Качественная теория динамических систем второго порядка - Леонтович Е.А., Андронов А.А., Гордон И.И., Майер А.Г.

Автор: Леонтович Е.А. Андронов А.А. Гордон И.И. Майер А.Г.

Теги: математика математический анализ математическая физика дифференциальные уравнения динамические системы

Похожие

Теория бифуркаций динамических систем на плоскости

Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости

Качественная теория дифференциальных уравнений

Качественная теория импульсных систем

Текст

А. А. АНДРОНОВ, Е. А. ЛЕОНТОВИЧ
И. И. ГОРДОН, А. Г. МАЙЕР
КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ВТОРОГО ПОРЯДКА
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1966

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 9
Введение 11
Глава I. Динамические системы в плоской области и на сфере ... 19
§ 1. Динамические системы в плоской области Ш
1. Введение A9). 2. Геометрическая интерпретация динамической системы
(I) в пространстве Л3 B0). 3. Простейшие свойства решений системы (I)
B1). 4. Геометрическая интерпретация динамической системы на фазовой
плоскости (ж, у) B4). 5. Разбиение области G фазовой плоскости на траек-
траектории. Некоторые элементарные сведения о траекториях B0). 6. Сопостав-
Сопоставление геометрической интерпретации в пространстве В3 и геометрической
интерпретации на фазовой плоскости C0). 7. Направление на траектории.
Изменение параметризации C1). 8. Терминология и обозначения C4).
9. Теорема о непрерывной зависимости от начальных значений (ЗС). 10. За-
Замена переменных C7). li. Дифференциалыгое уравнение, соответствующее
динамической системе C8). 12. Изоклины D1). 13. Понятия «интеграл»,
«интегральная кривая», «общий интеграл», использующиеся в классической
литературе при рассмотрении аналитических систем D1). 14. Примеры
D3). 15. Замечания по поводу примеров E6).
§ 2. Динамические системы на сфере 58
I. Введение E8). 2. Определение динамической системы па сфере E8).
3. Динамическая система на сфере как векторное попе на сфере F1). 4. Ре-
Решения и траектории динамической системы на сфере F1). 5. Примеры
динамических систем на сфере F6).
Глава II. Предельные точки множества. Основные свойства траектории 69
Введение 69
§ 3. Вспомогательные предложения о характере пересечения траекто-
траекторий с циклами и дугами без контакта 71
i. Дуга без контакта G1). 2. Обобщенная дуга без контакта G3). 3. Пере-
Пересечение траектории с дугой без контакта G3). 4. Расположение траекто-
траекторий в окрестности дуги беа контакта G4). 5. Некоторые свойства функций
Ф(«, s), Ч7(<, б) G7). 6. Траектории, пересекающие две дуги без контакта.
Функция соответствия (81). 7. Случай, когда траектория имеет с дугой
без контакта более одной общей точки (86). 8. Функция последования
(90). 9. Замкнутые кривые, составленные из дуги траектории и дуги без кон-
контакта, и ограниченные ими области (92). 10. Цикл без кочтакта @5).
II. Семейство циклов без контакта. Траектории, входящие в область, за-
заполненную циклами без контакта (96). 12. Цикл однократного пересече-
пересечения (97). i3. Дифференцирование функции в силу системы (I) (98).
14. Цикл без контакта между двумя последовательными витками траектории,
пересекающей дугу без контакта (99).
§ 4. Предельные точки и множества. Осиовиые свойства траекторий . . . 102
1. Предельные точки полутраектории и траектории A02). 2. Примеры пре-
предельных точек A04). 3. Основные свойства множества предельных точек
A04). 4. Свойства траекторий, характерные для динамических систем на пло-
плоскости или на сфере A06). 5. Некоторые свойства предельных траекторий
A09). 6. Предельные траектории динамических систем, имеющих конечное
число состояний равновесия. Возможные типы траекторий A12). 7. Теорема
о наличии состояния равновесия внутри замкнутой траектории (i 14). 8. Осно-
Основная теорема о состоянии равновесия A18). 9. Изолированная замкнутая
траектория — предельный цикл. Возможное расположение траекторий в
окрестности предельного цикла A19).
Г л~а в а III. Основные понятия качественной теории динамических систем J22
§ 5. Количественное и качественное исследование динамических систем J22
1. Введение A22). 2. Топологическая структура динамической системы
A24). 3. Локальная топологическая структура (lol). 4. Свойства разбиения
на траектории в целом и эффективные методы качественного исследования
A33).

4 ОГЛАВЛЕНИЕ
Т л а в а IV. Простое .состояние равновесия 135
Введение 135
§ 6. Приведение динамической системы в окрестности простого состоя-
состояния равновесия к каноническому виду 137
1. Аналитические условия, характеризующие простое состояние равновесия
A37). 2. Приведение динамической системы в окрестности простого состоя-
состояния равновесия к каноническому виду A39). 3. Инвариантность характери-
характеристического уравнения при регулярном преобразовании A44). 4. Некоторые
предварительные замечания относительно возможной топологической струк-
структуры простых состояний равновесия A45).
§ 7. Расположение траекторий в окрестности простых состояний равно-
равновесия с характеристическими корнями, имеющими не рапные нулю
действительные части .... 146
1. Случай 1): характеристические корни %t и %г действительны и одинаковых
знаков (состояние равновесия типа узел) A46). 2. Случай 2): характеристи-
характеристические корни — комплексные сопряженные: %t = а + гР, Кг = с — ip,
р ф 0, а ф 0 (состояние равновесия типа фокус) A51). 3. Случай 3): харак-
характеристические корни Хх и К2 действительны и различных знаков, т. е. Я.Д2 < О
(состояние равновесия типа седло) A53). 4. Устойчивые и неустойчивые со-
состояния равновесия A60). 5. Замечания по поводу других методов иссле-
исследования характера состояний равновесия с не равными нулю действитель-
действительными частями характеристических корней A61). 6. Примеры A62). 7. Про-
Простейшие примеры сложных состояний равновесия A64).
| 8. Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими
корнями 166
i. Вводные замечания A66). 2. Переход к полярной системе координат
A66). 3. Сопоставление траекторий Системы (I) и интегральных кривых
уравнения G) A70). :4. Построение функции последования на полупрямой
6=const A72). 5. Возможный характер отдельной траектории, проходящей
через точку достаточно малой окрестности состояния равновесия A74).
6. Возможный характер разбиения на траектории достаточно малой окрест-
окрестности состояния равновесия О A76). 7. Примеры A79).
§ 9. Направления, в которых траектории стремятся к простым состоя-
пиям равновесия 1°*
1. Основное определение A82). 2. Угловой коэффициент направления,
в котором траектория может стремиться к простому состоянию равновесия
A85). 3. Узел с различными характеристическими корнями A87). 4. Дикри-
тический узел A91). 5. Вырожденный узел A95). 6. Седло и фокус A99).
7. Сводка сведений о простых состояниях равновесия с не равными нулю
действительными частями характеристических корней B00). 8. Примеры
Глава V. Теория индекса и ее приложения к динамическим системам .... 205
Введение 205
§ 10- Индекс Пуанкаре 205
1. Вращение векторного поля B05). 2. Индекс простой замкнутой кривой
по отношению к заданному на ней векторному полю B08). 3. Поле каса-
касательных к замкнутой кривой B12). 4. Определение индекса, данное Пуан-
Пуанкаре B13).
§ 11. Приложение теории индекса к динамическим системам 214
i. Две основные теоремы B14). 2. Ивдекс изолированной особой точки
B14). 3. Индекс как криволинейный интеграл B16). 4. Вычисление индек-
индексов простых состояний равновесия динамической системы B17).
Глава VI. Некоторые приемы качественного исследования конкретных дина-
динамических систем 220
Введение 220
S 12. Признаки отсутствия и существования замкнутых траекторий 223
1. Некоторые общие замечания о кольцеобразных областях, заполненных
замкнутыми траекториями B23). 2. Случай, когда об отсутствии предельных
циклов можно заключить непосредственно на основании расположения изо-
изоклин горизонтальных и вертикальных наклонов и характера поля между
ними B24). 3. Критерий Дюлака и Бендиксона B26). 4. Применение индек-
индексов Пуанкаре',и циклов однократного пересечения к решению вопросов суще-
существования предельных циклов B29). 5. Топографическая система кривых
и контактная кривая B31). 6. Примеры B32).
§ 13. Поведение траекторий на бесконечности 237
1. Общие замечания. Преобразование Бендиксона B37). 2. Рассмотрение
динамической системы, правые части которой многочлены на «сфере Пуан-
Пуанкаре» B41). 3. Пример исследования экватора B49).

ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 14. Использование методов приближенного вычисления для опреде-
определения качественной структуры разбиения на траектории .... 249
i. Общие замечания B49). 2. Метод изоклин B50). 3. Специфика исполь-
использования численных методов при определении качественной структуры раз-
разбиения на траектории B52). 4. Случай, когда доказательство существования
предельного цикла возможно при помощи приближенного построения дуг
траектории B53). 5. Случай, когда топологическая структура разбиения
на траектории принципиально не может быть установлена путем приближен-
приближенного вычисления (построения) траекторий B54).
Глава VII. «Особые» траектории и ячейки динамической системы . . . 256
Введение 256
§ 15. Орбитно-устойчивые и орбитгсо-неустойчивые траектории и полу-
траектории 257
1. Основные определения B57). 2. Простейшие примеры орбитно-устойчи-
вых и орбитно-неустойчивых траекторий B60). 3. Возможные типы орбитно-
неустойчивых полутраекторий и траекторий B62). 4. Вспомогательные
леммы о поведении полутраекторий в окрестности состояния равновесия
B63). 5. Орбитно-неустойчивые траектории, стремящиеся к состоянию
равновесия B66). 6. Сепаратрисы состояния равновесия B75). 7. Некоторые
вспомогательные предложения B77). 8. Полутраекторпи, среди предельных
точек которых есть отличные от состояний равновесия BЬ0). 9. Возможные
типы особых и неособых траекторий в случае конечного числа состояний
равновесия. Случай конечного числа особых траекторий B84).
§ 16. Ячейки динамической системы в случае конечного числа особых
траекторий 285
1. Вводные замечания B85). 2. Нормальная граница ограниченной обла-
области G*, содержащейся в области определения динамической системы B86).
3. Леммы о множестве точек, принадлежащих особым элементам B87).
4. Доказательство конечности числа ячеек (в случае конечного числа особых
элементов) B88). 5. Случай динамической системы на сфере B90). 6. Пове-
Поведение траекторий, близких к орбитно-устойчивым траекториям B91).
7. Некоторые предложения о незамкнутых орСитно-устойчивых траекториях
B96). 8. Возможный характер неособых элементов внутри одной и той же
ячейки B99). 9. Ячейки, заполненные замкнутыми траекториями C00).
10. Ячейки, заполненные незамкнутыми траекториями C04). 11. Свойства
границы двусвязпой ячейки, заполненной незамкнутыми траекториями
C07). 12. Ячейки, в границу которых входят граничные дуги C13). 13. Пол-
Полное качественное исследование динамической системы. Схема динамической
системы C15).
Глава VIII. Схема состояния равновесия ... .... 316
Введение 316
§ 17. Состояние равновесия, к которому стремится хотя бы одна полу-
полутраектория 317
1. Вспомогательные предложения C17). 2. Возможный характер криволи-
криволинейного сектора. Гиперболический (седлопон), параболический и вллипти-
ческий сектор C22). 3. Леммы об эллиптических областях C28).
§ 18. «Элементарные области». Типы элементарных областей .... 330
1. Проведение дуги без контакта в параболическом секторе C30). 2. Про-
Проведение дуг без контакта в эллиптической области (ЗЗС). 3. Правильная
седловая область C37). 4. Топологическая тождественность разбиений на
траектории элементарных областей одинакового типа C30).
§ 19. Локальная и полная (глобальная) схема состояния равновесия 346
1. Циклический порядок сепаратрис и эллиптических областей состояния
равновесия, не являющегося центром C 46). 2. Капоничсскал замкнутая
кривая вокруг состояния равновесия C49). 3. Локальная схема состояния
равновесия, не являющегося центром Cft 1). '4. Полная (или глобальная)
схема состояния равновесия, не являющегося центром C56). 5. Состояние
равновесия типа центр C60).
Глава IX. Методы исследования некоторых типов сложных состояний
равновесия 362
Введение 362
§ 20. Направления, в которых траектории стремятся к сложному состоя-
состоянию равновесия 363
1. Переход к полярным координатам (ЗСЗ). 2. Общий случай C64). 3. Осо-
Особый случай C67). 4. Примеры C72).
§ 21. Топологическая структура сложного состояния равновесия в слу-
случае О=Р'Х @,0) + «?у @, 0)=^0 372
1. Вспомогательные преобразования и леммы C72). 2. Возможные тополо-
топологические структуры сложного состояния равновесия вслучаес =/- 0 C77).

6 ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 22. Топологическая структура сложного состояния равновесия в слу-
случае <т=0 385
i. Вспомогательные леммы C85). 2. Возможные топологические структуры
сложного состояния равновесия в случае о = 0 C97). 3. Упрощение иссле-
исследования. Примеры D04).
Глава X. Схема предельного континуума и границы области G* 411
Введение . : . 411
§ 23. Свойства предельных континуумов и континуумов, входящих
в границы ячеек, заполненных замкнутыми траекториями .... 412
i. Свойства со- и а-предельных континуумов, не являющихся состоянием
равновесия D12). 2. Нуль-предельные" континуумы и их свойства D17).
3. Теорема о континууме, состоящем из особых траекторий, являющихся про-
продолжением одна другой D20).
§ 24. Локальная схема предельного континуума и каноническая окрест-
окрестность 421
i. ш (а)-перечисление ш-, а- и 0-предельных континуумов D21). 2. Тож-
Тождественность перечислений двух предельных континуумов D23). 3. «Одно-
«Односторонняя» каноническая окрестность предельного континуума D24). 4. Ло-
Локальные схемы со-, а- и 0-предельных континуумов и теорема о тождест-
тождественности разбиения на траектории канонических окрестностей континуумов
с одинаковыми локальными схемами D26).
§ 25. Полная схема предельного континуума 432
i. Простые замкнутые кривые, образованные траекториями, составляющими
предельный континуум D32). 2. Односторонние и двусторонние предельные
континуумы D35). 3. Взаимное расположение континуумов и их канониче-
канонических кривых D39). 4. Свободные и несвободные континуумы D41). 5. Пол-
Полная (глобальная) схема предельного континуума D42).
§ 26. Схема границы области 447
i. Угловые точки граничных кривых D47). 2. Схема граничной кривой,
схема границы и тождественность двух схем границы D49).
Глава XI. Схема динамической системы и основная теорема 453
Введение 453
§ 27. Правильная система канонических окрестностей. со(а)-дуги
и со(а)-циклы 454
1. Обозначения для особых элементов динамической системы D54). 2. Пра-
Правильные системы канонических окрестностей D54). 3. Элементарные дуги
и свободные циклы без контакта D58). 4. Сопряженные элементарные со-
и а-дуги и сопряженные свободные со- иа-циклы D61).
§ 28. Сопряженные свободные ю(а)-предельные и нуль-предельные кон-
континуумы и области между их каноническими окрестностями . . . 463
1. Взаимное расположение двух свободных сопряженных ч>- и а-циклов
D63). 2. Сопряженные W- и а-предельные континуумы D65). 3. Сопряженные
нуль-предельные континуумы D66). 4. Траектории, проходящие через
концы сопряженных ю- и а-дуг D67). 5. Леммы о граничных особых эле-
элементах и и- и а-дугах, являющихся частями граничных дуг без контакта
D69). 6. Цепочки из особых элементов, траекторий и граничных дуг, соеди-
соединяющих концы сопряженных (о- и а-дуг D72). 7. Области между сопряжен-
сопряженными каноническими кривыми и между сопряженными елементарными
дугами D78).
§ 29. Схема динамической системы и теорема о тождественности топо-
топологических разбиений на траектории 481
1. Схема динамической системы D81). 2. Соответствие по схеме между кано-
каноническими кривыми и дугами канонических кривых D 86). 3. Сопряженные
со- и а-дуги двух систем Ь и D' с тождественными схемами D88). 4. Основная
теорема D90). 5. Схема динамической системы на сфере. Схема динамиче-
динамической системы, определенной на плоскости и отображенной на сферу Пуан-
Пуанкаре D97).
Глава XII. Качественное исследование «в целом» конкретных динамических
систем 499
§ 30. Примеры 499
Дополнение 519
§ 1. Элементарные сведения о множествах в евклидовом пространстве 519
1. Некоторые обозначения E19). 2. Сегмент и интервал E19). 3. Точка
сгущения, граничная и внутренняя точка множества E19). 4. Множества
открытые и замкнутые. Граница E20). 5. Расстояние между множествами.
Компактные множества E20). 6. Связные множества. Континуум и область
E20). 7. Области с общей границей E20). 8. Множества всюду плотЕнле и ни-
нигде не плотные E21). 9. Окрестности, покрытия E21). it). Топологиче-
Топологический предел E21). 11. Отображение множеств друг на друга E21). 12. То-

ОГЛАВЛЕНИЕ /
иологическое отображение E22). 13. Теорема Брауэра об инварпаитиости
области E22). 14. Системы функций, описывающие отображение множеств
E22). 15. Простая дуга E22). 16. Простая замкнутая кривая E23).
§ 2. Простые замкнутые кривые и простые дуги на плоскости. Ориен-
Ориентация плоскости (направление обхода простых замкнутых кривых).
Тины топологических отображений 523
1. Две основные теоремы E23). 2. Леммы о простой замкнутой кривой E23)-
3. Направление обхода простых замкнутых кривых. Циклический порядок
точек на простой замкнутой кривой E25). 4. Индуцированное направление
на простои дуге, являющейся частью простой замкнутой кривой F25).
5. Ориентация плоскости E25). 6. Некоторые предложения о направлениях
обхода простых замкнутых кривых, имеющих общую дугу или общую точку
E27). 7. Два предложения о связи между порядком точек на непересекаю-
непересекающихся простых замкнутых кривых E28). 8. Два типа топологических ото-
отображений плоскости в себя (сохраняющие ориентацию и изменяющие
ориентацию) E28).
§ 3. Положительная и отрицательная «сторона» простой дуги .... 529
1. Области, характеризующие различные «стороны» простой дуги E29).
2. Определение областей, характеризующих различные стороны простой дуги,
с помощью введения криволинейной системы координат E31). 3. Некоторые
предложения о взаимном расположении дуг и простых замкнутых кривых
E32). 4. Ограниченные области на плоскости E32).
§ 4. Лемма Адамара и теорема о неявных функциях 533
1. Классы функций E33). 2. Лемма Адамара E33). 3. Теорема о неявных
функциях E34).
§ 5. Угол между векторами. Гладкая простая дуга и гладкая простая
замкнутая кривая. Угол между двумя гладкими дугами 536
1. Угол между векторами E36). 2. Гладкая простая дуга E36). 3. Гладкан
простая замкнутая кривая и кусочно-гладкая простая замкнутая кривая
E36). 4. Гладкая линия E37). 5. Гладкие простые дуги, имеющие общую
точку E37).
§ 6. Регулярное отображение. Криволинейные координаты. Некоторые
предложения о гладких дугах и гладких замкнутых кривых . . . 538
1. Регулярное отображение E38). 2. Криволинейные координаты E39).
3. Преобразование компонент вектора при регулярном отображении. Контра-
вариантный вектор. Преобразование касательного вектора E40). 4. Изме-
Изменение угла между векторами при регулярном отображении. Роль якобиана
преобразования E41). 5. Использование регулярного отображения при
рассмотрении областей, характеризующих различные стороны простой
гладкой дуги E41). 6. Один способ введения функций х = <р (я, <), у =
= if (s, () (о42). 7. Пересечение двух гладких дуг и пересечения гладкой дуги
с гладкой и кусочно-гладкой простой замкнутой кривой E44). 8. Два пред-
предложения о построении функций по заданным условиям E45).
§ 7. Сфера в евклидовом пространств 547
1. Окрестность точки сферы E47). 2. Простая дуга и простая замкнутая кри-
кривая на сфере E48). 3. Покрытие сферы и координаты на сфере E48). 4. Одно
частное' простейшее координатное покрытие сферы E50). 5. Ориентация
сферы и типы топологических отображений сферы в себя E51). 6.Функции,
заданные на сфере E51).
§ 8. Основные теоремы теории дифференциальных уравнений .... 552
1. Теорема о существовании и единственности решения E52). 2. Теорема
о непрерывной зависимости От начальных значений E53). 3. Производные
по независимому переменному и по начальным значениям E53). t
§ 9. К вопросу о понятии «качественной структуры» разбиения па траек-
траектории и о понятии особых и неособых траекторий 554
1. Сопоставление инвариантов топологических и регулярных отображений
E54). 2. Различные подходы к выделению областей, заполненных траекто-
траекториями «одинакового поведения» E55). 3. Случай бесконечного числа орбит-
но-неустойчивых траекторий E57). 4. Геометрический пример А. Г. Майера
всюду плотного множества орбитно-неустойчивых траекторий — сепаратрис
состояния равновесия E57).
j 10. Теорема Бендиксона об индексе сложного состояния равновесия 559
Литература 563
Алфавитный указатель 566

ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга была начата в 1949 году Л. А. Андроновым совме-
совместно с Е. А. Леонтович и А. Г. Манером и после смерти А. А. Андронова
(в 1952 г.) и А. Г. Майера (в 1951 г.) дописана Е. А. Леонтович и И. И. Гор-
Гордоном. Окончательный вариант принадлежит Е. А. Леонтовнч.
Книга содержит, во-первых, классические результаты по каче-
качественной теории дифференциальных уравнений на плоскости, в основном
принадлежащие Пуанкаре и Бендиксону, и, во-вторых, некоторые новые
результаты, непосредственно по своему содержанию примыкающие к этим
классическим результатам (см. гл. VII — XI).
Книга является, с одной стороны, законченным целым, а с другой,
может рассматриваться как реализация первого тома задуманной
А. А. Андроновым монографии по динамическим системам второго поряд-
порядка и их приложениям. В эту монографию кроме материала, содержащегося
в настоящей книге, должны были войти: теория грубых динамических
систем, работы А. А. Андронова по теории бифуркаций динамических
систем и приложения методов теории бифуркаций к различным задачам
теории колебаний.
Кроме авторов книги в ее написании участвовали: Н. А. Губарс»,
которой принадлежит глава IX, и Р. М. Минц, которая собрала и рас-
рассмотрела примеры, приведенные в главах IV (§§ 7 и 9), VI и XII. Редакти-
Редактирование книги было проведено Ю. М. Романовским.
Главы в книге частично независимы друг от друга. Материал, изло-
изложенный в главах I — VI, IX и XII, может служить для первоначального
ознакомления с качественной теорией дифференциальных уравнений.
При этом в главе II можно опустить доказательства целого ряда предло-
предложений (леммы I — XIII), фхшеируя внимание лишь на их геометрическом
значении. Этот материал можно рассматривать как содержание вводного
курса качественной теории дифференциальных уравнений для студентов
III — V курсов физико-математических и механико-математических
факультетов университетов.
Главами IV, V, VI и IX можно пользоваться для справок.
Главы VII, VIII, IX, X и XI содержат полное изложение оригиналь-
оригинальных работ.
Результаты, изложенные в главах VII, VIII, X и XI, принадлежат
Е. А. Леонтович и А. Г. Майеру. Исследование сложных состояний рав-

iO ПРЕДИСЛОВИЕ
новесия при помощи метода Бендиксона, излагаемое в главе IX, выпол-
выполнено Н. А. Губарь.
Для понимания глав VII, VIII, X и XI достаточно знакомства с гла-
главами I, II и III.
В дополнении приводится ряд элементарных понятий и предложений,
на которые опирается изложение в книге, а также дается некоторый допол-
дополнительный материал.
Книга снабжена большим количеством рисунков и примеров, иллю-
иллюстрирующих излагаемые методы; некоторые из примеров имеют само-
самостоятельный интерес, как возникшие из приложений. Каждой главе пред-
предшествует введение, в которой кратко излагается ее содержание.
Нумерация параграфов, теорем и рисунков проводится сквозная
по всей книге. Нумерация лемм, формул и примеров проводится по пара-
параграфам. При ссылке на лемму или формулу указывается номер параграфа,
а затем номер соответствующей леммы или формулы.
Горький, Е. Леонтович,
1965 г- И. Гордон

ВВЕДЕНИЕ
Настоящая книга является книгой математической. Однако круг
математических вопросов, которому она посвящена, непосредственно
и органически связан с задачами естествознания и техники. Нам пред-
представляется необходимым кратко остановиться на этой связи.
Точное естествознание, начало которого можно считать со времени
Ньютона, неразрывно связано с созданием адекватного математического
языка, с созданием «дифференциального и интегрального исчисления»
и аппарата дифференциальных уравнений.
Со времени Ньютона законы явлений стали записываться дифферен-
дифференциальными уравнениями. Небесная механика явилась первой областью
науки, в которой соответствующие законы (взаимодействия между телами
по закону всемирного тяготения) были записаны дифференциальными
уравнениями. Рассмотрение решений этих дифференциальных уравнений
позволило на основании сведений о расположении и скоростях тел в дан-
данный момент времени с большой точностью предсказать расположение их
во всякий другой момент времени (предсказать, например, точное время
солнечных и лунных затмений, расположение планет в то или другое
время и т. д.).
Влияние небесной механики на создание научного мировоззрения
огромно. Именно небесная механика впервые внушила твердую уверен-
уверенность в самом существовании неизменных законов природы, в возмож-
возможности на основании знания этих законов по сведениям о настоящем узнавать
прошедшее и предсказывать будущее. Небесная механика явилась проч-
прочным фундаментом детерминизма, впервые с полной отчетливостью сформу-
сформулированным в начале XIX столетия Лапласом, являющимся после Ньюто-
Ньютона одним из создателей небесной механики *).
Дифференциальные уравнения небесной механики — это обыкновен-
обыкновенные дифференциальные уравнения, удовлетворяющие теоремам суще-
существования и единственности решения. Математическим аспектом лапла-
совского детерминизма является тот факт, что решение таких дифферен-
дифференциальных уравнений однозначно определяется начальными условиями.
После Ньютона естествознание и, в частности, физика по мере своего
развития все больше и больше в разных своих областях используют
дифференциальные уравнения как средство математического описания
явлений. При этом в целом ряде областей физики, например в теории
электромагнитного поля, в теории тепла, в статистической физике и др.,
основную роль играют уже не обыкновенные дифференциальные уравне-
*) Лапласовский детерминизм представляет собой «идеальную форму причин-
причинной связи» (см. Бор [3]). Последующее развитие физпкн, н главным образом кванто-
квантовой механики, внесло некоторые изменения в «идеальный» лапласовский детерминизм,
•оставив его, однако, нетронутым в своей основе.

12 ВВЕДЕНИЕ
ния, а дифференциальные уравнения в частных производных со своей
спецификой. Однако и обыкновенные дифференциальные уравнения не
только полностью сохраняют свое значение, но завоевывают новые обла-
области естествознания.
Говоря о дифференциальных уравнениях как о средстве математиче-
математического описания законов явлений, необходимо подчеркнуть, что само напи-
написание, «составление» дифференциальных уравнений, относящихся к той
или другой области естествознания, очевидно, выходит за рамки мате-
математики и принадлежит самой изучаемой области естествознания. При этом
составление дифференциальных уравнений всегда связано с некоторой
идеализацией действительности, так что соответствующие дифференциаль-
дифференциальные уравнения всегда являются математическим описанием некоторой
упрощенной модели реальных явлений. Кроме того, даже в таких областях,
в которых общие принципы составления дифференциальных уравнений
для очень широкого класса задач известны, как, например, в механике,
где существует рецептура составления дифференциальных уравнений
движения (уравнения Лагранжа 1-го и 2-го рода), рассмотрение частных
задач, как правило, всегда требует не формальных соображений. Эти
соображения заведомо выходят за рамки математики.
Однако мы здесь ни в какой мере не собираемся касаться вопросов
идеализации при изучении действительности. Нас интересуют лишь те
математические вопросы и задачи, относящиеся к обыкновенным диффе-
дифференциальным уравнениям, которые выдвигались естествознанием.
Остановимся прежде всего па тех вопросах, которые были выдвинуты
развитием небесной механики.
Одна из классических задач небесной механики — задача о движении
п материальных точек под действием ньютоновского тяготения, так назы-
называемая «задача п-тел», записывается системой дифференциальных уравне-
уравнений вида
xi = Ф; (хи х2, ..., xN) (i=l, 2, ..., Л"), A)
где N, очевидно, зависит от числа материальных точек. Как уже был»
сказано, правые части этой системы удовлетворяют условиям, обеспечи-
обеспечивающим существование и единственность решения при заданных началь-
начальных условиях.
В системе A) независимое переменное — время — явно не входит
в правые части. Системы такого вида называются «автономными системами»
в противоположность неавтономным *) системам, в правые части которых
независимое переменное входит явно, т. е. системам, которые должны
записываться в виде
xt = Ft (xu x2, ..., xN, t). B)
*) Разделение систем на автономные и неавтономные в каком-то смысле условно.
Действительно, добавляя в системе B) еще одно зависимое переменное т такое, что
мы можем систему B) заменить эквивалентной автономной системой впда
dxi dx .
=Ft(xlt х2, .... xN, т), ~dT •
Тем не менее с некоторых точек зрения деление дифференциальных уравнений на авто-
автономные и неавтономные является весьма целесообразным.

ВВЕДЕНИЕ 13
Система вида A), а также иногда системы вида B) часто носят название
•«динамических систем», которое отражает роль этих систем в механике
и, в частности, в небесной механике.
Уравнения движения небесной механики, кроме своей автономности,
•обладают еще некоторыми специфическими свойствами. Они являются
консервативными уравнениями, обладающими «интегралом энергии»,
т. е. могут быть записаны в так называемой канонической или гамильто-
новой форме
dxi дН dyt ОН
dt dyi ' dt dxt
C)
Итак, пусть мы имеем «уравнения движения» пебесной механики. На осно-
основании теоремы о существовании и единственности решения известно,
что задание начальных значений в некоторый данный момент времени одно-
однозначно определяет решение.
Это означает, что «знание состояния системы C)», т. е. знание координат
материальных точек и их скоростей в некоторый данный момент времени,
позволяет определить состояние этой системы (координаты и скорости
точек) в любой будущий и прошедший момент времени. Таким образом,
вопрос сводится к тому, чтобы найти решение системы C) или, другими
¦словами, проинтегрировать ее.
В случае п = 2, т. е. в случае двух тел, соответствующие уравнения
вида C) элементарно интегрируются в квадратурах. Полученные анали-
аналитические выражения позволяют сделать исчерпывающие заключения
о возможном характере движения, а также найти расположение тел
в любой данный момент времени по заданным начальным условиям. Карти-
Картина сразу же неизмеримо осложняется, когда мы переходим к п = 3 —
«проблеме трех тел» - и тем более к п > 3. Как выразился французский
математик Борель —«в небесной механике, как в счете дикарей, много —
равняется трем».
В случае п :> 3 сами слова «проинтегрировать систему» ила найти
ее решение без дополнительного уточнения не имеют смысла. Действи-
Действительно, если под «интеграцией системы C)» понимать пахождение анали-
аналитического выражения для решения, то естественным образом встает
вопрос, каковы требования, которые можно предъявлять к характеру
такого аналитического выражения. Уже в начале XIX столетия было
установлено, что выразить решение системы C) при г ;> 3 через интегралы
от элементарных функций (т. е. решить систему C) в квадратурах) воз-
возможно лишь в очень частных случаях. Кроме того, даже в случае, когда
такое решение возможно, полученные выражения могут быть столь слож-
сложными, что непосредственный анализ их может быть чрезвычайно затруд-
затруднительным и фактически может потребовать специальных методов.
Интеграцию системы C) можно считать выполненном, если решение
удается найти в виде равномерно и абсолютно сходящихся рядов. Однако
•оказалось, что такие ряды могут сходиться настолько медленно, что
ими фактически нельзя пользоваться *).
*) Математику Зундману удалось в случае задачи трех тел найти решения в видо
рядов, абсолютно и равномерно сходящихся для любого t. Однако впоследствии было
показано, что этими рядами фактически нельзя пользоваться, так как они слишком
медленно сходятся. Оказалось, что для получения нужной (например, при расчете
обычных солнечных затмений) точности необходимо брать такое число членов, кото-
которое больше так называемого «числа электронов во вселенной по Эйтнтейну».

14 ВВЕДЕНИЕ
Проблемой трех тел занимались многие замечательные математики
XIX столетия. Еще в XVIII веке под влиянием настоятельных требова-
требований астрономии стали развиваться приближенные и численные методы
нахождения решений. Правда, в основном эти методы дают возможность
вычислять одно частное решение на заданном промежутке изменения
независимой переменной (времени t), однако, в целом ряде вопросов
такое приближенное вычисление тех или других частных решений
системы достаточно для решения поставленной задачи. Приближенное
и численное нахождение частных решений имеет смысл и значение не толь-
только в задачах небесной механики, где оно в настоящее время доведено
до большой степени совершенства, но также и для многих задач физики
и техники.
Существует много вопросов, в которых такое вычисление исчерпы-
исчерпывающим образом решает задачу.
В настоящее время для численного нахождения решений существуют
весьма мощные средства в виде современных вычислительных машин.
«Интеграция» дифференциальных уравнений, в смысле численного нахож-
нахождения решений, используется весьма широко в различных вопросах
и может быть проведена с большой точностью.
Однако, несмотря на это, для решения многих вопросов, выдвигаемых
естествознанием, приближенное вычисление частных решений на конеч-
конечных промежутках значений независимого переменного оказалось прин-
принципиально недостаточным. Наличие современных мощных вычислитель-
вычислительных средств ничего не изменило здесь по существу. Такие вопросы впервые,
естественно, возникли в самой небесной механике. Это — вопросы, относя-
относящиеся к проблемам космогонии. Так, если ограничиться для определенно-
определенности проблемой трех тел, то вопросами космогонического характера в этой
проблеме являются, например, следующие вопросы, перечисленные Пуан-
Пуанкаре во введении к одному из своих классических мемуров [5]: «Будет
ли одно из тел всегда оставаться в некотором участке неба или оно сможет
удалиться в бесконечность? Будет ли расстояние между двумя из этих
тел неограниченно убывать или, напротив, это расстояние будет всегда
заключено в определенных границах», и многие другие вопросы такого
характера. Очевидно, приближенное знание некоторого числа частных
решений на конечном промежутке значений времени (независимого пере-
переменного t) не может дать никакого ответа на эти вопросы. Для ответа на
них нужно знать решения в течение сколь угодно большого промежутка
времени, т. е. нужно, если так можно выразиться, знать характер реше-
решения «в целом».
Исследование решений дифференциальных уравнений с этой точки
зрения получило название «качественного исследования или качествен-
качественного интегрирования», а теория, необходимая для качественного исследо-
исследования,— качественной теории дифференциальных уравнений. Вопросами,
относящимися к ведению качественной теории дифференциальных урав-
уравнений, являются, например, такие вопросы:
Существуют ли у рассматриваемой системы A) интегральные кривые,
являющиеся замкнутыми кривыми (или в другой принятой терминоло-
терминологии — существуют ли замкнутые траектории)?
Являются ли решения, соответствующие данному состоянию равнове-
равновесия, «устойчивыми» или «неустойчивыми» (т. е. возвращается ли к зтому
состоянию равновесия точка после отклонения от него или нет)? Каковы
области значений переменных, на которых точки на интегральных кривых
при возрастании t стремятся к данному состоянию равновесия?

ВВЕДЕНИЕ 15
Впервые задача качественного исследования дифференциальных урав~
ш в нетривиальных своих аспектах с полной отчетливостью была
доставлена Пуанкаре (в конце прошлого столетия).
Примерно в то же время Ляпунов поставил весьма важную частную
= задачу качественного исследования дифференциальных уравнений, задачу
Jo6 устойчивости движения (решения), и эта задача была рассмотрена им
1для очень широкого класса случаев.
Пуанкаре поставил задачу качественного исследования в общем виде
для простейшего случая системы двух дифференциальных уравнений
х = Р(х, у), y=^Q(x, у). (I)
Основные факты качественной теории системы (I) изложены им в ставшей
классической книге «О кривых, определяемых дифференциальными урав-
уравнениями». Одновременно в другом своем трехтомном труде «Новые методы
небесной механики» Пуанкаре рассмотрел ряд вопросов качественной
теории в связи с проблемой трех тел. Исследование вопросов устойчивости
движения, рассмотренных Ляпуновым, изложено в книге «Общая задача
об устойчивости движения». Позднее исследования Пуанкаре, касающиеся
системы вида (I), были дополнены Бендиксоном, а исследования Пуанкаре,
относящиеся к уравнениям небесной механики, были уточнены Биркго-
фом, использовавшим в своих работах методы теории множеств.
Некоторые исследования Пуанкаре, получившие развитие в работах
Биркгофа, легли в основу так называемой «метрической теории динами-
динамических систем», которую можно рассматривать как совсем особую часть
качественной теории дифференциальных уравнений со своими специфиче-
специфическими аспектами и своими специфическими методами. Областью приложе-
приложений, с которой теснейшим образом связаны метрическая теория динамиче-
динамических систем, является статистическая физика.
Не останавливаясь на более поздних публикациях по качественной
теории дифференциальных уравнений, перейдем к вопросу о ее проникно-
проникновении в другие области естествознания. До начала XX столетия областью
естествознания, питавшей качественную теорию дифференциальных урав-
уравнений, была небесная механика. Однако к началу XX века положение
существенно изменилось. Рассмотрение периодических процессов, перио-
периодических явлений в различных областях физики — в механике, оптике,
акустике и др. к XX столетию оформилось под названием «теории коле-
колебаний». В конце столетия появилось первое развернутое изложение
общего учения о колебаниях — знаменитая «Теория звука» Рэлея.
Развивающаяся техника также вынуждена была в той или другой
степени использовать теорию колебаний. В инженерном деле и в машино-
машиностроении в связи с увеличением скоростей и размеров машин возникла
настоятельная необходимость уметь избегать тех вредных, а иногда
и просто разрушающих сооружение колебаний, которые возникают при
некоторых критических скоростях или периодах (например, благодаря
резонансу).
При этом до нашего столетия основным превалирующим математиче-
математическим аппаратом, использовавшимся теорией колебаний, были линейные
дифференциальные уравнения. Многие вопросы физики и техники связаны
с такими линейными системами. Если говорить только об обыкновенных
дифференциальных уравнениях, то основными уравнениями классической
теории колебаний были линейные дифференциальные уравнения с постоян-
постоянными коэффициентами и периодической правой частью. С помощью этого

16 ВВЕДЕНИЕ
аппарата классическая теория колебаний в основном хорошо справлялась
с рядом задач, в частности, например, с вопросами о резонансе и о мерах
его предотвращения. Аппарат линейных дифференциальных уравнений
очень прост и, если так можно выразиться, весьма эффективен.
Картина резко меняется в начале XX столетия в связи с развитием
радиофизики и радиотехники. Оказалось, что большая часть явлений
в радиотехнике никак не может быть описана линейными дифференциаль-
дифференциальными уравнениями. Эти явления описываются существенно нелинейными
дифференциальными уравнениями. При этом колебательные задачи,
выдвинутые радиотехникой, в каком-то смысле противоположны задаче
классической теории колебаний. Основная задача классической теории
колебаний, возникающая в технике ранее,—¦ это задача подавления вред-
вредных колебаний. Одной из основных задач радиотехники в настоящее время
является задача генерации колебаний. Если для генерирования колебаний
в радиотехнических устройствах пользуются не зависящим от времени
источником энергии,—• то это так называемые «автоколебания». Математи-
Математически это отображается тем, что системы дифференциальных уравнений,
описывающих радиотехнические устройства, автономны, т. е. имеют вид (I).
В силу создавшейся в теории колебаний традиции в течение, довольно дол-
долгого времени заведомо «нелинейные» явления пытались втиснуть в линей-
линейный математический аппарат. Это не только не позволило сколько-нибудь
правильно описать явления, часто имеющие место в радиотехнике, но
и просто приводило к прямым ошибкам.
Вопрос о математическом аппарате, адекватном явлениям в радио-
радиотехнике, очень остро поставленный Л. И. Мандельштамом в 20-х годах
настоящего столетия, был разрешен А. А. Андроновым.
Оказалось, что таким аппаратом является математический аппарат,
содержащийся в работах Пуанкаре и Ляпунова, который как мы говорили
выше, начал разрабатываться ими для нужд небесной механики. Это —
аппарат качественной теории дифференциальных уравнений. Правда,
системы дифференциальных уравнений, описывающих явления радиотех-
радиотехники, не являются гамильтоновыми, как в небесной механике. Но в своей
книге «О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями»,
в которой Пуанкаре закладывает основы качественной теории дифферен-
дифференциальных уравнений, он не предполагает систему непременно гамильто-
новой.
Некоторым основным вопросам, интересующим радиотехнику, соот-
соответствуют в математической постановке вопросы качественной теории
дифференциальных уравнений, например, вопросу о наличии или отсут-
отсутствии колебаний при тех или других значениях параметров соответствует
вопрос о наличии или отсутствии у соответствующей системы дифферен-
дифференциальных уравнений изолированной замкнутой кривой, так называемого
предельного цикла. При этом вопросы приближенного вычисления част-
частных решений на заданном конечном промежутке времени, играющие
первостепенную роль в астрономии, в дифференциальных уравнениях,
возникающих при рассмотрении радиотехнических устройств, играют,
пожалуй, значительно меньшую роль или во всяком случае гораздо силь-
сильнее подчинены качественному рассмотрению соответствующих дифферен-
дифференциальных уравнений.
Мы говорили сейчас о сравнительно узкой области — о радиотехнике,
для которой математический аппарат качественной теории дифференциаль-
дифференциальных уравнений оказался адекватным математическим аппаратом. Однако
уже при рассмотрении задач радиотехники было совершенно очевидно,

ВВЕДЕНИЕ 17
Яго математические вопросы, возникающие в связи с этими задачами,
ашеют гораздо более широкое значение. Существуют многие вопросы
В различных областях естествознания и техники, которые приводят
к совершенно аналогичному математическому рассмотрению, т. с. к исполь-
использованию качественной теории дифференциальных уравнении. Не говоря
уже о механических и акустических задачах, в качестве таких задач можно
указать, например, вопрос о переменных звездах, так называемых цефеи-
цефеидах, вопрос о некоторых периодических химических реакциях, вопрос
о фотосинтезе в биологии и многие, многие другие. Теория автоматиче-
автоматического регулирования является еще одной большой областью применения
качественной теории дифференциальных уравнений (правда, в несколько
специфической форме).
Таким образом, качественная теория дифференциальных уравнений
оказалась адекватным математическим аппаратом для описания явлений
в целом ряде областей, как таких, которые могут быть отпесепы к теории
колебаний, так и выходящих за рамки теории колебаний (например, небес-
. ной механики).
Явления, имеющие одинаковое описание, с точки зрения «качествен-
«качественной теории дифференциальных уравнений», протекают в известном смысле
аналогично: в таких явлениях независимо от их физической природы
существует «изоморфизм закономерностей». При этом для такого изомор-
изоморфизма закономерностей нет необходимости, чтобы явления описывались
совпадающими дифференциальными уравнениями. Достаточно, чтобы
эти уравнения имели одинаковую «качественную структуру» разбиения
на траектории.
В том круге идей, который в настоящее время носит название «кибер-
«кибернетики», вопрос об общности, изоморфизме закономерностей в различных
областях естествознания и техники поставлен очень широко. В обширном
арсенале математических средств, которым располагает кибернетика,
дифференциальные уравнения и, в частности, аппарат качественной теории
дифференциальных уравнений составляют лишь небольшую часть. Тем не
менее этот аппарат и сейчас сохраняет весь свой смысл и актуальность
и несомненно будет завоевывать новые и новые области.
Настоящая книга посвящена качественной теории динамических
систем второго порядка, т. е. систем двух автономных дифференциальных
уравнений A), рассматриваемых на плоскости (х, у).
Случай динамических систем второго поря,дка естественно представ-
представляется первым и наиболее простым и его изучение необходимо как само
по себе, так и для перехода к более сложным случаям систем трех, четы-
четырех и т. д. автономных дифференциальных уравнении. Кроме того, систе-
системы вида A) сохраняют самостоятельный интерес для приложении, так как
многие явления и задачи в различных областях физики и техники могут
быть при разумной идеализации описаны системами такого вида.
Для систем трех и большего числа автономных дифференциальных
уравнений картина делается неизмеримо более сложной. Качественная
теория таких динамических систем до настоящего времени располагает
еще довольно скудным запасом сведений, хотя н развивается интенсивно
в течение последнего десятилетия.
Задача качественного исследования может быть естественным образом
поставлена не только для автономных динамических систем, о которых
мы в основном говорили до сих пор, но также и для широких классов
неавтономных динамических систем. Хотя и случае неавтономных систем
эта задача имеет свою специфику, но она органически связана по своему

18 ВВЕДЕНИЕ
содержанию и методам (методу точечных отображений) с задачей каче-
качественного исследования автономных динамических систем и, в частности,
с качественной теорией динамических систем второго порядка.
Даже в простейшем случае системы двух неавтономных дифферен-
дифференциальных уравнений с периодическими относительно t правыми частями
x = F(x, у, t), у = Ф(х, у, t),
где F(x, у, t + x) = F(x, у, t),
ср(х, у, ? + т) = ср(ж, у, t) (т —период),
возникают трудности того же характера, что и при рассмотрении автоном-
автономных динамических систем порядка п = 3.
Наконец, постановка вопроса о качественном исследовании распре-
распределенных систем, т. е. в случае систем уравнений в частных производных,
естественным образом возникает при рассмотрении многочисленных задач
из различных областей физики. Качественная теория распределенных
систем в настоящее время еще только начинается. Нет сомнений, что ей
также предстоит интенсивное развитие. Такая теория, несомненно, должна
существенным образом опираться на качественную теорию обыкновенных
уравнений и, в частности, на качественную теорию динамических систем
второго порядка.

ГЛАВА I
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ
И НА СФЕРЕ
§ 1. Динамические системы в плоской области
1. Введение. Мм будем рассматривать системы дифференциальных
уравнений вида
-?- = Р(х,у), ^=Q(.r,y), (I)
где Р (х, у) и Q (х, у) — непрерывные функции, определенные в некото-
некоторой области G евклидовой плоскости (х, у — декартовы координаты)
и имеющие в этой области непрерывные частные производные до порядка
не ниже первого. Область может быть как ограниченной, так и неограни-
неограниченной. В частности, область G может совпадать со всей плоскостью (ж, у).
¦ Системы вида (I) являются частным случаем систем двух дифферен-
дифференциальных уравнений с двумя неизвестными функциями: независимое
переменное t в их правые части явно не входит. Системы дифференциаль-
дифференциальных уравнений, правые части которых не содержат явно независимое
переменное, называются автономными. Автономные системы дифферен-
дифференциальных уравнений называются также динамическими системами.
Систему (I) мы будем называть динамической системой на плоскости
или в плоской области. Мы будем также говорить, что динамическая систе-
система задана или определена в области G. В дальнейшем мы будем опу-
опускать слова «на плоскости» и «в плоской области».
Динамическая система (I), заданная в области G, называется системой
класса Сп, если функции Р (х, у) и Q (х, у) являются функциями класса Сп,
т. е. имеют в области G непрерывные частные производные до порядка п
включительно.
Динамическая система (I) называется системой аналитического клас-
класса или аналитической системой, если функции Р и Q являются аналитиче-
аналитическими функциями в области G.
Очевидно, всякая система класса С^ (к >» 1) является одновременно
системой класса Ckl, где кг < к, в частности, системой класса Сг. Анали-
Аналитическая система является системой класса Ck для любого натурального к.
Все рассматриваемые в этой книге динамические системы являются
системами класса С\. Поэтому всюду в дальнейшем под динамической
системой мы будем во всяком случае всегда подразумевать систему клас-
класса Ci, не оговаривая этого явно.
В настоящем параграфе излагаются простейшие свойства динамиче-
динамических систем в плоской области. Свойства эти характерны для автономных
систем дифференциальных уравнений.
2*

20 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ И НА СФЕРЕ [ГЛ. 1
Неавтономные системы (т. е. системы, в правые части которых t входит
явно), вообще говоря, ими не обладают *).
2. Геометрическая интерпретация динамической системы (I) в про-
пространстве -К3. Рассмотрим обычную для системы двух дифференциальных
уравнений с двумя неизвестными функциями геометрическую интерпрета-
интерпретацию, т. е. геометрическую интерпретацию в трехмерном пространстве
с декартовыми координатами х, у, t.
Функции Р (х, у) и Q (х, у) нужно при этом рассматривать как функ-
функции трех переменных х, у и t. Но так как эти функции от t не зависят,
то в трехмерном пространстве В3 областью определения правых частей
системы (I) является бесконечная цилиндрическая область Н, образован-
образованная всеми прямыми, параллельными оси t, пересекающими плоскость
(ж, у) в точках области G **).
Решения
ж = Ф(*), y = iK0
системы (I) интерпретируются как кривые, расположенные в области Н.
Эти кривые называются интегральными кривыми системы (I) (см. допол-
дополнение, § 8). Мы будем здесь и всюду в дальнейшем под решением системы
дифференциальных уравнений подразумевать решение, продолженное
на максимальный возможный интервал значений t (см. дополнение, § 8).
Так как функции Р (х, у) и Q (х, у) во всяком случае являются
функциями класса Си то для системы (I) во всех точках области/^ выпол-
выполняются условия теоремы существования и единственности (см. дополне-
дополнение, § 8), а следовательно и сама эта теорема. Мы сформулируем ее для
системы (I) следующим образом:
Теорема 1. Для любой точки Мо(хо, i/o)€G и для любого t0,
—-оэ <^о<-т-00> существует одно и только одно решение
х = ф {t), y = q(t)
системы (I), удовлетворяющее начальным условиям
определенное для всех значений t в некотором определенном интервале
(т., Т), содержащем t0. (В частности, решение может быть определено
при всех значениях t, т. е. t может быть равно — со, а Т может быть
равно + со).
Геометрически теорема 1 означает, что через каждую точку области Н
проходит интегральная кривая системы (I) и при этом только одна.
Для системы вида (I) справедлива также следующая теорема, которая
существенно используется в дальнейшем:
Теорема 2. Пусть Gt ¦— замкнутая ограниченная область, содер-
содержащаяся в области G (Gt cz G),
* = <р@, у = Ч>(') A)
— решение системы (I), определенное в интервале (т, Т) и такое, что
при всех I на интервале (т, Т) точка N(<p(t), ty(t)) все время остается
*) Изложенные в настоящем параграфе свойства рассматриваемых систем
с очевидными изменениями справедливы для динамических систем любого порядка,
т. е. для динамических систем 'Ида A), рассмотренных во введении, при любом п.
**) Когда область С совпадает со всей плоскостью {х, у), то Н совпадает со всем
пространством Л3.

11]
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Б ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ
21
* области, Gx. Тогда т =—оо, 5Н=-р со, т. е. решение A) определено
для всех значений t.
Доказательство. Предположим, что решение х = ф (t), у = -ty(t)
определено при значении t - t0.
Пусть Tj и т2 — два произвольных числа, причем Tj < t0, Т2 > 'о-
Обозначим через Hi конечную цилиндрическую область пространства R2,
состоящую из всех точек М (t, х, у) таких, что Tj ^ ?^ т2, а х, у таковы,
что точка (х, у) g Gt (рис. 1). Интегральная кривая, соответствующая
. решению A), проходит через точку
Мо (t0, ф (t0), ф («0)), принадлежащую
области Ht. Но тогда, в силу теоремы
(А') дополнения (о продолжаемости
решения до границы области определе-
определения, см. § 8), эта интегральная кривая
выходит из области Н^, как при значе-
значении, большем ^0, так и при значении,
меньшем t0. Однако выйти из цилин-
цилиндрической области Hi через боковую
поверхность этой области интегральная
кривая не может, так как в этом слу-
случае, очевидно, нашлась бы точка Лг (ф (t),
¦ф (t)), лежащая вне замкнутой об-
области (tj, что противоречит условию
теоремы.
Следов ател ьно, рассматр иваемая
интегральная кривая выходит из Ht
через нижнее и верхнее основания (рис. 1). Но это значит, что реше-
решение A) определено при t = xt u t = т2. Так как Tj и т2 произвольны, то
решение A) определено при всех значениях t. Теорема доказана.
3. Простейшие свойства решений системы (I). Мы установим неко-
некоторые свойства решений системы (I), являющиеся следствием автономно-
автономности этой системы.
Лемма 1. Если
М,(т„х,,у,)
Рис. 1.
есть решение системы (I), определенное на интервале (т, Т), то
z = <p(t + C), г/ = гИН-С), B)
где С — любая постоянная, также есть решение системы (I) и это
решение определено на интервале (т — С, Т — С).
Доказательство. Так как A) есть решение системы (I), то
при всех t ? (т, Т) имеет место тождественное равенство
. +@)-
Если заменить в этих равенствах t на t-rC, то при всех t? (x—С,Т — С)
мы будем иметь тождественное равенство
г с».

22 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ И НА СФЕРЕ [ГЛ. J
Но, очевидно,
и, следовательно, равенства (З) могут быть записаны в виде
Последние равенства показывают, что функции B) являются решени-
решением системы (I). Тот факт, что это решение определено на интервале
(т — С, Т — С), устанавливается простым рассуждением, которое мы
опускаем. Лемма доказана.
С точки зрения геометрической интерпретации в трехмерном про-
пространстве утверждение леммы 1 означает, что линия, получающаяся из
любой интегральной кривой путем сдвига ее вдоль оси t на любой отрезок,
также есть интегральная кривая.
В самом деле, интегральная кривая
получается из интегральной кривой
сдвигом вдоль оси t на величину С*).
Лемма 2. а) Решения системы (I)
A)
C) B)
можно рассматривать как решения, удовлетворяющие начальным условиям
с одинаковыми начальными значениями х0 и у0 и различными начальными
значениями переменного t.
б) Два решения, удовлетворяющие начальным условиям с одинаковыми
начальными значениями переменных х0, у0 и различными начальными зна-
значениями t, могут быть получены одно из другого заменой t на t + С с надле-
надлежащим выбором постоянной С.
Доказательство. Если решение A) соответствует начальным
значениям t0, x0, у0 так, что
то в силу очевидных равенств
Ф (t0—С + С) = ф (t0) = zOl ф (г0—С + С) = у (t0) =
*) Отметим здесь еще следующий элементарный факт: в силу того, что уравнение
интегральной кривой имеет вид
у=У @.
где <р и -ф — однозначные функции, всякому t, при котором решение определено, соот-
соответствует единственная точка интегральной кривой, и ни в одной точке интегральной
кривой касательная не может быть параллельна плоскости {х, у). Действительно,
направляющие косинусы касательной к интегральной кривой пропорциональны ср, -ф
и 1, т. е. угол между касательной и осью t не может быть равен л. В частности, отсюда
следует, что у интегральной кривой не может быть максимумов или минимумов.

решение B) соответствует начальным значениям t0—С, х0, у0, что и до-
доказывает утверждение а).
Далее, рассмотрим наряду с решением A), соответствующим началь-
начальным значениям t0, х0, у0, решение
соответствующее начальным значениям t*, х0, у0, где t* Ф t0. Если
в решении B)
C)
величину С взять равной t0—t*, то оно, очевидно, будет соответство-
соответствовать тем же начальным значениям t*, х0, у0, что и решение D). В силу
единственности решения, удовлетворяющего данным начальным усло-
условиям, отсюда следует
что и доказывает утверждение б) леммы.
В дальнейшем, рассматривая наряду с решением A) решение B),
мы будем часто говорить, что рассматриваются решения, отличающиеся
выбором начального значения t.
Решение всякой системы двух дифференциальных уравнений, соот-
соответствующее любым произвольным начальным значениям t0, х0, у0,
очевидно, является функцией t, t0, хо, у0 (см. дополнение, § 8), т. е.
записывается в виде
х = Ф(г, t0, х0, г/о), У^Ч (t, t0, x0, г/о)-
При этом по самому смыслу функций Ф (I, t0, х0, у0) и *? (t, t0, х0, Уо)
Ф(^о, *о, ^oi Уо) = Яо, ^(^07 ^о, хо, Уо)=Уо- Однако в случае системы A),
вследствие автономности этой системы, функции E) являются по суще-
существу не функциями переменных t и t0, а функциями разности t—10.
Это устанавливается в следующей лемме:
Лемма 3. Решение системы (I) как функции от t и от начальных
значений t0, x0, у0 может быть записано в виде
х = ф (t—10, х0, уо), y^ty{t — t0, х0, г/о). F)
Доказательство. Рассмотрим наряду с решением E) решение
ж = Ф(г, 0, х0, Уо), y = Y(Z, 0, х0, уо),
удовлетворяющие начальным условиям: при t = 0, х = х0, у = у0-
В силу леммы 1 функции
x = <D(t — to, 0, хо, Уо), y = V(t —10, 0, х0, г/о) G)
также являются решением системы (I). Решения E) и G) соответствуют
одним и тем же начальным значениям t0, x0, Уо- Но тогда эти решения
совпадают, т. е.
Ф(?, t0, х0, уо) = ФA~t0, 0, х0, Уо),
W(t, t0, х0, yo) = W{t —10, 0, х0, Уо).
Введение обозначений
—^о. 0, х0, yo) = y{t — to, х0, Уо),
— t0, 0, х0, y0) = ty(t — t0, Хо, г/о)
устанавливает справедливость утверждения леммы.

24 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ И НА СФЕРЕ [ГЛ. I
В дальнейшем решение системы (I), соответствующее начальным
значениям t0, x0, у0, мы всегда будем записывать в виде F).
Лемма 4. Если решение
x = q>(t — t0, х0, уо), y = ty(t — t0, x0, г/о) (8)
определено при значении t=^ti и
то
*' A0)
Доказательство. Из соотношений (9), очевидно, следует, что
решение (8) и решение
являются решениями, соответствующими одним и тем же начальным
значениям tit x1? yt. Но тогда эти решения совпадают, т. е. имеют
место равенства A0).
Замечание. Полагая в тождествах A0) t = t0, мы получим
Это, очевидно, справедливо при любых tt, xu уи удовлетворяющих
соотношениям A0). Опуская индексы, мы получаем
xo = q>(to—t, х, у), yo = ^{to—t, х, у).
Лемма 5. Если система (I) является системой класса Сп, то
функции x — (p(t —10, х0, уо), y = ty(t —10, x0, г/о) при всех значениях,
входящих в них переменных, при которых эти функции определены,
имеют непрерывные {по совокупности всех переменных) частные произ-
производные:
1) по t (или t0) до порядка /г+1 включительно,
2) по х0 и г/о д° порядка п включительно
—t0, х0, у0) &4${t—t0, х0
I dxi dyh-i ' dxi dyk-i к _ Л О „
\ о ио о ио К-— 1, Z, ...,П
3) по t (или t0) и по х0 и Уо—содержащие по крайней мере одно
дифференцирование по t (или t0) — до порядка и 1
г" = 0, ..., к
(t—tD, хр, уд) db+l-ty(t—t0, Xq, y0) Ъ.Л-1-4 9 „ \
dtl, dxidyk-i ' dUdxidyk-i /C-t-t— 1, 6,...,n ,.
° ° ° ° l = U 2, ...,n+l /
Справедливость этой леммы непосредственно вытекает из теоремы В'
и В" дополнения, § 8.
4. Геометрическая интерпретация динамической системы на фазовой
плоскости (х, у). Геометрическая интерпретация системы (I) в трех-
трехмерном пространстве (х, у, t) в настоящей книге является вспомогатель-
вспомогательной. Основная геометрическая интерпретация автопомпой системы A)

$ 1] ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ 25
связана с рассмотрением плоскости (х, у). Эта плоскость называется
фазовой плоскостью системы (I).
Будем в каждой точке М (х, у) области G плоскости (х, у) рассма-
рассматривать вектор v с компонентами Р {х, у), Q (х, у). Динамическая систе-
система (I) определяет, таким образом, в области G векторное поле *).
В силу того, что Р (х, у) и Q (х, у) по предположению имеют непре-
непрерывные частные производные, векторное поле, определяемое системой (I),
является так называемым непрерывно дифференцируемым векторным
полем.
Пусть в точке М (х, у) хотя бы одна из величин Р (х, у), Q (х, у)
не обращается в нуль. Тогда длина вектора в этой точке
г=|/Р«(х, у)+ <?*(*. У)
отлична от нуля, а синус и косинус угла ф (.г., у) между положитель-
положительным направлением оси х л направлением вектора даются выражениями
sin 6 = —— , cosO=- —- —.
] P* + Q* \ P* + (j&
(см. дополнение, § 5).
В тех точках, в которых одновременно
Р(х, г/) = 0, Q{x, y) = 0,
длина вектора обращается в нуль, а направление вектора становится
неопределенным. Такие точки называются особыми точками векторного
поля (или особыми точками системы A)); точки, в которых хотя бы одна
из величин Р (ж, у), Q (х, у) не равна нулю,— обыкновенными или неособы-
неособыми точками этого векторного поля. Во всякой неособой точке М вектор-
векторного поля угол 6 (х, у) непрерывен. В особой точке угол 6 (ж, у) неопре-
неопределен и при стремлении ж и у к координатам особой точки Jim В (х, у)
может не существовать.
Пусть
ж = Ф0), y = iK0 A1)
— какое-нибудь решение системы (I). Множество точек М (ф (t), тр (?)),
где t принимает все значения, при которых определено решение A1),
называется траекторией, соответствующей данному решению, а также
траекторией векторного поля, заданного динамической системой (J),
или просто траекторией данной динамической системы (а также иногда
фазовой траекторией).
Уравнения A1), очевидно, являются параметрическими уравнениями
траектории. Обратно, если дана какая-нибудь траектория, то решение,
которому она соответствует, мы будем называть решением, соответствую-
соответствующим данной траектории.
*) В математической литературе весьма употребительно векторное обозначение
для системы дифференциальных уравнений. Система A) и этом обозначении запишется
в виде векторного уравнения
Векторное обозначение чрезвычайно удобно при рассмотрении систем, состоящих
из большого числа уравнении. Однако в рассмотренном нами случае системы только
двух дифференциальных уравнении в этом обозначении лет особой необходимости,
и мы не будем пользоваться им для того, чтобы не загромождать изложение различ-
различными символиками. Мы используем векторное обозначение при рассмотрении дина-
динамических систем па сфере.

У
26 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ И НА СФЕРЕ [ГЛ. 1
Если точка М (х, у) траектории не является особой точкой вектор-
векторного поля, то вектор (Р (х, у), Q (х, у)) является касательным вектором
к траектории (рис. 2). Действительно, в силу того, что х = ф (t), у = яр (t)
есть решение системы (I), имеют место тождества:
* •
Но вектор с компонентами ф (t), ¦$ (t), очевидно, является касательным
вектором к траектории, и в силу равенств A2) он совпадает с вектором
поля, заданного системой (I).
Рассматривая параметр t как «время», можно дать следующую «кине-
«кинематическую» интерпретацию системы (I): решение х = ф (t), у = г|з (t)
можно рассматривать как закон движения точки по траектории на фазовой
плоскости. В каждой точке фазовой пло-
плоскости вектор, заданный системой (I), т. е.
вектор Р (ж, у), Q (х, у), очевидно, равен
скорости движущейся точки или «фазовой ско-
скорости». Решениям с одними и теми же началь-
начальными значениями х0 и у0 и различными на-
начальными значениями t0 соответствуют дви-
движения, начинающиеся в одной и той же
точке, но в различные начальные моменты
* «времени» (t0 и t*). Точка с координатами
(ф (t), ¦$ (t)) называется также «изображаю-
«изображающей» или «представляющей» точкой.
Пусть М (о, Ь) — особая точка системы
(I), так что
Р(а, b) = Q(a, b)=^0. A3)
Тогда, очевидно, х = а, у = Ъ есть решение системы (I), и, следовательно,
особая точка векторного поля сама является отдельной траекторией.
Такая траектория называется состоянием равновесия *). Очевидно, также
обратно, если у системы (I) есть решение
х = а, у = Ъ A4)
{а и b — некоторые постоянные), то точка a, b непременно является
состоянием равновесия (особой точкой векторного поля), т. е. для нее
выполняются равенства A3). Решение A4), очевидно, вследствие того, что
t в него не входит, определено для всех t.
В дальнейшем для точек х, у области G, для которых Р (х, у) — О,
Q (х, у) = 0, в основном будет использоваться термин «состояние равно-
равновесия» (а не особая точка).
Состояние равновесия М (а, Ь) системы (I) называется изолирован-
изолированным, если существует е0 > 0 такое, что в е0-окрестности кроме М не
лежит уже более ни одного состояния равновесия.
5. Разбиение области О фазовой плоскости на траектории. Неко-
Некоторые элементарные сведения о траекториях.
Лемма 6. Всяким двум решениям, отличающимся только выбором
начального значения t0, соответствует одна и та же траектория.
*) В другой терминологии — «положением равновесия» или «точкой покоя».

11 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ 27
Доказательство. В силу лемм 1 и 2 всякие два решения,
отличающиеся выбором начальных значений t0 (но имеющие одни и те же
Начальные значения х0, у о), могут быть получены одно из другого заменой
t на t + С. Но если даны два решения
х = ф@, У = *(*) A5)
в
x = <p(t + C), y = W + C), A6)
яричем решение A5) определено на интервале (т, Г), а решение A6) —
на интервале (т — С, Т — С), то, очевидно, им соответствует одна и та
же траектория (так как замена в A5) t через t -J- С является просто заме-
заменой обозначении переменного). Лемма доказана.
Теорема 3. Через каждую точку области G проходит одна и только
¦одна траектория динамической системы A).
Доказательство. Пусть Мо (х0, г/о) — произвольная точка
области С Тогда в силу теоремы 1 (о существовании и единственности
решения) при всяком t существует решение, соответствующее начальным
значениям t0, х0, у0:
ж = ф@» У = |Ф(О-
Это, очевидно, и означает, что через точку х0, у0 проходит хотя бы
одна траектория L.
Предположим теперь, что через одну и ту же точку Мо (х0, у0)
области G проходят две различные траектории L и L*.
Пусть
х = Ф*@, y=xf(t)
— решение, соответствующее траектории L*. Это решение, очевидно,
непременно должно быть таким, чтобы при некотором значении t = t*
мы имели бы
но тогда в силу леммы 2 при надлежащем выборе С мы должны
иметь
и, следовательно (см. лемму 6), траектории L и L* вопреки предположению
не могут быть различны. Теорема доказана.
Замечание 1. Из проведенного в теореме рассуждения непосред-
непосредственно вытекает, что всякие два различных решения, соответствую-
соответствующих одной и той же траектории, получаются друг из друга заменой t на
t -f- С, т. е. отличаются друг от друга только выбором начального значе-
значения t0 (см. лемму 2).
Замечание 2. Пусть при каком-либо выборе решения, соответ-
соответствующего траектории L, точке Мо этой траектории соответствует значе-
значение tOl а точке Mt — значение t0 + т. Тогда из замечания 1 следует, что
если при некотором другом выборе решения, соответствующего траекто-
траектории L, точке Мо соответствует значение t*, то значению t* + т соответ-
соответствует точка Mi.
Замечание 3. Если траектория целиком лежит в ограниченной
замкнутой области Gi с G, то в силу теоремы 2 соответствующее ей реше-
решение определено при всех значениях t (— сю < t < -j- oo).

28 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ И НА СФЕРЕ 1ГЛ. (¦
В силу теоремы 3 динамическая система, заданная в области G, опреде-
определяет некоторое семейство траекторий или, как мы будем говорить, некото-
некоторое разбиение области G на траектории.
Качественная теория динамических систем, основы которой излагают-
излагаются в настоящей книге, занимается изучением такого разбиения на траекто-
траектории. Существепной частью этого изучения является установление возмож-
возможного характера отдельной траектории. Мы укажем здесь некоторые основ-
основные свойства траекторий. Выше мы уже останавливались на одном частном
типе траекторий, именно, па состояниях равновесия. Как мы видели,
х = а, у — Ъ
тогда и только тогда является состоянием равновесия, когда выпол-
выполняются условия
Р(а, b) = Q(a, Ь) = 0.
Предположим теперь, что траектория L, соответствующая решению-
x = cp(t), y = y(t),
не является состоянием равновесия. Во всех точках такой траектории,
очевидно, выполняется неравенство
Действительно, если бы в какой-нибудь точке М*(х*, у*) траектории L,
соответствующей значению t*, имело место равенство
т. е. одновременно
ф (П = Р(ч> (П -Ф (*•)) = о, * (П
и это, очевидно, означало бы, что точка х*, у* является состоянием равно-
равновесия. Но состояние равновесия само является отде'льной траекторией,
и в силу теоремы 3 точка М* (х*, у*) не может принадлежать отличной
от состояния равновесия траектории L.
Рассмотрим вопрос о том, могут ли быть у траектории, отличной от
состояния равновесия, «самопересечения», т. е. возможно ли, чтобы суще-
существовали значения t± и t2, tt ф. t2 такие, чтобы соответствующие им точки
траектории совпадали.
Ответ на этот вопрос дается следующей леммой:
Лемма 7. Пусть траектория L, соответствующая решению
x = tp(t), y = $(t) (x<t<T), A7)
отлична от состояния равновесия, и пусть существуют значеиая t, ty
и tz(x<Zt1<Ztz<C T) такие, что
Тогда решение A7) определено при всех значениях t (т. е. х=—оэт
Т= + сю), функции <$(?) и я|?(г) являются периодическими функциями t,
а соответствующая траектория—простой гладкой замкнутой кривой.
Доказательство. Пусть
Ф (h) = ф ih) = «ь, iK*i)==*(*2)=yo. A8)

$ 1] ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ 29
Рассмотрим наряду с решением A7) решение
определенное на интервале (т — С, Т — С), где С = t2 — tt (см. лемму 1).
Из равенств A8) следует, что решешгя A7) и A9) удовлетворяют одним
и тем же начальным условиям (при t = tu x = х0, у — у0). Но тогда
эти решения совпадают, а следовательно, совпадают интервалы значе-
значений t, на которых опн определены. Но интервалы (т, Т) и (т — С, Т — С)
при С Ф О могут совпадать лишь в том случае, когда % = — оо, Г = + оо.
Таким образом, мы показали, что решения A7) и A9) определены для
всех t (— оо <Z t <C -\- оо).
Далее, из совпадения решений A7) и A9) следует, что при всех /
<_ оо < t < + оо)
<p{t + C)z=<p(t), $(t + C)~y(t), B0)
где С = tz—fj>0. Это, очевидно, означает, что функции ц> (t) и ty(t) —
периодические функции с общим периодом 0 = t2 — tx.
Пусть
ео(ео<е</2-/1) B1)
— наименьшее положительное число, при котором имеют место равенства
i|5(* + eo) = i|>(*). B2)
Такое число непременно существует. Действительно, в противном слу-
случае можно было бы указать последовательность положительных чисел
{6П} таких, что lim {6n}—>0 и
ф (t -!- е„) = ф (/), ч- (t - е„) ^- * (о-
Очевидно, тогда при любом п и любом целом | /г
Ф («+ А6„) = ф («), 1' (/ + А0л) = Ч' @
или, зафиксировав какое-нибудь ^0, можно написать
ф («о + Авп) = ф (*0), Ч- ('о + Л6П) = гр (t0).
Таким образом, каждая из функции ф (t) \t г|з (г) принимает одно
и то же значение, равное соответственно ф (tQ) и if (/0) при всех сле-
следующих значениях t:
где Л' может быть любым целым числом, а 0„ сколь угодно мало при
достаточно большом п. Следовательно, какое бы значение /* мы ни взяли,
либо t* = t ±; /сб„, и тогда ф (t*) = ф (/0), xf> (/*) ^ -ф (<0M либо I* попадает
в некоторый интервал (to-{-(k — l)Qn, to--k0n) или (/0 — (/>: —1N,,, г0— А6п)
и в силу того, что Qn сколь угодно мало при достаточно большом п,
•существуют сколь угодно близкие к t* значения t', при которых
Но тогда в силу непрерывности функций ф (I), ¦$ (I.) мы, очевидно, также
имеем

30 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ И НА СФЕРЕ [ГЛ. I
Это означает, что функции tp{t) и if (^ — постоянные, т. е. траектория
L — состояние равновесия, что противоречит условию теоремы.
Очевидно, все точки траектории L могут быть получены при изме-
изменении t в уравнениях A7) от t0 до t0 + 60 (to^Lt^Lto -f 60), где t0 —
любое фиксированное число. Так как по самому определению 60 есть
наименьшее число, при котором выполняются равенства B2), то всяким
двум значениям V и t", to^.t' < ?"^?о+6<ъ заведомо соответствуют
различные точки траектории L. Это и означает (ср. дополнение, § 5),
что траектория L является простой замкнутой кривой. В силу леммы 5
эта замкнутая кривая, очевидно, гладкая. Таким образом, лемма доказана.
Решение, в котором функции ф (t) и if (t) — периодические функции t,
называется периодическим решением. Наименьшее число 60 > 0, при кото-
котором выполняются равенства B2),— периодом этого решения.
Траектория L, соответствующая периодическому решению, назы-
называется замкнутой траекторией. Очевидно, все решения, соответствующие
данной замкнутой траектории, являются периодическими решениями
с одним и тем же периодом. Всякая траектория, не являющаяся замкну-
замкнутой траекторий или состоянием равновесия, называется незамкнутой
траекторией.
Из леммы 7 следует, что у траекторий системы (I) не может быть
«самопересечений», т. е. что всякая часть незамкнутой траектории, соответ-
соответствующая значениям t в любом конечном сегменте, является простой
гладкой дугой.
Таким образом, мы получили следующие основные элементарные
сведения о траекториях. Траектория может быть: 1) состоянием равно-
равновесия, 2) замкнутой траекторией, 3) незамкнутой (несамопересекающейся)
траекторией. Эти сведения являются предварительными, так как возмож-
возможный характер незамкнутых траекторий остается невыясненным. Деталь-
Детальное рассмотрение возможного характера незамкнутой траектории будет
проведено в § 4.
6. Сопоставление геометрической интерпретации в пространстве В3
и геометрической интерпретации на фазовой плоскости. Как мы уже указы-
указывали, каждому решению системы (I) соответствует в jRs интегральная
кривая.
Траектория, очевидно, является проекцией этой интегральной кривой
на плоскость (х, у). Из леммы 4 следует, что в траекторию проектируются
те и только те интегральные кривые пространства R3, которые получаются
из одной такой кривой (и, следовательно, друг из друга) сдвигом на про-
произвольный отрезок вдоль оси t. Таким образом, устанавливается есте-
естественное соответствие между траекториями динамической системы на
фазовой плоскости и интегральными кривыми в пространстве Rs. При этом
могут представиться следующие случаи в зависимости от характера
траектории L:
1) L есть состояние равновесия М (а, Ь). Соответствующая инте-
интегральная кривая в R3 является прямой х = а, у = Ъ, параллельной
оси t и проходящей через точку М. При сдвиге вдоль оси i эта прямая
переходит сама в себя.
2) L есть замкнутая траектория, соответствующая решению с перио-
периодом 60. Соответствующие интегральные кривые имеют характер «винтовых
линий» с шагом 60 и проектируются в траекторию L. При сдвиге
вдоль оси t на отрезок С каждая интегральная кривая переходит в другую
кривую, если С не кратно 90, и сама в себя, если С кратно 60 (рис. 3).

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ
31
3) L — незамкнутая траектория. Каждая интегральная кривая, соот-
соответствующая траектории L, при любом сдвиге вдоль оси t, отличном
от нулевого, переходит в другую интегральную кривую (рис. 4).
Подчеркнем следующие элементарные факты. Точка, двигаясь но
траектории, отличной от состояния равновесия (т. е. «изображающая
точка» с координатами х = ф (t), у = я)) (?)), не может стремиться к точке
какой-либо отличной от нее траектории при t, стремящемся к конечному
значению. Действительно, в про-
противном случае интегральные
кривые в пространстве (z, у, t)
пересекались бы, что невозможно
Рис. 3.
Рис. 4.
в силу теоремы 1. В частности, точка, двигаясь по траектории, отлич-
отличной от состояния равновесия, может стремиться к состоянию равновесия
либо при I стремящемся к -}- оо, либо при ? —»¦ — оо.
7. Направление на траектории. Изменение параметризации. Пусть
L — траектория системы (I) и х = ф (t), У = ty (t) — какое-нибудь
соответствующее ей решение. ^
Мы введем на траектории L определенное направление в качестве
положительного. Именно, будем считать положительным направлением
на L направление в сторону возрастания t. При таком определении можно
сказать, что положительное направление в каждой точке траектории L
совпадает с направлением вектора, заданного в этой точке системой (I).
Пользуясь «кинематической» интерпретацией, можно сказать, что
положительное направление на L есть то направление, в котором точка
с координатами ф (?), ty (t) движется по траектории при возрастании t
и при котором направление ее скорости в каждой точке совпадает с направ-
направлением фазовой скорости.
Введенное таким образом положительное направление на L не зависит
от того, какое из решений, соответствующих траектории L, мы возьмем
(так как все такие решения получаются одно из другого заменой t на
t + C).

32 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ И НА СФЕРЕ [ГЛ. I
В дальнейшем мы будем обычно опускать слово «положительное»,
т. е. под направлением на траектории L системы (I) мы будем подразуме-
подразумевать положительное направление, определяемое (или, как говорят, инду-
индуцируемое) на L этой системой.
Рассмотрим наряду с системой (I) систему
%L=-P(z,y), dJf=-Q{x,y). (Г)
Векторное поле системы (I') получается из векторного поля системы (I),
если изменить направление каждого вектора на противоположное (не
меняя длин векторов).
Непосредственной проверкой устанавливается, что каждому решению
x = v(t), y = $(t) B3)
системы (I) соответствует решение
системы (I'). Отсюда очевидно, что системы (I) и A') имеют одинаковые
траектории, но индуцируют на траекториях противоположные направле-
направления. Таким образом, переход от системы (I) к системе (I') можно рассма-
рассматривать, как изменение параметризации на траекториях, именно, как
замену параметра t параметром —t.
Рассмотрим более общий случай изменения параметризации на траек-
траекториях системы A). Пусть / (х, у) — функция класса Ct, заданная в обла-
области G. Предположим, что функция / (х, у) отлична от нуля во всех точках
области G, отличных от состояний равновесия системы A), и имеет в них
один и тот же знак.
Рассмотрим наряду с системой (I) систему
-% = Р* (*' У) = Р <ж' V) f <*' »>• ^7 = <?* <*• у) = *? ^ у) f (ж' у)- (Р)
В силу предположений, сделанных относительно^ функции / (х, у),
очевидно, что состояния равновесия системы (I) совпадают с состояниями
равновесия системы (I*).
Лемма 8. Если
ЗС —¦ CD I v J• JJ — 41) it) I /j*} I
есть решение системы (I), причем соответствующая ему траектория
отлична от состояния равновесия, то существует монотонная функ-
функция класса Су t = P (s) такая, что пара функций
является решением системы (I*).
Доказательство. Задавая какое-нибудь начальное значение/0,
'о€(т, Т), где (т, Т) — интервал определения решения B5), и произволь-
произвольное s0, рассмотрим следующую функцию s(t):
t
s= ¦ ¦ dt
Так как / (х, у) не обращается в нуль в точках, отличных от состоя-
состояний равновесия, то s(l) является монотонной функцией класса Си опре-
определенной на интервале (т, Т). Очевидно, существует обратная функция

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ 33
fj(s), определенная в некотором интервале (a, S), также класса Ct
'Монотонная. Очевидно,
роэтому
TJ - 3JP • ? - о <» да.»mi
Последние соотношения показывают, что функции B6) являются реше-
решением системы (I*). Нетрудно видеть, что (a, S) является максимальным
интервалом определения решения B6), так как в противном случае интер-
интервал (т, Т) не был бы максималь-
максимальным для решения B5). Лемма f(x,y)-0
доказана.
Уравнения B5) и B6) явля-
являются, очевидно, различными па-
параметрическими уравнениями
одной и той же траектории. По-
Поэтому из леммы 8 следует, что
динамические системы (I) и (I*)
имеют одни и те же траекто-
траектории, но с различными парамет-
параметризациями на них. При перехо-
переходе от системы (I) к системе (I*)
направления на траекториях
остаются неизменными, если
/ (х, у) > 0, и меняются, если Рис- 5-
f{x,y)<0.
Предположим теперь, что функция f (x, у) может обращаться в нуль
в точках, отличных от состояний равновесия системы (I), а также может
менять знак в области G. Рассмотрим снова систему (I*). Очевидно, состоя-
состояниями равновесия системы (I*) являются все состояния равновесия систе-
системы (I), а также все точки области G, которые не являются состояниями
равновесия системы A), но в которых / (х, у) — 0.
Кривая
/(*,») = О
называется особой линией системы (I*) (каиедая точка этой кривой является
состоянием равновесия системы (I*)).
Рассмотрим теперь траекторию L системы (I), отличную от состояния
равновесия. Если на траектории L функция / (х, у) Ф 0, то так же,
как и выше, L является траекторией системы (I*) с измененной, вообще
говоря, параметризацией.
Если же на траектории L имеются точки кривой / (х, у) = 0, то все
точки L, отличные от этих точек, распадаются, как легко видеть, на
конечное или счетное число гладких кривых, являющихся траекториями
системы (I*) (рис. 5). Направление на каждой такой траектории совпадает
с направлением на L, если на этой траектории / (х, у) >> 0, и не совпадает
в противном случае.
3 А. А. Андропов и др.

dx
dt
V)
У) '
dy
dt
У)
У)
34 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ И НА СФЕРЕ [ГЛ. f
Таким образом, каждая траектория системы (I) либо является траек-
траекторией системы (I*), либо состоит из конечного или бесконечного множе-
множества траекторий системы (I*) *).
В дальнейшем, в ряде предложений и в примерах мы неоднократно
будем встречаться с динамическими системами вида
(I**)
где Р (х, у), Q (х, у) — функции класса CN (N > 1) или аналитические,
/ (х, у) — функция класса CN или аналитическая, которая может обра-
обращаться в нуль в области G (в которой рассматривается система). Очевидно,
в точках, где / (х, у) = 0, правые части рассматриваемой системы (]**)
не определены. Однако при указанном виде правых частей можно путем
замены параметра t привести рассмотрение системы (I**) к рассмотрению
системы вида (I).
Действительно, полагая при х и у, необращающих в нуль / (х, у),
dt = f (х, у) dx, мы получаем систему
% = P{x,y)t 2jL = Q(z,y). (I***)
Эту же систему мы будем рассматривать при х и у, обращающих в нуль
функцию / (х, у) (что соответствует доопределению по непрерывности),
так что система (I***) будет определена во всей области G. Очевидно, во
всякой части области G, в которой / (х, у) не обращается в нуль, траекто-
траектории системы (I**) и (I***) совпадают как точечные множества, однако,
параметры на них различны. При этом там, где / (ж, у) > 0, направление
по т совпадает с направлением по t, а там, где / (х, у) < 0 — противопо-
противоположно ему. Точки с координатами х и у, обращающими в нуль функцию
/ (х, у), в которых правые части системы (I**) не определены, естественно
выделять и считать не принадлежащими траекториям системы (I**) (к такпл
точкам, как нетрудно убедиться на простых примерах, точка по траектории
может стремиться при t, стремящемся к конечному значению).
8. Терминология и обозначения. В случае, когда решения, соответ-
соответствующие данной траектории L, определены для всех значений t (— со <г
<С I <Z + оо), мы будем иногда, желая подчеркнуть это, называть такую
траекторию L целой траекторией. В силу теоремы 2 всякая траектория,
лежащая в ограниченной части плоскости, у которой расстояние любой
ее точки от границы области G больше некоторого q0 > 0, заведомо являет-
является целой траекторией.
Обратное неверно. Траектория, у которой есть точки, сколь угодно
¦ близкие к границе области G, может как быть, так и не быть целой траек-
траекторией.
Пусть Мо — точка траектории L, которая при выбранном решении
соответствует значению t = t0. Если решение определено при всех /
(t >- /0), то множество точек траектории L, соответствующих значениям
t ;> t0, называется положительной полутраекторией, выделенной из
*) Это множество может быть и несчетным, так как на траектории L может лежать
несчетное множество состояний равновесия системы (I*), т. е. точек кривой / (х, у) ~
= 0. Однако число траекторий системы (I*), лежащих на L и отличных от состояния
равновесия, всегда либо конечно, либо счетно. На рис. 4 траектория L системы (I)
состоит из 7 траекторий системы (I*), три из которых — состояния равновесия Sit

траектории L, и обозначается через Lc+ или Ькм0. Аналогично если решение
определено при всех tt^.tc, то множество точек траектории L, соответ-
соответствующих значениям t^.t0, называется отрицательной полутраекто-
полутраекторией, выделенной из траектории L, и обозначается через &~ или L(uv
Очевидно, если взять другое решение, соответствующее траекто-
траектории L, при котором точке Мо соответствует значение ^ -ф t0, то точки
полутраектории Ь[щ (или М/'о) будут соответствовать значениям t >-
> ti(t^. ti). Точку Мо мы иногда будем называть «концом» полутраектории.
В дальнейшем нам часто придется рассматривать полутраекторию без
указания на то, является ли она положительной или отрицательной.
В этом случае мы будем обозначать полутраекторию через U ' или L\i0.
В случае, когда траектория L является состоянием равновесия или
замкнутой траекторией, всякая положительная и всякая отрицательная
полутраектория, выделенная из нее, совпадает с ней самой. Полутраекто-
Полутраекторию, выделенную из незамкнутой траектории, мы будем называть незамк-
незамкнутой полутраекторией, а полутраекторию, выделенную из замкнутой
траектории (очевидно, совпадающую с этой траекторией), будем называть
замкнутой полутраекторией.
В математической литературе решение системы (I) часто называют
движением. Эта терминология находится в соответствии с «кинематиче-
«кинематическим» истолкованием динамической системы. Мы также будем пользо-
пользоваться этой весьма употребительной терминологией. Таким образом,
мы будем говорить о движении, соответствующем данным начальным
значениям, о траектории, соответствующей данному движению, о движе-
движении, соответствующем данной траектории, или, иначе, о движении на
траектории (т. е. о решении, соответствующем данной траектории), о перио-
периодическом движении и т. д.
Будем также говорить, что траектория L при t = tD проходит через
точку Мо, подразумевая при этом, что на траектории L выбрано некото-
некоторое определенное движение и при этом движении точке Мо соответствует
значение I = t0. Точно так же мы будем говорить: «точка Д/j траекто-
траектории L соответствует значению t = ?j» или «траектория при t = tt пере-
пересекает данную дугу h и т. д., подразумевая под этим, что при данном
выбранном движении на L точка Л/j или общая точка траектории L и дуги I
соответствует значению t = ti и т. д.
Мы будем часто пользоваться следующими выражениями: «траекто-
«траектория L при возрастании (или убывании) входит в данную область или
выходит из данной области», «траектория при I >> То остается в данной
области» и другими аналогичными выражениями, не требующими пояс-
пояснения. Кроме того, укажем следующие обозначения. Если
* = ф@. У = У(() B.8)
— какое-нибудь движение (т. е. решение), то точку с координатами
<р(/), if(t) мы будем обозначать через М (t) и решение B8) — через
M — M{t). Если указаны начальные значения, которым соответствует
рассматриваемое движение, т. е. движение (решение) записано в виде
ж=ф(/ —10, Хо, у о), y = -ty(t — t0, х0, у0), B9)
то, обозначая через Мо точку х0, у0, мы будем записывать точку
с координатами ф(< —/0, х0, у0), ty(t — t0, xD, у0) в виде М (t — tD, ' Ма)
и решение B9) — в виде М' = М (t — /0, MQ).
3*

36
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ И НА СФЕРЕ
[ГЛ. I
9. Теорема о непрерывной зависимости от начальных значений. Наря-
Наряду с теоремой о существовании и единственности решения основной теоре-
теоремой теории дифференциальных уравнений является теорема о непрерывной
зависимости от начальных значений (см. дополнение, § 8).
Мы сформулируем здесь эту теорему для рассматриваемых нами
автономных систем вида A).
Теорема 4. Пусть х = ф (t — t0, х0, у0), у = ty (t — t0, x0, y0) —
решение системы (I), определенное на интервале (т, Т), а т4 и т2 (tj > 0, существует такое т) >> 0, что, если
о — х* |<т),
— У* ! ¦
то решение x — q>(t — t0, х*, у*), y = ty(t —10, x*, у*) определено при
всех значениях t, т1^.
неравенства
и при всех этих значениях t выполняются
)—y(t-tD, х*,
— ^{t--t0, x*,
Замечание. Функции ф (t — tD, хв, у0), ty (t — t0, х0, у0) по
самому своему определению являются непрерывными функциями t — t0.
Так как в силу настоящей те-
теоремы эти функции непрерывны
по переменным х0, у0 и равно-
равномерно непрерывны относитель-
относительно t на всяком замкнутом конеч-
конечном промежутке значений t, то,
очевидно, эти функции непрерыв-
непрерывны по совокупности своих аргу-
аргументов при всех тех значениях
этих аргументов, при которых
они определены.
Теорема 4 может быть так-
также сформулирована в следующей
основном будем пользоваться
Рис. 6.
геометрической форме, которой мы в
в дальнейшем.
Теорема 4'. Пусть Мо (х0, у0) и Mi (хи у\) — две точки про-
извольной траектории L, соответствующие значениям t0 и 1^ переменного t.
Тогда для любого е > 0 можно указать такое б > О, что если точка
М'о 6 U6 (Мо), то проходящая через эту точку при t = t0 траектория L'
определена для всех t в промежутке to^:t^.t1 (или t0 > t > ?t) и точ-
точка М' траектории L', соответствующая любому значению I из этого про-
промежутка, лежит в е-окрестности точки М траектории L, соответ-
соответствующей тому же t (рис. 6).
Докажем лемму, непосредственно вытекающую из теоремы 4.
Лемма 9. Пусть К — замкнутое ограниченное множество, целиком
лежащее в G. Всегда существует h0 > 0 такое, что при любом t0 решение
х0,
= \p(l—t0, х0, у0)
C0)
для любой точки Мо (х0, у0)
из промежутка t0
К заведомо определено при всех значениях t
t0 -f- h.

Доказательство. Предположим, что лемма несправедлива,
т. е. для любого h > 0 найдется такая точка М ? К, что решение C0),
которое мы для краткости запишем в виде
M = M{t — t0, И),
не определено на всем сегменте \t0 — h, tD + h]. Тогда существует после-
последовательность стремящихся к нулю положительных чисел {ht} и последо-
последовательность точек {Mi} множества К таких, что решение
M = M(t—t0, Мп)
не определено на всем сегменте [t0 — kn, t0 + hn]. Так как по предполо-
предположению К — замкнутое ограниченное множество, то из {Mi} всегда можно
выбрать последовательность, сходящуюся к некоторой точке М* множе-
множества К. Поэтому мы можем без ограничения общности считать, что сама
последовательность {Mi} сходится к некоторой точке Ж* ? К.
Рассмотрим решение
M = M(t—t0, М*).
Всегда существует h* > 0 такое, что это решение во всяком случае
определено при значениях t на сегменте \t0—h*, tD + h*]. В силу тео-
теоремы 4 тогда п всякое решение
при достаточно большом п определено на сегменте [t0 — h*, t0 -f- h*\.
Ho hn <Z h* при достаточно большом п (так как hn -v 0), и, следовательно,
решение М = М (t — t0, Mn) должно быть определено при всех значе-
значениях t из сегмента [?0 — hn, t0 + hn], что противоречит выбору точек Мп.
Лемма доказана.
10. Замена переменных. Предположим, что область определения G
системы (I) ограничена, и рассмотрим регулярное отображение этой
облает» на некоторую область G* плоскости (и, v) (о регулярном отобра-
отображении см. дополнение, § 6).
Пусть это отображение задается формулами
x^f(u, v), y = g(и, v) (Т)
или эквивалентными им формулами
« = /*(*. У), v=g*{x,y), (Т*)
где функции /, g, /*, g* являются функциями класса С2. Мы будем пред-
предполагать также, что G* — ограниченная область; для этого необходи-
необходимо и достаточно, чтобы функции /* и g* были ограниченными в области G.
Переменные и и v можно рассматривать, как известно, не только
как декартовы координаты на плоскости (и, v), но и как криволинейные
координаты в области G плоскости (х, у). Тогда (Т) и (Т*) являются форму-
формулами замены переменных или преобразования координат.
Пусть после перехода к координатам и, v система (I) принимает вид
^ = U{u,v), ^r = V(u,v). C1)

38 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ И НА СФЕРЕ Ll'JI. I
При этом мы имеем, очевидно,
U (и, v) = ^P(f(u, v), g(u, v)) + ^?-Q(f(u, v), g{u,v)),
ds* ds* C2)
V(u, v) = -f-P(f(u, v), g(u, v)) + -±-Q(f(u, v), g(u, v)).
Таким образом, при переходе к новым координатам и, v вектор т
с координатами Р (х, у), Q (х, у) преобразуется в вектор т* с коорди-
координатами U (и, v), V (и, v), связанными с Р (х, у), Q (х, у) выражениями C2).
При отображении (Т) всякая траектория системы (I)
переходит в траекторию системы C1)
и = Ф* (*) = /* (Ф (t), У (t)), v = q* (t) = g* (Ф (t), у @), C3)
и, обратно, при отображении (Т*) траектории системы C1) переходят
в траектории системы (I). Нетрудно убедиться непосредственно, что пара
функций C3) является решением системы C1).
В дальнейшем мы будем рассматривать не только регулярные преобра-
преобразования координат. В частности, мы часто будем пользоваться переходом
к полярной системе координат, который, очевидно, не является регуляр-
регулярным преобразованием координат *). По поводу перехода к полярной
системе координат мы сделаем необходимые пояснения в дальнейшем,
при его использовании.
11. Дифференциальное уравнение, соответствующее динамической
системе. Если разделить одно уравнение системы (I) на другое, то мы
получим либо дифференциальное уравнение
Лу __ Q (х, у)
dx — Р(х, у) '
либо дифференциальное уравнение
dx _ Р (х, у) .ур.
dy ~Q{x, у)' { >
Рассмотрим сначала уравнение (II). Пусть Мо (х0, у0) — какая-нибудь
точка области G. В силу теорзмы о существовании и единственности
решения, если при значениях х0, у0, Р (х0, у0) Ф 0, то существует един-
единственное решение
У = Нх),
соответствующее начальным значениям х0, у0, и, следовательно, един-
единственная интегральная кривая уравнения (II), проходящая через точку
*) Действительно, при преобразовании к полярным координатам
x=qcos6, y=Qsin6,
во-цервых, нарушается взаимная однозначность, а во-вторых, функциональный детер-
детерминант
дх
dQ dQ
дх ди
ae дв
обращается в нуль при q = 0.

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ
39
Ф?о (#о» J/о)- В каждой точке этой кривой угловой коэффициент касатель-
касательной задается уравнением (II).
Пусть х = ф (t), у = яр (t) — решение системы (I), соответствующее
начальным значениям t0, х0, у0. Выражая t вблизи значений t0, х0, у0
как функцию х, t = у \х) (это возможно в силу того, что по условию
<Р' (^о) — Р (#о> У о) ?= 0) и подставляя в функцию у — ijj (t), мы, как
нетрудно видеть, получаем решение уравнения (II)
у
к точке
Р (zu f (
уравнение
Q
О
M[xf f(xO
Рис. 7.
Очевидно, интегральная кривая уравнения (II) в точках, в которых она
определена, совпадает с траекторией системы (I) или является частью
этой траектории.
Предположим, что решение у = f (х) определено на интервале
(xiy x2) *), и пусть х стремится к одному из концов этого интервала,
например х —>- Х\ (все сказанное в этом
случае может быть повторено для случая,
когда х—>х2). На основании общих теорем
нетрудно видеть, что если при х—ух^ точ-
точка с координатами (х, f (x)) не стремится
к границе области G, то она стремится
М (хи f (Xj)), для которой
) = 0, т. е. к точке, в которой
ур (II) теряет смысл. Если при
этом Q (xit f (xi)) =#= 0, то точка М, оче-
очевидно, является такой точкой траектории
системы (I), в которой касательная парал-
параллельна оси у (рис. 7). В окрестности такой
точки естественно рассматривать уравнение
(II*), и как «продолжение» интегральной
кривой, соответствующей данному реше-
решению у = / (х) уравнения (II), рассматривать интегральную кривую урав-
уравнения (П*), проходящую через точку М (хи f (x^). Очевидно,
в окрестности всякой точки, в которой ни Р (х, у), ни Q (х, у) не обра-
обращается в нуль, решение уравнения (II*) может быть получено из реше-
решения у = f (х) уравнения (II), если в нем х выразить как функцию у, х =
= g (у), а части соответствующих интегральных кривых уравнений (II)
и (Н*), лежащие в достаточно малой окрестности такой точки, совпадают.
Совершенно аналогично в точке N (g (yi), j/i), в которой Q {g (у4), yY) =
= 0, а Р (g (j/j), yx) Ф 0, естественно «продолжением» интегральной кри-
кривой уравнения (II*) считать проходящую через эту точку интегральную
кривую уравнения (II).
Нетрудно убедиться в том, что множество точек, состоящее из точек
интегральной кривой уравнения (II). проходящей через некоторую,
отличную от состояния равновесия системы (I) точку Мр (хв, у0) области G
и всех «продолжений» этой интегральной кривой в указанном выше смысле,
совпадает с траекторией, проходящей через точку Мо.
Таким образом, одновременное задание уравнений (II) и (II*) опреде-
определяет все траектории системы (I), отличные от состояний равновесия.
Но в то время, как при рассмотрении системы (I) траектории определяются
*) Напомним, что решением дифференциального уравнения мы всегда называем
решение, продолженное на максимально возможный интервал значений независимого
иеременяого (см. дополнение, § 8).

40 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ^В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ И НА СФЕРЕ [ГЛ. I
с помощью параметрических уравнений, при рассмотрении уравне-
уравнений (II) и (II*) траектории определяются уравнениями в переменных х и у
(уравнениями в декартовых координатах). В дальнейшем, рассматривая
одновременно дифференциальные уравнения (II) и (II*), мы не будем
выписывать оба эти уравнения: выписывая одно из этих уравнений, мы
будем подразумевать, что рассматриваются оба. Мы будем также пользо-
пользоваться следующими симметричными относительно х и у записями уравне-
уравнений (II) и (II*), именно:
it I iC^ 7J) C&7J '— f^ ( 3i f у \ CtJC — \J
или
(Jx dy /t i т\
p7 \ = d~l \' (-l-ll)
Траектории системы (I), отличные от состояния равновесия, мы
будем называть интегральными кривыми уравнения (III) (а также, не
совсем точно, интегральными кривыми уравнения (II) или (П*)).
Точки, в которых одновременно
Р(х, у) = 0 и Q(x, у) = 0
и оба уравнения (II) и (II*) теряют смысл, называются особыми точками
уравнений (II), (П*) или (III). Таким образом, состояниям равновесия
системы (I) соответствуют особые точки уравнении (II), (II*) или (III)
и, наоборот, особым точкам — состояния равновесия.
В то время, как система (I) определяет в облает» G фазовой плоско-
плоскости векторное поле, состоящее из векторов v {x, у) с компонентами
Р (х, у), Q (х, у) (см. п. 5), уравнение (III) (или пара уравнений (II)
и (П*)) определяет поле направлений или поле линейных элементов. Линей-
Линейным элементом называется точка М и проходящий через эту точку нена-
ненаправленный прямолинейный отрезок, для которого М является внутрен-
внутренней точкой. Поле линейных элементов, определенное уравнением (III),
получается, если через каждую точку М (х, у) области провести прямо-
прямолинейный отрезок, имеющий угловой коэффициент -yrz^T (если Р (х^ У) =
= 0, то соответствующий отрезок параллелен оси у).
Очевидно, линейный элемент, соответствующий точке М (х, у),
лежит на касательной к траектории, проходящей через точку М.
Если функция класса С^ f (x, у) не обращается в нуль в области G,
то системе
~=Р{х, у)f{x, у), -5" = <?(*, y)f(x, у) (Р)
(см. п. 7) соответствует, очевидно, то же дифференциальное уравнение (III)
dx _ dy
Р(х, y)~~Q(x, у) '
что и системе
^- = Р(х,у), %=Q{x,y). (I)
Отсюда вторично вытекает доказанное в п. 7 утверждение, что системы
(I) и (I*) имеют одни и те же траектории*).
*) Если функция / (х, у) обращается в нуль в точках области С, то, рассматривая
—
dvc {уу)
щиеся состояниями равновесия системы (I)), для которых / (х, j/) =
уравнение — =^; '^' , мы, очевидно, «теряем» особые точки системы (I*) (неявляю-
dvc Р{ху)

g 1] ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ. ОБЛАСТИ 41
12. Изоклины. Кривые, расположенные в области G и имеющие урав-
уравнение
<?(*, у)-С-Р(х, у) = 0 C4)
(С—постоянное) или уравнение
Р(х, у) = 0, C5)
называются изоклинами (линиями равного наклона) системы (I) или
уравнения (III). Эти кривые обладают, очевидно, тем свойством, что
траектории системы (I), проходящие через все отличные от состояний
равновесия точки каждой кривой, имеют в этих точках одинаковые направ-
направления касательных. Именно, угловые коэффициенты траектории в точках
изоклины C4) равны С, а в точках изоклины C5) равны оо. Таким обра-
образом, направление касательной к траектории меняется только при пере-
переходе точки с одной изоклины на другую. Изоклины Q (х, у) = О
и Р (х, у) = 0 называются главными изоклинами. В точках первой из них
касательные к траекториям горизонтальны, а в точках второй — верти-
вертикальны. Поэтому главные изоклины называют также изоклинами гори-
горизонтальных, соответственно вертикальных, наклопов.
Очевидно, все состояния равновесия лежат на каждой из изоклин
и, обратно, общие точки любых двух изоклин (различных) являются
состояниями равновесия системы. В частности, состояния равновесия
являются общими точками двух главных изоклин.
13. Понятия «интеграл», «интегральная кривая», «общий интеграл»,
использующиеся в классической литературе при рассмотрении аналити-
аналитических систем. В этом пункте мы введем понятия «интеграл», «интеграль-
«интегральная кривая», «общий интеграл» дифференциального уравнения или систе-
системы уравнений так, как это обычно делается в классической литературе
при рассмотрении аналитических дифференциальных уравнений и систем.
При этом термин «интегральная кривая», имеет несколько иное содержа-
содержание, чем то, которое внесено в этот термин в дополнении, § 8.
Мы останавливаемся здесь на указанных понятиях, не играющих
роли в излагаемой дальше теории ввиду того, что они часто используются
в дальнейшем при рассмотрении примеров.
Пусть рассматриваемая система (I):
dx n у . dy „ .
является аналитической в области G. Соответствующее этой системе диффе-
дифференциальное уравнение запишем в симметричной форме (III)
dx dy
Р(х, у) Q(x, у) ¦
Пусть функция F (х, у) удовлетворяет следующим условиям:
а) она является аналитической во всех точках кривой, заданной
соотношением
F(x,y) = 0, C6)
б) во всех точках кривой C6) тождественно выполняется равенство
П(х, у) Р(х, y) + Fy(x, y)Q{x, y)=0. C7)

42 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ II НА СФЕРЕ [ГЛ. I
Тогда соотношение C6) называется интегралом или частным интегралом
уравнения (III) или системы (I), а кривая, определяемая этим соотноше-
соотношением, интегральной кривой уравнения (III) или системы (I).
Пусть F (х, у) = 0 — интеграл системы (I). Рассмотрим соответ-
соответствующую интегральную кривую. Эта кривая может иметь в числе своих
точек состояния равновесия системы (I), а также точки, в которых одно-
одновременно F'x (х, у) -— F'y (х, у) = 0, т. е. особые точки кривой C6).
Покажем, что всякий «кусок» интегральной кривой, не содержащий
состояний равновесия системы (I) и не имеющий особых точек, является
траекторией системы (I) или представляет часть такой траектории.
В самом деле, рассмотрим произвольную точку Мо (х0, ус) такого
куска кривой C6). Предположим, что в этой точке F'y (х0, у0) Ф 0.
Тогда в некоторой окрестности точки Мо кривая может быть задана
.f, ч dy ,, , , F'x (х> У)
уравнением вида у = у (ж), причем ~~ = J (Х)= %—. -г- для всех точек
ах j<v (х, у)
кривой в этой окрестности. Так как F'y (х0, у0) Ф 0, то в окрестности
точки М0 F'y (x, у) также отлична от нуля. Из соотношения C7)
F'x(x, y)P(x, y) + F'v{x, y)Q(x,y)=0
следует, что Р (х, у)фО в окрестности точки Мо и что
dy f,M F'x{x,y) _ Q{x% y)
dx J W F-y(x,y)- P{x, y) ¦
Но это значит, что функция y = f(x) удовлетворяет уравнению (II):
dy = Q (х, у)
dx Р(х, у) *
Аналогично рассматривается случай, когда F'x (х0, у0) Ф 0. Таким обра-
образом, рассматриваемый кусок кривой C6) является куском интегральной
кривой в смысле п. 11, т. е. представляет траекторию или часть траекто-
траектории системы (I).
Рассмотрим теперь семейство кривых
F(x, у, С) = 0, C8)
определенное для значений С в некоторой области (обычно в некотором
интервале). Соотношение C8) называется ~общим интегралом уравне-
уравнения (Ш) или системы (I), если каждая кривая семейства C8) является
интегральной кривой в определенном выше смысле и если каждая точка
области G принадлежит по крайней мере одной из кривых C8).
Из этого определения следует, в частности, что если некоторая функ-
функция Ф (х, у) определена в области G и является аналитической во всех
точках этой области, за исключением, быть может, состояний равновесия
системы (I), и удовлетворяет в области тождеству
Ф'х(х, у)-Р(х, у) + Ф'у(х, y)-Q{x, у) = 0,
то соотношение
Ф(х, у) = С C9)
является общим интегралом системы (I).
Если у системы (I) (или уравнения III) существует общий интеграл
вида C9), причем Ф (х, у) есть функция, аналитическая во всех точках

§ 1J ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ 43
области G, то, говорят, что система (I) {или уравнение (III)) имеет в обла-
области G аналитический интеграл *).
Знание аналитического интеграла системы (I) в некоторых частных
случаях помогает проводить качественное исследование системы (I).
14. Примеры. Мы приведем здесь ряд простых примеров динамических
систем, поясняющих материал, изложенный в предыдущих пунктах.
Во всех указанных примерах динамические системы определены
на всей плоскости.
Приведем сначала два простейших примера динамических систем
без состояний равновесия.
Пример 1.
dx _ . dy __ „
Траектории — прямые, параллельные оси х:
Состоянии равновесия, очевидно, нет, все траектории (совпадающие
с интегральными кривыми) являются целыми траекториями.
Пример 2.
=1 =
dt ' dt
*/ = tg(* + Ci), x = t-\~c2.
Состояний равновесия нет, траектории не являются «целыми траекто-
траекториями» ввиду того, что точки па этих траекториях уходят в бесконеч-
бесконечность при t, стремящемся к конечному значению. Именно, у —
= tg(t + d) —> оо при ; + ct -> -ЛЛ B/v + 1).
Пример 3.
dx dy ///-,,
где аА и аг имеют одинаковые знаки.
На плоскости (х, у) (т. е. на фазовой плоскости системы D0)) эта
система задает векторное поле, примерно изображенное на рис. 8, а при
аг < 0, а2 < 0 и на рис. 8, б при ах > 0, а2 > 0. Прямые на этом рисунке
являются изоклинами.
Система D0), очевидно, имеет единственное состояние равновесия
О @, 0). Решая систему D0) как линейную с постоянными коэффициента-
коэффициентами, легко видеть, что решение, соответствующее начальным значениям
*о, ж0, у0, имеет вид
х = xoeai (f-*o), у = уоеа* <f~f»>. D1)
Очевидно, в согласии с леммой 3 это решение является функцией t —• t0.
*) В частности, системами опда (I), имеющими аналитический интеграл, являют-
являются так называемые гамильтоповы системы, о которых уже говорилось во введении:
dx_dll dy _ дН
lit ~~ ду ' dl ~~ ~ ду '
где Н (х, у) — аналитическая функция. II (х, у) = С является аналитическим инте-
интегралом (так называемым «интегралом энергии») этой системы.

44
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ И НА СФЕРЕ [ГЛ. I
Траектории системы D0) проще всего получить, исключая t в урав-
уравнениях D1), т. е. переходя к декартовым координатам.
Мы получаем
Полагая при уо=^=0 —~~~- = С, мы получим «параболы»
у — Сх0-^0-1 — 0, D2)
а при уо=О
х = 0. D3)
Из D2) при С —0 мы получаем у — О.
. Нетрудно видеть, что если перейти от системы D0) к одному урав-
уравнению, например, записанному в виде
или в виде
dy
dx ~
dy
сцх
dx
D4)
и проинтегрировать его, то в качестве интегральных кривых в смысле
п. 13 мы получим «параболы» D2) и две оси координат.
а)
Рис. 8.
Отметим здесь же, что, как было указано в п. 13, уравнение D4)
задает поле линейных элементов: оно представлено на рис. 9.
Траекториями системы D0) являются те части (половины) парабол
D2) и координатных осей х = 0 и у = 0, на которые эти кривые разби-
разбиваются состоянием равновесия О @, 0). Из соотношений D1) видно, что
если aj < 0, az <Z 0, то точка на любой, отличной от О траектории, стре-
стремится к состоянию равновесия О при t -> + оо, а если а, > 0, а2 > 0,
то при t ->- — оо. Мы будем сокращенно говорить, что траектория стре-
стремится к состоянию равновесия О соответственно при t -> -J- оо или
t —>• — оо.

1]
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ
45
Напоминаем, что когда «изображающая» точка, двигаясь по отличной
от состояния равновесия траектории, стремится к некоторому состоянию
равновесия А (х0, у0), то при этом ; t\ -»- <х. Действительно, как это уже
указывалось в п. 6, если бы t стремилось к конечному значению т, то это
означало бы, что через точку прост-
пространства (х, у, t) с координатами т,
х0, у0 проходят две интегральные кри-
кривые: одна — прямая, параллельная оси
t, соответствующая состоянию равнове-
равновесия А (х0, у0), и другая, соответствую-
соответствующая траектории L. Это, очевидно, про-
противоречит теореме о существовании и
единственности решения.
Таким образом, разбиение на траек-
траектории, определенное системой D0) (с ука-
указанными на траекториях направлени-
направлениями *)), имеет вид, указанный на рис. 10.
Состояние равновесия такого типа на-
называется узлом, устойчивым в случае „ „
at < 0, «2<0 (рис. 10, а) и неустойчи-
неустойчивым в случае at>0, a2>0 (рис. 10, б).
Рассмотрим еще интерпретацию решении системы D0), т. е. интег-
интегральные кривые системы D0) в трехмерном пространстве R3 с координатами
Рис 10.
х, у, t. Из формул D1) следует, что интегральными кривыми системы D0)
в пространстве (х, у, t) являются:
1) ось t, т. е. х = 0, у — 0 (эти уравнения получаются из уравне-
уравнений D1) при х0 = у0 = 0); она проектируется в состояние равновесия О
фазовой плоскости;
*) Если особых линий нет, то для того, чтобы наметить напранлешге на траек-
траекториях, достаточно наметить направление в какой-либо одной точке, тогда во всех
других точках направление определяется из соображений непрерывности. Определить
же направление в какой-либо точке х0, у0, в которой Р (х0, у0) =/= 0, можно, вычисляя
в этой точке Р (х0, у0) и определяя в этой точке знак Р (х0, у0); если Р (х0, у0) >(),
то в точке (х0, yQ) dx/dt > 0, а значит, вблизи этой точки при движении по траектории
в сторону возрастания t x возрастает, что и определяет направления на траектории,
проходящей через точку (х0, у0). Совершенно аналогично можно наметить направле-
направления на траекториях, рассматривая знак dyldt в точке, в которой Q (х0, у0) М 0.

46
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОП ОБЛАСТИ И НА СФЕРЕ
ггл.
2) показательные кривые
х = xoe°i С-'о), i/ = О,
расположенные в координатных полуплоскостях х > 0, г/ = 0 или х < О,
г/ = 0 и асимптотически стремящиеся к оси t при ? —> + со, если а4 < О
(рис. 11, а), и при ? —»-— со, если at >¦ 0; этп кривые проектируются
в положительную и отрицательную полуоси абсцисс, являющиеся траекто-
траекториями системы;
3) показательные кривые
А> V", у -
аналогичные кривым типа 2);
4) кривые
расположенные на параболических цилиндрах у — Сха^а^ = 0 (С=^ 0)
с образующими параллельными оси t. Ось t разбивает каждый такой
У
а)
Рис. 11.
цилиндр на две «половины» и каждая интегральная кривая типа 4) лежит
целиком в одной половине цилиндра и асимптотически стремится к оси I
при ? -»- + со, если at < 0, а2 < 0 (рис. 11, б), при ? ->- — со, если
at > 0, й2 > 0. Интегральные кривые типа 4) получаются друг из друга
сдвигом вдоль оси ?. То же справедливо для интегральных кривых типа 2)
или 3).
Пример 4.
их
-dT=-v+ax-
-jt-= х-,-ау
D5}
(а — отличная от нуля постоянная).
Векторное поле, определенное этой системой (при а<0), изображено
на рис. 12. Решая систему D5) как линейную систему с постоянными коэф-

§ 1]
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Б ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ
4?
фициентами, мы получим решение, соответствующее начальным значе-
значениям t0, х0, у0 в следующем виде (оно, очевидно, является функцией
t — t0 в согласии с леммой 3):
¦о' [х0 sin (t —
Характер траекторий рассматриваемой системы удобнее исследовать,
переходя к полярным координатам. Пусть q0 и 6о — полярные коорди-
координаты точки Мо (х0, у0). Полагая
х = q cos 6, у = Q sin 6, нетрудно
найти уравнение траекторий
6 = 6(t), Q = Q(t) в полярных ко-
координатах (здесь 6 (Z), q (t)—не-
(t)—непрерывные функции от t, 6 (t) >¦ О,
6(го) = 6о, Q(Zo) = Qo)- Мы получим
после элементарных вычислений
е = еое°с-ч e = i—го+ео. D7)
Исключая ?, получаем
D8)
Уравнение D8) дает, очевидно, все
траектории системы D6). Если
q ф 0, эти траектории являются
логарифмическими спиралями.
При Qo = 0 получается состояние
равновесия О @, 0).
Первое из двух уравнений D7)
показывает, что все траектории
стремятся к состоянию равновесия
О при t -»- + со, если а<0 (рис.
13, а), и при t—>¦ — со, если, а > 0
(рис. 13, б). Состояние равнове-
равновесия такого типа, как в данном примере, называется фокусом, устойчи-
устойчивым в случае а<0и неустойчивым при а > 0 (точное определение фо-
фокуса будет дано в дальнейшем, в главе IV).
Уравнение
dx dy
12.
соответствующее системе D5), является однородным. Интегрируя его
с помощью подстановки — = и или - - = и, мы получим соотношение
х у
х- + if -Се
2aarctg;
= 0 D9)
или
2aarctg:;
e у ¦-
E0)
Первое из соотношений является общим интегралом системы (в смысле
п. 13) во всякой области, не содержащей точек оси у (т. е. точек х = 0),
а второе — во всякой области, не содержащей точек оси х. Однако, ни
одно из этих соотношений не является в строгом смысле слова общим

48
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ И НА СФЕРЕ
[ГЛ. I
интегралом системы в области, содержащей точку О. «Целую» интеграль-
интегральную кривую, расположенную в такой области, можно получить, «склеи-
«склеивая» куски кривых D9) и E0).
Рассмотрим интерпретацию в трехмерном пространстве. Как и в пре-
предыдущем примере, ось t является интегральной кривой системы D5)
в пространстве (х, у, t). Остальные интегральные кривые расположены
на цилиндрических поверхностях, имеющих своими направляющими спи-
спирали D8), а образующими — прямые, параллельные оси t. Эти интеграль-
интегральные кривые асимптотически приближаются к оси t при t —ь- + сю, если
а. < 0, и при t ->- — оо, если а > 0.
Отметим, что хотя формы траекторий в примерах 3 и 4 при aj < 0,
а2 <С 0 и ее < 0 (а4 > 0, uz > 0 и а > 0) соответственно существенно
а)
Рис. 13.
отличаются, но в некотором смысле поведение траекторий в томив другом
случае одинаково: именно, в обоих примерах все отличные от состояния
равновесия траектории при t —> -J- оо (или t —> — оо) стремятся к состоя-
состоянию равновесия.
) Впоследствии, уточнив понятие «качественной структуры» разбиения
на" траектории, мы будем считать в примерах 3 и 4 «качественную струк-
структуру» разбиения на траектории одинаковой.
Пример 5.
dt ~ y' dt ~х- (oi>
Эта система получается как частный случай системы D5) при
а = 0. Решения, соответствующие начальным значениям t0, x0, у0, имеют
вид
х = х0 cos (t —10) — у0 sin (t —10),
, \ (°2)
Непосредственной проверкой (или используя E2)) нетрудно убедиться, что
= С E3)
является общим интегралом системы. Таким образом, в этом случае систе-
система имеет аналитический интеграл.
Траекториями системы, очевидно, являются состояние равновесия
О @, 0) и замкнутые траектории — концентрические окружности с цеи-

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ Б ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ
49
тром в начале (рис. 14). Решения E2), соответствующие замкнутым траек-
траекториям — окружностям, являются периодическими функциями с перио-
периодом 2я.
Интегральными кривыми в трехмерном пространстве (ж, у, г) являются
ось t и винтовые линип, расположенные на круглых цилиндрах с направ-
направляющими E3). Шаг каждой винтовой
линии равен 2я (рис. 15).
Пример 6.
fix
иг
dt
= — у-
E4)
Векторное поле изображено на рис. 16.
Рис. 14.
Рис. 15.
Решение системы, соответствующее начальным значениям t0, х0, у0,
имеет вид
Ч У = У0е-('-'0)- E5)
Точка О@, 0) — состояние равновесия.
Система имеет аналитический интеграл
ху = С. E6)
Интегральными кривыми являются при С Ф 0 гиперболы E6) и при
С --= 0 — координатные оси х = О и у — 0. Каждая гипербола состоит
из двух траекторий (ее ветвей) и каждая из координатных осей — из трех
траекторий (состояния равновесия О и двух полуосей). Соответствующее
разбиение на траектории указано на рис. 17.
Из выражений E5) очевидно, что траектории, являющиеся полупря-
полупрямыми оси х (получающаяся из E5) при у0 - 0), стремятся к состоянию
равновесия при t —> — со, а траектории, являющиеся полупрямыми
оси у, при t —> -f- со. Других траекторий, стремящихся к состоянию
равновесия О, система не имеет.
Состояние равновесия такого типа, как у данной системы, называется
седлом. Траектории, стремящиеся к седлу О, в данном случае полупрямые
х =- 0 и у = 0 — называются сепаратрисами седла.
Траектории, сколь угодно близкие к сепаратрисе седла, при неогра-
неограниченном возрастании t удаляются от сепаратрис. Такое поведение траек-
траекторий, очевидно, ни в какой мере не противоречит теореме 4 (о непрерыв-
непрерывной зависимости от начальных значений), так как эта теорема рассматри-
рассматривает поведение близких траекторий только на конечном промежутке
значений t. Нетрудно убедиться в том, что если взять за исходную
¦4 А. А. Андронов и др.

50
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ И НА СФЕРЕ
ИГЛ. I
траекторию сепаратрису, то для любого конечного промежутка значений t
теорема 4, очевидно, выполняется. Но при увеличении рассматриваемого
промежутка величину б (см. теорему 4') нужно брать все меньше и меньше.
Рис. 16.
Рис. 17.
Рассмотрение интегральных кривых системы E4) в пространстве
(х, у, t) аналогично проведенному в предыдущих примерах, и мы его
опускаем.
Рассмотрим теперь несколько более сложных примеров, шюнно,
несколько примеров нелинейных динамических систем. При этом будем
рассматривать только разбиение на траекто-
траектории фазовой плоскости, заданное этими си-
системами, не обращаясь уже больше к про-
пространству (х, у, t), как в примерах линей-
линейных систем.
Сделаем предварительно следующее эле-
элементарное замечание, являющееся, однако,
весьма существенным для понимания неко-
некоторых основных свойств разбиения на траек-
траектории: в окрестности всякой точки, отличной
от состояния равновесия в «малом», траек-
траектории ведут себя «аналогично параллель-
параллельным прямым». Это наглядно иллюстрирует-
иллюстрируется рис. 18. Точный смысл этого утвержде-
утверждения, а также относящиеся сюда доказательства будут даны в п. 3 § 3.
Далее, сделаем еще одно предварительное замечание.
Пусть наряду с системой
Рис. 18.
-1 = С(*. У)
задана система
¦f{x, y)Q(x, у), -± = '
A)
у)Р(х, у), (If)
где / (х, у) — функция класса Сл-, или аналитическая, определенная
в той же области, что и система (I).

{ i] ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ 51
Легко видеть, что состояния равновесия системы (I) совпадают
с состояниями равновесия системы (If). В каждой точке области G рассмо-
рассмотрим векторы v и Vf, определенные соответственно системой (I) и (I/).
Если обозначить через Вив/ углы между положительным направлением
оси х и векторами v и vf, соответственно, то, очевидно,
, I/) "
Тогда тангенс угла между вектором v и вектором Vf дается выра-
выражением *)
Q±fP _Q
tg (В, - 9) = _?^_JL_ = /¦ E7)
Формулы E7) означают, как мы будем сокращенно говорить, что век-
векторное поле системы (]/) повернуто по отношению к векторному полю
системы (I) на острый угол, тангенс которого равен /.
Пример 7.
( )
, E8)
9L = x-y{x* + y*-l).
Легко видеть, что система E8) имеет вид системы (I/), в которой
Р (х, у) = — у, Q (х, у)=х и / (х, у) — х2 + г/2 — 1. Системой же
—*- — Р(х, у), -~- = Q(x, у) является система E1) примера 5. Отсюда
следует, что система E8), так же как и E1), имеет единственное
состояние равновесия О @, 0) и что векторное поле системы E8)
повернуто по отношению к нолю системы E1) на острый угол, тангенс
которого равен ж2-Цу2 — 1.
Этот угол, очевидно, положителен в точке, где (ж2 + у1 — 1) > 0,
и отрицателен, где (х" -\- у2 — 1) < 0, и равен нулю на окружности
Учитывая знак выражения х- -\- у" — 1, нетрудно убедиться в том,
что при С > 1 траектории системы E8) входят внутрь окружностей
х2 -|- у2 -- С и выходят из таких окружностей при С < 1. На рис. 19
показаны направления векторов поля системы E8) (нарисованные векторы
имеют одинаковую длину и этим отличаются от векторов системы E8)).
Непосредственной проверкой легко убедиться, что окружность
есть интегральная кривая системы E8) и, следовательно, является ее
замкнутой траекторией. В силу установленной выше связи между вектор-
векторными полями систем E1) и E8) траектории
х2~у2 = С E9)
системы E1) являются циклами без контакта для траекторий системы E8),
т. е. траектории системы E8) при С ф 1 ни в одной точке не касаются
*) Отметим, что в любой неособой точке области G скалярное произведение
= P2 + Q2 > 0. Следовательно, векторы v и Vj не перпендикулярны.
4*

52 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ И НА СФЕРЕ [ГЛ. I
окружностей E9). Окружность же
является одновременно траекторией обеих систем E1), E8).
На основании всего вышеизложенного представляется геометрически
очевидным, что траектории системы E8) имеют характер, представленный
\
Рис. 19.
Рис. 20.
на рис. 20. Строго можно доказать это либо, пользуясь общей тео-
теорией, изложенной в пп. 11 —13 § 3, либо, найдя уравнения траекторий
в полярных координатах.
Полагая
x = qcosB, j/=Qsin6
или
q2 = х% + у2, 6 = arctg — ,
мы найдем
dt
dQ
dt
- dt
dy
dt
dx
(CO)
-1
Интегрируя последнее уравнение, мы получим
1 1
1—Се
-26
F1)
Это и есть уравнение траекторий в полярных координатах. Траектории,
проходящей через точку Мо (q0, Во), соответствует значение С = ~ 2 е— .
Если qo>1, то С>0 и Q>1; q—>1 при 9—>4-°° и q—> + оо при

§1]
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ
53
6—>-&.) НО. Г Очевидно, при этом В изменяется в интервале -^— <
¦<6<;+схэ. "i q~1 является решением уравнения F1). Если Qo<l, то
С<0 и q< 1. Тогда q -> 0 при 0 -> — оо и q -> 1 при 6 -> -\- оо. От-
Отсюда следует, что траектории системы имеют вид, указанный на рис. 20.
Второе из уравнений F0) показывает, что если траектория проходит через
точку Мо (q0, Во) при t — t0, то 0 — t -\- @О — <0)- Состояние равновесия
О @, 0) так же, как и в случае линей-
линейной системы D5) примера 4, является
фокусом, причем неустойчивым.
Траектория х% -|- уг — 1 = 0 (в отли-
отличие от того, что было в примере 6) не окру-
окружена замкнутыми траекториями. Она сама
является изолированной замкнутой траек-
траекторией, и все траектории, проходящие
через точки достаточно малой ее окрест-
окрестности, стремятся к ней при t —>- + оо. Та-
Такая замкнутая траектория называется пре-
предельным циклом.
Подчеркнем, что на каждой траекто-
траектории, лежащей вне предельного цикла,
t изменяется от конечного значения ~t
до + оо. Это можно выразить, сказав,
что при убывании t точка на такой траек-
траектории уходит на бесконечность в конечное
время. Таким образом, траектории, лежа-
лежащие вне предельного цикла, не являются
целыми. Напротив, все траектории, лежа-
лежащие внутри предельного цикла, очевидно,
являются целыми, т. е. t на них меняется
от — оо до -Н оо. Направление на траек-
траекториях может быть установлено непосредственно из системы. Так, на-
например, при х = 0 и у >» 0 мы имеем — - < 0, т. е. в точках оси у с воз-
возрастанием t х убывает. Этого, очевидно, достаточно для определения на-
направления на всех траекториях рассматриваемой системы.
ПримерЗ.
-jr = 2y, -~=\lx — дх~. F2)
Система имеет два состояния равновесия О@, 0) и А D, 0). Система,
очевидно, имеет аналитический интеграл
Характер семейства кривых F3) нетрудно установить, рассматри-
рассматривая вспомогательное семейство кривых:
и = 6хг — х3 + С. F4)
Так как у = У и, то семейство кривых F4) имеет вид, представлен-
представленный на рис. 21, о, а семейство кривых F3) — вид, представленный на
рис. 21, б.

54 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ И НА СФЕРЕ [ГЛ. I
Состояние равновесия О (О, 0) лежит на интегральной кривой F3)
при С = 0. Эта интегральная кривая состоит из четырех траектории
состояния равновесия О, двух незамкнутых траекторий, одна из которых
стремится к О при t —> —оо, а другая при t -+¦ 4-00 и «петли», стремящей-
стремящейся к состоянию равновесия О как при t —> —оо, так и при t -+¦ +00.
Нетрудно убедиться в том, что состояние равновесия А D, 0) при-
принадлежит кривой F3), соответствующей С = —32. Эта кривая состоит
из одной ветви и изолированной точки-состояния равновесия А. Осталь-
Остальные интегральные кривые не содержат состояний равновесия. При С <
< —32 кривая F3) имеет одну ветвь, расположенную левее бесконечных
ветвей кривой F3) при С = 0. Если —32 < С < 0, то соответствующая
кривая F3) состоит из двух ветвей, одна из которых есть замкнутая
кривая (овал), содержащая точку А внутри себя. Наконец, при С>0
кривая состоит из одной ветви (расположенной справа от кривой F3)
при С = 0). Каждая ветвь интегральной кривой (при С =?= 0) является
траекторией.
Состояние равновесия А является центром (см. пример 5). Состояние
равновесия О — седло, стремящиеся к нему при t -у —оо или t -у -|-оо
траектории — сепаратрисы седла (см. пример 6).
Точное определение сепаратрисы будет дано в п. 4 § 5. Здесь мы
заметим, что сепаратрисой седла называется не траектория, а полутраек-
полутраектория. При этом, говоря о сепаратрисах, стремящихсяк седлу, мы не счи-
считаем различными сепаратрисы, из которых одна является частью другой
(например, С±О и С2О на рис. 22). С этой точки зрения в рассматриваемом
примере к седлу стремится 4 сепаратрисы. Две из этих сепаратрис при-
принадлежат одной и той же траектории —«петле».
Направление на траекториях может быть установлено, если, напри-
например, в первом уравнении F2) положить х = 0, у >0. Мы получаем
dt
что позволяет определить направление на траекториях (рис. 21, б).
Пример 9.
-^ = 2y^aA2a;2—За;3), -%L = \2x-to* + biy. F5)
Поле системы F5) может быть получено, если поле системы F2) повернуть
на постоянный угол ф такой, что tg q> = а. Следовательно, траектории
системы F5) ни в одной точке не касаются траекторий системы F2). В част-
частности, замкнутые траектории системы F2) являются циклами без контак-
контакта для траекторий системы F5).
Используя этот факт, можно на основании доказанных в § 3 пред-
предложений (см. пп. И —13) установить расположение траекторий систе-
системы F5). Здесь мы дадим лишь наглядные геометрические пояснения.
Для определенности предположим, что угол ф <; 0. Тогда всякая траек-
траектория системы F5), пересекающая при t = t0 какую-нибудь замкнутую
траекторию системы F2) при t -> +00, стремится к состоянию равно-
равновесия (А), а при возрастании t выходит из области, заполненной замкну-
замкнутыми траекториями.
Состояние равновесия О @, 0) системы F5) является так же, как
у системы F2), седлом. Однако расположение сепаратрис седла у систе-
системы F5) (рис. 22) отличается от расположения сепаратрис системы F2).

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ
55
|Ложно сказать, что сепаратриса системы F2) после поворота поля, т. е.
после перехода к системе F4), «разделяется» на две сепаратрисы.
Сепаратрисы L системы F5), лежащие слева от оси у, растаможены
аналогично сепаратрисам системы F2).
Пример 10.
It -h
ilt
= \х — 4х:!.
F6)
Приравнивая нулю правые части, мы находим состояния равновесия
системы О @, 0), 1<\ (—1, 0), Fz A, 0).
Легко убедиться, что
у"—2..*-\-:г* = С F7)
есть общий аналитический интеграл системы F6).
Исследование системы кривых (E7) легко провести полностью анало-
аналогично тому, как это было сделано в примере 8. Пользуясь вспомогатель-
вспомогательным семейством кривых
M = 2.r2-.-tJ-!-C, F8)
нетрудно построить семейство кривых F7) (рис. 23). Интегральная кри-
кривая у'2 — 2яг - - ж4 0 состоит из трех траекторий — двух петель п состоя-
состояния равновесия 0@, 0). При С
каждая кривая F7) представляет
Рис. 22.
Рис. 23.
собой одну замкнутую кривую (окал), при С < 0 — два овала. Каждый
из овалов является траекторией. При С — — 1 мы получаем две изоли-
изолированные точки — состояния равновесия Ft и F2.
Состояние равновесия О ~ седло, состояния равновесия /''4 и F2 —
центры.
Пример 11.
fix
-w = 2y-u (if -2*2 + х*) Dз;-4х3),
ач (°9>
-/- = 4.г - 4.r-i + (.1 (у2 — 2ж- + ж1) 2г/.
Легко видеть, что векторное поле системы F9) повернуто но отноше-
отношению к векторному полю системы F6) примера 10 на острый угол, тангенс
которого равен [i (у~ — 2яг -|- ж1). Далее, непосредственно проверяется,
что соотношение
у*_2.г2 + ж4 = 0 G0)
является интегралом системы F9). Поэтому кривая G0), представляющая
интегральную кривую системы F6), является также интегральной кривой
системы F9).

56
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ И НА СФЕРЕ
[ГЛ. I
Наконец, заметим, что внутри кривой G0) выражение у2 — 2х2 -~ х*
меньше 0, а вне — больше нуля.
Сравнивая векторные поля систем F6) и F9), нетрудно видеть, что
все замкнутые траектории системы F6) (рис. 23) являются циклами без
контакта для траекторий системы F9).
На основании этого, используя приведенные в пп. 11 —13 § 3 леммы,
можно показать, что разбиение на траектории имеет вид, представленный
на рис. 24, а, при |х > 0 и на рис. 24, б при \i < 0. При ц > 0 все тра-
траектории, лежащие вне кривой G0) при t возрастающем, уходят на беско-
бесконечность, а при t —*¦ —оо «накручиваются» на кривую G0). Траектории,
лежащие внутри кривой G0) при t -> +°°, «накручиваются» на одну
а:
Рис. 24а.
Рис. 246.
из простых замкнутых кривых, составляющих часть кривой G0), а при
t -> —оо стремятся к одному из состояний равновесия Ft и F2, которые
являются «фокусами» (см. главу IV).
Состояние равновесия О — седло, кривая G0) является предельным
континуумом (см. § 4) для траекторий, расположенных пне нее, а каждая
ее петля (вместе с состоянием равновесия О) — предельным континуумом
для траекторий, расположенных внутри этой петли. Аналогично обстоит
дело при |х < 0.
15. Замечания по поводу примеров. Приведенные выше примеры, на
которых был проиллюстрирован целый ряд установленных выше предло-
предложений, одновременно являются примерами «исчерпывающего» исследова-
исследования «качественной структуры» разбиения на траектории, т. е. «исчерпы-
«исчерпывающего» качественного исследования динамической системы.
Точное определение того, что называется «качественным характером»
разбиения на траектории и качественным исследованием динамической
системы, будет дано в главе III. Здесь мы опираемся пока лишь на непо-
непосредственно геометрически наглядные представления. С точки зрения
качественного исследования знание точной формы траектории не пред-
представляет интереса: мы уже подчеркивали это, указывая на одинаковое
«качественное поведение» траекторий в случае узла и фокуса.
Однако существенный интерес представляет, например, знание числа
состояний равновесия, факт наличия или отсутствия изолированной
замкнутой траектории — предельного цикла, ход сепаратрис и так далее.
В приведенных выше примерах «исчерпывающее» качественное иссле-
исследование разбиения на траектории удалось провести ввиду крайней про-
простоты рассматриваемых динамических систем. В примерах 1—6 динамиче-
динамические системы являлись линейными. В других примерах получены обозри-
обозримые аналитические выражения для решения или интегралов. Это позволяло

§ 1] ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ 57
полностью решить вопрос о характере разбиения на траектории. Иссле-
Исследование характера разбиения на траектории в примерах 9 и 11 было
проведено, опираясь на результаты примеров 8 и 10, на понятие циклов
и кривых без контактов (о которых подробнее говорится в дальнейшем)
и на свойства поворота поля.
Конечно, такое элементарное и исчерпывающее качественное исследо-
исследование, как правило, не удается провести в случае произвольной динамиче-
динамической системы вида (I).
Мы не можем рассчитывать получить элементарные выражения для
решений или интегралов в случае произвольной динамической системы.
Вследствие этого даже очень простые но виду динамические системы,
имеющие интерес в прикладных вопросах, требуют для своего качественно-
качественного исследования создания специальных приемов. Примером этому может
служить «система Ван-дер-Поля»
я = у, у = к{1 — ж2) г/— х,
качественному исследованию которой посвящено большое количество
работ.
Таким образом, естественно встает вопрос об отыскании регулярных
методов качественного исследования динамических систем или хотя бы
о достаточно эффективных приемах такого исследования.
Подчеркнем еще раз, что даже в тех случаях, когда у рассматривае-
рассматриваемой динамической системы существует аналитический интеграл (в смысле
п. 13) и найдено его аналитическое выражение
Ф(х, у) = С G1)
(как это имело место в примерах 8 и 9), вопрос качественного исследова-
исследования разбиения на траектории, как правило, не делается тривиальным.
Он сводится, правда, к вопросу качественного исследования семейства
кривых G1). Однако в настоящее время не существует регулярных
методов качественного исследования семейства кривых G1) или отдель-
отдельной кривой
F{x, y) = 0.
Такие методы отсутствуют даже в том случае, когда функции Ф (х, у)
и F (х, у) являются многочленами.
Поэтому ни в какой мере не следует думать, что знание аналитиче-
аналитического интеграла (в тех случаях, когда он существует) сразу же решает
задачу качественного исследования динамической системы: оно просто
сводит одну задачу — задачу непосредственного исследования разбиения
на траектории, заданного системой (I) — к задаче качественного иссле-
исследования семейства кривых вида G1).
Поэтому представляется целесообразным отыскание методов или
приемов непосредственного качественного исследования системы (I),
без предварительного нахождения аналитических выражений для реше-
решений. Такие приемы указываются в главах IV, V, VI и IX.
Прежде чем переходить к описанию таких приемов, естественно
установить некоторые общие свойства разбиения на траектории. Необхо-
Необходимо выяснить: каким вообще может быть разбиение на траектории, опре-
определенное системой (I). Вопросом, который при этом возникает первым,
является вопрос о том, какие типы траекторий вообще возможны у дина-
динамических систем вида (I).

58 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ И НА СФЕРЕ [ГЛ. I
В п. 5 было установлено, что траектории могут быть состояниями
равновесия, замкнутыми и незамкнутыми траекториями. Однако это
еще слишком общие, неконкретные сведения о возможном характере
траектории (в случае незамкнутой траектории).
В рассматриваемых примерах уже встречались различные типы
незамкнутых траекторий или, точнее, полутраекторий: полутраектории,
стремящиеся к замкнутой траектории при t—> — °°, полутраектории,
стремящиеся к некоторому «предельному континууму», состоящему из
двух петель сепаратрис седла и самого седла. Можно ли сказать, что
в рассматриваемых примерах представлены все возможные типы траекто-
траекторий или возможны траектории совсем иного характера? Этому вопросу
посвящена глава II.
Кроме вопроса о возможном характере отдельной траектории возни-
возникает ряд вопросов, касающихся разбиения на траектории в целом. Мы оста-
остановимся на этих вопросах позднее.
Заключим эту главу рассмотрением динамических систем на сфере.
§ 2. Динамические системы на сфере
1. Введение. В настоящем параграфе дается определение динамической системы
на сфере и устанавливаются некоторые ее основные свойства.
Динамические системы на сфере вводятся в рассмотрение вследствие того, что
они, с одной стороны, сохраняют все существенные черты плоских систем A), а с дру-
другой стороны, освобождены от некоторых их свойств, вносящих осложнения: именно,
при изучении плоских динамических систем, определенных в открытой плоской обла-
области G, возникают трудности, связанные с тем, что такая область некомпактна. Если
же рассматривать систему в замкнутой ограниченной плоской области G, возникают
осложнения из-за неравноправности точек такой области — наличия внутренних
и граничных точек. Сфера же компактна, и все ее точки равноправны.
Динамическая система на сфере является частным случаем динамической системы
на замкнутой ориентируемой поверхности любого данного рода к !> О *) [15]. Опре-
Определение вгикой такой динамической системы может быть дано полностью аналогично
приведенному ниже определению динамической системы на сфере. Однако среди
динамических систем на замкнутых ориентируемых поверхностях только динамиче-
динамические системы на поверхностях рода нуль сохраняют все существенные свойства пло-
плоских систем: только у таких систем отдельные траектории и разбиение на траектории
сохраняют тот же характер, что и у плоских систем. Напротив, динамические системы
на замкнутых поверхностях более сложной топологической структуры — на ориенти-
ориентируемых поверхностях рода к !> 1, а также на неориентируемых, обладают некоторыми
свойствами, существенно отличающимися от свойств плоских систем.
Так, например, у систем на поверхности рода 1 (на торе) могут существовать тра-
траектории, всюду плотно заполняющие всю поверхность. Как мы увидим, этого не
может быть у динамических систем на плоскости и на поверхности рода нуль.
Таким образом, желая рассмотреть динамические системы на поверхностях,
сохраняющих все основные черты плоских систем, мы должны были бы рассмотреть
динамические системы на произвольных поверхностях рода нуль. Мы ограничимся
только случаем сферы ввиду того, что при этом мы можем использовать элементарные
аналитические средства.
2. Определение динамической системы на сфере. Будем для простоты предпола-
предполагать, что рассматривается сфера, расположенная в трехмерном пространстве Л3
*) К рассмотрению динамических систем на поверхностях непосредственно при-
приводят многие прикладные задачи. Так, например, к рассмотрению динамических
систем на цилиндре приводят задача Жуковского о динамике симметричного полета
самолета (см. [16]), задача об автоподстройке частоты и многие другие. К рассмотре-
рассмотрению динамической системы на торе приводит, например, задача об устойчивости
параллельной работы синхронных машин и др. [17]. Необходимость рассмотрения
динамических систем на поверхности, естественно, возникает также при изучении
свойств динамических систем в пространстве трех и большего числа измерений.
О динамических системах на поверхностях см. [18].

§ 2] ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ НА СФЕРЕ 59
и имеющая уравнение х2 + г/2+22=1. Очевидно, такое предположение не ограничи-
ограничивает общности рассуждений.
Пусть на сфере введено некоторое регулярное координатное покрытие класса г
(или аналитическое). Это означает (см. дополнение, § 7, п. 3), что задано некоторое
покрытие сферы областями glt g2, ¦ ¦ ., g?i, гомеоморфиыми плоским областям, и
в каждой области gt этого покрытия введена система координат с помощью функций
х=ц>г{щ, и,), У = Цч(Щ, v;), z = Xi (и,, vt), A)
удовлетворяющих следующим условиям:
а) функции A) дают топологическое отображение некоторой области //; пло-
плоскости (и4, г;;) па область сферы gt;
б) ф;, ij-j, X; являются функциями класса Ст или аналитическими;
в) ни в одной точке области //; функциональные определители
D (Фь -ф,) D (фг, 7i) DJA4, %д
D (щ, vt) ' D (щ, Vj) ' D (щ, vt)
не обращаются одновременно в нуль.
Уравнения A) мы можем рассматривать так же, как параметрические уравнения
области gi сферы, а мг, vi — как криволинейные координаты, введенные в области
gt сферы. ^
Если две области заданного покрытия g и g (мы воспользуемся здесь другими
обозначениями, без индексов) имеют общие точки и, следовательно, общую область
то в области ш введены как координаты и, v, так и координаты и, v. Тогда функции
ы = /(м, a), v=h(u, v) или м = /(м, v), v = h(u, v), B)
выражающие одни координаты через другие, определяют в области регулярное пре-
преобразование координат класса Сг (аналитическое) (см. дополнение, § 6 и § 1, п. 10).
Определение I. Мы скажем, что на сфере s задана динамическая система
класса С% (или соответственно аналитическая), если при некотором координатном
покрытии сферы класса С;г+1 (или аналитическом) выполняется следующее:
1) в каждой области gt покрытия задана динамическая система
аЩ ь(щ, v^, ^.= Vj(ui, vt) C)
dt — 1Г" "' (it — l
— локальные координаты, введенные в области g{) класса С^ (или аналитиче-
аналитическая), определенная во всех точках области Л; значений ut, vf,
2) в точках, общих двум областям покрытия g и g, т. е. в точках области (В =
= #[")#> соответствующие динамические системы переходят друг в друга путем пре-
преобразования координат, переводящего одну координатную систему в другую; т. е. если
(IU oi *~~ *""^ CIV cv '— ^""*
ТТ l.r ]<\ Т/ I., ».\ //\
— динамическая система, заданная в области g, то в области со эта система полу-
получается из системы A), заданной в области g, путем преобразования координат B),
так что
E)
(к, наоборот, система вида C) может быть получена из системы D) путем соответ-
соответствующего преобразования координат).
Систему C) мы будем называть системой соответствующей области gt.
Введем определение тождественности динамических систем на сфере.
Пусть на сфере S заданы два различных координатных покрытия 24 и 22 класса
С%+1 (аналитических). Будем локальные координаты одного покрытия обозначать
через ut, vt, а другого — через ?,-, т];. Если область g покрытия 2j и область у покры-
покрытия 22 пересекаются, то каждой точке их пересечения

60 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ И НА СФЕРЕ [ГЛ. I
соответствуют как координаты и, v, так и координаты ?, т) (индексы мы опускаем).
Преобразование от одних из этих координат к другим, заданное формулами
?=/*(". v), и=г*а, г]),
H = h*{u,v), »=»••(!, tj),
является (в силу теоремы VIII § 6 дополнения, совершенно так же как и в случае
областей g и g, принадлежащих одному и тому же покрытию) регулярным преобра-
преобразованием класса С^+1 или аналитическим.
Предположим, что на сфере при покрытиях 2j и 22 заданы динамические систе-
системы, которые мы обозначим соответственно через Dt и D2.
Мы скажем, что эти динамические системы тождественны или эквивалентны,
если в точках пересечения двух областей g и у, принадлежащих двум различным покры-
покрытиям, переход от одной динамической системы Di к другой /J совершается с помощью
преобразования, переводящего одну координатную систему в другую.
Таким образом, если система Di тождественна системе ?>2 и если система Dt
в области g имеет вид
^L = U(u,v), -*L = F («.,«,), G)
а система D2 в области -у имеет вид
rig
dt
d4
dt.
di*
ди
dh*
ди
U (/**,
и (/**,
Л**) +
П ) |
di*
dv
dh*
dv
то в области X=gf| Y система (8) получается из системы G) путем преобразования-
F), так что (полностью аналогично тому, что мы имели в случае двух пересекающихся
областей одного и того же покрытия)
"* F(/«, Л**)=Ф(?, tj),
Ft/", Л**)=?(?, ri).
Введенное определение тождественности динамических систем на сфере позволяет
при рассмотрении таких систем переходить от одного координатного покрытия
к другому.
Мы будем по преимуществу пользоваться простейшим координатным покрытием,
которое описано в § 7 дополнения. В этом случае одна из областей покрытия g состоит
из всех точек сферы, кроме одной — N, а другая — g из всех точек сферы, кроме
точки N, диаметрально противоположной точке N. Тогда если и, v — координаты
в области g, а и, v — координаты в области g, то во всех точках, общих областям
g и g, мы имеем
и совершенно симметрично
Аи
A0)
Если D — динамическая система на сфере и g — какая-нибудь область сферы, отлич-
отличная от всей сферы в целом, то система D в области g эквивалентна динамической систе-
системе в плоской области. В самом деле, всегда можно ввести такое координатное покрытие
сферы, чтобы область g целиком лежала в одной и той же области покрытия. Для
этого достаточно выбрать точку N, не принадлежащую области g, и ввести на сфере
простейшее координатное покрытие, описанное выше, с помощью стереографических
проекций с центрами в точке N и диаметрально нродивоположной точке N. В .случае
когда не только сама область g, ио и ее замыкание g отлично от всей сферы в целом,
то, очевидно, динамическан система D в замкнутой области g сферы эквивалентна
динамической системе в замкнутой плоской области.
Сделаем еще одно замечание, касающееся аналитических динамических систем.
Аналитическая динамическая система на сфере однозначно и полностью определена,

$ 2] ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ НА СФЕРЕ 61
«ели она известна в произвольной области g сферы (как бы мала она ни была) в силу
того, что аналитические функции можно продолжить единственным образом. Однако
не всякая система, заданная на некоторой части сферы и аналитическая на этой части,
может быть продолжена на всю сферу. (Так как при продолжении у правых частей
•системы могут оказаться полюсы или существенно особые точки.)
3. Динамическая система на сфере как векторное поле на сфере. Совершенно
аналогично случаю системы в плоской области задание динамической системы на сфе-
сфере может быть интерпретировано как задание векторного поля на сфере.
Пусть и, v— координаты в области g рассматриваемого покрытия сферы, и
du-=U («,„), ^-=V(u,v)
dt г ' " dt
— динамическая система в этой области. Будем записывать параметрические урав-
уравнения
ж=ср(и, v), y=ty(u, v), z=x(u, v) A1)
области g сферы в векторной форме
г=Ф(м, v),
где г=ОМ — радиус-вектор произвольной точки М области g в пространстве (ж, у, z).
Рассмотрим в каждой точке М (и, v) области g сферы вектор
, дФ дФ
¦Этот вектор, как линейная комбинация векторов -^- , —- , лежит в плоскости каса-
аи ov
тельной к сфере в точке М. Нетрудно видеть, что этот вектор не зависит от системы
координат, введенной на сфере. Действительно, пусть в некоторой .области ю сферы
наряду с координатами м, v рассматриваются координаты И, 1?, связанные с и и г;
•соотношениями вида B). Тогда по определению тождественности динамических систем
на сфере в области ю динамическая система в координатах и, v будет иметь вид
где U (и, v) и V (и, v) выражаются через U (и, v) и V (и, v) по формулам E).
Если »"=Ф (и, v) — векторное параметрическое уравнение части сферы ю
s координатах и, v (аналогичное уравнениям вида A1)), то для определенного выше
вектора v, очевидно, будет иметь место соотношение
а_Р ^фг= «р. «фу_
ди dv ди dv v '
Таким образом, динамическая система в каждой точке сферы определяет вектор, каса-
касательный к сфере, т. е. задает на сфере векторное поле. Очевидно, в точках, в которых
одновременно u=v=0, вектор г» имеет нулевую длину. Эти точки являются особыми
точками векторного поля.
4. Решения и траектории динамической системы на сфере. Определим, что
¦называется решением динамической системы на сфере. Сделаем сначала некоторые
предварительные замечания.
Пусть по-прежнему g — некоторая область заданного покрытия сферы, в кото-
которой введены координаты и и v,
ж = ф(и, v), у = 1р(и, v), z = %(u, v),
т. е. даны параметрические уравнения области g сферы, которые мы будем
как и выше записывать в векторной форме
г = Ф(и, v).

62 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ И НА СФЕРЕ
Пусть
[ГЛ. I
du
= U{u, v),
dv
= V K v)
dt v"' "" dt
— система, соответствующая области g,
u = u(t), v=v{t)
— какое-нибудь решение этой системы. Рассмотрим функции
х=<?(и. v) = /j,(<). У=*
или эквивалентную им вектор-функцию
При всех t, при которых определено решение A3), функция A4) непрерывна. Эту
чектор-функцию, естественно, считать решением или «частью решения» динамической
системы на сфере. Может случиться, что при некотором
значении t0 точка Мо сферы с координатами uo = u(io),
vo=v{to) будет принадлежать области ~g заданного
покрытия сферы, пересекающейся с областью g (рис. 25).
Пусть
«=g П 7,
и, v — координаты в области g, связанные в области ю-
с координатами и и v соотношениями
м=/(ы, v), v=h(u, v) (и = / (и, Ц, v=Ti (и, v)),
Рис. 25.
dv
~dT
= V (и, v)
A5)
— динамическая система, соответствующая области gl Рас-
Рассмотрим решение системы A5) при t = t0, принимающее значения
и обозначим его через
o=h<uo, v0),
v=v{t).
Принимая во внимание сказанное в § 1, п. 10, очевидно, что в точках области ю мы
имеем
A6)
Пусть
и @ = / (и (t), v (f)), v(t)sEh (и (t), v (f)).
ж = ф(ы, гГ), у =';ф (м", v), z="x (и, ~v)
— параметрические уравнения области g сферы, которые мы будем записывать в век-
векторной форме ^
г = Ф (и, v).
Рассмотрим вектор-функцию (аналогичную вектор-функции г=Ф (и, v))
г=гф(ц, v). A7)
Нетрудно видеть, что при всех значениях t, при которых точка с координатами и (t),
v(t) (или соответственно И («), ~v (t)) принадлежит области и, имеет место тождество
ф (ц, v) = Ф (и, v). A8>
Это непосредственно вытекает из того, что по самому определению вектор-функций
Ф (и, v) и Ф (и, То в точках области ю имеют место тождества
Ф(/, А) = Ф(и, v),
а также из равенств A6). В частности, может случиться, что функции
ll=zu(t), V=v(t)

ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ НА СФЕРЕ 63
ОНределены не только в точках области со, но и в отличных от точек ю точках области
Определим тогда вектор-функцию
r=F(t)
так, чтобы
F(()e*(«(I),»(!))
-при тех значениях t, при которых точка и (f), v (f) принадлежит области g сферы, и
при тех значениях «, при которых точка (ы («), 7i («)) принадлежит области g. Вектор
функция
r=F(t)
является в силу A8) непрерывной вектор-функцией, которую естественно считать
«решением» или частью решения динамической системы на сфере. Можно сказать, что
вектор-функция г=Ф (йA), v (t)) является продолжением иа область g вектор-функ-
вектор-функции г = Ф (и («), и (t)), определенной в области g. Если бы точка сферы с координатами
И (t), v (t) принадлежала бы некоторой области g заданного покрытия, пересекающейся
с g, то мы могли бы рассмотреть пепрерывную вектор-функцию, определенную совер-
совершенно аналогичным образом п для точек области g и т. д. После этих предваритель-
предварительных замечаний дадим определение решения динамической системы на сфере.
Система непрерывных функций х = /j (f), у = /2 (t), z = fs (t) или эквивалент-
эквивалентная им непрерывная вектор-функция v^=F (t), определенная на интервале (а, Р) зна-
значений t, называется решением динамической системы D на сфере, если:
а) в каждой области g покрытия сферы
= O(u(t),v(t)),
где г = Ф (к, и) — вектор-функция, дающая при выбранных координатах параметри-
параметрические уравнения части g сферы, а функции и (t) и v (t) удовлетворяют в соответствую-
соответствующей области g системе, так что
б) не существует непрерывной вектор-функцпя v=-F (t), определенной иа интер-
интервале более широком, чем (а, Р) *), удовлетворяющей условию а) и совпадающей
с функцией F (t) на интервале (a, fl).
Последнее условие означает, что решение рассматривается на максимальном воз-
момсном интервале значений t.
Принимая во внимание правила замены переменных и соотпошешш вида A8),
нетрудно убедиться в том, что решение динамической системы на сфере не зависит
от выбора координатного покрытия сферы. Из теоремы I § 1 (о существовании и един-
единственности решения) и самого определения решения динамической системы па сфере
непосредственно вытекает следующая теорема:
Теорема 5. Для всякой точки Мо на сфере и для любого t0 существует одно
и только одно решение r = P (t), удовлетворяющее начальному условию
ro = F(to),
где г0 — радиус-вектор точки Мо.
Для решения r = F (t) динамической системы на сфере справедливы также пред-
предложения, аналогичные леммам 1—5 § 1. В частности, например, если r = F (t) —
решение, определенное на интервале (а, Р), то r = F (t -f- С) также является решением,
определенным на интервале (а — С, р — С).
Траекторией динамической системы на сфере называется множество точек
на сфере, определяемое уравнениями х = /t (t), у = /2 (t), г-~ /3 (t) или эквивалент-
эквивалентным векторным уравнением г = F (t). Каждому решению соответствует вполне опре-
определенная траектория L. Решение, которому соответствует траектория L, будем, как
и в случае динамической системы на плоскости, называть решением, соответствующим
данной траектории.
Решение будем также называть движением, соответствующим траектории, или
движением на траектории.
*) То есть на интервале, содержащем (а, Р), как свою истинную часть.

C4 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ И НА СФЕРЕ {ГЛ. 1
В каждой точке Мо сферы, не являющейся особой точкой того векторного поля,
которое определяется на сфере заданием динамической системы, соответствующий
вектор является касательным вектором в точке Мо к траектории, проходящей через
эту точку. Действительно, пусть
— какое-нибудь решение рассматриваемой системы D и L — соответствующая траек-
траектория. Пусть при значении t0 точка Мо сферы с радиусом-вектором го = *т (t0) принад-
принадлежит области покрытия g сферы с координатами и, v. Обозначим через и0, v0 коор-
координаты точки Мо. Пусть
— соответствующая области g система. Мы имеем
dr
dt
( —-—- ) , очевидно, является касательным вектором к траектории Lo в точке Мо.
Так как r — F (t) есть решение системы D, то по самому определению
/¦ df(t) Л __/" дФ(и, v) A{и) , дФ(и, v) d (и) \
V. dt Jt=to~\ ди dt~~' dv di у'
и, следовательно, мы имеем
S _ дФ (ц0, у0) дФ (Во,
диv (M°' Vo) +dvV (u°' Vo)-
Но выражение в правой части и есть вектор V, который в точке Мо задается рассма-
рассматриваемой динамической системой.
Таким образом, получается следующая «кинематическая» интерпретация дина-
динамической системы па сфере и ее решений, не связанная пи с какими координатами
па сфере: динамическая система — заданное на сфере ноле касательных векторов
v (М), называемых фазовыми скоростями точек М; решение динамической системы—
движение z — F (t) на сфере, обладающее тем свойством, что скорость точки в момент
«е прохождения через произвольное положение Мо равна фазовой скорости в точке
Мо; траектория динамической системы — путь, описываемый точкой при движении.
Имеет место следующая теорема, доказательство которой, полностью анало-
аналогичное доказательству такой же теоремы для системы в плоской области, мы опу-
опускаем:
Теорема 6. Через каждую точку сферы проходит одна и только одна траек-
траектория динамической системы.
Сделаем еще некоторое замечание, касающееся траектории динамической систе-
системы па сфере.
Рассмотрим при некотором заданном координатном покрытии какую-нибудь
траекторию L динамической системы D на сфере.
Возможны два случая: 1) траектория Л лежит целиком в одной и той же области
покрытия; 2) у траектории L существуют точки в различных областях покрытия g,
g, g II Т. Д.
Пусть в первом случае и, v — координаты в области g и
4"-=tf(u, г), ^- = V(u,v) A9)
— система, соответствующая области g. Будем рассматривать и и v как прямоуголь-
прямоугольные координаты на плоскости и предположим, что система A9) определена и области
h плоскости (и, v). Тогда согласно и. 2 функции A) задают отображение Т области h
плоскости (и, v) на область g сферы, обладающее свойствами а), б) и в), сформулиро-
сформулированными л н. 2. При этом из самого определения траектории системы D очевидно, что
в рассматриваемом случае траектория L динамической системы на сфере является
отображением некоторой траектории L' системы A9) плоскости (и, v).
Рассмотрим случай 2), когда у траектории L есть точки в различных областях
заданного покрытия. Тогда эти области покрытия должны попарно пересекаться.
Предположим для определенности, что траектория L имеет точки в двух обла-
областях g и g (случай большего числа областей рассматривается полпостью аиалогичио).

S2]
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ НА СФЕРЕ
65
Пусть
dt
.=?'(«, «0, ~=v(«. i-)
B0)
— система, соответствующая области g. Как и в случае области g, будем считать и, v
прямоугольными координатами на плоскости {и, v) и предположим, что система B0)
определена в области ? плоскости (tT, v). Функции, вида A) будут тогда давать отобра-
отображение области h плоскости (и, v) ua область g сферы. При этом па траектории L есть
частя (одна или несколько), являющиеся отображением траекторий (одной или не-
нескольких), системы A9) и есть части (одна или несколько), являющиеся отображением
траектории системы B0). Части траектории L, лежащие в области to = g f] g", являют-
являются одновременно отображением частей траектории как системы A9), так и системы B0).
Докажем теперь еще одну осиовцую
теорему, касающуюся траекторий на сфе-
ре. Аналогичной теоремы нет в случае
динамических систем на плоскости.
а)
и
Рис. 26.
Теорема 7. Каждая траектория на сфере является целой траекторией, т. е.
всякое решение динамической системы на сфере определено для всех значении t от —оо
до +О0.
Доказательство. Предположим противное, т. е. предположим, что
какое-нибудь решение r — F (t) определено лишь для значений (<т0, где т0 —
некоторое конечное число. Обозначим через L траекторию, соответствующую реше-
решению F (t).
Рассмотрим последовательность значений {tt} (t^ <[ т0), стремящихся к т0.
Обозначим через Mi, М2, .. ., Мп . .. точки траектории Л, соответствующие указанным
значениям t. В силу компактности сферы мы можем считать, что последовательность
Мп является сходящейся (если это не так, мы можем выбрать из нее сходящеюся
подпоследовательность). Пусть последовательность {Мп} сходится к точке Л10. Рас-
Рассмотрим какую-нибудь содержащую точку Мо область g сферы, в которой введены
координаты и, v; п пусть Т—отображение области /г. в g (рис. 26). Обозначим через
М% точки нлоскости (u, v), которые отображаются в точку Мп, М%=Т 1 (Мп) (п =
= 0, 1, 2, . . .), и через ип, ип — координаты точки М*.
Рассмотрим какую-нибудь замкнутую область А'*, лежащую vTh и содержащую
точку М% внутри себя (рис. 26, б). В силу леммы 8 (§ 1, п. 9) существует такое число
Цо > 0, что всякое решение
системы вида B0) (соответствующей области g), проходящее при t = t0' через точку
области К*, определено для всех значений t в интервале t0— ц0 ^ t ^ t0 -j- %•
Выберем п пастолько большим, чтобы выполнялось неравенство
о<то—«„<
Такое и существует в силу соотношений Л/„ —»-
и = м (« — «„; ы„; (;„), i;=i
5 А. А. Андронов и др.
2 ¦
Л/о, irl
B1)
т0. Рассмотрим решение
i; "») B2)

66 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ II НА СФЕРЕ [ГЛ. I
системы B0). Это решение в силу выбора п определено для значений t в интервале
tn <I t <1 tn -4- 'По. В силу B1) т0—^<Сгп<Сто- Таким образом, решение B2) и опре-
определено в интервале tn <! t -<Q то-|- -° . Так как после «переноса» этого решения с помо-
помощью отображения Т (h —у- g) оно должно совпасть с решением v^F (t), то это послед-
последнее также определено на интервале tn < t < То + -3 ¦ Но тогда по самому опрсделе-
нию решения динамической системы на сфере очевидно, что и рассматриваемое реше-
решение r = F (f) во всяком случае определено при всех значениях t. tn <:. t ^C то + -'°.
Мы пришли к противоречию с предположением, что решение F (t) определено
только для значений t <C т0. Теорема доказана.
В силу теоремы 6 динамическая система на сфере определяет разбиение сферы
на траектории, причем в силу теоремы 7 все траектории являются целыми.
Выше мы указали некоторые основные элементарные свойства траектории дина-
динамических систем на плоскости. Теми же свойствами обладают и траектории па сфере.
Траектории на сфере так же, как и на плоскости, являются либо состояниями равнове-
равновесия, либо незамкнутыми, либо замкнутыми траекториями. Это доказывается в точ-
точности так же, как и в плоской области (см. § 1).
Состояния равновесия соответствуют особым точкам векторного ноля на сфере,
т. е. точкам, в которых соответствующий вектор сг (Л/) = 0. Далее, для траектории
на сфере справедлива теорема о непрерывной зависимости от начальных значений.
Ее можно сформулировать в точности в такой же геометрической форме, как в случае
плоскости (см. § 1, н. 9, теорема 4').
В п. 7 § 1 мы ввели термины: положительная нолутраектория, отрицательная
полутраектория, просто полутраектория, и ввели обозначения для них. Мы будем
пользоваться этими же терминами и обозначениями и в случае сферы.
о. Примеры динамических систем иа сфере. Во всех приводимых ниже примерах
мы будем предполагать, что рассматривается простейшее координатное покрытие
сферы (см. н. 2 и дополнение, § 7). Будем, как и в н. 2, обозначать области этого про-
простейшего покрытия через g и g (g состоит из точек всей сферы, за исключением одной
точки iV, a g — из точек всей сферы, за исключением точки Лг, диаметрально противо-
противоположной точке N).
Переход от локальных координат и, v в области g к локальным координатам
в области g задается формулами (9) и A0)
~ 4м ~ 4t>
Аи iv
^2^2 ' 2
Пример 1. Динамическая система А определена уравнениями
du и civ _ v
(И 1 + „2 + 1,2' dt ' 1+U2+1.2
в области g и уравнениями
du _ —Z(u?+yi) dv — v(u2-\-v?)
^ dt 16 + u2 + j;2 Hf 16 + u2 + 72 „
в области g.
Легко проверить с помощью формул (9) и A0), что правые части уравнений B3)
и B4) удовлетворяют соотношениям E).
Состояниями равновесия системы А являются точка N в области g н точка .V
в области g. Система B3) отличается от системы
du dv
<2)
dt dt
только не обращающимся в нуль множителем ——^——г правых частей. Поэтому
траектории системы B3) отличаются только параметризациями (см. § 1, п. 17) от

J 2]
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ НА СФЕРЕ
67
Рис. 27.
Рис. 28.
Рис. 29.
Рис. 30.
Рис. 31.

68 ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ В ПЛОСКОЙ ОБЛАСТИ И НА СФЕРЕ [ГЛ. 1
траекторий системы D0) при а1 = а2=1. «Перенося» эти траектории с плоскости (и, v)
на сферу и принимая во внимание, что точка N является состоянием равновесия, мы
убеждаемся, что траектории системы А имеют вид, изображенный на рпс. 27, т. е.
совпадают с меридианами сферы.
Пример 2. Динамическая система А определена уравнениями
в области g и уравнениями
du _ (—7—сш) fe
dt
du —u-J-сш dv и + сш
~dt~ 1 + И2 ' dt ~l + u* + v2 ( '
в области g. Так же, как в предыдущем примере, можно проверить, что правые части
уравнений B6) и B7) удовлетворяют соотношениям E) н. 2. Состояниями равновесия
системы являются точки N и JV. Система B6) отличается от системы D5) примера 4
§ 1 только обозначениями и отличным от нуля множителем —-—^—у—о , нолтому ее
траектории на плоскости (и, v) имеют вид, изображенный на рис. 13. «Перенося» эти
траектории па сферу так же, как в предыдущем примере, мы убедимся, что разбиение
на траектории будет таким, как представлено на рис. 28 (а > О).
В случае, когда а = 0, разбиение плоскости (u, v) на траектории системы B6)
имеет вид, изображенный на рис. 14. Соответствующее разбиение сферы на траектории
показано на рис. 29.
Пример 3. Динамическая система А определена уравнениями
du и dv -v B8)
dt l + u2 + i>2 ' dt
в области g и уравнениями
du и (Зу2—4f2) dv
dt 16 + jT2+i>2 ' dt
в области g.
Сравнивая B8) с системой примера 6 (см. § 1, рис. 17), нетрудно показать, что
разбиение сферы на траектории имеет вид, представленный на рис. 30.
Пример 4. Динамическая система А определена уравнениями
du _— у—и(и* + у2—1) dv и—v(u + i2 1)
~dt~ 1 + «2+^2 ' ~dt~ i + u^ + v2 ( '
в области g и уравнениями
dH _ 16м—(u + v) (мЗ + 'у2) dv __ 16t>+
dt ~ 1б-1-м2_(_ 7^ ' dt ~ 164-М2+?2
в области %.
Сравнивая систему C0) с системой E8) (§ 1, пример 7), нетрудно убедиться,
что разбиение сферы на траектории системы А имеет вид, представленный на рис. 31.

ГЛАВА II
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТОЧКИ И МНОЖЕСТВА. ОСНОВНЫЕ
СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ
Введение
Настоящая глава посвящена одному из вопросов, лежащих в основе
качественной теории динамических систем, именно, вопросу о возможном
поведении и «форме» отдельной траектории.
Мы уже касались этого вопроса в п. 10 § 1. В настоящей главе изла-
излагаются классические результаты, содержащие исчерпывающее решение
этого вопроса для случая динамической системы вида A). Эти результаты
были в общих чертах получены А. Пуанкаре [5], а затем уточнены и обоб-
обобщены И. Бендиксоном, использовавшим методы теории множеств.
В § 1 были получены некоторые основные сведения о траекториях:
именно, было установлено, что траектория может быть либо состоянием
равновесия, либо замкнутой траекторией, либо незамкнутой траекторией.
С точки зрения качественной теории динамических систем характер
траектории описап исчерпывающим образом,— если известно, что она
является состоянием равновесия (т. е. отдельной точкой) или замкнутой
траекторией (т. е. простой замкнутой кривой). Однако в случае, когда
известно, что траектория незамкнута — очевидно требуется дополни-
дополнительное исследование. В приведенных в § 1 конкретных динамических
системах мы встречались с несколькими различными типами незамкну-
незамкнутых траекторий. Естественно постараться выяснить, каковы вообще все
возможные типы таких траекторий.
Незамкнутая траектория является «линией», заданной параметриче-
параметрическими уравнениями
* = ф@. У -4@
и (ф (t) и т|э (t) во всяком случае функции класса Си определенные на
некотором интервале т < t < Т) не имеющей «самопересечений», то есть
для незамкнутой траектории, ни для каких двух различных значений t, tt
и t2 из интервала (т, Т) не могут одновременно выполняться равенства
Однако далеко не всякая отдельная «линия», удовлетворяющая указан-
указанным выше условиям, может быть траекторией динамической системы
вида (I).
Мы увидим, что при сделанных предположениях относительно систе-
системы (I) траектория не может, например, иметь вид, аналогичный графику
функции у = sin - -. Траектория не может всюду плотно заполнять

70 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ [ГЛ. И
целую область *), хотя такие линии (удовлетворяющие указанным выше
для незамкнутой траектории условиям) существуют. Тот факт, что
траектория является одной из «линий» целого семейства — семейства
траекторий динамической системы вида (I) (в области G), накладывает
дополнительные ограничения на возможное для нее поведение. Результаты
Пуанкаре и Бендиксона о возможном характере незамкнутой траектории
системы (I) являются по существу следствием двух теорем (справедливых
во всей рассматриваемой области G): теоремы о существовании и един-
единственности решения и теоремы о непрерывной зависимости от начальных
значений.
Настоящая глава состоит из двух параграфов.
§ 3 является вспомогательным, в нем содержится ряд элементарных,
но основных лемм, на которые опираются предложения настоящей и после-
последующих глав. В нем вводятся понятия «дуги без контакта» и «цикла без
контакта», которые в качестве основного вспомогательного средства
используются в дальнейших предложениях. Далее устанавливается хотя
и элементарное, но основное предложение о локальной структуре траекто-
траекторий в окрестности точки, не являющейся состоянием равновесия (предва-
(предварительно об этом было сказано в п. 14 § 1), именно, доказывается, что
расположение траекторий в окрестности такой точки аналогично распо-
расположению параллельных отрезков. Кроме того, в § 3 доказан ряд лемм,
в которых устанавливается возможный характер пересечения траекторий
с дугами и циклами без контакта.
В связи с доказательством вспомогательных лемм, содержащихся
в § 3, необходимо сделать некоторые замечания. Утверждения боль-
большинства этих лемм геометрически совершенно очевидны. Естественно
возникает вопрос, нужно ли вообще доказывать эти предложения, не
следует ли их привести просто как очевидные, тем более, что в настоящей
книге некоторые основные геометрические факты неизбежно не могут быть
приведены с доказательствами ввиду того, что доказательства их требуют
специальных рассмотрений и методов, не имеющих никакого отношения
к содержанию настоящей книги**).
Более того, возникает вопрос, не является ли доказательство многих
элементарных геометрических очевидных утверждений (например, утверж-
утверждение леммы 2 или леммы 4 § 3) в некотором смысле тавтологией — све-
сведение одного геометрически очевидного утверждения к другому, нисколь-
нисколько не более очевидному, а приведение таких доказательств — загромож-
загромождением и усложнением текста. Однако на это сейчас же можно сделать
следующее возражение: если какое-либо утверждение приводится без дока-
доказательств с ссылкой на геометрическую очевидность, то это, естественно,
*) Пример «гладкой» линии без самопересечения, всюду плотно заполняющей
некоторую область (см. [20]).
**) Например, тот факт, что всякая простая замкнутая кривая разделяет плос-
плоскость на две области и при этом является общей границей этих двух областей.
Теорема, в которой этот факт устанавливается, носит название теоремы Жордана.
Необходимость доказательства этого предложения часто вызывает недоумение у начи-
начинающих. В связи с этим мы рекомендуем читателю обратиться, например, к книге
Куранта и Роббиса «Что такое математика», гл. V, § 3.
Необходимость доказательства некоторых с первого взгляда интуитивно совер-
совершенно «очевидных» предложений может быть сделана весьма убедительной на ря-
ряде примеров, когда, казалось бы, совершенно очевидные геометрически утвеж-
дения оказываются неверными. Эффектный пример такого рода см., например,
П. С. Александров «Комбинаторная топология», стр. 68 («абсолютная и регулярная
граница»).

§ 3] ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ 71
оправдывает отсутствие доказательства у целого ряда других простых
утверждений, представляющимися столь же геометрически очевидными.
Голая ссылка на «геометрическую очевидность» не дает никакого
настоящего критерия, в силу которого то или другое утверждение приво-
приводится без доказательств. Вступая на шаткий и неясный путь ссылки на
геометрическую очевидность, мы можем либо незаметно прийти к заведомо
неочевидным предложениям, либо просто к неясности и прямым ошибкам.
Таким образом, соблюдения элементарной математической коррект-
корректности требует от нас во всяком случае выделения некоторых совершенно
определенных фактов или утверждений, которые принимаются за извест-
известные, очевидные (число их желательно свести к минимуму). Все другие
утверждения необходимо доказывать, опираясь на выделенные предложе-
предложения, считающиеся данными и известными.
В настоящей книге предположения, считающиеся известными,
указаны в дополнении. В частности, те факты и предложения, на которые
непосредственно опирается доказательство лемм § 3, указаны в §§ 1—6
дополнения. Это — некоторые элементарные факты, касающиеся простых
дуг, элементарные предположения о простых замкнутых кривых и свой-
свойства так называемого регулярного отображения. Доказательство этих
фактов в свою очередь либо приводится в дополнении, либо может быть
найдено в литературе, указанной в дополнении.
Все леммы § 3 независимо от их геометрической очевидности (в частно-
частности, например, весьма очевидные леммы 1 и 3) подробно доказываются,
основываясь на указанных предложениях дополнения. Однако без ущерба
для понимания дальнейшего читатель может при чтении опустить дока-
доказательства некоторых представляющихся очевидными лемм, ознакомив-
ознакомившись только с их формулировками, и к их доказательству обращаться
лишь при возникновении каких-либо неясностей в дальнейшем.
§ 4 посвящен основному содержанию настоящей главы — выяснению
возможного характера траекторий системы (I). При этом вводится понятие
предельной точки и предельного множества полутраектории, играющее
первостепенную роль не только при решении вопроса о поведении отдель-
отдельной траектории, но также и при рассмотрении характера разбиения
в целом, которое проводится в главах VII, VIII, X и XI. В заключение в § 4
приводится два классических предложения, касающихся некоторых
основных свойств разбиения на траектории в целом, а также рассматри-
рассматривается изолированная замкнутая траектория — предельный цикл и уста-
устанавливается возможный характер разбиения на траектории окрестности
предельного цикла.
§ 3. Вспомогательные предложения о характере пересечения траекторий
с циклами и дугами без контакта
Всюду в дальнейшем, говоря о траекториях, мы будем предполагать,
что речь идет о траекториях некоторой динамической системы
^ = Р{х,у), %-Q(,,y), (I)
заданной в некоторой области G плоскости и удовлетворяющей усло-
условиям п. 1 § 1.
1. Дуга без контакта. Пусть I — какая-нибудь простая гладкая дуга
(см. дополнение, § 3, п. 5), лежащая в области G, и М — точка на этой
дуге, не являющаяся состоянием равновесия системы (I).

72
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ
[ГЛ. II
Если траектория, проходящая через точку М, в этой точке не касается
дуги I, то мы будем говорить, что «дуга I в точке М не имеет контакта».
Если же проходящая через точку М траектория касается дуги I, то мы
будем говорить, что дуга I в точке М «имеет контакт».
Простая гладкая дуга I называется дугой без контакта динамической
системы (I), если: а) на дуге I не лежит ни одного состояния равновесия;
б) ни в одной своей точке дуга I не имеет контакта.
Мы будем говорить, что дуга без контакта I
проведена через точку М или проходит через точ-
точку М, если М является точкой дуги без контакта /,
отличной от ее концов (рис. 32). Очевидно, черс:}
каждую точку М области G, отличную от состоя-
состояния равновесия, можно провести дугу без контак-
контакта. Такой дугой является, например, достаточно
малый отрезок нормали к траектории в точке М.
Пусть I — дуга без контакта, заданная пара-
параметрическими уравнениями
Рис. 61. Где j ^ и g ^ — функции класса Ct, определенные
при значениях s, a^.s^. b. Точки А (/ (a), g (а))
и В (/ (b), g (b)) являются концами дуги I. Так как I — простая
гладкая дуга, то при всех значениях s, a^s^. b, [/' (s)]2+ ig' (s)]2 Ф 0
(см. дополнение, § 5, п. 5).
Из условия а) следует, что при всех s имеет место неравенство
р2 (/ («). g (*))+Q2 (/ (*), е (*)) Ф о.
A)
Из условия б) следует, далее, что при всех s выполняется неравенство
(см. дополнение, § 5, п. 5)
P(f(s),g(s)) /'(*)
Q(f(s),g(s)) g'W }
Знак этого детерминанта определяет знак угла между дугой без контакта
и траекторией. Так как угол между дугой без контакта I и любой пере-
пересекающей ее траекторией *) не обращается в нуль, то, очевидно, этот угол
сохраняет постоянный знак.
Если
х = ф (t —10, х0, г/о), у = г]з (t —10, х0, у0)
— решение системы (I) (см. § 1, п. 3), то
x = q>(t —10, f(s), g(s)), y = ty{t —10, f(s), g(s))
при всяком s^[a, b] представляют уравнение тон траектории системы (I),
которая проходит при t — t0 через точку (/(s), g(s)) дуги без контакта I.
Условие B) может быть записано в виде
'@, f(s),g(s)) g'(s)
= 0.
*) Об угле между двумя векторами и между двумя гладкими дугами см. допол-
дополнение, § 5.

§ 3] ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ 7'Л
Дуга I может быть задана не параметрическими уравнениями, а урав-
уравнением
F(x, y) = 0,
где х (или у) меняется в определенных пределах, например а < х^ Ь.
В этом случае из условия а) следует, что в точках дуги I
а из условия б), что в точках дуги I
F'x (х, у) Р (х, у) + F'y (х, у) Q (х, у) Ф 0. (•!')
Сделаем еще одно замечание. Пусть I — дуга без контакта, А и В —
ее концы. Так как по определению дуга I в точках А и В не имеет контак-
контакта, то, очевидно, она может быть продолжена, т. с. всегда существует
такая дуга без контакта Z1? частью которой является дуга I, для которой
Л и В являются внутренними точками (рис. 32).
2. Обобщенная дута без контакта. В ряде «опросов роль, анало-
аналогичную дуге без контакта, играет «обобщенная дуга без контакта».
Мы скажем, что простая дуга I (эта дуга
может быть как гладкой, так и негладкой) яв-
является «обобщенной дугой без контакта для си-
системы (I)», если: а) на дуге I не лежит ни одно-
одного состояния равновесия; б) у всякой траек-
траектории, проходящей при t = t0 через какую-
нибудь точку М дуги I, отличную от концов,
точки, соответствующие достаточно близким
к ?0 значениям t > t0, лежат по положитель-
положительную сторону I, а точки, соответствующие до-
достаточно близким к t0 значениям t < t0, ле-
лежат по отрицательную сторону от I *) (или ис- ¦"•
наоборот). В частности, например, гладкая
дуга I является «обобщенной дугой без контакта» системы (I), если
в некоторых своих точках дуга I имеет с траекториями соприкосновение
четного порядка (рис. 33).
3. Пересечение траектории с дугой без контакта.
Лемма 1. Пусть I — дуга без контакта, М0(х0, у0) — точка,
отличная от ее концов, L — траектория, проходящая через точку Мо при
t= t0.
Существует такое h > 0, что часть траектории L, соответствую-
соответствующая значениям t, для которых А — t0 \ <; /г, удовлетворяет условиям:
а) она является простой дугой, б) эта дуга, кроме точки Мо, не имеет
других общих точек с дугой без контакта I, в) часть этой дуги, соответ-
соответствующая значениям t, t0 — h^.t<C tD, лежит по одну сторону дуги I,
а часть, соответствующая значениям t0 <C t^Cto -|- h,— no другую сто-
сторону I (рис. 34).
Лемма 1 непосредственно следует из леммы 1 § 5 дополнения п из
свойств траекторий, установленных в п. 4 § 1. Очевидно, если L —
*) О положителыиш п отрицательной стороне простой дуги см. дополпепне,
§ 3 и § 6, п. 5.

74 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ [ГЛ. II
замкнутая траектория, то число h заведомо меньше, чем половина пе-
периода, соответствующего траектории L периодического решения.
Докажем еще одно предложение. Предположим, что выбранное
на траектории L движение определено при всех t, т < t < Т (Т и т могут
быть соответственно —со и +оо).
Лемма 2. Всякая часть траектории L, соответствующая значе-
значениям t из произвольного заданного сегмента [а, р], т < о. < Р < Т', может
иметь лишь конечное число точек пересечения с любым отрезком без кон-
контакта.
Доказательство. Предположим противное, т. е. что траек-
траектория L имеет бесчисленное множество точек пересечения с некоторой
дугой без контакта I, причем эти точки соответствуют значениям t, при-
принадлежащим сегменту [а, р]. Выберем из этих значений t сходящуюся
последовательность {tn}, и пусть lim tn = t*. Оче-
?i-»co
видно, t* ? [а, р]. Точку траектории, соответствую-
соответствующую значению t*, обозначим через М*, точки, соответ-
соответствующие значениям tn — через Мп. Так как М* яв-
является точкой сгущения *) для точек Мп, лежащих на
дуге I, то она также лежит на дуге I. При этом можно
предполагать, что она отлична от концов дуги I, так как
в противном случае вместо дуги без контакта I можно
Рис 34 рассмотреть какую-нибудь содержащую I дугу без кон-
контакта Г (см. п. 1).
В силу леммы 1 существует такое h > 0, что все точки траектории L,
соответствующие значениям t на сегменте \t — it* [<; h, кроме точки М*,
не лежат на дуге I. Но при больших п \tn — t* | < /г, и, следовательно,
точка Мп не может лежать на дуге I, что противоречит сделанному пред-
предположению. Лемма доказана.
4. Расположение траекторий в окрестности дуги без контакта. В пре-
предыдущем пункте рассматривалось пересечение дуги без контакта с отдель-
отдельной траекторией. Сейчас мы рассмотрим всю совокупность траекторий,
пересекающих дугу без контакта в окрестности этой дуги.
Пусть
х = ф (t — t0, Хо, г/о), у = Ч1 {I — to, х0, Уо)
— решение системы (I), a
—параметрическое уравнение дуги без контакта I. Тогда
X = ф (t - t0, f (S), g (S)) = Ф (t, S),
y = Hl(t — t0, f(s), g(s)) = W(t,s)
при всяком фиксированном s g [a, b ] есть движение на траектории, пере-
пересекающей при t = t0 дугу без контакта I в точке, соответствующей данному
значению s.
*) Мы пользуемся здесь и всюду термином «точка сгущения» вместо более рас-
распространенного в математической литературе термина «предельная точка» ввиду того,
что в настоящей книге используется термин «предельная точка полутраектории»,
имеющий другое содержание, чем «предельная точка» — в смысле теории множеств.

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
75
Следующая простая лемма описывает структуру расположения
траекторий вблизи дуги без контакта. Она является одним из основных
вспомогательных предложений для всего дальнейшего.
Лемма 3. Существует h0 > О такое, что при всех значениях s и t
¦из сегментов
«<s<b, |г-/0|</г0 F)
функции E) дают регулярное отображение Т прямоугольника R пло-
плоскости (t, s), определенного соотношениями F), на некоторую замкнутую
¦область W плоскости (х, у), причем: a) W ограничена простой замкнутой
кривой; б) W содержит внутри себя все точки дуги I, за исключением ее
концов, лежащих на границе W; в) при отображении Т отрезок прямой
/
Л I
/
т"
t to+h t
Рис. 35.
t = t0 переходит в дугу без контакта I, а отрезки прямых s = const
переходят в дуги траекторий, пересекающих дугу без контакта I
<рис. 35) *).
Доказательство. В силу леммы 6 § 1 функции q> (t — t0, х0, у0),
\р (t —¦ tQ, х0, г/0) имеют непрерывные частные производные по t, t0,
jc0, yQ. Так как, кроме того, функции / (s) и g (s) имеют непрерывные про-
производные по s, то функции E) Ф (t, s), W (t, s) имеют непрерывные частные
производные по s и t при всех значениях $и(, при которых эти функции
определены, т. е. при всех s 6 la, b], и для каждого s — при всех t, для
которых определено решение ф (t — t0, f (s), g (s)), ty (t — t0, f (s), g (s)).
В силу леммы 8 § 1 существует такое h > 0, что для всех s 6 [a, h ] реше-
( / () ()) Ф ( ) ( f () () W )
НИЯ ф (* - t0, / (S), g (S)) = Ф (*, S),
р
- tQ, f (S), g (S)) = W (t, S)
\^h* К
( ф ( f ( (
¦заведомо определены при значениях t на сегменте \t — to\^.h*. Кроме
б [ ]
того, так как I есть дуга без контакта, то при t = t0 и при всех s
мы имеем
р
[а, Ь]
G)
*) В случае, когда дуга I является обобщенной дугой без контакта, справед-
справедливо аналогичное предложение: существует hQ > 0 такое, что при всех значени-
значениях s и t из сегментов а <; s <^ b, \t — to\ <;А0 функции E) дают топологическое (яо ве
¦обязательно регулярное) отображение Т прямоугольника R плоскости (t, s), опре-
определенного соотношениями F) на некоторую замкнутую область W, удовлетворя-
удовлетворяющую условиям а), б) и в) леммы 3.

7C ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ [ГЛ. II
(см. соотношения C) п. 1). Но это значит, что функции Ф (t, s)h? (t, s)
удовлетворяют всем условиям леммы 3 § 6 дополнения, и в силу этой
леммы существует такое /г0 > 0, /го<;/г*, для которого выполняются все
утверждения нашей леммы. Лемма доказана.
Замечание. Из свойств функций Ф (t, s), 4я (t, я), в частности,
следует:
а) Существует h0 > 0 такое, что все траектории, пересекающие при
t = tQ дугу без контакта I, при всех значениях t, О <С | t — t0 • ^ h0,
не имеют более общих точек с дугой I.
б) Всякая траектория, проходящая при t = t* через какую-нибудь
точку М* области W, непременно пересечет дугу без контакта I при неко-
некотором значении V, удовлетворяющем условию
\t'-t*\<h0.
При этом такое значение V существует только одно.
в) Пусть М' и М" — точки на двух дугах траекторий, при t = t0,
пересекающих I, принадлежащие W, лежащие по одну и ту же сторону
дуги I и соответствующие значениям V и t", удовлетворяющим неравен-
неравенствам \t0 — t' | < h, tQ — t" | ^ h, где h — произвольное положительное
число /г<;Л0. Тогда эти точки можно соединить простой дугой X, лежа-
лежащей в замкнутой области W и не пересекающей дугу I, причем все точки
дуги Я соответствуют на проходящих через эти точки траекториях значе-
значениям t, 0 < | t — t0 j ^ h (рис. 35) (точки т', т" и дуга Я' на плоскости
(t, s) с помощью функций E) отображаются соответственно в точки М', М"
и в дугу Я плоскости (х, у)).
Очевидно, значения величин t и s можно рассматривать как криволи-
криволинейные координаты в области W.
Следующая теорема, непосредственно вытекающая из леммы 3, харак-
характеризует «локальную качественную структуру» динамической системы
в окрестности любой точки, отличной от состояния равновесия.
Теорема 8. Пусть М — точка области G, не являющаяся состоя-
состоянием равновесия системы (I). Существует такая замкнутая область W,
ограниченная простой замкнутой кривой и содержащая точку М внутри
себя, и такое топологическое отображение (см. дополнение, § 1, п. 12)
этой области на прямоугольник R евклидовой плоскости со сторонами,
параллельными осям координат, при котором отрезки траектории,
лежащие в W, переходят в отрезки прямых, параллельных одной из осей-
координат.
Для доказательства теоремы 8 достаточно провести через точку М
какую-нибудь дугу без контакта и применить предыдущую лемму.
В связи с теоремой 8 напомним, что мы уже останавливались на
вопросе о характере разбиения на траектории в окрестности точки, отлич-
отличной от состояния равновесия (см. § 1, п. 14). Ссылаясь на наглядность,
мы говорили там, что в окрестности всякой точки, отличной от состояния
равновесия, «в малом» траектории ведут себя «аналогично семейству парал-
параллельных прямых». Приведенная теорема вносит точный смысл в эти слова.
Здесь для характеристики качественного свойства разбиения на траекто-
траектории мы впервые воспользовались понятием топологического отображения
(см. дополнение, § 1, п. 12).
Как мы увидим в главе III, при уточнении понятий «качественного-
характера траекторий», «качественного исследования динамической систе-

3]
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
мы» и т. д. понятие топологического отображения играет первостепен-
первостепенную роль.
Перейдем к следующей, также весьма простой, ио оснопной ломме:
Лемма 4. Пусть I — дуга без контакта, Mq — какая-нибуд1> се
точка, отличная от концов. Каковы бы ни были е > О, Д > 0, всегда
существует б > 0 F = 6 (е, Д)) такое, что всякая траектория L, про-
проходящая при t — t0 через точку М* ? l/ц (М(,), при некотором t /*
пересекает дугу без контакта, причем I* — /с I <С Д и при изменении t от
t* до t0 траектория L не выходит из Uе (Мо)
(рис. 36).
Доказательство. Пусть точка Мо
соответствует па дуге I значению х - *-0 (а <
< sp < I»), В силу непрерывности функций
при любом е >-0 можно указать также h и о,
А>А>Онсг>О, чтобы при ncex s и t
\l — to\?^h, xs — sd^a (8)
соответствующая замкнутая область W (см. 1'пс. '•№¦
лемму 3) целиком лежала в Ue (Мо). При этом
точка Мо является внутренней точкой области W. Поэтому всегда можно
указать б > 0 такое, чтобы Uь (Мо) целиком содержалось в W , т. о. что-
чтобы точкам Us (Мо) соответствовали значения t и s, удовлетворяющие
неравенствам (8). Но тогда в силу замечания б) к лемме 3 всякая траекто-
траектория, проходящая через точку СТь (Мо), непременно пересечет дугу I при
значении V, \V — t0! < h < Д, что и доказывает лемму.
Следующая лемма непосредственно вытекает из леммы 4 и из теоремы
о непрерывной зависимости решения от начальных значении:
Лемма 5. Пусть Lo — траектория, при t = @ проходящая через
точку Мо и при t = t± пересекающая дугу без контакта I в точке Ми
отличной от концов дуги I. Тогда при любых е > 0 и Д > О существует
6 >0, удовлетворяющее следующему условию: всякая траектория L,
при t — t0 проходящая через произвольную точку М' ? L\<, (Mo), при
некотором t = V пересекает дугу I в точке М[, причем: a) \l[ — tt \ <С Д;
б) М\ 6 Uг (Mi); в) всякая точка траектории L, соответствующая значе-
значению t ? \t0, tt], лежит в г-окрестности точки Lo, соответствующей тому
же значению t.
Доказательство очевидно.
5. Некоторые свойства функций Ф (t, *•), W (t, s). Л1ы рассматри-
рассматривали функции
X = ф (I - /0, / (S), Я (S)) - Ф (/, S),
y=q(t~t0, f(s), g(s)) = V(l,s)
@)
(.с — / (s). J/ = " («) — параметрические уравнения дуги без контакта /,
a^Cs^ib) при значениях f, достаточно близких к l0, t— f01<ГЛи.
В дальнейшем, однако, нам придется рассматривать эти функции при
всех тех значениях t > ?0> при которых они определены. Установим неко-
некоторые свойства этих функций.

78
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ
[ГЛ. II
Предварительно докажем следующую лемму:
Лемма 6. а) Функции х = ср (t — t0, х0, у0), у = -ф (t — t0, х0, у0}
удовлетворяют уравнениям в частных производных
Эф _ Эф D lnr 7/ ч , Эф п ^ 7/ ч Эф _ Э
(х0,
б) функциональный детерминант
Эф Эф
дх0 ду0
Эф Эф
дх0 ду0
Доказательство. Докажем сначала пункт а). В силу замечания
к лемме 4 § 1, если
x = q>(t~t0, xo,yo), y = ty(t — to,xo,yo), A1)
то
xQ = (p(t0 — t,x,y), Уо = У(*о — 1,х,у).
Но тогда по самому определению функций q>(t — t0, х0, у0) и ^(t — tQ, х0, у0)
%)¦ A2)
Подставляя выражения х0 и у0 в A1), мы получаем тождества
to~t, х, у), ^(tQ — t, х, у)].
Дифференцируя эти тождества по t0 и используя равенства A2), мы
получаем
"о, Уо) = О,
, л A3)
Но мы, очевидно, имеем
Эф
• Эф
dt0 dt ' dt0 dt '
Подставляя эти выражения в A3), получим выражение A0).
Утверждение а) доказано.
Докажем утверждение б). С этой целью вычислим сначала —.
Мы имеем
dl(i) _
dt
a
~дТ
Эф
1)х0
Эф
~дх0
Эф
%о
Эф
дУо
д Эф
dt дх0
dt дх0
Эф Э Эф
~дх~о~ ~дГ 'дуо~
дх0
a
дх0
Р {х, У)
Q(x, у)
Эф
dxg dt dy0
дх
Q&, у)
Эф п.
дхп
дх
¦ + Р-
, Эф
Эф
дх0
Эф I
о дУа
р Эф

3]
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
79
Таким образом,
-gf = [Р'х (ф (t —10, х0, г/о), яр (* — /0, х0, г/0)) +
+ Сг/ (ф (t — fo, Хо, г/о). ty(t — 'о, а
Найдем 1 (to). При t = tQ по определению функции ф и
ф @, х0, г/о) =s х0, 41 (°. жо, Уо) = г/о-
Поэтому
-О,
=0
Э.'/о у'2=«о
V йУо У <=<о
1 О
О 1
A5)
Считая, что Zo, х0, у0 фиксированы, и решая линейное однородное диф-
дифференциальное уравнение A4) при начальном условии A5), мы получаем
t
Лемма доказана.
Пусть, как и выше. I — дуга без контакта, заданная параметриче-
параметрическими уравнениями x = f(s), y = g(s), a^.s^.b.
Лемма 7. При любых значениях t и s, при которых определены
функции
х = ф (t-t0, f (s), g {s)) = Ф (t, s), у = Ч> (f-^o, / (s), g (s)) = ? (f, S), (9)
якобиан
D (Ф, Y)
Ф( Ф., i
не обращается в нуль.
Доказательство. Действительно, мы имеем
,
Подставляя вместо ^-, -—- их выражения из A0) и принимая во вни-
внимание, что роль .х0 и у0 играют сейчас соответственно / (s) и g (s), мы
получим
dep
дх0 ду0 |
дх0 ду0 |
= [Р
), g(*)) ё'Щ
), g(s)) f'(s)\

80
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ
(ГЛ. II
Выражение в квадратных скобках отлично от нуля, так как I есть дуга
без контакта (см. B) п. 1), а / (t) =/= 0 в силу предыдущей леммы. Поэтому
Д (t, s) =^= 0. Лемма доказана.
Предположим теперь, что функции (9)
x = q(t —10, f(s), g(s))=<D(l, s), y = $(t — t0, /(s), g(s)) = W(t, .v)
определены при всех значениях s и t, a^s^Cb, tQ^.t^x(s) (или
?0>?>т (&•)), где т (s)—-однозначная и непрерывная функция от л-.
Лемма 8. Пусть каждая траектория, проходящая при t — t0
через точку (/ (s), g (s)) дуги без контакта I, a^sCs^. b, не имеет больше
общих точек с дугой I, когда t0 < t*Cr (s) (соответственно t0 y>t,>x(s)).
Тогда уравнения (9) определяют регулярное отображение Т области R
плоскости t, s, заданной не-
А l
at
ь
а
?—\t=t(s)
*_ \
¦i. *
равенствами
<g b,
t0
(s)
> т (*•)), на некото-
некоторую замкнутую область W
плоскости (х, у) (рис. 37).
Доказательство.
Для определенности будем
считать, что ?0<I t <1т (.s1).
В силу предыдущее! леммы
Рпс- 37- . , ч D (Ф, V)
якооиан Д (t, s) = п-
не равен нулю ни в одной точке области/?. Поэтому для доказательства регу-
регулярности отображения Т, определенного функцией (9), достаточно по-
показать, что это отображение взаимно однозначно, т. с. любые две раз-
различные точки Kt (tu st) и Кг (t2, s2), tQ < tx < т (.v,), t0 < l2 < т (.v2),
области R переходят при отображении Т в различные точки области W.
Рассмотрим сначала случай, когда s4 =/= s%. Пусть Lt — траектория, пере-
пересекающая при t = t0 дугу I в точке М±, соответствующей значению ь\,
a L2 —• траектория, при t = t0 пересекающая дугу 1в точке AIZ (отличной
от М±), соответствующей значению s2.
По самому определению функций (9) точка Т (Ki) плоскости (х, г/),
в которую отображается точка Ki (tit st) плоскости (s, t), лежит на траекто-
траектории Lu а точка Т (К2), в которую отображается Кг (t2, s2),— на траекто-
траектории L2. По условию леммы дуги этих траекторий, соответствующие зна-
значениям t, <0<: ?<;т (s^ и to*Ct^ix (s2), кроме точек Mt и М2 больше
уже не имеют общих точек с дугой I (и «не пересекаются»). Отсюда, оче-
очевидно, следует, что точки Т (Kt) и Т (Kz) различны.
Рассмотрим теперь случай, когда s4 = s2. Пусть для определенности
^о < t\ < t2. При этом точки Т (Ki) и Т (Кг) лежат на одной и той же
траектории Lit пересекающей дугу I в точке Mlt соответствующей *¦ = st.
Если бы эти точки совпадали, то траектория Lt должна была бы быть
замкнутой, а число t2 — tt кратно периоду 60, соответствующему этой
траектории периодического движения.
Точка М траектории L, лежащая на дуге I, соответствовала бы тогда
как значению t0, так и значению t'o = t0 -f- (tz — tt). При этом t'o = t0 ~\-
~T" ($2. — ^i) < ^2 < t (s4). Но это противоречит условию леммы. Таким
образом Глемма доказана.
Замечание 1. Если система (I), а также функции / (s), g (.s)
(в параметрических уравнениях дуги I) принадлежат классу С,{ или

§_3] ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ 81
являются аналитическими, то регулярное отображение Т, заданное урав-
уравнениями (9), также принадлежит классу Ch или соответственно является
аналитическим.
Замечание 2. Рассмотрим множество точек области W, для
которых t = h (s), где t0 <C h (s) < т (&¦), а а<1&<: h. Пусть A (s) —
однозначная непрерывная функция. Очевидно, это множество точек пред-
представляет собой обобщенную дугу без контакта. Параметрические уравне-
уравнения ее в декартовых координатах имеют вид
Ж = Ф(А(8), 5), y=V{h(s), S).
Если функция h (s) имеет непрерывную производную, то эта дуга является
гладкой. Легко видеть, что если h (s) = t0 -)- hOl где Ao — постоянное,
достаточно малое положительное число @ < Ао < т (s)), то линия t =
= t0 + h0 является дугой без контакта.
Замечание 3. Всякие две точки Mt и М2 области W, соответ-
соответствующие значениям (ii, st) и (tz, s2), где Sj <Z s2, tQ < it <Z x (sj), t0 <
<C t2 <C т (s-2), можно соединить дугой без контакта, имеющей уравнение
t = h(s), где Sj <1 s-^ s-2 и А (я) — функция класса Ct. Кроме того, эту
дугу можно взять так, чтобы в точках Мг и Мг она имела произвольные,
наперед заданные направления, отличные от направления траекторий
в этих точках (см. дополнение, § 6, п. 7).
6. Траектории, пересекающие две дуги без контакта. Функция соот-
соответствия. В дальнейшем нам неоднократно придется рассматривать
траектории, пересекающие две дуги без контакта. Мы рассмотрим ряд
предложений, относящихся к этому случаю.
Пусть I и I — две дуги без контакта, не имеющие друг с другом общих
точек, а
x = f(s), y = g(s),
и
x = f(s), y=^(s),
— их параметрические уравнения. Будем обозначать точку на дуге I (I),
соответствующую значению параметра *¦ (s), через М (s) (M (я) соответ-
соответственно). Предположим, что некоторая траектория Lo пересекает дугу I
в точке Мо, а дугу I — в точке Мо, причем Мо и Мо являются точками
этих дуг, отличными от концов, и пусть при выбранном на траектории Lo
движении
ж = ф@, у = $A) A7)
точка Мо соответствует значению t ~ t0, а точка Мо — значению t = tQ.
Будем для определенности считать, что t0 < tc.
Предположим, далее, что часть траектории Lo, соответствующая зна-
значениям t ? [t0, t0], является простой дугой (так что в случае, когда
LQ — замкнутая траектория, разность t0 — ?0 меньше периода движения)
и что эта дуга кроме Мо и Мо не имеет других общих точек с дугами /
и I (рис. 38). Пусть точке Мо соответствует на дуге / значение параметра
s = s0, а точке Мо на дуге I — значение s — л0 (т. е. Мо = М (s0), Мо =
= М (бо))-
6 А. А. Андропов и др.

82 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ [ГЛ. II
Мы будем считать, что s0 = s0 = 0 (этого всегда можно добиться,
взяв вместо s и s в качестве параметров s— s0 и s — s0). Так как I и 7 —
дуги без контакта, то
?(s) = Р(^(8)' Z{7)) Q(f®' g{1)
r G) ? G)
(cm. B) n. 1; оба неравенства имеют место при s Q [a, b] и s Q [a, b]).
Будем предполагать параметры s и s выбранными так, что величины
А @) и Д @), а следовательно, и углы между траекторией Lo и дугами I
и I имеют одинаковые знаки (см. дополнение, § 5). Этого можно добиться,
заменив в случае необходимости параметр s
на — s. Пусть для определенности Д @) > 0,
Д @) > 0.
Лемма 9. Существует такое а0 > 0,
а < — о-0 < о0 < Ь, и такие функции t = % (s) >
> t0 a s = Q (s), определенные для значений
рис 38 s> Is I < aoi чтео ес-ггг траектория L пересе-
пересекает при t = t0 дугу I в точке М (s) (\s! <Z
<Z o0), то эта траектория пересекает дугу I при значении t = y_ (s) в точке
М (s), где s = Q (s), причем выполняются следующие условия: а) % (s)
и Q (*¦) являются функциями класса С а б) при значениях t, t0 <Z t < ^ (s),
траектория L не имеет общих точек с дугами I и I; в) Q' (s) >0, так что
s = Q (s) — монотонно-возрастающая функция от s.
Доказательство. Введем, как и выше (см. (9)), функции
Ф (t, s), W (t, s). Эти функции при всяком фиксированном s, a <:*¦-<; 6,
определяют такое движение на траектории, при котором общей с дугой I
точке М (s) соответствует значение t = t0. Когда s = 0,
т. е. мы получаем выбранное движение A7) на траектории Lo. По условию
это движение определено для всех значений t ? [t0, t0], следовательно,
оно заведомо определено и для значений t ? [?0) ^*], где t* — некоторое
число, несколько большее t0. Но тогда, в силу теоремы о непрсрывпой
зависимости от начальных значений (см. § 1), существует такое о* > 0,
что все движения на траекториях, пересекающих дугу I в точках ; s; < о*,
определены при тех же значениях t, т. е. функции (9) при всех \s\ < a*
определены при всех значениях t ? [t0, t*].
Если траектории, пересекающие дугу I, пересекают при некотором
t > t0 дугу I, то это, очевидно, означает, что система уравнений
<D(t, s) = /(s), Y(f, s) = g(s) A8)
имеет решение.
Функции
, S, 8) =

§ 3] _ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ 83
во всяком случае определены при значениях is|<o*, tOiCt^.t*,
а*сИ*сЪ, и являются функциями класса Сх. Так как по условию траек-
траектория Lo пересекает дугу I при значении I = ?0, то система уравпений A8)
удовлетворяется при зпачениях t —- t0, s = s = 0, т. е.
Ф^То, 0, 0) = 0, ?, G0, 0, 0) = 0. A9)
Наконец, якобиан
~ D (Ф1, ?0
при t = t0, s = 0, s = 0 обращается в
ДG0, о, 0) =
>i(~o-*o- /@), f
и, следовательно, так как Z есть дуга без контакта,
Д(Г0, О, 0)-Z),=^0. B0)
Соотношения A9) и B0) показывают, что для уравнений A8) выпол-
выполняются все условия теоремы о неявных функпиях (см. дополнение, § 4).
В силу этой теоремы существует единственная пара функций
t = х (s), s = Q is),
определенных в интервале s'<o,, где о, — некоторое положительное
число, a, <Z о*, удовлетворяющих системе уравнении A8). При этом
X (s) и Q (*¦) — функции класса Са, и
Х(О)=ТО,' Q@) = 0.
Тем самым для любого числа ac-<Oj доказано утверждение леммы о суще-
существовании функций 7 (s) и Q (л) и доказана справедливость утверждения а).
Перейдем к утверждению б). Пусть а ~ положительное число, удо-
удовлетворяющее следующим условиям:
1) при Есех is <Oj a<-^,_)—-°-;
2) при всех '$¦•<. o"j траектории
г = ф(/-г0, /И, ?(s)), у = ¦*(*-/„, /(s), ,e(.v))
при значениях t, t0 < t < fc -f- a, и при значениях /, x (*') — ct <C i <C
< 5C (s)> не имеют общих точек с дугами без контакта I и I. Такое а суще-
существует в силу замечания а) к лемме 3 (см. и. А), а также ввиду того, что
дуги I и / по предположению не имеют общих точек (рис. 38).
По условию леммы траектория Lo на участке tQ<Zt ¦< tQ = % @)
не имеет общих точек с дугами / и I.
Следовательно, дуга этой траектории, соответствующая при выбран-
выбранном на ней движении A7) значениям t, fр 4-ос <: ? <;70 — а (дуга ikftM2
6*

84
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИИ
[ГЛ. II
на рис. 38), находится на положительном расстоянии от дуг без контакта
I 11 I. Но тогда, очевидно (в силу непрерывности функций ф, \|), /, g и %),
и при достаточно малом а0, 0 <ao<ai, у всех траекторий, пересекающих
I в точках со значениями | s\ <Co~0 дуги, соответствующие в уравнениях AС)
значениям t ? [t0 -\- a, % (s) — а] также находятся на положительном
расстоянии от дуг I is. I. Отсюда следует, если принять во внимание, как
выбрано число а, справедливость утверждения б) леммы.
Для доказательства утверждения в) найдем выражение для Q' (s).
Так как функции % (s) и Q (s) являются решениями уравнений A8), то
T , s) = g(Q(s)),
Дифференцируя по s, мы получим
откуда
B1)
(знаменатель не равен нулю, так как I есть дуга без контакта).
Числитель полученной дроби представляет, очевидно, выражение
Д {% (s), s) из леммы 7 (см. п. 4) и равен
), g(s)) f'(s) j
). g(*)) ff'OO i
где /(x(s))>i0 в силу формулы A6). Знаменатель дроби B1)
/' (Q («))
B2)
B3)
Подставляя B2) и B3) в выражение B1) и пользуясь обозначениями
Д (s) и Д (s), введенными в начале этого пункта, мы получим
A(S)
Q' (s) =
А (Я (s))
[B4)
Так как / (% (s)) > 0, а знаки определителей Д (s) и Д (fi (s)) по пред-
предположению одинаковы, то Q' (s) >0и, следовательно, Q (s) есть моно-
монотонно-возрастающая функция. Лемма доказана.
Замечание 1. Утверждению, что s = Q (s) является возрастаю-
возрастающей функцией от s, может быть придана элементарная геометрическая
форма. Именно, обозначим через Я часть траектории Lo, соответствую-
соответствующую значениям t, T0^.t^.T1, где т0 <С tQ, xt > % (s), причем т0 — t0

§ 3] ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ 85
и Tt — х (s) настолько малы, что % является простой дугой *). Тогда
тот факт, что Q (s) есть возрастающая функция, означает, что если какая-
нибудь траектория при t = t0 пересекает часть дуги I, лежащую по поло-
положительную (отрицательную) сторону от дуги к в точке М (s*), достаточно
близкой к точке Мо, то при значении
S* — % (s*) эта траектория пересекает часть
дуги I, также лежащую по положительную
(отрицательную) сторону от К в точке М (s*)
(рис. 39).
Замечание 2. Если система (I),
а также функции / (s), g (s), f (.<?), g(s) при-
принадлежат классу Ch (являются аналитиче-
аналитическими), то функции Q (s) и % (s) также при-
принадлежат классу Сд (соответственно являют- •
ся аналитическими).
Мы предположим теперь, что функции Q (s) и % (s), обладающие
установленными в лемме 9 свойствами, определены для всех s 6 1я, Ь}
и что
Qia)^, Q(b) = b. B5)
Пусть А — конец дуги I, соответствующий *¦ — а, В — конец I, соответ-
соответствующий s = Ъ. Обозначим через LA и Ln траектории, проходящие
через концы А и В дуги I. В силу условия B5) траектории Ьл и Ьв про-
проходят соответственно через концы А и В дуги I; здесь А — конец I, соот-
соответствующий значению s = а, а В — конец, соответствующий s = b.
Рассмотрим простую замкнутую кривую у, состоящую из дуг АА
и ВВ траекторий Ьл и LB и частей АВ и АВ дуг без контакта Z и I. Обозна-
Обозначим через Г область, заключенную внутри кривой у, Г — ее замыкание.
Лемма 10. Любая траектория, проходящая через точку области Г
при убывании t, пересекает дугу I, а при возрастании t — дугу I.
Доказательство. Воспользуемся леммой 8 и введенными
в ней обозначениями, считая, что роль функции т (,s) играет % (.у). В силу
этой леммы (все условия которой в нашем случае выполняются) отобра-
отображение Т, заданное уравнениями (9)
x=xp(t-t0, f(s), g(s)) = O(t, s), <p=i|)(/-i0, /(*), g(s)) = W(t, s),
является регулярным отображением области 11:
на некоторую область плоскости (х, у). Обозначим через С границу обла-
области R. Нетрудно видеть, что Т (С) = у.
Следовательно, регулярное отображение Т переводит границу одно-
связной области R в границу односвязной области Г. Но тогда, в силу
ограниченности обеих областей йиГ (см. дополнение, § 1, п. 7), Т (R) ~
= Г. А это и означает, что все точки области Г лежат на траекториях,
при убывании t пересекающих дугу без контакта I, а при возрастании —
дугу I.
*) В случае, когда траектория LQ не замкнута, очевидно, (см. § 1) всякая со
часть, соответствующая любому конечному сегменту [т0, Tj] значений I, всегда является
простой дугой.
Поэтому выбор значений т0 и х1 достаточно ближний к t0 и it нужен лишь в слу-
случае, когда Lo является замкнутой траекторией.

86
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ
[ГЛ. II
Рис. 40.
Замечание 1. Все траектории, пересекающие дугу I в отличных
от концов точках, при возрастании t, очевидно, входят внутрь Г, а
пересекающие дугу I в отличных от концов точках —• при возрастании t
выходят из области Г.
Замечание 2. Предположим, что точка А фиксирована,
а В является переменной точкой дуги I. Тогда при любом е >> 0 существует
такое 6>0, что если В ? U6 (А), то соответствую-
g щая область Г целиком лежит в е-окрестности
дуги АА траектории LA. Это непосредственно сле-
следует из непрерывности функций % (s) и ?2 (s).
Замкнутую область типа Г, т. е. замкнутую
односвязную область, ограниченную двумя непе-
непересекающимися дугами без контакта АВ и АВ
и двумя дугами траекторий АА и ВВ, которая удо-
удовлетворяет утверждению леммы 10, мы будем называть элементарным
топологическим четырехугольником или просто — элементарным четырех-
четырехугольником (рис. 40).
7. Случай, когда траектория имеет с дугой без контакта более одной
общей точки. Установленные выше леммы справедливы не только для
динамических систем на плоскости и на поверхности рода нуль, но и для
систем на поверхностях более высокого рода, так как при доказательствах
мы не пользовались специфическими свойствами плоскости. В отличие
от этого, доказательства лемм, рассматриваемых в настоящем пунк-
пункте, существенно используют специ- „
фическое свойство плоскости или
сферы — их односвязность, т. е.
тот факт, что всякая простая зам-
замкнутая кривая делит плоскость
(или сферу) на две области. Поверх-
Поверхности более высокого рода не яв-
являются односвязными. Поэтому
для таких поверхностей леммы,
а также основанные на этих лем-
леммах предложения, излагаемые ни-
ниже, не имеют места.
Пусть как и выше, I — дуга
без контакта, параметрическое
уравнение которой
Рис. 41.
g
причем, концы А и В дуги соответствуют значениям а и Ъ параметра s.
Предположим, что некоторая траектория Lo имеет с дугой I две различ-
различные общие точки Mi (st) и Мг (s2), отличные от концов дуги I и соответ-
соответствующие яри некотором движении на Lo
ж=ф(о, у=*;(«) B6)
значениям tt и t2 параметра t (ft <C t^}. Пусть, кроме того, при значениях
t ? [tu t2] у траектории L нет больше общих точек с дугой I. Дугу MiM2
траектории L мы будем называть «витком траектории». Предположим
для определенности, что st < s2. Геометрически очевидно, что при ука-
указанных условиях возможно одно из двух расположений траектории Lo
и дуги I, схематически изображенных на рис. 41 (или их зеркальные

3)
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
87
отображения). Очевидно, траектория не может пересекать дугу, как
указано на рис. 42, так как тогда дуга I не была бы дугой без контакта.
Обозначим через С простую замкнутую кусочно-гладкую кривую,
образованную дугой М^М2 траектории L (соответствующей значениям
t, ti < ?<: t2) и частью MiM2 дуги I.
Так как I — дуга без контакта, то все траектории, ее пересекающие,
образуют с ней угол одного знака. Тогда в силу леммы 4 § 6 дополнения
траектории, пересекающие часть MtM2 дуги I
в точках, отличных от ее концов, либо все вхо-
входят внутрь С, либо все выходят из С (рис. 43).
Лемма 11. Если С — простая замкнутая
кривая, образованная дугой МХМ2 траектории
Lo и частью М^М2 дуги без контакта I, то:
а) точки траектории LQ, соответствующие
значениям ?< tu лежат внутри (вне) кривой С, Рис- 42.
а точки, соответствующие значениям t > t2,
лежат вне (внутри) кривой С; б) всякая траектория L, при t = t0 пере-
пересекающая дугу I между точками Mi и М2, при других значениях t уже не
пересекает эту часть дуги I; в) часть АМ^ дуги I лежит, внутри (вне)
кривой С, а часть ВМ2 — вне (внутри) кри-
кривой С (рис. 43).
Доказательство. Доказательство
леммы опирается на свойства области W
леммы 3, построенной около дуги I, и на
лемму 4 § 6 дополнения, уже упоминав-
упоминавшуюся выше.
Рассмотрим траектории, при t = t0 пере-
пересекающие дугу I. Во избежание путаницы
будем обозначать на этих траекториях пара-
параметр («время») не буквой t, как в уравне-
уравнениях B6) траектории LQ, а буквой Т. Таким
образом, уравнения этих траекторий запи-
запишутся в виде
= <p(T-t0, J(s),
= q(T-t0, f(s),
))=O(T, s),
Рис. 43. y = q(T-t0, f(s), g(s)) = ?G1, s).
При достаточно малом h множество W точек с координатами
B7)
= Ф(Т, s),
s)
обладает свойствами, установленными в лемме 3. (При этом для h
заведомо должны выполняться неравенства t1-\-h<it2 — h, в противном
случае, как нетрудно видеть, отображение, заданное функциями B7),
не может быть регулярным.) Область W указана на рис. 43.
Отметим, что, полагая в уравнениях B7) s = st и s = s2, мы полу-
получим два отличных от B6) движения на траектории Lo. Одно из этих
движений

88 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ [ГЛ. Ц
получается из движения
заменой t = Т— То -f-12, а другое —
ж = <р(Г-*0, f(s2), g(s2)), y = $(T-t0, f(s2), g(s2))
получается из движения B6) заменой t = Т — То + h.
Рассмотрим часть дуги МгМ2 траектории Lo, соответствующую зна-
значениям t, tt -|- h < t <C t2 — h, т. е. открытую дугу 515Г2. Так как при
значениях t в интервале {ti,t2) траектория Lo по условию не имеет общих
точек с дугой I, то открытая дуга SiS2 траектории Lo не может иметь
' общих точек с областью W. Действительно, в противном случае в силу
замечания б) к лемме 3 у Lo непременно должна была бы существовать
общая с I точка, соответствующая некоторому значению t, ^ < t <Z t2.
Таким образом, кроме части MtM2 Дуги I, частей M2S2 и М^л траек-
траектории Lo (соответствующих значениям t, t2 — h <1 К (гн(|< К 'i г
+ h) *) в области W нет больше никаких точек кривой С. Дуга / разде-
разделяет W на две части W~ и W+. Точкам W~ соответствуют значения Т.
t0 — Л ^ Т < t0, точкам W+ — значения Т, to<.T *C t0 -|- Л.
Пусть L — какая-нибудь траектория, пересекающая дугу I в точ-
точке М, лежащей между точками Mi и М2 (рис. 43). Принимая во внимание
лемму дополнения, предположим для определенности, что часть траекто-
траектории L, соответствующая значениям t0 <: Т < t0 + h (т. е. «полуоткры-
«полуоткрытая дуга» МК), лежит вне С (в W^), а часть, соответствующая значениям
Т, t0 — h <: Т <; t0 (т. е. «полуоткрытая» дуга MS), внутри С (в И7~).
Рассмотрим теперь часть траектории LQ, соответствующую значе-
значениям t > t2, t2 <i t ?C t2 -\- h **) (т. е. «полуоткрытую» дугу М2К2 на
рис. 43). Она, очевидно, лежит в W+. В силу свойств области W любую
точку Р этой дуги можно соединить с точкой Q дуги МК траектории L
непрерывной линией PQ, целиком лежащей в W и не имеющей общих
точек с кривой С (см. замечание к лемме 3). Отсюда следует, что полу-
полуоткрытая дуга М2К2 траектории Lo, так же как и дуга МК траектории L,
лежит вне С. Совершенно аналогично, рассматривая дуги MtKi и MS
траекторий Lo и L, мы покажем, что обе эти дуги лежат внутри С.
Очевидно, далее, что у траектории LQ не может быть ни одной точки,
соответствующей значениям t <C 1\ и лежащей вне С. В противном случае,
траектория Lo должна была бы выйти из С при убывании t. Но это невоз-
невозможно, так как траектория Lo не может пересечь свою собственную дугу
М\М2 и не может пересечь дугу без контакта I при убывании t, выходя
из С (в силу того, что по предположению, траектория L, а значит, и все
пересекающие дугу без контакта I траектории при убывании t входят
внутрь С).
Совершенно таким же рассуждением мы покажем, что точки траекто-
траектории L, соответствующие в уравнениях B6) значениям t >> t2, лежат вне С.
Таким образом, пункт а) доказан.
Перейдем к доказательству утверждения б). Пусть L — какая-нибудь
траектория, проходящая при t — t0 через точку М, лежащую между точ-
точками Mi и М2. При убывании t эта траектория входит в область, заклю-
*) В уравнениях B7) часть M%S2 траектории Lo соответствует значениям- t,
t0 — h <; Т < tQ, а часть MjSj— значениям t, t0 + h .> T > t0.
**) Или значениям Г, t0 < Т -< t0 + h, в уравнениях B7).

§ 3] ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ 89
ченную внутри С. Выйти из этой области через точки, лежащие между
точками Mi и Mz, она не может (так как тогда она должна пересечь дугу I
в противоположном направлении, что невозможно).
Очевидно, при убывании t она не может пройти н через сами точки
Mi и М2.
Действительно, допустим, что траектория L при убывании t попа-
попадет, например, в точку М1, оставаясь до этого внутри С. Но через точ-
точку Mi проходит траектория Lo, у которой нет точек, близких к точке Ми
лежащих внутри С.
Таким образом, отрицательная полутраектория }У\\, имеющая началом
внутреннюю точку М отрезка М1М2 дуги I, остается целиком, кроме точ-
точки М, внутри С. Также устанавливается, что положительная полу-
полутраектория Ljf лежит целиком (кроме ее начала М) вне кршзой С. Этим
доказано утверждение б) леммы.
Перейдем к доказательству утверждения в). Рассмотрим часть МгВ
дуги /. Нетрудно видеть, что всякая, отличная от М2, точка Л этой части
может быть соединена с точкой Q части М^К2 траектории Lo непрерывной
кривой, целиком лежащей в W и не имеющей общих точек с кривой С.
(Эта непрерывная кривая изображена пунктиром на рис. 43.) Следова-
Следовательно, полуоткрытая дуга Мф (соответствующая значениям ,v,
s2 < s-^ b), так же как и полуоткрытая дуга M»KZ траектории Lo, лежит
вне С. Совершенно аналогично мы покажем, что полуоткрытая дуга М{А
лежит внутри С. Таким образом, лемма доказана полностью.
Следствие 1. Если у траектории L есть две различные общие
точки Mi и М2 с дугой без контакта I, соответствующие значениям
ti и t2, и при значениях t, tt <Z t < t2, у траектории L больше нет общих
точек с дугой I, то на дуге I между точками Ж\ и Мг нет больше уже ни
одной точки L.
Это непосредственно следует из утверждения а) настоящей леммы.
Следствие 2. Предположим, что траектория L имеет более
двух точек пересечения с дугой без контакта I, и пусть Mj, М2, М3, . . .
—конечное или счетное множество таких точек. Предположим, далее, что
при каком-пибудь движении по траектории эти точки являются последо-
последовательными точками пересечения с дугой I, т. е. соответствующие им
значения времени t, tt, t2. t3, ... меняются монотонно — скажем,
возрастают:
h < h < l3 < ...,
и при промежуточных значениях t, it <Z I < ti + l, i - 1, 2, . . ., траек-
траектория L не пересекается с дугой /. Тогда соответствующие точкам Mi
значения st параметра s на дуге / также меняются монотонно, т. е. либо
либо
«1 > *2 > S3 >
(рис. 44). При этом траектория L не имеет с дугой I общих точек, распо-
расположенных (на дуге I) между точками Mi 11 M; + i (i =¦ 1, 2, . . .).
Следствие 2 вытекает из утверждений а) н в) леммы. Коротко содержа-
содержание его можно выразить следующим образом: последовательные по t точки
пересечения траектории L с дугой без контакта I являются также точ-
точками, последовательными по s.
Лемма 12. Замкнутая траектория не может иметь более одной
общей точки с дугой без контакта.

90
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ
{ГЛ. II
Доказательство. Предположим противное, т. е. предполо-
предположим, что замкнутая траектория L имеет не менее двух различных точек
пересечения с дугой без контакта I. Пусть Mt и М2 — две такие точки,
соответствующие значениям параметров it и t-> {tx <c t2). Мы будем пред-
предполагать, что при промежуточных значениях времени tft < t < t2 траек-
траектория L не пересекается с дугой I.
В силу предыдущей леммы либо полутраектория Ь~мг лежит внутри,
а полутраектория L%l2 — вне кривой С, составленной нз дуги MtM2 траек-
траектории L и части MiM2 дуги I, либо наоборот. Предположим для опреде-
определенности, что Lmj лежит внутри С (рис. 45). Рассмотрим точку М* траекто-
траектории L, соответствующую значению t = t* <; ij. Очевидно, М* ? Ь\1л.
Рис. 44.
Рис. 45.
Но предположению L — замкнутая траектория. Обозначим период движе-
движения на L через 0О. Тогда все точки траектории L, соответствующие значе-
значениям t = t* + nQ0 (n — целое), совпадают с точкой М*. Но если п доста-
достаточно велико, то t* + ибо > t2, а это значит, что М* 6 ?*f2- ^ы пришли
к противоречию — одна и та же точка М* лежит и внутри и вне простой
замкнутой кривой С. Лемма доказана.
8. Функция последования. Пусть, как и выше, некоторая траектория
Lo пересекает дугу без контакта I в двух последовательных по t точках
Mi и М2, отличных от концов дуги I и соответствую-
соответствующих значениям времени t± и t2, t^ < t2. Траектория
Lo может быть как незамкнутой, так и замкнутой.
В первом случае М4 и М2 — различные точки на
дуге I, соответствующие разным значениям st и s2
параметра s.
Во втором случае точки Мг и М2 совпадают,
s2 = su но tt и t2 различны; именно, t2 = tft + 60,
где 60 — период движения на траектории (рис. 46).
Случай, когда траектории пересекают дважды одну
и ту же дугу без контакта, можно рассматривать
как предельный для случая траекторий, пересекаю-
пересекающих две различные дуги без контакта Zt и 12 при
значениях t0 и t = % (s) соответственно — когда дуга lt сливается с дугой
12, но при этом так, что промежуток значений t, t0 <C t < % (s), не стре-
стремится к нулю. Имеет место лемма, аналогичная лемме 9.
Рис. 46.

§ 3j ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ 91
Лемма 13. Существует такое со>Ои такие функции t = % (s) >
Z> tt и s = Q (s), определенные для значений s, \s — Si | < o, что если
какая-нибудь траектория L пересекает при t = tx дугу I в точке М (s)
(Is — St\ < а0), то эта траектория при некотором значении t = % (s) >
> tt пересекает дугу I в точке М (s), где s == Q (s) (рис. 47), причем выпол-
выполняются следующие условия: 1) % (s) и Q (s) являются функциями класса Cj;
2) при значениях t2, tt траектория L не имеет общих точек
с дугой I; 3) Q' (s) > 0, /иск ч/ио s = Q (*•) — монотонно-возрастающая
функция от s. (Аналогичное утверждение имеет
место, если t^ > tz. В этом случае % (s) < tt.) Y^_
Доказательство. Рассмотрим урав-
уравнения
x = tp(t — tu f(s), g{s)) = Q>(t, s),
определяющие для всякого фиксированного s дви-
движение по траектории, при котором в момент вре-
времени tt траектория пересекает дугу I в точке
М (s) (a<s<6).
Если функции рИС- 47.
* = X(S)» ~s = Q(s),
о которых говорится в настоящей лемме, существуют, то, очевидно, они
должны удовлетворять системе уравнений
Но эта система по условию леммы заведомо удовлетворяется при значе-
значениях t = t2, s = Si, s = s2. Проводя, далее, рассуждения, полностью
аналогичные рассуждениям, приведенным при доказательстве леммы 9,
нетрудно убедиться в справедливости настоящей леммы.
Замечание 1. Если система (I), а также функции / (s) a g (s)
принадлежат классу С^ (являются аналитическими), то Q (s) и % Is)
также являются функциями класса Ch (соответственно аналитическими).
Замечание 2. Из свойств функции s = Q (s) следует, что суще-
существует однозначная обратная функция
Функция s = Q (s) и обратная функция s — Q'1 (s) называются функция-
функциями последования, определенными на дуге без контакта I.
Очевидно, функция последования может быть определена не на всякой
дуге, а лишь на такой, которую траектории пересекают более одного раза.
Пусть s = О. (s) — функция последования на дуге без контакта I.
Пусть точке М (s) соответствует значение t = ?4. Тогда точке М (s),
т. е. точке М (Q (s)) соответствует значение t = % ($). Если t2 > tt,
то % (s) > *i Для всех s, где определена функция последования; если
же ?2 < tu то X (s) "^ ^i- В первом случае говорят, что функция
последования s = Q (&) построена при движении на траектории в сторону
возрастания t, а во втором — в сторону убывания t.
Очевидно, из двух функции иоследовапия s = fi (s) и s = Q'1 (s)
одна построена при движении па траекториях в сторону возрастания t,

92
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ
[ГЛ. II
а другая — в сторону убывания. В случае, когда % (s) > tt, M (Q (*•))
называется последующей для М (s) точкой, а М (*•) точкой, предыдущей
для М (Q (s)).
Из леммы 12 следует, что траектория, проходящая через точку М (s),
является замкнутой в том и только в том случае, когда Q (s) = s.
9. Замкнутые кривые, составленные из дуги траектории и дуги без
контакта, и ограниченные ими области. Предположим, что функция
последования s = Q (s) на дуге I определена для всех s ? [я, Ь\ и каждая
траектория, проходящая при t = t0 через точку М (s), s ? [а, Ь], прохо-
проходит через точку М (Q (*•)) при t = % (s). Будем для определенности счи-
считать, что х (*') > t0, т. е. функция последования Q (s) построена при движе-
движении на траекториях в сторону возрастания t. Обозначим Q (а) и Q (/;)
Рис. 48.
Рис. 49.
Рис. 50.
соответственно через а' и Ь', и пусть Л, В, А', В' — точки на дуг« /,
для которых значения параметра s равны соответственно я, Ь, а', Ь'
(рис. 48). Траектории, проходящие через точки А и В, обозначим соответ-
соответственно через ЬЛ, LB. Точки А и А' или В и В' могут как быть различными,
так и совпадать. В случае, когда А и А' совпадают, траектория Ьл являет-
является замкнутой и а' = Q (а) = а (рис. 49).
Так как функция последования Q (*•) является возрастающей функ-
функцией s и по условию а < Ь, то
a'=Q(a)<QF) = 6'
и для любого s ? (а, Ь)
B8)
B9)
Части АВ и А'В' дуги I могут как иметь общие точки, так и не иметь
их. Случай, когда дуги АВ и А'В' не имеют общих точек (рис. 50), сводит-
сводится, очевидно, к рассмотренному в п. 5 случаю траекторий, пересекающих
две различные дуги без контакта.
Пусть дуги АВ и А'В' имеют общие точки. Тогда точка В не может
лежать между точками А и А' (когда эти точки различны). Действительно,
если бы точка В лежала между точками А и А', то в силу B8) и B9) имело
бы место неравенство
при выполнении'которого, вопреки предположению, части АВ и А'В'
дуги I не имеют общих точек. Точно так же точка А не может лежать между

3]
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
93
В
Рис
Рис. 52.
точками В и В'. Таким образом, в случае, когда части АВ и А'В' дуги I
имеют общие точки, части А А' и ВВ' этой дуги либо пе имеют общих
точек, либо имеют только одну общую точку (если точки А' и В совпа-
совпадают) (рис. 51). Нетрудно найти все возможные типы расположения точек
в рассматриваемом случае (например, рис. 52).
В случае, когда траектория Ьл незамкнута, мы обозначим через С±
простую замкнутую кривую, состоящую из дуги А А' траектории Ьл
и части А А' дуги I; в слу-
случае же, когда LA — замк-
замкнутая траектория, будем
понимать под Ct саму эту
траекторию. Аналогично
обозначим через Сг про-
простую замкнутую кривую,
состоящую из дуги ВВ'
траектории LB и части ВВ'
дуги I, или всю траекто-
траекторию LB. Ci и С2 либо не
имеют общих точек (рис. 48,
49, 52), либо имеют толь-
только одну общую точку
(рис. 51)—в зависимости от того, имеют или нет общую точку отрезки А А'
и ВВ'рути I. Через Г4 и Г2 обозначим области, ограниченные соответ-
соответственно кривыми Ct и С2-
Лемма 14. В случае, когда части А В и А'В' дуги I имеют общие точ-
точки, одна из областей Г4 и Г2 лежит внутри другой, так что кривые Ct и С%
ограничивают конечную область. Всякая
траектория, проходящая через точку этой
области, не лежащую на дуге I, при убыва-
убывании t пересекает части А В и, следователь-
следовательно, при возрастании t пересекает часть
А 'В' дуги I {на рис. 51 и 52 области между
кривыми 6'i и Сп заштрихованы).
Доказательство. Докажем
сначала норное утверждение леммы. С этой
целью предположим противное, т. е, пред-
предположим, что области Г л и Г2 лежат одна
вис другой (рис. 515).
Пусть Г* — область, в границу кото-
которой входят обе кривые Ct и С2 и кроме
точек этих кривых — больше ни одна точка
области С (G — область, в которой опре-
определена рассматриваемая динамическая си-
система). Такой областью является область G — Г, — Г». Очевидно, в гра-
границу этой области кроме кривых С, и С» входит так же граница области
G. Пусть X — дуга без контакта, являющаяся соединением (теоретико-
множественной суммой) частей А В it А'В' дуги I. Одним концом дуги X
является либо точка А (как на рис. 48), либо точка Л', а другим — либо
точка В, либо точка В'.
Нетрудно видеть, принимая ко шишашю лемму 11 и сделанное допу-
допущение относительно областей Г] и Г2, что:
а) все точки дуги X, отличные от точек ее части А А'', лежат вне кривой
С\, а все точки этой дуги, отличные от точек ее части ВВ', лежат вне
Рис. 53.

94 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ 1ГЛ. И
кривой С2. Следовательно, каждая точка дуги К либо является граничном
точкой области Г*, либо ее внутренней точкой;
б) если траектория при t — t0 пересекает дугу А в точке М (*•), распо-
расположенной между точками А и В (так что а < s< b), то все точки этой траек-
траектории, соответствующие значениям t, t0 < t < % (s), принадлежат обла-
области Г*.
Обозначим через W* множество (открытое) точек М (х, у) с коорди-
координатами
x = <p(t — t0, f(s), g(s)), y = q{t — t0, f(s), g(s)),
где t0 < t < x (*¦)» a « О < fc. (Очевидно, W* cz Г*, и И7* не имеет общих
точек с дугой I и, следовательно, с дугой К). Эти уравнения в силу леммы S
дают регулярное отображение области R плоскости (s, t), определяемой
неравенствами
на множество*) W*. Следовательно (см. дополнение, § 6), W* является
областью, и граница этой области является отображением границы области
В.. При этом вся граница области W* состоит из дуги АА' траектории LA,
дуги ВВ' траектории LB и части "к дуги без контакта I, т. е. состоит только
из замкнутых кривых Ct и Сг и из дуги К. Этого не может быть, так как если
области rt и Г2 лежат одна вне другой, то кривые Ct и С2 вместе с отрезком
К, «соединяющим» эти кривые, не могут быть границей какой-нибудь обла-
области, целиком лежащей в G. (Такая область, очевидно, состоящая из точек
области Г*, за исключением точек дуги S, непременно имеет своими точ-
точками граничные для области G точки.)
Мы приходим к противоречию, и, следовательно, утверждение а)
леммы доказано, т. е. одна из областей Г4 и Гг лежит внутри другой.
В этом случае существует область Г, граница которой состоит только из
точек кривых Ct и С2.
Для доказательства утверждения б) заметим прежде всего, что в силу
леммы 11 все точки дуги К либо принадлежат границе области Г, либо
самой области Г. Поэтому Г\Я является областью, граница которой состоит
из кривых Си С2 и дуги 7ь. Как было выше показано, граница области W*
также состоит из кривых С± и С2 и дуги К, т. е. совпадает с границей обла-
области Г\Х. Но тогда (см. дополнение, § 1, п. 7) область Г\Х совпадает
с областью W. А это и значит, принимая во внимание определение области
W*, что справедливо утверждение б) леммы. Лемма доказана.
Замечание 1. Предположим, что точка А фиксирована, а точка
В может занимать различные положения на дуге I. Тогда при любом е > О
существует такое б >0, что если В ? Ug (А), то область Г целиком лежит
в е-окрестности дуги А А' траектории LA. Это следует из замечания 2 к лем-
лемме 10 и из настоящей леммы.
Замечание 2. Пусть Lo — замкнутая траектория, Ло — ее точ-
точка, и пусть сколь угодно близко к точке А с имеются точки, через которые
проходят замкнутые траектории, отличные от Lo. Тогда можно указать
такое б > 0, что все замкнутые траектории, проходящие через точки окре-
окрестности Ut> (AD), лежат одна внутри другой. Это непосредственно вытекает
из леммы 4 и из настоящей леммы. Действительно, проводя через точку Ао
дугу без контакта I, мы всегда можем, в силу леммы 4 и леммы 5, взять 6
*) Заметим, что в лемме 8 указанное отображение области R на W является
однозначным и па границе области, в то время как в рассматриваемом случае это
не имеет места.

§ 3]
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ
95
таким, чтобы все траектории, проходящие через точки этой окрестности,
пересекали эту дугу дважды. А тогда, в силу настоящей леммы, области,
заключенные между любыми двумя замкнутыми траекториями, проходя-
проходящими через Z7fi (Ао), лежат одна внутри другой, т. е. эти замкнутые траек-
траектории лежат одна внутри другой.
10. Цикл без контакта. Пусть С — гладкая простая замкнутая кри-
кривая, лежащая в области G, а М — какая-нибудь ее точка. Мы будем гово-
говорить так же, как и в случае простой гладкой
дуги I, что кривая С в точке М имеет или не
имеет контакта (с траекториями системы A))
в соответствии с тем, касается ли кривая С в этой
точке траектории системы (I) или нет.
Гладкая простая замкнутая кривая С назы-
называется циклом без контакта динамической си-
системы (I), если а) на кривой С не лежит пи одно-
одного состояния равновесия; б) ни в одной своей
точке кривая С не имеет контакта. Если цикл
без контакта С задан параметрическим урав-
уравнением
,._* (v\ ._„ м Рпс. 54.
где s?[s0, so + x], to/0(s) и g0 (s) — функции класса 6', на этом сегменте
в силу того, что цикл С—гладкая замкнутая кривая, и выполняются
условия:
/о Ы = /о (So + т), g0 (so) = go (so + т),
f'o Ы = /о (so + т), go Ы = g0 (*о -f т).
Для цикла без контакта С ныполпяются следующие условия, ана-
аналогичные условиям D) и D') п. 1:
7 (*0 " (*')) ~^~ 0
... \
A (s) = ¦¦
C0)
(оО)
при всех s?[s0
Если цикл без контакта С задай неявным уравнением
Ф(х,у) = 0,
то в точках этого цикла выполняются условия
; (х, у) Р (х, у) + Ф'у (х, у) Q (х, у) Ф 0,
C1)
C1')
аналогичные условиям G) и (8) для дуги без контакта.
Так же, как в случае дуги без контакта (см. § 3, п. 1), угол между цик-
циклом без контакта С и любой траекторией, пересекающей его, не обращается
в нуль и имеет, следовательно, во всех точках цикла С один и тот же знак
(этот знак, очевидно, зависит от знака выражения Д (а)). Отсюда вытекает,
что траектории, пересекающие в некоторый момент t = t0 цикл С при
возрастании t либо одновременно все входят внутрь, либо одновременно
все выходят наружу (см. дополнение, § 6). Как следствие этого, мы полу-
получаем, в частности, что каждая траектория, пересекающая цикл без контак-
контакта, имеет с ним одну и только одну общую точку (рис. 54).

90 ОСНОННЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ [ГЛ. II
Очевидно, всякая дуга цикла без контакта является дугой без кон-
контакта. Циклы без контакта встречались нам в примерах 7 и 9 (§ 1, л. 14).
11. Семейство циклов без контакта. Траектории, входящие в область,
заполненную циклами без контакта. Пусть Со и С( — два цикла без кон-
контакта, причем Со лежит внутри Сг. Обозначим через Г кольцевую область,
ограниченную циклами Со и Ct и предположим, что область Г покрыта
циклами без контакта, обладающими следующими свойствами:
а) через каждую точку области Г проходит один и только один цикл С;
б) все циклы без контакта лежат один внутри другого, содержат внутри
себя цикл Со и содержатся внутри цикла С±.
При этих условиях мы будем говорить, что семейство этих кривых
в области Г является семейством циклов без контакта.
Пусть семейство циклов без контакта задано уравнением
где F(x,y)-—функция класса С^, к^>1, и пусть циклам, лежащим
в области Г, соответствуют значения у, заключенные между значе-
значениями -уо и "Чи То^Т!- Тогда, очевидно, во всех точках области Г
выражение
F'x (х, у) Р (х, у) + F'y (х, у) Q (ж, у) C2)
не обращается в нуль и, следовательно, сохраняет знак. Это означает, что
при возрастании t траектории либо входят внутрь каждого из циклов без
контакта С, либо выходят из этих циклов. Предполагая для определен-
определенности, что траектории пересекают каждый из рассматриваемых циклов
без контакта С, при возрастании t входя внутрь его, докажем следующую
лемму:
Лемма 15. Всякая траектория, пересекающая цикл без контакта
Ci, при возрастании t пересечет все циклы заданного еТ семейства и выйдет
из области Г через цикл Ct.
Доказательство. Пусть L — траектория, при t — tx пере-
пересекающая цикл Cj. Заметим- прежде всего, что если L при t = t* пересе-
пересекает некоторый цикл С* заданного семейства, то она, очевидно, пересекает
(при значении t <Z t*) все циклы, содержащие С внутри.
Предположим, что траектория L пересекает не все циклы без контакта,
заданные в области Г. Тогда среди этих циклов можно указать циклы двух
типов: циклы первого типа, которые траектория L пересекает, и циклы
второго типа, которые траектория не пересекает. Все циклы второго
типа лежат внутри циклов первого типа. При этом непременно должен
существовать цикл С, являющийся либо «последним» циклом первого типа,
либо «первым» циклом не первого типа, т. е. траектория L пересекает все
циклы, содержащие С* внутри, но не пересекает ни одного цикла, содержа-
содержащегося внутри С*. Но последнего цикла первого типа существовать не
может. Действительно, у всякой траектории, пересекающей при некотором
t = % какой-либо цикл без контакта С* все точки, соответствующие доста-
достаточно близким к т значениям t > т, лежат внутри С*, а значит, эта траек-
траектория заведомо пересекает при t >> т циклы без контакта, лежащие вну-
внутри С*.
Предположим, следовательно, что С* является первым циклом не «пер-
«первого типа». Так как по самому определению цикла С* траектория L пере-
пересекает все циклы без контакта, содержащие Со внутри, то на L найдутся
точки, сколь угодно близкие к циклу С*, и, следовательно, на С* найдется

§ 3] ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ 97
по крайней мере одна точка сгущения для этих точек. Пусть Р — эта точка
и / — некоторая дуга цикла С*, содержащая эту точку внутри. Тогда,
в силу леммы 4, дуга I, очевидно, является дугой без контакта, и траекто-
траектория L непременно пересечет дугу /, т. е. пересечет цикл С*. Следовательно,
цикл С* будет циклом без контакта первого типа, что противоречит пред-
предположению. Полученное противоречие доказывает лемму.
Лемма остается справедливой с надлежащим изменением в формули-
формулировке и в том случае, когда траектория входит внутрь 10 при убывании t.
Лемма 16. Пусть Ct и Сг — два цикла
без контакта, из которых один лежит вну-
внутри другого, например С2 внутри Cl7 и пусть
все траектории, при t = t0 пересекающие
один цикл — Си при некотором значении
t > t0 пересекают цикл С2.
Тогда через каждую точку кольцевой об-
области между циклами С^ и С2 проходит
траектория, которая при возрастании t пере-
пересекает цикл С?., а при убывании t — цикл Cj.
Доказательство. Пусть Р4 и
Р2 — какие-нибудь точки на цикле Си Lt
и L2 — траектории, проходящие через эти
точки, Qi и Q2 — точки, в которых они пере- Рис. 55.
секают цикл С2 (рис. 55). Кольцевая область
R между циклами Ct и Сг, очевидно, разделяется дугами PtQi и P2Q2
траекторий Lt и L2 на два элементарных четырехугольника.
Для доказательства настоящей леммы достаточно применить к каждому
из этих четырехугольников лемму 10.
В дальнейшем семейство циклов без контакта неоднократно рассмат-
рассматривается не в области, ограниченной двумя циклами без контакта, как
здесь, а в двусвязной области, граница которой состоит из цикла без кон-
контакта и состояния равновесия, лежащего внутри этого цикла без контакта.
Таково семейство окружностей без контакта
которое рассматривалось в примере 7 § 1 п. 14.
12. Цикл однократного пересечения. В некоторых случаях роль цикла
без контакта может играть «обобщенный цикл без контакта или цикл одно-
однократного пересечения». Мы скажем, что простая замкнутая кривая С (эта
кривая может и не быть гладкой) есть «цикл однократного пересечения»
для траекторий системы (I), если: а) на кривой С не лежит ни одного со-
состояния равновесия; б) у всякой траектории, при t = t0 проходящей через
какую-нибудь точку кривой С, точки, соответствующие достаточно близ-
близким к ?0 значениям t > t0 (t < t0), лежат внутри С, а точки, соответству-
соответствующие достаточно близким к t значениям t < t0 (t > t0), вне цикла С.
В частности, например, гладкая простая замкнутая кривая, не являющая-
являющаяся циклом без контакта, является «циклом однократного пересечения»
в том случае, когда в некоторых своих точках *) она имеет точки соприко-
*) Траектории не могут касаться гладкой замкнутой кривой во всех ее точ-
точках, так как в этом случае кривая также была бы интегральной кривой. Это невоз-
невозможно, так как по предположению для рассматриваемой динамической системы выпол-
выполняются условия теоремы существования и единственности.
7 А. А. Андронов и др.

98 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ [ГЛ. I»
сновения четного порядка с траекториями, и во всех других точках не
имеет контактов (рис. 56). Очевидно, если цикл однократного пересечения
является гладким и
F{x, у) = 0
— его уравнение, то в точках этого цикла выражение
F'x(x, y)P(x, y) + F'y(x, y)Q{x, у)
может обращаться в нуль. В дальнейшем (см. главу VI) мы будем иногда
вместо семейства циклов без контакта рассматривать семейства циклов
однократного пересечения, обладающего с
некоторой точки зрения теми же свойствами,
что и семейство циклов без контакта.
13. Дифференцирование функции в силу
системы (I). К условиям D'), C0'), C1'),
которыми определяются дуга без контакта,
цикл без контакта, а также к условиям,
определяющим семейство циклов без контак-
контакта и семейство гладких циклов однократного
пересечения, можно подойти с несколько дру-
другой по форме стороны, если ввести понятие
«дифференцирование в силу системы (I)». Пусть
Рис. 56. ,-, , ч
z = F(x, у)
— некоторая функция класса Ch (к > 1) (аналитическая), определенная
в области Gt, либо совпадающей с областью G, в которой рассматривается
данная динамическая система, либо являющейся ее частью.
Пусть ? = ф(г), у = -ф (t) — движение на некоторой траектории
системы (I), причем точка, соответствующая определенному значению
t = t0, т. е. точка с координатами xo — (p(to), г/о=Ф('о), принадлежит
области Gt.
Рассмотрим функцию
Эта функция описывает изменение функции F (ж, у) вдоль траектории L.
Мы имеем при t = t0
t=t0 = Fx (Х°' у°*Р ^°' ^ + F'v ^°' ^ ^ ^Х°' у°*' ^33)
Очевидно, производная ( ——-'- ! не зависит от выбора дпия;е-
\ at у t=t0
иия на траектории, а зависит только от точки х0, ус.
Выражение
= 4 ^
называется «производной от функции F (х, у) в силу системн (I)».
Если
F(x,y) = 0
является уравнением простой дуги Z, то в случае, когда эта дуга
является дугой без контакта, в точках этой дуги
ъ

§ 3] ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ 99
Если же в какой-нибудь точке дуги I
то, очевидно, в этой точке дуга I имеет контакт с траекторией.
Совершенно аналогичные высказывания можно сделать в случае,
когда F (х, у) =¦ О является простой замкнутой кривой С1ш Предположим,
в частности, что кривая Ct не является циклом без контакта, но является
циклом однократного пересечения. Тогда в некоторых точках ее
т. е. в этих точках кривая С имеет с траекторией соприкосновение
четного порядка. Если динамическая система и фупкция F (ж, у) при-
принадлежат классу Ck, где /с>2, то в этих точках по самому смыслу
соприкосновения четного порядка мы будем иметь
Предположим теперь, что кривые
F(x,y) = C
при всех значениях С из некоторого промежутка (C\^.C^LC2) являются
простыми гладкими замкнутыми кривыми, вложенными друг в друга,
причем кривые с меньшими значениями С лежат внутри кривых с боль-
большими значениями С.
Условие
очевидно, эквивалентно тому, что семейство кривых 1< (х, у)—С является
семейством циклов без контакта. Если, кроме
точках замкнутой области Г между циклами
семейством циклов без контакта. Если, кроме того, -' — ' — <0 во всех
то это означает, что всякая траектория, проходящая через точку
области Г, при возрастании t, входит внутрь каждого из циклов дан-
данного семейства.
Если в области Г -, > 0, то каждая траектория выходит при воз-
растании t из циклов данного семейства.
Если F (х, у) — С есть семейство циклов однократного пересечения,
не обязательно являющихся циклами без контакта, то выражение
не меняет знак, но может обращаться в нуль.
14. Цикл без контакта между двумя иоследоиательными витками
траектории, пересекающей дугу без контакта. Предположим, что траекто-
траектория L имеет с дугой без контакта более двух общих точек. Пусть Ml (s4),
М2 (*г) и Мз (s3) — такие общие точки, последовательные по t. В силу
следствия 2 к лемме 11 эти точки являются последовательными и по s,
т. е. либо а-, <С А-2 <С .v3, либо ь\ > s2 > -v3- Будем считать для определен-

100
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ
[ГЛ. II
ности, что st < s2 < s3 (рис. 44). Допустим, далее, что каждая траектория,
пересекающая при t = tD часть MtM2 дуги I в точке М (s), пересекает
) ( ) ММ
р
t0 (•'
у () р
*г) часть М2М3 дуги ? u при промежуточных
при t = % (s)
значениях t, t0 <C / < x (*")» не имеет общих точек с дугой I (траекторией,
проходящей при t = t0 через точку Mt, а также через точку Мг, является,
очевидно, траектория LD). Пусть С4 — простая замкнутая кривая, состо-
состоящая «з витка М]М2 траектории Lo и части MtM2 дуги I, аС2 — анало-
аналогичная кривая, состоящая из витка М2М3 траектории Lo и части М2М3
дуги I. Предположим для определенности,
что кривая Ct (за исключением точки ее М2)
лежит внутри кривой С2.
Рассмотрим замкнутую область Г (ср.
лемму 14), состоящую пз точек М (х, у) с
координатами (9):
X = ф (/ t0, / (s), g (s)) = Ф (t, S),
где Si *C s <I s2, t0 <; t <; % {s). Уравнения
(9) дают отображение замкнутой области R
плоскости (t, s), определяемой неравенствами
на замкнутую область Т (см. лемму 14). Это
X{s2)-Gj отображение является, очевидно, регулярным
*~ во всех точках области R, за исключением
% двух точек (х (st), st) и (^с, ,v2), переходящих
в одну точку М2 плоскости {х, у).
Лемма 17. Через точку М2 всегда мож-
можно провести цикл без контакта, целиком лежа-
лежащий в области Г и пересекающий все траектории, проходящие в области
Г {т. е. все траектории, проходящие через часть MtM2 и, следовательно,
через часть М2М3 дуги I). .
Доказательство. Пусть к < 0 нг<0 — два произвольных
отрицательных числа. В силу замечания 3 к лемме 10 (см. также дополне-
дополнение, § 6) существует функция к (s) класса Ct, определенная на сегменте
Si<a-<.v2 и обладающая следующими свойствами:
_\ 1 (с \ |>> I (• \ \ IQ \ / " /ОП\
d I /V \?>\j д \^1/) У 2/ 0» \ /
б) при всех значениях s в интервале (su s2) выполняется неравенство
Рис. 57.
Рассмотрим на плоскости (t, s) кривую, заданную уравнением
C6)
Эта кривая (рис. 57) расположена целиком в области /?, определяемой
неравенствами C4), и ни в одной своей точке не касается прямых s =
= const (так как функция К (s) дифференцируема) *).
*) Если бы кривая t=K (x) касалась некоторой прямой s-—sD, то при s~* .*„
мы должны Пыли бы иметь X' (s) —>-со, и следовательно, функция ?, (х) не была бы
дифференцируема при всех рассматриваемых s.

§ 3] ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЙ ПРЕДЛОЖЕНИЯ 101
При отображении (9) кривая t = X (л) переходит в некоторую кривую
С плоскости (х, у), параметрические уравнения которой суть:
х = Ф (К (s), s) = Ф (К (s)-/0, / (s), g (s)),
у =, ? (A (s), s) = ^ (A (S)-/O> / (s), g (s)). ( }
Очевидно, кривая С является простой замкнутой кривой, проходящей
через точку М2, лежит целиком в области Г и имеет с каждой траекторией,
из области Г, в точности одну общую точку. Из свойств функций <р, i|5, /, g
следует, что С является гладкой кривой во всех своих точках, за исклю-
исключением, вообще говоря, точки М2. Так как кривая t — К (s) ни в одной
своей точке не касается прямых s = const, то в силу свойств регулярного
отображения (см. дополнение, § 6) кривая С ни в одной своей точке, отлич-
отличной от М2, не касается траекторий.
Покажем теперь, что при произвольном к < 0 можно выбрать г < 0
так, что кривая С будет гладкой в точке Мг- Очевидно, она в этом случае
не будет касаться траектории L также и в точке М2 и, следовательно, будет
требуемым циклом без контакта. Для того чтобы кривая C7) была гладкой
в точке Мч, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение
¦ (--¦), »¦)
ds
r/Ф (Я (s), у)
rfVJ*. (*), *)
rfo
"^Ф(Х(.у)Г*:)~
которое можно записать, пользуясь выражениями C5) и C6), в виде
X(s1), *j) Ti(«o. *2>k+V',(t0, s2)
C8)
/394
ф; (x («о, s\) [x' (Sj) + r]+ф; (x (i-j), Sl) ф; (<o, s2) л + ф; (t0, s2) • v ;
Заметим теперь, что параметрические уравнения части М2М3 дуги I
могут быть записаны либо в виде
ж=Ф(/0, *), if = ?(/„, «) (s2<s<s3), D0)
либо, в виде
В первом случае точке М2 соответствует значение s2, во втором — значение
Si параметра s.
Подсчитывая угловой коэффициент касательной к дуге I в точке Mz
сначала при помощи уравнений D1), а потом D0) и приравнивая получен-
полученные значения, мы приходим к соотношению
Далее, параметрические уравнения траектории Lo могут быть записаны
либо в виде
а- = Ф(/, s2), if-T(/, s2), D3)
либо в виде
ж = Ф(/, s,), y~*4?(t, s^ D4)
В первом случае точке 71/., соответствует значение /0> а во втором —
зпачение x(st) параметра /. Подсчитывая двумя способами угловой
коэффициент касательной к траектории Lo и точке М3, мы получаем

102
соотношение
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ
( (X (si),
<DJ («о, »2> '
1ГЛ. II
D5)
Воспользовавшись равенствами D2) и D5), нетрудно показать с помощью
простых вычислений, что соотношение C9) эквивалентно соотношению
rt (*„, sz) V's (X (*i), s
г =
; (х («о,
Ге (t0, s2), "'
которое можно записать, принимая во внимание D2) и D5), в виде
% («о. S2) Щ (У- («i). si) X' (si) + Y; (X (sj), Sl)
Ф5 (<o. «2) ®J (X (si), «i) X («0 + Ф; (X (st), st)
г =
j (x
^ (X
; («о,
„, s2)
D6)
Покажем, что число г, определяемое соотношениями D6), отрицатель-
отрицательно. Для этого заметим, что элементы первого столбца каждого из детерми-
детерминантов выражения D6) суть компоненты вектора, касательного к траекто-
траектории Lo в точке М2 и направленного в сторону возрастания t. Поэтому первые
столбцы обоих детерминантов отличаются постоянным положительным
множителем. Точно так же постоянным положительным множителем отли-
отличаются вторые столбцы детерминантов (их элементы — компоненты векто-
вектора, касательного к дуге I в точке М2 и направленного в сторону возраста-
возрастания s).
Отсюда следует, что детерминанты в числителе и знаменателе дроби
D6) имеют одинаковые знаки, а так как к ¦< 0, то г < 0. Таким образом,
если г есть отрицательное число, определяемое формулой D6), то кривая
С является циклом без контакта. Лемма доказана.
§ 4. Предельные точки и множества. Основные свойства траекторий
1. Предельные точки полутраектории и траектории. Как уже было
сказано во введении, § 4 посвящен главному содержанию настоящей
главы, именно, установлению возможного характера отдельной траек-
траектории.
Пусть
dx
(I)
— динамическая система, заданная в плоской области G.
В настоящем параграфе мы будем рассматривать отдельные полутра-
полутраектории или целые траектории такой системы, лежащие в некоторой огра-
ограниченной замкнутой области Gu G± cz[G. Такие полутраектории или целые
траектории мы будем называть ограниченными. Очевидно, всякая полу-
полутраектория, выделенная из ограниченной полутраектории или ограниченной
целой траектории, также является ограниченной. Ограниченная полу-
полутраектория или ограниченная целая траектория не имеет точек, сколь
угодно далеких в случае, когда область G не ограничена, или сколь угодно
близких к границе области G в случае, когда G ограничена.

§ 4] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИИ 103
В этой главе под полутраекторией или траекторией мы будем, как
правило, понимать ограниченную полутраекторию или ограниченную целую
траекторию и не будем оговаривать этого особо. Кроме того, мы будем
рассматривать также отдельные траектории или полутраектории динами-
динамических систем иа сфере. Напомним, что всякая траектории на сфере явля-
является целой траекторией (§ 2, теорема 7).
Определение П. Точка М называется предельной точкой
положительной {отрицательной) полутраектории //"" (L~), если при вся-
всяком 8>0ы при всяком Т > 0 в U Е (М) имеется по крайней мере одна точка
полутраектории L+ (//") (отличная от точки М или совпадающая с ней),
соответствующая при любом выборе движения на траектории значению
¦времени t> T (t< —71).
Это определение без изменения сохраняется также и для случая
полутраекторин на поверхностях любого рода, а также и для случая дина-
динамических систем в пространстве любого числа измерений.
Из определения II следует, что если точка М является предельной
точкой положительной полутраектории L+, то либо а) существует после-
последовательность различных точек Mh полутраекторин L+, соответствующих
значениям времени th (k = 1, 2, . . .) таких, что Mh—>M, a th—><x>
при /с—э-оо, либо б) сама точка М ? L+ соответствует бесчисленному мно-
множеству значений t — th таких, что ttl —=>-)-<х> при к—> <х>. Аналогично
обстоит дело с предельной точкой отрицательной полутраектории.
Всякие две положительные (отрицательные) полутраектории, выделен-
выделенные из одной и той же траектории, имеют одни и те же предельные точки.
Рассматриваемые нами полутраектории (ограниченные Ба плоскости или
произвольные на сфере) непременно имеют в силу компактности ограничен-
ограниченной замкнутой области или сферы по крайней мере одну предельную точку.
Если полутраектория лежит целиком в области Gi с G, то и предельные
точки ее принадлежат области G,.
Предельная точка полутраектории может как принадлежать самой
полутраекторин, так и не принадлежать.
Пусть Z+ — положительная полутраектория, М* — какая-нибудь
точка сгущения последовательности точек L+, не принадлежащая самой
полутраектории. Покажем, что М* является предельной точкой для L+.
В самом деле, пусть Mh — последовательность точек полутраектории L+,
сходящихся к точке М*. Пусть точка Mh соответствует значению th (к =
= 1, 2, . . . ). Если последовательность th не ограничена сверху, то оче-
очевидно, что М* есть предельная точка полутраектории L+. Если же после-
последовательность th ограничена сверху, то мы можем сказать, что она сходится
к какому-то числу f* (если это не так, то нужно из последовательности
точек Mh выбрать сходящуюся подпоследовательность). Но тогда после-
последовательность Mk сходится к точке полутраектории L+, соответствующей
значению t = t*, и не может сходиться к точке М*, по условию не лежащей
на L+. Следовательно, последовательность th не ограничена. Это справед-
справедливо и для отрицательной полутраектории Lr.
В дальнейшем, для краткости, мы будем через М (t) обозначать точку
траектории, соответствующую значению параметра t. Кроме того, все
доказательства, относящиеся к свойствам полутраекторий (а иногда и са-
сами формулировки этих свойств), мы будем давать только для положитель-
положительных полутраекторий, не оговаривая каждый раз, что они справедливы
и для отрицательных.
Рассмотрим теперь целую (ограниченную) траекторию L~динамической
«истемы (I) или траекторию динамической системы на сфере.

104 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ И'Л. 11
Определение III. Точка М называется предельной точкой
траектории L, если она является предельной точкой для положительной
полутраектории L+ или отрицательной полутраектории Lr, выделенной
из L. В первом случае точка М называется также а-предельной, а во вторим
а.-пределъной точкой траектории L.
2. Примеры предельных точек. Поясним введенное понятие предель-
предельной точки на примерах.
Всякое состояние равновесия имеет, очевидно, единственную предель-
предельную точку, являющуюся самим этим состоянием равновесия. Эта точка
является одновременно и а- и «-предельной точкой.
Рассмотрим теперь замкнутую траекторию L. Пусть период движения
по ней равен 60. Если принадлежащая L точка М соответствует какому-то
значению времени t0, то она соответствует и бесчисленному множеству
значений
...,t0—nQ0,... ,to—2Qo, t0 — 60,t0, <o + 6o. to + 2Qo,...,to — nQo,...,
где п стремится к -у-оо. Но тогда в силу определений II и III она является
как ее-, так и «-предельной точкой траектории L. Таким образом, все точ-
точки замкнутой траектории L являются ее ее- и (о-предельными точками. Оче-
Очевидно, что предельных точек, не принадлежащих ей самой, замкнутая
траектория не имеет.
Если хоть одна предельная точка траектории L принадлежит самой
этой траектории, то L называется самопредельной траекторией. Таким
образом, состояние равновесия и замкнутая траектория являются само-
самопредельными траекториями.
Рассмотрим теперь примеры § 1, п. 14. Полутраектория, «стремящая-
«стремящаяся» к состоянию равновесия как в случае узла или фокуса, так и в случае
седла (примеры 3, 4, 5) *), имеет своей единственной предельной точкой
это состояние равновесия. В примере 4 все траектории, имеющие вид
спиралей и расположенные внутри замкнутой траектории (предельного
цикла) х2 -\- у2 = 1, имеют единственную сс-предельную точку — состояние
равновесия О; (о-предельными точками таких траекторий являются
все точки предельного цикла.
Траектории, лежащие вне предельного цикла, не имеют сс-предельных
точек (точки на них уходят в бесконечность в конечное время); со-предель-
ными точками их также являются все точки предельного цикла.
В примере 8 отличная от состояния равновесия траектория, входящая
в состав «петли», имеет состояние равновесия и своей ее-, и своей со-предель-
ной точкой. В примере 11 при jx > 0 (рис. 24, а) траектории, отличные от
состояния равновесия, лежащие внутри «петель», имеют состояния рав-
равновесия (фокусы) своими (о-предельными точками, а своими сс-нредельнымп
точками — все точки «петель». Рассмотрение предельных точек траекторий
в примере 11, лежащих вне «восьмерки», также не представляет затруд-
затруднений.
3. Основные свойства множества предельных точек.
Лемма 1. Если Мо — предельная точка полутраектории IA, то
все точки траектории, проходящей через точку Мо, являются предельными
для полутраектории L+.
*) Не следует забывай., что к состоянию равновесия полутраектории, отличные:
от этого состошшя, могут «стремиться» только при | t\—* + со.

§ 4] ОСНОВНЫЙ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ 105
Доказательство. Справедливость леммы очевидна, если Мо —
состояние равновесия, рассматриваемой динамической системы. Допустим
поэтому, что Мо не является состоянием равновесия, и обозначим через
Lo траекторию, проходящую через точку Мо. Для доказательства леммы
достаточно показать, что любая, отличная от Мо точка М* траектории Ьо
является предельной для L+.
Предположим, что точка Мо соответствует на траектории значению
t = t0, а точка М* — значению to-\-% --¦ t* (т — может быть как поло-
положительным, так и отрицательным числом). Выберем на Lo какое-нибудь
другое движение, при котором точке Мо соответствует значение t0, тогда
значение t0 -f- т (т — та же величина, что и выше) соответствует точке М*.
Если принять это во внимание, то в силу теоремы о непрерывной зависи-
зависимости от начальных условий при любом в > О и надлежащим образом
выбранном б>0 (б = б (е)) любая траектория, проходящая при t — V
(f —произвольное фиксированное число) через какую-нибудь точку М' ?
? U(, (Мо), при значении t — V -\- т проходит через точку окрестности
Ue (Ж*). Так как Мо есть предельная точка полутраекторни L+, то суще-
существует бесконечная последовательность точек Мп (tn) полутраектории L+
таких, что tn —-> + оо, а Мп (/„) ? U6 {Мо) (п = 1, 2, 3, . . .). В силу выбо-
выбора числа б последовательность точек М'п (tn -|- т) траектории L, из которой
выделена полутраектория L+, обладает следующими свойствами:
а) М'п (tn + т) е Ue (М'); б) tn + т -.> оо; в) все точки М* (tn + т) € L* •).
Из произвольности числа е>0и существования последовательности М'п,
обладающей указанными свойствами, следует, что М' — предельная точка
полутраектории L+. Лемма доказана.
Траектория Lo, все точки которой являются предельными для полу-
полутраектории L{ \ называется предельной траекторией полутраектории № '.
Очевидно, лемму 1 можно сформулировать следующим образом:
траектория, проходящая через точку, предельную для какой-нибудь
полутраектории U ', является предельной траекторией для U '.
Теорема 9. Множество К всех предельных точек полутраектории
L+ (или, что то же самое, множество всех а-пределъных точек траектории
U > а) замкнуто; б) связно; в) состоит из целых траекторий.
Доказательство. Утверждение а) непосредственно вытекает
из определения предельной точки полутраектории. В самом деле, пусть
Мо — точка сгущения множества К. Тогда при любом е > 0 в U? (Мо)
имеются предельные точки полутраекторни L+, а следовательно, имеются
точки самой полутраектории L+, соответствующие сколь угодно большим
значениям t. Но это и значит, что Мо есть предельная точка полутраектории
L+, т. е. Мо € К.
Докажем утверждение б). Предположим противное, т. е. что множест-
множество К несвязно. Так как оно замкнуто, то его можно представить как сумму
двух замкнутых непересекающихся непустых множеств А и В (см. допол-
дополнение, § 1).
Обозначим через g расстояние между множествами А и Б. Очевидно
q > 0. Положим, что 6 = q/4, и рассмотрим окрестности ?/б (^4) и U6 (В).
Эти окрестности не имеют общих точек. Так как А и В состоят из предель-
предельных точек полутраекторни L^, то нетрудно видеть, что существуют две
*) Точки полутраекторни 1Л при каком-то иыбрагшом па ней движении соответ-
соответствуют значениям t > t0 (t0 — некоторое фиксированное число). Очевидно, что в слу-
случае, когда т > О, все точки Мп (tn -f- т) принадлежат Лт. В случае же, когда т <[ 0,
точка М'п (tn + т) принадлежит L+, лишь начиная с такого tn, для которого
tn + т > to.

100 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ [ГЛ. И
бесконечные последовательности 1п и t'n значений t (п = 1, 2, . . .), удов-
удовлетворяющие следующим условиям:
1) tn —>• +°°, ^ri —>• + °° при и —>• оо.
2) Точки полутраектории Z+, соответствующие значениям tn, лежат
в U& (А), а точки, соответствующие значениям t'n, — в(/{ (В).
3) *,< г; < *2 < *; <...<*„<<;<...
Но тогда для каждого и = 1, 2, ... существует такое т„, in < тп ¦<
< fn, что точка Мп (тп) полутраектории L+ лежит вне окрестностей
U6 (А) и U6 (В).
Рассмотрим множество {Мп (тп)}. Так как L+ — ограниченная полу-
полутраектория или полутраектория на сфере, то множество {Мп (т„)} имеет
по крайней мере одну точку сгущения М*, лежащую вне или на гра-
границе С/б (^4) и Uf, (В). М* является, очевидно, предельной точкой для
полутраектории L+ (в силу самого определения предельной точки).
Но это противоречит предположению, что множество К, содержащееся
в U(, (А) и U& (В), есть множество всех предельных точек полутраекто-
полутраектории L+. Утверждение б) доказано.
Утверждение в) непосредственно вытекает из леммы 1.
Таким образом, теорема доказана.
Множество К, будучи замкнутым и связным, является континуумом
(см. дополнение, § 1).
Множество К всех предельных точек полутраектории L+ называется
предельным множеством или предельным континуумом L+. В случае поло-
положительной (отрицательной) полутраектории это множество называют так-
также ш-предельным (ct-предельным) множеством или континуумом. Анало-
Аналогично множество всех а (ш)-предельных точек траектории L называют
а (со)-предельным континуумом траектории L. Для обозначения предель-
предельных континуумов траекторий или полутраекторий мы будем иногда поль-
пользоваться символами Ка и Ка или Ка (L) и Ка (L).
Вместо того чтобы говорить «К является предельным множеством
полутраектории L( > или со (а)-предельным множеством траектории L»,
мы будем говорить иногда, что «полутраектория V ' стремится к множест-
множеству К» или «траектория L ¦ стремится к множеству К при t —> -р оо
(t-* — оо)»*).
Заметим, что лемма 1 и теорема 9 справедлива не только для траекто-
траекторий в плоской области или на сфере, но и для траекторий на любом замкну-
замкнутом многообразии, а также для траекторий, расположенных в ограничен-
ограниченной области пространства любого числа измерений.
4. Свойства траекторий, характерные для динамических систем на
плоскости или на сфере. Все следующие предложения, излагаемые в этом
параграфе, существенно опираются на лемму 11 § 3 и поэтому справедли-
справедливы только для плоской области или на сфере. Утверждение следующей
теоремы справедливо не только для ограниченной, но и для всякой траек-
траектории системы (I).
Теорема 10. а) Всякая траектория системы (I), заданной в пло-
плоской области G, нигде не плотна в G. б) Всякая траектория динамической
системы на сфере нигде не плотна на сфере.
Доказательство. Докажем сначала утверждение а). Пред-
Предположим противное, т. е. что какая-нибудь траектория L системы (I)
*) Термином «пол у траектория стремится к состоянию равновесия» мы уже поль-
пользовались при рассмотрении примеров.

§ 4] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИИ 107
всюду плотна в некоторой области Gt, лежащей в области G. Очевидно, L
не может быть состоянием равновесия. Возьмем произвольную точку М
траектории L, M a Gb и проведем через М дугу без контакта I, лежащую
в Gj. Все точки дуги I, как и все точки области Gb являются точками сгу-
сгущения для траектории L. Но тогда из леммы 4 § 3 следует, что точки траек-
траектории L всюду плотны на дуге I. Пусть М\ (?i) и М2 (t2) — Две лежащие
на дуге I и последовательные по t точки траектории L, т. е. такие точки,
что при значениях t, заключенных между ti и t2, траектория L не пересе-
пересекается с дугой I. Такие последовательные по t точки существуют в силу
леммы 1 § 3. Из леммы И § 3 вытекает, что менаду точками Mt ч М2 на дуге I
нет точек траектории L. Но это противоречит тому, что точки траектории
расположены на дуге I всюду плотно. Полученное противоречие доказы-
доказывает утверждение а).
Утверждение б) относительно траектории на сфере доказывается в точ-
точности таким же образом, как а) *).
Теорема доказана.
Замечание. Из теоремы 10 следует, в частности, что рассмотре-
рассмотрение траектории или полутраекторин на сфере S сводится к рассмотрению
ограниченной траектории или полутраектории на плоскости. В самом деле,
пусть L — какая-нибудь траектория на сфере. Так как траектория L
нигде не плотна на сфере, то существует точка S сферы, не лежащая на L
и не являющаяся точкой сгущения для точек L. Существует, следователь-
следовательно, область Gi, не содержащая ни одной точки L. Если взять за центр сте-
стереографической проекции любую точку N области Glt то замкнутая
область Н = S2\fit спроектируется в ограниченную замкнутую пло-
плоскую область Н, а траектория L — в траекторию L, лежащую вместе
со своим замыканием внутри Н (Н — образ области Н = •S'2\G1 при сте-
стереографической проекции). Это и означает, что рассмотрение траектории
L на сфере сводится к рассмотрению ограниченной траектории L на
плоскости.
Все дальнейшие предложения справедливы для ограниченных полу-
полутраекторий и траекторий.
Лемма 2. Пусть незамкнутая полутраектория L+ имеет отличную
от состояния равновесия предельную точку М*. Пусть I — дуга без кон-
контакта, проведенная через точку М, имеющая М* своей внутренней точкой.
Тогда траектория ГЛ пересекается с дугой I в счетном множестве точек,
стремящихся к точке М*. Если перенумеровать эти точки в порядке воз-
возрастания соответствующих им значений t
MUt,), Mz(h), Mn(tn)->M*
({tn} — монотонно-возрастающая последовательность, tn —>. oo), то после-
последовательность sn значений параметра на дуге I, соответствующих этим
точкам (значение sr, соответствует точке Мп), также является моно-
монотонной и lim sn = s*, где s* — значение параметра s, соответствующее
точке М*.
Доказательство. Из определения предельной точки следует,
что в любой окрестности точки М* имеются точки, соответствующие сколь
угодно большим значениям I. Но из леммы 4 § 3 следует тогда, что и на дуге I
*) Теорема 10 не имеет места в случае динамических систем на поверхностях,
в частности па торе. Классический пример динамической системы на торе, имеющей
всюду плотные на торе траектории, приведен, папрнмер, в кпиге [23].

108 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ [ГЛ. II
также будут точки, соответствующие сколь угодно большим значениям /,
сколь угодно близкие к М*. Из леммы 2 § 3, очевидно, вытекает, что мно-
множество этих точек счетно. Остальные утверждения леммы вытекают и.ч
следствия 2 к лемме 11 § 3.
Следствие 1. На дуге без контакта I может лежать только одна
предельная точка полутраектории L^. В противном случае последователь-
последовательность чисел sn не могла бы быть монотонной.
Следствие 2. Точки пересечения полутраектории L~ с дугой
без контакта I лежат на дуге I по одну сторону от точки Ж*. Следствие 2 так-
также непосредственно вытекает из того, что последовательность sn монотонна.
Следующая теорема, опирающаяся на лемму 2, устанавливает одно
из основных свойств траекторий динамических систем в плоской области
и на сфере.
Теорема 11. Если траектория Lo незамкнута и имеет хотя бы
одну предельную точку, отличную от состояния равновесия, то она не
может быть предельной ни для какой траектории.
Доказательство. Пусть Lo — незамкнутая траектория, име-
имеющая предельную точку М*, отличную от состояния равновесия. Проведем
через точку М* дугу без контакта I. В силу предыдущей леммы на дуге I
имеется счетное множество точек Мп траектории Lo.
Предположим теперь, что траектория Lo является предельной для
какой-нибудь полутраектории, например для L+ (полутраекторня L+
выделена, очевидно, из незамкнутой траектории, отличной от Lo или совпа-
совпадающей с Lo). Тогда, в силу определения, все точки траектории Lo и, в част-
частности, точки Мп являются предельными для L+. Таким образом, на дуге
без контакта I лежит счетное множество предельных точек полутраектории
L+. Но это противоречит следствию 1 предыдущей леммы. Теорема доказана.
Следствие. Ни одна точка незамкнутой траектории L не являет-
является предельной для самой траектории L.
Это следствие непосредственно вытекает из теоремы 11 и может быть
сформулировано следующим образом: незамкнутая траектория не может
быть предельной для самой себя. На основании этой теоремы можно дока-
доказать следующее предложение: всякая незамкнутая траектория гомеоморф-
Ба бесконечной прямой (т. е. интервалу).
Действительно, пусть L — незамкнутая траектория,
— какое-нибудь движение на ней. Из теоремы 11 вытекает, что незамкнутая
траектория является однозначным и непрерывным образом бесконечной
прямой и уравнения A) дают отображение Т этой прямой на траекторию L.
При этом Т является взаимно однозначным отображением. Для доказа-
доказательства сформулированного предложения нужно показать непрерывность
отображения 71. Именно, нужно показать, что если дана последователь-
последовательность точек Мп (tn) ? L, стремящаяся к точке М* (t*), то когда t* конечно,
tn —> t*, а когда tn—> оо, эта последовательность Мп не может стремиться
к точке траектории L. Первое из этих утверждений является непосредст-
непосредственным следствием свойств незамкнутой траектории, а второе — следст-
следствием теоремы 11.
Совершенно такое же предложение может быть установлено и в слу-
случае, когда незамкнутая траектория L не является целой.
Таким образом, всякая отдельная траектория системы (I) ллоо
а) является точкой; либо б) является простой замкнутой кривой; либо
в) гомеоморфна интервалу.

4]
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ
109
Это дает исчерпывающие сведения относлтсльно характера отдельной
траектории на плоскости и на сфере. Однако для нас представляет основ-
основной интерес свойство траектории не
самой но себе, а как множества
точек плоской области или сферы.
Из теоремы 11 следует, что
незамкнутая траектория не может
вести себя так, как ото изображено
на рис. 58, т. е. при t—>+ °°
(или при t —> — оо) стремится
к точке самой этой траектории.
Мы приведем еще ряд предло-
предложений, уточняющих возможный I'i'f. ЛК-
характер траекторий системы (I).
Все эти предложения опираются на уточнение свойств предельных кон-
континуумов траектории и полутраекторий, которые даются теоремой 11.
5. Некоторые свойства предельных траектории. Излагаемые здесь
свойства также характерны для траекторий динамических систем в пло-
плоской области и на сфере. Прежде, чем переходить к ним, отметим еще одно
свойство дуги без контакта.
Пусть L — траектория, отличная от состояния равновесия, Мо —
точка на ней и I — дуга без контакта, проходящая через точку Мо.
Лемма 3. Существует такая, содержащая точку Мо внутри себя
часть дуги I, на которой кроме Мо не лежит больше ни одной точки траек-
траектории L.
Доказательство. В случае, когда траектория L замкнута,
утверждение леммы очевидно, так как замкнутая траектория может
иметь только одну общую точку
с дугой без контакта (см. лемму 12
§ Л). Пусть L — незамкнутая траекто-
траектория, причем точка Мо иа ней соответ-
соответствует значению t0. В силу теоремы 11
все предельные точки незамкнутой
траектории L ей самой не принадле-
принадлежат. Поэтому всегда можно указать
Г2</0и Т!>и, Г2</„<7'1 и 8>0
такие, чтобы в U? (Л10) не лежало ни
одной точки траектории Llt соответст-
соответствующей значениям t <с Т2 и t > 7\. Тогда на части дуги I, лежащей
в Ue {Мо) (эта часть имеет точку Мо своей внутренней точкой) могут ле-
лежать только точки траектории L, соответствующие значениям t, T2^Lt ^iT1
(среди них — точка Мо). Но в силу леммы 2 § 3 таких точек может быть
только конечное число. Отсюда следует справедливость настоящей леммы.
Предположим теперь, что на дуге без контакта Z, проходящей через
точку Мо траектории L, кроме Мо нет других точек этой траектории. Пусть
А и В — концы дуги I. (Точка Мо отлична от концов.)
Рассмотрим какую-нибудь дугу МгА12 траектории L, содержащую
точку Мо внутри себя, и будем считать, что положительное направление
на этой дуге совпадает с положительным направлением траектории L
(рис. 59). Предположим для определенности, что часть (М0А\ (полуоткры-
(полуоткрытая дуга) дуги I лежит по отрицательную, а часть (М0В\ — по положитель-
положительную сторону дуги MiM2 траектории L (см. дополнение, § 3). Мы будем
В

110 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ [ГЛ. II
тогда говорить, что часть (М0А ] лежит по отрицательную, а часть (М0В\ —
по положительную сторону траектории L. Очевидно, свойство частей (М0А],
(М0В] — лежать по определенную сторону от траекторий L не зависит
от выбора дуги MjM2 траектории L.
Вернемся теперь к рассмотрению свойств предельных траекторий.
Пусть L+ — полутраектория, Lo — ее предельная траектория, отличная
от состояния равновесия, Мо — точка траектории Lo и 10 — дуга без кон-
контакта, проходящая через точку Мо. В силу следствия 1 из леммы 2 на дуге
lo кроме точки Мо не лежит ни одной точки траектории Lo, а в силу след-
следствия 2 той же леммы все точки пересечения полутраектории L~ с дугой
без контакта 10 лежат на этой дуге по одну сторону от точки Мо.
Рассмотрим какую-нибудь отличную от точки Мо точку М траектории
Lo и проходящую через М дугу без контакта I (на дуге I кроме М^ не лежит
ни одной точки траектории Lo). Полу-
Полутраектория L+ пересекается с дугой I
в бесчисленном множестве точек. При
этом имеет место следующая:
Л е м м а 4. Если точки пересече-
пересечения полутраектории L+ с дугой без кон-
контакта 10 расположены на части дуги 10,
лежащей по положительную (отрица-
(отрицательную) сторону траекторий Lo, то
точки пересечения той же полутраек-
Рис. 60. тории L+ с дугой без контакта I так-
также расположены на части дуги I, лежа-
лежащей по положительную (отрицательную) сторону от Lo. (На рис. 60 точки
пересечения полутраектории L+ с дугами 10 и I лежат по отрицательную
сторону от Lo.)
Справедливость леммы 4 непосредственно вытекает из того факта,
что М также является предельной точкой для полутраектории L+, и из
замечания 1 к лемме 9 § 3.
Определение IV. Мы будем говорить, что траектория Lo
является предельной для полутраектории U ' с положительной (отри-
(отрицательной) стороны, если на дугах без контакта, проведенных через точки
траектории Lo, точки полутраектории Ll } лежат по положительную
(отрицательную) сторону от Lo. Мы будем также говорить, что траек-
траектория Lo является ш- (или а)-пределъной для траектории L с положитель-
положительной стороны, если Lo является предельной с положительной стороны для
полутраектории L+ (Lr), выделенной из траектории L.
Лемма 5. Если траектория имеет более одной общей точки с какой-
нибудь дугой без контакта, то а- и ы-предельные множества этой траекто-
траектории не имеют общих точек.
Доказательство. Очевидно, в силу леммы 12, что всякая
траектория, имеющая с дугой без контакта более одной общей точки,
не замкнута. Пусть L — такая траектория, а ( — дуга без контакта, име-
имеющая с траекторией L более одной общей точки. Тогда существуют две
последовательные по t общие точки траектории L и дуги I, которые мы обо-
обозначим Му (ti) и М2 (t2)- Пусть для определенности ti < t2.
Рассмотрим простую замкнутую кривую С, образованную дугой
MtM2 траектории L и частью М^М2 дуги I (рис. 61). В силу леммы 11 § 3
одна из полутраекторий Lm,, />m2 лежит целиком (кроме начальной ее точки)
внутри кривой С, а другая — вне этой кривой. Ни одна точка самой кри-
кривой С не может быть предельной для полутраекторий LVfj и Ь'м„. Поэтому

§ 4]
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ
111
Рис. 61.
предельные множества этих полутраекторий лежат одно целиком внутри^
а другое — целиком вне кривой С. Следовательно, они не имеют общих
точек. Лемма доказана.
Теорема 12. Если среди предельных точек незамкнутой (целой)
траектории L есть точка, отличная от состояния равновесия, то а- и со-
пределъные множества Ка (L) и Кы (L) не
имеют общих точек.
Теорема 12 является непосредственным
следствием лемм 2 и 5.
Теорема 13. Если полутраектория
D ' не имеет среди своих предельных точек
состояний равновесия, то она имеет замкну-
замкнутую предельную траекторию.
Доказательство. Пусть L+ —
рассматриваемая полутраектория. Если она
выделена из замкнутой траектории, то по-
последняя является для полутрасктории Ь+ пре-
предельной замкнутой траекторией. Предполо-
Предположим поэтому, что L+ — полутраекторня не-
незамкнутой траектории; пусть Lo — одна из ее предельных траекторий.
Допустим, что Lo — незамкнута и М- какая-нибудь ее предельная
точка. В силу теоремы 11 М является состоянием равпоиесия. Но
очевидно, точка М, как предельная для LOl является предельной и для
полутраектории L+ (в силу замкнутости предельного множества), и эта
противоречит условию теоремы.
Таким образом, траектория Ьо замкнута. Теорема доказана.
Теорема 14. Если полутраектория L+ имеет замкнутую предель-
предельную траекторию Lo, тс Lo является единственной предельной траекто-
траекторией полутраеаториа L+, т. е. является ее
предельным континуумом.
Доказательство. Если полу-
полутраектория Ь+ выделена из самой замкну-
той траектории Lo, то теорема очевидна.
Предположим поэтому, что Ь+ принадле-
принадлежит незамкнутой траектории.
Пусть Мо — какая-нибудь точка траек-
траектории Lo и I — дуга без контакта, прохо-
проходящая через Мо (рис. 62).
Покажем, что при любом е > 0 можно
указать такое т, чтобы псе точки полу-
полутраектории L+. соответствующие значе-
значениям t > т, целиком лежали в Uе (Ьо).
Пусть 00 — период движения по траекто-
траектории Lo. Если Мо -- точка траектории Ьо,
соответствующая (при выбранном на Lo двпжепип) значению t = t0, та
эта же точка соответствует значению t — /0 0() (т. е. можно сказать,
что замкнутая траектория, проходящая через точку Мо при t = tOl про-
проходит через эту точку и при t = t0 -f- 00).
Используя лемму 13 § 3, нетрудно видеть, что существует часть АВ
дуги I, имеющая точку Мо своей внутренней точкой и обладающая сле-
следующим свойством: каждая траектория, проходящая через точку части АИ,
при возрастании t снова пересекает дугу /. Пусть Mt — какая-нибудь
Рис. 62.

112 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ [ГЛ. 11
точка полутраектории Ьл, расположенная на части АВ дуги I в ?/б (Мо),
где 6 — некоторое положительное число, а М2 — последующая для Л/,
точка (на дуге I). Очевидно, точка М2 лежит на дуге ближе к М„, чем
точка Мх. Рассмотрим замкнутую кривую С, состоящую из дуги MvM<i
полутраектории L+ и части М{М2 дуги I. В силу леммы 14 § 3 одна из крп-
вых С и Lo лежит внутри другой, и обе эти кривые ограничивают некоторую
область Г. В силу замечания 1 к той же лемме 14, если б достаточно мало
(т. е. если точка Afj достаточно близка к Мо), область Г целиком лежит
в Ue (Lo). И, наконец, из леммы И § 3 (утверждение а)) вытекает, что
полутраектория L+ (начиная с точки М2) целиком расположена в области
Г. Но тогда и все предельные точки полутраектории L+, т. е. предельный
континуум Кы (L+), лежат в Ue (Lo):
Это справедливо при любом е > 0. Но тогда, очевидно, никакой отлич-
отличной от Lo предельной для L+ точки не существует. Действительно, всякая
не принадлежащая Lo точка Q находится на ненулевом расстоянии от Lo.
При достаточно малом е > 0 она не может лежать в Ue (Lo) и, следователь-
следовательно, не принадлежит Кы {L+). С другой стороны, траектория Lo заведомо
входит в Ка (L+). Но тогда Ка (L+) совпадает с Lo. Теорема доказана.
6. Предельные траектории динамических систем, имеющих конечное
число состояний равновесия. Возможные типы траекторий. Состояние
равновесия О динамической системы называется изолированным, если
¦существует такая окрестность его UЕ (О), которая ие содержит ни одного
состояния равновесия, кроме О.
Очевидно, в случае, когда динамическая система имеет только конеч-
конечное число состояний равновесия, все ее состояния равновесия изолирован-
изолированные. Обратное справедливо при добавочном условии компактности обла-
•сти, где рассматривается система.
Именно, если система рассматривается на сфере или в замкнутой огра-
ограниченной области G плоскости и имеет только изолированные состояния
равновесия, то число их конечно. В самом деле, если бы это было не так,
то существовала бы точка сгущения состояний равновесия, также явля-
являющаяся состоянием равновесия, причем неизолированным.
Теорема 15. Если полутраектория Z/ ' не имеет предельных точек,
отличных от изолированных состояний равновесия, то ее предельное мно-
множество состоит только из одного состояния равновесия.
Теорема 15 непосредственно вытекает из того факта, что предельное
множество полутраектории связно.
Замечание. Если предельное множество полутраекторнп L+
состоит из одного состояния равновесия О, то для каждого г >0 сущест-
существует такое Т = Т (е), что все точки М (t) полутраектории L'. для которых
t > Т (е), лежат в Ue (О). Другими словами, если О — единственная
предельная точка полутраектории L+, то М (t)—s- О при t — ¦> -\- сю. (До-
(Доказательство легко проводится рассуждением от противного.) Обратное
утверждение — если М (t) —>О при t—> + оо, то О является предельной
точкой полутраектории L+, очевидно, также справедливо.
В дальнейшем мы будем рассматривать почти исключительно дина-
динамические системы (в плоской области или на сфере), имеющие конечное
число состояний равновесия. Из теорем 9, 11, 13, 14 и 16 следует, что пре-
предельное множество каждой полутраектории D ' такой системы может пред-
представлять собой множество одного из следующих типов: а) одно состояние

§ 4]
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ
ИЗ
равновесия; б) одна замкнутая траектория; в) некоторое связное множест-
множество, состоящее из целых траекторий, часть которых является состояниями
равновесия, а остальные—незамкнутые траектории, стремящиеся к состоя-
состояниям равновесия как при t—*— сю, так н при t —» -|- оо (рис. 63).
Примеры главы I показывают, что существуют предельные мно-
множества всех указанных типов. В примерах 3 и 4 состояния равновесия
являются предельными для незамкнутых траектории. В примере 7 замкну-
замкнутая траектория является предельной для траекторий вне и внутри нее.
В примере И предельным континуумом является «восьмерка», состоящая
из трех траекторий (среди которых одна — состояние равповесия).
Всякая ограниченная полутраектория № ' стремится к предельному
множеству одного из типов а), б) и в).
Таким образом, при сделанном предположении относительно конеч-
конечности числа состояний равновесия полутраектория L( ' может быть:
1) состоянием равновесия; 2) замкнутой траекторией; 3) незамкнутой
а)
Рис. 63.
полутраекторией, стремящейся к состоянию равновесия; 4) незамкнутой
полутраекторией, стремящейся к замкнутой траектории; 5) незамкнутой
полутраекторией, стремящейся к предельному континууму типа в).
Указанные пять типов исчерпывают все возможные типы полутраек-
полутраектории.
Динамическая система примера 7 § 1 имеет полутраектории типов 1) —
4) (рис. 20). Полутраектории типа 5 встречаются в примере 11.
Нетрудно перечислить теперь все типы ограниченных целых траекто-
траекторий динамической системы с коночным числом состояний равновесия.
Очевидно, целая траектория L может быть 1) состоянием равновесия,
2) замкнутой траекторией или 3) незамкнутой траекторией, стремящейся
при t —> -+- оо к предельному множеству Кш (L), а при t —> — оо — к пре-
предельному множеству Ка (L), при чем каждое из множеств Ка и Ка —
множество одного из типов а), б), в).
В силу теоремы 12, множества Ка и Ка могут иметь общие точки
только в том случае, когда каждое из них является состоянием равновесия.
Но тогда эти множества совпадают, и траектория L является «петлей»
(рис. 21, б); траектории типа петли встречаются также в примере 11 § 1.
Во всех остальных случаях а- и со-продсльиыо множества незамкнутой
целой траектории не имеют общих точек.
На рис. 64 приведены некоторые типы незамкнутых целых траекторий
L динамической системы A).
Заметим в заключение, что сделанные выводы относительно характера
предельного множества справедливы лишь при предположении о конечности
числа состояний равновесия. Они уже ire будут справедливы, если отка-
отказаться от условия изолированности состояния равновесия. Так, например,
8 А. А. Апдр-шов и др.

114
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ
[ГЛ. II
рассмотрим систему:
2L
получающуюся из системы примера 7 § 1 умножением правых частом на
я2 + У2 — 1. В силу результатов п. 6 § 1 каждая точка окружности
в)
г)
Рис. 64.
ж2 + у2 — 1 = 0 является состоянием равновесия новой системы, все же
остальные ее траектории совпадают с соответствующими траекториями
указанного примера 7. Принимая во внимание
знак выражения х2 -j- У2 —1> нетрудно опреде-
определить направление на траекториях. Расположе-
Расположение траекторий этой системы и направления на
них показаны на рис. 65. Предельное множество
каждой положительной полутраекторни, рас-
расположенной вне окружности ж2 -j- у2 — 1 - 0,
и каждой отрицательной полутраекторни, рас-
расположенной внутри окружности, есть сама
окружность, т. е. континуум, состоящий сплошь
из состояний равновесия. Таким образом, в дан-
данном случае утверждение теоремы 15 не имеет
места.
7. Теорема о наличии состояния равновесия
внутри замкнутой траектории. Мы приведем
Рис. 65. одну основную теорему, дающую некоторые
сведения о разбиении на траектории в целом,
именно, теорему, устанавливающую наличие хотя бы одного состояния
равновесия внутри всякой замкнутой траектории.
Проводимое здесь доказательство принадлежит Бендиксону. Оно
существенным образом использует ряд лемм и теорем, доказанных выше.

4]
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ
115
РИС. ()().
В дальнейшем, в § 8, мы дадим другое доказательство этой теоремы, неза-
независимое от приводимого здесь и основанное на рассмотрении вращения
векторного поля вдоль замкнутой кривой.
Пусть Lo — замкнутая траектория системы (I) и Мо — точка на ней.
Предположим, что в любой окрестности точки Мо найдутся точки, через
которые проходят замкнутые траектории, отличные от Lo (лежащие внутри
или вне Lo). Тогда, очевидно (в силу теоремы
3 о непрерывной зависимости от начальных
условий), через всякую окрестность любой
точки Lo также проходят отличные от Lo
замкнутые траектории.
Лемма 6. Если К — какое-нибудь зам-
замкнутое множество, лежащее внутри (вне) Lo,
то существует такая окрестность точки Мо,
что все проходящие через точки этой окрест-
окрестности замкнутые траектории лежат одна
внутри другой и множество К лежит внутри
{вне) всех этих траекторий.
Доказательство. Справедливость
леммы вытекает из замечаний 1 и 2 к лемме
14 §3.
В силу этих замечаний при всяком заданном е > 0 можно указать
6 > 0 такое, чтобы все замкнутые траектории, проходящие через точки
U(, (Mo), лежали одна внутри другой и чтобы область, заключенная
между замкнутой траекторией Lo и любой другой замкнутой траекторией,
проходящей через U6 (Мо), целиком лежала в U Е (Lo). Очевидно (рис. С6),
возможен случай, когда в семействе замкнутых кривых С при сколь угод-
угодно малом б > 0 можно указать кривую С,
целиком лежащую в б-окрестности данной
замкнутой кривой Со, но при этом область,
ограниченная кривыми С и Со, всегда
имеет точки, лежащие вне UE (Co), где
е — некоторая фиксированная величина.
Допустим теперь для определенности,
что замкнутое множество К лежит внут-
внутри Lo, и пусть расстояние от множества А'
до Lo, q (К, Lo) ¦-- е„. Но условию, q0 > 0.
Возьмем в качестве е число меньшое, чем
Qo и найдем указанное выше б. Рассмотрим
U& (Мо) и замкнутую траекторию Lu про-
проходящую через точку окрестности ?/б (Мо).
Если Ьо лежит внутри Llt то и мно-
множество К лежит внутри Lt. Пусть Lt ле-
лежит внутри Lo. Тогда если К не лежит целиком внутри L%, то К имеет
точки, лежащие в Г, т. е. К пересекается с Ue {Lo). Следовательно, q0 =
== Q (Lo, К) < e, что противоречит выбору е. Таким образом, множество-
К лежит целиком внутри Lt. Лемма доказана (рис. 67).
Лемма 7. Пусть L — незамкнутая траектория, имеющая среди
своих предельных точек отличные от состояния равновесия, и Мо — какая-
нибудь точка на L. Тогда через точки достаточно малой окрестности точки
Мо не может проходить ни одна замкнутая траектория.
Доказательство. Пусть М — предельная точка полутраек-
полутраектории L, отличная от состояния равновесия. Проведем через точку М дугу
Рис. 67.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ
[ГЛ. II
без контакта I, и пусть Af4 и М2 — какие-нибудь две (различные) точки
пересечения траектории L с дугой I (в силу леммы 2 такие точки сущест-
существуют). Предположим, что точки М0, Ми М2 соответствуют значениям вре-
времени t0, tu t2 (ti =^= t2). Можно также считать, что Мо отлична от точек
М± и М2 (рис. 68).
Пусть е > 0 столь мало, что окрестности UE (М%) и Ue (М2) не пере-
пересекаются. В силу леммы 5 § 3 существует число 6 > 0, обладающее сле-
следующими свойствами: всякая траектория L', при t = t0 проходящая через
точку окрестности ?/6 {Мо), при значении t, близком к tt, пересекает дугу
I в некоторой точке М[, принадлежащей UE (Aft), а при значении t, близ-
близком к t2, пересекает дугу I в точке М'2, принадлежащей UЕ (М2). Так как
окрестности Ue (М±) и UB (M2) не пересекаются, то точки М\ и М'% различ-
различны. Но тогда, в силу леммы 12 § 3,
траектория L не может быть зам-
замкнутой.
Таким образом, все траектории,
проходящие через точки окрестности
Ub (Mo), не замкнуты. Лемма дока-
доказана.
Замечание. Если незамкну-
незамкнутая траектория L имеет в качестве
своих предельных точек только со-
состояния равновесия, то сколь угодно
близко от нее могут проходить зам-
замкнутые траектории. Так, в примере
10 § 1 сколь угодно близко к не-
незамкнутой траектории «петле» (вхо-
кривую типа восьмерки) проходят замкнутые
Рис. 68.
дящеи в интегральную
траектории.
Перейдем теперь к доказательству, следующей теоремы:
Теорема 16. Если область, заключенная внутри замкнутой траек-
траектории Lo динамической системы, целиком принадлежит области определе-
определения G системы, то внутри Lo лежит по крайней мере одно состояние рав-
равновесия.
Доказательство. Предположим противное, т. е. что область,
заключенная внутри замкнутой траектории Lo, целиком принадлежит
области Си не содержит ни одного состояния равновесия системы. Обоз-
Обозначим эту область через Г. Пусть L — траектория, проходящая через ка-
какую-нибудь точку области Г. Если L не замкнута, то в силу теорем 12,
13, 14 ее а- и со-прсдельные континуумы являются замкнутыми траекто-
траекториями, причем различными. Следовательно, внутри области Г непременно
лежит хотя бы одна замкнутая траектория. Такое же рассуждение пока-
показывает, что внутри каждой замкнутой траектории, лежащей в области Г,
непременно будут находиться замкнутые траектории.
Определим теперь в замкнутой области Г функцию F = F (AT) сле-
следующим образом: если через точку М проходит замкнутая траектория L,
то мы положим, что F (М) равна площади области, заключенной внутри L;
если же через М проходит незамкнутая траектория, то мы будем считать,
что F (М) равна площади /0 области, заключенной внутри Lo (т. е. пло-
площади самой области Г). Так как по предположению внутри Lo нет состо-
состояний равновесия, то функция F (М) определена во всех точках облает» Г.
Наибольшее значение ее равно /0. По определению F (AT) y> 0, поэтому
значения функции F в области Г имеют точную нижнюю грань, которую

§ 4]
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИИ
117
Рис. 69.
мы обозначим через т. Очевидно, 0 < т < /0. Допустимы две возможно-
возможности: либо 1) функция F (М) принимает значение т в какой-нибудь точке
М области Г; либо 2) функция Г (М) не принимает значения т пи в одной
точке области. Тогда существует последовательность точек {Мп} области
Г такая, что F (Мп) —>гп при п—>оо. В этом случае мы можем считать,
что последовательность Мп является сходящейся к точке, которую мы
обозначим через М. В обоих случаях пижняя грань значения функции
F (М) в любой окрестности точки М равна т.
Рассмотрим траекторию L, проходящую через точку М. Эта траектория
не может быть незамкнутой. В самом деле, если L не замкнута, то в силу
леммы 7 существует такая окрестность точки М, что" все пересекающие эту
окрестность траектории пе замкну-
замкнуты. Но тогда значение функции
F (М) в любой точке этой окрест-
окрестности равно /о, и точная нижняя
грань этих значений не может быть
равна т < /0, что противоречит
указанному выше свойству точки
М. Следовательно, траектория L
замкнута. Пусть Ll — замкнутая
траектория, лежащая внутри L, а
Lz — замкнутая траектория, лежа-
лежащая внутри L± (рис. 69) (такие тра-
траектории, как мы знаем, суще-
существуют).
Обозначим через Тл и 1^ площади областей, ограниченных соответст-
соответственно траекториями L^ и L2. Очевидно, /2 < /}. Пусть ?/б (М) — доста-
достаточно малая окрестность точки М. Всякая траектория, проходящая через
точки этой окрестности, либо не замкнута, либо замкнута и содержит,
в силу леммы 6, траекторию Lt внутри себя. Поэтому в точках окрестности
U6 Cd) значения функции F (М) > /t1 а следовательно, точная нижняя
грань этих значений inf F (М) >- /t > /2. С другой стороны, эта нижняя
грань равна т. Отсюда следует, что т > /2. Но это противоречит опреде-
определению числа т как нижней грани значений F (М) в оиласти Г.
Таким образом, предположение, что внутри Lo нет состояний равнове-
равновесия, приводит к противоречию. Теорема доказана.
Следствие 1. Пусть L — незамкнутая траектория, пересека-
пересекающая дугу без контакта / более чем в одной точке; М} (fj), M2 (t2) — две
последовательные по t точки ее пересечения с дугой I (tt < ?2) и С —
простая замкнутая кривая, состоящая из дуги MtMz траектории L и части
MxMi дуги I (рис. 68). Если область Г, лежащая внутри кривой С, не со-
содержит граничных точек области G, то она содержит по крайней мере одно
состояние равновесия. Действительно, в силу лемыы 11 § 3, одна из двух
полутраекторий Lj/j или L\j% лежит целиком (если не считать се начала)
внутри кривой С. Пусть для определенности это нолутраектория Ьмг-
Все ее предельные точки лежат, очевидно, в области Г. Либо среди этих
предельных точек есть состояние равновесия, и тогда наше утверждение
доказано, либо множество этих предельных точек является замкнутой
траекторией, лежащей в области Г. Но тогда по теореме 16 внутри этой
замкнутой траектории, а следовательно, в области Г имеется хотя бы одно
состояние равновесия. Утверждение доказано.

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ [ГЛ. II
Следствие 2. Если область Г внутри цикла без контакта С не
содержит граничных точек области G, то она содержит по крайней мере
одно состояние равновесия (это утверждение устанавливается рассужде-
рассуждением, аналогичным проведенному в следствии 1).
Следствие 3. Если Г — замкнутая односвязная область, лежа-
лежащая целиком в области G и не содержащая состояний равновесия, то вся-
всякая траектория, проходящая через точку этой области, и при убывании
и при возрастании t выходит из нее. Действительно, в противном случае
область Г содержала бы а- или сопредельный континуум такой траектории,
а следовательно, по крайней мере одну точку, являющуюся состоянием
равновесия.
Теорема 17. Всякая динамическая система на сфере имеет по
крайней мере одно состояние равновесия.
Доказательство. Пусть L — произвольная траектория дина-
динамической системы на сфере, Ка — ее предельный континуум. Либо А'и
содержит состояние равновесия, и тогда теорема доказана, либо Ка есть
замкнутая траектория (см. теорему 14). Две области, на которые эта траек-
траектория разбивает сферу, гомеоморфны плоским областям. Поэтому в силу
предыдущей теоремы в каждой из этих областей лежит по крайней мере
одно состояние равновесия. Теорема доказана *).
8. Основная теорема о состоянии равновесия. Приводимая здесь
основная теорема о состоянии равновесия также принадлежит Бепдиксону.
Теорема 18. Если О — изолированное состояние равновесия, то
либо в любой окрестности О лежит замкнутая траектория, содержащая О
внутри себя, либо существует полутраектория, стремящаяся к О.
Доказательство. Предположим, что существует замкнутая
окрестность {/-состояния равновесия О, в которой не лежит ни одна замк-
замкнутая траектория, содержащая О внутри. Покажем, что в этом случае
существует полутраектория, стремящаяся к О.
Мы можем без ограничения общности считать, что U есть круг с цент-
центром в точке О, внутри и на границе которого не содержится других состо-
состояний равновесия кроме точки О (так как О — изолированное состояние
равновесия). Обозначим граничную окружность круга U через а. Покажем
сначала, что существует положительная или отрицательная полутраекто-
полутраектория, целиком лежащая в U. Допустим, что такой полутрасктории нет.
Пусть а' — окружность с центром в О, лежащая в U (т. е. внутри а), М —
произвольная ее точка, L — траектория, проходящая при t = t0 через М
(рис. 70). В силу сделанного допущения траектория L выходит из области
U как при убывании, так и при возрастании t. Рассмотрим дугу АВ этой
траектории, где А — ближайшая по t к значению t0 точка входа L в U,
а В — ближайшая по (к значению t0 точка выхода L из U (эта дуга кроме
своих концов А ж В, через которые траектория L входит в U и выходит
из U, может иметь внутренние точки, лежащие на окружности а. Тогда
в этих точках траектории L касается окружности а (рис. 70)). Обозначим
расстояние от точки О до дуги АВ траектории L через / (М). / (М) является
положительной функцией, определенной на окружности о'.
Точную нижнюю грань функции/(М) обозначим через о0. Из определе-
определения точной нижней грани и из компактности окружности следует, как легко
*) Эта теорема так же, как и предыдущая, может быть доказана другим спосо-
способом, основанным на рассмотрении векторных полей.

4]
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ
119
Л
видеть, что существует такая точка Мо ? а', в каждой окрестности которой
на о' inf {/(М)} = q0.
Докажем, что / (Мо) — q0. Действительно, допустим, что / (Мо) Ф
Ф q0. Тогда / (Л/0) = Qo -г Y. где у > 0. Пусть траектория Lo, проходя-
проходящая через точку М0 при t = f0. входит в круг U и выходит из круга ?/
через точки Ло (?t) и Во (t2) (^ < t0 <: t2). Если число т > 0 доста-
достаточно мало, то на траектории Lo существуют точки С (t1 — т) и
D (<г + т), причем дуги А0С и 50Z?
траектории лежат вне окрестности U.
Из теоремы о непрерывной зави-
зависимости от начальных значений сле-
следует, что существует число б > 0,
удовлетворяющее следующим усло-
условиям:
а) траектория L, при t = t0 про-
проходящая через точку М ? U& (Mo),
определена для всех значений t, tt —
— x^.t^.t2-\-r; б) точки этой траек-
траектории С (?, — т), D (t2 + т) лежат
вне круга U; в) дуга CD траектории L
лежит в у /2-окрестности дуги CD
траектории L.
Возьмем теперь произвольную
точку М, лежащую на окружности о'
в U6 (Мо). Пусть/ (М) = болеть рас-
расстояние q {О, S ), где S ? L, a S —
точка дуги CD траектории L такая,
что q (S , S ) < у 12 (см. условие в)).
Тогда б^ + Q {S , S ) > q (О^ S) > / (Л/0) = б0 + у, следовательно,
/ (М) = 6о>^о + Y — (J (S , S ) > q +\'/2. Л это противоречит условию,
что точная нижняя грань значений функцни / (М) в любой окрестности
точки Мо равна q0.
Таким образом, / (М0) = q0, и, следовательно, о0 > 0. Но этого не
может быть. В самом деле, пусть Р* — произвольная точка, лежащая
в ^Qo/2 (О), L* — проходящая через нее траектория, М* — первая при
убывании t точка траектории L*, лежащая на окружности а'. Тогда, оче-
очевидно, / (М*) <С Qo''2, что противоречит определению о0 как точной нижней
грани значений функции / (М) на окружности а'. Полученное противоре-
противоречие доказывает, чтосуществует^полутраектория 1} >, целиком лежащая в U.
Так как по предположению в U нет ни одной замкнутой траектории, то пре-
предельное множество полутраектории 1} } либо состоит из точки О, либо из
точки О и траекторий, стремящихся к О. В обоих случаях теорема
доказана.
9. Изолированная замкнутая траектория — предельный цикл. Воз-
мо/кное расположение траекторий в окрестности предельного цикла.
Изолированная замкнутая траектория, т. е. такая замкнутая траектория,
в некоторой окрестности которой, кроме нее самой, нет больше других
замкнутых траекторий, называется предельным циклом.
Предельный цикл мы имели в примере 7 § 1.
Рис. 70.

120
ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ
[ГЛ. II
Мы дадим здесь некоторые основные сведения о предельных циклах. Пусть
А)—предельный цикл. Тогда имеет место следующая теорема, описывающая пове-
поведение траекторий в его окрестности.
Теорема 19. Все траектории, проходящие через достаточно близкие
к предельному циклу Lo точки, лежащие сне Lo (внутри Lo), стремятся к Lo либо
при t —> -f- оэ (и тогда они при убывании t выходят из окрестности Lq), либо
при t -» — оэ (ы тогда они при возрастании t выходят из окрестности Lo).
Доказательство. Возьмем такое е0 "> 0, чтобы в е0-окрестностп пре-
предельного цикла Lo не лежало ни одного состояния равновесия и ни одной отличной
от Lo замкнутой траектории. Выбор так"ого е0, очевидно, всегда возможен.
Рассмотрим дугу без контакта I, проведенную через какую-нибудь точку Мо
предельного цикла Lo и имеющую точку Мо своей внутренней точкой (рис. 71).
Возьмем на дуге I по разные стороны точ-
точки Мо точки А и В, столь близкие к Мо,
чтобы выполнялись следующие условия.
1. Все траектории, при t=t0 пересе-
пересекающие часть дуги АВ, пересекают эту
дугу еще раз при i> t0. Пусть, в частно-
частности, траектории LA и LB, проходящие
через точки А и В, соответственно, пере-
пересекают дугу /при t^> t0 в точках At и Bt
(причем дуги AAt и ВВ% траекторий LA
и LB не имеют общих точек с дугой I).
2. Если С1 — простая замкнутая
кривая, состоящая из дуги АА1 траекто-
траектории LA и части АА1 дуги I, а С2 — про-
простая замкнутая кривая, состоящая из дуги
BBit траектории LB и части ВВ± дуги 1},
то область Г, ограниченная простыми
замкнутыми кривыми Ct и С%, целиком
содержится в е0-окрестности предельного
цикла Lo.
Такой выбор точек А и В всегда
возможен в силу леммы 17 § 3 и замеча-
замечания 1 к этой лемме. При этом одна из
полуоткрытых дуг (М0А] или (М0В] лежит
вне предельного цикла Lo, а другая —
внутри Lo. Предположим для определен-
определенности, что часть (М0А] дуги I лежит
вне Lo. Так как по предположению в Ue (?0)
нет отличных от Lo замкнутых траекто-
траекторий, то точка А отлична от Л4 и лежит
либо ближе к Мо, чем точка А, либо
а)
Рис. 71.
дальше, чем точка А^. Пусть значению ?г соответствует точка /lj, которая лежит
между точками Мо и А. Нетрудно видеть, опираясь на лемму И §3, что в этом
случае в точке At траектория LA при t = 11 входит в кольцевую область rIt огра-
ограниченную предельным циклом Lo и кривой С4, и при дальнейшем возрастании t не

§ 4] ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА ТРАЕКТОРИЙ 121
может выйти из этой области. Все предельные точки LA лежат, следовательно,.
в области Т± и на ее границе. Так как в силу выбора е0 и условия 2 в области Fj
и на ее границе нет ни одного состояния равновесия, то в силу теоремы 13 ю-пре-
дельным множеством траектории LA является замкнутая траектория. Но единст-
единственной замкнутой траекторией, лежащей в ё0-окрестности Lo, а значит, и в замкну-
замкнутой области Fj, является предельный цикл Lo.
Следовательно, траектория LA при t -> + со стремится к предельному циклу
Lo. Покажем, что вообще все траектории, проходящие через отличные от Мо точки
части дуги (М0А], при t -»¦ + со стремятся к предельному циклу Lo. Действительно,
в силу леммы 11 § 3 все отличные от Ai и Мо точки части (А±М0\ дуги I целиком лежат
в области Fj, и все траектории, пересекающие Дугу I в этих точках, при возра-
возрастании t не могут выйти из области Г4.
Кроме того, все траектории, пересекающие часть (А^А) дуги I, при возраста-
возрастании t входят в область Г4 и тоже больше уже не могут выйти из этой области. Тогда
для каждой из этих траекторий можно повторить рассуждение, проведенное выше
для траектории LA, а следовательно, все эти траектории стремятся к предельному
циклу Lo.
Таким образом, мы показали, что все траектории, проходящие через точки
части (АМ0], при t -* + со стремятся к предельному циклу Lo. Но в силу леммы
14 § 3 все траектории, проходящие через точки области Fj, непременно пересекают
дугу (АМ0]. Следовательно, все траектории, проходящие через точки области Г1?
стремятся к предельному циклу Lo при t -* -\- оо. Это, очевидно, означает, что через
все достаточно близкие к предельному циклу Lo точки, лежащие вне Lo, проходят
траектории, при t -* + со стремящиеся к Lo. Принимая во внимание, что через
точки области Г4 и ее граничные точки, кроме предельного цикла Lo, не проходит
больше ни одной замкнутой траектории, можно видеть на основании теоремы 12,
что все траектории, проходящие через точки области Fj, при убывании t выходят
из области Fj, пересекая часть (АА±) дуги I.
Полностью аналогично с очевидными изменениями может быть рассмотрен
случай, когда точка А лежит на дуге I между точками Л4 и Мо. В этом случае все
траектории, проходящие через точки части [АМ0) дуги I, а следовательно, все
траектории, проходящие через точки соответствующей области Fj, стремятся к пре-
предельному циклу Lo при t -s- — со, а при возрастании t выходят из области Г4.
Совершенно так же может быть рассмотрена часть (М0А] дуги I.
Таким образом, теорема доказана.
Если все траектории, проходящие через точки некоторой окрестности
предельного цикла Lo вне и внутри Lo и отличные от i0 при t -*¦ + оо
(t -*¦— оо), стремятся к предельному циклу, то Lo называется устойчи-
устойчивым (соответственно неустойчивым) предельным циклом (рис. 72, а, б).
Если все траектории, проходящие через достаточно близкие от пре-
предельного цикла Lo точки, лежащие вне (внутри) Lo, стремятся к Lo при
t -*- -f- оо, а лежащие внутри (вне) при t —> оо, то Lo называется полу-
полуустойчивым предельным циклом *) (рис. 72, в).
*) Часто, в особенности в прикладных задачах, «неустойчивым» называется
всякий цикл, не являющийся устойчивым, т. е. как неустойчивый в приведенном
тексте смысле, так и полуустойчивый.

ГЛАВА III
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
§ 5. Количественное и качественное исследование
динамических систем
1. Введение. Вопрос о возможном характере отдельной траектории,
ответ на который дан в § 4, естественно возникает одним из первых при
качественном рассмотрении динамических систем. Но кроме сведений
о характере отдельной траектории при качественном исследовании системы
(I) необходимы также сведения о возможных свойствах разбиения на тра-
траектории в целом. Основные простейшие свойства такого рода описываются
теоремами 16, 17, а также 18 § 4.
Однако, для того чтобы перейти к более подробному исследованию
«качественных свойств» разбиения в целом, необходимо сначала точно
определить понятия «качественного свойства», «качественной структуры
разбиения на траектории», «качественного исследования», которыми мы
пользовались до сих пор, опираясь лишь на их наглядный, но весьма рас-
расплывчатый смысл. Введению точных определений для этих понятий и пос-
посвящен настоящий параграф.
Остановимся сначала на различных аспектах исследования динами-
динамических систем и на роли, которую при этом играет качественное исследо-
исследование. При рассмотрении динамических систем, возникающих в связи с за-
задачами естествознания (в связи с задачами небесной и «земной» механики,
теории колебаний и др.), возникают вопросы, которые грубо могут быть
разбиты на два типа. С одной стороны — это такие вопросы, как нахож-
нахождение аналитических выражений для решений (например, в виде элемен-
элементарных функций или квадратур, или в виде рядов по тем или другим
функциям), а также приближенное вычисление решений, которое в свою
очередь располагает целым арсеналом вычислительных методов. Этот
круг вопросов может быть отнесен к «количественному интегрированию»
или количественному исследованию динамических систем *).
С другой стороны это вопросы о числе и характере (в частности,
устойчивости или неустойчивости) состояний равновесия динамической
системы, о наличии у нее замкнутых траекторий (т. е. о наличии перпо-
*) В небесной механике к этому кругу вопросов относятся различные методы
интегрирования рядами в задаче п тел (метод Зундмана, например), в классической
задаче о движении твердого тела, методы, позволяющие находить «полностью инте-
интегрируемые случаи». В указанных здесь случаях динамические системы являются,
очевидно, системами не второго, а более высокого порядка. О многочисленных мето-
методах вычисления отдельных траекторий см., например, [43], [44], [45].

¦S 5] КОЛИЧЕСТВЕННОЕ И КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ 123
дических решений) об областях притяжения того или другого устойчивого
¦состояния равновесия и т. д.
Эти вопросы относятся к «качественному исследованию» динамической
системы. Хотя при «качественном исследовании мы можем совершенно
не интересоваться ни точной формой траектории, ни размерами замкнутых
траекторий, ни многими другими свойствами, характеризующими разби-
разбиение на траектории с количественной стороны, тем не менее качественная
структура отражает весьма существенные черты динамической системы,
представляющие как математический интерес, так и большой интерес для
приложений *).
Таким образом, качественное исследование существенно отличается
от количественного интегрирования по своим целям и задачам. Поэтому
«но имеет свои специфические методы. Количественное интегрирование
в указанном выше классическом смысле не может заменить собой качест-
качественного исследования, а во многих случаях не может даже существенно
помочь ему. Часто проще и удобнее исследовать качественное поведение
траекторий непосредственно путем рассмотрения векторного поля, опреде-
определенного динамической системой, чем при помощи аналитических выраже-
выражений, полученных в результате интегрирования. Мы уже говорили в § 1
п. 14, что такие аналитические выражения могут полностью решить задачу
качественного интегрирования лишь в простейших случаях. В общем же
•случае знание аналитических выражений для интегралов может не облег-
облегчить качественного исследования: оно просто сведет задачу непосредствен-
непосредственного качественного исследования динамической системы к «качественному
исследованию» некоторой функции F (ж, у, с) = 0.
Последняя задача может оказаться не более простой и легкой, чем
первая, она фактически является той же задачей, только в другой форме.
Лишь в частных случаях знание аналитических выражений для интегралов
помогает качественному исследованию.
Необходимо подчеркнуть, что качественное исследование пи в какой
мере не является, так сказать, «суррогатом» количественного исследова-
исследования, т. е. что оно проводится не из-за трудностей или невозможности коли-
количественного интегрирования. Как уже неоднократно указывалось, качест-
качественное исследование имеет свои специфические цели, не исчерпывающиеся
количественным интегрированием. Более того, качественное интегрирова-
интегрирование нередко бывает очень полезно для количественного, помогая ориен-
ориентироваться в том, приближенное вычисление каких именно траекторий
и в каких пределах представляет интерес для рассматриваемой задачи.
До сих пор мы продолжали пользоваться расплывчатыми терминами
«качественное свойство», «качественная структура» и так далее. Перейдем
теперь к их точному определению. При математическом исследовании
*) Отметим, что понятие «качественного исследования» имеет смысл и значение
не только в случае динамических систем, но также и и других математических объек-
объектах. В качестве простейшего примера укажем рассмотрение алгебраического уравне-
уравнения данной степени: существуют вопросы, для решения которых нужно знать лишь
число действительных корней данного уравнения
но не нужно знать их точные или приближенные значения. Такое исследование этого
уравнения естественно назвать «качественным». Другой пример — исследование
характера кривых, например алгебраических кривых. Мы можем, не интересуясь
точными размерами, интересоваться, например, числом не связанных кусков алгебраи-
алгебраической кривой, заданной уравнением F (х, у) = 0, и взаимным расположением этих
кусков. Такое исследование алгебраических кривых также естественно назвать каче-
качественным.

124 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ 1ГЛ. III
свойств динамических систем, а также при внимательном рассмотрении
того, что подразумевается под «качественным» свойством в многочисленных
задачах, возникающих из приложений, выкристаллизовалось адекватное
математическое понятие: оказалось, что «качественными» свойствами
являются свойства траектории, множества траекторий, разбиения на
траектории, являющиеся топологически инвариантными, т. е. свойства,
остающиеся неизменными при всевозможных топологических отображени-
отображениях рассматриваемой области или множества.
Топологическое отображение рассматривается в дополнении. Однако здесь мы
дадим некоторые пояснения.
Топологическим отображением плоскости в себя (или некоторого множества
плоскости в другое или в то же множество плоскости) называется взаимно однознач-
однозначное и взаимно непрерывное отображение, т. е. отображение, при котором каждой точке
М соответствует одна и только одна точка М' той же плоскости (шш множества),
всяким двум различным точкам М[ и М\ соответствуют две различные точки М'г и М'г
и, кроме того, всяким двум сколь угодно близким точкам Mj и М2 соответствуют сколь
угодно близкие точки М1 и М2. Отображение, обратное топологическому, очевидно,
также является топологическим.
Наглядное пояснение того, что такое толологическое отображение плоскости
в себя может быть дано следующим образом: представим себе, что плоскость «сделана
из резины» и будем различным образом деформировать ее, растягивать и сжимать
в разных местах, но при этом нигде не разрывая и не делая складок.
Всякому топологическому отображению плоскости в себя либо непосредственно
соответствует некоторая такая деформация плоскости (без складок и разрывов), либо
соответствует предварительное зеркальное отображение плоскости с последующей
деформацией, обладающей указанными свойствами (в первом случае топологическое
отображение «сохраняет ориентацию», во втором — «изменяет ориентацию») (см.
дополнение, § 2). Очевидно, вид кривых и областей и вообще множеств на плоскости
при топологическом отображении может сильно измениться, однако некоторые свой-
свойства остаются неизменными. Так, замкнутая кривая, например, окружность, после
любого топологического отображения останется замкнутой, хотя вид ее может сильно
отличаться от вида исходной кривой. Отрезок прямой после топологического отобра-
отображения, вообще говоря, делается некоторой дугой («простой дугой»), но эта дуга заве-
заведомо не имеет самопересечений и т. д.
В связи с уточнением понятия «качественного свойства», «качествен-
«качественной структуры» мы изменим также и терминологию. В дальнейшем вместо
того, чтобы говорить «качественная структура», «качественные свойства»
и т. д. мы по преимуществу будем пользоваться терминами «топологическая
структура», «топологические свойства» и т. д. *).
Перейдем теперь к точным формулировкам основных понятий.
2. Топологическая структура динамической системы. Мы дадим
определение топологической структуры дипамической системы в открытой
плоской области, совпадающей с областью определения системы или пред-
представляющей ее часть. Точно так же можно определить топологическую
структуру динамической системы на любом подмножестве М области ее
определения, в частности, в замкнутой ограниченной области Gj cz G, а также
на сфере. Для этого нужно только в приводимом определении слова
«в области G» заменить соответственно словами «в замкнутой области Gt»
или на «сфере» и т. д.
Заметим, что данное ниже определение является так называемым
косвенным (определением через «абстракцию»): мы не говорим, что назы-
называется топологической структурой, а определяем, в каком случае две дина-
*) Термин «качественный» употребляется в весьма различных смыслах, в то
время как термин «топологический» имеет однозначный смысл.

§ 5] КОЛИЧЕСТВЕННОЕ И КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ 125
мические системы имеют одинаковые топологические структуры *).
Пусть даны две динамические системы
%=РЛх,У), % = (?Лх,У) (А,)
и
~~ = РЛх,У), ^ = Qz(*,y), (A2)
рассматриваемые в ограниченных плоских областях Gt и 6'2 соответст-
соответственно.
Системы (At) и (А2) так же, как и области Gt и G2, могут совпадать.
Если, например, совпадают области Gi и Gz, то это означает, что две раз-
различные системы рассматриваются в одной и той же области. Возможен
также случай, когда некоторая система (I), определенная в области G,
рассматривается в двух несовпадающих (но могущих иметь общие точки)
областях Gt с G и G2 a G.
Определение V. Мы будем говорить, что разбиения на тра-
траектории, определенные двумя динамическими системами (А,) и (А2), имеют
соответственно в областях Gl и G2 одинаковую или тождественную топологи-
топологическую (или качественную) структур]/, если существует отображение Т
области G4 на область G2, удовлетворяющее следующим требованиям.:
1) Т есть топологическое отображение;
2) если две точки области G± принадлежат одной и той же траектории
системы (Aj), то их образы при отображении Т принадлежат одной и той
же траектории системы (А2);
3) если две точки области Gz принадлежат одной и той же траектории
системы (А2), то их образы при отображении Т~1 принадлежат одной и той
оке траектории системы (Aj).
Отображение, удовлетворяющее условиям 1), 2), 3), будем называть
«отображением, переводящим траектории системы (А..) в траектории
системы (А2)>>, или «отождествляющим отображением», соответствующим
системам (Aj) и (А2). Там, где это не может повести к недоразумениям,
мы будем говорить короче: «отображение, переводящее траектории в тра-
траектории», или «отождествляющее отображение».
Рассматривая некоторую заданную динамическую систему (I)
мы будем часто в дальнейшем говорить о всевозможных отождествляющих
отображениях (или отображениях, переводящих траектории б траекто-
траектории), подразумевая под этим, что рассматриваются все возможные топо-
топологические отображения, при которых траектории системы (I) отобража-
отображаются в линии, являющиеся траекториями некоторой другой системы (I')
(в частности, могущей совпадать с системой (I'), удовлетворяющей усло-
условиям п. 1, § 1).
Очевидно, далеко пе всякое топологическое отображение может быть отождеств-
отождествляющим в указанном выше смысле. Действительно, «слп задана динамическая система
A), то всякое отождествляющее отображение переводит траектории системы (I) в траек-
траектории некоторой другой динамической системы (Г), удоилотноряютцей условиям § 1.
Всякая траектория такой системы, отличная от состояния рапшшегня, является
гладкой лишгей, и, следовательно, отождествляющее oiofipavwoimr., изменяя форму
траекторий, заведомо не нарушает их гладкости. Д1ся;ду тем всегда можно указать
*) Косвенными определениями являются, например, определение функции,
•определение мощности мпожостпц и др.

126 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. III
топологическое отображение, переводящее траектории рассматриваемой системы
в негладкие линии. Вследствие этого, естественно, напрашивается мысль: под «каче-
«качественными» свойствами динамических систем понимать свойства, остающиеся инва-
инвариантными при всевозможных гладких топологических отображениях. Однако (см.
дополнение, § 9) требование гладкости топологического отображения заставляет
под «качественными» свойствами динамической системы понимать такие свойства,
которые ни в какой мере не соответствуют содержали» того понятия «качественного»,
о котором идет речь в настоящей кпиге и которое возникает как при чисто математи-
математических рассмотрениях, так и при рассмотрениях, связанпых с приложениями. Мы
остановимся на этом вопросе в дополнении.
В связи с введением понятия отождествляющего отображения сделаем еще сле-
следующее замечание. Если для заданных систем (АЛ и (А2) существует одно отождествляю-
отождествляющее отображение Т, то таких отображений непременно существует бесчисленное
множество. Множество таких отображений можно, например, получить следующим
образом. Пусть
ж=ф (<—*о- хо> Уо)- if=¦*!>(«—fo. яо, ;/о) С)
—решепие рассматриваемой системы (I). При всяком фиксированном т функции
ж=ф(т, х0, у0), г/ = ф(т, х0, у0) Bу
дают, как нетрудно видеть, топологическое отображение Нх плоскости в себя, при
котором в силу свойств функций A) точка, лежащая на траектории системы (I), ото-
отображается в точку, лежащую на той же траектории. Очевидно, отображений Нх суще-
существует бесчисленное множество (так как величина т может принимать бесчисленное
множество значений). Нетрудно видеть, что если отображение Т является отождеств-
отождествляющим, то отождествляющим является также отображение вида Т' = ТИХ (при
любом т).
Возможно также и бесчисленное множество отождествляющих отображений,
имеющих вид, отличный от указанного.
Вместо того, чтобы говорить: «разбиения на траектории, определенные
динамическими системами (А4) и (А2) соответственно в областях Gt и G2,
имеют одинаковую топологическую структуру» мы будем говорить короче:
«динамические системы (Aj) и (А2) имеют соответственно в областях Gt
и G2 одинаковую топологическую структуру». Мы будем также часто для
краткости говорить: «динамические системы (At) и (А2) имеют одинаковую
топологическую структуру» либо «топологические структуры разбиения
на траектории областей Gt и G2 одинаковы». При этом подразумевается,
что в первом случае известно, о каких областях, а во втором—о каких
системах идет речь.
В связи с введенным определением сделаем некоторые замечания.
Отметим прежде всего, что условие 3), наложенное на отображение Т,
очевидно, не вытекает из условий 1) и 2). Действительно, в этом можно
убедиться, рассматривая следующий простой пример: в качестве систем
(Aj) и (А2) возьмем системы
dy __ п *е .
dt ~u' dt ~- ¦ J' (l'
в качестве каждой из областей Gt и G2 — всю плоскость, а под отображени-
отображением Т будем понимать тождественное отображение. Траектории систем C)
и D) изображены на рис. 73, а и 73, б. Отображение Т в рассматриваемом
случае, очевидно, удовлетворяет условиям 1) и 2), но не удовлетворяет
условию 3): так, точки, лежащие на оси х, всегда лежат на одной и той ж*>
траектории системы C), но могут лежать на различных траекториях систе-
системы D). (Ось х, являющаяся траекторией системы C), состоит из трех траек-
траекторий системы D): двух полуосей и состояния равновесия, совпадающм о
с началом координат.) Отметим, кроме того, что при данном выше опреде-

§ 5]
КОЛИЧЕСТВЕННОЕ И КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
127
лении вопрос о том, переходит ли при отображении Т положительное
направление на траекториях в положительное или нет, вообще не ставится.
Таким образом, при отождествляющих отображениях допускается,
чтобы положительному направлению на траекториях системы (Aj) соот-
соответствовало как положительное, так и отрицательное направление на
траекториях системы (А2). Нетрудно привести простые примеры, при
которых осуществляется каждая из этих возможностей. В дальнейшем
рассматриваются главным образом динамические системы с конечным
числом состояний равновесия (отметим, что в основном именно такие
системы представляют наибольший интерес для приложений). В этом
а)
Ф
Рис. 73.
случае для систем могут представиться только следующие две возможно-
возможности. 1) При отождествляющем отображении Т положительному направле-
направлению на траекториях системы (Aj) ставится в соответствие положительное
же направление на всех траекториях системы (А2). Отображение Т будем
тогда называть отождествляющим отображением, сохраняющим направле-
направление по t. Эта возможность осуществляется, например, в случае, когда обе
системы (А,) и (А2) линейны и у обеих устойчивые узлы или фокусы (одна
из этих систем может, например, иметь устойчивый узел, а другая устой-
устойчивый фокус) (ср. со сказанным в § 6 п. 3). 2) При отождествляющем ото-
отображении Т положительному направлению на траекториях системы (А,)
ставится в соответствие отрицательное направление на траекториях систе-
системы (А2). Отображение Т будем тогда называть отождествляющим отобра-
отображением, изменяющим направление по t. Эта возможность осуществляется,
например, в случае, когда обе системы (Aj) и (А2) линейны и у одной из них
устойчивый узел или фокус, а у другой — неустойчивый. В некоторых осо-
особых случаях могут существовать отождествляющие отображения обоих
типов (например, в случае, когда все траектории замкнуты (рис. 74)).
Подчеркнем, что в случае конечного числа состояний равновесия
положительному направлению на траекториях системы (А]) соответствует
либо на всех траекториях системы (А2) положительное, либо на всех —
отрицательное направление. Так как, кроме того, топологическое отобра-
отображение может сохранять или не сохранять ориентацию, то, очевидно,
отождествляющее отображение, сохраняющее (соответственно изменяющее)

128
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ
[ГЛ. Ш
направление по t, в свою очередь может быть двух типов: сохраняющим
ориентацию и меняющим ориентацию на обратную.
В случае бесконечного числа состояний равповесия у двух систем (А4) и (Л2),
имеющих одинаковые топологические структуры, может представиться еще следую-
следующая возможность, отличная от указанных выше: при отождествляющем отображении
положительному направлению на некоторой части траекторий системы (At) соответ-
соответствует положительное направление на траекториях системы (А2), а па другой части
траекторий системы (А4) положительному направлению соответствует отрицательное
направление на траекториях системы (А2).
Рассмотрим, например, системы
-IJ, E)
-I). F)
at ul
В обеих этих системах окружность х2 -(- у2 = 1 есть особая линия. Направления
на траекториях, лежащих внутри окружности х2 -\- у2 = 1, у систем E) и (G) противо-
противоположны. В рассматриваемом
примере тождественное отибра-
жение, очевидно, является ото-
отождествляющим отображением.
Но при этом отображении па
части траекторий, лежащих
вне окружности х2 +- у2 = 1,
положительному направлению
соответствует положительное,
а па части траекторий, лежа-
лежащих внутри этой окружности,
положительному направлению
соответствует отрицательное.
Можно показать, что в рас-
рассматриваемом случае не суще-
существует отождествляющего ото-
отображения, сохраняющего (или
меняющего) направления по t
иа всех траекториях.
Введенное определе-
определением V понятие тождест-
тождественности топологических структур динамических систем удовлетворяет,
как легко убедиться, всем условиям эквивалентности, т. е. обладает
свойствами рефлексивности, симметрии и транзитивности. Поэтому все
динамические системы разбиваются на непересекающиеся классы систем,
имеющих одинаковые топологические структуры. Каждая динамическая
система принадлежит одному и только одному такому классу.
Используя введенное понятие отождествляющего отображения (т. е.
отображения, переводящего траектории в траектории), дадим также опре-
определение топологического свойства и топологического инварианта разбиения
на траектории (или множества траектории).
Определение VI. Топологическим (качественным) свойством
разбиения области Gt на траектории или множества траекторий или
тткже топологическим инвариантом разбиения на траектории называется
свойство или величина, остающиеся инвариантными при всевозможных
отождествляющих отображениях.
Вместо того, чтобы говорить: «топологическое свойство траектории
или множества траекторий, или разбиения иа траектории», мы будем
говорить короче: «топологическое свойство динамической системы», а также
«топологический инвариант» динамической системы. Очевидно, свойство
траектории, являющейся состоянием равновесия, «быть состоянием равно-
Рис. 74.

§ 5] КОЛИЧЕСТВЕННОЕ И КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ 129
весия» или свойство замкнутой траектории «быть замкнутой», являются
топологическими свойствами *).
Предположим для определенности, что рассматриваются только дина-
динамические системы с конечным числом состояний равновесия и конечным
числом предельных циклов. Тогда, очевидно, число состояний равновесия
и число предельных циклов являются топологически инвариантными
(т. е. остаются неизменными при всевозможных отождествляющих отобра-
отображениях). Топологическими свойствами являются, например, также при
наличии замкнутых траекторий их взаимное расположение, наличие (или
отсутствие) кольцевых областей, сплошь заполненных замкнутыми траек-
траекториями, наличие определенного числа состояний равновесия типа фокус
и узел и др. С другой стороны, например, расстояние между состояниями
равновесия и предельными циклами, точная форма замкпутых траекторий
не являются топологически инвариантными свойствами, они могут изме-
изменяться при отождествляющих отображениях.
Если совокупность некоторых свойств разбиения на траектории, задан-
заданного динамической системой, такова, что две динамические системы, каж-
каждая из которых обладает этими свойствами, имеют одинаковую топологи-
топологическую структуру, то такую совокупность будем называть совокупностью
определяющих свойств или полной системой топологических инвариантов.
Качественное исследование динамической системы состоит в установле-
установлении ее топологических свойств и топологических инвариантов (например,
числа и характера состояний равновесия, числа и взаимного расположе-
расположения предельных циклов и т. д.).
Полным качественным исследованием динамической системы является
установление топологической структуры разбиения на траектории, опре-
определенного этой системой.
Последняя формулировка имеет весьма общий и неопределенный
характер. Естественно поэтому постараться конкретизировать, в чем
заключается задача установления топологической структуры разбиения
на траектории, заданного динамической системой. Сделать это в общем
виде для всевозможных динамических систем не представляется возмож-
возможным. Однако если ограничиться рассмотрением некоторых более узких
классов динамических систем, то в понятие установления топологической
структуры можно внести точный и копкретный смысл.
В настоящей книге выделяется некоторый определенный класс
динамических систем («динамические системы с конечным числом особых
траекторий»), который, естественно, представляется наиболее интересным
как с точки зрения приложений, так и с математической точки зрения.
Для этого класса систем впоследствии (в главах VII, X, XI) вводится
понятие схемы разбиения на траектории или в другой терминологии —
схемы динамической системы. Схема играет роль полной системы тополо-
топологических свойств. Мы не останавливаемся здесь на этом вопросе, подробно
рассматривающемся в главах VII, X, XI).
Для иллюстрации понятия тождественности топологической струк-
структуры разбиения на траектории приведем простые, в основном геометри-
геометрические, примеры. Рассмотрим разбиение круга С радиуса единицы на тра-
траектории системы D0) примера 3 и системы D5) примера 4 § i (рис. 10 и 13).
Начало координат является у системы D0) состоянием равновесия типа
*) Свойство «быть точкой» или свойство кривой быть замкнутой кривой так же,
как и все далее перечисленные свойства линий, являющихся траекториями, инва-
инвариантны не только при отождествляющпх, но и при любых топологических отобра-
отображениях.
9 А. А. Андронов U др.

130
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ
[ГЛ. 1JI
узел, а у системы D5) — состоянием равновесия типа фокус. Хотя форма
траекторий у этих двух систем сильно отличается, но нетрудно показать,
Рис. 75.
что разбиения круга С на траектории системы D0) и на траектории системы
D5) имеют одинаковую топологическую структуру. Другими словами,
Рис. 76.
нетрудно указать топологическое отображение круга в себя, при котором
траектории системы D0) отображаются в траектории системы D5). Мы не
Рис. 77.
останавливаемся на построении этого отображения ввиду того, что этот
вопрос подробно рассматривается в главе VIII. Разбиения на траектории,.

§ 5] КОЛИЧЕСТВЕННОЕ И КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ 131
изображенные на рис. 74, так же топологически тождествепны *) (этот
факт может быть точно установлен на основании изложенного в главе VIII,
§ 18). На рис. 75, аи 75, б изображены разбиения на траектории, сильно
отличающиеся по форме, но имеющие одинаковую топологическую струк-
структуру. На рис. 76, а и 76, б представлены «похожие» разбиения, имеющие
различную топологическую структуру. Различные топологические струк-
структуры имеют также разбиения на рис. 77, а и б, которые с первого
взгляда могут показаться «похожими».
3. Локальная токологическая структура. Мы уже касались в п. 14
§1ивп. 2 § 3 вопроса о характере разбиения на траектории «в малом».
Здесь мы остановимся на этом вопросе подробнее и введем естественно
напрашивающееся понятие локальной топологической структуры.
Пусть Р — внутренняя точка области определения G динамической
системы (I). Точка Р может быть как обыкновенной точкой, так и состоя-
состоянием равновесия.
Определение VII. Мы скажем, что динамическая система (I)
имеет в данной точке Р локальную топологическую структуру, если суще-
существует содержащая точку Р область iv0, удовлетворяющая следующем?/
условию: каково бы ни было е>0, можно найти область w'o и отображе-
отображение Т такие, что: а) область w'o содержит точку Р и содержится в U Е(Р);
б) Т является отождествляющим отображением, при котором область
Wo отображается на w'q и точка Р отображается сама в себя **).
Область w0, обладающую указанными в определении свойствами, мы
будем называть областью (или окрестностью) лока.1ъной топологической
структуры. В частности, если взять достаточно малое е0 >> 0, то окрест-
окрестность UEo (Р) точки Р (в которой динамическая система имеет локальную
топологическую структуру) будет окрестностью локальной топологиче-
топологической структуры точки Р.
Прежде, чем переходить к примерам существования и отсутствия
локальной топологической структуры, дадим определение тождествен-
тождественности локальных топологических структур.
Определение VIII. Пусть Р1 и Р2 — точки динамических
систем (А4) и (А2) соответственно, в которых эти системы имеют локальные
топологические структуры. (Системы (А4) и (А2), а также точки Р1 и Р2
могут совпадать.) Мы будем говорить, что локальные топологические струк-
структуры этих точек одинаковы или тождественны, если какую-нибудь окрест-
окрестность точки Р± можно отобразить на какую-нибудь окрестность точки Р2,
причем так, что Pt переходит в Р2и траектории отображаются в траек-
траектории.
Легко видеть, что в данном определении достаточно предполагать
существование локальной топологической структуры лишь у одной из
точек (Pi, Рг)- Если существует указанное в определении отображение окре-
окрестности одной из них на окрестность другой, то вторая точка «автоматиче-
«автоматически» будет иметь локальную топологическую структуру, причем такую же,
как первая. Из теоремы 8 § 3 и из элементарных рассуждений следует, что
*) Можно считать, например, что траектории, изображенные на рис. 74, даются
системами
dx dy dx dy
**) В данном случае отображение Т переводит траектории (или, точнее, цуги
траектории системы (I)) в траектории (дуги) той же системы (см. начало п. 2 § 5).

132 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. 111
у всякой динамической системы рассматриваемого типа (удовлетворяющей
условиям § 1) в каждой отличной от состояния равновесия точке сущест-
существует локальная топологическая структура и при этом одна и та же: эта
локальная структура всегда такая же, как и в случае семейства парал-
параллельных прямых.
Локальная топологическая структура может существовать также
в точке, являющейся состоянием равновесия. Нетрудно показать, что это
имеет место во всех примерах, рассмотренных в п. 14 § 1.
Рис. 78.
Если в точке, являющейся состоянием равновесия, существует
локальная топологическая структура, то мы будем называть ее топологи-
топологической структурой состояния равновесия.
Приведем геометрический пример отсутствия локальной топологи-
топологической структуры *). Рассмотрим бесконечную последовательность окруж-
окружностей уменьшающегося радиуса с центром в точке О. Перенумеруем эти
окружности в порядке уменьшения радиуса {Ct}. Построим следующее
семейство линий: пусть между окружностями Ct и Cz, C3 и С4 и вообще
между окружностями C2?_i и^-'гг (i"l> 2,...) —все линии являются замкнуты-
замкнутыми, а между всякими двумя окружностями 6T2/, CZi+i паходится i предельных
циклов, лежащих один внутри другого, и больше ни одной замкнутой
траектории. Тогда в точке О локальной топологической структуры в ука-
указанном выше смысле не существует.
В настоящей книге в основном рассматриваются динамические
системы, имеющие локальную топологическую структуру во всех точках.
Так как в точках, отличных от состояний равновесия, локальная топо-
топологическая структура всегда существует, причем одна и та же, то,
очевидно, системами, имеющими локальную топологическую структуру,
являются системы, у которых состояния равновесия имеют локальную
топологическую структуру.
Необходимо еще отметить следующий основной, хотя и весьма олемен-
тарный факт. Знание локальной топологической структуры во всех
*) Мы кс занимаемся здесь вопросом построения соответствующего аналитиче-
аналитического примера (возможность такого построения не вызывает сомнений) и виду того,
что в дальнейшем будем заниматься системами, имеющими локальную топологиче-
топологическую структуру во всех своих точках.

§ 5] КОЛИЧЕСТВЕННОЕ И КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ 133
точках той области, в которой определена, динамическая система, не позво-
позволяет сделать исчерпывающих заключений о поведении траекторий в целом,
хотя и доставляет некоторые сведения об этом поведении. В этом можно убе-
убедиться, рассматривая простые примеры. Так, например, на рис. 78, а и б
представлены разбиения на траектории, у которых локальные топологи-
топологические структуры одинаковы во всех точках. Тем не менее топологические
структуры этих разбиений на траектории «в большом», очевидно, сущест-
существенно различны: у разбиения, представленного па рис. 78, а, существует
предельный цикл, в то время как у разбиения на траектории, представлен-
представленного на рис. 78, б предельного цикла не существует.
4. Свойства разбиения на траектории в целом и эффективные методы
качественного исследования. Качественное изучение разбиения на траек-
траектории в целом, другими словами, изучение топологической структу-
структуры разбиения на траектории можно считать основной задачей качест-
качественной теории динамических систем. Эта задача имеет два различных
аспекта.
Первый аспект — это выяснение того, каковы вообще возможные
свойства разбиения на траектории (при тех или других ограничениях
на правые части). Как по своему характеру, так и по своим методам круг
вопросов, который при этом возникает, непосредственно примыкает к со-
содержанию главы II, т. е. к исследованию возможных типов отдельной
траектории, а также к рассмотрению простейших основных свойств разби-
разбиения на траектории в целом, которое дается предложениями § 4. Дальней-
Дальнейшее исследование свойств разбиения на траектории, естественно, поднимает
целый ряд новых вопросов. Простейшие примеры разбиений на траектории
(§ 1) показывают, что не все траектории равноправны', что среди траекто-
траекторий существуют некоторые исключительные траектории, которые естест-
естественно назвать «особыми». Такими траекториями являются, например,
состояния равновесия и замкнутые траектории. Естественно поставить
вопрос о внесении точного смысла в понятие «особой» траектории, о выде-
выделении вообще всех возможных типов «особых» траекторий, об их роли в раз-
разбиении и т. д. Наконец, возникает вопрос, каковы сведения о траекториях,
в частности об особых траекториях, необходимые для определения топо-
топологической структуры разбиения на траектории, хотя бы в случае неко-
некоторых сравнительно узких классов динамических систем. Последний воп-
вопрос непосредственно и органически связан с вопросом, затронутым в п. 2,
о конкретизации того, что означает «определить топологическую структу-
структуру разбиения».
Другой аспект качественного исследования разбиения на траектории
в целом заключается в отыскании эффективных приемов или методов
качественного исследования, т. е. эффективных методов определения топо-
топологической структуры разбиения или тех и других топологически инва-
инвариантных свойств его при заданных конкретных правых частях динами-
динамической системы *).
*) Существует далеко идущая аналогия между указанными двумя аспектами
при качественном исследовашш динамических систем и такими же двумя аспектами
при «качественном исследовании» других математических объектов, например урав-
уравнений, кривых и т. д. Так, например, при качественном исследовании алгебраических
кривых данной степени можно поставить вопрос о том, какие вообще возможны типы
таких кривых — это соответствует первому аспекту. С другой стороны, можно поста-
поставить вопрос об эффективных методах или приемах качестнешгого исследования алгеб-
алгебраической кривой по уравнению F (х, у) =-- 0, которыми она задана.

134 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КАЧЕСТВЕННОЙ ТЕОРИИ [ГЛ. III
Первым вопросом, который здесь возникает, является вопрос отыска-
отыскания эффективных методов исследования топологической структуры со-
состояний равновесия, так как состояпия равновесия, очевидно, играют
фундаментальную роль в разбиении на траектории. Кроме того, исследова-
исследование характера состояний равновесия имеет также большой интерес для
приложений.
Следующим чрезвычайно важным вопросом является вопрос нахож-
нахождения методов или приемов, с помощью которых можно было бы установить
наличие или отсутствие предельных циклов. Этот вопрос также имеет очень
большой интерес для приложений. Он является значительно более труд-
трудным, чем вопрос определения топологической структуры состояний рав-
равновесия, и значительно менее изученным. Для того чтобы ставить дальней-
дальнейшие вопросы об эффективных приемах качественного исследования задан-
заданной динамической системы, нужно иметь сведения о том, что именно
необходимо знать о траекториях для определения топологической струк-
структуры разбиения на траектории. Но это, очевидно, означает, что мы должны
иметь полный ответ на вопросы, принадлежащие первому аспекту.
Таким образом, логически последовательный путь изучения разби-
разбиения на траектории, казалось, должен был бы заключаться сначала в исчер-
исчерпывающем решении вопросов первого круга, т. е. вопросов о том, каковы
вообще свойства разбиения на траектории, чем определяется его тополо-
топологическая структура и т. д., а затем уже в нахождении эффективных приемов
исследования разбиения в целом. Однако порядок изложения, принятый
в настоящей книге, не следует этому, если так можно выразиться, «фор-
«формально последовательному» порядку: мы сначала излагаем (в следующих
трех главах) основные классические приемы эффективного исследования,
которые позволяют рассмотреть ряд примеров и накопить некоторый нагляд-
наглядный материал, а затем уже переходим к более детальному исследованию
свойств разбиения на траектории в целом. Отметим, что фактическое раз-
развитие качественной теории динамических систем не шло указанным «фор-
«формально последовательным» путем. Такими классическими приемами эффек-
эффективного исследования являются прежде всего методы исследования про-
простейших состояний равновесия, излагаемые в следующей главе.
Далее мы укажем также некоторые приемы, с помощью которых мож-
можно установить наличие или отсутствие предельных циклов. Опираясь
на эти приемы, мы приведем качественное (полное или не полное) исследо-
исследование целого ряда конкретных примеров.

ГЛАВА IV
ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ
Введение
Настоящая глава посвящена изучению так называемых простых
состояний равновесия *).
Если
¦ft- = P(x, у), 4yr = Q(x, У) (I)
— данная динамическая система, то, как мы видели (см. § 1), ее состоя-
состояния равновесия являются общими точками кривых
Р{х, у)=0, Q(x, j/) = 0. A)
Состояние равновесия М (х0, у0) называется простым, если точка
М (х0, г/0) является точкой пересечения кривых A), т. е. такой общей точкой,
в которой кривые A) не имеют особенностей и касательные к этим кривым
различны. Простое состояние равновесия является изолированным.
Глава IV состоит из пяти параграфов (§§ 6—10). Главным ее содержа-
содержанием является исследование топологической структуры простых состояний
равновесия.
При исследовании топологической структуры простых состояний
равновесия основную роль играет так называемое «характеристическое
уравнение» и его корни —«характеристические корни (числа)»— состояния
равновесия. В случае простого состояния равновесия характеристические
корни не равны нулю. В зависимости от корней характеристического урав-
уравнения (в зависимости от того, являются ли они действительными или ком-
комплексными, а также от того —¦ различны они или равны) система (I) может
быть надлежащей линейной заменой переменных приведена в окрестности
состояния равновесия к особенно простому, так называемому «канони-
«каноническому виду». Приведение к «каноническому виду» излагается в § 6.
Параграфы 7 и 8 посвящены уже самому исследованию топологической
структуры простого состояния равновесия. При этом исследовании исполь-
используется полученный канонический вид системы. В § 7 рассмотрены все
возможные случаи характеристических корней, кроме случая, когда они
чисто мнимые. Устанавливается, что в этих случаях знаки характеристи-
характеристических корней или знаки их действительных частей полностью определяют
*) По поводу роли исследования характера состояний равновесия в полном
качественном исследовании см. главу III. Материал § 6 содержится также в книгах
Степанова [22] и Понтрягина [11]. Однако мы помещаем его здесь, желая дать в этой
книге изложение всех основных классических приемов качественного исследования
динамических систем вида (Г).

136 ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IV
топологическую структуру состояния равновесия: состояние равновесия
может быть узлом (характеристические корни ?ч и Кг действительш,1 и оди-
наковых знаков), фокусом (характеристические корни комплексны, по не
чисто мнимы) и седлом (характеристические корни действительны и раз-
различных знаков). При этом узел и фокус имеют одинаковую топологическую
структуру*). Таким образом, в этом случае мы получаем эффективный
прием определения топологической структуры состояния равновесия,
заключающийся в вычислении характеристических корней и определении
их знаков (или знаков их действительных частей).
В § 8 рассмотрен значительно более сложный случай, когда характе-
характеристические корни чисто мнимые. В этом случае характеристические корни
не определяют топологической структуры состояния равновесия, и необ-
необходимо дополнительное исследование. При этом состояние равновесия
может либо иметь характер фокуса, либо быть центром, а также быть так
называемым центрофокусом.
§ 9 посвящен вопросу, хотя и выходящему за рамки чисто топологи-
топологических рассмотрений динамической системы, но совершенно естественно
возникающему при рассмотрении простых состояний равновесия,— это
вопрос о том, стремятся ли траектории к состоянию равновесия в опреде-
определенном направлении или нет (точные определения см. § 9, п. 1). В связи
с этим между узлом и фокусом устанавливается следующее различие,
не являющееся топологическим: в случае узла все траектории стремятся
к нему в определенном направлении, а в случае фокуса траектории,
стремящиеся к нему, имеют вид спиралей **).
В § 10 рассматриваются примеры исследования простых состоянии
равновесия.
Состояние равновесия, не являющееся простым, называется сложным.
В то время как простое состояние равновесия является простой точкой
пересечения кривых A), сложное состояние равновесия либо является
точкой касания этих кривых, либо точкой, в которой одна или обе эти кри-
кривые имеют особенность. По крайне?, мере один характеристический корень
сложного состояния равновесия равен нулю. Некоторые основные тины
изолированных сложных состояний равновесия будут рассмотрены в гла-
главе IX. Сложное состояние равновесия может быть изолированным или
неизолированным. Мы уже говорили (см. § 1,п. 4), что состояние равнове-
равновесия О называется изолированным, если существует такая его окрестность,
в которой кроме него нет ни одного состояния равновесия. Во всякой скол i*
угодно малой окрестности неизолированного состояния равновесия С всег-
всегда существуют отличные от него состояния равновесия, т. е. неизолирован-
неизолированное состояние равновесия является точкой сгущения состояний равновесия.
Справедливо также обратное: вськая точка сгущения для состояний равно-
равновесия является состоянием равновесия.
*) Все эти типы состояний равновесия встречались в примерах, рассмотренных
в § 1. При этом нужно знать координаты состояния равнопесни, т. е. нужно уметь
находить общие корни уравнений A). Получение эффективных приемок для нахожде-
нахождения общих корней уравнений вида A), как известно, далеко не нилнетсн трнниа.-п.нии
и требует специального рассмотрения. Однако здесь мы иа ото.м не останавливаемо!
и всюду в этой главе исходим из предположения, что координаты рассматриваемого
состояния равновесия найдены.
**) ii задачах, возникающих из приложений, различие между узлом и фокусом
представляет интерес при рассмотрении характера так намываемых «переходных про-
процессов», т. е. при рассмотрении того, как устанавливается стационарный режим, соот-
соответствующий данному состоянию равновесия: является ли при этом процесс осцилли-
осциллирующим или нет.

§ 6] ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 137
Остановимся на вопросе, касающемся состояний равновесия, возмож-
возможных у динамических систем аналитического класса, так как в этом вопросе
есть существенное различие между системами аналитического и неанали-
неаналитического класса. Предположим, что правые части Р (х, у) и Q (х, у)
динамической системы аналитического класса не имеют общего множителя,,
обращающегося в нуль, т. е. не могут быть представлены в виде
Р(х, У)=Р&, y)f(z, У), <?(*. ?)=<?! (*. !/)/(*. У) B)
(Р, Q, Ри Qt — аналитические функции и / (х, у) — функция, могущая
обращаться в пуль), тогда у такой динамической системы во всякой огра-
ограниченной области плоскости может существовать лишь конечное число-
состояний равновесия.
Это вытекает из следующего утверждения: две аналитические функции Р (х, у)
и Q (х, у), определенные в замкнутой ограниченной области С, из которых пи одна
не равна тождественно нулю и которые пе имеют вида B), не могут одновременно обра-
обращаться в пуль в бесчисленном множестве точек, принадлежащих замкнутой области
G. Действительно, пусть рассматриваемые аналитические функции Р (х, у) п Q (х, у)
обращаются в пуль в бесчисленном множестве точек Mt (xit yt) области G, так что
P(*i, У,) = <?(**. Уд^О.
Пусть Mo (a, b) CZ G— одна из точек сгущения точек Мг. Очевидно, Р (а, Ь) = 0^
Q (а, Ь) = 0. Предположим, что хотя бы одна из частных производных Р^, Р'у, Q^
Q'y не обращается в нуль в точке Мо (а, Ь). Для определенности предположим, что
Р'у (а, Ь) ф 0. Так как jP (a, b) --=» 0, то по теореме о неявных функциях из соотноше-
соотношения Р (х, у) =0 мы найдем в окрестности точки Мо (а, Ъ) у как функцию х. Функция
у = if (х) является аналитической и при этом ф (х{) = yt. Рассмотрим функцию F (х) —
= Q (х, ф (х)). Она обращается в нуль при бесчисленном множестве значений
F(xi) = Q(xi, q>(*,))=0,
но не равна нулю тождественно в силу предположений, сделанных относительно
функций Р (х, у) и Q (х, у).
Тогда (но теореме Ролли) существует бесчисленное множество значений %-t таких,
что |; —> а. и F' (I;) = О. Из непрерывности F' (х) отсюда следует, что F' (а) = 0.
Далее, совершенно также мы покажем, что F" (а) = F'" (а) = . . .= 0. 1Го тогда
аналитическая функция F (х) должна тождественно равняться нулю, что противоре-
противоречит.сделанному предположению. Указанное утверждение может быть доказано и без
предположения, что хотя бы одна из производных Р^, Р' Q^, Q' не равна пулю,
но только несколько сложнее.
Таким образом, у всякой аналитической динамической системы во
всякой ограниченной области плоскости существует либо только конечное
число состояний равновесия, либо у нее существуют особые липни, все
точки которых — состояния равновесия (точки кривой / (ж, у) -~ 0). Бес-
Бесчисленного множества изолированных состояний равновесия, имеющих
точку сгущения, могущее быть у систем неаналитического класса в силу
сказанного, у динамических систем аналитического класса быть не может.
§ 6. Приведение динамической системы в окрестности простого
состояния равновесия к каноническому виду
1. Аналитические условия, характеризующие простое состояние рав-
равновесия. Пусть
¦%=Р(х,у), 4L^Q(s.,y) (I)
— динамическая система, определенная в некоторой плоской области С,
и М (х0, ув) — ее состояние равновесия (М с: С).

138 ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IV
Состояние равновесия М называется простым, если оно является
точкой пересечения кривых
т. е. если в общей точке этих кривых касательные к ним различны. Сле-
Следовательно, состояние равновесия М (х0, у0) называется простым, если
выполняется условие
I T>' I'ф it \ Т>' A* т/ \
I ri\^Oi Уо) *у \Хо, Уо)
хг.к i^Oj Уо) хг v \^*0т Уо}
т. е. если якобиан
отличен от нуля в точке М (х0, у0). Таким образом, в случае простого
¦состояния равновесия выполняются условия
Р(х0, Уо)=О, Q{x0, Уо) = 0, А(х0, уо)?=О
и, следовательно, в силу теоремы о неявных функциях (см. дополнение,
§ 4. п. 3, теорема VI, замечание II) простое состояние равновесия М явля-
является изолированным, т. е. существует окрестность точки М, которая кроме
точки М не содержит больше ни одного состояния равновесия.
Представим в окрестности рассматриваемого состояния равновесия
М (zo, У о) функции Р (х, у) kQ (x, у) в виде
Р (ж. У) = Р'х (^о, Уо) (х — х0) + Р'у (х0, у0) (у — у0) + ф (х, у),
Очевидно, функции ф (х, у) и tf (гс, у) являются функциями класса С,,
причем
CD litQj Уо/ '—~ *Ч> I^-Oj J/o) — ^?
Мы будем считать для упрощения, что рассматриваемое состояние равно-
равновесия лежит в начале координат, т. е. что х0 = у0 = 0 (к этому случаю
можно прийти, производя замену переменных по формулам х' = х — х0,
у' = у — Уо и возвращаясь затем к старым обозначениям; поэтому сделан-
сделанное предположение не уменьшает общности рассмотрений). Обозначим
числа Р'х @, 0), Р'у @, 0),'Q'x @, 0), Qy @, 0) соответственно через а, Ь, с, d.
Тогда система A) запишется в виде
-^^ax + by+ц) (х, у), ^-^сх + Лу + Щх, у), D)
где
Ф@, 0) = -ф@, 0) = 0,
9i @, 0) = Ф; @, 0) = я|? @, 0) = ^ @, 0) = 0. E)
При этом
D(P,
\а Ъ
Ф0, F)
\с d
так как точка О @, 0) по предположению есть простое состояние

§ 61 ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 139
равновесия. Из условия E) следует, что
где е = У о "
2. Приведение динамической системы в окрестности простого состо-
состояния равновесия к каноническому виду. Мы покажем прежде всего, что
с помощью неособенного линейного преобразования систему A) можно
привести к некоторому, так называемому «каноническому виду», более
удобному для исследования.
Пусть
X = рпХ + Р12У, У = Р21% + Р22У (8)
— линейное неособенное преобразование *), т. е. преобразование, детер-
детерминант которого
Pil Pl2 !
Р21 Р22
Для него существует обратное преобразование
(9)
также являющееся не особенным. .
Применяя преобразование (8) в системе A), мы получаем систему
вида
^- = <hX + b1Y + <p1(X,Y), ^fr = clX + dlY + y1(X,Y), A0)
где коэффициенты а1з Ъи сь d% выражаются через а, Ь, с, d и pih.
Соответствующие выражения нетрудно найти простыми вычислениями.
Если обозначить матрицу при линейных членах в системе D) через А
-а-
матрицу преобразования (8) •— через
(Ри
S =
\P21 P22
матрицу обратного преобразования (9) —через S'1
922
*) Для нас представляет интерес лишь неособенное преобразование, т. е. преобра-
преобразование, отображающее плоскость в плоскость. Преобразование, у которого не все
Pih равны нулю, но соответствующий детерминант D равен нулю, отображает, как
нетрудно видеть, всю плоскость на прямую. Действительно, если ?> = 0, то, очевидно,
¦Р21 = RPii) Р22 = №i2 и соответствующее преобразование имеет вид
Х=рпх+р12у, Y=l(pnx+pl2y),
и, следовательно, вся плоскость (х, у) с помощью этого преобразования ото-
отображается в прямую Y-\-\iX=0.

14U ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IV
и матрицу коэффициентов при линейных членах системы A0) — через В
В =
то, проводя несложные вычисления, получим
B = SAS~1, A1)
где под умножением в A1) подразумевается матричное умножение.
Функции ф[ (X, У), xpj (X, У), очевидно, выражаются через функции
Ф (х, у) и г|) (х, у) при помощи соотношений
, У) = риф (х, y
uX~ql2Y, q2lX ^ q22Y) + Pi2ty{quX + (h?Y, fciA' + fe*')» A2)
Из E) и A2) следует, что
«Pi@, 0) = 'ф1@, 0,)=0,
Ф;ж(о, 0) = Ф;у@, 0) = -ф;ж@, 0) = ^у@, О) = о.
Таким образом, функции ф! и ojii играют ту же роль для системы A),
что функции ф и if) для системы D).
Рассмотрим квадратное уравнение
—К b
л , =Х2-оХ + А = 0. A4)
с а — л
Здесь о~=а-|-с?иД = йс — bd (Д имеет тот же смысл, что и в C)). Урав-
Уравнение A4) называется характеристическим уравнением состояния равно-
равновесия О, а корни его характеристическими корнями или характеристи-
характеристическими числами состояния равновесия О. Характеристическое уравнение
и его корни играют основную роль при исследовании топологической струк-
структуры состояния равновесия..Уравнение вида A4) встречается в целом ряде
различных вопросов. Оно называется также иногда «вековым». Числа
%! и К2, удовлетворяющие этому уравнению, являются характеристиче-
характеристическими числами или собственными значениями матрицы А.
Лемма 1*). Пусть ?ц и kz — характеристические корни состояния
равновесия О. Тогда: 1) если Kt и К2 действительны и различны, то сущест-
существует неособое действительное преобразование (8), приводящее систему D)
к виду
-^ = Я1Х + Ф1(Х, У), 4г = А2У+Ы*, У); A5)
2) Если Xj = К2, то существует действительное неособое преобра-
преобразование, приводящее систему D) к виду
-jf- = КХ + Ф1 (X, У), 4г = VX + hY -} -ф4 (X, У), A6)
*) Эта лемма является непосредственным следствием известной теоремы линейной
алгебры о приведении киадратпчпой матрицы второго порядка к жордановой форме
(см., например, [211). Мы приводим здесь рассмотрение непосредственно, ое:> обраще-
обращения к этой теореме и без использования матричной символики. Подготовленный чита-
читатель может пропустить доказательство леммы 1 и обратиться лишь к самой ее форму-
формулировке.

f 6] ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 141
где в зависимости от равенства или неравенства нулю коэффициента hue
¦в системе D) ц или равно нулю, или не равно нулю (и в последнем случае может
быть задано произвольно);
3) если А-! и К2 — комплексные: Xj = а + гE, К2 = а — ?0, Р =^= О,
-а может быть как равным, так и неравным нулю, то существует действи-
действительное неособое преобразование (8), приводящее систему D) к виду
Доказательство. Попробуем подобрать коэффициенты р^ преобразо-
преобразования (8) так, чтобы после перехода к переменным X, У система A0) принимала сле-
следующий вид, который мы назовем «каноническим»:
-^- = Л1Х + ф1(Х, У), ^ = Х2У+%(Х,У). A8
Выясним, при каких условиях приведение системы D) к такому «каноническому»
виду A8) возможно. Мы имеем
, y)+pi2Q(x, у) =
= Pl1(ax + by) + pi2(cx + dy)-^pll(p(x, y) + pi2®(x, у),
A0)
x, y) + p22Q(x, y) =
= P2i(ax-±-by)
pp ди„ с„ помои
к виду A4), то мы должны иметь
л тогда правые части выражений A9) и B0), очевидно, должны быть тождественно
равны. Приравнивая отдельно линейные и нелинейные части этих выражений, мы
получаем следующие тождества относительно х и у:
ри (ах + by)+ pi2(cx + dy) = Ki {рцх-^-p^),
Р21 iax + by) + P23, (ex + dy) = %2(p2lx + p22y),
2
(х' У) =
Из второй пары этих тождеств следует, что
<Pl(X, Y) = pliy(qnX + ql2Y, g2iX + g22Y)+pi2^ (qHX + ql2Y,
(X, У)=р21ф(д11Хн-?12У,
Из этих выражений и из равенств E) очевидно, что для функций ф^Х, У),
и ifj (X, У) выполняются условия A3). Собирая в первой паре тождеств B1) члены
с х и у, мы получаем
+ [pnb-}-pi2 (d—X,)] у =з 0,
^2)] У = 0.
Так как эти выражения должны выполняться тождественно, то коэффициенты при
х и у равняются нулю, и мы получаем следующие соотношения, которым должны
удовлетворять р^, Х± и К2 в случае, когда приведение системы D) к виду A4) возможно:
Ki)=0. B2)
Совершенно аналогичные уравнения мы получаем и для р21 и />22:
Р21 («—М+Р22с=0, P2i6 + />22(^—Х2)=0. 23)
Для нас, очевидно, представляют интерес лишь нетривиальные решения этих (одно-
(однородных) систем (так как преобразование (8) должно быть неособым). Нетривиальные

142 ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ ИГЛ.
решения возможны лишь в случае, когда детерминанты этих систем равны нулю, т. е.
когда Xj и Я2 являются корнями характеристического уравнения *)
~~к Ъ =--№—аЯ + Д = О. B4).
с и— А
Пусть )ц и Я2 — корни этого уравнения.
Рассмотрим последовательно все указанные в формулировке леммы случаи
1), 2), 3).
1) А, ф Я2. Так как детерминанты систем B2) и B3) равны пулю, то тольк»
одно из уравнений в каждой из этих систем может быть независимым. Предположим
сначала, что мы имеем одновременно Ъ == с = 0, тогда характеристическое уравнение-
принимает вид
(а—-Я) (d—А) = 0,
откуда Я[ = а, А2= d (в силу предположения, что А, ф ?i2). Но это, очевидно, озна-
означает, что уже сама исходная система имеет требуемый канонический впд A4). Искомое
'неособое действительное преобразование является, очевидно, тождественным преобра-
преобразованием.
Предположим теперь, что Ъ я с не равны нулю одновременно, пусть, например,
сф 0. Тогда из первых уравнений систем B2) и B3) мы найдем отношения
Pi2 _ Д-i—а Ргг _ Аг—а
Pll с ' Р21 с
При таком выборе величин р;д, очевидно, D ф 0. Действительно, нетрудпо видеть,
что из равенстиа нулю детерминанта D должно было бы следовать
?vj — а Я2 — а
т. с. >.j = А2, что противоречит сделапному предположению. Таким образом, мы
показали, что в рассматриваемом случае существует лпиейное неособое преобразова-
преобразование, приводящее систему D) к виду A8).
2) А, = А2. При этом системы B2) и B3) для определения />,? совпадают, так
что рассуждение, проведенное в случае 1), здесь неприменимо. Предположим сначала,
как и в случае 1), что Ъ = с = б. Тогда характеристическое уравнение имеет вид
(a_A)(d_ A)=0,
а так как А4 — А2, то а = d, и, следовательно, сама исходная система имеет канони-
канонический вид A8) с "и, = 0.
Пусть одна из величин fc нлп с B2) не равна пулю, например с Ф 0. Тогда в
первом из уравнений B2) не все коэффициенты равны нулю. Отметим, что в этом слу-
случае приведение системы D) к каноническому виду A8) невозможно, так как величии,
удовлетворяющих системе B2), таких, чтобы было D ф 0, очевидно, существовать
ие может. Поэтому мы приведем систему D) к другому виду, именно к виду AG).
Из первого уравнения системы B2) мы, как п выше, найдем
Р12 ^1—а
Pll c
Так как но предположению Aj = A2, то, очевидно,
a + d
О-2—4Д =
\t — -
*) Очевидно, характеристическое уравнение B0) совпадает с характеристиче-
характеристическим уравнением, к которому мы приходим, решая линейную систему
• •
х— ах-\-Ъу, yz=cx-\-dy
(получающуюся из системы A) отбрасыванием нелинейных членов). Действительно,
подставляя в линейную систему х'= аеМ, у = $ем, мы получим для определения %
уравнение B4), а для определения величины а и Р — системы вида B2) и B3).

6] ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 143-
Полагая Рп —с, мы получим />i2 = —9— • Коэффициенты в первом из линейных
соотношений (8) мы определим, таким образом, так, что можем положит!.
v d—а
Х = —^—у + сх.
Как уже было отмечено, коэффициентом />,?, удовлетворяющих системе B2) и таких,
что D ф 0, в рассматриваемом случае пе существует. Поэтому мы возьмем в качестве
второго линейного соотношения в (8) функцию У — \iy. Мы получим, таким образом,
следующее линейное неособое преобразование:
Нетрудно видеть, что после перехода к переменным X и У система D) примет вид
A6), который мы и будем считать каноническим видом в случае кратных корней харак-
характеристического уравнения.
3) Если характеристические корни — комплексные сопряженные, то
X.J = а +- г'Р, Х2 = а — ф (причем р =t О, а а может быть как равным, так и не рам-
рамным нулю). Тогда в силу таких же рассуждений, как и в случае 1), можно привести
систему D) к каноническому виду A4), с комплексными сопряженными Я, и %*,.
При этом коэффициенты линейных преобразоиапий (8), с, помощью которых система
D) приводится к этому виду, также являются величинами комплексными сопря-
сопряженными, именно,
Ра _а + 'Р—а _р22__а —ф—а
с ' р с
Ри с ' р21 с
(при этом можно считать, что р41 = р21 = с). Но мы рассматриваем динамическую
систему, правые части которой — действительные функции действительных перемен-
переменных. Поэтому капонический вид, в котором X и Y принимают комплексные значения
при действительных а: и у, не представляет для нас никакого интереса. Воспользуемся
другим каноническим видом, который получается следующим образом. Так как в рас-
рассматриваемом случае коэффициенты преобразований (8) являются комплексными
сопряженными величинами, то X и Y в формулах (8) также будут комплексными
сопряженными. Полагая рп = р12 = с, мы получим
X=^(a-\-ip — a) x~\-cy = u~iv, У— (a—ifi — а) х-\-су=и — гг,
откуда
^^ v=-X-^~ = pz. B6)
Преобразование B6), очевидпо, является пеособъш, так как детерминант этого
преобразования
а—а b I
в силу того, что р =fc 0 и по предположению с =f= 0. Коэффициенты этого преобразо-
преобразования действительны. Перейдем в дипамнческой системе D) к иеремешгым и и v. Ли-
Линейные члены в полученной таким образом динамической системе проще всего найти
следующим образом:
du 1
dt ~~ 2
г WV ,Г\Г "I i
Г. ЛЬ
откуда, подставляя вместо X, У их выражения, через и и v нетрудно получить
^ (и, v), -^y = Pw + at;-(-fi(M, v), B7)
т. е. при других обозначениях для переменных вид A7). Таким образом, лемма
доказана.

144 ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ 1ГЛ. IV
Замечание. При доказательстве леммы 1 мы не пользовались тем фактом, что
А Ф О. Поэтому утверждение леммы справедливо также и в случае, когда Д = 0.
Во всем приведенном выше рассмотрении мы предполагали, что состояние рав-
равновесия лежит в начале координат. В общем случае, когда состояние равновесия
лежит в точке М (х0, у0) (не обязательно совпадающей с началом координат), характе-
характеристическое уравнение запишется в виде
Р'х{х0, г/о)—^ Р'у(хо, г/о)
QX(X, г/о) Q'y(xo< г/о)—
¦Очевидно, теперь
л
д =
к*—(ТА-(- Л = и.
р*(*о, г/о) Р'и(*о, г/о)
Qy(xo< г/о) Qv(xo, г/о)
3. Инвариантность характеристического уравнения при регулярном
преобразовании. Предположим, что в исходной системе D) сделано какое-
нибудь преобразование (8), приводящее систему D) к виду A0) (который,
вообще говоря, не является каноническим). Характеристическое урав-
уравнение, написанное в случае системы A0), имеет вид
а, — К fej
Естественно думать, что корни этого уравнения совпадают с корнями
характеристического уравнения, написанного для системы D). Это дейст-
действительно имеет место, и мы сформулируем этот факт в виде следующей
леммы:
Лемма 2. При линейном неособом преобразовании переменных в си-
системе D) характеристические корни состояния равновесия не изменяются.
Доказательство этой леммы непосредственно вытекает из
того факта, что матрица В линейных членов преобразованной системы
связана с матрицей А линейных членов исходной системы соотношением
В = SAS~\
где S — матрица рассматриваемого преобразования, a S'1 — матрица
преобразования, ему обратного. В силу известных предложений алгебры
матрица А и любая «подобная» ей матрица В *) имеют одинаковые харак-
характеристические числа.
Замечание. При любом регулярном преобразовании переменных
(см. дополнение, § 5) и = f (х, у), v = g (х, у) характеристическое урав-
уравнение состояния равновесия Мо (х0, у0) изменяется так же, как при линей-
линейном преобразовании с коэффициентами
Pn=/i(a-o, Уо), Pi2 = /y(a;o, Уо),
Отсюда, очевидно, следует, что при любом регулярном преобразовании
переменных характеристические корни состояния равновесия не меняются.
Из того, что характеристические корни не меняются при любом регуляр-
регулярном преобразовании, очевидно, следует, что при всяком таком преобразо-
преобразовании величины а и А не изменяются, т. е. они являются инвариантами
регулярного преобразования.
*) Матрица А и любая матрица вида SAS~ (S — неособая матрица) назыпаются
подобными.

§ 6] ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ 145
4. Некоторые предварительные замечания относительно возможной
топологической структуры простых состояний равновесия. Рассмотрим
систему A), предполагая, как и выше, что состояние равнонесия О @, 0)
является простым (т. е. Д =^= 0, так что ни один из корней Я4 и Я2 не равен
нулю).
В силу леммы 1 мы всегда можем привести такую систему путем над-
надлежащим образом выбранного линейного неособого преобразования
к одному из трех указанных в этой лемме видов, которые мы будем назы-
называть каноническими.
Нашей целью в этой главе является исследование топологической струк-
структуры простого состояния равновесия. Это исследование достаточно про-
провести для систем, имеющих канонический вид. Действительно, в силу лем-
леммы 1 мы можем произвольную систему D) при помощи некоторого действи-
действительного неособого преобразования (8) перевести в систему, имеющую кано-
канонический вид. Так как неособое линейное преобразование заведомо явля-
является топологическим, то у состояния равновесия О @, 0) системы, имеющей
канонический вид, очевидно, та же топологическая структура, что и у со-
состояния равновесия О @, 0) системы D).
При рассмотрении вопроса о том, какую топологическую структуру
может иметь простое состояние равновесия, естественным является, как мы
увидим, разделение на следующие случаи: 1) характеристические числа
5Ц и ^2 действительны и имеют одинаковые знаки (состояние равновесия
называется узлом), 2) характеристические числа комплексно-сопряжен-
комплексно-сопряженные и действительные части их не равны нулю (состояние равновесия назы-
называется фокусом), 3) характеристические числа действительны, но разных
знаков (состояние равновесия называется седлом), 4) характеристические
числа чисто мнимые.
Мы увидим, что в первых трех случаях топологическая структура
состояния равновесия определяется линейными членами системы D).
При этом топологическая структура состояний равновесия такая же, как
и у линейной системы
^ = ах -г by, *JL = ex + dy, B8)
которая получается из системы D) отбрасыванием нелинейных членов.
Случаи 1) — 3) можно выделить как случаи, когда характеристи-
характеристические корни имеют не равные нулю действительные части *). Кроме того,
мы увидим, что топологическая структура состояния равновесия в первых
двух случаях одинакова. Эти случаи иногда объединяют в один, называя
его случаем, когда действительные части характеристических корней не
равны нулю и имеют одинаковые знаки.
Случай 4) — чисто мнимых характеристических корней — является
более сложным. Топологическая структура состояния равновесия в этом слу-
случае не определяется характеристическими корнями, т. е. не определяется
линейными членами. Она зависит от членов более высоких степеней и в за-
зависимости от них может быть различной. Этот случай рассматривается
в § 8.
*) Систему B8) часто называют линеаризованной системой (по отношению
к системе D)), а отбрасывание нелинейных членов и заключение о характере состоя-
состояния равновесия нелинейной системы на основании рассмотрения «линеаризованной
системы» иногда называют «линеаризацией системы». Изложенное в следующем пара-
параграфе исследование можно охарактеризовать как «доказательство законности лине-
линеаризации в случае не равных нулю действительных частей характеристических корней».
10 а. А. Андронов и др.

146 ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ ЕГЛ. IV
В дальнейшем нам будет удобно представлять функции ц> (х. у)
и 1]з (х, у) в правых частях системы D) в следующем виде:
q>(x, y) = xgi(x, y) + yg2(x, у),
1]э(ж, y),=xft(x, y) + yf2(x, у),
где gi(x, у), g2(x, у), fi(x, у), f2(x, у) — непрерывные функции, при-
причем gl @, 0) = gz (О, 0) = U (О, 0) = /2 (О, 0) = 0. Такое представ-
представление функций (р и "ф всегда возможно, что нетрудно установить, поль-
пользуясь формулой Тейлора (или же леммой Адамара).
В данном случае лемма Адамара доказывается очень просто следующим обра-
образом (например, для функции ф):
1
ф (х, y) = ty {х, у)—ф @, 0)= \ ф( {tx, ty)dt =
О
1 1
ty'x{tx, ty)xdt-\-\ (f'y(tx,ty)ydt:
0 0
i i
где gi и g2 равны соответственно \ ф^, (txf ty) dt и \ ф' (tx, ty) dt. Непрерывность
0 0
функций gi и g2 следует из непрерывности частных производных ф^ и ф', а равенствй
grj (О, 0) = g2 (О, 0) = 0 вытекают из равенства ф^ (О, О) = ф^ @, 0) = 0.
§ 7. Расположение траекторий в окрестности простых состояний
равновесия с характеристическими корнями, имеющими
не равные нулю действительные части *)
1. Случай 1): характеристические корни 7,4 и ^2 действительны
и одинаковых знаков (состояние равновесия типа узел). В обозначе-
обозначениях формул B4) § 6 для равновесия типа узла имеем
а2—4Д>0 и Д>0.
Случай неравных и равных характеристических корней мы рассмотрим
отдельно"
1 а) Если Ki Ф %2, то в силу леммы 1 § 6 система принимает канони-
канонический вид:
dx
-^- = Mx + <$(x, y) = Xix + xg1(x, y)+yg2(x, у),
^--•к х х A)
(Здесь, как и всюду в дальнейшем, мы пользуемся представлением функ-
функций (р и -ф в виде, указанном в конце предыдущего § 6.)
*) Заметим, что излагаемое ниже исследование топологической структуры пере-
перечисленных состояний равновесия можно провести при несколько более общих пред-
предположениях относительно функций ф (х, у) и ф (х, у). Именно, вместо существования
у них непрерывных частных производных можно потребовать только, чтобы выпол-
выполнялись соотношения (см. [22]):
Ilm 5^=0, Hm ^2=0, где в=

§ 71 СЛУЧАИ НЕ ЧИСТО МНИМЫХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ 147
Предположим для определенности, что ?ц и Х2 отрицательны. (Случай
положительных Я,! и Я2 приводится к рассматриваемому заменой t на —t.)
Покажем, что всякая, не являющаяся состоянием равновесия траектория
динамической системы, проходящая через точку, достаточно близкую
к началу координат при t —> + оо, стремится к началу координат, а при
t убывающем — удаляется от начала координат. Рассмотрим некоторую
окрестность состояния равновесия О, кроме (9, не содержащую ни одного
состояния равновесия и пусть
x = x{t), y=y(t)
— уравнение какой-нибудь-траектории L, отличной от состояния равно-
равновесия, проходящей через точку этой окрестности.
Рассмотрим для этой траектории выражение (ср. § 3, п. 13)
(* + *J[b + ( ) + g2(x,
ft(x, y) + yh{x, у)]. B>
Переходя к полярным координатам, т. е. полагая x = qcosQ,
y = QsirxQ, будем рассматривать уравнение траектории в полярных
координатах
Q = Q(t), 9 = 9@-
При этом
Полярный угол 8 (t) при движении по траектории, очевидно, меняется
непрерывно. Переходя в выражении B) к полярным координатам, мы
получаем
-^ = 2q2 {Kt cos2 9 + Я2 sin2 9 + cos2 9 g4 (о cos 0, e sin 0) +
-j- cos 9 sin 9 [g2 (e cos 6, q sin 6) -j- /, (q cos 9, Q sin[9)] +
-f sin2 0/2 (q cos 0, Qsin0)}. C)
Выражение Я,4 cos2 9 + X2 sin2 9 ограничено по абсолютной величине,
периодично по 9 и при всех (действительных) значениях 6 отрица-
отрицательно. Поэтому у него имеется наибольшее и наименьшее значение
—т и —М, где М>0 и тге>0, М>т.
В силу непрерывности функций gt, g2, /i, f2 и равенства их нулю
в точке О@, 0) для любого е>0 существует такое @о>О, что если
@©>. to
cos2 9gt + cos 9 smp (g2 + Д) + sin2 0/2 | < e.
Пусть 8 <; -у. Тогда если q (t) ^ Qo, to выражение в фигурных скобках
в соотношении C) меньше ^-. Следовательно, справедливо нера-
неравенство
^2 (?)-твЧО- 4)
С другой стороны, так как е<^~<^~» то» когда Q(t)^Q0, выраже-
выражение в скобках в соотношении C) больше ^-, и, следовательно,
10*

148 ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. ЛУ
справедливо неравенство
!M *)• E)
так что
«)<^<-^2W- F)
Пусть при t = t0 точка рассматриваемой траектории находится
на окружности С* радиуса Q* <С 6о с центром в точке О, т. е.
*2('o) + s/2('o) = e*2.
Из соотношения D) следует, что при I = 10 функция q2 (t), а значит
и Q(t), убывает, т. е. что при t>t0 траектория входит внутрь окруж-
окружности С*. Другими словами, условие D) означает, что всякая окружность
ж2 + У2 = С G)
радиуса, меньшего q0, в частности окружность С*, является «циклом без
контакта» (см. § 3, п. 10) для траекторий системы. (Условие касания
окружности G) и траекторий есть -—- = 0, что противоречит условию D).)
Поэтому точка на траектории L при возрастании t уже не может выйти
из области, ограниченной окружностью (циклом без контакта) С*, и, сле-
следовательно, траектория L заведомо определена для всех значений t > t0
(в силу теоремы 2 § 1 *)) и для всех этих значений t, q (t) <C q* <C q0. Но
тогда неравенство D) выполняется при всех t ~z> t0. Разделяя в этом нера-
неравенстве переменные и интегрируя его от t до t0, мы получим
т. с.
е2 @ <|(е*J(?-т<*-'<>>.
Отсюда следует, что при t —>+ оо q (t) —> 0, т. е. траектория Устремится
к состоянию равновесия О.
Рассмотрим теперь, что происходит с точкой на траектории L, когда t
убывает (t <Z t0). Так как окружность С* есть цикл без контакта, то при
убывании t траектория не может войти внутрь этой окружности. При этом
до тех пор, пока q* (t) <C Qo> справедливо неравенство E)
' "->_ЗМо2
dt
и, следовательно, неравенство
*2
*2
*2
д*2е
-ЗМ(*-*о)
Но это, очевидно, означает, что при убывании t (t < t0) q2 (t) возрастает,
во всяком случае до тех пор, пока справедливо неравенство E), т. е. до тех
пор, когда q (t) делается равным д0. При q (t) = Qn неравенство E)
по условию также справедливо. Поэтому окружность (х2 + у2 = q*)
является циклом без контакта. При убывании t траектория L выходит из
*) Теорема 2 была сформулирована и доказана нами для траектории. Однако
соответствующим образом измененное утверждение ее имеет место, как легко видеть,
и для полутраектории. Здесь мы пользуемся указанным утверждением для полутраек-
полутраектории.

§ 7].
СЛУЧАЙ НЕ ЧИСТО МНИМЫХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ
149
этой окружности и при дальнейшем убывании не может уже больше
войти в нее. А это доказывает сделанное утверждение для рассматриваемо-
рассматриваемого случая различных характеристических корней (рис. 79) *).
16) ^ = Я2 (кратный корень).
Система имеет канонический вид:
их
-?- = Ку -j-
y)-\-yg2{x, у),
х + xjx (x, у) + ук (х, у),
где к, как и в случае 1а), для определенности будем считать отрицательным.
Если (х = 0, то рассмотрение проводится совершенно так же, как
и в предыдущем случае. Пусть ц Ф 0. Покажем, что окружности х2 —
-г у2 = С могут уже не быть циклом без кон-
контакта. Действительно, первым членом в разложе- ?¦
нии для -j"- в этом случае является
q2 (xt cos2 e+Ki sin2 e + (х cos e sin e),
и выражение в скобках, вообще говоря, уже
может менять знак (когда u2-—4?ij>0). Однако
доказательство может быть проведено аналогич-
аналогично, только вместо выражения
Q2 @ = х^ @ + У2 @
(квадрата расстояния точкь траектории L до
начала координат) рассматривается выражение
. 79.
где fc>0 и будет выбрано позже. аA) стремится к нулю в том и толь-
только в том случае, когда х2 (t) + y2 (t) —> 0. Из уравнений (8) следует, что
4" d
4
=2
Умножая и деля правую часть на хг
координатам, мы получим
cose sin e+
^ (г, у)+
Ig2 (а-. У) + IcU (х, у)] + ку% (х, у)}.
- hip- и переходя затем к полярным
г Xc
cos
cose sin e+/2fe sin2 e
J "
Выберем теперь к > 0 так, чтобы выполнялось условие A2fx2 — 4ЯА: <С 0.
Тогда числитель первой дроби в фигурных скобках представляет отри-
отрицательно определенную квадратичную форму относительно cos 0 и sin 0
и принимает, следовательно, только отрицательные значения. Знамена-
Знаменатели обеих дробей в квадратных скобках принимают только положитель-
положительные значения и ограничены сверху и снизу положительными числами.
Числитель второй дроби стремится к нулю при I-+0 и у -+ 0. В силу
*.) Заметим, что здесь не устанавливается, стремятся ли траектории к состоянию
равновесия с определенной касательной (как в примере 3 § 1) или имеют вид спи-
спиралей.

150 ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IV
периодичности тригонометрических функций первая дробь в квадратных
скобках имеет наибольшее и наименьшее значения —т и —М, где т>0,
М>0(т <ZM). Вторая дробь стремится к 0 при у (t) ->- 0- Поэтому, рас-
рассуждая далее в точности так же, как в предыдущем случае, мы покажем,
что если
гДе 6о — достаточно малое положительное число, то
da(t)
dt
—mo(t). A0)
С другой стороны, нетрудно видеть, что при надлежащем выборе р0
имеет место неравенство
так что при q < Qo
-ЗМа<-^<—то. (И)
Значит, семейство эллипсов
является семейством циклов без контакта для траекторий рассматри-
рассматриваемой системы, и с ростом t выражение
монотонно убывает и стремится к нулю, т. е- все траектории, проходящие
через точки области и, заключенной внутри эллипса #2 -f- ky2 = go,
и отличные от точки О, при возрастании t стремятся к началу координат,
не выходя из и. При убывании t все траектории выходят из области и.
Это устанавливается рассуждением, аналогичным проведенному выше,
в случае различных Кг и К2 с использованием неравенства A1) (аналогич-
(аналогичного неравенству F)) *).
Сделанное нами утверждение доказано.
Совершенно аналогично рассматривается случай, когда Я^ > 0
и Я2 > 0.
Таким образом, в случае, когда корни характеристического уравне-
уравнения имеют одинаковые знаки и отрицательны, все траектории, проходящие
через достаточно малую окрестность состояния равновесия О, стремятся
к О при t —»--(- с», а при убывании t — выходят из этой окрестности. В слу-
*) В случае кратных характеристических корней можно также провести иссле-
исследование несколько иначе. Именно, нетрудно видеть, что можно предварительно,
путем замены
х — ах
с надлежащим образом выбранной величиной а, сделать коэффициент ц столь ма-
малым, чтобы выражение
<2оа
было отрицательным. Тогда в разложении для —^- коэффициент при _первом члене
(при Q2)
%! cos2 e -ь к sin2 e+ц sm e cos e,
очевидно, уже пе будет менять знак, и можно провести такое же рассуждение, как
и в случае 1а).

§ 7] СЛУЧАЙ НЕ ЧИСТО МНИМЫХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ 151
чае же, когда корпи характеристического уравнения положительны, все
траектории, проходящие через достаточно малую окрестность состояния
равновесия, стремятся к нему при t -> оо, а при возрастании t выходят
из зтой окрестности.
В первом случае состояние равновесия называется устойчивым уз-
узлом, во втором — неустойчивым узлом. Когда характеристические кор-
корни —кратные, узел называется вырожденным, если ц ф 0, и дикрити-
ческим, если ц = 0.
2. Случай 2): характеристические корни—комплексные сопряжен-
сопряженные: ^i= а + *Р, X2 = a—ip, Р ф 0, а Ф 0 (состояние равновесия типа
фокус). При этом, очевидно, а2—4А<0. Система имеет канонический
вид:
~ = ax—Pj/ + ф (я, у) = ax — pj/ + xgj (я, у) + yg2 (x, у),
d
-?¦ = рх -f ay + т]з (х, j/) = рх + а# + x/t (x, j/) + j//2 (x, у).
Предположим для определенности, что а <С 0 (случай a > 0 приводится
к нему заменой t на —t). Покажем, что, как и в случае действительных
характеристических корней одинаковых и отрицательных знаков, все
траектории, проходящие через достаточно малую окрестность состояния
равновесия О, при t —>- -J- со стремятся к этому состоянию равновесия,
а при убывании t выходят из этой окрестности. Для этого так же, как
и в случае 1а), рассмотрим выражение
d{x*+*> = 2 (a (x2 + г/2) + x>gl (х, у) + ху [g2 (х, у) + /, (х, у)] + р»/2 (х, у)]},
или в полярных координатах
-§г= 2Q2{a + cos26g1(Qcos6, q sin 9) + cos 9 sin G [g2 (e cos 6, Qsin6) +
+ /i(Qcose, q sin 0)] + sin2e/2 (q cos 6, Qsine)}. A3)
Так как по предположению a =?*= 0, то это соотношение имеет такой же вид,
как соотношение C) в п. 1. Поэтому здесь можно воспользоваться почти
без всяких изменений методом, примененным при исследовании узла.
Проведя соответствующее рассуждение, мы придем к тем же заключениям,
что в п. 1- Если a -< 0 (а > 0), то каждая траектория, проходящая при
t = t0 через точку достаточно малого круга С'о с центром в О и отличная
от точки О, определена для всех значений t > t0 (t <C 10) и при возрас-
возрастании t (убывании t) стремится к состоянию равновесия О, не выходя
при этом из окружности Со, а при убывании (возрастании t) выходит из
окружности Со-
Состояние равновесия называется устойчивым фокусом, когда все
траектории стремятся к состоянию равновесия О при t -v -f- oo, и неустой-
неустойчивым фокусом, когда траектории стремятся к О при t -v — оо.
Мы уже отмечали в § 1 при рассмотрении примеров, что поведение
траекторий вблизи узла и фокуса в некотором смысле одинаково. Данные
в § 5 определения позволяют привести следующую точную формулировку
этого утверждения: топологическая структура узла и фокуса одинакова.
Это и делает естественным указанное выше объединение случаев 1) и 2). Отметим,
что исследование характера состояния равновесия в рассматриваемых случаях 1)

152 ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ 1ГЛ. IV
и 2) может быть проведено несколько отличающимся по форме рассуждением н исполь-
использованием леммы 15 и леммы 16 § 3. Именно, из соотношения F) пли соответственно A1)
следует, как уже указывалось, что окружность х2 -{- у2 = С или в случае 16) эллине
х2 -}- ку2 — С при С -С Qo являются циклами без контакта для траекторий системы A).
При этом в случае, когда Xj < 0 и Х2 <С 0 или соответственно а <[ 0, траектории пере-
пересекают каждый из этих циклов, при возрастании t входя внутрь него (так как правые
части соотношений C) и A3) отрицательны).
Выбирая цикл С'„ сколь угодно малого радиуса q'o < qq и используя лемму 1.»
и лемму 16 § 3, нетрудно убедиться в справедливости сделанного утверждении отии-
сительно поведения траекторий в окрестности рассмотренных состояний равнове-
равновесия 1), 2).
Укажем па связь между проведенным здесь рассмотрением и так называемой
«функцией Ляпупова». Ляпуновым при исследовании устойчивости состояния рашго-
весия автономпой динамической системы произвольного порядка были даны достаточ-
достаточные условия устойчивости состояния равновесия, которые могут быть сформулиро
ваны следующим образом: пусть дана система
•
xi = Pi (-4. ---.^n). 1 = 1, 2.....П,
для которой начало координат является состоянием равновесия. Если существует
функция v (ж1? . . ., хп), определенная в некоторой окрестности и начала, обращаю-
обращающаяся в нуль в начале, а во всех других точках окрестности и принимающая только
положительные значения (такая функция называется знакоопределенпо-ноложителг.
ной), и если производная от этой функции в силу системы
Щ=Р1 \Ч> ¦¦¦¦>хп)> т- е- 2j~dx^Pu
является функцией постоянного знака, и при этом противоположного знаку
v (хи . . ., хп), то состояние равповесия (О) устойчиво. Функция v (xt, . . ., хп),
удовлетворяющая указанным выше условиям, часто называется функцией Ляпупова.
В рассматриваемых нами случаях 1) и 2) функция Ляпунова существует. Именно, в
случае 1а) и 2) функцией Ляпупова является функция v (х, у) = х2 -}- у2, а в слу-
случае 16) v (х, у) = х2 -}- у2к.
Мы не останавливаемся здесь подробно на вопросе о топологической
тождественности состояний равновесия типа узел и фокус так, как он
рассматривается в главе VIII.
Приведем все же построение топологического отображения в случае,
когда для системы в плоскости (х, у)
g =>,(*, у), % = Qd*>y)> (I'O
начало координат О^ является узлом, характеристические корни которого
различны, а для системы в плоскости (?, г\)
(плоскость (g, г]), в частности, может совпадать с плоскостью (х, у)) н;<
чало С>2 является фокусом.
В силу изложенного в тексте, все окружности достаточно малого ради-
радиуса на плоскостях E, ц) и (х, у), соответственно, с центрами в Ot и fJ2
являются циклами без контакта.
Возьмем среди них две окружности С± и С2, одну в плоскости (х, у),
другую в плоскости (|, т]) одинакового радиуса. Выбврем такие движения
на траекториях этих систем, при которых точкам окружностей С\ и (\
соответствуют значения t = 10 и т = т0. Поставим друг другу в соответст-
соответствие точки траекторий системы A7) и A5), пересекающих соответственно
окружности С\ и С2 в точках с одинаковыми координатами, таким образом,
чтобы соответствующими друг другу точками были точки с одинаковыми
значениями параметров t и т.

§ 7] СЛУЧАЙ НЕ ЧИСТО МНИМЫХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ 153
Кроме того, поставим друг другу в соответствие точки 0^ и Ог. Мы
получаем, таким образом, отображение замкнутой области, ограниченной
окружностью Cj, на замкнутую область, ограниченную окружностью С\.
Нетрудно убедиться, что это отображение является топологическим.
Как уже было сказано в начале главы, между узлом и фокусом сущест-
существует различие, которое не является топологическим (и поэтому не являет-
ся существенным с точки зрения чисто качественного рассмотрения):
именно, в случае узла каждая траектория, проходящая в его окрестности,
стремится к нему в определенном направлении (точное определение см. в § 9).
в случае же фокуса стремящиеся к нему траектории имеют вид спиралей
(см. § 9, п. 7).
3. Случай 3): характеристические корни %± и %., действительны и раз-
различных знаков, т. е. Xt^2<0 (состояние равновесия типа «седло»)*).
В этом случае, очевидно, А < 0 и система может быть приведена к ка-
каноническому виду:
¦^г = М-г- ф & У), ~lf = Ку + U1 (ж, у), A6)
где, для определенности, можно считать Я,!-<0, А2>0. Функции ф (х, у),
¦ф (х, у), как и раньше, могут быть представлены в виде
Ф (ж, У) = xgi (х, у) + yg2 {х, у), <ф (ж, у) = xU (-5", У) + yf2 {х, У), A')
где
0) = /1@, 0)=/2@, 0).
Топологическая структура состояния равновесия в этом случае уста-
устанавливается совсем другим методом, чем в предыдущих двух случаях.
Согласно этому методу в окрестности точки О, UЕ (О), не содержащей
отличных от О состояний равновесия, выделяются отрезки без контакта,
позволяющие судить о поведении траекторий в окрестности состояния
равновесия О.
Возьмем произвольное фиксированное число к0 > 0 и рассмотрим
прямые У = ± коХ-
Пусть траектория L, соответствующая решению
x = x{t), y=y(t),
при t = t0 пересекает прямую у = коХ (или у = —кох) в точке, отличной
от начала координат.
Мы имеем **)
dt ]t=t0
*) Исследование топологической структуры в окрестности седла проводится
здесь так же, как в [22]. Несколько другое: тоже геометрическое исследование дано
в [11]. См. также по этому вопросу п. 5.
**) Выражение в скобках, очевидно, является «производной от функции z =
= ylx в силу системы A)» (см. § 3, п. 13). Знак его показывает, увеличивается или
уменьшается г (t) = у (t)/x (t) при движении по траектории в сторону возрастания
и позволяет, следовательно, определить характер пересечения прямых у = +к
с траекториями.

154
ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ
[ГЛ. IV
Так как Ц^> = + к0, то
(x(t), y(t))±
), 0@I-&(*(*). y(t))}c$t=t0. A9)
Рассмотрим теперь отрезки прямыхх = const 9^ 0, состоящие из точек
<1 ко, т. е- отрезки вертикальных прямых,
заключенные между прямыми
у = + А-Ож (рис. 80).
Если траектория ж = ж (t),
У — УA) пересекает такой от-
отрезок при t = t0, то
этих прямых, для которых | —
|
У
Шзг%)
причем
Рис. 80.
< /c0.
B1)
Наконец, рассмотрим отрезки прямых j/ = const =??= 0, состоящие из
точек этих прямых, для которых — | > Ао, т. е. отрезки горизонталь-
горизонтальных прямых, заключенные между прямыми j/= ±кдх (рис. 80). Если
траектории x=-x{t), y = y(t) пересекают такой отрезок при 1 = 10, то
в. B2)
Со) I
Г
причем
Выберем теперь настолько малое положительное число
выполнялись одновременно следующие условия:
1) если |ж|<?о, |у|<А;0^0, то
! h (х, У) ± К [f2 (х, у) - gi (х, у)] - gz (x,
2) если | х К go, [ у
3) если |ж!<|о.
Ао, то
чтобы
B4)
B5)
B6)
/z.
Существование такого числа ?0 вытекает из свойств функции /,,

€ 71 СЛУЧАЙ НЕ ЧИСТО МНИМЫХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ 155
Рассмотрим прямоугольник Н с центром в начале координат, опре-
определяемый неравенствами |а:К|0, |г/Кт]0, где Т1о=^о1 (рис. 80). Пусть
АAо, — Ло), -В(So, Чо), -4i( —1о. —110) и Bi(— g0, т]0) — его вершины*).
Из соотношений A9) и B4) следует, что если точка (x(t), y(t)) траек-
траектории лежит на диагонали А^В прямоугольника И, т. е. на прямой
у — к^х (но не является точкой О), то
а(у-Щ
-Ц^>^2-^)>0. B7)
Если же она лежит на диагонали АВи т. е. на прямой у = — Ayr, то
Из соотношений B0) и B5) следует, что если точка {x(t), y(t))
траектории лежит на одном из указанных вертикальных отрезков
прямоугольника Н и если х (l) > 0, то
3-^<dT<T*<°- B9)
Из соотношений B2) и B6) следует, что если точка х (t), у (t) лежит
на одном из указанных горизонтальных отрезков прямоугольника Н
и если у (t) > 0, то
Совершенно аналогичные неравенства имеют место при ж (i)< 0
и У (t) < 0 (они получаются из неравенств B9) и C0) изменением знаков
неравенств на обратные).
Из соотношений B7) и B8) следует, что диагонали А±В и ABt прямо-
прямоугольника ABBfAi ни в одной своей точке, отличной от О, не имеют каса-
касания с проходящей через эту точку траекторией **).
Аналогично из условий B9) и C0) следует, что все указанные горизон-
горизонтальные и вертикальные отрезки прямоугольника В являются для нашей
динамической системы отрезками без контакта.
Диагонали AtB и АВ^ делят прямоугольник Н на четыре треуголь-
треугольника. Рассмотрим один из них, например, треугольник ОАВ. Полученные
для него результаты и их доказательства переносятся с соответствующими
изменениями на все остальные треугольники. Из равенств B8), B9) и C0),
очевидно, следует:
1) всякая траектория, при t = t0 пересекающая сторону ОА (ОБ)
треугольника ОАВ в точке, отличной от О и А {О и В), при убывании t
входит внутрь треугольника, а при возрастании t выходят из него;
2) всякая траектория, при t = t0 пересекающая сторону А В треуголь-
треугольника в точке, отличной от ее концов А и В, при возрастании t входит внутрь
треугольника, а при убывании t выходит из него;
*) Диагонали прямоугольника Н являются отрезками прямых у =
**) Условия касания , [ = У-j-l, т.е. —-— ^ ' =0. Таким образом, всякий
замкнутый отрезок, принадлежащий диагонали AtB и ABt и не содержащий точки О,
является отрезком без контакта.

71
СЛУЧАЙ НЕ ЧИСТО МНИМЫХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ
157
t > tо выполняется неравенство B9) и, следовательно, неравенство
U
х {t) <Хое 2 ,
из которого следует, что при t ->¦ оо г(г) ->0 и j(() ->0.
Возможности а) и б) заведомо осуществляются. Чтобы в этом убедить-
убедиться, достаточно рассмотреть, как это было сделано выше, траектории, про-
проходящие через внутренние точки сторон ОА и ОВ треугольника ОАВ.
При этом очевидно, что если траектория L {L'), проходящая через вну-
внутреннюю точку М {М') стороны АВ, при возрастании t пересекает сторону
О А {ОВ) в некоторой точке N {N'), не выходя до этого из треугольника,
то всякая траектория, при t = t0
проходящая через внутреннюю 7
точку отрезка AM {BM), при воз-
возрастании t входит внутрь тре-
треугольника ОАВ и при некотором
t>t0 пересечет, не выходя до этого
из треугольника, часть AN {BN')
отрезка АО {ВО) (рис. 82).
Покажем, что осуществляется рис. 82.
также возможность в), причем толь-
только для одной точки отрезка АВ. Именно, покажем, что на отрезке АВ суще-
существует в точности одна точка Со, обладающая тем свойством, что проходящая
через нее при t = t0 траектория при возрастании t входит в треугольник
¦ОАВ и остается внутри него и, следовательно, стремится при t -v + оо
к состоянию равновесия О. Для доказательства заметим прежде всего, что
если траектория, проходящая через точку М отрезка АВ, пересечет при
возрастании t отрезок ОА {ОВ), то, в силу теоремы о непрерывной зави-
зависимости от начальных условий, траектории, проходящие через все доста-
достаточно близкие к точке М точки отрезка АВ, обладают тем же свойством.
Разделим теперь все внутренние точки отрезка АВ на два класса. К пер-
первому классу отнесем все точки, обладающие тем свойством, что проходящие
через них траектории при возрастании t выходят из треугольника ОАВ
через сторону О А, ко второму — все остальные точки. Очевидно, оба клас-
класса не пусты, и каждая точка первого класса лежит (на отрезке АВ) ниже
точки второго класса. Поэтому существует пограничная точка Со, ниже
которой лежат все точки первого класса, а выше —¦ все точки второго
класса. Пусть Lo — траектория, проходящая при t = t0 через точку Со.
Если траектория Lo при возрастании t выходит из треугольника ОАВ через
сторону О А {ОВ), то в силу сделанного выше замечания все достаточно
близкие к точке Со точки отрезка АВ принадлежат первому классу (вто-
(второму классу), что противоречит свойству пограничной точки Со. Поэтому
траектория Lo при t = t0 входит в треугольник ОАВ и при возрастании t
остается внутри него, т. е., как было показано выше, стремится к состоянию
равновесия О. Покажем, что точка Со является единственной точкой отрез-
отрезка АВ, обладающей тем свойством, что проходящая через нее траектория
при возрастании t стремится к состоянию равновесия О, оставаясь внутри
треугольника ОАВ. Допустим, что существует еще одна такая точка,
и обозначим ее через С4. Заметим, что если х — х {t), у = у {t) — уравне-
уравнения траектории, проходящей в треугольнике ОАВ, то в силу условия
B9) -^ < 0, х {t) есть монотонная функция от t, и уравнение такой
траектории может быть записано в явном виде: у=у{х), причем

158 ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ 1ГЛ. IV*
функция у (х) удовлетворяет, очевидно, дифференциальному уравнению
Пусть у = уо {%) и у = yt (х) — уравнения траекторий, проходящих
соответственно через Со и Сх и остающихся, следовательно, при возраста-
возрастании t внутри треугольника ОАВ. Для у0 (х) и yt (x) выполняются, следо-
следовательно, неравенства
12/о (*)
и, кроме того, по условию у0 (х) -> 0 и у1 (х) ->¦ 0 при х -+ 0. Так как
различные траектории не могут пересекаться, то для всех достаточно боль-
больших t (т. е. для всех достаточно малых х) знак разности у0 (х) — yt (x)
не может меняться. Обозначим эту разность через z (x):
и предположим для определенности, что z (х) > 0. В силу C1)
У ' dx dx Xix + ф {х, Vi) = ф1,
¦ф (х, уо) = %, "Ф (^, г/i) = -Ф±-
Нетрудно убедиться, что равенство C2) может быть записано в виде
1—Фо)
ИЛИ
В силу формулы Лагранжа
фо—Ф1 = ф (ж, г/о (ж)) — ф (ж, ^ (ж)) = ф^ (ж, |) z (х),
где | и г] — величины, заключенные между j/0 (х) и j/i(aj). Далее,
есть величина ограниченная С — ^ /^ J , а ф^ (х, |) и ty'y (ж, т]) стре-
стремится к нулю при х—>0 в силу свойств функций ф и г[). Наконец,
Фр ^ fi ^ % СТремятся к о при х —> 0. В самом деле,
XXX
ФО _ ф {х, у0 (X)) _ ag! (х, у0 (x))-\-yogz(x, у0 (ж)) , ыи9о„ /„ „ , и
— = ' — ~ — 61 \XU УО (X)) + - g2 (хи Уо (Ж)),.
а последнее выражение —> 0 в силу свойств функций gt (x, у) и g-, (x, у)
и неравенства — < Ао. Из соотношений C4) и сделанных только чта
замечаний следует, что выражение в квадратных скобках в соотноше-

§ 7] СЛУЧАЙ НЕ ЧИСТО МНИМЫХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ 159
нии C3) имеет своим пределом -^. Следовательно,
dz jpc) z (х) Г %z
C5)
где / (х) —> 0 при х —> 0.
Полагая ^ = — у (у > 0, так как Я,2 > 0, ^ < 0) и записывая равен-

ство C5) в виде
проинтегрируем его в пределах от х до хо>%, где х0 будет определено
ниже. Мы получаем
Z = ;
Так как f(x)—>0 при л;—>0, то г0 всегда можно взять таким, чтобы
мы имели при х<х0 (х>0) \f(x) | <-|- и, следовательно, у — / (х)>-| .
Тогда, очевидно,
1 я у 1
C6)
Так как у>0, то из неравенства C6) следует, что при ж-^0 z(x)-^-ca.
Но это противоречит тому, что по предположению z (х) —> 0 при х —> 0.
Полученное противоре-
противоречие показывает, что на от-
отрезке А В существует толь-
только одна точка Со такая, что
проходящая через нее тра-
траектория Lc0 при возраста-
возрастании t стремится к состоянию
равновесия О, оставаясь
внутри треугольника ОАВ
(рис. 83). Очевидно, эта
траектория пересекает каж-
каждый отрезок вертикальной
прямой, заключенной меж- рис gg
ду прямыми О А и ОВ, в од-
одной и только одной точке.
Результаты, полученные для треугольника ОАВ, переносятся с соот-
соответствующими изменениями на остальные три треугольника прямоугольни-
прямоугольника Н, и мы приходим, таким образом, к следующему заключению: на сто-
сторонах АВ и AJ3^ существуют соответственно точки Со и С'о такие, что
проходящие через них траектории Lc0 и L>cQ при возрастании t не выходят
из прямоугольника Я и при t -^ + °° стремятся к состоянию равновесия О.
На сторонах А^А и BJ3 существуют такие точки, соответственно Do
и D'o, что проходящие через них траектории LDo и Ld-0 при убывании t
не выходят из прямоугольника Н и при t -> оо стремятся к состоянию
равновесия О.

160 ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IV
И, наконец, если М есть произвольная точка прямоугольника 11,
отличная от О и не принадлежащая полутраекториям Lq0, /,?¦•, Lhoi Ld-i
то проходящая через точку М при t = t0 траектория Ьм ПРИ возрастании t
выходит из Н через одну из горизонтальных сторон прямоугольника 11
А^А или ВВ1, а при убывании t — через одну из вертикальных сторон
Afit или АВ (рис. 83).
Мы рассмотрели случай, когда \ <С 0, Х2 > 0. Если \ > 0, А2 <С 0,
то картина, очевидно, получается аналогичная, с тем отличием, что траек-
траектории системы через вертикальные стороны прямоугольника Н выходят
из II, а через горизонтальные — входят в Н. В качестве II можно взять
любой прямоугольник с центром в точке О со сторонами, параллельными
координатным осям при условии, что он достаточно мал.
Рассмотренное состояние равновесия называется седлом (рис. 83).
Траектории Lc0, L&, Ln0, L& называются сепаратрисами седла О.
Наряду с этим сепаратрисой седла называют также любую положительную
полутраекторию, выделенную из траектории Lc0 или Lc- (такие полу-
полутраектории называются со-сепаратрисами), и любую отрицательную полу-
полутраекторию, выделенную из траектории Ьщ или Ld-, (а-сепаратрисы).
При этом обычно все со-сепаратрисы (или все а-сепаратрисы), выделенные
из одной и той же траектории (например, все а-сепаратрисы, выделенные
из LnB), не считают отличными друг от друга. При таком условии каждое
седло имеет всегда в точности четыре сепаратрисы — две а- и две со-сепа-
со-сепаратрисы *).
Сепаратрисы, понимаемые как полутраектории, называются также
иногда «усами седла». Топологическая структура седла отлична от топо-
топологической структуры узла или фокуса.
4. Устойчивые и неустойчивые состояния равновесия. Мы рассмотре-
рассмотрели состояния равновесия с точки зрения их топологической структуры.
При этом очевидно, что если не принимать во внимание направление дви-
движения по t, то топологическая структура устойчивого узла и фокуса
и неустойчивого узла и фокуса одинакова. В то же время топологическая
структура седла, очевидно, отлична от топологической структуры узла
и фокуса. Однако часто в задачах, связанных с приложениями, состояния
равновесия рассматриваются просто с точки зрения их устойчивости или
неустойчивости без детализации их топологической структуры**). С этой
точки зрения состояния равновесия разделяются на два типа.
а) Устойчивые состояния равновесия. Очевидно,
для того, чтобы состояние равновесия было устойчиво, достаточно, чтобы
все характеристические корни имели отрицательные действительные части.
Состояния равновесия с отрицательными действительными частями у ха-
характеристических корней — это устойчивый узел и устойчивый фокус.
б) Неустойчивые состояния равновесия. Среди
рассмотренных выше состояний равновесия те состояния равновесия,
у которых действительная часть хотя бы одного иэ корней положительна,
*) Если сепаратрисами считать не полутраектории, выделепыые из Lq , Lc' >
Ll)(), LD'o, а сами эти траектории, то седло может иметь 2, 3 или 4 сепаратрисы (см.
примеры 1, 6, 8 § 1). В этих примерах точка О @, 0) является седлом, имеющим соот-
соответственно 2, 3, 4 сепаратрисы.
**) Такой аспект характерен для работ Ляпунова.

"I 7] СЛУЧАЙ НЕ ЧИСТО МНИМЫХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ 161
являются неустойчивыми.' Такими состояниями равновесия, очевидно,
являются неустойчивые узлы, неустойчивые фокусы и седла.
5. Замечания по поводу других методов исследования характера
состояний равновесия с не равными нулю действительными частями
характеристических корней. Характер состояний равновесия в рассмот-
рассмотренных нами случаях 1), 2) и 3) может быть установлен так же методами,
отличными от проведенных в настоящем параграфе.
Метод исследования таких состояний равновесия, развитый в клас-
классических работах Пуанкаре, Пикара и Ляпунова для случая анали-
аналитических систем, заключается в следующем: ищутся аналитические
функции
u = f(z, у), v = g(x, у),
с помощью которых система
х = 1^х + Р (х, у), y = ^>y + Q(x, у)
в окрестности начала координат может быть приведена к линейной
системе, т. е. к системе вида
и = Х^и, v = K2v.
При некоторых условиях, наложенных на характеристические корни %±
и К2 (одним из которых является неравенство нулю выражения рхК± +
+ jP2^2i гДе Pi и р2 — произвольные целые положительные числа; это
условие, в частности, всегда выполняется, когда характеристические
корни Ki и К2 действительны и одинаковых знаков, а также в случае,
когда они — комплексные, с не равной нулю действительной частью); ана-
аналитические функции uts.v, обладающие указанными выше свойствами, заве-
заведомо существуют. Не останавливаясь подробнее на вопросе о том, как при
выполнении этих условий исследуется характер состояния равновесия,
отошлем интересующихся к работам Дюлака [26j. Скажем вкратце о совсем
другом методе, приложимом к динамическим системам более широких клас-
классов, именно, к системам класса С±. Этот метод развит в работах Перрона,
Петровского и др. [23]. Он заключается в рассмотрении некоторых
интегральных уравнений, полученных из данной системы дифференци-
дифференциальных уравнений. Так, например, в случае, когда характеристические
корни Ki и К2 действительны и различны, рассматривается система интег-
интегральных уравнений
x = xoehlt -\- \ e** ('~т> ф (х, y) dx,
У~Уо^2'-\ \ е2 ('~т) Ф (x-> V) dx,
о
эквивалентная системе (I) (она может быть получена путем использова-
использования формулы решения неоднородной системы линейных уравнений). Затем
методом последовательных приближений устанавливается, что всякая
траектория, проходящая через достаточно близкую к началу координат
точку, стремится к нему при t —>- +00, когда %i и К2 отрицательны,
и при t—>— со, когда К± и К2 положительны (траектории, стремящие-
стремящиеся к началу при t —> со, называются 0+-траекториями, а стремящиеся
при t -i 00— 0~-траекториями).
11 Ai А. Андронов

162 ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IV
Если К± и К2 имеют различные знаки, например, если К± < 0, а К2 >
>0, то нетрудно показать, что все решения, соответствующие траекториям,
стремящимся к состоянию равновесия О при t —>--}-оо (т. е. (^-траекто-
(^-траектории), удовлетворяют системе интегральных уравнений
х = xoexi' \ е** С-Т)ф (ж, у) б?т, j/ = — \ е^2 V~xty (х, у) dx, C7)
а все решения, соответствующие 0~-траекториям,— несколько другой,,
но аналогичной C7) системе интегральных уравнений. Далее, используя
метод последовательных приближений, можно установить, что существуют
решения этих интегральных уравнений, соответствующие двум 0+- и двум
0~-траекториям, и других 0-траекторий не существует (см. [231 И 129]).
6. Примеры. Приведем простые примеры на исследование характера
состояний равновесия рассмотренных выше типов.
Пример 1.
х = у = Р(х, у), y=-(l+x* + X*)y-x = Q(x,y). C8)
Состояния равновесия системы C8) являются, очевидно, решениями
системы уравнений
Эта система имеет единственное решение х = у = 0. Значит, О @, 0) —
единственное состояние равновесия системы C8). Соответствующее харак-
характеристическое уравнение имеет вид
-а, 1 ]
1 /"Ч
Отсюда A,lj2=—у ± I/ -V--—1- Значит, состояние равновесия является
устойчивым фокусом.
Пример 2 [61].
х = у~Р(х,у), y = 2(l-xy) = Q(x,y).
Система г/ = 0, 2A —жу) = 0 не имеет решений, следовательно, у рас-
рассматриваемой динамической системы состояний равновесия нет.
Пример 3 [66].
• ¦
х = у = Р(х, у), у = х + х2 — (et + е2х) у = Q (х, у),
где е4 и е2 — произвольные действительные параметры. Состояния равно-
равновесия следующие: 0@,0) и А( —1,0). Найдем частные производные
от правых частей системы (при у = 0):
Для состояния равновесия О@, 0) имеем P'xQ'y—P'vQ'x= —1<0, значит
О@, 0) — седло. Характеристическое уравнение для состояния равновесия
А (- 1, 0) : № + (et - е2) X +1 = 0, значит a,ll2 = ??="—1 ± j/Ъ-^- _ 1.

§ 7] СЛУЧАЙ НЕ ЧИСТО МНИМЫХ. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ 163
Состояние равновесия А (¦—1, 0) имеет, таким образом, следующий харак-
характер в зависимости от значений параметров е4 и е2:
1) 0-c.ej-—е2<2-—устойчивый фокус,
2) Ej — е2 > 2 — устойчивый узел,
3) 0< ё2 ¦— st<2 — неустойчивый фокус,
4) е2 — et > 2 —неустойчивый узел.
При Ej — в2 = 0 состояние равновесия А имеет чисто мнимые корни.
Этот случай нами пока не рассматривался.
В следующем примере рассмотрим систему с неаналитическими пра-
правыми частями.
Пример 4 [74].
1
х = у = Р (х, у), 'у = 7у+т (ж*- 12) = Q (or, у),
где ж>0. Доопределим систему для а-<0 так, чтобы она обладала
центральной симметрией:
Состояния равновесия О@, 0) и А A44, 0). Исследуем их характер.
Мы имеем
Характеристическое уравнение для состояния равновесия О будет
откуда Ki==4, ?v2 = 3- Значит Огнеустойчивый узел. Характеристиче-
Характеристическое уравнение для состояния равновесия А будет
?i2 — 7?.-6 = 0,
откуда ?ч,2 = ^г± 1/-^-+6. Значит, корни 1Ч и Я,2 разных знаков и со-
состояние равновесия Л —седло.
Пример 5 [83].
х)у + 8]^Р(х, у), y = [-y + D+x)x]^Q(x,y), C9)
где параметр б>0.
Координаты состояний равновесия являются решениями системы
Подставляя у = D + х) х из второго уравнения в первое, получим
х3 -\- 8х2 -\~ \1х -]- б = 0. Таким образом, для абсписс состояний рав-
равновесия мы получим кубическое уравнение. Пользоваться непосредственно
формулой решения этого уравнения крайне неудобно. Можно, однако,
не имея явного выражения для координат состояний равновесия, выяснить
их число и характер в зависимости от параметра б. На плоскости (х, б)
построим кривую
или
6= — х(х* + 8х+П). D0)
11*

164 ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IV
Эта кривая имеет только одну точку пересечения с осью х, так как
трехчлен ж2 + 8а; +17 сохраняет знак. Абсциссы точек экстремума кри-
кривой D0)
. _-8±У13
8
— соответствующие значения б. Абсциссы состояний равновесия при дан-
данном значении параметра б соответствуют точкам пересечения построенной
кривой с прямой б = const. Очевидно, при б > 6j и б < б2 система C9)
имеет одно состояние равновесия, при б2 < б < 6j—три состояния равнове-
равновесия. При б = б4 и при б = б2 система имеет два состояния равновесия.
Таким образом, мы установили число состояний равновесия в зависимости
от параметра б. Установим теперь характер этих состояний равновесия.
Имеем
Рх=-A + у), Ру=
Отсюда
Характер состояний равновесия определяется знаками выражений а и Д.
Очевидно, Д = 0 при xli2 = ^т , т. е. в точках экстремумов кривой
D0). Легко видеть, что для состояния равновесия с абсциссами х > хх и
х < ж2 имеем Д > 0, т. е. эти состояния равновесия являются узлами или
фокусами, а для состояний равновесия с абсциссами, удовлетворяющими
неравенству х2 < х < xt, имеет Д < 0, т. е. эти состояния равновесия
являются седлами. Установим характер устойчивости узлов и фокусов.
Очевидно, а = 0 при ж1]2 == —2 ± 1^2; соответствующие значения б:
Значит, для состояния равновесия с абсциссами х > xt и х<Сх2 имеем
о < 0, т. е. состояния равновесия, не являющиеся седлами, устойчивы,
а для состояния равновесия с абсциссами, удовлетворяющими неравенст-
неравенствам х2 < х <С хи имеем а > 0, т. е. соответствующие узлы или фокусы
неустойчивы. Таким образом, получим:
1) б < б2 — одно состояние равновесия — устойчивый узел или фокус;
2) б2 < б < б4 — три состояния равновесия — два устойчивых узла
или фокуса и седло;
3) 6t < б < &i — три состояния равновесия — устойчивый узел или
фокус, седло и неустойчивый узел или фокус;
4) б > б4 — одно состояние равновесия — устойчивый узел или фокус.
Значения б = 6j и б = б2 мы не рассматриваем, так как при этих значениях
состояния равновесия системы не являются простыми.
7. Простейшие примеры сложных состояний равновесия. Прежде,
чем переходить к последнему, значительно более сложному случаю про-

§ 7] СЛУЧАЙ НЕ ЧИСТО МНИМЫХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ
165
стого состояния равновесия, именно, к случаю чисто мнимых корней,
рассмотрению которого посвящен § 8, приведем несколько элементар-
элементарных примеров не «простых» или так называемых «сложных» состояний
равновесия. В случае сложного состояния равновесия М (х0, у0) мы имеем
_ ; Р'х (х0, у0) Р'у (х0, у0) ^
Q'x (ж0, Уо) Q'y (хо, Уо) ~ '
т. е. по крайней мере один характеристический корепь равен нулю.
В приводимых ниже примерах дипамические системы интегриру-
интегрируются в квадратурах, что и позволяет исследовать структуру состояния
равновесия *).
Пример 6.
х = х, у=У~. D1)
Корни характеристического уравнения для состояния равповссия О (О, 0)
Я,± = 1, Я.2 = 0, значит, О — сложное состояпие равновесия. Легко видеть,
Рис. 84.
Рис. 85.
что система D1) может бить проинтегрирована. Ее решение: xev = С.
Поведение траекторий в окрестности состояния равновесия изображено
на рис. 84. Такое состояние равновесия называется «седло — узел».
Пример 7.
?ху У уг
Характеристическое уравнение для состояния равновесия О @, 0) будет
d
0, т. е. оба корня )н и А2 равны нулю. Нетрудно видеть, что d~ =
dx
) уд
d = ^^J
dx —
- s^ dx —xii
есть уравнение Бернулли. Его общее решение -~ — — = С. Расположение
траекторий в окрестности состояния равновесия изображено на рис. 85.
При С < 0 получаются эллипсы, при С > 0 — гиперболы, при С = 0 —
парабола х = у2.
*) В главе VIII даются общие методы исследования некоторых типов сложвых
состояний равновесия.

166 ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IV
Поведение траекторий в окрестности сложного состояния равновесия
топологически может быть такое же, как у простого состояния равновесия,
как показывают следующие примеры.
Пример 8.
Х = х3, У = у.
Один из корней характеристического уравнения для состояния равновесия
О (О, 0) равен нулю. Общее решение имеет вид уе 2х2 = С. Поведение тра-
траекторий в окрестности состояния равновесия такое же, как в окрестности
простого узла. Такое состояние равновесия естественно назвать «сложным
узлом».
Пример 9.
х = х3, у= —у.
Один из корней характеристического уравнения для состояния равнове-
равновесия О равен нулю. Общее решение уе^х2 = С. Поведение траекторий в
окрестности состояния равновесия такое же, как в окрестности простого
седла. Такое состояние равновесия естественно назвать «сложным седлом».
§ 8. Состояние равновесия с чисто мнимыми
характеристическими корнями
1. Вводные замечания. В настоящем параграфе мы рассмотрим
последний из перечисленных в § 6 случаев простого состояния равновесия,
именно, случай 4), когда корни характеристического уравнения чисто
мнимые. Как ужо было сказано, исследование в этом случае значительно
более сложно, чем в случаях 1) — 3), и требует привлечения членов
правых частей степени выше первой. Метод исследования, которым мы
воспользуемся, применим, однако, как для чисто мнимых, так и для
комплексных характеристических корней с действительными частями,
не равными нулю. Поэтому мы будем вести изложение для более общего
случая комплексных характеристических чисел
хотя случай а^О был уже выше рассмотрен. Таким образом, мы пред-
предположим, что рассматриваемая система имеет канонический вид:
dx
-j- = Р (х, у) = ах + р>-J-- ф (х, у) = ах + 0у + xgt + yg2l
A)
-Jf = Q («. У) = Р^ — «У + Ф (х, У) = РУ— ах -f xfi -f yf,,
где функции ф, ч]з, gu g2, /i, /2 удовлетворяют указанным в § E условиям
1 и 2. Мы будем для определенности считать, что
Р > 0. B)
Величина а может быть как равной, так и не равной нулю.
2. Переход к полярной системе координат. Для удобства изучения
характера расположений траекторий в окрестности рассматриваемого
состояния равновесия О мы перейдем к полярным координатам с помощью

<§ 8J
СЛУЧАЙ ЧИСТО МНИМЫХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ
107
формул
х = q cos 6, у — q sin 0.
C)
а)
Сделаем прежде всего несколько замечаний по поводу перехода от
декартовых координат к полярным. Мы будем считать, что радиус-вектор q
может принимать кроме нулевого и положительных также и отрицатель-
отрицательные значения. Кроме того, мы будем рассматривать q и 6 не только как
полярные координаты точки М (х, у) на плоскости (х, у), а так же как
декартовы координаты на плоскости (q, 6). В этом случае формулы C) опре-
определяют однозначное непрерывное
отображение плоскости (q, .8) на
плоскость (х, у). Это отображение,
очевидно, не является взаимно
однозначным и обладает следую-
следующими свойствами:
а) точки полосы 0 < q < q* ,
где q* — некоторое положитель-
положительное число, отображаются на внут-
внутренность круга С* плоскости (х, у)
с центром в начале координат и с
радиусом, равным q*;
б) все точки оси q = 0 пло-
плоскости (q, 0) отображаются в одну
точку — начало координат пло-
плоскости (х, у); ")
в) все точки (q, 6), имеющие
одно и то же q и значения 0, отли-
отличающийся на кратные 2я, т. е. все
. точки (е, 6 + 2/ся), к = 0, +1,
+ 2,... отображаются в одну п
ту же точку плоскости (х, у);
г) всякие две точки (q, 6) п (— q, 6 -f- л) переходят в одну и ту же
точку плоскости (х, у);
д) прямым 6 = const плоскости (q, 6) соответствуют прямые плоско-
плоскости (х, г/), проходящие через начало координат О и разделенные этой
точкой на две полупрямые; точкам одной из этих полупрямых соответ-
соответствуют значения q > 0, точкам другой q < 0. Прямым q -= const соответ-
соответствуют в плоскости (ж, у) окружности с центром в начале координат
(рис. 86, а, б).
Заметим, что при произвольном фиксированном 00 отображение C)
является взаимно однозначным на «полуоткрытом» прямоугольнике W,
определенном соотношениями 0 < е<е*, 60<6 < 00 -j- 2л, или на
прямоугольнике W, определенном соотношениями 0 >g > — q*, 60 <
<0 <60 + 2я (рис. 87, а, б). Каждый из этих прямоугольников ото-
отображается на круг С* (с центром в О радиуса ц*), у которого удален
центр. Каждой точке такого «проколотого» круга соответствует в точности
одна точка прямоугольника W (или W). Таким образом, на «проколотом»
круге С* определено обратное отображение, переводящее этот круг в W
(или W). Это отображение не является непрерывным. Нетрудно видеть,
однако, что в любой области Е плоскости (д, 6), имеющей достаточно
малый диаметр и не содержащей точек оси q — 0, отображение C) явля-
является регулярным (так как в любой такой области оно является
взаимно однозначным и непрерывным и, кроме того, соответствующий
Рис. 8С.

168 ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ 1ГЛ. IV
функциональный детерминант
не равен нулю при q Ф 0). Мы будем выражать это свойство, говоря, что
отображение C) является локально-регулярным.
Р=Р*
О
Р=~Р'
0=0О в=0о+2п
/Л
W
в
х
а)
Рис. 87.
Произведем теперь в системе A) замену переменных, перейдя к поляр-
полярным координатам. Мы имеем
de dy dp .
-; ^= |Si
Предполагая, что
do dQ
dt~ ' lit ' МЫ ПОЛУЧИМ
do dx n dy .
¦ft = dt cos e+w-si
и решая эти уравнения относительно
dd \ f dx ,. dy
После простых преобразований мы получим систему
"Tj- = «Q ~Ь ф (q cos G, q sin В) cos 6 -\- г]з (q cos 6, q sin 9) sin 0,
df) ,, . -ф (Q cos G, g sin 0) „ ф (q cos 6, q sin 6) . . д
rff q й e S1U
Вводя обозначения
/4q, 0) = aQ + ф (q cos 6, Qsi
ф (Q, 6) = il^os^sm 0)
s6, q sin 6) sin 6,
E)
мы запишем систему D) в виде
do r, Q.
-dT=F^ 8)'
D')
, В).

§ 8] СЛУЧАЙ ЧИСТО МНИМЫХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ 169
Принимая во внимание соотношения E), а также свойства функций ф (х, у)
и яр (х, у), легко видеть, что если Q* > 0 достаточно мало, то функции
F (q, 6) и Ф (q, 6) заведомо определены в области ?1, описываемой нера-
неравенствами 0 < \q\ < q*, —оо < 6 < -j--oo *), и являются в этой области
функциями класса С±. Далее, эти функции периодичны по 6 с периодом 2л
и при Q —*¦ 0 обе они стремятся к нулю, причем равномерно относитель-
относительно 6 **). Из последнего свойства вытекает, в частности, что если Q* доста-
точно мало, то в области Q выполняется соотношение | Ф (q, 0) ] <С .,
и, следовательно,
1 ех-?р. F)
Мы будем считать q* настолько малым, чтобы ото условие выполня-
выполнялось. Тогда р^Ф(@, 0)ф0, и траектории системы A) в области Q
совпадают с интегральными кривыми уравнения
r **>•»>¦ G>
получающегося делением первого из уравнений D') на второе (см. § 1, п. 7).
Для исследования уравнения G) нам будет удобнее рассматривать
его не только при значениях Q, 0 < | Q | < Q*, но и при q = 0. С этой
целью мы доопределим функцию 7? (q, 6), положив при любом В
R @, 6) = 0.
Так как lira F (q, G) = lim Ф (q, в) = 0, а $?=0, то lim R (q, 6) = 0,
p->0 p->0 p->0
и, следовательно, доопределенная таким образом функция R (q, В),
являющаяся, очевидно, периодической функцией 6, непрерывна во всей
полосе — q* < q <C q*. Функция 7? (q, 6) имеет в этой полосе непрерыв-
непрерывную частную производную по q. Действительно, при q =/= 0, она имеет
непрерывную производную по q в силу того, что функции Ф (q, 0), W (q, 0)
при Q =ф 0 являются функциями класса Ct.
Покажем, что функция R (q, 6) имеет непрерывную производную
так же и при q = 0. Для этого, умножая при q ф 0 числитель и знамена-
знаменатель правой части уравнения G) на о, запишем функцию R (q, 0) в виде
jy . р., at.J -f- 0Ф (о cos в, psin в) cos O-|-q\J) (у cos 0, (> sin 0) sin 0
^' ' OP + Ф (e cos 0, 6 sin 6) cos в — ф (о cos 0, у sin 0) sin 0
Продифференцировав правую часть по q и переходя к пределу при q —>• 0,
мы увидим, принимая во внимание свойства функций ф и яр, что
*) Эта область состоит из двух открытых бесконечных горизонтальных полос,
имеющих в качестве общей границы ось q = 0.
**) Действительно,
Ф (q cos 6, р sin 8) q cos 0gi (g cos 0, q sin 6) , g sin 0g-2 (Q C0s 0, q sin 6)
e ~ ё ' о "
= cos6g-1 (o cos 0, q sin 0) -- sin 0g2 F cos 6, gsinS).
В силу свойств функций gi и g2 это выражение стремится к нулю при q —>0.
„ ib (q cos В, q sin 6)
Совершенно аналогично рассматривается выражение ¦- -•

170 ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IV
С другой стороны, непосредственное вычисление производной —~^—- при
g — 0 дает
3RV, е) = _Д(8>0)-Д@,_ВД = Л fe, ^ = a
Из равенств (8) и (9) следует, что функция Н (q, 0) имеет непрерывную
производную по Q также и при q = 0, а следовательно, и во всей полосе
—о* < Q <С Q*- Отсюда вытекает, что для уравнения G), доопределенного
условием (8), в полосе —q* < () < q* справедлива как теорема существо-
существования и единственности, так и теорема непрерывной зависимости от
начальпых значений (см. дополнение, § 8).
Таким образом, при любых 00 и q0 существует единственное решение
уравнения G)
Q = /F. 60, Q0) (/F0, 60, Qo) = Qo),
определенное на некотором (максимальном) интервале F17 62), содержа-
содержащем точку 60. При этом в силу того, что R @, 6) = 0, очевидно, q = О
является решением, т. е. ось 6 на плоскости (q, 8) является интегральной
кривой уравнения G).
Все интегральные кривые уравнения G), расположенные в полосе Q*,
совпадают с траекториями системы D). Если
— уравнения какой-нибудь траектории L системы D) и 60, q0 — точка
на этой траектории, то решение уравнения G)
Q = /(e, e0, а,)
„ m '/0
является уравнением этой траектории в координатах () п 0. 1ак как - - =--=
— Р + Ф (q, 6) > 0 при |q| < Q*, то вдоль каждой траектории систе-
системы D) G есть монотонно-возрастающая функция от t. Из равенств (G)
следует, что при движении по траектории в сторону возрастания (убыва-
(убывания) t обе величины t и 6 (t) либо одновременно ограничены сверху (сни-
(снизу), либо обе возрастают до + оо (убывают до — оо). В самом деле, если,
например, величина t ограничена сверху, t < Т и 6 (t0) = 60, то в силу (G)
t
о(/) = %+] -?dt<е0+-|-р (I-10),
to
i. e. функция В тоже ограничена сверху. Аналогично можно рассмотреть
случай, когда 6 ограничена сверху, а также случай, когда t (или 6) огра-
ограничена снизу.
3. Сопоставление траекторий системы (I) и интегральных кривых
уравнения G). Будем сначала интерпретировать введспие полярных
координат как отображение плоскостей (х, у) и (q, 6) друг на друга.
Рассмотрим интегральные кривые уравнения G) (или что то же, траекто-
траектории системы D)), расположенные в полосе плоскости (q, 0), определенной
неравенствами
-foo A0)
(полностью аналогично может быть рассмотрена полоса плоскости
{о, G), опредеченшш неравенствами —Q*<6^0, —со <6 <+°°)-

СЛУЧАЙ ЧИСТО МНИМЫХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ
171
Пусть L — какая-нибудь траектория, лежащая в этой полосе, Q =
= q(?), Э = Э (f) — решение системы D), соответствующее этой траекто-
траектории, определенное в интервале (t, t0), и
е = /(8, е0, ео) (")
— решение уравнения G), являющееся уравнением траектории L в коорди-
координатах q, G. При отображении C) траектория L переходит в кривую
x = Q(t)cosG(t), у = о (/) sin G (г), A2)
являющуюся (в силу локальной регулярности отображения C)) траекто-
траекторией системы A), расположенной внутри круга С* радиуса Q*. Обозначим
а:
aj
Рис. 88.
;эту траекторию через L. Нетрудно видеть, что в силу периодичности по в
правых частей системы D) кривые
(йг= ±1, ±2, ±3,...)
A3)
также являются траекториями системы D), расположенными в полосе A0)
и переходящими при отображении C) в траекторию L, и они исчерпывают
все такие траектории. Очевидно, траектории A3) получаются друг из
друга сдвигом вдоль оси G на отрезок, кратный 2л. Соответствующие им
решения уравнения G) получаются из A1) заменой G на 60 + 2/ш,
т. е. являются решениями
Q = /F, ео + 2&я, о„).
Пусть, напротив, задана траектория х = х (t), у = у (t) системы A),
расположенная внутри круга С* и определенная в некотором интервале
(ti, tz). В силу локальной регулярности отображения C) каждой такой
траектории соответствует по крайней мере одна траектория системы D)
х = q (t), у — G (t), а наряду с этой траекторией и все траектории вида
A3) *) (рис. 88, а, б).
*) Нетрудно показать, что в случае, когда L есть незамкнутая траектория систе-
системы A), все переходящие в нее при отображении C) траектории A3) различны, в слу-
случае же, когда L замкнута, все траектории A3) (к = 0, 1, 2, . . .) совпадают друг с дру-
том, т. е. в траекторию Ьъ этом случае переходит одна траектория системы D).

172
ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВИСИН
1ГЛ. IV
Будем теперь рассматривать переход к полярным координатам Q, О
не как отображение плоскости (х, у) на плоскость с декартовым» коорди-
координатами Q, 6, а как введение полярных координат на плоскости (х, у).
Тогда, очевидно, уравнения A2), а также уравнения A3) являются пара-
параметрическими уравнениями в полярных координатах траектории L систе-
системы A) на плоскости (х, у). Решение уравнения G) q = / @, 00, q(i) являет-
является уравнением в полярных координатах траектории L. В дальнейшем
мы почти исключительно будем пользоваться этой последней интерпре-
интерпретацией.
4. Построение функции пооледования на полупрямой 0 ~ const.
Непосредственно из того факта, что при всех 0 и всех достаточно малых
Q @<6"^Q*). мы имеем (в силу того,.
у i что р Ф 0)
или, другими словами, что R (у, В)
ограничена при всех достаточно ма-
малых q, вытекает следующая лемма:
Лемма 1 *). Если q* > 0 до-
достаточно мало, то любая прямая
6 = const плоскости (х, у) не имеет
контактов с траекториями системы
A) е точках, для которых 0 <С q ( <C Q*
(и всякая прямая Э = const плоско-
плоскости q, Э не имеет контактов с тра-
траекториями системы D)).
Таким образом, всякий достаточ-
достаточно малый отрезок полупрямой 0 •¦-
= const плоскости (х, у), имеющий одним из своих концов точку О,
аналогичен отрезку без контакта (только один из концов его — состояние
равновесия) (рис. 89). Мы построим на таком отрезке функцию последо-
последования, воспользовавшись уравнением траектории в полярных координа-
координатах, т. е. решением уравнения G):
о = /(о, е0, q0) (/(б0, е0, о0) = ео).
Предварительно установим некоторые свойства этого решения. Как мы
уже говорили, в силу того, что R @, Э) = 0, решением уравнения G),
в частности, является
J
Рис. 89.
(на плоскости (q, 6) соответствующей интегральной кривой является
ось 6). Это решение определено, очевидно, для всех 6, т. е. на интер-
интервале — оо <; Э <с -j- оо. Поэтому при любых 8 и fH
/F, е0, о) = о. (И)
*) Справедливость утверждения леммы 1 вытекает еще также из следующего
утверждения: условие касания траектории с прямой Й = const, т. о. с прямой у-.= кх,
очевидно, имеет вид ху—ух = 0 или в полярных координатах q- —г- = 0. По при
достаточно малых о ==fc 0 мы имеем ~jj7 Ф 0, и, следовательно, это условие выпол-
выполняться не может.

8]
СЛУЧАЙ ЧИСТО МНИМЫХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ
173
Из единственности решения следует, что если Qo > 0 (q0 < 0), то
j (9, 60, Qo) Z> 0 (< 0) при всех G, при которых решение определено.
Дальнейшие рассуждения мы проведем, основываясь на следующей
лемме, непосредственно вытекающей нз того факта, что е - 0 есть реше-
решение уравнения G), определен-
определенное при всех В.
Л е м м а 2. Пусть 6[,
•Gj, G^, G2—произвольные чи-
числа, удовлетворяющие нера-
неравенствам Gj <0i <Z 02 =
Для любого е > 0 суще-
существует такое б > 0, что вся-
всякое решение уравнения G)
а ! Qo |
MoWo.Po)
т
¦х ч в! в1 Т в0 вг 0z в
, о, определено на сег- ' и ? ?
[, Ь',] и в любой точке IJ"C- 90.
этого сегмента, ДО, Go, Qo) !<e.
Доказател ьство леммы 2 может быть проведено элементар-
элементарным рассуждением, использующим теорему о непрерывном зависимости
от начальных значений п компактность сегмента |0ь 02] (рис. 90).
В следующей лемме, непосредственно вытекающей нз леммы 2, рас-
рассматриваются уже траектории исходной системы A).
Лемма 3. При любом е > 0 существует 6 >> 0 такое, что всякая
траектория системы A) при t = t0, проходящая через какую-нибудь
отличную от О точку М окрестности Uc (О), пересекает как при возраста-
возрастании, так и при убывании t всякую полу-
полупрямую 0 — const, не выходя при этом
из Ue. (О) (рис, 91).
Доказательство. Воспользу-
Воспользуемся предыдущей леммой, положив, что
Gi = 0, 02 = 2л, a 0j и 0^ — произволь-
произвольные числа такие, что 0j < — 2я, В.; > 4я.
В силу леммы 2 существует такое о > 0,
что всякое решение q — / (Э, 00, Qo), для
которого 0^С0о<;2л и 0 <С оп < б, опре-
определено при нс-ех 0, 0, ?;0<02, м при всех
этих значениях 0 пыиолпяетсл неравен-
неравенство 0 < / @, 0„. Qo) <; е. Мы будем счи-
считать, что esCq*, очевидно, dto не умень-
уменьшает общности рассуждении. Пусть теперь
Мо — произвольная точка окрестности
U(, (О), 00, Qo, (><0о-:2л — i>e полярные
координаты, L — проходящая через нее при t l(] траектория.
Интегральная кривая q = / (В, 60, Qo) уравнения G) является, как мы
раньше установили, траекторией L системы (-ч) и переводится отображе-
отображением C) в траекторию (L) системы A). Пусть
Рис. 91.
движение на траектории L, выбранное так, что
Пусть при этом движении траектория L проходит через точки
^iF;, /(в;, е0, Q0)) и м2(о;, /(о;, е0, Оо))

174 ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ ГЛ. IV
соответственно при значениях tt и t2. Тогда t0 ? (tlt t2) (в силу монотон-
монотонности функции 0 (?)), и когда t возрастает от t± до t2, 0 (?) принимает веч
значения между 0[ и 6^, причем каждое только один раз. 13 частности,
О (t) принимает все значения от — 2я до An. Но это значит, что траектория
L системы A), при t — t0 проходящая через точку Мо ? U& (О), пере-
пересекает как при возрастании, так и при убывании t всякую полупрямую
О = const. Тот факт, что траектория L не выходит при этом из UЕ (О),
следует из неравенства 0 < / @, 0О, q0) < е. Лемма доказана.
Замечай и с. Из леммы 3 следует, что если 60 — произвольное
число, то среди траекторий системы A), проходящих через точки omjicjiin
0 — 60, 0 < q < е, на плоскости (х, у) содержатся все отличные от О
траектории, проходящие через точки окрестности U& (О).
Зафиксируем какую-нибудь полупрямую 6 — 0О, q > О (или о <С II).
Из леммы 3 следует, что когда q0 достаточно мало, например q0 ' < е.
то решение
Go, 60, Go)-o0)
определено при всех 6, 60 < 0 < 0о+2я, и является уравнением (в полярных
координатах) траекторий, пересекающих прямую 0 = 60 в точках, соответ-
соответствующих значениям | q0 | < еь q0 > 0 (или Q0<ZO). При этом и си.чу
замечання к лемме 3 мы рассмотрим все траектории, проходящие черел
точки достаточно малой окрестности точки О, если рассмотрим траекто-
траектории, пересекающие часть любого данного луча 0 = Эо, соответствующую
значениям q > 0 (или q <; 0), q : < е (где е — надлежащим образом
выбранная величина). Рассмотрим выражение
С1 = /@0-!-2я, 0О, Qo) = /eo(Oo). (I»)
Очевидно, точки Мо и Мх с полярными координатами соответственно
(Ooi 0о) п (Qii 0о) являются двумя последовательными при возрастании /
(при р > 0) точками пересечения траектории системы A) с лучом 0 О,,,
т. е. функция A5) является функцией последования на отрезке полупря-
полупрямой 0 = 0О-
Так как функция R (q, 0) в правой части уравнения G) имеет непре-
непрерывную частную производную по q, to решение A1) имеет непрерывную
производную по начальному значению qc, и, следовательно, функции
последования /е (qo) также имеет производную.
Для определения характера рассматриваемого состояния равионеспи
мы воспользуемся этой функцией последовання.
5. Возможный характер отдельной траектории, проходящей чере:*
точку достаточно малой окрестности состояния равновесия. Опнраяп.
на лемму 3, можно сделать исчерпывающие заключения относительно
того, как может вести себя отдельная траектория, проходящая через точки
достаточно малой окрестности рассматриваемого состояния равновесия.
Именно, имеет место следующая лемма:
Лемма 4. Траектория, проходящая через достаточно малую
окрестность Uq (О) состояния равновесия О с комплексными характери-
характеристическими корнями, может быть одного из следующих типов: 1) замкнутой
траекторией, содермеащей состояние равновесия О внутри; 2) незамкну-
незамкнутой траекторией при t—> + оо (t—>— оо) стремян/спея к состоянию
равновесия О (но уже не стремящейся к этому состоянию равновесия
при, t—>— оо (соответственно t—> + оо)); 3) незамкнутой траекто-
траекторией, которая либо при t —> + оо, либо при t —> — оо стремится к замк-

§ 8] СЛУЧАЙ ЧИСТО МНИМЫХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ 17Г>-
нутой траектории, содержащей состояние равновесия О (и только ото
состояние равновесия) внутри.
Доказательство. Пусть е > О таково, что и U е (О) кро-
кроме О не лежит более других состояний равновесия, и б > 0 — чист,
удовлетворяющее утверждению леммы 3. Возьмем произвольную точку М\
окрестности U& (О), отличную от точки О. Обозначим какое-нибудь зна-
значение полярного угла точкп Мх через 0ь и пусть Lo — траектория систе-
системы A), проходящая через точку М^ при t = t^ В силу леммы 3 существует
такое значение t =- t2 > t±, при котором траектория пересекает луг
6 = 6л в некоторой точке М2, не пересекая этот луч при промежуточных
значениях t, ?4 < t < ?2i и оставаясь при всех t, ti^Ct^. t2, внутри
Ue (О). Очевидно, при изменении t на интервале (tlt tz) траектория Lv
пересекает каждый луч, отличный от луча 0 = бь
и при этом в точности один раз (рис. 92).
Возможны следующие случаи.
а) Точки Mi и М2 совпадают. Тогда траекто-
траектория Lu является замкнутой траекторией, целиком
лежащей в Us (О). В силу теоремы 16 § 4 внут-
внутри Lo лежит по крайней мере одно состояние
равновесия. Таким состоянием равновесия может
являться только точка О, так как Uе (О) не со-
содержит других состоянии равновесия. Отсюда еле- Рис. 92.
дует, что Lo является траекторией типа 1).
б) Точки Mi и Mi различны. Траектория Lo является тогда незамкну-
незамкнутой (см. лемму 12, § 3). Предположим для определенности, что топка М2
лежит на луче 6 = 6! между точкой О и точкой Mi (случай, когда точка М±
лежит между О и Мг, рассматривается аналогично). Рассмотрим простую
замкнутую кривую С, состоящую из дуги MXMZ траектории L и отрезка
МгМ2 луча 6 == О.,. В силу леммы 3 каждый сегмент луча 0 — const,
лежащий в UB (О) и не содержащий точки О, есть отрезок без контакта.
Но тогда применима лемма 11 § 3, и из нее следует, что все точки траекто-
траектории Lo, соответствующие значениям t <С 2Ь лежат вне кривой Со, a wee
точки, соответствующие значениям t > t2, лежат внутри кривой С. Состоя-
Состояние равновесия О лежит внутри кривой С — ото видно как из утвержде-
утверждения в) леммы 11 § 3, так и непосредственно. Отсюда вытекает, что траекто-
траектория Lo, проходящая через точку Mi, не может стремиться к состоянию
равновесия О и при t—> + °° п при t—>— ос. А так как А?! — произ-
произвольная точка окрестности U^ (О), отличная от О, то всякая траектория,
проходящая через такую точку, не может стремиться к О и при t —-> -\- ю
и при t —* — оо.
Рассмотрим теперь, как может вести себя траектория Lo при i —». -\ оо.
Так как она остается при возрастании t внутри кривой С, а следовательно,
внутри Uъ (О), то при t—> -г- со она либо стремится к состоянию равнове-
равновесия О, тогда она является траекторией типа 2), либо стремится к пре-
предельному континууму Кы, целиком лежащему внутри f/F F7). Таким
континуумом может быть только замкнутая траектория, содержащая точ-
точку О внутри себя. Действительно, если этот континуум не является замк-
замкнутой траекторией, то в силу теоремы 11 § 4 он должен состоять из траек-
траекторий, стремящихся при t —>— оо и t—> -\- °° к состоянию равновесия О
(так как в ?/б (О) нет других состояний равновесия). Но в силу сказанного
выше никакая траектория не может стремиться к О и при t —>— оо и при
t —.> + оо. Таким образом, предельный континуум является замкнутой
траекторией. Так же, как в случае а), устанавливается, что эта замкнутая

170 ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IV
траектория (мы обозначим ее через La) содержит О внутри себя. Легко
видеть, что траектория Lo не может лежать внутри La. Следовательно,
при t —> -f- оо траектория Lo стремится к Lm, т. е. Lo является траекторией
типа 3. Лемма доказана *).
Полностью аналогично, если рассматриваемая траектория Lo при
t <C tt не выходит из Uz (О), то она непременно стремится при t —>- — оо
к замкнутой траектории, целиком лежащей в Ue (О), содержащей состоя-
состояние равновесия О внутри.
Замечание. Незамкнутая траектория Lo при некотором значе-
значении t3 > tn пересекает отрезок МгО луча 6 = Qi в некоторой точке М3,
затем при некотором значении ?4 > *з Lo пересекает отрезок М3О в неко-
некоторой точке Ж4 и так далее. Таким образом, траектория Lo пересекает
полупрямую 6 = 6j в бесчисленном множестве точек. Точно так же она
пересекает в бесчисленном множестве точек каждую полупрямую 6 - -
= const, выходящую из точки О, т. е. является спиралью.
6. Возможный характер разбиения иа траектории достаточно малой
окрестности состояния равновесия О. Мы выяснили, как может вести себя
отдельная траектория, проходящая вблизи состояния равновесия с комп-
комплексными корнями. Перейдем теперь к рассмотрению возможных структур
разбиения на траектории в целом в малой окрестности такого состояния
равновесия О.
Пусть е, б и 0i имеют тот же смысл, что в лемме 4. Могут представиться
две возможности: 1) существует точка Mt окрестности U^ (О) такая, что
проходящая через нее траектория Lo при t —> -f- оо (или t —> — оо) стро-
мится к состоянию равновесия О, не выходя при этом из UE (О); 2) an
через одну точку окрестности U(, (О) не проходит траектория, стремящаяся
к состоянию равновесия О (при t —> — оо или при t —> -\- оо).
Рассмотрим случай 1). Пусть для определенности траектория Lo,
проходящая при t = t± через точку М\, стремится к состоянию равно-
равновесия О при t —> -f оо. В силу замечания к лемме 4 Lo пересекает по-
полупрямую Э = 0j в счетном множестве точек Mt, М2, ¦ ¦ ¦, Мп,. . ., соот-
соответствующих монотонно-возрастающим значениям t, tt < t2 <Z t3 < . . .
Очевидно, что tn—> -|- оо при п—> -{- оо. В самом деле, если бы последо-
последовательность tn была ограничена сверху, то мы имели бы lim tn — t*,
где t* — конечное число. Точка М* траектории L, соответствующая зна-
значению t = t*, так же лежала бы на луче 6 = 64 и была бы точкой сгущения
для точек Мп. Но это противоречит лемме 2 § 3 (так как луч 0 — 0i не
имеет контактов с траекториями системы в окрестности точки М*). Таким
образом lim tn = -j- оо. Из того, что tn—> + оо, а траектория L при
п-*со
tn —> + оо стремится к О, вытекает, что О является точкой сгущения для
последовательности точек Мп: lim Мп = 0. Поэтому каждая точка отрез-
ка ОМ (кроме точки О) луча 0 = 6] принадлежит одному из отрезков
Mn-iMn. Но в силу леммы 3 всякая траектория, пересекающая отрезок
Л/„_1М„, при возрастании t пересекает этот отрезок еще раз и при этом,
как нетрудно видеть, на части MnMn+i. Отсюда, очевидно, следует, что
всякая траектория Ln, пересекающая отрезок Мп-^Мп в некоторой точке
Mn-i, пересечет каждый отрезок MnMn+i, Мп+^Мп+2,. ¦ ¦ соответственно
*) Утверждения настоящей леммы можно доказатЕ>, не ссылаясь на предложе-
предложения § 4, а непосредственно рассматривая свойства решения G).

5 8] СЛУЧАЙ ЧИСТО МНИМЫХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ
в точках Мп, Mn+i, . . . , соответствующих значениям
177
(рис. 93), так что
limAfn =
Рнс. 93.
В силу замечания к лемме 3 отсюда следует, что все траектории, проходя-
проходящие через точки некоторой достаточно малой окрестности Uf, (О), при
t —s> + оо стремятся к О. При убывании t
все траектории выходят из окрестности со-
состояния равновесия О.
Состояние равновесия С называется в этом
случае устойчивым фокусом. Таким же обра-
образом устанавливается, что если траектория
стремится к О при t —=>— оо, то и все траек-
траектории, проходящие через близкие к О точки,
являются спиралями, стремящимися к О при
t—.>— оо, и состояние равновесия О являет-
является неустойчивым фокусом.
Отметим, кроме того, что если состояние
равновесия является устойчивым фокусом,
то в случае, когда р1 >» 0, мы имеем -,-- > О,
и при возрастании t точка двигается по траек-
траектории, вращаясь вокруг точки О по спирали
против часовой стрелки, в случае, когда
Р<0 и, следовательно, -- < О — точка по траектории двигается по ча-
часовой стрелке (рис. 94, а, б). Аналогичные утверждения могут быть сде-
сделаны и в случае, когда фокус неустойчивый. В рассматриваемом случае 1),
т. е. в случае фокуса, тополо-
топологическая структура состояния
равновесия та же, что и у узла.
Рассмотрим теперь случай
2), когда не существует траекто-
траекторий, стремящихся к состоянию
равновесия О. Из лемм 3 и 4
следует, что в этом случае в лю-
любой окрестности точки О суще-
существуют замкнутые траектории,
содержащие О внутри *). Эти
траектории лежат одна внутри
другой. Пусть Lo — одна из зам-
замкнутых траекторий, лежащая
в достаточно малой окрестности
точки О (например, в окрестности UE (О)), и пусть Го — ограниченная ею
область. Рассмотрим произвольный луч 0 = 60 (о >0), выходящий
из О. Пусть траектория Lo пересекает его в точке Мс. Обозначим через
Qo радиус-вектор точки Мо. В силу замечания к лемме 3 каждая траекто-
траектория, проходящая через точки Го, пересекает отрезок ОМ0 луча 0 = б0,
и для того чтобы рассмотреть все траектории, проходящие внутри
*) Это следует та:;же из теоремы 16, § ?,.
12 А. Л. Лндронои и д;]
У
У
а)
ф
Рис. 94.

178
ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ
[ГЛ. IV
области Го, достаточно рассмотреть траектории, проходящие через точки
отрезка ОМ0. Для исследования этих траекторий воспользуемся функцией
последования на каком-нибудь луче 6 = 60 (см. п. 4). Возьмем для опре-
определенности Эо = 0. Пусть М — произвольная точка отрезка ОМ0 с радиусом-
вектором q @ < e<lQo) (рис. 95). Тогда, как мы видели, функция после-
последования
С = /Bя, 0, q) = /0(q)
определена при всех Q, 0 < q < q0, непрерывна при этих значениях
и имеет непрерывную производную (см. п. 4).
В силу того, что q ss 0 есть решение уравнения G), так что
/ F, 0, 0) = 0, мы, очевидно, имеем
/о@)=0. A6)
Рассмотрим вспомогательную функцию
определенную при тех же значениях q, что и функция /0 (q). При этом
в силу A6) d @) = 0. Траектория, проходящая через точку М @, q),
является замкнутой в том и толь-
только в том случае, если d (q) = 0.
Рассмотрим множество F всех
точек М (О, q) сегмента ОМ0, для
Рис. 95.
Рис. 9<5.
которых d (q) = 0. Это множество является замкнутым (так как d (q)
непрерывна) и содержит кроме точки О все точки отрезка ОМ0, через
которые проходят замкнутые траектории. Очевидно, в рассматриваемом
нами сейчас случае (когда через сколь угодно близкие к О точки проходят
замкнутые траектории) множество F содержит отличные от О точки, сколь
угодно близкие к О. Дополнение к множеству F на сегменте [ОЛ1] мы
обозначим через Н. Траектории, проходящие через точки множества //,
являются незамкнутыми. Так как Н — дополнение к замкнутому множе-
множеству, то оно является открытым множеством и, следовательно, либо являет-
является пустым, либо состоит из конечного или счетного числа интервалов
J±, /2,--, концы которых принадлежат множеству F.
Рассмотрим какой-нибудь из этих интервалов /. Обозначим его концы
через Mi F, qj) и М2 F, Q2)i а проходящие через них замкнутые траекто-
траектории —• соответственно через Lt и Lz- Пусть для определенности Qi <; q2
(рис. 96). Тогда при Qi < q < q2, d (q) ф 0 и, следовательно, при этих
значениях о d (g) имеет один и тот же знак. Всякая траектория L, прохо-
проходящая через точку «кольца» Г, ограниченного траекториями Li и Lz,
пересекает луч 6 = 0 между точками Mi и М2 и является, следовательно.

§ 8] СЛУЧАЙ ЧИСТО МНИМЫХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ 179
спиралью. Из теорем 12 и 13 (§ 4) вытекает, что L есть целая траектория,
стремящаяся при t—> — оо к одной из траектории Lu L2, а при t —г- -j- оо
к другой из них. Ясно, что если при о ? (q4, q2) d (о) <C 0, то все траек-
траектории, проходящие через точки кольца Г при t —> -f- оо, стремятся к траек-
траектории Li, а при t —> — оо — к траектории L2, если же d (q) > 0, то,
наоборот, при t —у -\- оо эти траектории стремятся к Lz, а при
t—> — оо к L^
В рассматриваемом случае могут представиться две возможности.
а) Для всех достаточно малых q > 0 d (q) = 0. Тогда все траектории,
проходящие через достаточно близкие к О точки, являются замкнутыми
и содержат О внутри себя. Состояние равновесия О называется в этом
случае центром.
б) Существует сколь угодно малое q > 0, для которого d (q) =^= 0.
Другими словами, в любой близости точки О проходят незамкнутые
траектории, т. е. в любой близости ее имеются описанные выше кольце-
кольцевые области, заполненные спиралями. В этом случае мы будем называть
состояние равновесия О цеитрофокусом.
Тот или другоп характер разбиения на траектории окрестности центро-
центрофокуса зависит от наличия пли отсутствия кольцевых областей, сплошь
заполненных замкнутыми траекториями, от характера кольцевых обла-
областей, заполненных незамкнутыми траекториями, и от взаимного распо-
расположения кольцевых областей того или другого типа. Очевидно, поведе-
поведение траекторий в окрестности центрофокуса определяется распределением
пулей функции d (о) в окрестности точки о = 0 и знаками функции d (о)
на тех интервалах /lt J 2, - - -, где она не обращается в нуль.
Таким образом, мы показали, что простое состояние равновесия О
с комплексными характеристическими числами a J- fti является либо
фокусом, устойчивым или неустойчивым, либо центром, либо центро-
фокусом. В случае а^О, который рассматривался в предыдущем пара-
параграфе, все траектории стремятся к состоянию равновесия О в зависимости
от знака а при t —> + оо (а <; 0) или при / —> — оо (а > 0), и, следова-
следовательно, состояние равновесия является устойчивым или неустойчивым
фокусом.
7. Примеры. С примером состояния равновесия, имеющим чисто мпи-
мые характеристические корни и являющегося центром, мы уже встреча-
встречались, рассматривая линейную систему
(lx (hi
df-'У- at =x
(см. пример 5, § 1).
Приведем примеры, показывающие, что состояние равновесия с чисто
мнимыми характеристическими корнями может быть фокусом или центро-
фокусом.
Пример 1. Рассмотрим систему
~Ж= —у—хух' + у- , dt-=3—y\'X2-\-y-. A7)
Непосредственные вычисления показывают, что точка О @, 0) есть един-
единственное состояние равновесия системы A7), что A7) есть система класса Ct
и что характеристические числа точки О Ai, 2 -~= ± i- Чтобы выяснить
характер траекторий, перейдем к полярным координатам. Произведя
12*

180
ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ
[ГЛ. IV
вычисления, мы убедимся, что система D) и уравнение G) имеют в данном
случае вид соответственно
_
(It
A8)
dt ~ '
dQ - - о2
A9)
Интегрируя последнее уравнение при начальных условиях q = q0, 6 = 60,
мы получим
* . B0)
е =
—е0
Уравнение B0) является полярным уравнением траекторий системы A7).
Так как нас интересуют только значения q > 0, то 6 меняется в интервале
F0 , -f оо ) . Кривая B0) есть гиперболическая спираль.
v Qo У
При 6—> + оо q—^-0,
е
есть
1
при О -> 60 , о —> оо. Таким образом,
Qo
все траектории системы A7) являются гипер-
гиперболическими спиралями, при t -> -4- оо стре-
стремящимися к точке О и уходящими на беско-
бесконечность при убывании t (причем в конечное
время, см. замечание в конце примера 7 § 1),
и О есть устойчивый фокус (рис. 97).
Рассмотрим функцию d (q), соответствую-
соответствующую данному примеру. Полагая 6С = 0 и
принимая во внимание, что B0) есть реше-
решение уравнения A9) (т. е. уравнения вида G)),
мы будем иметь
1
Рис. 97.
Так как при е>0 d(q)<zO, то в соответствии с полученными выше
результатами мы снова убеждаемся, что точка О есть устойчивый фокус.
Пример 2. Рассмотрим систему
х
= — у + х (:с
сг
2) sin
B1)
Г
считая, что правые части ее равны 0 в точке О @, 0). При этом условии
система B1) (так же, как и система A7)) является системой класса С4
и имеет единственное состояние равновесия О с характеристическими
числами J- i — это проверяется непосредственнымп вычислениями. Пере-
Переходя так же, как в предыдущей системе, к полярным координатам, мы
убедимся, что система D) и уравнение G) имеют в данном случае соответ-
соответственно вид
do « - л dQ
^¦«- = Q sm — , —,— =
at ^ Q dt
(Tl)

§ 8] СЛУЧАЙ ЧИСТО МНИМЫХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ КОРНЕЙ 181
^= casing. B3)
Из уравнения B3) сразу видно, что кривые р_ =—, п = 1, 2, 3,... явля-
являются замкнутыми траекториями системы B1). Далее,
если Q>1, то ~ж~>^'
если -±- < е < 2^4 . то 4S" < °. <24)
^' Т° 4б->° (А = 1- 2, ...)¦
Замкнутые траектории g = — разбивают плоскость (х, у) на счетное
число колец (одно из которых, именно Q > 1, уходит на бесконечность).
Покажем, что траектории, проходящие через внутренние точки этих
колец, не могут быть замкнутыми. Пусть Мо @0, q0), q0 =Ф 0, q0 =^= - , —
такая точка, Lo — проходящая через нес при t = t0 траектория. Очевид-
Очевидно, эта траектория находится целиком внутри одного кольца, поэтому
для всех ее точек -^- имеет один и тот же знак, например, -^- > 0.
Если траектория Lo замкнута и имеет период Т > 0, то точка, соответ-
соответствующая значению времени t0 + Т > t0, совпадает с точкой Мо, т. е.
6 (t0 -\- Т) = q0 = q (t0). Но это противоречит условию -^Г> 0.
Таким образом, система B1) не имеет других замкнутых траекторий,
кроме окружностей q = — («=1,2, . . .). Но тогда из общих теорем § 4
следует, что траектории, расположенные внутри одного из указанных
выше колец (отличного от кольца @ > 1), при t—> — со стремятся к одной
из граничных окружностей этого кольца, а при t —> -(- со — к друггой.
Из соотношений B4) следует, что все траектории, расположенные внутри
1 1
кольца -.у,т < Q < -г,-;—i (к = 1, 2, . . .) , являются спиралями, стремя-
щимися при t —* — со к замкнутой траектории е = чг— , а при t ->
—> + оо — к замкнутой траектории е = -. :. Траектории внутри кольца
1 1
.. < р < -ргр являются спиралями, «скручивающимися» с окружности
1 1
б и «накручивающимися» на окружность у =-.,,. ; наконец,
траектории, проходящие через точки области q > 1, являются спиралями,
стремящимися к окружности @ = 1 при t —-. со и уходящими на бес-
бесконечность при возрастании t. Очевидно, для системы B1) окружности
q — — являются устойчивыми предельными циклами (см. § 3, п. 9) при
п четном и неустойчивыми при п нечетном *). Приведенные примеры
*) Нетрудно также привести Г пример состояния равновесия с чисто мнимыми
корнями, у которого кольца, сплошь заполненные замкнутыми траекториями, чере-
чередуются с кольцами, заполненными незамкнутыми траекториями. В этом случае можно
привести геометрический пример состояния равновесия, ые имеющего определенной

182 ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IV
показывают, что в случае чисто мнимых характеристических корней пове-
поведение траекторий в окрестности состояния равновесия не определяется
характеристическими числами, или, другими словами, не определяется
линейными относительно х и у членами.
Таким образом, в этом случае для определения характера состояния
равновесия нужно дополнительное исследование.
Когда динамическая система является аналитической, так что функ-
функции Р (х, у) и О (х, у) разлагаются в ряды по степеням х и у, можно выде-
выделить случаи, в которых исследование характера состояния равновесия
удается провести полностью. При этом мы получаем критерий того, что
состояние равновесия является фокусом. В этом исследовании фигурируют
члены разложения правых частей степени выше первой *).
§ 9. Направления, в которых траектории стремятся
к простым состояния»! равновесия
1. Основное определение. Пусть
— рассматриваемая динамическая система, а О@, 0) — ее изолированное
состояние равновесия. О может быть как простым, так и сложным
состоянием равновесия, так что детерминант
Р*{0, 0) Руф, 0)
О'х@, 0) Оу@, 0)
может быть как не равным, так и равным нулю.
Пусть
•— траектория системы (I), стремящаяся к состоянию равновесия О при
t —>¦ + со или t —з> — оо. Так как оба случая (t —з> -|- оо и t —>- — со)
исследуются вполне аналогично, то мы рассмотрим только один из них,
например, случай, когда f-»-+ со.
Таким образом, мы предполагаем, что при t ->--{- оо х (t) -*- 0,
у (t) ->- 0, причем х (t) и у (t) не равны нулю одновременно.
Определение IX. Пусть ОМ — луч (полупрямая), имеющий
своим началом точку О и проходящий через точку М (t) траектории.
Если луч ОМ при t —>¦ -j- со стремится к некоторому предельному положе-
положению — лучу ОМ*, то мы будем говорить, что при't ->--{- со траекто-
траектория A) стремится к состоянию равновесия О в направлении в*, где 0* —
угол между положительным направлением оси абсцисс и лучом ОМ*
топологической структуры в смысле, указанном в п. 3 § 5; так, например, это будет
иметь место в случае, когда бесчисленное множество колец Fj, Гг, .... Г„, . . ., запол-
заполненных замкнутыми траекториями, разделенными кольцами с незамкнутыми траекто-
траекториями, стягивается к началу координат, и при этом число колец, заполненных незамк-
незамкнутыми траекториями, лежащими между кольцами Гг п Г|+1, увеличивается с номером i.
*) Исследование таких сложных фокусов представляет большой интерес при
рассмотрении динамических систем, содержащих параметры. Если при некотором
значении параметра у динамической системы есть фокус с чисто мнимыми характе-
характеристическими корнями, то при изменении параметра из этого фокуса может появиться
(«родиться») один или несколько предельных циклов (вопрос о таком рождении рас-
рассмотрен в [6]).

§ 9] НАПРАВЛЕНИЯ СТРЕМЛЕНИЯ К ПРОСТЫМ СОСТОЯНИЯМ РАВНОВЕСИЯ 183
(рис. 98). (Угол В определяется, конечно, с точностью до соответствующего
кратного 2л.)
Замечание 1. В дальнейшем нам будет удобно пользоваться
данным определением в следующей форме: траектория L стремится
к состоянию равновесия О в направлении 0*, если для любого е > 0 все
точки траектории L, соответствующие достаточно большим значениям t,
Рпс. 98. Рис. 99.
находятся в области, ограниченной лучами 6 = 0* — е и 0 = 8* -\- е
и заключающей луч 0 = 0* (рис. 99).
Замечание 2. Вместо того, чтобы говорить: траектория L при
t —*- -j- со стремится к точке О в данном направлении, мы будем говорить:
полутраектория L+ стремится к О в данном направлении.
Как уже было сказано во введении, вопрос о том, стремятся ли траек-
траектории системы к состоянию равновесия в определенных направлениях
и в каких именно, выходит за рамки чисто топологических рассмотрений
динамической системы. Однако знание указанных направлений позволяет
представить более конкретно характер расположения траекторий вблизи
состояния равновесия. Кроме того, как мы увидим в дальнейшем (см. гла-
главу IX), нахождение направлений, в которых траектории могут стремиться
к состоянию равновесия в случае сложного состояния равновесия
(для которого А = 0), является одной из составных частей метода иссле-
исследования его топологической структуры.
Из данного выше определения непосредственно следует, что если
нолутраектория L+ стремится к состоянию равновесия в направлении 0*,
то существует (конечный или бесконечный) предел отношения ~. , причем
этот предел равен tg 0*:
Покажем, что справедливо обратное утверждение, именно, если полу-
полутраектория L+ стремится к состоянию равновесия О и существует конеч-
конечный или бесконечный предел к* отношения — . , то L+ стремится к О
х (t)
в определенном направлении 0*, причем tg 0* = к*.
Для доказательства предположим, что lim —,,-г- = /с*, и проведем
через точку О прямую М*М* с угловым коэффициентом к* (рис. 100).
Далее, проведем через О две прямые АХА2 и В,Вг, образующие с прямой
М\М\ соответственно углы -|- ей — е, где г — достаточно малое поло-

184
ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ
1.ГЛ. IV
Bt
жительное число. Так как lim —J- = к*, то прямая ОМ (t) при t ->¦ + оо
стремится к прямой М*М*. Следовательно, участок траектории L, соответ-
соответствующий достаточно большим значениям t, лежит в заштрихованной
на рис. 100 области, заключенной между прямыми AiA2 и BtBz. Так как,
однако, траектория L не «проходит» через точку О, то указанный участок
траектории L либо целиком лежит в области /, либо целиком лежит
в области //. Но тогда, очевидно, луч ОМ (t) при t—*-r со стремится
либо к лучу ОМ*, либо к лучу ОМ\, и наше утверждение доказано.
Знание одного только числа к* ( к* = lim =Ц-; ) еще недостаточно
Ч t-*+co х \С)У
для того, чтобы определить, в каком именно направлении траектория L
стремится к состоянию равнове-
равновесия О. Действительно, соотноше-
соотношению tg 0*= к* @ < 0* ^ я) удовле-
удовлетворяют два (взаимопротпвопо-
ложных) направления.
В дальнейшем при рассмот-
рассмотрении сложных состояний равно-
равновесия мы часто будем говорить об
отыскании траекторий, стремя-
стремящихся к состоянию равновесия
с угловым коэффициентом или на-
наклоном к*. При этом мы будем
иметь в виду как траектории, стре-
стремящиеся к рассматриваемому со-
состоянию равновесия в направле-
направлении 0*, так и траектории, стремя-
Рис. 100. щиеся в направлении я -'- G*
@<е*<я, tg G* = А*).
Поставленный выше вопрос о существовании для луча ОМ предель-
предельного положения ОМ* можно рассматривать как вопрос о существовании
касательной в точке О у кривой, представляющей из себя траекторию L,
дополненную точкой О *). Наряду с этим можно рассматривать вопрос
о существовании предельного положения касательной к траектории L
в точке М (t) (при t -*- -\- оо). Мы покажем в п. 2, что в случае простого
состояния равновесия касательная к траектории L в точке О и предельное
положение касательной к траектории L в точке М (t) при t -»- + со суще-
существуют или не существуют одновременно, а в том случае, когда они суще-
существуют, они совпадают.
В более общих случаях данное утверждение, вообще говоря, не
справедливо. Рассмотрим, например, кривую, заданную уравнением
у = х" sin — при х =/= 0,
г/ = 0 при ж = 0.
Эта кривая имеет касательную в каждой точке, в том числе в точке с абсцис-
абсциссой х = 0, однако касательная в точке М с абсциссой х не стремится,
как легко видеть, ни к какому предельному положению при х —*- 0.
*) При этом касательную надо понимать как предельное положение секущей ОМ
при t —*¦ +со. Это замечание приходится делать ввиду того, что траектория L, допол-
дополненная точкой О, не является кривой, заданной параметрически (точка О не соответ-
соответствует никакому значению параметра t), а обычное определение касательной дается
для кривых заданных параметрическими (или явными) уравнениями.

§ 9] НАПРАВЛЕНИЯ СТРЕМЛЕНИЯ К ПРОСТЫМ СОСТОЯНИЯМ РАВНОВЕСИЯ 185
Настоящий параграф посвящен изучению простых состояний равно-
равновесия. При этом, как правило, будут рассматриваться системы класса Ct.
Однако в случае кратного корня характеристического уравнения, т. е.
в случае «вырожденного» (Xj = Я2 = Я, u ^ 0) и «дикритического» узла
(?14 = Я-2 = Я, (j, = 0), нам придется усилить требования, налагаемые
на систему и предполагать, что рассматриваемая система имеет класс С2-
Вопрос о направлениях, в которых траектории стремятся к сложным
состояниям равновесия, рассматривается в § 20 при предположении, что
динамическая система является аналитической.
2. Угловой коэффициент направления, в котором траектория может
стремиться к простому состоянию равновесия. Запишем рассматриваемую
систему, как обычно, в виде
х + Ь + (, у), 4~ = cr + dy + ty (х, у), B)
dt
где q>(z, у) и Цт(х, у) — функции класса Сх, обращающиеся вместе со
своими первыми производными в нуль в точке О@, 0) (см. §6). Состоя-
Состояние равновесия О предполагается простым, так что
a b
с d
Лемма 1. Пусть (I) — динамическая система класса Си О@, 0)—
ее состояние равновесия (простое) и x — x(t), y = y(t) — полутраектория
системы, стремящаяся к точке О. Тогда —т— имеет при t —> -{- оэ предел
(конечный или бесконечный) в том и только в том случае, когда имеет
а УA)
предел отношение у. , причем в случае существования этих преоелов
X (t)
они равны
lim —г—= lim —г-- .
Доказательство. Так как функции ф и ij) со своими первыми
производными обращаются в нуль в точке @, 0), то ц> (х, у) = о (q),
$ (х, у) = о (q), где q = Ух2 + у2.
Предположим сначала, что lim -~ {-существует и равен конечному
числу к. Это может быть только в том случае, когда для всех доста-
достаточно больших t x(t)^=O, т. е. x(t) не меняет знак. Мы имеем
dy
dx dx
dt "^T+i
^ '
Так как A ^ 0, то с -^ dk и a -\- bk не могут одновременно обращаться
, и из соотношения C) сл
—-7-rj- ( — —> 0 и -2- —> 0 при о
а-\-Ък V ° о г «
в нуль, и из соотношения C) следует, что lim —j1 существует и равен

18G ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IV
Если lim ™~-=оэ, то lim х-~- = 0. Тогда из рассуждений, аиа-
i-j-Ни х "' *->+оо ^ (')
, . г/г
логичных только что проведенным, следует, что существует lim - - ,
а следовательно, и lim-~ . Таким образом, мы доказали, что из сущеет-
1 ¦ у (О т ^"
вования lim -М- следует существование hm -^- .
Докажем обратное утверждение. Пусть lim -~ существует и ра-
t-*+oa aX
вен /с. Предположим сначала, что к — конечное число. Это может быть,
очевидно, лишь в том случае, когда при достаточно больших t x' A)фО,
т. е. х' (t) сохраняет знак. Но тогда при больших t x (t) есть монотон-
монотонная функция от t, следовательно, t можно представить как функцию
от х, t = t (х), и уравнение полутраектории L в окрестности начала
можно записать в виде у — у(х). Так как x(t) не может равняться
О ни при каком t (x (t) —з> 0 при t —> -f- оо), то функция у (х) не определена
при х = 0. Доопределим ее, положив у (ж) = 0 при х = 0. Тогда
jL=«j$=m=ym=y>iyxh где
Отсюда следует, что
lim -^ = lim у' (ух) = к = lim -^ -
da;
Если /с=со, то lim~5—= 0 и в силу проведенных рассуждений
-^-~- = 0, т. e. lim — = оо. Таким образом, мы показали, что,
f_>cn У (Ч Х
во-первых, если существует lim . , то существует lim -- , и, во-вто-
рых, что если существует lim -^- , то существует lim -~r , и оба
предела равны. Лемма доказана.
Следствие. Угловой коэффициент направления, в котором полу-
полутраектория может стремиться к состоянию равновесия О, удовлетворяет
квадратному уравнению
bk* + (a — d) к — с=0 D)
(при этом, если b = 0, то одним из корней уравнения D) считается обыч-
обычно со).
В самом деле, если к — конечное число, то, переходя в соотноше-
соотношении C) к пределу при t -> -f- °°, мы получим
с + dk
к =
a-i-bk
откуда и вытекает соотношение D). Если же к = со, то lim-~ =
— lim— = 0. Очевидно, при этом г/(г)=^О при достаточно больших t.
Поэтому
„ х J ъ
d . •

§ О] НАПРАВЛЕНИЯ СТРЕМЛЕНИЯ К ПРОСТЫМ СОСТОЯНИЯМ РАВНОВЕСИЯ 187
Переходя к пределу, мы получим 0 = bid, т. е. h = 0. Утверждение
доказано.
Отметим, что дискриминант квадратного уравнения D) совпадает
с дискриминантом характеристического уравнения. Поэтому в случае,
когда этот дискриминант отрицателен, т. с. в случае фокуса (простого
или сложного), не существует направлений, в которых траектории могут
стремиться к состоянию равновесия. Нетрудно показать, что корни
уравнения D) кг и к2 связаны с характеристическими корнями %i и Я2
с оотношепиями
«i — b . *-2- b
Бее дальнейшие рассмотрения этого параграфа мы будем проводить,
считая, что исследуемая вблизи простого состояния равновесия @, 0)
система (I) приведена к каноническому виду.
3. Узел с различными характеристическими корнями. В этом случае
система может быть приведена к виду
, у), -^т=^гУ + ^{х, у). E)
Пусть для определенности Я2<Я1<0. Как было показано в § 7,
в этом случае существует 60 > 0 такое, что всякая полутраектория, про-
проходящая через точку окрестности узла U^o (О) при возрастании t стремит-
стремится к точке О, причем так, что q (t) монотонно стремится к нулю, т. е.
каждая окружность о = 6 с радиусом 6 < 60 является циклом без
контакта. Пусть q = q (t), 6 = 6 (t) — уравнение траектории системы E)
в полярных координатах. При этом, переходя в системе E) к полярным
координатам, мы получаем *)
d6 %2—}-i ¦ л/л . 'ф F cos 0, g sin 6) cos 0—ф (о cos 6, q sin 6) sin 0 ,р,
dt ^ ~^H sin гь ^> • (ь>
Второе слагаемое правой части при q —*¦ 0 стремится к нулю равномерно
относительно 6. Поэтому мы можем написать
k=ki2e + <D(. в),
Ж = sin2
где Ф (q, В) — ограниченная функция при всех достаточно малых о
(предположим, что при | Q | < бо) н всех 8.
При произвольном е, 0^e<J.,-, рассмотрим 4 сектора Т\ (t = l,
2, 3, 4) круга q ^ б0, определяемые следующими неравенствами
(рис. 101):
1в'<е (i = l), ;6 — л |<е (i = 2),
*) После перехода к полярным координатам в случае комплексных характери-
характеристических корней мы получали систему, для которой при всех достаточно малых
6 (it*' *С 6*) мы имели dQIdt =з= 0, т. е. там у получепной системы не было состояний
равновесия в полосе |g| < о* (ось g = 0 являлась интегральной кривой). В рассма-
рассматриваемом нами сейчас случае действительных характеристических корней это, оче-
очевидно, уже не так: dQIdt обращается в нуль в точках оси q = 0, т. е. у полученной
после перехода к полярным координатам системы есть состояния равновесия, лежа-
лежащие па оси q = 0.

188
ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ
ИГЛ. JV
На лучах
>=-тг Л — 8
G)
sin 26 > 0, а на остальных лучах, входящих в границы секторов Т\.
sin 26 < 0. Поэтому при достаточно малом б (е) < 60 на указанных лучах
dQ/dt > 0, так как Я2—Я4 <0, а на остальных четырех лучах, входящих
в границы секторов Т\, dQ/dt > 0.
Тогда, очевидно, в точках границ секторов 7'f и 7'| траектории при
возрастании / входят внутрь этих секторов, так что все траектории, про-
проходящие через точки секторов Те. Тг и их границ, больше уже не могут
выйти из них, а в точках границ сек-
секторов У| и Т\ все траектории при воз-
возрастании t выходят из этих секторов,
так что всякая траектория, проходя-
проходящая через точку рассматриваемого
круга, лежащую вне Т%, Т\, не может
войти в эти секторы.
Обозначим через S\, S%, S%, S*
остальные секторы круга 6<60
(рис. 101). Имеет место следующая
лемма:
Лемма 2. Всякая траекто-
траектория, проходящая через точку какой-
нибудь из областей S%, при возраста-
возрастании t входит в одну из областей Т\
и Т%.
Доказательство. Рас-
Рассмотрим для определенности полу-
полутраекторию L+, параметрические
уравнения которой (в полярных координатах) q = q (t), 9 = 6 (t), про-
проходящую через точку области Sf. Предположим, что она не входит
в область Т\ и, следовательно, не выходит из области S\. Тогда для всех
достаточно больших t будем иметь для этой траектории
е<в(«)<-5— е, т. е. 2е<26<л —2е
и, следовательно, sin 26 > sin 2e. Тогда из F), принимая во внимание,
что Я2 — %1 < 0, мы получаем
Рис. 101.
Так как q—>0 при t—>-\-ca (см. § 7), то при t достаточно большом
Пусть -2 4 * sin2e =—A, где Л<0. Кроме того, предположим, что
при t = t0 8 (t0) = 60 ^очевидно, можно считать, что 6 < 60 < -~^) . Тогда
при t^>t0
to

§ 9] НАПРАВЛЕНИЯ СТРЕМЛЕНИЯ К ПРОСТЫМ СОСТОЯНИЯМ РАВНОВЕСИЯ 189
4
и если A (t — ?0)>4" > то 6 (t)<iO. Это противоречит сделанному допуще-
допущению, что полутраектория L+ не выходит из области S\. Лемма до-
доказана.
Теорема 20. Если Я2 < Я4 < 0, то все полутраектории, стремя-
стремящиеся к узлу, стремятся к нему в определенных направлениях. В случае,
когда динамическая система в окрестности узла О имеет канонический
вид E), этими направлениями являются я/2 и —- л, Он я, причем в направ-
лениях л/2 в у л к узлу О стремится только по одной полутраектории.
Все остальные траектории стремятся к узлу О в направлениях 0 или я,
причем в каждом из этих направлений стремится бесчисленное множество
полутраекторий.
Соответствующим образом измененное утверждение имеет место для
случая Ял < Я2 < 0, а так же для случая, когда О — неустойчивый узел
(О < Кх < Я2 или 0 < Х2 < At).
Доказательство. При любом заданном е > 0 рассмотрим
любую полутраекторпю L+, проходящую внутри круга q < Ь (е) F (е), как
и выше, выбирается так, чтобы границы секторов Т\ круга радиуса 6 (е)
не имели в отличных от О точках контактов с траекториями). Предпо-
Предположим, что траектория Ь+ проходит через точку сектора S\, i>f или Т\.
Тогда в силу леммы 1 полутраектория L+ попадает в сектор Т\ и в силу
свойств этого сектора из него не выйдет. Так как все окружности 6 < 60
являются окружностями без контакта, то нетрудно видеть, что это спра-
справедливо для любого сколь угодно малого е > 0. Но в силу замечания 1 п. 1
это и означает, что полутраектория L+ стремится к состоянию равнове-
равновесия О в направлении 0=0.
Полностью аналогично устанавливается, что если полутрасктория L+
проходит через точки сектора S4, Sf или Т\, то она стремится к точке О
в направлении 6 = я. Кроме того, очевидно, что как в направлении
6 = 0, так и в направлении 6 = л к состоянию равновесия О стремится
бесчисленное множество траекторий.
Рассмотрим теперь секторы Т* и Т\. Допустим, что при некотором
фиксированном е0 полутраектория Ьт лежит целиком внутри Г|. Дока-
Докажем, что в этом случае Ь+ стремится к точке О в направлении л/2. В самом
деле, возможны два случая: либо для любого е полутраектория Ь+, начи-
начиная с некоторого момента, попадает в сектор У| и остается там. Но это
значит, что L+ стремится к точке О в направлении nil. Либо для некото-
некоторого 8 полутраектория L+, попадая в круг радиуса б (е), соответствующий
данному е, имеет в этом круге точки, лежащие вне сектора Г|. Но тогда
в силу леммы 1 полутраектория L+ должна попасть в сектор Т\ или Т*
и, следовательно, вопреки пред пол ожению, не лежит целиком в секто-
секторе Т%. В точности так же устанавливается, что если полутраектория L+
целиком лежит в некотором секторе Т\ (е < е0), то она стремится к точ-
точке О в направлении -^ я.
Li
Покажем теперь, что в каждом из секторов Т%, Т^ существует в точ-
точности по одной полутраектории, не выходящей при возрастании t из этого
сектора. Покажем это для сектора Т\. Пусть е фиксировано, и пусть
MiM2 — дуга окружности q = б(е), входящей в границу сектора Г|. Сек-
Сектор Г| полностью аналогичен рассматривавшимся при установлении харак-
характера расположения траекторий в окрестности седла треугольникам —
например, треугольнику OAD.

190 ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ 1ГЛ. IV
Нетрудно убедиться в том, что все траектории, входящие в сек-
сектор Т\ через дугу МХМ% в точках, достаточно близких к Mt, выходят
из этого сектора через отрезок ОМи а все траектории, входящие в сек-
сектор 7'| через ту же дугу в точках, достаточно близких к точке М2, выходят
через дугу ОМ2- Отсюда такими же рассуждениями, как и при рассмотре-
рассмотрении седла (выделении среди точек дуги M\Mi точек двух типов), устанав-
устанавливается, что по крайней мере одна траектория, входящая в сектор Т\
через дугу МХМ2, не может выйти из этого сектора. Доказательство
того, что такая траектория — единственная, проводится совершенно
так же, как и при рассмотрении седла. Действительно, запишем второе
из уравнений E) в виде
где gi и g2 — те же функции, что и в § 7 (см. формулу A) § 7). В точках
сектора Т* — < tg e, т. е. ограничено. Если полутраектория L+, пара-
параметрические уравнения которой х = х (t), у = у (t), не выходя из Т\,
стремится к узлу О, то при достаточно больших t из выражения (8) мы
получаем (в силу того, что Х2 < 0, а у > 0) -~ < 0. Это означает, что
У = У (t) есть монотонная функция t, и мы можем, выразив t через х,
написать уравнение траектории L+ в виде х = х (у) (х ->- 0 при у ->¦ 0).
Далее, доказательство проводится совершепно так же, как и дока-
доказательство единственности сепаратрисы в § 7 с очевидными изменениями,
вызванными тем, что уравнение траекторий здесь имеет вид х = х (у),
а не как в рассматривавшемся в § 7 случае. Теорема доказана.
Замечание. Из самой теоремы 20 следует, что полутраектории
системы E)
~ = К1х + (р(х, у), -^-'=^У + ^(х, У)
(Я,!, Я2—-действительные не равные числа одинаковых знаков) ведут себя
в смысле направления этих полутраекторий при стремлении их к состоя-
состоянию равновесия так же, как полутраектории соответствующей линей-
линейной системы
Это же замечание справедливо и для системы, не приведенной
к каноническому виду
~ = ах-]-Ьу + (р(х, у), -^ = cx + dy + y(sr, у)
в случае, когда О @, 0) является узлом. Таким образом, на направления,
в которых полутраектории системы стремятся к узлу, члены ф (х, у)
и яр (х, у) влияния не оказывают.
С использованием полученных выше сведений (ужо не являющихся
чисто топологическими) относительно стремления траекторий к узлу
в определенном направлении расположение траекторий в окрестности
узла (с не равными характеристическими корнями) схематически изобра-
изображено на рис. 104, а, б (на рис. 104, а в случае, когда система имеет кано-
канонический вид, так что направления, но которым траектории стремятся
к узлу, совпадают с направлением осей координат, а на рис. 104, б —
в общем случае).

9] НАПРАВЛЕНИЯ СТРЕМЛЕНИЯ К ПРОСТЫМ СОСТОЯНИЯМ РАВНОВЕСИЯ 191
4. Дикритический узел. Рассмотрим теперь случай, когда Xt =- X2 =h
и при этом fx = 0 (см. § 7, п. 2, случай 16 при ^ = 0). В этом случае
система может быть приведена к виду
к + () ^ у + фB у). (8)
Пусть для определенности к <С 0, т. е. узел устойчивый. Предположим
сначала, что функции ф и г|з — любые функции класса Си обращающиеся
в точке О @, 0) в нуль вместе со своими первыми производными. Пока-
Покажем, что при таком предположении вопрос о существовании направлений,
в которых положительные полутраектории стремятся к точке О, зависит,
вообще говоря, от функций фиг):, т. е. система G) и соответствующая линей-
линейная система
dx . dy . /п.
могут вести себя в этом отношении по-разному (сравните с замечанием
к предыдущей теореме). С этой целью рассмотрим следующий пример,
принадлежащий Перрону:
dx =. х У InL
dt igyr3;!t + y2' dt
В этой системе правые части не определены в точке @, 0). Мы определим
их, положив ф @, 0) = ij3 @, 0) = 0.
Очевидно, при этом ф и я[) являются непрерывными функциями в окрест-
окрестности точки О, а сама эта точка есть изолированное состояние равновесия.
Непосредственные вычисления показывают, что функции ф (х, у) и г|з (х, у)
имеют непрерывные первые частные производные в окрестности точки О
(включая и саму точку), причем значения этих производных в О равны
нулю:
фИО, 0) = ф^@, 0) = i>;@, 0)=ф'„@, 0) = о.
Найдем теперь траектории системы A0). Мы имеем
Q* = Z2 + y2,
qq' = xx' -f yy' = х ( — х - -—;?===- V|- у ( - у -j- -—- * - ) ^ -о2,
Q' = — Q5 Q = Ce (
(С можно считать положительным числом). Далее, положит}, что на
траектории системы полярный угол В = 0 (t), мы будем иметь
Подставляя сюда х' и у', выраженные через q и В, получим
л - lgc
т. е.
t — lgC
Интегрируя по t от t0 до t > t0, получим

192 ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ ВГЛ. IV
Отсюда видно, что при t —> -f- oo 6 (t) —> — оо. Но это значит, что ни одна
из рассматриваемых полутраекторий нашей системы не стремится к точ-
точке О в определенном направлении, а все они бесчисленное множество раз
обходят вокруг точки О, т. е. являются спиралями, накручивающимися
на точку О.
Что касается соответствующей линейной системы
dx . dy .
то ее траекториями являются лучи
Следовательно, каждая траектория при I —>¦ оо стремится к точке О в опре-
определенном направлении и для каждого направления имеется в точности
одна траектория, входящая в точку по этому направлению. Таким образом,
пример Перрона показывает, что если в качестве q> и я|) брать всевозмож-
всевозможные функции класса Си то направления полутраекторин, вообще говоря,
не определяются линейными членами правых частей.
Оказывается, однако, что если наложить на функции фиг); более
сильные ограничения, то эти функции—«возмущения» линейных членов—
уже не будут влиять на направления траекторий. Мы докажем это, взяв
в качестве указанного ограничения принадлежность функций фиг);
к классу С2.
Теорема 21. Если в системе G)
(К < 0) функции ф (;г, у) и х\- (х, у) являются в окрестности точки О
функциями класса С2, причем
ф @, о) = Ф; (о, о) = Ф^ @, 0) = о, ч1 (о, 0) = ^ (о, о) = ^ (о, о> = о,
то каждая полутраектория, стремящаяся к узлу О, стремится к нему
в определенном направлении, причем для любого направления имеется
в точности одна соответствующая ему полутраектория.
Доказательство. Разлагая функции ф и г|з по формуле Тей-
Тейлора, получим
y) = Aix* + 2Bixy + Ciy* + alx* + 2f,lxy + 4lyZ
( }
где каждая из величин оц, рь . . ., Y2 стремится к нулю при о ->- 0.
Перейдем к полярным координатам, считая, что о > 0. Мы получим
—^- = Xq + ф (Q cos 6, q sin 6) cos 6+Ч1 (б cos 6, q sin 6) sin G,
rfO i|)(gcosO, QsinO) д (p(gcosO, p sin в) . „
—;— — ¦ ¦—¦ COS U • Sltl 0.
dt q e
Как мы знаем (см. § 8), каждой траектории q = q (t), 6 = G (t) систе-
системы A1), расположенной в полосе Q+ I— оо < 6 < + °°, 0 <С Q < Q*)
плоскости (q. 6) (q* достаточно мало), соответствует определенная траек-
траектория системы (8) (отличная от состояния равновесия О)., расположенная
в Up» (О), причем
х = о(t) cosG(t), y = Q(t)smQ(t)

§ 9} НАПРАВЛЕНИЯ СТРЕМЛЕНИЯ К ПРОСТЫМ СОСТОЯНИЯМ РАВНОВЕСИЯ 193
являются ее параметрическими уравнениями. Напротив, каждой траекто-
траектории системы (8), расположенной в ?/р* (О), соответствует в полосе Q+ бес-
бесчисленное множество траекторий системы A1), получающихся друг
из друга сдвигом вдоль оси 6 на отрезки, кратные 2я. Так как при малых q
eft VL ' (.
то траектории системы A2) являются интегральными кривыми уравнения
ЯЬ CD
,„ -7,- cos 6 -—- sin 0
G\t Q О
*~ % -j- — cos 6 -4- — sin 0
e о
Уравнение A3) определено, очевидно, не только при малых положи-
положительных, но и при отрицательных о. Как и в § 8, п. 2, мы доопределим
функции tp'Q, 'ф/р, ф/62 и 'ф/СГ в точках оси 0, положив, что при любом
6 (— сю <С 0 < -L сю) и при q = О
Г ф (q cos 0, о sin 0) "I Г я|) (о гos 0, о sin 0) ^
L 0 J p=o L С1 -! р=о '
;s OfinO). ] _о = .4i cos2 G -f- 2«j cos 6 sin 0 + C, sin2 0, A4)
j
e sinS ()
Доопределенную таким образом правую часть уравнения A3) обозначим
через Ф(б, 6). Уравнение
-g- = a>(c,e) A5)
определено теперь в полосе Q I ! Q | < Q* 3 (о* достаточно мало) и при
q :ф 0 совпадает с уравнениями A3). Докажем, что Ф (q, 9) есть непре-
непрерывная функция в полосе Q и имеет там непрерывную производпую по 6.
Для этого достаточно показать, что функции ф/р, ф/Q2, -ф/с?, -ф/q2 непре-
непрерывны и имеют непрерывные производные по В в точках оси 0 (т. е. при
q = 0). Непрерывность отих функции непосредственно следует из соот-
соотношений A1) и A4). Непрерывность частных производных докажем для
функций ф/g, ф/д2. Мы имеем
Ф ср (ocosG, р sin 0) А
-|- = ^-— ^ При Q ф 0,
ф
При
-ф- = 0 при е=0.
^ dfl ^ — Фх(рсов6, о sin 0) sin 0 - f- cpj, (q cos 0, gsinO)cos(), A0)
при q = 0 ^---0 для любого 0. Поэтому —-*?; - - - U в точке @, 0) в силу
определения частной производной.
С другой стогоны, из соотношения AС) следует, что
р->0 d"
Таким образом, непрерывность производноГ! ^ доказана.
13 А. А. Андронов и др.

194
ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ
ИГЛ. IV
Переходим к рассмотрению функций ф/е2. Из ее определения (см. A4))
следует, что при q = О
= 2 Г (Я, cos 0 + Ci sin G) cos G - (А! cos 0 + ?4 sin G) sin G ] A7)
L
(G — любое).
30
to
Если же
в (ф/е2) #_ г ф (е cos e, q sin в) ~i _
зв W L о2"" J
= JL[ _m;(ocos0, osin0)sin0-f фу(Осоз0, р, sin 0) cos в I .
е L
Но
фИж, У) = ф^х@, 0)жЧ-фхУ(О, О)г/+аа; + р>, (ig)
где а, р, у, 6 —бесконечно малые одновременно с q, a
<р^ @, 0) = 2Alt ФхУ @, 0) = 2?4, ф"уы @, 0) = 2С±.
Поэтому
= 2 [(- Л t cos 0 - Bl sin 6) sin G +
30
B0)
(о A) — бесконечно малая).
Переходя в B0) к пределу при е -»¦ 0, мы получаем A7). Непрерыв-
Непрерывность производной ^ffi доказана. Точно так же доказываются соответ-
соответствующие утверждения для функций г|з/о, ffQ2-
Таким образом, в полосе Q {lei < Q*) Функция Ф (с 6) непрерывна
и имеет непрерывную производную по G. Но тогда для уравнения A5)
в этой полосе справедлива теорема
существования pi единственности.
Любой отрезок прямой о = О
является для интегральных кри-
кривых уравнений A5) отрезком без
контакта, и, следовательно, инте-
интегральные кривые ведут себя в по-
полосе Q (если о* мало) так, как
показано на рис. 102. Но это зна-
значит, если принять во внимание
связь между траекториями снсте-
Рис. 102. мы G) и отрезками интегральных
кривых уравнения A5), что идоль
каждой полутраектории угол G стремится к определенному пределу
при t->- + oo, т. е. каждая полутраектория стремится к Ов опре-
определенном направлении. Из рассмотрения рис. 102 вытекает также спра-
справедливость второго утверждения теоремы.
Таким образом, теорема доказана.
На рис. 106 (см. стр. 203) схематически изображено расположение
траектории в окрестности дикритического узла.

§»] НАПРАВЛЕНИЯ СТРЕМЛЕНИЯ К ПРОСТЫМ СОСТОЯНИЯМ РАВНОВЕСИЯ 195
5. Вырожденный узел. В случае, когда точка О @. 0) является вырож-
вырожденным узлом динамической системы, мы всегда можем с помощью «пре-
«преобразования масштабов» привести систему к виду *)
-JH*+ '!'<*• У)' -аг = х + У + Ъ(х, у). B1)
Поэтому мы ограничимся рассмотрением такой системы. Относительно
функций ф и г|з мы предположим так же, как в случае дикритического
узла, что они являются функциями класса Сп, причем в точке О @, 0)
эти функции равны нулю вместе со своими первыми производными. Как
было показано в § 7, точка О @, 0) является неустойчивым узлом систе-
системы A): все траектории, проходящие в достаточно малой окрестности точ-
точки О, при t —*¦ — оо стремятся к О. В силу следствия из леммы 1 (см. п. 2)
угловые коэффициенты направлений, в которых траектории могут стре-
стремиться к О, определяются из уравнения
— d)k — c = O. B2)
В данном случае b = 0, а — d = 0, с = 1, оба корня уравнения B2)
равны бесконечности, и мы получим два возможных направления 0 = 4г
и е = 4 я.
Теорема 22. При сделанных выше предположениях относительна
функций ф и т]) каждая полутраектория системы B1), стремящаяся
к состоянию равновесия О, стремится к нему в определенном направлении,
о
именно, либо в направлении я/2, либо в направлении-^- я; при этом имеется
как бесчисленное множество полутраекторий, стремящихся к О в направ-
направлении я/2, так и бесчисленное множество полутраекторий, стремящихся
к О в направлении -^ я.
Доказательство. Считая, что q =^= 0, и переходя обычным
способом к полярным координатам, мы получим систему
B3)
de = cos^e + Ф(о«=<»е, Qsine^ cos e_JL(Qcose, Q sine^ sinG = fi (e> Q)_
Эта система определена для всех достаточно малых по абсолютной вели-
величине q, отличных от нуля. Доопределим эту систему в точках q = 0т
*) Как мы видели, в случае кратяых корней характеристического уравнения
система приводится к виду
Полагая х = а?„ у = г\, г = Рт, нетрудно видеть, что
Всегда можно аир взять такими, чтобы мы имели рЯ=1, apj.i = l.
13'

196 ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ (ГЛ. IV
положив при q = О
Ф (q cos 6, QsinO) _q t1)(qcos6, QsinO) _^
В п. 4 было показано, что таким образом доопределенные функции
*ф/б, *ф /q имеют в полосе Q [ | q | < q*] непрерывные частные производные
первого порядка по 0. С помощью непосредственных вычислений нетрудно
показать, что эти функции имеют также непрерывные частные производ-
производные первого порядка по q.
Для решения поставленной нами задачи достаточно выяснить, каково
возможное поведение отрицательной полутраектории
Q = Q(O, 6 = 6@,
расположенной в полосе Q, и установить, как ведет себя функция 0 = 6 (I)
при t —>• — оо *). Заметим прежде всего, что если q* достаточно мало,
то состояния равновесия системы B3), расположенные в полосе Q, лежат
на оси q = О, следовательно, для них cos2 0 = 0, т. е. О = ~ -j- Ал
(к = 0, ±1, ±2, . . .). Из первого уравнения системы B3) вытекает,
что каждый отрезок оси q = 0, заключенный между точками 6=4! + /от,
6 = у + {к + 1) я> является траекторией системы B3), причем возра-
возрастанию времени t соответствует на этой траектории возрастание пара-
параметра 0. Указанные состояния равновесия на плоскости (q, G) не являют-
являются простыми. Действительно, рассмотрим, например, состояние равно-
равновесия (О, —¦ j . В окрестности этого состояния равновесия система B3)
может быть (принимая во внимание, что функции -ф /q и ф/g имеют непре-
непрерывные производные по G и q) представлена в виде **)
-Ж=Q + Г е —^-) ф10?, е) + еФ4 (е, б).
j|L = (e-^Y + a0. + @--}~J<p2 (Q) + Qypz (о, 9),
где
ф! (е, 6) = 0, нтф! (е, 0) —> о,
р->0 р->-0
Ит ф2 (Q, 0) -> 0, HmiJj2(Q, 0) ~> 0,
0 0
*) В случае узла с различными характеристическими корнями можно было бы
вместо проведенного в теореме 20 доказательства провести рассмотрение, полностью
аналогичное тому, которое мы проводим в настоящей теореме.
**) Обозначая через R (g, 6) и Q (q, 0) правые части соответственно нервого
и второго из уравнений B3), мы, очевидно, получим
Ф (q cos 0, g sin 6)

§ 91 НАПРАВЛЕНИЯ СТРЕМЛЕНИЯ К ПРО СТЫМ СОСТОЯНИЯМ РАВНОВЕСИЯ 197
и а — некоторая постоянная, которая может быть как равной, так и не
равной нулю. Мы имеем, следовательно, в рассматриваемом состоянии
равновесия
О 1
Д =
О а
= 0.
А это означает, что состояние равновесия не является простым.
Поэтому изложенные в §§ 6 и 7 методы к нему неприменимы. Это
состояние равновесия может быть исследовано методами, изложенными
в §§ 11 и 22. Однако здесь мы даем его непосредственное рассмотрение.
Как было указано, для нас представляет интерес поведение отрица-
отрицательной полутраектории q = q(i), 6 = 0 (г) (t<Ct0) системы B3), распо-
расположенной в полосе Q. Из первого из уравнений B3), очевидно, следует,
что если Q* достаточно мало, то при g < q*(q > 0) --— Ф 0, т. е. прямые
q = const, проходящие в полосе Q, являются дугами без контакта для
траекторий системы B3). Поэтому в полосе Q, q (t) монотонно стремится
к нулю при t -*- — оо.
Относительно 6 (t) мыслимы три предположения: 1) при t-*¦ — оо
0 (t) —*- -j- °° или 0 (?)—*" — °°» 2) при t—*¦ — оо функция 6 (t) остается
ограниченной; 3) при t —*- — оо функция 0 (t) не ограничена, но не стре-
стремится ни к 4" оо, ни к — оо (например, как t sin t).
Нетрудно видеть, что третий случай не может иметь место. Для этого
рассмотрим, например, прямые 0 = кя. Когда g* достаточно мало, то
на частях этих прямых, расположенных в полосе Q, -^— > 0, —Я Ф 0,
и, следовательно, эти части являются отрезками без контакта. Если бы
третий случай мог осуществляться, то траектория должна была бы пере-
пересекать отрезки без контакта 0 = пл в противоположных направлениях,
что не может быть. В случае же 2) полутраектория остается в ограниченной
части плоскости и, следовательно, имеет предельный а-контштуум, рас-
расположенный на оси q = 0. Очевидно, такой континуум является состоя-
состоянием равновесия, т. е. одной из точек @, -^—1- кя ) . Покажем, что первый
случай тоже не имеет места. Для этого покажем сначала, что к каждому из
состояний равновесия Г 0, ~ -J- кп J стремится при t -> — оо по крайней
мере одна полутраектория системы B3), расположенная в полосе Q. Для
определенности рассмотрим состояние равновесия I 0, -у ) , в ок-
окрестности которого правые части системы B3) имеют вид B4).
Проведем через точку ( 0, jy } прямую
B5)
где х—некоторая положительная величина, которая будет подобрана
позднее. Установим, как ведут себя траектории в точках прямой B5).
Предполагая, что g (/0) = к (% — я/2), найдем выражение (ср. § 7, п. 3)
*=*0

198 ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ
После несложных вычислений мы получим
d I Q@ M _l dt V 2 у
ИГЛ. IV
)—S-V-^-Q
= х- х2а + (б (*0) --?Л Ф @ (to)).
При всяком а мы можем взять столь малое (фиксированное) х, чтобы
к — и2а>0, и, далее, выбрать столь малое т]>0, чтобы при всех
;—|- т], мы имели бы
0.
dt
а—я
Рассмотрим треугольник CAB, образованный отрезком С А прямой
B5) и отрезком прямой 0 = -у4-'Л (рис. 103). Кроме того, выберем столь
> 0, чтобы при всех | q | < q* на прямой в = -^—J- т]
\Р
малое
Из рис. 103 нетрудно видеть, что всякая траектория, пересекающая
отрезок СЕ прямой B5), отрезок ED прямой g = q* и отрезок DB прямой
0 = y 4- "Л, при убывании t входит внутрь области w, ограниченной
этими отрезками и частью оси g = 0 (являю-
(являющейся частью траектории), и при дальней-
дальнейшем убывании t уже не может выйти из обла-
д сти w. Очевидно, и всякая траектория, про-
проходящая через точки области w, при убыва-
М нии t тоже не может выйти из этой области.
А тогда всякая такая траектория должна
непременно при t -> — оо стремиться к со-
состоянию равновесия С С 0, у- ) •
Но это значит, что существует бесчислен-
Рис. 103. ное множество траекторий системы B1), стре-
стремящихся при t —»— оо к состоянию равновесия
О @,0) в направлении у. В точности таким же образом устанавливается, что
существует бесчисленное множество траекторий системы B1), стремящихся
3
О
в
о
к точке О @,0) в направлении -^ я. Отсюда следует, что для каждого состоя-
состояния равновесия Г 0, у + кп j системы B3) на плоскости (g, G) имеются
полутраектории этой системы, расположенные выше оси 0 и стремящиеся
к этому состоянию равновесия при t -*-— оо. Но тогда система B3) не
может иметь траекторий Q = Q (*), 0 = 6 (t), для которых при t -v — оо
Q (t) —*-0, а 0 (t) -»-oo. Следовательно, каждая полутраектория систе-

§ 9] НАПРАВЛЕНИЯ СТРЕМЛЕНИЯ К ПРОСТЫМ СОСТОЯНИЯМ РАВНОВЕСИЯ 199
мы B1), стремящаяся к состоянию равновесия О, стремится к нему в опре-
.. я, 3 „,
деленном направлении, т. е. в одном из направлении - -, уЯ. 1еорема
доказана.
Таким образом, мы видим, что траектории системы класса С2 ведут
себя в окрестности вырожденного узла таким же образом (в смысле направ-
направления траекторий, входящих в узел), как траектории соответствующей
линейной системы.
На рис. 105, а изображен «вырожденный» узел в случае системы,
приведенной к каноническому виду B1). На рис. 105, б изображен вырож-
вырожденный узел в общем случае.
6. Седло и фокус. Рассмотрим сначала случай седла. Система (при-
(приведенная к канонической форме) имеет вид
^ = %,х + Ф (х, у), -%- = К2у + ip (х, у), B6)
где XtA2 < 0. Относительно функций ф и *ф достаточно допустить, что они
класса Ct.
В § 7, п. 3 было показано, что одна из сепаратрис седла О, стремя-
стремящаяся к О при t —v -\- оо (обозначим ее через L±), обладает следующим
свойством: каково бы ни было число Ко > 0, все точки сепаратрисы Li,
соответствующие достаточно большим t, лежат в области, ограниченной
полупрямыми у = + Кох и у = — Кох, содержащими положительную
полуось х (т. е. луч 0 = 0). Но это означает (см. замечание 1 в начале
п. 1), что сепаратриса L± стремится к точке О в направлении 0 = 0.
Точно так же остальные три сепаратрисы стремятся к состоянию
равновесия О в направлениях я, ~ и -^ л. Таким образом, мы полу-
чаем следующую теорему:
Теорема 23. В случае, когда точка О @, 0) является седлом, все
полу траектории системы B6), стремящиеся к точке О, т. е. сепаратрисы
седла О, стремятся к нему в определенных направлениях. При этом две
сепаратрисы стремятся к точке О в направлениях 0 и я, а остальные
две — в направлениях -=¦ и -у я-
Из теоремы 23 следует, что относительно направления траекторий,
входящих в седло, система B6) ведет себя в точности так же, как соответ-
соответствующая линейная система
dt
т. е. члены ф (х, у) и ^(х, у) при этом роли не играют.
В случае, когда система не приведена к каноническому виду
^ {х, у), ^- = cx + dy + jp(x, у),
направления к^ и к2, по которым сепаратрисы стремятся к состоянию
равновесия О, определяются из квадратного уравнения
На рис. 107, а изображено расположение траекторий в окрестности
седла в случае, когда система имеет канонический вид, а на рис. 107, б —
в общем случае.
Переходим к рассмотрению простого фокуса, либо сложного фокуса,
не являющегося центром или центрофокусом.

200 ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IV
Канонический вид системы:
Будем считать, что а<0, Р > 0. Тогда, как известно (см. § 8),
все полутраектории, проходящие в окрестности состояния равновесия,
являются спиралями, стремящимися к точке О при t -> -f~ oo, причем
вдоль каждой полутраектории угол 6 (t) —v -f- oo при t —> -j- oo.
Таким образом, ни одна полутраектория, стремящаяся к фокусу,
не стремится к нему в определенном направлении. В силу леммы 1 каса-
касательная к полутраектории не стремится ни к какому предельному положе-
положению. Покажем, что касательная так сказать «неограниченно вращается»
в одном и том же направлении. Это утверждение сейчас будет уточнено.
Пусть L+ — рассматриваемая полутраектория (спираль), М (t) —
точка ее, соответствующая значению t времени. Рассмотрим функцию <х> (t),
определенную и непрерывную для всех достаточно больших значений t
и равную при каждом t значению угла между положительным направле-
направлением оси абсцисс и положительным направлением касательной к полу-
полутраектории L+ в точке М (t) (таких функций w (t) существует бесчислен-
бесчисленное множество, и все они отличаются друг от друга на кратное 2я (см. § 8,
п. 1), мы берем одну из них).
Докажем, что lim a (t) = Ц-оо. Для этого заметим, что в достаточно
t->-j-co
малой окрестности точки О отрезки G = const, q > 0 являются отрезками
без контакта для траекторий системы (см. § 8, п. 5, лемма 3). Поэтому
ни для какой точки окрестности радиус-вектор не коллинеарен с каса-
касательной к траектории, проходящей через эту точку.
Рассмотрим разность d (t) = со (t) — 9 (t). Очевидно, d (t) есть пепрг-
рывная функция, которая не может в силу указанной неколлинеарности
принимать значения, кратные я. Поэтому все зпачения функций с! (t)
расположены в одном из интервалов (кл, (/с-j-l) л) (к — целое), т. е. cl (t)
ограничена. Но тогда
lim <x>(t)= lim [Q(t) + d(t)]= +oo.
4
В случае, когда Р < 0, lim 6 (t) = lim w (t) = — oo. Расположение
t—>-|co t-*--[~co
траектории в окрестности фокуса изображено на рис. 108, а и б.
7. Сводка сведепий о простых состояниях равновесия с не равными
нулю действительными частями характеристических корней *). Сводка,
которая здесь дается, может оказаться полезпой при качественном рас-
рассмотрении конкретных динамических систем.
В предположении, что рассматриваемое состояние равповесия лсжш
в начале координат, система в окрестности этого состояния равновесии
записывается в виде (§7)
B7)
, у), у =cx + dy-\-\p(x, у).
Характеристическое уравнение состояния равновесия О
\а-% Ъ
с и ¦—•
[o = a-{-d, A = ad — be].
*) Состояния равновесия с чисто мнимыми корнями, рассмотренные в § S,
здесь, очевидно, не фигурируют.

§ 9] НАПРАВЛЕНИЯ СТРЕМЛЕНИЯ К ПРОСТЫМ СОСТОЯНИЯМ РАВНОВЕСИЯ 201
Для простого состояния равновесия по самому его определению Д Ф 0,
т. е. корни уравнения B7) — характеристические корни — отличны
от нуля. Уравнение, определяющее направления, но которым траекто-
траектории стремятся к состояниям равновесия:
b№ — (d — а)к + с = 0. B8)
Корни At и А2 характеристического уравнения B7) и корни kt и /г2 урав-
уравнения B8) связаны соотношениями
* ! *
Очевидно, корни kt и /с2 действительны тогда и только тогда, когда дей-
действительны At и Я,2.
В зависимости от того, каковы характеристические корни состояния
равновесия, система может быть в окрестности этого состояния равнове-
равновесия приведена линейным преобразованием переменных к одному нз сле-
следующих видов, которые называются «каноническими» (обозначения пере-
переменных сохраняются прежними).
1. Характеристические корни действительны и различны (kt Ф к2).
Канонический вид системы:
, у), У = ^гУ-тЧ'(^' У)-
2. Характеристические корни равны (?ч = Х2 = ^)- Канонический
вид системы:
, у), у = Ку + цх + т\>(х, у)
(\л может быть как равным, так и не равным нулю).
3. Характеристические корни — комплексно сопряженные
Канонический вид системы:
; у).
Мы перечислим ниже все возможные тины состоянн!! равновесия с не рав-
равными нулю действительными частями характеристических корней и при-
приведем схематические рисунки расположения траектории в окрестности
этих состояний равновесия, используя полученные в §§ 8 и 9 сведения
о возможном характере стремления траекторий к состоянию равновесия *).
Для узлов и фокусов рисунки даются лишь в случае, когда эти состояния
равновесия устойчивы. Полностью аналогичные рисунки лишь с изменен-
измененными направлениями стрелок могут быть даны для случая, когда они
неустойчивы.
Кроме того, для не дикритического узла п для седла мы приводим
рисунки, как в случае, когда рассматриваемая система имеет канонический
вид, когда направления, но которым к состоянию равновесия стремятся
траектории, совпадают с направлением координат, так и в «общем случае»,
т. е. в случае, когда система не имеет канонического вида, так что направ-
направления /q и кг могут быть любыми.
*) При этом нужно иметь в виду, что результаты, полученные в случаях вырож-
вырожденного и дикритического узлов, справедливы лишь в случае, когда система при-
принадлежит классу С2.

202
ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ
[ГЛ. IV
I. Узел (характеристические корни действительны и одинаковых
знаков):
at) Невырожденный устойчивый узел Кх =^= К2 и %х < 0, Х-> < 0
(А > 0, о2 — 4Д > 0, а < 0).
а2) Невырожденный неустойчивый узел ^ =^= ^2> ?ч > 0, 7*.2 > 0.
Рис. 104.
Рис. 104, с и рис. 104, б соответствуют устойчивому узлу, при этом
рис. 104, с — случаю, когда система имеет канонический вид,
а рис. 104, б —«общему» случаю.
а)
Рис. 105.
6t) Устойчивый вырожденный (не дикритический) узел At = к2 ~
= l < 0, ц ф 0 (т. е. Д > 0, а2 — 4Д = 0, а < 0).
б2) Неустойчивый вырожденный узел ^4 = л2 = Я, > 0, ц =^= 0.
Рис. 105, с соответствует случаю системы в каноническом виде,
рис. 105, б — общему случаю.

9] НАПРАВЛЕНИЯ СТРЕМЛЕНИЯ К ПРОСТЫМ СОСТОЯНИЯМ РАВНОВЕСИЯ 203
Bt) Устойчивый дикритический узел (рис. 106) kt =
р = 0.
в2) Неустойчивый дикритический узел
II. Седло (характеристические
корни %i и %2 действительны и раз-
разных знаков) Xt < 0, к2 > 0 (или Kt >
>0, Х2 < 0), т. е. Д < 0. Рис. 107, а
соответствует случаю системы в кано-
каноническом виде, рис. 107, б «общему»
случаю. (При %i > 0, К2 < 0 направ-
направления на траекториях должны быть
изменены на противоположные.)
III. Фокус (характеристические
корни комплексно-сопряженные)
(т. е. Д>0, а2 — 4Д<0).
ri) Устойчивый фокус а <0.
г2) Неустойчивый фокус а > 0.
Рис. 106.
Рис. 107.
Рис. 108, с соответствует случаю устойчивого фокуса при р > 0
(а рис. 108, б при р < 0).
Напомним, что топологическая структура расположения траекторий
в окрестности узла и фокуса одинакова.
8. Примеры.
Пример 1.
Состояние равновесия О @, 0) — седло. Определим направления сепара-
сепаратрис в седле. Уравнение для нахождения углового коэффициента сепа-
сепаратрис в седле имеет вид к2 — Ьк — а2 = 0, откуда /clj2 = -- ± I/ -т;

204 ПРОСТОЕ СОСТОЯНИЕ РАВНОВЕСИЯ
Пример 2 172].
1ГЛ.
Состояние равновесия О @, 0)—неустойчивый узел. Определим возможные
а)
Рис. 108.
направления траекторий в узле О. Получим к2 — 7к + 12 = 0,
откуда &! = 3, к2 = 4.
Пример 3 [73].
Состояние равновесия О @, 0) — седло. Уравнение для определения
направлений сепаратрис в седле (E + 2) к -\- 1 = 0, откуда к = — ^т~к ¦
Нетрудно видеть, что второе значение к есть оо, а сепаратриса с накло-
наклоном к = оо есть прямая х = 0.

Г Л Л В А V
ТЕОРИЯ ИНДЕКСА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ
К ДИНАМИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Введение
Понятие индекса Пуанкаре (вместе с его обобщениями) относится
к теории векторных полей и в настоящее время играет важную роль
не только в качественной теории динамических систем, но и в ряде других
областей (топологии, функциональном анализе и их приложениях).
Используя теорию индекса, мы можем получить весьма важные сведения
о некоторых основных свойствах динамических систем.
Понятие индекса основано на понятии вращения векторного поля.
Если на простой замкнутой кривой задано непрерывное векторное поле,
то вращением этого ноля вдоль кривой называется, грубо говоря, число
полных оборотов, которое делает вектор поля при однократном обходе
этой кривой в положительном направлении (точное определение дано
в п. 2 § 6). Индекс Пуанкаре изолированного состояния равновесия О
динамической системы есть вращение векторного поля, определяемого
этой системой, вдоль любой достаточно малой замкнутой кривой, содержа-
содержащей точку О внутри себя.
Ряд приложений теории индекса основан па том, что индекс замкну-
замкнутой кривой равен сумме индексов состояний равновесия, расположенных
внутри этой кривой (теорема 27), и что индекс замкнутой траектории,
а также цикла без контакта равен 1 (теоремы 28 и 29). Из этих теорем
вытекают некоторые основные условия возможности совместного суще-
существования замкнутых траекторий динамической системы и состояний
равновесия того или иного типа.
В конце §11 вычисляются индексы простых состояний равновесия.
§ 10. Индекс Пуанкаре
1. Вращение векторного поля. Введем основные понятия теории
индекса.
Понятия, о которых пойдет речь, имеют смысл и значение для вектор-
векторных полей более общего типа, чем векторные ноля, определяемые рас-
рассматриваемыми нами динамическими системами (т. е. чем «непрерывно
дифференцируемые векторные ноля»). Именно, эти понятия имеют смысл
для любых непрерывных полей. Так как при выводе некоторых основных
фактов, касающихся динамических систем (индекса замкнутой траектории),
в дальнейшем используется рассмотрение непрерывного недифференцируе-
мого поля, то все основные понятия мы введем в предположении, что
рассматриваемое поле непрерывно и может не быть дифференцируемым.

206 ТЕОРИЯ ИНДЕКСА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИНАМИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ [ГЛ. V
Говорят, что на множестве К плоскости (х, у) (в частности, в некото-
некоторой области плоскости) задано некоторое векторное поле, если в каждой
точке М (х, у) множества К. задан вектор v (M), причем компоненты
этого вектора X (х, у) и Y (х, у) являются непрерывными функциями
точки. Далее, говорят, что векторное поле не имеет особенностей, если
оно не содержит нулевых векторов, т. е. таких, для которых компоненты X
и Y одновременно равны нулю. В каждой неособой точке определена длина
вектора и его направление. Угол to между положительным направлением
оси х и направлением вектора определяется соотношениями (см. допол-
дополнение, § 5)
X . У
cos to = — , sm to =
Очевидно, при сделанных предположениях длина вектора и угол to опре-
определяются однозначно и являются непрерывными функциями точки *).
Для введения основных понятий теории индекса достаточно рас-
рассматривать векторное иоле, определенное только на заданной кривой
(а не в некоторой области плоскости).
Под полем, заданным на кривой, мы будем в дальнейшем всегда подра-
подразумевать непрерывное векторное поле без особенностей и не будем огова-
оговаривать это каждый раз особо.
Рассмотрим сначала случай, когда иоле v задано на простой дуге I.
Определим для такого ноля угловую функцию. Пусть на плоскости (х, у)
имеется система координат. Полярным углом ненулевого вектора v мы
будем называть угол между положительным направлением оси Ох и век-
вектором v, отсчитываемый против часовой стрелки. Полярный угол опре-
определен неоднозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2л. Мы будем
называть угловой функцией векторного поля v, заданного на дуге I относи-
относительно данной системы координат, всякую функцию а = F (М), обладаю-
обладающую следующими двумя свойствами: 1) F (М) есть однозначная функция,
определенная и непрерывная для всех точек М ? I; 2) для любой точки
М 6 Z F(M) представляет из себя полярный угол вектора v (M) (конечно,
уже вполне определенный).
Докажем прежде всего, что угловые функции существуют. Напомним,
что углом между векторами t>0 и vt на плоскости (г>0 и #! — два ненулевых
вектора) называется наименьший по величине угол, на который надо
повернуть вектор v0 до совпадения его по направлению с вектором Vi (см. по
этому поводу дополнение, § 5).
Будем обозначать угол между векторами v0 и vt через
Э (v0, vt).
Мы имеем (см. дополнение, § 5)
Легко показать, если принять во внимание замкнутость множества
точек кривой I и непрерывность, а следовательно, и равномерную непре-
непрерывность вектор-функции v (M), что для любого е > 0 существует раз-
разбиение кривой С точками Мо, Ми . . ., Мп_иМп (М0,Мп — концевые точки
кривой, а увеличение номера п соответствует движению по С в каком-
нибудь определенном ее направлении рис. 109), удовлетворяющее сле-
следующему требованию: для любых двух точек М', М", принадлежащих
*) В особых точках направление вектора не определено.

§ 10] ИНДЕКС ПУАНКАРЕ 207
одному и тому же отрезку Mh-iMh кривой I,
Построение угловой функции а = F (М) векторного поля, заданного
на дуге /, можно произвести следующим образом: выберем в качестве е
число меньшее я и возьмем какое-нибудь соответствующее этому е разбие-
разбиение Мо, Ми . . ., Мп кривой I. Положим, что F (Мо) — а0, где ас —
какое-нибудь (произвольное, но фиксированное) значение полярного угла
вектора v (Мо)- Далее, для каждой точки М части М0М^ дуги I положим,
что F (М) = сс0 + 0 (v (Mo), v (М)). Предполагая, что F (М) уже построе-
построена для всех точек отрезков M0Mt, MtM2, . . . , Мй_гМЛ_1, мы положим,
далее, что если М принадлежит отрезку
Mk-iMk, то
F(I) = F(Ih)+e(t»(tfbl), v(M))
(к = 2, 3, ..., п).
Таким образом, мы получим функцию F (М),
определенную для всех точек М ? I. Легко
видеть, что эта функция обладает свойствами
1) и 2), т. е. является угловой функцией
поля v.
Выясним, чем отличаются различные
угловые функции заданного поля.
Лемма 1. Если F (М) и Ft (М) — две Иис- 1Ш>
угловые функции векторного поля v, заданного
на дуге I (относительно одной и той же системы координат на плоскос-
плоскости), то при всех М ? I Ft (M) = F (М) + 2лг, где г — постоянное целое
число. Если же F (М) и Ф (М) — угловые функции поля v на дуге I относи-
относительно двух различных прямоугольных систем координат на плоскости, то
Ф (М) = F (М) + const.
Доказательство. Если F (М) и /\ (М) — две угловые функ-
функции, соответствующие одной и той же системе координат на плоскости
(х, у), то в силу условия 2) для любой точки М ? I Ft (М) — F (М) =
= 2лг (М), где г — целое. Но тогда в силу непрерывности, г (М) есть
постоянное число.
Предположим теперь, что F (М) — угловая функция поля v относи-
относительно системы координат хОу, а Ф (М) — относительно системы коорди-
координат х'О'у'. Пусть а0 — угол между осью Ох и О'х'. Тогда очевидно, что
Ф (М) + ос0 есть угловая функция поля v по отношению к системе хОу,
и в силу выше доказанного Ф (М) + сс0 = F (М) + 2яг. Следовательно,
Ф(М) = Р (М) + Bяг —а0) = F (М) + const.
Лемма доказана.
Определим теперь вращение векторпого поля вдоль простой дуги.
Определение X. Пусть I — простая дуга, v (M) — векторное
поле, заданное на ней, M^M2 — какая-нибудь часть дуги I, на которой
выбрано направление от начальной точки М\ к конечной Мг, и пусть
F (М) — какая-нибудь угловая функция поля и, заданного на дуге I.
Мы будем называть вращением поля v вдоль части МхМч дуги I и обозначать
через w (v, MtM2) число
w (v, AfjMa) = \F (Mo) - F (M,)]. A)

208 ТЕОРИЯ ИНДЕКСА II Е.Е ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИНАМИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ [ГЛ. V
В частности, когда Mt и М2 — начальная и соответственно конечная
точка рассматриваемой дуги I, то мы будем говорить о вращении вектора
вдоль простой дуги I и будем обозначать его через w (v, I). Из леммы 1
и определения X следует, что вращение векторного поля вдоль простои
дуги / не зависит ни от выбора системы координат на плоскости (х, у),
ни от выбора угловой функции F (М) поля v относительно данной системы
координат.
Отметим следующие два очевидных свойства, непосредственно выте-
вытекающих из формулы A):
а) при замене на дуге направления на противоположное вращение
векторного ноля на этой дуге меняет знак, т. е.
w(v, MiM2)= —w(v, M2M,);
б) если MtM2M3 — произвольные три точки дуги, то
w(v, M1M3) = w(v, MiM2) + w(v, M,M3)
(аддитивность).
2. Индекс простой замкнутой кривой по отношению к заданному на
ней векторному полю. В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что
на рассматриваемой замкнутой кривой выбрано положительное направле-
направление обхода.
Пусть С — какая-нибудь замкнутая кривая, Mi и М2 точки на ней.
Под дугой MiM2, соответственно, М2МХ мы будем понимать дугу кри-
вой С с начальной точкой Aft п конечной
М2 (соответственно, М2 и М{), на которой
направление от точки Aft к М2 (от М2 к Mt)
совпадает с направлением, индуцирован-
индуцированным (см. дополнение, § 2) положитель-
положительным обходом кривой С. Дуги MjMo и
M2Mi являются, таким образом, вполне
определенными и различными дугами крн-
вой С с общими концами (рис. 110).
Рис. 110. Определение XI. Индексом
простой замкнутой кривой С плоскости
(х, у) по отношению к заданному на ней векторному полю мы будем
называть число
I {С, v) = -^ [w (v, М,М2) + w (v, МгМ,)]. B)
Мы будем обозначать индекс простой замкнутой кривой С через 1 (С).
Очевидно, данное определение индекса замкнутой кривой не зависит
от того, какие именно точки М^ и М2 выбраны на кривой С. Это легко
доказывается при помощи свойства б) (аддитивности) вращения поля
на дуге.
Пусть кривая С задана параметрическим уравнением М — М (и),
сс<и<р\ прячем точки М (а) и М ф) совпадают, и возрастанию и
соответствует положительное направление обхода кривой С (рис. 111).
Угловой функцией векторного поля v, заданного на кривой С, можно
назвать функцию F (и), определенную и непрерывную при всех и, сс<;и<'
^ Р, и такую, что при любом и F (и) есть полярный угол вектора v (и).
Существование угловой функции F (и) доказывается в точности так же,
как существование угловой функции F (Ж) в п. 1. Однако в данном случае
функция F (и) связана с определенной параметризацией кривой С.

§ 10]
ИНДЕКС ПУАНКАРЕ
209
Легко видеть, что
1
<3>
Из этого равенства следует, в частности, что число F ф) — F (а) не зави-
зависит от выбора параметризации на кривой С. Таким образом, для вычисле-
вычисления индекса замкнутой кривой С (по отношению к заданному полю)
можно взять произвольную параметризацию кривой, построить опять-
таки произвольную угловую функцию F (и) и воспользоваться форму-
формулой C). Из формулы C) выте-
вытекает, что индекс замкнутой кри-
кривой есть всегда целое число,
так как F ф) и F (а) являются по-
полярными углами одного и того
же вектора v (М (ее)) = v (M ф)),
и, следовательно, \Рф)—F(a)] —
число, кратное 2зг.
Мы докажем сейчас несколь-
несколько важных предложений.
Лемма 2. Если на про-
проv(M(u))
fi
Рис. 111.
стой замкнутой кривой С зада-
заданы два поля v (M) и v* (M)
и если ни в одной точке М ? С векторы v (M) и v* (M) не имеют про-
противоположных направлений, то I (С, г) — / (С, v*).
Доказательство. Зададим на замкнутой кривой С пара-
параметризацию М = М (и), и пусть F (и) — угловая функция ноля v, соот-
соответствующая данной параметризации. Пусть 0 (и) = 0 [v (M (и)),
г'* (М (и)) ] — наименьший угол между вектором v (M (и)) и вектором
v* (M (и)). В силу условия леммы | 0 (и) \ ¦< я. Легко видеть, что G (и)
является непрерывной функцией и на сегменте сс<;и<;р, причем 0 (а) =
= 0 ф). Рассмотрим функцию
F* (и) = F (и) + 6 (и). Очевидно,
F* (и) является угловой функ-
функцией поля v* (рис. 112). Мы
имеем
=^ [^ (Р) —
— е (ее)] = ^
^ — /г (tz)] =
= w(v, С).
Лемма доказана.
Рис 112. Определение XII.
Пусть v и v* — два поля, за-
заданных на кривой С. Говорят, что поле v можно деформировать в v*, если
существует соединяющее эти поля семейство полей, т. е. такое непрерыв-
непрерывное семейство полей vx @-<т^С 1), определенных на С, что v = v0 и v* = v±
(непрерывность означает здесь, что вектор vz(M), M?C, т? [0,1], есть
непрерывная функция обоих своих аргументов х и М. Все рассматриваемые
поля — поля без особенностей).
Лемма 3. Если поле v можно деформировать в поле v*, то индексы
кривой С по отношению к этим полям равны, т. е.
I(C,v) = I(C,v*).
14 А. А. Андронов и др.

210 ТЕОРИЯ ИНДЕКСА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИНАМИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ [ГЛ. V
Доказательство. Пусть vx (M) @<;т<Г 1) есть семейство,
соединяющее поля г? и v*. Вектор-функция vx (M) является непрерывной
функцией, заданной на компактном множестве (топологическом произве-
произведении кривой С и сегмента [0, 1]), и, следовательно, равномерно-непре-
равномерно-непрерывна. Поэтому при всяком е > 0 можно найти такое 6 > 0, что если
j т/ — т" |< б, t'e [0, 1], т" е [0, 1], то J vx- {M) — vx: (M) |< E для любо-
любого М ? С. Далее, так как по условию vx-—поле без особенностей, то
ь\ (М) Ф 0, и | vx (M) | достигает наименьшего значения, которое мы
обозначим через т:
Б т = min { | vx (M) }; М?С, 0<т<1.
Возьмем в качестве е число т, найдем
соответствующее ему число б и разобьем
отрезок 0 <; т <; 1 точками
М
= 0
т, < . ..
Рис. ИЗ.
так, чтобы разностьxh-—т^_! была меньше
6(^=1, 2, ..., п). Тогда для любой топки
М?С, очевидно, векторы vx (M) и vTp(M)
не имеют противоположных направлений (рис. ИЗ), и, следовательно,
в силу предыдущей леммы
vXh_) = I(C, vXh) (к = 1,2, ..., п).
Отсюда следует, что
I(C,vo)=I(C,vl),
Лемма доказана.
Приведем еще одну вспомогательную лемму, в которой рассматри-
рассматривается векторное поле, определенное уже не на кривой, а в области,
ограниченной простой замкнутой кривой.
Лемма 4. Пусть С — простая замкнутая кривая, Г — область
внутри нее, Г — замыкание этой области. Если v — векторное поле без
особенностей, заданное на Г, то индекс кривой С по отношению к этому
полю *) равен нулю
Доказательство: а) Предположим сначала, что кривая С
есть окружность радиуса 1 с центром S, и, следовательно, Г есть круг.
Введем в круге Г систему координат (полярную), определяя положение
каждой точки круга Г координатами g и 8 (g — расстояние до центра S,
0<С(э<С1, 0 — полярный угол, рис. 114). Пусть вектор v (q, G) есть
вектор поля v, соответствующий точке круга с координатами (q, в).
Рассмотрим на круге С семейство полей vx @), 0<;т<;1, 0<:0<2я,
*) Точнее падо сказать: «По отношению к полю v, рассматриваемому на кри-
кривой С, или к полю, индуцированному полем v на кривой С>>.

§ 101
ИНДЕКС ПУАНКАРЕ
211
определенное соотношениями
= »(т, в).
Очевидно, ото есть семейство, соединяющее поле v0 @) с полем vx F).
Следовательно, в силу предыдущей леммы / (С, v0) = 1 (С]; vt). Однако
поле vt, как ясно из конструкции, совпадает с полем v (рассматриваемым
на С), а поле v0 F) состоит из равных векторов (именно, из векторов,
равных вектору поля v, соответствующему точке S, т. с. вектору v @, 6)).
Поэтому угловой функцией F (q) поля v0
является константа, т. е. / (С, г;0) = 0. Но
тогда и / (С, v) = 0.
б) Пусть теперь С — произвольная про-
простая замкнутая кривая, ограничивающая об-
область Г плоскости (х, у). Пусть К — еди-
единичный круг плоскости R2 с границей Со
(рис. 115) шТ — топологическое отображение
области Г на круг К, сохраняющее ориен-
ориентацию (см. дополнение, § 2).
По условию в области Г определено по-
поле v. «Перенесем» это поле при помощи ото-
отображения Т на круг К, т. е. построим на К ноле и*, совпадающее
с полем v*, положив, что v* (Т (М)) = v (M). Очевидно, v* есть поле
без особенностей, и в силу доказанного выше / (Со, v*) = 0. Нетруд-
Нетрудно видеть, однако, что / (С, v) = I (Co, v*). В самом деле, для вычисле-
вычисления / (С, v) надо параметризовать кривую С, положив, что М = М (и)
Рис
и[Т(М)]
Г
Рис. 115.
(М G С,
, построить угловую функцию F (а) поля г;и вычислить
~- [F (Р) — F (а)]. Перенеся при помощи отображения Т параметриза-
параметризацию с кривой С на окружность Со, т. е. положив, что
) atс0; меп,
и принимая во внимание, что v* (%) = v (Ж), мы непосредственно убеж-
убеждаемся, что построенная нами для поля v, заданного на кривой С, угло-
угловая функция F (и), является одновременно и угловой функцией поля v*,
заданного на Со- Поэтому / (С, v) = Г (Со, v*) —- 0. Лемма доказана.
Следующая теорема, опирающаяся на лемму 4, существенно исполь-
используется при рассмотрении динамических систем. Мы приведем ее доказа-
доказательство, принадлежащее Хопфу.
И*

212 ТЕОРИЯ ИНДЕКСА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИНАМИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ ГГЛ. V
3. Поле касательных к замкнутой кривой.
Теорема 24 (Пуанкаре). Индекс гладкой простой замкнутой
кривой по отношению к полю своих касательных равен -\- 1.
Доказательство. Пусть С — рассматриваемая простая замк-
замкнутая кривая. Ввиду ее гладкости С является спрямляемой кривой.
Будем считать для определенности, что длина кривой С равна 1 и направ-
направление касательного вектора v в каждой точке кривой С соответствует
положительному направлению обхода на С (длины векторов v роли не
играют, лишь бы они отличались от нуля: можно, например, считать,
что v представляет поле единичных касательных векторов).
Пусть Мо — точка кривой С с наименьшей ординатой, по крайней
мере одна такая точка существует. Тогда касательная к С в точке Мо
горизонтальна, и вся кривая С лежит выше этой касательной (рис. 116).
,M(S)
Рис. 117.
Мы будем отсчитывать длину дуги на С от точки Мо в положительном
направлении. Тогда каждую точку М кривой С, отличную от Мо, можно
охарактеризовать определенным значением s @ < s < 1) — координатой
этой точки на кривой С. Точке Мо соответствуют два значения: s = О
и s = 1.
Рассмотрим треугольник ОВС плоскости (х, у), ограниченный прямы-
ми х = 0, у = 1, х = у (рис. 117). Каждой точке этого треугольника
с координатами (su s2) (очевидно, O^.st^sz^.l) поставим в соответ-
соответствие единичный вектор v* (Sf,s2), имеющий направление вектора МХМ2,
где Mt (sj), Mz (s2) — точки кривой С с координатами st и s2- При этом,
естественно, точке (s', s') отрезка ОС ставится в соответствие единичный
касательный вектор v (М'), т. е. v* (s', s') = v {M').
Мы получаем непрерывное векторное поле v*, определенное внутри
и на границе треугольника ОСВ и не имеющее особых точек. Поэтому
в силу леммы 4 индекс замкнутой кривой ОСВО по отношению к полю v*
равен нулю
I (ОСВО, v*)=0.
Но индекс ломаной ОСВО равен сумме вращения поля ?;* вдоль отрезков
ОС, СВ, ВО. Поэтому
w
ОС) + w (v*, С В) + w (у*, ВО) = 0.
Легко видеть, что w (v*, ОС) = I (С, ?;), так как при надлежащей пара-
параметризации соответствующие угловые функции (поля г7* па отрезке ОС
и поля v на кривой С) будут одинаковы.

ИНДЕКС ПУАНКАРЕ
Рассмотрим теперь поле v* на отрезке ОБ. Векторы этого поля не
могут быть направлены вниз, так как они имеют направления векторов,
идущих из точки Мо в точки кривой С (любая точка С лежит по условию
не ниже точки Мо). Далее, направление вектора v (В) = v* @, 1) совпа-
совпадает с отрицательным направлением оси Ох, а направление вектора v* @) =
— v* @, 0) — с положительным направлением оси Ох. Пусть F (М) —
угловая функция поля г;*, заданного на ВО, такая, что F (В) == -\- л.
Тогда F @) = 2лг, где г — целое. Если г =^ 0, то в силу непрерывности
F (М) существуют точки М отрезка ВО, в которых соответствующие век-
векторы v* (M) направлены вниз, чего не может быть. Поэтому г — 0,
F @) = 0, F @) - F (В) = — я и w (v*
1
2л
ВО) - ./- (- П) =
it- . Ана-
логично устанавливается, что w(v*, СВ) ¦--- — -^, Таким образом,
1 1
I (C,v) ------ =0; / (С, v) = 1. Теорема доказана.
Следствие. Пусть ?; — поле, заданное на кривой С, причем
такое, что ни в одной точке М ? С вектор поля v (M) не имеет паправле-
ния касательной к С в точке М (т. е. либо все векторы поля v направлены
внутрь кривой С, либо все они направлены наружу). Тогда / (С, v) — 1.
Доказательство непосредственно получается из леммы 2, если в этой
лемме под v* понимать поле касательных к кривой С.
М,
d
4. Определение индекса, данное Пуанкаре. Приведем здесь в несколько
измененной форме определение индекса, данное Пуанкаре (см. [51,
гл. III и XIV). Этим определением в ряде
случаев удобно пользоваться для вычис-
вычисления индекса замкнутой кривой.
Пусть С — рассматриваемая простая
замкнутая кривая, v — заданное на ней
поле, a d — какая-нибудь прямая плоско-
плоскости (х, у). Предположим, что существует
только конечное число точек Mh (к = 1,
2, . . ., п) кривой С, в которых вектор
v (M) направлен параллельно прямой d.
Предположим, что кривая С обходится точ-
точкой М в положительном направлении, п
пусть р есть число точек М%, при прохож-
прохождении через которые вектор v (M) проходит
через направление прямой d, двигаясь про-
против часовой стрелки. Пусть, далее,q—число
точек Мк, в которых вектор v (M) проходит
направление прямой d, двигаясь по часовой стрелке. Точки Mh, в которых
вектор v (M) достигает, двигаясь, скажем, по часовой стрелке, направле-
направления d, а потом начинает двигаться в обратном направлении (или наоборот),
мы не будем принимать во внимание.
Тогда
(С, v) = -г . D)
На рис. 118 изображены три точки Мк каждого из указанных типов. Спра-
Справедливость соотношения D) следует из того, что переход через направле-
направление прямой d регистрирует увеличение или уменьшение значения угловой
функции на я. Поэтому общее приращение угловой функции при обходе
1'иг. 118.

214 ТЕОРИЯ ИНДЕКСА II ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИНАМИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ [ГЛ. V
кривой С равно (р — q) я и, следовательно, индекс кривой С равен
~Zq' я = p~q. Точное доказательство может быть получено путем рас-
смотрения пересечения графика угловой функции а = F (М) с графи-
графиком прямых а == гл, где г — целое.
Мы предлагаем читателю провести это доказательство.
§ 11. Приложение теории индекса к динамическим системам
1. Две основные теоремы. Задание динамической системы
? = Р(х,у), ^- = Q(x,y) (I)
можно интерпретировать как задание векторного поля (см. § 1). Пусть
система (I) определена в области G плоскости (х, у). Каждой точке
М (х, у) ? G ставится в соответствие век-
вектор v (M) или v (х, у) с компонентами
Р (х, у), Q (х, у), и мы получаем указанное
векторное поле v (M) или v (x, у). Точки об-
области G, в которых Р (х, у) = Q (х, у) = О,
т. е. состояния равновесия системы (I),
очевидно, являются особыми точками век-
векторного поля, соответствующего системе (I).
Пусть С — какая-нибудь простая зам-
замкнутая кривая, лежащая в области G.
В каждой точке этой кривой ноле, соот-
.„ ветствующее динамической системе (]), за-
задает определенный вектор, т. е. «индуци-
«индуцирует» на этой кривой определенное вектор-
векторное поле. В дальнейшем, говоря об индексе замкнутой кривой С, мы
всегда будем подразумевать индекс зтой кривой по отношению к полю,
индуцированному полем v (M), соответствующему рассматриваемой дина-
динамической системе. Для такого поля, соответствующего динамической си-
системе, сформулируем лемму 4 в виде следующей теоремы:
Теорема 25. Пусть С — простая замкнутая кривая, лежащая
в области G, иТ — внутренняя область, ограничиваемая ею. Если Г целиком
принадлежит области G и в Г нет ни одной особой точки динамической
системы (I), то индекс кривой С равен нулю: I (С) = 0.
Теорема 25 легко обобщается следующим образом:
Теорема 26. Если Г — часть области G, ограниченная простыми
замкнутыми кривыми С, Ci, С2, ¦ ¦ ., Сп (рис. 119), причем С — внешняя
граница области Г, и если в области Г нет особых точек системы (I), то
/ (С) =/(
Доказательство непосредственно следует из предыдущей теоремы,
если провести указанные на рис. 119 «разрезы» и воспользоваться адди-
аддитивностью вращения.
2. Индекс изолированной особой точки. Рассмотрим в плоской области
G простую замкнутую кривую С, внутри которой лежит особая точка О
системы (I), и предположим, что ни внутри С, ни на ней самой нет других
особых точек поля.
Докажем, что индекс любой такой кривой один и тот же.

$ 11] ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ ИНДЕКСА К ДИНАМИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ 215
Пусть имеются две такие кривые С и С (рис. 120). Предположим
сначала, что зти лривые не имеют общих точек. Тогда в силу теоремы 26
/ (С') = / (С), и наше утверждение доказано. В случае, когда кривые С
и С имеют общие точки, можно взять вспомогательную кривую С", не
имеющую общих точек ни с С, ни с С (например, окружность с цент-
центром в О, достаточно малого радиуса). Тогда / (С) = / [С") и / (С) = / (С"),
т. е. 1 (С) = I (С).
Определение XIII. Индексом (или индексом Пуанкаре) изоли-
изолированной особой точки О векторного поля ?;, соответствующего динамиче-
динамической системе, или индексом состояния
равновесия системы (I), называется
индекс любой замкнутой кривой С, со-
содержащей внутри себя точку О, при-
причем такой, что ни внутри С, ни на ней
самой нет других особых точек поля г.
Мы будем обозначать индекс изо-
изолированной особой точки О системы (I)
через / (О).
Лемма 1. Пусть Г — часть
области G, ограниченная простой замк-
замкнутой кривой С, содержащая п особых
точек О], О2, ¦ . ., Оп динамической си- Гис. 120.
стемы, причем все эти точки лежат
внутри С. Тогда индекс кривой С равен сумме индексов особых точек,
заключенных внутри С:
/(С) =11 I{Oh).
Справедливость леммы непосредственно следует из теоремы 26 и из
определений индекса замкнутой кривой и особой точки.
Лемма 1 очевидным образом обобщается на случай, когда Г является
многосвязной областью. Из этой леммы мы сразу получаем ряд предложе-
предложении о динамической системе:
Теорема 27. Пусть С — простая замкнутая кривая в области G,
а Т — внутренняя область, ограничиваемая ею. Если Г целиком при-
принадлежит G и содержит конечное число состояний равновесия, а на кри-
кривой С их нет совсем, то индекс кривой С равен сумме индексов всех состояний
равновесия, расположенных внутри С (т. е. в Г).
Теорема 27 просто обобщается на случай мпогосвязной области Г,
расположенной в G.
Из теоремы 24 и ее следствия мы получаем теорему:
Теорема 28. Индекс любой замкнутой траектории динамической
системы равен + 1.
Теорема 29. Индекс любого цикла без контакта динамической
системы равен -{- 1.
Следствие 1. Если L — замкнутая траектория динамической
системы, внутренность которой целиком принадлежит области G, то
сумма индексов состояний равновесия, лежащих внутри L, равна + 1.
Следствие 2. Если внутренность замкнутой траектории L
принадлежит G, то внутри L имеется по крайней мере одно состояние
равновесия системы *).
*) Следствие 2 совпадает с теоремой 17 (§ 4, п. 7). Мы получаем другое дока-
доказательств этой теоремы, основанное на общих свойствах векторных нолей.

216 ТЕОРИЯ ИНДЕКСА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИНАМИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ ЕгЛ. V
Следствие 3. Если внутренность цикла без контакта С принадле-
принадлежит области G, то сумма индексов состояний равновесия, лежащих цели-
целиком внутри С, равна + 1.
Следствие 4. Если внутренность цикла без контакта С принадле-
принадлежит области G, то она содержит по крайней мере одно состояние равно-
равновесия системы.
3. Индекс как криволинейный интеграл. В случае, когда С является
простой гладкой замкнутой кривой и на ней не лежит ни одной особой
точки системы (I), индекс кривой С можно представить в виде криволи-
криволинейного интеграла.
Покажем это.
Пусть
х = х (а), у = у (о)
— параметрические уравнения кривой С.
Мы предполагаем, что функции х (а) и у (о) определены для зна-
значений с, а^а^а + 71, и непрерывно дифференцируемы, причем
х(а + Т)=х(а), у(а + Т)=*у(а),
и что возрастанию о соответствует обход кривой С в положительном
направлении.
В силу предположений относительно системы (I) функции Р (х, у)
и Q (х, у) имеют непрерывные производные. Далее, в силу того, что по
условию на кривой С не лежит ни одного состояния равновесия, Р2 (ж, у) -f
+ Q2 (х, у) =ф 0 во всех точках кривой С.
Пусть F (о) — какая-нибудь угловая функция векторного поля,
индуцированного на кривой С динамической системой (I).
Рассмотрим какое-нибудь значение о*, о* 6 [«, с + Т\. Если
Р(х(о*), у(о*))фО,
то такое же неравенство будет выполняться для всех 0, достаточно близ-
близких ко*, и, очевидно (см. определение угловой функции), при всех этих а
F (а) = arctg QJ*<?\' y<°g + 2яг,
v ' е Р (х (а), у (о)) '
где г — постоянное число (целое). Следовательно,
Р (« (О, У (a)) ^?^W)_0 (, (а), у (а))
*(o), У (а)) • (
Если Р (х (а*), у (а*)) = 0, то Q (х (а*), у (а*)) Ф 0, и в окрестности точки о*
функция F (а) отличается постоянным слагаемым от
Следовательно, формула A) справедлива и в этом случае, т. е. она имеет
место для всех a, ak^o^La-\-T. Тогда
v @)) g_
(о), у (х)) +<?2 (* (О), 1/ (а))

§ 11] ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ ИНДЕКСА К ДИНАМИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ 217
и, следовательно, индекс- кривой С относительно поля v
x{°), У (a)) Ja'
а
B)
Интеграл, стоящий в правой части последней формулы, есть, очевидно,
криволинейный интеграл
V )(, г/Г
с
взятый по кривой С, обходимой в положительном направлении; мы будем
для краткости обозначать его через
dQ-QdP C)
Г PdQ
С
С
Таким образом, мы получаем формулу
I(c) =
С
4. Вычисление индексов простых состояний равновесия динамиче-
динамической системы. Пусть (I)-—динамическая система класса Ct. Мы пред-
предполагаем, что рассматриваемое состояние равновесия находится в начале
координат. Тогда система (I) может быть записана в виде
— = ах -f by + ф (ж, у), ^L = cx + dy-\- ij) (ж, у), E)
где а, &, с, с/ — значения первых частных производных от Р (х, у) и Q (х, у)
в точке @, 0). Мы предполагаем, что С — простое состояние равновесия,
поэтому Д= а =^=0. Как мы знаем, ц> (х, у) =O(q) и ty(x, у)~О(д)
(см. § 5).
Обозначим через v векторное поле, определяемое системой E). Рас-
Рассмотрим систему
их , dy , , ,,,.
= ax + by ^-cxldy (Ь)
и через v* обозначим векторное поле, определяемое системой F). Обо-
Обозначим через / (О, v) индекс состояния равновесия системы E) и через
I(O,v*)-—индекс состояния равновесия системы F).
Докажем прежде всего, что
Поле v* определено, очевидно, на всей плоскости. В силу условия Д =^ 0
вектор v* (ax-\-by, cx-{-dy) равен нулю только при х = у = 0. Поэтому
в точках единичной окружности q = 1, v* отличен от нуля. Обозначим
через т минимум \v*\ на этой окружности. В любой другой точке
плоскости
! v* (х, у) | = f(ax~+ byf +(^+^)а =
/( |Г-Н Ъ YT+
/(a |

218 ТЕОРИЯ ИНДЕКСА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ К ДИНАМИЧЕСКИЛ1 СИСТЕМАМ [ГЛ. V
так как точка (—, - i лежит на единичной окружности (q = ?2 + j/2).
С другой стороны,
| v* (х, y)-v (х, у) ; = КГ<Р (*, »I2 + № (*, У)]8 = О (Q).
Рассмотрим окружность Ср радиуса q с центром в начале координат.
Пусть точка (х, у) ? Ср и пусть 6 — наименьший по абсолютной величине
угол между вектором v (ж, у) и v* (x, у). Из рис. 121 ясно, что
v-v*
т. е. | sin в ', —*- 0 при q -»- 0. С другой стороны, при малых q в не может
быть тупым углом, так как этот угол лежит против наименьшей стороны
треугольника. Отсюда следует, что при
6 ""*" 0 6 -»- 0. Позтому если q достаточно
мало, то ни в одной точке окружности
Ср векторы v и v* не имеют противопо-
противоположных направлений.
Заметив теперь, что если q доста-
достаточно мало, то
/ (О, v) = I (Cp, v), I (О, v*) - / (Ср, у*),
и воспользовавшись леммой 2, мы сразу
убедимся, что
J(O, v) = 7@, у').
Таким образом, задача о вычислении
индекса простых состояний равновесия
О системы E) свелась к задаче о вычислении индекса состояния равно-
равновесия О линейной системы F).
Замечание. Проведенное рассуждение остается справедливым
и в том случае, когда рассматриваемая система (I) имеет вид
Рис. 121.
где Pk(x, у), Qk(x, у) — однородные многочлены /г-й степени
и У P'i(x, y) + Q%(x, у) обращается в нуль только в точке 0@, 0).
Индекс состояния равновесия О такой системы равен индексу состояния
равновесия системы
-%¦ Ph(x, у)
% = Qk(x, у).
Возвращаемся к поставленной задаче. Нам нужно теперь вычислить
индекс состояния равновесия О системы F). С этой целью воспользуемся
формулой D) и в качестве замкнутой кривой С, содержащей внутри
состояние равновесия О, возьмем эллипс
(ax + by)* + (cx + dy)* = l. G)
Таким образом,
/ (С>\ — — С (a
= ^ I [(ах -г- by) d (ex + dy) — (ex + dy) d (ax + by)),

f 11] ПРИЛОЖЕНИЕ ТЕОРИИ ИНДЕКСА К ДИНАМИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ 219
где С—эллипс G), обходимый в положительном направлении. Если
положить, что
ах + Ъу = 1, cx + dy=r\, (8)
то эллипс С перейдет в окружность ?2-j-T]2=:l плоскости (t,, r\). На этой
окружности введем обычную параметризацию, положив ? = cos ч*>, r\ sin 'О1.
Заметим, что при возрастании •& от 0 до 1 окружность ?2 -)- т]2 — 1 про-
пробегается один раз в положительном направлении. Эллипс С пробегается
в положительпом направлении, если A~-ad-—fec>0, и в отрицательном,
1'сли Д ¦< 0. Поэтому при Д > 0
2я
/(О)
а при Д <с 0
о
/ (О) = ^\ [cosОd(sin¦&) — sin0 d(cos ¦&)] = —1.
2я
Полученный результат мы сформулируем в следующем виде:
Теорема 30. Индекс простого состояния равновесия динамической
системы равен -j-1 в случае узла или фокуса и ранен -1 е случае седла.

ГЛАВА VI
НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
КОНКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Введение
Мы уже говорили в п. 1 § 3, что одним из основных вопросов каче-
качественной теории динамических систем является вопрос о том, какие
вообще сведения относительно траекторий необходимы для полного
качественного исследования динамической системы.
Еще до исчерпывающего ответа на этот вопрос (он дается в главах VIJ,
VIII, X и XI) можно указать некоторые основные элементы, которые
заведомо необходимо знать при качественном исследовании.
В первую очередь, конечно, необходимо знать число и характер состоя-
состояний равновесия. В том случае, когда координаты состояний равновесия
известны, эффективные методы для определения их характера существуют,
как было показано в главе IV, в случае простых состояний равновесия
(т. е. в случае, когда действительные части характеристических корней
не равны нулю). Кроме того, такие методы существуют также для многих
типов сложных состояний равновесия (исследованию некоторых типов
сложных состояний равновесия посвящена глава IX настоящей книги).
Правда, само определение координат состояний равновесия или хотя бы
установление числа состояний равновесия далеко не является простой
задачей. Однако в некоторых случаях, и в частности, когда правые части
рассматриваемой системы — многочлены, можно указать общие методы
определения числа состояний равновесия, сводящиеся к определению
числа общих точек двух многочленов *).
Кроме сведений о числе и характере состояний равновесия необ-
необходимо иметь также сведения о замкнутых траекториях, нужно знать,
заполняют ли замкнутые траектории целые области или являются изоли-
изолированными, т. е. являются предельными циклами; нужно знать число
предельных циклов, их взаимное расположение, а также нужно :шать,
какие циклы устойчивы, а какие — неустойчивы.
Очевидно, знание характера состояний равновесия для этого занедомо
недостаточно, в чем легко убедиться, рассматривая простейшие примеры.
Так, папример, в случае динамической системы в примере 1 § 7 (в этом
*) Задачу о числе общих точек двух кривых в том случае, когда не гшцутся
точные координаты этих общих точек, а решается только вопрос об их числе, есте-
естественно, считать задачей «качественного характера». Эта задача теснейшим образом
связана с более простой задачей о числе действительных корней данной функции
Р (х). В случае, когда функция ? (х)—многочлен, последняя задача полностью
решается методом Штурма. (В связи с этим вопросом см. также пример ."> п.
5 главы IV.)

ВВЕДЕНИЕ
221
примере существует единственное состояние равновесия типа фокус)
предельных циклов может не быть или их может быть любое конечное
число. Выяснение этого вопроса требует дополнительного исследования.
Однако регулярных методов, с помощью которых можно было бы
устанавливать отсутствие или наличие предельных циклов у данных
конкретных динамических систем не существует. Более того, сам «опрос
о возможном характере таких методов в настоящее время остается неяс-
неясным, а отыскание таких методов было и остается одним из наиболее
трудных и важных вопросов качественной теории динамических систем.
Ф
Рис. 122.
Вследствие отсутствия общих методов большое значение приобретают
даже частные признаки, при помощи которых можно судить о наличии
или отсутствии предельных циклов хотя бы для отдельных классов дина-
динамических систем.
В § 12 излагаются некоторые из таких, сравнительно простых, иногда
с успехом применимых признаков. Простейший из них — критерий
Бендиксона — утверждает, что если в односвязпой области выражение
дР dQ^
дх ~*~ду
не меняет знака, то система не имеет в этой области замкнутых траекто-
траекторий. Этот признак является частным случаем несколько более сложного
критерия Дюлака (см. теорему 28 § 11). В конце § 12 излагается данный
Пуанкаре метод отыскания предельных циклов при помощи так назы-
называемой топографической системы кривых и контактной кривой. Этот
метод не является регулярным, однако в некоторых частных случаях
его удается с успехом применять. Он иллюстрируется на примерах.
Нетрудно убедиться в том, что при качественном исследовании дина-
динамических систем кроме сведений о состояниях равновесия и предельных
циклах необходимы также сведения о «ходе» (т. с. о расположении) сепара-
сепаратрис седел. Так, в примере 4 (§ 7) существуют дна состояния равновесия —
узел и седло. Сепаратрисы седла могут иметь различное поведение.
Две из различных логических возможностей, которые здесь могут
представиться, указаны на рис. 122, а и б (читатель может убедиться
в том, что логически возможны еще и другие случаи расположения

222
НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. XI
сепаратрис). Для определения хода сепаратрис не существует регулярных
методов и приходится довольствоваться частными приемами. Некоторые
из них использованы в примерах 4, 9, 12, 13, 14 главы XII. Отметим;
что сведения относительно расположения сепаратрис могут быть весьма
полезны при установлении существования предельных циклов (см. при-
примеры 16, 17 главы XII). Кроме того, нетрудно убедиться в том, что для
знания качественной структуры нужно еще знать «ход» траекторий при
неограниченно возрастающих х и у.
Рассмотрим, например, простейший случай дипамической системы
на плоскости, когда у нее нет ни одного состояния равновесия. И здесь
все же возможны различные качественные структуры. Так нетрудно убе-
диться в том, что качественные струк-
» туры, представленные на рис. 123, о
» и б, различны. При наличии со-
?¦ — стояний равновесия топологическая
* структура тем более может быть раз-
различной в зависимости от поведения
а) траекторий при неограниченном воз-
возрастании х и у.
Таким образом, в случае, когда
' -— система рассматривается на всей пло-
плоскости, естественно встает вопрос об
исследовании поведения траекторий
«в окрестности бесконечности». R слу-
случае, когда правые части динамиче-
динамической системы — многочлены, очень
удобно и естественно рассматривать
систему не на плоскости, а на сфере,
" — на которую плоскость проектируется
j- тем или другим способом (именно,
' на «сфере Бендиксона» или иа «сфе-
Рис. 123. ре Пуанкаре»). При этом точки сфе-
сферы (северпый полюс сферы — в слу-
случае «сферы Бендиксоиа» и точки «экватора» — в случае «сферы Пуан-
Пуанкаре»), которым при рассматриваемой проекции не соответствует ни одна
точка плоскости, считаются соответствующими бесконечно удаленным
точкам плоскости *). Этому исследованию бесконечно удаленных точек
(которое делается путем надлежащим образом введенной замены перемен-
переменных) посвящеп § 14. Такое исследование может помочь качественному
исследованию динамической системы в конечной части плоскости. Оно
иногда помогает решить вопрос о ходе сепаратрис или о существовании
предельного цикла.
Приведенные в настоящей главе приемы качественного исследования
далеко не исчерпывают имеющихся в математической литературе прпемон
такого рода. В частности, обширная литература посвящена рассмотрению
некоторых типов динамических систем, именно, так называемому урав-
уравнению Льенара и его обобщениям, правые части которых удовлетворяют
специальным предположениям**). Для этих типов динамических систем
*) Отметим, однако, что при таком рассмотрении на сфере мы не приходим к дина-
динамической системе на сфере в смысле § 2; некоторые основные требования могут
не выполняться.
**) Динамическая система, соответствующая «уравнению Льенара», имеет вид

§ 12] ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ 223
при помощи соображений, специфичных для данного типа, удается доказать
существование или отсутствие предельных циклов, а также в случае
существования предельного цикла ¦— его единственность. Мы но оста-
останавливаемся на уравнении Льенара и отсылаем читателя к соответствую-
соответствующей литературе (см. [37], [38], 139])*).
В § 15 затрагивается вопрос об использовании вычислительных
методов для определения качественной структуры.
§ 12. Признаки отсутствия и существования замкнутых траекторий
1. Некоторые общие замечания о кольцеобразных областях, запол-
заполненных замкнутыми траекториями. Одним из первых важных вопросов,
встающих в связи с установлением наличия или отсутствия замкнутых
траекторий, является вопрос о том, существуют ли целые области, запол-
заполненные замкнутыми траекториями, или замкнутые траектории изолиро-
изолированны, т. е. являются предельными циклами.
Когда динамическая система принадлежит аналитическому классу,
существенную роль в этом вопросе играет следующая лемма:
Лемма 1. Если Lo — замкнутая траектория динамической систе-
системы аналитического класса, то она либо является изолированной, либо
все траектории в ее окрестности замкнуты.
Доказательство. Пусть I — аналитическая дуга без кои-
такта (например, отрезок без контакта), проведенная через какую-либо
точку траектории Lo, s — параметр на этой дуге и s = со (s) — функция
последования на дуге I, определенная при значениях s, a^<is^lb. Значе-
Значения s, соответствующие точкам пересечения замкнутых траекторий,
в частности, траектории Lo, с дугой I являются нулями функции
s—to (s) и, обратно, нули функции s — со (s) соответствуют замкнутым
траекториям (см. § 3, п. 8). При сделанном предположении относительно
аналитичности динамической системы и аналитичности дуги I функция
*) В технической литературе очень распространенным приемом отыскания
периодических решений является так называемый «метод гармонического баланса».
В случае динамических систем 2-го порядка, рассматриваемых в настоящей книге,
«метод гармонического баланса» заключается в следующем: предполагается, что иско-
искомое периодическое решение имеет вид
y = Asinon, (a)
(т. е. предполагается, что в случае, если у рассматрлиаемой динамической системы
есть предельный цикл, то он является окружностью). Выражения (а) для х п у под-
подставляются в рассматриваемую систему
х = Р{х, у), y = Q(x, у)
и в разложении в ряд Фурье выражешш Р (A cos cot, Л sin cot) и Q (Л cos cot,
A sin cot) отбрасываются все высшие гармоники. Таким образом, получаются два
соотношения, содержащие А и со, из которых эти величины определяются. Очевидно,
непосредственно в описанной здесь форме без всяких дополнительных предположений-
относительно функций Р (х, у) и Q (х, у) этот метод не является корректным и его при-
применение может привести (и приводит) к пеленым выводам. Однако обычно при исполь-
зовапии «метода гармопического баланса» imp]icite делается предположение относи-
относительно близости рассматриваемой системы к линейной консервативной, т. е. пред-
предполагается, что функции Р (х, у) и Q (х, у) имеют вид
У), Q{z, </)•=— x + uf2(x, ij).
где и, — малый параметр. В этом случае «метод гармонического баланса» фактически
совпадает с так называемым «методом Пуанкаре» (или, в другой терминологии, «мето-
«методом малого ш>) [6].

224 НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ [ГЛ. VI
исследования ш (s) также является аналитической функцией (см. заме-
замечание 1 к лемме 13, § 3). В силу свойств аналитических функций функ-
функция s —¦ <л (s) может иметь либо конечное число нулей, либо тождествен-
тождественно равняться нулю. Но это, очевидно, и означает, что либо всякая замк-
замкнутая траектория Lo является изолированной, либо все траектории
в окрестности LD замкнуты, что и доказывает утверждение леммы.
Таким образом, в случае когда динамическая система — аналитиче-
аналитического класса, у нее не может существовать замкнутой траектории, в любой
окрестности которой есть как замкнутые, так и не замкнутые траектории.
В частности, не может существовать бесчисленного множества предель-
предельных циклов, накапливающихся к замкнутой траектории (с одной или
с обеих ее сторон). Так же не может существовать и такой замкнутой
траектории, с внешней (внутренней) стороны которой все достаточно
близкие траектории замкнуты, а с внутренней (соответственно внешней)
стороны все достаточно близкие траектории — не замкнуты.
На основании леммы 1 можно показать, что если у динамической
системы аналитического класса существует «кольцеобразная» область,
заполненная замкнутыми траекториями, то граница этой области состоит
из траекторий, стремящихся к состояниям равновесия, и из состояний
равновесия. Если все состояния равновесия рассматриваемой динамиче-
динамической системы простые, то траектории, отличные от состояний равновесия,
входящие в границу кольцеобразной области, могут быть только сепа-
сепаратрисами седел. Геометрические примеры таких кольцеобразных обла-
областей представлены на рис. 21 и рис. 24 (глава I).
Отметим, что одним из признаков существования области, заполнен-
заполненной замкнутыми траекториями, может служить существование у динами-
динамической системы аналитического интеграла в области, где существует
состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями
(которое в этом случае является центром). Это обстоятельство встречается
в ряде рассмотренных ниже примеров (см. примеры 4, 7, 8, 11 § 12).
2. Случай, когда об отсутствии предельных циклов можно заключить
непосредственно на основании расположения изоклин горизонтальных
и вертикальных наклонов и характера поля между ними. Иногда частный
характер расположения изоклин и поля между ними позволяет непо-
непосредственно сделать заключение об отсутствии замкнутых траекторий.
Мы укажем здесь один такой элементарный случай.
Пусть О — простое состояние равновесия данной системы, рас-
рассматриваемой в некоторой области G плоскости (х, у), содержащей точку О.
Пусть изоклины Р (х, у) = 0 и О (х, у) = О разделяют область G на четы-
четыре области, определяемые следующими неравенствами:
у>0, II) * р
III) "*<0, у<0, IV) х>0, у<0,
(рис. 124). Нетрудно видеть, что в областях I и III отрезки у = С являют-
являются отрезками без контакта с траекториями, а в областях II и [V отрезки
х = С являются отрезками без контакта с траекториями. Отсюда следует,
что система не имеет замкнутых траекторий, в частности, предель-
предельных циклов. В самом деле, траектория, проходящая при некотором
t — t0 через произвольную точку М изоклины Р (х, у) — 0, не может
возвращаться с ростом t в точку М, а может только приближаться
к точке О.

§ 12] ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ
Пример 1.
225
Состояния равновесия: О (О, 0),А( —~ , -j ), В ( —^,у jnCf ^,-|
Легко показать, что О — устойчивый фокус. Интегральные пря-
прямые х = тг и j/ = -=- проходят через состояния равновесия Л, В ш С.
о о
Значит, если существует предельный цикл, то он содержит внутри одно
состояние равновесия О.
Рассмотрим изоклину вертикальных наклонов у = 2х и изоклину го-
горизонтальных наклонов у = — ж, проходящих через точку О. Предельный
Q(x,y)=O
I
Рис. 124.
Рис. 125.
цикл должен пересекать отрезок изоклины ОС. Возьмем на отрез-
отрезке ОС произвольную точку М и построим ломаную линию MMiM2M3M,t,
состоящую из отрезков вертикальных и горизонтальных прямых (рис. 125).
Все эти отрезки являются отрезками без контакта с траекториями системы,
причем траектории, попадающие на эти отрезки, с ростом t входят внутрь
многоугольника ММ1М2М3М4М. Следовательно, траектория, проходя-
проходящая через точку М при t = tM, совершив один оборот вокруг точки О,
не может вернуться в точку М, а пересекает изоклину ближе к точке О,
т. е. предельный цикл существопать не может. Мы предоставляем читателю
убедиться в том, что аналогичным образом может быть установлено отсут-
отсутствие циклов в случае системы
йу _ аху о dx _
~dt - x + y-^mj ' dt -
Указанный в настоящем пункте случай, когда можно судить об отсут-
отсутствии предельных циклов непосредственно на осповании характера
поля, является весьма частным.
15 А. А. Андронов и др.

226 НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ [ГЛ. Л1
В следующих пунктах приводятся еще другие критерии отсутствия
замкпутых траекторий.
3. Критерий Дюлака и Бендиксона. Мы приведем два критерия,
на основании которых можно судить об отсутствии замкнутых траекторий
и замкнутых контуров, составленных из траекторий.
Теорема 31 {критерий Дюлака для односеязной области). Пусть
— аналитическая динамическая система, G — некоторая одпосвязная
область, входящая в область определения системы (I). Если существует
определенная в G функция В {х, у) первого класса такая, что выражение
(BQ) A)
знакопостоянно, то в области G не существует простых замкнутых кри-
кривых, составленных из траекторий системы (I) *).
(При этом мы считаем выражение A) знакопостоянным и в том слу-
случае, когда оно обращается в нуль на множестве, состоящем из конечного
числа отдельных точек и гладких кривых, но имеет один и тот же знак
во всех остальных точках области G.)
Доказательство. Докажем сначала, что если выполняются
условия теоремы, то в области G не существует замкнутых траектории.
Предположим противное, что в G существует замкнутая траектория L.
Рассмотрим криволинейный интеграл
I=j (—BQdx + BPdy).
d)
Легко видеть, что / = 0. В самом деле, пусть
* = ч>@. » = "Ф@
— уравнения траектории L, Q^it^LT. Тогда
о
причем
так как (ф (t), ijj (t)) есть решение системы (I). Поэтому выра?кенне и квад-
квадратных скобках, стоящее под знаком интеграла, тождественно равно нулю,
а следовательно, и / = 0.
С другой стороны, по формуле Грина
где Q — область, ограниченная замкнутой траекторией L (О с С).
Но последний интеграл не может равняться нулю в силу знакопостояистиг!
*) Простая замкнутая кривая, составленная пз траектории системы либо пред-
представляет из себя замкнутую траекторию, либо составлена пз чередующихся между
собой целых незамкнутых траекторий и состояний равновесия (ел., например, рис. 21
и 24 гл. I).

§ 12]
ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ
227
подынтегральной функции. Мы пришли к противоречию. Таким об-
образом утверждение теоремы об отсутствии замкнутых траекторий
доказано.
Покажем теперь, что в области G не может существовать простой
замкнутой кривой, представляющей из себя «петлю», т. е. состоящей
из состояния равновесия О и замкнутой траектории L, стремящейся
к О как при t —»- — оо, так и при t —*¦ -[- оо. Предположим, что такая
петля существует. Проведем окружность СЕ с центром в О радиуса е,
настолько малого, чтобы вне этой окружности имелись точки траекто-
траектории L. Так как мы предположили, что
(I) — аналитическая система, то L яв-
является аналитической линией и, следо-
следовательно, пересекается с окружностью
С Е в конечном числе точек, разбиваю-
разбивающих траекторию L и окружность С Е на
конечное число отрезков. Обозначим
через Q область, ограниченную нашей
петлей, а через QE — множество точек
этой области, находящихся от состояния
равновесия О на расстоянии боль-
большем, чем е. QE представляет собой от-
открытое множество (см. дополнение, § 1),
причем граница каждой компоненты его
состоит, очевидно, из указанных отрез-
отрезков траектории L и отрезков окружно-
окружности СЕ. Поэтому QE состоит из конечного числа компонент. Обозначим эти
компоненты через Qb Q2> • ¦ • , &п, их границы, положительно ориен-
ориентированные, через уи Y2i • ¦ • i Уп- Эти границы являются кусочно-глад-
кусочно-гладкими линиями (рис. 126).
Рассмотрим интеграл
Рис. Iz6.
и
В силу знакоопределенности подынтегрального выражения этот интеграл
отличен от нуля, причем если е уменьшается, | /Е j возрастает (так как
расширяется область Qe). Поэтому для всех
С другой стороны, в силу формулы Грина
'«о =2 §{-BQdx~\-BPdy).
Так как криволинейный интеграл от выражения —BQdx \ UPdy, взятым
по любому отрезку траектории L системы (I), равен, как было выше
показано, нулю, то 1г равен сумме интегралов, взятых но дугам окруж-
окружности СЕ, входящих в границы областей Qft. Обозначим эти дуги через А,,
А,, . .., А„. Тогда
п
= 2 \ i-BQdx-BPdy).
k=i д.
15*

228 НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ [ГЛ. VI
Переходя к криволинейному интегралу по длине дуги, получим
п
/Е = 2 \ ( — BQ cos у+ ВР sin у) ds,
где ф — угол между касательной к окружности СЕ и положительным
направлением оси Ох. Обозначим через М наибольшее значение выраже-
выражения | BQ \-\- \ВР\ в области Q. Оценивая последнее выражение для /Е
и принимая во внимание, что сумма длин всех отрезков Aft меньше длины
окружности С е, т. е. меньше 2ле, мы получим
/Е | < 2пМе.
При достаточно малом е последнее неравенство противоречит неравен-
неравенству B). Таким образом, утверждение, что в области G не может существо-
существовать петли, доказано.
Доказательство того, что в области G не может существовать замкну-
замкнутой кривой, составленной из нескольких траектории и состояний равно-
равновесия О,, О2, . . . , От, проводится вполне аналогично предыдущему
доказательству, нужно только провести окружности С1е, С2?, . . . , С,„8
вокруг каждого состояния равновесия. Таким образом, теорема доказана.
Замечание. В проведенном выше доказательстве отсутствия
замкнутых траекторий, предположение об аналитичности системы не ис-
используется, в этом случае достаточно предполагать, что (I) есть система
класса Сл.
Следствие (критерии Бендиксона для односвязной области).
Если для аналитической системы A) выражение
ЭР 0Q
дх "" ду
знакопостоянно в односвязной области G, то в области G не существует
простых замкнутых кривых, состоящих из траекторий системы.
Критерий Бендиксона непосредственно вытекает из критерия Дюла-
ка, если функция В (х, у) = 1. Очевидно, сделанное выше замечание
относится и к критерию Бендиксона.
В случае многосвязной области G существование функции В (х, у),
для которой выражение ^- (ВР) + — (BQ) знакопостоянно в G, позво-
позволяет сразу утверждать, что в G отсутствуют замкнутые траектории (или
кривые, составленные из траекторий), внутренность которых принадле-
принадлежит области. Что касается других замкнутых траекторий, то они могут
существовать, но относительно них также можно сделать некоторые
заключения. Мы ограничимся тем, что приведем соответствующее утверж-
утверждение для наиболее часто встречающегося случая двусвязноп области,
которую мы будем называть кольцевой.
Теорема 32 (критерий Дюлака для кольцевой области). Пусть
G — деусвязная область, входящая в область определения системы (I).
Если существует определенная в G функция В (х, у) класса Ct такая,
что выражение — (ВР)-\- -- (BQ) знакопостоянно, то в области G
не может существовать более одной простой замкнутой кривой, состав-
составленной из траекторий системы, содержащей внутри себя внутреннюю
границу области G.

§ 12] ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ 229
Доказательство. Допустим противное, т. е. что система (I)
имеет в кольцеобразной области G две замкнутые траектории L, и L2.
Пусть gj — область, ограниченная траекториями Lj и L2. Соединим
какую-нибудь точку М4 на Lt с какой-нибудь точкой М2 на L2 простой
гладкой дугой I, все точки которой кроме концов Mt и М2 лежат в gi-
Рассмотрим замкнутый контур MimMiM2MM2Mi (рис. 127), состоя-
состоящий из точек траекторий Lu L2 и дуги /.
Для этого замкнутого контура
В(Р dy-—Q dx) =^0
(так как на траекториях Lt и L2 подынтегральное выражение тождест-
тождественно равно нулю, а дуга I при обходе этого контура проходится
дважды в противоположных направлениях).
По теореме Грина
Таким образом, интеграл
должен равняться нулю. Но интегрирование
в нем берется по области gi между траекто-
траекториями Li и L2, а в области gt, являющейся частью кольцевой области G,
подынтегральное выражение по предположению знакопостоянно. Следова-
Следовательно, в области G не может существовать более одной замкнутой траек-
траектории.
Совершенно аналогичным рассуждением устанавливается, что в G
может существовать не более одной простои замкнутой кривой, состав-
составленной из траекторий.
Отметим, что в сформулированном критерии Дюлака для подбора
функции В (х, у), соответствующей данным, конкретным, динамическим
системам, пе дается никаких методов. Таким образом, в каждом кон-
конкретном случае подбор такой функции может удасться или пс удасться —
в зависимости от вида системы и искусства подбпраювннх).
4. Применение индексов Пуанкаре и циклов однократного пересечения
к решепию вопросов существования предельных циклов. Мы будем в настоя-
настоящем пункте рассматривать гладкие циклы однократного пересечения
(см. § 3, п. 12). Напомним, что гладким циклом однократного пересечения
называется простая гладкая замкнутая кривая С, обладающая следую-
следующими свойствами:
1) На кривой С не лежит ни одного состояния равновесия.
2) Во всех точках кривой С кроме, быть может, конечного числа
траектории не имеют с ней касания и либо все входят внутрь области,
ограниченной кривой С, либо все выходят из этой области. При этом
траектории, которые касаются кривой С (если такие существуют), входят
или выходят из области, ограниченной кривой С, имеете со всеми осталь-
остальными траекториями.

230 НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ [ГЛ. VI
Всякий цикл без контакта, очевидно, является циклом однократного
пересечения (но, конечно, не наоборот). В силу теоремы 29 главы V индекс
цикла без контакта равен + 1.
Рассмотрение циклов без контакта или циклов однократного пере-
пересечения, а также индексов состояния равновесия позволяет в ряде слу-
случаев сделать определенное заключение относительно существования
замкнутых траекторий или предельных циклов. Приведем сначала несколько
простых признаков отсутствия замкнутых траекторий — признаков, выте-
вытекающих из свойств индексов Пуанкаре. Сформулируем их в виде теоремы.
Теорема 33. Пусть G ¦— односвязная область, принадлежащая
области определения системы (I). Тогда: 1) Если в области G нет состояний
равновесия системы, то в ней нет и замкнутых траекторий. 2) Если
в области G имеется конечное число состояний равновесия, причем индекс
каждого из них, а также сумма индексов любой комбинации их не рав-
равна -}-1, то в G нет замкнутых траекторий. В частности, если в области
имеется только одно состояние равновесия с индексом, отличным от еди-
единицы (например, седло), то в G нет замкнутых траекторий. 3) Если
в области G имеется конечное число состояний равновесия, причем для
каждого состояния равновесия О с положительным индексом существует
стремящаяся к О траектория, уходящая на бесконечность или имеющая
точки вне G, то в G нет замкнутых траекторий.
Справедливость настоящей теоремы непосредственно следует из
теорем 25 и 26 § 11.
Приведем теперь несколько признаков, основанных на рассмотрении
циклов однократного пересечения. Заметим, что построение циклов
однократного пересечения (в частности, циклов без контакта) с целью
изучения предельных циклов является одним из часто применяемых
приемов исследования.
Теорема 34. Пусть С — цикл однократного пересечения, a G —
ограниченная им область, принадлежащая области определения систе-
системы (I). Если выполняются следующие условия: 1) все траектории, пере-
пересекающие С, при возрастании t входят в G; 2) в области G имеется един-
единственное состояние равновесия О, являющееся неустойчивым узлом или
фокусом; 3) в области G имеется лишь конечное число замкнутых траекто-
траекторий системы, тогда число расположенных в G устойчивых предельных
циклов системы на единицу больше числа неустойчивых. (Следовательно,
существует по крайней мере один устойчивый предельный цикл.)
Доказательство. Так как все траектории, пересекающие
цикл однократного пересечения С, по условию входят в область С, а О —
неустойчивый узел или фокус, то в G обязательно должен существовать
по крайней мере один предельный цикл (см. теорему 13 § 4).
Пусть Llt L2, . . ., Ls — все предельные циклы системы, распо-
расположенные в G, причем Lj+j содержит Lt внутри себя. Легко видеть, что
все эти циклы одновременно не могут быть полуустойчивыми. Пусть
L/j, Li2, . . ., Lik (ц < i2 <. . . < ik)—те из предельных циклов, кото-
которые не являются полуустойчивыми. Так как О — неустойчивое состояние
равновесия, то Ln является устойчивым предельным циклом, далее
неустойчивые и устойчивые предельные циклы идут чередуясь (с возра-
возрастанием номера ij), а цикл Lih является, очевидно, устойчивым. Но тогда
среди циклов Lt , Lu , . . ., Lih устойчивых имеется на 1 больше, чем
1 А "¦
неустойчивых. (Число полуустойчивых предельных циклов, которые
при этом могут существовать в G, не связано никакими условиями кроме
конечности их числа.)

§ 12]
ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИИ ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ
231
Аналогичное утверждение имеет место, если предположить, что
траектории системы через цикл без контакта С выходят на G, а состояние
равновесия О является устойчивым узлом или фокусом. Если же траекто-
траектории системы через С входят в G (выходят из G), а О является устойчивым
(неустойчивым) узлом или фокусом, то число устойчивых предельных
циклов в области G равно числу неустойчи-
неустойчивых, в частности, тех п других может не быть
совсем.
Приведем еще аналогичную теорему для
кольцевой области.
Теорема 35. Пусть G — двусвязная
область, ограниченная двумя циклами без кон-
контакта С± и С2, не содержащая состояний
равновесия и имеющая конечное число замкну-
замкнутых траекторий. Если все траектории, пере-
пересекающие С4 и С2, при возрастании t входят
в G {выходят из G), то число устойчивых пре-
предельных циклов, расположенных в G, на еди-
единицу больше {меньше) числа неустойчивых
предельных циклов (рис. 128).
Отсюда следует, в частности, что при
отхтх условиях в G существует по крайней
мере один устойчивый (неустойчивый) пре-
предельный цикл. Если же траектории, пересе-
пересекающие один из граничных циклов без контакта, входят в G, а пересекаю-
пересекающие другой — выходят из G, то число устойчивых предельных циклов
в области G равно числу неустойчивых, в частности, тех и других может
не быть совсем.
Доказательство теоремы 35 вполне аналогично доказательству пре-
предыдущей.
5. Топографическая система кривых и контактная кривая. Для того
чтобы- применять теоремы 31 и 32, нужно иметь соответствующие области,
ограниченные циклами без коитакта. Регулярные методы для отыскания
циклов без контакта неизвестны. В некоторых случаях эти циклы удается
найти с помощью удачного подбора так называемой топографической
системы кривых.
Топографической системой называют, следуя Пуанкаре, систему
простых замкнутых гладких непересекающихся кривых
Рис, 128.
, у)=С,
C)
вложенных одна в другую и заполняющих некоторую двусвязную область
(например, концентрические окружности с центром в начале координат
или семейство софокусных эллипсов). Мы будем считать, что каждой кривой
семейства соответствует единственное С. Далее, будем предполагать для
определенности, что кривая с заданным С содержит внутри себя все
кривые с меньшими С, так что при увеличении С «размеры» кривых C)
увеличиваются. И, наконец, мы будем предполагать, что на кривых C)
не лежит состояний равновесия рассматриваемой динамической системы.
Пусть топографическая система кривых C) заполняет область G.
Пусть, далее,
x = x(t), y = y(t)

232
НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. VI
— траектория системы (I), расположенная в G. Рассмотрим функцию
F(x(t), y(t)).
Найдем производную от этой функции в силу динамической системы
(I) (см. § 3, п. 13):
dF dF (x, y)
8F
= Ф(х, у)-
Очевидно, траектория L касается кривой топографической системы
в их общей точке М (х, у) в том и только в том случае, когда Ф (х, у) = 0.
Поэтому каждая кривая топографической системы, на которой функция
Ф 0е. у) знакоопределенна *), является циклом однократного пересече-
пересечения. Если при этом во всех точках такой
кривой
Ф(х,
о,
то 4г
Рис. 129.
F уменьшается, и все траектории при воз-
возрастании t входят в область, лежащую вну-
внутри рассматриваемого цикла, однократного
пересечения. Если, напротив, Ф (х, у) ^О
на кривой топографической системы, то все
траектории при возрастании выходят из
области, лежащей внутри этой кривой. От-
Отсюда следует, что если в некоторой кольце-
кольцеобразной области G, составленной из кривых
топографической системы, функция Ф (х, у)
знакопостоянна, то в такой области замкнутых траекторий и, в частно-
частности, предельных циклов — быть не может.
Кривая Ф (х, у) = 0, т. е. кривая
Р(х, y)-F*(x, y) + Q(x, y)-Fy(x, y) = (
называется контактной кривой. Контактная кривая состоит из всех
точек, в которых траектории системы (I) касаются кривых топографиче-
топографической системы. Если топографическая система выбрана так, что кривая
контактов является замкнутой, то существует, очевидно, «наибольшая»
и «наименьшая» среди кривых топографической системы, пересекающихся
с контактной кривой. Обозначим эти две кривые соответственно через
Zj и Z2 (рис. 129). Очевидно, контактная кривая лежит целиком в кольце-
кольцевой замкнутой области Wb ограниченной кривыми Zt и Z2, и касается
этих кривых. Все кривые топографической системы, лежащие вне кривой Z,
или'внутри кривой Z*2, являются циклами однократного пересечения.
Отсюда следует, что если существуют замкнутые траектории, расположен-
расположенные в области G (G ¦— область, покрытая кривыми топографической
системы), то она лежит между кривыми Zi и Z2. Если функция Ф (х, у)
не меняет знака, но обращается в нуль (в точках контактной кривой),
то мы будем говорить, что в точках контактной кривой контакт «ложный».
6. Примеры-
Пример 2.
х = у~Р(х,у),
у).
*) То есть во всех точках которой, за исключением копечпого их числа, Ф (х, у)
имеет один и тот же знак; в конечном числе точек Ф (х, у) может быть равна нулю.

121
ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ
233
Система имеет единственное состояние равновесия О @, 0) — устой-
устойчивый фокус (см. § 7, п. 5, пример 1).
Покажем, что предельных циклов система не имеет. Применим кри-
критерий Бендиксона. Выражение -- -\- -у- = — A + х2 + х'1) не меняет
знака на плоскости, следовательно, предельных циклов нет.
Пример 3 [60].
х = у + хA+$у)(х2+у2+1), у=*-х-\ (у —Ра:*) (х2 + у2 + 1).
Покажем, что предельных циклов система не имеет. Рассмотрим
топографическую систему-—семейство окружностей х--(-у2 = С. Находя
производную dt ' в СИЛУ системы E; о, п. 16) получим — Tf =
= 2 (х2-\- у2-\- 1){х2 + у2). Это выражение больше 0 для всех точек пло-
плоскости (х, у), кроме точки О @, 0), являющейся состоянием равновесия.
.Чпачит, семейство х'2 -\-у'2 = С является семейством замкнутых кривых без
контакта для траекторий системы. Вдоль любой траектории С растет
с ростом t. Таким образом, предельных циклов нет.
П р и мер 4.
х = 1 + х2 - у2 + 2ху, у = 1 - х2 + у2 -!- 2.гу. D)
Введем в эту систему параметр а следующим образом:
E)
Очевидно, при а = 1 имеем систему D). При а = 0 имеем систему
„ 9т-71 71 Л V2 _L_ 7#2 /fi\
х — с.ху, у — i ¦— х -\гу . (о)
Нетрудно видеть, что система E) получена поворотом векторного поля
на угол, тангенс которого равен а, из системы F). Состояпия равновесия,
общие системам E) и F), будут
следующие: А A, 0) и В (— 1, 0). \У
Систему F) можно проин-
проинтегрировать. Ее общий интег-
С \
рал
-т Г
1
2 j ' » 4
(рис. 130). Систему F) можно
взять в качестве топографиче-
топографической системы для системы E).
Если существует предельный
цикл системы E), то он должен
лежать целиком в полуплоско-
полуплоскости х > 0 или х <с 0, так как
ось у траектории системы E) пересекают в одном направлении. Но
полуплоскости х > 0 и х < 0 заполнены замкнутыми кривыми без кон-
контакта с траекториями системы E), значит, система E) не имеет пре-
предельных циклов.
Пример 5 [61].
Рис. 130.
Эта система не имеет состояний равновесия в конечной части пло-
плоскости. Поскольку внутри замкнутой траектории должно лежать хотя бы
одно состояние равновесия, система не имеет предельных циклов.

234 НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ [ГЛ. VI
Пример 6 [62].
х = у = Р (х, у), у=—ах — by + ах2 -\- pr/2 = Q (х, у).
Эта система не имеет предельных циклов. В этом можно убедиться
с помощью критерия Дюлака, выбирая в качестве фупкщш Дюлака
i> i \ г, _?ftv -d д(РВ) . </{Qlt) ,.,
В(х, y) = be-iPx. В самом деле, выражение —--—--\—¦.— — — Ъ-с
не меняет знака на плоскости (ж, у), следовательно, предельных циклов нет.
В некоторых случаях выражение, получаемое с помощью применения
критерия Дюлака, может менять знак на некоторых кривых; однако,
используя индивидуальные особенности данной системы, иногда можно
показать, что предельный цикл не может пересекать эта кривые.
Пример 7 [63].
х = х (atx + bly + c1), у = у (а2х -f b2ij + с,).
Можно показать, что эта система не имеет предельных циклоп.
Возьмем в качестве функции Дюлака Б (х, у) = xh~lyh, где к = !aS^A~/''4 j
h = а> fa—ty. (А = а1Ъ2 — Ь1агфО). Тогда
д(РВ) d(QB) _ f aic2 (bt—Ъ2) , bzci(az—ai) \ k
~т~ ' { jx
f h
дх т dy - { A ' Д jx у
Это выражение при 0=atc2 (bi—Ьг) + ^2с1 (a2—fli)=#=0 обращается
в нуль только вдоль интегральных прямых х = 0 п у = О. Отсюда сле-
следует, что предельных циклов быть не может, так как траектории пс
пересекаются. Можно показать, что в этом случае не может быть так-
также замкнутых контуров, составленных из траектории. Допустим, что име-
имеется замкнутый контур, в границу которого входят отрезки осей .г
и у. Такой контур целиком лежит в одной из четвертей плоско-
/ \ г. д A'В) , д IQB)
сти (х, у). В этом случае выражение -Vr^M—• хотя и ооращается
в нуль на осях х и у, но в каждой четверти плоскости .знак этого
выражения не меняется, оначит, \ \ ( —у- п-—^—z )axay=/=U и замк-
замкнутый контур существовать не может. В случае a = 0 система имеет
аналитический интеграл, при этом одно из состояний равновесии будет
типа центр, т. е. имеется целая область плоскости, целиком заполнен-
заполненная замкнутыми траекториями.
Пример 8 |6-i].
¦ •
х = (у—к) х, у = ух -f- Р^ + ЯУ2-
Иокажем, что эта система не имеет предельных циклов. Восполь-
Воспользуемся критерием Дюлака. В качестве функции Дюлака возьмем
-#(х> У) = х~<2в+1>. Тогда выражение
D{x, у) = ^ + ^Ш=BдА + Р)ж-Bв+1> при 2^-
не обращается в нуль на полуплоскостях х > 0 и i<0. Ось а: = 0 —
интегральная прямая. Следовательно, при 2^/с -f- p ^= 0 система не
имеет также и замкнутых контуров, составленных из траекторий, так
как такой коптур должен целиком лежать в области xlyO или ж^О,
где выражение I) (х, у) сохраняет знак внутри области и обращается

§ 12] ПРИЗНАКИ СУЩЕСТВОВАНИЯ ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ 235
в нуль только на линии х = 0. При 2qk -j- P = 0 система имеет аналити-
аналитический интеграл и существует целая область, заполненная замкнутыми
траекториями.
Пример 9 [61].
Покажем, что эта система не имеет предельных циклов.
Выясним сначала возможное местонахождение цикла. Легко видеть,
что х = 0 — интегральная прямая, причем на ней у > 0 при у =ф 0.
Состояния равновесия следующие: О @, 0) и А A, 0). Корни характери-
характеристического уравнения для О @, 0) оба равны нулю, значит, О ¦— сложное
состояние равновесия. Поскольку через О @, 0) проходит интегральная
прямая, предельный цикл не может окружать точку О. Состояние равно-
равновесия А A, 0) •— устойчивый фокус. Таким образом, если существует
предельный цикл, то он лежит в области х > 0 и окружает состояние
равновесия А A, 0). Поскольку О @, 0) — сложное состояние равно-
равновесия, можно предположить также существование замкнутого предель-
предельного контура, состоящего из точки О и траектории, выходящей из точки О
и возвращающейся в нее же, внутри которого находится состояние рав-
равновесия А. Применим критерий Дюлака. В качестве функции Дюлака
с/ \ 1 тз д(РВ) , дЮВ) Ах*(х + у)
возьмем Б(х, v) = x{x+y)i- Выражение -L-J + -Ж-1 =_ ^ф^ф
меняет знак на прямой х + у = 0. Значит, если существует замкнутый
предельный контур, составленный из траекторий, то он должен пересе-
пересекать прямую х -\- у = 0. Найдем наклоны траекторий системы на прямой
х + у = 0. Подставляя у = — х в уравнения, получим -У- = — -д ^ Ж7~ ' .
(IX &ХЛ
Отсюда видно, что при х > 0 имеем -гг< — 1. т. е. все траектории пере-
пересекают прямую х + у = 0 в одном направлении. Следовательно, ни пре-
предельный цикл, ни замкнутый предельный контур, составленный из траек-
траекторий, существовать не могут.
В некоторых системах предельный цикл существует при одних значе-
значениях параметров и отсутствует при других значениях параметров. Иногда
удается доказать отсутствие предельных циклов в некоторой области
значений параметров. Приведем некоторые примеры.
Пример 10 [65].
-1)* + Х], у=-ху.
Покажем, что при Х^ — 1 система не имеет предельных циклов.
Легко видеть, что при Я^С ¦—1 система имеет три состояния равновесия
в конечной части плоскости: А (— 1, 0), В (l -f- j/*| К |, 0) и С (l — У\ "к |, 0).
Все эти состояния равновесия лежат на интегральной прямой у = 0.
Следовательно, при Я^—1 система не имеет предельных циклов.
Покажем, что при, "к > 1 система также не имеет предельных циклов.
В эт случае система имеет следующие состояния равновесия: А (—1, 0)—
сед;. D @, jAl+X) и ?@, — |/~1 -(- к) — устойчивые фокусы или узлы.
Заменим, что если существуют циклы, то они лежат целиком в полу-
полуплоскостях г/>0 и j/<0, так как у = 0 — интегральная прямая. Восполь-
Воспользуемся критерием Дюлака. В качестве функции Дюлака возьмем
в(х, У) = У- Тогда выражение Щр- + —д,р-= ~У (Зх2 + Я —1) в полу-
полуплоскостях г/>0 и г/<0 при Я>1 сохраняет знак.

236
НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. Л-1
Пример 11 [66].
х = У, y = x + x2 — (ei — e2x)y. G)
Как было показано выше (см. § 7, п. 5, пример 3), эта система
имеет два состояния равновесия: О@, 0) — седло и А( — 1, 0) — фокус
или узел. Легко видеть, что при е1 = е2 = 0 систему можно проинтегри-
проинтегрировать. Ее общее решение: у2 — х- „— = С. ПрпС = 0 получается декар-
3
тов лист, пересекающий ось х в точках х = 0 и х=—..- (рис. 131).
Эту систему можно использовать в качестве топографической системы.
Найдем кривую контактов траекторий
системы G) и топографической системы
(У) — ~()'х—(х) — —()'У~1Г (fi~
Нетрудно видеть, что контакт по пря-
прямой у = О «ложный», у = 0 — изоклина
вертикальных наклонов, общая обоим
системам. Разность наклонов меняет
знак на прямой ей + е2х = 0.
Возможны следующие три случая:
1) е^з^О. Если существует пре-
предельный цикл системы G), то он рас-
расположен целиком в полуплоскости
х < 0, так как охватывать фокус и сед-
седло он не может, а каждую из полуосей оси у траектории пересекают
в одном направлении. Следовательно, пересекать прямую х = '
( —~->0 j предельный цикл не может. Значит, в этом случае пре-
предельных циклов нет.
2) е^г > 0; — >-=-. В этом случае контактная прямая х -'-
62 ' Ч ^
Рис. 132.
проходит слева от петли сепаратрисы,
не пересекая ее f при
2
будет касание J. Значит, петля сепаратрисы и все замкнутые кривые внутри
нее являются замкнутыми кривыми без контакта с траекториями систе-
системы G). Если бы существовал предельный цикл, он либо пересекал бы
петлю сепаратрисы, либо лежал бы целиком внутри нее, что невозможно.
Значит, и в этом случае предельных циклов нет.
3
3) е1е2 > 0; —<-!?-. В этом случае контактная прямая пересекает
е2 /
петлю. Вопрос о существовании предельных циклов остается открытым.
В следующем примере доказывается единственность предельного
цикла с помощью критерия Дюлака для кольца.
Пример 12.
д=
х = Р(х, у),
y = Q(x, у).
Нетрудно видеть, что единственное состояние равновесия О @, 0) является
неустойчивым фокусом при а > 0 и устойчивым фокусом при а < 0.

13]
ПОВЕДЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
237
При а = О О @, 0) является состоянием равновесия с чисто мнимыми
характеристическими корнями.
Возьмем в качестве топографической системы семейство окружно-
окружностей х2 + уг = С. Дифференцируя выражение хг + у2, в силу системы
(§ 3, п. 13) получим
±]?L = 2
а).
При а > 0 это выражение сохраняет знак, значит, предельных циклов
нет. При а<0 имеем A^tJLL;>o вне эллипса Зх2-'-2уа + а = 0
и
0 внутри этого эллипса. Таким
образом, вне окружности х2 -J- у% + -н- = 0 и
внутри окружности ж2 -(- г/2 + -^- = 0 предель-
предельных циклов нет. Все траектории, проходя-
проходящие через точки указанных двух окружно-
окружностей, входят внутрь кольца между ними.
Поэтому в кольце должно быть нечетное
число циклов, причем число неустойчивых
циклов должно быть на единицу больше
числа устойчивых (рис. 132).
Покажем, что в кольце имеется единствен-
ный предельный цикл. Воспользуемся крите-
критерием Дюлака, согласно которому предельный
„ - - дР , дО
цикл в кольцевой области будет единственным, если выражение-^ 1—~-
рис-
в зтой области сохраняет знак. Получим ~я~г-\-
2 Fа;2 + by2 + a).
Нетрудно видеть, что эллипс 6ж2 + 4г/2 + а = 0 лежит целиком внутри
меньшей окружности кольца x2-f-j/2 + -^-= 0, значит, внутри рассмат-
дО
риваемого кольца выражение
дР
—г
^
сохраняет знак. 1 аким образом,
предельный цикл единственный.
§ 13. Поведение траекторий на бесконечности
1. Общие замечания. Преобразование Бендиксона. При исследовании
качественной структуры разбиения на траектории у конкретных динами-
динамических систем в тех случаях, когда системы определены на всей плоскости,
большую роль могут играть сведения о поведении траекторий при неогра-
неограниченно увеличивающихся значениях хну или, как говорят, «на беско-
бесконечности». Знание поведения траектории «на бесконечности» часто является
-очень полезным и при исследовании динамических систем в ограничен-
ограниченной части плоскости.
Так, например, с помощью исследования «на бесконечности» можно
иногда установить вполне точно, к какому из состояний равновесия стре-
стремится сепаратриса, выходящая из данного седла (глава XII, § 30, приме-
примеры 5, 6, 9 и др.), или доказать существование у системы предельного цикла.
Таким образом, вопрос об исследовании поведения траектории «на беско-
бесконечности», которому посвящеи настоящий параграф, имеет существенное
.значение.

238 НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ [ГЛ. \1
Укажем сначала один частный случай, когда этот вопрос решается
очень просто. Пусть рассматриваемая система
-?-=*<*,»). -^ = <?(*.*) fl)
такова, что для всех х, у, для которых q = \' хг -\- у2 достаточно вели-
велико, например, больше некоторого положительного числа г0, выра-
выражение
x, у)-у
отлично от нуля и, следовательно, сохраняет знак. Очевидно, это озна-
означает, что все окружности с центром в начало координат, с радиусом
больше г0, являются циклами без контакта для траектории системы (I).
Если x-—x(t), y = y(t) есть уравнение траектории, то
J_ d(x* + y2) _ J_ dQt (t) _
2 dt 2 dt'~
Поэтому, если при q > r0, / > 0, то все траектории, пересекающие ука-
указанные окружности, с возрастанием t выходят из них, если же / < 0, то
траектории входят внутрь этих окружностей. В первом случае говорят,
что «бесконечность устойчива», во втором — что «бесконечность неустой-
неустойчива». Иногда знание того, что бесконечность устойчива или неустойчи-
неустойчива, может помочь доказать существование у системы предельного цикла.
Так, например, если у аналитической системы имеется единственное состо-
состояние равновесия — устойчивый фокус — и если бесконечность устойчива,
то у системы непременно существует но крайней мере один неустойчивын
предельный цикл.
Указанный случай, когда / сохраняет знак при больших значениях Q,
является, однако, весьма частным. Поэтому необходимо дать способы
исследования системы на бесконечности, пригодные не только в этом
частном случае. Обычно эти способы основаны на том, что плоскость допол-
дополняется «бесконечно удаленными элементами», превращаясь тем самым
в компактное многообразие, а затем рассматривается поведение траек-
траекторий в окрестности указанных «бесконечно удаленных» элементов.
Как извейтно, такое дополнение плоскости может быть сделано раз-
различным образом. В этом пункте мы рассмотрим так называемую сферу
Бепдчксона и преобразование Бендиксона.
Пусть
X2+i'a + Za = l A)
— единичная сфера в пространстве R3, N @, 0, 1) и S @, 0. —1) —
се соответственно северный и южный полюсы. Будем считать, что фазовом
плоскостью (х, у) является плоскость а. касающаяся сферы 2 в полюсе .Ь"
(ее уравнение z = —1). Наряду с ней будем рассматривать плоскость
(и, v), касающуюся сферы S в полюсе N. Обозначим ее через а' (рис. 13IS).
В качестве начал координат па плоскостях а и а' выберем соответственно
точки S ц Л', л пусть направления осей у и v совпадают с направлением
оси У, а направления осей х и и — с направлением оси X.
Пусть II — стереографическая проекция плоскости а на сферу ii
из цеитра N. Очевидно, П является топологическим отображением пло-
плоскости а на сферу Б, «проколотую» в точке Л". При этом отображении
траектории системы (I) переходят в линии на сфере 2, которые мы будем
называть траекториями на сфере, хотя мы не рассматриваем их как траек-

§ 13]
ПОВЕДЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ НА БЕСКОПКЧНОСТИ
239
тории некоторой динамической системы на сфере — для нас они просто
образы траектории системы (I). При указанном проектировании плоскости
на сферу плоскость дополняется одной «бесконечно удаленной» точкой,
соответствующей полюсу. В этом случае говорят, что рассматривается «сфе-
«сфера Бендиксона». Для исследования поведения траектории системы A)
«на бесконечности» нужно, очевидно, исследовать поведение траекторий
на сфере в окрестности полюса Лг.
Для этого в свою очередь мы спроектируем — с помощью стереогра-
стереографической проекции П' с центром S — сферу 2 на плоскость а'. Рассмотрим
Z=+7
Рис. 133.
отображение ф = П'П. Оно является топологическим отображением «про-
«проколотой» в точке S плоскости а на «проколотую» в точке N плоскость а'.
При отображении ф точка М (х, у) плоскости а переходит в точку ф (М) =
= П' (П (М)) = П' (Р) = М' (и, г;) плоскости а' (рис. 133).
Из очевидных соотношений
X
Y
У
" X У" 2+1
и из уравнения A) вытекает после простых вычислений, что
и = -
4м_
fix
B)
C)
Преобразование B) (или эквивалентное ему преооразовапие C))
называется преобразованием Бендиксона. Применяя его к системе (I),
мы получим систему
flu
"tit
dv
(Л)
Рассмотрим случай, когда (Л) является алгебраической системой,
т. е. функции Р и Q — многочлены. В этом случае уравнения (А) имеют
вид
du _ Ф {и, i) dv
(к,

240
НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. VI
где Ф и \Р — многочлены, не делящиеся одновременно на и2-[-у2, а т —
целое число, т > 0.
Система (А), вообще говоря, не определена в точке @, 0). Возьмем
вместо нее систему
du ^. . , dv -ф., i ^pji
На «проколотой» плоскости а' траектории системы (А) совпадают
с траекториями системы (Б). Но система (Б) уже определена на всей пло-
плоскости а', в частности, в начале координат. Поэтому, исследуя располо-
расположение траекторий системы (Б) в некоторой окрестности начала координат
и применяя отображение qrl =~= II (П'). мы сможем сделать заключения
о поведении траекторий системы
(А) на бесконечности.
Сделаем несколько замечании
по поводу преобразования Бенди-
Бендиксона.
3 а м е ч а н и е 1. В прове-
проведенных выше рассуждениях мы до-
дополняли плоскость (х, у) одной
бесконечно удаленной несобственной
точкой, образом которой при сте-
стереографической проекции П явля-
является полюс N сферы. Моделью
дополненной таким образом пло-
плоскости является сама сфера 2; при
этом говорят, что исследование
системы (I) проводится па «сфере»
Бендиксона *).
Рис. 134. Замечание 2. Возникает
вопрос, определяют ли системы (I)
и (А) динамическую систему на сфере в смысле § 2. Мы имеем дело с про-
простейшей системой координат на сфере, определяемой покрытием, состо-
состоящим из двух элементов, и описанной в дополнении, § 7. Уравнения A)
относятся к первому элементу покрытия (сфера без северного полюса),
а уравнения (А) — ко второму. Очевидно, динамическая система на сфере
» Ф(и, v) W(u, v)
получается в том и только в том случае, когда функции _ v ' ' '
могут быть доопределены в точке и = 0, v = 0 так, чтобы они были функ-
функциями класса Ct. Это всегда возможно, когда т = 0. Однако простые при-
примеры показывают, что если т > 0, то такое доопределение, вообще гово-
говоря, невозможно. Таким образом, уравнения (I) и (А) не всегда определяют
динамическую систему на сфере.
Замечание 3. Преобразование Бендиксона можно получить Сел про-
пространственных рассмотрений. Именно, рассмотрим преобразование обратны-
обратными радиусами или инверсию плоскости (х, у) относительно окружности
х2-\-у3=г2. Это преобразование ставит в соответствие каждой точке М(х, у)
плоскости точку М' (и, v) той же плоскости, причем точки М и М' лежат на
одном луче, выходящем из начала координат О, и выполняется соотношение
ОМ ¦ ОМ' = г2
1 *) В теории аналитических функций плоскость также дополняется одной бес-
бесконечно удаленной точкой. В этом случае соответствующую модель называют обычно
сферой Романа.

13]
ПОВЕДЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
241
(рис. 134). Нетрудно убедиться, что при г = 2 координаты х, у точки М
выражаются через координаты и, v посредством формул B), т. е. указан-
указанная инверсия является преобразованием Бендиксона.
Замечание 4. Преобразование Бендиксона, как и рассматри-
рассматриваемое в следующем пункте преобразование Пуанкаре, целесообразно
применять лишь в тех случаях, когда система A) является алгебраической
(функции PuQ — многочлены). Для системы (Б), к которой это преобра-
преобразование приводит, точка @, 0) может быть неособой точкой. Так как,
однако, каждая траектория системы (I), уходящая при t -*- -f- оо или
t _> — оо на бесконечность, преобразуется в траекторию системы (Ь),
стремящуюся к точке @, 0), то, как правило, преобразование Бендиксона
приводит к появлению состояния равновесия, при этом еще сложной
структуры, которое трудно исследовать. Поэтому преобразование Ьен-
диксона дает хорошие результаты лишь в редких случах и удобнее поль-
пользоваться преобразованием Пуанкаре, к описанию которого мы и переходим.
2. Рассмотрение динамической системы, правые части которой много-
многочлены на «сфере Пуанкаре». Мы изложим здесь другой способ пополнения
плоскости «бесконечно удаленными элементами». Он связан с другим (не вза-
взаимно однозначным в точках пло-
плоскости) проектированием пло-
плоскости на сферу и используется
при рассмотрении динамических
систем в случае, когда Р и Q
многочлены *).
Как и в предыдущем пункте,
мы будем рассматривать сферу
единичного радиуса с центром
в начале координат О
Рис. J35.
и будем считать, что фазовая
плоскость (х, у) есть плоскость
а, касающаяся сферы в южном
полюсе S. _,
Пусть М — какая-нибудь точка плоскости (ж, у). Рассмотрим прямую,
соединяющую точку М с центром сферы О. Эта прямая пересекает сферу
в двух диаметрально противоположных точках М' и М . Обратно, всякой
паре диаметрально противоположных точек, за исключением лишь точек,
расположенных на большом круге, лежащем в плоскости Z = 0 (парал-
(параллельной плоскости (х, у)), соответствует одна и только одна точка пло-
плоскости (х, у) (рис. 135). Большой круг сферы, лежащий в плоскости Z = U,
называется «экватором», а плоскость Z = 0 - плоскостью экватора. 1очки
¦ экватора мы считаем соответствующими «бесконечно удаленным» точкам
плоскости.
Всякие две не лежащие на экваторе диаметрально противоположные
точки сферы, соответствуют одной и той же точке плоскости. Поэтому вся-
всякие две диаметрально противоположные точки экватора так же естественно
считать соответствующими одной и той же «бесконечно удаленной точке» )-
*) Излагаемый нише способ проектирования плоскости на сферу используется
также при рассмотрении алгебраических кривых на плоскости.
**) Указанное пополнение плоскости «бесконечно удаленными элементами» при-
приводит нас к рассмотрению сферы, у которой всякие две диаметрально противополож-
16 д. А. Андронов и др.

242
НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. VI
Сферу, указанным образом связанную с плоскостью, мы будем назы-
называть «сферой Пуанкаре». В то время, как при рассмотрении сферы Бен-
диксона мы пополняем плоскость одним «бесконечно удаленным элементом»,
соответствующим северному полюсу N сферы, при рассмотрении сферы
Пуанкаре мы пополняем плоскость бесчисленным множеством бесконечно
удаленных элементов, соответствующих попарно отождествленным точкам
экватора сферы.
При описанном отображении плоскости на сферу прямые плоскости
(х, у) отображаются в большие круги сферы, причем прямые, проходящие
через начало координат,
отображаются в большие
круги, перпендикулярные
экватору сферы. Траекто-
Траектории динамической системы
(I) отображаются в некото-
некоторые линии на сфере, кото-
которые мы будем продолжать
называть «траекториями
динамической системы (I)»
или «траекториями на
сфере».
Для того чтобы опре-
определить поведение траекто-
траекторий в окрестности точек
экватора и в точках самого
экватора, мы воспользуем-
воспользуемся сначала следующим гео-
геометрическим построением.
Пусть С и С — точки
пересечения экватора Е с
Рис. 136. осью X, a D и D' — точки
оси Y, также принадле-
принадлежащие Е (рис. 135).
Проведем плоскость X = 1, касающуюся сферы 2 в точке С, обозна-
обозначим эту плоскость через ос*. Введем на ней координаты миг с началом
в точке С и выберем в качестве осей и и z — прямые, параллельные
соответственно осям Y ж Z. При этом направление оси и выберем совпа-
совпадающим с направлением оси Y, а оси z — противоположным направлению
оси Z (т. е. направление оси z — вниз (рис. 136)). Пусть М' и М" — две
диаметрально противоположные точки сферы, не лежащие в плоскости
X = О, параллельной плоскости а*. (Эта плоскость расположена отно-
относительно плоскости ее* так же, как плоскость экватора расположена отно-
относительно исходной плоскости ос.)
С помощью центральной проекции точки М' и М" отображаются
в некоторую точку М* плоскости ос*.
Если точки М' и М" получены центральной проекцией некоторой
не лежащей на оси у точки М плоскости а, то, очевидно, им заведомо будет
соответствовать и некоторая точка М* плоскости ос*. В этом случае точки
М' и М" не принадлежат экватору сферы. Но в случае, когда М' и М" —
два лежащие на экваторе Е диаметрально противоположные точки сферы,
ные точки отождествляются (в силу того, что они соответствуют одной н той же точке
плоскости). Как известно, мы получаем таким образом многообразие, являющееся
одной из моделей проективной плоскости.

§ 13] ПОВЕДЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ 243
отличные от D и D', то им тоже соответствует некоторая определенная
точка плоскости ос*, и эта точка лежит на оси z = 0.
Указанную центральную проекцию сферы на плоскость а* естественно
использовать при исследовании расположения траекторий в окрестности
любой точки экватора, отличной от точек D и D'.
Для исследования окрестности точек D и D' экватора нужно вместо
плоскости ос* рассмотреть плоскость ос, касательную к сфере 2 в точке Dr
и поступать с ней полностью аналогично тому, как мы поступали с пло-
плоскостью а*. Координаты в плоскости а будем обозначать через v и z,
причем ось v направлена так же, как ось X, а ось z направлена вниз.
Вернемся к плоскости а*.
Пусть М — не лежащая на оси у точка плоскости а и М* — соответ-
соответствующая ей точка плоскости ос*. Так как точки М и М* имеют соответ-
соответственно пространственные координаты (х, у, —1) и A, и, —z) п лежат
на одной прямой, проходящей через точку О @, 0, 0), то мы имеем
у и z ' \ '
откуда
* = -f' У—; E)
или
U==JL z = ^~
X ' X
Для плоскости ос (касающейся сферы 2 в точке D) мы получаем пол-
полностью аналогичную связь между координатами х, у и z, v, именно,
_ V _ 1
или
Z ' У 2
и= —, г = — . F)
у у v '
Преобразования E) и F) называются «преобразованиями Пуанкаре». При-
Применяя преобразование E) к системе (I), мы получим систему
dt - ~~ V Z ' Z J ' "V V 2 ' Z J ' dt ~~ "'
При z =7^ 0 (т. е. в точках, не лежащих на экваторе) траектории этой систе-
системы, очевидно, являются проекциями траекторий на сфере, или что то же,
проекциями (через центр О) траекторий системы (I) на плоскости а.
По предположению правые части Р (х, у) и Q (х, у) системы (I) —
многочлены. Пусть п — наивысшая из степеней этих многочленов. Систе-
Систему (Ai) в этом случае можно записать в виде
_dii __ Р* (и, z) dz _ Q* (и, z)
df z" ' ~dF~ z" ' (-)
Система (At) (или, что то же — (А2)) не определена при z = 0. Рассмот-
Рассмотрим вместо нее систему
du dv
-^- = P*(u, z), -^- = Q*(u, z), (A3)
которая получается из системы (А2) преобразованием параметра t:
dt ,
16*

244 НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ [ГЛ. VI
Заметим, что правые части системы (А3), Р* (и, z) и Q* (и, z) так же явля-
являются многочленами. Если z ф 0, то траектории системы (А3) совпадают
с траекториями системы (А2). При этом когда п — четное, то при переходе
от системы (А2) к системе (А3) положительное направление на траекто-
траекториях не меняется. Однако если п — нечетное, то при этом переходе направ-
направление на траекториях, лежащих в полуплоскости z < 0, меняется на
противоположное.
Система (А3) определена уже и при z = 0, т. е. на всей плоскости ос*.
Нетрудно показать, что если многочлены Р и Q взаимно просты, то много-
многочлены Р* и Q* тоже взаимно просты. В этом случае число особых точек
системы (I) на сфере конечно.
Условимся считать, что в точках экватора, отличных от D и D',
и в их окрестности траекториями на сфере {или траекториями системы
(I)) являются линии, получающиеся путем проекции из центра О траекто-
траекторий системы (А3) на плоскость а*.
В частности, отличными от D и D' особыми точками на экваторе явля-
являются проекции особых точек (состояний равновесия) системы (А3), лежа-
лежащих на оси z = 0.
Таким образом, отличные от D uD' особые точки системы (I), лежащие
на экваторе, являются проекциями точек плоскости (и, z), удовлетворя-
удовлетворяющих соотношениям
В рассматриваемом нами случае, когда Р (х, у) и Q (х, у) — много-
многочлены, изоклины Р (х, у) = 0, Q {х, у) = 0 естественным образом рассма-
рассматриваются на сфере. Все общие точки этих изоклин, как не лежащие, так
и лежащие на экваторе, являются особыми точками системы (I) на сфере.
Однако нетрудно видеть непосредственно из выражений для Р* (z, и),
Q* {z, и), что особыми точками системы (I) на экваторе могут быть так же
точки, не являющиеся общими точками изоклин. Для иллюстрации этого
утверждения (которое может показаться парадоксальным) рассмотрим
динамическую систему
dx ^ dy , .„.
~Ж~ — v> ~~dT —D- ^J
где b =ф 0 — константа. Очевидно, в этом случае функции Р {х, у) = 0
л Q (х, у) = b нигде не обращаются в нуль одновременно. Траекториями
этой системы являются прямые х = С. На сфере им соответствуют боль-
большие круги, пересекающиеся в двух диаметрально противоположных точках
экватора, являющихся особыми точками системы (8). К тому же результа-
результату мы пришли бы, рассматривая соответствующие системе (8) функции
Р* (г, и) и Q* (z, и).
Для того чтобы рассмотреть окрестности точек DuD' экватора, нужно
воспользоваться преобразованием F). Применяя это преобразование к си-
системе (I), мы получим систему (аналогичную системе (А))
dv
dt "'
Эта система после приведения выражений в правых частях к одному
знаменателю может быть записана в виде
dv P{v, г) dz _(j(v, z)
dt ~ z" ' dt ~~ zn '

§ 13] ПОВЕДЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ 245
Наконец, после замены параметра ~,г = dt получим
dv f\ , ч dz Л / * / а \
4r = P(z, v), -^^Qiz, v), (A3)
где Р (z, v) и Q (z, v) — многочлены. В то время, как система (At) не
определена при z = О, система (А3) — определена при z = 0 (и, следова-
следовательно, на всей плоскости ос). С помощью системы (Аз) определяются
траектории на сфере в окрестности точек D и D'.
Исследуя системы (А3) и (А3) в окрестности оси z = О, мы определим
поведение траекторий в окрестности всех точек экватора.
Как правило, многочлены Q* (и, z) и Q (z, v) (в системах (А3) и (А3))
содержат z в качестве множителя, т. е. ось z = 0 состоит из состояний рав-
равновесия и траекторий. Поэтому, как правило, экватор состоит из состояний
равновесия и из траекторий *).
При том центральном проектировании плоскости ос на «сферу Пуан-
Пуанкаре», которое мы здесь рассматриваем, каждой точке плоскости ос соот-
соответствуют две диаметрально противоположные точки сферы. Для того
чтобы избежать такого удвоения, мы можем рассматривать одну полусферу
(вместе с экватором) — например, нижнюю полусферу, которую мы обо-
обозначили через Н. Отображение плоскости ос на открытую полусферу Н
является топологическим; на экваторе диаметрально противоположные
точки рассматриваются как отождествленные. Спроектируем ортогонально
полусферу Н на плоскость. Полученное таким образом отображение полу-
полусферы на круг К плоскости ос с центром в точке S, радиуса единица, оче-
очевидно, является топологическим. Экватор сферы при этом отображается
в граничную окружность Г круга К, а траектории на сфере — в некоторые
линии, которые мы будем называть траекториями в круге К. В частности,
особым точкам на полусфере Н соответствуют особые точки в круге К.
Круг К с соответствующим разбиением на траектории представляет
весьма удобную для рассмотрения модель динамической системы (I),
определенной на плоскости (дополненной бесконечно удаленными эле-
элементами). Каждой точке М плоскости соответствует (взаимно однозначно)
некоторая точка М', лежащая внутри окружности Г. Точки окружности Г,
в которые отображаются точки экватора сферы, соответствуют «бесконечно
удаленным» точкам плоскости. При этом диаметрально противоположные
точки окружности Г соответствуют диаметрально противоположным точкам
экватора (рис. 135 и 137).
Сделаем некоторые замечания по поводу исследования поведения
траекторий в окрестности точек окружности Г.
Пусть В и В' — какие-нибудь две диаметрально противоположные
точки круга Г, являющиеся отображением двух диаметрально противо-
противоположных точек В и В' экватора (для определенности предположим, что В
и В' отличны от точек D и D' (рис. 136 и 137).
Пусть В* — точка плоскости а*, лежащая на оси z = 0, соответству-
соответствующая этим точкам В и В'. Рассмотрим некоторую окрестность а точки В*.
*) Нетрудно убедиться в том, что рассматриваемая на сфере Пуанкаре динами-
динамическая система так же, как и рассматриваемая на сфере Бепдиксона, не является
«динамической системой на сфере» в смысле § 2. В частности, точка, двигаясь на траек-
траектории, может стремиться к особой точке на экваторе црц t, стремящемся к конеч-
конечному значению.

246
НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
[ГЛ. VI
Осью z = О эта окрестность разделяется на две полуокрестности: о+,
лежащую в полуплоскости z>0, и полуокрестность с_, лежащую в полу-
полуплоскости z < 0. На нижнюю полусферу одна из этих полуокрестностей
о+ отображается в полуокрестность точки В, а другая — о^ — в полу-
окрестность точки!?' (рис. 136). Так как х = —, то на круг К полуокрест-
полуокрестность о+ отображается в полуокрестность точки В, соответствующую аг>0,
а а_ — в полуокрестность точки В' (соответствующую х< 0) (рис. 137).
Отметим, кроме того, что если координата и точки В* есть и*, то точки
В к В' являются точками пересечения окружности Г с прямой у 1х = и.
Таким образом, при исследовании расположения траекторий в окре-
окрестности точек окружности Г, сводящегося к исследованию окрестности точек
экватора (т. е. окрестности точек оси z
плоскости ее* или ос), мы фактически
отождествляем диаметрально проти-
противоположные точки окружности Г.
Круг\ у которого диаметрально
противоположные точки граничной
окружности считаются отождествлен-
отождествленными (так же как и сфера с отождест-
отождествленными диаметрально противопо-
противоположными точками), является одной
из моделей проективной плоскости.
Каждые две диаметрально противо-
противоположные точки граничной окруж-
окружности, рассматриваемые как отож-
отождествленные, можно интерпретиро-
интерпретировать как бесконечно удаленную точ-
точку, соответствующую направлению
прямой на плоскости (х, у). Однако
если пользоваться в качестве модели
плоскости кругом К, не отождествляя
диаметрально противоположные точ-
точки окружности Г, то в этом случае мы можем интерпретировать каждую
точку граничной окружности Г как бесконечно удаленную, соответствую-
соответствующую направлению луча на плоскости (х, у). Так как на каждой пря-
прямой — на плоскости можно указать два направления, то мы считаем тем
самым, что на каждой прямой имеется две бесконечно удаленные точки.
Всюду в дальнейшем при рассмотрении динамических систем, опре-
определенных на плоскости, правые части которых — многочлены, мы будем
пользоваться изображением траекторий в круге К.
В заключение дадим схему («рецептуру») исследования динамической
системы на бесконечности, вытекающую из всего вышеизложенного.
Схема исследования. Мы считаем, что рассматривается динамическая
система (А):
^-=Р(х, у), -?- = Q(x, у),
Рис. 137.
где Р и Q — взаимно простые многочлены.
1) Применяем преобразование Пуанкаре

§ 13] ПОВЕДЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ
Получаем систему
du
247
dt
rfz
*(u' z)
где п —минимальное неотрицательное число, возможное при таком пред-
представлении.
2) Рассматриваем систему (А3):
dt
= P*{U, Z),
dz
~~df
= Q*(u,z).
Находим все состояния равновесия этой системы, расположенные
на оси z = 0 (число их конечно). Исследуем расположение траекторий
системы (А3) в окрестности каждого такого состояния равновесия В* (и, 0).
— * CV
а)
Рпс. 138.
3) Для каждой точки В* (к, 0) строим соответствующие ей две точки В
и В' окружности Г, лежащие на пересечении ее с прямой у/х = и.
Пусть абсцисса точки В положительна, а В' — отрицательна.
Полуокрестность а+ точки В* и расположенные в ней траектории
отображаем на полуокрестность а+ точки В в круге К в соответствии с тем,
как это указано на рис. 138, й, полуокрестность а_ — на полуокрестность а_
точки В'.
4) Если п — нечетное число, то при отображении полуокрестности а_
на полуокрестность а_ направления на траекториях меняем на противо-
противоположные.
5) Применяем преобразование Пуанкаре
х =

248
НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
(ГЛ. VI
и переходим к системе
dv _ „(
dt — zi4
а затем к системе (А3):
¦%- = P(v, z), -|f- = 0(i>, z).
6) Исследуем расположение траекторий системы (А3) в окрестности
точки D @,0). Полуокрестность с+ точки/) отображаем на полуокрестность
v
а)
Рис. 139.
о+ точки D в круге К в соответствии с тем, как это указано на рис. 139,
а полуокрестность а_ — на полуокрестность а_ точки D'.
7) Если т — нечетное число, то при отображении полуокрестности а_
на полуокрестность а_ направления на траекториях меняем на противо-
противоположные.
Замечание. Как мы уже указали, обычно ось z = 0 состоит
из траекторий системы (А3), и соответствующие этим траекториям части
окружности Г можно рассматривать как траектории в круге К. Однако
в исключительных случаях это может быть не так. Так, например, легко
убедиться, что система
dx __
dt ~~:
соответствует системе
du
dt
- = z — zu2 -
-2uz,
dz
dt
= —U —
¦uz"
Эта система имеет на оси z = 0 единственное состояние равновесия
@, 0). Во всех остальных точках ее траектории пересекают ось под
прямым углом.

§ 14]
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ
249
3. Пример исследования экватора. Рассмотрим, например, поведе-
поведение на бесконечности траекторий системы
dx
dt
dt
где п>3.
С помощью преобразования Пуанкаре х = —, у = — получаем
du
dt
2и—
dt
-=1+П-и — 3z.
Далее, умножая правые части на z, мы будем иметь
du
= 2и —
dz
~df
= z-\-nuz
(9)
A0)
A1)
На оси 2 = 0 (соответствующей экватору сферы Пуанкаре) система
имеет два состояния равновесия: С @, 0) — неустойчивый узел и
В (— 2/п + 1, 0) — устойчивый
узел. Ось z = 0 состоит из траек-
траекторий системы.
Для исследования точек D и
D' воспользуемся вторым преоб-
преобразованием Пуанкаре х = viz,
у = 1/z. Мы получаем систему
dv
dt
dz
4vz—2v%— (n+1) v
A2)
и после умножения на z — систему
dt
= z(z — v — 1).
Рис. 140.
Точка D @, 0) является для этой
системы устойчивым узлом. Учи-
Учитывая, что при переходе от системы A0) и A2) к системам A1) и A3), мы
умножили правые части на z, и принимая во внимание пп. 4 и 7 схемы
исследования, мы получаем расположение траекторий вблизи окруж-
окружности Г (или, как обычно говорят, вблизи экватора), изображенное на
рис. 140.
§ 14. Использование методов приближенного вычисления
для определения качественной структуры разбиения на траектории
1. Общие замечания. Ввиду отсутствия регулярных эффективных
методов, с помощью которых можно было бы во всех конкретных при-
примерах установить топологическую структуру, и ввиду того, что частные
приемы, о которых мы говорили в § 12, далеко не всегда приводят к
цели, естественно обратиться к вычислительным методам.
Использование численных методов интегрирования требует, конечно,
задания определенных численных значений для всех параметров в системе

250 НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ [ГЛ. VI
или в лучшем случае задания численных значений комбинаций из этих
параметров. Между тем в динамические системы, возникающие из прило-
приложений, всегда входит то или другое число параметров, которые могут
принимать различные значения. Необходимость задания параметров
затрудняет обозрение всей задачи в целом. Поэтому там, где возможно при-
применение аналитических методов, может быть даже и сложных, их всегда
следует предпочитать методам приближенного численного интегрирования.
Однако в некоторых случаях использование приближенного интегрирова-
интегрирования является единственным возможным методом получения сведении о то-
топологической структуре разбиения на траектории данной динамической
системы. Подчеркнем, что при этом представляет интерес не приближенное
вычисление траекторий на том или другом промежутке значений t, само
по себе, которое, конечно, имеет смысл и значение во многих задачах,
а то, как такое приближенное вычисление служит для установления
качественной структуры разбиения на траектории или хотя бы для получе-
получения тех или других качественных характеристик разбиения на траектории.
Мы опишем здесь сначала вкратце один весьма распространенный
метод графического интегрирования, носящий название «метода изоклин
и заключающийся в приближенном построении «сетки» траекторий *).
2. Метод изоклин. Построение проводится следующим образом.
Для рассматриваемой системы (в которой все параметры имеют определен-
определенные численные значения)
строим сетку изоклин
Р (ж, у) + CQ {х, у) = 0, CQ (х, у) + Р {х, у) = 0,
придавая С (или С) различные численные значения, достаточно близкие
друг к другу. Как мы знаем, во всех точках всякой изоклины наклон
интегральных кривых системы (I) один и тот же. В § 1 мы строили семейст-
семейство изоклин для некоторых простейших примеров (рис. 8, 12 и 16). Точки
пересечения всяких двух изоклин, очевидно, являются точками пересече-
пересечения всех изоклин вообще и являются состояниями равновесия системы (I).
Построив изоклины достаточно густо, можно затем приближенно
строить траектории рассматриваемой системы. Начнем построение с неко-
некоторой точки Р (конечно, отличной от состояния равновесия) (рис. 141).
Предположим для определенности, что точка Р лежит на изоклине С = 0.
Проводим из точки Р два отрезка, один в направлении касательной, соот-
соответствующей С = 0 (т. е. параллельно оси х), а другой — в направлении
касательной, соответствующей ближайшей по значению С построенной
изоклине С = —0,2. Оба эти отрезка продолжаем до пересечения с изо-
изоклиной С = —0,2. Пусть flf и Ь] — точки пересечения этих отрезков с ука-
указанной изоклиной. Берем на изоклине С = —0,2 точку Pt, лежащую на рав-
равном расстоянии от точки аи и точки Ьх. Эту точку примем за точку нашей
траектории (проходящей через точку Р). Из точки Pi проводим две пря-
прямые под углами, соответствующими изоклинам С = —0,2 и С = —0,4, до
пересечения с изоклиной С = —0,4 в точках а2 и Ь2. Точку Р2, лежащую
на изоклине С = —0,4 на равных расстояниях от точек а2, Ь2, принимаем
за следующую точку нашей траектории. Продолжая дальше такое же
*) Подробнее о методе изоклин см., например, [6].

§ 14] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ
251
построение, мы получим последовательность точек Р, Pit Р2, Рз, • ¦ •
Соединяя эти точки последовательно отрезками, мы получаем ломаную
линию, приближенно представляющую часть рассматриваемой траектории.
Мы можем, таким образом, продолжать построение этой траектории, а
также построить другие траектории, т. е. построить «сетку» траекторий.
Рпс. 141.
Построение такой сетки может иногда позволить «нащупать» предель-
предельные циклы, существующие у этой системы, а также «угадать», каково
расположение сепаратрис.
Если в рассматриваемую систему входят параметры, то, задавая ряд
значений этих параметров и строя для каждого из этих значении прибли-
приближенную картину траекторий, мы можем получить целую «галерею картин»
разбиений фазовой плоскости на траектории.
В описанном построении «сетки» траекторий но дается никаких оценок
точности построения. Такая оценка, очевидно, может быть сделана. Одна-
Однако здесь мы не будем останавливаться на этом. Укажем еще только, что
при построении каждой отдельной траектории можно пользоваться не изло-
изложенным геометрическим методом (методом изоклин), а одним из методов
приближенного численного интегрирования, в которых дается оценка
ошибки. Такими методами являются, например, известный метод Адамса

252 НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ИГЛ. VI
и метод Рунге. Мы не останавливаемся на изложении этих методов, так
как это не входит в задачи настоящей книги, и, кроме того, по описанию
этих методов существует большая литература (см. [42], [43], [44]). Укажем
еще на данное в работах [40] и [41] построение сетки траекторий, так назы-
называемой «е-сети», в которой оценивается допускаемая погрешность. Мы не
приводим здесь это построение ввиду того, что при качественном исследо-
исследовании динамических систем адекватным представляется не построение
«сетки траекторий», а несколько другое построение, описанное ниже.
3. Специфика использования численных методов при определении
качественной структуры разбиения на траектории. При изложении в пре-
предыдущем пункте способа приближенного построения «сетки траекторий»
методом изоклин (или какими-
У
либо другими приближенны-
приближенными методами, например, пу-
путем построения е-сети) эле-
элементы, необходимые для зна-
знания качественной структуры,
непосредственно не опреде-
определялись. В частности, непо-
непосредственно не определялись
координаты состояний равно-
равновесия и их характер, а полу-
получались, если так можно вы-
высказаться, путем «пешего хо-
хождения», непосредственным
построением в окрестности
точек пересечения изоклин
JT «сетки траекторий». Между
тем, очевидно, что в случае,
Рис. 142. когда состояния равновесия
простые, с отличными от ну-
нуля действительными частями характеристических корней, координаты
таких состояний равновесия и их характер может быть довольно просто
установлен путем непосредственного вычисления, а не путем построения
сетки траекторий. Для этого нужно сначала вычислить координаты со-
состояний равновесия, т. е. приближенно найти (вычислениями) общие
точки кривых
Р(х, j/) = 0, Q(x, y) = 0,
а затем для полученных состояний равновесия подсчитать характеристиче-
характеристические корни. Это сразу же избавляет нас от необходимости построения
сетки траекторий в окрестности состояний равновесия (точность которого,
кстати, весьма мала). Для того чтобы получить сведения о ходе сепаратрис,
также нет необходимости в построении «сетки траекторий», а достаточно
непосредственно построить приближенно сами сепаратрисы.
Мы укажем здесь в весьма общих чертах, как это может быть сделано.
Рассмотрим какое-нибудь седло О (координаты которого вычислены).
Очевидно, пользуясь формулой D) п. 2 § 9, можно вычислить направле-
направления у.1 и х2, под которыми сепаратрисы стремятся к этому седлу О. Выбирая
достаточно малую окрестность седла, т. е. окружность а с центром в сед-
седле О, достаточно малого радиуса, можно части сепаратрис, лежащие внутри
окружности а заменить отрезками прямых, проходящих через седло О

§ 14] ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ 253
и имеющих наклоны щ и и2. Пусть Аи А2, 2?i и 2?2 — точки пересечения
этих прямых с окружностью о (рис. 142).
Начиная с точек At, Ао, Ви Во, мы можем вести приближенное пост-
построение (вычисление) траекторий, проходящих через эти точки, и получить
таким образом приближенный ход сепаратрис седла О.
Предположим, в частности, что какая-нибудь из сепаратрис, например
сепаратриса Lu у которой часть, лежащая внутри а, приближенно заме-
заменяется отрезком OAi, стремится к состоянию равновесия типа узел или
фокус. Мы всегда можем выделить некоторую область о', являющуюся
«областью притяжения» этого узла или фокуса. Тогда можно путем при-
приближенного вычисления дуги траектории (сепаратрисы), начинающейся
от точки Af, «довести» ее до области о' и, следовательно, полностью уста-
установить ход сепаратрисы Lv
Можно указать методы оценки ошибки, которая допускается при таком
построении сепаратрис, однако здесь мы на этом не останавливаемся.
Скажем еще несколько слов о возможном в некоторых случаях построении
«колец», ограниченных витками траекторий, содержащих предельные
циклы. Именно, в следующем пункте мы рассмотрим один простой частный
случай, когда приближенное построение траекторий позволяет весьма
просто установить существование предельного цикла.
4. Случай, когда доказательство существования предельного цикла
возможно при помощи приближенного построения дуг траекторий. Мы
сделаем следующее предположение, не носящее, однако, особенно частно-
частного характера: предположим, что существует линия, проходящая через все
состояния равновесия, которая во всех отличных от состояний равновесия
точках не имеет контактов с траекториями. Будем обозначать эту линию
через Л. В частности, такой линией может быть изоклина. В этом случае
требование, чтобы она не имела контактов с траекториями в отличных
от состояний равновесия точках, аналитически записывается следующим
образом.
Пусть
Р{х, y) + CQ(x, y) = 0 A)
— изоклина соответствующего наклона С. Если касательная к этой
изоклине нигде не имеет наклона С, то, очевидно, при выполнении A)
выражение
не должно обращаться в нуль.
Предположим, что рассматривается часть такой линии Л, на которой
не лежит ни одного состояния равновесия, и что эта часть является простой
дугой. Будем на этой дуге рассматривать некоторый параметр s, взаимно
однозначно соответствующий точкам этой дуги.
Предположим, что, вычисляя дуги траекторий, проходящие через
точки рассматриваемой линии Л на некотором достаточно большом куске,
оказалось возможным установить, что эти траектории вторично пересе-
пересекают линию Л. Кроме того, предположим, что:
1) приближенно просчитанная дуга некоторой траектории Lu прохо-
проходящей через точку At линии Л (соответствующую значению Sj), пересекает
линию Л вторично в некоторой точке А2 со значением параметра s2, причем
- B)

254 НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ КАЧЕСТВЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ [ГЛ. VI
2) приближенно просчитанная дуга некоторой дуги траектории L[,
проходящей через точку А[ линии Л, соответствующую значению s[ >s2,
пересекает линию Л вторично в некоторой точке А'г со значением параметра
s^, причем
Нетрудно видеть, что при указанных условиях точки А2 и А'% лежат
на линии А между точками At и А[ (рис. 143).
Обозначим теперь значение параметра s, при котором истинная
(а но приближенно просчитанная) дуга траектории Lx вторично пересекает
линию Л через s*, а значение, при
У \ котором истинная дуга траектории/^
пересекает линию Л — через .у**.
Предположим точность вычисле-
вычислений такой, чтобы соотношения B)
и C) гарантировали «истинные нера-
неравенства»
D)
Предположим, кроме того, что
область 2, ограниченная простой
замкнутой кривой, состоящей из ду-
дуги АгА2 траектории L\, дуги AiAz
линии Л и простой замкнутой кривой,
состоящей из дуги A'tA'2 траектории
L\ и дуги А[А'2 линии Л, является
ограниченной кольцевой областью.
Если в этой области нет состояний
Рис. 143. равновесия (этот факт, очевидно, мо-
может быть установлен на основании
проведенных вычислений координат состояний равновесия и указанных
дуг траекторий), то в силу неравенств D) на основании теоремы 13 мы
можем утверждать, что в кольцевой области 2 существует хотя бы один
предельный цикл. Более того, если предположить, что среди этих предель-
предельных циклов нет полуустойчивых, то их должно быть нечетное число.
Если, кроме того, точка А2 соответствует на траектории значению t,
большему, чем точка Аи а точка А'2 — большему, чем AJ, то число устойчи-
устойчивых предельных циклов на единицу больше, чем неустойчивых.
Мы видим, таким образом, что при указанных условиях приближенное
вычисление дуг траекторий позволяет доказать существование хотя бы
одного предельного цикла. При этом построение достаточно густой сети
изоклин и «сети траекторий» может оказаться ненужным, все сведения
может дать удачное построение только двух дуг траекторий.
5. Случай, когда топологическая структура разбиения на траектории
принципиально не может быть установлена путем приближенного вычис-
вычисления (построения) траекторий. Рассмотрим, например, случай, когда
все траектории замкнуты. Действительно, в этом случае мы никогда не
сможем, приближенно строя траектории (с любой данной степенью точ-
точности), ответить на вопрос, являются ли эти траектории замкнутыми или
они являются «медленно раскручивающимися» спиралями.
Можно указать также другие, в некотором смысле более простые слу-
случаи: так, например, случай, когда у динамической системы есть «полу-

§ 14]
ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МЕТОДОВ ПРИБЛИЖЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ
255
устойчивый» предельный цикл, т. е. предельный цикл, на который, с
одной стороны, траектории накручиваются (т. е. стремятся к нему при
t—»--|-оо), а с другой стороны, с него скручиваются (т. о. стремятся к нему
при t —*¦ — оо) (рис. 72,6). Сколь бы большую точность приближения мы
ни брали, мы никогда не сможем установить приближенным вычислением
траекторий, имеет ли рассматриваемая динамическая система «полуустой-
«полуустойчивый» предельный цикл, или же некоторое уплотнение траекторий *).
aj 6) ej
Рпс. 144.
Рассмотрим еще случай, когда у динамической системы существует
седло и одна сепаратриса этого седла «образует петлю», т. е. выходит
из этого седла и возвращается в него же (рис. 144, а). Непосредственно
путем приближенного вычисления траекторий, в частности сепаратрис,
с любой степенью точности мы никогда не сможем установить, имеет лн
рассматриваемая система «петлю» или же имеет место одна из картин,
представленных на рис. 144, б и рис. 144, в. На этих рисунках сепаратрисы
а)
в)
могут «расходиться» друг от друга на величину, которая не может быть
обнаружена при любой точности проводимых вычислении.
Полностью аналогичная ситуация представлена на рис. 145, когда
у рассматриваемой динамической системы существует сепаратриса, иду-
идущая из одного седла в другое. Непосредственно приближенным вычисле-
вычислением траекторий мы не сможем установить, какая из трех структур,
представленных на рис. 145, в действительности имеет место.
Следует, однако, подчеркнуть, что здесь мы говорили о невозможности
установления указанных топологических структур непосредственным
приближенным построением траекторий. Это, однако, ни в какой мере
не означает, что не существует косвенных методов, также связанных
с вычислениями, при помощи которых можно установить наличие двойного
цикла, петли сепаратрисы и т. д.
*) Этот факт полностью аналогичен тому, что, приближенно строя некоторую
кривую, мы никогда не можем установить у нес точки касания с осью х.

ГЛАВА VII
«ОСОБЫЕ» ТРАЕКТОРИИ И ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ *)
Введение
В главе II был исчерпывающе рассмотрен вопрос о том, какой характер
может иметь отдельная траектория динамической системы вида (I).
Однако при качественном рассмотрении динамических систем нужно
иметь сведения не только о возможном характере отдельной траектории,
но и о свойствах разбиения на траектории в целом. Некоторые пред-
предложения, дающие такие сведения, приведены в § 4 (см. теоремы 16, 17, 18,
19). Но эти предложения дают только самые основные и весьма неполные
сведения о свойствах разбиения на траектории в целом.
Необходимо дальнейшее, более полное изучение возможных свойств
разбиения на траектории в целом.
Такому изучению и посвящена настоящая глава.
Рассмотрение частных примеров разбиений на траектории (например,
разбиений в случае систем (9) и A1) § 1, п. 14) приводит к заключспию,
что не все траектории равноправны, что во всяком разбиении есть такие
траектории, которые естественно назвать «особыми», в отличие от осталь-
остальных «неособых» траекторий. В рассмотренных выше примерах такими
особыми траекториями являлись состояния равновесия, предельные циклы
и сепаратрисы седел. Непосредственно представляется очевидным, что
при установлении топологической структуры разбиения на траектории
знание числа и расположения таких «особых» траекторий играет фундамен-
фундаментальную роль.
Естественно возникают вопросы: исчерпываются ли встречавшимися
в рассмотренных примерах типами вообще все возможные типы «особых»
траекторий? Как могут быть охарактеризованы «особые» траектории
в общем случае; какова их роль в разбиении на траектории?
Первые два вопроса рассматриваются в § 15. В этом параграфе дается
общее определение особой и неособой траектории, справедливое в случае
траектории любого типа. По смыслу этого определения траектория
является особой или неособой не в зависимости от того, каковы ее свойства
самой по себе, а в зависимости от ее поведения по отношению к близким
траекториям. Кроме того, в § 15 устанавливаются все возможные типы
особых траекторий.
В § 16 делается предположение, что число особых траекторий у рас-
рассматриваемой динамической системы — конечно. Устанавливается, что
*) Понятия орбитно-неустойчивых (особых) и орбитно-устойчивых (неособых)
траекторий введены в заметке [46] и являются обобщением на случай произвольных
динамических систем вида (I) аналогичных понятий, введенных ранее А. Андроновым
и Л. Понтрягиным [6].

§ 15] ОРБИТНО-УСТОЙЧИВЫЕ ТРАЕКТОРИИ И ПОЛУТРАЕКТОРИИ 257
в зтом случае особые траектории разбивают всю совокупность траекторий
на конечное число областей —«ячеек». Каждая «ячейка» заполнена неособы-
неособыми траекториями, поведение которых «одинаково»— в определенном смысле,
уточняющемся в дальнейшем. Устанавливается, что ячейки могут быть
либо односвязными, либо двусвязными.
Выделение особых траекторий и установление возможного характера
ячеек позволяет получить весьма полное представление о возможном
характере разбиения на траектории. При этом вносится известная ясность
в вопрос о том, какие из траекторий динамической системы должны играть
основную роль при установлении топологической структуры разбиения
на траектории.
В настоящей главе для определенности рассматривается динамическая
система на плоскости. Однако все введенные в ней понятия и предложения
полностью справедливы и в случае динамической системы на сфере.
§ 15. Орбитно-устойчивые и орбитно-неустойчивые траектории
и полутраекторни
1. Основные определения. Предполагая, что данная динамическая
система (I) определена в некоторой области G плоскости (х, у) (в част-
частности, во всей плоскости), будем рассматривать только ограниченные полу-
полутраектории и траектории (см. § 4, п. 1), т. е. полутраектории и траектории,
лежащие в некоторой ограниченной замкнутой области Gj cG. В дальней-
дальнейшем не будем это каждый раз оговаривать.
Пусть L —¦ траектория, у которой положительная полутраектория
ограничена. Пусть на L выбрано какое-нибудь движение. Пусть М — точка
L, соответствующая при выбранном движении некоторому значепию т,
и L\i — положительная полутраектория траектории L, точки которой
соответствуют значениям t > т.
Определение XIV. Мы скажем, что траектория L со-ор-
битно-устойчива в точке М, если для любого е > 0 можно указать такое
6 > О, что у всякой траектории L', проходящей при t = т через какую-
нибудь точку М' окрестности ?/6 (М), положительная полутраектория
L'm (соответствующая значениям t >• т) лежит целиком в в-окрестности
полу траектории L\i *).
Очевидно, если траектория L не является ю-орбитно-устойчивой в точ-
точке М, то существует е0 > 0 такое, что сколь бы малое б > 0 мы ни взяли,
найдется траектория U, проходящая при t = т через точку U6 (M)
и имеющая при значениях t > т точки, лежащие вне е0-окрсстиости полу-
полутраектории L\i. Полностью аналогично дается также определение траекто-
траектории а-орбитпо-устойчивой в точке М.
Определение XV. Траектория L (с ограниченной положитель-
положительной полутраекторией) называется (о-орбитно-устойчивой или орбитно-
устойчивой при t-*- + оо, если она со-орбитно-устойчива в любой
своей точке.
Полностью аналогично определяется а-орбитно-устойчивая (или
орбитно-устойчивая при t —>• — оо) траектория.
Лемма 1. Если траектория L а-орбитно-устойчива хотя бы в одной
своей точке, то она а-орбитно-устойчива в любой другой своей точке, т. е.
она со-орбитно-устойчива.
*) Отметим, что е-окрестпость полутраектории Lm непременно содержит е-
окрестность предельных точек Lm.
17 А. А. Андронов и др.

258
«ОСОБЫЕ») ТРАЕКТОРИИ II ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [[ГЛ. VII
Рис. 146.
Доказательство. Предположим, что траектория L ю-ор-
битно-устойчива в точке Ми которая при некотором выбранном на L
движении соответствует t = rt. Обозначим через LMl полутраекторию,
соответствующую значениям t >> тг.
Пусть Mz — какая-нибудь точка траектории L, соответствующая
(при выбранном на L движении) t = т2, и L\u — положительная иолу-
траектория, соответствующая
t > т2. Покажем, что траекто-
траектория L орбитно-устойчива также
и в точке Мо-
Возможны два случая.
1. t^^Tj. Так как в этом
случае полутраектория Lv, яв-
является частью полутраекторин
L\ti (рис. 14E), то, воспользо-
воспользовавшись теоремой о непрерыв-
непрерывной зависимости от начальных условий, нетрудно видеть, что траектория
L ю-орбитно-устойчива также и в точке М2-
2. т2 > Tj. В этом случае полутраектория L\u является частью L\H
(рис. 147).
Предположим противное, т. е. предположим, что траектория L но
является (о-орбитно-устойчивой в точке Мг. Тогда существует е0 > U
такое, что сколь бы малую окрестность U6 (M2) мы ни взяли, найдется
траектория, проходящая при t = т2 через точку этой окрестности, которая
при t > т2 выйдет из е0-окрестности полутраектории Liu-
Значит, выбирая последовательность стремящихся "к нулю чисел:
{6;} -^ 0, можно указать последовательность траекторий {LL}, обладающих
следующим свойством: каждая
траектория Ln при t = т2 про-
проходит через точку б„-окрест-
ности точки М2 и при некото-
некотором значении t > т2 выходит
из е0-окрестности L\i2. На каж-
каждой траектории Ln наищется,
следовательно, точка РП1 соот-
соответствующая значению t — tn~>
> т2, лежащая вне е0-окрест-
ности полутраектории L\i2.
Заметим, что никакая бесконечная подпоследовательность последова-
последовательности чисел {?;} при i —>¦ оо не может стремиться к конечному значе-
значению t, так как тогда мы имели бы противоречие с теоремой о непрерывной
зависимости от начальных значений. Мы всегда можем, кроме того, пред-
предполагать, что последовательность точек
Рис. 147.
li * 2»
*rii • ¦ ¦
A)
имеет одну точку сгущения Рш. Точка Рю должна, очевидно, лежать на
расстоянии, большем или равном е0, от полутраектории L\i2, а значит,
и от предельных точек этой полутраектории, совпадающих с предельными
точками полутраектории Ьщ. Кроме того, точка Рю непременно должна
лежать на полутраектории L\iv
Действительно, предположим, что точка Ра не лежит на полутраекто-
полутраектории Ltit и, следовательно, находится на некотором расстоянии qo> 0 от LiIt.

§ 15] ОРБИТНО-УСТОЙЧИВЫЕ ТРАЕКТОРИИ И ИОЛУТРАККТО1ЧШ 2Г>!)
Возьмем е <. о0. Точка Рю заведомо лежит вне такой е-окрестности Ljuj.
Нетрудно видеть, что, в силу теоремы о непрерывной зависимости от на-
начальных значений, все траектории Ln с достаточно большими номерами п
при t = т, < т2 проходят через точки сколь угодно малой окрестности
точки Mt. Но при достаточно большом п точки Рп траектории Ln, соответ-
соответствующие значению tn > т2 > ть лежат сколь угодно близко к точке Рш,
и значит, вне Uе (Ь%г). Следовательно, через точки сколь угодно малой
окрестности Ub (Mi) проходят траектории, именно, траектории Ln с доста-
достаточно большими номерами, которые при возрастании ««ыходятиз Ut. (Lti^),
т. е. траектория L не является оо-орбитпо-устойчивой в точке Mt. А это
противоречит предположению. Таким образом, точка Ра должна лежать
на полутраектории Ltix или, точнее, на части траектории L, соответствую-
соответствующей значениям t, Tt<;< < т2.
Пусть при выбранном на L движении точка Ра соответствует значению
t = Tt, и пусть Q — точка на L, соответствующая Т2 < хг (рис. 147).
Возьмем на каждой траектории Ln точку Qn, соответствующую значению
tп - ~- tn — (Тх — 7'2). Так как tп —»- оо при п —>• оо, то и t'n —>- оо при п —>• оо.
В силу теоремы о непрерывной зависимости от начальных условий после-
последовательность точек {Qi} при i —>- оо стремится к точке Q. Точка О не может
быть о)-предельной точкой траектории L, так как тогда (в силу теоремы 11
§ 4) предельными для L были бы и все точки L и, в частности, точка Р(о,
что противоречит тому, что точка Рш находится на расстоянии, большем
е0, от полутраектории L\lv Но тогда нетрудно видеть (принимая во внима-
внимание, что точка Q соответствует значению Tz<irl), что точка () находится па
конечном расстоянии от полутраектории L\i^. А так как среди траекторий
Ьп всегда найдутся траектории, пересекающие сколь угодно малую окрест-
окрестность точки Mi, то отсюда следует, что траектория L не является ю-орбитно-
устойчивой в точке il/j. Мы приходим к противоречию и лемма доказана.
Определение XVI. Траектория, не являющаяся ю {а)~орбитно-
устойчивой, называется ы (а)-орбитно-неустойчивой траекторией *).
Очевидно, to (а)-орбитно-неустойчивая траектория L ire является
орбитно-устойчивой ни в одной своей точке, т. с. если М — какая-нибудь
ее точка, то существует е0 > 0 такое, что при любом сколь угодно малом
б > 0 найдется траектория L', проходящая через точку f/6 (M), и при
t > т, выходящая из е0-окрестности Lti-
Положительная (отрицательная) полутраектория называется орбитно-
устойчивой, если она является полутраекторией ы (а)-орбитно-устончивой
траектории.
Полутраектория (положительная или отрицательная), не являющаяся
орбитно-устойчивой, называется орбитно-неустойчивой полутраокторией.
Определение XVII. Ограниченная траектория называется
орбитно-устойчивой или неособой, если она и со- и а-орбитно-устайчива.
Траектория, не являющаяся орбитно-устойчивой (и, следовательно, либо
ю-, либо а-, либо и а- и а-орбитно-неустойчивая). называется орбитно-
неустойчивой или особой траекторией.
Приведем следующую общую теорему:
Теорема 36. Пусть даны две динамические системы, определенные
или обе на сфере, или обе — в ограниченных плоских областях (G и С).
Если топологические структуры разбиения на траектории у этих
*) Отметим, что вес данные выше определения, лемма 1, а также теорема 36
и приведенные доказательства их справедливы пе только для траекторий на плоскости,
по и для траекторий динамических систем в пространстве любого числа измерений.
17*

260 «ОСОБЫЕ» ТРАЕКТОРИИ И ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. VII
динамических систем одинаковы и Т — отождествляющее отображение
(т. е. отображение области определения одной системы G на другую —
G', переводящее траектории в траектории), то при этом орбитно-устой-
чивые полу траектории одной системы отображаются в орбитно-устойчи-
вые полу траектории другой, а орбитно-неустойчивые — в орбитно-пеустой-
чивые.
Доказательство. В случае динамических систем на сфере
справедливость теоремы непосредственно вытекает из того, что на сфере
(в силу ее компактности) отображение Т — равномерно непрерывно (и при
этом все точки сферы являются внутренними точками), а также из самого
определения орбитной устойчивости и неустойчивости полутраектории.
В случае динамических систем в плоских (ограниченных) областях
рассмотрим ограниченную полутраекторию L+ — одной из зтих систем.
Пусть G — область, в которой определена эта система. Полутраоктория
L+ лежит в некоторой области G\ целиком вместе с границей, принадлежа-
принадлежащей G (Gt a G).
Возьмем какую-нибудь область G2 целиком вместе с границей, содер-
содержащейся в G и содержащей область Gt вместе с границей (т. е. G гз G2 zz>
гэ G2 гэ <?i гэ Gt zd L+). Отображение Т равномерно непрерывно в области
G2, и при этом точки полутраектории L+ заведомо отличны от точек границы
G2. А тогда справедливость теоремы, как нетрудно видеть, непосредственно
вытекает из самого определения орбитной устойчивости и неустойчивости
полутраектории.
Замечание. Если топологическое отображение Т сохраняет
ориентацию и направление по t, то ю-орбитно-неустойчивая траектория
отображается в ю-орбитно-неустойчивую и а-орбитно-неустойчивая —
в а-орбитно-неустойчивую.
2. Простейшие примеры орбитно-устойчивых и орбитно-неустончи-
вых траекторий. Поясним введенные понятия на примерах траекторий,
встречавшихся в рассмотренных выше динамических системах.
Всякая полутраектория, стремящаяся к узлу или фокусу, орбитно-
устойчива.
Действительно, пусть О — узел или фокус. В этом случае, как мы
видели (§ 7), при любом е>0 можно указать цикл без контакта Се
(являющийся окружностью или эллипсом), содержащий точку О внутри
и целиком лежащий в е-окрестности точки О. Очевидно, е-окрестность
всякой стремящейся к О полутраектории непременно содержит е-окрест-
ность точки О, и поэтому точки внутри такого цикла без контакта С Е при-
принадлежат е-окрестности любой стремящейся к О полутраекторин.
Пусть L+ — одна из таких полутраекторий. Если точка М отон полу-
полутраектории лежит врутри СЕ, то все траектории, проходящие через доста-
достаточно малую ее окрестность, при возрастании t не выйдут из Сг (и, следо-
следовательно, из е-окрестности Lyi). Если точка М лежит вне Се (или
на Се), то в силу теоремы о непрерывной зависимости от начальных
значений (или в силу леммы 4 § 3) всегда можно указать б > 0 такое, чтобы
все траектории, при t — t0, проходящие через точки J7e (М), в течонпе
конечного промежутка значений t достигли бы цикла без контакта, не
выходя до этого из е-окрестности полутраектории L\i (или, точнее, из
е-окрестности части 1Лд до ее пересечения с Се); войдя внутрь цикла без
контакта СЕ, они из него больше уже не выйдут, и следовательно, не вый-

§ 15]
ОРБИТНОУСТОЙЧИВЫЕ ТРАЕКТОРИИ И ПОЛУТРАЕКТОРИИ
261
У
дут из е-окрестности Ltt- Так как все сказанное справедливо при любом
е >0, то отсюда, очевидно, следует орбитиая устойчивость h\i (рис. 148).
Орбитно-устойчивыми являются и
все полутраектории, стремящиеся
к предельному циклу.
Мы не будем останавливаться
на доказательстве этого геометри-
геометрически очевидного утверждения,
так как оно непосредственно вы-
вытекает из более общего предложе-
предложения (леммы 8).
Орбитно-устойчивыми, т. е.
неособыми траекториями, являют-
являются траектории, при t —*¦ + оо и
t—>- — оо стремящиеся к узлам
или фокусам, или при ? —>- + оо
(?-»-— оо) стремящиеся к узлу,
а при t-> оо (?—>- + оо) — к пре-
предельному циклу; а также траекто-
траектории, стремящиеся к предельным
циклам и при t —*¦ -\- оо и при
t —>- — оо (все такие траектории Рис ^g
и о>- и а-орбитно-устойчивы).
Из этих примеров нетрудно видеть, что в случае, когда траекто-
траектория неособая (орбитно-устойчивая), все близкие к ней траектории ведут себя
весьма «похожим» образом (в дальнейшем смысл этих слов уточняется).
Но это совершенно не имеет места для тех траекторий, которые мы выше
Рис. 149.
Рис. 150.
причисляли к «особым». Начнем с состояний равновесия. Устойчивые узлы
и фокусы орбитно-устойчивы при t —>¦ -\- оо и неустойчивые — при t —*¦
—>¦ — оо. Но они орбитно-неустойчивы при t —*¦ — оо или соответственно
при t —>- + оо. Действительно, в случае, например, устойчивого узла
или фокуса траектории, проходящие сколь угодно близко к нему, при убы-
убывании t, очевидно, выходят из всякой достаточно малой его окрестности
(рис. 149).

262 «ОСОБЫЕ» ТРАЕКТОРИИ И ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. VII
Седло орбитно-неустойчиво и при t —>¦ -\- оо и при t —*¦ — оо.
Устойчивые и неустойчивые предельные циклы в отношении орбитиой
устойчивости ведут себя так же, как узлы и фокусы, т. е. могут быть орбит-
но-устойчивыми, либо только при t —>- 4- °°> либо только при t—>¦ — оо,
а соответственно при t -+¦ — оо и t —>¦ -|- оо они орбитно-пеустойчшш,
и, следовательно, предельные циклы, как и узел, седло и фокус являются
особыми траекториями.
Полутраектории, стремящиеся к седлу (сепаратрисы седла), орбитно-
неустойчивы. Действительно, если L+ — стремящаяся к седлу полутраек-
полутраектория и М — какая-нибудь точка на ней, то всегда можно указать такое
е0 > 0, чтобы при любом 6 > 0 полутраектории, отличные от Lti и прохо-
проходящие через точки U6 (M), при возрастании t непременно выходили бы
из е0-окрестности точки L\i (рис. 150).
3. Возможные типы орбитно-неустойчивых нолутраекторий и траек-
траекторий. Перейдем теперь к выяснению того, какие из траекторий рас-
рассматриваемых нами динамических систем второго порядка являются
орбитно-устойчивыми, а какие орбитно-неустойчивыми.
При этом мы будем существенно опираться-на теорему 11 § 4, каса-
касающуюся предельных траекторий и справедливую только для траекторий
динамических систем в плоской области.
Докажем прежде всего следующую основную теорему:
Теорема 37. Всякая траектория, являющаяся предельной хотя
бы для одной отличной от нее траектории, или со, или а (иш и со и а),
орбитно-неустойчива.
Доказательство. Пусть L — траектория, яиляющаяся
со-предельной хотя бы для одной отличной от нее самой траектории L'. Если
L есть состояние равновесия, то на V, очевидно, всегда найдется точка 7l/j,
отличная от этого состояния равновесия и, следовательно, находящаяся
на ненулевом расстоянии от него.
Если L — траектория, отличная от состояния равновесия, то в силу
теоремы 11 § 4 траектория L' заведомо не может бить предельной для
траектории L. Следовательно, на траектории L' также найдется точка М%,
находящаяся на ненулевом расстоянии d от траектории L. Возьмем е0 < с!
В обоих случаях точка Mi будет лежать вне е0 окрестности траектории L.
Но траектория L по условию является со-предельной для L'; следователь-
следовательно, сколь бы малое 6 > 0 мы ни взяли, в б-окрестности любой точки траек-
траектории L будут находиться точки траектории L', соответствующие сколь
угодно большим значениям t (в частности, большим того значения t,
которому соответствует точка М4). А так как точка Мх траектории L'
лежит вне гп-окрестности траектории L, то отсюда, очевидно, следует,
что L во всяком случае а-орбитно-неустойчива.
Совершенно так же мы покажем, что в случае, когда траектория L
является а-предельной для некоторой отличной от нее траектории L',
она заведомо является ы-орбитно-неустойчивой. Теорема доказана.
Как было выяснено в главе II, ограниченная полутраектория дина-
динамической системы (т. е. целиком лежащая в замкнутой области G4 cr G)
может быть одного из следующих типов:
1) Состоянием равновесия. 2) Полутраекторией, стремящейся к со-
состоянию равновесия. 3) Полутраекторией замкнутой траектории (совпа-
(совпадающей, следовательно, с этой замкнутой траекторией). А) Полутраектори-
Полутраекторией, стремящейся к замкпутойтраектории. 5) Полутраекторией, стремящемся
к некоторому предельному континууму, состоящему из состояний равиове-

§ 15]
ОРБИТНО-УСТОЙЧИВЫЕ ТРАЕКТОРИИ 31 ПОЛУТРАЕКТОИШ
203
сия и траекторий, отличных от состоянии равновесия, цр стремящихся
к состояниям равновесия и при t -*- -j- оо и при t —»- —.00 *).
Мы рассмотрим все возможные типы полутраекторий и установим,
какие из этих полутраекторий могут быть орбитно-устойчивыми и какие
орбитно-неустойчивыми.
Теорема 18 (§ 4) позволяет непосредственно решить вопрос о том, и ка-
каких случаях изолированные состояния равновесия О орбитпо-устойчивы,
а в каких случаях орбитно-неустойчивы. Именно в силу теоремы 18 воз-
возможны два случая:
1) либо в сколь угодно малой окрестности О лежит замкнутая траек-
траектория, содержащая О внутри, 2) либо существует траектория, стремящаяся
к О (при t —> -j- 00 или t —> ¦ 00).
В первом случае состояние равновесия О, очевидно, и ю- и а-орбитно-
устойчиво. Во втором случае в силу теоремы 37 состояние равновесия О
орбитно-неустойчиво. Этим вопрос об орбитной устойчивости и неустойчи-
неустойчивости состояния равновесия решается полностью. Мы перейдем теперь
к рассмотрению орбитно-неустойчивых полутраекторий, стремящихся
к изолированному состоянию равновесия. Докажем сначала некоторые
вспомогательные предложения.
4. Вспомогательные леммы о поведении полутраекторин в окрестности
состояния равновесия. Всюду в дальнейшем предполагается, что плоскость
ориентирована, т. е. что выбрано положительное направление обхода
простых замкнутых кривых (например, на-
направление против часовой стрелки).
Пусть теперь О — изолированное состоя-
состояние равновесия и С — простая замкнутая
кривая (гладкая или негладкая), содержащая
состояние равновесия О внутри и такая, что
внутри С и на С кроме О больше нет ни
одного состояния равновесия.
Предположим, что существует положи-
положительная полутраектория L+, стремящаяся
к состоянию равновесия О, у которой есть
общие с кривой С точки.
Пусть на L+ выбрано какое-нибудь движение. Общая у L~ и С точка М,
соответствующая при выбранном движении значению t — т, называется
последней общей с кривой С точкой полутраектории L+, если все точки L+,
соответствующие значениям ?>т, лежат внутри С (рис. 151). Часть МО
полутраектории L+, соответствующую значениям t . т, согласно принятым
обозначениям будем обозначать через L\i.
В случае, когда к состоянию равновесия О стремится отрицательная
полутраектория L~ и у этой полутраектории есть общие с кривой С точки,
мы совершенно так же будем говорить о «последней общей с кривой С точке
полутраектории L~».
Если L —¦ траектория, из которой выделена полутраектория L+ (L~),
то последнюю общую точку полутраекторин L+ (L~) с замкнутой кривой С
мы будем иногда также называть «.последней при возрастании [соответст-
[соответственно, при убывании) t общей /почкой траектории L с замкнутой кривой С».
Рис. 151.
*) При отсутствии предположения о конечном числе состояний равновесия
иолутраекторин типа 5) могут иметь своим предельным множеством континуум
из одних состояний равновесия.

264 «ОСОБЫЕ» ТРАЕКТОРИИ И ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. VII
Предположим теперь, что простая замкнутая кривая С, обладающая
указанными выше свойствами, является окружностью, а стремящаяся
к состоянию равновесия О полутраектория имеет точки вне С и является
положительной полутраекторией L+. (M — последняя общая точка L+ с С,
Lti — часть ОМ полутраектории L+.)
Докажем три леммы.
Лемма 2. Если К — дуга без контакта, целиком лежащая внутри С,
на которой не лежит ни одной точки полу траектории Lti, то ниоднатраек-
тория, пересекающая Я, не может, не выходя из окружности С, пересечь
эту дугу еще pas.
Доказательство. Предположим противное, т. е. что траектория
L', проходящая через точку Pt дуги К, не выходя из окружности С,
пересекает дугу К еще раз в точке Рг (рис. 152). На дуге PtP2 траектории
L' нет, следовательно, точек, лежащих вне
окружности С (но могут быть точки самой
окружности С). Кроме того, мы всегда можем
предполагать, что на дуге "К между точками Ру
и Pz нет больше точек траектории U. Рассмот-
Рассмотрим простую замкнутую кривую D, состоящую
из дуги PiP2 траектории L' и части Р\Р2 дуги
К. Область внутри этой замкнутой кривой,
очевидно, является частью области впутри С.
В силу следствия 1 из теоремы 16 § 4 внутри D
непременно должно лежать хотя бы одно со-
Рис. 152. стояние равновесия.
Полутраектория Lti, по предположению
имеющая точки вне С, не может иметь точек
внутри D, так как она не пересекает D — по самому выбору дуги без
контакта К. Поэтому L\i не может стремиться к особой точке, лежащей
внутри D. Следовательно, эта особая точка отлична от точки О, что про-
противоречит самому выбору кривой С. Полученное противоречие доказывает
лемму.
Лемма 3. Всякая отличная от Lti полу траектория L'0, не имею-
имеющая точек вне окружности С, стремится к состоянию равновесия О.
Доказательство. Предположим для определенности, что полу-
полутраектория L'° является положительной полутраекториеи Z/+. Так как
по условию леммы эта полутраектория лежит целиком внутри окружности
С, то все ее предельные точки лежат либо внутри С, либо на самой окруж-
окружности С. Докажем сначала, что у L'+ не может быть лежащих внутри С
предельных точек, отличных от состояния равновесия О. Предположим
противное, т. е. что у полутраектории L'+ существует предельная
точка N, отличная от состояния равновесия О и лежащая внутри
окружности С. Точка N не может лежать на полутраектории L\i, так как
тогда все точки полутраектории L+ (частью которой является полутраекто-
полутраектория Lti) были бы предельными точками L'+, в том числе и точки L+, лежа-
лежащие вне окружности С. Это невозможно, так как по условию у L'+ нет
точек вне С- Кроме того, точка N не может быть предельной точкой полу-
полутраектории L+, так как эта полутраектория имеет единственную предель-
предельную точку О. А тогда через точку N можно провести дугу без контакта S,
не пересекающую полутраекторию L+, и на этой дуге должно лежать
бесчисленное множество точек полутраектории Z/+. Но в силу леммы 2 это,
очевидно, невозможно. Следовательно, у L'+ не может быть отличных от О
предельных точек, лежащих внутри окружности С. Таким образом, если

§ 15] ОРБИТНО-УСТОЙЧИВЫЕ ТРАЕКТОРИИ И ПОЛУТРАЕКТОРИИ 205
у полутраектории Z/+ есть отличные от состояния равновесия О предель-
предельные точки, то все эти точки являются точками окружности С.
Покажем, что и это невозможно. Действительно, пусть N — точка
окружности С, является предельной точкой L'+. Тогда все точки траекто-
траектории Lo, проходящей через точку N, должны быть предельными для полу-
полутраектории L'+. Траектория Lo, по самому выбору окружности С, заведомо
отлична от состояния равновесия. Кроме того, у Lc не может бытьви точек,
лежащих вне окружности С, ни (в силу доказанного выше) точек внутри С,
так что все точки траектории LQ должны быть точками окружности С.
А тогда нетрудно видеть, что траектория Lo должна быть замкнутой траек-
траекторией, совпадающей с окружностью С. Но это, очевидно, невозможно,
так как по условию у полутраектории L*,
стремящейся к состоянию равновесия О, есть
точки вне окружности С. Таким образом,
лемма доказана.
Лемма 4. Пусть через точку Q полу-
траектории L\i, отличную от точки Л1,
проведена дуга без контакта I с концом
в точке Q, целиком лежащая внутри окруж-
окружности С, причем кроме конца Q на ней не
лежит уже больше ни одной точки полутра-
полутраектории L\i. Тогда либо все траектории, пе-
пересекающие при t = tQ дугу I в отличных от Q
точках, при возрастании t выходят из окруж-
окружности С, либо существует такая часть QQi
дуги I, что все пересекающие эту часть траек-
траектории, не выходя из окружности С, стремятся Рис 153.
к состоянию равновесия О при t —>¦ оо.
Доказательство. Предположим, что не все траектории,
пересекающие дугу I в отличных от Q точках, при возрастании t выходят
из окружности С, т. е. что существует точка Qy дуги /, через которую про-
проходит при t = TD полутраектория L\, не выходящая из окружности С
(рис. 153). В силу леммы 1 полутраектория L\ не может уже больше пере-
пересечь дугу I, в силу леммы 2 она стремится к состоянию равновесия О.
Рассмотрим простую замкнутую кривую S, состоящую из полутраек-
полутраектории Lq (т. е. части QO полутраектории Zr), полутраекторни LJq, (т. е.
части QiO полутраектории Ь*х) точки О и части QQ^ дуги I. Кривая S лежит
целиком внутри окружности С. Так как дуга QQi является дугой без кон-
контакта, то пересекающие эту дугу траектории при возрастании t одновре-
одновременно либо все входят внутрь кривой S, либо все выходят из нее. При этом
каждая из этих траекторий, очевидно, пересекает дугу QQi только один
раз (в противном случае она должна была бы пересечь дугу (^j в противо-
противоположном направлении, что невозможно).
Покажем, что все траектории, пересекающие дугу QQ, (в отличных
от Q и Qi точках), при возрастании t входят внутрь кривой iS". Пусть R —
точка полутраектории L+ (частью которой является полутраектория L%j),
лежащая вне С — по условию леммы такая точка заведомо существует.
Пусть при выбранном на L+ движении точка Q соответствует значению
t = ?о! тогда точка R соответствует некоторому значению т < tD.
Пусть Q* — достаточно близкая к Q точка дуги QQi, L* — проходящая
через эту точку траектория. Если на L* выбрано движение, при котором точ-
точка Q* соответствует значению t = t0, то точка В* траектории L*, соответст-
соответствующая значению т, будет лежать сколь угодно близко к точке Е (если

«ОСОБЫЕ» ТРАЕКТОРИИ И ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 1ГЛ. VII
точка Q* достаточно близка к точке Q) и, следовательно, вне окружности
С (рис. 153). Так как т < ?0, то, очевидно, в точке Q* траектория L* при
возрастании t входит внутрь кривой S. А тогда и все траектории, пересе-
пересекающие дугу QQi в отличных от Q и Qt точках при возрастании t входят
внутрь кривой S. Так как эти траектории больше уже не могут выйти из
кривой С, то в силу леммы 2 они стремятся к состоянию равновесия О
при t —> оо. Таким образом, лемма доказана.
5. Орбитно-неустойчивые траектории, стремящиеся к состоянию
равновесия. Предполагая, что окружность С, дуга без контакта /, полу-
полутраектория L+ и Q — общая точка I и L+ удовлетворяют тем же условиям,
что и выше, введем следующее определение:
Определение XVIII. Если дуга без контакта I лежит по по-
положительную сторону полутраектории L+ и все траектории, при t = tD
Рис. 154.
Рис. 155.
пересекающие эту дугу (е точках, отличных от Q), при возрастании t
выходят из окружности С, то полутраектория L~ называется продолжае-
продолжаемой (с положительной стороны) по отношению к окружности С.
Если все траектории, при t = t0 пересекающие некоторую часть QQ,
дуги /, при возрастании t не выходят из окружности С (и значит, при
t —>- ¦ |- оо стремятся к состоянию равновесия), то мы будем говорить,
что полутраектория L+ непродолжаема с положительной стороны отно-
относительно окружности С (или не имеет продолжения относительно окруж-
окружности С с положительной стороны) *).
Совершенно аналогичное определение дается в случае, когда дуга без
контакта / лежит по отрицательную сторону полутраектории L~, а также
в случае, когда рассматриваемая полутраектория является отрицательной
полутраекториен, стремящейся к состоянию равновесия О.
Полутраектория L^ может быть продолжаема по отношению к окруж-
окружности С с одной только стороны, например, с положительной, или с обеих
сторон, и с положительной и с отрицательной.
На рис. 154 и 155 даны простейшие геометрические примеры полутраек-
полутраекторий, продолжаемых по отношению к данной окружности С. На рис. 154
*) Это определение дано Пендиксопом.

15]
ОРБИТНО-УСТОЙЧИВЫЕ ТРАЕКТОРИИ И ПОЛУТРАЕКТОРИИ
267
Рис. 156.
Рис. 157.
полутраектория L+ продолжаема по отношению к окружности С только
с одной стороны; на рис. 155 — с обеих сторон. Примеры полутраекторий,
не продолжаемых по отношению к данной окружности С, представлегы
на рис. 156 и 157.
Теорема 38. Полутраектория L+, стремящаяся к состоянию рав-
равновесия О, орбитно-неустойчива в том и только в том случае, если сущест-
существует окружность с центром в О, по отношению к которой она продол-
продолжаема по крайней мере с одной из своих сторон.
Доказательство. Пусть все траектории, пересекающие дугу
без контакта I, целиком лежащую внутри окружности С (конец Q которой
лежит на L+), при возра-
возрастании t выходят из этой
окружности.
Всегда можно взять
е0 > 0 столь малым, что-
чтобы е0-окрестность полу-
полутраектории Lq (т. е. часть
QO полутраектории L+) це-
целиком содержалась внутри
окружности С. А тогда
всякая пересекающая дугу
I траектория, выходя при
возрастании t из окружно-
окружности С, заведомо выходит из
е0-окрестности Lq. Так как
всегда можно взять траек-
траекторию, пересекающую дугу
I сколь угодно близко к точке Q, то это, очевидно, означает, что полу-
полутраектория Lq (а следовательно, в силу леммы 1 nL+) орбитно-неустойчива.
Обратно, пусть L+ — полутраектория, стремящаяся к состоянию рав-
равновесия О и орбитно-неустойчивая. Тогда существует е0 > 0 такое, что
сколь бы малую окрестность любой точки R полутраектории L+ мы ни
взяли,, среди пересекающих эту окрестность траекторий всегда найдется
такая, которая выходит при возрастании t из Uг (L+).
Рассмотрим окружность С (внутри и на которой нет состояний рав-
равновесия кроме О) радиуса г, меньшего е0, и пусть М — последняя общая
точка полутраектории L+ с этой окружностью С. Пусть через точку Q
полутраектории Lti, отличную от Ж, проведена дуга без контакта 'к, содер-
содержащая точку Q внутри, кроме Q не имеющая больше общих точек с пол»/-
траекторией Ьм и целиком лежащая внутри окружности С. Нетрудно ви-
видеть, что на дуге ^нельзя выделить такую, содержащую точку Q внутри себя
часть, чтобы все пересекающие эту часть траектории не выходили бы из
окружности С (и, следовательно, стремились бы к состоянию равновесия
О). В самом деле, тогда и вокруг каждой точки полутраектории L+ мож-
можно было бы указать такую окрестность, чтобы все пересекающие эту окре-
окрестность траектории не выходили бы из е0-окрестности L+, что невозможно
по самому выбору числа е0- А отсюда следует, что в случае, когда полу-
полутраектория L+ орбитно-неустойчива, все траектории, пересекающие либо
часть дуги "К, лежащую по положительную сторону L$i, либо часть дуги К,
лежащую по отрицательную сторону L\i (либо и туи другую части дуги %),
при возрастании t выходят из окружности С. Теорема доказана.
Рассмотрим более подробно продолжаемые относительно некоторой
окружности полутраектории.

268
«ОСОБЫЕ» ТРАЕКТОРИИ И ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. VII
Предположим, что наряду с рассматриваемой полутраекторией L0,
стремящейся к состоянию равновесия О и имеющей точки вне окружности
С, существует еще одна полутраектория L'0, стремящаяся к состоянию
равновесия и заведомо имеющая общие точки с окружностью С (но могущая
не иметь точек вне С).
Пусть М и М' — последние общие точки полутраекторий L" и L'°
с окружностью С и L'lr, L'% полутраектории (МО и М'О), являющиеся
частями полутраекторий L° и L'°.
Рассмотрим простую замкнутую кривую с, состоящую из полутраек-
полутраекторий L%, L'm- точки О и дуги ММ' кривой С (т. е. дуги, на которой направ-
направление от точки М к М' совпадает с направлением, индуцированным поло-
положительным обходом кривой; см. § 11, п. 2). Область g внутри кривой о~,
являющуюся частью области внутри окружности С, будем называть кри-
криволинейным сектором или просто сектором.
Рис. 158.
Рис. 159.
Если обе полутраектории L%i и L'm-, входящие в границу сектора g.
положительны (отрицательны), то при положительном обходе кривой а
на одной из этих полутраекторий индуцируется направление, совпадающее
с направлением по t, а на другой — противоположное направлению по t
(рис. 158).
Если одна из полутраекторий Lllt положительна, а другая L'$—
отрицательна, то при положительном обходе кривой а индуцированное
на этих полутраекториях направление либо на обоих совпадает с направле-
направлением по t, либо на обоих противоположно направлению по t (рис. 159).
Возьмем на полутраекториях L'm и L'm- соответственно точки О и Г/,
отличные от М и М'. Пусть I — дуга без контакта с концом в точке Q,
кроме точки О не имеющая больше общих точек с нолутраекторией L";,
V — дуга без контакта с концом в точке Q', не имеющая больше общих
точек с полутраекторией L'm-.
Предположим, что дуги / и V целиком лежат внутри окружности С,
не имеют друг с другом общих точек, кроме того, дуга I кроме конца О
не имеет общих точек с полутраекторией L%, а дуга Г кроме конца (У
не имеет общих точек с полутраекторией L'm--
Пусть обе рассматриваемые полутраектории являются положитель-
положительными полутраекториями Lti и L'm'. Если дуги без контакта I и V лежат по
положительную сторону полутраекторий L\i и L'm' соответственно, то все
точки дуги I, отличные от точки Q, лежат в секторе g, а все точки дуги V,
отличные от Q' — вне сектора g (и наоборот, в случае, когда дуги I и Г

§ 15] ОРБИТНО-УСТОЙЧИВЬШ ТРАЕКТОРИИ И ИОЛУТРЛЮКТОРШ1 20!)
лежат по отрицательную сторону полутраекторий L\t и L'\V соответственно)
(рис. 158).
Пусть одна из рассматриваемых полутраекторнй положительна,
например L\i, а другая — отрицательна — Ь'п-.
Если дуги без контакта I и V лежат по положительную сторону траек-
траекторий 1Л,1 и ,?д7', соответственно, то все точки обеих этих дуг (кроме точек Q
и Q') принадлежат области g. Точки обеих дуг не принадлежат области g,
если дуги I и Г лежат по отрицательную сторону L\i и Ь'п1 соответственно.
Предположим теперь, что полутраектории Lli и Ь'м- таконы, что для
них выполняется следующее условие. Все траектории, пересекающие неко-
некоторую часть QQt дуги I (в отличных от Q точках), при возрастании t, не
выходя до этого из окружности С, пере-
пересекают дугу Г, причем точки их пересе-
пересечения с дугой Г стремятся к точке Q',
когда точки их пересечения с дугой I стре-
стремятся к точке Q.
Нетрудно видеть (основываясь на
лемме 10 § 3), что тогда на дуге Г тоже
можно выделить часть Q'Q[ такую, что все
траектории, пересекающие эту часть (в от-
отличных от Q' точках), при убывании t, не
выходя из окружности С, пересекают дугу
I. Действительно, пусть Q2 — какая-нибудь
точка части QQ% дуги I, и все траектории, р
пересекающие часть QiQz дуги I, при воз-
возрастании t, не выходя до этого из окруж-
окружности С, пересекают дугу V на части Q[Q'2, причем траектории, проходя-
проходящие через точки (^ Q2, пересекают V соответственно в точках ()'г и (С
Тогда, в силу леммы 10 § 3 и замечания 1 к ней, все траектории, пересекаю-
пересекающие часть Q\Q'2 дуги V, при убывании t (очевидно, также не выходя из
окружности С) пересекут часть QiQo Дуги I. Но по условию точка (Ai стре-
стремится к точке Q', когда точка (J стремится к точке Q. Следовательно,
все траектории, пересекающие часть Q'Q[ дуги /', при убывании t пересе-
пересекают часть QQi дуги I.
В этом случае полутраектории Ь+м и L'yy заведомо продолжаемы по
отношению к некоторой окружности. Действительно, полутраекторпя Lti,
по условию имеющая точки вне С, очевидно, продолжаема по отношению
к окружности С. Если полутраектория U\y имеет точки вне С, то она также
является согласно определению XVIII продолжаемой по отношению к ок-
окружности С *). Если же она не имеет точек вне С, а имеет лишь общие
с окружностью С точки (рис. 160), то всегда можно взять окружность С
несколько меньшего, чем С, радиуса, по отношению к которой она будет
продолжаемой.
Пусть для определенности дуги I и V лежат по положительную сторону
полутраектории L\i и L'H- соответственно.
Определение XIX. Если все траектории, пересекающие неко-
некоторую часть QtQ дуги I, в отличных от Q точках при возрастании t, не
выходя из окружности С, пересекают дугу V, причем точки их пересечения
с дугой Г стремятся к точке Q', когда точки их пересечения с дугой I стре-
*) В определении XVIII продолжаемой но отношению к дайной окружности С
полутрасктории предполагалось, что эта полутраекторпя имеет точки вне С.

270 «ОСОБЫЕ» ТРАЕКТОРИИ 1ГЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. ЛИ
мятся к Q, то полутраекторияЬ'Ц' называется продолжением полутраекто-
полутраектории Lit с положительной стороны относительно окружности С.
В случае, когда дуги без контакта I и /' лежат по отрицательную сто-
сторону полутраекторий L\i и Ь'м- соответственно, полутраектория Ь'п- назы-
называется продолжением полутраектории Lti no отношению к окружности
С — с отрицательной стороны.
Совершенно аналогичное определение дается и в случае отрицательной
полутраектории Ьм.
Мы будем называть продолжением полутраектории L~ относительно
окружности Сне только саму полутраекторию Ь'м-, ной траекторию L',
из которой иолутраектория L'AJr выделена. Очевидно, полутраекторпя,
стремящаяся к состоянию равновесия, не может иметь более двух продол-
продолжений по отношению к данной окруж-
окружности С — одного с положительной,
другого с отрицательной стороны.
Следующая лемма сформулиро-
сформулирована в предположении, что рассмат-
рассматривается положительная полутраек-
полутраектория L+. Полностью аналогичное
утверждение может быть доказано и
для отрицательной полутраекторин.
Окружность С, полутраектории
L+, L\i, дуга без контакта I и т. д.
в этой лемме имеют тот же смысл, что
п лгл и выше.
Рис. 161. -п с г^
JJ е м м а о. Если все траекто-
траектории, пересекающие дугу без контакта
I, лежащую по положительную (отрицательную) сторону полутраектории
L\i, при возрастании t выходят из окружности С. т. е. полутраектория Lv
продолжаема с положительной (отрицательной) стороны относительно
окружности С, то непременно существует отрицательная полутраектория
Ь'м>, являющаяся продолжением L+ с положительной (отрицательной) сторо-
стороны относительно окружности С.
Доказательство. Для доказательства леммы нужно показать,
что существует отрицательная полутраектория L'~, стремящаяся к со-
состоянию равновесия О и удовлетворяющая определению XIX. Предполо-
Предположим для определенности, что дуга I, конец Q которой лежит на L\t, нахо-
находится по положительную сторону полутраектории Z/Jj. Возьмем на дуге I
последовательность точек {Qi}, стремящихся к точке Q. По предположению
траектория Lt, при t = t0 проходящая через любую из точек Qt, при / >
> t0 должна выйти из окружности С. Пусть St — первая ее общая точка
с окружностью С, соответствующая t > t0, так что дуга QiS; кроме точки
Si лежит целиком внутри С. Нетрудно видеть, принимая во внимание
лемму 1, что при различных i все точки ?; различны. Следовательно, на
окружности С лежит бесчисленное множество точек St, и эти точки должны
иметь хоть одну точку сгущения (рис. 161). Без ограничения общности
мы можем предполагать, что они имеют единственную точку сгущения S'.
Рассмотрим траекторию L', проходящую через точку <S".
Пусть при выбранном на// движении точка S' соответствует значению
t = х. Покажем, что на L' нет точек, соответствующих значениям (<т
и легкащих вне С. В самом деле, предположим сначала, что траектория
V выходит при значении t < т из окружности С, не пересекая до этого
отрезок без контакта I. Тогда и все траектории Li, проходящие через точки

§ 15] ОРБИТНО-УСТОЙЧИВЫЕ ТРАЕКТОРИИ И ПОЛУТРАЕКТОРИИ 271
St, достаточно близкие к точке S', при убывании t выходят из окружности
С, не пересекая до этого дугу I. Но это, очевидно, невозможно по самому
определению точек St.
Предположим теперь, что траектория U выходит при убывании t
из окружности С, предварительно пересекая дугу I в некоторой точке,
соответствующей значению t = т4 (tj <С т). Тогда в силу непрерывной
зависимости от начальных условий эта точка должна быть точкой сгущения
для точек Qi, т. е. должна совпадать с точкой О и, следовательно, траектория
L должна совпадать с траекторией L (полутраекторией которой является
L%i). Но это невозможно, так как по условию леммы у траектории L все
точки, соответствующие значениям f>Tj
(т. е. точки полутраектории Lq), лежат
внутри С, и у L+ не может быть общей
с окружностью С точки S', соответст-
соответствующей значению т > Tj.
Таким образом, у полутраектории
L's', точки которой соответствуют зна-
значениям f <т, нет точек, лежащих вне
окружности С, и, следовательно, полу-
полутраектория L's- стремится к состоянию
равновесия О.
Пусть М' — последняя общая точ-
точка полутраектории L's- с окружностью р .„„
С*) и Q' — какая-нибудь точка по-
полутраектории L'm' (являющейся частью
L's- или совпадающей с ней). Пусть V — дуга без контакта с концом
в точке Q', лежащая по положительную сторону L'u>, не имеющая общих
точек ни с полутраекторией L\n, ни с дугой I и целиком лежащая внутри
окружности С (с полутраекторией L'u- дуга V не имеет, кроме Q', общих
точек в силу леммы 2). Простая дуга, состоящая из полутраектории L\i,
точки О и полутраектории Ljf, делит область внутри окружности С на две
области. Пусть g' — та из этих областей, которой принадлежат точки
дуги I (отличные от Q). Тогда отличные от Q' точки дуги Г также принадле-
принадлежат области g' (рис. 159). Кроме того, очевидно, области g' принадлежат
также и все, отличные от St точки дуг QtSt траекторий Lt. При достаточ-
достаточно больших i каждая траектория Lt непременно пересечет дугу Г в неко-
некоторой точке Ql (в силу леммы 3 § 3 и в силу того, что точки дуг QiSt при-
принадлежат области g'). При i —*- оо точка Q\ стремится к точке Q'.
Покажем, что не только рассмотренные траектории Lt, но вообще все
траектории, пересекающие некоторую часть QtQ дуги I, пересекают часть
Q\Q' дуги V.
Рассмотрим область D внутри криволинейного четырехугольника
QQiQiQ' (рис. 162), т. е. область внутри простой замкнутой кривой, состоя-
состоящей из частей QQt и Q'Q\ дуг I и Г, дуги QtQl траектории Lt, полутраекто-
полутраектории Lq, точки О и полутраектории Lq- (полутраектория Lq — часть QO
полутраектории L'u, a L'q- — часть Q'O полутраектории L'u,). Область D,
очевидно, целиком лежит внутри окружности С.
Все траектории, пересекающие дугу без контакта QiQ, входящую
в границу области D, могут, не выходя из С, пересечь эту дугу только
*) В силу доказанного у полутраектории Ls' не может быть точек, лежащих
вне С, но могут быть точки, лежащие на С, так что последняя общая точка этой полу-
полутраектории с окружностью С может не совпадать с точкой S', а соответствовать неко-
некоторому значению т' <; х.

272 «ОСОБЫЕ» ТРАЕКТОРИИ И ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. VII
один раз (см. лемму 2). При этом нетрудно видеть, что при возрастании t
все эти траектории входят внутрь области D. Действительно, по условию
леммы при убывании t полутраектория L+, проходящая через точку Q,
выходит из окружности С. А тогда, в силу непрерывной зависимости от
начальных значений, и все траектории, пересекающие дугу QiQ достаточно
близко к точке Q, при убывании t тоже выходят из окружности С. Они
не могут до этого пересечь дугу V, так как эта дуга находится на положи-
положительном расстоянии от полутраектории Lm, и значит, не могут до выхода
из окружности С пересечь границу области g' еще раз. Следовательно, все
траектории, пересекающие дугу QQi достаточно близко к точке Q, при
убывании t выходят из области D, а при возрастании t входят внутрь
этой области. Но тогда и вообще все пересекающие дугу QiQ траектории
при возрастании t входят внутрь области D
(см. дополнение, § 6, а также лемму 10 § 3).
Так как по условию леммы всякая
траектория, пересекающая дугу QQt, при
возрастании t выходит из окружности С,
то она, очевидно, выходит и из области/),
целиком лежащей внутри С. Но выйти из
области D эта траектория может только,
пересекая часть Q'Ql дуги Г. Таким обра-
образом, все траектории, пересекающие часть
QQt дуги I при возрастании t, не выходя
Рис. 163. до этого из окружности С, пересекают
часть Q'Q'j дуги V. Кроме того, при i —»- оо
точки Qt стремятся к точке Q, а точки Q\ — к точке Q'. Отсюда, очевидно,
следует, что полутраектория L'u/ удовлетворяет определению XIX, и
лемма доказана.
Дальнейшие предложения мы формулируем только для положитель-
положительных полутраекторий, продолжаемых по отношению к некоторой окруж-
окружности с положительной стороны. Полностью аналогичные предложения
справедливы и для полутраекторий (как положительных, так и отрица-
отрицательных), продолжаемых относительно некоторой окружности с отрица-
отрицательной стороны.
Пусть полутраектория L+, стремящаяся к состоянию равновесия О,
нспродолжаема по отношению к окружности С. Может случиться, что
эта траектория продолжаема по отношению к окружности С' с центром
в О, радиуса меньшего, чем С. Этот случай представлен на рис. 163.
Пусть полутраектория L+ продолжаема с положительной стороны
по отношению к окружности С. Тогда, очевидно, она продолжаема и по
отношению к любой окружности (с центром в О) меньшего радиуса. Однако
полутраектории, являющиеся продолжением полутраекторин L+ с поло-
положительной стороны, по отношению к разным окружностям могут быть
различны. Такой случай представлен на рис. 164.
Имеет место следующая лемма (в этой лемме окружность С, по-
полутраектории Lr и ZJfi точка Qi, дуга I и т. д. сохраняют прежний
смысл):
Лемма 5'. а) Если полутраектория L+, стремящаяся к состоянию
равновесия О, не имеет продолжения с положительной стороны по отноше-
отношению к окружности С, но имеет продолжение с положительной стороны
по отношению к окружности С меньшего, чем С, радиуса, то траекто-
траектория L', являющаяся продолжением полутраектории L+ по отношению
к окружности С", не может иметь точек, лежащих вне окружности С

15]
ОРБИТНО-УСТОЙЧИВЫЕ ТРАЕКТОРИИ И. ПОЛУТРАЕКТОРИИ
273
1'нс. 164.
б) Если L' — траектория, являющаяся продолжением полутраек-
полутраектории L+ с положительной стороны по отношению к окружности С, то
траектория, являющаяся продолжением L+ с положительной стороны
по отношению к окружности С меньшего, чем С, радиуса, либо совпадает
с L', либо является траекторией, цели-
целиком лежащей внутри С.
Доказательство. Докажем
утверждение а). По условию полутраек-
полутраектория L+ не имеет продолжения с по-
положительной стороны по отношению
к окружности С. Тогда на дуге без кон-
контакта I с концом в точке Q полутраекто-
полутраектории L%j можно выделить часть, ле-
лежащую по положительную сторону Ljj
и такую, что все проходящие через точ-
точки этой части траектории, не выходя
из С стремятся к состоянию равнове-
равновесия О. Обозначим через L+ полутраск-
торию, проходящую через какую-нибудь
точку Q* этой части дуги I, и через g—область внутри простой замкнутой
кривой, состоящей из дуги QO полутраектории L+, дуги Q*O полутраектории
L+, самой точки О и дуги без контакта Q*Q. Очевидна, область g лежит
целиком внутри окружности С. Кроме того, всякая траектория, пере-
пересекающая дугу без контакта Q*Q в отлич-
отличной от концов Q и Q* точке, при возраста-
возрастании t входит внутрь области g и больше
уже не выходит из нее (рис. 165).
Пусть N — последняя общая точка
полутраекторип L+ с окружностью С ра-
радиуса меньшего, чем С, Р — какая-нибудь
отличная от N точка части N0 этой полу-
полутраектории и/i — дуга без контакта с кон-
концом в точке Р, лежащая с положительной
стороны полутраектории L+ и целиком вну-
внутри окружности С'. Обозначим через L1
траекторию, являющуюся продолжением
полутраектории L~ с положительной сто-
стороны относительно окружности С' — по
условию такая траектория существует. По
самому своему определению траектория L4
стремится при t -> —оо к состоянию рав-
равновесия О. Пусть S' — последняя общая с окружностью С точка полу-
полутраектории L[~ (имеющей общие точки с С), выделенной из траектории Lu
R — отличная от S' точка части S'O полутраектории L\ и, наконец,
1[ — дуга без контакта с концом в точке R, лежащая по положительную
сторону Ьг.
Предположим, что утверждение леммы неверно и у траектории Lx
есть точки, лежащие вне окружности С. Пусть Мо — такая точка. Все
траектории, пересекающие дугу без контакта Q*Q достаточно близко к точ-
точке Q, очевидно, пересекают дугу 1^ сколь угодно близко к точке Р. А в силу
того, что полутраектория Ь[ является продолжением полутраектории L+
с положительной стороны по отношению к окружности С", все траектории,
18 А. А. Андронов и др.
С
Рис. 165.

274 «ОСОБЫЕй ТРАЕКТОРИИ И ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. VII
пересекающие дугу lt достаточно близко к точке Р, при возрастании t
пересекают дугу 1\ сколь угодно близко к точке R. При дальнейшем возра-
возрастании t эти траектории должны пройти сколь угодно близко к точке Мо
и, следовательно, должны выйти из окружности С. Но отсюда следует, что
все траектории, пересекающие дугу QQ* достаточно близко к точке Q, при
возрастании t должны выйти из окружности С. А это невозможно, так
как все эти траектории при возрастании t входят в область g, целиком
содержащуюся внутри окружности С, и больше из этой области не выхо-
выходят. Полученное противоречие дока-
доказывает утверждение а). Перейдем к
доказательству пункта б).
По условию полутраектория L~
имеет продолжение с положительной
стороны по отношению к окружно-
окружности С. Пусть траектории L^{, L'^L-
и дуги без контакта I и V имеют
тот же смысл, что и в определении
XIX. Простая дуга, состоящая ил
полутраекторий L\x, L'-ц- и точки О,
делит окружность на два сектора.
Обозначим через g' тот из секторов,
который содержит точки дуг / и V
рис 166 (рис. 1C6). Предположим для опреде-
определенности, что в границу этого сектора
входит дуга М'М окружности С.
Рассмотрим теперь траекторию Ь[, являющуюся продолжением
полутраектории L+ с положительной стороны, по отношению к окружно-
окружности С. Обозпачим через Е и Е' последние общие точки полутраекто-
полутраекторий L+ и L'x~ с окружностью С". Пусть Р и Р' — отличные от Е и Е'
точки частей ЕО и Е'О полутраекторий L+ и L\~ соответственно, a /j
и 1[ — дуги без контакта с концами в точках Р п Р', лежащие целиком
внутри окружности С и по положительную сторону полутрасктории
Ь+ и L[~ соответственно.
Очевидно, все отличные от Р точки дуги 1± принадлежат области г?'.
Так как полутраскторня Ь'~ есть продолжение полутрасктории Lr с поло-
положительной стороны по отношению к окружности С, то все траектории,
пересекающие некоторую часть PPi дуги 1Х, при возрастании t, не выходя
до этого из окружности С' и, очевидно, не выходя из области g', пересе-
пересекают некоторую часть Р'Р[ дуги 1г. При этом точки их пересечения с дугой
1[ стремятся к точке Р', когда их точки пересечения с дугой Zt стремятся
к точке Р. Отсюда, очевидно, следует, что все отличные от Р[ точки части
P'P'j дуги Гг принадлежат области g\ а точка Р' является либо точкой
области g', либо точкой границы области g'.
Если точка Р' лежит на границе области g', то, как нетрудно видеть,
она может лежать только на полутраектории Ь'п-, и тогда траектории //
и L'x совпадают. Если же траектории L' и L\ различны, то точка Р' должна
быть точкой области g'.
Предположим теперь, что утверждение б) леммы неверно и у траек-
траектории Lj есть точки, лежащие вне окружности С. Пусть ЛГ/ — последняя
общая точка полутраекторип L'y с окружностью С.
Простая дуга, состоящая из части N'0 траектории L\ и точки О,
у которой все точки, кроме концов О и N', принадлежат области g', раз-
разбивает эту область на две, не имеющие общих точек, области g\ и g'2, и вхо-

§ 15] ОРЕИТНО-УСТОИЧИВЫЕ ТРАЕКТОРИИ 11 ПОЛУТРАЕКТОРИИ 27Г)
дит в границу обеих этих областей. Кроме полутраектории L'K. в гра-
границу одной из этих областей — пусть это область g[ — входит еще
нолутраекторня L~xl, и дуга N'M окружности С, а в границу другой g'2 —
полутраектория L'?- и дуга M'N' окружности С. Из самого определения
секторов ц', g'x и g', очевидно, что точки всякой достаточпо малой дуги без
контакта с концом на полутраектории L%i, лежащей по положительную
сторону этой полутрасктории, принадлежат области g[, а точки всякой
достаточно малой дуги без контакта с концом на полутраекторип Ь'ш-,
лежащей по положительную сторону этой полутраекторпи, принадлежат
g'2. Но тогда траектории, пересекающие дугу /, не могут, не выходя из*?|.
пересечь дугу V, так как они не могут выйти из области g'x, пересекая
отличные от дуги окружности С части границы :>xo:i области, являющиеся
полутраекторнями. Ото противоречит тому, что L'ft> — есть продолжение
L)[ но отношению к окружности С, и лемма доказана.
Следствие. Для того чтобы продолжением полутраектории L*
с положительно]'! стороны по отношению к окружностям С и С' являлась
одна и та же полутраектория, необходимо и достаточно, чтобы у полу-
траектории, являющейся продолжением Lr с положительной стороны
по отношению к окружности С, существовали бы точки, лежащие вин
окружности С. (Необходимость этого следует из доказанной леммы, доста-
достаточность — непосредственно следует из самого определения продолжения
полутраекторпи по отношению к данной окружности.)
Приведем еще следующую теорему:
Теорема 39 (Бендиксон). Существует только конечное число
траекторий, стремящихся к состоянию равновесия О и продолжаемых
относительно данной окружности С.
Доказательство. Предположим противное: пусть существует
бесчисленное множество траектории {А,}, продолжаемых относительно
окружности С. Без ограничения общности можно считать, что эти траекто-
траектории стремятся к О при I —>- -j-oo. Пусть {/!„} - их последило (при возра-
возрастании t) точки пересечения с окружностью С. Возьмем одну из точек
сгущения множества точек {Ап} и обозначим ее через Л. Нетрудно видеть,
что траектория L, при t --- т проходящая через точку А , при всех значе-
значениях if > т не имеет точек вне С- А тогда и силу леммы 2 нолутраекто-
нолутраекторня А+, выделенная из этой траектории, также стремится к состояпию
равновесия О.
Возьмем теперь па L\ (т. е. на части АО иолутраекторни L+) какую-
нибудь точку В, лежащую внутри С, и проведем через нее дугу без кон-
контакта BJB-i, содержащую точку В внутри. Тогда бесчисленное множество
траекторий Ln пересечет либо дугу В2В, либо дугу BBt. Пусть, например,
траектории Ь„Л и L7l2 пересекают дугу ВВи и пусть точка пересечения
дуги BBi с ?„2 — S2 лежит ближе к В, чем точка пересечения дуги ВВ{
с Lni — Si. В силу леммы 4 все траектории, пересекающие дугу BSt,
будут при возрастании t, не выходя из С, стремиться к точке О. Но это
противоречит предположению, что траектория Ltn продолжаема относи-
относительно окружности С. Таким образом, теорема докапана.
Отметим, что при уменьшении радиуса окружности С число продол-
продолжаемых относительно С траекторий может неограниченно возрастать.
6. Сепаратрисы состояния равновесия. Следующее определение
является основным для дальнейшего:
О и р е д е л е н и е XX. Если полутраектория L'~ является про-
продолжением полутраектории L+ с положительной (отрицательной)

276 «ОСОБЫЕ» ТРАЕКТОРИИ II ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. VII
стороны по отношению ко всем окружностям радиуса, меньшего некото-
некоторого е0 > 0, то полутраектория /> называется продолжаемой с положи-
положительной (отрицательной) стороны, а полутраектория L'~ — ее продол-
продолжением с положительной (отрицательной) стороны или полутраекторией,
являющейся продолжением полутраектории L+ с положительной (отри-
(отрицательной) стороны.
Совершенно аналогичное определение дается при рассмотрении отри-
отрицательной полутраекторпи. Если полутраекторня L+ продолжаема с поло-
положительной (отрицательной) стороны и L' — ее продолжение, то нолу-
траектория L'~ тоже продолжаема с положительной (отрицательной)
стороны и полутраектория L+ является ее продолжением с положительной
(отрицательной) стороны. Траектория L', из которой выделена полу-
полутраектория L'~, являющаяся продолжением полутраекторпи L+ с поло-
положительной (отрицательной) стороны, так же как и полутраекторня L' ,
называется продолжением L+ с положительной (отрицательной) стороны
или траекторией, являющейся продолжением полутраектории IA с поло-
положительной (отрицательной) стороны.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих двух утверждений:
1) Всякая полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия О,
может иметь не более двух продолжений — одного с положительной,
а другого •— с отрицательной стороны.
2) Всякая полутраектория, стремящаяся к состоянию равновесия О,
может являться продолжением не более чем для двух полутраекторий,
и при этом для одной с положительной, а для другой с отрицательной
стороны.
Если полутраектория L+, выделенная из траектории L, стремится
к состоянию равновесия О и продолжаема с положительной (отрицатель-
(отрицательной) стороны, то траектория L называется со-продолжаемой с положитель-
положительной (отрицательной) стороны. При этом полутраекторня L'~, являющаяся
продолжением полутраектории L+, а также траектория L', из которой
выделена полутраектория L'~, называется со-продолжением полутраекто-
рии L+ с положительной (отрицательной) стороны (или полутраекторией
и траекторией, являющейся ©-продолжением траектории L). Совершенно
аналогично определяется сс-продолжаемая траектория и ее а-продолжение.
Мы будем также иногда говорить, что траектория L со-продолжаема
с положительной (отрицательной) стороны по отношению к состоянию
равновесия О, подразумевая под этим, что траектория L стремится к состоя-
состоянию равновесия О и со-продолжаема с положительной (отрицательной)
стороны.
Отметим, что все рассматриваемые в дальнейшем орбитно-нсустом-
чивые полутраектории, стремящиеся к состоянию равновесия, в силу
дополнительного предположения о конечном числе орбитно-неустойчлвых
траекторий являются продолжаемыми полутраскториямн.
Если полутрасктория L+ пенродолжаема с положительной стороны,
то возможны два случая: 1) у L+ нет продолжения по отношению ни к какой
окружности; 2) у L+ есть продолжение по отношению к какой-либо
окружности и, следовательно, ко всякой окружности меньшего радиуса.
Но сколь бы малую окружность С\ мы ни взяли, всегда можно указать
меньшую окружность С-,, по отношению к которой продолжение полу-
полутраектории L+ отлично от ее продолжения по отношению к окружно-
окружности С±.
Случаи 1) и 2) представлены на рис. 167, а и б (на рис. 107, б пред-
предполагается бесчисленное множество уменьшающихся «петель»).

15]
ОРБИТНО-УСТОЙЧИВЫЕ ТРАЕКТОРИИ И ПОЛУТРАЕКТОРИИ
277
Всякую орбитно-неустойчивую полутраекторию, стремящуюся к со-
состоянию равновесия О, мы будем называть сепаратрисой этого состояния
равновесия. При этом положительную полутраекторию будем называть
ш-сепаратрисой состояния равновесия О, а отрицательную а-сепаратри-
сой состояния равновесия О. Мы будем также называть сепаратрисой
Рис. 167.
траекторию, у которой хотя бы одна из полутраекторий является орбитно-
неустойчивой полутраекторией, стремящейся к состоянию равновесия
(т. е. является сепаратрисой состояния равновесия).
7. Некоторые вспомогательные предложения. Ниже приводится ряд
вспомогательных предложений, использующихся при рассмотрении полу-
полутраекторий, имеющих среди своих предельных точек отличные от состоя-
состояний равновесия.
Пусть в ограниченной замкнутой области g плоскости дана последо-
последовательность простых замкнутых кривых {Ci}, ограничивающих области,
содержащие одна другую, так что:
1) либо область, ограниченная кривой Ct, содержит область, огра-
ограниченную кривой Ci+i,
2) либо область, ограниченная кривой Ct, содержится в области,
ограниченной кривой Ci+i.
Пусть, кроме того, выполняется одно из следующих условий:
а) либо кривые Сг не имеют друг с другом общих точек;
б) либо каждая кривая Сг имеет одну только общую точку с кривой
Ci+i, и при этом общая точка кривых Cj-i и С% отлична от общей точки
кривых Ci и Ci+i.
Очевидно, при условии б) можно указать подпоследовательность
последовательности {Ci}, в которой кривые не будут иметь друг с другом
общих точек (например, подпоследовательность С\, С3, С5, . . .).
Пусть {Pi} последовательность точек, принадлежащих кривым Cjr
}
такая, что Ph ? Cik
натуральные числа) и при этом
ё2
Очевидно, точки определенной таким образом последовательности
заведомо выделены из бесчисленного множества кривых Cj (см. условие б)).
Пусть К — множество всех точек сгущения всевозможных после-
последовательностей такого рода. В любой сколь угодно малой окрестности
каждой точки множества К лежат, следовательно, точки бесчисленного

278 «ОСОБЫЕ» ТРАЕКТОРИИ И ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. VII
множества кривых С,-. Но тогда в ней будут лежать точки всех кривых Cj,
начиная с некоторого достаточно большого /.
Действительно, если внутри данной окрестности какой-нибудь точки
множества К*) лежат точки Рп и Рт, Рп ? dn, Pm ? Cim, то отрезок
прямой, соединяющей эти точки, тоже лежит внутри этой окрестности.
Так как, по условию, области, ограниченные кривыми С,-, содержат одна
другую, то этот отрезок пересекает все промежуточные кривые Cj, т. с. все
кривые Cj с номерами / между in и im. Отсюда нетрудно видеть, что внутри
всякой окрестности любой точки множества К есть точки всех кривых Cj,
начиная с некоторого достаточно большого /. Это означает, что последо-
последовательность (а) кривых Cj топологически сходится, и множество К есть
ее топологический предел (см. дополнение, § 1, п. 10).
Очевидно, в случае 1) — множество К лежит внутри всех С;, а в слу-
случае 2) — вне всех С;.
Лемма 6. Множество К замкнуто и связно (т. е. является кон-
континуумом) .
Доказательство. Замкнутость множества К очевидна.
Для доказательства связности множества К предположим противное,
т. е. что К не связно. Тогда в силу замкнутости оно может быть представ-
представлено как сумма двух замкнутых множеств К1 и К2, не имеющих общих
точек и, следовательно, находящихся на конечном расстоянии q0 друг
от друга. Возьмем е << -~ , пусть Kie и К2е — е-окрестности множеств
Kt и К2.
Из самого определения множества К следует, что каждая кривая С,
(при достаточно больших /) имеет точку как в К1е, так и в К2е- Но тогда,
так как замкнутая кривая есть связное множество, на каждой кривой Со-
Сосуществуют точки, не принадлежащие ни К1г, ни К2е. Выберем по одной
такой точке Р} на каждой кривой Cj, и пусть Р — точка сгущения после-
последовательности точек Pj. Очевидно, точка Р принадлежит множеству К,
и в то же время не принадлежит ни Ки ни К2, что не может быть. Таким
образом, лемма доказана.
Пусть Cj и Сл — кривые последовательности {С\}. Предполагая
к >¦ i, обозначим через hlh область, граница которой состоит из кривых С/
и Ch (рис. 170). Такая область — единственная. При / > к область 1цj
содержит область hlh. Кроме того, при / > к + 2 (а при условии а) даже
при / > к + 1) кривая Ch целиком лежит в htj.
Предполагая i фиксированным, обозначим через Yi область, являю-
являющуюся суммой областей И,ц при всевозможных / (см. дополнение, § 7,
и. 6), т. е.
¦у* = /г»+1 U /гп+г U • • •
Область yt содержит все кривые С} при / > i + 2, и все точки кривой Ci+l
кроме может быть одной (именно, кроме общей точки кривых Сг и Ci + i
в случае б)).
Отметим, что всякая принадлежащая области ¦уг точка принадлежит
какой-нибудь области hik (к > i). При к > i yk CZ у*- По самому опреде-
определению области уг все точки области yt лежат в случае 1) — внутри, а в слу-
случае 2) — вне кривой Cj при / < i.
JI е^м м а 7. Граница области yt состоит из кривой Ct и континуума К.
*) Мы всегда можем считать, что окрестностью точки является окружность
г центром в данной точке.

§ 15] ОРБИТИО-УСТОИЧИВЫЕ ТРАЕКТОРИИ II ИОЛУТРАЕКТОРПН 2/9
Доказательство. Докажем лемму для случая 1), когда
область, ограниченная кривой Сг-, содержит область, ограниченную кри-
кривой Ct+i (для случая 2) она доказывается совершенно аналогично).
Точки кривой Cj являются граничными для области у, но самому
определению этой области. Точки континуума К не принадлежат обла-
области Yi> так как континуум К лежит внутри всех кривых Ск и, следова-
следовательно, вне всех областей kih, но являются граничными для у,, "'ак как
каждая точка множества К является точкой сгущения для последователь-
последовательности принадлежащих кривым Cj точек, т. е. для точек области yt.
Покажем теперь, что всякая граничная для области уг точка, отлич-
отличная от точек кривой Ct, принадлежит континууму К.
Пусть Лг — не принадлежащая кривой С,- точна, являющаяся гра-
граничной для области у.. Точка N лежит внутри всех кривых С,. Действи-
Действительно, если бы она лежала вне какой-нибудь кривой С,„ (/0 > /, так
как вне кривой d нет ни точек области у-, ни граничных для у г точек) —
она принадлежала бы области Л^о, а значит, принадлежала бы области у,-
и, следовательно, не могла бы быть граничной для этой области.
Пусть {Mi} — последовательность точек области уг, стремящаяся
к точке N. Рассмотрим произвольную окрестность Us (Л).
Пусть Mi ~- точка последовательности {Mi}, принадлежащая этой
окрестности. Так как точка Mi принадлежит области ум то она непре-
непременно принадлежит некоторой области Л^о и, следовательно, лежит вис
кривой С:;о. Но тогда точка Mt лежит вне всех кривых Cj с номерами / > /0.
Пусть а — отрезок прямой, соединяющий точку Л' с точкой Mt.
Этот отрезок лежит целиком внутри окрестности U{, (N) и, очевидно, пере-
пересекает все кривые Cj с номерами / > /0, т. с. в окрестности U& (N) лежат
точки всех кривых С}- при / > /0. Таким образом, в каждой окрестности
точки Лг лежат точки всех кривых Cj, начиная с некоторого значения /.
Это означает, что точка N принадлежит континууму К, и, следосательно.
кривая С; и континуум К исчерпывают все множество граничных для
области у* точек. Лемма доказана.
Замечание. Кроме области \\ по существует больше ни одной
области с границей, состоящей из кривой Ct и коптппуума К. Действи-
Действительно, в силу того, что континуум К целиком лежит внутри (вис) кривой
С[, всякая область с границей, состоящей из кривой С; и континуума К,
заведомо содержит псе достаточно близкие к кривой С, точки, лежащие
внутри (впе) этой кривой. Но всякая такая область имеет общие точки
с областью у,- и, следовательно, совпадает с ней (см. дополнение, § 4, и. 7).
Л с м м а 8. При всяком е > 0 существует целое число I такое, что
при всех i > /: а) все замкнутые кривые Сt лежат целиком в е-окрес/пности
континуума К; б) все области yt целиком содержатся в е-окрестности
континуума К.
Доказательство. Для доказательства (в случае 1) утвержде-
утверждения а) предположим противное, т. е. предположим, что существует к„ > О
такое, что при любом натуральном числе 1 на некоторой кривой Cj, где
/ > I, найдется точка М h лежащая вне е0-окрестиост!1 Ueo (К) континуу-
континуума К. Тогда существует последовательность точек М\Л, М-, таких.
что 1) Мг ? Ct и при этом ih+l > ih; 2) все точки М-. лежат вне UEo (К).
Точки сгущепия такой последовательности лежат вне или на границе
окрестности UZo (К) и, следовательно, отличны от точек континуу-
континуума К. Но это невозможно, так как, по определению континуума К,
точки сгущения последовательности точек Д/; должны принадле-
принадлежать континууму К. Полученное противоречие доказывает пункт а).

280
«ОСОБЫЕ» ТРАЕКТОРИИ И ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. VII
Для доказательства утверждения б) также предположим противное,
т. е. что существует е0 > 0 такое, что сколь бы большое / мы ни взяли,
у некоторой области уу> гДе / > Л найдется точка, лежащая вне е0-
окрестности U? (К) континуума К.
Тогда существует, очевидно, последовательность областей {\'г }
и последовательность точек {Mif} (гл+1 > ik) таких, что 1) М\ f yt ¦
2) Ми лежит вне окрестности U?q (К). Кроме того, без ограничения
общности можно считать, что последовательность {Mt } имеет единствен-
единственную точку сгущения Лг, а точка N заведомо не принадлежит Ueo (К).
С другой стороны, нетрудно показать, что точка N является точкой кон-
континуума К и, следовательно, принадлежит UEo (К). Мы приходим к про-
противоречию, и лемма доказана.
8. Полутраектории, среди предельных точек которых есть отличные
от состояний равновесия. Пусть L+ — незамкнутая ограниченная полу-
полутраектория, среди предельных точек которой есть отличные от состояния
равновесия. Тогда в состав конти-
континуума К, предельного для полутраек-
полутраектории L+, заведомо входит по край-
крайней мере одна отличная от состояния
равновесия траектория Lo. Пусть
Р — какая-либо точка траектории Lo
(очевидно, Р 6 К) и I — дуга без кон-
контакта, проведенная через точку Р.
В силу леммы 2 § 3 полутраектория L'
пересекает дугу I в бесчисленном
множестве точек {Pi}, соответствую-
соответствующих неограниченно возрастающим
значениям ti, расположенных на /
в порядке возрастания t и стремя-
стремящихся к точке Р. При этом (следст-
(следствие 1 из леммы 2 § 3) кроме точки Р
на дуге I не лежит больше уже ни
одной точки континуума К. Точки Pt
разбивают иолутраекторию L+ на дуги соответственно между точками Pt
и Рг, Р2 и Р3, . . ., Pt и Pi+i, . .. Эти дуги, как и в § 3, мы будем называть
«витками полутраектории L+». Каждый виток имеет общими с дугой I
только точки Pt и Pt+i, и вместе с частью PiPi+l дуги I образует простую
замкнутую кусочно-гладкую кривую, которую мы будем обозначать
через Ct (§ 3, п. 9).
Лемма 9. а) Начиная с некоторого номера i, простые замкнутые
кривые С\ ограничивают области, содержащиеся одна внутри другой.
б) Топологический предел последовательности замкнутых кривых CL сов-
совпадает с континуумом К, предельным для полутраектории L+.
Доказательство. Для доказательства утверждения а) пред-
предположим сначала, что существует такое i, при котором кривая Ct содер-
содержит точку Р внутри (рис. 168), а значит, в силу связности континуума К
и весь этот континуум внутри. В этом случае все точки нолутраектории
L+, соответствующие значениям t > ti + u очевидно, должны лежать
внутри С; (так как если бы они лежали вне С;, то континуум К, предель-
предельный для L+, не мог бы лежать внутри Ct). Следовательно, и область,
ограниченная кривой Ci + U содержится в области, ограниченной кривой
Рис. 168.

S 15] ОРБИТНО-УСТОЙЧИВЫЕ ТРАЕКТОРИИ И ПОЛУТРАЕКТОРИИ 281
Сг. Для того чтобы установить справедливость утверждения а) леммы,
нужно, очевидно, еще показать, что точка Р, лежащая внутри кривой
Сг+2, непременно лежит также и внутри кривой С,-+1. Но из того, что
область, ограниченная кривой С,, содержит область, ограниченную кри-
кривой Cj+i, следует, что точки L+, соответствующие значениям t < tt+t,
лежат вне кривой Ci+i. А тогда в силу леммы 11 § 3 точки L+, соот-
соответствующие значениям t^>ti+2i а значит, и точка Р непременно лежат
внутри кривой Ci+i. Таким образом, относительно кривых C,-+i и Ci+2
можно повторить все сказанное относительно кривых Сь и Ci+1, и, сле-
следовательно, для рассматриваемого слу-
случая утверждение а) леммы доказано.
Предположим теперь, что ни при
каком i кривые Ct не содержат внутри
точки Р (рис. 169) так, что точка Р
лежит вне всех кривых Сг. Тогда, ка-
какую бы кривую Ct мы ни взяли, точки
полутраектории L+, соответствующие
значению t > ti+l, должны лежать
вне Сг. Предположим, что область,
ограниченная кривой Ct+i, не содержит
области, ограниченной кривой Ct, и,
следовательно, не содержит точек по-
полутраектории L+, соответствующих Рис- 16Э-
значениям t<Cti+i. Тогда в силу лем-
леммы 11 § 3 *точки полутраектории L+, соответствующие значениям
t>ti+2, должны лежать внутри кривой Ci+i и, значит, внутри Ci+1
непременно должна лежать и точка Р. Но это противоречит сделанному
предположению, и утверждение а) леммы доказано полностью.
Для доказательства утверждения б) заметим прежде всего, что в силу
утверждения а) настоящей леммы, последовательность кривых С,-,
начиная с некоторой кривой с достаточно большим номером, очевидно,
обладает свойствами рассмотренной выше последовательности (см. п. 4)
простых замкнутых кривых. Обозначим через К* топологический предел
этой последовательности кривых.
Пусть N — какая-нибудь точка континуума К, предельного для
полутраектории L+. Тогда N является, очевидно, точкой сгущения для
некоторой последовательности {М,} точек L+, соответствующих неогра-
неограниченно возрастающим значениям t. Но полутраектория L+ точками
Pt разделяется на витки Р±Рг, PzP^ - - -. причем виток PtPi + 1 является
дугой кривой Ci. Так как точки Мп, так же как и точки Pt, соответствуют
неограниченно возрастающим значениям t, то нетрудно видеть, что при
любом натуральном i всегда можно указать виток PjPj+ly где / > i,
на котором будет лежать какая-нибудь точка Мп. В силу того, что виток
PjPj+i является дугой кривой Cj, это, очевидно, и означает, что точка N
принадлежит континууму К*, являющемуся топологическим пределом
последовательности кривых С{. Следовательно,
как*.
Пусть теперь Q — точка континуума К*. Тогда существует сходя-
сходящаяся к точке Q последовательность точек {Mt}, принадлежащих раз-
различным кривым Ci. Точки Mi принадлежат, следовательно, либо полу-
полутраектории L+, либо дуге без контакта I. Если среди точек М, есть

«ОСОБЫЕ» ТРАЕКТОРИИ И ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. VII
Рис. 170.
бесчисленное множество точек, принадлежащих полутраектории L+, то
точка Q является предельной точкой полутраектории L+, т. с.
Q сг К.
Если же только конечное число точек Mt принадлежит полутраекторип
L+, то почти все точки последовательности {Mt} принадлежат различным
частям Р,сРI+1 дуги без контакта I. Но тогда, очевидно, точка Q совпа-
совпадает с точкой Р, т. е. Q ? К, откуда
следует, что К* а К. Но отсюда
и из A), очевидно, вытекает
что и доказывает лемму.
Из пункта а) настоящей лем-
леммы следует, что для рассматри-
рассматриваемой последовательности кри-
кривых Ct (составленных из витков
PiPi + i полутраектории L+ и ча-
частей PiPi + i дуги без контакта I),
если начинать ее с достаточно
большого номера i, справедливы
все предположения, доказанные
в п. 7.
Будем, как и в п. 7, обозна-
обозначать через ha область, граница
которой состоит из кривой Ct и Сj,
а через у; область, граница кото-
которой состоит из замкнутой кри-
кривой С; и континуума К (в силу
замечания к лемме 6 такая об-
область единственная) (рис. 170 и
171). Имеет место следующая ос-
основная теорема:
Теорема 40. Незамкну-
Незамкнутая полутраектория L+ (L~), име-
имеющая среди своих со (а)-предельных точек отличные от состояний рав-
равновесия, орбитно-устойчива.
Доказательство. Сохраняя обозначения предыдущих лемм,
рассмотрим при любом е >0 окрестность континуума К. Ue(K), оче-
очевидно, входит в е-окрестность любой положительной полутраектории, вы-
выделенной из траектории L. Поэтому для доказательства теоремы доста-
достаточно показать, что все траектории, при t = t0 проходящие через доста-
достаточно малую окрестность какой-либо точки полутраекторпп L+, в течение
конечного промежутка значений t войдут внутрь Ue (К) и при возраста-
возрастании t больше уже не выйдут из Ue (К).
Б силу леммы 7 при любом е > 0 существует такое целое число /,
что при всяком j > / замкнутая кривая С} и область \j (граница которой
состоит из кривой Cj и континуума К) целиком лежат в UE (К).
Пусть М — какая-нибудь точка полутраектории Z> и / — какое-
нибудь целое число, большее /. В силу леммы 5 § 3 всегда можпо ука-
указать такую окрестность точки М, чтобы всякая траектория, при t = t0
проходящая через точки этой окрестности при некотором значении t — Т,
не выходя до этого из е-окрестности части MPj полутраектории L',
Рис. 171.

§ 15] ОРБИТНО-УСТОЙЧИВЫЕ ТРАЕКТОРИИ II ПОЛУТРАЕКТОРИИ 283
пересекла бы часть PjPj+2 дуги I. При значениях t > Т эта траектория
попадает, следовательно, в область \j. Но при возрастании t она не может
выйти из области \j. Действительно, в противном случае она должна была
бы иметь общие точки, соответствующие значениям t > Т, либо с кри-
кривой Cj, либо с континуумом К. Но с кривой Ci она не может иметь общих
точек, соответствующих значениям t > Т, в силу леммы 11 § 3. Если бы
она имела общие точкп с континуумом К, то она должна была бы совпа-
совпадать с одной из траекторий, входящих в состав континуума К, а это тоже
невозможно, так как траектории, входящие в его состав, заведомо
не имеют общих точек с частью PjP}+2 (континуум К лежит либо цели-
целиком вне, либо целиком внутри всех кри-
кривых Ct).
Таким образом, теорема доказана.
Следствие. Всякая незамкнутая
орбитно-неустойчивая траектория является
сепаратрисой состояния равновесия.
Следующая теорема устанавливает, в ка-
каком случае замкнутая траектория является
орбитно-устойчивой.
Теорема 41. Замкнутая траекто-
траектория L, не являющаяся предельной для незамк-
незамкнутой траектории, орбитно-устойчша.
Доказательство. Пусть L —
замкнутая траектория, не являющаяся про- ., ._.,
дельной для незамкнутой. Возьмем столь
малое 8 > 0, чтобы в Ue (L) не лежало ни
одного состояния равновесия. Проведем через какую-нибудь точку Q
траектории L дугу без контакта /, содержащую точку Q внутри и цели-
целиком лежащую в Ue (L).
Покажем прежде всего, что на дуге I существуют по обе стороны
от точки Q сколь угодно близкие к Q точки, через которые проходят
замкнутые траектории. Предположим противное, т. е. предположим, что
можно выделить часть дуги I с концом в точке Q такую, что все пересекаю-
пересекающие ее траектории не замкнуты. Предположим для определенности, что
такая часть дуги / лежит вне траектории L (случаи, когда она лежит
внутри траектории L, рассматривается совершенно так же). Возьмем
точку Р на этой части дуги I такую, чтобы все траектории, пересекающие
сугу I между точками Q и Р, при возрастании t, не выходя из С/е (L), иере-
декали дугу / еще раз (см. лемму 5 § 3).
Рассмотрим траекторию L', проходящую через какую-нибудь точку
Р' дуги I, лежащую между точками Р и Q, и пусть Р" — следующая по t
за точкой Р' точка пересечения траектории L' с дугой I.
Рассмотрим простую замкнутую кривую С, состоящую из витка
Р'Р" траектории L' и части Р'Р" дуги I. Очевидно, кривая С целиком
лежит в Ue (L). В силу леммы 14 § 3 п. 9 замкнутая траекторию L лежит
внутри кривой С, а область у', граница которой состоит из кривой С
и траектории L, целиком содержится в Uъ (L) (см. замечание 1 к лем-
лемме 14 § 3).
Предположим для определенности, что точка Р", соответствующая
значению t большему, чем точка Р', лежит ближе к точке Q, чем точка Р
(рис. 172). (Случай, когда точка Р' лежит ближе к точке Q, чем точка Р"
рассматривается полностью аналогично.) Тогда в силу леммы 11 § 3
в точке Р" траектория L' входит при возрастании t внутрь кривой С

«ОСОБЫЙ» ТРАЕКТОРИИ И ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. VII
и, следовательно, входит при возрастании t внутрь области у и уже
не может больше выйти из этой области. А тогда все со-иредельные точки
траектории L' лежат либо в области у, либо на границе этой области
и, значит, заведомо в U E (L). Но по выбору 8 в U E (L) нет ни одного
состояния равновесия, следовательно, множество всех предельных точек
траектории L' является замкнутой траекторией L*. Так как по предпо-
предположению траектория L не является предельной для незамкнутой траек-
траектории, то замкнутая траектория L* заведомо отлична от L и, следова-
следовательно, целиком лежит в области у. При этом в силу леммы 14 § 3 траек-
траектория L* заведомо пересекает часть QP дуги I. Но это противоречит
сделанному относительно части PQ дуги I предположению, что все, пере-
пересекающие эту часть, траектории не замкнуты.
Отсюда следует, что на дуге I сколь угодно близко к точке Q, по обе
стороны от Q существуют точки, через которые проходят отличные от L
замкнутые траектории. Докажем теперь, что траектория L орбитно-
устойчива. На основании доказанного, а также на основании леммы 14
§ 3 можно при любом е > 0 взять замкнутые траектории L* и L**, одну
вне, а другую внутри замкнутой траектории L, столь близко, чтобы
область Г между этими замкнутыми траекториями L* и L** целиком
содержалась в U E (L). Траектория L, очевидно, будет лежать внутри
области Г.
Пусть Q — любая точка траектории i и 6 > 0 — столь малая вели-
величина, что U6 (Q) целиком содержится в области у. Тогда, очевидно, вся-
всякая траектория, проходящая через точку окрестности С/б ((?), и при /—>
—>-)-оо и при t—>—оо не выходит из области у, а значит и из UK(L). Но
это и означает, что траектория L орбитно-устойчива. Теорема доказана.
9. Возмоишые типы особых и неособых траекторий в случае конечного
числа состояний равновесия. Случай конечного числа особых траектории.
Предположим, что динамическая система имеет конечное число состоя-
состояний равновесия. Тогда предложения, доказанные в настоящей главе,
позволяют сделать исчерпывающие заключения относительно возможных
типов орбитно-неустойчнвых или особых траектории.
Действительно, в случае, когда число состояний равновесия конечно,
все возможные виды траекторий перечислены в п. 6 § 4. Л тогда нетрудно
видеть на основании теорем, доказанных в настоящей главе, что орбитно-
неустойчивые траектории могут быть траекториями следующих типов:
1) Состояние равновесия, к которому стремится хотя бы одна отлич-
отличная от него полутраектория. 2) Замкнутая траектория, являющаяся
предельной для незамкнутой траектории. 3) Траектории, у которых хотя
бы одна из полутраекторий является сепаратрисой состояния равновесия.
Отметим, что в случае, когда число состояний равновесия конечно —
число орбитно-неустончивых траекторий может быть как конечно, так
и бесконечно велико. При этом существуют геометрические примеры
с бесконечно большим числом орбитно-неустойчивых траекторий, когда
множество точек, принадлежащих орбитно-неустоичпвым траекториям,
всюду плотно в некоторой области (см. дополнение, § 9).
Будем называть особыми траекториями все ограниченные орбитно-
неустойчивые траектории и, кроме того, также состояния равновесия,
являющиеся орбитно-устопчпвыми (центры).
В дальнейшем мы будем рассматривать только тот случай динамиче-
динамической системы, определенной в плоской области, когда во всякой ограни-
ограниченной части области определения число особых траекторий конечно.

§ 16] СЛУЧАЙ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ОСОБЫХ ТРАЕКТОРИИ 285
Случай конечного числа особых траектории, очевидно, являющийся
самым простым, представляет наибольший интерес для приложений. Но
он представляет также интерес с чисто математической точки зрения.
Из классических работ Бендиксона и Дюлака [33 J, 1371 вытекает,
что у всякой аналитической динамической системы, правые части которой
не имеют общего множителя, не являющегося постоянным числом, число
орбитно-неустойчивых траекторий во всякой ограниченно]"! части пло-
плоскости конечно *).
Понятие орбитной устойчивости и неустойчивости полутраекторин
п траекторий непосредственно переносится и иа случай динамической
системы на сфере. Мы не останавливаемся на этом ввиду полной очевид-
очевидности такого перенесения.
§ 16. Ячейки динамической системы в случае конечного числа
особых траектории
1. Вводные замечания. В настоящем параграфе (так же как н б после-
последующих главах VIII, X п XI) предполагается, что число особых траек-
траекторий у рассматриваемых динамических систем — конечно.
Кроме того, в случае динамической системы, определенной в пло-
плоской области, мы будем во избежание не принципиальных усложнений рас-
рассматривать эту систему не во всей области G, в которой она определена,
а в некоторой ограниченной замкнутой области G*, целиком в ней лежа-
лежащей со сравнительно простой границей, которую мы будем называть
«нормальной».
В этом случае к множеству особых траекторий, целиком лежащих
в замкнутой области G* (т. с. к множеству лежащих в G* орбитно-неустой-
орбитно-неустойчивых траекторий с добавлением всех орбитно-устопчивых состояний
равновесия), присоединяется еще конечное число дуг без контакта, дуг
траекторий и некоторых полутраекторин, характеризующих нормальную
границу той области G*, в которой рассматривается динамическая система.
Все особые траектории, а также дуги и иолутраекторни, характери-
характеризующие границу, мы будем называть «особыми элементами».
В случае динамической системы на сфере множество особых элемен-
элементов совпадает с мпожеством особых траекторий.
Особые элементы разделяют сферу или, соответственно, рассматри-
рассматриваемую плоскую область G* на конечное число областей, которые мы
будем называть ячейками. Каждая ячейка заполнена орбнтио-устойчн-
выми или нсособымп траекториями. В случае динамической системы и пло-
плоской области существуют также ячейки, заполненные не целыми орбнтно-
устойчнвыми траекториями, а орбитно-устойчивымп полутраскторпями,
а также дугами траекторий.
В настоящем параграфе изучается возможный характер отдельных
ячеек и возможное поведение неособых элементов, неособых траекторий,
нолутраекторий и дуг траекторий внутри каждой ячейки. Кроме того,
выясняется, какой связности могут быть ячейки, и более подробно рас-
рассматривается возможный характер ячеек как в случае, когда они запол-
заполнены незамкнутыми траекториями, так и в случае, когда они заполнены
замкнутыми траекториями.
*) Число особых траекторий конечно также и и случае так начинаемых «грубых»
систем, представляющих собой с некоторой точки лремия наиболее широкий класс
динамических систем [С].

280
«ОСОБЫЕ» ТРАЕКТОРИИ II ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. VII
М,
Рис. 173.
2. Нормальная граница ограниченной области С^*, содержащейся
в области определения динамической системы. Предположим, что рас-
рассматриваемая динамическая система (I), определенная в плоской области
G (область G может, в частности, совпадать со всей плоскостью), имеет
только конечное число особых траекторий во всякой ограниченной части
своей области определения.
Пусть G* — замкнутая ограни-
ограниченная область, целиком имеете
с границей содержащаяся в об-
области G (G* с= G).
Границу области G* будем
называть нормальной для дан-
€Ш&^Ш7/^Щ?/77Ш7//# ной динамической системы, если
выполняются следующие ус-
условия:
1. Она состоит из конечно
го числа простых замкнутых
кривых.
2. Каждая из этих простых
замкнутых кривых либо являет-
является циклом без контакта для траекторий данной динамической системы,
либо замкнутой траекторией этой системы, либо замкнутой кривой,
составленной из конечного (четного) числа чередующихся (попеременно)
дуг без контакта и дуг траекторий.
3. Целые траектории, входящие в границу, и траектории, дуги кото-
которых входят в границу, не могут принадлежать орбитно-неустомчнвым
траекториям или полутраек-
полутраекториям, целиком лежащим в
замкнутой области о*. В ча-
частности, никакое состояние
равновесия заведомо не мо-
может быть точкой границы.
Примеры областей с нор-
нормальной границей представ-
представлены на рис. 173, 174.
Траектории, Дуги без
контакта, дуги траекторий
и циклы без контакта, вхо-
входящие в границу, будем на-
называть граничными траекто-
траекториями, граничными дугами
траекторий, граничными ду-
дугами без контакта и гранич-
граничными циклами без контакта.
Общие точки граничных дуг без контакта и граничпых дуг граекто-
рий будем называть угловыми точками границы (например, точка Л/j
и точка М2 на рис. 173).
Рассмотрим Дугу траектории с концами, являющимися точками гра-
граничных дуг без контакта, у которой все отличные от концов точки при-
принадлежат области G*. Такая дуга называется угловой дугой, если хотя
бы один из ее концов является угловой точкой границы (см. дугу АА12
на рис. 173) и целой иеособой дугой, если ни один из ее концов, являю-
Рпс, 171

§ 16] СЛУЧАЙ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ОСОБЫХ ТРАЕКТОРИЙ 287
щийся точкой граничной дуги без контакта, не является угловой точкой
границы (см. дуги СС па ряс. 173 и ВВ' на рис. 174). Полутраекторпя,
концом которой является угловая точка границы, а все точки, отличные
от конца, принадлежат области G*, называется угловой полутраекторпей
(см. полутраектории L на рис. 173 и L' на рис. 174). В силу условия 3)
угловая полутраекторня всегда орбптно-устойчива. Очевидно, при сде-
сделанных предположениях число угловых дуг п угловых полутраекторий
всегда конечно *).
Рассмотрим множество особых траекторий, лежащих в G*.
Из определения нормальной границы следует, что всякая особая
траектория целиком лежит в открытой области G* (см. условие 3)).
Траекторию, не являющуюся особой, будем называть неособой.
Будем также называть особой полутраекторией всякую лежащую в G*
орбитпо-неустойчпвую полутраекторшо, угловую полутраекторию, а так-
также всякую полутраекторию ocoooii траектории. Полутраекторшо, >ц
являющуюся особой, будем называть неособой. Неособая полутраек
тория всегда орбитно-устойчпва. Но особая полутраекторпя, очевидно,
может быть как орбитно-неустойчьшоп, так и орб'гшо-устопчявой. Она
заведомо орбитно-устойчшза, когда является угловой полутраекторией
(в силу условия 3)), но она может быть орбнтпо-устойчнвой также и в слу-
случае, когда является полутраекторией особой траектория (так как у орбит-
по-неустойчивой траектории одна из полутраекторий может быть орбит-
но-устойчивой).
Будем называть особой дугой граничную дугу без контакта, гранич-
граничную или угловую дугу траектории.
Особую траекторию, угловую полутраекторшо, особую полутраек-
полутраекторшо, конец которой принадлежит грапячной дуге без контакта, и особую
Дугу — будем также называть особыми элементами. При сделанном нами
предположении, что число орбнтпо-ниустойчцвых траекторий конечно
и граница той области 6'*, в которой данная динамическая система рас-
рассматривается—нормальна, число особых элементов конечно.
3. Леммы о множестве точек, принадлежащих особым элементам.
Пусть Е ? G* — множество всех точек, принадлежащих в замкнутой
области G* особым элементам.
Лемма 1. Множество Е замкнуто.
Доказательство. Какую бы бесконечпую последователь-
последовательность точек множества Е мы ни взяли, все ее точки в силу того, что осо-
особых элементов конечное число, принадлежат только конечному числу
особых элемсптов. Поэтому для доказательства леммы достаточно пока-
показать, что точки сгущения всякой последовательности точек, принадле-
принадлежащих одпому и тому же особому элементу, принадлежат множеству Е.
Но всякая точка сгущения последовательности точек особой траектории
или полутраектории либо принадлежит eii самой, либо является се пре-
предельной точкой, и, значит, также принадлежит особой траектории, т. е.
множеству Е. Точка же сгущения последовательности точек особой дуги,
очевидно, принадлежит самой этой дуге. Лемма доказана.
*) Можно показать, что, когда область G ограничена, сколь бы малое е > О
мы ии взяли, существует замкнутая область G* CZ G с нормальной границей, целиком
лежащей в е-окрестностп границы области G.

288 «ОСОБЫЕ» ТРАЕКТОРИИ И ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. VI
Мпожество точек замкнутой области G*, не принадлежащих множе-
множеству Е, является открытым множеством. Оно может распадаться на конеч-
конечное или счетное множество областей без общих точек. Ниже будет по-
показано, что число этих областей конечно. Эти области мы будем назы-
называть ячейками разбиения на траектории, или, для краткости, просто
ячейками.
Очевидно, точки ячеек принадлежат: а) либо целым неособым (орбит-
но-устойчивым) траекториям; б) либо неособым (орбитно-устойчнвым)
полутраекторпям, концы которых лежат на граничной дуге без контакта;
в) либо целым неособым дугам траекторий, т. е. дугам, концы которых
лежат на граничных дугах без контакта.
Точки всякой неособой траектории или полутраскторин или точки
неособой целой дуги принадлежат какой-нибудь ячейке.
Мы приведем сначала ряд простых вспомогательных предложений,
касающихся ячеек и их границ. На основании этих предложений, в част-
частности, будет доказано, что число ячеек конечно.
Первая из этих лемм относится к любым областям, состоящим из целых
траекторий, т. е. к таким областям, которые наряду со всякой принадле-
принадлежащей им точкой содержат всю проходящую через эту точку траекторию.
Л е м м а 2. Если какая-нибудь точка Р является граничной для
области, состоящей из целых траекторий (в частности, для ячейки,
состоящей из целых траекторий), то и все точки траектории ЬР, про-
проходящей через точку Р, являются граничными для этой области.
Эта лемма может быть также сформулирована следующим образом:
«Граница области, состоящей из целых траекторий, состоит из целых
траекторий».
Лемма 3. Если какая-нибудь отличная от угловой точка гранич-
граничной дуги траектории или угловой дуги является граничной точкой неко-
некоторой ячейки, то и все точки этой дуги являются граничными для той же
ячейки.
Лемма 4. Если какая-нибудь отличная от угловой точка особой
полутраектории, пересекающей граничную дугу без контакта (т. с.
точка угловой полутраектории или орбитно-неустойчивой полутраек-
полутраектории, пересекающей граничную дугу без контакта), является граничной
точкой для какой-нибудь ячейки, то и все точки этой дуги или этой полу-
полутраектории являются граничными для той же ячейки.
Справедливость лемм 2, 3, 4 непосредственно вытекает из непрерыв-
непрерывной зависимости от начальных значений.
4. Доказательство конечности числа ячеек (в случае конечного числа
особых элементов).
Лемма 5. Всякая особая траектория, отличная от состояния
равновесия, не являющаяся предельной ни для одной отличной от нее самой
траектории или полутраектории, принадлежащей области G*, может
входить в состав границы не более чем двух ячеек.
Доказательство. Пусть L — особая траектория, не являю-
являющаяся предельной, и Q — точка на ней. Проведем через точку Q дугу
без контакта / с серединой в точке О, на которой ис лежит пп одной точки
особых дуг (это, очевидно, всегда возможно).
Б силу леммы 3 § 3 все траектории, проходящие через точки доста-
достаточно малой окрестности точки Q, непременно пересекают дугу без кон-
контакта /. Поэтому на этой дуге лежат точки всех тех ячеек, для которых
точка Q яиляется граничной точкой. Покажем, что на дуге I можно виде-

5 16] СЛУЧАЙ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ОСОБЫХ ТРАЕКТОРИЙ 289
лить часть QiQz, содержащую точку Q внутри, на которой кроме точки Q
не лежит уже больше ни одной точки особой траектории или полутраек-
полутраектории. Действительно, предположим, что такую часть дуги I выделить
нельзя. Тогда, очевидно, на дуге I существует последовательность стре-
стремящихся к Q точек, принадлежащих особым траекториям или полутраек-
полутраекториям. В силу того, что особых элементов но предположению — конеч-
конечное число, бесчисленное множество точек этой последовательности при-
принадлежит одной и той же особой полутраектории. Но тогда траектория L
является предельной для отличной от нее полутраектории, принадлежа-
принадлежащей области G*, что противоречит условию леммы. Следовательно, суще-
существует содержащая точку Q часть QiQz дуги I, па которой, кроме точки Q
больше уже нет точек особых элементов. Л тогда все отличные от Q точки
каждой из дуг QXQ и Q2Q принадлежат одной и той же ячейке, и, следова-
следовательно, точка Q является граничной не более чем для двух ячеек. В силу
леммы 2 то же справедливо и для всех других точек траектории L.
Таким образом, лемма доказана.
Замечай и е. Все точки траектории L, очевидно, являются дости-
достижимыми граничными точками ячейки.
Лемма 0. Все точки угловой дуги и угловой траектории, а также
все точки орбитно-неустойчивой полутраектории, пересекающей граничную
дугу без контакта, могут быть граничными не более, чем для двух ячеек.
Доказательство. Покажем сначала, что угловая дуга, угло-
угловая полутраектория и орбитно-неустойчнвая полутраектория, пересе-
пересекающая граничную дугу, не могут быть предельными для траектории,
целиком лежащей в G*, отличной от той, из которой они выделены. Для
угловой дуги и угловой полутраектории это непосредственно вытекает
из определения нормальной границы (см. условие 3)).
Рассмотрим теперь орбитно-неустойчивую полутраекторию L1*, пере-
пересекающую граничную дугу без контакта. По самому определению нор-
нормальной границы полутраектория /у@' пересекает граничную дугу без
контакта в точке, отличной от ее концов. При этом, если существует полу-
полутраектория, для которой Х'о* является предельной, то она, очевидно, пере-
пересекает эту граничную дугу без контакта в бесчисленном множестве точек.
Но ни одна полутраектория не может пересечь грапичную дугу без
контакта дважды, не выходя (п при возрастании и при убывании t) из
области С*. Отсюда следует, что полутрасктория i'o' тоже не может быть
предельной ни для одной принадлежащей области G* полутраектории.
А тогда справедливость утверждения леммы доказывается так же, как
и в предыдущей лемме.
Лемма 7. Всякая особая траектория Lo, отличная от состояния
равновесия, являющаяся предельной для отличной от нее траектории,
может быть граничной лишь для конечного числа ячеек.
Доказательство. Предположим противное, т. е. что траек-
траектория La, а следовательно, и всякая ее точка (см. лемму 2) являются
граничными для бесчисленного множества ячеек. Проведем через какую-
нибудь точку Q траектории Lo дугу без контакта /, не имеющую общих
точек с граничными и угловыми дугами (ото, очевидно, всегда возможно).
Тогда (см. лемму 3 § 3) на дуге / сколь угодно близко к точке Q будут
находиться точки каждой из ячеек, для которых Q является граничной.
Возьмем на дуге I, стремящуюся к точке Q, последовательность точек
{/1;}, принадлежащих разным ячейкам. Между каждыми двумя из этих
точек лежат граничные точки Bt, B2 разных ячеек, являющиеся точками
19 А. А. Андронов и др.

290 «ОСОБЫЕ» ТРАЕКТОРИИ И ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. VII
особых элементов. Так как особых элементов — конечное число, то бес-
бесчисленное множество из этих точек должно принадлежать одному и тому
же особому элементу и, значит, одной и той же особой траектории Lt
(или полутраектории L'\y). А тогда эта траектория (или полутраектория)
является граничной для бесчисленного множества различных ячеек.
Траектория L± (или полутраектория L'[}) не замкнута, так как она заведомо
имеет более одной общей точки с дугой без контакта I и имеет точку Q.
отличную от состояния равновесия, своей предельной точкой. А значит,
в силу теоремы 11 сама траектория L± (или полутраектория 2/{') не может
быть предельной. Но тогда в силу леммы 3 она может быть граничной
не более чем для двух ячеек. Мы приходим к противоречию, и лемма
доказана.
Теорема 42. Если у динамической системы, определенной в пло-
плоской области G, число орбитно-неустойчиеых траекторий конечно во вся-
всякой ограниченной части G, то во всякой замкнутой ограниченной области
G* a G, граница которой нормальна, число ячеек конечно.
Доказательство. Предположим противное, т. е. предполо-
предположим, что в области G*aG с нормальной границей существует счетное мно-
множество ячеек {Hi}. Возьмем в каждой из них по точке Аи А2, ... и соеди-
соединим эти точки простыми дугами, целиком лежащими в области G*
и не содержащими состояний равновесия. Пусть В-г — граничная точка
ячейки Ни лежащая на дуге AtAi+l. Все точки Bt принадлежат особым
элементам. Если среди точек Bt только конечное число различных точек,
то тогда хотя бы одна из этих точек должна быть граничной для бесконеч-
бесконечного множества ячеек. Это невозможно в силу лемм 5, 6 и 7. Следовательно,
среди точек Вь существует бесконечное множество различных точек.
А так как точки Bt принадлежат особым элементам и особых элементов —
конечное число, то бесчисленное множество точек BL лежит на одном
и том же особом элементе. Этот особый элемент должен, следовательно,
быть граничным для бесчисленного множества ячеек, что противоречит
леммам 5, 6 и 7. Таким образом теорема доказана.
5. Случай динамической системы на сфере. Рассмотрим теперь дина-
динамическую систему на сфере. Будем так же, как и в случае динамической
системы в плоской области, называть особой траекторией или особым
элементом всякую орбитно-неустойчивую траекторию, а также всякое
орбитно-устойчивое состояние равновесия. Траекторию, не являющуюся
особой, т. е. орбитно-устойчивую, будем называть неособой. Будем также
называть особой полутраекторией полутраекторию особой траектории.
Пусть Е — множество точек, принадлежащих особым траекториям. Имеет
место лемма, доказательство которой проводится так же, как и доказа-
доказательство леммы 1.
Лемма 1'. Множество Е замкнуто.
Обозначим через S множество точек сферы. Множество точек сферы,
не принадлежащих множеству Е, т. е. множество S\E, очевидно, является
открытым множеством и, следовательно, может распадаться на конечное
или счетное число областей. Эти области так же, как и в случае динами-
динамической системы в плоской области, мы будем называть ячейками разбиения
на траектории. Очевидно, точки ячеек принадлежат целым орбитно-
устойчивым траекториям.
Леммы 2, 5 и 7 справедливы и в случае динамической системы на сфе-
сфере. Имеет место также следующая теорема, доказательство которой про-
проводится так же, как и доказательство теоремы 42.

§ 16] СЛУЧАЙ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ОСОБЫХ ТРАЕКТОРИЙ 291
Теорема 43. Число ячеек динамической системы на сфере в слу-
случае конечного числа особых траекторий конечно.
6. Поведение траекторий, близких к орбитно-устойчивым траекто-
траекториям. Как и раньше, предложения, относящиеся к полутраекториям,
мы будем формулировать только для положительной полутраектории.
Лемма 8. Пусть L+ — неособая полутраектория, стремящаяся
к состоянию равновесия О. Вокруг каждой точки этой полутраектории
существует такая окрестность, что все проходящие через точки этой
окрестности траектории при t—voo стремятся к состоянию равновесия
О и являются неособыми траекториями.
Доказательство. Пусть С — окружность с центром в ОТ
кроме состояния равновесия О не содержащая больше ни одного состоя-
состояния равновесия, и Р — последняя общая точка полутраектории L+ с этой
окружностью. Возьмем точку Мо на части РО полутраектории L+ и про-
проведем через точку Мо дугу без контакта, содержащую точку Мо впутри.
Так как полутраектория L+ орбитно-устойчива, то она непродол-
жаема относительно окружности С, и, следовательно, (см. теорему 38)
существует часть АВ дуги I, содержащая точку Мо внутри, такая, что
всякая траектория, пересекающая эту часть АВ, при возрастании t
не выходит из окружности С и стремится к состоянию равновесия О
(см. определение XVIII).
Так как число особых траекторий конечно, а траектория L неособая
и, следовательно, не является предельной ни для какой траектории, то
легко видеть, что на части АВ дуги / может существовать только конечное
число точек особых траекторий и полутраекторий. Следовательно, суще-
существует часть А±В± дуги АВ, содержащая точку Мо внутри и такая, что
все ее точки принадлежат неособым траекториям, при t—voo стремящимся
к состоянию равновесия О. Но в силу леммы 5 § 3 главы 2 вокруг каждой
точки полутраектории L+ существует такая окрестность, что все траек-
траектории, проходящие через точки этой окрестности, пересекают часть AiB1
дуги I. Следовательно, справедливость утверждения леммы доказана.
Рассмотрим теперь полутраекторию L+, выделенную из незамкнутой
траектории, среди предельных точек которой есть точки, отличные от со-
состояний равновесия.
Пусть К — предельный континуум полутраектории L+ и Р — какая-
нибудь точка этого континуума, принадлежащая траектории L0?K,
отличной от состояния равновесия. Проведем через точку Р дугу без
контакта I, содержащую точку Р внутри. Пусть {Pt} — лежащая на дуге I
последовательность точек траектории L, стремящаяся к Р.
Будем, как и выше (§ 15, п. 8), обозначать через Сг простую замкну-
замкнутую кривую, состоящую из витка PjPi+i полутрасктории L+ и части
PiPi+i Дуги I, через hik область, граница которой состоит из кривых Сг
и Ck (рис. 170), а через "Уг — область (см. лемму 7 § 15), граница которой
состоит из кривой С; и континуума К (рис. 171).
В силу леммы 8 § 15 при всех достаточно больших i либо простая
замкнутая кривая Ci+i содержится (кроме точки Pt) внутри кривой Сг
и все эти кривые содержат континуум К внутри себя, либо кривая Ct
содержится (кроме точки Pt) внутри кривой Ci+i и континуум К нахо-
находится вне всех этих кривых. Для определенности предположим, что имеет
место первый случай.
Лемма 9. При всех достаточно больших / и к и j > к всякая траек-
траектория, проходящая через точки области hjk и при возрастании, и при
19*

292 «ОСОБЫЕ» ТРАЕКТОРИИ И ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ИГЛ. VII
убывании t, выходит из этой области, причем при возрастании t она выхо-
выходит из нее, пересекая кривую Cj на части PjPJ+1 дуги I, а при убыва-
убывании t, пересекая кривую С^ на части PkPk+i дуги I.
Доказательство. Так как особых элементов — конечное
число, то существует е0 > 0 такое, что в UEo (К) кроме особых траек-
траекторий, входящих в состав континуума К, не лежит уже больше цели-
целиком ни одна особая траектория.
В силу леммы 7 § 15, начиная с некоторого достаточно большого
i (i >/), все кривые Ct и области yt, а значит, и области hJk (/ > к > /)
целиком лежат в Ut0 (К). Отсюда следует, что в области hjk не лежит
целиком ни одна особая траектория. Действительно, континуум К лежит
внутри всех кривых Ct (i > /), а в окрестности Ut0 (К), в которой лежит
область hjk, кроме траекторий, входящих в состав континуума К, не ле-
лежит больше целиком ни одной особой траектории. Граница области hjk также
не является целой особой траекторией. А тогда всякая траектория L',
проходящая через точки области hjk, и при возрастании и при убывании t
непременно должна выйти из этой области; в противном случае внутри hjk
должна была бы лежать целиком особая траектория, предельная для L'',
что в силу предыдущего невозможно. Но выйти из области hJk всякая
траектория L' может, только пересекая кривые С,- и Ск соответственно
на частях PjPJ+i и PkPk+i дуги I. Так как кривая Cj лежит внутри
Ck{j > к), а континуум К лежит внутри кривой Cj, то, очевидно, вся-
всякая траектория L', выходя из области hjk, при возрастании t пересекает
часть PjPj+i дуги I, а выходя — при убывании t—пересекает часть PkPk+i
дуги I. Таким образом, лемма доказана.
Следствие 1. Всякая траектория, пересекающая при t = t0
часть PtPi+i дуги I, при некотором значении t >• 10 пересекает часть
Pi+iPi+z этой дуги.
Следствие 2. Существует такая часть РА дуги без контакта Z,
содержащая все точки Pt с достаточно большими номерами i (i > /),
что всякая траектория L', при t = t0 пересекающая эту часть дуги I
в отличной от Р точке, при некотором значении t = t0 пересекает ее
еще раз.
Следствие 3. Всякая траектория, пересекающая часть PtPi+l
дуги I с достаточно большим i (i > /), имеет точку Р в качестве своей
со-предельной точки.
Следствие 4. Всякая траектория, проходящая через точку
области -уь ПРИ убывании t выходит иэ нее, пересекая часть PtPi+1 дуги I.
Лемма 10. Если i достаточно велико, то все траектории, прохо-
проходящие через точки области yt, имеют континуум К своим а-предельным
континуумом.
Доказательство. Пусть, как и в предыдущей лемме, е0 > 0
таково, что в е0-окрестности континуума К не лежит целиком ни одна
особая траектория, кроме траекторий, входящих в К. Пусть i0 настолько
велико, что область yi0 целиком лежит в UEo (К). Всякая траектория,
проходящая через точки области yia, очевидно, не может выйти при воз-
возрастании t из Yi0 (чеРез часть PioPi0+i дуги без контакта I все траекто-
траектории входят в эту область). Так как в области yio и на ее границе кроме
траекторий, входящих в состав континуума К, не лежит целиком больше
ни одна'особая траектория, то все ш-предельные точки всякой траектории,
¦проходящей через точки yi0, могут быть только точками континуума К.
Докажем теперь, что все точки континуума К являются со-предель-
щыми для всякой такой траектории.

16]
СЛУЧАЙ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ОСОБЫХ ТРАЕКТОРИЙ
293
Пусть Lo — входящая в К траектория (отличная от состояния рав-
равновесия), на которой взята точка Р (конец дуги Z). Пусть, кроме того,
Li, L2, . . ., Lr — все не являющиеся состояниями равновесия и отлич-
отличные от Lo траектории, входящие в состав континуума К (в силу предпо-
предположения о конечном числе особых траекторий, этих траекторий — конеч-
конечное число). Возьмем на каждой траектории Lm (те = 1, 2, . . ., г) по точке
Рт и проведем через каждую точку Рт дугу без контакта 1т, причем так,
чтобы дуги 1т не имели друг с другом общих точек. На каждой дуге 1т
будет лежать последовательность точек рассматриваемой полутраектории
L+ — {Р™}, стремящихся к точке Рт (и соответствующих неограниченно
возрастающим значениям t). Будем обозначать через С™ простую замкну-
замкнутую кривую, состоящую из витка Р™Р™г1 полутраектории L+ и части
P™Pf+i дуги 1т (рис. 175 дается в случае /¦= 3).
При всяком фиксированном т (т = 1, 2, . . ., г) последовательность
кривых {C"j}, очевидно, полностью аналогична последовательности кри-
кривых {Ct}.
Будем для единообразия обозначать через /р дугу I, через Р? — точки,
дуги, которые мы выше обозначали через Pt, и через {С"} простые замкну-
замкнутые кривые, которые мы обозначали через {С;}. Для всех кривых {С™},
т = 1, 2, . . ., г, справедливы леммы 8 и 9 § 15. Континуум К лежит
внутри всех кривых {С™}, те = 1, 2, . . ., г (начиная с достаточно боль-
большого /). Действительно, при достаточно больших значениях t точки
полутраектории L+ лежат внутри кривой С\ (i > i0), и, следовательно,
при любом i > i0 существует такое /, что виток Р™Р^ полутраектории
L+, а значит, и кривая С™ лежат внутри С°.
Очевидно, и, наоборот, при всяком данном т=^=0 и выбранном j
всегда можно указать такое достаточно большое i, чтобы кривая С\ лежала
внутри Cf. Таким образом, континуум К лежит внутри всех кривых С™,
начиная с некоторого ;', при любом те = 0, 1, 2, . . ., г.
Пусть теперь it > i (при заданном i) таково, что кривая С\^ лежит
внутри С\, i2 > ii таково, что кривая С|2 лежит внутри C'h и т. д. (в силу
предыдущего такие целые числа ц, i2, . . ., ir, очевидно, всегда можно
выбрать). Мы получим, таким образом, лежащие одна внутри другой

294
«ОСОБЫЕ» ТРАЕКТОРИИ И ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. VII
и внутри области yt простые замкнутые кривые С\, С\г, С|2, . . .,С\
(рис. 176). Континуум К лежит внутри всех этих простых замкнутых
кривых. Всякая точка области уи не лежащая на этих замкнутых кри-
кривых, лежит либо внутри Cj , т. е. в области, аналогичной yt, которую мы
обозначим через "у»г» либо в области между двумя из этих замкнутых
кривых (рис. 176). Кроме траекторий, входящих в состав континуума К,
в рассматриваемой е0"окрестности К не лежит целиком больше ни одной
особой траектории. А так как континуум К лежит внутри (вне) всех
кривых C\h (к = 0, 1, . . ., г), то всякая траектория, проходящая через
точку области между любыми двумя простыми замкнутыми кривыми С\
и С^, должна и при возрастании и при убывании t выйти из этой
Рис. 176.
области и, следовательно (см. лемму 9, следствие 4), пересечь как часть
Pi Pkih+i Дуги lh, так и часть Р*^1 Р\~' l +t этой дуги. Всякая же траек-
траектория, проходящая через точку области Yir> должна пересечь часть
Р\ Р\ +1 дуги 1Г. Отсюда следует, что всякая траектория, проходящая
через какую-нибудь точку области yiy пересекает некоторую часть P*P^+i
каждой дуги lk.
В силу следствия 3 леммы 9 она имеет тогда каждую точку Pk (к =
= 0, 1, . . ., г) своей предельной точкой и, следовательно, каждую траек-
траекторию Lu своей предельной траекторией. Но она будет иметь своей пре-
предельной точкой также всякое состояние равновесия, входящее в состав
континуума К, так как всякое такое состояние равновесия является пре-
предельным для одной из траекторий Lk- Но это означает, что все точки К
являются предельными для всякой траектории, проходящей через точки
yt. Лемма доказана.
Лемма 11. Вокруг каждой точки незамкнутой неособой полутраек-
полутраектории L+, имеющей среди своих предельных точек отличные от состояний
равновесия, можно указать такую окрестность, что все проходящие через
точки этой окрестности траектории или полутраектории не замкнуты,
являются неособыми траекториями или полутраекториями и имеют те же
<?>-предельные точки, что и L+.

§ 16J СЛУЧАЙ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ОСОБЫХ ТРАЕКТОРИЙ 295
Доказательство. Пусть М — какая-нибудь точка полутраек-
полутраектории L+. В силу леммы 7 § 3 существует окрестность точки М такая,
что все траектории, проходящие через точки этой окрестности, не замкнуты.
Далее, так как неособые траектории и полутраектории заполняют обла-
области, то существует окрестпость точки М такая, что все проходящие через
нее траектории или полутраектории являются неособыми.
Покажем теперь, что w-предельные точки всех траекторий или полу-
полутраекторий, проходящих через достаточно малую окрестность точки М,
совпадают с предельными точками L+.
Пусть К ¦— предельный континуум нолутраектории L+, Р — отлич-
отличная от состояния равновесия точка континуума К и I — дуга без кон-
контакта, проведенная через точку Р. Полутраектория L+ пересекает дугу I
в бесчисленном множестве точек {Pi}.
Пусть замкнутые кривые Ct и области yt имеют тот же смысл, что
и в предыдущих леммах, a i настолько велико, что все траектории, про-
проходящие через точки области yt имеют континуум К своим со-предельным
континуумом (см. лемму 10). Пусть М* — какая-нибудь точка полутраек-
полутраектории L+, лежащая внутри yt. Тогда достаточпо малая окрестность
U6 (M*) точки М* также принадлежит области уи и, следовательно,
всякая траектория, проходящая через точку окрестности ?/й (М*), имеет
К своим м-предельным континуумом. В силу теоремы о непрерывной
зависимости от начальных значений, то же справедливо и для траекторий,
проходящих через точки достаточно малой окрестности точки М.
Лемма 12. Вокруг каждой точки неособой замкнутой траектории
существует такая окрестность, что все пересекающие эту окрестность
траектории являются неособыми и замкнутыми траекториями.
Доказательство. Пусть L — рассматриваемая неособая
замкнутая траектория. В силу того, что особых элементов — конечное
число, все точки траектории L являются точками некоторой ячейки.
Нетрудно видеть, что существует е > 0 такое, что Ue (L) также при-
принадлежит этой ячейке, т. е. все траектории, проходящие через точки
U e (L), являются неособыми траекториями.
Пусть Р — какая-нибудь точка траектории L. Пусть е' < е, а ё > 0
настолько мало, что все траектории, пересекающие C/g (P), не выходят
из UE. (L). Такое б заведомо существует в силу орбитпой устойчивости
траектории L. Предположим, что окрестность C/fi (P) пересекают незамк-
незамкнутые траектории. Так как они по условию не выходят из ?/Е' (L), то их
предельные точки целиком лежат в UE> (L) или на границе Uer (L) — т. е.
в С/Е (L). Но множество предельных точек пезамкнутой траектории со-
состоит из особых траекторий. Следовательно, в Vr (L) лежит целиком по
крайней мере одна особая траектория, что противоречит выбору е.
Таким образом, все проходящие через точки этой б-окрестности
траектории замкнуты. В силу леммы 14 § 3 при достаточно малом б
все эти траектории лежат одна внутри другой. Лемма доказана.
Замечание. Если через сколь угодно малую окрестность замк-
замкнутой траектории Lo проходят замкнутые траектории, то в рассматривае-
рассматриваемом случае конечного числа особых элементов эта замкнутая траектория
Lo заведомо является неособой, т. е. все траектории, проходящие через
достаточно малую ее окрестность, замкнуты.
Теорема 44. Все траектории, проходящие через некоторую доста-
достаточно малую окрестность орбитно-устойчивого состояния равновесия О,
являются неособыми замкнутыми траекториями (содержащими одна
другую и содержащими О внутри).

296 «ОСОБЫЕ» ТРАЕКТОРИИ И ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. VII
Доказательство. Если состояние равновесия О орбитно-
устойчиво, то, очевидно, к нему не может стремиться ни одна траектория.
Следовательно, в любой сколь угодно малой окрестности его лежат замк-
замкнутые траектории, содержащие это состояние равновесия О внутри. Так
как особых элементов — конечное число, то всегда существует окрест-
окрестность точки О, в которой не лежит ни одной особой траектории. А тогда
(см. замечание к лемме 12) все лежащие в этой окрестности траектории
являются неособыми замкнутыми траекториями, что и доказывает лемму.
Состояние равновесия в этом случае называется центром.
Приведем еще одну лемму, касающуюся неособых пелых дуг, т. с.
дуг траекторий, концы которых лежат на граничных дугах без контакта,
причем не являются угловыми точками границы, а все отличные от концов
точки принадлежат области G* (см. § 16, п. 1), и неособых иолутраекто-
рий, концы которых лежат на граничной дуге (или цикле) без контакта.
'Справедливость этой леммы непосредственно следует из леммы 5 § 3.
Лемма 13. а) Вокруг каждой точки неособой целой дуги траекто-
траектории А, отличной от концов этой дуги, существует окрестность, через все
точки которой проходят неособые целые дуги траекторий, пересекающие
те же граничные дуги без контакта, что и дуга А. б) Вокруг каждой точки
неособой полутраектории L+, конец которой лежит на граничной дуге
(или цикле) без контакта, существует окрестность, через которую про-
проходят неособые положительные полутраектории, концы которых лежат
на той же дуге (или цикле) без контакта, что и конец полу траектории L+.
(Такое же утверждение справедливо и для отрицательной полутраек-
полутраектории.)
Замечание. Если среди неособых элементов данной ячейки есть
неособые целые дуги траекторий или неособые полутраектории (концы
которых лежат на граничной дуге без контакта), то, очевидно, в границу
этой ячейки непременно входит часть этой граничной дуги, и среди
точек этой части нет точек, принадлежащих другим особым элементам
(т. е. граничным дугам траекторий или особым полутраекториям).
Очевидно также и обратное: если среди граничных точек ячейки
есть точки граничных дуг без контакта, не принадлежащие другим осо-
особым элементам (т. е. граничным дугам траекторий или особым полутраек-
полутраекториям), то среди неособых элементов этой ячейки непременно должны
быть либо неособые целые дуги траекторий, либо неособые нолутраек-
тории, концы которых лежат на граничной дуге без контакта *).
7. Некоторые предложения о незамкнутых орбитно-устойчивых траек-
траекториях.
Л е м м а 14. Если через какую-нибудь точку Р незамкнутой неосо-
неособой траектории проведена дуга без контакта I, содержащая точку Р
внутри, то всегда можно выделить такую часть V дуги I, также содер-
содержащую точку Р внутри, что все траектории, пересекающие V, имеют
с V только одну общую точку.
Доказательство. Мы можем предполагать в силу леммы 3
§ 3, что у дуги I кроме точки Р больше нет уже общих точек с траекторией
L. В силу замечания к лемме 3 § 3 существует т > О такое, что у всех
траекторий, при t = t0 пересекающих дугу без контакта I (в частности,
*) Может случиться, что концы граничных дуг без контакта (т. е. угловые точки)
входят в границу ячейки, но ни одна отличная от конца точка граничной дуги беэ
контакта не входит в границу ячейки.

§ 16] СЛУЧАЙ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ОСОБЫХ ТРАЕКТОРИЙ 297
траектория L пересекает дугу I в точке Р) при отличных от t0 значениях t,
удовлетворяющих неравенству
больше уже нет общих точек с дугой I. Обозначим через Р\ точку траек-
траектории L, соответствующую значению ^1 = *о — т, и через Р2 — точку L,
соответствующую значению t2 = to-\-x (рис. 177).
Пусть во > 0 — столь малое положительное число, что окрестности
Uво (Api) и ^е0 (Ар2) не имеют общих точек с окрестностью Ueo (P) (друг
с другом окрестности UEo (LpJ и UEo (Lp2) могут иметь общие точки).
Такое е0 существует в силу того, что траектория L не замкнута, и поэтому Р
Риг. 177.
не может быть ее предельной точкой. В силу орбитной устойчивости траек-
траектории L существует 6t >> 0 такое, что все проходящие через точки
бх-окрестности точки Pi траектории при убывании t не выходят из
Е0-окрестности LJ.t, а также 62>О такое, что все проходящие через точки
б2-окрестности точки Р2 траектории при возрастании t не выходят из
е0-окрестности Lp2. Пусть часть Г дуги I с серединой в точке Р настолько
мала, что она целиком лежит в UBo (P) и что все пересекающие ее при
t = ?о траектории при t = tt проходят через точки б^-окрестности точки
Pi, а при t = t2 — через точки 62-°крестпости точки Р2. В силу выбора
т, е0, б] и б2 дуга Г, очевидно, удовлетворяет требованиям леммы, и лемма
доказана.
Пусть по-прежнему L — незамкнутая неособая (орбитно-устойчпвая)
траектория и Р — точка на ней.
Лемма 15. При всяком е > 0 можно указать такое б > 0, что
если L' — произвольная траектория, пересекающая окрестность С/6 (Р),
то существует область Н, граница которой состоит из траекторий L
и L' и а- и (D-пределъных точек траектории L, причем эта область цели-
целиком содержится в окрестности Ue (L).
Доказательство. Пусть et > 0 таково, что et < в и что
в окрестности Uei (L) и ее замыкании UEl (L) не лежит целиком ни
одна особая траектория, кроме траекторий а- и со-предельных для траек-
траектории L.
Пусть ?0 — Дуга без контакта, содержащая точку Р внутри, и такая,
что: а) все пересекающие ее траектории имеют с ней только одпу общую
точку; б) все пересекающие ее траектории не выходят из Utl (L). Такая
дуга ?0 существует в силу предыдущей леммы и т силу того, что траекто-
траектория L является неособой, т. е. орбитно-устойчивой траекторией.

298 «ОСОБЫЕ» ТРАЕКТОРИИ И ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. VII
Пусть б > О — число, удовлетворяющее тому требованию, что все
траектории, проходящие через точки окрестности Ud (Р):
1) не выходя из Uei (Р), пересекают дугу 10; 2) не замкнуты; 3) орбит-
но-устойчивы; 4) имеют те же а- и ©-предельные точки, что и траектория L.
Существование такого числа б вытекает из леммы 3 § 3 и лемм 8 и 11.
Пусть U — отличная от L траектория, проходящая через какую-
нибудь точку взятой б-окрестности точки Р, и Р' — ее точка пересечения
с дугой 10. Рассмотрим множество точек, принадлежащих траекториям,
проходящим через внутрепние точки части РР' дуги 10. Обозначим это
множество через //. В силу выбора дуги 10 и величины б множество //
целиком содержится в егокрестности траектории L.
Множество точек Н есть область.
Действительно, пусть точка М?Н, т. е. принадлежит траектории,
пересекающей дугу РР' в некоторой точке Q, отличной от концов Р и Р'.
Тогда через все точки некоторой достаточно малой окрестности точки М
L
Рис 178.
(см. лемму 5 § 3) проходят траектории, пересекающие дугу РР' сколь
угодно близко к точке Q и, следовательно, в точках, отличных от концов
Р и Р'. А это означает, что все точки некоторой достаточно малой окрест-
окрестности точки М принадлежат Н, т. е. все точки множества // внутренние.
Кроме того, очевидно, что вейкие две принадлежащие Н точки могут быть
соединены простой дугой (например, дугой, состоящей из дуг траекторий
и части дуги РР') (рис. 178).
Точки дуги 10, не лежащие на части РР' этой дуги, не принадлежат
области П. Действительно, предположим, что существует точка Л1± дуги
10, не лежащая на части РР' дуги 10 и в то же время принадлежащая
области //. Тогда по определению области Н, проходящая через точку М±
траектория Lt проходит через некоторую точку Qt, принадлежащую дуге
10 и лежащую между точками Р и Р', т. е. отличную от точки М±.
Таким образом, траектория L\ имеет по крайней мере две общие точки
с дугой 10, что противоречит условию а), наложенному на эту дугу. Отсюда
следует, что точки Р и Р' являются граничными для области //, а значит
(в силу леммы 2), и все точки траекторий Lu V являются граничными для
области Н. Но тогда граничными для области Н являются, очевидно,
также и а- и ш-предельные точки траектории L'', совпадающие в силу
выбора Ej и условия б) соответственно с а- и сопредельными точками
траектории L'.
Покажем, что граница области Н состоит только из точек траекторий
L, L' и их а- и со-предельных точек. Для доказательства предположим
противное, т. е. предположим, что существует граничная для Н точка И,

3 16] СЛУЧАЙ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ОСОБЫХ ТРАЕКТОРИЙ 299
отличная от точек L, L' и их а- и со-предельных точек. Тогда все точки
траектории LR, проходящей через точку R, также будут граничными
для области Н (см. лемму 2). Траектория Ьц должна находиться на нену-
ненулевом расстоянии от части РР' дуги 10. В самом деле, расстояние траек-
траектории LR до части РР' дуги 10 может быть равным нулю лишь в двух
случаях: когда траектория LR является одной из траекторий, пересе-
пересекающих часть РР' дуги /.0, и в случае, когда траектория LR имеет в каче-
качестве своей предельной одну из траектории, пересекающих часть РР'
дуги 10. Ни тот ни другой случай невозможен в силу предположений,
сделанных относительно точки R, и в силу того, что все траектории, пере-
пересекающие дугу Zo, орбитно-устойчивы.
Таким образом, траектория LR находится на не равном нулю рас-
расстоянии, например d, от дуги РР'. Но тогда траектория La должна быть
орбитно-неустойчивой. Действительно, так как точки траектории Lr
являются граничными для области Н, то через сколь угодно малую
окрестность любой точки траектории LR проходят траектории, пересе-
пересекающие дугу РР'. Следовательно, при некотором надлежащим образом
подобранном числе о > 0 (например, при о <С 1/3 <1) они выходят из а-
окрестности траектории LR, что и означает, что Ln орбитно-неустойчива.
Но область Н, а следовательно, и траектория LR лежат целиком в UEl (L),
а по самому выбору числа е} в Uei (L) не лежит целиком ни одна орбитно-
неустойчивая траектория, кроме траекторий а- и со-предельных для L.
Мы приходим к противоречию, и, следовательно, у области // кроме L, L'
и их а- и Co-предельных точек больше нет никаких других граничных
точек. Таким образом, область // удовлетворяет всем требованиям леммы,
и лемма доказана.
Замечание. Область, граница которой состоит из траекторий
L, L' и их со- и а-предельных точек, вообще говоря, может быть не един-
единственной *).
Теорема 45. Все предельные точки особой траектории La (полу-
(полутраектории Lq), отличные от состояний равновесия, являются предель-
предельными точками также и для неособых траекторий всякой ячейки, в гра-
границу которой входит эта траектория Lo.
Доказательство. Пусть Р — отличная от состояния равно-
равновесия точка, являющаяся предельной для особой траектории La, и пусть
I — дуга без контакта, проведенная через точку Р. На дуге / лежит стре-
стремящаяся к точке Р последовательность точек траектории Lo. Но тогда
на этой дуге сколь угодно близко к точке Р лежат такие точки всякой
ячейки, для которой траектория Lo является граничной. На основании
следствия 3 из леммы 9 отсюда следует, что точка Р является предель-
предельной и для неособых траекторий этой ячейки. Теорема доказана.
8. Возможный характер неособых элементов внутри одной и той же
ячейки. Имеет место следующая теорема:
Теорема 46. Если внутри какой-нибудь ячейки существует неосо-
неособый элемент, являющийся целой траекторией (или полутраекторией,
пересекающей граничную дугу без контакта, или дугой траектории, концы
которой лежат на граничных дугах или циклах без контакта), то все
неособые элементы этой ячейки также являются целыми траекториями
(или соответственно полутраекториями, пересекающими граничную дугу
*) Если эта область содержится в е-окрестпости L, то при достаточно малом е
такая область единственная.

300 «ОСОБЫЕ» ТРАЕКТОРИИ И ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. VII
без контакта, или дугами, концы которых лежат на граничных дугах
или циклах без контакта).
Доказательство. Предположим противное, т. е. что внутри
какой-нибудь ячейки, содержащей целую (неособую) траекторию L,
существует неособый элемент другого характера, например, неособая
полутраектория L'+, пересекающая граничную дугу без контакта. Соеди-
Соединим какую-нибудь точку А траектории L и какую-пибудь точку В полу-
траектории L'+ простой дугой %, целиком лежащей внутри рассматриваемой
ячейки. На дуге X существуют точки двух типов: через точки первого
типа проходят целые неособые траектории, через точки второго типа
целые траектории не проходят и, следовательно, проходят неособые
полутраектории, пересекающие граничную дугу без контакта (или дуги
траектории, пересекающие граничную дугу).
В силу лемм 8, 11, 12 точками первого типа заведомо являются все
достаточно близкие к точке А точки дуги %, а точками второго типа —
все достаточно близкие к точке В точки дуги %. Двигаясь но дуге X от точки
А к точке В, мы переходим от точек первого типа к точкам второго типа.
Следовательно, на дуге X должна существовать некоторая точка С, являю-
являющаяся либо последней точкой первого типа, либо первой точкой второго
типа. Но последней точки первого типа (т. е. последней точки, через кото-
которую проходит неособая целая траектория) в силу лемм 8, 11 и 12 существо-
существовать не может. Следовательно, точка С является первой точкой второго
типа. Через эту точку проходит неособый элемент, не являющийся целой
траекторией, т. е. либо полутраектория, пересекающая граничную дугу
без контакта, либо дуга траектории, концы которой лежат на граничных
дугах без контакта. Но в обоих этих случаях в силу леммы 13 точка С
не может быть на дуге А. первой точкой второго типа. Следовательно, все
неособые элементы рассматриваемой ячейки являются целыми траек-
траекториями. Совершенно такое же рассуждение справедливо также в случае,
когда в данной ячейке существует полутраектория или дуга траектории,
пересекающая граничную дугу без контакта. Теорема доказапа.
Замечание. Из доказанной теоремы и замечания к лемме 13
вытекает, что среди граничных точек ячейки, заполненной целыми траек-
траекториями, заведомо не могут быть точки граничных дуг без контакта,
не являющиеся угловыми точками.
9. Ячейки, заполненные замкнутыми траекториями. Приведем сначала
предложения, касающиеся ячеек, заполненных замкнутыми траекториями.
Первое из этих предложений доказывается рассуждением, полностью
аналогичным проведенному при доказательстве предыдущей теоремы,
и поэтому мы его опускаем.
Теорема 47. Если внутри какой-нибудь ячейки существует хоть
одна замкнутая траектория, то и все траектории этой ячейки зам-
замкнуты.
Теорема 48. Внутри одной и той же ячейки не может су-
существовать двух замкнутых траекторий, не лежащих одна внутри
другой.
Доказательство. Предположим противное. Пусть L и V —
две замкнутые траектории, расположенные внутри одной и той же ячейки
и не лежащие одна внутри другой. Пусть АВ — простая дуга, соединяю-
соединяющая точку А на L с точкой В на L' и лежащая целиком кроме точек А и В
внутри рассматриваемой ячейки и вне кривых L и L'. Такая дуга всегда
существует.

3 16] СЛУЧАЙ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ОСОБЫХ ТРАЕКТОРИЙ 301
Действительно, соединим какую-либо точку А' на L с точкой В' на V
простой дугой Я, целиком лежащей в рассматриваемой ячейке. Пусть
А —¦ последняя при движении от А' к В' общая точка дуги X с траекто-
траекторией L, & В— первая после точки А общая точка дуги "К с траекторией
L'. Тогда часть АВ дуги Я, удовлетворяет поставленным требованиям
(рис. 179).
Разобьем внутренние точки дуги АВ на два типа. Именно, к первому
типу отнесем те точки, через которые проходят замкнутые траектории,
•содержащие внутри себя траекторию L и не содержащие внутри траек-
траектории L'. Такими точками являются, например, все точки, достаточно
близкие к точке А (см. лемму 14 § 3). Ко второму типу отнесем все осталь-
остальные внутренние точки дуги АВ. Точки второго типа заведомо существуют,
именно, в силу леммы 14 § 3 таки-
такими точками являются все достаточно
близкие к В точки дуги АВ. Очевид-
Очевидно, на дуге АВ должна быть точка С,
в любой окрестности которой лежат
как точки первого типа, так и точки
второго типа. Пользуясь той же лем-
леммой 14 § 3, легко показать (рассуж-
(рассуждением, полностью аналогичным про- Гис.
веденному в теореме 46), что такой
точки С существовать не может. Таким образом, мы приходим к проти-
противоречию и теорема доказана.
Теорема 49. Все точки, лежащие между двумя замкнутыми тра-
траекториями одной ячейки, принадлежат этой ячейке.
Доказательство. Предположим противное, т. е. предполо-
предположим, что между двумя траекториями L и L', принадлежащими одной
и той же ячейке, лежат точки, не принадлежащие этой ячейке, и, сле-
следовательно; хотя бы одна точка, принадлежащая особым элементам. Пусть
М — эта точка, и пусть для определенности траектория L содержит
траекторию L' внутри, так что точка М лежит внутри L и вне L'.
Проведем простую дугу, целиком лежащую в рассматриваемой
ячейке, целиком (кроме концов) лежащую вне L' и внутри L, соединяю-
соединяющую точку А на L с точкой В на L'. В силу леммы 14 § 3 все траектории,
проходящие через точки дуги АВ, достаточно близкие к В, не будут содер-
содержать внутри точку М, а все траектории, проходящие через точки, доста-
достаточно близкие к В, будут содержать точку М внутри.
Проводя, далее, рассуждение, совершеппо аналогичное проведен-
проведенному в теоремах 46 и 48, мы придем к противоречию. Теорема доказана.
Лемма 16. В ячейке, заполненной замкнутыми траекториями,
¦всегда можно указать последовательность траекторий {?;}, в которой
каждая последующая траектория L-L содержит предыоущую L^, и
последовательность траекторий {L'j}, в которой каждая последующая
траектория L'j содержится внутри предыдущей L'^, такие что: какую
бы траекторию L* данной ячейки мы ни взяли, всегда существует траек-
траектория Li последовательности {Lt}, внутри которой лежит эта траекто-
траектория, и всегда существует траектория L] последовательности {Lj}, вне
которой она лежит.
Доказательство. Пусть L — какая-нибудь траектория рас-
рассматриваемой ячейки (очевидно, замкнутая). Вне и внутри такой траек-
траектории заведомо существуют точки особых траекторий. Действительно,
внутри такой траектории заведомо лежит хотя бы одно состояние

302 «ОСОБЫЕ» ТРАЕКТОРИИ И ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. VII
равновесия (см. теорму 16 § 4), а вне нее заведомо лежат точки границы
области G*, в которой рассматривается динамическая система *).
Пусть Pi и Р2 —• точки, принадлежащие особым траекториям,
из которых одна Pt лежит вне, а другая Р2 внутри замкнутой траекто-
траектории Li, и I — простая дуга, соединяющая точки Pt и Р2. Дуга I заведомо
имеет общую точку с траекторией L. Пусть N — такая точка, и пусть
первой граничной точкой рассматриваемой ячейки при движении по дуге I
от точки N к Pt является точка R±, а при движении по дуге I от точки N
к Р2 — точка Л2 (в частности, точка R± может совпадать с точкой Pit
i?2 — с Рг). Таким образом, все отличные от концов точки дуги RiR2
принадлежат ячейке.
Возьмем на этой дуге какую-нибудь последовательность {Мп} точек,
стремящихся к точке Rt. Покажем, что из всякой такой последова-
последовательности всегда можно выделить подпоследовательность {М^.} (kt <ik2 <
< к3, ¦ ¦ • ), обладающую тем свойством, что при kt > kj траектория Lj,
проходящая через точку Ми., содержит внутри себя траекторию Lj,
проходящую через точку Ми-
Действительно, предположим, что из последовательности {Мп} выде-
выделено п точек Mht, Mhz, - • •, Мь , обладающих указанным свойством,
и покажем, что всегда можно выделить rc-j-1-ю точку Mh . Для этого
рассмотрим траекторию Ln, проходящую через точку Mh • Точка Rit
являющаяся точкой границы ячейки и лежащая вне траектории L этой
ячейки, очевидно, лежит также и вне Ln. А тогда вне Ln лежат и все
точки последовательности {Мп} стремящейся к точке i?j, начиная с доста-
достаточно большего номера kn+i > кп.
Траектория Ln+1, проходящая через точку Мип+1, будет содержать
траекторию Ln внутри себя. Таким образом, требуемая последователь-
последовательность точек {Мп} всегда может быть выделена.
Рассмотрим теперь последовательность траекторий, проходящих через
точки Мь.. Покажем, что она и является последовательностью {Li},
существование которой утверждается в лемме. Для этого покажем, что
какую бы траекторию L* ячейки мы ни взяли, всегда найдется траек-
траектория Li последовательности {X,}, содержащая L* внутри.
Действительно, нетрудно видеть (принимая во внимание теоремы 47,
48, 49), что траектория L* заведомо должна иметь общую точку с дугой
RtRz- А тогда в силу такого же рассуждения, как и при построении
последовательности {Li}, все точки Мк., начиная с некоторого достаточно
большого i (i > /), лежат вне L* и, значит, все траектории Lj при i > /
содержат траекторию L* внутри (см. теорему 48).
Совершенно аналогично доказывается существование последователь-
последовательности {L'}. Таким образом, лемма доказана.
Рассмотрим одну из тех двух последовательностей замкнутых
траекторий одной и той же ячейки g, существование которых
доказано в предыдущей лемме, например последовательность {Li}.
Всякая замкнутая траектория этой ячейки лежит, следовательно,
внутри некоторой траектории Li последовательности {L-t} и, следова-
*) В случае динамической системы на сфере рассуждение проводится несколько
иначе. Именно: замкнутая траектория L делит сферу на две односвязные области.
В каждой из этих областей в силу теоремы 16 заведомо должно лежать хотя бы одно
состояние равновесия, т. е. точка особой траектории.

§ 16]
СЛУЧАЙ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ОСОБЫХ ТРАЕКТОРИЙ
303
тельно, внутри всех траекторий этой последовательности с большими
номерами.
Пусть К — континуум, являющийся топологическим пределом после-
последовательности {Lt}.
Лемма 17. Все точки континуума К являются граничными для
ячейки g, и кроме точек континуума К не существует никаких других
граничных точек ячейки g, лежа-
лежащих внутри траекторий этой
ячейки.
Доказательство. Точки
континуума К не принадлежат
ячейке g, так как континуум К ле-
лежит внутри всех траекторий Lt
последовательности {Lt} (см. те-
теорему 49) и, следовательно, в си-
силу свойств этой последователь-
последовательности внутри всех траекторий
ячейки g. С другой стороны, так
Рис. 180.
как каждая точка К является точкой сгущения для точек, принадлежа-
принадлежащих траекториям Li, точки континуума К являются граничными для
ячейки g. Докажем, что всякая граничная точка N ячейки g, лежащая
внутри всех траекторий этой ячейки, принадлежит континууму К.
Возьмем произвольную окрестность точки N — U6 (N) и какую-
нибудь точку Q этой окрестности, принадлежащую рассматриваемой
ячейке. Пусть Я — простая дуга, соединяющая точку Аг с точкой Q
и целиком лежащая в U6 (N). Рассмотрим траекторию L*, проходящую
через точку Q. Все траектории Li с достаточно большими номерами
i (i> J) лежат внутри траектории L*. Так как точка N лежит внутри,
а точка Q вне всех траекторий LL с номерами i > /, то дуга Я, очевидно,
пересекается с каждой из этих траекторий. Следовательно, на дуге Я,
т. е. в ?/б (N), лежат точки всех траекторий L; с номерами i > /. Так как
окрестность U6 (N) может быть взята сколь угодно малой, то это озна-
означает, что точка N принадлежит континууму К. Отсюда и следует спра-
справедливость утверждения леммы.

304 «ОСОБЫЕ» ТРАЕКТОРИИ И ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. VII
Теорема 50. Всякая ячейка, заполненная замкнутыми траекто-
траекториями, двусвязна.
Доказательство. Так как внутри и вне всякой замкнутой
траектории заведомо есть точки, принадлежащие особым элементам,
то ячейка, заполненная замкнутыми траекториями, не менее чем дву-
связна. Покажем, что она и не более чем двусвязна. Пусть {Lt}
и {L'j} — последовательности траекторий, обладающие теми же свойст-
свойствами, что и последовательности траекторий, рассмотренные в лемме 1E.
Пусть К1 — континуум, являющийся топологическим пределом последо-
последовательности {Li}, и К2 —- континуум, являющийся топологическим
пределом последовательности {Li}. В силу предыдущей леммы конти-
континуум Кх состоит из всех граничных точек ячейки g, лежащих внутри,
а континуум Кг из всех граничных точек ячейки g, лежащих вне всех
траекторий этой ячейки. В силу леммы 17 других граничных точек
ячейка g иметь не может. Теорема доказана.
Принимая во внимание лемму 8, нетрудно видеть, что граница ячейки,
заполненной целыми траекториями, либо состоит из целых орбитно-
неустойчивых траекторий, целиком лежащих в области G*, либо является
замкнутой траекторией (орбитно-устойчивой), образующей один из гра-
граничных континуумов области G*, либо является замкнутой траекторией,
состоящей из угловых и граничных дуг (см., например, рис. 180, а, б и в).
При этом имеет место следующая теорема, являющаяся непосред-
непосредственным следствием того факта, что траектории рассматриваемой ячейки
замкнуты, и леммы 11.
Теорема 51. Все особые траектории, входящие в границу ячейки,
заполненной замкнутыми траекториями, могут иметь своими со- и а-
пределъными точками только состояния равновесия.
10. Ячейки, заполненные незамкнутыми траекториями. Имеет место
следующая теорема, доказательство которой, опирающееся на теорему 46
и лемму 11 и полностью ана-
аналогичное доказательству тео-
теоремы 48 и 49, мы опускаем.
Теорема 52. Если
траектории одной и той же
ячейки не замкнуты, то они
имеют одни и те же со- и
одни и те owe а-пределъные
точки (которые между со-
собой, конечно, могут быть
различны).
Пусть теперь незамкну-
Рис" 181" Рис- 182- тая траектория L при f-4-oo
и ?-»—оо стремится к одному
и тому же состоянию равновесия О. В этом случае простую замкнутую
кривую, состоящую из траектории L и состояния равновесия О, мы будем
называть «петлей» и будем говорить, что траектория L «образует петлю».
Если две петли, имеющие общую точку О, ограничивают области, содер-
содержащие одна другую, то мы скажем, что петли вложены друг в друга
(рис. 181); если они ограничивают области, не содержащие одна другую,
то мы скажем, что петли лежат одна вне другой (рис. 182).
Рассмотрим подробнее случай, когда все траектории ячейки обра-
образуют петли.

§ 16] СЛУЧАЙ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ОСОБЫХ ТРАЕКТОРИЙ 305
Теорема 53. Если траектории какой-нибудь ячейки образуют
петли, то все эти петли вложены друг в друга.
Доказательство. Пусть L — какая-нибудь траектория рас-
рассматриваемой ячейки и Q — точка на ней. Покажем сначала, что все
траектории, проходящие через точки достаточно малой окрестности
Uб @> образуют петли, вложенные друг в друга.
Действительно, рассмотрим какую-нибудь траекторию L', проходящую
через окрестность U6 (Q). В силу леммы 15 всегда можно взять 6 > 0
таким, чтобы область Н, граница которой состоит из траекторий L, L'
и их со- и а-предельных точек, целиком лежала в ?/Е (L), где е — какая-
нибудь заданная величина. В рассматриваемом нами случае область Н
ограничена двумя простыми замкнутыми кривыми, именно, двумя пет-
петлями, образованными траекториями L и L'. Если бы эти петли лежали
одна вне другой, то область Н была бы неограниченной и но могла бы
лежать в окрестности Ue (L), что противоречит лемме 15.
Таким образом, все петли, образованные траекториями, проходящими
через точки достаточно малой окрестности точки Q, вложены одна в дру-
другую. А тогда, повторяя рассуждение, полностью аналогичное приведен-
приведенному в теореме 48, нетрудно убедиться в том, что псе петли, состоящие
из траекторий одной и той же ячейки, вложены друг в друга. Теорема
доказана.
В силу леммы 2 граница ячейки, заполненной целыми траекториями,
состоит из целых траекторий, которые либо являются особыми, либо
состоят из особых граничных элементов.
Рассмотрим теперь вопрос о возможной связности ячейки, заполнен-
заполненной незамкнутыми траекториями. Отметим прежде всего, что в рассматри-
рассматриваемом нами случае конечного числа особых траекторий ячейка заведомо
является конечно-связной. Действительно, каждый континуум, гранич-
граничный для ячейки, состоит из особых элементов. Так как по предположению
особых элементов —¦ конечное число, то отсюда, очевидно, следует, что
континуумов, граничных для ячейки, может быть лишь коночное число.
Предположим, что рассматриваемая ячейка п-свя:ша, так что гра-
граница ее состоит из п континуумов К,, . . ., Кп — без общих точек.
Лемма 18. Если траектории данной ячейки не замкнуты, то
на каждом континууме Кг, входящем в состав границы ячейки, лежит
хотя бы одна со- или а-предельная точка траектории ячейки.
Доказательство. Пусть данная ячейка g /г-связна и, сле-
следовательно, граница ее состоит из п континуумов Кх, К2, . . ., Кп.
Тогда существует п простых замкнутых кривых ль л2, ..., я„, обладающих
следующими свойствами (см. дополнение § 4, п. 4):
1. Все кривые л$ целиком лежат в g и не имеют общих точек.
2. Кривые jti, . . ., лп-1 лежат одна вне другой и внутри лп. 3. Вне лп
ость точки границы ячейки g. 4. Внутри каждой кривой л; (i = \, ...
. . ., п — 1) лежит одна и только одна связная часть границы g.
Рассмотрим какую-нибудь кривую л; (г = 1, 2, . . ., п — 1) и лежа-
лежащую внутри нее связную часть границы К,-. Еслп Kt состоит только
из состояний равновесия, то в силу связности К{ и конечности числа
состояний равновесия Kt состоит только из одной точки, эта точка должна
быть о- или а-предельной хотя бы для одной траектории ячейки g. Дей-
Действительно, в противном случае все траектории в некоторой ее окрест-
окрестности были бы замкнуты (см. теорему 18 § 4 и теорему 47 § 16), и она,
очевидно, не могла бы быть граничной для ячейки, заполненной незам-
незамкнутыми траекториями.
20 д. д. Андронов и др.

306
«ОСОКЫЕ» ТРАЕКТОРИИ И ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. VII
Пусть среди точек континуума Kt есть точки, отличные от состояний
равновесия, и пусть Р — одна из них. Проведем через Р дугу без кон-
контакта I, целиком лежащую внутри nt.
Так как Р есть граничная точка ячейки g и так как вес траектории,
проходящие через достаточно малую окрестность точки Р, пересекают I,
то на I найдется последовательность точек ячейки g : Ри Р2, ¦ . •, стре-
стремящихся к точке Р.
Если континуум Kt не содержит ни одной ю- или а- предельной точки
для траектории ячейки g, то таких точек нет и внутри л;-. Тогда
траектория Lj, проходящая при t = х через точку Р^, должна в конце
концов выйти ил внутренней области кривой яг, как при t > т, так и при
t\<C х. При этом траектория Lj не может пересечь / дважды, не выходя
а)
Рис. 183.
во внешнюю часть кривой nit так как в противном случае она либо при
t > т, либо при t < т не выходила бы из впутренней области кривой л;,
и, следовательно, имела бы внутри яг ю- или а-предельную точку, что
противоречит предположению.
Пусть Qj — точка пересечения кривой л; с траекторией Lj, соответ-
соответствующая наименьшему значению t > т. Точки Q} (j = 1, 2, . . .)
имеют хотя бы одну предельную точку Q, лежащую на я?.
Пусть L — траектория, проходящая через Q. Так как по условию
на Кг нет ни одной а>- или а-предельной точки траектории ячейки g,
то можно указать такое е > 0, что е-окрестность траектории L и е-окрест-
ность континуума Кг не имеют общих точек. Но через сколь угодно малую
окрестность точки Q траектории L проходят траектории {именно траек-
траектории Lj с достаточно большим номером j), попадающие внутрь е-окрост-
ности континуума Kt'¦. и, следовательно, выходящие из е-окрестности
траектории L. Следовательно, траектория L орбитно-неустойчива, чего
не может быть, так как траектория L лежит целиком в ячейке g. Мы при-
приходим к противоречию.
Совершенно аналогичное рассуждение прилагается и к границе Кп,
лежащей вне кривой лп, и, таким образом, лемма доказана.
Теорема 54. Ячейка, заполненная незамкнутыми траекториями,
не более чем двусвязна.
Доказательство. Предположим, что ячейка g, заполненная
незамкнутыми траекториями, ?г-связна, где п > 2. Тогда в силу преды-
предыдущей леммы по крайней мере на двух из континуумов Kt, входящих

§ 16] СЛУЧАЙ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ОСОБЫХ ТРАККТОРИЙ 307
в границу этой ячейки, должны лежать ю- или а-продельныо точки траек-
траектории этой ячейки, одни и те же для всех траекторий этой ячейки. Пред-
Предположим для определенности, что на двух граничных континуумах ле-
лежат (о-предельные точки траекторий ячейки. Обозначим через Kw «-пре-
«-предельный континуум траекторий ячейки. Так как все точки континуума
Кы являются граничными для ячейки, то в силу связности он должен це-
целиком принадлежать одному какому-нибудь граничному континууму, что
противоречит сделанному предположению. Таким образом, теорема
доказана.
Рассмотрение простейших примеров показывает, что ячейки, запол-
заполненные незамкнутыми траекториями, могут быть как одпосвязными
(рис. 183, а), так и двусвязными (рис. 183, б).
11. Свойства границы двуевязной ячейки, наполненной незамкнутыми
траекториями.
Лемма 19. Пусть g — деусеязная ячейка, заполненная незамкну-
незамкнутыми траекториями, и К1 и К2 — континуумы, являющиеся граничными
континуумами этой ячейки. Тогда:
а) если U какая-нибудь траектория ячейки g, то множество, состоя-
состоящее из точек этой ячейки, не принадлежащих траектории L', является
односвязной областью g', граница которой состоит из точек контину-
континуумов Ki и К2 и точек траектории L';
б) всякая траектория L", принадлежащая области g', разделяет эту
область на две односвязные области g\ и g"^ и входит в состав границы
обеих областей;
в) всякая траектория L'"', принадлежащая области g"x (gl), разде-
разделяет эту область на две односвязные области и входит в состав границы
обеих областей.
Доказательство. Для доказательства леммы мы построим
сначала некоторую вспомогательную двусвязную область g* (g*cg),
которая определяется ниже, а затем покажем, что область g', определен-
определенная в пункте а), получается из этой области g* удалением точек некото-
некоторой простой дуги, концы которой лежат на граничных континуумах обла-
области g*. Отсюда в силу предложений п. 4 § 3 дополнения будет следовать,
что область g' односвязиа.
Вспомогательная область g* строится следующим образом: пусть Pt
и Р2 — точки траектории L', соответствующие при некотором выбран-
выбранном на L' движении значениям tl и t2 параметра t (tz > tt). Обозначим
через g* множество точек области g, не принадлежащих отрицательной
полутраектории L'p\ и положительной полутраектории L'jfv Множество
g* есть, как нетрудно видеть, открытое множество. Покажем, что g*
есть область, именно покажем, что всякие две точки множества g* могут
быть соединены континуумом, состоящим из точек g*. Для этого заметим
прежде всего, что всякие две точки А и В множества g* могут быть соеди-
соединены простой дугой s, целиком лежащей в области g. При этом можно
считать, без ограничения общности, что дуга s не проходит через точки
Р, и Р2. Если эта простая дуга не имеет общих точек с полутраекториями
Lp'j и Lit,, то она целиком лежит в g* и представляет из себя указанный
континуум. Допустим теперь, что дуга s имеет общие точки хотя бы с одной
из полутраекторий Z/p, или L'p2. Пусть для определенности она имеет
общие точки только с полутраекторией L'fx. Пусть при движении по дуге
s от точки Л к точке В первая се общая точка с полутраскторией Ь'{,Л есть
точка М, а последняя N. Предположим, что часть МА дуги s лежит
7A*

308
«ОСОБЫЕ» ТРАЕКТОРИИ И ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. VII
по отрицательную сторону полутраектории L'Pl, а дуга NB — по поло-
положительную ее сторону (рис. 184).
Рассмотрим какую-нибудь точку R дуги Р^Р^ траектории L'. Пусть
V — дуга без контакта с концом в точке М, лежащая по положительную
сторону траектории L', I" — дуга без контакта с концом в точке N, лежа-
лежащая по отрицательную сторону траектории L', и I — дуга без контакта,
проведенная через точку R, содержащая точку R внутри. При этом пусть
дуги V и I" настолько малы, что кроме точек М и N соответственно они
не имеют уже больше общих точек с траекторией L' и не имеют общих
точек друг с другом.
Относительно дуги I предположим, что все ее точки кроме точки R
принадлежат области g*, что она не имеет общих точек с дугами V и I"
и что с траекторией L' она имеет толь-
только одну общую точку R.
В силу леммы 4 и леммы 5 § 3,
если точка А' дуги AM достаточно близ-
близка к точке М, то траектория La-, про-
проходящая через эту точку, в некоторой
точке М' пересекает дугу Г, а затем при
убывании t пересекает в некоторой
точке R' часть дуги I, лежащую так же,
как и дуга I", по отрицательную сторону
траектории L'. Далее, если точка В'
дуги NB достаточно близка к точке JV,
то траектория Ьв-, проходящая через
точку В' в некоторой точке N ", пересе-
пересекает дугу Г, а затем при убывании t
пересекает часть дуги I, лежащую по
положительную сторону траектории L'
в некоторой точке В". Отметим, что
траектории La- и Lb- заведомо отличны
от траектории L', так как по самому выбору дуг V и I" на них кроме кон-
концов М и N нет больше точек траектории L'. Кроме того, по самому выбору
дуги*7, она не имеет общих точек с полутраекториями L'Pl и L'pz. Рас-
Рассмотрим множество точек, состоящее из части А А' дуги s, дуги A'R'
траектории La-, части R'R" дуги I, дуги R"B' траектории LB- и части
В'В дуги s (рис. 184). Это множество есть континуум, этот континуум
состоит из точек области g и не имеет общих точек с полутраекториями
L'f- и L'p2, следовательно, все его точки принадлежат области g*. В слу-
случае, когда части МА и NB дуги s лежат по одну сторону от полутраекто-
полутраектории L'p\, а также в случае, когда дуга s имеет общие точки с полутраекто-
полутраекторией L'pz или с обеими полутраекториями L'Pl и L'pv, существование
континуума, соединяющего точки А и В и лежащего целиком в области
g*, доказывается аналогично. Отсюда, очевидно, следует, что множество
g* есть область. Пользуясь теоремой 54, а также самим определением
области g*, нетрудно убедиться, что граничными точками g* являются
точки континуумов Kt и К2 и точки полутраекторий L'px и L'j\. Полу-
Полутраектория L'p\ и ее предельные точки, лежащие, предположим, на кон-
континууме Ки образуют континуум *), имеющий общие точки с контину-
континуумом К±. Поэтому множество, состоящее из точек полутраектории L'fx
и точек континуума К,, является континуумом. Обозначим этот конти-
Рис. 184.
*) Так как замыкание связного мпожества есть связпое мпожество.

§ 16]
СЛУЧАЙ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ОСОБЫХ ТРАЕКТОРИЙ
309
нуум через К*. Точно так же множество, состоящее из точек полутраек-
полутраектории Lfi2 и точек континуума К2- также является континуумом, кото-
который мы обозначим через К%.
Континуумы К* и К1 не имеют общих точек, следовательно, грапица
области g* состоит из двух континуумов, т. о. g* есть двусвязная область.
Рассматриваемая в п. а) область g получается из области g* удале-
удалением точек, принадлежащих дуге Р\Р* траектории Ь\. Но эта дуга
является простой дугой, соединяющей две точки граничных континуумов
/?* и К1 двусвязной области g*. А тогда из предложений п. 4 § 3 допол-
дополнения следует, что область g' является одно-
связной областью, что и доказывает утверж-
утверждение а).
Перейдем к доказательству утвержде-
утверждения б). Пусть L" — какая-нибудь траектория
области g, отличная от L', и g" — множе-
множества точек области g', не принадлежащих L ".
Нетрудно видеть, что g" — открытое множе-
множество, граничными точками которого являются
точки, принадлежащие континуумам К1 и К2,
и точки траекторий V и L".
Покажем, что g" распадается на две
области.
Убедимся сначала, что множество g" не
является связным. Для доказательства пред-
предположим противное, именно, предположим,
что g" есть область. Проведем через какую-
нибудь точку Q траектории L " дугу без кон-
контакта I, целиком лежащую в области g' и кро-
кроме точки Q не имеющую больше общих точек
с траекторией L".
Пусть R' и R" — две точки дуги /, лежащие по разные стороны
траектории L" (рис. 185). Так как по предположению g" — область, то
точки R' и R" можно соединить простой дугой К, целиком лежащей
в области g". Будем двигаться по дуге К от точки R' к R", и пусть Р' —
последняя точка дуги X, лежащая на части R'Q дуги I, a P" — первая
точка дуги X, лежащая на части R"Q дуги I. Пусть X' — часть Р'Р" дуги
X. Очевидно, К' является простой дугой, соединяющей точки Р' и Р",
целиком лежит в области g" и не имеет с частью Р'Р" дуги I других
общих точек, кроме своих концов. Но тогда простая дуга %' вместе с ча-
частью Р'Р" дуги / образует простую замкнутую кривую С, целиком лежа-
лежащую в области g'. Эта замкнутая кривая имеет с траекторией L" одну
только общую точку Q, причем в этой точке траектория L" в силу того,
что точка Q есть точка дуги без контакта Р'Р", при возрастании t пере-
переходит из одной области, определенной кривой С, в другую, например
из вне во внутрь кривой С. Но тогда со-предельпые точки траектории L",
принадлежащие континууму Кг, должны лежать внутри кривой С,
а а-предельные точки, принадлежащие континууму KY, вне кривой С.
Таким образом, граничные точки области g' лежат как внутри кривой С,
так и вне ее. Так как Cag', то отсюда следует, что g' — двусвязная
область. Но это противоречит утверждению а). Полученное противоречие
показывает, что множество g" не является областью.
Покажем теперь, что множество g" распадается не более чем на две
области.
Рнс. 185.

310
«ОСОБЫЕ» ТРАЕКТОРИИ И ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. VII
N
Рассмотрим дугу без контакта I, проходящую через какую-нибудь
точку Q траектории L ", целиком лежащую в области g' и кроме точки Q
не имеющую больше общих точек с траекторией L". Обозначим через 1+
и 1~ части дуги I, лежащие соответственно с положительной и отрица-
отрицательной стороны траектории L" (рис. 186). Пусть А — произвольная
точка области g". Соединим А простой дугой К, целиком лежащей в обла-
области g', с какой-нибудь точкой Мо траектории L". Пусть N — первая
точка на дуге АМ0 при движении от точки А к точке Мо, принадлежащая
траектории L "¦
Проводя рассуждение, аналогичное проведенному при доказатель-
доказательстве двусвязности области g*, нетрудно видеть, что точку А можно соеди-
соединить простой дугой, состоящей целиком из точек множества g", либо
с точкой дуги 1+, либо с точкой дуги t~. Отсюда
очевидно, что множество g" состоит из более чем
двух областей. А это и доказывает утверждение б)
полностью.
Доказательство утверждения в) проводится
полностью аналогично доказательству утвержде-
утверждения б), и поэтому мы его опускаем.
Замечание. Если g? и g* — области, на
которые траектория L" разделяет областьg', то все
отличные от точек траектории L " граничные точки
этих областей являются граничными точками об-
области g'. Аналогично если g'^' ngj" или g'^ и g'^'—
области, на которых траектория L"' разделяет об-
область gj или gl, то все отличные от точек траек-
траектории L'" граничные точки этих областей являются
граничными точками области g[ (g|).
Теорема 55. Все точки одного граничного
континуума К± двусвязной ячейки g, заполненной
незамкнутыми траекториями, являются а-пределъными для траекторий
этой ячейки, а все точки другого граничного континуума К2 являются
а-пределъными для траекторий этой ячейки.
Доказательство. Предположим противное, т. е. допустим,
что среди точек континуумов К1 и Кг, являющихся граничными для
рассматриваемой двусвязной ячейки g, есть точки, не являющиеся про-
продельными для траекторий ячейки. Пусть L — какая-нибудь траектория
рассматриваемой ячейки. В силу предыдущей леммы множество точек g,
не принадлежащих траектории L', есть односвязная область. Обозначим,
как и в лемме 19, эту область через g'. Проведем через какую-нибудь
точку Q траектории V дугу без контакта I, целиком лежащую в g л кроме
точки Q не имеющую уже больше ни одной общей точки с траекторией
L'. Возьмем на дуге I точки Р' и Р", расположенные по разные стороны
от точки Q, и соединим эти точки простой дугой s, целиком лежащей
в области g' (рис. 187), так, чтобы часть Р'Р"лугш I и дуга s вместе состав-
составляли простую замкнутую кривую С (см. лемму 19). Кривая С имеет
только одну общую точку с траекторией L'. В точке Q траектория L'
при возрастании t переходит из одной из областей, определенных кривой
С, в другую, предположим, например, что L' переходит из области вне С
в область внутри С. Следовательно, континуум К±, содержащий а-пре-
дельные точки траекторий, будет лежать вне С, а континуум К2, содер-
содержащий (о-предельные точки траектории V, — внутри С. Но тогда, оче-
очевидно, всякая траектория ячейки g должна иметь как точки вне С, так
Рис. 186.

§ 16J
СЛУЧАЙ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ОСОБЫХ ТРАЕКТОРИЙ
311
и точки внутри С и, следовательно, непременно пересечет кривую С Вся-
Всякая траектория//*, в силу предыдущей леммы, разбивает область g' на две
области. Будем эти области обозначать через g\ (L*) и gl {L*). По самому
определению областей g"t (L*) и g (L*) граничными точками этих обла-
областей являются кроме точек континуумов Кг и К2 точки траекторий V
и L*. При этом все точки этих траекторий входят в границу как области
g'l (L*), так и области g\ (L*). Пусть область g[ (L*) лежит по положи-
положительную сторону траектории L', а область g2 (L*) — по отрицательную
сторону траектории L'. Так как по предположению среди точек конти-
континуумов Kt и К2 есть точки, не являющиеся
предельными для траекторий рассматривае-
рассматриваемой ячейки g, то хотя бы у одной из двух
областей g[ (L*), g\ (L*) среди граничш.гх
точек должны существовать точки, отличные
от точек траекторий L', L* и их ю- и а-нре-
дельных точек. Будем обходить кривую С
в отрицательном направлении и будем для
каждой точки этой кривой строить области
g[ (L*) и gl (L*), где L* — траектория, про-
проходящая через данную точку кривой С. Если
мы будем начинать обход от точки Q, то при
этом мы будем сначала проходить точки,
лежащие по положительную сторону траек-
тории L'. Назовем точку кривой С точкой
первого типа, если у области g] (L*) кроме
точек траектории L', L* и их ю- и а-предсль-
ных точек больше уже нет других гранич-
граничных точек; тогда, как указано выше, у соот-
соответствующей области gl (L*) (см. замечание
к предыдущей лемме) заведомо имеются гра-
граничные точки, отличные от точек траекторий
L'', L* и их ю- и а-предельных точек. Точку кривой С назовем точкой
второго типа, если область g[ (L*) среди своих граничных точек имеет
точки, отличные от точек траекторий L*, L' и их ю- и а-предельных точек.
Отметим при этом, что если у области g\ (L*) пет граничных точек, отлич-
отличных от точек траекторий L', L* и их ю- и а-пределышх точек, то у обла-
области gj (L*) непременно должны быть такие граничные точки, т. с. соот-
соответствующая точка кривой С является точкой второго типа.
Покажем, что все достаточно близкие к О точки кривой С, лежащие
по положительную сторону траектории L', являются точками первого
типа. Рассмотрим для этого траекторию L*, пересекающую часть QP'
дуги без контакта /, лежащую по положительную сторону траектории L'
в некоторой точке Q*. Нетрудно показать, что когда точка Q* достаточно
близка к точке Q, всякая точка области g[ (L*) является точкой одной
из траекторий, пересекающих дугу QQ* в отличных от концов Q и Q*
точках. Действительно, обозначим через // область, состоящую из точек
этих траекторий. Пусть точка Q* достаточно близка к точке Q, так что
(см. лемму 15) граница области Н состоит из траекторий L', L* и их
предельных точек. Очевидно, Н ? g[. Допустим, что область g-j (L*)
не совпадает с областью Н, так что существуют точки области g"x (L*).
отличные от точек //. Пусть В—какая-нибудь такая точка (B^g'J^L*),
но ВQ_ П). Соединим эту точку с какой-нибудь точкой А, принадлежащей
Н, а значит, и g"x (L*) дугой >v, целиком лежащей в области g"s (L*).
Рис. 187.

312
«ОСОБЫЕ» ТРАЕКТОРИИ И ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. VII
На дуге X заведомо должны лежать точки, граничные для области Н,
так как В ($• Н, т. е. точки траекторий L', L* или их предельные точки.
Но точки траекторий L', L* и их предельные точки не принадлежат
области gl (L*). Полученное противоречие показывает, что И = g'[ (L*).
А отсюда следует, что все достаточно близкие к точке Q точки части
Р'Р" дуги Z, лежащие по положительную сторону траектории L', являются
точками первого типа. Точки же, лежащие по отрицательную сторону,
в силу той же леммы 15 и в силу сделанного выше замечания, являются
в)
Рис. 188.
точками второго типа. При обходе кривой С в отрицательном направле-
направлении (начиная от точки Q) мы должны от точек первого типа перейти к точ-
точкам второго типа. Следовательно, на кривой С должна быть точка Qo,
являющаяся либо последней точкой первого типа, либо первой точкой
не первого типа и, значит, первой точкой второго типа. Пусть Lo — траек-
траектория, проходящая через точку Qo, g[ (Lo) — соответствующая область.
Предположим сначала, что Qo — точка первого типа, так что область
gl (Lo) среди своих граничных точек не имеет точек, отличных от точек
траекторий L' и Lo и их предельных точек. Но тогда, в силу леммы 15
и принимая во внимание замечание к предыдущей лемме, нетрудно видеть,
что все точки, достаточно близкие к точке Qo, также являются точками
первого типа, что противоречит свойству точки ^0- Следовательно, точка
^0 не может быть точкой первого типа. Аналогичным рассуждением можно
показать, что точка Qo не может быть также точкой второго типа. Таким
образом, мы приходим к противоречию, которое и докалывает теорему.

§ 16] СЛУЧАЙ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ОСОБЫХ ТРАИКТОРИП 313
Приведем еще одну теорему, непосредственно нытекающую из тео-
теорем 48 и 53 и конечности числа особых траекторий.
Теорема 56. Существует только конечное число замкнутых
траекторий, лежащих одна вне другой, и петель, лежащих одна вне
другой.
Примеры односвязных и двусвязных ячеек, заполненных целыми
траекториями, приведены на рис. 188, а, б, в, г.
12. Ячейки, в границу которых входят граничные дуги. Перейдем
теперь к рассмотрению ячеек, среди граничных точек которых есть части
граничных дуг без контакта.
Рассмотрим часть граничной дуги без контакта с концами, принад-
принадлежащими угловым дугам или особым полутраекториям, у которой все
точки кроме концов принадлежат неособым дугам или неособым полу-
полутраекториям. Будем называть такую часть граничной дуги особой со-дугой
или особой а-дугой, в зависимости от того, выходят ли из области G*
все пересекающие ее полутраекторип или дуги траекторий при возра-
возрастании или убывании t.
Если в границу ячейки входит цикл без контакта, все точки которого
принадлежат неособым дугам или неособым полутраекториям, то такой
цикл называется особым со- или ос-циклом.
Используя лемму 3, нетрудно видеть, что если одна точка особой
со- или а-дуги, а также со- или а-цикла является граничной для некото-
некоторой ячейки, то и все точки этой дуги (цикла) являются граничными для
той же ячейки. Кроме того, рассуждением, аналогичным неоднократно
употреблявшемуся, нетрудно доказать следующую теорему:
Теорема 57. а) Если какая-нибудь полутраектория И > (или дуга
траектории) ячейки пересекает некоторую особую а>-(а-)-дугу X, то и все
полутраектории (дуги траекторий) этой ячейки пересекают эту же
дугу Я, в отличных от ее концов точках и кроме дуги X не могут пересекать
больше никакой другой ы-(а-)-дуги.
б) Если какая-нибудь полутраектория (дуга траектории) ячейки
пересекает некоторый особый ы-(а-)-цикл, то и все полутраектории (дуги
траекторий) этой ячейки пересекут этот цикл.
Имеет также место следующая лемма, доказательство которой пол-
полностью аналогично доказательству леммы 18:
Лемма 20. На каждом континууме, граничном для ячейки и не
содержащем точек особой (а-(а-)-дуги или особого цикла, непременно лежат
предельные точки полутраекторип ячейки.
Теорема 58. Ячейка, в границу которой входит со (или а)-дуга,
односвязна.
Доказательство. В случае, когда ячейка заполнена дугами
траекторий, справедливость теоремы непосредственно следует из лем-
леммы 10 § 3.
Рассмотрим ячейку, заполненную полутраекториями, и для определен-
определенности предположим, что в ее границу входит со-дуга (случаи, когда в гра-
границу ячейки входит а-дуга, рассматривается совершенно аналогично).
Предположим противное, т. е. предположим, что такая ячейка не
менее чем двусвязна, т. е. граница ее состоит не менее чем из двух конти-
континуумов Kt и К2- При этом существует простая замкнутая кривая С,
целиком лежащая в рассматриваемой ячейке и содержащая внутри себя
один из континуумов, например континуум Кг. Предположим для опре-
определенности, что точки со-дуги %., входящей в границу рассматриваемой

314
«ОСОБЫЕ» ТРАЕКТОРИИ И ЯЧЕЙКИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ [ГЛ. VII
ячейки, принадлежат континууму Kt. Пусть А и В — концы дуги X,
являющиеся точками угловых дуг или особых полутраекторий. Возьмем
на дуге X последовательность различных точек {Pj}, стремящихся к одно-
одному из концов дуги X, например к концу Л. Пусть L1^ — полутраектория
с концом в точке /V Очевидно, всякие две полутраектории Z4' и L)'
при i ^ф ] различны.
Так как на континууме К2 заведомо есть предельные точки полу-
траектории ячейки, то всякая полутраектория Lt при возрастании t
в конце концов войдет внутрь кривой С и больше уже из нее не выйдет.
Пусть Qi — последняя при возрастании t общая точка кривой С и траек-
траектории L} Мы получаем, таким обра-
образом, последовательность различных то-
точек {Qt}.
Пусть Qo — точка сгущения этой
последовательности и Lo — траектория,
проходящая через эту точку. Так как
эта точка Qo, как и все точки кривой С,
а)
Рис. 189.
Рис 190.
принадлежат ячейке, то траектория Ln заведомо пересекает особую со-
соду гу X в некоторой отличной от концов точке Р(, этой дуги.
Возьмем часть X' дуги X с серединой в точке Ро, все точки которой
находятся на некотором расстоянии d > 0 от конца А душ ?.. Все полу-
полутраектории L\\ проходящие через точки(?,-,достаточно близкие к точке
Qo, т. с. через все точки Ot с достаточно большим номером, пересекут
дугу К в точках части "к' этой дуги. Но кроме точек Pt у полутраокторнн
L\' не может быть других общих точек с дугой X. А следовательно, isce
точки Pt с достаточно большими номерами лежат на дуге К' и, значит,
находятся на расстоянии, не меньшем d от конца А дуги X. Но это про-
противоречит самому выбору последовательности точек Pt. Мы приходим
к противоречию, и теорема доказана.
На рис. 189, аи б представлены различные случаи одиоевя:шых ячеек,
в границу которых входит со-дуга.
Доказательство следующей теоремы проводится аналогичными рас-
рассуждениями, и поэтому мы его опускаем.
Теорема 59. Ячейка, в границу которой входит особый со (а)-
цикл, двусвязна.
Пример такой ячейки представлен на рис. 190.

§ 16] СЛУЧАЙ КОНЕЧНОГО ЧИСЛА ОСОБЫХ ТРАЕКТОРИЙ 315
13. Полное качественное исследование динамической системы. Схема
динамической системы. Доказанные в настоящем параграфе предложения
делают очевидной ту роль, которую играют особые траектории в разбие-
разбиении на траектории в целом: особые траектории разделяют область G*,
в которой рассматривается динамическая система, на частичные обла-
области — ячейки с одинаковым (в смысле теорем 47, 48, 49, 52, 53 и 57)
поведением траекторий.
Если известно взаимное расположение ячеек и характер их разбие-
разбиения на траектории, то естественно считать, что топологическая струк-
структура разбиения на траектории установлена полностью.
Очевидно, при этом должно быть известно расположение особых
траекторий и, кроме того, относительно траекторий внутри каждой
ячейки должно быть известно, замкнуты они или пет. В случае, когда
они не замкнуты, кроме того, должно быть известно их поведение, в част-
частности, их предельные точки.
Однако к вопросу о полном определении топологической структуры
разбиения на траектории можно также подойти с несколько другой точки
зрения, непосредственно не опираясь на рассмотрение ячеек.
Естественно полагать, что знание характера (топологической струк-
структуры) всех состояний равновесия, знание взаимного расположения осо-
особых траекторий, а также указание среди особых траекторий тех, которые
входят в предельные континуумы, также дает исчерпывающие сведения
о топологической структуре разбиения на траектории (и, следовательно,
может полностью определить и разделение на ячейки).
В таком аспекте проводится в следующих главах рассмотрение воп-
вопроса о полном определении топологической структуры разбиения на траек-
траектории. Такой аспект, когда основными элементами, которыми непосред-
непосредственно определяется качественная структура, являются: характер
состояний равновесия и знание предельных континуумов (а не располо-
расположение и характер ячеек), представляется естественным также с точки
зрения фактического качественного исследования конкретных примеров
(см. исследование примеров главы XII).
Однако, при этом необходимо уточнить, что означает «знать характер
состояния равновесия и взаимного расположения особых траекторий»
и т. д.
Очевидно, при этом подразумевается, что дается некоторое описание
характера состояний равновесия, описание расположения особых траек-
траекторий и описание предельных континуумов.
Мы назовем такое описание схемой.
В следующих главах вводится сначала понятие схемы состояния
равновесия (локальной и полной), затем схемы предельного континуума
(локальной и полной), схемы границы области п, наконец, состоящей
из этих частичных схем — схемы динамической системы.
В главе XI будет показано, что схема динамической системы опре-
определяет топологическую структуру разбиения на траектории полностью,
т. е. если у двух динамических систем схемы одинаковы, то у них одина-
одинакова и топологическая структура разбиений на траектории.

ГЛАВА VIII
СХЕМА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ
Введение
В настоящей главе рассматривается окрестность состояния равно-
равновесия системы вида (I) при предположении, что число особых траекторий
конечно. В главе IV мы рассматривали простое состояние равновесия
системы (I), т. е. такое, для которого Д ф 0. Таким образом, там
мы делали определенное предположение, носящее аналитический ха-
характер.
В настоящей главе не делается никаких конкретных предположений
относительно аналитической природы рассматриваемого состояния равно-
равновесия и не дается никаких методов установления характера состояния рав-
равновесия по его аналитическим характеристикам. Цель, которую мы сей-
сейчас себе ставим,— это установить, какая вообще возможна топологиче-
топологическая структура состояния равновесия системы (I) в случае, когда число
особых траекторий конечно.
Кроме того, в настоящей главе дается описание топологической
структуры состояния равновесия, т. е. вводится схема состояния равно-
равновесия .
Глава состоит из четырех параграфов. В § 17 проводится рассмотре-
рассмотрение окрестности состояния равновесия, к которому стремится хотя бы
одна полутраектория. Устанавливается, что окрестность такого состоя-
состояния равновесия может быть разделена на области трех различных типов:
правильные параболические, эллиптические и гиперболические области.
Параболические, эллиптические и гиперболические области, а также
элементарный прямоугольник (см. § 3) называются «элементарными
областями». § 18 посвящен доказательству того, что между всякими
двумя элементарными областями одинакового типа может быть уста-
установлено отображение, переводящее траектории в траектории (этот факт
геометрически является совершенно наглядным).
В § 19 вводится понятие схемы состояния равновесия, к которому
стремится хотя бы одна по л у траектория, сначала локальной схемы,
а затем полной (или «глобальною)) схемы. В локальной схеме исполь-
используются лишь сведения, полученные о состоянии равновесия при непосред-
непосредственном рассмотрении только достаточно малой окрестности этого
состояния равновесия. Как мы увидим, для написания полной схемы
необходимы уже некоторые сведения о расположении сепаратрис других
состояний равновесия, т. е. необходимы уже не только сведения, полу-
полученные из рассмотрения окрестности данного состояния равновесия,
но также некоторые сведения о расположении особых траекторий
(сепаратрис) в целом.

§ 17] СОСТ. РАВНОВЕСИЯ, К КОТОРОМУ СТРЕМИТСЯ ПОЛУТРАЕКТОРИЯ
317
§ 17. Состояние равновесия, к которому стремится
хотя бы одна полутраектория
1. Вспомогательные предложения. Предположим, что к рассматри-
рассматриваемому состоянию равновесия системы (I) стремится бесконечное или
конечное число полутраекторий, но во всяком случае не меньшее пеко-
торого данного числа N* > 2. Рассмотрим N (N ^.N*) из этих полу-
полутраекторий
l\\ i4\ ..., zV (i)
(они могут быть как положительными, так и отрицательными, как орбитно-
устойчивыми, так и орбитно-неустойчивыми).
Рассмотрим простую замкнутую кривую С, гладкую или негладкую,
содержащую точку О внутри и такую, что у всех полутраекторий A)
есть точки, общие с кривой С.
Пусть Mj, Mz, . . ., MN — послед-
последние общие точки этих полутраекторий
с кривой С (см. главу VII, § 15).
Напомним, что если на какой-либо
простой замкнутой кривой С взяты две
точки А и В, то «дугой А В» кривой С
мы называем ту из двух дуг, на которой
движение от точки А к точке В инду-
индуцирует положительное направление об-
обхода кривой С (§ 10, п. 2). Пусть при
положительном обходе кривой С точки
Mt располагаются на этой кривой в по-
порядке их нумерации, так что точки М^,
Mh+i (к = 1, 2, . . ., N, причем под
точкой MN+l мы понимаем точку Mt)
являются «последовательными» точка-
точками, т. е. на каждой из дуг MhMh+i нет
точек Mj, отличных от концов этой
дуги. Очевидно, при N > 3 на дуге 1
хотя бы одна точка Mj, отличная от концов этой дуги.
Порядок, в котором проходятся точки Mi при положительном об-
обходе кривой С, называется циклическим порядком этих точек на
кривой С.
Обозначим через sh дугу MhMk+i кривой С. Пусть gk — криволи-
криволинейный сектор (см. § 15, п. 5), в границу которого входит дуга sk и части
MhO и Mh+1O полутраекторий LV и Ll^jrl, a ah — простая замкнутая
кривая, состоящая из дуги s^, полутраекторий Mjfl, Mk+1O и точки О,
являющаяся границей g^ (рис. 191).
Пусть С — простая замкнутая кривая (гладкая или негладкая),
отличная от кривой С, содержащая так же, как и кривая С, точку О
внутри и такая, что у всех полу траекторий V)? есть точки, лежащие вне
ее. Будем обозначать через Mk последнюю общую с кривой С точку полу-
полутраектории Llk (рис. 192).
Лемма 1 *). Циклический порядок точек Mj на кривой С та-
такое же, как и циклический порядок точек Mj на кривой С (т. е. если
Рис. 191.
lMh заведомо будет лежать
*) Без ущерба для дальнейшего читатель может пропустить доказательство
этой геометрически очевидной леммы.

318
СХЕМА1СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ
[ГЛ. VIII
( J
при положительном обходе кривой С точки Mj расположены в порядке
Mi, М2, . - -, Мк, то при положительном обходе кривой С точки Mj распола-
располагаются в порядке Ми Мг, . . ., MN).
Доказательство. Для доказательства леммы достаточно
показать, что на каждой из дуг Mj,Mk+i кроме концов не лежит больше
ни одной точки Mj.
Рассмотрим какие-нибудь две точки Mk и Mh+\ и соответственно Mh
и Mk+1. Обозначим через sk дугу MkMk+i кривой С и через gk область
(сектор) внутри простой замкнутой кривой oh, состоящей из дуги sj,
частейMhO и Mk + 1O полутраекторий L" и Lu+i и точки О *). Область gk
является частью области внутри кривой Ck. По самому определению
области gk и кривой oh направление
на дуге sh от точки Mk к Mk+X инду-
индуцирует положительное направление
обхода кривой Ok (см. дополнение
§ 2, п. 3).
Построим вспомогательную про-
простую дугу, основываясь на следую-
следующем элементарном свойстве простой
замкнутой кривой (см. дополнение,
§ 2, п. 2): если R — любая точка
простой замкну той кривой у0 и е >
> 0 — любое положительное число,
то существует 6 (е) > 0 такое, что
всякие две точки Р' и Q' кривой у0,
принадлежащие окрестности U(,(R),
могут быть соединены простои ду-
дугой, целиком кроме концов лежащей
внутри кривой Yo> все точки которой
принадлежат Ue (R). Отметим теперь,
что все достаточно близкие к точке О
точки полутраекторий L'h и Lh+i
одновременно принадлежат и кривой о& и кривой о^ (о^ и сг^ являются
соответственно границами областей g^ и gk). Поэтому всегда можно взять
столь малое е0 > 0, чтобы в окрестности Uе (О), кроме точек полутраек-
полутраекторий L" и Llk+i, принадлежащих одновременно обеим кривым ah и Gk,
не лежало больше никаких других точек этих полутраекторий, а также
не лежало точек кривых С ж С. При выбранном, таким образом, е0 > О
возьмем, в согласии со сказанным выше, надлежащую, достаточно малую
и целиком лежащую в Ue (О) окрестность U6 (О) (S (е0) <С е0) (рис. 192).
Возьмем точки M'h и Mh+i, принадлежащие соответственно полутраек-
полутраекториям JJk hLJj'j-i и лежащие внутри G6 (О). Соединим зти точки, являю-
являющиеся точками простой замкнутой кривой Gk, простой дугой К, целиком
кроме концов лежащей в области gh и внутри UЕ (О).
В силу выбора е0 и S точки M'h и M'h+i принадлежат одновременно
кривой Gk и кривой 0Й, и на дуге "К кроме концов не может лежать больше
НИ ОДНОЙ ТОЧКИ КрИВОЙ Ok-
*) Очевидно, пока еще нельзя утверждать, что в области gk нет точек ни одной
из полутраекторий Mfi.
Рис 192.

§ 17] СОСТ. РАВНОВЕСИЯ, К КОТОРОМУ СТРЕМИТСЯ ПОЛУТРАЕКТОРИЯ 319
Отсюда, очевидно, следует, что дуга % лежит либо целиком кроме
концов внутри кривой ак, т. е. в gk, либо целиком вне кривой ак
(на рис. 192 указаны две возможности расположения дуги к).
Покажем, что дуга К, целиком кроме концов лежащая в области gk,
лежит целиком (кроме концов) также и в области gk. Для этого заметим
прежде всего, что при положительном обходе кривой ак точки М' к, М к + 1,
M'h, M'h+i и О проходятся в следующем порядке: Mh, Мк+и M'h+U О,
Мк, Mh.
Дуга ?-, целиком (кроме концов) лежащая в области gh, делит ;>ту
область на две области, границами которых являются простые замкну-
замкнутые кривые, имеющие дугу 7. общей дугой. Обозначим через о'к ту из этих
кривых, в границу которой входит точка О, и через g)c — область, являю-
являющуюся частью области gk, границей которой является кривая о'к (дуга sk
кривой ак заведомо пе является дугой кривой о'к). Принимая во внимание
порядок, в котором при положительном обходе кривой ак проходятся
точки Мк, Mh+l, M'h, M'h+l, О, нетрудно видеть на основании лемм п. 3
§ 2 дополнения, что при положительном обходе кривой а'к точки М'к,
M'k+i и О проходятся в следующем порядке: М'к, М'к+и О, M'h.
Предположим теперь, что дуга Я, кроме концов лежит вне области
gk. Кривая а'к, очевидно, имеет с кривой ок общую дугу, состоящую из ча-
частей M'hO и M'k+iO полутраекторий Ьку и L'k+i- Направление на этой дуге,
противоположное направлению, индуцированному положительным обхо-
обходом кривой о'к, т. е. направление М'кОМ'к+1 в силу лемм п. 3 § 2 допол-
дополнения должно индуцировать положительный обход кривой ок. Тогда
при положительном обходе кривой ак на дуге slc должно было бы инду-
индуцироваться направление от точки Mk+l к точке Мк. Но положительный
обход кривой Gk должен индуцировать на дуге sk то же направление, что
и положительный обход кривой С, т. е. направление от точки Мк к точке
Mk+i. Мы приходим к противоречию, и, следовательно, дуга /, лежит
целиком кроме концов также и внутри области gh.
Отсюда сразу же вытекает утверждение леммы. Действительно,
на Дуге MhMh+i кривой С кроме концов не лежит ни одной точки Mj;
а в области gk не лежат точки ни одной из полутраекторий Mfi. Значит,
ни одна отличная от концов точка дуги 7„ не может быть точкой такой
полутраектории. Но если бы на дуге МкМкх.у лежала точка Mj, отлич-
отличная от концов Мк и Mk+1, то тогда в области gk должна была бы лежать
полутраектория М}- О, а точки этой полутраектории непременно должны
были бы лежать на дуге Я, так как иначе, как нетрудно видеть, она не
могла бы, не выходя из кривой С, стремиться к состоянию равнове-
равновесия О. В силу предыдущего это невозможно, и таким образом лемма
доказана.
Замечание. Дуга "к, лежащая целиком (кроме концов) одновре-
одновременно и к области gh и в области gh, отделяет в каждой из этих областей
одну и ту же, общую для этих двух областей область g'k.
Очевидно, всегда можно взять е > 0 таким, чтобы в Uг (О) кроме
принадлежащих области gk точек областей gk и gk больше не было никаких
других точек этих областей. Таким образом, при достаточно малом е > О
все точки области gk, лежащие в Ue (О), принадлежат области gk, и все
точки области gk, лежащие в Uе (О), принадлежат gk (рис. 193).

320
СХЕМА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ
[ГЛ. .VIII
Рис. 193.
В силу доказанной леммы мы имеем возможность говорить о цик-
циклическом порядке расположения вокруг точки О самих полутраек-
полутраекторий системы (I). Именно, мы приписываем этим полутраекториям тот
циклический порядок, в котором расположены на некоторой прос-
простой замкнутой кривой С (содержащей точку О, внутри и вне которой
заведомо есть точки рассматриваемых полутраекторий) последние об-
общие точки этих полутраекторий С с
кривой С.
В самом деле, мы установили, что
этот порядок не зависит от выбора обла-
обладающей указанными выше свойствами
кривой С, т. е. определяется самими
траекториями.
Мы будем говорить, что две полу-
полутраектории Lj' и Ь\? системы A) после-
последовательны, если последовательны соот-
соответствующие им на кривой С точки Mj
и Mk, т. е. если дуга Mj Mh не содер-
содержит других точек Mt. Из двух после-
последовательных полутраекторий одна пред-
предшествует другой. Например, Lp предше-
предшествует Llk (тогда на дуге Mj Mk кривой
С нет других точек Мt). Если полутраек-
полутраектория L*1' стремится к точке О и имеет
точки вне С (L*n отлична от полутраекторий Ly и Llk\ но может как быть.
так и не быть одной из полутраекторий Ь\у), то мы говорим, что полу-
полутраектория L*1 лежит между полутраекториями ЬУ и L'h' (порядок здесь,
очевидно, не безразличен), если последняя, общая с кривой С точка полу-
полутраектории L*1' лежит на дуге Mj Mk. Наконец, мы
будем говорить, что траектория или полутраектория,
целиком лежащая внутри С, лежит между полу-
полутраекториями L\' и Ьи\ если она лежит внутри сек-
сектора h, граница которого состоит из полутраекторий
Mj О, MhO, точки О и дуги Mj Mh кривой С.
Мы предполагали выше, что число рассматри-
рассматриваемых нами полутраекторий, стремящихся к состоя-
состоянию равновесия О, не менее двух. В дальнейшем мы
иногда будем рассматривать одну стремящуюся к со-
состоянию равновесия полутраекторию. Пусть U' — та-
такая стремящаяся к состоянию равновесия полутраек-
полутраектория, С — простая замкнутая кривая, содержащая
состояние равновесия О внутри и такая, что вге ее
лежат точки полутраектории U'. Пусть М — послед-
последняя общая точка полутраектории Ln и кривой С. Тогда область, состоя-
состоящую из точек, лежащих внутри С, за вычетом точек полутраектории
МО и точки О, мы будем называть криволинейным циклическим сектором.
Границей этой области является кривая С, полутраектория МО и точка
О (рис. 194).
Если О — состояние равновесия, к которому стремится хотя бы одна
полутраектория, то существует окрестность точки О, не содержащая
ни одной замкнутой траектории (см. теорему 18). Так как, кроме того,
по предположению число особых траекторий конечно, то всегда суще-
существует е0 > 0 такое, что в замкнутой окрестности ?/ео (О) не лежит ни од-
Рис.

§ 17] СОСТ. РАВНОВЕСИЯ, К КОТОРОМУ СТРЕМИТСЯ ПОЛУТРАЕКТОРИЯ 321
ной замкнутой траектории и ни одной особой траектории целиком кроме
состояния равновесия О.
Лемма 2. Если все точки траектории L, соответствующие зна-
значениям t > t0 (/ < t0), лежат в замкнутой окрестности Uen (О), не содер-
содержащей ни одной замкнутой траектории и кроме состояния равновесия О
ни одной особой траектории целиком, то траектория L при f—v-j-схэ
(?->—оо) стремится к состоянию равновесия О.
Доказательство. По условию рассматриваемая полутраек-
полутраектория лежит в UEo (О). Поэтому все ее ш (а)-пределыше точки должны
лежать в С/Ео (О). Так как в силу выбора е0 L не может быть замкнутой
траекторией, то множество ее со (а)-предельных точек состоит из целых
орбитно-неустойчивых траекторий, расположенных в UEn (О), т. е. состоит
из одного состояния равновесия О. А это и значит, что полутраектория
стремится к состоянию равновесия О. Лемма доказана.
Рассмотрим сепаратрисы состояния равновесия О (см. § 15). Вслед-
Вследствие предположения о конечном числе орбитно-неустойчивых траекто-
траекторий у рассматриваемой системы (I), очевидно, существует лишь конечное
число сепаратрис всякого данного состояния равновесия О. При этом
имеет место следующая теорема, непосредственно вытекающая из пред-
предположения о конечном числе особых траекторий и леммы 5 § 15.
Теорема 60. Всякая ш (или а)-сепаратриса состояния равновесия
О имеет продолжение либо с положительной, либо с отрицательной сто-
стороны (либо и с той и с другой стороны).
Доказательство. Пусть, как и выше, е0 > 0 таково, что
в замкнутой окрестности Uго (О) ?ie содержится ни одной замкнутой
траектории и кроме состояния равновесия О ни одной целой особой траек-
траектории. Пусть для определенности рассматриваемая сепаратриса является
to-сепаратрисой. Обозначим ее через L*. Она заведомо продолжаема,
по крайней мере с одной из сторон, например с положительной стороны,
относительно некоторой окружности С (см. теорему 38 § 15). Мы всегда
можем предполагать, что эта окружность С лежит целиком в Ueo (О).
Пусть С — произвольная окружность с центром в точке О, лежащая
внутри С. Если бы продолжение сепаратрисы L* по отношению к окруж-
окружности С было отлично от ее продолжения по отношению к окружности С,
то в силу леммы 5 § 15 должна была бы существовать особая траектория,
не являющаяся состоянием равновесия, целиком лежащая внутри окруж-
окружности С, т. е. внутри UEo (О). Но в силу выбора ?/Ео (О) г>то невозможно.
Следовательно, продолжение сепаратрисы L* с положительной стороны
по отношению ко всем окружностям с центром в О, лежащим в UEo (О),
одно и то же. Это и означает, что полутраектория L* продолжаема отно-
относительно состояния равновесия О с положительной стороны (см. опреде-
определение XX главы VII).
Теорема доказана.
Пусть С — окружность с центром в точке О радиуса, меньшего е0
(т. е. лежащая в открытой окрестности t/en (О)). Рассмотрим какую-нибудь
траекторию, проходящую через точки внутри этой окружности.
Очевидно, могут представиться следующие возможности: эта траек-
траектория 1) либо и при возрастании и при убывании t выходит из окружно-
окружности С; 2) либо и при возрастании и при убывании t не выходит из окруж-
окружности С (но может иметь общие с окружностью С точки); 3) либо при
возрастании (убывании) / не выходит из окружности С, а при убывании
(возрастарши) t в конце концов выходит из нее.
21 А. А. Андропов и др.

322
СХКМА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ
[гл. viii
В силу леммы 2 в случае 2) траектория, не выходя из окружности С,
и при f—*--|-оо и при t—>—оо стремится к состоянию равновесия О, а в слу-
случае 3) траектория стремится к состоянию равновесия при ?—>--• оо (или
соответственно при t—>—оо).
Отметим еще, что если траектория, проходящая через точку внутри
окружности С, является сепаратрисой состояния равновесия б, то она
непременно имеет точки вне окружности С. Это, очевидно, следует из
того, что окружность С но предположению лежит в выбранной выше
окрестности UEo@).
2. Возможный характер криволинейного сектора. Гиперболический
(седловый), параболический и эллиптический сектор. Предложения,
Которые приводятся в настоящем пункте, позволяют провести исчер-
исчерпывающее рассмотрение возможного поведершя траекторий в секторе,
образованном траекториями, стремящимися к состоянию равновесия.
Пусть существуют две полутраек-
полутраектории L*( 'и ?*°, стремящиеся к со-
состоянию равновесия О и имеющие
точки вне окружности С (эти полу-
полутраекторин могут быть как неособы-
неособыми, так и особыми).
Пусть Мх и Мо — их последние
L*(} общие точки с окружностью С, и
g — криволинейный сектор, граница
которого состоит из частей ОМ { и
ОМz полутраекторин
и /Лс
точ-
точки О и дуги М^М* окружности С.
Лемма 3. Пусть при любом
е > 0 существует точка криволиней-
криволинейного сектора g, лежащая в Ur (О),
через которую проходит траектория,
при возрастании и при убывании
t выходящая из сектора g.
Тогда существует по крайней
Рнс. 19.). мере одна ы-сепаратриса и по крайней
мере одна а-сепаратриса состояния
равновесия О, каждая из которых является полутраекторией, либо лежа-
лежащей между полутраекториями L*n и Цп, либо совпадающей с одной и.<
этих полутраекторий.
Доказательство. В силу условий леммы существует после-
последовательность точек сектора g {Лг,}, стремящихся к точке О и таких, что
проходящая при t t0 через каждую из точек Nt (i — 1, 2, . . .) траек-
траектория Li как при t < tn, так и при t > t0 выходит из окружности С
(рнс. 195).
Обозначим через Р, оби;ую точку траектории L; с окружностью С.
соответствующую наименьшему значению t < ta. и через О, — общую
точку L, с окружностью С, соответствующую наибольшему значению
/ > tD. Пусть ti (ti < ^о) значение параметра t, соответствующео точке
Р,, a t\ (t't > to) — значение параметра t, соответствующее точке О-,.
Очевидно, точки Рг и Qt лежат на дуге М,М2 кривой С и заведомо раз-
различны (иначе траектория L, была бы замкнутой траекторией, целиком
лежащей в окружности ?/«,„ (О), что невозможно).

§ 17] СОСТ. РАВНОВЕСИЯ, К КОТОРОМУ СТРЕМИТСЯ ПОЛУТРАЕКТОРИЯ 323
Дуги PtNiQi траекторий Lt (рис. 195) целиком кроме концов лежат
в области g. При этом мы всегда можем предполагать, что все дуги PtN;(?;
различны, т. е. другими словами, что на каждой дуге PtNjQt кроме точки
Ni не лежит больше точек Nj с номерами /' =^ i. Действительно, каждая
дуга PiQt траектории находится на положительном расстоянии от точки
О, и поэтому на ней может лежать самое большее лить конечное число
точек Nj. Но тогда мы можем взять такую подпоследовательность точек
Nj, чтобы на каждой дуге PtQt лежала только одна точка Nj.
Рассмотрим последовательность точек Pt и последовательность точек
Qi. Мы всегда можем предполагать, что каждая из этих последователь-
последовательностей имеет одну точку сгущения (в противном случае мы рассмотрели
бы подпоследовательность дуг PtQt, для которой это имеет место). Пусть
Р — точка сгущения последовательности точек Pt и Q — точка сгущения
последовательности точек (?;.
Очевидно, точки Р и Q лежат на дуге MYM2 окружности С. Пусть L
и ?' — траектории, проходящие соответствешю через точки Р и Q,
и L'q и L% — полутраектории, выделенные из этих траекторий.
Покажем, что эти полутраектории являются сепаратрисами точки О,
существование которых утверждается в лемме. Для этого покажем сна-
сначала, что при i—>-оо \t0 — ti | —v с» и | t0— fij—»-oo. Действительно, пред-
предположим, что это не так и что существует Т > 0 такое, что при всех i
\U-to\<T. B)
Предположим, что на полутраектории L\> выбрано движение, при
котором точке Р соответствует значение t = т, и рассмотрим дугу этой
полутраектории, соответствующую значениям t, х ^.t^.x + Т. Эта дуга
лежит на ненулевом расстоянии d0 от точки О. Возьмем на каждой траек-
траектории Li движение, при котором точке Рг соответствует значение t = т,
и рассмотрим дуги этих траекторий, соответствующие значениям t,
x^.t-^.x + Т. Из неравенства B) следует, что точки Ni лежат на этих
дугах. Так как точка Р является точкой сгущения для точек Pi, то,
выбрав е < -~, всегда можно взять столь большое /, чтобы при всех г>/
дуги траекторий L;, соответствующие значениям t, x^.t^.r'rT,
а значит, и точки Nt лежали в -^- окрестности дуги полутраектории L%,
соответствующей тем же значениям t. Л тогда точки N -L при всех i > /
должны были бы лежать вне-^ окрестности точки О, что, очевидно, невоз-
невозможно. Следовательно, \tt — to\ —voo при i-^-oo. Совершенно также пока-
покажем, что \t'i — tо | -v оо при i-voo.
Покажем теперь, что у полутраектории L+v нет точек, лежащих вне
окружности С, и что, следовательно, эта полутраоктория, не выходя
из С, стремится к состоянию равновесия О. Действительно, предположим,*
что существует точка полутраектории LJ>, соответствующая значению
t' > т, лежащая вне окружности С. Нетрудно видеть тогда, что если
на каждой траектории L; выбрать движение, при котором точка Pt соот-
соответствует значению t = т, то при достаточно больших i точка траектории
Lt, соответствующая значению t = t', тоже будет лежать вне окружно-
окружности С. Но это невозможно, так как в силу предыдущего при всех достаточ-
достаточно больших i мы имеем V — т < tt — t0, а при сделанном выборе движе-
движения на Lt все отличные от Рг точки зтой траектории, соответствующие
значениям t, х < t < т + (t; — t0), т. е. точки дуги PtNL, лежат внутри
окружности С. Таким образом, полутраектория L\. не выходит из окруж-
21*

324 СХЕМА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. VIII
ности С, а значит, из замкнутого сектора g и, следовательно, стремится
к состояршю равновесия О. Покажем теперь, что полутраектория /,J,
орбитно-неустойчива.
Пусть t' > т таково, что при всех t > t' у полутраекторий /,р пет
общих точек с окружностью С. (Отметим, что последняя общая точка
полутраектории Lp с окружностью С может быть отлична от точки Р,
так как полутраектория Lp не имеет точек вне окружности С, но может
иметь общие точки с окружностью С (рис. 195).) Пусть Р' — точка этой
полутраектории, соответствующая значению ?=?'. Очевидно, существует
е > 0 такое, что е-окрестность части Р'О полутраектории Lp не имеет
общих точек с окружностью С. Но сколько бы малую с-окрестность
(о > 0, с < е) точки Р' мы ни взяли, все траектории Lt, проходящие
при t = т через точки Рг с достаточно большими номерами при значении
t = t', пройдут через 0-окрестность точки Р'. При дальнейшем возра-
возрастании t эти траектории непременно выйдут из е-окрестности части Р'О
полутраектории Lp. Действительно, точка Qt каждой траектории L-,
принадлежит кривой С и лежит вне е-окрестности части Р'О полутраек-
полутраектории Ьр. А при сделанном выборе движения на траектории Lt точка <7;
соответствует значению Тг = г -\- (t\ — tt), которое заведомо больше t'
для всех достаточно больших значений i. Это, очевидно, и означает, что
полутраектория Lp орбитно-неустойчива.
Совершенно аналогичное рассуждение может быть проведено и при
рассмотрении полутраектории L'q. Лемма доказана.
Замечание 1. Последние, общие с окружностью С точки полу-
полутраектории Lp и L'q, очевидно, различны.
Замечание 2. Сепаратрисы L'q и Lp+ являются продолжением
одна другой. В этом нетрудно убедиться, повторяя рассуждение, прове-
проведенное при доказательстве леммы 3.
В случае, когда полутраектории Z*'' и L*(' — сепаратрисы, являю-
являющиеся продолжением одна другой, и через сколь угодно близкие к О точки
сектора проходят траектории, при возрастании и при убывании t выходя-
выходящие из сектора g, этот сектор называется «гиперболическим» или «седло-
вым» сектором.
В следующей лемме полутраектории L*n, L\u, точки Мг и М2
и сектор g имеют тот же смысл, что и выше.
Лемма 4. Пусть между полутраекториями L*(' и L*(' не лежит
ни одной сепаратрисы точки О, но лежит некоторая полутраектория Z/ \
стремящаяся к состоянию равновесия О.
Тогда существует такое е > 0, что ни через одну точку криволиней-
криволинейного сектора g, принадлежащего окрестности UE (О), не проходит ни одна
траектория, и при возрастании и при убывании t выходящая из области g.
Доказательство. Мы всегда можем предполагать, что у полу-
полутраектории L", которая по условию леммы проходит через точки обла-
области g, есть точки, лежащие вне окружности С (в противном случае мы
взяли "бы окружность С с центром в точке О радиуса меньшего, чем С,
вне которой заведомо лежат точки этой полутраектории L'', и рассмотрели
бы криволинейный сектор g', полностью аналогичный сектору g).
Пусть, следовательно, М — последняя общая точка полутраекто-
полутраектории U ' с окружностью С. Обозначим через g^ ug2 криволинейные сектора,
на которые полутраектория L\} делит сектор g. Предположим, что при
любом е > 0 существуют точки сектора g, лежащие в UЕ (О), через которые
проходят траектории, и при возрастании и при убывании t выходящие
из окружности С. Тогда, очевидно, хотя бы в одном из секторов gt или g2

§ 17] СОСТ. РАВНОВЕСИЯ, К КОТОРОМУ СТРЕМИТСЯ ПОЛУТРАЕКТОРИЯ 325
существуют лежащие в любой окрестности точки О, через которые проходят
траектории, выходящие из окружности С и при убывании и при возраста-
возрастании t. Предположим, что такие точки существуют в области gt. В силу
предыдущей леммы отсюда следует, что либо сама полутраектория Dу
является сепаратрисой состояния равновесия О, либо существует сепа-
сепаратриса состояния равновесия, лежащая между полутраекториями L°
и Ь[}. Но зто противоречит условию леммы, п, следовательно, лемма
доказана.
Лемма 5. Пусть между полутраекториями L*n и L*0 не лежит
ни одной петли и ни одной сепаратрисы состояния равновесия О, но лежит
не являющаяся сепаратрисой полутраектория №', стремящаяся к состоя-
состоянию равновесия О. Тогда у всякой траектории, проходящей через точки
достаточно малой окрестности Uг (О), одна из полутраекторий лежит
между полутраекториями L*'' и LJ'' (т. е. не выходя из сектора g,
стремится к состоянию равновесия б). При этом лежащие между полу-
полутраекториями _?*'' и L*'' полутраектории, а также сами полутраекто-
полутраектории IJLi) и i*"' ece положительны или все отрицательны в зависимости
от того, положительна или отрицательна полутраектория Ln.
Доказательство. Для доказательства предположим против-
противное, т. е. что среди стремящихся к состоянию равновесия О полутраекто-
полутраекторий, лежащих между полутраекториями L*(' и L*u и самих этих гранич-
граничных полутраекторий существует как положительная, так и отрицатель-
отрицательная полутраектория.
В силу условий настоящей леммы и леммы 4 найдется е > 0 такое,
что через точки сектора g, принадлежащие UЕ (О), не проходят траектории,
и при возрастании и при убывании t выходящие из окружности С. Возьмем
на полутраекториях L*'' ц L*{' соответственно точки Rt и Е2, столь
близкие к точке О, чтобы они могли быть соединены простой дугой, цели-
целиком лежащей в секторе g и в окрестности Uе (О) (см. замечание к лемме 1).
Пусть К — такая дуга. Дуга Я делит сектор g на две области, при этом
только одна из этих областей имеет точку О своей граничной точкой.
Очевидно, всякая полутраектория, стремящаяся к состоянию равнове-
равновесия О и лежащая между полутраекториями L*1' и Л|(', у которой есть
точки' вне окружности С, непременно должна войти в эту область и, сле-
следовательно, пересечь дугу К. Кроме того, в силу условии леммы и выбора б
через все точки дуги К (по построению содержащейся в t/E (О)) могут про-
проходить только лежащие менаду /,*(' и Л*(' и стремящиеся к О полутраок-
тории, у которых есть точки вне окружности С.
Будем точку дуги Я (включая ее концы) называть точкой первого
или второго тина в зависимости от того, проходит ли через нее положи-
положительная или отрицательная полутраектория. В силу сделанного пред-
предположения на дуге К существуют точки обоих типов. При этом если какая-
нибудь точка дуги К является точкой первого (второго) типа, то и все близ-
близкие к ней точки дуги К являются точками того же типа. Действительно,
пусть, например, рассматриваемая точка Р дуги Я первого типа, т. с. чере.ч
нес проходит положительртя полутраектория L+, и пусть на ней точка Р
соответствует значению t = t0. По условию леммы на полутраектории L+
заведомо существуют соответствующие значениям t' < t0 точки, лежащие
вне окружности С. В силу непрерывной зависимости от начальных значе-
ний у всех полутраекторип при t = t0, проходящих через достаточно
близкую к Р точку дуги Я, также будут существовать лежащие вне окруж-
рюсти С точки, соответствующие значениям I < t0. Но тогда у этих
полутраекторий не может быть лежащих вне окружности Сточек, соответ-

326 СХЕМА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. VIII
ствующих значениям t > t0. Иначе через точки дуги К проходили бы
траектории, выходящие из окружности С и при возрастании и при убыва-
убывании t, а это противоречит тому, что дуга К лежит в UЕ (О). Это, очевидрю,
означает, что все достаточно близкие к точке Р точки дуги К также являют-
являются точками первого типа. То же справедливо и для точек дуги второго типа.
Но тогда, проводя рассуждение, полностью аналогичное неоднократрю
проводившемуся, мы покажем, что на дуге К не могут одновременно суще-
существовать точки и первого и второго типа. Следовательно, все полутраекто-
полутраектории, лежащие между полутраекториями Л*<' и Л*(', а также сами полу-
полутраектории L* " и ?*'' являются положительными или отрицательными
в зависимости от того, является ли положительной или отрицательной
полутраектория L1', существующая в силу условий леммы. Лемма доказана.
Следствие. Если одна из полутраекторий Л*( \ L*( ' положи-
положительна, а другая отрицательна, то а) либо между полутраекторнями L*('
и L*(' лежит хотя бы одна сепаратриса со-
состояния равновесия О; б) либо полутраекто-
полутраектории L*1 ' и L* '— сепаратрисы, являющиеся
продолжением одна другой; в) либо в секторе
g существует петля.
Сектор, через все точки которого, доста-
достаточно близкие к точке О, проходят только
такие траектории, которые при t ->¦ —
+ с» (t —j <х>), не выходя из этого сектора,
стремятся к состоянию равновесия О, а при
убывании t (возрастании t) выходят из этого
сектора, называется ш (а-)-«параболическим»
сектором (рис. 196).
Предположим теперь, что рассматривает-
ся только одна, стремящаяся к состоянию
ис- равновесия О полутраектория L*1' . Пусть,
как и выше, е0 > 0 таково, что в замкну-
замкнутой окрестности Ueo (О) кроме состояния равновесия О не лежит целиком
ни одна особая траектория и С — окружность с центром в точке, радиуса
меньшего ео> вне которой заведомо лежат точки полутраектории Л*".
Пусть М* — последняя общая точка полутраектории L*° с окруж-
окружностью С ug — циклический сектор (т. е. область, граница которой состоит
из окружности С и части М*О полутраектории L*(>).
Для циклического сектора справедливы леммы 6, 7 и 8, полностью
аналогичные леммам 3, 4 и 5. Доказательство их опускается ввиду того,
что оно совершенно такое же, как и доказательство лемм 3, 4, 5.
Лемма 6. Пусть при любом е>0 существует точка области g,
лежащая в г-окрестности точки О такая, что проходящая через нее траек-
траектория и при возрастании и при убывании t выходит из окружности С.
Тогда существует по крайней мере одна ю- и одна а-сепаратриса состояния
равновесия О, одна из которых может совпадать с полутраекторией L*{ \
Лемма 7. Если ни через одну точку криволинейного сектора g
не проходит сепаратриса состояния равновесия О, но существует не являю-
являющаяся сепаратрисой полутраектория, стремящаяся к состоянию равно-
равновесия О, то существует е>0 такое, что через точки Uе (О) не проходят
траектории и при возрастании и при убывании t, выходящие из окруж-
окружности С.
Лемма 8. Пусть циклическом секторе g не лежит ни одной петли
и ни одной сепаратрисы состояния равновесия О, но существует лежащая

$ 17] СОСТ. РАВНОВЕСИЯ, К КОТОРОМУ СТРЕМИТСЯ ПОЛУТРАЕКТОРИЯ .'527
в g полутраектория U \ не являющаяся сепаратрисой, стремящаяся
к состоянию равновесия О. Тогда через все точки достаточно малой окрест-
окрестности Ue (О) проходят только стремящиеся к состоянию равновесия
полутраектории, имеющие точки вне окружности С, и все эти полу-
полутраектории, а также полутраектория & * положительны или все отри-
отрицательны в зависимости от того, является ли положительной или отри-
отрицательной полутраектория Ln.
Если через все точки некоторой окрестности состояния равнове-
равновесия О проходят только положительные (отрицатель?1ые) полутраекторпн,
стремящиеся к нему, то такое состояние раврговесия называется топол-о-
¦гическим узлом *). При этом топологический узел называется устойчивым,
если все стремящиеся к нему полутраектории положительны, и неустой-
неустойчивым, если все стремящиеся к нему полутраектории отрицательны.
Мы приведем ряд предложений, касающихся областей, заполненных
петлями (т. е. траекториями, стремящимися к состоянию равновесия О
и при <->+ оои при t —>• — оо). Отметим, что при сделанном нами пред-
предположении относительно конечности числа особых элементов может суще-
существовать лишь конечное число ячеек, заполненных петлями (см. теоре-
му 56 § 16).
Пусть, как и выше, окрестность f/En (О) не содержит целиком ни
одной особой траектории кроме точки О, и пусть существует траектория
L, целиком лежащая в UEo (О) (стремящаяся, следовательно, к состоянию
равновесия О при t —>• -f- оо и при t —*- — оо, т. е. образующая петлю).
Обозначим через о простую замкнутую кривую, состоящую из траекто-
траектории L и точки О, и через gc область внутри кривой а. В силу выбора
Ueo (О) все траектории, проходящие через точки, лежащие внутри кри-
кривой а, неособые и, следовательно, в силу теоремы 53 образуют петли,
лежащие одна внутри другой.
Докажем следующую лемму:
Лемма 9. При любом б > 0 существует петля, лежащая внутри
петли айв окрестности UЕ (О).
Доказательство. Предположим противное, т. е. что суще-
существует б > 0 такое, что внутри окружности С радиуса е с центром в точ-
точке О не может целиком лежать ни одной петли, принадлежащей обла-
области go. Мы всегда можем считать, что е < е0, и, кроме того, столь мало,
что существуют точки траектории L, лежащие вне окружности С.
Обозначим через М+ и М~ последрше общие точки с окружностью С
точки траектории L соответственно при возрастании и убывании t и через
g и g'— криволинейные секторы, на которые полутраектории ?+д/+
и L м- делят круг С. Точки полутраекторий Ь+м+ и L м~, очевидно,
являются граничными и для областей g и »' и для области ga. Отсюда
нетрудно видеть, что все достаточно близкие к точке О точки области ga
являются точками одргой (и только одной) из областей g и g', например
области g. Наоборот, все достаточно близкие к точке О точки области g
являются точками области ga-
В силу сделанного предположения в области g не может, следователь-
следовательно, лежать ни одна петля целиком, так как всякая такая петля лежит
и внутри a0 и внутри С. Но полутраектории L+M+, L м~ — граничные для
¦области g и не являются сепаратрисами (по самому выбору траектории L).
*) Очевидно, простой узел, как и простой фокус (см. главу IV), является топо-
топологическим узлом. Но топологическим узлом является и сложный фокус, а также
другие сложные состояния равновесия (см. главу VIII).

328 СХЕМА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ 1ГЛ. VIII
Между ними не может лежать ни одной сепаратрисы (иначе внутри о,
а значит, и в окрестности Ueo (О) лежала бы целиком особая траектория,
что противоречит выбору е0)-
А тогда в силу леммы 7 граничные для области g полутраектории
?+м+ и Ь~м- должны быть одновременно либо обе положительными, либо
обе отрицательными, что противоречит определению этих полутраекторни.
Получершое противоречие доказывает лемму.
Криволинейный сектор, содержащий петли и при этом только лежа-
лежащие одна внутри другой, называется «эллиптическим» сектором (рис. 197).
Область внутри петли, образованной траекторией L, мы будем назы-
называть «правильной эллиптической областью» точки О или просто «эллип-
«эллиптической областью» *) (рис. 181) точки О, если в этой области не лежит
ни одной особой траектории. Через все точки
эллиптической области проходят петли, ле-
лежащие одна внутри другой, причем в силу
доказанной леммы среди них можно указать
петли, целиком лежащие внутри окружности
с центром в точке О сколь угодно малого
радиуса. Траекторию L, которая вместе с
точкой О составляет замкнутую кривую
0, являющуюся границей рассматриваемой
эллиптической области ga, мы также будем
иногда называть «траекторией, образующей
эллиптическую область» и будем также гово-
говорить, что эллиптическая область образована
траекторией L. При этом траектория L мо-
Рис. 197. жет быть как особой, так и рюоеобой. Если
L — особая траектория, то соответствующая
эллиптическая область go, очевидно, является целой ячейкой, если L
неособая, то ga является частью целой ячейки.
В настоящей главе всегда рассматривается только такая окрестность,
состояния равновесия О, которая кроме О не содержит целиком ни одной
особой траектории. Поэтому все рассматриваемые в этой главе эллипти-
эллиптические области таковы, что образующие их траектории L являются неосо-
неособыми траекториями.
3. Леммы об эллиптических областях. Пусть go и ga — две эллип-
эллиптические области, целиком лежащие в UEo (О). Возможны следующие
случаи:
1) области ga и g* либо совпадают, либо одна из них является частью
другой, т. е. траектории L и L*, их образующие, либо совпадают, либо
образуют петли, лежащие одна внутри другой;
2) области ga и ga не имеют общих точек, т. е. траектории L и L*
образуют петли, лежащие одна вне другой.
Очевидно, точки областей ga и go в случае 1) принадлежат одной
и той же ячейке, а в случае 2) — двум различным ячейкам. Мы будем
говорить в случае 1), что эллиптические области go и gG являются частью
одна другой, а в случае 2), что область gc отлична от области ga или что
области go и ga различны. В дальнейшем, говоря, например, что у состоя-
*) В математической литературе «эллиптической областью» часто называется
область, через все точки которой проходят траектории при t —>- +оо и t —»- —со, стре-
стремящиеся к состоянию равновесия О, среди которых могут быть как орбитно-ус-тойчн-
вые, так и орбитно-неустойчивые траектории.

§ 17] СОСТ. РАВНОВЕСИЯ, К КОТОРОМУ СТРЕМИТСЯ ПОЛУТРАЕКТОРИЯ 329'
ния равновесия О существует «п различных» «эллиптических областей»,
мы будем подразумевать, что эти области различны в указанном выше-
смысле. Пусть, как и в лемме 9, ga — эллиптическая область, образо-
образованная траекторией L. Имеет место следующая лемма:
Лемма 10. Если у состояния равновесия О существует эллиптиче-
эллиптическая область ga, образованная траекторией L, то у этого состояния рав-
равновесия либо существует еще одна отличная от ga эллиптическая область,
либо хотя бы одна и- и одна а-сепаратриса.
Доказательство. Пусть С — окружность с центром в точке О
столь малого радиуса, что вне ее существуют точки траектории L, пусть
N — одна из них. Пусть М^ и А10 — последние общие с окружностью С
точки полутраекторий Ltf и L~^, a g и g' — криволинейные секторы, на
которые полутраектории L+m+ и i~Af_ долят круг С. Предположим, что
g — тот из секторов, у которого все достаточно близкие к О точки
принадлежат области ga (см. предыдущую лемму). Рассмотрим сектор g'.
Одна из входящих в границу сектора g' полутраекторнй положитель-
положительна, а другая отрицательна, и эти полутраекторнн не являются сепаратри-
сепаратрисами. Поэтому в силу следствия из леммы 5 либо существуют лежащие
в секторе g' а- и «-сепаратрисы состояния равновесия О. либо в этом
секторе лежит петля о'. В последнем случае эллиптическая область ga-
отлична от области ga, так как эти области содержатся соответственно
в двух областях g и g', не имеющих общих точек. Лемма доказана.
Приведем еще одну лемму, касающуюся траекторий эллиптических
областей. Пусть Li и L2 — содержащиеся в окрестности Ueo (О) траекто-
траектории одной и той же эллиптической области точки О. Петли, образованные
этими траекториями, лежат, следовательно, одна внутри другой. Пред-
Предположим, что петля, образованная траекторией L2> лежит внутри петли,
образованной траекторией L^. Обозначим через at простую замкнутую
кривую, образованную траекторией Lt и точкой О, и через а2 — простую
замкнутую кривую, образованную траекторией L2 и точкой О. Рассмотрим
окружность С с це?1тром в точке О, целиком лежащую в U^ (О) и столь
малого радиуса, что у траекторий Lt и L2 существуют точки вне ее. Обозна-
Обозначим последние общие точки с окружностью С соответственно при возра-
возрастании и убыварши t, у траекторий L~ — через М\ и М[, а у траекто-
траектории L2 — через М\ и М„. Выделенные из траектории Ly и L2 полутраекто-
рии ?|мг и LiM~t, L^.wt и 1->2Цп соответственно целиком лежат в круге С.
Обозначим через gi тот из криволинейных секторов, ограниченных
полутраекториями Lf^+ и il.uj, у которого все достаточные близкие
к точке О точки лежат внутри кривой о4 (ср. лемму 9). Предположим, что
дугой окружрюстн С, входящей в границу этого сектора, является дуга
М*М~. Так как петля, образованная траекторией Lz, лежит внутри петли,
образованной траекторией Lu то, очевидно, точки Mi и Л/; лежат на
дуге М\М\.
Лемма 11. На дуге М^М~ точка Mt лежит между точками М\
и М72 (или что то же, точка М„ лежит между точкой Mi и М~ (рис. 1U8)).
Доказательство. Предположим противное, т. с что точ-
точка Mi не лежит между точками М+ и М~ и что, следовательно, точка М~
лежит между точками М\ и М\.
Полутраектории L^ui и Агм» делят сектор if па три частичных секто-
сектора. При этом в один из зтих секторов входят обе эти полутраекторнп.
Обозначим его через g't. Нетрудно видеть, что все точки этого сектора,
достаточно близкие к точке О, лежат внутри петли а2 и в этом секторе
непременно лежат петли, содержащиеся внутри петли а2.

330 СХЕМА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ.
Так как мы предположили, что полутраектория 1^гмг лежит между
полутраекториями L\ui и Ь%м?, то в границу одного из частичных секто-
секторов, на которые полутраектории ZjjmJ и ^2mj делят сектор gb входят
полутраектории L\M+ и L^m-i- Обозначим этот сектор через g\. Все точки
этого сектора, достаточно близкие к точке О, лежат внутри кривой at
и вне кривой 02- Так как одна из полутраекторий граничных для этого
сектора положительна, а другая отрицательна, то в силу следствия из лем-
леммы 7 либо существует сепаратриса состояния равновесия О, лежащая
между этими полутраекториями, либо существует лежащая между ними
(т. е. в области g[) петля.
Но все достаточно близкие к точке О точки сектора ц лежат внутри
кривой 0i, т. е. принадлежат одной ячейке. А отсюда, очевидно, следует,
что сепаратрисы, лежащей между полутраекто-
полутраекториями L\M+ и Ьом-т, не существует. Но не суще-
существует также и петли, лежащей в области #°.
Действительно, такая петля лежала бы внутри
кривой 0i и вне петли, лежащей в секторе g[,
которая в силу предыдущего заведомо суще-
существует и тоже лежит внутри кривой 0t. Это
невозможно, так как область внутри кривой Oi
принадлежит одной эллиптической области gai,
и все содержащиеся в ней петли лежат одна
внутри другой. Полученное противоречие дока-
доказывает лемму.
Следствие. Пусть g* — тот из секто-
секторов, ограниченных двумя положительными (от-
(отрицательными) полутраекториями ТАм? и 1Лы^
Рис. 198. (?>2Щ и L"tMf)> выделенными из траекторий Lt
и L2 одной и той же эллиптической области,
у которой все достаточно близкие к О точки принадлежат той же эллип-
эллиптической области.
Тогда: а) все достаточно близкие к О точки этого сектора лежат между
петлями, образованными траекториями Lt и L2; б) этот сектор является
со (сс)-параболическим. Полутраектории, лежащие в этом секторе, являются
частями траекторий, образующих петли, лежащие вне петли, образованной
траекторией L2, и внутри петли, образованной траекторией Lx.
§ 18. «Элементарные области». Типы элементарных областей
1. Проведение дуги без контакта в параболическом секторе. Мы при-
приведем сейчас три леммы, в которых рассматривается вопрос о проведении
дуг без контакта и выделении с помощью дуг без контакта в окрестности
состояния равновесия некоторых простейших областей.
Лемма 1. Пусть I — простая дуга, не содержащая особых точек,
яе>0цД>0 — произвольные положительные числа. Тогда существуют:
а) подразделение дуги I на частичные дуги 11, 12, ¦ ¦ ., 1п; б) дуги без кон-
контакта Я-i, Я,2, . . ., К{ такие, что каждая из дуг kt лежит в г-окрестности
дуги It, и всякая траектория, при t = t0 проходящая через точку дуги li,
при некотором значении t*,\ t* — t0 j < Д, пересекает дугу kt, не выходя
до этого (т. е. при значениях между t0 и t*) из г-окрестности дуги li
(i = 1, 2, . . ., п).
Доказательство. Предположим, что утверждение леммы
несправедливо. Пусть d — диаметр дуги I. Разделим дугу I на конечное

§ 18J «ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОБЛАСТИ». ТИПЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ОБЛАСТЕЙ 331
число частичных дуг диаметра -^. 1огда, по крайней мере для одной из
этих дуг, обозначим эту дугу через V,— утверждение леммы также не будет
справедливым. Применяя то же рассуждение к дуге V и т. д., мы получим
последовательность вложенных друг в друга простых дуг
,- й
таких, что диаметр дуги и меньше, чем -, и для каждой из этих дуг
утверждение леммы несправедливо (т. е. не существует подразделения
дуги V на частичные дуги Й}"> и дуг без контакта №?>, лежащих в е-окрест-
ности №, для которых справедливо утверждение леммы). Обозначим
общую точку дуг V через М0. Пусть X — какая-нибудь дуга без контакта,
имеющая точку М0 своей внутренней точкой и целиком лежащая в окрест-
окрестности Uе (Мо). В силу леммы 1 § 3 каждая траектория, при t = t0 про-
проходящая через точки дуги К с достаточно большим номером / (которая
будет лежать в достаточно малой окрестности точки М 0), пересечет дугу К
при некотором значении t*,\ t* — t0 | < А, не выходя до этого из Ue (Mo).
Но это, очевидно, означает, что для такой дуги V утверждение леммы спра-
справедливо, что противоречит сделанному предположению. Полученное
противоречие доказывает лемму.
Замечание. Аналогичная лемма справедлива и для простой
замкнутой кривой С, на которой не лежит состояний равновесия. Для
доказательства достаточно разбить кривую С на две простые дуги lt и 12
и применить настоящую лемму к каждой из этих дуг.
Вернемся к рассмотрению криволинейного сектора g круга С. Пусть
W и V — полутраектории, входящие в его границу, a Mt и М2 —
последние общие точки этих полутраекторий с окружностью С. Рассмотрим
случай, когда этот сектор со-параболический. (Совершенно аналогично
рассматривается случай а-параболического сектора.) Тогда через все
точки сектора, лежащие в достаточно малой окрестности точки О, про-
проходят только такие траектории, которые, не выходя из окружности С,
при / —»- -f- оо стремятся к состоянию равновесия О, а при убывании t
выходят из окружности С, а входящие в его границу полутраектории
являются положительными полутраекториями Ь%1г и Lti2- Имеет место
Лемма 2. Если криволинейный сектор g {^-параболический, то:
а) всякие две точки Ро и Qo входящих в его границу полутраекторий LMl
и L~m2, соответственно, могут быть соединены дугой без контакта К, целиком
кроме концов лежащей в секторе g; б) дуга К делит сектор g на две области
и через все точки той из этих областей, в границу которой входит точка О
{т. е. области, граница которой состоит из частей Р0О, QdO полутраек-
полутраекторий Z+Mi и L+m2> точкиО и дуги К), проходят траектории, при t—*- -\- оо
стремящиеся к состоянию равновесия О, а при убывании t выходящие из
этой области, пересекая дугу % (и при этом в одной только точке).
Доказательство. Покажем сначала, что существует хотя бы
одна дуга без контакта, соединяющая некоторую точку полутраекто-
полутраектории Ltu с некоторой точкой полутраектории Lm2. По самому определению
to-параболического сектора существует 6 > 0 такое, что через все точки
•сектора, принадлежащие U(,o (О), проходят траектории, которые при
t -*- -\- оо, не выходя из сектора g, стремятся к состоянию равновесия О,
а при убывании t выходят из этого сектора.

332 СХЕМА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. VI11
Пусть Qi и Q2 — точки полутраекторий L\Ix и Lti2, соответственно,
столь близкие к точке О, что существует соединяющая их простая дуга /
(вообще говоря, конечно, не являющаяся дугой без контакта), целиком
кроме концов лежащая в секторе g и в окрестности ?/б (О) (см. лемму 1
§ 17). Очевидно, все траектории, которые при возрастании t, не выходя
из сектора g, стремятся к состоянию равновесия О, имеют общие точки
с этой дугой I.
Пусть е > 0 такое, что е-окрестность дуги I принадлежит Z7fi (О),
Ue (I) d U6 (О). В силу предыдущей леммы при указанном е > 0 и любом
А > 0 *) существует такое подразделение дуги I на частичные дуги
lt, 12, - . ., In и такие дуги без контакта Ки К2, . . ., Хп, где Я; cz UE (/;),
что всякая траектория, при t = t0 проходящая через точку дуги lt, не
выходя из Ue (lt), пересекает дугу Яг при значении t*, \ t* — t0 J < А.
Если бы какая-нибудь из траекторий сектора g или полутраекто-
полутраектории L+ и L+, не выходя из окружности С, дважды пересекали какую-
нибудь из дугЯг, то эту дугу должны были бы пересекать все стремящиеся
к состоянию равновесия О траектории. Тогда, очевидно, часть дуги Я;
между ее точками пересечения с полутраекториями L+ и L+ была бы иско-
искомой дугой без контакта. Если же п = 1, т. е. все траектории, проходящие
через точки дуги I, в частности полутраектории L+ и L+, пересекают одну
дугу без контакта Я, эта дуга и будет тогда искомой дугой без контакта.
Пусть п > 1. Мы всегда можем, кроме того, считать дуги kt выбранными
так, чтобы на них не было точек, лежащих вне сектора g, а также не было
точек самой окружности С.
Предположим, что конец (?! дуги I является концом частичной дуги lir
так что дуга ^ лежит по отрицательную сторону полутраектории L+ **).
Конец Q2 дуги I является тогда концом дуги 1п, и эта дуга лежит по поло-
положительную сторону полутраектории L+. Так как все траектории, проходя-
проходящие через точки дуги lt, пересекают дугу без контакта Хь то эта дуга Л,
непременно имеет по одной (и только по одной) общей точке с полутраек-
полутраекторией L+ и с траекторией ?ь проходящей через отличный от точки Q,
конец дуги 1±. Пусть Ао и Dt — общие точки полутраектории L+ и траек-
траектории Lu соответственно, с дугой к± (рис. 199).
Очевидно, траектория L^ при t —v + оо, не выходя из сектора gr
стремится к состоянию равновесия О, а при убывании t выходит из окруж-
окружности С.
Обозначим через N' последнюю при возрастании t общую точку
траектории /^ с окружностью С. Полутраектория L^y делит криволиней-
криволинейный сектор g на два сектора g± и g2 и входит в границу обоих этих секторов.
Полутраектория Ы^ входит в границу одного сектора g±, а полутраекто-
полутраектория Lti2 — в границу другого — g2- При этом все точки части AitD,
дуги Х4, отличные от концов, принадлежат сектору gl.
Очевидно, все траектории, проходящие через часть A0Dl дуги бел
контакта Я15 не выходя из части сектора gt, ограниченной этой частью
дуги Яь частями А(Р и Dfi полутраекторий Lttx и L\^< и точкой О, при
*) Отметим, что в рассматриваемом случае, как это видно пз дальнейшего, выбор
Д > 0 не существен.
**) Это вытекает из того, что дуга кривой С, входящая границу сектора g, есть
дуга MiM2.

18]
«ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОБЛАСТИ.). ТИПЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ОБЛАСТЕЙ
333
t —*¦ -\- оо стремятся к точке О. С другой стороны, все траектории, которые
проходят через точки сектора gi и, не выходя из этого сектора, стремятся
к состоянию равновесия О, имеют общие точки с частью A0Dl дуги ?ц.
Рассмотрим теперь последнюю при движении по дуге / от точки
¦Qt к точке Q2 общую точку этой дуги с полутраекторнеи L\x-. Пусть Е—
эта точка. Часть ?(>2дуги I не имеет, следовательно, общих точек с полу-
полутраекторией LiN'i и все ее точки кроме концов принадлежат сектору g2.
Обозначим частьEQ2 дуги I через Г. Сектор g2 и дуга Г полностью анало-
аналогичны сектору g и дуге I.
Если точка Е лежит на частичной дуге lin (i2 > 1), то, очевидно,
часть дуги 112 с концом в точке Е, лежащая в секторе g2, и дуги ll2+i, . . .
. . ., 1пл а также часть дуги без кон-
контакта %i2, лежащая в g2, и дуги
А;а + !, . . ., "Кп ЯВЛЯЮТСЯ ДЛЯ ДуГИ Г
частичными дугами подразделения и ду-
дугами без контакта, удовлетворяющими
условиям леммы 1.
Если у дуги без контакта А,-2 нет
общей точки с полутраекторией L+, то
нетрудно провести рассуждение, пол-
полностью аналогичное проведенному при
рассмотрении сектора g. При этом части
дуг Zia и А;г, принадлежащие сектору g2
(один из концов которых лежит на по-
полутраектории //|.v)i траектория L2l
проходящая через конец дуги li2, лежа-
лежащий в секторе g2, полностью аналогич-
аналогичны дугам 1и Ах и траектории Ь±. Мы
получим, таким образом, подразделение
сектора g2 (с помощью полутраектории
Ц%) на два сектора, полностью анало-
аналогичное подразделению сектора g. При
точками пересечения с траекториями 1ц
эти точки через Аг и Dz, целиком кроме концов принадлежит тому из этих
секторов, который имеет общую с сектором gl граничную полутраскторшо
L\h'. Обозначим этот сектор через g[.
Рассуждая, далее, вполне аналогично и принимая во внимание, что
дуг lt — конечное число, мы в конце концов получим подразделение
сектора g на некоторое число к (к^.п) частичных секторов
о (ft)
Это подразделение осуществляется при помощи полутраекторий
Рис. 199.
этом часть дуги Ai2 между ее
и L2. соответственно обозначим
выделенных из траекторий Lt, L2, . . ., Lk-i, проходящих через концм
некоторых из дуг lt: ltl, li2, . . . Обозначим для единообразия полутраек-
полутраекторию L через LJ, а полутраекторию L через L\.
Полутраектории LJ_t и La входят в границу сектора g^) (рис. 2UD).
Дуга без контакта Х; имеет с полутраекториями La-t и La общие точки
Au-i и Da соответственно, и часть Aa-JDa ду|'и А,- целиком кроме концов
лежит в секторе g[a\ Все траектории, которые, не выходя из этого сектора,
при t —*- оо стремятся к состоянию равновесия О, пересекают ату часть

334
СХ1ША СОСТОЯНИЯ РЛ ОНО ВЕСИ Я
[ГЛ. \111
дуги k-t (и при этом в одной только точке). Рассмотрим сектор g\") имеете
с граничными для него полутраекториями L^-i и La.
Пусть на траекториях, пересекающих часть A a\Da дуги 6e,i кон-
контакта %i , выбрано движение, при котором точкам, лежащим на этой дуге,
соответствует значение t= t[^K При всех значениях ?> 4,°' эти траектории
не имеют общих точек с дугой %.-, . В силу леммы 8 § 3 всякие две точки Р'
и Р" полутраекторий La-i и La, соответствующие значениям f ;,-- t^
и t" >• <<а>, можно соединить дугой без контакта, все точки которой
являются точками траектории, пересекающих дугу Aa-JDa.
Lt
Рис, 200.
Возьмем теперь на полутраектории L% точку Ро, соответствующую
значению t > <[,0' на полутраектории L%, точку Рк, соответствующую
значению t > t[hi, и на каждой полутраектории ZJ (а = 1, 2, .... /«¦ — 1)
по точке Ра, соответствующей значению ^ > <(а>.
Заметим, что в зависимости от того, рассматривается ли полутраекто-
полутраектория LJ-i как граничная для сектора g[a~1) или как граничная для секто-
сектора g[aK на Heii выбирается либо движение, при котором точке Da-± соот-
соответствует t /J^— *, либо движение, при котором точке Аа_1 соответствует
t — 4а)- Эти движения могут быть различны. Точка Ра при первом \\л
этих движений соответствует значению fAa~1) > /<,""х>, а при втором —
1 ,
В силу леммы 8 § 3 всякие две точки Ро
a+i
(a
^ и (
= 0, 1,2, . . ., к— 1) можно соединить дугой без контакта, целиком (кроме,
концов) лежащей в секторе g[ah Кроме того, дуги без контакта, соеди-
соединяющие точки Ра, Pa + i и Pa+i, Ра + 2 (а — Х7 2, . . ., /,• — 1), можно
взять такими (см. замечание к лемме 8 § 3), чтобы в их общем конце Ра + \
у них была одинаковая касательная. А тогда дуга К, составленная и.ч всех
таких дуг без контакта РаРа+1 (а — 1, . . ., к— 1), будет дугой бе.ч
контакта, соединяющей точки Ро и Ph и целиком (кроме концов) лежащей
в секторе g. Таким образом, доказано существование одной дуги без

§ 18] «ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОБЛАСТИ». ТИПЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ОБЛАСТЕЙ
335
контакта, соединяющей точку полутраектории L+ с точкой полутраекто-
полутраектории L+ и целиком кроме концов лежащей в секторе g.
Рассмотрим область, являющуюся частью сектора g, граница которой
состоит из частей Р0О и Ph0, полутраекторий L+ и L+, точки О и дуги Я.
Обозначим эту область через gN. Очевидно, все пересекающие дугу Я
траектории имеют с этой дугой только одну общую точку, при возраста-
возрастании t входят внутрь области gN и, не выходя из нее, при t ->¦ + оо стремятся
к состоянию равновесия О. Кроме того, в силу предположений, сделан-
сделанных относительно сектора g, в этом секторе, а следовательно, и в обла-
области gN не лежит ни одна петля. Поэтому- все траектории, проходящие
через точки области gN, при убывании t выходят из этой области и пере-
пересекают дугу Я. При возрастании __
t эти траектории, очевидно, не
выходя из области gN, стремятся
к состоянию равновесия. Таким
образом, для дуги Я утвержде-
утверждение леммы доказано.
Покажем, что любая точ-
точка Л* полутраектории Ь+мг мо-
может быть соединена с любой точ-
точкой D* полутраектории Ь+м2 ДУ~
гой без контакта, целиком кроме
концов лежащей в секторе g.
Для этого достаточно пока-
показать, что любая точка полу-
полутраектории L+Mi и любая точка рис 201.
полутраектории L+M2 могут быть
соединены с некоторой произвольно выбранной точкой дуги Я дугами бе.ч
контакта, лежащими в секторе g и имеющими в выбранной точке ту же
касательную, что и дуга Я.
Пусть на всех траекториях, пересекающих дугу Я, точкам, лежащим
на этой дуге, соответствует значение t = Iq. Если точка А* полутраекто-
полутраектории Ь%1г соответствует значению t > t0, то существование дуги без кон-
контакта, соединяющей точку А* с выбранной точкой дуги Я, непосредствен-
непосредственно следует из замечания 3 к лемме 8 § 3. Рассмотрим случай, когда точ-
точка А о соответствует значению tt < t0. Проведем вспомогательную дугу Я'
с концом в точке А*, кроме концов лежащую в секторе g. Возьмем на этой
дуге Я' часть А*В* столь малую, чтобы все траектории, пересекающие эту
часть при возрастании t, не выходя из сектора g, пересекали дугу h
(см. лемму 5 § 3), и при этом траектория, проходящая через точку В*,
пересекла дугу Я в точке В*.
Очевидно, всегда можно соединить точки А* и В* дугой без контак-
контакта Я", лежащей в элементарном четырехугольнике А*В*В*Ро (и, следо-
следовательно, лежащей в секторе g). Кроме того, эту дугу Я" всегда
можно взять так, чтобы в точке /?* касательная к ней совпадала с каса-
касательной к дуге Я. Тогда дуга, состоящая из дуги Я" и части /?*Рд дуги Я,
является дугой без контакта, соединяющей точку А* с Р^, обладающей
требуемыми свойствами.
Аналогично рассуждая относительно точки D*, можно доказать суще-
существование дуги без контакта, лежащей в g и соединяющей точки А* и D*.

336 СХЕМА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. VIII
Справедливость утверждения б) леммы в случае любой, лежащей
в секторе g дуги без контакта, соединяющей точки полутраекторий L+
и L+, устанавливается так же как и в случае дуги к. Лемма доказана.
Замечание. Так как окружность С можно взять сколь угодно
малого радиуса, то, очевидно, при любом т) > 0 всегда существует дуга
без контакта, соединяющая достаточно близкие к точке О точки А* и D*
полутраекторий L+ и L+, соответственно, целиком лежащая в Un (О).
Область g>, граница которой состоит из частей А*О и D*O полутраек-
полутраекторий L+ и L+ точки О и дуги без контакта К*, соединяющей точки Л*
и D*, мы будем называть правильным параболическим сектором (или
иногда просто параболическим сектором, где это не может повести к недо-
недоразумению). При этом эта область называется со-параболическим сектором
или а-параболическим сектором в зависимости от того, стремятся ли полу-
траектории к состоянию равновесия О при t -*- + °° или t -v — оо.
Рассмотрим теперь случай, когда через все отличные от точки О точки
некоторой достаточно малой окрестности U{, (О) проходят траектории,
которые при t —»- + оо (t —>- — оо), не выходя из окружности С, стре-
стремятся к состоянию равновесия О, а при убывании (возрастании) t выходят
из окружности С (так что О является топологическим узлом). Тогда
имеет место следующая лемма, полностью аналогичная предыдущем.
Лемма 3. Существует такой цикл без контакта, целиком лежащий
внутри окружности С, содержащей точку О внутри, что все отличные
от состояния равновесия О траектории, проходящие через точки внутри
этого цикла при ?-^-+°° (t —>-— оо), стремятся к состоянию равнове-
равновесия О, а при убывании (возрастании) t выходят из цикла без контакта.
Доказательство. Достаточно рассмотреть случай, когда все
траектории, проходящие через точки ?/б (О), стремятся к состоянию равно-
равновесия О при t ->- -f- оо, а при убывании t выходят из окружности С. Пусть
L\ и Lt — две такие полутраектории и М\ и М2 — их последние общие
точки с окружностью С. Части Mfi и Мг0 полутраекторий L\ и Lt вместо
с точкой О делят область внутри окружности С на два сектора gi и g-,,
для каждого из которых, очевидно, справедлива лемма 2. Мы можем,
следовательно, провести дугу без контакта Xt, соединяющую некоторую
точку А на L\ и некоторую точку В на L\ и кроме концов А и В лежащую
внутри gu и дугу без контакта Х2, соединяющую точку А и точку В, кроме
концов А и В лежащую внутри g2. Кроме того, всегда можно взять дуги
без контакта Хь К2 такими, чтобы в точках А и В они имели бы одинаковые
касательные. Тогда дуги Xt и %2 вместе образуют цикл без контакта а,
целиком лежащий внутри окружности С. Очевидно, точка О лежит внутри
кривой о. С помощью рассуждения, полностью аналогичного проведенному
при доказательстве пункта б) предыдущей леммы, нетрудно убедиться
в справедливости последнего утверждения настоящей леммы.
Замечание. Сколь бы малое г) > 0 мы ни взяли, всегда можно
в рассматриваемом случае цикл без контакта провести так, чтобы он лежал
целиком в t/.,, (О). Область внутри цикла без контакта называется полной
параболической (узловой) областью и при этом со- или а-параболичсской
в зависимости от того, стремятся ли проходящие через нее траектории
к состоянию равновесия О при t —v + оо или t —»- — оо.
2. Проведение дуг без контакта в эллиптической области. Рассмотрим
теперь вопрос о проведении дуг без контакта в эллиптических областях.
Пусть, как и выше, окрестность Ueo (О) кроме О, не содержит целиком

§ 18] «ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОБЛАСТИ». ТИПЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ОБЛАСТЕЙ 337
ни одной особой траектории. Предположим, что существуют траектории,
целиком лежащие в окрестности Ueo (О) и, следовательно, образующие
петли. Пусть Lt и L2 — две траектории, принадлежащие одпон и той же
ячейке и, следовательно, образующие петли, лежащие одна внутри дру-
другой. Предположим для определенности, что петля, образованная траекто-
траекторией Lo, лежит внутри петли, образованной траекторией Lt. Обозпачим
через о1 и о2 простые замкнутые кривые, соответственно состоящие из
траектории Лц и точки О и из траектории L2 и точки О. Пусть w— область,
состоящая из точек, лежащих внутри кривой ot и вне кривой о2; все
точки w принадлежат одной ячейке (рис. 202).
Имеет место следующая лемма.
Лемма 4. Существует дуга без контакта,
соединяющая произвольную точку траектории L,
с произвольной точкой траектории ?2, целиком
кроме концов лежащая в области w и пересекающая
все траектории, проходящие через точки области
го, и каждую из этих траекторий в одной только
точке.
Доказательство этой леммы проводится сле-
следующим элементарным образом: сначала строится
дуга без контакта, соединяющая какие-нибудь
точки Mi и М2 (рис. 202) на частях траекторий
Lt и L2 в некоторой достаточно малой окрестно-
окрестности точки О (см. лемму 2), а затем использует- С-
ся лемма 5 § 3.
Пусть теперь ga —правильная эллиптическая область внутри
петли 0О, образованной траекторией Lo п точкой О.
Лемма 5. Существует гладкая простая дуга, соединяющая про-
произвольную точку А о траектории Lo с точкой О, лежащая целиком (кроме
концов А о и О) в области ga , которая во всех отличных от О точках не
имеет контактов и пересекает все траектории, проходящие через точки
области gc , и каждую в одной только точке.
Доказательство. Пусть {С,} — последовательность окруж-
окружностей с центром в точке О, радиусы которых стремятся к пулю при п —*¦ оо,
и пусть {Lt} — последовательность проходящих через точки области ga<j
траектории таких, что каждая траектория Li целиком лежит внутри
окружности Ct, в силу леммы 9 § 17 такие траектории всегда существуют.
Обозначим через О; простую замкнутую крнную, образованную траекто-
траекторией Lt и точкой О, и пусть wt — область, состоящая из всех точек, рас-
расположенных внутри о"; и вне 0;+i- Возьмем на каждой из траектории Lt
точку Лг. В силу предыдущей леммы точки /1; и Ai+1 можно соединить
дугой без контакта Яг, целиком (кроме концов At и Ai+i) лежащей в обла-
области wI. Эта дуга пересекает все траектории области wi и каждую в одной
только точке. При этом дуги Яг можно пронести так, чтобы каждые две
дуги Я; и Я,+1 имели в их общей точке Ai+l общую касательную.
Нетрудно видеть, что соединение всех зтих дуг }.ь и точки О является
простой дугой, обладающей всеми указанными в лемме свойствами.
3. Правильная седловая область. Пусть теперь L* и 1Гг —со - и а-
сепаратрисы состояния равновесия О, являющиеся продолженном друг
друга с положительной (отрицательной) стороны. Пусть, как и выше, С —
окружность с центром в точке О радиуса меньшего, чем е0 (не содержащая
22 А. Андропов и др.

338
СХЕМА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ
[ГЛ. VIII
внутри кроме О целых особых траекторий), а М^ и М2 — последние общие
с окружностью С точки полутраектории Ь\ и i~ (рис. 203). Рассмотрим
произвольные точки Q и Р, принадлежащие соответственно частям М УО
и М2О полутраекторий L\ и L^ и проходящие через эти точки дуги бол
контакта ^ и 1ч- В силу самого определения сепаратрисы п ее продолжения
с положительной (отрицательной) стороны (см. § 15, пп. 5, С) можно
выделить части QA и РВ, соответственно, дуг ^ и 12 такие, что
а) часть QA дуги Zt лежит целиком внутри окружности С по положи-
положительную (отрицательную) сторону полусепаратрисыL[; б) часть РВ дуги /2
лежит целиком внутри окружности'С
по положительную (отрицательную)
сторону полусепаратрисы L~; в) вся-
кая траектория, при t = t0 проходя-
щая через отличную от Q точку дуги
QA, при некотором значении А > 10
Рис. 203.
Рис. 20i.
(не выходя до этого из окружности С) пересекает Дугу РВ и при дал ьной-
шем возрастании i выходит из окружности С; при этом траектория, про-
проходящая через точку А, пересекает дугу РВ в точке В; г) всякая траекто-
траектория, при t = t0 проходящая через отличную от Р точку душ РВ, при
некотором значении t <L t0 (не выходя до этого из окружности С) пере-
пересекает дугу QA (причем траектория, проходящая через точку В, проходит
и через точку А) и при дальнейшем убывании t выходит из окружности С.
Пусть у — лежащая внутри окружности С простая замкнутая кривая,
состоящая из части QO полутраектории Ь\, точки О, части РО полу-
полутраектории L2, дуги без контакта РВ дуги АВ траектории, проходящей
через точки А и В и дуги без контакта QA (рис. 203). Обозначим через ga
область внутри кривой у. Очевидно, эта область является частью одного
из криволинейных секторов, ограниченных полутраекториями L\ и LZ-
Будем этот сектор обозначать через g.
Л е м м а 6. Всякая траектория, проходящая через точку области
go, при возрастании t пересекает дугу без контакта РВ, а при убыва-

§ 18] «ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОБЛАСТИ». ТИПЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ОБЛАСТЕЙ ЗЛ9
нии t —¦ дугу без контакта QA и каждую в точке, отличной от концов
этих дуг.
Доказательство. Так как всякая траектория, проходящая
через точку области gc и пересекающая одну из дуг QA и РВ, пересекает
и вторую, то для доказательства леммы, очевидно, достаточно показать,
что не существует траектории, проходящей через точку gQ и не пересекаю-
пересекающей ни одну из этих дуг. Предположим, что такая траектория существует.
Обозначим ее через L. Она целиком лежит в области gc (так как выйти
из этой области траектории могут, только, пересекая одну из дуг без
контакта QA и РВ) и, следовательно, образует петлю, целиком лежащую
в области gc (а значит, и в секторе g). Рассмотрим окружность С с центром
в точке О столь малого радиуса, чтобы вне се лежали точки траекто-
траектории L (рис. 204). Пусть Mt и М2 — последние общие точки с окружно-
окружностью С полутраекторий L* и L.J соответственно и М+ и М ~ — последние
общие точки с окружностью С при возрастании и убывании t траекто-
траектории L. Точки М+ и М~ лежат на дуге М±М2 окружности С, и, следователь-
следовательно, полутраектория, являющаяся продолжением полутраектории L\
с отрицательной (положительной) стороны, заведомо отлична от полу-
полутраектории Ь~г. Но это, очевидно, противоречит тому, что по условию
леммы полутраектория L% является продолжением полутрасктории L\
(т. е. продолжением относительно любой окружности радиуса меньшего,
чем окружность С). Лемма доказана.
Замечание. При любом г > 0 можно построить седловую область
между сепаратрисами L* и Ь%, аналогичную рассматриваемой в настоящей
лемме, целиком лежащую в окрестности UЕ (О).
Мы будем называть область gc правильной гиперболической (или
седловой) областью между полутраекториями L\ и L~, опирающейся на
дуги без контакта QA, РВ. Дуги без контакта QA и РВ будем называть
седловыми дугами. В дальнейшем мы будем также рассматривать замыка-
замыкание такой области, т. е. замкнутую гиперболическую область gc-
4. Топологическая тождественность разбиений на траектории эле-
элементарных областей одинакового типа. Будем называть элементарный
четырехугольник (рис. 205, а) (см. § 3, п. 6), а также выделенные в преды-
дущем параграфе замкнутые области— замкнутый правильный параболи-
параболический сектор (рис. 205, б), замкнутую правильную седловую область
(рис. 205, в) и замкнутую правильную эллиптическую область (рис. 205, г)
элементарными замкнутыми областями. Эти элементарные замкнутые
области являются теми «кирпичами», на которые может быть разложено,
как мы увидим в дальнейшем, всякое разбиение на траектории. В настоя-
настоящем параграфе рассматривается вопрос (геометрически совершенно оче-
очевидный) о топологической тождественности разбиения на траектории
у всяких двух элементарных замкнутых областей одинакового типа.
Справедлива следующая лемма, элементарное доказательство которой
мы опускаем:
Л е м м а 7. Топологические структуры разбиения на траектории
всех замкнутых элементарных областей следующих типов: 1) элементар-
элементарного четырехугольника; 2) правильного параболического сектора; 3) пра-
правильной эллиптической области; 4) правильной седловой области — раз-
различны между собой.
Перейдем теперь к доказательству тождественности топологической
структуры разбиения на траектории замкнутых областей одного и того же
22*

340
СХЕМА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ
[ГЛ. VIII
aj
типа: двух элементарных четырехугольников Г и Г*, двух правильных
параболических секторов gN и g%, двух седловых областей gc и gc, двух
замкнутых эллиптических областей gc и g%. Каждая пара указанных
замкнутых элементарных областей заполнена дугами траекторий, полу-
полутраекториями и траекториями, принадлежащими либо двум различным
динамическим системам D и D*, либо одной и той же динамической системе.
В приводимых ниже леммах доказывается топологическая тождествен-
тождественность разбиения на траектории одноименных замкнутых элементарных
областей и при этом одновременно доказывается существование такого
топологического отображения этих замкнутых областей друг на друга,
при котором сохраняется некоторое заданное соответствие между точ-
точками граничных дуг без кон-
контакта и граничных дуг траек-
траекторий, полутраекторип или
траекторий.
Так как мы рассматри-
рассматриваем всегда две одноименные
замкнутые области, то мы бу-
будем говорить одновременно об
обеих этих областях, поме-
помещая все касающееся одной из
них в скобки.
Начнем с рассмотрения
элементарного четырехуголь-
четырехугольника.
Обозначим входящие в
границу четырехугольника
Г (Г*) дуги без контакта
через 1± и l2 (li и 1%), дуги
траекторий — через Sx и S2
(S^ и iS1*), кроме того, пусть
А± (А*) —общин конец дуг Z,
и St (Z* и S*), Bt (В*) — общий конец дуг ltaS2 (I* и S*), А2 (Л*) — об-
общий конец дуг 1г и Si (I* и S*), B2 (Z?*) — общий конец дуг l2uS2 (/* и Л*).
Предположим, что между точками дуг 1± и /*, а также ^ и S*, Л\ и ^'*
задано топологическое соответствие, при котором точка At соответствует
точке А* и, следовательно, точка В^ соответствует точке В*, точка /12 —
точке А*, и точка В2 — точке В*.
Лемма 8. Существует топологическое отображение элементарных
четырехугольников Г иТ* друг на друга, переводящее траектории е траек-
траектории и сохраняющее заданное топологическое соответствие между точка-
точками дуг без контакта 1± и I* или 12, I* и дуг траекторий &\ или S* или Л'2 и Л'*.
Доказательство. Пусть
Рис. 205.
и
— параметрические уравнения дуги 1± и I* (значения о, и а* соответствуют
точкам А± и А*, а значения bt и и* точкам Bi и В*).
Пусть при выбранном на траекториях четырехугольника Г двшкешш
общие точки этих траекторий с дугой 1% соответствуют значению t = t0,

S IB]
«ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОБЛАСТИ». ТИПЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ОБЛАСТЕЙ
341
а общие точки с дугой 12— значениям t = % (s). Совершенно аналогично
пусть при выбранном на траекториях четырехугольника Г* движении
общие точки этих траекторий с дугой I* соответствуют значениям I* = t*,
а общие точки с дугой I* — значениям t* = у* (s*). С помощью регуляр-
регулярного отображения (см. лемму 10 § 3) четырехугольник Г отображается на
замкнутую область плоскости (s, t), определенную неравенствами
, A)
а)
Ф
Рис. 206.
а четырехугольник Г* — на замкнутую область плоскости (t*, s*), опреде-
определенную неравенствами
aj <e*<b*, *S<**<X*(«*)- B)
Заданное заранее топологическое отображение между дугами без контакта
Zj и Z* и дугами траекторий i5\ и S*, S2 и S*, очевидно, индуцирует топо-
топологическое отображение
между отрезками прямых .
плоскости (t,s) и (t*,s*),
соответствующих этим ду-
дугам и входящим в границы
замкнутых областей, опре- ?*
деленных неравенствами
A) и B). В силу леммы 8
п. 7 § 6 дополнения между
замкнутыми областями,
определенными неравенст -
вами A) и B), можно уста-
установить топологическое ото-
отображение, при котором ме-
между точками граничных
отрезков сохраняется за-
заданное соответствие, и отрезки прямых s — const отображаются в отрезки
прямых s* = const. Если затем поставить друг другу в соответствие
точки Г и Г* с соответствующими друг другу парами значений (/, s)
и (t*, s*), то тем самым будет установлено топологическое отображение
между четырехугольниками Г и Г*, обладающее требуемыми свойствами.
Лемма доказана.
Пусть теперь gN и g% — два параболических сектора (рис. 206, а, б).
Мы всегда можем предполагать, что оба сектора ю-параболические. В слу-
случае, когда оба эти сектора a-параболические или один со-параболичсский,
а другой a-параболическип, можно заменой параметра t на — t в одном
или обоих секторах прийти к рассматриваемому случаю.
Пусть К и К* — дуги без контакта, О и О* — состояния равновесия,
а L\, L\ и L*+ L*+ — полутраектории, входящие, соответственно, в гра-
границу gN и g%. Пусть АопВо и, соответственно, А* и В* — концы дуг К
и К*, являющиеся концами полутраекторий Lf, Lt н, соответственно,
L*+, L*+. Предположим, что между точками дуг Я, и К*, а также менаду
точками L\ и L*+, L% и L*+ установлено топологическое соответствие,
Тгри котором точкам Ао и Во соответствуют точки А* и В*.
Лемма 9. Существует топологическое отображение замкнутого
параболического сектора gN на замкнутый параболический сектор gx,
при котором между точками дуг без контакта К и К* и полутраекто-

342 СХЕМА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. VIII
рий L\ и L*+, L% и L*+ сохраняется заданное топологическое соответ-
соответствие.
Доказательство. Рассмотрим последовательность стремя-
стремящихся к нулю положительных чисел ё! > е2 > ез > • • • (?; -> 0 при
i —*- оо). Проведем в секторе glV дугу без контакта Я^ с концами в точках АЛ
и Z?i полутраекторий L+ и L% (отличных от точек Ао и Во) и в секторе g% —
дугу Я,* с концами в отличных от А* и В* точках А* и ?* полутраекторий
Z/*+ и L*+, соответствующих точкам А^ и Bt, по заданному в силу условий
леммы топологическому соответствию между точками пары полутраекто-
полутраекторий L\ и L*+ и пары LJ и L*+. Дуга Я., (Я*), очевидно, делит сектор glV (#л)
на две замкнутые области (при этом она—общая граничная дуга этих
двух областей), именно, на: а) правильный параболический сектор gix(g\ri),
граница которого состоит из дуги Я,х (Я,*) частей Ах0 и Bfi (A*fi* и В*О*)
полутраекторий L\ и L+ (?*+ и L|+) и точки О (О*); б) элементарный четы-
четырехугольник Г, (Г*), граница которого состоит из дуг Я, и Я, (к* и Я,*)
и дуг A0Ai и B0Bi (А*А1 и В^В^ полутраекторий L\ и LJ (Ц+ и LJ+).
Принимая во внимание замечание к лемме 2, дуги Я^ и Я,* всегда могут
быть взяты так, чтобы сектор gN целиком лежал в UЕ (О), a g% — в UE (О*).
Установим топологическое отображение четырехугольника Г4 на четырех-
четырехугольник Г*, при котором траектории переводятся в траектории и сохра-
сохраняется заданное топологическое соответствие между точками дуг Я, и Я,*
и точками дуг полутраекторий h\ и L*+, L\ и Ь%+, входящих в границы
этих четырехугольников. При этом мы получаем определенное топологиче-
топологическое соответствие между точками дуг К± и Я,*.
Рассмотрим теперь замкнутые параболические секторы gm и g*x,
полностью аналогичные gN и g%. Так же, как и секторы gN и g%, разде-
разделим каждый из секторов glN и g*N надлежащим образом выбранными дуга-
дугами без контакта Я,2 и К* соответственно (концы А2В2 и А*В* этих дуг
являются точками полутраекторий L\, L\, L*+, и L*+, соответстпующнмн
друг другу по заданному соответствию между точками этих полутраекто-
полутраекторий) на две замкнутые области: а) замкнутый параболический сектор
ёгх € Ue (О) (g*N ? Us (О*)); б) элементарный четырехугольник Г2 (Т*).
Так же, как и в случае четырехугольников 1\ и Г*, установим топологиче-
топологическое отображение четырехугольника Г2 на Г*, переводящее траектории
в траектории и сохраняющее между точками дуг Я^ и Я,* и полутраекторий
L\ и L*+, L\ и L*+, входящих в границы этих четырехугольников, уже
существующее соответствие. Продолжая аналогичные рассуждения
через к шагов, мы получаем топологическое соответствие между всеми
теми точками секторов gN и g%, которые не принадлежат параболическим
секторам g^x и gLvi являющимся частями gN и g%, причем g^x 6 UE (О)
и SkN 6 Uе (О*). Поставим, наконец, друг другу в соответствие точки О
и О*. Мы получим, таким образом, взаимно однозначное соответствие
между точками секторов gN и g%. Нетрудно видеть, что оно непрерывно
во всех точках этих секторов. В точке О и О* оно непрерывно в силу того,
что секторы ghN и gtx лежат в ?/8д (О) и UEh (О*) и при к -v oo eh -v 0.
Лемма доказана.
Пусть gN и ?лг — замкнутые параболические области, границами
которых являются циклы без контакта С п С*. Пусть между точками

18] «ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОБЛАСТИ». ТИПЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ОБЛАСТЕЙ
343
циклов С и С* установлено топологическое соответствие. Имеет место
лемма, доказательство которой, аналогичное предыдущему, опускается.
Лемма 10. Существует топологическое отображение замкнутых
областей gN на g%, при котором между точками циклов без контакта С
и С* сохраняется заданное соответствие.
Пусть теперь gc к gc — Две различные правильные замкнутые седло-
вые области (рис. 207, а, б). Граница gc (gc) состоит: а) из частей QO и РО
(Q*O* и Р*О*) сепаратрис L\ и L~ (L*+ и ?Л~), являющихся продолжением
одна другой; б) из дуг без контакта 1Х и 12 (I* и /*) с концами Q и Р (Q*
В*
а)
Рис. 207.
и Р*); в) из дуг S (iS7*)траектории L (L*), один конец А (А*) которой являет-
является концом дуги lt (Z*), а другой конец В (В*) —• концом дуги 12 (I*)',
г) из состояния рввновесия О (О*).
Предположим, что задано топологическое соответствие между точками
дуг без контакта lt и I* и дуг траекторий i5" hi5"*, а также между входящими
в границу gc и gc точками полутраекторий h\ и L*+, L~ и L*~, при котором
точки Q и Q*, Р и Р*, А и А*, В и В* соответствуют друг другу *).
Лемма 11. Существует топологическое отображение правильных
замкнутых гиперболических областей gc и gc друг на друга, переводящее
траектории в траектории, при котором сохраняется заданное соответ-
соответствие между точками дуг lt и I*, S, S* и точками полутраекторий L\
и L*+, Ll и Lf.
Доказательство. Рассмотрим последовательность стремя-
стремящихся к нулю положительных чисел et > е2 > . . . > 6j —*- 0 при i —>¦ оо.
Пусть gic и g*c — правильные седловые области, являющиеся частями
областей gc и gc- Обозначим входящие в границу этих областей дуги
без контакта через 1[" и ^х> (^Га> и ^<2>) и отличные от Q и Р {Q* и Р*},
концы этих дуг, лежащие на сепаратрисах L\ и L~ (L*+ и L*~), через
^i и Pt (Q* и Р*), а концы, не лежащие на сепаратрисах — через At
и Bt (А* и В*). Точки Ai и Bt не лежат на дуге S траектории L, а точки
А* и В* — на дуге S*. Траекторию, точками которой являются концы А±
и Bt (А* и В*), обозначим через L' (L*'), кроме того, обозначим через М>
*) Между двумя седловыми областями может быть также установлено соответ-
соответствие, при котром положительная сепаратриса L\ отображается в отрицательную L*~,
а отрицательная в положительную. Этот случай, очевидно, может быть приведен
к рассматриваемому заменой t на —t в одной из областей.

344 СХЕМА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. V1I1
и N' (М*' и N*') точки пересечения траектории L' (L*') с дугами 1У (/*)
и 1г (I*) соответственно (рис. 207).
Замкнутые области giC и g*c можно взять такими, чтобы: 1) gxc € ?\г
(О) и i*c € U4 (О*); 2) Точки Pi и Р*, Qi и Q*, М' и ЛГ* являлись точками,
соответствующими друг другу по заданному топологическому соответствию
между точками полутраекторий L\ и L*+, L\ и L*+ и дуг /t и /*.
Дуга MW (M*'N*') траектории L' (?,*') ц дуги ?», /<'> (/*'" и /«'»)
делят замкнутую область go fee) на четыре области — три из этих
областей являются элементарными четырехугольниками А'о, А[, А', (А*',
А*', А*'), а четвертая — седловой областью gtc (g*c)- Границы этих
элементарных четырехугольников состоят: у А'о из частей М'А и N'B
дуг Zj и 12 и дуг .4.6 и M'N' траекторий L и Z/, у А[ — из части M'(?i
дуги Zj, дуги без контакта 1^\ части M'Ai траектории L' и части <5<^t
полутраектории L|, у Aj — из части Л^'Р дуги 12, дуги /Г' части N'Bt
траектории L' и части PPi полутраектории Ь'г. Границы четырехуголь-
четырехугольников Д*', А*' и А*' полностью аналогичны (нужно только добавить
звездочку в обозначениях букв). Установим топологическое отображение,
переводящее траектории в траектории замкнутых элементарных тополо-
топологических четырехугольников Д^ и А*', сохраняя между точками дуг А В
и А*В* траекторий L и L* и дуг без контакта М'А и М*'А* заданное
соответствие (см. лемму 8) и устанавливая между точками дуг M'N'
и M*'N*' такое соответствие, при котором точки Ах и A*, Bt и В* соответ-
соответствовали бы друг другу. Далее, установим топологическое отображение,
переводящее траектории в траектории элементарных четырехугольни-
четырехугольников Aj и А*', сохраняя заданное соответствие между точками дуг M'Q
и M*'Q*, QQi и Q*Q* и сохраняя соответствие между точками дуг М'АХ
и М*'А*', существующее в силу установленного отображения четырех-
четырехугольников А^ и А^*. Наконец, установим отображение четырехугольников
А'2 и А*' так, чтобы при этом между точками дуг PN' и р*]\7*' было
установлено соответствие, при котором траектории, проходящие чоре.ч
соответствующие друг другу точки, пересекали бы части M'Q и M*'Q*
дуг li и I* в точках, соответствующих друг другу по заданному между
точками дуг РР^ и Р*Р* топологическому соответствию, и, кроме того, •
чтобы между точками дуг PPt и Р*Р*, N'Bi и N*'B* сохранялось уже
установленное соответствие. В силу уже установленного соответствии
между Aj, AJ, А'„ и А*', А*', А*', между точками дуг, а также точками но-
лутраекторий, входящих в границы седловых областей gtc и ?*с, будет
установлено соответствие. Рассмотрим теперь эти замкнутые седловыо
области gic и gjC- Они аналогичны замкнутым областям gc н gc- Точно
так же, как мы в gc и gc выделяли области g^ и g*c, выделим в д',,
н gjc замкнутые седловые области g2a и g*c такие, что
При этом мы получим элементарные четырехугольники Д^, A'j, Л1
и А*", А*", Д*", аналогичные Aj, Aj, A^ и А*', А*', АГ. Продолжая далее
аналогично, мы при к-м шаге будем иметь топологическое соответствие
между теми точками областей gc и gc, которые не лежат внутри седловых
областей ghC и gtc, где

§ 18] «ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ОБЛАСТИ». ТИПЫ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ОБЛАСТЕЙ
345
Поставим, наконец, друг другу в соответствие точки О и О*. Мы получаем,
таким образом, взаимно однозначное соответствие между точками замкну-
замкнутых областей gc и gc- Нетрудно видеть, что это соответствие также и непре-
непрерывное (непрерывность в точках О и О*, очевидно, вытекает из того, что
при достаточно большом к ghc € U ek(O) и g%c G Uek @*)). Лемма доказана.
Пусть теперь даны две различные замкнутые эллиптические области
Ео и go- Пусть L и L* —• отличные от состояний равновесия траектории,
а О и О* — состояния равновесия, входящие в границу go* и gj. Пусть
между точками L и L* установлено топологическое соответствие
(рис. 208, а, б).
м-
Рис, 208.
Лемма 12. Существует топологическое отображение замкнутых
эллиптических областей ga на g*, переводящее траектории в траектории,
при котором сохраняется заданное соответствие между точками L и L*.
Доказательство. В силу леммы 5 всегда существует Jдуга
I (I*), одним концом которой является данная точка М (М*) траектории
L (L*), а другим концом — состояние равновесия О (О*) и которая во всех
отличных от О (О*) точках не имеет контактов и пересекает все траектории,
проходящие через точки области go (gj). Предположим, что точка М соот-
соответствует точке М* в силу заданного соответствия между точками траек-
траекторий L и L*. Возьмем последовательность стремящихся к нулю положи-
положительных чисел 6j > е2 > . . . > е, —>- 0 при i—f-oo.
Рассмотрим траектории Lj n L* эллиптических областей ga и #5
соответственно (отличных от L и L*) такие, что (см. лемму 9 § 17)
Li ? Uei (О), L* ? Usl (О*). Обозначим через и\ и w* замкнутые области,
границы которых соответственно состоят из петель, образованных траек-
траекториями L и Li, L* и L* и точек О и О*.
Пусть Мх (Ml) — точка пересечения (очевидно, единственная) траек-
траектории Li (L*) и дуги I (I*). Всегда можно установить топологическое ото-
отображение между замкнутыми областями и>! и w*, при котором траектории
переводятся в траектории и сохраняется заданное соответствие между
точками траекторий L и L*. Действительно, дуга без контакта ММХ
(М*М*), очевидно, делит область w (w*) на две правильные замкнутые
параболические области и при этом входит в границу обеих этих парабо-
параболических областей. На основании леммы 10 нетрудно убедиться в суще-
существовании отображения wt на w*, обладающего указанными свойствами.
Рассмотрим, далее, траектории L2 u L*, образующие петли, лежащие
соответственно внутри петель, образованных траекториями L4 и L*,

346 СХЕМА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. VIII
и такие что
и пусть и>2 и ш| — замкнутые области, границы которых состоят, соответ-
соответственно, из петель, образованных траекториями Lt и L2, L* и L*
и точек О и О*.
Устанавливаем топологическое отображение между w2 и wt, пере-
переводящее траектории в траектории, при котором между точками траекто-
траекторий Z/j и L* сохраняется уже установленное соответствие. Поступая,
далее, полностью аналогично и ставя, кроме того, точки О и О* в соответ-
соответствие друг другу, нетрудно убедиться в существовании топологического
отображения, удовлетворяющего условиям леммы.
§ 19. Локальная и полная (глобальная) схема состояния равновесия
1. Циклический порядок сепаратрис и эллиптических областей состо-
состояния равновесия, не являющегося центром. Пусть, как и выше, е0 > О
таково, что окрестность USa (О) не содержит целиком ни одной особой
траектории. В случае, который мы рассматриваем, когда состояние равно-
равновесия О не является центром и, следовательно, к нему стремится хотя
бы одна полутраектория, могут представиться следующие две возмож-
возможности.
1. У состояния равновесия О не существует ни одной сепаратрисы
и ни одной эллиптической области.
2. У состояния равновесия О существует сепаратриса или эллиптиче-
эллиптическая область.
В первом случае в силу лемм 5 и 8 § 17 либо все траектории, проходя-
проходящие через точки достаточно малой окрестности состояния равновесия О,
стремятся к точке О при / —>- +°°, либо все они стремятся к точке О при
t —>¦—оо. Состояние равновесия О в этом случае является «топологиче-
«топологическим узлом» (см. § 17, п. 2), при этом устойчивым, если траектории стре-
стремятся к нему при / —>• +оо, и неустойчивым, если траектории стремятся
к нему при t —>• —сю. Рассмотрим вторую возможность подробно.
Пусть
IA, L\, ..., Ьпг A)
— ю-сепаратрисы точки О и
Lf, L'?, ..., L'ni B)
— сс-сепаратрисы точки О (если таковые существуют).
В случае, когда у точки О имеются эллиптические области (различных
областей такого типа существует лишь конечное число ) (см. теорему 56
§ 16), выберем во всех этих различных областях по одной траектории,
целиком лежащей в UЕо (О).
nyCTbj
L*, Li, ..., Lns C)
— эти траектории. Все они образуют петли, лежащие одна вне другой.
Мы будем предполагать, что система петель является «максимальной»
в том смысле, что всякая петля, лежащая в UEo (О) и отлпчная от петель,
образованных траекториями C), либо содержится внутри одной из этих
петель, либо содержит одну из этих петель внутри себя. Траектории C),
очевидно, являются орбитно-устойчивыми (так как они лежат в f/Eu (О)).

§ 19] ЛОКАЛЬНАЯ И ПОЛНАЯ СХЕМА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ 347
Выделим из каждой траектории C) положительную и отрицательную
полутраектории, и пусть
L,t , Ь2 , . . ., Ьп2. ( i)
L*~, L-i , ..., Ln~ E)
— все эти иолутраектории. Совокупность всех этих полутраекторнй A),
{2), D) и E) будем обозначать через (L).
Пусть С — окружность с центром в точке О, радиуса меньшего, чем
е0, вне которой имеются тонки каждой из полутраекторий (L). Будем
обозначать последние общие точки этих полутраекторий с окружностью С
через Mt (i = 1, 2, . . . , TV, где TV = nt -j- n2 ~t- 2n3) и предположим,
что они перенумерованы в том порядке, в каком они встречаются на
¦окружности С при положительном обходе ее. Кроме того, будем считать,
что точка Мх+1 есть точка Mt. При этих условиях на каждой из дуг Л/ tMi + l
кроме концов не лежит ни одной точки Мj.
В силу леммы 1 § 17 какую бы простую замкнутую кривую, целиком
лежащую внутри окружности С (в частности, окружность с центром
в точке О, радиуса, меньшего радиуса окружности С), мы бы ни взяли,
последние, общие с этой кривой точки полутраекторий (L) расположены
на этой кривой в том же циклическом порядке, как и точки Mi (i —:
= 1, 2, . . . , TV) на окружности С. Этот порядок определяет цикличе-
циклический порядок полутраекторий (L) (см. лемму 1). Таким образом, мы можем
выписать все полутраектории в их циклическом порядке
Liv Lj2, •••> LHk . (С)
Лемма 1. Две полутраектории L*+ и L*~, принадлежащие одной
и той же петле, являются последовательными в циклическом порядке среди
полутраекторий (L).
Доказательство. Пусть Mk и М{ — последние общие с окруж-
окружностью точки полутраекторий L*+ и L\~. Нужно показать, что либо
I = k -f- 1, либо к = I + 1- Пусть go — область внутри петли, образо-
образованной траекторией L*. Части MkO и MtO полутраекторий L*+ и L*~
делят круг С на два криволинейных сектора g и g'.
Предположим, что g — тот из этих секторов, у которого все доста-
достаточно близкие к точке О точки принадлежат области go. Пусть дуга кри-
кривой С, входящая в границу этого сектора, есть MhMt. Если бы на этой
дуге существовала отличная от ее концов точка Mj, то между полутраек-
полутраекториями L*+ и L*~ лежала бы одна из полутраекторий (L). Но тогда эта
полутраектория должна была бы проходить через точки эллиптической
области g0, что, очевидно, невозможно, так как в этой области не лежит
особых траекторий и не лежит ни одной из траектории L*. Лемма доказана.
Рассмотрим какую-нибудь траекторию L,, лежащую внутри петли,
•образованной траекторией L*, но имеющую точки вне окружности С.
Заменим траектории C) траекториями
1-Ч1 ^2, . . ., Ln„. (О
Пусть
Ll, hi, ...» Ьп.„ (8)
и
Li, Zi, ..., L;,, (9)
— положительные и отрицательные полутраекторип, выделенные из этих
траекторий. Будем совокупность всех нолутраекторий A), B), (8) и (9)

348 СХЕМА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. \'Ш
обозначать через (L). В силу леммы 11 § 17, если между полутраекторпя-
ми L*+ и L*~ не лежит никаких других траекторий (L), то полутраекто-
полутраектории Lt и L\ лежат между ними, и при этом полутраектория Lt лежит
между полутраекториями L*+ и Ь\.
Полутраектории (L) и (L) можно поставить друг другу в соответствие
так, чтобы одинаковые сепаратрисы соответствовали друг другу, а полу-
полутраектории L*+, L%~ соответствовали полутраекториям Lt, Ll (выделен-
(выделенным из траектории той же эллиптической области, что и траектория L*+,
L*"). При таком соответствии, очевидно, двум последовательным в цикли-
циклическом порядке полутраекториям (L) соответствуют две последовательные
в циклическом порядке полутраектории (Z).
Мы будем говорить, что циклический порядок полутраекторий (L)
и (L) вокруг состояния равновесия О один и тот же (или что эти полу-
полутраектории одинаково расположены вокруг состояния равновесия О).
Мы будем также говорить, что циклический порядок полутраекто-
полутраекторий (L) или (L) определяет циклический порядок сепаратрис и правиль-
правильных эллиптических областей состояния равновесия О.
Пусть go,, . . . , gana — все различные эллиптические области состоя-
состояния равновесия О. Мы можем, следовательно, выписать сепаратрисы
и эллиптические области состояния равновесия в их циклическом порядке:
В силу предыдущего очевидно, что последовательность A0) отличает-
отличается от последовательности (L) тем, что вместо двух последовательных полу-
полутраекторий одной и той же эллиптической области поставлен знак gOi,
соответствующий эллиптической области.
В дальнейшем мы будем пользоваться следующими выражениями:
«последовательные в данном циклическом порядке эллиптические области»
и «полутраектория L< >, стремящаяся к точке О, лежит между эллиптиче-
эллиптическими областями gGh и goj» (порядок не безразличен, см. п. 1 § 17), смысл
которых понятен из предыдущего.
Рассмотрим при каком-либо выборе траектории эллиптических обла-
областей все полутраектории (L), и пусть, как и выше, Mh — их последние
общие точки с окружностью С (перенумерованные в их циклическом
порядке). Пусть gh — криволинейные секторы, на которые эти полутраек-
полутраектории разделяют круг С. Каждый сектор gk есть область, граница котором
состоит из частей MhO и Mk+iO двух из полутраекторий (L), точки О
и дуги M^Mh+l окружности С (на этой дуге нет точек Mi, отличных от
концов дуги). Область внутри окружности С разделяется таким образом
на 7V криволинейных секторов: gu g2, - . ., gK. Сектор gi будем также
обозначать через gv+i- Секторы gk, очевидно, не имеют общих точек, для
всех этих секторов точка О является граничной точкой, и каждые два
сектора gh и gh + i имеют общую граничную полутраекторию L[\ik v Так как
в число траекторий (L) входят все сепаратрисы состояния равновесия О,
то ни в одном из секторов gk, т. е. между двумя полутраекториями М/л,
Амл+1, не лежит сепаратриса состояния равновесия О. Для сектора g^
может представиться одна из следующих трех возможностей.
1. Полутраектории L\lh и L*Jh u входящие в границу сектора gk,
являются полутраекториями, выделенными из траектории Lf эллиптиче-
эллиптической области.

I 19] ЛОКАЛЬНАЯ И ПОЛНАЯ СХЕМА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ 349
Пусть gai — эллиптическая область, граница которой состоит из
петли, образованной траекторией L*. Точки сектора gh, принадлежащие
достаточно малой окрестности Uе (О), являются точками области gol
и, наоборот, все принадлежащие Ue (О) точки gGi являются точками gh,
т. е. множества UE {О) f| gh и &е (#) f] got совпадают (см. замечание
к лемме 1 § 17). Поэтому все лежащие внутри окружности С траектории
эллиптической области goi лежат целиком в секторе gh и, наоборот, всякая,
целиком лежащая в секторе gk траектория образует петлю, лежащую
в области gai.
Такой сектор является согласно введенной в п. 2 § 17 терминологии
эллиптическим сектором (рис. 197). Так как в число полутраекторий (L)
по самому их выбору входят полутраекторин, выделенные из траекторий
всех различных эллиптических областей состояния равновесия О, то вся-
всякая, лежащая внутри окружности С петля принадлежит какому-нибудь
эллиптическому сектору.
2. Одна из полутраекторий 1Д/Й, L\]k^l является со-сепаратрисой,
¦а другая — сс-сепаратрисой состояния равновесия О. В секторе gln
т. е. между Ь(мк и LljtkJ_1 не лежит ни одна сепаратриса, а в рассматривае-
рассматриваемом случае не лежит также ни одна петля (так как всякая петля, содержа-
содержащаяся внутри окружности С, лежит в каком-нибудь эллиптическом секто-
секторе). Поэтому рассматриваемый сектор заведомо не является эллиптиче-
эллиптическим. А тогда нетрудно убедиться на основании леммы 4 § 17 и следствия
из леммы 5 § 17, что все проходящие через точки сектора g^ траектории
и при возрастании и при убывании t выходят из этого сектора и сепара-
сепаратрисы .^4/ь и Lw. являются продолжением одна другой. Такой сектор
мы назвали (см. п. 2 § 17) гиперболическим сектором (рис. 205, в).
3. Полутраектории 14/. и LlJ , входящие в границу сектора gk:
ft fi-t-l
а) либо принадлежат различным траекториям Ьг (т. е. двум различным
петлям); б) либо являются двумя ш-сепаратрпсами или двумя сс-сепара-
трнсами состояния равновесия О; в) либо одна из них принадлежит траек-
траектории L*, а другая является сепаратрисой состояния равновесия О.
Между L'm и L[\i не лежит ни одной сепаратрисы и ни одной петли
(ср. случай 2). Кроме того, по условию полутраектории L\ih и L\},
не могут быть сепаратрисами, являющимися продолжением одна другой.
На основании леммм 5 § 17 нетрудно видеть, что в атом случае сектор g^
является ю- или сс-параболичсскпм сектором (и обе полутраектории 1Л\,
и L'u, либо одновременно положительны, либо одноп'кмешю отри-
/i + 1
цательны) (рис. 196).
Рассмотренными типами 1, 2, 3, очевидно, исчерпываются все воз-
возможности для областей g^. Имеет место следующая лемма, справедливость
которой непосредственно следует из определения области типа 'Л:
Лемма 2. Если g^ — эллиптический сектор, то оба смежных с ним
сектора ?&_! и gk+i являются параболическими секторами, причем оиии
из них о-, а другой а-параболический.
2. Каноническая замкнутая кривая вокруг состояния равновесия.
Используя указанное выше разделение круга С на криволинейные секторы
различных типов, мы построим некоторую область вокруг состояния
равновесия, которую будем называть его канонической окрестностью.
Граница этой окрестности является простой замкнутой кривой, состоящей
из конечного числа дуг траекторий и дуг без контакта, и называется кано-
канонической кривой.

350 СХЕМА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. VIII
Пусть сначала состояние равновесия О есть топологический узел
(случай 1) предыдущего пункта. В силу замечания к лемме 3 § 18 в этом
случае существует е0 > 0 такое, что при любом е < е0 можно провести
целиком лежащий в окрестности Ue (О) цикл без контакта, содержащий
состояние равновесия О внутри себя. Такой цикл без контакта мы будем
в рассматриваемом случае называть «канонической замкнутой кривой»
состояния равновесия О.
Рассмотрим теперь случай, когда состояние равновесия отлично от
центра, но не является топологическим узлом (т. е. случай 2). Возьмем
на каждой из полутраекторий L(Jk, являющихся частями полутраекто-
полутраекторий (L), по точке Pk (отличной от точки Mh, т. е. лежащей внутри окруж-
окружности С), и пусть
— все эти точки. Очевидно, что при обходе этих точек в данном порядке
соответствующие полутраектории (L) обходятся в их циклическом поряд-
порядке. Так как на каждой из полутраекторий D) и E) также лежит по одной
точке Pk, то на каждой траектории Lf, принадлежащей эллиптической
области, лежит в точности две точки Pj и Pj+i- Пусть S* — дуга траекто-
траектории L* между точками Pj и Pj+i. Будем называть ее эллиптической дугой.
Выделим в каждом из параболических секторов gh правильную парабо-
параболическую область, проводя дугу без контакта lh, соединяющую соответ-
соответственно точки Р^ и Pk+i и целиком кроме концов лежащую в секторе gft.
Будем называть дугу 1^ параболической дугой без контакта.
Выделим в каждом гиперболическом секторе gt правильную гиперболи-
гиперболическую область, опирающуюся на дуги без контакта XI и A.i+1 с концами
в точках Pt и Pi + i, лежащих на сепаратрисах, ограничивающих сектор gt.
Обозначим через S1 дугу траектории, входящую в границу этой правиль-
правильной седловой области, концами которой являются концы дуг К\ и A.i+i.
Назовем дугу S\+i гиперболической дугой, а дуги без контакта A?, /4+i —
аседловыми дугами без контакта-». Как и раньше, ту из дуг XI, ?ч + ь конец
которой лежит на со-сепаратрисе, будем называть ю-седловой дугой без
контакта, а ту из Дуг, конец которой лежит на сс-сепаратрисе, — а-седло-
вой дугой без контакта.
При этом:
а) Дуги без контакта 1^ лежат вне всех эллиптических областей gn.
(границы которых состоят из петель, образованных траекториями L*).
Действительно, если через некоторую точку дуги Ik проходит траектория
какой-нибудь эллиптической области goj, то эта траектория в конце концов
и при возрастании и при убывании t должна выйти из параболического
сектора gh, в котором лежит дуга /&, и войти в один из эллиптических
секторов и остаться в нем. Но это, очевидно, невозможно, так как всякая
траектория, пересекающая дугу lh при t —>- +оо (или при t —>• - оо),
не выходя уже больше из параболического сектора gfn стремится к состоя-
состоянию равновесия О.
б) Дуги без контакта Kq и Я^+i можно взять такими, чтобы они не
имели общих точек ни с одной из эллиптических дуг S* траектории L*.
Действительно, полутраектории L\ и L'q\-i, входящие в границу гиперболи-
гиперболического сектора, заведомо не являются полутраекториями, выделенными
из траекторий L*, так как они особые, а траектории L* — неособые.
Кроме того, точки этих полутраекторий L\ и ?q+i, в частности точки Pq

§ 19J ЛОКАЛЬНАЯ И ПОЛНАЯ СХЕМА СОСТОЯНИИ РАВНОВЕСИЯ 351
и Pq+i, не являются предельными ни для одной траектории L*, так как
единственной предельной точкой траектории L* является точка О. Но тогда
точки Pq и Pq+i находятся на положительном расстоянии от всех траекто-
траекторий L*j и, следовательно, Дуги Kg и A,?+i могут быть выбраны в согласии
с пунктом б).
Рассмотрим множество Н, состоящее из точек всех правильных пара-
параболических областей (выделенных в параболических секторах g^), всех
правильных гиперболических областей (выделенных в гиперболических
секторах gg) и всех эллиптических областей ga. внутри петель, образо-
образованных траекториями L* всех полутраекторий (L), за исключением то-
точек Ph и, кроме того, из точки О.
Нетрудно видеть, что множество //
является ограниченным открытым множе-
множеством, граница которого состоит из точек
всех дуг lk, Xg, S* и S°.
В силу условий а) и б) совокупность
всех точек этих дуг образует простую
замкнутую кривую. Обозначим ее через Е.
Кривая Е называется канонической
замкнутой кривой состояния равновесия О,
а область Н внутри этой кривой—канони-
кривой—канонической окрестностью состояния равнове-
равновесия О. В дальнейшем мы iB основном будем р „„„
рассматривать замкнутую каноническую
окрестность Н (рис. 209).
Мы будем получать различные канонические окрестности в зависи-
зависимости от выбора траекторий эллиптических областей и от выбора пра-
правильных параболических и правильных гиперболических областей.
Точки Pt являются последними общими точками иолутраекторпй (L)
с кривой Е. В силу замечаний к леммам 2 и 6 § 18 и леммы 9 § 17 при
любом е > 0 можно построить каноническую кривую, целиком лежа-
лежащую в Ue {О).
Приведем без доказательства одну элементарную лемму, касающуюся
связиположителыюго направления обхода канонической кривой Е и петель
с направлением по t на петлях. Пусть ga — одна из эллиптических обла-
областей, являющаяся частью канонической окрестности //, и Л'* — эллипти-
эллиптическая дуга, входящая в ее границу.
Лемма 3. Если положительное направление обхода канонической
кривой Е индуцирует на эллиптической дуге S* направление, совпадающее
с направлением по t {или противоположное направлению по t), то направ-
направление положительного обхода петель, принадлежащих области Н, также
совпадает с направлением по t {противоположно направлению по t).
3. Локальная схема состоянияр авновесия, не являющегося центром.
Введем теперь понятие локальной схемы состояния равновесия, не являю-
являющегося центром.
Определение XXI. Мы скажем, что дана локальная схема
состояния равновесия О, не являющегося центром, если перечислены все его
ы-сепаратрисы{Ь\,Ь\, . . .,Ь^), все егоа-сепаратрисы{Ь\',Ь'2, . . ., L'n2),
все различные между собой эллиптические области {gai, gao, . . - , gan:t)
и указан циклический порядок, в котором все эти полутраектории и облас-
области расположены вокруг состояния равновесия О.

352 СХЕМА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. VIII
Локальная схема состояния равновесия может быть задана либо
таблицей (записью), либо «графически»—¦ схематическим рисунком.
В случае, когда она задается таблицей, эта таблица имеет вид
Здесь порядок, в котором выписаны полутраектории и эллиптические
области, соответствует циклическому порядку, в котором они располо-
расположены вокруг состояния равновесия. При записи схемы мы можем начи-
начинать с любой траектории Ь\ или L'f или с любой эллиптической области
gOi, т. е. схема задана с точностью до циклического порядка.
Вместо того, чтобы рассматривать все различные между собой эллип-
эллиптические области состояния равновесия О, очевидно, можно рассматри-
рассматривать все лежащие одна вне другой петли или все положительные и от-
отрицательные полутраектории этих петель (L*+, Lf+, . . ., ??3 n L*~,
Lo~, . . ., L*~s)- В последнем случае схема
состояния равновесия может быть записа-
записана в виде
ПI Т'~ Т *- т *+
Из предыдущего следует:
1) Между двумя последовательными по
схеме положительными (отрицательными) по-
полутраекториями лежит ю-параболическая
(а-параболическая) область. 2) Между двумя
последовательными по схеме полутраекто-
полутраекториями, из которых одна положительна,
а другая отрицательна,не являющимися по-
лутраекториями L*4" и L*~, выделенными из
Рис. 210. одной петли, лежит гиперболическая об-
область *).
Более наглядный способ задания схемы — схематический рисунок.
На рисунке схематически наносятся в том циклическом порядке,
в котором они расположены, сепаратрисы этого состояния равновесия
с указанием на них направлений (с их обозначениями) и по одной траекто-.
рии каждой из различных эллиптических областей (с указанием на них
направлений по t).
Так, например, схеме, заданной таблицей
°\L[ , gi, Ц, L'~, gz, g3,
соответствует рис. 210 (графическое изображение схемы).
В силу 1) и 2) очевидно, что между полутраекториямн L+ п L'3 лежит
гиперболическая область (сектор), а между L'~ и L*~, L** и Li и т. д.—
*) В схеме состояния равповесия введены индивидуальные обозначения для
траекторий эллиптических областей. Это необходимо для дальнейшего, тгешю, для
описания схемы всего разбиения на траектории в целом. Когда состояние равновесии
рассматривается изолированно, то можно соответственно обозначить: иоло.кнтель-
ныо иолутраектории знаком плюс, отрицательные — знаком минус, эллиптические
области — злаком 0. Тогда схема состояния равновесия может быть записана в виде
чередующихся знаков +, —, 0. Такую схему естественно назвать абстрактной локаль-
локальной схемой состояния равновесия. Очеву1дно, однако, что не всякая уюследовате.ц.-
ность знаков +, — ы 0 может быть абстрактной схемой состояния равновесия. Дей-
Действительно, если после знака + стоит 0, то после нуля может стоять либо еще одни 0,
либо —. Знак -(- соответствует сепаратрисе L\1% если за ним стоит 0, и это, очевидно,
означает, что в циклическом порядке за lX\ идет эллиптическая область. Если Li., —

§ iaJ ЛОКАЛЬНАЯ И ПОЛНАЯ СХЕМА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ 353
параболические секторы (L*, L* и L* — траектории эллиптических
областей).
Рассмотрим теперь два состояния равновесия О и О двух различных
динамических систем D и D вида (I) или одной и той же динамической
системы. Предположим, что даны схемы этих состояний равновесия.
Следовательно, у состояний равновесия О так же как и у О пере-
перечислены все ю-сепаратрисы (L*, L*, . . . , Lin), все а-сепаратрисы
(L[ , L'2~, . . . , L'm), все различные между собой эллиптические области
(ifCT], go«, ¦ ¦ - , gam ) и указан циклический порядок, в котором все эти
полутраектории и области расположены вокруг состояния равновесия О.
Схема состояния равновесия О так же, как и схема состояния равно-
равновесия О, может быть записана таблицей
О ?]>, gajs, ¦ ¦ ¦
пли в виде
^ I Ijhi '-'ii» Ly,, - - .,
если вместо областей ga рассматривать полутраектории петель.
Определение XXII. Мы скажем, что локальные схемы состоя-
состояний равновесия О и О тождественны с сохранением ориентации и направле-
направления по t, если между всеми т-сепаратрисами состояния равновесия
О (LJ, L\, . . ., L+j) и всеми ^-сепаратрисами состояния равновесия
O{L\, L%, • - - , 14,ч), между всеми (Х-сепаратрисами состояния равновесия
O{L\ , /4 , . • • , Ь'п\) и всеми а-сепаратрисами состояния равновесия
О (Ь[ 1 L'2 , . . . , Lm'j), я также между всеми (различными) эллиптическими
областями состояний равновесия О и О (gai, gO2, . . . , ga ) и (gai, gO2, . . .
. . . , ga n ) существует взаимно однозначное соответствие 6, удовлетворяю-
удовлетворяющее следующему условию: схема состояния равновесия О может быть
получена из схемы состояния равновесия О, если в ней полутраектории
и эллиптические области системы D заменить соответствующими им
по соответствию 6 полутраекториями и областями системы D. Таким
образом, если в системе D две полутраектории или полу траектория
и эллиптическая область последовательны в циклическом порядке, то
соответствующие им в системе D две полутраектории или полутраекто-
полутраектория и эллиптическая область также последовательны в циклическом
порядке.
Когда схемы двух состояний равновесия тождественны (с сохране-
сохранением ориентации и направления по t), то, очевидно, щ = ти п2 = тг,
и при надлежащей нумерации полутраекторий и эллиптических обла-
областей состояния равновесия О-таблица, описывающая схему состояния
равновесия О, может быть получена из таблицы, описывающей схему
состояния равновесия О, добавлением волнистой черты в обозначении
полутраекторий и эллиптических областей.
траектория этой эллиптической области, то в схеме вида A0) вслед за Ltt (в силу лем-
леммы 1) непременно сначала идет tj2 , а затем Lj2 , за Lu может (в силу той же леммы)
идти либо отрицательная сепаратриса, либо еще одна эллиптическая область. Можпо
указать условия, которым должна удовлетворять последовательность знаков -)-, ,
6 для того, чтобы она могла быть абстрактной схемой некоторого состояния рав-
равновесия.
23 а. А. Андронов и др.

354 СХЕМА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. VIII
Очевидно и обратно, если таблицы, описывающие схемы состояний
равновесия, отличаются только обозначением полутраекторнй и эллипти-
эллиптических областей (например, добавлением волнистой черты), схемы :>тнх
состояний равновесия тождественны. В случае, когда схема задается гра-
графически (рисунком), очевидно, рисунок один и тот же, только изменяются
обозначения для траекторий. ^
При тождественности схем двух состояний равновесия О п О соответ-
соответствующие друг другу полутраектории и эллиптические области этих
состояний равновесия будем называть полутраекторнями и эллиптиче-
эллиптическими областями, соответствующими друг другу по схеме. При тожде-
тождественности локальных схем состояний равновесия О а О существует
также взаимно однозначное соответствие по схеме между полутраектория-
ми L*+, L*~~ и L*+, L*~, выделенными из петель соответствующих друг
другу по схеме эллиптических областей. Соответствующим друг другу
по схеме полутраекториям и областям систем D и D будем приписывать
одинаковые номера.
Полностью аналогично, с очевидными изменениями, дается определе-
определение тождественности двух схем с сохранением ориентации и изменением
направления по t, а также с изменением ориентации и с сохранением
(изменением) направления по t.
При тождественности двух схем с сохранением ориентации и изме-
изменением направления по t, очевидно, положительной полутраоктории
соответствует отрицательная полутраектория.
Изменяя соответственно при рассмотрении одного из состояний
равновесия, например О, либо ориентацию на противоположную, либо
t на — t, либо и то и другое, мы вернемся к данному выше определению
тождественности схем с сохранением ориентации и направления но t.
Поэтому всюду в дальнейшем мы будем рассматривать только тожде-
тождественность схем с сохранением ориентации и направления но t.
Пусть, как и выше, схемы состояний равновесия О и О тождественны.
Рассмотрим какие-нибудь канонические окрестности этих состояний рав-
равновесия Н и Н. Пусть Е и Е — ограничивающие их канонические кривые,
lk, Ki, S*, Sq и lkt Ki, Sj, iS(c, — параболические, эллиптические и седловые
дуги этих кривых. Соответствие по схеме между ю-сепаратрнсами и а-
сепаратрисами, а также полутраекториями эллиптических областей состоя-
состояний равновесия О и О, очевидно, индуцирует естественное соответствие
между элементарными областями, составляющими части канонических
окрестностей Н и Н, дугами канонических кривых и их концами. Именно:
1. Соответствующими друг другу элементарными областями являются
области, в границы которых входят соответствующие друг другу по схеме
полутраекторнй. При этом соответствующие друг другу области имеют
одинаковый характер, т. с. являются одновременно либо параболически-
параболическими, либо эллиптическими, либо гиперболическими.
2. Соответствующими друг другу дугами lk, >„;, S*, Sc(f и lh, X',, Л';, S'4
являются дуги, концы которых принадлежат соответствующим друг
другу по схеме полутраекториям. Соответствующие друг другу дуги
входят в соответствующие друг другу области и являются одновременно
либо параболическими, либо эллиптическими, либо седловымн дугами
без контакта, либо седловыми дугами траекторий.
3. Соответствующими друг другу концами соответствующих друг
другу дуг являются концы, принадлежащие соответствующим друг другу

§ 19] ЛОКАЛЬНАЯ И ПОЛНАЯ СХЕМА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ 355
по схеме полутраекториям или соответствующим друг другу дугам (эллип-
(эллиптическим и гиперболическим).
Это соответствие между элементарными областями, являющимися
частями канонических окрестностей, и входящими в их границы дугами
и концами этих дуг, мы будем также называть «соответствием по
локальной схеме этих состояний равновесия».
Докажем теперь следующую теорему:
Теорема 61. Если локальные схемы двух состояний равновесия О
и О тождественны с сохранением ориентации и направления по t, то
существует топологическое отображение любых их замкнутых канониче-
канонических окрестностей Н и Н друг на друга, при котором траектории перево-
переводятся в траектории и сохраняется ориентация и направление по t.
Доказательство. В силу предыдущего между элементарными
областями канонических окрестностей // и Н существует взаимно одно-
однозначное соответствие. Перенумеруем произвольным образом все эле-
элементарные области канонических окрестностей Н и Н так, чтобы соответ-
соответствующим друг другу по схеме элементарным областям был приписан
одинаковый номер.
Пусть 1ц, 1г2, ¦ . -, hh — элементарные области канонической окрест-
окрестности Н и hi, h2, - • ., hh — элементарные области канонической окрест-
окрестности Н. Соответствующие друг другу по схеме элементарные области hi
и ht имеют одинаковый характер, и в границы их входят соответствующие
друг другу по схеме полутраектории.
Будем последовательно в порядке нумерации строить топологическое
отображение друг на друга соответствующих друг другу областей ht и /гь
при котором траектории отображаются в траектории, сохраняется направ-
направление по t и, кроме того, выполняются следующие условия.
1. Соответствующие друг другу по схеме нолутраекторин, входящие
в границы этих областей, отображаются друг в друга, в частности, ото-
отображаются друг в друга их концы Рг и Рг, лежащие на канонических
кривых Е и Е.
2. Если область 1ц, а следовательно, соответственно и область ht
имеют общие граничные точки с областями меньшого номера, то и этих
точках отображение областей Аг и //;, строящееся после отображений
областей меньшего номера, совпадает с уже построенными отображениями
областей меньшего номера. Очевидно, выполнение требований 1) и 2)
всегда возможно (см. леммы 9, 10 и 11 § 18).
Таким образом, мы получаем топологическое отображение канониче-
канонических окрестностей Н и //, обладающее указанными в лемме свойствами
(взаимная однозначность и непрерывность этого отображения на границе
смежных областей hi и hj и соответственно hi и Л,- обеспечивается усло-
условием 2). Теорема доказана.
Замечание 1. Из доказанной теоремы, в частности, следует,
что существует топологическое отображение друг па друга любых двух
канонических окрестностей данного состояния равновесия, при котором
траектории отображаются в траектории и сохраняется ориентация
и направление по t.
Замечание 2. Пусть заранее задано топологическое отображе-
отображение канонических кривых Е и Е друг на друга, при котором соответствую-
соответствующие друг другу по схеме дуги этих кривых, а также соответствующие
23*

356 СХЕМА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. VII Г
друг другу по схеме концы этих дуг отображаются друг в друга. Тогда
в силу лемм 9—11 § 18 всегда существует топологическое отображение
замкнутых канонических окрестностей Н и Н друг на друга, обладающее
требуемыми в теореме свойствами, совпадающее на кривых Е и Ее задан-
заданным отображением. Аналогичное утверждение справедливо также в слу-
случае, когда задано отображение друг в друга отдельных точек, соответствую-
соответствующих друг другу дуг, если при этом циклический порядок соответствующих
друг другу точек одинаков.
Из замечания 1, очевидно, следует, что в случае конечного числа
особых траекторий всякое состояние равновесия имеет определенную
топологическую структуру в смысле определения, данного в § 5, и что
локальная схема описывает топологическую структуру состояния равно-
равновесия. При этом очевидно (см. лемму 7 § 18), что когда схемы двух состоя-
состояний равновесия различны, то различны и их топологические структуры.
4. Полная (или глобальная) схема состояния равновесия, не явля-
являющегося центром. Может оказаться, что существуют стремящиеся к рас-
рассматриваемому состоянию равновесия особые полутраектории, не являю-
являющиеся его сепаратрисами, например сепаратрисы других состоянии равно-
равновесия или угловые полутраектории. При рассмотрении локальной схемы
состояния равновесия мы не выделяли таких полутраекторий среди стре-
стремящихся к состоянию равновесия орбитно-устойчивых полутраскторин.
Сейчас мы будем выделять их, т. е. мы будем выделять все особые
полутраектории, стремящиеся к состоянию равновесия О, как являющиеся
его со- и а-сепаратрисами, так и не являющиеся. Для того чтобы описать
расположение этих особых полутраекторий по отношению к сепаратрисам
состояния равновесия О, а также по отношению друг к другу, мы введем
понятие полной (глобальной) схемы состояния равновесия. Это понятие
играет основную роль при установлении топологической структуры раз-
разбиения на траектории в целом (а не только в окрестности данного состоя-
состояния равновесия *).
Докажем сначала одну лемму.
Пусть gai и gO2 — две последовательные в циклическом порядке
эллиптические области состояния равновесия О, так что между областями*
gai и ga2 не лежит уже больше ни одной эллиптической области.
Лемма 4. Между двумя последовательными в циклическом порядке
эллиптическими областями gO] и gaz состояния равновесия О непременно
лежит по крайней мере одна стремящаяся к состоянию равновесия О особая
полутраектория.
Доказательство. Если между областями gai и ga2 лежит
сепаратриса точки О, то утверждение леммы справедливо. Предположим
поэтому, что между областями gai и gC2 не лежит ни одной сепаратрисы
точки О. Рассмотрим какую-нибудь каноническую область Н состояния
равновесия О. В силу леммы 2 в канонической области Н между областя-
областями gOl и ga2 расположен правильный со- или а-парабодический «сектор».
Предположим для определенности, что он является со-параболическим,
*) В то время, как локальная схема состояния равновесия может Сыть факти-
фактически установлена непосредственным рассмотрением его окрестности (в главе VI дапы
методы исследования характера, т. е. схемы простых состояний равновесия, в сле-
следующей главе даются методы исследования «характера», т. е. схемы некоторых слож-
сложных состояний равновесия), для нахождения полной (глобальной) схемы состоянии
равновесия необходимы уже но локальные — непосредственно не связанные с окрест-
окрестностью данного состояния равновесия — сведения о поведении сепаратрис.

§ 19] ЛОКАЛЬНАЯ И ПОЛНАЯ СХЕМА СОСТОЯНИЯ РА13НОЛКСИЯ 357
и обозначим его через ga. Сектор gM ограничен двумя положительными
полутраекториями PkO и Pk+1O, точкой О и дугой без контакта lh с кон-
концами Pk и Pk+i- При этом полутраектории Р^О и Ph+1O принадлежат
соответственно траекториям L* и L* («петлям»), ограничивающим обла-
области goi и go,. Но тогда точки Рк и Pk+i, как принадлежащие различным
эллиптическим областям, принадлежат и различным ячейкам. Следователь-
Следовательно, на дуге без контакта lh, соединяющей точки Pk и Pk+i* имеется по
крайней мере одна точка М, принадлежащая границе ячейки. Проходящая
через точку М траектория Ьм является особой (в силу определения ячеек)
и в точке М входит при возрастании t внутрь области g^. Следовательно,
полутраектория Ьц является особой полутраекторией, стремящейся к точ-
точке О и лежащей между областями gOl и ga,,. Лемма доказана.
Следствие. Если L[ ' и Ll2 > — две полутраектории, стремящиеся
к состоянию равновесия О, между которыми не лежит ни одной особой
полутраектории, стремящейся к точке О, то между L\) и L{ ' не могут
лежать две различные эллиптические области.
Рассмотрим теперь наряду с ю- и а-сепаратрисами состояния равно-
равновесия О все стремящиеся к этому состоянию равновесия нолутраектории
орбитно-неустойчивых траекторий области G, не являющиеся его сепара-
сепаратрисами, и перенумеруем все эти пол у траектории (вместе с сепара-
сепаратрисами) '
L\\ LB\ .... LV, (И)
рассмотрим также все стремящиеся к О угловые нолутраектории
L\ \ ЬB\ ..., Н . A2)
Пусть, как и выше, Ueo (О) — е0-окрестность состояния равновесия О,
кроме О не содержащая целиком ни одной особой траектории. Криволиней-
Криволинейные секторы gt, на которые сепаратрисы и полутраектории петель разде-
разделяют окрестность U^ (О), подразделяются особыми полутраекториями,
не являющимися сепаратрисами точки О, на более мелкие криволиней-
криволинейные секторы. Принимая во внимание лемму 5 § 17, нетрудно убедиться
в том, что между двумя последовательными в циклическом порядке
особыми полутраекториями лежит: а) ю-параболический сектор, если
обе эти полутраектории положительны, и а-параболический, если обе
полутраектории отрицательны; б) эллиптическая или гиперболическая
область, если одна из этих полутраектории положительна, а другая
отрицательна. Как и выше, мы можем вместо того, чтобы рассматривать
полутраектории, выделенные из петель, рассматривать все различные
эллиптические области состояния равновесия.
Определение XXIII. Мы скажем, что дана полная схема
состояния равновесия О, не являющегося центром, если указан циклический
порядок, в котором расположены вокруг состояния равновесия О все стремя-
стремящиеся к нему особые полутраектории и все его эллиптические области,
и при этом указано, какие из полутраекторий являются угловыми полу-
полутраекториями. Полная схема состояния равновесия может быть записана
таблицей вида
О\Ь\Х, gai, Lr2, Li3, ... A3)
Порядок, в котором полутраектории и эллиптические области выписаны
в этой таблице, соответствует циклическому порядку, в котором они рас-
расположены вокруг состояния равновесия О. Как и в случае локальной
схемы состояний равновесия, запись схемы определена с точностью до
циклической перестановки. В согласии со сказанным выше (см. п. б)),

358
СХЕМА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ
[ГЛ. VIII
если между двумя полутраекториями, из которых одна положительна,
а другая отрицательна, в схеме нет знака ga, то это означает, что между
ними лежит гиперболический сектор.
Очевидно, полная схема определяет его локальную схему, но не
наоборот. Так же, как и в случае локальной схемы, можно рассматривать
вместо эллиптических областей петли, выделенные из них, или полутраек-
полутраектории этих петель.
Так же, как и локальная схема, полная схема может быть задана
схематическим рисунком с указанием обозначений для траекторий. Так,
например, пусть полная схема состояния равновесия задана таблицей
O\Li, gl, L\, Lt, Li, g2, Li, L\, g3, L7, g4, L\.
Соответствующим ей схематическим рисунком является рис. 211. При этом,
как уже отмечалось (см. п. б)), если между двумя полутраекториями,
из которых одна положительна,
а другая отрицательна, нет зам-
замкнутой узловой области, то ме-
между ними лежит гиперболиче-
гиперболический сектор. Кроме того, в силу
леммы 4 между двумя последо-
последовательными в циклическом по-
порядке эллиптическими областя-
областями всегда лежит по крайней
мере одна особая полутраек-
полутраектория.
Рассмотрим замкнутую ка-
каноническую окрестность Н со-
состояния равновесия О и огра-
ограничивающую ее каноническую
кривую Е.
Очевидно, всякая стремя-
стремящаяся к состоянию равновесия
О полутраектория, не являю-
являющаяся сепаратрисой этого состояния равновесия, непременно пересекает
одну из параболических дуг без контакта lh. В частности, особые полу-"
траектории, стремящиеся к состоянию равновесия О (не являющиеся
сепаратрисами точки О), тоже пересекают параболические дуги.
Эти полутраектории разделяют параболические области на более
мелкие, тоже параболические области, а параболические дуги lh, входя-
входящие в границы этих областей, на более мелкие дуги без контакта (рис. 212).
В случае, когда дуга lh — ю-параболическая, будем эти части дуги //(
называть ю-дугамн и обозначать через с;, а в случае, когда дуга l,t — а-
параболическая, будем эти части называть а-дугами и обозначать через bj.
Дуги йг и bj кроме концов не пересекаются, таким образом, ни с одной
особой полутраекторией. В частности, дуга at или bj может совпадать
со всей параболической дугой lh. Нетрудно видеть, что хотя бы один
из концов дуги о; пли bj принадлежит особой полутраектории. Дуги оь bj,
а также определенные выше эллиптические дуги, седловые душ траекто-
траекторий и седловые дуги без контакта будем называть каноническими дугами
канонической кривой Е. Рассмотрим параболическую область, граница
которой состоит из дуги о, (или bj) двух полутраекторий, проходящих
через концы дуги а, (или bj) и состояния равновесия О. Всякую такую
область, а также определенные выше эллиптическую и гиперболическую
Рис. 211.

§ 19]
ЛОКАЛЬНАЯ И ПОЛНАЯ СХЕМА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ
359
области, являющиеся частями канонической окрестности Н, будем назы-
называть каноническими областями данной канонической окрестности.
Предположим, что наряду с состоянием равновесия О системы D
рассматривается состояние равновесия О системы D (системы D и D,
в частности, могут совпадать). Пусть заданы полные схемы этих состоя-
состояний равновесия.
Таким образом, у состояния равновесия О, так же как и у состояния
равновесия О, перечислены все стремящиеся к нему особые полутраекто-
полутраектории, т. е. ю- иа-сепаратрисысостоя-
иа-сепаратрисысостояния равновесия О, все стремящиеся
к нему полутраектории орбитно-
неустойчивых траекторий, не яв-
являющихся его сепаратрисами L[ \
L\ , . . . , Ь'л , и все стремящиеся
к О угловые полутраектории (L\ \
L'z\ . . . , L~). Кроме того, пере-
перечислены все эллиптические облас-
области состояния равновесия О (gai,
ga2' • • • i goj)- Полная схема со-
состояний равновесия О записана
в виде таблицы
О\Ъ\\ gav ... A4)
Порядок полутраекторий в эл-
эллиптических областях соответст-
соответствует их циклическому порядку, в
котором они расположены вокруг
состояния равновесия О. Приведем определение тождественности полных
схем двух состояний равновесия, полностью аналогичное данному выше
определению тождественности локальных схем.
Определение XXIV. Мы скажем, что полные схемы состояний
равновесия О и О тождественны с сохранением ориентации и направления
по t, если соответственно между ю- и а-сепаратрисами этих состояний
равновесия и стремящимися к ним угловыми и особыми неугловыми полу-
полутраекториями, а также между их эллиптическими областями существует
взаимно однозначное соответствие 0, удовлетворяющее следующему усло-
условию: полная схема состояния равновесия О может быть получена из полной
схемы состояния равновесия О путем замены полутраекторий и эллипти-
эллиптических областей состояния равновесия О соответствующими им по соответ-
соответствию 6 полутраекториями или эллиптическими областями состояния
равновесия О.
Таким образом, когда полные схемы двух состоянии равновесия О
и О тождественны, очевидно,
Рис. 212.
и при надлежащей нумерации траектории и эллиптических областей
состояния равновесия О таблица A4), описывающая полную схему этого
состояния равновесия, может быть получена из таблицы, описывающей
полную схему состояния равновесия О путем добавления волнистой черты

360 СХЕМА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. VIII
в обозначении полутраекторий и эллиптических областей. Соответствую-
Соответствующие друг другу по соответствию 6 полутраектории и эллиптические области
будем называть соответствующими друг другу по схеме. При тождествен-
тождественности схем состояний равновесия, очевидно, существует также соответ-
соответствие по схеме между полутраекториями L*+ и L*+, L*~ и L*~, выделенны-
выделенными из петель. Рассмотрим канонические окрестности // и Н состояний
равновесия О и О, пусть Е и Е — ограничивающие пх канонические
кривые. Как и в случае состояния равновесия О, особые полутраекто-
полутраектории, стремящиеся к состоянию равновесия О, не являющиеся его сепаратри-
сепаратрисами, разделяют каноническую окрестность Н на канонические области,
а каноническую кривую Е на канонические дуги at, Ьг, Sc, S* и X',-
При тождественности полных схем состояний равновесия О и О инду-
индуцируется естественное взаимно однозначное соответствие между канониче-
каноническими областями канонических окрестностей Нж Н, каноническими дугами
кривых Е и Е и концами этих дуг, именно: 1) Соответствующими друг
другу каноническими областями являются области, в границы которых
входят соответствующие друг другу по схеме особые полутраекторип.
Соответствующие друг другу области имеют одинаковый характер.
2) Соответствующими друг другу каноническими дугами являются дуги,
концы которых принадлежат соответствующим друг другу по схеме осо-
особым полутраекториям, и эти дуги входят в границы соответствующих
ДРУГ другу в силу 1) областей; соответствующими друг другу концами
канонических дуг являются концы, принадлежащие соответствующим друг
другу по схеме полутраекториям или дугам. Имеет место также теорема:
Теорема 62. Если схемы состояний равновесия О и О тождествен-
тождественны с сохранением ориентации и направления по t, то существует
топологическое отображение любых двух замкнутых канонических окрест-
окрестностей Н и Н этих состояний равновесия, переводящее траектории
в траектории, сохраняющие ориентацию и направление по t, при котором
соответствующие друг другу по схеме угловые и особые неугловые полу-
полутраектории отображаются друг в друга.
Доказательство настоящей теоремы проводится полностью аналогпч-^
но доказательству теоремы 61 с учетом замечания 2 к этой теореме.
Замечание. Если заранее задано топологическое отображение
канонических кривых Е и Е, при котором соответствующие друг другу
по схеме канонические дуги и соответствующие друг другу по схеме
концы их отображаются друг в друга, то всегда существует отображение
замкнутых канонических окрестностей Н и Н, обладающее указанными
в теореме свойствами, совпадающее на кривых Е и Е с заданным отобра-
отображением этих кривых.
5. Состояния равновесия типа центр. Предположим теперь, что рас-
рассматриваемое состояние равновесия О таково, что к нему не стремится
ни одна полутраектория. Тогда в силу теоремы 18 § 4 в любой сколь угодно
малой окрестности точки О есть замкнутая траектория, содержащая точ-
точку О внутри. В силу предположения о конечности числа орбитно-неустой-
чивых траекторий существует е0 > 0 такое, что в окрестности ?/го (О)
не лежит целиком ни одной особой траектории кроме точки О. Пусть L —
замкнутая траектория, целиком лежащая в С/Ео (О) и содержащая точку О
внутри (такая траектория, очевидно, всегда существует), a g/, — область,

§ 19J ЛОКАЛЬНАЯ И ПОЛНАЯ СХЕМА СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ 301
расположенная внутри кривой L. Очевидно, в области gL кроме О не лежит
целиком ни одна особая траектория. Область gL будем называть канониче-
канонической окрестностью центра О.-
Имеет место лемма, элементарное доказательство которой опускается.
Лемма 5. Все траектории, проходящие через отличные от О точки
области g^, замкнуты, содержат одна другую и содержат состояние
равновесия О внутри.
Пусть теперь L4 и L2 — две замкнутые траектории, из которых одна
лежит внутри другой. Пусть в области w между ними нет ни одной особой
точки и все проходящие через точки этой области траектории замкнуты.
Очевидно, все эти траектории должны лежать одна внутри другой.
Лемма 6. Существует дуга без контакта, соединяющая некоторую
точку Mi траектории Lt с некоторой точкой М2 траектории L2 и кроме
концов Mi и Мч лежащая целиком внутри области w и пересекающая все
проходящие через точки w траектории.
Рассмотрим снова область gL, ограниченную замкнутой траекторией L.
Лемма 7. Существует простая гладкая дуга, соединяющая точку О
с точкой А траекторией L целиком, кроме концов лежащая внутри L во всех
отличных от О точках, не имеющая контактов и пересекающая все траекто-
траектории, проходящие через отличные от О тючки внутри gL.
Доказательства лемм 6 и 7 совершенно аналогичны доказательству
лемм 2 и 5 § 18, поэтому мы их не приводим.
Мы будем называть замкнутую траекторию L траекторией данного
центра О, если внутри L кроме О нет ни одного особого элемента (т. е. ни
одной орбитао-неустойчивой траектории и ни одной граничной кривой).
Определение XXV. Мы скажем, что задана схема состояния
равновесия типа центр, если указано, совпадает ли на траекториях этого
центра направление по t с положительным направлением обхода или
противоположно ему. ___
Предположим, что заданы два центра О и О соответственно системы D
и системы D.
Определение XXVI. Мы скажем, что схемы центров О и О
тождественны с сохранением ориентации и направления по t, если на
траекториях обоих этих центров направление по t либо одновременно
совпадает с направлением положительного обхода, либо одновременно
противоположно ему.
Рассмотрим какие-нибудь канонические окрестности этих центров gL
и gL. Пусть L и L — замкнутые траектории, являющиеся границами
этих областей. Имеет место следующая теорема, элементарное доказа-
доказательство которой, опирающееся на лемму 7, мы опускаем.
Теорема 63. Если схемы центров О и О тождественны с сохра-
сохранением ориентации и направления по t, то существует топологическое
отображение замкнутых канонических окрестностей gL и gL друг на друга,
при котором траектории переводятся в траектории и сохраняется ориен-
ориентация и направление по t.
Замечание. Пусть заранее задано топологическое отображение
траекторий L и L друг на друга, при котором сохраняется направление
по t, тогда топологическое отображение замкнутых канонических окрест-
окрестностей gL и gj, обладающее указанными в теореме свойствами, всегда
может быть построено таким образом, чтобы в точках траекторий L и L
оно совпадало с этим заданным отображением.

ГЛАВА IX
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕКОТОРЫХ ТИПОВ СЛОЖНЫХ
СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ*)
Введение
В настоящей главе рассматривается один класс сложных состояний
равновесия, естественно представляющийся наиболее элементарным. Имен-
Именно, рассматриваются сложные изолированные состояния равновесия анали-
аналитических динамических систем в случае, когда разложения правых частей
уравнений системы в окрестности этих состояний равновесия содержат
хотя бы один член первой степени.
Метод исследования сложных состояний равновесия, излагаемый в
настоящей главе, опирается на последовательное рассмотрение траекто-
траекторий, стремящихся к состоянию равновесия в каком-нибудь одном из воз-
возможных направлений. Поэтому прежде всего в первом параграфе настоя-
настоящей главы (§ 20) рассматривается вопрос о направлениях, в которых
траектории могут стремиться к сложным состояниям равновесия (для
случая простых состояний равновесия этот вопрос рассматривался в
главе IV, § 9).
В § 21 изучаются состояния равновесия (указанного типа), имею-
имеющие одно отличное от нуля характеристическое число (б =/= 0).
В этом случае состояние равновесия может иметь либо характер сед-
седла, либо узла, либо это — так называемое седло — узел (состояние
равновесия с одним параболическим и двумя гиперболическими сек-
секторами).
В § 22 рассматривается случай, когда оба характеристических числа
равны нулю F = 0). В этом случае могут представиться семь возможно-
возможностей — седло, узел, фокус, центр, седло — узел, а также вырожденное
состояние равновесия (два гиперболических сектора) и состояние равно-
равновесия с эллиптической областью (имеющее один эллиптический и один
гиперболический сектор). Применяемый в этой главе метод исследования
принадлежит Бендиксону [33].
Заметим, что этим методом можно исследовать топологическую
структуру не только указанных выше, но и любых состояний равновесия
аналитических систем.
*) В настоящей главе мы в известной мере опираемся па проведенное в главе VIII
исследование возможного характера окрестности состояния равновесия и пользуемся
введенными там понятиями параболического, гиперболического сектора и эллипти-
эллиптической областей состояний равновесия.

§ 20] НАПРАВЛЕНИЯ СТРЕМЛЕНИЯ К СЛОЖНОМУ СОСТОЯНИЮ РАВНОВЕСИЯ 363
§ 20. Направления, в которых траектории стремятся
к сложному состоянию равновесия
1. Переход к полярным координатам. Мы ограничиваемся только
случаем динамических систем
г?~== Р (з"? У)> "з1"—vl^i У) A)
аналитического класса.
Пусть О — изолированное сложное состояние равновесия (для
которого А = 0, см. § 7), лежащее в начале координат. Опираясь на
определение IX § 9, мы рассмотрим в настоящем параграфе вопрос о на-
направлениях, в которых стремятся траектории к такому состоянию рав-
равновесия.
Предположим, что разложения правых частей Р (х, у) и Q (х, у)
в ряд Тейлора в окрестности рассматриваемого состояния равновесия
О @, 0) имеют вид
V (¦?> У) = vm (¦?? У) i ч-(-*> У)'
где то>1, Рт(;с, у) и (?т(я:, г/) — однородные многочлены, состоящие
из всех членов ттьго порядка соответствующих разложений, а функции
Ф (х, у) и ij) (х, у) — ряды, состоящие из членов более высоких порядков.
При этом мы считаем, что многочлены Рт и <^т не равны тождественно
нулю. Так же, как в § 8, перейдем к полярным координатам, полагая
х = q cos 6, у = q sin Э. Мы получим систему
-~ = Р (q cos 6, q sin Э) cos 6 -\- Q (g cos Э, q sin 9) sin 9,
B)
-jT-= — |Q (q cos 0, QsinO)cos0 — .P(q cos 9, q sin 9) sin 9],
которая после простых преобразований приводится к виду
-?- = Qm [Рт @) cos 9 + Qm @) sin 9 ^ Qq> (q, cos 6, sin 0)],
' ^ C)
~ = q [<?m @) cos 0- Pn @) sin 0 |- Qt (q, cos G, sin 0)],
где через Рга @), (?m @) обозначены для краткости Рт (cos 0, sin 0),
Qm (cos 0, sin 0), а ф, ij; — аналитические функции своих аргументов.
Связь между траекториями систем (I) и C) может быть установлена пол-
полностью аналогично тому, как это было сделано в § 8 в случае рассмотрен-
рассмотренной там системы.
Пусть q = q (t), 0 — 9 (t) — произвольная траектория системы C),
расположенная в полосе Q+: [— oo<;G<C + oo, 0<q<q*] плоско-
плоскости (q, 0) (q* достаточно мало). Введем на этой траектории новый пара-
параметр т, связанный с параметром t соотношением
dx
. -—- г) *¦ t / j С'Ч-!
(it,
Так как Q > 0, то т есть монотонно-возрастающая функция t
и, следовательно, t — однозначная функция т: t---t(t). Уравнения
q = qA(t)), O = O(t(x)) E)

364 НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IX
также являются параметрическими уравнениями рассматриваемой траек-
траектории.
Из соотношений C) и D) следует, что пара функций q = q (t (т)),
6 = 0 {t (%)) удовлетворяет системе уравнений:
frг = Q [Рт (8) cos Э + Qm (В) sin Э + рф],
Ц = <?т (в) COS 9 - Рт (в) Sill в + 6ф.
Таким образом, траектории системы C), расположенные в полосе Q+,
совпадают с траекториями системы F). Предположим теперь, что рассма-
рассматривается траектория L системы (I), лежащая в С/р* (О) и стремящаяся,
скажем, при t —>• -f- оо к состоянию равновесия О. Пусть Lt — одна из
¦ траекторий системы C), соответствующая траектории L. При t —>¦ + оо
q (t) -*¦ 0. Покажем, что при t -*- + °° т также стремится к + оо (при дви-
движении по траектории ?4). В самом деле, так как т — монотонно-возрастаю-
монотонно-возрастающая функция от t, то при t -*- + оо т либо стремится к + оо, либо ограни-
ограничено сверху. Рассмотрим выражение в квадратных скобках из первого
уравнения системы F). Нетрудно видеть, что при достаточно малых q это
выражение ограничено по модулю, следовательно, существует такое
С > 0, что -j- > — Cq для всех достаточно малых q. Интегрируя по-
последнее неравенство от т0 до т > т0, мы получим
In е (т) — In q (т0) > —С(т —т0),
. 1пО(Т) In Q (То)' г\ / \ А I
т. е. т > т0 + ^-^—р, . Отсюда следует, что при g (т) —> U т —> + оо.
Заметим теперь, что систему F) можно рассматривать не только
в полосе 10 < q <б*1, но и в полосе [\q\ <Q*I, если q* достаточно
мало. В этой полосе она может иметь состояния равновесия только на
оси Э, т. е. при q = 0. В самом деле, если q Ф 0, то правые части систе-
системы F) одновременно равны нулю лишь в том случае, когда равны нулю
правые части системы B), т. е. когда Р (q cos 0, q sin 0) = 0, Q (q cos 0,
q sin Э) = 0. Однако в силу изолированности состояния равновесия О
последние два равенства при малых q, отличных от нуля, выполняться
одновременно не могут.
Пусть, как и выше, L есть траектория системы (I), стремящаяся при
t —*¦ + оо к состоянию равновесия О, Lt — соответствующая ей траекто-
траектория системы F). Как мы показали, при т —>- + оо q (t) -*- 0 (вдоль траек-
траектории Lj). Очевидно, чтобы выяснить, стремится ли траектория L в опре-
определенном направлении к состоянию равновесия О, нужно исследовать
функцию Э (т), соответствующую траектории Lt. К этому исследованию
мы и переходим.
2. Общий случай. В этом пункте мы рассмотрим случай, когда много-
многочлен xQm (x, у) — уРт (х, у) не равен тождественно нулю. При этом
уравнение
(?m(cos6, sinЭ) cosQ — Pm (cosG, sme)sin6 = 0 G)
либо не имеет действительных корней совсем, либо имеет на интервале
л; не более т + 1 корня *).
*) Это следует из того, что уравнение G) сводится к уравпению (т -\- 1)-го
порядка относительно tg 6; при рассмотрении его корней следует, конечно, учиты-
учитывать и корни, равные бесконечности.

20] НАПРАВЛЕНИЯ СТРЕМЛЕНИЯ К СЛОЖНОМУ СОСТОЯНИЮ РАВНОВЕСИЯ 365
Пусть эти корни — Эь 62,
уравнения G) имеют вид
Э8 (s < т + 1). Тогда все корни
/9*
¦— оо <n<-fco).
Точки q = 0, 0 = 6/j + пп представляют из себя все состояния равно-
равновесия системы F), расположенные в полосе |q| < q*.
Априори возможны три предположения: 1) при т -*¦ + оо 0 (т) —»¦
—>- + оо или 0 (т) -*¦ — оо; 2) при т ->- — оо функция 0 (т) остается
ограниченной по модулю; 3) при т —»- + оо функция 0 (т) не ограничена,
но не стремится ни к + оо, ни к — оо.
Покажем, что случай 3) в действительности не может иметь места.
Предположим, что функция 0 (т) не ограничена сверху и не стремится
к + оо. Тогда для некоторого
числа 0* при любом Т суще- р
ствует такое т4 > Т, что
О (т4)^0*. С другой стороны,
для любого 0** существует при
любом Т число т-2 > Т такое, р
что 0 (т2) > 0**.
Возьмем 0** > 0*, и пусть
число 0 отлично от чисел Qkn и
удовлетворяет неравенству 0* <С —
<0 < 0**. Пусть для опреде-
определенности
Qm (cos 0, sin 0) cos 0 — Рис. 213.
- Pm (cos 0, sin 0) sin В > 0.
Тогда в силу второго из уравнений F) при 6 - flu при достаточно малых q
@ < у < б) -г- > 0, т. е. прямолинейный отрезок 0=0, 0 < Q < Q,
не имеет контактов с траекториями системы F) и траектории этой системы
могут пересекать его (при возрастании т) только в направлении слева
направо (рис. 213). __
Так как при больших т траектория Lx проходит в полосе 0 < q < о,
то она тоже может пересекать указанный отрезок только в одном направле-
направлении. Но тогда функция 0 (т) пе может при сколь угодно больших т перехо-
переходить от значений, меньших 0*, к значениям, большим 0**, и, обратно,
что противоречит выбору чисел 0* п 0**. Таким образом, случай 3) не
может иметь места.
В случае 1) 0 (т) -*¦ + оо или 6 (т) -»- — оо при т ->¦ + °°- Это зна-
значит, что при t —*¦ + оо точка движется по траектории L к состоянию равно-
равновесия О так, что 0 (t) -*¦ -г оо или 0 (t) ~> — оо, т. е. траектория L пред-
представляет из себя спираль.
В случае 2) положительная полутраектория L\ системы F) остается
в ограниченной части плоскости и, следовательно, имеет со-предельное
множество.
Так как при т —>¦ + оо q (т) —>¦ 0, то это предельное множество должно
быть расположено на оси 0. Но тогда в силу теоремы 9 § 4 оно является
состоянием равновесия, т. е. одной из точек с координатами q = 0 и 0 =
= 6fen. Это значит, что точка М траектории L стремится при t —*¦ -4- оо
к состоянию равновесия О так, что lim 0 (t) = в* существует я равен
t-v+m
одному из чисел 0fen, т. е. полутраскторпя L+ стремится к состоянию равно-

366 НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IX
весия О в направлении Qhn. Часто говорят, что это направление удовле-
удовлетворяет уравнению
xQmt*, У) — уРт(Х, 7,)= 0 (8)
в том смысле, что tg 9* равен одному из значений отношения у /х, опре-
определяемого указанным уравнением.
Замечание 1. Если предположить, что направление 6*, в кото-
котором полутраектория Ь+ стремится к точке О, не удовлетворяет одновре-
одновременно уравнениям Рт (х, у) = О, Qm (х, у) = 0 (т. е. не удовлетворяются
одновременно соотношения Рт (cos 0*, sin 0*) = 0, Qm (cos 6*, sin0*) — 0),
то нетрудно показать, что при t —>¦ -f- oo существует lim у (конечный
doc
или бесконечный) и этот предел совпадает с lim у ix, т. е. тоже равен tg 0*.
Для доказательства рассмотрим уравнение
х, У)
dx Pm(x, у) + <р(х, у) ¦
Полагая х = q cos 6, у = q sin 8 и сокращая на q"\ мы будем иметь
dy _ (>m(cos8, si n 8) 4- р-ф1 (q . cos 0, sin 6)
d% fm(cost), sin B)-J- Q<pi (g, cos 6, sin 6)
(ф! и ift — аналитические функции своих аргументов). Так как при дви-
движении по полутраектории L+ q—¦» 0, 0—> 0*, то, переходя к пределу,
мы получим
и™ ^у_ _ Qm (cos e*. sine*)
dx - Рт (cos"e*, sin 0*) •
Из этого соотношения и равенства
cos Q*Qm (cos 0*, sin 0*) — sin в*Р„, (cos G*, sin 0*) = 0
следует, что lim ~- = tgG* = lim y'x. Утверждение доказано.
Случай, когда Pm (cos 0*, sin 0*) и Qm (cos 0*, sin 0*) одновременно
равны нулю, мы не рассматриваем.
Замечание 2. Если существует траектория, являющаяся спи-
спиралью, стремящейся, например, при t —*- + оо к состоянию равновесия О,
то все траектории, проходящие через точки некоторой окрестности О,
являются такими спиралями, т. е. точка О является устойчивым пли
неустойчивым фокусом. Докажем это.
Выберем число 9 так, чтобы выражение Qm (cos 0, sin G) cos G —
— Pm(cosU, sin 6) sin В было отлично от нуля. Тогда, как нетрудно
видеть, прямолинейный отрезок 0 = G, 0 < q < q, при достаточно малом q
не имеет контактов с траекториями системы (I).
Действительно, условия касания траектории с данным отрезком
есть -~ — tg 0 пли
doc
Q{x, y)cosQ — P{x, у)cos9 = 0.
После элементарных преобразований получаем
Q'" [Qm (cos 0, sin G) cos 0 — Pm (cos 0, sin 6) sin 9-f q$ (q, 0)]=0.
В силу выбора 0 данное выражение но равно нулю при малых р.

§ 20] НАПРАВЛЕНИЯ СТРЕМЛЕНИЯ К СЛОЖНОМУ СОСТОЯНИЮ РАВНОВЕСИЯ 367
Пусть L — траектория системы, являющаяся спиралью, пересе-
пересекается с указанным отрезком без контакта в точках Аи Ао, А3, . . .,
монотонно стремящихся к точке О (рис. 214). Тогда нетрудно показать,
опираясь на лемму 14 § 3, что всякая тра-
траектория, проходящая внутри области, огра-
ограниченной дугой At Ai+i траектории и отрез-
отрезком Ai + 1At без контакта, проходит при воз-
возрастании t последовательно все области,
типа заштрихованной на чертеже (начиная
с некоторой), и, следовательно, является
спиралью. Утверждение доказано.
3. Особый случай. Рассмотрим теперь
случай, когда
х Qm (х, у)— у Рт (х, у) = 0.
Очевидно, Qm (x, у) = у Qm-i (x, у), а
Рщ (х, У) =* xQm~l (X' У)' гДе Qm-l ~ 0Д1Г0-
родный многочлен (т — 1)-го порядка, не рпс 9i/,
равный тождественно нулю (напомним, что
т > 1). Переходя, как и в предыдущем случае, к полярным коорди-
координатам и вводя т при помощи соотношения
~ = Qm, (9)
мы придем, как нетрудно убедиться, к системе
m_i (cos 0, sin9)+e9(Q, cos 0, sili 0),
-у- = Qr [z (cosG, sin0) -f qiJ- (q, cost), sili 8I.
A0)
у
Здесь ф и if — аналитические функции своих аргументов, г — неко-
некоторое целое число, г > 0, a z (cos G, sin 6) — однородиьи"| многочлен
порядка т + г -f- 2 *). Так же, как раньше, траекториям системы A0),
расположенным в полосе 0< q< q*, соответствуют траектории систе-
системы A), расположенные в Up* (О). Однако в данном случае, в отличие от
предыдущего, мы но можем утверждать, что при движении по траекто-
траектории Lj параметр т—*- + оо, когда q —>- 0 (т. с. когда t-*¦ -f- oo). Можно
только утверждать, что при q —*¦ 0 т стремится либо к коночному преде-
пределу Т, либо к -|- оо ( так как - >0 п силу (9) ] .
Рассмотрим систему A0) в полосе \q\ <С q*, считая, что q* достаточно
мало. Состояния равновесия системы A0) в этой полосе расположены на
оси 0 и имеют координаты @, 0), где 8 — корни уравнения
, sin8)=0.
A1)
При этом, если г > 0, то каждому корню 0 уравнения A1) соответствует
состояние равновесия @, 0) системы A0), если же г =- 0, то @, 6) является
*) Мы предполагаем, что производная dO/dx не равна тождественно нулю,
тогда число г и функция z определены. Если dti/dx :.j 0, то интегральными кривыми
являются лучн 6 = const.

368 НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IX
состоянием равновесия при условии, что z (cos 9, sin 6) тоже обращается
в нуль. Очевидно, система A0) либо не имеет совсем состояний равновесия
в полосе gj <Z g*, либо все состояния равновесия ее суть точки g = 0,
б = 6fen = Oft + пя, где к пробегает значения 1, 2, . . ., s (п пробегает
все целые числа, a s — некоторое положительное число, s^m— 1).
Точки @, Bh), к — 1, 2, . . ., s,— состояния равновесия системы, рас-
расположенные на отрезке О^Э < я оси 6 (см. начало предыдущего
пункта).
Будем называть направления Э, удовлетворяющие уравнению A1),
особыми направлениями.
Предположим, что 0 не является особым направлением. Тогда в точ-
точке @, 0), а следовательно, и в близких точках J Ф 0. Уравнение траек-
траектории, проходящей через эту точку, можно
написать в виде 6 = 0 (g), причем - фоо.
Следовательно, траектории системы A0) вбли-
вблизи точки @, 0) ведут себя так, как показано на
рис. 215. Но это означает, что для каждого не-
неособого направления Э существует в точности
одна положительная или отрицательная полу-
-*т; траектория системы (I), которая стремится к со-
состоянию равновесия О в направлении 6.
Пусть теперь L+ — полутраектория систе-
Рис. 215. мы (I), расположенная в Up* (О), стремящаяся
к состоянию равновесия О и отличная от по-
полутраекторий, только что рассмотренных (т. е. от траекторий, стремя-
стремящихся кОв неособых направлениях).
Рассмотрим какую-нибудь из траекторий системы A0), соответствую-
соответствующих на плоскости (g, 0) полутраектории IA. Пусть это будет траектория
L (q = g (т), 0 = 6 (т)), причем пусть точкам полутраектории L+ взаимно
однозначно соответствуют те точки траектории L, для которых т0 < т < Т.
Эти точки образуют часть траектории L; мы обозначим эту часть через Lt.
Очевидно, эта часть лежит в полосе 0 < g < q* плоскости (q, Э) и при
т -*- Т точка М (т) на этой части движется так, что g (т) -*¦ 0.
Заметим, что либо Т есть конечное число, либо Т = +°°- Если
Т = +°°» то Li\ есть положительная полутраектория. Если Т — конеч-
конечное число, то можно предполагать две возможности: 1) траектория L
определена и для значений т !> Т; 2) L определена только для значе-
значений т < Т.
Покажем сначала, что точки части L^ траектории L расположены
в конечной части плоскости. С этой целью рассмотрим дугу А0В0 неко-
некоторой траектории системы A0), проходящей через точку Ао @, 0О), где 0О
не является особым направлением.
Будем предполагать, что для всех точек этой дуги, отличных от
Ао, 0<р^е, где е — достаточно малое число (е < g*), сдвигая дугу
А0Б0 вдоль оси Э на расстоянии 2лк (к = ±1, ±2, ±3, . . .), мы полу-
получим кривые AkBk, также являющиеся частями траекторий системы A0)
(рис. 216).
Очевидно, когда т -*¦ Т, возрастая, и, следовательно, q (t) -*¦ 0,
часть Li траектории L попадает в один из указанных на рис. 216 «четырех-
«четырехугольников» AkBhBh + 1Ak+1 и при дальнейшем возрастании т не может

/ t
А-г А-/
P
В-} Bg Bf B2
' / / /
Ag A, A2 в
§ 20] НАПРАВЛЕНИЯ СТРЕМЛЕНИЯ К СЛОЖНОМУ СОСТОЯНИЮ РАВНОВЕСИЯ 3G9
из него выйти. В самом деле, Lt лежит в полосе 0 < о < q*, поэтому
q (т) > 0. Далее, начиная с некоторого момента для точек этой части
q (т) не превосходит е. Поэтому Ьц при возрастании т не может выйти
из области AkBhBh+lAk+l ни через сторону AhAh+1, ни через сторону
BhBh+i. Через стороны AkBh и Ak+lBh+i Lt также не может выйти, так
как эти стороны являются дугами других траекторий системы A0). Таким
образом, мы показали, что при о -»- 0 дуга Zt (соответствующая полу-
полутраектории L+ системы (I)) остается в ограниченной части полосы
0<о<о*.
Если Т = +ooi TO ^i является положительной полутраекторией
и так же, как и в случае, описанном в конце п. 2, Lt стремится к одному
из состояний равновесия @, 0ftn) сис-
системы A0), расположенному на оси 0.
При зтом нолутраектория L+ стре-
стремится к точке О в направлении 0kn.
Если Т — конечное число и на
траектории L существует точка, для
которой т = Т, то точка эта q = Q (Т),
9 —Ъ (Т) лежит на оси 6 (т. е.
q(T) --=J)) и при т->- Г (т. е. при Рис 216
q -+ 0) 0 (т) ->-8 (Т). Отсюда следует,
что полутраектория L+ стремится к состоянию равновесия О в направ-
направлении 0 (Т). Заметим, что 6 (Т) является тогда особым направлением
(т. е. удовлетворяет уравнению A1)), однако точка @, 6 (Т)) не является
состоянием равновесия системы A0) *).
Случай, когда Т — конечпоо число, а траектория L определена
только для значений т < Т, ие может иметь места, так как при этом
получилось бы противоречие с теоремой 2, § 1.
Таким образом, мы видим, что в случае, когда
Х&т {X, У) — уРт (я, у) == 0,
каждая траектория, стремящаяся к состоянию равновесия О, стремится
к нему в определенном направлении.
Замечание 1. Нетрудно видеть, что если 6 является особым
направлением, но точка @, 0) не является состоянием равновесия сис-
системы A0), т. е. если q = 0, z (cos G, sin 0) ф О, то к состоянию равнове-
равновесия О в направлении 6 обязательно стремится либо одна полутраектория,
либо две; в последнем случае одна из этих полутраекторий является
продолжением второй.
В самом деле, в этом случае точка @, 6) является обыкновенной точ-
точкой аналитической системы A0), причем проходящая через нее траекто-
траектория касается оси 0 (так как -^ = 0, - =#0). Поэтому в окрестности дан-
данной точки траектории расположены так, как на рис. 217 или 218.
Рассматривая соответствующие траектории на плоскости (х, у), мы
непосредственно убеждаемся в справедливости высказанного утверждения.
*) То есть q=^0, s (cosG (Г), sin В (Г)) =?- 0.
24 А. А. Андропов и др.

370
НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ РАННОНКСПЯ
[ГЛ. IX
Замечание 2. Если G есть особое направление и точка @, G)
является состоянием равновесия системы A0), то заранее возможны
следующие предположения: 1) не существует ни одной полутраектории,
стремящейся к О в направлении 0; 2) существует одна такая полутраек-
полутраектория; 3) существует конечное число таких траекторий, большее единицы;
Рис. 217.
Рнс.218.
4) существует бесчисленное множество полутраекторий, стремящихся
к О в направлении Э. В п. 4 мы покажем на примерах, что каждый из этих
случаев действительно может иметь
У У=яг. место.
Мы сформулируем основные ре-
результаты, полученные в п. 2 и п. 3
в виде следующей теоремы:
Теорема 64. Всякая полутраек-
полутраектория аналитической системы
У /~1 / \ ¦ i / \
¦^j" = Vm (xi y)-rW (x< УI
стремящаяся к состоянию равновесия
О @, 0), либо является спиралью, либо
стремится к О в определенном направ-
направлении Э*.
Если хоть одна из траекторий
системы является спиралью, стремя-
стремящейся к О при t —>¦ + °° {или при
t ->-—оо), то все траектории, про-
Рис 219 ходящие через точки некоторой окрест-
окрестности состояния равновесия О, являются
такими же спиралями (т. е. точка О есть устойчивый или неустой-
неустойчивый фокус).
Б случае, когда xQm (х, у) — уРт (%, У) Щ^ 0, все направления 0*,
в которых полутраектории системы стремятся к состоянию равнове-
равновесия О, удовлетворяют уравнению
т(~) (т 1l\ -— 11Р (т ll\ — О
Ч;ГН V**') У) У*¦ ГЦ \"*j У) VJ
(m. е. уравнению cos Q*Qm (cos 9*, sin 6*) — sin Q*Pm (cos 0*, sin0*)=O).
Если xQm (x, y) — yPm (x, y) = 0, mo система имеет вид
-^- = xQm-i (x, y) 4- ф (x, y)
_
dt

S 20] НАПРАВЛЕНИЯ СТРЕМЛЕНИЯ К СЛОЖНОМУ СОСТОЯНИЮ РАВНОВЕСИЯ 371
Рис. 220.
X
Рис. 221.
24*

372 НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IX
В этом случае для каждого неособого направления 6 {т. е. направле-
направления, не удовлетворяющего уравнению Qm~i (х, у) = 0) существует в точ-
точности одна полутраектория, стремящаяся к О в направлении 0. Для
особого же направления 6* может оказаться, что не существует ни одной
полутраектории, стремящейся к О в направлении 6*, либо есть конечное
число таких траекторий, либо, наконец, таких полутраекторий суще-
существует бесчисленное множество.
4. Примеры. Мы представляем читателю рассмотреть приведенные
ниже примеры (во всех этих примерах системы могут быть проинтегри-
проинтегрированы в квадратурах) и убедиться в том, что все случаи, перечисленшые
в последнем утверждении, действительно могут иметь место.
Пример 1.
Система интегрируется путем замены - = и. Можно показать, что осо-
особыми направлениями являются 6 = 0 и 6 = п, причем каждому из осо-
особых направлений соответствуют две полутраекторпи, входящие в О
в этих направлениях (рис. 219).
Пример 2.
—~ = ху - За;3; -^- = у" — багг/ + эг1-
Система интегрируется с помощью замены у/х2 = и. Рассматривая полу-
полученный интеграл, нетрудно убедиться, что особых направлений два:
6 = 0 и 6 = я, и что каждому особому направлению соответствует бес-
бесчисленное множество траекторий, входящих в состояние равновесия в
этом направлении (рис. 220).
Пример 3.
dx dii „ .
-?- = *»• -аГ = У-х-
Траекториями этой системы являются кривые y^-\-xi = Cx- (C>0)
и, кроме того, полуоси х — 0, у > 0 и х = 0, у < 0. Особыми направле-
направлениями являются 6 = 0 и 6 = п. При этом не существует ни одной траек-
траектории, входящей в состояние равновесия в особом направлении (рис. 221).
§ 21. Топологическая структура сложного состояния равновесия
в случае а = ?'х @, 0) +Q'V @, 0)^=0
1. Вспомогательные преобразования и леммы. Рассмотрим преобра-
преобразование, определяемое соотношениями
х = х, у=хг\. A)
Это преобразование и аналогичное ему преобразование
х = \у, У = У B)
систематически используется в исследованиях настоящей главы. Поэтому
приведем здесь некоторые их свойства.
а) Рассмотрим плоскости (х, у) и (х, г\). Будем для краткости назы-
называть разрезанной плоскостью плоскость, из которой удалены точки оси
х = 0. Преобразование A) определяет топологическое отображение раз-
разрезанной плоскости (х, у) на разрезанную плоскость (х, г\). Из формул A)

21]
случай а=РЦО,
0, О)фО
373
следует, что при этом отображении точки квадрантов 1, 2, 3, 4 плоскости
(х, у) переходят соответственно в точки квадрантов 1, 3, 2, 4 плоскости (х, ц).
Если рассматривать преобразование A) по отношению к неразрезан-
неразрезанным плоскостям (х, у) и (х, г]), то на оси х = 0 плоскости (х, у) отображе-
отображение не определено ( так как т] = — i . На оси х = 0 плоскости (х, г\) оно
определено, но переводит эту ось в одну точку @, 0) плоскости (х, у).
б) Рассмотрим малую окрестность U& (О) начала координат О пло-
плоскости (х, у) радиуса б. На разрезанной плоскости эта окрестность состоит
из двух областей («полукругов»). Преобра-
Преобразованием A) каждая из этих областей ото-
отображается на область плоскости (х, т]), пред-
представляющую из себя полосу, расположенную
соответственно справа или слева от оси
х = 0 и ограниченную этой осью и асим-
асимптотически приближающейся к ней линией
(рис. 222).
Обозначим через Г область плоскости
(х, т]), ограниченную двумя указанными ли-
линиями. Посредством преобразования A) «раз-
«разрезанная» окрестность U^ (О) топологически
отображается на «разрезанную» область Г.
в) Пусть дана динамическая система
dx
, у),
C)
определенная в окрестности U6 (О). В раз-
разрезанной окрестности С/й (О) преобразование Рис. 222.
A) можно рассматривать как замену пере-
переменных, при которой система C) переходит, как показывают несложные
вычисления, в систему
— р (*г птЛ
dt — х ' ^'
Всюду в дальнейшем мы будем считать, что система C) является анали-
аналитической, а точка О (О, 0) есть ее состояние равновесия. Тогда числитель
выражения во втором уравнении D) содержит множитель х, который
можно сократить со знаменателем. После сокращения получается система,
совпадающая с системой D) в разрезанной области Г, но определенная
уже во всей области Г. Однако говорить о том, что при замене перемен-
переменных A) траектории системы D) переходят в траектории системы C), можно
лишь в том случае, когда обе системы рассматриваются лишь в разре-
разрезанных областях Г и U6 (О).
Очевидно, преобразование B) обладает свойствами, аналогичными
свойствам а), б), в). Мы не будем их формулировать, отметим только, что
при рассмотрении преобразования B) под разрезанной надо понимать
плоскость, из которой удалены точки оси у = 0. Далее, преобразование B)
переводит точки квадрантов 1, 2, 3, 4 плоскости (?, у) соответственно
в точки квадрантов 1, 2, 4, 3 плоскости (х, у). Область Г, соответствующая
при преобразовании B) окрестности ?/й (О), расположена, очевидно,
вдоль оси с, а система C) переходит в систему
dt
dt
E)

374 НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IX
Мы переходим теперь к изложению двух лемм, на которые опираются
все рассмотрения этой главы. Предположим, что правые части системы C)
не равны тождественно нулю. Тогда систему C) можно записать в виде
-?- == Рт (х, у) -{- ср (х, у), -^- = Qm (х, у)~Ц {х, у), (G)
где т > 1, Рт (а:, у) и (?ш (х, у) — однородные многочлены т-ro порядка
(один из них может быть тождественно равным нулю), а ф (х, у) и i)? (x, у) —
функции, разложения которых в ряд в окрестности Uc (О) начинаются
с членов не ниже (т + 1)-го порядка.
Применив к системе F) преобразование A), мы получим систему D),
правые части которой содержат, как легко видеть, общий множитель
хт~1. Делая замену параметра хт~гсИ = dx, мы получим систему
-%Г=хР*Р' П)+х2Р*(х, П), -§=<?»»A, ^-цРт{1, 4)-{-xQ*(x, г,), G)
где Р* (х, т]), Q* (х, г\) — аналитические функции в области Г, соответ-
соответствующей окрестности U6 (О) при преобразовании A). При т = 1 сис-
системы D) и G), очевидно, совпадают. При т > 1 траектории системы G)
могут либо совпадать с траекториями системы D), либо состоять из не-
нескольких траекторий системы D), так что целой траектории системы D)
может соответствовать дуга траектории системы G) (см. § 1).
Лемма 1. Пусть О @, 0) — изолированное состояние равновесия
системы F) и
x = x(t)t y = y(t) (8)
— полутраектория этой системы, стремящаяся к нему в направлении
6 = arctg k или 6 = п -\- arctg к, где к Ф оо. Тогда:
1) Точка О @, к) плоскости (х, г\) является состоянием равновесия
системы G). 2) Полутраектории (8) соответствует полутраектория
системы G), расположенная на разрезанной плоскости (х, t\) и стремя-
стремящаяся к точке О @, к). 3) Обратно, всякой полутраектории системы G),
расположенной на разрезанной плоскости (х, г\) и стремящейся к состоя-
состоянию равновесия О @, к), соответствует полутраектория системы F),
стремящаяся к состоянию равновесия О @, 0) в направлении 6 = arctg k
или 6 = я -f- arctg к.
Доказательство. Предположим для определенности, что (8)
является положительной полутраекторией, стремящейся к О @, 0) в на-
направлении G = arctg к или 6 = я + arctg к. В силу теоремы 64 § 20
имеет место равенство От A, к) — кРт A, к) = 0 *), из которого сразу
вытекает, что @, к) есть состояние равновесия системы G). Утверждение
1) доказано. Полутраектория (8) стремится к О @, 0) в направлении
6 Ф - + пл. Поэтому при достаточно больших t полутраектория (8)
расположена на разрезанной плоскости (х, у). Соответствующая ей полу-
полутраектория L (или дуга траектории) системы G) лежит на разрезанной
плоскости (х, г\).
Пусть М {x(t), у (t)) — точка полутраектории (8), а М (х (т), т] (т)) —
соответствующая ей по преобразованию A) точка траектории L. При
t —>- +°° х -"у 0, а т] == ——*- к и, следовательно, точка М при I —>- оо
*) II условиях теоремы предполагается, что xQm — уРт =? и- Однако, если
xQm — !/Рт = 0, то равенство Qm A, к) — кРт A, к) = 0 также выполняется.

5 21 j СЛУЧАЙ O = Py (О, 0) +Qy (О, 0) ф U 375
стремится к состоянию равновесия @, к) (так что и т —>- оо). Отсюда
следует, что полутраектории (8) соответствует полутраектория L систе-
системы G) (это заранее не очевидно, так как полутраектории системы F)
может соответствовать дуга траектории системы G)) (см. § 1, п. 7). Заме-
Заметим, что L может быть отрицательной полутраекторией. Утверждение 2)
доказано.
Третье утверждение леммы очевидно.
Рассмотрим теперь случай, когда система F) имеет полутраекторию,
стремящуюся к состоянию равновесия О в направлении 6 = -к- или -- я.
В зтом случае мы применим преобразование B). Роль системы G) будет
играть система
Лемма 2. Пусть О @, 0) — изолированное состояние равновесия
системы F) и х = х (t), у = у (t) — полутраектория этой системы,
стремящаяся к нему в направлении 6 = -^ или 6 = ^ я. Тогда:
1) Точка О @, 0) плоскости (?, у) является состоянием равновесия
системы (9). Полутраектории х = х (t), у = у (t) соответствует полу-
полутраектория системы (9), расположенная на разрезанной плоскости (|, у)
и стремящаяся к точке О @, 0). 2) Обратно, всякой полутраекто-
полутраектории системы (9), расположенной на разрезанной плоскости (Е, у) и
стремящейся к точке О @, 0), соответствует полутраектория сис-
системы F), стремящаяся к состоянию равновесия О @, 0) в направлении
6Я rv 3
= -^- или У = -s- п.
Напомним, что под разрезанной теперь понимается плоскость с уда-
удаленными из нее точками оси у = 0.
Лемма 2 доказывается так же, как лемма 1.
Приведем здесь еще одну лемму, не связанную с рассмотренными выше
преобразованиями, но необходимую для дальнейшего.
Лемма 3. Если /2 (х. у) — аналитическая в окрестности точки О
функция, разложение которой по степеням х и у начинается с членов
не ниже второго порядка, т — нечетно, т ^> 2 и Дт << 0, то система
¦%¦ = К*т, 4г = V~«* + h (*• V) (Д)
1) не может иметь больше одной полутраетории, стремящейся к точке О
в направлении arctg а, а также не может иметь больше одной полутраек-
полутраектории, стремящейся к О в направлении л + arctg a; 2) система (А) имеет
в точности две полутраектории, стремящиеся к точке О, одну — в на-
л 3
правлении -^ , а другую—в направлении у.т, причем этими полутраек-
полутраекториями являются положительная и отрицательная полуосиОу или участ-
участки этих полуосей, примыкающие к точке О; 3) траекторий, стремящихся
к точке О в других направлениях (кроме 0, л, -^-, ~- п), не существует.
Док азательство. Направления, по которым траектории систе-
системы (А) стремятся к состоянию равновесия О, определяются из уравнения

376 НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IX
х (у — ах) = О (или cos 6 (sin 6 — acos 6) = 0) (см. теорему 64 § 20).
Отсюда сразу вытекает третье утверждение леммы.
Докажем теперь первое утверждение леммы. Для определенности
рассмотрим траекторию, стремящуюся к точке О в направлении G =
= arctg а. Пусть Lj — такая траектория. Начиная с некоторого значе-
значения t, все ее точки будут расположены справа от оси у. Первое из урав-
уравнений (А) показывает, что тогда -.- не обращается в нуль, х (t) — моно-
(it
тонная функция, и, следовательно, уравнение траектории L^ вблизи
точки О может быть записано в явном виде у -= у\ (х), где функция z/j (x)
удовлетворяет дифференциальному уравнению
yi) р
dx ~" Ьтх™ '
Предположим теперь, что существуют две полутраектории, у = у<± (x)
и У = У% (х), стремящиеся к точке О в направлении 6 = arctg а. Обозна-
Обозначим у^х) — Уг(х) = 2 (х). Так как различные траектории не могут пере-
пересекаться, то для всех достаточно малых значений х знак разности z (x)
не может меняться. Будем считать для определенности, что z (х) > 0.
Так как обе полутраектории удовлетворяют уравнению (В), то
_dz_ z-{-fz(x, yi(x)) — fz(x, i/zjx))
dx ~ Amxm
Последнее равенство может быть записано в виде
dx х Amxm~l
(ж>0, оA)—>0 при х^О).
Дальнейшие рассуждения проводятся, принимая во внимание, что
Д„, < 0, дословно так же, как при доказательстве единственности сепа-
сепаратрисы простого седла, входящей в него в направлении О (§ 7, п. 3).
Первое утверждение леммы доказано.
Для того чтобы выяснить, какие полутраектории могут стремиться
к точке О в направлениях у и-,, я, применим к системе (А) преобразование
х = су, у = у. Мы получим систему E), имеющую в данном случае вид
¦%¦= — l + Pzily, У), -т;- = У —й?г/ + /2(ёУ, У), (А)
где Р2 состоит из членов не ниже второго порядка. Непосредственно видно,
что начало координат О @, 0) плоскости (Е, у) есть простое седло системы
(А), а полуоси у = 0, ^ > 0 и i/ = 0, |<0 (или их участки, примыкаю-
примыкающие к точке О) являются сепаратрисами этого седла. Следовательно,
существует еще две и только две полутраектории, стремящиеся к точке
О, — именно, остальные сепаратрисы седла О. Эти две полутраектории
расположены, очевидно, на разрезанной плоскости (Е, у) по разные сто-
стороны от оси у = 0. А тогда из свойств преобразования B) и из леммы 2
вытекает, что существует в точности одна полутраектория системы (А),
„ л
стремящаяся к точке О в направлении-у , и в точности одна полутраекто-
g
рия, стремящаяся к О в направлении-„- п. Так как полуоси х = 0, у > 0

§ 21] случай о=Рх @, O)-f Qy(O, 0) =-/¦ О 377
i х = О, г/ < О (или их участки) являются такими полутраекториями, то
второе утверждение леммы, а следовательно, и вся лемма доказаны.
2. Возможные топологические структуры сложного состояния рав-
равновесия в случае а Ф 0. В этом пункте мы будем считать, что точка
О @, 0) есть сложное изолированное состояние равновесия, одно из харак-
характеристических чисел которого отлично от нуля. Тогда рассматриваемую
систему можно записать в виде
-fr^ax + by + Pz(x,y), ~J^=-cx + dy + Q2(x,y), A0)
где Pz(x, у), Qz (x, у) — аналитические в окрестности начала координат
функции, разложения которых в ряды состоят из членов не ниже вто-
второго порядка, причем
Нетрудно показать, что при этих условиях существует линейное неосо-
неособенное преобразование, с помощью которого система приводится к виду
~ = Р2 {х, у), -dJL-=y + Qz {x, у),
at at
где7 = иг (и — некоторая постоянная), а функции Рг и Q2 удовлетворяют
тем же условиям, что и функции Р2 (х, у) и Q% (x, у) *). Поэтому мы можем,
не теряя общности, исследовать лишь частный случай системы A0),
а именно, систему
-fr = P2(x,y) = P(x,y), -^-=y + Q2(x,y) = Q(x,y). (И)
Все рассмотрение мы будем вести в некоторой достаточно малой
окрестности U?, (О), не содержащей отличных от О состояний равнове-
равновесия. Пусть
а<*. 0=^*1+ *?.?-*>_ A2)
(Р и Q-—правые части системы A1)).
Функция а (х, у) непрерывна и а @, 0) = а = 1. Поэтому можно
считать, что о (%, у) > 0 во всех точках окрестности [7Й (О) и в силу кри-
критерия Бендиксона (см. § 12) в окрестности Uts (О) не существует замкну-
замкнутых траекторий, а также не существует петель. Таким образом, точка
О @, 0) не является центром и ее окрестность не может содержать эллип-
эллиптических секторов. Но тогда обязательно существуют полутраекторпн,
стремящиеся к состоянию равновесия. Мы займемся сейчас исследова-
исследованием таких полутраекторий.
Применяя преобразование B) и рассуждая в точности так же, как
при доказательстве утверждения 2) леммы 3, мы прежде всего убедимся,
*) См. § 6, п. 1. При b =j= 0 в качество указанпого лилейного неособого преобра-
преобразования можно взять преобразование: х = —dx -f- by, у - ах -f- by; а при Ъ = О
и а = 0 преобразование х = х, у = ^х -,- у. Наконец, при Ъ = d = 0 преобразование
{• __
х = х -J- у, у = х. В силу того, что с Ф 0, а и d не могут обращаться в нуль одно
временно.

378 НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IX
что существует в точности одна полутраектория системы A1), стрсмя-
щаяся к состоянию равновесия О в направлении -^- , и в точности одна
3
полутраектория, стремящаяся к О в направлении ~ п. Обозначим эти нолу-
траектории соответственно через Lt и L2- Из их существования и из заме-
замечания 2 § 20 следует, далее, что точка О @, 0) не может быть фокусом
системы (И). Наконец, из теоремы 64 следует, что если кроме Lt и L2
есть еще полутраектории, стремящиеся к точке О, то они стремятся к О
в направлении 0 или я (так как для системы A1) xQm (х, у) — уР'т (х, у) -~
= ху). Наша задача заключается теперь в том, чтобы выяснить число
и характер таких траекторий.
Прежде всего представим систему A1) в другом виде. Рассмотрим
¦ уравнение
По теореме о неявной функции это уравнение имеет в малой окрестности
точки О решение у = ф (х), где ф (х) — аналитическая функция, удовлет-
удовлетворяющая условиям
Ф@) = 0, ф'@) = 0. A4)
Рассмотрим функцию я|) (х), определяемую соотношением
Цр(х) = Р2(х,<р{х)). A5)
Функция г].' {х) не может быть тождественно равной нулю. В самом деле,
если ij) (;r)=0, то из соотношения A5) и из определения функции ф (х) выте-
вытекает, что все точки кривой у = ф (х) —состояния равновесия системы A1),
что противоречит условию изолированности точки О. Поэтому разложе-
разложение функции ij) (x) в ряд имеет вид
^(x) = Amx>»+..., A6)
где т^2, а Дт^=0. Из очевидных равенств
Рг (х, У) = Ц И + Pi (^, у) - Р2 (*, ф И),
следует, что система A1) может быть записана в виде
-Jr = У (х) + [у- Ф (х)] Р (х, у),
где Р и Q — аналитические функции в достаточно малой окрестности
ил (О) и Р @, 0) = Q @, 0) - 0.
Кривая у = ф (х) является изоклиной горизонтальных наклонов для
системы A1). Обозначим через С граничную окружность окрестности
Uб (О) *), а через Pi и Рг — точки пересечения кривой у = ф (х) с окруж-
окружностью С. Отрезок Р\Рг кривой у = ф (х) разбивает окрестность U& (О)
*) В проводимых рассуждениях часто приходится для того, чтобы выполнялись
требуемые условия, заменять окрестность ?/й (О) меньшей окрестностью. Всюду
в дальнейшем мы будем подразумевать, что там, где надо, такая замена ужо сделана
и для новой (меньшей) окрестности сохранено то же обозначении U6 (О).

§ 21]
СЛУЧАЙ О =
O, 0) ==Л 0
379
L,
Рис. 223.
на две области. Из уравнений A7) следует, что в точках верхней из этих
областей с,у > 0, т. е. векторы поля направлены в точках этой области
(it
вверх, а в точках нижней области векторы поля направлены вниз. Отсюда
сразу вытекает, что рассмотренные выше полутраектории Lt и L2, рас-
расположенные соответственно выше и ниже кривой у = ф (х), являются
отрицательными полутраекториями. Мы обозначим первые (при возра-
возрастании t) точки их пересечения с окружностью С через Mt и М2 (рис. 223).
Так как ф (х) есть аналитическая функция, то либо кривая у —
= ф (х) совпадает с осью х (ф (х)) = 0, либо можно считать, что она не имеет
с осью Ох других общих точек кроме О и
что касательная к ней горизонтальна лишь
в точке О (это обеспечивается малостью
окрестности f/6 (О). В первом случае от-
отрезки OPi и ОРъ этой кривой (т. е. оси Ох)
являются, очевидно, полутраекториями
системы A1). Во втором случае любой от-
отрезок кривой у = ф (х), расположенный
между точками Pi и Pz и не содержащий
точки О, является отрезком без контакта
{так как у = ф (х) есть изоклина горизон-
горизонтальных направлений). Направление стрел-
стрелки вектора поля в точках кривой у = ф (х)
определяется первым из уравнений A7),
имеющим вид ~ = ¦$ (х). Принимая во
внимание соотношение A6), мы видим, что это направление определяется
знаком числа Ат и четностью числа т. Поэтому возможно всего 4 слу-
случая. На рис. 223 показаны направления векторов поля в точках кривой
у = ф (х) в случае, когда т нечетно и Дт > 0 *).
Мы переходим теперь к основной теореме данного параграфа, опи-
описывающей возможные топологические структуры состояния равновесия
О @, 0) системы A1).
Теорема 65. Пусть точка О @, 0) является изолированным состоя-
состоянием равновесия системы A1). Пусть, далее, у = ф (х) есть решение
уравнения у -\- Q2 (х, у) = 0 в окрестности точки О @, 0), а разложение
по степеням х функции я|> (х) = Р% (х, ц> (х)) имеет вид ф (х) = Дтх"' + ...,
где т ^ 2, Дт ^= 0. Тогда: 1) При т нечетном, Дт > 0 состояние рав-
равновесия О есть топологический узел. 2) При т нечетном, Ат < 0 точка
О @, 0) есть топологическое седло, две сепаратрисы которого стремятся
к О в направлениях соответственно 0 и я, а остальные две в направлениях
j-u -тг п. 3) Если т четно, то точка О @, 0) есть так называемое седло —
узел, т. е. состояние равновесия, «каноническая» окрестность которого
состоит из параболического и двух гиперболических секторов. При этом,
если Дт <С 0, то внутри гиперболических секторов заключен отрезок
положительной полуоси Ох, примыкающий к точке О (рис. 224), а если
^т^> 0 — отрезок отрицательной полуоси Ох (рис. 225).
Доказательство. Рассмотрим сначала случай 1). Направле-
Направления поля в точках кривой у = ф (х) показаны на рис. 223. Обозначим
*) На рис. 223 отрезки ОР1 и ОР2 кривой у = ц; (х) расположены выше оси Ох.
Один из этих отрезков пли оба они могут быть расположены ниже оси Ох. Однако
проводимые нами доказательства и рассуждения но существу остаются в этих случанх
в силе и нет необходимости рассматривать их отдельно.

380
НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ
[ГЛ. IX
через AiA2 точки пересечения оси Ох с окружностью С. Линии ОМ±,
ОРо, ОА2 и т. д. разбивают окрестность Uc (О) на криволинейные секторы.
Мы будем обозначать их черезОР^Ми 0М1Р2 и т. д. (подразумевая всегда,
что дуги PtMi, MJ?i и т. д. окружности С, входящие в границы секторов,
являются дугами, на которых направление от точки Рг к Mt, от 71/j к Р2
индуцировано положительным обходом окружности С).
Рис. 224.
Рис. 225.
Предположим сначала, что ср (х) = 0. В этом случае отрезки OAt
и ОАг оси х являются отрицательными полутраекториями (рис. 226).
Покажем, что к точке О не может стремиться ни одна положительная по-
лутраектория. В самом деле, предположим, что такая полутраектория V
проходит внутри сектора ОА^М^ или внутри сектора ОМ^А^. Тогда
Рис. 2:26.
Рис. 227.
ордината точки М такой полутраектории при t—*- -~oo должна стремиться
к нулю. А это противоречит условию, что вдоль каждой траектории,
лежащей выше кривой, у — ф (х), -| > 0. (Это вытекает из уравнения A7),
см. выше). Точно так же устанавливается, что положительные полу-
полутраектории, стремящиеся к точке О, не могут проходить внутри секторов
ОА2М2 и ОМ2Л\- Пусть теперь ф (х) не равна тождественно нулю и, сле-
следовательно, кривая у = <р (х) имеет с осью х только одну общую точку О
(рис. 227). Предположим, что существует положительная полутраекто-

§ 21] СЛУЧАЙ О = РЦ0. 0)+ <?,¦, (О, 0) --,<= 0 381
рия L+, стремящаяся к состоянию равновесия О. В точности так же, как
и выше (при ф (х) s 0), устанавливается, что полутраектория L+ не может
лежать целиком внутри секторов OPxMi, OMZP2, ОЛ2М2, OAf2Ai. Допу-
Допустим, что полутраектория L+ расположена внутри сектора О A \Р\. Тогда
в силу следствия леммы 5 § 17 и ввиду отсутствия в окрестности точки О
эллиптических секторов между полутраекториями L+ и L~ расположен
по крайней мере один гиперболический сектор Н. Обозначим сепаратрисы,
входящие в границу такого сектора через Lru и L\i. Принимая во вни-
внимание знак производной ~ вдоль траектории, мы видим — так же, как
и выше,— что сепаратриса Ljj (отрицательная полутраектория) либо сов-
совпадает с Lj, либо лежит внутри сектора 0Р^Ми а сепаратриса Ьц рас-
расположена внутри сектора ОАгР± (рис. 227). Но тогда траектории, про-
проходящие через точки гиперболического сектора Н, будут, очевидно, пере-
пересекать отрезок OPi кривой у — ф (х) в направлении, противоположном
направлению поля в точках этой кривой, что но может быть. Точно так же
устанавливается, что полутраектория L+ не может лежать внутри сектора
OA2Pi- Таким образом, не существует положительных траекторий, стре-
стремящихся к точке О. Но тогда каждая траектория, проходящая через
точки окрестности U(, (О) и отличная от Lt и Ь2, стремится к О при t —>¦
—э оо (причем в направлении 6 = 0 или 0 = л). Но это и значит, что кано-
каноническая окрестность состояния равновесия О не содержит ни эллипти-
эллиптических, ни гиперболических секторов, т. е. каждая траектория, прохо-
проходящая через точки окрестности U& (О), стремится к О при t —>- — оо. Первое
утверждение теоремы доказано. (Заметим, что все полутраектории,
за исключением L" и L~, стремятся к точке О в направлении 0 или я).
Рассмотрим теперь случай 2), при котором векторы поля на кривой
у — ф (х) имеют направления, противоположные указанным на рис. 223.
Мы уже показали, что система A7) имеет одну и только одну полутраек-
полутраекторию Li (отрицательную), стремящуюся к точке О в направлении -^,
а также одну и только одну полутраекторию L.T (также отрицательную),
стремящуюся к точке О в направлении ~я. Бес остальные полутраекторни,
стремящиеся к точке О — если они существуют,— должны стремиться
к ней в направлениях 0 и я.
Из существования полутраекторни L~ и L~ (принимая во внимание,
что они обе отрицательны) непосредственно вытекает, что внутри сектора
0МгМ1 имеется по крайней мере одна нолутраекторня, стремящаяся
к точке О и, следовательно, стремящаяся к точке О в направлении 0,
а внутри сектора 0MiM2 — по крайней мере одна полутраектория, стре-
стремящаяся к точке О в направлении я. Мы докажем, что не может суще-
существовать двух полутраекторни, стремящихся к точке О в направлении 0,
а также не может существовать двух полутраекторин, стремящихся к О
в направлении л. Тем самым второе утверждение теоремы будет, очевидно,
доказано.
Выпишем рассматриваемую нами систему. Она может быть записана
либо в виде A1)
(С)

382 НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛОЖНЫХ СОСТОЯНИИ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IX
либо в виде A7)
-g- = ф (х) + [у - ф (ж)] JP (ж, у) = Р (.г, у),
-|f = [у-ф (x)J [1 +0 (ж, у)] = Q (х, у)
(P(O,O) = Q@,O) = 0).
Применим к системе A1) преобразование х = х, г/ = т]1а;. Мы получим
систему
(С )
= % + <? (ж, Tli) = <?ш (ж, тц).
Если разложение функции @* (х, rij) в ряд не содержит линейных членов,
то система (С4) имеет такой же вид, как система (С), и следовательно,
обладает такими же свойствами. Применим к ней преобразование х = х,
г)! = тJж. Мы получим систему (С2). Поступая дальше таким же образом,
мы будем получать системы (С3), (CJ, (Сг), . . . Это во всяком случае
можно делать до тех пор, пока получающиеся системы (Сг) имеют такой
же вид, как система (С). Все системы (Cj), (С2), - - . имеют так же, как
система (С) в точности по одной траектории, стремящейся к началу
я 3
в направлениях ^ и ^л, причем такими траекториями, очевидно, для
системы (Сг) являются полуоси оси х = 0 или части этих полуосей, при-
примыкающие к точке От @, 0). Далее, все остальные полутраектории систем
(Сг), стремящиеся к началу координат, стремятся к нему в направле-
направлениях 0 или л. Из этих свойств систем (Сг), а также из леммы 1 следует,
как нетрудно видеть, что существует взаимно однозначное соответствие
между полутраекториями системы (С), стремящимися к состоянию рав-
равновесия О в направлениях 0 и л, и полутраекториями каждой из систем
(Сг), стремящихся к точке От в направлениях 0 и я.
Рассмотрим более подробно, какой вид имеют системы (Сг). С этой
целью воспользуемся видом (D) исходной системы. Простые вычисления
показывают, что после преобразования х = х, у — т^а:; х = х; t)i --^
— т]2х; . . . х = х, Цг—1 = ЦтХ мы получим из системы (D) систему
drtr Г ф(я) 7Т/ r Рг(x flrxV)
Система (Dr) только формой записи отличается от системы (Сг).
По условию г|) (х) = Amxm + . .., где m > 2 и Дт < 0.
Что касается функции ф (х), то в силу соотношений ф @) = ф'@) = 0
либо ф (х) = 0, либо ее разложение в ряд имеет вид
ф(ж) = аож' + в11'+1+..., A8)
где l>2, ao=?O.
Рассмотрим сначала случай, когда либо ф (х) =s 0, либо />«г.
В этом случае системы (Dj), (D2), ..., (Dm_2) имеют, как нетрудно про-

§ 2i] случай а=Р'х(О, 0) + ^@, О) ф О 383
верить, такой же вид, как система (С). Система (Dm_j) может быть
записана в виде
(х,
где а может быть равным 0, ji @, 0) = 0, а разложение функции g2 (x, T]m_i)
не содержит линейных членов *).
В окрестности точки @, 0)
гДе /i (Oi 0) = 0. Рассмотрим систему
[=t = [T]m_1 — ал+ Й (а-- ть_,)]-
ютему
или, что то же, систему
dx
- B0)
Системы A9) я B0) имеют в окрестности точки О@, 0) одни и те же траек-
траектории (как соответствующие одному и тому же дифференциальному урав-
уравнению) (см. § 1, п. 7). Но система A9) имеет вид (А) леммы 3. В силу этой
леммы система B0), а следовательно, и система A9) не могут иметь на раз-
разрезанной плоскости (разрез по оси х ¦— 0) больше одной полутраектории,
стремящейся к точке От1 @, 0) и лежащей в правой полуплоскости
(х > 0), и больше одной полутраектории, стремящейся к Om_i и лежа-
лежащей в левой полуплоскости (х < 0). Но тогда системы (Dra_2), A^т_3),
(Dj), и наконец, исходная система (D) не могут иметь двух полутраекто-
полутраекторий, стремящихся к точке О @, 0) в направлении 0. или двух полутраек-
полутраекторий, стремящихся к точке О @, 0) в направлении п. Тем самым утверж-
утверждение 2) теоремы для рассматриваемого случая доказано.
Рассмотрим теперь случай, когда I <Ст. При этом мы запишем
функцию ф (х) в виде
t+1 + ..., B1)
где о0=5^0. Системы (D,), (D2), ...,(DZ_2) и теперь будут иметь, как
нетрудно проверить, такой же вид, как система (С). Систему (Dj_j)
мы напишем подробно. Она имеет вид
dx —
U/ I A I } Л Lh 1 tlQj^ LI I Jb . . . I X \*^, '\l 1''- /j
dt
if-- = [il;-! — яож — Gja;2 — ... ] [1 + Q (x,
*) Система (Dm_t) всегда имеет вид A9). Однако может оказаться, что уже сама
система (D) или одна система (Dj), где 1 <; / < т — 1, т<1к;ке имеет вид A9). Тогда ее
можно в дальнейших рассуждениях взять в качестве системы A9).

384 НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОБЕСИЯ [ГЛ. IX
Может оказаться, что уже исходная система (D) или какая-нибудь
из систем (D^, (D2), - - -, (Dz_4) имеют вид A9). Тогда все рассуждения
проводятся так же, как в предыдущем случае.
Пусть теперь ни одна из указанных систем не имеет вида A9). Рас-
Рассмотрим систему (Dj_4). Мы должны выяснить, сколько траекторий
системы (Dj_4) может стремиться к состоянию равновесия Ot_i на раз-
разрезанной плоскости. Направления таких траекторий при стремлении
к О(_4 определяются из уравнения
1 3
В направлениях -- и -^ п к точке Ог-\ стремятся только две полутраек-
тории, расположенные на оси х = 0 (это устанавливается так же, как
при доказательстве леммы 3). Поэтому мы должны рассмотреть только
траектории, стремящиеся к точке Ог^ в направлениях arctg a0 и
я + arctg a0. Применим сначала к системе (D(_t) преобразование
Ли = 4i*. B2)
Система (D^) перейдет при этом в некоторую систему (D,). Используя
лемму 1, нам нужно найти, сколько траекторий системы (D,) может стре-
стремиться на разрезанной плоскости (х, r\i) к состоянию равновесия Ot @, а0).
Мы применим к системе (D/) преобразование
Х = Х, T]( = T1(-1-GO, B3)
свойства которого очевидны, система (D() перейдет в систему (D,), и мы
будем искать, сколько траекторий системы (Бг) может стремиться на раз-
разрезанной плоскости (х, \]i) к состоянию равновесия Ог @, 0). Преобразова-
Преобразования B2) и B3) можно заменить одним преобразованием
ж = ж, t\i-i = (f\i-\-ao)x, B4)
при котором система (Di~i) переходит в систему
-Jr = "Ф (х) + х' ^ — а\х ~ агх2 ¦ • ¦ 1 Р (х> ('Пг + «о) ж'),
dt ~~lK
Если система (Dj) имеет вид A9), то дальнейшее доказательство про-
проводится так же, как выше (т. е. так же, как в случае, когда 1^>т).
Если же система (D() еще не имеет вида A9), то мы будем применять
последовательно преобразования х = х, t\i == (t]/+i + ах) х; х=-х, Tjj+1 =
= ('Чг+г + йг) # и т- Д- и будем получать системы (D/+1), (D/+2) и т. д.
Система (DJ+A) имеет, как показывают вычисления, вид
^^^(х) + х1+к [4l+h~ak+lx...]xP* (x,
jf ...][l + xQ*(x, Ч)]-Л*(а;, Tjl+ft).
Здесь Р* и Q* — аналитические функции в окрестности начала

§ 22]
случай а=0
385
координат и
= « (д, 4i+k)
где h (x, T)(+ft) есть многочлен, вид которого нас не интересует. Напом-
Напомним, что Р2 (х, у) есть правая часть первого из уравнений исходной
системы (С):
ф (х) = аох1 -f- а^х1*1 + ..., ф (х) = Атхт + .. . = Pz (x, <р (х)).
Представляя числитель дроби, стоящей в выражении B5) в виде
Р% (ж, Ф (х)) + \Р2 (х, а^х1 +...+ akxk+! + m+hxk+l) -
— Р2 (ж, aoxl + aixl+1 + • - - + ahxk+l ~ ah+ixk+l+l +...)],
и применяя к разности, стоящей в квадратных скобках, формулу Тей-
Тейлора, мы убедимся, что все члены этого числителя содержат х в степени
не меньшей, чем min {т, к -f- I -j- 1}. По-
Поэтому, если 1 -< к <; т — I — 1 *), то все чле-
члены выражения R* (x, t\i+k) содержат мно-
множитель х не меньше, чем во второй сте-
степени (так как Z>2). Отсюда следует, при-
принимая во внимание вид правой части си-
системы (Di+h), что по крайней мере одна
из систем (D(+1), (D(+2), . . ., (Dm_,) имеет
вид системы A9). Дальнейшее рассужде-
рассуждение проводится в точности так же, как
в случае, когда l^-т. Второе утвержде-
утверждение теоремы доказано полностью.
3) В случае, когда т четно и Д„, <0,
векторное поле на кривой у — ф (х)
имеет направление, указанное на рис. 228,
в случае Дт > 0 — противоположное на-
направление. Тогда при Дт<0 (Дт>0)
внутри сектора ОМ^М2 {OM2Mt) не суще-
существует положительных полутраекторий, стремящихся к точке О — это
устанавливается в точности так же, как при доказательстве утвержде-
утверждения \), и, следовательно, этот сектор является параболическлм; внутри же
сектора ОМ2М^ (ОМ1М2) не может существовать двух нолутраекторий,
стремящихся к точке О — это устанавливается в точности так же, как при
доказательстве утверждения 2), и, следовательно, этот сектор состоит из
двух гиперболических. Теорема доказана полиостью.
§ 22. Топологическая структура сложного состояния равновесия
в случае а = О
1. Вспомогательные леммы. В настоящем параграфе рассматривается
состояние равновесия О @, 0) аналитической системы
Рис. 228.
dx
~dT
= ах + by + Р2 (х,у), ^r =cx\ dy -1 - Q2 (x, у)
A)
*) При m=H-l число к равно нулю, так как уа«е сама система ?>;, как
нетрудно видеть, имеет вид A9),
25 д. А. Андронов и др.

386 НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IX
в предположении, что оно является изолированным и выполняются
условия
|a|-j-|b|-)-|c|-|-|d.^=O, B)
o = a + d = 0, C)
A = ad — bc = p, D>
т. е. изолированное сложное состояние равновесия с равными нулю харак-
характеристическими числами при наличии линейных членов в правых частях.
Как и в предыдущем параграфе, мы можем, не уменьшая общности, рас-
рассматривать лишь частный случай системы A), именно, систему *)
dx dv
—— Jl I fj If Jl\ —— ff ( ¦?• 11\ I ^~k\
7* ~~~ 4 1 2 I"** V /I J* X: 2 ^l ) V /• \*-'/
P2 (x, у) и Q2 (x, у), как и раньше, аналитические в окрестности точки
О @, 0) функции, разложения которых состоят из членов не ниже вто-
второго порядка. Систему E) можно привести к более простому виду. Рас-
Рассмотрим преобразование
Так как якобиан этого преобразования в точке О @, 0) равен единице,
то оно взаимно однозначно отображает некоторую окрестность точки
О @, 0) плоскости (х, у) на некоторую окрестность точки О @, 0) пло-
плоскости (?, т]) так, что точка О переходит в точку О. Обратное преобразо-
гание имеет вид
где / — аналитическая функция, причем / @, 0) = 0 **). Система E)
переходит при отображении F) в систему
dt "
¦j!r = Qi F. / F. л)) + Р'2х (I, / (I, л)) 11+^ F, / (I, л)) <?2 F, / (s, л)).
Правая часть последнего уравнения есть аналитическая функция, раз-
разложение которой по степеням |, л состоит из членов не ниже второго
порядка. Мы обозначим ее через Q2 (?, л)- Таким образом, система E)
при преобразовании F) переходит в систему
dt dt ^ ''* ^ '
Траектории системы F), проходящие в достаточно-малой окрестности
точки О, взаимно однозначно соответствуют траекториям системы (8),
расположенным в окрестности точки О. При этом О является, очевидно,
также изолированным состоянием равновесия системы (8). соответствую-
соответствующим точке О.
*) Если а ф 0, то в силу условия C) и D) Ь ф 0, с ф 0, и система A) приво-
приводится к виду E) преобразованием х =— у, у = —сх — ау. Если а = 0, а Ь ф 0,
то для перехода к виду E) достаточно ввести новое время t = bt. Наконец, если а — 0,
6= 0, то с Ф О, и нужно сделать преобразование х = у, у = сх.
**) Это непосредственно вытекает из теоремы о неявных функциях (см. дополне-
дополнение § 4, п. 3).

§ 22] случай a=Q 387
Пусть L+ есть полутраектория системы E), для определенности поло-
положительная, стремящаяся к состоянию равновесия О в определенном
направлении 6. В силу теоремы 64 6 равно либо 0, либо л, т. е. tg 0 = 0.
Тогда соответствующая ей полутраектория L+ системы (8) стремится
к точке О, причем также в определенном направлении @ или л). Действи-
Действительно, если х — х (t), у = у (t) — уравнения полутраектории ?+,
а ? = Е; (t), ц = т] (t) — уравнения L+, то по условию при /->¦ -4- оо
\imx(t) = limy(t) = 0, lim-^jjj-= tg 8 = 0.
Из формул F) следует, что при t —> -\- со
lim I @ = lira т] (f) = 0,
= J.L- = lim -^-H_|A_!_^L — 0.
Это и доказывает наше утверждение. Отсюда, в частности, следует, что
если О есть узел или фокус системы E), то О есть, соответственно, узел
или фокус системы (8). Таким образом, вместо системы E) мы можем
исследовать систему (8). Возвращаясь к первоначальным обозначениям,
мы запишем ее в виде
-? = *. ¦? = (?»<*.*). О)
Применим к системе (9) преобразование
х = х, у — гр:,
рассмотренное в предыдущем параграфе. Мы получим систему
Непосредственно видно, что эта система имеет на оси :г = 0 един-
единственное состояние равновесия О @, 0) и что полуоси х = 0, т| > 0
и а; = 0» т) < 0 являются, соответственно, положительной и отрицательной
полутраекторией системы A0). Пусть и — окрестность состояния равно-
равновесия О @, 0), а Г — соответствующая ей область плоскости (х, т]) (см.
§ 21, п. 16)). Предположим, что на плоскости (х, "ц) существуют полутраек-
полутраектории L" и Z4' системы A0), стремящиеся к состоянию равновесия О и рас-
расположенные, соответственно, справа и слева от оси х =^ 0. Мы будем счи-
считать, что полутраектории L^ и L" пересекаются с границей области Г
в точках Ni h7V2, причем все точки этих полутраекторий, расположенные
между точками О и Nu соответственно, между О и N2, уже лежат внутри
области Г.
Из п. 1 § 21 следует, что полутраекториям L1 а Ъ-> соответствуют
на плоскости (х, у) полутраектории LJ' и L^ системы (9), расположенные,
соответственно, справа и слева от оси х — 0 и стремящиеся к состоянию
равновесия 0 в направлениях 8 = 0 и 6 = я (рис. 229, с, б).
Пусть Лг1 и iV2 — точки, соответствующие точкам Nt и N2, распо-
расположенные на граничной окружности С окрестности и. Обозначим через
Г4 часть области Г, ограниченную полутраекторией ц > 0, х == 0, отрез-
отрезком Nfi полутрасктории Lx и куском граничной кривой области Г
25*

388
НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ
[ГЛ. IX
(рис. 229, а). Аналогично через Г2 мы обозначим область, заключенную
между полутраекторией т] < 0, х — 0, полутраекторией L^ и границей
области Г. Областям Ti и Г2 соответствуют на плоскости (х, у) криволи-
криволинейные секторы, которые мы обозначим через и4 и и2.
Пусть v — достаточно малая окрестность состояния равновесия О,
расположенная целиком внутри области Г, a vl и v2 — соответственно
пересечения г; с областями 1\ и Г2: г?4 = г?ПГ4; v2 = г7 П Г2. Далее, пусть
w — достаточно малая окрестность состояния равновесия О, a w* — часть
ее, состоящая из точек секторов ui и и2
тм и точек положительной полуоси у.
Лемма i. Л) Если г\ и vz яв-
являются параболическими секторами
О/
'4
Рис. 229.
состояния равновесия О, то га* состоит из одной эллиптической области
и двух {примыкающих к ней и к полутраекториям L[} и L^) параболиче-
параболических секторов.
Б) Если vt и v2 — гиперболические области, то w* есть гиперболи-
гиперболическая область.
В) Если одна из областей Vi и v2 есть гиперболическая, а другая —
параболическая область, то w* есть параболическая область.
Доказательство. А) Заметим прежде всего, что все траек-
траектории системы (9), проходящие через точки положительной полуоси Оу,
близкие к точке О, пересекают зту полуось в направлении слева направо
(при возрастании t), при этом мало отличном от горизонтального. Это
• О, С-,У близка
dx
непосредственно следует из рассмотрения системы (9) ( ~ '.
к нулю). _ _ ^
Пусть vl и V2 — параболические области. Тогда L[\ а следовательно,
и L" являются положительными полутраекториями, a LB} и L\,''•—отри-
L\,''•—отрицательными. При отображении A0) область vu ограниченная криволи-
криволинейным треугольником OAiKJii, перейдет в область vx, ограниченную
«петлей» OAiKiO, так как отрезок OBt оси ц переходит в точку О (рис. 230).
как дуга А^К^В^ есть дуга без контакта, а отображение A0) имеет

§ 2Д
СЛУЧАЙ 0=0
389
якобиан
1 °
= х, отличный от нуля во всех точках дуги
кроме
Рис. 230.
2?!, то соответствующий дуге AiKiB1 кусок А^К^О указанной «петли»;
также является дугой без контакта (если не рассматривать точку О
см. дополнение § 6, п. 4). ^
Отметим, что область v^ как образ сектора vx обладает следующими
свойствами: 1) каждая траектория, проходящая через внутреннюю точку
области Vy при возрастании t, остается внутри г\ и при t-*- +oo стре-
стремится к состоянию равновесия О; 2) наоборот, если какая-нибудь полу-
полутраектория L системы (9) расположе-
расположена в правой полуплоскости плоско-
плоскости (х, у) выше траектории Lt и стре-
стремится к точке О, то ее образ непре-
непременно проходит в области vi. Но тог-
тогда 1}' является положительной полу-
полутраекторией, и, начиная с некото-
некоторого момента, полутраектория Z/'
остается внутри v±.
Возьмем сначала достаточно ма-
малую окрестность wt состояния равно-
равновесия О. Пусть S Т1 — простая дуга,
удовлетворяющая следующим усло-
условиям: I) конец ее S находится на
положительной полуоси Оу, а конец
Ti — на кривой без контакта A \KiO;
II) дуга STi не имеет с кривой AiKiQ
и осью у других общих точек кроме
своих концов; III) дуга STl лежит
целиком внутри окрестности w<i достаточно близко к точке О и абсциссы
всех ее тдчек кроме S положительны. Существование дуги STi, обладаю-
обладающей указанными свойствами, показано в § 18, лемма 2.
Рассмотрим криволинейный треугольник O7\S, заштрихованный
на рис 230. Все траектории, проходящие через нвутреинио точки отрезка
OS оси у, при возрастании t входят внутрь треугольника. Пусть L —
такая траектория. При возрастании t L не может оставаться внутри тре-
треугольника OTiS. Действительно, если она остается внутри треугольника,
то она должна стремиться к точке О. Но тогда в силу свойств 1) и 2)
области vl L входит в нее, что противоречит предположению-
Таким образом, все траектории, пересекающие отрезок OS оси у
в его внутренних точках, входят в треугольник OTtS и при возрастании /
выходят из него.
Покажем, что хотя бы одна из них выходит из треугольника OTiS
через точку отрезка Tfi кривой A^KiTfi. Предположим противное, т. е.
что все указанные траектории L выходят из треугольника OTtS через
дугу TtS. Рассмотрим первые точки пересечения этих траекторий с дугой
TiS. Обозначим через Р их предельную точку (Р может совпадать
с точкой 71]) и через Lp — траекторию, проходящую через точку Р.
Пусть Lp проходит через точку Р при значении t == t0. При значениях
t < t0 траектория LP не может пересечь отрезок OS оси у, так как
в противном случае она совпала бы с одной из траекторий L; траектория
Lp не может также при убывании t пересечь дугу ОАхКхТу, что следует
из свойств 1) и 2). Но тогда эта траектория: а) либо при всех t < t0
целиком лежит вне треугольника OT^S, б) либо при всех t <C t0 целиком

390
НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ
[ГЛ. IX
лежит внутри треугольника OTyS. Первое невозможно в силу поведения
траекторий L и непрерывной зависимости от начальных условий. Второе
невозможно, так как, оставаясь внутри треугольника OT±S, траектория
Lp должна была бы стремиться к точке О, что невозможно в силу 1) и 2).
Следовательно, существует траектория Lo, входящая в треугольник
OTiS через точку S t отрезка OS и выходящая из него через точку отрезка
TiO кривой AiKiTfi. При дальнейшем возрастании t эта траектория,
оставаясь внутри v^, стремится к О при t—*- -\-oo.
Очевидно, все траектории, пересекающие отрезок OS оси у, ведут
себя так же, как траектория Lo-
Совершенно аналогично можно рассмотреть область v2 и показать,
что при наших условиях все траектории, пересекающие отрезок OS оси у
достаточно близко к точке О, при убы-
убывании t входят в v2 и затем, оставаясь
внутри v2, стремятся к О при t —*- — оо.
а)
Рис. 231.
Можно считать, что и траектория Lo, проходящая через точку S±, является
такой траекторией и, следовательно, представляет из себя петлю. Все траек-
траектории, лежащие внутри этой петли, могут быть только такими же петлями,
лежащими одна внутри другой. Действительно в силу 1) и 2) не может
быть петли, целиком лежащей справа от оси у. Аналогично не может
быть и петли, целиком лежащей слева от оси у. Отсюда же следует, что
не может быть двух различных эллиптических областей, расположенных
между траекториями Lt и L2. Но тогда, очевидно, всякая достаточно малая
окрестность го точки О удовлетворяет первому утверждению леммы.
Б) Предположим теперь, что vi и v2 — правильные гиперболические
области. В этом случае Ly и L2 являются отрицательными, a L2 и L2 —
положительными полутраекториями (рис. 231). Покажем, что если w —
достаточно малая окрзстность точки О, то часть ее w* (лежащая выше
полутраекторий 1ц и L2) есть гиперболическая область. Действительно,
если через точку области ъо* проходит полутраектория, стремящаяся
к О, то, начиная с некоторого значения t, она лежит целиком в криво-
криволинейном секторе щ, или целиком в и2. Соответствующая ей полутраекто-
полутраектория на плоскости (х, ц) стремится к точке О и, начиная с некоторого значе-
значения t, целиком лежит в секторе vi или г?2- Но это противоречит условию,

§ 22j
СЛУЧАЙ 0=0
391
что vt и v-i — гиперболические секторы. Следовательно, все траектории,
проходящие через точки области w*, выходят из этой области, т. е. w*
есть гиперболическая область. Второе утверждение леммы доказано.
В) В третьем случае одна из областей, — например, vx — является
параболической, а вторая, vz — гиперболической. Тогда L[* и L[\ а также
L\ и L", являются положительными полутраекториями. Рассуждения,
проведенные выше, позволяют утверждать, что всякая траектория, про-
проходящая через точки области w*, при возрастании t стремится к О в на-
направлении 0 = 0 (как в случае А)), а при убывании t выходит из обла-
области w* (как в случае Б)). Следователь-
Следовательно, го* есть параболическая область
(рис. 232). Лемма доказана.
б)
Рис. 232.
Замечание 1. Вместо областей Г\ и Г2 можно было бы рас-
рассматривать области Гй и Г2 на плоскости (х, г\) и соответствующие им
области п1 и п.2 на плоскости (х, у) (рис. 229). Очевидно, лемма 1 — с над-
надлежащими изменениями — справедлива и для этих областей.
Рассмотрим теперь систему
dx
~dT
= х-Х(х,у), -%- = Y (.г, у),
A1)
где X и У — аналитические в окрестности точки О @, 0) функции, X @,0) =
= Y @, 0) = 0. Точка О @, 0) является изолированным состоянием рав-
равновесия, разложение функции Y состоит из членов не ниже второй степени
и содержит по крайней мере один член второй степени. Из вида систе-
системы A1) и условия изолированности состояния равновесия следует, что
полуоси г/>-0, г = 0и j/<0, х = 0 оси у или их части, примыкающие
к точке О, являются полутраекториями системы A1), стремящимися к О
в направлениях, соответственно, 6=^ и 0 = ~у л. Мы предположим, что
эти полутраектории являются единственными нолутраекториями систе-
мы (И), стремящимися к точке О в направлениях-".,- и '-я. Кроме того, мы
предположим, что существует еще ровно четыре направления G = arctg Al7

392 НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IX
6 = л + arctg к±, В = arctg к2, В = я + arctg k2, в каждом из которых
хотя бы одна полутраектория системы A1) стремится к О.
Применим к системе A1) преобразование х = х, у = цх. Мы полу-
получим систему
dx v . .
- sr = х-Х{х, цх),
dц Y (x, r\x) „ . . v "J/
—it- = — — цХ (х, цх).
dt x i \ > i /
В силу свойств функций X и У правые части системы A2) имеют общий
множитель х. Предположим еще, что правая часть второго из уравне-
уравнений A2) не имеет множителем хг. Делая замену параметра x-dt = dx,
мы получим систему
dt] _ Y (х, цх) _ X (х, цх)
3~Х ~ х* ' х
Так как правая часть первого из уравнений A3) имеет множитель х,
а вторая по предположению не имеет, то ось х = 0 не является особой
линией, но состоит из траекторий системы, причем состояния равновесия
системы па этой оси изолированные (в силу предположения об аналитич-
аналитичности правых частей, см. главу IV, введение).
Из леммы 1 § 21 и сделанных предположении следует, что точки
О1 @, кг) и О2 @, к2) являются состояниями равновесия системы A3).
Замечание 2. Система A2) получается из системы A1) при
помощи преобразования х = х, ц = ч\х. Пусть L — траектория системы
A1), лежащая на разрезанной плоскости, a L — соответствующая ей
траектория системы A2), являющаяся одновременно траекторией сис-
системы A3) (L лежит также на разрезанной плоскости). При движении
точки М по траектории L в положительном направлении (в сторону воз-
возрастания t) соответствующая ей точка М на траектории L движется также
в положительном направлении, если L рассматривать как траекторию
системы A2). Однако, если L рассматривать как траекторию системы A3),
то М движется в положительном направлении в случае, когда L (а сле-
следовательно, и L) лежит справа от оси ординат (х>0), и в отрицательном,
когда L лежит слева от оси ординат (#-<0). Это следует из того, что
система A2) отличается от системы A3) множителем х в правых частях.
Лемма 2. Предположим, что состояние равновесия Ог @, kt)
является простым седлом системы A3). Тогда: 1) если состояние равнове-
равновесия Oi @, к2) есть узел, то каноническая окрестность состояния равно-
равновесия О @, 0) состоит из двух гиперболических секторов и двух параболи-
параболических секторов; 2) если О2 @, kz) есть седло, две сепаратрисы которого
расположены по разные стороны оси ц, то эта окрестность состоит из
шести гиперболических секторов; 3) если О2 @, кг) есть седло — узел, обе
седловые области которого расположены по одну сторону от оси г\, то
каноническая окрестность точки О состоит из четырех гиперболических
секторов и одного параболического сектора.
Доказательство. Рассмотрим достаточно-малую окрест-
окрестность и точки О и соответствующую ей область Г (см. п. 1 § 21 и рис. 222).
Будем считать, что и не содержит других состояний равновесия кроме О.

§ 221
СЛУЧАЙ 0=0
393
Тогда все состояния равновесия системы A3), лежащие в Г, расположены
на оси ц. В силу леммы 1 § 21 и в силу условий, наложенных на систему
A1), каждой полутраектории U > системы A1), расположенной на раз-
разрезанной плоскости (х, у) и стремящейся к точке О, соответствует полу-
полутраектория L°, расположенная на разрезанной плоскости (х, ц) и стре-
стремящаяся к точке Oj или О2; и обратно, каждой полутраектории Ln, стре-
стремящейся к 01 или О2, соответствует полутраектория L°, стремящаяся
к О. Так как точка Ot @, к±) есть седло, то у нее имеется четыре сепара-
сепаратрисы. Две из них являются частями оси -п. Остальные две сепаратрисы
У
а)
Рпс. 233.
расположены по разные стороны оси г\ — это следует из того, что по усло-
условию система A1) имеет полутраектории, стремящиеся к точке О как
в направлении 6 = arctg ktl так и в направлении 6 = я -f-arctg kt.
Обозначим эти сепаратрисы через L^hL^', соответствующие им полутраек-
полутраектории на плоскости (х, у) — через LJ1 и L\\ Для того чтобы убедиться
теперь в справедливости леммы, достаточно в каждом из указанных трех
случаев рассмотреть расположение траекторий в области Г и образы этих
траекторий при преобразовании х = х, у = чус. Мы предоставляем сде-
сделать зто читателю. При проведении рассуждений нужно учитывать свой-
свойства преобразования, а также замечание 2 настоящего пункта.
Рис. 233, 234, 235 иллюстрируют соответственно случаи 1), 2), 3)
в предположении, что /с, > к2. Переходим к дальнейшим леммам.
Лемма 3. Система
dx
1
x*f {x. у) + хуП (х, у),
A4)
где f (х, у) и Д (х, у) — аналитические в окрестности начала координат
функции, &>0, a f (х, 0) =? 0, имеет две и только две полутраектории,

394 НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IX
Рис. 234.
а)
Рис. 235.

§ 22]
СЛУЧАЙ СГ — О
395
стремящиеся к точке О @, 0) в направлениях 6 = -".у- и 9 = -у я, именно,
положительную и отрицательную полуоси у.
Доказательство. Применяя к системе A4) преобразование
х = Ъу, у = у и делая замену параметра у dt = dx, мы получим систему
A5)
Для состояния равновесия 0@, 0) этой системы выражение
к 0 I
Д =
О -*|
т. е. точка О @, 0) есть простое седло системы A5). Сепаратрисами
седла являются полуоси | = 0 и у = 0 или отрезки этих полуосей,
мыкающие к точке О. Других полутраекторий,
стремящихся к точке О, система A5) не имеет.
В силу леммы 2 § 21 существуют в точности две
полутраектории системы A4), стремящиеся к точ-
точке О в направлениях -^и-ггЯ. Но такими полу-
траекториями являются положительная и отри-
отрицательная полуоси у. Лемма доказана.
Лемма 4. Пусть f (x, у) и ц> (х) — анали-
аналитические в окрестности точки О@, 0) функции
Ъ <с 0 и ф @) — 0. Тогда для системы
dx
этого
при-
приdt
= ах [1 + ф (х)] + by2 + xyf (x, у)
A6)
Рис. 236.
точка О @, 0) является седлом, сепаратрисами
которого служат положительная и отрицательная
полуоси у и две полутраектории, стремящиеся
к точке О @, 0) также в направлении — и - я;
эти полутраектории расположены соответственно в первом и четвертом
квадрантах, если а > 0 (рис. 236), и во втором и третьем квадрантах,
если я<0.
Доказательство. В силу теоремы 64 существуют в точности
два направления, в которых траектории системы A6) могут стремиться
к состоянию равновесия О @, 0), именно, направления G=y и 0 = —л.
Полуоси х = 0, !/>0hj = 0, г/<0 являются такими полутраекториями.
Чтобы найти все такие полутраектории, применим сначала к системе A6)
преобразование х = |у, у — у. Мы получим систему
A - Ь) Ъу - я
aly + by* + at
, у),
A7)
t,y, y).

390
НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ
[ГЛ. IX
Точка О @, 0) является для этой системы изолированным состоянием
равновесия. В силу леммы 2 § 21 для того, чтобы найти все полутраек-
полутраектории системы A6), стремящиеся к точке О, нужно найти все траектории
системы A7), стремящиеся к точке О и лежащие на разрезанной пло-
плоскости (?, у) (разрез по осп у = 0). Мы будем искать все траектории
системы A7), стремящиеся к точке О. Очевидно, полуоси | = 0, у > О
и ? = 0, у < 0 являются полутраекториями системы A7) и стремятся
к точке О в направлениях 6 = ^- и 6 =— я. Применяя к системе A7)
преобразование | = Ь,у, у = у, мы покажем в точности так же, как при
а)
доказательстве леммы 3, что указанные полуоси \ = 0, у > 0 и ? = 0,
у <С 0 являются единственными полутраекториями системы A7), стре-
стремящимися к точке О в направлениях ~ и -т л. Теперь будем искать полу-
траектории системы A7), стремящиеся к О в других направлениях.
С этой целью применим к системе A7) преобразование g = Е, у = T]fe
и сделаем замену параметра g dt = йт. Мы получим систему
§ = -al +
al + A - 6) g4- а
^ = 2аЧ- A - 2Ь) т]2 +
A8)
Легко видеть, что система A8) имеет на оси | = 0 в точности два состоя-
состояния равновесия О @, 0) и Ot ( 0, " J . Для первого из них выражение Д
равно — 2а2 <С 0, а для второго Д = — Г1Ггй "^ *-*• Следовательно, обе эти
точки являются простыми седлами. Все четыре сепаратрисы седла О
представляют из себя части координатных осей Е= 0 и г) = 0 (так как
эти оси состоят из траекторий системы A8)). Две сепаратрисы седла Ох

§ 22] случай а=(> 397
расположены также на оси | = 0, а остальные две (мы обозначим их
через Lt и L2) по разные стороны от этой оси. Поэтому расположение
траекторий системы A8) вблизи оси т] имеет вид, представленный
на рис. 237, а для случая а > 0.
Теперь мы можем применить лемму 2. Для системы A8) выполняются
условия второго утверждения этой леммы, поэтому каноническая окрест-
окрестность состояния равновесия О системы A7) состоит из шести гиперболи-
гиперболических областей, и следовательно, к точке О стремятся в точности шесть
полутраекторий, четыре из них являются полуосями осей | = 0 и у = 0.
Остальные две соответствуют полутраекториям Lt н Lz- Мы обозначим
их Ъ± и L2. В случае а > 0 расположение траекторий в окрестности точки
О приведено на рис. 237, б.
Система A7) получается из системы A6) преобразованием х = с.у,
у = у. Из свойств этого преобразования и леммы 2 § 21 следует, что
к состоянию равновесия О системы A6) стремятся в точности четыре
полутраекторип системы. Две из нпх являются полуосями оси у, а осталь-
остальные две— L" и LB} — соответствуют полутраекториям L" и Z^' и рас-
расположены при а > 0 так, как это показано иа рис. 236, и полностью
симметрично относительно оси у при а < 0. Отсюда вытекает справед-
справедливость доказанной леммы.
2. Возможные топологические структуры сложного состояния рав-
равновесия в случае ег = 0. Мы переходим теперь к рассмотрению исходной
системы (9)
dx dy /I I \
Так как точка О @, 0) есть по условию изолированное состояние рав-
равновесия, то эту систему можно, очевидно, записать в виде
dx
ж = *>
~J- = ahxk [1 -f- h {x)\ + bnxny [l~g (x)\ 4 iff (x, y),
где h (x), g (x), f (x, у) — аналитические в окрестности начала координат
функции, h @) = g @) = 0, /г>2, акф 0. Коэффициент Ьп может быть
равен 0; если Ьп =^= 0, то /г>1.
Возможные топологические структуры состояния равновесия О @, 0)
системы (А) устанавливаются в следующих теоремах 66 и 67. Будем
называть состояние равновесия, каноническая окрестность которого
состоит из двух гиперболических секторов, вырожденным состоянием
равновесия. Если же каноническая окрестность точки О состоит из одного
гиперболического и одного эллиптического сектора, то мы будем назы-
называть точку О состоянием равновесия с эллиптической областью.
Теорема 66. Пусть в системе (А) к == 2т + 1, т. е. нечетно
1), а Я = Ы.-+ 4 (т 4- 1) а2т + 1.
Тогда, если агт+i = ak ^> 0> то состояние равновесия О системы (9)
является топологическим седлом (рис. 238). Если же ah < 0, то точка О
является: 1) фокусом или центром при Ьп = 0, а также при Ьп ^ф 0
и п> т или при Ьпф 0, п = т и X <С 0; 2) топологическим узлом, если
Ъп ф 0, п — четное число и п < т, а также если Ьп ф 0, п — четное
число, п = т и Я>0; 3) состоянием равновесия с эллиптической областью,

398
НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ
[ГГ. IX
если Ъп Ф О, п — нечетное число и n0 (рис. 239).
Замечание. Рис. 239 соответствует случаю, когда Ьп > 0; рас-
расположение траекторий в случае bn <Z 0 получается при помощи отраже-
отражения оси х.
Доказательство. Для системы (А) существует в точности
два направления, в которых ее траектории могут стремиться к состоянию
равновесия О @, 0), именно, направления 0 и я. Произведем последова-
последовательно ряд преобразований х
= X, У)г-г = У)ГХ
х, у = i]tx; х = х, r\i = r\zx; . . .; х —
опуская при этом в каждой системе, получающейся
после второго преобразования (т. е.
после преобразования х = х, %
= г\2х), общий множитель х, входя-
входящий в правые части системы*). Мы
I/
Рис. 238.
получим системы (AJ, (А2), . . ., (Аг),
простые вычисления, есть система
dx
Рис. 239.
dt - "
Рассмотрим несколько случаев.
1) Пусть либо Ьп = 0, либо Ьп ф 0, но п
1 ^ г ^ т — 1, выполняются неравенства
2т —:
где (Аг), как показывают
(К)
т. При всех значениях г.
Поэтому при каждом из этих значений г существует в силу теоремы 64
в точности четыре направления, в которых траектории системы (Аг)
могут стремиться к состоянию равновесия ОТ @, 0), именно, направления
0, я, П„ , уЛ. В силу леммы 3 при 1 ^ г < тп к состоянию равновесия О,.
стремятся в направлениях ^ и Г) л только полутраектории х = 0, г\г > 0
и г=0; т]г < 0. Далее, в силу свойств применяемых преобразований
и в силу леммы 1 § 21 каждой полутраектории L системы (А), лежащей
на разрезанной плоскости и стремящейся к состоянию равновесия О
(такая траектория стремится к точке О в направлении 0 или я), соответ-
*) Это означает, что каждый раз вводится новый параметр. Однако в дальней-
дальнейшем для параметра сохраняется прежнее обозначение.

22]
СЛУЧАЙ СГ=О
399
ствует лежащая на разрезанной плоскости и стремящаяся к состоянию
равновесия Ог полутраектория Lr каждой из систем (Аг) (г = 1, 2, ...
. . ., т — 1, т), причем это соответствие взаимно однозначно. Отсюда
следует, что исследование характера состояния равновесия О исходной
системы (А) сводится к исследованию характера состояния равновесия
От@, 0) системы (Ат), т. е. системы
+ А
Ъп ж"-""
-f- g
Направления, в которых траектории этой системы могут стремиться
к точке 0т @, 0), определяются из уравнения
х [(m+l) Tji, —fl2ro+1a;2]=0.
A9)
Если ak = a2m+i < 0, то полутраектории системы (Ат) могут стремиться
л. Как мы уже указывали,
к точке От только в направлениях ~^ и
имеются в точности две такие
полутраектории, именно, полу-
полуоси оси х = 0. Следовательно, на
разрезанной плоскости (х, т]^)
не существует траекторий, стре-
стремящихся к состоянию равнове-
равновесия От@, 0). Но тогда таких
полутраекторий не существует
и у систем (Am_4), (Am_2), ¦ ¦ -,
(Aj), а исходная система (А)
вообще не имеет полутраекто-
полутраекторий, стремящихся к точке О @,0)
в определенном направлении.
А это значит, что точка О явля-
является либо фокусом, либо цент-
центром системы (А).
Пусть теперь ak = a2m+i > 0. Из уравнения A9) следует, что в этом
„я 3
случае кроме направлении -у- и -^-я существует еще четыре направле-
направления, в которых полутраектории системы (Ат) могут стремиться
к состоянию равновесия От, именно, направления arctg 1/ °2™?\ »
Рис. 240.
я+arctg
/
^
„ctg (-
средственно видно, что для системы
arctg ( -
(Am+J) точки
0, 1/ -^?i'±11-
и ( 0, — |/ „fT~f ) являются простыми седлами. Поэтому в силу лем-
леммы 2 каноническая окрестность состояния равновесия От системы (Ат)
состоит из шести гиперболических секторов, и точка От имеет шесть
сепаратрис, двумя из которых являются полуоси ж = 0, т]т>-0 и х = 0,
Цт < 0. Расположение траекторий в окрестности точки От и направления
на сепаратрисах такие же, как на рис. 234. Расположение траекторий сис-
систем (Аг) в окрестности точки ОТ (г = m — 1, m — 2, ..., 2, 1) и направления
на сепаратрисах показаны на рис. 240 (отличие от случая г = m заклю-

400 НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IX
чается в том, что сепаратрисы, не лежащие на оси х = 0, стремятся
к точке. От в направлениях 0 и я). Наконец, переходя от системы (Аа)
к исходной системе (А) и принимая во внимание лемму 1 и замечание 2
п. 1, мы убедимся, что состояние равновесия О@, 0) системы (А)
является седлом, расположение траекторий в окрестности которого при-
приведено на рис. 238.
2) Пусть теперь Ъп ф 0, п<Спг. При г = п система (Аг) имеет вид
dx
^Г = - ™1n + ЪпЭЩп [1+ g (х)] -f (А„)
-j-агт+1 ж2"-2п+2 [i+h{x)] + yfef (аг> Цпж«)#
Здесь 2т — 2/г -f- 2 > 4, следовательно, направления, в которых
полутраектории системы (Ап) могут стремиться к состоянию равновесия
Оп @, 0), определяются уравнением
n(i + n) — bnx] = 0. B0)
Это уравнение дает шесть направлений т,-, -^ я> О, я' arctg г-'?- ,
л + arctg г^г~ ¦ В направлениях -^- и -^ я к состоянию равновесия Оп
стремятся, как и выше (в силу леммы 3), две и только две полутраек-
полутраектории 2=0, г)„>0иж = 0, г)„<0. Для исследования остальных полутра-
полутраекторий, стремящихся к точке Оп, рассмотрим систему (Ап+1):
dx
2'-2" [1 + h (x)] + rwi a-/ (x, цп+1 -^n+1).
Состояниями равновесия этой системы являются, как легко видеть,
точки Оп+1 @, 0) и б @, ~— ). Вычисления показывают, что для точки О
Д = — --^-- -< 0, т. е. О есть простое седло системы (Ап+1),
Две сепаратрисы этого седла расположены на оси х = 0, а осталь-
остальные две — по разные стороны этой оси. Для состояния равнове-
равновесия Оп + 1 @, 0), Д =0, а а = Ьпф 0. Поэтому для исследования точки
Оп+1 мы можем применить теорему 65. Предварительно систему (Ап + 1)
надо привести к виду A1) § 21. Для этого достаточно ввести повое время
т. при помощи соотношения т = bnt. Первый член разложения функции
Ф (х) для получающейся системы (см. теорему 65) легко найти с помощью
метода неопределенных коэффициентов — он равен — i!2'a±L жгт-гп_
Поэтому первый член разложения функции \р (х) равен — -^"~-x2m-in+1.
Из теоремы 65 следует тогда, что состояние равновесия Оп+1 системы
(An+i) является узлом, если a2m+i < 0, и седлом, если a2m + i > 0. При
этом в случае седла две его сепаратрисы представляют участки на оси
х = 0, а остальные две расположены по разные стороны от этой оси.
Применяя теперь лемму 2, мы можем установить характер состояния

§ 22]
случай а^=
401
равновесия системы (А„). Именно, из второго утверждения леммы сле-
следует, что если a2m+i > 0, то каноническая окрестность состояния равно-
равновесия Оп системы (А„) состоит из шести гиперболических секторов
(рис. 2-40). Из первого же утверждения леммы следует, что если aZm+1 < 0,
то каноническая окрестность точки Оп состоит из двух гиперболических
и двух параболических секторов. Рис. 241 дан для случая Ьп > 0. При
Ъп <С 0 имеем полностью симметрич-
симметричную относительно оси г]п картину. Ха-
Характер состояния равновесия О @, 0)
исходной системы (А) можно теперь
установить, переходя последовательно
к системам (An_i), (An_2), • • -, (Ar), ...
. . ., (At), (А). Заметим, что в случае
п < т, который мы сейчас исследуем
для всех г, 1 ^ г ^ и — 1, выполня-
выполняются неравенства 2то — 2r -f- 2 > 4
и l^r^/г — 1. Поэтому переход
от системы (А„) к (Ап_.,), (А„_2), . . .
..., (Aj), (А) осуществляется так же, как
в случае п > т, и мы сразу заключаем,
что если «2m+i>0, то состояние равно-
равновесия О @, 0) системы является седлом
(расположение траекторий в этом случае
иллюстрируется рис. 238). Однако при
a2m+i < 0 приходится принимать во
внимание четность числа п. Действи- Рис. 241.
тельно, при преобразовании х = х,
т]г_1 = г|,.-а; точки 2-го и 3-го квадрантов плоскости (я, х\г) переходят в точки
соответственно 3-го и 2-го квадрантов плоскости (х, т]г]). Поэтому распо-
расположение траекторий системы (А^-,) в окрестности точки Оп _t будет таким,
как это изображено на рис. 242 при
Ьп <С 0, и полностью симметрично отно-
относительно оси х при Ьп > 0.
Очевидно, для систем (Ап_2), (А„_3)
и т. д. расположение траекторий в ок-
окрестности точки О @, 0) будет пооче-
поочередно характеризоваться то рис. 241,
то рис. 242. Поэтому для системы (At)
характер расположения траекторий в
окрестности ее состояния равновесия
Oj @, 0) будет при п нечетном таким,
как у системы (А„), а при п четном та-
таким, как у системы (AR__j).
Нам остается теперь перейти от си-
системы (А,) к исходной системе (А), при-
применив лемму 1 и замечание 1. Из этой
леммы и замечания следует, что в рас-
рассматриваемом случае, т. е. при п <С т,
Ьп =т^ 0 и a2m±i<Z0 состояние равно-
равновесия О @, 0) системы (А) является: топологическим узлом, если п четно,
состоянием равновесия с эллиптической областью, если п — нечетно. При
этом если Ъп > 0 (Ьп < 0), то эллиптическая область расположена ниже
(выше) гиперболической (Срис. 239) для случая Ьп > 0).
26 А. А- Андронов и др-
Рис. 242.

402 НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IX
3) Остается рассмотреть случай, когда т = п. При г = т = п
система (А,.) имеет вид
ittT =
Направления, в которых полутраектории системы (Лга) могут стремиться
к состоянию равновесия От @, 0), определяются уравнением
х [т& A + т) — bnv — «2ui+i ж21 = °- B1)
В силу леммы 3 в направлениях -^- и -^ л; к точке Ст @, 0) стремятся
только полутраектории х = 0, т]т > 0 и х = 0, rjm <С 0. Пусть X = b'n -,L
+ 4 (m -f 1) «2m+i. Рассмотрим три случая.
а) к < 0. При этом из уравнения B1) следует, что направления
я 3
— п—л являются единственными, в которых полу траектории системы
(Ат) могут стремиться к точке От. Но тогда, так же как в случае 1
(т. е. при п^>т), ни у системы (Ат), ни у одной из систем (Am_j),
(Am_2), ..., (Aj), (А) на разрезанной плоскости нет полутраекторнй,
стремящихся к состоянию равновесия @, 0), т. е. состояние равнове-
равновесия О@, 0) системы (А) является либо фокусом, либо центром.
б) Х>0. Рассмотрим систему (Ат+1):
их _
^ + h M] ~ (}n + 4) ^+1""- (A"+i)
Эта система имеет два состояния равновесия — Oj@, A,) и О2 @, к2), где
Вычисления показывают, что
А @, Ач) = — &! V"Х; Д @, к2) = А2 /Г. B2)
Если fl2m+i > 0, то I/A. >j^nj, Aj > 0, /с2<С0, и обе точки <9j и О2
являются простыми седлами системы (Ат+1). Отсюда так же, как в
предыдущих случаях (при a2m+i>0), заключаем, что состояние равно-
равновесия О @, 0) системы (А) является седлом.
Пусть теперь a2m+i < 0. Тогда У"к<С \Ьп\, и оба числа кл и к2 имеют
одинаковые знаки. Из соотношений B2) следует, что в этом случае одно
из состояний равновесия Ot и О2 является простым седлом системы (А,/!+1),
а другое — простым узлом, причем если Ьп > 0, то седло лежит на оси
цт+1 выше узла, а если Ъп < 0, то ниже. Дальнейшее рассуждение про-
проводится в точности так же, как в случае 2) (т. е. в случае, когда п < т,
«2т+1 < 0). Мы приходим, таким образом, к следующему заключению:
если Ьп ^ф 0, А > 0, a2m+i <0 и т = п, то точка О @, 0) системы (А)
является топологическим узлом при п четном и состоянием равновесия
с эллиптической областью при п нечетном (рис. 239).
в) А. = 0. В этом случае, как нетрудно видеть, система (Am+i) имеет
в некоторой области Г, содер?кащей ось т)т+1, единственное состояние

22]
случай а=0
403
равновесия О ( 0, ^-j-^jrri )• Непосредственные вычисления показывают,
что для точки О Д = 0, о @, 0) ф 0. Поэтому расположение траекторий
в окрестности этой точки можно исследовать с помощью теоремы 65,
приведя предварительно систему (Ат+1) к виду A1) § 21. Исследование
(которое мы предоставляем сделать читателю) показывает, что состояние
равновесия О системы (Am+t) есть седло — узел; расположение траекто-
траекторий в окрестности точки О приведено на рис. 243 при Ъп > 0 и на рис. 244
Рис. 243.
Рис. 211.
при Ьп <С 0. Зная расположение траектории системы (Ат+1), мы можем
с помощью таких же соображений, как при доказательстве леммы 2,
установить характер состояния равно-
у весия От системы (Ат). Нетрудно
видеть, что при Ьп > 0 траектории в
окрестности От расположены как на
У
Рис. 245.
Рис. 21E.
рис. 241, а при bn<Z0—симметрично относительно оси х. Дальнейшее
рассуждение проводится в точности так же, как в случае 2) (т. е. когда
26*

404 НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IX
п<Стп, a2m+i < 0), и мы таким образом убеждаемся, что если Ьп^=0,
тп = п, А = 0, то состояния равновесия О @, 0) системы (А) есть:
1) топологический узел при п четном;
2) состояние равновесия с эллиптическим сектором при п нечетном
(рис. 239).
Сопоставляя все полученные результаты, мы убедимся, что теорема
доказана.
Рассмотрим теперь случай, когда к есть четное число.
Теорема 67. Пусть в системе (А) к = 2т, т. е. четно (т> 1).
Тогда состояние равновесия О @, 0) есть:
1) вырожденное состояние равновесия, если Ъп = 0, а также если Ьп =^
^t0un>m (рис. 245); 2) седло — узел, если Ьп ^ф 0 и п <С т (рис. 246).
(Рис. 245 соответствует случаю а2т > 0, а рис. 246 — случаю Ьп > 0,
Й2т < 0.)
Доказательство настоящей теоремы проводится аналогично доказа-
доказательству теоремы 66, и мы его не приводим *). Отметим только, что при
доказательстве этой теоремы используется также лемма 4.
3. Упрощение исследования. Примеры. Покажем прежде всего,
как можно упростить исследование топологической структуры состояния
равновесия О @, 0) системы E)
их , п / ч dy „ .
ш = у + Р2 (х, у), -? = Q2 (x, у).
Из приведенных в настоящем параграфе рассуждений вытекает,
что для исследования нужно:
а) Выполнить преобразование F)
и найти обратное преобразование G)
Функция /(?, г]) удовлетворяет тождеству
ti = /(g, ц)+Р2A, /(?, л))- B3)
В результате преобразования получается система (8)
ft = ri, ^ = 02(S, л)-
Вернемся к старым обозначениям, заменив Ъ. и т] соответственно
на а- и у. Тождество B3) запишется в виде
x,f(x,y)). B4)
Введем обозначение
<p(z) = f(x,0). B5)
Из B4) следует, что
Ц>(х) + Р2(х, ф(ж))=0, B6)
*) Доказательство теоремы 67 полностью изложено в [84].

i 22]
случай а —О 405
причем ф @) = 0. Система (8) в измененных обозначениях имеет вид
dx dy c=r .
ai = y, -? = Q2(z,y).
С выражением для Q2-
Qz (x, У) = <?2 (ж, / (х, у)) + Р2х (х, f (ж, у)) у +
+ Р'2у (X, f (X, y))-Q2 (х, f (х, у)), B7)
мы встречались в начале п. 1.
Далее, нужно
б) представить функцию Q2 (х, у) в виде
Q2 (ж, у) = ahxh + aft+i xh+1 +... + у (bnxn -| bn+lxn-1 +...) + y2f (x, у). B8)
в) В зависимости от того, является к четным или нечетным числом,
применить теорему 66 или 67 и по числам к, п, а^ и Ъп определить
характер состояния равновесия О@, 0)*).
Из соотношения B8) ясно, что а^хК есть первый (низший) член
разложения по степеням х функции Q2(x, 0), а Ъпхп есть первый член
разложения функции ^2!f'—'- . Следовательно, в силу B5) и B7) ahxk
есть первый член разложения функции
<?2(х,<?(х)I1 + Р'2У(х,ч(х)I, B9)
а Ъпхп есть первый член разложения функции
Р'2х {х, ф (х)) + Q-2y (х, Ф (х)) [1 ~ Р2у (х, Ф (х))] д~Щ^ +
+ Р1Ш (х, Ф (х)) ¦ О2 (х, ф (х)) ^2 . C0)
Из тождества B4) следует, что
д/ (ж, 0) i_
Поэтому выражение C0) можно записать в виде
^2х (а-, ф (ж)) + (?2у (х, ф (ж)) ;- -лШ^-t ^A^l l_z±j> . C1)
1 + Р2(ж (J)(j))
Из выражения B9) сразу видно, что первый члон разложения функ-
функции B9), т. е. ahxh, совпадает с первым членом разложения функции
Q2(x, ф(ж)).
Обозначим через BNxN первый член разложения функции
а (х) = Р2х (х, ф (х)) + Q'2v (x, Ф (ж)). C2)
Если выражение C2) тождественно равно нулю, то мы будем считать,
что BN = 0.
Мы утверждаем, что при определении топологической структуры
состояния равновесия О @, 0) системы E) с помощью теоремы 66 и 67
в качестве чисел п и Ъп можно взять соответственно числа N и BN.
*) В случае, если Q2 (ж, у) не имеет членов, содержащих у в первой стеиеиц,
число Ьп считается равным пулю.

406 НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IX
Для доказательства заметим, что если Вк=?= 0, a N^Lm, то млад-
младшие члены разложений функций C1) и C2) просто совпадают, т. е. Ьп =
= BN и п = N. Если BN = 0, то либо Ьп = 0, либо п > т. В обоих
случаях безразлично, пользоваться ли в теоремах 66 или 67 числами п
и Ьп или (соответственно) числами N и BN. Наконец, если В^- =И= 0,
а N > т, то либо младшие члены разложений функций C1) и C2) сов-
совпадают, либо Ьп = 0, либо п > m (хотя младшие члены обоих разложе-
разложений и не совпадают). Во всех этих случаях результат, получаемый
из теорем 66 и 67, не меняется при замене чисел п и Ьп числами Лг и BN.
Таким образом, наше утверждение доказано. В результате мы при-
приходим к следующему простому правилу.
Для исследования топологической структуры состояния равновесия
О @, 0) системы
% х,у), % = Q2(x,y) C3)
нужно:
а) Последовательно находить коэффициенты разложения по степе-
степеням х функции у = ф (х), являющейся решением уравнения
Для этого нужно, очевидно, подставить в это уравнение выражение
для ф (х) в виде ряда
ф (х) = щх -\- а2жа -f - - • + ак%к + • • •
Собирая затем члены с одинаковыми степенями х, нужно приравнять
полученные таким образом коэффициенты при одной и той же степени х;
из этих выражений последовательно определяются коэффициенты ах,
a.2i • • ¦) оп, . ..
б) По мере нахождения коэффициентов щ подставлять соответст-
соответственно в функции
Ир (х) = Q2 (х, ф (х)) и а (х) = Р'2х (х, ф (х)) -f Q'2y (x, ф (х))
отрезки ряда для ц> (х): а%х Ara2x2j-~ ... +апжп до получения первого не
равного нулю коэффициента в разложении функции $ (х), ahxh (ah^=0,
at =0, i < n) и первого не равного нулю коэффициента в разложении функ-
функции а (х): Ъпхп (Ьп Ф 0, bj = 0, j <с п) (если а (х) = 0, то, очевидно, Ьп = 0).
в) При к четном (нечетном) применить теорему 66 F7) и по величинам
к, п, ah и Ъп определить в согласии с этой теоремой характер состояния
равновесия О @, 0).
Отметим, что рис. 238—239, 245, 246 иллюстрируют рассмотрение
траекторий в окрестности состояния равновесия О @, 0) в том случае,
когда направлениями, по которым траектории стремятся к состоянию
равновесия, являются направления осей координат. В случае, когда это
не так, рисунок, очевидно, будет несколько иной, хотя топологически
структура состояния равновесия при этом, конечно, остается той же самой.
Замечание. В достаточно малой окрестности начала координат
преобразование
Ъ = х, г\ = у — ц(х) C4)
так же, как преобразование F), приводит систему E) к виду (8). Поэ-
Поэтому, зная расположение траекторий в окрестности состояния равнове-
равновесия О @, 0) преобразованной системы (8)

§ 22]
СЛУЧАЙ 0 = 0
407
мы можем перейти к исходной системе E)
с помощью преобразования
т. е. преобразования, обратного к преобразованию C4).
Во всех приводимых ниже примерах даны системы, не обяза-
обязательно приведенные к каноническому виду, и требуется определить тип
состояния равновесия О @, 0) этих систем с помощью одной из трех теорем
настоящей главы.
Л dx Т/Йт ,Л dy 1 2 , 2 /орл
-L- ~Т7 X \YJJy • У)у -у; У У -р U.J , ^^
Й
где
> 0, а > 0. В данном случае а — 6 = с = 0, d = . Следова-
Следовательно, А = 0, б = Ф 0, и тип состояния равновесия О @, 0) опре-
определяется с помощью теоремы 65, после того как данная система будет
приведена к виду A1) § 21. Для этого здесь достаточно ввести новый
параметр t = —— t, тогда система C5) примет вид
—: = — аба;2
dt
-аху,
dt
C7)
Находим теперь функцию у = ф (х), т. е. решение уравнения
у-{~ау2— а2а;2 = 0. Ищем решение в виде ряда
Ф (х) = ctx -j- сгхг -j- c3xs + с4а;4 -f- . ..
Нетрудно видеть, что ct = c3 = 0, с2 = а2, с4= — а5, ... Тогда
Ф (х) = а2х2~cAC-f- ..., я)з (х) = Р2 (ат, ф (х)) = — арж2 + а3з;3+ ...
Получаем тп = 2 и Ат = —ар < 0. Согласно теореме 65 состояние рав-
равновесия системы C7), а следовательно, и системы C6) является седло —
узлом, внутри гиперболических секто-
секторов которого заключен отрезок поло-
положительной полуоси х.
Таким образом, топологическая
структура состояния равновесия опре-
определена. Для того чтобы представить
себе расположение траекторий в окрест-
окрестности состояния равновесия более пол-
полно, отметим некоторые дополнительные
йакты для системы C6). Ось у состоит
из траекторий системы C6), а все ос-
остальные траектории, стремящиеся к точ-
точке О, подходят к ней в направлениях
6 = 0 и е = л (см. п. 2 § 21). Полагая
х = 0 во втором из уравнений C6),
убеждаемся в том, что полуоси оси у
являются положительными полутраек- Рис. 247.
ториями. Полагаем у = 0 в уравне-
уравнениях C6), убеждаемся в том, что сепаратриса гиперболических секторов
расположена выше оси х. Из всего сказанного получаем расположение

408 НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ [ГЛ. IX
траекторий в окрестности состояния равновесия О системы C6), ука-
указанное на рис. 247 (при этом следует иметь в виду замену t = 1).
2. ^- = *(-0 + 0*4-3^), ^^Зх+у-х^уЗ + Зху*. C8)
Здесь а = b = 0, с = 3, d = 1. Следовательно, Д = 0, 6 = 1 =?== 0 и тип
состояния равновесия определяется теоремой 65. Для того чтобы при-
привести систему C8) к виду A1) § 21, применяем согласно п. 2 § 21 преобра-
преобразование
х = х, у
Получаем систему
C9)
Решая уравнение у -j- 8а;2—Зху — Зху2 -f ys = 0, находим
Ф(ж)=— 8а>—24а>- ...,
¦ф (х) = Р2 (ж, ф (х)) = ЗаТ2 -f 8ж3 + - • -
Здесь т = 2, Дт= 3>0и согласно теореме 65 точка О @, 0) системы C8),
а следовательно, и точка О@, 0) системы C8) является седло — узлом.
Дополнительно заметим, что ось у состоит из траекторий системы C9),
гиперболические секторы согласно теореме 65 расположены слева от оси у
и сепаратриса, разделяющая эти секторы, лежит ниже оси х (это нетрудно
видеть, рассматривая направление поля на оси х). Далее, так же, как
в примере 1, заключаем, что все траектории, стремящиеся к точке О @, 0),
кроме полуосей оси у, стремятся в направлении Э = 0 и Э = я, т. е.
касаются оси х в точке О @, 0).
Для того чтобы получить расположение траекторий в окрестности
точки О @, 0) системы C8), примем во внимание сделанное линейное
преобразование х = х, у = За: + у. Таким образом, все траектории
(кроме траектория, совпадающих с полуосями оси у), стремящиеся
к состоянию равновесия О системы C7), стремятся к нему, касаясь пря-
прямой у = —За:, т. е. в направлениях arctg (—3) ия | arctg (—3) (рис. 248).
з. f=,-4^-3*2, ^-.O'+iO- D0)
В данном случае а = с = о? = О, b = 1. Следовательно, А = 0, 6 = 0
и тип состояния равновесия определяется теоремой 66 или теоремой 67.
Система D0) имеет вид E). Здесь
1 3
р2 («> У) = — у ху — За:2, О2 (х, у) = — жу —^ у2.
Решение уравнения у -j- Р2 (х, У) = 0 имеет вид

§ 22]
случай а =
409
Тогда
¦ф (х) ==
(а;)) = —За;3— 15а;4 — ...,
21
б (а;) = Р2х (х, ф (а;)) + Q'2v (х, ф (а;)) = — 1х—-^ х2
Следовательно, к = 2т + 1 = 3, т = 1, ай = —3 < 0, и = 1, 6П =
= — 7 < 0 и А = Z? + 4 (m + 1) «zm+i = 25 > 0. Так как здесь к —
нечетное число, ah < 0, m = и, Я. > 0 и /г — нечетное число, то в силу
теоремы 66 состояние равновесия О системы D0) является состоянием
равновесия с эллиптической областью. Топологическая структура состоя-
состояния равновесия таким образом уста-
устать новлена. Легко видеть, что ось х яв-
является интегральной кривой системы
D0). Проводя дополнительное рас-
рассмотрение с помощью преобразования
х = х, у — цх, можно показать, что
Рис. 248.
Рис. 249.
полуоси оси х являются сепаратрисами. Состояние равновесия изобра-
изображено на рис. 249.
dx
lit
4.
-х{2у + х), % = х-
D1)
Здесь а = Ь = 0, с = 1, с? = 0. Следовательно, Д = 0, 6 = 0 и тип
состояния равновесия определяется теоремой 66 или теоремой 67. Для
того чтобы привести данную систему к виду (о), сделаем согласно п. 1
§ 22 преобразование х = у, у = х. Тогда система D1) примет вид
D2)
Нетрудно видеть, что здесь
х) = 4х— D-1
Тогда к = 2т + 1 = 3, т = 1, ak = — 2 < 0, п = 1, Ьп = 4 > 0, п —
нечетное число и А = 0. При этих условиях согласно теореме 66 заклю-
заключаем, что точка О @, 0) является состоянием равновесия с эллиптической
областью системы D2).
5.
D3)

410
НЕКОТОРЫЕ ТИПЫ СЛОЖНЫХ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ
[ГЛ. IX
У
Это — система вида E). Нетрудно видеть, что
<р (х) =х3 — х6 -{-2х9-\-..., ty(x) = ¦—Зж8-|- х9-\- ..., а (х) = Зж8—18;r9-j- ...
Здесь к = 2т — четное число, и, следовательно, тип состояния равно-
равновесия определяется теоремой 67. Так как т = 4, п = 6, то п > т и точка
О @, 0) является вырожденным со-
состоянием равновесия. Принимая во
внимание, что а2т = —3, а также
принимая во внимание замечание
п. 3, нетрудно убедиться в том, что
расположение траекторий в окрест-
окрестности состояния равновесия будет
таким, как это показано на
рис. 250.
Данный пример показывает, что
для определения младших членов
разложения по степеням х функций
iM (х) и о (х) не достаточно знать
Рис. 250. только младший член разложения
по степеням а; функции <р (х).
Подробное решение примеров 6 и 7 предоставляем сделать читателю.
dx f . X \ dy ,1
г.
6-
dt
,v
где п > 1, К > 0.
Состояние равновесия О @, 0) является седло
-,
dx
dy
dt
и—1
у-
узлом.
-XJ ,
где п > 1, "к > 0. Состояние равновесия О @, 0) является состоянием
равновесия с эллиптической областью.

ГЛАВА X
СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА И ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ G*
Введение
Настоящая глава непосредственно примыкает по своему содержанию
к главе VIII. Она посвящена исследованию свойств со- и а-предельных
континуумов, а также континуумов, являющихся граничными для ячеек,
заполненных замкнутыми траекториями, и затем описанию схем таких
континуумов. Кроме того, в настоящей главе рассматривается также
схема границы области G* в предположении, что эта граница нормальна.
Полные схемы предельных континуумов и схема границы области являют-
являются наряду с полными схемами состояний равновесия основными элемен-
элементами того описания расположения особых траекторий (с указанием среди
них предельных) —«схемы динамической системы», которое, как мы
увидим в следующей главе, полностью определяет топологическую струк-
структуру разбиения на траектории.
Глава X состоит из четырех параграфов. В § 23 рассматриваются (о-
и а-предельные континуумы и континуумы, являющиеся граничными для
ячеек, заполненных замкнутыми траекториями. В случае, когда эти кон-
континуумы не являются состояниями равновесия (случай, когда они явля-
являются, состояниями равновесия, очевидно, может быть непосредственно
рассмотрен на основании результатов главы VIII), они названы нуль-
предельными континуумами.
В § 24 вводится понятие локальной схемы таких континуумов.
В локальной схеме данного предельного континуума указывается, какие
из особых траекторий рассматриваемой динамической системы состав-
составляют этот континуум, и описывается их взаимное расположение.
В § 25 рассматривается полная («глобальная») схема предельного
континуума. В полной схеме дается описание расположения предельного
континуума на плоскости, состоящее в описании взаимного расположения
тех простых замкнутых кривых, имеющих общими точками состояния
равновесия, которые образованы входящими в континуум траекториями,
и, кроме того, указываются все стремящиеся к нему особые траектории
рассматриваемой динамической системы.
В § 26 рассматривается схема границы области G* с G.
В главе VIII было указано различие, существующее в трудности уста-
установления локальной и полной схемы состояния равновесия.
Локальная схема состояния равновесия может быть установлена путем
локального рассмотрения его окрестности (рассмотрения в «малом»).
В настоящее время для этого существуют довольно общие методы (в част-
частности, некоторые из этих методов изложены и в главе IV и главе IX).

412 СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА И ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ G* [ГЛ. X
Для установления полной схемы состояния равновесия необходимы уже
сведения о поведении особых траекторий в целом («в большом»).
В случае предельных континуумов, очевидно, уже для установления
локальных схем нужны сведения о поведении особых траекторий в целом,
в частности сведения о предельных циклах. Как мы видели, в настоящее
время для этого существуют лишь некоторые частные приемы и отсут-
отсутствуют общие методы. Таким образом, фактическое установление локальной
схемы предельного континуума — это вопрос совсем другого порядка труд-
трудности, чем вопрос установления локальной схемы состояния равновесия.
§ 23. Свойства предельных континуумов и континуумов, входящих
в границы ячеек, заполненных замкнутыми траекториями
1. Свойства g>- и а-предельных континуумов, не являющихся состо-
состоянием равновесия. Мы будем рассматривать со- или а-предельные кон-
континуумы незамкнутой траектории, не являющиеся состоянием равнове-
равновесия. Так как по предположению граница Г области G* (в которой рас-
рассматривается данная динамическая система) нормальна, то никакой
предельный континуум не может иметь общих точек с границей Г (см.
свойство 2) нормальной границы п. 2 § 16).
В силу предложений (п. 6 § 4) предельный континуум незамкнутой
полутраектории, не являющейся состоянием равновесия, либо является
замкнутой траекторией, либо состоит из состояния равновесия и целых
орбитно-неустойчивых траекторий, стремящихся к состояниям равнове-
равновесия и при t -> +00 и при t -> —оо (т. е. сепаратрис, см. § 15). Предель-
Предельный континуум положительной полутраектории L~ или ю-предельный
континуум будем обозначать через Ка. Предельный континуум отрица-
отрицательной полутраектории Lr или а-предельный континуум будем обозна-
обозначать через Ка.
В дальнейшем для определенности всегда будем рассматривать пре-
предельный континуум Ка положительной полутраектории. Все результаты,
касающиеся континуума Кш, конечно, справедливы с надлежащими совер-
совершенно очевидными изменениями и для предельного континуума Ка отри-
отрицательной полутраектории. Поэтому для континуумов Ка мы эти резуль-
результаты выводить и даже формулировать не будем.
Напомним некоторые свойства предельных траекторий, установлен-
установленные в п. 5 § 4. Пусть Lo — отличная от состояния равновесия траектория,
предельная для полутраектории L+, входящая, следовательно, в состав
некоторого континуума Ка. Пусть Мо — точка этой траектории н 10 —
проведенная через точку Мо и содержащая ее внутри дуга без контакта.
В силу следствия 1 из леммы 2 § 3 п. 4 на дуге 10 кроме точки Мо не мо-
может лежать больше уже ни одной точки траектории Lo- В силу следствия 2
из той же леммы точки пересечения полутраектории L+ с дугой /0 распо-
расположены либо все на части этой дуги, лежащей по положительную сторону
Lo, либо все на части зтой дуги, лежащей по отрицательную сторону Lo.
Пусть для определенности все общие с 10 точки полутраектории L+
расположены на части Zo, лежащей по положительную сторону Lo. Если
М — какая-нибудь отличная от Мо точка траектории Lo и I — дуга без
контакта, проведенная через точку М, содержащая точку М внутри
и кроме точки М не имеющая общих точек с траекторией Lo, то все точки
пересечения полутраектории L+ с дугой без контакта I будут также рас-
расположены на части этой дуги, лежащей по положительную сторону траек-
траектории Lo.

S 23] СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНЫХ КОНТИНУУМОВ 413
Согласно определению, данному в п. 5 § 4, в этом случае предельная
траектория Lo называется предельной для полутраектории L+ (или со-
сопредельной для траектории L) с положительной стороны.
Совершенно аналогично можно говорить о траектории, являющейся
предельной для полутраектории L+ (L~) (или со (а)-предельной для траек-
траектории L) с отрицательной стороны.
Переходя к исследованию свойств предельных континуумов, напом-
напомним, что в случае, когда предельный континуум не содержит состояний
равновесия, он состоит из одной
замкнутой траектории (см. теоре-
теорему 14 главы II).
Рассмотрим теперь подробнее
случай, когда в состав контину-
континуума Кю входит хотя бы одно со-
состояние равновесия.
Лемма 1. Пусть Ка — ъз-пре-
делъный континуум, не являющий-
являющийся состоянием равновесия или замк-
замкнутой траекторией, и пусть
Lo—отличная от состояния рае- !'»«•. 251.
новесия траектория, входящая
в состав Кш, ъз-пределъная для полутраектории Ь+ с положительной
(отрицательной) стороны.
Тогда: а) траектория Lo со- и а-продолжаема с положительной (отри-
(отрицательной) стороны; б) со- и а-продолжения траектории Lo с положитель-
положительной (отрицательной) стороны также являются ^-предельными для L+
траекториями с положительной (отрицательной) стороны.
Доказательство. Для определенности будем считать, что
Lo предельна для L+ с положительной стороны. Траектория Lo и при
t—*¦ +оо и при ? —»-—оо стремится к состояниям равновесия. Пусть
состояние равновесия, к которому она стремится при t —*- -}-<х>, есть Ои
а состояние равновесия, к которому она стремится при t -*¦—оо — О2
(в частности, Ох и О2 могут совпадать). Рассмотрим сначала состояние
равновесия Ot.
Пусть Ci — окружность с центром в точке Oj столь малого радиуса,
что внутри нее не лежит целиком ни одна орбитно-неустойчпвая траекто-
траектория, кроме точки О\. Возьмем на Lo точку Q, лежащую после последней
(при возрастании t) общей точки траектории Lo и окружности Ct. Про-
Проведем через точку Q дугу без контакта QA, расположенную целиком внутри
С1 и с положительной стороны траектории Lo (рис. 251). Так как по усло-
условию траектория Lo является оз-предельнон для L+ с положительной сто-
стороны, то на дуге QA лежит бесконечная последовательность точек полу-
полутраектории L+, {Qt}. стремящихся к точке Q, соответствующих неогра-
неограниченно возрастающим значениям t и расположенных на QA в порядке
возрастания t.
Докажем сначала утверждение а).
Пусть траектория Lo не имеет со-продолжения с положительной сто-
стороны. Тогда все траектории, пересекающие некоторую часть QA дуги QA,
не выходя из окружности Си стремятся при t ->- -f-oo к точке Ot, больше
уже не пересекая дугу QA ¦ Но тогда на дуге QA не могла бы лежать после-
последовательность {Qi}- Это, очевидно, противоречит предположению. Совер-
Совершенно так же, рассматривая состояние равновесия О2, мы покажем, что
Хо а-продолжаема.

414 СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА И ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ G* ?ГЛ. X
Докажем утверждение б). Пусть Lt — траектория, являющаяся
ш-продолжением траектории Lo с положительной стороны. Возьмем на L4
какую-нибудь точку Р, лежащую после последней (при убывании t)
общей точки с окружностью Cj. Проведем через точку Р дугу без контакта
РВ, расположенную внутри окружности С с положительной стороны
траектории Li (рис. 252). Так как на дуге QA лежит стремящаяся к точке
Q и соответствующая неограниченно возрастающим значениям t после-
последовательность точек полутраектории L+, то (см. определение XIX) на дуге
РВ также лежит стремящаяся к точке Р и соответствующая неограни-
неограниченно возрастающим значениям t последовательность точек полутраек-
полутраектории L+. А это значит, что точка Р является ш-предельной для полу-
^^^ траектории L+. Отсюда легко
*f- _s&iA 'vi^X __ ^С вытекает утверждение б). Лемма
доказана.
Предполагая по-прежнему,
что континуум Кы не является
состоянием равновесия или зам-
замкнутой траекторией, докажем
следующую теорему.
Теорема 68 *). Пусть
одна из отличных от состояния
равновесия траекторий конти-
континуума Ка (а-предельна для L+
Рис. 252. с положительной (отрицатель-
(отрицательной) стороны. Тогда все входя-
входящие в Кш отличные от состояния равновесия траектории являются про-
продолжением одна другой с положительной (отрицательной) стороны, at-npe-
делъны для L+ с положительной стороны и могут быть перенумерованы
так, что всякие две последовательные в этой нумерации траектории,
а также последняя и первая траектории являются а-продолжением друг
друга с положительной (отрицательной) стороны.
Доказательство. Пусть N — число отличных от состояний
равновесия траекторий, входящих в состав континуума Кш. Пусть Lt —
одна из этих полутраекторий, и пусть для определенности Lt ш-предельна
для полутраектории L+ с положительной стороны.
Пусть Ot — состояние равновесия, ш-предельное для траектории L4.
В силу предыдущей леммы траектория Lt продолжаема с положительной
стороны, и траектория L2, являющаяся ее ш-продолжением, тоже ш-пре-
ш-предельна для полутраектории L+ с положительной стороны, т. е. L2 входит
в Кш. Обозначим через О2 состояние равновесия, ю-предельное для траек-
траектории L2 (состояния равновесия Ot и О2, в частности, могут совпадать).
Продолжая аналогичное рассуждение, мы получим последовательность
из траекторий, входящих в континуум Кш: Lu L2, . . ., в которой каж-
каждая последующая является ш-продолжением предыдущей (с положитель-
положительной стороны). Каждая траектория Lt при t ->- -j-oo стремится к состоя-
состоянию равновесия Ot (i = 1, 2, 3, . . .). Так как число траекторий, вхо-
входящих в континуум Кю, конечно, в силу предположения о конечности
числа особых траекторий, то существует наименьшее натуральное число R
такое, что траектории Lu L2, . . ., LR различны, а траектория LR+i
совпадает с одной из траекторий Lu где 1 ^ i ^ R. Но тогда непременно
*) Эта теорема вместе с предыдущей леммой представляет собой уточнение тео-
теоремы Бендиксона.

§ 23] СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНЫХ КОНТИНУУМОВ 415'
? = 1. В самом деле, если i > 1, то траектория L( имеет, как легко видеть,
своим а-продолжением с положительной стороны две различные траекто-
траектории .?,_i и LR, что не может быть. Таким образом, траектории Lt и LR + i
совпадают, и мы получаем цепочку отличных друг от друга траекторий
i-4.i Lz, ¦ ¦ ¦, LR, A)
со-предельных для L+ с положительной стороны и являющихся продол-
продолжениями одна другой в циклическом порядке (также с положительной
стороны).
Предельные точки этих траекторий Ои О2, . ¦ ., OR могут быть раз-
различными или совпадать. Каждая точка Ot является ю-предельной для
траектории Lt и сс-предельной для траектории Li + i (i = 1, 2, . . ., R,
и под LR+i подразумевается траек-
траектория i4). Обозначим через К'а
замкнутое множество, составлен-
составленное из всех точек траекторий A)
и точек Ot (i = 1, 2, . . ., R).
Для доказательства теоремы
достаточно показать, что множе-
множество К'а содержит все со-предель-
ные точки полутраектории L+, так
что К'а совпадает с Ка и, следо-
следовательно, R = N.
Покажем сначала, что сколь бы Рис. 253.
малое е > 0 мы ни взяли, начиная
с некоторого достаточно большого значения Т, все точки полутраектории-
L+, соответствующие значениям t~>T, лежат в е-окрестности К'а (ср.
теорему о замкнутой предельной траектории § 4). Рассмотрим точку Ог
и стремящиеся к ней траектории L^u LiJri (?=1,2, . . ., R); LR+1 s Lt.
Так как Lj+i является со-продолжением Lt с положительной стороны,
то при любом е > 0 существуют дуги без контакта Xf и kj+i, облада-
обладающие следующими свойствами (см. § 15): а) один из кондов дуги Af —
Mt—лежит на траектории Lt, а один из концов дуги Xj + t — Mi+i — на
траектории Li + i; эти дуги не имеют общих точек и лежат по положи-
положительную сторону, соответственно, траекторий Lt и Li + i (каждая из этих
дуг кроме точек Mt и Ml, соответственно, но имеет уже больше общих
точек с континуумом К'а, см. следствие 1 из леммы 11 § 3); б) дуги Х? и
hi+i целиком содержатся в Ub (Ot) и всякая траектория при t — t0,
пересекающая дугу kf при некотором значении Т > t0, пересекает
дугу "к\+1, оставаясь при всех t, t0 ^ t ^ Т в Ue (Ot) (рис. 253) *).
Рассмотрим дугу к1. При всяком заданном е>0в силу свойства б)
существует часть Mr A^r Дуги Ян такая, что всякая траектория, пере-
пересекающая эту часть при некотором значении t ~ t0 в точке, отличной
от Жн, пересекает дугу К~ при большем значении t, оставаясь при про-
промежуточных значениях в окрестности Uz (OR). Тогда существует часть
Mr Nr дуги Kr такая, что пересекающие эту часть траектории при воз-
возрастании t пересекают дугу Mr Nr, не выходя в промежутке между
точками пересечения из е-окрестности части MR NR траектории LR
*) При доказательстве этой теоремы, очевидно, можно обойтись проведением
дуг без контакта только через одну точку каждой траектории /.;. а не через две, как
в приведенном доказательстве. Мы рассматриваем по две дуги с концами на каждой
траектории Lt ввиду того, что при таком построении можно непосредственно ссылаться
на установленное выше предположение (лемму 6 § 18).

416 СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА И ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ G* [ГЛ. X
{и не пересекая дуг Ян и Ar). Продолжая аналогичное построение, мы
получим последовательно дуги без контакта Mti_iNu_u M^^1NR_l, . . .
. . ., M~N~, М+Щ, являющиеся частями дуг Ян-i, Ar_j и т. д., л, нако-
наконец, дугу M~N~, являющуюся частью дуги К~. Дуга M~N~ по построению
обладает, очевидно, следующими свойствами: каждая траектория, пере-
пересекающая эту дугу при t = tl в отличной от Ml точке, при некотором
большем значении tz > t^ пересекает дугу 'К^ еще раз, не пересекая при
всех значениях t между tl и t2 уже больше эту дугу Я" и оставаясь в е-
юкрестности множества К'а.
Рассмотрим теперь полутраекторию L+. Так как точка М~[ является
для траектории L+ со-предельной точкой (с положительной стороны), то
дуга M1N1 имеет общие точки с полутраекторией L+. Пусть Р± одна из
этих точек, соответствующая значению ^ параметра t. На основании
•сказанного выше полутраектория L+ пересекает дугу А~ в некоторой
точке Р2 при значении t = tz> tu причем вся дуга Р%Рг полутраектории
L+ лежит в е-окрестности множества К'а. Очевидно, точка Pz лежит
на дуге К~ между точками Рг и М~х . Но тогда точка Рг сама принадлежит
дуге М[ 7V~ и к ней можно применить предыдущее рассуждение. Мы полу-
получим, таким образом, бесконечную последовательность точек Ри Р2,
Р3, ¦ ¦ • полутраектории L+, соответствующих значениям tx, t2, ... пара-
параметра t, причем каждая дуга РпРп + 1 полутраекторпи L+ расположена
в Uе (К'а). Так как последовательность чисел tп —*¦ оо при п—*- оо, то это
значит, что вся часть полутраектории L+, соответствующая значениям
t > ^1, расположена в е-окрестности множества К'а.
Отсюда следует, что у полутраектории L+, кроме точек, принадле-
принадлежащих К'ш, нет никаких других предельных точек. Действительно, вся-
всякая не принадлежащая К'а точка Q находится на ненулевом расстоянии q
от К'ы. Возьмем е <С ^. В силу предыдущего, начиная с некоторого
Т (Т = Т (е)), вся часть полутраектории L+, соответствующая значе-
значениям t > Т, будет лежать в е-окрестности К'а и, следовательно, в силу
выбора е на расстоянии, большем |, от точки Q. Это, очевидно, означает,
что никакая точка Q, не принадлежащая К'а, не может быть предельно»
для L+, т. е. К'а и Кш совпадают и теорема доказана.
Замечание. Предположим для определенности, что все траек-
траектории, входящие в континуум Ка, являются предельными для L+ с поло-
положительной стороны, и пусть 10 — дуга без контакта, проведенная через
точку Мо какой-нибудь отличной от состояния равновесия траектории
Lo, входящей в Кш. Тогда в силу леммы 8 § 15 п леммы 9 § 16 континуум
Кш является ш-предельным не только для L+, но и для всех траекторий,
пересекающих достаточно малую часть MqA дуги 10, лежащую по поло-
положительную сторону Lo.
В случае, когда все входящие в континуум Ка траектории являются
«-предельными для полутраектории L+ с положительной стороны, мы
будем говорить, что континуум Ка является ^-предельным с положитель-
положительной стороны для полутраектории L+.
Мы будем говорить также, что данный континуум Ка является
<о-пределъным с положительной стороны, без упоминания о том, для какой
полутраектории, подразумевая под этим, что континуум Кы является
(в силу замечания к теореме 68) ш-предельным континуумом для всех
траекторий, пересекающих дугу без контакта I, проведенную через точку

§ 23] СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНЫХ КОНТИНУУМОВ 417
Mj любой входящей в Ка траектории Lj (отличной от состояния равнове-
равновесия) на достаточно малой части MjAj этой дуги I, лежащей по положи-
положительную сторону Lj.
В дальнейшем нам всегда придется рассматривать пе просто кон-
континуум Ка, а континуум Кш, предельный с определенной стороны —
положительной или отрицательной. В связи с этим введем следующие
обозначения:
Под К% (Кп) мы будем подразумевать континуум, являющийся
ш-предельным с положительной (отрицательной) стороны и рассматри-
рассматриваемый как со-предельный только с этой стороны. Точно так же введем
обозначения К%, и К^-
Если мы не хотим указывать точно, с какой именно стороны, с поло-
положительной или отрицательной, мы рассматриваем ш (или а)-предельный
континуум К, но хотим подчеркнуть, что рассматриваем его как продель-
продельный только с одной определенной пз этих двух сторон, то мы будем обо-
обозначать его через К1 >.
Эти обозначения вводятся из-за существования «двусторонних» кон-
континуумов, т. е. континуумов, являющихся со- или а-предельными и с по-
положительной, и с отрицательной стороны. Для таких континуумов, оче-
очевидно, имеют смысл оба обозначения К+ и А."~.
2. Нуль-предельные континуумы и их свойства. Рассмотрим теперь
континуум Ко, входящий в границу ячейки, заполненной замкнутыми
траекториями. Такой континуум мы будем называть (J-предельным (нуль-
предельным). В силу теоремы 50 всякая ячейка, заполненная замкнутыми
траекториями, двусвязна, так что граница ее состоит из двух 0-предель-
ных континуумов.
Предположим, что континуум Ко не является одним состоянием
равновесия (центром), и пусть Lo — какая-нибудь траектория, входя-
входящая в него, отличная от состояния равновесия.
Лемма 2. а) Пусть Р — какая-нибудь точка траектории Lo
и I ¦— дуга без контакта, содержащая точку Р внутри, А 0 и Во — концы
дуги I, расположенные соответственно с положительной и отрицательной
стороны от Lo. Тогда все точки дуги I, принадлежащие данной ячейке го,
расположены либо на части РА о, либо на части РВ0 дуги I, и всегда можно
выделить часть РА дуги РА0 (соответственно часть РВ дуги РВ0), все
точки которой (кроме точки Р) принадлежат ячейке го.
б) Если на какой-нибудь дуге без контакта, проведенной через точку
траектории Lo, точки ячейки го лежат по положительную (отрицатель-
(отрицательную) сторону Lo, то на всякой дуге без контакта, проведенной через любую
точку траектории Lo, точки ячейки го также лежат по положительную
(отрицательную) сторону Lo.
Доказательство. Докажем утверждение а).
Пусть А —• какая-нибудь точка ячейки ю, расположенная, например,
на отрезке РА0 Дуги I. Покажем, что все точки части РА отрезка РА0
принадлежат ячейке и>. В самом деле, предположим, что это не так и что
какая-нибудь внутренняя точка Q дуги РА не принадлежит w. Так как
точка Р является граничной точкой ячейки и>, то впутри отрезка PQ
дуги I непременно лежат точки ячейки и>. Пусть R — одна из этих точек.
Траектории La и Lr, проходящие соответственно через точки А и R,
принадлежат ячейке w и, следовательно, являются замкнутыми траекто-
траекториями, лежащими одна внутри другой и содержащими между собой точку
Q, не принадлежащую ячейке w. А это противоречит теореме 49.
27 д. А. Андронов и др.

418 СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА И ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ G* [ГЛ. X.
Утверждение б) непосредственно вытекает из замечания 1 к леммо 9
§ 3 (рис. 45). Лемма доказана.
Если на всякой дуге без контакта, проведенной через точку траекто-
траектории Lo, граничной для ячейки w, точки этой ячейки лежат по положи-
положительную (отрицательную) сторону Lc, то мы скажем, что траектория Lo
нуль-гранична для ячейки w с положительной (отрицательной) стороны.
Предположим сначала, что в континуум Ко входит замкнутая траек-
траектория. В частности, эта замкпутая траектория может состоять из гра-
граничных и угловых Дуг. Имеет место следующая теорема:
Теорема 69. Если в континуум Ко входит замкнутая траекто-
траектория Lo, то эта замкнутая траектория исчерпывает весь континуум КЛ.
Доказательство. Проведем в какой-нибудь точке Р замкну-
замкнутой траектории Lo дугу без контакта I. Предположим для определенности,
что точки ячейки w лежат на этой дуге по положительную сторону траек-
траектории Lo. Тогда в силу леммы 2 мы можем считать, что все точки дуги /,
лежащие по положительную сторону траектории Lo кроме точки Р,
являются точками ячейки w.
В силу леммы о § 3 при заданном е > 0 всегда можно выделить часть
РА дуги I такую, чтобы все траектории, пересекающие эту часть в отлич-
отличных от Р точках, очевидно, являющиеся замкнутыми траектория»'и
ячейки w, целиком лежали в е-окрестности замкнутой траектории L(l.
Пусть для определенности континуум Ко, а значит, и траектория 1,0
лежат внутри замкнутых кривых рассматриваемой ячейки. Предполо-
Предположим, что существует точка Q континуума Ко, отличная от точек замкну-
замкнутой траектории Lo и, следовательно, находящаяся на ненулевом расстоя-
расстоянии q от траектории Lo. Возьмем е < ^. У всех траекторий, пересекаю-
пересекающих дугу РА в точках, достаточно близких к Р (но отличных от Р), во вся-
всяком случае должны быть точки, лежащие в Ue (Q). Но в силу предыдущего
при заданном е < ^ все траектории, проходящие через точки достаточно
малой части РА дуги I, целиком лежат в е-окрестности Lc, и в силу
выбора е не могут иметь точек в Ue(Q). Полученное противоречие докалы-
докалывает теорему.
Предположим теперь, что в состав Ко входят как отличные от состоя-
состояния равновесия траектории, так и состояния равновесия, так что А*о
не является замкнутой траекторией.
Лемма 3. Пусть Ко —• О-предельный континуум, не являю-
являющийся замкнутой траекторией, a Lo — входящая в Ко незамкнутая,
отличная от состояния равновесия траектория, граничная для ячейки и>
с положительной (отрицательной) стороны. Тогда: а) траектория.
Lo ю- и а-продолжаема с положительной (отрицательной) стороны;
б) траектории, являющиеся ю- и а-продолжением траектории Lo с поло-
положительной (отрицательной) стороны, также являются граничными для
ячейки (с соответствующей стороны) и, следовательно, входят в Ко.
Доказательство этой леммы полностью аналогично с очевидными
изменениями доказательству леммы 1, и поэтому мы его но приводим.
Теорема 70. Пусть одна из отличных от состояния равновесия
траекторий континуума Ко является граничной для ячейки w с положи-
положительной (отрицательной) стороны. Тогда все входящие в Ко, отличные
от состояния равновесия траектории являются продолжением одна другой
с положительной (отрицательной) стороны, граничны для ячейки w с поло-
положительной (отрицательной) стороны и могут быть перенумерованы так,

§ 23]
СВОЙСТВА ПРЕДЕЛЬНЫХ КОНТИНУУМОВ
419
Рис. 254.
что всякие две последовательные в этой нумерации траектории, а также
последняя и первая траектории являются (а-продолжением друг друга
с положительной (отрицательной) стороны.
Доказательство. Предположим, что Lu L2, ¦ ¦ ¦, LN —
все входящие в Ко траектории, отличные от состояния равновесия. Про-
Проводя такое же рассуждение, как и в теореме 68, мы находим, что суще-
существует цепочка, состоящая из траекторий, входящих в континуум А'г,
Lb L2, . . -, LH (R ^ N), в которой каждая траектория Lt имеет своим
w-продолжением с положительной стороны
траекторию Li + \, а траектория LR — траекто-
траекторию Lu и все эти траектории являются гра-
граничными для ячейки w с положительной
стороны.
Обозначим через 0t (i =--- 1, 2, . . ., R)
состояние равновесия, к которому траекто-
траектория L, стремится при t—>--\-oo, а траек-
траектория Li+i при t —»- —оо (состояния равно-
равновесия Oj могут частично или целиком сов-
совпадать) и через К'п континуум, состоящий из
траекторий L, (i = 1, 2, . . ., R) и состояний
равновесия О,.
Как и в теореме 68, для доказательства
достаточно показать, что К'о совпадает с Ко
и что, следовательно, R — N. Для этого
при заданном е > 0 проведем дуги без кон-
контакта Tit и kj с концами в точках траекторий L; (? = 1, 2, . . ., R), об-
обладающие теми же свойствами а) и б), что и в теореме 68.
Рассмотрим дугу К~. Мы всегда можем предполагать, что все точки
этой дуги кроме конца М~ принадлежат ячейке iv. Внося незначительные
изменения в рассуждения, проведенные в теореме 68, нетрудно видеть:
что при заданном е > 0 всегда можно выделить такую часть M1N1 дуги
\, чтобы все пересекающие эту часть траектории, очевидно являющиеся
замкнутыми траекториями ячейки w, целиком лежали в е-окрестпости
континуума К'о.
Предположим, кроме того, для определенности, что континуум К'о
лежит внутри замкнутых траекторий рассматриваемой ячейки w. Если
континуум К'й отличен от континуума Ко, то должна существовать гра-
граничная для ячейки w точка Q, лежащая внутри всех замкнутых траекто-
траекторий этой ячейки и находящаяся на ненулевом расстоянии от континуума
Kg. Рассуждая далее совершенно так же, как и при доказательстве тео-
теоремы 68, нетрудно убедиться в том, что Ко совпадает с К'а, и, таким обра-
образом, теорема доказана.
Когда точки траекторий ячейки w, заполненной замкнутыми траекто-
траекториями, лежат на дуге без контакта, проведенной через точку, припад-
лежащей Ко траектории Lt (отличной от состояния равновесия), по поло-
положительную сторону этой траектории, то мы будем говорить, что конти-
континуум Ко является граничным для ячейки w с положительной стороны
или О-прсдельным с положительной стороны, и обозначать его через К*.
Мы будем также иногда говорить, что К^ является О-предельным
континуумом для траектории L, подразумевая под этим, что L принадле-
принадлежит ячейке, для которой К^ является граничным континуумом. Совершен-
Совершенно аналогично мы будем говорить о континууме А"о, являющемся О-нре-
дельным с отрицательной стороны, и обозначать его через К~.

420 СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА И ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ С* [ГЛ. X
В том случае, когда сторона, с которой рассматриваемый континуум,
являющийся 0-предельным, не указывается, мы будем так же, как
и в случае ю- и а-предельных континуумов, пользоваться обозначением
К1В \ В частности, континуум Ко может являться как 0-предельным, с поло-
положительной стороны, так и 0-предельным с отрицательной стороны (но,
конечно, для различных областей). В этом случае мы будем рассматри-
рассматривать его дважды, как континуум К* и как континуум /Г~-(рис. 254).
3. Теорема о континууме, состоящем из особых траекторий, явля-
являющихся продолжением одна другой. Теоремы 68 и 70 устанавливают, что
каждый из континуумов Кт, Ка и Ко в случае, когда он по является
состоянием равновесия или замкнутой траекторией, имеет следующую
структуру: а) он состоит из конечного числа незамкнутых траекторий,
стремящихся к состояниям равновесия и при t —>- +оо и при t —>- —сю,
а также из этих состояний равновесия; б) эти незамкнутые траектории
могут быть перенумерованы таким образом, что каждая последующая
в этой нумерации траектория является ю-продолжением предыдущей,
а первая — ш-продолжением последней с одной и той же, например,
положительной (отрицательной) стороны.
Имеет место следующая теорема, в известпом смысле обратная тео-
теоремам 68 и 70:
Теорема 71. Всякий континуум К, обладающий структурой,
описанной условиями а) и б), является ы-, а- или ^-предельным контину-
континуумом с положительной {отрицательной) стороны.
Доказательство. Предположим для определенности, что
отличные от состояний равновесия траектории, входящие в состав кон-
континуума К, Lj, L2, . . ., Lj-y являются со-продолжением одна другой
с положительной стороны. При этом мы считаем их перенумерованными
так, что каждая траектория L;, при t —>- +оо стремящаяся к состоянию
равновесия Oi, имеет своим продолжением траекторию Li+l, очевидно,
стремящуюся к тому же состоянию равновесия при t-*¦ —оо (? = 1, 2, ...
. . ., N; Ljv+i = Lx). Некоторые состояния равновесия Ot или даже все
могут совпадать.
Очевидно, все траектории L, являются особыми (орбитно-неустойчц-
выми), и расстояние q между континуумом К и границей области G*,
в которой рассматривается динамическая система (в силу того, что эта
граница нормальна), отлично от нуля. Пусть е < | — такое положитель-
положительное число, что Uz (К) не имеет общих точек с границей Г и не содержит
целиком ни одной особой траектории кроме траекторий, входящих в кон-
континуум К. При выбранном е > 0 рассмотрим дуги Х~ и А+, обладающие
теми же свойствами, что и в теореме 68. В силу выбора е на дуге А" кроме
ее конца Ml, являющегося точкой траектории ?4 континуума К, не лежит
уже больше ни одной точки особой траектории, целиком лежащей в Uг (К).
Как и в теореме 68, выделим на дуге А," часть M1Nl>. такую, чтобы
всякая траектория, пересекающая эту часть при некотором значении
*i > t0, не выходя при значениях t, t0 ^ t ^ tt, из е-окрестпости кон-
континуума К, пересекала еще раз дугу %~. Пусть, в частности, Щ — точка,
в которой еще раз пересекает дугу К± траектория L*, проходящая через
точку N~.
Наоборот, всякая траектория при t = t[, пересекающая часть M1N\
дуги А", непременно пересечет эту дугу при меньшем, чем t[, значении
К (^ < О> не выходя при значениях t, t[ > t > t'2, из е-окрестности

§ 24] ЛОКАЛЬНАЯ СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА 421
континуума К. Рассмотрим все возможности, которые могут здесь пред-
представиться.
1) Точка N* отлична отточки TV" и лежит на дуге к[- между точками
Лг~ и М~. Траектория L* не замкнута и нри некотором значении t2 > tx
пересечет дугу Я~ в точке N*, очевидно лежащей между точками N* и М\.
Продолжая аналогичное рассуждение, убедимся в существовании па дуге
Я" бесконечной последовательности точек {N*} траектории L*, соответ-
соответствующих монотонно-возрастающим значениям tu t2, ¦ . ¦, tn, ... Не-
Нетрудно видеть, что tn ->- оо при п —*- оо, а точка N% лежит на дуге 7?~Л;~
между М~ и Nh-t- Так как каждая дуга ArJiVft+1 траектории L* лежит
в Uг (К), то отсюда сразу следует, что положительная полутраектория
Z+, выделенная из L* и начинающаяся в точке N~, целиком расположена
в Uе (К). Кроме того, в силу следствия из леммы 2 § 4 последовательность
{N*} имеет единственную точку сгущения, и эта точка сгущения, являю-
являющаяся предельной точкой полутраекторин L*, должна быть точкой осо-
особой траектории, целиком лежащей в Uс (К). Но по выбору е па дуге Я^
кроме точки М~ не .лежит больше ни одной точки особой траектории,
целиком лежащей в С/Е (К). Следовательно, точкой сгущения последова-
последовательности {Л'*} может быть только точка М~. Это, очевидно, означает, что
траектория L*, а следовательно (см. теорему 68), и весь континуум К
являются со-предельным для траектории L*, а также для всех траекторий,
пересекающих часть дуги л^, лежащей по положительную сторону траек-
траектории Lt. Таким образом, континуум К является со-предельным конти-
континуумом с положительной стороны.
2) Точка N* отлична от точки N~, u при этом точка N~ лежит между
точкой Л'* и М~. При этом рассуждением, полностью аналогичным про-
проведенному в случае 1, нетрудно показать, что континуум К является
а-предельным континуумом с положительной стороны.
3) Точка N\ совпадает с точкой Л\. В зтом случае траектория L*
замкнута. Нетрудно видеть, что тогда все траектории, пересекающие
часть M~N~ дуги Я", тоже замкнуты. Действительно, предположим, что
существуют как отличные от М\ точки части M~N^, через которые про-
проходят замкнутые траектории, так и точки, черлзз которые проходят незамк-
незамкнутые траектории. Так как замкнутые и незамкнутые траектории заве-
заведомо принадлежат различным ячейкам, то на дуге M,N~ должна нахо-
находиться точка особой траектории, отличная от точки 71/^. Л это невозможно
но самому выбору дуги Л~.
Таким образом, все траектории, проходяпд,пе через точки части M^N~
дуги Я[", замкнуты и принадлежат одной и той же ячейке го. Точка М\
траектории Ll является граничной для этой ячейки. Следовательно,
траектория Lu а также весь континуум К (см. теорему 70) являются
граничным континуумом для ячейки w и при зтом с положительной сто-
стороны. Теорема доказана.
§ 24. Локальная схема предельного континуума
и каноническая окрестность
1. <о (а)-перечисление <о-, а- и 0-предельных континуумов. Пусть
К(' — континуум, не являющийся состоянием равновесия и являющийся
со-, <х~ или 0-предельным с положительной стороны. Пусть в случае, когда
в К содержится хотя бы одно состояние равновесия входящие в этот
континуум траектории выписаны в виде последовательности

422
СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА И ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ G* [ГЛ. X
ц которой: а) каждая траектория Lh+i является со-продолжением траек-
траектории Lh (к = 1, 2, . . ., TV, LN+l sr Z/j) с положительной (отрицательной)
стороны; б) каждое состояние равновесия Ot является со-предельным для
траектории Lh и а-предельным для траектории Li + i (при этом некоторые
Рис. 255.
состояния равновесия или даже все могут совпадать, т. с. может быть,
что Oh = От при к Ф т).
Мы будем называть такую последовательность (^-перечислением
континуума К. Это перечисление определяется с точностью до цикличе-
циклической перестановки т символов.
Аналогично может быть определено сс-перечисление континуума К.
Очевидно, со-перечисление получается из а-неречислешгя заменой по-
порядка символов на противоположный. В слу-
случае, когда континуум К является замкну-
\Ц той траекторией Lo, будем считать его со-пе-
речислением, совпадающим с сс-перечпсле-
нием, выписанную траекторию Lo. В даль-
дальнейшем для определенности всегда рассматри-
рассматривается со-перечисление континуума К.
Как уже было указано, в силу усло-
условия 3), наложенного на нормальную границу,
со- и а-предельный континуум К не может
иметь общих точек с границей. Однако
О-предельный континуум может иметь общие
точки с границей.
Нетрудно видеть, что в этом случае
О-предельный континуум либо является зам-
замкнутой (орбитно-устойчивой) траекторией, составляющей один из гра-
граничных для области G* континуумов, либо является одной замкнутой
(орбитно-устойчивой) траекторией (целиком лежащей в G*), состоящей
из граничных и угловых дуг. В первом случае со-перечисление такого
О-предельного континуума заключается в указании замкнутой траек-
траектории Lo; во втором случае ©-перечислением континуума будем назы-
называть перечисление в со-направлении (т. е. в направлении возрастания t)
входящих в него угловых и граничных дуг, так что в этом случае со-ие-
речисление имеет вид
iu /2, h, L ¦¦¦ A)
Рис. 257.

S 24] ЛОКАЛЬНАЯ СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА 423
Приведем простые примеры.
Пример 1. со-предельный континуум К, представленный на
рис. 255, имеет следующее со-перечисление:
со|0„ Lu О2, L2, О2, L3, О3, L4, 04, L5, Olk, Lu, О3, L7, Ой, LB.
Отметим, что в точности такое же со-перечисление имеет со-предельный
континуум, представленный на рис. 256. В этом примере входящие
в континуум траектории перенумерованы в порядке их со-перечисления.
Пример 2. со-предельный континуум при данной на рис. 257
нумерации траекторий имеет со-перечислсние
co]Li, Olt L5, O2, Le, O2, L3, Ou L2, O3, L4, O3.
(Здесь нумерация траекторий дана не в порядке со-перечисления.)
2. Тождественность перечислений двух предельных континуумов.
Пусть К{) и К'и-—два со (или два а, или два О)-пределышх конти-
континуума.
Пусть
olt ог, .... оп, (О)
Li, L2, . .., La- (L)
— состояния равновесия и траектории, отличные от состояний равно-
равновесия, входящие в состав континуума Ki},
О\, О,, ..., о:п, (О')
Lj, L2, ..., LjV (L')
—состояния равновесия и траектории, отличные от состояний равно-
равновесия, входящие в состав континуума'if'0.
Предположим, что даны со-перечисления континуумов Кп и К'и:
Мы скажем, что ^-перечисления континуумов К(' и К"' тождественны,
если между состояниями равновесия (О) и (О') и траекториями (L) и (L'),
входящими в эти континуумы, может быть установлено взаимно одно-
однозначное соответствие, при котором: а) всяким двум последовательным
в (^-перечислении континуума К() траекториям соответствуют две
последовательные в w-перечислении континуума К'{' траектории; б) вся-
всяким двум совпадающим в ^-перечислении континуума К{' состояниям
равновесия (О) соответствуют два совпадающие в (^-перечислении континуу-
континуума К'п состояния равновесия (О').
Таким образом, если со-перечисления континуумов Ki) и Kli> тож-
тождественны, то, очевидно, п = п', N = N' и при надлежащей нумерации
траекторий, входящих в состав К'1) со-перечислсние континуума К'1>
отличается от со-неречисления континуума К1-' только штрихами в обо-
обозначениях траекторий. Имеет место лемма, элементарное доказательство
которой мы опускаем.
Лемма 1. Если (о-перечисления двух предельных континуумов К( '
и К'п тождественны, то существует топологическое отображение этих
континуумов друг на друга, при котором входящие в них траектории
¦отображаются друг на друга и направление по t сохраняется.

424 СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА И ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ G* {ГЛ. X
3. «Односторонняя» каноническая окрестность предельного конти-
континуума. Рассмотрим отличный от состояния равновесия ю-предельный
континуум, причем для определенности предположим, что он является
со-предельным с положительной стороны. Пусть К+ — этот континуум.
Проведем через какую-нибудь точку Р какой-нибудь отличной от состоя-
состояния равновесия траектории Lt, входящей в состав континуума К+, дугу
без контакта I, содержащую точку Р внутри (кроме точки Р дуга без
контакта I не может иметь общих точек с континуумом К, см. лемму 2,
следствие 1 § 3).
Лемма 2. Через всякую достаточно близкую к Р точку дуги I,
лежащую по положительную сторону траектории Lt, может быть про-
проведен цикл без контакта С и при этом: 1) существует одна и только
одна область, граница которой состоит из цикла без контакта С и
континуума К+; 2) через все точки этой области проходят траектории,
которые при t —>- -f- оо стремятся к континууму К+, а при убывании
t выходят из этой области и, следовательно, пересекают цикл без кон-
контакта С; 3) всякая полу траектория, имеющая К* своим оз-предельным
континуумом, пересекает цикл без контакта С.
Доказательство. Для всякой траектории L, пересекающей
дугу I в точке, достаточно близкой к точке Р и лежащей по положитель-
положительную сторону траектории Lo (которой принадлежит точка Р), континуум К
является со-предельным с положительной стороны. Поэтому па дуге /,
по положительную сторону Lo, лежит бесконечная последовательность
точек траектории L—{Pl), соответствующих неограниченно возрастающим
значениям t и стремящихся к точке Р. Как и в § 3, обозначим через Ct
простую замкнутую кривую, составленную из витка PtPi+1 траектории L
в части PtPi+l дуги без контакта I. В силу леммы 8 § 15, начиная с не-
некоторого достаточно большого i (i > /), кривые С,- лежат одна внутри
(вне) другой (если не считать их попарно общих точек) и содержат внутри
(вне) континуум К+. Предположим для определенности, что континуум К+
лежит внутри кривых С,-.
В силу леммы 17 § 3 при всяком i > / через точку Pi+t может быть
проведен цикл без контакта С<{>, лежащий между кривыми Ct и Ci+1
(т. е. все отличные от Pt+i точки цикла CW лежат внутри кривой С%, а все
отличные от Р}+± точки кривой Ci + 1 лежат внутри цикла №>). Очевидно
при этом, что роль точки Pj+i может играть любая достаточно близкая
к Р точка дуги Z, лежащая по положительную сторону траектории Lo *).
Пусть Yi — область, граница которой состоит из кривой Ct и континуума
К+, не содержащая внутри ни одной особой траектории целиком. Цикл
без контакта С&>, проведенный через точку Рг + ±, делит эту область на
две области, и граница одной из этих областей состоит из цикла без кон-
контакта №> и континуума К?. Обозначим эту область через у'.. В силу леммы 10
§ 16 при достаточно большом i все траектории, проходящие через точки
области Yb а значит, и через все точки области у[, имеют континуум К+
своим со-предельным континуумом с положительной стороны.
Кроме того, так как по самому определению области уг все траекто-
траектории, проходящие через ее точки при убывании t, из нее выходят, то, оче-
очевидно, все траектории, проходящие через точки области у\, также заве-
заведомо выходят из этой области, пересекая цикл без контакта №> (так как
пересечь К+ они не могут). Далее, всякая траектория, имеющая К+ своим
со-предельным континуумом, во всяком случае пересечет часть
*) Заметим, что цикл без контакта через точку Pi+i может быть проведен не един-
единственным образом.

24]
ЛОКАЛЬНАЯ СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА
425
Рис-.. 2Г.8.
дуги / в сколь угодно близких к Р точках, т. с. у всякой такой траекто-
траектории заведомо есть принадлежащие области у\ точки. Отсюда и следует
справедливость утверждения 3). Лемма доказана.
Замечание 1. Так как при любом достаточно большом i цикл
без контакта C(i) лежит между кривыми Сг и Ci+l, то, очевидно, всякая
кривая Ci+l лежит между двумя (содержащимися один внутри другого)
циклами без контакта №' и С(*+О.
Замечание 2. При любом е > 0 можно указать область уь
целиком лежащую в е-окрестности К+ (см. лемму 8 § 15).
Всякую область, граница которой состоит из цикла без контакта С
и континуума К+, через все точки которой проходят траектории, имею-
имеющие К+ своим со-предельным континуумом
(с положительной стороны), будем называть
канонической окрестностью континуума К+
и обозначать через ус или просто у. Цикл без
контакта С, входящий в границу канониче-
канонической окрестности континуума К+, будем на-
называть циклом без контакта континуума К?
(рис. 258).
Очевидно, каноническая окрестность кон-
континуума К+ не содержит ни одной особой
траектории, и все проходящие через ее точки
траектории при убывании t выходят из нее,
пересекая цикл без контакта С. В дальнейшем
мы главным образом будем рассматривать
замыкание области ус, т. с. замкнутую кано-
каноническую окрестность ус.
Вернемся к рассмотрению кривых Сг (образованных витками PiPi-t
траектории L и частями PiPt+i дуги без контакта /). Направление обхода
кривой С;, индуцированное направлением по t на дуге PtPi + 1 траекто-
траектории L, будем называть направлением обхода кривой Ct no t, противо-
противоположное направление — направлением обхода, противоположным на-
направлению по t.
Направление обхода ио t кривой Ct индуцирует иа части PtPi+l
дуги I направление от точки Pt+t к точке Pt. Наираьленне обхода по t
кривой С; определяет также некоторое направленно обхода (совпадающее
с положительным направлением обхода или противоположное ему) на
всех замкнутых кривых, и, в частности, на нсяком цикле без контакта С
континуума К+. На цикле без контакта континуума К это направление
обхода мы будем называть согласованным с направлением по t.
Все сказанное в настоящем параграфе относительно со-пределыюго
континуума К+ с очевидными изменениями может быть повторено отно-
относительно со-предельного континуума К", а также относительно а-продель-
ного континуума К+ или К~.
Пусть теперь Kg — О-предельный континуум (для определенности
предполагаем его О-предельным с положительной стороны) и L — одна
из замкнутых траекторий той ячейки, для которой К^ является граничным
с положительной стороны.
Всякую область, граница которой состоит из замкнутой траектории L
ячейки w и континуума К\, будем называть канонической окрестностью
континуума К* и обозначать через yL. Очевидно, Yl является частью
ячейки, так что через все точки уь проходят замкнутые траектории ячейки:
и> (рис. 259).

426 СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА И ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ С* [ГЛ. X
Из леммы 2, очевидно, следует, что при любом е > 0 всегда можно
указать каноническую окрестность yL О-предельного континуума, цели-
целиком лежащую в е-окрестности К*.
В дальнейшем мы преимущественно будем рассматривать замкну-
замкнутую каноническую окрестность yL. Будем в дальнейшем называть кано-
канонической кривой со-, ее- или О-предельного континуума К(> простую замк-
замкнутую кривую С, входящую в границу канонической окрестности этого
континуума и являющуюся циклом без контакта — в случае, когда
К{) ¦— со-или ct-предельный континуум, и
замкнутой траекторией в случае, когда
К1) — О-предельный континуум.
4. Локальные схемы со-, а- и 0-пре-
дельных континуумов и теорема о тожде-
тождественности разбиений на траектории ка-
канонических окрестностей континуумов с
р 2!-о одинаковыми локальными схемами.
Определение XXVII. Мы ска-
скажем, что задана локальная схема со-,
а- или О-пределъного континуума К1 \ если: а) указано, является ли конти-
континуум Ю' со-, а- или О-пределъным; б) задано ^-перечисление конти-
континуума Кп.
Мы скажем, что локальные схемы двух предельных континуумов
Ки и К'г*-тождественны с сохранением направления по t, если: а) как
К( \ так и К'п являются оба со (или оба а или оба О)-предельными конти-
континуумами; б) их ^-перечисления тождественны.
Соответствующие друг другу при тождественности схем траектории
континуумов Ю' и К'п (или угловые и граничные душ в случае схемы
вида A)) будем называть соответствующими по локальной схеме.
Совершенно аналогично можем ввести понятие тождественности двух
схем с изменением направления по I.
Нетрудно видеть, что задание локальной схемы не позволяет судить
о расположении предельного континуума на плоскости. Так, например,
континуумы, изображенные на рис. 255 и рис. 256, имеют одну и ту же
локальную схему.
Теорема 72. Если локальная схема двух со (ее или О)-предельных
континуумов Кп и К'п двух динамических систем (различных или совпа-
совпадающих) тождественна, то топологическая структура разбиения на
траектории всяких двух замкнутых канонических окрестностей этих
континуумов тождественна.
Доказательство. Пусть рассматриваются две динамические
системы Г) и D*. Пусть К+— со-предельный континуум для траекторий
системы D, а К*+— со-предельный континуум для траекторий системы D*,
и при этом локальные схемы континуумов К* и К*+ тождественны с со-
сохранением направления по t.
Пусть Li, L2, . . . LR — траектории, входящие в континуум К+,
и L*, L*, ... Lr* — траектории, входящие в континуум К*+. Так как
локальные схемы континуумов К+ и К** тождественны, то R = R*.
Пусть у — каноническая окрестность континуума К+, С — цикл
без контакта, входящий в ее границу, у* — каноническая окрестность
континуума К** и С*— цикл без контакта, входящий в ее границу.
Будем считать, что траекториями, соответствующими друг другу по
схеме, являются траектории Lt и L*, имеющие одинаковые индексы. Их

§ 241
ЛОКАЛЬНАЯ СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА
427
со- и сс-предельные состояния равновесия также соответствуют друг другу
по схеме. Рассмотрим, как и в теореме 68, дуги Хг и Kt (i — 1,2,Л. . . . являю-
являющиеся дугами без контакта для траекторий системы D, с концами М~
и М\, лежащими на траектории Lt. Возьмем на этих дугах точки N~[
и Л7!, обладающие теми же, что и в теореме 68, свойствами, т. е. такие,
Рис. 260.
что все траектории, пересекающие часть MlN1 дуги Х~: а) имеют конти-
континуум К своим со-предельным континуумом; б) при возрастании t последова-
последовательно пересекают части M*N*, М~ЛТ~, . . . дуг Я,+, К,, К, ¦ ¦ - и, наконец,
вторично пересекают дугу "к~ на части М\Р^ этой дуги (точка Р± лежит
между точками М\ и N~) (рис. 260).
Из а), в частности, следует, что траектория L, проходящая через
точку Nlt при возрастании t последовательно пересекающая дуги "к\ и 74
в точках Nl и Л^ и вторично пересекающая дугу К[ в точке Pt, при даль-
дальнейшем возрастании t пересекает дугу К[ в бесконечном множестве точек
{Pi}, соответствующих неограниченно возрастающим значениям t и стре-
стремящимся к точке М~. Пусть Cj — простая замкнутая кривая, состоящая
из витка N~P± траектории L и части N^P дуги к~. Точка W~, очевидно,

428 СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА И ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ G* [ГЛ. X
всегда может быть выбрана так, чтобы простая замкнутая кривая С± цели-
целиком лежала в области у и, следовательно, чтобы область уь граница кото-
которой состоит из С! и if (такие области неоднократно рассматривались),
являлась бы частью канонической окрестности у. Пусть Д — область,
граница которой состоит из кривой С± и цикла без контакта С (w и Д-
области, на которые кривая С4 делит каноническую окрестность y)-
Так как в силу тождественности схем континуумам К и К* каждой
траектории Lt соответствует (взаимно однозначно) траектория L* системы
D*, то мы можем в случае системы D* рассмотреть полностью аналогич-
аналогичные дуги без контакта К* , а|+, точки М*~, Mf+, N*~, Л'*+, Ft, траекто-
траекторию L*, ее общие точки с дугой л|~ — {РХ}, а также простую замкну-
замкнутую кривую С* и области у* и Д* (рис. 260, б).
Для того чтобы установить отождествляющее топологическое отобра-
отображение между замкнутыми областями ^и/, установим сначала отображе-
отображение областей yi и у* друг на друга, а затем, сохраняя полученное при
этом соответствие между точками кривых С4 и С*,— отображение замк-
замкнутых областей Аи Д* друг на друга.
Части MfNi и M\Nl дуг fcf и Xf_(.M?+A7+ и Щ-Щ~ дуг Х|+ и Ц~),
очевидно, делят замкнутую область yi (соответственно у*) на замкнутые
элементарные четырехугольники Г, (Г*) и замкнутые седловые области
8ic (gtc), попарно имеющие общую часть границы, именно, дуги MtN\
или М;Щ (i = 1, 2, ..., Я) (или Aff+AT+, Mf-Щ ), или PtM; (Р*А1*-)
(рис. 260). Будем элементарные четырехугольники н седловые области
соответственно в системе D и 1)*, в границы которых входят дуги с оди-
одинаковыми номерами, т. е. отличающиеся только звездочкой в буквах,
называть «соответствующими по схеме». Установим теперь между замк-
замкнутыми областями Yi и Y* отождествляющее отображение. Для этого
устанавливаем сначала топологическое соответствие между точками ча-
частей M\Nl и M*~N*~ дуг к~ и к*-, при котором точки Ml и М*~, а также
точки Ni и N*~ соответствуют друг другу, и точкам, лежащим па одной
и той лее траектории системы D, соответствуют точки, лежащие на одной
и той же траектории системы.73*. Это соответствие устанавливается сле-
следующим естественным образом: сначала устанавливаем произвольное
топологическое соответствие Фо между точками частей W~ Pi и N* Р*
дуг к~ и Х*~, при котором точка N[ соответствует точке Лг*~, а точка Pt —
точке Р*. Принимая во внимание, что все траектории, пересекающие
часть N^Pi дуги Х~ соответственно N*~Pt дуги л*", пересекают каждую
часть PhPh+i и соответственно Р%Р%+1, и притом каждую из этих частей
в одной только точке (см. лемму 8 § 3), устанавливаем такое топологиче-
топологическое отображение между частями PhPh+1 и Р%Р%+1 Дуг Я~ и Х*~, при кото-
котором отображающиеся друг в друга точки принадлежат траекториям, пере-
пересекающим части N^Pi и TV*-/5* в соответствующих друг другу в силу
отображения Фо точках.
Таким образом, соответствующие друг другу точки части PtP2
и Р^Р* являются последующими для соответствующих друг другу точек
частей N~Pt и N*~P*, соответствующие друг другу точки частей Р%Р3
и Р%Р% являются последующими для соответствующих друг другу точек
частей Р^Р2 и Р*Р* и т. д. (на рис. 261, а и б соответствующими друг
другу точками являются точки <?4 и Q*, Q2 и Q* и т. д.). Наконец, точке Л/~
ставим в соответствие точку М*[~.
В результате мы получаем отображение частей M'N'i и M*~N*~
дуг Х~ и Х*~ друг на друга, являющееся, очевидно, взаимно однодзначным

24]
ЛОКАЛЬНАЯ СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА
429
и непрерывным, т. е. топологическим (непрерывность отображения в точ-
точках этих дуг, отличных от точек частей jVjP, и N*~P*, непосредственно
вытекает из теоремы о непрерывной зависимости от начальных значепий).
Установленное соответствие между точками частей M1N1 и ЛТ*~Щ~
дуг К~ и К*~ индуцирует топологическое соответствие между точками дуг
ЩЩ и М*-Щ-, MfN* и М**Щ*. Соответствующими друг другу точ-
точками этих дуг, очевидно, будут точки, в которых траектории, проходящие
Рис. 261.
через соответствующие друг дугу точки дуг М1Л\ и M*N*~, пере-
пересекают дуги Kj, k*~ и Ki, %** (не пересекая до этого вторично дугу Я,"
и соответственно Я*~). Установим теперь топологическое отображение,
переводящее траектории в траектории, между соответствующими друг
другу по схеме элементарными четырехугольниками Г t и Г* и седловыми
областями gic и g*c, при котором установленное соответствие между
точками дуг MfNi и Mt+N*+, а также M^Nl и Mf-N*- сохраняется.
Тем самым устанавливается топологическое отображение замкнутых обла-
областей Yi и Y*> ПРИ котором траектории системы D отображаются в траекто-
траектории системы D*. Взаимная однозначность и непрерывность этого отобра-
отображения в точках континуумов К+ и К*+ вытекает, очевидпо, из леммы 1.
Перейдем теперь к рассмотрению замкнутых областей Д и Д*. Рассмот-
Рассмотрим сначала область Д (для области Д* все полностью аналогично). Очевид-
Очевидно, все траектории, пересекающие часть N~P1 дуги ?v~, пересекают цикл без
контакта С и, наоборот, все траектории, пересекающие цикл С, пересе-
пересекают часть TVjP! дуги X". Кроме того, все траектории, проходящие через

430
СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА И ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ О*
[ГЛ. X
точки области Д, при убывании t пересекают часть NXP дуг» \. Пусть
Q — точка пересечения траектории L с циклом без контакта С.
Рассмотрим еще какую-нибудь точку R дуги N~Pt (отличную от
TVj и Pt), пусть Lj — траектория, проходящая через эту точку, и S —
ее точка пересечения с циклом без контакта С. Точки Q и S делят С на
две дуги без контакта, а дуги QNl и RS траекторий L и Lt делят область А
на два элементарных четырехугольника П4 и П2 (рис. 262, а).
С
Возьмем на дуге TV* P* дуги К* точку R*, соответствующую точке Л
по установленному между Yi и у* отображению, и пусть L\ - траектория
системы D*, проходящая через зту точку. Обозначим через Q* и S* точки
пересечения траекторий L* и L* с циклом С* и через П*. Щ — элементар-
элементарные четырехугольники, аналогичные Ul и П2 (на которые дуги /?*Л,'
и R*S* траекторий L и Lt делят область Л) (рис. 262, б).
Установим сначала топологическое отображение замкнутых элемен-
элементарных четырехугольников П± и П*, при котором траектории систем
D и D* отображаются друг в друга, сохраняя при зтом соответствие между

§ 24] ЛОКАЛЬНАЯ СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА 431
точками дуг iV~P и N*"P*, существующее в силу установленного топо-
топологического отображения замкнутых областей \>i н у*.
Затем устанавливаем отождествляющее топологическое отображе-
отображение элементарных четырехугольников П2 и П*, сохраняя уже существую-
существующее соответствие между точками дуг, входящих в его границу (т. е.
между точками дуг без контакта RPi и R*P* и точками дуг /VY" и Р*Л!*~
траекторий L и L*), н точками дуг RS и R*S* траекторий L и 1/'. Таким
образом, устанавливается топологическое отображение замкнутых обла-
областей А и Д*. при котором соответствие между точками кривых С1! и С[,
существующее в силу установленного топологического отображения \>i
и у*, сохраняется.
Очевидно, мы получаем топологическое отображение замкнутых кано-
канонических областей, у и у*, при котором траектории систем /) и D* ото-
отображаются друг в друга.
Таким образом, для рассматриваемого нами случая оьпредельных
континуумов Кы и А'2,+ теорема доказана. В случаи а-ниедельных конти-
континуумов Ка} и Ка ' доказательство полностью аналогично.
Пусть теперь К* и К*~ О-предельные континуумы, в состав которых
не входят угловые и граничные дуги, а у и у* — их канонические окрест-
окрестности, в границы которых входят соответственно замкнутые траектории
L и L*.
Рассмотрим дуги без контактов Xf, Kj и Xf+, К*", обладающие теми
же свойствами, что и выше. Пусть L^ (L*) — замкнутая траектория,
пересекающая все дуги Xf, ?ц (к* + , К*). Каноническая окрестность
Yi (Yi)' граница KOTOpoii состоит из траектории Lj и континуума А'~
(траектории L* и континуума К**), являющаяся частью у (y*)> разделяется
дугами Х(г' (X*1}) на элементарные четырехугольники и седловые области.
Полностью аналогично тому, как это делалось при рассмотрении со-пре-
дельных континуумов (с некоторыми упрощениями), устанавливаем топо-
топологическое отображение соответствующих друг другу по схеме замкну-
замкнутых элементарных четырехугольников и седловых областей (согласуй
это соответствие на дугах Х|, Х*+). Затем устанавливаем топологическое
отображение кольцевых областей, ограниченных траекториями L н L*
п соответственно L* и L*, при котором сохраняется уже существующее
между точками траектории L4 и L*.
Таким образом, мы получаем топологическое отображение замкнутых
окрестностей у и у* друг на друга, при котором траектории отобра-
отображаются в траектории.
В случае, когда К* и Л"*+ состоят из граничных и угловых дуг, про-
проводим через концы этих дуг не пересекающиеся друг с другом дуги без
контакта и рассуждаем полностью аналогично предыдущему.
Теорема доказана полностью.
Замечание I. Предположим, что задано топологическое ото-
отображение двух континуумов К^ и К*,+ с одинаковыми локальными схе-
схемами (при котором точки траекторий, соответствующих друг другу ио
схеме, отображаются друг в друга), и при этом направление на траекто-
траекториях сохраняется. Кроме того, предположим, что между точками циклов
без контакта С и С* тоже задано топологическое отображение, при котором
согласованные с направлением по t обходы этих циклов сохраняются
(т. о. когда цикл С обходится в направлении, согласованном с направле-
направлением по t, то соответствующие ио заданному отображению точки обходят

432 СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА И ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ G* [ГЛ. X
цикл С* также в направлении, согласованном с направлением по t).
Тогда топологическое отображение замкнутых канонических областей у
и у* всегда может быть построено таким образом, чтобы заданное соответ-
соответствие между точками континуумов К^ и К?+ и циклов без контакта С
и С* сохранялось. Для этого, очевидно, концы М*+ и М*~ дуг Х*+ и л*~
нужно взять в точках, соответствующих по заданному отображению точ-
точкам М\ и Ml, а между точками отрезков без контакта XV и Kf' нужно
брать соответствие, индуцированное соответствием, заданным между точ-
точками циклов без контакта С и С*. Наконец, устанавливая отображение
между элементарными четырехугольниками и седловыми областями, соот-
соответствующими друг другу по схеме, нужно сохранить заданное соответ-
соответствие в точках этих замкнутых областей, принадлежащих континуумам
A'J и К^+ (см. замечание к леммам главы VIII, устанавливающим тожде-
ствеипость элементарных областей). Аналогичное замечание справедливо
м в случае, когда рассматриваются сс-предельные континуумы К„ и К%,+
или О-пределъные континуумы К* и К*+.
Замечание II. Из доказанной теоремы непосредственно сле-
следует, что разбиение на траектории любых двух различных канонических
окрестностей континуума K(J или К^, или К{' тождественно.
§ 25. Полная схема предельного континуума
1. Простые замкнутые кривые, образованные траекториями, достав-
доставляющими предельный континуум. Мы приведем ряд лемм, уточняющих
сведения о структуре предельных континуумов.
Лемма 1. Всякий предельный континуум К состоит из конечного
числа простых замкнутых кривых
образованных траекториями континуума К и обладающих следующими
свойствами: а) каждая отличная от состояния равновесия траектория
континуума К входит в одну и только одну кривую (S); б) каждая кривая
(S) имеет общую точку, являющуюся состоянием равновесия по крайней
мере с одной из остальный кривых (S) (если р> 1) и никакие две из кривых
(S) не могут иметь больше одной общей точки; в) все кривые (S) либо лежат
одна вне другой *), либо одна из них содержит внутри себя остальные,
лежащие одна вне другой; г) всякая простая замкнутая кривая, состоя-
состоящая из точек континуума К, является одной из кривых (S).
Доказательство. Пусть сначала К — ш-предельный кон-
континуум. Будем рассматривать простые замкнутые кривые, составленные из
точек континуума К@. Континуум Ка образован конечным числом незамк-
незамкнутых траекторий L% и состояний равновесия Oj, к которым стремятся
эти незамкнутые траектории. Так как траектории не пересекаются,
то очевидно, что если S есть простая замкнутая кривая, состоящая из точек
континуума Кю, то незамкнутая траектория L либо целиком принадлежит
кривой S, либо не имеет с ней общих точек. Это означает, что всякая
простая замкнутая кривая, состоящая из точек континуума Кю, составлена
из целых траекторий. Так как континуум Ка содержит лишь конечное
число траекторий, то отсюда непосредственно вытекает, что число про-
простых замкнутых кривых, состоящих из точек континуума^, тоже конечно
(если они вообще имеются).
*) Если не считать их общих точек.

§ 25] ПОЛНАЯ СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА 433
Докажем, что любая незамкнутая траектория LL принадлежит некото-
некоторой простой замкнутой кривой S, состоящей из точек Кю. Пусть ?ц, Ои
L2, О2, ... , Lr, Or — сй-перечисление траекторий континуума Кы. (Точ-
(Точки Ot могут совпадать частично или полностью.) Если точка Ох совпадает
с Оп, то траектория Lt и точка О\ образуют требуемую кривую S. Если
точки О1 и OR ие совпадают, то пусть р, 1 <; р < R,— наибольшее число
такое, что точка Ор совпадает с О4. Если точка Op+i совпадает с OR, то
траектории Lit Ou Lp+1, OR образуют требуемую кривую S. Если же
точки OR и Op^i не совпадают, то пусть д. р -\- 1 .<; q < R,— наиболь-
наибольшее число такое, что точка Oq совпадает с Op + i. Если точки О,1 + 1 и OR
совпадают, то траектории Lu Ou Lp+1, Op + l, Lq, On образуют кривую S,
в противном случае мы продолжаем аналогичное рассуждение и через
конечное число шагов получим простую замкнутую кривую, содержащую
траекторию Lt. Таким образом, все незамкнутые траектории Lt , а следо-
следовательно, и все состояния равновесия О; (как предельные точки траекто-
траекторий Li) принадлежат некоторым простым замкнутым кривым, состоящим
из траекторий континуума Ка. Пусть S^ S2, ¦¦-, St— все простые замк-
замкнутые кривые, состоящие из траекторий континуума Ка (конечность их
числа была установлена выше). В отн кривые, как мы видели, входят
все траектории континуума Ка. Докажем, что всякая незамкнутая траек-
траектория Li входит только в одну из кривых (S). Предположим, что траек-
траектория Li входит в две кривые (S), например в S± и S1;). Пусть L* есть одна
из тех траекторий, для которых континуум К является со (а пли Со-
Сопредельным. Очевидно, траектория L* не может пересечь ни одной замк-
замкнутой кривой St, т. е. она лежит либо целиком внутри кривой Si, либо
целиком вне ее. С другой стороны, все точки кривых Si являются предель-
предельными для траектории L*. Отсюда сразу следует, что либо все точки каждой
из кривых Si и ^2 кроме их общих точек лежат вне другой кривой, либо
все точки одной из них (кроме общих точек) лежат внутри другой, напри-
например, все точки кривой S2 лежат внутри St. В первом случае траектория
проходит вне обеих кривых S^ и S2- А так как к траектории Lt но разные
ее стороны примыкают области, заключенные внутри кривых St uS2, то тра-
траектория Li не может быть предельной для L*, и мы приходим к противоре-
противоречию. Во втором случае траектория L* проходит внутри кривой Si и вне S2.
Но тогда *) Li снова не может быть предельной траекторией для L*.
Таким образом, утверждение а) леммы доказано. Из утверждения а) сле-
следует, что общими точками кривых (S) могут быть только состояния
равновесия. Если р > 1, то каждая из кривых (S) имеет общую точку
по крайней меро с одной из остальных кривых в виду связности кон-
континуума Ка.
Предположим теперь, что какие-нибудь две кривые, например Si
и ^2, имеют более одной общей точки. Тогда существует, очевидно, дуга X,
состоящая из траекторий кривой 5"i такая, что: 1) концы дуги X (обозна-
(обозначим их через Oi и О2) являются состояниями равновесия, принадлежащими
одновременно кривой S2; 2) отличные от концов точки дуги X ие принад-
принадлежат кривой S2.
Точки €>! и О2 делят кривую S2 на две дуги S'2 n S. Предположим,
что дуга X лежит целиком (если не считать ее концов) виутри кривой S2.
Тогда она делит внутренность этой кривой на две области ^ и %"„, огра-
ограниченные, соответственно, дугами X и S'.-, и дугами X и 5". Так как дуга X
*) Траектория ?,- вместе с предельными для пео с-остояниями равновесия, оче~
видно, является простой дугой, и, следовательно, можно воспользоваться лредложе"
пнями п. 2 § 2 дополнения.
28 д. А. Андропов и др.

434 СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА И ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ G* [ГЛ. X
является предельной для траектории L*, то траектория L* должна про-
проходить внутри кривой 5г и, следовательно, либо внутри области g'n,
либо внутри области g"^. В первом случае дуга S'%, а во втором случае
дуга S'2 не может быть предельной для траектории L*. Это противоречит
предположению, что Ка есть предельный континуум траектории L*.
Аналогично рассматривается случай, когда дуга К лежит вне кри-
кривой Sz- Таким образом, доказано утверждение б).
Для доказательства утверждения в) обозначим область, ограничен-
ограниченную кривой St, через gi и предположим, что gz с; g4. Если какая-нибудь
кривая, например S3, лежит внутри области gz или вне gu то все три
кривые Su S2, S3 не могут, как нетрудно убедиться, одновременно со-
состоять из траекторий, предельных для L*. А это противоречит тому,
что эти кривые входят в состав предельного континуума Ка траектории L*.
Отсюда следует справедливость утверждения в). Утверждение г) является
непосредственным следствием того, что (S) есть по определению сово-
совокупность всех простых замкнутых кривых континуума Ка.
В случае, когда континуум К является О-предельным, рассуждение
полностью аналогично. Таким образом, лемма доказана.
Замечание. Из доказательства утверждения а) леммы следует,
что каждая простая замкнутая кривая St состоит из некоторых траекторий
Lqi, Ojv LQ2, Oj2, ..., LQk, Ojk, (i}
образующих подпоследовательность в со-перечислении континуума К.
При этом, двигаясь по траекториям в том порядке, в каком они написаны
(т. е. в том порядке, в каком они расположены в со-перечислении), мы опи-
описываем кривую St либо в положительном, либо в отрицательном направ-
направлении. Но тогда имеет место, очевидно, следующее утверждение. При
обходе простой замкнутой кривой SL (i — 1, 2, ..., I) в положительном
направлении входящие в нее незамкнутые траектории обходятся либо
все в направлении возрастания параметра t, либо все в направлении
убывания t.
Пример. Пусть задано со-перечисление траекторий континуума К
а>\Ох, Lu Oz, L2, Ог, L3, O3, L4, <94, L5, O4, L6, O3, L7, Os, L8.
Выделяем кривую Sl7 содержащую траекторию Lt:
Сюда не входит траектория L2- Выделяем кривую S^, содержащую
L2 : Sz ¦O2,L2- Аналогично S3 : O3, L^O^, Lan 54 :О4, L5. Все траектории кон-
континуума К вошли в кривые St, S2, S3, St. Как мы уже говорили, задание
одной лишь последовательности траекторий не дает возможности выяс-
выяснить полностью относительное расположение кривых St, а также выяс-
выяснить, совпадает ли направление положительного обхода кривой Si с на-
направлением возрастания t или с направлением убывания t (см. предыду-
предыдущее замечание). Так, каждый из изображенных на рис. 255, 256 пре-
предельных континуумов имеет в качестве своего ш-перечисления перечисле-
перечисление, рассмотренное в предыдущем примере. Однако у континуума (на
рис. 255) все кривые St (i = 1, 2, 3, 4) лежат вне друг друга, в то время
как у континуума на рис. 256 одна кривая Si содержит внутри себя все
остальные. У континуума на рис. 255 направление положительного обхода
всех кривых St совпадает с направлением убывания t, а у континуума на
рис. 256 — с направлением возрастания t.

251
ПОЛНАЯ СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА
435
2. Односторонние и двусторонние предельные континуумы. Пусть
К — со-, ее- или О-предельный континуум. В согласии с предыдущим мы
будем называть континуум К «односторонним», если он является пре-
предельным только с одной, с положительной или отрицательной стороны
и «двусторонним», если он является предельным как с положительной,
так и с отрицательной стороны (очевидно, для различных траекторий).
Б первом случае имеет смысл только одно из обозначений К+ или
К~ , во втором случае — оба обозначения
К+ и К-.
В случае, когда континуум К+ является
односторонним, например является со-пре-
дельным, с положительной стороны, некото-
некоторые или даже все входящие в него траектории
могут быть предельными и с отрицательной
стороны. Следовательно, каждая такая траек-
траектория может входить в состав некоторого
континуума «-, а- или О-предельного с отри-
отрицательной стороны. Однако этот континуум
заведомо отличен от континуума К+ (хотя
и имеет с ним общие траектории). Имеет
место лемма, доказательство которой мы опу-
опускаем в силу его элементарности.
Лемма 2. Предельный континуум К,
состоящий более чем из одной простой замк-
замкнутой кривой S, является односторонним.
При этом если кривые S лежат одна вне
другой, то траектории, для которых кон-
континуум К является а>-, а- или О-предельным,
лежат вне всех кривых St. Если же одна из
кривых, например Su содержит внутри все остальные, то траектории,
для которых континуум К является ш-, ее или О-предельным, лежат енутри
St и вне всех остальных кривых St (рис. 255 и 256).
Лемма 3. Пусть со (ее или О)-пределъный континуум К+, в состав
которого входит хотя бы одно состояние равновесия, является одной про-
простой замкнутой кривой S, и пусть к одному из входящих в континуум К
состоянию равновесия О стремится траектория L, не принадлежащая
континууму К. Тогда континуум К+ является односторонним, и при
тгом если траектория L лежит вне (внутри) кривой S, то траектории,
для которых К+ является со (ее или О)-предельным континуумом, лежат
внутри (вне) S.
Доказательство. Так как S — простая замкнутая кри-
кривая, то существуют только две полутраектории L\ и L~, принадлежащие
Кк' (т. е. К+), стремящиеся к О и являющиеся продолжением одна дру-
другой с положительной стороны. Полутраектории L\ и L~ не могут быть
продолжением одна другой также и с отрицательной стороны, так как
тогда стремящейся к О траектории L, отличной от входящих в конти-
континуум К+ траекторий, очевидно, существовать не могло бы. Поэтому полу-
полутраектория L\ либо не имеет продолжения с отрицательной стороны, либо
имеет продолжение с отрицательной стороны, отличное от L~
(рис. 263, а, б). В первом случае а) полутраектория L+ вообще не является
предельной с отрицательной стороны, во втором б) — она может входить
в некоторый ю-, а- или О-предельный континуум К'~, отличный от К. Это
означает, что К — односторонний континуум.
28*
Рис. 263.

436 СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА И ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ G* [ГЛ. X
Кроме того, очевидно, что если точки, лежащие по положительную сто-
сторону полутраекторий L\ и L~, лежат внутри (вне) кривой S, то траекто-
траектория L лежит вне (внутри) 5 (в противном случае L\ и L~ не могли бы быть
продолжением одна другой с положительной стороны). Лемма доказана.
Следствие. Континуум К является двусторонним со-, а- или
Q-пределъным континуумом в том и только в том случае, когда он либо
является замкнутой траекторией, либо простой замкнутой кривой, состоя-
состоящей из незамкнутых траекторий, стремящихся к состояниям равновесия
и имеющих одинаковые продолжения как с положительной, так и с отри-
отрицательной стороны. В последнем случае к состояниям равновесия, входя-
входящим в континуум К, кроме входящих в К траекторий не стремится ника-
никаких других траекторий.
Пусть континуум К(* состоит более чем из одной простой замкнутой
кривой Si, и пусть О — одно из входящих в Кп состояний равновесия.
Предположим, что точка О является общей точкой из менее чем двух
кривых Si, и пусть при надлежащей нумерации — St, S2, ¦¦-, Sш — те
из кривых Sj, которые имеют точку О общей. Очевидно, в состав каждой
из кривых Sj (/ = 1, 2, ... , т) входят две стремящиеся к О полутраекто-
полутраектории, положительная Li и отрицательная L'f (таких полутраекторпй
только две в том смысле, что всякая стремящаяся к О и входящая в состав
кривой Sj полутраектория либо является частью одной из полутраекторий
Lf, L'f, либо содержит ее как часть).
Проводя рассуждение, полностью аналогичное проведенному в лем-
лемме И § 17 и принимая во внимание, что всякая входящая в континуум К
иолутраектория имеет продолжение, нетрудно видеть, что: 1) между
любыми двумя полутраекториями Lj и L'f, входящими в состав одной
и той же кривой Sp, либо не лежит ни одной полутраектории L\\ либо
лежат все полутраектории L\ ' (г ^ф /); 2) из любых двух последователь-
последовательных в циклическом порядке полутраекторий L\ ' всегда одна положитель-
положительная, а другая отрицательная.
Рассмотрим теперь какие-нибудь две из кривых Sj (/—1, 2, ..., /):
5Ц и S-A. В сплу 1) и 2) нетрудно видеть, что полутраекторпй
L?, U» и Ы, Ц: B)
могут быть расположены вокруг точки О либо в циклическом порядке
?J, ЦТ, Li, L'f, C)
либо в циклическом порядке
Щ, L'f, Lt L». D)
В следующих леммах устанавливается связь между наличием того
или другого из порядков полутраекторий и темп фактами, совпадает ли
на кривых 5ц и Sk направление положительного обхода с направлением
по t или противоположно направлению по t и лежат ли кривые S^ и SK
одна внутри другой или одна вне другой.
Лемма 4. Пусть кривые Su и S^ лежат одна вне другой. Тогда:
а) если полутраектории B) расположены вокруг точки О в циклическом
порядке C) '
L\l, L^ , L%, L% ,
то на обеих кривых положительное направление обхода противоположно
направлению по t; б) если полутраектории B) расположены вокруг точ-
точки О в циклическом порядке D):

§ 23]
ПОЛНАЯ СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА
437
то положительное направление обхода обеих кривых совпадает с направле-
направлением по t.
Доказательство, а) Пусть а — простая замкнутая кривая,
содержащая состояние равновесия О внутри, имеющая с каждой из полу-
полутраекторий C) только по одной общей точке Мд, М'у~, М~х, М'^~ соответ-
соответственно и кроме этих точек, не имеющая больше
ни одной общей точки с кривыми 5Ц и S\.
В качестве такой кривой а может быть взята
надлежащим образом выбранная каноническая
кривая состояния равновесия О. Действительно,
полутраектории B) являются сепаратрисами со-
состояния равновесия О, и нетрудно видеть, что
всякая каноническая кривая точки О (имеющая,
конечно, общие точки с полутраекториями B)),
у которой седловые дуги достаточно малы, имеет
только по одной общей точке с каждой из полу-
полутраекторий B). Кроме того, все входящие в кри-
кривые S^ и S} полутраектории имеют в качестве
предельных точек однп только состояния равно-
равновесия, и при этом полутраектории, отличные
от C), состояния равновесия, отличные от О (в силу
того, что 5Ц и S), — простые замкнутые кривые).
Отсюда, следует, что точки кривых S^ и S1?., от-
отличные от точек полутраекторий B), лежат на не-
ненулевом расстоянии от точки О. Поэтому всякая
каноническая кривая, лежащая в достаточно малой окрестности точки О,
и, как указано выше, с надлежащим образом выбранными седловымн
дугами кроме общих точек с полутраскторпями B) больше не будет
иметь общих точек с кривыми S^ и Sk. Докажем теперь утвержде-
утверждение а). По условию кривые St и Sz лежат одна вне другой (если не счи-
считать их единственной общей точкой О) и их точки пересечения с кри-
кривой а расположены в циклическом порядке (рис. 264) AfJ, M'~,
Mj., Ml-.
Точки М% и М'ъ~, как принадлежащие кривой ?\, лежат вне кривой
5Ц, и, следовательно, все точки дуги MJ М\~ (т. с. дуги кривой а, содер-
содержащей точки MJ и М'уГ) кроме ее концов лежат внутри кривой ?й. Поэтому
если G) — простая замкнутая кривая, составленная из дуги Mjt M'yi~
кривой а и дуги кривой S^, состоящей из части М^О полутраекторин
LJ, части М'^О полутраектории L'^ и точки О, то области внутри кривых
Gi и S^ лежат по одну сторону от их общей дуги М'^ОМ^ (см. § 2, п. 2
дополнения).
Так как положительное направление обхода кривой о± индуцирует
на этой общей дуге направление М'^ОМ^, то положительное направление
обхода кривой S^ есть направление ЛГ^'ОМ^, т. е. направление, противо-
противоположное возрастанию параметра t на траекториях L{1 и Ь'ц, а следова-
следовательно, и па всех отличных от состояния равновесия траекториях кри-
кривой iSp, (см. замечание к лемме 3).
Рассматривая точно так же простую замкнутую кривую а2, со-
состоящую из дуги М%,М\ кривой а п дуги А1\0М\~ кривой SV, и кри-
кривую S^, мы точно так же убедимся, что положительное направление
обхода кривой S}, является направлением противоположным направле-
направлению по t на всех отличных от состоянии равновесия траекториях, входя-
входящих в S}..

438 СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА И. ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ G* [ГЛ. X
Доказательство утверждения б) полностью аналогично.
Имеет также место лемма, доказательство которой, полностью ана-
аналогичное доказательству предыдущей леммы, мы опускаем.
Лемма 5. Пусть одна из кривых S^ и S-A лежит внутри другой.
Тогда: а) если полутраектории B) расположены вокруг точки О в цикли-
циклическом порядке D) LJt, L'%~, L?, L\c', то положительное направление обхода
на внутренней кривой совпадает с направлением по t, а на внешней —
противоположно по t (рис. 265); б) если полутраектории B) расположены
вокруг точки О в циклическом порядке C) LJ, L'^', L\, L'lx~, то положитель-
положительное направление на внешней кривой совпадает с направлением по t, а на
внутренней •— противоположно направлению
по t.
Имеет место также следующая обратная
лемма:
Лемма 6. а) Если направление положи-
положительного обхода на обеих кривых S^ и S^ совпа-
совпадает с направлением по t, то эти кривые лежат
одна вне другой и полутраектории B) располо-
расположены вокруг точки О в циклическом порядке
L'^fLy, L%, L'% . б) Если направление положитель-
положительного обхода на обеих кривых S^, S^ противопо-
противоположно направлению по t, то эти кривые лежат
одна вне другой и полутраектории B) располо-
расположены вокруг точки О в циклическом порядке Li,
Рис. 265. Lt> Ljf> Li*-
Доказательство. Справедливость
этой леммы непосредственно вытекает из лемм
4 и 5. В самом деле, докажем, например, утверждение а). Так как па обеих
кривых 5Ц и Sx направление положительного обхода совпадает с направ-
направлением по t, то из лемм 4 и 5 следует, очевидно, что эти кривые лежат
одна вне другой и что полутраектории B) расположены вокруг точки
О в циклическом порядке П^~, L\, L% , L\.
Доказательство утверждения б) совершенно такое же. Аналогично
доказывается следующая лемма:
Лемма 7. Пусть на одной из кривых S^, S^ направление положи-
положительного обхода совпадает с направлением по t, а на другой — противо-
противоположно направлению по t. Тогда одна из этих кривых лежит внутри дру-
другой и: а) если полутраектории B) расположены вокруг точки О в цикличе-
циклическом порядке LJ, L'?', L\, L'^~, то на внешней кривой положительное на-
направление обхода совпадает с направлением по t (а на внутренней — проти-
противоположно); б) если полутраектории B) расположены вокруг точки О
в циклическом порядке L?, L^", L?, L'?, то на внешней кривой положи-
положительное направление обхода совпадает с направлением по t (а на внутрен-
внутренней — противоположно).
Теорема 73. Пусть К1) — и-, ее- или ^-предельный континуум,
состоящий более чем из одной простой замкнутой кривой St. Тогда: а)
если все кривые Si лежат вне друг друга, то либо на всех этих кривых одно-
одновременно положительное направление обхода совпадает с направлением
по t, либо на всех этих кривых одновременно оно противоположно направ-
направлению по t; б) если среди кривых Si существует кривая Sj, содержащая
остальные кривые внутри себя, то либо на кривой Sj положительное направ-
направление обхода совпадает с направлением по t, а на всех остальных кривых Si
оно противоположно направлению по t, либо, наоборот, на кривой Sj оно

§ 25] ПОЛНАЯ СХЕМА ПРИДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА 439
противоположно направлению по t, а на всех остальных кривых Si (i ^ /}
совпадает с направлением по t.
Доказательство. Если континуум К{' состоит из двух
простых замкнутых кривых St, то утверждение теоремы непосредственно
следует из лемм 4—7. Если в состав континуума Кп входит п простых
замкнутых кривых
"^И 1 » • • • > ^ni
где п > 2, то, рассматривая последовательно пары кривых Si и So, S?
и53, ... , 5n-i и?„, нетрудно убедиться в силу лемм 4—7 в справедливости
настоящей теоремы.
Замечание. Пусть Юу является со-, о.- или О-предельным
континуумом с положительной (отрицательной) стороны и L* — траек-
траектория, для которой Кп является ю-, а-предельным, или в случае 0-пре-
дельного континуума — замкнутая траектория ячейки, для которой Кп
является граничным континуумом. Тогда: а) если на кривой Si, входящей
в состав континуума /?°, направление положительного обхода совпадает
с направлением по t, то траектория L* лежит впутри (вне) кривой Si',
б) если на кривой Si направление положительного обхода противоположно
направлению до t, то траектория L* лежит вне (внутри) кривой Si.
3. Взаимное расположение континуумов и их канонических кривых.
Пусть С — каноническая кривая предельного континуума ЛГ" (см.
п. 3 § 24), т. е. цикл без контакта или замкнутая траектория, в зави-
зависимости от того, является ли К1} — со-, а- или О-предельным.
Лемма 8. а) Если континуум Kiy лежит внутри канонической
кривой С, то Ки либо является простой замкнутой кривой, либо состоит
из нескольких простых замкнутых кривых, лежащих одна вне другой.
б) Если континуум Кп лежит вне С, то существует входящая в состав кон-
континуума К<' простая замкнутая кривая, содержащая кривую С внутри,
а все другие простые замкнутые кривые St, входящие в состав К1 у (если тако-
¦еые существуют), лежат внутри нее и не содержат внутри себя кривую С.
Доказательство. Пусть в случае а) существуют две вхо-
входящие в состав континуума Кп простые замкнутые кривые S^ и S^,
из которых одна—S^ — лежит внутри другой — S-A- Так как по условию
континуум Кп лежит внутри канонической кривой С, то кривая S% лежит
внутри кривой С, а точки всякой канонической окрестности континуума
Ю\ очевидно, лежат вне кривой S),. Но точки кривой S^, лежащей
внутри S)_, не могут быть ни ш (ни соответственно а)-пределышми для
траекторий, лежащих вне кривой S}_, ни граничными для ячейки, запол-
заполненной замкнутыми траекториями, точки которой лежат вне кривой SV
Мы получаем противоречие, доказывающее утверждение а). В слу-
случае б) континуум Кп по условию лежит вне кривой С. Предположим,
что кривая С лежит вне всех кривых Si, входящих в состав континуума
Ки. По самому определению канонической окрестности континуума
Кп является область, граница которой состоит из канонической кри-
кривой С и континуума Ю \ При сделанных предположениях областью,
в границу которой входят одновременно кривая С и континуум К{ \
может быть только область вне кривой С а вне всех кривых Si. В границу
этой области заведомо должна входить также п граница области G* (в ко-
которой рассматривается динамическая система). Но по самому определе-
определению канонической окрестности континуума К( > в ее границу не входит
ли одна точка, отличная от точек кривой С и континуума К(У. Таким

440 СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА И ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ G* [ГЛ. X
образом, сделанное нами предположение приводит к противоречию, и, сле-
следовательно, кривая С лежит внутри одной из крпвых 51,-, например St.
Но тогда все остальные кривые Si (i ^ф 1) не могут лежать вне кривой 6V
В этом случае, очевидно, не могло бы существовать области, граница
которой состоит из кривой С и континуума Ю >. А это противоречит тому,
что С — каноническая кривая континуума Кп. Следовательно, все кри-
кривые Si (i =5^= 1) лежат внутри кривой St и, очевидно, одна вне другой
(если не считать общих у них точек) и вне кривой С. Лемма доказана.
Замечание. Предположим, что рассматриваемый континуум
К}> является, например, континуумом К^- Пусть I — дуга без контакта
с концом в принадлежащей континууму К^ точке Р, лежащая по поло-
положительную сторону К^, L — траектория, стремящаяся к Kt>, Pi, P2, - - - —
ее точки пересечения с дугой I и Ct — неоднократно рассмотренные замк-
замкнутые кривые, состоящие из витка Pt Pt+i траектории L и части PtPi + i
дуги I. Тогда в силу замечания 2 к лемме 2 § 24 очевидно, что если конти-
континуум Кы лежит внутри (вне) своего цикла без контакта, то /vj лежит также
и внутри (вне) всех кривых Ci при достаточно большом г. Наоборот, если
континуум Кы лежит внутри (вне) кривых Сг (при достаточно большом i),
то он лежит также внутри (вне) всякого своего цикла без контакта.
В случае, когда континуум К& состоит более чем из одной простои
замкнутой кривой Si (i = 1, 2, . . .), имеет место также следующее обрат-
обратное утверждение, непосредственно вытекающее из утверждения преды-
предыдущей леммы:
Л е м м а 9. Пусть предельный континуум Ю' состоит более чем
из одной простой замкнутой кривой St. Тогда: а) если все простые замкну-
замкнутые кривые Si лежат одна вне другой, то каноническая кривая Ссодержшп
континуум К{' внутри себя; б) если среди простых замкнутых кривых S;
одна, например Si, содержит внутри себя остальные, то каноническая
кривая С лежит внутри кривой St и вне всех остальных кривых St (i ^= 1).
Пусть по-прежнему С — цикл без контакта со-илп а-предельного
континуума Кп. Приведем лемму, в которой направление обхода по t
кривых Si, составляющих континуум Кп, связывается с направлением
обхода циклов без контакта, согласованных с направлением по t (см. п. 3).
Лемма 10. а) Пусть Кс' состоит из одной замкнутой кривой или
из нескольких замкнутых кривых Si, лежащих одна вне другой (если не
считать их общих точек). Тогда: если положительное направление обхода
кривых Si совпадает с направлением по t (противоположно направлению
по t), то положительное направление обхода всякого цикла без контакта
континуума К(' совпадает с направлением обхода, согласованным с на-
направлением по t (противоположно ему), б) Пусть среди простых замкнутых
кривых Si континуума Кп существует одна, например Slt содержащая
все остальные внутри себя. Тогда, если положительное направление обхода
кривой Si совпадает с направлением по t (противоположно направлению
по t), то положительное направление обхода всякого цикла без контакта
континуума К{' совпадает с направлением, согласованным с направлением
по t (противоположно ему).
Доказательство. Рассмотрим для определенности конти-
континуум К&. Докажем утверждение а).
Пусть С — какой-нибудь цикл без контакта континуума Кь> н у —
ограниченная им каноническая окрестность. Пусть Lx— одна из входящих
в континуум К^ траекторий и 5] — та из простых замкнутых кривых,
составляющих континуум К^, в которую входит траектория Lu Возьмем
на траектории L^ четыре точки А, Аи А г и А3, соответствующие при

§ 25]
ПОЛНАЯ СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА
441
Рис. 266.
выбранном на Lj движении значениям t0, tt, t2, t3, причем предположим,
что t0 <; ti < t2 <Z t3. Пусть l0, lt и Z2 и l3 — дуги без контакта с одним
концом соответственно в точке A,Ai, А2 и А3, лежащие по положитель-
положительную сторону Lj и не имеющие друг с другом общих точек (рис. 2E6). Всякая
траектория L, проходящая при t — t0 через точку Ро дуги 10, достаточно
близкую к точке А, при некотором значении tj > t0 пересечет дугу /j в точке
Ри не пересекая до этого ни дугу 10, ни дугу 1±, затем при некотором
значении С > К пересечет дугу 12 в точке Р2 и затем дугу 13 при неко-
некотором t's > t2 и, наконец, вторично пересечет дугу 10 в некоторой точке Р'о.
Пусть С — простая замкнутая кривая, состоящая из витка РОР'О траек-
траектории L и части PqP'o Дуги без
контакта 10. Очевидно, части Р\А\,
Р2А2 и Рз-4зДуг h, h и h не имеют
общих точек кроме конца Аи А2,
А3 и -?*!, Р2, Р3 соответственно
с кривыми St и С и соединяют
три точки Ри Р2, Р3 кривой С
с тремя точками А±, А2, А3 кри-
кривой St (рис. 26G). (На рисунке по-
положительное направление обхода
противоположно направлению
по t.) Так как в силу предыдущей
леммы и замечания к ней в рас-
рассматриваемом нами случае конти-
континуум К^, а значит, и кривая Sj ле-
лежит внутри кривой С, то отсюда,
очевидно, следует утверждение
а) (см. дополнение, § 2, п. 7). Утверждение б) доказывается полностью
аналогично. В случае, когда Kli — О-предельный континуум, канонической
кривой С является любая замкнутая траектория той ячейки, для которой
Ю' является граничным континуумом. При этом в доказательство следует
внести очевидные изменения.
.Л е м м а И. а) Пусть ЛГ° — О-пределъный континуум, состоящий
из одной простой замкнутой кривой или из нескольких таких кривых Stl
расположенных вне друг друга. Тогда, если положительное направление
обхода кривых St совпадает с направлением по t (противоположно ему),
то и на всякой замкнутой траектории ячейки и\ для которой Кп является
граничным, направление положительного обхода совпадает с направлением
по t (противоположно ему), б) Пусть среди простых замкнутых кривых St
континуума К{> имеется одна, например St, содержащая все остальные
внутри себя. Тогда, если направление положительного обхода кривой Si
совпадает и с направлением по t (противоположно направлению по /), то
направление положительного обхода всякой замкнутой траектории ячейки
w также совпадает с направлением по t (противоположно направлению по t).
4. Свободные и несвободные континуумы. Пусть К'' — ш (или а)-пре-
дельный континуум. Среди траекторий, для которых он является пре-
предельным континуумом, могут кстретпться особые полутраектория (т. е.
орбитно-неустойчивые полутраектории, сепаратрисы пли угловые полу-
полутраектории).
Континуум jRT" называется свободным, если он не является со-, сс-пре-
дельным ли для одной особой полутраекгоршг и несвободным, если
существует хотя бы одна стремящаяся к ному особай полутраектория.

442
СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА II ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ G* [ГЛ. X
Рассмотрим несвободный со-прсдельный континуум Ас>. Пусть
L*1 \ L*°i ¦ • •> ?r" — все особые полутраектории, стремящиеся к А°.
Очевидно, каждая из этих полутраектории является либо полутраекторией
сепаратрисы некоторого состояния равновесия, отличного от входящих
в Ас>, либо угловой полутраекторией. Какой бы цикл без контакта конти-
континуума К'} мы ни взяли, все траектории L*c' пересекают этот цикл
без контакта. При этом имеет место
Л е м м а 12. Циклический порядок, в котором располагаются па
цикле без контакта континуума Ю' точки пересечения с полутраекто-
полутраекториями L*n один и тот же на всех циклах без контакта этого конти-
континуума.
Доказательство. Пусть Ct и Сг — какие-нибудь два цикла
без контакта континуума Кп. Предположим сначала, что они не имеют
друг с другом общих точек. Так как каждая из траекторий L*n пересе-
пересекает оба цикла без контакта Cj и
С2 и каждый из этих циклов только
в одной точке, то отсюда, очевидно,
следует утверждение леммы в рас-
рассматриваемом случае.
Предположим теперь, что цик-
циклы Сг и С2 имеют общие точки. Всегда
существует цикл без контакта конти-
континуума К1 \ не имеющий общих точек
ни с Си ни с С2 (таким циклом будет,
например, любой цикл без контакта
С, лежащий в достаточно малой
окрестности континуума А°). Тогда,
рассматривая сначала циклы Cj и С,
а затем циклы С2 и С попарно, не имеющие друг с другом общих точек,
нетрудно так же, как и выше, убедиться в справедливости настоящей
леммы.
Замечание. Пусть S — простая замкнутая кривая, состоящая
из витка траектории, отличной от траекторий LP' (т. е. не особой)
и дуги без контакта, целиком лежащая в какой-нибудь канонической
окрестности континуума Кп. Очевидно, все полутраектории Lt пересе-
пересекают дугу без контакта, входящую в состав этой кривой. При этом цик-
циклический порядок этих точек пересечения на кривой S тот же, что
и циклический порядок этих точек на любом цикле без контакта контину-
континуума К".
Доказанная лемма позволяет говорить о циклическом порядке осо-
особых полутраекторий L*° (i = 1, 2, 3, . .., п), стремящихся к данному
предельному континууму А°. Именно, это тот циклический порядок,
в котором на любом цикле без контакта этого континуума располагаются
точки Мi пересечения с траекториями Ь\к' (рис. 267).
5. Полная (глобальная) схема предельного континуума. Напомним
прежде всего понятие локальной схемы предельного континуума. Мы
говорим (см. § 24, п. 3), что задана локальная схема предельного конти-
континуума К+ или К~, если задано перечисление его траекторий и указано,
каким именно континуумом он является: со-, а- или О-предельным.
Из теоремы 72 следует, что локальная схема однозначно определяет
топологическую структуру разбиения на траектории замкнутой канони-
канонической окрестности континуума А°. Далее (см. лемму 1), локальная
Рис. 267.

$ 25] ПОЛНАЯ СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА 443
схема дает возможность определить, из каких траекторий состоят все
простые замкнутые кривые Si, образующие континуум.
Однако, как мы уже говорили, локальная схема не определяет отно-
относительного расположения кривых S, на плоскости, не дает возможности
судить, в каком направлении обходятся эти кривые при движении по
ним в сторону возрастания /, и не указывает, какие особые полутраскто-
рии стремятся к континууму Я4'. Полная схема, к определению которой
мы переходим, описывает все перечисленные факты.
Определение XXVIII. Мы будем говорить, что задана полная
хема предельного континуума /?°, если: 1) указано, с какой стороны этот
континуум является предельным, с положительной или отрицательной
{т. е. указывается, какой знак, -J-, или —, «находится в скобке» в обозначе-
обозначении К1); 2) задана локальная схема этого континуума, т. е. указано,
является ли он со-, а- или (Упределъным, и задается а>-перечисление входя-
входящих в него траекторий; 3) указано, на каких из простых замкнутых кри-
кривых Si, входящих в состав континуума Кп, положительное направление
обхода совпадает с направлением по t, а на каких противоположно этому
направлению (кривые Si определены в силу задания локальной схемы, см.
замечание к лемме 1 § 25); 4) в случае, когда К1' есть со- или а-пределъный
континуум, указаны все стремящиеся к нему особые полутраектории
и их циклический порядок, причем отмечено, какие из этих полутраекто-
полутраекторий являются угловыми и какие принадлежат орбитно неустойчивым
¦траекториям.
Пусть Oi, О2, ¦ - .) От (О) — все состояния равновесия; Ьг, L2, ¦ • •
. . . , LR (L) — все незамкнутые траектории; Su S2, ¦ • ¦, <S[ (S) — все
простые замкнутые кривые континуума К1}.
Далее, пусть Lx , L^\ .. ., L\? (L) — все полутраектории, принад-
принадлежащие орбитно неустойчивым траекториям и стремящиеся к континуу-
континууму К1 \ a L[\ Z4',•-., Lq) (L) — все угловые полутраектории, стре-
стремящиеся к К1>.
Будем обозначать кривую Si через Si, если направление положи-
положительного обхода совпадает с направлением по t, и через Si в противном
случае, и через Si* в случае, когда подразумевается, что знак +, или —
указан, но при этом не фиксируется, какой именно. Тогда полная схема
континуума Кп задается следующим образом.
I- Указывается, какой из знаков + или — находится в скобке в обо-
обозначении К.
II. Указывается, каким является континуум К1' — ы-, а- или 0-пре-
дельным.
III. Задается со-перечисление траекторий континуума Кп.
IV. Задается таблица, описывающая направление обхода кривых St
(которые определены в силу задания со-перечисления) при движении по
ним в сторону возрастания t, т. е. записывается, из каких траекторий
состоят кривые S^ и какой знак у этой кривой стоит в скобке
i = l 2
r.
В том частном случае, когда континуум Ю' является одной замкну-
замкнутой траекторией Lo, существует одна только замкнутая кривая 5°,
совпадающая с этой траекторией, при этом указанная выше запись будет
иметь вид S()\L0-
V. Если рассматриваемый предельный континуум Кп является не
•свободным, то задается перечисление в циклическом порядке всех

444 СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА И ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ G* [ГЛ. X
стремящихся к нему особых полутраекторий (с указанием, какие из
них угловые).
Замечание 1. Задание полной схемы определяет взаимное
расположение кривых Si, входящих в состав континуума Ки, а также
расположение относительно кривых Si тех траекторий, для которых этот
континуум является to-, а- или О-предельным. В случае, когда конти-
континуум Ки является одной простой замкнутой кривой Lo — это непосред-
непосредственно вытекает из определения «положительной стороны» траектории
и указания того, совпадает ли на кривой Lo направление обхода по t с на-
направлением положительного обхода или противоположно ему; в случае,
когда континуум К11 состоит из нескольких кривых Si — это непосред-
непосредственно следует из замечания к лемме 8.
Замечание 2. В случае, когда континуум Ю' состоит более
чем из одной кривой Si, его полная схема дает возможность определить
вокруг каждого входящего в него состояния равновесия Oj циклический
порядок среди принадлежащих Ю' полутраекторий, стремящихся к этому
состоянию равновесия Oj.
Действительно, со-перечисление континуума /?() позволяет указать,
какие именно полутраектории стремятся к рассматриваемому состоянию
равновесия Oj, а их циклический порядок устанавливается при помощи
лемм 4—7. С другой стороны, если относительно Кп не указано, с какой
стороны, с положительной или отрицательной, он является предельным,
но известен циклический порядок, принадлежащих ему полутраекторий
вокруг каждого входящего в него состояния равновесия Oj (например,
в силу задания полных схем этих состояний равновесия), то на основа-
основании лемм 4—7 устанавливается, с какой стороны этот континуум К°
является предельным.
Полная схема предельного континуума может быть задана схема-
схематическим рисунком *) с указанием обозначений для траекторий. Такое
задание является значительно более наглядным и обозримым, чем задание
таблицей.
Рассмотрим, например, схему континуума К^\ заданную таблицей
S±-»\LU О,;
Sv \Oi, Lz, O2, L3;
S'3->\02, L4.
Этой таблице соответствует рис. 268. Рассмотрим еще следующую
схему континуума К10')ш.
"l l-^l» ^lt -^2> О2',
S?\L3, О,;
s;\Lt, о2.
Последней схеме соответствует рис. 269.
Предположим теперь, что рассматриваются два со-, а- или 0-предоль-
ных континуума Kli и i?*() (состоящих из траекторий одной п той же
динамической системы или двух различных динамических систем). Сохра-
Сохраняем для траекторий, составляющих континуум К* \ и для полутраекто-
полутраектория, стремящихся к нему, обозначения, введенные выше.
*) Можно задавать схематическим рисупком также и локальную схему. Однако
мы но останавливались на этом ввиду того, что локальная схема дает весьма неполные
сведения о расположении предельного континуума.

§ 25]
ПОЛНАЯ СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА
445
Рис. 2(i8.
Будем траектории, входящие в состав континуума К*1 \ полутраек-
полутраектории, стремящиеся к нему, простые замкнутые кривые, из которых он
составлен, обозначать теми же буквами, но только со звездочками. Пусть,
кроме того, т*, R*, I*, р* и q*— числа, имеющие соответственно то же
значение для континуума К*п, что и
числа т, R, I, p и q для континуума Кп.
Предположим, что локальные схе-
схемы этих двух континуумов тождествен-
тождественны (с сохранением направления по t).
Тогда между состояниями равновесия
(Oj) и (O*j) и траекториями (L) и (L*),
отличными от состояний равновесия,
может быть установлено одно или не-
несколько соответствий по схеме. Каждое
такое соответствие по схеме индуци-
индуцирует естественное соответствие между
простыми замкнутыми кривыми ?;,
входящими в состав континуума № \
и простыми замкнутыми кривыми Sf,
входящими в состав континуума К*('
(соответствующими друг другу являются простые замкнутые кринме,
траектории которых соответствуют друг другу). Такое соотиетстние между
кривыми Si и St будем также называть соответствием по схеме.
Отметим, что при тождественности локальных схем двух континуу-
континуумов может случиться, что кривым St, лежащим одна вне другой, соответ-
соответствуют кривые S*, из которых одна содержит внутри
все остальные. Другими слонами, при тождествен-
тождественности локальных схем двух континуумов К1' и К*('
взаимное расположение кривых Si и кривых 5* может
быть различным (см. примеры на рис. 255 и 256).
Определение XXIX. Мы будем говорить,
что полные схемы двух со-, а- или О-прсделъных кон-
континуумов Ю' и К*^ * тождественны с сохранением
ориентации и направления по t, если: 1) тождест-
тождественны локальные схемы этих континуумов; 2) оба
континуума одновременно являются со-, а- ила О-пре-
дельными с положительной или с отрицательной
стороны; 3) существует соответствие по локальной
схеме между траекториями континуумов Х('
и К*1\ при котором на соответствующих друг
другу кривых St и S* этих континуумов направление
положительного обхода либо на обеих совпадает
с направлением по t, либо на обеих противоположно
ему (т. е. кривой St соответствует кривая S*+, а кривой Sj — кри-
кривая S*j~), так что кривые Si и S* имеют одинаковое относительное
расположение; 4) либо оба континуума К1* и K*li являются свободными,
либо оба они несвободны, и тогда между особыми полутраекториями,
стремящимися соответственно к К1> и К*и, существует соответствие,
при котором угловым полутраекториям соответствуют угловые и двум
последовательным в циклическом порядке полутраекториям соответ-
соответствуют две последовательные в циклическом порядке.
Соответствующие друг другу при тождественности схем континуумов
Кп и К*п (в согласии с пн. 2) и 4)) траектории (L) и (L*), (О) и (О*),
Рис. 269.

44C СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА И ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ G* [ГЛ. X
полутраектории (L°) и (L*°), (Z°) и (L*°) и простые замкнутые кри-
кривые Si n S* будем называть соответствующими по схеме.
При тождественности схем континуумов Kiy и К*{>, очевидно,
т = т*, R — R*, 1 = 1* и в случае, когда Кп и i?*('—несвободные пре-
предельные континуумы, кроме того, р=р*, q = q* и полная схема конти-
континуума^*" может быть получена из полной схемы континуума Кп, если
в последней обозначение каждой из траекторий (L) (О), полутраекторпн
(L°), (Z°) и кривых 5i' снабдить звездочкой.
Справедливо и обратное: если полная схема континуума К*1' может
быть получена из полной схемы континуума К1' путем добавления звез-
звездочки в обозначении траекторий (L) и (О) полутраекторий (jL()) и (Ln)
и простых замкнутых кривых S\\ то полная схема континуума Кы>
тождественна полной схеме континуума Кп. Вопрос о том, одинаковы
две полные схемы или нет, сводится к чисто комбинаторной задаче п может
быть решен конечным числом испытаний. Если схемы рассматриваемых
континуумов Кп и КЫУ тождественны, то они могут быть представлепы
одним и тем же рисунком.
Рассмотрим канонические кривые С и С* континуумов Кп и К*а,
т. е. либо циклы без контакта, либо замкнутые траектории в зависимо-
зависимости от того, являются ли К1' и К*1' со-, а- или О-предельными. Пусть у
и у* — канонические окрестности этих континуумов, ограниченные соот-
соответственно кривыми С и С*.
Мы скажем, что континуумы К1' и Кы } одинаково расположены отно-
относительно канонических кривых С и С*, когда континуум К11 лежит внутри
(вне) С, то и континуум jf*() лежит внутри (вне) С*.
Имеет место
Теорема 74. Пусть К'' и К*1 * ~ два предельных континуума,
С и С* -г-их канонические кривые и у и у* — канонические окрестности*
ограниченные каноническими кривыми С и С*. Если полные схемы конти-
континуумов Кп и К*п тождественны, то: 1) континуумы Ки и К*п
одинаково расположены относительно своих канонических кривых С и С*;
2) существует топологическое отображение замкнутых канонических
областей у и у* друг в друга, переводящее траектории в траектории,
при котором особые траектории и особые полутраектории (в случае несво-
несвободных континуумов), соответствующие друг другу по схеме, отобра-
отображаются друг в друга.
Доказательство. Первое утверждение теоремы непосред-
непосредственно следует из условия 3) тождественности полных схем, леммы 8
и теоремы 73.
Справедливость второго утверждения теоремы в случае, когда кон-
континуумы К1) и ЙГ*() являются свободными, непосредственно следует
из теоремы 72. В случае, когда континуумы Кп и K*li являются несво-
несвободными ю- или а-предельными континуумами, всегда можно в силу усло-
условия 4) тождественности схем установить такое топологическое соответ-
соответствие между точками циклов без контакта С и С*, при котором точки пе-
пересечения с этими циклами полутраекторий (L°), (Ll)) и (L*n), (Z,*"),
соответствующих друг другу по схеме, соответствуют друг другу. В силу
замечания к теореме 72 существует топологическое отображение замк-
замкнутых канонических областей у и у* друг на друга, при котором установ-
установленное соответствие между точками циклов С и С* сохраняется. Таким
образом, теорема доказана.

26]
СХЕМА ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ
447
Замечание. В случае свободных континуумов 1С и /v*°
топологическое отображение замкнутых канонических областей у и у*
всегда может быть взято таким, чтобы при этом осуществилось любое
заданное соответствие между точками циклов без контакта С и С* (сохра-
(сохраняющее согласованное с направлением no t направление обхода кривых
С и С*).
В случае, когда континуумы Кп п К*1У несвободные, рассматривае-
рассматриваемое в настоящей теореме топологическое отображение замкнутых кано-
канонических областей у и y* всегда может быть взято таким, чтобы между
точками циклов С и С* осуществлялось любое топологическое соответ-
соответствие, при котором принадлежащие этим циклам точки соответствующих
друг другу по схеме особых полутраекторпи соответствовали друг другу
(см. замечание к теореме 72).
§ 26. Схема границы области
1. Угловые точки грапичных кривых. Мы предполагаем (см. главу I),
что рассматриваемая нами динамическая система D определена в некото-
некоторой плоской области G, но рассматривается лишь в замкнутой области G*,
расположенной целиком в области
G и имеющей нормальную границу
(см. п. 2 § 16).
Общую точку граничной дуги
без контакта и граничной дуги
траектории мы называли угловой
точкой границы, а дугу траекто-
траектории или полутраектории, имеющую
своим концом угловую точку и
а)
• /////7
Рпс. 271.
лежащую внутри G* — угловой дугой траектории или уголовои полу траек-
траекторией. Очевидно, каждая угловая дуга i траектории является продолжо-
нпем граничной дуги траектории (пли двух таких дуг) (рис. 270, а, б).
Каждая угловая полутраекторпя L также является продолжением гра-
граничной дуги траектории (рис. 271).
Сохраняя прежние обозначения для угловых иолутраскторий и не-
неугловых особых полутраекторий соответственно L,. и Ls, будем обозна-
обозначать граничные дуги траекторий через lq, граничные дуги без контакта
через ?oq и угловые дуги — через 1Р, а граничную целую траекторию через
Lo. Будем замкнутую кривую Г, граничную для G*, обозначать черен Г+

448
СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА И ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ G* ИГЛ. X
или Г~ в зависимости от того, лежит ли область G* внутри или вне ее.
Граничную дугу траектории lt, входящую в какую-то граничную кри-
кривую Г, будем обозначать через ?+, если направление по t на этой дуге
совпадает с направлением, индуцированным положительным обходом
кривой Г, и через 1~ в противном случае. Конец граничной дуги lt, соот-
соответствующий наибольшему значению параметра t, будем называть со-кон-
цом этой дуги и обозначать через Mf, а конец lt, соответствующий наи-
наименьшему значению t, будем называть а-концом и обозначать через Л/".
Будем также угловую точку, являющуюся концом положительной угло-
угловой полутраектории, называть ее
а-концом, а конец отрицательной уг-
угловой полутраектории — ее со-концом.
Пусть М — угловая точка, яв-
являющаяся концом граничной дуги /
траектории L. Предположим, что ду-
дуга I есть дуга траектории L области G
и что точка М соответствует значе-
значению t0 параметра t (при выбранном
на L движении). Предположим также
для определенности, что М является
со-концом дуги I. Легко видеть, что
могут представиться только две воз-
возможности.
1) Либо все точки траектории L,
соответствующие значениям парамет-
параметра t, достаточно близким к t0 и боль-
большим чем t0, лежат вне области б1*.
2) Либо все такие точки лежат
внутри области G*.
В первом случае мы будем на-
называть точку М ню-внешней угловой
точкой» (рис. 272, а), во вто-
втором — «ьл-внутренней угловой точкой»
(рис. 272, б). Совершенно так же
определяется понятие «а-внешней (а-внутренней) угловой точки» для
случая, когда М является а-концом дуги I.
Очевидно, внутренняя угловая точка М, являющаяся со (а)-концом
граничной дуги I, является в то же время а (со)-коицом угловой дуги или
угловой траектории (также принадлежащей траектории L). Мы будем
называть такую угловую дугу или полутраекторию со (а)-продолженисм
граничной дуги траектории L. В свою очередь граничную дугу I мы будем
называть а (со)-продолжением указанной угловой дуги или полутраек-
полутраектории. Таким образом, каждая угловая точка М является либо со- или
а-внешней, либо со- или а-внутренней.
Рассмотрим дугу без контакта X. Все траектории, проходящие через
внутренпие точки дуги К при возрастании t либо выходят из области G*,
либо все они входят в область G*. В первом случае мы будем называть
к положительной граничной дугой без контакта, во втором — отрица-
отрицательной граничной дугой без контакта. Аналогично определяется поло-
положительный граничный и отрицательный граничный цикл без контакта.
Лемма 1. Пусть К — граничная дуга без контакта, М — при-
принадлежащая ей угловая точка. Тогда если К — положительная граничная
Рис. 212

2e]
СХЕМА ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ
449
в)
дуга без контакта, то М является либо (о-внешней, либо а-внутрен-
ней угловой точкой, если же X есть отрицательная граничная дуга без
контакта, то М является либо а-внешней, либо ы-внутренней угловой
точкой.
Доказательство. Предположим, что "к является положи-
положительной дугой без контакта. Пусть L — траектория, проходящая
через точку М, t0 — значение парамет-
параметра, соответствующего точке М, AM —
дуга траектории L, точки которой соот-
соответствуют значениям t, близким к t0 и мень-
меньшим t0, a ВМ — такая же дуга, соответ- а.)
ствующая значениям t, большим чем i0.
Каждая из дуг AM и ВМ либо лежит на
границе области G*, либо внутри, либо вне ее.
При этом только одна из этих двух дуг при-
принадлежит границе области G*. Так как Я
является положительной дугой без контакта,
то нетрудно видеть, что дуга AM не может
лежать вне области G*, а дуга ВМ — внутри
нее. Таким образом, либо дуга AM принад- Рис. 273.
лежит границе области G*, а ВМ лежит вне
со, либо дуга AM лежит внутри G*, а ВМ принадлежит ее границе.
В первом случае М является (рис. 273, а) ю-внешнен угловой точкой,
во втором (рис. 273, б) а-внутренней.
Диалогично рассматривается случай, когда К является отрицатель-
отрицательной граничной дугой без контакта. Лемма доказана.
2. Схема граничной кривой, схема границы и тождественность двух
схем границы. Пусть Г,- — какая-нибудь граничная замкнутая кривая.
Мы будем рассматривать все особые полутраектории и все угловые дуги,
имеющие общие точки с кривой Г,-. В случае
когда Fj не является циклом без контакта,
то такие полутраектории и дуги либо пере-
пересекают кривую Г; во внутренних точках
граничных дуг без контакта, либо имеют
с Tj общую внутреннюю угловую точку.
Очевидно при этом, что у угловых дуг, пе-
пересекающих кривую Г;, второй конец, яв-
являющийся угловой точкой, может принад-
принадлежать как одной из кривых Г,-, так и ка-
какой-нибудь другой из кривых Tj (см.,
например, рис. 274). Особыми полутраек-
полутраекториями, имеющими общие точки, очевид-
очевидно, являются угловые траектории с кон-
концом в угловой точке этой кривой.
Определение XXX. Мы ска-
скажем, что задана схема (или полная
схема) граничной кривой Tj, если: 1) указано, является ли она внеш-
внешней или внутренней граничной кривой области G* (т. е. наверху у нее
помечен знак -f- или —); 2) указано, является ли кривая Г,- циклом без
контакта, замкнутой траекторией или состоит из дуг траекторий
и дуг без контакта; 3) если кривая Г,- — цикл без контакта, то указано,
29 а. А. Андронов и др.
Рис. 274.

450 СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА II ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ G* [ГЛ. X
является ли она положительным или отрицательным циклом без контак-
контакта, если кривая Г,- состоит из дуг траекторий и дуг без контакта — эти
дуги перечислены в циклическом порядке, указано, на каких из граничных
дуг направление по t совпадает с направлением, индуцированным положи-
положительным обходом кривой Tj, а на каких — противоположно ему, и, кроме
того, указаны все внутренние угловые точки Г^; 4) если Tj — цикл без
контакта, перечислены в циклическом порядке все пересекающие Tj особые
траектории и угловые дуги, если Tj состоит из дуг траекторий и дуг без
контакта, то для каждой входящей в Tj дуги без контакта Х; перечислены
все имеющие с ней общие точки, особые полутраектории и угловые дуги,
причем в том порядке, в котором они встречаются при движении по Kiy
индуцированном положительным обходом кривой Tj; 5) если Г; — замкну-
замкнутая траектория, то указано, совпадает ли на ней направление положи-
положительного обхода с направлением по t, или противоположно ему.
Схема граничной кривой Tj в случае, когда Г,- — цикл без контакта,
может быть задана таблицей следующего типа:
(Очевидно, когда Tj — отрицательный цикл, все пересекающие его полу-
полутраектории являются положительными, когда Tj — положительный
цикл — отрицательными.)
В случае, когда Г/ состоит из дуг без контакта и дуг траектории,
схема граничной кривой Г,- может быть задана следующими таблицами.
Во-первых, таблицей вида
г+17(-> 1 ¦ мч
где дуги, составляющие кривую Г,-, перенумерованы и выписаны в их
циклическом порядке, и, кроме того, всякая внутренняя угловая точка
границы (и только внутренняя) выписана между теми дугами Я; и l\li
или 4', ^й+ь общим концом которых она является. Все нефигурирующие
в этой записи угловые точки являются внешними.
Во-вторых, таблицей, в которой особые полутраекторни и угловые
дуги, имеющие общие точки-с каждой из входящих в Гр дуг Xj, перечис-
перечислены в том порядке, в котором они встречаются при движении по Kj,
индуцированном положительным обходом кривой Г7-:
Замечание 1. Первая из таблиц, описывающая схему гранич-
граничной кривой, т. е. таблица A), позволяет определить, какие из дуг без
контакта Яг являются положительными и какие отрицательными дугами
без контакта. Действительно, пусть Я,А — одна из этих дуг, Ж\' — угло-
угловая точка, являющаяся общим концом дуг hk и lh. Если точка М1^ вхо-
входит в запись вида A), то она является внутренней угловой точкой, если
нет — то внешней. Кроме того, относительно точки ЖУ указывается,
является ли она со- или a-концом дуги траектории lk. Таким образом,
если задана локальная схема, то относительно всякой угловой точки
известно, является ли она ю- или a-внутренней или со- или а-внешней.
А тогда лемма 1 позволяет заключить, является дуга без контакта lk поло-
положительной или отрицательной дугой без контакта.
Каждая угловая дуга или угловая полутраектория проходит через
данную внутреннюю угловую точку.

§ 26] СХЕМА ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ 451
Пусть, например, схема граничной кривой задана таблицами C)
и D):
г+|?, К мч, г-, л/«, ^, м«, г+адл, .... я*м?, C)
D)
Рассмотрим точку Л/<?. Из таблицы C) видно, что М? есть внутренняя
угловая точка, принадлежащая дуге Xt, причем Ж? является последней
точкой дуги Х1 (при обходе этой дуги в направлении положительного
обхода кривой Г+). Следовательно, в силу таблицы D) через точку М%
проходит угловая дуга lis. Все остальные особые полутраектории и угло-
угловые дуги, пересекающие дугу без контакта Я,1? проходят через внутренние
ее точки. Аналогично можно рассматривать остальные внутренние угловые
точки кривой Гт.
Замечание 2. Данные, приводимые в таблицах C) ы D),
не являются вполне не зависимыми друг от друга. Так, например, из записи
... 1%, ^з; ^' Уже следует в силу леммы 1, что у l,t в скобке должен стоять
знак минус. Поэтому при задании схемы можно было бы в таблице C)
опустить знак у 1\\ Во второй таблице можно было бы не указывать,
какие именно особые полутраектории — положительные или отрицатель-
отрицательные — в нее входят. В самом деле, рассмотрим, например, первую строку
таблицы D). Мы знаем, что Kt есть положительная дуга без контакта. Но
тогда, очевидно, полутраекторин Litl,Lil2, пересекающие эту дугу,
являются отрицательными полутраекторпями.
Определение XXXI. Мы будем говорить, что задана схема
границы области G*, если перечислены простые замкнутые кривые, вхо-
входящие в эту границу, и заданы их схемы.
Очевидно, схема границы области G* может быть задана конечным
числом таблиц типа A) и B). Очевидно, схема границы может быть также
задана не таблицей, а схематическим рисунком. Сопоставление схемы гра-
границы', записанной в виде таблицы и в виде схематического рисунка, предо-
предоставляется читателю.
Предположим теперь, что заданы две различные или совпадающие
динамические системы D и D', определенные соответственно в областях
G и G'. Пусть эти системы рассматриваются в замкнутых областях соответ-
соответственно G* и G*' (G* a G, G'*czG'), причем границы этих областей нор-
нормальны и можно дать определение тождественности схем границ, ана-
аналогичное соответствующему определению для схем предельных контину-
континуумов (см. определение XXIX). Однако для краткости мы ограничимся
более формальным определением.
Пусть Г,, Г2, . .., Гг (Г) —все граничные замкнутые кривые обла-
области Gj, L[ >, L{ >, ..^,IJq'' (?( >) — угловые полутраектории систелгы D,
L[ >,?<>,..., Lp' (Z/ >) —орбитно-неустойчивые полутраектории систе-
системы D, концы которых лежат на границе области G*,
1>, /2, ...,1п (I)
— граничные дуги траектории системы D,
7и /2, ...,im (i)
29*

452 СХЕМА ПРЕДЕЛЬНОГО КОНТИНУУМА И ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ G* [ГЛ. X
— угловые дуги, Kit К2, ¦¦-, hs(%)-—граничные дуги без контакта
области G* и Л/?1? Mf2, . .., М? , Щ, М%, ..., M"v (M) — внутренние
угловые точки кривых Г *).
Пусть (Г'), (Z/< )), (L'( >), (Г), (Г) и (X')—соответствующие множества
для системы D', рассматриваемой в области G'*, а г', д', р', п', т', s', |л',
v'—числа, соответствующие числам г, q, р, п, т, s, |л, v.
Определение XXXII. Мы будем говорить, что схемы границ
области G* и 6"* одинаковы, если существует взаимно однозначное
соответствие 0 между всеми особыми элементами, входящими в мно-
множества
(Г), (L< >), (LO), (Z),(Z), W
с одной стороны, и всеми элементами, входящими в множества
(Г'), (L'< >),(L'( >), (Г), (Г), (Г), (М')
с другой, при котором циклам без контакта среди кривых (Г) соответст-
соответствуют циклы без контакта (Г'), полутраекториям (L") — полутраекто-
полутраектории (L'n), дугам без контакта (А,) — дуги без контакта (А,') и т. д. и ко-
которые удовлетворяют следующему условию: если каждый элемент систе-
системы D' обозначен тем же символом, что соответствующий ему в силу соот-
соответствия 0 элемент системы D, но со штрихом, то схема границы области
G'* (т. е. таблица, описывающая эту схему) получается из схемы границы
области G* путем добавления штриха в обозначение каждого элемента.
Когда схемы границ у системы D nD' заданы схематическим рисунком,
то, очевидно, в случае тождественности этих схем этот схематический
рисунок один и тот же для системы D и D'.
*) Обозначения этих точек связаны с обозначениями граничных дуг /;.

ГЛАВА XI
СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
Введение
В предыдущих главах мы рассматривали локальную и полную схемы
состояний равновесия и предельных континуумов, а также схему границы.
В настоящей главе вводится понятие полной схемы динамической
системы, имеющей конечное число особых траекторий. В полную схему
динамической системы как составные части входят полные схемы состоя-
состояний равновесия и предельных континуумов. Полная схема дает исчерпы-
исчерпывающее описание взаимного расположения особых элементов и полностью
определяет топологическую структуру разбиения на траектории. Основ-
Основной теоремой настоящей главы является следующая теорема: если схема
двух динамических систем D н D', рассматриваемая соответственно
в замкнутых областях G* uG*', тождественна с сохранением^ориентации.
и направления по t, то топологические структуры разбиения областей G*
и G*' соответственно на траектории систем D и D' тождественны. Доказа-
Доказательство этой теоремы заключается в фактическом построении отожде-
отождествляющего отображения, т. е. топологического отображения области
G* в G*', при котором траектории систем D и D' отображаются друг
в друга.
Таким образом, полная схема является топологическим инвариантом
динамической системы. Выше, при рассмотрении конкретпых примеров,
мы неоднократно говорили о том, что для знания топологической струк-
структуры разбиения на траектории нужно знать «характер состояний равно-
равновесия, число и расположение замкнутых траекторий и ход сепаратрис».
Введение понятия схемы динамической системы фактически является вне-
внесением точного смысла в указанные наглядные, но весьма расплывчатые
определения.
Полную схему естественно считать теми сведениями относительно
динамической системы, которые должны быть установлены при полном
качественном исследовании динамических систем.
В настоящей главе рассматривается лишь динамическая система с ко-
конечным числом особых траекторий, и при этом в плоской ограниченной
области имеющей нормальную границу. Однако к рассмотрению такой
системы можно свести и рассмотрение всякой динамической системы на
сфере, имеющей конечное число особых траекторий. Это может быть сде-
сделано, например, следующим образом: всякая динамическая система на
сфере имеет по крайней мере одно состояние равновесия. В силу предполо-
предположения о конечном числе особых траекторий все состояния равновесия
у рассматриваемых динамических систем изолированные. Пусть О — одно

454 СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА (ГЛ. XI
из них. Рассмотрим каноническую окрестность О. Каноническвя кривая а,
входящая в границу такой окрестности, очевидно, является нормальной
границей и делит сферу на две области, каждая из которых может
быть (например, с помощью стереографической проекции) отображена на
плоскую область с нормальной границей. Таким образом, рассмотрение
динамической системы на сфере сводится к рассмотрению систем в двух
плоских областях с нормальной границей.
Настоящая глава состоит из трех параграфов. В § 27 проводится
вспомогательное рассмотрение: выделяется система канонических окрест-
окрестностей состояний равновесия и предельных континуумов, удовлетворяю-
удовлетворяющая некоторым естественным требованиям. Эта система канонических
окрестностей названа правильной.
Затем рассматриваются части дуг и циклов без контакта, на кото-
которые они разделяются общими с особыми траекториями точками. Такие
части названы элементарными со- и сх-дугами. Циклы без контакта, кото-
которые не имеют общих точек с особыми траекториями, называются свобод-
свободными со- и ос-циклами. Элементарные ш-, а-дуги и со- и а-циклы играют
весьма важную роль при построении топологического отображения, дока-
доказывающего основную теорему.
§ 28 посвящен вопросу о взаимном расположении так называемых
свободных континуумов. Кроме того, в нем исследуются свойства неко-
некоторых частичных областей, на которые естественно разделяется область
между выделенными каноническими окрестностями.
В § 29 вводится понятие полной схемы динамической системы, в ко-
которой кроме схем всех состояний равновесия и предельных континуумов
дается еще описание взаимного расположения свободных предельных
континуумов. Затем доказывается основная теорема.
§ 27. Правильная система канонических окрестностей,
се (а)-дуги и се (а)-циклы
1. Обозначения для особых элементов динамической системы. Напом-
Напомним прежде всего обозначения, которыми мы пользовались выше. Пусть
D — динамическая система, определенная в области G и рассматривае-
рассматриваемая в замкнутой подобласти G*, имеющей нормальную границу. Пусть
Oi, О2, ... , От (О) —¦ все лежащие в G* состояния равновесия системы D,
gu gz, . - ., gm (g) — их канонические окрестности (см. § 19, п. 2) и atl
a2, .. ., от (о) — соответствующие окрестностям gt канонические кривые
состояний равновесия, т. е. границы канонических окрестностей gt.
Пусть, далее, К\\ К[\ . . ., К^ (К) — все (односторонние) предель-
предельные континуумы динамической системы D, отличные от состояний рав-
равновесия, расположенные в G*, yit у2, .. ., ух (у) — их канонические
окрестности, Сь С2, - - -, CN (С) — соответствующие канонические кри-
кривые континуумов (К); каждая кривая Ct является либо циклом без кон-
контакта, либо замкнутой траекторией и вместе с предельным континуу-
континуумом Kt составляет границу канонической окрестности yt.
2. Правильные системы канонических окрестностей. В дальнейшем
мы будем по преимуществу рассматривать замкнутые канонические окрест-
окрестности gt и Yi- При произвольном выборе канонических окрестностей
канонические окрестности различных состояний равновесия, а также кано-
канонические окрестности состояний равновесия и предельных континуумов,

§ 27] ПРАВИЛЬНАЯ СИСТЕМА КАНОНИЧЕСКИХ ОКРЕСТНОСТЕЙ 455
очевидно, могут иметь общие точки. Однако при надлежащем выборе
канонических окрестностей этого можно избежать (если не считать седло-
вых областей, опирающихся на сепаратрисы, входящие в предельные
континуумы, которые всегда имеют общие точки с каноническими окрест-
окрестностями предельных континуумов). Именно, справедлива следующая
Лемма 1. Канонические окрестности состояний равновесия и пре-
предельных континуумов, отличных от состояний равновесия, всегда могут
быть выбраны так, чтобы одновременно выполнялись следующие условия:
а) ни одна из канонических кривых (о) и (С) не имеет общих точек с границей
области G* и с угловыми дугами (но может иметь общие точки с угловыми
полутраекториями); б) канонические кривые (о) состояний равновесия не
имеют друг с другом общих точек, лежат одна вне другой и не имеют
общих точек с каноническими кривыми (С) предельных континуумов, отлич-
отличных от состояний равновесия; в) канонические кривые (С) различных
предельных континуумов, не являющихся состоянием равновесия, и их
канонические окрестности (у) не имеют друг с другом общих точек; г) ни
одна из элементарных областей {эллиптических, параболических и седло-
вых), являющихся частями канонических окрестностей состояний равно-
равновесия, за исключением седловых областей, примыкающих к предельным
траекториям, не имеет общих точек с каноническими окрестностями
предельных континуумов, отличных от состояний равновесия.
Доказательство. Докажем сначала, что условие а) всегда
может быть выполнено. По определению нормальной границы входящие
в нее дуги траекторий, а следовательно, и их продолжения — угловые
дуги не могут принадлежать орбитно-неустойчивым траекториям или полу-
полутраекториям, целиком лежащим в G*. На границе не лежит, в частности,
ни одно состояние равновесия. Множество Е, состоящее пз точек, принад-
принадлежащих граничным и угловым дугам, очевидно, является замкнутым
множеством. Любое состояние равновесия 0% находится, следовательно,
на ненулевом расстоянии от него, и всякая каноническая окрестность,
содержащаяся в достаточно малой Ue (Ot), очевидно, не имеет общих точек
с множеством Е.
Рассмотрим теперь предельный континуум К\\ не являющийся состо-
состоянием равновесия. Ни одна точка границы области или угловой дуги не
может быть точкой предельного континуума, за исключением лишь одного
случая, когда граничная замкнутая кривая является орбмтно-устойчи-
вой замкнутой траекторией и когда состоящая из граничных и угловых
дуг замкнутая траектория является граничным континуумом некоторой
ячейки w, заполненной замкнутыми траекториями (см. § 24, п. 1). Но
в этом случае канонической кривой континуума К\* является любая
замкнутая траектория ячейки w, а такая траектория, а также соответст-
соответствующая каноническая окрестность, состоящая из точек ячейки w, оче-
очевидно, не имеет общих точек с множеством Е. Во всех же других слу-
случаях предельный континуум К\' состоит из орбитно-неустойчивых траек-
траекторий и находится на неравном нулю расстоянии от множества Е. А тогда,
очевидно, всякая каноническая окрестность этого контипуума К((, лежа-
лежащая вместе с ограничивающей ее канонической кривой в Ue (K\*), при до-
достаточно малом е>0 не имеет общих точек с множеством Е.
Выполнимость условия б), очевидно, следует из того, что число
состояний равновесия и число континуумов, отличных от состояний равно-
равновесия, в области G* конечно и что на канонических кривых (С) по самому
их определению нет состояний равновесия.

456 СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА [ГЛ. XI
Рассмотрим условие в). Пусть даны два различных предельных кон-
континуума КУ и Ку (не являющихся состояниями равновесия). Мы рас-
рассматриваем односторонние предельные континуумы (см. главу JX),
поэтому различные предельные континуумы могут: 1) либо не иметь общих
точек; 2) либо иметь не все точки общими; 3) либо, наконец, они могут
Совпадать как точечные множества, но тогда один из этих континуумов
является континуумом К+, а другой К~, так что все отличные от состоя-
состояний равновесия траектории, входящие одновременно в оба континуума,
будут в одном из них предельны с положительной стороны, а в другом —
с отрицательной стороны. В случае, когда континуумы К\) и К\' не
имеют общих точек — выполнимость условия в) очевидна.
Предположим, что континуумы КУ и Ку имеют общие точки. Так
как по самому определению канонической окрестности через точки кано-
канонической окрестности со (сх)-предельного континуума проходят незамкну-
незамкнутые траектории, а через точки канонической окрестности 0-предел ыюго
континуума — замкнутые траектории, то, очевидно, канонические окрест-
окрестности со-, а- и О-предельного континуума не могут иметь общих точек.
Поэтому остается рассмотреть следующие возможности: 1) оба континуума
КУ и Ку являются со (а)-предельными; 2) оба континуума КУ и Ку
являются О-предельными; 3) один из континуумов К\> — со-предельнын,
а другой Ку — а-предельный.
Рассмотрим случай 1). Пусть для определенности оба континуума
КУ и Ку являются со-предельными. Предположим сначала, что не все
точки зтих континуумов общие, так что континуумы КУ и К $' различны
как точечные множества. Так как все траектории, проходящие через
точки любой канонической окрестности КУ и ограничивающего ее цикла
без контакта Ct, имеют КУ своим со-предельным континуумом, а псе
траектории, проходящие через точки канонической окрестности Щ'
и ограничивающего ее цикла без контакта, имеют Ку своим предель-
предельным континуумом, то очевидно, что в рассматриваемом случае эти кано-
канонические окрестности и ограничивающие их циклы без контакта не могут
иметь общих точек. Предположим теперь, что континуумы К\} и К\}
совпадают как точечные множества, так что один из этих континуумов
является континуумом К\, а другой К%. Пусть Lo — какая-нибудь отлич-
отличная от состояния равновесия траектория, входящая в состав этих конти-
континуумов. Если канонические окрестности континуумов К+ и К~ имеют
общие точки, то траектория Lo для всякой траектории L, проходящей через
такую общую точку, является предельной как с положительной, так
и с отрицательной стороны. Но это невозможно (см. следствие 2 леммы 2
§ 4). Таким образом, канонические окрестности двух различных со (а так-
также двух различных а)-предельных континуумов не имеют общих точек.
Рассмотрим теперь случай 2). Все точки канонической окрестности
О-пределыюго континуума вместе с ограничивающей ее замкнутой траек-
траекторией принадлежат одной и той же ячейке. Отсюда следует, что если
канонические окрестности континуумов КУ и КУ имеют общие точки,
то континуумы КУ и КУ являются граничными континуумами одной
и той же ячейки w, заполненной замкнутыми траекториями. Если конти-
континуумы КУ и КУ имеют общие точки, но не совпадают как точечные
множества, то это невозможно, так как граница ячейки, заполнен ной
замкнутыми траекториями, состоит из двух различных континуумов без
общих точек. Предположим теперь, что континуумы К" и КУ совпа-
совпадают как точечные множества, так что один из этих континуумов КУ
является континуумом Kt, а другой КУ — континуумом К]. При этом

§ 27] ПРАИИЛЬНАЯ СИСТЕМА КАНОНИЧЕСКИХ ОКРЕСТНОСТЕЙ 457
оба эти континуума являются граничными для одной и той же ячейки w,
заполненной замкнутыми траекториями. Тогда всякая отличная от
состояния равновесия траектория, входящая в эти континуумы, будет гра-
граничной для ячейки w и с положительной и с отрицательной стороны. Но
это невозможно в силу леммы 2 § 23. Таким образом, если два различных
предельных континуума имеют общие точки, то они граничны для
различных ячеек, и их канонические окрестности не имеют общих
точек.
Рассмотрим, наконец, случай 3). Предположим снова, что, например,
канонические окрестности континуумов К* и Kf имеют общую точку М.
Пусть LM — траектория, проходящая через эту точку. Тогда континуум
К.Ч является предельным для полутраектории Lti, а континуум Щ —
предельным для полутраектории L^j. Континуум Kf лежит либо внутри,
либо вне канопической кривой С;. Предположим для определенности,
что Kf лежит вне кривой C-t (случай, когда он лежит внутри С,, иссле-
исследуется аналогично). В силу свойств канонической окрестности все точки
полутраектории LM, начиная с некоторого момента, лежат внутри Ciy
следовательно, предельный континуум ее Kf должен лежать внутри Сг.
Но тогда континуумы Kf и Kf не могут иметь общих точек, что противо-
противоречит предположению.
Перейдем к условию г). В случае эллиптических и параболических
областей в выполнимости этого условия нетрудно убедиться, повторяя
рассуждение, полностью аналогичное проведенному при доказательстве
выполнимости условия в).
Рассмотрим седловую область gc. Предположим, что сепаратрисы,
входящие в границу gc, не являются предельными с топ стороны, с кото-
которой к ним примыкает эта седловая область. Пусть, кроме того, выполнено
условие б). Если бы среди точек области gc существовали как точки,
принадлежащие некоторой канонической окрестности у, так и не при-
принадлежащие ей, то непременно должны были бы существовать также
точки цикла без контакта С, граничного для окрестности у. А это невоз-
невозможно в силу того, что условие б) выполнено. Следовательно, либо ни
одна точка области gc не является точкой области у, либо все точки обла-
области gc являются точками области у. Во втором случае все точки каждой
из дуг без контакта, входящей в границу области gc, кроме конца, лежа-
лежащего на граничных для этой области сепаратрисах, тоже принадлежат
области у. Но это, очевидно, означает, что сепаратрисы, входящие в гра-
границу области gc, являются предельными и при этом с той стороны, с кото-
которой к ним примыкает рассматриваемая седловая область gc. А это про-
противоречит сделанному предположению, и, следовательно, условие г) всегда
выполнимо. Лемма доказана.
В частности, даже бесчисленное множество точек седловон дуги без
контакта (см. § 18, п. 3 и § 19, п. 2) может принадлежать особым
полутраекториям: именно, в случае, когда седловая область примыкает
к сепаратрисам, являющимся предельными для какой-нибудь особой
полутраектории (или нескольких особых полутраекторий).
Если дана произвольная седловая область gc, то всегда можно ука-
указать такую седловую область g'c, являющуюся частью области gc, что
граничная для нее дуга траектории не является дугой особой траектории
или полутраектории.
Систему канонических окрестностей, удовлетворяющую условиям а),
б), в) и г) леммы 1, в которой все седлоеые области имеют своей граничной

458 СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ЕГЛ. XI
дугой траектории — дугу неособой траектории, будем называть
правильной системой канонических окрестностей {или областей).
Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать только правильные
системы канонических окрестностей. Во всякой правильной системе
канонических окрестностей канонические окрестности ш-предсльных кон-
континуумов и устойчивых узлов, а также со-параболические сектора будем
также иногда называть областями притяжения. Канонические окрестно-
окрестности а-предельных континуумов и неустойчивых узлов, а также сх-парабо-
лические секторы будем называть областями отталкивания.
Всюду в дальнейшем, как сказано выше, все седловые области выбра-
выбраны так, что дуги траекторий, входящие в границы, являются дугами
неособых траекторий. У каждой седловой дуги без контакта, входящей
в. границу выбранных таким образом седловых областей, только один
конец принадлежит особой траектории или полутраектории. Очевид-
Очевидно, этот конец является концом одной из полутраекторий (сепарат-
(сепаратрис), входящих в границу седловой области. Однако отличные от концов
точки седловых дуг без контакта могут быть точками особых полутра-
полутраекторий.
3. Элементарные дуги и свободные циклы без контакта. Предположим,
что выбрана некоторая правильная система канонических окрестностей.
Всюду в дальнейшем будем обозначать канонические окрестности че-
через (у) и (g), канонические кривые этой правильной системы кано-
канонических окрестностей — через (С), (а) и через (Г) — параболические дуги
канонических кривых (а). Кроме того, в согласии с введенным выше обо-
обозначением будем через (Г) обозначать граничные простые замкнутые
кривые и через (к) — граничные дуги без контакта, и через (кс) — седло-
седловые дуги, т. е. дуги без контакта, входящие в границы гиперболических
секторов (см. § 18, п. 3). При этом, как и выше, (см. § 19, п. 2) седло-
вую ДУГУ будем называть со-седловой, если в точках этой дуги, отличных
от концов, траектории входят внутрь седловой области, и а-седловой
дугой, если в точках этой дуги, отличных от концов, траектории выхо-
выходят из этой области. Очевидно, каждая седловая область gc имеет одну
граничную со-седловую дугу и одну а-седловую дугу без контакта. Так
как выбранная система канонических окрестностей правильная, то только
один конец всякой седловой дуги принадлежит особой полутраектории.
Конец а-седловой дуги, граничной для седловой области gc, одновременно
является и «концом» а-сепаратрисы, входящей в границу области gc,
а конец со-седловой дуги —«концом» со-сепаратрисы, входящей в границу
этой области.
Рассмотрим циклы без контакта (С) и (а), т. е. циклы без контакта,
входящие в границы канонических окрестностей предельных континуу-
континуумов как не являющихся состоянием равновесия, так и являющихся состоя-
состоянием равновесия (узлом). Те из этих циклов без контакта, которые не
имеют ни одной общей точки с особыми полутраекториями, будем назы-
называть свободными циклами без контакта (С) и (а). Очевидно, каждый сво-
свободный цикл без контакта (С) и (а) входит в границу канонической окрест-
окрестности (yj) или (gi) свободного континуума, не являющегося состоянием
равновесия или свободного узла. Свободный цикл без контакта (С) или (а)
будем называть со- или а-циклом в зависимости от того, входит ли он
в границу канонической окрестности со- или а-предельного континуума
(и, в частности, устойчивого или неустойчивого узла). Если граничная
кривая (Г) является циклом без контакта и при этом ни одна ее точка

§ 27] ПРАВИЛЬНАЯ СИСТЕМА КАНОНИЧЕСКИХ ОКРЕСТНОСТЕЙ 459
не является концом особой полутраектории или концом особой (узловой)
дуги, то мы будем такую кривую называть свободным граничным циклом
без контакта, а также просто свободным циклом без контакта наряду
с определенными выше циклами без контакта.
Свободный граничный цикл без контакта будем называть ш- или
«-циклом в зависимости от того, является лп он со- или а-граничным.
Циклы без контакта (С) и (а), а также граничные циклы без контакта,
не являющиеся свободными, будем называть несвободными циклами без
контакта. Несвободный цикл имеет общие точки с особыми иолутраек-
ториями, а в случае, когда он является граничным,— с особыми полу-
полутраекториями или угловыми дугами.
Рассмотрим: а) все простые замкнутые кривые (С), (а), (Г), яв-
являющиеся несвободными циклами без контакта; в) все параболические
дуги без контакта (Г), входящие в канонические кривые (а) состояний
равновесия, не являющихся узлами; в) все граничные дуги без кон-
контакта (к).
Пусть рассматриваемый несвободный цикл без контакта имеет более
одной общей точки с особыми полутраекториями или же в случае, когда
он граничный, с особыми полутраекториями и угловыми дугами. Всеми
такими общими с особыми элементами точками этот цикл без контакта
разделяется на конечное число простых дуг без контакта, каждая из
которых кроме концов не имеет больше ни одной общей точки с особыми
полутраекториями или угловыми дугами. Мы будем называть всякую
такую дугу без контакта элементарной дугой.
Пусть рассматриваемый несвободный цикл без контакта имеет только
одну общую точку с особыми полутраекториями, а в случае, когда он
граничный,— с особой полутраекторией или угловой дугой. Тогда весь
цикл без контакта мы будем называть элементарной циклической дугой,
а точку этого цикла, принадлежащую особой полутраектории или угло-
угловой Дуге,— концом циклической элементарной дуги.
Рассмотрим теперь параболические дуги без контакта (I) и гранич-
граничные дуги без контакта (К). Они могут иметь общие точки с особыми полу-
полутраекториями, а дуги (%) — также еще и с угловыми дугами. Всеми такими
общими точками они разделяются на дуги без контакта, которые кроме
концов уже не имеют ни одной точки с особыми полутраекториями или
угловыми дугами. Такие дуги мы будем также называть элементарными
дугами (в частности, злементарная дуга может совпадать с самой дугой /
или К). По крайней мере один из концов всякой элементарной дуги при-
принадлежит особой полутраектории или особой дуге траектории (т. е.
граничной или угловой дуге траектории). Это очевидно, когда точки
элементарной дуги являются точками циклов без контакта (С) или дуг
(к). В случае, когда точки ее являются точками параболической дуги (/),
это следует из леммы 4 § 19 и самого определения параболических дуг.
Элементарную дугу будем называть элементарной ю (а)-дугой в случае,
когда точки ее принадлежат либо циклу без коптакта (С) или (а) со (со-
(сопредельного континуума, или, в частности, узла, либо параболической
дуге (I) со (а)-параболического сектора, либо положительной (отрицатель-
(отрицательной) граничной дуге без контакта или положительному (отрицательному)
граничному циклу без контакта. В дальнейшем там, где это не может
повести к недоразумению, мы будем элементарные со (а)-дуги называть
просто со (а)-дугамп.
Так как элементарные со- и а-дуги являются частями параболических
дуг и циклов без контакта, то, очевидно, что ни одна траектория или

460 СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА 1ГЛ. XI
полутраектория не может иметь с со- и а-дугой или со- или а-циклом болео
одной общей точки. При этом имеет место следующая
Лемма 2. Всякая неособая незамкнутая траектория (целиком
лежащая в G*), которая не является петлей траектории, содержащейся
в замкнутой канонической окрестности какого-нибудь состояния равно-
весия, пересекает в точности одну а-дугу или один свободный (и-цикл
и в точности одну а-дугу или свободный а-цикл.
Доказательство. Пусть L — траектория, удовлетворяю-
удовлетворяющая условиям леммы. Заметим прежде всего, что у всякой такой траек-
траектории непременно существуют точки, лежащие вне всех канонических
окрестностей у, со- и а-предельных континуумов и вне всех параболи-
параболических секторов и областей g состояний равновесия. Действительно,
всякая траектория L при t = t0, проходящая через точку одной из обла-
областей у и g или через точку цикла или дуги без контакта граничных для
такой области, по самому определению областей у и g непременно выйдет
из этой области либо при некотором t > to, либо при некотором t <Z t0.
Так как рассматриваемая система канонических областей правильная,
то нетрудно видеть, что во всяком случае все точки траектории L, соот-
соответствующие достаточно близким к to, значениям t < t0 (или t > to),
лежат вне всех областей yt и gt. Следовательно, у траектории L, удовле-
удовлетворяющей условиям леммы, непременно существуют точки, не принад-
принадлежащие областям yi и gi. Пусть М — такая точка и т — соответствую-
соответствующее ей при выбранном движении значение t. При возрастании t (т. е.
при некотором t > т) траектория L либо пересекает границу области G*,
либо стремится к какому-нибудь состоянию равновесия, либо стремится
к континууму К(и)\ не являющемуся состоянием равновесия. При этом
всякая неособая траектория, стремящаяся при t -*¦ — оо к состоянию
равновесия, непременно должна войти в параболический сектор этого
состояния равновесия или в параболическую область, если состояние
равновесия — узел.
Таким образом, траектория L непременно должна пересечь либо
свободный со-цикл, либо элементарную со-дугу в точке, отличной от ее
концов. (Точки этой элементарной дуги могут быть точками либо кривых
Gt и Cj, либо граничной кривой Гг.) Нетрудно также видеть, что траек-
траектория L может пересечь только один свободный со-цикл или со-дугу. Дей-
Действительно, пусть х1 — наименьшее из значений t > т, при котором
траектория L пересекает со-цикл или со-дугу (такое наименьшее число
существует ввиду конечности числа элементарных дуг и свободных цик-
циклов), и М± — точка траектории L, соответствующая t = т,. Если М\
лежит на границе области G*, то она является последней точкой траекто-
траектории L, принадлежащей этой области. Если же Мй лежит на кривой О; или
Ct, то все точки траектории L, для которых t > xu лежат внутри канони-
канонической окрестности Yi или внутри параболического сектора gL п поэтому
не могут принадлежать каким-либо элементарным со-дугам или свобод-
свободным со-циклам. Таким образом, т4 является единственным значением
параметра t, при котором траектория L пересекает элементарную со-дугу
или свободный со-цикл.
Точно таким же образом можно убедиться, что траектория пересе-
пересекает в точности одну элементарную а-дугу или свободный а-цикл. Лемма
доказана.
Замечание 1. Так как всякая траектория, пересекающая сво-
свободный со (а)-цикл без контакта или элементарную со (а)-дугу в отличной

$ 27] ПРАВИЛЬНАЯ СИСТЕМА КАНОНИЧЕСКИХ ОКРЕСТНОСТЕЙ
от конца точке, удовлетворяет условию настоящей леммы, то всякая
такая траектория пересекает в точности один свободный m (а)-цикл или
со (а)-дугу.
Замечание 2. Траектория, проходящая через конец элемен-
элементарной а» (а)-дуги, не может пересечь свободный а (со)-цикл или а (а>)-
дугу в точке, отличной от ее концов. Это, очевидно, следует из того, что
конец элементарной дуги либо принадлежит особому элементу, либо при-
принадлежит эллиптической дуге канонической кривой состояния равновесия.
4. Сопряженные элементарные <в- и а-дуги и сопряженные свободные
ей и а-циклы. Докажем прежде всего следующую лемму:
Лемма 3. Все траектории, проходящие через точки одного и того же
свободного со (а)-цикла или отличные от концов точки одной и той же
элементарной со (а)-дуги, пересекают либо один и тот же свободный
а (ы)-цикл, либо одну и ту же а (а)-дугу в точках, отличных от концов
этой дуги.
Доказательство. Рассмотрим сначала свободный со-цикл
Сю. Для доказательства утверждения леммы предположим противное,
т. е. что траектории, пересекающие этот цикл, пересекают либо не менее
двух различных а-циклов, либо свободный а-цикл и не менее чем еще
одну а-дугу, либо, наконец, не менее двух различных а-дуг. Для опре-
определенности предположим сначала, что траектории, пересекающие ш-цикл,
Сы, пересекают два а-цикла Cia и С2а- Пусть траектория, проходящая
через некоторую точку А цикла Сю, пересекает цикл С1а в некоторой
точке А'. Тогда все траектории, проходящие через точки цикла С^,
достаточно близкие к точке А, также пересекут цикл С1а и при этом в точ-
точках, сколь угодно близких к точке А'. Пусть В — точка цикла Сф, через
которую проходит траектория, пересекающая цикл 6т2а. Рассмотрим
одну из дуг цикла С'ш, на которую его разделяют точки А и В. Очевидно,
на этой дуге непременно должна существовать точка Р, являющаяся
либо последней при движении но дуге АВ от точки А к точке В точкой,
через которую проходят траектории, пересекающие цикл Cia, либо пер-
первой точкой, через которую проходит траектория, не пересекающая цикл С1а
и, следовательно, пересекающая цикл С2сс. В обоих случаях обозначим
через Q точку, в которой траектория L, проходящая через точку Р, пере-
пересекает соответственно цикл Cta_ или цикл С2а- Но все траектории, пере-
пересекающие Со) в точках, достаточно близких к точке Р, в силу того, что
все эти траектории орбитно-устопчпвы, пересекут соответственно цикл
С1а (или С2а) в точках, сколь угодно близких к точке О. Но это означает,
что точка Q, вопреки предположению, не может быть ни последней точ-
точкой, через которую проходит траектория, пересекающая цикл Cia, ни
первой точкой, через которую проходит траектория, пересекающая
цикл С2а. Мы приходим к противоречию. Полностью аналогично прово-
проводится доказательство также и во всех других возможных случаях. Лемма
доказана.
Лемма 4. Траектории, пересекающие какую-нибудь ш (а)-дугу,
не могут пересекать свободный цикл без контакта.
Доказательство. Предположим противное, т. е. что траек-
траектории, проходящие через точки ю-дуги без контакта Яш, пересекают сво-
свободный а-цикл без контакта Са. Тогда траектории, проходящие через
все точки Ящ, отличные от концов, будут пересекать цикл Са и траекто-
траектории, проходящие через все точки Са, будут пересекать дугу Яш в точках,
отличных от концов этой дуги (см. замечание - к лемме 2).

462
СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА [ГЛ. XI
Пусть Q — конец дуги Am, {Qt} — какая-нибудь последователь-
последовательность, стремящаяся к точке Q точек дуги Яш, и {Pt} — точки цикла Са,
в которых траектории, проходящие через точки Qt, пересекают этот цикл.
Очевидно, все точки Pi различны. Кроме того, мы всегда можем предпо-
предполагать, что {Pt} имеет одну только точку сгущения (в противном слу-
случае мы бы взяли подпоследовательность иэ точек Qt такую, чтобы соот-
соответствующая подпоследовательность из точек
Pt имела бы единственную точку сгущения).
Пусть Р — эта точка сгущения и LP — траек-
Рис. 275.
Рис. 276.
тория, проходящая через точку Р. Траектория LP, очевидно, неособая (так
как цикл Са — свободный) и непременно должна (в силу предыдущей
леммы) пересечь дугу Яи в некоторой точке Q', отличной от концов этой
дуги (т. е. от Q). Но все траектории, проходящие через точки, достаточно
близкие к точке Р, в силу непрерывной зависимости от начальных зна
чений пересекут дугу Яш в точках, сколь угодно близких к точке Q'.
Рис. 277.
Рис. 278.
В частности, все траектории, проходящие через достаточно близкие
к точке Р точки Pt, пересекут дугу Х0) в точках QI при достаточно боль-
большом г, сколь угодно близких к точке Q'. Так как точка Q' отлична от точ-
точки Q, то при достаточно большом i точки Q\ заведомо должны быть отлич-
отличными от точек Qt. Но, с другой стороны, точки Qt и Q\ должны принадле-
принадлежать одной и той же траектории, именно, траектории, проходящей через
точку Pt, а всякая траектория может иметь (в силу леммы 2) с со-дугой
одну только общую точку. Таким образом, мы приходим к противоречию,
и лемма доказана.
Следствие 1. Все траектории, пересекающие свободный а» (а)-
цикл без контакта, пересекают один и только один свободный а (со)-цикл
без контакта.

§ 28] СОПРЯЖЕННЫЕ СВОБОДНЫЕ СО", U-, О-ПРЕДЕЛЬНЫЕ КОНТИНУУМЫ 463
Следствие 2. Все траектории, пересекающие to (а)-дугу бег
контакта, пересекают одну и только одну а (со)-дугу без контакта (про-
(простую или циклическую).
Будем называть со-дугу а и а-дугу Ъ, а также со-цикл и а-цикл сопря-
сопряженными, если все траектории, пересекающие одну из этих дуг, пересе-
пересекают и другую или все траектории, пересекающие один из этих циклов,
пересекают и другой (рис. 275, 276, 277, 278).
Очевидно, траектории, пересекающие сопряженные со- и а-дуги
в точках, отличных от их концов, или сопряженные ш- и а-цнклы, при-
принадлежат одной и той же ячейке. Таким образом,
все элементарные дуги и все свободные циклы рас-
распадаются на пары сопряженных дуг и сопряженных
свободных циклов. Заметим, что циклическая эле-
элементарная и нециклическая элементарная дуги мо-
могут быть сопряженными. Простой пример представ-
представлен на рис. 279. Из двух сопряженных свободных
циклов без контакта один или даже оба могут быть
граничными циклами без контакта.
Лемма 5. Две траектории, полутраектории
или две дуги траектории одной и той оке ячейки пере-
пересекают одну и ту же а-дугу и одну и ту же ы-дугу.
Доказательство. Предположим против- Рис- 279-
ное, пусть в одной и той же ячейке существует две
траектории L± и L2, пересекающие две различные а (или со)-дуги. Соеди-
Соединим какую-нибудь точку А траектории L± и какую-нибудь точку Б траек-
траектории Ьг простой дугой, целиком лежащей в ячейке. Рассуждая совер-
совершенно аналогично тому, как мы рассуждали в леммах 3 и 4, нетрудно
убедиться в справедливости настоящей леммы.
§ 28. Сопряженные свободные ю-, а-предельные и нуль-предельные
континуумы и области между их каноническими окрестностями
1. Взаимное расположение двух свободных сопряженных <о- и а-
циклов. Приведем прежде всего лемму, устанавливающую взаимное
расположение двух свободных сопряженных со- и а-циклов.
Лемма 1. Из двух свободных сопряженных со- и а-циклов один
всегда лежит внутри другого.
Доказательство. Для доказательства предположим про-
противное, т. е. предположим, что сопряженные циклы С и С лежат один
вне другого. Каждый из цикла С ж С либо является граничной кривой Г,
либо не является ею. Если какой-либо из циклов С и С не является гра-
граничной кривой Г, то все его точки в силу того, что он свободный, при-
принадлежат одной и той же ячейке w. В этом случае внутри такого цикла
непременно должен лежать граничный для ячейки w континуум. Пусть
какой-нибудь из циклов С и С", например С, является граничной кривой Г.
Тогда точки области G* лежат либо только внутри цикла С, либо только
вне С. Но цикл С сопряжен с циклом С", лежащим вне пего, т. е. дуги
траекторий, принадлежащие области G*, соединяют точку цикла С с точ-
точками, лежащими вне него, цикла С. Отсюда очевидно, что точки обла-
области G* лежат вне цикла С, а так как цикл С является свободным, то все
течки, лежащие вне него и в достаточно малой его окрестности, принад-
принадлежат одной и той же ячейке w. В этом случае сам цикл С является гра-
граничным континуумом ячейки w. В обоих рассмотренных случаях все

464 СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА [ГЛ. XI
достаточно близкие к циклам С ж С точки, лежащие вне этих циклов,
принадлежат одной и той же ячейке w. Но вне циклов С и С, очевидно,
заведомо есть как точки, принадлежащие ячейке w, так и точки, не при-
принадлежащие этой ячейке. А значит, вне циклов С и С" непременно лежат
граничные для ячейки w точки и, следовательно, граничный для ячейки гг
континуум. Этот континуум отличен от циклов С и С". Но тогда граница
ячейки состоит из трех континуумов без общих точек, именно, из двух
континуумов, каждый из которых либо лежит внутри цикла С или С,
либо совпадает с одним из этих циклов, и третьего континуума, гранич-
граничного для области G*. Но это противоречит теоремам § 16. Полученное
противоречие доказывает лемму.
Замечание. Через все точки кольцевой области между двумя
сопряженными циклами Са и Сф проходят траектории, которые при убы-
убывании t пересекают цикл Са, а при возрастании t цикл Ст (см. лемму 1E
§ 3). Очевидно и обратное: если в кольцевой области между С@ и Са
рассматриваемой системы канонических окрестностей нет особых траек-
траекторий, так что всякая проходящая через эту область траектория при
убывании t пересекает цикл Са, а при возрастании — цикл Сю, то циклы
Са и Сф являются сопряженными.
Тот из двух сопряженных а» (а)-циклов без контакта, который лежит
вне другого, будем называть внешним сопряженным циклом без контакта,
а тот, который лежит внутри — внутренним сопряженным циклом без
контакта.
Как уже указывалось выше, один из двух сопряженных циклов или
даже оба сопряженных цикла могут быть граничными кривыми. Рас-
Рассмотрим случай, когда хотя бы один из двух сопряженных свободных
циклов не является граничной кривой Г. Тогда существует ц>- или а-иро-
дельный континуум, в частности, могущий быть узлом, которому этот
цикл принадлежит (т. е. Кю или Ка, в границу канонической окрестности
которого входит этот свободный цикл). Имеет место следующая
Лемма 2. Если внешний из двух сопряженных циклов без контак-
контакта не является граничной кривой Г, то ш (а)-пределышй континуум,
которому он принадлежит, лежит вне его, если внутренний, то
со (а)-предельпый континуум, которому он принадлежит, лежит
внутри его.
Доказательство. Пусть С и С" — два сопряженных цикла
без контакта, и пусть внешний цикл С не является граничной кривой Г.
Для доказательства предположим противное, т. е. что континуум Кп,
которому принадлежит цикл С, лежит внутри этого цикла. Но цикл С
тоже лежит внутри цикла С. В кольцевой области между циклами С и С
не может лежать ни одной особой траектории (см. замечание к лемме 1).
Отсюда очевидно, что Кп, которому принадлежит цикл С, лежит и внутри
цикла С. Но это означает, что цикл С лежит в канонической окрестно-
окрестности у континуума Кп, ограниченной кривой С". В случае, когда цикл С
является граничной кривой Г, это невозможно, так как по самому опре-
определению канонической окрестности предельного континуума в иен ire
может лежать граничная кривая Г. Но это невозможно также и в слу-
случае, когда цикл С не является граничной кривой Г к силу того, что
выбранная система канонических окрестностей правильная. Полученное
противоречие доказывает утверждение леммы, касающееся внешнего
из двух сопряженных циклов. Совершенно аналогично проводится дока-
доказательство и при рассмотрении внутреннего сопряженного цикла. Лемма
доказана.

§ 28] СОПРЯЖЕННЫЕ СВОБОДНЫЕ СО-, а-, О-ПРЕДЕЛЬНЫЕ КОНТИНУУМЫ 465
2. Сопряженные ю- и а-предельные континуумы. Предельный конти-
континуум К1 ', лежащий вне принадлежащего ему цикла без контакта, будем на-
называть внешним предельным континуумом, а лежащий внутри принадле-
принадлежащего ему цикла без контакта — внутренним предельным континуумом.
Если С и С — два сопряженных со- и ct-цикла, не являющиеся гра-
граничными кривыми Г, то со-предельный и ct-предельный континуумы
К1) и К'п, которым эти циклы соответственно принадлежат, будем назы-
называть сопряженными. Будем также говорить, что континуум К() (К'{))
является сопряженным континууму Кп) {Кп) (или сопряжен с К'<у
(К<у)). Если один из сопряженных циклов С" является граничной кривой
Г, а другой С не является граничной кривой, то мы будем говорить, что
континуум Кп, которому принадле-
принадлежит цикл С, сопряжен с граничным
циклом С. При этом граничный
цикл С мы будем называть внешним
или внутренним в зависимости от
того, содержатся ли точки области
G* вне или внутри него. Очевидно,
всякий внешний а» (а)-предельный
континуум сопряжен либо с внутрен-
внутренним а (со)-предельным континуумом,
либо с внутренним граничным циклом
без контакта. Всякий внутренний Vac. 280.
со (а)-предельный континуум либо
сопряжен с внешним а (со)-предельным континуумом, либо с внешним
граничным циклом. Наконец возможен случай, когда оба сопряженных
цикла С а С являются граничными. Тогда один из них — внешний
граничный, а другой — внутренний.
Принимая во внимание, что каноническая кривая состояния равновесия
может быть циклом без контакта лишь в случае, когда состояние равнове-
равновесия есть узел, а также в силу леммы 1 § 25 нетрудно видеть, что: 1) вну-
внутренний континуум K\J является либо узлом, либо простой замкнутой
кривой (в частности — замкнутой траекторией), либо составлен из не-
нескольких простых замкнутых кривых S t, лежащих одна вне другой
(если не считать их общих точек); 2) внешний континуум KnJ (K'i^)
либо является простой замкнутой кривой (в частности — замкнутой
траекторией), либо состоит из нескольких простых замкнутых кривых
и тогда одна из этих замкнутых кривых, S 0, содержит внутри нее осталь-
остальные, лежащие одна вне другой. Если К'1У и К{ у — два сопряженных
предельных континуума, то, очевидно, внутренний континуум К1' лежит
внутри кривой So внешнего континуума К'1 \
Имеет место следующая лемма, элементарное доказательство которой
мы опускаем:
Лемма 3. а) Всякие два сопряженных <в- и а-предельных континуу-
континуума являются граничными континуумами одной и той же двусвязной ячейки,
заполненной целыми траекториями, б) ш (а)-предсльный континуум
и сопряженный с ним граничный цикл без контакта являются граничными
континуумами одной и той же двусвязной ячейки, заполненной полутраек-
полутраекториями, в) Два сопряженных граничных цикла без контакта являются
граничными континуумами одной и той же двусвязной ячейки, заполненной
дугами траекторий.
На рис. 278 представлены случаи, когда сопряженными являются
два со- и а-предельных континуума, на рис. 280 — случай, когда кон-
30 А. А. Андронов и др.

466 СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА [ГЛ. XI
тинуумы и граничный цикл без контакта являются сопряженными. Нако-
Наконец, возможен случай двух сопряженных граничных циклов без кон-
контакта. Очевидно, в этом случае область между сопряженными циклами
без контакта исчерпывает всю область G*.
3. Сопряженные нуль-предельные континуумы. Перейдем теперь к рас-
рассмотрению замкнутых неособых траекторий. Всякая ячейка, заполнен-
заполненная такими траекториями, двусвязна, и граница ее состоит из двух кон-
континуумов, которые, как и раньше, мы будем называть 0 (нуль)-предель-
ными континуумами К{0\ В частности, один из грапичных континуумов
может быть состоянием равновесия, именно, центром. Канонической
кривой, входящей в границу канонической окрестности К^, является
замкнутая траектория той ячейки, для которой этот континуум является
граничным. В силу того, что выбранная система канонических окрестно-
окрестностей правильная, канонические окрестности различных континуумов
не имеют общих точек и входящие в их границы канонические кривые
(замкнутые траектории) различны. Канонические кривые С и С" двух
континуумов К^ будем называть сопряженными, если они являются
траекториями одной и той же ячейки.
В силу теоремы 49 § 16 сопряжепные капонические кривые всегда
лежат одна внутри другой, а в кольцевой области, ограниченной этими
кривыми, не лежат точки ни одной особой траектории. Для континуумом
К^ имеет место лемма, полностью аналогичная лемме 2, доказатель-
доказательство которой мы опускаем.
Лемма 4. Пулъ-пределъный континуум, которому принадлежит
внешняя из двух сопряженных канонических кривых, лежит вне этой кри-
кривой, а О-пределъный континуум, которому принадлежит внутренняя из
двух сопряженных канонических кривых, лежит внутри нее.
Так же, как и в случае ш- и а-предельных континуумов, континуум
К10' называется внешним или внутренним в зависимости от того, лежит
ои вне или внутри принадлежащей ему канонической кривой. Нуль-
предельные континуумы, которым принадлежат сопряженные канони-
канонические кривые, называются сопряженными. Из двух сопряженных 0-пре-
дельных континуумов, очевидно, всегда один внешний, другой внутрен-
внутренний. Очевидно, для каждого внешнего континуума К" существует сопря-
сопряженный с ним внутренний, а для каждого внутреннего — сопряженный
с ним внешний. При этом в силу леммы 9 § 25: 1) внутренний континуум
/?{,' является либо центром, либо простой замкнутой кривой, либо оп
состоит из нескольких простых замкнутых кривых, лежащих одна пне
другой (если не считать общих точек); 2) внешний континуум К"^ либо
является простой замкнутой кривой, либо состоит из нескольких про-
простых замкнутых кривых, и тогда одна из этих кривых S 0 содержит внутри
все остальные, лежащие одна вне другой.
Если К„* и Л"о' — сопряженные континуумы и К^ — внутренний,
то ои лежит внутри кривой So внешнего континуума К"^. При этом имеет
место очевидная лемма, доказательство которой опускается.
Л е м м а 5. Сопряженные континуумы А*'с' и К"^ являются гра-
границами одной и топ же ячейки.
Докажем еще одну лемму, касающуюся сопряженных свободных
со-, а-предельных континуумов и граничных циклов без контакта, а также
О-предельных континуумов. Пусть КЧ) — внешний ц>-, а- пли О-пределъ-
О-пределъный континуум или же внешний граничный цикл без контакта. Очевидно.
К'1> может быть простой замкнутой кривой, например, в случае, когда

§ 28] СОПРЯЖЕННЫЕ СВОБОДНЫЕ «0-, а-, О-ПРЕДЕЛЬНЫЕ КОНТИНУУМЫ 467
К'{) — граничный цикл без контакта или предельный цикл. Мы будем
тогда обозначать эту простую замкнутую кривую (совпадающую с К'(')
через S'o. Если же К'{' не является простой замкнутой кривой, то в силу
предыдущего он представляет из себя предельный континуум, одна из
кривых S'o которого содержит внутри себя все остальные. В этом случае
через S'o мы будем обозначать эту внешнюю кривую предельного конти-
континуума К'п.
Лемма 6. Если Кп — сопряженный с К'па-, со- или ^-предельный
континуум или граничный цикл без контакта, то ни одна простая зам-
замкнутая кривая S, входящая в состав какого-нибудь предельного конти-
континуума, и ни одна граничная кривая Г не может лежать внутри S'o и одно-
одновременно содержать Кп внутри себя.
Доказательство. Утверждение для граничной кривой Г
очевидно. В самом деле, если Г есть граничная кривая, лежащая внутри
S'o и содержащая К1' внутри себя, то точки области G* существуют как
внутри, так и вне кривой Г, что противоречит определению граничной
кривой. Предположим теперь, что существует простая кривая S*, вхо-
входящая в состав какого-нибудь предельного континуума К*( \ лежащая
внутри кривой S'o и содержащая Kiy внутри себя. Предположим для
определенности, что К'1' есть со- или а-предельный континуум, состоя-
состоящий из кривой S'o и расположенных внутри нее и вне друг друга простых
замкнутых кривых S[, S'2, . . . , Sp, a Kn соответственно а- или ш-пре-
дельный континуум, состоящий из расположенных вне друг друга про-
простых замкнутых кривых Si, 52, • • • , Sq. Пусть С и у и соответственно
С и у' — каноническая кривая и окрестность континуума КС) и К'п.
Кривая S* не может лежать внутри какой-нибудь из кривых S[, . . ., S'p
или 1S1, . . . , Sq, так как тогда и континуум Кп лежал бы внутри такой
кривой, что, очевидно, невозможно. Кривая S* не может также иметь
общих точек с окрестностями у' и -у. так как внутри этих окрестностей
нет точек особых траекторий. Следовательно, кривая S* должна быть
целиком расположена в области i?, ограниченной кривыми С и С. Но это
невозможно (см. лемму 16 § 3). Аналогично доказывается утверждение
леммы в случае, когда Ки и К'(* являются сопряженными 0-предель-
ными континуумами и когда один из них или оба являются граничными
циклами без контакта. Лемма доказана.
4. Траектории, проходящие через концы сопряженных <в- и а-дуг.
Прежде чем переходить к рассмотрению сопряженных со- п а-дуг, рас-
рассмотрим наряду с со- и а-дугами со-седловые и а-седловые дуги, являю-
являющиеся дугами канонических кривых а-состояний равновесия выбранной
правильной системы канонических окрестностей. Напомним, что седло-
вая дуга, через которую трактории входят в соответствующую седловую
область, называется ш-седловой дугой, а седловая дуга, через которую
траектории выходят из этой области, называется а-седловой дугой. Оче-
Очевидно, в то время, как элементарные со- и а-дуги ограничивают «области
притяжения» или «области отталкивания» (со- и а-параболические обла-
области и канонические окрестности со- и а-предельпых континуумов), в кото-
которые всякая траектория входит и уже больше не выходит, седловые дуги
такие области не ограничивают. Однако но отношению к особым траек-
траекториям, отличным от состояния равновесия, они в известном смысле
играют роль, аналогичную элементарным дугам. Имеет место следующая
лемма, сформулированная для ш-дуг и со-седловых дуг; полностью анало-
аналогичная лемма имеет место для а-дуг и а-седловых дуг.
30*

408 СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА [ГЛ. XI
Лемма 7. Всякая незамкнутая особая орбитно-неустойчивая траек-
траектория L, лежащая целиком внутри замкнутой области G*, проходит
через концы не более чем двух т-дуг или а>-седловых дуг, причем: а) в случае,
когда траектория L проходит через конец одной только такой дуги,
эта дуга является циклической дугой; б) в случае, когда траектория L
проходит через концы двух таких дуг, она проходит через общий конец
двух дуг, лежащих по разные от нее стороны, причем каждая из этих
дуг может быть либо ы-дугой, либо ы-седловой дугой.
(Справедливо также полностью аналогичное утверждение относи-
относительно концов ct-дуг или а-седловых дуг, через которые проходит
орбитно-неустойчивая траектория.)
Доказательство. При ^->- +оо траектория L либо стре-
стремится к состоянию равновесия, либо стремится к предельному конти-
континууму, в состав которого входит хотя бы одна отличная от состояния
равновесия траектория. Если траектория L при ?->—оо стремится
к некоторому состоянию равновесия О, то она в конце концов входит
внутрь канонической окрестности этого состояния равновесия и больше
уже из нее не выходит. Так как траектория L — особая, то, очевидно,
в этом случае она непременно проходит через конец, по крайней мере
одной (о-дуги или ш-седловой дуги, являющейся дугой канонической
кривой а-состояния равновесия О. При этом в силу того, что рассматри-
рассматриваемая система канонических окрестностей правильная, только один
конец всякой co-седловон дуги лежит на особой траектории, и этот конец
является концом полутраектории (со-сепаратрисы), входящей в границу
седловой области. Л тогда из самого построения канонических кривых
состояний равновесия очевидно, что траектория L, пройдя через конец
(D-дуги или ю-седловой дуги, не может уже больше пройти через конец
никакой другой со-дуги или ш-седловой дуги. Если же траектория L
не проходит через конец циклической дуги, то она проходит через общий
конец двух дуг, лежащих по разные ее стороны, каждая из которых
является либо со-дугой, либо со-седловой дугой. Таким образом, в рас-
рассматриваемом случае утверждение леммы доказано.
Если особая траектория L при t —у [- оо стремится к предельному
континууму К(\ не являющемуся состоянием равновесия, то она непре-
непременно попадет в каноническую окрестность у континуума Ki} и непре-
непременно пересечет ограничивающий эту окрестность цикл без контакта С
в точке, являющейся концом некоторой со-дуги. При этом траектория L
не может пройти через конец нн одной со-седловой дуги, так как иначе
она, в силу сделанных относительно седловых дуг предположений, должна
была бы быть со-сепаратрисой некоторого состояния равновесия, что,
очевидно, невозможно. Отсюда и из свойств канонической окрестности пре-
предельного континуума, не являющегося состоянием равновесия, следует
справедливость утверждения леммы и для этого случая.
Замечание 1. По крайней мере одна среди элементарных
о)- н «-дуг или со- и а-седловых дуг. через концы которых проходит особая
орбитно-неустойчивая траектория, должна быть седловой дугой. В про-
противном случае траектория L не могла бы быть орбитно-неустойчивон.
В частности, если орбитно-неустойчивая траектория L проходит через
конец а» (а)-циклической дуги, то она не может проходить через конец
а (со)-циклической дуги.
Замечание 2. Лежащий на траектории L конец а-дуги или
а-седловой дуги соответствует значению t, меньшему, чем лежащий на
ней конец со-дуги или со-седловой дуги.

§ 28] СОПРЯЖЕННЫЕ СВОБОДНЫЕ Ш-, а-, О-ПРЕДЕЛЬНЫЕ КОНТИНУУМЫ 469
Имеет место также следующая лемма, элементарное доказательство
которой, основанное на том, что граница области нормальна, а выбран-
выбранная система канонических областей правильная, мы опускаем.
Лемма 8. Орбитно-неустойчивая положительная полутраектория
L+ области G*, конец которой лежит на границе области G*, проходит:
1) либо через конец одной циклической граничной а-дуги, либо через общий
Рис. 281.
конец двух граничных нециклических дуг, лежащих от L + по разные сто-
стороны, и не проходит через конец а-седловой дуги; 2) либо через общий конец
двух т-дуг или ы-седловых дуг, лежащих по разные стороны от L+, причем
хотя бы одна из этих дуг является седловой дугой. (Аналогичное утвер-.
ждение имеет место для отрицательной орбитно-неустешчивой полутраек-
полутраектории, конец которой лежит на границе области G*; см. рис. 281, а, б.)
5. Леммы о граничных особых элементах и к>- и а-дугах, являю-
являющихся частями граничных дуг без контакта.
Лемма 9. Каждый из концов граничной дуги I траектории является
концом в точности одной элементарной дуги, именно, концом нецикли-
нециклической граничной со- или а-дуги. Внут-
Внутренние точки дуги I не являются кон-
концами со- или а-дуг.
На рис. 282, 283 буквами 7Н и Х[
обозначены элементарные дуги. Из них
видно, что две элементарные дуги без
Рис. 282.
контакта, концы которых являются концами граничной дуги I, могут
лежать как по разные, так и по одну сторону от дуги I.

470
СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА
[ГЛ. XI
Замечание 1. Пусть угловая точка В является со-концом гра-
граничной дуги траектории I и концом элементарной дуги без контакта X.
Легко видеть, что если X является со-дугой, то Я и область G* лежат но
одну сторону от дуги траектории I,
, "* а если X является а-дугой, то — по разные
J>t , (рис. 284, а, б). Аналогично, если точка А
I . является а-концом дуги I и концом эле-
—»— ментарной дуги X, то X и G* лежат по одну
—*- сторону от I, если X есть ct-дуга, и по раз-
пыс, если X есть со-дуга.
Рис. 283. Замечание 2. Если со-конец В
граничной дуги I является концом эле-
элементарной а-дуги, то в силу леммы 1 § 26 существует угловая дуга или
полутраектория с концом В, являющаяся со-продолжением дуги I. Ана-
Аналогичное утверждение справедливо для а-конца А дуги I (рис. 285).
Рис. 284.
Рассмотрим теперь угловую дугу I. Пусть точки А и Б соответ-
соответственно ее а- и ш-коицы. По определению обе точки А и В лежат на гра-
границе области G*, причем либо одна из них (рис. 286, а), либо они обе
(рис. 286, б) являются угловыми точками границы.
а)
Рис, 285.
Лея м а 10. Если аконец А угловой дуга L есть угловая точка гра-
границы, то точка А является концом в точности одной а-дуги, именно, концом
элементарной нециклической граничной а-дуги (рис. 286, а). Если же
а-конец А не есть угловая точка, то либо А является концом в точности
двух а-дуг, либо концом одной а-дуги. В первом случае обе а-дуги являются

§ 28] СОПРЯЖЕННЫЕ СВОБОДНЫЕ СО-, а-, О-ПРЕДЕЛЬНЫЕ КОНТИНУУМЫ 471
элементарными нециклическими граничными дугами, лежащими по разные
стороны от I (рис. 287, а), во втором — а-дуга является элементарной
циклической граничной дугой (рис.
287, б и в).
Аналогичное утверждение имеет
место для сй-конца угловой дуги I. Ни
одна внутренняя точка дуги / не может
быть концом со- или а-дуги без кон-
контакта.
Рассмотрим теперь угловую полу-
полутраекторию. Отметим прежде всего, что
угловая полутраектория не может про-
проходить через конец какой-либо седловои
дугп, так как тогда, очевидно, она долж-
должна была бы быть орбитно-неустойчивой,
а это противоречит тому, что граница
рассматриваемой области G* нормальна.
Лемма 11. Пусть L+— положи-
положительная угловая полутраектория. А — ее
конец (А — угловая точка границы и
существует только одна а-дуга, конец которой лежит на L+, именно,
элементарная граничная дуга, лежащая только по одну сторону L+).
Полутраектория L+ проходит: 1) либо через конец в точности одной (не
б)
Рис. 286.
Рис. 287.
граничной) а-дуги, и тогда эта дуга является циклической (не гранич-
граничной); 2) либо через общий конец двух нециклических а>-дуг, лежащих по
разные стороны L+. (Аналогичное утверждение справедливо для отри-
отрицательной угловой полутраектории L~.)

472 СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА [ГЛ. XI
6. Цепочки из особых элементов, траекторий и граничных дуг, соеди-
соединяющих концы сопряженных ю- и а-дуг. Перейдем теперь к рассмотрению
пар сопряженных а- и со-дуг и особых элементов, проходящих через
их концы. Очевидно, из самого определения а- и со-дуг конец а (или
ш)-дуги может принадлежать: 1) либо орбитно-неустойчивой траектории,
целиком лежащей в области G*, либо орбитно-неустойчивой полутраек-
полутраектории, конец которой лежит на границе области G*; в последнем случае
дуга а может быть граничной элементарной дугой; 2) либо гранично»
или угловой дуге траектории; в этом случае дуга а является гранично»
дугой без контакта; 3) либо угловой полутраектории; в этом случае
дуга а может быть как граничной, так и не граничной дугой без кон-
контакта; 4) либо неособой полутраектории, принадлежащей эллиптической
области какого-нибудь состояния равновесия О (в этом случае конец
дуги а совпадает с концом эллиптической дуги).
Рассмотрим сначала простую а-дугу а, и пусть Ь — сопряженная
с ней со-дуга. Все следующие леммы, сформулированные для случая,
когда рассматриваемая простая а-дуга а лежит но положительную сто-
сторону от того особого элемента *) (особой траектории, полутраектории,
угловой полутраектории, граничной или угловой дуги траектории),
которому принадлежат одип из ее концов. Полностью аналогичные утвер-
утверждения справедливы также и в случае, когда простая u-дуга лежит по
отрицательную сторону от особого элемента, которому принадлежит
ее конец, а также для простой со-дуги.
Лемма 12. Пусть а — простая а-дуга, b — сопряженная с ней
а>-дуга, простая или циклическая, и пусть один конец дуги а принадлежит
лежащей в G* орбитно-неустойчивой траектории Lo или совпадает с лежа-
лежащим на границе G* концом орбитно-неустойчивой полутраектории L* **),
причем дуга а лежит по положительную сторону Lo (или соответственно
ZrJ). Тогда: 1) либо Lo (Х„) проходит через конец сопряженной с а а-дуги Ь,
лежащей по положительную сторону Lo (L^) или являющейся цикличе-
циклической; 2) либо существует начинающаяся с Lo (L+) конечная цепочка отлич-
отличных друг от друга орбитно-неустойчивых траекторий (последней в этой
цепочке может быть полутраектория)
?0(или Ц), Li, ..., LRU ?л(или Lr),
в которой траектория Li+l является ^-продолжением траектории Lt
с положительной стороны (i = 1, 2, ..., R — 1), а последняя траек-
траектория Lr (или полутраектория LR) проходит через конец, сопряженньш
с дугой а а-дуги Ь, расположенной по положительную сторону Lr(Lr)
или являющейся циклической со-дугой (рис. 288).
Доказательство. Пусть А — конец а-дуги а, являющийся
точкой орбитно-неустойчивой траектории Lo, и пусть при некотором
выборе движения па i0 эта точка соответствует значению t = t0. Пред-
Предположим сначала, что траектория Lo не является со-продолжаемой с поло-
положительной стороны. В силу леммы 7 траектория Lo непременно должна
*) Отличпого от самой этой а-дуги в случае, когда а-дуга — граничная.
**) В этом случае точки рассматриваемой а-дуги, очевидно, являются точками
граничной дуги без контакта, а полутраектория L( > в силу того, что она орбитио-
неустойчива, заведомо не является угловой полутраекторией.

§ 28] СОПРЯЖЕННЫЕ СВОБОДНЫЕ W-, а-, О-ПРЕДЕЛЬНЫЕ КОНТИНУУМЫ 473
при некотором значении t > t0 пройти либо через конец В циклической
со-дуги, либо через общий конец В двух дуг, лежащих по разные сто-
стороны Lq, каждая из которых может быть либо элементарной со-дугон,
либо со-седловой дугой.
В первом случае из леммы 5 § 3 очевидно, что все траектории, при
t = t0 пересекающие дугу а достаточно близко к концу А, при ?> t0
пересекут циклическую со-дугу с концом в точке В. Это означает, что
рассматриваемая циклическая со-дуга сопряжена с дугой а. Так как
существует единственная to-дуга, сопряженная с данной а-дугой, то эта
циклическая дуга и является дугой Ь. Во втором случае рассмотрим
ту иэ двух дуг с концом в точке В, которая лежит по положительную
сторону Zro- Так как по предположению трактория Lo не является со-про-
должаемой с положительной стороны, то
эта дуга не может быть to-седловой дугой,
а является элементарной со-дугой. Но
тогда в силу леммы 5 § 3 эта дуга является
со-дугой, сопряженной с дугой а и, следо-
следовательно, дугой Ь. О, <
Предположим теперь, что траектория
Lq продолжаема с положительной сторо-
стороны. Пусть Ot — состояние равновесия,
к которому она стремится при t-*--\-oo,
a Li — траектория, являющаяся ее со-про-
должением с положительной стороны. Тра-
Траектория Li либо не является со-продол-
жаемой с положительной стороны, либо
со-продолжаема с положительной стороны,
тогда мы рассмотрим со-предельную точ- Рис- 288.
ку Ог траектории L± и траекторию, яв-
являющуюся со-продолжением Zrt с положительной стороны. Продолжая
аналогичное рассуждение, мы получаем последовательность орбитно-
неустойчивых траекторий и состояний равновесия:
Lo, О1г Zj, О2, ... , A)
в которой: а) каждая точка О;+1 является со-предельной для траектории Li
и а-предельной для траектории Li+1; б)каждая траектория Lj+j является
to-продолжением с положительной стороны траектории Lt. Покажем, что
во всякой полученной таким образом последовательности мы всегда дой-
дойдем либо до некоторой траектории Lr, не имеющей со-продолжения с
положительной стороны, либо до полутраектории Ьц с концом па границе
области G*, на которой эта последовательность оборвется.
Для доказательства предположим противное, т. е. что полученная
последовательность не обрывается, так что мы никогда не доходим до тра-
траектории, не имеющей со-продолжения с положительной стороны. Так как
орбитно-неустойчивых траекторий — конечное число, то все траекто-
траектории Lo, Lit ... не могут быть различными. Пусть R — наименьшее целое
положительпое число такое, что траектории Lo, Lit . . ., LR различны,
а траектория LR+i совпадает с одной из них, например с траекторией Ln,
О <^ р <1 В.. Если р =ф 0, то траектории Lr и Lp-\ имеют одно и то же

474 СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА [ГЛ. XI
ш-продолжение LR+i с положительной стороны, т. е. траектория LR+i
имеет два различных а-продолжения с положительной стороны, что не
может быть. Предположим, что р = 0. Тогда траектория LR имеет своим
ш-продолжением с положительной стороны траекторию Lo, т. е. Lo про-
продолжаема с положительной стороны. Но это противоречит тому, что
траектория Lo проходит через конец элементарной а-дуги а, располо-
расположенной по положительную сторону от Lo. Таким образом, всякая после-
последовательность типа A) непременно обрывается на некоторой траектории
Lr, которая уже не имеет со-продолжения, или на некоторой полутраек-
полутраектории Ьц с концом, лежащим на границе области G*. Нетрудно также
показать, повторяя в точности такое же рассуждение, как и выше, что
все траектории Lo, Lu . . ., LR различны.
Состояния равновесия Oi, О2, . . ., Or могут совпадать — частич-
частично или полностью. Так как траектория Lr — не продолжаемая с поло-
положительной стороны, то, повторяя рассуждение, проведенное относи-
относительно траектории Lo при рассмотрении первой возможности, нетрудно
убедиться в том, что траектория Lr проходит через конец со-дуги Ь, сопря-
сопряженной с дугой а, либо расположенной по положительную сторону Lr,
либо циклической. Если последней в последовательности A) является
полутраектория Lr с концом на границе области G*, то тогда (см. лем-
лемму 8) она проходит либо через конец простой со-дуги, лежащей по поло-
положительную сторону от нее, либо через конец граничной циклической
со-дуги.
В обоих случаях нетрудно, как и выше, убедиться в справедливости
утверждения леммы. Таким образом, лемма доказана.
Замечание 1. Из самого доказательства пастоящей леммы
следует, что справедливо также утверждение, в известном смысле обрат-
обратное утверждению настоящей леммы. Пусть орбитно-неустойчивая траек-
траектория Lo проходит через конец а-дуги а, лежащей от нее по положитель-
положительную сторону, а) Если Lo не является со-продолжаемой с положительной
стороны, то существует со-дуга Ь, имеющая своим концом точку Lo, либо
лежащая по положительную сторону Lo, либо циклическая, и дуги а и b
являются сопряженными, б) Если Lo является со-продолжаемой с поло-
положительной стороны, то существует цепочка траекторий A) и существует
со-дуга Ь, имеющая своим концом точку траектории Lr (или полутраок-
тории Lr), либо лежащая по положительную сторону LR (Lr), либо
циклическая, причем дуги а и b являются сопряженными дугами.
Замечание 2. Все траектории цепочки являются граничными
для одной и той же ячейки, именно, для ячейки, траектории которой
пересекают рассматриваемые со- и а-дуги в точках, отличных от их кон-
концов. Совершенно аналогичное утверждение справедливо в случае, когда
через конец дуги а проходит полутраектория L+.
Концы А и В сопряженных простых а- и со-дуг, либо лежащие на
одной и той же особой траектории Lo или полутраектории Lg, либо на пер-
первой и последней траектории или полутраектории в цепочке траек-
траекторий A),— будем называть сопряженными концами сопряженных дуг.
Рассмотрим теперь случай, когда конец одной из сопряженных дуг а
и Ь, именно, простой а-дуги а, является концом граничной угловой дуги
траектории или концом угловой полутраектории.

§ 28] СОПРЯЖЕННЫЕ СВОБОДНЫЕ W-, а-, О-ПРЕДЕЛЬНЫЕ КОНТИНУУМЫ 475
Лемма 13. Пусть конец простой а-дуги а является концом гра-
граничной или угловой дуги Zo или угловой полутраектории L+, причем дуга а
лежит по положительную сторону 10 или соответственно L+. Тогда либо
(it-конец дуги 10 или соответственно точка полутраектории L+ является
концом сопряженной с а дуги Ь, лежащей по положительную сторону 10
(L*), или циклической, либо в случае дуги Iq существует начинающаяся
с 10 конечная цепочка из чередующихся
угловых и граничных дуг траекторий
'oi hi I21 ¦ ¦ ¦¦> Ir — i таких, что:
1) дуга lx является а-продолжением 10
(см. п. 1 § 26), и каждая дуга lt
является а-продолжением дуги li-\
(?=1,2, . . ., R — 1) и, кроме того,
существует либо еще одна гранич-
граничная или угловая дуга траектории 1ц, являющаяся ы-продолжением дуги
/д_л, которая уже не имеет продолжения, либо угловая полутраектория
Lr, являющаяся продолжением дуги Ir-п 2) все элементарные дуги,
отличные от дуг а и Ъ, имеющие своими концами концы дуг 10, /4, . . ., 1ц-±,
а также а-конец дуги 1ц, не являются циклическими и расположены с отри-
отрицательной стороны этих дуг; 3) если ы-продолжение дуги /r_i — гра-
граничная или угловая дуга /д, то ее а-конец является концом сопряженной
Рис. 289.
Рис. 290.
Рис. 291.
с а ы-дуги Ъ, являющейся граничной а-дугой, либо лежащей по положи-
положительную сторону 1ц, либо циклической.
Если (^-продолжение дуги Ir-i — угловая полутраектория Ltt, то
она проходит через конец сопряженной с а а-дуги Ь (не являющейся гра-
граничной), либо лежащей по положительную сторону Ьц, либо циклической.
(Полностью аналогичное утверждение справедливо и для простой а-дуги Ь.)
Доказательство сформулированной леммы непосредственно выте-
вытекает из основных определений (угловых граничных дуг и т. д.), а также
из определения нормальной границы, и мы его опускаем.
Иллюстрации к настоящей лемме даны на рис. 289, 290, 291.
Замечание 1. Все дуги /t, l2, . ¦ ., Ir—±, а также дуга /0 и соот-
соответственно дуга Ir или полутраектория LR по самому определению гра-
граничных и угловых дуг, а также угловых полутраекторий, служащих
продолжением друг друга, являются дугами, соответственно полутраек-
полутраекториями одной и той же траектории L исходной области G (в которой
определена система (I)).

476 СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА [ГЛ. XI
Замечание 2. Справедливо также утверждение, обратное утвер-
утверждению настоящей леммы. Пусть конец граничной простой а-дуги а
является концом граничной или угловой дуги 10 или угловой иолутраек-
тории L\, причем дуга а лежит по положительную сторону дуги /0 или
полутраектории L*. Тогда: 1) либо со-конец дуги /0 является концом
со-дуги Ь, лежащей по положительную сторону 10, или циклической (или
соответственно траектория L+ проходит через конец со-дуги Ъ, лежащей
по ее положительную сторону), и дуги а и h являются сопряженными;
2) либо существует описанная в настоящей лемме цепочка чередующихся
граничных и угловых дуг, в которой последняя граничная угловая дуга
или угловая полутраектория проходит через конец ш-дуги Ь, лежащей
от нее по положительную сторону, или циклической, и при этом дуги а и Ь
являются сопряженными.
Сформулируем теперь лемму, касающуюся того случая, когда через
конец простой а-дуги а, не являющейся граничной, проходит угловая
*_ „ „
полутраектория Lo. ота лемма в некоторой своей части является почти
дословным повторением предыдущей. Доказательство ее опускается.
Лемма 14. Пусть через конец простой а-дуги а, не являющейся
граничной, проходит угловая полутраектория L~, причем дуга а лежит
по положительную сторону LJ. Тогда либо конец угловой полутраектории
Z" является концом сопряженной с а дуги Ь, являющейся граничной дугой
и лежащей по положительную сторону Lo, либо существует послебова-
телъноетъ из чередующихся граничных и угловых дуг траекторий 10, /,,
1г, . . - , Ir-i таких, что: 1) дуга 10 является а-продолжением полутраек-
полутраектории L~, а каждая дуга lt является ^-продолжением дуги 1\-\ (i = 1,
2,3, . . ., R), и, кроме того, существует либо еще одна граничная или
угловая дуга траектории Ir, являющаяся ^-продолжением дуги Ir—i-,
которая сама уже не имеет продолжения, либо угловая полутраектория La,
являющаяся продолжением дуги Ir-u 2) все элементарные дуги, отличные
от дуг а и Ь, имеющие своими концами концы дуг 10, 1и . . ., Ir-i, не
являются циклическими и расположены с отрицательной стороны этих
дуг; 3) если а-продолжение дуги Ir-i — граничная или угловая дуга lR,
то ее а-конец является концом сопряженной с а а-дуги Ъ, являющейся
граничной а-дугой, либо лежащей по положительную сторону Ir, либо
циклической.
Если а-продолжение дуги Ir—i — угловая полутраектория L\, то
она проходит через конец сопряженной с а дуги Ь, являющейся простой
не граничной дугой и лежащей от нее по положительную (отрицательную)
сторону. (Полностью аналогичное утверждение справедливо и при рас-
рассмотрении а-дуги Ь.)
Доказательство этой леммы, так же как и предыдущей, мы опускаем.
Иллюстрации к этой лемме даны на рис. 292, 293.
Замечание 1. Так же, как и в предыдущей лемме, полутраек-
полутраектория L~, дуги lt и полутраектория Lr являются полутраекториямн
и дугами одной и той же траектории L, лежащей в исходной области G.
Замечание 2. Справедливо также и утверждение, обратное
утверждению настоящей леммы, формулировку которого, полностью
аналогичную приведенной в замечании к предыдущей лемме, мы опус-
опускаем.
В предыдущих леммах мы предполагали, что та из двух сопряжен-
сопряженных дуг, через конец которой проходит рассматриваемый нами особый

§ 28] СОПРЯЖЕННЫЕ СВОБОДНЫЕ О)-, а-, О-ПРЕДЕЛЬНЫЕ КОНТИНУУМЫ 477
элемент, является простой дугой. Сформулируем теперь две леммы для
случая, когда та из двух дуг, через конец которой проходит рассматри-
рассматриваемый особый элемент, является циклической.
Лемма 15. Пусть а — циклическая а-дуга и либо через конец
ее проходит орбитно-неустойчивая траектория Lo, либо конец ее является
Рис. 293.
лежащим на границе области G* концом орбитно-неустойчивой полу-
полутраектории Lp *). Тогда существуют две начинающиеся с Lo (L^) конеч-
конечные цепочки траекторий (последними в каждой из этих цепочек могут
быть полутраектории)
Ц B)
C)
Lo, (Ц), Lu ...,Lr(Lh),
Lo, (Г+), Г;, ....LS(L's),
в первой из которых каждая последующая траектория является а-про-
должением предыдущей с положительной стороны, а во второй — с отри-
отрицательной стороны и при этом: 1) если дуга Ь, сопряженная с а, являет-
является простой дугой, то последние в цепочках B) и C) траектории Lr, Zjj
(или полутраектории Lr, L's~) различны и проходят через различные
концы этой дуги (рис. 279); 2) если
дуга Ь является циклической дугой, то
последняя в обеих цепочках B) и C) тра-
траектория (или полутраектория) одна и
та же и она проходит через конец этой
дуги (рис. 294).
Из двух последовательностей B) и
(о) только одна может состоять из
одной траектории Lo.
Доказательство этой леммы прово-
проводится рассуждением, полностью анало-
аналогичным проведенному при доказатель-
доказательстве леммы 12.
Замечание. Справедливо так-
также утверждение, обратное утвержде-
утверждению настоящей леммы: пусть орбитно-
неустойчивая траектория проходит через конец циклической а-дуги а.
Тогда существуют две начинающиеся с Lo последовательности траекто-
траекторий B) и C), описанные в настоящей лемме, и в случае, когда последние
Рис. 29 i.
*) В этом случае дуга а, очевидно, является граничной циклической а-дугой.

478 СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА [ГЛ. XI
в этих цепочках траектории LR и Ь$ (или полутраектории) — раз-
различны — они проходят через различные концы одной и той же простой
со-дуги Л, а в случае, когда последняя в цепочках B) и C) траектория
или полутраектория одна и та же, она проходит через конец цикличе-
циклической дуги Ь, и в обоих случаях дуги а и b являются сопряженными.
Совершенно такое же утверждение справедливо в случае орбитно-
неустойчивой полутраектории, конец которой, лежащий на границе
области G*, является концом граничной циклической дуги.
Если дуга а — циклическая, то, очевидно, существует еще возмож-
возможность, когда через конец ее проходит угловая дуга (в этом случае дуга а —
граничная), а также возможность, когда через конец ее проходит угло-
угловая полутраектория. В последнем случае концом дуги а заведомо не может
быть конец угловой полутраекторпи, так что
в этом случае дуга а не является граничной.
Имеет место
Л е м м а 16. Если конец циклической
дуги а является а-концом угловой дуги или
через конец циклической дуги а проходит
угловая полутраектория L~, то а-дуга, со-
сопряженная с дугой Ь, является простой гра-
граничной а-дугой, и при этом: 1) один конец
дуги Ъ является а-концом угловой дуги 10 или
соответственно концом полутраектории Lo
и при этом является угловой точкой границы
области G*; 2) другой конец дуги Ь является
Рис. 29о. а-концом граничной или угловой дуги lR,
являющейся последней в последовательности
чередующихся граничных и угловых дуг lt, 1г, . . ., 1л, в которой пер-
первая Zj является ^-продолжением дуги 10 или соответственно полутраек-
полутраектории Ь~, а каждая дуга lt — продолжением дуги li _i (рис. 295 и 287).
В заключение рассмотрим случай, когда конец элементарной дуги
принадлежит неособой траектории.
Л е м м а 17. Если конец А элементарной а-дуги а принадлежит неосо-
неособой траектории L, то L является петлей, входящей в границу эллипти-
эллиптического сектора некоторого состояния равновесия. В этом случае конец
сопряженной элементарной дуги b принадлежит той же петле L, и обе
дуги являются нециклическими и расположены по одну и ту же сторону
от траектории L.
Утверждения леммы вполне очевидны, и доказательство ее мы не при-
приводим (рис. 276).
Концы А и В дуг а и Ъ, являющиеся концами одной и той же эллип-
эллиптической дуги, также будем называть сопряженными концами дуг а и /;.
7. Области между сопряженными каноническими кривыми и между
сопряженными элементарными дугами. Рассмотрим при сделанном выборе
правильной системы канонических окрестностей точки области G*. не
лежащие в канонических окрестностях и на их границах.
Рассмотрим сначала те из этих точек, которые не принадлежат осо-
особым элементам. Всякая такая точка: 1) либо лежит на дуге орбитно-
устойчивой траектории или полутраектории или на неособой целой дуге
траектории между двумя ее точками пересечения с двумя сопряженными
дугами; 2) либо лежит на дуге орбитно-устойчивой траектории или полу-

§ 28] СОПРЯЖЕННЫЕ СВОБОДНЫЕ W-, а-, О-ПРЕДЕЛЬНЫЕ КОНТИНУУМЫ 479
траектории или на неособой целой дуге траектории между ее точками
пересечения с двумя сопряженными циклами без контакта; 3) либо
является замкнутой (орбитно-устойчивой) траекторией, лежащей между
двумя сопряженными каноническими кривыми (замкнутыми траекториями)
двух сопряженных О-предельных континуумов.
Пусть а и b — сопряженные дуги и I — дуга орбитно-устойчивой
траектории или неособая целая дуга области G* с концами Р и Q, лежа-
лежащими соответственно на дугах а и Ь. Точки Р и Q, очевидно, отличны
от концов дуг а и Ь. Пусть М — точка дуги I, отличная от ее концов.
Рассмотрим множество всех таких точек М, принадлежащих всевозмож-
всевозможным дугам /, концы которых являются отличными от концов точками
данных сопряженных дуг а и Ь. Будем обо-
обозначать это множество через Т\иЪ (рис. 288
и 296). Очевидно, множество ПаЬ есть часть тон
ячейки, точками которой являются отличные от
концов точки сопряженных дуг а, и Ь.
Имеет место следующая геометрически
очевидная
Лемма 18. Множество \1аЬ есть область,
граница которой состоит из точек сопряженных
дуг а и Ь и точек цепочки, соединяющих концы
этих дуг. При этом каждая цепочка, соеди-
соединяющая концы рассматриваемых дуг а и Ь, мо-
может состоять либо из точек орбитно-неустой-
чивых траекторий или полу траекторий (е част-
частности, одной орбитно-неустойчивой траекто-
траектории) (см. лемму 12), либо из граничных и угло-
угловых дуг траекторий и угловых полутраекторий
(см. леммы 13, 14 и 15), либо из дуги траек-
траектории, образующей петлю.
Доказательство. По самому определению множества Наь
концы дуг I являются отличными от концов точками дуг а и Ь. Принимая
это во внимание, нетрудно видеть, на основании леммы 10 § 3, что мно-
множество Ппг, есть область. Рассмотрим теперь граничные точки этой обла-
области. Пусть А — конец дуги а и LA — цепочка, соединяющая этот конец
с сопряженным ему концом В дуги Ъ. Используя лемму 10 § 3, а также
замечание к лемме 15, в случае, когда (L) — цепочка, описанная в лем-
леммах 12—15, нетрудно видеть, что всякая цуга I с достаточно близким
к точке А концом лежит в сколь угодно малой окрестности цепочки (L).
Отсюда, очевидно, что точки цепочки (L) являются граничными для
области ПаЬ. Таким образом, все точки цепочек, соединяющих сопря-
сопряженные концы дуг а и 6, а также точки самих дуг а и 0 (обозначим мно-
множество всех этих точек через Гаь) являются граничными для области ПпЬ.
Покажем, что кроме точек ГаЬ у области ПяЬ больше нет других
граничных точек. Предположим, что существует граничная для области
Па;, точка R, не принадлежащая множеству ГаЬ л находящаяся, следо-
следовательно, на отличном от нуля расстоянии d (d > 0) от точек множе-
множества Га;, (Га(, — очевидно, замкнутое множество). Так как R — гранич-
граничная для области ПаЬ точка, то существует последовательность точек этой
области {Qn}, стремящаяся к точке R. Каждая точка Qt по самому опре-
определению области Паь принадлежит некоторой дуге траектории lt, заклю-
заключенной между дугами а и Ъ. Обозначим через Mt конец дуги /;, являю-
являющийся точкой дуги а. Без ограничения общности можно предположить,
Рис. 2915.

480 СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА [ГЛ. XI
что точки Mt имеют единственную точку сгущения М*. Точка М* не
может быть концом дуги а. Действительно, если бы М* была концом
дуги а, то точки дуг lt с достаточно большими номерами лежали бы в сколь
угодно малой окрестности цепочки, соединяющей этот конец с сопря-
сопряженным ему концом дуги Ь, м точки Qt этих дуг lt не могли бы стремить-
стремиться к точке R, находящейся на расстоянии d от точки множества ГаЬ.
Следовательно, точка М* — отличная от концов точка дуги а. Пусть I* —
дуга, отличные от концов точки которой принадлежат области ПоЬ, с
концом в точке М*. Нетрудно видеть, что последовательность точек Qt
может стремиться только к точкам дуги I*, так что точка R должна быть
точкой дуги Z*. Но это, очевидно, противоречит предположению, сде-
лапному относительно точки R, и, следовательно, лемма доказана.
Мы будем также называть область ИаЬ «областью между сопряжен-
сопряженными дугами». В случае, когда все такие области перенумерованы,
мы будем обозначать их через ПгаЬ. В дальнейшем мы будем преимуще-
преимущественно рассматривать замыкание области ПаЬ, т. е. замкнутую область UaU.
Будем область между двумя сопряженными циклами без контакта
обозначать через Нш„, а область между двумя сопряженными канониче-
каноническими кривыми, являющимися замкнутыми траекториями,— через Zoo.
Принимая во внимание лемму 7, а также предыдущую лемму, нетруд-
нетрудно видеть, что всякая точка области G*, не являющаяся точкой особого
элемента и не лежащая в какой-либо канонической окрестности или на
ее границе, принадлежит либо области Wab, либо области Н'ао, либо
области Z^o.
Рассмотрим теперь точку области G*, принадлежащую особому
элементу (отличному от граничных особых элементов), т. е. точку орбнт-
но-пеустойчивой полутраектории, угловой полутраектории или угло-
угловой дуги.
Лемма 19. Всякая точка особого элемента области G*, не лежащая
ни в одной из канонических окрестностей состояний равновесия или на
границе этих окрестностей и не являющаяся точкой какого-нибудь
со-, (х- или 0-пределыюго континуума, является граничной точкой какой-
либо из областей II', ь.
Доказательство. Пусть Р — точка рассматриваемого осо-
особого элемента, не лежащая ни в какой из канонических окрестностей
или на ее границе (т. е. не лежащая и на канонической кривой). Если
у этого особого элемента (т. е. у орбитно-неустойчивой траектории, иолу-
траектории, угловой полутраектории или угловой дуги) существует
точка, являющаяся концом а- или со-дуги (в частности, граничной),
то в силу непрерывной зависимости решения от начальных условий
нетрудно убедиться в справедливости утверждения леммы. В частности,
утверждение леммы всегда справедливо в случае, когда точка Р лежит
на угловой дуге, угловой полутраектории или орбитно-неустойчивой
полутраектории, конец которой принадлежит границе области G*. (Во
всех этих случаях на особом элементе есть точка, принадлежащая гра-
границе области G*, являющаяся концом граничной элементарной дуги.)
Таким образом, для доказательства леммы остается рассмотреть
случай, когда точка Р лежит на орбитно-неустойчивой траектории Lo.
которая но проходит через конец ни одной а- или со-дугя. В этом случае,
очевидно, траектория Lo должна быть и ш-, и «-продолжаемой и при
этом и с положительной, и с отрицательной стороны. Рассмотрим сначала
ш-продолжение траектории Lo с положительной стороны. Пусть L1 —

§ 29] СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 481
траектория, являющаяся ее «-продолжением с положительной стороны,
L2 — траектория, являющаяся «-продолжением Lt и т. д. Мы получаем,
таким образом, неоднократно рассматривающуюся цепочку траекторий
Lo, Lu ..., LR, D)
в которой каждая следующая траектория является со-продолженпем
предыдущей с положительной стороны. В этой цепочке D) мы либо дохо-
доходили до траектории Lr, не имеющей со-продолжения с положительной
стороны, либо никогда не доходили до такой траектории (теорема 71,
§ 23). В первом случае в силу леммы 7 траектория Lr непременно про-
проходит через конец to-дуги, и тогда, очевидно, траектория Lo входит в цепоч-
цепочку, соединяющую концы сопряженных дуг. Во втором случае, повторяя
неоднократно проводившееся рассуждение, нетрудно видеть, что мы дой-
дойдем до траектории LR такой, что все траектории Lo, . . . , LR различны,
a Lo является со-продолжением Lr с положительной стороны. Но тогда
в силу теоремы 71 траектория Lo входит в некоторый со-, а- или 0-пре-
дельный континуум и все ее точки принадлежат границе некоторой кано-
канонической окрестности предельного континуума, что противоречит усло-
условию леммы. Лемма доказана. ^
Замечание. Одна и та же орбитно-неустойчивая траектория Lo,
очевидно, может быть предельной, с одной стороны, и граничной для
области типа ПаЬ — с другой.
§ 29. Схема динамической системы и теорема о тождественности
топологических разбиений на траектории
1. Схема динамической системы. В настоящем пункте вводится
понятие схемы динамической системы и определяется, в каком случае
две схемы считаются одинаковыми. При этом используются введенные
раньше понятия полной схемы состояния равновесия, предельного кон-
континуума и границы области.
Пусть D — динамическая система, определенная, как и всюду выше,
в ограниченной области G и рассматриваемая в ее замкнутой подобла-
подобласти G*, имеющей нормальную границу.
Определение XXXIII. Мы будем говорить, что задана схема
динамической системы D рассматриваемой замкнутой области G*, если:
I. Перечислены особые элементы динамической системы D, распо-
расположенные в области G*, именно:
1) все состояния равновесия О1? О2, . . ., От (О);
2) все орбитно-неустойчивые траектории*) Lu Lz, . . ., Lk (L);
3) все орбитно-устойчивые полутраектории L[\ L{2\ . . ., L\? (Ln),
концы которых лежат на границе области;
4) все угловые полутраектории L[\ L\',..., L? ' (¦?");
5) все угловые дуги траекторий 1и 12, . . ., ls (I);
6) все граничные дуги траекторий **) 1и 12, - - -, 1п (I)',
*) Полутраектории этих траекторий мы будем обозначать через L\ и L\.
**) Для угловых точек границы мы сохраним введенные в § 26, п. 1 обозначения.
Именно, угловую точку, являющуюся со (а)-концом граничной дуги траектории I,
мы будем обозначать через М™ (Mf), совокупность угловых точек мы будем обозна-
обозначать через {М).
31 а. А. Андропов и др.

482 СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ИГЛ. XI
7) все граничные дуги без контакта Xj, Kz, ¦ ¦ -, 'kh {ty;
8) все граничные циклы без контакта, если таковые существуют,
Си С2, . . ., Сг {С).
При введенных в п. 1 обозначениях для особых элементов:
II. Заданы полные схемы всех состояний равновесия (Ot) (см. § 19,
п. 4).
III. Перечислены все (односторонние) со-, а- и ^-предельные конти-
континуумы К\\ AV, . . ., K^i (Кп) и заданы их полные схемы. В частности,
при задании этих схем (см. § 25, п. 5) для каждого континуума К\' дается
перечисление простых замкнутых кривых Slax, Sla2, . . ., Saj (i — 1,2, . . ., N),
из которых эти континуумы состоят.
IV. Задана схема границы области G*, т. е. перечислены все простые
замкнутые кривые Г1? Г2, . . ., Гр (Г), входящие в эту границу, и заданы
их схемы (см. § 26).
V. Указаны все пары сопряженных свободных со-, а- и О-предельных
континуумов и граничных циклов без контакта и для каждой такой пары
указано, какой из ее элементов является внешним и какой внутренним.
В силу задания всех перечисленных схем, очевидно, указывается,
какие из. траекторий (L) и полутраекторий (//') и (Ln) стремятся к сос-
состояниям равновесия и к каким именно, какпе из траекторий L входят
в предельные континуумы и в какие именно и т. д. Из определения выте-
вытекает, что схему динамической системы можно задать в виде пекоторой
системы таблиц, именно, следующих:
1. Таблицы, содержащей перечисления всех особых элементов (О),
(L), A/>), (?"), @. (*), $, (Г).
П. Таблиц, задающих схемы границы области.
III. Таблиц, задающих при введенном в п. 1 перечислении всех
особых элементов, полные схемы всех состояний равновесия.
IV. Таблиц, задающих полные схемы всех односторонних предель-
предельных континуумов (К1>) (см. § 25, п. 4). При этом все эти континуумы
перенумер овыв аются.
V. Таблицы, указывающей все пары сопряженных свободных со-, а-
и О-предельных континуумов, граничных циклов без контакта и свободных
узлов, описывающей взаимное расположение каждой пары.
Таблица вида V ранее не была определена. Для ее записи введем
следующие обозначения: если Кп — внешний континуум или гранич-
граничный цикл без контакта Г, а А"'1'или Г' — сопряженный внутренний,
то мы будем пользоваться следующим обозначением:
К'( 'zdK(\ Г =э К( '.
При введенных обозначениях таблица типа V может, например, иметь
следующий вид: K'V ^э К'2\ К\ yZD K'^ и т.д. Будем называть элементом
схемы, наряду с особыми элементами (L), (Z/'), (?"), @. (^)> @i (Г),
также предельные континуумы, граничные кривые, угловые точки, кри-
кривые St и т. д. Полная схема динамической системы, так же как и схемы
состояний равновесия и предельных континуумов, может быть задана
схематическим рисунком. Такое задание полной схемы чрезвычайно
удобно и наглядно. При таком задании можно иногда полностью опускать
индивидуальные обозначения для траекторий, фигурирующих в схеме;
действительно, такие индивидуальные обозначения в схеме, заданной
таблицей, нужны для того, чтобы определить расположение особых

§ 29]
СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
483
траекторий. Например, если отрицательная полутраектория некоторой
особой траектории фигурирует в схеме какого-нибудь состояния равно-
равновесия, а положительная долутраектория — в схеме какого-нибудь пре-
предельного континуума, то
это означает, что указан-
указанная особая траектория вы-
выходит из этого состояния
равновесия, а при t—>--f- сю
стремится к соответствую-
соответствующему предельному конти-
континууму.
На схематическом ри-
рисунке поведение той же
траектории указывается
самим рисунком, так что
обозначения этой траекто-
траектории можно опустить. При- Рис. 297.
ведем несколько простых
примеров схем, заданных в виде таблиц и в виде соответствующего
рисунка.
Пример 1. Граница области: а-цикл без контакта. Состояния рав-
равновесия: Ог, Ог, О3. Орбитно-неустоГгчивые траектории: Lo, Lu L2,'L:i, L,L;
01 | L\ (топологический узел);
02 L\, Lj, L~3, L+ (седло);
03 \ L* (топологический узел);
(K~) а-предельный континуум, состоящий из одной траектории Lo; направ-
направление положительного обхода противоположно направлению по t; (K+) а-
предельный континуум, состоящий из одной траектории Lo; направле-
направление обхода противоположно направлению по t. Особые траектории,
стремящиеся к Кш: L~, L~. Соответствующий схематический рис. 297
(см. пример 15 главы XII).
Пример 2. Граница — а-цикл без контакта. Состояния равно-
равновесия: Ои О2, О3. Особые траектории: Lu L2.
O2\L?>, L~, L\, L\ (седло);
A*i+) | Lj, L2 (а-предельный континуум);
K^ | L2, O2 (а-предельный континуум);
K3 Lj, O2, L2, Oo (а-предельньп! континуум);
Oi и О3 — устойчивые свободные топологические узлы; К\ id Ou Kt id
id O3. Соответствующий схематический рис. 298.
Рассмотрим теперь две различные (пли совпадающие) динамические
системы D и D', определенные соответственно в областях G и G'. Пусть
эти системы рассматриваются в замкнутых областях соответственно G*
и G'*, причем границы этих областей нормальны и G* d G, G'* d G'.
Определим, в каком случае схемы динамических систем D и D', рас-
рассматриваемых в замкнутых областях G* и G'*, считаются тождест-
тождественными.
Для особых элементов системы /) сохраним обозначения, введен-
введенные выше- Для особых элементов системы D' введем соответственно
31*

484
СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА [ГЛ. XI
обозначения, в которых все буквы и индексы имеют штрихи:;
@% (I/), {!'(>), (ь'< >), (Г), (п, (V), (?')•
Таким образом мы получаем, так же как и для системы D, все особые
элементы системы D' и соответствующую систему чисел т', /с', р', <}¦',
s', /г', /г', г', аналогичных числам т, /с, р, #, б", /г, г системы D. ¦
Перейдем теперь к определению тождественности схем двух дина-
динамических систем. При этом, так же как и для схем состояний равновесия
и предельных континуумов, мы приведем определения тождественности
схем с сохранением ориентации и направления по t. С совершенно оче-
очевидными изменениями может быть также дано определение тождествен-
тождественности схем двух динамических систем с изменением ориентации и сохра-
сохранением направления по t, а также с сохранением ориентации и изменением
направления по t и, нако-
наконец, с изменением ориента-
ориентации и изменением направ-
направления по t.
Определение
XXXIV. Мы будем гово-
говорить, что схемы динами-
динамических систем D и D' тож-
тождественны с сохранением
ориентации и направления
по t, если существует вза-
взаимно однозначное соответ-
соответствие 6 между всеми осо-
особыми элементами динами-
динамической системы D и всеми особыми элементами динамической системы D',
при котором состояниям равновесия О соответствуют состояния равно-
равновесия О', траекториям L —• траектории L', положительным (отрица-
(отрицательным) полутраекториям (Ln) —• положительные (отрицательные)
полутраектории (Ь'()) и т. д., и которое удовлетворяет следующему усло-
условию: схема динамической системы D' получается из схемы динамической
системы D заменой каждого особого элемента системы D соответствую-
соответствующим ему в силу соответствия 0 особым элементом системы D'.
Если схемы динамических систем D и D' одинаковы, то т' = т,
к' — к, р' = р, q' = q, s' — s, n' = n, h' = h, r' = г и т. д. Очевидно
также, что если заданы схемы двух динамических систем, то конечным
числом испытаний можно узнать, одинаковые эти схемы или нет. Соот-
Соответствие 6, удовлетворяющее условиям определения, мы будем называть
соответствием по схеме, а соответствующие друг другу в силу 0 эле-
элементы — элементами, соответствующими по схеме. Заметим, что между
элементами двух систем с одинаковыми схемами может существовать
несколько соответствий по схеме (причем по крайней мере одно обяза-
обязательно существует). Поэтому когда мы будем говорить об особых элемен-
элементах динамических систем (с одинаковыми схемами), соответствующих
друг другу по схеме, то мы будем при этом всегда предполагать, что
задано некоторое определенное соответствие по схеме и рассматриваются
особые элементы, соответствующие друг другу в силу 0. Всякий особый
элемент системы D' будем обозначать тем же символом, что и соответ-
соответствующий ему по схеме особый элемент системы D, но со штрихом. Мы
будем также пользоваться не требующими пояснений обозначениями

§ 29] СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 485
6 (О() = O'i, В (Lt) = L\ и т. д. Из самого определения тождественности
схем динамических систем D и D' следует, что соответствие между осо-
особыми элементами этих систем порождает взаимно однозначное соответ-
соответствие: 1) между со-, а- и О-предельными континуумами этих систем,
составленными из соответствующих друг другу по схеме особых элементов,
а также между простыми замкнутыми кривыми Si, из которых эти кон-
континуумы составлены; 2) между граничными кривыми, составленными из
соответствующих друг другу по схеме граничных дуг траекторий и дуг
без контакта, а также являющихся соответствующими друг другу по
схеме граничными циклами без контакта.
Это индуцированное соответствие между предельными континуумами
и граничными кривыми мы также будем называть соответствием по
схеме и обозначать это соответствие той же буквой 6. Континуумы и гра-
граничные кривые системы D' будем обозначать теми же буквами, что и соот-
соответствующие им континуумы и граничные кривые системы D, со штри-
штрихом. Мы будем также пользоваться обозначениями 6 (КУ) = Щ.\
6 (Г4) = Т\. и т. д.
Пусть схемы систем D и D' заданы описанными выше таблицами.
Если эти схемы тождественны, то при введенных обозначениях схема дина-
динамической системы D' получается из схемы динамической системы D добав-
добавлением штриха в обозначении каждого элемента схемы.
Укажем еще ряд элементарных фактов, непосредственно выте-
вытекающих из определения тождественности схем двух динамических
систем D и D':
I. Схемы границ областей G* и G'*, в которых рассматриваются
системы D и D', тождественны и у соответствующих друг другу по схеме
граничных кривых Гг- п Г{ схемы также тождественны. При этом соот-
соответствие 0 между особыми элементами систем D и D' индуцирует соответ-
соответствие по схеме между особыми элементами, входящими в кривые Г, и Г[.
П. Любые два соответствующих друг другу по схеме состояния
равновесия О( и О\, а также со-, а- или О-иредельных континуума К\>
и K'i ' имеют одинаковые полные схемы, причем соответствие между осо-
особыми элементами, входящими в их полные схемы, является одновременно
соответствием между этими особыми элементами по полным схемам этих
состояний равновесия или предельных континуумов. В частности, сво-
свободным со- и а-предельным континуумам системы D соответствуют сво-
свободные со- и а-иредельные континуумы системы D'.
III. Если свободные со- и а-предельные континуумы или 0-пре-
дельные континуумы К\> и Ку системы D являются сопряженными, то
и соответствующие им по схеме континуумы К\п и Щп системы D' также
являются сопряженными.
IV. Если Lt и LI — соответствующие друг другу по схеме особые
траектории систем D и ?>', т. е. L\ = 6 (Lt), то: а) со- и а-предельпые
континуумы этих траекторий являются соответствующими друг другу по
схеме, в частности, соответствующими друг другу по схеме состояниями
равновесия; б) обе траектории одновременно являются со (а)-продолжае-
мыми или не продолжаемыми с одной и той же (положительной пли
отрицательной) стороны; в случае, когда они со (а)-продолжаемы с какой-
нибудь стороны, траектории, служащие их со (а)-продолжениями с этой
стороны, являются соответствующими друг другу по схеме траекториями.
V. Если угловая дуга I или угловая полутраектория D' системы D
является со-продолжением граничной дуги I, то угловая дуга V, соответ-

486 СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ II ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА [ГЛ. XI
ствующая по схеме дуге /, или соответственно угловая полутраекто-
полутраектория L'" является со-продолжением граничной дуги Г, соответствующей
по схеме дуге I (в частности, при этом внешним угловым точкам соответ-
соответствуют внешние, а внутренним — внутренние).
VI. Соответствие по схеме между особыми элементами динамиче-
динамических систем индуцирует естественное соответствие между ячейками этих
систем и, очевидно, при этом — между границами этих ячеек.
Мы говорили о схеме всей динамической системы в целом. Мы можем
также говорить о схеме некоторого соединения ячеек или о схеме в неко-
некоторой области Н* a G* (с нормальной границей, такими схемами, оче-
очевидно, являются локальные схемы состояний равновесия и предельных
континуумов).
Если схемы двух динамических систем задаются схематическими
рисунками, то в случае, когда эти схемы одинаковы с сохранением ориен-
ориентации и направления по t, они изображаются одним и тем же схематиче-
схематическим рисунком с одинаковым указанием направления на траекториях.
2. Соответствие по схеме между каноническими кривыми и дугами
канонических кривых. Пусть, как и выше, D и D' — динамические системы,
имеющие тождественные схемы с сохранением ориентации и направле-
направления но t, и 0 — соответствие ио схеме между особыми элементами этих
динамических систем. Для особых элементов, а также элементов схем
систем D и W сохраняем прежние обозначения. Пусть для каждой из
систем D и D' задана некоторая фиксированная правильная система
канонических окрестностей. Для канонических окрестностей и входя-
входящих в их границы канонических кривых сохраним прежние обозначения
(\'ь ?"ii 8ii °i)i a канонические окрестности и канонические кривые
системы/)' будем обозначать теми же буквами, ио со штрихами. Соответ-
Соответствие по схеме между состояниями равновесия Ot и 0\ и предельными
континуумами Щ и К']' систем D и D' индуцирует естественное взаимно
однозначное соответствие между каноническими окрестностями, канони-
каноническими кривыми, а также каноническими дугами (параболическими, эл-
эллиптическими и седловыми дугами без контакта и седдовыми дугами
траекторий) и элементарными со- и «-дугами. Именно, имеет место
Лемма 1. Если схемы динамических систем D и D' тождественны
и 2 и 2' соответственно их правильные системы канонических окрестно-
окрестностей, то между каноническими областями, их секторами, каноническими
кривыми и их дугами существует следующее индуцированное, взаимно
однозначное соответствие:
1) Канонические области gi и g\ и канонические кривые о,- и а] соот-
соответствующих друг другу по схеме состояний равновесия О, и 0\ соответ-
соответствуют друг другу.
2) У соответствующих друг другу в силу 1) канонических окрестностей
gi и gl канонические области одинакового типа (эллиптические, парабо-
параболические и гиперболические) соответствуют друг другу и соответствуют
друг другу также дуги канонических кривых a-L и ст[, входящие а границы,
этих секторов (т. е. эллиптические и параболические дури, седловые дуги
траекторий и седловые дуги без контакта), а также концы этих дуг. При
этом: а) соответствующие друг другу концы соответствующих друг другу
параболических дуг принадлежат либо соответствующим друг другу
особым элементам (траекториям или полутраекториям), либо соответ-
соответствующим друг другу эллиптическим дугам; б) концы соответствующих

§ 29] СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 487
друг другу седловых дуг принадлежат соответствующим друг другу осо-
особым элементам и со (а)-седловые дуги соответствуют со (а)-седловым.
3) Канонические окрестности yt п \1 и канонические кривые С, и С\
соответствующих друг другу по схеме предельных континуумов К\> и К'\>
соответствуют друг другу. При этом: а) если континуум К\^ лежит
вне {внутри) канонической кривой С$, то и континуум К'^ лежит вне
(внутри) канонической кривой С\; б) если канонические кривые Cj и С,-
свободных а- и (о-пределъных или ^-предельных континуумов являются
С0пряженными, то соответствующие им канонические кривые С) и С\
тоже являются сопряженными.
А) со (а)-циклы и элементарные со (а)-дуги, точки которых являются
точками кривых С и С или о и о', соответствующих друг другу по
схеме, соответствуют друг другу и при этом: а) со (а)-циклы соответ-
соответствуют со (а)-циклам и являются циклами без контакта соответствующих
друг другу свободных со (а)-предельных континуумов (т. е. соответствую-
соответствующими друг другу кривыми С и С или а и а'); б) циклические со (а)-дуги
соответствуют циклическим со (а)-дуеам и точки соответствующих друг
другу циклических дуг принадлежат соответствующим друг другу в силу
1) (и 3)) каноническим кривым С и С' или а и а'; в) простые со (а)-дуги
соответствуют простым со {а)-дугам, причем соответствующими друг
другу являются те дуги соответствующих друг другу в силу 1) (и 2))
канонических кривых С и С, а и а', у которых концы принадлежат, соот-
соответствующим друг другу особым элементам или соответствующим друг
другг/ в силу 2) эллиптическим дугам.
Доказательство. Утверждение 1) настоящей леммы оче-
очевидно. Утверждение 2) следует из тождественности локальных схем
соответствующих друг другу по 6 состоянии равновесия (см. 1)). Утвер-
Утверждение 3) следует из тождественности локальных схем соответствующих
друг другу по 0 предельных континуумов. Утверждение 4) следует из
тождественности полных схем соответствующих друг другу по О
состояний равновесия и предельных континуумов.
Замечание 1. Из настоящей леммы, в частности, следует, что
если рассматриваются две различные системы правильных канонических
окрестностей системы D, то между окрестностями, областями, кривыми
и дугами этих двух систем существует взаимно однозначное соответствие,
описанное настоящей леммой.
Замечание 2. Между граничными со- и сс-дугами систем D
и D' и концами этих дуг существует взаимно однозначное соответствие
в силу тождественности схем граничных кривых.
Замечание 3. Пусть I а. V соответствующие друг другу в силу
настоящей леммы дуги канонических кривых, являющиеся либо ш-
и сс-дугами, либо параболическими дугами, либо эллиптическими дугами
и т. д. Пусть М и М', N и Л" — соответствующие друг другу концы этих
дуг (см. п. 2) настоящей леммы). Тогда направление на дуге / от точки М
к точке N и направление на дуге V от точки М' к точке N' либо одно-
одновременно совпадают с положительным направлением обхода канониче-
канонических кривых, дугами которых являются дуги / и /', либо одновременно
противоположны ему. Кроме того, в случае, когда дуги I и /' являются
дугами траектории, направление на дуге I от точки М к N и направле-
направление на дуге I' от точки М' к N' одновременно либо совпадают, либо про-
противоположны направлению по t. Это непосредственно следует из того,
что схемы рассматриваемых систем D и D' тождественны с сохранением
ориентации и направления по t.

488 СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ II ОСИОПИЛЯ ТЕОРЕМА [ГЛ. XI
Соответствие между принадлежащими системам D и D' канониче-
каноническими областями, каноническими кривыми и их дугами — существующее
в силу леммы 1, а также между концами этих дуг, будем тоже называть
соответствием по схеме и обозначать той же буквой 6. Мы будем также
пользоваться не требующими пояснений обозначениями: 0 (ц{) = g't,
6 М = Yi. О (<*0 ^ Of. е (Сд = Си а также 6 (а) = а', О (Ь) = й',
Э (Z) = Г, О (А) = А', где а и a', b и &', /и Г — соответствующие друг
другу по схеме дуги, a ^4 и А' — соответствующие друг другу по схеме
концы соответствующих друг другу дуг. Сформулырем еще одну лемму,
непосредственно вытекающую из предыдущей леммы и замечаний к ней.
Лемма 2. На соответствующих друг другу по схеме особых траек-
траекториях L и L' (L' = В (L)) лежат концы соответствующих друг другу
со- и а-дуг или седловых дуг. При этом, если элементарная или седловап
дуга а, конец которой лежит на траектории L, является простой дугой,
расположенной по положительную {отрицательную) сторону траекто-
траектории L, то простая дуга а', соответствующая по схеме дуге а [а' = В (а.)),
конец которой лежит на траектории L' = 6 (L), лежит по положитель-
положительную (отрицательную) сторону L'.
Полностью аналогичное утверждение справедливо также и отно-
относительно других соответствующих друг другу по схеме особых элемен-
элементов, точки которых являются концами элементарных и седловых дуг,
т. е. относительно орбитно-неустойчивых полутраекторий W и L">
= 6 (Ln), с концом на границе областей G* и G'*. угловых полутраек-
полутраекторий //' и L'() — 6 (I/'), граничных и угловых дуг траектории /
и V = 6 (I), I и /' — В (I), а также относительно соответствующих друг
другу по схеме эллиптических дуг. В силу леммы 17 § 28 один конец
всякой эллиптической дуги всегда является концом а-дуги, а другой -
концом со-дуги.
3. Сопряженные со- и а-дуги двух систем 1) и J)' с тождественными
схемами. В силу п. 3) леммы 1 всяким двум сопряженным каноническим
кривым системы D соответствуют по 6 две сопряженные канонические
кривые системы D'. В частности, сопряженным со- и а-цпклам без кон-
контакта системы D соответствуют сопряженные со- и а-циклы системы D'.
Рассмотрим теперь сопряженные со- и а-дуги системы D и соответствую-
соответствующие им со- и а-дуги системы D'.
Лемма 3. Если а и Ъ — две сопряженные элементарные дуги
системы D', то соответствующие им по схеме элементарные дуги а' и Ь'
также являются сопряженными. При этом сопряженным концам дуг а
и b соответствуют по схеме сопряженные концы дуг а' и Ь'.
Доказательство. Конец А элементарной а-дуги а системы У/
может принадлежать: 1) орбитно-неустойчивой траектории Lounu орбитно-
неустойчпмой полутраектории L° (конец которой лежит на границе
области G*); 2) граничной или угловой дуге или угловой полутраектории;
3) эллиптической дуге одной из канонических кривых состояний равновесия.
Рассмотрим случай 1), предположим, кроме того, для определен-
определенности, что а-дуга а является простой дугой и что она расположена с поло-
положительной стороны траектории Lo. Дуга b мо?кет быть как простой, так
и циклической. В силу леммы 12 § 28 существует начинающаяся с Lo
конечная последовательность отличных друг от друга орбнтно-ноустой-
чивых траекторий
Lo, Lu ..., Lr(Lr), A)

§ 23] СХЕМА ДПНАМИЧЕСКОЙ^СИСТЕМЫ 489
в которой траектория Li+1 является «-продолжением траектории Lt
с положительной стороны (i = 0, 1, 2, . . ., R — 1), а последняя траек-
траектория LR (или полутраектория) проходит через конец В сопряженной
с дугой а элементарной со-дуги Ь. В частности, последовательность A)
может состоять только из одного элемента Lo. Для определенности пред-
предположим, что последней в цепочке является траектория La (а не полу-
полутраектория). Дуга b либо расположена по положительную сторону от
Z/r, либо является циклической. Точки А и В являются сопряженными
концами сопряженных дуг а и Ъ. Рассмотрим дуги a' ц b', соответствующие
по схеме дугам а и Ь, а' = 6 (а), Ь' = В (Ь), траекторию L'n системы D',
соответствующую по схеме траектории Lo, L'n = О (Lo), и проходящую
через конец А' дуги а', соответствующий по схеме концу А дуги а, а также
траектории L\ системы D', соответствующие по схеме траекториям
L, (LI ~ 6 (Lt)). В силу утверждения IV б) п. 1 траектории
очевидно, образуют цепочку траекторий, являющихся продолжением
одна другой с положительной стороны, в силу п. 46) и 4в) леммы 1 траек-
траектория L'R проходит через конец В' элементарной дуги Ь', соответствую-
соответствующей по схеме дуге Ь. В случае, когда b — простая дуга и лежит по поло-
положительную сторону Z/r, дуга Ь' тоже является простои, и она лежит
по положительную сторону траектории Lr. Но последовательность B),
очевидно, обладает теми же свойствами, что н последовательность A).
Л тогда в силу замечания к лемме 12 § 28 дуги а' и Ь' являются сопря-
сопряженными, а концы А' и В' — их сопряженными концами, что и дока-
доказывает утверждение леммы в случае 1) для простой дуги. Если дуга а
циклическая, то рассуждение такое же, но с использованием лем-
леммы 15 § 28.
В случае 2) и 3) доказательство проводится аналогично, и мы его
опускаем. Отметим только, что в случае 2) при доказательстве исполь-
используется замечание 2 к лемме 13 и лемма 14 § 28, а в случае 3) —
лемма 17 § 28.
Рассмотрим теперь у систем D и D' области между сопряженными
каноническими кривыми и между сопряженными каноническими дугами.
Как и выше (см. § 28, п. 8), эти области будем у системы D обозначать
через Щь, 5^ю, Z^u, ay системы D' — теми же буквами, но со штрихами
ITraV, Еа'ш, Zm. Соответствие между сопряженными каноническими кри-
кривыми и элементарными дугами, очевидно, индуцирует естественное соот-
соответствие между этими областями (и их замыканием, т. е. замкнутыми
областями Щь и ]IaV, НцИ и Е^и, Z^o и Z^). Таким образом имеет место
Лемма 4. Если схемы динамических систем D и D' тождественны,
то можно поставить друг другу во взаимно однозначное соответствие
области П„ь и ПО*Ь', 5аШ и Е^, Z^B и Z^, заключенные между соответ-
соответствующими друг другу по 6 сопряженными каноническими кривыми и сопря-
сопряженными элементарными дугами. При этом в границы соответствую-
соответствующих друг другу областей ИгаЬ и Ла-ъг входят соответствующие друг другу
по схеме особые элементы.
Это соответствие между областями мы также будем называть соот-
соответствием по схеме и обозначать той же буквой 0. Всюду в дальнейшем,
нумеруя указанные области в системе Dub системе D', будем областям
этих систем, соответствующим друг другу по схеме, приписывать одина-
одинаковые номера.

490 СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА [ГЛ. XI
4. Основная теорема. В этом параграфе мы покажем, что топологи-
топологическая структура динамической системы полностью определяется ее
схемой. Другими словами, мы покажем, что если две динамические сис-
системы имеют одинаковые схемы, то их разбиения на траектории имеют
одинаковые топологические структуры. Этот результат содержится в тео-
теореме 76 настоящей главы. Предполагая, что схемы систем D ц D', рас-
рассматриваемых в замкнутых областях G*cGhG'* a G' с нормальной
границей, тождественны, мы будем строить топологическое отображение
областей G* и G'* друг на друга, сохраняющее ориентацию, переводящее
траектории систем D и D' друг в друга и сохраняющее на них направле-
направление по t. Сделаем некоторые предварительные замечания по поводу того,
как строится это топологическое отображение. Используя правильные
.системы канонических окрестностей систем D и D', мы разделяем зам-
замкнутые области G* и G'* на частичные замкнутые области с общими гра-
границами, именно, канонические окрестности и области между сопряжен-
сопряженными каноническими кривыми и сопряженными элементарными дугами
(т. е. области типа ПаЬ, Наи и Zoo). Между всеми такими частичными
областями систем D и D' существует естественное соответствие по схеме.
В силу доказанных выше теорем, а также доказанной ниже леммы 5
соответствующие друг другу по схеме области могут быть топологически
отображены друг на друге с сохранением ориентации так, чтобы
траектории переходили в траектории и направление по t на них сохра-
сохранялось. Кроме того, всегда можно отображения этих частичных областей
выбрать таким образом, чтобы на общих их границах они были надле-
надлежащим образом согласованы, и мы получили бы топологическое отобра-
отображение замкнутых областей G* и G'* друг на друга, сохраняющее ориен-
ориентацию, переводящее траектории в траектории и сохраняющее на них
направление по t. Таким образом, устанавливается, что при тождествен-
тождественности схем систем D и D' с сохранением ориентации и направления по t
разбиения областей G* и G'* траекториями систем D и D' топологически
тождественны.
После этих предварительных общих замечаний перейдем к подроб-
подробному доказательству основной теоремы. Отметим прежде всего, что топо-
топологическая тождественность разбиения на траектории соответствующих
друг другу по схеме канонических окрестностей доказана в теореме 72,
а топологическая тождественность областей типа Нпщ и Е'аю, ZM и Z'oo
после элементарного проведения вспомогательных дуг (в случае областей Еаю
этими дугами являются дуги траекторий, соединяющие циклы без кон-
контакта, а в случае Zo0 эти дуги являются дугами без контакта, соединяю-
соединяющими граничные замкнутые кривые, существующие в силу леммы 7 § 19)
сводится к лемме 8 § 18 (о топологической тождественности разбиений
элементарных четырехугольников).
Лемма 5. Если схемы систем D и D' тождественны с сохранением
ориентации и направления по t и области ПаЬ и Щ-ь' соответствуют
друг другу по схеме, то разбиения на траектории этих областей топо-
топологически тождественны с сохранением ориентации и направления по t.
Доказательство. Разделим каждую из областей Пп() и П^ь-
на две области. Рассмотрим сначала область Паь- Возьмем произвольную
точку A i дуги а, отличную от ее концов. Дуга а как в случае, когда она
является простой, так и в случае, когда она является циклической, раз-
разделяется точкой Ai на две простые дуги; обозначим их через aj и а2- Пусть
Laj — траектория, проходящая через точку А\ и Bt — ее точка пере-

§29]
СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
491
сечения с дугой Ъ. Точка Bt делит дугу Ъ на две простые дуги bt и Ьг.
Нетрудно видеть, что все траектории, проходящие через отличные от
концов точки дуги а±, пересекают одну из этих дуг, например дугу fe1?
и при этом в точках, отличных от ее концов, а все траектории, проходя-
проходящие через отличные от концов точки дуги а2, пересекают другую дугу —
Ь2 в точках, отличных от ее концов. Таким образом, дуга AiBi траекто-
траектории LAl делит область Паь на две области без общих точек, которые мы
обозначим ч^рез Па1б1 и Па2(J (рис. 296). Область IIaibl состоит из точек,
принадлежащих траекториям систе-
системы D, проходящих через отличные
от концов точки дуги а± и лежащих
между точками пересечения этих
траекторий с дугами at и bt. Область
Па2(J полностью аналогична. Каждая
точка области ПаЬ, очевидно, при-
принадлежит либо области IIaibl, либо об-
области Па2ь2, либо является отличной
от концов точкой дуги AiB^ траек-
траектории Laj. Обозначим через А конец
дуги аи являющийся концом дуги а.
Для определенности предположим,
что дуга at лежит по положитель-
положительную сторону от особого элемента,
которому принадлежит точка А, или
от эллиптической дуги в случае,
когда *эта точка принадлежит такой
дуге. Тогда дуга а2 лежит, очевидно,
по отрицательную сторону особого
элемента, проходящего через ее ко-
конец, отличный от точки А± (соответ-
(соответственно по отрицательную сторону
от эллиптической дуги). Повторяя
рассуждение, проведенное при доказательстве леммы 12 § 28, нетрудно
видеть, что граница области naibl состоит из дуг at и Ьи дуги A±B±, траек-
траектории Lax и из цепочки, соединяющей конец А дуги а (являющейся кон-
концом дуги ах) с сопряженным концом В дуги Ъ, являющейся концом дуги frt
(отличным от Bi) (рис. 299). Совершенно аналогично рассматривается гра-
граница области ПП2ь2. При этом точки одной из цепочек, соединяющих сопря-
сопряженные концы дуг а и Ь, являются граничными для области naibl, дру-
другой — для области Па2ь2 и каждая точка замкнутой области ПаЬ является
точкой одной из замкнутых областей naibl и ПО2ь2. Точка замкнутой
области ПаЬ, не принадлежащая дуге AtBi траектории LAl, может при-
принадлежать одновременно и Па^, и ПП2ь2 лишь в случае, когда две вхо-
входящие в границу ПаЬ цепочки имеют общие точки. Совершенно анало-
аналогично выбирая произвольную, отличную от концов точку А' дуги а'
и рассматривая траекторию L'Al системы D', проходящую через эту точку,
мы разделим область П'а'ъ' на две области.
Простые дуги, на которые точка А\ делит дугу а', обозначим через
а\ и а'2. В случае, когда дуга а' (а значит, и дуга а) простая, обозначим
через а\ дугу, у которой конец А', отличный от А\ (являющийся концом
дуги а'), соответствует по схеме концу А дуги а. В этом случае в силу
леммы 2 дуга а', (так же, как и дуга at) лежит по положительную сторону
Рис. 299.

492 СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ II ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА [ГЛ. XI
от особого элемента, проходящего через точку А', или соответственно
от эллиптической дуги. В случае, когда дуга а' (а значит, и дуга а) цик-
циклическая, у обеих дуг, на которые точка А\ делит дугу а', одним из кон-
концов является конец А' циклической дуги а'. В этом случае через а[ будем
обозпачать ту из двух дуг, которая лежит по положительную сторону
от особого элемента, проходящего через точку А'. Обозначим через В\
точку, в которой траектория L'a- пересекает дугу Ъ', через Ъ'х и Ь', —
дуги, на которые она делит эту дугу (аналогичные дугам bt и bo), it, нако-
наконец, через Щ-ь. и П^ь- — области, аналогичные naibl и ПОаЬ2, на кото-
которые дуга А\В'Х траектории Ь'а* делит область Щ-Ь'- В силу слодстний
из определения XXXIV п. 1 § 29 цепочки траекторий, соединяющие концы
дуг а' и Ъ' и входящие в границу областей Л'а-Ь- и Щ^-, соответствуют
по схеме цепочкам, входящим в границы областей Па1Ь] п Поо()о соответ-
соответственно.
Покажем сначала, что существует топологическое отображение зам-
замкнутых областей Иа'Ь' и Щ-ь-, а также Паоь2 и Щ-^, при котором траек-
траектории отображаются в траектории и направление по t сохраняется. Так
как один из концов дуги а^ является концом дуги я, то возможны сле-
следующие случаи (см. лемму 1): 1) конец А дуги а^ принадлежит орбнтно-
неустойчивой траектории L или полутраекторни L(); 2) конец А при-
принадлежит граничной или угловой дуге или угловой полутраектории;
3) конец А дуги at совпадает с концом эллиптической дуги, входящей
в одну из канонических окрестностей состояний равновесия. Соответ-
Соответствующий по схеме концу А дуги а конец А' дуги а' по самому опреде-
определению дуги а[ является концом этой дуги. Следовательно, конец А' дуги а[
принадлежит особому элементу системы D', соответствующему по схеме
тому особому элементу системы/), которому принадлежит конец А дуги аи
или соответствующей по схеме эллиптической дуги.
Рассмотрим случай 1), причем для определенности предположим, что
через точку А проходит траектория L (а не полутраекторця Ln). Если
цепочка, соединяющая концы А и В дуг at и bi, а следовательно, и цепочка,
соединяющая концы А' и В' дуг а[ и Ь[, состоит из точек одной особой
траектории Lo, соответственно L'o, (L'o соответствует по схеме Lo), то обла-
области naibl и Н'а'ь', очевидно, являются замкнутыми элементарными четы-
четырехугольниками. Тогда топологическое отображение этих замкнутых
областей, обладающее требуемыми свойствами, существует в силу лем-
леммы 8 § 18.
Предположим, что цепочка, соединяющая концы А и В дуг а4 и bi,
а следовательно, и цепочка, соединяющая концы А' и В' дуг а[ и Ь[,
состоят более, чем из одной траектории. Пусть Lo, Lu . . ., Ьц и соот-
соответственно L'o, L[, . . ., Lr — траектории, входящие в цепочки, соеди-
соединяющие концы А и В дуг а± и bi и соответственно концы А' л В' дуг а'х
и Ь[, выписанные в порядке «-продолжения. Траектории L, и L\ в этих
последовательностях соответствуют друг другу по схеме и имеют своими
ю- и a-продельными состояниями равновесия, соответствующие друг другу
по схеме. Траектория Lo (L'o) проходит через конец дуги ar (a'j), а траек-
траектория Lr{L'h) — через конец дуги b± (b[). При этом в силу сделанных
предложений дуга at (aj) лежит по положительную сторону траектории
Lo (L'o), а дуга bt (b[) — по положительную сторону траектории LI{{L'R).
В силу леммы 12 § 28, траектория Lo (L'B) проходит через конец со-сед-
ловой дуги Я* (Я,р+), лежащей от нее по положительпую сторону, а траек-

% 29] СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 493
тория LR (L'R) — через конец а-седловой дуги К~ц (к'н), лежащей от нее
по положительную сторону. Кроме того, в силу тон же леммы, каждая
из траекторий Lt (L\), i = 1,2, . . ., R — 1, проходит через концы двух
седловых Дуг, лежащих от нее по положительную сторону, а-седловой
дуги ki (Kf) и ю-седловой дуги л| (К+)-
Обозначим через Ml (М\ ) и Мt (M\+) конец седловой дуги А.; (к\~) и соот-
соответственно конецседловойдуги %t (?wT)i принадлежащий траектории L-L {L\).
В силу замечания 2 к лемме 7 § 28 точка М+ (М'о+) соответствует на Lo (L'o)
значению t большему, чем точка А (А'), точка В (В') — значению t боль-
большему, чем M~R (M'R), и каждая точка Mi (Ml+) — значению t большему,
чем точка М\ (М\~). Всегда можно взять точку Р (Р') дуги at (a[), столь
близкую к концу А (А1) этой дуги, чтобы: а) проходящая через точку
JP (Р') траектория LP (L'P-) последовательно пересекла все дуги Я|(?ч+)
и %Х (к\~) и, наконец, дугу bt (b[). Обозначим через Щ (N\+) и Nj (N'f)
точки пересечения траектории Lp (L'r-) с дугами к$ (^+) и %1 (к\~) и соот-
соответственно через Q (Q') — ее точку пересечения с дугой b± (b[); б) все
траектории, пересекающие часть АР (А'Р') дуги <% (а[), при возраста-
возрастании t пересекали часть M*N+ (AI'0+N'0+) дуги л+ (к'0+), а затем часть
M~N~ GV/j"iVj") дуги Kl (k'f) и т. д. и, наконец, часть BQ (B'Q') дуги bt (b^)
(ср. доказательство теоремы 72).
Дуга PQ траектории LP, очевидно, делит область Па ь на две обла-
области. Одна из этих областей — обозначим ее через Hj — полностью ана-
аналогична самой области Па ь , другая область П2 является элементарным
четырехугольником. Дуга P'Q' траектории L'p- делит область Х\'а-ъ- на
аналогичные области П{ и П^. Рассмотрим замыкание областей Г1± (П()
и П2 (П^), т. е. nt (П[) и П2 (П2). Очевидно, замкнутая область llj (П^)
частями MtNt (М\+Щ+) дуг Kt (K+) и частями М~гМ{{М'сЩ-) дуг lj (k\)
разделяется на замкнутые элементарные четырехугольники и седловые
области, имеющие попарно общие граничные дуги, именно, либо дугу
MiNiiM'fN'f), либо дугу М\Щ (М\+Щ+). (Подробное описание границ
этих областей мы опускаем в силу его очевидности; см. рис. 299.) Эле-
Элементарный четырехугольник, в границу которого входит дуга MtNt
(M\+N'{+), будем обозначать через А; (А\), а седловую область, смеж-
смежную с этим четырехугольником, в границу которой входит та же дуга,
через 6г+1 Fj+1), i = 0,1,2, . . ., R — 1, и, кроме того, через Ап (A'R)
обозначим элементарный четырехугольник, в границу которого входит
дуга MrNr (M'r~N'r~). Очевидно, в границу элементарных четырехуголь-
четырехугольников Дг и А\ и седловых областей 6^ и 6j с одинаковыми номерами входят
состояния равновесия, части полутраектории и части седловых дуг,
соответствующих друг другу по схеме.
Установим сначала отождествленное топологическое отображение
элементарных четырехугольников До и Д„, при котором части траек-
траекторий Lo и L'o отображаются друг в друга (и сохраняется направление
по t). При этом очевидно устанавливается топологическое соответствие
между точками дуг M~N~ и M'0~N'0~. Сохраняя это соответствие между
точками этих дуг, установим отождествляющее отображение седловых
областей 6t и 6j, сохраняющее направление по t. Затем устанавливаем
отождествляющее отображение элементарных четырехугольников At и А[
и т. д. и, наконец, элементарных четырехугольников AR и A'R. Каждый
раз соответствие между точками дуг М\Щ и M'fN'f или ЩЩ и М\+Щ+,
установленное при предыдущем шаге, сохраняется. Таким образом, мы
получаем топологическое отображение замкнутых областей flj и Щ друг

494 СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА [ГЛ. XI
на друга, обладающее требуемыми свойствами. При этом устанавливается
соответствие между точками дуги PQ траектории LP и точками дуги P'Q'
траектории L'y. Сохраняя это соответствие, устанавливаем отображение
замкнутых элементарных четырехугольников II2 и Щ. Таким образом,
мы получаем требуемое топологическое отображение замкнутых обла-
областей f[aibi И Щ^.
Перейдем теперь к случаям 2) и 3), т. е. к случаям, когда конец А
дуги at (а соответственно конец А' дуги cQ принадлежит граничной или
угловой дуге траектории или угловой полутраектории, или эллиптиче-
эллиптической дуге. Но граничные и угловые дуги траекторий и угловых полу-
полутраекторий, служащие продолжением одна другой, являются дугами
и полутраекториями одной и той же траектории области G. Следовательно,
в1 случаях 2) и 3) конец А дуги а^ и конец В дуги Ь1 принадлежит одной
и той же траектории Lo системы D и соответственно конец Л' дуги а'х
и конец В' дуги Ь\ — одной и той же траектории Ь'й системы D'. При
этом в случае 2) эти дуги состоят из соответствующих друг другу по схеме
угловых и граничных дуг, а в случае 3) эти дуги являются соответствую-
соответствующими друг другу по схеме эллиптическими дугами. В обоих случаях
области naibl и П„-[,- являются элементарными четырехугольниками.
В силу леммы 10 § 3 в случае 2) всегда существует такое топологическое
отображение замкнутых областей 11а1ГI и Щ'ь', переводящее траектории
в траектории и сохраняющее направление по t, при котором точки дуг Л В
и Л'В', являющиеся соответствующими друг другу по схеме концами
граничных и угловых дуг траектории, отображаются друг в друга. Суще-
Существование требуемого топологического отображения в случае 3) непо-
непосредственно вытекает из леммы 17 § 28.
Таким образом, во всех случаях существует топологическое отобра-
отображение замкнутых областей 11,,^ и П'а-ъг ДРУГ на друга, обладающее
требуемыми свойствами.
Все сказанное относительно замкнутых областей П,,^ и Щ^ спра-
справедливо и для замкнутых областей ПагЬ, п И'а'ъ-- Построим отождест-
отождествляющее отображение замкнутых областей Поо(,2 и И'а'оъ', сохраняющее
направление по t, при котором: а) соответствие между точками дуг AJi^
и А\В\, полученное в силу построенного отображения областей Пщь,
и llajbji сохраняется; б) если в границу замкнутых областей Г1а2(,2,11,','ь;
входят те же траектории Lt (L[) или полутраектории, что и в границу ПП1(|1,
Па'ь^*), то сохраняется также соответствие между точками этих траекторий,
полученное в силу построенного отображения замкнутых областей IInibl
и П'а'ь'. Тем самым, очевидно, устанавливается отображение исходных
замкнутых областей ПаЬ и Щ<ь< друг на друга, удовлетворяющее всем
требуемым свойствам, и, следовательно, лемма доказана.
Замечание 1. Предположим, что заранее задано топологи-
топологическое соответствие Т между точками дуг а и а' (или Ь и Ъ'), при котором
точки А и А' соответствуют друг другу, а также между точками неко-
некоторых (или всех) граничных для ПаЬ и П'а-Ь-. и соответствующих друг
другу по схеме траекторий Lt и Ц, при котором сохраняется направление
*) Ото, очевидно, возможно; см. рис. 294.

§ 29] СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 495
по t (или же между полутраекториями Ц ' и LJ" или дугами). Нетрудно
видеть, что топологическое отображение замкнутых областей П„ь и По-
Подруг на друга, переводящее траектории в траектории и сохраняющее
направление по t, всегда может быть построено таким образом, чтобы
заданное заранее соответствие между указанными граничными точками
этих областей сохранялось. Для этого в проведенном доказательстве
нужно сделать очевидные изменения, именно, в качестве точек А[ а Р'
дуги а' нужно взять не произвольные точки этой дуги, а соответствую-
соответствующие точкам 4[иРв силу заданного соответствия и при построении ото-
отображения замкнутых областей Д? и Д1, bj и Ь] нужно сохранять соответ-
соответствие Т между точками дуг «j и а[, а также между точками особых траек-
траекторий — Li и L'j.
Замечание 2. Предположим, что между точками дуг а и а'
задано топологическое соответствие Т, при котором соответствующие
друг другу по схеме концы этих дуг соответствуют друг другу. Пусть
при отображении замкнутых областей ПоЬ п \Та-ь- друг на друга это
соответствие Т сохраняется. Тогда в силу отображения областей П„ь
и ll'a'b-, в частности, устанавливается топологическое соответствно между
точками дуг Ъ и Ь' (при котором соответствующие друг другу точки при-
принадлежат траекториям, пересекающим дуги а и а' в точках, соответ-
соответствующих друг другу по Т, и соответствующие друг другу концы дуг Ь
и Ъ' сопряжены с соответствующими друг другу концами дуг а и а').
Такое типологическое отображение дуг bub', сопряженных с дугами а
и а' друг на друга, мы будем называть типологическим отображением,
индуцированным заданным топологическим отображением дуг а и а'.
Предположим, что заранее задано топологическое отображение дуг
я и а', Ьп й'друг на друга. Построение такого отождествляющего отобра-
отображения замкнутых областей 11цЬ и На-ь-, соответствующих друг другу
по схеме, переводящего траектории в траектории, при котором заданное
отображение дуг ana', а также дуг bub' сохраняется, очевидно, воз-
возможно в том и только в том случае, когда отображение дуг b и Ь' является
индуцированным.
Перейдем теперь к доказательству основной теоремы. Пусть выпол-
выполняются прежние предположения относительно систем D н ])'.
Теорема 75. Если схемы двух динамических систем I) и J)', рас-
рассматриваемых соответственно в замкнутых областях G* и 6"*, тожде-
тождественны с сохранением ориентации и направления по t, то топологические
структуры разбиений областей G* и G'* соответственно на траекто-
траектории систем D и D' тождественны с сохранением ориентации и направ-
направления по t.
Доказательство. Для доказательства теоремы достаточно
показать, что существует топологическое отображение замкнутых облас-
областей G* и G'*, переводящее траектории системы D и траектории системы D'
друг в друга (т. е. отождествляющее отображение), сохраняющее ориен-
ориентацию и направление по t. Зададим для каждой из систем I.) u D' фик-
фиксированную правильную систему канонических окрестностей. Как
у системы D, так и у системы D' рассмотрим следующие замкнутые
области (являющиеся каноническими окрестностями или их частями):
1) все замкнутые эллиптические области канонических окрестно-
окрестностей состояний равновесия;
2) все правильные параболические секторы этих окрестностей;

496 СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ II ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА (ГЛ. XI
3) все замкнутые канонические окрестности свободных узлов;
4) все канонические окрестности центров;
5) все канонические окрестности со-, а- и О-нредельных континуумов;
E) все замкнутые кольцевые области, заключенные между парами
сопряженных со- и а-циклов;
7) все замкнутые кольцевые области, заключенные между сопря-
сопряженными каноническими кривыми О-предельных континуумов;
8) все замкнутые области между сопряженными со- и а-дугами (т. е.
области типа ПаЬ).
Таким образом, все седловые секторы канонических окрестностей
состояний равновесий попадают в одну из областей 4), 5) или 8).
У всех перечисленных замкнутых областей, кроме границ нет общих
друг с другом точек, и всякая точка области G* соответственно G'* при-
принадлежит одной из перечисленных замкнутых областей. Так как схемы
динамических систем D и D' тождественны, то между всеми замкнутыми
областями перечисленных типов системы D и всеми такими областями
системы D' существует взаимно однозначное соответствие по схеме, при
котором области одинакового типа соответствуют друг другу, причем
если в границы соответствующих друг другу областей входят особые
элементы, то они являются соответствующими друг другу но схеме осо-
особыми элементами систем D и D'. Кроме того, доказано существование
топологического отображения соответствующих друг другу по схеме
областей типа 1) — 8), при котором траектории переводятся в траектории
и сохраняются ориентация и направление по t (см. п. 4, § 18). Однако
для построения нужного топологического отображения замкнутых облас-
областей G* и G'* друг на друга в целом, очевидно, необходимо показать, что
отображение этих частичных областей может быть должным образом
согласовано на их общих границах. Для построения таких согласованных
ДРУГ с другом отображений частичных областей рассмотрим прежде всего
все ос-циклы и а-дуги систем D и D' и установим топологическое отобра-
отображение между точками соответствующих друг другу по схеме а-циклов
и а-дуг.
Именно установим: 1) произвольное топологическое отображение,
сохраняющее ориентацию соответствующих друг другу по схеме а-циклов
Са и С'а; 2) произвольное топологическое отображение, сохраняющее
ориентацию соответствующих друг другу по схеме циклических дуг а
и я', при котором концы этих дуг отображаются друг в друга; 3) произ-
произвольное топологическое отображение простых а-дуг а и а', соответствую-
соответствующих друг другу по схеме, при котором соответствующие друг другу по
схеме концы этих дуг соответствуют друг другу.
Установив такое отображение а-циклов и а-дуг, определяем ото-
отображение соответствующих друг другу по схеме «-циклов Са и С« и ш-дуг
Ъ и Ъ' как индуцированное отображением сопряженных с ним а-цнклов
или соответственно а-дуг. Таким образом, соответствующие друг другу
точки ю-циклов Са и C« и отличные от концов точки ю-дуг Ь и Ь' при-
принадлежат траекториям, пересекающим сопряженные а-циклы или а-дуги
в соответствующих друг другу точках. Соответствующие друг другу
концы оо-дуг bub' являются сопряженными с соответствующими друг
другу концами а-дуг а и а'. Установив отображение ю- и а-циклов и ю-
и а-дуг, мы тем самым устанавливаем отображение друг на друга всех
соответствующих Друг другу по схеме циклов без контакта среди кри-
кривых С и (у), как свободных, так и несвободных (принадлежащих соответ-

§ 29] СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 497
ствующим друг другу по схеме предельным континуумам и свободным
узлам). Кроме того, мы устанавливаем при этом также отображение
друг на Друга всех соответствующих друг другу по схеме параболических
дуг и граничных дуг без контакта. Будем это отображение соответствую-
соответствующих Друг другу по схеме ю- и а-циклов, ю- и а-дуг, а также несвободных
циклов без контакта и параболических дуг называть «отображением Т».
Очевидно, в силу отображения Т устанавливается отображение друг
в друга отдельных точек особых элементов систем D и D', именно, точек,
являющихся концами соответствующих друг другу по схеме элемен-
элементарных дуг. Кроме того, устанавливается также отображение концов
соответствующих друг другу по схеме эллиптических дуг друг в друга.
Предположим, что все замкнутые области указанных выше типов
1) — 8) перенумерованы как в системе D, так и в системе D', и при этом
у соответствующих друг другу областей номера одинаковы.
Пусть hi, k2, . . ., hN и h\ = в (hi), k'2 = 6 (h2), ¦ ¦ -, h'N = 6 (hN)—
эти замкнутые области, выписанные в порядке нумерации (каждая из
областей к( и h\ является одной из замкнутых областей типа 1) — 8)).
Будем последовательно в порядке нумерации устанавливать топологиче-
топологическое отображение соответствующих друг другу по схеме замкнутых
областей /гг и к\, при котором траектории переводятся в траектории,
сохраняются ориентация и направление по t и, кроме того, выполняются
следующие дополнительные условия: а) в точках а- и ю-дуг или а- и
оо-циклов, входящих в границы рассматриваемых областей 1ц и h\, это
отображение совпадает с отображением Т, установленным выше (в частно-
частности, оно совпадает с Т в точках особых элементов, являющихся концами
элементарных дуг, и в концах эллиптических дуг); б) если у областей
номера io (Ый и h\0) есть общие грапичные точки с областями мепыпего
номера, то в этих точках отображение областей Л;о и 1г\0 совпадает с уже
построенным отображением замкнутых областей меньшего номера
(т. е. областей kt и h\, где i = 1,2, . . ., i0 — 1).
Указанные условия а) и б), очевидно, всегда могут быть выполнены.
Таким образом, мы получаем отождествляющее отображение замкнутых
областей G* и G'* друг на друга, переводящее траектории в траектории,
сохраняющее ориентацию и направление по t, и теорема доказана.
Из доказанной теоремы и элементарных рассуждений, которые мы
опускаем, вытекает следующая
Основная теорема 76. Для того чтобы топологические
структуры разбиения на траектории динамических систем D и D' в зам-
замкнутых областях G* и G*' были тождественны, необходимо и достаточно,
чтобы схемы этих систем были тождественны.
5. Схема динамической системы на сфере. Схема динамической систе-
системы, определенной на плоскости и отображенной на сферу Пуанкаре. В гла-
главах VIII, X и XI мы рассматривали динамическую систему в некоторой
ограниченной плоской области. Все понятия, которые введены в этих
главах, полностью относятся также п к случаю, когда рассматривается
динамическая система на сфере в смысле § 2. Необходимо только внести
некоторые очевидные изменения.
Таким образом, полностью аналогично может быть рассмотрена
схема динамической системы на сфере. Эта схема может задаваться как
таблицей, так и схематическим рисунком. Очевидно, в схеме динамиче-
динамической системы на сфере отсутствует схема «границы области».
32 А. А. Андропов и др.

498 СХЕМА ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ И ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА ЕГЛ. XI
В случае, когда динамическая система, определенная на плоскости,
рассматривается на сфере Пуанкаре, мы также можем совершенно ана-
аналогично рассматривать «схему динамической системы на сфере Пуан-
Пуанкаре». При этом мы должны рассматривать «схему экватора». Не оста-
останавливаясь подробно на этом вопросе, представляющемся довольно про-
простым, отметим все же, что для написания схемы экватора нужно: 1) ука-
указать, является ли экватор предельным циклом или нет, и в случае, когда
он является предельным циклом, указать, является ли он со- или «-пре-
«-предельным, и указать все стремящиеся к нему особые траектории; 2) ука-
указать все лежащие на экваторе состояния равновесия в случае, когда
экватор не является предельным циклом, и указать полные схемы всех
этих состояний равновесия.
В следующей главе, рассматривая конкретные примеры, мы по пре-
преимуществу будем рассматривать динамические системы на сфере Пуан-
Пуанкаре и при этом будем пользоваться не табличной записью схемы, а схе-
схематическим рисунком, как более понятным и обозримым.

ГЛАВА XII
КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ «В ЦЕЛОМ»
КОНКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Настоящая глава состоит всего из одного параграфа. В нем на осно-
основании приемов исследования динамических систем, рассмотренных в гла-
главах IV и VI, устанавливается схема ряда конкретных динамических
систем. Почти все эти системы возникли из приложений в различных
областях физики.
§ 30. Примеры
Пример [1 [67].
у — x2 + у2 ~[Q (x, у).\
Л A, 0) и В(—1, 0) — неустой-
— интегральная прямая. Система
х = 2ху == Рх(х,'у), у = 1 -+
Состояния равновесия следующие:
чивые фокусы. Легко видеть, что а: = 0
симметрична относительно оси у. Пре-
Предельных циклов нет согласно крите-
критерию Дюлака. Действительно, возь-
возьмем в качестве функции Дюлака
F (х, у) = х~2. Тогда выражение
diPF) , d(QF) I
—\—' -I ^—- = -; сохраняет знак.
дх ду xs
Рассматривая систему на сфере
Пуанкаре, можно показать, что на
экваторе сферы имеются два седла —
концы оси у (рис. 300) *).
Пример 2 [67].
У=— У A—4ж2+3у2) = Q (х, у).
Состояния равновесия следую-
следующие: О @, 0) — седло, А± A, 1),
A2(l,—i), А3 (—1, 1), Л4(—1, —1) —
устойчивые фокусы. Нетрудно видеть, что оси х = 0 и у = 0 — интег-
интегральные прямые, и векторное поле системы симметрично относительно осей
хшу. Предельных циклов нет согласно критерию Дюлака. Действительно,
Рис. 300.
*) Здесь, как и дальше, рассматривается проекция полусферы на круг (см. § 13).
32*

500 КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ «В ЦЕЛОМй КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. XII
возьмем в качестве функции Дюлака F (х, у) = х З'^у-2. Тогда выражение
I d{QF) ._ х*
дх
ду
в каждой четверти плоскости (х, у) сохраняет знак.
Можно показать, что на экваторе сферы Пуанкаре имеются две пары
седел — концы осей ж и у (рис. 301).
Пример 3 [68].
Состояния равновесия: О @, 0) — устойчивый узел, А @, 1)
и В @, —1) — седла, С A, 0) и D (—1, 0) — неустойчивые узлы. Оси
Рис. 301.
Рис. 302.
аг = О и г/ = О — интегральные прямые. Картина симметрична относи-
относительно осей координат. Предельных циклов нет, так как через все состоя-
состояния равновесия проходят интегральные прямые.
Осталось установить поведение сепаратрис. Рассмотрим семейство
окружностей х2 + уа == С. Дифференцируя в силу системы (см. § 3,
п. 13), получим
It =2(ж2+е/2)(ж2 + У2 + 1)(*2 + У2— 1).
Отсюда непосредственно видно, что х2 + J/z= 1- -интегральная кривая.
п « d(i2 + V2) ^ d{a;2 4-vz) гч
оне зтои окружности —-—' > 0, а внутри —ч 7 <С 0, т. е. все
окружности ж2 + У2 = С при С =^= 1 являются окружностями без контакта
с траекториями системы. Следовательно, бесконечность абсолютно устой-
устойчива (рис. 302).
Пример 4 [69].
х = {х— у)*— 1, У = (х^гуу — 1. A)
Нетрудно видеть, что система A) обладает центральной симметрией.
'Состояния равновесия: А @, 1) и В @,-1) — седла, С A, 0) — неустой-

§ 301
ПРИМЕРЫ
501
чивый фокус, a D (—1, 0) — устойчивый фокус. Векторное поле сис-
системы A) повернем на угол 45°. Получим
х=-2ху,\ у = х* | уа-1. B)
Система B) может быть проинтегрирована. Ее общее решение: х (^ +
+ J/2 — 1) — С (рис. 303, й). Замкнутые кривые системы B) возьмем
в качестве топографической системы. Покажем, что система A) не имеет
предельных циклов. В самом деле, поскольку система A) обладает цен-
центральной симметрией, она могла бы иметь лишь четное число циклов
вокруг фокусов С и D. Однако каждый такой цикл пересекал бы зам-
замкнутые кривые топографической системы, как входя внутрь их, так и выхо-
выходя наружу с ростом t, что невозможно, так как эти замкнутые кривые
являются кривыми без контакта с траекториями. Для вычисления
Рис. 303.
наклонов сепаратрис в седле А @, 1) получается следующее квадратное
уравнение: к2 — 27с — 1 = 0, откуда ки2 = 1 ± \^2. Из симметрии
следует, что те же наклоны сепаратрис будут и в седле В @, —1).
Отметим, что траектории системы A) при х > 0 пересекают замкну-
замкнутые кривые топографической системы, с ростом t выходя наружу, а при
х ^ 0 — с ростом t входя внутрь замкнутых кривых топографической
системы. Отсюда следует, что одна со-сепаратриса седла А и одна со-сепа-
ратриса седла В при t ->¦ — оо стремятся к фокусу С A, 0), а также то,
что одна а-сепаратриса седла А и одна а-сепаратриса седла В при t —>¦
-> -j- оо стремятся к фокусу D (—1, 0). Остальные четыре сепаратрисы
не могут стремиться к фокусам. Покажем, что эти сепаратрисы стремятся
к бесконечности.
Рассмотрим поведение траекторий системы в бесконечности. С помо-
помощью преобразования Пуанкаре у =-, х = - и умножения полученных
2 Z
уравнений на z получим
dt
, Z),
C)
z).

502 КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ «В ЦЕЛОМ» КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. XII
При z = 0 получим уравнение для определения состояний равновесия
/ (т) = т3 + г2 — Зт — 1 = 0. Имеем /' (т) = Зт2 + 2т + 3. Этот квад-
квадратный трехчлен сохраняет знак, значит, уравнение / (т) = 0 имеет
только один действительный корень, причем значение т0, соответствую-
соответствующее этому корню, должно быть положительным, так как / @) = — 1,
/' (т) > 0. Вычисляя частные производные от правых частей системы C)
в точке z = 0, т = г0, получим
А = {P-XQ-Z - Р'&H = A + 2т0 + xl) C + 2т0 + Зт*) > 0,
Значит, z = 0, т = т0 — устойчивый узел. Можно показать, что сис-
система, получаемая с помощью преобразования Пуанкаре х = -, у — -
Z Z,
не имеет состояний равновесия на концах оси х. Таким образом, на эква-
экваторе сферы Пуанкаре у системы A)
имеется пара узлов, устойчивый
и неустойчивый (рис. 303, б).
Теперь поведение сепаратрис се-
седел А и В, которые не стремятся
к фокусам, устанавливается одно-
однозначно. Принимая во внимание знак
выражения для х на оси у, получим,
что две сепаратрисы, выходящие из
седел в область х > 0, при t —>¦ -f- oo
стремятся к устойчивому узлу в бес-
бесконечности, а сепаратрисы, выходя-
выходящие из седел в область х < 0, при
t —*- — оо стремятся к неустойчиво-
неустойчивому узлу в бесконечности.
Пример 5 [62].
Рис. 304. х = г/, у = — х — ау — цх2 — у2,
где параметры (Л и а положительны.
Система имеет два состояния равновесия: О @, 0) — устойчивый
фокус или узел и А ( , 0) — седло. Предельных циклов и замкнутых
контуров, составленных из траекторий, система не имеет (см. § 12, п. 6,
пример 6).
Из рассмотрения поведения траекторий в бесконечности следует, что
для этой системы на экваторе сферы Пуанкаре имеется пара узлов —
положительный конец оси у — неустойчивый узел, и отрицательный
конец оси у — устойчивый узел. Теперь можно однозначно установить
А
поведение - сепаратрис седла А (— , 0). Обе to-сепаратрисы выходят из
узла в бесконечности, так как других а-предельных множеств нет. Одна
а-сепаратриса уходит в узел в бесконечности, так как она не может попасть
в точку О, не пересекая со-сепаратрис, а другая а-сепаратриса не может
попасть в узел в бесконечности и стремится к фокусу или узлу О @, 0)
(рис. 304)."
П р им ер 6 [70].
у),
у).

§ зе]
ПРИМЕРЫ
503
Рассмотрим качественную картину для этой системы при п > 3.
Состояния равновесия следующие: О @, 0), А @, 1), В C, 0) — седла
^ Л , которое может иметь следующий характер: 1) п > 5, С —
устойчивый фокус; 2)
У~128 _
-„- < n
77=^"
n ^ 5
5, С — неустойчивый фокус;
,,, ., . , 11 + У~128
А) о < п <Г —-'- —, С — не-
неустойчивый узел. Узел и фокус
топологически эквивалентны, по-
поэтому мы будем различать два слу-
случая: п > 5 и 3<«<5. Очевид-
Очевидно, х=0 и г/ = 0 — интегральные
прямые. Рассматриваемая система
не имеет замкнутых контуров, со-
составленных из траекторий (см. § 12,
п. 6, пример 7).
В случае п = 5, как нетрудно
убедиться непосредственной про-
проверкой, система имеет решение
ху3 (~ -\- у — IJ = С. Исследо-
Исследование кривых этого семейства
6}
Рис. 305.
показывает наличие континуума замкнутых траекторий, следовательно,
состояние равновесия С при п = 5 является центром. В этом
случае сепаратриса идет из седла А в седло В (рис. 305, а).
Выше было показано (см. пример § 13, п. 3), что на экваторе сферы
Пуанкаре будем иметь: 1) концы осп у — устойчивый и неустойчивый
узел; 2) концы оси х — неустойчивый и устойчивый узлы и 3) пара точек
во II и TV четвертях — устойчивый узел (IV четверть) л неустойчивый
узел (II четверть).
Теперь легко установить поведение сепаратрис. Рассмотрим два слу-
случая: 1) п > 5. Поскольку система не имеет замкнутых контуров, состав-
составленных из траекторий, со-сепаратриса седла А ие может выходить из сед-
седла В. Значит, она выходит из неустойчивого узла на конце оси ж, так

fH4 КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ «В ЦЕЛОМ» КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. XII
как фокус С и конец оси у устойчивы; а-сепаратриса седла В при t — оо
стремится к фокусу С, так как не может уходить в бесконечность, не пере-
пересекая сепаратрису седла А (рис. 305, б). 2) 3 < п < 5. Состояние равно-
равновесия С неустойчиво, со-сепаратриса седла В стремится к концу оси у —
других возможностей для нее нет. Сепаратриса седла А при t -*¦ — оо
стремится к состоянию равновесия С, так как она не может уходить в бес-
бесконечность, не пересекая сепаратрису седла В. Поведение остальных
сепаратрис устанавливается однозначно (рис. 305, в).
Пример 7 [70].
х = хF — х — у), у = у(:г—1).
Система имеет три состояния равновесия: О @, 0) и А C, 0) — седла,
С A, 2) — устойчивый фокус. Очевидно, а; = 0 и у = 0 — интегральные
прямые. Система не имеет замкнутых
контуров, составленных из траекторий
(см. § 12, п. 6, пример 7).
Рассмотрим поведение траекторий
в бесконечности. В результате преобразо-
т 1
вания Пуанкаре х = - , у = - и последую-
2 Z
щего умножения правых и левых частей
полученных уравнений на z будем иметь:
dx
dt
dz . .
Рис. 306.
Эта система имеет два состояния равнове-
сия при z = 0: 1) xl= 0, z = 0, 2) т2 = — »,
z = 0. Корни характеристического уравне-
уравнения для состояния равновесия т — z — 0
следующие: Х4 = — 1, Х2 = 0. Очевидно,
оси координат т и z являются интегральными прямыми. Принимая во вни-
внимание направление движения на них и возможные типы соответствующих
состояний равновесия (см. теорему 65, § 21), заключаем, что данное
состояние равновесия является седло-узлом. При z < 0 у него будет
узловая область. Поскольку по направлению 1 = 0 в состояние равно-
равновесия входит бесчисленное множество траекторий, а по направлению
z = 0 входят две траектории, то полуоси оси z = 0 являются сепара-
сепаратрисами. Таким образом, при z > 0 будут седловые области. На эква-
экваторе сферы Пуанкаре этому состоянию равновесия соответствует пара
точек — концы оси у. Следовательно, конец положительной полуоси
является седлом, а конец отрицательной полуоси является неустойчивым
узлом. Нетрудно показать, что состояние равновесия z = 0, х = — ^
является неустойчивым узлом, которому соответствует на экваторе сферы
Пуанкаре пара точек: во II четверти — неустойчивый узел и в IV чет-
четверти — устойчивый узел. С помощью другого преобразования Пуан-
каре х = -, у = - можно показать, что конец положительной полуоси
х — неустойчивый узел, а конец отрицательной полуоси х — устойчивый
узел. Теперь поведение всех сепаратрис устанавливается однозначно
(рис. 306).

§ 3ii] примеры 503
Пример 8 [71].
х=х{у — Р), г/ = р(а — у) — кху.
Все параметры положительны. С помощью преобразования х± = сф/сж
система может быть приведена к виду (в прежних обозначениях для
переменных):
х = х(у — р), у = а — $у — ~ху,
где а = ар. Эта система имеет два состояния равновесия: А (О, -А
и В Й (а — р2), р]. Если а < р2, то Л — устойчивый узел, Z? — седло;
если а > р2, то А — седло, В — устойчивый узел *). Очевидно, х = 0 —
интегральная прямая. Легко проверить, что прямая $х -\- а$у — а2 = О,
проходящая через точки А и В, также является интегральной прямой.
Наличие этих двух интегральных прямых доказывает отсутствие пре-
предельных циклов.
Рассмотрим поведение траекторий в бесконечности. С помощью пре-
преобразования Пуанкаре х = -, у = - и последующего умножения правых
2 Z
и левых частей полученных уравнений на z получим:
dx . 1 „ , dz 1
При z = 0 эта система имеет два состояния равновесия: 1) Tt = 0, z = О,
2) %i = ¦— a, z = 0. Полностью аналогично рассмотрению, проведенному
в примере 7, можно показать, что состояние равновесия т = z = 0 —
седло-узел, причем узловая область лежит в области z >0, седловые — в
области z < 0, а полуоси оси z = 0 — сепаратрисы. Состояние равновесия
z = 0, т = —а —устойчивый узел. С помощью преобразования Пуанкаре
1т - „ ^
х = -, у = - и последующего умножения на z обеих частей уравнении
Z
получим
dX 1 „ „ dz .„ .
-^-=- —x-T2 + az2, _=z(pz_t).
Состояние равновесия z = т = 0 данной системы, как показано в при-
примере 1 § 22, является седло-узлом, причем узловая область принадлежит
области z < 0, а седловые — области z > 0. На экваторе сферы Пуанкаре
будем иметь: 1) концы оси х — седло и неустойчивый узел, 2) концы
оси у — неустойчивый узел и седло, 3) концы прямой х -\- ау = 0 —
устойчивый и неустойчивый узлы (рис. 307, а, б).
Пример 9 [72].
Состояния равновесия следующие: О @, 0) — неустойчивый узел,
1 3
А@, g) и В F, —к) — седла. Система не имеет предельных циклов, так
как если бы существовал предельный цикл, то он охватывал бы узел О,
что невозможно, так как х = 0 — интегральная прямая.
*) При а = р2 состояния равновесия А ш В сливаются, образуя сложное состоя-
состояние __ равновесия.

506 КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ «В ЦЕЛОМ» КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. XII
Рассмотрим поведение траекторий в бесконечности. С помощью пре-
1 т
образования Пуанкаре х = -, у = - система приводится к виду
dx
1
dz
~dt
—0+40-
При z = 0 эта система имеет одно состояние равновесия: z = т -- 0. Как
показано в примере 3 § 22, это — сложное состояние равновесия с зам-
замкнутой узловой областью. Полуоси оси z = 0 являются сепаратрисами
и при z < 0 ни одна траектория не стремится к состоянию равновесия
ни при ? —>- оо, ни при t —*-— оо. С помощью другого преобразования
Пуанкаре а; = -, у = -
2 Z
Рис. 307.
можно показать, что конец положительной полу-
полуоси у — неустойчивый узел, а конец отрицательной полуоси у — устой-
устойчивый узел.
Теперь можно однозначно установить поведение сепаратрис седел.
Легко видеть, что со-сепаратрисы седла А совпадают с осью у. Рассмотрим
сс-сепаратрисы седла А. Сепаратриса, проходящая в полуплоскости х < 0,
стремится к отрицательному концу оси у, так как все другие состояния
равновесия при х ^ 0 неустойчивы. Принимая во внимание, что у > 0
на положительной полуоси х, заключаем, что сепаратриса, проходящая
в полуплоскости х > 0, стремится к положительному концу оси х. Пове-
Поведение всех четырех сепаратрис седла В также устанавливается одно-
зпачно (рис. 308).
Пример 10[73).
х = — х B + у), у = ах + Ру,
где a =jfc Оир^О. Сделаем замену: х = ах. Система примет вид (в прежних
обозначениях для переменных):
х = — х (у f 2), у = х -\- ру.
Состояния равновесия следующие: О @,0) и А Bр,—2). При р>0 О — сед-
седло, а при р<0 О— устойчивый узел. Угловые коэффициенты траекторий
в состоянии равновесия О следующие: fct = —„ ,-й и

§ 30]
ПРИМЕРЫ
507
(см. § 9, п. 7, пример 3). Состояние равновесия А будет: 1) при C < 0 —
седло, 2) при 0 < р < 8 — неустойчивый фокус, 3) при C > 8 —
неустойчивый узел.
Заметим, что х = 0 — интегральная прямая. Система не имеет пре-
предельных циклов (см. § 12, п. 6, пример 8).
Рассмотрим поведение траекторий в бесконечности. В результате
1 т
преобразования Пуанкаре х = -, у = - получим
dx
dt
dz
dt
Отсюда получается при z = 0 одно состояние равновесия: z = т = 0.
Как было показано выше (см. пример 4 § 22), это — сложное состояние
равновесия с замкнутой узловой об-
областью. Можно показать, что в полу-
полуплоскости z > 0 к состоянию равно-
равновесия z = г = 0 не стремится ни одна
траектория. С помощью другого преоб-
преобразования Пуанкаре х = -, у = - по-
получим
При z = 0 имеется одно состояние рав-
равновесия: z = г = 0. Корни характе-
характеристического уравнения для него сле-
следующие: %1 = — 1, К2 = 0. Принимая Рис- 308.
во внимание возможные типы таких
состояний равновесия (см. теорему 65, § 21), а также направления
движения по осям координат гит, являющимся интегральными пря-
прямыми, заключаем, что состояние равновесия z = т = 0 есть седло-узел,
для которого полуоси оси z = 0 являются сепаратрисами. Нетрудно
видеть, что в случае C > 0 при z > 0 будет узловая область, а при z < 0
седловые, а в случае р < 0 — наоборот.
Теперь поведение сепаратрис устанавливается однозначно
(рис. 309, а, б).
Пример 11 [72].
Рассмотрим случай п > 1, К > 0. Система имеет два состояния равно-
равновесия: О @, 0)пА [ Г,- ;. Можно показать, что О — седло-узел
(см. пример 6 § 22). Наклоны сепаратрис в точке О: kt =
кг = оо.
Легко видеть, что А — седло. Предельных циклов нет в силу характера
состояний равновесия.
Рассмотрим поведение траекторий в бесконечности. С помощью
1 т
преобразования Пуанкаре х = - и у — - и умножения полученных

508 КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ «В ЦЕЛОМ» КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. XII
уравнении на z получим:
dx
dz
7 rf
1—п ' 1—п ' dt
При z = 0 эта система имеет одно состояние равновесия: т = z = 0.
Можно показать, что это — сложное состояние равновесия с замкнутой
узловой областью (см. пример 7 § 22). Как и в примере 9, можно пока-
показать, что при z < 0 все траектории проходят на конечном расстоянии
О
Рис. 309.
от состояния равновесия. С помощью другого преобразования Пуанкаре
1 т
у =- , х = - можно показать, что «концы» оси у являются узлами —
Z Z
неустойчивым и устойчивым. Принимая во внимание направление движе-
движения траекторий на изоклинах вертикаль-
вертикальных и горизонтальных наклонов, а так-
также при у = 0, поведепие сепаратрис
седло-узла О и седла А теперь однозна-
однозначно определяется (рис. 310).
Пример 12 [74].
где х > 0. В п. 8 § 9 мы доопределили
эту систему для х <; 0 и нашли состоя-
состояния равновесия при х > 0 : О @, 0) —
неустойчивый узел и А A44, 0) — седло.
Система не имеет замкнутых контуров,
составленных из траекторий, в силу
критерия Бендиксона.
Рис. 310. Наклоны сепаратрис в седле опре-
определяются из уравнения к2 — 7/с —
— 6 = 0, откуда/с112 = 2:'1г '7"^"^ -Оси координат являются изоклинами:
ось х является изоклиной вертикальных наклонов, а ось у является
изоклиной наклонов, равных 7.
Рассмотрим логические возможности для поведения сепаратрис Lt,
L2, L3 и L4 (рис. 311, а). Сепаратриса Llf очевидно, уходит в бескопеч-

30
ПРИМЕРЫ
509
ность в полуплоскости у > 0, так как если бы Lt пересекала ось х при
х < 144, то у сепаратрисы ?4 не было бы а-предельных точек. Сепара-
Сепаратриса L2 выходит из босконочности в полуплоскости х < 0, так как если бы
L2 пересекала ось х при х < 144, то у сепаратрисы L3 не было бы со-пре-
дельных точек.
Сепаратриса L3 либо уходит в бесконечность, либо уходит через
ось у из рассматриваемой области. Покажем, что осуществляется вторая
возможность: х < 0 при у < 0, значит, вдоль L3 x убывает. Пусть вдоль
L3 у -*¦ — оо, х —>- х0, т. е. L3 асимптотически стремится к прямой х = х0.
М
4? L,
aj
Рис. 311.
Тогда sup
= оо. Но ^ = 7 +
У
— 12) —> 7 при х ->- х0, у
->¦ — оо, значит, ь3 пересекает ось у.
Для поведения сепаратрисы L4 имеются следующие три логические
возможности: 1) L4 выходит из узла О, 2) L,t пересекает с убыванием t
ось у, 3) L4 выходит из бесконечности.
Третья возможность не может осущест-
осуществиться. В самом деле, х > 0 при у > О,
значит, с убыванием f на t4 г убывает и
.я—>-жо< 144. Но если х ограничено, то г/>0
при у достаточно большом, т. е. при убыва-
убывании t у убывает. Рассмотрим вторую воз-
возможность. Найдем критические направления
в узле О. Для них получим уравнение
к2 — 7/с + 12 = 0, откуда kt = 3, к2 = 4.
Рассмотрим изоклину углового коэффициен-
коэффициента, равного 4. Ее уравнение Зг/ = х A2 —У а;).
На этой изоклине у' = 4 — ¦= ух. Таким
образом, наклон траекторий больше наклона 1)|И. ;51.,_
изоклины во всех точках изоклины кроме
х = 0. Тогда в область а извне не может
войти ни одна траектория (рис. 311, б). Предположим, что сепарат-
сепаратриса Lt выходит не из узла О, а из какой-то точки М на оси у.
Но тогда траектория, выходящая из какой-нибудь точки отрезка ОМ
с ростом t попадает в замкнутую область, ограниченную изоклиной,
сепаратрисой и отрезком ОМ, из которой она не может выйти. Получен-
Полученное противоречие доказывает, что вторая возможность не может осуще-
осуществляться. Таким образом поведение сепаратрис установлено однозначно
(рис. 312).

510 КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ «В ЦЕЛОМ» КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. XII
Пример 13 [75].
1—р
Физический смысл имеет часть плоскости, ограниченная неравен-
неравенством 1 + 6х > 0, при этом е>0, 0< р< ъ_'•
О
В рассматриваемой часть плоскости система имеет два состояния
1 1 >~j з
равновесия: Ot (—1,1) и 02(я2, г/2), ГДО х2 = ~2 в" 1/"й—Т' ^2==
Рис. 313.
Состояние равновесия 0t (— 1, 1) — узел или фокус,
ft ft
^—- и неустойчивый при е < ^ к R , состояние
равновесия О2 (х2, у?)—седло.
Рассмотрим поведение сепара-
сепаратрис седла О2 (рис. 313). Изо-
Изоклины вертикальных и горизон-
тальных наклонов у = ~гцж~
(А) и ж + У2==0 (В) разбивают
рассматриваемую часть пло-
плоскости на области, в которых
х и у сохраняют знак. Накло-
Наклоны сепаратрис в седле опреде-
определяются из уравнения
Отсюда к± и к2 оба отрицательны,
так как е > 0, 1 -(- ра; > 0, г/2 > О,
О <; р < о". Сепаратриса L4 при
t —> — со уходит в бесконечность, сепаратриса L4 пересечет прямую
х= —р-, с ростом <. Рассмотрим ход сепаратрисы L2. Она выходит
из седла в область, где х > 0, у < 0. Для ее поведения существуют
следующие пять логических возможностей: 1) L2 уходит в бесконечность,
асимптотически приближаясь к оси х, 2) L2 выходит из рассматриваемой
области, пересекая прямую 1 + Рж = 0 или уходя в бесконечность,
(в полуплоскости у < 0), 3) L2—> €>!, 4) L2 стремится к предельному циклу
вокруг О1т 5) L2 —> О2.
Первая возможность не может осуществляться, так как в
области, где х > 0, у < 0, при достаточно больших х и 0 < у < у2
можно указать такое число iV>0, что -~~ = -—-^^_~Т У, лггъ\ <Z — N.
Таким образом, сепаратриса L2 пересекает изоклину (В) и выходит
в область, где ж-<0, у<0. При дальнейшем возрастании t может
осуществиться одна из возможностей 2) — 5).
Покажем, что в некоторых областях значений параметров система
не имеет предельных циклов. Заметим, что предельные циклы, если они
существуют, должны лежать либо справа от прямой х = х2, либо слева

S 30]
ПРИМЕРЫ
511
J
от прямой х — х°, где х° — абсцисса точки пересечения сепаратрисы L2
с изоклиной у = ~-rj^Lr - Воспользуемся критерием Дюлака. Полагая
Р (х, у) — е2ех, получим
Wx ' ду~ ~~ 1 + Рж в V 1
Это выражение равно нулю на прямой х — —
ложена слева от прямой х = х2, если -^- -
откуда 4еA—Р)> — P^f |^PD —3P). Значит, при этом циклов нет.
di/ х -г- ?/2
Далее, рассмотрим уравнение -™- = — е -!—, получающееся из
первоначального при Р=1. Его общий интеграл е2ЕХ (-^- — х — y^J — k.
Рассмотрим дугу % траектории этого уравнения, проходящую через
p- - Эта прямая распо-
р < ~2~ р"+ к "р"~"'
Рис. 314.
седло Ог до пересечения с изоклиной (В). В области, где ж>0, у < О,
дуга этой траектории будет дугой без контакта для траекторий
системы A). В самом деле,
Наклон в седле О2 дуги X равен нулю, а сепаратрисы L2 —отрицателен.
Значит, она пересекает изоклину (В) левее, чем дуга %. Найдем а*—-
абсциссу точки пересечения дуги К и изоклины (А):
о2е,х*
2е
2е
Отсюда
1 - ехо
*Т2/ Р
- 2е ( х* - - 4- — - l/-
^ 2+р К р 4
(С)
Таким образом, рассматриваемая система не имеет продельных циклов
при значениях параметров, удовлетворяющих неравенствам 0 < Р < ^ ,

512 КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ «В ЦЕЛОМ» КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. XI]
2е A -Ь Р^*) ^ $i где х* — положительный корень уравнения (С). Итак,
для значений параметров е и р, при которых система не имеет предельных
циклов, поведение сепаратрисы L2 определяется характером устойчи-
устойчивости состояния равновесия С*! (—1, 1).
Поведение сепаратрисы L3 определяется поведением сепаратрисы L2
(рис. 314, а, б).
Пример 14 [76].
Система имеет два состояния равновесия: А (О, —1 + 1^2), В @,—1— 1)
А — неустойчивый фокус, В — седло. Нетрудно убедиться, что окруж-
окружность х2 -\- у% =1 является траекторией системы. Очевидно,точка А
лежит внутри этой окружности, а В — вне ее. Окружность х2 -\- у2 = 1
является предельным циклом, так как система аналитическая.
Докажем его единственность. Введем в систему параметр:
'х = у(ах+2) + х2 + у*-1, у=~х(ах+2).
При а — 1 получается исходная система. При а = 0 система может быть
проинтегрирована. Ее общее решение (х2 + у2 — 1) &> = С (рис. 315, а).
Рис. 315.
Замкнутые траектории этой системы могут служить топографической
системой для данной. Кривая контактов данной и топографической сис-
системы
х 0 — контакт «ложный», х = 0 — общая изоклина горизонтальных
наклонов для обеих систем. Левая часть этого выражения меняет знак па
окружности х2 -f- y% = 1. Если у данной системы существовал бы про-
продельный цикл, отличный от х° -j- у2 = 1, то он должен был бы охватывать
одно состояние равновесия А. Но тогда он пересекал бы замкнутые кри-
кривые топографической системы, входя внутрь них и выходя наружу.
Однако все замкнутые кривые топографической системы кроме х2 -\-
+ у2 = 1 являются замкнутыми кривыми однократного пересечения для
траекторий данной системы, значит, это невозможно. Следовательно,
предельный цикл единственный. Поскольку фокус неустойчивый, траек-
траектории данной системы накручиваются на этот предельный цикл, как

§ 30]
ПРИМЕРЫ
513
изнутри, так и снаружи. Следовательно, предельный цикл х2 + у2 — 1 =
= 0 — устойчивый. Можно показать, что на экваторе сферы Пуанкаре
имеется пара узлов, один устойчивый, другой неустойчивый.
Теперь можно однозначно установить поведение сепаратрис седла.
Так, ©-сепаратрисы седла выходят из неустойчивого узла в бесконечности,
так как других а-предельных множеств нет. Нетрудно убедиться, что
предельный цикл расположен между ©-сепаратрисами. Но тогда одна
из а-сепаратрис седла должна стремиться к устойчивому предельному
циклу, а другая — должна стремиться к устойчивому узлу в бесконеч-
бесконечности (рис. 315. б).
Пример 15.
х=у — ц. [j/2 — ж2 (а2—2- х2 J — aj x(a2 — х2),
(А)
где ц и а — достаточно малы, причем ц < 0. Система (А) получена с помо-
помощью поворота векторного поля системы
х = у, у = х{а2-х2) (В)
на
угол ф (х, у) = arctg |i у2 — х2 ( а2 —— эс2 ) — а . Система (В) может
Рис. 316.
х2х
быть проинтегрирована, и ее общее решение имеет вид у2
X i а2- ~ )=С (рис. 316, а). Нетрудно видеть, что система (В) является
топографической системой для системы (А), причем контакт будет на
кривой
(С)
33 А. А- Андронов и др.

514 КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ «В ЦЕЛОМ» КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. XII
являющейся решением как системы (А), так и системы (В). Все осталь-
остальные замкнутые кривые системы (В) являются кривыми без контакта
с траекториями системы (А). Рассмотрим следующие случаи: 1) а > 0.
Уравнению (С) соответствует одна замкнутая кривая. Внутри замкнутой
кривой (С) угол между векторным полем системы (А) и системы (В) отри-
отрицательный, а вне — положительный. Таким образом, кривая (С) является
неустойчивым предельным циклом системы (А). Очевидно, этот предель-
предельный цикл — единственный. Этот цикл охватывает три состояния равно-
равновесия — два фокуса и одно седло (рис. 316, б). 2) а < 0. Уравнению C)
соответствуют две замкнутые кривые, лежащие внутри замкнутого кон-
контура, составленного из сепаратрис системы (В), симметричные относи-
относительно начала координат. Эти две замкнутые кривые являются неустой-
неустойчивыми предельными циклами системы (А), причем система (А) в этом
Случае имеет два и только два предельных цикла (рис. 316, в). 3) а = 0.
Уравнению (С) соответствует замкнутый контур, составленный из сепа-
сепаратрис системы (В). В этом случае этот замкнутый контур является зам-
замкнутым предельным контуром для траекторий системы (А), к которому
траектории стремятся при t —>- — оо. Других предельных циклов сис-
система не имеет (рис. 316, г).
Пример 16 [77].
х = ху — \i Г —„ (х — 1) (х + 2) + I у2 +A oij + ,,- у Л ,
L л - J (Д)
У = -1 (х- 1) (х + 2) + А у" + 1-ху + ±
где и.<0—-достаточно мало. Эта система получена с помощью поворота
векторного поля на угол, тангенс которого равен р., из системы
'х = ху, у=--~(х~1)(х+2)+ А уз + .!_ху + * у_ (В)
Состояния равновесия систем (А) и (В) находятся в одних и тех же точ-
точках: А A, 0) и В {—2, 0). Нетрудно показать, что А A, 0) — неустой-
неустойчивый фокус, а В (—2, 0) — устойчивый фокус. Отметим, что на оса
х = 0 для системы (А) имеем
Исследуем бесконечность для системы (А). Сделаем преобразование
Пуанкаре х = —, у = -. После умножения полученных уравнений на z
Z Z
система примет вид:
dx и
Очевидно, z = 0-—интегральная прямая. При z = 0 координаты т для
состояния равновесия удовлетворяют кубическому уравнению

30]
ПРИМЕРЫ
515
Имеем: /'(т) = т2 —-g-A + 2(г) т + у—тг • При достаточно малом (г этот
квадратный трехчлен сохраняет знак. Значит, уравнение / (т) = 0 имеет
один действительный корень т = То. Знак То совпадает со знаком \i,
так как / (т) монотонно возрастает и / @) = — ?-. Выражение
Д = ?т^г — P'zQx-<.Q при т = т0, z = 0. Значит, точка т = т0, z = 0 —седло
при [I достаточно малом. Направление движения на траекториях на эква-
экваторе сферы Пуанкаре легко установить, полагая, например, х = z = 0 в уран-
нении х = Р(х, z). Получим т= — -?->0.
Можно показать, что система, получаемая в результате преобразова-
преобразования Пуанкаре, х = —, у = - не имеет других состояний равновесия.
Как было отмечено, х > 0 на оси у. Фокус А A, 0) является неустой-
неустойчивым. Следовательно, в полуплоскости х > 0 должно существовать
ш-предельное множество. Поскольку в по-
полуплоскости х > 0 имеется одно состояние
равновесия—фокус, то ш-предельное
множество может являться только устойчи-
устойчивым предельным циклом. Таким образом,
вокруг фокуса А должен быть хотя бы один
предельный цикл (вообще говоря, нечет-
нечетное число предельных циклов). Аналогич-
Аналогичным рассуждением устанавливается нали-
наличие неустойчивого предельного цикла
в полуплоскости х < 0 (вообще говоря,
нечетного числа предельных циклов).
Сепаратрисы седел на экваторе сферы
Пуанкаре не могут идти из седла в седло,
так как это противоречило бы направле-
направлению движения на траекториях, пересека-
пересекающих ось у. (о-сепаратриса седла в бе-
бесконечности должна при <->•—оо стремиться к неустойчивому предель-
предельному циклу, а а-сепаратриса седла в бесконечности при t —*¦ -f оо должна
стремиться к устойчивому предельному циклу (рис. 317).
Пример 17 [78].
Рис. 317.
= xe v—$(y-yo) =
a; = ж (/се ^ — e *J) == P (ж, г/),
где параметры р, /с, (г, г/0—положительные, ц<
имеет только часть фазовой плоскости G, для
где е> 0 —сколь угодно мало.
Система имеет два состояния равновесия:
«. У), (А)
1. Физический смысл
которой ж > 0, у > е,
А@,у0) и
Ц—1 —
Ink
1
х-1
-;.--г V— 1
In Л
Легко видеть, что при
\х-1
1 и при k<ieVl> в области G лежит одно
состояние равновесия А@,у0). Если e vo <;А:<1, то в области G
имеется два состояния равновесия А и В. При разных значениях пара-
параметров характер этих состояний равновесия различен (см. ниже а)—ж)).
33*

516 КАЧЕСТВЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ «В ЦЕЛОМ» КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ [ГЛ. XII
Исследуем поведение траекторий в бесконечности. Сделаем преобра-
т 1
зование Пуанкаре х = — , у = — . Получим
-^1 = рт + к%е~^ — те~г — %Ч'г — f>yoxz,
I (B)
-^- — pz — тге г
У системы (В) в рассматриваемой области при z = 0 будет два состоя-
состояния равновесия: 1) t = z = 0, 2) z = 0, т = /с4-р" —1, если /с-|-Р>1,
и одно состояние равновесия т = z = 0, если к + Р < 1. Исследование
характера состояний равновесия в зависимости от параметров системы
приводит к следующим случаям:
а) к > 1. В конечной части плоскости имеется одно состояние рав-
равновесия: А (О, г/о) — седло. В бесконечности два узла: устойчивый
и неустойчивый.
б) /с < е «о , А + Р < 1. В конечной части плоскости одно состояние
равновесия: А @, у0)—устойчивый узел. В бесконечности одно седло.
в) k<ie yo , &-[-Р>1- В конечной1 части плоскости одно состояние
равновесия: А @, у0) —• устойчивый узел. В бесконечности неустойчивый
узел и седло.
г) eV<*<l, а<0,
Т!^ г Состояние равновесия Л — седло, состояние равновесия
/J — устойчивый узел или фокус. В бесконечности неустойчивый узел
и седло. .
Ц-1
д) е у» <А;<1, о">0, fe + P>l- Состояние равновесия Л —
седло, состояние равновесия В — неустойчивый узел или фокус. В бес-
бесконечности неустойчивый узел и седло.
е) е v" < к <С 1, 0 < 0, /г + Р<0. Состояние равновесия Л —
седло, состояние равновесия В — устойчивый узел или фокус. В бес-
бесконечности одно седло.
ж) е v° < к < 1, о > 0, fe + Р <С 0. Состояние равновесия Л —
седло, состояние равновесия В — неустойчивый узел или фокус. В бес-
бесконечности одно седло. Нетрудно видеть, что прямая у = е является
прямой без контакта для траекторий системы, причем с ростом t траек-
траектории, пересекающие прямую у = е, входят внутрь рассматриваемой
области.
В результате проведенного исследования получим, что в случаях,
когда в конечной части области G имеется одно состояние равновесия,
в зависимости от параметров системы качественные картины устанавли-
устанавливаются однозначно. В случае же, когда в конечной части области G имеется
два состояния равновесия, качественная картина устанавливается с точ-
точностью до четного числа предельных циклов. Принимая во внимание
характер состояния равновесия в бесконечности, а также направление
векторного поля системы на прямой у = е, получим, что в случае, когда
состояние равновесия В устойчиво, система либо не имеет предельных
циклов, либо имеет их четное число; когда же состояние равновесия В

§ 30]
ПРИМЕРЫ
517
неустойчиво, существует по крайней мере один устойчивый предельный
цикл (вообще говоря, нечетное число предельных циклов) (рис. 318).
В бесконечности одно седло.
Пример 18 [79].
х = ах + by — х (х2
),
— у [х2 + у2).
Нетрудно видеть, что бесконечность абсолютно неустойчива. В самом
деле, дифференцируя в силу системы выражение x2-}-y2 = li2, получим
= ах2 + Ъху—х* (х2 + у2) + сху + dif -
+ у2)
при jR достаточно большом. Поэтому можно вести рассмотрение внутри
некоторого цикла без контакта.
Система симметрична относительно начала координат.
ж)
Рис. 318.
Рассмотрим случай, когда А = (а — d)% + 4&с < 0. В этом случае
система имеет единственное состояние равновесия: О @, 0). В случае
о + ^>0, О @, 0) — неустойчивый фокус. Поскольку бесконечность
абсолютно неустойчива, должен существовать хотя бы один устойчивый
предельный цикл. Можно показать с помощью критерия Дюлака, что

518 КАЧЕСТБЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ «В ЦЕЛОМ» КОНКРЕТНЫХ СИСТЕМ 1.ГЛ. XII
предельный цикл единственный. Возьмем F (х, у) = 2_—^—- — .
Так как Д = (а — dJ -f- Abe < 0, то к < О и 4 к > (о — dJ, значит,
знаменатель F (х, у) сохраняет знак в любой кольцевой области, окру-
окружающей начало координат. F (х, у) в этой области однозначна, непре-
непрерывна и дифференцируема. Имеем
d(PF) d(QF)
йх
Легко видеть, что это выражение не меняет знака в любой кольцевой
области вокруг начала координат. Таким образом, цикл единственный
Рис. 319.
. 319, а). Отсюда следует также, что в случае а -}- rf < 0, когда О —
устойчивый фокус, предельных циклов нет, так как в этом случае воз-
возможно лишь четное число циклов (рис. 319, б).

ДОПОЛНЕНИЕ
§ 1. Элементарные сведения о множествах
в евклидовом пространстве
1. Некоторые обозначения. Будем множества точек в евклидовом пространстве п
измерений Еп (в частности, на плоскости Е2) обозначать большими буквами М, N, . . .,
а точки этого множества — маленькими буквами а, 6, ...
Запись а ? М означает, что точка а принадлежит множеству М.
Запись М С N означает, что все точки множества М принадлежат множеству
Л', т. е. что множество М является частью N. М пазывается также подмножеством
множества N.
Через М П N обозначается пересечение множеств М и N, т. е. множество точек,
одновременно принадлежащих множеству М и множеству N.
Через М \J N обозначается сумма множеств, т. с. множество, состоящее из всех
точек множества М и всех точек множества N.
Через N\M обозначается множество точек N, не принадлежащих множеству
М, —разность множеств N и М. Множество N\M называется также дополнением
множества М по отношению к множеству N.
2. Сегмент и интервал. Пусть xi7 ж2, . . ., хп — координаты точки в евклидовом
пространстве Еп. В Е± (т. е. на прямой) множество точек с координатами а -^ х <^ Ь
называется сегментом (или отрезком, или замкнутым промежутком) и обозначает-
обозначается [а, Ь].
Множество точек с координатами а <[ х < Ь называется интервалом (или откры-
открытым промежутком) и обозначается через (а, Ь).
Множество точек o<i^ b или а <; х <[ Ь называется полуоткрытым сег-
сегментом (или полуинтервалом) и обозначается через (а, Ь] или соответственно [а, Ь).
В пространстве Еп замкнутым параллелепипедом называется множество точек
М (#!, х2, . . -, хп), координаты которых удовлетворяют неравенствам щ <^ xt <; bt
(ai, fc;, i = 1, 2, . . ., n — некоторые фиксированные числа, а; <[ Ь,- для всех i).
3. Точка сгущения, граничная и ввутренняя точка множества. Множество М
в евклидовом пространстве Еп называется ограниченным, если множество расстояний
q (х, у) между любыми его точками хну ограничено сверху. Точная верхняя грань
чисел Q (х, у) называется диаметром мпожества М. е-окрестиостыо точки а простран-
пространства Еп называется множество всех точек пространства, находящихся на расстоянии,
меньшем 8 от точки а. е-окрестпость точки а обозначается через UB (a).
Точка а пространства Еп называется:
точкой сгущения *) множества К, если всякая окрестность точки а содержит
бесчисленное множество точек множества К,
граничной точкой множества К, если всякая окрестность точки а содержит
как точки, принадлежащие, так и не принадлежащие множеству К,
внутренней точкой К, если существует состоящая только из точек К окрест-
окрестность а.
Внутренняя точка К непременно принадлежит Л', точка сгущения и граничные
точки К могут как принадлежать, так и не принадлежать К. Не принадлежащая К
граничная точка непременно является точкой сгущения мпожества К.
*) Более принятым является термин «предельная точка». Однако в настоящей
книге используется термин «предельная точка траекторий», имеющий иное содержа-
содержание, чем предельная точка в смысле теории множеств. Поэтому вместо термипа «пре-
«предельная точка» в смысле теории множеств мы всюду пользуемся термином «точка
сгущения».

520 ДОПОЛНЕНИЕ
Всякое ограниченное множество в пространстве Е имеет хотя бы одну точку
сгущения, принадлежащую или не принадлежащую К (теорема Больцано — Вейер-
штрасса).
4. Множества открытые и замкнутые. Граница. Множество К называется откры-
открытым, если никакая граничная точка не принадлежит множеству К (и, следовательно,
все его точки внутренние), и замкнутым, если все граничные точки принадлежат К
(множество может быть, очевидно, и не замкнутым и не открытым). Все пространство
Еп является одновременно открытым и замкнутым.
Замыканием множества К называется множество А", состоящее из всех точек К
и всех граничных точек К (как принадлежащих, так и не принадлежащих К). Так как
все внутренпие точки К и все не принадлежащие К граничные точки являются точ-
точками сгущения К, то замыканием К является множество всех точек К и всех точек
сгущения К.
Множество всех граничных точек К называется границей К. Граница всякого
множества есть замкнутое множество.
Если К± — есть открытое множество (в частности, все пространство Еп) и К2 —
замкнутое множество, вложенное в Kit то дополнение множества АГ9 по отношению
к множеству К1 есть открытое множество. Если К± есть замкнутое множество и К2 —
вложенное в К1 — открытое множество, то дополнение множества К2 по отношению
к ЛГ± есть открытое множество.
Сумма любого числа и пересечение конечного числа открытых множеств есть
открытое множество. Пересечение любого числа ц сумма конечного числа замкнутых
множеств есть замкнутое множество.
5. Расстояние между множествами. Компактные множества. Если К1 и К2 -
два замкнутых множества без общих точек, хотя бы одно из которых ограничено, то
нижняя грань расстояпий между точкой ai множества К1 и точкой а2 множества К2
отлична от нуля. Эта нижняя грань, которая обозначается через d (A'j, А'2), называется
расстоянием между множествами К± и К2.
Замкнутое множество F cz En называется компактным, если всякая бесконеч-
бесконечная последовательность точек F имеет точку сгущения.
Всякое ограниченное множество в Еп компактно.
6. Связные множества. Континуум и область. Множество К называется связ-
связным, если его нельзя представить как сумму двух непустых непересекающихся мно-
множеств К1 и К2, каждое из которых содержит все те свои предельные точки, которые
принадлежат К. В частности, замкнутое множество связно, если оно не может быть
представлено как сумма двух непустых замкнутых множеств без общих точек, а откры-
открытое множество связно, если оно не может быть представлено как сумма непустых
открытых множеств без общих точек.
Замкнутое связное множество пространства Еп называется континуумом. Откры-
Открытое связное множество называется областью. Всякое открытое множество может быть
представлено как сумма конечного или бесконечного числа непересекающихся
областей.
Сумма конечного или бесконечного числа связных множеств, обладающих тем
свойством, что от любого множества к любому другому можно перейти по конечной
цепочке множеств, последовательно имеющих общие точки, есть связное множество.
В частности, сумма конечного числа континуумов, имеющих попарно общие точки,
есть континуум, сумма конечного или бесконечного числа областей, имеющих попарно
общие точки, есть область.
Пересечение последовательности вложенных друг в друга континуумов Ki з
Z) К2 ZD Ks . . . есть континуум. Если диаметры множеств К-г стремятся к пулю, то
пересечением последовательности Kt является одна и только одна точка.
Если точки а и b принадлежат континууму К, то мы будем также говорить, что
континуум К соединяет точки а и Ь.
Если дана область g, то замкнутой областью g мы б\'дем называть замыкание g~
т. е. множество всех точек g и всех граничных точек g (g — замкнутое связное мно-
множество, т. е. континуум).
7. Области с общей границей. Пусть g и g' — области, имеющие одни и те же
граничные точки. Если они имеют хоть одну общую точку, то они совпадают.
Если на континууме К лежит как точка, принадлежащая данной области g,
так и точка, не принадлежащая g, то на континууме К непременно лежит точка гра-
границы g. Иными словами, континуум, соединяющий внутренпюю точку открытого

§ 1J О МНОЖЕСТВАХ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 521
множества с его внешней точкой, непременно пересекает границу этого открытого
множества.
8. Множества всюду плотные и нигде не плотные. Множество Ki называется
плотным по отношению к множеству А'2, если замыкание Kt содержит К2, Kt ID К2.
Если, кроме того, Aj а К2, то говорят, что Ki плотно в К2 или всюду плотно па Кг.
Если множество А4 плотно в некоторой области g пространства Еп (область g может,
в частности, совпадать со всем пространством Еп), то каждая точка R ? g является
точкой сгущения К (принадлежащей или не принадлежащей А).
Множество К называется нигде не плотным в области g (или на g), если допол-
дополнение к его замыканию плотно в g. Для того чтобы множество К было нигде не плот-
плотным в g, необходимо и достаточно, чтобы оно не имело ни одной внутренней точки.
9. Окрестности, покрытия, е-окрестностью множества К называется сумма е-
окрестностей всех точек множества К. е-окрестность множества К обозначается через
Ue (А), е-окрестность любого множества является открытым множеством.
Если Г —множество граничных точек множества К (безразлично, принадлежащих
или не принадлежащих А), то е-окрестность множества А непременно содержит
е-окрестность Г.
Наряду с е-окрестностью точки а будем иногда окрестностью топки а называть
всякую область, содержащую точку а.
Система открытых множеств g (в частности, областей) называется покрытием
данного множества А пространства Еп, если каждая точка а ? К принадлежит хотя
бы одному из этих открытых множеств. Если покрытие состоит из счетного числа
множеств, то оно называется счетным, если из конечного, то конечным.
Теорема Гейне — Бореля. Из всякого покрытия компактного множества F с Еп
можно выделить конечное покрытие.
10. Топологический предел. Пусть дана последовательность множеств
Мь Мг, ..., Мп, ... _A>
пространства Еп *). Верхним топологическим пределом последовательности A) itM^
называется множество таких точек, в каждой окрестности которых лежат точки бес-
бесконечного числа множеств Л/;. Нижним топологическим пределом It M^ называется
множество точек, каждая окрестность которых содержит точки всех множеств Mi
кроме конечного числа этих множеств. Если
то последовательность A) называется топологически сходящейся, а множество А назы-
называется ее топологическим пределом и обозначается А = ИМ. Топологический предел
связных множеств — связен.
11. Отображение множеств друг на друга. Пусть в пространстве Еп задано два
множества А4 и К2 (в частности, К1 и К2 могут совпадать с самим пространством Еп),
и пусть каждой точке М одного из этих множеств К} ставится в соответствие одна
определенная точка М' множества А2. Тогда говорят, что задано однозначное отобра-
отображение Т множества А в множество К2. Точка М' ? К2, соответствующая точке М,
называется образом точки, и это записывается так: М' = Т (М). Если каждая точка
множества К2 является образом какой-либо точки Kit то говорят, что Т есть отобра-
отображение Кг на К2 и А называется образом A"j, а К2 — прообразом Кх.
Если дано отображение Т множества К1 в множество Kz и отображение U мно-
множества Ко в множество К3, то тем самым задается некоторое отображение S множества
К± в множество К3. Отображение S называется композицией (или произведением)
отображений Т и U и обозначается через UT. Если при отображении Т множества К1
на А2 всяким двум точкам К± соответствуют две различные точки А2, то отображение
Т называется взаимно однозначным. В этом случае существует обратное отображение
множества К2 на К1? оно обозначается через Т~х. при котором каждой точке т' мно-
множества АГ2 ставится в соответствие точка т множества К^ : т— Т'1 (го'). (Мы будем
в этом случае также говорить, что между точками множеств К1 и К2 существует
взаимно однозначное соответствие.)
Пусть mi ? АГа, т[ = Т (/%). Отображение Т называется непрерывным в точке
пц, если для любого е > 0 существует 6 > 0 такое, что
еЮ. B)
*) Последовательность будем обозначать через {Мi).

522 ДОПОЛНЕНИЕ
Отображение множества Kt в К2 называется непрерывным, если оно непрерывно
в каждой точке К±. Непрерывное отображение К1 на К2 называется равномерно-не-
равномерно-непрерывным, если при заданном е > 0 существует 6 > 0, для которого удовлетво-
удовлетворяется включение B) и которое не зависит от точки mi d Кг. Произведение двух не-
непрерывных отображений является непрерывным отображением.
Приведем без доказательств некоторые основные предложения:
А. Однозначный и непрерывный образ ограниченного замкнутого множества
пространства Еп есть ограниченное замкнутое множество.
Б. Однозначный и непрерывный образ связного множества есть связное мно-
множество.
12. Топологическое отображение. Пусть Т — взаимно однозначное и непрерыв-
непрерывное отображение множества К1 на К2. Если обратное отображение Г также непре-
непрерывно, то Т называется взаимно однозначным и взаимно непрерывным отображением
Кц на К2 или топологическим отображением (а также гомеоморфизмом) множества Kt
на К2. Очевидно, если Т — топологическое отображение Kt на Ко, то Т~г также
¦является топологическим отображением К2 на К1. Множество К2\Кг) называется
топологическим образом Kt (К2). Мы будем также говорить, что Т задает топологиче-
топологическое соответствие между точками множеств Кг и К2. Произведение двух топологиче-
топологических отображений есть топологическое отображение.
Если существует топологическое отображение множества К1 на множество К2,
то множества К1 и К2 называются гомеоморфными (говорят также, что множе-
множества Kt и Ко топологически эквивалентны или имеют одинаковую топологическую
структуру).
Приведем без доказательства следующие два основных предложения:
Теорема I. Взаимно однозначное и непрерывное (в одну сторону) отображе-
отображение ограниченного замкнутого множегтеа Ki пространства Еп на множество К2 непре-
непременно является взаимно непрерывным и, следовательно, топологическим.
13. Теорема Брауэра об инвариантности области. Пусть Т — топологическое
отображение множества Ki пространства Еп на множество К'х пространства Еп. Тогда
если m — внутренняя точка множества К', то т' — Т (т) —внутренняя точка мно-
множества К{, а если m — граничная точка К1у то га' = Г (га) — граничная точка мно-
множества К'х. В частности, если Ki есть область, то К'г — также область.
14. Системы функций, описывающие отображение множеств. Отображение Т
подмножества К в-мерного евклидова пространства Еп с декартовыми координатами
jclt . . ., хп на подмножество К' простраЕШтва Е'п с декартовыми координатами у4,
у2, . . ., уп (в частности, Е'п может совпадать с Еп) при помощи координат описы-
описывается соотношениями
Vi = fi(xu ••-. хп), »=1. 2, ..., п,
где fi — функции, определенные на множестве К. Отображение Т непрерывно, тогда
и только тогда, когда непрерывны функции /г {хи . . ., хп). Когда К— замкнутое
ограниченное множество, функция fi равномерно-непрерывны и отображение Т —
равномерЕШ-непрерывно (в силу теоремы А п. 11 образ if есть замкнутое ограниченное
множество).
15. Простая дуга. Пусть даЕ1ы функции хг = ft (t) (i = 1, 2, . . ., п), опреде-
определенные при всех значениях t, t0 <; t <; Т, и при этом: а) функции ft (t) непрерывны
при всех значениях t, t0 <; t <. Т; б) ни для какой пары значений ?,, t2, Ц Ф tz,
не может иметь место равенство
S lh (h)—h (У]2=0.
Тогда множество точек в Еп, состоящее из точек М (t) с координатами xt = ft (t).
называется параметризованной простой дугой. Точки Мо [/j (f0), . . ., fn (t0)]
и My [fi (T), . . ., fn (T)] называются концами этой простой дуги.
Б силу б) очевидно, что двум различным значениям t соответствуют две различ-
различные точки параметризованной простой дуги. Из б) следует также, что для любого
положительного 60 < Т — t0 всегда существует такое е0 >0, что если \ tt — tz | >. 60,
то о (М (fj), M (t2)) > е0.
Простой дугой называется множество точек, которое выбором функций xt —
= /i (?), обладающих свойствами а) и б), может быть представлено как параметри-
параметризованная простая дуга. Очевидно, простая дуга гомеоморфна сегменту. Параметри-
Параметризация простой дуги может быть различной, но при всякой параметризации концами

§ 2] ТИПЫ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ 523
простой дуги являются одни и те же точки, т. с. концы простой дуги не зависят
от параметризации.
Пусть I — параметризованная простая дуга и t [t0 <J t <; T] — параметр
на ней. На I можно рассматривать два направления, одно — соответствующее возра-
возрастанию, другое — убыванию t.
Пусть Tj и т2, Tj < т2, — какие-нибудь два числа из сегмента [t0, Т), причем
хстя бы один из концов сегмента [т4, т2] не совпадает с концами сегмента [t0, T].
Тогда множество точек М [/4 (i), /2 (f) - • -Ь гДе Ti <^ * -С Т2> также является про-
простой дугой, составляющей часть простой дуги I. Если дуга К есть часть дуги I, то на-
направление, в k"todom проходится дуга К, когда дуга I проходится в выбранном направ-
направлении, будем наг лвагь направлением на Я индуцированным направлением на I. Мы
будем пользоваться также не требующим пояснения выражением: «направление на I
индуцировано направлением на К».
16. Простая замкнутая кривая. Если функции хь = <рг (*), определенные при
значениях t, t0 <; t <I T, и при этих значениях однозначные и непрерывные, таковы,
что q)j (f0) = фг (Т), причем равенство фг (fj) = ф( (t2) (t0 <J fj <; tz <; T) может
иметь место только в случае, когда tt = t0, t2 — Т, то множество точек М (xit . . ., хп),
где х1 = ф4 (t) хп = ф„ (f) при всевозможных t, t0 ^ I <; Т, назы-
называется параметризованной простой замкнутой кривой. Простой замкнутой кривой
называется множество точек, которое путем выбора функций ф; (?), обладающих
указанными выше свойствами, может быть представлено как параметризованная про-
простая замкнутая кривая. Простая замкнутая кривая, очевидно, гомеоморфна окруж-
окружности. Параметризация простой замкнутой кривой может быть различной. На пара-
параметризованной простой замкнутой кривой может быть установлено положительное
направление обхода (т. е. точки кривой С упорядочиваются либо в порядке возраста-
возрастания, либо в порядке убывания t). Любые две точки Л11 и М2 на простой замкнутой
кривой разделяют ее на две простые дуги с общими концами.
Пусть ilf l2, . . ., 1п — простые дуги. Будем обозначать через М\ и М\ концы
дуги /j. Предположим, что каждая дуга l-t имеет один общий конец с дугой ?;+i, т. е.
М|-1 совпадает с М\, Ml совпадает с М?+1 и М\ совпадает с М% и кроме указанных
общих концов дуги li не имеют друг с другом ни одной общей точки. Тогда множе-
множество точек рассматриваемых дуг есть простая замкнутая кривая *). В частности,
когда дуги It являются отрезками прямых, то мы получаем многоугольник.
Простая дуга и простая замкнутая кривая являются континуумами.
Имеет место следующее очевидное предложение:
Теорема II. Простая дуга и простая замкнутая кривая, расположенная
е пространстве Еп, нигде не плотна в Еп (п^-2).
§ 2. Простые замкнутые кривые и простые дуги на плоскости.
Ориентация плоскости (направление обхода простых замкнутых
кривых). Типы топологических отображений
Ниже излагаются некоторые основные сведения и формулируется без доказа-
доказательств ряд теорем, относящихся к взаимному расположению простых дуг и простых
замкнутых кривых на плоскости.
Множества на плоскости, в частпостп кривые и области, мы будем называть
плоскими множествами, в частности плоскими кривыми и областями. В настоящем
параграфе рассматриваются только плоские множества.
1. Две основные теоремы.
Теорема III. Простая дуга не разбивает плоскость (т. е. множество точек,
состоящее из точек плоскости за вычетом точек простой дуги, есть область).
Теорема IV (Ж о р д а н а). Простая замкнутая кривая С определяет
на плоскости две области и является границей каждой из этих областей. Одна из этих
областей —.область внутри С — ограничена, другая — область вне С — не ограни-
ограничена **).
2. Леммы о простой замкнутой кривой. Приведем без доказательств ряд эле-
элементарных предложений (см. [57]).
*) Доказательство может быть совершенно элементарно проведено, если про-
простые дуги li отобразить, например, на дуги окружности.
**) Доказательство этих интуитивно представляющихся совершенно очевидными
предложений см., например, [58].

524
ДОПОЛНЕНИЕ
Граничная точка М какой-либо области G называется достижимой в G, если
существует простая дуга, одним из концов которой является точка М, а все другие
точки этой дуги являются точками области G.
А. Все точки простой замкнутой кривой С дости-
достижимы как в области внутри С, так и в области вне С.
Б. Пусть С — простая замкнутая кривая,
М — произвольная ее точка. Тогда: 1) при всяком
е > 0 существует 6 > 0 такое, что всякие две точ-
точки Р и Q, лежащие в Ug (М), причем обе внутри
(вне) кривой С, могут быть соединены внутри Ue (M)
простой дугой, целиком лежащей внутри (вые) С
(рис. 320); 2) при всяком е > 0 существует 6 > 0
такое, что всякие две точки R и JV кривой С, ле-
лежащие в U6 (М), могут быть соединены внутри
Uг (М), как простой дугой, у которой все точки
кроме концов R и N лежат внутри С, так и простой
дугой, у которой все точки кроме копцов R, N ле-
лежат вне С.
В. Пусть I — простая дуга, концы которой Л/j и Л/2 лежат на кривой С
и у которой кроме концов нет больше ни одной общей точки с дугой I. Пусть st п s2 —
простые дуги, на которые точки Afj и Л/2 разделяют кривую С. Тогда: 1) если точки
Рис. 320.
Рис. 322.
Рис. 323.
дуги I, отличные от ее концов, лежат внутри С, то дуга I разделяет область G
внутри С на две области Gj и G2; границей одной из этих областей G4 является
простая замкнутая кривая С4, состоящая из дуг s4 и I, а границей другой — G2 —
простая замкнутая кривая С2, состоящая из дуг s2 и I
(рис. 321); 2) если точки дуги I, отличные от ее концов,
лежат вне С, то дуга I образует с дугой st одну про-
простую замкнутую кривую С1у а с дугой s2 — другую
простую замкнутую кривую С2; одна из этих простых
замкнутых кривых, например С2, содержит все точки
одной из дуг sj, s2l например sj, так что область внутри
С1 является частью области внутри С2 (рис. 322).
Г. Пусть две точки Mj и Л/2 простой замкнутой
кривой С соединены двумя дугами I и lit причем все
точки дуги I кроме ее концов (Mj и М2) лежат внут-
внутри С; все точки дуги 1г кроме ее концов (Mi и М2)
лежат вне С. Тогда простые дуги I и Zt вместе
образуют простую замкнутую кривую С; все отлич-
отличные от концов точки одной из дуг sj или s2, на ко-
торые кривую С делят точки М1 и Л/2, содержат-
содержатся внутри С, а все точки другой — вне С (рис. 323).
Д. Пусть простая замкнутая кривая С1 имеет одну общую точку Л/с замкнутой
кривой С, причем все отличные от М точки кривой Ct лежат внутри С. Тогда кривая
Cj делит область G, заключенную внутри С, на две области: одну область внутри Ct
и другую область с границей, состоящей из точек кривых С и Ct (рис. 324).
Рис. 324

§ 2J ТИПЫ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ 525
Теорема V. Пусть Т — топологическое отображение простой замкнутой-
кривой Cj на простую замкнутую кривую С2. Тогда существует топологическое ото-
отображение Т плоскости самой на себя, совпадающее с Т на кривой С и переводящее
область, расположенную внутри (вне) Cj, на область, расположенную внутри (вне) С2.
3. Направление обхода простых замкнутых кривых. Циклический порядок
точек на простой замкнутой кривой. На всякой простой замкнутой кривой может быть
установлено два различных направления обхода. Пусть на простой замкнутой кривой
С выбрано определенное направление обхода, и пусть Mt, М%, М% — три (различные)
точки кривой С. При обходе кривой С в выбранном направлении эти точки, пачипая
с какой-нибудь из них, например с точки Mlt проходятся в определенном порядке,
т. е. направление обхода кривой С индуцирует определенный циклический порядок
этих точек, именно, либо порядок
и М2, М3) = (М2, М3, MJ == (M3> Mit Л/2), A)
либо порядок
(Mi, М3, М2) = (М3, М2, Mi) = (М2, Ми Ms). B)
Обратно, если на простой замкнутой кривой даны три точки М4, М2, Mj, то
задание циклического порядка этих точек (т. е. порядка A) или B)) иидуцир"ует опре-
определенное направление обхода этой кривой (именно, такое, при котором точки Mt,
М2, М3 имеют заданный циклический порядок). Если на простой замкнутой кривой С
задано некоторое число п > 3 точек Mi, М2, ¦ ¦ ¦, Мп, причем эти точки перенуме-
перенумерованы в том порядке, в котором они, начиная с точки Мг, встречаются при обходе
кривой С в выбранном направлении, то говорят, что дан циклический порядок точек
Мг, индуцированный выбранным направлением обхода кривой Ct (или что точки Мг
перенумерованы в циклическом порядке, индуцированном выбранным направлением
обхода кривой С).
4. Индуцированное направление на простой дуге, являющейся частью про-
простой замкнутой кривой. Пусть s — простая дуга, являющаяся частью кривой С и М4
и М2 — концы этой дуги (очевидно, кроме дуги s существует еще одна дуга, являющаяся
частью кривой С с теми же концами). Предположим, что на
кривой С выбрано определенное направление обхода, и пусть
при этом направлении обхода дуга s проходит в направлении
от точки Л/4 к точке М2. Мы будем говорить, что это направ-
направление на дуге s индуцировано выбранным направлением обхода
кривой С.
Обратно, пусть на простой дуге s с концами Mi и М2,
являющейся частью простой замкнутой кривой С, выбрано
положительное направление, например направление от точ-
точки Mi к точке М%- Тогда направление обхода простой
замкнутой кривой С, при котором на дуге s индуцируется
направление от точки Mj к М2, называется направлением
обхода, индуцированным заданным положительным направ-
направлением на дуге s. Рис. 325.
Пусть к и Xj — те простые дуги с общими концами, на
которые точки М} и М2 делят простую замкнутую кривую С.
Если направление на дуге К O^i), индуцированное заданным обходом кривой С, есть
направление от точки Mt к М2 (соответственно от М2 к М(), то мы будем обозначать
дугу К также через MjM2 (и соответственно дугу X' — через МоМ, — порядок букв
существен). При этом мы будем говорить, что точка М лежит между точками Mt и
М2, если она лежит на дуге К, и между точками М2 и Mt, если она лежит на дуге X'
(рис. 325).
5. Ориентация плоскости. Во многих вопросах, рассматриваемых в настоящей
книге, существенную роль играет понятие ориентации плоскости.
Говорят, что на плоскости установлена определенная ориентация (или «пло-
«плоскость ориентирована»), если из двух возможных направлений обхода простых замкну-
замкнутых кривых или, что то же, из двух возможных «направлений вращения» одно выби-
выбирается за положительное. Противоположное ему направление обхода или направле-
направление вращения считается отрицательным.
При установлении ориентации положительное паправлепие обхода фиксируется
сначала на одной какой-нибудь простой замкнутой кривой (например, как указано
ниже, на некоторой окружности), а затем это направление обхода «переносится»

52fi
ДОПОЛНЕНИЕ
на все другие простые замкнутые кривые *). При этом выбор положительного обхода
связывается с введенной на плоскости системой декартсшых координат. Это может
быть сделано, например, следующим образом.
Пусть на плоскости введена система декартовых координат х, у, и положитель-
положительным направлением на осях считается направление в сторону возрастания соответ-
соответствующей координаты. Рассмотрим окружность С
с центрам в начале координат @,0). Пусть Мг— ее
точка пересечения с положительной полуосью х,
М2 — точка нересечения с положительной полу-
полуосью Оу it Ms — ее точка пересечения с отрица-
отрицательной полуосью х (рис. 326).
Условимся (для определенности) всегда счи-
считать положительным то направление обхода
окружности С, при котором циклическим поряд-
порядком точек Mi является порядок Mit Л12, Мз- Уста-
Установленное таким образом положительное направ-
направление обхода переносится затем на все простые
замкнутые кривые **).
В соответствии с выбранным положитель-
положительным направлением обхода, а следовательно, и
вращения, мы будем считать положительным,
угол между положительной полуосью х и какой-
либо другой прямой, отсчитываемый от положи-
положительной полуоси х в направлении положитель-
положительного вращения, и будем считать угол отрицательным, если он отсчитываете»!
в противоположном направлении вращения.
Рассматривая две разные плоскости Ем. Е', мы всегда будем предполагать,
что на каждой из этих плоскостей положительное направление обхода (и вращения)
выбрано так, как указано выше (т. е. положительным направлением на окружности
с центром в начале является направление, индуцирующее циклический порядок
Л/j М2, М3 указанных выше точек). Такой выбор положительных направлений на
двух различных плоскостях мы будем называть согласованным.
Рис. 326.
*) Опуская рассуждение, с помощью которого осуществляется такое перенесе-
перенесение, отметим все же, что это рассуждение может быть, например, проведено, если
надлежащим образом построить вспомогательные дуги, соединяющие точки различ-
различных непересекающихся замкнутых кривых (дуги обозначены пунктиром на рис. 327),
а затем использовать леммы, приведеппые в п. 6 (о связи между направлениями обхода
двух простых замкнутых кривых, имеющих общую дугу).
Рис. 327.
Рис. 328.
**) При указанном на рис. 328 направлении осей, выбранное положительное
направление обхода является направлением обхода по часовой стрелке.
Однако мы не будем здесь пользоваться наглядными понятиями «вращения»
по и против часовой стрелки ввиду того, что в данном контексте они не имеют матема-
математического смысла. Отметим, что на рис. 326 положительным направлением обхода
является направление обхода против часовой стрелки. Однако не существует средств
математического описания, которые давали возможность установить, какая из двух
указанпых на рис. 326 и на рис. 328 систем координат введена на данной плоскости

ТИПЫ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
527
6. Некоторые предложения о направлениях обхода простых замкнутых крввых,
имеющих общую дугу или общую точку. Предположим, что плоскость ориентирована.
Пусть С) и С2 — две простые замкнутые кривые, имеющие общую дугу I с концами
Mj и Af2, которые кроме этой общей дуги не имеют больше никаких других общих
точек. Пусть при положительном обходе кривой Сг на дуге I индуцируется направле-
направление от точки Mt к точке М2, которое мы на этой дуге будем считать положительным.
Тогда: 1) если область, ограниченная кривой Со. является частью области
внутри кривой С4 (рис. 322), то направление обхода кривой С2, индуцированное-
положительным направлением на дуге I, является положительным; 2) если области,
ограниченные кривыми С4 и С2, лежат одна вне другой, то направление обхода кри-
кривой С2, индуцированное положитель-
положительным направлением на дуге I, являет-
является отрицательным.
Полностью аналогичные пред-
предложения имеют место в случае, когда
рассматривается отрицательный об'
ход кривой С.
Имеют также место следующие
предложения, в известном смысле
обратные предыдущим: 1) если поло-
положительное направление на дуге I
индуцирует и на кривой Ci и на кри-
кривой С2 положительное (отрицатель-
(отрицательное) направление обхода, то области,
ограниченные кривыми CinC2, лежат
одна внутри другой; 2) если поло-
положительное направление на дуге I
и индуцирует на одной из кривых,
например С±, положительное направ-
направление обхода, а на другой — С2— от-
отрицательное (или наоборот), то обла-
области, ограниченные кривыми С1 и С2,
лежат одна вне другой.
Предположим теперь, что про-
простые замкнутые кривые Ct и Со
имеют одну только общую точку О. Области, ограниченные кривыми С1 и С2, могут
лежать либо одна вне другой, либо одна внутри другой.
Пусть с —¦ простая замкнутая кривая («вспомогательная»), содержащая точку О
внутри, не содержащая целиком внутри ни одной из кривых 6'4 и С и имеющая с каж-
каждой из кривых С1 и С2 в точности по две общие точки. Обозначим общие точки кри-
кривых о и Ci через М4 и М{, а общие точки кривых о и С2 — через М2 и М^. Точки
М4 и М{ делят кривую о на две дуги Xj и Х'г и являются общими концами этих дуг
(рис. 329, а и б).
Очевидно, все отличные от концов точки одной из этих дуг, например %[, лежат
внутри кривой С4, а все отличные от концов точки другой, Kit вне Ci. Совершенно
аналогично точки М2 и M'z разделяют кривую а па две дуги (к2 и Ц), причем все
отличные от концов точки одной из этих дуг лежат внутри кривой С2, а другой — вне
кривой С2. На одной из дуг Xj и К'г не лежит ни одной из точек М2, М2, на ДРУг°й —
обе эти точки. Совершенно аналогичное высказывание может быть сделано относи-
относительно дуги К2 и Х2 и точек М1 и М'х. Предположим, что при положительном обходе
кривой а точки Mi и М\ (i = 1, 2, . . .) расположены в циклическом порядке: Mlf
М2, Мг, Mi. Обозначим через it и 1[ дуги с концами ОМ1 и ОМ'Х, являющиеся час-
частями кривой Cj, все точки которых кроме копцов М} и Д/{ лежат внутри гг. Аналогично
обозначим через 12 и Г2 дуги с концами ОМ2 и ОЛ/г, являющиеся частями кривой
С2, все точки которых кроме концов М2 и М\ лежат внутри кривой о.
Приведем без доказательств следующие элементарные предложения, основан-
основанные на предыдущих.
I. Если области, заключенные внутри простых замкнутых кривых Ct и С2г
лежат одна вне другой, то положительный обход кривой С\ индуцирует па дуге Zj
(систему координат на рис. 326 мы можем считать той же системой координат, что
и на рис. 328, но только рассматриваемой с другой «стороны» плоскости).
Но, очевидно, что если на одной и той же плоскости одновременно введены систе-
системы координат с двумя различными направлениями вращений, то мы всегда можем
установить, что направления вращения, вводимые этими координатными системами,
различны.
Рис. 329.

528
ДОПОЛНЕНИЕ
направление от точки Jlf, к О, а положительный обход кривой С2 индуцирует на дуге
12 направление от точки О к М2, так что на дуге, составленной из двух дуг 1± и 12,
имеющей своими концами точки Mi и Л/2, эти направления на дугах ^ и 12 индуци-
индуцируют одно и то же направление от точки М1 к М2 (рис. 329, а).
II. Если области, заключенные внутри простых замкнутых кривых Ci и С2,
содержатся одна внутри другой и если положительный обход кривой С1 индуцирует
на дуге lt направление от точки М4 к О (от точки О к М4), то положительный обход
кривой С2 индуцирует на дуге 12 направление от точки М2 к О (от точки О к М2) (так
что иа дуге, составленной из двух дуг i4 и 12, имеющей своими концами точки Mt
и Л/2, эти направления на дугах lt и 12 индуцируют два противоположных направ-
направления) (рис. 329, б).
Имеют также место леммы, в известном смысле обратные предыдущим.
III. Если положительный обход кривой Cj индуцирует на дуге lt направление
от точки Л/j к точке О, а положительный обход кривой С2 индуцирует на дуге 12
направление от точки О к М2, то области, заключенные внутри замкнутых кривых С4
и С2, лежат одна вне другой (рис. 329, а).
IV. Если положительный обход кривой Ci индуцирует на дуге lt направление
от точки М\ к О, а положительный обход кривой С индуцирует на дуге 12 направление
от точки М2 к точке О, то области, заключенные внутри замкнутых кривых С1 и С2,
содержатся одна внутри другой (рис. 329, б).
7. Два предложения о связи между порядком точек на непересекающихся про-
простых замкнутых кривых. Пусть С1 и С2 — две простые замкнутые кривые, не имею-
имеющие общих точек. Пусть Plt Р2.
PN, N !> 3, — точки на С\, перенумерованные
в циклическом порядке при положительном
обходе кривой С4. Тогда:
I. Как в случае, когда кривые Ci н С2
лежат одна внутри другой, так и в случае,
когда кривые С4 и С2 лежат одна вне дру-
другой, всегда можно провести простые дуги 1^
Рис. 330.
б)
такие, что одним концом каждой из дуг Ц являлась бы точка Р; на кривой Ct,
а другим — некоторая точка Q-t на кривой С2, и при этом кроме концов Pt, Qi дуги l-t
не имеют общих точек с Cj и С2 и друг с другом (рис. 330, а и б).
Следующие два предложения опираются на предложения предыдущего пункта.
II. Если простые замкнутые кривые Ci и С2 лежат одна ппутри другой, то при
положительном обходе кривой С2 точки Qi располагаются в порядке Qit Q2, ¦ ¦ ¦, Qn-
Если простые замкнутые кривые лежат одна вне другой, то при положительном обходе
кривой С2 точки Qi располагаются в циклическом порядке QN, QN—i, ¦ ¦ ., Q\.
Справедливо также обратное предложение.
III. Если при положительном обходе кривых Cj и С2 точки Pj и Qt распола-
располагаются на кривых Cj и С2 в циклическом порядке Pt, Р2, . . ., PN и Qt, Q2, ...
. . ., Qx, то кривые Сх и С2 лежат оцпа внутри другой. "Если при положите"льпом
обходе кривых Ci и С2 точки Р; и Qi располагаются на кривых С1 и С2 в циклическом
порядке Pj, Р2, . . .,PN и соответственно QN, QN-i, . . ., (?i, то кривые Cj и С2
лежат одна вне другой.
8. Два типа топологических отображений плоскостп в себя (сохраняющие
ориентацию и изменяющие ориентацию). Предположим, что рассматриваются раз-
различные топологические отображения плоскости Е^ на себя или па другую плоскость
Е'ъ. Ориентацию различных плоскостей Е2 и E'z будем считать согласованной (см. п. 5

§ 3]
ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ И ОТРИЦАТЕЛЬНАЯ «СТОРОНА» ПРОСТОЙ ДУГИ
529
Очевидно, при всяком топологическом отображении образом всякой простой
замкнутой кривой С является простая замкнутая кривая С. При этом топологические
отображения плоскости на себя разделяются на два типа.
Первый тип: топологические отображения, сохраняющие ориентацию.
При отображении этого типа точка, обходящая в положительном направлении
любую простую замкнутую кривую С, отображается в точку, обходящую простую
замкнутую кривую С, являющуюся образом С, также в положительном направлении.
Рис. 331.
Второй тип: топологические отображения, изменяющие ориентацию.
При отображении этого типа точка, обходящая в положительном направлении
любую простую замкнутую кривую С, отображается в точку, обходящую простую
замкнутую кривую С, являющуюся образом С, в отрицательпом направлении. Топо-
Топологическим отображением плоскости на себя, изменяющим ориентацию, является,
например, зеркальное отображение (рис. 331, а, б).
§ 3. Положительная и отрицательная «сторона» простой дуги
1. Области, характеризующие различные «стороны» простой дуги. Пусть I —
простая дуга и V — другая простая дуга, имеющая с I только одну общую точку М.
Будем, кроме того, предполагать,
что точка М отлична от концов
дуги I, но может быть концом
дуги V.
В случаях, представленных
на рис. 332, а ш б, естественно
говорить, что дуга Г «лежит по
одну сторону дуги I», а в случаях
332, я и г — что дуга V переходит
с одной стороны дуги I на другую.
В настоящем параграфе да-
даются определения для этих гео-
геометрически наглядных, но рас-
расплывчатых понятий. В тексте кни-
книги они существенно используются.
В дальнейшем мы предпо-
предполагаем, что плоскость ориентиро-
ориентирована (т. е. на простых замкнутых
кривых установлено положитель-
положительное направление обхода). Пусть Л/4 и М2 — концы простой дуги I, и пусть на дуге I
зафиксировано положительное направление от точки Mj к точке М2.
Предположим, что концы Mt и М2 дуги I соединены простыми дугами Zj и lz,
причем: а) дуги lt и lz кроме концов М4 и М2 но имеют с дугой I никаких других
общих точек; б) дуги Z, и 12 кроме концов Afj и Л/2 не имеют друг с другом никаких
общих точек, так что они вместе образуют простую замкнутую кривую С; в) все точки
34 А. А. Андронов и др.
Рис. 332.

530 ДОПОЛНЕНИЕ
дуги I кроме концов М1 и М2, лежащих на кривой С, лежат внутри С (рис. 333).
Пусть G—область внутри кривой С. Дуга I (см. п. 6 § 2 дополнения) делит об-
область G на две области Gt и G2: границей одной из этих областей, например, Gl является
простая замкнутая кривая Cit состоящая из дуг In^, границей другой из этих областей
G2—простая замкнутая кривая С2, состоящая из дуг I и 12. Предположим, что напра-
направление обхода кривой Ct, индуцированное положительным направлением на дуге I,
является положительным. Тогда направление обхода кривой С2, индуцированное
положительным направлением на дуге I, отрицательно. Области G4 и G2, как мы уви-
увидим, в некотором смысле характеризуют различные «стороны» дуги *).
При этом мы условимся говорить, что область Gj внутри кривой С±, у которой
направление обхода, индуцированное положительным направлением на дуге I, является
положительным, характеризует «положительную» сторону дуги I, а область G2 внутри
кривой С2 — отрицательную сторону дуги I.
Выбирая различные дуги, удовлетворяющие условиям а), б) и в), мы будем,
очевидно, получать различные замкнутые кривые Ci и С2 я различные области
Gj и G2, «характеризующие стороны
дуги I».
Рассмотрим теперь дугу X, конец
которой является внутренней точкой М
дуги I, не имеющую кроме точки М
больше уже никаких общих точек с
дугой I (рис. 332, а, б).
Пусть
x = i(u), y = g{u), а<к<Ь, A)
— параметрические уравнения дуги Я,
и пусть для определенности конец М этой
дуги соответствует значению и = а.
Справедливо следующее очевидное пред-
предложение:
Теорема V. Если при некото-
некотором выборе дуг Zj и 12, удовлетворяющих
условиям а), б) и в), все точки дуги К, достаточно близкие к точке М (т. е. соответст-
соответствующие значениям и, | и — а | <^ е, где е — некоторая положительная величина), лежат
в области Gi (G2), характеризующей положительную (отрицательную) сторону дуги I,
то при любом другом выборе дуг, удовлетворяющих упомянутым условиям, всегда най-
найдется е* > 0 (е* <; е) такое, что все точки дуги s, соответствующие значениям
и,\и — а | < е*, также будут лежать соответственно в области, характеризующей
положительную (отрицательную) сторону дуги I **).
В силу этой теоремы тот факт, что у рассматриваемой дугп К все достаточно
близкие к концу М точки лежат в.области «характеризующей положительную (отри-
(отрицательную) сторону дуги I», зависит только от взаимного расположения дуг X и I
и не зависит от выбора дуг 1± и 12, т. е. от выбора областей Gt и G2 указанного
выше типа.
В случае рассматриваемой нами дуги X (с концом, являющимся внутренней точ-
точкой дуги I и кроме этого конца не имеющей никаких других общих точек с дугой I)
это позволяет ввести следующее определение.
Определение I. Все отличные от принадлежащего дуге I конца М точки
дуги X лежат по положительную (отрицательную) сторону дуги I или просто дуга
X лежит по положительную (отрицательную) сторону дуги I, если при некотором
выборе дуг 1^ и 12, удовлетворяющим условиям а), б) мв), все достаточно близкие к концу
М точки дуги X лежат в области Gj (G2), характеризующей положительную (отри-
(отрицательную) сторону дуги I.
Мы рассмотрели случай, когда единственная общая точка М дуг К и I, отличная
от концов дуги I, является концом дуги X. Предположим теперь, что единственная
общая точка дуг "к а I отлична и от концов дуги К, и от концов дуги I.
Основываясь на данпом выше определении, мы опишем все возможные случаи
взаимного расположения дуг I и К.
*) Для характеристики различных «сторон» простой дуги можно пользоваться,
как легко видеть из дальнейшего, только одной из рассмотренных простых замкнутых
кривых Ci или С2 и, следовательно, только одной из дуг lt пли 12. Однако введение
двух замкнутых кривых позволяет сделать рассмотрение «двух сторон» дугп полностью
симметричным.
**) Доказательство этого предложения может быть просто получепо путем
использования предложений п. 6.

3]
ПОЛОЖИТЕЛЬНАЯ И ОТРИЦАТЕЛЬНАЯ «СТОРОНА» ПРОСТОЙ ДУГИ 531
Точка М делит дугу Я. на две части — AM и А2М {А и А2 — концы дуги К).
Пусть положительное направление на дуге X, т. е. направление в сторону возраста»
ния параметра в уравнениях A) есть направление от точки А к А2.
Если часть AM дуги К лежит по отрицательную сторону дуги I, а часть А2М
этой дуги по положительную сторону дуги I (или наоборот), то мы будем говорить,
что в точке М дуга X переходит с отри-
отрицательной стороны дуги I на положи-
положительную (или наоборот) (рис. 334,а).
Если обе части AM и А2М дуги X
лежат по одну и ту же (положительную
или отрицательную) сторону дуги I, то
мы будем говорить, что дуга X лежит по
одну сторону дуги I (рис. 334,6).
2. Определение областей, харак-
характеризующих различные стороны прос-
простой дуги, с помощью введения криво-
криволинейной системы координат. «Обла-
«Области», характеризующие различные сто-
стороны простой дуги, во многих случаях
(в частности, во многих вопросах, рас- Рис. 334.
сматривающихся в настоящей книге)
естественным образом вводятся не с помощью проведения вспомогательных дуг lt
и 12, как это сделано в п. 1, а следующим по форме отличным образом.
Рассматриваются функции а: = ф (s, «), ^=1|> (s, t), определенные в прямоуголь-
прямоугольнике а плоскости (s, t) (рис. 335,а, б)
B)
осуществляющие такое топологическое отображение Т этого прямоугольника в пло-
плоскость (а:, у), при котором отрезок оси t=0, соответствующий значениям а ¦< s •<; Ь
а
б).
Рис. 335.
(отрезок АВ), отображается в рассматриваемую простую дугу I *). Весь прямоуголь-
прямоугольник а отображается в некоторую замкнутую область G плоскости (х, у), содержащую
внутри все точки дуги I кроме ее концов.
Величины s и /, удовлетворяющие неравенствам B), можно рассматривать как
криволинейные координаты точек области G.
При этом мы будем считать, что часть области G, точкам которой соответствуют
значения t > 0 (обозначим эту часть через G), характеризует одну (например, поло-
положительную) сторону дуги I, а часть области G, которой соответствуют значения t < 0
G2> — Другую, отрицательную сторону дуги I. Очевидно, области G± и G, являются
теми областями, на которые дуга I делит область G.
*) Функции ф (s, t), -ф (s, t) являются, следовательно, однозначными и непре-
непрерывными во всех точках прямоугольника B), и, кроме того, всяким двум различным
парам значений (s, t) соответствуют различные пары значений (<р (s, t), ¦>)> (s, t)) (послед-
(последнее условие обеспечивает взаимную однозначность отображения Т).
34*

532 ДОПОЛНЕНИЕ
Кроме того, мы всегда можем предполагать, что выполняются следующие усло-
условия: а) отрезок АВ оси i=0, a ^ s <; Ъ, отображается на простую дугу I так, что
при изменении s от а до Ъ дуга I проходится в заданном направлении; б) на про-
простой замкнутой кривой, образующей границу области Gl (точкам которой соответ-
соответствуют значения / > 0), направление обхода, индуцированное положительным направ-
направлением дуги I, является положительным.
При невыполнении условий а) или б) мы могли бы, заменяя s на s или соответ-
соответственно /на —t, прийти к случаю, когда они выполняются.
Мы приходим, следовательно, к таким же областям Gl и G2, характеризующим
разные стороны простой дуги, что и в предыдущем пункте, только здесь эти области
введены не с помощью вспомогательных дуг 1( и 12, а с помощью отображения или,
что то же, с помощью введения вблизи дуги I некоторой криволинейной системы коор-
координат. Рассматривая, как и в предыдущем пункте, случай, когда единственная общая
точка М дуг I и X отличная от концов дуги I, является концом дуги X, можно ввести сле-
следующее определение, отличающееся от данного в предыдущем пункте только по форме.
Мы будем говорить, что дуга % лемсит по положительную (отрицательную)
сторону дуги I, если при рассмотрении каких-либо функций ф (s, t), ij) (s, t), обладаю-
обладающих указанными выше свойствами, всем, достаточно близким к М точкам дуги X
соответствуют значения t > 0 (t < 0).
Очевидно, можно описать взаимное расположение дуг I и X, представленных
на рис. 334, пользуясь определением I в приведенной здесь форме.
3. Некоторые предложения о взаимном расположении дуг и простых замкнутых
кривых. Приведем без доказательства несколько элементарных предложений.
I. Пусть простая дуга V является частью простой дуги l\\ Р— отличная от кон-
концов I' ш I точка, принадлежащая и дуге I, и дуге V. Пусть X — простая дуга, кон-
концом которой является точка Р, кроме Р не имеющая дру-
других общих точек с дугой I. Если дуга X лежит по поло-
положительную (отрицательную) сторону дуги Г (или I), то
она лежит также и по положительную (отрицательную)
сторону I (I').
П. Если простые дуги 1пХ имеют одну и только одну
общую точку Р, отличную от концов этих дуг, и если в точ-
точке Р дуга X переходит с отрицательной стороны дуги I на
положительную, то дуга I в точке Р переходит с поло-
положительной стороны дуги X на отрицательную.
Пусть простая дуга X с концами А^ и А2, на которой
положительное направление есть направление от точки
Рис 336 Al к ^2» имеет одну только общую точку Р, отличную
от концов А{ и Az с простой замкнутой кривой С. Мы
скажем, что в точке Р дуга X переходит из области
внутри (вне) С в область вне С (внутри С), и часть AtP этой дуги кроме точки Р
лежит внутри С (вне С), а часть РА2 кроме точки Р —вне С (внутри С).
Предположим, что на простой замкнутой кривой С выбрано определенное направ-
направление обхода, которое может быть как положительным, так и отрицательным. Пусть
I — простая дуга, являющаяся частью кривой С, причем то направление на дуге I,
которое индуцируется положительным обходом кривой С, будем считать положи-
положительным.
Пусть Я. — простая дуга, имеющая единственную общую точку Р с дугой I,
причем точка Р отлична от концов дуг I и X (рис. 336).
III. Если в точке Р дуга X переходит с положительной стороны дуги I па отри-
отрицательную, то в случае, когда выбранное направление обхода С является положи-
положительным (отрицательным), дуга X в точке Р переходит на области внутри С в область
вне С (из области вне С в область внутри С). Справедливость этого предложения непо-
непосредственно вытекает из определения I дополнения.
IV. Если в точке Р дуга X переходит с положительной стороны дуги I на отри-
отрицательную, то в случае, когда она при этом переходит из области впутри С в область
вне С (из области вне С в область внутри С), выбранное на С направление обхода
является положительным (отрицательным).
4. Ограниченные области на плоскости. Отметим прежде всего следующие эле-
элементарные факты, касающиеся областей:
А) Любые две точки области G могут быть соединены простой дугой, состоящей
из точек области G, и все точки, которые могут быть соединены с какой-нибудь точкой
области G простой дугой, не содержащей точек границы G, также принадлежат обла-
области С.

§4]
ЛЕММА АДАМАРА И ТЕОРЕМА О НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯХ
533
Рис. 337.
Б) На всяком континууме (в частности, на простой дуге, соединяющей точку
области G с точкой, не принадлежащей области G), лежит хотя бы одна точка
границы G.
В) Всякая простая дуга I, один из концов которой лежит на границе области G
и на которой больше нет уже ни одной отличной от точек G точки, не разделяет область
G (т. е. множество, которое получится, если из
точек области G изъять точки, принадлежащие
дуге I, есть область).
Г) Всякая простая замкнутая кривая, точки
которой принадлежат области G, разделяет G на
две области и является общей границей этих
областей.
Область G называется односвязной, если
какую бы простую замкнутую кривую С, цели-
целиком лежащую в G, мы ни взяли, все точки вну-
внутри этой замкнутой кривой принадлежат обла-
области G.
Область G называется п-связной (п > 1),
если: а) какие бы п, лежащие в G, и одна вне
другой простые замкнутые кривые мы ни взяли,
среди этих замкнутых кривых найдется хотя бы
одна такая, что все точки внутри нее принадле-
принадлежат G; б) существуют п — 1, лежащие в G и одна
вне другой простые замкнутые кривые такие, что среди точек внутри каждой из этих
кривых есть точки, не принадлежащие G (рис. 337).
Граница n-связной области состоит из п континуумов Кг, К2, ¦ ¦ ., Кп без общих
точек. Континуумы Kt называются граничными. Один из этих граничных контину-
континуумов является внешним граничным континуумом, остальные внутренними. Какую бы
эамкнутую кривую, целиком лежащую в G, мы ни взяли, внешний граничный кон-
континуум будет лежать вне нее, но всегда можно указать в G простую замкнутую кривую,
содержащую один из внутренних граничных континуумов (любой), а также один, два
или п — 1 внутренних континуумов.
Очевидно, существуют также области, не имеющие конечной связности. Пусть
G — п-связная область и Kt, Кг, . . ., Кп — граничные континуумы области.
I. Простая дуга I, все точки которой кроме концов Mt и М2, лежащих на одном
в том же граничном континууме Kt, являются точками G, делит область G на две обла-
области, и все точки I являются граничными для обеих этих областей.
II. Простая замкнутая кривая, на которой лежит одна и только одна гранич-
граничная точка Мо области G, а все остальные точки которой являются точками G, разде-
разделяет G на две области и все точки ее являются граничными для обеих областей.
III. Пусть в случае п>2 i- простая дуга, у которой один конец лежит
на одном граничном континууме Kt, другой конец — на другом граничном конти-
континууме Kj (/ Ф ]), а все отличные от концов точки I являются точками области G.
Тогда область G', являющаяся частью области G, у которой граница состоит из точек
континуумов K_i и дуги I, является п — 1-связной областью. При этом одним из гра-
граничных континуумов области G' является континуум Kt \Jl\jKj. Мы будем говорить
в этом случае, что дуга I превращает n-связную область в (п — 1)-связную.
§ 4. Лемма Адамара и теорема о неявных функциях
1. Классы функций. Пусть рассматривается функция z — F (xt, . . ., а^), опре-
определенная в некоторой области G пространства Еп. Область G, в частности, может
совпадать со всем пространством Е, п — может быть любым заданным натуральным
числом, в частности, при п = 1 мы получаем функцию одного переменного.
Мы будем говорить, что функция F (хг, . . ., хп) принадлежит классу С^ или
аналитическому классу, если во всех точках области G функция F (хг, х2, .... х„)
имеет непрерывные частные производные до порядка к или соответственно является
аналитической.
2. Лемма Адамара *). В главе IV настоящей книги неоднократно используется
следующая лемма:
Лемма Адамара. Пусть функция F (xit . . ., хп, zlt . . ., zm) имеет
в некоторой выпуклой по xt, х2, . . ., хп области G пространстваЕп+т (xit . . ., хп,
*) Доказательство этой леммы см. [61]. Лемма Адамара является уточненной
формой формулы Лагранжа.

534 ДОПОЛНЕНИЕ
zt, . . ., Zfn) непрерывные производные по xt, . . ., хп до некоторого порядка к > О
включительно. Тогда можно найти п таких функций ffi (хх, . . ., хп, уг, . . ., уп,
Zi zm)t i = 1. 2, . . . , в, имеющих непрерывные производные по х1, . . ., хп,
yt, . . ., уп до порядка к — 1 включительно, что
Р(Уь ¦¦-, Уп, Ч, ¦¦¦• zm)—F(xi хп, г1? ..., zm) =
П
^ ..., хп, ylt ..., уп, zlt ..., zm)(yi—xi).
3. Теорема о неявных функциях. Мы сформулируем теорему о неявных функ-
функциях, которая неоднократно используется в основном тексте сначала для случая
одной функции трех переменных. Полностью аналогично эта теорема формулируется
в случае любого числа переменных.
Пусть функция F (х, у, z) является в некоторой области G функцией класса С^
(аналитического класса), и пусть в некоторой точке М (х0, у0, z0) области G
F(x0, г/о. *о)=О. F'zixto Уо> Ч)Ф®*).
Тогда уравнение F (х0, у0, zo)=O вблизи системы значений х0, у0, z0 может
быть разрешено относительно z. Именно, имеет место
Теорема VI. Существует одна и только одна функция z = tp(x, у), опреде-
определенная при всех значениях х и у: \х—жо|<^ао, \у—^о I <> Ро> г^е ао!>О, Ро>в—
надлежащим образом выбранные постоянные, удовлетворяющая уравнению
F(x, у, z)=0 A)
и обращающаяся в zonpu х = х0, у = г/0. При этом функция ф (х, у) принадлежит
классу Cfc (соответственно аналитическому классу).
Замечание I. Всегда можно указать такие положительные величины
а < а0, р < Ро и V. чтобы при всех х, у (| х — х0 | < а, | у — у0 |< f>) было справед-
справедливо неравенство
|ф(аг, у)—zo|<Y, B)
причем при этих значениях х,у (\х—жо|<;а, \у—у0 \ <; Р) кроме z = <p (х, у) не
существовало бы никаких других значений z, удовлетворяющих уравнению A), для
которых выполнялось бы неравенство B). На основании этого в том частном случае,
когда . функция F (х, у, z) не зависит от х и у (т. е. является функцией одного
z, F (х, у, z) = Ф (г)), мы сразу же можем сделать заключение, что корень z0 — неп-
непременно изолированный (этот факт, очевидно, может быть также получен непос-
непосредственно).
Замечание II. Последовательные частные производные функции z =
= <р (х, у) находятся из соотношений:
Мы даем здесь также формулировку теоремы о неявных функциях для случая
двух неявных функций (совершенно аналогично может быть сформулирована и тео-
теорема о неявных функциях в случае большого числа переменных).
Пусть функции**) F± (х, у, и, v), F2 (x, у, и, v) являются в некоторой области G
пространства Еп (х, у, и, v) функциями класса С^ (аналитического класса), и пусть
в некоторой точке Мо (х0, у0, и0, v0) области G
dF. 8F,
ди dv
dF2 dF2
ди dv
Ф О. C)
*) В частных случаях функция F (х, у, z) может не зависеть от х или от у, или
от обеих переменных. Однако в силу того, что Fz Ф 0, она непременно зависит от z.
**) В частных случаях функции Fi и F2 могут не зависеть от х или у, или от
обеих этих переменных, но в силу C) эти функции непременно зависят от к и v.

§ 4l
ЛЕММА АДАМАРА И ТЕОРЕМА О НЕЯВНЫХ ФУНКЦИЯХ
535
Тогда имеет место
Теорема VII. Существует одна и только одна пара непрерывных функций
и = щ(х, у), г; = ф2(а;, у),
определенная при всех значениях х, у,
I х—х0 |<а0, | у—у0
где а0 > 0, Ро > О — надлежащим образом выбранные постоянные, удовлетворяющие
системе уравнений:
;) = 0, /2 = (ж, у, м, ») = 0 D)
У,
и тикая, что
о, у0),
' При этом функции ф] (x,y) и <р2 (хлУ) принадлежат классу Сд (аналитическому
классу).
Замечание I. Аналогично случаю одной неявной функции (см. замечание
I к теореме VI) всегда можно указать такие положительные величины ^
PPoi У и 8» чтобы при всех х, у:
имели бы место неравенства
I ф! (^» У)—«ol<Y.
\у— i
|фг(«, У)—vo\<&,
E)
причем при всех х, у, \х—a:0|^a, \у — г/0 | ^ Р, кроме K = <pi(a;, у) и и=1|з(х, у)
не существовало бы никаких других значений и и v, удовлетворяющих системе
D), для которых выполнялись бы неравенства E).
Замечание II. Пусть мы имеем частный случай системы D), когда функ-
функции Fi(x, у, и, v) и F2(x, у, и, v) не зависят от х, у, так что &\(%, У> и, v) =
s <!>! (и, v), Fz(x, у, и, v) = U>2(u, v), а система D) имеет вид
причем
и, v)=0, Ф2(и, v)=0,
Ф1{и0, гH)=Ф2(м0, vo)=O
F)
D--
. "о) Фг« (цо. ^о
Ф0.
G)
Тогда из предыдущего замечания вытекает, что решение системы F) и0, v0 являет-
является единственным, удовлетворяющим неравенствам
Iм —"ol<Y. I" — »о К *»
где у>0 и 6>0—надлежащим образом выбранные величины. Рассматривая
Ф1(и, v)=0 и Ф2(к, «) = 0 как кривые на плоскости и, v, мы можем сделанному
утверждению придать следующую геометрическую форму: при условии G) общая
точка (м0, v0) кривых F) является изолированной.
Замечание III. Между функциональными детерминантами
D(x, у)
Пх
f;
у
D(u, v)
D (фцфг)
существует следующая связь:
д (Л. /• 2)
# (ж, г/)
•Pi*
D(FU Fz)
, ф2)
D {и, v) D (х, у) ¦
(8)

536 ДОПОЛНЕНИЕ
§ 5. Угол между векторами. Гладкая простая дуга
и гладкая простая замкнутая кривая. Угол между
двумя гладкими дугами
1. Угол между векторами. Пусть Е2 — евклидова плоскость, х, у — прямо-
прямоугольные декартовы координаты на ней. Пусть в некоторой точке Мо задан вектор М
с компонентами Мх и Му.
Вектор называется нулевым, если Мх = Му=0, т. е. если длина вектора
V Мх + Му равна нулю. Пусть даны два ненулевых вектора: вектор М с компо-
компонентами Мх и Му и вектор iV с компонентами Nx и N}l. Углом между М и N бу-
будем называть число а такое, что —л<а^гт и
MXNV—MVNX
Таким образом, угол между вектором Ми N есть наименьший по абсолютной величине
угол, на который нужно повернуть вектор М до совпадения его по направлению с век-
вектором N. При этом в случае, когда этот угол положителен, вращение происходит
в положительном направлении, а когда угол отрицателен — в отрицательном (см.
§ 2, п. 5 дополнения). Будем обозначать угол между MnJf через MN (порядок не без-
безразличен!).
Мы имеем, очевидно, MN = —NM.
Если в точке О заданы три вектора MN и К и угол между М и ЗГ положителен,
то вектор К лежит между М и JV, если угол между К и М отрицателен, а угол между
К и N положителен. Очевидно, угол между векторами определен только в том
случае, когда оба вектора ненулевые.
Если Ly — прямая, на которой лежит вектор М, а L2 — прямая, на которой
лежит вектор N и положительные направления на этих прямых совпадают с направле-
направлением векторов М и N («индуцированы» векторами М и 2V), то углом между прямыми
Li и Lz называется угол между векторами М и N.
2. Гладкая простая дуга. Простая дуга I называется гладкой, если существует
такое параметрическое представление этой дуги х = ф (*), у = ij; ((), при котором
функции ф (/), if (t) в ее параметрических уравпениях удовлетворяют следующим
условиям: 1) они однозначны и непрерывны при всех t, а -< / ¦< Ъ (а и b, b > а, —
некоторые данные значения, причем точки Мо (ф (a), ty (а)) и Мг (ф (b), ty (b))
являются концами дуги I), и для всяких двух значений Ц, t2, Ц =*= tz, [ф (tj)— ty (*г) I2 +
+ [ф (*i) —Ф ('гI2 Ф 0, т. е. разным значениям t соответствуют разные точки дуги I;
2) они имеют производные ф' (t), ф' @. непрерывные и не равные одновременно нулю
ни при одном значении t, a ^ t ^ Ь.
Условие 1) есть условие того, что множество точек М (ф (t), ф (t)) есть простая
дуга, а 2) — есть условие гладкости. Из условия 2) следует (это нетрудно доказать
простым рассуждением от противного) существование Ао > 0 такого, что при всех
значениях (, "а < / < Ь, <р'2 (t) + ф'2 (t) > Ао.
Простая дуга называется гладкой дугой класса Cj (аналитического класса),
если функции ф (<), ф (t) являются функциями класса С^ (соответственно анали-
аналитическими).
Предположим, что положительное направление на гладкой дуге при заданных
функциях ф (*), ф («) выбрано в направлении возрастания t. В каждой точке гладкой
дуги I определяется «касательный вектор» к, именно, вектор с компонентами: кх =
= ф' ((); ку = ф' (t). Прямая, на которой лежит вектор к, есть касательная прямая.
Тангенс угла между осью х и касательной прямой, на которой за положительное
направление принято направление, индуцированное вектором к, называется накло-
наклоном касательной.
3. Гладкая простая замкнутая кривая и кусочно-гладкая простая замкнутая
кривая. Простая замкнутая кривая называется гладкой, если существует параметри-
параметрическое представление этой кривой а: = ф(*), ^ = Ф(?), в котором функции ф (t)
и ф (*) удовлетворяют следующим условиям: а) они однозначны, непрерывны при
всех t, t0 <; t <; Т (t0 и Т~— некоторые заданные значения), таковы, что ф (t0) —
= ф (Т), ф (t0) = ф (Т) и, кроме того, для ij и tz, удовлетворяющих условию t0 ^<
¦< h ^ *2 < Т2 равенства ф4 (ц) = «р (t2), ф (*i) = Ф (*г) могут иметь место лишь
в случае, когда Ц = t0, tz = Т; б) они имеют непрерывные производные ф' (t), ф' («),

§ 5] УГОЛ МЕЖДУ ДВУМЯ ГЛАДКИМИ ДУГАМИ 537
не обращающиеся в нуль одновременно ни при одном значении t(t0^ *<; ЗГ), кроме
того, <р' (t0) = Ф' (Г), Ф' (*0) = Ф' (Л-
Условие а) означает, что множество точек М (ф (i), ф (*)) есть простая замкну-
замкнутая кривая, условие б) есть условие гладкости. Условия а) и б) выполняются, в част-
частности, в том случае, когда ф (t), ф (t) — периодические функции с периодом т (т =
= Т — (о), имеющие непрерывные производные, не обращающиеся одновременно
в нуль. Из условия б), как и в случае простой гладкой дуги, следует, что при всех
t, t0 ^ t <; Т, ф'2 (/) + Ф'2 (*) > Ао, гДе ^о — некоторая положительная величина.
Всякие две точки на гладкой простой замкнутой кривой С, очевидно, разделяют С
на две простые гладкие дуги. В каждой точке кривой С, так же как и в случае глад-
гладкой простой дуги, определен касательный вектор.
Простая гладкая замкнутая кривая называется простой замкнутой кривой
класса Ck, к >- 1 (аналитического класса), в случае, когда функции ф (*), ф (i) при-
принадлежат Cfe (являются аналитическими) и, кроме того, для производных от этих
функций выполняются равенства:
где i принимает все значения от 1 до к (к = со для аналитического класса). Простая
замкнутая кривая называется кусочно-гладкой, если она, не являясь гладкой, состоит
из конечного числа простых гладких дуг.
4. Гладкая линия. Пусть даны функции х = ф (t), у = ф ((). определенные на
некотором интервале значений t? (а, Ь) (в частности, может быть а = — со, Ъ = +со),
имеющие при всех этих значениях t непрерывные производные ф' (t), ф' (t), причем
ф' (<J + Ф' (<J > 0. Тогда множество точек М (ф (t), ф (/)), *€ (а, Ъ) мы будем
называть гладкой линией или просто линией.
5. Гладкие простые дуги, имеющие общую точку. Пусть 11 и 1%— Две простые
гладкие дуги. Пусть при t ? [а%, Ь%] (а% <bj) х = ф, (*i), ^ = ф4 ((), и соответственно
при к ? [а2, Ь2] (а2 < 62) а: = ф2 (и), у = ф2 (м) — параметрические уравнения дуг
ij и г2 (ф(, ф4 Иф2, ф2—функции класса С1, удовлетворяющие условиям 1) и 2) п. 2).
Предположим, что на обеих этих дугах установлено положительное направление
соответственно в сторону возрастания параметров t и и.
Предположим, что дуги 11 и U имеют общую точку Мо (х0, у0), соответствующую
на дуге 1г значению параметра /0 ^ [at, bt] и па дуге 12 — значению параметра и0 €
€ [а2. Ь2Ь так что ^о = Ф1 Со) = Фг ("о), г/о = Ф1 (W = Фз ("о)- (Точка Мо может
быть как отличной от концов дуг Ц и 12, так и совпадать с концом одной или обеих
этих дуг.)
Углом а меокду дугой lt и дугой 12 (порядок дуг не безразличен!) в их общей точке
Мо называется угол между касательным вектором к дуге 1} и касательным вектором
к дуге 1% в этой точке. Угол а определяется, следовательно, из соотношений
sin а= ФП*о)Ф2("о)—Фг (мо) Ф1 (to)
cosa=
ф! (to) ф2 (»0) +Ф1 (h) Фг ("о)
i* К) +Фг2 (и0)
Таким образом, знак угла между дугой lt и дугой Z2 определяется знаком детер-
детерминанта
Dn=
ф! («о) Ф? Со)
г («о) Ф4 ("о)
Очевидно, угол между дугой lt и дугой lz равен по абсолютной величине и про-
противоположен по знаку углу между дугой lt и дугой 12.
Две простые гладкие дуги пересекаются (или одна дуга пересекает другую),
если в их общей точке угол между ними отличен от нуля, т. е. если sin a ф 0. Две
простые гладкие дуги касаются в общей точке, если угол между ними равен 0 или я,
т. е. если sin a = 0.
Лемма 1. Если простые гладкие дуги /j и 12 пересекаются в точке Мо (х0, у0)
(х0 = ф( (@) = ф2 (и0), у0 = ф4 (t0) = ф2 (*о))> то существует Д > 0 такое, что часть

538 ДОПОЛНЕНИЕ
дуги ?2> соответствующая значениям и, \ и — Uq | ^ Д, кроме точки Мд не имеет ника-
никаких других общих точек с дугой Ц и аналогично часть дуги lit соответствующая зна-
значениям t, \ t — t0 | -^ А, кроме точки Mq не имеет никаких других общих точек
с дугой lz.
Доказательство. Рассмотрим сначала какое-нибудь положительное
б < 1 „-—- и рассмотрим множество точек дуги I, соответствующих значениям
| t — @ | ^ б. Это множество состоит из двух простых дуг, которые мы обозначим
через Я,4 и Я2 (точкам дуги Xt соответствуют значения t, а4 <; t <; t0 — б, а точкам
дуги %2 значения t0 + б <; t <С Ь%).
Обозначим через т] нижнюю грань расстояний точки Мо до дуг Хх и Я9. Очевидно,
Ч > 0 (так как множество, состоящее из дуг Я4 и Х2, замкнуто, а точка М0"ему не при-
принадлежит). Возьмем теперь б' > 0 столь малым, чтобы часть дуги 1%, точкам которой
соответствуют значения и, \ и — и0 | <; 6', целиком лежала в uv/2 (Mo). Эта часть дуги
12, очевидно, не будет иметь общих точек с дугами %t и Я.2. Остается, следовательно,
показать, что при достаточно малых 6 > 0 и б' > 0 часть дуги 12, соответствующая
значениям и, \и — и0 \ < б', кроме точки Мо не имеет больше других общих точек
f. частью дуги lt, соответствующей значениям t, \ t — <о | < б.
Переходя к доказательству этого последнего утверждения, заметим прежде
всего, что по условию леммы:
Ф1(«о)=ф2("о). 4>i(to)=%(uo), A)
Д=<Pi Со) -Ф2 Ю— * i(*o) *i ("о) ф 0. B)
Предположим, что при любом б > 0 можно указать значения ti и щ, tl ф t0,
и1 ф и0, такие, что 114—101<6, | ut—и0 \ <б, и при этом
4>2("l)- C)
Вычитая из этих равенств равенства A), мы получим
9i (h)—Ф1 Со)=ф2 («i)—Фг ("о). *i Ci)—"*i (<o)=i|>2 ("i)— ¦Фг К)
и, применяя теорему о среднем, имеем
1—«о). *? (тц) С—(о)=^Ы(щ— "о)- D)
Так как по условию Do ф О, то в силу непрерывности функций <р{, фг, -ф^, -ф^
при всех |j, t]t, достаточно близких к t0, и |2, %, достаточно близких к м0, т. е. при
достаточно малом б > 0:
С=ф1 (li) «(Чг)—ФП12) Ф! (%) ?= 0.
Но соотношения D) можно рассматривать как систему линейных уравнений относи-
относительно щ — и0 и /j — t0. В силу того, что D ф 0, эта система уравнений не может
иметь отличных от нуля решений щ — щ ж Ц — t0. А это, очевидно, противоречит
сделанному предположению, что доказывает лемму.
Замечание. Если функции <р4 и "ф± определены только для значений / > t0
или функции ф2, 4jJ —• только для значений и > и0 (это имеет место в случае, когда
общая точка дуг lt и 12 является концом одной или обеих этих дуг) —• в рассуждение,
проведенное при доказательстве леммы, следует внести некоторые очевидные изме-
изменения.
§ 6. Регулярное отображение. Криволинейные координаты. Некоторые
предложения о гладких дугах и гладких замкнутых кривых
1. Регулярное отображение. В настоящем параграфе приводятся основные све-
сведения о тАк называемом регулярном отображении, являющемся частным случаем
топологического отображения. При этом мы ограничимся случаем п ='2, т. е. слу-
случаем отображения множеств евклидовой плоскости в множества той же или другой
евклидовой плоскости. Все сказанное в этом случае с очевидным изменением пере-
переносится на случай п > 2.
Пусть функции
ж = /(к, v), y=g{u, v) A)

§ 6] РЕГУЛЯРНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ 539
определены в некоторой области G плоскости (и, v) и в точках этой области однознач-
однозначны, непрерывны и имеют непрерывные частные производные до некоторого порядка
р ^ 1. Будем считать и, v декартовыми координатами плоскости (и, v), а х, у —
декартовыми координатами плоскости (х, у).
Пусть М — какое-нибудь множество, лежащее в области G (например, откры-
открытая или замкнутая область Г, целиком вместе с границей лежащая в G). Функции A),
очевидно, определяют отображение Т множества М плоскости (и, v) на некоторое
множество М* плоскости (х, у).
Это отображение Т называется регулярным в точках множества М, если выпол-
выполняются следующие условия: 1) отображение Т является топологическим отображением
множества М, т. е. в точках множества М существуют однозначные обратные функции
и = / (х, у), v = g (x, у), определяющие обратное отображение Т~г; 2) функциональ-
функциональный детерминант
D (/, g)
D(u, v) ~
отличен от нуля во всех точках множества М *).
Регулярное отображение называется регулярным отображением класса Сд
{или аналитического), если функции / (и, v), g (и, v) являются функциями класса Сь
{или аналитическими функциями).
Теорема VIII. Если отображение Т регулярно на множестве М, то: 1)
обратное отображение Т~1 регулярно на множестве М*, являющемся образом множе-
множества К, и в случае, когда данное отображение Т принадлежит классу С\ (аналитиче-
(аналитическому классу), отображение Т~г также принадлежит классу Ck (аналитическому
классу); 2) точки множества М, являющиеся отображением внутренних точек мно-
множества М, являются внутренними точками М*; 3) точки множества М*, являю-
являющиеся отображением граничных точек множества М, являются граничными.
Доказательство этой теоремы, которое мы опускаем **) (см. [59]
160]), опирается на теорему о неявных функциях. В частности, тот факт, что у обрат-
обратного отображения и = Т(х, у), v — "g(x, у) функциональный детерминант также отли-
отличен от нуля, следует из того, что в силу формулы G) § 4 дополнения мы имеем
D 0,Ъ 1
D (х, у) D(f, g) ¦
D(u, v)
Замечание I. Пусть отображение Т, заданное функциями вида A), опре-
определено во всех точках замкнутой области Н, но регулярно только во внутренних
точках Н (и следовательно, на границе Н либо может нарушаться взаимная одно-
однозначность отображения, либо функциональный детерминант может обращаться в нуль).
Тогда, очевидно, утверждение 2) остается справедливым во внутренних точках Н.
Замечание II. При регулярном отображении класса С^ (аналитического
класса) гладкие дуги класса С^', к' < А; (аналитического класса), отображаются в глад-
гладкие дуги того же класса.
2. Криволинейные координаты. С интерпретацией системы функций A) как
отображения Т некоторого множества М плоскости (и, v) на множество М* плоскости
(х, у) тесно связана другая интерпретация этих функций — как преобразования к кри-
криволинейной системе координат.
Пусть
и=7(*. У), v =!>(*, У) B)
— функции, обратные функциям A).
Очевидно, каждой точке т* (х, у) множества М* плоскости (х, у) соответствует
пара чисел и, v, где и, v — декартовы координаты той точки т плоскости (и, v),
которая отображается в точку т* (т. е. прообраза точки т*).
*) Если на некотором множестве М заданы функции вида A) и во всех точках
этого множества п) I Ф- 0, то отсюда еще не следует, что отображение множества М
ёа его образ М* взаимно однозначно.
**) Это свойство в силу того, что регулярное отображение является топологи-
топологическим, очевидно, непосредственно следует из теоремы Брауэра.

540 ДОПОЛНЕНИЕ
Числа и и v являются криволинейными координатами точки т* (х, у). Рассма-
Рассматривая и и v как криволинейные координаты точек т* (х, у) множества М*, мы будем
говорить, что уравнения A) определяют на множестве М* регулярное преобразование
координат (класса к или аналитического класса в зависимости от того, какому классу
принадлежат функции A)). Выражения A) будем называть «формулами преобразо-
преобразовании», детерминант 1) — детерминантом (якобианом) преобразования (отображения).
Прямые плоскости (и, v) : и — С, v = С, отображаются на плоскость (х, у) в кривые,
параметрическими уравнениями которых являются соответственно:
* = f(C, v), y = g(C, v), C)
x = f(u, С), y = g(u, С) D)
(и, v — параметры). Эти кривые — координатные .пиши криволинейной системы
координат.
. В силу взаимной однозначности регулярного отображения Т через каждую
точку рассматриваемого множества М* проходит одна и только одна кривая ('Л) н одна
и только одна кривая D).
Систему координат и, v, получающуюся путем регулярного преобразования A),
мы будем также называть регулярной криволинейной системой координат *).
3. Преобразование компонент вектора при регулярном отображении. Кон-
траварпаитиый лектор. Преобразование касательного вектора. Пусть, как и рань-
раньше, функции х = j (и, v), у — g (и, и) дают регулярное отображение Т некоторой
области 11 плоскости (и, v) на некоторую область G плоскости (х, ц) (х, у и и, v —
декартовы координаты).
Пусть в некоторой точке Ро (и0, v0) задан вектор v с компонентами U, V. Пред-
Предположим, что в точке Ро плоскости (х, у), являющейся отображением точки Ро (Ро —
= Т (Ро)), задан вектор v с компонентами Л", У, где
*=^/ы("о> vo)U + f'u(uo, vo)U, У — а и ("о, vo)l'— g'vfro, vo)L\ E)
Вектор е мы будем считать соответствующим вектору /.' но отображению Т. Мы
будем также говорить, что при отображении Т компоненты вектора v преобразуются
согласно формулам (I)).
Если рассматривать и и v как криволинейные координаты точек плоскости (х, у)
и если и — ] (х, 7/), v r— g (х, у) — функции, обратные функциям A), то Г и V будут
компонентами вектора /; в криволинейной системе координат и при этом
и^1'х(л-0, уо)*-Ь/^(жо. Уо)У, V = g-X(xo, yo)X + g'y{xo, г/0) У. ((;j
(Формулы @) полностью симметричны с формулами (л).)
Рассмотрим в плоскости (и, v)~ гладкую простую дугу / (и =- (р (/), v — я]- (t)).
Покажем, что при регулярном отображении Т касательный вектор к этой дуге преоб-
преобразуется согласно формулам (.">) (т. е . касательный вектор является контраварпант-
ным вектором). Действительно, при отображении Т дуга L, очевидно, отображается
па плоскость (г, у) в гладкую простую дугу:
*=/(<р@, *@)=ч>@, »-г(ч>@, *@)=* @-
Пусть Ро(ио, v0)—точка дуги I, соответствующая на этой дуге некоторому
значению t = t0, так что мо==ф {t0), vo~ty (t0). Касательный вектор в этой точке
имеет компоненты <р' (^0), 1J)' (^0). На плоскости (х, у) в точке Ро дуги /, являюпи^йся
отображением точки Ра (Po-—T(J'o)), касательный вектор к дуге I имеет, очевидно,
компоненты
Ф'(<()) = /; К. 1'о)ф'^о)-!-/;(«о. ^o)^'(^),
т. е. комнопепты касательного вектора преобразуются согласно формулам ((>).
*) Термин «криволинейные координаты» употребляется не только в случае
регулярной системы координат, но также и в более общем случае: так. например, мы
говорим о «полярных координатах», хотя полярные координаты не являются регуляр-
регулярной системой. Отметим, однако, что и случае полярных координат отображение части
плоскости (ip, о), 0 •'; ф < 2я, о > g0, о0 > 0, на соответствующее множество пло-
плоскости (х, у) является регулярным.

$ 6] РЕГУЛЯРНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ 541
4. Изменение угла между векторами при регулярном отображении. Роль яко-
якобиана преобразования. Пусть в точке Р^ плоскости (х, у) даны два вектора:
вектор »d с компонентами U±, Vl и вектор v2 с компонентами U2, V2.
Синус угла а между v± и v2 (порядок не безразличен) согласно п. 5 § 4 выра-
. жается формулой
sin a
Vu\+v\
Пусть векторами на плоскости (х, у), соответствующими по отображению Т
векторам vi и и2, являются: 1) вектор v\ с компонентами Х±, Yj; 2) вектор щ,
с компонентами Х2, Y2.
Синус угла а между гц и v2 выражается формулой
Заменяя XjYj и X2Y2 их выражениями через U^V^, U2 и V2 по формуле E),
мы получим после элементарных преобразований
Do sin a
VXf + YJV'X
где jD0 — якобиан преобразования Т в точке Ро.
Так как Do =f= 0, то отсюда, очевидно, вытекает следующее предложение:
всегда считаем плоскости {и, v) и (х, у) ориентированными и при этом согласованно,
см. п. 5 § 2 дополнения.
Лемма 1. Если угол между вектором vi и v2 отличен от нуля, то и угол между
соответствующими им векторами vi и v2 также отличен от нуля и при этом: а) в слу-
случае, когда Do < 0, знак угла а совпадает со знаком угла а (так как знак sin а совпадает
со знаком sin а); б) в случае, когда Do < 0, знак угла а противоположен знаку угла а
(так как sin а в этом случае противоположен знаку sin u).
Мы приведем еще без доказательства следующее предложение, по своему содер-
содержанию связанное с предыдущей леммой, опирающееся на введенные понятия топо-
топологического отображения, сохраняющего н меняющего ориентацию.
Лемма 2. Если дано регулярное отображение Т односеязной области Н пло-
плоскости (и, v) на односвязную область G плоскости (х, у), то в случае, когда D > О,
отображение сохраняет ориентацию, а в случае, когда L>0 < 0, отображение Т является
отображением, меняющим ориентацию *).
5. Использование регулярного отображения при рассмотрении областей, харак-
характеризующих различные стороны простой гладкой дуги. Как было указано в н. 2 §3,
области, характеризующие различные стороны простой дуги, могут быть введевы
с помощью функций х = ф (s, t), у = ij> (s, t), определяющих топологическое отобра-
отображение прямоугольника плоскости (s, t) со сторонами, параллельными осям t ч s
на некоторую содержащую дугу I замкнутую область G плоскости (х, у).
Предположим, что простая дуга I, параметрические уравнения которой
х = У (s), у = g (s), s ? [a, b], является гладкой, так что функции / (s) и g (s) являют-
являются функциями класса Ct. В этом случае часто бывает весьма естественно в качестве
функций, определяющих отображение прямоугольной плоскости (s, t), рассматривать
функции, определяющие регулярное отображение прямоугольника а.
Таким образом, мы будем рассматривать функции х — ф (s, t) и у = -ф (s, t),
обладающие следующими свойствами:
1) Они определены в прямоугольнике а. заданном неравенствами а .< s ^ Ь,
| 11 <С а и являются в этом прямоугольнике функциями класса Ci;
*) Отметим, что требование односвязности здесь является существенным. Так,
например, в случае инверсии q = \Iq1 якобиан отрицателен (D = —1), но всякая
окружность С с центром в начале, обходящаяся в положительном направлении, ото-
отображается в окружность с центром в начале, также обходящуюся в положительном
направлении. Однако в этом случае регулярное отображение не определено в. начале
координат. Если же рассматривать простую замкнутую кривую, не содержащую
начала координат внутри, то в согласии с приведенной в тексте леммой при отобра-
отображении q = 1/qj направление ее обхода меняется на обратное.

542 ДОПОЛНЕНИЕ
2) они дают топологическое отображение Т прямоугольника а на некоторую
замкнутую область G плоскости (х, у), причем <р (s, 0) = / (s), if (s, 0) = g (s), т. е.
отрезок прямой t = 0, соответствующий значениям s ? [a, b], отображается в дугу I;
3) ни в одной точке прямоугольника а якобиан D = ~n v не обращается
О (s, t)
в нуль. Мы будем для определенности предполагать, что D > 0 (случай, когда D < О,
рассматривается полностью аналогично).
Как уже указывалось, значения s и t можно рассматривать как криволинейные
координаты в области G плоскости (х, у). Криволинейными координатными линиями
t = const являются гладкие дуги
x = <p(s,C), y^q(s;C), G)
причем при С = 0 мы получаем дугу I; криволинейными координатными линиями
s = const являются дуги
х = Ф(С, t), y=--i|j(C, <). (8)
В силу того, что по предположению D > 0, угол между координатными линиями G)
и коордипатпыми линиями (8) в их общих точках положителен, а рассматриваемое
отображение Т сохраняет ориентацию. Тогда в согласии с п. 2 § 3 мы будем считать,
что точки области G, для которых t > 0, характеризуют положительную сторону
дуги I, точки области G, для которых t < 0,— отрицательную сторону дуги I.
6. Одип способ введения функций а? = <р(», t), »/ = я|> (*, t). В ряде вопросов
функции х = ф (s, t), у = ij1 (б-, t), обладающие свойствами 1) — 3) п. 5, естествен-
естественным образом вводятся следующим путем. Предполагая по-прежнему, что х = f (s),
У = S (s). s € Ia. bj, — параметрические уравнения дуги /, рассмотрим функции
Ф (s, t), if (s, i), определенные при всех значениях s и t:
'¦6[о, Ь], |<|<т (т>0), (9)
и удовлетворяющие следующим условиям:
а) Они однозначны, непрерывны и имеют непрерывные производные при всех
указанных зпачениях s и t;
б) q>(s,O) = /(*), y(s,O) = g(s);
Будем предполагать для определенности, что Do > 0 (случай i>0 <^ 0 исследуется
полностью аналогично). Очевидно, непосредственно нельзя утверждать, что функции,
удовлетворяющие условиям а), б), в), одновременно удовлетворяют условиям 1),
2), 3) п. 5 при всех тех значениях s и t, при которых они определены. Действительно,
при условиях а), б), в) функции х = гр (s, t),y = ф (s, t) задают семейство гладких дуг
* = Ф(С, 0 y=ip(C, 0, (Ю)
которые в общих с дугой I точках (соответствующих t = 0) не касаются этой дуги.
Но при t ф 0, | 11 <С т, кривые A0), соответствующие различным значениям С, вообще
говоря, могут пересекаться. Тогда, очевидно, условие 2) заведомо не будет выполнено.
Однако можно показать, что при выполнении условий а) — в) мы всегда можем ука-
указать такое a ? [0, т], что при всех ! t\ ^ a кривые A0) не пересекаются. Именно,
имеет место
Л е м м а 3. Если функции
x--^<p(s,t), y = i|!(s, 0 A1)
удовлетворяют условиям а)—i?), то существует положительное а, а<^т, такое, чти
при всех s и V.
s€[«,b], |<|<а, A2)
эти функции удовлетворяют условиям 1) — 3), т. е. дают регулярное отображение
прямоугольника, определенного неравенствами A2) на замкнутую область g, ограни-
ограниченную простой замкнутой кривой, содержащей внутри все точки дуги I кроме концов
(лежащих па границе if). При атом отре.гок прямой t = 0, соответствующий значе-
значениям s ? [а, Ь\, отображается в оанную дугу I.
Д о к а з а т е л т, с т в о. I! силу условия в) всегда можно указать такие a > 0,
чтоби при всех s ? [ч. Ь], j tj <; а функциональный детерминант фупкций A1) был

§ 6] РЕГУЛЯРНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ 543
отличен от нуля при всех | 11 < а. Для доказательства утверждения леммы остается
показать, что при Всех достаточно малых t отображение, заданное функциями A1),
является топологическим, т. е. взаимно однозначным. В силу однозначности функций
Ф (s, t) и ф (s, t) для этого достаточно показать, что при надлежащем выборе а любые
две различные точки М' (s', t') и М" (s", t"), у которых s' ? [a, b]. s" ? [а, Ъ),
| t' ! < а, | t" | < а, отображаются в две различные точки ДГ (х', ^') и Л/" (z", у"), где
X* = ф is" t"\ у"-^Ц~(*" •*>")
Переходя к доказательству этого последнего утверждения, заметим предварительно,
что в силу условия в) (Do > 0) всегда можно указать столь малое 4 > О а о, > 0,
чтобы мы имели
q>s(«i. i) ;f)'2' Д >о A3)
ф* (S3. {3) *)-/ («4» У
при условии
Is;—«Й|<Д (i = l, 2, 3, 4; fc-- 1, 2, 3, 4),
Ю1<«о (/ = 1,2,3,4), A4)
какие бы s? и <,-, удовлетворяющие этим неравенствам, ми пи ияялн.
Доказательство будем вести от нроишного: предтюложнм, что при люОом a g
6 @, а0) существуют точки М' (*•', t') и Ж" (s", г") такие, что . г' J < a, j t" < а,
при этом либо s' == s", либо t' Ф t", отображающиеся в одну и ту то точку плоскости
(х, у). Ото означает, что выполняются равенства
где либо s' ф s", либо f Ф t" и | t' ] <| а, | f" <; а. Рассмотрим отдельно случай,
когда \s' — s" I < А, и случай, когда | s' — s" | > А, где Л — величина, фигурирую-
фигурирующая в неравенствах A4). Пусть сначала [ s' — s" j < Л. Делая в равенствах A5) эле-
элементарные преобразования и применяя теорему о среднем, получим
= ^ a' —t"! ()' A6)
где s'<g;<*", <'<T]?<t» (s = l, 2, 3, 4), |«'|<а, |<"|<а. Из неравенства A4)
и условия A3) мы имеем | g4 — Iftl-^A, | uy | <| а, и, следовательно, детерминант
__ Ps Fi. tii) Vs Aг. П
по самому выбору А и а.
Но тогда равенства A6) возможны, очевидно, лишь в случае, когда s'—s" и
t' = <", что по предположению не имеет места. Следовательно, в случае, когда
(s' — s") <C А, равенства A5) невозможны. Предположим теперь, что при любом
сколь угодно малом а найдутся значения .«', f и s", l" такие, что \ s' — s"|>A
л I *' I <C ai |'"|<Со. ПРИ которых рапенства Aо) кынолпяются. Тогда» как нетруд-
нетрудно видеть, должна существонать последовательность пар s'h, t'k (s'^, 1'jJ такая, что
1 ?ft—skl > А и что
lim t'k~0, \'imt"h--\),
/t-*- —CO /(—>¦<¦
li при всех к
Мы всегда можем предположить, кроме того, что s^, s"h при к-*- со стремятся
к определенным пределам s'n и xJI (в протшшом случае из иос.Н'дователыюстеи s'k
и i"k мы всегда могли бы взять подпоследовательности, обладающие этим свойством).
При этом так как [ s'h—sj^ j !> А при любом /с, то и i,',—лЦ | " \. Кроме того, мы
должны иметь в силу непрерывности функции с/, (t, s), 1J3 (tt s) u в силу соотно-
соотношений б):
ФЙ. 0) = /(л'о) = фК, O) = /(sJ), 1|)(хп, 0) - tf (л-,',) = i[j (.-S, O)
Ifo так как I — простая цуга, то ни при каких .-,„, и^ таких, 'ito .v,', ¦/- s[J, мы не
можем иметь одновременно
/ (»'i) = / (s'd), g К) - fer (*'!!)¦

544 ДОПОЛНЕНИЕ
Таким образом, мы приходим к противоречию и, следовательно, при некотором выборе
а >0 функции A1) дают регулярное отображение облает» прямоугольника х ? I". ''I.
| t\ .-С а на некоторую замкнутую область g плоскости (х, у). При атом образом гра-
границы прямоугольника является граница области g. Эта граница является простои
замкнутой кривой. Отрезок прямой t =-= 0, sf [я, Ь\ отображается в .чанную про-
простую дугу /. Таким образом, лемма доказана.
Н частности, из этой леммы непосредственно следует, что для простой дуги
класса С2 *) функции
* = /(*)-b'g'(*). V = g(s)-tf'(s)
(в этом случае дугами s — const являются отрезки нормалей к дуге /) при достаточно
малых t (| 11 <С а, а > 0) удовлетворяют условиям 1) — .4).
7. Пересечение двух гладких дуг и пересечения гладкой дуги с гладкой и кусоч-
кусочно-гладкой простои замкнутой кривой. Пусть гладкая простая дуга /:
х = /(*). V-=g(s), s 6 [а, Ъ],
имеет с простой гладкой дугой К общую точку Мо, отличную от концом обоих
дуг I и X. Пусть
x = F(u), y = G(u), и?[аи 6,]
— параметрические уравнения дуги X. Предположим, что точка Мо соответствует
значению параметра ,?0 6 (я. Ь) и значению ио? (ах, bt). В силу леммы 1 § Г> доцол-
нения при всех достаточно близких к и0 значениях и дуга к кроме точки Мо не будет
уже больше иметь других общих точек с дугой I. Предположим, кроме того, что заданы
какие-нибудь функции гр (.?, t), \\; (s, t), характеризующие разные стороны дуг I, для
которых выполняются условия 1)—3) н. 5.
Лемма 4. Если е общей точке Мо дуг L и X, отличной от концов этих дуг,
угол между дугой I и дугой X положителен (отрицателен), то дуга X переходит с отри-
отрицательной (положительной) стороны дуги I на положительную (отрицательную).
Доказан; л ь с т в о. Пусть а — угол между дугой / и дугой К в точке Мо.
Предположим, что а > 0 (случай а <; 0 рассматривается аналогично). Тогда
У "/' («оJ+ S' (*"оJ V'f" Ы'2-гС,' (но)г
При всех достаточно близких к и0 значениях и каждой точке дуги X соответствует
пара значений .у п t, удовлетворяющих системе уравнении
(p(s, t)=F(u), q(s,l):-G(u). A7)
15 силу того, что Мо — общая точка дуг I и X, ;>тн уравнения удовлетворяются
при значениях t -¦- (), s — sOl и - и0. Из уравнений A7) t и .у могут быть найдены как
функции и. Для доказательства леммы, очевидно, достаточно показать, что в точке
Мо, т. е. при и~—и0, — > 0. Но мы имеем
(IS)
Полагая в итих уравнениях f = 0, .«-=*о> «—"о ц принимая во шшиаиис что
II СИЛу уСЛОВИЙ, КОТОРЫМ удовлетворяют фуНКЩШ ср (s, i), lj) (.v, /), ИДКЧ'М
*) Такие дуги в основном рассматриваются в тексте. 1! случае, когда функции
/ (s) и g (s) имеют производные, нерного порядка и не имеют производных цторого
порядка, функции A7) не удовлетворяют условиям а) — в). Тогда можно вместо /' (.-)
и g' (s) взять тригонометрические многочлены Pl (s) и P., (s), приближающие ;>ти
функции с любой дашюй степенью точности, и тогда функции
х ~-j(*)~tI\(s), y^g(s)-tPi(s)
будут удовлетворять условиям 1) — 3).

§ 6] РЕГУЛЯРНОЕ ОТОБРАЖЕНИЕ. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ КООРДИНАТЫ 545
Мы получим из уравнений A8)
/at_-\ = f'(so)G'(uo)-g'(so)F'(u())
\duju=uo~ D (s0, t0)
что и доказывает лемму.
Пусть С — простая замкнутая кривая, из которой можно выделить простую
гладкую дугу I. Это, очевидно, всегда возможно, когда кривая является гладкой или
кусочно-гладкой. Однако возможен также и более общий случай, когда кривая С
не является ни гладкой, ни кусочно-гладкой и тем не менее из пее можно выделить
гладкую дугу (например, когда кривая С состоит из одной гладкой и из одпой неглад-
негладкой дуги, не являющейся кусочно-гладкой дугой).
Пусть Я — простая гладкая дуга и
я = /("). У = ?(и), «6 [я. Ь]
— ее параметрическое представление. Предположим, что дуга X при значении и=и0
пересекает кривую С в точке Мо, являющейся точкой дуги I, отличной от ее концов.
Будем считать положительным направлением обхода кривой направление обхода,
установленное так, как указано в п. 5 § 2, и на дуге I положительным направлением
будем считать направление, индуцированное положительным обходом кривой С.
Из леммы 3 и предложения III и IV п. 3 § 3 дополнения вытекает следующая
Лемма 5. Если в точке Мо угол между дугой I и дугой s положителен, то при
возрастании и (от значений и < и0 к значениям и ~> и0) дуга X входит внутрь кривой
С, а если угол между дугой I и К отрицателен, то при возрастании и дуга X выходит
из кривой С.
Обратно: Если дуга X, пересекая дугу I в точке Мо, при возрастании и входит
внутрь кривой С, то угол между дугой К и дугой I положителен, а если дуга Я. при
возрастании и выходит из кривой С, то угол между дугой X и дугой I отрицателен.
Предположим теперь, что рассматриваемая простая замкнутая кривая является
кусочно-гладкой. Пусть lt и 12 — две простые гладкие дуги, входящие в состав кривой
С1 и имеющие общий конец О. Считая положительным направлением на дугах lY и U
направление, индуцированное положительным обходом кривой С, предположим, что
угол между дугами 1Х и \2 в точке О отличен от нуля и от л. Пусть простая гладкая
дуга Xj, параметрическое уравнение которой
x=f(u), y = g(u),
имеет общую с кривой С точку О. Предположим, что в точке О оба угла — угол между
дугой Zj и к и угол между дугой 12 и К — положительны. Имеет место следующая
лемма, доказательство которой опускается.
Лемма 6. Если угол между дугой Ц и X и между дугой % и 12 положителен,
то в точке О дуга К при возрастании и входит внутрь простой замкнутой кривой С.
Доказательство этой леммы может быть проведено путем построения для каждой
из этих дуг надлежащим образом выбранных функций, удовлетворяющих условиям
1)—3) п. 5.
8. Два предложения о построении функции по заданным условиям. В настоящем
пункте приводятся без доказательства дна предложения о построении функций. Пусть
Mj (xlt yt) и М2 (#2> у2) — Две точки плоскости х, у, причем xt ¦< х2. Пусть kln k2 —
два произвольных числа.
Лемма 7. При любом h ]>• 0 существует функция у = / (х), определенная
при значениях х ? [xt, х2\, являющаяся функцией класса 6'j и удовлетворяющая следую-
следующим условиям: a) f (zj) = yit f (x2) = y2, f (^j) = kt, f (x2) = k2; б) в случае, когда
Vi < №. У\ — h < / (x) < 1/2 + h, а в случае, когда у1 > У-~, yt -h"h > f (x) > y2 — h
(рис. 338).
Пусть t (x) — функция, определенная па сегменте \xt, x2], являющаяся на этом
сегменте функцией класса С±. Пусть у2 — величина, удовлетворяющая неравенству
Уг < х (¦к) ПРИ всех х € I^i. ^г]! и ^2 — произвольная отрицательная величина.
Лемма 8. Существует однозначная функция у = / (х), определенная при зна-
значениях х ? [х±, х2\, являющаяся функцией класса С1 и удовлетворяющая следующим
условиям:
а) / (*i) = Т (.4), f (Х2> = Уг,
б) /'(*i) = *2+T'(*l). /'(**> = **
в) при всех х ? (хи хг)_у2 < / (х) < т (х) (рис. 339).
Лемма 9. Пусть g — замкнутая область плоскости (t, x), определенная
неравенствами а <^ х ^ Ь, 0 <^ t <; <р (х) (рис. 340, а), и g' — замкнутая область
плоскости (t',x'), определенная неравенствами а' <; х' <^ Ь', 0 <^ f <ij) (х') (рис. 340, б).
1/2 35 А. А. Андронов и др.

546
ДОПОЛНЕНИЕ
Здесь ф (х) и ф (х) — однозначные и непрерывные функции своих аргументов. Пред-
Предположим, что:
1) Между точками отрезков х ? [а, 6] и х' ? [а', Ъ'\ (т. е. .между точками
отрезное АВ и А'В' на рис. 340, а и б) установлено топологическое соответствие,
Рис. 338.
заданное функцией х' = у (х), так что х может быть однозначно разрешено относи-
относительно х , х = V (х) (У (х) и у~^ (х') — однозначные и непрерывные функции своих
аргументов и при этом у (а) = а', у (Ь) = Ь').
2) Между точками отрезков прямых х = а и х' — а', определенными соответ-
соответственно неравенствами: 0 -< ( < ф (а) и 0 <; t' (а') (т. е. между точками отрез-
отрезков АА^ и А'А[ на рис. 340, а, б), установлено топологическое соответствие, заданное
функцией t' = fi (t), так что t может быть однозначно разрешено относительно
В
6
А
X
X'
Рис, 340.
t'
6)
f, t = 1jl (t) (обе функции /j (t), fll (t') непрерывны и однозначны и при этом /j @) —
= 0, /, (Ф (а)) = ф (а')).
3) Между точками отрезков прямых х = b и х = о , определенными соответ-
соответственно неравенствами О <J! t ^ ф (Ь), 0 -^ t' -< ij) (Ъ') (т. е. между точками отрез-
отрезков ВВ^ и В'В[) установлено топологическое соответствие, заданное функцией t' —
= /2 (t) так, что t .чожет быть однозначно разрешено относительно t', t = j.,1 (f)
(обе функции f2 (t), /г1 it') непрерывны и однозначны и при этом
Тогда существует топологическое отображение замкнутых областей g и g' друг
на друга, при котором заданное в 1), 2) и 3) соответствие между указанными там
отрезками сохраняется.
Доказательство. Укажем пример функций, осуществляющих указан
ног в лемме отображение. Для этого рассмотрим, например, функции
х'=у(х),
A9)
[а, Ь]

§ 7] СФЕРА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 547
Эти функции однозначны и непрерывны и задают отображение области g на g'
Покажем, что отображение, заданное этими функциями, взаимно однозначно. Для
доказательства предположим противное, т. е. что двум различным точкам (х^, ц)
и (xz, Ь^ соответствует одна и та же точка х'й, t'u. Но в силу свойств функции у (х)
(см. 1)) два разных значения xi и х2 не могут соответствовать одному и тому же зпа-
чению х0 так, что непременно должно быть хх = а:2. Тогда так как по предположению
(хг, *j) и (х2, t2) — две различные точки, то непременно Ь^фЬг. Предположим для
определенности, что t2 > t±. Таким образом, при некотором х ? [в, Ъ\ должно выпол-
выполняться равенство
F(tu x) = F(t2, х). B0)
После элементарных преобразований мы получаем из A9) равенство
B1)
Левая часть этого равенства, очевидно, положительна (так как x?la, Ь]). Кроме того,
функции/j ( —— ф (а) ) и /2 ( . ф (Ь) ) являются возрастающими функциями
V ф (х) У чфг) У
(в противном случае отображения, заданные в 2) и 3), не были бы взаимно однознач-
однозначными). Отсюда следует, что правая часть равенства B1) непременно отрицательна, что,
очевидно, невозможно. Полученное противоречие доказывает, что функции A9) опреде-
определяют топологическое отображение замкнутых областей g и g' друг па друга. Лемма
доказана.
§ 7. Сфера в евклидовом пространстве
1. Окрестность точки сферы. Пусть в евклидовом пространстве Е3 с декартовы-
декартовыми координатами х, у, z дана сфера S радиуса г.
Окрестностью какой-либо точки Р сферы будем называть пересечение окрест-
окрестности точки Р в пространстве Е3 со сферой S. После такого введения окрестностей
на сфере мы, очевидно, можем, рассматривая множества па сфере, говорить о точках
сгущения, о внутренних, граничных точках этого множества, о замкнутых, открытых
множествах на сфере, в частности, об областях на сфере п т. д. Сфера компактна, т. е.
на сфере всякая бесконечная последовательность точек имеет хотя бы одну точку
сгущения. Вся сфера в целом является одновременно и областью, и замкпутым мно-
множеством.
В тексте используется так называемая «стереографическая проекция сферы».
Опишем ее. Мы можем без ограничения общности считать, что центр рассматривае-
рассматриваемой сферы S лежит в начале координат, так что уравнения сферы
Соединим прямой линией точку сферы Л' @, 0, г) («северный полюс» сферы) с любой
отличной от N точкой Р сферы. Точка пересечения Р' таком прямой с плоскостью
г = 0 («плоскостью экватора») называется стереографической проекцией точки Р
сферы S на плоскость экватора. Очевидно, ка;кдая точка сферы, за исключением
точки N, которая называется центром проекции, имеет стереографическую проекцию.
Обратно, если Р' — какая-нибудь точка плоскости (х, у), то прямая, проведен-
проведенная через точку Р' этой плоскости и точку N сферы, пересечет сферу в одной только
отличной от N точке Р. Эта точка называется стереографической проекцией точки Р'
плоскости на сферу. Если через \ и т) обозначить декартовы координаты точки Р'
плоскости экватора, являющейся стереографической проекцией точки Р (х, у, z)
сферы, то мы будем иметь
'=,-=:• •¦-?; <•>
и, обратно,
Функции A) при z ф г и функции B) однозначны и непрерывны, и, следовательно,
дают топологическое отображение сферы с выколотой точкой N па плоскость. Можно
35*

548 ДОПОЛНЕНИЕ
рассматривать стереографические проекции точек сферы не иа «экваториальную»
плоскость, а иа какую-либо другую плоскость, параллельную экваториальной. Очень
часто рассматривается стереографическая проекция точек сферы на плоскость, парал-
параллельную плоскости экватора — касательную в точке сферы, диаметрально противо-
противоположной северному полюсу (центру проекций).
Уравнения B) могут рассматриваться как параметрические уравнения сферы.
Если М — какое-нибудь множество на сфере и М' — множество на плоскости
z = 0, состоящее из точек, являющихся стереографическими проекциями всевозмож-
всевозможных точек М, то множество М' называется стереографической проекцией множества М
на плоскость (х, у). Обратно, множество М является стереографической проекцией
множества М' плоскости (х, у) на сфере S. Очевидно, стереографической проекцией
внутренних точек М являются внутренние точки М', граничных точек М — гранич-
граничные точки М' и обратно. Имеет место
Теорема IX. Всякое множество М на сфере, отличное от множества всех
точек сферы, гомеоморфпо плоскому множеству.
Доказательство. Пусть точка Мо не принадлежит множеству М. Всегда
можно координаты х, у, z в пространстве выбрать так, чтобы точка Мо сферы была бы
точкой с координатами (г, 0, 0) (северным полюсом сферы), а тогда рассмотрение сте-
стереографической проекции сферы на плоскость, очевидно, доказывает теорему.
2. Простая дуга и простая замкнутая кривая иа сфере. Простой дугой и простой
замкнутой кривой на сфере S называется простая дуга и простая замкнутая кривая
в пространстве, все точки которой принадлежат сфере s. Стереографическая проек-
проекция простой дуги и простой замкнутой кривой на сфере является соответственно про-
простой дугой и простой замкнутой кривой на плоскости (и обратно). При этом имеют
место следующие предложения.
Теорема X. Простая дуга и простая замкнутая кривая на сфере нигде
не плотны на сфере.
Теорема XI. Простая дуга не разбивает сферу (т. е. множество точек
сферы без точек рассматриваемой дуги есть область).
Теорема XII. Простая замкнутая кривая определяет на сфере две области
и является общей границей тпих двух областей.
Свойства сферы, сформулированные в последней теореме, топологически инва-
инвариантны, т. е. сохраняются при всех топологических отображениях сферы.
Поверхности, являющиеся топологическими образами сферы, называются
поверхностями рода нуль (или односвязпые поверхности). Только на таких поверх-
поверхностях всякая простая замкнутая кривая определяет дпе области, являясь их общей
границей.
3. Покрытие сферы и координаты иа сфере. Перейдем к вопросу о введении
координат на сфере. Введем сначала понятие покрытия сферы.
Под открытым конечным покрытием S сферы мы будем понимать коночную
систему областей на сфере Gt,Gz, . . ., GN, обладающую следующими свойствами:
1) каждая из областей G; отлична от всей сферы в целом; 2) каждая точка сферы при-
принадлежит хотя бы одной из этих областей. Говоря о покрытии сферы, мы всегда будем
подразумевать конечное покрытие и поэтому будем опускать слово конечное *).
Так как но определению покрытия каждая из входящих в него областей Gj
отлична от всей сферы в целом, то, очевидно, каждая область Gj гомеоморфна плоской
области. Во всякое покрытие входит не менее двух областей (если бы в покрытие
входила одна область, то она должна была бы совпадать со всей сферой, что противо-
противоречит определению покрытия).
В настоящей книге часто используется следующее покрытие, состоящее из двух
областей: одной областью является сфера с выколотой точкой М, а другой — неко-
некоторая область, содержащая точку М (в частности, могущая также быть сферой с одной
выколотой, отличной от М точкой).
Пусть G — некоторая область заданного покрытия сферы; эта область может
быть произвольной областью сферы, отличной от всей сферы. Мы будем говорить,
что в области G задана регулярная локальная система координат и, v класса Ck
(аналитического класса), если задано отображение Т:
x = y(u,v), y = Mp{u,v), z = t{u,v) C)
*) Можно, очевидно, рассматривать не только конечные покрытия сферы, но
также покрытия, состоящие из бесконечного числа областей. В силу теоремы Гейне —
Бореля из всякого такого покрытия можно выделить конечное покрытие.

§ 7] СФЕРА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 549
некоторой области Я плоскости (и, v) па область G сферы, обладающее следующими
свойствами: а) отображение Т является топологическим отображением // на G;
б) функции ф (и, v), -ф (и, v), % (и, v) являются функциями класса Ck или аналитиче-
аналитического класса; в) ни в одной точке области Н функциональные определители
Я(Ф, X) п -л(*' *Й п ^D^'^
Vi~D(u, v) ' Vz ~ ЩИТ») ' 3 ~~ D (и, v)
не равны одновременно нулю.
Уравнения C) можно рассматривать как параметрические уравнения области G
сферы.
Если во всех областях заданного покрытия сферы введены регулярные коорди-
координаты класса Ck (или аналитические), то мы будем говорить, что задано координатное
покрытие сферы *). Мы можем вводить различные системы локальных координат,
выбирая различные покрытия и различные отображения типа C).
Рассмотрим теперь две области G и G, в которых введены координаты соот-
соответственно и, v ж и, v, и предположим, что пересечение W =- G П G областей Gn G
не пусто (области GhG могут быть областями одного и того же или различных по-
покрытий).
Координаты и, v введены в области G с помощью формул C), а в области G —
с помощью формул
ж = ф(и,7), y=ty(u, v), y = yAu,v)> D)
дающих отображение Т области Н плоскости (и, И) на область G сферы. Функции
Ф. 'Ф. X Удовлетворяют тем же условиям, что и функции «р, ф, %• В частности, хотя бы
один из функциональных детерминантов функций D): Du D2, D3, не обращается
в нуль.
Пусть М — произвольная точка области W сферы. Справедлива
Лемма 1. Если в точке М детерминант Di =f- 0 (или соответственно D2 =p О,
или D3 ф 0), то в этой точке Di Ф 0 (или соответственно Dz ф 0, или Ds ф 0).
Д оказательство. Заметим прежде всего, что если ~
F(X, у, Z) = (;C_OJ+(j,_bJ_j_B_c)a_r2=0
— уравнение сферы в декартовых координатах, то, очевидно,
F (Ф. Ф, X) = °. Р (Ф. Ь X) = 0. E)
Отсюда
v = 0 F)
z ~ = Q, F-^\-F^~\-F-zl~ = 0. G)
Из уравнений F) и G) вытекает соответственно, что
F-ar.Fly:F-z = Di:.-Di.Dz (8)
и
F^.F'v:F^ = Dl:-D2:D3, (9)
откуда и следует, принимая во внимание, что
— утверждение леммы.
Рассмотрим область W, являющуюся общей частью областей G и G. Каждой точке
М области W соответствуют как координаты и, v, так и координаты И, И. Поставив
*) При введении на сфере координатного покрытия можно определить «окрест-
«окрестности» точки сферы как отображение некоторой окрестности точки Q плоскости (и, v)
локальных координат. Такое определение окрестности точки на сфере по существу
не отличается от данного ранее.

550 ДОПОЛНЕНИЕ
в соответствие координатам и, v точки М ? W координаты и, v той же точки, полу-
означное соответствие меж;
етствие может быть записан
iT=/(m, v), 7=g(u, v),
чим, очевидно, взаимно однозначное соответствие между координатами и, и ж и, v
точек области W. Это соответствие может быть записано как в виде
так и в виде
u = f~1(u,v), v = g~i(u,'v).
Функции /, g, f~l, g~x могут быть найдены из соотношений
ФК v) = 4>(u, ~v), ¦ФК v)=!p{u, v), %(и, v)=~x(u, v),
так что мы имеем тождества
ф(и, v) = ф(/, g), -ф(и, v) = $(f, g), %(u,v) = x(J,g)
и аналогичные тождества с функциями /—1, g-1.
При этом имеет место
Лемма 2. Если для функций ф, ip, % и ф, if, % выполняются условия а),
б) и в), то функции
u = f(u,v), v = g{u,v) A0)
(или « = /-!(«, г), 1> = гЧМ) A1)
определяют в области W регулярные преобразования координат класса С& или соот-
соответственно аналитического класса, так что:
Доказательство. В силу теоремы о неявных функциях, очевидно,
достаточно показать справедливость A2). В силу условия в) хотя бы один из
функциональных детерминантов Dl5 Dz, D3 отличен от нуля. Предположим для
определенности, что Dj ф 0. Тогда в силу предыдущей леммы и 25j Ф 0. Но тогда
из двух первых уравнений C) мы имеем (см. замечание III к теореме VII допол-
дополнения)
Д(Ф,^ Д(ф, ?) D (/, g)
D {и, v) D (/, ff) Л (u, i;) '
Из этого равенства, используя введенные выше обозначения, получим уг\~—с =
Л,
«=^— =^ 0, что и доказывает лемму.
Dl
Замечание. Если h и h — части областей Н и Н плоскостей (и, v) и (u, v),
в которые отображается область W с помощью функции C) и D) соответственно, то,
очевидно, функции A0) дают регулярное отображение области h на h.
4. Одно частное простейшее координатное покрытие сферы. При рассмотрении
примеров мы будем пользоваться некоторой частной системой локальных координат
на сфере, которую мы сейчас опишем. Пусть N и N — две диаметрально противополож-
противоположные точки сферы, а и а — плоскости, касательные к сфере в этих точках. Под G (G)
будем понимать область, состоящую из всех точек сферы кроме точки N (соответственно
кроме точки N). G и G образуют покрытие сферы, причем все точки кроме «полюсов»
N ж N принадлежат одновременно обеим областям G и G. На плоскостях ала введем
декартовы прямоугольные системы координат (и, v) и (и, v), «согласованные» друг
с другом (ось и параллельна оси и, а ось v —¦ оси v) (рис. 135, глава VI, где оси и,
v обозначены через х и у, а и, v — через и и v). Координатами и, v точки Мо в обла-
области G будем считать координаты и, v той точки М плоскости а, в которую проекта-

§ 7] СФЕРА В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ 551
руется точка Мо при стереографической проекции с центром в Лг. Аналогично за коор-
координаты и, ~v точки Мо в области G возьмем координаты и, v точки М, в которую
точка Мо проектируется из центра N. Мы получаем таким образом локальную систему
координат на сфере, определенную покрытием, состоящим только из двух областей
на сфере, G и G, с введенными в них координатами и, v и и, "v. Такую систему коор-
координат мы будем называть простейшей системой координат на сфере. Легко лидеть,
что простейшая система координат является аналитической. Из элементарных гео-
геометрических соображений (подобия треугольников NMN и NNM) мы имеем
~ = ^- , е2=^2Ч^2, Q2 = «2 + i;2,
lr Q
далее,
и и . v v
costp=— = 7=-, sin«p =— = ^^ .
е с е q
Координаты и, v и и, v в любой точке М, принадлежащей одновременно обеим обла-
областям G ж G, связаны соотношениями
ж эквивалентными им соотношениями
_ 4ur2 _ Av r2
Если на сфере рассматривается множество, отличное от точек всей сферы (в частности,
например, простая дуга или простая замкнутая кривая), то всегда можно выбрать
такое покрытие, именно, в частности, указанное простейшее покрытие, чтобы это
множество целиком лежало в одной и той же области покрытия. Нетрудно показать,
что локальные координаты аи v (и и v) вводятся па сфере с помощью иараметриче
ских уравнений сферы, приведенных в п. 1.
5. Ориентация сферы и типы топологических отображении сферы в себя.
На сфере, так же как и на плоскости, может быть введена ориентация (сфера может
быть ориентировала), т. е. одпо из двух возможных направлений обхода простых
замкнутых кривых на сфере может быть выбрано за положительное. Топологические
отображения сферы в себя, так же как и в случае плоскости, делятся на два тина:
I. Топологические отображения, сохраняющие ориентацию.
\\. Топологические отображения, изменяющие ориентацию.
6. Функции, заданные на сфере. Мы скажем, что па сфере задана функция
если каждой точке Q сферы соответствует некоторое число со. Если на сфере дана
какая-нибудь система локальных координат, то в каждой из областей G; с локаль-
локальными координатами ut, v^ функция F (Q), очевидно, будет функцией нг, v,:
Если области покрытия Gt и G^ имеют общую часть и и общей их части
соответствующие G,- и G^ локальные координат],! и,-, vt и vkl сд епп.чаны соотноше-
соотношениями
то и области ?& мы будем иметь
co=F (Q) = }k («ft, ь"а) - U (if (uh, vk),
Мы скажем, что функция F (Q) на сфере нрипадлглкнт классу С,, (аналитическому
классу), если прп выборе некоторой системы локальных координат класса С/, (анали-
(аналитического класса) па сфере, а следовательно, и при любой другой системе локальных
координат класса Ck (аналитического класса), функции ii («,-, ':,-) ;= F (Q) являются
функциями от и,-, г,- класса С/, (аналитического класса).

552 ДОПОЛНЕНИЕ
§ 8. Основные теоремы теории дифференциальных уравнений
В настоящем параграфе формулируются без доказательств основные предложе-
предложения, касающиеся дифференциальных уравнений (теорема существования и единствен-
единственности решения, теорема о непрерывной зависимости решения от начальных условий
и др.), которые использованы в тексте книги. Доказательства этих предложений
читатель может найти, например, в [11], [121, [61].
В приводимых теоремах переменные рассматриваются как декартовы или кри-
криволинейные координаты точек евклидова пространства EN+1. Пусть дана система
дифференциальных уравнений
dxi v
i. Л|A, ДГ|, ..., xn)t
A)
dx
где функции Xk (t, xt, . . ., хп) определены в некоторой открытой области R про-
страпства (t, xt, . . ., хп) и в этой области непрерывны и имеют непрерывные част-
частные производные по переменным xlt . . ., хп. Вместо того, чтобы говорить «правые
части системы A) онределепы в открытой области Л», для краткости говорят: «систе-
«система A) определена в открытой области Л».
1. Теорема о существовании и единственности решепия.
Теорема А. Какую бы точку Мо (t0, х®, . . ., х%) области R (открытой)
мы ни взяли, существует такой, содержащий t0 сегмент [ti, t2] и такая система опре-
определенных на [ij, t2\ дифференцируемых функций
*fc = «Pfc(O (*:=1, 2, . . ., п), B)
что: а) фА (tQ) — х^; б) при всех t ? [Ц, t2] точки М (t, ф) (t), . . ., fpn (t)) принадле-
принадлежат области R; в) ф^ (f) е= Хк (t, ф) (t), . . ., фд (t)) при всех t из сегмента [ц, t2].
Эта система функций единственна; именно, если [t'lt f.j] — произвольный сегмент,
содержащий t0 и содержащийся в [tls t2] (t^ <J t\ <^ t0, t0 <^ to ~<Кг)' то всякая систе-
система дифференцируемых функций, определенных на сегменте [ij, t'2\ й удовлетворяющих
условиям а), б), в), совпадает на сегменте [t'x, t'a] с системой функций фА (t) (к = 1,
2 п).
Значения t0, х\, . . ., х% называются начальными значениями, точка М (t0,
х1, . . ., х%) — начальной точкой, а решение xk = (ph (t) называется решением системы,
дифференциальных уравнений A), соответствующим начальным значениям (t0, х^, . . .
. . ., Хп) {или решением, удовлетворяющим начальным условиям: при t = t0 x^ = х\,
х2 = х\, . . ., хп = xjl), определенным на сегменте [tt, t2].
Так как по предположению R — открытая область, а в силу теоремы А система
функций фд (t) онределеиа на замкнутом промежутке (сегменте) [ti3 t2], то решение B)
может быть продолжено как для значений t <C_ ij, так и Эля значений t <^ t2. Именно,
выбирая точку М1 (Ц, щ (Ц) срп (^)) или точку М2 (t2, ipj (t2), . . ., фп (t2))
за начальную, в силу теоремы А можно получить решение системы A), совпадающее
с решением системы A) на сегменте \tt, t2] и определенное на некотором большем сег-
сегменте [tf, if] (*?< «!, «? > t2). Выбирая точку М* (t*, ф, (ф, . . ., ф„ (ф) или
MS (t*, <р± (t*), . . ., (рп (t*)) снова за начальную, мы можем снова продолжать реше-
решение и т. д.
Мы скажем, что решение х^ = фд (t) системы A) продолжено на максимально
возможный промежуток значений t ? (X, Т), если не существует решения, совпадаю-
совпадающего с решением xh — фй (t) на промежутке значений (х, Т) и определенного на боль-
большем промежутке (т', 7") (т. е. таком, для которого выполняется хотя бы одно из нера-
неравенств х' < х, Т' > Т). Имеет место следующая
Теорема А'. В случае, когда система A) определена в открытой области R,
максимально возможный интервал (т, Т), на который может быть продолжено реше-
решение, является открытым промежутком (интервалом); при этом какую бы замкнутую
ограниченную область Rit целиком (вместе с границей) содержащуюся в R, мы ни
взяли, найдутся значения t, t' и t", t' > X и t" < Т, такие, что точки Ml (f t
(pj, (?) фп (?)) и М2 (t\ ф! (t") <рп (i")) лежат вне Л.
Последнее свойство часто характеризуется следующими словами: решение может
быть продолжено до границы области определения.

§ 8] ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ 553
Если решение определено при всевозможных значениях t, —оэ < t <[ +оэ, то
мы будем условно писать х = —оэ, Т = +со.
В настоящей книге под решением системы вида A) всегда подразумевается реше-
решение, определенное па максимально возможном промежутке значений t.
Множество точек М (t, Ф) (i), - . ., <рп (*)) при всевозможных значениях i?
? (т, Т) называется интегральной кривой системы A). 13 силу теоремы А через каж-
каждую точку М (t0, ж°, . . ., arJJ) области R проходит одца и только одна интегральная
кривая.
Решение системы A) зависит от начальных значений t0, zj, . . ., z%. Поэтому
решение естественным образом записывается в виде
**=Ч>а(*,*о. *?.-¦¦.*&). C)
где функции % определены во всех точках Мо (t0, х\ я") области R и при всех
t в некотором промежутке (т, Т), зависящем, вообще говоря, от точки Мо. Таким
образом, функции C) определены в каждой точке некоторой области п + 2-мерного
пространства (t, t0, x\, . . ., х"). При любых фиксированных значениях t0, х\, . . ., х%
они являются решением системы A), удовлетворяющим начальным условиям: при
1 = *о xh = x<k (к = 1, 2, . . .)• По самому смыслу этих функций мы имеем
«Pfcft» «0. *?,---, <) = *&-
Если t0, х\, . . ., х% рассматриваются как произвольные параметры (но, оче-
очевидно, такие, что точка Мо (t0, x\, . . ., х%) лежит и области Я), то систему функции
иногда называют общим решением системы дифференциальных уравнений A). 13 слу-
случае, когда t0, хЧ, . . ., х% фиксированы, мы будем иногда называть систему функций B)
частным решением (так что «решение» и частное решение имеют один и тот же смысл).
Если
*fc=<Pfc(',*o. *!.•--.*«) D)
—решение, и при некотором значении t = tu при котором это решение определено,
*i
O = x'h, E)
то решение D) может быть также записано (принимая во внимание единственность
решения, соответствующего данным начальным значениям) в следующей форме:
i, x'i, ••-, х'п)- F)
Имеет место следующая теорема.
2. Теорема о непрерывной зависимости от начальных значений.
Теорема В. Пусть xh = (pk (t, f*, x%, x%, . . ., x*) — какое-нибудь реше-
решение системы A), определенное при всех значениях t ? (it, t2), и пусть Х± и Т9 — любые
числа, принадлежащие этому интервалу, причем Tj ¦< Т2. Тогда при любом е > 0
можно указать такое Ь > 0 (б = б (е, Tj, т2)), что для всех t0, x%, . . ., xfv, для кото-
которых | t0 — t* | < б, | xt — x\ | < S (i = 1, 2, . . ., n),решение xk = «pA ((, @, x\, . . ., x°n)
определено при всех значениях t g [Tlt T2], и при всех этих значениях t выполняются
неравенства:
| ФА («, 10, х\, ..., ««О—фА ((, t*f *•,..., »•) | < е.
Следствие. Функции ж = фй («, t0, ж5 х?г) являются функциями,
непрерывными по совокупности всех своих аргументов (, t0, х^, . . ., з», при кото-
которых они определены.
3. Производные по независимому переменному п по начальным значениям.
Мы предполагали до сих пор, что функции Xk(t, хг х„), стоящие в правых
частях системы A), имеют непрерывные частные пропзводпые первого порядка.
Предположим теперь, что функции X/, (t, xlt . . ., хп) имеют непрерывные производ-
производные по t и по хь до некоторого порядка р, причем р~^> \.
Теорема В'. Если функции Xh (t, xx, . . ., х,г) имеют непрерывные частные
производные до порядка р !> 1, то функции xk = q>k (t) (Ic = 1, 2, . . ., п) имеют
непрерывные производные по t до порядка р -\- 1.
Рассмотрим решение как функции начальных значений. Имеет место
Теорема В". Если функции Хь (t, х1г . . ., хп) имеют частные производные
по переменным х1г х2, ¦ ¦ ¦, хп, t до порядка р, то функции xh = фАD, t0, xj, . . ., xfy
36 а. А. Андропов и др.

554 ДОПОЛНЕНИЕ
при всех значениях входящих в них переменных, при которых они определены, имеют
непрерывные (по совокупности всех переменных) производные: а) по t и t0 до порядка
р -(- 1; б) по всем переменным Xi до порядка р; в) по t, t0 и по переменным х1, содержа-
содержащие по крайней мере одно дифференцирование по t или t0 до порядка р -|- 1.
Эти частные производные удовлетворяют системе дифференциальных уравпений
следующего вида:
= Xh(t, xlt ..., хп),
dt
dt \dt0 J Zl dxj dt0 '
n
f?fi~\^ V 8Xk dx}
dt \dx\J Zl dxj dx\
3=1
/If V Ж 1 m ^1 / п Л\ ^П Ж Л t\ \. In I S \ T\ **• m . r< Jk. t-% i Л Л*1Л Ж —. П . in *
/n = g <p; Л=1, 2, ..., n; i=l, ..., h);
^
где функции Gji> ... i jn зависят от жг и производных от ^ по ж? порядка, мень-
меньшего q, a Gi,iu...,jn зависят от xt и от ироизводных по t0 и жЧ порядка, мень-
меньшего <7+1-
Справедлива следующая
Теорема С. Если Х^ (t, х^ гп) — аналитические функции своих аргу-
аргументов в окрестности любой точки области R, то функции х^ = ф^ ((, t0, rrj, . . ., xft)
(к = 1, 2, . . ., п) являются аналитическими функциями всех своих аргументов
в окрестности всякой системы значений (t, t0, x^, . . ., х%), для которой они опреде-
определены.
§ 9. К вопросу о понятии «качественной структуры» разбиения
на траектории и о понятии особых и неособых траекторий
1. Сопоставление инвариантов топологических и регулярных отображений.
Основной задачей качественной теории дифференциальных уравнений на плоскости
является установление свойств траекторий системы
х = Р(х, у), y—Q(x,y), A)
остающихся инвариантными при всевозможных топологических отображениях пло-
плоскости на себя (или некоторой области плоскости на себя или сферы иа сферу — в слу-
случае динамической системы на сфере и т. д.).
Однако, как известно, существует классическая область математики — диффе-
дифференциальная геометрия, в которой рассматриваются инварианты регулярных отобра-
отображений. Поэтому естественно возникает вопрос о рассмотрении инвариантов регу-
регулярного отображения и в случае динамических систем. Не обсуждая целесообраз-
целесообразность такого рассмотрения (тем более, что и само понятие «целесообразности»
в данном контексте вряд ли имеет смысл), укажем все-таки вкратце, какая клас-
классификация возникает при рассмотрении инвариантов регулярного отображения.

§ 9] О ПОНЯТИИ ОСОБЫХ И НЕОСОБЫХ ТРАЕКТОРИЙ 555
Нетрудно убедиться в том, что эта классификация по имеет интереса для тех задач,
которые возникают из приложений, например, для классической задачи об устойчиво-
устойчивости или неустойчивости состояния равновесия.
Действительно, рассмотрим, например, состояние равновесия. Как было ука-
указано (§6 главы IV), характеристические корпи являются инвариантами регулярного
отображения. Подчеркнем, что инвариантами являются не нх знаки, а пх величины.
Таким образом, при классификации состояний равновесия с точки зрения инвариант-
инвариантности относительно произвольных регулярных отображений мы получили бы конти-
континуальное число классов, в каждый из этих классов входили бы состояния равновесия
с одинаковыми характеристическими корпямн. Однако с точки зрения задач, возни-
возникающих из приложений, такая классификация, очевидно, ие имеет интереса: правда,
иногда определение величин характеристических корней или что то же — направле-
направлений, в которых траектории стремятся к состояниям равновесия, могут оказаться
полезными (например, при приближенном вычислении сепаратрис, см. § 15). Часто
для приложений представляет интерес знать, стремятся ли траектории к состоянию
равновесия с определенными направлениями или они имеют форму спиралей. Б послед-
последнем случае, однако, представляет интерес сам факт — являются ли характеристи-
характеристические корни действительными или комплексными, а не величины характеристиче-
характеристических корней. Таким образом, для приложений классификация состояний равнове-
равновесия по инвариантности относительно регулярных преобразований не представляет
интереса.
То же самое имеет место и в случае предельных циклов. При классификации
предельных циклов по инвариантности относительно регулярных преобразований мы
также получаем континуальное число классов. Именно, пусть на некоторой дуге без
контакта I, проведенной через точку замкнутой траектории, построена функция после-
дования s = j (s) (s — параметр на дуге I). Пусть s0 — значение параметра, соответ-
соответствующего точке пересечения замкнутой траектории с дугой I. Можно показать, что
величина /' (s0) является инвариантом регулярного преобразования. Однако для
задач, возникающих из приложений, представляет интерес не сама величина /' (,v0),
а тот факт, является ли эта величина больше или меньше нуля, т. е. является ли рас-
рассматриваемый предельный цикл устойчивым или неустойчивым. Таким образом, при
рассмотрении предельных циклов для приложений представляют интерес инварианты
топологических, а не регулярных отображений.
2. Различпые подходы к выделению областей, заполненных траекториями «оди-
«одинакового поведения». Мы укажем здесь на существующие в математической литера-
литературе понятия, родственные введенному в настоящей книге понятию орбитной устойчи-
устойчивости траектории *), а также на связанное с такими понятиями выделение областей,
заполненных траекториями в некотором смысле «сходного повеления».
Здесь прежде всего следует отметить работу Брауэра, в которой вопрос о раз-
биении.сферы на области, заполненные траекториями со «сходным» поведением, рас-
рассматривается для весьма общего случая, именно, для случая непрерывного вектор-
векторного поля на сфере, с конечным числом особых точек. (В силу того, что Брауэр пред-
предполагает поле просто непрерывным, а не непрерывно-дифференцируемым, как в настоя-
настоящей книге,— через неособые точки сферы может проходить более одной траектории.)
Если классификацию областей, данную Брауэром, использовать в рассматрива-
рассматриваемом нами случае непрерывно-дифференцируемого поля, то отдельные области
Брауэра, вообще говоря, будут состоять из нескольких «ячеек» в смысле § 17.
В качестве примера можно привести область, представленную на рис. 341, образую-
образующую одну область Брауэра. Она состоит из двух ячеек. Вопрос о выделении траекто-
траекторий, определяющих топологическую структуру разбиения на траектории, Брауэром
не ставился.
Понятие и (а)-орбитной устойчивости естественно также сопоставить с понятием
«и (а)-регулярных» точек, введенным Биркгофом при рассмотрении преобразований
поверхности самое в себя. Это понятие может быть естественным образом перенесено
на случай рассмотренных в настоящей книге динамических систем на сфере или в огра-
ограниченной плоской области в следующем виде. Пусть Лг — множество всех предельных
точек всех траекторий сферы (в рассматриваемом нами случае конечного числа особых
траекторий это множество замкнуто), и пусть G — открытое множество, состоящее
*) Впервые понятия «особых» и «пеособых» траекторий были введены А. Андро-
Андроновым и Л. Поптрягиным для одного класса динамических систем, именно, для так
называемых «грубых систем». Понятие орбитио-устойчивых и неустойчивых траекто-
траекторий, данное в [46] и изложенное в главе VII настоящей книги, является естественным
обобщением этих понятий.
36*

556
ДОПОЛНЕНИЕ
Рис. 341.
из точек сферы, не входящих в N. Пусть 0 — некоторая область, целиком вместе
с границей лежащая в G.
Рассмотрим возможные движения М = / (i — t0, Мо), где Мо — какая угодно
точка области 0. Область 0 называется и (а)-регулярпой, если для любого е > О
существует такое, по зависящее от выбора точки Мо внутри 0 число Т > О (Т < 0).
что точка М = / (т. Мо) будет находиться внутри Us (N) при всех значениях х > Т
(т <С Т). Точки такой области 0 называются ш (а)-регулярными точками.
Нетрудно видеть, что в рассматриваемом нами случае конечного числа особых
траекторий все точки незамкнутых орбитно-устойчивых траекторий и- и а-регулярны.
В случае бесконечного числа особых траекторий это
может не быть справедливым. С другой стороны,
точки и (а)-орбитно-неустойчивых траекторий могут
быть со (а)-регулярны. Простым примером этого может
служить сепаратриса на рис. 342. В множество N всех
предельных точек входят траектории Lx и Lz (состо-
(состояние равновесия Ох — седло, состояние равновесия
О2 — седло-узел). Сепаратриса L3 и-орбитно-неустой-
чива, однако ее точки являются и-регулярлыми.
Для областей, заполненных и (а)-регулярными
точками, Биркгофом доказана теорема, аналогичная
теореме 54 § 16, именно, теорема о том, что области,
заполненные и (а)-регулярными точками, не более чем
дву связны.
Перейдем теперь к характеристике более позд-
поздних работ Маркуса и Врублевской, неносредственпо
касающихся динамических систем вида A), удовле-
удовлетворяющих условиям § 1.
Маркус [47] также рассматривает вопрос о разде-
разделении нлоской области на «ячейки» с «одинаковым»
поведением траекторий. Однако подход его к этому воп-
вопросу несколько отличается от изложенного в настоящей книге: он не выделяет отдель-
отдельных «особых» и «неособых» траекторий, а сначала непосредственно рассматривает
области, заполненные траекториями со «сходным» поведением (точные определения
см. [47]). В тех случаях, когда число особых траекторий конечно, области, определен-
определенные Маркусом, совпадают с ячейками в смысле главы VII. Затем он рассматривает
замкнутое, состоящее из траекторий множество, дополнительное к полученному им
открытому множеству, являющемуся суммой
всех определенных им «областей с траектория-
траекториями одинакового поведения», не выделяя инди-
индивидуальных «особых» траекторий. При подходе
Маркуса естественным образом возникает не-
необходимость в рассмотрении не только конеч-
конечного, но и бесконечного числа особых траек-
траекторий (если употребить терминологию настоя-
настоящей книги). Так, например, возникает необхо-
необходимость в рассмотрении случая, когда счетное
множество предельных циклов накапливается
к некоторой замкнутой траектории *).
В работе Врублевской [49] вводится по-
понятие правильной деформации и с помощью
этого понятия дается определение «геометри-
«геометрической эквивалентности» двух множеств,
в частности двух траекторий, кроме того, дает-
дается определение «кинематической эквивалент-
эквивалентности» двух траекторий, являющейся частным
случаем геометрической эквивалентности. Се-
Семейство всех траекторий динамической системы распадается на классы геометрически
эквивалентных траекторий. Теоретико-множественная сумма всех траекторий одного
класса пазвана «геометрической ячейкой». В том же случае, когда число особых
Рис. 342.
*) Отметим, что в случае, когда предельные циклы накапливаются к некоторой
замкпутой траектории Lo с двух сторон (извне и изнутри Lo), эта замкнутая траекто-
траектория, очевидно, является топологическим пределом этих предельных циклов и ор-
битно-устойчнва. Таким образом, в случае бесконечного числа орбитио-неустойчи-
вых траекторий топологическим пределом таких траекторий может быть орГштио-
устойчивая траектория.

§ 9)
О ПОНЯТИИ ОСОБЫХ И НЕОСОБЫХ ТРАЕКТОРИЙ
ОО/
траекторий конечно, «геометрические ячейки» в смысле Врублевской совпадают
с «ячейкой» в смысле главы VII настоящей книги.
Отметим, что каждый из трех аспектов классификации траекторий — изложен-
изложенный в настоящей книге, данный Маркусом и данный Врублевской —¦ может быть пере-
перенесен на динамические системы порядка п > 2. Каждый из указанных трех аспектов
имеет свои преимущества.
3. Случай бесконечного числа орбитно-неустойчнвых траекторий. В настоящей
книге рассматривается случай, когда число особых (орбитно-нсустойчивых) траек-
траекторий конечно. Как мы говорили (см. § 15, п. 9), этот случаи естественно представ-
представляется интересным с разных точек зрения. Можно также рассматривать случай,
когда число орбитно-неустойчивых траекторий бесконечно. Отот случай рассматри-
рассматривается в упомянутой выше работе Маркуса.
Выше мы уже приводили пример бесконечного числа особых траекторий, именно,
счетного множества предельных циклов, имеющих своим топологическим пределом
некоторую замкнутую траекторию. Приведем еще простой пример, когда бесчислен-
бесчисленное множество «чередующихся» седел и узлов накапливается к точке О, и сепаратрисы
седел имеют своим топологи-
топологическим пределом траектории . / | . / i / / | I /
Lo и L'o, проходящие через
точку О (рис. 343).
В обоих рассматриваемых
примерах число орбитно-неус-
тойчивых траекторий беско-
бесконечно, но нигде не плотно на
сфере.
Ограничимся случаем,
когда число состояний равно-
равновесия конечно. Естественно
возникает вопрос, возможно ли
при этом всюду плотное мно-
множество орбитно-неустойчивых
траекторий или же орбитно-
неустойчивые траектории всег-
всегда образуют нигде не плотное
множество? В работе Маркуса
на этот вопрос нет ответа.
В следующем пункте мы изложим геометрический пример А. Г. Майера, кото-
который в известной мере дает ответ на этот вопрос. Именно, в этом примера указывается
семейство линий, обладающих основными свойствами траекторий (мы будем поэтому
называть их траекториями), среди которых орбитио-нсустойчивые траектории обра-
образуют всюду плотное множество. Хотя пример А. Г. Майера — геометрический и в нем
не указано динамической системы, удовлетворяющей условиям и. 1 § 1, для которой
построенное семейство линий является семейством траектории, тем не мепее эвристи-
эвристически существование такой системы не вызывает сомнений. При описании примера
А. Г. Майера мы будем пользоваться термином «траектории», а но липни и употреблять
также введенные для динамических систем термины «сепаратриса» и «эллиптическая
область», которые в приводимом построении не могут принести к недоразумению.
4. Геометрический пример А. Г. Майера всюду плотного множества опбитпо-
неустойчивых траекторий—сепаратрис состояния равновесия. Прежде чем пере-
переходить к геометрическому построению, которое должно дать всюду плотное множество
сепаратрис, стремящихся к одной и той же особой точке, заметим, что, во-первых,
в силу самого определения сепаратрисы, по крайней мере с одной ее стороны, должна
быть гиперболическая область, а, во-вторых ¦— в окрестности состояния равновесия
возможно бесчисленное множество различных эллиптических областей, диаметры
которых стремятся к пулю. Построение всюду плотного множества проводится
по этапам следующим образом:
1. Сепаратрисы строятся последовательно, при этом одновременно с сепаратри-
сепаратрисой строится эллиптическая область, слева примыкающая к сепаратрисе.
2. Сепаратрисы и эллиптические области на каждом следующем этапе строятся
в незаштрихованных областях (см. рис. 344, а, б, в).
3. На каждом этапе новые сепаратрисы строятся по одпой между двумя
прежними.
Покажем несколько этапов построения. Пусть С — окружность с центром
в начале.
Рис. 3-'i3.

558
ДОПОЛНЕНИЕ
На рис. 344, а представлен первый этап построения. Между сепаратрисой Lt
н эллиптической областью Oj, т. е. в заштрихованном секторе, больше уже не строятся
эллиптические области; заштрихованный сектор в окончательном расположении
траекторий является гиперболическим. Что же касается незаиггрихованного сектора,
то в нем на следующем этапе будут построены сепаратриса и эллиптическая область.
Предположим, что точки А1 и А[ на рис. 344, а являются диаметрально противопо-
противоположными, и пусть диаметрально противоположные точки А2 и А'2 делят соответст-
соответственно полуокружности AiA'l и А\А1 пополам.
На рис. 344, б изображен второй этап построения. Как и на рис. 344, а, в заштри-
заштрихованных секторах не лежит никаких эллиптических областей. 13 незаштрихованных
секторах на следующем этапе строятся сепа-
сепаратрисы и эллиптическая область.
Следующий этап изображен на рис. 344, е,
точки As, A's, Ai и А'± делят соответственно
душ А±Аг, A [A i, АоА'г и А'2АХ пополам.
На следующем "этапе проводятся сепа-
сепаратрисы через точки, делящие уже получен-
полученные дуги пополам, и по отрицательную сто-
сторону от каждой такой сепаратрисы опять
строится эллиптическая область (см. § 3 до-
дополнения). В следующем этапе полученные на
окружности дуги делятся еще пополам и т. д.
После каждого этапа построения между двумя
уже построенными сепаратрисами есть неза-
штрихованный сектор, в котором может быть
построена новая сепаратриса и эллиптическая
Рис. 344.
область. При этом диаметры последовательно строящихся эллиптических областей
стремятся к нулю.
Мы получаем в результате на окружности всюду плотное множество точек,
через которые проходят сепаратрисы. Обозначим область внутри рассматриваемой
окружности через S, а множество точек, принадлежащих всем построенным замкну-
замкнутым эллиптическим областям, через Е. Тогда множество S\E есть область. Нетрудцо
видеть, что множество точек построенных сепаратрис всюду плотио в S\E. Все осталь-
остальные траектории определяются из соображений непрерывности.
Нетрудно убедиться в том, что полученное таким образом семейство линий
удовлетворяет требованиям, необходимым для того, чтобы это семейство было семей-
семейством траекторий динамической системы. Рассматривая траектории, пересекающие
окружность в точках, отличных от построенных сепаратрис, можно показать, что
все они орбитно-устойчивы.

§ 10] ТЕОРЕМА БЕНДИКСОНА 559
§ 10. Теорема Бендиксона об индексе сложного состояния равновесия
В заключение мы докажем теорему Бендиксона, устанавливающую связь между
числом гиперболических и эллиптических секторов состояния равновесия и его индек-
индексом Пуанкаре. Пусть (I) — динамическая система, О — ее изолированное состояние
равновесия, h — число его гиперболических секторов (т. е. число гиперболических
секторов достаточно малой окрестности точки О), е — число эллиптических секторов,
/ = 1@) — индекс Пуанкаре.
Теорема Бендиксопа:
/=1 + С-=^. A)
Бендиксон доказал эту теорему для аналитических динамических систем *).
Для упрощения доказательства мы вместо требования аналитичности будем пред-
предполагать, что рассматриваемая система (I) обладает следующим свойством, которое
мы обозначим через (*):
(*) Если L есть траектория системы (I), стремящаяся к состоянию равновесия О
при t -s- -\-со (t -*¦ —оо) и не являющаяся спиралью, М = М (t) — точка на ней,
а МТ — касательная к траектории L в точке М, то при t ->- -j-co (f -»¦ —со) касатель-
касательная МТ стремится к некоторому предельному положению.
Из условия (*) вытекает, как нетрудно видеть, что если присоединить точку О
к траектории L и рассматривать их как одну кривую, то эта кривая имеет касательную
в точке О, являющуюся предельным положением касательной МТ. Мы будем называть
ее касательной к траектории L в точке О.
Естественно возникает вопрос, всегда ли выполняется условие (*) в случае ана-
аналитических систем. В § 20, п. 2, замечание 1 было доказано, что, как правило, условие
(*) для аналитических систем выполняется. Однако в одном исключительном случае
вопрос оставлен открытым.
Приводимое ниже доказательство является уточнением доказательства, данного
в книге Лефшеца ([13], глава X, § 2).
Доказательство теоремы Бендиксопа. В случае, когда
состояние равновесия О является центром, его индекс Пуанкаре равен единице в силу
теоремы 28 § 11, а е = h = 0, т. е. соотношение A) выполняете)!.
Пусть теперь точка О является топологическим углом, т. е. все траектории, про-
проходящие достаточно близко к О, стремятся к О (при t —*- -,-со либо при t—*- —со;
см. § 17, лемма 8). В этом случае в силу леммы 3 § 18 в сколь угодно малой окрест-
окрестности точки О существует цикл без коптакта, содержащий точку О внутри себя. Но
тогда (см. § 11, теорема 29) / (О) = 1. Так как и в этом случае е = h = 0, то равен-
равенство A) выполняется.
Таким образом, мы должны рассмотреть случай, когда состояние равновесия О
не является ни центром, ни топологическим узлом, т. е. его окрестность содержит
по крайней мере один эллиптический или гиперболический сектор. Обозначим через
р число параболических секторов канонической окрестности состояния равновесия О,
через п — число всех секторов (п = h + е + р).
Пусть L\\ Z4\ . . ., Ь1п>—полутраектории, входящие в границы секторов кано-
канонической окрестности и перечисленные в циклическом порядке (при обходе вокруг О
в положительном направлении), а 6, (i = 1, 2, . . ., п) — направления, по которым
эти полутраектории входят (при t стремящиеся к +со илп —со) в состояние равнове-
равновесия О. Наименьший неотрицательный угол между лучами, идущими в направлениях 0г
и вг+1 (i = 1, 2, . . ., п; 6п+1 = 6]), мы будем обозначать буквами ak, fle или ут
в соответствии с тем, является ли сектор, ограниченный иолутраекториями L1^ и ijj_tl
гиперболическим, эллиптическим или параболическим. Очевидно,
hep
S°*+SPe+SVm = 2n. B)
1 1 1
Заметим, что некоторые из углов a, J3 или у могут быть равны нулю.
Пусть Со — окружность радиуса г0 с центром в точке О, имеющая общие точки
с каждой из полутраектории Ly A, 2, . . ., п), a Pt — «последняя» точка пересече-
пересечения полутраектории ?'4' с окружностью Со. Из условия (*) вытекает, как нетрудно
показать, что если радиус г0 достаточно мал, то:
1) каждая полутраектория L\' пересекается с окружностью Со в точке Pt под
углом, сколь угодно близким к прямому;
*) См. доказательство в основной работе Бендиксона [33].

560
ДОПОЛНЕНИЕ
2) вращение векторного поля вдоль каждого отрезка полутраектории Ь\\ лежа
щего между точками Pt и О, сколь угодно мало.
Из 1) следует, очевидно,
3) каждая достаточно малая дуга окружности Со, содержащая точку Р- (i —
= 1, 2, . . ., п), является дугой без контакта для траекторий системы.
Выберем г0 > 0 настолько малым, чтобы условия 1) и 2) выполнялись, и построим
каноническую замкнутую кривую Е состояния равновесия О, проходящую через
точки jPj, Р2, . - ., Рп (рис. 345). При этом в качестве седловых дуг без контакта возь-
возьмем достаточно малые дуги окружности Со. Существование кривой Е, удовлетворяю-
удовлетворяющей указанным условиям, показано в § 19, п. 2.
Вычислим вращение векторного поля системы (I) вдоль замкнутой кривой Е.
Это вращение равно сумме вращений векторного поля вдоль эллиптических и гипер-
гиперболических дуг, а также параболических дуг без контакта п седловых дуг без кон-
контакта, входящих в замкнутую кривую Е (см. § 19). Из условий 1) и 3) следует, что
сумму вращений векторного поля нашей си-
системы вдоль седловых дуг без контакта мож- С, ^-—-^ Г,
но считать сколь угодно малой (этого можно
добиться, взяв достаточно малыми седловые
дуги). Вычислим вращение поля вдоль гипер-
гиперболических дуг без контакта.
Рис. 345.
Рпс. 346.
Вращение поля вдоль гиперболической дуги. Пред-
Предположим для определенности, что рассматриваемая дуга М^М^М* принадлежит
гиперболическому сектору, ограниченному сепаратрисами Lj и L2, и пусть а — тот
из углов ah, который соответствует этому сектору. Рассмотрим сначала случай, когда
0 < а < л. Проведем в концах дуги, т. е. в точках Мх и М2, лучи, касательные к пей
и лежащие вне окружности Со. В силу условия 2), а также в виду малости дуг PiM1
и Р2М2 угол а' между этими лучами сколь угодно близок к углу а (в частности, можно
считать, что 0 <С а' < я). Пусть Т}ТЯТ2 — Дуга окружности Ct с центром в точке Olt
касающаяся указанных лучей в точках Тх и Тг, обращенная вогнутостью в сторону
этой окружности и не пересекающаяся с ней (рис. 346; очевидно, последнее услопне
автоматически выполняется, если центр Ох окружности Сх расположен достаточно
далеко).
Обозначим через Г простую гладкую замкнутую кривую, составленную из гипер-
гиперболической дуги M2MSM1, отрезков M1Ti и Т2М2 и дуги TiT3T2 окружности С\.
В силу теоремы 28 § 11 вращение поля касательных вдоль нее равно 2п. Вращение
этого поля вдоль прямолинейных отрезков Mjfj и Т2М2 равно нулю, а пдоль дуги
Т1Т3Т2 окружности Ci равно, очевидно, п -\- а' (рис. 346). Поэтому вращение ноля
касательных вдоль дуги M2MaMt равно 2л — (я + а') = п — а'. Так как это ноле
совпадает с полем нашей динамической системы, то при обходе гиперболической дуги
в направлении MtMsM2 (индуцируемом положительным направлением обхода кано-
канонической кривой Е) вращение поля системы вдоль нее равно а' — я. Тот же резуль-
результат получается, очевидно, если направления на сепаратрисах L1 и L2 и на траектории
MtM3M2 не такие, как на рисунке, а противоположные.

§ 10]
ТЕОРЕМА БЕНДИКСОНА
561
Мы рассмотрели случай, когда 0 <[ а' <[ л. Пусть теперь а' = л. В этом слу-
случае лучи MiTi и М2Т2 имеют противоположные направления, и для вычисления вра-
вращения поля вдоль дуги М^М3М2 можно провести две вспомогательные полуокружности
и прямую, параллельную указанным лучам (рис. 347). Рассмотрение соответствующей
и
V
ч
4
s2
¦<
-
/
^- ^х
¦—¦—*~- м
м,
¦s,
си'-л
Рис. 347.
кривой Г и поля ее касательных показывает, что в этом случае вращение поля
вдоль гиперболической дуги равно 0, т. е. равно а' — п.
Мы предоставляем читателю разобрать случаи, когда а' заключено между я
и 2л и когда а = 0, и убедиться, что и в этих случаях вращение поля вдоль гипербо-
гиперболической дуги равно а' — л. Таким образом,
во всех случаях это вращение сколь угодно
близко к а — л.
Вращение поля вдоль эллип-
эллиптической дуги. Пусть PtSP2— рассма-
рассматриваемая эллиптическая дуга, L — траектория
(«петля»), частью которой является эта дуга,
Lt и L2 — соответствующие полутраекторин,
Pi и Р2 — последние точки пересечения их с ок-
окружностью Со (рис. 348). Пусть, далее, Р — тот
из углов J5fc, который соответствует рассматри-
рассматриваемому эллиптическому сектору, а Р' — угол
между лучами, касательными к траектории L
в точках Pj и Р2, лежащих на окружности Со.
В силу наших предположений угол Р' можно
считать сколь угодно близким к углу р.
Для вычисления вращения поля вдоль
дуги PtSP2 проведем гладкую простую дугу
PiTPz, целиком лежащую (за исключением ее
концов Pt и Pz) внутри окружности Со н внутри
петли L, касающуюся траектории L в точках
Pi и Р2 и не имеющую общих точек (кроме кон-
концов Рг и Р2) с дугой PtSPz. Для того чтобы все
эти требования выполнялись, достаточно про-
провести дугу Pt TP2 внутри окружности Со меж-
между полутраекториями Lt и ?2 близко к ним.
Обозначим через Г кривую, состоящую из эллиптической дуги PiSPo и постро-
построенной вспомогательной дуги PlSPz. Г является простой гладкой замкнутой кривой
и поле ее касательных на дуге совпадает с полем системы (I). Вращение поля каса-
касательных вдоль кривой Г равно 2я. Вращение поля касательных вдоль кривой PtTP2
может быть вычислено в точности так же, как вдоль гиперболической дуги, и равно,
следовательно, р' — л. Поэтому вращение вдоль эллиптической дуги PiSP2 равно
2л — (л — р') = л + Р', т. е. сколь угодно близко к числу л + ft.
Вращение поля вдоль параболической дуги без кон-
контакта. Пусть К — рассматриваемая дуга без контакта, Pt и Р2 — ее концы, Lj
и L2 — проходящие через них полутраектории, входящие в границу соответствующего
Рис. 348.

562
ДОПОЛНЕНИЕ
параболического сектора, у — угол между ними в точке О, у' — угол между каса-
касательными к полу траекториям Li и L2 соответственно в точках Pi и Р2 (рис. 349). Угол
¦у', как и выше, можно считать сколь угодно близким к углу у. Пусть для определен-
определенности рассматриваемый сектор является ш-параболическим, т. е. траектории, прохо-
проходящие в нем, стремятся к О при t —>¦ -f-co.
В силу условия 3) (см. выше) каждая достаточно малая дуга окружности Со,
содержащая точку Pt, является дугой без контакта. Отсюда и из § 3, замечание 3
к лемме 8, вытекает, что в качестве К можно взять дугу без контакта, касающуюся
в точках Pt и Р2 окружности Со. Мы будем считать, что это условие выполняется.
Тогда кривая Г, состоящая из дуги без контакта К и дуги P2DPt окружности Со
(рис. 349), является гладкой простой замкнутой кривой. Построим па ней непрерывное
векторное поле без особенностей v = v (М), М ? Г,
следующим образом. Будем считать, что на дуге X
векторы поля v имеют направления векторов нашей
динамической системы. На дуге P2DPi окружности Со
возьмем две точки Pi и Р%, близкие соответственно
к точкам Pt и Р2. На дуге P'JJP'X окружности Со
направим векторы поля внутрь окружности но ра-
радиусам ее. Наконец, на дуге PjP? (? = 1, 2) напра-
направим векторы поля так, чтобы при переходе по дуге
от точки Pi к точке Р\ вектор вращался равномерно
в одном и том же направлении и был направлен все
время внутрь окружности Со (это возможно сделать
единственным способом, если точка Р'^ достаточно
близка к точке Pi и радиус окружности Со доста-
достаточно мал).
Очевидно, все векторы построенного таким об-
образом поля v направлены внутрь кривой Г. Но
тогда в силу следствия из теоремы 29 § 11 вращение
поля v вдоль кривой Г равно 2я. Непосредственный
подсчет показывает, что вращение поля v вдоль
дуги P2DPt окружности Са равно 2л — у'. Поэтому вращение поля v, а следовательно,
и поля нашей системы вдоль кривой X равно у', т. е. сколь угодно близко к "у.
Вращенис поля системы вдоль кривой Е. Из всего выше-
сказанпого вытекает, что вращение поля динамической системы (I) вдоль канониче-
канонической кривой без контакта Е сколь угодно близко к числу
2 о**-
Ут.
Из соотношения B) следует, что это число равно ел—Ьл-\-2п. Поэтому индекс /
состояния равновесия О сколь угодно близок к числу
ея — hn-\-2я е — h
2к Н 2~ "
А так как индекс является целым числом, то он в точности равен указанному
числу, т. е.
/ \1e~h
/1 +
Теорема Бендиксона доказана.
Следствие. Если изолированные состояния равновесия О1 и О2 динамиче-
динамических систем, соответственно, (Aj) и (А2) имеют одинаковые топологические структуры,
то их индексы Пуанкаре равны.
Другими словами, индекс Пуанкаре является инвариантом топологических
отображений, сохраняющих траектории. Справедливость этого утверждения обус-
обусловливается тем, что при таких отображениях состояние равновесия переходит в состоя-
состояние равновесия, а каждый его сектор — в одноименный сектор.
В заключение заметим, что в силу формулы Бендиксона числа эллиптических
и гиперболических секторов состояния равновесия О имеют одинаковые четности,
т. е. е = h (mod 2). Это утверждение, впрочем, легко доказать непосредственно, рас-
рассматривая направления на полутраекториях Lit L2, . . ., Ln входящих в границы
секторов.

ЛИТЕРАТУРА
1. А. Пуанкаре, Ценность науки, глава VI, М., 1906.
2. П.Лаплас, Опыт философии теории вероятностей, под ред. Власова, типо-
типолитография т-ва И. Н. Кушнерева, 1908.
3. Н. Б о р, Атомная физика и человеческое познание, Квантовая физика и филосо-
философия, ИЛ, М., 1961.
4. А.М.Ляпунов, Общая задача об устойчивости движения, Гостехиздат, М.—Л.,
1950; Собрание сочинений А. М. Ляпунова, Изд. АН СССР, М.— Л., 1956.
5. А. П у а н к а р е, О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями,
Гостехиздат, М.— Л., 1947.
6. А. А. Андронов, А. А. Витт, С. Э. Хайкин, Теория колебаний, изд. 2-е
(иод ред. Н. Д. Железцова), Физматгиз, 1959.
7. Л. И. Мандельтшам, Вопросы электрических колебательных систем
и радиотехники, Сб. «Первая Всесоюзная конференция по колебаниям», т. I,
стр. 5, ГТТИ, 1933.
8. Л. И. Мандельштам, Н. Д. П а п а л е к с и, А. А. Андронов,
А.А. В и т т, Г. С. Г о р е л и к, С. Э. Хайкин, Новые исследования в обла-
области нелинейных колебаний, Радиоиздат, 1936.
9. А. А. Андронов, 1) Математические проблемы теории колебаний; 2)
Л. И. Мандельштам и теория нелинейных колебании, Собрание сочинений, Изд.
АН СССР, М.— Л., 1956.
10. Дж. Д. Б и р к г о ф, Динамические системы, Гостехиздат, М.— Л., 1941.
11. Л. С. П о н т р я г и н, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Физмат-
Физматгиз, М., 1961.
12. Э. А. Коддингтоп и Н. Левинсон, Теория обыкновенных дифферен-
дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1958.
13. С. Л е ф ш е ц, Геометрическая теория дифференциальных уравнений, ИЛ, М.,
1960.
14. Е. Kamke, Differentialgleichungen reeller Functionen, Leipzig Akademische
Verlagsgesellschaft, 1952.
15. Д. Гильберт, С. К о н - Ф о с с е и, Наглядная геометрия, Гостехиздат,
М.— Л., 1951.
16. Л. Н. Б е л ю с т и н а, К динамике симметричного полета самолета, Изв.
АН СССР, ОТН, № ц A956).
17. 3. С. Б а т а л о в а и Л. Н. Б е л ю с т и н а, Исследование одной нелинейной
системы на торе. Изв. высш. уч. зав., «Радиофизика», т. VI A963).
18. А. Г. М а й е р, О траекториях на ориентируемых поверхностях, Матем. сб. 12 E4),
1 A943).
19. И. БенДиксон, О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями,
УМН 9 A941).
20. Н. II. Константинов, О несамопересекающихся кривых па плоскости, Ма-
Матем. сб. 54 (96), 3 A961).
21. А. И. Мальцев, Основы линейной алгебры, Гостехиздат, 1956.
22. В. В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, изд. 4-е, Гостехиздат,
1945.
23. В. В. Немыцкий и В. В. Степанов, Качественная теория дифферен-
дифференциальных уравнений, Гостехиздат, М.— Л., 1949.
24. Е. Р i с а г d, T raited'Analyse, t. Ill, 1896.
25. A. Poincare, Sur les proprietes des fonctions dofinies par les equations aux dif-
differences partielles (These, 1879).
26. H. D и 1 a c, Solutions d'un systeme d'equations differentielles dans le voisinage
des valeurs singulieres, Bull. Soc. Math, de France, t. 40 A912).
27. O. Perron, Ober Stabilitiit und asymptotische Verhalten der integrale von
Differentialgleichungssystem. Math. Zeitschr., t. 29 A928).

564 ЛИТЕРАТУРА
28. О. Р е г г о n, t)ber Stabilitatsfrage bei Differentialgleichungen, Math. Zeitschr.,
t. 32 A930).
29. И. Г. Петровский, t)ber das Verhalten der Integralkurven eines Systems
gewohnlicher Differentialgleichungen in des Nahe eines siuguliiren Punktes,
Матем. сб. 41, 3 A934).
30. И. Г. Петровский, О поведении интегральных кривых системы дифферен-
дифференциальных уравнений в окрестности особой точки, Матем. сб. 41, 1 AS34).
31. R. В е 1 1 m a n, On the boundness of solutions of nonlinear differential and diffe-
difference equations, Trans, of the Amer. Math. Society, t. 62, Л? 3 A947).
32. L. В i e b e r b а с h, Differentialgleichungen, Berlin, Verlag von Julius Springer,
1930.
33. I. Bendixson, Sur les courbes definies par des equations differentielles, Acta
Ma them. 24 A901).
34. M. А. Красносельский, Векторные поля на плоскости, Физматгиз, 19СЗ.
35. С. А. С т е б а к о в, Анализ статически устойчивых динамических систем,
ДЛЫ СССР, т. XCV, JN» 3 A954).
36. Н. D u 1 а с, Recherche des cycles limites, C. R. Acad. Sience Paris 204 A937),
1703—1706.
37. H. D u 1 a c, Sur les cycles limites, Bull. Soc. Math, de France 51, 1923.
38. G. S a n s о n e, R. С о n t i, Soluzioni periodiche dell equazione avente due solu-
zione singolare, Abheandle. Math. Sem. Univ. Hamburg 20, № 3—4 A956).
39. Дж. С а н с о н е, Обыкновенные дифференциальные уравнения, т. 2, ИЛ, М., 1954.
40. С. М а р к о с я н, Качественное исследование системы двух дифференциальных
уравнений методом «двух изоклин», Изв. высш. уч. зав., «Математика», № 1/8,
стр. 114—128 A959).
41. В. В. Н е м ы ц к и й, Качественное интегрирование системы дифференциальных
уравнений, Матем. сб. 16, № 3 A946).
42. В. В. Немыцкий, Качественное интегрирование системы с помощью универ-
универсальных ломаных, Учен. зап. МГУ, вып. 100, т. I A946).
43. Л. Коллатц, Численные методы решения дифференциальных уравнений,
ИЛ, М., 1953.
44. В. Мил н, Численное решение дифференциальных уравнений, ИЛ, М., 1955.
45. И. С. Б е р е з и н и Н. П. Ж и д к о в, Методы вычислений, т. II, Физматгиз,
1959.
46. Е. А. Л е о н т о в и ч и А. Г. М а й е р, О траекториях, определяющих качест-
качественную структуру разбиения на траектории, ДАН СССР, XIV, № 5 A937).
47. L. M a r k u s, Global structure of ordinary differential equations in the plane,
Trans. Am. Math. Soc. 7G, № 1 A954).
48. И. Н. В р у б л е в с к а я, Некоторые критерии эквипалентностн траекторий
и полутраекторий динамических систем, ДАН СССР 97, № 2 A954).
49. И. Н. В р у б л е в с к а я, О геохтетрической эквивалентности траекторий и нолу-
траекторий динамических систем, Матем. сб. 42 (84) A947).
50. Е. А. Леонтович и А. Г. Майе р, О схеме, определяющей топологиче-
топологическую структуру разбиения на траектории, ДАН СССР 103, № 4 A955).
51. L. В г о w e r, Proceedings Acad. Wetensch. Amsterdam, XI, 850 A908); XII,
716 A909); XIII, 171 A910).
52. M. Ф р о м м с р, Интегральные кривые обыкновенного дифференциального урав-
уравнения первого порядка в окрестности особой точки, имеющей рациональный
характер, УМН, вып. 9 A941) (первоначально опубликована в Math. Annal.,
v. 99, 1928).
53. А.Ф.Андреев, Исследование поведения интегральных кривых одной системы
двух дифференциальных уравнений в окрестности особой точки, Вестн. Ленин-
Ленинградского университета, № 8, стр. 43—65 A955).
54. II. Б. X а и м о в, Исследование уравнения, правая часть которого содержит
линейные член;.!, Уч. записки физ.-мат. ф-та Сталинабадского педагогического
и учительского института, т. 2, № 3 A952).
55. Н. А. Г у б а р ь, Характеристика сложных особых точек системы двух диффе-
дифференциальных уравнений при помощи грубых особых точек близких систем. Матем.
сб. 40 (82) : 1 A956).
56. Ф. X а у с д о р ф, Теория множеств, ОНТИ, Гл. ред. технико-теоретич. литера-
литературы, М. — Л., 1937.
57. Kerekjart о, Vorlesungen iiber Topologie, 1, Berlin, 1923.
58. А. Ф. Филиппов, Элементарное доказательство теоремы Жордана, УМН
5, вып. 5 A950).
59. Г. М. Ф и х т е н г о л ь ц, Курс дифференциального и интегрального исчисления,
изд. 3-е, Гостехиздат, М. — Л., 1951.

ЛИТЕРАТУРА 5С5
60. Р. Курапт, Курс дифференциального и пнтегральпого исчисления, ч. II,
Гос. научно-техн. изд., М. — Л., 1931.
61. И. Г. Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных
уравнений, изд. 4-е, Гостехиздат, М. — Л., 1952.
62. G. В i г g h о f f et P. S m i t h, Structure Analysis of Surface Transformations,
Journal de Mathem. vol. VII A928).
63. H. Д. Моисеев, Об одном «методе» отыскания предельных циклов, ЖЭТФ
9, вып. 5 A939).
64. С. В. Б е л л ю с т и н, К теории тока в вакууме, ЖЭТФ 9, вып. 7 A939).
65. Н. Н. Б а у т и н, Об одном случае негармонических колебаний, Уч. зап. ГГУ,
вып. XII, 231 A939).
66. Н. Н. Б а у т и н, О периодических решениях одной системы дифференциальных
уравнений, ПММ 18, 128 A954).
67. Р. М. М и н ц, О некоторых дифференциальных уравнениях, допускающих пони-
понижение порядка, Труды ГИФТИ и радиофака ГГУ, Учен, зап., т. 35 A957).
68. G. Sansone, R. Con t i, Sull'equazione di T. Uno ed H. Yokomi. ANN. Mat.
Рига Appl D) 37, 37 A954).
69. H. H. Б а у т и н, Об одном дифференциальном уравнении, имеющем предельный
цикл, ЖТФ 9, вып. 7, 601 A939).
70. Р. М. Мин ц, Исследование траекторий системы трех дифференциальных урав-
пений в бесконечности, Сб. памяти А. А. Апдронова, Изд. АН СССР A955).
71. W. Buchel, Die physikalischen Bedeutungen derdurch die Differentialgleichung
-У-^=- 'д' , definierten Kurvenschar. Mitteilungen derMath. Gesellschafl in Ham-
dx X (.r, y)
burg 4, № 8, 349 A908).
72. F. R. S h a r p e. The topography of certain curves defined by a differential equa-
equation. Ann. of Math, 11, 97 A909).
73. С. Чандрасекар, Введение в учение о строенхш звезд, ИЛ, М. A950).
74. В. К. К о с т и ц ы н, О развитии популяций бактерий, С. R. Acad. Sci. 242,
№ 5, 611 A956).
75. Р. Б е л л м а н, Теория устойчивости решений дифференциальных уравнений,
ИЛ, М. A954)..
76. Н. L e m k e, Ober die Differentialgleichungen, welche den Gleichgewichtszustand
eines gasformigen Himmelskorpers bestimmen, dessen Teile gegeneinander nach
dem Newtonschen Gesetze gravitieren. Zeitschrift fur die Heine und Angew. Math.
142, № 1 A912).
77. А. Зоммерфельд, Волновая механика, ГТТИ A933).
78. Г. В. Аронович, Л. Н. Белюстина, Об устойчивости колебаний гори-
горизонта в уравнительной башне, Инженерный сб., Ин-т механики АИ СССР, т. 13,
131 A952).
79. Цинь Юань-сюнь, Об алгебраических предельных циклах второго порядка
d o^<z2
для дифференциального уравнения ~— -¦= —*~^ , Шусюэ сюэбао, Acta
2 Ьих1у1
Math, sinica 8, № 1, 23 A958).
ожение пред
Math, sinica 8, № 2, 258 A958).
<Ix
80. Тун Цзинь- чжу, Расположение предельных циклов системы =
dt
Математика, ИЛ, М. 6, № 2 A962).
81. И. Е. Сальников, К теории периодического протекания гомогенных хими-
химических реакций, Журн. физ. химии, т. 23, вып. 3, 258 A949).
82. Н. Н. Б а у т и п, К теории синхронизации, ЖТФ, т. 9, вып. 6, 510 A939).
83. В. М. Б о л ь ш а к о в, Е. С. 3 е л ь д и н, Р. М. Минц, П. А. Ф у ф а е в,
К динамике систем осциллятор — ротатор, Изв. вузов, «Радиофизика». № 2 A965)!
84. Н. А. Г у б а р ь, Исследование методом Беидиксона топологической структуры
расположения траекторий в окрестности особой точки одной динамической систе-
системы, Изв. вузов, «Радиофизика», т. II, .К» 6 A959).

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Автоколебания 16
Автономная динамическая система 19
Бендиксона критерий отсутствия пре-
предельных циклов 226
— преобразования 239
— сфера 222
— теорема об индексе сложного состоя-
состояния равновесия 559
Векторное поле непрерывно-дифференци-
непрерывно-дифференцируемое 25
непрерывное без особенностей 206
Виток траектории 86
Внешний предельный континуум 465
— цикл без контакта 464
Внешняя угловая точка 448
Внутренний предельный континуум 4С5
— цикл без контакта 464
Внутренняя угловая точка 448
Вращение векторного поля 205, 207
Вырожденное состояние равновесия 397
Вырожденный узел 195
Гиперболическая область 316
— (со, а)-дуга 350
Гиперболический (седловой) сектор 322
Гладкая простая дуга 53С, 537
замкнутая кривая 537
Граница нормальная 286
Граничные Дуги без контакта 286
траекторий 286
— траектории 286
— циклы без контакта 286
Движение на траектории 35
Двусторонний континуум 417
Дикритический узел 151, 191
Динамическая система аналитическая 19
на поверхностях 58
сфере 58
Дифференцирование в силу системы (I)
98
Дуга без контакта 72
обобщенная 73
— целая неособая 286
— элементарная [(со, а)-дуга] 458
Дголака критерий 226
Замкнутая кривая простая 523
гладкая 537
— траектория 30
Замкнутое множество 520
Изменение параметризации па траек-
траектории 31
Изоклина вертикальных наклонов 41
— горизонтальных наклонов 41
Изолированное состояние равновесия 112
Индекс замкнутой кривой 208
траектории 215
— как криволинейный интеграл 216
— простых состояний равновесия 217
— Пуанкаре 205
— седла 219
— сложного состояния равновесия 559
— узла 219
— фокуса 219
— цикла без контакта 215
Индуцированное направление на простой
дуге 525
замкнутой кривой 525
— топологическое отображение 495
Интеграл, общий интеграл, интегральная
кривая уравнения Pdx—Qdy = O 41
Каноническая замкнутая кривая вокруг
состояния равновесия 349, 351
— кривая со- и а-предельпого конти-
континуума 426
— окрестность со (а)-предельного конти-
континуума 424
состояния равновесия ЗГИ
(нуль)-иредельпого континуума 425
центра 361
Канонические дуги канонической кри-
кривой 353
— области данной канонической окрест-
окрестности состояния равновесия 359
Канонический вид динамической си-
системы (в окрестности состояния равно-
равновесия) 137
Качественное исследование 123, 129
— свойство 124
Конец полутраектории 35
— элементарпой циклической дуги 139
Контакт 72
Контактная кривая 221, 231
Континуум несвободный 459
— нуль-предельный 417
-с положнтельпой стороны (А'о,
tfjf) 420
— со (а)-предельный (А"ю. А'а) 412
с положительной (отрицатель-
(отрицательной) стороны (Агю, А'ю, А'а, А'а) 416.
417
— предельный для полутраекторин 56,
106, 412
— свободный 441, 454

АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
567
Континуум сопряженный 465
Координатное покрытие 59, 548
Криволинейный сектор 268, 322
Линейный элемент 40
Локальная схема предельного конти-
континуума 411
состояния равновесия, не являю-
являющегося центром 351
— топологическая структура 131, 132
Метод изоклин 250
Множество предельное для полутраек-
тории 106
Направление на траектории 33
— обхода, согласованное с направле-
направлением но t 425
Незамкнутая траектория 33
Неособая траектория, полутраектория
259
— целая дуга 282
Несвободный континуум 459
Неустойчивые состояния равновесия 109
Неустойчивый узел 45
дикритический 203
невырожденный, вырожденный 202
— фокус 47, 203
Нормальная граница 286
Нуль-предельный континуум (Ко) 419
с положительной (отрица-
(отрицательной) стороны (ifо", Kq) 419
Область 520
— между сопряженными дугами 480
— отталкивания 458
— притяжения 458
Ограниченная полутраектория 102
— траектория 102
Орбитно-неустойчивая траектория (ш(а)-
о'рбитно-неустойчивая траектория) 256,
259, 260, 262
Орбитно-неустойчивые траектории, стре-
стремящиеся к состоянию равновесия 266
Орбитно-устойчивая полутраектория
(со(а)-орбитно-устойчивая траектория)
257
Особая дуга 259, 287
— линия 33
— точка векторного поля 25
дифференциального уравнения 40
Особые направления 368
— элементы 285
Параболическая дуга без контакта 350
— область (правильный параболический
сектор) 316, 322
Перечисление ш-, а-, 0-предельного коп-
тинуума 421
Периодическое решение 30
Петля 304
Поле линейных элементов 40
Полная (глобальная) схема предельного
континуума 443
— состояния равновесия 316, 357
Полная параболическая (узловая) область
336
— схема граничной кривой 443
динамической системы 453
Положение равновесия 26
Положительная (отрицательная) Д5гга без
контакта 448
Полутраектория орбитно-неустойчнвая
259
— орбитно-устойчивая 259
— отрицательная (?г) 34, 35
— положительная (L+) 34, 35
Последующая точка 90
Правильная параболическая область 322
— система канонических окрестностей
454, 458
Предельная точка полутраектории, тра-
траектории, предельная со(а)-точка 102
— траектория 105
Предельное множество 56, 106
Предельный континуум для полутра-
полутраектории с положительной (отрица-
(отрицательной) стороны 416, 417
— цикл Г)9, 119, 121
Предыдущая точка 90
Преобразование Пуанкаре 243
Продолжаемая траектория с положи-
положительной (отрицательной) стороны 276
Продолжение граничной угловой дуги,
угловой полутраектории 448
— полутраектории относительно окруж-
окружности с положительной (отрицатель-
(отрицательной стороны) 266, 270
Простая дуга 522
— замкнутая кривая 523
Разбиение области на траектории 28
Разрезанная плоскость 371
Регулярное отображение 75, 538
Решение, соответствующее траектории 23
Свободный граничный цикл без контакта
459
— континуум 441, 454
— цикл без контакта 458
Связные множества 520
Седло 49, 153, 199, 203
Седло-узел 165, 404
Седловая дуга без контакта 339, 350
Седлопой сектор (область) 316
Сектор гиперболический 329
— криволинейный 268, 322
— параболический 322
— седловой 322
— циклический 320
— эллиптический 322
Сепаратрисы седла 49, 160
— состояния равновесия 276
Соответствие по схеме 445, 446, 484
Сопряженные концы сопряженных дуг 474
— иуль-предельные континуумы 465
— ш(а)-предельные континуумы 465
— со- и а-дуги 463
— ю- и а-циклы 463
Состояние равновесия 26
— — простое 135
сложное 164

568
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Состояние равновесия с эллиптической
областью 397
Стороны простой дуги 530, 531, 541
Сфера Бендиксона 239
— Пуанкаую 241
Схема границы 449, 451
— граничной кривой 449
— динамической системы 481
— на сфере 497
— предельного континуума локальная
411
полная 443
— состояния равновесия локальная 351
¦ — полная 316, 357
— типа центр 361
Схематический рисунок 392, 497
Тождественность двух схем границы 449
— со(а)-перечислений, со-, а- и 0-пре-
дельных континуумов 423
— полных схем континуумов 448
— схем состояний равновесия локаль-
локальных 353
полных 359
центров 361
— топологических структур разбиений
Топографическая система кривых 221,
231
Топологическая структура динамичес-
динамической системы 124, 490
локальная 131
разбиения на траектории 125
состояния равновесия 132
Топологический инвариант динамической
системы 453
— предел 278, 521
— узел 327
Топологическое отображение 76, 124, 522
— седло 379
Точка покоя 26
— сгущения 519
Траектория ограниченная 102
— орбитно-неустойчивая 259
— орбитно-устойчивая 259
— фазовая 34
— целая 34
Угловая дуга 287
— полутраектория 287
— точка 286
— функция 206
Угол между векторами 536
Угол полярный 206
Узел вырожденный 151, 195
— дикрнтический 151, 191
— неустойчивый 202
— с различными характеристическими
корнями 146, 187
— топологический 327
— устойчивый 202
Устойчивые состояния равновесия 169
Устойчивый фокус 203
Фазовая плоскость 25
— траектория 25
Фокус неустойчивый 151, .199, 203
— устойчивый 151, 199, 203
Функция исследования 90
— соответствия 81
Целая неособая дуга 28С
— траектория 34
Цепочка из особых траекторий и гра-
граничных дуг, соединяющих концы сопря-
сопряженных дуг 472
Цикл без контакта 52, 95
— континуума 425
несвободный 459
свободный 458
— предельный 119, 120, 121
Циклическая элементарная дуга 459
Циклический порядок полутраекторий
(вокруг состояний равновесия) 348
точек 317, 442
— сектор 320
Элемент особый 285
— схемы динамической системы 482
Элементарная циклическая дуга 459
со(а)-дуга 459
Элементарные области 339, 316
Элементарный топологический четырех-
четырехугольник 86, 339
Элементы, соответствующие по схеме 484
Эллиптическая область 328
Эллиптический сектор 328
Ячейка 288, 257
— двусвязная 304, 307
—, заполненная замкнутыми траекто-
траекториями 300
—, — незамкнутыми траекториями,
односвязная 307
Ячейки, в границу которых входят гра-
граничные дуги 313