерению количества путем сравнения с натуральным рядом чисел
N = {1,2,3,... }. Последнее, как мы вскоре увидим, иногда принципи-
ально невозможно.
Говорят, что кардинальное число множества А не больше карди-
нального числа множества У, и пишут card А card У, если А равно-
мощно некоторому подмножеству множества У.
Итак,
(card А С card У) := (3Z С У | card А = cardZ).
Если А С У, то ясно, что card А < card У. Однако, оказывается,
соотношение А С У не мешает неравенству card У card А, даже если
А есть собственное подмножество У.
Например, соответствие х н-> 1 _j^| есть биективное отображение
промежутка — 1 < х < 1 числовой оси R на всю зту ось.
Возможность для множества быть равномощным своей части явля-
ется характерным признаком бесконечных множеств, который Деде-
кинд1) даже предложил считать определением бесконечного множест-
1^Р. Дедекинд (1831 -1916) —немецкий математик-алгебраист, принявший актив-
ное участие в развитии теории действительного числа. Впервые предложил аксио-
матику множества натуральных чисел, называемую обычно аксиоматикой Пеано —
по имени Дж. Пеано (1858-1932), итальянского математика, сформулировавшего ее
несколько позже.
§4. НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
31
ва. Таким образом, множество называется конечным (по Дедекинду),
если оно не равномощно никакому своему собственному подмножеству;
в противном случае оно называется бесконечным.
Подобно тому, как отношение неравенства упорядочивает действи-
тельные числа на числовой прямой, введенное отношение неравенства
упорядочивает мощности или кардинальные числа множеств. А именно,
можно доказать, что справедливы следующие свойства построенного
отношения:
1° (card А С card У) Л (card У С card У) => (card А card У) (оче-
видно);
2° (card А С card У) Л (card У С card А) => (card А = card У) (тео-
рема Шрёдера - Бернштейна1));
3° VA УУ (card А < card У) V (card У < card А) (теорема Кантора).
Таким образом, класс кардинальных чисел оказывается линейно
упорядоченным.
Говорят, что мощность множества А меньше мощности множест-
ва У, и пишут card А < card У, если card А card У и в то же вре-
мя card А 7^ card У. Итак, (card А < card У) := (card А card У) Л
Л (card А 7^ card У).
Пусть, как и прежде, 0 — знак пустого множества, а Р(А) — символ
множества всех подмножеств множества А. Имеет место следующая
открытая Кантором
Теорема, card А < cardP(A).
◄ Для пустого множества 0 утверждение очевидно, поэтому в даль-
нейшем можно считать, что А / 0.
Поскольку Р(А) содержит все одноэлементные подмножества А,
card А < cardP(A).
Для доказательства теоремы теперь достаточно установить, что
cardA / cardP(A), если А 0.
Пусть, вопреки утверждению, существует биективное отображение
/: А -> Р(А). Рассмотрим множество А = {х G А | х $ /(ж)} тех
элементов х € А, которые не содержатся в сопоставленном им множе-
стве f(x) € Р(А). Поскольку А е Р(А), то найдется элемент а € А
такой, что /(а) = А. Для элемента а € А невозможно ни соотноше-
^Ф. Бернштейн (1878-1956)—немецкий математик, ученик Г. Кантора; Э. Шрё-
дер (1841-1902)—немецкий математик.
32
ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
ние а Е А (по определению А), ни соотношение а А (опять-таки по
определению А). Мы вступаем в противоречие с законом исключенного
третьего. ►
Эта теорема, в частности, показывает, что если бесконечные мно-
жества существуют, то и «бесконечности» бывают разные.
2. Об аксиоматике теории множеств. Цель настоящего пункта —
дать интересующемуся читателю представление о системе аксиом, описываю-
щих свойства математического объекта, называемого множеством, и проде-
монстрировать простейшие следствия этих аксиом.
1° Аксиома объемности. Множества А и В равны тогда и только
тогда, когда они имеют одни и те же элементы.
Это означает, что мы отвлекаемся от всех прочих свойств объекта «мно-
жество», кроме свойства иметь данные элементы. На практике это означает,
что если мы желаем установить, что А = В, то мы должны проверить, что
Va; ((а; 6 А) <=> (а; е В)).
2° Аксиома выделения. Любому множеству А и свойству Р отве-
чает множество В, элементы которого суть те и только те элементы
множества А, которые обладают свойством Р.
Короче, утверждается, что если А — множество, то и В = {а; 6 А |
Р(х)}— тоже множество.
Эта аксиома очень часто используется в математических конструкциях,
когда мы выделяем из множеств подмножества, состоящие из элементов, обла-
дающих тем или иным свойством.
Например, из аксиомы выделения следует, что существует пустое подмно-
жество 0х = {а; € X | х / х} в любом множестве X, а с учетом аксиомы
объемности заключаем, что для любых множеств X и Y выполнено 0% = 0у,
т. е. пустое множество единственно. Его обозначают символом 0.
Из аксиомы выделения следует также, что если А и В — множества, то
А\В = {а;еА|а:^ В} —тоже множество. В частности, если М — множество
и А — его подмножество, то См А — тоже множество.
3° Аксиома объединения. Для любого множества М множеств су-
ществует множество |J М, называемое объединением множества М, со-
стоящее из тех и только тех элементов, которые содержатся в элементах
множества М.
Если вместо слов «множество множеств» сказать «семейство множеств»,
то аксиома объединения приобретает несколько более привычное звучание:
существует множество, состоящее из элементов множеств семейства. Таким
образом, объединение множества есть множество, причем х Е |JМ <=> ЭХ
((X € М) А (а; € X)).
§4. НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
33
Аксиома объединения с учетом аксиомы выделения позволяет определить
пересечение множества М (семейства множеств) как множество
:= {а: е IJm I vx((x е м) => (а: е X))}.
4° Аксиома пары. Для любых множеств X и Y существует множе-
ство Z такое, что X и Y являются его единственными элементами.
Множество Z обозначается через {X, Y} и называется неупорядоченной
парой множеств X и Y. Множество Z состоит из одного элемента, если X = Y.
Как мы уже отмечали, упорядоченная пара (X, У) множеств отличается от
неупорядоченной наличием какого-либо признака у одного из множеств пары.
Например, (Х,У) := {{Х,Х},{Х,У}}.
Итак, неупорядоченная пара позволяет ввести упорядоченную пару, а упо-
рядоченная пара позволяет ввести прямое произведение множеств, если вос-
пользоваться аксиомой выделения и следующей важной аксиомой.
5° Аксиома множества подмножеств. Для любого множества X
существует множество 'Р(Х), состоящее из тех и только тех элементов,
которые являются подмножествами множества X.
Короче говоря, существует множество всех подмножеств данного множе-
ства.
Теперь можно проверить, что упорядоченные пары (х,у), где х € X, а
у Е У, действительно образуют множество
X х У := {р е Р(Р(Х) U Р(У)) | р = (х,у) Л (х е X) А (у е У)}.
Аксиомы 1° - 5° ограничивают возможность формирования новых мно-
жеств. Так, в множестве Р(Х) по теореме Кантора (о том, что cardX <
< cardP(X)) имеется элемент, не принадлежащий X, поэтому «множества»
всех множеств не существует. А ведь именно на этом «множестве» держится
парадокс Рассела.
Для того чтобы сформулировать следующую аксиому, введем понятие по-
следователя Х+ множества X. Положим по определению Х+ = Хи {X}.
Короче, к X добавлено одноэлементное множество {X}.
Далее, множество назовем индуктивным, если оно содержит в качестве
элемента пустое множество и последователь любого своего элемента.
6° Аксиома бесконечности.Индуктивные множества существуют.
Аксиома бесконечности позволяет с учетом аксиом 1° -4° создать эталон-
ную модель множества No натуральных чисел (по фон Нейману1)), определив
^Дж. фон Нейман (1903-1957)—американский математик. Работы по функци-
ональному анализу, математическим основаниям квантовой механики, топологиче-
ским группам, теории игр, математической логике. Руководил созданием первых
ЭВМ.
34
ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
No как пересечение индуктивных множеств, т. е. как наименьшее индуктивное
множество. Элементами No являются множества
0, 0+ = 0U{0} = {0}, {0}+ = {0}и{{0}},
которые и являются моделью того, что мы обозначаем символами 0,1,2,... и
называем натуральными числами.
7° Аксиома подстановки. Пусть Х(х,у) —такое высказывание
(точнее, формула), что при любом х0 из множества X существует и при-
том единственный объект уо такой, что Х(хо,уо) истинно. Тогда объек-
ты у, для каждого из которых существует элемент х € X такой, что
Х(х,у) истинно, образуют множество.
Этой аксиомой при построении анализа мы пользоваться не будем.
Аксиомы 1° - 7° составляют аксиоматику теории множеств, известную как
аксиоматика Цермело-Френкеля1).
К ней обычно добавляется еще одна, независимая от аксиом 1° -7° и часто
используемая в анализе
8° Аксиома выбора. Для любого семейства непустых множеств су-
ществует множество С такое, что, каково бы ни было множество X дан-
ного семейства, множество X ПС состоит из одного элемента.
Иными словами, из каждого множества семейства можно выбрать в точ-
ности по одному представителю так, что выбранные элементы составят мно-
жество С.
Аксиома выбора, известная в математике как аксиома Цермело, вызвала
горячие дискуссии специалистов.
3. Замечания о структуре математических высказываний
и записи их на языке теории множеств. В языке теории мно-
жеств имеются два базисных или, как говорят, атомарных типа ма-
тематических высказываний: утверждение х Е А о том, что объект
х есть элемент множества А, и утверждение А = В о том, что мно-
жества А и В совпадают. (Впрочем, с учетом аксиомы объемности
второе утверждение является комбинацией утверждений первого типа:
(х Е А) о (х Е В).)
Сложное высказывание или сложная логическая формула строятся
из атомарных посредством логических операторов — связок -i, Л, V, =>
и кванторов V, 3 с использованием скобок ( ). При этом формирование
^Э. Цермело (1871-1953)—немецкий математик; А. Френкель (1891-1965)—не-
мецкий, затем израильский математик.
§4. НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
35
сколь угодно сложного высказывания и его записи сводится к выпол-
нению следующих элементарных логических операций:
а) образование нового высказывания путем постановки отрицания
перед некоторым высказыванием и заключение результата в скобки;
Ь) образование нового высказывания путем постановки необходи-
мой связки A, V, => между двумя высказываниями и заключение ре-
зультата в скобки;
с) образование высказывания «для любого объекта х выполнено
свойство Р» (что записывают в виде Vs P(s)) или высказывания «най-
дется объект х, обладающий свойством Р» (что записывают в виде
Зя Р(х)).
Например, громоздкая запись
Вх (Р(х) Л (Vy ((Р(у)) => (у = ж))))
означает, что найдется объект х, обладающий свойством Р и такой, что
если у—любой объект, обладающий свойством Р, то у = х. Короче: су-
ществует и притом единственный объект ж, обладающий свойством Р.
Обычно это высказывание обозначают в виде 3!s P(s), и мы будем
использовать такое сокращение.
Для упрощения записи высказывания, как уже отмечалось, стара-
ются опустить столько скобок, сколько это возможно без потери од-
нозначного толкования записи. С этой целью кроме указанного ранее
приоритета операторов Л, V, => считают, что наиболее жестко сим-
волы в формуле связываются знаками G, =, затем 3, V и потом связками
Л, V, =>.
С учетом такого соглашения теперь можно было бы написать
3!s P(s) := Эх (Р(х) Л Vy (Р(у) => у = ж)).
Условимся также о следующих широко используемых сокращениях:
(Vs G X) Р := Vs (s G X => P(s)),
(3s G X) P := 3s (s G X A P(s)),
(Vs > a) P:=Vs (sGKAs> a=> P(s)),
(3s > a) P := 3s (s G R A s > a A P(s)).
Здесь R, как всегда, есть символ множества действительных чисел.
36
ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
С учетом этих сокращений и правил а), Ь), с) построения сложного
высказывания, например, можно будет дать однозначно трактуемую
запись
(lim f(x)=A] Ve>0 36>0 Vs G R (0<|s — a|<6 => |/(s) — A| < e)
\a;—>a /
того, что число А является пределом функции f: R —> R в точке a G R
Быть может, наиболее важным из всего сказанного в этом пара-
графе являются для нас следующие правила построения отрицания к
высказыванию, содержащему кванторы.
Отрицание к высказыванию «для некоторого х истинно P(s)» озна-
чает, что «для любого х неверно P(s)», а отрицание к высказыванию
«для любого х истинно P(s)» означает, что «найдется х, что невер-
но P(s)».
Итак,
-13s Р(х) О Vs -iP(s),
-Vs P(s)o3s -iP(s).
Напомним также (см. упражнения к § 1), что
- (Р Л Q) о -Р V -iQ,
- .(Р V Q) О -.Р Л -.Q,
- (Р => Q) О Р Л
На основании сказанного можно заключить, что, например,
->((Vs > a) Р) О (3 s > a) -iP
Написать в правой части последнего соотношения (3 s a) -iP было
бы, конечно, ошибочно.
В самом деле,
-((Vs > a) Р) := -i(Vs (s GRAs >fl=> P(s)))
О 3s ~i(s G R A s > a => P(s)) O
o3s ((sgRAs>a)A -iP(s)) =: (3 s > a) -P.
Если учесть указанную выше структуру произвольного высказыва-
ния, то теперь с использованием построенных отрицаний простейших
§4. НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
37
высказываний можно было бы построить отрицание любого конкрет-
ного высказывания.
Например,
-> I lim f(x) = А) о Зе > О V<5 > 0 ЗжЕ
\x—Mi V 7 J
Е К (0 < |® — а| < 6 А |/(ж) — А| > е).
Практическая важность правильного построения отрицания связа-
на, в частности, с методом доказательства от противного, когда истин-
ность некоторого утверждения Р извлекают из того, что утверждение
-Р ложно.
Упражнения
1. а) Установите равномощность отрезка {жбК|0^2:^1}и интервала
{a: G R | 0 < а: < 1} числовой прямой R как с помощью теоремы Шрёдера-
Бернштейна, так и непосредственным предъявлением нужной биекции.
Ь) Разберите следующее доказательство теоремы Шрёдера-Бернштейна:
(cardX cardK) A (cardK cardX) => (cardX = cardK).
◄ Достаточно доказать, что если множества X, У, Z таковы, что X D
D У D Z и cardX = cardZ, то cardX = card У. Пусть f: X -> Z—биек-
тивное отображение. Тогда биекция д: X —> У может быть задана, например,
следующим образом:
{/(а:), если х € fn(X) \ fn(Y) для некоторого n gN,
х в противном случае.
Здесь fn = f о ... о f — п-я итерация отображения /, a N — множество нату-
ральных чисел. ►
2. а) Исходя из определения пары, проверьте, что данное в пункте 2 опре-
деление прямого произведения X х У множеств X, У корректно, т. е. множест-
во Р(Р(Х) иР(У)) содержит все упорядоченные пары (х,у), в которых х € X
ту Е У.
Ь) Покажите, что всевозможные отображения /: X —> У одного фиксиро-
ванного множества X в другое фиксированное множество У сами образуют
множество М(Х, У).
с) Проверьте, что если Р— множество упорядоченных пар (т.е. отноше-
ние), то первые элементы пар, принадлежащих множеству Р (как и вторые),
сами образуют множество.
38
ГЛ. I. НЕКОТОРЫЕ ОБЩЕМАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПОНЯТИЯ
3. а) Используя аксиомы объемности, пары, выделения, объединения и бес-
конечности, проверьте, что для элементов множества No натуральных чисел
по фон Нейману справедливы следующие утверждения:
1° х = у => х+ = у+;
2° (Ух G No) (а;+ / 0);
3° х+ = у+ => х = у;
4° (Ух G No) (х / 0 => (Зу G No) (х = J/+)).
Ь) Используя то, что No —индуктивное множество, покажите, что для
любых его элементов х и у (а они в свою очередь являются множествами)
справедливы следующие соотношения:
1° card а: С carda:+;
2° card0 < carda:+;
3° card а: < card у <=> carda:+ < cardy+;
4° card a: < carda:+;
5° card a: < card у => card a:+ cardy;
6° x = у <=> card x — card y;
7° (x С у) V (x D y).
с) Покажите, что в любом подмножестве X множества No найдется та-
кой (наименьший) элемент хт, что (Уа: G X) (carda:m card а:). (В случае
затруднений к этой задаче можно вернуться после прочтения главы II.)
4. Мы будем иметь дело только с множествами. Поскольку множество,
состоящее из различных элементов, само может быть элементом другого мно-
жества, логики все множества обычно обозначают строчными буквами. В на-
стоящей задаче это очень удобно.
а) Проверьте, что запись
Уа: 3 у Уг (z 6 у 3w (z 6 w Л w € х))
выражает аксиому объединения, по которой существует множество у — объ-
единение множества х.
Ь) Укажите, какие аксиомы теории множеств представлены записями
Уа: Уу У-z ((z G х <=> z G у) <=> х = у),
У а: Уу 3 z Уг; (v G z <=> (v — х V v = у')),
Ух ЗуУг (z G у &Уи (и G z => и G a:)),
3 x (Уу (i3 z (z G у) => у G x) А Ум: (w G x =>
=> Vu (Уи (yeu&(y = w\/v€ w)) => и G a:))).
§4. НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНЕНИЯ
39
с) Проверьте, что формула
Vz (z G f => (3 X! 3 yr (xr G x A yi Gy A z= (zi,yi)))) A
A Vzi (xr G x => 3yi 3z (yi G у Л z = (zi,yi) A z e /)) A
A Vn Vyi Vy2 (3 zY 3 z2 (zi € f A z2 G f A zr = (zi, yi) A
A z2 = (хг,у2У) =>yi = y2)
последовательно накладывает на множество / три ограничения: / есть под-
множество х х у; проекция f на х совпадает с х; каждому элементу a:i из х
отвечает ровно один элемент yi из у такой, что (xi,yi) G /.
Таким образом, перед нами определение отображения /: х —> у.
Этот пример еще раз показывает, что формальная запись высказывания
отнюдь не всегда бывает более короткой и прозрачной в сравнении с его за-
писью на разговорном языке. Учитывая это обстоятельство, мы будем в даль-
нейшем использовать логическую символику лишь в той мере, в какой она
будет нам представляться полезной для достижения большей компактности
или ясности изложения.
5. Пусть /: X —> Y — отображение. Запишите логическое отрицание каж-
дого из следующих высказываний:
а) / сюръективно;
Ь) / инъективно;
с) / биективно.
6. Пусть X и Y — множества и f С X х Y. Запишите, что значит, что
множество / не является функцией.
ГЛАВА II
ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ)
ЧИСЛА
Математические теории, как правило, находят свой выход в том, что
позволяют перерабатывать один набор чисел (исходные данные) в дру-
гой набор чисел, составляющий промежуточную или окончательную
цель вычислений. По этой причине особое место в математике и ее при-
ложениях занимают числовые функции. Они (точнее, так называемые
дифференцируемые числовые функции) составляют главный объект ис-
следования классического анализа. Но сколь-нибудь полное с точки зре-
ния современной математики описание свойств этих функций, как вы
уже могли почувствовать в школе и в чем вскоре убедитесь, невозможно
без точного определения множества вещественных чисел, на котором
эти функции действуют.
Число в математике, как время в физике, известно каждому, но не-
понятно лишь специалистам. Это одна из основных математических
абстракций, которой, по-видимому, еще предстоит существенная эво-
люция и рассказу о которой может быть посвящен самостоятельный
насыщенный курс. Здесь же мы имеем в виду только свести воедино то,
что читателю в основном известно о действительных числах из средней
школы, выделив в виде аксиом фундаментальные и независимые свой-
ства чисел. При этом наша цель состоит в том, чтобы дать точное,
пригодное для последующего математического использования опреде-
ление вещественных чисел и обратить особое внимание на их свойство
полноты, или непрерывности, являющееся зародышем предельного пе-
рехода — основной неарифметической операции анализа.
§1. АКСИОМАТИКА И СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
41
§ 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства
множества действительных чисел
1. Определение множества действительных чисел
Определение 1. Множество R называется множеством действи-
тельных (вещественных) чисел, а его элементы — действительными
(вещественными) числами, если выполнен следующий комплекс усло-
вий, называемый аксиоматикой вещественных чисел:
(I) Аксиомы сложения
Определено отображение (операция сложения)
+ : R х R -> R,
сопоставляющее каждой упорядоченной паре (х, у) элементов х, у из R
некоторый элемент х + у Е R, называемый суммой х и у. При этом
выполнены следующие условия:
1_|_. Существует нейтральный элемент 0 (называемый в случае
сложения нулем) такой, что для любого х Е R
х + 0 — 0 + х = х.
2_|-. Для любого элемента х Е R имеется элемент —х Е R, называ-
емый противоположным к х, такой, что
х + (—х) = (—х) + х = 0.
3_|-. Операция + ассоциативна, т. е. для любых элементов х, у, z
из R выполнено
х + (у + z) = (х + у) + z.
4_|_. Операция + коммутативна, т. е. для любых элементов х, у
из R выполнено
х + у = у + х.
Если на каком-то множестве G определена операция, удовлетворя-
ющая аксиомам 1+, 2+, 3+, то говорят, что на G задана структура
группы или что G есть группа. Если операцию называют сложением,
то группу называют аддитивной. Если, кроме того, известно, что опе-
рация коммутативна, т. е. выполнено условие 4+, то группу называют
коммутативной или абелевой^.
^Н.Х. Абель (1802-1829) — замечательный норвежский математик, доказавший
неразрешимость в радикалах алгебраических уравнений, степени выше четвертой.
42
ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
Итак, аксиомы 1+ “4+ говорят, что R есть аддитивная абелева
группа.
(II) Аксиомы умножения
Определено отображение (операция умножения)
•: R х R —> R,
сопоставляющее каждой упорядоченной паре (х, у) элементов х, у из
R некоторый элемент х • у Е R, называемый произведением х и у,
причем так, что выполнены следующие условия:
1.. Существует нейтральный элемент 1 G R \ О (называемый в
случае умножения единицей) такой, что Vs 6 R
х • 1 = 1 • х = х.
2,. Для любого элемента ж 6 R \ 0 имеется элемент х~г G R,
называемый обратным, такой, что
х • s~x = х~г • х = 1.
3,. Операция • ассоциативна, т. е. для любых х, у, z из R
х (у z) = (х у) z.
4,. Операция • коммутативна, т. е. для любых х, у из R
s-y = y-s.
Заметим, что по отношению к операции умножения множество R\0,
как можно проверить, является (мультипликативной) группой.
(I, II) Связь сложения и умножения
Умножение дистрибутивно по отношению к сложению, т. е.
Vs, у, z Е R
(х + y)z = xz + yz.
Отметим, что ввиду коммутативности умножения последнее равен-
ство сохранится, если в обеих его частях поменять порядок множите-
лей.
Если на каком-то множестве G действуют две операции, удовлетво-
ряющие всем перечисленным аксиомам, то G называется алгебраиче-
ским полем или просто полем.
§1. АКСИОМАТИКА И СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
43
(III) Аксиомы порядка
Между элементами R имеется отношение т. е. для элементов
х, у из R установлено, выполняется ли х 5$ у или нет. При этом
должны удовлетворяться следующие условия:
0<j. Vs G R (х < s).
1<- (ж < у) л (у < s) => (х = у).
2^. (ж у) А (у О) => (ж z).
3<j. Vs G R Vy 6 R (s у) V (у s).
Отношение в R называется отношением неравенства.
Множество, между некоторыми элементами которого имеется отно-
шение, удовлетворяющее аксиомам 0<с, 1^, 2^, как известно, называют
частично упорядоченным, а если, сверх того, выполнена аксиома 3^,
т. е. любые два элемента множества сравнимы, то множество называ-
ется линейно упорядоченным.
Таким образом, множество действительных чисел линейно упорядо-
чено отношением неравенства между его элементами.
(I, III) Связь сложения и порядка в R
Если х, у, z — элементы R, то
(х < у) => (s + z у + z).
(II, III) Связь умножения и порядка в R
Если х, у —элементы R, то
(О < s) А (0 < у) => (0 < s • у).
(IV) Аксиома полноты (непрерывности)
Если X и Y —непустые подмножества R, обладающие тем свой-
ством, что для любых элементов х G X и у Е К выполнено х у, то
существует такое с Е R, что х с у для любых элементов х Е X
и у EY.
Этим завершается список аксиом, выполнение которых на каком бы
то ни было множестве R позволяет считать это множество конкретной
реализацией или, как говорят, моделью действительных чисел.
Это определение формально не предполагает никакой предваритель-
ной информации о числах, и из него, «включив математическую мысль»,
опять-таки формально мы должны получить уже в качестве теорем
44
ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
остальные свойства действительных чисел. По поводу этого аксиома-
тического формализма хотелось бы сделать несколько неформальных
замечаний.
Представьте себе, что вы не прошли стадию от складывания яблок,
кубиков или других именованных величин к сложению абстрактных
натуральных чисел; что вы не занимались измерением отрезков и не
пришли к рациональным числам; что вам неизвестно великое откры-
тие древних о том, что диагональ квадрата несоизмерима с его сто-
роной и потому ее длина не может быть рациональным числом, т.е.
нужны иррациональные числа; что у вас нет возникающего в процес-
се измерений понятия «больше» («меньше»); что вы не иллюстрируете
себе порядок, например, образом числовой прямой. Если бы всего это-
го предварительно не было, то перечисленный набор аксиом не только
не воспринимался бы как определенный итог духовного развития, но,
скорее, показался бы по меньшей мере странным и во всяком случае
произвольным плодом фантазии.
Относительно любой абстрактной системы аксиом сразу же возни-
кают по крайней мере два вопроса.
Во-первых, совместимы ли эти аксиомы, т. е. существует ли мно-
жество, удовлетворяющее всем перечисленным условиям. Это вопрос о
непротиворечивости аксиоматики.
Во-вторых, однозначно ли данная система аксиом определяет мате-
матический объект, т. е., как сказали бы логики, категорична ли систе-
ма аксиом. Однозначность здесь надо понимать следующим образом.
Если лица А и В, независимо, построили свои модели, к примеру, чи-
словых систем и Rb , удовлетворяющие аксиоматике, то между мно-
жествами Rx, Rb можно установить биективное соответствие, пусть
f: Rx -> Rb , сохраняющее арифметические операции и отношение по-
рядка, т.е.
/(ж + у) = /(ж) + /(у),
/(ж • у) = /(ж) • /(у),
Ж < у о /(ж) < /(у).
С математической точки зрения Rx и Rb в таком случае являются
всего-навсего различными (совершенно равноправными) реализациями
(моделями) действительных чисел (например, R4 —бесконечные деся-
тичные дроби, a Rb —точки на числовой прямой). Такие реализации
§ 1. АКСИОМАТИКА И СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
45
называются изоморфными, а отображение f — изоморфизмом. Резуль-
таты математической деятельности относятся, таким образом, не к
индивидуальной реализации, а к каждой модели из класса изоморфных
моделей данной аксиоматики.
Мы не будем здесь обсуждать поставленные выше вопросы и огра-
ничимся только информативными ответами на них.
Положительный ответ на вопрос о непротиворечивости аксиомати-
ки всегда носит условный характер. В отношении чисел он выглядит
так: исходя из принятой нами аксиоматики теории множеств (см. гл. I,
§ 4, п. 2), можно построить множество натуральных, затем множест-
во рациональных и, наконец, множество R всех действительных чисел,
удовлетворяющее всем перечисленным свойствам.
Вопрос о категоричности системы аксиом действительных чисел
имеет положительный ответ. Желающие получат его самостоятельно,
решив задачи 23, 24, помещенные в конце следующего параграфа.
2. Некоторые общие алгебраические свойства действитель-
ных чисел. Покажем на примерах, как известные свойства чисел по-
лучаются из приведенных аксиом.
а. Следствия аксиом сложения
1° В множестве действительных чисел имеется только один нуль.
◄ Если 01 и 0г — нули в R, то по определению нуля
01 = 01 + О2 = О2 + 01 = 0г- ►
2° В множестве действительных чисел у каждого элемента име-
ется единственный противоположный элемент.
◄ Если Xi и Х2 — элементы, противоположные х Е К, то
2Г1 = 2Г1 + 0 = 2Г1 + (х + Х2) = (а?1 + х) + Х2 = о + Х2 = Х2- ►
Здесь мы использовали последовательно определение нуля, опреде-
ление противоположного элемента, ассопиативность сложения, снова
определение противоположного элемента и, наконец, снова определение
нуля.
3° Уравнение
а + х — b
в К имеет и притом единственное решение
х = Ь + (—а).
46
ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
◄ Это вытекает из существования и единственности у каждого эле-
мента а € R противоположного ему элемента:
(а + х = Ь) О (Дх + а) + (—а) = b + (—а)) О
О (х + (а + (—а)) = Ъ + (—а)) О [х + 0 = b + (—а)) О
О (х = b + (-а)). ►
Выражение Ь+ (—а) записывают также в виде Ь — а. Этой более ко-
роткой и привычной записи мы, как правило, и будем придерживаться.
Ь. Следствия аксиом умножения
1° В множестве действительных чисел имеется только одна еди-
ница.
2° Для каждого числа х / 0 имеется только один обратный эле-
мент х-1.
3° Уравнение а • х = b при а € R \ 0 имеет и притом единственное
решение х = Ь - а-1.
Доказательства этих утверждений, разумеется, повторяют доказа-
тельства соответствующих утверждений для сложения (с точностью до
замены символа и названия операции), поэтому мы их опустим.
с. Следствия аксиомы связи сложения и умножения. Привле-
кая дополнительно аксиому (I, II), связывающую сложение и умножение,
получаем дальнейшие следствия.
1° Для любого х € R
х • 0 = 0 • х = 0.
ч(жф0 = ж-(0 + 0)=ж-0 + ж-0)=Ф-(ж-0 = ж- 0-|- (—(х • 0)) = 0). ►
Отсюда, между прочим, видно, что если х G R \ 0, то х~г Е R \ 0.
2° (х • у = 0) => (х = 0) V (у — 0).
Ч Если, например, у 0, то из единственности решения уравнения
х • у — 0 относительно х находим х = 0 • у~1 =0. ►
3° Для любого х Е R
—х — (—1) • х.
Ч ж+(—1)-ж = (1 + (—1))-ж = 0-ж = ж-0 = 0, иутверждение следует
из единственности противоположного элемента. ►
§ 1. АКСИОМАТИКА И СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ 47
4° Для любого числа х € R
(~l)(~z) = х.
◄ Следует из 3° и единственности элемента х, противополож-
ного —х. ►
5° Для любого числа х € R
(—ж)(—ж) = X • X.
◄ (-ж)(-ж) = ((-1) • ж)(-ж) = (ж • (—1))(—ж) = ж((—1)(—ж)) = ж • ж.
Мы последовательно воспользовались двумя предыдущими утвержде-
ниями, а также коммутативностью и ассоциативностью умножения. ►
d. Следствия аксиом порядка. Отметим сначала, что отношение
ж С У (читается «ж меньше или равно у») записывают также в виде у х
(«у больше или равно ж»); отношение ж С У при ж / у записывают в
виде ж < у (читается «ж меньше у») или в виде у > ж («у больше ж») и
называют строгим неравенством.
1° Для любых ж, у € R всегда имеет место в точности одно из
соотношений-.
х < у, х = у, х > у.
◄ Это следует из приведенного определения строгого неравенства
и аксиом 1^ и 3^. ►
2° Для любых чисел х, у, z из R
(ж < у) А (у О) => (я < z),
(х у) А (у < z) => (х < z).
◄ Приведем для примера доказательство последнего утверждения.
По аксиоме 2^ транзитивности отношения неравенства имеем
(ж < у) А (у < z) О (ж < у) А (у < z) Л (у / z) => (ж < z).
Осталось проверить, что ж / z. Но в противном случае
(х у) Л (у < z) О (z < у) А (у < z) О (z < у) А (у < z) Л (у / z).
В силу аксиомы 1^ отсюда следует
(у = ж) А (у / z)
—противоречие. ►
48
ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
е. Следствия аксиом связи порядка со сложением и умноже-
нием. Если в дополнение к аксиомам сложения, умножения и порядка
использовать аксиомы (I, III), (II, III), связывающие порядок с ариф-
метическими операциями, то можно получить, например, следующие
утверждения:
1° Для любых чисел х, у, z, w из R
(х < у) => (х + z) < (у + z),
(О < х) => (—х < 0),
(х у) A (z w) => (х + z у + ш),
(х < у) A (z < w) => (х + z < у + ш).
◄ Проверим первое из этих утверждений.
По определению строгого неравенства и аксиоме (I, III) имеем
(х < у) => (х < у) => {х + z) < (у + z).
Остается проверить, что х + z у + z. В самом деле,
((ж + z) = (у + z)) => (х = (у + z) - Z = у + {z - z) = у),
что несовместимо с условием х < у. ►
2° Если х, у, z — числа из R, то
(0 < ж) А (0 < у) => (0 < жу),
(ж < 0) А (у < 0) => (0 < жу),
(ж < 0) А (0 < у) => (жу < 0),
(ж < у) А (0 < z) => {xz < yz),
(ж < у) A {z < 0) => {yz < xz).
◄ Проверим первое из этих утверждений. По определению строгого
неравенства и аксиоме (II, III)
(0 < ж) А (0 < у) => (0 ж) А (0 у) => (0 жу).
§1. АКСИОМАТИКА И СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
49
Кроме того, 0 / ху, поскольку, как уже было показано,
(х • у = 0) => (х - 0) V (у = 0).
Проверим еще, например, и третье утверждение:
(х < 0) А (0 < у) => (0 < —х) А (0 < у) =>
=> (0 < (-ж) • у) => (0 < ((-1) • ж)у) =>
=> (0 < (-1) • (ху)) => (0 < -(ху)) => (ху < 0). ►
Читателю предоставляется возможность доказать самостоятельно
остальные соотношения, а также проверить, что если в одной из ско-
бок левой части наших утверждений стоит нестрогое неравенство, то
следствием его также будет нестрогое неравенство в правой части.
3° 0 < 1.
◄ 1 G R \ 0, т. е. 0 / 1.
Если предположить, что 1 < 0, то по только что доказанному
(1 < 0) А (1 < 0) => (0 < 1 • 1) => (0 < 1).
Но мы знаем, что для любой пары чисел х, у € R реализуется и притом
только одна из возможностей: х < у, х = у, х > у. Поскольку 0 / 1, а
предположение 1 < 0 ведет к несовместимому с ним соотношению 0 < 1,
то остается единственная возможность, указанная в утверждении. ►
4° (0 < х) => (0 < ж-1) и (0 < х) А (х < у) => (0 < у-1) А (у-1 < ж-1).
◄ Проверим первое из этих утверждений.
Прежде всего, ж-1 / 0. Предположив, что х~г < 0, получим
(ж-1 < 0) А (0 < х) => (х • ж-1 < 0) => (1 < 0).
Это противоречие завершает доказательство. ►
Напомним, что числа, которые больше нуля, называются положи-
тельными, а числа меньшие нуля — отрицательными.
Таким образом, мы доказали, например, что единица—положитель-
ное число, что произведение положительного и отрицательного чисел
есть число отрицательное, а величина, обратная положительному чи-
слу, также положительна.
3-4573
50
ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
3. Аксиома полноты и существование верхней (нижней)
грани числового множества
Определение 2. Говорят, что множество X С R ограничено свер-
ху {снизу), если существует число с Е R такое, что х С с (соответствен-
но, с С х) для любого х Е X.
Число с в этом случае называют верхней (соответственно, нижней)
границей множества X или также мажорантой {минорантой) множе-
ства X.
Определение 3. Множество, ограниченное и сверху и снизу, на-
зывается ограниченным.
Определение 4. Элемент а Е X называется наибольшим или мак-
симальным {наименьшим или минимальным) элементом множества X С
С К, если х С а (соответственно, а С х) для любого элемента х Е X.
Введем обозначения и заодно приведем формальную запись опреде-
ления максимального и минимального элементов соответственно:
{а = max А”) := {а Е X f\ Vx Е X {х а)),
{а = minX) := {а Е X f\Vx Е X {а < ж)).
Наряду с обозначениями тахХ (читается «максимум X») и minX
(читается «минимум X»), в том же смысле используются соответствен-
но символы max а; и minx.
хех хеХ
Из аксиомы 1^ порядка сразу следует, что если в числовом множе-
стве есть максимальный (минимальный) элемент, то он только один.
Однако не во всяком, даже ограниченном, множестве имеется мак-
симальный (минимальный) элемент.
Например, множество X = {ж Е R | 0 < х < 1} имеет минимальный
элемент, но, как легко проверить, не имеет максимального элемента.
Определение 5. Наименьшее из чисел, ограничивающих множе-
ство X С R сверху, называется верхней гранью (или точной верхней
границей) множества X и обозначается supX (читается «супремум X»)
или sup х.
хех
Это основное определение настоящего пункта. Итак,
(s = supX) := \/х Е X {{х < s) A (Vsz < s Эх' Е X {s' < х'))).
§ 1. АКСИОМАТИКА И СВОЙСТВА ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
51
В первой скобке, стоящей справа от определяемого понятия, напи-
сано, что s ограничивает X сверху, вторая скобка говорит, что з—
минимальное из чисел, обладающих этим свойством. Точнее, вторая
скобка утверждает, что любое число, меньшее з, уже не является верх-
ней границей X.
Аналогично вводится понятие нижней грани {точной нижней гра-
ницы) множества X как наибольшей из нижних границ множества X.
Определение 6.
(i = inf А”) := Ух € X ((г < х) А (\/г < i! z\x' € X (х1 < г')))-
Наряду с обозначением inf X (читается «инфимум X») для нижней гра-
ни X употребляется также обозначение inf х.
Таким образом, даны следующие определения:
supX := min {с G R | Vz G X (х < с)},
infX := max {с G R | Ух G X (с < ж)}.
Но выше мы говорили, что не всякое множество обладает мини-
мальным или максимальным элементом, поэтому принятые определения
верхней и нижней граней числового множества нуждаются в аргумен-
тации, которую доставляет следующая
Лемма (принцип верхней грани). Всякое непустое ограниченное
сверху подмножество множества вещественных чисел имеет и при-
том единственную верхнюю грань.
◄ Поскольку единственность минимального элемента числового
множества нам уже известна, необходимо лишь убедиться в существо-
вании верхней грани.
Пусть X С R— данное подмножество, a Y = {у G R | Ух G X
(х 3/)} — множество верхних границ X. По условию, X / 0 и Y / 0.
Тогда в силу аксиомы полноты существует число с G R такое, что
Ух G X У у G Y (х < с у). Число с, таким образом, является мажо-
рантой X и минорантой Y. Как мажоранта X, число с является элемен-
том Y, но как миноранта Y, число с является минимальным элементом
множества Y. Итак, с = min У = supX. ►
Конечно, аналогично доказывается существование и единственность
нижней грани у ограниченного снизу числового множества, т. е. имеет
место
52
ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
Лемма. (X ограничено снизу) => (3! infX).
На доказательстве мы не останавливаемся.
Теперь вернемся к множеству X = {a;€R|0^2:< 1}. В си-
лу доказанной леммы оно должно иметь верхнюю грань. По самому
определению множества X и определению верхней грани очевидно, что
sup А” < 1.
Для того чтобы доказать, что supX = 1, таким образом, необхо-
димо проверить, что для любого числа q < 1 найдется число х G X
такое, что q < х, т.е., попросту, что между q и 1 есть еще числа.
Это, конечно, легко доказать и независимо (например, показав, что
q < 2-1(q + 1) < 1), но мы сейчас этого делать не станем, поскольку в
следующем параграфе подобные вопросы будут обсуждаться последо-
вательно и подробно.
Что же касается нижней грани, то она всегда совпадает с минималь-
ным элементом множества, если множество таковым обладает. Так что
уже из этого соображения в рассматриваемом примере имеем inf X = 0.
Другие, более содержательные примеры использования введенных
здесь понятий встретятся уже в следующем параграфе.
§ 2. Важнейшие классы действительных чисел
и вычислительные аспекты операций
с действительными числами
1. Натуральные числа и принцип математической индук-
ции
а. Определение множества натуральных чисел. Числа вида 1,
1 + 1, (1 + 1) + 1 и т. д. обозначают соответственно символами 1, 2, 3
и т. д. и называют натуральными числами.
Принять такое определение может только тот, кто и без него имеет
полное представление о натуральных числах, включая их запись, на-
пример, в десятичной системе счисления.
Продолжение какого-то процесса далеко не всегда бывает однознач-
ным, поэтому вездесущее «и так далее» на самом деле требует уточне-
ния, которое доставляет фундаментальный принцип математической
индукции.
Определение 1. Множество X С R называется индуктивным, ес-
ли вместе с каждым числом х Е X ему принадлежит также число т + 1.
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
53
Например, R является индуктивным множеством; множество поло-
жительных чисел также является индуктивным множеством.
Пересечение X = Q Ха любого семейства индуктивных множеств
аЕА
Ха, если оно непусто, является индуктивным множеством.
Действительно,
( х G X = Q Ха ) => (Va G А (х G Ха)) =>
\ аеА /
=> (Va G А ((ж + 1) G Ха)) => ( (ж + 1) G Q Ха = X 1 .
\ аеА /
Теперь примем следующее
Определение 2. Множеством натуральных чисел называется наи-
меньшее индуктивное множество, содержащее 1, т.е. пересечение всех
индуктивных множеств, содержащих число 1.
Множество натуральных чисел обозначают символом N; его элемен-
ты называются натуральными числами.
С теоретико-множественной точки зрения, быть может, разумнее
натуральные числа начинать с 0, т. е. вводить множество натуральных
чисел как наименьшее индуктивное множество, содержащее 0, однако
нам удобнее начинать нумерацию числом 1.
Следующий фундаментальный и широко используемый принцип яв-
ляется прямым следствием определения множества натуральных чисел.
Ь. Принцип математической индукции
Если подмножество Е множества натуральных чисел N таково,
что 1 G Е и вместе с числом х Е Е множеству Е принадлежит число
х + 1, то Е = N.
Итак,
(Е С N) А (1 G Е) A (Va; G Е(х Е Е => (х + 1) G Е)) => Е = N.
Проиллюстрируем этот принцип в действии, доказав с его помощью
несколько полезных и постоянно в дальнейшем используемых свойств
натуральных чисел.
1° Сумма и произведение натуральных чисел являются натураль-
ными числами.
54
ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
◄ Пусть т, п G N; покажем, что (т + п) G N. Обозначим через Е
множество тех натуральных чисел п, для которых (т + n) € N при
любом т G N. Тогда 1 Е Е, поскольку (т G N) => ((m + 1) G N) для
любого т Е N. Если п Е Е, т. е. (т + п) Е N, то и (n + 1) 6 Е, так как
(m + (n + 1)) = ((т + п) + 1) Е N. По принципу индукции Е = N, и мы
доказали, что сложение не выводит за пределы N.
Аналогично, обозначив через Е множество тех натуральных чи-
сел п, для которых (т • n) Е N при любом т Е N, находим, что 1 Е Е,
так как т-1 = т, и если п Е Е, т. е. т-п Е N, то т-(n+1) = тп+т есть
сумма натуральных чисел, которая по доказанному принадлежит N. Та-
ким образом, (п € Е) => ((п+1) € Е) и по принципу индукции Е — N. ►
2° Покажем, что (n G N) A (n / 1) => ((п — 1) G N).
◄ Рассмотрим множество Е натуральных чисел вида п — 1, где п —
натуральное число, отличное от 1, и покажем, что Е = N.
Поскольку 1 G N, то 2 := (1 4- 1) € N, а значит, 1 = (2 — 1) G Е.
Если т Е Е, то т = п — 1, где п Е N; тогда 7n + l = (n + l) — 1
и, поскольку (n + 1) € N, имеем (m + 1) € Е. По принципу индукции
заключаем: Е = N. ►
3 ° Для любого п Е N в множестве {ж € N | п < ж} есть минималь-
ный элемент, причем
min {ж Е N | п < х} = п + 1.
◄ Покажем, что множество Е тех п Е N, для которых утверждение
справедливо, совпадает с N.
Сначала проверим, что 1 Е Е, т. е.
min {ж € N | 1 < ж} = 2.
Это утверждение тоже будем проверять по принципу индукции.
Пусть
М = {ж € N | (х = 1) V (2 ж)}.
По определению М имеем 1 € М. Далее, если х Е М, то либо х = 1
и тогда х 4-1 = 2 Е М, либо 2 < х, тогда 2 < (х +1) и снова (х 4-1) G М.
Таким образом, М = N и, значит, если (х / 1) A (х Е N), то 2 < х, т. е.
действительно min {ж Е N | 1 < ж} = 2. Итак, 1 Е Е.
Покажем теперь, что если п Е Е, то и (п 4-1) G Е.
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
55
Заметим сначала, что, если х G {ж G N | п + 1 < ж}, то
(х - 1) = у G {у G N | п < у},
ибо по доказанному все натуральные числа не меньше 1, поэтому
(п + 1 < ж) => (1 < ж) => (ж 1), а тогда в силу утверждения 2°
(ж — 1) = у Е N.
Пусть теперь п Е Е, т. е. min {у G N | п < у} = n + 1. Тогда х — 1
^у n + 1 и ж п + 2. Значит,
(ж€{ж€К|п-|-1< ж}) => (х п + 2)
и, следовательно, min {ж С N | п + 1 < ж} = п + 2, т. е. (n + 1) С Е.
По принципу индукции Е = N, и утверждение 3° доказано. ►
В качестве прямых следствий доказанных утверждений 2° и 3° по-
лучаем следующие свойства 4°, 5°, 6° натуральных чисел:
4° (т Е N) A (n С N) A (n < m) => (n + 1 < т).
5° Число (п+ 1) GN непосредственно следует в N за натуральным
числом п, т. е. нет натуральных чисел х, удовлетворяющих условию
п < х < п + 1, если п Е N.
6° Если п Е N и п 1, то число (п — 1) Е N и (п — 1) непосред-
ственно предшествует числу п в N, т. е. нет натуральных чисел х,
удовлетворяющих условию п — 1 < х < п, если п Е N.
7° Покажем теперь, что в любом непустом подмножестве множе-
ства натуральных чисел имеется минимальный элемент.
◄ Пусть М С N. Если 1 С М, то minAf = 1, поскольку Vn G N
(1 о).
Пусть теперь 1 0 М, т.е. 1 G Е = N \ М. В множестве Е должно
найтись такое натуральное число п Е Е, что все натуральные числа, не
превосходящие п, лежат в Е, a (n + 1) С М. Если бы такого п не было,
то множество Е С N, содержащее единицу, вместе с п Е Е содержа-
ло бы и (п + 1) и по принципу индукции совпадало бы с N. Последнее
невозможно, поскольку N \ Е = М 0.
Найденное число (п + 1) Е М и будет минимальным в М, поскольку
между п и п + 1, как мы видели, уже нет натуральных чисел. ►
56
ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
2. Рациональные и иррациональные числа
а. Целые числа
Определение 3. Объединение множества натуральных чисел,
множества чисел, противоположных натуральным числам, и нуля на-
зывается множеством целых чисел и обозначается символом Z.
Поскольку, как уже было доказано, сложение и умножение натураль-
ных чисел не выводят за пределы N, то эти же операции над целыми
числами не выводят за пределы множества Z.
◄ Действительно, если т.п Е Z, то либо одно из этих чисел равно
нулю и тогда сумма т + п равна другому числу, т. е. (m + n) G Z,a про-
изведение т п = О С Z, либо оба числа отличны от нуля. В последнем
случае либо т, п Е N и тогда (m + n) G N С Z и (т n) G N С Z, либо
(—т), (—n) G N и тогда т • п = ((—l)m)((—l)n) С N, либо (—т),п Е N
и тогда (—т • n) Е N, т. е. т • п Е Z, либо, наконец, т, —п Е N и тогда
(—т • п) 6 N и снова т п Е Z. ►
Таким образом, Z есть абелева группа по отношению к операции
сложения. По отношению к операции умножения множество Z и даже
Z \ 0 не является группой, поскольку числа, обратные целым, не лежат
в Z (кроме числа, обратного единице и минус единице).
◄ Действительно, если т Е Z и т 0, 1, то, считая сначала т Е N,
имеем 0 < 1 < т и, поскольку т-т^1 = 1 > 0, должно быть 0 < m-1 < 1
(см. в предыдущем параграфе следствия аксиом порядка). Таким обра-
зом, т-1 0 Z. Случай, когда т — отрицательное целое число, отличное
от —1, непосредственно сводится к уже разобранному. ►
В том случае, когда для чисел т, п Е Z число к = т • n”1 G Z, т. е.
когда т = к-п, где к Е Z, говорят, что целое число т делится на целое
число п или кратно п, или что п есть делитель т.
Делимость целых чисел путем надлежащих изменений знаков, т. е.
домножением на —1, если в этом есть необходимость, немедленно при-
водится к делимости соответствующих натуральных чисел, в рамках
которых она и изучается в арифметике.
Напомним без доказательства так называемую основную теорему
арифметики, которой при рассмотрении некоторых примеров мы будем
пользоваться.
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
57
Число р С N, р 1, называется простым, если в N у него нет дели-
телей, отличных от 1 и р.
Основная теорема арифметики. Каждое натуральное число до-
пускает и притом единственное (с точностью до порядка сомножи-
телей) представление в виде произведения
n = pl...pk,
где Pi,-..,Pk — простые числа.
Числа т, п Е Z называются взаимно простыми, если у них нет
общих делителей, отличных от 1 и —1.
Из приведенной теоремы, в частности, видно, что если произведение
т • п взаимно простых чисел т, п делится на простое число р, то одно
из чисел т, п также делится на р.
Ь. Рациональные числа
Определение 4. Числа вида т • п-1, где т, п Е Z, называются
рациональными.
Множество рациональных чисел обозначается знаком Q.
Таким образом, упорядоченная пара (т, п) целых чисел определяет
рациональное число q = т • п-1, если п 0.
Число q = т • п-1 записывают также в виде отношения1) тип или
так называемой рациональной дроби
Правила действий с рациональными числами, относящиеся к такой
форме их представления дробями, изучавшиеся в школе, немедленно вы-
текают из определения рационального числа и аксиом действительных
чисел. В частности, «от умножения числителя и знаменателя дроби на
одно и то же отличное от нуля целое число величина дроби не изменяет-
ся», т. е. дроби и представляют одно и то же рациональное число.
В самом деле, поскольку (nfc)(fc-1n-1) = 1, т.е. (п • к)~1 = к~г • п~1, то
(тк)(пк)~г = (mfc)(fc-1n-1) - т п~г.
Таким образом, различные упорядоченные пары (т, п) и (тк, пк)
задают одно и то же рациональное число. Следовательно, после соот-
ветствующих сокращений любое рациональное число можно задать упо-
рядоченной парой взаимно простых целых чисел.
^Обозначение Q—по начальной букве англ, quotient—отношение (от лат.
quota—часть, приходящаяся на единицу чего-либо, и quot — сколько).
58
ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
С другой стороны, если пары (mi, nJ и (т2,пг) задают одно и то
же рациональное число, т.е. т^-п^1 = m2 -п^1, то Ш1П2 = тгП1, и если,
например, mi и ni взаимно просты, то в силу упомянутого следствия
основной теоремы арифметики пг • nJ"1 = т? • mf1 = к Е Z.
Мы показали, таким образом, что две упорядоченные пары (mi, nJ,
(m2, П2) задают одно и то же рациональное число тогда и только тогда,
когда они пропорциональны, т. е. существует число к Е Z такое, что,
например, m2 = кт\ и пг = кщ.
с. Иррациональные числа
Определение 5. Действительные числа, не являющиеся рацио-
нальными, называются иррациональными.
Классическим примером иррационального действительного числа
является л/2, т. е. число s G К такое, что s > 0 и s2 = 2. Иррацио-
нальность V2 в силу теоремы Пифагора эквивалентна утверждению о
несоизмеримости диагонали и стороны квадрата.
Итак, проверим, во-первых, что существует положительное дей-
ствительное число s Е R, квадрат которого равен двум, и, во-вторых,
что s Q.
-4 Пусть X и Y — множества положительных действительных чисел
такие, что Ух Е X (х2 < 2), Уу Е Y (2 < у2). Поскольку 1 Е X, а 2 Е Y,
то X и У — непустые множества.
Далее, поскольку для положительных х и у (х < у) О (х2 < у2),
то любой элемент х Е X меньше любого элемента у Е Y. По аксиоме
полноты существует число s Е R такое, что х з у для Ух Е X и
УуеУ.
Покажем, что з2 = 2.
Если бы было з2 < 2, то, например, квадрат числа s+2 ~ 3 , большего
OS
чем s, был бы меньше 2. Действительно, ведь 1 Е X, поэтому I2 з2 < 2
и 0 < Д = 2-s2 < 1. Значит,
/ Д\2 2 „ Д /Д\2 2 О Д 2л»
S + у = s2 + 2 • - + — < з2 + 3 • - = з2 + Д = 2.
\ 3s / 3 \3s/ 3
Следовательно, (s + Е X, что несовместимо с неравенством х s
для любого элемента х Е X.
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
59
Q 2 _ rt
Если бы было 2 < s, то, например, квадрат числа s — —, мень-
oS
шего чем s, был бы больше 2. Действительно, ведь 2 G У, поэтому
2 < s2 22 или 0 < Л = s2 — 2 < 3 и 0 < ^ < 1. Отсюда
О
и мы вступаем в противоречие с тем, что s ограничивает множество Y
снизу.
Таким образом, реализуется только одна оставшаяся возможность:
s2 = 2.
Покажем, наконец, что s 0 Q. Предположим, что s С Q, и пусть
— несократимое представление s. Тогда т2 — 2 • п2, следовательно,
т2, а значит, и т делится на 2. Но если т = 2к, то 2к2 = п2 и по той
же причине п должно делиться на 2, что противоречит несократимости
дроби ►
Сейчас мы трудились над тем, чтобы доказать существование ирра-
циональных чисел. Вскоре мы увидим, что в некотором смысле почти
все действительные числа иррациональны. Будет показано, что мощ-
ность множества иррациональных чисел больше мощности множества
всех рациональных чисел и совпадает с мощностью множества всех дей-
ствительных чисел.
Среди иррациональных чисел выделяют еще так называемые алге-
браические иррациональности и трансцендентные числа.
Вещественное число называется алгебраическим, если оно является
корнем некоторого алгебраического уравнения
аохп + ... + an—ix + ап = О
с рациональными (или, что эквивалентно, с целыми) коэффициентами.
В противном случае число называется трансцендентным.
Мы увидим, что мощность множества алгебраических чисел такая
же, как мощность множества рациональных чисел, а мощность мно-
жества трансцендентных чисел такая же, как мощность всех действи-
тельных чисел; поэтому на первый взгляд кажутся парадоксальными
и неестественными трудности в предъявлении конкретного трансцен-
дентного числа, точнее, в доказательстве его трансцендентности.
60
ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
Так, например, только в 1882 г. было доказано, что классическое
геометрическое число тг является трансцендентным1), а одна из знаме-
нитых проблем Гильберта2) состояла в том, чтобы доказать трансцен-
дентность числа а@, где а — алгебраическое, (а > 0) А (а 1), а /3 —
алгебраическое иррациональное число (например, се = 2, /3 = у/2).
3. Принцип Архимеда. Переходим к важному как в теоретиче-
ском отношении, так и в плане конкретного использования чисел при
измерениях и вычислениях принципу Архимеда3). Мы докажем его, опи-
раясь на аксиому полноты (точнее, на эквивалентную ей лемму о верх-
ней грани). При другой аксиоматике множества действительных чисел
этот фундаментальный принцип часто включают в список аксиом.
Заметим, что утверждения, которые мы до сих пор доказывали о
натуральных и целых числах, совершенно не использовали аксиому пол-
ноты. Как будет видно из дальнейшего, принцип Архимеда, в сущности,
отражает свойства натуральных и целых чисел, связанные с аксиомой
полноты. С этих свойств мы и начнем.
1° В любом непустом ограниченном сверху подмножестве множе-
ства натуральных чисел имеется максимальный элемент.
◄ Если Е с N — рассматриваемое множество, то по лемме о верхней
грани 3!supE = s е R По определению верхней грани, в Е найдется
натуральное число п G Е, удовлетворяющее условию s — 1 < п з.
Тогда п = max Е, поскольку все натуральные числа, которые больше п,
не меньше n+ 1, ап + 1 > з. ►
1>тг— число, равное в евклидовой геометрии отношению длины окружности к ее
диаметру. Отсюда общепринятое с XIII века обозначение этого числа начальной
буквой греческого слова леркрерщ — периферия (окружность). Трансцендентность тг
доказана немецким математиком Ф. Линдеманом (1852-1939). Из трансцендентно-
сти тг, в частности, вытекает невозможность построения циркулем и линейкой от-
резка длины тг (задача о спрямлении окружности), как и неразрешимость этими
средствами древней задачи о квадратуре круга.
^Д. Гильберт (1862-1943)—выдающийся немецкий математик, сформулировав-
ший в 1900 г. на Международном конгрессе математиков в Париже двадцать три
относящиеся к различным областям математики проблемы, получившие впослед-
ствии название «проблем Гильберта». Вопрос, о котором идет речь в тексте (седь-
мая проблема Гильберта), был положительно решен в 1934г. советским математиком
А. О. Гельфондом (1906 -1968) и немецким математиком Т. Шнайдером (1911 -1989).
3)Архимед (287-212 гг. до н. э.)—гениальный греческий ученый, про которого
один из основоположников анализа Лейбниц в свое время сказал: «Изучая труды
Архимеда, перестаешь удивляться успехам современных математиков».
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
61
Следствия. 2° Множество натуральных чисел не ограничено
сверху.
◄ В противном случае существовало бы максимальное натуральное
число. Но п < п + 1. ►
3° В любом непустом ограниченном сверху подмножестве множе-
ства целых чисел имеется максимальный элемент.
< Можно дословно повторить доказательство утверждения 1°, за-
меняя N на Z. ►
4° В любом непустом ограниченном снизу подмножестве множе-
ства целых чисел имеется минимальный элемент.
◄ Можно, например, повторить доказательство утверждения 1°, за-
меняя N на Z и используя вместо леммы о верхней грани лемму о суще-
ствовании нижней грани у ограниченного снизу числового множества.
Можно также перейти к противоположным числам («поменять зна-
ки») и воспользоваться уже доказанным в 3°. ►
5° Множество целых чисел не ограничено ни сверху, ни снизу.
4 Вытекает из 3° и 4° или прямо из 2°. ►
Теперь сформулируем
6° Принцип Архимеда. Если фиксировать произвольное поло-
жительное число h, то для любого действительного числа х найдется
и притом единственное целое число к такое, что (k — l)h х < kh.
◄ Поскольку Z не ограничено сверху, множество G Z | —
непустое ограниченное снизу подмножество множества целых чисел.
Тогда (см. 4°) в нем есть минимальный элемент к, т. е. (к — 1) ^x/h <
< к. Поскольку h > 0, эти неравенства эквивалентны приведенным
в формулировке принципа Архимеда. Единственность к Е Z, удовле-
творяющего двум последним неравенствам, следует из единственности
минимального элемента числового множества (см. § 1, п. 3). ►
Некоторые следствия:
7° Для любого положительного числа е существует натуральное
число п такое, что 0 < < е.
◄ По принципу Архимеда найдется п Е Z такое, что 1 < е • п. По-
скольку 0 < 1 и 0 < е, имеем 0 < п. Таким образом, п£ИиО<|<е. ►
62
ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
8 ° Если число х G R таково, что 0 х и для любого п Е N выпол-
нено х < ^, то х = О.
- 4 Соотношение 0 < х невозможно в силу утверждения 7°. ►
9 ° Для любых чисел а, b Ей таких, что а < Ь, найдется рациональ-
ное число г G Q такое, что а < г < Ь.
◄ Учитывая 7°, подберем п Е N так, что 0 < < Ь—а. По принципу
Архимеда найдем такое число m Е Z, что т~ 1 а < Тогда <
< Ь, ибо в противном случае мы имели бы т~ 1 а < b откуда
следовало бы, что > b — а. Таким образом, г = ^Е^иа<^<й. ►
1 0° Для любого числа х Е R существует и притом единственное
целое число k Е Z такое, что к х < к + 1.
◄ Это непосредственно вытекает из принципа Архимеда. ►
Указанное число к обозначается [ж] и называется целой частью чи-
сла х. Величина {ж} := х — [ж] называется дробной частью числа х.
Итак, х = [ж] + {ж}, причем {а:} 0.
4. Геометрическая интерпретация множества действитель-
ных чисел и вычислительные аспекты операций с действи-
тельными числами
а. Числовая ось. По отношению к действительным числам часто
используется образный геометрический язык, связанный с тем обстоя-
тельством, что, как в общих чертах известно из школы, в силу аксиом
геометрии между точками прямой L и множеством R вещественных
чисел можно установить взаимно однозначное соответствие /: L —> R.
Причем это соответствие связано с движениями прямой. А именно, ес-
ли Т — параллельный перенос прямой L по себе, то существует число
t Е R (зависящее только от Г) такое, что f(T(x)) = f(x) + t для любой
точки х Е L.
Число /(ж), соответствующее точке х Е L, называется координатой
точки х. Ввиду взаимной однозначности отображения f: L —>• R коор-
динату точки часто называют просто точкой. Например, вместо фразы
«отметим точку, координата которой 1», говорят «отметим точку 1».
Прямую L при наличии указанного соответствия /: L —> R называют
координатной осью, числовой осью или числовой прямой. Ввиду биек-
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
63
тивности / само множество R вещественных чисел также часто назы-
вают числовой прямой, а его элементы — точками числовой прямой.
Как отмечалось, биективное отображение /: L —> R, задающее на L
координаты, таково, что при параллельном переносе Т координаты
образов точек прямой L отличаются от координат самих точек на одну
и ту же величину t Е R. Ввиду этого f полностью определяется указа-
нием точки с координатой 0 и точки с координатой 1 или, короче, точки
нуль, называемой началом координат, и точки 1. Отрезок, определя-
емый этими точками, называется единичным отрезком. Направление,
определяемое лучом с вершиной 0, содержащим точку 1, называется по-
ложительным, а движение в этом направлении (от 0 к 1) —движением
слева направо. В соответствии с этим соглашением 1 лежит правее 0, а
О—левее 1.
При параллельном переносе Т, переводящем начало координат xq
в точку Xi = T(xq) с координатой 1, координаты образов всех точек
на единицу больше координат прообразов, поэтому мы находим точку
а?2 = Т(Ж1) с координатой 2, точку ж3 = T(xz) координатой 3, ...,
точку жп+1 = Т(хп) с координатой п + 1, а также точку ж_1 = Т-1(жо)
с координатой —1, ..., точку x_n-i = Т-1(ж_п) с координатой — п — 1.
Таким образом, получаем все точки с целыми координатами m Е Z.
Умея удваивать, утраивать, ... единичный отрезок, по теореме Фа-
леса его же можно разбить на соответствующее число п конгруэнтных
отрезков. Беря тот из них, одним концом которого является начало ко-
ординат, для координаты х другого конца имеем уравнение п • х = 1,
т.е. х = Отсюда находим все точки с рациональными координатами
Но останутся еще точки L, ведь есть же отрезки, несоизмеримые с
единичным. Каждая такая точка (как и любая другая точка прямой)
разбивает прямую на два луча, на каждом из которых есть точки с
целыми (рациональными) координатами (это следствие исходного гео-
метрического принципа Архимеда). Таким образам, точка производит
разбиение или, как говорят, сечение Q на два непустых множества X
и Y, отвечающие рациональным точкам (точкам с рациональными ко-
ординатами) левого и правого лучей. По аксиоме полноты найдется
число с, разделяющее X и Y, т.е. х с у для Ух Е X и Уу Е Y.
Поскольку X U У = Q, то supX = s = i = inf Y, ибо в противном случае
s < i и между s и г нашлось бы рациональное число, не лежащее ни в X,
ни в Y. Таким образом, s = г = с. Это однозначно определенное число
64
ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
с и ставится в соответствие указанной точке прямой.
Описанное сопоставление точкам прямой их координат доставля-
ет наглядную модель как отношению порядка в R (отсюда и термин
«линейная упорядоченность»), так и аксиоме полноты, или непрерыв-
ности R, которая на геометрическом языке означает, что в прямой L
«нет дыр», разбивающих ее на два не имеющих общих точек куска (та-
кое разбиение осуществляется некоторой точкой прямой L).
Мы не станем вдаваться в дальнейшие детали конструкции отобра-
жения f: L —> R, поскольку геометрическую интерпретацию множест-
ва действительных чисел мы будем привлекать исключительно для на-
глядности и для возможного подключения весьма полезной геометриче-
ской интуиции читателя. Что же касается формальных доказательств,
то, как и до сих пор, они будут опираться либо на тот набор фактов,
который мы уже получили из аксиоматики действительных чисел, либо
непосредственно на эту аксиоматику.
Геометрический же язык мы будем использовать постоянно.
Введем следующие обозначения и названия для перечисленных ниже
числовых множеств:
]а, ft[ := {х G R | а < х < Ь} — интервал air,
[a, ft] :={х G R | а х ft} —отрезок ab;
]а, ft] :={х G R | а < х Ь} —полуинтервал ab, содержащий конец ft;
[a, ft[ := {х Е R | а х < ft} —полуинтервал aft, содержащий конец а.
Определение 6. Интервалы, отрезки и полуинтервалы называ-
ются числовыми промежутками или просто промежутками. Числа,
определяющие промежуток, называются его концами.
Величина ft — а называется длиной промежутка ab. Если I — некото-
рый промежуток, то длину его мы будем обозначать через |/| (проис-
хождение такого обозначения вскоре станет понятным).
Множества
]а, +оо[ := {ж Е R | а < ж},
[а, +оо[ := {ж € R | а ж},
]—оо, Ь[ :={ж € R | ж < Ь},
]—оо, ft] := {ж G R | ж Ь},
а также ]—оо,+оо[ := R, принято называть неограниченными проме-
жутками.
В соответствии с таким употреблением символов +оо (читается
«плюс бесконечность») и —оо (читается «минус бесконечность») для
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
65
обозначения неограниченности числового множества X сверху (снизу),
принято писать supX = +оо (inf X = —оо).
Определение 7. Интервал, содержащий точку х Е R, будем на-
зывать окрестностью этой точки.
В частности, при 6 > 0 интервал ]ж — 6, х + <S[ называется 6-окрест-
ностью точки х. Его длина 26.
Расстояние между числами х, у Е R измеряется длиной промежут-
ка, концами которого они являются.
Чтобы не разбираться при этом, «где лево, а где право», т. е. х < у
или у < х, и чему равна длина, у — х или х — у, можно использовать
полезную функцию
{х при х > О,
О при х = О,
—х при х < О,
называемую модулем или абсолютной величиной числа.
Определение 8. Расстоянием между х, у Е R называется вели-
чина |ж — у\.
Расстояние неотрицательно и равно нулю только при совпадении х
и у; расстояние от ж до у и от у до ж одно и то же, ибо |ж — у| = |у — ж|;
наконец, если z Е R, то |ж — у| |ж — z\ + \z — у|, т.е. имеет место так
называемое неравенство треугольника.
Неравенство треугольника следует из свойства абсолютной величи-
ны числа, которое также называется неравенством треугольника (ибо
получается из предыдущего при z = 0 и замене у на —у). А именно, для
любых чисел х, у справедливо неравенство
|ж+у| < |ж| + |у|,
причем равенство в нем имеет место в том и только в том случае,
когда оба числа х, у неотрицательны или неположительны.
◄ Если 0 ж и 0 у, то 0 ж + у, |ж + у| = ж + у, |ж| = ж, |у| = у и
равенство установлено.
Если ж 0 и у 0, то ж + у 0, |ж+у| = —(ж + у) = —ж —у, |ж| = —ж,
|у| = —у и опять равенство имеет место.
66
ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
Пусть теперь одно из чисел отрицательно, а другое положительно,
например, х < 0 < у. Тогда либо х < х + у < 0, либо 0 х + у < у.
В первом случае |ж+у| < |ж|, во втором |ж+у| < |у|, т. е. в обоих случаях
|ж + у| < |ж| + |у|. ►
Используя принцип индукции, можно проверить, что
|Ж1 + . . . +жп| < |жХ| + . . . + |жп|,
причем равенство имеет место, если и только если все числа х^,... ,хп
одновременно неотрицательны или одновременно неположительны.
Число а + Ь часто называется серединой или центром промежутка
с концами а, 6, поскольку оно равноудалено от концов промежутка.
В частности, точка х G R является центром своей ^-окрестности
]ж — 6, х + <S[ и все точки ^-окрестности удалены от х меньше чем на 6.
Ь. Задание числа последовательностью приближений. Изме-
ряя реальную физическую величину, мы получаем число, которое, как
правило, меняется при повторном измерении, особенно если изменить
инструмент или метод измерения. Таким образом, результатом изме-
рения обычно является некоторое приближенное значение искомой ве-
личины. Качество или точность измерения характеризуется, например,
величиной возможного уклонения истинного значения величины от ее
значения, полученного в результате измерения. При этом может слу-
читься, что точное значение величины (если оно в принципе существу-
ет) мы так никогда и не предъявим. Встав, однако, на более конструк-
тивную позицию, можно (или следует) считать, что мы вполне зна-
ем искомую величину, если в состоянии измерить ее с любой наперед
заданной точностью. Такая позиция означает отождествление числа с
последовательностью1) все более точных его приближений числами, по-
лучаемыми при измерении. Но всякое измерение есть конечная сово-
купность сравнений с некоторым эталоном или с соизмеримой с ним
его частью, поэтому результат измерения должен выражаться нату-
ральными, целыми или, более общо, рациональными числами. Значит,
последовательностями рациональных чисел в принципе можно описать
^Если п — номер измерения, а хп —результат измерения, то соответствие п хп
есть не что иное, как функция f: N —> R натурального аргумента, т. е., по определе-
нию, последовательность (в данном случае последовательность чисел). Подробному
изучению числовых последовательностей посвящен § 1 гл. III.
§2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
67
все множество вещественных чисел, построив после должного анализа
математическую копию или, лучше сказать, модель того, что делают
с числами люди, не подозревающие об их аксиоматическом описании.
А они вместо сложения и умножения неизвестных им измеряемых ве-
личин складывают и умножают их приближенные значения (не всегда,
правда, умея сказать, какое отношение имеет результат таких дей-
ствий к тому, что получилось бы, если бы эти действия производились
с точными значениями величин; ниже мы обсудим этот вопрос).
Отождествив число с последовательностью его приближенных зна-
чений, мы, таким образом, желая, например, сложить два числа, долж-
ны складывать последовательности их приближенных значений. Полу-
чающуюся при этом новую последовательность чисел надо считать но-
вым числом, называемым суммой первых двух. Но число ли это? Дели-
катность вопроса состоит в том, что не каждая случайным образом по-
строенная последовательность служит последовательностью сколь
угодно точных приближений некоторой величины. То есть необходи-
мо еще научиться по самой последовательности узнавать, представля-
ет она некоторое число или нет. Другой вопрос, который возникает
при попытке математического копирования операций с приближенны-
ми числами, состоит в том, что разные последовательности могут быть
последовательностями приближений одной и той же величины. Соотно-
шение между последовательностями приближений, определяющими чи-
сло, и самими числами примерно такое же, как между точкой на карте
и указкой, которая указывает нам эту точку. Положение указки опре-
деляет точку, но точка определяет положение только конца указки, не
мешая взять указку по-другому, поудобнее.
Этим вопросам дал точное описание и реализовал всю намеченную
здесь в общих чертах программу построения модели вещественных чи-
сел еще О. Коши1). Надо надеяться, что после изучения теории преде-
лов вы будете в состоянии самостоятельно повторить эти конструкции
Коши.
Сказанное до сих пор, разумеется, не претендует на математиче-
скую строгость. Цель этого неформального отступления — обратить
внимание читателя на принципиальную возможность одновременного
существования различных естественных моделей действительных чи-
^О. Копти (1789-1857)—французский математик, один из наиболее активных
творцов современного языка и аппарата классического анализа.
68
ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
сел; я пытался также дать некоторое представление об отношении чи-
сел к тому, что нас окружает, и пояснить фундаментальную роль нату-
ральных и рациональных чисел; наконец, мне хотелось показать есте-
ственность и необходимость приближенных вычислений.
Последующая часть настоящего пункта посвящена используемым
в дальнейшем и представляющим самостоятельный интерес простым,
но важным оценкам погрешностей, возникающих при арифметических
операциях над приближенными величинами.
Переходим к точным формулировкам.
Определение 9. Если х — точное значение некоторой величины,
аж — известное приближенное значение той же величины, то числа
Д(ж) := |ж — ж|,
«(«) :=
называются соответственно абсолютной и относительной погрешно-
стью приближения х. Относительная погрешность при х — 0 не опре-
делена.
Поскольку значение х неизвестно, значения Д(ж) и б{х} также не-
известны. Однако обычно бывают известны оценки сверху Д(ж) < Д,
б{х} < 5 этих величин. В этом случае говорят, что абсолютная или
относительная погрешность приближения х не превосходит Д или д со-
ответственно. На практике приходится иметь дело только с оценками
погрешностей, поэтому сами величины Д и 6 часто называют абсо-
лютной и относительной погрешностями приближения, но мы этого
делать не будем.
Запись х = х ± Д означает, что х — Д ж ж + Д.
Например,
гравитационная постоянная G = (6,67259 ± 0,00085) • 10-11 Н • м2/кг2,
скорость света в вакууме с = 299792458м/с (точно),
постоянная Планка h = (6,6260755 ± 0,0000040) • 10-34 Дж • с,
заряд электрона е = (1,60217733 ± 0,00000049) 10-19 Кл,
масса покоя электрона те = (9,1093897 ± 0,0000054) • 10~31 кг.
Основным показателем точности измерения является величина от-
носительной погрешности приближения, обычно выражаемая в процен-
тах.
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
69
Так, в приведенных примерах относительные погрешности не пре-
восходят соответственно
13 • 10“5; 0; 6 • 10“7; 31 • 10“8; 6 • 10~7
или, в процентах от результата измерения,
13 • 10“3 %; 0 %; 6•10-5%; 31 • 1(Г6 %; 6-10“5%.
Оценим теперь погрешности, возникающие при арифметических
операциях с приближенными величинами.
Утверждение. Если
|ж-ж| = Д(ж), |у-у| = Д(у),
то
Д(ж + у) := 1(х + у)-(х + у)1 sC Д(х) + Д(у), (1)
Д(х • у) := |ж • у - х у| < |ж|Д(у) + |у|Д(ж) + Д(ж) • Д(у); (2)
если, кроме того,
У 0, у / 0 и 8{у) = < 1,
то
1 /,ч
\у) У У У2 1 - S(yY
◄ Пусть х = х + а, у = у + 0. Тогда
Д(ж + у) = |(ж + у) - (х + у)| = |а + 0\ < |а| + |/3| = Д(ж) + Д(у),
Д(£ • у) = \ху - ху\ = |(ж + а)(у + 0) - ху\ =
= \х0 + уа + а0\ < |ж||/3| + |у| |а| + |а/3| =
= ИД(у) + |у|Д(£) + Д(ж) • Д(у),
ху — ух
УУ
(х + а)у - (у + 0)х
У2
1ЭД + №1
У2
|ж|Д(у) + |у| Д (ж)
У2
1
1
1-<5(у)’ k
70
ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
Из полученных оценок абсолютных погрешностей вытекают следу-
ющие оценки относительных погрешностей:
Р±у|
8(х у) 8(х) + 6(у) + 8{х) • 6(у),
^(х\ < + S(y)
\У ) 1 -5(у)
(1')
(2')
(3')
На практике, при работе с достаточно хорошими приближениями,
Д(ж) • Д(у) ~ 0, 6{х) б(у) « 0, 1 — 6(у) ~ 1, поэтому пользуются со-
ответствующими упрощенными, полезными, но формально неверными
вариантами формул (2), (3), (2'), (3'):
Д(ж • у) < |ж|Д(у) + |у|Д(ж),
* (х\ |ж|Д(у) + |у|Д(ж)
\у) У2
6(х-у) S(x) + £(у),
S < <5(х) +<5(у).
Формулы (3), (3') показывают, что надо избегать деления на близ-
кие к нулю или довольно грубые приближения, когда у или 1 — 6(у) малы
по абсолютной величине.
Формула (1') предостерегает от сложения приближенных величин,
если они близки по абсолютной величине и противоположны по знаку,
поскольку тогда |ж + у| близко к нулю.
Во всех этих случаях погрешности могут резко возрасти.
Например, пусть ваш рост дважды измерили некоторым прибором.
Точность измерения ±0,5 см. Перед вторым измерением вам под ноги
подложили лист бумаги. Тем не менее может случиться, что результаты
измерений будут такими: Hi = (200 ± 0,5) см и Яг = (199,8 ± 0,5) см
соответственно.
Таким образом, бессмысленно искать толщину бумаги в виде разно-
сти Hz — Hi, из которой только следует, что толщина не больше 0,8см,
что, конечно, очень грубо отражает (если это вообще можно назвать
«отражает») истинное положение вещей.
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
71
Стоит, однако, обратить внимание и на другой, более оптимистич-
ный вычислительный эффект, благодаря которому грубыми приборами
удается провести сравнительно тонкие измерения. Например, если на
том приборе, где только что измерили ваш рост, измерили высоту пач-
ки в 1000 листов той же бумаги и получили результат (20 ± 0,5) см, то
толщина одного листа (0,02±0,0005) см = (0,2± 0,005) мм, что вытекает
из формулы (1).
То есть с абсолютной погрешностью, не превышающей 0,005 мм,
толщина одного листа равна 0,2 мм. Относительная погрешность этого
измерения не превышает 0,025 или 2,5%.
Эту идею можно развить и предложить, например, способ выделе-
ния слабого периодического сигнала из превышающих его случайных
радиопомех, называемых обычно белым шумом.
с. Позиционная система счисления. Выше говорилось о том,
что каждое число можно задать последовательностью приближающих
его рациональных чисел.
Теперь напомним важный в вычислительном отношении метод, ко-
торый позволяет единообразно для каждого действительного числа
строить такую последовательность рациональных приближений. Этот
метод ведет к позиционной системе счисления.
Лемма. Если фиксировать число q > 1, то для любого положи-
тельного числа х G R найдется и притом единственное целое число
k G Z такое, что
qk~l ^x<qk.
◄ Проверим сначала, что множество чисел вида qk, k Е N, не огра-
ничено сверху. В противном случае оно имело бы верхнюю грань s и по
определению верхней грани нашлось бы натуральное число т G N та-
кое, что | < qm s. Но тогда s < qm+1 и s — не верхняя грань нашего
множества.
Поскольку 1 < q, то qm < qn при т < п, т, п G Z, поэтому мы заод-
но показали, что для любого числа с G R найдется такое натуральное
число N Е N, что при любом натуральном п > N будет с < qn.
Отсюда вытекает, что для любого числа s > 0 найдется число М G N
такое, что при всех натуральных т > М будет < е.
9
Действительно, достаточно положить с = |, a N = М; тогда | < qm
при т > М.
72
ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
Итак, множество целых чисел т G Z, удовлетворяющих неравен-
ству х < qm при х > 0, ограничено снизу. Тогда в нем есть минималь-
ный элемент к, который, очевидно, и будет искомым, так как для него
qk~l < х < qk.
Единственность такого целого числа к следует из того, что если
m, n G Z и, например, т < п, то т С п — 1, и поэтому если q > 1, то
qm < qn-L.
Действительно, из этого замечания видно, что неравенства qm~r С
х < qm и д"-1 х < qn, из которых следует g"-1 х < qm, несо-
вместны при m п. ►
Воспользуемся этой леммой в следующей конструкции.
• Фиксируем q > 1 и возьмем произвольное положительное число
х Е R.
По лемме найдем единственное число р G Z такое, что
(f < х < qp+1. (1)
Определение 10. Число р, удовлетворяющее соотношению (1),
называется порядком числа х по основанию q или (при фиксирован-
ном q) просто порядком числа х.
По принципу Архимеда найдем единственное натуральное число
ар G N такое, что
ap<f < х < ap(f + cf. (2)
Учитывая (1), можно утверждать, что ар G {1, ...,Q — 1}.
Все дальнейшие шаги нашего построения будут повторять тот шаг,
который мы сейчас сделаем, исходя из соотношения (2).
Из соотношения (2) и принципа Архимеда следует, что существует
и притом единственное число ap-i G{0,1,...,q — 1} такое, что
apqp + ap-LqP-1 < х < apqp + ap_iqp~l + qp~\ (3)
Если уже сделано п таких шагов и получено, что
ap(f + ap-icf^1 + ... + ap-n(f~n «С
< х < apqp + + ... + ap_nqp~n + qp~n,
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
73
то по принципу Архимеда найдется единственное число ap_n_i G
G {0,1,..., q — 1} такое, что
apqp + + otp_nqp n + ap-n-\qp n 1 5$
< x < ap(f + ... + ap-n(f~n + + q^1.
Таким образом, указан алгоритм, по которому положительному чи-
слу х однозначно ставится в соответствие последовательность чисел
Ор,О!р_1,..., ар-п,... из множества {0,1,..., q — 1} или, менее формаль-
но, последовательность рациональных чисел гп специального вида:
rn = apqp + ...+ ap-nqp~n, (4)
причем так, что
1
гп < х < гп + (5)
Иными словами, мы строим всё лучшие приближения снизу и сверху
для числа х посредством специальной последовательности рациональ-
ных чисел (4). Символ ар ... ар_п • • есть шифр всей последователь-
ности {гп}. Чтобы по нему можно было восстановить последователь-
ность {гп}, необходимо как-то отметить величину р—порядок числа х.
Условились при р > О после «о ставить точку или запятую; при р < О
слева от ар дописывать |р| нулей и после крайнего левого ставить точку
или запятую (напомним, что ар 0).
Например, при q = 10
123,45 := 1 • 102 + 2 • 101 + 3 • 10° + 4 10"1 + 5 • 10“2,
0,00123 := 1 • 10“3 + 2 • 10“4 + 3 • 10“5;
при q = 2
1000,001 := 1 • 23 + 1 • 2~3.
Таким образом, значение цифры в символе ар ... ар-п зависит от
позиции, которую она занимает по отношению к точке или запятой.
После этого соглашения символ ар ... ctQ,... позволяет однозначно
восстановить всю последовательность приближений.
Из неравенств (5) видно (проверьте!), что двум различным числам
х, х' отвечают различные последовательности {гп}, {г^}, а значит, и
разные символы ар... ctQ,..., а'р ... Qq, ...
74
ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
Теперь решим вопрос, всякому ли символу вида ар... ад,... отвеча-
ет некоторое число х G R. Оказывается, нет.
Заметим, что в силу описанного алгоритма последовательного по-
лучения чисел ар-п G {0,1, 1} не может случиться так, что все
они, начиная с некоторого, будут одинаковы и равны q — 1.
Действительно, если при п > к
тп = ap(f + ... + ap_kqp~k + (q - + ..• + (<?- 1)<Г",
т. е.
11
гп = гк + -^~ (6)
то в силу (5)
1 1 1
г к Ч—-------------------------х < г к -I—г—
qk~P qn~P qk~P
Тогда для любого п > к
п 1 1
О < г к Ч—т.-х <-----,
qk~P qn~P
что, как мы знаем из доказанной выше леммы, невозможно.
Полезно также отметить, что если среди чисел ар~к-ъ • • •, ар-п хотя
бы одно меньше q — 1, то вместо (6) можно написать, что
1 1
гп < rk + k—'D n—v
qK р qn р
или, что то же самое,
Гп + <гк + (7)
qn р qK р
Теперь мы в состоянии доказать, что любой символ ап ... ао,..., со-
ставленный из чисел ак G {0,1,..., q — 1}, в котором как угодно далеко
встречаются числа, отличные от q— 1, соответствует некоторому числу
ж > 0.
В самом деле, по символу ар ... ар~п... построим последователь-
ность {гп} вида (4). В силу того, что то и гп ..., а также
учитывая (6) и (7), имеем
го4г14...4...<...4г„ + ^4...«г1 + ^Ь«г„ + А?. (8)
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
75
Знак строгого неравенства в последнем соотношении следует по-
нимать так: любой элемент левой последовательности меньше любого
элемента правой последовательности. Это вытекает иэ (7).
Если теперь взять х = sup rn (= inf (rn+g~(n~/’))), то последователь-
nGN "GN
ность гпбудет удовлетворять условиям (4), (5), т. е. символ ар... ар-п...
отвечает найденному числу х Е R.
Итак, каждому положительному числу х G R мы взаимно однознач-
но сопоставили символ вида ар ... ао,..., если р 0, или 0,0 ... 0 ар ...,
|р| нулей
если р < 0. Он называется q-ичной позиционной записью числа х; циф-
ры, входящие в символ, называют знаками-, позиции знаков относитель-
но запятой называются разрядами.
Числу х < 0 условимся сопоставлять взятый со знаком минус символ
положительного числа —х. Наконец, числу 0 отнесем символ 0,0... 0...
Тем самым завершено построение позиционной q-ичной системы за-
писи действительных чисел.
Наиболее употребительными являются десятичная система (в оби-
ходе) и по техническим причинам двоичная (в электронных вычисли-
тельных машинах). Менее распространены, но также используются в
элементах вычислительной техники троичная и восьмеричная системы.
Формулы (4), (5) показывают, что если в g-ичной записи числа х
оставить только конечное число знаков (или, если угодно, заменить
остальные знаки нулями), то абсолютная погрешность получающегося
при этом приближения (4) числа х не превысит единицы последнего
сохраняемого разряда.
Это наблюдение позволяет в соответствии с полученными в под-
пункте b формулами оценивать погрешности, возникающие при ариф-
метических операциях над числами в результате замены точных зна-
чений чисел соответствующими приближенными значениями вида (4).
Последнее замечание имеет также определенную теоретическую
ценность. А именно, если в соответствии с идеей подпункта b мы ото-
ждествим вещественное число х с его q-ичной записью, то, научившись
выполнять арифметические действия непосредственно над д-ичными
символами, мы построим новую модель действительных чисел, по-ви-
димому, наиболее ценную с вычислительной точки зрения.
Основные задачи, которые пришлось бы решать на этом пути, та-
ковы.
76
ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
Надо двум q-ичным символам поставить в соответствие новый сим-
вол— сумму исходных. Он, естественно, строится постепенно, а имен-
но, складывая все более точные рациональные приближения исходных
чисел, будем получать соответствующие рациональные приближения
их суммы. Пользуясь сделанным выше замечанием, можно показать,
что по мере увеличения точности приближений слагаемых мы будем
получать все больше таких g-ичных знаков суммы, которые уже не ме-
няются при последующем уточнении приближений.
Тот же вопрос надо решать и относительно умножения.
Другой, менее конструктивный путь перехода от рациональных чи-
сел ко всем действительным числам принадлежит Дедекинду.
Дедекинд отождествляет действительное число с сечением в мно-
жестве Q рациональных чисел, т. е. с разбиением Q на два не имеющих
общих элементов множества А, В таких, что Va е A Vb е В (а < Ь).
При таком подходе к действительным числам принятая нами аксиома
полноты (непрерывности) становится известной теоремой Дедекинда.
По этой причине аксиому полноты в принятой нами форме часто на-
зывают аксиомой Дедекинда.
Итак, в настоящем параграфе выделены важнейшие классы чисел.
Показана фундаментальная роль натуральных и рациональных чисел.
Показано, как из принятой нами аксиоматики1) вытекают основные
свойства этих чисел. Дано представление о различных моделях множе-
ства действительных чисел. Обсуждены вычислительные аспекты тео-
рии действительных чисел: оценки погрешностей при арифметических
операциях с приближенными величинами; g-ичная позиционная система
счисления.
Задачи и упражнения
1. Опираясь на принцип индукции, покажите, что
а) сумма х± + ... + хп вещественных чисел определена независимо от рас-
становки скобок, предписывающих порядок сложения;
Ь) то же для произведения х\... хп;
с) |щл 4-... 4- жп| < |a;i| 4- - - - 4- |щп|;
d) |371.. . жп| = |а?11... |жп|;
Почти в приведенном выше виде она была сформулирована на рубеже XX века
Гильбертом; см., например, в кн.: Гильберт Д. Основания геометрии. М.: Гостех-
издат, 1948. (Добавление VI: О понятии числа.)
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
77
е) ((m, п € N) А (т < п)) 4 ((n -m) е N);
f) (1 + х)п 1 + пх при х > — 1 и n € N, причем равенство возможно либо
при п = 1, либо при х = 0 (неравенство Бернулли)-,
g) (а + Ь)п = ап + ап~2Ь2 + ...+ д:'' 2аЬп~1 + Ьп
4 ' 1! 2! (п — 1)!
(бином Ньютона).
2. а) Проверьте, что Z и Q—индуктивные множества.
Ь) Приведите примеры индуктивных множеств, отличных от N, Z, Q, К.
3. Покажите, что любое индуктивное множество не ограничено сверху.
4. а) Любое индуктивное множество бесконечно (т. е. равномощно своему
подмножеству, отличному от него самого).
Ь) Множество Еп = {я € N | х п} конечно (cardEn обозначают через п).
5. а) Алгоритм Евклида. Пусть т, п € N и т > п. Наибольший общий де-
литель (НОД(т, п) = d € N) можно за конечное число шагов найти, пользуясь
следующим алгоритмом Евклида последовательного деления с остатком:
т — qin + Г1
n = q2Ti + т2
Г1 = <7зП> + г3
(тх < п),
(Г2 < Г1),
(гз < г2),
г k-l = <1к+1Гк + о,
И d = Гк-
Ь) Если d = НОД(т,п), то можно подобрать числа р, q € Z так, что
pm + qn = d; в частности, если т, п взаимно просты, то pm + qn = 1.
6. Попробуйте самостоятельно доказать основную теорему арифметики
(формулировка в тексте § 2, п. 2а).
7. Если произведение т п натуральных чисел делится на простое число р,
т. е. т п = р • к, где к € N, то либо т, либо п делится на р.
8. Из основной теоремы арифметики следует, что множество простых чи-
сел бесконечно.
9. Покажите, что если натуральное число п не имеет вида кт, где к, т € N,
то уравнение хт = п не имеет рациональных корней.
10. Покажите, что запись рационального числа в любой q-ичной системе
счисления периодична, т.е., начиная с некоторого разряда, состоит из перио-
дически повторяющейся группы цифр.
11. Иррациональное число а € К назовем хорошо приближаемым рацио-
нальными числами, если для любых натуральных чисел п, N € N существует
рациональное число 2 такое, что |а — || <
а) Постройте пример хорошо приближаемого иррационального числа.
78
ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
Ь) Докажите, что хорошо приближаемое иррациональное число не может
быть алгебраическим, т.е. оно трансцендентно (теорема ЛиувилляУ1).
12. Зная, что по определению дроби := т • п-1, где т € Z, п € N,
вывести «правила» сложения, умножения, деления дробей, а также условие ра-
венства двух дробей.
13. Проверьте, что рациональные числа Q удовлетворяют всем аксиомам
действительных чисел, кроме аксиомы полноты.
14. Принимая геометрическую модель множества действительных чи-
сел— числовую ось, покажите, как в этой модели строить числа а + Ь, а — Ь,
ab, ±
15. а) Проиллюстрируйте аксиому полноты на числовой оси.
Ь) Докажите, что принцип верхней грани эквивалентен аксиоме полноты.
16. а) Если А с В с К, то sup А С sup В, a inf А inf В.
Ь) Пусть К D X / 0 и К D Y / 0. Если Va; € X и Vy € У выполнено
х С у, то X ограничено сверху, Y— снизу и supX sj inf У.
с) Если множества X, У из Ь) таковы, что X U У = R, то supX = inf У.
d) Если X, У—множества, определенные в с), то либо ЗтпахХ, либо
ЗшшУ (теорема Дедекинда).
е) (Продолжение.) Покажите, что теорема Дедекинда эквивалентна акси-
оме полноты.
17. Пусть А + В — множество чисел вида а + b и А В — множество чисел
вида а Ь, где а € А С К и Ь € В С К. Проверьте, всегда ли
a) sup(A + В) — sup А + sup В;
b) sup(A В) = sup А sup В.
18. Пусть —А есть множество чисел вида —а, где а € А С К. Покажите,
что sup(—А) = — inf А.
19. а) Покажите, что уравнение хп = а при п € N и а > 0 имеет положи-
тельный корень (обозначаемый у/a или а1/”).
Ь) Проверьте, что при а > О, Ь> 0 и п, m€ N
\/ab = tfa- Vb и = пД/а.
с) (а1/”)”1 = (а”1)1/” =: ат/п и а1/” • а1/”1 = а1/п+1/т.
d) (ат/п)~х = (а-1)т/п =: а~т/п.
е) Покажите, что для любых п, тг € Q
аГ1 аГ2 = аГ1+г2 и (аГ1)Г2 = аГ1Г2.
20. а) Покажите, что отношение включения есть отношение частичной (но
не полной!) упорядоченности множеств.
^Ж. Лиувилль (1809-1882)—французский математик; работы по комплексному
анализу, геометрии, дифференциальным уравнениям, теории чисел, механике.
§ 2. ВАЖНЕЙШИЕ КЛАССЫ ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
79
Ь) Пусть А, В, С — такие множества, что А с С, В с. С, А \ В 0 и
В\А 0. Частичный порядок в этой тройке введем, как в а). Укажите макси-
мальный и минимальные элементы множества {А, В, С}. (Обратите внимание
на неединственность!)
21. а) Покажите, что так же, как и множество Q рациональных чисел,
множество Q(\/n) чисел вида а + by/п, где a, b € Q, а п — фиксированное на-
туральное число, не являющееся квадратом целого числа, есть упорядоченное
поле, удовлетворяющее принципу Архимеда, но не удовлетворяющее аксиоме
полноты.
Ь) Проверьте, какие из аксиом действительных чисел не будут удовлетво-
ряться для Q(\Ai), если в <0(Уп) оставить прежние арифметические операции,
а отношение порядка ввести по правилу (а + by/п а' + Ь'у/п) := ((6 С b')V
V((& = 6') А (а С а'))). Будет ли тогда для Q(-\/n) выполнен принцип Архимеда?
с) Упорядочите множество Р[ж] многочленов с рациональными или дей-
ствительными коэффициентами, считая
Рт(х) = ао + а,1Х + ... + атхт >~ 0, если ат > 0.
d) Покажите, что множество О(т) всех рациональных дробей
_ а0 + а^х + ... + amTm
Кт,п — ; г : г ~
bo + 01Х + ... + Ьпхп
с коэффициентами из Q или из К после введения в нем порядка Rm,n 0, если
> 0, и обычных арифметических операций становится упорядоченным, но
не архимедовым полем. Это означает, что принцип Архимеда не может быть
выведен из аксиом К, минуя аксиому полноты.
22. Пусть n G N и n > 1. В множестве Еп = {0,1,... ,п} определим сум-
му и произведение элементов как остаток от деления на п «обычной» суммы
и произведения этих чисел в Ж Множество Еп с так определенными в нем
операциями обозначают символом Zn.
а) Покажите, что если п не простое число, то в Zn есть такие отличные
от нуля числа т, к, что т • к = 0. (Такие числа называются делителями нуля.)
Это значит, что из а • b = с Ь даже при Ь 0 в Zn не следует, что а = с.
Ь) Покажите, что при простом р в Zp отсутствуют делители нуля и Zp
есть поле.
с) Покажите, что ни при каком простом р поле Zp нельзя упорядочить так,
чтобы этот порядок был согласован с арифметическими операциями Zp.
23. Покажите, что если К и К' — две модели множества действительных
чисел,а/: К-> К'—такое отображение, что f(x + y) = f(x) + f(y) и f(x-y) =
= f(x) f(y) для любых х, у € К, то:
а) /(0) = О';
b) /(1) = 1', если /(а;) О', что мы дальше будем считать выполненным;
с) /(m) = m'i гДе т € Z и т' € Z', причем отображение /: Z —> Z'
биективно и сохраняет порядок;
80 ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
d) f (^) = где т, п € Z, п / 0, т', п' € Z', п' / О', /(т) = т',
f(n) = п'. Таким образом, /: Q -» О' есть сохраняющая порядок биекция.
е) f: К -» R' есть биективное, сохраняющее порядок отображение.
24. Опираясь на предыдущую задачу и аксиому полноты, покажите, что
аксиоматика множества действительных чисел определяет его полностью с
точностью до изоморфизма (до способа реализации), т.е. что если К и К' —
два множества, удовлетворяющие аксиоматике, то существует взаимно одно-
значное отображение ft К -> Ж7, сохраняющее арифметические операции и
порядок: f(x + y) = /(а?) + /(г/), f(x-y) = f(x)-f(y) и (ж О) (/(ж) < /(!/))•
25. В ЭВМ число х представляется в виде
где р—порядок х, а М = —мантисса числа х (i < М < 1).
„ 1 ап ' ч f
П=1 Ч
При этом машина оперирует только с определенным диапазоном чисел:
при q = 2 обычно |р| 64, а к = 35. Оцените этот диапазон в десятичной
системе.
26. а) Напишите таблицу умножения (размера 6x6) для шестеричной
системы счисления.
Ь) Пользуясь результатом задачи а), перемножьте «столбиком» в шесте-
ричной системе
(532)б
Х (145)6
и проверьте свои действия, повторив вычисления в десятичной системе.
с) Поделите «уголком»
(1301)6|(25)6
и проверьте свои действия, повторив вычисления в десятичной системе.
d) Проведите сложение «столбиком»
(4052)б
(3125)6
27. Запишите (100)ю в двоичной и троичной системах.
28. а) Покажите, что наряду с единственностью записи целого числа в
виде
(«„«„_!... а0)з,
где «г € {0,1,2}, возможна и также единственна его запись в виде
(/Зп/Зп-1 • • /?о)з,
где /3 е {-1,0,1}.
§ 3. ОСНОВНЫЕ ЛЕММЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПОЛНОТОЙ R
81
Ь) Каково наибольшее число монет, из которых тремя взвешиваниями на
чашечных весах можно выделить одну фальшивую, если известно только, что
она отличается от остальных монет по весу?
29. Какое наименьшее количество вопросов с ответами «да» или «нет» надо
задать, чтобы узнать любой из семизначных телефонных номеров?
30. а) Сколько различных чисел можно задать с помощью 20 десятичных
знаков (например, два разряда по 10 возможных знаков в каждом)? Тот же
вопрос для двоичной системы. В пользу экономичности какой из этих систем
говорит сравнение результатов?
Ь) Оцените количество различных чисел, которые можно записать, распо-
лагая п знаками g-ичной системы. (Ответ: qn/4.)
с) Нарисуйте график функции /(т) = хп/х над множеством натуральных
значений аргумента и сравните экономичность различных систем счисления.
§ 3. Основные леммы, связанные с полнотой
множества действительных чисел
Здесь мы установим несколько простых полезных принципов, каж-
дый из которых можно было бы положить в основу построения теории
вещественных чисел в качестве аксиомы полноты1).
Эти принципы мы назвали основными леммами в соответствии с
их широким использованием во всевозможных доказательствах теорем
анализа.
1. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши - Кантора)
Определение 1. Функцию f: N —> X натурального аргумента
называют последовательностью или, полнее, последовательностью
элементов множества X.
Значение f(n) функции f, соответствующее числу п G N, часто обо-
значают через хп и называют п-м членом последовательности.
Определение 2. Пусть Xi, Х2, ,Хп,... —последовательность
каких-то множеств. Если Х± D X? D ... D Хп D ..., т. е. Vn G N
(Xn D Xn+i), то говорят, что имеется последовательность вложенных
множеств.
Лемма (Коши - Кантор). Для любой последовательности Д D
D /г Э ... D /п Э ... вложенных отрезков найдется точка с £ I,
принадлежащая всем этим отрезкам.
^См. задачу 4 в конце параграфа.
4-4573
82
ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
Если, кроме того, известно, что для любого £ > 0 в последова-
тельности можно найти отрезок Ц, длина которого |Д| < е, то с~
единственная общая точка всех отрезков.
◄ Заметим прежде всего, что для любых двух отрезков 1т = [o,m, Ьт],
In = [оп>М нашей последовательности имеет место ат < Ьп. Действи-
тельно, в противном случае мы получили бы ап Ьп < ат Ьт, т.е.
отрезки 1т, 1п не имели бы общих точек, в то время как один из них
(имеющий больший номер) должен содержаться в другом.
Таким образом, для числовых множеств А = {ат | т G N}, В =
= {6П | п G N} выполнены условия аксиомы полноты, в силу которой
найдется число с 6 R такое, что Vam G A, £ В выполнено ат < с
Ьп. В частности, ап с Ьп для любого п £ N. Но это и означает,
что точка с принадлежит всем отрезкам 1„.
Пусть теперь щ и С2 — две точки, обладающие этим свойством. Если
они различны и, например, щ < С2, то при любом п £ N имеем ап щ <
< С2 Ьп, поэтому 0 < С2 — С[ < Ьп — аи и длина каждого отрезка нашей
последовательности не может быть меньше положительной величины
С2 — ci. Значит, если в последовательности есть отрезки сколь угодно
малой длины, то общая точка у них единственная. ►
2. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля-Лебега)
Определение 3. Говорят, что система S = {X} множеств X по-
крывает множество Y, если Y С (J Х,(т. е. если любой элемент у
XES
множества Y содержится по крайней мере в одном из множеств X си-
стемы S).
Подмножество множества S = {X}, являющегося системой мно-
жеств, будем называть подсистемой системы S. Таким образом, под-
система системы множеств сама является системой множеств того же
типа.
Лемма (Борель-Лебег1)). В любой системе интервалов, покры-
вающей отрезок, имеется конечная подсистема, покрывающая этот
отрезок.
^Э. Борель (1871 -1956), А. Лебег (1875 - 1941) -известные французские матема-
тики, специалисты в области теории функций.
§ 3 ОСНОВНЫЕ ЛЕММЫ, СВЯЗАННЫЕ С ПОЛНОТОЙ R
83
◄ Пусть S = {[/}—система интервалов U, покрывающая отрезок
[a, b] = Ji. Если бы отрезок Д не допускал покрытия конечным набором
интервалов системы S, то, поделив Д пополам, мы получили бы, что по
крайней мере одна из его половинок, которую мы обозначим через I?,
тоже не допускает конечного покрытия. С отрезком I? проделаем ту
же процедуру деления пополам, получим отрезок I3 и т.д.
Таким образом, возникает последовательность Д D I? D ... D In D
D ... вложенных отрезков, не допускающих конечного покрытия интер-
валами системы S. Поскольку длина отрезка, полученного на п-м ша-
ге, по построению равна \1п\ = |Л| 2~п, то в последовательности {1п}
есть отрезки сколь угодно малой длины (см. лемму из §2, п. 4с). По
лемме о вложенных отрезках существует точка с, принадлежащая всем
отрезкам In, п G N. Поскольку с G Д = [а, 6], то найдется интервал
]а,/3[ = U G S системы S, содержащий точку с, т. е. а < с < /3. Пусть
£ = min{c — а,/3 — с}. Найдем в построенной последовательности та-
кой отрезок 1п, что |/п| < е. Поскольку с G 1п и |1п| < е, заключаем,
что In С U — ]а, /3[. Но это противоречит тому, что отрезок 1п нельзя
покрыть конечным набором интервалов системы. ►
3. Лемма о предельной точке (принцип Больцано — Вейер-
штрасса). Напомним, что окрестностью точки х Е R мы назвали ин-
тервал, содержащий эту точку; 5-окрестностью точки х —интервал
]ж — 6, х + 5[.
Определение 4. Точка р Е R называется предельной точкой мно-
жества X С R, если любая окрестность этой точки содержит бесконеч-
ное подмножество множества X.
Это условие, очевидно, равносильно тому, что в любой окрестности
точки р есть по крайней мере одна не совпадающая с р точка множе-
ства X. (Проверьте!)
Приведем несколько примеров.
Если X = { 6 R | n G , то предельной для X является только
точка О Е R.
Для интервала ]а, Ь[ предельной является каждая точка отрезка [а, Ь],
и других предельных точек в этом случае нет.
Для множества Q рациональных чисел предельной является каждая
точка К, ибо, как мы знаем, в любом интервале вещественных чисел
имеются рациональные числа.
84
ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
Лемма (Больцано-Вейерштрасс1)). Всякое бесконечное ограни-
ченное числовое множество имеет по крайней мере одну предельную
точку.
◄ Пусть X — данное подмножество R. Из определения ограничен-
ности множества X следует, что X содержится в некотором отрезке
[a, b] = I С R. Покажем, что по крайней мере одна из точек отрезка I
является предельной для X.
Если бы это было не так, то каждая точка х G I имела бы ок-
рестность U(x), в которой либо вообще нет точек множества X, ли-
бо их там конечное число. Совокупность {[/(ж)} таких окрестностей,
построенных для каждой точки х 6 I, образует покрытие отрезка I
интервалами U(x), из которого по лемме о конечном покрытии можно
извлечь конечную систему U(яд),..., U(хп) интервалов, покрывающую
отрезок I. Но, поскольку X С /, эта же система покрывает все мно-
жество X. Однако в каждом интервале U(xi) только конечное число
точек множества X, значит, и в их объединении тоже конечное число
точек X, т.е. X—конечное множество. Полученное противоречие за-
вершает доказательство. ►
Задачи и упражнения
1. Покажите, что
а) если I — произвольная система вложенных отрезков, то
sup{a е Ж | [а, &] е /} = а (3 = inf{& е Ж | [а, &] е /} и [а, /3] = Q [а, &];
[а ,6] g/
Ь) если I — система вложенных интервалов ]а, &[, то пересечение [~| ]а, 6[
может оказаться пустым.
Указание: ]ап,&п[ = ] 0, [.
2. Покажите, что
а) из системы отрезков, покрывающей отрезок, не всегда можно выделить
конечную подсистему, покрывающую этот отрезок;
Ь) из системы интервалов, покрывающей интервал, не всегда можно вы-
делить конечную подсистему, покрывающую этот интервал;
с) из системы отрезков, покрывающей интервал, не всегда можно выделить
конечную подсистему, покрывающую этот интервал.
^Б. Больцано (1781 -1848) — чешский математик и философ; К. Вейерштрасс
(1815 -1897) —немецкий математик, уделявший большое внимание логическому обо-
снованию математического анализа.
§ 4. СЧЕТНЫЕ И НЕСЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА
85
3. Покажите, что если вместо полного множества К всех вещественных
чисел взять только множество Q рациональных чисел, а под отрезком, интер-
валом и окрестностью точки г € Q понимать соответствующие подмноже-
ства Q, то ни одна из доказанных выше трех основных лемм не останется в
силе.
4. Покажите, что если в качестве аксиомы полноты множества действи-
тельных чисел взять
а) принцип Больцано-Вейерштрасса
или
Ь) принцип Бореля- Лебега,
то получится равносильная прежней система аксиом Ж.
Указание. Из а) следует принцип Архимеда и аксиома полноты в преж-
ней форме.
с) Замена аксиомы полноты принципом Коши-Кантора приводит к систе-
ме аксиом, которая становится равносильной исходной, если кроме принципа
Коши-Кантора постулировать также принцип Архимеда (см. задачу 21 пре-
дыдущего параграфа).
§4. Счетные и несчетные множества
Сейчас мы сделаем небольшое, полезное для дальнейшего добавле-
ние к тем сведениям о множествах, которые уже были изложены в гла-
ве I.
1. Счетные множества
Определение 1. Множество X называется счетным, если оно
равномощно множеству N натуральных чисел, т. е. card X = cardN.
Утверждение, а) Бесконечное подмножество счетного множе-
ства счетно.
Ь) Объединение множеств конечной или счетной системы счет-
ных множество есть множество счетное.
◄ а) Достаточно проверить, что всякое бесконечное подмножест-
во Е множества N натуральных чисел равномощно N. Нужное биектив-
ное отображение f: N —> Е построим следующим образом. В Ei := Е
имеется минимальный элемент, который мы сопоставим числу 1 6 N и
обозначим ei 6 Е. Множество Е бесконечно, поэтому Е% := Е\е\ непу-
сто. Минимальный элемент множества Е% сопоставим числу 2 и назо-
вем его 62 6 Е%. Затем рассмотрим Е3 := Е \ {ei, 62} и т. д. Поскольку
Е—бесконечное множество, то построение не может оборваться ни на
86
ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
каком шаге с номером п 6 N, и, как следует из принципа индукции,
таким способом каждому числу п G N будет сопоставлено некоторое
число еп С Е. Построенное отображение /: N —> Е, очевидно, инъек-
тивно.
Остается проверить его сюръективность, т. е. что /(N) = Е. Пусть
е 6 Е. Множество {n Е N | п е} конечно, и тем более конечно его
подмножество {n С Е | п е}. Пусть А; —-число элементов в последнем
множестве. Тогда по построению е = е^.
Ь) Если ,..., Хп,... — счетная система множеств, причем каждое
множество Хт = {х^,..., ... } само счетно, то поскольку мощность
множества X = (J Хп, состоящего из элементов ,т”г, где т, п G N,
не меньше мощности каждого из множеств Хт, то X бесконечное
множество. Элемент х^ g Хт можно отождествить с задающей его
упорядоченной парой (т, п) натуральных чисел. Тогда мощность X не
больше мощности множества таких упорядоченных пар. Но отображе-
ние f: NxN —> N, задаваемое формулой (m,?z) i—> *"' + п + 1) _^_т^
как легко проверить, биективно (оно имеет наглядный смысл: мы нуме-
руем точки плоскости с координатами (ш, ?*), последовательно переходя
от точек одной диагонали, где т + п постоянно, к точкам следующей,
где эта сумма на 1 больше).
Таким образом, множество упорядоченных пар (?п, п) натуральных
чисел счетно. Но тогда card.Y Y cardN и, поскольку X—бесконечное
множество, на основании доказанного в а) заключаем, что card.Y =
= card N. ►
Из доказанного утверждения следует, что любое подмножество
счетного множества либо конечно, либо счетно. Если про множество
известно, что оно либо конечно, либо счетно, то говорят, что оно не
более чем счетно (равносильная запись: cardX Y cardN).
Мы можем, в частности, утверждать теперь, что объединение не
более чем счетного семейства не более чем счетных множеств само
не более чем счетно.
Следствия. 1) cardZ = cardN.
2) card № = card N.
Этот результат означает, что прямое произведение счетных мно-
жеств счетно.
3) cardQ = cardN, т. е. множество рациональных чисел счетно.
§ 4 СЧЕТНЫЕ И НЕСЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА
87
◄ Рациональное число задается упорядоченной парой (т,п) це-
лых чисел.
Две пары (m, n), (т', п') задают одно и то же рациональное число в
том и только в том случае, когда они пропорциональны. Таким обра-
зом, выбирая каждый раз для записи рационального числа единствен-
ную пару (т, п) с минимальным возможным натуральным знаменате-
лем п 6 N, мы получим, что множество Q равномощно некоторому
бесконечному подмножеству множества Z х Z. Но cardZ2 = cardN и,
значит, card Q = card N. ►
4) Множество алгебраических чисел счетно.
◄ Заметим сначала, что из равенства card Q х Q = card N по индук-
ции получаем, что для любого k G N выполнено card = card N.
Элемент г G QA есть упорядоченный набор (п,..., г^) к рациональ-
ных чисел.
Алгебраическое уравнение степени к с рациональными коэффициен-
тами можно записать в приведенном виде хк + rixk~l + ... + = 0, где
коэффициент при старшей степени равен 1. Таким образом, различных
алгебраических уравнений степени к столько же, сколько различных
упорядоченных наборов (п,... , п,) рациональных чисел, т.е. счетное
множество.
Алгебраических уравнений с рациональными коэффициентами (про-
извольных степеней) тоже счетное множество как счетное объединение
(по степеням) счетных множеств. У каждого такого уравнения лишь ко-
нечное число корней, значит, множество алгебраических чисел не более
чем счетно. Но оно бесконечно и, значит, счетно. ►
2. Мощность континуума
Определение 2. Множество R действительных чисел называют
также числовым континуумом1^, а его мощность — мощностью кон-
тинуума.
Теорема (Кантор). cardN < card®.
Теорема утверждает, что бесконечное множество R имеет мощность
большую, чем бесконечное множество N.
Continuum (лат ) — непрерывное, сплошное
88
ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
◄ Покажем, что уже множество точек отрезка [0,1] несчетно.
Предположим, что оно счетно, т. е. может быть записано в виде
последовательности xi,X2, ,хп,... Возьмем точку xi и на отрезке
[0,1] = /0 фиксируем отрезок ненулевой длины, не содержащий точ-
ку xi. В отрезке Д строим отрезок I2, не содержащий Х2, и если уже
построен отрезок 1п, то, поскольку |/п| > 0, в нем строим отрезок 1п+1
так, что Тп+1 1п+1 и |Лн-1| > 0- По лемме о вложенных отрезках най-
дется точка с, принадлежащая всем отрезкам То, Д,..., 1п,... Но эта
точка отрезка /о = [0,1] по построению не может совпадать ни с одной
из точек последовательности xi, х^,..., хп,... ►
Следствия. 1) Q R и существуют иррациональные числа.
2) Существуют трансцендентные числа, поскольку множество
алгебраических чисел счетно.
(После решения задачи 3, помещенной в конце параграфа, читатель,
наверное, захочет переиначить последнее утверждение и сформулиро-
вать его так: «В множестве действительных чисел иногда встречаются
также и алгебраические числа».)
Уже на заре теории множеств возник вопрос о том, существуют ли
множества промежуточной мощности между счетными множествами и
множествами мощности континуума, и было высказано предположение,
называемое гипотезой континуума, что промежуточные мощности от-
сутствуют.
Вопрос оказался глубоко затрагивающим основания математики.
Он был окончательно решен в 1963 г. современным американским мате-
матиком П. Коэном. Коэн доказал неразрешимость гипотезы контину-
ума, показав, что и она сама, и ее отрицание порознь не противоречат
принятой в теории множеств аксиоматике, а потому гипотеза конти-
нуума не может быть ни доказана, ни опровергнута в рамках этой ак-
сиоматики,— ситуация, вполне аналогичная независимости пятого по-
стулата Евклида о параллельных от остальных аксиом геометрии.
Задачи и упражнения
1. Покажите, что множество всех действительных чисел равномощно мно-
жеству точек интервала ] — 1,1[.
2. Установите непосредственно взаимно однозначное соответствие между
а) точками двух интервалов;
Ь) точками двух отрезков;
§ 4. СЧЕТНЫЕ И НЕСЧЕТНЫЕ МНОЖЕСТВА
89
с) точками отрезка и интервала;
d) точками отрезка [0,1] и множеством Ж.
3. Покажите, что
а) любое бесконечное множество содержит счетное подмножество;
Ь) множество четных чисел равномощно множеству всех натуральных
чисел;
с) объединение бесконечного множества и не более чем счетного множе-
ства имеет ту же мощность, что и исходное бесконечное множество;
d) множество иррациональных чисел имеет мощность континуума;
е) множество трансцендентных чисел имеет мощность континуума.
4. Покажите, что
а) множество {zzi < . } возрастающих последовательностей нату-
ральных чисел равномощно множеству дробей вида 0,од«2 • • •;
Ь) множество всех подмножеств счетного множества имеет мощность кон-
тинуума.
5. Покажите, что
а) множество Р(Х) подмножеств множества X равномощно множеству
всех функций на X со значениями 0,1, т.е. множеству отображений f: X —>
-> {0,1};
Ь) для конечного множества X из п элементов card'P(X) = 2П;
с) учитывая результаты задач 4Ь) и 5а), можно писать, что card'P(A') =
= 2cardX и, в частности, cardP(N) = 2cardN = card®;
d) для любого множества X
cardX < 2cardX, в частности, п < 2П при любом п g N.
Указание. См. теорему Кантора в п. 1 § 4, гл. I.
6. Пусть Xi,..., Хт —конечная система конечных множеств. Покажите,
что
(т \
U = card Хг1 —
1=1 / г±
- 5? card(XZ1 ПХ,2) + 5? card(Xtl П Х%2 П Хгз) -
11 <12 г1<г2<г3
- ... + (-I)"1’1 card(A’1 П ... П Хт),
причем суммирование ведется по всевозможным наборам индексов в пределах
1,... ,т, удовлетворяющих указанным под знаком суммы неравенствам.
90 ГЛ. II. ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ (ВЕЩЕСТВЕННЫЕ) ЧИСЛА
7. На отрезке [0,1] с Ж изобразите множество чисел х € [0,1], троичная
запись которых х = О/чаг^з • • •, где а, € {0,1,2}, обладает свойством:
а) «1 7^ 1;
Ъ) («1 0 1) Л («2 0 1);
с) Vi € N (аг 7^ 1) (канторово множество).
8. (Продолжение задачи 7.) Покажите, что
а) множество тех чисел х € [0,1], троичная запись которых не содержит 1,
равномощно множеству всех чисел, двоичное представление которых имеет
вид 0,/31/32 • • •;
Ь) канторово множество равномощно множеству всех точек отрезка [0,1].
ГЛАВА III
ПРЕДЕЛ
Обсуждая различные стороны понятия действительного числа, мы,
в частности, отметили, что при измерении реальных физических ве-
личин получаются последовательности их приближенных значений, с
которыми затем и приходится работать.
Такое положение дел немедленно вызывает по крайней мере три сле-
дующих вопроса:
1) Какое отношение имеет полученная последовательность прибли-
жений к измеряемой величине? Мы имеем в виду математическую сто-
рону дела, т. е. мы хотим получить точную запись того, что вообще
означает выражение «последовательность приближенных значений» и
в какой мере такая последовательность описывает значение величины;
однозначно ли зто описание или одна и та же последовательность мо-
жет отвечать разным значениям измеряемой величины.
2) Как связаны операции над приближенными значениями величин
с теми же операциями над их точными значениями и чем характеризу-
ются те операции, при выполнении которых допустима подмена точных
значений величин приближенными?
3) Как по самой последовательности чисел определить, может ли она
быть последовательностью сколь угодно точных приближений значения
некоторой величины?
Ответом на эти и близкие к ним вопросы служит понятие предела
функции— одно из основных понятий анализа.
Изложение теории предела мы начнем с рассмотрения предела функ-
ций натурального аргумента (последовательностей) ввиду уже выяс-
нившейся фундаментальной роли этих функций и потому, что на самом
92
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
деле все основные факты теории предела отчетливо видны уже в этой
простейшей ситуации.
§ 1. Предел последовательности
1. Определения и примеры. Напомним следующее
Определение 1. Функция f: N —> X, областью определения ко-
торой является множество натуральных чисел, называется последова-
тельностью.
Значения f(n) функции f называются членами последовательности.
Их принято обозначать символом элемента того множества, в которое
идет отображение, наделяя символ соответствующим индексом аргу-
мента, хп := Саму последовательность в связи с этим обозначают
символом {хп}, а также записывают в виде xi, Х2, • ., хп,... и назы-
вают последовательностью в X или последовательностью элементов
множества X.
Элемент хп называется п-м членом последовательности.
Всюду дальше в ближайших параграфах будут рассматриваться
только последовательности f: N —> R действительных чисел.
Определение 2. Число А 6 R называется пределом числовой по-
следовательности {хп}, если для любой окрестности V(A) точки А
существует такой номер N (выбираемый в зависимости от V(A)), что
все члены последовательности, номера которых больше 7V, содержатся
в указанной окрестности точки А.
Ниже мы приведем формально-логическую запись этого определе-
ния, но прежде укажем другую распространенную формулировку опре-
деления предела числовой последовательности:
Число A G R называется пределом последовательности {хп}, если
для любого е > 0 существует номер N такой, что при всех п > N имеем
\хп - Л| < е.
Эквивалентность этих формулировок легко проверить (проверьте!),
если заметить, что в любой окрестности V(A) точки А содержится
некоторая г-окрестность этой же точки.
Последняя формулировка определения предела означает, что, какую
бы точность е > 0 мы ни задали, найдется номер N такой, что абсо-
лютная погрешность приближения числа А членами последовательно-
сти {хп} меньше чем е, как только п > N.
§ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
93
Запишем теперь приведенные формулировки определения предела в
логической символике, договорившись, что запись « lim хп = А» озна-
п^оо
чает, что А — предел последовательности {жп}. Итак,
и соответственно
lim хп = А) := Vs > О 37V G N Vn > N (|хп — А| < е).
,77.—>00 /
Определение 3. Если lim хп = А, то говорят, что последова-
п—>00
тельность {хп} сходится к А или стремится к А и пишут хп —> А
при п —> оо.
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся. По-
следовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 1. lim = 0, так как — 0| = ± < е при п > N =
Пример 2. lim п +1 = 1, так как п-±- - — 1 = ^ < £ при п >
п—уоо п I " I 11
Пример 3. lim fl + = 1, так как fl + — 1 = - <
П^ОО \ П ; | К п J | П
< Е при п > N = I .
Пример 4.
>«=[!].
lim
тг—>оо
sinn
п
~ 0, так как — 0 - < е при п >
1 п п
Пример 5. lim — — 0, если |<?| > 1.
п—юо qn
Проверим это по определению предела. Как было доказано в гл. II,
§ 2, п. 4с, для любого е > 0 можно найти число N G N такое, что < е.
'’[ж] — целая часть числа х\ см. следствие 10° принципа Архимеда, гл. II, § 2, п. 3.
94
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
Поскольку |</| > 1, то для любого п > N будем иметь
±-0
чп кГ
1<Г
< е и определение предела удовлетворено.
Пример 6. Последовательность 1, 2, 4, 6, ... с n-м членом
хп = n G N, —расходящаяся.
Действительно, если А — предел последовательности, то, как следу-
ет из определения предела, в любой окрестности А лежат все члены
последовательности, за исключением, быть может, конечного их числа.
Число А ф 0 не может быть пределом данной последовательности,
ибо вне е-окрестности А при е = > 0 лежат все члены нашей после-
1 1 IД1
довательности вида , , для которых < ЦД.
z/ъ ~г 1 ZK т 1 Z
Число 0 тоже не может быть пределом этой последовательности,
поскольку, например, вне единичной окрестности нуля, очевидно, тоже
имеется бесконечно много членов нашей последовательности.
Пример 7. Аналогично можно проверить, что последователь-
ность 1, —1, +1, —1,... , для которой хп = (—1)п, не имеет предела.
2. Свойства предела последовательности
а. Общие свойства. Мы выделим в эту группу те свойства, кото-
рыми обладают, как будет видно из дальнейшего, не только числовые
последовательности, хотя здесь мы эти свойства будем рассматривать
только для числовых последовательностей.
Последовательность, принимающую только одно значение, будем на-
зывать постоянной.
Определение 4. Если существуют число А и номер N такие, что
хп — А при любом n > 7V, то последовательность {хп} будем называть
финально постоянной.
Определение 5. Последовательность {хп} называется ограничен-
ной, если существует число М такое, что |xn| < М при любом п G N.
Теорема 1. а) Финально постоянная последовательность схо-
дится.
Ь) Любая окрестность предела последовательности содержит все
члены последовательности, за исключением конечного их числа.
с) Последовательность не может иметь двух различных пределов.
d) Сходящаяся последовательность ограничена.
§ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
95
◄ а) Если хп = А при п > N, то для любой окрестности У (А)
точки А имеем хп € У(А) при п > N, т.е. lim х„ = А.
71—>ОС
Ь) Утверждение непосредственно следует из определения предела
последовательности.
с) Это важнейший пункт теоремы. Пусть lim хп = Ai и lim хп =
П—>ОО 77—>00
= А2. Если Ai А?, то фиксируем непересекающиеся окрестности
У(А1), V(A2) точек Aj, А2.
В качестве таковых можно взять, например, 6-окрестности этих то-
чек при 6 < |Ai — А21- По определению предела найдем числа TVi и N2
так, что Vn > TVi (хп Е V(Ai)) и Vn > N2 (ж„ G У(Аг)). Тогда при
п > max{7Vi,7V2} получим хп € V(Ai) А У(Аг). Но это невозможно,
поскольку У(А]) A V(A2) = 0.
d) Пусть lim хп = А. Полагая в определении предела £ = 1, найдем
п—>оо
номер N такой, что Vn > N — А| < 1). Значит, при п > N имеем
|хп| < |А| + 1. Если теперь взять М > тах{|ад |,..., |a?n|, |А| + 1}, то
получим, что Vn > N (|xn| < М). ►
Ь. Предельный переход и арифметические операции
Определение 6. Если {т„}, {уп}—две числовые последователь-
ности, то их суммой, произведением и частным (в соответствии с об-
щим определением суммы, произведения и частного функций) называ-
ются соответственно последовательности
{(хП+Уп)}, {(xv • уп)}, —
I \ Уп ) J
Частное, разумеется, определено лишь при уп ф 0, п Е N.
Теорема 2. Пусть {ж„}, {уп} -числовые последовательности.
Если lim хп — A, lim уп = В, то
7Ы0С 71—>ОО '
a) lim (хп + Уп) = А + В;
77—>00
b) lim хп Уп = А • В;
П—tOG
с) lim ~ если уп ф 0 (п = 1,2,...) «В^О.
п->оо В
◄ В качестве упражнения воспользуемся уже известными нам (см.
гл. II, § 2, п. 4) оценками абсолютных погрешностей, возникающих при
арифметических операциях с приближенными значениями величин.
96
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
Положим |А — хп\ = Д(жп), \В — уп\ = А(,Уп)- Тогда для случая а)
имеем
|(А + В) - (хп + у„)| < Д(жп) + Д(уп).
Пусть задано число £ > 0. Поскольку lim хп = А, найдется но-
п—>оо
мер N' такой, что Vn > N' (Д(жп) < е/2). Аналогично, поскольку
lim уп = В, найдется номер N" такой, что Vn > N" (Д(уп) < е/2).
п—>оо
Тогда при n > max{jV', N"} будем иметь
|(А + В) — (хп + уп)\ < е,
что в соответствии с определением предела доказывает утверждение а).
Ь) Мы знаем, что
|(А • В) - (хп уп)\ < |ж„|Д(у„) + |уп|Д(жп) + Д(жп) • Д(уп).
По заданному е > 0 найдем числа N' и N" такие, что
Уп: ,N (Д(ж„) .min^l, 3(|В| + 1)
Vn > N (д(у„) ^min^l, 3(|л| + 1)
Тогда при п > N = max-fA7, N"} будем иметь
|ж„| < |А| + Д(ягп) < |А| + 1,
|уп| < |В| + ды < |В| +1,
Д(ж„) • Д(уп)
Е
3’
Таким образом, при п > N
К|ДЫ < (|А| +1) • з([л| + -з,
|у„|Д(Ж„) < (|В| + 1) • 3(|В| + 1) = 3,
Д(а?п) • Д(уп) < —,
О
поэтому \АВ — хпуп\ < е при п > N.
§ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
97
с) Воспользуемся оценкой
^4. хп
В Уп
l^nl А(?/п)^ + \Уп|^(а-п) 1
1 - %п)’
Уп
где 8(уп) = ^1.
При заданном £ > 0 найдем числа N' и N" так, что
Vn > N'
Vn > N"
Тогда при п > max{7V', N"} будем иметь
|ж„| < |А| + Д(жп) < |А| + 1,
ш > |В| - Д(У„) > |В| - Ф > ф,
Li
1 2
\Уп\ < |В|’
A(j/„) |В|/4 _ 1
|Уп| |В|/2 2’
1 ЦУп) >
Li
поэтому
*1 2 —,
KI • A(y„) < (|А| + 1) • Д2 • 16(Ц| + 1) = 4’
и, следовательно,
А
В
•&П
Уп
при п > N. ►
98
I'd III ПРЕДЕЛ
Замечание. Формулировка теоремы допускает и другой, менее
конструктивный путь доказательства. вероятно, известный читателю
по школьному курсу начал анализа Мы напомним его, когда будем го-
ворить о пределе произвольных функций. Ни здесь, рассматривая пре-
дел последовательности, нам хотелось обратить внимание на то, как
именно по ограничениям на погрешнее гь результата арифметической
операции ищутся допустимые погрешности значений величин, над ко-
торыми эта операция производится.
с. Предельный переход и неравенства
Теорема 3. а) Пусть {лп}. {уп} дв< ( годящиеся последователь-
ности, причем lim лп = A, Inn уп - В. Если А < В. то найдется
п^-оо п-аэо'
номер N Е N такой, что при люОом и "> /\ выполнено неравенство
хп < Уп-
Ь) Пусть последовательности {а„}. {(/„}. {} таковы, что при
любом п > N Е N имеет место соотношение хп <С zn. Если при
этом последовательности {тп}, сгодятся к одному и тому же
пределу, то последовательность {уп} также (лодится и к этому же
пределу.
◄ а) Возьмем число С такое, что А С В По определению
предела найдем числа N1 и N" так. чтобы при любом п > N1 иметь
\хп — А| < С — А и при любом п > N" иметь \уп — В\ < В С. Тогда при
п > N = ma,x{N', N"} получим < А + (С —А) = С = В — (В — С) < уп.
Ь) Пусть lim хп — lim zn = А. По с > 0 найдем числа N1 и N"
пэх п—юо
так, чтобы при любом п > N1 иметь А — t < ,гп и при любом п >
> N" иметь zn < А + е. Тогда при п > N = шах {Лф N"} получим
А - е < хп уп zn < А + е или \уп - А| < е, т. е. А = lim уп. ►
7/—>0О
Следствие. Пусть lim хп -- А и lim у„ — В.
п—>ОС П~А УС ‘
Если существует номер N такой, что при любом п > N
а) хп > уп, то А В;
Ь) хп уп, то А ф В-
с) хп > В, то А В;
d) хп В, то А В.
◄ Рассуждая от противного, из пункта а) теоремы немедленно по-
лучаем первые два утверждения. Третье и четвертое утверждения суть
частные случаи первых двух, получающиеся при уп = В. ►
§ 1 ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
99
Стоит заметить, что строгое неравенство в пределе может перейти
в равенство. Например, ± > 0 при любом п G N, но lim = 0.
тг->оо “
3. Вопросы существования предела последовательности
а. Критерий Коши
Определение 7. Последовательность {хп} называется фундамен-
тальной (или последовательностью Коши^), если для любого числа
е > 0 найдется такой номер N G N, что изn>^иm>^ следует
|^т ^-тг| < £•
Теорема 4 (критерий Коши сходимости последовательности). Чи-
словая последовательность сходится тогда и только тогда, когда
она фундаментальна.
◄ Пусть lim хп — А. По числу е > 0 найдем номер N так, чтобы
при п > N иметь \хп — А| < |. Если теперь т > N и п > N, то
\хт ~ £п| < \хт ~ + \хп — А|<| + |= еи, таким образом, проверено,
что сходящаяся последовательность фундаментальна.
Пусть теперь {.щ/} фундаментальная последовательность. По за-
данному £ > 0 найдем номер N такой, что изт} N ик} N следует
|жт — < |- Фиксировав т = N, получаем, что при любом k > N
XN - - < Хк < XN + -, (1)
О о
но поскольку имеется всего конечное число членов последовательно-
сти {лп} с номерами, не превосходящими 7V, то мы доказали, что фун-
даментальная последовательность ограничена.
Для п G N положим теперь ап := inf хк, bn := supa?^.
k^n
Из этих определений видно, что ап ^п+1 Ьп (поскольку
при переходе к меныпему множеству нижняя грань не уменьшается,
а верхняя не увеличивается). Последовательность вложенных отрезков
[ап,6п] имеет, по лемме о вложенных отрезках, общую точку А.
^Последовательности Коши ввел Больцано, пытавшийся, не располагая точным
понятием вещественного числа, доказать сходимость фундаментальной последова-
тельности. Коши дал такое доказательство, приняв за очевидное принцип вложенных
отрезков, обоснованный впоследствии Кантором.
100
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
Поскольку при любом п G N
О-П 'С 'С
а при к п
ап = inf хк < хк < sup.rA. = bn,
к^п
то при к п имеем
|А ж^| Ьп ап. (2)
Но из (1) следует, что при п > N
XN - Л lni Xk = ап < Ьп = supZfc < xN + -,
о к^п к^п 3
поэтому при п > т
L 2е
Пп О-n о < (3)
о
Сравнивая (2) и (3), находим, что при любом к > N
|А — rr/J < £,
и мы показали, что lim хк = А. ►
к—>оо
Пример 8. Последовательность (—1)” (n = 1,2,...) не имеет пре-
дела, поскольку она не является фундаментальной. Хотя это и очевид-
но, но все же проведем формальную проверку. Отрицание утверждения,
что последовательность {ж„} фундаментальная, выглядит так:
Зе > 0 VX G N Bn > N Вт > N (|жт — хп\ ^ £),
т. е. найдется £ > 0 такое, что при любом N G N найдутся числа п, т,
большие 7V, для которых \хт — хп\ Е.
В нашем случае достаточно положить е = 1. Тогда при любом N G N
будем иметь |ждг+1 — ждг+21 = |1 — (—1)| = 2 > 1 = е.
Пример 9. Пусть
xi = 0, Ж2 = 0,а1, жз = 0,aia2, , хп = 0,а^а2 ап, ...
— некоторая последовательность конечных двоичных дробей, причем
каждая следующая дробь получается дописыванием знака 0 или 1 к
§ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
101
предыдущей. Покажем, что такая последовательность всегда сходится.
Пусть т > п. Оценим разность хт — хп:
Таким образом, подобрав по заданному £ > 0 число N так, что <
< е для любых т > п > N, получаем оценку \хт — хп\ < < £,
доказывающую фундаментальность последовательности {ж„}.
Пример 10. Рассмотрим последовательность {жп}, где
, 1 1
— 1 + - + ... Н—.
2 п
Поскольку для любого п G N
, , 1 111
\Х2п ~ Хп\ = -— + . . . + -,- > П • — = -,
п + 1 п + п 2п 2
то в силу критерия Коши эта последовательность не имеет предела.
Ь. Критерий существования предела монотонной последо-
вательности
Определение 8. Последовательность {ж„} называется возраста-
ющей, если Vn 6 N (хп < xn+i); неубывающей, если Vn 6 N (хп
жп_|_1); невозрастающей, если Vn G N (хп жп+1); убывающей, если
Vn G N (хп > Жп+1). Последовательности этих четырех типов называют
монотонными последовательностями.
Определение 9. Последовательность {ж„} называется ограничен-
ной сверху, если существует число М такое, что Vn G N < М).
Аналогично определяется последовательность, ограниченная снизу.
Теорема 5 (Вейерштрасс). Для того чтобы неубывающая после-
довательность имела предел, необходимо и достаточно, чтобы она
была ограниченной сверху.
102
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
◄ То, что любая сходящаяся последовательность ограничена, было
доказано при рассмотрении общих свойств предела последовательно-
сти, поэтому интерес представляет только второе утверждение тео-
ремы.
По условию множество значений последовательности {а?п} ограни-
чено сверху, значит, оно имеет верхнюю грань s = sup хп.
neN
По определению верхней грани, для любого г > 0 найдется элемент
Хм € {а?п} такой, что s — е < хм я. Поскольку последовательность
неубывающая, при любом п > N теперь получаем s — е < хм
хп з, т.е. |s — жп| = s — хп < е. Таким образом, доказано, что
lim хп = s. ►
п>оо
Разумеется, аналогичную теорему можно сформулировать и дока-
зать для невозрастающей последовательности, ограниченной снизу.
В этом случае lim хп = inf хп.
п—>оо
Замечание. Ограниченность сверху (снизу) неубывающей (невоз-
растающей) последовательности на самом деле, очевидно, равносильна
ограниченности этой последовательности.
Рассмотрим несколько полезных примеров.
Пример 11. lim — = 0, если q > 1.
п- qn
◄ Действительно, если хп = то хп.± । = п^1хп, п € N. Посколь-
ку lim = lim fl + | = lim fl + • lim 1 = ] 1 = 1 < 1
пчоо n(l n->oo \ " 7 Ч п->эо\ "7 n-чоо ч Ч Ч '
то найдется номер N такой, что при п > N будет < 1. Таким
образом, при п > N будем иметь < хп. т.е. после члена х.м наша
последовательность монотонно убывает. Поскольку конечное число чле-
нов последовательности, как видно из определения предела, не влияет
на сходимость последовательности и ее предел, то достаточно теперь
найти предел последовательности тлдл > .гдл? >
Члены последовательности положительны, т. е. последовательность
ограничена снизу. Значит, она имеет предел.
Пусть х — lim х„. Из соотношения — п-£ 1 хп теперь следует
у , \ v (п+Х \ г n + 1 г 1
X = 11Ш (гГн+1) — 11Ш -----Хп ~~ 11111------ • Inn хп = ~х,
п^-оо п^-сс \ nq ) пд п~хх> д
откуда находим fl — 0 х ~ 0 и х — 0. ►
§ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
103
Следствие 1. lim у/п = 1.
п—>оо
◄ При фиксированном е > 0 по доказанному найдется N G N такое,
что при п > N будем иметь 1 п < (1 + е)п. Тогда при п > N получим
1 у/п < 1 + Е и, значит, действительно lim у/п = 1. ►
п-»оо
Следствие 2. lim у/а = 1 при любом а > 0.
п—>оо
◄ Пусть а 1. Для любого е > 0 найдем N G N так, что при п > N
1 а < (1 + е)га, и тогда при п > N получаем 1 %/а < 1 + £, т. е.
lim = 1.
п—>00
Если 0 < а < 1, то 1 < | и
Пример 12. lim 2-=- = 0: здесь q любое действительное число,
п->оо п\
п Е N, п\ := 1 • 2 • ... • п.
I ап I
◄ Если q = 0, то утверждение очевидно. Далее, поскольку нМ =
= Ц-, то достаточно доказать утверждение для q > 0. Рассуждая в
этом случае, как и в предыдущем, замечаем, что 2r„+i = 2 ^Хп. По-
скольку множество натуральных чисел не ограничено сверху, найдется
номер N такой, что при п > N будет 0 < 2 < 1. Тогда при п >
> N будем иметь xn+i < хп и, учитывая положительность членов по-
следовательности, можно теперь гарантировать существование предела
lim хп = х. Но тогда
п->оо
г г 2 г 2 г „ л
х = пт = пт -------------хп = пт ---------- пт хп = (J • х = I). ►
п->оо п->оо п + 1 п—>00 П + 1 п—>оо
с. Число е
Пример 13. Докажем существование предела lim 1 + - .
п—>оо \ п /
Пределом в данном случае является число, обозначаемое после Эйле-
ра буквой е, столь же характерное для анализа, как для арифметики 1
или для геометрии л. К нему мы еще неоднократно будем возвращаться
по очень разным поводам.
Проверим сначала следующее неравенство:
(1 + a/1 1 + па при п 6 N и а > — 1
104
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
(называемое иногда неравенством Я. Бернулли1)).
◄ При п = 1 утверждение справедливо. Если оно справедливо для
п G N, то и для п + 1 тоже, поскольку тогда
(1 + a)"+1 = (1 + а)(1 + а)” (1 + а)(1 + па) =
= 1 + (п + 1)а + па2 1 + (п + 1)а.
По принципу индукции утверждение, таким образом, справедливо для
любого п G N.
Из выкладки, кстати, видно, что при а ф 0 имеет место строгое
неравенство. ►
/ .\п+1
Покажем теперь, что последовательность уп = ( 1 + —) убы-
вающая.
◄ Пусть п 2. Используя доказанное неравенство, находим, что
Уп-1 _ + ^1) п2п
Уп ~ (1 + ±)"+1 “(п2-1)"
1 Н — I -------— > I 1 —I I ----- = 1.
nz — 1J п ±1 \ nJ п + 1
Поскольку члены последовательности положительны, существует
/ ,\п+1
предел lim 1 +
п—>оо \ 'г/
Но тогда
(1 \ п / 1\” + 1 (
1-1— ) = lim (14— ) (14— I —
П J п-юо у nJ \ П)
(1 \ п+1 / 1\”+1
1-1— ) • lim ---г = lim (14— ) . ►
П / п—>оо 14--!- п-юо \ п /
' п ' '
Итак,
Определение 10.
/ 1 \ п
е := lim 1 4- .
п->оо \ “/
П Л 1 V п
7 — I 1 ---9 Г I -------7
п 4- 1 \ nz — 1J п + 1
п \ п / 1 \ п
ЧЯкоб Бернулли (1654-1705)—швейцарский математик, представитель знаме-
нитого семейства ученых Бернулли; стоял у истоков вариационного исчисления и
теории вероятностей.
§ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
105
d. Подпоследовательность и частичный предел последова-
тельности
Определение 11. Если xi,X2, • • ,хп,... —некоторая последова-
тельность, a Til < Ti2 < • • • < nfc < ... —возрастающая последователь-
ность натуральных чисел, то последовательность хП1, хП2,... ,хПк,...
называется подпоследовательностью последовательности {я?п}.
Например, последовательность 1,3,5,... нечетных натуральных
чисел, взятых в их естественном порядке, является подпоследователь-
ностью последовательности 1,2,3,... Но последовательность 3,1,5,
7,9,... уже не является подпоследовательностью последовательности
1,2,3,...
Лемма 1 (Больцано - Вейерштрасс). Каждая ограниченная после-
довательность действительных чисел содержит сходящуюся подпо-
следовательность.
◄ Пусть Е — множество значений ограниченной последовательно-
сти {тп}. Если Е конечно, то существуют по крайней мере одна точка
х € Е и последовательность п± < п? < ... номеров такие, что хП1 =
= хП2 = ... = х. Подпоследовательность {хПк} постоянна и, значит,
сходится.
Если Е бесконечно, то по принципу Больцано - Вейерштрасса оно
обладает по крайней мере одной предельной точкой х. Поскольку х —
предельная точка Е, можно выбрать ni Е N так, что |жП1 — ж| < 1. Если
Tifc G N уже выбрано так, что |тПд, — я?| < то, учитывая, что х —
предельная точка Е, найдем n^+i G N так, что тг*, < тг^+1 и |жПА+1 — я?| <
<^_
fc+Г
Поскольку lim = 0, построенная подпоследовательность хП1,
к->оо К
ХП2,... , ХПк , . . . СХОДИТСЯ К X. ►
Определение 12. Условимся писать хп —> +оо и говорить, что
последовательность {.г'п} стремится к плюс бесконечности, если для
каждого числа с найдется номер N Е N такой, что хп > с при любом
п > N.
Запишем это и два аналогичных определения в логических обозна-
чениях:
(жп +оо) := Vc Е R 31V Е N Vti > N (с < хп),
(хп -» — оо) := Vc Е R 31V Е N Vti > N (хп < с),
106
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
(хп —> оо) := Vc G R 37V G N Vn > TV (c < |.-rn|).
В последних двух случаях говорят соответственно: последователь-
ность {я?п} стремится к минус бесконечности и последовательность
{я?п} стремится к бесконечности.
Заметим, что последовательность может быть неограниченной, но
не стремиться ни к плюс, ни к минус, ни просто к бесконечности. На-
пример, хп = гб 7 .
Последовательности, стремящиеся к бесконечности, мы не причи-
сляем к сходящимся.
Легко видеть, что в соответствии с этими определениями можно
дополнить только что доказанную лемму, сформулировав ее несколько
иначе.
Лемма 2. Из каждой последовательности действительных чи-
сел можно извлечь сходящуюся подпоследовательность или подпосле-
довательность, стремящуюся к бесконечности.
◄ Новым является только тот случай, когда последовательность
{я?п} не ограничена. Тогда по k G N будем выбирать G N так, что
|жПА| > к и п^ < nfc+i- Получим подпоследовательность которая
стремится к бесконечности. ►
Пусть — произвольная последовательность действительных чи-
сел. Если она ограничена снизу, то можно рассмотреть (уже встречав-
шуюся нам при доказательстве критерия Коши) последовательность
in — inf Xk- Поскольку in «n-t-1 для любого п G N, то либо последова-
к'.>п
тельность {гп} имеет конечный предел lim in = I, либо in —> +оо.
Определение 13. Число I = lim inf Xk называется нижним пре-
n-»oo fc^n
делом последовательности {a?fc} и обозначается lim xj. или lim inf х^.
к-^оо к-^оо
Если in —> +оо, то принято говорить, что нижний предел последо-
вательности равен плюс бесконечности, и писать lim х^ = +оо или
к—>ос
lim inf = +оо. Если исходная последовательность {я?*:} не ограничена
к—юо
снизу, то при любом n Е N будем иметь in — inf х^ = — оо. В этом
к^п
случае говорят, что нижний предел последовательности равен минус
бесконечности, и пишут lim = —оо или lim inf = —оо.
fc—>оо fc—>оо
§ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
107
Итак, с учетом всех перечисленных возможностей запишем теперь
кратко определение нижнего предела последовательности {ж*,}:
lim Хк := lim inf xk-
A:->oc k:>n
Аналогично, рассматривая последовательность sn — supa?fc, прихо-
k^n
дим к определению верхнего предела последовательности {zfc}-
Определение 14.
lim хь : = lim sup./^.
Приведем несколько примеров.
Пример 14. тд. = (-1)^, к G N:
lim Xk = lim inf гд. = lim inf(—l)fc = lim ( — 1) = —1,
к--уоо n-tooh^n n-><xk^n n-too
lim Хк = lim snp.77. = lim sup( —l)fe = lim 1 = 1.
к—>oo n—>oo kyn n^oo к>п n-)oo
Пример 15. х,к = к^ , к G N:
lim /' = lim inf A?-1)* = lim 0 = 0,
к >oo « >OO/cJ;rt n-KX
lim k' = lim sup/? = lim (+00) = +00.
к—>oc n~>x k>n И-7ОО
Пример 16. x.k = к, к G N:
lim к = lim inf к = lim n = +00.
k->X П-ЛХк^П Ч-+ОО
lim к = lim sup A; = lim (+00) = +00.
к-7OC л—loo k>n n-^oa
Пример 17. x,k = к G N:
/ m / если n = 2m + 1 j
lim —-— = lim inf -—-— = lim < > = 0,
/с-700 к n-><xk^n к »i->oo I _—1— если 7i = 2m I
I n +1 )
108
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
lim —-
fc—ioo к
= lim sup —-—
n^°°k^n К
lim
если n = 2m
—г, если n = 2m + 1
n + 1 ’
= 0.
Пример
18. xk — —k2,
lim (—к2)
= lim
inf (—к2
I* л-1 '
Пример
19. хк = (—1)кк, к е N:
к е N:
lim (—1)кк = lim inf(—l)fc&= lim (—oo) = — oo,
fc-ioo n-ioofcjm n^oo
lim (—l)kk = lim sup(—l)kk = lim (+oo) = +oo.
Чтобы разобраться в происхождении терминов «верхний» и «ниж-
ний» пределы последовательности, введем следующее
Определение 15. Число (или символ —оо или +оо) называют ча-
стичным пределом последовательности, если в ней есть подпоследова-
тельность, стремящаяся к этому числу.
Утверждение 1. Нижний и верхний пределы ограниченной по-
следовательности являются соответственно наименьшим и наиболь-
шим из ее частичных пределов1^.
◄ Докажем, это, например, для нижнего предела i = lim хк. Про
к—ioo
последовательность in = inf хк нам известно, что она неубывающая
к^п
и lim in = i G R. Для чисел n G N, используя определение нижней
n—loo
грани, по индукции подберем числа кп G N так, что in Д хкп < in + 1
и кп < kn+i. Поскольку lim in = lim (in + ) = i, то, опираясь на
свойства предела, можем утверждать, что lim хк = i- Мы доказали,
п—1ОО
что i — частичный предел последовательности {.г>}. Это наименьший
частичный предел, поскольку для каждого е > 0 найдется число п G N
такое, что i — е < in, т. е. i — е < in = infхк хк при любом к п.
к^п
^При этом считаются принятыми естественные соотношения —оо < х < +оо
между символами — оо, +оо и числами .т 6 R.
§ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
109
Неравенство i — е < при к > п означает, что ни один частичный
предел нашей последовательности не может быть меньше i — е. Но е > 0
произвольно, поэтому он также не может быть меньше i.
Для верхнего предела доказательство, разумеется, аналогично про-
веденному. ►
Заметим теперь, что если последовательность не ограничена снизу,
то из нее можно выделить подпоследовательность, стремящуюся к —оо.
Но в этом случае и lim х^ = — оо и можно условиться считать, что сно-
к—>ос
ва нижний предел есть наименьший из частичных пределов. Верхний
предел при этом может быть конечным, и тогда по доказанному он
является наибольшим из частичных пределов; он может быть и бес-
конечным. Если lim Xk = +оо, то последовательность не ограничена
к—>ос
также и сверху и можно выделить подпоследовательность, стремящую-
ся к +оо. Если же lim х^ = —оо, что тоже возможно, то это означает,
k-too
что supa?fc = sn —> —оо, т. е. и сама последовательность {я^} стремится
к'->п
к -оо, ибо sn хп. Аналогично, если lim х^ = +оо, то х^ —> +оо.
к—юо
Учитывая сказанное, можно, таким образом, заключить, что спра-
ведливо
Утверждение 1'. Для любой последовательности нижний пре-
дел есть наименьший из ее частичных пределов; а верхний предел по-
следовательности— наибольший из ее частичных пределов.
Следствие 1. Последовательность имеет предел или стремит-
ся к минус или плюс бесконечности в том и только в том случае,
когда нижний и верхний пределы последовательности совпадают.
◄ Случай, когда lim х^ = lim х^ -- +оо, и случай, когда lim х^ =
k—too k-too к—too
= lim Xk = —оо, уже разобраны выше, поэтому можно считать, что
k-too
lim Zfc = lim х^ = A G R. Поскольку in = inf x^ xn supa?fc — sn
k—too k—too k^n k^n
и по условию lim in = lim sn = A, to по свойствам предела также
n—too n—toc
lim xn = A. ►
П-Ю0
Следствие 2. Последовательность сходится тогда и только то-
гда, когда сходится любая ее подпоследовательность.
110
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
◄ Нижний и верхний пределы подпоследовательности заключены
между нижним и верхним пределами самой последовательности. Если
последовательность сходится, то ее нижний и верхний пределы совпа-
дают. Тогда совпадают нижний и верхний пределы подпоследователь-
ности, откуда вытекает ее сходимость, причем, разумеется, к пределу
всей последовательности.
Обратное утверждение очевидно, поскольку в качестве подпоследо-
вательности можно взять саму последовательность. ►
Следствие 3. Лемма Больцано -Вейерштрасса как в узкой, так
и в расширенной формулировке вытекает из утверждения 1 и утвер-
ждения V соответственно.
◄ Действительно, если последовательность {ж*,} ограничена, то точ-
ки i = lim Xk и s = lim х^ конечны и по доказанному являются ча-
fc—>ос fc—
стичными пределами последовательности. Только при г = s последова-
тельность имеет лишь одну предельную точку; при i < s их уже по
крайней мере две.
Если последовательность не ограничена с какой-то стороны, то су-
ществует подпоследовательность, стремящаяся к соответствующей бес-
конечности. ►
Заключительные замечания. Мы выполнили (и даже с некото-
рым превышением) все три пункта намеченной перед началом парагра-
фа программы: дали точное определение предела последовательности,
доказали единственность предела, выяснили связь операции предельно-
го перехода со структурой множества действительных чисел, получили
критерий сходимости последовательности.
Теперь рассмотрим один специальный часто встречающийся и очень
полезный вид последовательностей — ряды.
4. Начальные сведения о рядах
а. Сумма ряда и критерий Коши сходимости ряда. Пусть
{ап}— последовательность действительных чисел. Напомним, что сум-
ч
му ар + «р+1 + • • • + a,q (р q) принято обозначать символом ап- Мы
п~р
хотим теперь придать точный смысл выражению ai + ст» + ... + ап +
+ ..., подразумевающему суммирование всех членов последовательно-
сти {ап}.
§1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
111
Определение 16. Выражение + • • + ап + • • обознача-
ем
ют символом ^2 ап и обычно называют рядом или бесконечным рядом
71=1
(чтобы подчеркнуть отличие его от суммы конечного числа слагае-
мых) .
Определение 17. Элементы последовательности {ап}, рассматри-
ваемые как элементы ряда, называют членами ряда; элемент ап назы-
вают п-м членом ряда.
п
Определение 18. Сумму sn = называют частичной сум-
А-=1
мой ряда или, когда желают указать ее номер, n-й частичной суммой
ряда1).
Определение 19. Если последовательность {sn} частичных сумм
ряда сходится, то ряд называется сходящимся. Если последователь-
ность {зп} не имеет предела, то ряд называют расходящимся.
Определение 20. Предел lim ,s„ = .s последовательности частич-
п - > СЮ
ных сумм, если он существует, называется суммой ряда.
Именно в этом смысле мы и будем в дальнейшем понимать запись
52 = л’-
п=1
Поскольку сходимость ряда равносильна сходимости последователь-
ности его частичных сумм {.sn}, то применением к {.?„} критерия Коши
сразу получается
Теорема 6 (критерий Коши сходимости ряда). Ряд ai + .. .+an + ...
сходится тогда и только тогда, когда для любого е > 0 найдется
такое число N G N, что из in п > N следует \ап + ... + ат\ < е.
Следствие 4. Если и ряде изменить только конечное число чле-
нов, то получающийся при этом новый ряд будет сходиться, если схо-
дился исходный ряд, и будет расходиться, если исходный ряд расхо-
дился.
'’Таким образом, на самом деле под рядом мы подразумеваем упорядоченную пару
({an}, {sn}) последовательностей, связанных соотношением Vn € N I sn = 53 ak )
\ k=i )
112
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
◄ Для доказательства достаточно в критерии Коши считать чи-
сло N превышающим максимальный из номеров измененных членов
ряда. ►
Следствие 5. Для того чтобы ряд + ... + ап + ... сходился,
необходимо, чтобы его члены стремились к нулю при п —> оо, т. е.
необходимо lim ап = 0.
П—>00
◄ Достаточно положить в критерии т = п и воспользоваться опре-
делением предела последовательности. ►
Вот другое доказательство: ап = sn — sn-i и, коль скоро lim sn =
П—>00
= s, имеем lim ап = lim (sn — sn-i) = lim sn — lim sn-i = s — s = 0.
n—>00 n—>00 n—>00 n—>00
Пример 20. Ряд 1 + q + q2 + • • + qn + • • часто называют суммой
бесконечной геометрической прогрессии. Исследуем его сходимость.
Поскольку |gn| = |g|n, то при |g| 1 будет |gn| 1 ив этом случае
не выполнен необходимый признак сходимости ряда.
Пусть теперь |g| < 1. Тогда
1 — пп
8п - 1 + q + • • • + qn 1 = --
1 ~Q
и lim sn = , поскольку lim qn = 0, если |g| < 1.
п~>00 1 ~ <7 п—>оо
00
Таким образом, ряд Qn l сходится тогда и только тогда, когда
п=1
< 1 и в этом случае его сумма равна у 1
Пример 21. Ряд l + | + ... + yj + ... называется гармоническим,
поскольку каждый член этого ряда, начиная со второго, является сред-
ним гармоническим соседних с ним членов (см. задачу 6 в конце этого
параграфа).
Члены ряда стремятся к нулю, но последовательность его частич-
ных сумм
, 1 1
Sn — 1 + х + -- -Н-,
2 п
как было показано с помощью критерия Коши в примере 10, расходится.
Это означает в данном случае, что sn —> +оо при п —> оо.
Итак, гармонический ряд расходится.
Пример 22. Рассмотрим теперь следующий пример.
§ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
113
Ряд 1 — 1 + 1 — ... + (—l)n+1 + ... расходится, что видно и по после-
довательности 1,0,1,0,... его частичных сумм, и по тому, что члены
ряда не стремятся к нулю.
Если расставить скобки и рассмотреть новый ряд
(1 - 1) + (1 - 1) + ... ,
членами которого являются суммы, заключенные в скобки, то этот но-
вый ряд уже сходится, причем его сумма, очевидно, равна нулю.
Если скобки расставить иначе и рассмотреть ряд
1 +(-1 + 1) +(-1 + 1) + ... ,
то получится сходящийся ряд с суммой, равной 1.
Если в исходном ряде переставить все члены, равные —1, на две
позиции вправо, то получим ряд
1 + 1 — 1 + 1 — 1 + 1 — ... ,
расставив в котором скобки, придем к ряду
(1 + 1) +(-1 + 1) +(-1 + 1) + ... ,
сумма которого равна двум.
Эти наблюдения показывают, что привычные законы обращения с
конечными суммами, вообще говоря, не распространяются на ряды.
И все-таки есть важный тип рядов, с которыми, как это потом вы-
яснится, можно обращаться так же, как с конечными суммами. Это так
называемые абсолютно сходящиеся ряды. Именно с ними мы главным
образом и будем работать.
Ь. Абсолютная сходимость; теорема сравнения и ее след-
ствия
00
Определение 21. Ряд ап называется абсолютно сходящимся,
00 П=1
если сходится ряд > , |ап|.
71=1
Поскольку |ап + .. .+ат| \ап| +.. . + |ат|, из критерия Коши следует,
что если ряд сходится абсолютно, то он сходится.
То, что обратное утверждение, вообще говоря, не имеет места, т. е.
что абсолютная сходимость есть требование более сильное, чем просто
сходимость ряда, можно продемонстрировать на примере.
5-4573
114
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
Пример 23. Ряд 1 — 1 + | — к + | — ! + •••, частичные суммы
z Z <5 о
которого равны либо либо 0, сходится к нулю.
Вместе с тем ряд из абсолютных величин его членов
, , 1111
1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + •• •
расходится, что, как и для гармонического ряда, следует из критерия
Коши:
1 1 1 1
п+1 п+1 " п + п п+п
= 2 (—- + ... + —Л > 2п--------— = 1.
\п +1 п + п/ п + п
Для того чтобы научиться отвечать на вопрос, сходится ли ряд аб-
солютно или нет, достаточно научиться исследовать на сходимость ря-
ды с неотрицательными членами. Имеет место
Теорема 7 (критерий сходимости рядов с неотрицательными чле-
нами). Ряд ai +... + ап + • • •, члены которого — неотрицательные чи-
сла, сходится тогда и только тогда, когда последовательность его
частичных сумм ограничена сверху.
Ч Это следует из определения сходимости ряда и критерия сходимо-
сти неубывающей последовательности, каковой в данном случае являет-
ся последовательность si $2 sn . частичных сумм нашего
ряда. ►
Из этого критерия вытекает следующая простая, но на практике
очень полезная
ОО 00
Теорема 8 (теорема сравнения). Пусть 53 ап, 13 —два ряда
П=1 71=1
с неотрицательными членами. Если существует номер N € N та-
кой, что при любом n > N имеет место неравенство ап Ьп, то из
00 00
сходимости ряда 53 Ьп вытекает сходимость ряда ап, а из расхо-
П=1 П=1
00 00
димости ряда 53 ап вытекает расходимость ряда 53 bn-
71=1 71=1
Ч Поскольку конечное число членов не влияет на сходимость ря-
да, можно без ограничения общности считать, что ап Ьп для любого
§ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
115
п п оо
п Е N. Тогда Ап = 52 ак 52 = вп- Если ряд 52 Ьп сходится,
jfc=l fc=l п=1
то последовательность {Вп}, не убывая, стремится к пределу В. То-
гда Ап Вп В при любом п G N и, следовательно, последователь-
ОО
ность {Лп} частичных сумм ряда 52 ап ограничена. В силу критерия
П— 1
оо
сходимости ряда с неотрицательными членами (теорема 7) ряд 52 ап
П=1
сходится.
Второе утверждение теоремы, рассуждая от противного, немедлен-
но получаем из уже доказанного. ►
Пример 24. Поскольку , \ ,, < -^ < —Цт— при п 2, по
r r J п(п +1) пг (п - 1)п
теореме сравнения заключаем, что ряды 52 и 52 ~i—сходятся
п=1 п n=i + И
или расходятся одновременно.
Но последний ряд можно просуммировать непосредственно, заме-
тив, что ,\ ,, = г — а 1 и поэтому 52 . \ =1-----гт- Значит,
’ к(к + 1) к (к +1) J к(к + 1) п +1 ’
00 0°
52 —/ n = 1. Следовательно, ряд 52 также является сходящимся.
n=1n(n + ij п=1П
°° 1 2
Любопытно, что 52 А = 2г- В дальнейшем это будет доказано.
П=1 « °
Пример 25. Следует обратить внимание на то, что теорема срав-
нения относится только к рядам с неотрицательными членами. Дей-
ствительно, положим, например, ап = —п, а Ьп = 0, тогда ап < Ьп, ряд
00 оо
52 Ъп сходится, но ряд 52 ап расходится.
П=1 П=1
Следствие 1 (мажорантный признак Вейерштрасса абсолютной
ОО оо
сходимости ряда). Пусть 52 ап и 52 —два ряда. Пусть существу-
п=1 П=1
ет номер N Е N такой, что при любом п > N имеет место соотно-
шение |ап| Ьп. При этих условиях для абсолютной сходимости ряда
00 оо
52 о,п достаточно, чтобы ряд 52 Ьп сходился.
П=1 П=1
оо
◄ Действительно, по теореме сравнения тогда ряд 52 1ап| будет
П=1
оо
сходиться, что и означает абсолютную сходимость ряда 52 ап- ►
П=1
116
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
Этот важный достаточный признак абсолютной сходимости часто
формулируют кратко: если члены ряда (по абсолютной величине) ма-
жорируются членами сходящегося числового ряда, то исходный ряд
сходится абсолютно.
0° 1*1
Пример 26. Ряд 52 абсолютно сходится, так как <
п=1 п 1 п 1
1 00 1
а ряд 52 -о, как мы выяснили в примере 24, сходится.
п п=1п
ОО
Следствие 2 (признак Коши). Пусть 52 ап —данный ряд и а =
П=1
= lim vRnL Тогда справедливы следующие утверждения-,
п—>оо
оо
а) если а < 1, то ряд 52 ап абсолютно сходится-,
П=1
оо
Ь) если а > 1, то ряд 52 ап расходится-,
П=1
с) существуют как абсолютно сходящиеся, так и расходящиеся
ряды, для которых а = 1.
◄ а) Если а < 1, то можно выбрать число q G К так, что а < q < 1.
Фиксировав число q, в соответствии с определением верхнего предела
найдем номер N G N такой, что при п > N выполнено ^/|an| < q. Таким
ОО
образом, при п > N будем иметь |an| < qn и, поскольку ряд 52
П=1
оо
при |g| < 1 сходится, ряд 52 ап (по теореме сравнения или признаку
П=1
Вейерштрасса) сходится абсолютно.
Ь) Поскольку а является частичным пределом последовательности
{ап} (см. утверждение 1), то найдется подпоследовательность {anfc}
такая, что lim = а- Если а > 1, то найдется номер К Е N такой,
k—too v
что при любом к > К будет |anfc | > 1, тем самым необходимое условие
ОО
сходимости (an —> 0) для ряда 52 ап не выполнено и он расходится.
П=1
00 1 00 1
с) Мы уже знаем, что ряд 52 п расходится, а ряд 52 сходится
п=1 п=1п
абсолютно, так как Д- = Л-). Вместе с тем lim = lim -Д= = 1
I п I п2 / п->оо V п n—too у/п
и lim = Ит г/4т = lim (Д=) = 1. ►
п—too V п п—too V п n—too \ у/п)
§ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
117
Пример 27. Исследуем, при каких значениях х G R ряд
оо
J2(2 + (-l)n)na;n
П=1
сходится.
Подсчитаем а = lim (У|(2 + (—l)n)na:n| — |т| lim |2 + (—1)п| = 3|®|.
п—>оо v п—>оо
Таким образом, при |а;| < i ряд сходится и даже абсолютно, а при
о
|я:| > i ряд расходится. Случай |т| = 5 требует специального рассмо-
трения. В нашем примере оно элементарно, ибо при |а;| = 5 для четных
О
/ ~.2к
значений п имеем (2 + (—I)2*) х2к = 32к ( ) — 1 и ряд расходится,
поскольку для него не выполнено необходимое условие сходимости.
Следствие 3 (признак Даламбера1)). Пусть для ряда 52 ап СУ~
П=1
ществует предел lim [ a"+1 j = а. Тогда справедливы следующие ут-
верждения:
ОО
а) если а < 1, то ряд 52 ап сходится абсолютно;
71=1
ОО
Ь) если а > 1, то ряд 52 ап расходится;
П=1
с) существуют как абсолютно сходящиеся, так и расходящиеся
ряды, для которых а = 1.
◄ а) Если а < 1, то найдется такое число q, что а < q < 1; фикси-
ровав q и учитывая свойства предела, найдем номер N G N такой, что
при любом п> N будет | ^±11 < q. Поскольку конечное число членов не
влияет на характер сходимости ряда, без ограничения общности будем
считать, что | 1 < q при любом п G N.
Поскольку
®п+1
ап ап—1
а2 ап+1
О1 О1
оо
мы получаем, что |an+i| |ai | • qn. Но ряд 52 lai|9n сходится
П=1
его
сумма, очевидно, равна
оо
, поэтому ряд 52 ап абсолютно сходится.
П=1
''Ж. Л. Даламбер (1717 -1783) — французский ученый, прежде всего механик, вхо-
дивший в группу философов-энциклопедистов.
118
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
b) Если а > 1, то, начиная с некоторого номера N G N, при любом
п > N будем иметь | в”*1 | > 1, т. е. |ап| < |ап+1|, и, следовательно, для
ОО
ряда 52 ап не выполнено условие ап —> 0, необходимое для сходимости.
П=1
с) Примерами в данном случае, как и в признаке Коши, могут слу-
00 1 00 1
ЖИТЬ ряды 52 й и 52 “2 • ►
п=1 п=1п
Пример 28. Выясним, при каких значениях х G R сходится ряд
При х = 0 он, очевидно, сходится и даже абсолютно.
При х / 0 имеем lim I ^±1 = lim = 0.
n->oo I “n I n->oo n + 1
Таким образом, этот ряд абсолютно сходится при любом значении
х е R.
Рассмотрим, наконец, еще один более специальный, но часто встре-
чающийся класс рядов: ряды, члены которых образуют монотонную
последовательность. Для таких рядов имеет место следующий необхо-
димый и достаточный признак сходимости.
ОО
Утверждение 2 (Коши). Если ai 02 0, то ряд 52 ап
П=1
оо
сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд 52 2fca2fc = а1 +
fc=o
+ 2в2 + 4а4 + 8ag + •. •
◄ Поскольку
02 <12 01,
2а4 оз + а4 2а2,
4а 8 eg + Об + ay + as 4а4,
2ПО2п+1 02п-|-1 Н- . Н- 02п+1 2ПО2«,
то, складывая эти неравенства, получим
§ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
119
где Ак = ai + .. .+a,k, Sn = ai+2o2 + .. .+2nO2n — частичные суммы рас-
сматриваемых рядов. Последовательности {Ajt} и {5П} неубывающие,
и потому из полученных неравенств можно заключить, что они либо
одновременно ограничены, либо одновременно не ограничены сверху.
Но по критерию сходимости рядов с неотрицательными членами отсю-
да следует, что рассматриваемые два ряда действительно сходятся или
расходятся одновременно. ►
Отсюда вытекает полезное
00 1
Следствие. Ряд 52 — сходится при р > 1 и расходится при
п=1 п”
р I-1)
◄ Если р 0, то по доказанному наш ряд сходится или расходится
вместе с рядом
00-00
E2‘(2U = E(21-’)‘-
А=0 ' к=0
а для сходимости последнего ряда необходимо и достаточно, чтобы
было q = 21-р < 1, т. е. р > 1.
°о
Если р 0, то расходимость ряда 52 очевидна, поскольку в этом
п=1 п
случае все члены ряда больше 1. ►
°о
Важность этого следствия состоит в том, что ряд 52 часто слу-
п=1 ”
жит основой для сравнения при исследовании сходимости рядов.
с. Число е как сумма ряда. Заканчивая рассмотрение рядов, вер-
немся еще раз к числу е и получим ряд, доставляющий уже довольно
удобный способ вычисления е.
Мы будем использовать формулу бинома Ньютона при разложении
(1 \ л
1 + i ) . Те, кто не знаком с этой формулой из школы или
не решил задачу 1g) из гл. II, § 2, могут, без потери связности изложе-
ния, опустить настоящее добавление о числе е и вернуться к нему после
формулы Тейлора, частным случаем которой можно считать формулу
бинома Ньютона.
'^Формально в нашей книге мы пока определили пр только для рациональных
значений р, поэтому читатель тоже пока вправе понимать это утверждение только
для тех р, для которых определено пр.
120
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
/ , \ п
Нам известно, что е = lim 1 + ^ )
п—>оо \ /
По формуле бинома Ньютона
/ I X 1 1
Полагая (1 + й ) =еп и 1 + 1 + ^ + ... + ^ = 5п, таким образом,
имеем еп < sn (n = 1,2,...).
С другой стороны, при любом фиксированном к и п к, как видно
из того же разложения, имеем
При п —> оо левая часть этого неравенства стремится к Sk, а пра-
вая— к е, поэтому мы теперь можем заключить, что Sk е для любого
к € N.
Но тогда из соотношения
вп < sn е
при п —> оо получаем, что lim sn = е.
п—>оо
В соответствии с определением суммы ряда мы теперь можем запи-
сать
Это уже вполне пригодное для вычисления представление числа е.
Оценим разность е — sn:
1 1
“ (п + 1)! + (п + 2)! +'“ “
§1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
121
1 Г 1 1
(п + 1)! + п + 2 + (п + 2)(п + 3) +
1
(п + 1)!
+ п + 2 + (п + 2)2 +
(п + 1)! 1 -
п + 2 1
п!(п + 1)2 п!п
1 1
Таким образом, чтобы абсолютная погрешность приближения числа
е числом sn не превосходила, например, 10“3, достаточно, чтобы было
nbi < Т&00' Этому условию удовлетворяет уже sg.
Выпишем несколько первых десятичных знаков числа е:
е = 2,7182818284590...
Полученную оценку разности е—sn можно записать в виде равенства
__ @п
е — sn-\—:—,
п! п
Из такого представления числа е немедленно следует его иррацио-
нальность. В самом деле, если предположить, что е = £, где р, q С N,
то число д! е должно быть целым, а вместе с тем
q\ е = <7! sq + -= ?!+ 77 + 57 + ... + ^ + —
\ q'.qj 1! 2! q\ q
и тогда число тоже должно быть целым, что невозможно.
Для сведения читателя отметим, что число е не только иррацио-
нально, но даже трансцендентно.
Задачи и упражнения
1. Покажите, что число х е Ж рационально тогда и только тогда, когда
его запись в любой q-ичной системе счисления периодична, т.е., начиная с
некоторого разряда, состоит из периодически повторяющейся группы цифр.
2. Мяч, упав с высоты h, подскакивает на высоту qh, где q — постоянный
коэффициент, 0 < q < 1. Найти время, за которое он окажется покоящимся на
земле, и путь, который он к этому моменту пролетит.
3. На окружности отмечаются точки, получающиеся из некоторой фик-
сированной ее точки поворотами окружности на всевозможные углы в n е Z
радиан. Укажите все предельные точки построенного множества.
122
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
4. Выражение
1
ni +----------------
п2 4-------------
п3 4-
1
1
Пк-1 Ч---
Пк
где nt € N, называется конечной цепной или непрерывной дробью, а выражение
1
ni Ч-----------
п2 Ч------
п3 +
— бесконечной цепной дробью. Дроби, получающиеся из цепной дроби при от-
брасывании всех ее звеньев, начиная с некоторого звена, называют подходя-
щими дробями. Бесконечной цепной дроби в качестве значения сопоставляется
предел последовательности ее подходящих дробей.
Покажите, что:
а) Каждое рациональное число где т, п € N, может быть разложено и
притом единственным способом в цепную дробь:
1
9п-1 Ч----
Qn
Указание. Числа qi,...,qn, называемые неполными частными, получа-
ются из алгоритма Евклида
т = п - qi Ч- Г1,
п = Г1 q2 4- г2,
Г1 = г2 • q3 4- г3,
если его записать в виде
ml 1
= 914- = Qi Ч--—
П П/Г1 92 4-..
§ 1. ПРЕДЕЛ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
123
b) Подходящие дроби R± = qi, R2 = qi + ... удовлетворяют неравен-
ствам
772
R1 < R3 < ... < R2k-1 < — < R2k < Rlk-I < ... < Rz-
n
с) Числители Pk и знаменатели Qk подходящих дробей Rk формируются
по закону
Pk = Pk-iqk + Л-2, Л = 9192, Pi = 91,
Qk = Qk-iqk + Qk-2, Q2 = 92, Qi = 1.
d) Разность соседних подходящих дробей вычисляется по формуле
(-П*
Rk -Rk-i = 7777— (*>П-
ЧкЧк-1
е) Каждая бесконечная цепная дробь имеет определенное значение.
f) Значение бесконечной цепной дроби иррационально.
h) Числа Фибоначчи 1,1,2,3,5,8,... (т. е. ип = un_i +ип-2 и Ui = и2 = 1),
получающиеся как знаменатели подходящих дробей в g), задаются формулой
1 + V5 _ К 1
I 2 Qk\
i) Подходящие дроби Rk = в g) таковы, что
Чк
Сравните этот результат с утверждениями задачи 11, §2, гл. II.
5. Покажите, что
а) при п 2 справедливо равенство
1! + 2! + + п! n!n 3 1 • 2 • 2! (п — 1)п-п!’
Ь)6 3 S(n + l)(n + 2)(n + 2)!;
с) для приближенного вычисления числа е значительно лучше формула
е«1 + уу + ...-|-^ + а не исходная формула eRil-|--j-|-...-|-Jj (оцените
погрешности, посчитайте и сравните результат со значением е, приведенным
на с. 121).
6. Если а и Ь — положительные числа, ар — произвольное отличное от нуля
вещественное число, то средним порядка р чисел а и Ь называется величина
SP(a,b) =
ар + bp\1/p
2
124
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
В частности, получаем при р = 1 среднее арифметическое, при р = 2 —
среднее квадратическое, при р = — 1 — среднее гармоническое чисел а, Ь.
а) Покажите, что среднее Sp(a,b) любого порядка заключено между чи-
слами а и Ь.
Ь) Найдите пределы последовательностей
{Sn(a,6)}, {S_n(a,6)}.
7. Покажите, что если а > 0, то последовательность zn+i = |
при любом rri > 0 сходится к арифметическому квадратному корню из а.
Оцените скорость сходимости, т.е. величину абсолютной погрешности
|а;п — а| = |ДП| в зависимости от п.
8. Покажите, что
a) So(n) = 1° + • + п° = п,
51(п) = 11 + ...+п1 = Г1К±11 = |п2 + |п,
S2(n) = I2 + . . . + П2 = n(n+l)(2n + l) = ln3 + ln2 + 1
v ' О О 2 D 7
= ln4+ln3+ln2;
и вообще
Sfc(n) = aft+infc+1 + ... + ain + a0
— многочлен от n степени к + 1.
b) n1^ W = fcTT’
§ 2. Предел функции
1. Определения и примеры. Пусть Е — некоторое подмножест-
во множества R действительных чисел и a — предельная точка множе-
ства Е. Пусть f: Е —> R — вещественнозначная функция, определенная
на Е.
Мы хотим записать, что значит, что при приближении точки х Е Е
к а значения f (ж) функции f приближаются к некоторому числу А, ко-
торое естественно назвать пределом значений функции f или пределом
функции f при х, стремящемся к а.
Определение 1. Будем (следуя Коши) говорить, что функция f:
Е —> R стремится к А при х, стремящемся к а, или что А является
пределом функции f при х, стремящемся к а, если для любого числа
е > 0 существует число S > 0 такое, что для любой точки х Е Е такой,
что 0 < \х — a| < S, выполнено соотношение \f(x) — А| < е.
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
125
В логической символике сформулированные условия запишутся в
виде
Ve > О > О Ух Е Е (0 < |ж — а| < S => |/(х) — А| < е).
Если А — предел функции f(x) при х, стремящемся по множеству Е
к точке а, то пишут /(а;) —> А при х —> а, х Е Е, или lim /(а;) = А.
х—*а,х£Е
Вместо символа х —> а, х Е Е, мы, как правило, будем использовать
более короткое обозначение Е Э х —> а и вместо lim /(а;) будем
х—>а,х£Е
писать lim f(x) = А.
ЕЭх—ta
Пример 1. Пусть Е = R \ 0, /(х) = a;sin Проверим, что
lim х sin - = 0.
£Эх->0 X
Действительно, при заданном е > 0 возьмем 6 = е, тогда при 0 <
< |т| < § = е, учитывая, что |а;sin 11 |а;|, будем иметь |а;sin 11 < е.
Из этого примера, кстати, видно, что функция /: Е —> R может
иметь предел при Е Э х —> а, даже не будучи определенной в самой
точке а. Как раз эта ситуация чаще всего имеет место при вычислении
пределов и, если вы обратили внимание, это обстоятельство учтено в
определении предела в виде неравенства 0 < |а; — а|.
Напомним, что окрестностью точки а Е R мы назвали любой ин-
тервал, содержащий эту точку.
Определение 2. Проколотой окрестностью точки называется
окрестность точки, из которой исключена сама эта точка.
Если U(а) — обозначение окрестности точки а, то проколотую ок-
О
рестность этой точки будем обозначать символом [7(a).
Множества
UE(a) :=EnU(a),
UE(a) :=EnU(a)
будем называть соответственно окрестностью и проколотой окрест-
ностью точки а в множестве Е.
О
Если а — предельная точка Е, то UE(a) / 0, какова бы ни была
окрестность [7(a).
126
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
Если на минуту принять громоздкие символы иЕ(а) и Для
обозначения проколотой J-окрестности точки а в множестве Е и 6-окре-
стности точки А в R, то приведенное выше так называемое «е - J-onpe-
деление» Коши предела функции можно переписать в виде
lim /(z) = A) :=V^(A) Э^(а)
ЬЭх—>а J \
Эта запись говорит, что А является пределом функции /: Е —> R
при х, стремящемся к а по множеству Е, если для любой е-окрестно-
сти точки А найдется проколотая J-окрестность UE(a) точки а
° s
в множестве Е, образ которой f(UE(a')') при отображении fzE-tR
полностью содержится в окрестности V^(A).
Учитывая, что в любой окрестности точки числовой оси содержится
также некоторая симметричная окрестность (J-окрестность) этой же
точки, мы теперь приходим к следующей форме записи определения
предела, которую и будем считать основной.
Определение 3.
Итак, число А называется пределом функции f: Е —> R при х, стре-
мящемся по множеству Е к точке а (предельной для Е), если для любой
окрестности точки А найдется проколотая окрестность точки а в мно-
жестве Е, образ которой при отображении /: Е —> R содержится в
заданной окрестности точки А.
Мы привели несколько формулировок определения предела функ-
ции. Для числовых функций, когда а, А Е R, как мы видели, эти форму-
лировки эквивалентны. Вместе с тем для разных целей бывает удобна
то одна, то другая из них. Например, при численных оценках удоб-
на исходная форма, указывающая допустимую величину отклонения х
от а, при которой уклонение f(x) от А не превысит заданной величины.
А вот с точки зрения распространения понятия предела на более общие
функции, определенные не на числовом множестве, наиболее удобной
является последняя формулировка, которую мы и выделили. Из нее,
кстати, видно, что мы сможем определить понятие предела отображе-
ния f: X —> Y, если нам будет сказано, что такое окрестность точки в
X и в У, или, как говорят, если в X и Y будет задана топология.
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
127
Рассмотрим еще некоторые, поясняющие основное определение при-
меры.
Пример 2. Функция
{1
О
-1
при х > О,
при х = О,
при х < О
(читается «сигнум ж»1)) определена на всей числовой оси. Покажем, что
у нее нет предела при х, стремящемся к 0.
Это значит, что
VA е R 3V(A) VH(0) Эх Е [7(0) (/(ж) £ У(А)),
т.е., какое бы А (претендующее на то, чтобы быть пределом sgnrr при
х -> 0) мы ни взяли, найдется такая окрестность V(А) точки А, что,
О
какую бы (малую) проколотую окрестность [7(0) точки 0 ни взять, в
О
ней есть по крайней мере одна точка х Е [7(0), значение функции в
которой не лежит в У (А).
Поскольку функция sgnrr принимает только значения —1, 0, 1, то
ясно, что никакое число А, отличное от них, не может быть пределом
функции, ибо оно имеет окрестность V(А), не содержащую ни одно из
этих трех чисел.
Если же А Е {—1,0,1}, то возьмем в качестве У(А) е-окрестность
точки А при е = 1/2. В такую окрестность заведомо не могут попасть
одновременно обе точки —1 и 1. Но, какую бы проколотую окрестность
[7(0) точки 0 ни взять, в ней есть как положительные, так и отрица-
тельные числа, т. е. есть и точки х, где f(x) = 1, и точки, где /(ж) = —1.
О
Значит, найдется точка х Е [7(0) такая, что /(ж) V(A).
Условимся, если функция f: Е —> R определена во всей проколотой
ООО
окрестности некоторой точки а Е R, т.е. когда U е(<1) = U^(a) = U(a),
вместо записи Е Э х —> а употреблять более короткую запись х —> а.
^Signum (лат.)—знак.
128
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
Пример 3. Покажем, что lim I sgnrrl = 1.
х->0
Действительно, при х Е R\ 0 имеем | sgno;| = 1, т. е. функция посто-
О
янна и равна 1 в любой проколотой окрестности 17(0) точки 0. Значит,
О
для любой окрестности V(l) получим /(17(0)) = 16 У(1).
Обратите внимание, что хотя в данном случае функция | sgnrr| и
определена в самой точке 0 и | sgn0| = 0, но это значение не имеет
никакого влияния на величину рассматриваемого предела.
Таким образом, не следует смешивать значение /(а) функции в точ-
ке а с пределом lim fix') функции при х, стремящемся к а.
х—>а
Пусть Ж_ и — множества отрицательных и положительных чисел
соответственно.
Пример 4. В примере 2 мы видели, что предел lim sgn ж не су-
КЭж->0
ществует. Замечая, однако, что ограничение sgn |R_ функции sgn на R_
есть постоянная функция, равная —1, a sgn|R+ есть постоянная, рав-
ная 1, можно, как и в примере 3, показать, что
lim sgn ж = — 1, lim sgn ж = 1,
—>0 —>0
т.е. ограничение одной и той же функции на различные множества
может иметь различные пределы в одной и той же точке или даже не
иметь его, как это было в примере 2.
Пример 5. Развивая идею примера 2, можно аналогично пока-
зать, что функция sin i не имеет предела при х —> 0.
О
Действительно, в любой проколотой окрестности U (0) точки 0 все-
гда есть точки вида —72 + 2™ и ^j2 + 2im' где п G N’ в
функция принимает значения —1 и 1 соответственно. Но оба эти числа
не могут одновременно содержаться в е-окрестности Р(А) точки А Е
Е R, если е < 1. Значит, ни одно число А Е R не может быть пределом
этой функции при х —> 0.
Пример 6. Если
Е_ = | х Е R I х =--, —, п Е N
I 1 -7Г/2 + 27ГП
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
129
и
Е+ = lx Е R | х = 1 , п Е ,
( 1 тг/2 + 2тгп J
то, подобно рассмотренному в примере 4, получаем, что
lim sin- = —1 и lim sin—= 1.
£?-Эж->0 X Е+Эх->0 X
Между изученным в предыдущем параграфе понятием предела по-
следовательности и введенным здесь понятием предела произвольной
числовой функции имеется тесная связь, которую выражает следующее
Утверждение I1). Соотношение lim f(x) = А имеет место
Еэх—
тогда и только тогда, когда для любой последовательности {ггп} то-
чек хп ЕЕ\а, сходящейся к а, последовательность {f(xn}} сходится
к А.
◄ То, что ( lim f(x) = А) => ( lim f(xn) = А), сразу следует из
\ЕЭх->а / \п->оо /
определений. Действительно, если lim f (ж) = А, то для любой окрест-
ЕЭх->а
О
пости У(А) точки А найдется проколотая окрестность Uе(о) точки а
О
в Е такая, что для х Е Ue(q) имеем f(x) Е У (А). Если последователь-
ность {жп} точек множества Е \ а сходится к а, то найдется номер N
О
такой, что при п > N будет хп Е Ue(o) и, значит, f(xn) Е У(А). На
основании определения предела последовательности, таким образом, за-
ключаем, что lim f(xn) = А.
п—>оо
Перейдем к доказательству обратного утверждения. Если А не явля-
ется пределом f(x) при Е Э х —> а, то найдется окрестность У (А) та-
кая, что при любом п Е N в ^-окрестности точки а найдется точка
хп Е Е \ а такая, что f(xn) £ У(А). Но это означает, что последо-
вательность {f(xn)} не сходится к А, хотя последовательность {жп}
стремится к а. ►
'’Его иногда называют утверждением о равносильности определений предела по
Коши (через окрестности) и по Гейне (через последовательности).
Э. Гейне (Хайне) (1821-1881)—немецкий математик.
130
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
2. Свойства предела функции. Теперь установим ряд постоянно
используемых свойств предела функции, многие из которых аналогич-
ны уже доказанным свойствам предела последовательности и потому,
в сущности, нам уже знакомы. Более того, на основании только что
доказанного утверждения 1 многие важные свойства предела функции,
очевидно, немедленно следуют из соответствующих свойств предела по-
следовательности: единственность предела, арифметические свойства
предела, предельный переход в неравенствах. Тем не менее мы вновь
проведем все доказательства. В этом, как выяснится, есть определен-
ный смысл.
Мы хотим обратить внимание читателя на то, что для установления
всех свойств предела функции требуются всего два свойства проколо-
О
тых окрестностей предельной точки множества: Bi) Ue(o) / 0, т.е.
О О О О
проколотая окрестность непуста, и В2) WE(a) VUE(a) 3UE(a)(UE(a) С
О о
С U'E{a) П и'Е(аУ), т. е. в пересечении любой пары проколотых окрест-
ностей содержится проколотая окрестность. Это наблюдение приведет
нас к общему понятию предела функции и возможности в будущем ис-
пользовать теорию предела уже не только для функций, определенных
на числовых множествах. Чтобы изложение не было простым повторе-
нием сказанного в § 1, мы используем здесь некоторые новые полезные
приемы и понятия, которые не демонстрировались в § 1.
а. Общие свойства предела функции. Сначала несколько опре-
делений.
Определение 4. Функцию f: Е —> R, принимающую только одно
значение, будем, как и прежде, называть постоянной. Функция f: Е ->
—> R называется финально постоянной при Е Э х —> а, если она посто-
янна в некоторой проколотой окрестности Ue(o) точки а, предельной
для множества Е.
Определение 5. Функция /: Е —> R называется ограниченной,
ограниченной сверху, ограниченной снизу, если найдется число С Е R
такое, что для любого х Е Е выполнено соответственно |/(т)| < С,
f(x)<C, С < f(x).
В случае, если первое, второе или третье из этих соотношений вы-
О
полнено лишь в некоторой проколотой окрестности Uе(о) точки а,
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
131
функция /: Е —> R называется соответственно финально ограничен-
ной при Е Э х —> а, финально ограниченной сверху при Е Э х —> а,
финально ограниченной снизу при Е Э х —> а.
Пример 7. Функция /(ж) = (sin | + х cos , определенная этой
формулой при х / 0, не является ограниченной на области определения,
но она финально ограничена при х —> 0.
Пример 8. То же самое относится к функции f(x) = х на R
Теорема 1. а) (/: Е —> R при Е Э х —> а есть финально посто-
янная А) => ( lim f(x) = А ).
b) I 3 lim f(x)] => (f-E —> R финально ограничена при Е Э
\ Еэх-^а )
Э ж -> а).
с) ( lim /(ж) = Ai ) А ( lim f(x) = Az ) => (Ai = Az).
\ЕЭх—J \ЕЭх—J
◄ Утверждение а) о наличии предела у финально постоянной функ-
ции и утверждение Ь) о финальной ограниченности функции, имеющей
предел, вытекают прямо из соответствующих определений. Обратимся
к доказательству единственности предела.
Предположим, что Ai / Az. Возьмем тогда окрестности V(Ai),
так, чтобы они не имели общих точек, т.е. У(А1) П V(Az) = 0.
По определению предела имеем
lim f(x) = Ai => 3UE(a)
ЕЭх-ьа
lim f(x) = Az=> 3UE(a)
ЕЭх—
(f(U'E(a)) С т)} ,
(ки'М) С V(Az)^ .
О
Возьмем теперь проколотую окрестность U Е(а) точки а (предель-
ООО
ной для Е) такую, что Ue(o) С UE(a) П UE(a) (например, можно взять
ООО
1/в(а) = UE(a) A UE(a), поскольку это пересечение тоже есть проколо-
тая окрестность).
О о
Поскольку UE(a) / 0, берем х Е UE(a). Тогда f(x) Е У(А1)ПУ(А2),
что невозможно, так как окрестности V(Ai), V(Az) по построению не
имеют общих точек. ►
132
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
Ь. Предельный переход и арифметические операции
Определение 6. Если две числовые функции f: Е —> R, д: Е -ь
—> R имеют общую область определения Е, то их суммой, произведени-
ем и частным называются соответственно функции, определенные на
том же множестве следующими формулами:
(/ +Р)(®) = f(x)+g(x),
(f' д)(х) = f(x)-g(x),
/ f \ fix]
I — I (x) := —7—7, если g(x) / 0 при x G E.
\9 / 9(x)
Теорема 2. Пусть f: E R и g: E —> R — две функции с общей
областью определения.
Если lim f(x) = A, lim g(x) = В, то
ЕЭх—ЕЭх—
a) lim (/ + s)(x) = А + В;
ЕЭх—>а
b) Пт (/ -р)(ж) = А-В;
ЕЭх—>а
с) ^lim (р) (ж) = если В^Ои д(х) 0 при х G Е.
Эта теорема, как уже отмечалось в начале пункта 2, непосредствен-
но вытекает из соответствующей теоремы о пределах последователь-
ностей, если учесть утверждение, доказанное в пункте 1.
Теорему можно получить также, повторив доказательство теоремы
об арифметических свойствах предела последовательности. Все изме-
нения в доказательстве, которые при этом придется провести, сведутся
к тому, что всюду, где раньше мы выбирали «У g N, начиная с кото-
рого ... », нужно будет выбирать некоторую проколотую окрестность
О
Ue (а) точки а в множестве Е. Советуем читателю проверить это.
Здесь же мы получим эту теорему из ее простейшего частного слу-
чая, когда А = В = 0 (утверждение с) при этом, разумеется, не рас-
сматривается) .
Функцию /: Е —> R принято называть бесконечно малой при Е Э
Э х —> а, если lim f(x)—0.
Еэх—>а
Утверждение 2. а) Если а: Е —> R и /3: Е —> R —бесконечно
малые функции при Е 9 х —> а, то их сумма а + (3: Е —> R — также
бесконечно малая функция при Е 9 х —> а.
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
133
Ь) Если а: Е —> R и /3: Е —> R — бесконечно малые функции при
Е Э х —> а, то их произведение а • /3: Е —> R —также бесконечно
малая функция при Е Э х —> а.
с) Если а: Е —> R —бесконечно малая функция при Е Э х —> а,
а /3: Е —> R — финально ограниченная функция при Е Э х —> а, то
произведение а /3: Е —> R есть бесконечно малая функция при Е Э
Э X —CL.
◄ а) Проверим, что
( lim а(а;) = 0)л( lim (3{х) = 0 ) => ( lim (а + (3)(х) = 0 ) .
\ЕЭх—>а ) \ЕЭх—>а ) \Еэх—>а )
Пусть задано число е > 0. По определению предела имеем
ООО
Тогда для проколотой окрестности U#(а) С U'E(a) A UE(a) получаем
Ух Е UE(a) |(а + (3)(х)\ = |а(х) + (3(х)\ < |а(х)| + \0(х)| < е,
т. е. проверено, что lim (а + /3) (х) = 0.
Еэх->а
Ь) Это утверждение есть частный случай утверждения с), поскольку
всякая функция, имеющая предел, финально ограничена.
с) Проверим, что
lim а(л) = 0 ) Л ( ЗМ Е R Ух Е UE(d) (|/3(а;)| < М) ) =>
ЕЭх-^а / \ )
lim а(х)/3(х) = 0 ) .
ЕЭх—>а 1
Пусть задано е > 0. По определению предела имеем
)/ О О / С- \ \
=> I 3U'E(a) Ух Е U'^a) (|а(х)| < — ) ) .
у \ М / /
134
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
Тогда для проколотой окрестности U"E(d) С UE(a) П U#(а) получаем
° £
Vs G UE(a) |(а • /3)(ж)| = \а(х)0(х)| = |а(ж)||/3(ж)| < — • М = е.
Тем самым проверено, что lim а(ж)/3(ж) = 0. ►
ЕЭх—>а
Теперь сделаем следующее полезное
Замечание.
lim f(x) = А ) 4=> (f(x) = А + а(х)) Л I lim а(х) = 0
ЕЭх-+а ) \ЕЭх-+а
Иными словами, функция f: Е —> R стремится к А тогда и только
тогда, когда она может быть представлена в виде суммы А + a(s),
где а(я) —бесконечно малая при Е Э х —> а функция (уклонение /(ж)
от А)1).
Это непосредственно следует из определения предела, в силу кото-
рого
lim f(x) = А о lim (/(ж) — А) = 0.
ЕЭх—уо, ЕЭх—уа
Приведем теперь доказательство теоремы об арифметических свой-
ствах предела функции, основанное на этом замечании и установленных
свойствах бесконечно малых функций.
◄ а) Если lim f(x) = А и lim д(х) = В, то /(ж) - А + а(х) и
ЕЭх—>а ЕЭх—>а
д(х) = В + /3(ж), где а(х) и /3(х) —бесконечно малые при Е Э х —> а.
Тогда (/ + s)(s) = /(ж)+з(ж) = А+а(х) + В+/3(х) = (А+В)+7(3;), где
7(я) = а(ж) +/3(я), как сумма бесконечно малых, есть бесконечно малая
функция при Е Э х —> а. Таким образом, lim (/ + <?)(ж) = А + В.
ЕЭх—>а
Ь) Вновь представив / (ж) и д(х) в виде f(x) = А + а(ж) и д(х) = В +
+ /3(ж), имеем
(/ • 9)(х) = f(x)g(x) = (А + а(ж))(В + 0(х)) =А-В + у(х),
Любопытная деталь: это почти очевидное, но очень полезное в вычислительном
плане и важное в идейном отношении представление особо отмечалось французским
математиком и механиком Лазаром Карно (1753-1823), революционным генералом
и академиком, отцом родоначальника термодинамики Сади Карно (1796-1832).
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
135
где 7(ж) = А[3(х) + Ва(х) + а(х)(3(х) по свойствам бесконечно малых
есть бесконечно малая функция при Е Э х —> а.
Таким образом, lim (/ • д)(х) = А - В.
ЕЭх-эа
с) Вновь запишем, что f(x) — А + а(х) и д(х) = В + /3(ж), где
lim а(х) = 0, lim /3(х) = 0.
ЕЭх-эа ' ЕЭх-эа
Поскольку В / 0, существует проколотая окрестность Ue{o,)i в лю-
бой точке которой |/3(ж)| < и потому |д(ж)| = \В + /3(ж)| |В| —
- |/3(т)| > Ь—L Тогда в Ue(o) будем иметь также < щр т.е.
функция финально ограничена при Е Э х —> а. Теперь запишем
/А ( х _ А _ /(ж) _ А = А + а(ж) _ А
\д)[Х) В ~ д(х) В~ В + &\х) В
= • ^(Ва(х) + Л/3(ж)) = 7(ж).
По свойствам бесконечно малых (с учетом доказанной финальной огра-
ниченности -?Ц) функция 7(ж) есть бесконечно малая при Е э х —> а.
9\х)
Таким образом, доказано, что lim ( А (ж) = 4. ►
ЕЭх—>а № / &
с. Предельный переход и неравенства
Теорема 3. а) Если функции f: Е —> № и д'. > К таковы,что
lim f(x) = A, lim д(х) = В и А < В, то найдется проколотая
ЕЭх—^а ЕЭх—
о
окрестность Ue(o,) точки а в множестве Е, в любой точке которой
выполнено неравенство f(x) < д(х).
Ь) Если между функциями f: Е —> К, д: Е —> № и h: Е —> К на
множестве Е имеет место соотношение f(x) д(х) h(x) и если
lim f(x) = lim h(x) = С, то существует также предел д(х) при
ЕЭх^а ЕЗх-эа
ЕЭ х -> а, причем lim д(х) = С.
ЕЭх-эа
◄ а) Возьмем число С такое, что А < С < В. По определению преде-
О о
ла найдем проколотые окрестности U'E(a) и UE(a) точки а в множестве
О о
Е так, чтобы при х G U'E(a) иметь |/(ж) — Л| < С — А и при х G С7^(а)
О
иметь |(?(ж)—В\ < В — С. Тогда в любой проколотой окрестности Ue(o,),
136
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
содержащейся в U'E(a) Я UE(a), получим
f(x) <А+(С-А) = С = В-(В —С)< д(х).
Ь) Если lim f(x) = lim h(x) = С, то по любому фиксированному
ЕЭх—Уа ЕЭх—Уа
о о
£ > 0 найдутся такие проколотые окрестности U'E(a) и U'E(a) точки а
О о
в множестве Е, что при х G U'E(a) имеем С — е < /(ж) и при х G U"E(a)
О
имеем h(x) < С + £. Тогда в любой проколотой окрестности Ue(o),
О о
содержащейся в U'E{d) П С7^(а), будем иметь С — £ < /(ж) д(х)
h(x) < С + £, т. е. \д(х) — С| < £, и, следовательно, lim д(х) = С. ►
ЕЭх-+а
Следствие. Пусть lim /(ж) = А и lim д(х) = В. Если в неко-
ЕЭх—Уа ЕЭх—уа
о
торой проколотой окрестности Ue(u) точки а
а) выполнено f(x) > д(х), то А В-,
Ь) выполнено f(x) д(х), то А^ В;
с) выполнено f(x) > В, то А В\
d) выполнено f(x) В, то А^ В.
◄ Рассуждая от противного, из утверждения а) теоремы 3 немедлен-
но получаем утверждения а), Ь) доказываемого следствия. Утверждения
с), d) получаются из первых двух при д(х) = В. ►
d. Два важных примера. Прежде чем переходить к дальнейшему
изложению теории предела функции, продемонстрируем на двух важ-
ных примерах использование уже доказанных теорем.
Пример 9.
sins
lim----= 1.
z-4-О X
Здесь мы будем апеллировать к школьному определению sins как
ординаты точки, в которую переходит точка (1,0) при повороте (с цен-
тром в начале координат) на угол s (радиан). Полнота такого опреде-
ления всецело зависит от того, насколько тщательно установлена связь
между поворотами и действительными числами. Поскольку сама систе-
ма действительных чисел в школе не была описана достаточно подроб-
но, надо считать, что нам необходимо уточнить определение sins (то
же самое относится и к функции coss).
§2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
137
7Г
2
В свое время мы это сделаем и обоснуем те рассуждения, которые
сейчас будут опираться на наглядность.
а) Покажем, что
9 sin s
cos s <----< 1 npi
s
◄ Так как cos2 s и — четные функ-
ции, то достаточно рассмотреть случай 0 <
< х < л/2. Из рис. 8 и определения coss
и sins, сравнивая площади сектора <OCD,
треугольника АО АВ и сектора <ОАВ, имеем
8<ocd = ^|О(7| • \CD| = (cosх)(хcosх) — ^scos2s <
Li Li Li
< Saoab = ||ОЛ| • IBCI = | • 1 • sins = |sins <
Li Li Li
< S<Oab = ||OA| • |AB| = • 1 • s = |s.
Li 21 Li
Разделив эти неравенства на ^х, получаем то, что и утвержда-
лось. ►
Ь) Из а) следует, что
при любом х Е R, причем равенство имеет место только для х = 0.
◄ При 0 < |s| < я/2, как показано в а), имеем
Ho | sins| 1, поэтому для |s| л/2 > 1 также выполнено последнее
неравенство. И только при х = 0 имеем sin х = х — 0. ►
с) Из Ь) следует, что
lim sins = 0.
i—>0
◄ Поскольку 0 | sins| js| и поскольку lim|s| = 0, на основаг
нии теоремы о связи предела функции с неравенствами получаем, что
lim | sins| = 0, следовательно, lim sins = 0. ►
d) Теперь докажем, что lim = 1.
138
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
◄ Считая, что |ж| < тг/2, в силу полученного в а) неравенства имеем
Но lim(l — sin2 х) — 1 — lim sins • lim sin ж = 1 — 0 = 1, значит, по
s->0 я-М)
теореме о предельном переходе в неравенствах можем заключить, что
lim = 1. ►
я-j-O х
Пример 10. Определение показательной, логарифмической и
степенной функций на основе теории предела. Мы продемонстриру-
ем сейчас, чем и как можно было бы дополнить школьное определение
показательной и логарифмической функций, если располагать теорией
действительного числа и теорией предела.
Для удобства ссылок и полноты картины проделаем всё с самого
начала.
а) Показательная функция. Пусть а > 1.
1° Для п G N полагаем по индукции а1 := а, ап+1 := ап • а.
Таким образом, на N возникает функция ап, которая, как видно из
определения, обладает свойством
ат
— = ат~п,
ап
если т, п G N и т > п.
2° Это свойство приводит к естественным определениям
а° := 1, а~п := — при п G N,
ап
после которых функция ап оказывается распространенной на множест-
во Z целых чисел и для любых т, п G Z
ат • ап = ат+п.
3° В теории действительных чисел мы отметили, что для а > 0 и
п G N существует единственный арифметический корень n-й степени
из а, т. е. число х > 0 такое, что хп = а. Для него принято обозначе-
ние а1/”. Оно удобно, если мы желаем сохранить закон сложения пока-
зателей:
а = а1=(а1/”') = а^п ... а^п = oW-+i/n.
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
139
По той же причине естественно положить ат/п := (а1/”)™ и а 1/п :=
= (а1/”) 1 для п G N и т G Z. Если окажется, что o(mfc)/(nfc) = а!п1п
для к G Z, то можно считать, что мы определили аг для г G Q.
4° Для чисел 0 < х, 0 < у по индукции проверяем, что для п G N
(х < у) О (хп < уп),
поэтому, в частности,
5° Это позволяет доказать правила действий с рациональными по-
казателями, в частности, что
д( ) — д I при к G Z
и
ami/ni , дГпг/пг _ дПц/щ+тг/пг
◄ Действительно, > 0 и ат/п > 0. Далее, поскольку
z \ пД' / / \
/ (mfc)/(nfc)Vfc = ( fal/(nk)\mk\ =
z \ тпк^пк /" / \ пк\
= (а1/(пк)\ткпк = / Га1/(пк)\пк\ = атк
Я / , \пк / / , , \ п\ тк ,
(ат/п] =((а1/п}] =атк,
то первое из проверяемых равенств в соответствии с 4° установлено.
Аналогично,
цПЦ/ni . Om2/n2 1 _ (omi/m (ат2'П2) =
//л! \П1\ГП1П2 (( ,, \П2\П12П1 „ „
= ((д1/”1| I •((Д1'”2| | = д»П1»»2 . дШ2П1 _ отШ2+»П2П1
и
^тх/гц+тз/пг^”1”2 _ ^о(гп1П2+т2П1)/(п1П2)^П1”2 _
// , н \\ П1П2\ГП1П2+т2П1
_ / I а1/(тп2) ] ] _ ат1П2+т2П1
поэтому второе равенство также доказано. ►
140
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
Таким образом, мы определили аг для г G Q, причем аг > 0 и для
Любых Г1, Г2 G Q
ап -а7"2 = аГ1+Г2.
6° Из 4° следует, что для п,Г2 G Q
(и < г2) => (аГ1 <аГ2).
◄ Поскольку (1 < а) О (1 < а1/”) для п G N, что сразу следует
из 4°, то (а1/”) — ат!п > 1 при n,m G N, что опять-таки следует
из 4°. Таким образом, при 1 < а для г > 0, г G Q имеем ar > 1.
Тогда при Г1 < Г2 на основе 5° получаем
аГ2 = аГ1 аГ2~Г1 > аГ1 • 1 = аГ1. ►
7° Покажем, что для tq G Q
lim ar = ar°.
ОЭг—>Г0
◄ Проверим, что ар —> 1 при Q э р -> 0. Это следует из того, что
при |р| < имеем в силу 6°
<Г1/п < ар < а1/”.
Мы знаем, что а1/” —> 1 (и а-1/” —> 1 ) при п -> оо. Тогда стандарт-
ным рассуждением проверяем, что для е > 0 найдется 5 > 0 такое, что
при |р| < 8 будет
1 — е < ар <1 + е.
В качестве 8 можно взять если 1 — £ < а-1/” и а1/” < 1 + £.
Теперь докажем основное утверждение.
По £ > 0 подберем 8 так, что при |р| < 8
1 — ea~r° < ар < 1 + еа~Т°.
Если теперь |?— tq| < 8, то
аг°(1 - есГт°) < аг = аг° аг~г° < аг°(1 + еа~г°),
или
аг° — £ < аг < аг° + £. ►
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
141
Итак, на Q определена функция аг со свойствами:
а1 = а > 1;
аГ1 -а7"2 = аГ1+г2;
аГ1 < аГ2 при Г1 < тг;
аГ1 —> а1"2 при Q Э и -» гг-
Продолжим ее на всю числовую ось следующим образом.
8° Пусть х G R, s = sup аг и i = inf ат. Ясно, что s, i G 1R, так
QgrCE Q9r>s
как при и < х < Г2 имеем аГ1 < аГ2.
Покажем, что на самом деле s = i (и тогда эту величину мы обо-
значим через ах).
◄ По определению s и г, при и < х < г% имеем
аГ1 < s < i < аТ2.
Тогда 0 < i — s а1"2 — аГ1 = аГ1 (аГ2~Г1 — 1) < $(аГ2~Г1 — 1). Но ар —> 1
при Q Э р —> 0, поэтому для любого £ > 0 найдется 5 > 0 такое, что при
О < тг ~ И < й будет аГ2-Г1 — 1 < е/s. Тогда получим, что 0 i — s < £,
и, поскольку £ > 0 произвольно, заключаем, что i = з. ►
Положим ах := s = i.
9° Покажем, что ах — lim ат.
ОЭг—
◄ Учитывая 8°, для £ > 0 найдем г' < х так, что s — е < ат s =
= ах, и г" так, что ах = i аг < г + £. Поскольку г' < г < г" влечет
аг < аг < ат , для всех г G Q, лежащих в интервале ]т', т"[, будем тогда
иметь
ах — £ < аг < ах + £. ►
Займемся теперь свойствами построенной функции ах на R.
10° Для Ж1,Ж2 G К при а > 1 (rri < х?) => (а11 < а12).
◄ На интервале ]a?i, жг[ найдутся два рациональных числа п < Г2-
Если xi и < Г2 Х2, то по определению ах, данному в 8°, и свойствам
функции ах на Q имеем
aX1 ^аГ1 <аГ2 аХ2. ►
11° Для любых ®i, Х2 6 К верно аХ1 аХ2 = аХ1+Х2.
142
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
◄ В силу известных нам оценок абсолютной погрешности произве-
дения и свойства 9° можно утверждать, что для любого £ > 0 найдется
число 8' > 0 такое, что при |®i — п| < 8', \х2 — гг| < 8' будет
аХ1 .а^ _£ < ап . ar2 < axi . ах2 + |.
2 2
Уменьшая, если нужно, 6', можно подобрать 8 < 8' так, что при
|®1 - п| < |®2 - гг| < 8, т.е. при |(si + х2) - (и + гг)| < 28, будем
иметь также
„Г1+Г2 £ „S1+S2 пП+Г2 ! £
° ~2 2'
Но аГ1 -аГ2 = аГ1+г2 для ri,r2 G Q, значит, из полученных неравенств
вытекает, что
аХ1 аХ2 — е < аХ1+Х2 < аХ1 аХ2 + е.
Поскольку £ > 0 произвольно, заключаем, что
аХ1 аХ2 = аХ1+Х2. ►
12° lim ах = ах°. (Напомним, что «х -> жо» — принятое сокращение
х—>Xq
для «К Э х -> so».)
◄ Проверим сначала, что lima1 = 1. По £ > 0 найдем п G N так,
х-+0
ЧТО
1 - £ < a"1/” < а1/” < 1 + £.
Тогда в силу 10° при |s| < 1/п будем иметь
1 — £ < а-1/” < ах < а1/” < 1 + £,
т.е. проверено, что limах = 1.
х—>0
Если теперь взять 8 > 0, чтобы при |s — то| < 8 было la1-10 — 1| <
< еаГх°, то получим
ах° — £ < ах = ах° (ах~х° — 1) < ах° + £
и тем самым проверено, что lim ах = ах°. ►
x-txo
13° Покажем, что множеством значений построенной функции х н
ах является множество Rf. всех положительных действительных
чисел.
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
143
◄ Пусть уо 6 IR+. Если а > 1, то, как нам известно, найдется число
n G N такое, что а~п < уо < ап.
В силу этого оба множества
А = {ж G К | ах < уо} и В — {ж G К | уо < а1}
непусты. Но поскольку (rri < жг) О (а11 < а12) (при а > 1), то для
любых чисел xi, хз 6 К таких, что xi G А и хз 6 В, имеем х± < хз.
Следовательно, к множествам А и В применима аксиома полноты, из
которой следует существование числа хо такого, что xi xq хз для
любых элементов х\ G А и хз G В. Покажем, что ах° = уо-
Если бы было ах° < уо, то, поскольку a^o+i/n ахо ПрИ п qq,
нашлось бы число п G N такое, что аХо+1/п < уо- Получилось бы, что
(жо + е А в то время как точка хо разделяет А и В. Значит, пред-
положение ах° < у о неверно. Аналогично проверяем, что неравенство
ах° > Уо тоже невозможно. По свойствам действительных чисел отсюда
заключаем, что ах° = уо- ►
14° Мы пока считали, что а > 1. Но все построения можно было
бы повторить и для 0 < а < 1. При этом условии 0 < ar < 1, если
г > 0; поэтому в 6°, а затем окончательно в 10° теперь получим, что
при 0 < а < 1 (ж1 < хз) => (а11 > а12).
Итак, при а > 0, а / 1 на множестве К действительных чисел мы по-
строили действительнозначную функцию х ах со следующими свой-
ствами:
1) а1 = а;
2) аХ1 -аХ2 = аХ1+Х2;
3) ах -> ах° при х -» хо',
4) (аХ1 < аХ2) О (xi < X?), если а > 1,
(а11 > аХ2) <=> (xi < хз), если 0 < а < 1;
5) множеством значений функции х н» ах является множество Elf. =
= {у G R | 0 < у} всех положительных чисел.
Определение 7. Отображение х ах называется показатель-
ной или экспоненциальной функцией при основании а. Особенно часто
встречается функция х ех, когда а = е, которую нередко обознача-
ют через ехр х. В связи с этим для обозначения функции х ах также
иногда используется символ ехро х.
144
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
Ь) Логарифмическая функция. Поскольку отображение ехра: R ->
—> Rj., как видно из свойств показательной функции, биективно, оно
имеет обратное отображение.
Определение 8. Отображение, обратное к ехра: R —> R4., назы-
вается логарифмической функцией при основании а (0 < а, а / 1) и
обозначается символом
loga: ~> До-
определение 9. При основании а = е логарифмическая функция,
или логарифм, называется натуральным логарифмом и обозначается
In: Rf. —R
Причина такой терминологии прояснится при другом, во многом дат
же более естественном и прозрачном подходе к логарифмам, который
мы изложим после построения основ дифференциального и интеграль-
ного исчисления.
По определению логарифма как функции, обратной экспоненциаль-
ной, имеем
Vs G R (log^tr1) = ж),
Vy G Rf. (<№** = у).
Из этого определения и свойств показательной функции, в частно-
сти, получается, что в области R4. своего определения логарифм обла-
дает следующими свойствами:
1') i°ga° — 1;
2') logo(yi • у2) = loga yi + logo у2;
3') loga у -> loga уо при Rj. Э у —> уо G Rf.;
4') (logayi < logay2) <=> (yi < у2), если а > 1,
(loga yi > loga у2) О (yi < у2), если 0 < а < 1;
5') множество значений функции loga: R4. —> R совпадает с множе-
ством R всех действительных чисел.
◄ Из свойства 1) показательной функции и определения логарифма
получаем 1').
Из свойства 2) показательной функции получаем 2'). Действительно,
пусть Xi = loga yi и х2 = loga у2. Тогда yi = aXl, у2 = аХ2 и по 2) yi -у2 =
= аХ1 аХ2 = аХ1+Х2, откуда loga(yi • у2) = хг + х2.
Аналогично, свойство 4) показательной функции влечет свойство 4')
логарифмической.
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
145
Очевидно, 5) => 5').
Осталось доказать 3')-
В силу свойства 2') логарифма
loga у - loga уо = loga ( — ) ,
\Уо/
поэтому неравенства
-£ < 10ga у - 10ga уо < £
равносильны соотношению
toga (a-£) =-£< toga < £ = loga («О ,
которое по свойству 4') логарифма равносильно
V
—а£ < — < а£ при a > 1,
Уо
У —
а£ < — < а £ при 0 < a < 1.
Уо
В любом случае мы получаем, что если
уоа~е <у < Уоае при a > 1
или
уоа£ <у < уо(Г£ при 0 < a < 1,
то
-£ < loga У ~ loga УО < £
Таким образом, проверено, что
lim
®+9j/-+j/o€IK+
loga У = toga УО-
На рис. 9 изображены графики функций ех, 10®, Ins, log10 х =: logs,
а на рис. 10—графики функций 1g) , 0,1®, log^ ж, log01 х.
Остановимся еще на одном свойстве логарифма, которым тоже час-
то приходится пользоваться.
Покажем, что для любого b > 0 и любого a G R справедливо равен-
ство
6') loga(b“) = aloga ь-
◄ 1° Равенство справедливо при а = п £ N, ибо из свойства 2')
логарифма по индукции получаем loga(yi Уп) = toga yi + + loga уп,
значит,
toga(bn) = loga & + ••• + toga Ь = П loga Ь.
6-4573
146
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
Рис. 9.
2° loga(6-1) = - loga b, ибо если /3 = loga b, то
b = a/3, b^1 = a~@ и loga (b-1) = -/3.
3° Из 1° и 2° теперь заключаем, что для a G Z равенство loga(b“) -
= a loga b справедливо.
4° logjb1/”) = |logab при п £ Z. Действительно,
loga b = loga (б1/”) = п loga (b1/n^ .
5° Теперь можно проверить, что для любого рационального числа
a = £ Q утверждение справедливо. В самом деле,
™ loga b = mloga (b1/n) = loga (b1/n^ = loga (bm/n^ .
6° Но если равенство loga br = г loga b справедливо для любого г G
G Q, то, устремляя г по Q к ft, на основании свойства 3) показательной и
свойства 3') логарифмической функций получаем, что если г достаточ-
но близко к а, то Ъг близко к Ьа и loga br близко к loga ba. Это означает,
что
lim logabr = logab“.
ОЭг-+а
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
147
Но loga br = г loga b, поэтому
loga ba = lim loga br = lim r loga b = a loga b. ►
ОЭг-+а ОЭг—
Из доказанного свойства логарифма можно сделать вывод, что для
любых «,/ЗеКиа>0 имеет место равенство
6) (ааУ = а0#.
◄ При а — 1 считаем, по определению, 1“ = 1 для а 6 R. Таким
образом, в этом случае равенство тривиально.
Если же а 1, то по доказанному
loge((a“)^) = /3 loga(a“) = /3 • a loga а = /3 • а = loga(aQ/3),
что в силу свойства 4') логарифма доказывает справедливость указан-
ного равенства. ►
с) Степенная функция. Если считать 1“ = 1, то при любом х > 0 и
а € R мы определили величину ха (читается «ж в степени а»).
Определение 10. Функция х ха, определенная на множест-
ве R+ положительных чисел, называется степенной функцией, а число а
называется показателем степени.
148
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
Степенная функция, очевидно, является композицией показательной
и логарифмической функций, точнее,
ха _ aloga(a:Q) _ Qa\ogax
На рис. 11 изображены графики функции у = ха при различных
значениях показателя степени.
Рис. 11.
3. Общее определение предела функции (предел по базе).
Доказывая свойства предела функции, мы убедились, что от проколо-
тых окрестностей, в которых были определены наши функции и кото-
рые возникали в процессе доказательств, кроме свойств Bi), В2), ука-
занных во введении к предыдущему пункту 2, действительно ничего не
потребовалось. Это обстоятельство служит оправданием для выделе-
ния следующего математического объекта.
а. База; определение и основные примеры
Определение 11. Совокупность В подмножеств В С X множе-
ства X будем называть базой в множестве X, если выполнены два
условия:
Bi) VB G В
в2) VB1 е В чв2ев ЗБеВ (в с вг п в2).
Иными словами, элементы совокупности В суть непустые множества
и в пересечении любых двух из них содержится некоторый элемент из
той же совокупности.
Укажем некоторые наиболее употребительные в анализе базы.
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
149
Обозначение базы Чтение обозначения Из каких множеств (элементов) состоит база Определение и обозна- чение элементов базы
х а х стремится к а База проколотых окрестностей точ- ки a G R 0 U(a) := = {ж G R | а — <51 < < ж < а+§2/\х а}, где <51 > 0, ^2 > 0
х оо х стремится к бесконечности База окрестностей бесконечности П(оо) := = {ж G R | 6 < |ж|}, где 6 € R
х а, х G Е или Е э х а или х —> а х стремится к а по множест- ву Е База*’ проколотых окрестностей точ- ки а в множестве Е UE(a) ;=EnU(a)
х -> оо, х G Е или Е Э ж —> оо или х —> 00 ев х стремится к бесконечности по множест- ву Е База**’ окрестнос- тей бесконечности в множестве Е UE(oo) :=EnU(oo)
"’Предполагается, что а — предельная точка множества Е.
"’Предполагается, что множество Е не ограничено.
Если Е = Е+ — {ж G R | х > а} (Е = Е~ = {ж £ R | х <
< а}), то вместо х -> а, х 6 Е пишут х —> а + О (ж —> а — 0) и
говорят, что х стремится к а справа или со стороны больших значений
(соответственно, слева или со стороны меньших значений). При а = 0
принята краткая запись х —> +0 (х —> —0) вместо х —>0+0 (х —>0 — 0).
Запись Е Э х —> а + 0 (Е Э х —> а — 0) будет употребляться вместо
х -> а, х G ЕГ\Е+ (ж —> а, х 6 ЕС\Е~). Она означает, что х стремится
по множеству Е к а, оставаясь больше (меньше), чем а.
Если
Е = Е^ — {ж G R | с < х}
(Е = Ех = {ж G R | ж < с}),
то вместо х —> оо, х £ Е пишут х —> +оо (ж -> —оо) и говорят, что
150
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
х стремится к плюс бесконечности (соответственно, к минус беско-
нечности).
Запись Е Э х —> +оо (Е Э х -> —оо) будет употребляться вместо
х -> оо, х G Е П Е^ (х оо, х 6 Е И Е^).
При Е = N вместо х —> оо, х £ N мы (если это не ведет к недоразу-
мению) будем, как это принято в теории предела последовательности,
писать п —> оо.
Заметим, что все перечисленные базы обладают той особенностью,
что пересечение любых двух элементов базы само является элементом
этой базы, а не только содержит некоторый элемент базы. С другими
базами мы встретимся при изучении функций, заданных не на числовой
оси1).
Отметим также, что используемый здесь термин «база» есть крат-
кое обозначение того, что в математике называется «базисом филь-
тра», а введенный ниже предел по базе есть наиболее существенная
для анализа часть созданного современным французским математиком
А. Картаном понятия предела по фильтру2).
Ь. Предел функции по базе
Определение 12. Пусть f: X —> R — функция на множестве X]
В — база в X. Число A 6 R называется пределом функции f-. X —> R по
базе В, если для любой окрестности У (А) точки А найдется элемент
В € В базы, образ которого f(B) содержится в окрестности У (А).
Если А — предел функции f: X —> R по базе В, то пишут
lim/(ж) = А.
Повторим определение предела по базе в логической символике:
(lim f(x) = А) := VV(A) ЗВ G В (f(B) С У(А)).
Поскольку мы сейчас рассматриваем функции с числовыми значени-
ями, полезно иметь в виду и следующую форму этого основного опре-
деления:
^Например, совокупность открытых (без граничной окружности) кругов, содер-
жащих данную точку плоскости, является базой. Пересечение двух элементов базы
не всегда круг, но всегда содержит круг из нашей совокупности.
^Подробнее об этом см.: Бурбаки Н. Общая топология. М.: ИЛ, 1958.
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
151
(lim f(x) = Aj := Ve > 0 SB G В Vs 6 В (|/(s) — A| < e).
В этой формулировке вместо произвольной окрестности У (А) бе-
рется симметричная (относительно точки А) окрестность (е-окрест-
ность). Эквивалентность этих определений для вещественнозначных
функций вытекает из того, что, как уже говорилось, в любой окрест-
ности точки содержится некоторая симметричная окрестность этой же
точки (проведите доказательство полностью!).
Мы дали общее определение предела функции по базе. Выше были
рассмотрены примеры наиболее употребительных в анализе баз. В кон-
кретной задаче, где появляется та или иная из этих баз, необходимо
уметь расшифровать общее определение и записать его для конкрет-
ной базы.
Так,
lim f(x) = а) := Ve > О 3<J > 0 Vs G la — 5, a[ (|/(s) — Al < e),
I-+Q-0 /
lim /(s) — a) := Ve > 0 3<5 6 R Vs < 6 (|/(s) — A| < e).
x~~>—00 /
Рассматривая примеры баз, мы, в частности, ввели понятие окрест-
ности бесконечности. Если использовать это понятие, то в соответ-
ствии с общим определением предела разумно принять следующие со-
глашения:
(lim/(s) = оо) := W(oo) ЗВ 6 В (/(В) С У(оо))
или, что то же самое,
(lim/(s) = оо) := Ve > О ЗВ 6 В Vs G В (е < \f (s)|),
(lim/(s) = +оо) :=VegR ЗВ G В Vs G В (e < /(s)),
(lim/(s) = —oo) := Ve G R 3B G В Vs G В (/(s) < e).
Обычно под £ подразумевают малую величину. В приведенных опре-
делениях это, разумеется, не так. В соответствии с принятыми согла-
шениями, например, можем записать
lim /(s) = —оо) := Vc G R 3<S G R Vs > 6 (/(s) < e).
1-++00 /
Советуем читателю самостоятельно написать полное определение
предела для различных баз в случае конечных (числовых) и бесконеч-
ных пределов.
152
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
Для того чтобы можно было считать доказанными и в общем случае
предела по произвольной базе все те теоремы о пределах, которые мы
доказали в пункте 2 для специальной базы Е В х —> а, необходимо
дать соответствующие определения: финально постоянной, финально
ограниченной и бесконечно малой при данной базе функций.
Определение 13. Функция /: X —> R называется финально по-
стоянной при базе В, если существуют число A £ R и такой элемент
В е В базы, в любой точке х G В которого /(ж) = А.
Определение 14. Функция /: X —> R называется ограниченной
при базе В или финально ограниченной при базе В, если существуют
число с € Ки такой элемент В £ В базы, в любой точке х £ В которого
|/(т)| < с.
Определение 15. Функция f: X —> R называется бесконечно ма-
лой при базе В, если lim/(ж) = 0.
После этих определений и основного наблюдения о том, что для до-
казательства теорем о пределах нужны только свойства Bi) и В2) базы,
можно считать, что все свойства предела, установленные в пункте 2,
справедливы для пределов по любой базе.
В частности, мы можем теперь говорить о пределе функции при
х —> оо, или при х —> —оо, или при х —> +оо.
Кроме того, мы обеспечили себе возможность применения теории
пределов и в том случае, когда функции будут определены не на число-
вых множествах; в дальнейшем это окажется особенно ценным. К при-
меру, длина кривой есть числовая функция, определенная на некотором
классе кривых. Если мы знаем эту функцию на ломаных, то потом пре-
дельным переходом определяем ее для более сложных кривых, например
для окружности.
В данный же момент основная польза от сделанного наблюдения и
введенного в связи с ним понятия базы состоит в том, что они изба-
вляют нас от проверок и формальных доказательств теорем о пределам
для каждого конкретного вида предельных переходов или, в нашей ны-
нешней терминологии, для каждого конкретного вида баз.
Для того чтобы окончательно освоиться с понятием предела по про-
извольной базе, доказательства дальнейших свойств предела функции
мы проведем в общем виде.
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
153
4. Вопросы существования предела функции
а. Критерий Коши. Прежде чем формулировать критерий Коши,
дадим следующее полезное
Определение 16. Колебанием функции f: X —> R на множестве
Е С X называется величина
w(/;E):= sup |/(si) - /(ж2)|,
т. е. верхняя грань модуля разности значений функции на всевозмож-
ных парах точек Ж1, Х2 6 Е.
Примеры.
11. ш(х2; [-1,2]) = 4.
12. щ(ж;[-1,2]) =3.
13. щ(ж;]-1,2[) = 3.
14. w(sgnx; [-1,2]) = 2.
15. w(sgnx; [0,2]) = 1.
16. w(sgnx; ]0,2]) = 0.
Теорема 4 (критерий Коши существования предела функции).
Пусть X —множество и В — база в X.
Функция f: X —> R имеет предел по базе В в том и только в том
случае, когда для любого числа е > 0 найдется элемент В £ В базы,
на котором колебание функции меньше е.
Итак,
Slim f(x) о Ve > 0 ЭВ G В (u(f; В) < е).
◄ Необходимость. Если lim/(a;) = А, то для любого е > 0 най-
дется элемент В базы В, в любой точке х которого |/(т) — А| < е/3. Но
тогда для любых ац, Х2 из В
2
|/(т1) - /(ж2)| < |/(ж1) - А| + |/(ж2) - А| < -е
О
и, значит, ш(/; В) < е.
Достаточность. Докажем теперь основную часть критерия,
утверждающую, что если для любого е > 0 найдется элемент В базы В,
на котором ш(/; В) < s, то функция f имеет предел по базе В.
154
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
Придавая £ последовательно значения получим после-
довательность Bi, В2,..., Вп,... элементов базы таких, что ш(/; Вп) <
< 1/n, п 6 N. Поскольку Вп 0, в каждом Вп можно взять по точке хп.
Последовательность /(xi), /(^2),..., /(тп),... фундаментальная. Дей-
ствительно, Вп П Вт 0, и, взяв вспомогательную точку х G Вп С\Вт,
получим, что \f(xn)-f(xm)\ < \f(xn)-f(x)\+\f(x)-f(xm)\ < 1/n+l/m.
По доказанному для последовательностей критерию Коши, последова-
тельность {/(тп), n е N} имеет некоторый предел А. Из установлен-
ного выше неравенства при т —> оо следует, что |/(хп) — А| 1/п,
а отсюда, учитывая, что < 1/п, заключаем теперь, что если
п > N = [2/е] + 1, то в любой точке х G Вп будет |/(т) — А| < £. ►
Замечание. Проведенное доказательство, как мы увидим позже,
остается в силе для функций со значениями в любом так называемом
полном пространстве Y. Если же Y — R, а этот случай нас сейчас в
первую очередь и интересует, то при желании можно пользоваться той
же идеей, что и в доказательстве достаточности критерия Коши для
последовательностей.
◄ Полагая тв = inf f(x), Mb = sup f(x) и замечая, что для любых
хев хев
элементов Bi,B^ базы В выполнено mg, пгц1Пв2 Л^В1ПВ2 Мв2,
по аксиоме полноты найдем число A G R, разделяющее числовые мно-
жества {mg} и {Мв}, где В G В. Поскольку w(f-B) = Мв — тв, то
теперь можно заключить, что как только ш(/; В) < £, так |/(т) — А| < е
в любой точке х G В. ►
Пример 17. Покажем, что в случае, когда X = N и В есть ба-
за п —> оо, п G N, доказанный общий критерий Коши существования
предела функции совпадает с рассмотренным ранее критерием Коши
существования предела последовательности.
Действительно, элементом базы п —> 00, п G N является множество
В = N П С7(оо) — {n G N | п > N} тех натуральных чисел п G N,
которые больше некоторого числа N G R. Без ограничения общности
можно считать, что N G N. Соотношение ш(/; В) < £ в нашем случае
означает, что Vni,«2 > N имеем |/(ni) — /(пг)| < £•
Таким образом, условие, что для любого £ > 0 найдется элемент
В Е В базы, на котором колебание w(f-B) функции f меньше £, для
функции f: N -> R равносильно условию фундаментальности последо-
вательности {/(«)}•
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
155
Ь. Предел композиции функций
Теорема 5 (о пределе композиции функций). Пусть Y—множе-
ство; Ву — база в Y; д: Y —> R — отображение, имеющее предел по
базе Ву-
Пусть X —множество, Вх —база в X и f: X —> У —такое ото-
бражение X в Y, что для любого элемента By Е By базы By найдется
элемент Вх Е Вх базы Вх, образ которого f(Bx) содержится в By-
При этих условиях композиция g о f: X —> R отображений fug
определена, имеет предел по базе Вх и lim(g о /)(ж) = lim у (у).
Вх Ву
◄ Композиция g о f: X —> R определена, поскольку /(X) С У.
Пусть lim у (у) = А. Покажем, что lim(y о /)(ж) = А. По заданной
Ву Вх
окрестности V (А) точки А найдем элемент By £ Ву базы Ву такой, что
д(Ву) с У (А). По условию найдется элемент Вх Е Вх базы Вх такой,
что f(Bx) С Ву. Но тогда (у о /)(Вх) = у(/(Вх)) С у(Ву) С У(А)
и мы, таким образом, проверили, что А является пределом функции
(д о /): X —> R по базе Вх ►
Пример 18. lim^®=?
z-»o 7к
Если положить у(у) = a f(x) = 7х, то (д о /)(ж) = . В на-
шем случае y = R\0, X = R. Поскольку limy(y) = lim = 1, то
2/—>0 г/—>0 У
для применения теоремы надо проверить, что, какой бы элемент базы
у -> 0 мы ни взяли, найдется элемент базы х —> 0, образ которого при
отображении /(ж) = 7х содержится в указанном элементе базы у —> 0.
О
Элементами базы у —> 0 являются проколотые окрестности Uу (0) точ-
ки О G R
Элементами базы х —> 0 также являются проколотые окрестности
Вх(0) точки 0 £ R Пусть 17у(0) = {yE'R\a<y</3, у / 0} (где
а,/3 £ R, причем а < 0, /3 > 0) —произвольная проколотая окрестность
нуля в У. Если взять 17х(0) = {х Е R | у < х < £, х / 0}, то эта
проколотая окрестность нуля в X уже обладает тем свойством, что
Ж)(0) = Гу(0) С Гу(0).
Условия теоремы выполнены, и теперь можно утверждать, что
sin7z sin у
lim —— = lim-----= 1.
z-»0 7x J/->0 у
156
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
Пример 19. Функция д(у) = | sgny|, как мы уже видели (см. при-
мер 3), имеет предел lim I sgnyl = 1.
z/->o
Функция у = f(x) = х sin i, определенная при х / 0, также имеет
предел lim х sin = 0 (см. пример 1).
Однако функция (д о /)(ж) = | sgn (ж8Ш^)| при х —> 0 не имеет
предела.
Действительно, в любой проколотой окрестности точки х = 0 име-
ются нули функции sin i, поэтому функция | sgn (ж sin | в любой та-
кой окрестности принимает и значение 1, и значение 0 и по критерию
Коши не может иметь предел при х —> 0.
Не противоречит ли это доказанной теореме?
Проверьте, как мы сделали это в предыдущем примере, выполнены
ли здесь условия теоремы.
Пример 20. Покажем, что
/ 1V
lim I 1 Н— ) = е.
z-»oo \ х /
•< Пусть
Y = N, By — база п —> оо, п Е N;
X = ®+ = {х G R | х > 0}, Вх —база х —> +оо;
f: X —> Y есть отображение х i-^-> [ж],
где [ж] — целая часть числа ж (т. е. наибольшее целое число, не превос-
ходящее числа ж).
Тогда для любого элемента By = {n G N | п > N} базы п —> оо,
п 6 N, очевидно, найдется элемент Вх = {ж 6 R | ж > N + 1} базы
ж —> +оо, образ которого при отображении ж —> [ж] содержится в Ву.
1 + п) , 51(«) = (1 + , 92(п) = Q1 4- -J ,
как нам уже известно, имеют своим пределом по базе п —> оо, п G N
число е.
По теореме о пределе композиции функций можно утверждать, что
тогда функции
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
157
/ 1 \ И / 1 \ и
(9o/)(z)=^l + Hj , (91 О })(Х) = (1 + —) ,
/ ]\ [1]+1
(92 0 /)(*) = (^ + ЭД )
также имеют своим пределом по базе х —> +оо число е.
Теперь остается заметить, что при х 1
и так как при х —> +оо крайние члены стремятся к е, то по свойствам
(1 \ X
1 + =) = е.
X у
Используя теорему о пределе композиции функций, покажем теперь,
( 1 \
что lim (1 + ~ ) = е.
х->-оо X л /
Запишем
Написанные равенства с учетом произведенных замен и = t — 1 и
t = — х обосновываются с конца (!) на основе теоремы о пределе компо-
зиции функций. Действительно, только тогда, когда мы пришли к пре-
делу lim (1 + 57) , существование которого уже доказано, теорема
и->+оо X “/
позволяет утверждать, что предыдущий предел тоже существует и ра-
вен этому. Тогда и стоящий перед ним предел существует, и конечным
числом таких переходов придем к исходному пределу. Это довольно ти-
пичный пример процедуры использования теоремы о пределе сложной
функции при вычислении пределов.
Итак, мы имеем
/ 1V / 1V
lim (1-1— I = е = lim (1-1—
х->—00 \ X J z-»+oo \ х J
158
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
(1 1
1 + 4 I = е-
/
Действительно, пусть задано число е > 0.
Поскольку lim f 1 + = е, найдется число q 6 К такое, что при
х->—оо X
К1 V I
1 + ж ) - е < е.
(1 \ М
1 + ~ ) = е, найдется число С2 G R такое, что при
/
с2 <х будет | (1 + |) — е| < £.
К1 Xх I
1 + i— е < е.
(1. X х
1 + £) = е. ►
Пример 21.
lim (l + i)1/( = е.
t->o v
• < После замены х = 1/t возвращаемся к пределу, рассмотренному в
предыдущем примере. ►
Пример 22.
х
lim — = 0, если q > 1.
х—>-|-oo qx
◄ Мы знаем (см. § 1, пример 11), что lim -%- = 0, если q > 1.
п—>оо qn
Теперь, как и в примере 3, можно рассмотреть вспомогательное ото-
бражение f: —> N, осуществляемое функцией [ж] (целая часть ж).
Воспользовавшись неравенствами
1 [ж] ж [ж] +1
q ' < (f 9ta;]+1 q
и учитывая, что по теореме о пределе сложной функции крайние члены
стремятся к нулю при ж —> +оо, заключаем, что lim — 0. ►
х—>+оо qx
Пример 23.
lim =
х->4-оо ж
• < Пусть а > 1. Полагаем t = loga ж, находим ж = а*. По свойствам по-
казательной и логарифмической функций (учитывая неограниченность
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
159
ап, п Е N) имеем (ж —> +оо) О (i —> +оо). Используя теорему о пределе
сложной функции и результат примера 4, получаем
logox t
lim —— = lim — - 0.
x—>+oo x t-»+oo a*
Если 0 < a < 1, то положим — t — logo x, x = a~l. Тогда (x —> +oo) о
-й- (t —> +oo), и так как 1/a > 1, то снова
logo X -t t
lim ------= lim —- = — lim ---------r = 0. ►
x->+oo x t->+oo a 1 t-»+oo (1/a)
с. Предел монотонной функции. Рассмотрим теперь один част-
ный, но весьма полезный класс числовых функций—монотонные функ-
ции.
Определение 17. Функция f:E—> К, определенная на числовом
множестве Е С R, называется
возрастающей на Е, если
Vari,х2 ЕЕ (ац < ж2 => /(Ж1) < /(ж2));
неубывающей на Е, если
Vari,х2 е Е (x-l < х2 => /(ац) /(ж2));
невозрастающей на Е, если
Vari, х2 ЕЕ (Xi < х2 => /(Xi) /(ж2));
убывающей на Е, если
Va?i,х2 ЕЕ (Xi < х2 => /(Xi) > /(ж2)).
Функции перечисленных типов называются монотонными на мно-
жестве Е.
Предположим, что числа (или символы —оо, +оо) i = infE и s =
- sup Е являются предельными точками множества Е и f:E—t R —
монотонная функция на Е. Имеет место следующая
Теорема 6 (критерий существования предела монотонной функ-
ции). Для того чтобы неубывающая на множестве Е функция f: Е —>
-> R имела предел при х —> s, х G Е, необходимо и достаточно, чтобы
она была ограничена сверху, а для того чтобы она имела предел при
160
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
х —> i, х G E, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена
снизу.
◄ Докажем теорему для предела lim f(x).
E3x-*s
Если этот предел существует, то, как и всякая функция, имеющая
предел, функция f оказывается финально ограниченной при базе Е Э
Э X -> 8.
Поскольку f — неубывающая на Е функция, отсюда следует, что/
ограничена сверху. На самом деле можно утверждать даже, что f(x)
< lim /(ж) для любого х G Е. Это будет видно из дальнейшего.
E$x->s
Перейдем к доказательству существования предела lim /(ж) при
E^x-ts
условии ограниченности / сверху.
Если f ограничена сверху, то существует верхняя грань значений,
которые функция принимает на множестве Е. Пусть А = sup / (ж); по-
хЕЕ
кажем, что lim f (ж) = А. По е > 0, на основании определения верхней
ЕЭх-ts
грани множества, найдем точку жо G Е, для которой А — е < /(жо) А.
Тогда ввиду неубывания f на Е получаем, что при жо < ж G Е будет
А — е < /(ж) А Но множество {ж G Е | ж0 < ж}, очевидно, есть
элемент базы ж —> s, х G Е (ибо s = supE?). Таким образом, доказано,
что lim /(ж) = А.
ЕЭх-t-s
Для предела lim /(ж) все рассуждения аналогичны. В этом случае
ЕЭх-ti
имеем lim /(ж) = inf f(x). ►
ЕЭх-t-i х&Е
d. Сравнение асимптотического поведения функций. Этот
пункт мы начнем поясняющими тему примерами.
Пусть 7г(ж) — количество простых чисел, не превосходящих данного
вещественного числа ж G R. Имея возможность при любом фиксирован-
ном ж найти (хотя бы перебором) значение тг(ж), мы тем не менее не в
состоянии сразу ответить, например, на вопрос о том, как ведет себя
функция 7г(ж) при ж —> +оо или, что то же самое, каков асимптоти-
ческий закон распределения простых чисел. От Евклида нам известно,
что 7г(ж) —> +оо при ж —> +оо, но доказать, что тг(ж) растет примерно
как удалось только в прошлом веке П. Л. Чебышёву1).
^П. Л. Чебышев (1821 -1894) —великий русский математик и механик, основатель
большой математической школы в России.
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
161
Когда возникает вопрос об описании поведения функции вблизи
некоторой точки (или бесконечности), в которой, как правило, сама
функция не определена, говорят, что интересуются асимптотикой или
асимптотическим поведением функции в окрестности этой точки.
Асимптотическое поведение функции обычно характеризуют с по-
мощью другой, более простой или более изученной функции, которая в
окрестности исследуемой точки с малой относительной погрешностью
воспроизводит значения изучаемой функции.
Так, тг(ж) при х —> +оо ведет себя как функция при х —>
-> 0 ведет себя как постоянная функция, равная 1; говоря о поведении
Q 1
функции х +ж+sm - при х —> оо, мы, ясно, скажем, что она в основном
ведет себя как функция ж2, а при х —> 0 — как sin
Дадим теперь точные определения некоторых элементарных поня-
тий, относящихся к асимптотическому поведению функций. Этими по-
нятиями мы будем систематически пользоваться уже на первом этапе
изучения анализа.
Определение 18. Условимся говорить, что некоторое свойство
функций или соотношение между функциями выполнено финально при
данной базе В, если найдется элемент В 6 В базы, на котором оно
имеет место.
Именно в этом смысле мы до сих пор понимали финальное постоян-
ство или финальную ограниченность функции при данной базе. В этом
же смысле мы дальше будем говорить, например, о том, что финально
выполнено соотношение /(ж) = g(x)h(x) между некоторыми функция-
ми /, g, h. Эти функции могут даже иметь разные исходные области
определения, но если мы интересуемся их асимптотическим поведением
при базе В, то нам важно только, чтобы все они были определены на
некотором элементе базы В.
Определение 19. Говорят, что функция f есть бесконечно малая
по сравнению с функцией д при базе В и пишут / = о(д) или / =
= о(д) при В, если финально при базе В выполнено соотношение f (ж) =
= а(ж) • <?(ж), где а — функция, бесконечно малая при базе В.
Пример 24. ж2 = о(ж) при ж —> 0, так как ж2 = ж • ж.
Пример 25. ж = о(ж2) при ж —> оо, так как финально, когда уже
х / 0, ж = | • ж2.
162
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
Иэ этих примеров надо сделать вывод, что указание базы, при ко-
торой / = о(<?), совершенно необходимо.
Обозначение f = о(д) читается «/ есть о малое от д».
Из определения следует, в частности, что получающаяся при д(х) =
= 1 запись f = о(1) означает просто, что / есть бесконечно малая при
базе В.
Определение 20. Если f = о(д) и функция д сама есть бесконеч-
но малая при базе В, то говорят, что f есть бесконечно малая более
высокого по сравнению с д порядка при базе В.
Пример 26. ж-2 = i при х —> оо есть бесконечно малая более
X
высокого порядка по сравнению с бесконечно малой ж-1 =
Определение 21. Функцию, стремящуюся к бесконечности при
данной базе, называют бесконечно большой функцией или просто бес-
конечно большой при данной базе.
Определение 22. Если / и g — бесконечно большие при базе В и
/ = о(<?), то говорят, что g есть бесконечно большая более высокого
порядка по сравнению с f.
Пример 27. i —> оо при ж —> 0, —> оо при ж —> 0 и i = о
при ж —> 0, поэтому i есть бесконечно большая более высокого порядка
по сравнению с i при ж —> 0.
Вместе с тем при ж —> оо функция ж2 есть бесконечно большая более
высокого порядка, чем ж.
Не следует думать, что, выбрав степени хп для описания асимпто-
тического поведения функций, мы сможем каждую бесконечно малую
или бесконечно большую характеризовать некоторым числом п — ее
степенью.
Пример 28. Покажем, что при а > 1 и любом п 6 Z
lim — = 0,
х->+оо ах
т. е. жп = о(а1) при ж —> +оо.
◄ Если тг < 0, то утверждение очевидно. Если же п 6 N, то, полагая
Т1 / \ п
q = у/а, имеем g > 1 и ^- = 4 , поэтому
a \qx J
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
163
lim —
х—>+оо ах
lim
х—>+оо
X X
lim — •... • lim — = 0.
х—>+оо qx х—>+оо qx
п раз
Мы воспользовались, по индукции, теоремой о пределе произведения
и результатом примера 22. ►
Таким образом, при любом п Е Z получаем хп = о(ах) при х —> +оо,
если а > 1.
Пример 29. Развивая предыдущий пример, покажем, что при а >
> 1 и любом а 6 R
/у» С*
lim — = 0,
т.е. ха = о(ах) при х —> +оо.
◄ Действительно, возьмем
х > 1 получим
число п
6 N такое, что п > а. Тогда при
ха
ах
хп
ах
0
Опираясь на свойства предела и результат предыдущего примера, по-
лучаем, что lim = 0. ►
я->+оо а
Пример 30. Покажем, что при а > 1 и любом а Е R
lim
R-I- —>0
= 0,
X
т.е. а-1/1 = о(ха) при х -> 0, х Е R+-
◄ Полагая в этом случае х = — 1/f, по теореме о пределе сложной
функции, используя результат предыдущего примера, находим
a-1/l ta л
lim ------= lim — = 0. ►
K+9z->0 Xa t->+oo a{
Пример 31. Покажем, что при а > 0
lim
х—>+оо
iQggZ
Ха
= 0,
т. е. при любом положительном показателе степени а имеем logo х =
= о(ха) при х —> +оо.
164
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
•< Если а > 1, то положим х = az/“. Тогда по свойствам показатель-
ной функции и логарифма, опираясь на теорему о пределе композиции
функций и результат примера 29, находим
.. logox (t/a) 1 t п
hm ьо = hm = - lim — = 0.
z-»+oo xa t-»+oo a1 ex t-»+oo a1
Если 0 < a < 1, то 1/fl > 1 и после замены x = a получаем
Um
->+oo Xa
(—t/oi) 1 t
hm -—=--------hm ------7 = 0. ►
-»+oo a £ a t-»+oo (1/a)
Пример 32. Покажем еще, что при любом а > 0
ха logo х = о(1) при х —> 0, х 6 К_|_.
◄ Нам нужно показать, что lim ха log- х = 0 при а > 0. Полагая
1R-I- Эх—>0
х = 1/i, применяя теорему о пределе композиции функций и результат
предыдущего примера, находим
lim x“logax = lim = _ iim = 0. >
R+9z-»0 t—>+оо ta t-»+oo ta
Определение 23. Условимся, что запись f = 0(g) или f = 0(g)
при базе В (читается «/ есть О большое от д при базе В») будет озна-
чать, что финально при базе В выполнено соотношение f(x) = /3(х)д(х),
где /3(х) — финально ограниченная при базе В функция.
В частности, запись f = 0(1) означает, что функция f финально
ограничена при базе В.
Пример 33. + sinx) х = О(х) при х —> оо.
Определение 24. Говорят, что функции fug одного порядка
при базе В и пишут f х g при базе В, если одновременно f = 0(g)
*9 = O(f).
Пример 34. Функции (2 + sinz)z и х одного порядка при х —> оо,
но (1 + sin#)# и ж не являются функциями одного порядка при х —> оо.
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
165
Условие, что функции fug одного порядка при базе В, очевидно,
равносильно тому, что найдутся числа ci > О, С2 > 0 и элемент В базы В
такие, что на В имеют место соотношения
С1|з(ж)| < |/(ж)| < С2|з(ж)|
или, что то же самое,
-5-I/WI«Iswi«
С2 С1
Определение 25. Если между функциями fug финально при
базе В выполнено соотношение /(ж) = у(х)д(х), где Пп17(ж) = 1, то
говорят, что при базе В функция f асимптотически ведет себя как
функция д или, короче, что f эквивалентна д при базе В.
Будем в этом случае писать f ~ д или f ~ д при базе В.
Употребление термина «эквивалентна» оправдано тем, что
(/~9)^(9?/),
(/~9)л(9гл)^(/2л).
Действительно, соотношение f ~ f очевидно, в этом случае 7(ж) =
= 1. Далее, если 1ш17(ж) = 1, то lim-jU = 1 и д(х) = Здесь
£5 £5 7W 7И/
надо только объяснить, почему можно считать, что 7(2) / 0. Если
соотношение /(ж) = 7(ж)<?(ж) имеет место на элементе Bi 6 В, а со-
отношение | < |7(ж)| < |—на элементе В2 G В, то мы можем взять
элемент В С Bi П В2, на котором будет выполнено и то и другое. Всю-
ду вне В, если угодно, можно вообще считать, что 7(ж) = 1. Таким
образом, действительно (/ ~ д) => (д ~ /).
Наконец, если /(ж) = 71(ж)<?(ж) на Bi Е В и д(х) = 72(ж)/г(ж) на
Вг € В, то на элементе В Е В базы В таком, что В С Bj П В2, оба эти
соотношения выполнены одновременно, поэтому /(ж) = 71(ж)Т2(ж)/г(ж)
на В. Но 1пп71(ж)72(ж) = 1пп71(ж)-1пп72(ж) = 1 и тем самым проверено,
что f ~ h.
166
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
Полезно заметить, что поскольку соотношение lim7(3;) = 1 равно-
сильно тому, что 7(3;) = 1 + а(ж), где lima(i) = 0, то соотношение
f ~ д равносильно тому, что /(ж) = д(х) Ч-а(ж)<?(ж) = д(х) Ч-о(<?(ж)) при
базе В.
Мы видим, что относительная погрешность |а(ж)| =
приближения функции с помощью функции д(х), эквивалентной f(x
при базе В, есть величина бесконечно малая при базе В.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 35. ж2 + х = (1 + ж2 ~ ж2 при х —> сю.
Абсолютная величина разности этих функций
стремится к бесконечности, однако относительная погрешность =
= замены функции ж2 + х на эквивалентную величину х2 стремится
к нулю при х —> сю.
Пример 36. В начале этого пункта мы говорили о знаменитом
асимптотическом законе распределения простых чисел. Теперь мы в
состоянии записать его точную формулировку:
7г(ж) — т——при х —> сю.
1пж \1пж/
Пример 37. Поскольку lim = 1, то sin ж ~ ж при ж —> 0, что
можно написать также в виде равенства sin ж = х + о(ж) при ж —> 0.
Пример 38. Покажем, что 1п(1 + ж) ~ ж при ж —> 0.
◄ lim = limlnll Ч-ж)1^ — In flim(l Ч-ж)1/1) = Ine = 1.
х->0 Ж х—>0 Хх—>0 /
Мы воспользовались в первом равенстве тем, что loga(6Q) = aloga6, а
во втором тем, что lim loga t = loga b = loga I limZ I. ►
Итак, ln(l 4- x) = ж Ч- о(ж) при ж —> 0.
Пример 39. Покажем, что ех = 1 Ч- ж Ч- о(ж) при ж —> 0.
ех _ 1 f
◄ lim-----= lim ——----- -- 1.
х-»о ж t->0 1п(1 Ч-1)
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
167
Мы сделали замену х = ln(l + i), ех — 1 = t и воспользовались тем,
что ех —> е° = 1 при х —> 0, причем ех / 1 при х / 0. Таким образом, на
основании теоремы о пределе композиции и результата предыдущего
примера утверждение доказано. ►
Итак, ех — 1 ~ х при х —> 0.
Пример 40. Покажем, что (1 + ж)“ = 1 + ах + о(ж) при х —> 0.
(1+ж)“ —1 ealn(H-x) j а1п(1+ж)
х->о х х-»о аш(Ц-г) х
et-l 1п(1+ж)
= a hm —-— • hm-----------= а.
t—>0 t х->0 X
В этой выкладке мы, предполагая а / 0, сделали замену а In (1+ж) =
= t и воспользовались результатами двух предыдущих примеров.
Если же а = 0, то утверждение очевидно. ►
Таким образом, (1 + х)а — 1 ~ ах при х —> 0.
При вычислении пределов иногда бывает полезно следующее простое
Утверждение 3. Если f ~ f, то lim f(x)g(x) = 1ш1/(ж)<?(ж), если
один из этих пределов существует.
◄ Действительно, коль скоро /(ж) = 7(ж)/(ж) и 1ш17(ж) = 1, то
Нт/(ж)^(ж) = lim^x) f(x)g(x) = \im^x)-\\mf{x)g{x) = \imf{x)g{x). ►
DO D D D
Пример 41.
Incosa; 1,. Ineos1 2 a; 1,. ln(l — sin2 ж
lim ——5- = - hm-----------— = - hm----------------------
x->0 8ШЖ2 2 x-»o x2 2 x->0 ж
1 —sin2 ж 1 ж2 1
- hm-----x— = —- hm -к - — -.
2 x->o x2 2 x->o x2 2
Мы воспользовались тем, что ln(l + а) ~ а при а —> 0, sin ж ~ ж при
х -> 0, ~ при 0 и sin2 ж ~ ж2 при ж -> 0.
Мы доказали, что в одночленах при вычислении пределов можно
заменять функции на им эквивалентные при данной базе. Не следует
распространять это правило на суммы и разности функций.
Пример 42. у/х2 + ж ~ ж при ж —> +оо, но
lim I у ж2 + ж - ж) / lim (ж — ж) = 0.
х->+оо \ / х->+оо
168
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
В самом деле,
lira -----
1_>+О0 V 22 + X + X
lira —. --=
^+°° 1/1+1 +1 2
Отметим еще следующие широко используемые в анализе правила
обращения с символами о(-), О(-).
Утверждение 4. При данной базе
а) О(/)+о(/)=О(/);
Ь) о(У) есть также
с) о(/) + О(7) = О(7);
d) 0(7)+ 0(7) = 0(7);
е) если д(х) / 0, то = о ($g) и = О
Обратите внимание на особенности действий с символами о(-), О(-),
вытекающие из смысла этих символов. Например, 2о(7) = о(7), или
o(f) + O(f) = O(f) (хотя, вообще говоря, о(/) / 0), или о(/) = 0(7), но
0(7) / °(/)- Здесь знак равенства всюду имеет значение слова «есть».
Сами символы о(-), О(-) обозначают не столько функцию, сколько ука-
зание на характер ее асимптотического поведения, которым, кстати,
обладают сразу многие функции, например, и/, и 27, и т.п.
◄ а) После сделанного уточнения утверждение а) перестает вы-
глядеть неожиданным. Первый символ о(7) в нем означает некоторую
функцию вида О1(ж)У(а;), где limai(a;) = 0. Второй символ о(/), кото-
рый можно (или нужно) было бы снабдить пометкой, отличающей его от
первого, означает некоторую функцию вида a2{x)f{x), где lim «2 (2) =
= 0. Тогда mi(ж)/(ж)+012(2)7(2) = (ai(s)+a2(2))7(2) = 03(2)7(2), где
lim аз (ж) = 0.
Ь) Следует из того, что всякая функция, имеющая предел, является
финально ограниченной.
с) Следует из Ь) и d).
d) Следует из того, что сумма финально ограниченных функций
финально ограничена.
е) = а(ж)44 = о (44).
’ 9W д(х) v > д(х) \g{x)J
Аналогично проверяется и вторая часть утверждения е). ►
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
169
Пользуясь этими правилами и эквивалентностями, полученными в
примере 40, теперь можно следующим прямым методом искать предел
из примера 42:
v Z1 1
= hm ( 9 +»(! ) = о-
х->+оо \ 2 у 2
Несколько позже мы докажем следующие важные соотношения, ко-
торые уже сейчас стоит запомнить как таблицу умножения:
ех = 1 + 1 1 2 1 п _ж + _а;2 + ... + _жП + ... при ж Е К,
COS X = 1 — 2,*2+4/+---+Ц *“+ при ж ей,
1 SIM = —ж -З!а;3 + -+ (2t+V‘+, + - при Ж е я
1п(1 + ж) = х — 1 2 1 Ч (-I)””1 п 2 3 п при |ж| < 1,
(1+ж)а = 1 + а а(а — 1) 9 1!Ж+ 2! Х+- + а(а- l)...(a-n + l) п + . ж +.. п! . при |ж| < 1.
Эти соотношения, с одной стороны, уже могут служить вычислитель-
ными формулами, а с другой стороны, как будет видно, содержат в
себе следующие асимптотические формулы, обобщающие формулы, по-
лученные в примерах 37 - 40:
ех = 1 + ^х + ^уж2 + ... + ^хп + О (жп+1) при х -> 0,
cosz = 1 _ 1ж2 + 1ж4 + ... + ^-ж2/г + О (х2к+2)
при х —> 0,
170
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
sin ж = ^ж - т^ж3 + ... + + ° {х2к+3) ПРИ х °>
1п(1 + ж) — ж — ^ж2 + ^ж3 + ... + -——--жп + О (жп+1) при ж -> О,
2» о 72
л а — 1) 9
(1 + ж)“ = 1 + -ж + 2! ’х2 + ...+
а(а — 1)... (а — п + 1) „ п.1ч
+ -i-----<---------——^ж +О(ж +1) при ж->0.
п! ' '
Эти формулы обычно являются наиболее эффективным средством
при отыскании пределов элементарных функций. При этом полезно
иметь в виду, что О (жт+1) = жт+1-О(1) = хт-х-О(1) = хт-о(1) = о(жт)
при ж —> 0.
Рассмотрим в заключение несколько примеров, показывающих эти
формулы в работе.
Пример 43.
Ж-81ПЖ
lim----5
х->0 Хл
х — (х — Аж3 + О (ж5
= lim----------------------
х->0 Хл
= lim + О (ж2)') =
х->о \ 3! ' / 3!
Пример 44. lim
1->оо
Имеем при ж —> сю:
- cos | ) = ?
ж3 + ж
1+ж3
1 + ж 2
1 + ж-3
, 1 1А
— 1 Н 2 + ( -3 ) ’
Ж2 \ХЛJ
7/ж3 + Ж
V 1 + ж3
1 7 1 1 ( 1
cos - = 1 - - - j + О -j
2! х£ \х^
ж
откуда получаем
7/ж3 + ж
1 9 1
1 ~ cos “ = 77 ' ~2
1 + хл х 14 ж2
1
ж3
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
171
Таким образом, искомый предел равен
Пример 45.
= lim exp
х—>оо
Задачи и упражнения
1. а) Докажите, что существует и притом единственная определенная на В
функция, удовлетворяющая требованиям
/(1) = а (а > 0, а / 1),
/(a:i) • f(x2) = f (xi + х2),
f(x) -> f(x0) при х -> х0.
b) Докажите, что существует и притом единственная определенная на В4.
функция, удовлетворяющая требованиям
/(а) = 1 (а > 0, а / 1),
/(^1) +/(^2) = /(zi -2:2),
f(x) -> f(x0) при х0 € В+ и IR+ э х -> х0.
Указание. Просмотрите еще раз конструкцию показательной и логариф-
мической функций, разобранную в примере 10.
2. а) Установите взаимно однозначное соответствие ip: В —> В+ так, чтобы
для любых х, у е В было <р(х + у) — ip(x) <р(у), т. е. чтобы операции сложения
в прообразе (в В) отвечала операция умножения в образе (в Р^). Наличие
такого отображения означает, что группы (В, +) и (Rf., ) как алгебраические
объекты одинаковы, или, как говорят, изоморфны.
Ь) Докажите, что группы (В, +) и (В \ 0+, •) не изоморфны.
172
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
3. Найдите пределы
a) lim Xх:
х—>+0
b) lim а:1/®;
х—»+оо
с) |im
' О*_4.П 1
4. Покажите, что
1 + i + ... + —= Inn + с + о(1) при п —> оо,
2 ть
где с — постоянная. (Число с = 0,57721... называется постоянной Эйлера.)
Указание. Можно воспользоваться тем, что
, п+1 . / 1\ 1 „ / 1 \
1п---= In 1 Н— = —I-OI—- I при п -+ оо.
п \ п/ п \п2 J
On
5. Покажите, что
ОО оо
а) если два ряда 52 °п, 52 Ьп с положительными членами таковы, что
П=1 П=1
~ Ьп при п —> сю, то эти ряды сходятся или расходятся одновременно;
00 1
Ь) ряд 52 sin — сходится только при р > 1.
п=1 пР
6. Покажите, что
ОО
а) если ап an+i > 0 при любом п ё N и ряд 52 °п сходится, то ап =
= о I I при п -+ сю;
/ 1 \ оо
Ь) если Ьп = 0 (4), т0 всегда можно построить сходящийся ряд 52 ап
' ' п=1
такой, что Ьп = о(ап) при п —> оо;
ОО оо
с) если ряд 52 ап с положительными членами сходится, то ряд 52 Ап, где
А,
52 ак — Л 52 °*, тоже сходится, причем ап = о(Ап) при п —> оо;
к=п у fc=n+l
ОО оо
d) если ряд 52 ап с положительными членами расходится, то ряд 52 Ап,
п=1 п=2
где Ап — 1 /52 ak~ а/52 ak, тоже расходится, причем Ап = о(ап) при п -+ оо.
у л=1 у Jfc=l
Из с) и d) следует, что никакой сходящийся (расходящийся) ряд не может
служить универсальным эталоном для установления сходимости (расходимо-
сти) других рядов путем сравнения с ним.
§ 2. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ
173
7. Покажите, что
ОО
а) РЯД 12 1п°п, где ап > 0, п G N, сходится тогда и только тогда, когда
77=1
последовательность {Пп = aj... ап} имеет отличный от нуля предел;
ОО
Ь) ряд 1п(1 + ап), где |ап| < 1, абсолютно сходится тогда и только
П—1
ОО
тогда, когда сходится абсолютно ряд ^2 ап-
77=1
Указание. См. задачу 5а).
оо
8. Говорят, что бесконечное произведение П е* сходится, если последо-
*:=1
п
вательность чисел Пп = П е* имеет конечный, отличный от нуля предел П.
jfc=i
ОО
Тогда полагают П = П
*:=1
Покажите, что
ОО
а) если бесконечное произведение Ц еп сходится, то еп —> 1 при п -> сю;
77=1
ОО
Ь) если Vn G N (еп > 0), то бесконечное произведение Ц еп сходится
77=1
ОО
тогда и только тогда, когда сходится ряд J2 1П еп',
77=1
с) если еп = 1 + ап и все ап одного знака, то бесконечное произведение
ОО ОО
п (1 + On) сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд J2 ап-
П=1 П=1
9. а) Найдите П (1 + ^2п-1)-
77=1
оо
Ь) Найдите Ц cos и докажите следующую формулу Виета1 h
П— 1 2
с) Найдите функцию /(а:), если
/(0) = 1,
/(2а:) = cos2 х /(а:),
f(x) -> /(0) при х -> 0.
^Ф. Виет (1540-1603)—французский математик, один из создателей современ-
ной алгебраической символики.
174
ГЛ. III. ПРЕДЕЛ
Указание: х = 2
10. Покажите, что
. ОО
а) если . п = 1 + (Зп, п = 1,2,..., и ряд 57 абсолютно сходится, то
°n+1 П=1
существует предел lim bn = b G Ж;
п—>оо
оо
Ь) если = 1 + 2 + ап, п : 1,2,..., причем ряд 22 ап абсолютно
n+1 П=1
сходится, то fln ~ 4 при п —> оо;
пр
ОО оо
с) если ряд 22 °п таков, что = 1 + 2 + ап и ряд 22 ап абсолютно
71=1 п+1 77=1
ОО
сходится, то ряд 22 ап абсолютно сходится при р > 1 и расходится при р 1
77=1
(признак Гаусса абсолютной сходимости ряда).
11. Покажите, что для любой последовательности {ап} с положительными
членами
Пт
П-4ОО \ ап /
и эта оценка неулучшаема.
ГЛАВА IV
НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Основные определения и примеры
1. Непрерывность функции в точке. Пусть f—вещественно-
значная функция, определенная в некоторой окрестности точки a G R.
Описательно говоря, функция f непрерывна в точке а, если ее зна-
чения /(ж) по мере приближения аргумента х к точке а приближаются
к значению /(а) функции в самой точке а.
Уточним теперь это описание понятия непрерывности функции в
точке.
Определение 0. Функция f называется непрерывной в точке а,
если для любой окрестности V(/(а)) значения /(а) функции в точке а
найдется такая окрестность U(а) точки а, образ которой при отобра-
жении f содержится в V
Приведем формально-логическую запись этого определения вместе
с двумя его вариациями, часто используемыми в анализе:
(/ непрерывна в точке а) := (УУ(/(а)) 3U(a) С V(/(a)))),
Ve > О 317(a) Ух е Ща) (\f(x) - f(a)\ < е),
Vs > О 3<5 > 0 Ух е R (|ж - а| < 8 => \f(x) - /(а)| < е).
Эквивалентность этих формулировок для вещественнозначных
функций следует из того, что (как уже неоднократно отмечалось) лю-
бая окрестность точки содержит некоторую симметричную окрест-
ность этой точки.
176
ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
Например, если по любой е-окрестности Vе(J(а)) точки / (а) можно
подобрать окрестность U(а) точки а так, что Ух G U(а) (|/(ж) — /(а)| <
< е), т.е. /([7(a)) С Vе(f(а)), то и для любой окрестности V
тоже можно подобрать соответствующую окрестность точки а. Дей-
ствительно, достаточно сначала взять Vs(f(a)) С V(f(a)), а затем по
Ve(/(a)) найти U(a). Тогда /([7(a)) С Ve(/(a)) С V(/(a)).
Таким образом, если функция непрерывна в точке а в смысле вто-
рого из приведенных определений, то она непрерывна в ней и в смысле
исходного определения. Обратное очевидно, поэтому эквивалентность
первых двух формулировок проверена.
Дальнейшую проверку оставляем читателю.
Чтобы не отвлекаться от основного определяемого понятия непре-
рывности функции в точке, мы сначала для простоты предположили,
что функция / определена в целой окрестности точки а. Рассмотрим
теперь общий случай.
Пусть К — вещественнозначная функция, определенная на
некотором множестве Е С К, и a — точка области определения функ-
ции.
Определение 1. Функция f:E-> К называется непрерывной в
точке a G Е, если для любой окрестности У(/(а)) значения /(а) функ-
ции, принимаемого ею в точке а, найдется такая окрестность Ue(o)
точки а в множестве1) Е, образ которой /([7# (а)) содержится в V(f(a)).
Итак,
(/:£/-» R непрерывна в а Е Е) :=
= (W(/(o)) 3CZs(a) (f(UE(a)) с V(/(a)))).
Разумеется, определение 1 тоже можно записать в е - 5-форме, рас-
смотренной выше. Там, где нужны числовые оценки, это бывает полезно
и даже необходимо.
Запишем эти вариации определения 1:
(/:£/-» R непрерывна в a G Е) :=
= (Ve > 0 3[7Е(а) Ух е UE(a) (|/(Ж) - /(а)| < е)),
^Напомним, что С/д(а) = Е О Ufa).
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ
177
или
(f:E-+ R непрерывна в ае В) :=
= (Ve > О 35 > 0 Ух е Е (|гс — а| < 6 => |/(гс) — /(а)| < е))-
Обсудим теперь детально понятие непрерывности функции в точке.
1° Если а — изолированная, т.е. не предельная, точка множества Е,
то найдется такая окрестность U(a) точки а, в которой нет других
точек множества Е, кроме самой точки а. В этом случае ?7е(я) = а,
и поэтому /(%(«)) = /(а) С V(/(a)), какова бы ни была окрестность
V(/(a)). Таким образом, в любой изолированной точке области опреде-
ления функция, очевидно, непрерывна. Но зто вырожденный случай.
2° Содержательная часть понятия непрерывности относится, таким
образом, к тому случаю, когда a G Е и а — предельная точка множест-
ва Е. Из определения 1 видно, что
(/: Е —> R непрерывна в a G Е, где а —предельная точка Е) О
О f Jim f(x) = f(a)\ .
\ЕЭх—>а J
◄ В самом деле, если а — предельная точка Е, то определена база
О
Е Э х —> а проколотых окрестностей U е (а) = Ue (а) \ а точки а.
Если / непрерывна в точке а, то, найдя для окрестности У(/(а))
окрестность Ue(o) такую, что /([/^(а)) С V(/(a)), мы одновременно
О
будем иметь /(С7£;(а)) С У(/(а)) и в силу определения предела, таким
образом, lim /(ж) = f(a).
ЕЭх—>а
Обратно, если известно, что lim /(ж) = / (а), то по окрестности
ЕЭх—о о
Е(/(а)) найдем проколотую окрестность Uе(о) так, что С
СУ(/(а)). Но поскольку/(a) G V(/(a)), то тогда и/(1ТБ(а)) с V(/(a)).
В силу определения 1 это означает, что функция / непрерывна в точке
а£Е. ►
3° Поскольку соотношение lim f(x) = /(а) можно переписать в
ЕЗх—
форме
7-4573
178
ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
мы теперь приходим к полезному заключению, что непрерывные в точ-
ке функции (операции) и только они перестановочны с операцией пре-
дельного перехода. Это означает, что то число / (а), которое получается
при выполнении операции f над числом а, можно сколь угодно точно ап-
проксимировать значениями, получаемыми при выполнении операции /
над соответствующими заданной точности приближенными значения-
ми х величины а.
4° Если заметить, что при a G Е окрестности Ue(o) точки а обра-
зуют базу Ва (независимо от того, является ли а предельной или изо-
лированной точкой множества), то мы увидим, что само определение 1
непрерывности функции в точке а совпадает с определением того, что
число / (а) —значение функции в точке а—является пределом функции
f по этой базе, т. е.
(/: Е -» R непрерывна в a G Е) О I 1пп/(гс) = /(а) I .
\ /
5° Заметим, однако, что если lim/(ж) существует, то, поскольку
Ва
а Е Ue(o) для любой окрестности Ue(o), этот предел неизбежно ока-
зывается равным /(а).
Таким образом, непрерывность функции f: Е -» R в точке а Е Е
равносильна существованию предела этой функции по базе Ва окрест-
ностей (но не проколотых окрестностей) Ue (а) точки а в Е.
Итак,
(/: Е -» R непрерывна в а Е Е) О i 31im/(a:) j .
6° В силу критерия Коши существования предела теперь можно ска-
зать, что функция непрерывна в точке а Е Е тогда и только тогда,
когда для любого е > 0 найдется окрестность Ue(o) точки а в Е такая,
на которой колебание а>(/; Ue(o)) функции меньше е.
Определение 2. Величина о>(/; а) = lim а>(/;17^(а)) (где U^(a)
6~>+о
есть 5-окрестность точки а в множестве Е) называется колебанием
функции f: Е —> R в точке а.
Формально символ уже занят, он обозначает колебание
функции на множестве X. Однако мы никогда не будем рассматри-
вать колебание функции на множестве, состоящем из одной точки (это
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ
179
колебание, очевидно, равно нулю); поэтому символ а>(/; а), где а — точ-
ка, всегда будет обозначать то понятие колебания функции в точке,
которое мы только что ввели определением 2.
Колебание функции на подмножестве не превышает колебания
функции на множестве, поэтому величина о>(/; СТ^Да)) есть неубываю-
щая функция от 6. Поскольку она неотрицательна, то либо она име-
ет конечный предел при 6 -» +0, либо при любом 5 > 0 выполне-
но = +оо. В последнем случае естественно полагают
ш(/;а) = +оо.
7° Используя определение 2, сказанное в 6° теперь можно резюми-
ровать так: функция непрерывна в точке тогда и только тогда, когда
ее колебание в этой точке равно нулю. Зафиксируем это:
(/: Е -» R непрерывна в a G Е) о (о>(/; а) = 0).
Определение 3. Функция f:E-+ R называется непрерывной на
множестве Е, если она непрерывна в каждой точке множества Е.
Совокупность всех вещественнозначных функций, непрерывных на
множестве Е, условимся обозначать символом С(Е; R) или, короче,
ед.
Мы обсудили понятие непрерывности функции.
Рассмотрим теперь некоторые примеры.
Пример 1. Если f:E-+ R — постоянная функция, то f G С'(Е).
Это утверждение очевидно, ибо f(E) = с С V(c), какова бы ни была
окрестность V(с) точки с Е R.
Пример 2. Функция /(я) = х непрерывна на R.
Действительно, для любой точки xq G R имеем |У (ге) — f (^o)l =
= |ж — ГЕо | < £, как только |ж — ГГ01 < 6 = £.
Пример 3. Функция f(x) = sin х непрерывна на R.
В самом деле, для любой точки xq G R имеем
| sin х - sin xq | =
х + х0 . х - х0
2 cos —-— sin —-—
2 2
. X — Хо
SH! ~
sC 2
= |ж - ®о| < £,
как ТОЛЬКО |гг — ГЕо I < S — £.
180
ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
Мы воспользовались неравенством | sin rr j С |ж|, доказанным в гл. III,
§ 2, п. 2d, пример 9.
Пример 4. Функция f(x) = cos х непрерывна на R.
Действительно, как и в предыдущем примере, для любой точки xq Е
G К имеем
I COS X — COS Xq | =
_ . X + х0 . X -х0
-2 sin 2~ Sm~2~ '
<С 2
. X — Xq
sin-------
2
|ж - Яо| < £,
как только |гг — ГЕо | < <5 = £-
Пример 5. Функция f(x) = ах непрерывна на R
Действительно, по свойству 3) показательной функции (см. гл. III,
§ 2, п. 2d, пример 10а) в любой точке xq G R имеем
lim ах = ах°,
Х~>Хо
что, как мы теперь знаем, равносильно непрерывности функции ах в
точке Xq.
Пример 6. Функция / (ж) = logo х непрерывна в любой точке жо Е
6 области определения К+ = {ж G R | х > 0}.
В самом деле, по свойству 3) логарифмической функции (см. гл. III,
§ 2, п. 2d, пример 10b) в любой точке xq G имеем
lim logoz = logoz0,
R+Эя—>хо
что равносильно непрерывности функции logo х в точке xq.
Попробуем, кстати, по заданному е > 0 найти окрестность [7r+ (ojq)
точки xq так, чтобы в любой точке х G С/к+(^о) иметь
| logo ж — loga ж01 < £.
Это неравенство равносильно соотношению
X »
-£ < logo — < £.
Xq
Пусть для определенности a > 1; тогда последнее соотношение равно-
сильно условию
XQa~e < х < XQae.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ
181
Интервал ]п:оа_е, яоае[ и есть искомая окрестность точки xq. По-
лезно обратить внимание на то, что эта окрестность зависит как от
величины е, так и от самой точки xq, чего не наблюдалось в приме-
рах 1-4.
Пример 7. Любая последовательность f: N -> К есть функция,
непрерывная на множестве N натуральных чисел, поскольку каждая
точка множества N является его изолированной точкой.
2. Точки разрыва. Для того чтобы лучше освоиться с понятием
непрерывности, выясним, что происходит с функцией в окрестности
той точки, где она не является непрерывной.
Определение 4. Если функция f: Е -» К не является непрерыв-
ной в некоторой точке множества Е, то эта точка называется точкой
разрыва функции f.
Построив отрицание к утверждению «функция f: Е -» R непрерыв-
на в точке a G Е», мы получаем следующую запись определения того,
что а—точка разрыва функции f:
(a G Е — точка разрыва функции /) :=
= (3V(/(a)) VUE(a) 3<r G UE(a) (f(x) £ У(/(а)))).
Иными словами, a G E — точка разрыва функции f: E -» К, если
найдется такая окрестность У(/(а)) значения /(а) функции в точке а,
что в любой окрестности UE(a) точки а в множестве Е найдется точка
х G UE(a), образ которой не содержится в V(/(a)).
Be - 8- форме это же определение выглядит так:
Зе > О V5 > 0 Зге G Е (|гс — а| < 8 Л |/(гг) — f (а)| > е).
Рассмотрим примеры.
Пример 8. Функция f(x) = sgn х постоянна и, значит, непрерыв-
на в окрестности любой точки a G К, отличной от нуля. В любой же
окрестности нуля ее колебание равно 2. Значит, 0—точка разрыва
функции sgn х. Заметим, что функция имеет в точке 0 и предел сле-
ва lim sgn х = — 1, и предел справа lim sgn х = 1, но, во-первых, они
х-Ь-0 х—>+0
не совпадают между собой, а во-вторых, ни один из них не совпадает
182
ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
со значением sgn 0 = 0 функции в точке 0. Это прямая проверка того,
что 0 — точка разрыва функции.
Пример 9. Функция f(x) = | sgnrc| имеет предел lim | sgnrc| = 1
х—>0
при х -» 0, но /(0) = I sgnOl = 0, поэтому lim f(x) /(0) и 0 — точка
х->0
разрыва функции.
Заметим, однако, что в данном случае, изменяя значение функции
в точке 0 и полагая его равным 1, мы получим функцию, непрерывную
в точке 0, т. е. устраним разрыв.
Определение 5. Если точка разрыва a е Е функции f: Е -> R
такова, что существует непрерывная функция f: Е -» R такая, что
/\е\о, = /\е\о,> то а называется точкой устранимого разрыва функции
f- Е->К.
Таким образом, точка устранимого разрыва характеризуется тем,
что существует предел
положить
/(*) =
lim f(x) = А, но
ЕЭх^а1 ’
/(ж) при х е Е,
<
А при х = а,
А /(а), и достаточно
х а,
как мы уже получим непрерывную в точке а
функцию f: Е -» К.
Пример 10. Функция
/(ж) = <
sinS
0
при х 0,
при х = 0
разрывна в точке 0. При этом она даже не имеет предела при х ->
-> 0, ибо, как было показано в гл. III, § 2, п. 1, пример 5, не существует
предела lim sin График функции sin изображен на рис. 12.
Примеры 8, 9 и 10 поясняют следующую терминологию.
Определение 6. Точка a G Е называется точкой разрыва первого
рода для функции /: Е -» R, если существуют пределы1)
lim
ЕЭх—>а—0
/(®) =: /(а-0),
11П1 /0е) =: /(а + 0)>
ЕЭх—
1^Если а — точка разрыва, то а—предельная точка множества Е. Однако может
случиться, что все точки множества Е в некоторой окрестности точки а лежат по
одну сторону от точки а. В этом случае рассматривается только один из указанных
в определении пределов.
§ 1. ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ
183
но по крайней мере один из этих пределов не совпадает со значени-
ем /(а) функции в точке а.
Определение 7. Если a е Е—точка разрыва функции f:E-+
4 R и в этой точке не существует по меньшей мере один из пределов,
указанных в определении 6, то а называется точкой разрыва второго
рода.
Таким образом, имеется в виду, что всякая точка разрыва, не являю-
щаяся точкой разрыва первого рода, является точкой разрыва второго
рода.
Приведем еще два классических примера.
Пример 11. Функция
Р(ж) = <
если х G Q,
если х € R \ Q,
называется функцией Дирихле1^.
Эта функция разрывна во всех точках, причем, очевидно, все ее
точки разрыва — второго рода, так как на любом интервале есть как
рациональные, так и иррациональные числа.
^П. Г. Дирихле (1805 -1859) — крупный немецкий математик-аналитик, занявший
пост ординарного профессора Геттингенского университета после смерти К. Гаусса
(1855).
184
ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
Пример 12. Рассмотрим функцию Римана^
1_
W) = п'
О,
если х = ™ G Q, где ™ — несократимая дробь,
если х G R \ Q.
Заметим, что, каковы бы ни были точка a G R и ее ограниченная
окрестность Ufa) и каково бы ни было число N G N, в Ufa) имеется
только конечное число рациональных чисел т G Z, п G N, таких,
что п < N.
Уменьшая окрестность, можно, таким образом, считать, что знаг
менатели всех рациональных чисел, попадающих в нее (кроме, быть
может, числа а, если a G Q), уже больше чем N. Таким образом, в
О
любой точке х G U(a) |7^.(гс)| < 1/N.
Мы показали тем самым, что в любой точке a G R \ Q
lim П(х) — 0.
х—>а
Значит, функция Римана непрерывна в любой иррациональной точ-
ке. В остальных точках, т. е. в точках х G Q, функция разрывна, и все
эти точки являются точками разрыва первого рода.
§ 2. Свойства непрерывных функций
1. Локальные свойства. Локальными называют такие свойства
функций, которые определяются поведением функции в сколь угодно
малой окрестности точки области определения.
Таким образом, сами локальные свойства характеризуют поведение
функции в каком-то предельном отношении, когда аргумент функции
стремится к исследуемой точке. Например, непрерывность функции в
некоторой точке области определения, очевидно, есть локальное свой-
ство функции.
Укажем основные локальные свойства непрерывных функций.
Теорема 1. Пусть f . Е —> R—функция, непрерывная в точке
a G Е. Тогда справедливы следующие утверждения:
^Б.Ф. Риман (1826-1866)—выдающийся немецкий математик, фундаменталь-
ные работы которого легли в основу целых областей современной геометрии и ана-
лиза.
§ 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
185
1° функция f ограничена в некоторой окрестности Ue(o) точки а\
2° если f(a) 0, то в некоторой окрестности Ue(o) точки а все
значения функции положительны или отрицательны вместе с f(a);
3° если функция д: Ue(o) —> R определена в некоторой окрестно-
сти точки а и, как и f: Е —> R, непрерывна в самой точке а, то
функции:
а) (/ + з)(я) := f(x)+g(x),
b) (/-3)(^) := f(x)-g(x),
с) (х) :=44
7 \9/ v ’ gw
(при условии, что д(х) 0)
определены в некоторой окрестности точки а и непрерывны в точ-
ке а;
4° если функция д: Y —> R непрерывна в точке b Е Y, а функция
/ такова, что f:E^Y, f(a) — Ь и f непрерывна в точке а, то
композиция (д о /) определена на Е и также непрерывна в точке а.
◄ Для доказательства теоремы достаточно вспомнить (см. § 1), что
непрерывность функции / или д в некоторой точке а области опреде-
ления равносильна тому, что предел этой функции по базе Ва окрест-
ностей точки а существует и равен значению функции в самой точке а:
lim/(z) = /(а), 1ппз(т) = д(а).
•Эа Ба
Таким образом, утверждения 1°, 2°, 3° теоремы 1 непосредственно
вытекают из определения непрерывности функции в точке и соответ-
ствующих свойств предела функции.
В пояснении нуждается только то, что отношение в самом деле
определено в некоторой окрестности Ue(o) точки а. Но, по условию,
д(а) / 0 и в силу утверждения 2° теоремы найдется окрестность Ue(o-),
в любой точке которой д(х) 0, т. е. определено в С^(а).
9\^)
Утверждение 4° теоремы 1 является следствием теоремы о пределе
композиции, в силу которой
lim(s о /)(ж) = 1ш10(з/) = g(b) = g(f(a)) = (д о /)(а),
что равносильно непрерывности (<? о /) в точке а.
Однако для применения теоремы о пределе композиции нужно про-
верить, что для любого элемента Uy (Ь) базы Вь найдется элемент СТ# (а)
базы Ва такой, что /(fT# (a)) С Uy(b). Но в самом деле, если Uy(b) =
= Y Г) U(b), то по определению непрерывности функции f:E—>Y в
186
ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
точке а для окрестности U(b) = найдется окрестность J7e(a)
точки а в множестве Е такая, что /({/^(a)) С J7(/(a)). Поскольку /
действует из Е в У, то /(^(a)) С У DJ7(/(a)) = Uy(b) и мы проверили
законность применения теоремы о пределе композиции. ►
Пример 1. Алгебраический многочлен Р(х) = аохп + oit”-1 +
+ ... + ап является функцией, непрерывной на R.
Действительно, из пункта 3° теоремы 1 по индукции следует, что
сумма и произведение конечного числа непрерывных в некоторой точ-
ке функций есть функция непрерывная в этой точке. Мы проверили в
примерах 1 и 2 § 1, что постоянная функция и функции /(т) = х непре-
рывны на R. Тогда на R непрерывны и функции ахт = а • р •.-хл а
следовательно, и полином Р(х). т раз
Пример 2. Рациональная функция R(x) = —отношение по-
линомов— непрерывна всюду, где она определена, т.е. где Q(x) 0.
Это следует из примера 1 и утверждения 3° теоремы 1.
Пример 3. Композиция конечного числа непрерывных функций
непрерывна в любой точке области своего определения. Это по ин-
дукции вытекает из утверждения 4° теоремы 1. Например, функция
esm (ln|cosx|) непрерывна всюду на R, за исключением точек ^(2к + 1),
к G Z, где она не определена.
2. Глобальные свойства непрерывных функций. Глобальным
свойством функции, описательно говоря, называется свойство, связан-
ное со всей областью определения функции.
Теорема 2 (теорема Больцано-Коши о промежуточном значе-
нии). Если функция, непрерывная на отрезке, принимает на его кон-
цах значения разных знаков, то на отрезке есть точка, в которой
функция обращается в нуль.
В логической символике эта теорема имеет следующую запись1);
(/ G С[а, Ь]) Л (/(а) • /(b) < 0) => Эс G [a, b] (/(с) = 0).
◄ Делим отрезок [а, Ь] пополам. Если в точке деления функция не
равна нулю, то на концах одного из двух полученных в результате
^Напомним, что символ С(Е) обозначает совокупность всех функций, непрерыв-
ных на множестве Е. В случае Е = [а, 6] вместо С([а, 6]) часто пишут сокращенно
С[а,Ь].
§ 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
187
деления отрезков функция снова принимает значения разных знаков.
С этим отрезком поступаем теперь так же, как и с исходным отрезком
[а,&], т.е. делим его пополам, и продолжаем процесс дальше.
Тогда мы либо на каком-то шаге попадем в точку с G [а, Ь], где
/(с) = 0, либо получим последовательность {Zn} вложенных отрезков,
длины которых стремятся к нулю и на концах которых / принима-
ет значения разных знаков. В последнем случае на основании леммы о
вложенных отрезках найдется единственная точка с G [а, Ь\, общая для
всех этих отрезков. По построению существуют две последовательно-
сти и {z„} концов отрезков 1п такие, что /(£„) < 0, /(ж") > О,
lim х' = lim х'' = с. По свойствам предела и определению непрерыв-
п—юо п—>оо
ности получаем lim /(ж') = /(с) 0, lim /(ж") = /(с) > 0. Таким
п—>оо п—>оо
образом, /(с) = 0. ►
Замечания к теореме 2. 1° Доказательство теоремы доставляет
простейший алгоритм отыскания корня уравнения f(x) = 0 на отрез-
ке, в концах которого непрерывная функция имеет значения разных
знаков.
2° Теорема 2, таким образом, утверждает, что при непрерывном из-
менении нельзя перейти от положительных значений к отрицательным
или наоборот, не приняв по дороге значения нуль.
3° К описательным высказываниям типа 2° следует относиться с ра-
зумной осторожностью, поскольку в них обычно подразумевается боль-
ше, чем высказывается. Рассмотрим, например, функцию, равную —1
на отрезке [0,1] и равную 1 на отрезке [2,3]. Ясно, что эта функция
непрерывна на области своего определения, принимает там значения
разных знаков, но нигде не обращается в нуль. Это замечание пока-
зывает, что свойство непрерывной функции, выраженное теоремой 2,
действительно проистекает от некоторого свойства ее области опреде-
ления (которое, как впоследствии выяснится, состоит в том, что это
множество должно быть связным).
Следствие теоремы 2. Если функция tp непрерывна на интерва-
ле и в каких-то точках а ub интервала принимает значения <р(а) = А
и ip(b) = В, то для любого числа С, лежащего между А и В, найдется
точка с, лежащая между точками а и Ь, в которой </з(с) = С.
◄ Отрезок I с концами а, Ъ лежит в нашем интервале, поэтому
функция f(x) = <р(х) — С определена, непрерывна на I и, поскольку
188
ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
/(а) • f(b) = (А — С)(В — С) < 0, по теореме 2 между а и b найдется
точка с, в которой /(с) — р(с) — С = 0. ►
Теорема 3 (теорема Вейерштрасса о максимальном значении).
Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на нем. При этом на
отрезке есть точка, где функция принимает максимальное значение,
и есть точка, где она принимает минимальное значение.
◄ Пусть f: Е —> R — непрерывная функция на отрезке Е = [а, 6].
В силу локальных свойств непрерывной функции (см. теорему 1) для
любой точки х Е Е найдется окрестность U(x) такая, что на мно-
жестве Ue(x) = Е П U(x) функция ограничена. Совокупность таких
окрестностей U(ж), построенных для всех точек х Е Е, образует по-
крытие отрезка [а, Ь] интервалами, из которого по лемме о конечном
покрытии можно извлечь конечную систему П(ж1),..., U(xn) интерва-
лов, покрывающих в совокупности отрезок [а, Ь]. Поскольку на множе-
стве Е Г) U(xk) = UE(xk) функция ограничена, т.е. С /(ж) < М^,
где mk,Mk Е R и х Е UeIxii), то в любой точке х Е Е = [а, Ь] имеем
min{mi,... ,тп} f(x) max {Mi,... ,Мп}.
Ограниченность функции на отрезке [а, Ь] установлена.
Пусть теперь М = sup f(x). Предположим, что в любой точке х Е Е
хеЕ
(/(ж) < М). Тогда непрерывная на Е функция М — f(x) нигде на Е не
обращается в нуль, хотя (в силу определения М) может принимать зна-
чения, сколь угодно близкие к нулю. Тогда функция
М -/(ж) ’ С ОДНОИ
стороны, в силу локальных свойств непрерывных функций, непрерывна
на Е, а с другой — не ограничена на Е, что противоречит уже дока-
занной ограниченности функции, непрерывной на отрезке.
Итак, существует точка хм G [а, Ь], в которой ф(хм) = М.
Аналогичным образом, рассмотрев т = inf f(x) и вспомогатель-
1 х^Е
ную функцию _ т, докажем, что существует точка хт Е [а,Ь], в
которой f(xm) = т. ►
Заметим, что, например, функции fi(x) = х, Д^) — j непрерыв-
ны на интервале Е = (0,1), но Д не имеет на Е ни максимального,
ни минимального значений, а функция Д не ограничена на Е. Таким
образом, выраженные теоремой 3 свойства непрерывной функции так-
же связаны с некоторым свойством области определения, а именно с
§ 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
189
тем, что из покрытия множества Е окрестностями его точек можно
извлечь конечное покрытие. Такие множества мы впоследствии назо-
вем компактами.
Прежде чем перейти к следующей теореме, дадим
Определение 1. Функция /: Е —> R называется равномерно не-
прерывной на множестве Е С R, если для любого числа £ > 0 найдется
число 6 > 0 такое, что для любых точек х±, Х2 G Е таких, что |ti — т2| <
< 6, выполнено — /(т2)| < £.
Короче,
(/: Е —> R равномерно непрерывна) :=
= (Че >0 > 0 Vti g Е Vt2 G Е (|ж1 — т2| < 6 =>
=> -/(z2)| < е)).
Обсудим понятие равномерной непрерывности.
1° Если функция равномерно непрерывна на множестве, то она не-
прерывна в любой его точке. Действительно, достаточно в приведенном
определении положить xi = х и т2 = а и мы видим, что определение
непрерывности функции f:E—> R в точке a G Е удовлетворено.
2° Непрерывность функции, вообще говоря, не влечет ее равномер-
ную непрерывность.
Пример 4. Уже неоднократно встречавшаяся нам функция /(т) =
= sin j на интервале ]0,1[ = Е непрерывна. Однако в любой окрестно-
сти точки 0 в множестве Е функция принимает как значение —1, так
и значение 1, поэтому при £ < 2 для нее уже не выполнено условие
|/(®1) -/(ж2)| < £.
Полезно в этой связи записать в явном виде отрицание свойства
функции быть равномерно непрерывной:
(/: Е —> R не является равномерно непрерывной) :=
= (Э£ > 0 V<5 > 0 G Е Эх2 € Е (|a?i — т2| < 6 Л
А |/(ж1) — /(ж2)| >е)).
Рассмотренный пример делает наглядным различие между непре-
рывностью и равномерной непрерывностью функции на множестве.
Чтобы указать то место в определении равномерной непрерывности,
190
ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
откуда проистекает это различие, приведем подробную запись того,
что значит, что функция /:£/—> R непрерывна на множестве Е:
(/:£/—> R непрерывна на В) :=
= (Va G Е Ve > 0 35 > 0 Ух G Е (|ж - а| < ё =>\f(x) - f(a)\ < е)).
Таким образом, здесь число ё выбирается по точке a G Е и числу е и
потому при фиксированном £ может меняться от точки к точке, как это
и происходит в случае функции sin i, рассмотренной в примере 1, или
в случае функции logo х или ах, рассматриваемых на полной области их
определения.
В случае же равномерной непрерывности гарантируется возмож-
ность выбора ё только по числу е > 0 так, что во всех точках a G Е из
|ж — а| < ё при х G Е будет следовать |/(ж) — /(а)| < £
Пример 5. Если функция f: Е —> R не ограничена в любой окре-
стности фиксированной точки xq G Е, то она не является равномерно
непрерывной.
Действительно, тогда при любом ё > 0 в ^-окрестности xq найдут-
ся точки Xi, Х2 G Е такие, что |/(Ж1) — /(жг)| > 1> хотя |жх — жг| < ё.
Так обстоит дело с функцией /(ж) = i, рассматриваемой на множе-
стве R \ 0. В данном случае жо = 0.
Так обстоит дело и с функцией logo х, определенной на множестве
положительных чисел и неограниченной в окрестности точки жо = 0.
Пример 6. Функция f(x) = ж2, непрерывная на R, не является
равномерно непрерывной на R.
В самом деле, в точках х’п = у/п + 1, ж" — у/п, где п G N, имеем
f(x'n) = п + 1, /(ж") = п, поэтому /(ж^) - /(ж") = 1. Но
lim (у/п + 1 — Vn) = lim , * = = 0,
n->oo ' ' n->oo vn + 1 + Vn
поэтому при любом ё > 0 найдутся точки х'п. х'^ такие, что |ж^—ж"| < <5,
в то время как /(ж^) — /(ж") = 1.
Пример 7. Функция /(ж) = sin ж2, непрерывная и ограниченная
на R, не является равномерно непрерывной на R. Действительно, в точ-
ках х'п = У^(п + 1), ж" = у|п, где п G N, имеем |/(ж^) - /(ж")| = 1, в
то время как lim |ж^ — ж"| =0.
§ 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
191
После этого обсуждения понятия равномерной непрерывности функ-
ции и сопоставления непрерывности и равномерной непрерывности мы
можем теперь оценить следующую теорему.
Теорема 4 (теорема Кантора-Гейне о равномерной непрерывно-
сти). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на
этом отрезке.
Отметим, что в имеющейся литературе эту теорему обычно называ-
ют теоремой Кантора. Чтобы избежать разночтений, мы в дальнейшем
при ссылках сохраняем это распространенное наименование.
◄ Пусть f:E^> R — данная функция; Е = [а, Ь] и f Е С(Е). По-
скольку / непрерывна в любой точке х G Е, то (см. § 1, п. 1, 6°) по
е > 0 можно найти такую 5-окрестность Us(x) точки х, что колебание
ш(/;Пц(т)) функции / на множестве Ug(x) = Е П Us(x) точек обла-
сти определения функции, лежащих в Us(x), окажется меньше £. Для
каждой точки х G Е построим окрестность Us(x), обладающую этим
свойством. Величина 6 при этом может меняться от точки к точке,
поэтому правильнее, хотя и более громоздко, обозначить построенную
окрестность символом Us(x\x), но, поскольку весь символ определяется
точкой х, можно условиться в следующей сокращенной записи: U(т) =
= П^)(т) и V(t) = L7^)/2(t).
Интервалы V (т), х G Е, в совокупности образуют покрытие отрез-
ка Е = [а, Ь], из которого по лемме о конечном покрытии можно выде-
лить конечное покрытие V(zi),..., V(xn). Пусть 6 = min {|5(ti),...,
|j(a;n)|. Покажем, что для любых точек х', х" G Е таких, что \х' — х"\<
< 6, выполнено |/(т') — /(т")| < £. Действительно, поскольку систе-
ма интервалов V(xi),..., V (тп) покрывает Е, найдется интервал V(rrj)
этой системы, который содержит точку х', т.е. |т' — < ^5(тД. Но в
таком случае
\х" - Tj| < |т' — х"\ + |т' - Tj| < 6 + ^5(tj) < ^5(тД + ^5(тД = 5(тД.
и L L
Следовательно, х',х" G U^x'\xi) = EQU^x,\xi) и потому \f(x') —
-/(т")|^а)(/;^*)(тД)<£. ►
Приведенные выше примеры показывают, что теорема Кантора су-
щественно опирается на некоторое свойство области определения функ-
192
ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
ции. Из доказательства видно, что, как и в теореме 3, это свойство со-
стоит в том, что из любого покрытия множества Е окрестностями его
точек можно извлечь конечное покрытие.
Теперь, после того как теорема 4 доказана, полезно вновь вернуться
к разобранным выше примерам непрерывных, но не равномерно непре-
рывных функций и выяснить, как, например, функция sinrr2, равномер-
но непрерывная по теореме Кантора на каждом отрезке вещественной
прямой, оказывается не равномерно непрерывной на R. Причина здесь
вполне аналогична той, по которой вообще непрерывная функция мо-
жет оказаться не равномерно непрерывной. На сей раз мы предоставля-
ем читателю возможность самостоятельно разобраться в этом вопросе.
Теперь перейдем к последней теореме параграфа — теореме об об-
ратной функции. Нам предстоит выяснить условия, при которых не-
прерывная на отрезке вещественнозначная функция имеет обратную и
в каких случаях эта обратная функция непрерывна.
Утверждение 1. Непрерывное отображение f:E—>№ отрезка
Е = [а, Ь\ ей инъективно в том и только в том случае, когда функ-
ция f строго монотонна на отрезке [а,Ь].
◄ Если функция f возрастает или убывает на произвольном мно-
жестве Е С R, то отображение f:E—> R, очевидно, инъективно: в
различных точках множества Е функция принимает различные зна-
чения.
Таким образом, наиболее содержательная часть утверждения 1 со-
стоит в том, что всякое непрерывное инъективное отображение
f: [а, 5] —> R отрезка осуществляется строго монотонной функцией.
Предположив, что это не так, мы найдем три точки xi < Х2 < а?з
отрезка [а,Ь] такие, что /(яг) не лежит между /(ял) и /(тз). В таком
случае либо /(тз) лежит между /(zi) и /(тг), либо /(:ri) лежит меж-
ду /(тг) и /(тз). Пусть для определенности имеет место последняя из
двух указанных возможностей. По условию функция / непрерывна на
отрезке [х2, тз], и потому (см. следствие теоремы 2) на нем есть точ-
ка х{ такая, что /(т^) — /(zi). Таким образом, х± < х\ и f(xi) = /(о^),
что несовместимо с инъективностью отображения. Случай, когда /(тз)
лежит между /(:ri) и /(тг), разбирается аналогично. ►
Утверждение 2. Каждая строго монотонная функция f: X ->
—> R, определенная на числовом множестве X С R, обладает обрат-
§ 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
193
ной функцией f-1: Y —> R, которая определена на множестве Y =
= f(X) значений функции f и имеет на Y тот же характер моно-
тонности, какой имеет функция f на множестве X.
◄ Отображение /: X —> Y = f(X) сюръективно, т.е. является ото-
бражением на множество Y. Пусть для определенности /: X —> Y воз-
растает на X. В этом случае
Vzi G X Vz2 G X (xi < х2 /(^i) < /(z2)) (1)
Таким образом, отображение f: X —> Y в различных точках прини-
мает различные значения, т. е. оно инъективно. Следовательно, f: X
-> Y биективно, т.е. / — взаимно однозначное отображение X на Y.
Значит, определено обратное отображение /-1: Y —> X, задаваемое
формулой х = если у = f(x).
Сопоставляя определение отображения /-1: Y —> X с соотношени-
ем (1), приходим к соотношению
Уу1бУУу2бУ (/-1(У1) < /-1(У2) ^>У1 < У2) , (2)
означающему, что функция /-1 возрастает на области своего опреде-
ления.
Случай, когда /: X —> Y убывает на X, очевидно, разбирается ана-
логично. ►
В соответствии с доказанным утверждением 2, если интересоваться
непрерывностью функции, обратной к вещественнозначной функции,
полезно исследовать условия непрерывности монотонных функций.
Утверждение 3. Функция f: Е —> R, монотонная на множестве
Е С К, может иметь на Е разрывы только первого рода.
Ч Пусть, для определенности, / — неубывающая функция. Предпо-
ложим, что a G Е есть точка разрыва функции /. Поскольку а не может
быть изолированной точкой множества Е, то а — предельная точка по
крайней мере для одного из двух множеств Е~ = {ж G Е | х < а},
Е+ = {х G Е | х > а}. Поскольку /—неубывающая функция, для лю-
бой точки х G Е~ имеем f(x) < /(а) и ограничение функции / на
множество Е~ оказывается неубывающей ограниченной сверху функ-
цией. Тогда существует предел
Иш (/| }(ж)= lim /(ж) = /(а-0).
Ео Эх-ta ' ° ' ЕЭх—га—О
194
ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
Аналогично доказывается существование предела lim f(x) =
р / гч\ 77*4- ЕЭх >а+0
= f(a + 0), если а — предельная точка множества
Случай, когда f — невозрастающая функция, можно либо разобрать,
повторив проведенное доказательство, либо, перейдя к функции
свести дело к уже рассмотренному случаю. ►
Следствие 1. Если а —точка разрыва монотонной функции
f: Е —> R, то по крайней мере один из пределов
lim /(ж) = /(а-0), lim /(ж) =/(а + 0)
ЕЭх—ta—0 ЕЭх—>а+0
определен; по крайней мере в одном из неравенств f(a — 0) /(а) <
/(а + 0), если f —неубывающая (или f(a — 0) /(а) /(а + 0),
если f—невозрастающая) функция, имеет место знак строгого не-
равенства; в интервале, определяемом этим строгим неравенством,
нет ни одного значения функции; указанные интервалы, отвечающие
различным точкам разрыва монотонной функции, не пересекаются.
◄ Действительно, если а — точка разрыва, то она предельная для
множества Е и в силу утверждения 3 является точкой разрыва перво-
го рода. Таким образом, по крайней мере одна из баз Е Э х —> а — О,
Е Э х —> а + 0 определена и по ней (а в случае определенности обе-
их баз — по каждой из них) существует предел функции /. Пусть, для
определенности, /— неубывающая функция. Поскольку а — точка раз-
рыва, то по крайней мере в одном из неравенств /(а — 0) /(а)
/ (а + 0) на самом деле имеет место строгое неравенство. Поскольку
f(x) < lim f(x) = f(a — 0), если х G Е и х < а, и, аналогично,
ЕЭх-^а—0
f(a + 0) /(ж), если х G Е и а < х, то интервал, определяемый стро-
гим неравенством /(а — 0) < /(а) или /(а) < /(а + 0), действительно
свободен от значений функции. Пусть ai, а^—ръе различные точки
разрыва функции, и пусть ai < а2. Тогда, в силу неубывания функ-
ции f, имеем
/(ai - 0) У(щ) /(ai + 0) /(а2 - 0) /(а2) /(а2 + 0).
Отсюда следует, что не содержащие значений функции интервалы,
отвечающие различным точкам разрыва, не пересекаются. ►
Следствие 2. Множество точек разрыва монотонной функции
не более чем счетно.
§ 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
195
◄ С каждой точкой разрыва монотонной функции свяжем, по след-
ствию 1, интервал, определяемый значением функции в точке разрыва
и одним из пределов функции при приближении аргумента справа или
слева к точке разрыва. Эти интервалы не пересекаются. Но на прямой
может быть не более чем счетное множество непересекающихся интер-
валов. В самом деле, в каждом из них можно выбрать по рациональной
точке, и тогда множество интервалов окажется равномощным подмно-
жеству счетного множества Q всех рациональных чисел. Значит, оно
само не более чем счетно. Вместе с ним, таким образом, не более чем
счетно и равномощное ему по построению множество точек разрыва
монотонной функции. ►
Утверждение 4 (критерий непрерывности монотонной функции).
Монотонная функция /: —> R, заданная на отрезке Е = [а, Ь], не-
прерывна на нем тогда и только тогда, когда множество f(E) ее
значений само является отрезком с концами1^ f(a) и f(b).
◄ Если / — непрерывная монотонная функция, то ввиду монотон-
ности f все значения, которые функция принимает на отрезке [а, &],
лежат между значениями /(а) и f(b), которые она принимает в концах
отрезка. Ввиду непрерывности функции она обязана принимать так-
же и все промежуточные значения между /(а) и f(b). Таким образом,
множество значений функции, монотонной и непрерывной на отрезке
[а,Ь], действительно является отрезком с концами /(а) и f(b).
Докажем теперь обратное утверждение. Пусть f — монотонная на
отрезке [а, 6] функция. Если она разрывна в некоторой точке с € [а, Ь],
то по следствию 1 утверждения 3 один из интервалов ]f (с — 0),/(с)[,
]/(с),/(с-|-0)[ заведомо определен и в нем нет значений нашей функции.
Но ввиду монотонности функции этот интервал содержится в отрезке
с концами /(a), f(b), поэтому если на отрезке [а, Ь] монотонная функция
имеет хотя бы одну точку разрыва, то весь отрезок с концами f(a), f(b)
не может лежать в области значений функции. ►
Теорема 5 (теорема об обратной функции). Функция ft X —> 1R,
строго монотонная на множестве X С R, имеет обратную функцию
/-1: Y —> R, определенную на множестве Y = f(X) значений функ-
ции f. Функция /-1: Y —> R монотонна и имеет на Y тот же вид
монотонности, какой имеет функция ft X —> R на множестве X.
^При этом /(а) f(b), если f — неубывающая, и /(6) f(a), если f — невоэра-
стающая функция.
196
ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
Если, кроме того, X есть отрезок [а, Ь] и функция f непрерывна
на нем, то множество Y = f(X) есть отрезок с концами f(a), f(b) и
функция Y —> Ж непрерывна на нем.
◄ Утверждение теоремы о том, что в случае X = [а, 6] и непрерывно-
сти / множество Y = f(X) есть отрезок с концами f(a), f(b), следует из
доказанного выше утверждения 4. Остается проверить, что /-1: Y ->
—> Ж—непрерывная функция. Но /-1 монотонна на У, У есть отрезок и
/-1 (У) = X = [а, Ь] —тоже отрезок. В силу утверждения 4 заключаем,
что функция J-1 непрерывна на отрезке У с концами f(a), f(b). ►
Пример 8. Функция у = f(x) = sin ж возрастает и непрерыв-
на на отрезке Значит, ограничение этой функции на отре-
зок имеет обратную функцию х = У-1 (у), обозначаемую х =
= arcsiny, определенную на отрезке |jsin ,sin (77)] = [—1,1], воз-
растающую от — до и непрерывную на этом отрезке.
Пример 9. Аналогично, ограничение функции у = cos х на отре-
зок [0, л] есть убывающая непрерывная функция, которая в силу тео-
ремы 5 имеет обратную функцию, обозначаемую х = arccosy, опре-
деленную на отрезке [—1,1] и убывающую на нем от значения к до
значения 0.
Пример 10. Ограничение функции у = tgx на интервал X =
= ]— есть возрастающая от — оо до +оо непрерывная функция,
которая в силу первой части теоремы 5 имеет обратную функцию,
обозначаемую х = arctg у, определенную на всей числовой прямой у G
G Ж и возрастающую на ней в пределах интервала ]— ~, своих зна-
чений. Чтобы доказать непрерывность функции х = arctg у в любой
точке уо ее области определения, возьмем точку xq = arctg у0 и отре-
зок [то — е, xq + е], содержащий xq внутри и содержащийся в интервале
] -J, % [• Если х0 - е = arctg (у0 - 51) и х0 + е = arctg (у0 + 52), то ввиду
возрастания функции х = arctg у можно утверждать, что при любом
у EK таком, что уо — ^1 < У < Уо + ^2, будем иметь xq — е < arctg у <
< Xq + е. Итак, | arctg у — arctg уо | < £ при —Ji < у — уо < £2 и тем более
при |у — уо| < 6 = min {Ji, 62}, что и проверяет непрерывность функции
х = arctg у в точке уо € Ж.
Пример 11. Рассуждениями, аналогичными проведенным в пре-
дыдущем примере, устанавливаем, что поскольку ограничение функции
§ 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
197
у = ctg х на интервале ]0, тг[ есть убывающая от +оо до —оо непрерывная
функция, то она имеет обратную функцию, обозначаемую х = arcctg у,
определенную на всей числовой оси К, убывающую на ней в пределах
интервала своих значений ]0, л[ от л до 0 и непрерывную на R.
Замечание. При построении графиков взаимно обратных функ-
ций у = f(x) и х = У-1 (у) полезно иметь в виду, что точки плоскости
с координатами (ж,/(ж)) = (ж, у) и (г/, У-1 (г/)) — (у,®) в одной и той же
координатной системе (в которой лишь указана первая и вторая оси ко-
ординат, а не ось х или ось у) симметричны относительно биссектрисы
первого координатного угла.
Таким образом, графики взаимно обратных функций, изображен-
ные в одной системе координат, оказываются симметричными относи-
тельно этой биссектрисы.
Задачи и упражнения
1. Покажите, что
а) если / € С(А) и В с А, то f\e € С(В);
Ь) если функция f: Ei U Е2 —> Ж такова, что € С(Ег'), г = 1,2, то не
всегда f € C(£?i U Е2);
с) функция Римана 7£, как и ее ограничение 7£|q на множество рациональ-
ных чисел, разрывна в каждой точке множества Q, кроме нуля, и все точки
разрыва при этом устранимые (см. § 1, пример 12).
2. Покажите, что если функция f € С[а, Ь], то функции
т(х) = min У(1), М(х) = max f(t)
a^.t^.x a^t^.x
также непрерывны на отрезке [а, Ь].
3. а) Докажите, что функция, обратная функции, монотонной на интер-
вале, непрерывна на области своего определения.
Ь) Постройте монотонную функцию со счетным множеством точек раз-
рыва.
с) Покажите, что если функции f: X —> Y и f~r: Y —> X взаимно обратны
(здесь X, Y—подмножества К) и У непрерывна в точке xq € X, то из этого
еще не следует непрерывность функции У-1 в точке уо = f(xo) € Y.
4. Покажите, что
а) если У € С[а, 6] и д € С[а, 6], причем У(а) < д(а} и У(Ь) > д(Ь), то
существует точка с € [а, Ь], в которой У(с) = д(с);
Ь) любое непрерывное отображение f: [0,1] —> [0,1] отрезка в себя имеет
неподвижную точку, т. е. точку х € [0,1] такую, что f(x) = х-,
с) если два непрерывных отображения f и д отрезка в себя коммутируют,
т.е. f о д = д о f, то они имеют общую неподвижную точку;
198
ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
d) непрерывное отображение /: Ж —> Ж может не иметь неподвижной
точки;
е) непрерывное отображение /: ]0,1[ —> ]0,1[ может не иметь неподвижной
точки;
f) если отображение /: [0,1] —> [0,1] непрерывно, /(0) = 0, /(1) — 1 и
(/ 0 f)(x) = х на [0,1], то f(x) = х.
5. Покажите, что множеством значений любой непрерывной на отрезке
функции является отрезок.
6. Покажите, что
а) Если отображение /: [0,1] —> [0,1] непрерывно, /(0) = 0, /(1) = 1 и
при некотором п € N fn(x) (f° • °f)(x) = х на [0,1], то f(x) = х.
п раз
Ь) Если функция f: [0,1] -> [0,1] непрерывна и не убывает, то для любой
точки х € [0,1] реализуется по крайней мере одна из двух возможностей: либо
х — неподвижная точка, либо fn(x) стремится к неподвижной точке (здесь
fn(x) = f о ... о f — п-я итерация /).
7. Пусть /: [0,1] —> Ж—непрерывная функция такая, что /(0) = /(1).
Покажите, что
а) при любом п € N существует горизонтальный отрезок с концами на
графике этой функции, длина которого равна i;
b) если число I не имеет вида i, то найдется функция указанного вида, в
график которой уже нельзя вписать горизонтальный отрезок длины I.
8. Модулем непрерывности функции f: Е —> Ж называется функция ш(<5),
определяемая при S > 0 следующим образом:
W(d) = SUp |/(Ж1) —/(ж2)|-
|®1 — ЯГ21 <<5
Таким образом, верхняя грань берется по всевозможным парам точек х±, х2
множества Е, удаленным друг от друга меньше чем на д.
Покажите, что
а) модуль непрерывности — неубывающая неотрицательная функция, име-
ющая предел1) w(+0) = lira ш(<5);
<5->+0
Ь) для любого е > 0 найдется S > 0 такое, что для любых точек xi, х2 ЕЕ
соотношение |a:i — гг2| < влечет |/(:ri) — /(х2)| < ш(+0) + е;
с) если Е — отрезок, интервал или полуинтервал, то для модуля непрерыв-
ности функции f: Е —> Ж имеет место соотношение
w(<Ji 4- S2) С w(^i) + w(d2);
^Поэтому модуль непрерывности обычно рассматривают при 5^0, полагая
w(0) = w(+0).
§ 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
199
d) модулем непрерывности функций х и sin а:2, рассматриваемых на всей
числовой прямой, являются соответственно функция ш(<5) = 6 и постоянная
ш(<5) = 2 в области <5 > 0;
е) функция / равномерно непрерывна на множестве Е тогда и только то-
гда, когда ш(4-0) = 0.
9. Пусть f и д — ограниченные функции, определенные на одном и том
же множестве X. Величина Д = sup |/(ж) — з(ж)| называется расстоянием
хех
между функциями f и д. Она показывает, насколько хорошо одна функция
аппроксимирует другую на данном множестве X. Пусть X—отрезок [а, Ь].
Покажите, что если f,g € С[а, Ь], то Зато € [а, Ь], где Д = |/(xq) — д(х$)|, и что
для произвольных ограниченных функций это, вообще говоря, не так.
10. Пусть Рп(х) —многочлен (полином) степени п. Будем приближать
ограниченную функцию /: [а,Ь] —> Ж многочленами. Пусть
Д(-Рп) = sup |/(щ) - Pn(x)| и En(/) = inf Д(РП),
гг€[а,6]
где нижняя грань берется по всевозможным многочленам степени п. Мно-
гочлен Рп называется многочленом (полиномом) наилучшего приближения
функции /, если для него Д(РП) = En(f).
Покажите, что
а) существует многочлен Ро(х) = ад наилучшего приближения степени
нуль;
Ь) среди многочленов Qx(x) вида АРп(х), где Рп — фиксированный много-
член, найдется такой многочлен Qx0, что
Д(£а0) =ттД(£А);
с) если существует многочлен наилучшего приближения степени п, то су-
ществует также многочлен наилучшего приближения степени п 4-1;
d) для любой ограниченной на отрезке функции и любого п = 0,1,2,...
найдется многочлен наилучшего приближения степени п.
11. Покажите, что
а) Многочлен нечетной степени с действительными коэффициентами име-
ет по крайней мере один вещественный корень.
Ь) Если Рп — многочлен степени п, то функция sgnPn(x) имеет не более п
точек разрыва.
с) Если на отрезке [а, 6] имеется п 4- 2 точки xq < х^ < ... < xn+i такие,
что величина
sgn [(/(ж,) - Рп(щг))(-1)г]
постоянна при i = 0,... ,п 4- 1, то En(f) min |/(щг) — Рп(щг)| (теорема
О^г^п+1
Валле Пуссена1^). (Определение En(f) см. в задаче 9.)
^Ш. Ж. де ла Валле Пуссен (1866-1962) —бельгийский математик и механик.
200
ГЛ. IV. НЕПРЕРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ
12. а) Покажите, что при любом п € N функция Тп(х) = cos(narccosz),
определенная на отрезке [—1,1], является алгебраическим многочленом степе-
ни п (полиномы Чебышёва).
Ь) Найдите явное алгебраическое выражение полиномов 71, 72; 7з, 74 и
нарисуйте их графики.
с) Найдите корни многочлена Тп(х) на отрезке [—1,1] и те точки отрезка,
где величина |7Vi(^)| достигает максимума.
d) Покажите, что среди многочленов Рп(х) степени п с коэффициентом 1
при хп многочлен Тп(х) является единственным многочленом, наименее укло-
няющимся от нуля, т. е. Еп(0) = max |7^(ar) | (определение En(f) см. в задаче 9)
13. Пусть/(= С[а, 6].
а) Покажите, что если для полинома Рп (х) степени п найдутся п + 2 точки
Xq < . • < Xn+i (называемые точками чебышевского альтернанса) такие, что
f(xt} - Рп(хг) = (-1)гД(Рп) а, где Д(Р„) = max |/(х) - Рп(х)|, а а—-посто-
х € [а,6]
янная, равная 1 или —1, то Рп(х) является и притом единственным полиномом
наилучшего приближения функции f степени п (см. задачу 9).
Ь) Докажите теорему Чебышёва: многочлен Рп(х) степени п тогда и толь-
ко тогда является многочленом наилучшего приближения функции / G С[а, Ь],
когда на отрезке [а, 6] найдется по крайней мере п 4- 2 точки чебышёвского
альтернанса.
с) Покажите, что для разрывных функций предыдущее утверждение, во-
обще говоря, не верно.
d) Найдите многочлены наилучшего приближения нулевой и первой степе-
ни для функции |щ[ на отрезке [—1,2].
14. В § 2 мы обсуждали локальные свойства непрерывных функций. На-
стоящая задача уточняет понятие локального свойства.
Две функции / и д будем считать эквивалентными, если найдется такая
окрестность U(a) фиксированной точки а & К, что \/х G U(a) имеем f(x) =
= д(х). Это отношение между функциями, очевидно, рефлексивно, симме-
трично и транзитивно, т. е. действительно является отношением эквивалент-
ности.
Класс эквивалентных между собой в точке а функций называется ростком
функций в данной точке а. Если рассматривают только непрерывные функции,
то говорят о ростке непрерывных функций в точке а.
Локальные свойства функций — это свойства ростков функций.
а) Определите арифметические операции над ростками числовых функ-
ций, заданными в одной и той же точке.
Ь) Покажите, что арифметические операции над ростками непрерывных
функций не выводят из этого класса ростков.
§ 2. СВОЙСТВА НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ
201
с) Покажите, учитывая а) и Ь), что ростки непрерывных функций обра-
зуют кольцо—кольцо ростков непрерывных функций.
d) Подкольцо I некоторого кольца К называется идеалом кольца К, если
произведение любого элемента кольца К и элемента подкольца I лежит в I.
Найдите идеал кольца ростков функций, непрерывных в точке а.
15. Идеал кольца называется максимальным, если он не содержится ни в
каком большем идеале, кроме самого кольца. Множество С[а, 6] функций, не-
прерывных на отрезке, образует кольцо относительно обычных операций сло-
жения и умножения числовых функций. Найдите максимальные идеалы этого
кольца.
ГЛАВА V
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Дифференцируемая функция
1. Задача и наводящие соображения. Предположим, что, сле-
дуя Ньютону1^, мы хотим решить кеплерову2) задачу двух тел, т.е.
хотим объяснить закон движения одного небесного тела т (планета)
относительно другого тела М (звезда). Выбе-
X рем в плоскости движения декартову систему
/ \т координат с началом в М (рис. 13). Тогда по-
/ / ложение т в момент времени t можно охарак-
I теризовать численно координатами (x(t),y(t))
__\ 11___________ точки т в этой системе координат. Мы хотим
найти функции ж(<), y(t).
Движением т относительно М управляют
РИС- 13. дВа знаменитых закона Ньютона:
общий закон движения
та = F,
(1)
^И. Ньютон (1642-1727) — английский физик, механик, астроном и математик,
крупнейший ученый, сформулировавший основные законы классической механики,
открывший закон всемирного тяготения, разработавший (наряду с Лейбницем) осно-
вы дифференциального и интегрального исчисления. Оценен был уже современни-
ками, которые на его могиле начертали: «Здесь покоится то, что было смертного у
Ньютона».
2)И. Кеплер (1571- 1630) —знаменитый немецкий астроном, открывший законы
движения планет (законы Кеплера).
§1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ
203
связывающий вектор силы с вектором вызванного ею ускорения через
коэффициент пропорциональности т — инертную массу тела1), и
закон всемирного тяготения, позволяющий найти гравитационное
воздействие тел т и М друг на друга по формуле
где г — вектор с началом в теле приложения силы и концом в другом
теле, |г| — длина вектора г, или расстояние между т и М.
Зная массы т, М, по формуле (2) без труда выражаем правую часть
уравнения (1) через координаты x(t), y(t) тела т в момент t, чем ис-
черпываем всю специфику данного движения.
Чтобы получить теперь соотношения на x(t), y(t), заключенные в
уравнении (1), необходимо научиться выражать левую часть уравне-
ния (1) через функции x(f), y(f).
Ускорение есть характеристика изменения скорости v(f), точнее,
просто скорость изменения скорости; поэтому для решения задачи пре-
жде всего необходимо научиться вычислять скорость которую
имеет в момент t тело, движение которого задается радиус-вектором
r(t) = (ж(<), ?/(*))•
Итак, мы хотим определить и научиться вычислять ту мгновенную
скорость тела, которую подразумевает закон движения (1).
Измерить — значит сравнить с эталоном. Что же в нашем случае
может служить эталоном для определения мгновенной скорости дви-
жения?
Наиболее простым видом движения является такое, которое совер-
шает по инерции свободное тело. Это движение, при котором за рав-
ные промежутки времени происходят равные (как векторы) перемеще-
ния тела в пространстве. Это так называемое равномерное (прямоли-
нейное) движение. Если точка движется равномерно, г(0) и г(1) — ее
радиус-векторы относительно инерциальной системы координат в мо-
менты t — 0 и t = 1 соответственно, то в любой момент времени будем
иметь
r(i) — r(0) = v t, (3)
где v = г(1) — г(0). Таким образом, перемещение r(t) — г(0) оказы-
^Мы обозначили массу символом самого тела, но это не приведет к недоразуме-
ниям. Заметим также, что если т М, то выбранную систему координат можно
считать инерциальной.
204
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
вается в простейшем случае линейной функцией времени, причем роль
множителя пропорциональности между перемещением r(i) — г(0) и вре-
менем t играет в данном случае вектор v перемещения за единицу вре-
мени. Этот вектор и называется скоростью равномерного движения.
То, что движение прямолинейно, видно из параметрического уравнения
его траектории: r(t) = r(0) + v-t, являющегося (см. курс аналитической
геометрии) уравнением прямой.
Мы знаем, таким образом, скорость v равномерного прямолиней-
ного движения, задаваемого формулой (3). По закону инерции, если на
тело не действуют внешние силы, оно движется равномерно и прямо-
линейно. Значит, если в момент t экранировать действие тела М на
тело т, то последнее продолжит свое движение уже равномерно с неко-
торой определенной скоростью. Таким образом, естественно считать,
что именно она является (мгновенной) скоростью нашего тела в мо-
мент t.
Однако такое определение мгновенной скорости оставалось бы чи-
стой абстракцией, не дающей никаких рекомендаций для конкретного
вычисления этой величины, если бы не следующее обстоятельство пер-
востепенной важности, которое мы сейчас обсудим.
Оставаясь в рамках того (как сказали бы логики, «порочного») кру-
га, в который мы вошли, написав уравнение движения (1), а затем при-
нявшись выяснять, что такое мгновенная скорость и ускорение, мы все
же заметим, что при самом общем представлении об этих понятиях из
уравнения (1) можно сделать следующие эвристические выводы. Если
силы отсутствуют, т.е. F ~ 0, то ускорение тоже равно нулю. Но если
скорость a(t) изменения скорости v(t) равна нулю, то, по-видимому,
сама скорость v (i) вообще не меняется со временем. И мы приходим к
закону инерции, по которому свободное тело действительно движется
в пространстве с постоянной во времени скоростью.
Из того же уравнения (1) видно, что ограниченные по величине си-
лы способны создать только ограниченные по величине ускорения. Но
если на отрезке времени [0, i] абсолютная величина скорости измене-
ния некоторой величины P(t) не превышала некоторой постоянной с,
то, по нашим представлениям, изменение |Р(<) — Р(0)| величины Р за
время t не превышает с • t, т. е. в этой ситуации за малый промежу-
ток времени величина мало меняется (во всяком случае, функция P(t)
оказывается непрерывной). Значит, реальная механическая система за
малый промежуток времени мало меняет свои параметры.
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ
205
В частности, скорость v(t) тела т во все моменты времени t, близ-
кие к некоторому моменту to, должна быть близка к значению v(to),
которое мы желаем определить. Но в таком случае само движение в
малой окрестности момента to должно мало отличаться от равно-
мерного движения со скоростью v(to), причем тем меньше отличаться,
чем меньше мы уходим от to-
Если бы мы сфотографировали траекторию тела т через телескоп,
то в зависимости от его силы мы получили бы примерно следующее:
Рис. 14.
Представленный на фотографии с участок траектории соответству-
ет столь малому интервалу времени, что на нем уже трудно отличить
истинную траекторию от прямолинейной, так как она и в самом деле
на этом участке похожа на прямолинейную, а движение — на равномер-
ное прямолинейное. Из этого наблюдения, кстати, можно заключить,
что, решив задачу об определении мгновенной скорости (а скорость —
векторная величина), мы одновременно решим и чисто геометрический
вопрос об определении и нахождении касательной к кривой (кривой в
данном случае служит траектория движения).
Итак, мы заметили, что в нашей задаче должно быть v(t) « v(to)
при t, близких к to, т.е. v(t) -4 v(to) при t -4 to или, что то же самое,
w(t) = v(<o) + о(1) при t -4 to- Тогда должно быть также
г(<) - r(t0) ~ v(tQ) (t-t0)
при t, близких к to, точнее, величина смещения r(t) — г (to) эквивалентна
v(to)(t — to) при t -4 to, или
r(t) - r(t0) = w(to)(t - to) + o(v(to)(t - to)), (4)
где o(v(to)(t — to)) есть поправочный вектор, величина которого при
t -4 to стремится к нулю быстрее, чем величина вектора v(to)(t — to).
206
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Тут следует, естественно, оговорить тот случай, когда v(to) — 0. Чтобы
не исключать этот случай иэ общего рассмотрения, полезно заметить,
что1) |v(<o)(i — £о)| = |v(<o)||i — <о|. Таким образом, если |v(io)| / О,
то величина |v(<o)(i — io)| того же порядка, что и |i — i0|, и поэтому
o(v(to)(t — <о)) — o(t — to). Значит, вместо (4) можно записать соотно-
шение
r(t) - r(t0) = v(t0)(t - tQ) + o(t - to), (5)
которое не исключает также случая v(to) = 0.
Таким образом, от самых общих и, быть может, расплывчатых пред-
ставлений о скорости мы пришли к соотношению (5), которому ско-
рость должна удовлетворять. Но из (5) величина v(to) находится одно-
значно:
= (6)
t—>to t — to
поэтому как само фундаментальное соотношение (5), так и равносиль-
ное ему соотношение (6) можно теперь принять за определения величи-
ны v(to)—мгновенной скорости тела в момент to-
Мы не станем сейчас отвлекаться на подробное обсуждение вопро-
са о пределе векторнозначной функции и ограничимся сведением его к
уже рассмотренному во всех подробностях случаю предела веществен-
нозначной функции. Поскольку вектор r(t) — г (to) имеет координаты
(x(t) -m(fo),ИО-!>(».)), то = (r(‘jzg‘°).^:i,o(,o)) и.о»а-
чит, если считать, что векторы близки, если их координаты близки, то
предел в (6) следует понимать так:
»((„) = lim = (lim Пт ,
t—>io t — to \t-+to t — to i—>io t — to J
a o(t — to) в (5) надо понимать как вектор, зависящий от t и такой, что
вектор стремится (покоординатно) к нулю при t -> to-
Наконец, заметим, что если v(to) 0, то уравнение
Г - г (to) = v(to) • (t- to) (7)
задает прямую, которая в силу указанных выше обстоятельств должна
быть признана касательной к траектории в точке (х (to), у (to)).
^Здесь |t — to| — модуль числа t — to, а |v| —модуль, или длина вектора V.
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ
207
Итак, эталоном для определения скорости движения служит ско-
рость равномерного прямолинейного движения, задаваемого линейным
соотношением (7). Эталонное движение (7) подгоняется к исследуе-
мому так, как этого требует соотношение (5). То значение v(to),
при котором (5) выполнено, может быть найдено предельным перехо-
дом (6) и называется скоростью движения в момент to. Рассматри-
ваемые в классической механике движения, описываемые законом (1),
должны допускать сравнение с таким эталоном, т. е. должны допускать
линейную аппроксимацию, указанную в (5).
Если r(£) = (a;(f),y(f))—радиус-вектор движущейся точки т в мо-
мент t, r(t) = (ж(£), у(£)) = v(f)—вектор скорости изменения r(t) в
момент t, а г(<) = (ж(£),у(£)) = а(<)—вектор скорости изменения v(t),
или ускорение в момент t, то уравнение (1) можно записать в виде
т r(t) = F(t),
откуда для нашего движения в поле тяжести получаем в координатном
виде
x(f) =
< /м (о)
|2Г2(£) + у2(£)р/2
Это точная математическая запись нашей исходной задачи. По-
скольку мы знаем, как по г(£) искать г(£) и далее r(t), то уже сейчас
мы в состоянии ответить на вопрос, может ли какая-то пара функций
(x(t),y(t)) задавать движение тела т вокруг М. Для этого надо най-
ти x(t), у(б) и проверить, выполнены ли соотношения (8). Система (8)
является примером системы так называемых дифференциальных урав-
нений. Пока что мы можем только проверять, является ли некоторый
набор функций решением системы. Как искать решение или, лучше ска-
зать, как исследовать свойства решений дифференциальных уравнений,
изучается в специальном и, как уже сейчас можно понять, весьма от-
ветственном отделе анализа — теории дифференциальных уравнений.
Операция отыскания скорости изменения векторной величины, как
было показано, сводится к отысканию скорости изменения нескольких
числовых функций — координат вектора. Таким образом, эту операцию
следует прежде всего научиться свободно выполнять в простейшем слу-
чае вещественнозначных функций вещественного аргумента, чем мы
теперь и займемся.
208
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2. Функция, дифференцируемая в точке. Начнем с двух пред-
варительных определений, которые мы чуть ниже несколько уточним.
Определение 01. Функция /: Е R, определенная на множест-
ве Е С R, называется дифференцируемой в точке а Е Е, предельной для
множества Е, если существует такая линейная относительно прираще-
ния х — а аргумента функция А • (х — а), что приращение /(ж) - /(а)
функции f представляется в виде
/(ж) — /(а) = А • (х — а) + о(х — а) при х -> а, х С Е. (9)
Иными словами, функция дифференцируема в точке а, если измене-
ние ее значений в окрестности исследуемой точки линейно с точностью
до поправки, бесконечно малой по сравнению с величиной х — а смеще-
ния от точки а.
Замечание. Как правило, дело приходится иметь с функциями,
определенными в целой окрестности рассматриваемой точки, а не толь-
ко на каком-то подмножестве этой окрестности.
Определение Ог- Линейная функция А • (х — а) из (9) называется
дифференциалом функции f в точке а.
Дифференциал функции в точке определен однозначно, ибо из (9)
следует
f(x) — f(a) f о(х — а}\ .
hm . 11П1 М + -1-----' = А
ЕЭх—Уо, X — CL ЕЭх—у X — CL J
и в силу единственности предела число А определено однозначно.
Определение 1. Величина
/'(а) = lim (10)
V Еэх-^а х а V ’
называется производной функции f в точке а.
Соотношение (10) можно переписать в эквивалентной форме
х — а
где а(ж) —> 0 при х а, х £ Е, что в свою очередь равносильно соот-
ношению
/(ж) — /(а) = f'(a)(x — а) + о(х — а) при х -> а, х £ Е. (11)
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ
209
Таким образом, дифференцируемость функции равносильна нали-
чию у нее производной в соответствующей точке.
Если сопоставить эти определения с тем, что было сказано в пунк-
те 1, то можно заключить, что производная характеризует скорость
изменения функции в рассматриваемой точке, а дифференциал доста-
вляет наилучшую линейную аппроксимацию приращения функции в
окрестности рассматриваемой точки.
Если функция /: Е R дифференцируема в различных точках
множества Е, то при переходе от одной точки к другой как величи-
на А, так и функция о(х — а) в (9) могут меняться (к чему мы уже явно
пришли в (И)). Указанное обстоятельство следует отметить уже в са-
мом определении дифференцируемой функции, и мы приведем теперь
это основное определение в его полной записи.
Определение 2. Функция f: Е К, заданная на множестве Е с
С R, называется дифференцируемой в точке х £ Е, предельной для
множества Е, если
f(x + h) — f(x) = A(x)h + a(x; h), (12)
где h A(x)h—линейная относительно h функция, a a(x;h) = o(h)
при h -> 0, x + h € E.
Величины
Дж(/г) (x + h) — x — h
и
Д/(®; h) := f(x + h) - f(x)
называют соответственно приращением аргумента и приращением
функции (соответствующим этому приращению аргумента).
Их часто (правда, не вполне законно) обозначают символами Дж и
Д/(ж) самих функций от h.
Итак, функция дифференцируема в точке, если ее приращение в
этой точке как функция приращения аргумента h является линейной
с точностью до поправки, бесконечно малой при /г ч 0 в сравнении с
приращением аргумента.
Определение 3. Линейная по h функция h A(x)h из определе-
ния 2 называется дифференциалом функции f:E—>№.B точке х £ Е и
обозначается символом df(x) или Df(x).
8-4573
210
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Таким образом, df(x) (h) = A(x)h.
Из определений 2, 3 имеем
Д/(ж; h) — df(x)(h) = а(х; h),
причем а(х; h) = o(h) при h -> 0, х + h € Е, т. е. разность между прира-
щением функции, вызванным приращением h ее аргумента, и значени-
ем при том же h линейной по h функции df(x) оказывается бесконечно
малой выше чем первого порядка по h.
По этой причине говорят, что дифференциал есть {главная) линей-
ная часть приращения функции.
Как следует из соотношения (12) и определения 1,
., . ,,, ч f(x + h) - f{x)
А(х) = f'{x) = lim
h—>0 tl
x+h,xfzE
поэтому дифференциал можно записать в виде
df{x){h)=f'{x)h. (13)
В частности, если f{x) = х, то, очевидно, f'{x) = 1 и
dx{h) = 1 h = h,
поэтому иногда говорят, что «дифференциал независимой переменной
совпадает с ее приращением».
Учитывая это равенство, из (13) получаем
df{x){h) = f{x)dx{h), (14)
т. е.
df{x) = f{x)dx. (15)
Равенство (15) надо понимать как равенство функций от h.
Из (14) получаем
= т (16)
т.е. функция (отношение функций df{x) и dx) постоянна и рав-
на f'{x). По этой причине, следуя Лейбницу, производную часто обо-
значают символом наряду с предложенным впоследствии Лагран-
жем1) символом f'{x).
^Ж. Л. Лагранж (1736-1813) — знаменитый французский математик и механик.
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ
211
В механике, кроме указанных символов, для обозначения производ-
ной от функции <p(t) по времени t используется символ ф(1) (читается
«|/> с точкой от 6>).
3. Касательная; геометрический смысл производной и диф-
ференциала. Пусть f: Е R — функция, определенная на множест-
ве Е с R, и хо—фиксированная предельная точка множества Е. Мы
хотим подобрать постоянную со так, чтобы она лучше всех остальных
констант характеризовала поведение функции в окрестности точки хо-
Точнее, мы хотим, чтобы разность /(ж) — со при х хо, х € Е была
бесконечно малой в сравнении уже с любой не нулевой постоянной, т. е.
/(ж) = со + о(1) при х -> хо, х € Е. (17)
Последнее соотношение равносильно тому, что lim /(ж) = cq.
ЕЭх—>хо
Если, в частности, функция непрерывна в точке хо, то lim f(x) =
= /(жо) и, естественно, со = /(жо). яэх-нго
Попробуем теперь подобрать функцию со + с, (ж — жо) так, чтобы
иметь
f(x) = Со + Ci (ж — Хо) + о(х — Жо) при X -> Жо, х € Е. (18)
Очевидно, это—обобщение предыдущей задачи, поскольку форму-
лу (17) можно переписать в виде
f(x) = со + о((ж — ®о)°) ПРИ х хо, х € Е.
Из (18) при х -> ®о, х € Е немедленно следует, что со = lim f(x),
i р/ \ ЕЭх
и если функция непрерывна в точке, то со = /
Если со найдено, то из (18) следует, что
Г /(®) - со
ci = lim ----------.
ЕЭх—txo X — Xq
И вообще, если бы мы искали такой полином Рп(хо',х) = со+
+С1(ж - ж0) + ... + Сп{х - хо)п, что
/(т) = Со + С](х - ж0) + ... + сп(х - Жо)” + о((ж - жо)”)
при ж —> жо, ж G Е, (19)
212
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
то мы последовательно и вполне однозначно нашли бы
со = lim /(ж),
ЕЭх—>хо
С1= lim
£?Эх-иг0 Х Х°
f(x) - Гец + ... + cn_i(x — xo)n 1
сп = lim --------L-------------------*-
£?Эх->хо [х — xq)
при условии, что все указанные пределы существуют; в противном слу-
чае условие (19) невыполнимо и задача решения не имеет.
Если функция f непрерывна в точке жо, то из (18), как уже отмеча-
лось, следует, что со = /(жо) и мы приходим к соотношению
f(x) — /(®о) = С1(х — Жо) + о(х — Жо) при X -> Жо, ж € Е,
равносильному условию дифференцируемости функции / (ж) в точке xq.
Отсюда находим
ci = lim ——-----------= f (ж0).
ЕЭх—>хо Ж — Жо
Таким образом, доказано
Утверждение 1. Функция f: Е—непрерывная в точке xqGE,
предельной для множества Е С R, допускает линейное приближе-
ние (18) в том и только в том случае, когда она дифференцируема
в этой точке.
Функция
<^(ж) = со + с1(ж-жо) (20)
при со — /(ж0) и Cl = f'(xo) является единственной функцией вида (20),
удовлетворяющей соотношению (18).
Итак, функция
<^(ж) = /(жо)+/'(жо)(ж-жо) (21)
доставляет наилучшее линейное приближение функции f в окрестно-
сти точки жо в том смысле, что для любой другой функции вида (20)
/(ж) — <р(х) / о(ж — Жо) при Ж Жо, ж € Е.
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ
213
Графиком функции (21) является прямая
У ~ /(«о) = /'(®о)(® - ®о),
(22)
проходящая через точку (xo,f(xo)) и имеющая угловой коэффици-
ент f'(x0).
Поскольку прямая (22) доставляет наилучшее возможное линей-
ное приближение графика функции у = f(x) в окрестности точки
(xo,f(xoY), то естественно принять
Определение 4. Если функция f: Е -+ R определена на множе-
стве Е С R и дифференцируема в точке xq € Е, то прямая, задаваемая
уравнением (22), называется касательной к графику этой функции в
точке (ж0,/(а?о))-
Рисунок 15 иллюстрирует все основные понятия, связанные с диф-
ференцируемостью функции в точке, которые мы к настоящему момен-
ту ввели: приращение аргумента и соответствующие ему приращение
функции и значение дифференциала; на рисунке изображены график
функции, касательная к графику в точке Pq = (®о, /(жо)) и, для сравне-
ния, произвольная прямая (называемая обычно секущей), проходящая
через Ро и некоторую точку Р 7^ Pq графика функции.
Рис. 15.
214
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Развитием определения 4 является
Определение 5. Если отображения f:E—>1, непре-
рывны в точке хо G Е, предельной для множества Е С R, и /(ж) —д(х) =
= о((ж — жо)”) при х -4 жо, ж G Е, то говорят, что fug имеют в точке
жо касание порядка п (или, точнее, порядка не ниже п).
При п = 1 говорят, что отображения fag касаются друг друга в
точке жо-
В соответствии с определением 5 отображение (21) касается в точке
хо € Е отображения f: Е -4 R, дифференцируемого в этой точке.
Теперь можно также сказать, что полином Рп (жо; ж) = со +
+ С1(ж — жо) + ... + Сп(ж — жо)” из соотношения (19) имеет с функци-
ей f касание не ниже чем порядка п.
Число h = ж — жо, т. е. приращение аргумента, можно рассматривать
как вектор, приложенный к точке Жо и определяющий переход из жо в
ж = жо + h. Обозначим совокупность таких векторов через ТК(жо) или
TRjq.1) Аналогично, обозначим через TR(yo) или совокупность
векторов смещения от точки уо по оси у (см. рис. 15). Тогда из опреде-
ления дифференциала видно, что отображение
df(x0): ТК(жо) ТК(/(ж0)), (23)
задаваемое дифференциалом h t-4 f'(xo)h — df(xo)(h), касается отобра-
жения
h i-4 /(ж0 + h) - /(жо) = Д/(ж0; h), (24)
задаваемого приращением дифференцируемой функции.
Заметим (см. рис. 15), что если отображение (24) есть приращение
ординаты графика функции у = /(ж) при переходе аргумента из точ-
ки жо в точку жо + h, то дифференциал (23) дает приращение ординаты
касательной к графику функции при том же приращении h аргумента.
4. Роль системы координат. Аналитическое определение 4 каса-
тельной может вызвать некоторую не вполне осознанную неудовлетво-
ренность. Мы постараемся сформулировать, что именно может соста-
вить предмет этой неудовлетворенности. Однако прежде укажем одну
г,Это — небольшое отклонение от наиболее распространенного обозначения TXoR
или TI0(R).
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ
215
более геометрическую конструкцию касательной к кривой в некоторой
ее точке Ро (см. рис. 15).
Возьмем произвольную точку Р кривой, отличную от Ро. Прямая,
определяемая парой точек Ро, Р, как уже отмечалось, называется се-
кущей по отношению к кривой. Заставим теперь точку Р вдоль кривой
стремиться к точке Ро. Если при этом секущая будет стремиться к неко-
торому предельному положению, то это предельное положение секущей
и есть касательная к кривой в точке Ро-
Такое определение касательной при всей его наглядности в данный
момент для нас неприемлемо потому, что мы не знаем, что такое кри-
вая, что значит «точка стремится к другой точке вдоль кривой» и, на-
конец, в каком смысле надо понимать «предельное положение секущей».
Вместо того чтобы уточнять сейчас все эти понятия, мы отметим
основную разницу между двумя рассмотренными определениями каса-
тельной. Второе было чисто геометрическим, не связанным (во вся-
ком случае, до уточнений) с какой бы то ни было системой координат.
В первом же случае мы определили касательную к кривой, являющейся
в некоторой системе координат графиком дифференцируемой функ-
ции. Естественно может возникнуть вопрос, не получится ли так, что
если зту кривую записать в другой системе координат, то, например,
соответствующая функция перестанет быть дифференцируемой или бу-
дет дифференцируемой, но в результате новых вычислений мы получим
другую прямую в качестве касательной.
Этот вопрос об инвариантности, т. е. независимости от системы ко-
ординат, всегда возникает, когда понятие вводится с помощью некото-
рой системы координат.
В равной степени этот вопрос относится и к понятию скорости,
которое мы обсуждали в пункте 1 и которое, кстати, как это уже от-
мечалось, включает в себя понятие касательной.
Точка, вектор, прямая и т. д. имеют в разных системах коорди-
нат разные численные характеристики (координаты точки, координа-
ты вектора, уравнение прямой). Однако, зная формулы, связывающие
две системы координат, всегда можно по двум однотипным числовым
представлениям выяснить, являются ли они записью в разных системах
координат одного и того же геометрического объекта или нет. Интуи-
ция подсказывает нам, что процедура определения скорости, описанная
в пункте 1, приводит к одному и тому же вектору независимо от систе-
мы координат, в которой проводились вычисления. В свое время, при
216
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
изучении функций многих переменных, мы подробно обсудим подобно-
го рода вопросы. Инвариантность определения скорости относительно
различных систем координат будет проверена уже в следующем пара-
графе.
Прежде чем переходить к рассмотрению конкретных примеров,
подведем некоторые итоги.
Мы столкнулись с задачей математического описания мгновенной
скорости движущегося тела.
Эта задача привела к задаче аппроксимации заданной функции в
окрестности исследуемой точки линейной функцией, что в геометри-
ческом плане привело к понятию касательной. Функции, описывающие
движение реальной механической системы, предполагаются допускаю-
щими такую линейную аппроксимацию.
Тем самым среди всех функций естественно выделился класс диф-
ференцируемых функций.
Было введено понятие дифференциала функции в точке как линей-
ного отображения, определенного на смещениях от рассматриваемой
точки, которое с точностью до величины бесконечно малой по сравне-
нию с величиной смещения описывает поведение приращения диффе-
ренцируемой функции в окрестности рассматриваемой точки.
Дифференциал df(xo)h = f'(xo)h вполне определяется числом
/'(хо)— производной функции f в точке хо, которое может быть най-
дено предельным переходом
/'Ы = ит
ЕЭх—^хо X — Xq
Физический смысл производной—скорость изменения величины /(х)
в момент хо; геометрический смысл производной—угловой коэффици-
ент касательной к графику функции у = /(х) в точке (хо,/(хо))-
5. Некоторые примеры
Пример 1. Пусть /(х) = sinx. Покажем, что /'(х) = cosx.
sin(x + h) - sinx ^sin (-Л cos (x +
< lim — -------------= lim------ -—-------- =
h—>0 h h,—>0 h
/ h\ sin(0
= lim cos I x + - I • lim —Д 7 = cos x. ►
h—>0 у 2 j h—>0 I h ।
\27
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ
217
Мы воспользовались теоремой о пределе произведения, непрерывно-
стью функции cos х, эквивалентностью sin t ~ t при £ —> 0 и теоремой о
пределе композиции.
Пример 2. Покажем, что cos'ж = — sin ж.
соз(ж + h) — cos ж ^sin f 2 j sin Гж + 2
◄ lim —-------------------= lim--------------------------
h—>0 h h—>0 h
h
/ sinf^
= — lim sin I ж + — ) • lim —тД-
/г—>0 у 2 у Л.—>0 ( h\
\2/
= — sin ж. ►
Пример 3. Покажем, что если /(i) = г coswi, то /'(<) = —rwsinwi.
гcosw(i + h) — rcoswt ^sin f 2 j sinw (t + 2 j
4 lim-------------------------= r lim---------——---------------— —
h—>0 h h—>0 h
/ sin
= — r lim sinu; I t + — I • lim —z \ x — —rwsinwi. ►
h—>0 \ 2 J h—>0 f A
\ 2 J
Пример 4. Если f(t) = rsinwi, to f'(t) — rwcoswi.
◄ Доказательство аналогично разобранным в примерах 1 и 3. ►
Пример 5. Мгновенная скорость и ускорение материальной точ-
ки. Пусть материальная точка движется в плоскости и в фиксированной
системе координат закон ее движения описывается дифференцируемы-
ми функциями от времени
х = ж(<), у = y(t)
или, что то же самое, вектором
r(i) = (ж(<), !/(<)).
Как мы выяснили в пункте 1 настоящего параграфа, скорость точки в
момент t есть вектор
v(i) = r(t) = (i(i),y(i)),
где x(t), y(t) — производные функций ж(£), y(t) по времени t.
218
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Ускорение a(t) есть скорость изменения вектора v(i), поэтому
a(i) = v(t) = r(t) = (£(i),y(i)),
где x(t), y(t) — производные no t функций x(t), y(t), или так называемые
вторые производные функций x(t), y(t).
Таким образом, по смыслу физической задачи функции x(t), y(t),
описывающие движение материальной точки, должны иметь и первые
и вторые производные.
Рассмотрим, в частности, равномерное движение точки по окруж-
ности радиуса г. Пусть ш — угловая скорость точки, т. е. величина цен-
трального угла, на который перемещается точка за единицу времени.
В декартовых координатах (в силу определений функций cos х, sins)
это движение запишется в виде
r(i) = (rcos(wi + a),rsin(wi + a)),
а если r(0) = (г, 0), то в виде
r(i) = (г cos ut, г sinwt).
Без ограничения общности дальнейших выводов и для сокращения
записи будем считать, что г(0) = (г, 0).
Тогда в силу результатов примеров 3 и 4
v(t) = r(t) = (—rw sin cos wt).
Из подсчета скалярного произведения
(v(i),r(i)) = — r2<jsin<jicos<ji + r2w cos wi sin wi = 0,
как и следовало в этом случае ожидать, получаем, что вектор v (i) ско-
рости ортогонален радиус-вектору r(i) и направлен по касательной к
окружности.
Далее, для ускорения имеем
a(i) = v(t) = r(i) = (—r<j2coswi, —r<j2sin<Ji),
т.е. a(t) = —<j2 r(i) и ускорение, таким образом, действительно цен-
тростремительное, ибо имеет направление, противоположное направле-
нию вектора r(i).
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ
219
Далее,
|a(i)| = w2|r(i)| = w2r =
где v = |«(t)|.
Подсчитаем, исходя из этих формул, например, величину скорости
низкого спутника Земли. В этом случае г совпадает с радиусом Земли,
т.е. г яг 6400км, а |a(i)| ~ д, где д « 10м/с2—ускорение свободного
падения у поверхности Земли.
Таким образом, v2 = |a(i)|r ~ 10м/с2 х 64 105м = 64 • 106 (м/с)2 и
v ss 8 103 м/с.
Пример 6. Оптическое свойство параболического зеркала. Рас-
смотрим (рис. 16) параболу у = ^-х2 (р > 0) и построим касательную
к ней в точке (жо, уо) = (хо, ^~хо ) •
Поскольку /(ж) = -^Ж2, то
_1_ 2 _ 1 г2
9^*^ О 1 1
/'(ж0) = lim —---------— = — lim (ж + жо) = -жо-
X-+XQ Ж — Жо 2р Х-+Х0 р
Значит, искомая касательная имеет уравнение
1 2 1 , .
У - -х-Хо = -Жо(ж - Жо)
2р р
-жо(ж - Жо) - (у - Уо) = о,
р
или
— -Xq, 1), как видно из по-
1 2
гДе Уо = ^о-
Вектор п —
следнего уравнения, ортогонален прямой (25).
Покажем, что векторы еу = (0,1) и еу —
= ^-хо, | — yoj образуют с п равные углы.
Вектор еу есть единичный вектор направле-
ния оси Оу, a ef — вектор, направленный из
точки касания (хо,уо) = (xq, ^Жд) в точкУ
^0, —фокус параболы. Итак,
.—. {еу,п} 1
cos evn = т——г — у-
У I ZJ 11 <г» I «э
220
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
cos efn =
{ef,n)
le/llnl
Таким образом, показано, что волновой источник, помещенный в
точке ^0, —в фокусе параболического зеркала, даст пучок, парал-
лельный оси Оу зеркала, а приходящий параллельно оси Оу пучок зер-
кало пропустит через фокус (см. рис. 16).
Пример 7. Этим примером мы покажем, что касательная являет-
ся всего-навсего лучшим линейным приближением графика функции в
окрестности точки касания и вовсе не обязана иметь с ним единствен-
ную общую точку, как это было в случае окружности и как это вообще
имеет место в случае выпуклых кривых. (О выпуклых кривых будет
специальный разговор.)
Пусть функция /(ж) задана в виде
x2sin|, если х 0,
0, если х = 0.
График этой функции изображен жирной линией на рис. 17.
Рис. 17.
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ
221
Найдем касательную к графику в точке (0,0). Поскольку
/'(0) = lim - Sin х ° = lim х sin i - 0,
х—>0 х — 0 х—>0 X
то касательная имеет уравнение у — 0 = 0 • (х — 0), или просто у = 0.
Таким образом, в нашем примере касательная совпадает с осью Ох,
с которой график имеет бесконечное количество точек пересечения в
любой окрестности точки касания.
В силу определения дифференцируе-
мости функции /: Е —> R в точке xq G
6 Е имеем
f(x) - /(ж0) = Жжо)(ж - хо) + о(ж - ж0)
при ж —> жо, ж G Е.
Поскольку правая часть этого равенства стремится к нулю при ж —> жо,
х Е Е, то lim /(ж) = /(жо), так что дифференцируемая в точке
ЕЭх-+хо
функция обязана быть непрерывной в этой точке.
Покажем, что обратное, конечно, не всегда имеет место.
Пример 8. Пусть /(ж) = |ж| (рис. 18). Тогда в точке жо = 0
И - о
ж — 0
lim
X—>XQ— 0
/(ж) - /(жо)
Ж — Жо
lim
х->—0
lim Ш-./Ы
х—>хо+0 Ж — Жо
lim —!—-
х->+0 ж — 0
—ж
lim — = —1,
х—>—0 X
X
lim - = 1.
х->+0 Ж
Следовательно, в этой точке функция не имеет производной, а зна-
чит, и не дифференцируема в этой точке.
Пример 9. Покажем, что ex+h — ех = exh + o(/i) при h -> 0.
Таким образом, функция ехр(ж) = ех дифференцируема, причем
с!ехр(ж)/1 = ехр(ж)/1, или dex = exdx, и тем самым ехр'ж = ехрж, или
ах
Ч ex+h — ех = ez(e/l — 1) = ex(h + o(/i)) = exh + o(/i).
Мы воспользовались полученной в примере 39, гл. III, §2, п. 4 фор-
мулой eh — 1 = h + o(h) при h -> 0. ►
222
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 10. ax+h — ах = ах In ah + o(/i) при Дч 0 иа > 0.
Таким образом, dax = axlnadx и = ах Ina.
« ax+h -ах = ax(ah - 1) = ax(e/llno - 1) =
= ax(h In a + o(h In a)) = ax In ah + o(h) при /i —> 0. ►
Пример 11. In |ж + h\ — In |ar| = + o(h) при h —> 0 и x 0.
Таким образом, din |ж| = ^dx и ~
◄ 1п|ж + h\ - ln|ar| = In |1 + ||.
При |/i| < |ж| имеем |1 + = 1 + поэтому для достаточно малых
значений h можно написать
/ h \ h
In h + h\ — In hl = In । 1 H— ) = —ho
\ x J x
при h Q. Мы воспользовались здесь тем, что, как показано в приме-
ре 38, гл. III, § 2, п. 4, ln(l + t) = t + o(i) при < —> 0. ►
Пример 12. loga k + h] — loga kl = ? + o(/i) при h 0, х О,
in a ' ' ‘ ’
О<а01.
Таким образом, dlog„ hl = J dx и dloJa М = 3 .
г ' оа 1 1 х In а ах xlna
' h -
< х /
h\\ 1 ,
- = —:—h + o(h).
х / / х In a
h I h
◄ loga k + h\ - logO kl = logO 1 + - = loga ( 1 + -
«Zz
1 , / 1 (h
— ---In I 1 H-I — -- I---ho
In a \ x) lna\x
Мы воспользовались формулой перехода к другому основанию ло-
гарифмов и соображениями,
ра 10. ►
изложенными при рассмотрении приме-
Задачи и упражнения
1. Покажите, что
а) касательная к эллипсу
а2 Ь2
§ 1. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМАЯ ФУНКЦИЯ
223
в точке (хр,ур) имеет уравнение
хх0 УУо _ 1
а2 Ь2
Ь) световые лучи от источника, помещенного в одном из двух фокусов
Fi = (—л/а2 — Ь2,0), F2 = (л/а2 — Ь2,0) эллипса с полуосями а > b > 0, соби-
раются эллиптическим зеркалом в другом фокусе.
2. Напишите формулы для приближенного вычисления значений
a) sin + о) при значениях а, близких к нулю;
b) sin(30° + о0) при значениях а°, близких к нулю;
с) cos + о) при значениях а, близких к нулю;
d) cos(45° + о0) при значениях а°, близких к нулю.
3. Стакан с водой вращается вокруг своей оси с постоянной угловой ско-
ростью а>. Пусть у — f(x)—уравнение кривой, получающейся в сечении по-
верхности жидкости плоскостью, проходящей через ось вращения.
2
а) Покажите, что f'(x) = ^х, где д—ускорение свободного падения (см.
пример 5).
Ь) Подберите /(а:) так, чтобы функция /(т) удовлетворяла условию, ука-
занному в а) (см. пример 6).
с) Изменится ли приведенное в а) условие на функцию /(ж), если ось вра-
щения не будет совпадать с осью стакана?
4. Тело, которое можно считать материальной точкой, под действием силы
тяжести скатывается с гладкой горки, являющейся графиком дифференциру-
емой функции у — f(x).
а) Найдите горизонтальную и вертикальную компоненты вектора ускоре-
ния, которое имеет тело в точке (хр,ур).
Ь) В случае, когда f(x) = х2 и тело скатывается с большой высоты, най-
дите ту точку параболы у = х2, в которой горизонтальная составляющая
ускорения максимальна.
5. Положим
Фо (а:) = <
х, если 0 х i
*
1 — х, если | х 1,
и продолжим эту функцию на всю числовую прямую с периодом 1. Эту про-
долженную функцию обозначим через (рр. Пусть, далее,
фп(ж) = ^-^0(4"х).
224
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Функция (рп имеет период 4 п и производную, равную +1 или —1 всюду, кроме
точек х = —, п € Z. Пусть
2n + 1 J
ОО
= JS^Cc).
П=1
Покажите, что функция f определена и непрерывна на Ж, но ни в одной точке
не имеет производной. (Этот пример принадлежит известному современному
голландскому математику Б. Л. Ван дер Вардену. Первые примеры непрерыв-
ных функций, не имеющих производной, были построены Больцано (1830г.)
и Вейерштрассом (1860г.).)
§ 2. Основные правила дифференцирования
Построение дифференциала заданной функции или, что равносиль-
но, отыскание ее производной называется операцией дифференцирова-
ния функции1^.
1. Дифференцирование и арифметические операции
Теорема 1. Если функции f: X g: X R дифференцируе-
мы в точке х G X, то
а) их сумма дифференцируема в х, причем
(/ + №) = (/' + У)(®);
Ь) их произведение дифференцируемо в х, причем
(J = /'(ж) • 5(ж) + /(ж) У(ж);
с) их отношение дифференцируемо в х, если д(х) 0, причем
f\' /х _ /'(ж)д(ж) - f(x)gf(x)
д) [ ’ д\х}
◄ В доказательстве мы будем опираться на определение диффе-
ренцируемой функции и свойства символа о(-), установленные в гл. III,
§2, п. 4.
х,При математической равносильности задачи отыскания дифференциала и зада-
чи отыскания производной, все же производная и дифференциал—не одно и то же,
и поэтому, например, во французском математическом языке имеются два терми-
на: derivation — «деривация», нахождение производной (скорости), и differentiation —
«дифференцирование», нахождение дифференциала.
§ 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
225
а) (/ + 9)(х + /i) - (/ + д){х) = (/(ж + h) + д(х + К}) -
~ (/(ж) + д(х}} = (/(ж + h) - /(ж)) + (д(ж + h) - (/(ж)) =
- (/'(ж)Л + о(Л)) + (g'(x)h + o(h)) = (/'(ж) + g'(x))h + o(h) =
= (f + g')(x)h + o(h).
b) (/ • g}(x + h)-(J • 5)(ж) = /(ж + h)g(x + /1) - /(ж)^(ж) =
= (/(^) + f'(x)h + о(Л))(^(ж) + g'(x)h + o(/i)) - /(ж)д(ж) =
= (/'(®)^(ж) + /(ж)У(ж))Л + o(/i).
с) Поскольку функция, дифференцируемая в некоторой точке ж G X,
непрерывна в этой точке, то, учитывая, что д(х) 0, на основании
свойств непрерывных функций можем гарантировать, что при доста-
точно малых значениях h также д(х + /г) 0. В следующих выкладках
предполагается, что h мало:
\д) \gJ g(x + h) д(х)
= (/(ж + h)g(x) - /(ж)д(ж + h)) =
д{х)д{х + h)
= (U(x)+f'(x)h+o(h))g(x)-f(x)(g(x)+g'(x)h+o(h))') =
= + °(X)) ((/'(ж)5(ж) - f(x}g'(x))h + o(/i)) =
52(ж)
Мы воспользовались тем, что в силу непрерывности функции д в
точке ж и того, что д(х) 0,
Г 1 = 1
h™ д(х)д(х + h) д2(х)’
т. е.
1 _ 1
g(x}g(x + h) 52(ж)+° ’
где о(1) есть бесконечно малая при h —>0, х + h Е X. ►
226
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Следствие 1. Производная от линейной комбинации дифферен-
цируемых функций равна линейной комбинации производных этих функ-
ций.
◄ Поскольку постоянная функция, очевидно, дифференцируема и ее
производная всюду равна нулю, то, считая в утверждении Ь) теоремы 1,
что f = const = с, имеем (сд)'(х) = сд'(х).
Используя теперь утверждение а) теоремы 1, можем записать
(ci/ + с2(/)'(х) = (ci/)'(x) + (с2(/)'(х) = + с2д'(х).
С учетом доказанного, по индукции проверяем, что
(ci/i + ... + CnfnYfx) = сгфЦх) + ... + cnfn(x). ►
Следствие 2. Если функции дифференцируемы в точ-
ке х, то
(fl--- fn)'(x) = f[(x)f2(x) ... fn(x) +
+ /1(ж)/2(ж)/з(ж) fn(x) + • + fi(x)... fn_i(x)fn(x).
◄ Для n = 1 утверждение очевидно.
Если оно справедливо для некоторого п G N, то в силу утвержде-
ния Ь) теоремы 1 оно справедливо также для (n+1) G N. В силу принци-
па индукции заключаем о верности приведенной формулы для любого
n G N. ►
Следствие 3. Из взаимосвязи производной и дифференциала сле-
дует, что теорема 1 может быть записана также через дифферен-
циалы. Именно:
a) d(f + g)(x) = df(x) + dg(xf,
b) d(f g)(x) = g(x)df(x) + f(x)dg(x);
c) d (f} (x) = g(^df{x) - Hx)dg{x) есди 0
g£(x)
◄ Проверим, например, а). Действительно,
d(f + g)(x)h = (f + g)'(x)h = (f + g')(x)h =
= (f'(%) + g'(x))h = f’(x)h + g’(x)h =
= df(x)h + dg(x)h = (df(x) + dg(x))h,
и совпадение функций d(f + g)(x), df(x) + dg(x) проверено. ►
§ 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
227
Пример 1. Инвариантность определения скорости. Теперь мы в
состоянии проверить, что вектор мгновенной скорости материальной
точки, который был определен в п. 1 § 1, не зависит от выбора системы
декартовых координат. Мы проверим это даже для любой из аффинных
систем координат.
Пусть (а;1,^2) и (ж1, ж2)— координаты одной и той же точки плос-
кости в двух различных системах координат, связанных между собой
соотношениями
х1 = а^х1 + akx2 + Ь1,
-2 2 1 2 2 ,2 W
х2 = afxL + а^х2 + Ь2.
Поскольку любой вектор (в аффинном пространстве) определяется
парой точек, а его координаты суть разности координат начала и конца
вектора, то координаты одного и того же вектора в этих двух системах
должны быть связаны соотношениями
и1 = и1 + air2,
(2)
-221,22 ' '
v = a^v + a2u .
Если закон движения точки в одной системе задается функциями
x2(t), то в другой — функциями xl(t), ж2(<), связанными с первы-
ми посредством соотношений (1).
Дифференцируя соотношения (1) по времени t, по правилам диффе-
ренцирования находим
х;1 — -I- olr2
Jj ll> 1 ди I
~2 2 • 1 , 2-2
x — arx + a2x
Таким образом, координаты (v1, v2) = (x1,^2) вектора скорости в
первой системе и координаты (и1,и2) = (х ,х ) вектора скорости во
второй системе оказались связанными соотношениями (2), говорящими
нам о том, что мы имеем дело с двумя различными записями одного и
того же вектора.
Пример 2. Пусть f(x) = tgx. Покажем, что f'(x) = —всюду,
COS X
где cos ж 0, т. е. в области определения функции tg х =
(3)
228
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В примерах 1 и 2 из § 1 было показано, что sin'ж = cos ж, cos'а; =
= — sin ж, поэтому из утверждения с) теоремы 1 получаем при cos ж 0:
, / sin \ч sin' х cos х — sin х cos' х
tg ж = — (ж) =---------5---------=
\ cos / cos2 X
cos х cos x + sin x sin x 1
cos2 X cos2 X ’
Пример 3. ctg'rr = ——при sinx 0, т.е. в области определе-
sin х
ния функции ctgx =
Действительно,
, ( cos \' cos' х sin х — cos х sin' x
ctg X — —Г- (x) = ----------5--------- =
Vsin/ sin2 X
— sin x sin x — cos x cos x 1
• 2 • 2 •
sirr X sirr X
Пример 4. Если P(x) = co+cix + .. .+cnxn — полином, то P'(x) =
= ci + 2с2Ж + ... + ncnxn~l.
Действительно, поскольку = 1, то по следствию 2 — пхп~]
и теперь утверждение вытекает из следствия 1.
2. Дифференцирование композиции функций
Теорема (теорема о дифференциале композиции функций). Если
функция f: X —> Y С К дифференцируема в точке х Е X, а функ-
ция g: Y —>• R дифференцируема в точке у = f(x) Е Y, то композиция
gof: X —> К этих функций дифференцируема в точке х, причем диффе-
ренциал d{gof){x): TR(:r) —>• T№(g(f (х))) композиции равен композиции
dg(y) о df(x) дифференциалов
df(x): TR(z) TR(y = /(х)), dg(y = /(х)): TR(y) -4 W(y)).
◄ Условия дифференцируемости функций fug имеют вид
f(x + h) — /(х) = f'(x)h + o(h) при h —> 0, х + h Е X,
9(У + t) - g(y) = g'(y)t + o(t) при t -)• 0, y + tEY.
Заметим, что в последнем равенстве функцию o(i) можно считать
определенной и при t = 0, а в представлении o(i) = iffy, где 7(2) ->
—> 0 при t —> 0, у + t Е У, можно считать 7(0) = 0. Полагая f(x) = у,
§ 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
229
f(x + h) = у +1, в силу дифференцируемости, а значит, и непрерывно-
сти функции f в точке х заключаем, что при h —> 0 также t —> 0, и если
x + hE X, то у + t Е У. По теореме о пределе композиции теперь имеем
7(/(ж + h) — /(ж)) = a(h) —> 0 при h —> 0, х + h Е X,
и, таким образом, если t = f(x + h) — f(x), то
= ?(/(* + h) - /(x))(/(x + h) - /(x)) =
— a(h)(f'(x)h + o(/i)) = a(h)f'(x)h + a(h)o(h) =
= o(/i) + o(h) — o(h) при h 0, x + h E X.
Далее,
(g о /)(ж + h) - (g о /)(ж) = g(f(x + h)) - g(/(x)) =
= «/(У + 0 - У(У) = $'(?/)* + °(*) =
= MWW + h) - /(x)) + o(/(x 4- h) - /(x)) =
= 9'(.f(.^)(f'(x)h + o(/i)) + o(/(x + h)~ /(ж)) =
= g'(f(x))(f'(x)h) + д'(/(х))(О(Л)) + o(/(x + h) - /«
Поскольку величину g/(/(x))(/'(a;)/i) можно интерпретировать как
значение dg(f (х)) о df (x)h композиции h г--- — d^x\ gr f'(x)h ото-
„ df(x) ... . dg(y) .. .
сражении n i-----> f (x)n,, т i--> g (у)т на смещении /г, то для завер-
шения доказательства теоремы остается заметить, что сумма
У(/(ж))(о(^)) + о(/(ж + h) - /(ж))
есть величина бесконечно малая в сравнении с h при h —> 0, х + h Е X,
ибо, как мы уже установили,
o(f(x + h) — f(x)) = o(h) при h —> 0, x + h E X.
Итак, показано, что
(y°/)(a; + /i) - (s°/)W =
= gz(/(a;)) • f'(x)h + o(/i) при h —> 0, x + h E X. ►
230
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Следствие 4. Производная (д о композиции дифференциру-
емых вещественнозначных функций равна произведению g'(f(x)) f(x)
производных этих функций, вычисленных в соответствующих точках.
Большим искушением к короткому доказательству последнего ут-
верждения являются содержательные обозначения Лейбница для про-
изводной, в которых, если z = z(y), а у = у(х), имеем
dz _ dz dy
dx dy dx ’
что представляется вполне естественным, если символ или рас-
сматривать не как единый, а как отношение dz к dy или, соответствен-
но, dy к dx.
Возникающая в связи с этим идея доказательства состоит в том,
чтобы рассмотреть разностное отношение
Az __ Az Ay
Дж Ay Аж
и затем перейти к пределу при Дж —> 0. Трудность, которая тут появля-
ется (и с которой нам тоже отчасти пришлось считаться!), состоит в
том, что Ду может быть нулем, даже если Дж 0.
Следствие 5. Если имеется композиция (fn о ... о /1)(ж) диффе-
ренцируемых функций yi = /1(ж),... ,уп — fn(yn-i), то
= Фп(.Уп-1)/п-1(.Уп-2) • f'l(x).
◄ При п = 1 утверждение очевидно.
Если оно справедливо для некоторого п G N, то из теоремы 2 сле-
дует, что оно справедливо также для п + 1, т. е. по принципу индукции
установлено, что оно справедливо для любого n Е N. ►
Пример 5. Покажем, что при а 6 R в области ж > 0 имеем =
= аж0-1, т.е. dxa = аж"-1^, и
(ж + h)a — ха = axa~xh + o(h) при h —> 0.
◄ Запишем ха — еа1пж и применим доказанную теорему с учетом
результатов примеров 9и11из§1и пункта Ь) теоремы 1.
§ 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
231
Пусть д(у) — еу и у = /(ж) = a In ж. Тогда ха — (д о /)(ж) и
(д ° /)'(*) - У(У) • /'(*) = еу-- = еа1пх-- = ха-- = аха~1. ►
X XX
Пример 6. Производная от логарифма модуля дифференцируе-
мой функции часто называется логарифмической производной.
Поскольку F(x) = In|/(х)| = (1по | | о /)(х), то в силу результата
примера И из § 1 F'(x) = (In|/|)'(ж) =
Таким образом,
,,, ..... . f'(x) , df(x)
d(ln|/|)(z) = y^r-y^-.
Пример 7. Абсолютная и относительная погрешности значе-
ния дифференцируемой функции, вызванные погрешностями в задании
аргумента.
Если функция f дифференцируема в точке х, то
f(x + h) - f(x) = f'(x)h + a(x; 7i),
где a(x; h) = o(h) при h —> 0.
Таким образом, если при вычислении значения /(ж) функции аргу-
мент х определен с абсолютной погрешностью h, то вызванная этой
погрешностью абсолютная погрешность \f(x + h) — /(х)| в значении
функции при достаточно малых h может быть заменена модулем зна-
чения дифференциала |d/(x)/i| = |/'(x)/i| на смещении h.
Тогда относительная погрешность может быть вычислена как от-
ношение = 117111 как МОДУЛЬ произведения j j |/i| лога-
рифмической производной функции на величину абсолютной погреш-
ности аргумента.
Заметим, кстати, что если f(x) = 1пж, то dlnx = и абсолютная
погрешность в определении значения логарифма равна относительной
погрешности в определении аргумента. Это обстоятельство прекрасно
используется, например, в логарифмической линейке (и многих других
приборах с неравномерным масштабом шкал). А именно, представим
себе, что с каждой точкой числовой оси, лежащей правее нуля, мы свя-
зали ее координату у и записали ее над точкой, а под этой точкой
записали число х = еу. Тогда у = In ж. Одна и та же числовая полуось
232
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
оказалась наделенной одной равномерной шкалой у и одной неравно-
мерной (ее называют логарифмической) шкалой х. Чтобы найти 1ns,
надо установить визир на числе х и прочитать наверху соответствую-
щее число у. Поскольку точность установки визира на какую-то точку
не зависит от числа х или у, ей отвечающего, и измеряется некоторой
величиной Ду (длиной отрезка возможного уклонения) в равномерной
шкале, то при определении по числу х его логарифма у мы будем иметь
примерно одну и ту же абсолютную погрешность, а при определении
числа по его логарифму будем иметь примерно одинаковую относитель-
ную погрешность во всех частях шкалы.
Пример 8. Продифференцируем функцию п(ж)1'(а:), где и(х) и
v(x)—дифференцируемые функции и и(х) > 0. Запишем u(x)v^ =
_ ev(x)\nu(x) и воспользуемся следствием 5. Тогда
---- = e«(x)lnu(x) + 17(Ж)^И ) =
dx \ u(x))
= u(x)“^ • v'(x) lnn(x) + r(x)n(x)u^-1 • u!(x).
3. Дифференцирование обратной функции
Теорема 2 (теорема о производной обратной функции). Пусть
функции f:X —>• Y, f-1: Y —> X взаимно обратны и непрерывны в
точках xq Е X и /(жо) = Уо € Y соответственно. Если функция j
дифференцируема в точке хо и f'(xo) Н 0, то функция f~l также
дифференцируема в точке уо, причем
◄ Поскольку функции /: X —> Y, f~l: Y —> X взаимно обратны,
то величины /(ж) — /(жо), /-1(у)— /-1(уо) при у = /(ж) не обращаются
в нуль, если х xq. Из непрерывности / в хо и f~l в уо можно, кроме
того, заключить, что (X Э х —>• хо) <=> (У 9 у —> уо). Используя теперь
теорему о пределе композиции функций и арифметические свойства
предела, находим
lim
Y Эу-+уо
f Чу) - / Чуо)
У-Уо
х -х0
хэ™х0 /(х) - /(хо)
= lim
ХЭх—>хо
1
ГЫ'
§ 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
233
Таким образом, показано, что в точке уо функция f 1: Y —>• X
имеет производную и
(Уо) = (/'(^о))1 • ►
Замечание 1. Если бы нам заранее было известно, что функ-
ция /-1 дифференцируема в точке уо, то из тождества (У-1 о у)(х) = х
по теореме о дифференцировании композиции функций мы сразу же
нашли бы, что (У-1) (уо) • У'^о) = 1-
Замечание 2. Условие ф'{хф} 0, очевидно, равносильно тому,
что отображение h i-> f'(xo)h, осуществляемое дифференциалом df(xo):
TR(xo) —> ТК(уо), имеет обратное отображение [</у(хо)]-1: T'R(yo) —>
->TR(xo), задаваемое формулой т (У'(жо))-1т.
Значит, в терминах дифференциалов вторую фразу формулировки
теоремы 3 можно было бы записать следующим образом:
Если функция f дифференцируема в точке xq и в этой точке ее
дифференциал df(xo): TR(xo) —>• TR(yo) обратим, то дифференциал
функции f~l, обратной к f, существует в точке уо — У(хо) и явля-
ется отображением
ЛГЧуо) = ШЫГ1: ЖУо) TR(x0),
обратным к отображению df(xo): T'R(xo) —> Т1К(уо)-
Пример 9. Покажем, что arcsin'у = - . 1 при |у| < 1. Функции
VI - у2
sin: [—7г/2,7г/2] —> [—1,1] и arcsin: [—1,1] —> [—л/2, л/2] взаимно обрат-
ны и непрерывны (см. гл. IV, §2, пример 8), причем sin'ж = cos ж О,
если |ж| < тг/2. При |х| < л/2 для значений у = sinx имеем |у| < 1.
Таким образом, по теореме 3
,11 1 1
arcsin у = . , =-----= —, = =- —.
sinx cosx Vl-sin2x а/1 - у2
Знак перед радикалом выбран с учетом того, что cosx > 0 при
|х| < 7Г/2.
Пример 10. Рассуждая, как и в предыдущем примере, можно по-
казать (с учетом примера 9 из § 2 гл. IV), что
arccos'y =---. 1 при |у| < 1.
V1 -у
234
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Действительно,
,11 1 1
arccos у — —— = ;— —-----------г = =------------Г'
cos'ж sinX VI- cos2 х yl-у2
Знак перед радикалом выбран с учетом того, что sin ж > 0, если 0 <
Пример 11. arctg' У = 7-^—2’ У 6 К-
1 + у
Действительно,
1
, 1
arctg у = -j—
tg х
\ COS* X
2 1
= COS X = -------5—
1 + tg2 X
1
1 + y2’
Пример 12. arcctg'y =--------—=•, у G К.
1 + у
Действительно,
arCCtg'y = ^
1
1 -2 1
----r = — sin X —-----------— — — --------
1\ 1 + ctg2 x 1 + yz
sm x
Пример 13. Мы уже знаем (см. примеры 10, 12 из § 1), что функ-
ции у = /(х) = ах и х = /-1(у) = logax имеют производные f'(x) =
= ах\па и (У”1)'(у) =
Проверим, как это согласуется с теоремой 3:
(Г1) (у) = 777-Т = -FT" = -f-’
J (х) ах1па у In а
/'(*) = х = Т 1 \ = У1па = ах1па.
(/ Ч (у) ( 1 )
\ у In a J
Пример 14. Гиперболические, обратные гиперболические функ-
ции и их производные. Функции
shx = |(e:c-e х) ,
ch ж = (ех + е-х)
А
§ 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
235
называются соответственно гиперболическим синусом и гиперболиче-
ским косинусом1) от х.
Эти в данный момент вводимые нами чисто формально функции,
как выяснится, во многих вопросах появляются так же естественно,
как появляются круговые функции sin х, cos х.
Заметим, что
sh(—х) = — sha;,
ch(—х) = ch х,
т. е. гиперболический синус — нечетная функция, а гиперболический
косинус — функция четная.
Кроме того, очевидно следующее основное тождество:
ch2 х — sh2 х = 1.
Графики функций у = 8Ьжиу = сЬж изображены на рис. 19.
Из определения функции shrr и свойств
функции ех следует, что shx—непрерывная
строго возрастающая функция, отображающая
взаимно однозначно R на R. Обратная функция
к sh ас, таким образом, существует, определена
на R, непрерывна и строго монотонно возра-
стает.
Ее обозначают символом
arshy
(читается «ареа-синус2) от у»). Эту функцию
легко выразить через уже известные. Решая
уравнение
1 (е* - е”) = у
относительно ж, найдем последовательно
ех = у + \/1 +у2
^От лат. sinus hyperbolici, cosinus hyperbolici.
^Полное название — area sinus hyperbolici (лат.)', почему здесь используется тер-
мин «площадь» (area), а не «дуга» (arcus), как в круговых функциях, выяснится не-
сколько позже.
236
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(ех > 0, поэтому ех у — у/1 + у2) и
х = In (у + у/1 + у2
Итак,
arsh у — In (у + у/1 + у2) ,
у G R.
Аналогично, используя монотонность функции у = ch х на участках
R_ = {ж С R | х 0}, К4- — {ж С R | х 0}, можно построить функции
arch_ у и arch+ у, определенные для у 1 и обратные к ограничению
функции ch х на R_ и 1FL|_ соответственно.
Они задаются формулами
arch_ у = In (у — у/у2 — 1J ,
arch+ у — In (у + у/у2 — 1) .
Из приведенных определений находим
sh'x = (ет + е~х) = ch х,
ch'ж = | (ех — е~х) = shz,
а на основе теоремы о производной обратной функции получаем
v, 1 1 1 1
arsh у = — = —— = —- = = —- ,
sh х cha; yi + sh2х у/1 + у2
., 1 1 1 1
arch_ у = —— = —— =---------... - = =------, у > 1
ch х shz -у/сЬ2ж-1 у/у2 - 1
arch', у = —Д- = -Д- = —, Д. = = —. Д , у > 1
ch х shx ус112 х - 1 у/у2 - 1
Последние три соотношения можно проверить, используя явные вы-
ражения для обратных гиперболических функций arsh у и arch у.
§ 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
237
Например,
arsh'у =----л 2 ( 1 + | t1 + У2) 1/2 ‘ 2у} =
у + v1 + у \ '_____
= 1 . у/х + у2 + у = 1
У + а/1 + у2 а/1 + у2 а/1 + у2
Подобно tg х и ctg х можно рассмотреть функции
, shx , ch х
th ж = —— и cthx = ——,
ch х sh х
называемые гиперболическим тангенсом и гиперболическим котанген-
сом соответственно, а также обратные им функции ареа-тангенс:
♦к 1> 1 + У
arth у = -In------,
2 1 - у
и ареа-котангенс:
+. b У+1
arcth у = - in-----,
2 у - 1
|у| < 1,
|у| > 1-
Решения элементарных уравнений, приводящие к этим формулам,
мы опускаем.
По правилам дифференцирования имеем
, , sh' х ch х — sh х ch' x ch x ch x — sh x sh x 1
th x =------—-------=--------------— —г:—,
ch x ch x ch x
,, ch' x sh x — ch x sh' x sh x sh x — ch x ch x 1
cth x =-----5-------—--------5-----=---------------=—.
sh x sh x sh x
По теореме о производной обратной функции
,, 1 1,2 1 1 , , ,
arth х = —------г- = ch х =--о- — z----У < 1,
th' х / 1 1- th2 ж 1 —у2’ 1У1
\ ch2 х /
,/11 ,2
arcth х = ——т~ = --7- = — sh х —
cth' х /__1_А
\ sh2 х/ 1
cth2 х — 1 у2 — 1 ’
Две последние формулы можно проверить и непосредственным диффе-
ренцированием явных формул для функций arth у и arcth у.
238
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4. Таблица производных основных элементарных функций.
Выпишем теперь (см. табл. 1) производные основных элементарных
функций, подсчитанные в § 1 и § 2.
Таблица 1
Функция /(ж) Производная /'(®) Ограничения на область изменения аргумента ® € ®
1. С (const) 2. ха 3. ах 4- loga |®| 5. sin а; 6. cos а; 7. tg® 8. ctg® 9. arcsin® 10. arccos а: 11. arctg® 12. arcctg® 13. sh® 14. ch® 15. th® 16. cth® 17. arsh® = in (® + Vl + ®2) 18. arch® = in (® ± y/x2 — 1) 19. arth® = i in 2 1 — x 20. arcth® = | in -+ * 2 x — 1 0 a®“-1 ax Ina 1 ®lna cos® — sin® 1 cos2 X 1 sin2 x 1 Vl — x2 1 x/1 — x2 1 1 + ®2 1 1 + ®2 ch® sh® 1 ch2 x 1 sh2 x 1 Vl +x2 V®2 - 1 1 l-®2 1 1 - ®2 х > 0 при а € К х € К при а € N х € К (а > 0, а / 1) х € К \ 0 (а > 0, а / 1) х / + лк, к 6 Z ® / лк, А 6 Z |®| < 1 |®| < 1 х / 0 |®| > 1 |®| < 1 |®| > 1
5. Дифференцирование простейшей неявно заданной функ-
ции. Пусть у = y(t) и х = x(t) —дифференцируемые функции, опреде-
ленные в окрестности U(to) точки to Е К. Предположим, что функция
х = x(t) имеет обратную функцию t = t(x), определенную в окрестно-
§ 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
239
= dy(t(x))
Уг1г=г0 dx
сти У(жо) точки хо = x(tp). Тогда величину у = у(£), зависящую от t,
можно рассматривать также как функцию, неявно зависящую от х, по-
скольку y(t) = y(t(xY). Найдем производную этой функции по х в точ-
ке Xq, предполагая, что x'(to) 0 0. Используя теорему о дифференциро-
вании композиции и теорему о дифференцировании обратной функции,
получаем
dy(t) |
dy(t) . dt(x) = M\t=tQ = y'^tp)
dt t=to dx X=XQ x't(toY
at \t=t0
(Здесь использовано стандартное обозначение /(ж)|а;=а.о •= /(^о)-)
Если одна и та же величина рассматривается как функция различ-
ных аргументов, то во избежание недоразумений при дифференцирова-
нии явно указывают переменную, по которой это дифференцирование
проводится, что мы и сделали.
Пример 15. Закон сложения скоростей. Движение точки вдоль
прямой вполне определяется, если в каждый момент t выбранной нами
системы отсчета времени мы знаем координату х точки в выбранной
системе координат (числовой оси). Таким образом, пара чисел (x,t)
определяет положение точки в пространстве и во времени. Закон дви-
жения точки запишется в виде некоторой функции х = x(t).
Предположим, что движение этой же точки мы хотим описать в тер-
минах другой системы координат (х, £). К примеру, новая числовая ось
движется равномерно со скоростью — и относительно первой (вектор
скорости в данном случае можно отождествить с задающим его одним
числом). Будем для простоты считать, что координаты (0,0) и в той
и в другой системе относятся к одной и той же точке или, точнее, что
в момент t = 0 точка х = 0 совпадала с точкой х — 0, в которой часы
показывали t = 0.
Тогда один из возможных вариантов связи координат (ж, i), (х, i),
описывающих движение одной и той же точки, наблюдаемое из разных
систем координат, доставляют классические преобразования Галилея
х = х + vt,
t = t.
Рассмотрим несколько более общую линейную связь
х = ах + (it,
t = ух + St,
240
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
разумеется, в предположении, что эта связь обратима, т.е. определи-
ло! в\
тель матрицы I J отличен от нуля.
Пусть х = x(t) и х = x(i)—закон движения наблюдаемой точки,
записанный в этих системах координат.
Зная зависимость х — x(t), из формул (5) найдем
x(t) = ax(t) + fit,
t(t) = yx(t) + St,
а в силу обратимости преобразований (5), записав
х = ах + 3i,
(7)
t = ух + St,
зная х = x(i), можно найти
x(t) = ax(i) + fit,
- ~ - - (8)
t(t) =
Из соотношений (6) и (8) видно, что для данной точки существуют
взаимно обратные зависимости i = i{t) и t = t(i).
Рассмотрим теперь вопрос о связи скоростей
V (*) = и V (t) = ^2- = £t(i)
at at
нашей точки, вычисленных в системах координат (ж, t) и (ж, i) соответ-
ственно.
Используя правило дифференцирования неявной функции и форму-
лы (6), имеем
dx
di
или
di:
St __
di
Ht
= aV(t)+/3
yV(t) + S ’
и того же момента времени в системах
(9)
где t и t — координаты одного
(x,t) и (x,i). Это всегда имеется в виду при сокращенной записи
~аУ + 0
yV + S
(Ю)
W)
формулы (9).
§ 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
241
В случае преобразований (4) Галилея из (10) получаем классический
закон сложения скоростей
V = V + v. (11)
Экспериментально с достаточной степенью точности установлено
(и это стало одним из постулатов специальной теории относительно-
сти), что в вакууме свет всегда распространяется с определенной ско-
ростью с, не зависящей от состояния движения излучающего тела. Это
означает, что если в момент t = t = 0 в точке х — х = 0 происхо-
дит вспышка, то через время t в системе (ж, 2) свет достигнет точек с
координатами х такими, что ж2 = (ci)2, а в системе (ж, £) этому собы-
тию будут отвечать время t и координаты х точек такие, что опять
ж2 = (ci)2.
Таким образом, если х2 — c2t2 = 0, то и х2 — с2?2 = 0, и обратно.
В силу некоторых дополнительных физических соображений следует
считать, что вообще
2 2.2 -2 2 72 /тпч
х — с t = х — с t , (12)
если (ж, t) и (ж, i) отвечают одному и тому же событию в различных си-
стемах координат, связанных соотношением (5). Условия (12) дают сле-
дующие соотношения на коэффициенты а, /3, у, 6 преобразования (5):
а2 — с2д2 — 1,
а/3 — с2уб = 0, (13)
/32_с2^2 = _с2
Если бы было с = 1, то вместо (13) мы имели бы
2 2 1
а -7 =1,
f=Ъ <14>
/32 - 82 = -1,
откуда легко следует, что общее (с точностью до перемен знака в парах
(а,/?), (7, <5)) решение системы (14) может быть дано в виде
а = ch 92, 7 = sh<£>, /3 = sh9?, 6 = ch <p,
где ip— некоторый параметр.
9-4573
242
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Тогда общее решение системы (13) имеет вид
csh
а {3
7 <5
(15)
ch (f>
| sh <p ch cp
и преобразования (5) конкретизируются:
x = ch 9? ж + c sh (pt,
t = - sh (p x + ch (p t.
c
Это — преобразования Лоренца.
Чтобы уяснить себе, каким образом определяется свободный пара-
метр (р, вспомним, что ось х движется со скоростью —и относительно
оси х, т.е. точка х = 0 этой оси, наблюдаемая из системы (x,t), име-
ет скорость —и. Полагая в (15) х = 0, находим ее закон движения в
системе (ж, t):
х = —cth(pt.
Таким образом,
th 9? = -. (16)
Сопоставляя общий закон (10) преобразования скоростей с преобразо-
ваниями Лоренца (15), получаем
~ _ ch 9? У + с sh 9?
| sh (р V + ch (р ’
или, с учетом (16),
(17)
1 + —'
с2
Формула (17) есть релятивистский закон сложения скоростей, кото-
рый при с2, т.е. при с —> сю, переходит в классический, выра-
женный формулой (11).
Сами преобразования Лоренца (15) с учетом соотношения (16) мож-
но записать в следующей более естественной форме:
х + vt
х=-/—- ч2’
/1 fv\*
(18)
t =
\ 2
§2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
243
откуда видно, что при |т?| <^; с, т.е. при с —> оо, они превращаются в
классические преобразования Галилея (4).
6. Производные высших порядков. Если функция f: Е —> R
дифференцируема в любой точке х G Е, то на множестве Е возника-
ет новая функция Е —> R, значение которой в точке х С Е равно
производной f'(x) функции f в этой точке.
Функция Е —> R сама может иметь производную (У')7: Е —> R
на Е, которая по отношению к исходной функции / называется второй
производной от / и обозначается одним из символов
/"«,
а если хотят явно указать переменную дифференцирования, то в пер-
вом случае еще, например, пишут f"x(x).
Определение. По индукции, если определена производная у(п-1) (ж)
порядка п — 1 от f, то производная порядка п определяется формулой
У(п)(ж) = (y(n-Dy (Ж).
Для производной порядка п приняты обозначения
/«и,
Условились считать, что f^°\x) := y(s).
Множество всех функций f: Е —> R, имеющих на Е непрерывные
производные до порядка п включительно, будем обозначать символом
С(п\Е, R), а когда это не ведет к недоразумению—более простыми
символами (}(”)(£) или Сп(Е, R) и Сп(Е) соответственно.
В частности, С'^(Е) = С(Е) в силу принятого соглашения, что
/(0)(ж) = У (я?)-
Рассмотрим несколько примеров вычисления производных высших
порядков.
Примеры. У(®) У'(ж) y"W •• y^(z)
16. ах ах In а ахIn2 а axlnn a
17. ех ех ех ex
18. sins coss — sin s sin(s + птг/2)
244
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
19. cosх — sins — COS X cos(s + птг/2)
20. (1 + ж)а a(l + s)a-1 a(a — 1)(1 + x)a~2 .. . a(a — 1)... (a — n + + l)(l + s)Q-n
21. ха as*1-1 a(a — l)sa~2 . a(a — 1)... (a — n + +l)sQ-n
22. loga |ж| in a in a + (-1)П~1("-1)! -П 1 • V# 1м _. + in a
23. 1п|ж| s-1 (-l)s-2 . (-l)n-1(n-l)!s-n
Пример 24. Формула Лейбница. Пусть и(х) и v(x) —функции,
имеющие на общем множестве Е производные до порядка п включи-
тельно. Тогда для n-й производной от их произведения справедлива
следующая формула Лейбница:
п
= 22 С™и{п~тУт>. (19)
т—О
Формула Лейбница очень похожа на формулу бинома Ньютона и на
самом деле с нею непосредственно связана.
◄ При п = 1 формула (19) совпадает с уже установленным правилом
дифференцирования произведения.
Если функции и, v имеют производные до порядка п+1 включитель-
но, то, в предположении справедливости формулы (19) для порядка п,
после дифференцирования ее левой и правой частей получаем
п п
(UV^n+v = с^п~т+1к^ + 22 с,о(п~™мт+1) =
m=0 т=0
= u(n+1M°) + £2 + Ск-1^ u((n+i)-k)v(k) + м(0)W(n+1) =
к=1
71+1
= SCn+lM((n+1)_fc)?;(fc)-
к=0
Мы объединили слагаемые, содержащие одинаковые произведения
производных от функций и, v, и воспользовались тем, что С* + С^-1 =
__z~+
— GT1+1-
Таким образом, по индукции установлена справедливость формулы
Лейбница. ►
§ 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 245
Пример 25. Если Рп(ж) = со + едя+ ... +СпЖ”, то
Рп(0) = с0,
Рп(х) = С1 + 2с2т + ... +пспхп~1 и Р^О) = Cl,
Р*п(х) = 2с2 + 3 • 2сзх + ... + п(п - 1)спхп~2 и Р„(0) = 21с2,
= 3 • 2с3 + ... + п(п - 1)(п - 2)спхп~3 и Р^(0) = 3! с3,
Р^ЧХ) = п(п- 1)(п-2)...2сп и Р^(0) =nlcn,
Р^к\х) = 0 при к > п.
Таким образом, полином Рп(т) можно записать в виде
рп(т) = р(°)(0) + ip(xW + ^2W2 + • • • + ±р^№п.
Пример 26. Используя формулу Лейбница и то обстоятельство,
что производные от полинома, имеющие порядок выше его степени,
тождественно равны нулю, можно найти n-ю производную функции
/(ж) = х2 sin ж:
f(n\x) = sin(n) X • X2 + C„ sin(n x-2x + C2 sin^n 2>> x • 2 =
2 • ( л . / /
= X sin I x + n— I + 2nrrsin I x + [n — 1) — 1 +
' Zi J \ U /
п(п — 1) sin (х
,2
7Г\ / 7Г\
х + п— ) — 2пх cos I х + п— ) .
J ' J
Пример 27. Пусть /(ж) = arctg ж. Найдем значения /(n\0) (n =
= 1,2,...).
Поскольку f'(x) =---J—2 , то (1 + x2)f'(x) = 1.
1 + X
Применяя формулу Лейбница к последнему равенству, находим ре-
куррентную формулу
(1 + x2)f(n+1\x) + 2nxf(n\x) + п(п — = О,
из которой можно последовательно найти все Производные функ-
ции /(ж).
246
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Полагая х = 0, получаем
/(п+1)(0) = -п(п-1)/(п-1)(0).
При п = 1 имеем /^2^(0) = 0, поэтому вообще /(2п\0) = 0. Для
производных нечетного порядка имеем
/(2™+1)(0) = —2m(2m - l)/2m~1\o)
и, поскольку /ДО) = 1, получаем
/(2^+1) (о) = (-1)™(2т)!.
Пример 28. Ускорение. Если х — т(£) —зависимость от времени
координаты движущейся вдоль числовой оси материальной точки, то
= ж(<) есть скорость точки, а тогда - = x(t) есть ее
ускорение в момент t.
Если x(f) = at + (3, то x(t) = a, a x(t) = 0, т. е. ускорение в равно-
мерном движении равно нулю. Вскоре мы проверим, что если вторая
производная функции равна нулю, то сама функция имеет вид at + /3.
Таким образом, в равномерных движениях и только в них ускорение
равно нулю.
Но в том случае, если мы желаем, чтобы наблюдаемое из двух си-
стем координат движущееся по инерции в пустом пространстве тело
в обеих системах двигалось равномерно и прямолинейно, нужно, что-
бы формулы перехода из одной инерциальной системы в другую были
линейными. Именно по этой причине в примере 15 были выбраны ли-
нейные формулы (5) преобразования координат.
Пример 29. Вторая производная простейшей неявно заданной
функции. Пусть у = y(t) и х = x(t) —дважды дифференцируемые
функции. Предположим, что функция х = rr(i) имеет дифференциру-
емую обратную функцию t = t(x), тогда величину у(£) можно считать
зависящей неявно от х, ибо у = y(t) = y(t(x)). Найдем вторую произ-
водную у”х в предположении, что x'(t) / 0.
По правилу дифференцирования такой функции, рассмотренному в
пункте 5, имеем
§ 2. ОСНОВНЫЕ ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
247
поэтому
ц" = (и1 V — ^Ух^ — —
Ухх \Ух)х
y'ttx't - y'tx'f't
(*t)2 _ ЪУи - xttyt
xt xt xt (xt)3
Заметим, что явные выражения всех участвующих здесь функций,
в том числе и ухх, зависят от t, но они дают возможность получить
значение ухх в конкретной точке х после подстановки вместо t значения
t = <(т), отвечающего заданному значению х.
Например, если у = е*, х = Ini, то
Ух x't 1/i ’ Ухх x't 1/t ( + J
Мы специально взяли простой пример, в котором можно явно вы-
разить t через х, t = ех, и, подставив t = ех в y(i) = е\ найти явную
зависимость у = ее от х. Дифференцируя последнюю функцию, можно
проверить правильность полученных выше результатов.
Ясно, что так можно искать производные любого порядка, последо-
вательно применяя формулу
Ухп
У~п-1 I
. х Jt
Задачи и упражнения
1. Пусть ао, «1, • • •, —заданные вещественные числа. Укажите много-
член Рп(х) степени п, который в фиксированной точке Xq g IR имеет произ-
водные Рпк\х0) = ak, к = 0,1,..., п.
2. Вычислите f'(x), если
( 0 при х — 0;
, ч ,, ч ( я2 sin | при х / 0,
ь) /(*) = S п п
I 0 при х = 0.
с) Проверьте, что функция из задачи а) бесконечно дифференцируема
на 1R, причем /("ДО) = 0.
d) Покажите, что производная функции из задачи Ь) определена на R, но
не является непрерывной функцией на К.
е) Покажите, что функция
exp I----5—77 — -—I при — 1 < х < 1,
F (1 + х)2 (1 - х)2 ) F
0 при 1 |гг|
бесконечно дифференцируема на R.
f{x) = <
248
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3. Пусть f Е С^00^®). Покажите, что при х / О
4. Пусть / — дифференцируемая на IR функция. Покажите, что
а) если f—четная, то f—нечетная функция;
Ь) если / — нечетная, то /' — четная функция;
с) (/' нечетна) <=> (/ четна).
5. Покажите, что
а) функция f(x) дифференцируема в точке xg в том и только в том случае,
когда f(x) — f(xo) = ip(x)(x — хо), где <p(x) —функция, непрерывная в xq (и в
таком случае ^(гго) = /'(^о));
Ь) если f(x) - f(x0) — <р(х)(х - хо) и tp е Ct'n~1')(U(x0)), где U(x0) —
окрестность точки хд, то функция f(x) имеет в точке Хд производную f^(xg)
порядка п.
6. Приведите пример, показывающий, что в теореме 3 условие непрерыв-
ности /-1 в точке уо не является излишним.
7. а) Два тела с массами mi и тг соответственно перемещаются в прост-
ранстве только под действием сил взаимного притяжения. Используя законы
Ньютона (формулы (1) и (2) из § 1), проверьте, что величина
„ (1 о 1 / ^,mim-2,\
Е = I nmiui + I + ( ------) =: К + U,
\2 2 / \ г )
где Vi и V2 — скорости тел, а >-расстояние между ними, не меняется при
таком движении.
Ь) Дайте физическую интерпретацию величины Е = К + U и ее составля-
ющих.
с) Распространите результат на случай движения п тел.
§ 3. Основные теоремы дифференциального исчисления
1. Лемма Ферма и теорема Ролля
Определение 1. Точка xq Е Е С R называется точкой локаль-
ного максимума (минимума), а значение функции в ней — локальным
максимумом (минимумом) функции /: Е —> К, если существует ок-
рестность {7е(то) точки xq в множестве Е такая, что в любой точке
х Е Ue(xq) имеем f(x) < /(®о) (соответственно, f(x) f(xg)).
О
Определение 2. Если в любой точке х Е Ue(xq) \хд — Ue(xq)
имеет место строгое неравенство f(x) < f(xg) (f(x) > f(xg)), то точ-
§ 3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 249
ка xq Е Е называется точкой строгого локального максимума (мини-
мума), а значение функции в ней — строгим локальным максимумом
(минимумом) функции /: Е —> R.
Определение 3. Точки локального максимума и минимума назы-
ваются точками локального экстремума, а значения функции в них —
локальными экстремумами функции.
Пример 1. Пусть
х2, если — 1 х < 2,
4, если 2 х
(рис. 20). Для этой функции
х — — 1 — точка строгого локального макси-
мума;
х = 0 — точка строгого локального мини-
мума;
х = 2 — точка локального максимума;
х > 2 — точки экстремума, являющиеся одновременно точками и
локального максимума, и локального минимума, поскольку здесь функ-
ция локально постоянна.
Пример 2. Пусть f(x) — sin | на множестве Е = R \ 0.
/ \ -1
Точки х = (+ 2кл J , к Е Z, являются точками строгого ло-
/ \ -1
кального максимума, а точки х = ( — + 2А:тг) , к Е Z,— точками
строгого локального минимума для f(x) (см. рис. 12).
Определение 4. Точку х$ Е Е экстремума функции /: Е —> R
будем называть точкой внутреннего экстремума, если жо является пре-
дельной точкой как для множества Е- = {х Е Е | х < жо}, так и для
множества Е+ = {х Е Е | х > жо}.
В примере 2 все точки экстремума являются точками внутреннего
экстремума, а в примере 1 точка ж = — 1 не является точкой внутрен-
него экстремума.
Лемма 1 (Ферма). Если функция /:£?—> 1R дифференцируема в
точке внутреннего экстремума xq Е Е, то ее производная в этой
точке равна нулю: f'(xo) = 0.
250
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
◄ По определению дифференцируемости функции в точке xq
f(x0 + h) - /(то) = f'(x0)h + а(т0; h)h,
где а(то; h) —> 0 при h —> 0, xq + h G E.
Перепишем это соотношение в виде
/(т0 + /г) - /(т0) = [/'(гео) + а(^о; h)] h. (1)
Поскольку то — точка экстремума, то левая часть равенства (1) ли-
бо неотрицательна, либо неположительна одновременно для всех доста-
точно близких к нулю значений h таких, что xq + h G Е.
Если бы было f'(xo) / 0, то при h достаточно близких к нулю вели-
чина /'(то)+а(®о; h) имела бы тот же знак, что и /'(то), ибо а(то; /г) -> О
при h —> 0, то + h G Е.
Что же касается самого значения h, то оно может быть как поло-
жительным, так и отрицательным, коль скоро То — точка внутреннего
экстремума.
Таким образом, предположив, что /'(то) / 0, мы получаем, что пра-
вая часть (1) меняет знак при изменении знака h (если h достаточно
близко к нулю), в то время как левая часть (1) не может менять зна-
ка (если h достаточно близко к нулю). Это противоречие завершает
доказательство. ►
Замечания к лемме Ферма. 1° Лемма Ферма дает, таким обра-
зом, необходимое условие внутреннего экстремума дифференцируемой
функции. Для невнутренних экстремумов (как точка х = — 1 в приме-
ре 1) утверждение о том, что /'(^о) = 0, вообще говоря, неверно.
2° Геометрически лемма вполне очевидна, ибо она утверждает, что
в точке экстремума дифференцируемой функции касательная к ее гра-
фику горизонтальна (ведь f'(xo) есть тангенс угла наклона касательной
к оси Ох).
3° Физически лемма означает, что при движении по прямой в мо-
мент начала возврата (экстремум!) скорость равна нулю.
Из доказанной леммы и теоремы о максимуме (минимуме) функции,
непрерывной на отрезке, вытекает следующее
§ 3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 251
Утверждение 1 (теорема Ролля1)). Если функция /: [а,Ь] -> R
непрерывна на отрезке [а, Ь], дифференцируема в интервале ]а, Ь[ и
/(а) = /(b), то найдется точка £ G ]а, Ь[ такая, что f'(£) = 0.
◄ Поскольку функция / непрерывна на отрезке [а, Ь], то найдутся
точки хт,хм € [а, Ь], в которых она принимает соответственно ми-
нимальное и максимальное из своих значений на этом отрезке. Если
f(xm) — ф(хм), то функция постоянна на [а, Ь], и поскольку в этом слу-
чае f'(x) = 0, то утверждение, очевидно, выполнено. Если же f(xm) <
< то, поскольку /(а) = /(b), одна из точек хт, хм обязана
лежать в интервале ]а, Ь[. Ее мы и обозначим через £. По лемме Ферма
ле) = о. ►
2. Теоремы Лагранжа и Коши о конечном приращении. Сле-
дующее утверждение является одним из наиболее часто используемых
и важных средств исследования числовых функций.
Теорема 1 (теорема Лагранжа о конечном приращении). Если
функция f:[a,b] —> R непрерывна на отрезке [а, Ь] и дифференцируе-
ма в интервале ]а, Ь[, то найдется точка £ С ]а, Ь[ такая, что
/(b)-/(a) = /'Qb-a).' (2)
◄ Для доказательства рассмотрим вспомогательную функцию
Е(Ж) = /(т)-^~/(о)(Ж-а),
о — а
которая, очевидно, непрерывна на отрезке [а, Ь], дифференцируема в
интервале ]а, Ь[ и на его концах принимает равные значения: F(a) =
= F(b) = f(a). Применяя к F(x) теорему Ролля, найдем точку £ G ]а, Ь[,
в которой
F'(£) = /'(£) - = 0. ►
о — а
Замечания к теореме Лагранжа. 1° Геометрически теорема
Лагранжа означает (рис. 21), что в некоторой точке (£,/(£)), где £ Е
Е ]а, Ь[, касательная к графику функции будет параллельна хорде, со-
единяющей точки (a,/(a)), (b,/(b)), ибо угловой коэффициент послед-
ней равен 2 •
^М. Ролль (1652-1719) —французский математик.
252
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2° Если х интерпретировать как время, а /(Ь) —/(а) — как величину
перемещения за время Ь — а частицы, движущейся вдоль прямой, то те-
орема Лагранжа означает, что скорость f'(x) частицы в некоторый
момент £ G ]а, Ь[ такова, что если бы
в течение всего промежутка време-
ни [а, Ь] частица двигалась с постоян-
ной скоростью то она смести-
лась бы на ту же величину /(Ь)—/(а).
Величину /'(£) естественно считать
средней скоростью движения в про-
межутке [а, Ь].
3° Отметим, однако, что при дви-
жении не по прямой средней скоро-
сти в смысле замечания 2° может не
быть. Действительно, пусть, напри-
мер, частица движется по окружности единичного радиуса с постоян-
ной угловой скоростью ш = 1. Закон ее движения, как мы знаем, можно
записать в виде
r(t) = (cos t, sin t).
Тогда
r(i) = v(i) = (—sini, cosi)
и |®| = у/sin21 + cos21 = 1.
В моменты t = 0 и t = 2тг частица находится в одной и той же точке
плоскости г(0) = г(2тг) = (1,0), и равенство
г(2л) — г(0) = ц(£)(2тг — 0)
означало бы, что v(£) = 0, но зто невозможно.
Однако мы сознаем, что зависимость между перемещением за не-
который промежуток времени и скоростью движения все же имеется.
Она состоит в том, что даже вся длина L пройденного пути не может
превышать максимальной по величине скорости, умноженной на время
в пути. Сказанное можно записать в следующей более точной форме:
|г(Ь) — r(a)| sup |r(i)||b — а|.
t€]a,6[
(3)
§ 3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 253
Как будет в свое время показано, это естественное неравенство дей-
ствительно всегда справедливо. Его тоже называют теоремой Лагран-
жа о конечном приращении, а формулу (2), справедливую только для
числовых функций, часто называют теоремой Лагранжа о среднем зна-
чении (роль среднего в данном случае играет как величина /'(£) ско-
рости, так и точка %, лежащая между а и Ь).
4° Теорема Лагранжа важна тем, что она связывает приращение
функции на конечном отрезке с производной функции на этом отрезке.
До сих пор мы не имели такой теоремы о конечном приращении и харак-
теризовали только локальное (бесконечно малое) приращение функции
через производную или дифференциал в фиксированной точке.
Следствия теоремы Лагранжа
Следствие 1 (признак монотонности функции). Если в любой
точке некоторого интервала производная функции неотрицательна
(положительна), то функция не убывает (возрастает) на этом ин-
тервале.
◄ Действительно, если дц, Х2— две точки нашего интервала и xi <
< Х2, т. е. Х2 — xi > 0, то по формуле (2)
f(x2) ~f(xi) = f'(^)(X2 -®1), где Xi<£<X2,
и, таким образом, знак разности, стоящей в левой части равенства,
совпадает со знаком f'(£). ►
Разумеется, аналогичное утверждение можно высказать о невозра-
стании (убывании) функции с неположительной (отрицательной) про-
изводной.
Замечание. На основании теоремы об обратной функции и след-
ствия 1, в частности, можно заключить, что если на каком-то проме-
жутке I числовая функция f(x) имеет положительную или отрицатель-
ную производную, то функция / непрерывна на I, монотонна на I,
имеет обратную функцию /-1, определенную на промежутке I' = f(I)
и дифференцируемую на нем.
Следствие 2 (критерий постоянства функции). Непрерывная на
отрезке [а, Ь] функция постоянна на нем тогда и только тогда, когда
ее производная равна нулю в любой точке отрезка [а, Ь] (или хотя бы
интервала ]а, Ь[).
254
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
◄ Интерес представляет только доказательство того факта, что
если f'(x) = 0 на ]а, Ь[, то для любых xi,X2 € [а, Ь] имеет место равенство
/(xi) = Но это вытекает из теоремы Лагранжа, по которой
/(®г) - /(®1) = ~ ®1) = О,
ибо £ лежит между Tj и х%, т. е. £ G ]а, Ь[ и /'(£) = 0. ►
Замечание. Отсюда, очевидно, можно сделать следующий (как
мы увидим, очень важный для интегрального исчисления) вывод: ес-
ли производные F[(x), F^x) двух функций Fi(x), ^(т) совпадают на
некотором промежутке, т. е. F[(x) = F^x), то на этом промежутке
разность F^x) — 3*2(3;) есть постоянная функция.
Полезным обобщением теоремы Лагранжа, которое тоже основано
на теореме Ролля, является следующее
Утверждение 2 (теорема Коши о конечном приращении). Пусть
х = x(f) и у — y(t) —функции, непрерывные на отрезке [а,/3] и диффе-
ренцируемые в интервале ]а,/3[.
Тогда найдется точка т Е ]а, /3[ такая, что
х'(Т)(у(0) - у(а)) = у/(т)(®(^) - ®(а)).
Если к тому же x'(i) / 0 при любом t G ]а,/3[, то х(а) / х((3) и
справедливо равенство
у(0) - у{а) = У(т)
хЦЗ) — х(а) х'(г) ’
(4)
◄ Функция F(t) = rr(i)(y(/3) — у(а)) — у(3)(т(/3) — т(о!)) удовлетворя-
ет условиям теоремы Ролля на отрезке [а,/3], поэтому найдется точка
т G ]а, /3[, в которой F'{r) = 0, что равносильно доказываемому равен-
ству. Чтобы получить из него соотношение (4), остается заметить, что
если x'(t) / 0 на ]а,/3[, то по той же теореме Ролля т(о!) / т(/3). ►
Замечания к теореме Коши. 1° Если пару функций ж(£), y(t)
рассматривать как закон движения частицы, то (х'(ф),у'(фУ) есть век-
тор ее скорости в момент t, а (т(/3) — ж(се), у(/3) — у(а)) есть вектор ее
смещения за промежуток времени [а, /3], и теорема утверждает, что в
некоторый момент т Е [а, (3\ эти векторы коллинеарны. Однако этот
§ 3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 255
факт, относящийся к движению в плоскости, является таким же при-
ятным исключением, каким является теорема о средней скорости в слу-
чае движения по прямой. В самом деле, представьте себе частицу, рав-
номерно поднимающуюся по винтовой линии. Ее скорость составляет
постоянный ненулевой угол с вертикалью, в то время как вектор сме-
щения может быть и вертикальным (один виток).
2° Формулу Лагранжа можно получить из формулы Коши, если в
последней положить х = x(t) = t, y(t) - у(ж) = f(x), а = а, (3 = b.
3. Формула Тейлора. Из той части дифференциального исчисле-
ния, которая уже изложена к настоящему моменту, могло возникнуть
верное представление о том, что чем больше производных (включая
производную нулевого порядка) совпадает у двух функций в некоторой
точке, тем лучше эти функции аппроксимируют друг друга в окрестно-
сти этой точки. Мы в основном интересовались и сейчас будем интере-
соваться приближением функции в окрестности некоторой точки с по-
мощью многочлена Рп(ж) = Рп(хо',х) = cq + ci(x — xq) + . . .+сп(х — хо)п.
Нам известно (см. пример 25 из §2, п. 6), что алгебраический полином
можно представить в виде
Р„(х) = Рп(ж0) + ^^(ж - ж0) + • - + ^(ж - ж0)п,
т.е. сд, = п (к = 0,1,...,п). В этом легко убедиться непосред-
ственно.
Таким образом, если нам будет дана функция /(ж), имеющая в точ-
ке xq все производные до порядка п включительно, то мы можем не-
медленно выписать полином
Pn(zo;z) = Рп(х) = f(x0) + (ж - ж0) +... + -—у^(ж - ж0)п, (5)
производные которого до порядка п включительно в точке совпада-
ют с производными соответствующего порядка функции /(ж) в
точке Xq.
Определение 5. Алгебраический полином, заданный соотноше-
нием (5), называется полиномом Тейлоров порядка п функции f(x) в
точке xq.
^Б. Тейлор (1685-1731) — английский математик.
256
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Нас будет интересовать величина
f(x) -Рп(хо',х) =тп(х0;х} (6)
уклонения полинома Рп(х) от функции f(x), называемая часто остат-
ком, точнее, п-м остатком или п-м остаточным членом формулы Тей-
лора:
f(x) = f(x0) + f (х - То) + ... + ~(х - х0)п + гп(х0;х).
(7)
Само по себе равенство (7), конечно, не представляет интереса, если
о функции гп(хо‘,х) не известно ничего, кроме ее определения (6).
Сейчас мы воспользуемся довольно искусственным приемом для по-
лучения информации об остаточном члене. Более естественный путь к
этому даст интегральное исчисление.
Теорема 2. Если на отрезке с концами хо, х функция f непрерыв-
на вместе с первыми п своими производными, а во внутренних точках
этого отрезка она имеет производную порядка п + 1, то при любой
функции ip, непрерывной на этом отрезке и имеющей отличную от ну-
ля производную в его внутренних точках, найдется точка £, лежащая
между Xq и х, такая, что
Гп(х°^ = ^-(^о)/(п+1)(е)(х-ег.
(8)
◄ На отрезке I с концами то, х рассмотрим вспомогательную функ-
цию
F(i) = /(z)-Pn(i;z) (9)
от аргумента t. Запишем определение F(t) подробнее:
Из определения функции F(t) и условий теоремы видно, что F не-
прерывна на отрезке I и дифференцируема в его внутренних точках,
§ 3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 257
причем
Применяя к паре функций F(t), </?(£) на отрезке I теорему Коши
(см. соотношение (4)), находим точку £ между а?о и х, в которой
F(x)-F(x0) _F'(£)
9?(®) - 9?(®о) <^(£)'
Подставляя сюда выражение для F'(£) и замечая из сопоставления
формул (6), (9) и (10), что F(x) - F(x0) = 0 - F(x0) = -rn(xo',x),
получаем формулу (8). ►
Полагая в (8) <£>(£) = х — t, получаем
Следствие 1 (формула Коши остаточного члена).
ГпЫ х) = ^/(П+1)(£)(Я - £Г(Х - Х0). (11)
Особенно изящная формула получается, если положить в соотноше-
нии (8) <p(t) = (ж — t)n+1:
Следствие 2 (формула Лагранжа остаточного члена).
rn(x0;x) = 1 ^f(n+1)(£)(z - ж0)п+1.
(П 1;.
(12)
Отметим, что формулу (7) Тейлора при xq = 0 часто называют
формулой МаклеренаУ^.
Рассмотрим примеры.
Пример 3. Для функции f(x) = е1 при xq = 0 формула Тейлора
имеет вид
ех = 1 + ууж + ^х2 + ... + ^хп + гп(0;х), (13)
^К. Маклорен (1698-1746) — английский математик.
258
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
и на основании равенства (12) можно считать, что
где |£| < |ж|.
Таким образом,
1 l-rln+1 . .
ьм W (14)
l^rp+l
Но при любом фиксированном х Е R, если п —> оо, величина ,
как нам известно (см. пример 12 из гл. Ill, § 1, п. ЗЬ), стремится к нулю.
Значит, из оценки (14) и определения суммы ряда вытекает, что для
х Е R
ех = 1 + рЖ + ^2 + ... + ^п + ... (15)
Пример 4. Аналогично получаем разложение функции ах для лю-
бого а, 0 < а, а 1:
Пример 5. Пусть /(ж) = sins. Нам известно (см. пример 18 из
§2, п. 6), что f(n\x) = sin (х + , п е N, поэтому из формулы (12)
Лагранжа при xq = 0 и любом х Е R находим
Гп(0;ж) = sin (С + + 1)) sn+1, (16)
откуда следует, что для любого фиксированного значения х € R вели-
чина гп(0; х) стремится к нулю при п —> оо. Таким образом, при любом
х € R справедливо разложение
sina: = a:-p + p-...+ (^LI2”+‘ + ... (17)
Пример 6. Аналогично, для функции f(x) = cos ж получаем
rn(0; s) = cos + ^(n + 1)) жп+1 (18)
§ 3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 259
и
= + + + (19)
Пример 7. Поскольку sh' х — ch х, ch' х = sh х, для функции f(x) =
= sha; при а?о = 0 из формулы (12) получаем
Гп(°;ж)= (n^1)!<P(e)gw+1,
где </>(£) = sh£, если п четно, и </?(£) = ch£, если п нечетно. В любом
случае |<£>(£)| max {| sha;|, | cha;|}, ибо |£| < |®|. Значит, для любого
фиксированного значения х € R выполняется гп(0; х) —> 0 при п —> оо,
и мы получаем разложение
ShI = I+p + p + ...+ p^1:2»« + ..., (20)
справедливое для любого х € R.
Пример 8. Аналогично получаем разложение
chz = l + lz2 + lz'4... + ^a:2" + ... , (21)
справедливое для любого значения х € R.
Пример 9. Для функции f(x) = 1п(1 + х) имеем f(n\x) =
= (-1) ~ (п-1)!, ПОЭТОМу формула Тейлора (7) при а?о = 0 для этой
(1 + к)
функции имеет вид
1п(1 + х) = х - |т2 + - ... + ——----хп + гп(0; ж). (22)
£» О rt
На сей раз представим гп(0;т) по формуле Коши (11):
1 (- 1)пп!
г"(о;ж)=^Ь^(ж"е)П;Е’
г„(0;х) = (-1)“х (23)
где точка £ лежит между 0 и х.
260
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Если |®| < 1, то из условия, что £ лежит между Оиг, следует, что
_ |ж| ~ |С| < И ~ |£| _ 1 _ 1 ~ |ж| _ 1 ~ |ж| _ , ,
i+e |i+eR i-iei i-hei i-ioi 1'• ( J
Таким образом, при |а;| < 1
|гп(0;х)| < И+1, (25)
и, следовательно, при |а;| < 1 справедливо разложение
1п(1 + х) = х - - ... + ——----хп + ... (26)
Z <5 ТЬ
Заметим, что вне отрезка |ж| < 1 ряд, стоящий справа в (26), всюду
расходится, так как его общий член не стремится к нулю, если |а;| > 1.
Пример 10. Если f{x) = (1+ж)а, где а € R, то f(n\x) = а(а—1)х
х ... х (а — п + 1)(1 + х)а~п, поэтому формула Тейлора (7) при а?о = О
для этой функции имеет вид
(1 +ж)а = 1 + +
а(а — 1) 9 а(а — 1)... (а — п + 1) „ ,п .
+ -^-2! V + ... + -3--------------------^ + гп(0;ж). (27)
Используя формулу Коши (11), находим
гп(0; х) = + ?)o-»-i(a; _ (28)
где £ лежит между 0 и ж.
Если |ж| < 1, то, используя оценку (24), имеем
|гп(0; ж)| < |а (1 - у) ... (1 - | (1 + £)а-хИп+1- (29)
При увеличении п на единицу правая часть неравенства (29) умножает-
ся на | (1 — ®|- Но поскольку |®| < 1, то при достаточно больших
значениях п, независимо от значения а, будем иметь | (1 — <
< q < 1, если |а;| < q < 1.
§3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 261
Отсюда следует, что при любом а Е R и любом х из интервала |а?| < 1
выполнено гп(0;ж) —> 0, когда п —> оо; поэтому на интервале |а;| < 1
справедливо полученное Ньютоном разложение {бином Ньютона)
, а «(а — 1) 2 «(а — 1) • • • (а — n + 1) „
(1+ж)а = 1 + ^+ 2, V+...+-^---------------------J-xn + ... (30)
Заметим, что, как следует из признака Даламбера (см. гл. Ill, § 1,
п. 4Ь), при |а?| > 1 ряд (30) вообще расходится, если только а N.
Рассмотрим теперь особо случай, когда а = п Е N.
В этом случае функция f(x) = (1 + х)а = (1 + х)п является поли-
номом степени п, и поэтому все ее производные порядка выше чем п
равны нулю. Таким образом, формула Тейлора (7) и, например, форму-
ла Лагранжа (12) позволяют записать следующее равенство:
™ п(п — 1) 9 п(п — 1) • . . . • 1 „ .
(1 + х)п = 1 + -X + V-----^2 + ... + ±------хп, (31)
представляющее собой известную из школы формулу бинома Ньютона
для натурального показателя:
(1 + х)п = 1 + С'х + С2х2 + ... + С”хп.
Итак, мы определили формулу Тейлора (7) и получили вид (8), (11),
(12) остаточного члена формулы Тейлора. Мы получили соотношения
(14), (16), (18), (25), (29), позволяющие оценивать погрешность вычи-
сления важных элементарных функций по формуле Тейлора. Наконец,
мы получили разложения этих функций в степенные ряды.
Определение 6. Если функция f(x) имеет в точке xq производ-
ные любого порядка п Е N, то ряд
/(®о) + у,/'{х0){х - х0) + ... + ^f(n\x0)(x - х0)п + • • •
называется рядом Тейлора функции f в точке xq.
Не следует думать, что ряд Тейлора каждой бесконечно дифферен-
цируемой функции сходится в некоторой окрестности точки a?o, ибо
для любой последовательности со, q, ..., Сп,... чисел можно построить
(это не совсем просто) функцию f(x) такую, что f(n\xo) = Сп, п Е N.
262
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Не следует также думать, что если ряд Тейлора сходится, то он обя-
зательно сходится к породившей его функции. Сходимость ряда Тейло-
ра к породившей его функции имеет место только для так называемых
аналитических функций.
Вот пример Коши неаналитической функции:
/(ж) = •
е 1/а;2, если х О,
О, если х ~ 0.
Исходя из определения производной и того, что хке~1^х2 —> 0 при
х —> 0 независимо от значения к (см. пример 30 из §2 гл. III), можно
проверить, что /(п\0) = 0 для п = 0,1,2,... Таким образом, ряд Тей-
лора в данном случае состоит только из нулевых членов и его сумма
тождественно равна нулю, в то время как f(x) 0 при х 0.
В заключение остановимся на локальном варианте формулы Тей-
лора.
Вернемся снова к задаче о локальном приближении функции f-.E-t
—> R полиномом, которую мы начали обсуждать в § 1, п. 3. Мы хотим
подобрать полином Рп(хо', х) = со + С1(ж — жо) + ... + сп(х — жо)п так,
чтобы иметь
/(ж) = Рп(хо;х) + о((ж - жо)") при х -> х0, х G Е,
или, подробнее,
f(x) = с0 + сх(ж - жо) + ... + Сп(х - х0)п + о((ж - ж0)п)
при х -> Xq, х 6 Е. (32)
Сформулируем в явном виде по существу уже доказанное
Утверждение 3. Если удовлетворяющий условию (32) полином
Рп(хо‘, х) = со + сДж — жо) + • • • + сп(ж — жо)п существует, то он един-
ственный.
Ч Действительно, из условия (32) последовательно и вполне одно-
значно (в силу единственности предела) находятся коэффициенты по-
линома
§3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 263
со = lim /(ж),
f(x) -со
Ci = lim -------------,
X — Жо
/(ж)- [со + .-. + сп-Цж-жо)” ]
вп = 1пп ---------ь----------г------------►
(Ж — хо)п
Докажем теперь следующее
Утверждение 4 (локальная формула Тейлора). Пусть Е — отре-
зок с концом жо € R. Если функция f: Е —> R имеет в точке xq все
производные f'(xo),..., /(п\жо) до порядка п включительно, то спра-
ведливо следующее представление:
/(ж) = /(ж0) + ^(ж - жо) + ... + Н^(ж - хо)п +
X > 71Л
+ о((ж —жо)п) при ж —> жо, ж € Е. (33)
Таким образом, задачу локального приближения дифференцируе-
мой функции решает полином Тейлора соответствующего порядка.
Поскольку полином Тейлора Рп(жо;ж) строится из условия совпа-
дения всех его производных до порядка п включительно с производ-
ными соответствующего порядка функции / в точке жо, то /^(жо) —
- Рп^(жо;жо) = 0 (к = 0,1,..., п) и справедливость формулы (33)
устанавливает следующая
Лемма 2. Если функция </?: Е —> R, определенная на отрезке Е
с концом жо, такова, что она имеет в точке xq все производные до
порядка п включительно и </?(жо) = <p'(xq) = ... = у/п\жо) = 0, то
р(х) = о((ж — жо)п) при х -> жо, х е Е.
◄ При п = 1 утверждение вытекает из определения дифференциру-
емости функции <р в точке жо, в силу которого
ф(х) = <^(жо) + <р'(хо)(х — Жо) + о(ж — Жо) при Ж -> Жо, ж Е Е,
и, поскольку <£>(жо) = уЛжо) = 0, имеем
</>(ж) = о(ж — жо) при ж —> жо, ж € Е.
264
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Предположим, что утверждение доказано для порядков п = к — 1
1. Покажем, что тогда оно справедливо также для порядка п — к 2.
Заметим предварительно, что поскольку
^к\х0) = (^к (то) = lim
\ / ЕЭх—
x)(a:)—^(то)
х — То
то существование у?^\то) предполагает, что функция <р^к~^(х) опре-
делена на Е хотя бы вблизи точки то- Уменьшая, если нужно, отре-
зок Е, можно заранее считать, что функции у?(т), <р'(х),... ,
где к 2, определены на всем отрезке Е с концом то- Поскольку к 2,
то функция у>(т) имеет на Е производную у?'(х) и по условию
(^')'(то) = ... = И(/г-1)Ы = 0.
Таким образом, по предположению индукции
ip'(x) = о ((т — то)*-1} при т —> то, т е Е.
Тогда, используя теорему Лагранжа, получаем
9?(т) = <^(т) - 9?(т0) = р'(£)(х - то) = <*(£)(£ - яо)*-1(х - Хо),
где £ — точка, лежащая между то и т, т. е. |£ — То| < |т — Tq|, а а(£) ->О
при £ —> Е, £ G Е. Значит, при т —> То, т С Е одновременно будем
иметь £ —> Е, £ G Е и а(£) -> 0, и поскольку
Ит)| «С |а(£)||т - т0|fc-1 |т - то|,
то проверено, что
</>(т) = О ((т — To)fc) при Т —> То, Т е Е.
Таким образом, утверждение леммы 2 проверено принципом мате-
матической индукции. ►
Соотношение (33) называется локальной формулой Тейлора, по-
скольку указанный в нем вид остаточного члена (так называемая форма
Пеано)
гп(х0;х) = о((т - т0)п)
(34)
§ 3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 265
позволяет делать заключения только об асимптотическом характере
связи полинома Тейлора и функции при х —> то, х 6 Е.
Формула (33) удобна, таким образом, при вычислении пределов и
описании асимптотики функции при х —> то, х 6 Е, но она не может
служить для приближенного вычисления значений функции до тех пор,
пока нет фактической оценки величины гп(х$-,х) = о((х — то)”)-
Подведем итоги. Мы определили полином Тейлора
РпЫ х) = /(то) + ^^(х - хо) + ... + - то)",
1! П!
написали формулу Тейлора
/(х) = /(х0) + У (ж _ д0) + ... + L—^1(ж - т0)п + гп(х0; ж)
1! TV.
и получили следующие ее важнейшие конкретизации:
Если f имеет производную порядка п + 1 в интервале с концами
хо,х, то
Дх) = f(x0) + - хо) + - + - хо)” +
+ Сн^(1~а:°)”+1’ (35)
где ( — точка, лежащая между xq и х.
Если f имеет в точке xq все производные до порядка п 1 включи-
тельно, то
/(т) = /(то) + ^^(х-то) + ... + ^^(т-тоГ + о((т-то)п). (36)
Соотношение (35), называемое формулой Тейлора с остаточным
членом в форме Лагранжа, очевидно, является обобщением теоремы
Лагранжа, в которую оно превращается при п = 0.
Соотношение (36), называемое формулой Тейлора с остаточным
членом в форме Пеано, очевидно, является обобщением определения
дифференцируемости функции в точке, в которое оно переходит при
п = 1.
266
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Заметим, что формула (35) практически всегда более содержатель-
на, ибо, с одной стороны, как мы видели, она позволяет оценивать абсо-
лютную величину остаточного члена, а с другой, например, при огра-
ниченности f^n+1^(x) в окрестности xq из нее вытекает также асимпто-
тическая формула
/(х) = /(то) + ^j^(x - хо) + ... + - т0)” +
+ О ((т - т0)п+1) (37)
Так что для бесконечно дифференцируемых функций, с которыми в
подавляющем большинстве случаев имеет дело классический анализ,
формула (35) содержит в себе локальную формулу (36).
В частности, на основании формулы (37) и разобранных выше при-
меров 3-10 можно теперь выписать следующую таблицу асимптотиче-
ских формул при х —> 0:
ех = 1 + ±х + ^т2 + ... + \хп + О (т"+1) ,
1! 2! п!
COST = 1 - ±х2 + ^х4 - ... + ^-х2и + О (т2п+2),
sinx = х + . + _^_т- + О (Т-3),
сЬт = 1 + ^т2 + ^т4 + ... + ^щух2" + О (т2п+2),
shT = т Цт3 + 1т* + ... + ^ух2-4 + О (х2-3),
1п(1 + т) = т — тх2 + ^т3 — ... + -——-хп + О (х”+1),
о ть
, а а(а — 1) 9 а(а — 1)... (а — п + 1) „
1 + т Q = 1 + -т + -Ц——т2 + ... + i---------хп +
1! 2! п!
+ О (тп+1).
Рассмотрим теперь еще некоторые примеры использования форму-
лы Тейлора.
Пример 11. Напишем полином, позволяющий вычислять значе-
ния функции sinT на отрезке -1 ^т 1 с абсолютной погрешностью,
не превышающей 10“3.
§3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 267
В качестве такого многочлена можно взять тейлоровский многочлен
подходящей степени, получаемый разложением функции sin х в окрест-
ности точки хо = 0. Поскольку
sins; = х - + ^х5 - ... + ^1)!a;2w+1 + 0 ’ х2п+2 + г2п+2(0; х),
где по формуле Лагранжа
sin (% + -(2п + 3))
то при |®| < 1
|г2„+г(°;з:)| 4
Но (2п + 3), < IO’3 при п 2. Таким образом, с нужной точностью на
отрезке |®| < 1 имеем sinx и х — ^т3 + ^т5.
Пример 12. Покажем, что tgx = х+^х3+о(х3) при х —> 0. Имеем
О
tg' X = cos-2 ж,
tg" х = 2 cos-3 х sin ж,
tg'" x = 6 cos-4 x sin2 x + 2 cos-2 x.
Таким образом, tgO = 0, tg' 0 = 1, tg" 0 = 0, tg'" 0 = 2 и написанное
соотношение следует из локальной формулы Тейлора.
°°
Пример 13. Пусть а > 0. Исследуем сходимость ряда 52 Ineos
Я=1 п
При а > 0 — —> 0, когда п —> оо. Оценим порядок члена ряда
п“
1 1 1 Л 1 1 ( 1 А А 11 ( 1 \
na \ 2! n2a \n2a J J 2 n2a \n2a J
Таким образом, мы имеем знакопостоянный ряд, члены которого
эквивалентны членам ряда 52 —2« • Поскольку последний ряд сходится
п=1 2п
только при а > то в указанной области а > 0 исходный ряд сходится
лишь при а > (см. задачу 16b)).
268
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
In COS X — In
Пример 14. Покажем, что In cos х = — |т2 — + О (ж8)
при х —> 0.
На сей раз, вместо того чтобы вычислять подряд шесть производ-
ных, мы воспользуемся уже известными разложениями cos х при х -> О
и 1п(1 + и) при и —> 0:
1 - я6 + О(т8)) = 1п(1 + и) =
= и~^и2 + |и3 + О(и4) = + iz4 - + О(т8Й -
2 о у 2! 4: О! у
_ 2 ((2ijSl4 ”2' 2!4!Х& + + 3 (“(З!)?1" + =
Пример 15. Найдем значения первых шести производных функ-
ции In cos х при х = 0.
Имеем (Incos)'^: = , и потому ясно, что в нуле данная функция
имеет производные любого порядка, ибо cos 0 =4 0. Мы не станем ис-
кать функциональные выражения этих производных, а воспользуемся
единственностью полинома Тейлора и результатом предыдущего при-
мера.
Если
f(x) — со + cix + ... + спхп + о(хп) при х -> 0,
то
ct=l^ и /W(ow!c,
Таким образом, в нашем случае получаем
(lncos)(0) = 0, (Incos)'(O) = 0, (lncos)"(0) = —• 2!,
(Incos/3) (0) = 0, (Incos/4) (0) = ~т~ • 4!,
(lncos)(5)(0) = 0; (lncos/6)(0) = ~ 7~ 6!.
§3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 269
Пример 16. Пусть/(ж)—бесконечно дифференцируемая в точке
жо = 0 функция, и пусть известно разложение
/'(ж) = Со + с\х + ... + с'пхп + О (ж”+1)
ее производной в окрестности нуля. Тогда из единственности тейлоров-
ского разложения имеем
(/')<>) = felci,
поэтому /(fe+1)(0) = кЛ dk. Таким образом, для самой функции /(ж) име-
ем разложение
№ = До) + +... + + о (х“+2),
или, после упрощений,
/(ж) = /(0) + ^ж + ^ж2 + ... + -^-жи+1 + О (ж"+2).
12 п + 1
Пример 17. Найдем тейлоровское разложение функции /(ж) =
= arctg ж в нуле.
Поскольку f'(x) = —= (1 + ж2) 1 = 1 — ж2 + ж4 —... + (—1)пх2п +
+ 0 (ж2п+2), то по соображениям, изложенным в предыдущем примере,
/ W = ДО) + - Р + р - • • • + ^р”+1 + о (ж2п+3),
т.е.
arctgж = ж - -ж3 + -ж5 - ... + ( -1-—ж2п+1 + О (ж2п+3).
3 5 2п +1 ’
Пример 18. Аналогично, раскладывая по формуле Тейлора функ-
цию arcsin* ж = (1 — ж2)-1/2 в окрестности нуля, последовательно нахо-
дим
_1
(1 + и)~1/2 = 1 + ^-и +
4(4-4, 4(4-i)-44-n+i)
+ + • • • + - k ~~- , v ------ип + о (un+1),
Vi nl ' '
270
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(1 - *т1/2=1++...++
+ О(х2п+2),
1 3 1-3 5 (2n —1)!! 2п+1
arcS1nx = x + — х + + ''' (2п)П (2п + 1)Ж +
+ О(Ж2п+3),
или, после элементарных преобразований,
1 з [З!!]2 5 [(2n-1)!!]2 2п+1 2п+3А
arcsmz = х + —ж3 + ^~х5 + • • • + ~(2п+~1)Г ж2 +1 + (ж2 +3)
Здесь (2п - 1)!! := 1 3 ... • (2п - 1), (2п)!! := 2 • 4 •... • (2п).
Пример 19. Воспользуемся результатами примеров 5, 12, 17, 18
и найдем
arctg х — sm х
lim-----------;— = hm
z->o tg x — arcsin x x->o
x — + O(x5)
x + |ж3 + O(x5)
О
X - ^x3 + O(x5)
o’
x + + O(x5)
o’
— |ж3 + О(ж5)
lim----------—
z-*0 |ж3 + О(ж5)
Задачи и упражнения
2
1. Подберите числа а и b так, чтобы функция /(ж) = cos ж — 1 + йд:2 при
1 + Ьх
х —> 0 была бесконечно малой возможно более высокого порядка.
[1 X л» \ ® *
S — I -ГТ ) •
е к» +1/
3. Напишите полином Тейлора функции е1 в нуле, который позволял бы
вычислять значения ех на отрезке — 1 х 2 с точностью до 10-3.
4. Пусть f—бесконечно дифференцируемая в нуле функция. Покажите,
что
а) если / четная, то ее ряд Тейлора в нуле содержит только четные сте-
пени х;
Ь) если f нечетная, то ее ряд Тейлора в нуле содержит только нечетные
степени х.
5. Покажите, что если f 6 С^[—1,1], /^п^(0) = 0 для п = 0,1,2,...
и существует число С такое, что sup (ж)| n!C, п G N, то f = О
на [-1,1]. -1^ж^1
§3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 271
6. Пусть / G (]—1,1[) и sup |/(ж)| < 1. Пусть т*(7) = inf
-1<ж<1 zei1
где I — промежуток, содержащийся в интервале ]—1,1[. Покажите, что
а) если I разбит на три последовательных промежутка Ii, 1%, 1з и ц—
длина I2, то
тк(1) < - (пг*-1(Л) + пг*-1(/3));
Д
Ь) если I имеет длину Л, то
2&(&+1)/2 fck
тк^ ;
с) существует такое число ап, зависящее только от п, что если |/' (0) | ап,
то уравнение f(n\x) = 0 имеет в ]—!,![ по крайней мере п — 1 различных
корней.
Указание. В Ь) используйте а) и принцип индукции; в с) используйте
а) и по индукции докажите, что существует такая последовательность хк1 <
< хк2 < < хкк точек интервала ]—1,1[, что • f^k\xkl+1) < 0 при
1 i к — 1.
7. Покажите, что если функция f определена и дифференцируема на ин-
тервале I и [а, 6] С I, то
а) функция /'(ж) (даже не будучи непрерывной!) принимает на [а, 6] все
значения между f'(a) и f'(b) (теорема Дорву1});
Ь) если еще f"(x) существует в ]а, &[, то найдется точка £ G ]а, такая,
что/'(Ь)-/'(а) = Г(е)(Ь-а).
8. Функция f(x) может быть дифференцируемой на всей числовой прямой,
но при этом f'(x) может не быть непрерывной (см. пример 7 из § 1, п. 5).
а) Покажите, что функция f'(x) может иметь разрывы только второго
рода.
Ь) Укажите ошибку в следующем «доказательстве» непрерывности f'(x).
< Пусть хо — произвольная точка на Ж и /'(xq) — производная функции /
в точке хо- По определению производной и теореме Лагранжа
f'(x0) = lim = lim f'(£) = lim /'(£),
x->xq X — Xq x->xq Z-tXQ
где £ — точка между xq и x, стремящаяся, таким образом, к xq при х xq. ►
9, Пусть f — дважды дифференцируемая функция на промежутке I. Пусть
Мо = sup |/(ж)|, Mi = sup |/'(х)|, М2 — sup I/"(ж)|. Покажите, что
хЕ.1 Xfzl
^Г.Дарбу (1842-1917) — французский математик.
272
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
а) если I = [—а, а], то
. । Мо , х2 + а2
I/ (ж) <---+ —5-----М2;
а 2а
J Mi С 2 ч/ М0М2, если длина I не меньше 2\/Мо/М2,
[ М\ s/2MqM2, если I = К;
с) в задаче Ь) числа 2 и у/2, не могут быть заменены меньшими;
d) если f дифференцируема р раз в Ж и если величины Мо и Мр =
= sup |/(р)(а;)| конечны, то при 1 к р конечны также величины Мк =
ж ей
= sup и
ж ей
Мк 2к^~к^2Мо~к/рМ^р.
Указание. Используйте задачи 6b), 9Ь) и принцип индукции.
10. Покажите, что если функция / имеет в точке xq все производные до
порядка п +1 включительно и /<'”+1\xq) 0, то в остаточном члене формулы
Тейлора, записанном в форме Лагранжа
гп(х0\х) = —.^п\хо +0(ж - ж0))(ж - хо)п,
П1
где 0 < 0 < 1, величина 0 = 0(х) стремится к при х —> xq-
11. Пусть f—функция, п раз дифференцируемая на промежутке I. Пока-
жите, что
а) Если f в (n + 1) точках промежутка I обращается в нуль, то найдется
точка £ € I такая, что /(п)(0 = о.
Ь) Если Xi, х2,..., хр — точки промежутка I, то существует и притом един-
ственный многочлен L(x) (интерполяционный полином Лагранжа) степени не
выше (п — 1) такой, что /(х,) = L(x,), i = 1,..., п. Кроме того, для х G I най-
дется точка £ g I такая, что
f(x) - L(x) = /(»)(£).
п!
с) Если Xi < х2 < ... < хр—точки промежутка I, П{ (1 i р) —
натуральные числа такие, что п± + п2 +... + пр — п и (xi) = 0 при 0 С к
щ — 1, то в промежутке [а?!, жр] найдется точка £, в которой /*'"~1\£) = 0.
d) Существует и притом единственный многочлен Н(х) (интерполяцион-
ный полином Эрмита1^) степени п — 1 такой, что f^(xi) = Н®(х$ при
^Ш. Эрмит (1822 - 1901)—французский математик, занимавшийся вопросами
анализа; в частности, доказал трансцендентность числа е.
§ 3. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 273
О к пг — 1. Кроме того, внутри наименьшего промежутка, содержащего
точки х и хг, i = 1,..., р, найдется точка £ такая, что
/(«) = Н(1) + yc.tf).
п!
Эта формула называется интерполяционной формулой Эрмита. Точки хг,
i = 1,... ,р, называются узлами интерполяции кратности пг соответственно.
Частными случаями формулы Эрмита являются интерполяционная формула
Лагранжа (задача Ь)) при р = пип, = 1 (г = 1,...,п), а также формула
Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, получающаяся при р = 1,
т.е. при интерполировании с одним узлом кратности п.
12. Покажите, что
а) между двумя вещественными корнями полинома Р(х) с вещественными
коэффициентами имеется корень его производной Р'(ж);
Ь) если полином Р(х) имеет кратный корень, то полином Р'(х) имеет тот
же корень, но на единицу меньшей кратности;
с) если Q(x)—наибольший общий делитель полиномов Р(х) и Р'(х), где
р(х\
Р'(х)— производная полинома Р(х), то полином имеет в качестве корней
корни полинома Р(х), причем все они кратности 1.
13. Покажите, что
а) любой полином Р(х) допускает представление в следующем виде: со +
+ ci(x - жо) + •.. + сп(х — жо)п;
Ь) существует единственный полином степени п, для которого /(ж)—Р(х) =
= о((х — жо)п) при Е Э ж —> жо- Здесь / — функция, определенная на множест-
ве Е, а хо — предельная точка Е.
14. С помощью индукции по к, 1 С к, определим конечные разности по-
рядка к функции f в точке жо:
Д1/(ж0;hi) := Д/(ж0; hi) = /(ж0 + hi) - /(ж0),
Д2/(ж0;Л1,Л2) := ДД/(ж0; hi, Л2) =
= (№о + hi + h2) - f(x0 + h2)) - (/(ж0 + hi) - /(ж0)) =
=/(ж0 + hi + h2) - /(ж0 + hi) - /(ж0 + h2) + /(ж0),
f(xo', hi,..., hk) ^к~гдк(,Хо; hi,.. .,hk_i),
где gk(x) = ^ftx; hk) = f(x + hk) - /(ж).
а) Пусть f g Cl(n~1)[a, b] и существует f^n\x) по крайней мере в интервале
]а,Ь[. Если все точки жо, xq + hi, Xq + h2, xq + hi + h2, xq + hi + ... + hn лежат
в [a, Ь], то внутри наименьшего отрезка, их содержащего, найдется точка £
такая, что
&nf(x0;hi,...,hn) = f^)hi...hn.
10-4573
274
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Ь) (Продолжение.) Если существует /^п'(го), то имеет место оценка
|дп/(х0;/(П)Ы М • • hn\
< sup 1/(п)(2:)-/(п)ы|-|Л1|...Ы
же]а,6[ ' '
с) (Продолжение.) Положим Дп/(ж0; h,..., Л) =: Дп/(ж0;Лп). Покажите,
что если существует /^п’(жо), то
J v ' Л—>0 hn
d) Покажите на примере, что предыдущий предел может существовать
даже тогда, когда {^(х) в точке xq не существует.
Указание. Рассмотрите, например, Д2/(0;Л2) для функции
х О,
х = 0,
и покажите, что
= 0.
Д2/(0;Л2)
lim-----------
h—>0 h
15. а) Применив теорему Лагранжа к функции Ц-, где а > 0, покажите,
х
что при п £ N и а > 0 имеет место неравенство
1 1. / 1 _ J_\
п1+“ < а \(п - 1)“ па) '
Ь) Воспользуйтесь результатом задачи а) и покажите, что ряд ^2 — схо-
дится при <т > 1. n=1 п
§ 4. Исследование функций методами дифференциального
исчисления
1. Условия монотонности функции
Утверждение 1. Между характером монотонности дифферен-
цируемой на интервале ]а, Ь[ = Е функции f:E-r$.u знаком {поло-
жительностью) ее производной f на этом интервале имеется следу-
ющая взаимосвязь:
f'(x) > 0 f возрастает f'(x) 0,
f'(x) > 0 / не убывает f'(x) 0,
f'(x) =0 => / = const f'(x) — 0,
§4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ 275
f'(x) О => / не возрастает => f'(x) 0,
f'(x) < 0 => / убывает => f'(x) 0.
◄ Левый столбец следствий нам уже знаком по обсуждению теоремы
Лагранжа, в силу которой /(жг) — /(a?i) = /'(£)(ж2 — ®1), где xi,Х2 G
G ]а,Ь[ и £— точка между a?i и Х2- Из этой формулы видно, что при
Ж1 < Х2 положительность разности /(жг) — /(^1) совпадает с положи-
тельностью /'(£).
Правый столбец следствий получается непосредственно из опреде-
ления производной. Покажем, например, что если дифференцируемая
на ]а,Ь[ функция / возрастает, то f'(x) 0 на ]а, &[. Действительно,
f(x) = ЦШ № +
J ’ h-+0 h
Если h > 0, то /(ж + h) — /(ж) > 0, а если h < 0, то f(x + h) — /(ж) < 0;
поэтому дробь под знаком предела положительна.
Следовательно, ее предел f'(x) неотрицателен, что и утвержда-
лось. ►
Замечание 1. На примере функции /(ж) = ж3 видно, что возра-
стание дифференцируемой функции влечет только неотрицательность
производной, а не ее положительность. В нашем примере /'(0) =
= Зж2|х=0 = 0.
Замечание 2. В символе А => В, как мы уже в свое время отме-
чали, А — условие, достаточное для В, а В — условие, необходимое для
того, чтобы было выполнено А. Значит, из утверждения 1, в частности,
можно сделать следующие выводы:
функция постоянна на интервале тогда и только тогда, когда ее
производная тождественно равна нулю на этом интервале;
для того чтобы дифференцируемая на интервале функция убыва-
ла на нем, достаточно, чтобы ее производная была отрицательна в
любой точке этого интервала;
для того чтобы дифференцируемая на интервале функция убывала
на нем, необходимо, чтобы ее производная была неположительна на
этом интервале.
Пример 1. Пусть /(ж) = х3 — Зх + 2 на R. Тогда f'(x) = Зж2 —
- 3 = 3(ж2 — 1) и, поскольку /'(ж) < 0 при |ж| < 1 и f'(x) > 0 при
|r| > 1, можем сказать, что на интервале ]—оо, —1[ функция возрастает,
на интервале ]—1,1[ убывает, а на интервале ]1, +оо[ вновь возрастает.
276
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2. Условия внутреннего экстремума функции. Учитывая лем-
му Ферма (лемма 1, §3), можно сформулировать следующее
Утверждение 2 (необходимые условия внутреннего экстремума).
Для того чтобы точка хо была точкой экстремума функции f :
С7(а?о) -> К, определенной в окрестности U(xo) этой точки, необходи-
мо выполнение одного из двух условий-, либо функция не дифференци-
руема в хо, либо /'(жо) = 0.
Простые примеры показывают, что эти необходимые условия экс-
тремума не являются достаточными.
Пример 2. Пусть /(ж) = х3
хо = 0 экстремума нет.
Пример 3. Пусть
на R. Тогда /'(0) = 0, но в точке
при х > 0,
при х < 0.
Эта функция с изломом в нуле, очевидно, не имеет в нуле ни произ-
водной, ни экстремума.
Пример 4. Найдем максимум функции f(x) = х2 на отрезке [—2,1].
В данном случае очевидно, что он будет достигнут в конце —2 отрезка,
но регулярный способ его отыскания таков. Находим f'(x) = 2х и все
точки интервала ]—2,1[, где f'(x) = 0. В нашем случае это одна точка
х = 0. Максимум /(ж) должен быть либо среди этих точек, либо в
одной из концевых точек, о которых утверждение 2 ничего не говорит.
Таким образом, надо сравнить значения /(—2) = 4, /(0) = 0, /(1) = 1,
откуда заключаем, что максимальное значение функции f(x) = х2 на
отрезке [—2,1] равно 4 и принимается в точке —2, являющейся концом
этого отрезка.
Используя установленную в пункте 1 связь между знаком произ-
водной и характером монотонности функции, приходим к следующим
достаточным условиям наличия или отсутствия локального экстремума
в точке.
Утверждение 3 (достаточные условия экстремума в терминах
первой производной). Пусть f: U(xo) -» R — функция, определенная в
окрестности П(хо) точки хо, непрерывная в самой этой точке и диф-
§4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
277
ференцируемая в ее проколотой окрестности U(xq)- Пусть U (жо) =
= {i£ U(xq) | х < ж0} и С7+(ж0) = {х е U(x0) | х > жо}-
Тогда справедливы следующие заключения:
а) (Уж е 17-(ж0) (/'(ж) < 0)) А (Уж е 17+(жо) (/'(ж) < 0)) =>
=> (/ в жо экстремума не имеет)',
Ь) (Уж е 17-(ж0) (/'(ж) < 0)) л (Уж е 17+(ж0) (/'(ж) > 0)) =>
=> (жо —точка строгого локального минимума f);
с) (Уж е 17-(ж0) (/'(ж) > 0)) А (Уж е П+(ж0) (/'(ж) < 0)) =>
=> (жо —точка строгого локального максимума f);
d) (Уж е СГ(жо) (f'(x) > 0)) л (Уж е П+(ж0) (/'(ж) > 0)) =>
=> (/ в хо экстремума не имеет).
Кратко, но менее точно, можно сказать, что если при переходе через
точку производная меняет знак, то экстремум есть, а если ее знак при
этом не меняется, то экстремума нет.
Заметим сразу же, что эти условия, являясь достаточными, не явля-
ются необходимыми для экстремума, в чем можно убедиться на следу-
ющем примере.
Пример 5. Пусть
f(x) = <
2ж2 + ж2 sin |
* X
о
при ж 0,
при ж = 0.
Поскольку ж2 /(ж) 2ж2, то ясно, что функция имеет строгий
локальный минимум в точке жо = 0, однако ни в какой проколотой
полуокрестности этой точки ее производная f'(x) = 4ж + 2жзт^ —
-cos | не сохраняет знак. Этот же пример указывает на недоразумения,
которые могут возникнуть в связи с приведенной выше сокращенной
формулировкой утверждения 3.
Теперь обратимся к доказательству утверждения 3.
◄ а) Из утверждения 2 следует, что функция f строго убывает на
П_(жо). Поскольку она непрерывна в жо, имеем lim /(ж) = /(жо)
О
о и~(хо)Эх->-хо
и, следовательно, /(ж) > /(жо) при ж е С7“(жо). По тем же соображениям
278
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
/(а?о) > /(ж) при х Е U+(xq). Таким образом, функция строго убывает
во всей окрестности С7(а?о) и хо не является точкой экстремума.
Ь) Сначала, как ива), заключаем, что ввиду убывания f(x) на
О о
U~(жо) и непрерывности f в xq имеем f(x) > f(xo) при х Е U~(xo).
О
Из возрастания f на U+(xq) и непрерывности f в хо заключаем, что
О
/(а?о) < /(ж) при х Е U+(xq). Таким образом, функция f имеет в Жд
строгий локальный минимум.
Утверждения с) и d) доказываются аналогично. ►
Утверждение 4 (достаточные условия экстремума в терминах
высших производных). Пусть функция f: U{xq) -» R, определенны
в окрестности С7(а?о) точки xq, имеет в хо производные до порядка п
включительно (n 1).
Если f'(x0) = ... = /п-%0) = 0 и О, то при п нечетном
в хо экстремума нет, а при п четном экстремум есть, причем это
строгий локальный минимум, если /(”)(жо) > 0, и строгий локальный
максимум, если /(”)(жо) < 0.
◄ Используя локальную формулу Тейлора
f(x) - f(x0) = f^(xo)(x - хоГ + а(х)(х - хоГ, (1)
где а(х) -» 0 при х —> xq, будем рассуждать так же, как при доказа-
тельстве леммы Ферма. Перепишем (1) в виде
/(*) - /(ж0) = (/(п)Ы + a(s)) (х - Хо)п. (2)
Поскольку /^(жо) 7^ 0, а а(х) —> 0 при х -> xq, то сумма f^n\xo) +
+ а(х) имеет знак f^n\xo), когда х достаточно близко к х$. Если п
нечетно, то при переходе через хо скобка (х — хо)п меняет знак и то-
гда изменится знак всей правой, а следовательно, и левой части равен-
ства (2). Значит, при п = 2k + 1 экстремума нет.
Если п четно, то (х — хо)п > 0 при х хо и, следовательно, в ма-
лой окрестности точки хо знак разности /(ж) — /(жо), как видно из
равенства (2), совпадает со знаком /(”)(жо). ►
Рассмотрим примеры.
§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
279
Пример 6. Закон преломления света в геометрической оптике
(закон Снеллиуса1^). Согласно принципу Ферма истинная траектория
света между любыми двумя точками такова, что на ней реализуется
минимум времени, которое необходимо свету, чтобы пройти из одной
точки в другую по любому фиксированному пути, соединяющему эти
точки.
Из принципа Ферма и того, что
кратчайшей линией между любыми дву-
мя точками является отрезок прямой с
концами в этих точках, следует, что в
однородной изотропной среде (устроен-
ной одинаково как в каждой точке, так
и в каждом направлении) свет распро-
страняется прямолинейно.
Пусть теперь имеются две такие сре-
ды и свет распространяется из точки Ai
к А2, как показано на рис. 22.
Если ci, С2—скорости света в этих средах, то время прохождения
указанного пути таково:
t(x) = —Jh\ + x2 +
ci v
— y/hl + (a-x).
Найдем экстремум функции /(ж):
1 х 1 а — х
ci y/h\ + x2 С2 ^//12 + (а — ж)2
что в соответствии с обозначениями рисунка дает с^1 sinon = с?1 sino^-
Из физических соображений или прямо из вида функции t(x), не-
ограниченно растущей при х -> оо, ясно, что точка, где /'(ж) = 0, явля-
ется точкой абсолютного минимума непрерывной функции t(x). Таким
образом, из принципа Ферма следует закон преломления sin Q1 =
Пример 7. Покажем, что при х > О
ха — ах + а — 1 О,
ха — ах + а — 1 О,
когда 0 < а < 1, (3)
когда а < 0 или 1 < а. (4)
^В. Снеллиус (Снелл) (1580 -1626) —нидерландский астроном и математик.
280
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
◄ Дифференцируя функцию /(ж) = ха — ах + а — 1, находим /'(ж) =
= a(xQ~1 — 1) и fix') = 0 при х = 1. При переходе через точку 1
производная переходит от положительных значений к отрицательным,
если 0 < а < 1, и от отрицательных к положительным, если а < 0 или
1 < а. В первом случае в точке 1 строгий максимум, а во втором—
строгий минимум (и не только локальный, что следует из соображений
монотонности f на участках 0<ж<1,1<ж). Но /(1) = 0 и, таким
образом, оба неравенства (3), (4) установлены. При этом показано даже,
что оба неравенства строгие, если ж / 1. ►
Заметим, что если заменить х на 1 + х, то мы обнаружим, что (3)
и (4) — это развитие уже знакомого нам при натуральном показателе а
неравенства Бернулли (гл. II, § 2; см. также задачу 2 в конце настоящего
параграфа).
С помощью элементарных алгебраических преобразований из дока-
занных неравенств можно получить ряд классических и важных для
анализа неравенств. Приведем их вывод.
а. Неравенства Юнга1). Если а > 0 и Ь> 0, а числа р, q таковы,
что р 0,1, q 0,1 и i + | = 1, то
a1lpb1lq -а + если р > 1,
Р Я
a1lpb1lq -а + если р < 1,
р q
причем знак равенства в (5) и (6) имеет место только при а = Ь.
◄ Для доказательства достаточно в (3) и (4) положить х = и
а — i а также ввести обозначение i = 1 — i ►
Г 1 г
Ь. Неравенства Гёль дера2). Пусть хг 0, уг > 0 (г = 1,... ,п) и
^ + | = 1. Тогда
2_^хгУг I I I Н При р>1 (7)
г=1 \г=1 / \г=1 /
^В. Юнг (Янг) (1882-1946)—английский математик.
2)О. Гёльдер (1859-1937) — немецкий математик.
§4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
281
U
71 / 71 \ -« у / 71 \ ч 1
Е> I Е I Р(52У’1 9 при Р<1, Р^О. (8)
В случае р < 0 в (8) предполагается, что хг > 0 (г = Знак
равенства в (7) и (8) возможен только в случае пропорциональности
векторов (yl, ,Уп)-
71 П
◄ Проверим неравенство (7). Пусть X = 22 > 0, У = 22 Уг9 > 0.
г=1 г=1
хр у4
Полагая в (5) а = b = у-, получаем
хгУг < 1я£ lyf
Xl/p yl/g рХ qY'
Суммируя эти неравенства по г от 1 до п, получаем
22 хгУг
-1Z1____< 1
Х1/ру1/<? ’
что эквивалентно (7).
Аналогично, из (6) получаем (8). Поскольку знак равенства в (5)
и (6) возможен лишь при а = Ь, заключаем, что в (7) и (8) он возможен
лишь при пропорциональности х^ = Ау’ или у’ = Axf. ►
с. Неравенства Минковского1). Пусть хг 0, уг 0 (г =
= 1,... ,п). Тогда
\
(п \ VP / п \ VP / п \ VP
52 + Уг)р| (Е< + ЕуГ npwp>l
г=1 / \г=1 / \i=l /
(9)
u
(n \ Vp / n \ Vp / n \ Vp
E(®*+y*)Pl ^(E^j + ЕуГ при p<1, p^O.
i=i / \i=i / \i=i /
(10)
''Г Минковский (1864-1909) — немецкий математик, предложивший адекватную
математическую модель (пространство с индефинитной метрикой) специальной те-
ории относительности.
282
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
◄ Применим неравенства Гёльдера к членам правой части тожде-
ства
п п п
+ уг)Р = ^2 хг(хг + Уг)Р-1 + У*(хг + У^^ ‘
г=1 г=1 г=1
Тогда левая часть будет оценена сверху или снизу в соответствии с
неравенствами (7), (8) величиной
п \ Vp / п \г/ч / п \ i/р / п \^/ч
ЕХ) + IEX) I+у^р)
г=1 / \г=1 / \г=1 / \г=1 /
/ п \ V?
После деления полученных неравенств на I (жг + уг)р I прихо-
\г=1 /
дим к (9) и (10).
Зная условия равенства в неравенствах Гёльдера, проверяем, что
знак равенства в неравенствах Минковского возможен лишь в случае
коллинеарности векторов (яц,..., жп), (yi,..., уп). ►
При п = 3 и р = 2 неравенство Минковского (9), очевидно, является
неравенством треугольника в трехмерном евклидовом пространстве.
Пример 8. Рассмотрим еще простейший пример использования
высших производных при отыскании локальных экстремумов. Пусть
/(ж) = sinar. Поскольку f'(x) = cosx и f"(x) = — sinar, то все точки, где
f'(x) = cos ж = 0, являются локальными экстремумами функции sin х,
так как в них f"(x) = — sin ж 0. При этом /"(ж) < 0, если sinar >
> 0, и f'(x) > 0, если sinar < 0. Таким образом, точки, где cosx = 0, а
sinx > 0, являются локальными максимумами, а точки, где cosx = 0,
a sinar < 0,—локальными минимумами функции sinx (что, конечно, и
так известно).
3. Условия выпуклости функции
Определение 1. Функция /: ]а,Ь[ -» R, определенная на интер-
вале ]а,й[ С R, называется выпуклой на нем, если для любых точек
Ж1,Ж2 € ]а, Ь[ и любых чисел > 0, «2^0 таких, что «1 + сиг = 1,
имеет место неравенство
/(ацЖ1 + а2х2) О!1/(Ж1) + a2f(x2).
(И)
§4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
283
Если при xi Х2 и mi • сиг 7^ 0 это неравенство является строгим, то
функция называется строго выпуклой на интервале ]а, &[.
Геометрически условие (11) выпуклости функции f: ]а, -> R озна-
чает (рис. 23), что точки любой дуги графика функции лежат под хор-
дой, стягивающей эту дугу.
В самом деле, в левой части (11) стоит значение f(x) функции в
точке х — ацЖ1 + 012^2 € [®1,£2], а справа — значение в той же точ-
ке линейной функции, график которой (прямая) проходит через точки
(®1,/(®1)), (®2,/(®г))-
Соотношение (11) означает, что множество Е = {(ж, у) е R2 | х е
G ]а,&[, /(ж) < у} точек плоскости, лежащих над графиком функции,
является выпуклым, откуда и сам термин «выпуклая» функция.
Определение 2. Если для функции /: ]а, Ь[ —> R в (11) имеет ме-
сто обратное неравенство, то говорят, что функция вогнута на интер-
вале ]а, или, чаще, что она выпукла вверх на этом интервале, в отли-
чие от выпуклой функции, которую тогда называют выпуклой вниз на
интервале ]а, &[.
Поскольку все дальнейшие построения проводятся одинаково для
функций, выпуклых вниз или вверх, мы ограничимся рассмотрением
выпуклых (вниз) функций.
Сначала придадим неравенству (11) другой вид, более приспосо-
бленный для наших целей.
Из соотношений х = a^xi + 012^2, оц + 012 = 1 имеем
Х2 — х х — Xi
«1 = ------, «2 = -------,
Xq Xi Xq
284
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
поэтому (11) можно переписать в виде
/(Ж) -----—f(X^ + ~----—/(Ж2 •
Ж2 — Xi Ж2 — Xi
Учитывая, что xi х Х2 и xi < ж2, после домножения на Х2 — Xi
получаем
(х2 - ж)/(Ж1) + (Ж1 - ж2)/(ж) + (ж - Ж1)/(ж2) > 0.
Замечая, что ж2 — xi = (ж2 — х) + (х — Ж1), из последнего неравенства
после элементарных преобразований находим, что
/(ж) -/(Ж1) /(ж2) - /(ж)
Ж — Ж1 ж2 — ж
при Ж1 < ж < ж2 и любых Ж1, ж2 G ]а, &[.
Неравенство (12) является иной формой записи определения выпукл-
ости функции /(ж) на интервале ]а, Ь[. Геометрически (12) означает
(см. рис. 23), что угловой коэффициент хорды I, соединяющей точки
(ж1,/(ж1)), (ж,/(ж)), не больше (а в случае строгой выпуклости—мень-
ше) углового коэффициента хорды II, соединяющей точки
(ж2,/(ж2)).
Предположим теперь, что функция /: ]а,Ь[ -» R дифференцируема
на ]а, &[. Тогда, устремляя в (12) ж поочередно к Ж1 и ж2, получаем
Ж2 — Ж1
что устанавливает монотонность производной функции /.
Учитывая это, для строго выпуклой функции, пользуясь теоремой
Лагранжа, находим
ГЫ S /'«1) = Лх)~хХ1} < ,{хх ~ ХХ} = НЫ «ГМ
jj X X 2 X
при Ж1 < £1 < ж < £2 < ж2, т.е. строгая выпуклость влечет строгую
монотонность производной.
Итак, если дифференцируемая функция f выпукла на интервале
]а, &[, то f не убывает на ]а, &[, а в случае строгой выпуклости f ее
производная f возрастает на ]а, &[.
§ 4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
285
Оказывается, это не только необходимые, но и достаточные условия
выпуклости дифференцируемой функции.
В самом деле, для а < xi < х < х% < Ь по теореме Лагранжа
/(*) - /(si) , /Ы - /(ж) ,
" х-х, ! й1)’ = ! (&>’
где Xi < < х < £2 < ^2, и если /z(£i) < /'(£2), то выполнено усло-
вие (12) выпуклости (или строгой выпуклости, если /z(£i) < /'(£2)).
Таким образом, мы доказали следующее
Утверждение 5. Для того чтобы дифференцируемая на интер-
вале ]а, 6[ функция f: ]а, Ь[ —> R была выпуклой (вниз) на ]а, Ь[, необ-
ходимо и достаточно, чтобы ее производная f не убывала на ]а, Ь[.
При этом строгому возрастанию f1 соответствует строгая выпук-
лость f.
Сопоставляя утверждение 5 и утверждение 3, получаем
Следствие. Для того чтобы функция f: ]а,Ь[ —> R, имеющая на
интервале ]а,Ь[ вторую производную, была выпуклой (вниз) на этом
интервале, необходимо и достаточно, чтобы на ]а, 6[ было f"(x) 0.
Если же f"(x) > Q на ]а, &[, то этого достаточно, чтобы гарантиро-
вать строгую выпуклость функции f: ]а,Ь[ —> R.
Теперь мы в состоянии объяснить, например, почему графики про-
стейших элементарных функций рисуют с тем или иным характером
выпуклости.
Пример 9. Исследуем выпуклость функции f(x) = ха на множе-
стве х > 0. Поскольку f"(x) = а(а — 1)а;а-2, то f"(x) > 0 при а < 0 или
при а > 1, т.е. при таких значениях показателя степени а степенная
функция ха строго выпукла (вниз). При 0 < а < 1 имеем f"(x) < 0,
поэтому для таких показателей степени она строго выпукла вверх. На-
пример, параболу f(x) = х2 мы всегда рисуем выпуклой вниз. Остав-
шиеся случаи а = 0 и а = 1 тривиальны: х° = 1, х1 = х. И в том и в
другом случае графиком функции является луч (см. рис. 30 на с. 294).
Пример 10. Пусть f(x) — ах, 0 < а, а / 1. Поскольку f"(x) =
= ах In2 а > 0, показательная функция ах при любом допустимом осно-
вании а строго выпукла (вниз) на R (см. рис. 24 на с. 294).
286
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 11. Для функции f(x) = log-а; имеем f"(x) = —=—,
х Ina
поэтому функция строго выпукла (вниз), если 0 < a < 1, и строго
выпукла вверх, если 1 < а (см. рис. 25 на с. 294).
Пример 12. Исследуем выпуклость функции /(ж) = sina; (см.
рис. 26 на с. 294).
Поскольку f"(x) = — sinx, то f"(x) < 0 на интервалах тг-2/г < х <
< тг(2к + 1) и f"(x) > 0 на интервалах тг(2/г — 1) < х < тг-2/г, где к G Z.
Отсюда, например, следует, что дуга графика функции sina; на отрезке
О С х лежит над стягивающей ее хордой всюду, кроме концевых
точек; поэтому sina; > ^х при 0 < х <
Укажем теперь еще одну характеристику выпуклой функции, гео-
метрически эквивалентную тому, что выпуклая область на плоскости
лежит по одну сторону от касательной к ее границе.
Утверждение 6. Дифференцируемая на интервале ]а, 6[ функция
/: ]a,5[ —> R выпукла (вниз) на ]а,Ь[ тогда и только тогда, когда
ее график всеми своими точками лежит не ниже любой проведенной
к нему касательной. При этом для строгой выпуклости функции не-
обходимо и достаточно, чтобы все точки графика, за исключением
самой точки касания, лежали строго выше этой касательной.
Необходимость. Пусть xq С ]а,Ь[. Уравнение касательной к
графику в точке (xo,f(xo)) имеет вид
У = f(xo) + f'(x0)(x - х0),
поэтому
f(x) - у(х) = f(x) - f(x0) - f'(x0)(x - Хо) = (/'(£) - f'(x0)) (х - Хо),
где £ — точка между х и xq. Так как / выпукла, то функция f'(x) не
убывает на ]а,Ь[ и знак разности /z(£) — f'(xo) совпадает со знаком
разности х — хо, поэтому f(x) — у(х) 0 в любой точке х 6 ]а,Ь[. Если
/ строго выпукла, то f строго возрастает на ]а, 6[ и, значит, f(x) -
— у(х) > 0 при х G ]а, Ъ[ и х xq.
Достаточность. Если для любых точек х,xq € ]a,
f(x) - у(х) = f (х) - f(x0) - f'(xo)(x - xq) > О,
(13)
§4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
287
то
/(ж) - /(ж0) ,
------------ < f (яо) при х < xq,
X Xq
f(x) - f(xQ) ,
-----------> J (So) при Хо < X.
X — Хо
Таким образом, для любой тройки точек х^,х, х^ 6 ]а, Ь[ такой, что
xi < х < Х2, получаем
/(ж) -/(a?i) < /(а?2) - /(ж)
X — Xi Х2 — X ’
причем строгое неравенство в (13) влечет строгое неравенство в по-
следнем соотношении, которое, как мы видим, совпадает с записью (12)
определения выпуклой функции. ►
Рассмотрим примеры.
Пример 13. Функция /(ж) = ех строго выпукла. Прямая у = х + 1
является касательной к графику этой функции в точке (0,1), так как
/(0) = е° = 1 и /z(0) = eI|a;=o = 1. В силу утверждения 6 заключаем,
что для любого х 6 R
ех 1 + х,
причем если х 0, то неравенство строгое.
Пример 14. Аналогично, пользуясь строгой выпуклостью вверх
функции In х, можно проверить, что при х > 0 справедливо неравенство
In х х — 1,
причем это неравенство является строгим, если х 7^ 1.
При построении графиков функций бывает полезно выделять точки
перегиба графика.
Определение 3. Пусть /: (7(жо) —> R — функция, определенная и
дифференцируемая в окрестности U(жо) точки xq 6 R. Если на множе-
О
стве U~(xo) = {х 6 U(xo) | х < жо} функция выпукла вниз (вверх), а
О
на множестве С7+(жо) = {х 6 С/(жо) | х > Жо} выпукла вверх (вниз), то
точка (жо,/(жо)) графика называется его точкой перегиба.
Таким образом, при переходе через точку перегиба меняется напра-
вление выпуклости графика, а это, в частности, означает, что в точке
288
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(so,/(sq)) график функции переходит с одной стороны касательной к
нему в этой точке на другую ее сторону.
Аналитический признак абсциссы xq точки перегиба легко усмо-
треть, сопоставляя утверждение 5 и утверждение 3. А именно, можно
сказать, что если f дважды дифференцируема в точке xq, то, поскольку
f'(x) в точке Xq имеет максимум или минимум, необходимо f"(xo) = 0.
Если же вторая производная f"(x) определена в U(xq) и всюду в
О о
C7~(so) имеет один знак, а всюду в C7+(so)—противоположный знак,
О о
то этого достаточно для того, чтобы f'(x) в U~(xq) и в С7+(жо) бы-
ла монотонна, но имела разный характер монотонности. Тогда в силу
утверждения 5 в точке (sq,/(so)) произойдет изменение направления
выпуклости графика, т.е. (хщ/Сео)) будет точкой перегиба.
Пример 15. В примере 12, рассматривая функцию /(ж) = sins,
мы нашли участки выпуклости и вогнутости ее графика. Покажем те-
перь, что точки графика с абсциссами х = тгк, к 6 Z, являются точками
перегиба.
Действительно, f"(x) = — sins; /zz(s) = 0 при х — тгк, к 6 Z. Кроме
того, при переходе через эти точки /zz(s) меняет знак, что является
достаточным признаком точки перегиба (см. рис. 26 на с. 294).
Пример 16. Не следует думать, что переход кривой с одной сто-
роны касательной на другую ее сторону в некоторой точке является
достаточным признаком того, что зта точка является точкой перегиба.
Ведь может так случиться, что ни в левой, ни в правой ее окрестно-
сти кривая не сохраняет определенный характер выпуклости. Пример
легко построить, усовершенствовав пример 5, приведенный по схожему
поводу.
Пусть
/(®) = -
2s3 + х3 sin при х О,
X
О при х = 0.
Тогда х3 < /(ж) < 3s3 при 0 < х и 3s3 < /(s) < х3 при х < 0,
поэтому график этой функции касается оси абсцисс в точке х = 0 и
переходит в этой точке из нижней полуплоскости в верхнюю. В то же
§4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
289
время производная функции /(ж)
6ж2 + Зя2 sin -4 — 2 cos Л при х / О,
/'(*) = *
О при х = О
не монотонна ни в какой полуокрестности точки х = 0.
В заключение вновь вернемся к определению (11) выпуклой функции
и докажем следующее
Утверждение 7 (неравенство Йенсена1)). Если /: ]а, Ь[ —> R —
выпуклая функция, Xi,...,xn —точки интервала ]а,&[, ai,...,an —
неотрицательные числа такие, что оц +... + ап = 1, то справедливо
неравенство
/(ai^i + ... + апхп) aiffxi) + ... + anf(xn). (14)
◄ При п = 2 условие (14) совпадает с определением (11) выпуклой
функции.
Покажем, что если (14) справедливо для п = т — 1, то оно справед-
ливо и для п = т.
Пусть, для определенности, в наборе ai,..., ап имеем ап 0. Тогда
$ = а2 + ... + ап > 0 и + ... + = 1. Используя выпуклость
функции, находим
(/ С*2 ап \ \
оцац + Д х2 + ...+ —хпJJ
(а? а„ \
—Х2 + . . . + ~^Хп) ,
поскольку ах + /3 = 1 и + • • • + ~fxnj € К &[•
Далее, по предположению индукции
(a? \ а2 а„
—х2 + ... + — хп J ~^f(xz) + + ~7f(xn)-
г' М / М г'
Следовательно,
(а2 ап )
/(оцх! + ...+ апхп) ацДац) + 0f I —х2 + ... +
< ai/(®i) + a2f(x2) + ... + an/(®n).
^И. Л. Йенсен (1859-1925) — датский математик.
290
ГЛ V ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В силу принципа индукции заключаем, что (14) верно для любого п G N
(Для п — 1 (14) тривиально.) ►
Заметим, что, как видно из доказательства, строгой выпуклости
отвечает строгое неравенство Йенсена, т. е. числа ац,... , ап отличны
от нуля, то знак равенства в (14) может иметь место тогда и только
тогда, когда xi = ... = хп-
Для функции, выпуклой вверх, разумеется, получается обратное по
отношению к неравенству (14) неравенство
f(<*ixi + ...+ апхп) aif(xi) + ...+ anf(xn). (15)
Пример 17. Функция /(а;) = Ina; строго выпукла вверх на мно-
жестве положительных чисел, поэтому в силу (15)
ai lna;i + ... + ап Inar^ ln(aia;i + ... + апхп)
или
а;®1 ... х%п < aisi + ... + апхп (16)
п
при Хг 0, «1^0 (г = 1, . . . , п) И 52 аг — 1-
г=1
В частности, если ац = ... = ап = получаем классическое нера-
венство
v®i... хп <------------ (17)
п
между средним геометрическим и средним арифметическим п неотри-
цательных чисел. Знак равенства в (17) возможен, как отмечалось вы-
ше, только при а?х = агг = • - • = хп. Если же в (16) положить п = 2,
ai = «2 = xi = а, Х2 = Ь, то вновь получим уже известное нам
неравенство (5).
Пример 18. Пусть /(а;) = хр, х 0, р > 1. Поскольку такая
функция выпукла, имеем
Полагая здесь q = -2-, аг = Ь9 ( £ Ь9 ) , хг = агЬг 1/(р* Х) £ Ь9,
р 1 \г=1 / г=1
§4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
291
вновь получаем неравенство (7) Гёльдера
п / п \ ^/Р / п \ ^-/ч
(ЁХ) >
г=1 \г=1 / \г=1 /
ГДе | + | = 1 и Р > 1-
Прир < 1 функция f(x) = хр выпукла вверх, поэтому аналогичными
рассуждениями можно получить и другое неравенство (8) Гёльдера.
4. Правило Лопиталя. Остановимся теперь на одном частном,
но иногда полезном приеме отыскания предела отношения функций,
известном как правило Лопиталя1 \
Утверждение 8 (правило Лопиталя). Пусть функции f: ]а, -4
4 R « g: ]а,6[-> R дифференцируемы на интервале ]а, 6[ (—оо а <
< Ь < +оо), причем д'(х) / 0 на ]а, Ь[ и
р(х\
. -4 А при х -4 а + 0 (—оо А +оо).
g'w
Тогда в каждом из двух следующих случаев:
1° (f(x) “> 0) А (д(х) —> 0) при х -4 а + 0
или
2° д(х) -4 оо при х —> а + 0
будет
f(x\
. . -4 А при х —> а + 0.
9\х)
Аналогичное утверждение справедливо и при х -4 Ь — 0.
Коротко, но не вполне точно правило Лопиталя формулируют так:
предел отношения функций равен пределу отношения их производных,
если последний существует.
◄ Если д'(х) / 0, то на основании теоремы Ролля заключаем, что
д(х) строго монотонна на ]а, &[. Значит, уменьшив, если нужно, про-
межуток ]а, Ь[ за счет сдвига в сторону конца а, можно считать, что
^Г.Ф. де Лопиталь (1661-1704)—французский математик, способный ученик
Иоганна Бернулли, маркиз, для которого последний в 1691 -1692 гг. написал первый
учебник анализа. Часть этого учебника, посвященная дифференциальному исчисле-
нию, в слегка измененном виде была опубликована Лопиталем под своим именем.
Таким образом, «правилом Лопиталя» мы обязаны Иоганну Бернулли.
292
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
<?(ж) 0 на ]а, &[. Для х, у 6 ]а, 6[ по теореме Коши найдется точка
£ 6 ]а, такая, что
/(*) - ш = ле)
д(х) - д(у) д'(£)'
Перепишем это равенство в удобном для нас сейчас виде
Дар = /(у) Ле) А _ g(y) А
д(х) д(х) <?'(£) \ д(х);
При х —> а + 0 согласованно с изменением х будем стремить у к а+0
так, чтобы при этом
/^) )0 и g(y) >0
В любом из данных нам двух вариантов 1° и 2° это, очевидно, можно
сделать. Так как £ лежит между х и у, то вместе с х и у также £ ->
—> а + 0. Значит, правая, а следовательно, и левая часть последнего
равенства при этом стремятся к А. ►
Пример 19. lim = lim = 1.
х-+0 х х—>0 1
Этот пример не следует рассматривать как новое, независимое до-
казательство того, что —> 1 при х —> 0. Дело в том, что, например,
при выводе соотношения sin' х = cos х мы уже использовали вычислен-
ный здесь предел.
В возможности применения правила Лопиталя всегда убеждаемся
только после того, как найдем предел отношения производных. При
этом не следует забывать о проверке условий 1° или 2°. Важность этих
условий показывает следующий
Пример 20. Пусть /(ж) = cos ж, д(х) — sin ж. Тогда /'(ж) = — sins,
д'(х) = cos ж и —> +оо при ж —> +0, в то время как —> 0 при
ж —> +0.
Пример 21.
.. In X \х ) 1
lim ----= lim -- 7 = lim -------= 0 при a > 0.
X-++00 Xa z—>+oc OiXa 1 x—>+oo axa
Пример 22.
.. ж“ .. аж“-1 .. а(а - 1)... (а - п + 1)жа~п
lim — = hm ——— — ... = hm — -------------------------------= О
х-н-оо ах х->+<х> ах In а ж^+оо в^шв)"
'Г°с~п
при а > 1, ибо при п > а и а > 1, очевидно, —-->• 0, если ж —> +оо.
§4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
293
Заметим, что вся цепочка последних равенств носила условный ха-
рактер до тех пор, пока мы не пришли к выражению, предел которого
смогли найти.
5. Построение графика функции. Для наглядного описания
функции очень часто используют ее графическое представление. Как
правило, такое представление бывает полезно для обсуждения каче-
ственных вопросов поведения исследуемой функции.
Для точных расчетов графики используются реже. В связи с этим
практически важным оказывается не столько скрупулезное воспроиз-
ведение функции в виде графика, сколько построение эскиза графика
функции, правильно отражающего основные элементы ее поведения.
Некоторые общие приемы, встречающиеся при построении эскизов гра-
фиков функций, мы и рассмотрим в этом пункте.
а. Графики элементарных функций. Напомним прежде всего,
как выглядят графики основных элементарных функций, свободное
владение которыми необходимо для дальнейшего (рис. 24-30).
Ь. Примеры построения эскизов графиков функций (без
привлечения дифференциального исчисления). Рассмотрим те-
перь некоторые примеры, в которых эскиз графика функции может
быть легко построен, если нам известны графики и свойства простей-
ших элементарных функций.
Пример 23. Построим эскиз графика функции
У logx2_Зх+2 2.
Учитывая, что
1 о 1 1
У ~ ogx2_3x+2 - 10g2(a.2_3a. + 2) - iog2(a; -1)(х-2)’
строим последовательно график квадратного трехчлена у\ = х2 —За;+2,
затем у2 = log2 у^х) и затем у = (рис. 31).
«Угадать» такой вид графика можно было бы и иначе: выяснить
область определения функции logx2_3x+2 2 = (log2(a;2 — За; + 2))-1, най-
ти поведение функции при приближении к граничным точкам области
определения и на промежутках, концы которых являются граничными
точками области определения, нарисовать «плавную кривую» с учетом
найденного поведения функции у концов промежутка.
294
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Рис. 29.
Рис. 30.
§4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
295
Пример 24. Построение эскиза графика функции
у = sinx2
видно из рис. 32.
Мы построили этот график по некоторым характерным для дан-
ной функции точкам — тем точкам, где sinx2 = —1, sinx2 = 0 или
sin а;2 = 1. Между двумя соседними точками такого типа функция мо-
нотонна. Вид графика в окрестности точки х = 0, у — 0 определяется
тем, что sinx2 ~ х2 при х —> 0. Кроме того, полезно заметить, что
данная функция четна.
Поскольку мы все время будем говорить только об эскизном, а не
точном построении графика функции, то условимся ради краткости в
дальнейшем считать, что требование «построить график функции» для
нас всегда будет равносильно требованию «построить эскиз графика
функции».
Пример 25. Построим график функции
у = х + arctg (ж3 — 1)
(рис. 33). При х — оо график хорошо приближается прямой у = х—
а при х —> +оо — прямой у = х +
Введем следующее полезное
Определение 4. Прямая у = со + С]Х называется асимптотой
графика функции у = f(x) при х —> —оо (при х —> +оо), если /(ж) —
- (со + с\х) — о(1) при х -> —оо (при х -> +оо).
Таким образом, в нашем случае при х —> — оо график имеет асим-
птоту у = х — а при х -> +оо — асимптоту у = х +
Если при х -> а — 0 (или при х -> а + 0) |/(т)| -> оо, то ясно,
что график функции в этом случае будет по мере приближения х к
а все теснее примыкать к вертикальной прямой х = а. Эту прямую
называют вертикальной асимптотой графика, в отличие от введенной
в определении 4 асимптоты, которая всегда наклонна.
Так, график из примера 23 (см. рис. 31) имеет две вертикальные
асимптоты и горизонтальную асимптоту (общую для х —> — оо и х —>
+оо).
296
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Рис. 32.
§4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
297
Из определения 4, очевидно, вытекает, что
ci
lim
X—> —00
/(ж)
X ,
Со = - С1Т).
И вообще, если f(x) — (со + с±х + ... + спхп) = о(1) при х -> —оо, то
Сп = lim
X—>—00
/(g)
хп ’
/(ж) - СпХП
Сп-1 = 11ГП --------------
х—>—оо хп 1
Со = lim (/(ж) - (cix + ... +СпТп)).
X—> — 00
Эти соотношения, выписанные нами для случая х —> —оо, разуме-
ется, справедливы также в случае х —> +оо и могут быть использова-
ны для описания асимптотического поведения графика функции /(ж)
с помощью графика соответствующего алгебраического полинома со +
+ С1Т + . . . + СпХП.
Пример 26. Пусть (р, <р) — полярные координаты на плоскости, и
пусть точка движется по плоскости так, что в момент времени t (t 0)
р = p(t) = 1 — е * cos ^t,
<р = ip(t) — 1 — sin ^t.
Требуется нарисовать траекторию точки.
Нарисуем для этого сначала графики функций р(<) и <р(<) (рис.
34, а, 34, Ь).
Теперь, глядя одновременно на оба построенных графика, можем
нарисовать общий вид траектории точки (рис. 34, с).
с. Использование дифференциального исчисления при по-
строении графика функции. Как мы видели, графики многих функ-
ций можно в общих чертах нарисовать, не выходя за пределы самых
простых соображений. Однако если мы желаем уточнить эскиз, то в
случае, когда производная исследуемой функции не слишком сложная,
298
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Рис. 34.
можно привлечь аппарат дифференциального исчисления. Продемон-
стрируем это на примерах.
Пример 27. Построить график функции у — f(x) в случае
f(x) = |ж + 2|е-1/ж.
Функция f(x) определена при х Е R\0. Поскольку е-1/1 -> 1 при х -> оо,
то
,, | —(х -I- 2) при х -> —оо,
|ж + 2|е-1/ж~< J
( (ж + 2) при х -> +оо.
Далее, при х -> —0, очевидно, имеем |т + 2|е-1/ж —> +оо, а при х ->
-> +0 |т + 2|е-1/ж —> +0. Наконец, видно, что f(x) 0 и /(—2) = 0.
На основании этих наблюдений уже можно сделать первый набросок
графика (рис. 35, а).
Выясним теперь основательно, действительно ли данная функция
монотонна на промежутках ]—оо,— 2], [—2,0[, ]0,+оо[, действительно
ли она имеет указанные асимптоты и правильно ли изображен характер
выпуклости графика функции.
Поскольку
( —^ + 2 е-1/1, если х < —2,
/'(^) = < 2Х
1 х +я + 2 g-1/х, если — 2 < х и ж /0,
' X
§4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
299
Рис. 35.
и f'(x) / 0, то можно составить следующую таблицу:
Промежуток ]—оо, —2[ ]-2,0[ ]0, +оо[
Знак f'(x) — + +
Поведение /(ж) +00 \ 0 0 Т' +оо 0 +оо
На участках постоянства знака производной функция, как мы зна-
ем, имеет соответствующий характер монотонности. В нижней строке
таблицы символ +оо \ 0 означает монотонное убывание от +оо до О,
а символ 0 +оо — монотонное возрастание значений функции от О
до +оо.
Заметим, что f'(x) —> — 4е~1/2 при х -+ —2 — 0 и f'(x) -4- 4е-1/2 при
х -+ — 2 + 0, поэтому точка (—2,0) должна быть угловой точкой графи-
ка (излом типа излома у графика функции |т|), а не обычной точкой,
как это у нас изображено на рис. 35, а. Далее, /'(ж) —> 0 при х —> +0,
поэтому график должен выходить из начала координат, касаясь оси
абсцисс (вспомните геометрический смысл /'(ж)!).
Уточним теперь асимптотику функции при х -> —оо и х -> +оо.
Поскольку е-1/1 = 1 — х~х + о (ж-1) при х -> оо, то
|ж + 2|е-1/1 ~ <
—х — 1 + о(1)
X + 1 + о(1)
при х -> —оо,
при х —> +оо,
значит, на самом деле наклонные асимптоты графика суть у = — х — 1
при х -> —оо и у = х + 1 при х -> +оо.
300
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
m =
По этим данным уже можно построить достаточно надежный эскиз
графика, но мы пойдем дальше и, вычислив
— 2~3а:е~1/а:, если х < —2,
х1
2 ~tXe~x/x, если — 2 < х и х / 0,
я;
найдем участки выпуклости графика.
Поскольку f"(x) = 0 лишь при х = 2/3, то имеем следующую таб-
лицу.
Промежуток ]—оо, —2[ ]-2,0[ ]0,2/3[ ]2/3,+оо[
Знак /"(а;) — + + —
Выпуклость /(а;) Вверх Вниз Вниз Вверх
Поскольку при х = 2/3 наша функция дифференцируема, а при пе-
реходе через эту точку f"(x) меняет знак, то точка (2/3,/(2/3)) явля-
ется точкой перегиба графика.
Между прочим, если бы производная f'(x) обращалась в нуль, то из
таблицы знаков f'(x) можно было бы судить о наличии или отсутствии
экстремума в соответствующей точке. В нашем случае f'(x) нигде не
обращается в нуль, но в точке х = — 2 функция имеет локальный ми-
нимум: она непрерывна в этой точке и при переходе через нее f'(x)
меняет знак с — на + . Впрочем, то, что при х = —2 наша функция
имеет минимум, видно уже из приведенного в таблице описания изме-
нения значений функции / (ж) на соответствующих промежутках, если,
конечно, учесть еще, что /(—2) = 0.
Теперь можно нарисовать более точный эскиз графика данной функ-
ции (см. рис. 35, Ь).
В заключение рассмотрим еще один
Пример 28. Пусть (ж, у) — декартовы координаты на плоскости,
и пусть движущаяся точка в каждый момент t (£ ^ 0) имеет коорди-
наты
t t~2t3
х = т~У = Т~Р'
Требуется изобразить траекторию движения точки.
§4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
301
Нарисуем сначала эскизы графиков каждой из данных координат-
ных функций х — x(t) ту = y(t) (рис.36,а, 36,Ь).
Второй из этих графиков несколько интереснее, поэтому поясним
его построение.
Поведение функции у = y(t) при t -> +0, <—>1 — 0, t -> 1 + 0 и
асимптотику у(<) = 2<+о(1) при t -> +оо усматриваем непосредственно
из вида аналитического выражения для у(<).
Вычислив производную
... 1 — 5<2 + 2<4
“ (1 - <2)2 ’
находим ее нули: <i и 0,5 и <2 ~ 15б в области t 0.
Составив таблицу:
Промежуток ]0,<i[ ]1,Ы ]<2,+00[
Знак y(t) + — — +
Поведение y(i) о Z y(ti) 2/(<i) \ -оо +оо \ у(<2) г/(<2) Z +оо
находим участки монотонности и локальные экстремумы у(<1) ~ |
(max) и у(<г) « 4 (min).
Теперь, глядя одновременно на оба графика х = x(t) и у = у(<),
строим эскиз траектории движения точки по плоскости (см. рис. 36, с).
Этот эскиз можно уточнять. Например, можно выяснить асимпто-
тику траектории.
Поскольку lim = — 1 и lim (y(i) + т(<)) = 2, то прямая у =
t—>1 x\t) t—>1
= -х + 2 является асимптотой для обоих концов траектории, отвечаю-
щих стремлению t к 1. Ясно также, что прямая х = 0 есть вертикальная
асимптота для участка траектории, отвечающего t —> +оо.
Найдем далее
, _ yt _ 1 - 5t2 + 2<4
Ух xt 1 + <2 ’
Функция 1 ) как легко выяснить, монотонно убывает от 1
до —1 при возрастании и от 0 до 1 и возрастает от —1 до +оо при
возрастании и от 1 до +оо.
Из характера монотонности у'х можно сделать заключение о харак-
тере выпуклости траектории на соответствующем участке. С учетом
302
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Рис. 36.
§4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
303
сказанного теперь можно построить следующий, более точный эскиз
траектории движения точки (см. рис. 36, d).
Если бы мы рассматривали траекторию также для t < 0, то, как
следует из нечетности функций x(t), y(t), к уже построенным на плос-
кости (х.у) линиям добавились бы еще центрально симметричные им
кривые.
Подведем некоторые итоги в виде самых общих рекомендаций от-
носительно порядка построения графика заданной аналитически функ-
ции. Вот эти рекомендации.
1° Указать область определения функции.
2° Отметить специфические особенности функции, если они оче-
видны (например, четность, нечетность, периодичность, совпадение с
точностью до простейших преобразований координат с графиками уже
известных функций).
3° Выяснить асимптотическое поведение функции при подходе к
граничным точкам области определения и, в частности, найти асим-
птоты, если они существуют.
4° Найти промежутки монотонности функции и указать ее локаль-
ные экстремумы.
5° Уточнить характер выпуклости графика и указать точки пере-
гиба.
6° Отметить характерные точки графика, в частности точки пере-
сечения с осями координат, если таковые имеются и доступны вычи-
слению.
Задачи и упражнения
1. Пусть х = (ti ,..., хп), а = (оц,..., ап), причем хг 0, сц > 0 при i =
п
= 1,... ,п и 52 а, = 1. Для любого числа t 0 рассмотрим среднее порядка t
г=1
чисел xi,...,xn с весами аг:
/ п \
Mt(x, а) = I ^2агх* j
\«=i /
В частности, при он = ... = ап = и t = -1,1,2 получаем соответственно
среднее гармоническое, среднее арифметическое и среднее квадратическое.
Покажите, что
a) limMt(х,а) = xf1 ...х“п, т.е. в пределе можно получить среднее гео-
метрическое;
304
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
b) lim Mt(x,a) = max xt;
' t—>+oo
c) lim Mt(x,a) = min хг-.
t-A—co 1^г^п
d) Mt (x, a) — неубывающая функция от t на К, причем она строго возра-
стает, если п > 1 и все числа xt отличны от нуля.
2. Покажите, что 11+гг|р 1+рх+ср<рр(х'), где ср—постоянная, зависящая
только от р, а
{|ят|2 при |от| < 1,
если 1 < р 2,
|а?[₽ при |от| > 1,
и <Рр(х') = |гг|р на R, если 2 < р.
3. Проверьте, что cos# < при 0 < |ят| <
4. Исследуйте функцию f(x) и постройте ее график, если
а) /(а;) — arctg log2 cos (тггг + ^0;
b) /(ж) = arccos Q — sinrr);
с) /(^) = \/х(х + З)2;
d) постройте кривую, заданную в полярных координатах уравнением -
= *, р 0, и укажите ее асимптоту;
е) укажите, как, зная график функции у = f(x), получить графики функ-
ций f(x) + В; Af(x); f(x + 6); f(ax) и, в частности, —f(x) и /(—х).
5. Покажите, что если / € (7(]а, 6[) и для любых точек xi,x2 € ]а, 6[ вы-
полнено неравенство
/ xi + ж2\ /(^1) +/(ж2)
7 2 ) " 2
то функция / выпуклая на ]а, 6[.
6. Покажите, что
а) если выпуклая функция /: К —> К ограничена, то она постоянна;
Ь) если для выпуклой функции /: К —> К
Вш /М= lim ZW=o,
х—>—оо X ж—>4-оо х
то f — постоянная;
с) для любой выпуклой функции /, определенной на промежутке а < х <
< +оо (или —оо < х < а), отношение стремится к конечному пределу или
к бесконечности при стремлении х к бесконечности по области определения
функции.
§4. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
305
7. Покажите, что если /: ]а,6[ —> Ж — выпуклая функция, то
а) в любой точке х € ]а, она имеет левую f'_ и правую f'+ производные:
f'_ (®) = Нт
h—►—о
f(x + h)~ У(х)
h
4(*) =
lim
h—►-j-O
f(x + ft) - /(a)
h
причем f’_(x) f'+ (x);
b) при xi,X2 € ]a, Ь[ и xi < x% имеет место неравенство f'.(xi) sj
с) множество угловых точек графика f(x) (для которых f_(x) / 4(ж)) не
более чем счетно.
8. Преобразованием Лежандра^ функции f: I —> IR, определенной в про-
межутке / С R, называется функция
/*(<) = sup(ta - /(z)).
xel
Покажите, что:
а) Множество I* тех значений t € К, для которых f*(t) € К (т. е. /*(£) / оо),
либо пусто, либо состоит из одной точки, либо является числовым промежут-
ком, причем в последнем случае функция f*(t) выпукла на I*.
Ь) Если f — выпуклая функция, то I* / 0 и при f* € С(7*)
(Г)*(®) = sup(zt - /*(£)) = f(x)
tei*
для любого х € I. Таким образом, преобразование Лежандра выпуклой функ-
ции инволютивно (квадрат его есть тождественное преобразование).
с) Имеет место неравенство
xt /(ж) + /*(<) при х € I и t € I*.
d) В случае, когда f—выпуклая дифференцируемая функция, f*(t) —
= txt — f(xt), где Xt определяется из уравнения t = f'(x)-, получите отсюда
геометрическую интерпретацию преобразования Лежандра f* и его аргумен-
та t, показывающую, что преобразование Лежандра есть функция, определен-
ная на множестве касательных к графику функции /.
е) Преобразованием Лежандра функции f(x) = ^ха при а > 1 и х 0
является функция /*(t) = jjt^, где £^0и--|-д = 1; получите отсюда, с
учетом с), уже знакомое неравенство Юнга
xt — ха + ^-t?.
а р
^А. М. Лежандр (1752-1833) — известный французский математик.
11-4573
306
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
f) Преобразованием Лежандра функции f(x) = ех является функция
f*(t) — tin |, t > 0, и справедливо неравенство
xt Sj ех + t In |
при х 6 Ж и t > 0.
9. Кривизна, радиус и центр кривизны кривой в точке. Пусть некоторая
точка движется в плоскости по закону, задаваемому парой дважды диффе-
ренцируемых координатных функций х = x(t), у = y(t) от времени. При этом
она описывает некоторую кривую, про которую говорят, что кривая задана
в параметрическом виде х = x(t), у — y(t). Частным случаем такого задания
является случай графика функции у = /(х), где можно считать, что х = t
и у = /(t). Мы хотим указать число, характеризующее кривизну кривой в
некоторой точке, подобно тому как величина, обратная радиусу окружности,
может служить показателем искривленности окружности. Этим сравнением
мы и воспользуемся.
а) Найдите тангенциальную at и нормальную ап составляющие вектора
а — (x(t),y(t)) ускорения точки, т. е. представьте а в виде суммы at + ап, где
вектор at коллинеарен вектору v(t) = (x(t),y(t)) скорости, т.е. направленно
касательной к траектории, а вектор ап направлен по нормали к траектории.
Ь) Покажите, что при движении по окружности радиуса г имеет место
соотношение
г_ 1»(01
|ап(<)Г
с) При движении по любой кривой, учитывая Ь), величину
r(t} = Ml
естественно назвать радиусом кривизны кривой в точке (rr(t), y(t)).
Покажите, что радиус кривизны вычисляется по формуле
|а;г/ - ху\
d) Величину, обратную радиусу кривизны, называют абсолютной кривиз-
ной плоской кривой в данной точке (x(t), y(t)). Наряду с абсолютной кривиз-
ной рассматривается величина
=(^+j/273/2’
называемая кривизной.
Покажите, что знак кривизны характеризует направление поворота кри-
вой по отношению к касательной. Выясните, какова размерность кривизны.
§ 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
307
е) Покажите, что кривизну графика функции у — /(х) в точке (х, /(х))
можно вычислить по формуле
у”
[i + W2]s/2'
Сопоставьте знаки к(х) и у"(х) с направлением выпуклости графика.
f) Подберите константы a, b, R так, чтобы окружность (х — а)2 + (у — Ь)2 —
= 7?2 имела с данной параметрически заданной кривой х — x(t), у = y(t) в
точке Xq = x(to), уо — ?/(<о) касание возможно более высокого порядка. Пред-
полагается, что x(t), y(t) дважды дифференцируемы и (±(£0), г/(<о)) / (0,0).
Указанная окружность называется соприкасающейся окружностью кри-
вой в точке (хо,уо)- Ее центр называется центром кривизны кривой в точке
(хо,уо\ Проверьте, что ее радиус совпадает с определенным в Ь) радиусом
кривизны кривой в этой точке.
g) Частица без предварительного разгона под действием силы тяжести
начинает скатываться с вершины ледяной горки параболического профиля.
Уравнение профиля х + у2 = 1, где х 0, у 0. Рассчитайте траекторию
движения частицы до ее приземления.
§5. Комплексные числа
и взаимосвязь элементарных функций
1. Комплексные числа. Подобно тому, как в области Q рацио-
нальных чисел алгебраическое уравнение х2 = 2 не имело решений,
уравнение х2 = — 1 не имеет решений в области действительных чи-
сел R, и подобно тому, как, вводя внешний по отношению к Q символ у/2
в качестве решения уравнения х2 = 2, мы увязываем его с операциями
в Q и получаем новые числа вида ri + \/2г2, где и, г2 G Q, можно ввести
символ i в качестве решения уравнения х2 = — 1 и связать это внешнее
по отношению к К число i с действительными числами и арифметиче-
скими операциями в R.
Замечательной особенностью указанного расширения поля К дей-
ствительных чисел, кроме многого другого, является то, что в получа-
ющемся при этом поле С комплексных чисел уже любое алгебраическое
уравнение с действительными или комплексными коэффициентами бу-
дет иметь решение.
Реализуем теперь намеченную программу.
а. Алгебраическое расширение поля R. Итак, вводим (следуя
обозначению Эйлера) новое число i—мнимую единицу, такое, что
i2 = -l.
308
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Взаимодействие i с действительными числами должно состоять в
том, что можно умножать i на числа у Е R, т.е. необходимо появля-
ются числа вида iy, и складывать такие числа с вещественными, т.е.
появляются числа вида х + iy, где х, у Е R.
Если мы хотим, чтобы на множестве объектов вида х + iy, которые
мы вслед за Гауссом назовем комплексными числами, были определе-
ны привычные операции коммутативного сложения и коммутативного
умножения, дистрибутивного относительно сложения, то необходимо
положить по определению, что
(Ж1 + iyi) + (ж2 + гуг) := (®1 + ®2) + i(yi + 3/2) (1)
и
(Ж1 + iyi) • (ж2 + гу2) •= (^2 ~ У1У2) + Дж1У2 + z2yi)- (2)
Два комплексных числа xi + iyi, т2 + zy2 считаются равными в том
и только в том случае, когда xi = xi и у у = у2-
Отождествим числа х Е R с числами вида х + i • 0, a i — с числом
О + i • 1. Роль нуля в множестве комплексных чисел, как видно из (1),
играет число 0 + г • 0 = О Е R, роль единицы, как видно из (2), — число
1 + i • 0 = 1 Е К.
Из свойств вещественных чисел и определений (1), (2) следует, что
множество комплексных чисел является полем, содержащим К в каче-
стве подполя.
Поле комплексных чисел будем обозначать символом С, а его эле-
менты— чаще всего буквами z и w.
Единственный не очевидный момент в утверждении о том, что С—
поле, который нуждается в проверке, состоит в том, что любое от-
личное от нуля комплексное число z = х + iy имеет обратное z~l по
отношению к умножению, т.е. z • z~l — 1. Проверим это.
Число х — iy назовем сопряженным к числу z = х + iy и обозначим
символом z.
Заметим, что z z = (ж2 + у2) + i • 0 = х2 + у2 0, если z 0. Таким
образом, в качестве z^1 следует взять • z = — i-^-—2 •
х у х + у х + у
Ь. Геометрическая интерпретация поля С. Заметим, что после
того, как алгебраические операции (1), (2) над комплексными числами
введены, символ i, который привел нас к этим определениям, перестает
быть необходимым.
§ 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
309
Комплексное число z = х + iy мы можем отождествить с упорядо-
ченной парой (ж, у) действительных чисел, называемых соответственно
действительной частью и мнимой частью комплексного числа z (обо-
значения: х = Re г, у = Im г1)).
Но тогда, считая пару (ж, у) декартовыми координатами точки плос-
кости К2 — К х R, можно отождествить комплексные числа с точками
этой плоскости или с двумерными векторами с координатами (ж, у).
В такой векторной интерпретации покоординатное сложение (1)
комплексных чисел соответствует правилу сложения векторов. Кроме
того, такая интерпретация естественно приводит также к понятию мо-
дуля |г| комплексного числа z как модуля или длины соответствующего
ему вектора (ж,у), т.е.
|г| = у/х2 + у2, если z = ж + iy, (3)
а также к способу измерения расстояния между комплексными числами
zi, Z2 как расстояния между соответствующими им точками плоскости,
т. е. с помощью величины
1^1 - *2| = V(xi -ж2)2 + (yi -у2)2. (4)
Множество комплексных чисел, интерпретируемое как множество
точек плоскости, называется комплексной плоскостью и также обозна-
чается символом С, подобно тому, как множество вещественных чисел
и числовая прямая обозначаются одним символом R.
Поскольку точку плоскости можно задать также полярными коор-
динатами (г, </?), связанными с декартовыми координатами формулами
перехода
ж = г cos (р,
(5)
у = г sm <р,
комплексное число
z = х + iy (6)
можно также представить в виде
z = г (cos <р + i sin 9?). (7)
Записи (6) и (7) называют соответственно алгебраической и триго-
нометрической формами комплексного числа.
'’От лат. realis (вещественный) и imaginarius (мнимый).
310
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В записи (7) число г О называется модулем комплексного числа z
(ибо, как видно из (5), г — |г|), а 92— аргументом числа z. Аргумент
имеет смысл только при z 0. В силу периодичности функций cosip
и sin <р аргумент комплексного числа определен с точностью до вели-
чины, кратной 2л, и символом Arg z обозначают множество углов вида
92 + 2л/с, к G Z, где 92— какой-то угол, удовлетворяющий соотноше-
нию (7). Если желают, чтобы комплексное число однозначно опреде-
ляло некоторый угол 92 Е Axgz, то договариваются заранее о диапа-
зоне, в котором его выбирают. Чаще всего это бывает полуинтервал
0 С <р < 2л или полуинтервал —л < <р + л. Если такой выбор сделан,
то говорят, что выбрана ветвь (или главная ветвь) аргумента. Значе-
ния аргумента в пределах выбранного диапазона обычно обозначают
символом arg z.
Тригонометрическая форма (7) записи комплексных чисел удобна
при выполнении операции умножения комплексных чисел. В самом де-
ле, если
zi = и (cos 921 + i sin
= r2(cos </?2 + i sin 922),
TO
Z\ -Z2 = (n COS + 2Г1 sin 9?1) (Г2 COS 9?2 + sin 9?2) =
— (Г1Г2 COS COS 9?2 — Г1Г2 sin</?i sin</?2) +
+ г(ПГ2 sin</?i COS 9?2 + Г1Г2 COS 921 8Шф2),
или
*1-22 = rir2(cos(y?i + <p2) +isin(</?i + ^2))- (8)
Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули пе-
ремножаются, а аргументы складываются.
Заметим, что мы на самом деле показали, что если 921 Е Arg z± и
922 G Arg 22, то (921+922) Arg (21-22). Но, поскольку аргумент определен
с точностью до 2тгк, можно записать, что
Arg (21 • 22) = Arg 21 + Arg 22, (9)
понимая это равенство как равенство множеств, правое из которых есть
совокупность чисел вида 921 + 922, где 921 Е Arg2i, а 922 Е Arg 22. Таким
образом, сумму аргументов полезно понимать в смысле равенства (9).
§ 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
311
При таком понимании равенства аргументов можно, например,
утверждать, что два комплексных числа равны тогда и только тогда,
когда соответственно равны их модули и аргументы.
Из формулы (8) по индукции вытекает следующая формула
Муавра1);
если z — г (cos 9? + i sin р), то zn = rn (cos тир + i sin np). (10)
С учетом разъяснений по поводу аргумента комплексного числа
формулу Муавра можно использовать, чтобы в явном виде выписать
все комплексные решения уравнения zn — а.
Действительно, если
а = p(cos ip + г sin V1)
и в силу формулы (10)
zn = rn (cos пр + i sin пр),
то г = тур и пр = ip + 2ттк, к G Z, откуда рк = & + ^-к. Различные
комплексные числа получаются, очевидно, только при fc = 0,1,..., n—1.
Итак, мы находим п различных корней из а:
ib 2тг \ f ib 2-тг \ \
cos I —|---к I + i sin I —I--к I I (к = 0,1,..., n — 1).
n J \n n ) )
В частности, если a — 1, т. e. p = 1 и ip = 0, имеем
(2тг \ [ 2тг \
—к I + i sin I—к I (k = 0,1,... ,n — 1).
nJ \n J
Эти точки находятся на единичной окружности в вершинах пра-
вильного п-угольника.
В связи с геометрической интерпретацией самих комплексных чисел
полезно упомянуть о геометрической интерпретации арифметических
действий над ними.
При фиксированном b G С сумму z + b можно интерпретировать
как отображение С в себя, задаваемой формулой z i-> z + b. Это сдвиг
плоскости на вектор Ь.
При фиксированном а = |а|(cos р + i sin р) У 0 произведение az мож-
но интерпретировать как отображение z i-> az Св себя, являющееся
композицией растяжения в |а| раз и поворота на угол р Е Arg а. Это
видно из формулы (8).
1}А. Муавр (1667-1754) — английский математик.
312
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2. Сходимость в С и ряды с комплексными членами. Рассто-
яние (4) между комплексными числами позволяет определить Е-окрест-
ность числа zq Е С как множество {z Е С | \z — zq| < е}—это круг
(без граничной окружности) радиуса е с центром в точке (жо,Уо), если
z0 = х0 + гу0.
Будем говорить, что последовательность {zn} комплексных чисел
сходится к числу z0 Е С, если lim lzn — zq I = 0.
n-+oo
Из неравенств
тах{|жп - ж0|, \уп ~ Уо|} < \zn - *о| < kn - ®о| + \Уп - Уо| (П)
видно, что последовательность комплексных чисел сходится тогда и
только тогда, когда сходятся последовательности действительных и
мнимых частей членов этой последовательности.
По аналогии с последовательностями вещественных чисел последо-
вательность комплексных чисел {zn} называют фундаментальной или
последовательностью Коши, если для любого е > 0 найдется номер
N Е N такой, что при п,т > N выполнено \zn — zm\ < е.
Из неравенств (11) видно, что последовательность комплексных чи-
сел фундаментальна тогда и только тогда, когда фундаментальны по-
следовательности действительных и мнимых частей членов данной по-
следовательности.
Учитывая критерий Коши для вещественных последовательностей,
мы, таким образом, на основании неравенств (11) заключаем, что спраг
ведливо следующее
Утверждение 1 (критерий Коши). Последовательность компле-
ксных чисел сходится тогда и только тогда, когда она фундамен-
тальна.
Если сумму ряда комплексных чисел
Z1 + z2 + • • • + zn "I" • • • (12)
понимать как предел его частичных сумм sn = z\ +... + zn при n —> оо,
то получаем также критерий Коши сходимости ряда (12).
Утверждение 2. Ряд (12) сходится тогда и только тогда, ко-
гда для любого Е > 0 найдется число N Е N такое, что при любых
натуральных п т > N имеем
km + • • + Zn\ < Е.
(13)
§ 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
313
Отсюда, как, впрочем, и из самого определения сходимости ря-
да (12), видно, что для сходимости ряда необходимо, чтобы 2П —> О
при п -> оо.
Как и в вещественном случае, ряд (12) называется абсолютно схо-
дящимся, если сходится ряд
|^1| + |^2| + ... + \zn\ + . . . (14)
Из критерия Коши и неравенства
\zm + • • • + zn\ \zm\ + • • • + jznl
следует, что если ряд (12) сходится абсолютно, то он сходится.
Примеры. Ряды
1)1 + ^ + ^2 + ... + ^п + ...,
2^-Г3 + ^5--’
3)1-^2 + Г4--
сходятся абсолютно при любом Z Е С, ибо ряды
1')1 + ^|2| + ^и2 + ...,
2'ш+|и3 + ^и5+--.,
3')1 + ^И2 + ^И4 + ...,
как мы знаем, сходятся при любом значении |г| G R. Заметим, что здесь
мы воспользовались равенством \zn\ = \z\n.
Пример 4. Ряд 1 + z + z2 + ... сходится абсолютно при < 1, и
его сумма равна s = - При |z| 1 он не сходится, так как в этом
случае общий член ряда не стремится к нулю.
Ряды вида
Со +Ci(z - 20) + ... +Cn(z - z0)n + . . . (15)
называют степенными рядами.
314
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Применяя признак Коши (см. гл. Ill, § 1, п. 4) к ряду
|с0| + |с1(г - го)| + • • • + \cn(z - г0)п| + ... ,
(16)
заключаем, что он сходится, если
.п—>оо
и его общий член не стремится к нулю, если \z — Zq| > ( lim
Отсюда получаем следующее
Утверждение 3 (формула Коши - Адамара1)). Степенной ряд
(15) сходится в круге \z — ^о| < R с центром в точке zq, радиус R
которого определяется по формуле Коши-Адамара
(17)
В любой точке, внешней по отношению к этому кругу, степенной
ряд расходится.
В любой точке этого круга степенной ряд сходится абсолютно.
Замечание. По поводу сходимости на граничной окружности
\z — Zq| = R в утверждении 3 ничего не говорится, поскольку здесь воз-
можны все логически допустимые варианты.
Примеры. Ряды
П=1
сходятся в единичном круге |z| < 1, но ряд 5) расходится всюду при
|г| = 1; ряд 6) расходится при z = 1 и, как можно показать, сходится
при z = —1; ряд 7) сходится абсолютно при |г| = 1, так как
Х)Ж. Адамар (1865-1963) — известный французский математик.
§ 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
315
Следует иметь в виду не учтенный в формулировке утверждения 3,
но возможный вырожденный случай, когда в формуле (17) R = 0.
В этом случае, разумеется, весь круг сходимости вырождается в един-
ственную точку zq сходимости ряда (15).
Из утверждения 3, очевидно, вытекает
Следствие (первая теорема Абеля о степенных рядах). Если сте-
пенной ряд (15) сходится при некотором значении z*, то он сходит-
ся и даже абсолютно при любом z, удовлетворяющем неравенству
\z-Zq\ < \z* ~Zq\.
Те утверждения, которые пока были получены, можно рассматри-
вать как простое развитие уже известных нам фактов. Теперь докажем
два общих утверждения о рядах, которые мы раньше не доказывали ни
в каком виде, хотя частично обсуждали затрагиваемые в них вопросы.
Утверждение 4. Если ряд z\ + z<i + ... + zn + ... комплексных
чисел сходится абсолютно, то ряд zni +zn2 + .. .+znk + ..., полученный
перестановкой1^ его членов, также абсолютно сходится и к той же
сумме.
ОО
◄ Учитывая сходимость ряда lznl> по числу е > 0 найдем номер
П=1
N G N так, что lznl < е-
п=У+1
Далее найдем номер К 6 N так, что среди слагаемых суммы -
= zni + ... +znk при k > К содержатся все слагаемые, входящие в сумму
00
«№ Zi + ... + zn- Если s = zn-, то мы получаем, что при к > К
п—1
00 00
|s -sfc| < |s - Sjv| + |sjv - Sfcl < Ы + 12 lZn|<2E.
п=У+1 п=У+1
Таким образом, показано, что > s при к —> оо. Если приме-
нить уже доказанное к рядам |zi| + |.?2| + ... + \zn\ + ... и \zni\ +
+ kn2 ! + ••• + \znk | + • • ч получим, что последний ряд сходится. Тем са-
мым утверждение 4 доказано полностью. ►
^Членом с номером к (к-м членом) второго ряда является член гПк с номером пк
исходного ряда. Отображение N Э к i-> пк € N предполагается биективным отобра-
жением множества натуральных чисел N.
316
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Следующее утверждение будет относиться к произведению
(«1 + 02 + • • • + °п + • • •)' (^1 + + +
рядов. Вопрос состоит в том, что если мы раскроем скобки и запишем
всевозможные попарные произведения агЬ3, то в них нет естественного
порядка суммирования, ибо есть два индекса суммирования. Множе-
ство пар где i,j Е N, как нам известно, счетно, поэтому можно
написать ряд с членами агЪ3, взятыми в некотором порядке. От того,
в каком порядке эти члены брать, может зависеть сумма такого ряда.
Но, как мы только что видели, в абсолютно сходящихся рядах сумма не
зависит от перестановки слагаемых. Таким образом, желательно выяс-
нить, когда ряд с членами агЬ3 сходится абсолютно.
Утверждение 5. Произведение абсолютно сходящихся рядов яв-
ляется абсолютно сходящимся рядом, сумма которого равна произве-
дению сумм перемножаемых рядов.
Ч Заметим сначала, что, какую бы конечную сумму ^2 аг^з членов
вида агЬ3 мы ни взяли, всегда можно указать N так, что произведение
сумм An — ai + ... + а^ и Bn = bi + ... + 6n будет содержать все
слагаемые исходной суммы. Поэтому
W N N оо оо
|52аА| ^52iaAi 52 iaAi = 52 n • 52 N 52ia’i’52iM’
г,3=1 г=1 з=1 г=1 з=1
оо
откуда вытекает абсолютная сходимость ряда ^2 агЬ3, сумма кото-
г,з=1
рого, таким образом, однозначно определена независимо от порядка
слагаемых. В таком случае ее можно получить, например, как предел
произведения сумм Ап = ai +... + ап, Вп = Ь± +... + Ьп при п —> оо. Но
00 00
АпВп -> АВ при п -> оо, где А = ^2 ап и В — ^2 Ьп, что и завершает
П=1 П=1
доказательство высказанного утверждения 5. ►
Рассмотрим важный
00 00 1
Пример 8. Ряды л0”’ 52 ~^Ьт сходятся абсолютно. В про-
n=0 п т=0 т-
изведении этих рядов будем группировать мономы апЬт с одинаковой
§ 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
317
суммой п + т = к показателей степени. Тогда получим ряд
ОО /
Е Е
к=0 \п+т=к
1„п 1 im
I ° I 0
п! т\
Но
У' —i—anbm = — V________—----anbk~n = — (а 4- b)k
п\т\ к\ ' п! (к — п)! kl ’
т+п=к п=0
поэтому мы получаем, что
ОО 1 ОО 4 00 1
Ё • Ё -^>т = Ё тл(« + Ь)к.
п! т\ к1. 7
п=0 т=0 к=0
(18)
3. Формула Эйлера и взаимосвязь элементарных функций.
В примерах 1) - 3) мы установили абсолютную сходимость в С рядов,
полученных распространением в комплексную область тейлоровских
разложений функций ех, sin ж, cos ж, определенных на К. По этой при-
чине естественны следующие определения функций ez, cos z, sin z в С:
ez = expz:=l + ^z + ±z2 + ±z3 + ... , (19)
cosz:=l-iz2 + ^z4-... , (20)
1 , 1 ,
sinz := z - — z + — z° - ... (21)
<5! o!
Подставим, следуя Эйлеру1), в (19) z — iy. Группируя соответствую-
щим образом слагаемые частичных сумм получающегося при этом ря-
да, найдем, что
1 + jj(^) + (^)2 + ^(«у)3 + (^)4 + (*У)5 + • • • =
I ч 1 9 1 Л. I . / 1 1ч 1 к
= (1-2!У +4!У '• •’ ) +г ( ПУ — 3!У +5!У
^Л. Эйлер (1707- 1783) —выдающийся математик и механик, швейцарец по проис-
хождению, большую часть жизни проживший в Петербурге. По выражению Лапласа,
«Эйлер—общий учитель всех математиков второй половины XVIII века».
318
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
егу = cosy + г sin у.
т.е.
(22)
Это и есть знаменитая формула Эйлера.
При ее выводе мы пользовались тем, что г2 = — 1, г3 = —г, г4 = 1,
г5 = г и т. д. Число у в формуле (22) может быть как действительным,
так и произвольным комплексным.
Из определений (20), (21) видно, что
cos(—z) = cosz,
sin(—z) = — sinz,
т.е. cosz—четная функция, a sinz—нечетная функция. Таким об-
разом,
е~гу — cos у — г sin у.
Сравнивая последнее равенство с формулой (22), получаем
cosy= |(е^ + е-^),
sin у = (егу — е~гу).
2г
Поскольку у—любое комплексное число, то эти равенства лучше
переписать в обозначениях, не вызывающих недоразумений:
cos z — i (ег2 + e-tz) ,
1 . (23>
sinz = — (elz — e *z).
2г v 7
Таким образом, если принять, что exp z задается соотношением (19),
то формулы (23) (равносильные разложениям (20), (21)), как и формулы
chz = |(ez + e~2),
f (24)
shz = -(ez —е z),
Al
можно принять в качестве определений соответствующих круговых и
гиперболических функций. Забыв все наводящие и подчас не вполне
§ 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
319
строго обоснованные соображения, относившиеся к тригонометриче-
ским функциям (которые, однако, привели нас к формуле Эйлера), мож-
но было бы теперь проделать типичный математический трюк, приняв
формулы (23), (24) за определения и получить из них уже совсем фор-
мально свойства круговых и гиперболических функций.
Например, основные тождества
cos2 z + sin2 z = 1,
ch2 z — sh2 2 = 1,
как и свойства четности, проверяются непосредственно.
Более глубокие свойства, как, например, формулы для косинуса или
синуса суммы, вытекают из характеристического свойства показатель-
ной функции
exp(zi + 22) = exp(zi) • exp(z2), (25)
которое, очевидно, следует из определения (19) и формулы (18). Выве-
дем формулы для косинуса и синуса суммы.
С одной стороны, по формуле Эйлера
gi(zi+Z2) _ COS(Z1 _|_ Z2) + 2sin(Z1 -I- Z2). (26)
С другой стороны, по свойству показательной функции и формуле Эй-
лера
gi(zi+z2) _ e«ie«2 _ (COSZ1 + г sin 21) (cos z2 +isinz2) =
= (cos 2i cos22 — sinzi sinz2) + «(sin-^i cos 22 + cos 21 sin22). (27)
Если бы 2i и z2 были действительными числами, то, приравнивая
действительные и мнимые части чисел из формул (26) и (27), мы уже
получили бы искомые формулы. Поскольку мы собираемся доказать их
для любых 2i, 22 Е С, то, пользуясь четностью cos z и нечетностью sin г,
запишем еще одно равенство:
e-i(zi+z2) _ (cos^i cos22 — sin2i sinz2) — г (sin 2i cos 22 + cos zi sin22). (28)
Сравнивая (27) и (28), находим
C0S(21 + 22) = - fe^Z1+Z2^ + е-г(21+22Л = COS 21 COS22 — sin2i sin22,
2 \ *
320
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
sin(zi + Z2) =
fei(zi+Z2) _g-j(^l+Z2)
2i \
= sin Z1 COS Z2 + COS Zi sin Z2.
Совершенно аналогично можно было бы получить соответствующие
формулы для гиперболических функций chz и shz, которые, кстати,
как видно из формул (23), (24), связаны с функциями cosz, sinz про-
стыми соотношениями
ch z = cos iz,
shz = — zsinzz.
Однако получить такие геометрические очевидности, как sin л = О
или cos(z + 2л) = cosz, из определений (23), (24) уже очень трудно.
Значит, стремясь к точности, не следует забывать те задачи, где соот-
ветствующие функции естественным образом возникают. По этой при-
чине мы не станем здесь преодолевать возможные затруднения в описа-
нии свойств тригонометрических функций, связанные с определениями
(23), (24), а еще раз вернемся к этим функциям после теории интеграла.
Наша цель сейчас состояла только в том, чтобы продемонстрировать
замечательное единство, казалось бы, совершенно различных функций,
которое невозможно было обнаружить без выхода в область комплекс-
ных чисел.
Если считать известным, что для х 6 R
cos (ж + 2тг) = cos ж, sin(z + 2л) = sinx,
cos 0 = 1, sin 0 = О,
то из формулы Эйлера (22) получаем соотношение
е™ + 1 = О,
(29)
в котором представлены важнейшие постоянные различных областей
математики (1 — арифметика, л — геометрия, е — анализ, г — алгебра).
Из (25) и (29), как и иэ формулы (22), видно, что
exp(z + г2л) = exp z,
т. е. экспонента оказывается периодической функцией на С с чисто
мнимым периодом Т = г2л.
§ 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
321
Учитывая формулу Эйлера, тригонометрическую запись (7) ком-
плексного числа теперь можно представить в виде
z = retv,
где г — модуль числа z, а — его аргумент.
Формула Муавра теперь становится совсем простой:
zn = rneinip
(30)
4. Представление функции степенным рядом, аналитич-
ность. Функция w = f(z} комплексного переменного z с комплексны-
ми значениями w, определенная на некотором множестве Е С С, есть
отображение /: Е —> С. График такой функции есть подмножество в
СхС = К2хй2=14и поэтому традиционной наглядности не имеет.
Чтобы как-то компенсировать эту потерю, обычно берут два экзем-
пляра комплексной плоскости Сив одном отмечают точки области
определения, а в другом — точки области значений.
В рассмотренных ниже примерах указаны область Е и ее образ при
соответствующем отображении.
Пример 9.
Рис. 37.
Рис. 38.
322
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 11.
Это следует из того, что i = ег7Г/2, z = re1¥> и iz — re^v+ltl2\ т.е.
произошел поворот на угол
Пример 12.
Рис. 40.
Ибо если z = relv, то z2 = r2el2v.
Пример 13.
Пример 14.
Рис. 42.
§ 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
323
Из примеров 12, 13 понятно, что в данном случае образом единич-
ного круга снова будет единичный круг, но только накрытый в два
слоя.
Пример
15.
и
п = 3)
Рис. 43.
Если z = гег,р, то в силу (30) zn — гпетч>, поэтому в нашем случае
образом круга радиуса г будет круг радиуса гп и каждая точка по-
следнего является образом п точек исходного круга (расположенных,
кстати, в вершинах правильного п-угольника).
Исключение в этом смысле составляет только точка w = 0, прообраз
которой есть точка z — 0. Однако при z —> 0 функция zn есть беско-
нечно малая порядка п, поэтому говорят, что при z = 0 функция имеет
нуль порядка п. С учетом такой кратности нуля можно теперь гово-
рить, что число прообразов любой точки w при отображении z i-> zn =
= w равно n. В частности, уравнение zn = 0 имеет п совпадающих
корней zi = ... = zn = 0.
В соответствии с общим определением непрерывности, функция /(z)
комплексного переменного называется непрерывной в точке zq G С, ес-
ли для любой окрестности V(f (zo)) ее значения f (zo) найдется окрест-
ность U(z0) такая, что при любом z е U(zq) будет f(z) G V(f(zo)).
Короче говоря,
lim/(z) = f(z0).
Z-tZQ
Производной функции f (z) в точке zq, как и для вещественного слу-
чая, назовем величину
ГЫ = Ит №)~№»),
z-tz0 Z — Zq
если этот предел существует.
Равенство (31) эквивалентно равенству
/С?) - f (z0) = f'(zo)(z - z0) + o(z - Zo)
(31)
(32)
324
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
при z —> zo, соответствующему определению дифференцируемости
функции в точке Zq-
Поскольку определение дифференцируемости в комплексном случае
совпадает с соответствующим определением для вещественных функ-
ций, а арифметические свойства поля С и поля R одинаковы, то можно
сказать, что все общие правила дифференцирования справедливы и в
комплексном случае.
Пример 16.
поэтому если f (z) = z2, то f'(z) = 1 • z + z • 1 =2z, или если f (z) = zn,
to f'(z) = nzn~\ а если
-Pn(-z) = co + ci(z-zo) + ...+cn(z-zo)n,
TO
= Cl + 2c2(z - z0) + • + ncn(z - z0)n-1.
OO
Теорема 1. Сумма f (z) = ^2 °n(z ~ zo)n степенного ряда—бес-
n=0
конечно дифференцируемая функция во всем круге сходимости ряда.
При этом
°° rlk
п=0
U
Сп = Д/(п)(^о), П = 0, 1,...
П1
◄ Выражения для коэффициентов сп очевидным образом получают-
ся из выражений для f^(z) при к — п и z — zq.
В свою очередь, формулы для f(k\z) достаточно проверить только
при к = 1, ибо тогда f'(z) снова окажется суммой степенного ряда.
00
Итак, проверим, что функция ip(z) = ncn(z ~ ^о)п~г действи-
тельно является производной для f(z). n=1
§ 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
325
Прежде всего заметим, что в силу формулы Коши-Адамара (17) ра-
диус сходимости последнего ряда совпадает с радиусом сходимости R
исходного степенного ряда для f(z).
В дальнейшем для упрощения записи будем считать, что zq = 0, т. е.
ОО оо
ЧТО f(z) = CnZn, tp(z) = ncnzn~1 и ряды сходятся при \z\ < R.
n=0 n=l
Поскольку внутри круга сходимости степенной ряд сходится абсо-
лютно, можно заметить, и это существенно, что при \z\ г < R спра-
ОО
ведлива оценка |псп2:п_1| = п|сп||.г|п-1 < n|cn|rn-1, а ряд n|cn|rn-1
П=1
сходится. Значит, для любого е > 0 найдется номер N такой, что при
|z|
ОО 00
Е TlCnZn ^ < Е ПСпГП^ < |.
п=У+1 п=У+1
Таким образом, с точностью до | функция <p(z) в любой точке круга
|z| < г совпадает с N-й частичной суммой определяющего ее ряда.
Пусть теперь (их — произвольные точки этого круга. Преобразо-
вание
/(<)-/(*) ^„Cn-zn
c,-z (_2 -
оо
= Е (с"-1+^n~2z+• • • + ^п~2+^-1)
П=1
и оценка |сп(^п-1 + ... + zn-1)| < позволяют, как и выше, за-
ключить, что интересующее нас разностное отношение при |£| < г и
|z| < г совпадает, с точностью до |, с N-й частичной суммой опреде-
ляющего его ряда. Значит, при |£| < г и \z\ < г
С ~z
Если теперь, фиксировав z, устремить ( к z, то, переходя к пределу
в конечной сумме, видим, что при С, достаточно близких к z правая
часть последнего неравенства, а с нею и левая становятся меньше е.
Таким образом, для любой точки z в круге |z| < г < R, а ввиду
произвольности г, и для любой точки круга \z\ < R проверено, что
/'(z) = p(z). ►
326
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Эта теорема позволяет точно указать тот класс функций, для ко-
торых их ряды Тейлора сходятся к ним.
Говорят, что функция аналитична в точке zq € С, если в некоторой
окрестности этой точки ее можно представить в следующем («анали-
тическом») виде:
оо
/(*) = ^Cnkz-ZoY1,
п=0
т. е. как сумму степенного ряда по степеням z — zo-
Нетрудно проверить (см. задачу 7), что сумма степенного ряда ана-
литична в любой внутренней точке круга сходимости этого ряда.
С учетом определения аналитичности функции, из доказанной тео-
ремы получаем
Следствие, а) Если функция аналитична в точке, то она беско-
нечно дифференцируема в этой точке и ее ряд Тейлора сходится к ней
в окрестности этой точки.
Ь) Ряд Тейлора функции, определенной в окрестности точки и бес-
конечно дифференцируемой в точке, сходится к функции в некоторой
окрестности точки тогда и только тогда, когда функция аналитич-
на в этой точке.
В теории функции комплексного переменного доказывается заме-
чательный факт, не имеющий аналогов для вещественных функций.
А именно, оказывается, что если функция f(z) дифференцируема в
окрестности точки Zq € С, то она аналитична в этой точке. Это и в
самом деле удивительно, поскольку в силу доказанной выше теоремы
отсюда следует, что если функция f(z) имеет одну производную f'(z)
в окрестности точки, то в этой окрестности она имеет также произ-
водные всех порядков.
На первый взгляд это так же неожиданно, как то, что, присоединив
к R корень i одного конкретного уравнения z2 = —1, мы получаем по-
ле С, в котором любой алгебраический многочлен P(z) имеет корень.
Факт разрешимости в С алгебраического уравнения P(z) = 0 мы соби-
раемся использовать и поэтому докажем его в качестве хорошей иллю-
страции к введенным в этом параграфе начальным представлениям о
комплексных числах и функциях комплексного переменного.
5. Алгебраическая замкнутость поля С комплексных чисел.
Если мы докажем, что любой полином P(z) = co + qz + . .. +cnzn, п 1,
§ 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
327
с комплексными коэффициентами имеет корень в С, то уже не возник-
нет надобности в расширении поля С, вызванной неразрешимостью в С
некоторого алгебраического уравнения. В этом смысле утверждение о
наличии корня у любого многочлена P(z) устанавливает алгебраиче-
скую замкнутость поля С.
Чтобы получить вполне наглядное представление о том, почему в С
любой полином имеет корень, в то время как в R его могло не быть,
воспользуемся геометрической интерпретацией комплексного числа и
функции комплексного переменного.
Заметим, что
P(z) = zn
Cl
zn-l
Cn—1
z
+ ...+
и, следовательно, P(z) = CnZn + o(zn) при \z\ —> oo. Поскольку нас ин-
тересует корень уравнения P(z) = 0, то, поделив обе части уравнения
на Сп, можно считать, что коэффициент сп многочлена P(z) равен 1 и
потому
P(z) = zn + o(zn} при \zl —> оо. (33)
Если вспомнить (см. пример 15), что при отображении z zn
окружность радиуса г переходит в окружность радиуса гп с центром в
точке 0, то при достаточно больших значениях г, в силу (33), с малой
относительной погрешностью образ окружности |z| = г будет совпа-
дать с окружностью |w| = гп плоскости w (рис. 44). Во всяком случае,
важно, что образом будет кривая, охватывающая точку w = 0.
Если круг ]z\ г рассма-
тривать как пленку, натяну-
тую на окружность \z\ = г, то
при непрерывном отображе-
нии, осуществляемом полино-
мом w = P(z), эта пленка пе-
рейдет в пленку, натянутую на
образ окружности. Но посколь-
ку последний охватывает точ-
ку w = 0, то некоторая точка
этой пленки обязана совпадать с w = 0 и, значит, в круге \z\ < г най-
дется точка zq, которая при отображении w = P(z) перешла именно в
w = 0, т. е. P(z0) = 0.
328
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Это наглядное рассуждение приводит к ряду очень важных и по-
лезных понятий топологии (индекс пути относительно точки, степень
отображения) и с помощью этих понятий может быть доведено до пол-
ного доказательства, справедливого, как можно понять, не только для
полиномов. Однако эти рассмотрения, к сожалению, отвлекли бы нас от
основного предмета, которым мы сейчас занимаемся; поэтому мы про-
ведем другое доказательство, лежащее в русле тех идей, с которыми
мы уже достаточно освоились.
Теорема 2. Каждый полином
P(z) = Со + C]Z + ... + CnZ71
степени п 1 с комплексными коэффициентами имеет в С корень.
◄ Без ограничения общности утверждения теоремы, очевидно, мож-
но считать, что сп = 1.
Пусть р = inf |P(z)|. Поскольку P(z) — zn ^1 + + ... + то
\ HI HI /
и, очевидно, |P(z) | > max {1,2р} при \z\ > R, если R достаточно велико.
Следовательно, точки последовательности {zk}, в которых 0 < |P(zfc)|-
— р < £, лежат в круге \z\ < R.
Проверим, что в С (и даже в этом круге) есть точка zq, в ко-
торой |Р(2о)| = р- Для этого заметим, что если Zk = Xk + iyk, то
max {|®fc|, l-Zfcl R и, таким образом, последовательности дей-
ствительных чисел {ж*,}, {у*,} оказываются ограниченными. Извлекая
сначала сходящуюся подпоследовательность из {ж*}, а затем схо-
дящуюся подпоследовательность {yktm } из {у*;,}, получим подпоследо-
вательность Zktm = Xklm +iykim последовательности {zk}, которая имеет
предел lim Zk, — lim + i lim y*,. = xo + iyo = ?o, и поскольку
m—>oo m m—>oo m m-+oo m
l^fcl —> ko| при к —> оо, то l^o| R- Чтобы избежать громоздких обо-
значений и не переходить к подпоследовательностям, будем считать,
что уже сама последовательность {zk} сходится. Из непрерывности
P(z) в zq Е С следует, что lim P(zk) = P(zq). Но тогда1) |P(zo)| =
= lim |РЫ| = р. к~*°°
^Обратите внимание — мы, с одной стороны, показали, что из любой ограничен-
ной по модулю последовательности комплексных чисел можно извлечь сходящуюся
подпоследовательность, а с другой стороны, продемонстрировали еще одно из воз-
§ 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
329
' Теперь предположим, что р > 0, и приведем это предположение к
противоречию. Если P(^o) 0, то рассмотрим полином Q(z) = ^р^^-
По построению, Q(0) = 1 и |Q(.z)| = 1-
Поскольку Q(0) = 1, полином Q(z) имеет вид
Q(z) = 1 + + qk+izk+1 + ... + qnzn,
где |<Zfc| 0 0 и 1 < к < п. Если qk = рег^, то при <р — будем иметь
Qfc-(el¥,)fc = рег^ег^~^ = рег7Г = — р = — |д&|. Таким образом, при z = гег,р
получим
IQ(re^)| О + qkzk\ + (|gfc+i^+1| + ... + |gnz"|) =
= |1 - rk\qk\\ + rfc+1 (|gfc+i| + ... + Nr"-*-1) =
= 1 - rk(\qk| - r\qk+11 - ... - rn-fc|gn|) < 1,
если г достаточно близко к нулю. Но |Q(z)| 1 при z G С. Полученное
противоречие показывает, что P(^o) = 0. ►
Замечание 1. Первое доказательство теоремы о разрешимости
в С любого алгебраического уравнения с комплексными коэффициента-
ми (которую по традиции часто называют основной теоремой алгебры)
было дано Гауссом, который вообще вдохнул вполне реальную жизнь в
так называемые «мнимые» числа, найдя им разнообразные и глубокие
приложения.
Замечание 2. Многочлен с вещественными коэффициентами
P(z) = во + • • • + ап^п-, как мы знаем, не всегда имеет вещественные
корни. Однако по отношению к произвольному многочлену с комплекс-
ными коэффициентами он обладает той особенностью, что если P(^o) =
= 0, то и Р(г0) = 0. Действительно, из определения сопряженного числа
и правил сложения комплексных чисел следует, что (zi + Z2) — zi + Z2-
Из тригонометрической формы записи комплексного числа и правил
умножения комплексных чисел видно, что
(zi • ^2) = (це’*’1 • гге1*’2) = пг2ег(*’1+*’2) =
= Г1Г2е~г^1+^ = не-1*’1 • Г2е~г1(>2 = z\ • Z2-
можных доказательств теоремы о минимуме непрерывной функции на отрезке, как
в данном случае это было сделано в круге |z| R.
330
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Таким образом,
P(z0) — а0 + • • • + ^nz0 = ЙО + • • • + ^nzo = °о + • • • + anz0 = P(zQ),
и если P(zq) = 0, то P(zq) = P(zq) = 0.
Следствие 1. Любой многочлен P(z) = со + ... + cnzn степени
n 1 с комплексными коэффициентами допускает, и притом един-
ственное с точностью до порядка сомножителей, представление в
виде
P(z) =Cn(z- zi)...(z - zn), (34)
где z\,...,zn G С (u, может быть, не все числа zi,...,zn различны
между собой).
◄ Из алгоритма деления («уголком») многочлена P(z) на много-
член Q(z) степени т < п находим, что P(z) = q(z)Q(z) + r(z), где
q(z) и r(z)—некоторые многочлены, причем степень r(z) меньше сте-
пени Q(z), т.е. меньше т. Таким образом, если т = 1, то r(z) = г —
просто постоянная.
Пусть z\ —корень многочлена P(z). Тогда P(z) = q(z) (z — zi) +r,
и поскольку P(zi) = г, то г = 0. Значит, если z^—корень многочле-
на P(z), то справедливо представление P(z) = (z — zi)q(z). Степень
многочлена q(z) равна п-1, и с ним можно повторить то же самое
рассуждение. По индукции получаем, что P(z) = c(z — zi)... (z — zn).
Поскольку должно быть czn = CnZn, то с = Cn- ►
Следствие 2. Любой многочлен P(z) = ао +.. + anzn с действи-
тельными коэффициентами можно разложить в произведение линей-
ных и квадратичных многочленов с действительными коэффициен-
тами.
◄ Это вытекает из предыдущего следствия 1 и замечания 2, в силу
которого вместе с Zk корнем P(z) является также число z^. Тогда, пе-
ремножив в разложении (34) многочлена скобки (z—Zk)(z—z^), получим
многочлен z2 — (z*, + Zk)z + |г^|2 второго порядка с действительными
коэффициентами. Число Сп, в нашем случае равное ап, вещественное, и
его можно внести в одну из скобок разложения, не меняя ее степени. ►
Перемножив одинаковые скобки в разложении (34), это разложение
можно переписать в виде
P(z)=cn(z-z1)kl ...(z-zp)kp. (35)
§ 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
331
Число fcj называется кратностью корня zr
Поскольку P(z) = (z — z3)k^Q{z), где Q(zj) 0, to
P'(z) = k3(z - z^-'Qtz) + {z- Zj)k’Q'(z) = (z- Zj)kj~1R(z),
где R(z3) = kjQizj) 0. Таким образом, мы приходим к следующему
заключению.
Следствие 3. Каждый корень z3 многочлена P(z) кратности к3 >
> 1 является корнем кратности к3 — 1 многочлена P'(z) —производ-
ной P(z).
Не будучи пока в состоянии найти корни многочлена P(z), мы на
основании последнего утверждения и разложения (35) можем найти
многочлен p(z) = (z—zi)... (z—Zp), корни zi,..., zp которого совпадают
с корнями P(z), но все они уже кратности 1.
Действительно, по алгоритму Евклида сначала найдем многочлен
q(z)—наибольший общий делитель P(z) и P'(z). В силу следствия 3,
разложения (35) и теоремы 2, многочлен q(z) с точностью до постоян-
ного множителя равен произведению (z — zi)*1-1... (z — ^>)fcp-1, поэто-
му, поделив P(z) на q(z), с точностью до постоянного множителя (от
которого можно затем избавиться дополнительным делением на коэф-
фициент при zp} получим многочлен p(z) = (z — zi)... (z — zp).
Рассмотрим теперь отношение Р(ж) = двух многочленов, где
Q(x) const. Если степень Р(ж) больше степени <9(ж), то, применив ал-
горитм деления многочленов, представим Р(х) в виде Р(ж) = р(ж)<2(т)-|-
+ г(ж), где р(х) и г(ж)—некоторые многочлены, причем степень г(ж)
уже меньше, чем степень (Э(ж). Таким образом, получаем представле-
ние R(x) в виде Я(ж) = р(ж) + где дробь уже правильная в
том смысле, что степень г(ж) меньше степени Q(ar).
Следствие, которое мы сейчас сформулируем, относится к предста-
влению правильной дроби в виде суммы дробей, называемых простей-
шими.
Следствие 4. а) Если Q(z) = (z — zi)kl ... (z — zp)kp и —пра-
вильная дробь, то существует и притом единственное представление
дроби в виде
P{z) _ | a]k
QW
(36)
J=1 \ fc=l
- гзУ / ’
332
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(37)
Ь) Если Р(х) и Q(z) —многочлены с действительными коэффици-
ентами и
Q(x) = (х - a?i)fcl ... (х - xi)k‘ (х2 + р!Х + Qi)mi ... (х2 + рпх + д^,
то существует и притом единственное представление правильной
в виде
Q(x)
D/ \ I f kJ \ п / т3 1 ।
_— V I V aJk I + V I V °3kX + Cjk
Q(z) ~ (x-Xj)k I (x2 + PjX + Qj)k
где a^k, bjk, Cjk — действительные числа.
Заметим, что универсальным, хотя и не всегда самым коротким
способом фактического отыскания разложений (36) или (37) является
метод неопределенных коэффициентов, состоящий в том, что сумма в
правой части (36) или (37) приводится к общему знаменателю Q(x),
после чего приравниваются коэффициенты полученного числителя и
соответствующие коэффициенты многочлена Р(аг). Система линейных
уравнений, к которой мы при этом приходим, в силу следствия 4 всегда
однозначно разрешима.
Поскольку нас, как правило, будет интересовать разложение кон-
кретной дроби, которое мы получим методом неопределенных коэф-
фициентов, то кроме уверенности, что это всегда можно сделать, нам
от следствия 4 пока ничего больше не требуется. По этой причине мы
не станем проводить его доказательство. Оно обычно излагается на
алгебраическом языке в курсе высшей алгебры, а на аналитическом
языке — в курсе теории функций комплексного переменного.
Рассмотрим специально подобранный пример, на котором можно
проиллюстрировать изложенное.
Пример 17. Пусть
Р(ж) = 2т6 + За:5 + 6т4 + ба;3 + Юж2 + Зх + 2,
Q(x) = х7 + Зт6 + 5х5 + 7т4 + 7х3 + 5ж2 + Зх + 1;
требуется найти разложение (37) дроби
Прежде всего, задача осложнена тем, что мы не знаем разложе-
ния многочлена Q(x). Попробуем упростить ситуацию, избавившись от
§ 5. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
333
кратности корней Q(x), если таковая имеет место. Находим
Q'(x) = 7х6 + 18ж5 + 25г4 + 28т3 + 21т2 + Ют + 3.
Довольно утомительным, но выполнимым счетом по алгоритму Ев-
клида находим наибольший общий делитель
J(t) = т4 + 2т3 + 2т2 + 2т + 1
многочленов Q(t) и Q'(t). Мы выписали наибольший общий делитель с
единичным коэффициентом при старшей степени т.
Разделив Q(t) на d(x), получаем многочлен
д(т) = т3 + т2 + х + 1,
имеющий те же корни, что и многочлен Q(t), но единичной кратности.
Корень —1 многочлена д(т) легко угадывается. После деления д(т) на
х + 1 получаем т2 + 1. Таким образом,
q(t) = (т + 1)(т2 + 1),
после чего последовательным делением <7(т) на ж2 + 1 и ж + 1 находим
разложение J(t):
<Дж) = (ж + 1)2(т2 + 1),
а вслед за этим и разложение
Q(t) = (т + 1)3(т2 + I)2.
Таким образом, в силу следствия 4Ь) ищем разложение
виде
др°би ш
в
ж
Q(®)
ап
т + 1
Й12 013 ЬцТ + Сц
(т + I)2 (т + I)3 ж2 + 1
512 т + 012
(т2 + I)2 '
+
Приводя правую часть к общему знаменателю и приравнивая ко-
эффициенты полученного в числителе многочлена и соответствующие
коэффициенты многочлена Р(ж), приходим к системе семи уравнений с
семью неизвестными, решая которую, окончательно получаем
Р(ж) _ 1 2 1 х — 1 ж + 1
Q(x) х + 1 (х + I)2 (ж + I)3 ж2 + 1 (ж2 + I)2 ’
334
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Задачи и упражнения
1. Используя геометрическую интерпретацию комплексного числа
а) поясните неравенства |zi +гг| |zi| + |z2| и |zi+ .. . + zn| |zi|+ .. .+|zn|,
b) укажите геометрическое место точек на плоскости С, удовлетворяющих
соотношению |z — 1| + + 1| 3;
с) изобразите все корни степени п из 1 и найдите их сумму;
d) поясните действие преобразования плоскости С, задаваемого формулой
Z Н Z.
2. Найдите суммы:
а) 1 + q + ... + qn;
b) 1 + q + ... + qn + •. • при |g| < 1;
с) 1 + e’” + ... + em<₽;
d) 1 + relv + ... + rnetnv;
e) 1 + re1<fi + ... + rnetn<fi +... при |r| < 1;
f) 1 + r cos p + ... + rn cosnyr,
g) 1 + r cosy? + ... + rn cos nip + ... при |r| < 1;
h) 1 + r sin p + ... + rn sin np;
i) 1 + r sin p + ... + rn sin ny? + ... при |r| < 1.
3. Найдите модуль и аргумент комплексного числа lim (1 + ^)п и убеди-
тесь, что это число есть ez.
4. а) Покажите, что уравнение ew = z относительно w имеет решение w =
— In\z\ + iArgz. Естественно считать w натуральным логарифмом числам.
Таким образом, w = Lnz не есть функциональное соотношение, поскольку
Argz многозначен.
Ь) Найдите Lnl и Ln г.
с) Положим za = e“Lnz. Найдите 1* и г*.
d) Используя представление го = sinz = ^(е,г-е_,г), получите выражение
для z = arcsin z.
е) Есть ли в С точки, где | sinz| = 2?
5. а) Исследуйте, во всех ли точках плоскости С функция /(г) = —5—
непрерывна. + z
b) Разложите функцию —в степенной ряд при zq = 0 и найдите его
радиус сходимости. + z
с) Решите задачи а) и Ь) для функции -^*2 2’ где е ®—параметр.
Не возникает ли у вас гипотезы относительно того, взаимным расположени-
ем каких точек на плоскости С определяется радиус сходимости? Можно ли
было понять это, оставаясь на вещественной оси, т.е. раскладывая функцию
—> гДе АбКигбй?
1 + A2z2
§ 6. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
335
6. а) Исследуйте, является ли непрерывной функция Коши
f, \ f е-1/г2> *#0,
f(z) =
О, z = О
в точке z = 0.
Ь) Будет ли непрерывно ограничение /|r функции / из задачи а) на веще-
ственную ось?
с) Существует ли ряд Тейлора функции f из а) в точке Zq = 0?
d) Бывают ли аналитические в zq € С функции, ряд Тейлора которых
сходится только в точке Zq?
ОО
е) Придумайте степенной ряд 52 cn(z — ^о)”, который сходится только в
п=0
точке zq.
сю
7. а) Выполнив в степенном ряде 52 — а)п формально подстановку
п=0
оо
z-a = (z—zq) + (zq —а) и приведя подобные члены, получите ряд 52 Cn(z—zo)n
п=0
и выражения его коэффициентов через величины A*,, (zq — а)к, к = 0,1,...
Ь) Проверьте, что если исходный ряд сходится в круге \z — а| < R, а
|zq - а| = г < R, то ряды, определяющие Сп, п = 0,1,, сходятся абсолютно
ОО
и РЯД 52 Cn(z — z0)n сходится при |z - z0| < R - г.
n=0
оо
с) Покажите, что если /(z) = 52 An(z-a)n в круге \z — а| < R, a |z0 — а| <
п=0
< R, то в круге \z - z0| < R — |zq — a| функция f допускает представление
ОО
/(г) = 52 cn(z - z0)n.
n=0
8. Проверьте, что
а) когда точка z € С пробегает окружность |z| = г > 1, точка w = z + z-1
пробегает эллипс с центром 0 и фокусами в точках ±2;
Ь) при возведении комплексных чисел в квадрат, точнее, при отображении
w w2 такой эллипс переходит в дважды пробегаемый эллипс с фокусом
в нуле;
с) при возведении комплексных чисел в квадрат любой эллипс с центром
в нуле переходит в эллипс с фокусом в нуле.
§6. Некоторые примеры использования
дифференциального исчисления
в задачах естествознания
В этом параграфе мы разберем несколько довольно далеких друг от
друга по постановке задач естествознания, которые, однако, как выяс-
нится, имеют довольно близкие математические модели. Модель эта —
336
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
не что иное, как простейшее дифференциальное уравнение для инте-
ресующей нас в задаче функции. С разбора одного такого примера-
задачи двух тел — мы, кстати, вообще начинали построение дифферен-
циального исчисления. Исследование той системы уравнений, которую
мы при этом получили, пока нам недоступно. Здесь же будут рассмо-
трены вопросы, которые можно до конца решить уже на нашем ны-
нешнем уровне. Кроме удовольствия увидеть математический аппарат
в конкретной работе, из ряда примеров этого параграфа мы, в част-
ности, извлечем также дополнительную убежденность как в естествен-
ности возникновения показательной функции ехря, так и в пользе ее
распространения в комплексную область.
1. Движение тела переменной массы. Рассмотрим ракету, пе-
ремещающуюся прямолинейно в открытом космосе далеко от притяги-
вающих масс (рис. 45).
Шк Шт
Рис. 45.
Пусть М(t) — масса ракеты (с топливом) в момент i; V (£) — ее ско-
рость в момент £; ш — скорость (относительно ракеты) истечения топ-
лива из сопла ракеты при его сгорании.
Мы хотим установить взаимосвязь между этими величинами.
В силу сделанных предположений, ракету с топливом можно рассма-
тривать как замкнутую систему, импульс (или количество движения)
которой поэтому остается постоянным во времени.
В момент t импульс системы равен A/(i)V(i).
В момент t + h импульс ракеты с оставшимся в ней топливом равен
M(t+h)V(t+h), а импульс Д/ выброшенной за это время массы |ДА/| =
= |A/(i + h) — M(t)\ = —(M(t + h) — M(t)) топлива заключен в пределах
(y(t) - ш)|ДМ| < Д/ < (V(t + h) - ш)IДАТ[,
т.е. Д/ = (V(i) — ш)|ДА/| + a(h)|ДМ|, причем из непрерывности V(i)
следует, что a(h) —> 0 при h —> 0.
Приравнивая импульсы системы в моменты t и t + h, имеем
M(t)V(t) = M(t + h)V(t + h) + (V(t) - ш)|ДМ| + а(й)|ДМ|,
§6. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
337
или, после подстановки |ДА/| = — (M(t + h) — M(t)) и упрощений,
M(t + h)(V(t + h)-V(t)) =
= + h}- M(t)) + + h)-
Деля последнее равенство на h и переходя к пределу при h -> О,
получаем
M(t)y'(t) = (1)
Это и есть искомое соотношение между интересующими нас функ-
циями V(i), M(t) и их производными.
Теперь надо найти связь между самими функциями V(f), M(t), ис-
ходя из соотношения между их производными. Вообще говоря, такого
рода задачи много труднее задач нахождения соотношений между про-
изводными при известных соотношениях между функциями. Однако в
нашем случае вопрос решается вполне элементарно.
Действительно, после деления на M(t) равенство (1) можно перепи-
сать в виде
V'(f) = (-uHnM)'(t). (2)
Но если производные двух функций совпадают на некотором про-
межутке, то на этом промежутке сами функции отличаются разве что
на некоторую постоянную.
Итак, из (2) следует, что
V(f) = In M(t) +с. (3)
Если известно, например, что У(0) = Vq, то это начальное условие
вполне определит константу с. Действительно, из (3) находим
с = Vq + wlnM(O),
а затем находим искомую формулу1)
V(f) = H,+^ln^|. (4)
^Эта формула иногда связывается с именем К. Э. Циолковского (1857-1935) —
русского ученого, основоположника теории космических полетов. Но, по-видимому,
впервые она была получена русским механиком И. В. Мещерским (1859-1935) в его
труде 1897 г., посвященном динамике точки переменной массы.
12-4573
338
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Полезно заметить, что если тпк — масса корпуса ракеты, тпт — мас-
са топлива, а V — конечная скорость, которую приобретает ракета по-
сле полной отработки топлива, то, подставляя в (4) М(0) = тпк + тти
М(£) = тпк, находим
(7Пт\
1 Ч---) .
тпк/
Последняя формула особенно ясно показывает, что на конечной ско-
рости сказывается не столько отношение тпт/тк, стоящее под знаком
логарифма, сколько скорость истечения ш, связанная с видом топлива.
Из этой формулы, в частности, следует, что если Vb = 0, то, чтобы
придать скорость V ракете, собственная масса которой тпк, необходи-
мо иметь следующий начальный запас топлива:
тт = тпк (ev^ — 1) .
2. Барометрическая формула. Так называется формула, указы-
вающая зависимость атмосферного давления от высоты над уровнем
моря.
Пусть p(h) —давление на высоте h. Поскольку р(К) есть вес столба
воздуха над площадкой в 1 см2, расположенной на высоте h, то p(h + Д)
отличается от p(h) весом порции газа, попавшей в параллелепипед с
основаниями в виде исходной площадки в 1 см2, расположенной на вы-
соте h, и такой же площадки на высоте h + Д. Пусть р(Л) —плотность
воздуха на высоте h. Поскольку p(h) непрерывно зависит от h, то мож-
но считать, что масса указанной порции воздуха может быть вычислена
по формуле
р(£) г/см3 • 1 см2 • Д см = р(£) Д г,
где £— некоторый уровень высоты в промежутке от h до Л+Д. Значит,
вес этой массы1) есть д • р(£)Д.
Таким образом,
p(h + Д) -p(h) = -др(£)Л.
Поделив это равенство на Д и перейдя к пределу при Д —> 0 с учетом
того, что тогда и £ —> h, получаем
P'(h) = ~gp(h)- (5)
пределах наличия заметной атмосферы величину д можно считать постоянной.
§ 6. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
339
Таким образом, скорость изменения давления естественно оказалась
пропорциональной плотности воздуха на соответствующей высоте.
Чтобы получить уравнение для функции p(h), исключим из (5) функ-
цию p(h). В силу закона Клапейрона1) давление р, молярный объем V и
температура (по шкале Кельвина2)) Т газа связаны соотношением
P-^=R,
т
(6)
где R—так называемая универсальная газовая постоянная. Если М —
масса одного моля воздуха, а V — его объем, то р = поэтому из (6)
находим
1 „ m MR^ R™
Полагая A - таким образом, имеем
р = А(Т)р.
(7)
Если теперь принять, что температура описываемых нами слоев возду-
ха постоянна, то из (5) и (7) окончательно находим
р'(Л) = -9-p(h). (8)
Л
Это дифференциальное уравнение можно переписать в виде
p'(h) = _д_
p(h) А
или
МИ=(Л)' ,
откуда
1пр(Л) = — ~h + с,
Л
или
p(h) = ес • е-(я/А)Л.
Множитель ес определяется из известного начального условия
р(0) = Ро, в силу которого ес = ро.
^Б. П. Э. Клапейрон (1799-1864)—французский физик, занимавшийся термоди-
намикой.
2)у. Томсон (лорд Кельвин) (1824-1907) — известный английский физик.
340
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Итак, мы нашли следующую зависимость давления от высоты:
р = poe~(9^h. (9)
Для воздуха при комнатной температуре (порядка 300 К = 27°C)
известно значение А«7,7-108 (см/с)2. Известно также, что д~ 103 см/с2.
Таким образом, формула (9) приобретает вполне законченный вид по-
сле подстановки этих числовых значений д и А. В частности, из (9)
видно, что давление упадет в е (» 3) раз на высоте h = = 7,7-105 см =
= 7,7 км. Оно возрастет во столько же раз, если опуститься в шахту на
глубину порядка 7,7 км.
3. Радиоактивный распад, цепная реакция и атомный ко-
тел. Известно, что ядра тяжелых элементов подвержены самопроиз-
вольному (спонтанному) распаду. Это так называемая естественная
радиоактивность.
Основной статистический закон радиоактивности (справедливый,
следовательно, для не слишком малых количеств и концентраций ве-
щества) состоит в том, что количество распадов за малый промежу-
ток времени h, прошедший от момента t, пропорционально h и количе-
ству N(t) не распавшихся к моменту t атомов вещества, т.е.
7V(t + h) - A7(t) « —A7V(^7i,
где А > 0 — числовой коэффициент, характерный для данного химиче-
ского элемента.
Таким образом, функция N(t) удовлетворяет уже знакомому диф-
ференциальному уравнению
N'(t) = (10)
из которого следует, что
N(t) = Noe~xt,
где Nq = 7V(0) — начальное количество атомов вещества.
Время Т, за которое происходит распад половины из начального
количества атомов, называют периодом полураспада. Величина Т на-
ходится, таким образом, из уравнения е~хт = |, т.е. Т =
§ 6. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
341
Например, для полония Ро210 Т « 138 суток, для радия Ra226 Т «
и 1600 лет, для урана U235 Т « 7,1 • 108 лет, а для его изотопа U238
Т » 4,5 • 109 лет.
Ядерная реакция — это взаимодействие ядер или взаимодействие
ядра с элементарными частицами, в результате которого появляют-
ся ядра нового типа. Это может быть ядерный синтез, когда слияние
ядер более легких элементов приводит к образованию ядер более тяже-
лого элемента (например, два ядра тяжелого водорода дают, с потерей
массы и выделением энергии, ядро гелия); это может быть распад ядра
и образование ядра (ядер) более легких элементов. В частности, такой
распад происходит примерно в половине случаев столкновения нейтро-
на с ядром урана U235. При делении ядра урана образуется 2-3 новых
нейтрона, которые могут участвовать в дальнейшем взаимодействии
с ядрами, вызывая их деление и тем самым размножение нейтронов.
Ядерная реакция такого типа называется цепной реакцией.
Опишем принципиальную математическую модель цепной реакции
в некотором радиоактивном веществе и получим закон изменения ко-
личества N(t) нейтронов в зависимости от времени.
Возьмем вещество в виде шара радиуса г. Если г не слишком мало,
то за малый промежуток времени h, отсчитываемый от момента t, с
одной стороны, произойдет рождение новых нейтронов в количестве,
пропорциональном h и N(t), а с другой — потеря части нейтронов за
счет их выхода за пределы шара.
Если v — скорость нейтрона, то за время h покинуть шар могут
только те из них, которые удалены от границы не более чем на рас-
стояние vh, да и то если их скорость направлена примерно по радиусу.
Считая, что такие нейтроны составляют неизменную долю от попав-
ших в рассматриваемую зону и что нейтроны в шаре распределены
примерно равномерно, можно сказать, что количество теряемых за вре-
мя h нейтронов пропорционально N(t) и отношению объема указанной
приграничной области к объему шара.
Сказанное приводит к равенству
N(t + Л) - AT(t) « aN(t)h - —N(t)h (11)
Г
(ибо объем рассматриваемой зоны равен примерно 4тгг2и/г, а объем ша-
ра l71"7"3)- Коэффициенты а и /3 зависят только от рассматриваемого
радиоактивного вещества.
342
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Из соотношения (11) после деления на h и перехода к пределу при
h —> 0 получаем /
N'(t) = а- ) N(t), (12)
\ г /
откуда
7У(£) = No exp { .
Из полученной формулы видно, что при (а — >0 количество
нейтронов будет экспоненциально во времени расти. Характер этого
роста, независимо от начального условия No, таков, что за очень ко-
роткое время происходит практически полный распад вещества с вы-
делением колоссальной энергии — это и есть взрыв.
Если (а — < 0, то очень скоро реакция прекращается ввиду того,
что теряется больше нейтронов, чем рождается.
Если же выполнено пограничное между рассмотренными случаями
условие а — = 0, то устанавливается равновесие между рождением
нейтронов и их выходом из реакции, в результате чего их количество
остается примерно постоянным.
Величина г, при которой а — = 0, называется критическим ради-
усом, а масса вещества в шаре такого объема называется критической
массой вещества.
Для урана U235 критический радиус равен примерно 8,5 см, а кри-
тическая масса около 50 кг.
В котлах, где подогрев пара происходит за счет цепной реакции
в радиоактивном веществе, имеется искусственный источник нейтро-
нов, который доставляет в делящуюся массу определенное количество п
нейтронов в единицу времени. Таким образом, для атомного реактора
уравнение (12) немного видоизменяется:
N\t) = (а - - ) N(t) + п. (13)
\ г 7
Это уравнение решается тем же приемом, что и уравнение (12), ибо
(a-/?3(t) + " еСТЬ пРоизводная Функции In [(а - f ) N(<)+п],
если а — 0. Следовательно, решение уравнения (13) имеет вид
W) =
Noe^lT}t
No + nt
n L _ e(a-^/r)t
a — /З/r L
при a - f 0,
при a — £ — 0.
§ 6. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ 343
Из этого решения видно, что если а — > 0 (сверхкритическая мас-
са), то произойдет взрыв. Если же масса докритическая, т. е. а — < О,
то очень скоро будем иметь
Таким образом, если поддерживать массу радиоактивного вещества
в докритическом состоянии, но близком к критическому, то независимо
от мощности дополнительного источника нейтронов, т. е. независимо
от величины п, можно получить большие значения N(t), а значит, и
большую мощность реактора. Удерживание процесса в прикритической
зоне — дело деликатное и осуществляется довольно сложной системой
автоматического регулирования.
4. Падение тел в атмосфере. Сейчас нас будет интересовать
скорость v(t) тела, падающего на Землю под действием силы тяжести.
Если бы не было сопротивления воздуха, то при падении с относи-
тельно небольших высот имело бы место соотношение
u(i) = д, (14)
вытекающее из второго закона Ньютона та = F и закона всемирного
тяготения, в силу которого при h R (R — радиус Земли)
Мт „Мт
= G(R + h(ty? ~ ~ 9™”
Движущееся в атмосфере тело испытывает сопротивление, завися-
щее от скорости движения, в результате чего скорость свободного па-
дения тяжелого тела в атмосфере не растет неограниченно, а уста-
навливается на некотором уровне. Например, при затяжном прыжке
скорость парашютиста в нижних слоях атмосферы устанавливается в
пределах 50 - 60 м/с.
Для диапазона скоростей от 0 до 80 м/с будем считать силу сопро-
тивления пропорциональной скорости тела. Коэффициент пропорцио-
нальности, разумеется, зависит от формы тела, которую в одних слу-
чаях стремятся сделать хорошо обтекаемой (бомба), а в других случа-
ях (парашют) имеют прямо противоположную цель. Приравнивая дей-
ствующие на тело силы, приходим к следующему уравнению, которому
344
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
должна удовлетворять скорость тела, падающего в атмосфере:
mv(t) = mg — av. (15)
Разделив это уравнение на т и обозначив через (3, окончательно
получаем
v(i) = -f3v + д. (13')
Мы пришли к уравнению, которое только обозначениями отличает-
ся от уравнения (13). Заметим, что если положить —/3v(i) + д = f(t),
то, поскольку /'(f) = —/?«'(£), из (13') можно получить равносильное
уравнение
/'(f) = -/W),
которое с точностью до обозначений совпадает с уравнением (8) или
уравнением (10). Таким образом, мы вновь пришли к уравнению, реше-
нием которого является экспоненциальная функция
/(i) = /(0)e-^.
Отсюда следует, что решение уравнения (13') имеет вид
v(i) = + (vo ~ е~^,
а решение основного уравнения (15) имеет вид
v(t) = —д + (у0 - —д') е~^а/т^, (16)
где vq = v(0)—начальная вертикальная скорость тела.
Из (16) видно, что при а > 0 падающее в атмосфере тело выходит
на стационарный режим движения, причем v(t) « ^д. Таким образом,
в отличие от падения в безвоздушном пространстве, скорость падения
в атмосфере зависит не только от формы тела, но и от его массы. При
а —> 0 правая часть равенства (16) стремится к vo + gt, т. е. к решению
уравнения (14), получающегося из (15) при а = 0.
Используя формулу (16), можно составить представление о том, как
быстро происходит выход на предельную скорость падения в атмо-
сфере.
Например, если парашют рассчитан на то, что человек средней ком-
плекции приземляется при раскрытом парашюте со скоростью поряд-
ка 10 м/с, то, раскрыв парашют после затяжного свободного падения,
§6. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
345
когда скорость падения составляет примерно 50 м/с, он уже через 3 се-
кунды будет иметь скорость около 12 м/с.
Действительно, из приведенных данных и соотношения (16) находим
« 10, кз 1, «о = 50 м/с, поэтому соотношение (16) приобретает
вид
v(t) = 10 + 40e-t.
Поскольку е3 кз 20, то при t = 3 получим v кз 12 м/с.
5. Еще раз о числе е и функции ехр х. На примерах мы убеди-
лись (см. также задачи 3, 4 в конце параграфа), что целый ряд явлений
природы описывается с математической точки зрения одним и тем же
дифференциальным уравнением
/'(ж) = af(x), (17)
решение которого f(x) однозначно определяется, если указано «началь-
ное условие» /(0). Тогда
f(x) = f(0)eax.
Число е и функцию ех = ехр х мы в свое время ввели довольно фор-
мально, сославшись на то, что это действительно важное число и дей-
ствительно важная функция. Теперь нам ясно, что даже если бы мы не
вводили раньше эту функцию, то ее, несомненно, пришлось бы ввести
как решение важного, хотя и очень простого уравнения (17). Точнее,
достаточно было бы ввести функцию, являющуюся решением уравне-
ния (17) при некотором конкретном значении а, например при а = 1,
ибо общее уравнение (17) приводится к этому случаю после перехода к
новой переменной t, связанной с х соотношением х = (а / 0).
Действительно, тогда
//\ df(x} dFtf)
/«=/(-) =
v 7 ж
и вместо уравнения f'(x) — af(x) имеем теперь aF'(t) = aF(t), или
F'(t) = F(t).
Итак, рассмотрим уравнение
f'W = f(x) (18)
и обозначим через ехр ж то его решение, для которого /(0) = 1.
346
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Прикинем, согласуется ли это определение с прежним определением
функции ехр х.
Попробуем вычислить значение /(ж), исходя из того, что /(0) = 1
и / удовлетворяет уравнению (18). Поскольку f — дифференцируемая
функция, то / непрерывна, но тогда в силу (18) непрерывна и функ-
ция f'(x). Более того, из (18) следует, что f имеет также вторую про-
изводную f"(x) = f'(x), и вообще из (18) следует, что / — бесконечно
дифференцируемая функция. Так как скорость f(x) изменения функ-
ции f(x) непрерывна, то на малом промежутке h изменения аргумента
функция f меняется мало, поэтому f(xo + h) = f(xo) + f'(£)h кз /(жо) +
+/'(жо)/1. Воспользуемся этой приближенной формулой и пройдем отре-
зок от 0 до х с малым шагом h = £, где п Е N. Если а?о = 0, Xk+i = xk+h,
то мы будем иметь
f(xk+1) кз f(xk) +f'(xk)h.
Учитывая (18) и условие /(0) = 1, имеем
f(x) = /(жп) кз /(жп_1) + /'(жп-1)/г =
= /(жп-1)(1 + h) кз (/(жп_2) + /'(жп_2)/г)(1 + /г) =
= /(Жп_2)(1 + /г)2 «... « f(x0)(1 + h)n =
= /(0)(1+/г)п= (1 + -Г.
\ П/
Представляется естественным (и это можно доказать), что чем мельче
шаг h = тем точнее приближенная формула /(ж)кз(1 + ^) .
Таким образом, мы приходим к тому, что
/(ж) = lim (1 + .
п—>оо \ 77,/
(1 \ п
1 + ) обозначить через е
и показать, что е / 1, то получаем, что
f(x) = lim fl + —) = lim (1 + t)x^ = lim [(1 +1)1^] = ex, (19)
n—>oo \ nJ t—>0 t—>0 L4 J
ибо мы знаем, что иа -> va, если и -> v.
Метод численного решения дифференциального уравнения (18), поз-
воливший нам получить формулу (19), был предложен еще Эйлером
§6. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
347
и называется методом ломаных
Эйлера. Такое название связано
с тем, что проведенные выклад-
ки геометрически означают за-
мену решения f(x), точнее, его
графика, некоторой аппрокси-
мирующей график ломаной, зве-
нья которой на соответству-
ющих участках [ж*,, a^+i] (к =
= 0,..., п — 1) задаются уравне-
ниями у = f(xk) + f'(xk)(x - хк)
(рис. 46).
Нам встречалось также оп-
ое
ределение функции ехрж как суммы степенного ряда ^2 К не-
п=0 П-
му тоже можно прийти из уравнения (18), если воспользоваться следу-
ющим часто применяемым приемом, называемым методом неопреде-
ленных коэффициентов. Будем искать решение уравнения (18) в виде
суммы степенного ряда
f(x) = со + cix + ... + СпХп + ..., (20)
коэффициенты которого подлежат определению.
Как мы видели (см. § 5, теорема 1), из (20) следует, что сп = .
Но в силу (18) /(0) = /'(0) = • • • = /(п\0) = ... и, поскольку /(0) = 1,
имеем Сп = т. е. если решение имеет вид (20) и /(0) = 1, то обяза-
тельно
f(x) = 1 + + 1ж2 + ... + + ...
Можно было бы независимо проверить, что функция, определяемая
этим рядом, действительно дифференцируема (и не только при х = 0) и
что она удовлетворяет уравнению (18) и начальному условию /(0) = 1.
Однако мы не будем на этом останавливаться, ибо наша цель состояла
только в том, чтобы понять, согласуется ли введение экспоненциальной
функции как решения уравнения (18) при начальном условии /(0) = 1
с тем, что мы раньше подразумевали под функцией ехр х.
Заметим, что уравнение (18) можно было бы рассматривать в ком-
плексной области, т. е. считать х произвольным комплексным числом.
348
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
При этом все проведенные рассуждения останутся в силе, быть может,
только частично потеряется геометрическая наглядность метода Эй-
лера.
Таким образом, естественно ожидать, что функция
z . 1 1 2 in
е 1 + Йг+2!г +- + ^Z +'"
является и притом единственным решением уравнения
/'(*) = Ж,
удовлетворяющим условию /(0) = 1.
6. Колебания. Если тело, подвешенное на пружине, отклонить от
положения равновесия, например, приподняв, а затем отпустив его, то
оно будет совершать колебания около положения равновесия. Опишем
этот процесс в общем виде.
Пусть известно, что на материальную точку массы т, способную
перемещаться вдоль числовой оси Ох, действует сила F = — кх, про-
порциональная1) отклонению точки от начала координат. Пусть нам
известны также начальное положение а?о = ж(0) нашей точки и ее на-
чальная скорость «о = ж(0). Требуется найти зависимость х = х{1)
положения точки от времени.
В силу закона Ньютона, эту задачу можно переписать в следующем
чисто математическом виде: решить уравнение
mx(t) — —kx(t) (21)
при начальных условиях жо = ж(0), i(0) = vq.
Перепишем уравнение (21) в виде
ь
x(t) + —x(t) = 0 (22)
т
и попробуем вновь воспользоваться экспонентой, а именно попробуем
подобрать число Л так, чтобы функция x(t) = еЛ( удовлетворяла урав-
нению (22).
случае пружины коэффициент к > 0, характеризующий ее жесткость, назы-
вают коэффициентом жесткости пружины.
§ 6. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
349
Подставляя x(t) = ем в (22), получаем
или
А 2
А2 + —
т
(23)
т. е. А1 = —у -уй, Аг = у - Д. Поскольку т > 0, то при к > 0 мы имеем
два чисто мнимых числа: Ai = и Аг = *УД- На это мы не
рассчитывали, но тем не менее продолжим рассмотрение. По формуле
Эйлера
е = cosy/±t-isiny/±t,
eiy/k/^t = cos t + i sin yrt
Поскольку при дифференцировании по действительному времени t про-
исходит отдельно дифференцирование действительной и мнимой ча-
стей функции eAt, то уравнению (22) должны удовлетворять порознь и
функция cos 1, и функция sin УД t. И это действительно так, в чем
легко убедиться прямой проверкой. Итак, комплексная экспонента по-
могла нам угадать два решения уравнения (22), линейная комбинация
которых
x(t) = Ci cos
y/Ai + c2siny/Ai,
(24)
очевидно, также является решением уравнения (22).
Коэффициенты ci, с2 в (24) подберем из условий
ж0 = я(0) = ci,
= С2^/Д-
Таким образом, функция
x(t) = Xq COS
УД * + VO sin у/д i
(25)
является искомым решением.
350
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Делая стандартные преобразования, (25) можно переписать в виде
x(t) = Jxl + VoTsin
(26)
где
а = arcsin—=.
Таким образом, при к > 0 точка будет совершать периодические
колебания с периодом Т = 2тг^/^, т.е. с частотой у = и ам-
плитудой + Мы утверждаем это потому, что из физических
соображений ясно, что решение (25) поставленной задачи единственно.
(См. задачу 5 в конце параграфа.)
Движение, описываемое функцией (26), называют простыми гармо-
ническими колебаниями, а уравнение (22) — уравнением гармонических
колебаний.
Вернемся теперь к случаю, когда в уравнении (23) к < 0. Тогда две
функции eAlt
= ехр *)>
gA2t = ехр будуТ
веществен-
ными решениями уравнения (22) и функция
ж(£) = cieAlt + С2еА2<
(27)
также будет решением. Постоянные ci и с? подберем из условий
ж0 = ж(0) = ci +с2,
v0 - ж(0) = ciAi + с2А2.
Полученная система всегда однозначно разрешима, ибо ее опреде-
литель Л2 — Ai / 0.
Поскольку числа Ai и А2 противоположного знака, то из (27) видно,
что при к < 0 сила F = — кх не только не стремится вернуть точку в
положение равновесия х = 0, но со временем неограниченно уводит ее
от этого положения, если xq или vq отлично от нуля. То есть в этом
случае х = 0 — точка неустойчивого равновесия.
В заключение рассмотрим одну вполне естественную модификацию
уравнения (21), на которой еще ярче видна польза показательной функ-
ции и формулы Эйлера, связывающей основные элементарные функции.
§6. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
351
Предположим, что рассматриваемая нами частица движется в сре-
де (воздухе или жидкости), сопротивлением которой пренебречь нельзя.
Пусть сила сопротивления среды пропорциональна скорости точки. То-
гда вместо уравнения (21) мы должны написать уравнение
mx(t) = —ax(t) — kx(t),
которое перепишем в виде
(28)
x(t) + —-i(t) + — x(t) = 0.
m m
Если вновь искать решение в виде x(t) = е^, то мы придем к ква-
дратному уравнению
лг + £л+* =о,
т т
корни которого Л1.2 = ± Vq22^—•
Случай, когда a2 —4mA > 0, приводит к двум вещественным корням
А1, Аг, и решение может быть найдено в виде (27).
Мы рассмотрим подробнее более интересный для нас случай, ко-
гда a2 — 4mA < 0. Тогда оба корня Ai, Аг комплексные (но не чисто
мнимые!):
_ a . у/4mk — a2
1 2m 1 2m ’
. a . 4mk — a2
A 2 = — о-1"г-----о-----•
2m 2m
Формула Эйлера в этом случае дает
eAlt = exp (cosa>t — г sin art),
eA2t _ eXp /_ (cos art + г sin art),
\ 2m /
где ш = Таким образом, мы находим два вещественных
решения ехр ( — cos art, exp (— тр-t) sin art уравнения (28), угадать
которые было бы уже довольно трудно. Затем ищем решение исходной
задачи в виде их линейной комбинации
— -—t) (ci cos art + С2 sin art),
2m /
(29)
352
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
подбирая ci и С2 так, чтобы удовлетворить начальным условиям ж(0) =
= х0, i(0) = до-
получающаяся при этом система уравнений, как можно проверить,
всегда однозначно разрешима. Таким образом, после преобразований
из (29) получаем решение задачи в виде
(Q \
— -—t) sin(urt + а),
2т /
где А и а — константы, определяемые начальными условиями.
Из этой формулы видно, что благодаря множителю ехр
где а > 0, т > 0, в рассматриваемом случае колебания будут зату-
хающими, причем скорость затухания амплитуды зависит от отноше-
1 1 П V
ния Частота колебаний \ меняться во времени
т 2тг 2тг у т \ 2т)
не будет. Величина ш тоже зависит только от отношений Д, что,
впрочем, можно было предвидеть на основании записи (28) исходного
уравнения. При а = 0 мы вновь возвращаемся к незатухающим гармо-
ническим колебаниям (26) и уравнению (22).
Задачи и упражнения
1. Коэффициент полезного действия реактивного движения.
а) Пусть Q—химическая энергия единицы массы топлива ракеты, ш —
скорость истечения топлива. Тогда ^ш2 есть кинетическая энергия выбро-
шенной единицы массы топлива. Коэффициент а в равенстве |w2 = aQ есть
коэффициент полезного действия процессов горения и истечения топлива. Для
твердого топлива (бездымный порох) = 2 км/с, Q — 1000 ккал/кг, а для жид-
кого (бензин с кислородом) ш = 3 км/с, Q = 2500 ккал/кг. Определите в этих
случаях коэффициент а.
Ь) Коэффициент полезного действия (к. п. д.) ракеты определяется как от-
О
и о у* м
ношение ее конечной кинетической энергии тк к химической энергии его-
ревшего топлива тт<9- Пользуясь формулой (4), получите формулу для к. п. д.
ракеты через тк, пгт, <9 и а (см. а)).
с) Оцените к. п. д. автомобиля с жидкостным реактивным двигателем, если
автомобиль разгоняется до установленной в городе скорости 60 км/час.
d) Оцените к. п. д. ракеты на жидком топливе, выводящей спутник на низ-
кую околоземную орбиту.
е) Оцените, для какой конечной скорости реактивное движение на жидком
топливе имеет наибольший к. п. д.
§6. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
353
f) Укажите, при каком отношении масс тт/тк топлива и корпуса к. п. д.
ракеты с любым видом топлива становится максимально возможным.
2. Барометрическая формула.
а) Используя данные п. 2 настоящего параграфа, получите формулу по-
правочного члена для учета зависимости давления от температуры столба
воздуха, если эта температура подвержена изменениям (например, сезонным)
в пределах ±40 °C.
Ь) Найдите по формуле (9) зависимость давления от высоты при темпера-
турах —40 °C, 0 °C, 40 °C и сравните эти результаты с результатами, которые
дает ваша приближенная формула из а).
с) Пусть температура воздуха в столбе меняется с высотой по закону
T'(h) = — аТо, где То—температура воздуха на поверхности Земли, а а «
и 7 • 10-7см-1. Выведите при этих условиях формулу зависимости давления
от высоты.
d) Найдите давление в шахте на глубинах 1км, Зкм, 9 км по формуле (9)
и по формуле, которую вы получили в с).
е) Воздух независимо от высоты примерно на 1 /5 часть состоит из кисло-
рода. Парциальное давление кислорода составляет также примерно 1 /5 часть
давления воздуха. Определенный вид рыб может жить при парциальном да-
влении кислорода не ниже 0,15 атмосфер. Можно ли ожидать, что этот вид
встретится в реке на уровне моря? Может ли он встретиться в речке, впада-
ющей в озеро Титикака на высоте 3,81 км?
3. Радиоактивный распад.
а) Измеряя количество радиоактивного вещества и продуктов его распада
в пробах пород Земли и считая, что сначала продукта распада вообще не бы-
ло, можно примерно оценить возраст Земли (во всяком случае, с того момента,
когда это вещество уже возникло). Пусть в породе имеется т г радиоактивно-
го вещества и г г продукта его распада. Зная период Т полураспада вещества,
найдите время, прошедшее с момента начала распада, и количество радиоак-
тивного вещества в пробе того же объема в начальный момент.
Ь) Атомы радия в породе составляют примерно 10~12 часть всех атомов.
Каково было содержания радия 105, 106 и 5 • 109 лет тому назад? (5 • 109 лет
ориентировочно считается возрастом Земли.)
с) В диагностике заболеваний почек часто определяют способность по-
чек выводить из крови различные специально вводимые в организм веще-
ства, например креатин («клиренс тест»). Примером, иллюстрирующим обрат-
ный процесс того же типа, может служить восстановление концентрации ге-
моглобина в крови у донора или у больного, внезапно потерявшего много
крови. Во всех этих случаях уменьшение количества введенного вещества
(или, наоборот, восстановление недостающего количества) подчиняется за-
кону N = 1Уое~*/т, где N — количество (или, иными словами, число молекул)
вещества, еще оставшегося в организме по прошествии времени t после введе-
ния количества No, а т—так называемая постоянная времени: это время, по
354
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
прошествии которого в организме остается 1/е часть первоначально введенно-
го количества вещества. Постоянная времени, как легко проверить, в 1,44 раза
больше времени полужизни (или времени полураспада), по истечении которо-
го в организме остается половина первоначального количества вещества.
Пусть радиоактивное вещество выводится из организма со скоростью, ха-
рактеризуемой постоянной времени то, и в то же время спонтанно распадается
с постоянной времени тр. Покажите, что в этом случае постоянная временит,
характеризующая длительность сохранения вещества в организме, определя-
ется из соотношения г-1 — г^1 + г”1.
d) У донора было взято некоторое количество крови, содержащее 201мг
железа; для того чтобы компенсировать потерю железа, ему было велено при-
нимать трижды в день в течение недели таблетки сернокислого железа, со-
держащие каждая 67 мг железа. Количество железа в крови донора восста-
навливается до нормы по экспоненциальному закону с постоянной времени,
равной примерно семи суткам. Полагая, что с наибольшей скоростью желе-
зо из таблеток включается в кровь сразу же после взятия крови, опреде-
лите, какая примерно часть железа, содержащегося в таблетках, включит-
ся в кровь за все время восстановления нормального содержания железа в
крови.
е) Больному со злокачественной опухолью было введено с диагностиче-
скими целями некоторое количество радиоактивного фосфора Р32, после че-
го через равные промежутки времени измерялась радиоактивность кожи бе-
дра. Уменьшение радиоактивности подчинялось экспоненциальному закону.
Так как период полураспада фосфора известен — он составляет 14,3 суток,—
по полученным данным можно было определить постоянную времени процес-
са уменьшения радиоактивности за счет биологических причин. Найдите эту
постоянную, если наблюдениями установлено, что постоянная времени про-
цесса уменьшения радиоактивности в целом составляет 9,4 суток (см. выше
задачу с)).
4. Поглощение излучения.
Прохождение излучения через среду сопровождается частичным поглоще-
нием излучения этой средой. Во многих случаях (линейная теория) можно счи-
тать, что, проходя через слой толщиной 2 единицы, излучение ослабляется
так же, как при последовательном прохождении через два слоя толщиной 1
каждый.
а) Покажите, что при указанном условии поглощение излучения подчиня-
ется закону I = Ioe~kl, где Iq — интенсивность излучения, падающего на по-
глощающее вещество, I — интенсивность после прохождения слоя толщиной I,
а к — коэффициент, имеющий размерность, обратную размерности длины.
Ь) Коэффициент к в случае поглощения света водой в зависимости от дли-
ны волны падающего света, например, таков: ультрафиолет, к = 1,4-10-2см-1;
синий, к = 4,6-1(Г4 см-1; зеленый, & = 4,4-10-4см-1; красный, fc = 2,9 10-3 см-1.
Солнечный свет падает вертикально на поверхность чистого озера глуби-
§6. ПРИМЕРЫ ПРИЛОЖЕНИЙ В ЗАДАЧАХ ЕСТЕСТВОЗНАНИЯ
355
ной 10 м. Сравните интенсивности каждой из перечисленных выше компонент
солнечного света над поверхностью озера и на дне.
5. Покажите, что если закон движения точки х = x(t) удовлетворяет урав-
нению тх + кх = 0 гармонических колебаний, то
а) величина Е = постоянна (Е = К + U — сумма кинетиче-
ской К = и потенциальной U = кх^ энергий точки в момент i);
b) если ят(О) = 0 и ж(0) = 0, то x(t) = 0;
с) существует и притом единственное движение х = x(t) с начальными
условиями ж(0) = жо и ж(0) = Do-
ti) Проверьте, что если точка движется в среде с трением и х = x(t) удо-
влетворяет уравнению тх+ах+кх = 0, а > 0, то величина Е (см. а)) убывает.
Найдите скорость этого убывания и объясните физический смысл полученно-
го результата, учитывая физический смысл величины Е.
6. Движение под действием гуковской1^ центральной силы (плоский ос-
циллятор).
В развитие рассмотренного в п. 6 и задаче 5 уравнения (21) линейного ос-
циллятора рассмотрим уравнение mr(£) = — kr(t), которому удовлетворяет
радиус-вектор r(t) точки массы т, движущейся в пространстве под действи-
ем притягивающей центральной силы, пропорциональной (с коэффициентом
пропорциональности к > 0) расстоянию |r(i)| от центра. Такая сила возни-
кает, если точка соединена с центром гуковской упругой связью, например
пружиной с коэффициентом жесткости к.
а) Продифференцировав векторное произведение r(i) х r(t), покажите,
что все движение будет происходить в плоскости, проходящей через центр и
содержащей векторы го = r(to), Го = ^(^о) начального положения и начальной
скорости точки (плоский осциллятор). Если векторы го = г(£о), т'о = r(io)
коллинеарны, то движение будет происходить на прямой, содержащей центр
и вектор Го (линейный осциллятор, рассмотренный в п. 6).
Ь) Проверьте, что орбитой плоского осциллятора является эллипс и дви-
жение по нему периодично. Найдите период обращения.
с) Покажите, что величина Е = mr2(t) + kr2(t) сохраняется во времени.
d) Покажите, что начальные данные го = г(to), го = r(to) вполне опреде-
ляют дальнейшее движение точки.
7. Эллиптичность планетных орбит.
Предыдущая задача позволяет рассматривать движение точки под дей-
ствием центральной гуковской силы происходящим в плоскости. Пусть это
^Р. Гук (1635-1703)—английский естествоиспытатель, разносторонний ученый
и экспериментатор. Открыл клеточное строение тканей и ввел сам термин «клет-
ка». Стоял у истоков математической теории упругости и волновой теории света,
высказал гипотезу тяготения и закон обратных квадратов для гравитационного вза-
имодействия.
356
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
плоскость комплексной переменной z = х + гу. Движение определяется двумя
вещественными функциями х = x(t), у = y(t) или, что то же самое, одной
комплекснозначной функцией z — z(t) времени t. Полагая для простоты в за-
даче 6 т = 1, к = 1, рассмотрим простейший вид уравнения такого движения
z(t) = -z(f).
а) Зная из задачи 6, что решение этого уравнения, отвечающее конкрет-
ным начальным данным zq = ^(to), zo = z{to), единственно, найдите его в
виде z(t) = Cielt + Сге-** и, используя формулу Эйлера, проверьте еще раз,
что траекторией движения является эллипс с центром в нуле (в определенных
случаях он может превратиться в окружность или выродиться в отрезок—
выясните когда).
Ь) Учитывая, что величина |i(i)|2 + |z(£)|2 не меняется в процессе движе-
ния точки z(t), подчиненного уравнению z(t) = — z(t), проверьте, что точка
w(t) = z2(t) по отношению к новому параметру (времени) т, связанному с t со-
отношением т = т(£) таким, что = |z(£)|2, движется при этом, подчиняясь
уравнению = — срдз, гДе с — постоянная, a w = w(i(r)). Таким образом,
движения в центральном поле гуковских сил и движения в ньютоновском гра-
витационном поле оказались взаимосвязаны.
с) Сопоставьте это с результатом задачи 8 из § 5 и докажите теперь элли-
птичность планетных орбит.
d) Если вам доступен компьютер, то, взглянув еще раз на изложенный в
п. 5 метод ломаных Эйлера, для начала подсчитайте этим методом несколь-
ко значений ех. (Заметьте, что кроме определения дифференциала, точнее,
формулы f(xn) « /(ж„_1) + /'(a;„_i)7i, где h = хп — ж„_1, метод ничего не
использует.)
Пусть теперь r(t) = (®(t), y(t\), г0 = г(0) = (1,0), Го = г(0) = (0,1) и
r(i) =
Опираясь на формулы
|r(t)l3'
r(t„) « r(t„_i) + «(i„_i)7i,
v(tn) « + a(t„_i)ft,
где v(t) = r(t), a(t) = v(i) = r(i), методом Эйлера рассчитайте траекторию
движения точки, посмотрите, какой она формы и как она проходится точкой
с течением времени.
§ 7. Первообразная
В дифференциальном исчислении, как мы убедились на примерах
предыдущего параграфа, наряду с умением дифференцировать функ-
ции и записывать соотношения между их производными весьма цен-
ным является умение находить функции по соотношениям, которым
§ 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ
357
удовлетворяют их производные. Простейшей, но, как будет видно из
дальнейшего, весьма важной задачей такого типа является вопрос об
отыскании функции F(x) по известной ее производной F'(x) = f(x).
Начальному обсуждению этого вопроса и посвящен настоящий пара-
граф.
1. Первообразная и неопределенный интеграл
Определение 1. Функция F(x) называется первообразной функ-
цией или первообразной по отношению к функции /(ж) на некотором
промежутке, если на этом промежутке функция F дифференцируема и
удовлетворяет уравнению F'(x) = /(ж) или, что то же самое, соотно-
шению dF(x) = f(x) dx.
Пример 1. Функция F(F) = arctg ж является первообразной для
/(ж) = ——у на всей числовой прямой, поскольку arctg'a; = ——
1+ж 1+ж
Пример 2. Функция F(x) = arcctg - является первообразной для
функции /(ж) = —х* как на промежутке всех положительных чисел,
1+ж
так и на полуоси отрицательных чисел, ибо при х О
F'(x) =-----• (-4Л = —= /(ж).
1 + (1) V х ' 1 + х
Как обстоит дело с существованием первообразной и каково мно-
жество первообразных данной функции?
В интегральном исчислении будет доказан фундаментальный факт
о том, что любая непрерывная на промежутке функция имеет на этом
промежутке первообразную.
Мы приводим этот факт для информации читателя, а в этом пара-
графе используется, по существу, лишь следующая, уже известная нам
(см. гл. V, § 3, п. 1) характеристика множества первообразных данной
функции на числовом промежутке, полученная из теоремы Лагранжа.
Утверждение 1. Если F[(x) и —две первообразные функ-
ции f(x) на одном и том же промежутке, то их разность Fi(x) —Рг(ж)
постоянна на этом промежутке.
Условие, что сравнение Fi и F% ведется на связном промежутке,
как отмечалось при доказательстве этого утверждения, весьма суще-
ственно. Это можно заметить также из сопоставления примеров 1 и 2,
358
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
в которых производные функций Fi(a;) = arctgrr и = arcctg |
совпадают в области R \ 0 их совместного определения. Однако
F(x) — F2(x) = arctgz — arcctg - = arctgrr — arctgz = 0,
x
если x > 0, в то время как F\(х) — F^x) = —тг при х < 0, ибо при х < О
имеем arcctg = л + arctgrr.
Как и операция взятия дифференциала, имеющая свое название
«дифференцирование» и свой математический символ dF(x) = F'^dx,
операция перехода к первообразной имеет свое название «неопределен-
ное интегрирование» и свой математический символ
/(ж)б?ж, (1)
называемый неопределенным интегралом от функции f(x) на заданном
промежутке.
Таким образом, символ (1) мы будем понимать как обозначение лю-
бой из первообразных функции / на рассматриваемом промежутке.
В символе (1) знак J называется знаком неопределенного интеграла,
f — подынтегральная функция, a f(x)dx — подынтегральное выраже-
ние.
Из утверждения 1 следует, что если F(x) — какая-то конкретная
первообразная функции /(ж) на промежутке, то на этом промежутке
/(ж) dx = F(x) + С, (2)
т.е. любая другая первообразная может быть получена из конкрет-
ной F(x) добавлением некоторой постоянной.
Если F'(x) = /(х), т.е. F — первообразная для f на некотором про-
межутке, то из (2) имеем
d I f(x) dx = dF(x) = F^x) dx = f(x) dx.
(3)
Кроме того, в соответствии с понятием неопределенного интеграла
как любой из первообразных, из (2) следует также, что
JdF(x) = J F'(x)dx = F(x) + C.
(4)
§ 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ
359
Формулы (3) и (4) устанавливают взаимность операций дифферен-
цирования и неопределенного интегрирования. Эти операции взаимно
обратны с точностью до появляющейся в формуле (4) неопределенной
постоянной С.
До сих пор мы обсуждали лишь математическую природу посто-
янной С в формуле (2). Укажем теперь ее физический смысл на про-
стейшем примере. Пусть точка движется по прямой так, что ее ско-
рость v(t) известна как функция времени (например, v(t) = г). Если
a;(t)—координата точки в момент t, то функция x(t) удовлетворяет
уравнению 5(t) = v(t), т.е. является первообразной для v(t). Можно ли
по скорости v(t) в каком-то интервале времени восстановить положение
точки на оси? Ясно, что нет. По скорости и промежутку времени можно
определить величину пройденного за это время пути s, но не положе-
ние на оси. Однако это положение также будет полностью определено,
если указать его хотя бы в какой-то момент, например при t = 0, т. е.
задать начальное условие ж(0) = xq. До задания начального условия за-
кон движения x(t) мог быть любым среди законов вида x(t) = 5(t) + с,
где 5(t)—любая конкретная первообразная функции v(t), а с — произ-
вольная постоянная. Но после задания начального условия х(0) = Жо вся
неопределенность исчезает, ибо мы должны иметь ж(0) — 5(0) +с = Жо,
т.е. с = хо — 5(0), и x(t) = Xq + [5(t) — 5(0)]. Последняя формула вполне
физична, поскольку произвольная первообразная 5 участвует в форму-
ле только в виде разности, определяя пройденный путь или величину
смещения от известной начальной метки х(0) = Xq-
2. Основные общие приемы отыскания первообразной. В со-
ответствии с определением символа (1) неопределенного интеграла, он
обозначает функцию, производная которой равна подынтегральной
функции. Исходя из этого определения, с учетом соотношения (2) и
законов дифференцирования можно утверждать, что справедливы сле-
дующие соотношения:
а. у*(аи(х) + /Зг(ж)) dx = а u(x)dx + /3 v(x)dx + c. (5)
b. У (uv)'(x) dx — У u'(x)v(x)dx + f u(x)v'(ж) dx + с. (6)
с. Если на некотором промежутке 1Х
dx = Е(ж) + с,
360
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
а (р: It —> lx —гладкое (тп. е. непрерывно дифференцируемое) отобра-
жение промежутка It в 1Х, то
(fo<p)(t)<p'(t)dt = (Fo<p)(t)+c. (7)
Равенства (5), (6), (7) проверяются прямым дифференцированием
их левой и правой частей с использованием в (5) линейности диффе-
ренцирования, в (6) правила дифференцирования произведения и в (7)
правила дифференцирования композиции функций.
Подобно правилам дифференцирования, позволяющим дифференци-
ровать линейные комбинации, произведения и композиции уже извест-
ных функций, соотношения (5), (6), (7), как мы увидим, позволяют в
ряде случаев сводить отыскание первообразной данной функции либо к
построению первообразных более простых функций, либо вообще к уже
известным первообразным. Набор таких известных первообразных мо-
жет составить, например, следующая краткая таблица неопределенных
интегралов, полученная переписыванием таблицы производных основ-
ных элементарных функций (см. §2, п. 3):
У ха dx = —^-ужа+1 + с (“/!)>
= In |ж| + с,
-i-a^ + c
Ina
— COS X + с,
cos х dx = sin x + c,
—^5— dx = tg x + c,
cosJ x
—dx = — ctg x + c,
sin x
§ 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ
361
/1 f arcsin x + с,
dx = \
— x2 I - arccos x + c,
/1 f arctg x + c,
;----7 dx — \
1 + яг — arcctg x + c,
j shxdx = chx + c,
f chxdx = shx + c,
—dx = th x + c,
ch x
Г 1 J
I —— dx = — cth x + c,
J sh x
/. 5 - dx = in I x + -\/^2 ± 11 + c,
jx>±\ I I
1
я Ц
— dx = - in
1 — xz 2
1 + x
1 — X
+ c.
Каждая из этих формул рассматривается на тех промежутках ве-
щественной оси Ж, на которых определена соответствующая подынте-
гральная функция. Если таких промежутков несколько, то постоянная
с в правой части может меняться от промежутка к промежутку.
Рассмотрим теперь некоторые примеры, показывающие соотноше-
ния (5), (6) и (7) в работе.
Сделаем предварительно следующее общее замечание.
Поскольку, найдя одну какую-нибудь первообразную заданной на
промежутке функции, остальные можно получить добавлением посто-
янных, то условимся для сокращения записи всюду в дальнейшем произ-
вольную постоянную добавлять только к окончательному результату,
представляющему из себя конкретную первообразную данной функции.
а. Линейность неопределенного интеграла. Этот заголовок
должен означать, что в силу соотношения (5) первообразную от ли-
нейной комбинации функций можно искать как линейную комбинацию
первообразных этих функций.
362
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 3.
aix + ... + апхп) dx —
— Яо
01
•п
1 о тт. I 1
= с + аож + -а\х + ... -I-------------апх
2 п + 1
Пример 4.
/> / 1 \ 2
dx =
+ In |ж| + с.
о о
Пример 5.
f cos2 dx =
/ Z
cos ж) dx =
cos ж) dx =
, 1 1 .
cos х dx = -х + - sm х + с.
Л Zi
Ь. Интегрирование по частям. Формулу (6) можно переписать
в виде
или, что то же самое, в виде
с.
(6')
Это означает, что при отыскании первообразной функции u(x)v'(x)
дело можно свести к отысканию первообразной функции v(x)u'(x), пе-
ребросив дифференцирование на другой сомножитель и частично про-
интегрировав функцию, как показано в (6х), выделив при этом член
и(ж)г(ж). Формулу (6х) называют формулой интегрирования по частям.
Пример 6.
/ In х dx = х In х —
х = xlnx —
= х In х —
1 dx = х In х — х + с.
1
2
и
и
с
§ 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ
363
Пример 7.
= х2ех — 2хех + 2ех + с = (х2 — 2х + 2)ех + с.
с. Замена переменной в неопределенном интеграле. Фор-
мула (7) показывает, что при отыскании первообразной функции
(/°9?)(t) • можно поступать следующим образом:
(/°9?)(t)V(t)dt = / /(9?(t))d9?(t) =
/(ж) dx = F(x) + с = + с,
т.е. сначала произвести замену <^(t) = х под знаком интеграла и перей-
ти к новой переменной х, а затем, найдя первообразную как функцию
от х, вернуться к старой переменной t заменой х =
Пример 8.
tdt _ 1 Г d(t2 + 1)1 f dx
1 + t2 = 2 J 1 + t2 =2J 7
| In |ж| + с = | ln(t2 +1) + c.
Zt Li
Пример 9.
dx
sin ж
dx
2 sin cos
tg f COS2 |
du Г d(tgu) _ Г dv
tg и cos2 и J tg u J v
= ln|u| + c = In | tgu| + c = In
Мы рассмотрели несколько примеров, в которых использовались по-
рознь свойства а, Ь, с неопределенного интеграла. На самом деле в боль-
шинстве случаев эти свойства используются совместно.
364
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пример 10.
cos Зж dx =
sin 5х — sin х) dx =
sin 5х dx —
cos ж
1 1 1
- cos х = — — cos x + - cos X + c =
л/ 1U
1 1
--- - cos х-----------cos 5ж + с.
2 10
Пример 11.
arcsin x dx = x arcsin x —
arcsin ж =
= x arcsin x
x л • 3.1 f d(l — x2}
_ dx = x arcsin x + - /
— ж2 J V1 — x2
1
= x arcsin x + -
A
= x arcsina: + u1/2 + c =
= x arcsin x + v^l — ж2 + c.
Пример 12.
cos bxdeax =
= -eax cos
a
eax d cos bx = -eax cos
a
еах sin bx dx =
1 nr
— -e cos bx + -=
a az
,ai _ Igax
a
cos bx + Д-е01 sinte —
a2
a cos bx + b sin bx
smbx =---------5-------
a2
еах
b2 Г ax K ,
/ e cos bx dx.
a2 J
Из полученного равенства заключаем, что
, a cos bx + b sin bx
ea cos bx dx =
а2 + Ь2
еах
К этому результату можно было бы прийти, воспользовавшись фор-
мулой Эйлера и тем обстоятельством, что первообразной функции
§ 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ
365
e(a+ib)x _ &ах cos fo. _|_ jeax sjn является функция
1 (а+г6~)а: _ а ~ ib (a+jb)x _
а + ib а2 + b2
acosbx + bsinbx „„ .asinbx — bcosbx „„
= ------5--75-----e + г------ъ----=----eax.
a2 + b2 a2 + b2
Это полезно иметь в виду и в будущем. При вещественном х это лег-
ко проверить непосредственно, продифференцировав действительную
и мнимую части функции а ^е(а-ЦЬ)а:,
В частности, отсюда получаем также, что
a sin bx — b cos bx „„
e smbxdx =--------5—---------eax + c.
a2 + cr
Уже этот небольшой набор разобранных примеров показывает, что
при отыскании первообразных даже элементарных функций часто при-
ходится прибегать к дополнительным преобразованиям и ухищрениям,
чего совсем не было при отыскании производных композиции тех функ-
ций, производные которых нам были известны. Оказывается, это не
случайная трудность. Например, в отличие от дифференцирования, пе-
реход к первообразной элементарной функции может привести к функ-
ции, которая уже не является композицией элементарных. Поэтому не
следует отождествлять фразу «найти первообразную» с невыполнимым
порой заданием «выразить первообразную данной элементарной функ-
ции через элементарные функции». Вообще, класс элементарных функ-
ций— вещь очень условная. Имеется еще много важных для приложений
специальных функций, которые изучены и затабулированы ничуть не
хуже, чем, скажем, sinx или ех.
Например, интегральный синус Six есть та первообразная f dx
функции , которая стремится к нулю при ж —> 0. Такая первообраз-
ная существует, но, как и любая другая первообразная функции
она не является композицией элементарных функций.
Аналогично, функция
Г cosx
С1ж — / -----dx,
J х
выделяемая условием Ci ж —> 0 при х оо, не является элементарной.
Функция Ci х называется интегральным косинусом.
366
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Первообразная f функции также неэлементарна. Одна из
первообразных этой функции обозначается символом li х и называется
интегральным логарифмом. Она удовлетворяет условию lire —> 0 при
х —У +0. (Подробнее о специальных функциях Six, Ciх, Их будет ска-
зано в гл. VI, § 5.)
Учитывая эти трудности отыскания первообразных, составлены до-
вольно обширные таблицы неопределенных интегралов. Однако, чтобы
успешно ими воспользоваться или чтобы не прибегать к ним, если во-
прос совсем прост, необходимо иметь некоторые навыки обращения с
неопределенными интегралами.
Дальнейшая часть этого параграфа посвящена интегрированию
некоторых специальных классов, первообразные которых выражают-
ся в виде композиции элементарных функций.
3. Первообразные рациональных функций. Рассмотрим во-
прос об интегралах вида f R(x) dx, где R(x) = есть отношение
полиномов.
Если действовать в области вещественных чисел, то, не выходя за
пределы поля вещественных чисел, любую такую дробь, как известно
из алгебры (см. формулу (37) из §5, п. 4), можно разложить в сумму
о/ ч I f кз \ п / т3 , \
= р(х} + v I V- й]к____ + Уд V- -зк-+~зк-_______ (8)
Q{x) P^+2^ \^X-Xjy] \^{x2+P]X + (h)k ’ W
где p(x) — многочлен (он появляется при делении Р(х) на Q(x), только
если степень Р(х) не меньше степени Q(rc)), a3k, bjk, cjk — однозначно
определяемые действительные числа, a Q(x) = (х — xi)kl .. .(х — xi)kl х
X (х2 +pix + qi)mi ... (ж2 + pnx + qn)mn.
О том, как строить разложение (8), мы уже говорили в §5. После
того как разложение (8) построено, интегрирование функции R(x) сво-
дится к интегрированию отдельных слагаемых.
Многочлен мы уже интегрировали в примере 1, поэтому остается
рассмотреть только интегрирование дробей вида
1 Ьх + с ,
7----й и гДе Л<ЕН-
[х — а)К (x^+px + qj*
§ 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ
367
Вопрос о первой из этих дробей решается сразу, ибо
-^-j(2;-a)_fc+1 + c при А: 01,
In |ж —
^~\kdx= *
— а)К
при к = 1.
(9)
С интегралом
0, так как многочлен х2 + рх + q
12 2
9 - 4? = а ,
/Ьх + с dx
(х2 +рх + q)k
поступим следующим образом. Представим многочлен x2+px+q в виде
+ |р) + “ I?2) > гДе 9 - \р2
не имеет вещественных корней. Полагая х + ip = и и
получаем
f bx + с _ Г аи + /3
J (x2+px + q)k J (и2+а2)к '
где а = Ь, (3 = с — ^Ьр.
Далее,
и
+ a2)fc
d(u2 + а2)
(и2 + а2)к
_/ 2(1Ь)(и2+а2) ПРИ
| ln(u2 + а2)
и остается разобраться с интегралом
Г du
к J (u2 + a2)fc
при
1,
к = 1,
(Ю)
(11)
Интегрируя по частям и делая элементарные преобразования, имеем
т — f du _ и Г и2 du
к J (и2 + а2)к (и2 + а2)к J (u2 + a2)fc+1
и Г (и2 + а2) — а2 , и о
= ( 2 + 2к { 2 . 2U+1 dU = / 2 . 2\к + 2kIk ~ 2ka2lk+U
(и2 + a2)fc J (и2 + cr)fc+1 (и2 + а2)к
откуда следует рекуррентное соотношение
1 и 2к-1
2ка2 (и2 + а2)к 2ка2 к’
(12)
368
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
позволяющее понижать степень к в интеграле (11). Но 1\ легко вычи-
слить:
du _ 1
и2 + а2 а
1) 1 и
= - arctg - + с;
& &
а /
таким образом, используя (12) и (13), можно вычислить также перво-
образную (11).
Итак, мы доказали следующее
Утверждение 2. Первообразная любой рациональной функции
R(x) = выражается через рациональные функции, а также транс-
цендентные функции In и arctg. Рациональная часть первообразной,
будучи приведена к общему знаменателю, должна в качестве таково-
го иметь произведение всех сомножителей, на которые раскладыва-
ется многочлен Q(x), только с кратностями на единицу меньшими,
чем кратность их вхождения в разложение Q(x).
/2ж2 + 5х + 5
-r-s--пdx.
(х2 -1)(ж + 2)
Поскольку подынтегральная функция является правильной дробью
и разложение знаменателя в произведение (х — 1)(х + 1)(ж + 2) тоже
известно, то сразу ищем разложение
2ж2 + 5х + 5 __ А В
(х — 1)(ж + 1)(ж + 2) х — 1 ж +
(14)
нашей дроби в сумму простейших дробей.
Приведя правую часть равенства (14) к общему знаменателю, имеем
2х2 + 5х + 5 _ (А + В + С)х2 + (ЗА + В)х + (2А -2В-С)
(х — 1)(ж + 1)(ж + 2) (х — 1)(ж + 1)(ж + 2)
Приравнивая соответствующие коэффициенты числителей, получаем
систему
А + В + С = 2,
< ЗА + В = Ь,
2А - 2В - С = 5,
из которой находим (А, В, С} = (2, —1,1).
§ 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ
369
Заметим, что в данном случае эти числа можно было бы найти и в
уме. Действительно, домножая (14) на х — 1 и полагая затем в получен-
ном равенстве х = 1, справа получим А, а слева—значение при х = 1
дроби, полученной из нашей вычеркиванием в знаменателе сомножи-
теля х — 1, т.е. А = 2~^5^~5 = 2. Аналогично можно было бы найти
В и С.
Итак,
f 2т2 + 5х + 5
J (х2 - 1)(т + 2)
dx
х — 1
dx
= 2 In |ж — 1| — In |ж + 1| + In |ж + 2| + с = In
-I)2
Пример 14. Вычислим первообразную функции
х7 — 2т6 + 4т5 — 5т4 + 4т3 — 5т2 — х
RW = -----------1^7-2 , 1\2------------
Прежде всего заметим, что дробь не является правильной, поэтому,
раскрыв скобки и найдя знаменатель дроби Q(x) = х6 — 2т5 + Зт4 —
- 4а;3 + Зт2 — 2х + 1, делим на него числитель, после чего получаем
„. „ х5 — х4 + х3 — Зт2 — 2х
а затем уже ищем разложение правильной дроби
х5 — х4 + х3 — Зт2 — 2х _ А В Сх + D Ex + F .
(х — 1)2(т2 + I)2 (х — I)2 х — 1 (х2 + I)2 х2 + 1
Конечно, разложение можно найти каноническим путем, выписав
систему шести уравнений с шестью неизвестными. Однако вместо это-
го мы продемонстрируем иные, иногда используемые, технические воз-
можности.
Коэффициент А находим, домножив равенство (15) на (х — I)2 и
положив затем х = 1: А - — 1.
Перенесем дробь -—с Уже известным значением А = — 1 в левую
часть равенства (15). Тогда получим
х4 + х3 + 2х2 + х -
(х — 1)(т2 + I)2 х — 1
откуда, домножая (16) на х — 1 и полагая затем х - 1, находим В = 1.
В
Сх + D Ex + F
(16)
13-4573
370
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Перенося теперь дробь - в левую часть равенства (16), получим
х2 + х + 2_ Cx + D Ex + F
(ж2 + I)2 = (ж2 + I)2 + т2 + 1 ‘ (
Приводя правую часть равенства (17) к общему знаменателю, при-
равниваем числители
х2 + х + 2 = Ex3 + F х2 + (С + Е)х + (Z) + F)t
откуда следует, что
IE — 0,
F = l,
С + Е = 1,
D + F = 2,
или (C,D,E,F) = (1,1,0,1).
Теперь нам известны все коэффициенты в равенстве (15). Первые
две дроби при интегрировании дают соответственно 1 и In |т — 1|.
Далее,
[Cx + D Г х + 1
/ т~х--гтг ах — I —z-----г?; ах =
J (ж2 + I)2 J (х2 + I)2
_ 1 Г d(x2 + 1) Г dx _ —1
~2j (х2 + I)2 + J (х2 + I)2 “ 2(х2 + 1) + 2’
где
Г dx 1 х 1
hJ (ж2 + I)2 = 2 (ж2 + I)2 + 2 arCtg3:’
что следует из (12) и (13).
Наконец,
Ех + л f 1 я +
—5—— dx = -5—- dx = arctg х.
т2 + 1 J х2 + 1 ь
Собирая все интегралы, окончательно имеем
ж , । 3
2 , п2 + 1п ж - 1 + -arctgж + с.
xz + I)2 2
Рассмотрим теперь некоторые часто встречающиеся неопределен-
ные интегралы, вычисление которых может быть сведено к отысканию
первообразной рациональной функции.
jR{x)ix = -^ + -L-r +
§ 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ
371
4. Первообразные вида J R(cosx, sin х) dx. Пусть 7?(u,v)—
рациональная функция от и и v, т. е. отношение полиномов, явля-
ющихся линейными комбинациями мономов umvn, где т = 0,1,..., п =
= 0,1,...
Для вычисления первообразной f 7?(cos х, sin х) dx существует не-
сколько приемов, из которых один — вполне универсальный, хотя и не
всегда самый экономный.
а. Сделаем замену t = tg Поскольку
l-tg2f 2tg|
COS X = ----Q-v, sin x = --------й-sr,
i + tg2|’ i + tg2|’
dx 2dt
2cos2|’ l + tg2|’
TO
COS X,
1-t2 2t \ 2
1 _|_ f2 ’ 1 _|_ f2 ) l + *2d*>
и дело свелось к интегрированию рациональной функции.
Однако такой путь часто приводит к очень громоздкой рациональ-
ной функции, поэтому следует иметь в виду, что в ряде случаев суще-
ствуют и другие возможности рационализации интеграла.
Ь. В случае интегралов вида f 7?(cos2 х, sin2 х) dx или f r(tgx)dx,
где r(u) — рациональная функция, удобна подстановка t = tgx, ибо
dt
dx — л
1 + tg2 X
Выполнив указанную подстановку, получим соответственно
t2
cos2 х, sin2 х
1 t2 \ dt
1 + t2' 1 +t2 J 1 +;
dt
1 + t2'
372
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
с. В случае интегралов вида
[R(cosx sm2x}Sinxdx или fR(^x sMcosxdx
I jILICUo «AZ oXXX «Az I oXXX «Az (JidU JdvXltX I jftzl XzXJo «AZ oXXX dU I XzUo dU LlJj
можно внести функции sinx, cost под знак дифференциала и сделать
замену t — cos х или t = sin х соответственно. После замены эти инте-
гралы будут иметь вид
— R(t, 1 — t2)dt или J R(1 — t2,t) dt.
Пример 15.
Г dx _ Г 1 2 dt _
J 3 + sinx J 3-|—2* 1 + t2
1 + t2
= o f dt = 2 Г d 0 + j) 2 Г du
J 3t2 + 2t + 3 3/ / i\2 8 “ 3j n2.(2V2\2~
v + v +9 u +\~r)
1 Зи 1 3t +1 1 3tg| + l
= —== arctg —-= + c — —=. arctg-+ c — —= arctg--------1- c.
\/2 2x/2 y/2 2y/2 y/2 2\/2
Здесь мы воспользовались универсальной заменой t — tg
Пример 16.
Г dx Г dx
J (shit + cost)2 J cos2x(tgT + l)2
_ Г dtgx _ Г dt _ 1 1
J (tgx + l)2 J (t + 1)2 t + l+C C 1 + tgx'
Пример 17.
dx
2 sin2 3x — 3 cos2 3x + 1
dx
cos2 3x (2 tg2 3x — 3 + (1 + tg2 3т))
dtg 3x
3 tg2 3x — 2
= 1 Г dt 1 [2 Г dyfy
~ 3J 3t2-2 ~ 3-2Уз/ |f2 _ x
du 1 и — 1
“5--7 = —7= ln —ГЛ- + c =
U2 - 1 6\/6 « + 1
§ 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ
373
tg3x- yj
tg3x +
Пример 18.
/cos3 x Г cos2 x d sin ж _ Г (1 — f2)df
sin7 ж X J sin7x J t7
— [ (t~7 ~ dt = ~^t~6 + 7^-4 + c = —Ц-----------Ц----1- c.
J ' ' 6 4 4 sin4 x 6 sin6 x
5. Первообразные вида J R(x,y(x)) dx. Пусть, как и в пунк-
те 4, R(x, у) — рациональная функция. Рассмотрим некоторые специ-
альные первообразные вида
У 7Z(x,y(x))dT,
где у = у(т) — функция от х.
Прежде всего, ясно, что если удастся сделать замену х = x(t) так,
что обе функции х = x(t) тлу = у(т(<)) окажутся рациональными функ-
циями от £, то x'(f) —тоже рациональная функция и
У 7?(т,у(т)) dx = У R(x(t),y(x(t)))x'(t) dt,
т. е. дело сведется к интегрированию рациональной функции.
Мы рассмотрим следующие специальные случаи задания функции
?/ = у(а;).
а. Если у = \ axtj, где n G N, то, полагая tn = t j, получаем
у сх "г- u ex "t" a
d-tn — b
x =--------, у = t,
a-c-tn y
и подынтегральное выражение рационализируется.
Пример 19.
<3 + 1
Г^Т3
dt =
374
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
< 3 + 1 Г / 2 X ,
< 3 + 1 п f dt
~f Г^3 + J (1-<)(1 + < + <2) -
< о Г( 1 2 + t Л
I-*3 J \3(1 -f) 3(l+t + t2))
t 2, н 1, 17 1> з'
= Г^ + з1п|1“‘|“з1пК‘ + Ц + 4 ’
2 2 / 1\ 3/т- 1
— —= arctg —= I < + - 1 + с, где t=V-—r.
у О V \ / V I
b. Рассмотрим теперь случай, когда у = у/ах2 + Ьт + с, т.е. речь
идет об интегралах вида
ах2 + Ьх + с
dx.
Выделяя полный квадрат в трехчлене ах2 + Ьх + с и делая соот-
ветствующую линейную замену переменной, сводим общий случай к
одному из следующих трех простейших:
R (t, y/t2 + 1) dt, I R (t, y/t2 — 1) dt, I R (t, 71 — t2^ dt. (18)
Для рационализации этих интегралов теперь достаточно положить
соответственно
y/t2 — til + 1, или
7<2 — 1 = u(t — 1), или
71 — t2 = u(l — £), или
7<2 +1 = tu — 1,
7i2 — 1 — u(t + 1),
71 — t2 = u(l + f),
или + 1 = t — u;
или y/t2 — 1 = t — u;
или \/l — t2 = tu ± 1
Эти подстановки были предложены еще Эйлером (см. задачу 3 в
конце параграфа).
Проверим, например, что после первой подстановки мы сведем пер-
вый интеграл к интегралу от рациональной функции.
§ 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ
375
В самом деле, если \/f2 + 1 = tu +1, то t2 +1 = t2u2 + 2tu +1, откуда
2u
1 — и2
и, в свою очередь,
\Л2 + 1 =
1 + и2
1 — и2 ’
Таким образом, t и \/f2 + 1 выразились рационально через и, а сле-
довательно, интеграл привелся к интегралу от рациональной функции.
Интегралы (18) подстановками t = sh 92, t — ch 9?, t = sin 9? (или
t = cos 9?) соответственно приводятся также к тригонометрической
форме
У .R(sh 9?, ch 9?) ch 9? dip,
T?(ch9?, sh9?)sh9?c?9?
и
/ 7?(sin 99, cos 9?) cos ip dip или — R(cos ip, sin 9?) sin ip dip.
Пример 20.
______dx________ [______dx_________ Г_____dt_____
x + Vx2 + 2x + 2 J x + У(т + l)2 + 1 J t — 1 + Vt2 + 1
Полагая Vt2 + 1 = и — t, имеем 1 — и2 — 2tu, откуда t - 2ц 1
Поэтому
dt
t-l + Vt2 + 1
1 f 1 Л 1 \ J If
~ 2 J u - 1 V1 + u2)du~ 2 J
----du +
и — 1
du 1 .
~2/---n = 9 ln u
ir(u — 1) 2
1
u2
du =
— ~ In — 11“ In
и — 1 1
---- + ~—F c.
и 2u
Теперь остается проделать обратный путь замен: и = t + \/<2 + 1 и
t = х + 1.
376
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
с. Эллиптические интегралы. Очень важными являются также
первообразные вида
J R (ж, х/Р(ж)^ dx,
где Р(х)—многочлен степени п > 2. Такой интеграл, как было покат
зано Абелем и Лиувиллем, вообще говоря, уже не выражается через
элементарные функции.
При п = 3 и п = 4 интеграл (19) называется эллиптическим, а при
п > 4 — гиперэллиптическим.
Можно показать, что общий эллиптический интеграл элементарны-
ми подстановками с точностью до слагаемых, выражающихся через
элементарные функции, приводится к следующим трем стандартным
эллиптическим интегралам:
dx_________
— х2)(1 — к2Х2) ’
x2dx________
— х2)(1 — к2х2) ’
dx_________________
У (1 — ж2)(1 — к2х2)'
(20)
(21)
(22)
где ha к — параметры, причем во всех трех случаях параметр к лежит
в интервале ]0,1[.
Подстановкой х — cos tp эти интегралы можно свести к следующим
каноническим интегралам или их комбинациям:
dtp
— к2 sin2 tp ’
dtp
(1 — h sin2 tp) у/1 — к2 sin2 tp
(23)
(24)
(25)
Интегралы (23), (24), (25) называются соответственно эллиптиче-
скими интегралами первого, второго и третьего рода (в форме Ле-
жандра). Через F(k, tp) и Е(к, tp) обозначают эллиптические интегралы
§ 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ
377
(23) и (24) первого и второго рода соответственно, выделяемые усло-
виями F(k, 0) = 0 и Е(к, 0) = 0.
Функции F(k, </?), Е(к, часто используются, и потому состав-
лены достаточно подробные таблицы их значений для 0 < k < 1 и 0
С 93 тг/2.
Эллиптические интегралы, как показал Абель, естественно рассма-
тривать в комплексной области, в неразрывной связи с так называе-
мыми эллиптическими функциями, которые соотносятся с эллиптиче-
скими интегралами так же, как, например, функция sin 9? с интегралом
Г . = arcsin 9?.
J у/1^
Задачи и упражнения
1. Метод Остроградского1'1 выделения рациональной части интеграла от
правильной рациональной дроби.
Пусть — правильная рациональная дробь; q(x) — многочлен, имею-
щий те же корни, что и Q(x), но кратности 1; Qi(x) =
Покажите, что
а) Имеет место следующая формула Остроградского:
(26)
где —правильные рациональные дроби, причем f dx — транс-
цендентная функция.
(В силу этого результата дробь в (26) называется рациональной ча-
Ц/1
стью интеграла J dx.)
b) В формуле
р(д)
?(®)’
полученной дифференцированием формулы Остроградского, дробь
после надлежащих сокращений приводится к знаменателю Q(x).
с) Многочлены q(x), Qi(x), а затем и многочленыр(х), Pi(x) можно найти
алгебраическим путем, даже не зная корней многочлена Q(x). Таким обра-
зом, рациональную часть интеграла (26) можно полностью найти, даже не
вычислив всей первообразной.
^М. В. Остроградский (1801 -1861) —выдающийся русский механик и математик,
один из инициаторов прикладного направления исследований в Петербургской ма-
тематической школе.
378
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
d) Выделите рациональную часть интеграла (26), если
Р(х) = 2х6 + Зх5 + 6х4 + 6х3 + 10х2 + Зх + 2,
Q(x) = х7 + Зх6 + 5х5 + 7х4 + 7х3 + 5х2 + Зх + 1
(см. пример 17 в §5 этой главы).
2. Пусть ищется первообразная
j7?(cosx, sinx)dx, (27)
где R(u, v) = —рациональная функция.
Покажите, что
а) если 7?(—и, и) = R(u, v), то R(u, v) имеет вид 7?i(u2,u);
b) еслиR(—u,v) = -R(u,v),toR(u,v) = u-7?2(u2,u) и подстановка t = sinx
рационализирует интеграл (27);
с) если R(—u, —v) = R(u, v), to R(u,v) = R3 (^,u2) и подстановка t — tgx
рационализирует интеграл (27).
3. Интегралы вида
У R (х, Vах2 + &х + с) dx. (28)
а) Проверьте, что интеграл (28) приводится к интегралу от рациональной
функции следующими подстановками Эйлера:
t = у/ах2 + Ьх + с ± у/ах, если а > О,
t = у/х-х2 ’ если Х1 > х? — действительные корни трехчлена ах2 + Ьх + с.
Ь) Пусть (хо,уо)—точка кривой у2 = ах2 + bx + с, a t— угловой коэф-
фициент прямой, проходящей через точку (хо,уо) и пересекающей кривую в
некоторой точке (х, у). Выразите координаты (х, у) через (xq, уо) и t и свяжите
эти формулы с подстановками Эйлера.
с) Кривая, задаваемая алгебраическим уравнением Р(х,у) = 0, называ-
ется уникурсальной, если она допускает параметрическую запись х = x(t),
у = y(t) при помощи рациональных функций x(t), y(t). Покажите, что инте-
грал j R(x,y(x')) dx, где R(u,v)—рациональная функция, а у(х)—алгебраи-
ческая функция, удовлетворяющая уравнению Р(х, у) = 0, задающему уникур-
сальную кривую, приводится к интегралу от рациональной функции.
d) Покажите, что интеграл (28) всегда можно свести к вычислению инте-
гралов следующих трех типов:
/, f________t
J y/ax2 + bx + c J (x — x0)fc • y/ax2 + bx + c
f (Ax + B) dx
J (x2 +px + q)m • у/ax2 + &x + c
§ 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ
379
4. а) Покажите, что интеграл
хт(а + bxn)p dx
от дифференциального бинома, где т, п,р— рациональные числа, приводится
к интегралу
У (а + bt)pt9 dt, (29)
где р, q — рациональные числа.
Ь) Интеграл (29) выражается через элементарные функции, если одно из
трех чисел р, q, р + q — целое. (П. Л. Чебышёв показал, что других случаев,
при которых бы интеграл (29) выражался в элементарных функциях, не суще-
ствует.)
5. Эллиптические интегралы.
а) Любой многочлен третьей степени с действительными коэффициентами
имеет вещественный корень хо и заменой х — Xq = t2 приводится к многочлену
вида t2(at4 -I- bt3 + ct2 +dt + е), где а 0.
Ь) Функция R (я, у/Р(х)^, где R(u, v)—рациональная функция, а Р —
полином степени 3 или 4, приводится к виду Щ (t, у/at4 + bt3 + .. . + е), где
а 0.
с) Многочлен четвертой степени ах4 -I- Ьх3 + .. , + е представляется в виде
произведения a(z2+piz-|-<7i)(a:2 ч-ргя + ф) и заменой х = всегда может
, (Mi + Nit2) (м2 + N2t2)
быть приведен к виду i±----* t+1)^----'
d) Функция R (х, у/ах4 -I- Ьх3 + ... -I- е) заменой х = может быть при-
ведена к виду
7?i (t, у/А(1 -|- mif2)(l + m2t2))
е) Функция R {х,^/у) может быть представлена в виде суммы Ri(x,y) +
+ fyfay}; Где Ri и R2 — рациональные функции.
f) Любая рациональная функция может быть представлена как сумма чет-
ной и нечетной рациональных функций.
g) Если рациональная функция R(x) четна, то она имеет вид г(х2), а если
нечетна, то вид хг(х2), где г(х)—рациональная функция.
h) Любая функция R (х, ^/у) приводится к виду
R2(x2,y) R3(x2,y)
“1“ г— “1“ у—
у/У у/У
i) Любой интеграл вида f R\x, у/Р(х) I dx, где Р(х) — многочлен четвер-
380
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
той степени, с точностью до элементарных слагаемых приводится к интегралу
r(f2)dt
^/A(l 4- mii2)(1 + m2t2) ’
где г(£) — рациональная функция, А = ±1.
j) Если |mi | > \т,21 > 0, то одной из замен вида y/m^t = х, y/m^t = V1 — х2,
yfmXt = -, х „, yfmXt = —; 1 „ интеграл f )dt приводит-
v v у/Т^Р F J /A(l + mit2)(i+m2t2)
ся к виду f f(x)dx где p < Д: < 1, a f — рациональная функция.
y/(l — X2)(l — fc2X2)
k) Выведите формулы понижения показателей 2n, m для интегралов
x2ndx
v/(l-a:2)(l-1252)’
dx
(a:2 — a)m • ^/(1 — x2)(l — k2x2)
1) Любой эллиптический интеграл
R (x,
dx,
где P — полином четвертой степени, с точностью до слагаемых, представля-
ющихся в виде элементарных функций, приводится к одному из трех канони-
ческих интегралов
ш) Интеграл f
гралы.
(20k (21), (22).
+ 3 выразите через канонические эллиптические инте-
п) Выразите через эллиптические интегралы первообразные функций
- . 1 и 1
у/cos 2х V cos а — cos х
6. Используя вводимые ниже обозначения, найдите с точностью до линей-
ной функции Ах -I- В первообразные следующих неэлементарных специальных
функций:
Г ех
a) Ei(x) = / — dx (интегральная экспонента);
J ?
/sin х
----dx (интегральный синус);
х z-v/ х f COSX л
с) Сцж) = / -------dx
J
d) Shi(x) = У dx
е) Chi(x) = dx
f) S(x) = sin a:2 da:
g) C{x) = / cos a:2 da:
(интегральный косинус);
(интегральный гиперболический синус);
(интегральный гиперболический косинус);
• (интегралы Френеля);
§ 7. ПЕРВООБРАЗНАЯ
381
h) Ф(х) = J е х dx (интеграл Эйлера-Пуассона);
/dx
-— (интегральный логарифм).
1пх
7. Проверьте, что с точностью до постоянной справедливы следующие ра-
венства:
a) Ei(x) = И(еж);
b) Chi(x) = i[Ei(x) + Ei(—ж)];
с) Shi(x) — i[Ei(x) - Ei(—a:)];
d) Ei(ix) = Ci(x) -I- г Si(x);
e) е^/4Ф (xe"^/4) = C(x) + iS(x).
8. Дифференциальное уравнение вида
dy = /(x)
da: g(y)
называют уравнением с разделяющимися переменными, поскольку его можно
переписать в виде
</(у) dV = f(x>) dx,
в котором переменные х и у разделены. После этого уравнение можно решить:
! g(y) dy = У f(x) dx + с,
вычислив соответствующие первообразные.
Решите уравнения
а) 2х3уу' + у2 = 2;
Ь) хуу1 = у/1 -I- а:2;
с) у' = cos (у -I- а:), положив u(x) = у(х) -I- х;
d) х2у' — cos 2у = 1 и выделите то решение, которое удовлетворяет условию
у(х) -> 0 при х -> +оо;
е) ^y'fx) = Si(a:);
9. Парашютист прыгнул с высоты 1,5 км, а раскрыл парашют на высо-
те 0,5 км. Сколько времени он падал до раскрытия парашюта? Предельную
скорость падения человека в воздухе нормальной плотности принять равной
50 м/с. Решите задачу в предположении, что сопротивление воздуха пропор-
ционально
а) скорости;
Ь) квадрату скорости.
Изменением давления с высотой пренебречь.
382
ГЛ. V. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
10. Известно, что скорость истечения воды из небольшого отверстия в
дне сосуда достаточно точно может быть вычислена по формуле 0,6у/2дН,
где д — ускорение силы тяжести, а Н — высота уровня воды над отверстием.
Цилиндрический бак поставлен вертикально и имеет отверстие в дне. По-
ловина воды из полного бака вытекает за 5 мин. За какое время вытечет вся
вода?
11. Какую форму должен иметь сосуд, являющийся телом вращения, что-
бы при истечении из него воды уровень воды понижался равномерно? (Исход-
ные данные см. в задаче 10.)
12. В рабочее помещение вместимостью 104 м3 через вентиляторы в 1 ми-
нуту подается 103м3 свежего воздуха, содержащего 0,04% СОг, и одновре-
менно такое же количество смеси выводится из помещения. В 9 часов утра
в помещение входят служащие, и через полчаса содержание СОг в воздухе
повышается до 0,12 %. Оцените содержание углекислого газа в помещении к
2 часам дня.
ГЛАВА VI
ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определение интеграла и описание множества
интегрируемых функций
1. Задача и наводящие соображения. Пусть точка движется
вдоль числовой оси, s(t)—ее координата в момент £, a v(t) = s'(t) —
ее скорость в тот же момент t. Предположим, что мы знаем положе-
ние s(to) точки в момент и к нам поступают данные о ее скорости.
Располагая ими, мы хотим вычислить s(i) для любого фиксированного
значения t > to-
Если считать скорость v(t) меняющейся непрерывно, то смещение
точки за малый промежуток времени приближенно можно вычислить
как произведение и(т)Д£ скорости в произвольный момент т, относя-
щийся к этому промежутку времени, на величину Д< самого промежут-
ка. Учитывая это замечание, разобьем отрезок [<о, t], отметив некото-
рые моменты ti (i = 0,..., п), так, что to < й < . .. < tn = t, и так, что
промежутки [ti-1, малы. Пусть Д^ = ti — ti-i и Ti G [i«—i, t«], тогда
имеем приближенное равенство
п
s(i) - s(t0) « ^«(т.)Д^.
i=l
По нашим представлениям, это приближенное равенство будет уточ-
няться, если переходить к разбиениям отрезка [<о, i] на всё более мелкие
промежутки. Таким образом, надо полагать, что в пределе, когда ве-
личина А наибольшего из промежутков разбиения стремится к нулю,
384
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
получим точное равенство
п
1пп ^%(тг)Дгг = s(t) - s(<o).
г=1
Это равенство есть не что иное, как фундаментальная для всего
анализа формула Ньютона - Лейбница. Она позволяет, с одной сторо-
ны, численно находить первообразную s(t) по ее производной v(t), ас
другой стороны, по найденной каким-либо способом первообразной s(t)
п
функции v(t) найти стоящий слева предел сумм ^2 и(тг)Д^г.
г=1
Такие суммы, называемые интегральными суммами, встречаются в
самых разнообразных случаях.
Попробуем, например, следуя Архимеду, найти площадь под па-
раболой у = х2 над отрезком [0,1] (рис. 47). Не останавливаясь здесь
на подробном обсуждении понятия площади фигуры, о котором речь
будет идти несколько позже, мы, как и Архимед, будем действовать ме-
тодом исчерпания фигуры посредством простей-
ших фигур — прямоугольников, площади кото-
рых мы вычислять умеем. Разбив отрезок [0,1]
точками 0 = Xq < Xi < ... < хп = 1 на мелкие
отрезки [тг_ 1, тг], мы, очевидно, можем прибли-
женно вычислить искомую площадь а как сум-
му площадей изображенных на рисунке прямо-
угольников:
п
° ~ 52 x^-iДжо
i=i
здесь Дхг = хг — хг-1. Полагая f(x) = х2 и = Хг-i, мы перепишем
полученную формулу в виде
п
1=1
В этих обозначениях в пределе будем иметь
п
А—>0 '
г=1
(2)
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 385
где, как и выше, А—длина наибольшего из отрезков [хг-1,хг] раз-
биения.
Формула (2) только обозначениями отличается от формулы (1). За-
быв на миг о геометрическом смысле /(£г), Джг и считая х временем, а
/(ж) скоростью, найдем первообразную F(x) функции /(ж) и тогда по
формуле (1) получим, что ст = P(l) — F(fi).
В нашем случае /(ж) = ж2, поэтому F(x) = |ж3 + с и ст = Р(1) —
*
- Р(0) — j*. Это и есть результат Архимеда, который он получил пря-
мым вычислением предела в (2).
Предел интегральных сумм называется интегралом. Таким обра-
зом, формула (1) Ньютона - Лейбница связывает интеграл и первооб-
разную.
Перейдем теперь к точным формулировкам и проверке того, что на
эвристическом уровне было получено выше из общих соображений.
2. Определение интеграла Римана
а. Разбиения
Определение 1. Разбиением Р отрезка [а, 6], а < Ь, называется
конечная система точек жо,.. , хп этого отрезка такая, что а = жо <
< Ж1 < ... < хп = Ь.
Отрезки [жг-1, жг] (г = 1,..., п) называются отрезками разбиения Р
Максимум А(Р) из длин отрезков разбиения называется параме-
тром разбиения Р.
Определение 2. Говорят, что имеется разбиение (Р,£) с отме-
ченными точками отрезка [а, 6], если имеется разбиение Р отрезка
[а, Ь] и в каждом из отрезков [жг-1,жг] разбиения Р выбрано по точке
6 е [жг_ьж,] (г = 1,...,п).
Набор (£i,..., £п) обозначается одним символом £.
Ь. База в множестве разбиений. В множестве Р разбиений с
отмеченными точками данного отрезка [а, 6] рассмотрим следующую
базу В = {Вд}- Элемент Bj, d > 0, базы В есть совокупность всех тех
разбиений (Р, £) с отмеченными точками отрезка [а, Ь], для которых
А(Р) < d.
Проверим, что {В</}, d > 0,—действительно база в Р.
Во-первых, Вл 0. В самом деле, каким бы ни было число d > О,
очевидно, существует разбиение Р отрезка [а, 6] с параметром А(Р) < d
386
ГЛ VI ИНТЕГРАЛ
(например, разбиение на п конгруэнтных отрезков). Но тогда су-
ществует и разбиение (Р, £) с отмеченными точками, для которого
А(Р) < d.
Во-вторых, если d\ > 0, cfo > 0 и d = min{di, то, очевидно,
Bdx П Bd,2 = £ В.
Итак, В = {Bd}— действительно база в Р.
с. Интегральная сумма
Определение 3. Если функция f определена на отрезке [а, &], а
(Р, £)— разбиение с отмеченными точками этого отрезка, то сумма
п
(3)
г=1
где Джг = хг — жг~1, называется интегральной суммой функции /, соот-
ветствующей разбиению (Р, £) с отмеченными точками отрезка [а, Ь].
Таким образом, при фиксированной функции / интегральная сумма
a(f;P,£) оказывается функцией Ф(р) = cr(J;p) на множестве Р разбие-
ний р = (Р, £) с отмеченными точками отрезка [а, &].
Поскольку в Р имеется база В, то можно ставить вопрос о пределе
функции Ф(р) по этой базе.
d. Интеграл Римана. Пусть f—функция, заданная на отрез-
ке [а, &].
Определение 4. Говорят, что число I является интегралом Ри-
мана от функции f на отрезке [а, 6], если для любого е > 0 найдется
число 6 > 0 такое, что для любого разбиения (Р, £) с отмеченными
точками отрезка [а, Ь], параметр которого А(Р) < <5, имеет место соот-
ношение
п
г=1
е.
Поскольку разбиения р = (Р, £), для которых А(Р) < 6, составляют
элемент введенной выше базы В в множестве Р разбиений с отме-
ченными точками, то определение 4 равносильно тому, что
/ = ПтФ(р),
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 387
т.е. интеграл I есть предел по базе В значений интегральных сумм
функции /, отвечающих разбиению с отмеченными точками отрез-
ка [а, Ь].
Базу В естественно обозначить символом А(Р) —> 0, и тогда опре-
деление интеграла можно переписать в виде
<4>
Интеграл от функции /(ж) по отрезку [а, 6] обозначается символом
ь
f(x) dx,
а
в котором числа а, b называются нижним и верхним пределом инте-
грирования соответственно; f — подынтегральная функция, f(x)dx —
подынтегральное выражение, х — переменная интегрирования.
Итак,
(5)
Определение 5. Функция f называется интегрируемой по Рима-
ну на отрезке [а, Ь], если для нее существует указанный в (5) предел ин-
тегральных сумм при А(Р) —> 0 (т. е. если для нее определен интеграл
Римана).
Множество всех функций, интегрируемых по Риману на отрезке
[a, &], будет обозначаться через 7?.[а, 6].
Поскольку пока мы не будем рассматривать другого интеграла, кро-
ме интеграла Римана, условимся для краткости вместо терминов «ин-
теграл Римана» и «функция, интегрируемая по Риману» говорить соот-
ветственно «интеграл» и «интегрируемая функция».
3. Множество интегрируемых функций. В силу определения
интеграла (определение 4) и его переформулировок в виде (4) и (5), ин-
теграл есть предел некоторой специальной функции Ф(р) = <?(/; Р, £) —
интегральной суммы, определенной на множестве Р разбиений р = (Р, £)
с отмеченными точками отрезка [а, Ь]. Предел этот берется по базе В
в Р, которую мы обозначили как А(Р) —> 0.
388
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
Таким образом, интегрируемость функции / на [а, 6] зависит от на-
личия указанного предела.
В силу критерия Коши этот предел существует тогда и только то-
гда, когда для любого числа е > 0 найдется элемент Bg Е В базы, в
любых точках р', р" которого выполнено соотношение
|Ф(р') - Ф(р")1 < £•
В более подробной записи сказанное означает, что для любого е > О
найдется 6 > 0 такое, что для любых разбиений (Р',£'), (Р",^") с от-
меченными точками отрезка [а, 6], для которых А(Р') < 6 и А(Р") < 5,
выполнено неравенство
Н/;Р/,е/)-^/;Р",е")1<£
или, что то же самое, неравенство
г=1 1=1
< е.
(6)
Мы воспользуемся сформулированным критерием Коши для того,
чтобы получить сначала простое необходимое, а затем и достаточное
условие интегрируемости функции по Риману.
а. Необходимое условие интегрируемости
Утверждение 1. Для того чтобы функция f, определенная, на
отрезке [а, Ь], была интегрируема на нем по Риману, необходимо, что-
бы она была ограничена на этом отрезке.
Короче,
(/ С 7?.[а,6]) (f ограничена на [а, &]).
◄ Если / не ограничена на [а, 6], то при любом разбиении Р отрезка
[а, 6] функция / окажется неограниченной по крайней мере на одном
из отрезков [жг_1,жг] разбиения Р. Это означает, что, выбирая различ-
ным образом точку Е [жг_1,жг], можно сделать величину |/(£г)Джг|
сколь угодно большой. Но тогда и интегральную сумму <j(f;P,£) =
п
= /(6)^жг можно сделать по модулю сколь угодно большой за счет
г=1
изменений только точки в этом отрезке.
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 389
Ясно, что в таком случае не может быть и речи о конечном пределе
интегральных сумм, что, впрочем, видно и из критерия Коши, ибо со-
отношение (6) в этом случае, очевидно, не имеет места даже для сколь
угодно мелких разбиений. ►
Как мы увидим, полученное необходимое условие еще очень дале-
ко от необходимого и достаточного условия интегрируемости, однако
оно уже позволяет нам в дальнейшем исследовать только ограниченные
функции.
Ь. Достаточное условие интегрируемости и важнейшие
классы интегрируемых функций. Начнем с нескольких обозначе-
ний и замечаний, которые используются в дальнейшем изложении.
Условимся, когда задано разбиение Р
а = Xq < xi < ... < хп = b
отрезка [а, Ь], наряду с символом Джг, обозначающим разность хг — жг_1,
употреблять символ Дг для обозначения отрезка [ж,_1,ж,].
Если разбиение Р отрезка [а, 6] получено из разбиения Р только
добавлением к Р некоторых новых точек, то условимся называть раз-
биение Р продолжением разбиения Р.
При построении продолжения Р разбиения Р некоторые (быть мо-
жет, и все) отрезки Дг = [жг_1,жг] разбиения Р сами подвергаются раз-
биению жг_1 = жго < ... < жгП1 = жг. В связи с этим нам будет удобно
нумеровать точки разбиения Р двумя индексами. В записи жу первый
индекс означает, что Жу 6 Дг, а второй индекс есть порядковый номер
точки на отрезке Дг. Теперь естественно положить Джу := хг] — Жу_1
и Ду := [жу_1,Жу]. Таким образом, Джг = Джг1 + ... + ДжгПг.
Примером разбиения, являющегося продолжением как разбиения Р',
так и разбиения Р", может служить разбиение Р = P'\JP", полученное
объединением точек разбиений Р' и Р".
Напомним, наконец, что, как и прежде, символ w(/; Е) будет обо-
значать колебание функции / на множестве Е, т. е.
w(/;£?):= sup |/(ж') - /(ж")|.
х',х"£Е
В частности, ш(/; Дг) есть колебание функции / на отрезке Дг. Это
колебание заведомо конечно, если f — ограниченная функция.
390
ГЛ VI ИНТЕГРАЛ
Теперь сформулируем и докажем следующее
Утверждение 2. Для того чтобы ограниченная на отрезке [а, Ь]
функция f была интегрируема на нем, достаточно, чтобы для любого
числа е > 0 нашлось число д > 0 такое, что при любом разбиении Р
отрезка [а, 6] с параметром А(Р) < 6 выполнялось соотношение
п
Еш(/;Д»)Д®, < е.
г=1
Пусть Р — разбиение отрезка [а, 6] и Р — продолжение разбие-
ния Р. Оценим разность интегральных сумм cr(J;P, £) — а(/;Р,£). Ис-
пользуя введенные выше обозначения, можем написать
п
г=1
а
71 Tlj
п пг
'У У f
1=1 J=1
п п,
ЕЕ(ж,)-/од^
г=1 j=l
71 Tli
^ЕЕ1ж,)-ж)|д^
г=1 j=l
тг пг п
< Е Е Д») Дж« = Е Дг) Джг-
г=1j=l г=1
7lt
В этих выкладках мы использовали то, что Джг — ^xij > а также то,
5=1
что |/(6j) - /(6)1 < ш(/; Д»), поскольку 6j е Д„ с Д, и & е дг.
Из полученной оценки разности интегральных сумм следует, что
если функция / удовлетворяет достаточному условию, сформулирован-
ному в утверждении 2, то по любому числу е > 0 можно найти 6 > О
так, что для любого разбиения Р отрезка [а, 6] с параметром А(Р) < <5
и его продолжения Р при любом выборе отмеченных точек £ и £ будем
иметь
к(/;Р,ё)-^(/;Ле)| <(•
I I Zt
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 391
Если теперь (Р',0 и (Р",£")—произвольные разбиения с отмечен-
ными точками отрезка [а, 6], параметры которых удовлетворяют усло-
виям Х(Р') < 6, Х(Р") < 6, то, рассмотрев разбиение Р = Р' U Р", явля-
ющееся продолжением обоих разбиений Р', Р", по доказанному будем
иметь
Отсюда следует, что
\a(f-,P\£')-a(f-,P",£")\<E,
как только А(Р') < <5, А(Р") < <5. Таким образом, в силу критерия Коши
существует предел
интегральных сумм, т.е. f Е 7?.[а,6]. ►
Следствие 1. (/ С Cfa,?»]) => (f G Р-[а, 6]), тп. е. любая непрерыв-
ная на отрезке функция интегрируема на этом отрезке.
◄ Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на нем,
так что необходимое условие интегрируемости в этом случае, очевидно,
выполнено. Однако непрерывная на отрезке функция еще и равномерно
непрерывна на нем, поэтому для любого е > 0 можно найти 6 > 0 так,
что на любом отрезке А С [а, 6] длины меньше 6 будем иметь ш(/; А) <
< Тогда для любого разбиения Р с параметром А(Р) < д будем
иметь
п п
V w(/; Aj) Aajj < V Дж; = т^—(Ъ -а) = Е.
о — а Ь — а
1=1 г=1
В силу утверждения 2 теперь можно заключить, что / С Р[а, Ь]. ►
Следствие 2. Если ограниченная на отрезке [а, Ь] функция f не-
прерывна на этом отрезке всюду, кроме, быть может, конечного мно-
жества точек, то f G 7?.[а,Ь].
◄ Пусть ш(/;[а,6])<С<оои f имеет к точек разрыва на отрезке
[о, &]. Проверим выполнимость достаточного условия интегрируемости
функции /.
392
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
При заданном е > 0 возьмем число <51 = и построим -окрест-
ности каждой из к точек разрыва функции / на [а, 6]. Дополнительное к
объединению этих окрестностей множество точек отрезка [а, 6] состоит
из конечного числа отрезков, на каждом из которых f непрерывна и,
значит, равномерно непрерывна. Поскольку таких отрезков конечное
число, по е > 0 можно указать 82 > 0 так, что на любом отрезке Д,
длина которого меньше 62 и который полностью содержится в одном
из указанных выше отрезков непрерывности /, будем иметь ш(/; Д) <
е
2(Ь - а)'
Возьмем теперь число 6 = min{<5i, <52}.
Пусть Р—произвольное разбиение отрезка [а,6], для которого
п
А(Р) < 6. Сумму ш(/> дг)Джг> отвечающую разбиению Р, разобьем
г=1
на две части:
52 Д») Дж» = 52 Дг) Джг + 52 д») Джг
г=1
В сумму включим те слагаемые, которые отвечают отрезкам Дг
разбиения Р, не имеющим общих точек с построенными (51-окрестно-
стями точек разрыва. Для таких отрезков Дг имеем ш(/; Дг) <
поэтому
е
2(Ь-а)’
/ р % / р р
2(о — а) 2(о — а) 2
Сумма длин оставшихся отрезков разбиения Р, как легко видеть,
меньше (<5 + 2<5i + <5)fc 4--^ • к = поэтому
оО • К 20
« -ж// v "а" £ £
£ ш(/,-дг)дЖг^с£ д^<с- —= -.
20 2
Таким образом, мы получаем, что при А(Р) < <5
п
£ш(/;Д,)ДЖ, < Е,
г=1
т.е. выполнено достаточное условие интегрируемости и f G Р[а,Ь]. ►
Следствие 3. Монотонная на отрезке функция интегрируема на
этом отрезке.
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 393
◄ Из монотонности функции / на отрезке [а, 6] следует, что
ш(/; [а! &]) — 1/(0 ~ /(°)|- Пусть задано е > 0. Положим д = '
Мы считаем, что /(6) — /(а) 0, поскольку в противном случае f по-
стоянна и интегрируемость f не вызывает сомнений. Пусть Р — про-
извольное разбиение отрезка [а, 6] с параметром А(Р) < 6.
Тогда для него с учетом монотонности f имеем
п п п
^ш(/;Дг)Джг < £^ш(/;Дг) =
г=1 г=1 i=l
= <5|/(Ь)-/(а)|=£.
Таким образом, / удовлетворяет достаточному условию интегриру-
емости, т.е. f Е 7?.[а,6]. ►
Монотонная функция может иметь уже бесконечно много точек раз-
рыва на отрезке (счетное множество). Например, функция, определяе-
мая соотношениями
/(ж) =
при 1 —< х < —п е N,
2n 2n+1
при X = 1
на отрезке [0,1], не убывает и в каждой точке вида
разрыв.
1
2"’
п Е N, имеет
Замечание. Отметим, что хотя мы сейчас имеем дело с веще-
ственными функциями на отрезке, однако ни в определении интегра-
ла, ни в доказанных выше утверждениях, за исключением следствия 3,
мы по существу не использовали то, что рассматриваемые функции ве-
щественнозначные, а не комплексно- или, например, векторнозначные
функции точки отрезка [а, Ь].
Понятия верхней и нижней интегральной суммы, к которым мы пе-
реходим, напротив, специфичны только для функций с действительны-
ми значениями.
Определение 6. Пусть /: [а, 6] —>R — действительнозначная функ-
ция, определенная и ограниченная на отрезке [а, Ь]; Р — разбиение от-
резка [а,Ь]; Дг (г = 1,...,п)—отрезки разбиения Р. Пусть тг =
= inf /(ж), Мг = sup /(ж) (г = 1,..., п).
394
ГЛ VI ИНТЕГРАЛ
Суммы
з(/;Р) := ^тг^хг
г=1
И
п
S(f-,P) -.= ^МгАхг
г=1
называются соответственно нижней и верхней интегральной суммой
функции f на отрезке [а, 6], соответствующей разбиению Р этого от-
резка1). Суммы s(J;P) и S(J;P) называют также нижней и верхней
суммой Дарбу, соответствующей разбиению Р отрезка [а, Ь].
Если (Р, £)—произвольное разбиение с отмеченными точками от-
резка [а, Ь], то, очевидно,
s(/;P)^(/;P,£)^S(/;P). (7)
Лемма 1.
S(/;P)=infa(/;P,£),
адР) = 8ира(/;Р,е).
е
◄ Проверим, например, что верхняя сумма Дарбу, отвечающая раз-
биению Р отрезка [а, 6], является верхней гранью значений интеграль-
ных сумм, соответствующих разбиению с отмеченными точками (РД)
отрезка [а, 6], причем верхняя грань берется по всевозможным наборам
£ = (£i,... ,£п) отмеченных точек.
Ввиду (7), для доказательства достаточно, чтобы при любом е > О
нашелся такой набор £ отмеченных точек, что имеет место неравенство
ЖР)<<т(/;Р,£)+£. (8)
По определению чисел Мг, при каждом г G {1,..., п} найдется точка
£г G Дг, в которой Мг < Пусть £ = (£i, ..., £п). Тогда
П п / \ п
V МгДжг < V ( /(£,) + ) Дж, = 52 Ж)Ажг + £>
г=1 г=1 ' г=1
Термин «интегральная сумма» здесь формально не вполне законен, так как не
всегда т, и М, являются значениями функции f в некоторой точке £, € Д,
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 395
что и завершает доказательство второго утверждения леммы. Первое
утверждение проверяется аналогично. ►
Из доказанной леммы и неравенства (7) с учетом определения инте-
грала Римана заключаем, что справедливо следующее
Утверждение 3. Ограниченная вещественнозначная функция f :
[а, 6] R интегрируема по Риману на отрезке [а, Ь\ тогда и только
тогда, когда существуют и равны между собой пределы
1= lim s(/;F), 7 = lim 5(/;F). (9)
" А(Р)-Я) W 7 A(P)->0 V 7 7 7
При этом их общее значение I = I_ = I совпадает с интегралом
ь
f(x)dx.
а
◄ Действительно, если пределы (9) существуют и равны между со-
бой, то по свойствам предела из (7) заключаем о существовании предела
интегральных сумм, причем
/= lim <т(/;Р,£) =7.
“ А(Р)-Я)
С другой стороны, если / € 1Z[a, b], т.е. существует предел
то из (7) и (8) заключаем, что существует предел lim S(J;P) = I,
причем 1 = 1. А(Р)-м)
Аналогично проверяется, что (lim s(/; Р) = I_ = I. ►
В качестве следствия утверждения 3 получаем следующее уточнение
утверждения 2.
Утверждение 2'. Для того чтобы функция f: [a, b] —> R, задан-
ная на отрезке [а, Ь], была интегрируема по Риману, необходимо и до-
статочно выполнение соотношения
Km = 0. (10)
' ' г=1
396
ГЛ VI ИНТЕГРАЛ
Учитывая утверждение 2, нам остается лишь убедиться в необхо-
димости соотношения (10) для интегрируемости /.
Заметим, что u)(f; Дг) = Мг — тг, поэтому
п п
£ <ц(/; Дг)Дхг = £(Мг - тг) Дхг - S(f; Р) - s(f; Р),
г=1 г=1
и теперь (10) следует из утверждения 3, коль скоро f € 1l[a, bj. ►
с. Векторное пространство Л [а, Ь]. Над интегрируемыми функ-
циями можно выполнять ряд операций, не выходя за пределы множест-
ва TZ[a, Ь].
Утверждение 4. Если f, д € Н[а, b], то
a) (f + g) € ЯМ;
b) (а/) € 1Z[a, Ь], где а — числовой множитель;
с) |/| е 7i[a,b];
d) f\[c,d] G ^[СМ если [c,d] С [а,Ь];
е) (f-g) е ?г[а,Ь].
Мы сейчас рассматриваем только вещественнозначные функции, но
полезно отметить, что свойства a), b), с), d) окажутся справедливыми
и для комплекснозначных и векторнозначных функций. Для векторно-
значных функций, вообще говоря, не определено произведение f • д,
поэтому свойство е) для них не рассматривается. Однако это свойство
остается в силе для функций с комплексными значениями.
Перейдем теперь к доказательству утверждения 4.
◄ а) Это утверждение очевидно, поскольку
п п п
£(/ +ff)(6)A^ = £/(6)^i +£^г)Д®»-
г=1 г=1 г=1
Ь) Это утверждение очевидно, поскольку
п п
£(а/)(£г)Да:г = а £/(&)Да:4.
1=1 г=1
с) Поскольку w(|/|;£^) то можно написать, что
п п
£ о>(|/|; Дг)Дхг £w(/; Дг)Дхг,
г=1 г=1
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 397
и на основании утверждения 2 заключить, что (/ € 7£[а,6]) =$ (|/| g
£ Р[а, 6]).
d) Мы хотим проверить, что ограничение /|[Cjdj интегрируемой на
отрезке [а, Ь] функции на любой отрезок [с, d] С [а, Ь] является функци-
ей, интегрируемой на [с, d]. Пусть л — разбиение отрезка [с, d]. Добавив
к 7г некоторые точки, достроим л до разбиения Р отрезка [а, Ь], но так,
чтобы иметь А(Р) < А(тг). Ясно, что это всегда можно сделать.
Теперь можно написать, что
Дг)Да:г,
где — сумма по всем отрезкам разбиения л, а — сумма по всем
отрезкам разбиения Р.
При А(тг) —> 0 по построению также А(Р) —> 0, и на основании утвер-
ждения 2' из полученного неравенства заключаем, что (/ € TZ[a, 6]) =>
=> (|/| € П[с, d]), если [с, d] С [а, Ь].
е) Проверим сначала, что если f € 1l[a, b], то /2 Е 1Z[a, Ь].
Если f Е И[а, b], то f ограничена на [а, Ь]. Пусть |/(х)| С < оо
на [а, Ь]. Тогда
I/2 01) - /2(х2)| = |(/Ы + /(х2)) • ШХ1) - /Ы)| 2С'|/(Х1) - /Ы1,
поэтому u>(/2; Е) < 2С'о>(/; Е), если Е С [а, Ь]. Значит,
п п
£>(/2; Дг)ДЖг < 2С']Гц,(/;Дг)Да:г,
г=1 г=1
откуда на основании утверждения 2' заключаем, что
(/етг[а,ь])^(/2етг[а,ь]).
Теперь перейдем к общему случаю. Запишем тождество
(/ • 9)(х) = [(/ + д)2(х) -(J - 5)2(т)]
Из этого тождества с учетом только что доказанного утверждения и
проверенных пунктов а) и Ь) утверждения 4 заключаем, что
(/ Е П[а, b]) А {д Е П[а, b]) => (f д Е П[а, Ь]). ►
398
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
Из курса алгебры вам уже известно понятие векторного простран-
ства. Вещественнозначные функции, определенные на некотором мно-
жестве, можно поточечно складывать и умножать на действительное
число, получая при этом снова функцию с вещественными значениями
на том же множестве. Если функции рассматривать как векторы, то
можно проверить, что при этом выполнены все аксиомы векторного
пространства над полем действительных чисел и указанное множество
действительных функций является векторным пространством относи-
тельно операций поточечного сложения функций и умножения функций
на действительные числа.
В пунктах а), Ь) утверждения 4 сказано, что сложение интегри-
руемых функций и умножение интегрируемой функции на число не
выводит за пределы множества 7?.[а, 6] интегрируемых функций. Та-
ким образом, 7?.[а, Ь] само является векторным пространством — под-
пространством векторного пространства вещественнозначных функ-
ций, определенных на отрезке [а, Ь].
d. Критерий Лебега интегрируемости функции по Рима-
ну. В заключение приведем пока без доказательства теорему Лебега,
дающую внутреннее описание интегрируемой по Риману функции.
Для этого введем следующее полезное само по себе понятие.
Определение 7. Говорят, что множество Е С R имеет меру нуль
или является множеством меры нуль (в смысле Лебега), если для лю-
бого числа е > 0 существует такое покрытие множества Е не более
ОО
чем счетной системой {Д} интервалов, сумма 52 1-^1 Длин которых не
fc=i
превышает е.
00
Поскольку ряд 52 1-^1 сходится абсолютно, порядок суммирования
fc=i
длин промежутков покрытия не влияет на сумму (см. утверждение 4 из
гл. V, § 5, п. 2), поэтому данное определение корректно.
Лемма 2. а) Точка и конечное число точек суть множества ме-
ры нуль.
Ь) Объединение конечного или счетного числа множеств меры нуль
есть множество меры нуль.
с) Подмножество множества меры нуль само есть множество ме-
ры нуль.
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 399
d) Отрезок [а, Ь\ при а <Ь не является множеством меры нуль.
◄ а) Точку можно покрыть одним интервалом длины меньшей, чем
любое наперед заданное число е > 0, поэтому точка является множест-
вом меры нуль. В остальном а) вытекает из Ь).
Ь) Пусть Е = U Еп — не более чем счетное объединение множеств
п
Еп меры нуль. По £ > 0 для каждого Еп строим покрытие {/£} множе-
ства Еп такое, что 53 1Ль I < "7Г-
k
Поскольку объединение не более чем счетного числа не более чем
счетных множеств само не более чем счетно, промежутки к, п € N,
образуют не более чем счетное покрытие множества Е, причем
Ewi<|+^+---+^+---=£-
n,k
Порядок суммирования 53 1^1 по индексам п и к безразличен, ибо ряд
п,к
сходится к одной и той же сумме при любом порядке суммирования,
если он сходится для какого-то порядка суммирования. Последнее в
нашем случае имеет место, ибо любые частичные суммы нашего ряда
ограничены сверху числом е.
Итак, Е есть множество меры нуль в смысле Лебега.
с) Это утверждение, очевидно, непосредственно следует из опреде-
ления множества меры нуль и определения покрытия.
d) Поскольку из любого покрытия отрезка интервалами можно вы-
делить конечное покрытие, сумма длин промежутков которого, очевид-
но, не превосходит суммы длин промежутков исходного покрытия, то
нам достаточно проверить, что сумма длин интервалов, образующих
конечное покрытие отрезка [а, Ь], не меньше длины Ь — а этого отрезка.
Проведем индукцию по количеству интервалов покрытия.
При п = 1, т. е. когда отрезок [а, 6] содержится в одном интерва-
ле (а,/3), очевидно, имеем а < а < b < /3 и /3 — а > b — а.
Пусть утверждение доказано до индекса к € N включительно. Рас-
смотрим покрытие, состоящее из к + 1 интервалов. Возьмем интер-
вал («1,02), покрывающий точку а. Если «2 > Ъ, то аг — сц > b — а и
все доказано. Если же а < < Ь, то отрезок [аг> Ъ] покрыт системой,
состоящей уже не более чем из к интервалов, сумма длин которых по
предположению индукции не меньше чем b — Но
b — а = (6 — аг) + (аг — а) < (Ь — + (аг — оц)
400
ГЛ VI ИНТЕГРАЛ
и, таким образом, сумма длин интервалов исходного покрытия отрез-
ка [а, 6] больше, чем его длина b — а. ►
Интересно отметить, что в силу пунктов а) и Ь) леммы 2 множест-
во Q всех рациональных точек числовой прямой R является множеством
меры нуль, что на первый взгляд выглядит несколько неожиданным при
сопоставлении с пунктом d) той же леммы.
Определение 8. Если некоторое свойство выполнено в любой точ-
ке множества X, кроме, быть может, точек множества меры нуль, то
говорят, что это свойство имеет место почти всюду на множестве X
или почти во всех точках множества X.
Теперь сформулируем критерий Лебега.
Теорема. Функция, определенная на отрезке, интегрируема по
Риману на этом отрезке в том и только в том случае, когда она
ограничена на этом отрезке и непрерывна почти во всех его точках.
Итак,
(/ € Н[а, 6]) О (/ ограничена на [а, 6]) А
А (/ непрерывна почти всюду на [а,Ь]).
Из критерия Лебега и свойств множеств меры нуль, изложенных в
лемме 2, очевидно, легко можно получить как следствия 1, 2, 3 утвер-
ждения 2, так и утверждение 4.
Мы не станем сейчас доказывать критерий Лебега, поскольку при
работе с достаточно регулярными функциями, с которыми нам пред-
стоит иметь дело, он нам пока не нужен. Однако идейную сторону кри-
терия Лебега вполне можно объяснить уже сейчас.
Утверждение 2' содержало критерий интегрируемости, выражен-
п
ный соотношением (10). Сумма 52 ^(/; Аг)Да:г может быть мала, пре-
г=1
жде всего, за счет множителей о>(/; Дг), которые малы в малых окрест-
ностях точек непрерывности функции. Если же некоторые из отрез-
ков Дхг содержат точки разрыва функции, то для них о>(/; Дг) не стре-
мится к нулю, сколь мелким бы ни было разбиение Р отрезка [а, 6].
Однако о>(/;Дг) < о>(/; [а, 6]) < оо в силу ограниченности f на [а, 6],
поэтому сумма тех слагаемых, которые содержат точки разрыва, то-
же может оказаться маленькой, если только мала сумма длин отрезков
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 401
разбиения, покрывающих множество точек разрыва, или, точнее, если
рост колебания функции на некоторых отрезках разбиения компенси-
руется малостью длин этих отрезков.
Точной реализацией и формулировкой этого наблюдения и является
критерий Лебега.
Приведем теперь два классических примера, поясняющих свойство
функции быть интегрируемой по Риману.
Пример 1. Функция Дирихле
Р(х) = 1
1 при х € Q,
0 при х G R \ Q,
рассматриваемая на отрезке [0,1], не интегрируема на нем, поскольку
для любого разбиения Р отрезка [0,1] в каждом отрезке Дг разбиения Р
можно отметить как рациональную точку так и иррациональную
точку Тогда
п
а(/;Р,£') = £1-Дя:г = 1,
г=1
в то время как
п
г=1
Таким образом, интегральные суммы функции Р(х) не могут иметь
предел при А(Р) 0.
С точки зрения критерия Лебега неинтегрируемость функции Ди-
рихле тоже очевидна, поскольку функция Р(х) разрывна в каждой точ-
ке отрезка [0,1], который, как было показано в лемме 2, не есть множе-
ство меры нуль.
Пример 2. Рассмотрим функцию Римана
Н(х) =
если х € Q и х = ™ —несократимая дробь,
если х € IR \ Q.
Мы уже рассматривали эту функцию в гл. IV, § 2, п. 2, и знаем, что
функция 1Z(x) непрерывна во всех иррациональных точках и разрывна
во всех рациональных точках. Таким образом, множество точек разры-
ва функции Н(х) счетно и потому имеет меру нуль. В силу критерия
14-4573
402
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
Лебега можно заключить, что функция 1Z(x) интегрируема на любом
отрезке [a, b] С Ж, несмотря на то, что точки разрыва этой функции
попадают в любой отрезок любого разбиения отрезка интегрирования.
Пример 3. Рассмотрим теперь еще один, менее классический во-
прос и пример.
Пусть /: [a, b] R — интегрируемая на [а, Ь] функция, принимаю-
щая значения на отрезке [с, d], на котором непрерывна функция
g: [c,d] —> R. Тогда композиция д ° f- [a, b] -> R, очевидно, определе-
на и непрерывна во всех точках отрезка [а, Ь], в которых непрерывна
функция /. В силу критерия Лебега отсюда следует, что (g°f) € К[а, Ь].
Покажем теперь на примере, что композиция произвольных инте-
грируемых функций—уже не всегда интегрируемая функция.
Рассмотрим функцию д(х) = | sgn |(гг). Эта функция равна единице
при х 0 и нулю при х = 0. Непосредственной проверкой убеждаемся,
что если, например, на отрезке [1,2] рассмотреть в качестве / функцию
Римана 7?.(х), то на этом отрезке композиция (д°/)(х) есть не что иное,
как функция Дирихле Т>(х). Таким образом, наличие даже одной точки
разрыва у д(х) привело к неинтегрируемости композиции д о f.
Задачи и упражнения
1. Теорема Дарбу.
а) Пусть и S(f;P)—нижняя и верхняя суммы Дарбу веществен-
нозначной функции /, определенной и ограниченной на отрезке [а, Ь], отвеча-
ющие разбиению Р этого отрезка. Покажите, что для любых двух разбиений
Pi, Р2 отрезка [а, 6] справедливо неравенство
S(/;P1)^S(/;P2).
b) Пусть разбиение Р является продолжением разбиения Р отрезка [а, й]
и пусть Д^,..., Aij, — те отрезки разбиения Р, которые содержат точки раз-
биения Р, не входящие в разбиение Р. Покажите, что справедливы оценки
0 S(/; Р) - S(/; Р) о>(/; [а, Ь]) • (Д^ + ... + Axjfc),
0 s(/; Р) - s(/; Р) а>(/; [а, Ь]) (Д^ + ... + Д^).
с) Величины I = sup s(/;P), I — inf S(f-,P) называются соответственно
p p
нижним и верхним интегралом Дарбу функции / на отрезке [а, Ь]. Покажите,
что I < I.
§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ ФУНКЦИЙ 403
d) Докажите теорему Дарбу:
I = lim s(f;P), I = lim S(f;P).
~ A(P)—>0 A(P)->0
e) Покажите, что (/ € K\a, 6]) <=> (J_ = I).
f) Покажите, что f e 1Z[a, б] тогда и только тогда, когда для любого е > 0
найдется такое разбиение Р отрезка [а, Ь], что S(f',P) — s^f^P) < е.
2. Канторово множество лебеговой меры нуль.
а) Канторово множество, описанное в задаче 7 §4 гл.П, несчетно. Про-
верьте, что оно тем не менее есть множество меры нуль в смысле Лебега.
Укажите, как следует видоизменить конструкцию канторова множества, что-
бы получить аналогичное всюду «дырявое» множество, не являющееся множе-
ством меры нуль. (Его тоже называют канторовым.)
Ь) Покажите, что заданная на отрезке [0,1] функция, равная нулю вне
канторова множества и единице в точках канторова множества, интегрируема
по Риману на этом отрезке, если и только если канторово множество имеет
меру нуль.
с) Постройте неубывающую, непрерывную и не постоянную на отрезке
[0,1] функцию, которая имеет нулевую производную всюду, кроме, быть мо-
жет, точек канторова множества меры нуль.
3. Критерий Лебега.
а) Проверьте непосредственно (без ссылки на критерий Лебега) интегри-
руемость функции Римана из примера 2 настоящего параграфа.
Ь) Покажите, что ограниченная функция / 6 К(а, б] тогда и только тогда,
когда для любых двух чисел е > 0 и <5 > 0 найдется разбиение Р отрезка [а, б]
такое, что сумма длин тех отрезков разбиения, на которых колебание функции
больше е, не превосходит <5.
с) Покажите, что / G 7£[а, б] тогда и только тогда, когда / ограничена на
[а, б] и для любых чисел е > 0 и 6 > 0 множество точек отрезка [а, б], в которых
/ имеет колебание больше чем е, можно покрыть конечным число интервалов,
сумма длин которых меньше <5 (критерий Дюбуа-Реймона1'1).
d) Используя предыдущую задачу, докажите критерий Лебега интегриру-
емости функции по Риману.
4. Покажите, что если f,g € 7?.[а, б] и /, д действительны, то тах{/, g} 6
6 К[а, 6] и min{/, g} € 7Z[a, б].
5. Покажите, что ь
а) если f,g € 7?.[а, б] и f(x) = д(х) почти всюду на [а, б], то / f(x)dx =
Ь а
= Jg(x)dx-,
а
^П. Дюбуа-Реймон (1831-1889) — немецкий математик.
404
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
b) если f Е 7?.[а, 6] и /(ж) = д(х) почти всюду на [а, Ь], то д может не
быть интегрируемой по Риману на [а, 6], даже если д определена и ограничена
на [а, Ь].
6. Интеграл от векторнозначной функции.
а) Пусть r(t) — радиус-вектор точки, движущейся в пространстве; го =
= г(0)—начальное положение точки; u(t)—вектор скорости как функция
времени. Восстановите r(t) по го и функции v(i).
b) Сводится ли интегрирование векторнозначной функции к интегриро-
ванию вещественнозначных функций?
с) Верен ли для векторнозначных функций критерий интегрируемости,
выраженный в утверждении 2'?
d) Верен ли критерий Лебега для векторнозначных функций?
е) Какие из понятий и фактов этого параграфа переносятся на функции
с комплексными значениями?
§ 2. Линейность, аддитивность и монотонность
интеграла
1. Интеграл как линейная функция на пространстве 7?. [а, Ь]
Теорема 1. Если fug —интегрируемые на отрезке [а, 6] функ-
ции, то их линейная комбинация af + (Зд также является интегриру-
емой на [а, Ь] функцией, причем
ъ ь ь
j"(af + (Зд)(х) dx = a J f(x)dx + /3 J g(x)dx. (1)
а а а
◄ Рассмотрим интегральную сумму для интеграла, стоящего в ле-
вой части соотношения (1), и преобразуем ее:
п п п
^(af + /3g)((i)^Xi = a^2f(^i)^xi +/3^д(^)^хг. (2)
г—1 г—1 г=1
Поскольку правая часть последнего равенства стремится к линей-
ной комбинации интегралов, стоящих в правой части равенства (1),
если параметр А(Р) разбиения стремится к нулю, то левая часть равен-
ства (2) тоже имеет предел при А(Р) -> 0 и этот предел совпадает с
пределом правой части. Таким образом, (af + (Зд) Е Tt[a, b] и выполнено
равенство (1). ►
§2. ЛИНЕЙНОСТЬ, АДДИТИВНОСТЬ И МОНОТОННОСТЬ ИНТЕГРАЛА 405
Если множество 7£[а, 6] рассматривать как векторное пространст-
ь
во над полем действительных чисел, а интеграл f f(x)dx—как дей-
а
ствительнозначную функцию, определенную на векторах пространства
И[а, 6], то теорема 1 утверждает, что интеграл есть линейная функция
на векторном пространстве TZ[a, 6].
Во избежание возможной путаницы, функции, определенные на
функциях, называют обычно функционалами. Таким образом, мы до-
казали, что интеграл есть линейный функционал на векторном прост-
ранстве интегрируемых функций.
2. Интеграл как аддитивная функция отрезка интегриро-
ь
вания. Значение интеграла f f(x)dx = I(f;[a,b]) зависит как от по-
а
дынтегральной функции, так и от отрезка, по которому ведется инте-
грирование. Например, если f € 7i[a,b], то, как мы уже знаем, /|[а>(д] €
/1
€ 7£[ск,/3], если [о,/?] С [а,Ь], т.е. определен интеграл f f(x)dx, который
а
мы можем исследовать с точки зрения его зависимости от отрезка [а, /?]
интегрирования.
Лемма 1. Если а <Ь<с и f G И[а, с], то /|[а,б] € Р[а, 6], У|[ь,с] €
€ И[Ь, с] и имеет место равенство^
с Ь с
У f(x)dx = У f(x)dx + У ffxjdx. (3)
а а ь
◄ Отметим прежде всего, что интегрируемость ограничений функ-
ции / на отрезки [а, 6] и [6, с] гарантируется утверждением 4 из преды-
дущего параграфа.
С
Далее, поскольку f G 1Z[a, с], то при вычислении интеграла f f(x) dx
а
как предела интегральных сумм мы вправе выбирать любые удобные
нам разбиения отрезка [а, с]. В качестве таковых будем сейчас рассма-
тривать только те разбиения Р отрезка [а, с], которые содержат точ-
Напомним, что символ f\s обозначает сужение функции f на множество Е, ле-
жащее в области определения функции f. В правой части равенства (3) формально
полагалось бы написать не f, а сужения f на соответствующие отрезки.
406
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
ку Ь. Каждое такое разбиение с отмеченными точками (Р,£), очевидно,
порождает разбиения (Р',£') и (Р",£") отрезков [а,Ь] и [6, с] соответ-
ственно, причем Р = Р' U Р" и £ = £' U
Но тогда имеет место следующее равенство между соответствую-
щими интегральными суммами:
а(/;Р,£) = а(/;Р',£')+а(/;Р",£").
Поскольку А(Р') < А(Р) и А(Р") < А(Р), то при достаточно ма-
лом А(Р) каждая из написанных интегральных сумм близка к соответ-
ствующему интегралу из (3). Таким образом, равенство (3) действи-
тельно имеет место. ►
Чтобы несколько расширить применимость полученного результа-
та, вернемся временно вновь к определению интеграла.
Мы определили интеграл как предел интегральных сумм
п
= (4)
i=l
отвечающих разбиениям с отмеченными точками (Р, £) отрезка инте-
грирования [а, 6]. Разбиение Р составляла монотонная конечная после-
довательность точек xo,xi,... ,хп, причем точка жо совпадала с ниж-
ним пределом интегрирования а, а последняя точка хп совпадала с верх-
ним пределом интегрирования Ь. Эта конструкция проводилась в пред-
положении, что а < Ь. Если теперь взять произвольно два числа а и Ь,
не требуя, чтобы обязательно было а < Ь, и, считая а нижним преде-
лом интегрирования, а Ь верхним, провести указанную конструкцию, то
мы вновь получим сумму вида (4), в которой на сей раз будет Дж; > О
(г = 1,...,п), если а < Ь, и Дгг; < 0 (г = 1, ...,п) при а > Ь, ибо
Дж; = xi — Xi-i. Таким образом, сумма (4) при а > b будет отличать-
ся от интегральной суммы соответствующего разбиения отрезка [Ь, а]
(6 < а) только знаком.
По этим соображениям принимается следующее соглашение: если
а > Ь, то
Ь а
У /(ж) dx := - У /(ж) dx. (5)
а Ь
§ 2. ЛИНЕЙНОСТЬ, АДДИТИВНОСТЬ И МОНОТОННОСТЬ ИНТЕГРАЛА 407
В связи с этим естественно также положить, что
J f(x) dx := 0.
(6)
После этих соглашений с учетом леммы 1 приходим к следующему
важному свойству интеграла.
Теорема 2. Пусть а,Ь,с € R и пусть f—функция, интегрируе-
мая на наибольшем из отрезков с концами в указанных точках. Тогда
сужение f на каждый из двух других отрезков также интегрируемо
на соответствующем отрезке и имеет место равенство
У /(ж) dx + J f(x) dx + J /(ж) dx = 0. (7)
4 В силу симметрии равенства (7) относительно а, Ь, с, мы без огра-
ничения общности можем считать, что а = min{a,6, с}.
Если max{a, b, с} = с и а < b < с, то по лемме 1
У f(x)dx + У f(x)dx - У f(x)dx - 0,
что с учетом соглашения (5) дает равенство (7).
Если шах{а, b, с} = b и а < с < Ь, то по лемме 1
что с учетом (5) вновь дает (7).
Наконец, если какие-то две из точек а, Ь, с или все три совпадают,
то (7) следует из соглашений (5) и (6). ►
Определение 1. Пусть каждой упорядоченной паре (а,/3) точек
а, отрезка [а, 6] поставлено в соответствие число 7(си,/3), причем так,
что для любой тройки точек а, (3,7 € [а, Ь] выполнено равенство
1(а,7) = 1(а^+/(Д7).
408
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
Тогда функция I(а, /?) называется аддитивной функцией ориенти-
рованного промежутка, определенной на промежутках, лежащих в от-
резке [а, 6].
6
Если f е 7£[А, В] и а, Ь, с G [А, В], то, полагая 1(а, 6) = J f(x)dx,
из (7) заключаем, что °
У f(x)dx = У f(x)dx + У f(x)dx,
(8)
т. е. интеграл есть аддитивная функция промежутка интегрирования.
Ориентированность промежутка состоит в данном случае в том, что
мы упорядочиваем пару концов отрезка интегрирования, указывая, ка-
кой из них первый (являющийся нижним пределом интегрирования) и
какой второй (являющийся верхним пределом интегрирования).
3. Оценка интеграла, монотонность интеграла, теоремы о
среднем
а. Одна общая оценка интеграла. Начнем с одной общей оценки
интеграла, которая, как потом выяснится, справедлива не только для
интегралов от действительнозначных функций.
Теорема 3. Если а и f € В\а, 6], то |/| € В,[а, 6] и справедливо
неравенство
У f(x)dx
У \f\(x)dx.
(9)
Если при этом |/|(s) С на [а,6], то
ь
У |/|(т) dx < (7(6- а).
(Ю)
◄ При а = Ь утверждение тривиально, поэтому будем считать, что
а < Ь.
Для доказательства теоремы достаточно вспомнить теперь, что
|/| € 7£[а,6] (см. утверждение 4 из §1), и написать следующую оцен-
§ 2. ЛИНЕЙНОСТЬ, АДДИТИВНОСТЬ И МОНОТОННОСТЬ ИНТЕГРАЛА 409
ку интегральной суммы ст(/; Р, £):
п
г=1
п п п
J2 || Дж<| = J2 |Ж)|Дт< с £ = С(Ь ~ а).
1=1 1=1 1=1
Переходя к пределу при А(Р) -> 0, получаем
Ь. Монотонность интеграла и первая теорема о среднем.
Все дальнейшее специфично для интегралов от действительнозначных
функций.
Теорема 4. Если а Ь, /1J2 € Р[а,Ь] и Д(т) /2(2) в любой
точке х G [а, 6], то
(П)
◄ При а = Ь утверждение тривиально. Если же а < Ь, то достаточно
записать для интегральных сумм неравенство
п п
52/2(с»)а®»,
i=i г=1
справедливое, поскольку Дж; >0 (г = 1,..., п), и затем перейти в нем
к пределу при А(Р) -> 0. ►
Теорему 4 можно трактовать как утверждение о монотонности за-
висимости интеграла от подынтегральной функции.
Из теоремы 4 получается ряд полезных следствий.
Следствие 1. Если а b, f € Р,\а, 6] и т /(ж) М на х Е [а, 6],
mo ь
— J/(ж) dx М • (Ь — а), (12)
а
и, в частности, если 0 f(x) на то
ь
0 < J f(x) dx.
а
410
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
◄ Соотношение (12) получается, если проинтегрировать каждый
член неравенств т < /(ж) < М и воспользоваться теоремой 4. ►
Следствие 2. Если f G 7£[а, Ь], т = inf /(ж), М = sup f(x),
же[а,6] а;е[а,Ь]
то найдется число /z G [m, М] такое, что
ь
J /(ж) dx = у • (b — а). (13)
а
◄ Если а = Ь, то утверждение тривиально. Если а Ь, то положим
ь
у = J /(ж) dx. Тогда из (12) следует, что т < у < М, если а < Ь. Но
а
обе части (13) меняют знак при перестановке местами а и Ь, поэтому
(13) справедливо и при Ь < а. ►
Следствие 3. Если f G (7[a,b], то найдется точка £ G [а, Ь] та-
кая, что
ь
У f(x)dx = f(£)(b — a). (14)
а
◄ По теореме о промежуточном значении для непрерывной функ-
ции, на отрезке [а, Ь] найдется точка £, в которой /(£) — у, если только
т = min /(ж) у max /(ж) = М.
гб[а,Ь] гб[а,Ь]
Таким образом, (14) следует из (13). ►
Равенство (14) часто называют первой теоремой о среднем для ин-
теграла. Мы же зарезервируем это название для следующего, несколько
более общего утверждения.
Теорема 5 (первая теорема о среднем для интеграла). Пусть f,g€
G 7£|a,b], т = inf f(x), М — sup f(x). Если функция g неотрица-
яб[а,Ь]
тельна (или неположительна) на отрезке [а, Ь], то
ь ь
/(/ • ?)(ж) dx = у J g(x) dx, (15)
а а
где у G [m, М].
§2. ЛИНЕЙНОСТЬ, АДДИТИВНОСТЬ И МОНОТОННОСТЬ ИНТЕГРАЛА 411
Если, кроме того, известно, что f Е С[а, 6], то найдется точка
£ Е [а, 5] такая, что
ь
У(/ -9)(x)dx =
а
b
/(£) У g(x)dx.
а
(16)
◄ Поскольку перестановка пределов интегрирования приводит к из-
менению знака одновременно в обеих частях равенства (15), то доста-
точно проверить это равенство в случае а < Ь. Изменение знака функ-
ции д(х) тоже одновременно меняет знак обеих частей равенства (15),
поэтому можно без ограничения общности доказательства считать, что
д(х) 0 на [а, 6].
Поскольку т = inf f(x) и М = sup /(ж), то при д(х) О
®е[а,6] я€[а,Ь]
тд(х) < f(x)g(x) < Мд(х).
Поскольку т • д Е 7£|а, 6], f • д € 'Ща, Ь] и М • д Е Е.[а, 6], то, применяя
теорему 4 и теорему 1, получаем
(17)
ь
Если J g(x)dx = 0, то, как видно из этих неравенств, соотноше-
а
ние (15) выполнено.
ь
Если же J д (х) dx 0, то, полагая
а
из (17) находим, что
т /j М,
но это равносильно соотношению (15).
412
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
Равенство (16) теперь следует из (15) и теоремы о промежуточном
значении для функции f Е <7(а, <5/, с учетом того, что в случае f G C[a,b]
т= min f(x) и М = max f(x). ►
®€[а,Ь] х€[а,Ь]
Заметим, что равенство (13) получается из (15), если g(x) = 1
на [а, 6].
с. Вторая теорема о среднем для интеграла. Значительно бо-
лее специальной и деликатной в рамках теории интеграла Римана явля-
ется так называемая вторая теорема о среднем^.
Чтобы не осложнять доказательство этой теоремы, сделаем несколь-
ко полезных заготовок, представляющих и самостоятельный интерес.
Преобразование Абеля. Так называется следующее преобразова-
п к
ние суммы 52 аг^г- Пусть Afc = 52 ai! положим также Ао = 0. Тогда
г=1 г=1
п п п п
' пг6г = ^(Аг А.г_1)6г = АгЬг ) А—1Ьг =
г=1 г=1 г=1 г=1
п п—1 п—1
= АгЪг — АгЬг+х = Anbn — Aobi + Аг(Ьг — b,+i).
г=1 г=0 г=1
Итак,
п п—1
У2 аг^г = (АпЬп ~ АоЬ1) + А(Рг ~ &г+1)> (18)
г=1 г=1
или, поскольку Ад = 0,
п п—1
аг&г — АпЬп + Аг(Ьг Ьг+1). (19)
г=1 г=1
На основе преобразования Абеля легко проверяется следующая
к
Лемма 2. Если числа А* = 52 аг (Л = 1,...,п) удовлетворяют
i=i
неравенствам т А^ М, а числа Ьг (г = 1,... ,п) неотрицательны
1^При некотором дополнительном и часто вполне приемлемом условии на функ-
ции основную теорему 6 этого раздела можно легко получить из первой теоремы о
среднем. См по этому поводу задачу 3 к следующему параграфу.
§ 2. ЛИНЕЙНОСТЬ, АДДИТИВНОСТЬ И МОНОТОННОСТЬ ИНТЕГРАЛА 413
и bi bi+i при i = 1,..., п — 1, то
п
mbi МЬ\.
i=l
(20)
4 Используя то, что Ьп 0 и bi — 0 при i — 1,..., п — 1, из (19)
получаем
£ aibi ^Mbn + ^ M(bi - bi+1) = Mbn + М(Ьг - bn) = Mbi.
1=1 1=1
Аналогично проверяется и левое неравенство в соотношении (20). ►
Лемма 3. Если f С TZ[a, 6], то при любом х € [а, 6] определена
функция
F(x) = j f(t)dt (21)
а
и Р(ж) е (7[а,6].
◄ Существование интеграла (21) при любом х G [а, 6] нам уже из-
вестно из утверждения 4 § 1, поэтому остается проверить непрерыв-
ность функции F(x). Поскольку f € 1Z[a, 6], имеем |/| < С < оо на [а, 6].
Пусть х Е [а, Ь] и х + h С [а, Ь]. Тогда в силу аддитивности интеграла и
неравенств (9), (10) получаем
|Г(ж + h) - К(Ж)| =
ОД.
Мы воспользовались неравенством (10) с учетом того, что при h < 0
имеем
Итак, мы показали, что если х, х + h G [а, 6], то
(22)
414
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
откуда, очевидно, следует непрерывность функции F в любой точке
отрезка [а, 6]. ►
Теперь докажем лемму, которая уже является вариантом второй те-
оремы о среднем.
Лемма 4. Если f,gE И[а,Ь] и д — неотрицательная и невозра-
стающая на отрезке [а, Ь] функция, то найдется точка £ € [а, 6] та-
кая, что
ь £
У (/ • ?)(ж) dx = д(а) У /(ж) dx. (23)
а а
Прежде чем переходить к доказательству, отметим, что, в отли-
чие от соотношения (16) первой теоремы о среднем, в (23) под знаком
интеграла осталась функция /, а не монотонная функция д.
◄ Для доказательства формулы (23), как и в уже рассмотренных
выше случаях, постараемся оценить соответствующую интегральную
сумму.
Пусть Р—разбиение отрезка [а, 6]. Запишем сначала тождество
и покажем, что при А(Р) —> 0 последняя сумма стремится к нулю.
Поскольку f е 7£[а, Ь], то |/(т)| < С < оо на [а,6]. Тогда, используя
уже доказанные свойства интеграла, получаем
Ti>
xi-l)]f(x) dx
Ж1-1)||/(ж)| dx
п xi п
/ 1?(ж) ~9(xi-i)\dx < С^w{g-,^i)^Xi О
§2. ЛИНЕЙНОСТЬ, АДДИТИВНОСТЬ И МОНОТОННОСТЬ ИНТЕГРАЛА 415
при А(.Р) —> 0, ввиду того, что д Е 7£[а,5] (см. утверждение 2 из §1).
Значит,
Ь п хг
[(f-g)(x)dx= lim [ f(x)dx. (24)
J A(P)->0 J
а г 1 xt-i
Оценим теперь сумму, стоящую в правой части равенства (24). По-
ложив
X
F(x) = I f(t)dt,
а
по лемме 3 получаем функцию, непрерывную на отрезке [а, Ь].
Пусть
т = min F(x) и М = max F(x).
я€[а,Ь] я€[а,Ь]
Xt
Поскольку f f(x) dx = F(xi) — F(xi~i), то
x,-i
n xi n
/ f(x)dx = ^(F(xi) - F^Xi-^g^Xi-i). (25)
<=1 xL i=1
Учитывая неотрицательность и невозрастание функции д на [а, Ь] и
полагая
ai = F(xi) - F(xi-i), bi=g(xt-i),
по лемме 2 находим, что
тд(а) 52 “ ^(^-1))з(^-1) Мд(а), (26)
i=i
поскольку
k
Ak = ^ai = F(xk) - F(x0) = F(xk) - F(a) = F(xk).
i=l
Мы показали, что суммы (25) удовлетворяют неравенствам (26).
Вспоминая соотношение (24), теперь имеем
ь
тд(а) [(f • д)(х) dx Мд(а). (27)
416
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
Если д(а) = 0, то, как показывают неравенства (27), доказываемое
соотношение (23), очевидно, справедливо.
Если же з (а) > 0, то положим
ь
Д =
а
Из (27) следует, что т р М, а из непрерывности функции
X
F(x) — f f(t)dt на [а, b] следует, что найдется точка £ Е [а, Ь], в которой
а
F(£) = р. Но именно это и утверждает формула (23). ►
Теорема 6 (вторая теорема о среднем для интеграла). Если f,gE
Е 7£[а, Ь\ и д —монотонная на [а,Ь] функция, то найдется точка £ €
Е [а, Ь] такая, что
ь £ ь
У(/ -g)(x)dx = д(а) У f(x)dx + g(b) f f(x)dx. (28)
а а £
Равенство (28) (как, впрочем, и равенство (23)) часто называют
формулой Бонне^.
◄ Пусть д — неубывающая на [а, Ь] функция. Тогда G(x) = g(b) -
— д(х) —неотрицательная, невозрастающая, интегрируемая на [а, Ь]
функция. Применяя формулу (23), находим
Но
(29)
1^П. О. Бонне (1819 -1892) — французский математик и астроном. Наиболее значи-
тельные математические работы Бонне связаны с дифференциальной геометрией.
§2. ЛИНЕЙНОСТЬ, АДДИТИВНОСТЬ И МОНОТОННОСТЬ ИНТЕГРАЛА 417
Учитывая эти соотношения и свойство аддитивности интеграла, из (29)
получаем доказываемое равенство (28).
Если д — невозрастающая функция, то, полагая G(x) = д(х) — д(Ы),
получим, что G(x)—неотрицательная, невозрастающая, интегрируе-
мая на [а, Ь] функция. Далее вновь получаем формулу (29), а за ней и
формулу (28). ►
Задачи и упражнения
1. Покажите, что если f € Н[а, Ь] и /(ж) 0 на [а, Ь], то
а) при условии, что в некоторой точке хо € [а, Ь] непрерывности функ-
ция /(ж) принимает положительное значение /(жо) > 0, имеет место строгое
неравенство
ь
У /(ж) dx > 0;
а
b
Ь) из условия f f(x) dx = 0 следует, что f(x) = 0 почти во всех точках
а
отрезка [а, Ь].
2. Покажите, что если f € 7£[а, Ь], m = inf f(x), М = sup f(x), то
]а,Ь[ ]а,6[
6
a) f f(x) dx = p,(b - а), где /z € [m, M] (см. задачу 5a) предыдущего пара-
a
графа);
b) при условии непрерывности f на [а, 5] найдется такая точка £ € ]а, Ь[,
что
ь
I f(x)dx = f(g)(b-a).
а
3. Покажите, что если f € С[а, 5], f(x) 0 на [а, 5] и М = max /(ж), то
[а, 6]
(г Vz"
lim I / fn(x) dx I — M.
П-ЮО \ J j
4. a) Покажите, что если / € 7£[а, 5], то |/|₽ € 7£[а, 5] при р 0.
418
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
b) Исходя из неравенства Гёльдера для сумм, получите неравенство Гёль-
дера для интегралов1):
(/ д') (x)dx
если f,g е 7£[а,Ь] и р 1, q 1, | + 1 = 1.
с) Исходя из неравенства Минковского для сумм, получите неравенство
Минковского для интегралов:
если f,gE 71[а, Ь] и р 1. Покажите, что это неравенство меняется на проти-
воположное, если 0 < р < 1.
d) Проверьте, что если f — непрерывная, выпуклая на R функция, а <р —
произвольная непрерывная на R функция, то при с 0 справедливо неравен-
ство Йенсена:
-с У
о
§ 3. Интеграл и производная
1. Интеграл и первообразная. Пусть / — интегрируемая по Ри-
ману на отрезке [а, Ь] функция. Рассмотрим на этом же отрезке функ-
цию
X
F(x) = I f(t)dt, (1)
а
часто называемую интегралом с переменным верхним пределом.
Поскольку / Е 7£[а,Ь], то Е 7£[а,т], если [а,ж] С [а,Ь]; поэтому
функция х >-> F(x) корректно определена для х Е [а, Ь].
^Алгебраическое неравенство Гёльдера при р = q = 2 впервые было получено в
1821 г. Коши и носит его имя. Неравенство Гёльдера для интегралов при р = q = 2
впервые нашел в 1859 г. русский математик В. Я. Буняковский (1804-1889). Это
важное интегральное неравенство (в случае р = q = 2) называют неравенством
Буняковского или неравенством Коши -Буняковского. Встречается иногда и ме-
нее точное его название «неравенство Шварца»—по имени немецкого математика
Г. К. А. Шварца (1843-1921), в работах которого оно появилось в 1884 г.
§ 3. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ
419
Если |/(i)| С < +оо на [а, Ь] (а /, как интегрируемая функция,
ограничена на [а, Ь]), то из аддитивности интеграла и простейшей оцен-
ки интеграла следует, что
\F(x + h)-F(x)\^C\h\, (2)
если х, х + h Е [а, Ь].
Об этом мы, кстати, уже говорили, доказывая лемму 3 предыдущего
параграфа.
Из неравенства (2), в частности, следует непрерывность функции F
на [а, Ь]. Итак, F Е С[а,Ь].
Теперь мы исследуем функцию F более тщательно.
Имеет место следующая основная для всего дальнейшего
Лемма 1. Если f Е 1Z[a, b] и функция f непрерывна в некоторой
точке х Е [а, Ь], то функция F, определяемая на [а, Ь] формулой (1),
дифференцируема в этой точке х, причем имеет место равенство
F'(x) = f(x).
◄ Пусть х, x + h Е [а, Ь]. Оценим разность F(x + h) — F(x). Из непре-
рывности / в точке х следует, что /(<) = f(x) + Д(<), где Д(<) —> 0 при
t -> х, t Е [а, Ь]. Функция Д(<) = /(<) — /(ж) интегрируема на [а, Ь], как
разность интегрируемой функции t >-> f(t) и постоянной /(ж), если х —
фиксированная точка. Обозначим через М(/г) величину sup |Д(<)|, где
tel(h)
1(h)—отрезок с концами х, х + h Е [а, Ь]. По условию, M(h) —> 0 при
h -> 0.
Теперь запишем
x+h х x+h
F(x + h) — F(x) = I f(t)dt- j f(t)dt = I f(t)dt =
a a x
x+h x+h x+h
= y* (f(x) + Д(<)) dt = y* f(x)dt + У Д(<) dt = f(x)h + a(h)h,
X XX
где положено
x+h
/ Д(<) dt = a(h)h.
X
420
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
Поскольку
x+h
dt
X
= M{h)\h\,
то |а(/г) | M{h) и потому а(/г) -> 0, когда h —> 0 (но так, что х + h G
6 [а,Ь]).
Таким образом, показано, что если функция / непрерывна в точке
х G [а, Ь], то при смещениях h от точки х таких, что х + h G [а, Ь], имеет
место равенство
F{x + h) - F(x) = f{x)h + a{h)h, (3)
где а(/г) —> 0 при h —> 0.
Но это и означает, что функция F{x) дифференцируема на [а, 6] в
точке х G [а, Ь] и что F'{x) = f{x). ►
Важнейшим непосредственным следствием леммы 1 является следу-
ющая
Теорема 1. Каждая непрерывная на отрезке [а,Ь] функция
f - М —> R имеет на этом отрезке первообразную, причем любая
первообразная функции f на [а, Ь] имеет вид
X
F{x) = I f(t)dt + c, (4)
а
где с — некоторая постоянная.
◄ (/ G С[а,Ь]) => (/ G К[а, Ь]), поэтому на основании леммы 1 функ-
ция (1) является первообразной для / на [а, Ь]. Но две первообразные
F{x) и F{x) одной и той же функции на отрезке могут отличаться на
этом отрезке только на постоянную, поэтому F{x) = F(x) + с. ►
Для дальнейших приложений удобно несколько расширить понятие
первообразной и принять
Определение 1. Непрерывная на числовом промежутке функция
х i-> F{x) называется первообразной {обобщенной первообразной)
функции х f(x), определенной на том же промежутке, если во всех
точках промежу а, за исключением, быть может, конечного их числа,
имеет место соотношение F'{x) — f{x).
§ 3. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ
421
Учитывая это определение, можно утверждать, что справедлива сле-
дующая
Теорема 1'. Каждая определенная и ограниченная на отрезке
[а, Ь] функция f: [а, Ь] —> R с конечным множеством точек разрыва
имеет на этом отрезке (обобщенную) первообразную, причем любая
первообразная функции f на [а, Ь] имеет вид (4).
◄ Поскольку / имеет конечное множество точек разрыва, то f €
€ И[а, Ь] и по лемме 1 функция (1) является обобщенной первообразной
для / на [а, Ь]. При этом мы учли, что, как уже отмечалось, в силу (2)
функция (1) непрерывна на [а, Ь]. Если F(x)—другая первообразная
функции / на [а, Ь], то F(x) — F(x) — непрерывная функция, постоянная
на каждом из конечного числа промежутков, на которые точки разрыва
функции / разбивают отрезок [а, Ь]. Из непрерывности F(x) — F(x)
на [а, Ь] тогда следует, что F(x) — F(x) = const на [а,Ь]. ►
2. Формула Ньютона — Лейбница
Теорема 2. Если f: [а, Ь] —> R — ограниченная функция с конеч-
ным числом точек разрыва, то f Е К[а, Ь] и
ь
У f(x) dx = F(b) — ^(а),
а
(5)
где Т-. [а, Ь] —> R —любая из первообразных функции f на отрезке [а, Ь].
4 Интегрируемость ограниченной на отрезке функции с конечным
числом точек разрыва нам уже известна (см. § 1, следствие 2 утвержде-
ния 2). Наличие обобщенной первообразной F(x) функции / на [а, Ь]
гарантирует теорема 1', в силу которой F(x) имеет вид (4). Полагая
в (4) х = а, получим, что F(a) = с, откуда
X
а
В частности,
ь
f(t)dt = ^(b)-^(a),
422
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
что с точностью до обозначения переменной интегрирования совпадает
с доказываемой формулой (5). ►
Фундаментальное для всего анализа соотношение (5) называется
формулой Ньютона - Лейбница.
Разность — Л {а) значений любой функции часто записывают
символом В этих обозначениях формула Ньютона - Лейбница
приобретает вид
ь
J f(x)dx = Я*)1а-
а
Поскольку обе части этой формулы одновременно меняют знак при
перестановке а и Ь, то формула справедлива при любом соотношении
величин а и Ь, т. е. как при а Ь, так и при а Ь.
На упражнениях по анализу формула Ньютона - Лейбница большей
частью используется только для вычисления стоящего слева интеграла,
и это может породить несколько искаженное представление об ее ис-
пользовании. На самом деле положение вещей таково, что конкретные
интегралы редко находят через первообразную, а чаще прибегают к
прямому счету на ЭВМ с помощью хорошо разработанных численных
методов. Формула Ньютона - Лейбница занимает ключевую, связываю-
щую интегрирование и дифференцирование, позицию в самой теории
математического анализа, в которой она, в частности, получает далеко
идущее развитие в виде так называемой общей формулы Стокса1^.
Примером того, как формула Ньютона - Лейбница используется в
самом анализе, может служить уже материал следующего пункта на-
стоящего параграфа.
3. Интегрирование по частям в определенном интеграле и
формула Тейлора
Утверждение 1. Если функции и(х) и v(x) непрерывно диффе-
ренцируемы на отрезке с концами а и Ь, то справедливо соотношение
ь ь
f (и v')(x) dx = (и - г)(ж)|ц — !(у • и')(х) dx. (6)
а а
^Д. Г. Стокс (1819-1903) — английский физик и математик.
§ 3. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ
423
Эту формулу принято записывать в сокращенном виде
b Ь
f udv — U- via — У v du
а а
и называть формулой интегрирования по частям в определенном ин-
теграле.
◄ По правилу дифференцирования произведения функций имеем
(и v)'(x) = (г/ • v)(х) + (и •
По условию все функции в этом равенстве непрерывны, а значит, и
интегрируемы на отрезке с концами а и Ь. Используя линейность инте-
грала и формулу Ньютона - Лейбница, получаем
b ь
(и и)(ж)|д = У (и! v)(x) dx + j\u-v')(x)dx. ►
a a
В качестве следствия получим теперь формулу Тейлора с интеграль-
ным остаточным членом.
Пусть на отрезке с концами а и х функция 1f(t) имеет п непре-
рывных производных. Используя формулу Ньютона - Лейбница и фор-
мулу (6), проделаем следующую цепочку преобразований, в которых
все дифференцирования и подстановки производятся по переменной t:
X X
/(®) - /(а) = f f'(t) dt = — J f'(t)(x - f)'dt =
a a
x
= (x- t)|® + У" f"(t)(x-t)dt =
а
x
= - a) -11 f(t)((x - i)2)' Л =
a
x
= - a) - - <)2|: + | / /'"(Ш - «)2* =
a
x
= f\a)(x - a) + |/"(а)(ж - a)2 - уЦ [ /"'(<) ((ж - tf)'dt = ...=
A A * о J
424
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
= /'(а)(ж - а) + |/"(а)(я: - а)2 + ... +
+ Т~\-----—7т/(”-1)(«)(® - а)”-1 + Гп-^а-х),
2. • 3 • ... • (п — 1)
где
X
rn-i(a-,x) = -^2 / f^Kt^x-t^dt.
а
(7)
Итак, доказано следующее
Утверждение 2. Если функция t н-> /(f) имеет на отрезке с кон-
цами а их непрерывные производные до порядка п включительно, то
справедлива формула Тейлора
f(x) = /(а) + ^f'(a)(x - а) +... + ^2 i)/(W1)(а^х ~ + ж)
с остатком rn~i(а; х), представленным в интегральной форме (7).
Отметим, что функция (ж — i)”-1 не меняет знак на отрезке с концаг
ми а и х, и поскольку функция t f(n) (t) непрерывна на этом отрезке,
то по первой теореме о среднем на нем найдется такая точка что
х
rn-i(a;x) = ^2 !)! / ЛС® “ =
а
l/W(e)(x-a)".
Мы вновь получили знакомую форму Лагранжа остаточного члена
формулы Тейлора. (На основании задачи 2Ь) из предыдущего парагра-
фа, можно считать, что £ лежит в интервале с концами а, х.)
Это рассуждение можно было бы повторить, вынося из-под знака
интеграла (7) f(n\£)(x — £)n~k, где k Е [1,п]. Значениям k = 1 и k = п
отвечают получаемые при этом соответственно формулы Коши и Ла-
гранжа остаточного члена.
§ 3. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ
425
4. Замена переменной в интеграле. Одной из основных фор-
мул интегрального исчисления является формула замены переменной
в определенном интеграле. Эта формула в теории интеграла столь же
важна, как в дифференциальном исчислении формула дифференциро-
вания композиции функций, с которой она может быть при определен-
ных условиях связана посредством формулы Ньютона-Лейбница.
Утверждение 3. Если ip-, [а,(3\ —> [а, 6] —непрерывно дифферен-
цируемое отображение отрезка а t /3 в отрезок а х b такое,
что = а и <р((3) = Ь, то при любой непрерывной на [а, Ь] функ-
ции f(x) функция f (t) непрерывна на отрезке [а, /3] и справед-
ливо равенство
ь б
J f(x)dx = J (8)
а а
◄ Пусть Е(х) —первообразная функции f(x) на [а, Ь]. Тогда,
по теореме о дифференцировании композиции функций, функция
является первообразной для функции непрерыв-
ной, как композиция и произведение непрерывных функций на отрез-
ь
ке [си, /3]. По формуле Ньютона - Лейбница J f(x)dx = Е{Ь} — Е(а) и
б °
f f(p(t))(p'(t)dt = E(tp(/3))—E(<p(a)). Но, по условию, = а та. ^(/З) =
а
= 6; таким образом, равенство (8) действительно имеет место. ►
Из формулы (8) видно, насколько удобно иметь под интегралом не
просто знак функции, а дифференциальное выражение f(x)dx, позволя-
ющее после подстановки х = <p(t) автоматически получать правильное
подынтегральное выражение в интеграле по новой переменной.
Для того чтобы не осложнять дела громоздким доказательством,
мы в утверждении 3 умышленно сузили истинную область примени-
мости формулы (8) и получили (8) из формулы Ньютона - Лейбница.
Теперь перейдем к основной теореме о замене переменной, условия ко-
торой несколько отличаются от условий утверждения 3. Доказатель-
ство этой теоремы будет опираться непосредственно на определение
интеграла как предела интегральных сумм.
Теорема 3. Пусть <р: [а,Д] —> [а, Ь]—непрерывно дифференциру-
емое, строго монотонное отображение отрезка a /3 в отрезок
а х b с соответствием концов <р(а) = а, (р({3) = b или <р(а) = Ь,
426
ГЛ VI ИНТЕГРАЛ
9?(/3) = а. Тогда при любой функции fix), интегрируемой на отрез-
ке [а, Ь], функция f (9?(t))9?'(t) интегрируема на отрезке [а, /3] и спра-
ведливо равенство
<р(0) б
У f(x)dx = У fl<p(t))<p'(t)dt.
<р(а) а
(9)
◄ Поскольку (р — строго монотонное отображение отрезка [а, /3] на
отрезок [а, Ь] с соответствием концов, то любое разбиение Р< (а =
= to < .. < tn = /3) отрезка [а, /3] посредством образов хг = р>Цг) (г =
— 0,1,... ,п) точек разбиения Pt порождает соответствующее разбие-
ние Рх отрезка [а, &], которое можно условно обозначить как 9?(Pt). При
этом жо = а, если ф(а) = а, и. Хо = Ь, если <р(а) = Ь. Из равномерной
непрерывности <р на [се, /3] следует, что если А(Р<) —> 0, то величина
А(Рг) = A(</?(Pt)) тоже стремится к нулю.
Используя теорему Лагранжа, преобразуем интегральную сумму
а(/;Рг,£) следующим образом:
п п
52 = 52 =
г=1 ?=1
п п
= 52 = 52
i=i i=i
Здесь хг = 6г = 6г лежит на отрезке с концами хг-г, xt,
а точки тг, тг лежат на отрезке с концами i, tt (г = 1,..., n).
Далее,
п п
^2^Т(тг))т'(тг)^г = ^2/(^(тг))^'(т1)Д/г +
г=1 г=1
+52 (у’Чл) - <р'(тг)) мг.
г=1
Оценим последнюю сумму. Поскольку / € Р[а,6], функция / огра-
ничена на [а,Ь]. Пусть |/(ж)| С на [а,Ь]. Тогда
п
52- <^'(тг)) д<г
г=1
п
£>(<//; дгж,
г=1
где Дг — отрезок с концами tj-i, tt.
§ 3. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ
427
Последняя сумма стремится к нулю при А(Р<) —> 0, поскольку <р'—
непрерывная на отрезке [а, /3] функция.
Таким образом, мы показали, что
п п
52 = 52 +«,
2=1 1 = 1
где а —> 0 при A(Pt) —> 0. Как уже отмечалось, если А(Р<) —> 0, то и
А(Ре) —> 0. Но / G 7£[а, Ь], поэтому при А(РХ) —> 0 сумма в левой части
vW
последнего равенства стремится к интегралу J /(ж) dx. Значит, при
<р(а)
A (Pt) —> 0 и сумма в правой части этого равенства имеет и притом тот
же предел.
п
Но сумму 52 f (¥’(ri))¥’/ (тг)Д£г можно считать совершенно произ-
г=1
вольной интегральной суммой функции f (i), соответствующей
разбиению Р< с отмеченными точками т = (п,..., тп), поскольку, вви-
ду строгой монотонности tp, любой набор точек т можно получить из
некоторого соответствующего ему набора £ = (С1, • • •, Сп) точек, отме-
ченных в отрезках разбиения Рх = </?(Р<).
Таким образом, предел этой суммы есть, по определению, интеграл
от функции f (t) по отрезку [а, Д], и мы доказали одновремен-
но как интегрируемость функции /(92 (£))(//(£) на отрезке [а, Д], так и
формулу (9). ►
5. Некоторые примеры. Рассмотрим теперь некоторые приме-
ры использования полученных формул и доказанных в последних двух
параграфах теорем о свойствах интеграла.
Пример 1.
тг/2
sin21 cos t dt = J cos2 tdt =
-тг/2
+ cos 23) dt =
t + sin 2t
тг/2
—tt/2
7Г
2’
1
2
428
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
Для вычисления интеграла мы сделали замену переменной х = sin t,
а затем, найдя первообразную получившейся после этой замены подын-
тегральной функции, воспользовались формулой Ньютона-Лейбница.
Конечно, можно было бы поступить и иначе: найти довольно гро-
моздкую первообразную — ж2+arcsin х функции х/1 — ж2 и затем
воспользоваться формулой Ньютона - Лейбница. Пример показывает,
что при вычислении определенного интеграла, к счастью, иногда уда-
ется избежать отыскания первообразной подынтегральной функции.
Пример 2. Покажем, что
7Г 7Г 7Г
a) J smmxcosnxdx = 0, b) J sin2тхdx = л, с) J cos2nxdx — к
— 7Г —7Г — 7Г
при m, n £ N.
а) / sin тх cos пх dx =
х — sin(n — т)х) dx =
1 / 1 . ч 1
------------cosin + т)х Ч----------eosin — т)х
2 \ п + т п — т
= 0,
если п — т^О. Случай, когда п — т = 0, можно рассмотреть отдельно,
и в этом случае, очевидно, вновь приходим к тому же результату.
sin2 тх dx =
cos 2тпж) dx = | (х — sin 2тх^ | = л.
с) / cos2 пх dx =
cos 2пх) dx = i ( х + sin
’ 2 \ 2п
- л.
Пример 3. Пусть / Е И[—а, а]. Покажем, что
2 ff(x)dx,
о
О,
если f — четная функция,
—а
если / — нечетная функция.
а
Если f(—x) - f(x), то
о
а
а
а
О
—а
—а
а
О
О
§3. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ
429
а
I (Л-Х) + /И)
ООО о
dx.
Если же f(—x) = то, как видно из тех же выкладок, получим
а
У (/(-*) + /(*)) dx =
о
а
J 0 dx = 0.
о
Пример 4. Пусть f—определенная на всей числовой прямой R
периодическая функция с периодом Т, т.е. /(ж + Т) = /(ж) при ж 6 R.
Если / — интегрируемая на каждом конечном отрезке функция, то
при любом a G R имеет место равенство
I
dx =
а
т. е. интеграл от периодической функции по отрезку длины периода Т
этой функции не зависит от положения отрезка интегрирования на чи-
словой прямой:
dx =
а а 0 Т
0
ldt =
dx +
Мы сделали замену х = t + Т и воспользовались периодичностью
функции / (ж).
1
Пример 5. Пусть нам нужно вычислить интеграл f sin ж2 dx, на-
о
пример, с точностью до 10~2.
430
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
Мы знаем, что первообразная J sin x2dx (интеграл Френеля) не вы-
ражается в элементарных функциях, поэтому использовать формулу
Ньютона - Лейбница здесь в традиционном смысле нельзя.
Поступим иначе. Исследуя в дифференциальном исчислении форму-
лу Тейлора, мы в качестве примера (см. гл. V, §3, пример 11) нашли,
что на отрезке [—1,1] с точностью до 10~3 имеет место равенство
sins ~ х — + ^тж5 =: Р(ж).
Но если | зшж — Р(ж)| < 10~3 на отрезке [—1,1], то верно также, что
|зтж2 — Р (ж2) | < 10~3 при 0 ж 1.
Следовательно,
1
j sin ж2 dx
о
1 1
j |зшж2 — Р (ж2) | dx < J 10~3 dx < 10~3.
о о
1
Таким образом, для вычисления интеграла J smx2dx с нужной точ-
о
1
ностью достаточно вычислить интеграл J Р(ж2) dx. Но
о
поэтому
1
sinж2с?ж = 0,310 ± 2 • 10-3 = 0,31 ± 10~2.
о
ь
Пример 6. Величина р = f f(x)dx называется интеграль-
а
ным средним значений функции на отрезке [а, &].
Пусть f — определенная на R и интегрируемая на любом отрезке
функция.
§ 3. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ
431
Построим по / новую функцию
х+<5
Fs{x) = Т61f{t)dt'
х—6
значение которой в точке х есть интегральное среднее значений f в
5-окрестности точки х.
Покажем, что функция F$(x) (называемая усреднением f) более ре-
гулярна по сравнению с /. Точнее, если f интегрируема на любом отрез-
ке [а, Ь], то F$(x) непрерывна на R, а если / G С'(К), то Fg(x) G C^^R).
Проверим сначала непрерывность функции Fg(x):
\Fs(x + h)-Fs(x)\ = ±
Zo
х+5+h
f
х+5
х—5
dt+ У
x—S+h
Zo о
если |/(£)| < С, например, в 25-окрестности точки х и \h\ < S. Из этой
оценки, очевидно, следует непрерывность функции Fg(x).
Если же f G C'(R), то по правилу дифференцирования сложной
функции
Тх / = т/,тл' * =
а а
поэтому из записи
х+<5 х—6
Fs(x) = ^ / f^dt~Ys I f{t)dt
a a
получаем, что
f(x + 6)-f(x-6)
25
Функцию F$(x) после замены t = x + и переменной интегрирования
можно записать в виде
<5
ж) = f f(x +и) du.
—5
432
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
Если f G C'(R), то, применяя первую теорему о среднем, находим,
что
Fs(x) = + т)-2<5 = f(x + -г),
2о
где |т| 5. Отсюда следует, что
lim Fs(x) = f(x),
<5—>+0
что вполне естественно.
Задачи и упражнения
1. Используя интеграл, найдите
a) lim [ -—п 2 + ... + п 2 ]!
пчоо L (п + I)2 (2п)21
b) lim ia + 2<* j?,' • + nt* если а 0.
’ п-юо п“+1
2. а) Покажите, что любая непрерывная на интервале функция имеет на
нем первообразную.
Ь) Покажите, что если / G C^fa, Ь], то / может быть представлена как
разность двух неубывающих на отрезке [а, 6] функций (см. задачу 4 из § 1).
3. Покажите, что в предположении гладкости функции д вторая теоре-
ма о среднем (теорема 6 из § 2) интегрированием по частям непосредственно
сводится к первой теореме о среднем.
4. Покажите, что если / G <?(№), то для любого фиксированного отрез-
ка [а, 6] по заданному е > 0 можно так подобрать <5 > 0, что на [а, 6] будет
выполнено неравенство |^(а;) — /(ж)| < е, где Fg— осреднение функции, рас-
смотренное в примере 6.
5. Покажите, что
при х —> +оо.
х+1
6. а) Проверьте, что функция f(x) = f sint2dt при х —> оо имеет следу-
X
ющее представление:
/(ж) =
о
COS X
2х
СО8(ж-Ц)2 ,
2(37 4-1)
Ь) Найдите lim xf(x) и lim xf(x).
х—>оо ®-+оо
§ 3. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ
433
7. Покажите, что если /: Ж -> Ж—периодическая, интегрируемая на ка-
ждом отрезке [а, 6] С Ж функция, то функция
X
F(x) = I f(f)dt
а
может быть представлена в виде суммы линейной и периодической функций.
8. а) Проверьте, что при х > 1 и п G N функция
ТГ
Рп(х) = / (Ж + ~ 1 cos <р)пс^
о
есть полином степени п (п-й полином Лежандра').
Ь) Покажите, что
Р"(а:) " 7Г J
О
dip
(х — у/х2 — 1 cos V>)п
9. Пусть f — вещественнозначная функция, определенная на отрезке [а, 6] С
С Ж, а ,..., £т — различные точки этого отрезка. Значения интерполяцион-
ного полинома Лагранжа степени т — 1
ттъ ±
Lm-i(x)
1=1 Ч 5»
совпадают в точках £i, •. •, £т (узлах интерполяции) со значениями функции /,
причем если f G 6], то
f(x) - Lm-1(x) =
т
где шт(х) = П (ж — £«)> а € ]а, Ь[ (см. задачу 11 в §3 гл. V).
«=1
Пусть тогда вг € [— 1,1], г = 1,... ,т.
а) Покажите, что
Lm-itx) dx = сг/(6),
л--1
где
15-4573
434
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
В частности,
ь
ai) У Lo(x) dx = (b- a)f , если m = 1, вг = 0;
a
b
аг) / Li(x) dx = [/(a) + /(6)], если m = 2, = —1, fa = 1;
a
b — а
6
/(a)+4/
+ f(b) , если m — 3, fa = -1,
ь
аз) У L,2(x)dx =
$г — 0, $з = 1.
b) Считая, что f € (7^ [а, 6] и полагая Мт — шах |/(т)(а:)|, оцените
ze[a,!>]
величину Rm абсолютной погрешности в формуле
ь
I f(x) dx =
ь
ь
и покажите, что |Ят| < f |шт(ж)| dx.
а
с) В случаях ai), аг), аз) формула (*) называется соответственно форму-
лой прямоугольников, трапеций и парабол. В последнем случае ее называют
также формулой Симпсона1). Покажите, что в случаях ai), аг), аз) имеют
место следующие формулы:
Ri = - a)2, R2 = - a)3, R3 = - а)5,
где £1,£г>£з € [а, 6], а функция f принадлежит соответствующему классу
CW[a,b].
d) Пусть f есть полином Р. Какова наивысшая степень полиномов Р, для
которых точны формулы прямоугольников, трапеций и парабол соответст-
венно?
Пусть h - Xk =a + hk, k = 0,1,... ,n; yk =
e) Покажите, что в следующей формуле прямоугольников
ь
У f(x) dx = /1(1/0 + yi + • • + J/n-i) + Ri
а
остаток имеет вид Ri = — a)h, где £ G [a, 6].
1}T. Симпсон (1710-1761) — английский математик.
§ 3. ИНТЕГРАЛ И ПРОИЗВОДНАЯ
435
f) Покажите, что в следующей формуле трапеций
ь
У f(x) dx = — [(j/o + Уп) + 2(2/1 + У2 + • • • + 2/n-i)] + R2
а
остаток имеет вид Я2 = ~ (6 — a)h2, где £ € [а, 6].
g) Покажите, что в следующей формуле Симпсона (формуле парабол)
ь
У f(x) dx = — [(уо + Уп) + 4(yi + уз + • • + !/п-1) +
+ 2(j/2 + 2/4 + • • • + 2/п—2)] + йз>
которая пишется при четных значениях п, остаток R3 имеет вид
р _ /(4)(e)z, ..4
Дз--Л8о“(6-а)/г ’
где £ е [а, 6].
h) Исходя из соотношения
f dx
о
вычислите 7Г с точностью до 10“3, пользуясь формулами прямоугольников,
трапеций и парабол. Обратите внимание на эффективность формулы Сим-
псона, которая по этой причине является наиболее распространенной квадра-
турной формулой (так называют формулы численного интегрирования в од-
номерном случае, отождествляя интеграл с площадью соответствующей кри-
волинейной трапеции).
10. Преобразуя формулу (7), получите следующие виды записи остаточ-
ного члена формулы Тейлора, где положено h — х — а:
1
a) 1)! У ^(П)(“ + - Т)П~1
о
г
Ь) У f{n)(x-h\/t)dt.
о
11. Покажите, что важная формула (9) замены переменной в интеграле
остается в силе и без предположения монотонности функции замены.
436
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
§ 4. Некоторые приложения интеграла
Использование интеграла в приложениях часто происходит по одной
и той же схеме, которую по этой причине полезно изложить один раз в
чистом виде. Этому посвящен первый пункт настоящего параграфа.
1. Аддитивная функция ориентированного промежутка и
интеграл. Обсуждая в § 2 свойство аддитивности интеграла, мы вве-
ли понятие аддитивной функции ориентированного промежутка. На-
помним, что это функция (а, (3) /(а, /3), которая каждой упорядочен-
ной паре (а,/3) точек а, /3 Е [а, Ь] фиксированного отрезка [а, Ь] ставит
в соответствие число I(а, /3), причем так, что для любой тройки точек
а. (3-7 Е [а, Ь\ выполнено равенство
1(а,7)=Да,^) + ОД7). (1)
Из (1) при а = /3 = 7 следует, что 1(а, а) = 0, а при а = 7 получаем,
что 1(а,/3) + 1(/3,а) = 0, т.е. 1(а,/3) = —Ц/3,а). В этом сказывается
влияние порядка точек а, /3.
Полагая
•Р(ж) = 1(а, х),
в силу аддитивности функции I имеем
!(<*, /3) = 1(а, /3) - 1(а, а) =
Таким образом, каждая аддитивная функция ориентированного
промежутка имеет вид
/(«,/?)= JF(/3)-JF(a), (2)
где х i-> ?(х) —функция точки отрезка [а, &].
Легко проверить, что верно и обратное, т.е. что любая функция
х i-> ^{х), определенная на отрезке [а, Ь], порождает по формуле (2) ад-
дитивную функцию ориентированного промежутка.
Приведем два типичных примера.
X
Пример 1. Если / 6 Т1\а, Ь], то функция ?(х) = f f(t) dt порожда-
ет, в силу формулы (2), аддитивную функцию °
д
№) = I f(t)dt.
а
§ 4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
437
Заметим, что в данном случае функция ?(х) непрерывна на отрез-
ке [а, Ь].
Пример 2. Пусть отрезок [0,1] есть невесомая струна с бусинкой
единичной массы, прикрепленной к струне в точке х = 1/2.
Пусть ?(х) есть масса, находящаяся на отрезке [0, х\ струны. Тогда
по условию
при х < 1/2,
при 1/2 X 1.
Физический смысл аддитивной функции
при /3 > а — масса, попавшая в полуинтервал ]а, /3].
Поскольку функция Р разрывна, аддитивная функция 1(а, /3) в рас-
сматриваемом случае не может быть представлена как интеграл Ри-
мана от некоторой функции—плотности массы. (Эта плотность, т.е.
предел отношения массы промежутка к его длине, должна была бы рав-
няться нулю в любой точке отрезка [а, Ь], кроме точки х = 1/2, где она
должна была бы быть бесконечной.)
Теперь докажем полезное для дальнейшего достаточное условие то-
го, что аддитивная функция порождается интегралом.
Утверждение 1. Пусть аддитивная функция I{а,0), определен-
ная для точек а, /3 отрезка [а, Ь], такова, что существует функ-
ция f Е 7£[а, Ь], связанная с I следующим образом: для любого от-
резка [а, [3] такого, что а а < /3 Ь, выполняется соотношение
inf f(x)(J3 —а) < I(a,/3) < sup f(x)(/3-a).
a:€[a,/3] хе[а,/3]
Тогда
ь
1(а,Ь) = У f(x)dx.
а
◄ Пусть Р — произвольное разбиение а = xq < ... < хп — Ь отрез-
ка [а,Ь];тг= inf f(x), Мг = sup /(ж).
Для каждого отрезка [хг-1,хг] разбиения Р имеем по условию
mtAxt 1(хг-1,хг) МгЛхг.
438
ГЛ VI ИНТЕГРАЛ
Суммируя эти неравенства и пользуясь аддитивностью функции
1(а,0), получаем
п п
тпгЬ.хг < 1(а, Ь) < ^Мг/\хг.
i=i i=i
Крайние члены в последнем соотношении суть знакомые нам ниж-
няя и верхняя суммы Дарбу функции /, соответствующие разбиению Р
отрезка [а, Ь]. При А(Р) —> 0 обе они имеют своим пределом интеграл
от f по отрезку [а, Ь]. Таким образом, переходя к пределу при А(Р) -> О,
получаем, что
ь
1(а,Ь) — У f(x)dx. ►
а
Продемонстрируем теперь утверждение 1 в работе.
2. Длина пути. Пусть частица движется в пространстве R3, и
пусть известен закон ее движения r(i) = (x(t),y(t),z(t)), где x(t), y(t),
z(t) —прямоугольные декартовы координаты точки в момент вре-
мени t.
Мы хотим определить длину 1[а, Ь] пути, пройденного точкой за про-
межуток времени а t Ь.
Уточним некоторые понятия.
Определение 1. Путем в пространстве R3 называется отображе-
ние 11-> y(t), z(t)) числового промежутка в пространство R3, зада-
ваемое непрерывными на этом промежутке функциями x(t), y(t), z(t).
Определение 2. Если 1i-> (x(t), y(t),z(t)) есть путь, для которого
областью изменения параметра t является отрезок [а, Ь], то точки
А = (ж(а), у(а), z(a)), В = (ж(Ь), y(b), z(b))
пространства R3 называются соответственно началом и концом пути.
Определение 3. Путь называется замкнутым, если он имеет и
начало, и конец и эти точки совпадают.
Определение 4. Если Г: Z —> R3 —путь, то образ Г(/) промежут-
ка I в пространстве R3 называется носителем пути.
§ 4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
439
Носитель абстрактного пути может оказаться вовсе не тем, что мы
хотели бы назвать линией. Существуют примеры путей, носители ко-
торых, например, содержат целый трехмерный куб (так называемые
«кривые» Пеано). Однако если функции x(t), y(t), z(t) достаточно ре-
гулярны (как, например, в случае механического движения, когда они
дифференцируемы), то ничего противоречащего нашей интуиции, как
можно строго проверить, заведомо не произойдет.
Определение 5. Путь Г: I -> R3, для которого отображение I
-> Г(1) взаимно однозначно, называется простым путем или параме-
тризованной кривой, а его носитель — кривой в R3.
Определение 6. Замкнутый путь Г: [а, Ь] -+ R3 называется про-
стым замкнутым путем или простой замкнутой кривой, если путь
Г: [а, Ь] —> R3 является простым.
Значит, простой путь отличается от произвольного пути тем, что
при движении по его носителю мы не возвращаемся в прежние точ-
ки, т. е. не пересекаем свою траекторию нигде, кроме, быть может, ее
конца, если простой путь замкнут.
Определение 7. Путь Г: I -> R3 называется путем данного клас-
са гладкости, если задающие его функции x(t), y(t), z(t) принадлежат
указанному классу.
(Например, классу С[а, Ь], Ь] или С'^[а, Ь].)
Определение 8. Путь Г: [а, &] -> R3 называется кусочно гладким,
если отрезок [а, Ь] можно разбить на конечное число отрезков, на ка-
ждом из которых соответствующее ограничение отображения Г зада-
ется непрерывно дифференцируемыми функциями.
Именно гладкие пути, т. е. пути класса С'^1\ и кусочно гладкие пути
мы и будем сейчас рассматривать.
Вернемся к исходной задаче, которую теперь можно сформулиро-
вать как задачу определения длины гладкого пути Г: [а, Ь] —> R3.
Наши исходные представления о длине Z[ct, /3] пути, пройденного в
промежуток времени а t /3, таковы: во-первых, если а < (3 < 7, то
Z[a,7] = 1[а,0\ + /[/?, 7],
440
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
и, во-вторых, если v(t) = (i(t),y(t),i(t)) есть скорость точки в мо-
мент t, то
inf |v(t)|(/3-a) < Z[a,/3] < sup |v(f)|(/? — а).
a:€[a,/3] а:€[а,/3]
Таким образом, если функции x(t), y(t), z(t) непрерывно дифферен-
цируемы на [а, Ь], то в силу утверждения 1 мы однозначно приходим к
формуле
ъ ь
/[а, Ь] = У |v(i)|di = j \/i2(i) + y2(f) + i2(i) dt, (3)
a a
которую и принимаем теперь как определение длины гладкого пути
Г: [a,b] —>R3.
Если z(t) = 0, то носитель пути лежит в плоскости и формула (3)
приобретает вид
ь
Z[a, Ь] = У \/x2(t) + y2(t')dt. (4)
а
Пример 3. Опробуем формулу (4) на знакомом объекте. Пусть
точка движется в плоскости по закону
х = R cos 2л t,
у = R sin 2л£.
За промежуток времени [0,1] точка один раз пробежит окружность
радиуса R, т. е. пройдет путь длины 2irR, если длина окружности вы-
числяется по этой формуле.
Проведем расчет по формуле (4):
1
Z[0,1] = у* у/ (—2л7? sin27ri)2 + (2л7? cos 2 л#)2 dt = 2ttR.
о
Несмотря на ободряющее совпадение результатов, проведенное рас-
суждение содержит некоторые логические пробелы, на которые стоит
обратить внимание.
§4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
441
Функции cos а и sin а, если принять их школьное определение, суть
декартовы координаты образа р точки ро = (1,0) при повороте на
угол а.
Величина а с точностью до знака измеряется длиной дуги окруж-
ности х2 + у2 = 1, заключенной между ро и Р- Таким образом, при этом
подходе к тригонометрическим функциям их определение опирается
на понятие длины дуги окружности и, значит, вычисляя выше длину
окружности, мы совершили в известном смысле логический круг, за-
дав параметризацию окружности в виде (5).
Однако эта трудность, как мы сейчас увидим, не принципиальная,
ибо параметризацию окружности можно задать, вовсе не прибегая к
тригонометрическим функциям.
Рассмотрим задачу о вычислении длины графика функции у = f{x),
определенной на некотором отрезке [а, Ь] С R. Имеется в виду вычисле-
ние длины пути Г: [а, Ь] —> R2, имеющего специальный вид параметри-
зации
ж (ж,/(ж)),
из которого можно заключить, что отображение Г: [а, Ь] -+ R2 взаим-
но однозначно. Значит, по определению 5 график функции есть кри-
вая в R2.
Формула (4) в данном случае упрощается, поскольку, полагая в ней
х = t, у = f(t), получаем
ь
l[a,b] = I y/l + [f'(x)]2dt. (6)
а
В частности, если рассмотреть полуокружность
у = \/1 — ж2; — 1 а? < 1,
окружности х2 + у2 = 1, то для нее получим
Но под знаком последнего интеграла стоит неограниченная функция
и, значит, он не существует в традиционном, изученном нами смысле.
442
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
Означает ли это, что полуокружность не имеет длины? Пока это толь-
ко означает, что указанная параметризация полуокружности не удо-
влетворяет условиям непрерывности функций х, у, при которых была
выписана формула (4), а значит, и формула (6). Поэтому нам следует
либо подумать о расширении понятия интеграла, с тем чтобы интеграл
в (7) получил определенный смысл, либо перейти к параметризации,
удовлетворяющей условиям применимости формулы (6).
Заметим, что если взятую параметризацию рассматривать на лю-
бом отрезке вида [—1 + <5,1 — <5], где —1 < —1 + <5 < 1 — <5 < 1, то на нем
формула (6) применима и по ней находим длину
1-6
<[-1 + 5,1-*] = [
J V 1 — xz
-1+5
дуги окружности, лежащей над отрезком [—1 + <5,1 — <5].
Естественно поэтому считать, что длина I полуокружности есть
предел ^lim^ /[—1 + <5,1 — <5]. В таком же смысле можно понимать и инте-
грал в соотношении (7). Этим естественно возникающим расширением
понятия интеграла Римана мы подробнее займемся в следующем пара-
графе.
Что же касается рассматриваемого конкретного вопроса, то, даже
“ 1 11
не меняя параметризацию, можно наити, например, длину I — I дуги
единичной окружности, опирающейся на хорду, конгруэнтную радиусу
окружности. Тогда (уже из геометрических соображений) должно быть
Заметим также, что
dx
\/1 — х2
J V1 — xz J
- I / xdJl- °2/
поэтому
1-5
Я—1+<5,1—<51 = 2 / \/1 — x2dx — (х\/1 — х2\ I
J V /1-1+5
-1+5
§ 4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
443
Таким образом,
1
I = lim l[—1+<5,1—<Я = 2 f \/1 — х2 dx.
<5—>+0 J
-1
Длина полуокружности единичного радиуса обозначается симво-
лом л, и мы приходим к следующей формуле:
1
л = 2 у/}. — х2 dx.
-1
Последний интеграл есть обычный (а не обобщенный) интеграл Ри-
мана, и его можно вычислить с любой точностью.
Если для х Е [—1,1] величину l[x, 1] назвать arccos ж, то в силу про-
веденных выше выкладок
f dt
arccosa;= / —... ,
J
X
или
arccos х = ху/1 — х2 + 2 J у/1 — t2 dt.
X
Если считать длину дуги первичным понятием, то первичными на-
до считать функцию х arccos х, введенную только что, и функцию
х н- arcsin ж, которую можно ввести аналогично, а функции х cos ж
и х sin х тогда можно получить как им обратные на соответству-
ющих отрезках. В сущности, именно это и делается в элементарной
геометрии.
Пример с длиной полуокружности поучителен не только тем, что,
разбирая его, мы сделали, быть может, небесполезное для кого-то заме-
чание об определении тригонометрических функций, но еще и тем, что
он естественно порождает вопрос о том, не зависит ли вообще опре-
деленное формулой (3) число от выбора системы координат х, у, z и
параметризации кривой, когда речь идет о длине кривой.
Оставляя читателю анализ роли пространственных декартовых ко-
ординат, рассмотрим здесь роль параметризации.
Уточним, что под параметризацией некоторой кривой в R3 мы под-
разумеваем задание простого пути Г: I —> R3, носителем которого
444
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
является данная кривая. Точку или число t Е I называют параметром,
а промежуток I—областью изменения параметра.
Если V: I -+ £, и Г: I—> £ — два взаимно однозначных отображе-
ния с одним и тем же множеством значений £, то естественно возни-
кают взаимно однозначные отображения Г-1 о Г: I -> I, Г-1 о Г: I -> I
между областями определения I и I этих отображений.
В частности, если имеются две параметризации одной кривой, то
между самими параметрами t Е I, т El устанавливается естественное
соответствие t = t(r) или т = r(t), позволяющее по параметру точки
в одной параметризации определять ее же параметр в другой параме-
тризации.
Пусть Г: [а, Ь] -+ £ и Г: [а, /3] -> £ — две параметризации одной
кривой с соответствием Г(а) = Г (а), Г(Ь) — F(/3) начала и конца. Тогда
функции t = i(r), т = r(t) перехода от одного параметра к другому
будут непрерывными, строго монотонными отображениями отрезков
а т /3 друг на друга с соответствием начал а о а и
концов b о /3.
Если кривые Г и Г при этом задавались такими тройками (x(t), y(t),
(£(f),y(f),z(t)) гладких функций, что [v(t)|2 = i2(i) + y2(t) +
+i2(i) Она [а, Ь] и |v(r)|2 = x (r)+y (т)+5 (т) Она [a, /3], то можно
проверить, что в этом случае функции перехода t = i(r) и т = r(t)
будут гладкими функциями, имеющими положительную производную
на отрезке своего определения.
Мы не станем сейчас заниматься проверкой этого утверждения, оно
будет в свое время получено как одно из следствий важной теоремы
о неявной функции. В данный же момент высказанное утверждение
служит скорее мотивировкой следующего определения.
Определение 9. Говорят, что путь Г: [a, (3\ -> R3 получен из пу-
ти Г: [а,Ь] -+ R3 допустимым изменением параметризации, если су-
ществует такое гладкое отображение Т: [о, /3] -> [а, &], что Г (а) = а,
ТЦЗ) = Ь, Г(т) > 0 на [а, /3] и Г = Г о Т.
Проверим теперь следующее общее
Утверждение 2. Если гладкий путь Г: [а,/3] -> R3 получен из
гладкого пути Г: [а,Ь] —> R3 допустимым изменением параметриза-
ции, то длины этих путей совпадают.
§4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
445
◄ Пусть Г: [а,/3] —> R3 и Г: [а,Ь] —> R3 задаются соответственно
тройками т (ж(т),у(т),5(т)) иЫ (s(<),y(<),z(<)) гладких функций,
a t = £(т)— допустимое изменение параметризации, при котором
х(т) = x(t(r)), у(т) = y(t(r)), z(t) =
Используя определение (3) длины пути, правило дифференцирова-
ния композиции функций и правило замены переменной в интеграле,
имеем
ь
У" -Уi2 (t) + У2 (<) + -г2 (i) dt =
а д
= У* i/i2(t(r)) + у2(<(т)) +i2(<(r))<'(r)dT =
а
р
= f \/[4«r))i'(r)]2 + [j(i(r))«'(r)]2 + [4(«(r))i'(r)]2 * =
= j \Jx2(r) + £2(t) + z2(t) dr. ►
а
Итак, в частности, показано, что длина кривой не зависит от ее
гладкой параметризации.
Длину кусочно гладкого пути определяют как сумму длин гладких
путей, на которые он подразделяется; поэтому легко проверить, что и
длина кусочно гладкого пути не меняется при допустимом изменении
его параметризации.
Заканчивая обсуждение понятия длины пути и длины кривой (о ко-
торой мы после утверждения 2 теперь вправе говорить), рассмотрим
еще один
Пример 4. Найдем длину эллипса, задаваемого каноническим
уравнением
2 2
3 = 1 (о > Ь > 0). (8)
az tr
Взяв параметризацию х = a sin ip, у = b cos ip, 0 ip 2тг, получаем
2тг 2тг
I = у* (a cos V’)2 + {—bsvaip')2 dip = j \/а2 — (а2 — b2)sin2ip dip =
о о
446
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
= 4а
_______ тг/2
sin2 'фд'ф = 4а у/1 — Ar2sin2^ di/),
о
9 h2
где Аг = 1 — — квадрат эксцентриситета эллипса.
а2
Интеграл
v
Е(к, <р) = f \/1 — A:2sin2-0 dif)
о
не выражается в элементарных функциях и ввиду указанной связи с
эллипсом называется эллиптическим. Точнее, Е(к. </?) — эллиптический
интеграл второго рода в форме Лежандра. Значение, которое он при-
нимает при = л/2, зависит только от А:, обозначается через E(k) и
называется полным эллиптическим интегралом второго рода. Итак,
Е(к) = Е(к, л/2), поэтому длина эллипса в этих обозначениях имеет
вид I = 4а.Е(А:).
3. Площадь криволинейной трапеции. Рассмотрим фигуру
аАВЬ (рис. 48), называемую криволинейной трапецией. Фигура огра-
ничена вертикальными отрезками аА, ЬВ, отрезком [а, 6] оси абсцисс и
кривой АВ, являющейся графиком некоторой интегрируемой на [а, 6]
функции у = f(x).
Пусть [а, /3] —отрезок, содержащийся в
[а, 6]. Обозначим через S(a, /3) площадь со-
ответствующей ему криволинейной трапе-
ции af(a)f(j3)[3.
Наши представления о площади таковы:
если а^а<0<7<,Ь, то
5(а,7) = 5(а,/3) + 5(^,7)
(аддитивность площади) и
inf /(ж)(0 - а) S(a, fi) < sup /(ж)(/3 - а)
хе[а,)3]
(площадь объемлющей фигуры не меньше площади объемлемой).
§4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
447
Значит, в силу утверждения 1, площадь указанной фигуры надо вы-
числять по формуле
f(x)dx.
(9)
Пример 5. Используем формулу (9) для подсчета площади элли-
пса, заданного каноническим уравнением (8).
В силу симметрии фигуры и предполагаемой аддитивности площа-
ди, достаточно найти площадь только той части эллипса, которая рас-
положена в первом квадранте, и затем учетверить полученный резуль-
тат. Проведем вычисления:
тг/2
f \/1 — sin2ta cos tdt =
о
тг/2 тг/2
= 4а6 f cos2 tdt = 2ab j (1 — cos2t) dt = тг ab.
о о
По дороге мы сделали замену х = asint, 0 t тг/2.
Итак, S = тгаЬ. В частности, при а = b = R получаем формулу тгБ?
площади круга радиуса R.
Замечание. Необходимо отметить, что формула (9) дает площадь
криволинейной трапеции при условии, что /(ж) 0 на [а, Ь]. Если же
/—произвольная интегрируемая функция, то интеграл (9), очевид-
но, даст алгебраическую сумму площадей соответствующих криволи-
нейных трапеций, лежащих над и под осью абсцисс. Причем площади
трапеций, лежащих над осью абсцисс, будут суммироваться со знаком
плюс, а площади трапеций, лежащих под осью, — со знаком минус.
4. Объем тела вращения. Пусть теперь изображенная на рис. 48
криволинейная трапеция вращается вокруг отрезка [а, &]. Определим
объем получающегося при этом тела.
Обозначим через V(а, (3) объем тела, полученного вращением криво-
линейной трапеции af(a)f(j3)/3 (см. рис. 48), отвечающей отрезку
М С [а, Ь].
448
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
По нашим представлениям об объеме, должны быть справедливы
следующие соотношения: если а^.а</3<'у^:Ь, то
V(a,7) = V(a,/3) + V(/3,7)
И / \2 / \2
л ( inf /(ж)] (/3 — а) У(а,/3) 7г( sup /(ж)] (/3 —а).
\а;С[а',/3] / \xG[a,)3] /
В последнем соотношении мы оценили объем V(а, /3) через объемы
вписанного и описанного цилиндров и воспользовались формулой объ-
ема цилиндра (которую нетрудно получить, если уже найдена площадь
круга).
Тогда в силу утверждения 1
ь
V(a, b) = 7г f2(x)dx. (10)
а
Пример 6. Вращением вокруг оси абсцисс полукруга, ограничен-
ного отрезком [—/?,!?] этой оси и дугой окружности у = y/R? — х2,
—R х С R, можно получить трехмерный шар радиуса R, объем кото-
рого легко вычислить по формуле (10):
R
V - 7г J (R2 — ж2) dx —
—R
Подробнее об измерении длин, площадей и объемов будет сказано в
части II курса. Тогда же мы решим и вопрос об инвариантности данных
определений.
5. Работа и энергия. Энергетические затраты, связанные с пере-
мещением тела под действием постоянной силы в направлении действия
силы, измеряют произведением F • S величины силы на величину пере-
мещения. Эта величина называется работой силы на данном перемеще-
нии. В общем случае направление данной силы и перемещение могут
быть неколлинеарны (например, везем за веревочку санки), и тогда ра-
бота определяется как скалярное произведение (F, S) вектора силы и
вектора перемещения.
Рассмотрим некоторые примеры вычисления работы и использова-
ния связанного с ней понятия энергии.
§4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
449
Пример 7. Работа, которую нужно совершить против силы тяже-
сти, чтобы поднять вертикально вверх тело массы т с уровня hi над
поверхностью Земли на уровень /i2> в силу данного определения равна
m^(/i2 — hi). Предполагается, что вся операция происходит у поверх-
ности Земли, когда изменением силы тяжести тд можно пренебречь.
Общий случай разобран в примере 10.
Пример 8. Пусть имеется идеально упругая пружина, один ко-
нец которой закреплен в точке 0 числовой оси, а другой находится в
точке х. Известно, что сила, с которой при этом приходится удержи-
вать этот конец пружины, равна кх, где к — коэффициент жесткости
пружины.
Вычислим работу, которую надо совершить, чтобы переместить по-
движный конец пружины из положения х = а в положение х = Ь.
Считая работу Л(а, /3) аддитивной функцией промежутка [о,/3] и
принимая, что верны оценки
inf (кх)(/3 — а) < А(а,/3) < sup (кх)(/3 — а),
получаем в силу утверждения 1, что
Г кх2 Ь
Л(а, b) = I kxdx = —- .
J а
а
Это работа против силы. Работа же самой силы пружины на том
же перемещении отличается только знаком.
Функция U(x) = которую мы нашли, позволяет вычислять ра-
боту, которую мы совершаем, меняя состояние пружины, а значит, и ту
работу, которую пружина может совершить при возвращении в исход-
ное состояние. Такая функция U(ж), зависящая только от конфигурации
системы, называется потенциальной энергией системы. Из построения
видно, что производная от нее дает силу пружины с обратным знаком.
Если точка массы т движется вдоль оси под действием указанной
упругой силы, то ее координата x(t) как функция времени удовлетво-
ряет уравнению
тх = —кх. (И)
Мы уже однажды проверяли (см. гл. V, § 6, п. 6), что величина
^ + ^. = K(t) + U(x(t))=E, (12)
450
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
представляющая из себя сумму кинетической и (как мы теперь пони-
маем) потенциальной энергий системы, остается во время движения
постоянной.
Пример 9. Теперь рассмотрим еще один пример. В нем встретит-
ся сразу целый ряд понятий, которые мы ввели и освоили в дифферен-
циальном и интегральном исчислении.
Заметим сначала, что по аналогии с функцией (12), записанной для
конкретной механической системы, удовлетворяющей уравнению (11),
для произвольного уравнения вида
s(f) = /(s(t)),
(13)
где /(s)—заданная функция, можно проверить, что сумма
S2
-^ + U(s) = E (14)
не меняется со временем, если U'(s) =
Действительно,
dE
dt
Ids2 dU(s)
2 dt dt
dU ds .... .. ..
= ss + ~f~ • -г. = Ф - f(s ) = 0.
ds dt
Таким образом, из (14), считая Е постоянной величиной, последо-
вательно находим
s = ±у/2(Е - U(s))
(где знак корня должен соответствовать знаку производной ^|), затем
Следовательно, используя закон сохранения «энергии» (14) уравне-
ния (13), нам удалось в принципе решить это уравнение, но найдя не
функцию s(i), а обратную к ней функцию t(s).
§ 4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
451
Уравнение (13) возникает, например, при описании движения точки
вдоль заданной кривой. Пусть частица перемещается под действием
силы тяжести по узкому идеально гладкому желобу (рис. 49).
Пусть s(t)—расстояние вдоль желоба (т.е. длина пути) от неко-
торой фиксированной точки О — начала отсчета — до точки, в кото-
рой находится частица в момент t. Ясно, что тогда s(<) есть величи-
на скорости частицы, a s(t)— величина тангенциальной составляющей
ее ускорения, которая должна равняться величине тангенциальной со-
ставляющей силы тяжести в данной точке желоба. Ясно также, что
тангенциальная составляющая силы тяжести зависит только от точки
желоба, т. е. зависит только от s, ибо s можно считать параметром, па-
раметризующим кривую1^, с которой мы отождествляем желоб. Если
зту составляющую силы тяжести обозначить через /(s), то мы полу-
чим, что
ms = f(s).
Для данного уравнения сохраняться будет величина
^ms2 + U(s) = Е,
где Z7'(s) = -/(s).
Поскольку слагаемое ^ms2 есть кинетическая энергия точки, а дви-
жение вдоль желоба происходит без трения, то можно, минуя вычисле-
ния, догадаться, что функция U(s) с точностью до постоянного слага-
емого должна иметь вид mgh(s), где mgh(s)—потенциальная энергия
точки, находящейся на высоте h(s) в поле тяжести.
Если в начальный момент t = 0 было s(0) = 0, s(0) = sq и /z(sq) = ho,
то из соотношения
— = s2 + 2gh(s) = С
т
находим, что С = 2gh(so), поэтому s2 = 2g(ho — /i(s)),
3
f ds
J y/2g(ho - h(s))
so
(15)
^Параметризация кривой посредством ее же длины называется натуральной, а з
в этом случае называют натуральным параметром.
452
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
В частности, если, как в случае маятника, точка движется вдоль
окружности радиуса R, отсчет длины s ведется от нижней точки О
окружности, а начальные условия состоят в том, что при t = 0 з(0) = О
и дан начальный угол —</?о отклонения (рис. 50), то, как легко прове-
рить, выражая s и h(s) через угол отклонения ip, получим
s
ds
Rdip
J y/2g(h0 - h(s)) J
so -<po
y/2gR(cos V’ — cos V’o)'
или
d'ip
(16)
2 V 9 -J, Jsin2 — sin2
—<po у 2 2
Таким образом, для полупериода качания маятника получаем
<po
5T =
Z / (17)
\/s'"2 ™ - ИИ2 ?
откуда после подстановки ~ s*n^ Ha"
ходим
тг/2
г de
J v^l — fc2sin2#’
0
(18)
где к2 = sin2
Напомним, что функция
dO
’ J \/1 — fc2sin20
о
называется эллиптическим интегралом первого рода в форме Лежан-
дра. При ip = 7г/2 она зависит только от к2, обозначается К (к) и назы-
вается полным эллиптическим интегралом первого рода. Таким обра-
зом, период колебаний маятника равен
(19)
T = 4
t =
T = 4
§ 4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
453
Если угол </?о начального отклонения мал, то можно положить к — О
и тогда получим приближенную формулу
(20)
Теперь, когда формула (18) получена, все же следует проанализиро-
вать весь ход рассуждений, и тогда мы заметим, что под знаками ин-
тегралов (15) - (17) стоят неограниченные на отрезке интегрирования
функции. Подобная трудность нам уже встречалась при рассмотрении
длины кривой, и мы примерно представляем себе, как и какой смысл
можно придать интегралам (15)-(17).
Но раз этот вопрос возник вторично, то его следует разобрать в
точной математической постановке, что и будет сделано в следующем
параграфе.
Пример 10. Тело массы т совершает подъем над поверхностью
Земли по траектории t (т(<), ?/(<), z(t\), где t — время, а t < b, а х,
y.z — декартовы координаты точки в пространстве. Необходимо вычи-
слить работу тела против силы тяжести на промежутке времени [а, 5].
Работа Л(а,/?) есть аддитивная функция промежутка [а, 0] С [а, Ь].
Постоянная сила F при действии на тело, движущееся с постоянной
скоростью V, за время h совершает работу (F, vh) = (F, v)h, поэтому
представляется естественной оценка
inf (F(p(t)),«(<))(/3-a) Л(а,/3) sup (F(p(t)), «(<))(/? - а),
где v(t)— скорость тела в момент t, p(t)— точка пространства, в ко-
торой находится тело в момент t, a F(p(i))—сила, которая в точке
р — p(t) действует на тело.
Если функция (F(p(<)), «(<)) окажется интегрируемой, то в силу
утверждения 1 мы должны считать, что
ь
А(а, 5) = J(F(p(t)), «(<)) dt.
а
В нашем случае «(<) = (x(t),y(t),z(t)), и если r(t) — (x(t),y(t),z(t)),
то по закону всемирного тяготения находим
. „тМ GmM ,
F(p) = F(x,y,z) = G-r-^r = 2 ^3/2^*)’
lrl (or + уг + Z2) '
454
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
где М — масса Земли, а ее центр предполагается совпадающим с нача-
лом системы координат.
Тогда
(T2(i)+2/2(t)+^(i))3/2
поэтому
b
У {F,v)(t)dt =
а
(x2(t} + y2(t) + z2(t})'
(x2(t)+y2(t)+z2(t)f2
GmM
(^Ct) + y2(t) + z2(f))1/2
GmM b
kWI a
Итак,
. GmM GmM
Мы обнаружили, что искомая работа зависит только от величин
|г(а) |, | г(Ъ) | удаления тела т от центра Земли в начальный и конечный
моменты времени рассматриваемого промежутка [а, Ь].
Полагая
ТТ( \ GM
получаем, что работа против силы тяжести по перемещению тела массы
m из любой точки сферы радиуса го в любую точку сферы радиуса и
вычисляется по формуле
A-on = m(U(r0) - П(Г1)).
Функция U(r) называется потенциалом Ньютона. Если через R
обозначить радиус Земли, то, поскольку ^4^ = д, функцию U(r) можно
R
переписать в виде
= —
Учитывая это, можно получить следующее выражение для работы,
необходимой для выхода из поля тяготения Земли, точнее, для увода
массы тп с поверхности Земли на бесконечное расстояние от центра
Земли. Под этой величиной естественно понимать предел lim Ацт.
1—>+оо
§4. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
455
Итак, работа выхода:
(gR2 gR2\
А = ARoo = lim ARr = lim m —----------------= mgR.
r^+oo r-»4-OO \ R Г /
Задачи и упражнения
1. На рисунке 51 изображен график зависимости F = F(x) силы, действу-
ющей вдоль оси абсцисс на пробную частицу, находящуюся в точке х этой
оси.
а) Нарисуйте в той же системе координат эскиз потенциала этой силы.
Ь) Изобразите потенциал силы — F(x).
с) Исследуйте, в каком из разобранных
случаев положение хо является устойчивым I
положением равновесия и с каким свойством I
потенциала это связано. I
2. На основе результата примера 10 вы- I
числите скорость, которую должно иметь те- \
ло, чтобы оно вышло из поля тяготения Земли \
(вторая космическая скорость для Земли). -----\
3. На основе примера 9 \
а) выведите уравнение Яф = gsinip коле-
баний математического маятника;
Ь) считая колебания малыми, получите его приближенное решение;
с) определите по приближенному решению период колебаний маятника и
сравните результат с формулой (20).
4. По горизонтальной плоскости равномерно со скоростью v катится без
проскальзывания колесо радиуса г. Пусть в момент t — 0 верхняя точка А
колеса имеет координаты (0,2г) в системе декартовых координат, ось абсцисс
которой лежит в указанной плоскости и направлена по вектору скорости.
а) Запишите закон движения t (#(£), «/(£)) точки А.
Ь) Найдите скорость точки А как функцию времени.
с) Изобразите графически траекторию точки А (эта кривая называется
циклоидой).
d) Найдите длину одной арки циклоиды (длину одного периода этой пери-
одической кривой).
е) Циклоида обладает рядом интересных свойств, одно из которых, от-
крытое Гюйгенсом1), состоит в том, что период колебаний циклоидального
маятника (шарика, катающегося в циклоидальной ямке) не зависит от высо-
ты его подъема над нижней точкой ямки. Попробуйте доказать это, опираясь
^Х. Гюйгенс (1629 - 1695)—нидерландский механик, физик, математик и аст-
роном.
456
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
на пример 9. (См. также задачу 6 следующего параграфа, посвященного не-
собственным интегралам.)
5. а) Исходя из рис. 52, объясните, почему если у = f(x) и х = д(у) —
взаимно обратные непрерывные неотрицательные функции, равные нулю при
х = 0 и у = 0 соответственно, то должно быть выполнено неравенство
ту <
х у
У f(t)dt + У g(t)dt.
о о
Ь) Получите из а) неравенства Юнга
ху -хр -I—у4
Р Q
при х, у 0, р, q > 0, | = 1.
с) Какой геометрический смысл имеет знак равенства в неравенствах за-
дач а) и Ь)?
Рис. 52.
6. Задача Бюффона1^. Число тг можно вычислять сле-
дующим весьма неожиданным способом.
Берем большой лист бумаги, разлинованный парал-
лельными прямыми с шагом h, и бросаем на него, никак
специально не целясь, иголку длины I < h. Пусть мы бро-
сили иголку N раз и пусть п раз из них иголка после
падения пересекала какую-нибудь из прямых линий на
листе. Если число N достаточно велико, то тг яа где
Р= можно трактовать как приближенное значение ве-
роятности того, что при бросании иголка пересечет одну
из линий.
Исходя из геометрических соображений, связанных с вычислением площа-
дей, попробуйте дать удовлетворительное объяснение этому методу вычисле-
ния тг.
§ 5. Несобственный интеграл
В предыдущем параграфе мы уже столкнулись с необходимостью
несколько расширить понятие интеграла Римана. Там же на разборе
конкретной задачи мы составили себе представление о том, в каком
направлении и как это следует сделать. Настоящий параграф посвящен
реализации этих представлений.
^Ж. Л. Л. Бюффон (1707 -1788) — французский естествоиспытатель.
§ 5. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
457
1. Определения, примеры и основные свойства несобствен-
ных интегралов
Определение 1. Пусть функция х н- f{x) определена на проме-
жутке [а, +оо[ и интегрируема на любом отрезке [а, Ь], содержащемся в
этом промежутке.
Величина
+оо 6
/f(x)dx-.= lim / f(x)dx,
6-» 4-оо J
a a
если указанный предел существует, называется несобственным инте-
гралом Римана или просто несобственным интегралом от функции f
по промежутку [а, +оо[.
4-оо
Сам символ J /(ж) dx также называют несобственным интегралом
а
и тогда говорят, что несобственный интеграл сходится, если указан-
ный предел существует, и расходится в противном случае. Таким обра-
зом, вопрос о сходимости несобственного интеграла равносилен вопро-
су о том, определен ли вообще этот несобственный интеграл или нет.
Пример 1. Исследуем, при каких значениях параметра а сходит-
ся или, что то же самое, определен несобственный интеграл
4-оо
Поскольку
Ь /" 1 , I
fdx_ \ Т=ах |х приа/1,
J ха | ь
1 V Inж|х при а = 1,
то предел
ь
f dx 1
hm / — =----------
Ь->4-оо J ха а — 1
1
существует только при а > 1.
Итак,
00
Г dx 1
/ — =------------------------если а > 1,
J ха а — 1
1
458
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
а при других значениях параметра а интеграл (1) расходится, т.е. не
определен.
Определение 2. Пусть функция х f(x) определена на проме-
жутке [а, В[ и интегрируема на любом отрезке [a, b] С [а, В[. Величина
в ь
/f(x)dx:= lim / f(x)dx,
b^B-Oj
a a
если указанный предел существует, называется несобственным инте-
гралом от функции f по промежутку [а, В[.
Суть этого определения состоит в том, что в любой окрестности
конечной точки В функция f может оказаться неограниченной.
Аналогично, если функция хн определена на промежутке] А, Ь]
и интегрируема на любом отрезке [a, b] С ]А, Ь], то по определению
полагают . .
О о
/f(x)dx:= lim f(x)dx
а—>А+0 J
А а
и также по определению полагают
ь
ь
lim [
—оо а
Пример 2. Исследуем, при каких значениях параметра а сходит-
ся интеграл
1
(2)
о
Поскольку при а е]о, 1]
( , если а /1,
Ма,
если а = 1,
а
то предел
1
1
1 — а
а
существует только при а < 1.
§ 5. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
459
Итак, интеграл (2) определен только при а < 1.
Пример 3.
о о
f exdx = lim f exdx = lim = lim (1 — e“) = 1.
J a—>—oo J a—>—oo \ “/ a—>—oo
—oo a
Поскольку вопрос о сходимости несобственного интеграла решает-
ся одинаково как для несобственного интеграла по неограниченному
промежутку, так и для несобственного интеграла от функции, неогра-
ниченной около одного из концов промежутка интегрирования, то в
дальнейшем мы будем рассматривать оба эти случая вместе, введя сле-
дующее основное
Определение 3. Пусть [а, — конечный или бесконечный про-
межуток, а х »-> /(ж) — функция, определенная на нем и интегрируемая
на каждом отрезке [a, b] С [а, а>[. Тогда по определению
w Ь
f f(x) dx lim J f(x)dx, (3)
a a
если указанный предел при b —> ш, b G [a, a>[, существует.
В дальнейшем, если не оговорено противное, рассматривая несоб-
ственный интеграл (3), мы будем предполагать, что подынтегральная
функция удовлетворяет условиям определения 3.
Кроме того, для определенности мы будем пока считать, что не-
собственность интеграла связана только с верхним пределом интегри-
рования. Рассмотрение случая, когда особенность интеграла связана с
нижним пределом, проводится дословно так же.
Из определения 3, свойств интеграла и свойств предела можно сде-
лать следующее заключение о свойствах несобственного интеграла.
Утверждение 1. Пусть х /(ж) и х ь-> д(х) —функции, опре-
деленные на промежутке [а, а>[ и интегрируемые на любом отрезке
[а,Ь] С [а, си[. Пусть для них определены несобственные интегралы
У /(®) dx, (4)
а
У g(x)dx. (5)
460
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
Тогда
а) если ш Е R и f € Л[а,а?], то значения интеграла (4), понимае-
мого как в несобственном, так и в собственном смысле, совпадают;
Ь) при любых А1,Аг б К функция (Ai/ + А2<?)(х) интегрируема в
несобственном смысле на [а, а>[ и справедливо равенство
У(А1/ + А2з)(ж)</а; = Ai /О) cte + А2 g(x) d;
а а а
с) если с Е [а, ал[, то
О) С О>
f f(x)dx = f f(x)dx + f f(x)dx;
a a c
d) если ip: [а,т[ —> [а,а>[—гладкое, строго монотонное отображе-
ние, причем tp(a) = а и —> ш при (3 —> т, /3 Е [а, т[, то несобствен-
ный интеграл от функции t (/ о на [а,т[ существует и
справедливо равенство
ш 7
У /(ж) dx = j\f о <p)(i)^'(i) dt.
а а
◄ а) Следует из непрерывности функции
ь
ЯЬ) = I f(x)dx
а
на отрезке [а,ал], на котором / € 7£[а,ал].
Ь) Следует из того, что при b Е [а, ал[
ь
У (Ai/ + A20)(aO
с) Следует из равенства
ь
dx —
dx,
С
справедливого при любых b, с Е [а, ал[.
§ 5. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
461
d) Следует из формулы
6=¥>(^) &
У /(ж) dx = О ¥>)(t)¥>'(t) dt
a—ip(a) a
замены переменной в определенном интеграле. ►
Замечание 1. К свойствам несобственного интеграла, выражен-
ным в утверждении 1, следует еще добавить весьма полезное прави-
ло интегрирования по частям в несобственном интеграле, которое мы
приведем в следующей формулировке:
Если f,g е С(х)[а ,а>[ и существует предел lim (ф-д)(х}, то
х€[а,ш[
функции f • д' и f • д одновременно интегрируемы или не интегри-
руемы в несобственном смысле на [а,а>[ и в случае интегрируемости
справедливо равенство
W W
У(/ • sz')(я) dx = (/ • 5)(®)|а - У(f'-g)(x)dx,
а а
где
(/•ff)(z)|“= lim (J • g)(x) - (f g)(a).
,u X—HjJ
х€[а,ш[
◄ Это следует из формулы
ь ь
У (/ • dx = (/ • 5)(®)|а - У (/' -9)(x)dx
а а
интегрирования по частям в собственном интеграле. ►
Замечание 2. Из пункта с) утверждения 1 видно, что несобствен-
ные интегралы
(Jj U)
У f(x)dx, У f(x)dx
а с
сходятся или расходятся одновременно. Таким образом, в несобствен-
ных интегралах, как и в рядах, сходимость не зависит от начального
куска ряда или интеграла.
462
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
По этой причине иногда, ставя вопрос о сходимости несобственного
интеграла, вообще опускают тот предел интегрирования, около кото-
рого интеграл не имеет особенности.
При таком соглашении полученные в примерах 1, 2 результаты мож-
но записать так:
+°О
интеграл f сходится только при а > 1;
интеграл J сходится только при а < 1.
+о х
Знак +0 в последнем интеграле показывает, что рассматривается
область х > 0.
Заменой переменной из последнего интеграла сразу получаем, что
интеграл Г ——— сходится только при а < 1.
1о+0 - х0)
2. Исследование сходимости несобственного интеграла
а. Критерий Коши. В силу определения 3, сходимость несобствен-
ного интеграла (3) равносильна существованию предела функции
ь
ДЬ) = [ f(x)dx
(6)
при b —> и), be [а, а>[.
Поэтому справедливо следующее
Утверждение 2 (критерий Коши сходимости несобственного ин-
теграла). Если функция х /(ж) определена на промежутке [а, и
W
интегрируема на любом отрезке [а, b] С [а, си[, то интеграл f f(x)dx
а
сходится тогда и только тогда, когда для любого е > 0 можно ука-
зать В е [а, а>[ так, что при любых bi,&2 € [а,а>[ таких, что В < bi,
В < Ь2, имеет место соотношение
Ь2
Ь1
dx
е.
§ 5. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
463
◄ Действительно, ведь
Ьг i>2 bi
У f(x)dx — У f(x)dx- У f(x)dx = -Г(Ь2) - ^(bi),
61 а а
поэтому выписанное условие есть просто критерий Коши существова-
ния предела функции ТДЬ) при b -> ш, b Е [а, а>[. ►
Ь. Абсолютная сходимость несобственного интеграла
Определение 4. Про несобственный интеграл f f(x) dx говорят,
а
что он сходится абсолютно, если сходится интеграл / |/|(ж) dx.
а
В силу неравенства
Ьг
bl
dx
Ьг
bi
и утверждения 2 можем заключить, что если интеграл сходится абсо-
лютно, то он сходится.
Исследование абсолютной сходимости сводится к исследованию схо-
димости интеграла от неотрицательной функции. Но в этом случае име-
ем
Утверждение 3. Если функция f удовлетворяет условиям опре-
деления 3 и f(x) 0 на [а,о>[, то несобственный интеграл (3) суще-
ствует в том и только в том случае, когда функция (6) ограничена
на [а, а>[.
◄ Действительно, если /(ж) О на [а,о>[, то функция (6) неубыва-
ющая на [а,о>[ и потому она имеет предел при b —>• ш, b Е [а, а>[, если и
только если она ограничена. ►
В качестве примера использования этого утверждения рассмотрим
такое его
Следствие (интегральный признак сходимости ряда). Если х
Н f(x) — определенная на промежутке [1, +оо[ неотрицательная, не-
возрастающая, интегрируемая на каждом отрезке [1, b] С [1,+оо[
464
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
функция, то ряд
оо
22 Я") =/(!) + /(2) + •..
п=1
и интеграл
+оо
J f(x)dx
1
сходятся или расходятся одновременно.
◄ Из приведенных условий вытекает, что при любом п € N выпол-
нены неравенства
п+1
/(п+1)^ J f(x)dx^f(n).
п
После суммирования этих неравенств получаем
k fc+l fa
+ [ f(x)dx
П=1 J n=l
ИЛИ
Sfc+1 - /(1) + 1) Sk,
к b
где Sk = 52 /(n)> a = f f(x)dx. Поскольку Sk и ^(b)—неубываю-
n=l 1
щие функции своих аргументов, то полученные неравенства и доказы-
вают высказанное утверждение. ►
В частности, теперь можно сказать, что результат примера 1 экви-
валентен тому, что ряд
00 1
у:-
па
п=1
сходится только при а > 1.
Наиболее часто используемым следствием утверждения 3 является
следующая
Теорема (теорема сравнения). Пусть функции х f(x), х *-+ д{х)
определены на промежутке [а, +>[ и интегрируемы на любом отрезке
[а, 6] С [а,а>[.
§ 5. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
465
Если на [а,ш[
О f(x) д(х),
то из сходимости интеграла (5) следует сходимость интеграла (4) и
справедливо неравенство
О) О)
J f(x)dx^. J g(x)dx,
а а
а из расходимости интеграла (4) следует расходимость интеграла (5).
◄ Из условий теоремы и неравенств для собственного интеграла
Римана при любом Ъ € [а, ш[ имеем
ь ь
F(b) = J f(x)dx J g(x)dx — Q(b).
а а
Поскольку обе функции Т7, Q неубывающие на [а,ш[, то теорема
следует из написанного неравенства и утверждения 3. ►
Замечание 3. Если про функции /, д, участвующие в теореме,
вместо неравенств 0 f(x) < д(х) известно, что они неотрицательны
на [а, и одного порядка при х ш, х Е [а, ш[, т. е. что найдутся такие
положительные константы ci, сг, что
С1/(ж) < д(х) c2f(x),
то с учетом линейности несобственного интеграла из доказанной тео-
ремы в этом случае можно заключить, что интегралы (4), (5) сходятся
или расходятся одновременно.
Пример 4. Интеграл
+ оо
/y/xdx
Vi + ж4
сходится, так как
sjxdx 1
V1 + ж4 ж3/2
при х —> +оо.
16-4573
466
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
Пример 5. Интеграл 4-оо f COS Ж J X2 1 сходится абсолютно, ибо I COS X 1 1 ж2 1 при х 1. Следовательно, 4-оо +оо Г cos ж Г 1 cos ж J * «J ы 1 1 Пример 6. Интеграл 4-оо Л" 1 д;2 л» сходится, так как е < е при ж > 4-оо +ос 1 1 Пример 7. Интеграл +оо Г dx J Ina расходится, ибо 1 In ж при достаточно больших значениях ж. Пример 8. Интеграл Эйлера dx 1 т2 4-оо , . f 1 , , dx / -ту аж = 1. J xz 1 dx 1 и 1 е dx = -. е с 1 ж
%/! 0 сходится, так как | In sin ж 2 In sin ж dx ~ 11пж| <
при х -> +0.
§ 5. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
467
Пример 9. Эллиптический интеграл
dx
\/(1 — z2)(l — к2х2)
при 0 к2 < 1 сходится, поскольку
y(l-z2)(l-Fz2) ~ х/2(1 - к2) (1 - z)1/2
при х -> 1 — 0.
Пример 10. Интеграл
ч>
f dp
J y/cosO — cosy?
о
сходится, так как
у/cos 0 — cos tp =
. tp + 0 . р — 0
Sin —— sin
y/sinp(p — 0)1/2
при 0 -> p — 0.
Пример 11. Интеграл
(7)
при 0 < Pq < л сходится, поскольку при ф —> ро — 0
sin2 - sin2 ~ V'sinyjo (<Ро ~ ^)1/2-
(8)
Соотношение (7) выражает зависимость периода колебаний матема-
тического маятника от его длины L и начального угла его отклонения,
отсчитываемого от радиуса, идущего в нижнюю точку траектории ка-
чания. Формула (7) является элементарной вариацией формулы (17)
предыдущего параграфа.
Маятник можно себе представлять, например, как невесомый стер-
жень, один конец которого шарнирно закреплен, а другой, с присоеди-
ненной к нему точечной массой, свободен.
468
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
В таком случае можно говорить о любых начальных углах у>о G [0, тг].
При </?о = 0 и </?о = тг маятник качаться вообще не будет, находясь в пер-
вом случае в состоянии устойчивого, а во втором случае в состоянии
неустойчивого равновесия.
Интересно отметить, что из (7) и (8) нетрудно получить, чтоТ -> оо
при <ро -> л — 0, т. е. период колебаний маятника неограниченно растет
по мере приближения его начального положения к верхнему положе-
нию (неустойчивого) равновесия.
с. Условная сходимость несобственного интеграла
Определение 5. Если несобственный интеграл сходится, но не
абсолютно, то говорят, что он сходится условно.
Пример 12. Используя замечание 1, по формуле интегрирования
по частям в несобственном интеграле находим, что
+оо 4-оо 4-оо
/sins , COSS|+°° f COSS , f COSS ,
dx — — I —x—as = — I —dx,
x------------x k/2 J xz J xz
?r/2 ?r/2 тг/2
коль скоро последний интеграл сходится. Но, как мы видели в приме-
ре 5, этот интеграл сходится, поэтому сходится также интеграл
dx.
Вместе с тем интеграл (9) не является абсолютно сходящимся. Дей-
ствительно, при b Е [тг/2, +оо[ имеем
sins
s
ь
1 f cos 2s ,
- I ----------dx.
2 J x
-n/1
(10)
Интеграл
cos 2s
s
dx,
как можно проверить интегрированием по частям, является сходящим-
ся, поэтому при Ъ -> +оо разность в правой части соотношения (10)
§ 5. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
469
стремится к +оо и в силу оценки (10) интеграл (9) не является абсо-
лютно сходящимся.
Приведем теперь один специальный признак сходимости несоб-
ственных интегралов, опирающийся на вторую теорему о среднем и,
значит, в сущности на ту же формулу интегрирования по частям.
Утверждение 4 (признак Абеля - Дирихле сходимости интегра-
ла). Пусть х ь-> /(ж), х i-> д(х) —функции, определенные на проме-
жутке [а,ш[ и интегрируемые на любом отрезке [а, Ь] С [а, а>[. Пусть
д — монотонная функция.
Тогда для сходимости несобственного интеграла
j\f-g)(x)dx (11)
а
достаточно, чтобы выполнялась либо пара условий
ы
«1) интеграл f f(x)dx сходится,
а
Д1) функция g ограничена на [а,ш[,
либо пара условий
ъ
аг) функция = J f(x)dx ограничена на [а,ш[,
а
Дг) функция д(х) стремится к нулю при х —> ш, хЕ [а,ш[.
◄ Для любых 61, &2 € [а, по второй теореме о среднем имеем
i>2 £ t>2
У(/ -gjtxjdx = 5(61) J f(x) dx + 5(62) J f(x)dx,
bi bi f
где £ — точка, лежащая между bi и Ьг- Отсюда в силу критерия Коши
(утверждение 2) заключаем, что интеграл (И) действительно сходится,
если выполнена любая из двух указанных выше пар условий. ►
3. Несобственные интегралы с несколькими особенностя-
ми. До сих пор мы говорили о несобственных интегралах с одной осо-
бенностью, связанной с неограниченностью функции у одного из пре-
делов интегрирования или с неограниченностью самого этого предела.
470
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
Здесь мы укажем, в каком смысле понимаются другие возможные ва-
рианты несобственного интеграла.
Если оба предела интегрирования являются особенностями того или
другого из указанных выше типов, то полагают по определению
(12)
где с — произвольная точка промежутка ]о>1, шг[.
При этом предполагается, что каждый из несобственных интегра-
лов в правой части соотношения (12) сходится. В противном случае
говорят, что интеграл, стоящий в левой части (12), расходится.
В силу замечания 2 и свойства аддитивности несобственного инте-
грала, определение (12) корректно в том смысле, что оно на самом деле
не зависит от выбора точки с € ]о>1,а>2[-
Пример 13.
dx
л/1 — X2
dx
\/1 — ж2
dx
л/1 — X2
|0 , |1 |1
= агс81пж| х + arcsinx|0 = arcsin ж |_х = л.
Пример 14. Интеграл
+оо
J е~х2dx
—ОО
называется интегралом Эйлера - Пуассона, а иногда еще и интегралом
Гаусса. Он, очевидно, сходится в указанном выше смысле. Позже будет
показано, что он равен ^/л.
Пример 15. Интеграл
+оо
О
§ 5. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
471
расходится, поскольку при любом а разойдется по крайней мере один
из двух интегралов
1 4-оо
Г dx Г dx
J ха’ J ха'
О 1
Пример 16. Интеграл
4-оо
/sins
—
ха
о
сходится, если сходится каждый из интегралов
1 4-оо
/sins , Г sins ,
----dx, I -----dx.
xa J xa
0 1
Первый из этих интегралов сходится, если а < 2, ибо
sins 1
ха s“-1
при х -> +0. Второй интеграл сходится при а > 0, что можно прове-
рить непосредственно интегрированием по частям, аналогичным про-
деланному в примере 12, или сославшись на признак Абеля - Дирихле.
Таким образом, исходный интеграл имеет смысл при 0 < а < 2.
В том случае, когда подынтегральная функция не ограничена в
окрестности одной из внутренних точек ш отрезка интегрирования
[а, &], полагают
(13)
требуя, чтобы оба стоящих справа интеграла существовали.
Пример 17. В смысле соглашения (13)
472
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
Пример 18. Интеграл f не определен.
-1
Существует и отличное от (13) соглашение о вычислении интеграла
от функции, неограниченной в окрестности внутренней точки ш отрез-
ка интегрирования. А именно, полагают
если стоящий справа предел существует. Этот предел называют, следуя
Коши, интегралом в смысле главного значения и, чтобы отличить опре-
деления (13) и (14), во втором случае перед знаком интеграла ставят
начальные буквы V. Р. французских слов valeur principal (главное зна-
чение). В англоязычном варианте используется обозначение Р. V. (от
principal value).
В соответствии с этим соглашением имеем
Пример 19.
1
Г dx
-1
Принимается также следующее определение:
(15)
Пример 20.
+оо
V. Р. J xdx = 0.
— ОО
Наконец, если на промежутке интегрирования имеется несколько
(конечное число) тех или иных особенностей, лежащих внутри проме-
жутка или совпадающих с его концами, то неособыми точками проме-
жуток разбивают на конечное число таких промежутков, в каждом из
которых имеется только одна особенность, а интеграл вычисляют как
сумму интегралов по отрезкам разбиения.
§ 5. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
473
Можно проверить, что результат такого расчета не зависит от про-
извола в выборе разбиения.
Пример 21. Точное определение интегрального логарифма те-
перь можно записать в виде
lire = <
V.P. Г Д,
J In I ’
О
если 0 < х < 1,
если 1 < х.
В последнем случае символ V. Р. относится к единственной внутрен-
ней для промежутка ]0, ж] особенности, расположенной в точке 1. Заме-
тим, что в смысле определения (13) этот интеграл не является сходя-
щимся.
Задачи и упражнения
1. Покажите, что функция
X .
a) Si ж — f dt (интегральный синус) определена на R, нечетна и имеет
о
предел при х -> +оо;
ОО .
b) si х = — J dt определена на R и отличается от функции Si х только
на постоянную*
ОО
с) Ci ж = — J dt (интегральный косинус) при достаточно больших зна-
X
нениях ж может вычисляться по приближенной формуле Ci ж а оцените
область тех значений, где абсолютная погрешность этого приближения мень-
ше 10~4.
2. Покажите, что
4-00 , 4-оо
а) интегралы J" dx, f ~~ dx сходятся только при а > 0, причем
сходятся абсолютно только при а > 1;
Ь) интегралы Френеля
у/х у/х
= -^= У cost2dt, S(x) = -^= у sint2dt
о о
являются бесконечно дифференцируемыми функциями в промежутке ]0, +оо[,
причем обе они имеют предел при х -> +оо.
3. Покажите, что
474
ГЛ. VI. ИНТЕГРАЛ
F(k,<p) =
о
ад = j
о
а) эллиптический интеграл первого рода
sin
dt
у/(1 - t2)(l -
определен при 0 С к < 1, 0 и приводится к виду
dip
у/1 — fc2sin2^’
b) полный эллиптический интеграл первого рода
тг/2
dip
\/1 — fc2sin2^
неограниченно возрастает при к -> 1 - 0.
4. Покажите, что
а) интегральная показательная функция (интегральная экспонента)
х t
ЕЦж) = f ^dt определена и бесконечно дифференцируема при х < 0;
—ОО
Ь) -ЕЦ-ж) = (1 - | J - ... + (-1)"^ + °Ш) при*->+°°;
ОО (
с) ряд 53 (-l)n-^j не сходится ни при каком значении х € К;
п=О х
d) Нж ~ при х -> +0. (Определение интегрального логарифма В ж см.
в примере 21.)
5. Покажите, что
1 х _ 2
а) функция Fi(z) = -?= J е_< dt, называемая интегралом вероятности
* ~х
ошибок и часто обозначаемая символом erf (ж) (от англ, error function—функ-
ция ошибок), определена, нечетна, бесконечно дифференцируема на В и имеет
предел при ж —> +оо;
Ь) если упомянутый в а) предел равен единице (а это так), то
. 2 Г _f2 . 2 2 / 1 1 13 1-3-5 / 1 \\
erf (ж) = —т= / е dt=l-----^е I ------ + -т— --------—I- о I — I )
у/kJ у/к \2ж 22ж3 23ж5 24ж7 \х7 J)
о
при ж -> +оо.
6. Покажите, что:
а) Если тяжелая частица под действием силы тяжести скользит вдоль кри-
вой, заданной в параметрическом виде ж = х(0), у = у (6), причем в момент
§ 5. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
475
t = 0 частица имела нулевую скорость и находилась в точке хо — x(0q), у =
= у(0о), то между параметром О, определяющим точку на кривой, и момен-
том t прохождения частицей этой точки имеется связь (см. формулу (15) из § 4)
t = ±
(т'(0))2 + (?/'(0))2
2ff(yo - 2/(0))
ае,
в которой несобственный интеграл заведомо сходится, если г/'(0о) 0 (знак
выбирается в зависимости от того, имеют ли t и 0 одинаковый или противо-
положный характер монотонности, причем если росту t отвечает рост в, то,
разумеется, следует брать знак плюс).
Ь) Период колебания частицы в ямке, имеющей профиль циклоиды
х = R(0 + тг + sin#),
# < 7Г,
у = -R(l + cos0),
не зависит от уровня уо = — _R(1 + cos0o), с которого она начинает скольжение,
и равен ^'Ky/R/g (см. задачу 4 из § 4).
ГЛАВА VII
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ,
ИХ ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
До сих пор мы рассматривали почти исключительно числовые функции
х /(ж), в которых число /(ж) определялось заданием одного числа ж
из области определения функции.
Однако многие величины, представляющие интерес, зависят не от
одного, а от очень многих факторов, и если сама величина и каждый
из определяющих ее факторов могут быть охарактеризованы некото-
рым числом, то указанная зависимость сводится к тому, что упорядо-
ченному набору (ж1,..., хп) чисел, каждое из которых описывает со-
стояние соответствующего фактора, ставится в соответствие значение
у = /(ж1,..., жп) исследуемой величины, которое она приобретает при
этом состоянии определяющих величину факторов.
Например, площадь прямоугольника есть произведение длин его
сторон; объем данного количества газа вычисляется по формуле
где R — постоянная, т — масса, Т — абсолютная температура и р —
давление газа. Таким образом, значение V зависит от переменной упо-
рядоченной тройки чисел (т,Т,р) или, как говорят, V есть функция
трех переменных т, Т и р.
Мы ставим себе целью научиться исследовать функции многих пе-
ременных так же, как мы научились исследовать функции одного пе-
ременного.
§1. ПРОСТРАНСТВО Rm И КЛАССЫ ЕГО ПОДМНОЖЕСТВ
477
Как и в случае функций одного переменного, изучение функций
многих числовых переменных начинается с описания их области опре-
деления.
§ 1. Пространство и важнейшие классы
его подмножеств
1. Множество и расстояние в нем. Условимся через К”1
обозначать множество всех упорядоченных наборов (ж1,... ,хт), состо-
ящих из т действительных чисел хг G Ж (г = 1,..., т).
Каждый такой набор будем обозначать одйой буквой х = (ж1,..., хт)
и в соответствии с удобной геометрической терминологией называть
точкой множества К"1. Число хг в наборе (ж1,..., хт) называют г-й ко-
ординатой точки ж = (ж1,..., жт).
Геометрические аналогии можно продолжить и ввести на множест-
ве Ж"1 расстояние между точками Ж1 = (ж},..., х™), ж2 = (ж^,..., ж™)
по формуле
</(Ж1,Ж2) = A (Ж1 ~ Ж2)2'
(1)
г=1
Функция
rf: Г хГ чй,
определяемая формулой (1), очевидно, обладает следующими свойства-
ми:
а) </(ж1,ж2) > 0;
Ь) (</(ж1,ж2) = 0) О (Ж1 = ж2);
с) а(®1,ж2) = </(ж2,Ж1);
d) d(xi, ж3) < </(ж1, ж2) + </(ж2, ж3).
Последнее неравенство (называемое опять-таки по геометрической ана-
логии неравенством треугольника) есть частный случай неравенства
Минковского (см. гл. V, §4, п. 2).
Функцию, определенную на парах (ж1,ж2) точек некоторого множе-
ства X и обладающую свойствами a), b), с), d), называют метрикой
или расстоянием в X.
Множество X вместе с фиксированной в нем метрикой называют
метрическим пространством.
478
ГЛ. VII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Таким образом, мы превратили Жт в метрическое пространство,
наделив множество Жт метрикой, заданной соотношением (1).
Сведения о произвольных метрических пространствах читатель
сможет получить в главе IX (часть II). Здесь же мы не хотим отвле-
каться от необходимого нам сейчас конкретного метрического проста
ранства Ж”1.
Поскольку в этой главе множество Жт с метрикой (1) будет для
нас единственным метрическим пространством, составляющим объект
изучения, то общее определение метрического пространства нам по су-
ществу пока не нужно. Оно приведено только для пояснения употре-
бляемого по отношению к множеству Жт термина «пространство» и по
отношению к функции (1) термина «метрика».
Из соотношения (1) следует, что при г £ {1,... ,т}
1Ж1 — d(xi,x2) тах I®! — ХЪ\ > (2)
т.е. расстояние между точками хi,X2 G Ж”1 мало в том и только в
том случае, когда мало отличаются соответствующие координаты этих
точек.
Из (2), как и из (1), видно, что при т = 1 множество Ж1 совпадает
с множеством действительных чисел, расстояние между точками кото-
рого измеряется стандартным образом посредством модуля разности
чисел.
2. Открытые и замкнутые множества в Ж"1
Определение 1. При 6 > 0 множество
В(а;<5) = {жеГ |<а,ж) < <5}
называется шаром с центром а G Ж”1 радиуса 6 или также 6-окрестно-
стью точки а € Ж”1.
Определение 2. Множество СсЖто называется открытым в Ж?”,
если для любой точки хЕ G найдется шар В(х-, 6) такой, что В(х', 6) С G.
Пример 1. Ж”1 —открытое множество в Ж"1.
Пример 2. Пустое множество 0 вообще не содержит точек и по-
тому может считаться удовлетворяющим определению 2, т.е. 0— от-
крытое множество в Ж”1.
§ 1. ПРОСТРАНСТВО Rm И КЛАССЫ ЕГО ПОДМНОЖЕСТВ
479
Пример 3. Шар В (а; г) — открытое множество в Ж771.
Действительно, если х G В(а;г), т.е. </(а,ж) < г, то при 0 < 6 <
<r — d(a, х) будет В(х; б) С В(а; г), поскольку
=> (d(a, £) < d(a, х) + d(x, £) < d(a, х) + r — d(a, x) — r).
Пример 4. Множество G = {x G Ж771 | d(a, x) > г}, т. e. совокуп-
ность точек, удаленных от фиксированной точки а € Ж771 на расстояние,
большее чем г, является открытым, что, как и в примере 3, легко про-
верить, используя неравенство треугольника для метрики.
Определение 3. Множество F С Ж771 называется замкнутым
в К71, если его дополнение G = Ж771 \ F в Ж”1 является множеством, от-
крытым в Ж771.
Пример 5. Множество В(а;г) = {х € Ж"1 | d(a,x) < г}, г > О,
т.е. совокупность точек, удаленных от фиксированной точки а С Ж771
не больше чем на г, является замкнутым, что следует из определения 3 и
примера 4. Множество В(а;г) называют замкнутым шаром с центром
а радиуса г.
Утверждение 1. а) Объединение |J Ga множеств любой систе-
аеД
мы {Ga, а С А} множеств, открытых в Ж771, является множеством,
открытым в Ж771.
п
Ь) Пересечение Q Gj конечного числа множеств, открытых в Ж771,
г=1
является множеством, открытым в Ж771.
az) Пересечение Q Fa множеств любой системы {Fa, a G А} мно-
абА
жесте Fa, замкнутых в Ж771, является множеством, замкнутым в Ж771.
п
bz) Объединение |J Fj конечного числа множеств Fi, замкнутых
г=1
в Ж771, является множеством, замкнутым в Ж771.
◄ а) Если х G U Gq, то найдется такое ао € А, что х € GQo,
абА
и, следовательно, найдется такая ^-окрестность В(х',б) точки х, что
В(х-,6) С Gao- Значит, В(х-,б) С U Ga.
аеД
п
Ь) Пусть х G Р) Gj. Тогда х € Gi (i = 1,..., п). Пусть <5i,..., <5n —
г=1
480
ГЛ. VII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
такие положительные числа, что B(x;6i) С Gj (i = 1, ...,п). Полагая
п
6 = min {<51,, <5П}, очевидно, получим, что <5 > 0 и В(х\ <5) С р| Gj.
г=1
az) Покажем, что множество С I Q Fa I, дополнительное к Q Fa
\agA / аеА
в Жт, является открытым подмножеством Ж”1.
Действительно,
с ( П = и (CFa) = и gq,
\абА / абА agA
где Gq ~ CFa открыты в Ж’7’1. Теперь а') следует из а).
Ь') Аналогично, из Ь) получаем
(71 \ 71 71
UFi = П(^)= П Gi. ►
г=1 / i=l г=1
Пример 6. Множество S(a;r) = {ж G R"1 | d(a,x) = г}, г > О,
называется сферой с центром а G Ж”1 радиуса г. Дополнение к 5(а;г)
в Ж”1 в силу примеров 3 и 4 является объединением открытых множеств.
Значит, в силу доказанного утверждения оно открыто, а сфера 5(а;г)
есть замкнутое подмножество Ж™.
Определение 4. Открытое в Ж”1 множество, содержащее данную
точку, называется окрестностью этой точки в Ж”1.
В частности, как следует из примера 3, ^-окрестность точки явля-
ется ее окрестностью.
Определение 5. Точка х G Ж"1 по отношению к множеству Е С
С Ж”1 называется
внутренней точкой Е, если она содержится в Е вместе с некоторой
своей окрестностью;
внешней точкой Е, если она является внутренней точкой дополне-
ния к Е в Жт;
граничной точкой Е, если она не является ни внешней, ни внутрен-
ней точкой множества Е.
Из этого определения следует, что характеристическое свойство
граничной точки множества состоит в том, что в любой ее окрестности
имеются как точки этого множества, так и точки, ему не принадлежа-
щие.
§1. ПРОСТРАНСТВО Rm И КЛАССЫ ЕГО ПОДМНОЖЕСТВ
481
Пример 7. Сфера 5(а; г), г > 0, является множеством граничных
точек как открытого шара В(а;г), так и замкнутого шара В(а;г).
Пример 8. Точка a G Жт является граничной точкой множества
К771 \ а, которое не имеет внешних точек.
Пример 9. Все точки сферы S(a; г) являются ее граничными точ-
ками; внутренних точек множество 5(а;г) как подмножество К771 не
имеет.
Определение 6. Точка a G Ж771 называется предельной точкой
множества Е С Ж771, если для любой окрестности 0(a) точки а пере-
сечение Е П 0(a) есть бесконечное множество.
Определение 7. Объединение множества Е и всех его предель-
ных точек из Ж771 называется замыканием множества Е в Ж771.
Замыкание множества Е обычно обозначают символом Е.
Пример 10. Множество B(a;r) = B(a-,r) U S(a;r) есть множест-
во предельных точек для открытого шара В(а;г), поэтому В(а-,г), в
отличие от В(а-,г), и назвали замкнутым шаром.
Пример 11. S(a-,r) = S(a-,r).
Вместо того чтобы обосновывать последнее равенство, докажем
следующее полезное
Утверждение 2. (F замкнуто в К771) о (F = F в Ж771).
Иными словами, F — замкнутое в Ж771 множество тогда и только
тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.
◄ Пусть F замкнуто в Ж771, х G Ж771 и х F. Тогда открытое множе-
ство G = Ж771 \F является окрестностью точки х, вообще не содержащей
точек множества F. Таким образом, показано, что если х F, то х —
не предельная точка F.
Пусть F = F. Проверим, что множество G — Ж771 \ F открыто в Ж771.
Если х G G, то х F и потому х не является предельной точкой мно-
жества F. Значит, найдется окрестность точки х, в которой имеется
только конечное число точек х±,..., хп множества F. Поскольку х F,
то можно построить, например, шаровые окрестности Oi(x),., Оп(х)
п
точки х так, что Xi £ Oi(x). Тогда О(х) = Q Ог(х) будет откры-
г=1
482
ГЛ. VII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
той окрестностью точки х, которая вообще не содержит точек F, т.е.
О (ж) С Rm \ F и, следовательно, множество Rm \ F = К”1 \ F открыто,
т. е. F замкнуто в Rm. ►
3. Компакты в Rm
Определение 8. Множество К С Rm называется компактом, ес-
ли из любого покрытия К множествами, открытыми в Rm, можно вы-
делить конечное покрытие.
Пример 12. Отрезок [а, 6] С R1 является компактом в К1 в силу
леммы о конечном покрытии.
Пример 13. Обобщением отрезка в Rm является множество
I = {ж G Rm | аг х1 Ьг, г = 1,..., т},
которое называется т-мерным промежутком, m-мерным брусом или
m-мерным параллелепипедом.
Покажем, что I — компакт в Rm.
◄ Предположим, что из некоторого открытого покрытия I нельзя
выделить конечное покрытие. Разделив каждый из координатных от-
резков 1г = {хг G R | а1 ж1 Ь’} (г = 1,... ,гп) пополам, мы разо-
бьем промежуток I на 2т промежутков, из которых по крайней мере
один не допускает конечного покрытия множествами нашей системы.
С ним поступим так же, как и с исходным промежутком. Продолжая
этот процесс деления, получим последовательность вложенных проме-
жутков I = Iy D I2 D ... D In Э . • •, ни один из которых не до-
пускает конечного покрытия. Если 1п = {ж G Rm | агп < хг Ьгп,
i = l,...,m}, то при каждом i Е {1,...,т} координатные отрезки
агп хг Ьгп (n = 1, 2,...) образуют, по построению, систему вложен-
ных отрезков, длины которых стремятся к нулю. Найдя при каждом
i Е {1,...,т} точку G Е [а„, Ь„], общую для всех этих отрезков, по-
лучим точку £ = (£\... , £т), принадлежащую всем промежуткам I —
= Ii, I2, .., 1п, . • Поскольку £ Е I, то найдется такое открытое мно-
жество G нашей системы покрывающих множеств, что £ G G. Тогда
при некотором S > 0 также В(£; S') С G. Но по построению в силу соот-
ношения (2) найдется номер N такой, что In С В(£; д) С G при п > N,
и мы вступаем в противоречие с тем, что промежутки 1п не допускают
конечного покрытия множествами данной системы. ►
§1. ПРОСТРАНСТВО Rm И КЛАССЫ ЕГО ПОДМНОЖЕСТВ
483
Утверждение 3. Если К — компакт в Ж"1, то
а) К—замкнутое множество в Ж”1;
b) любое замкнутое в Rm множество, содержащееся в К, само
является компактом.
◄ а) Покажем, что любая точка a G Ж”1, предельная для К, при-
надлежит К. Пусть а £ К. Для каждой точки х € К построим такую
окрестность G(x), что точка а обладает окрестностью, не имеющей с
G(x) общих точек. Совокупность {G(s)}, х G К, всех таких окрестно-
стей образует открытое покрытие компакта К, из которого выделяется
конечное покрытие G(xi),..., G(xn). Если теперь Ог(а) — такая окрест-
п
ность точки а, что С(хг) П Ог(а) = 0, то множество 0(a) = Q Ог(а)
г=1
также является окрестностью точки а, причем, очевидно, КПО(а) = 0.
Таким образом, а не может быть предельной точкой для К.
Ь) Пусть F — замкнутое в Ж”1 множество и F С К. Пусть {GQ},
a G А, — покрытие F множествами, открытыми в Ж’7’1. Присоединив
к нему еще одно открытое множество G = Ж”1 \ F, получим откры-
тое покрытие Ж”1 и, в частности, К, из которого извлекаем конечное
покрытие К. Это конечное покрытие К будет покрывать также мно-
жество F. Замечая, что G Г) F = 0, можно сказать, что если G входит
в зто конечное покрытие, то, даже удалив G, мы получим конечное
покрытие F множествами исходной системы {GQ}, a G. А. ►
Определение 9. Диаметр ом множества Е С Ж”1 называется ве-
личина
d(E) := sup </(ж1,ж2)-
Х1,Х2^Е
Определение 10. Множество Е С Ж"1 называется ограниченным,
если его диаметр конечен.
Утверждение 4. Если К — компакт в Ж"1, то К — ограничен-
ное подмножество Ж”7.
◄ Возьмем произвольную точку а G Ж”1 и рассмотрим последова-
тельность шаров {В(а- п)} (п = 1,2,...). Они образуют открытое по-
крытие Ж”1, а следовательно, и К. Если бы К не было ограниченным
множеством, то из этого покрытия нельзя было бы извлечь конечное
покрытие К. ►
484
ГЛ. VII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Утверждение 5. Множество К С Rm является компактом в
том и только в том случае, если К замкнуто и ограничено в К"*.
◄ Необходимость этих условий нами уже показана в утверждениях
3 и 4.
Проверим достаточность этих условий. Поскольку К — ограничен-
ное множество, то найдется m-мерный промежуток I, содержащий К.
Как было показано в примере 13, I является компактом в Rm. Но если
К — замкнутое множество, содержащееся в компакте I, то по утвер-
ждению ЗЬ) оно само является компактом. ►
Задачи и упражнения
1. Расстоянием d(E\,E2) между множествами Е1,Е% С Кт называется
величина
d(Ei,E2):= inf d(xi,x2)-
®1ё£'1>а:2ё^'2
Приведите пример замкнутых в Кт множеств Ei, Е2 без общих точек, для
которых d(E1,E2') = 0.
2. Покажите, что
а) замыкание Е в Кт любого множества Е с Rm является множеством,
замкнутым в Кт;
Ь) множество дЕ граничных точек любого множества Е С Rm является
замкнутым множеством;
с) если G — открытое множество в Km, a F замкнуто в Кт, то G \ F—
открытое подмножество Кт.
3. Покажите, что если Ki D К2 D • • • D Кп D ... —последовательность
ОО
вложенных компактов, то р| Ki 0.
г=1
4. а) В пространстве К* двумерная сфера S2 и окружность S1 расположи-
лись так, что расстояние от любой точки сферы до любой точки окружности
одно и то же. Может ли такое быть?
Ь) Рассмотрите задачу а) для произвольных по размерности сфер Sm, Sn
в К*. При каком соотношении между т, п и к описанная ситуация возможна?
§ 2. Предел и непрерывность функции многих переменных
1. Предел функции. В главе III мы подробно изучили операцию
предельного перехода для вещественнозначных функций ft X —> R,
определенных на множестве X, в котором фиксирована база В.
В ближайших параграфах нам предстоит рассматривать функции
ft X —> R”, определенные на подмножествах пространства Rm, со зна-
§ 2. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 485
чениями в R = R1 или вообще в F, п (Е N. Мы сделаем сейчас ряд
добавлений к теории предела, связанных со спецификой этого класса
функций.
Начнем, однако, с общего основного определения.
Определение 1. Точка А (Е Ж” называется пределом отображе-
ния f: X —>• Ж” по базе В в X, если для любой окрестности V(А) этой
точки найдется элемент В (Е В базы В, образ которого f(B) содержится
в V(A).
Короче,
(lim/(ж) = а) := (VV(A) ЭВ е В (f(B) С V(A))).
Мы видим, что определение предела функции f: X —>• Ж” полностью
совпадает с определением предела функции /: X —>• Ж, если мы пред-
ставляем себе, что такое окрестность V(A) точки A G Ж" для любого
п G N.
Определение 2. Отображение f: X —>• Ж” называется ограничен-
ным, если множество /(X) С Ж” ограничено в Ж”.
Определение 3. Пусть В — база в множестве X. Отображение
f-.X—tW1 называется финально ограниченным при базе В, если най-
дется элемент В базы В, на котором f ограничено.
Учитывая эти определения, нетрудно проверить теми же рассужде-
ниями, которые мы провели в главе III, что
функция f: X —>• Ж” может иметь не более одного предела по дан-
ной базе В в X;
функция f:X—t Ж”, имеющая предел по базе В, финально ограни-
чена при этой базе В.
Определение 1 можно переписать также в иной форме, явно исполь-
зующей наличие в Ж.” метрики. А именно,
Определение 1'.
Him/(x) = A е Жп ) := (Ve > О ЭВ е В Vx е В (d(/(x), А) < е))
или
486
ГЛ. VII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Определение 1".
^Ит/(ж) = А Е := (limd(/(2;), А) = о).
Специфическая особенность отображения ft X —> R” состоит в
том, что поскольку точка у 6 R” есть упорядоченный набор (у1,..., уп]
из п вещественных чисел, то задание функции f: X —> R” равносильно
заданию п вещественнозначных функций /г: X —> R (г = 1,... ,п), где
/г(ж) = уг (г = 1, ...,п).
Если А = (А1,..., А”) и у = (у1,..., уп), то справедливы неравен-
ства
\уг - Аг| d(y,A) у/п max \уг - Аг|, (1)
из которых видно, что
lim/(.r) = А <=> 1пп/г(ж) = Аг (г = 1,...,п), (2)
т. е. сходимость в R” покоординатная.
Пусть теперь X = N — множество натуральных чисел, а В—база
к —> оо, к Е N в нем. Функция f: N —> R” в данном случае есть после-
довательность {ук}, к Е N, точек пространства R”.
Определение 4. Последовательность {г/fc}, к Е N, точек ук Е Кп
называется фундаментальной, если для любого е > 0 найдется такое
число N Е N, что при любых к\, к% > N выполнено d/y^, Ук2} < £•
Из неравенств (1) можно заключить, что последовательность то-
чек у к = (?4, • • • € R” фундаментальна тогда и только тогда, ко-
гда фундаментальна каждая из последовательностей {yj.}, к Е N, i =
= 1,..., п, их одноименных координат.
Учитывая соотношение (2) и критерий Коши для числовых последо-
вательностей, можно теперь утверждать, что последовательность то-
чек в R” сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.
Иными словами, критерий Коши справедлив и в пространстве К”.
Впоследствии метрические пространства, в которых каждая фун-
даментальная последовательность имеет предел, мы назовем полными
метрическими пространствами. Таким образом, мы сейчас установили,
что R” при любом п Е N является полным метрическим пространством.
§ 2. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 487
Определение 5. Колебанием функции f: X —>• Rn на множестве
Е С X называется величина
W(/;E) :=d(/(E)),
где d(/(./?)) —диаметр множества f(E).
Как видно, это есть прямое обобщение определения колебания ве-
щественнозначной функции, в которое определение 5 и переходит при
п = 1.
С полнотой R” связано то, что для функций f: X —> Rn со зна-
чениями в R” справедлив следующий критерий Коши существования
предела.
Теорема 1. Пусть X —множество, В — база в X. Функция f :
X -> Ж" имеет предел по базе В в том и только в том случае, когда
для любого числа е > 0 найдется элемент В G В базы, на котором
колебание функции меньше е.
Итак,
31irn/(rr) <=> Ve > О ЭВ Е В (ш(/;В)<е).
Доказательство теоремы 1 дословно повторяет доказательство кри-
терия Коши для числовых функций (гл. III, § 2, теорема 4) с единствен-
ным изменением, сводящимся к тому, что теперь вместо |/(хi) — /(ггг)|
следует всюду писать d(/(rri), /(rr2)).
В справедливости теоремы 1 можно убедиться и иначе, если счи-
тать известным критерий Коши для вещественнозначных функций и
воспользоваться соотношениями (2) и (1).
Для функций со значениями в R” остается в силе также важная
теорема о пределе композиции.
Теорема 2. Пусть Y —множество, Ву — база в Y, g: Y —>• К” —
отображение, имеющее предел по базе Ву.
Пусть X — множество, Вх — база в X, f: X —> У — такое ото-
бражение X в Y, что для любого элемента By G Ву базы Ву найдется
элемент Вх G Вх базы Вх, образ которого f(Bx) содержится в Ву.
При этих условиях композиция g ° f: X —> Ж" отображений fug
определена, имеет предел по базе Вх и
Пт(^о/)(ж) = limff(y).
Вх By
488
ГЛ. VII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Доказательство теоремы 2 можно провести, либо повторив доказа-
тельство теоремы 5 из § 2 гл. III, с заменой там й на й71, либо сослаться
на указанную теорему и воспользоваться соотношением (2).
До сих пор мы рассматривали функции f: X —> йп со значениями
в й71, никак не конкретизируя область их определения X. В дальнейшем
нас прежде всего будет интересовать случай, когда X есть подмноже-
ство пространства й771.
Условимся, что, как и прежде,
U(а) — окрестность точки а (Е й771;
О о
U(a)— проколотая окрестность точки а (Е й771, т.е. U(a) := U(a)\a‘,
UE(a)—окрестность точки а в множестве Е С й771, т.е. UE(a) :=
EHU(a);
О
UE(a) —проколотая окрестность точки а в множестве Е, т.е.
UE(a) :=EnU(a);
х —> а — база проколотых окрестностей точки а в й771;
х —>• оо — база окрестностей бесконечности, т. е. база, состоящая
из множеств й771 \ В(а;г);
х —> а, х (Е Е, или (Е Э х —>• а)—база проколотых окрестностей
точки а в множестве Е, если а — предельная точка для Е;
х —>• оо, х Е Е, или (Е Э х —> оо) —база окрестностей бесконеч-
ности в множестве Е, состоящая из множеств Е \ В (а; г), если Е —
неограниченное множество.
В соответствии с этими обозначениями можно, например, дать сле-
дующие конкретизации определения 1 предела функции, если речь идет
о функции f: Е —>• йп, отображающей множество Е С й771 в йп:
( lim f(x) = А ] := (Ve > 0 3UE(a) VxeUE(a) (d(f(x),A)<E)).
\ЕЭх—Ьа /
Это же можно записать и иначе:
| lim f(x) — А | :=
\ЕЭх-+а К )
= (Ve >0 > 0 Vrr G Е (0 < d(x,a) < д => d(f(x),A) < е)).
Здесь подразумевается, что расстояния d(x,a) и d(f(x), А) измеряются
в тех пространствах (й771 и йп), в которых лежат указанные точки.
§ 2. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 489
Наконец,
Qim /(ж) = А) := (Уе > 0 ЭВ(а;г) Уж е !R77l\B(a;r) (с/(/(ж), А) < е)).
Условимся также, что запись «/(ж) —> оо при базе В» в случае ото-
бражения f: X —>• R” всегда будет означать, что для любого шара
В (А; г) С К” найдется элемент В G В базы В такой, что f(B) С
СГ\В(А;г).
Пример 1. Пусть ж »-> тгг(ж)—отображение тгг: К"1 —> R, состо-
ящее в том, что каждой точке ж = (ж1,..., жто) пространства JR7" ста-
вится в соответствие ее г-я координата жг. Итак,
7г’(ж) = Xi.
Если а = (а1,..., а771), то, очевидно,
7гг(ж) —> аг при ж —> а.
Функция ж i-> 7гг(ж) не стремится ни к конечной величине, ни к
бесконечности при ж —> оо, если т > 1.
Вместе с тем
т
f(x) = 12 (н*)) —> оо при ж —> оо.
г=1
Не следует думать, что предел функции нескольких переменных
можно найти, вычисляя последовательно пределы по каждой из коор-
динат. В этом можно убедиться на следующих примерах.
Пример 2. Пусть функция /: 1R2 —> R в точке (ж, у) G 1R2 опреде-
лена так:
ху
2 , 2 ’
® +г/
о,
У) = <
если ж2 + у2 / О,
если ж2 + у2 = 0.
Тогда /(0,2/) = /(ж,0) = 0, а /(ж, ж) = | при ж / 0.
Таким образом, эта функция не имеет предела при (ж, у) -> (0,0).
Вместе с тем
lim (lim / (ж, у)) = lim(0) = 0,
у-*о Уг-щ v ') y->o 7
lim ( lim /(ж, у) | = lim(O) = 0.
х-+0 \у-+0 )
490
ГЛ. VII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пример 3. Для функции
имеем
2 2
X ~У
Х2 + У2'
0,
если х2 + у2 / О,
если х2 + у2 = О,
f(x,y) =
Пример
/ \ /ж2\
lim I \imf(x,y) ) = lim I —I = 1,
Ybf—>0 ) х^Л\Х2 )
lim f lim f(x, y)) = lim (—= —1.
у—>0 \x-+0 V y^0\ y2)
4. Для функции
/(®, У) =
x + ysin~,
0,
если x / О,
если х - О,
имеем
lim f(x, у) = О,
(х,у)-^(О,О)
lim ( lim/(ж, у) ) = О,
х~>0 \ у—>0 J
и в то же время повторный предел
lim (lim/(ж, У
у—>0 \а?->0
вообще не существует.
Пример 5. Функция
. ч f еСЛИ Я2 + У2/О,
f(x,y) = < х +у
( 0, если х2 + у2 = О,
имеет нулевой предел при стремлении к началу координат по любому
лучу х - at, у = fit.
Вместе с тем функция равна в любой точке вида (а, а2), где а 0,
поэтому функция не имеет предела при {х, у) —> (0,0).
§ 2. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 491
2. Непрерывность функции многих переменных и свойства
непрерывных функций. Пусть Е — множество в пространстве йто
и f: Е —> R” — определенная на нем функция со значениями в прост-
ранстве R”.
Определение 6. Функция f:E —> R” называется непрерывной
в точке а G Е, если для любой окрестности У(/(а)) значения /(а)
этой функции, принимаемого ею в точке а, найдется такая окрест-
ность Ue(o) точки а в множестве Е, образ которой /([7/j(a)) содер-
жится в V(/(а)).
Итак,
(/: Е —>• R” непрерывна в a G Е) :=
= (VV(/(a)) 3UE(a) (/Ш
Мы видим, что по форме определение 6 совпадает со знакомым нам
определением 1 непрерывности вещественнозначной функции, приве-
денным в § 1 гл. IV. Как и там, мы можем дать следующие вариации
записи этого определения:
(/: 7? —> R” непрерывна в a G Е) :=
— (Уе > 0 > 0 Ух G Е (d(x,a) < <5 => d(f(x),f(a)) < е)),
или, если а — предельная точка множества Е,
(f: Е —>• R” непрерывна в a G Е) := ( lim f(x) = /(а) ) .
' ' \ЕЭх^>а )
Как уже отмечалось в главе IV, понятие непрерывности предста-
вляет интерес именно в том случае, когда речь идет о точке a G Е,
предельной для множества Е, на котором определена функция /.
Из определения 6 и соотношения (2) следует, что отображение
/: Е —> К71, задаваемое соотношением
(х1,..., хто) = X 1-Д у = (у1, ...,уп) =
= (/1(х1,...,хт),...,/7г(х1,...,х7П)),
непрерывно в некоторой точке в том и только в том случае, когда
каждая из функций уг = /’(х1,..., хт) непрерывна в этой точке.
492
ГЛ. VII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
В частности, вспомним, что путем в К.” мы назвали отображение
f: I —>• К” промежутка I С R, задаваемое непрерывными функциями
/х(ж),... ,/”(ж) в виде
x^y = {y1,...,yn) = {f1(x),...,fn{x)).
Таким образом, мы теперь можем сказать, что путь в К” есть не-
прерывное отображение промежутка I С R вещественной оси в прост-
ранство Ж”.
По аналогии с определением колебания вещественнозначной функ-
ции в точке, вводится понятие колебания в точке функции со значени-
ями в JR".
Пусть Е — множество в R771, а G Е и Ве{(1',г)=ЕП В{а\ г).
Определение 7. Колебанием функции £ ч В" в точке а е Е
называется величина
w(/;a) := lim ш(/; ВЕ{а; г)).
1—>+о
Из определения 6 непрерывности функции, с учетом свойств предела
и критерия Коши, получаем совокупность часто используемых локаль-
ных свойств непрерывных функций. Перечислим эти
Локальные свойства непрерывных функций
а) Отображение f:E —> R" множества Е С 1R771 непрерывно в
точке а Е Е тогда и только тогда, когда w{f; а) = 0.
Ъ) Отображение ft Е —>• К”, непрерывное в точке а Е Е, ограни-
чено в некоторой окрестности UE(a) этой точки.
с) Если отображение g: Y —> lRfc множества Yс R” непрерывно в
точке уо Е Y, а отображение f: X —> У множества X С К771 непре-
рывно в точке xq Е X, причем /(то) — Уо, то определено отображение
go ft X —>• и оно непрерывно в точке гго Е. X.
Вещественнозначные функции, кроме того, обладают еще следую-
щими свойствами.
d) Если функция ft Е —>• R непрерывна в точке а Е Е и f (а) > О
(шш/(а) < 0), то найдется такая окрестность UE{a) точки а в Е,
что для х Е UE{a) справедливо f{x) > 0 {соответственно, f{x) < 0).
§ 2. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 493
е) Если функции f: Е № и д: Е № непрерывны в точке а € Е,
то их линейная комбинация (af + /Зд): Е —>• R, где а, (3 € R, произве-
дение (/•<?): —> IR, а если д(х) 0 на Е, то и частное : Е -> R,
определены на Е и непрерывны в точке абЕ.
Условимся говорить, что функция f: Е —> Ж” непрерывна на мно-
жестве Е, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Множество функций f:E —> Ж", непрерывных на Е, будем обо-
значать символом C(E;Wl) или символом С(Е), если область значений
функций однозначно определяется по контексту; как правило, это со-
кращение будет использоваться в случае, когда К?* = R.
Пример 6. Функции (ж1,..., ж771) хг (г = 1,..., т), отобража-
ющие R771 на Ж (проекции), очевидно, непрерывны в любой точке а =
- (а1,... , а771) G R7”, ибо lim 7гг(т) = аг = тгг(а).
х~>а
Пример 7. Любую функцию х •-> /(ж), определенную на R, на-
пример х sin ж, можно рассматривать и как функцию (ж, у) /(ж),
определенную, положим, на Ж2. В таком случае, если / была непрерывна
как функция на R, новая функция (ж, у) i—> /(ж) будет непрерывна как
функция на Ж2. Это можно проверить либо непосредственно по опреде-
лению непрерывности, либо заметить, что функция F есть композиция
(/ ° л1) (х, у) непрерывных функций.
В частности, отсюда с учетом с) и е) следует, что, например, функ-
ции
f(x, у) = sinx + еху, f(x, у) = arctg (In (|ж| + |у| + 1))
непрерывны на Ж2.
Заметим, что проведенные рассуждения по существу своему локаль-
ны, а то, что в примере 7 функции f и F рассматривались соответ-
ственно на всей оси R или плоскости Ж2, является обстоятельством
случайным.
Пример 8. Функция f(x,y) из примера 2 непрерывна в любой
точке пространства Ж2, кроме точки (0,0). Заметим, что, несмотря на
разрывность функции / (ж, у) в точке (0,0), эта функция непрерывна по
любой из двух своих переменных при каждом фиксированном значении
другой переменной.
494
ГЛ. VII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Пример 9. Если функция f:E —> йп непрерывна на множест-
ве Е, а Е — подмножество Е, то ограничение функции f на это
подмножество есть функция, непрерывная на Е, что непосредственно
следует из определения непрерывности функции в точке.
Перейдем теперь к глобальным свойствам непрерывных функций.
Чтобы сформулировать их для функций f:E —> йп, дадим сначала
два определения.
Определение 8. Отображение f: Е —>• И71 множества Е С К771 в
пространство йп называется равномерно непрерывным на Е, если для
любого числа е > 0 найдется такое число 6 > 0, что для любых точек
xi, #2 € Е таких, что d(xi,X2) < 6, выполнено d(f(xi),/(#2)) < е-
Как и прежде, подразумевается, что расстояния d(o;i,Я72), d(J(xi),
/(ггг)) измеряются соответственно в йт и йп.
При т = п = 1 мы возвращаемся к уже знакомому нам определению
равномерной непрерывности числовых функций.
Определение 9. Множество Е С К771 называется линейно связ-
ным, если для любой пары гго, #1 его точек существует путь Г: I -> Е
с носителем в Е и с концами в этих точках.
Иными словами, из любой точки Xq Е Е можно пройти к любой
точке xi Е Е, не выходя за пределы множества Е.
Поскольку мы пока не будем рассматривать иного понятия связно-
сти множества, кроме понятия линейной связности, то для краткости
условимся пока линейно связные множества назвать просто связными.
Определение 10. Областью в пространстве й771 называется от-
крытое связное множество.
Пример 10. Шар В(а;г), г > 0, в й771 является областью. Откры-
тость В(а- г) в й771 нам уже известна. Проверим, что шар связен. Пусть
хо = (xq,.. ., Xq1) и xi = (ге}, ..., Ж]71) —две точки шара. Путь, задава-
емый функциями xl(t) = tx\ + (1 — t)xlQ (i = 1,... ,m), определенными
на отрезке 0 t 1, имеет своими концами точки xq и Жр Кроме то-
го, его носитель лежит в шаре В(а;г), поскольку, в силу неравенства
§ 2. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 495
Минковского, при любом t G [0,1]
Пример 11. Окружность (одномерная сфера) радиуса г > 0 есть
подмножество в R2, задаваемое уравнением (ж1)2 + (ж2)2 = г2. Полагая
х1 = г cost, х2 = rsint, видим, что любые точки окружности можно
соединить путем, идущим по этой окружности. Значит, окружность —
связное множество. Однако это множество не является областью в R2,
поскольку оно не открыто в R2.
Сформулируем теперь основные
Глобальные свойства непрерывных функций
а) Если отображение f: К —> Rn непрерывно на компакте К С Rm,
то оно равномерно непрерывно на К.
Ь) Если отображение f: К —> Rn непрерывно на компакте К С Rm,
то оно ограничено на К.
с) Если функция f: К —> R непрерывна на компакте К С Rm, то
она принимает в некоторых точках К минимальное и максимальное
из своих значений на К.
d) Если функция f: Е —> R непрерывна на связном множестве Е,
принимает в точках a,b Е Е значения f(a) = A, f(b) = В, то для
любого числа С, лежащего между А и В, найдется точка с Е Е, в
которой f(c) = С.
Изучая в свое время (гл. IV, § 2) локальные и глобальные свойства
числовых функций одной переменной, мы дали такие их доказатель-
ства, которые переносятся и на рассматриваемый здесь более общий
случай. Единственное изменение, которое при этом следует сделать в
496
ГЛ. VII. ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
прежних доказательствах, состоит в том, что выражения типа |Ж1 - a^l
или |/(ж1) —/(2-2)1 надо заменить на d(xi, Ж2) и d(f(xi),f(x2)), гдес!—
метрика в том пространстве, где лежат рассматриваемые точки. Это
замечание относится в полной мере ко всему, кроме последнего утвер-
ждения d), доказательство которого мы сейчас проведем.
◄ d) Пусть Г: I —> Е — путь, являющийся таким непрерывным ото-
бражением отрезка [а, /3] = I С К, что Г(а) = а, Г(/3) = Ь. В силу
связности Е такой путь существует. Функция / о Г: I —> R, как ком-
позиция непрерывных функций, непрерывна, поэтому на отрезке [а, /3]
найдется точка 7 G [а,/3], в которой / о Г(7) = С. Положим с = Г(7).
Тогда с G Е и /(с) = С. ►
Пример 12. Сфера 5(0; г), задаваемая в RTO уравнением
(ж1)2 + ... + (жт)2 = г2,
является компактом.
Действительно, из непрерывности функции
(ж1,. . . , Х™) (ж1)2 + ... + (жт)2
следует замкнутость сферы, а из того, что на сфере |жг| г (г =
= 1,..., т), следует ее ограниченность.
Функция
(ж1,..., хт) (ж1)2 + ... + (ж*)2 — (жл+1)2 — ... — (жто)2
непрерывна на всем пространстве Rm, поэтому ее ограничение на сфе-
ру есть также непрерывная функция, которая в силу глобального свой-
ства с) непрерывных функций имеет на сфере минимальное и мак-
симальное значения. В точках сферы (1,0, ...,0), (0, ...,0,1) рассма-
триваемая функция принимает значения 1 и — 1 соответственно. Ввиду
связности сферы (см. задачу 3 в конце параграфа) на основании гло-
бального свойства d) непрерывных функций можно утверждать, что на
сфере есть точка, в которой рассматриваемая функция обращается в
нуль.
Пример 13. Открытое множество Rm \ 5(0; г) при г > 0 не явля-
ется областью, так как оно несвязно.
§ 2. ПРЕДЕЛ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 497
Действительно, если Г: / —> RTO есть путь, один конец которого
совпадает с точкой хд — (0,..., 0), а другой — с некоторой точкой xi =
- (ж{,..., ж™) такой, что (ж|)2 4-... + (ж™)2 > г2, то композиция непре-
рывных отображений Г: I RTO и f: RTO —> R, где
(ж1,...,жт)Л(ж1)2 + ... + (жт)2,
есть непрерывная на отрезке I функция, принимающая на его концах
значения, меньшее и большее чем г2. Значит, на этом отрезке найдется
точка 7, в которой (/ о Г) (7) = г2. Тогда точка ж7 = Г(7) носителя
нашего пути оказывается лежащей на сфере 5(0; г). Мы показали, что
нельзя выйти из шара В(0;г) С Rm, не пересекая его граничной сфе-
ры 5(0; г).
Задачи и упражнения
1. Пусть f е C'(Rm;R). Покажите, что
а) множество Ei = {х G R"1 | /(ж) < с} открыто в К”*;
Ь) множество Е2 = {х е R"1 | /(ж) с} замкнуто в Кто;
с) множество Е% = {ж G R"1 | /(ж) = с} замкнуто в Rm;
d) если /(ж) —> +оо при ж —> оо, то Е2 и Е3 компактны в R"1;
е) для любой функции /: Rm —> R множество Е± = {ж G R"1 | ш(/; ж) б}
замкнуто в R"1.
2. Покажите, что отображение /: Rm —> Rn непрерывно тогда и только
тогда, когда прообраз любого открытого в Rn множества является открытым
в Rm множеством.
3. Покажите, что
а) образ f(E) связного множества Е С R"1 при непрерывном отображении
/: Е —»• Rn является множеством связным;
Ь) объединение связных множеств, имеющих общую точку, является связ-
ным множеством;
с) полусфера (ж1)2-!-.. .4-(жт)2 = 1, хт 0, является связным множеством;
d) сфера (ж1)2 4- ••• 4- (ж"1)2 = 1 является связным множеством;
е) если Е С R и Е связно, то Е есть промежуток на R (т.е. отрезок,
полуинтервал, интервал, луч или вся числовая ось);
f) если жо —внутренняя, а Ж1 —внешняя точка множества М с Rm, то
носитель любого пути с концами жо, жх пересекает границу множества М.
17-4573
ГЛАВА VIII
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Линейная структура в Rm
1. Rm как векторное пространство. Из курса алгебры вам уже
хорошо известно понятие векторного пространства.
Если в RTO ввести операцию сложения элементов xi = (ж|,..., ж™),
ж2 = (ж^,..., ж™) по формуле
Ж1 +ж2 = (ж| +Ж2,... ,ж™ +ж™), (1)
а умножение элемента ж = (ж1,..., хт) на число A G R — соотношением
Аж = (Аж1,..., Ажт), (2)
то Rm становится линейным пространством над полем действительных
чисел. Его точки теперь можно называть векторами.
Векторы
= (О,..., 0,1,0,...,0) (г = 1,...,т) (3)
(где единица стоит лишь на г-м месте) образуют максимальную линей-
но независимую систему векторов этого пространства, ввиду чего оно
оказывается m-мерным векторным пространством.
Любой вектор х G К7" может быть разложен по базису (3), т.е.
представлен в виде
ж = x1ei + ... + хтет. (4)
§ 1. ЛИНЕЙНАЯ СТРУКТУРА В Rra
499
Индекс при векторе мы условимся писать внизу, а координаты, как
и до сих пор, будем отмечать верхним индексом. Это удобно по мно-
гим причинам, одна из которых, в частности, состоит в том, что, сле-
дуя Эйнштейну1), можно условиться выражения типа (4) записывать
коротко в виде
х = хгег, (5)
считая, что появление одинакового индекса сверху и снизу означает
суммирование по этому индексу в пределах диапазона его изменения.
2. Линейные отображения L: Rm —> Rn. Напомним, что ото-
бражение L: X —> У векторного пространства X в векторное прост-
ранство Y называется линейным, если для любых xi, х2 G X и Ai, А2 G R
выполнено
£(А1Ж1 + А2Ж2) = AiZ(zi) + Х2Цх2).
Нас будут интересовать линейные отображения L: RTO -> Rn.
Если {ei,...,eTO} и {ё1,...,ёп}—фиксированные базисы прост-
ранств RTO и Rn соответственно, то, зная разложения
Ь(ег) = а}ё\ +... + а”ёп = afa (г = 1,... ,т) (6)
образов векторов базиса при линейном отображении L: Rm —> Rn, мы в
силу линейности преобразования L можем найти разложение по базису
{ei,... ,ёп} образа £(/г) любого вектора h — hle^ + ... + hmem — Игег.
А именно:
£(/г) = £(/ггег) = /гг£(ег) = /г’а^ё^ = (7)
Значит, в координатной записи:
Z(A) = (aX---,<W (8)
Отображение L : RTO —> Rn при фиксированном в Rn базисе можно,
таким образом, рассматривать как набор
L = (L\...,Ln) (9)
из п (координатных) отображений LJ: R
J>A Эйнштейн (1879-1955)—крупнейший физик XX столетия, работы которого
по квантовой теории и особенно по теории относительности оказали революциони-
зирующее влияние на всю современную физику.
500
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
С учетом (8) легко заключаем, что отображение L: Rm -> R" ли-
нейно тогда и только тогда, когда каждое отображение L3 набора (9)
линейно.
Если записать набор (9) в виде столбца, то с учетом соотношения (8)
имеем
ILY(K)\ (а\ ... alm\
L(h) = ........ = ........ • • • (10)
\Ln(h)J ха™ ... a”J \hmJ
Итак, фиксация базисов в RTO и Rn позволяет установить взаимно
однозначное соответствие между линейными отображениями L: R”1 ->
—> Rn и т х n-матрицами (г = 1,... ,т, j = 1,... ,п). При этом
столбец с номером г матрицы отвечающей отображению L, со-
стоит из координат образа Цег) вектора ег G {ei,... ,ет}. Координаты
образа L(h) произвольного вектора h = /ггег G Rm могут быть получе-
ны из соотношения (10) умножением матрицы линейного отображения
на столбец координат вектора h.
При наличии в R” структуры векторного пространства можно го-
ворить о линейной комбинации Ai/i + Аг/2 отображений Д: X -> R”,
/2 • X Rn, полагая
(Ai/i + А2/2)(я) := А1/1 (®) + А2/2(®)- (И)
В частности, линейная комбинация линейных отображений
Li: Rm —> R", L?: Rm —> Rn есть, в соответствии с определением (11),
отображение
/гн-> AiZi(/i) + A2Z2(/i) =ад,
которое, очевидно, линейно. Матрица этого отображения есть соответ-
ствующая линейная комбинация матриц отображений L\ и L?,.
Композиция С = Во А линейных отображений А: RTO -4- Rn, В: Rn ->
->R*, очевидно, также является линейным отображением, матрица ко-
торого, как следует из (10), есть произведение матрицы отображения
А и матрицы отображения В (на которую умножаем слева). Кстати, за-
кон умножения матриц определен известным вам образом именно для
того, чтобы композиции отображений отвечало произведение матриц.
3. Норма в Rm. Величину
И = У(ж1)2 + ...+(ж-)2
(12)
назовем нормой вектора х — (ж1,..., жт) G Rm.
§ 1. ЛИНЕЙНАЯ СТРУКТУРА В Rm
501
Из этого определения с учетом неравенства Минковского следу-
ет, что
1° hll > 0,
2° (||ж|| = 0) О (ж = 0),
3° ||Аж|| = |А| • hll, где А CR,
4° ||Ж1 + ж2|| < hill + ||ж2||.
Вообще, любую функцию || ||: X R на векторном пространст-
ве X, удовлетворяющую условиям 1° -4°, называют нормой в векторном
пространстве. Иногда, чтобы уточнить, о какой норме идет речь, знак
нормы вектора наделяют символом того пространства, в котором эту
норму рассматривают. Например, можно написать ||ж||кт или ||у||Кп, од-
нако мы, как правило, не станем этого делать, ибо из контекста всегда
будет ясно, о каком пространстве и какой норме идет речь.
Заметим, что в силу (12)
11^2 - Я1Ц = d(zi,Z2), (13)
где </(ж1,ж2)—расстояние в RTO между векторами х± и ж2, рассматри-
ваемыми как точки метрического пространства Rm.
Из соотношения (13) видно, что следующие условия равносильны:
х -> хо, d(x, sq) —> 0, ||s —жо||—>0.
Ввиду (13), в частности, имеем
hll = d(0,x).
Свойство 4° нормы называют неравенством треугольника, и теперь
ясно почему.
Неравенство треугольника по индукции распространяется на сумму
любого конечного числа слагаемых. А именно, справедливо неравенство
hi + ... + жЛ|| < hill + ••• + 1Ы1-
Наличие нормы вектора позволяет сравнивать по величине значения
функций f: X Rm, д: X —> Rn.
Условимся писать, что f(x) = о(д(х\) или f = о(д) при базе В в X,
если ||/(ж)||кт — o(h(s)||Rn) при этой базе В.
502
ГЛ VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Если /(ж) = (У2(ж), • •, Ут(я)) —координатное представление ото-
бражения f: X RTO, то ввиду неравенств
тп
im < ii/wn < Е irwi
г=1
(14)
можно сделать следующее полезное для дальнейшего наблюдение:
(У = о(д) при базе В) о (уг = о(д) при базе В; i = 1,... , m). (15)
Условимся также, что запись f = 0(g) при базе В в X будет озна-
чать, что ||У(ж)||]Rm = O(||g(x)||]Rn) при этой базе В.
Тогда из (14) получаем, что
(У = 0(g) при базе В) о (уг = 0(g) при базе В; i = 1,... ,т). (16)
Пример. Рассмотрим линейное отображение L: RTO —> Rn. Пусть
h = /z1ei + .. ,+hmem — произвольный вектор пространства Rm. Оценим
||Т(/г)||1йп:
ИВДН =
т
^hlL(ez)
г=1
m / т \
«^||Ме>)|||ЛЧ« J2l|i(e,)l| ИМ-
г=1 \г=1 /
(17)
Таким образом, можно утверждать, что
L(h) = 0(h) при h 0. (18)
В частности, из этого следует, что L(x — жо) = L(x) — L(xq) —> 0 при
ж —> so, т.е. линейное отображение L: RTO —> Rn непрерывно в любой
точке so G Rm. Из оценки (17) видна даже равномерная непрерывность
линейного отображения.
4. Евклидова структура в Rm. Из алгебры известно понятие
скалярного произведения в вещественном векторном пространстве как
числовой функции (х, у), определенной на парах векторов пространства
и обладающей свойствами
(ж, ж) 0,
(ж, ж) = 0 о ж = 0,
(Я1,ж2) =
(Аж1,ж2) = А(ж1,ж2), где A G R,
(Ж1 + ж2, ж3) = (жь ж3) + (ж2, ж3).
§ 1. ЛИНЕЙНАЯ СТРУКТУРА В Rm
503
Из этих свойств, в частности, следует, что если в пространстве фик-
сирован базис {ei,..., ето}, то через координаты (ж1,..., хт), (у1,..., уто)
векторов х и у их скалярное произведение (х, у) запишется в виде би-
линейной формы
(х,у} = дгух'у3 (19)
(подразумевается суммирование по г и по у), в которой дг] = {ег,е}).
Векторы называются ортогональными, если их скалярное произве-
дение равно нулю.
Базис {ei,...,eTO} называется ортонормированным, если дг] =
где
0, если г j,
*гз = 1
1, если г = j.
В ортонормированном базисе скалярное произведение (19) имеет са-
мый простой вид
(х, у) = 5г]хгу3,
или
(х,у) = х1 • у1 + ... +хт ут. (20)
Координаты, в которых скалярное произведение имеет такой вид,
называют декартовыми координатами.
Напомним, что пространство Rm с определенным в нем скалярным
произведением называется евклидовым пространством.
Между скалярным произведением (20) и нормой вектора (12) име-
ется очевидная связь
(х,х) = ||ж||2-
Из алгебры известно следующее неравенство:
(х,у)2 (х,х){у,у),
которое, в частности, показывает, что для любой пары векторов най-
дется угол ip G [0, тг] такой, что
(х,у) = ||a;||||y||cos^.
Этот угол называют углом между векторами х и у. Именно по этой
причине естественно считать ортогональными векторы, скалярное про-
изведение которых равно нулю.
504
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Полезным для нас будет также следующий известный из алгебры
простой, но очень важный факт:
любая линейная функция L: RTO —> R в евклидовом пространстве
имеет вид
Ь(ж) = (£, х),
где £ G Rm —фиксированный и однозначно соответствующий функ-
ции L вектор.
§ 2. Дифференциал функции многих переменных
1. Дифференцируемость и дифференциал функции в точке
Определение 1. Функция f: Е —> Rn, определенная на множест-
ве Е С Rm, называется дифференцируемой в точке х G Е, предельной
для множества Е, если
f(x + h) — /(ж) = L(x)h + а(ж; /г),
(1)
где £(ж): Rm —> Rn—линейная относительно h функция1), a a(x-h) =
= о(/г) при h -> 0, х + h G Е.
Векторы
Дж(/г) := (ж + /г) — х = h,
^f(x- h) := /(ж + h) - /(ж)
называются соответственно приращением аргумента и приращением
функции (отвечающим этому приращению аргумента). Эти векторы
по традиции обозначают символами Дж и Д/(ж) самих функций от h.
Линейная функция £(ж): Rm —> Rn в соотношении (1) называется
дифференциалом, касательным отображением или производным ото-
бражением функции f-.E-yW1 в точке х Е Е.
Дифференциал функции f: Е —> Rn в точке х Е Е обозначается
символами df(x), Df(x) или f'(x).
'’По аналогии с одномерным случаем, мы позволим себе писать L(x)h вместо
L(x)(h). Отметим также, что в определении мы подразумеваем, что Rm и Rn на-
делены указанной в § 1 нормой.
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
505
В соответствии с введенными обозначениями, соотношение (1) мож-
но переписать в виде
/(ж + h) - /(ж) = f'(x)h + а(х; h)
или
А/(ж; h) = df(x)h + а(х; h).
Заметим, что дифференциал, в сущности, определен на смещениях h
от рассматриваемой точки х € .
Чтобы это подчеркнуть, с точкой х G К71 связывают свой экземпляр
векторного пространства Ж7” и обозначают его через ТКт(ж)
или можно трактовать как совокупность векторов, прило-
женных к точке х Е . Векторное пространство называют каса-
тельным пространством к К”1 в точке х Е К”1. Происхождение этой
терминологии прояснится позже.
Значение дифференциала на векторе h Е TW? есть вектор f'(x)h Е
Е , приложенный к точке /(ж) и аппроксимирующий приращение
/(ж + h) — /(ж) функции, вызванное приращением h аргумента ж.
Итак, df(x) или /'(ж) есть линейное отображение f'(x): ->
Мы видим, что, в полном соответствии с уже изученным нами од-
номерным случаем, функция многих переменных с векторными значе-
ниями дифференцируема в точке, если ее приращение А/(ж; /г) в этой
точке как функция приращения аргумента h линейно по h с точностью
до поправки а (ж; h), бесконечно малой при h -> 0 в сравнении с прира-
щением аргумента.
2. Дифференциал и частные производные вещественно-
значной функции. Если векторы f(x + h), f(x), L(x)h, a(x-,h) из BF
записать в координатах, то равенство (1) окажется равносильным п
равенствам
/*(ж + Л) —/*(ж) = £1(ж)Л + а1(ж;Л) (г = 1,...,п) (2)
между вещественнозначными функциями, в которых, как следует из
соотношений (9) и (15) §1, Ьг(х): BF1 -> К суть линейные функции, а
аг(ж; h) = o(h) при h -> 0, ж + h Е Е для любого i = 1,..., п.
506
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Таким образом, справедливо
Утверждение 1. Отображение f: Е —> Rn множества Е С Rm
дифференцируемо в точке х Е Е, предельной для множества Е, то-
гда и только тогда, когда в этой точке дифференцируемы функции
fl: Е —> К (г = 1,... , п), задающие координатное представление дан-
ного отображения.
Поскольку соотношения (1) и (2) равносильны, то для отыскания
дифференциала L(x) отображения /: Е —> Rn достаточно научиться
находить дифференциалы L1 (ж) его координатных функций /г: Е -> R.
Итак, рассмотрим вещественнозначную функцию /: Е —> К, опре-
деленную на множестве Е С R”1 и дифференцируемую во внутренней
точке х Е Е этого множества. Заметим, что в дальнейшем нам боль-
шей частью придется иметь дело с тем случаем, когда Е будет обла-
стью в Rm. Если х есть внутренняя точка множества Е, то при любом
достаточно малом смещении h от точки х точка х + h также будет при-
надлежать Е и, следовательно, будет находиться в области определения
функции f: Е R.
Если перейти к координатной записи точки х = (ж1,..., ж”1), векто-
ра h = (/г1,... ,hm) и линейной функции L(ж)h = О1(ж)/11 + .. .+am(x')hm,
то условие
/(ж + h) — /(ж) = L(x)h + o(h) при h —> 0 (3)
перепишется в виде
/(ж1 + h1,..., хт + hm) - /(ж1,..., хт) =
= ai(ж)Л1 + ... + am(x)hm + o(h) при h —> 0, (4)
где ai (ж),..., ат (ж) — связанные с точкой ж вещественные числа.
Мы хотим найти эти числа. Для этого вместо произвольного сме-
щения h рассмотрим специальное смещение
Нг = Нгег = 0 • ei + ... + 0 • ег-1 + hzez + 0 • ег+1 + ... + 0 • ет
на вектор hz, коллинеарный вектору ег базиса {ei,..., ет} в К”1.
При h = hz, очевидно, поэтому из (4) при h = hz получаем
/(ж1,..., жгЛ жг + hz, хг+\ ..., хт) - /(ж1,..., жг,..., хт) =
= az(x)hz + o(hz) при h1 —> 0. (5)
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
507
Это означает, что если фиксировать в функции /(ж1,... ,хт) все
переменные, кроме г-й, то получаемая при этом функция г-й переменной
оказывается дифференцируемой в точке хг.
Из равенства (5), таким образом, находим, что
аг(х) =
_ ц /(ж1,..., хг~\хг + h\ жг+1,..., хт) - /(ж1, ...,хг,..., хт)
“ S hl ' U
Определение 2. Предел (6) называется частной производной
функции /(ж) в точке ж = (ж1,..., хт) по переменной хг. Его обознача-
ют одним из следующих символов:
^(ж), аг/(ж), А/(ж), /'.(ж).
Пример 1. Если f(u, v) = и3 + и2 sin и, то
f
— —(u,v) = Зи2 + v2 cosu,
ои
$ f
^/(u,u) = -x-(u,u) = 2usinu.
ov
Пример 2. Если /(ж, у, z) = arctg (ж?/2) + ег, то
яг/ \ df, У2
а It Of . 2ху
»IHx,v,^ = ^,v,z) = T^,
Итак, мы доказали
Утверждение 2. Если функция определенная на мно-
жестве Е С R”1, дифференцируема во внутренней точке х Е Е этого
множества, то в этой точке функция имеет частные производные по
каждой переменной и дифференциал функции однозначно определяется
этими частными производными в виде
= т
508
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Формулу (7), используя соглашение о суммировании по повторяю-
щемуся снизу и сверху индексу, можно записать компактно:
df(x)h = dtf(x)hz. (8)
Пример 3. Если бы мы знали (а скоро мы это узнаем), что рас-
смотренная в примере 2 функция f(x,y,z) дифференцируема в точке
(0,1,0), то можно было бы сразу записать, что
<7/(0,1,0)/i = 1 • h1 + 0 • h2 + 1 • h3 = h1 + h3
и, в соответствии с этим,
/ (Л1,1 + h2,h3) - /(0,1,0) = <7/(0,1,0)Л + o(h)
или
arctg (/z1 (1 + /i2)2) + ел3 = 1 + h1 + h3 + o(/i) при h -> 0.
Пример 4. Для функции х — (ж1,... ,хт) xz, которая точке
х Е ставит в соответствие ее г-ю координату, имеем
Дтгг(ж; h) = (хг + hz) —хг = hz,
т. е. приращение этой функции само есть линейная по h функция h нч-
hz. Таким образом, Атгг(ж;/1) = dirz(x)h, причем отображение
<7тгг(ж) = <7тгг на самом деле оказывается не зависящим от ж 6 Rm в
том смысле, что d7rz(x)h -- hz в любой точке х Е Кт. Если вместо тгг(а;)
писать хг(х), то получаем, что dxz(x)h = dxzh = hz.
Учитывая это обстоятельство и формулу (8), мы теперь можем пред-
ставить дифференциал любой функции в виде линейной комбинации
дифференциалов координат ее аргумента х Е К7”. А именно:
df(x) = dzf(x)dxz = —(xjdx1 + ... + -^_(x)dxm, (9)
поскольку для любого вектора h Е имеем
df(x)h = dzf(x)hz = dzf(x)dxzh.
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
509
3. Координатное представление дифференциала отображе-
ния. Матрица Якоби. Итак, мы нашли формулу (7) для дифферен-
циала вещественнозначной функции /: Е R. Но тогда, в силу уста-
новленной эквивалентности соотношений (1) и (2), уже для любого ото-
бражения /: Е -> Rn множества Е С R”1, дифференцируемого во вну-
тренней точке х Е Е этого множества, можно выписать координатное
представление дифференциала df(x) в виде
/df'txjhX /dJ^xjh'X ... ^(x)\/hl\
df(x)h = l...... = ............ = ................ ... . (10)
\df^x)hj \дгГ(х№)
Определение 3. Матрица (ж)) (г = 1,... , m, j = 1,... ,п) из
частных производных координатных функций данного отображения в
точке х Е Е называется матрицей Якоби^ или якобианом2^ отображе-
ния в этой точке.
В случае, когда п = 1, мы возвращаемся к формуле (7), а когда п = 1
и т = 1, мы приходим к дифференциалу вещественнозначной функции
одного вещественного переменного.
Из эквивалентности соотношений (1) и (2) и единственности диф-
ференциала (7) вещественнозначной функции следует
Утверждение 3. Если отображение f-.E—tW1 множества Е С
С К”1 дифференцируемо во внутренней точке х Е Е этого множества,
то оно имеет в этой точке единственный дифференциал df(x), при-
чем координатное представление отображения df(x): TRJ1 ->
задается соотношением (10).
4. Непрерывность, частные производные и дифференциру-
емость функции в точке. Мы закончим обсуждение понятия диф-
ференцируемости функции в точке указанием на взаимоотношения
между непрерывностью функции в точке, наличием у нее частных про-
изводных в точке и дифференцируемостью ее в этой точке.
В §1 (соотношения (17) и (18)) мы установили, что если L: Rm —>
-> Rn —линейное отображение, то Lh -> 0 при h -> 0. Таким образом,
17К. Г. Я. Якоби (1804 -1851) — известный немецкий математик.
^Якобианом чаще называют определитель этой матрицы (когда она квадратная).
510
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
из соотношения (1) можно заключить, что функция, дифференцируемая
в точке, непрерывна в этой точке, поскольку
/(ж + h) — /(ж) = L(x)h + o(h) при h —> 0, х + h Е Е.
Обратное, конечно, не верно потому, что, как нам известно, это не
верно уже в одномерном случае.
Таким образом, взаимоотношение непрерывности и дифференциру-
емости функции в точке в многомерном случае такое же, как и в одно-
мерном.
Совсем иначе обстоит дело во взаимоотношениях частных произ-
водных и дифференциала. В одномерном случае, т.е. в случае веще-
ственнозначной функции одного вещественного переменного, наличие
дифференциала и наличие производной у функции в точке были усло-
виями равносильными. Для функций многих переменных мы показа-
ли (утверждение 2), что дифференцируемость функции во внутренней
точке области определения обеспечивает существование у нее частных
производных по каждой переменной в этой точке. Однако обратное
утверждение уже не имеет места.
Пример 5. Функция
/(ж1,ж2) =
0, если жхж2 = 0,
1, если жгж2 / 0,
равна нулю на осях координат и потому имеет в точке (0,0) обе частные
производные:
л1—>о h1 h^0 h1
v ’ h2^o h2 h2^o h2
Вместе с тем эта функция не дифференцируема в точке (0,0), по-
скольку она, очевидно, разрывна в этой точке.
Приведенная в примере 5 функция не имеет одной из частных про-
изводных в точках осей координат, отличных от точки (0,0). Однако
функция
/(^,2/) = *
2, если ж2 + у2 / 0,
х +у
0, если ж2 + у2 = 0
§ 3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
511
(которая нам встречалась в примере 2 из § 2 гл. VII), уже во всех точках
плоскости (ж, у) имеет частные производные, однако она тоже разрывна
в начале координат и потому не дифференцируема в точке (0,0).
Таким образом, возможность написать правую часть равенств (7),
(8) еще не гарантирует того, что это будет дифференциал нашей функ-
ции, поскольку функция может оказаться не дифференцируемой.
Это обстоятельство могло бы стать серьезной помехой всему диф-
ференциальному исчислению функций многих переменных, если бы не
выяснилось (это будет доказано позже), что непрерывности частных
производных в точке достаточно для дифференцируемости функции в
этой точке.
§ 3. Основные законы дифференцирования
1. Линейность операции дифференцирования
Теорема 1. Если отображения f\-. Е —> , /2'- Е , опреде-
ленные на множестве Е С К7”, дифференцируемы в точке х Е Е, то
их линейная комбинация (А1/1 + А2/2): Е Rn также является диф-
ференцируемым в этой точке отображением, причем имеет место
равенство
(Ai/i + А2/2)'(ж) = (AJ{ + А2Л)(ж). (1)
Равенство (1) показывает, что операция дифференцирования, т.е.
сопоставление отображению его дифференциала в точке, является ли-
нейной операцией на векторном пространстве отображений /: Е Rn,
дифференцируемых в фиксированной точке множества Е. Слева в (1)
стоит, по определению, линейное отображение (Ai/i + А2/2)'(ж), а спра-
ва стоит линейная комбинация (Ai/{ + А2/2)(ж) линейных отображений
/((ж): R”1 —> Rn, /2(ж): К”1 —> Rn, которая, как нам известно из §1,
также является линейным отображением. Теорема 1 утверждает, что
эти отображения совпадают.
◄ (Ai/i + А2/2)(ж + h) — (А1/1 + А2/2)(ж) =
= (А1/1(ж + h) + А2/2(ж + /1)) — (А1/1(ж) + А2/2(ж)) =
= А1(Л(ж + h) - Л(ж)) + А2(/2(ж + h) - /2(ж)) =
= Ах (/{(ж)Л + o(h)) + А2(Л(ж)/1 + o(h)) =
= (X1f((x) + X2^(x))h + o(h). ►
512
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Если рассматриваемые функции вещественнозначны, то над ними
выполнимы также операции умножения и (при необращении знамена-
теля в нуль) деления. Имеет место
Теорема 2. Если функции f: Е —> R, д: Е —> R, определенные на
множестве Е С R”1, дифференцируемы в точке х Е Е, то
а) их произведение дифференцируемо в х, причем
(f = g(x)f'(x) + f(x)g'(x)-, (2)
b) их отношение дифференцируемо в х, если д(х) / 0, причем
(£) = ЖТ (^(ж)/'(ж) - /W(®)) • (3)
\У/ 9 {•с)
Доказательство этой теоремы совпадает с доказательством соот-
ветствующих пунктов теоремы 1 из § 2 гл. V, поэтому мы на нем не
останавливаемся.
Соотношения (1), (2), (3) можно переписать также и в иных обозна-
чениях дифференциала. А именно:
d(Xifi + = (Aid/i + А2^/2)(®),
d(f <?)(») = <?(»)<//(ж) + /(s)dg(s),
d(£\ = i (9&)df(x) -f(x)dg(x)).
\9 / 9 {•с)
Посмотрим, что означают эти равенства в координатном предста-
влении отображений. Нам известно, что если отображение д>: Е R”,
дифференцируемое во внутренней точке х множества Е С R”1, запи-
сать в координатном виде
/... ,
У’(ж) = .............. ,
то его дифференциалу d<p(x): -> F в этой точке будет соответ-
ствовать матрица Якоби
/ . дтф1 \
¥’/(®) = ............. (®) = (ж).
\д^п ... дт<рп )
§ 3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
513
При фиксированных базисах в и Rn соответствие между ли-
нейными отображениями L: -> R" и m х п-матрицами — взаимно
однозначное, поэтому линейное отображение L можно отождествить с
задающей его матрицей.
Для обозначения матрицы Якоби мы все же, как правило, будем
использовать символ f'(x), а не символ df(x), ибо это больше соответ-
ствует тому традиционному разделению понятий производной и диф-
ференциала, которое проводится в одномерном случае.
Таким образом, в силу единственности дифференциала, во внутрен-
ней точке х множества Е получаем следующие координатные формы
записи соотношений (1), (2), (3), означающие равенства соответствую-
щих матриц Якоби:
(й(М + А2$))(ж) = + А^)^)
(г = 1,... ,т, j = 1,... ,n), (1')
(^(/•З))(ж) = з(®)9г/(ж) +/(ж)9гз(а;) (г = 1,... ,тп), (2')
= ~^х>)дг9^ = (3')
Из поэлементного равенства указанных матриц, например, следу-
ет, что частную производную по переменной хг от произведения веще-
ственнозначных функций /(ж1,..., хт) и ff(x1,..., хт) надо брать так:
= S(x',... !«) + ... ,х”).
С/Х OX
Отметим, что как это равенство, так и матричные равенства (V),
(2х), (3х) являются очевидными следствиями определения частной про-
изводной и обычных правил дифференцирования вещественнозначных
функций одного вещественного переменного. Однако нам известно, что
наличия частных производных еще может оказаться недостаточно для
дифференцируемости функции многих переменных. Поэтому наряду с
важными и вполне очевидными равенствами (Iх), (2х), (3х) особую роль
в теоремах 1 и 2 приобретают утверждения о существовании диффе-
ренциала соответствующего отображения.
514
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Заметим, наконец, что по индукции из равенства (2) можно полу-
чить соотношение
d(Ji = (/2 • • • А)(я) dfa(x) + ... + (/i... dfk(x)
для дифференциала произведения (/i • •. fk) дифференцируемых веще-
ственнозначных функций.
2. Дифференцирование композиции отображений
а. Основная теорема
Теорема 3. Если отображение f:X—*Y множества X с Rm б
множество У С Rn дифференцируемо в точке х Е X, а отображение
g:Y —> дифференцируемо в точке у = /(ж) € Y, то композиция
go f: X —> этих отображений дифференцируема в точке х, причем
дифференциал d(gof): композиции равен композиции
dg(y) ° df(x) дифференциалов
df(x): ТС -> Т№Ях)=у, dg(y): -> TRj(jz).
Доказательство этой теоремы почти полностью повторяет доказа-
тельство теоремы 2 из § 2 гл. V. Чтобы обратить внимание на одну
новую, появляющуюся теперь деталь, мы все же проведем еще раз зто
доказательство, не вдаваясь, однако, в уже разобранные технические
подробности.
◄ Используя дифференцируемость отображений / и g в точках х и
у = f(x), а также линейность дифференциала д'(х), можно написать,
что
(<? ° /)(® + h) - (д о /)(ж) = $(/(ж + Л)) - <?(/(ж)) =
= 5'(/(ж))(/(ж + h) - /(ж)) + о(/(ж + h) - /(ж)) =
= + o(/i)) + о(/(ж + h) - /(ж)) =
= +gf(y)(o(h)) +o(f(x + h) - /(ж)) =
= {д'{у} ° f'(x))h + a(x;h),
где д'{у) ° f'(x) есть линейное отображение (как композиция линейных
отображений), а
«(ж; h) = g'(y){o(hY) + о(/(ж + /г) - /(ж)).
§ 3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
515
Но, как показывают соотношения (17), (18) из § 1,
p'(y)(o(h)) = o(h) при 7г —> О,
/(ж + /г) — /(ж) = f'(x)h + о(/г) = 0(h) + о(/г) = 0(h) при h —> О
и
o(f(x + h) — /(ж)) = o(O(h)) = o(h) при h —> 0.
Следовательно,
а(ж; h) = o(h) + o(h) = o(h) при h —> 0,
и теорема доказана. ►
Будучи переписана в координатной форме, теорема 3 означает, что
если ж — внутренняя точка множества X и
/d1f1(x) ... dmf1(x) \
f'(x) = ...................... = (дгР) (ж),
\с>1/п(ж) ... dmfn(x)J
ay = f(x) — внутренняя точка множества Y и
(dig1 (у) ... дпд1(у)\
9'(у) = ...................... = (Ад1) (у),
\digk(y) • • • дпдк(у) /
то
(di(gl of)(x) ... drr^g1 ° f)(x)\
(g ° f)'(x) = .............................. = (дг(д1 о f)J (ж) =
\di(gk о f)(x) ... dm(gk о f)(x) J
(di9X(y) ••• dn91(y)\ (d1f1(x) ... dmf1(x)\
= ................... ...................... = Ag^y) дг/3(х)) .
\digk(y) ... dngk(y)J (ж) ... dmfn(x)J
В равенстве
[дг(д1 о /)) (ж) = (d]9l(f(x)) • dtf3(ж)) (4)
справа имеется в виду суммирование по индексу j в пределах его изме-
нения, т. е. от 1 до п.
516
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В отличие от равенств (1'), (2'), (3'), соотношение (4) нетривиально
даже в смысле поэлементного равенства участвующих в нем матриц.
Рассмотрим некоторые важные частные случаи доказанной тео-
ремы.
Ь. Дифференциал и частные производные сложной веще-
ственнозначной функции. Пусть z = д(уг,..., уп) —вещественно-
значная функция вещественных переменных у1,...,!/”, каждое из ко-
торых в свою очередь есть функция у3 = /’(ж1,... ,хт) (j = 1,...,п)
переменных ж1,... ,хт. В предположении дифференцируемости функ-
ций д и f3 (j = 1,... , п) найдем частную производную (х) ком-
позиции отображений f: X —> У vl д: Y —> R.
По формуле (4), в которой при наших условиях I = 1, находим
= ^р(У(ж)) -дгГ(;г)
или, в более подробной записи,
(5)
^.(х) = ... жт) = ^..^ + ... + А.^2 =
дхг дхг ’ ’ ду3 дхг ’ ’ ‘ дуп дхг
= ЗДУ(ж)) • dtf\x) + ...+ dng(J(xy> dtfn(x).
с. Производная по вектору и градиент функции в точке.
Рассмотрим установившийся поток жидкости или газа в некоторой
области G пространства R3. Термин «установившийся» означает, что
скорость потока в каждой точке области G не меняется со временем, хо-
тя в различных точках области G она, разумеется, может быть различ-
ной. Пусть, например, /(ж) = /(ж1,ж2,ж3) — давление в потоке в точке
ж = (ж1, ж2, ж3) е G. Если мы будем перемещаться в потоке по закону
ж = ж(<), где t — время, то в момент t мы будем регистрировать давле-
ние (/ож)(<) = /(ж(£)). Скорость изменения давления со временем вдоль
нашей траектории, очевидно, есть производная -^° (£) по времени от
функции (/ ож)(£). Найдем ее в предположении, что У (ж1, ж2, ж3) — диф-
ференцируемая в области G функция. По закону дифференцирования
композиции функций находим
^dt ® = + + (6)
гдежг(*) = ^(*) (г = 1,2,3).
§ 3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ 517
Поскольку (ж1, ж2, x3)(t) = v(t) есть вектор скорости нашего переме-
щения в момент t, а (51/, 5г/, 5з/)(ж) есть координатная запись диффе-
ренциала df(x) функции / в точке х, то равенство (6) можно переписать
также в виде
(7)
at
т.е. искомая величина есть значение дифференциала 5/(ж(/)) функции
/(ж) в точке x(t) на векторе v(t) скорости нашего движения.
В частности, если при t = 0 мы были в точке жо = ж(0), то
^Ц^(О) = (8)
at
где v = г(0) — вектор скорости в момент t — 0.
Правая часть соотношения (8) зависит только от точки жо Е G и
вектора v скорости, которую мы имеем в этой точке, и не зависит
от конкретного вида траектории ж = ж(<), лишь бы было выполнено
условие ж(0) — v. Это означает, что на любой траектории вида
x(t) = x0 + vt + a(t), (9)
где a(t) = o(t) при t —> 0, значение левой части равенства (8) будет
одинаково, поскольку оно вполне определяется заданием точки жо и
вектора v Е , приложенного к этой точке. В частности, если бы мы
хотели непосредственно вычислить значение левой (а значит, и правой)
части равенства (8), то можно было бы в качестве закона движения
выбрать функцию
x(t) = жо + vi, (10)
отвечающую равномерному движению со скоростью г, при котором в
момент t = 0 мы находимся в точке ж(0) = жо-
Дадим теперь следующее
Определение 1. Если функция /(ж) определена в окрестности
точки жо Е Жт, a v Е —вектор, приложенный к точке жо, то
величина
(И)
п fl \ г /(^o + vi)-/(ж0)
Dvf(xQ) := lim---------------
(если указанный предел существует) называется производной функ-
ции f в точке жо по вектору и.
518
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Из проведенных рассмотрений следует, что если функция / диф-
ференцируема в точке жо, то при любой функции x(t) вида (9) и, в
частности, вида (10) имеет место равенство
Dvf(x0) = ^4^(0) = df(xQ)v, (12)
(ль
что в координатном представлении означает
Р„/Ы = ^г(ЗД>1+... + ^(ЗД)о’”. (13)
В частности, для базисных векторов ei = (1,0, ...,0), ... , ет =
= (0,..., 0,1) из этой формулы получаем
Лч/(®о) = |^(®о) (г = 1,...,т).
На основании равенства (12) в силу линейности дифференциала
<//(жо) заключаем, что если /—дифференцируемая в точке xq функ-
ция, то для любых векторов vi, v? G и любых Ai, А2 ЕЙ функция
имеет в точке xq производную по вектору (Ai^i + A2V2) £ и ПРИ
этом
(®о) •^l^vi/(®o) Н- (х()). (14)
Если пространство Rm рассматривать как евклидово пространст-
во, т. е. как векторное пространство со скалярным произведением, то
(см. § 1) любую линейную функцию L(v) можно будет записать в ви-
де скалярного произведения (£, v) фиксированного вектора £ = £(£) и
переменного вектора v.
В частности, найдется вектор £ такой, что
df(xo)v = (£,v). (15)
Определение 2. Вектор £ G ТТЙ^, отвечающий в смысле равен-
ства (15) дифференциалу <//(жо) функции f в точке xq, называется гра-
диентом функции в этой точке и обозначается символом grad/(xo).
Итак, по определению
df(x0)v = (grad f (ж0), v).
(16)
§3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
519
Если в выбрана декартова система координат, то, сопоставляя
соотношения (12), (13) и (16), заключаем, что в такой системе коорди-
нат градиент имеет следующее координатное представление:
8гаЛЖ)=(^,...,^)ы. (17)
Выясним теперь геометрический смысл вектора grad/(xo).
Пусть е G —единичный вектор. Тогда в силу (16)
Def(x0) = | grad/(ж0)| cos <р, (18)
где <р— угол между векторами е и grad/(xo).
Таким образом, если grad/(xo) ^Оие = || grad/(жо)||-1 grad/(жо),
то производная £>е/(жо) принимает наибольшее значение. То есть ско-
рость роста функции f (выраженная в единицах величины /, отнесен-
ных к единице длины в Rm) при движении из точки Xq максимальна
и равна || grad/(жо)||, когда мы смещаемся именно в направлении век-
тора grad/^o). При смещении в противоположном направлении значе-
ния функции наиболее резко уменьшаются, а при смещении в направле-
нии, перпендикулярном вектору grad/(xo), скорость изменения значе-
ний функции равна нулю.
Производную по единичному вектору данного направления обычно
называют производной по данному направлению.
Поскольку единичный вектор в евклидовом пространстве задается
направляющими косинусами:
е = (cosai,... , cos am),
где аг — угол, который вектор е образует с базисным вектором ег де-
картовой системы координат, то
Def(x0) = (grad/^0),e) = -^-(ж0) cosai + ••• + т^(жо) cos am.
Вектор grad/^o) встречается очень часто и имеет многочисленные
применения. Например, на отмеченном выше геометрическом свойстве
градиента основаны так называемые градиентные методы численного
(на ЭВМ) поиска экстремумов функций многих переменных. (См. в
этой связи задачу 2 в конце параграфа.)
520
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Многие важные векторные поля, как, например, ньютоновское поле
сил тяготения или кулоновское поле заряда, являются градиентами не-
которых скалярных функций—потенциалов этих полей (см. задачу 3).
Многие физические законы в самой своей формулировке использу-
ют вектор grad/. Например, в механике сплошной среды эквивалентом
основного закона Ньютона та = F динамики точки является соотно-
шение
pa = — gradp,
связывающее ускорение а = а (ж, t) в потоке свободной от внешних сил
идеальной жидкости или газа в точке х в момент t с плотностью среды
р = p(x,t) и градиентом давления р = р(ж, i), отнесенными к этой же
точке и к этому же моменту времени (см. задачу 4).
О векторе grad / мы еще будем говорить позже, при изучении век-
торного анализа и элементов теории поля.
3. Дифференцирование обратного отображения
Теорема 4. Пусть f:U(x)->V(y) — отображение окрестности
U(x) С Ж™ точки х на окрестность V(y) С IF1 точки у = /(ж). Пусть
f непрерывно в точке х и имеет обратное отображение f~r'- V(y) ->
—> U(x), непрерывное в точке у.
Если при этом отображение f дифференцируемо в точке х и каса-
тельное к f в точке х отображение f'(x): —> ТЖ^1 имеет обрат-
ное отображение [/'(ж)]-1: ТЖр —> ТЖ^1, то отображение f-1: V(y)->
—> U(x) дифференцируемо в точке у = /(ж) и справедливо равенство
Таким образом, взаимно обратные дифференцируемые отображе-
ния имеют в соответствующих точках взаимно обратные касательные
отображения.
◄ Положим
f(x)=y, f(x + h)=y + t, t = f(x + h) - /(ж);
тогда
f~4y) = x, f~4y + t) = x + h, h = f-^y + t)-
Будем предполагать, что h столь мало, что ж + h G U(x), а значит,
У + t G V(j/).
§ 3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
521
Из непрерывности f в х и /-1 в у следует, что
t = f(x + h) — /(ж) -> 0 при h -> 0 (1)
и
h = /-1(у + t) - /-1(у) -> 0 при t^O. (2)
Из дифференцируемости f в точке х следует, что
t = f'(x)h + о(/г) при h —> 0, (3)
т.е. можно утверждать даже, что t = 0(h) при h —> 0 (см. соотношения
(17), (18) из §1).
Покажем, что если f'(x)—обратимое линейное отображение, то и
h = O(t) при t —> 0.
В самом деле, из (3) последовательно получаем
,/'М] 11 = h + [/'(i)] 1 о(Л) при h -> 0, (4)
,/'W] 1* = л + °(М при h -> 0,
[Ж-1‘ SUM-МЧИ при h -> о,
[Ж-1* при 1|Л|| < S,
где число S > 0 выбрано так, что ||о(/г)|| < |||/г|| при ||/г|| < S. Тогда с
учетом соотношения (2) находим
||Л|| < 2 || [/'(ж)]-1 *|| = O(||t||) при t->0,
что равносильно соотношению
h = O(t) при t —> 0.
Отсюда, в частности, следует, что
o(h) = o(t) при t —> 0.
Учитывая это, из (2) и (4) получаем
h = [/'(ж)] 1i + o(i) при t —> 0
или
ГЧу + t) - ГЧу) = [/'(^)]-1 + o(i) при t^O. ►
522
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Из алгебры известно, что если линейному преобразованию L : Rm
Rm отвечает матрица А, то обратному к L линейному преобразова-
нию Z-1: —> Rm соответствует матрица А-1, обратная к матрицей.
Построение элементов обратной матрицы также известно из алгебры,
следовательно, доказанная теорема дает прямой рецепт для построения
отображения (/-1) (у).
Отметим, что при т = 1, т. е. при Rm = R, якобиан отображения
/: U(x) —> У (у) в точке х сводится к одному числу f'(x)—производ-
ной функции f в точке х, а линейное преобразование f'(x): ->
сводится к умножению на это число: h f'fxjh. Это линейное преобра-
зование обратимо тогда и только тогда, когда f'(x) 0, причем ма-
трица обратного преобразования [/'(ж)]-1 : также состоит
из одного числа, равного [/'(ж)]-1, т.е. обратного к f'(x). Значит, те-
орема 4 содержит в себе также доказанное ранее правило отыскания
производной обратной функции.
Задачи и упражнения
1. а) Два пути t м- Ti(I), t м- Тг(<) в Rm будем считать эквивалентными в
точке хо € Rm, если a?i(0) = Тг(0) = хо и d(xi(t),тг(<)) = o(t) при t -> 0.
Проверьте, что указанное отношение действительно является отношением
эквивалентности, т. е. оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.
Ь) Проверьте, что между векторами v € TR^ и классами эквивалентных
в точке хо гладких путей имеется взаимно однозначное соответствие.
с) Отождествляя касательное пространство TR^ с множеством классов
эквивалентных в точке х0 & Rm гладких путей, введите операции сложения
классов путей и умножения их на число.
d) Проверьте, зависят ли введенные вами операции от системы координат
в Rm.
2. а) Изобразите график функции z = х2 + 4г/2, где (x,y,z)—декартовы
координаты в R3.
Ь) Пусть f: С -> R — числовая функция, определенная в области G С Rm.
Уровнем (с-уровнем) функции называется множество Е с G, на котором
функция принимает одно значение (f(E) = с). Точнее, Е = /-1(с). Изобразите
в R2 уровни функции, указанной в а).
с) Найдите градиент функции f(x, у) ~ х2 + 4г/2 и проверьте, что в любой
точке (х,у) вектор grad/ ортогонален линии уровня функции /, проходящей
через эту точку.
d) Используя результаты задач а), Ь), с), проложите на поверхности z ~
= х2 + 4г/2 самый короткий, на ваш взгляд, маршрут спуска из точки (2,1,8)
поверхности в низшую ее точку (0,0,0).
§ 3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
523
е) Какой алгоритм, пригодный для ЭВМ, вы могли бы предложить для
отыскания минимума функции f(x,y) = х2 + 4у2?
3. Говорят, что в области G пространства Rm задано векторное поле,
если каждой точке х € G сопоставлен некоторый вектор и(х) € TRJ1. Вектор-
ное поле v(x) в G называется потенциальным, если в области G есть число-
вая функция U: G -> R такая, что v(x) = gradt/(:r). Функцию U(x) называ-
ют потенциалом поля v(x). (В физике потенциалом обычно называют функ-
цию —U(x), а функцию U(x) называют силовой функцией, если речь идет о
поле сил.)
а) Изобразите на плоскости с декартовыми координатами (х, у) поле
grad/(x,у) для каждой из функций fi(x,y) = х2 + у2-, fz(x,y) = -(х2 + у2)-,
f3(x,y) = arctg (х/у) в области у > 0; f4(x,y) = ху.
Ь) Согласно закону Ньютона частица массы т, находящаяся в точке 0 € R3,
притягивает частицу массы 1, находящуюся в точке i € R3 (х 0), с силой
F = — m|r|~3r, где г — вектор От (размерную постоянную G мы опустили).
Покажите, что векторное поле F(x) в R3 \ 0 потенциально.
с) Проверьте, что массы mt, (г = 1,..., п), помещенные в точках (£г, т]г, £г)
(г = 1,... ,п) соответственно, создают вне этих точек ньютоновское поле сил,
потенциалом которого служит функция
U(x,y,z) = \~' ... .... ..
d) Укажите потенциал кулоновского электростатического поля напряжен-
ности, создаваемого точечными зарядами qt (i = 1,... ,п), помещенными в
точках (£t, (г = 1,..., п) соответственно.
4. Рассмотрим движение идеальной несжимаемой жидкости в простран-
стве, свободном от внешних (в том числе и гравитационных) сил.
Пусть v = v(x,y,z,t), а = а(х, y,z,t), р = р(х, у, z, t), р = р(х, у, z, t) суть
соответственно скорость, ускорение, плотность и давление в точке (х, у, z)
среды в момент времени t.
Идеальность жидкости означает, что давление в любой ее точке не зависит
от направления.
а) Выделите из жидкости объем в виде небольшого параллелепипеда, одно
из ребер которого параллельно вектору gradp(z, у, z, t) (где gradp берется по
пространственным координатам). Оцените действующую на объем за счет
перепада давления силу и дайте приближенную формулу для ускорения этого
объема, считая жидкость несжимаемой.
Ь) Проверьте, согласуется ли полученный вами в а) результат с уравнением
Эйлера
ра = — gradp.
с) Линия, в любой точке которой касательная имеет направление вектора
скорости в этой точке, называется линией тока. Движение называется уста-
524
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
навившимся, если функции и, а, р,р не зависят от t. Используя Ь), покажите,
что вдоль линий тока в установившемся потоке несжимаемой жидкости вели-
чина i||v||2 +р/р постоянна (закон Бернулли1^).
d) Как изменятся формулы в а) и Ь), если движение будет происходить в
поле тяжести вблизи поверхности Земли? Покажите, что в этом случае
ра = - grad (gz + р)
и потому вдоль каждой линии тока установившегося движения несжимаемой
жидкости на сей раз постоянна величина i||v||2 + gz +р/р, где д — ускорение
силы тяжести, a z — высота точки линии тока, отсчитываемая от некоторого
нулевого уровня.
е) Объясните на основании предыдущих результатов, почему несущее кры-
ло имеет характерный выпуклый вверх профиль.
f) В цилиндрический стакан с круглым дном радиуса R налита до уров-
ня h несжимаемая идеальная жидкость плотности р. После этого стакан ста-
ли вращать вокруг его оси с угловой скоростью ш. Используя несжимаемость
жидкости, найдите уравнение z = f(x,y) ее поверхности в установившемся
режиме (см. также задачу 3 из гл. V, § 1).
g) По найденному в f) уравнению z = f(x,y) поверхности напишите фор-
мулу р = p(x,y,z) для давления в любой точке (х, y,z) объема, заполненного
вращающейся жидкостью. Проверьте, выполнено ли для найденной вами фор-
мулы полученное в d) уравнение pa = — grad (gz + р).
h) Не могли бы вы теперь объяснить, почему чаинки тонут (хотя и не
слишком быстро!), а при вращении чая собираются не у стенок стакана, а в
центре дна?
5. Оценка погрешностей вычисления значений функции.
а) Используя определение дифференцируемой функции и приближенное
равенство Д/(а;; h) ~ df(x)h, покажите, что относительная погрешность <5 =
= 6(f(x)',h) в значении произведения f(x) = х1 ...хт т отличных от нуля
сомножителей, вызванная погрешностями в задании самих сомножителей, мо-
т
жет быть найдена в виде <5 ~ 52 <5г, где <5г —относительная погрешность зада-
г=1
ния i-ro сомножителя.
Ь) Используя то, что din f(x) = j^df(x'), еще раз получите результат пре-
дыдущей задачи и покажите, что вообще относительную погрешность дроби
91 • • 9k
можно найти как сумму относительных погрешностей значений функций
А,91,- -,9k-
Х)Д. Бернулли (1700-1782) —швейцарский ученый, один из наиболее выдающихся
физиков и математиков своего времени.
§ 3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
525
6. Однородные функции и тождество Эйлера. Функция f: G -> IR, опреде-
ленная в некоторой области G С IRm, называется однородной (положительно
однородной) степени п, если для любых х € и А € К таких, что х € G и
Хх € G, имеет место равенство
f(Xx) = Xnf(x) (f(Xx) = \Х\п f(x)).
Функция называется локально однородной степени п в области G, если она
является однородной функцией указанной степени в некоторой окрестности
любой точки области G.
а) Докажите, что в выпуклой области всякая локально однородная функ-
ция является однородной.
Ь) Пусть область G есть плоскость К2 без луча L = {(а:, у) € К2 | х = 2 Л
Ху 0}. Проверьте, что функция
. Г и4 х, если х > 2 Л у > 0,
f(x,y) = < _.
[ у ° в остальных точках области
локально однородна в G, но не является однородной функцией в этой области,
с) Укажите степень однородности или положительной однородности сле-
дующих функций, рассматриваемых в их естественной области определения:
fi(x\... ,хт) = а:1 а:2 + х2х3 + ... + хт~1хт;
i Л ~з 4ч _
Х^ХуХ^Х) н п о 234’
XLX2Xd + XzXaX*
х1,...,!”1) = |ar1...a:m|/.
d) Продифференцировав равенство f(tx) = tnf(x) по t, покажите, что
если дифференцируемая функция /: G —> К локально однородна степени п в
области G С IRm, то она удовлетворяет в G следующему тождеству Эйлера
для однородных функций:
а:1 Д (а:1,..., хт) + ... + хт£L(x\ ..., хт) = nf(x\ ..., хт).
(JJj UJj
е) Покажите, что если для дифференцируемой в области G функции
/: G —> IR выполнено тождество Эйлера, то эта функция локально однородна
степени п в области G.
Указание. Проверьте, что функция tp(t) = t~nf(tx) при любом х € G
определена и постоянна в некоторой окрестности единицы.
7. Однородные функции и метод размерности.
1° Размерность физической величины и особенности функциональных свя-
зей между физическими величинами.
526
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Физические законы устанавливают взаимосвязи физических величин, по-
этому если для некоторых из этих величин принять какие-то единицы изме-
рения, то единицы измерения связанных с ними других величин будут опреде-
ленным образом выражаться через единицы измерения фиксированных вели-
чин. Так возникают основные и производные единицы той или иной системы
единиц измерения.
В системе СИ (Systeme International) за основные механические единицы
измерения приняты единицы длины—метр (м), массы—килограмм (кг) и
времени—секунда (с).
Выражение производной единицы измерения через основные называется
ее размерностью. Это определение ниже будет уточнено.
Размерность любой механической величины записывают символически в
виде формулы, выражающей ее через предложенные Максвеллом1) символы L,
М, Т размерностей указанных выше основных единиц. Например, размерно-
сти скорости, ускорения и силы имеют соответственно вид
[г] = LT~\ [a] = LT~2, [F] = MLT~2.
Если физические законы не зависят от выбора единиц измерения, то отра-
жением этой инвариантности должны быть определенные особенности функ-
циональной зависимости
XQ = f(xx,...,Xk,Xk+l,...,Xn} (*)
между числовыми характеристиками физических величин.
Рассмотрим, например, зависимость с = /(а, Ь) = у/а2 + Ь2 между длинами
катетов и длиной гипотенузы прямоугольного треугольника. Изменение мас-
штаба длин должно одинаково сказаться на всех длинах, поэтому для любых
допустимых значений а и b должно быть выполнено соотношение /(аа, аЬ) =
= ip(a)f(a, &), причем в нашем случае <^(а) = а.
Основная (на первый взгляд очевидная) предпосылка теории размерно-
сти состоит в том, что претендующая на физическую значимость зависи-
мость (*) должна быть такой, чтобы при изменении масштабов основных
единиц измерения численные значения всех одноименных величин, участвую-
щих в формуле, менялись в одно и то же число раз.
В частности, если xi, х2, Хз—основные независимые физические величи-
ны и (я?1,3^2,жз) i-> f(xy,3^2,Хз)—зависимость от них некоторой четвертой
физической величины, то, в силу сформулированного принципа, при любых
допустимых значениях a:i, х2, хз должно быть выполнено равенство
/(а1х1,а2х2,азхз) = ip(a1,a2,a3)f(x1,x2,x3), (**)
с некоторой конкретной функцией ip.
Дж. К. Максвелл (1831 -1879) —выдающийся английский физик; создал матема-
тическую теорию электромагнитного поля, известен также исследованиями по ки-
нетической теории газов, оптике и механике.
§ 3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
527
Функция у? в равенстве (**) полностью характеризует зависимость чи-
сленного значения рассматриваемой физической величины от изменения мас-
штабов основных фиксированных физических величин. Таким образом, эту
функцию и следует считать размерностью данной физической величины по
отношению к фиксированным основным единицам измерения.
Уточним теперь вид функции размерности.
а) Пусть х /(ж) — функция одного переменного, удовлетворяющая усло-
вию /(аж) = <^(а)/(т), где / и р— дифференцируемые функции.
Покажите, что уз(а) = ad.
b) Покажите, что функция размерности ср в равенстве (**) всегда име-
ет вид of1 • ар ар, где показатели степени di, </2, dy, суть некоторые дей-
ствительные числа. Таким образом, если, например, фиксированы основные
единицы L, М, Т, то набор (di, </2, d$) показателей в степенном выражении
Ld^Md2Td^ также можно считать размерностью данной физической величи-
ны.
с) В Ь) было получено, что функция размерности всегда имеет вид степен-
ной зависимости, т. е. является однородной функцией определенной степени по
каждой из основных единиц измерения. Что означает, что степень однород-
ности функции размерности некоторой физической величины по отношению
к одной из основных единиц измерения равна нулю?
2° Xl-теорема и метод размерности.
Пусть [жг] = Хг (г = 0,1,..., п) —размерности физических величин, участ-
вующих в законе (*).
Предположим, что размерности величин х0, xk+i, ,хп могут быть вы-
ражены через размерности величин xi,...,хк, т.е.
„1 „к
[хо] = Хо = ХРо...ХРо,
1 к
[хк+1] = Хк+1=Хр ...Хр, (г = 1,...,п-к).
d) Покажите, что тогда наряду с (*) должно быть справедливо соотноше-
ние
ар° .. .ар°хо = f (aixi,... ,акхк,аР1.. .aP1 хк+1,... ,аРп к...акп (***)
е) Если xi,..., хк независимы, то в (***) положим ах =
Проверьте, что при этом из (***) получается равенство
ЖО _ J I 1 1 Ж&4-1
1 1е — J I -Ц • • • > -М 1 k > ‘
хр° .3 \ 3 хР1
• •Ск \ Х1 • • • х)с
хп
хРп~к хРп~к
являющееся соотношением
П = /(1,...,1,П1,...,П„_А)
х11,...,ак = хк1.
(****)
между безразмерными величинами П, Щ,..., Пп_*..
528
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Таким образом, получается следующая
П-теорема теории размерности. Если в соотношении (*) величины
xi,...,Xk независимы, то это соотношение сводится к функции (****) от
п — к безразмерных параметров.
f) Проверьте, что если к = п, то на основании П-теоремы функция / из
соотношения (*) может быть найдена с точностью до числового множителя.
Найдите таким путем выражение c(ipo)y/ljg для периода колебаний маятника
(т. е. подвешенной на нити длины I массы т, качающейся у поверхности Земли;
ip0 — начальный угол отклонения).
g) Найдите формулу Р = c^/mr/F для периода обращения тела массы т,
удерживаемого на круговой орбите центральной силой величины F.
h) Из закона Кеплера (Pi/Р2)2 = (п/гг)3, устанавливающего в применении
к круговым орбитам связь между отношением периодов обращения планет
(спутников) и отношением радиусов их орбит, найдите, вслед за Ньютоном,
показатель степени а в законе F = всемирного тяготения.
§ 4. Основные факты дифференциального исчисления
вещественнозначных функций многих переменных
1. Теорема о среднем
Теорема 1. Пусть f: G —> R—вещественнозначная функция,
определенная в области G С Пусть отрезок [ж, х -4- 7г] с концами х,
х + h содержится в G. Если при этих условиях функция f непрерывна
в точках отрезка [ж, х + /г] и дифференцируема в точках интервала
]х,х + /г[, то найдется такая точка £ 6 ]ш,rc + h[, что имеет место
равенство
f(x + h) - f(x) =
(1)
◄ Рассмотрим вспомогательную функцию
F(t) = f(x + th),
определенную на отрезке 0 t 1. Функция F удовлетворяет всем
условиям теоремы Лагранжа: она непрерывна на [0,1], как композиция
непрерывных отображений, и дифференцируема в интервале ]0,1[, как
композиция дифференцируемых отображений. Следовательно, найдет-
ся точка О G ]0,1[ такая, что
F(l) - F(0) = F'(0) • 1.
§ 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
529
Но F(l) = f(x + /г), F(0) = /(ж), F'(0) — f'(x + 0h)h и, значит,
выделенное равенство совпадает с утверждением теоремы 1. ►
Приведем теперь координатную форму записи соотношения (1).
Если х = (х\...,хт), h = и £ = (ж1 + 0h\...,xm +
+ 0/im), то равенство (1) означает, что
f(x + h)-f(x) = f(xl + h\ ... ,хт + hm) - f(x\ ... ,хт) =
x 7 \hm/
= + ... + dmf(£)hm = £ ^/(т1 + 0h\ ..., xm + 0hm)h\
i=i
Используя соглашение о суммировании по повторяющемуся сверху
и снизу индексу, окончательно можно записать
f(x1 + h\...,xm + hm)-f(x1,...,xm) =
= dtf(xl + 0h\...,xm + 0hm)hl, (1')
где 0 < 0 < 1, причем 0 зависит и от х, и от h.
Замечание. Теорема 1 называется теоремой о среднем в связи с
тем, что существует некоторая «средняя» точка £ £ ]аг, т + /г[, в которой
выполняется равенство (1). Мы уже отмечали при обсуждении теоре-
мы Лагранжа (см. гл. V, §3, п. 1), что теорема о среднем специфична
именно для вещественнозначных функций. Общая теорема о конечном
приращении для отображений будет доказана в главе X (часть II).
Из теоремы 1 вытекает полезное
Следствие. Если функция дифференцируема в области
G С К7” и в любой точке х Е G ее дифференциал равен нулю, то f
постоянна в области G.
◄ Равенство нулю линейного отображения равносильно обращению
в нуль всех элементов отвечающей ему матрицы. В нашем случае
df(x)h = (dif,dmf)(x)h,
поэтому 5i/(t) = ... = dmf(x) = 0 в любой точке х Е G.
18-4573
530
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
По определению, область есть открытое связное множество. Вос-
пользуемся этим.
Покажем сначала, что если х G G, то в шаре B(x-,r) С G функ-
ция f постоянна. Действительно, если (x + h) G В(х-,г), то и [ж,х + h] С
С B(x;r) С G. Применяя соотношение (1) или (1'), получаем
f(x + h)-f(x) = f'(£)h = O-h = O,
т. е. f(x + h) = f(x) и значения f в шаре В(х; г) совпадают со значени-
ем f в центре этого шара.
Пусть теперь xq, х± G G — произвольные точки области G. В силу
связности G найдется путь t x(t) G G такой, что гс(О) = гео, я(1) — ®1-
Мы предполагаем, что непрерывное отображение t x(t) определено
на отрезке 0 Д t Д 1. Пусть В(жо;г)—шар с центром в гео, содержа-
щийся в G. Поскольку ге(О) = xq и отображение t x(t) непрерывно,
найдется положительное число 8 такое, что x(t) G В(жо;г) С G при
0 Д t 8. Тогда по доказанному (/ о rr)(i) = /(^о) на промежутке [ОД].
Пусть I = sup 3, где верхняя грань берется по всем числам 8 G [0,1]
таким, что (fox)(t) = f(xo) на промежутке [0,5]. В силу непрерывности
функции У(rr(i)) имеем Но тогда I = 1. Действительно, в
противном случае можно было бы взять некоторый шар В(х(Г);г) С G,
в котором f(x) = f(x(iy) = f(xo), затем в силу непрерывности отобра-
жения t x(t) найти Д > 0 так, что x(t) G B(x(l);r) при I Д t Д I + Д.
Тогда (/ о x)(t) = /(rr(Z)) = f(xo) при O^i^Z + Д и I / sup 8.
Итак, показано, что (/ о x)(t) = f(xo) при любом t G [0,1]. В част-
ности, (/ О ге)(1) = f(xi) = /(гео) и мы проверили, что в любых двух
точках Xq, xi G G значения функции /: G -> К совпадают. ►
2. Достаточное условие дифференцируемости функции
многих переменных
Теорема 2. Пусть f: U(x) —> R—функция, определенная в ок-
рестности U(x) С Rm точки х = (х1,... ,хт).
Если функция f имеет в каждой точке окрестности U(x) все
частные производные т0 из их непРеРывности в точ-
ке х следует дифференцируемость функции f в этой точке.
◄ Без ограничения общности будем считать, что П(х) является
шаром В(х',г). Тогда вместе с точками х = (ж1,...,хт), x + h =
= (ж1 + /г1,..., хт + hm) области U(x) должны принадлежать также
§4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
531
точки (ге1,ге2+/12, ... , тт+/гт),..., (ж1, х2,... ,xm~l,xm+hm) и соединя-
ющие их отрезки. Воспользуемся этим, применяя в следующей выкладке
теорему Лагранжа для функций одной переменной:
f{x + h) - /(т) = f(xl + h\ ..., хт + hm) - /(Л ..., хт) =
= /(т1 + h\...,xm + hm)_ f (т1, х2 + h2,..., хт + hm) +
+ f(x\x2 + h2,...,xm + hm} - f(x\x2,x3 + h3,... ,xm + hm) + ... +
+ Дх1,X2,...,xm~\xm + hm) - /(Д, ...,xm) =
= d1f(x1 + 0Ч1, X2 + h2,...,xm + hm}hl +
+ d2f{x\x2 + e2h2,x3 + h3,..., xm + hm)h2 + ...+
+ dmf(x\x2, xm~\xm + emhm)hm.
Пока мы воспользовались лишь наличием у функции f в области
U(х) частных производных по каждой из переменных.
Теперь воспользуемся их непрерывностью в точке х. Продолжая
предыдущую выкладку, получаем, что
f(x + h) — f(x) = д^Дх1,..., x^h1 + а1/г1 +
+ дъДх1,.. .,xm)h2 + a2h2 + ... +
+ dmf(x\...,xm)hm + amhm,
где величины ац,..., am в силу непрерывности частных производных в
точке х стремятся к нулю при h -> 0.
Но это означает, что
/(т + /г) — /(ж) = Т(т)/г + о(/г) при h —> 0,
где L(x)h = ... ,xm)h1 + ... + dmf(x1,... ,xm)hm. ►
Из теоремы 2 следует, что если частные производные функции
/: G —> К непрерывны в области G С Rm, то функция дифференци-
руема в любой точке этой области.
Условимся в дальнейшем через или, проще, через
обозначать множество функций, имеющих в области G непрерывные
частные производные.
532
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
3. Настные производные высшего порядка. Если функция f:
G —> R, определенная в некоторой области G С Rm, имеет частную
производную ^(х) по одной из переменных х1,..., хт, то эта частная
производная вновь является некоторой функцией dtf: G -> R, которая
в свою очередь может иметь частную производную Э7(Эг/)(т) по неко-
торой переменной х3.
Функция dj(dif): G —> К называется второй производной от функ-
ции f по переменным хг, х3 и обозначается одним из символов
дх^^'
Порядок индексов указывает, в каком порядке производится диф-
ференцирование по соответствующим переменным.
Мы определили частные производные второго порядка.
Если определена частная производная
dkf / \
- дх11 дхЧ
порядка А:, то по индукции определяем частную производную порядка
к + 1 соотношением
дгг1..Лк/(х) := дг(дг1..Лк/)(х).
Здесь возникает специфический для случая функций многих пере-
менных вопрос о том, влияет ли порядок дифференцирований на вычи-
сляемую частную производную.
Теорема 3. Если функция f-.G—tlS. имеет в области G частные
производные
llx’r/xl ’’ llxlllx’ ’’
то в любой точке х Е G, в которой обе эти производные непрерывны,
их значения совпадают.
◄ Пусть х £ G—точка, в которой обе функции дг]ф: G —> R,
dJtf: G —> К непрерывны. Дальнейшие рассмотрения будем проводить
в некотором шаре B(x;r) С G, г > 0, являющемся выпуклой окрестно-
стью точки х. Мы хотим проверить, что
... хт)= д2±
дхгдх3' ’ ’ дх3дхг
§4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
533
Поскольку во всех дальнейших выкладках меняться будут только
переменные хг их1, то мы для сокращения записи предположим, что
f есть функция двух переменных /(ж1, ж2), и нам надо проверить, что
а2/ , , 2ч а2/ , 1 2ч
дх^дх^Х ,Х^~ dxW^ ,х
если в точке (ж1,ж2) G R2 обе указанные функции непрерывны.
Рассмотрим вспомогательную функцию
F(/i1,/i2) = /(ж1 + Л1, х2 + /г2) — /(ж1 + /г1, х2) — /(ж1, ж2 + /г2) + /(ж1, х2),
где смещение h = (7г1,7г2) предполагается достаточно малым, а именно
таким, что х + h Е В(х-, г).
Если F(/i1,/i2) рассмотреть как разность
F(/i1,/г2) =
где </>(£) = /(ж1 + thl,x2 + /г2) — f(xl + thl,x2), то по теореме Лагранжа
найдем, что
F(/i1, /г2) = <p'(0i) — (d\f(xl + 0i7г1,х2 + /г2) — diffx1 + 0iЛг1,гс2)) /г1.
Применяя к последней разности вновь теорему Лагранжа, найдем,
F(/i1, /г2) = d2if(x1 + 0i 7г1, х2 + 02h2)h2h1. (2)
Если теперь F(/i1, /г2) представить в виде разности
F(h\h2) = (p(l)-ip(0),
где (p(t) = /(ж1 + /г1, ж2 + th2) — ffx1, х2 + th2), то аналогично найдем,
F(h\ h2) = dnftx1 + 0ih\x2 + 02Ь2)^Ь2. (3)
Сравнивая равенства (2) и (3), заключаем, что
ФиДя:1 + 0\7г1, х2 + 02h2) = d-^ftx1 + 0ih\ х2 + 02h2), (4)
где 0i, 02, 0i, 02 G ]0,1[. Воспользовавшись непрерывностью рассматри-
ваемых частных производных в точке (ж1, ж2) при h —> 0, из (4) полу-
чаем нужное равенство
d2if(x1,x2) = di2f(x\x2). ►
534
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Заметим, что без каких-либо дополнительных предположений, во-
обще говоря, нельзя утверждать, что справедливо равенство дг:)/(х) =
= djiftx), если обе указанные частные производные определены в точ-
ке х (см. задачу 2 в конце параграфа).
Договоримся в дальнейшем через C(k\G;№) или C'^fc)(Gr) обозначать
множество функций f: G —> R, все частные производные которых до
порядка к включительно определены и непрерывны в области G С Rm.
В качестве следствия теоремы 3 получаем
Утверждение 1. Если f е то значение
частной производной не зависит от порядка дифференци-
рования, т. е. остается тем же при любой перестановке индексов
Й, • • • > Й"
◄ В случае к = 2 это утверждение содержится в теореме 3.
Предположим, что утверждение справедливо до порядка п включи-
тельно. Покажем, что тогда оно справедливо и для порядка п + 1.
Но дг1г2..Лп+1/(х) = дг1(дг2..Лп+1/)(х). Индексы г2, ..., in+i по предпо-
ложению индукции можно переставлять, не меняя функции d12...ln+1f(x),
а следовательно, и функции 5г1...гп+1/(т). Поэтому достаточно прове-
рить, что можно переставлять также, например, индексы й и й, не
меняя значения производной дг1г2..Лп+1ф(х).
Поскольку
то возможность этой перестановки непосредственно вытекает из тео-
ремы 3. В силу принципа индукции утверждение 1 доказано. ►
Пример 1. Пусть/(т) =/(т1,^2)— функция класса R).
Пусть h = (7г1, 7г2) таково, что отрезок [т, х + /г] содержится в обла-
сти G. Покажем, что функция
</?(i) = f(x + th),
определенная на отрезке [0,1], принадлежит классу [0,1], и найдем
ее производную по t порядка к.
Имеем
tp' (t) — diffx1 + th1, x2 + th^h1 + + i/i1,^2 + th2)h2,
§ 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
535
<p"(t) = duf(x + + dzif(x + th)h2hl +
+ di2f{x + tKjh^h2 + d22f(x + th)h2h2 =
= duf(x + t/i)(/i1)2 + 2di2f(x + tty^h2 + ^/(t + th)(h2)2.
Эти соотношения можно записать в форме действия на функцию опе-
ратора (h1 di +/г2^2):
<p'(t) = (Л1^ + h2d2)f(x + th) = hldif(x + th),
9?"(i) = (h1^! + h2d2)2f(x + th) = hllhl2dlll2f(x + th).
По индукции получаем
= (Л1^ + h2d2)kf(x + th) = h11 ... hlkdtl_lkf(x + th)
(имеется в виду суммирование по всевозможным наборам ij,..., г'д. из к
индексов, каждый из которых принимает значения 1 или 2).
Пример 2. Если f(x) = /(ж1,... ,хт) и f е C(k\G; R), то, в пред-
положении, что [ж, х + /г] С G, для функции <p(t) = f(x + th), определен-
ной на отрезке [0,1], получаем
y№(t) = h11 ... Ьгкдг1..Лк/(х + М), (5)
где справа имеется в виду суммирование по всевозможным наборам ин-
дексов if,..., 4, каждый из которых может принимать любое значение
от 1 до т включительно.
Формулу (5) можно записать также в виде
<f>W(t) = (ЛЧ + ... + hmdm)kf(x + th). (6)
4. Формула Тейлора
Теорема 4. Если функция f: U(x) —> R определена и принадле-
жит классу C(n\U(x);lR) в окрестности U(x) С RTO точки х € RTO,
а отрезок [х,х + h] полностью содержится в U(x), то имеет место
равенство
536
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
f^x1 +h1,...,xTn + hm)-f(x1,...,xm) =
= + • • ’ + hmdm)kf(x) + rn^x-, h),
где i
(hldx + ...+ hmdm)nf(x + th) dt.
(n- 1)!
о
(7)
(8)
Равенство (7) совместно с соотношением (8) называется формулой
Тейлора с интегральной формой остаточного члена.
◄ Формула Тейлора (7) немедленно следует из соответствующей
формулы Тейлора для функции одной переменной. В самом деле, рас-
смотрим вспомогательную функцию
<p(t) = f(x + th),
которая в силу условий теоремы 4 определена на отрезке 0 t 1 и
(как мы проверили выше) принадлежит классу [0,1].
Тогда при т е [0,1] в силу формулы Тейлора для функций одной
переменной можно записать, что
¥>(-г) = ¥>(0) + y,V'lfi)r + + (О)г-1 +
1! (п-1)! i
о
Полагая здесь т = 1, получаем
¥>( О = ¥>(0) + 1»>'(0) + • + +
о
Подставляя в полученное равенство, в соответствии с формулой (6),
значения
9?(fc)(0) = (/г1 й + ... + hmdm)kf(x) (к = 0,... ,п - 1),
^n\t) = (/гЧ + ... + hmdm)nf(x + th),
получаем то, что и утверждает теорема 4. ►
§ 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
537
Замечание. Если вместо интегральной формы остаточного члена
в соотношении (9) написать остаточный член в форме Лагранжа, то из
равенства
¥>(1) = ¥>(0) + ±V'(0) +... + + ^W(0),
где 0 < 0 < 1, получается формула Тейлора (7) с остаточным членом
rn^(x-, h) = l(/i4 + ... + hmdm)nf(x + Oh). (10)
ni
Эту форму остаточного члена, так же как и в случае функций одной
переменной, называют формой Лагранжа остаточного члена формулы
Тейлора.
Коль скоро f € C^n\U(x); Ж), то из (10) следует, что
rn_i(x-,h) = . + hmdm)nf(x) + о(||/г|Г) при h -> 0,
поэтому имеет место равенство
/(т1 + h1,...,xm + hm) -/(ж1,...,®”1) =
" 1
= Ей.^91+• • •+hmd^kf^+°(и<) при <п)
к=1 К'
называемое формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.
5. Экстремумы функций многих переменных. Одним из важ-
нейших применений дифференциального исчисления является его ис-
пользование для отыскания и исследования экстремумов функций.
Определение 1. Говорят, что функция /: Е —> К, определенная
на множестве Е с Ж.то, имеет локальный максимум (локальный мини-
мум) во внутренней точке xq множества Е, если существует окрест-
ность U(xq) С Е точки хо такая, что f(x) /(то) (соответственно,
f(x) f(x0)) при X е U(x0).
Если приз; е U(xo)\xo имеет место строгое неравенство f(x) < f(xo)
(или, соответственно, f(x) > f(xo)), то говорят, что функция имеет в
точке хо строгий локальный максимум (строгий локальный минимум).
538
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Определение 2. Локальные минимумы и локальные максимумы
функции называют ее локальными экстремумами.
Теорема 5. Пусть функция f: U(xq) —> R, определенная в окрест-
ности U(xq) С К.то точки Xq = (xq, ... , ж™), имеет в точке xq частные
производные по каждой из переменных х1,... ,хт.
Тогда для того, чтобы функция имела в хо локальный экстремум,
необходимо, чтобы в этой точке были выполнены равенства
^(ж°) = °’---’^4(а;о) = 0-
(12)
◄ Рассмотрим функцию р^х1) = /(ж1, х$,... ,х™) одной переменной,
определенную, в силу условий теоремы, в некоторой окрестности точ-
ки Xq вещественной оси. В точке Xq функция (/’(ж1) имеет локальный
экстремум, и поскольку
= (4^0,-,
т° ^4(®о) =0.
дх
Аналогично доказываются и остальные равенства системы (12). ►
Обратим внимание на то, что равенства (12) дают лишь необхо-
димые, но не достаточные условия экстремума функции многих пере-
менных. Примером, подтверждающим это, может стать любой пример,
построенный по этому же поводу для функции одной переменной. Так,
если раньше мы говорили о функции х ж3, имеющей в нуле нуле-
вую производную, но не имеющей там экстремума, то теперь можно
рассмотреть функцию
f(x1,...,xm') = (ж1)3,
все частные производные которой в точке хо = (0,..., 0) равны нулю,
но экстремума в этой точке функция, очевидно, не имеет.
Теорема 5 показывает, что если функция f: G —> R определена на
открытом множестве G С , то ее локальные экстремумы находятся
либо среди точек, в которых f не дифференцируема, либо в тех точках,
в которых дифференциал df(xo) или, что то же самое, касательное
отображение f(xo) обращается в нуль.
Нам известно, что если отображение /: С/(жо) —> К”, определенное
в окрестности U(xo) С К"1 точки хо 6 К”1, дифференцируемо в хо, то
§ 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
539
матрица касательного отображения f'(xo) ' > К” имеет вид
diftxo) dmf^xo) \
(13)
difn(xo) ... dmfn(x0) J
Определение 3. Точка xq называется критической точкой ото-
бражения f: U(xq) —> R”, если ранг матрицы Якоби (13) отображения
в этой точке меньше, чем min{m,n}, т.е. меньше, чем максимально
возможный.
В частности, при п = 1 точка xq критическая, если выполнены усло-
вия (12), т.е. все частные производные функции /: J7(rro) —> К обраща-
ются в нуль.
Критические точки вещественнозначных функций называют также
стационарными точками таких функций.
После того как в результате решения системы уравнений (12) най-
дены критические точки функции, их дальнейший анализ в отноше-
нии того, являются они точками экстремума или нет, часто удается
провести, используя формулу Тейлора и доставляемые ею следующие
достаточные условия наличия или отсутствия экстремума.
Теорема 6. Пусть f: U(xq) —> R— функция класса C^{U(xq); R),
определенная в окрестности U(xq) С RTO точки xq = (х^,..., х™) €
£ RTO, и пусть xq —критическая точка этой функции f.
Если в тейлоровском разложении
/(^ + /?,...,^ + /^) =
1 т а2 f
= Ж...,хН + я Е (14)
функции в точке xq квадратичная форма
т
Ь7=1
а) знакоопределена, то в точке xq функция имеет локальный экс-
тремум, который является строгим локальным минимумом, если ква-
дратичная форма (15) положительно определена, и строгим локаль-
ным максимумом, если она отрицательно определена;
д2 f
(15)
OXlOXJ
540
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Ь) может принимать значения разных знаков, то в точке xq функ-
ция экстремума не имеет.
◄ Пусть h^OTuxo + hE U(xq). Представим соотношение (14) в
виде
/(т0 + А) -/(т0) = ^||/г||2
A d2f . , hl h?
А1^^Ы||/1||||А||+о( } ’
— 1
(16)
где о(1) есть величина, бесконечно малая при h —> 0.
Из (16) видно, что знак разности /(то + /г) — /(то) полностью опре-
деляется знаком величины, стоящей в квадратных скобках. Этой вели-
чиной мы теперь и займемся.
Вектор е = (7г1/||Л||,... ,/гто/||/г||), очевидно, имеет единичную нор-
му. Квадратичная форма (15) непрерывна как функция h в К"1, поэтому
ее ограничение на единичную сферу 5(0; 1) ={т£ 1RTO | ||т|| = 1} так-
же непрерывно на 5(0; 1). Но сфера 5 есть замкнутое ограниченное
подмножество в К.то, т.е. компакт. Следовательно, форма (15) имеет
на 5 как точку минимума, так и точку максимума, в которых она при-
нимает соответственно значения т и М.
Если форма (15) положительно определена, то 0 < т М и потому
найдется число ё > 0 такое, что при ||/г|| < ё будет |о(1)| < т. Тогда
при ||Л|| < ё квадратная скобка в правой части равенства (16) окажется
положительной и, следовательно, f(xo + /г) — /(то) >0 при 0 < ||/г|| < ё.
Таким образом, в этом случае точка xq оказывается точкой строгого
локального минимума рассматриваемой функции.
Аналогично проверяется, что в случае отрицательной определенно-
сти формы (15) функция имеет в xq строгий локальный максимум.
Тем самым пункт а) теоремы 6 исчерпан.
Докажем утверждение Ь).
Пусть ет и ем — те точки единичной сферы, в которых форма (15)
принимает соответственно значения т, М, и пусть т < 0 < М.
Полагая h = tem, где t — достаточно малое положительное число
(настолько малое, что то + tem Е U(xo)), из (16) находим
/(т0 + tem) - /(т0) = ^i2(m + о(1)),
где о(1) —> 0 при t -» 0. Начиная с некоторого момента (т.е. при всех
достаточно малых значениях t), величина т + о(1) в правой части этого
§ 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
541
равенства будет иметь знак т, т. е. будет отрицательна. Следовательно,
отрицательной будет и левая часть.
Аналогично, полагая h = teM-> получим
/(®0 + teM) ~ f(x0) = ^t2(M + о(1)),
и, следовательно, при всех достаточно малых t разность f(xo + tew) —
— /(жо) положительна.
Таким образом, если квадратичная форма (15) на единичной сфе-
ре или, что, очевидно, равносильно, в К.то принимает значения разных
знаков, то в любой окрестности точки хо найдутся как точки, в ко-
торых значение функции больше f(xo), так и точки, в которых оно
меньше /(^о)- Следовательно, в этом случае хо не является точкой ло-
кального экстремума рассматриваемой функции. ►
Сделаем теперь несколько замечаний в связи с доказанной теоремой.
Замечание 1. Теорема 6 ничего не говорит о случае, когда фор-
ма (15) полуопределена, т. е. неположительна или неотрицательна. Ока-
зывается, в этом случае точка хо может быть точкой экстремума, а
может и не быть таковой. Это видно, в частности, из следующего при-
мера.
Пример 3. Найдем экстремумы определенной в К2 функции
f(x,y) = ж4 + у4 - 2х2.
В соответствии с необходимыми условиями (12) напишем систему
уравнений
{^-(ж, у) = 4ж3 — 4ж = О,
^~(х,у) = 4у3 = О,
ду
из которой находим три критические точки: (—1,0), (0,0), (1,0).
Поскольку
-^(х,у) = 12х2 - 4, -^-L(x,y)=0, ~(х,у) = 12у2,
то квадратичная форма (15) в указанных трех критических точках
имеет соответственно вид
8(/?)2, - 4(/i1)2, 8(/i1)2,
542
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
т. е. во всех случаях она полуопределена (положительно или отрицатель-
но). Теорема 6 тут не применима, но поскольку f(x, у) = (х2 — 1)2±у4-1,
то очевидно, что в точках (—1,0), (1,0) функция f(x,y) имеет строгий
минимум —1 (и даже нелокальный), а в точке (0,0) у нее нет экстре-
мума, поскольку при х = 0 и у 7^ 0 /(0, у) = у4 > 0, а при у = 0 и
достаточно малых х 0 f(x, 0) = ж4 — 2х2 < 0.
Замечание 2. После того как квадратичная форма (15) получе-
на, исследование ее определенности может быть проведено с помощью
известного из курса алгебры критерия Сильвестра1). Напомним, что
т
в силу критерия Сильвестра квадратичная форма ^2 alJxlxJ с симме-
трической матрицей 1,7=1
/ «п • • • aim \
\«ml • • атт j
положительно определена тогда и только тогда, когда положительны
все главные миноры этой матрицы; форма отрицательно определена
тогда и только тогда, когда ап < 0 и при переходе от любого главного
минора матрицы к главному минору следующего порядка знак значения
минора меняется.
Пример 4. Найдем экстремумы функции
f[x,y) = zyln (ж2 ±у2) ,
определенной в плоскости R2 всюду, кроме начала координат.
Решая систему
df . . , / о 9\ 2т2 у
-Ч*, У) = У Ь (х2 + у2) + у = 0,
дх v ' xz + yz
^-(х, у) = х In (х2 + у2) + = 0,
оу хл + у2
находим все критические точки функции
(0,±1); (±1,0);
Дж. Дж. Сильвестр (1814-1897)—английский математик; наиболее известные
его работы относятся к алгебре.
§ 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
543
Поскольку функция нечетна относительно каждого из двух своих
аргументов в отдельности, то точки (0, ±1) и (±1,0), очевидно, не явля-
ются точками экстремума нашей функции.
Видно также, что данная функция не меняет своего значения при
одновременном изменении знака обеих переменных х и у. Таким обра-
зом, если мы исследуем только одну из оставшихся критических точек,
например точку (-7=, уТ')’ ТО мы сможем сделать заключение и о ха-
рактере остальных.
Поскольку
<Э2/. . _ вху 4х3у
дх2[Х,У) ~ х2 + у2 (х^у2)2’
d2f . . , 2 э\ п Фг2?/2
^-4"(х,у) = In (х2 + у2) + 2- 22,
дхду (х2 + у2)2
d2f . _ бху____________4ху3
ду2 ,У х2 + у2 (х2 + у2)2 ’
то в точке кваДРатичная форма дгз/(хо)ЬгЬ3 имеет матрицу
(2 ° \
\° 2 /
т. е. она положительно определена, и, следовательно, в этой точке функ-
ция имеет локальный минимум
В силу сделанных выше наблюдений относительно особенностей рас-
сматриваемой функции можно сразу же заключить, что
— также локальный минимум, а
—локальные максимумы функции. Впрочем, это можно проверить и
непосредственно, убедившись в определенности соответствующей ква-
544
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
дратичной формы. Например, в точке -^=,-^= j матрица квадра-
тичной формы (15) имеет вид
/-2 0 \
\ 0 —2 J ’
откуда видно, что форма отрицательно определена.
Замечание 3. Следует обратить внимание на то, что мы указали
необходимые (теорема 5) и достаточные (теорема 6) условия экстре-
мума функции лишь во внутренней точке области определения. Таким
образом, при отыскании абсолютного максимума или минимума функ-
ции необходимо наряду с внутренними критическими точками функ-
ции исследовать также точки границы области определения, поскольку
максимальное или минимальное значение функция может принять в од-
ной из таких граничных точек.
Подробнее общие принципы исследования невнутренних экстрему-
мов будут разбираться позже (см. раздел, посвященный условному экс-
тремуму) . Полезно иметь в виду, что при отыскании минимумов и мак-
симумов часто наряду с формальной техникой, а иногда и вместо нее,
можно использовать некоторые простые соображения, связанные с при-
родой задачи. Например, если рассматриваемая в 1RTO дифференциру-
емая функция по смыслу задачи должна иметь минимум и вместе с
тем она не ограничена сверху, то, при условии, что функция имеет
единственную критическую точку, можно без дальнейшего исследова-
ния утверждать, что в этой точке она и принимает свое минимальное
значение.
Пример 5. Задача Гюйгенса. На основе законов сохранения энер-
гии и импульса замкнутой механической системы несложным расчетом
можно показать, что при соударении двух абсолютно упругих шаров,
имеющих массы mi и и начальные скорости wi и v^, их скорости по-
сле центрального удара (когда скорости направлены по линии центров)
определяются соотношениями
~ (mi - т2)г>1 + 2т2г>2
щ =--------------------,
mi + m2
~ (m2 — mi)i>2 + 2mii>i
V2 = ---------;--------•
mi + m2
§4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
545
В частности, если шар массы М, движущийся со скоростью V, уда-
ряется о неподвижный шар массы т, то приобретаемая последним ско-
рость v может быть найдена по формуле
2М ТЛ
V = ---ту К
т + М
(17)
из которой видно, что если 0 т М, то V О 2V.
Каким же образом телу малой массы можно передать значитель-
ную часть кинетической энергии большой массы? Для этого, например,
между шарами малой и большой масс можно вставить шары с проме-
жуточными массами т < mi < < ... < тп < М. Вычислим (вслед
за Гюйгенсом), как надо выбрать массы mi, m2,..., тп, чтобы в ре-
зультате последовательных центральных соударений тело т приобрело
наибольшую скорость.
В соответствии с формулой (17) получаем следующее выражение
для искомой скорости как функции от переменных mi, m2,..., тп:
mi т2 . . тп М . 2п+1у.
т + mi mi + m2 mn-i + тп тп + М
Таким образом, задача Гюйгенса сводится к отысканию максимума
функции
mi тп М
t (mi, ., тп) =--• ... ---------------—
т + mi m„_i + тп тп + М
Система уравнений (12), представляющих необходимые условия вну-
треннего экстремума, в данном случае сводится к системе
' т- m2 — = О,
( mi • m3 — т^ = О,
. mn-i • М — т^ = О,
из которой следует, что числа т, mi,..., тп, М образуют геометриче-
скую прогрессию со знаменателем q, равным п+уМ/т.
Получаемое при таком наборе масс значение скорости (18) опреде-
ляется равенством
2? \
1 + 9/
п+1
V,
(19)
v =
которое при п = 0 совпадает с равенством (17).
546
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Из физических соображений ясно, что формула (19) указывает мак-
симальное значение функции (18), однако это можно проверить и фор-
мально (не привлекая громоздких вторых производных; см. задачу 9 в
конце параграфа).
Заметим, что из формулы (19) видно, что если т —> 0, то v ->
—> 2”+1V. Таким образом, промежуточные массы действительно за-
метно увеличивают передаваемую малой массе т часть кинетической
энергии массы М.
6. Некоторые геометрические образы, связанные с функ-
циями многих переменных
а. График функции и криволинейные координаты. Пусть х,
у, z—декартовы координаты точки пространства R3, и пусть z =
= /(ж, у) —непрерывная функция, определенная в некоторой области G
плоскости R2 переменных (х, у).
В силу общего определения графика функции, график функции
f: G -> R в нашем случае есть множество S = {(ж, у, z) ER3 | (х, у) Е G,
z = f(x,у)} в пространстве R3.
Очевидно, что отображение G S, определяемое соотношением
(ж,у) (ж,у,/(ж,у)), есть непрерывное взаимно однозначное отобра-
жение G на S, в силу которого любую точку множества S можно задать,
указывая соответствующую ей точку области G или, что то же самое,
задавая координаты (ж, у) этой точки G.
Таким образом, пары чисел (ж, у) Е G можно рассматривать как
некоторые координаты точек множества S — графика функции z —
= /(ж, у). Поскольку точки S задаются парами чисел, то S будем услов-
но называть двумерной поверхностью в R3 (общее определение поверх-
ности будет дано позже).
Если задать путь Г: I —> G в G, то автоматически возникает путь
F о Г : I —> S на поверхности S. Если ж = ж(<), у = y(t) —параметри-
ческое задание пути Г, то путь F о Г на S задается тремя функция-
ми: ж = z(i), у = y(t), z = f(x(t), y(t)). В частности, если положить
Ж = Жо + /, У = Уо, ТО МЫ получим кривую Ж = Жо + t, У = Уо, Z =
= f(x0 + t,yo) на поверхности S, вдоль которой координата у = уо то-
чек S не меняется. Аналогично можно указать кривую ж = Xq, у = yo+t,
z = f(xo, уо + i) на S, вдоль которой не меняется первая координата жо
точек S. Эти линии на S по аналогии с плоским случаем естественно
§ 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
547
называть координатными линиями на поверхности S. Однако, в отли-
чие от координатных линий в G С R2, являющихся кусками прямых,
координатные линии на S, вообще говоря, являются кривыми в R3. По
этой причине введенные координаты (ж, у) точек поверхности S часто
называют криволинейными координатами на S.
Итак, график непрерывной функции z = f(x,y), определенной в
области G С R2, есть двумерная поверхность S в К3, точки которой
можно задавать криволинейными координатами (ж, у) € G.
Мы пока не останавливаемся на общем определении поверхности,
поскольку сейчас нас интересует только частный случай поверхности—
график функции, однако мы предполагаем, что из курса аналитической
геометрии читателю хорошо знакомы некоторые важные конкретные
поверхности в К3 (плоскость, эллипсоид, параболоиды, гиперболоиды).
Ь. Касательная плоскость к графику функции. Если функция
z = f(x, у) дифференцируема в точке (жо, Уо) € G, то это означает, что
У) = f(^o, Уо) + А(х - жо) + В(у - у0) +
+ о (у/(ж - жо)2 + (у - Уо)2) при (яг,у)-> (ж0,у0), (20)'
где А и В — некоторые постоянные.
Рассмотрим в К3 плоскость
z = Zo + А(х - ж0) + В(у - Уо), (21)
где Zo = f{xo,yo)- Сравнивая равенства (20) и (21), видим, что график
нашей функции в окрестности точки (xo,yo,zo) хорошо аппроксими-
руется плоскостью (21). Точнее, точка (х, у, f(x, у)) графика функции
уклоняется от точки (ж, у, z(x, у)) плоскости (21) на величину, бесконеч-
но малую в сравнении с величиной д/(ж — Жо)2 + (у — Уо)2 смещения ее
криволинейных координат (ж, у) от координат (жо, Уо) точки (жо, уо, zo)-
В силу единственности дифференциала функции, плоскость (21),
обладающая указанным свойством, единственна и имеет вид
Z = /(жо,Уо) + чЧжо,Уо)(ж - жо) + ч^(жо,уо)(у - уо). (22)
ох оу
Она называется касательной плоскостью к графику функции z = f(x,y)
8 точке (жо,уо,/(жо,уо)).
548
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Итак, дифференцируемость функции z = f(x,y) в точке (хо,уо)
и наличие у графика этой функции касательной плоскости в точке
(жо,ущ f (®о>Уо)) суть равносильные условия.
с. Нормальный вектор. Записывая уравнение (22) касательной
плоскости в каноническом виде
^(жо,Уо)(ж - Хо) + ~(хо,уо)(у ~Уо) - (-2 - f(xQ,yo)) = О,
заключаем, что вектор
{^(хо,уо),^-(хо,уо),-1\ (23)
у ох оу /
является нормальным вектором касательной плоскости. Его напра-
вление считается направлением, нормальным или ортогональным к по-
верхности S (графику функции) в точке (жо, Уо, f(xo, Уо))-
В частности, если (жо, Уо) —критическая точка функции /(ж, у), то в
точке (жо, уо, f(xo, уо)) графика нормальный вектор имеет вид (0,0, —1)
и, следовательно, касательная плоскость к графику функции в такой
точке горизонтальна (параллельна плоскости (ж, у)).
Следующие три рисунка иллюстрируют сказанное.
На рис. 53, а, с изображено расположение графика функции по отно-
шению к касательной плоскости в окрестности точки локального экс-
тремума (соответственно, минимума и максимума), а на рис. 53, b — в
окрестности так называемой седловой критической точки.
d. Касательная плоскость и касательный вектор. Мы знаем,
что если путь Г: / -> К3 в R3 задается дифференцируемыми функци-
ями ж = x(t), у = y(t), z = z(t), то вектор (ж(0), у(0), i(0)) есть вектор
§ 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
549
скорости в момент t = 0. Это направляющий вектор касательной в точ-
ке Xq = ж(0), уо — 2/(0), zo = ^(0) к кривой в К3, являющейся носителем
пути Г.
Рассмотрим теперь путь Г: I —> S на графике функции z = f(x,y),
задаваемый в виде х = z(i), у = y(t), z = f(x(t), y(t)). В этом конкрет-
ном случае находим, что
(z(0),y(0),i(0)) = (ж(0),у(0), ||(жо,уо)ж(О) + |^(жо,уо)у(О)},
откуда видно, что найденный вектор ортогонален вектору (23),
нормальному к графику S функции в точке (tq. уо,/(^о, Уо))- Таким
образом, мы показали, что если вектор (£, у, £) касателен в точке
(щ0, Уо, f(x0, уо)) к некоторой кривой на поверхности S, то он ортогона-
лен вектору (23) и (в этом смысле) лежит в плоскости (22), касательной
к поверхности S в указанной точке. Точнее можно было бы сказать, что
вся прямая х = xo+^t, у = yo+yt, z = f(xo, Уо)+&лежит в касательной
плоскости (22).
Покажем теперь, что верно и обратное утверждение, т. е. если пря-
мая х = хо + £1, у = Уо + yt, z = f(xo,yo) + (t или, что то же самое,
вектор (£, у, С) лежит в плоскости (22), касательной к графику S функ-
ции z = f(x, у) в точке (а?о, уо, f(xo, Уо)), то на S есть путь, для которого
вектор (£,у,С) является вектором скорости в точке (xq, уо, f(%o, Уо))-
В качестве такового можно взять, например, путь
х = х0 + &, y = yo + yt, z = f(xo + &,yo + yt).
В самом деле, для него
®(0)=£, у(О) = у, й(0) = ^(жо,Уо)С + ^-(х0,у0)у.
ох оу
Ввиду того, что
^(жо,уо)ж(О) + С^(ж0, уо)у(О) - й(0) = 0
дх ду
и по условию также
тг-(яо,УоК + Ц~(хо,Уо)у - < = 0,
дх ду
заключаем, что
(±(о),у(о),^(о)) = (е,у,о.
550
ГЛ VIII ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Итак, касательная плоскость к поверхности S в точке (хо,уо,го)
образована векторами, касательными в точке (жо, Уо, zo) к кривым, про-
ходящим на поверхности S через указанную точку (рис. 54).
Это уже более геометричное описание касательной плоскости. Во
всяком случае, из него видно, что если инвариантно (относительно вы-
бора системы координат) определена касательная к кривой, то каса-
тельная плоскость также определена инвариантно.
Для наглядности мы рассматривали функции
двух переменных, однако все сказанное, очевид-
но, переносится и на общий случай функции
y = f(x1,...,xm) (24)
т переменных, где т G N.
Плоскость, касательная к графику такой
функции в точке (zj,..., х™,/(xq, ..., ж™)), запи-
шется в виде
У = f(xo,..., z^) + |^д(жо, • • • ’ ~ жо); (25)
г=1
вектор
/а/,, 1 а Л
^ж1( о)’’“’5ж"г( о)’ 1)
есть нормальный вектор плоскости (25). Сама эта плоскость, как и
график функции (24), имеет размерность т, т. е. любая точка задается
теперь набором (ж1,... ,жт) из т координат.
Таким образом, уравнение (25) задает гиперплоскость в Rm+1.
Дословно повторяя проведенные выше рассуждения, можно прове-
рить, что касательная плоскость (25) состоит из векторов, касательных
в точке (жц,..., Xq1, /(xq, ..., Xq1)) к кривым, проходящим через эту точ-
ку и лежащим на m-мерной поверхности S — графике функции (24).
Задачи и упражнения
1. Пусть z = f(x,y)—функция класса C^\G;K).
а) Если ^(х.у) = 0 в G, то можно ли утверждать, что функция f не
зависит от у в области G?
Ь) При каком условии на область G ответ на предыдущий вопрос положи-
телен?
§4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
551
2. а) Проверьте, что для функции
f(x,y) = 1
2 2
X — U
ХУ 2 Vy‘2 ’
х +у
О,
если х2 + у2 / О,
если х2 + у2 = О,
имеют место следующие соотношения:
—-^-(0,0) = 1 # -1 = (0,0).
дхду дудх
Ь) Докажите, что если функция f(x,y) имеет частные производные и
в некоторой окрестности U точки (хо,уо) и если смешанная производная
Я-J- (или .у /-) существует в U и непрерывна в (хо,Уо), то смешанная произ-
<Э2г / д2 f \
водная QyQx (соответственно, QxQy) также существует в этой точке и имеет
место равенство
d2f , ч d2f , ч
= а^(та’9о)-
3. Пусть х\...,хт—декартовы координаты в Ж”1. Дифференциальный
оператор
т <Э2
Г —
-^дх*
действующий на функции / € G(21 (G; Ж) по правилу
называется оператором Лапласа.
Уравнение Д/ = 0 относительно функции / в области G С Ж”1 назы-
вается уравнением Лапласа, а его решения — гармоническими функциями в
области G.
а) Покажите, что если х = (х1,... ,хт) и
т
Ей2,
г=1
то при т > 2 функция
2 — т
№ = И" —
является гармонической в области К”1 \ 0, где 0 = (0,..., 0).
552
ГЛ. VIII ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Ь) Проверьте, что функция
ftx1 хт t} —_______-_____-exp
определенная при t > 0 и х = (х1,... ,хт) € К”1, удовлетворяет уравнению
теплопроводности
at
fit т ffl f
т.е. что У = а2 52 —4- в любой точке области определения функции.
i=i дх1
4. Формула Тейлора в мультииндексных обозначениях.
Символ а := (од,..., ат), состоящий из неотрицательных целых чисел а,,
i = 1,... ,т, называется мультииндексом а.
Условились в следующих обозначениях:
|<*| := |с*1| + • • + ,
а! := aj .. .ат!;
наконец, если а = («1,..., ат), то
аа := а*1
а) Проверьте, что если k € N, то
(«1 + • • • + ат)к ~ 52 ^71 |а11 ’ ’ ’ а^П ’
«1 .... <лт.
|a|=fc
ИЛИ .
(ai + ... + = 52
|a|=fc а'
где суммирование ведется по всем наборам а = (си,..., ат) неотрицательных
т
целых чисел, таким, что 52 1аг| = к-
г=1
Ь) Пусть
3|а| f
Daf^ := (дх1)01 ...(дхт)ат(а:)‘
Покажите, что если f € (7^(С;К), то в любой точке х 6 G имеет место
равенство
£ дг1 tkf(x)ty...hi* = 52 ^Daf(x)ha,
«1+ +lm=k |a|=fc
где h = (/г1,..., hm).
§ 4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
553
с) Проверьте, что в мультииндексных обозначениях формулу Тейлора, на-
пример, с остаточным членом в форме Лагранжа можно записать в виде
П—1 1 .
f(x + h) = У —Daf(x)ha + У -Daf{x + eh)ha.
|ск|=О |ск|=п
d) Запишите в мультииндексных обозначениях формулу Тейлора с инте-
гральным остаточным членом (теорема 4).
5. а) Пусть 1т = {х = (я:1,...,хт) € К”1 | |а;г| с1, i = —
m-мерный промежуток, а I — отрезок [а, 6] С К. Покажите, что если функция
f(x,y) = /(а;1,... ,хт,у) определена и непрерывна на множестве Im х I, то
для любого положительного числа е > 0 найдется число S > 0 такое, что если
х 6 1т, У1,У2 € I и |2/! - 2/г| < 6, то |/(ar,?/i) - f(x,y2)\ < е.
Ь) Покажите, что функция
ь
F(x) = / f(x,y)dy
а
определена и непрерывна на промежутке 1т.
с) Покажите, что если f € С(1т; К), то функция
F(x, i) = f(tx)
определена и непрерывна на Im х I1, где I1 = {t € Ж | |£| 1}.
d) Докажите следующую лемму Адамара.
Если / е CW(/m;R) и /(0) = 0, то существуют функции pi,...,pm €
£ С(1т; К) такие, что
т
f(x1,...,xm)=yxtgt(x\...,xm)
г-1
в 1т, причем
Зг^ = ^^’ i =
6. Докажите следующее обобщение теоремы Ролля для функций многих
переменных.
Если функция / непрерывна в замкнутом шаре В(0;г), равна нулю на
его границе и дифференцируема во внутренних точках шара В(0;г), то по
крайней мере одна из внутренних точек этого шара является критической
точкой функции.
7. Проверьте, что функция
f(x,y) = (у- х2) (у - За;2)
не имеет экстремума в начале координат, хотя ее ограничение на любую пря-
мую, проходящую через начало координат, имеет строгий локальный минимум
в этой точке.
554
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
8. Метод наименьших квадратов.
Это один из наиболее распространенных методов обработки результатов
наблюдений. Он состоит в следующем. Пусть известно, что физические вели-
чины х и у связаны линейным соотношением
у = ах + Ь, (26)
или пусть на основе экспериментальных данных строится эмпирическая фор-
мула указанного вида.
Допустим, было сделано п наблюдений, в каждом из которых одновремен-
но измерялись значения х и у, и в результате были получены пары значе-
ний xi, т/i;...; хп,уп. Поскольку измерения имеют погрешности, то, даже если
между величинами х и у имеется точная связь (26), равенства
Ук = ахк+Ь
могут не выполняться для некоторых значений к € {1,.. .,п}, каковы бы ни
были коэффициенты а и Ь.
Задача состоит в том, чтобы по указанным результатам наблюдений опре-
делить разумным образом неизвестные коэффициенты а и Ь.
Гаусс, исходя из анализа распределения вероятности величины ошибки на-
блюдения, установил, что наиболее вероятные значения коэффициентов а и b
при данной совокупности результатов наблюдений следует искать, исходя из
следующего принципа наименьших квадратов:
если 6к = (ахк + Ь) — ук —невязка к-го наблюдения, то а и b надо выбирать
так, чтобы величина
п
Д = Е<
к=1
т. е. сумма квадратов невязок, была минимальной.
а) Покажите, что принцип наименьших квадратов в случае соотноше-
ния (26) приводит к системе линейных уравнений
[ж*, a:fc]a+[a:fc, 1]Ь =[щ*, г/*],
[1,ж*]сЦ- [1,1]Ь = [1,2/*]
для определения коэффициентов а и Ь; здесь, следуя Гауссу, положено [2^,2^] :=
- Х!Х! + .. .+хпХп, [хк, 1] := Xi -1 + .. .+жп-1; [ж*,ук\ := 2:12/1 +.. .+хпуп и т. д.
Ь) Напишите систему уравнений для чисел «1,..., ат, Ь, к которой приво-
дит принцип наименьших квадратов в том случае, когда вместо равенства (26)
имеется соотношение
т
у = Е а^1 + ъ
г—1
(или, короче, у = агхг + Ь) между величинами х1,... ,хт,у.
§4. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ
555
с) Как, используя метод наименьших квадратов, искать эмпирические
формулы вида
у = сх“1...х“п,
связывающие физические величины xi,..., хт с величиной у!
d) (М. Джермен.) У нескольких десятков особей кольчатого червя Neries
di versicolor была измерена частота R сокращений сердца при различных тем-
пературах Т. Частота выражалась в процентах относительно частоты сокра-
щений при 15 °C. Полученные данные приведены в следующей таблице:
Температура, °C Частота, % Температура, °C Частота, %
0 39 20 136
5 54 25 182
10 74 30 254
15 100
Зависимость Rot Т похожа на экспоненциальную. Считая R = Аеьт, най-
дите значения констант А и Ь, которые бы наилучшим образом соответство-
вали результатам эксперимента.
9. а) Покажите, что в рассмотренной в примере 5 задаче Гюйгенса функ-
ция (18) стремится к нулю, если хотя бы одна из переменных mi,..., тпп стре-
мится к бесконечности.
Ь) Покажите, что функция (18) имеет в Rn точку максимума и потому
единственная критическая точка этой функции в Жп должна быть ее точкой
максимума.
с) Покажите, что величина v, определяемая формулой (19), монотонно воз-
растает с ростом п, и найдите ее предел при п —> сю.
10. а) Во время так называемого круглого наружного шлифования инстру-
мент— быстро вращающийся шлифовальный круг (с шероховатой перифе-
рией) , играющий роль напильника, —
приводится в соприкосновение с мед-
ленно (в сравнении с ним) поворачи-
вающейся поверхностью круглой де-
тали (рис. 55).
Круг К постепенно подается на
деталь Див результате происходит
съем заданного слоя Н металла, до-
ведение детали до нужного размера
и образование гладкой рабочей по-
верхности изделия. Эта поверхность
в будущем механизме обычно явля-
ется трущейся, и, чтобы увеличить
срок ее службы, металл детали про-
Рис. 55.
ходит предварительную закалку, повышающую твердость стали. Однако из-
556
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
за высокой температуры в зоне контакта шлифовального круга с деталью
могут произойти (и часто происходят) структурные изменения в некотором
слое Д металла и падение в этом слое твердости стали. Величина Д монотон-
но зависит от скорости s подачи круга на деталь, т. е. Д = </?(s). Известно,
что существует некоторая критическая скорость во > 0, при которой еще Д =
= 0, а при s > «о Уже Д > 0. Для дальнейшего удобно ввести в рассмотрение
обратную к указанной зависимость
s = ^(Д)>
определенную при Д > 0.
Здесь ip — известная из эксперимента монотонно возрастающая функция,
определенная при Д 0, причем ^>(0) = so > 0.
Режим шлифования должен быть таким, чтобы на окончательно получае-
мой поверхности изделия не было структурных изменений металла.
Оптимальным по быстродействию при указанных условиях, очевидно, бу-
дет такой режим изменения скорости s подачи шлифовального круга, когда
s =
где 6 = 6(t) —величина еще не снятого к моменту t слоя металла или, что
то же самое, расстояние от периферии круга в момент t до окончательной
поверхности будущего изделия. Объясните это.
Ь) Найдите время, необходимое для снятия слоя Н в оптимальном режиме
изменения скорости s подачи круга.
с) Найдите зависимость s = s(t) скорости подачи круга от времени в
оптимальном режиме при условии, что функция Д s линейна: s = sq + АД.
В силу конструктивных особенностей некоторых видов шлифовальных
станков изменение скорости s может происходить только дискретно. Тут и
возникает задача оптимизации производительности процесса при дополни-
тельном условии, что допускается только фиксированное число п переключе-
ний скорости s. Ответы на следующие вопросы дают представление о харак-
тере оптимального режима.
d) Какова геометрическая интерпретация найденного вами в Ь) времени
ff
t(H) = f шлифования в оптимальном непрерывном режиме изменения
скорости S?
е) Какова геометрическая интерпретация потери во времени при перехо-
де от оптимального непрерывного режима изменения s к оптимальному по
быстродействию ступенчатому режиму изменения s?
f) Покажите, что точки 0 = sn+i < хп < ... < х± < xq = Н проме-
жутка [0, Н], в которых следует производить переключение скорости, должны
§ 5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
557
удовлетворять условиям
1 1 /1V
~7----г - = - 7 (Xi)(xi - xt-r) (г = 1,...,п)
tl>(xi+1) ^(Xi) \-ф)
и, следовательно, на участке от Xi до Xi+i скорость подачи круга имеет вид
s = V’Geh-i) (г = 0,
g) Покажите, что в линейном случае, когда ^>(Д) = So + АД, точки Xi (из
задачи f)) на промежутке [О, Н] располагаются так, что числа
«о «о , . . s0 So „
-v-<-г-\-хп <...<—+хх < — + Н
л л Л Л
образуют геометрическую прогрессию.
11. а) Проверьте, что касательная к кривой Г: / —> Жт определена инва-
риантно относительно выбора системы координат в Жт.
Ь) Проверьте, что касательная плоскость к графику S функции у =
= f(x1,...,xm') определена инвариантно относительно выбора системы ко-
ординат в Жт.
с) Пусть множество S С Жт х Ж1 является графиком функции у =
= /(ж1,... ,хт) в координатах (ж1,... ,хт,у) в Ж”1 х R1 и графиком функ-
ции у = /(ж1,..., хт) в координатах (ж1,..., хт, у) в х Ж1. Проверьте, что
касательная к S плоскость инвариантна относительно линейного преобразо-
вания координат в х R1. т 2
d) Проверьте, что оператор Лапласа Д/ = -^-^-(ж) определен инвари-
г=1 дх1
антно относительно ортогональных преобразований координат в .
§ 5. Теорема о неявной функции
1. Постановка вопроса и наводящие соображения. В этом
параграфе будет доказана важная как сама по себе, так и благодаря ее
многочисленным следствиям теорема о неявной функции.
Поясним сначала, в чем состоит вопрос.
Пусть, например, мы имеем соотношение
ж2 + у2 — 1 = 0 (1)
между координатами ж, у точек плоскости
Ж2. Совокупность точек плоскости R2, удо-
влетворяющих этому соотношению, есть
единичная окружность (рис. 56).
Наличие связи (1) показывает, что,
фиксировав одну из координат, например
х, мы не вправе брать вторую координату
558
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
произвольно. Таким образом, соотношение (1) предопределяет зависи-
мость у от х. Нас интересует вопрос об условиях, при которых неявная
связь (1) может быть разрешена в виде явной функциональной зависи-
мости у — у(х).
Решая уравнение (1) относительно у, найдем, что
у = ±д/1 - х2, (2)
т.е. каждому значению х такому, что |ж| < 1, на самом деле отвеча-
ют два допустимых значения у. При формировании функциональной
зависимости у = у (ж), удовлетворяющей соотношению (1), нельзя без
привлечения дополнительных требований отдать предпочтение какому-
нибудь одному из значений (2). Например, функция у(х), которая в ра-
циональных точках отрезка [—1,1] принимает значение +V1 — х2, а в
иррациональных — значение —V1 — х2, очевидно, удовлетворяет соот-
ношению (1).
Ясно, что вариацией этого примера можно предъявить бесконеч-
но много функциональных зависимостей, удовлетворяющих соотноше-
нию (1).
Вопрос о том, является ли множество, задаваемое в R2 соотноше-
нием (1), графиком некоторой функциональной зависимости у = у(х),
очевидно, решается отрицательно, ибо с геометрической точки зрения
он равносилен вопросу о возможности взаимно однозначного прямого
проектирования окружности на некоторую прямую.
Но наблюдение (см. рис. 56) подсказывает, что все-таки в окрест-
ности отдельной точки (жо,Уо) дуга окружности взаимно однозначно
проектируется на ось а; и ее единственным образом можно предста-
вить в виде у = у(х), где х у(х) —непрерывная функция, определен-
ная в окрестности точки xq и принимающая в з?о значение уо. В этом
отношении плохими являются только точки (—1,0), (1,0), ибо никакая
содержащая их внутри себя дуга окружности не проектируется взаим-
но однозначно на ось х. Зато окрестности этих точек на окружности
хорошо расположены относительно оси у и могут быть представлены в
виде графика функции х = ж(у), непрерывной в окрестности точки О
и принимающей в этой точке значение —1 или 1 в соответствии с тем,
идет ли речь о дуге, содержащей точку (—1,0) или (1,0).
Как же аналитически узнавать, когда наше геометрическое место
точек, определяемое соотношением типа (1), в окрестности некоторой
§ 5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
559
точки (хо,уо), принадлежащей ему, может быть представлено в виде
явной зависимости у = у(х) или х = т(у)?
Будем рассуждать следующим, уже привычным способом. У нас
есть функция F(rc,y) = х2 + у2 — 1. Локальное поведение функции в
окрестности точки (яо,Уо) хорошо описывается ее дифференциалом
F'x(xo,yo)(x - то) + F^(T0,y0)(y - Уо),
поскольку
F(®,y) = F(xo,yo) + Fx(x0,y0)(x - х0) + Fy(x0,y0)(y - у0) +
+ о(|т - ®о| + |у - Уо|)
при (х,у) —> (жО,Уо)-
Если F(xo,yo) = 0и нас интересует поведение линии уровня
F(x,y) = О
нашей функции в окрестности точки (то,Уо), то о нем можно судить по
расположению прямой (касательной)
F^x0,y0)(x - х0) +Fy(x0,y0)(y - уо) = 0. (3)
Если эта прямая расположена так, что ее уравнение можно разре-
шить относительно у, то, коль скоро в окрестности точки (xq, уо) линия
F(x, у) = 0 мало уклоняется от этой прямой, можно надеяться, что ее
в некоторой окрестности точки (яо,Уо) тоже можно будет записать в
виде у = у(х).
То же самое, конечно, можно сказать о локальной разрешимости
уравнения F(x, у) = 0 относительно х.
Записав уравнение (3) для рассматриваемого конкретного соотно-
шения (1), получим следующее уравнение касательной:
х0(х - х0) + уо(у - Уо) = 0.
Это уравнение разрешимо относительно у всегда, когда уо 0, т. е.
во всех точках (хо,уо) окружности (1), кроме точек (—1,0) и (1,0). Оно
разрешимо относительно х во всех точках окружности, кроме точек
(0,-1) и (0,1).
560
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
2. Простейший вариант теоремы о неявной функции. В этом
параграфе теорема о неявной функции будет получена очень нагляд-
ным, но не очень эффективным методом, приспособленным только к
случаю вещественнозначных функций вещественных переменных.
С другим, во многих отношениях более предпочтительным способом
получения этой теоремы, как и с более детальным анализом ее струк-
туры, читатель сможет познакомится в главе X (часть II), а также в
задаче 4, помещенной в конце параграфа.
Следующее утверждение является простейшим вариантом теоремы
о неявной функции.
Утверждение 1. Если функция F: U(xq, уо) R, определенная в
окрестности U(xo,yo) точки (жо,Уо) € R2, такова, что
1° FeC(p\U-,№), где р 1,
2° F(x0,y0) = 0,
3° Fy(xo,yo) 0,
то существуют двумерный промежуток I = 1Х х 1у, где
Ix = {a; G R | |ж - а;0| < а}, 1У = {у G R | |у - у0| < М
являющийся содержащейся в U(xo,yo) окрестностью точки (хо,уф), и
такая функция f G С^(1Х; 1у), что для любой точки (х, у) G 1Х х 1у
F(x,y) = 0 у = f(x), (4)
причем производная функции у = /(ж) в точках х G 1Х может быть
вычислена по формуле
/'(*) = - [Р^ЦхУ)]-1 [F'(x,/(a;))] . (5)
Прежде чем приступить к доказательству, дадим несколько воз-
можных переформулировок заключительного соотношения (4), кото-
рые должны заодно прояснить смысл самого этого соотношения.
Утверждение 1 говорит о том, что при условиях 1°, 2°, 3° порция
множества, определяемого соотношением F(x,y) = 0, попавшая в ок-
рестность I = 1Х х 1у точки (хо,уо), является графиком некоторой
функции f: 1Х 1у класса С^(1х,1у).
Иначе можно сказать, что в пределах окрестности I точки (гео, Уо)
уравнение F(x, у) = 0 однозначно разрешимо относительно у, а функ-
ция у = /(ж) является этим решением, т. е. F(x, f(x)) = 0 на 1Х.
§5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
561
Отсюда в свою очередь следует, что если у = f(x) —функция, опре-
деленная на 1Х, про которую известно, что она удовлетворяет соотно-
шению F(x, f(x)) = 0 на 1Х и что /(^о) = Уо, то при условии непрерыв-
ности этой функции в точке Хо G 1Х можно утверждать, что найдется
окрестность Д С 1Х точки хо такая, что /(Д) С 1у и тогда f(x) = f(x)
при х G Д.
Без предположения непрерывности функции f в точке Xq и условия
/(жо) = Уо последнее заключение могло бы оказаться неправильным,
что видно на уже разобранном выше примере с окружностью.
Теперь докажем утверждение 1.
◄ Пусть для определенности Fy(xo, уо) >0. Поскольку F G (U; К),
то Fy(x, у) > 0 также в некоторой окрестности точки (то, Уо)- Чтобы не
вводить новых обозначений, без ограничения общности можно считать,
что Fy(x,y) > 0 в любой точке исходной окрестности U(xo,yo)-
Более того, уменьшая, если нужно, окрестность U(xo,yo), можно
считать ее кругом некоторого радиуса г = 2(3 > 0 с центром в точке
(хо,Уо)-
Поскольку Fy(x,y) > 0 в U, то функция F(xo,y) от у определена и
монотонно возрастает на отрезке уо — (3 у уо + (3, следовательно,
F(x0,y0 - (3) < F(xo,yo) = 0 < F(xo,yo + /3).
В силу непрерывности функции F в U, найдется положительное чи-
сло а < (3 такое, что при |гг — ггц | а будут выполнены соотношения
F(x, уо- (3) < 0 < F(x, уо + (3).
Покажем теперь, что прямоугольник I = 1Х х 1у, где
1Х = {ж G R | |ж - ж0| < а}, 1У = {у G R | \у - 2/о| < (3},
является искомым двумерным промежутком, в котором выполняется
соотношение (4).
При каждом х G 1Х фиксируем вертикальный отрезок с концами
(х,уо — (3}, (х,уо + /3). Рассматривая на нем F(x, у) как функцию от у,
мы получаем строго возрастающую непрерывную функцию, принима-
ющую значения разных знаков на концах отрезка. Следовательно, при
х Е 1Х найдется единственная точка у(х) G 1у такая, что F(x, у(х\) = 0.
Полагая у(х) = f(x), мы приходим к соотношению (4).
19-4573
562
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Теперь установим, что f G C(p)(Ix:Iy).
Покажем сначала, что функция f непрерывна в точке жо и что
f(xo) = уо. Последнее равенство, очевидно, вытекает из того, что при
х = хо имеется единственная точка у(хо) G 1у такая, что F(xo,y(xo)) =
= 0. Вместе с тем по условию Т(жо,уо) = 0, поэтому f(xo) = уо-
Фиксировав число е, 0 < е < /3, мы можем повторить доказатель-
ство существования функции f(x) и найти число 6, 0 < 6 < а, так, что
в двумерном промежутке I — 1Х х 1у. где
Ix = {ж G R | |ж - ж0| < <*}, 4 = {у 6 К | |у - у0| < е},
будет выполнено соотношение
(Г(яг,у) = 0 в /) О (у = /(ж), х Е Тх) (6)
с некоторой вновь найденной функцией f: 1Х —> 1у.
Но Ix С 1Х, 1у С 1У и I С I, поэтому из (4) и (6) следует, что
f(x) = f(x) при х Е Ix С 1Х. Тем самым проверено, что |/(ж) — /(«о)| =
= \f(x) ~Уо\ <£ при |ж - ж0| < 6.
Мы установили непрерывность функции f в точке хо- Но любая
точка (х, у) Е I, в которой F(x, у) — 0, также может быть принята
в качестве исходной точки построения, ибо в ней выполнены условия
2°, 3°. Выполнив это построение в пределах промежутка I, мы бы в
силу (4) вновь пришли к соответствующей части функции /, рассма-
триваемой в окрестности точки х. Значит, функция f непрерывна в
точке х. Таким образом, установлено, что / Е С(1Х,1У).
Покажем теперь, что / Е и установим формулу (5).
Пусть число Дж таково, что х + Дж G 1Х. Пусть у = f(x) и У + Ду =
= /(ж + Дж). Применяя в пределах промежутка I к функции F(x,y)
теорему о среднем, находим, что
0 = F(x + Дж, /(ж + Дж)) - Г(ж, /(ж)) =
= F(x + Дж, у + Ду) — F(x, у) =
= F'x(x + 0Дж,у + 0Ду) Дж + F'y(x + 0Дж, у + #Ду)Ду (0 < в < 1),
откуда, учитывая, что Fy(x, у) 0 в I, получаем
Ду = К£(ж + 0Дж,у + 0Ду)
Дж F^(x + 0Дж, у + вА.у) ’
§ 5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
563
Поскольку f Е С(1Х-, 1У}, то при Дж -» 0 также Ду -~>0и, учитывая,
что F Е CV\U№), из (7) в пределе при Дж -ч 0 получаем
/Чх\ = Fx(x, у)
F'(x,yy
где у = /(ж). Тем самым формула (5) установлена.
В силу теоремы о непрерывности композиции функций, из форму-
лы (5) вытекает, что f Е (1Х; 1у).
Если F Е C<2)(f7;R), то правая часть формулы (5) допускает диф-
ференцирование по ж и мы находим, что
„ х \FXX + Fx f'(x)]F'— FX\FX + F'1 f'(x)]
__ I XJj____XV J v z J У__x L ХУ__yy J \ / j (5^)
где F' F' F", F" F" вычисляются в точке (х, f(x)).
Таким образом, f G C^(Ix\Iy), если F G (?7;R). Поскольку по-
рядок производных от /, входящих в правую часть соотношений (5),
(5Z) и т. д., на единицу ниже, чем порядок производной от /, стоящей в
левой части равенства, то по индукции получаем, что f G C^(Ix;Iy),
если F Е C^(U;R). ►
Пример 1. Вернемся к рассмотренному выше соотношению (1),
задающему окружность в!2, и проверим на этом примере утвержде-
ние 1.
В данном случае
Г(ж,у) = х2 +у2 - 1
и очевидно, что F Е C^^R2; R). Далее,
Fx(x,y) = Щх,у) = 2у,
поэтому Fy(x,y) 0, если у 0. Таким образом, в силу утверждения 1,
для любой точки (жо, уо) данной окружности, отличной от точек (—1,0),
(1,0), найдется такая окрестность, что попадающая в нее дуга окруж-
ности может быть записана в виде у — f(x). Непосредственное вычи-
сление подтверждает это, причем /(ж) = л/1 — ж2 или /(ж) = —л/1 — ж2.
Далее, в силу утверждения 1,
fl(„ х _ Ц.(х0,у0) _ _^о
П 0) F'(x0,y0) уо
(8)
564
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Непосредственное вычисление дает
/'(*) =
х
\/1 — ж2 ’
X
— ж2 ’
если f(x) = л/1 — ж2,
если /(ж) = —л/1 — ж2,
что можно записать одним выражением
вычисление по которому приводит к тому же результату
f (ж0 =----,
Уо
что и вычисление по формуле (8), полученной из утверждения 1.
Важно заметить, что формула (5) или (8) позволяет вычислять /'(ж),
даже не располагая явным выражением зависимости у = f(x), если нам
только известно, что /(жо) = уо- Задание же условия уо = /(жо) необ-
ходимо для выделения той порции линии уровня F(x,y) = 0, которую
мы намереваемся представить в виде у = /(ж).
На примере окружности видно, что задание только координаты жо
еще не определяет дугу окружности и, только фиксировав уо, мы вы-
деляем одну из двух возможных в данном случае дуг.
3. Переход к случаю зависимости Ffx1,..., хт, у) = 0. Прос-
тым обобщением утверждения 1 на случай зависимости F(x\ ..., хт, у) =
= 0 является следующее утверждение.
Утверждение 2. Если функцияF: U определенная в окрест-
ности U С Rm+1 тонки (жо, уо) = (жо, • • •, ж™, Уо) G Rm+1, такова, что
1° Fg р> 1,
2° Г(ж0, уо) = F(x\, ...,х^, уо) = О,
3° ^(жо,Уо) = F^J,...^,y0) О,
то существуют (т + 1)-мерный промежуток 1 = 1™ х 1у, где
I™ = {ж = (ж1,...,жт)еГ | |жг-ж^| <а\ г = 1,...,т},
I* = {у G R | |у - у0| < /?},
§ 5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
565
являющийся лежащей в U окрестностью точки (жо,уо), и такая функ-
ция что для любой точки (х, у) Е I™ X 1у
F(xl,..., хт, у) = 0 <=> у — /(ж1,..., жш), (9)
причем частные производные функции у — /(ж1,..., ж771) в точках 1Х
могут быть вычислены по формуле
= - [F'fc/W)]-1 [F',(х, f И)]. (10)
◄ Доказательство существования промежутка Im+1 = 1™х1у, функ-
ции у = /(ж) = /(ж1,..., жш) и ее непрерывности в I™ дословно повто-
ряет соответствующие части доказательства утверждения 1, с един-
ственным изменением, которое сводится к тому, что теперь под сим-
волом ж надо понимать набор (ж1,... , жш), а под символом а — набор
(а1,..., а™).
Если теперь в функциях -/Дж1,..., хт, у) и /(ж1,..., хт) фиксиро-
вать все переменные, кроме хг и у, то мы окажемся в условиях утвер-
ждения 1, где на сей раз роль ж выполняет переменная хг. Отсюда
следует справедливость формулы (10). Из этой формулы видно, что
|4 £ (i = 1, •••,"*), т.е. f <Е 0^(1^;!^). Рассуждая, как
и при доказательстве утверждения 1, по индукции устанавливаем, что
/ Е 0^(1™-, I*), коль скоро F Е С<?)(/7;К). ►
Пример 2. Предположим, что функция F: G —> R определена в
области G С К.ш и принадлежит классу (G; R); жо = (жд,... ,х™) 6
Е G и Е(жд) = Е(жд,..., х™) = 0. Если жо не является критической
точкой функции F, то хотя бы одна из частных производных функции
Л Z71
F в точке жо отлична от нуля. Пусть, например, —— (жд) 7^ 0.
дх
Тогда, в силу утверждения 2, в некоторой окрестности точки жо под-
множество К"1, задаваемое уравнением Е(жД... ,жш) = 0, может быть
задано как график некоторой функции хт = /(ж1,... ,жш-1), опреде-
ленной в окрестности точки (ж^,..., ж™-1) 6 К.ш-1, непрерывно диффе-
ренцируемой в этой окрестности и такой, что /(жд,..., ж™-1) = х™.
Таким образом, в окрестности некритической точки жд функции F
уравнение
Г(ж1,...,жш) = 0
задает (т — 1)-мерную поверхность.
566
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В частности, в случае R3 уравнение
F(x,y,z) = О
в окрестности некритической точки (жо, у$, zq), удовлетворяющей ему,
задает двумерную поверхность, которая при выполнении условия
^-(хо,Уо, zo) 7^ о локально может быть записана в виде
z = f(x,y).
Как мы знаем, уравнение плоскости, касательной к графику этой
функции в точке (жо, Уо, zo), имеет вид
z~z0 = — (х0,у0)(х-х0) + — (хо,уо)(у - Уо)-
CjJu (J у
Но по формуле (10)
df, s F^x0,y0,z0) df , F^(x0,y0,z0)
дх F'z(xQ,yQ,ZQ) ду F'z[XQ,yQ,ZQ)
поэтому уравнение касательной плоскости можно переписать в виде
F^x0,y0,z0)(x - жо) + Fy(x0,y0,z0)(y - у0) + Fz(x0, у0, zq)(z - z0) = 0,
симметричном относительно переменных ж, у, z.
Аналогично и в общем случае получаем уравнение
т
£г'г(жо)(жг-жго) = О
г=1
гиперплоскости в К7”, касательной в точке Жо = (ж^,...,ж™) к поверх-
ности, задаваемой уравнением ^(ж1,..., хт) = 0 (разумеется, при усло-
вии, что Р(жо) = 0 и что жо—некритическая точка F).
Из полученных уравнений видно, что при наличии евклидовой
структуры в К"1 можно утверждать, что вектор
( dF 8F \
ортогонален поверхности r-уровня F(x) = г функции F в соответству-
ющей точке жо 6 К"1-
§ 5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
567
Например, для функции
. . ж2 у2 Z2
F(x,y,z) = — + 77 +
а2 о2 с2
определенной в В3, r-уровнем являются: пустое множество при г < 0;
точка при г = 0; эллипсоид
2 2 9
X у Z*
а2 + Ъ2 с2
при г > 0. Если (жо, уо, zq) — точка на этом эллипсоиде, то по доказан-
ному вектор
, ч /2ж0 2у0 2г0\
gradF(a;o,yo,zo) = -р-,
ортогонален этому эллипсоиду в точке (xo,yo,zo), а касательная к нему
в этой точке плоскость имеет уравнение
х0(х - х0) у0(у - Уо) z0(z- z0) =
а2 + Ь2 + с2
которое с учетом того, что точка (жо, уо, zq) лежит на эллипсоиде, мож-
но переписать в виде
xqx уоу zoz _
2~ + “ЦТ *---2~ — Г‘
а2 о2 с2
4. Теорема о неявной функции. Теперь перейдем к общему слу-
чаю системы уравнений
7?1(ж1,... ,хт,у\ ...,уп) = 0,
' ............................. (11)
. Fn(x1,...,xm,y1,...,yn) = 0,
которую мы будем решать относительно у1,..., уп, т. е. искать локаль-
но эквивалентную системе (11) систему функциональных связей
(12)
Для краткости, удобства письма и ясности формулировок условим-
ся, что ж = (ж1,... ,ж’71), у = (у1,... ,уп); левую часть системы (11)
568
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
будем записывать как F(x,y), систему (И) как F(x,y) = 0, а отобра-
жение (12) как у = f(x).
Если
ж0 = (4,...,ж^), уо = (Уо,---,Уо),
а= (а1,. /3 = ((З1,..., /3"),
то запись |ж — жо| < а или \у — ?;о| < /3 будет означать, что |жг — Xq| < а’
(г = 1,...,т) и, соответственно, \у3 — у^\ < /З1 (j = 1,...,п).
Далее положим
?х&,у) =
/ dF1 dF1 \
дх1 дхт
(ж, у),
(13)
(14)
dFn dFn
X дх1 дхт /
Ж =
Fy(x,y) =
/ dF1 dF1 \
ду1 ' дуп
(х,У)-
(15)
dFn dFn
\ ду1 дуп /
Заметим, что матрица Fy(x,y) квадратная и, следовательно, она
обратима тогда и только тогда, когда ее определитель отличен от нуля.
В случае п = 1 она сводится к единственному элементу и в этом случае
обратимость матрицы F'yix.y) равносильна тому, что этот единствен-
ный ее элемент отличен от нуля. Матрицу, обратную к Fy(x, у), будем,
как обычно, обозначать символом [F'(s,y)] \
Теперь сформулируем основной результат параграфа.
Теорема (о неявной функции). Если отображение F: U —> Rn,
определенное в окрестности U точки (жо>Уо) 6Rm+n, таково, что
Г Ft p^l,
2° F(xo,yo) = О,
3° Fy(xo,yo) —обратимая матрица,
§ 5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
569
то существуют (т + ri)-мерный промежуток I = I™ х I™ С U, где
1™ = {хЕ^т | |Ж-ЖО| <«}, 1% = {уе№ | \у-у0\</3},
и такое отображение f Е (I™I™), что для любой точки (х, у) Е
El^X I-
F(x,y) = 0<&у = f(x), (16)
причем
/'И = - /И)]-1 (17)
◄ Доказательство теоремы будет опираться на утверждение 2 и
простейшие свойства определителей. Разобьем его на отдельные этапы.
Будем рассуждать методом индукции.
При п = 1 теорема совпадает с утверждением 2 и потому верна.
Пусть теорема справедлива для размерности п — 1. Покажем, что
она тогда справедлива и для размерности п.
а) В силу условия 3°, определитель матрицы (15) отличен от нуля
в точке (жо,?/о) € Кш+п, а значит, и в некоторой окрестности точ-
ки (а?о,?/о)- Следовательно, по крайней мере один элемент последней
строки этой матрицы отличен от нуля. С точностью до перемены обо-
u QFn
значении можно считать, что таким является элемент -—.
дуп
Ь) Применяя тогда к соотношению
,9”)=0
утверждение 2, найдем промежуток Im+n — х Iy-1) х Iy С U и
такую функцию f Е х Z”-1;/*), что
(^"(ж1,... ,ж771,у1,... ,уп) = О в 1т+п) О
О (у71 =/(ж1,..., ж771, у1,..., у71-1),
(х\...,хт)Е~1™, (у1,...,у71”1) 6-1). (16)
с) Подставляя найденное выражение уп — f(x, у1,..., уп~1) перемен-
ной уп в первые п — 1 уравнений системы (И), получим п — 1 соотно-
570
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
шений
' Ф1(х1,...,хт,у1,...,уп~1):=
= F1(x1, ...,хт,у\..., уп-\ f(x\ ...,хт,у\..., у"'1)) = 0,
< ......................................................... (19)
к = Рп-1(ж1,..., жш, у1,..., у”-1,/(ж1,..., жш, у1,..., у”-1)) = 0.
Видно, что Фг € х (г = 1,..., п — 1), причем
Фг(4,...,ж^,у^,...,у£-1) =° (г = l,...,n-1),
ибо f(x^,...,xrft,y^,...,y^1) = у” и Fl(x0,y0) =0 (г = 1,...,п).
В силу определения функций Фк (к = 1,..., п — 1),
дФк dFk dFk df
“УТ = ТУТ + 7ГУ ' ТП (г,к = 1,...,п-1). 20
оу1 дуг дуп оу1
Положив еще
Фп(х\...,х™,у\...,уп-')-.=
= Fn(xl, ...,хт,у\..., уп~\ f(xl, ...,хт,у\..., у"’1)),
в силу (18) получаем, что в области своего определения Ф” = 0, поэтому
9Фп _ dFn dFn df
дуг дуг + дуп дуг
(г = 1,...,п-1).
(21)
Учитывая соотношения (20), (21) и свойства определителей, можно
заметить, что определитель матрицы (15) равен определителю матри-
цы
/ ЭЕ1 , dFf df dF1 . dF1 df dF1 \
dy1 dyn ' dy1 ’ ’ ’ dy”-1 dyn ’ dyn-r dyn
OFff , OFff . dl_ dFn . dFn df dFn
\ dy1 dyn dy1 dyn~l dyn dyn~x dyn /
/ ЭФ1 ЭФ1 dF1 \
dy1 " dyn~x dyn
dФn 1 5ФП 1
dy1 " V1
dyn
dFn
§ 5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
571
dFn
дуп
По предположению,
Ф 0, а определитель матрицы (15) по усло-
вию отличен от нуля. Следовательно, в некоторой окрестности точки
(жд,..., х™,уд,..., Уо-1) отличен от нуля и определитель матрицы
( ЭФ1
Эу1
ЭФ1 \
Эу”-1
дфга~х
дуХ
ЭФ”-1
Эу”-1 у
.,жш,у1,...,уп-1).
Тогда по предположению индукции найдутся промежуток 7ш+п 1 —
= 7™ X 1у~1 X 7”-1-------окрестность ТОЧКИ (Жд, . . . , Ж™, Уд,. . . , Уо -1)
в йш+п“1 —и такое отображение / 6 (7^(7^*; 7^-1), что в пределах
промежутка 1Ш+П-1 = I™ х I™-1 система (19) равносильна соотноше-
ниям
у1 = /1(ж1,...,ж’71),
< ............................ хе I™. (22)
, у"-1 = J”"1 (ж1,...,ж"1),
d) Так как 7”-1 С ly-1, а 7™ С I™, то, подставляя f1,..., /”-1 из (22)
вместо соответствующих переменных в функцию
Уп = /(Л-’^ж^у1,...^”-1)
из соотношения (18), получаем зависимость
yn = fn(xl,...,xm) (23)
переменной уп от (ж1,..., жш).
е) Покажем теперь, что система равенств
' у1 = fl(x1,...,xm),
< ........................................ (24)
уП _ . . . , Жш),
задающая отображение f е С^(1™-,1у), где I™ = I™ 1 х 7х, равносильна
в пределах окрестности Im+n = I™ х 7” системе уравнений (11).
В самом деле, сначала мы в пределах fm+n = (j™ х 7”-1) х 1у заме-
нили последнее уравнение исходной системы (11) эквивалентным ему, в
силу (18), равенством у” = /(ж, у1,..., у”-1). От так полученной второй
572
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
системы мы перешли к равносильной ей третьей системе, заменив в пер-
вых п — 1 уравнениях переменную уп на /(ж, у1,..., уп'Л)- Первые п -1
уравнений (19) третьей системы мы в пределах I™ х Iy~l С I™ х 1у~х
заменили равносильными им соотношениями (22). Тем самым получили
четвертую систему, после чего перешли к равносильной ей в пределах
х/у-1 х 1у = Гп+п окончательной системе (24), заменив в последнем
уравнении уп = /(ж1,..., хт, у1,..., у”-1) четвертой системы перемен-
ные у1,... ,уп~1 их выражениями (22) и получив в качестве последнего
уравнения соотношение (23).
f) Для завершения доказательства теоремы остается проверить фор-
мулу (17).
Поскольку в окрестности I™ х I™ точки (жо,?/о) системы (11) и (12)
равносильны, то
F(x,/(ж)) = 0, если ж е I™-
В координатах это означает, что в области I™
Fk(xl, ...,хт, /^ж1,..., жш),..., /"(ж1,..., жш)) = О
(к = 1,...,п). (25)
Поскольку / Е C^(I™;I”)nFe C&>(U;Rn), где р > 1, то F(-,/(•))€
€ 6^(7™; Г1) и, дифференцируя тождества (25), получаем
dFk ^dFk df3
+ = 0 (А: = 1,-• • ,п; г = 1,... ,т). (26)
дхг ®х
Соотношения (26), очевидно, равносильны одному матричному ра-
венству
^(ж, У) + Fy(x, у) • /'(ж) = О,
в котором у = / (ж).
Учитывая обратимость матрицы Fy(x, у) в окрестности точки
(жо,уо), из этого равенства получаем, что
f'(x) = - ИОг./W)]’1 ,
и теорема полностью доказана. ►
§ 5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
573
Задачи и упражнения
1. На плоскости Ж.2 с координатами х, у соотношением F(x, у) = 0, где F Е
е (К2, К), задана кривая. Пусть (х>о,уо)—некритическая точка функции
F(x, у), лежащая на кривой.
а) Напишите уравнение касательной к этой кривой в точке (хо,уо).
Ь) Покажите, что если (хо,Уо)—точка перегиба кривой, то в этой точке
выполняется равенство
- 2F”yF^ + F^F'2) (ж0, уо) = 0.
с) Найдите формулу для кривизны кривой в точке (хо,уо).
2. Преобразование Лежандра для т переменных.
Преобразование Лежандра от переменных ж1,..., хт и функции /(ж1,..., хт)
есть переход к новым переменным £i,...,£m и функции f*(£i, ,£т), зада-
ваемый соотношениями
’ Сг = (г = 1,...,т),
< Х т (27)
/*(С1,---,Ст) = Ё Сг^’ - f Хт).
1=1
а) Дайте геометрическую интерпретацию преобразования (27) Лежандра
как перехода от координат (ж1,..., хт, /(ж1,..., хт)) точки на графике функ-
ции f(x) к параметрам (Ci, • • •, Cm, f*(Ci, • • •, Cm)), задающим уравнение плос-
кости, касательной к графику в этой точке.
Ь) Покажите, что преобразование Лежандра локально заведомо возможно,
если f е и det ( S') 0.
\ дхгдхЗ/
с) Используя для функции f(x) = f(x\...,xm) то же определение вы-
пуклости, что и в одномерном случае (подразумевая теперь под х вектор
(ж1,... ,хт) е Rm), покажите, что преобразованием Лежандра выпуклой
функции является выпуклая функция.
d) Покажите, что
df* = 57 жМСг + 57 Сг^г - df = 57 я’^Сг,
г=1 г=1 г=1
и выведите отсюда инволютивность преобразования Лежандра, т. е. проверь-
те, что
(/*)*(ж)=/(ж).
е) Учитывая d), запишите преобразование (27) в симметричном относи-
тельно переменных виде
' т
/*(С1> • • • > Cm) + f(z\---,Xm) = ЁСг^г,
< «=1 (28)
<= х'=
574
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
или, короче, в виде
ле) + Ж) = ^ e=w), x = vr(o,
где
f) Матрицу, составленную из частных производных второго порядка
функции (а иногда и определитель этой матрицы), называют гессианом функ-
ции в данной точке.
Пусть dt} и d*} — алгебраические дополнения элементов - j , гес-
сианов 7
/ d2f d2f \
дх1дх1 дх1дхт
d2f d2f
\дхтдхг дхтдхт '
/ а2/* а2/* \
dCldCm
d2f* д2Г
\д^1 д£тд£т/
функций f(x) и /*(£), a d и d* —определители этих матриц. Считая, что d / О,
покажите, что d • d* = 1 и что
дхгдхз d* ’
д2 f*
1 (Л =
d
g) Мыльная пленка, натянутая на проволочный контур, образует так на-
зываемую минимальную поверхность, имеющую наименьшую площадь среди
всех поверхностей, натянутых на этот контур.
Если локально задать эту поверхность как график функции z = f(x,y),
то, оказывается, функция f должна удовлетворять следующему уравнению
минимальных поверхностей:
(i+л2) л; - + (i+л2) f”y = о.
Покажите, что после преобразования Лежандра это уравнение приводится
к виду
(1++2^47 + (1+е2) 47 = о.
3. Канонические переменные и система уравнений Гамильтона^.
а) В вариационном исчислении и фундаментальных принципах классиче-
ской механики важную роль играет следующая система уравнений Эйлера-
х) У. Р. Гамильтон (1805-1865) —знаменитый ирландский математик и механик.
Сформулировал вариационный принцип (принцип Гамильтона), построил феноме-
нологическую теорию оптических явлений; создатель теории кватернионов и родо-
начальник векторного анализа (кстати, ему принадлежит сам термин «вектор»).
§ 5. ТЕОРЕМА О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ
575
Лагранжа:
dL ±dL\
дх + dt dv J
(t,x,v) = О,
(29)
v = x(t),
где L(i, x, v) —заданная функция переменных t, х, v, среди которых t обычно
является временем, х — координатой, a v — скоростью.
Систему (29) составляют два соотношения на три переменные. Из систе-
мы (29) обычно желают найти зависимости х = x(t) и v = v(t), что по суще-
ству сводится к отысканию зависимости х = x(t), ибо v =
Запишите подробно первое уравнение системы (29), раскрыв производ-
ную с учетом того, что х = x(t) и v = v(t).
b) Покажите, что если от переменных t, х, v, L перейти к так называемым
каноническим переменным t, х, р, Н, сделав преобразование Лежандра (см.
задачу 2)
dL
Р=дё
Н = pv — L
по переменным v, L, заменяя их на переменные р, Н, то система Эйлера-
Лагранжа (29) приобретает симметричный вид
дН . дН
Р=-~д^ Х=^
(30)
в котором она называется системой уравнений Гамильтона.
с) В многомерном случае, когда L = L(i, ж1,... ,хт,... ,vm), система
уравнений Эйлера-Лагранжа имеет вид
dL ±дЬ\
дх1 + dt до1)
(t,x,v) = 0,
(31)
иг = x\t) (г = 1,... ,тп),
где для краткости положено х = (ж1,... ,хт), v = (v1,... ,vm).
Сделав преобразование Лежандра по переменным о1,... ,vm,L, перейди-
те от переменных t,xx,... . ,vm,L к каноническим переменным
t,х1,..., xm,pi,... ,рт,Н и покажите, что в них система (31) перейдет в сле-
дующую систему уравнений Гамильтона:
* = = <i = 1- <32>
576
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4. Теорема о неявной функции.
Решение этой задачи дает другое, быть может, менее наглядное и эффек-
тивное, но более короткое в сравнении с изложенным выше доказательство
основной теоремы настоящего параграфа.
а) Пусть выполнены условия теоремы о неявной функции, и пусть
f dF1 dFl\
= ..........й'*'”
— i-я строка матрицы Fy(x,y).
Покажите, что определитель матрицы, составленной из векторов Ру(хг, у^,
отличен от нуля, если все точки (хг, уг) (г = 1,..., п) лежат в некоторой до-
статочно малой окрестности U = I™ х I™ точки (жо,уо)-
Ь) Покажите, что если при х е I™ найдутся точки у±, у2 € 1у такие, что
F(x, i/i) = 0 и F(x, 1/2) = 0, то для каждого г G {1,..., п} найдется такая точка
(х,уг), лежащая на отрезке с концами (x,yi), (х,у2), что
Ргу{х,уг')(у2 - Уг) = 0 (г = 1,...,п).
Покажите, что отсюда следует, что yi = у2, т. е. если неявная функция f:
—> 1у существует, то она единственна.
с) Покажите, что если шар В(уо;г) лежит в I™, то F(xo,y) / 0 при
||s/-3/o||Rn = г > °-
2
d) Функция ||Е(жо, J/)||Rn непрерывна и имеет положительный минимум ц
на сфере ||у - y0||R„ = г.
е) Существует 6 > 0 такое, что при ||ж — xq||Rm < 6
2 1
у)llRn > 2м’ если - УоНцп = г’
2 1
ll^(a:,!/)||R„ < -р, если у = у0.
2
f) При любом фиксированном х таком, что ||ж—яго|| < функция ||/Г(яг, у)||R„
достигает минимума в некоторой внутренней точке у = f(x) шара ||у—уо||R„ С
г, и поскольку матрица Fy(x,f(x\) обратима, то F(x, f(x)) = 0. Этим уста-
навливается существование неявной функции /: B(xq;6) —> В(у0- г).
g) Если Ду = f(x + Дж) — /(ж), то
Ду = - [г']-1 • [г'] Лх,
где Fy — матрица, строками которой являются векторы Fy(xt. уг) (i — 1,..., п),
где (ж,,уг) — точка на отрезке с концами (ж,у), (ж + Дж,у+Ду). Аналогичный
смысл имеет символ F’x.
§ 6. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 577
Покажите, что из этого соотношения следует непрерывность функции
У = /С4
h) Покажите, что
5. «Если f(x,y,z) = 0, то & • = —1».
•' v ’w ’ ду дх dz
а) Придайте точный смысл этому высказыванию.
Ь) Проверьте его справедливость на примере формулы Клапейрона
PV
——— = const
Т
и в общем случае функции трех переменных.
с) Запишите аналогичное высказывание для соотношения /(ж1,... ,хт) =
= 0 между т переменными. Проверьте его справедливость.
6. Покажите, что корни уравнения
zn + Ciz”-1 + ... + cn = О
гладко зависят от его коэффициентов, во всяком случае, пока все корни раз-
личны.
§ 6. Некоторые следствия теоремы о неявной функции
1. Теорема об обратной функции
Определение 1. Отображение f:U—>V, где U и V — открытые
подмножества в RTO, называется -диффеоморфизмом или диффео-
морфизмом гладкости р (р = 0,1,...), если
1) fecW(U-,v)-,
2) f — биекция;
3) f-1 G C(p\v-,U).
С^-диффеоморфизмы называют гомеоморфизмами.
Здесь мы, как правило, будем рассматривать только гладкий слу-
чай, т. е. случай р G N или р = оо.
Следующая часто используемая теорема в идейном плане утвержда-
ет, что если дифференциал отображения обратим в точке, то само ото-
бражение обратимо в некоторой окрестности этой точки.
578
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Теорема 1 (теорема об обратной функции). Если отображение
f: G —> RTO области G С таково, что
1° / G C'W(G';KTn), 1,
2° уо = /(«о) при ж0 6 G,
3° f'(xo) обратимо,
то существуют окрестность U(xq) С G точки жо и окрестность
V(yo) точки уо такие, что f:U(xo) —> V(yo) есть -диффеомор-
физм. При этом если х G П(жо) и у = /(ж) 6 V(yo), то
◄ Соотношение у = f(x) перепишем в виде
F(x, у) = /(ж) - у = 0. (1)
Функция F(x, у) = /(ж) — у определена при ж G G и у 6 RTO, т.е.
определена в окрестности G х Ж"1 точки (жо,уо) € х RTO.
Мы хотим разрешить уравнение (1) относительно ж в некоторой
окрестности точки (жо,Уо)- В силу условий 1°, 2°, 3° теоремы отобра-
жение F(x, у) таково, что
F е C^(G х RTO;RTO), р > 1,
F(xo,yo) = 0,
= /'(®о) обратимо.
По теореме о неявной функции найдутся окрестность 1Х х 1у точ-
ки (жо,уо) и отображение у G C^p\ly‘, 1Х) такие, что для любой точки
(ж, у) G 1Х х 1у
f(x) -y=Q^x= g(y) (2)
и
д'(у) = - IXCz,?/)]1 IX(®,y)] •
В нашем случае
Рх(х,У) = f'(x), Fy(x,y) = -Е,
где Е — единичная матрица; поэтому
9'Ы = (/'МГ‘. (3)
§ 6. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 579
Если положить V = 1у и U = g(V), то соотношение (2) показывает,
что отображения f: U V ид: V^U взаимно обратны, т. е. д = J"'1
на V.
Поскольку V = 1у. то V — окрестность точки уо- Это означает,
что при условиях 1°, 2°, 3° образ уо = /(жо) точки Xq G G, внутрен-
ней для G, является точкой, внутренней для образа f(G) множества G.
В силу формулы (3) матрица д'(уо) обратима. Значит, отображение
д: V —> U обладает свойствами 1°, 2°, 3° относительно области V и
точки уо G V. Тогда по уже доказанному хо = д(уо)—внутренняя точ-
ка множества U = g(V).
Поскольку условия 1°, 2°, 3° в силу формулы (3), очевидно, выполне-
ны в любой точке у G V, то любая точка х = д(у) является внутренней
точкой множества U. Таким образом, U — открытая (и, очевидно, даже
связная) окрестность точки хо в RTO.
Теперь проверено, что отображение f:U—>V удовлетворяет всем
условиям определения 1 и утверждению теоремы 1. ►
Приведем несколько примеров, иллюстрирующих теорему 1. Очень
часто теорема об обратной функции используется при переходе от од-
ной системы координат к другой системе координат. Простейший вари-
ант такого преобразования координат рассматривался в аналитической
геометрии и линейной алгебре и имел вид
или, в компактной записи, yJ = ajx1. Это линейное преобразование
A: RJ1 —> RJJ1 имеет обратное A-1: RJJ1 —> RJ1, определенное во всем
пространстве RJJ1, тогда и только тогда, когда матрица (а? ) обратима,
т.е. при условии, что det 7^ 0.
Теорема об обратной функции является локальным вариантом этого
утверждения, опирающимся на то обстоятельство, что гладкое отобра-
жение в малой окрестности точки ведет себя примерно так же, как его
дифференциал в этой точке.
Пример 1. Полярные координаты. Отображение f: R^_ —> R2 по-
луплоскости R^_ = {(р, <р) 6 Ж2 | р 0} на плоскость R2, задаваемое
580
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
формулами
х = pcos<p,
у = psincp,
(4)
проиллюстрировано на рис. 57.
Рис. 57.
Якобиан этого отображения, как нетрудно подсчитать, равен р,
т.е. отличен от нуля в окрестности любой точки (р, <р), где р > 0.
Таким образом, формулы (4) локально обратимы и, значит, локально
числа р, <р могут быть приняты в качестве новых координат точки,
которую раньше задавали декартовы координаты ж, у.
Координаты (р, <р) являются хорошо известной системой криволи-
нейных координат на плоскости — это полярные координаты. Их гео-
метрический смысл виден из рис. 57. Отметим, что в силу периодич-
ности функций cos<p, sincp отображение (4) при р > 0 только локально
диффеоморфно, а во всей этой области оно не является биективным.
Именно поэтому переход от декартовых координат к полярным всегда
сопровождается выбором ветви (т. е. указанием диапазона изменения)
аргумента <р.
Рис. 58.
Полярные координаты (р,-0,<р) в трех-
мерном пространстве R3 называют сфе-
рическими координатами. Они связаны с
декартовыми координатами формулами
z — pcos?/’,
у = р sin ф sin <р,
х = р sin ф cos <р.
Геометрический смысл параметров р,
ф, <р показан на рис. 58.
§ 6. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 581
Якобиан отображения (5) равен р2 sin *0 и в силу теоремы 1 преобра-
зование (5) обратимо в окрестности любой точки (р, ip, <р), в которой
р > 0 и sim/j 7^ 0.
Множествам, где р — const, <р = const или ip — const, в пространстве
(ж, у, z), очевидно, отвечают соответственно сферическая поверхность
(на сфере радиуса р), полуплоскость, проходящая через ось z, и поверх-
ность конуса с осью z.
Таким образом, при переходе от координат (ж, у, z) к координатам
(р, ip, <р), например, сферическая поверхность и поверхность конуса ло-
кально распрямляются: им соответствуют куски плоскостей р = const
и ip = const соответственно. Аналогичное явление мы наблюдали и в
двумерном случае, когда дуге окружности на плоскости (ж, у) отвечал
отрезок прямой на плоскости с координатами (р, <р) (см. рис. 57). Обра-
тите внимание на то, что это именно локальное выпрямление.
В m-мерном случае полярные координаты вводятся соотношениями
ж1 = pcos <pi,
о
X — /9S1I19?1 COS (^2?
.................................................. m
жто-1 = р sin <pi sin <р2 • • sin <рто_2 cos <pTO—i,
хт = р sin <pi sin <р2 ... sin <рш_2 sin <рто_i.
Якобиан этого преобразования равен
рто-1 sinTO-2 <pi sinTO-3 <р2 • • • sin <рто_2 (6)
и в силу теоремы 1 оно тоже локально обратимо всюду, где этот яко-
биан отличен от нуля.
Пример 2. Общая идея локального выпрямления кривых. Новые
координаты обычно вводят с целью упростить аналитическую запись
объектов, участвующих в задаче, и сделать их более обозримыми в этой
новой записи.
Пусть, например, на плоскости R2 некоторая кривая задана уравне-
нием
^(ж,у) = 0.
Пусть F — гладкая функция, а точка (жо,уо) такова, что она лежит на
кривой, т.е. F(x0,y0) = 0, и не является критической точкой функ-
ции F, например, пусть 7^(жо,уо) 0.
582
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Попробуем подобрать координаты £, ту так, чтобы в них дуге нашей
кривой, содержащей (жо,?/о), отвечал отрезок одной из координатных
линий, например линии ту = 0.
Положим
С = х-х0, T] = F(x,y).
Матрица Якоби
этого преобразования имеет своим детерминантом величину Fy(x,y),
которая по предположению отлична от нуля в точке (жо,уо). Тогда по
теореме 1 это отображение является диффеоморфизмом окрестности
точки (жо,?/о) на окрестность точки (£,ту) = (0,0). Значит, в пределах
указанной окрестности чйсла ту можно принять за новые координаты
точек, лежащих в окрестности точки (жо,Уо)- В новых координатах
наша кривая, очевидно, имеет уравнение ту = 0, и в этом смысле мы
действительно добились ее локального выпрямления (рис. 59).
Рис. 59.
2. Локальное приведение гладкого отображения к канони-
ческому виду. Мы рассмотрим здесь только один вопрос этого ти-
па, а именно укажем канонический вид, к которому удачным выбором
координат можно локально привести любое гладкое отображение, име-
ющее постоянный ранг.
Напомним, что рангом гладкого отображения f: U —> М” области
U С RTO в точке х Е U называется ранг касательного к нему в этой
точке линейного отображения, т.е. ранг матрицы f'(x). Ранг отобра-
жения f в точке х обозначают обычно символом rang /(ж).
§ 6. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 583
Теорема 2 (теорема о ранге). Пусть f:U —> R” —отображе-
ние, определенное в окрестности U С М"1 точки Xq G К71. Если f С
р 1, и в любой точке х G U отображение f имеет
один и тот же ранг к, то существуют окрестности О(жд), О(уо)
точек xq, уо = /(жд) и такие их диффеоморфизмы и = <р(х), v — ф(у)
класса С&>, что в окрестности O(uq) = ipfO^xo)) точки uq = <р(жд)
отображение v = ф о f о <^-1(и) имеет следующее координатное пред-
ставление-.
(и1,... ,ик,..., ит) = и v = (у1,..., vn) = (и1,..., ик, 0,..., 0). (7)
Иными словами, теорема утверждает (рис. 60), что вместо коорди-
нат (ж1,..., хт) можно выбрать координаты (и1,..., ит), а вместо ко-
ординат (у1,... , у”) —координаты (v1,...,vn) так, что локально наше
отображение в этих новых координатах будет иметь вид (7), т. е. кано-
нический вид линейного отображения ранга к.
◄ Запишем координатное представление
У1 = /1(ж1,...,жто),
yk = fk(x\...,xm),
(8)
yk+i = хт
хт)
yn = fn(x\...,
нашего отображения f: U —> определенного в окрестности точки
жо € RJ1. Чтобы не менять нумерацию координат и окрестность U,
будем считать, что в любой точке ж G U главный минор порядка к,
стоящий в левом верхнем углу якобиевой матрицы отображения f, от-
личен от нуля.
Рассмотрим отображение, определяемое в окрестности U точки жд
равенствами
и1 = <р1(х1,...,хт) = /^Ж1,...^"1),
ик = <рк(х\...,хт) = /\ж1,...,жтп),
tzfc+l =/+1(Ж1,...,Ж"‘) =.7;^+!,
ит = <рт(х\...,хт) =хт.
584
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Его матрица Якоби имеет вид
/df1 df1 dx1 dxk df1 df1 \ dxk+1 ’ ’' dxm
dfk dfk dx1 dxk dfk dfk dxk+1 dxm
0 1 0 o 1 /
и в силу сделанного предположения ее определитель отличен от нуля
в U.
По теореме об обратной функции, отображение и = являет-
ся диффеоморфизмом гладкости р некоторой окрестности О(жо) С U
точки хо на окрестность O(ug) = <р ^О(жо)) точки uq = <Хжо)-
Сравнивая соотношения (8) и (9), видим, что композиция д = f о
о у?-1: О(и0) —> имеет следующее координатное представление:
у1 =/1°</3 1(и1,...,ит) = и\
/ = /fco¥,-1(u1,...,uTO) =ик,
ук+1 = fk+l о ^-1 (и1,... , и™) = дк+\и\ . . . , ит^
(Ю)
yn = fnogT\u\...,um) = дп(и\ ... ,ит).
Рис. 60.
Поскольку отображение </?-1:
О(uq) —> О(хо) в любой точ-
ке и G O(uq) имеет макси-
мальный ранг т, а отображение
f: О(жо) —> RJ) в любой точке
х G O(xq) имеет ранг к, то, как
известно из линейной алгебры,
матрица д'(и) = f (<^-1(u)) х
х имеет ранг к в лю-
бой точке и G O(uq).
§ 6. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 585
Прямой подсчет матрицы Якоби отображения (10) дает
/ 1 0 \
0
0 1
dgk+1 dgk+1 д9к+1 dgk+1
ди1 дик дик+1 дит
, д£ да! ддп д£_
' ди1 дик дик+1 дит '
Значит, в любой точке и
G О(ио) получаем ^l(u) = 0 при i = к +
ди
+ 1,..., гп', j = к + 1,... ,п. Считая окрестность О(ио) выпуклой (чего
можно добиться, уменьшив O(uq), например, до шара с центром uq),
отсюда можно заключить, что функции д3 при j = к +1,..., п на самом
деле не зависят от переменных ufe+1,..., ит.
После этого решающего наблюдения отображение (10) можно пере-
писать в виде
У1 = и1
ук = ик,
(И)
ук+1 = дк+1(и\ ... ,ик), { ’
уп = дп(и\... ,ик).
Теперь уже можно указать отображение ip. Положим
v1 = у1 =; •фЦу),
vk = ук =-.iPk(y),
wfe+1 =yk+1 - дк+1(у\...,ук) =: ipk+1(y),
vn = yn-gn(y\...,yk} =:tpn(y).
Из построения функций gJ (j = к + 1,... ,n) видно, что отображе-
ние 1р определено в некоторой окрестности точки уо и принадлежит
классу в этой окрестности.
586
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Матрица Якоби отображения (12) имеет вид
/1 0 : \
О
о
1
dgk+1 __dgk+1
ду1 ’ ’ ’ дук
о
1
-^2 ...
\ ду1
о
1
по
теореме 1 отображение
а?
Ее определитель равен 1, и, значит,
является диффеоморфизмом гладкости р некоторой окрестности О(уо)
точки уо G на окрестность O(vo) — ip (о(уо)) точки vq Е
Сравнивая соотношения (11) и (12), видим, что в достаточно ма-
лой окрестности О(но) С О(но) точки ио такой, что g(0(tto)) С О(уо),
отображение ip о f о : О(но) ~является отображением гладко-
сти р этой окрестности О(но) на некоторую окрестность О(г>о) С О(«о)
точки vo Е и при этом имеет канонический вид
V1 = и1,
vk = uk,
vk+1 = О,
(13)
vn = 0.
Полагая <p-1(0(uo)) = О(жо), = О(уо), получаем указан-
ные в теореме окрестности точек Хо, уо, чем и завершается доказатель-
ство. ►
Теорема 2, как и теорема 1, очевидно, является локальным вариан-
том соответствующей теоремы линейной алгебры.
В связи с проведенным доказательством теоремы 2 сделаем следу-
ющие полезные для дальнейшего замечания.
Замечание 1. Если в любой точке исходной окрестности U С Rm
ранг отображения f: U —> R" равен п, то точка уо = /(^о), где xq G U,
является внутренней точкой множества f(U), т.е. содержится в f(U)
вместе с некоторой своей окрестностью.
§ 6 НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 587
◄ Действительно, по доказанному отображение ipof о tp 1: O(uq) —>
—> O(wq) в этом случае имеет вид
(и1,..., ип,... ,ит) = и V — (v1,..., vn) = (и1. ,ип),
поэтому образ окрестности точки uq — <^(жо) содержит некоторую ок-
рестность точки Vq = ip ° f °
Но отображения <р: O(xq) —> О(ио), ip- О(уо) —> O(vq)—диффео-
морфизмы, поэтому они переводят внутренние точки во внутренние.
Записав исходное отображение f в виде f = ip-1 о рф о f о у?-1) о <^,
заключаем, что точка у о = У(жо) является внутренней точкой образа
окрестности точки xq. ►
Замечание 2. Если ранг отображения f: U —> R" в любой точке
окрестности U равен к и к < п, то, в силу равенств (8), (12) и (13), в
некоторой окрестности точки Xq G U С имеют место п — к соотно-
шений
Г (Л..., = gt(fr(x1, • • •, Хт), ..., У*(Д..., xmf)
(г = к + 1,... ,п). (14)
Указанные соотношения выписаны в принятом нами предположении
о том, что главный минор порядка к матрицы f'(xo) отличен от нуля,
т.е. что ранг к реализуется уже на наборе функций у1,... ,fk. В про-
тивном случае можно изменить нумерацию функций у1,... ,fn и снова
иметь указанную ситуацию.
3. Зависимость функций
Определение 2. Говорят, что система непрерывных функций
Уг(ж) = УДж1,... ,хт) (г = 1,... ,п) является функционально независи-
мой в окрестности точки ж0 = (жо> • • • > Ж(Г)> если Для любой непрерыв-
ной функции F(y) = F^y1,... ,уп), определенной в окрестности точки
уо = (у^, ...,yff) = (УЦжо),..., fn(x0)) = f(x0), соотношение
Е(у1(Ж1,...,^),...,У"(а;1,...,а;"г))=О
в окрестности точки Хо возможно только в случае, когда F(yl,..., уп) =
= 0 в окрестности точки у0.
588
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Линейная независимость, рассматривавшаяся в алгебре, есть неза-
висимость по отношению к линейным соотношениям
F(y1,...,yn) = X1yr + ... + Xnyn.
Если система не является функционально независимой, то ее назы-
вают функционально зависимой.
В случае линейной зависимости векторов один из них, очевидно,
является линейной комбинацией остальных. Аналогичная ситуация име-
ет место и в отношении функционально зависимой системы гладких
функций.
Утверждение 1. Если система фг(хг,... ,хт) (г = 1,... ,п) глад-
ких функций, определенных в окрестности С/(жо) точки Xq G та-
кова, что ранг матрицы
в любой точке х Е U один и тот же и равен к, то
а) при к = п система функционально независима в окрестности жо;
Ь) при к < п найдутся окрестность точки хо и такие к функций
системы, пусть f1,..., fk, что остальные п — к функций системы в
этой окрестности представляются в виде
где дг(у\ ..., ук) — гладкие функции, определенные в окрестности точ-
ки уо = (/1(жо), • . ,/п(жо)) и зависящие только от к координат те-
кущей точки у = (у1,..., у").
◄ В самом деле, если к = п, то в силу замечания 1 к теореме о ранге
при отображении
у^Лж1,...^™),
............................... (15)
образ окрестности рассматриваемой точки xq содержит целую окрест-
ность точки уо = f(xo). Но тогда соотношение
Ftflx1,... ,хт),..., fn(x\ ... ,жт)) = О
§ 6. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 589
в окрестности Xq возможно только при условии, что
/Ду1,... ,у") = О
в окрестности точки уо. Этим утверждение а) доказано.
Если же к < п и ранг к отображения (15) реализуется уже на функ-
циях У1,..., fk, то в силу замечания 2 к теореме о ранге найдется та-
кая окрестность точки уо = f(xo) и п — к определенных в ней функций
дг(у) — 9г(у \ • • > Ук) (i — к + 1,... ,п) того же порядка гладкости, как
и функции системы, что в некоторой окрестности точки xq будут вы-
полнены соотношения (14). Этим доказано утверждение Ь). ►
Мы показали, что если к < п, то найдутся п — к специальных функ-
ций F’(y) = у1 — ^’(т/1,..., ук) (г = к + 1,... , тг), устанавливающих со-
отношения
Г(/1(Ж),..., /Дх), Г(х)) = 0 (г = к + 1,..., п)
между функциями системы f1,...,fk,...,fn в окрестности точки Xq.
4. Локальное разложение диффеоморфизма в композицию
простейших. Здесь мы покажем, как, используя теорему об обратной
функции, можно локально представить диффеоморфное отображение в
виде композиции таких диффеоморфизмов, каждый из которых меняет
только одну из координат.
Определение 3. Диффеоморфизм д: U —> открытого множе-
ства U С будем называть простейшим, если его координатное пред-
ставление имеет вид
Уг = хг, ie{l,...,m}, i^j,
\уЗ = ff>(x1,...,xm),
т. е. при диффеоморфизме д: U —> меняется только одна из коорди-
нат отображаемой точки.
Утверждение 2. Если f: G —> — диффеоморфизм открыто-
го множества G С Rm, то дм любой точки хо G G найдется такая
ее окрестность, в которой справедливо представление f — gio.. .ogn,
где gi,... ,gn —простейшие диффеоморфизмы.
590
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
◄ Проверим это по индукции.
Если исходное отображение f само является простейшим, то для
него утверждение тривиально справедливо.
Предположим, что утверждение справедливо для диффеоморфиз-
мов, меняющих не более чем (/с — 1) координату, где к — 1 < п.
Рассмотрим теперь диффеоморфизм f: G —> , меняющий к коор-
динат:
yk=fk(X\...,Xm),
,.fc+l _ Tk+1
У ----- X 5
(16)
ym = xm.
Мы приняли, что меняются именно первые к координат, чего можно
достичь линейными преобразованиями. Значит, это не умаляет общно-
сти рассуждений.
Поскольку f — диффеоморфизм, то его матрица Якоби f'(x) в лю-
бой точке х G G невырожденная, ибо
(/-1)'(/м) = [тг1.
Фиксируем Xq G G и вычислим определитель матрицы f(xo)'-
дх1 дхк дхк+х df1 дхт
dfk dfk_ dfk dfk
дж1 " дхк дхк+1 ' ’ дхт (®о)
1 0
0 0 1
df1 df1
дх1 ’ ‘ ’ дхк
dfk dfk
дх1 дхк
(жо) 0 0.
Таким образом, один из миноров порядка к — 1 последнего определи-
теля должен быть отличен от нуля. Опять для упрощения записи будем
считать, что таким является главный минор порядка к — 1. Рассмо-
трим тогда вспомогательное отображение g: G —> Rm, определяемое
§ 6. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 591
равенствами
U^f\x\...,xm),
(17)
u"‘ = хт
Поскольку якобиан
дх1 дхк~1 дхк df1 дхт (ж0) = df1 дх1 дхк-х (ж0) 5^ 0
дх1 д}к~г дхк~х df1*-1 дхк д}к~г дхт
0 1 0 0 1 dfk~x дх1 df1*-1 дхк~х
отображения д: G —> Rm в точке Xq G G отличен от нуля, отображение д
является диффеоморфизмом в некоторой окрестности точки Xq.
Тогда в некоторой окрестности точки uq = д(хо) определено обрат-
ное к д отображение х = д~г(и), которое позволяет ввести в окрестно-
сти хо новые координаты (и1,..., ит).
Пусть h = f од~г. Иными словами, отображение у = А(ц) есть наше
отображение (16) у = /(ж), записанное в координатах и. Отображе-
ние h, как композиция диффеоморфизмов, является диффеоморфизмом
некоторой окрестности точки ug. Его координатная запись, очевидно,
имеет вид
у1 =fl°g~4u) = и\
Ук 1 = fk 1 од = ик \
Ук =fk°9~1(u),
yk+1 = uk+1,
ут = um,
т.е. h — простейший диффеоморфизм.
592
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Но f = h о д, а по предположению индукции отображение д, опре-
деленное формулами (17), раскладывается в композицию простейших
диффеоморфизмов. Таким образом, диффеоморфизм f, меняющий к
координат, в некоторой окрестности точки хо тоже раскладывается
в композицию простейших диффеоморфизмов, что и завершает индук-
цию. ►
5. Лемма Морса. К рассматриваемому кругу идей принадлежит
также красивая сама по себе и важная в приложениях лемма Морса1)
о локальном приведении гладкой вещественнозначной функции к кано-
ническому виду в окрестности невырожденной критической точки.
Определение 4. Пусть xq —критическая точка функции f Е
G (7(2)(i7;R), определенной в окрестности U этой точки.
Критическая точка Xq называется невырожденной критической
точкой функции f, если гессиан функции в этой точке (т. е. матри-
а2 г
ца----(жо), составленная из частных производных второго порядка)
дхгдх3
имеет отличный от нуля определитель.
Если хо — критическая точка функции, т.е. f'(xo) = 0, то по фор-
муле Тейлора
/(ж) - /(жо) = д^дх^ ~ ~ + °
Лемма Морса утверждает, что локально можно сделать такую замену
х — ^(у) координат, что в координатах у функция / будет иметь вид
(/ о Р)(у) - /Ы = -(У1)2 - ... - (yfc)2 + (yfc+1)2 + ... + (ym)2.
Если бы в правой части равенства (18) отсутствовал остаточный
член о (||ж — Жо||2), т.е. разность /(ж) — /(жо) была бы просто квадра-
тичной формой, то, как известно из алгебры, линейным преобразова-
нием ее можно было бы привести к указанному каноническому виду.
Таким образом, утверждение, которое мы собираемся доказать, есть
локальный вариант теоремы о приведении квадратичной формы к ка-
ноническому виду. Доказательство его будет использовать идею дока-
^Х. К. М. Морс (1892 -1977)—американский математик; основные труды посвя-
щены применению топологических методов к различным разделам анализа.
§ 6. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 593
зательства этой алгебраической теоремы. Мы будем опираться также
на теорему об обратной функции и следующее предложение.
Лемма Адамара. Пусть ft U —— функция класса (U; R), р^
1, определенная в выпуклой окрестности U точки 0= (0,..., 0) G Rm
и такая, что /(0) = 0. Тогда существуют функции дг G C'(p-1\i7;R)
(г = 1,... ,т) такие, что в U имеет место равенство
т
/(ж1,..., хт) = ®’&(Д • • •,^w), (19)
г=1
причем рг(0) = ^(0).
дх
◄ Равенство (19)—это, в сущности, иная полезная запись уже из-
вестной нам формулы Тейлора с интегральным видом остаточного чле-
на. Оно вытекает из равенств
f{xl,...,xm) = [ df{tx^dt'txm>) dt = ^1 f
J dt J охг
о г-1 о
если положить
1
дг(х\ ...,хт) = I >tx™)dt G = 1, • • •, m).
о
То, что р,(0) = |4(°)
дх
(г = 1,...,т), очевидно, а то, что дг G
е ^-^(f/jR), тоже нетрудно проверить. Но мы не будем сейчас зани-
маться этой проверкой, поскольку в свое время будет доказано общее
правило дифференцирования интеграла, зависящего от параметра, из
которого нужное нам свойство функций дг будет непосредственно вы-
текать.
Таким образом, с точностью до указанной проверки, формула Ада-
мара (19) установлена. ►
Лемма Морса. Если f-.G—t R — функция класса C^^GjR), оп-
ределенная на открытом множестве G С Rm, a xq G G —невыро-
жденная критическая точка этой функции, то найдется такой диф-
феоморфизм g: V —> U некоторой окрестности начала координат 0
20-4573
594
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
пространства на окрестность U точки хо, что для всех точек
yeV
(f ° = /(жо) - [(г/1)2 +... + (yfe)2] + [(г?+1)2 + • • • + (yw)2] •
◄ Линейными заменами вопрос сводится к случаю, когда xq = 0 и
/(жо) = 0, что мы в дальнейшем и будем считать выполненным.
Поскольку жо = 0—критическая точка функции /, то в форму-
ле (19) дг(0) =0 (г = 1,... ,т). Тогда по той же лемме Адамара
т
дг(х1,...,хт) = £ж^Лу(ж1,...,жт),
7=1
где htJ — гладкие функции в окрестности точки 0, и, следовательно,
/(ж1,... ,жт) = £ жгж7/гг7(ж1,... ,хт). (20)
г ,7=1
Подставляя здесь, если нужно, вместо /г,7 функции hZJ = ^{hZJ + hjZ\
можем считать, что hZJ = hJz. Заметим также, что, в силу единственно-
сти тейлоровского разложения, из непрерывности функций hz3 следует,
что Atj(O) = g tg j (в) и’ значит> матрица (Л.г7(0)) невырожденная.
Теперь функция / записана подобно квадратичной форме и мы хо-
тим, так сказать, привести ее к диагональному виду.
Как и в классическом случае, будем действовать по индукции.
Предположим, что существуют координаты и1,..., ит в окрестно-
сти Ui точки 0 G Кто, т.е. диффеоморфизм ж = <р(и) такой, что в
координатах и1,..., ит
т
(f О <р)(и) = ± (и1)2 ± ... ± (и’-1)2 + £ ЫЩи1,..., ит), (21)
Ь7=г
где г 1, a Htj = Н]г.
Заметим, что при г = 1 соотношение (21) имеет место, что видно
из формулы (20), где HtJ = htJ.
ТП
По условию леммы, квадратичная форма £2 xzx3hZj (0) невырожден-
м=1
ная, т.е. det(/iv(O)) ф 0. Замена переменных ж = <р(и) осуществля-
ется диффеоморфизмом, поэтому det <//(0) ф 0. Но тогда и матрица
§ 6. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ТЕОРЕМЫ О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ 595
формы ±(их)2 ± ... ± (tzr-1)2 + J2 utu3HtJ(0), получаемая из матри-
ij=r
цы (/itJ(0)) домножением справа на матрицу ^(О) и слева на транс-
понированную по отношению к <//(0) матрицу, тоже невырожденная.
Следовательно, по крайней мере одно из чисел Яу(0) (г, j = г,... ,т)
т
отлично от нуля. Линейной заменой переменных форму ^2 и1и3Нг](0)
i,J=r
можно привести к диагональному виду, поэтому можно считать, что в
равенстве (21) Ягг(0) 0. Ввиду непрерывности функций нера-
венство Нгг(и) 7^ 0 будет выполнено также в некоторой окрестности
точки и = 0.
Положим ит) = ^/|Ягг(и)|. Тогда функция ф принадлежит
классу C'^tfyR) в некоторой окрестности U2 С U\ точки и = 0. Сде-
лаем теперь переход к координатам (v1,... ,vm) по формулам
vl = иг, i г,
vr = V>(«1,...,tzm)(tzr + ^2
\ 1>г
игНгг(и^, . . . , Um)
(22)
Якобиан преобразования (22) в точке и = 0, очевидно, равен V’(O),
т. е. отличен от нуля. Тогда в силу теоремы об обратной функции мож-
но утверждать, что в некоторой окрестности U3 С U2 точки и = 0
отображение v = заданное соотношениями (22), является диф-
феоморфизмом класса Rm) и потому переменные (v1,...,vm)
действительно могут служить координатами точек U3.
Выделим в правой части равенства (21) все члены
иггггЯгг(гг1,...,ит) + 2 uru3Hrj(u\ ..., ит), (23)
J=r+1
содержащие иг. В записи (23) суммы этих членов мы использовали то,
что Ht] = H]t.
Сравнивая (22) и (23), видим, что выражение (23) можно переписать
в виде
±г г
V V
Знак ± перед vrvr появляется в связи с тем, что Нгг = ±(?/>)2,
причем берется знак плюс, если Нгг > 0, и знак минус, если Нгг < 0.
596
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Таким образом, после замены v — 'ф(и) выражение (21) преобразу-
ется в равенство
(/ о ip о v>-1) (и) = 52 [±(^г)2] + 52
1=1 l,J>r
где Нг] — некоторые новые гладкие функции, симметричные по индек-
сам i, j. Отображение роф~1 является диффеоморфизмом. Таким обра-
зом, завершен индуктивный переход от г — 1 к г и лемма Морса дока-
зана. к
Задачи и упражнения
1. Вычислите якобиан перехода (6) от полярных координат к декартовым
координатам в Ж”1.
2. а) Пусть хо—некритическая точка гладкой функции F: U —> Ж, опре-
деленной в окрестности U точки xq = (tq, ... ,т™) € К"1. Покажите, что в
некоторой окрестности U С U точки хо можно так ввести криволинейные
координаты (f1,... , £m), что множество точек, выделяемое условием F(x) =
= F(xq), в этих новых координатах будет задаваться уравнением £т — 0.
Ь) Пусть ip, «/> € (Р; Ж) и пусть в области D (<р(т) = 0) => (V’(a:) = 0)-
Покажите, что если grad ip 0, то в D справедливо разложение «/> = в <р, где
0 е C(k~^ (D-K).
3. Пусть /: Ж2 —> Ж2 —гладкое отображение, удовлетворяющее системе
уравнений Коши-Римана
df1 df2
дх1 дх2 ’ дх2 дх1 ’
а) Покажите, что якобиан такого отображения равен нулю в некоторой
точке тогда и только тогда, когда матрица f'(x) в этой точке нулевая.
Ь) Покажите, что если f(x) 0, то в окрестности точки х определено
обратное к f отображение У-1, которое также удовлетворяет системе урав-
нений Коши-Римана.
4. Зависимость функций (прямое доказательство).
а) Покажите, что функции тг1(т) = хг (г — 1,... , т) как функции точки
х = (х1,..., хт) € Жт образуют независимую систему функций в окрестности
любой точки пространства Ж"1.
Ь) Покажите, что, какова бы ни была функция f € <7(ЖП; Ж), система
тг1,..., тг"1, f функционально зависима.
с) Если система гладких функций У1,..., У*, к < т, такова, что ранг
отображения f = (У1, • • •, У*) в точке Xq = (xq, , т™) € Ж"1 равен к, то в не-
которой окрестности этой точки ее можно дополнить до независимой системы
У1,..., fm, состоящей из т гладких функций.
§ 7. ПОВЕРХНОСТЬ В Rn И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
597
d) Если система
f = (i = l,...,m)
гладких функций такова, что осуществляемое ею отображение f = (У1,..., fm)
имеет в точке xq = (a:J,... ,х™) ранг т, то переменные (£х,... ,£т) могут
служить криволинейными координатами в некоторой окрестности J7(to) точ-
ки Xq и любая функция <р: U(x0) —> Ж может быть записана в виде <р(т) =
= У(/1(т),...,/т(т)), где F = ipo f-1.
е) Ранг отображения, осуществляемого системой гладких функций, назы-
вают также рангом этой системы. Покажите, что если ранг системы гладких
функций /’(т1,... ,хт) (г = l,...,fc) равен k и ранг системы f1,...
тоже равен k в некоторой точке хо € Ж"1, то в окрестности этой точки <р(т) =
= F(f4x),...,fk(xY).
Указание. Используйте с), d) и покажите, что
F(fl,Г) = F(fl,
5. Покажите, что ранг гладкого отображения f: Жт —> Жп является функ-
цией, полунепрерывной снизу, т. е. rang f(x) rang /(tq) в окрестности точки
х0 € Ж™.
6. а) Дайте прямое доказательство леммы Морса для функций f: Ж -> Ж.
Ь) Выясните, применима ли лемма Морса в начале координат к функциям
f(x) = х3; f(x) = т sin f(x) = е sin2
х х
f(x,y)=x3-Sxy2-, f(x,y)=x2.
с) Покажите, что невырожденные критические точки функции • f €
€ (№> (Ж"1; Ж) являются изолированными: каждая из них имеет такую окрест-
ность, в которой нет других критических точек функции /, кроме самой этой
точки.
d) Покажите, что число fc отрицательных квадратов в каноническом пред-
ставлении функции в окрестности невырожденной критической точки не за-
висит от способа приведения, т. е. от системы координат, в которой функция
имеет канонический вид. Это число называется индексом критической точки.
§ 7. Поверхность в Rn и теория условного экстремума
Для неформального понимания важной в приложениях теории услов-
ного экстремума весьма полезно иметь некоторые начальные сведения
о поверхностях (многообразиях) в пространстве й”.
598
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
1. Поверхность размерности к в К”. Обобщая понятие закона
движения х = x(t) материальной точки, мы в свое время ввели поня-
тие пути в Rn как непрерывного отображения Г: I —> Rn промежутка
/СЙ. Степень гладкости пути определялась как степень гладкости
этого отображения. Носитель Г(7) с Rn пути мог быть довольно при-
чудливым множеством в Rn, которое иногда только с очень большой
натяжкой можно было бы назвать линией. Например, носитель пути
мог оказаться просто точкой.
Аналогично, непрерывное или гладкое отображение f: Ik —> Rn
А:-мерного промежутка Ik С R*, называемое к-путем в Rn, может
иметь в качестве образа f(Ik) совсем не то, что хотелось бы назвать
fc-мерной поверхностью в R”. Например, это снова может быть точка.
Чтобы гладкое отображение f: G —> Rn об-
ласти G С Rfc определяло в Rn fc-мерную геоме-
трическую фигуру, точки которой описывают-
ся к независимыми параметрами (t1,... ,tk) £
G G, достаточно, как мы знаем из предыдущего
параграфа, потребовать, чтобы в каждой точке
t € G ранг отображения f: G —> К” был равен
к (разумеется, к С п). В этом случае отображе-
Рис- 61- ние f:G-+ f(G) локально (т.е. в окрестности
любой точки t € G) является взаимно однозначным.
Действительно, пусть rangf(Ao) = к и он реализуется, например, на
первых к из п функций
(1)
задающих координатную запись отображения f: G —> Rn.
Тогда по теореме об обратной функции переменные t1, tk в не-
которой окрестности U(to) точки to можно выразить через переменные
х1,... ,хк. Значит, множество f (C7(/q)) может быть записано в виде
хк+1 = <рк+1(х1,...,хк), ..., хп = ipn(x1,...,xk)
(т. е. оно взаимно однозначно проектируется на координатную плос-
кость ж1,...,®*), и потому отображение f: U(to) —> f(t7(<o)) действи-
тельно взаимно однозначное.
§ 7. ПОВЕРХНОСТЬ В Rn И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
599
Однако уже на примере одномерного гладкого пути (рис. 61) ясно,
что подобная локальная взаимная однозначность отображения f:G-+
—> й” из области G параметров в пространство Rn вовсе не обяза-
на быть взаимной однозначностью в целом. Траектория может иметь
многократные самопересечения, поэтому если мы желаем определить
гладкую /s-мерную поверхность в R” и видеть ее как множество, кото-
рое около каждой своей точки устроено как несколько деформирован-
ный кусок /s-мерной плоскости (/s-мерного подпространства простран-
ства R”), то нам не достаточно регулярно отображать канонический
кусок G С Rfc к-мерной поверхности в пространство Rn, но необходимо
также следить за тем, как он в целом оказывается вложенным в это
пространство.
Определение 1. Множество S С К71 будем называть к-мерной
гладкой поверхностью в пространстве Rn (или к-мерным подмного-
образием Rn), если для любой точки xq € S найдутся окрестность
С7(а7О) в Rn и диффеоморфизм <р: U{xq) —> 1п этой окрестности на стан-
дартный n-мерный промежуток In — {t G Rn | |£г| <1, i = 1,... ,п}
пространства R”, при котором образ множества S П U(xq) совпадает с
лежащей в I частью /s-мерной плоскости пространства Rn, задаваемой
соотношениями tk+1 = 0, ... , tn = 0 (рис. 62).
Степень гладкости поверхности S будем измерять степенью глад-
кости диффеоморфизма <р.
600
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Если смотреть на переменные t1,..., tn как на новые координаты в
окрестности U(xq), то определение 1 в сокращенном варианте можно
переформулировать следующим образом: множество S С Rn называ-
ется А:-мерной поверхностью (А:-мерным подмногообразием) в Rn, если
для любой точки хо Е S можно указать окрестность U(xq) и такие ко-
ординаты А1,..., tn в ней, что множество S Г) U(жо) в этих координатах
задается соотношениями
А*+1 = ... = tn = 0.
Роль стандартного промежутка в определении 1 чисто условная и
примерно такая же, как роль стандартного размера или формы страни-
цы в географическом атласе. Каноническое расположение промежутка
в системе координат А1,..., tn также относится к области стандартиза-
ции и не более того, поскольку любой куб в Rn дополнительным линей-
ным диффеоморфизмом всегда можно преобразовать в стандартный
n-мерный промежуток.
Этим замечанием мы часто будем пользоваться, сокращая проверку
того, что некоторое множество S С R” является поверхностью в R”.
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Само пространство Rn является n-мерной поверхно-
стью класса С^°°\ В качестве отображения <р: Rn —> 1п здесь можно
взять, например, отображение
2
£г — — arctg х1 (г = 1,..., п).
7Г
Пример 2. Построенное в примере 1 отображение заодно уста-
навливает, что подпространство векторного пространства Rn, задава-
емое условиями xfc+1 = ... = хп = 0, является А:-мерной поверхностью
в Rn (или А:-мерным подмногообразием R”).
Пример 3. Множество в R”, задаваемое системой соотношений
а^х1 + ... + aj.xk + a|+1»fc+1 + ... + а^хп = 0,
< ..............................................
аГ^х1 + ... + а?~кхк + а?~кхк+1 + ... + а”~кхп = 0
XX К К г А * *
при условии, что ранг этой системы равен п — к, является А:-мерным
подмногообразием Rn.
§ 7. ПОВЕРХНОСТЬ В Rn И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
601
Действительно, пусть, например, определитель
4+1 • • • 4
отличен от нуля. Тогда линейное преобразование
t1 = х1,
tk = хк,
tk+1 = ajar1 + ... + 4жП)
tn = а^х1 + ... + а™~кхп,
очевидно, является невырожденным. В координатах t1,..., tn наше мно-
жество задается условиями tk+1 = ... = tn = 0, уже рассмотренными в
примере 2.
Пример 4. График определенной в некоторой области G С Rn-1
гладкой функции хп = /(ж1,..., жп-1) является гладкой (п — 1)-мерной
поверхностью в R”.
Действительно, полагая
t1 = хг (г = 1,... ,п — 1),
мы получаем систему координат, в которой график нашей функции
имеет уравнение tn = 0.
Пример 5. Окружность х2 + у2 — 1 в R2 является одномерным
подмногообразием в R2, что устанавливается разобранным в предыду-
щем параграфе локально обратимым переходом к полярным координа-
там (р, <р), в которых окружность имеет уравнение р = 1.
Пример 6. Этот пример является обобщением примера 3 и вместе
с тем, как видно из определения 1, дает общую форму координатной
записи подмногообразий пространства Rn.
602
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Пусть Ег(жх,..., хп) (г = 1,..., п — к) —система гладких функций
ранга п — к. Покажем, что соотношения
Е1(ж1,..., хк, хк+\..., хп) = 0,
< ..............................
k Fn-k(x1,...,xk,xk+1,...,xn)=0
(2)
задают в Rn подмногообразие S размерности к.
Пусть в точке xq € S выполнено условие
dF1 dF1
дхк+1 дхп
QFn~k dFn~k
dxk+1 dxn
(ж0) / 0.
(3)
Тогда преобразование
tl — хг (i = 1,..., к),
tl = F^tx1,... ,xn) (г = к + 1,... ,n)
в силу теоремы об обратной функции является диффеоморфизмом не-
которой окрестности рассматриваемой точки.
В новых координатах t1,..., tn исходная система будет иметь вид
. = tn = 0; таким образом, S является /s-мерной гладкой по-
верхностью в Rn.
Пример 7. Множество Е точек плоскости R2, удовлетворяющих
уравнению ж2 — у2 = 0, состоит из двух прямых, пересекающихся в
начале координат. Это множество не является одномерным подмного-
образием R2 (проверьте!) именно из-за указанной точки пересечения.
Если удалить из Е начало координат 0 Е R2, то множество Е\0 уже,
очевидно, будет удовлетворять определению 1. Заметим, что множество
Е\0 несвязно. Оно состоит из четырех не имеющих общих точек лучей.
Таким образом, удовлетворяющая определению 1 fc-мерная поверх-
ность в Rn может оказаться несвязным подмножеством, состоящим из
некоторого числа связных компонент (и уже эти компоненты являют-
ся связными /s-мерными поверхностями). Часто под поверхностью в Rn
понимают именно связную /s-мерную поверхность. Сейчас нас будут ин-
тересовать проблемы отыскания экстремумов функций, заданных на
§ 7. ПОВЕРХНОСТЬ В Rn И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
603
поверхностях. Это локальные проблемы, поэтому в них условие связно-
сти поверхности не проявляется.
Пример 8. Если гладкое отображение f: G —> Rn области G С
С Rn, задаваемое в координатном виде соотношениями (1), имеет в
точке to 6 G ранг к, то найдется такая окрестность J7(t0) с G этой точ-
ки, образ f (U(to)) С Rn которой является гладкой поверхностью в Rn.
Действительно, как уже отмечалось выше, в этом случае соотно-
шения (1) могут быть в некоторой окрестности U(to) точки to Е G
заменены эквивалентной им системой соотношений
zfc+1 = y?fc+1(as1,... ,хк),
< .............................
(4)
хп = <рп(х\...,хк)
(для упрощения записи мы считаем, что уже система функций f1,..., fk
имеет ранг к). Полагая
F^x1,... ,хп) = xk+i - ^(х1, ...,хк) (г = 1,... ,п — к),
записываем систему (4) в виде (2). Поскольку соотношение (3) выпол-
нено, то в силу примера 6 множество f(U(to)) действительно является
fc-мерной гладкой поверхностью в Rn.
2. Касательное пространство. При рассмотрении закона дви-
жения х = x(t) материальной частицы в R2 3, исходя из соотношения
x(t) = ж(0) + x'(O)t + o(t) при t -> 0 (5)
и считая, что точка t = 0 не является критической для отображения
R Э t •-> x(t) G R3, т.е. ж'(0) / 0, мы определили прямую, касательную к
траектории в точке ж(0), как линейное подмножество в R3, задаваемое
в параметрическом виде уравнением
х — хо = x'(O)t (6)
или уравнением
х - хо = С • t, (7)
где хо = ж(0), а £ = ж'(0) —направляющий вектор прямой.
604
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
В сущности, аналогичную вещь мы делали, определяя плоскость, ка-
сательную к графику функции z = f(x, у) вй3. Действительно, допол-
нив соотношение z = f(x,y) тривиальными равенствами х = х, у = у,
мы получаем отображение R2 9 (х,у) •-> (х,у, f(x,y)) G R3, касатель-
ным к которому в точке (жо,уо) является линейное отображение
X — Xq
У~УО
Z~ Zq
1 0 \ ,
о 1 (ж:ж°
Л(®о,г/о) fy(xo,yo)/ у Уо
(8)
где z0 = f(x0,y0).
Полагая здесь t - (х—хо,у—уо), х = (x—xo,y—yo,z—zo) и обозначая
через ж'(0) указанную в (8) матрицу Якоби рассматриваемого отобра-
жения, замечаем, что ее ранг равен двум и что в этих обозначениях
соотношение (8) имеет вид (6).
Особенность соотношения (8) состоит в том, что из трех равенств:
X ~~~ Xq — X ^•'Oj
* У - Уо = У - Уо, (9)
, Z - ZQ = Л(жо,г/о)(® - хо) + fy(xo,yo)(y - Уо),
совокупности которых оно равносильно, только последнее нетривиаль-
но. Поэтому именно оно осталось у нас как уравнение, задающее плос-
кость, касательную к графику функции z — f(x,y) в точке (xo,yo,zo).
Сделанное наблюдение можно использовать, чтобы теперь дать оп-
ределение А:-мерной плоскости, касательной к А:-мерной гладкой поверх-
ности S С К”.
Из определения 1 поверхности видно, что в окрестности любой своей
точки хд G S fc-мерная поверхность S может быть задана параметри-
чески, т.е. с помощью отображения 1к Э (t1,...,^) •-> (ж1,...^”) G
G S'. В качестве такового может выступать ограничение отображения
у?-1: In —> U(жо) наAr-мернуюплоскостьtk+1 = ... — tn = 0 (см. рис.62).
Поскольку у?-1 —диффеоморфизм, то якобиан отображения у?-1 :
In —> U(xq) в любой точке куба 1п отличен от нуля. Но тогда ранг
отображения 1к э (t1,... ,tk) •-> (ж1,..., хп) G S, полученного ограниче-
нием у?-1 на указанную плоскость, должен быть равен к в любой точке
куба 1к.
Полагая теперь (t1,..., tk) = tElk и обозначая отображение 1к Э t
•-> ж G S через ж = x(t), получаем локальное параметрическое пред-
§ 7. ПОВЕРХНОСТЬ В Rn И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
605
ставление поверхности S, обладающее свойством, выраженным равен-
ством (5), на основании которого уравнение (6) принимаем в качестве
уравнения касательного пространства или касательной плоскости к по-
верхности S С К” в точке xq С S.
Итак, мы принимаем следующее
Определение 2. Если /с-мерная поверхность S С R”, в
окрестности точки xq С S задана параметрически с помощью гладкого
отображения (t1,... = t i-> х = (ж1,..., ж”) такого, что жо = ж(0)
и матрица ж'(0) имеет ранг А;, то fc-мерная плоскость в R”, задавае-
мая параметрически матричным равенством (6), называется касатель-
ной плоскостью или касательным пространством к поверхности S в
точке xq Е S.
В координатной записи равенству (6) соответствует система урав-
нений
< ....................................... (Ю)
xn-x^^(o)tl + ... + ^o)tk.
Пространство, касательное к поверхности S в точке ж Е S, будем, как
и прежде, обозначать1) символом TSX.
Важным и полезным упражнением, которое читатель может проде-
лать самостоятельно, является доказательство инвариантности опреде-
ления касательного пространства и проверка того, что линейное ото-
бражение t i-> ж'(0)£, касательное к отображению t i-Э x(t), задающе-
му локально поверхность S, осуществляет отображение пространства
IR* = TRq на плоскость Т8Х^ (см. задачу 3 в конце параграфа).
Выясним теперь, как выглядит уравнение касательной плоскости к
fc-мерной поверхности S, заданной в R” системой (2). Будем для опре-
деленности считать, что в окрестности рассматриваемой точки xq Е S
выполнено условие (3).
Полагая (ж1,..., ж*) = и, (ж*+1,..., ж”) = v, (F1,..., Fn~k) = F,
запишем систему (2) в виде
Лм)=0, (И)
1^Это— небольшое отклонение от наиболее распространенного обозначения TXS
или TX(S).
L
606
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
а условие (3) — в виде
det F^(u,v) 0 0. (12)
В окрестности точки (uq, vq) = (®J,..., хк, xk+1, ..., Xq ) по теореме
о неявной функции перейдем от соотношения (11) к эквивалентному
ему соотношению
ц = /(и), (13)
дополняя которое тождеством и ~ и, получаем параметрическое пред-
ставление поверхности S в окрестности точки xq Е S:
На основании определения 2, из (14) получаем параметрическое
уравнение
u_u”=f;f\ as)
V - VQ = f'(u0) t
касательной плоскости; здесь Е — единичная матрица, a t = и — uq.
Подобно тому, как это было в случае системы (9), в системе (15)
оставляем только нетривиальное уравнение
V - VQ = /'(lio)(u - «о), (16)
которое и содержит в себе связи переменных х1,..., хк с переменными
. ,хп, выделяющие касательное пространство.
Пользуясь тем, что по теореме о неявной функции
/» = -[f;(uo,vo)]-1 [F'(uo,vo)b
перепишем (16) в виде
F'(u0,v0)(u - «о) + F„(uo, v0)(v - v0) = О,
откуда после возвращения к переменным (ж1,..., хп) = х получаем ис-
комое уравнение
F^(s0)(s -ж0) = 0 (17)
касательного пространства TSXo С К”.
§ 7 ПОВЕРХНОСТЬ В Rn И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 607
В координатном представлении уравнение (17) равносильно системе
уравнений
( ^т(жо)(жх - ж£) + ... + ^(хд)(хп - х$) = 0,
I Ох Ох
< ............................................... (18)
[ ^г-(жо)(жх - 4) + • • + - 4) = °-
* ох ох
Ранг этой системы по условию равен п — к, поэтому она задает
/с-мерную плоскость в Rn.
Аффинное уравнение (17) эквивалентно (если указана точка жо) век-
торному уравнению
«4 = 0, (19)
В котором £ = X — Xq.
Значит, вектор £ лежит в плоскости TSXQ, касательной в точке хд G
G S к поверхности S С R”, заданной уравнением F(x) = 0, в том и толь-
ко в том случае, когда он удовлетворяет условию (19). Таким образом,
TSXQ можно рассматривать как векторное пространство векторов %,
удовлетворяющих уравнению (19).
Именно с этим обстоятельством и связан сам термин касательное
пространство.
Докажем теперь следующее, уже встречавшееся нам в его частном
случае (см. § 4, п. 6)
Утверждение. Пространство TSXQ, касательное к гладкой по-
верхности S С Ж” в точке xq G S, состоит из векторов, касательных
в точке хд к гладким кривым, лежащим на поверхности S и проходя-
щим через точку хд.
◄ Пусть поверхность S в окрестности точки лд Е S задана в виде
системы уравнений (2), которую мы коротко запишем как
F(x) = 0, (20)
где F = (F1,...,Fn~k), ж = (ж1,...,жп). Пусть Г: I -> S — произволь-
ный гладкий путь с носителем на S. Взяв 7 = {tGR||t|<l}, будем
считать, что ж(0) = жо- Поскольку x(t) G S при t G I, то после подста-
новки ж(£) в уравнение (20) получаем
Г(ж(<)) = 0
(21)
608
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
при t С I. Дифференцируя это тождество по t, находим, что
F^x(t))-x'(t) = G.
В частности, при t = 0, полагая £ = ж'(0), получаем
^Ы? = о,
т. е. вектор £, касательный к траектории в точке xq (в момент t — 0),
удовлетворяет уравнению (19) касательного пространства TSX0 •
Покажем теперь, что для любого вектора £, удовлетворяющего урав-
нению (19), найдется гладкий путь Г: I —> S, который задает кривую
на поверхности S, проходит при t = 0 через точку xq и имеет вектор £
своим вектором скорости в момент t = 0.
Этим заодно будет установлено само существование гладких кри-
вых, проходящих на S через точку xq, которое мы неявно предполагали
в уже проведенной первой части доказательства утверждения.
Пусть для определенности выполнено условие (3). Тогда, зная пер-
вые к координат вектора £ = (£\... ,£к,£к+1, • ,£”), мы из
уравнения (19) (равносильного системе (18)) однозначно определим ос-
тальные его координаты £fc+1,... Таким образом, если для неко-
торого вектора £ = (£\... ,£к,£к+1, •••,£”) будет установлено, что он
удовлетворяет уравнению (19), то можно заключить, что £ = £. Вос-
пользуемся этим.
Вновь, как это было сделано выше, введем для удобства обозначения
и = (х1,... ,Хк), V = (хк+1,... ,хп), X — (ж1,... , ж”) = (u, v), F(s) =
= F(u,v). Тогда уравнение (20) будет иметь вид (11), а условие (3) —
вид (12). В подпространстве Rfc С К” переменных х\...,хк возьмем
параметрически заданную прямую
' х1 - xj =
< ............... t (Е К,
>хк-хк = £kt,
с направляющим вектором (£\..., £к), который мы обозначим через £и.
В более коротких обозначениях эта прямая может быть записана в виде
U — Uq +
(22)
§ 7. ПОВЕРХНОСТЬ В Г И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
609
Решая уравнение (11) относительно v, в силу теоремы о неявной
функции получим гладкую функцию (13), подставляя в аргумент ко-
торой правую часть равенства (22), с учетом самого равенства (22),
получим гладкую кривую в В", заданную в следующем виде:
и — и0 + £Д,
<
V = f(u0 + (ut),
t e U(0) c R
(23)
Поскольку F(u,f(u)) = 0, то, очевидно, эта кривая лежит на по-
верхности S. Кроме того, из равенств (23) видно, что при t = 0 кривая
проходит через точку (uq, vq) = (tJ, ..., Xq, xk+1, ..., Xq ) = xq G S.
Дифференцируя no t тождество
F(u(t), = F(u0 + £ut, f(u0 + (vt)) = 0,
при t = 0 получаем
Fu(u0, V0)Cu + F^Uq,V0)^v = 0,
где = v'(0) = (£fc+1,..., £n). Это равенство показывает, что вектор
£ = (Cu> & = (£\ • • • > £к, £к+1-> , £п) удовлетворяет уравнению (19). Та-
ким образом, в силу сделанного выше замечания заключаем, что £ = £.
Но вектор £ является вектором скорости при t = 0 для траектории (23).
Тем самым высказанное утверждение доказано полностью. ►
3. Условный экстремум
а. Постановка вопроса. Одним из наиболее ярких и популярных
достижений дифференциального исчисления являются предлагаемые
им рецепты отыскания экстремумов функций. Необходимые условия
и достаточные дифференциальные признаки экстремума, которые мы
получили из формулы Тейлора, относятся, как уже отмечалось, к вну-
тренним экстремумам.
Иными словами, эти результаты применимы только к исследованию
поведения функции К." Э х f(x) 6 R в окрестности точки xq 6 К71 то-
гда, когда аргумент х может принимать любое значение из некоторой
окрестности в IRn точки xq.
Часто возникает более сложная и с практической точки зрения даже
более интересная ситуация, когда ищется экстремум функции при не-
которых условиях, ограничивающих область изменения аргумента. Ти-
пичным примером может служить изопериметрическая задача, когда
21-4573
610
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ищется тело, имеющее максимальный объем при условии, что ограни-
чивающая его поверхность имеет заданную площадь. Чтобы получить
доступную нам математическую запись такой задачи, упростим по-
становку и будем считать, что задача состоит в том, чтобы среди пря-
моугольников, имеющих заданный периметр 2р, найти тот, который
имеет наибольшую площадь ст. Обозначив через х м у длины сторон
прямоугольника, запишем, что
сг(а;,у) = х • у,
х + у = р.
Итак, надо найти экстремум функции <j(x,y) при условии, что пе-
ременные х, у связаны соотношением х + у = р. Таким образом, экс-
тремум функции ищется только на множестве тех точек плоскости К2,
которые удовлетворяют указанному соотношению. Эта конкретная за-
дача, конечно, решается без труда: достаточно, записав, что у = р — х,
подставить это выражение в формулу для <j(x, у) и найти обычными
методами максимум функции х(р — х). Она нам была нужна лишь для
пояснения самой постановки вопроса.
В общем случае задача на условный экстремум обычно состоит в
том, чтобы найти экстремум вещественнозначной функции
y = f(x1,...,xn) (24)
от п переменных при условии, что эти переменные удовлетворяют си-
стеме уравнений
' F\x\...,xn) = 0,
< ................................... (25)
Fm(x\...,xn) =0.
Поскольку мы собираемся получать дифференциальные условия экс-
тремума, мы будем предполагать, что все рассматриваемые функции
дифференцируемы и даже непрерывно дифференцируемы. Если ранг
системы функций F1,..., Fm равен п — к, то условия (25) задают в К"
некоторую /с-мерную гладкую поверхность S' и с геометрической точки
зрения задача на условный экстремум состоит в отыскании экстремума
функции / на поверхности S. Более точно, рассматривается ограниче-
ние f\s функции f на поверхность S и ищется экстремум функции f\$.
§ 7. ПОВЕРХНОСТЬ В Г И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
611
Смысл самого понятия точки локального экстремума при этом, ко-
нечно, остается прежним, т. е. точка хо G S считается точкой локаль-
ного экстремума функции f на S или, короче, функции f\s, если най-
дется такая окрестность Us(%o) точки xq в множестве1) S С R”, что
для любой точки х G Us(xq) выполнено неравенство f(x) /(то) (тогда
xq — точка локального минимума) или f(x) Д /(то) (тогда хо— точка
локального максимума). Если при х G Us(xo) \ хо указанные неравен-
ства являются строгими, то экстремум, как и прежде, будем называть
строгим.
Ь. Необходимый признак условного экстремума
Теорема 1. Пусть ft D —> R — функция, определенная на откры-
том множестве D С Rn и принадлежащая классу С^^/ДК). Пусть
S — гладкая поверхность в D.
Для того чтобы точка xq G S, некритическая для функции f, была
точкой локального экстремума функции f\s, необходимо выполнение
условия
TSXoCTNXo,\ (26)
где TSXQ —пространство, касательное к поверхности S в точке хо,
a TNX0 — пространство, касательное к поверхности N = {х G D |
f(x) = /(то)} уровня функции f, которому принадлежит xq.
Заметим прежде всего, что требование, чтобы точка хо была некри-
тической для функции /, в контексте обсуждаемой задачи отыскания
условного экстремума не является существенным ограничением. Дей-
ствительно, если уж точка хо G D является критической точкой функ-
ции /: D —> R или точкой экстремума этой функции, то ясно, что она
будет подозрительной точкой или соответственно точкой экстремума и
для функции f\s. Таким образом, новый элемент в рассматриваемой за-
даче состоит именно в том, что функция f\s может иметь критические
точки и экстремумы, отличные от критических точек и экстремумов
функции /.
◄ Возьмем произвольный вектор £ G ТSXo и такой гладкий путь х =
= x(t) на S, который проходит через точку хо при t = 0 и для которого
^Напомним, что Us(xo) = S П U(xo), где U(xo) — окрестность точки хо в R".
612
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
вектор £ является вектором скорости при t = 0, т. е.
^(°) = «- (27)
Если хо —точка экстремума функции f\$, то гладкая функция
должна при t = 0 иметь экстремум. По необходимому условию
экстремума ее производная при t = 0 должна обращаться в нуль, т.е.
должно выполняться условие
ГЫ £ = о,
(28)
где
Поскольку xq — некритическая точка функции f, условие (28) рав-
носильно тому, что £ G TNXo, ибо именно соотношение (28) является
уравнением касательного пространства TNX0.
Таким образом, доказано, что TSXo С TNXo. ►
Если поверхность S в окрестности точки хо задана системой урав-
нений (25), то пространство TSXQ, как нам известно, задается системой
линейных уравнений
[ ^w«l + ... + g4wr = o,
^оГ + - + ^ЫС = О.
дх дх
Пространство TNXo задается уравнением
^4(то)£1 + ... + ^4(то)£п=О,
ох[ дхп
(29)
(30)
и, поскольку всякое решение системы (29) является решением уравне-
ния (30), последнее уравнение является следствием системы (29).
Из этих соображений вытекает, что соотношение TSX0 С TNXq в
аналитической записи равносильно тому, что вектор grad/(то) являет-
ся линейной комбинацией векторов gradFz(To) (г = 1,..., m), т. е.
т
grad/(т0) = ^AjgradF^To).
г=1
(31)
§ 7. ПОВЕРХНОСТЬ В Rn И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
613
Учитывая эту форму записи необходимого признака экстремума
функции (24), переменные которой связаны соотношениями (25), Ла-
гранж предложил при отыскании условного экстремума использовать
следующую вспомогательную функцию:
т
Цх,Х)=/(х)-^Х^(х) (32)
г=1
от п + т переменных (ж,Л) = (ж1,... ,хп,Хг 5 • • • 1 Хт}-
Эту функцию называют функцией Лагранжа, а метод ее использо-
вания— методом множителей Лагранжа.
Функция (32) удобна тем, что необходимые условия ее экстремума
как функции переменных (ж, Л) — (ж1,... ,хп, Ai,..., Хт) в точности
совпадают с условиями (31) и (25).
Действительно,
I8L . df , . дРг ч ,
—(х,Л) = —W-^A,^(z) = o 0 = 1.--М
»=1 (33)
^(ж,А) = -Р\х) = 0 (г = 1,...,т).
Таким образом, при отыскании экстремума функции (24), перемен-
ные которой подчинены связям (25), можно написать с неопределенны-
ми множителями функцию Лагранжа (32) и искать уже ее критические
точки. Если есть возможность из системы (33) найти xq = (sj,..., Xq ),
не находя Л = (Ai,..., Am), то с точки зрения исходной задачи именно
это и следует делать.
Как видно из соотношения (31), множители Хг (г = 1,... ,т) опре-
деляются однозначно, если только векторы gradFl(so) (г = 1,...,т)
линейно независимы. Независимость этих векторов равносильна тому,
что ранг системы (29) равен т, т.е. что все уравнения этой системы
существенны (ни одно из них не является следствием остальных).
Это обычно выполнено, ибо считается, что все соотношения (25)
независимы и ранг системы функций F1,..., Fm в любой точке х G S
равен т.
Функцию Лагранжа часто записывают в виде
т
Z(s, А) =/(ж) + АгЕг(ж),
г=1
21*—4573
614
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
который отличается от прежнего только несущественной заменой Хг
на — Aj.1)
Пример 9. Найдем экстремумы симметрической квадратичной
формы
п
/(ж) = У? аг]хгх3 (агд = aJt) (34)
»,j=l
на сфере
п
Ж) = 52 (<)2 -1 = о. (35)
г=1
Запишем функцию Лагранжа данной задачи:
L(x, А) = 52 агзх1х3 ~ А (52 (ж1)2 — 1
г,3=1 \г=1
и, с учетом того, что ач = aJt, необходимые условия экстремума функ-
ции L(x, А):
52 агзх3 — Ххг 1=0 (г = 1,..., п),
3=1 / (36)
|^(ж,а) = (52 р)2-^ =о.
\г=1 /
Домножая первое уравнение на хг и суммируя затем все первые соот-
ношения, с учетом второго уравнения получим, что в точке экстремума
должно быть выполнено равенство
52 Qt^x3 — А — 0. (37)
м=1
Систему (36) без последнего уравнения можно переписать в виде
52 = Ажг (г = 1,...,п), (38)
г=1
1^По поводу необходимого признака условного экстремума см. также задачу 6 к
§7 гл. X (часть II)
dL
дхг
§ 7. ПОВЕРХНОСТЬ В Г И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 615
откуда следует, что А — собственное значение линейного преобразова-
ния А, задаваемого матрицей (av), а х = (ж1,... ,хп)—собственный
вектор этого преобразования, отвечающий этому собственному значе-
нию.
Г п 2 1
Поскольку непрерывная на компакте S = < х G Rn | ^2 (ж*) = 1 f
I i=l J
функция (34) обязана принимать в некоторой его точке максимальное
значение, система (36), а значит и система (38), должна иметь решение.
Таким образом, мы попутно установили, что любая вещественная сим-
метрическая матрица (av) имеет по крайней мере одно вещественное
собственное значение. Это хорошо известный вам из линейной алге-
бры результат, являющийся основным в доказательстве существования
базиса из собственных векторов симметрического оператора.
Чтобы указать геометрический смысл собственного значения А, за-
метим, что если А > 0, то, переходя к координатам tl = хг/у/Х, вме-
сто (37) получим
аг]1Ч3 = 1, (39)
г,3=1
а вместо (35) —
п 1
Z (‘О2 = Т- (40)
1=1
Но £2(£г)2 есть квадрат расстояния от точки t = (t1,... ,tn) квадри-
i=i
ки (39) до начала координат. Таким образом, если, например, соотно-
шение (39) задает эллипсоид, то величина 1/А, обратная к собственному
значению А, является квадратом величины одной из его полуосей.
Это полезное наблюдение. Оно, в частности, показывает, что соот-
ношения (36), необходимые для условного экстремума, еще не являют-
ся достаточными: ведь, например, в R3 эллипсоид кроме наибольшей
и наименьшей полуосей может иметь промежуточную по величине по-
луось, в любой окрестности конца которой есть как точки более близ-
кие к началу координат, так и более далекие от него в сравнении с
расстоянием от конца полуоси до начала координат. Последнее стано-
вится совсем очевидным, если рассмотреть эллипсы, получающиеся в
сечении исходного эллипсоида двумя плоскостями, проходящими через
промежуточную полуось и меньшую или большую полуоси эллипсоида
616
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
соответственно. В одном из этих случаев промежуточная полуось бу-
дет большей из двух полуосей эллипса сечения, а в другом случае —
меньшей полуосью.
К сказанному следует добавить, что если 1/\/А есть величина этой
промежуточной полуоси, то, как видно из канонического уравнения эл-
липсоида, величина А, очевидно, будет собственным значением преобра-
зования А, поэтому система (36), выражающая необходимые условия
экстремума функции f\s, действительно будет иметь решение, не даю-
щее экстремума этой функции.
Полученный в теореме 1 результат (необходимый признак условно-
го экстремума) проиллюстрирован на рис. 63, а, Ь.
Рис. 63.
Первый из этих рисунков поясняет, почему точка xq поверхности S
не может быть точкой экстремума функции f\s, если S не касается
поверхности N = {ж G R” | /(ж) = /(гго) = со} в точке xq. При этом
предполагается, что grad/(rro) / 0. Последнее условие гарантирует то,
что в окрестности точки xq имеются точки как более высокого С2-уров-
ня функции /, так и точки более низкого Ci-уровня этой функции.
Поскольку гладкая поверхность S пересекает поверхность N, т.е.
co-уровень гладкой функции /, то S будет пересекать как более высо-
кие, так и более низкие уровни функции / в окрестности точки хд. Но
это и означает, что xq не может быть точкой экстремума функции f\s-
Второй рисунок показывает, почему при касании N и S в точке хд
эта точка может оказаться точкой экстремума. На рисунке xg — точка
локального максимума функции f\s-
Эти же соображения позволяют нарисовать картинку, аналитиче-
ская запись которой может показать, что необходимый признак услов-
ного экстремума не является достаточным.
§ 7. ПОВЕРХНОСТЬ В Г И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 617
Действительно, в соответствии с рис. 64 положим, например,
/(®,1/)=!/, F(x,y) = х3-у = 0.
Тогда очевидно, что на кривой S С R2, заданной уравнением у — ж3,
величина у не имеет экстремума в точ-
ке (0,0), хотя эта кривая касается линии
уровня f(x, у) = 0 функции f в этой точ-
ке. Заметим, что grad/(0,0) = (0,1) / 0.
Очевидно, это по существу тот же при-
мер, который нам в свое время служил для
иллюстрации различия между необходи-
мым и достаточным условиями классического внутреннего экстремума
функции.
с. Достаточный признак условного экстремума. Докажем те-
перь следующий достаточный признак наличия или отсутствия услов-
ного экстремума.
Теорема 2. Пусть f: D -=> R — функция, определенная на откры-
том множестве D СЗП и принадлежащая классу CfflfD; R); S — по-
верхность в D, заданная системой уравнений (25), где Fl G С№(D; R)
(г = 1,...,т) и ранг системы функций в любой точке
области D равен т.
Пусть в функции Лагранжа
т
L(x) = L(x; А) = f(x\ ..., хп) - 22 XiF^x1,..., хп)
i=l
параметры Ai,...,Am выбраны в соответствии с необходимым при-
знаком (31) условного экстремума функции f\s в точке Xq £ S.1^
Для того чтобы при этом точка хо была точкой экстремума
функции f\s, достаточно, чтобы квадратичная форма
д2Ь
дхгдхэ
(41)
была знакоопределенной для векторов £ G TSXo
^Фиксировав А, мы получаем из L(x; А) функцию, зависящую только от ж; мы
позволили себе обозначать ее через Ь(т).
618
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Если форма (41) положительно определена на TSXo, то хо —точ-
ка строгого локального минимума функции f\s', если форма (41) от-
рицательно определена на TSXo, то хо —точка строгого локального
максимума функции f\s-
Для того чтобы точка xq не была точкой экстремума функции f\s,
достаточно, чтобы форма (41) принимала на TSXo значения разных
знаков.
◄ Отметим прежде всего, что Цх) = f(x) для х G S, поэтому,
показав, что точка xq £ S является точкой экстремума функции L\s,
мы одновременно покажем, что она является точкой экстремума функ-
ции f\s.
По условию необходимый признак (31) экстремума функции f\s в
точке Xq Е S выполнен, поэтому в этой точке gradZ(rz;o) = 0. Зна-
чит, тейлоровское разложение функции Цх) в окрестности точки хо =
= (xq, ...,Xq) имеет вид
1 я2 г , х
Цх) - Цхо) = п ,(жо) {хг - хг0) (&> - 4) + о (||ж - а?о||2) (42)
Z; 0Х (JXJ X /
при X —> Хо-
Напомним теперь, что, мотивируя определение 2, мы отметили воз-
можность локального (например, в окрестности точки xq £ S) параме-
трического задания гладкой А;-мерной поверхности S (в нашем случае
к = п — т).
Иными словами, существует гладкое отображение
ЙЭ (tr,...,tk) = t^x = (х\...,хп) £Rn
(мы будем его, как и прежде, записывать в виде х = x(t)), при кото-
ром окрестность точки 0 = (0,..., 0) £ R* биективно преобразуется в
некоторую окрестность точки xq на поверхности S, причем xq = ж(0).
Заметим, что соотношение
x(t) — ж(0) = x'(0)t + (||i||) при Z —> 0,
выражающее дифференцируемость отображения t на x(t) в точке t = 0,
равносильно п координатным равенствам
^) - *г(0) = + О (И) (i = 1,..., п), (43)
С/С
§ 7. ПОВЕРХНОСТЬ В R" И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
619
в которых индекс а пробегает целые значения от 1 до к и по нему
происходит суммирование.
Из этих числовых равенств следует, что
|жг(£) — жг(0)| = О (||i||) при t —> О
и, значит,
1к(0 — a7(0)||R„ = O(||*||Rfc) при i->0. (44)
Используя соотношения (43), (44), из равенства (42) получаем, что
при Z —> 0
£(*(*)) - Z(x(0)) = ^dt3L(xo)dax\O)d^(O)tat^ + о (||*||2). (42')
Отсюда при условии знакоопределенности формы
dljL(xo)daxt(P)dpxJ(O)tat^ (45)
следует, что функция Z(rr(£)) имеет при t = 0 экстремум. Если же фор-
ма (45) принимает значения разных знаков, то L(x(t)') при t = 0 экс-
тремума не имеет. Но, поскольку при отображении t x(t) некоторая
окрестность точки 0 € преобразуется в окрестность точки ж(0) =
= хо G S на поверхности S, можно заключить, что тогда и функция
в точке хо либо будет иметь экстремум, причем того же характера, что
и функция Z(s(i)), либо, как и Z(rr(t)), не будет иметь экстремума.
Итак, остается проверить, что для векторов £ G TSX0 выражения
(41) и (45) просто являются разными записями одного и того же объ-
екта.
Действительно, полагая
е = ^'(o)i,
мы получаем вектор £, касательный к S в точке хо, и если £ = (£\..., £п),
x(t} = (ж1,... ,rr”)(i), t = (t1,... ,tfc), то
^ = 5^(0)^ (j = l,...,n),
откуда и следует совпадение величин (41), (45). ►
Отметим, что практическое использование теоремы 2 затруднено
тем, что среди координат вектора £ = (С1, • • • >£”) £ TSXQ только к =
= п — т независимых, поскольку координаты вектора £ должны удовле-
творять системе (29), определяющей пространство TSX0. Таким обра-
зом, непосредственное применение к форме (41) критерия Сильвестра
620
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
в нашем случае, вообще говоря, ничего не дает: форма (41) может не
быть определенной на ТК£0, но оказаться определенной на TSXo. Если
же из соотношений (29) выразить т координат вектора £ через осталь-
ные к координат и полученные линейные формы подставить в (41), то
мы придем к квадратичной форме относительно к переменных, опре-
деленность которой уже можно исследовать с помощью критерия Силь-
вестра.
Поясним сказанное простейшими примерами.
Пример 10. Пусть в пространстве R3 с координатами х, у, z за-
дана функция
f(x,y,z) = х2 -у2+ z2.
Ищется экстремум этой функции на плоскости S, заданной уравне-
нием
F(x, у, z) = 2х — у — 3 = 0.
Записав функцию Лагранжа
L(x, у, z) = (х2 - у2 + z2) - А(2ж - у - 3)
и необходимые условия экстремума
Г dL — = 2х - 2А = 0, дх
< dL - = -2^ + А = 0. ^ = 2г = 0,
dL — = — (2ж —у —3) =0,
находим подозрительную точку р = (2,1,0).
Далее находим форму (41):
UjLpfi = (е1)2 - (е2)2+(?’)'-. (46)
Отметим, что в данном случае параметр А не вошел в эту квадра-
тичную форму, поэтому мы его и не вычисляли.
Записываем теперь условие £ 6 TSp.
2С1 - ? = 0. (47)
§ 7. ПОВЕРХНОСТЬ В R" И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 621
Из этого равенства находим £2 = 2£х и подставляем в форму (46),
после чего она приобретает вид
-з(е1)2 + (е3)2,
где на сей раз и £3— независимые переменные.
Последняя форма, очевидно, может принимать значения разных зна-
ков, поэтому в точке р Е S функция f\s экстремума не имеет.
Пример 11. В условиях примера 10 заменим R3 на R2 и функ-
цию f на
/(ж, у) = х2 -у2,
сохранив условие
2х — у — 3 = 0,
которое теперь задает прямую S в плоскости R2.
В качестве подозрительной найдем точку р = (2,1).
Вместо формы (46) получим форму
(е1)2 - (е2)2 (48)
с прежним соотношением (47) между и £2.
Таким образом, на TSP форма (48) теперь имеет вид
-з^1)2,
т. е. является отрицательно определенной. Отсюда заключаем, что точ-
ка р = (2,1) является точкой локального максимума функции f\s-
Весьма поучительны во многих аспектах следующие простые при-
меры, на которых можно отчетливо рассмотреть механизм работы как
необходимых, так и достаточных условий экстремума, в том числе роль
параметра и неформальную роль самой функции Лагранжа.
Пример 12. На плоскости R2 с декартовыми координатами (ж, у)
дана функция
/(ж, у) = х2 + у2.
Найдем экстремумы этой функции на эллипсе, заданном канониче-
ским соотношением
2 2
где 0 < а < Ь.
622
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Из геометрических соображений очевидно, что min/|s = а2,
max/|s = 62. Получим это, опираясь на рекомендации теорем 1 и 2.
Записав функцию Лагранжа
/-Г2 I/2 X
у, А) = (ж2 + у2) - А ( -j + - 1)
\аг (г /
и решая уравнение dL = 0, т. е. систему = = = 0, находим ее
решения:
(ж, у, А) = (±а, 0, а2), (О, ±6, Ь2).
Теперь в соответствии с теоремой 2 выпишем и исследуем квадра-
тичную форму |d2L£2 — второй член тейлоровского разложения функ-
ции Лагранжа в окрестности соответствующих точек:
>«2 = (i - A) (e')2 + А - А) ({2)2.
2 \ аг J \ (г J
В точках (±а, 0) эллипса S касательный вектор £ = (С1; С2) имеет
вид (0,£2), а квадратичная форма при А = а2 принимает вид
(9 \
Учитывая условие 0 < а < Ь, заключаем, что эта форма положи-
тельно определена и, значит, в точках (±а, 0) С S имеется строгий
локальный (а здесь, очевидно, и глобальный) минимум функции f\s,
т.е. min/|s = а2.
Аналогично находим форму
(ЧМ
отвечающую точкам (0, ±&) С S, и получаем max/|s — I?.
Замечание. Обратите здесь внимание на роль функции Лагранжа
в сравнении с ролью функции /. В соответствующих точках на ука-
занных касательных векторах дифференциал функции / (как и диф-
ференциал L) обращается в нуль, а квадратичная форма |d2/£2 =
= (С1)2 + (С2)2 положительно определена, в какой бы из этих точек
ее ни вычислять. Тем не менее функция f\s в точках (±а,0) имеет
строгий минимум, а в точках (0, ±6) — строгий максимум.
§ 7. ПОВЕРХНОСТЬ В Г И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 623
Чтобы понять, в чем тут дело, просмотрите еще раз доказательство
теоремы 2 и попробуйте, заменив в (42) L на f, получить соотноше-
ние (42'). Заметьте, что при этом у вас появится дополнительный член,
содержащий х"(0). Он не исчезнет в связи с тем, что в отличие от dL
дифференциал df функции f в соответствующих точках не есть тожде-
ственный нуль, хотя на касательных векторах (вида а/(0)) его значения
действительно равны нулю.
Пример 13. Найдем экстремумы функции
f(x,y,z) = х2 + у2 + z2
на эллипсоиде S', заданном соотношением
F(x, г/,г:) = — + ^- + — -1 = 0,
as bz c2
где 0 < a < b < c.
Записав функцию Лагранжа
( 2 2 2 \
+ 72 + ~2 ~ 1) ’
a2 о c2 )
в соответствии с необходимым признаком экстремума находим реше-
ния уравнения dL = 0, т. е. системы ^ = ^ = ^ = Ст = 0:
'1 ’ дх ду dz дХ
(x,y,z,X) = (±а,0,0,а2), (0,±Ь,0,Ь2), (0,0, ±с, с2).
Квадратичная форма
= (1 - 4) (е1)2 + (1 - 4) (<Э2 + (1 - 4) (е3)2
2 \ а2/ \ bz J у ст J
в каждом из этих случаев на соответствующей касательной плоскости
имеет вид
(а)
(Ь)
(с)
624
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Поскольку 0 < а < b < с, то на основании теоремы 2, дающей доста-
точный признак наличия или отсутствия условного экстремума, можно
заключить, что в случаях (а) и (с) мы нашли соответственно min/|s =
= а2 и max/|s = с2, а в точках (0, ±6,0) С S, отвечающих случаю (Ь),
функция f\s экстремума не имеет. Это вполне согласуется с очевидны-
ми геометрическими соображениями, высказанными по этому поводу
при обсуждении необходимого признака условного экстремума.
Некоторые дальнейшие, порой весьма полезные стороны встретив-
шихся в этом параграфе понятий анализа и геометрии, в том числе фи-
зическая интерпретация самой задачи об условном экстремуме, а также
его необходимого признака (31) как разложения сил в точке равновесия
и интерпретация множителей Лагранжа как величин реакций идеаль-
ных связей, представлены в приведенных ниже задачах и упражнениях.
Задачи и упражнения
1. Путь и поверхность.
а) Пусть /: I —> IR2 —отображение класса (I; IR2) интервала I С К.
Рассматривая это отображение как путь в IR2, покажите на примере, что его
носитель /(/) может не быть подмногообразием в IR2, а вот график этого ото-
бражения в IR3 = IR1 х К2 всегда является одномерным подмногообразием К3,
проекцией которого в IR2 является носитель f(I) указанного пути.
Ь) Решите задачу а) в случае, когда I — промежуток в , а / € (I; IRn).
Покажите, что в этом случае график отображения /: I —> IRn является гладкой
А:-мерной поверхностью в х IRn, проекция которой на подпространство Кп
совпадает с f(I).
с) Проверьте, что если Д: Д S и Д: I2 8 — две гладкие параме-
тризации одной и той же fc-мерной поверхности S С IRn, причем ни Д в Д,
ни Д в 12 не имеют критических точек, то определенные при этих условиях
отображения
fi 1 0 /2 •' I2 , /2 1 0 /1: А —> Д
являются гладкими.
2. Сфера в IRn.
а) На сфере S2 = {ж е К3 | ||ж|| = 1} укажите какую-нибудь максимальную
область действия криволинейных координат (<р, ф), полученных из полярных
координат в IR3 (см. формулу (5) предыдущего параграфа) при р = 1.
Ь) Ответьте на вопрос а) в случае (т — 1)-мерной сферы
S™-1 = {ж е Г71 | ||ж|| = 1}
в Кт и координат (уч,..., <pm-i) на ней, получаемых из полярных координат
в К" (см. формулы (6) предыдущего параграфа) при р = 1.
§ 7. ПОВЕРХНОСТЬ В Г И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
625
с) Можно ли сферу Sk С Kfc+1 задать одной системой координат (Z1,..., tk),
т. е. одним диффеоморфизмом f-.G—> Kfc+1 области G С ?
d) Какое наименьшее количество карт должно быть в атласе поверхности
Земли?
е) Расстояние между точками сфе-
ры S2 С К3 будем измерять длиной
кратчайшей кривой, лежащей на сфе-
ре S2 и соединяющей эти точки. Такой
кривой является дуга соответствую-
щего большого круга. Может ли суще-
ствовать такая локальная плоская кар-
та сферы, что все расстояния между
точками сферы были бы пропорцио-
нальны (с одним и тем же коэффици-
ентом пропорциональности) расстояниям между их изображениями на карте?
f) Углом между кривыми (лежащими или не лежащими на сфере) в точке
их пересечения называется угол между касательными к этим кривым в этой
точке.
Покажите, что существуют локальные плоские карты сферы, в которых
углы между кривыми на сфере и соответствующими кривыми на карте оди-
наковы (см. рис. 65, изображающий так называемую стереографическую про-
екцию).
3. Касательное пространство.
а) Проверьте прямым расчетом, что касательное к гладкой А:-мерной по-
верхности S С R" в точке xq € S многообразие TSXQ не зависит от выбора
системы координат в Кп.
Ь) Покажите, что если при диффеоморфизме f: D —> D' области D С Кп
на область D' С Кп гладкая поверхность S С D отображается на гладкую
поверхность S' С D', а точка xq € S переходит в х'о € S', то при линейном
отображении /'(xq): Кп —> Кп, касательном к f в точке xq € D, векторное
пространство TSxn изоморфно преобразуется в векторное пространство TS',.
х0
с) Если в условиях предыдущей задачи отображение f:D —> D' явля-
ется любым отображением класса C^(D-,D'), при котором /(S) С S', то
f'(TSX0) С TS'x,o.
d) Покажите, что ортогональная проекция гладкой А:-мерной поверхности
S С К” на касательную к ней в точке xq € S fc-мерную плоскость TSXQ явля-
ется отображением, взаимно однозначным в некоторой окрестности точки
касания xq.
е) Пусть в условиях предыдущей задачи £ € TSXQ и ||£|| = 1.
Уравнение х — xq = прямой в Кп, лежащей в TSXQ, можно использо-
вать, чтобы каждую точку х € TSXQ \ хо характеризовать парой (t, £). Это по
существу полярные координаты в TSXQ.
626
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Покажите, что прямым х — хо = ££ на поверхности S в окрестности точ-
ки хо отвечают гладкие кривые, пересекающиеся только в точке xq . Проверь-
те, что, сохраняя в качестве параметра на этих кривых величину t, мы полу-
чаем пути, скорость вдоль которых при t = 0 совпадает с вектором £ € TSXQ,
определяющим прямую х — xq = £t, из которой получена данная кривая на S.
Таким образом, пары (£,£), где £ € TSXQ, ||£|| = 1, a t—вещественные
числа из некоторой окрестности U (0) нуля в Ж, могут служить аналогом по-
лярных координат в некоторой окрестности точки xq € S на поверхности S.
4. Пусть функция F € (Д1) (IRn; Ж), не имеющая критических точек, такова,
что уравнение Fix1,... ,хп) = 0 задает в Кп компактную поверхность S (т.е.
S как подмножество IRn является компактом). Для любой точки х € S находим
вектор ri(x) = gradF(x), нормальный к S в точке х. Если каждую точку
х € S заставить двигаться равномерно со своей скоростью т](х), то возникает
зависящее от времени t отображение S Э х ь-t х + T](x)t € lRn.
а) Покажите, что при достаточно близких к нулю значениях t это ото-
бражение биективно и при каждом таком значении t из S получается гладкая
поверхность St-
b) Пусть Е — множество в В!п; <5-окрестностью множества Е назовем со-
вокупность тех точек IRn, расстояние которых до Е меньше 6.
Покажите, что при значениях t, близких к нулю, уравнение
^(т1,...,^") = t
задает компактную поверхность St С Жга, и покажите, что поверхность St
лежит в <5(£)-окрестности поверхности St, где <5(i) = o(i) при t —> 0.
с) С каждой точкой х поверхности S = So свяжем единичный вектор нор-
мали
и рассмотрим новое отображение S Э х х + n(x)t € IRn.
Покажите, что при всех достаточно близких к нулю значениях t это ото-
бражение биективно, получающаяся из S при конкретном значении t поверх-
ность St гладкая и если Н / то S^ A St2 = 0.
d) Опираясь на результат предыдущей задачи, покажите, что найдется
число 6 > 0 такое, что между точками <5-окрестности поверхности S и пара-
ми (i, х), где t € ]—<5, <5[ С R, х € S, имеется взаимно однозначное соответ-
ствие; если (i1,..., tk) —локальные координаты на поверхности S в окрестно-
сти Us(%o) точки хо, то величины (t, t1,..., tk) могут служить локальными ко-
ординатами в некоторой пространственной окрестности U(xq) точки xq € IRn.
е) Покажите, что при |i| <6 точка х € S является ближайшей к (x+n(x~)t) 6
€ Жп точкой поверхности S. Таким образом, поверхность St при |t| < <5 есть
геометрическое место точек пространства Кп, удаленных от поверхности S
на расстояние |£|.
§ 7. ПОВЕРХНОСТЬ В Г И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА
627
5. а) Пусть dp: S —> К — функция на fc-мерной гладкой поверхности S С
С К”, определенная равенством dp(x) = ||р — гг||2, где р—фиксированная точ-
ка Кп, х— точка S, а ||р — т|| — расстояние в Кп между этими точками.
Покажите, что в точках экстремума функции dp(x) вектор р — х ортого-
нален поверхности S.
Ь) Покажите, что на любой прямой, ортогонально пересекающей поверх-
ность S в точке q Е S, имеется не более к таких точек р, что функция dp(x)
имеет q своей вырожденной критической точкой (т. е. точкой, в которой гес-
сиан функции обращается в нуль).
с) Покажите, что в случае кривой S (fc = 1) на плоскости К2 (п = 2)
точка р, для которой точка q € S является вырожденной критической точкой
функции dp(x), совпадает с центром кривизны кривой S в точке q € S.
6. Постройте в плоскости К2 с декартовыми координатами х, у линии
уровня функции f(x, у) = ху и кривую
S = {(я,у) € Ж2 | х2 + у2 = 1}.
Используя полученную картинку, проведите полное исследование задачи
об экстремуме функции /|з.
7. На плоскости К2 с декартовыми координатами х, у определены следу-
ющие функции класса C^°°^(1R2;1K):
f(x, у) = х2 - у, F(x,y) = <
х2 — у + е ^^sini, если х / О,
х2 — у, если х = 0.
а) Нарисуйте линии уровня функции f(x,y) и линию S, заданную соотно-
шением F(x, у) = 0.
Ь) Исследуйте на экстремум функцию /|з.
с) Покажите, что условие определенности формы ^/(ато)^^ на TSXo, в
отличие от условия определенности формы dt]L(xo)CC3 на TSXo, приведенного
в теореме 2, еще не является достаточным для того, чтобы подозрительная
точка хо € S была точкой экстремума функции /|з.
d) Проверьте, является ли точка хо = (0,0) критической для функции f и
можно ли исследовать поведение f в окрестности этой точки только с помо-
щью второго (квадратичного) члена формулы Тейлора, как это подразумева-
лось в с).
8. В дифференциальной геометрии при определении главных кривизн и
главных направлений бывает полезно уметь искать экстремум одной квадра-
тичной формы htjidu3 при условии постоянства другой (положительно опре-
деленной) формы дг]иги3. Решите эту задачу по аналогии с разобранным выше
примером 9.
628
ГЛ. VIII. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
9. Пусть А = [а®] —квадратная матрица порядка п такая, что
£(<4)2=я, а = 1,...,п),
i=i
где Hi,... ,Нп—фиксированный набор из п неотрицательных действитель-
ных чисел.
а) Покажите, что det2 А при указанных условиях на матрицу А может
иметь экстремум, только если строки матрицы А являются попарно ортого-
нальными векторами в Кп.
Ь) Исходя из равенства
det2 А = det А • det А*,
где А* — транспонированная по отношению к А матрица, покажите, что при
указанных выше условиях
max det2 А = Hi.. .Нп.
А
с) Докажите, что для любой матрицы [а*] имеет место неравенство Ада-
мара
det2 (а)) П ($2 •
3 = 1 \г=1 /
d) Дайте наглядно-геометрическое истолкование неравенства Адамара.
10. а) Нарисуйте поверхности уровня функции f и плоскость S в приме-
ре 10. Объясните на рисунке результат, полученный в этом примере.
Ь) Нарисуйте линии уровня функции / и прямую S в примере 11. Объяс-
ните на рисунке результат, полученный в этом примере.
11. В примере 6 из §4 главы V, исходя из принципа Ферма, был получен
закон Снеллиуса преломления света на поверхности раздела двух сред в слу-
чае, когда эта поверхность — плоскость. Остается ли этот закон в силе для
произвольной гладкой поверхности раздела?
12. а) Материальная точка в потенциальном поле сил может находиться в
положении равновесия (называемом также состоянием покоя или стационар-
ным состоянием) только в критических (стационарных) точках потенциала.
При этом строгому локальному минимуму потенциала отвечает положение
устойчивого равновесия, а локальному максимуму — неустойчивого. Проверь-
те это.
Ь) К какой задаче на условный экстремум (которую и решал Лагранж)
сводится вопрос о положении равновесия материальной точки, находящейся в
потенциальном поле сил (например, тяжести) и стесненной идеальными связя-
ми (например, точка не может покидать некоторой гладкой поверхности, или
§ 7. ПОВЕРХНОСТЬ В R" И ТЕОРИЯ УСЛОВНОГО ЭКСТРЕМУМА 629
бусинка—гладкой нити, или шарик — желоба)? Связь идеальна (нет трения);
это значит, что ее воздействие на точку (реакция связи) происходит только
в нормальном к связи направлении.
с) Какой физический (механический) смысл имеют в этом случае разло-
жение (31)—необходимый признак условного экстремума и множители Лаг-
ранжа?
Кстати, каждую из функций системы (25) можно поделить на модуль ее
градиента, что, очевидно, приводит к равносильной системе (если ее ранг всю-
ду равен т). Значит, все векторы gradK^To) в правой части соотношения (31)
можно считать единичными нормалями к соответствующей поверхности.
d) Не становится ли после приведенной физической интерпретации само-
очевидным и естественным сам метод Лагранжа отыскания условного экстре-
мума?
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ
Введение в анализ (число, функция, предел)
1. Длину стягивающего земной шар по экватору обруча увеличили на
1 метр. Образовался зазор. Достаточен ли он для прохода муравья? Како-
вы величины абсолютного и относительного увеличения радиуса Земли при
таком увеличении длины экватора? (Радиус Земли « 6400 км.)
2. Как связаны полнота (непрерывность) действительных чисел, неогра-
ниченность натурального ряда и принцип Архимеда? Почему любое действи-
тельное число можно сколь угодно точно приблизить рациональным? Объяс-
ните на модели рациональных дробей (рациональных функций), что принцип
Архимеда может быть нарушен, и в таких числовых системах натуральный
ряд ограничен и имеются бесконечно малые числа.
3. Четыре букашки, сидевшие в вершинах единичного квадрата, стали
двигаться друг за другом с единичной скоростью, держа курс на преследуе-
мого. Нарисуйте траектории их движения. Какова длина каждой траектории?
Каков закон движения (в декартовых и полярных координатах)?
4. Нарисуйте диаграмму вычисления у/a (а > 0) итерационным процессом
1 ( а\
•£п+1 — X I А ) •
2 \ хп)
Как связано решение уравнений с отысканием неподвижных точек? Как
находить
5. Пусть д(х) = f(x) + о(/(т)) при х -» оо. Верно ли, что тогда и f(x) =
= д(х) + о(д(хУ) при х -> оо ?
6. Методом неопределенных коэффициентов (или иначе) найдите несколь-
ко первых коэффициентов (или все) степенного ряда для (1 + х)а при а =
= — 1,— i,0, (Интерполируя коэффициенты при одинаковых степенях х
в таких разложениях, Ньютон выписал закон образования коэффициентов при
любом а 6 Ж — бином Ньютона.)
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ
631
7. Зная степенное разложение функции ех, найдите методом неопределен-
ных коэффициентов (или иначе) несколько первых членов (или все) степенного
разложения функции 1п(1 + ж).
8. Вычислите ехр А, когда А — одна из матриц
О 0\ / О 1\
0 0/’ V0 0/
0 1 0\
0 0 1,
0 0 0/
1 0 0\
0 2 0.
0 0 3/
9. Сколько членов ряда для ех надо взять, чтобы получить многочлен,
позволяющий вычислять ех на отрезке [—3, 5] с точностью до 10“2?
10. Нарисуйте эскизы графиков следующих функций:
a) logcos х sin х-, b) arctg .
Дифференциальное исчисление функций
одной переменной
1. Покажите, что если вектор ускорения a(i) в любой момент t ортогона-
лен вектору v(t) скорости движения, то величина |и(£)| остается постоянной.
2. Пусть (x,t) и (5,f)—соответственно координата и время движущейся
точки в двух системах отсчета. Считая известными формулы х = ах + 3t.
t = -ух + St перехода из одной системы отсчета в другую, найдите формулу
преобразования скоростей, т.е. связь между v = и v =
3. Функция f(x) = х2 sin j при а: / 0 и /(0) = 0 дифференцируема на Ж,
но f разрывна при х = 0 (проверьте). «Докажем», однако, что если f: Ж —> К
дифференцируема на Ж, то f непрерывна в любой точке a € Ж. По теореме
Лагранжа
/(ж) - /(а) =
х — а ’
где £ — точка между а и х. Тогда если х -> а, то £ -> а. По определению,
Um ~ №) = /(«),
х — а
и поскольку этот предел существует, то существует и равен ему предел правой
части формулы Лагранжа, т.е. /'(£) -> f'(a) при £ -> а. Непрерывность f в
точке а «доказана». Где ошибка?
4. Пусть функция f имеет п + 1 производную в точке то, и пусть £ =
= Xq + вх(х — то) —средняя точка в формуле Лагранжа остаточного члена
^/(")(£)(т-то)п, так что 0 < 0х <1. Покажите, что вх —> - при х —> Хо,
если /(”+1)(то) 0.
632
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ
5. Докажите неравенство
а"1... а“п сиси + ... + апап
где числа ai,..., ап, си,..., ап неотрицательны и од + ... + ап = 1.
6. Покажите, что
(z\n
14—) = ex(cosy + i sin у) (z = x+iy),
п/
поэтому естественно считать, что егу = cos у + i sin у (формула Эйлера) и
ez = ехегу = ех (cos у + i sin у).
7. Найдите форму поверхности жидкости, равномерно вращающейся в ста-
кане. 2 2
8. Покажите, что касательная к эллипсу + = 1 в точке (хо, уо) имеет
уравнение = 1 и что световые лучи от источника, помещенного в
одном из фокусов Fi = (—Va2 — &2,0), F? = (Va2 — b2,0) эллипса с полуосями
а > b > 0, собираются эллиптическим зеркалом в другом фокусе.
9. Частица без предварительного разгона под действием силы тяжести на-
чинает скатываться с вершины ледяной горки эллиптического профиля. Урав-
нение профиля: х2 + 5у2 = 1, у 0. Рассчитайте траекторию движения час-
тицы до ее приземления.
Интеграл и введение в многомерный анализ
1. Зная неравенства Гёльдера, Минковского и Йенсена для сумм, получите
соответствующие неравенства для интегралов.
2. Вычислите интеграл f е~х dx с относительной погрешностью в преде-
лах 10 %. 0
1 х 2
3. Функция erf(a:) = —J e-t dt, называемая интегралом вероятности
* —х
ошибок, имеет пределом 1 при х —> +оо. Изобразите график этой функции и
найдите ее производную. Покажите, что при х —> +оо
2 _ж2 / 1 1 1-3 1-3-5 / 1 \\
/тгб \2т 22т3 + 23т5 24т7 уж7//
Как продолжить эту асимптотическую формулу до ряда? Сходится ли этот
ряд хотя бы при каком-то значении х 6 Ж?
4. Зависит ли длина пути от закона движения (от параметризации)?
5. Вы держите один конец резинового шнура длиной 1 км. От второго его
конца, который закреплен, к вам со скоростью 1 см/с ползет жук. Каждый раз,
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ
633
как только он проползает 1 см, вы удлиняете резинку на 1 км. Доползет ли жук
до вашей руки? Если да, то приблизительно сколько ему на это потребуется
времени? (Задача Л. Б. Окуня, предложенная им А. Д. Сахарову.)
6. Подсчитайте работу по перемещению массы в гравитационном поле
Земли и покажите, что эта работа зависит только от уровней высот исходно-
го и конечного положений. Найдите для Земли работу выхода из ее гравита-
ционного поля и соответствующую (вторую) космическую скорость.
7. На примере маятника и двойного маятника поясните, как на множе-
стве соответствующих конфигураций можно ввести локальные координаты и
окрестности и как при этом возникает естественная топология, превращаю-
щая его в конфигурационное пространство механической системы. Можно ли
метризовать это пространство в рассмотренных случаях?
8. Является ли компактом единичная сфера в К”? Ав С[а, 6]?
9. Подмножество данного множества называется его е-сетью, если любая
точка множества находится на расстоянии меньшем чем е от какой-либо точ-
ки этого подмножества. Обозначим через N(e) наименьшее возможное число
точек в е-сети данного множества. Оцените е-энтропию log2 N(e) отрезка,
квадрата, куба и ограниченной области в пространстве Кп. Дает ли величина
log|(l}e| ПРИ £ “0 представление о размерности рассматриваемого множест-
ва? Может ли такая размерность быть равной, например, 0,5?
10. На поверхности единичной сферы Sb К3 температура Т как функция
точки меняется непрерывно. Обязаны ли на сфере быть точки минимума и
максимума температуры? При наличии точек с двумя фиксированными зна-
чениями температуры, должны ли быть точки и с промежуточными ее зна-
чениями? Что из этого верно в случае, когда единичная сфера S берется в
пространстве С[а, Ь], а температура в точке / € S выражается в виде
/ ь \ -1
T(f) = ч
\а /
11. а) Вэяв 1,5 в качестве исходного приближения для л/2, проведите две
итерации по методу Ньютона и посмотрите, сколько верных знаков получи-
лось на каждом из двух шагов.
Ь) Найдите итерационным процессом функцию /, удовлетворяющую урав-
нению
X
f(x) = х + У /(£) dt.
о
22-4573
634
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ
Дифференциальное исчисление функций
многих переменных
1. а) Какова относительная погрешность <5 = при вычислении значе-
ния функции f(x,y,z) в точке (х,у, z), координаты которой даны с абсолют-
ными погрешностями Да;, Да/, Az соответственно?
Ь) Какова относительная ошибка в вычислении объема комнаты, размеры
которой таковы: длина х = 5 ± 0,05 м, ширина у = 4 ± 0,04 м, высота z =
= 3 ± 0,03 м?
с) Верно ли, что относительная погрешность значения линейной функции
совпадает с относительной погрешностью значения ее аргумента?
d) Верно ли, что дифференциал линейной функции совпадает с ней самой?
е) Верно ли, что для линейной функции f справедливо соотношение /' = /?
2. а) Одна из частных производных функции двух переменных, заданной
в круге, равна нулю во всех точках круга. Значит ли это, что функция не
зависит от соответствующей переменной в этом круге?
Ь) Изменится ли ответ, если вместо круга взять произвольную выпуклую
область?
с) А если взять вообще произвольную область?
d) Пусть х = x(t) —закон движения точки в плоскости (или в Rn) в
промежутке времени t € [а, Ь]; v(t)—ее скорость как функция времени, а
С = conv{«(i) | t € [а, 6]} — наименьшее выпуклое множество, содержащее все
векторы v(t) (называемое обычно выпуклой оболочкой того множества, на ко-
торое оболочка натягивается). Покажите, что в С найдется такой вектор «,
что х(Ъ) — x(d) = v • (Ь — а).
3. а) Пусть F(x, y,z) = 0. Верно ли, что ~ ~1? Проверьте это
на зависимости ^ — 1 = 0 (соответствующей уравнению Клапейрона = R
состояния идеального газа).
Ь) Пусть теперь F(x, у) = 0. Верно ли, что || • = 1?
с) Что можно утверждать в общем случае зависимости F(xi,... ,хп) = 0?
d) Как, зная первые несколько членов тейлоровского разложения функ-
ции F(x, у) в окрестности точки (хо,уо), где F(x0,y0) = 0, a Fy(x0, у0) обрати-
ма, найти первые несколько членов тейлоровского разложения неявной функ-
ции у = f(x), определяемой в окрестности (хо,уо) уравнением F(x,y) = 0?
2 2 2
4. а) Проверьте, что плоскость, касательная к эллипсоиду \ = 1
а2 tr ст
в точке (а;о,1/о,^о); может быть задана уравнением = 1.
аг 1г ст
Ь) Точка P(t) = (~=, -у=, ~^=} • t в момент времени t — 1 стартовала с
\ \ 3 \/ 3 \ 3 /
2 2 2
эллипсоида + ^ = 1. Пусть p(t) —точка того же эллипсоида, ближай-
а2 Ь2 с2
шая к P(t) в момент времени t. Найдите предельное положение точки p(i) при
t —+оо.
НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ КОЛЛОКВИУМОВ
635
5. а) В плоскости К2 с декартовыми координатами (х, у) постройте линии
уровня функции f(x,y) = ху и кривую S = {(х,у) € К2 \ х2 + у2 = 1}.
Используя полученную картинку, проведите полное исследование задачи об
экстремуме функции f\s — ограничения f на окружность S.
Ь) Какой физический смысл имеют множители Лагранжа в методе Лагран-
жа отыскания условного экстремума, когда ищется положение равновесия ма-
териальной точки в поле тяжести, если движение точки стеснено идеальными
связями (например, вида Fj (х, у, г) = О, F2 (х, у, z) = 0)?
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
I семестр
Введение в анализ (число, функция, предел)
Дифференциальное исчисление функций
одной переменной
1. Действительные числа. Ограниченные (сверху, снизу) числовые множе-
ства. Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани множества.
Неограниченность множества натуральных чисел.
2. Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных чи-
сел К (вложенные отрезки, конечное покрытие, предельная точка).
3. Предел последовательности и критерий Коши его существования. Кри-
терий существования предела монотонной последовательности.
4. Ряд и его сумма. Геометрическая прогрессия. Критерий Коши и необхо-
димое условие сходимости ряда. Гармонический ряд. Абсолютная сходимость.
5. Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами. Теорема срав-
ОО
нения. Ряд £(з) = 52 п "-
п=1
6. Идея логарифма и число е. Функция ехр(а:) и представляющий ее сте-
пенной ряд.
7. Предел функции. Основные базы предельного перехода. Определение
предела функции при произвольной базе и его расшифровка в конкретных
случаях. Бесконечно малые функции и их свойства. Сравнение финального
поведения функций, асимптотические формулы и основные операции с симво-
лами о(-), О(-)-
8. Взаимосвязь предельного перехода с алгебраическими операциями и
отношением порядка в К. Предел при х —> 0.
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
637
(1 \
1 + J)
при X —> ОО.
10. Критерий Коши существования предела функции.
11. Непрерывность функции в точке. Локальные свойства непрерывных
функций (локальная ограниченность, сохранение знака, арифметические опе-
рации, непрерывность композиции). Непрерывность многочлена, рациональ-
ной функции и тригонометрических функций.
12. Глобальные свойства непрерывных функций (промежуточные значе-
ния, максимумы, равномерная непрерывность).
13. Разрывы монотонной функции. Теорема об обратной функции. Непре-
рывность обратных тригонометрических функций.
14. Закон движения, перемещение за малое время, вектор мгновенной ско-
рости, траектория и касательная к ней. Определение дифференцируемости
функции в точке. Дифференциал, его область определения и область значений.
Единственность дифференциала. Производная вещественнозначной функции
вещественного переменного и ее геометрический смысл. Дифференцируе-
мость функций sina:, cosx, ех, In |ят|, ха.
15. Дифференцируемость и арифметические операции. Дифференцирова-
ние многочлена, рациональной функции, тангенса и котангенса.
16. Дифференциал композиции функций и обратной функции. Производ-
ные обратных тригонометрических функций.
17. Локальный экстремум функции. Необходимое условие внутреннего
экстремума дифференцируемой функции (лемма Ферма).
18. Теорема Ролля. Теоремы Лагранжа и Коши о конечном приращении
(о среднем).
19. Формула Тейлора с остаточными членами в формах Коши и Лагранжа.
20. Ряд Тейлора. Тейлоровские разложения функций ех, cos х, sin х, 1п(1
(1 + х)а (бином Ньютона).
21. Локальная формула Тейлора (с остаточным членом в форме Пеано).
22. Взаимосвязь характера монотонности дифференцируемой функции и
положительности ее производной. Достаточные условия наличия или отсут-
ствия локального экстремума в терминах первой, второй и высших производ-
ных.
23. Выпуклая функция. Дифференциальные условия выпуклости. Распо-
ложение графика выпуклой функции по отношению к касательной.
24. Общее неравенство Йенсена для выпуклой функции. Выпуклость (во-
гнутость) логарифма. Классические неравенства Коши, Юнга, Гёльдера и
Минковского.
25. Комплексное число в алгебраической и тригонометрической записи.
Сходимость последовательности комплексных чисел и ряда с комплексными
членами. Критерий Коши. Абсолютная сходимость и достаточные признаки
абсолютной сходимости ряда с комплексными членами. Предел lim (1 + ^-) .
638
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
26. Круг сходимости и радиус сходимости степенного ряда. Определение
функций ег, cos г, sin г (г € С). Формула Эйлера и взаимосвязь элементарных
функций.
27. Дифференциальные уравнения как математическая модель явления,
примеры. Метод неопределенных коэффициентов и метод ломаных Эйлера.
28. Первообразная, основные общие приемы ее отыскания (почленное ин-
тегрирование слагаемых, интегрирование по частям, замена переменной).
Первообразные основных элементарных функций.
II семестр
Интеграл (функции одной переменной)
Дифференциальное исчисление функций
многих переменных
1. Интеграл Римана на отрезке. Необходимое условие интегрируемости.
Множества меры нуль, их общие свойства, примеры. Критерий Лебега инте-
грируемости функции по Риману (формулировка). Пространство интегриру-
емых функций и допустимые операции над интегрируемыми функциями.
2. Линейность, аддитивность и общая оценка интеграла.
3. Оценки интеграла от вещественнозначной функции. Теорема о среднем
(первая).
4. Интеграл с переменным верхним пределом, его свойства. Существова-
ние первообразной у непрерывной функции. Обобщенная первообразная и ее
общий вид.
5. Формула Ньютона-Лейбница. Замена переменной в интеграле.
6. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Формула Тейлора
с интегральным остатком. Вторая теорема о среднем.
7. Аддитивная функция ориентированного промежутка и интеграл. Об-
щая схема появления интеграла в приложениях, примеры: длина пути (и ее
независимость от параметризации), площадь криволинейной трапеции, объем
тела вращения, работа, энергия.
8. Интеграл Римана - Стилтьеса. Условия сведения к интегралу Римана.
Сингулярности и дельта-функция Дирака. Понятие обобщенной функции.
9. Понятие несобственного интеграла. Канонические интегралы. Крите-
рий Коши и теорема сравнения для исследования сходимости несобственного
интеграла. Интегральный признак сходимости ряда.
10. Локальная линеаризация, примеры: мгновенная скорость и перемеще-
ние; упрощение уравнения движения при малых колебаниях маятника; вычи-
сление линейных поправок к значениям величин ехр (А), A-1, det(.E), (а, 6) при
малом изменении аргументов (здесь А — обратимая, Е — единичная матрицы;
а, b — векторы; (•, ) — скалярное произведение).
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
639
11. Норма (длина, модуль) вектора в векторном пространстве; важнейшие
примеры. Пространство L(X, У) линейных непрерывных операторов и норма
в нем. Непрерывность линейного оператора и конечность его нормы.
12. Дифференцируемость функции в точке. Дифференциал, его область
определения и область значений. Координатная запись дифференциала ото-
бражения /: Km —> Кп. Соотношения между дифференцируемостью, непре-
рывностью и наличием частных производных.
13. Дифференцирование композиции функций и обратной функции. Ко-
ординатная запись полученных законов применительно к различным случаям
отображений f: Km —> Кп.
14. Производная по вектору и градиент. Геометрические и физические
примеры использования градиента (уровни функций, градиентный спуск, ка-
сательная плоскость; потенциальные поля; уравнение Эйлера динамики иде-
альной жидкости, закон Бернулли, работа крыла).
15. Однородные функции и соотношение Эйлера. Метод размерностей.
16. Теорема о конечном приращении. Ее геометрический и физический
смысл. Примеры приложений (достаточное условие дифференцируемости в
терминах частных производных; условие постоянства функции в области).
17. Высшие производные и их симметричность.
18. Формула Тейлора.
19. Экстремумы функций (необходимые и достаточные условия внутрен-
него экстремума).
20. Сжимающие отображения. Принцип Пикара - Банаха неподвижной
точки.
21. Теорема о неявной функции.
22. Теорема об обратной функции. Криволинейные координаты и выпрям-
ления. Гладкая поверхность размерности к в К” и касательная плоскость к ней.
Способы задания поверхности и соответствующие им уравнения касательного
пространства.
23. Теорема о ранге и зависимость функций.
24. Условный экстремум (необходимый признак). Геометрическая, алге-
браическая и физическая интерпретации метода Лагранжа.
25. Достаточный признак условного экстремума.
26. Метрическое пространство, примеры. Открытые и замкнутые подмно-
жества. Окрестность точки. Индуцированная метрика, подпространство. То-
пологическое пространство. Окрестность точки, отделимость (аксиома Хаус-
дорфа). Топология, индуцируемая на подмножествах. Замыкание множества
и описание относительно замкнутых подмножеств.
27. Компакт, его абсолютность. Замкнутость компакта и компактность
замкнутого подмножества компакта. Вложенные компакты. Метрические
компакты, е-сеть. Критерий метрического компакта и его конкретизация в
пространстве Кп.
640
ВОПРОСЫ К ЭКЗАМЕНУ
28. Полное метрическое пространство. Полнота 1R, С, Кп, С" и простран-
ства С[а, 6] непрерывных функций относительно равномерной сходимости.
29. Критерий непрерывности отображения топологических пространств.
Сохранение компактности и связности при непрерывном отображении. Клас-
сические теоремы об ограниченности, максимуме и промежуточном значении
для непрерывных функций. Равномерная непрерывность на метрическом ком-
пакте.
ЛИТЕРАТУРА
I. Классика
1. Первоисточники
Ньютон И.
а. Математические начала натуральной философии. Пер. с лат. В
кн.: Крылов А. Н. Собрание трудов. Т. 7. — Л.-М.: Изд-во АН
СССР, 1936, с. 57-662.
Ь. Математические работы. — М.-Л.: ОНТИ, 1937.
Лейбниц Г. В. Избранные отрывки из математических сочинений. Успе-
хи машем, наук, 1948. 3 (1), 165-205.
2. Важнейшие систематические изложения предмета
Эйлер Л.
а. Введение в анализ бесконечных. В 2-х т. — М.: Физматгиз, 1961.
Ь. Дифференциальное исчисление. — М.-Л.: Гостехиздат, 1949.
с. Интегральное исчисление. В 3-х т. — М.: Гостехиздат, 1956 -1958.
Коши О. Л.
а. Алгебраический анализ. — Лейпциг: Бэр и Хэрманн, 1864.
Ь. Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном
исчислении. — СПб.: Имп. Акад, наук, 1831.
642
ЛИТЕРАТУРА
II. Учебники1)
Архипов Г. И., Садовничий В. А., Чубариков В. Н. Лекциипо
математическому анализу. —М.: Высшая школа, 2000.
Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. X. Математический
анализ. В 2-х ч. Изд. 2-е, перераб. — М.: Изд-во Моск, ун-та, 1985, 1987.
Камынин Л. И. Курс математического анализа. В 2-х ч. — М.: Изд-во
Моск, ун-та, 1993, 1995.
Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. В 3-х т. — М.: Высшая
школа, 1988, 1989.
Никольский С. М. Курс математического анализа. В 2-х т. — М.: Нау-
ка, 1990.
III. Учебные пособия
Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи
и упражнения по математическому анализу. — М.: Изд-во Моск, ун-та,
1988.
Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому
анализу. — М.: Наука, 1990.
Макаров Б. М., Голузина М. Г., Лодкин А. А., Подкоры-
тов А. Н. Избранные задачи по вещественному анализу. — М.: Нау-
ка, 1992.
Решетняк Ю. Г. Курс математического анализа. —Новосибирск: Изд-
во Инс-та матем. Ч. I, книги 1 и 2, 1999. Ч. II, книги 1 и 2, 2000, 2001.
Рудин У. Основы математического анализа. Изд. 2-е. — М.: Мир, 1976.
Шилов Г. Е.
а. Математический анализ. Функции одного переменного. Ч. 1-2. —
М.: Наука, 1969.
Ь. Математический анализ. Функции нескольких вещественных пере-
менных. В 3-х ч. — М.: Наука, 1972.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчи-
сления. В 3-х т. Изд. 7-е, стереотип. — М.: Наука, 1969.
^Приведенные в этом разделе книги допущены Минвузом СССР, рекомендованы
Комитетом по высшей школе Миннауки России или Министерством образования
Российской Федерации в качестве учебников для студентов, обучающихся по специ-
альностям «Математика», «Прикладная математика», «Механика», «Прикладная ма-
тематика и информатика».
ЛИТЕРАТУРА
643
IV. Дополнительная литература
Александров П. С., Колмогоров А. Н. Введение в теорию функ-
ций действительного переменного. — М.: ГТТИ, 1938.
Альберт Эйнштейн и теория гравитации: Сб. статей. К 100-летию со дня
рождения. — М.: Мир, 1979.
Арнольд В. И.
а. Гюйгенс и Барроу, Ньютон и Гук — первые шаги математического
анализа и теории катастроф, от эвольвент до квазикристаллов. —
М.: Наука, 1989.
Ь. Математические методы классической механики. —М.: Наука,
1989.
Бурбаки Н. Очерки по истории математики. — М.: Изд-во иностранной
литературы, 1963. (В частности, статья «Архитектура математики».)
Валле-Пуссен Ш. Ж. Курс анализа бесконечно малых. В 2-х т. Л.-М.:
ГТТИ, 1933.
Вейль Г. Математическое мышление. — М.: Наука, 1989.
Гелбаум Б., Олмстед Дж. Контрпримеры в анализе. — М.: Мир, 1967.
Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре.—М.: Добросвет,
МЦНМО, 1998.
Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная
геометрия: Методы и приложения. — М.: Наука, 1986.
Дьедонне Ж. Основы современного анализа. — М.: Мир, 1964.
Зельдович Я. Б., Мышкис А. Д. Элементы прикладной математи-
ки.— М.: Наука, 1967.
Зорич В. А. Анализ. [Записки лекций для студентов Математического
колледжа НМУ и механико-математического ф-та МГУ.] В 3-х вып.
Вып. I. Лекции 5-7: Дифференциал. Вып. II. Лекция 8: Теорема о не-
явной функции. Вып. III. Лекции 9-11: Приложения теоремы о неявной
функции.—М.: Изд-во механико-математич. ф-та МГУ, 1995.
К ар тан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы.
— М.: Мир, 1971.
Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функ-
ционального анализа. Изд. 4-е, перераб. — М.: Наука, 1976.
Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия.—
М.: Наука, 1986.
644
ЛИТЕРАТУРА
Кириллов А. А. Что такое число? — М.: Наука, 1993.
Курант Р. Курс дифференциального и интегрального исчисления. В
2-х т. — М.: Наука, 1970.
Ландау Э. Основы анализа. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1947.
Манин Ю. И. Математика и физика. — М.: Знание, 1979. — (Новое в жиз-
ни, науке, технике. Серия: Математика, кибернетика; № 12.)
Милнор Дж. Теория Морса.—М.: Мир, 1965. — (Библиотека сборника
«Математика».)
Нарасимхан Р. Анализ на действительных и комплексных многообра-
зиях.— М.: Мир, 1971.
Полна Г., Сеге Г. Задачи и теоремы из анализа. В 2-х ч. Изд. 3-е.—
М.: Наука, 1978.
Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.:
Наука, 1974.
Пуанкаре А. О науке. — М.: Наука, 1990.
Спивак М. Математический анализ на многообразиях. — М.: Мир, 1971.
Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж. Н. Курс современного анализа. В 2-х ч.
Изд. 2-е. — М.: Физматгиз, 1962-1963.
Успенский В. А. Что такое нестандартный анализ? — М.: Наука, 1987.
Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по фи-
зике. Т. Г. Современная наука о природе. Законы механики. — М.: Мир,
1965.
X а л м о ш П. Конечномерные векторные пространства. — М.: Наука, 1963.
Шварц Л. Анализ. В 2-х т. — М.: Мир, 1972.
Эйнштейн А. Собрание научных трудов. Том IV.—М.: Наука, 1967.
(В том числе статьи «Мотивы научного исследования» (с. 39-41) и «Фи-
зика и реальность» (с. 200-227).)
предметный указатель
Абсолютная величина числа. См.
также Модуль действитель-
ного числа 65
Аддитивность интеграла 407
Аксиома Архимеда. См. также Прин-
цип Архимеда 60, 61
— бесконечности 33
— выбора 34
— выделения 32
— Дедекинда 76
— множества подмножеств 33
— непрерывности 43, 76
— объединения 32
— объемности 32
— пары 33
— подстановки 34
— полноты (непрерывности) 43, 49,
60, 64, 76, 78, 79, 81, 85
— Цермело 34
Аксиоматика действительных (веще-
ственных) чисел 41, 60, 80
— категоричная 44
— непротиворечивая 44
— теории множеств 7, 32, 34
— Цермело - Френкеля 34
Алгоритм Евклида 77, 122
Альтернанс 200
Аргумент комплексного числа 310
— функции 13
Асимптота 295
— вертикальная 295
Асимптота горизонтальная 295
Асимптота наклонная 295
Асимптотика функции 160, 161, 265
Атомный котел 340, 342, 343
База (базис фильтра) 148, 150
— в множестве разбиений 385
Базис 498
— ортонормированный 503
Биекция 19
Бином дифференциальный 379
— Ньютона 77, 244, 261
Вектор касательный 549, 550, 608
— нормальный 548, 550
Векторы ортогональные 503
Ветвь аргумента комплексного
числа 310
Взрыв 342, 343
Вложение 18
Выпрямление 581, 582
Гессиан 574, 592, 627
Градиент 516, 518-520
Граница числового множества
верхняя (мажоранта) 50
-------нижняя (миноранта) 50
-------точная верхняя 50, 51
---------нижняя 51
Грань числового множества верхняя
50, 51
-------нижняя 51
646
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
График функции 26, 197, 293, 297,
303
---многих переменных 546, 547
Группа 41
— абелева 41, 42, 56
— аддитивная 41, 42
— коммутативная 41
— мультипликативная 42
Делитель 56
— наибольший 77
— нуля 79
Диаметр множества 483, 487
Диффеоморфизм 577, 589
— простейший 589
Дифференциал отображения 504, 509
— функции 208-210, 216, 224
---многих переменных 504, 505,
507, 509
Дифференцирование и арифметиче-
ские операции 224, 226, 324,
511, 512
— композиции функций 228, 230, 514
— неявной функции 238, 246
— обратной функции 232, 233, 520,
522
— степенного ряда 324
Длина кривой 17, 441, 443, 445
— пути 438-441, 444
— числового промежутка 64
— эллипса 445, 446
Дополнение множества 10
Дробь непрерывная 122
— подходящая 122, 123
— простейшая 331, 366
— цепная 122, 123
Евклидова структура 502
Единица в множестве действитель-
ных чисел 42, 46, 49
Единица в мультипликативной
группе 42
— мнимая 307
Жесткости коэффициент 348, 355,
449
Зависимость функций 587, 596
Задача Бюффона 456
— Гюйгенса 544, 545, 5*55
— Кеплера (двух тел) 202
— Окуня 632 - 633
Закон Бернулли 524
— Кеплера 538
— Клапейрона 339, 577
— Ньютона 202, 248, 343, 523, 528
— Ома 29
— преломления 279, 628
— сложения скоростей 239, 241, 242
— Снеллиуса 279, 628
Замена параметризации пути 444
-------допустимая 444
— переменной в интеграле
неопределенном 363
---------определенном 425
Замкнутость алгебраическая поля
комплексных чисел 326 - 329
Замыкание множества 481, 484
Значение главное несобственного
интеграла 472
— функции 13, 26
----среднее 430
Идеал кольца 201
----непрерывных функций 201
---------максимальный 201
Изоморфизм 45, 171
Индекс критической точки 597
Интеграл вероятности ошибок 474
— Гаусса 470
— гиперзллиптический 376
— Дарбу верхний (нижний) 402
— неопределенный 358, 360, 361, 363
— несобственный 456-458
----расходящийся 457
----с несколькими особенностями
459
----сходящийся 457
-------абсолютно 463
-------условно 468
— определенный 383, 385, 386
— от векторнозначной функции 404
— Римана 385, 386
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
647
Интеграл с переменным верхним
пределом 418
— Френеля 380, 430, 473
— Эйлера 466
— Эйлера - Пуассона 381, 470
— эллиптический 376, 377, 379, 380,
446, 467
----второго рода 376, 446
---------полный 446
----первого рода 376, 452, 474
---------полный 452, 474
----третьего рода 376
Интегрирование 356, 358, 383
— заменой переменной 363, 425
— по частям 362, 422
Интервал действительных чисел 64
Инъекция 18
Итерации 21, 37, 198
Канторово множество 90, 403
Кардинальное число (кардинал) 30,
31
Касательная 206, 213-216, 251, 286,
557, 603
— плоскость 547, 548, 550, 557, 566,
604
— прямая, см. Касательная 206
Касательное отображение 504, 582,
605
— пространство 505, 603, 605 - 607,
625
Квантор всеобщности 8, 36
— существования 8, 36
Колебание функции в точке 178, 179,
492
----на множестве 153, 178, 389, 487
Колебания 348
— гармонические 350, 355
— затухающие 352
— маятника 451-453, 455, 467, 468,
475, 528
Кольцо непрерывных функций 201
— ростков непрерывных
функций 201
Компакт 189, 482
-вГ 482-484, 495
Композиция отношений 26
Композиция отображений 20, 155,
185, 228, 230, 402, 487, 500,
514
Континуум 87, 88
Координаты декартовы 503
— криволинейные 546, 547
----в F 581
— полярные 579, 580
— сферические 580
Координаты точки 62, 477
Корень многочлена 199, 327, 328, 330
----кратный 273, 331
— n-й степени арифметический 78,
138
-------из комплексного числа 311
Косинус гиперболический 235
— интегральный 365
Котангенс гиперболический 237
Коэффициент жесткости 348, 355,
449
— полезного действия 352
Кратность корня многочлена 331
Кривая 439
— параметризованная 439
— простая замкнутая 439
— уникурсальная 378
Кривизна кривой 306
Критерий Дарбу интегрируемости
функции 402, 403
— Дюбуа-Реймона интегрируемости
функции 403
— Коши существования предела по-
следовательности 99, 312,
486
---------функции 153, 487
----сходимости несобственного ин-
теграла 462
-------ряда 111, 312
— Лебега интегрируемости функции
398, 400, 403
— непрерывности монотонной
функции 195
— Сильвестра 542
— существования предела монотон-
ной последовательности 101
---------функции 159
648
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Критерий сходимости ряда с неотри-
цательными членами 114
Круг сходимости степенного ряда
314, 315
Лемма Адамара 553, 593
— Больцано - Вейерштрасса 105, 110
— Морса 592, 593
— о верхней грани 51, 60
----вложенных компактах 484
-------отрезках 81, 83
----конечном покрытии 82, 84
----предельной точке 83
— Ферма 249, 250
Линейность интеграла 404
Линия геодезическая 16
— тока 523
— уровня 522, 559
Логарифм 144, 145, 222, 231, 334
— интегральный 366, 381, 473
— натуральный 144, 334
Логарифмическая писала 232
Максимум 50, 79, 188, 495, 544
— локальный 248, 249, 277, 278, 537,
539, 628
Максимум условный 611, 618
Мантисса 80
Масса критическая 342
Матрица Якоби 509, 513, 539
Маятник 451-453, 455, 467, 468, 528
— циклоидальный 455, 475
Метод градиентный 519
— исчерпания 384
— ломаных Эйлера 347
— множителей Лагранжа 613, 629
— наименьших квадратов 553
— неопределенных коэффициентов
332, 347
— Остроградского 377
— размерности 525, 527
Метрика 477-479, 496
- в Г 478, 485
Минимум 50, 79, 188, 495, 544
— локальный 248, 249, 277, 278, 537,
539, 628
— условный 611, 618
Многочлен Лагранжа 272, 433
— Лежандра 433
— наилучшего приближения 199, 200
— Тейлора 255, 262, 263, 265
— Чебышёва 200
— Эрмита 272
Множество 5, 6, 32
— бесконечное 31
— замкнутое 479, 481, 483, 484
— инвариантное 29
— индуктивное 33, 52, 77
— интегрируемых функций 387, 398
— канторово 90, 403
— конечное 31
— меры нуль 398, 400, 403
— неограниченное 65, 488
— несчетное 87, 88
— ограниченное 50, 483, 484
----сверху (снизу) 50
— открытое 478-480, 482, 494, 497
— пустое 13, 32
— равномощное другому множеству
29, 30
— связное 494, 497
----линейно 494
— счетное 85, 86
— устойчивое 29
Модель действительных чисел 43, 44,
67, 75, 79
Модуль действительного числа 65
— (длина) вектора. См. также Норма
вектора 203, 309
— комплексного числа 309, 310
— непрерывности функции 198
Монотонность интеграла 409
Морфизм 14
Мощность континуума 87-89
— множества 30, 31, 88
Мультииндекс 552
Неравенство Адамара 628
— Бернулли 77, 104, 280
— Гёльдера 280, 291, 418
— Йенсена 289, 290, 418
— Коши-Буняковского 418
— Минковского 281, 282, 418, 477
— треугольника 65, 282, 477, 479, 501
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
649
Неравенство треугольника
числовое 65
— Шварца 418
— Юнга 280, 305, 456
Норма вектора 500, 501, 503
Носитель пути 438, 439, 443
Область в 497
— значений отношения 23
----функции 14
— определения отношения 23
----функции 13
Образ 18, 26
Объединение множеств 10, 12
Объем тела вращения 447
Ограничение функции, см. Сужение
функции 14
Окрестность точки 65, 83, 125, 480,
488
----проколотая 125, 488
Окружность соприкасающаяся 307
Оператор 14
— Лапласа 551, 557
— сдвига 17
Операция ассоциативная 21, 41, 42
— дистрибутивная 42
— дифференцирования 224
— коммутативная 41, 42
— логическая 5, 13, 35
— над множествами 9, 13
— сложения 41, 42
— умножения 42
Орбиты планет 355
Основание логарифма 144
— системы счисления 72
Осреднение функции, см. Усреднение
функции 431, 432
Остаточный член формулы Тейлора
256, 261, 266, 435
---------в интегральной форме
423, 424, 536, 537, 553, 593
---------в форме Коши 257, 424
---------Лагранжа 257, 265,
272, 273, 424, 537, 553
--------------Пеано 264, 265, 537
Осциллятор линейный 348, 355
— плоский 355
Ось координатная 62
— числовая 62
Отношение 5, 23, 24
— антисимметричное 25, 27
— включения 8, 25, 78
— неравенства 25, 43, 47
— порядка 25, 43, 64
----линейного 25, 43, 64
----частичного 25, 43, 78
— равенства 8, 9, 24
— равномощности 30
— рефлексивное 24
— симметричное 24
— транзитивное 24, 27
— транспонированное 27
— функциональное 25, 26
— эквивалентности 24, 27, 30
Отображение. См. также Функция
13, 14, 484
— биективное 19, 28
— взаимно однозначное 19
— инъективное 18, 28
— касательное 504, 582, 605
— линейное 208, 216, 499, 500, 502,
513, 522, 579
— непрерывное 175, 176, 178,
491-493, 495
— обратное 19, 22, 233, 520, 577, 579
----левое (правое) 28
— ограниченное 130, 485, 495
— постоянное 130
— равномерно непрерывное 189, 494,
495
— сюръективное 18, 28
— тождественное 21
-— финально ограниченное 131, 485
Падение тел 343
Пара неупорядоченная 11, 33
— упорядоченная 11, 33
Параметр разбиения 385
Параметризация кривой 443, 451
----натуральная 451
Первообразная 357, 358, 361, 363, 418,
420
— обобщенная 420, 421
— рациональной функции 368, 370
650
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Переменные канонические 575
Пересечение множеств 10, 12
Перестановка членов ряда ИЗ, 315
Период колебаний маятника 452, 455,
467, 468, 475
— обращения 355
— полураспада 340, 353
— функции 223, 320, 429
Плоскость касательная 547, 548, 550,
557, 566, 604
---к поверхности 550, 566, 604,
605, 607
— комплексная 309
Площадь криволинейной трапеции
446, 447
— эллипса 447
Поверхность 546, 547, 565, 597, 599,
604, 610
— минимальная 574
Поглощение излучения 354
Погрешность абсолютная 68 - 70, 92,
231
— относительная 68-70, 231, 524
Подмножество 8, 33
— пустое 9, 32
— собственное 9
Подпоследовательность 105
Подстановка Эйлера 374, 378
Поле алгебраическое 42
— архимедово 79
— векторное 523
— потенциальное 523, 628
— упорядоченное 79
Полуинтервал 64
Порядок касания 214
— числа 72, 80
Последователь 33
Последовательность 66, 81, 92
— вложенных компактов 484
---множеств 81, 84
---отрезков 81, 84, 99
— возрастающая 101
— Коши 99, 312, 486
— монотонная 101
— невозрастающая 101
— неубывающая 101
Последовательность ограниченная 94
---сверху (снизу) 101
— постоянная 94
— расходящаяся 93
— сходящаяся 93
— убывающая 101
— финально постоянная 94
— фундаментальная 99, 312, 486
— числовая 66
— элементов множества 81
Постоянная времени 353
— гравитационная 68
— Планка 68
— Эйлера 172
Потенциал векторного поля 520, 523,
628
— Ньютона 454, 523
— силы 449, 451, 454, 455, 523
Почти всюду 400, 403, 404, 417
Правило Лопиталя 291, 292
Предел интегрирования верхний
(нижний) 387, 408, 418
— композиции функций 155, 487
— отображения 485
— по базе 148, 150, 152
— последовательности 92 - 94, 99, 129
---верхний (нижний) 106 -109
---частичный 109
---частичный 108
— функции 124 - 126, 129, 130, 134,
135, 150, 152, 153
Преобразование 14
— Абеля 412
— Галилея 15, 29, 239, 241, 243
— за время 29
— инволютивное 305, 573
— Лежандра 305, 573 - 575
— линейное 499, 500
— Лоренца 16, 29, 242
Признак Абеля - Дирихле сходимости
интеграла 469
— Вейерштрасса сходимости ряда
115, 116
— Гаусса сходимости ряда 174
— Даламбера сходимости ряда 117,
261
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
651
Признак достаточный условного экс-
тремума 617, 618
----экстремума 276 - 278, 539
— интегральный сходимости ряда
463
— Коши сходимости ряда 116, 118
— монотонности функции 253, 274,
275
— необходимый (достаточный) 2
----сходимости ряда 112
----условного экстремума 611, 614,
615, 629
----экстремума 249, 250, 276, 538
— постоянства функции 253, 274, 275
Принцип Архимеда 60, 61, 79, 85
— Больцано - Вейерштрасса 83, 85
— Бореля-Лебега 82, 85
— верхней грани 51, 78
— Коши-Кантора 81, 85
— математической индукции 52, 53
— Ферма 279, 628
Приращение аргумента 208, 209, 504
— функции 208-210, 504
Прогрессия геометрическая 112
Продолжение разбиения 389
— функции 14
Проектирование 16
Проекция 12, 493
— стереографическая 625
Произведение бесконечное 173
— множеств декартово 11, 33, 37
----прямое 11, 33, 37
— рядов 316
— скалярное 502, 503
Производная 208, 210, 211, 323, 504
— высшего порядка 243
— логарифмическая 231
— односторонняя 305
— по вектору 517
----направлению 519
— функции комплексного переменно-
го 323
— частная 507
----высшего порядка 532, 534
Промежуток многомерный 482
— числовой 64
Промежуток числовой неограничен-
ный 64
Прообраз 18, 20, 27
— 7i[a,b] 387, 396, 398, 404
— Rm 477, 486, 498
Пространство векторное 398, 405,
498
— евклидово 503, 504
— касательное 505, 603, 605-607, 625
— конфигурационное системы п час-
тиц 17
— метрическое 477
полное 154, 486
— фазовое системы п частиц 18
Процесс итерационный 21
Путь 438, 491, 492, 522, 548, 598, 624
— гладкий 439
— замкнутый 438
— кусочно гладкий 439
— простой 439
----замкнутый 439
Работа 448
— выхода 454
Равенство множеств 8
— функций 14
Радиус кривизны 306, 307
— критический 342
— сходимости степенного ряда 314
Разбиение промежутка 385
----с отмеченными точками 385
Разложение диффеоморфизма в ком-
позицию простейших 589
— многочлена на множители 330
----по формуле Тейлора 245, 255,
261
— рациональной дроби на сумму
простейших дробей 331,
332, 366
— функции в ряд Тейлора 258 - 261,
270, 326
----по формуле Тейлора, см.
Формула Тейлора 245
Размерность поверхности 598-600
— физической величины 525 - 527
Разность конечная 273
— множеств 10
652
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Ранг отображения 582, 583, 597
— системы функций 597
Распад радиоактивный 340, 353
Распространение функции, см. Про-
должение функции 14
Расстояние (метрика) 477
- в Г 478
— между множествами 484
----точками числовой оси 65
Росток функции 200
Ряд 111
— гармонический 112
— расходящийся 111
— степенной 261, 313-315, 324, 326
— сходящийся 111, 312
----абсолютно ИЗ, 313, 315, 316
— Тейлора 261, 326
— числовой 111
Свойства непрерывных функций гло-
бальные 186, 495
-------локальные 184, 200, 492
Свойство, выполненное финально
(при данной базе) 152, 161,
164, 165
— параболического зеркала 219, 220
Секущая 213, 215
Символ логический 1, 5, 8
— О большое 164, 168
— о малое 161, 162, 168
Синус гиперболический 235, 318
— интегральный 365
— круговой 136, 318
Система счисления 71, 75, 81
----позиционная 71, 75
— уравнений Гамильтона 575
----Коши-Римана 596
----Эйлера-Лагранжа 574, 575
— функций зависимая 588, 596
----независимая 587, 596
Скорость вторая космическая 455
— мгновенная 203, 204, 206, 216, 217,
227
— света 15, 16, 68, 241, 279
Слой 27
Среднее арифметическое 124, 290,
303
Среднее гармоническое 112, 124, 303
— геометрическое 290, 303
— интегральное 430
— квадратическое 124, 303
— порядка р 123, 124, 303
Структура евклидова 502
— логическая математических
высказываний 34
Сужение функции 14
Сумма Дарбу верхняя (нижняя) 394,
402
— интегральная 384, 386
----верхняя (нижняя) 394
— ряда 111
----частичная 111
Сфера 480, 481, 496, 497, 625
Сходимость несобственного
интеграла 457
----абсолютная 463
----условная 468
— последовательности 93
— ряда 111
----абсолютная 113, 115, 313
Сюръекция 18
Таблица истинности 5
— первообразных (неопределенных
интегралов) 360
— производных 238
Тангенс гиперболический 237
Теорема Абеля 315
— алгебры основная 328, 329
— арифметики основная 57
— Больцано - Коши о промежуточ-
ном значении 186
— Валле Пуссена 199
— Вейерштрасса 101
----о максимальном значении 188
— Дарбу 271, 402
— Дедекинда 76, 78
— Кантора 31, 87
----о равномерной непрерывности
191
— Кантора-Гейне 191
— Коши 254
— Лагранжа 251, 253, 265
— Лиувилля 78
предметный указатель
653
Теорема о конечном приращении 251,
253, 529
----неявной функции 557, 560, 568,
576, 577
----ранге 582, 583
----среднем 253, 528, 529
-------для интеграла вторая 412,
416, 432, 469
------------первая 410, 432
— Ролля 251, 553
— сравнения (для несобственных
интегралов) 464
----(для рядов) 114, 115
— теории размерности (П-теорема)
527, 528
— Чебышева 200
— Шрёдера - Бернштейна 31, 37
Тождество Эйлера для однородных
функций 525
Топология 126
Точка в 477
— внешняя 480
— внутренняя 480
— граничная 480
— критическая 539, 628
----вырожденная 627
----невырожденная 592, 597
— критическая седловая 548
— локального максимума 248, 249,
276-278, 537, 538, 541
----минимума 248, 249, 276 - 278,
537, 538, 541
— неподвижная 29, 197, 198
— перегиба 287, 288, 573
— предельная 83, 481
— разрыва 181
----второго рода 183
----монотонной функции 193, 194
----первого рода 182
----устранимого 182
— стационарная 539, 628
— чебышевского альтернанса 200
Трапеция криволинейная 446, 447
Угол между векторами 503
----кривыми 625
Узел интерполяции 273, 433
Упорядоченность линейная 43, 64
— частичная 43, 78
Уравнение дифференциальное 207,
336, 339, 340, 342-345, 348,
350, 381
----гармонических колебаний 348,
350, 355
----с разделяющимися переменны-
ми 381
— Лапласа 551
— теплопроводности 552
— Эйлера (гидродинамическое) 520,
523
Уровень функции 522, 566, 611, 616
Ускорение мгновенное 203, 204, 217,
223, 246, 306
Условие необходимое (достаточное) 2
Условия выпуклости функции
282-286
— дифференцируемости функции
многих переменных 506,
507, 530
— интегрируемости достаточные
390, 391, 393
----необходимые 388
-------и достаточные 395, 400, 403
— монотонности функции 253, 274,
275
— экстремума функции 276 - 278
-------многих переменных 538, 539
Усреднение функции 431, 432
Форма записи комплексного числа
алгебраическая 309
---------тригонометрическая 309,
310
Формула барометрическая 338, 340,
353
— Бонне 416
— Виета 173
— замены переменной в интеграле
неопределенном 363
------------определенном 425, 426
— интегрирования по частям в инте-
грале неопределенном 362
-------------- несобственном 461
654
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Формула интегрирования по частям
в интеграле определенном
422, 423
— интерполяционная Лагранжа 272,
273
----Эрмита 273
— квадратурная 434, 435
----парабол 434, 435
----прямоугольников 434
----Симпсона 434, 435
----трапеций 434, 435
— Копт-Адамара 314
— Лейбница 244
— Маклорена 257
— Мещерского 337
— Муавра 311, 321
— Ньютона-Лейбница 384, 421, 422
— Остроградского 377
— Тейлора 256, 265, 535, 536, 539, 552
----для функции многих перемен-
ных 535, 536, 539, 593
--------------в мультииндексных
обозначениях 552, 553
----локальная 263, 264, 537
----с остаточным членом в инте-
гральной форме 423, 424,
536, 553, 593
------------в форме Коши 257, 424
-----------------Лагранжа 257,
265, 273, 424, 537, 553
-----------------Пеано 264, 265,
537
— Циолковского 337
— Эйлера 318
Функционал 14, 16, 405
Функция 13, 14, 22, 25
— аддитивная ориентированного
промежутка 408, 436, 437
— аналитическая в точке 262, 326
— асимптотически одного порядка с
другой функцией 164
----эквивалентная другой функции
165
— бесконечно большая 162
-------более высокого порядка 162
Функция бесконечно малая 132, 134,
152, 162
-------более высокого порядка 162
-------по сравнению с другой
функцией 161
— вогнутая 283
— возрастающая 159
— выпуклая 282, 283
— выпуклая вверх (вниз) 283
— гармоническая 551
— гиперболическая 235, 237
— Дирихле 183, 401, 402
— дифференцируемая в точке 208,
209
— интегрируемая 387
— комплексного переменного 321
-------дифференцируемая 324
-------непрерывная 323
— Лагранжа 613, 617, 622
— логарифмическая 138, 144, 145,
148
— локально однородная 525
— многих переменных 476
-------дифференцируемая 504
-------непрерывная 491
— монотонная 159
— невозрастающая 159
— непрерывная в точке 175-177, 491
----на множестве 179, 493
— неубывающая 159
— неявная 239, 246, 558, 560, 567,
568, 576
— обратная 19, 22, 192, 195, 197, 232,
520, 577
— ограниченная 130, 485
----сверху (снизу) 130
— однородная 525
— периодическая 223, 320, 429, 433
— показательная 138, 143, 148
— постоянная 130
— равномерно непрерывная 189, 191,
494, 495
— Римана 184, 197, 401, 402
— силовая 523
— степенная 138, 147
— строго выпуклая 283
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
655
Функция тригонометрическая 440,
441, 443
— убывающая 159
— финально ограниченная 131, 152,
164, 485
— финально постоянная 130, 152
— характеристическая множества 16
— экспоненциальная 143, 221, 317,
344, 345, 347
— sgn (знак) 127
Центр кривизны 307, 627
Циклоида 455, 475
Часть действительная комплексного
числа 309
— дробная числа 62
— мнимая комплексного числа 309
— рациональная интеграла 377
— целая числа 62
Числа Фибоначчи 123
— тг 60, 173, 320, 435, 440, 443
— е 103, 104, 119-121, 156-158, 320,
345, 346
Число алгебраическое 59, 78, 87, 88
— вещественное 41
— действительное 41
— иррациональное 58, 77, 88, 89
— кардинальное 30, 31
— комплексное 308
— натуральное 33, 52, 53
---по фон Нейману 33, 38
— отрицательное 49
— положительное 49
— простое 57
— рациональное 57, 77, 86
Число сопряженное 308
— трансцендентное 59, 78, 88
— целое 56
Числовая прямая 62
Шар 478
— замкнутый 479
— открытый 478, 479
Эквивалентность асимптотическая
функций 165
Экспонента 143, 221, 344-347
Экспонента интегральная 380, 474
— комплексная 317, 318, 320, 348, 349
Экстремум внутренний 249, 276, 278
— условный 597, 609-611, 617, 618
— функции многих переменных
537-539, 541
Элемент единичный 42, 46
— максимальный (минимальный) 50
— множества 6, 8
— наибольший (наименьший) 50
— нейтральный 41, 42
— нулевой 41, 45
— обратный 42, 46
— противоположный 41, 45
Энергия кинетическая 18, 355, 450,
451
— полная 18, 355, 450
— потенциальная 17, 18, 355,
449-451
Якобиан 509
— перехода к полярным координа-
там в Rm 580, 581
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
Абель (Abel N. Н.) 41, 315, 376, 377,
412, 469
Адамар (Hadamard J.) 314, 553, 593,
628
Архимед (’Apxip^8r)<;) 60, 61, 384, 385
Бернулли Д. (Bernoulli D.) 524
Бернулли И. (Bernoulli J.) 22, 291
Бернулли Я. (Bernoulli J.) 77, 104
Бернштейн (Bernstein F.) 31, 37
Бойяи (Bolyai J.) 23
Больцано (Bolzano В.) 83, 99, 105,
186, 224
Бонне (Bonnet О.) 416
Борель (Borel Е.) 82
Буняковский В. Я. 418
Бурбаки (Bourbaki N.) 5, 150
Бюффон (Buffon G. L. L.) 456
Валле Пуссен (de la Vallee Poussin
Ch. J.) 199
Вал дер Варден (van der Waerden
B. L.) 224
Вейерштрасс (Weierstrass K.) 83, 101,
105, 115, 188, 224
Виет (Viete F.) 173
Галилей (Galilei G.) 2, 15
Гамильтон (Hamilton W. R.) 574, 575
Гаусс (Gauss C.F.) 23, 174, 183, 308,
329, 470, 554
Гейне (Heine E.) 129, 191
Гёльдер (Holder O.) 280, 418
Гельфонд A. O. 60
Гильберт (Hilbert D.) 60, 76
Гук (Hooke R.) 355
Гюйгенс (Huygens C.) 455, 544, 545
Даламбер (D’Alembert J.) 117
Дарбу (Darboux G.) 271, 394, 402
Дедекинд (Dedekind R.) 30, 31, 76, 78
Декарт (Descartes R.) 11
Дирихле (Dirichlet P. G.) 183, 469
Дюбуа-Реймон (Du Bois Reymond P.)
403
Евклид (Euxkei8r]<;) 77, 88, 160
Йенсен (Jensen J. L.) 289, 418
Кантор (Cantor G.) 6, 31, 87, 99, 191
Карно Л. (Carnot L. N.) 134
Карно C. (Carnot N. L. S) 134
Картан (Cartan H.) 150
Кельвин, лорд (Kelvin), см. Том-
сон У. 339
Кеплер (Kepler J.) 202, 528
Клапейрон (Clapeyron В. Р. Е.) 339
Коши (Cauchy A. L.) 67, 81, 99, 111,
116, 118, 124, 126, 153, 186,
254, 257, 262, 314, 335, 418,
472, 596
Коэн (Cohen Р.) 88
УКАЗАТЕЛЬ ИМЕН
657
Лагранж (Lagrange J. L.) 210, 251,
257, 265, 272, 273, 574, 613,
628
Лакруа (Lacroix S. F.) 23
Лаплас (Laplace Р. S.) 317, 551
Лебег (Lebesgue Н.) 82, 398, 400
Лежандр (Legendre А. М.) 305, 376,
433, 446, 452, 573
Лейбниц (Leibniz G. М.) 1, 22, 60, 202,
210, 230, 244, 384, 421, 422
Линдеман (Lindemann F.) 60
Лиувилль (Liouville J.) 78, 376
Лобачевский Н. И. 23
Лопиталь (L’Hospital G. F. А) 291
Лоренц (Lorentz Н. А.) 16, 242
Маклорен (Maclaurin С.) 257
Максвелл Maxwell J. С.) 526
Мещерский И. В. 337
Минковский (Minkowski Н.) 281, 418
Морган (de Morgan А.) 10
Морс (Morse М.) 592, 593
Муавр (de Moivre А.) 311
Нейман, фон (von Neumann J.) 33, 38
Ньютон (Newton I.) 1, 77, 202, 203,
261, 384, 421, 422, 454, 528
Окунь Л. Б. 633
Ом (Ohm G. S.) 29
Остроградский М. В. 377
Пеано (Peano G.) 30, 264, 265, 439
Пуанкаре (Poincare Н.) 1
Пуассон (Poisson S. D.) 381, 470
Рассел (Russel В.) 7, 33
Риман (Riemann В.) 184, 385, 386, 596
Ролль (Rolle М.) 251, 553
Сахаров А. Д. 633
Сильвестр (Sylvester J. J.) 542
Симпсон (Simpson Т.) 434, 435
Снеллиус (латиниэир. Snellius, Snell
van Royen W.) 279
Стокс (Stokes G. G.) 422
Тейлор (Taylor B.) 255, 256, 261, 263,
264, 423, 424, 536, 552
Томсон У. (Thomson W.), лорд Кель-
вин (Kelvin) 339
Ферма (Fermat P.) 11, 249, 279
Фибоначчи (Леонардо Пизанский)
(Fibonacci L.) 123
Френель (Fresnel A. J.) 380, 473
Френкель (Fraenkel A.) 34
Цермело (Zermelo E.) 34
Циолковский К. Э. 337
Чебышёв П. Л. 160, 200, 379
Шварц (Schwarz Н. А.) 418
Шнайдер (Schneider Th.) 60
Шрёдер (Schroder Е.) 31, 37
Эйлер (Euler L.) 103, 172, 307, 317,
318, 346, 374, 378, 381, 466,
470, 523, 525, 574
Эйнштейн (Einstein А.) 16, 499
Эрмит (Hermite Ch.) 272, 273
Юнг (Young W.) 280
Якоби (Jacobi С. G. J.) 509
Владимир Антонович Зорич
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
Часть I
Директор издательского проекта И. Ященко
Технический редактор В. Кондратьев
Верстка А. Зарубина
Рисунки (с использованием системы MetaPost) Е. Бунина, А. Зарубина
Издательство Московского Центра
непрерывного математического образования
Лицензия ИД № 01335 от 24.03.2000
Подписано в печать 30.09.2002. Формат 70 х 100/16
Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Печ. л. 42,5
Тираж 3000. Заказ № 4573
МЦНМО
119002, Москва, Б. Власьевский пер., 11
Отпечатано с готовых диапозитивов в ОАО «Типография „Новости"»
107005, Москва, ул. Фридриха Энгельса, 46