Автор: Леонтович Е.А.   Андронов А.А.   Гордон И.И.   Майер А.Г.  

Теги: математика   топология  

Год: 1967

Похожие

Прикладная математика для инженеров. Специальные курсы

Обыкновенные дифференциальные уравнения

Механика для теоретиков

Нелинейные системы

Текст 
                    Α. Α. АНДРОНОВ, Ε. Α. ЛЕОНТОВИЧ,
И. И. ГОРДОН, А. Г. МАЙЕР
ТЕОРИЯ БИФУРКАЦИЙ
ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
НА ПЛОСКОСТИ
ш
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1967


ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Введение 9
Глава I. Кратность корня функции и точки пересечения двух кривых ... 12
Введение 12
§ 1. Кратность корня функции 12
1. δ-близость до ранга г (12). 2. Теорема о малом изменении неявной
функции (14). 3. Кратность корня функции одной переменной (18).
4. Кратность корня по отношению к данному классу функций (23).
§ 2. Кратность общей точки двух кривых 25
1. Определение кратности (25). 2. Условие грубости точки пересечения
двух кривых (26). 3. Условие двукратности общей точки двух кривых
(27).
Глава П. Динамические системы, близкие к данной, и свойства их траекторий 33
Введение 33
§ 3. Близость решений. Регулярное преобразование близких систем . . 33
1. Теоремы о близости решений (33). 2. ε-близость областей. Леммы
о регулярном преобразовании (36).
§ 4. Пересечение траекторий близких систем с дугами и циклами без
контакта 40
1. Пересечение с одной дугой без контакта (40). 2. Траектории близких
систем, расположенные между двумя дугами без контакта (49).
Глава III. Пространство динамических систем и грубые системы 59
Введение 59
§ 5. Пространство динамических систем 60
1. Пространство динамических систем, заданных в плоской области (60).
2. Пространство динамических систем на сфере (61).
§ 6. Определение грубой динамической системы 64
1. Грубые системы, заданные в плоской области (64). 2. Грубые системы
на сфере (67). 3. Грубость динамических систем относительно пространств
Я<£> и RW (68).
§ 7. Грубые и негрубые траектории. Необходимое условие грубости
состояния равновесия 71
1. Грубые и негрубые траектории (71). 2. Конечность числа состояний
равновесия у грубой системы (72). 3. Кратность состояния равновесия
(74).
Глава IV. Состояния равновесия грубых систем. Сепаратриса, идущая из
седла в седло 77
Введение 77
§ 8. Грубость узла и простого фокуса 77
1. Канонический вид системы (77). 2. Грубость простого узла и фокуса
(80).
§ 9. Грубость седла 87
1. Приведение системы к каноническому виду преобразованием, близким
к тождественному (87). 2. Доказательство грубости седла (Я9).
§ 10. Негрубость состояния равновесия с чисто мнимыми
характеристическими числами 97
1. Исследование состояния равновесия с комплексными
характеристическими числами (обзор) (97). 2. Вычисление первой фокусной величины
(100). 3. Теорема о рождении замкнутой траектории из сложного фокуса
(101). 4. Доказательство негрубости (103).
§11. Сепаратриса, идущая из седла в седло 105
1. Поведение сепаратрисы при повороте векторного поля (105). 2.
Доказательство негрубости (108).


4
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава V. Замкнутые траектории в грубых системах 112
Введение 112
§ 12. Замкнутая траектория и ее окрестность. Функция последования 113
1. Введение функции последования (113). 2. Расположение траекторий
в окрестности замкнутой траектории (114). 3. Случай динамической
системы аналитического класса (117). 4. Случай неаналитической
динамической системы (118).
§ 13. Система криволинейных координат в окрестности замкнутой
траектории. Функция последования на нормали к траектории . . 119
1. Криволинейные координаты в окрестности замкнутой траектории
(119). 2. Переход к переменным s, n в динамической системе (121). 3.
Функция последования на нормали к замкнутой траектории (124).
§ 14. Доказательство грубости простого предельного цикла 127
§ 15. Негрубые замкнутые траектории 132
1. Основная лемма (132). 2. Теорема о рождении замкнутой траектории
из сложного предельного цикла (135). 3. Негрубость замкнутой
траектории с нулевым характеристическим показателем (141).
Глава VI. Необходимые и достаточные условия грубости системы .... 144
Введение 144
§ 16. Особые траектории и полутраектории динамической системы . . . 145
1. Конечность числа замкнутых траекторий у грубых систем (14 5).
2. Области с нормальной границей (147)'.
§ 17. Правильная система окрестностей и разбиение области G* на
канонические окрестности и элементарные четырехугольники 150
1. Правильная система канонических окрестностей в случае грубых
систем (150). 2. Разбиение области G* на канонические окрестности и
элементарные четырехугольники (155).
§ 18. Основная теорема о грубости динамической системы 159
1. Вспомогательные предложения (159). 2. Основная теорема для плоской
области (165). 3. Основная теорема для сферы (172). 4. Замечания и
дополнения (175).
Г л а в а VII. Ячейки грубых систем. Дополнение к теории грубых систем ... 184
Введение 184
§ 19. Ячейки грубых динамических систем 185
1. Общие сведения о ячейках динамических систем (185). 2. Двусвязные
ячейки грубых систем (186). 3. Внутренние ячейки грубых систем. Одно-
связные внутренние ячейки (189).
§ 20. Примеры грубых систем 200
§ 21. Определение грубости, не содержащее требования
ε-тождественности 205
Глава VIII. Понятие о бифуркациях динамических систем. Распадение
сложного состояния равновесия на грубые 213
Введение 213
§ 22. Понятие о степенях негрубости и о бифуркациях динамических
систем 214
§ 23. Распадение сложного состояния равновесия на грубые 229
1. Число грубых состояний равновесия, на которые распадается сложное
состояние равновесия (229). 2. Характер грубых состояний равновесия,
на которые распадается сложное состояние равновесия с σ Φ 0 (234).
3. Характер грубых состояний равновесия, на которые распадается
сложное состояние равновесия с σ = 0 (238).
Глава IX. Рождение предельных циклов из сложного фокуса 248
Введение 248
§ 24. Фокусные величины 249
1. Некоторые свойства функции последования (24 9). 2. Кратность
сложного фокуса. Фокусные величины (251). 3. Вычисление фокусных величин
сложного фокуса (254). 4. Случай аналитической системы (2 59).
§ 25. Рождение предельных циклов из сложного фокуса 264
1. Основная теорема (264). 2. Бифуркации динамической системы в
окрестности сложного фокуса (269). 3. Бифуркации в окрестности сложного
однократного фокуса (271).
Глава X.] Рождение замкнутых траекторий из сложного предельного цикла 275
Введение 275
§ 26. Выражения для производных функций последования. Кратность
предельного цикла 276
1. Выражения для производных функций последования (276). 2. Кратность
предельного цикла (280).
§ 27. Рождение предельных циклов из сложного предельного цикла . . 286
1. Основная теорема (286). 2. Добавления (291).


ОГЛАВЛЕНИЕ
5
Глава XI. Рождение предельных циклов из петли сепаратрисы седла .... 294
Введение . . . .: ,. . . . 294
§ 28. Вспомогательный материал 295
1. Функция соответствия и функция доследования (295). 2. Некоторые
свойства седла и его сепаратрис (3 02).
§ 29. Рождение предельных циклов из петли сепаратрисы простого седла 306
1. Некоторые свойства петли сепаратрисы (306) 2. Теоремы о рождении
замкнутой траектории из петли сепаратрисы (314). 3. Единственность
замкнутой траектории, рождающейся из петли сепаратрисы (319). 4.
Случай, когда Р'х (хо, Уо) + Qj'y (*o, 2/о) = 0 (324).
Глава XII. Рождение предельного цикла из петли сепаратрисы седло-узла.
Системы первой степени негрубости и их бифуркации 329
Введение 329
§ 30. Рождение предельного цикла из петли сепаратрисы состояния
равновесия седло-узел 330
1. Теорема существования (330). 2. Теорема единственности (333).
§ 31. Динамические системы 1-й степени негрубости и их бифуркации
1. Определение системы 1-й степени негрубости (337). 2. Состояния
равновесия систем 1-й степени негрубости (338). 3. Замкнутые траектории
систем 1-й степени негрубости (348). 4. Сепаратриса седла, образующая
петлю (357). 5. Простейшие негрубые траектории (359). 6. Свойства
сепаратрис седло-узла систем 1-й степени негрубости (3 71). 7. Свойства
сепаратрис седел систем 1-й степени негрубости (37 4). 8. Основная теорема
(необходимые и достаточные условия для систем 1-й степени негрубости
(382). 9. Бифуркации систем 1-й степени негрубости (382).
Глава XIII. Предельные циклы некоторых динамических систем, зависящих
от параметра 384
Введение 384
§ 32. Поведение предельных циклов некоторых динамических систем
при малых изменениях параметра 385
1. Функция последования в окрестности замкнутой траектории (38 5).
2. Постановка вопроса (392). 3. Многоугольник Ньютона и решения
уравнения вида F (w, z) = 0 (394). 4. Поведение предельных циклов некоторых
динамических систем при малых изменениях параметра (403).
§ 33. Рождение предельного цикла из замкнутой траектории
консервативной системы 409
1. Интегральный инвариант и консервативные системы. Постановка
задачи. Метод малого параметра (4 09). 2. Системы, близкие к линейной
консервативной (416). 3. Общий случай системы, близкой к
консервативной (4 21). 4. Системы, близкие к гамильтоновой (4 25).
Глава XIV. Применение теории бифуркаций к исследованию конкретных
динамических систем 429
Введение 429
§ 34. Примеры 430
Дополнение 468
1. Теоремы о непрерывной зависимости решений системы дифференциальных
уравнений от правых частей и о дифференцируемости решений (468). 2. Одно
предложение о функциях многих переменных (47 4). 3. Лемма о нормалях простой
гладкой замкнутой кривой (4 7 5). 4. Доказательство дифференцируемости
функции R (ρ, Θ) по ρ (4 77). 5. Замечание по поводу определения грубой
динамической системы (4 82).
Литература 484
Алфавитный указатель 486


ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая монография непосредственно примыкает к вышедшей
в 1966 г. книге [1] тех же авторов «Качественная теория динамических
систем второго порядка» (КТ) и может рассматриваться как ее
продолжение и как второй том задуманной (еще в 40-х годах) А. А. Андроновым
монографии по динамическим системам и их приложениям. Однако
необходимо подчеркнуть, что «Теория бифуркаций» является в то же время
самостоятельной книгой, для понимания которой требуется лишь
знакомство с основными понятиями качественной теории дифференциальных
уравнений на плоскости.
В отличие от КТ, значительная часть которой посвящена изложению
классической теории (Пуанкаре — Бендиксона), в настоящей книге
излагаются сравнительно новые результаты, полученные на протяжении
последних трех десятилетий и опубликованные — частично или
полностью — в ряде заметок и статей в научных журналах. Эти результаты
тесно связаны с теорией колебаний и нашли важные применения в физике
и технике *).
Так же, как КТ, данная книга была начата А. А. Андроновым,
Е. А. Леонтович и А. Г. Майером и закончена Е. А. ЛеонтовичиИ. И.
Гордоном. Кроме того, в написании книги участвовали Н. А. Губарь, которой
принадлежит глава VIII, и Р. М. Минц, написавшая часть главы XIV.
Окончательный вариант текста написан И. И. Гордоном.
Основные результаты, изложенные в главах III—VII, принадлежат
А. А. Андронову и Л. С. Понтрягину, в главах IX—XII — А. А.
Андронову и Е. А. Леонтович, в главе VIII — Н. А. Губарь и в главе XIII —
Е. А. Леонтович, А. Г. Майеру и Л. С. Понтрягину. Редактирование
книги было проведено Ю. М. Романовским.
Книга естественным образом распадается на две части — теорию
грубых систем (главы I—VII) и теорию бифуркаций (главы VIII — XIV).
Вторая часть в значительной мере независима от первой, для ее понимания
нужны лишь некоторые сведения из глав I, II, IV и V.
В книге имеется большое количество ссылок на КТ. Однако многие
из них являются ссылками на имеющиеся в КТ доказательства хорошо
известных или сравнительно простых и очевидных предложений, и читатель
может не обращать на такие ссылки внимания.
Все главы книги снабжены краткими введениями. Авторы ставили
своей целью написать введение к каждой главе таким образом, чтобы,
прочитав его, читатель имел достаточно ясное представление о содержании
главы и мог решить, какой материал в главе должен быть изучен подробно
и какой может быть опущен.
*) Некоторые сведения о грубых динамических системах и о бифуркациях
приведены (без исчерпывающих доказательств) во втором издании книги А. Андронова,
А. Витта и С. Хайкина «Теория колебаний» (Москва, 1959).


8
ПРЕДИСЛОВИЕ
В книге имеется большое количество рисунков, а также примеры,
иллюстрирующие излагаемый материал. К сожалению, некоторые
интересные примеры, возникшие из приложений, не могли быть помещены
в книге ввиду их громоздкости (см., например, [2], [3]).
Нумерация параграфов, теорем, определений, рисунков и примеров
проводится сквозная по всей книге. Нумерация лемм и формул
проводится по параграфам. В дополнении, помещенном в конце книги,
нумерация формул и лемм проводится по пунктам.
Ссылка § 21.2 (5) означает: «формула (5) в п. 2 § 21». Ссылка (7) или
п. 3, (7) —«формула (7) дан ого параграфа». Ссылка КТ, § 8.5, лемма
4 —«лемма 4 в п. 5 § 8 книги КТ».
В конце книги приложен список литературы, непосредственно
связанной с содержанием книги. Ссылк ι на литературу даются указанием
номера по этому списку, заключенного в квадратные скобки.
Е. А. Леонтович,
И. И. Гордон
Горький,
1966 г.


ВВЕДЕНИЕ
Основная задача качественной теории динамических систем
сформулирована в КТ. Она заключается в изучении топологической структуры
разбиения на траектории области определения динамической системы.
В КТ рассмотрен целый ряд вопросов, связанных с этой задачей и
относящихся к системам второго порядка (заданным в плоской области или на
сфере). В частности, там устанавливается, какие могут быть траектории
у таких систем, каков характер предельных множеств этих траекторий,
как исследовать характер расположения траекторий в окрестности
состояния равновесия. Значительная часть КТ посвящена вопросу о том, что
именно нужно знать о траекториях динамической системы для определения
топологической структуры ее в данной области. При некоторых
ограничениях, налагаемых на класс рассматриваемых систем, последний вопрос
решается в КТ полностью — именно устанавливается, что топологическая
структура' динамической системы определяется сведениями о характере
и расположении так называемых особых траекторий
(состояний равновесия, предельных циклов и сепаратрис). Эти сведения могут
быть заданы некоторой конечной схемой. Таким образом, основная задача
о нахождении топологической структуры динамической системы сводится
к отысканию ее схемы. Однако вопрос, как найти схему, остается
открытым, так как до настоящего времени не существует никаких регулярных
методов, позволяющих установить существование предельных циклов
динамической системы и найти их расположение, а также расположение
сепаратрис. Известны лишь отдельные частные приемы, дающие
возможность в некоторых конкретных случаях решать — иногда весьма
успешно — ряд вопросов, связанных с существованием и поведением
предельных циклов и сепаратрис. В КТ изложены наиболее употребительные
из таких приемов и примеры на их применение.
Вопросы качественной структуры динамических систем
рассматриваются в КТ, так сказать, статически — именно, предполагается, что
исследуемая система не меняется. В отличие от этого основные задачи,
рассматриваемые в настоящей книге, относятся к вопросу о том, как
меняется топологическая структура динамической системы при изменении
самой системы. Так же, как в КТ, рассматриваются автономные системы
на плоскости, т. е. системы, имеющие вид
£=*<*. л £=<?<*· *>·
Пусть такая система задана в области G. Что происходит с
топологической структурой разбиения этой области на траектории, когда сама
система — т. е. функции Ρ и Q, стоящие в ее правых частях,— меняется?
Этот вопрос, несомненно, имеет самостоятельный математический
интерес. Для приложений он также очень важен. Дело в том, что динами-


10
ВВЕДЕНИЕ
ческие системы, соответствующие — при той или иной идеализации —
физическим или техническим задачам, всегда содержат некоторое число
параметров, и обычно бывает нужно знать, как меняется топологическая
структура системы при изменении параметров. В частности, представляет
интерес разбиение пространства параметров на области, точкам которых
соответствует одна и та же топологическая структура, а также вопрос
об изменении структуры при переходе через границы этих областей.
Нетрудно видеть, что вопрос об изменении топологической структуры
достаточно рассматривать при малых изменениях системы. При этом
в первую очередь выделяется класс динамических систем, топологическая
структура которых в данной области не меняется при малых изменениях
правых частей системы. Такие системы были введены и рассмотрены
впервые — под названием грубые системы — А. Андроновым и Л. Понтряги-
ным в [4].
Свойство динамической системы быть грубой представляется особенно
важным, когда речь идет о системах, возникающих в связи с
приложениями, например при рассмотрении физических проблем. Значения
параметров, входящих в правые части такой системы, связаны с данной физической
задачей и по существу дела известны только приближенно. Если малые
изменения этих параметров — в пределах точности измерений — приводят
к изменению топологической структуры динамической системы, т. е. если
система является негрубой, то ясно, что топологическая структура
системы не дает возможности непосредственно судить о рассматриваемых
явлениях. Напротив, если система является грубой, то ее структура может
находиться в прямой связи со свойствами физических явлений. Сам термин
грубые системы возник из противопоставления с тонкими (негрубыми)
системами, топологическая структура которых нарушается под влиянием
сколь угодно малых изменений.
Прежде всего возникает вопрос, каковы отличительные признаки
грубых систем. Для систем, заданных в ограниченной плоской области,
решение этого вопроса было по существу дано еще в указанной заметке
[4] А. Андронова и Л. Понтрягина, а затем было более или менее полно
изложено в работах [5] и [6].
Необходимые и достаточные условия грубости для плоских систем
формулируются сравнительно просто (см. введение к главе VI), однако
строгий вывод их связан с рассмотрением целого ряда важных понятий
и скрупулезных доказательств. Первая половина настоящей книги
(главы I — VII) целиком посвящена теории грубых систем, в частности
выводу указанных условий грубости. При этом в книге рассматриваются,
в соответствии с ее названием, только грубые системы в ограниченной
плоской области и на сфере. Заметим, однако, что понятие грубости,
особенно в последнее десятилетие, вводилось и исследовалось для целого
ряда других объектов. Пейшото (Peixoto) рассмотрел условия грубости
динамических систем на замкнутых поверхностях любого жанра (см. [7]).
В работе Д. А. Гудкова [8] введено понятие грубости алгебраических
кривых. В работах [32], [33], [36] исследуются вопросы, связанные с
грубостью многомерных динамических систем.
В метрическом пространстве, точками которого являются
динамические системы, заданные в какой-нибудь области, грубые системы
представляют, так сказать, общий случай. Именно, как показывается в
главе VI, грубые системы образуют в этом пространстве открытое всюду
плотное множество. Это множество разбивается на компоненты, состоящие
из грубых систем, имеющих одинаковую топологическую структуру.


ВВЕДЕНИЕ
11
«Перегородки», отделяющие эти компоненты друг от друга, состоят из
негрубых динамических систем. При изменении динамической системы
ее топологическая структура может измениться лишь при прохождении
через негрубую систему. Поэтому в теории бифуркаций, изучающей
изменение топологической структуры динамической системы при изменении
самой системы, основной интерес представляет рассмотрение именно
негрубых систем. Независимо от этого негрубые системы представляют
интерес и с точки зрения приложений, например, часто встречающиеся
в физике так называемые консервативные системы (см, главу XIII)
являются негрубыми. Таким образом, естественно возникает задача
исследования негрубых систем.
Первым шагом на пути такого исследования является классификация
негрубых систем. Среди негрубых систем можно различать «менее
негрубые» и «более негрубые». Такое различие приводит к классификации
по степеням негрубости, введенной впервые в [9]. Наименее негрубыми
с этой точки зрения являются системы 1-й степени негрубости, которые
характеризуются тем, что при малых изменениях они либо превращаются
в грубые, либо сохраняют свою топологическую структуру. Для плоских
систем удалось полностью установить условия, при которых система
имеет 1-ю степень негрубости (см. [9], [10]; эти условия выведены в
главе XII). Оказалось, что у динамической системы первой степени негрубости
имеется одна и только одна негрубая особая траектория, т. е. имеется
либо сложное состояние равновесия, либо сложный предельный цикл,
либо сепаратриса, идущая из седла в седло *). Для исследования
возможных бифуркаций системы 1-й степени негрубости достаточно рассмотреть,
как меняется топологическая структура в окрестности указанной особой
негрубой траектории. Наибольший интерес — в частности, и для
приложений — представляют бифуркации, при которых изменяется число
предельных циклов, т. е., как говорят, предельные циклы рождаются или
исчезают. У динамических систем 1-й степени негрубости возможны лишь
следующие случаи рождения предельных циклов: из сложного фокуса
системы, из сложного цикла, из петли сепаратрисы седла и из петли
сепаратрисы седло-узла. Рассмотрению этих случаев посвящены,
соответственно, главы IX—XII. Отметим, однако, что материал, изложенный в этих
главах, относится к бифуркациям систем не только первой, но и более
высоких степеней негрубости.
Использование понятий грубости, степеней негрубости и в особенности
рассмотрение простейших бифуркаций приводит к некоторым приемам
исследования конкретных дифференциальных уравнений. Эти приемы
были успешно применены при рассмотрении ряда уравнений, имеющих
физический интерес (см., например, [2], [3], [20], [25]—[28]).
XIV глава книги целиком посвящена рассмотрению примеров
динамических систем, исследование которых проводится с помощью теории
бифуркаций.
Несколько особое место в книге занимает XIII глава, в которой
рассматривается рождение предельных циклов из замкнутых траекторий
консервативных систем.
*) При этом должны выполняться еще некоторые добавочные условия, на кото
рых мы не останавливаемся; они изложены в XII главе.


ГЛАВА I
КРАТНОСТЬ КОРНЯ ФУНКЦИИ И ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ
ДВУХ КРИВЫХ
Введение
Настоящая глава посвящена сравнительно элементарным
рассмотрениям, связанным с понятиями корень функции и точка пересечения двух
кривых. Она состоит из двух параграфов. В § 1 вводится определение
Ъ-близости двух функций до ранга г и понятие «кратность корня функции».
Оно заключается, грубо говоря, в следующем: считается, что корень х0
функции f (х) имеет кратность г>1, если достаточно близкие к / (х)
функции / (х) не могут иметь в достаточно малой окрестности точки х0
более г корней, но существуют сколь угодно близкие к / (х) функции,
имеющие в сколь угодно малой окрестности точки х0 ровно г корней.
Выводится необходимое и достаточное условие r-кратности корня
(теорема 5). Оно состоит в том, что / (х0) = f (х0) = . . . /<г—О (х0) = О,
f(r) (χ0) φ 0. Из этого условия следует, что для аналитических функций
(в частности, для многочленов) вводимая здесь кратность корня совпадает
с кратностью в обычном смысле.
В § 2 вводится понятие «кратность общей точки двух кривых»,
аналогичное понятию кратности корня функции, и устанавливаются
необходимые и достаточные условия r-кратности общей точки (х0, у0) двух
кривых Fi (χ, у) = 0 и F2 (х, у) = .0 для г = 1 и для г — 2. При г = 1 общая
точка двух кривых называется простой или грубой. Необходимое и
достаточное условие грубости точки (#0, у0) имеет простой вид:
|*Ίΐχ(*<» У о) F'iy{xo, г/о) I
\F'2x{xq, г/о) F'2y{Xto г/о)!
Δη=·-
Ф 0 (теорема 6).
Условия двукратности общей точки двух кривых более сложны, они
приведены в теореме 7.
§ 1. Кратность корня функции
1. δ-близость до ранга г. Мы будем рассматривать функции,
определенные во всех точках Μ (ж1? х2, ..., хп) некоторой открытой (или
замкнутой) области G (соответственно G{) ^-мерного евклидова пространства Еп.
В дальнейшем нам понадобится преимущественно случай, когда η = 1
или 2. Однако здесь мы считаем, что η — произвольное натуральное
число.
Как известно, функция называется функцией класса к в области G
(соответственно Gi), где к — натуральное число, если она непрерывна
и имеет непрерывные производные до порядка к включительно в рассмат-


§ 1]
КРАТНОСТЬ КОРНЯ ФУНКЦИИ
13
риваемой области, и функцией аналитического класса, если она аналитич-
на в этой области *).
Пусть F0 (χι, х2, . . ., хп) — функция класса к или аналитическая
в области G (или Gi), δ — некоторое положительное число, г —
натуральное число, удовлетворяющее — в случае, когда F0 есть функция класса
к,— условию r<&.
Определение 1. Говорят, что функция F (Х{, х2, . . ., хп)
класса &! > г или аналитическая в области G (Gi) δ-близка до ранга г к функции
F0 (#!, х2, . . ., хп) в области G (Gi), если во всех точках этой области
выполняются неравенства
I F — Fq | < δ, I Fxaixa2 t_xan — FQxalxa2. . . xccn | < °,
где I = 1, 2, . . ., г, все at — неотрицательные целые числа и а^ + α2 + ...
... + αη - Ζ.
Очевидно, что если две функции δ-близки до ранга г в некоторой
области G, то они в этой области δ-близки до любого ранга rt < г, а
также — при любом δι, δι >δ,— они δι-близки до ранга г в любой
подобласти области G.
В случае, когда во всех точках рассматриваемой области выполняется
только соотношение
\F -F0\<8,
т. е. когда δ-близки только сами функции, но не их производные, говорят,
что функции F и F0 δ-близки до ранга 0. В дальнейшем мы будем почти
всегда, за редкими исключениями, рассматривать δ-близость до ранга,
не меньшего 1. Поэтому под выражением «две функции δ-близки» мы будем
понимать всегда, что эти функции δ-близки до ранга г>1. Наибольший
интерес для нас будет представлять случай, когда имеется функция,
зависящая от одного или нескольких параметров, которая при любом
(«сколь угодно малом») δ > 0 надлежащим выбором значений параметров
может быть сделана δ-близкой до нужного ранга к данной функции F0 (x).
Приведем простейшие примеры функций, δ-близких до ранга г
к функции F0 (χ) в случае, когда η = 1 и F0 (χ) = 0. Для определенности
предположим, что все приводимые функции рассматриваются на
сегменте [- 1, + 1].
Пример 1. Пусть / (х) — функция класса к на сегменте [— 1, -f-1],
δ — заданное положительное число. Тогда функция μ/ (χ) при любом
достаточно малом по абсолютной величине значении μ δ-близка к 0 до
ранга к. Если / (х) — аналитическая функция, то, каково бы ни было
натуральное число г, при достаточно малом μ функция μ/ (χ) δ-близка
к нулю (т. е. к функции F (х) ~ 0) до ранга г.
Пример 2. Рассмотрим функцию
Ρμ (χ) - μ sin jj .
(μ > 0). При всяком заданном δ > 0 эта функция выбором достаточно
малого μ, очевидно, может быть сделана δ-близкой к нулю, однако только
*) В случае, когда область Gi замкнута, а М0 — точка ее границы, частная
производная (какого-нибудь порядка и типа) в точке М0 может не существовать.
В этом случае под значением частной производной в точке М0 понимают предельное
значение, к которому стремится одноименная производная во внутренней точке Μ
при стремлении М^к М0 (см. [11], т. I, п. 258, стр. 589). Аналитическая функция в
замкнутой области Gi определена, очевидно, и в некоторой более широкой открытой
области.


14 КРАТНОСТЬ КОРНЯ ФУНКЦИИ И ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ КРИВЫХ [ГЛ. 1
до нулевого ранга. Действительно,
^ (*) = -£-COS J
и при убывании μ верхняя грань функции Ρ'μ (χ) неограниченно растет.
Поэтому, если δ достаточно мало, то ни при каком выборе μ нельзя
добиться δ-близости функции F^ (χ) к нулю до ранга, большего нуля. Нетрудно
видеть также, что функция
Φμ(χ)=μ«'η«8ίη^
выбором достаточно малого μ может быть сделана сколь угодно близкой
к нулю до ранга яг, но не до ранга, большего т.
Приведем без доказательства два предложения, которые постоянно
используются в дальнейшем. Первое из них является классической
теоремой Вейерштрасса о приближении функций многочленами (см. [23],
п. 109, теорема 1), сформулированной с помощью введенного выше
термина (δ-близости до ранга г), а второе легко выводится из первого.
Теорема 1. Пусть F (χι, х2, . . ., хп) — функция класса А,
определенная в некоторой замкнутой ограниченной области G пространства
Еп. Пр9и любом ε > 0 и г<& существует многочлен Φ (χί9 х2, . . ., хп),
ε-близкий до ранга г к функции F (#ι, х2, . . ., хп) в области G.
Теорема 2. Пусть М0 (#J, х\, . . ., %V) — произвольная точка
замкнутой ограниченней области G, a F (χι, х2, . . ., хп) = F (М) —
функция класса А, определенная в этой области. При любом ε > 0 и г<&
существует многочлен Φ(#ι, х2, . . ·> %п) — Φ («Μ")» ε-близкий до ранга г
к функции F (М) в области G и такой, что
4>{MQ) = F(M0),
Φ^αίχΟ^. хап (Mo) = Εχα1χα2. . . хап (Μо)»
1 2 * П 12 Π
где I — 1, 2, . . ., г, все at — неотрицательные целые числа и а4 + а2 +
+ ... + «* = *.
2. Теорема о малом изменении неявной функции. В настоящем пункте
мы докажем теорему, которая может быть названа «теоремой о малом
изменении неявной функции». Пусть F (х, у, ζ) — функция класса к,
определенная в параллелепипеде Δ
Х1<Х<^2, У1<У<У2, Ζ!<Ζ<22 (Δ)
трехмерного пространства Е31 причем во всех точках параллелепипеда Δ
выполняется условие
F't(x, У, ζ)φ0. (1)
Пусть, далее,
z = y(x, у)
есть функция, определенная во всех точках прямоугольника R
хх<х<х2, У\<У<Уг (Щ
плоскости (х, у) и удовлетворяющая в этом прямоугольнике неравенству
*i<<P(s, y)<z2 (2)
и тождеству
F(x, у, φ (х, lf)) = 0. (3)


§ 1]
КРАТНОСТЬ КОРНЯ ФУНКЦИИ
15
Из условий (1), (2), (3) следует, что φ(#, у) есть единственное
решение уравнения
F(x, у, *) = 0 (4)
в параллелепипеде Δ, причем поверхность
z = y(x, у)
не имеет общих точек ни с нижним, ни с верхним основанием
параллелепипеда Δ. Кроме того, в силу теоремы о неявных функциях, φ (χ, у) есть
функция класса к.
Теорема 3. Для любого ε > О существует такое δ > 0, что,
какую бы функцию
F(x, у, ζ),
определенную в параллелепипеде Δ и Ь-близкую до ранга г (1 < г < к)
κ функции F (х, у, ζ), мы ни взяли, уравнение
F(x, у, *) = 0 (5)
имеет решение
ζ = ψ(χ, у),
определенное в прямоугольнике (/?), причем а) φ(χ, у) является
единственным решением уравнения (5) в параллелепипеде Δ; б) φ (χ, у) является
функцией класса >г и г-близка к функции φ (я, у) до ранга г.
Доказательство. По условию теоремы во всех точках
прямоугольника (R) выполняется неравенство (2):
ζι<φ(*, y)<z2.
Поэтому, если е± > О достаточно мало, то
*ι < ψ (*, у) ± ει < ζ2. (6)
Выберем ε1>0, удовлетворяющим условию (6) и условию ε1<ε. По
условию (1) в параллелепипеде Δ
F'z(x, У, ζ)φΟ.
Предположим для определенности, что в этом параллелепипеде
F'z(x, У, z)>0. (7)
Из условий (3), (6) и (7) следует, что в прямоугольнике (R)
F(x, г/, <р(ат, у) —ε4)<0, F (χ, г/, φ (ж, у) + г^>0. (8)
Но тогда, ввиду непрерывности функций F и φ, из неравенств (8)
вытекает, что во всех точках прямоугольника В
F(x, г/, <р(ат, у) — 8i)< — с, F(х, у, φ(ar, ») + 8t)>c, (9)
где с — некоторое положительное число. Далее, из неравенства (7) следует,
что в параллелепипеде Δ
Fz(x, у, z)>m, (10)
где т — некоторое положительное число.
Пусть б — число, удовлетворяющее условиям
δ>0, δ<-£, 6<-i. (11)


16 КРАТНОСТЬ КОРНЯ ФУНКЦИИ И ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ КРИВЫХ [ГЛ. I
Рассмотрим произвольную функцию F (х, у, ζ), определенную в
параллелепипеде Δ и δ-близкую в нем до ранга г к функции F(x, у, ζ). Из
определения б-близости и из соотношений (9), (10) и (11) следует, что
в параллелепипеде Δ
~F'z(x, У, z)>^ (12)
и что
F(x, у, φ(χ, у) — г{)< — у<0, F(x, ι/, φ(χ, y) + el) > |-> 0. (13)
Но тогда, очевидно, уравнение
F(x, у, z) = 0 (5)
имеет в параллелепипеде Δ единственное решение ζ = φ (χ, у),
определенное в прямоугольнике (В.) и во всех его точках, удовлетворяющее
соотношению
|ф(*> У) — <Р(*> Jf)|<et<8. (14)
Из теоремы же о неявных функциях следует, что решение ζ = φ (χ, у)
уравнения (5) есть функция класса >г.
Остается доказать, что δ > 0 может быть выбрано так, чтобы
выполнялось утверждение б) теоремы. С этой целью заметим, что частные
производные функции φ (χ, у) находятся последовательно из уравнений:
F'x + F2<f'x = 0,
F'y + Fz<fy = 0, (15)
F"xx + 2Fxz<f'x + F"zz (φ*)2 + F'zyxx = 0,
а частные производные функции φ(χ, у) — из аналогичных уравнений:
Fy + F&y^O, (16)
F"xx + 2Fxzq'x + F"zz ($x)2 + F'z fc = 0,
Так как Fz (χ, у, ζ) Φ 0 ни в одной точке параллелепипеда Δ, то частные
производные функции φ (χ, у) до порядка г включительно являются
непрерывными функциями аргументов Fx, F'y, Fz, Fxx, Fxy, . . ., F]p,
причем область изменения этих аргументов можно считать замкнутой. Отсюда
следует, очевидно, что если δ > 0 достаточно мало, например δ < δ4,
а функция F δ-близка до ранга г к функции F, то функция φ (χ, у)
ε-близка до ранга г к функции φ (χ, г/). Таким образом, в качестве числа δ,
удовлетворяющего утверждению теоремы, можно взять любое
положительное число, меньшее —, γ и δ4. Теорема доказана.
Предыдущая теорема обобщается, естественно, на случай большего
числа неизвестных функций и уравнений. Приведем соответствующее
предложение для случая двух неизвестных функций и двух уравнений.
Пусть функции
Fi(x, у, и, ν) и F2(x, г/, и, ν)


% и
КРАТНОСТЬ КОРНЯ ФУНКЦИИ
17
F'2u F'lv
определены в некотором параллелепипеде Π
xt<x<x2f У1<У<у2* Wi<^<w2, i?i<i>02 (Π)
пространства 2?4 и являются функциями класса А>1, причем:
л\ τ> тт χ Μι г D(FUF2) \F'lu F\v
1) В параллелепипеде П функции ■— и Ι = -β ι'—*- =
не обращаются в нуль.
2) Уравнение
Ft(x, у, и, v) = 0
имеет в Π решение
ν = θ(χ, у, и),
определенное в любой точке #, у, и, χί*ζ.χ*ζ.χ2, У\КУ^у2, Ui^u^u2
dF
и такое, что vt < θ (я, ζ/, и) < ν2. В силу условия -^ Φ О это решение
является единственным.
3) Уравнение
F2(x, у, и, θ (я, у, и)) = 0
имеет в прямоугольнике R
Xi^x<x2, yi<y<y2 (R)
решение и ~ φ (χ, у) такое, что uv < φ (χ, ζ^) < u2.
Из условия 1) следует, что производная —-—-^ ———-
отлична от нуля в рассматриваемой области, а φ (я, у) есть единственное
решение уравнения F2{x, у, и, θ(χ, г/, ц)) = 0. Поэтому функции
и = φ (х9 у) и ν - θ (я, ι/, φ (χ, у)) = ψ (:г, у)
представляют единственное решение системы
Fi(x, у, w, у) = 0, F2(ar, у, и, ι;) = 0
в параллелепипеде П, определенное при всех (х, у) ζ В. В силу теоремы
о неявных функциях φ и ψ — функции класса к.
Теорема 4. При изложенных выше условиях для любых ε> О
и г, 1<г-<&, существует такое б>0, что если функции
7\(х, у, и, υ) и F2(xf у, и, ν)
определены в параллелепипеде Π и δ-близки до ранга г соответственно
к функциям Fx и F2, то система уравнений
Ft(x9 у, щ ι;) = 0, F2(x, у, и, ι;) = 0
имеет в параллелепипеде Π единстеенное решение
и = <р(з, у), ι; = ψ {χ, у),
определенное при всех (х, у) £ /?, причем функции φ и ψ δ-близки до ранга г
соответственно к функциям φ и ψ.
Теорема 4 доказывается путем двукратного применения теоремы 3 —
сначала к функции F\ (χ, у, и, и) *), а затем к функции F2 (χ, у, и, θ (χ, у, и)).
где θ (χ, г/, и) — решение уравнения /*4 (ж, ι/, и, ν) — 0 относительно v.
*) Теорема 3 относится к функции трех переменных. Но ее формулировка и
доказательство без всяких изменений переносятся на функцию большего числа переменных.


18 кратность корня функции и точки пересечения двух "кривых [гл. ι
Замечание. Теорема 4 остается, конечно, справедливой, если
функции Fi и F2 не зависят от χ и у, т. е. если рассматриваются
уравнения Fi (и, ν) = О и F2 (и, ν) = 0. При этом формулировку теоремы нужно
изменить очевидным образом. То же замечание относится к теореме 3.
3. Кратность корня функции одной переменной. Как известно,
понятие кратность корня обычно применяется к корням аналитических
функций (в частности, многочленов) и связано с рассмотрением производных
или с разложением многочлена на множители. В этом пункте мы дадим
определение кратности корня любой функции одной переменной, причем
в такой форме, которая в дальнейшем позволит установить аналогию между
этим понятием и рядом других, более сложных понятий, относящихся
к динамическим системам. Естественно, что в случае аналитических
функций вводимая нами кратность корня совпадает с кратностью в обычном
смысле.
Пусть
— функция, определенная на некотором сегменте \χι, х2\ и являющаяся
на этом сегменте функцией класса /с>1 или аналитического класса t
и пусть. х0 — корень уравнения
*■„(*) = о,
лежащий внутри сегмента \хх, х2]. Будем считать для простоты, что
х0 =1 0 (к этому случаю всегда можно прийти, вводя новую переменную
х — χ — х0) и что функция F0 (χ) определена на сегменте | χ [ <α, где
а — некоторое положительное число. Пусть г — натуральное число.
Определение 2. Число 0, являющееся корнем уравнения
F0(x)=-0,
называется корнем кратности г (или r-кратным корнем) этого уравнения^
а также корнем кратности г функции F0 (χ), если FQ (x) является
функцией класса k>r и при этом выполняются следующие условия:
а) существуют числа ε0 > 0, δ0 > 0 такие, что всякое уравнение
F (х) — 0, где F (х) — функция класса г, 80-близкая до ранга г к функции
F0 (χ), имеет в интервале \ χ | < ε0 не более г корней;
б) при любых положительных ε < ε0 и δ существует функция F (х),
Ь-близкая до ранга г к функции F0 (χ) и такая, что уравнение F (х) — О
имеет в интервале \ χ | < ε в точности г корней.
Корень кратности 1 называется простым или грубым корнем
уравнения.
Очевидно, корень кратности г не может одновременно быть корнем
меньшей или корнем большей кратности.
Лемма 1. Пусть F (х) — функция, определенная на сегменте
| χ | < а и имеющая вид
Р(х)-^хпФ(х),
где п—натуральное число, Φ (χ) — непрерывная функция и ф(0)=^=0.
Тогда при любых ~>0 и δ>0 существуют числа а4, а2, . . ., an-t
такие, что
|α,|<δ (/= 1, 2, . . ., η— Ι),


§ 1]
КРАТНОСТЬ КОРНЯ ФУНКЦИИ
19
а функция
F (х) = ахх + а2х* +...-)- αη-χχη~χ + хпФ (х)
имеет в интервале \ χ | < ε не менее η различных корней.
Доказательство. По условию леммы Φ (0) -φ 0.
Предположим для определенности, что Φ (0) > 0. Зададим ε > 0 и δ > 0. В силу
непрерывности функции Φ (χ) существует η ι > 0, rji <C ε такое, что при
всех положительных х, удовлетворяющих неравенству χ < η1?
Г(х) = хпФ(х)>0.
Выберем одно из таких х, например хи и зафиксируем его. Тогда
0 < χι < % и F (х^ = χ? Φ (xi) > 0. Если число αη_ι достаточно мало
по абсолютной величине, то функция Fi (χ) = ап-1Хп~~{ + хпФ (х) имеет,
очевидно, в точке х1 такой же знак, как функция F (х). Поэтому можно
выбрать число an_i так, чтобы выполнялись следующие условия:
| ад-i | < δ, α*-! < 0 и F± (х,) - Оп-^Г1 + х\<Ь (*ι) > 0.
Рассмотрим теперь функцию
Fx{x)^xn^ (αη-ι + *Φ(χ)).
При всех достаточно малых положительных значениях χ знак F\ (x)
совпадает со знаком an__i, т. е. отрицателен. Поэтому существует число
η2 < χι такое, что для всех х, 0 < χ < η2, F\ (x) < 0. Выберем
и зафиксируем одно из таких χ и обозначим его х2- Тогда
0 < х2 < η2 < #ι < Ήι < β
и
Далее мы рассмотрим функцию
F2 (x2) = Оп-г*"""2 + *Ί (ж) = хЛ~* (an-2 + an-i* + *2Ф И).
Число an_2 выберем так, чтобы выполнялись условия
an_2>0, |αη_2|<δ, .F2{xx)>0, F2(x2)<0.
При малых положительных значениях χ F2(x)>0, и мы можем найти
число η3<#2 и χ3ι 0 <^3<Ή3 таксе, что /,2(^з)>0- Продолжая
аналогичные рассуждения, мы получим функцию
F (х) = Fn_i (аг) = оцх + сс2х2 4- . . . + α^*""1 -f хпФ (х)
и систему чисел дг4, #2» ..., яп-1» ^n таких, что
|oti |<б, ι = 1, 2, ..., /г—1,
0 < хп < ^n_i <. .. < х2 < xi < ε
и
~ ~ ] > 0 при η нечетном,
F(xl)>0, ffcXO, . .., Flxn)
ν υ ^ ν г/ -- > ν n/ j < q при п четП0Мв
Но тогда в каждом из интервалов (#ι+ι, #*), г = 1, 2, . . ., тг—1, лежит
по крайней мере один корень ξ7· функции F {х), причем
0 < ξΛ_! < ξη_2 <.. .< ξ3< ξ2 < lt < ε.
Ho F (0) = 0. Таким образом, в интервале | χ | < ε функция F (х) имеет
не менее η различных корней. Лемма доказана.


20 КРАТНОСТЬ КОРНЯ ФУНКЦИИ И ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ КРИВЫХ [ГЛ. I
Замечание 1. Лемма 1 может быть обобщена, например,
следующим образом. Пусть Φ (χ; аи α2, . . ., αΛ_ι)— непрерывная функция
всех своих аргументов в области | ζ | <а, | ос, | <τ (τ > 0, i — 1, 2, . . .
. .., тг — 1), и пусть Φ (0; 0; 0, ..., 0) Φ 0. Тогда утверждение леммы 1
справедливо и в этом случае, т. е. можно подобрать числа аь а2, . . ., αη_ι
так, чтобы они были сколь угодно малы по абсолютной величине и чтобы
в сколь угодно малой окрестности точки χ — 0 функция
F(х) = atx + а2х* + ... + αη-ι^""1 + япФ (х\ оц, .. ·, αη-ι)
имела не менее η различных корней.
Еще более общее предложение: пусть cik — произвольные
действительные числа, а функция Φ (χ; α1? . . ., αΛ_ι) такая же, как выше. Тогда
предыдущее утверждение справедливо и для функции
f (χ) = atx + (α2 + c2iCCi) χ2 + (α3 + cZ2a2 + Cai^i) хъ + ...
Cn-ί 71- 2αΛ_2 + .. . + cn-x ±ах) xn г + χηΦ (χ; аи ..., α^).
Оба утверждения доказываются так же, как сама лемма.
Замечание 2.. Иногда в условиях леммы 1 приходится добавочно
требовать, чтобы некоторые (фиксированные) коэффициенты at были равны
нулю, т. е. требовать, чтобы функция F (х) имела вид
F (х) = ahlxh* + ak2xk* + ... + α*Μ**·-ι + *ηΦ (*),
где 1 </ct < к2 < . . . < ^я—ι <я — 1, a s < п. В этом случае можно
выбрать числа ahi (достаточно малые) так, чтобы в сколь угодно малой
окрестности точки χ = 0 функция F (х) имела не менее s различных
корней. Доказательство этого утверждения такое же, как самой леммы.
Аналогичное замечание справедливо и по отношению к функциям,
рассмотренным в замечании 1.
Теорема 5. Для того чтобы число χ = 0 было корнем функции
F0 (χ) кратности г, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
Fo (0) = 0, Г0 (0) =± 0, ..., F\>r-' > (0) = 0, F(0r) (0)^0 (17)
(предполагается, конечно, что F0 (x) есть функция класса k>r).
Доказательство. Докажем сначала достаточность условий
(17). Предположим, что они выполняются. Пусть | FW (0) | = т (т > 0),
Выберем ε0 > 0 столь малым, чтобы при всех | χ | < ε0 выполнялось
неравенство
В качестве δ0 возьмем какое-нибудь положительное число, меньшее -γ
(например, δ0=-^-]. Тогда для всякой функции F (х),определенной на
том же сегменте, что и F0 (χ) и б0-близкой к ней до ранга г в интервале
| χ | < ε0, очевидно, справедливо неравенство
K(r)(*)|>f-X = f>0. (18)
Предположим теперь, что некоторая функция F (х), б0-близкая до
ранга г к FQ (χ), имеет в интервале | χ | <С г0 не менее г -f- 1 корней. Тогда
в этом интервале функция F' (х) имеет, по теореме Ролля, не менее г кор-


§1]
КРАТНОСТЬ КОРНЯ ФУНКЦИИ
21
ней, функция F" (х) — не менее г — 1 корней и т. д., и, наконец, FW (х) —
не менее одного корня, что противоречит неравенству (18). Таким образом,
при условии (17) всякая функция F (х), б0-близкая до ранга г к F0 (x),
не может иметь в интервале | χ | < ε0 более г корней, т. е. условие а)
определения 2 выполняется.
Докажем, что выполняется и условие б) этого определения. Заметим
прежде всего, что функцию F0 (x) можно представить в виде
F0(x) = xr<b(x), (19)
где Φ (χ) — непрерывная функция и Φ (0) Φ 0. Действительно, в силу
формулы Тэйлора и условий (17), в окрестности точки χ = 0
F0(x) = xr^^ (0<θ<1).
Полагая
φ(ζ) = Ζο!ίΙ при хфО и Ф(Р) = НтФ(д)= F^\l0) >
мы убеждаемся, что формула (19) имеет место в каждой точке сегмента
| χ |<а, причем Φ (χ) непрерывна в этом сегменте и Φ (0) Φ 0.
Из формулы (19) и леммы 1 следует, что при любых е>0 и6>0
существует функция F (х) вида
F(x) = aix + a2x2+ ... +аг-1хГ~* + хгФ(х),
δ-близкая к F (х) до ранга г и имеющая не менее г различных корней
в интервале | χ | < ε. Но это значит, что условие б) определения 2 также
выполняется, т. е. достаточность условий (17) доказана.
Докажем теперь необходимость этих условий. С этой целью
предположим, что условия (17) не выполняются, т. е. либо
1) существует такое гь 1<г4 < г, что
= 0, ^(оГ1)(0)^0,
либо
2)
^о(0) = ^(0)=---=ПГ1_
F0(0) = F'0(0)=..
1}(0)=<
.=ПГ)
(0) = 0, (20)
и покажем, что в обоих случаях χ — 0 не является корнем кратности г.
Тем самым будет доказана необходимость условий (17).
В случае 1) наше утверждение очевидно, так как, в силу уже
доказанной достаточности, χ = 0 является корнем кратности η < г и,
следовательно, по самому определению не может иметь кратность г.
Рассмотрим случай 2). Пусть ε и δ — произвольные положительные
числа. В силу теоремы 2 существует многочлен Ρ (χ), δ/2-близкий до
ранга г к функции F0 (χ) и такой, что
Р(0) = Р'(0)=...-Р(г)(0) = 0
(если функция F0 (χ) есть многочлен, то в качестве Ρ (χ) можно взять
F0 (χ)). Ρ (χ) имеет вид ягг+1ф (χ), где Φ (χ) — некоторый многочлен.
Можно считать, что Ф(0) Φ 0 (в противном случае в качестве Ρ (χ) можно
взять хг+х (Φ (χ) -f- γ), где γ — достаточно малое по модулю число у Φ 0).
В силу леммы 1 существует многочлен Ρ (χ), δ/2-близкий до ранга г
к Ρ (χ) и, следовательно, δ-близкий до ранга г к FQ (x), у которого в
интервале | χ | < ε имеется по крайней мере г + 1 корень. Следовательно,
χ = 0 не является для F0 (χ) корнем кратности г. Теорема доказана.


22 КРАТНОСТЬ КОРНЯ ФУНКЦИИ И ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ КРИВЫХ [ГЛ. I
Из теоремы 5 следует, что для аналитических функций и, в частности,
для многочленов кратность корня в смысле определения 2 совпадает
с кратностью в обычном смысле.
Замечание. Пусть χ = 0 есть простой (грубый) корень функции
F0 (χ), т. е. г = 1, FQ (0) = 0, F'0 (0) Φ 0. Тогда существуют такие числа
ε0 > 0 и δ0 > 0, что всякая функция F (х), б0-близкая к функции F0 (х)у
имеет в интервале | χ | < ε0 в точности один корень, и этот корень
является грубым. Далее, для любого ε < ε0, ε > 0, можно найти такое δ >» 0,
что всякая функция F (х), δ-близкая к F0 (χ), имеет в интервале | χ | < ε
в точности один, и притом грубый, корень.
Действительно, в качестве ε0 можно взять любое число такое, что
на сегменте | χ | < ε0 производная F'0 (x) не обращается в нуль. Тогда
на этом сегменте | F'Q (χ) \ >т > 0 и в качестве δ0 можно взять любое
положительное число, удовлетворяющее, например, требованию
60<1ШП {-J, 1jP0( — β0)|, 1^0 (βθ) |} .
Совершенно аналогично по е < ε0 можно найти указанное выше δ.
Мы показали выше, что если функция F0 (χ) имеет класс г и
выполняется условие (20), то существует сколь угодно близкая к F0 (χ) до ранга г
функция F (х), имеющая в сколь угодно малой окрестности точки 0 не
менее г -\- \ корней. Можно усилить это утверждение, показав, что при
тех же условиях существует сколь угодно близкая к F0 (χ) до ранга г
функция F (я), имеющая в сколь угодно малой окрестности точки 0 не
менее I корней, где I — любое натуральное число. Сформулируем это
утверждение в виде леммы и докажем ее.
Лемма 2. Если
^о(0) = ^(0)==...=^<г)(0Н0, (20)
то, каковы бы ни были положительные числа ε и δ и натуральное число Ζ,
существует функция F (х), δ-близкая до ранга г к функции F0 (x) и
имеющая не менее I корней в интервале \ χ \ <ε (напомним, что все
рассмотрения ведутся на некотором сегменте \ χ \ <; а).
Доказательство. Функция F (х), существование которой
утверждается в лемме, может быть построена различными способами.
Приведем одно из возможных построений. Пусть числа ε > 0, δ > 0
и / заданы.
1) Выберем число ε! < ε настолько малым, чтобы функция F0 (χ)
была δ/2-близка до ранга г к нулю (т. е. к нулевой функции) на сегменте
0 ^ χ < ει, а многочлен
*.М + ^(*-в|)4 ... f-^iL^-eO"
был δ-близок к нулю до ранга г на сегменте 0<£<α. В качестве ει
можно взять, очевидно, любое достаточно малое положительное число, это
следует из условий (20) и из непрерывности функции F0 (x) и ее
производных.
2) Выберем натуральное число N настолько большим, чтобы каждое
12 1 *
из чисел -тг , -ΖΤ, ..., -JT было меньше е1.
3) Выберем число μ>0 настолько малым, чтобы функция
φ (χ) = μχτ+1 (χ — ε^1 sin πΝχ
была δ/2-близка к нулю до ранга г на сегменте 0<#<ε1. Заметим, что


§ 13
КРАТНОСТЬ КОРНЯ, ФУНКЦИИ
23
числа "лг» "дГ » · · · ι "дГ являются корнями функции φ (х), расположенными
в интервале 0<α:<ε1, и что в точках х = 0 и χ = ει функции <р(х),
φ' (χ), .. ., φ(Γ> (χ) равны нулю.
Определим теперь функцию F (х) следующим образом:
при — а<#<0 F(x) = F0(x);
при 0 <#<ε1 F(x) = q>(x);
при ει<χ<α /-ф^ф—р^
Нетрудно убедиться, что построенная таким образом функция F(x)
является функцией класса г, δ-близка до ранга г к функции F0 (x) и имеет
в интервале (0, ε) не менее I корней. Лемма доказана.
Построенная нами при доказательстве леммы функция F (х) имеет
класс г, но, вообще говоря, ее класс не выше г. Однако легко убедиться,
что существует многочлен Ρ (χ), удовлетворяющий всем условиям леммы
(т. е. δ-близкий к F0 (χ) до ранга г и имеющий в ε-окрестности корня О
не менее I корней). Действительно, из теоремы 5 следует, что корни
12 I
jrr, -г?, •••»-д? являются простыми (грубыми) корнями функции F(z).
Но тогда, в силу замечания к теореме 5, всякий достаточно близкий
к F (х) многочлен Ρ (χ) также имеет в интервале | χ | < ε не менее I
корней, т. е. удовлетворяет требованиям леммы.
Заметим еще, что лемма 2 справедлива и при г = 0. Это значит,
в частности, что если функция F0 (χ) класса к > 1 имеет простой корень,
например χ = 0, то при любых ε > 0 и δ > 0 существует δ-близкая
к F0 (χ) до ранга 0 функция F (х) (даже многочлен Ρ (χ)), имеющая
в ε-окрестности точки 0 число корней, большее любого наперед заданного
числа. Однако если требовать близости до ранга 1, то F (х) в окрестности
точки 0 будет иметь при малом δ лишь один корень (см. замечание к
теореме 5). Это обстоятельство показывает, что при введении понятия
кратности корня или грубости корня требование близости до
определенного ранга является весьма существенным.
Определение 3. Мы будем говорить, что корень χ = 0 функции
F0 (x) имеет бесконечную кратность или не имеет конечной кратности
в случае, если либо
1) F0 (χ) является функцией класса г, но не является функцией класса
г -}- 1 (г > 0) и при этом
Fu(0) = F-(0)=...=~-F(t)(0),
либо
2) F0 (x) имеет на рассматриваемом сегменте производные всех
порядков, причем все они в точке 0 равны 0.
Мы будем говорить, что корень χ = 0 функции F0 (x) имеет
кратность, большую г (или является корнем кратности > г; г — натуральное
число), если он имеет конечную кратность г' >г или если он имеет
бесконечную кратность.
Из определений 2 и 3 и из теоремы 5 следует, что корень каждой
непрерывной функции имеет вполне определенную конечную или
бесконечную кратность. При этом каждый корень аналитической функции,
не равной тождественно нулю, имеет конечную кратность.
4. Кратность корня по отношению к данному классу функций. При
введении понятия «корень кратности г» мы считали, что все
рассматриваемые функции (FQ (x), F (χ) и т. д.) являются функциями класса г, и не


24 КРАТНОСТЬ КОРНЯ ФУНКЦИИ И ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ КРИВЫХ [ГЛ. I
налагали на них никаких других ограничений. Однако в целом ряде
аспектов представляет интерес рассмотрение более узких классов функций
и введение для них соответствующего понятия.
Обозначим через 5Ш<Г) множество всех функций класса г (г — любое
неотрицательное целое число), рассматриваемых на сегменте \х \^а.
Нас будут особенно интересовать следующие классы:
1) множество УЯ{к} всех функций класса к;
2) множество 501д всех аналитических функций;
3) множество Шр всех многочленов;
4) множество Шп всех многочленов степени </г.
Очевидно, при любых пик
Шп с 5Шр с ША с: mih).
Кроме того, если nt<Cn2, а Аг1<А2, то
5ШП1 с ЖП2 и Ш(к2) cz 5Ш(Ч
Введем понятие кратности корня функции по отношению κ данному
классу 5Ш.
Определение 4. Корень χ = О функции F0 (χ), принадлежащей
классу ЗД>, называется корням кратности г по отношению к классу 5Wr
если 5ШСГ9СГ<(Г) и если выполняются следующие условия:
а) существуют числа ε0 > О и δ0>0 такие, что всякая функция
F (х), принадлежащая классу 5Ш и 60-близкая до ранга г к функции F0 (χ),
имеет в интервале \ χ | < ε0 не более г корней;
б) при любых положительных ε <С ε0 и δ существует функция F (х),
принадлежащая классу 5Ш» δ-близкая до ранга г к функции F0 (x) и
имеющая в интервале \ χ | < ε и точности г корней.
Если 5Ш есть один из перечисленных выше классов (5ЕИ(г>, 531а» 531р и
ffln), то условия (17) теоремы 4
F0 (0) = F'0 (0) = ... = Пг_1) (0) = 0, F[r) (0) ^ 0
являются одновременно необходимыми и достаточными условиями для
того, чтобы корень χ = 0 был корнем функции .Fq (я) кратности г гго
отношению к классу gjj.
Действительно, нетрудно убедиться, что доказательство достаточности
этих условий (при рассмотрении кратности по отношению к классу Ш)
проводится в точности так же, как в теореме 5.
Доказательство необходимости условий (17) тоже может быть
проведено в точности так, как в теореме 5, за исключением того случая, когда
501 = ЗЯп и г = п. В этом случае из предположения
^о(0) = ^(0)=...=^г) = 0
следует, что F0 (χ) == 0, а это, очевидно, противоречит условию а)
определения 4.
Из сказанного следует, что если функция F0 (x) принадлежит классу
5W, где 501 — один из классов 5Ш(°, УЯА, ШР, 5ШП, и если χ = 0 есть ее
корень кратности г в смысле определения 2 (т. е. по отношению к классу
5W(,)), то χ = 0 есть корень функции F0 (χ) кратности г и в смысле
определения 4 (т. е. по отношению к классу 5Ш), и наоборот. Поэтому нет
необходимости рассматривать кратность по отношению к одному из
перечисленных классов функций, и всюду в дальнейшем, говоря о кратности корня»
мы будем понимать ее в смысле определения 2.


§ 2]
КРАТНОСТЬ ОБЩЕЙ ТОЧКИ ДВУХ КРИВЫХ
2S*
§ 2. Кратность общей точки двух кривых
ί. Определение кратности. Пусть Ft (χ, у) и F2 (ζ, у) — функции,
определенные в некоторой замкнутой области G плоскости (х, у) и
являющиеся там функциями класса &>1.
Рассмотрим систему уравнений
Fl(x,y) = 0, F2(x,y) = 0. (1)
Обозначим соответственно через (6Ί) и (С2) кривые, определяемые
этими уравнениями. Предположим, что система (1) имеет в области ~G
решение х0, у0, т. е.
F\ (^о. Уо) = 0,. F2 (х0, уо) = 0.
Относительно точки М0 (х0, у0), являющейся общгй точкой, или точкой
пересечения кривых (Сι) и (С2), мы будем предполагать всегда, что она
является внутренней точкой области G. Кроме того, мы будем считать,
что х0 = у0 = 0. Очевидно, последнее предположение не уменьшает общности
рассмотрений.
Пусть г — натуральное число, не превышающее класса функций Ft
и F2: 1<г<А (в случае, когда Fy и F2 — аналитические функции,
г может быть произвольным натуральным числом).
Определение 5. Общая точка М0 (0, 0) кривых {Сх) и (С2)
называется общей точкой кратности г этих кривых или решением
кратности г системы (1), если выполняются следующие условия:
а) Существуют числа ε0 > 0, δ0 > 0 такие, что всякие две кривые
Fi (x, z/) = 0 uF2(x, y) = 0, где/7! и F2 — функции класса г, δ ^-близкие до ранга
г соответственно к функциям Fi и F2, имеют не более г общих точек
е U* (Мо).
б) Каковы бы ни были числа δ и ε < ε0 (δ0 > 0, ε > 0), существуют
функции Φι (χ, у) и Ф2 (χ, у), δ-близкие до ранга г соответственно
к функциям Fi (χ, у) и F2 (χ, у) и такие, что кривые Ф{ (х, у) — 0'
и Ф2 (х, у) = 0 имеют в окрестности Uг (М0) в точности г общих точек.
Точка пересечения кратности 1 называется простой или грубой точкой
пересечения кривых (Су) и (С2).
Если общая точка М0 двух кривых (1) не является грубой, то мы
будем называть точку М0 негрубой (или сложной, или кратной общей
точкой этих кривых). Заметим прежде всего, что общая точка двух кривых
может не иметь конечной кратности. Покажем это на примере.
Пусть F0 (χ) — функция класса г, не принадлежащая классу г + 1
и такая, что F0 (0) = F'0 (0) = ... = F(0r) (0).
В качестве области G возьмем произвольную ограниченную замкнутую
область, для которой точка О (0, 0) является внутренней.
Рассмотрим две кривые:
jf = 0, y-F0{x) = 0. (2)
Точка О (0, 0) является их общей точкой. Пусть ε и δ — произвольные
положительные числа, I — произвольное натуральное число, a F (х) —
функция, построенная в лемме 2 § 1, п. 3, т. е. δ-близкая до ранга
г к F0 (χ) и имеющая в интервале | χ \ < ε не менее I корней. Тогда кривые
у = 0, y-F(x) = 0 (3)
δ-близки до ранга г соответственно к кривым (2) и имеют в Uг (О) не менее
/ общих точек. Таким образом, точка пересечения О (0, 0) кривых (2)
не имеет конечной кратности.


26 КРАТНОСТЬ КОРНЯ ФУНКЦИИ И ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ КРИВЫХ [ГЛ. I
В случае, когда общая точка двух кривых не имеет конечной
кратности, мы будем говорить, что она имеет бесконечную кратность. Наконец,
мы будем говорить, что общая точка О (О, 0) двух кривых имеет кратность,
большую г (или является общей точкой кратности более г), либи когда
она имеет конечную кратность г > г, либо когда она имеет бесконечную
кратность (сравните с определением 3, § 1).
2. Условие грубости точки пересечения двух кривых. Мы установим
здесь необходимое и достаточное условие для того, чтобы точка
пересечения двух кривых была простой (грубой), т. е. чтобы она имела кратность 1.
Теорема 6. Для того чтобы точка пересечения О (0, 0) двух кривых
Fi(x,y) = 0 (Ct)
F2(x,y)^0 (С2)
имела кратность 1, т. е. была простой (грубой), необходимо и
достаточно, чтобы выполнялось условие
F'ix(0,0) F'lv(0,0)
Fix (0,0) F'2y (0,0)
Ф0. (4)
Доказательство. Покажем сначала необходимость условия
Δ0 φ 0. Предположим, что Δ0 = 0. Пусть ε и δ — произвольные
положительные числа. Положим, что Р^ (х, у) и Р2 (х, у) — многочлены,
удовлетворяющие следующим условиям:
1) ΡΊ (χ, у) и Р2 (х, у) б/2-близки до ранга 1 к функциям
соответственно Fx{x, у) и F2(x, у);
2) Pt (0, 0) - 0, Р[х (0, 0) = F'ix (0, 0), P'iu (0, 0) = F'iy (0, 0) (ι = 1, 2).
Такие многочлены существуют в силу теоремы 2 (§1). Возможны
два случая: а) хоть одно из чисел Р\х (0, 0), Р[у (0, 0), Р2х (0, 0),Р'2у(0, 0)
отлично от пуля; б) все эти числа равны нулю.
Рассмотрим сначала случай а). Многочлены Р± и Р2 имеют в этом
случае вид
Р\ (х> У) = А\Х + В\У -г С>2 + · · ·,
Рг(х* У) -= Ах + В2у + С2х2 + . . .,
\Ai Вх\
где Δ0 = Ι1 Ώ =0, но по крайней мере одно из чисел А1, Въ А2, В2
I А2 п2 |
отлично от нуля. Предположим для определенности, что Вхф0. Тогда
либо В2ф0, либо А2 = В2 = 0. Рассмотрим многочлены
Pi (s, У) = Ахх + Вху + а±х + Схх2 + ...=Р±(х,у) + ахх,
Ρ г (х, У) = А2х + В2у + а2х -\- С2хг + ... — Р2 (х, у) + а2х
и точку Mi (#!, —~η^χι) » гДе Х\ф0ш Подберем коэффициенты oct и α2
так, чтобы обе кривые
.Р\(х,у)--=0 и Р2{х,у) = 0
проходили через точку Мх. Очевидно, а4 и а2 должны тогда
удовлетворять уравнениям
axXi + Схх\ + ... =0,
a2Xi + C2xl+ ... =0.


§ 2]
КРАТНОСТЬ ОБЩЕЙ ТОЧКИ ДВУХ КРИВЫХ
27
Сокращая на Χι (χι Φ 0), мы получаем
<%1 = С\Х\ . . . , СС2 '===- Is2Х\ · · ·
Таким образом, оц и а2 определяются однозначно и будут сколь угодно
малы при достаточно малом дг1# Выберем Χχ настолько малым, чтобы
точка Μι лежала в Uε (О) и чтобы многочлены Ρ ι (χ, у) и Р2 (х, у) были
γ-близки соответственно к Ρ ι (χ, у) и Р2 (х, у) и, следовательно, δ-близки
соответственно к исходным функциям F± (x, у) и F2 (x, г/). Тогда кривые
Р\ (я, у) = 0 и Р2 (х, у) = 0 будут иметь в Uε (О) по крайней мере две
общие точки—именно, точку О и точку Μχ· А это, очевидно, означает, что
общая точка О кривых Fi (χ, у) = 0 и F2 (х, у) = 0 в рассматриваемом
-случае а) не является простой (грубой) общей точкой этих кривых.
В случае б), т. е. в случае, когда
Р\х (0, 0) =Р\У (0, 0) =Р'2х (0, 0) =Р'2у (0, 0)^0,
рассуждение проводится в точности так же, как в случае а), с той только
разницей, что в качестве Μι мы берем точку Μι (#ι, 0). Число хх выбираем
так, чтобы многочлены
Ρ ι {χ, у) = atx + Ρι (χ, у) и Р2 (х, у) = а2х + Р2 (аг, у)
были -γ-близки к многочленам соответственно Ρ ι и Р2 и чтобы кривые
Р4 (χ, у) =: 0 и Р2 (х, у) = 0 проходили через точку М. Таким образом,
и в этом случае точка О (0, 0) не является грубой точкой кривых (Cj)
и (Со). Необходимость условия Δ -ψ. 0 доказана. Достаточность этого
условия непосредственно вытекает из теоремы 4, если предположить,
что рассматриваемые в ней функции Fu F2 и^, F2 зависят только от
χ и у (см. замечание к теореме 4). Теорема доказана.
Замечание 1. В случае, когда исходные функции Ft (x, у)
и F2 (χ, у) — многочлены, мы можем взять их в качестве многочленов Ρι
и Р2. Тогда многочлены Ρ ι {χ, у) и Р2 (х, г/), построенные при
доказательстве необходимости условия (4), будут иметь соответственно те же
степени, что и многочлены Fi и F2.
Замечание 2. Из условия (4) следует, что если О (0, 0) является
простой точкой пересечения кривых (Сι) и (С2), то угол между этими
кривыми в точке О отличен от нуля, т. е. кривые в этой точке не касаются.
Замечание 3. Простая (грубая) точка пересечения О (0, 0)
кривых (С ι) и (С2) обладает следующим свойством: для нее существуют
числа ε0>0 и δ0>0 такие, что если функции Φι (χ, у) и Ф2 (х, у)
б0-близки к функциям соответственно Fi (x, у) и F2 (x, у), то кривые
Ф4(х,»)=0 и Ф2(*. у) = 0
имеют в υεο (О) в точности одну точку пересечения, и эта точка также
является грубой. Далее, как бы мало ни было ε < ε0, при достаточно
малом δ0 указанная точка пересечения лежит в Uг (О).
Справедливость этого замечания непосредственно следует из теорем 4
(§ 1, п. 2) и 6.
3. Условие двукратности общей точки двух кривых. Мы установили
выше необходимое и достаточное условие для того, чтобы корень функции
являлся корнем кратности г (теорема 5). Вывод необходимого и
достаточного условия r-кратности общей точки двух кривых в общем случае (при


28 КРАТНОСТЬ КОРНЯ ФУНКЦИИ И ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ КРИВЫХ [ГЛ. Ъ
любом натуральном г) далеко не так элементарен, и мы не будем на нем
останавливаться. Для г = ί это условие дается теоремой 6. Мы выведем
еще условие двукратпости общей точки двух кривых: оно понадобится
нам в дальнейшем.
Будем по-прежнему рассматривать две кривые
Fi(x1y) = 0, F2(x,y) = 0
и их общую точку О (О, 0). Относительно Fx и F2 предполагается теперьТ
что они являются функциями класса 2 в области G.
Теорема 7. Для того, чтобы общая точка О (0, 0) двух кривых
Fx (χ, у) = 0 и F2 (х, у) = 0 была двукратней, необходимо и достаточноТ
чтобы выполнялись следующие условия:
а) А0:
*"ι«(0,0) Ή, (0,0)
^2* (0,0) Ή,(Ο,Ο)
= 0:
б) хотя бы один из элементов определителя Δ0, например F\y (0,0)г
не равен нулю;
в) число χ = 0 является двукратным корнем функции F2 (#, φ (х))г
где у = φ (χ) есть решение уравнения Fx (χ, у) = 0 относительно у в
некотором достаточно малом прямоугольнике \х\^а, \ у |<!β (такое
решение существует и единственно в силу условия б) и теоремы о неявной
функции; при этом φ (0) = 0).
Если F\y (0, 0) = 0, но отличен от нуля какой-нибудь другой элемент
определителя Δ0, то формулировка условия в) видоизменяется очевидным
образом.
Доказательство. 1) Необходимость. Условие
а) Δ о = 0 является, очевидно, необходимым в силу теоремы 6. Покажем
необходимость условия б). Предположим, что это условие не
выполняется, т. е.
F\X{Q4 0)=i"ly(0, 0)=*2*(0, 0)=Ήν(0, 0) = 0.
Пусть ε и δ — произвольные положительные числа. По теореме 2
существуют многочлены Р4(аг, у) и Р2 {х, у), -^-близкие до ранга 2
соответственно к функциям Fi и F2 и такие, что
Λ(θ,θ)=ρ^(ο,ο)=ρ;ν(ο,ο)=ο (*,= ι, 2)
(если FisLF2 — многочлены, то в качестве Pt и Р2 можно взять сами
функции Fi и F2). Многочлены Р4 и Р2 имеют вид
Pi {χ, у) = А& + 2BiXy + С а* + ...,
Ρ г {х, У) = Агх* + 2В2ху + С2у* + ...,
где степень невыписанных членов выше двух.
Дальнейшие рассуждения аналогичны проведенным при
доказательстве теоремы 6.
Рассмотрим следующие многочлены:
Р\ (*. У) = <*±х + βι2/ + Pt (х, у),
Ρ г (*, У) = α2χ + β2ζ/ + Ρ2 (χ9 у).


$2j
КРАТНОСТЬ ОБЩЕЙ ТОЧКИ ДВУХ КРИВЫХ
29
Подберем α1? βι, а2, β2 так, чтобы кривые Ρχ (х, у) = 0 и Р2 (х, у) = О
проходили через две данные точки Μ χ (хи 0) и Ν± (0, у χ) (xt Φ 0, у χ Φ 0).
Для этого должны выполняться равенства
а& + Pi (хи 0) = 0, β^ + Ρ, (0, у χ) = 0
и
«Л + Р2 (*ι, 0) - 0, β2ί/2 + Р2 (0, у,) = 0.
Сокращая их соответственно на Χχ и у4, мы получим для а; и βζ·
выражения в виде многочленов относительно Χχ и ι/i без свободных членов.
Поэтому числа at и βέ стремятся к нулю при х4 ->· 0, у χ ->· 0, и мы можем выбрать
Хх и ух настолько малыми, чтобы многочлены Ρ χ и Р2 были -^- -близки до
ранга 2 к многочленам Ρ χ и Р2 и, следовательно, δ-близки до ранга 2
к функциям Fx {χ, у) и F2 (х, у)- Если, кроме того, | хх | < ε, | ^ | << ε,
то кривые Ρχ (#, у) = 0 и Р2 (х, у) = 0 имеют в U&{0) по крайней мере
3 общие точки: О (0, 0), Μ χ (χχ, 0) и Ν χ (0, г/!). Это, очевидно, доказывает,
что общая точка О кривых (Сх) и (С2) имеет кратность, большую 2. Таким
образом, показана необходимость условия б) теоремы.
Перейдем к условию в). Мы считаем, что у = φ (χ) есть единственное
решение уравнения
Fi(z,y) = 0
в некотором достаточно малом прямоугольнике |#|<;α, |ϊ/|<β, причем
|φ(α:)|<β. Пусть
B(x)=F2(x,<p(x)). (5)
Так как φ (0) = 0, то θ (0) = 0. Далее, нетрудно видеть, принимая во
внимание равенство
φ'(0) =
ЧТО
θ'(0) =
*iv(0, 0)
т. е. θ'(0) = 0 в силу условия а).
Предположим, что условие в) теоремы не выголняется, т. е. χ = 0
не является двукратным корнем функции θ (χ). Трк как θ (0) = θ' (0) = 0,
то это предположение равносильно тому, что Θ" (0) = 0. Заметим, что
производные функции φ (χ) в точке χ = 0 выражаются через частные
производные (до соответствующих порядков включительно) функции
Ρχ (χ, у) в точке О (0, 0), а производные функции θ (χ) в точке О — через
частные производные функций Fx и F2 в точке О (0, 0).
Итак, пусть Θ" (0) = 0. Зададим произвольные ε > 0 и δ > 0. Пусть
с δ
Οχ — положительное число, меньшее у , на которое мы наложим сейчас
добавочные требования. Рассмотрим многочлены Ρχ (χ, у) и Р2 (х, у),
&i-близкие до ранга 2 соответственно к функциям Ft (x, у) и F2 (x, у) и
такие, что значения этих многочленов и их частных производных до
второго порядка включительно в точке О (0, 0) совпадают соответственно
€0 значениями функций Fx (x, у) и F2 (x, у) и их производных в этой точке
(см. теорему 2). В силу теоремы 3 (о малом изменении неявной функции),
•если δχ достаточно мало, то существует функция у = ψ (χ), являющаяся
/Ί*(0,
Fly (.0,
Δο
0)
0)


30 КРАТНОСТЬ КОРНЯ ФУНКЦИИ И ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ КРИВЫХ [ГЛ. ί
решением уравнения
Pt(x,y) = 0
относительно у в прямоугольнике \х |<Ια, \у |<!β. Мы выберем δ}
настолько малым, чтобы функция ψ (χ) была достаточно близка до ранга 2
к функции φ (χ) на сегменте \х |<[а, а аналогичная функции θ (χ)
функция
у(х)=Р2(х, Ψ (ж))
была достаточно близка до ранга 2 к функции
Q{x)=F2(x,<p(x)).
Очевидно, ψ (0) = γ (0) = 0. Величины ψ' (0), ψ" (0), γ' (0) и γ* (0)
выражаются через значения частных производных многочленов Pt и Р2 (до
второго порядка включительно) в точке О (0, 0). Принимая во внимание,
что значения этих производных совпадают с соответствующими
значениями производных функций Ft и F2, нетрудно убедиться, что
ψ'(0) = φ/(0), ψ"(0)-φ"(0),
у' (0) = θ' (0) = 0, γ" (0) = θ" (0) = 0.
γ (χ) является, очевидно, аналитической функцией. Если γ (χ) == 0, то это
значит, что все точки (χ, ψ (χ)) при | χ |<α являются общими точками
кривых jFi (χ, у) = 0, Р2 (х, у) = 0, т. е. в любой окрестности точки
0 (0, 0) лежит бесчисленное множество общих точек этих кривых.
Пусть теперь у (х) не равна тождественно нулю. Тогда она имеет
вид (так как γ (0) - γ' (0) = γ" (0) = 0)
у(х) = а?'Ф(х),
где &>3, а Ф (0) φ 0 (см. § 1, (19)).
Рассмотрим многочлены
Pi (Ху У) = Pi (х, У) и Ρ г (*> У) =- αιχ + &2Х2 + Ρ г (х, У)·
Пусть
γ (χ) = Р2 (.τ, ψ (χ)) = α{χ + а2хг + хкФ (χ).
γ (χ) также есть аналитическая функция. В силу леммы 1 § 1 и замечания 2
к ней, при любых ει > 0 и 6i > 0 можно выбрать числа α4 Φ 0 и а2 Φ О
так, чтобы многочлен Р2 (х, у) был δ-близок до ранга 2 к многочлену
Р2 (х, у) и чтобы уравнение
γ(*)=-0
имело кроме χ — 0 еще по крайней мере 2 корня х± и яг2» | χι Ι < ει»
1 #2 I < ει· При таком выборе чисел а4, а2 многочлены Р4 и Р2 будут
δ-близки до ранга два соответственно к функциям Fi и F2, а кривые
Pi(x,y) = 0, Р2(х,у) = 0
будут иметь по крайней мере 3 общие точки:
О (0, 0), Μχ {χ,, ψ (χ,)), Λ^2 (*2, Ψ Ы),
причем если ε4 > 0 достаточно мало, то точки Μι и М2 лежат в Uе (О).
Но это значит, что О (0, 0) не является двукратной общей точкой кривых
(Cj) и (С2). Таким образом, необходимость условия в) теоремы доказана.


§ 2]
КРАТНОСТЬ ОБЩЕЙ ТОЧКИ ДВУХ КРИВЫХ
31
Заметим, что если Fi и F2 — многочлены, то они сами могут быть
взяты в качестве Р4 иР2· Далее многочлен Р2 имеет в этом случае такую
же степень, как и многочлен F2.
2) Доказательство достаточности. Пусть условия а), б)
и в) теоремы 7 выполняются. Так как F\v(0, 0)=^0, то по теореме 3 для
любого 0!>0 можно найти такое б0>0, что если функции Р^(х, у)
и F2 {х, у) б0-близки до ранга 2 к функциям Ft и F2 в области G, то
1) уравнение Fi (χ, у) = О имеет в прямоугольнике |χ|<!α, |ι/|<!β
единственное решение у--у(х), причем φ (χ) бгблизка до ранга 2 к φ(χ)
на сегменте | χ | < а;
2) функция θ (χ) = F2 (х, φ (%)) б-близка до ранга 2 к функции
θ (χ) = F2 (χ, φ (χ)) на сегменте | χ | <!α.
В силу условия в) х = 0 есть двукратный корень функции θ(χ).
Поэтому существует г^ > О такое, что если δ{ достаточно мало, то
уравнение
θ (*)=--0, т. е. F2(x, φ (яг)) = О
имеет не более двух корней, по абсолютной величине меньших ε1β Пусть
ε0—положительное число, меньшее ε4 и такое, что Ueo(0) целиком лежит
внутри прямоугольника |.г|<1а, |ϊ/)<ίβ. Тогда очевидно, что если б0
достаточно мало и функции Fi и F2 б0-близки до ранга 2 соответственно
к Fi и F2, то кривые
Р,(х9у)г=0 и F2(z,y) = 0
не могут иметь в U£o (О) более двух общих точек, т. е. выполняется
условие а) определения 5 для двукратности точки О.
Остается доказать, что выполняется условие б) этого определения,
т. е. что для любых положительных ε<ε0 и б существуют функции ΐ\
и F2, б-блпзкие до ранга 2 к функциям Fi и F2 и такие, что кривые
Fi --= 0 и ^2-0
имеют в U& (О) в точности 2 общие точки.
Рассмотрим функции
Fi (χ, у) = Fl (x, у)
И
F2(x, У)-=а^ + ^2(^ У)-
Для этих функций, очевидно, φ ξξξ φ (χ), a
θ (χ) = F2 (χ, φ (χ)) = atx + F2 (χ, φ (χ)) =- αχχ -J- θ (χ).
Так как χ --- 0 есть двукратный корень функции θ (χ), то 0 (χ) имеет вид
Ъ(х)=а*Ф(х),
где Φ (χ) — непрерывная функция и Φ (0)^0 (см. § 1, (19)). Поэтому
ΰ(χ) = α±χ+.χ*Φ(χ).
В силу леммы 1 § 1 αϊ можно выбрать так, чтобы функция θ (χ) имела
кроме χ —- 0 еще один корень xi9 | ar4 | < ε, и чтобы при этом точка
М\ fa, φ (χι)) лежала в Uε (Ο). Указанное at можно, кроме того, взять
настолько малым, чтобы функция F2 (x, у) была δ-близка до ранга 2


~32 КРАТНОСТЬ КОРНЯ ФУНКЦИИ И ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ДВУХ КРИВЫХ [ГЛ. 1
к функции F2 (x, у). Следовательно, условие б) определения 5
выполняется. Теорема доказана.
Замечание. Нетрудно видеть, что условие а) теоремы 7 вытекает
из условий б) и р) и, следовательно, может быть в формулировке теоремы
опущено. Мы предпочли, однако, привести его в явной форме. Теорема 7
является частным случаем более общего предложения, доказываемого
в главе VIII (§ 23. 1, теорема 33).
В заключение этого параграфа сделаем замечание, аналогичное
сделанному в § 4.1, о кратности корня по отношению к данному классу
функций. Будем под Ш понимать один из следующих классов функций
Φ {χ, у) двух переменных: совокупность Ш{к) всех функций класса к > О,
класс Ша ьсех аналитических функций, класс Шр всех многочленов
и класс Шп всех многочленов степени <<гг. В предположении, что функции
Fi (хч у) и F2 (х, у) принадлежат классу 9Л, вводится понятие «кратности
общей точки О (О, 0) кривых F\ {χ, у) = 0, F2 (χ, у) = 0 по отношению
к классу $Щ» (см. § 1, п. 4, определение 3). Нетрудно видеть, однако,
что рассуждения, приведенные при доказательствах теорем 6 и 7, остаются
полностью в силе, если функции Fi и F2 принадлежат классу 501, а
кратность их общей точки рассматривается не в смысле определения 5, а по
отношению к классу ЯЛ. Таким образом, условие Δ0 Φ 0 является
необходимым и достаточным условием для грубости общей точки двух кривых
по отношению к классу 3Ji, а условия а), б), в) теоремы 7 — необходимыми
и достаточными для двукратности общей точки по отношению к классу ЗЛ
(Ш — один из классов ЗЛ(г), ША, Шр или 9ЛП). Вследствие этого нет
необходимости (при г = 1 или 2) рассматривать кратность общей точки
двух кривых по отношению к классу Ш, и всюду в дальнейшем, говоря
о грубости или двукратности общей точки мы будем понимать ее в смысле
-определения 5.


ГЛАВА II
ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ К ДАННОЙ,
И СВОЙСТВА ИХ ТРАЕКТОРИЙ
Введение
Эта глава играет чисто вспомогательную роль. Излагаемые в ней
предложения непосредственно вытекают из теорем о непрерывной
зависимости от начальных значений и правых частей. Эти предложения сами
по себе не представляют интереса и почти тривиальны, но необходимы
для строгого изложения основного материала книги. Глава состоит из
двух параграфов.
В первом из них (§ 3) вводится понятие Ь-близких систем и
формулируются указанные теоремы о непрерывной зависимости (теоремы 8 и 9),
а также рассматриваются некоторые свойства регулярных отображений.
В следующем параграфе (§ 4) рассматривается пересечение траекторий
близких систем с дугами и циклами без контакта и устанавливается, что
траектории достаточно близких к системе (А) систем (А) ведут себя по
отношению к этим дугам (или циклам без контакта), грубо говоря, так же,
как траектории самой системы (А). Читатель, желающий быстрее перейти
к более содержательному материалу, может без ущерба для дальнейшего
чтения опустить доказательства всех лемм настоящей главы,
ознакомившись только с их формулировками. Кроме того, необходимо
ознакомиться с вводимыми в этой главе понятиями ε-близких областей
(определение 7), ε-сдвига (определение 8) и г-тождественности разбиения
на траектории двух областей (определение 9). Эти понятия употребляются
всюду в дальнейшем. Наиболее важным является последнее из них —
ε-тождественности разбиения на траектории: на этом понятии
основывается определение грубых систем, изучению которых посвящена значительная
часть данной книги.
§ 3. Близость решений. Регулярное преобразование
близких систем
1. Теоремы о близости решений. В настоящей главе мы будем
рассматривать системы дифференциальных уравнений (динамические системы)
вида
£ = Р(*,У), ί· = <?(«,»)■ (А)
Мы будем считать, что эти системы определены в ограниченной области G
плоскости (х, у); однако часто мы будем рассматривать их не во всей
области 6?, а в некоторой замкнутой ее подобласти G *. Система (А)
называется системой класса к или аналитического класса, если Ρ и Q являются


34 δ-БЛИЗКИЕ СИСТЕМЫ И СВОЙСТВА ИХ ТРАЕКТОРИЙ [ГЛ. II
функциями класса к в области G или соответственно функциями
аналитического класса.
Пусть в области G определены две системы:
£=*>(*.»). %=Q(*,v) (A)
И
dt v ' υη dt
dx
= P(x,y)9 -Jr = Qix,v), (A)
dt v ' *n dt
принадлежащие обе одновременно либо к некоторому классу к, либо
к аналитическому классу.
Определение 6. Мы будем говорить, что система (А) Ь-близка
до ранга г к системе (А) в области G {или G *), если функции Ρ и Q в этой
области Ь-близки до ранга г к функциям соответственно Ρ и Q (см.
определение 1 в § 1).
Пусть
Р(х, у)—Р(х, у) = р(х, у), Q(x, y)—Q(x, y) = q(x, у).
Функции ρ {χ, у) и q {x, у) мы будем называть «добавками» к правым
частям системы (А). Если эти функции δ-близки до ранга г к 0, то мы
будем называть их «Ь-добавками ранга г». Систему (А), рассматриваемую
наряду с системой (А), мы будем называть «измененной» (по отношению
к системе (А)) и будем записывать ее также в виде
— = р (*· у) + ρ (*» у)· -§г=Q <*· v) + q (*, у)- (А)
В дальнейшем в том случае, когда система (А) Ь-близка до ранга 1
к системе (А), мы будем говорить просто, что система (А) Ь-близка к
системе (А), опуская слова «до ранга 1».
Рассмотрим два векторных поля, определенных системой (А)
и δ-близкой к ней системой (А). В каждой точке Μ (χ, у) области G
определены два вектора: ν (Ρ, Q) и ν (Ρ, Q). Предположим, что ν φ О, ν Φ 0r
и обозначим через θ угол, образуемый вектором ν с вектором ν (см. КТ,
дополнение, § 5.1). Легко видеть, что этот угол будет сколь угодно малым
при достаточно малом δ. В самом деле,
. ft \Qp-PQ\
sin θ = ——— τ=
и при Ρ, близком к Ρ, Q, близком к Q, sin θ близок к нулю, в то время
как cos θ положителен (близок к + 1).
Сформулируем для рассматриваемых нами систем теорему о
зависимости решения от изменения правой части и от начальных значений.
Предположим, что системы (А) и (А) определены в области 6г. Пусть
s = <p(i —10, х0, г/о), 0 = Ψ(* —*οι Хо, Уо) (1)
— решение системы (А), соответствующее начальным значениям t0, x0, у0.
Решение (1) определено для всех значений t в некотором интервале
τ << t < Г. Пусть %ι и τ2 — два числа, удовлетворяющие условиям
τ < τι < ί0 < ^2 < Т. Обозначим через L траекторию, соответствующую
решению (1). Пусть G * (G* CZ G) — замкнутая область, содержащая
внутри себя отрезок траектории L, соответствующий значениям


§ з]
РЕГУЛЯРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЛИЗКИХ СИСТЕМ
35
t9 Tt <£<τ2, и пусть
χ = φ(ί —10, x0, y0), y = yjp(t—t0, x0, y0) (2)
—решение системы (А), соответствующее начальным значениям ί0, х0, у0.
Теорема 8. Каково бы ни было ε>О, существуют такие η >О'
w δ > О, что если 1) | #0—Хо | < η, | j/JJ —у0 | < η, 2) система (А) Ъ-близка
к системе (Α) β области С?*, то решение (2) системы (А) определено
при всех значениях t,
ti*CtjCx2i u nvu всех этих
значениях выполняются
неравенства
\<p(t—t0,xQ,y0) —
—φ(ί—ίοι *<b »ο)Ι<ε»
if(i—/ο» *οΊ г/о) —
— ψ(ί—ίο. *ο, ifo)j<e.
Теорема 8 является
частным случаем теоремы 2
п. 1 дополнения.
Замечание. Так
как функции <p(f—f0t *ο. #о)
и ψ (£ — f0» *о< »о)
непрерывны и,
следовательно, равномерно
непрерывны по t в сегменте ti<:
< £·< т^2> то теорема 8,
очевидно, может быть усилена следующим образом: каково бы ни было ε > 0Г
можно выбрать η >0 и δ>0 так, что если наряду с условиями 1) и 2)
выполняется условие 3) | f — t" | < η (f и ί" — два произвольных
значения из сегмента [τ1? τ2]), то выполняются неравенства
|φ(Γ —10, x0, yo)—q>{t' — t0, х0, у0)\<г,
|ψ(*"—*<ь *о» Уо)—Ψί^ —ίο» *oi Уо) |<с·
Теорема 8 может быть сформулирована в геометрической форме,
которой мы преимущественно будем пользоваться в дальнейшем.
Пусть L — траектория системы (А), М0 и М± — точки этой
траектории, соответствующие (при некотором выборе движения на L) значениям
времени f0 и ft, и пусть 6?* — замкнутая область (G* CZ G), содержащая
внутри себя дугу М0М± траектории L. Мы будем обозначать через Μ (t)
точку траектории L, соответствующую времени f. Аналогично пусть
Μ (f) — точка траектории L системы (А), соответствующая времени Z.
Геометрическая формулировка теоремы 8.
Каково бы ни было ε > 0, существуют такие η > 0 м δ > 0, что если
система (А) Ь-близка к системе (А) в области G * и если траектория L
при f — t0 проходит через точку М0 б С/п (М0), то соответствующее
движение на траектории L заведомо определено для любого £, t0^.f^.fif
и при этих значениях t Μ (f) ζ UB (Μ (t)). В частности. Μι — М> (ί4) £
ζ Ue (Mi) (рис. 1).


36 δ-БЛИЗКИЕ СИСТЕМЫ И СВОЙСТВА ИХ ТРАЕКТОРИЙ [ГЛ. II
Следующая теорема является обобщением теоремы 8. Пусть F —
замкнутая ограниченная область, F с: G. Будем рассматривать решения
3 = φ(ί—*о» *<ь #о), y = ^{t — h, х0, у о)
системы (А), соответствующие всевозможным точкам М0 (х0, у0) области F.
Предположим, что каждое решение (1) во всяком случае определено
в замкнутом интервале
τι (*о> yo)<t<τ2 (x0j у0),
где %i(xq, у о) и т2(я<ь У о)—непрерывные функции от х0, у0, причем
τι (я0> Уо) < *о» τ2 (я0> Уо) > *о-
В силу КТ, § 1.9, лемма 9, можно считать, что \χι(χ0, у0) — t0\>h0,
1^2 (χ0ι у о)—ίο|>Α0, где Ло>0—некоторое постоянное число (не
зависящее от точки М0(х0, y0)£F).
Пусть G* — замкнутая область, содержащая внутри себя все дуги
траекторий, определяемые решениями (1), когда точка М0(х0,у0)
пробегает область F, a t меняется от Tt (x0, у0) до τ2(#ο»#ο)· G* содержит,
в частности, саму область F.
Теорема 9. Каково бы ни было число ε>0, существуют такие
δ > 0 и η > 0, не зависящие от точки М0 (х0, у0) £ F, что если
1) | #0—^οΙ^Ή» \Уо—^ο|<Ή» 2) система (А) Ь-близка к системе (А)
в области 6?*, то решения
χ = φ (ί—ί0, £0f у0), » = ψ(ί —ί0» ih Уо) (2)
системы (А) определены при всех значениях ί, хх (xQl yo)*Ct^.x2 (#o» #o)»
и при всех этих значениях выполняются неравенства
|φ(ί —109 ϊ0, у0) — Φ(ί — ίο» *ο. Уо)\<ъ,
|ψ(ί—ί0,*ο» ^ο)—Ψ(* — *ο» «ο. 2/ο)|<ε.
Доказательство этой теоремы, использующее обычным образом
компактность области F и теорему 8, не представляет затруднений. Заметим,
что вместо замкнутой ограниченной области в качестве F можно взять
любое компактное множество.
Замечание. Величины η > 0 и δ > 0 могут быть выбраны так,
что если наряду с условиями 1) и 2) теоремы выполняется условие 3)
I t — У | < η, где хх (я0, y0)^tf^x2 (x0f y0), хх (х0, y0)<t"<X2 (*о, Ы»
то имеют место неравенства
|φ(*"—ίο» ϊΌι 5Ό)—φ (*'—*<>» я0, у о) I < »»
|ψ(^—ίο» ίο» ίο) —ψ(*' —*ο» *ο» Уо)\<ь
(см. замечание к теореме 8).
Кроме приведенных выше предложений мы будем в дальнейшем
неоднократно пользоваться теоремой о близости производных функций φ и φ,
а также функций ψ и ψ (см. дополнение, п. 1, теорема 3).
2. ε-близость областей. Леммы о регулярном преобразовании. Мы
сформулируем в этом пункте два предложения, касающиеся замены пере-


§ 3] РЕГУЛЯРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЛИЗКИХ СИСТЕМ 37
менных в системе дифференциальных уравнений. Доказательства мм
опускаем ввиду их элементарности.
Введем сначала термин «ε-близость областей», которым мы будем!
пользоваться в дальнейшем.
Определение 7. Мы будем говорить, что замкнутые области
Gi и G2 г-близки, если
1) каждая точка области Gi находится на расстоянии, меньшем г,
от области G2 и, наоборот, каждая точка области G2 находится на
расстоянии, меньшем г, от области G4;
2) каждая граничная точка области G4 находится на расстоянии,
меньшем г, от границы области G2 и, наоборот, каждая граничная точка
области G2 находится на расстоянии, меньшем ε от границы области G^).
Очевидно, что если область G2 является образом области G4 при
топологическом отображении / и для каждой точки Μ ζ G4 ρ (Μ, f (Μ)) < ε,
то области Gi и G2 ε-близки.
Пусть дано регулярное преобразование переменных класса k -\- \
и = φ (х, у), ν = ψ (χ, у), (3)
определенное в некоторой области плоскости (х, у) (см. КТ, дополнение,
§ 6.1). Мы будем говорить, что это преобразование δ-близко до ранга
r(r*Ck -f- 1) к тождественному преобразованию
и = х, v=--y, (4)
если функции φ (χ, у) и ψ (χ, у) в этой области δ-близки до ранга г
соответственно к функциям χ и у.
Предположим, что преобразование (3) рассматривается в открытой
области G, а G4 — замкнутая ограниченная область, Gi (Z G. Пусть
x = f(u, и), y = g(u, v) (5)
— преобразование, обратное преобразованию (3). Обозначим через G*
образ области Gx на плоскости (и, ν) при преобразовании (3).
Из теоремы 4 (теоремы о малом изменении неявной функции) и из
компактности области G4 следует, очевидно, что если преобразование (3)
достаточно близко до ранга г к тождественному преобразованию (4), то
преобразование (5) в области G* сколь угодно близко до ранга г к
тождественному преобразованию
х = и, y = v.
Если считать, что плоскость (и, ν) совпадает с плоскостью (хч у),
а оси χ и у совпадают соответственно с осями и и ν, τ. е. если
рассматривать М* (и, ν) как точку плоскости (х, у) с координатами и, ν (по
отношению к введенной на этой плоскости системе координат), то из условия
6-близости преобразования (3) к тождественному следует, очевидно, что
область G* б^близка к области Gi, где б4 = |/~2 δ.
Рассмотрим динамическую систему
4г=*<*.*>. 4- = Q(*.v) (А)
*) Простые примеры показывают, что условия 1) и 2) независимы друг от друга.


38 δ-БЛИЗКИЕ СИСТЕМЫ И СВОЙСТВА ИХ ТРАЕКТОРИЙ [ГЛ. И
класса к, определенную в области G плоскости (х, у). Применим к ней
регулярное преобразование (3):
и = у(х, у), ι; = ψ(ζ, у)
класса к-\-\. Мы получим систему
ΐ = ^*(Μ), -§-=$·(". »)* (А*)
где
Р*{щ v) = <p'x{f(uy ν), g(u, v))P(f(u, ν), g(u, v)) +
+ 4>'y (/ (и, v), g (u, v)) Q (/ (u, v), g (u, v))9
<?{u, v) = q'x(f(u, v), g(u, v))P(f(u, v), g(u, v)) +
(А*) является, очевидно, так же, как (А), системой класса к.
Рассматривая и, и как координаты на плоскости (х, у) и возвращаясь
к прежним обозначениям, мы запишем систему (А*) в виде
тг-*·<**>. -!- = <?·(*. Ю- <А*>
Пусть 6?i cz G —- замкнутая ограниченная область, a G* — ее образ при
преобразовании (3).
Лемма 1. Каково бы ни было ε > 0, существует такое δ > О,
что если преобразование (3) δ-близко до ранга к 4- 1 κ тождественному
в области G, то G*cz.G и система (А*) в области G* δ-близка до ранга к
κ системе (А).
Рассмотрим теперь две системы класса А, определенные в области G
{ъ данном случае безразлично, открытой или замкнутой):
dx=P{x,y), -g-= <?(*, у), (А)
dt К ' "" dt
dx=P(x,y), -%- = Q(x,y), (A)
и пусть
и = у(х, у), v = ty(x9 у) (3)
—регулярное преобразование класса А+1· Применяя его к системам
(А) и (А), мы получим соответственно системы
^L = P*(u,v), -^ = Q*(u,v) (A*)
и
класса А, определенные в области 6?* (G* — образ области G при
преобразовании (3)).
Лемма 2. Для любого ε > О существует такое δ > 0, ч/тго ес/ш
система (А) δ-близка до ранга к κ системе (Α) β области G, /гго система (А*)
г-близка до ранга к κ системе (Α*) β области G*.
В заключение этого пункта рассмотрим некоторые простые частные
случаи добавок к правым частям данной системы (А), которые будут
встречаться в дальнейшем.


I 3] РЕГУЛЯРНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БЛИЗКИХ СИСТЕМ 39
Пусть даны две системы, определенные в области G:
§- = Р(х,у), ■§--<?<* if). (A)
^-=*Р(х,у) = Р(х,у) + р(х,у), ^ = Q(x,y) = Q(x,y)+q(x,y). (А)
Синус угла θ *) между направлением поля системы (А) и направлением
поля системы (А) в каждой точке области G дается выражением
ρρ— Q? ·
sin0;
"l/P2 + Q2]/"p2 4-Q2
Очевидно, в точках, где PQ—(λΡ>0, угол Θ положителен, в точках,
где PQ—фР<0, этот угол отрицателен и в точках, где PQ — QP = 0,
направления полей систем (А) и (А) либо совпадают (0 = 0), либо
противоположны (θ = π), так что в этих точках траектории систем (А) и (А)
касаются друг друга.
Рассмотрим добавки следующего вида:
ρ=-μ/β ί=+μ/Λ (6)
где / = / (χ, у) — некоторая функция того же класса, что и функции
Q (х, у), Ρ (χ, у), а μ — параметр. Если рассматриваемая область
замкнутая ограниченная, то при достаточно малых μ ρ и q будут, очевидно, сколь
угодно малыми (до некоторого ранга г) добавками. Система (А) будет тогда
иметь вид
-fL-P-μ/ρ-?, ^=Q + rfP = Q. (7)
В частности, мы будем рассматривать случай, когда / = 1. В этом
случае измененная система имеет вид
■§--Р-|К?, ^- = <? + μΡ· (8)
Синус угла θ между направлениями поля системы (А) и системы (А)
дается выражением
sin6 = fr-SQ =-r2L=·. (9)
В указанном частном случае (когда / == 1) угол между направлениями
полей систем (А) и (А) один и тот же для всех точек области, причем
sin0 = —Д=. (10)
Vl + μ2 V '
Мы будем говорить в этом случае, что «поле системы (А) повернуто на
постоянный угол по отношению к полю системы (А)» или что добавки
вида (6) при / = 1 дают поворот поля на постоянный угол **).
Лемма 3. Система (7) имеет состояния равновесия в тех и только
в тех точках, что и система (А).
*) Под углом между двумя упорядоченными векторами понимается угол, не
превышающий по абсолютпой величине 180°, на который надо повернуть первый
вектор, чтобы его направление совпало с направлением второго.
**) При добавках этого вида векторы поля системы (А) не только
поворачиваются на постоянный угол, но и удлиняются в ~|/ΐ + μ2 раз. Однако нас интересуют
только направления векторов поля.


40 б-БЛИЗКИЕ СИСТЕМЫ И СВОЙСТВА ИХ ТРАЕКТОРИЙ [ГЛ. II
Доказательство. Система (7) имеет состояния равновесия
в тех точках, в которых одновременно
P-pfQ = 0, μ/Ρ + ρ = 0. (И)
Так как уравнения (11) являются системой линейных однородных
уравнений относительно Ρ и Q и детерминант этой системы
не обращается в нуль ни при одном значении #, ζ/, то система (11) может
удовлетворяться в том и только в том случае, когда
Р(х, y) = Q(x,y) = 0,
т. е. когда точка я, у является состоянием равновесия системы (А). Лемма
доказана.
§ 4. Пересечение траекторий близких систем
с дугами и циклами без контакта
1. Пересечение с одной дугой без контакта. В настоящем параграфе
приводится ряд элементарных, почти очевидных предложений,
аналогичных предложениям, изложенным в КТ, § 3, но отличающихся тем, что
наряду с системой (А) здесь всегда рассматриваются измененные системы
(А). Так как на эти предложения опирается все дальнейшее изложение,
то мы большей частью даем их подробные доказательства.
Пусть дана система (класса к)
-§--Р <*.!,), £ = <?(*,»), (А)
определенная в области G, и пусть G*—замкнутая область, 6?* с= G.
Рассмотрим измененную систему
-§- = Ρ (*,*/), &-=Q{z,y), (А)
также определенную в области G.
Предположим, что дана дуга I или цикл С, являющиеся дугой или
соответственно циклом без контакта для траекторий системы (А) и при
этом целиком лежащие внутри области G *. Следующее очевидное
утверждение мы приводим без доказательства.
Лемма 1. Существует число δ0 > 0 такое, что если система (А)
60-близка в области G* к системе (А), то дуга I (цикл С) является дугой
без контакта (соответственно циклом без контакта) для траекторий
системы (А), и эти траектории образуют с дугой I (циклом С) угол того
же знака (см. КТ, дополнение, § 5.5), что и траектории системы (А).
С целью облегчения ряда формулировок и доказательств введем
понятие ε-сдвига.
Определение 8. Отображение f множества Е, расположенного
в метрическом пространстве i?, в то же пространство мы будем называть
ε-сдвигом*), если f является топологическим^ отображением и если для
*) Термин «8-сдвиг» понимается обычно в более широком смысле. Именно, ε-
сдвигом называют непрерывное отображение (не обязательно топологическое), при
котором каждая точка множества сдвигается меньше чем на ε. Однако нам придется
применять это понятие только по отношению к топологическим отображениям.
Поэтому всюду в дальнейшем мы будем понимать ε-сдвиг в смысле определения 8.


§ 4] ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ С ДУГАМИ И ЦИКЛАМИ БЕЗ КОНТАКТА 41
каждой точки Μ ζ Ε расстояние между этой точкой и ее образом меньше г:
ρ (Μ, / (Μ)) < ε.
Пусть теперь системы (А) и (А) рассматриваются соответственно
в областях Я и Я (открытых или замкнутых), Η CZ G, Я CZ G (в частности*
системы (А) и (А) могут совпадать, тогда одна и та же система
рассматривается в двух различных подобластях области G; либо области Я и Я могут
совпадать).
Определение 9. Мы будем говорить, что разбиение области Η
траекториями системы (А) и разбиение области Η траекториями
системы (А) г-тождественны, и будем записывать это символом
(Н,А) = (Н,А),
если существует отображение области Я на область Я, являющееся г-сдви-
гом и переводящее траектории системы (А) в траектории системы (А) *).
Таким образом, разбиения на траектории областей Я и Я
ε-тождественны, если эти разбиения имеют одинаковую топологическую
структуру и «искажены» или «сдвинуты» одно по отношению к другому меньше
чем на ε. Для того чтобы имела место ε-тождественность
(Я, А) = (Й, А),
очевидно, необходимо, чтобы области Η ж Η были гомеоморфны и были
ε-близки. Далее, необходимо, чтобы топологические структуры разбиения
этих областей траекториями соответствующих систем были одинаковы
(см. КТ, § 5, определение V). Однако эти необходимые условия не
являются, вообще говоря, достаточными, так как может оказаться, что они
выполняются, но не существует топологического отображения области Я
на Я, переводящего траектории в траектории и являющегося
одновременно ε-сдвигом.
Предположим теперь, что дуга Ζ, являющаяся дугой без контакта
для траекторий системы (А), задана параметрическими уравнениями
* = /(»). y = g{s),
где α О ·< Ъ. По самому определению дуги без контакта / (s) и g (s) —
непрерывные функции, имеющие непрерывные производные. Пусть
6о > 0 — число, о котором говорится в лемме 1, т. е. такое, что для всех
измененных систем (А),60-близких к системе (А) в рассматриваемой
области G* (G* с: 6?), дуга I является дугой без контакта. Будем
рассматривать только б0-близкие к системе (А) измененные системы (А).
Пусть
s = <p(f —*0, х0, у о), y = q>(t — t0j s0f Уо) (1)
—общее решение системы (А) и
£ = φ(£ — to, х0, Уо), y = $(t — t0,Xo, у0) (2)
*) Определение отображения, переводящего траектории в траектории, дано
в КТ (§ 5, определение V). Оно заключается в следующем: отоб ρ ажение^ должно быть
топологическим, каждые две точки, принадлежащие одной траектории*системы (А),
должны переходить в точки, лежащие на одной траектории системы (А), и каждые две
точки, принадлежащие одной траектории системы (X), при обратном отображении
должны переходить в две точки, лежащие на одной траектории системы (А). В КТ
такое отображение называется отождествляющим. Мы будем называть его
переводящим траектории в траектории или, короче, сохраняющим траектории.


42 β-БЛИЗКИЕ СИСТЕМЫ И СВОЙСТВА, ИХ ТРАЕКТОРИЙ [ГЛ. II ^
—общее решение системы (А). Тогда уравнения
* = φ(ί-ί0./(*). g(s)) = 0(t,s), y = ^(t — t0if(s), g(s))=W(t, s) (3)
и соответственно
* = φ((*-*0), /00, g(s)) = ${t, s), y^^((t-t0),f(s),g(s))=W(tiS) (4)
при всяком фиксированном s, a<!s.<b, являются уравнениями той
траектории системы (А) (и соответственно системы (А)), которая при t = f0
пересекает дугу без контакта I в точке (/ (s), g (s)) (т. е. в точке дуги Z,
соответствующей данному значению параметра s). Из самого определения
функций φ, ψ, φ и ψ очевидно, что
Ф(*0, *)=Ф(*0, *)=/(*), Ψ (ίο, *) = V(t0, s) = g(s). (5)
Предположим, что для любой точки М0 (#о, У о) ДУги без контакта
I (хо = f (s)i Уо = g ($), a^s^b) решение (1) определено для всех £,
fo^Ct^lx (s) *), где τ (s) — непрерывная функция (в частности, она
может быть константой), и что соответствующая дуга траектории целиком
лежит в G* и не имеет с дугой I других общих точек, кроме М0. Очевидно,
при этих условиях функции Φ (ί, s), Ψ (ί, s) заведомо определены во всех
точках замкнутой области
a<s<b, t0*Ct<Ct{s)- (6)
В силу КТ, § 1.3, лемма 5, функции Φ и Ψ имеют в области (6)
непрерывные частные производные первого порядка, вычисляемые по формулам:
Φί(*, s) = %{t — t0, f(s), g(s)), j
Φ; (*, s) - φ;0'(*-10, f (s), g (s)) f (s) + <p'yo (t - i0, / (*), g (s)) g' (s)y I
Ψι(<, *) = *ί('-*ο. /(*), iW),
ψ; (ί, *)=ψ;0 («-ί0, / (s), g (s)) r (s)+y'yo (i—i0f / ω, * (*)) g' (s). '
Далее, в силу КТ, § 3.5, лемма 8, уравнения (3)
*=Φ(ί, s)y ιτ = Ψ(ί, β)
определяют регулярное отображение области (6) на некоторую замкнутую
область К плоскости (#, у), в границу которой входит дуга I (см. рис. 2;
область (6) изображена на рис. 3). Область К содержится, в силу наших
предположений, в 6?*.
Лемма 2. Каково бы ни было ε > 0, существует δ > 0 такое, что
если система (А) Ь-близка к (Α) β области G*, то соответствующие
системе (А) функции Φ (£, s) w Ψ (£, s) определены в области (6), имеют в этой
области непрерывные частные производные первого порядка и ε-близки
в ней соответственно к функциям Φ (ί, s) и Ψ (£, 5).
Доказательство этой леммы непосредственно следует из теоремы 9
(§ 3) и из дополнения, п. 1, теорема 3.
Лемма 3. а) Существуют такие δ > 0 и h > 0, что если система
(А) δ-близка в области G* к системе (А), то отображение
* = Φ(ί,*), y = $(t,s) (4)
*) Или для всех /, t0 >> t >- τ (s). Этот случай исследуется в точности так же,
как рассмотренный в тексте.


§ 4] ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ С ДУГАМИ И ЦИКЛАМИ БЕЗ КОНТАКТА 43
является регулярным отображением прямоугольника
a<s<b, \t — tQ\^h (8)
плоскости (£, s) на замкнутую область К плоскости (х, у), причем К
целиком лежит внутри G*.
б) Пусть К — замкнутая область, в которую прямоугольник (8)
переводится отображением
* = ф (*,*), ρ = Ψ (*,*), (3)
соответствующим «исходной» системе (А). Каково бы ни было ε > 0,
существует δ* > 0 такое, что если система (Α) δ*-близка к (А) в области G*,
то область К ε-близка к области К.
Доказательство. Докажем сначала утверждение а). В силу
определения регулярного отображения (см. КТ, дополнение, § 6.1) нужно
to
Рис. 2.
Рис. 3.
доказать, что при надлежащем выборе чисел δ > 0 и h > 0 отображение
(4) является взаимно однозначным в прямоугольнике (8) и в каждой точке
этого прямоугольника
| ф; (*, з) ф; («, s)
Ψί(*> S) ^s(t, S)
Δ (t, s) =
ΦΟ.
В силу КТ, § 3.4, лемма 3, существует такое h0
ние (3) является регулярным в прямоугольнике
Следовательно, в любой точке (*, s) прямоугольника (10)
(9)
0, что отображе-
(10)
Δ(/, s) =
ψί(*. *) ψ;<*.s)
имеет один и тот же знак. Будем считать для определенности, что этот
знак положителен. Тогда в каждой точке прямоугольника (10) Δ (£, s) > с,
где с — некоторое положительное число. Отсюда следует — принимая
во внимание компактность прямоугольника и непрерывность элементов


44 fi-БЛИЗКИЕ СИСТЕМЫ И СВОЙСТВА ИХ ТРАЕКТОРИЙ [ГЛ. II
определителя Δ,— что существуют числа η > О и σ > О, обладающие
следующим свойством:
если
\U—0|<Л» \st — Sj\<a9 \t%—t0\<£h0, а<^<6
(*,/=1,2,3,4),
(11)
то
>τ·
Ι Φί (h, Sl) Ф'в (t2, s2)
ΙΨί(ί3, *>) ψ;(<4, «о
Из последнего соотношения и из лемм 1 и 2 вытекает в свою очередь
существование числа δ0 > 0 такого, что если система (А) б0-близка к
системе (А), а числа £г и s,- (i = 1, 2, 3, 4) удовлетворяют соотношениям (11),.
то I является дугой без контакта для траекторий системы (А) и
Ф; (ilt Sl) Φ; (ί2, s2) Ι
Ψί(ί3, s3) f;(i4, Si)\
>o.
(12)
Предположим теперь, что утверждение а) леммы не имеет места.
Тогда, каковы бы ни были числа δ > 0 и А > 0, всегда найдется
система (А), δ-близкая к (А), для которой (4) не будет регулярным
отображением прямоугольника (8) в плоскость (х, у). В качестве δ и h мы будем
брать числа, удовлетворяющие условиям
h<h0, /K-J-
(13)
Очевидно, эти условия не уменьшают общности рассмотрений. Φ и Ψ
являются однозначными функциями. Далее, в силу соотношения (12)
Δ =
ф; (*, а) ф; (<, s)
>o
в прямоугольнике (10), а следовательно, и в прямоугольнике (8). Поэтому
отображение (4) может не быть регулярным лишь в том случае, если оно
не является взаимно однозначным, т. е. если в прямоугольнике (8)
существует по крайней мере одна пара различных точек (£', s') и (£", s"),
которые переводятся отображением (4) в одну и ту же точку плоскости (х, у),
т. е. для которых
ф (*', о=а (г, о. ψ (*'. о=ψ ν; о. (14)
Из этих равенств следует по формуле Тэйлора, что
Φί(Ί> »ι) (*'-**)+Φ (*ι> *0 (*'-*") = 0,
Ψί (/2, *) (*' -П + ψ; (ί2, *2> (*'-*") = 0,
(15)
где fi и t2 — числа, заключенные между t' и £", a s4 и s2 — между 5' и s".
Покажем, что \ s' — s" |>σ. В самом деле, если \ s' — s" |<σ, то
Ι *ι — *2 К σ. Далее, \h — t2\< \t' — t" \<х\ и | ft — f0 |< A0,
| i2 — *o I < h0 в силу (13). Следовательно, выполняются соотношения
(11), и в силу (12)
"Φί(*ι> «ι) φ; μι. «о
Ψί(*2, *2> Ψί(^2, *2)
>ο.


§ 4] ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ С ДУГАМИ И ЦИКЛАМИ БЕЗ КОНТАКТА 45
Последнее неравенство показывает, что система (15), рассматриваемая
относительно f — £", s' — s", имеет детерминант, отличный от нуля,
т. е. f = t", s' = s". Но это противоречит условию, что (£', s') и (t",s") —
различные точки прямоугольника (8). Следовательно, | s' — s" |>σ.
Рассмотрим теперь две последовательности положительных чисел 6$
и hi, i = l, 2, ..., удовлетворяющих условиям (13) и таких, что
lim 6i — lim hi = 0. Как мы показали, если утверждение а) леммы неверно,
то для каждой пары 6t и А4 существует система (А|), 6гблизкая к системе (А),
и пара точек (*ί, si), (С si) таких, что
\s'i — s'i|>o и
Ф| («, *ί)=Φ|(4 *ί), Φ|(4 *ί) = "?!(«, *ί),
(16)
rfre Φ* и Ψ* —функции, соответствующие
системе (Af). Так как 11\—-t0\<]ηχ —>0 и |ίί—ί0|<
<]г% —> 0, το lim t\ = lim ί'ί = t0. Переходя в слу-
г-юо г-*оо
чае необходимости к подпоследовательности, мы
можем добиться, чтобы последовательности s\
и si сходились. Пусть lim s\ = s'01 lim si = sn0.
г-^оо г->оо
Очевидно, a^s'04^b, a^s^b и \s'0 — Sq|>o.
Из определения функции Фг и Ψζ· и из теоре- Рис. 4.
мы 8 (§ 3), а также из замечания к ней следуют
равенства lim Фг (f J, si) = Φ (t0, s'6) и lim Фг (t'i si) = Φ (J0> «0) и аналогич-
i-voo i-*oo
ные равенства для Ψ$. Поэтому, переходя к пределу в равенствах (16), мы
получим
φ («о, «;) = Ф(«о, «Э. ^(Ό, Ο=ψ(*ο, Ο
или, в силу соотношений (5),
/К)=/К), *(0=*Κ).
Последние соотношения противоречат неравенству | s'9 — s"0 |>σ.
Утверждение а) леммы, таким образом, доказано.
Справедливость утверждения б) непосредственно следует из теоремы 9
(§ 3). Лемма доказана полностью.
Замечание. Из леммы 3 непосредственно следует, что если
δ > 0 достаточно мало, а система (А) δ-близка в области 6?* к системе (А),
то траектории системы (А), при f = f0 пересекающие дугу без контакта /,
при всех значениях £, t Φ f0, \t — ΐ0 |<Ж не имеют общих точек
с дугой Ζ.
Перейдем к следующей лемме. Пусть М0 (х0, у0) — внутренняя точка
дуги без контакта Ζ, соответствующая значению sQ параметра s (a < s0<Zb).
Лемма 4. Для любых ε > 0, А0> 0 существуют числа η > 0,
δ > 0, удовлетворяющие следующему условию: если система (А) δ-близка
к системе (А) в области G *, Μ — произвольная точка, лежащая в Ζ7η (М0),
a L — траектория системы (А), при f = t0 проходящая через точку М>
то при некотором значении £*, | t* — f0 | < Л0, траектория L пересекает
дугу I в точке М*, причем дуга ММ* траектории L целиком лежит
в иг (Jlfo) (рис. 4):


46 δ-БЛИЗКИЕ СИСТЕМЫ И СВОЙСТВА ИХ ТРАЕКТОРИЙ [ГЛ. II
Доказательство. Зададим числа ε > 0 и h0 > 0. Без
ограничения общности можно считать, что Uг (М0) С G*. Выберем число
σ > 0 такое, что кусок дуги I, соответствующий значениям параметра sr
So — cr<[sOo + σ> целиком лежит в UB (M0)· В силу леммы 3,а) и
непрерывности рассматриваемых функций
существуют числа δ > 0 и А, 0 < h < h0, такие,
что отображение
* = Ф(*,*), ϊ = Ψ(ί, β), (3)
соответствующее системе (А), а также
отображение
x = e(t, s), » = Ψ(ί, *), (4)
соответствующее любой системе (А), δ-близкой
к системе (А) в области б*, являются
регулярными в прямоугольнике
\t — *ο|<Λι 15—s0 |<:σ
плоскости (£, s) и переводят этот прямоугольник
в замкнутую область Η (соответственно Н)
плоскости (х, у); Η CZ UB (M0), HdU& (Д/0).
Μ о является, очевидно, внутренней точкой областей Η и Н. Обозначим
через г расстояние точки М0 до границы области Η (рис. 5). В силу
утверждения б) леммы 3 число δ можно взять настолько малым, что
область Η будет ~ -близка к области Н. Тогда граница области Η будет
-γ -близка к границе области Н. В качестве η можно взять любое
положительное число, меньшее у. Действительно, если η < у , то нетрудно
видеть, что окрестность Ζ7η (М0) лежит внутри каждой области Н.
Но тогда из самого определения области Η и из неравенства h <C h0
следует, что выбранные нами числа η и δ удовлетворяют условию леммы.
Лемма доказана.
Замечание. Лемма 4 может быть обобщена следующим образом.
Пусть λ — дуга, являющаяся частью дуги без контакта I и лежащая
целиком внутри I (т. е. концы дуги λ отличны от концов дуги Г). Тогда для
любого ε > 0 и h > 0 существуют η > 0 и δ > 0, удовлетворяющие
следующему условию: если система (А) δ-близка к системе (А) в области 6?*,
Μ — произвольная точка, расстояние которой до дуги λ меньше чем η
(т. е. Μ £ С/η (λ)), a L — траектория системы (А), при f = f0t проходящая
через точку М, то при некотором значении £*, | £* — t0 | < А, траектория L
пересекает дугу I в точке М*, причем дуга ММ* траектории L целиком
лежит в Uъ (λ).
Справедливость этого утверждения можно установить обычным
рассуждением от обратного, использующим лемму 4 и компактность дуги λ.
Предполагая по-прежнему, что дуга без контакта I лежит внутри
области G*, рассмотрим внутреннюю точку этой области М0 (х0, у0), не
принадлежащую Ζ. Пусть траектория L системы (А) проходит через
точку М0 при t = t0 и при t = τ Φ ί0 пересекает дугу I в точке Μ, отличной
от конца дуги Ζ. Предположим, кроме того, что дуга М0М траектории L
лежит целиком в области G* (рис. 6).


§ 4] ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ С ДУГАМИ И ЦИКЛАМИ БЕЗ КОНТАКТА 47
Лемма 5. Для любых ε>0, h>О существуют т&кие η>0 и δ>О,
что ес/ш система (А) Ь-близка к системе (Α) β области 6?*, точка
ΜοζυΆ(Μ0) u^L есть траектория, системы (А), гари ί —ί0 проходящая
через точку М0, то траектория L при некотором значении t = τ гаере-
секает dyey^l в точке Μ и при этом: а) |τ—t|<fe; б) M£t/e(M);
в) дугаМ0М траектории L лежит целиком в G*; г) веди |τ—ί0|<
<|τ—ί0|, wo M(t)(iUB(M(t)) для всех ί£[τ, ί0]ί если же (χ—ί0|>
>|τ—ί0|, то Λί (ί) £ t/8 (Μ (ί)) для всея ί£[τ, ί0]» α отрезок
траектории L, соответствующий
значениям t ζ [τ, τ0], лежит
целиком β Us (Μ (τ)) *)
(рис. 6).
Лемма 5 является
очевидным следствием
теоремы 8 (§ 3) и леммы 4.
Замечание.
Лемма 5 может быть обобщена
аналогично предыдущей
(см. замечание к лемме 4).
Именно, если имеется
какое-нибудь компактное
множество F,
расположенное в области 6?*, и
каждая траектория,
проходящая при f = tо через точку
Μ о (х0, у о) этого множества,
при некотором значении t — τ (х0, у0) пересекает дугу без контакта I
в точке Μ (х0, у о), оставаясь до этого в области G, то для заданных ε > О
и h > 0 числа η > 0 и δ > 0, фигурирующие в лемме 5, могут быть
выбраны независимо от точки М0 £ F, т. е. так, что они будут удовлетворять
утверждению леммы, какова бы ни была точка М0 £ F. В дальнейшем
роль такого множества F играет, как правило, некоторая дуга без
контакта /', не имеющая общих точек с дугой Z.
В лемме 3 функции Φ (ί, «),Ψ (ί, s), а также Ф (ί, s) и Ψ (f, s)
рассматривались лишь при значениях i, \t — f0 \^h0l где fe0 > 0 — некоторое
достаточно малое число. Вернемся теперь к случаю, когда функции Φ (ί, s)
и Ψ (ί, s) определены для всех t и s в замкнутой области
а<г?<&, ί0<*<τ (*)**), (6)
где τ (s) — непрерывная функция. Будем предполагать, как и выше,
что при всех указанных i, s точка (Φ (£, s), Ψ (f, s)) £ G * и что если
to <it^x (s), a s и 5' — любые числа из сегмента [α, fc], то выполняется
по крайней мере одно из двух неравенств
Φ («, *) ^ Φ (ί0, О. ψ (*. *> ^ Ψ (ίο, 5'),
т. е. что всякая траектория системы (А), определяемая уравнениями
x=<p(t—*о, /(^), г(*)) = Ф(*. β), ^ = ψ(ί — ί0, /(5), g(s)) = W(t, s), (3)
*) Здесь, как и в дальнейшем, Μ (t) означает точку траектории рассматриваемой
системы, соответствующую значению времени t при выбранном на этой траектории
движении.
**) Или ί0 > * >- ^ (s). Для определенности мы будем рассматривать условия (6)*


48 δ-БЛИЗКИЕ СИСТЕМЫ И СВОЙСТВА ИХ ТРАЕКТОРИЙ [ГЛ. II
при изменении f от t0 до τ (s) не имеет с дугой без контакта I других общих
точек, кроме точки, соответствующей значению f = t0.
Как мы указывали выше, при этих условиях уравнения (3)
определяют регулярное отображение области (6) плоскости (£, s) на некоторую
замкнутую область К плоскости (х, у) (рис. 2).
Имеет место следующее утверждение:
Лемма 6. Для всякого ε > 0 существует такое δ > 0, что если
система (А) δ-близка в области G* к системе (А), то функции Φ (t, s)
и Ψ (ty s) определены в области (6) и уравнения
* = 5(f,*), y = 9(t,'s) (4)
определяют регулярное отображение области (6) на некоторую замкнутую
область К, К CZ G*, причем области К и К г-близки.
V,
r(s)
я
Рис.. 7.
Рис. 8.
Доказательство. Достаточно показать, что при малых δ
отображение (4) области (6) является регулярным, так как остальные
утверждения леммы содержатся в лемме 2. Для доказательства же регулярности
отображения (6) достаточно показать, что траектории всякой системы (А),
δ-близкой к системе (А), не имеют общих точек с дугой I при значениях £,
h < *<τ (s).
В силу леммы.3 существуют такие δ4 > 0 и h > 0, что траектории
всякой системы (А), б^близкой к системе (А), пересекающие при t = t0
дугу I, не имеют с ней общих точек при значениях i, t0 < t^f0 + h.
При этом h можно взять сколь угодно малым. Мы будем считать, что
f0 + h < τ (s) при' всех s, a^s^b. δ4 > 0 возьмем настолько малым,
чтобы все утверждения леммы, за исключением, быть может, регулярности
отображения, выполнялись для систем (А), б^близких к (А).
Рассмотрим область
a<s<!b, t0 + hsCt*Cx(s)
(17)
плоскости (t, s) (заштрихованную на рис. 7). В силу выбора чисел δι и Λ
отображение (3) переводит ее в некоторую замкнутую область Η плоскости
(х, у), находящуюся на положительном расстоянии от дуги I (рис. 8).
Если δ > 0, δ < δι, достаточно мало, а система (А) δ-близка к системе (А),
то отображение (4) переводит область (17) в область Н> достаточно
близкую к Я и не имеющую поэтому общих точек с дугой I. Так как δ < δ4,
то число δ удовлетворяет, очевидно, всем утверждениям леммы. Лемма
доказана.


§ 4] ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ С ДУГАМИ И ЦИКЛАМИ БЕЗ КОНТАКТА 49
2. Траектории близких систем, расположенные между двумя дугами
без контакта. Рассмотрим теперь пересечение траекторий системы (А)
и близких к (А) систем (А) с двумя дугами без контакта и докажем два
предложения.
Пусть 1{ и 12 — две дуги, являющиеся дугами без контакта для
траекторий системы (А), расположенные в области G* и не имеющие общих
точек. Пусть
* = /i(*), V = gi(s)
— параметрические уравнения дуги Z4. Предположим, что траектория
системы (А), при t = f0 проходящая через точку (jx (s), gx (s)) дуги lu
при некотором значении t = τ (s) пересекает дугу Z2, причем кусок этой
траектории, соответствующий
значениям £, t0*Ct^T (s), це- Jy ^- ^^ /h
ликом лежит в области G* JkL'^^··*—" "*^ ^^Г—-fty
и, за исключением своих кон- tyr^* jM>
цов, не имеет с дугами /4 и l2 ///AfJ I /^/Ч
никаких общих точек (для (f^X ^ » t/J/VJy I \
определенности мы считаем, ( мЛ^С^^^ L ^—( ι )
что τ (5) > t0). ( sj^] \ An )
В КТ, § 3.6, лемма 9, \Ί/ VJL^7
было показано, что τ (s) яв- ][ ^- --.^ 1
ляется непрерывной и, следо- 1 ^^•^'^^ " """""^^ I
вател ьно, ограниченной функ- Μ*γ*Ρ*^ ^^м^
цией от 5. Пусть Μt и Μг — 'μϋ'' χ%
две произвольные точки дуги 7 \ \
Ζ4, отличные от ее концов q
и соответствующие значениям
Si и s2 параметра s, a < s4 <
<52<Ь. Пусть, далее,ΝίΏ.Ν2 — точки, в которых траекторииL4
и£2,проходящие при t = ί0 через точки ikfi и М2, пересекают дугу 12 при
значениях t соответственно ti = τ ($ι), τ2 = τ (s2), причем Ν ι и iV2 также
отличны от концов дуги 12. Обозначим через Г элементарный
четырехугольник (см. КТ, § 3.6, замечание 2 к лемме 10), ограниченный
отрезками МХМ2 и ΝχΝ2 дуг без контакта Ιχ и 12 и отрезками траекторий ΛίΥΑ/Ί
и M2N2. В силу сделанных предположений Геб* (рис. 9).
Лемма 7. Для любого ε>0 существуют такие η>0 и б>0,
что если система (А) Ъ-близка к системе (A), mo Zj n 12 являются для
траекторий системы (А) дугами без контакта, причем
а) если Mi и Μ 2—две точки дуги li, лежащие соответственно в иц(М^)
и υη(Μ2), a Li и L2—траектории системы (А), при t = t0 проходящие
через эти точки, то траектории Li и L2 при t> t0 пересекают дугу 12
в точках Νι и iV2, лежащих соответственно в Ue(Ni), Ue(N2), и куски
MxNi и M2N2 этих траекторий вместе с кусками ΜχΜ2 и NtN2 дуг Z4
и 12 ограничивают область Г, являющуюся элементарным
четырехугольником для системы (А);
б) элементарный четырехугольник Г целиком лежит в области G*
и г-близок к элементарному четырехугольнику Г.
Доказательство. Рассмотрим соответствующее системе (А)
преобразование
* = Ф (*,«), ρ = Ψ(ί, »). (3)


50 ό-БЛИЗКИЕ СИСТЕМЫ И СВОЙСТВА ИХ ТРАЕКТОРИЙ [ГЛ. II
По условию леммы функции Φ и Ψ определены при всех значениях
ins, удовлетворяющих неравенствам
*o<'<t(s), a<s<b, (18)
и при всех этих значениях t и s точки (Φ (ί, s), Ψ (£, s)) принадлежат
области G*. Но нетрудно видеть на основании КТ, § 3.4, лемма 3, что
указанный в (18) промежуток значений t всегда может быть несколько увеличен;
существует, следовательно, h0 > 0 такое, что функции Φ и Ψ определены
также и при значениях
a<s<b, ί0<*<τ(*)+*ο (19)
и при всех этих значениях точки (Ф (Ζ, $),Ψ (£, s)) принадлежат области G*.
При этом точки (Φ (ί, s), Ψ (t, s)), для которых $i<s<s2, τ (s) < *<
<!τ (s) -f- fe0» лежат, очевидно, вне элементарного четырехугольника Г,
т. е. эти точки и близкие к дуге Z2 внутренние точки четырехугольника Г
лежат по разные стороны от дуги Z2.
В силу лемм 1, 2, 5 и замечания к лемме 5, при любом ε>0
и А>0, h<Ch0, существуют δ>0 и η>0 такие, что для всякой
системы (А), δ-близкой в области G* к системе (А), 1^ и 12 являются
дугами без контакта, причем
1) функции Ф(£, s), Ψ (Ζ, s) определены при всех значениях t и s
(α ·<$<[&, t0<Ct <.x(s)+h0) и при этих значениях ε-близки к функциям
соответственно Φ и Ψ, а точки (Ф (Ζ, s), Ψ (Ζ, s)) лежат в области G*;
2) если M(fi(s), gx (s)), s,<s<s2,—точка куска MVM2 дуги Ζ,
L — проходящая через эту точку при Z = Z0 траектория системы (А), N—
точка траектории Д принадлежащая куску ΝχΝ2 дуги Ζ2 и
соответствующая значению времени x(s), Μ (s) — точка дуги Ζ1? Μ £С/П (Μ),
L—траектория системы (А), при t = t0 проходящая через точку Μ (рис. 9), то
траектория L пересекает дугу Ζ2 при t — χ (s), \ x (s)—χ (s) | <fe, в точке Nr
лежащей в Ue (Ν) (рис. 9).
Обозначим через s4 (s2) значение параметра s, соответствующие точке
Из (1) следует, в частности, что траектории Lt и L2 системы (А),
проходящие через точки соответственно Μ χ 6 £7η (М{) и М2 £ ί/η (Μ2),
пересекают дугу 12 в точках Ni^Ue(Ni) и Ν2ζϋε(Ν2). Кроме того,
рассуждением, полностью аналогичным проведенному в лемме 6, можно
показать, что если δ>0 достаточно мало, то каждая траектория L
системы^ (А), пересекающая при t = t0 дугу Zt в точке Μ (/(£), g(s)),
5ι<5<52, и при t = x(s) дугу Z2, при промежуточных значениях t: Z0<
< t < τ (s) не имеет общих точек с дугами Z4 и Z2. Но тогда область Г,
ограниченная кусками Μ$ί2, ΝχΝ2 дуг Ζ4 и Ζ2 и кусками MANU M2N2
траекторий Lx и L2, является элементарным четырехугольником системы (А).
Утверждение а) леммы доказано. Тот факт, что Г при указанном выборе
δ>0 ε-близок к элементарному четырехугольнику Г и что fcG*t
непосредственно следует из теоремы 9 (§ 3.1) и из утверждения 2).
Лемма доказана.
Замечание. Пусть М[ и М[г — какие-нибудь точки дуги Z4,
лежащие между точками М1 и М2. Из леммы 7 следует, как нетрудно


§ 4] ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ С ДУГАМИ И ЦИКЛАМИ БЕЗ КОНТАКТА 51
видеть, что если δ > О достаточно мало и система (А) δ-близка к
системе (А), то дуги траекторий системы (А), заключенные между куском М\М\
дуги 1Х и соответствующим куском дуги Ζ2, принадлежат элементарному
четырехугольнику Г исходной системы (А) (рис. 10).
Докажем еще одно предложение, касающееся элементарных
четырехугольников Г и Г, составленных из траекторий двух достаточно
близких динамических систем (А) и (А). Это предложение в дальнейшем
будет неоднократно использовано.
Сохраним те же обозначения, что в предыдущей
лемме. Пусть s4 и s2, и<Οι<>2<&>—
значения параметра «на дуге ^, соответствующие
точкам Mi и М2, Si vls2 — значения s,
соответствующие точкам Mi, Μ2 (Μί ς t/η (Μι),
Μ2 6 Uг) (М2), η >0 достаточно мало). Тогда
точкам куска M^V* траектории Lt (i = 1, 2),
входящего в границу элементарного
четырехугольника Г, соответствуют значения t,
toKt^T (Sf), а точкам куска MtNi
траектории Lt (i — 1, 2), входящего в границу четырехугольника Г,—
значения £, £ο<£<τ (О (Рис· 9).
Предположим, что задано топологическое отображение φ куска ΜιΜ2
дуги lv на кусок МХМ2 такое, что φ (Μι) = Μι, φ (Μ2) = Μ2. В
качестве φ можно взять, например, линейное отображение, заданное
уравнением
•-^ΞΪ+ΐ-ζΞ*-· (20)
где s — значение параметра в уравнениях дуги Ζ4, соответствующее какой-
либо точке Μ куска М\М2 этой дуги, as — значение того же параметра
соответствующее точке М, являющейся образом точки М. Мы будем,
однако, предполагать, что отображение φ дуги ΜιΜ2 на дугу M{M2 не
обязательно задается уравнением (20), так как в дальнейшем не только
этот случай будет представлять для нас интерес. Очевидно, это
отображение всегда можно задать уравнением
s = G)(s),
частным случаем которого является уравнение (20). В случае, когда
отображение φ не задано и нам нужно его ввести, мы всегда будем задавать
его уравнением (20).
Л е м м а 8. Для всякого г > 0 существуют числа δ > 0, η > 0 такиег
что если система (А) δ-близка в области G* к системе (А), а расстояние-
между любой точкой Μ куска ΜιΜ2 дуги 1Х и ее образом φ (Μ) меньше η:
ρ (Μ, φ (Μ)) < η, то существует топологическое отображение Т
элементарного четырехугольника Г на Г, переводящее траектории в траектории-,
(с сохранением направления движения по ним), совпадающее на куске М\М%*
дуги Ιι с отображением φ и являющееся ε-сдвигом.
Доказательство. Каждая точка Ρ (χ, у) элементарного >
четырехугольника Г лежит на траектории L системы (А), при t = t0
проходящей через точку Μ (Λ (s), gi (s)) дуги lim Пусть точка Ρ (χ, у)
соответствует значению t времени. Числа Ζ, s можно рассматривать как


52 б-БЛИЗКИЕ СИСТЕМЫ И СВОЙСТВА ИХ ТРАЕКТОРИЙ [ГЛ. II
криволинейные координаты точки Ρ £ Г. При этом s меняется от $ι до s2.
Если s фиксировано, то t меняется от t0 до τ (s), а точка Ρ пробегает
при этом кусок ΜΝ траектории L (рис. 11). Декартовы координаты
точки Ρ равны χ и у, причем
x = 0(t, ί)=φ(ί —ί0, /(*), g(s))>
^ = Ψ(ί,ί)=ψ(ί —ίο,/W.ffW).
Аналогично точке Р (χ, у) элементарного четырехугольника Г можно
поставить в соответствие криволинейные координаты ί, ?, '51<;'?<['?2»
ίο<*<τ(5)» причем
£=Ф(7,7), у = Ф(?;7).
Введем в элементарном четырехугольнике Г вместо] криволинейных
координат i, s координаты λ, s с помощью соотношений
s = s, ί = ί0 + λ (τ (s)—10).
Если s фиксировано (si^s<52), a λ меняется от 0 до 1, то точка Ρ
пробегает кусок ΜΝ траектории L. Аналогично введем в четырехугольнике
Г координаты λ, s при помощи соотношений
7=s, 7=ί0+λ(τ(β) —ί0)-
При изменении ί от t0 до τ (s) λ также
пробегает значения от 0 до 1.
Определим теперь отображение Τ
четырехугольника Г, положив, что каждая его точка
Ρ (λ, s) переходит в точку Τ (Ρ) =Ρ (λ, s), где
Рис' И· ϊ = ω(»), %=λ.
Другими словами, точка Ρ с декартовыми координатами
* = Φ(ί0 + λ(τ(*) —f0), *), » = Ψ(ίο + λ(τ(ί) — ί0), *)
переводится отображением Г в точку Ρ с дэкартовыми координатами
ϊ=Φ(ί0 + λ(τ(ω(*)) —ίο), <■>(*)), £=Ψ(*ο + λ(τ(ω(*)) —f0), ω(*))·
Очевидно, что определенное таким образом отображение Τ является
взаимно однозначным отображением четырехугольника Г на Г, переводит
траектории системы (А) в траектории системы (А) с сохранением
направления движения на них и совпадает с отображением φ на куске ΜχΜ2
дуги Zj. Нетрудно видеть, что Τ является также взаимно непрерывным
отображением — это следует из непрерывности функций Φ, Ψ, Φ, Ψ,
ω, τ и τ (последние две функции непрерывны в силу КТ, § 3.6, лемма 9).
Поэтому Τ есть топологическое отображение.
Наконец, из леммы 2, а также из леммы 5 и замечания к ней следует,
что если η>0 и 6 >0 достаточно малы, то ρ (Ρ, Τ (Ρ)) << ε для любой
точки Ρ ζ Г. Лемма доказана.
Замечание. Из настоящей леммы следует, что если η > О
и δ > О достаточно малы, то разбиения на траектории элементарных
четырехугольников Г и Г ε-тождественны (см. определение 9).


§ 43 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ С ДУГАМИ И ЦИКЛАМИ БЕЗ КОНТАКТА 53
Следующая лемма является усилением леммы 8. Сохраним все
обозначения леммы 8 и предположим, что кроме отображения φ куска МКМ2
дуги Ιι на кусок МХМ2 той же дуги задано еще отображение α куска MXNX
траектории Lx на кусок ΜΧΝΧ траектории Lx, при котором
*{Мх)=Ми α(ΛΓ1)=^1,
и отображение β куска Μ2Ν2 траектории L2 на кусок M2N2 траектории L2,
при котором
$(М2) = М2, $(N2)=N2
(рис. 9).
Лемма 9. Каково бы ни было число ε >> 0, можно найти такие
δ > 0 и η > 0, что если система (А) δ-близка к системе (А), а
отображения φ, а и β являются ^-сдвигами (определение 8, § 4.1), то существует
топологическое отображение Τ элементарного четырехугольника Г на Г,
переводящее траектории в траектории (с сохранением направления),
совпадающее на частях МХМ2, ΜχΝγ и Μ2Ν2 границы четырехугольника Г
соответственно с отображениями φ, а и β и являющиеся ε-сдвигом.
Доказательство. Для доказательства леммы 9 можно
применить такие же рассуждения, как в предыдущей лемме, несколько
изменив их. Именно так же, как в лемме 8, введем на каждом куске
траектории системы (А), лежащем в Г, и на каждом куске траектории системы (А),
лежащем в Г, координату λ, меняющуюся от 0 до 1. Кроме того, введем
на кусках М\М2 и М\М2 дуги 1Х координаты соответственно μ и μ,
меняющиеся от 0 до 1 и связанные линейной зависимостью с параметром s:
s — Si (1 — μ) + «2μ на дуге МХМ2 и s = $х (1 — μ) + 52μ на дуге М^М2.
Отображения φ, α и β можно тогда задать соответственно соотношениями
μ = φ (μ), λ4 = α (λ), λ2 = β (λ). (Мы пользуемся здесь теми же
обозначениями φ, α, β. Это не вполне законно, но не может вызвать
недоразумений.) Здесь Ki — значения параметра λ на траектории Lt в точке,
соответствующей точке λ на траектории Lt (i = 1, 2). Очевидно, α (0) = β (0)=0,
α(ί) = β(1) = 1, φ(0) = 0, φ (1) = 1.
В качестве Τ возьмем отображение, которое точке Ρ {χ, у) £ Γ,
определяемой значениями параметров μ, λ (0<μ<1, 0<λ<1), ставит
в соответствие точку Ρ (χ, у) со значениями параметров μ, λ, связанных
с μ и λ соотношениями
?= Φ (μ)» λ = α (λ) (1 — μ) +β (λ) μ.
Другими словами, точке Ρ (χ, у) £ Γ с координатами
x=<t>(t0 + Xx(Si{l — μ)+52μ), sx (1 — μ) + *2μ),
y = Ψ (t0 + λχ (Si (1 —μ) + 52μ), sx (1 —μ) + *2μ)
ставится в соответствие точка Ρ (χ, у) с координатами
ϊ = 6(ί0 + [α(λ)(1—μ) + β(λ)μ]τ(Τ1(1 —φ(μ))+72φ(μ)),
»ι(1
» = Φ(ίο+[α(λ)(1-μ) + β(λ)μ]τ(ϊ1(1 —φ(μ))+ϊ2φ(μ)),
»ι(1
Φ(μ))+*2φ(μ)),
φ(μ))+*2φ(μ)).


54 δ-БЛИЗКИЕ СИСТЕМЫ И СВОЙСТВА ИХ ТРАЕКТОРИЙ [ГЛ. II
Легко убедиться, что определенное таким образом отображение Τ
является топологическим отображением элементарного четырехугольника Г
на Г, переводящим траектории в траектории и совпадающим с
отображениями φ, α, β на соответствующих кусках границы. Если при этом δ и η
достаточно малы, то Φ и Ψ сколь угодно близки соответственно к Φ и Ψ,
α (λ) и β (λ) близки к λ, μ и λ близки к μ и λ, a ij и s2 — соответственно
к S| и s2. Но тогда при достаточно малых δ и η отображение Τ является
ε-сдвигом. Лемма доказана.
Сохраним все прежние обозначения и рассмотрим описанный выше
элементарный четырехугольник Г, образованный дугами траекторий
системы (А). Однако теперь наряду с системой (А) мы будем
рассматривать не всевозможные достаточно близкие к ней системы (А), а лишь
измененные системы некоторого частного вида, именно системы
**- = Р(х,у), % = $(х,у), (А)
для которых во всех точках области 6?*, отличных от состояний
равновесия системы (А), выполняется неравенство
PQ—QP^O. (21)
Таким образом, во всех точках области G* либо PQ—QP>0, либо
PQ—QP<Q.
Примерами таких систем являются рассмотренные в § 3.2 системы вида
где f (x, у)—функция, не обращающаяся в нуль в области G*.
Очевидно, условие (21) означает, что во всех точках области G*, не
являющихся состояниями равновесия системы (А), угол между
направлением поля системы (А) и системы (А) имеет один и тот же знак.
Наряду с параметрическими уравнениями дуги 1ц
* = /iWi y = gi{s)
будем рассматривать параметрические уравнения дуги 12
* = /2(»)· # = £2 00, я<*<:£.
Параметр s на дуге 12 выберем так, чтобы траектории системы (А),
пересекающие дуги Zt и Z2» составляли с этими дугами углы одного и того же
знака. Это, очевидно, означает, что детерминанты
А =
Pifuii) Qifugi)
f'l g'l
и D,=
PVbgj Q(U,g2)
/2 &2
(22)
имеют одинаковые знаки. Для определенности предположим, что Di > О
и D2 > 0 (это соответствует случаю, схематически изображенному на
рис. 12).
Пусть slns2 — значения параметра s, соответствующие точкам Νι и N2
дуги Ζ2· Далее, пусть М0 — какая-нибудь точка дуги li9 лежащая между
Μι и М2\ s0 — соответствующее ей значение параметра s (st < s0 <C s2);
L0 — траектория системы (А), проходящая при Ζ = Z0 через точку М0\


§ 4] ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ С ДУГАМИ ИЩИКЛАМИ БЕЗ КОНТАКТА 55
N0 — точка, в которой траектория L0 пересекает при t = τ (s0) дугу l2\
s0 — значение параметра s, соответствующее точке iV0 (st < s0 < $2)·
Кусок ΜοΛΓο траектории L0 делит, очевидно, элементарный
четырехугольник Г на два элементарных четырехугольника Т1 и Г2 и входит в границу
обоих этих четырехугольников (рис. 12). Точки четырехугольника Г4
(соответственно Г2) имеют координаты
χ = Φ(ί, s), y = y¥(t, *),
где
(соответственно So<s<s2» £ο<*<τ (s)). Очевидно, в границу
четырехугольника 1\ (Г2) входит кусок ΝίΝο(Ν0Ν2) дуги 12, соответствующий
значениям j?i<s<s0 (50<s<s2) параметра s. Куски М0М2 и N0N2 дуг
соответственно Ιχ и Ζ2 лежат по положительную сторону траектории L0,
а куски MqMi и iV0iVi — по
отрицательную.
Пусть S — какая-нибудь
отличная от М2 точка куска М0М2 дуги 1и
s* — соответствующее ей значение
параметра s. Очевидно, s0<s* < s2·
Лемма 10. Существует δ > 0
такое, что если система (А) Ь-близ-
ка к системе (А) в области G* ив
каждой точке этой области
PQ-QP>0, (23)
Рис. 12.
то всякая траектория L этой
системы, пересекающая при t = t0
кусок M0S дуги Z4 в точке М, при некотором значении t—τ пересекает
кусок NqN2 дуги 12 в точке N, причем кусок MN траектории L не имеет,
кроме своих концов, общих точек с дугами lt и 12 и лежит целиком
внутри элементарного четырехугольника Г2. Аналогичное Утверждение
имеет место, если точка s лежит на куске MQMX дуги lu a PQ—QP<C.O.
В этом случае кусок MN траектории L лежит целиком в
четырехугольнике rt.
Доказательство. В силу замечания к лемме 7 существует такое
ύ>0, что если система (А) δ-близка к системе (А) и ее траектория L
проходит при t = t0 через точку Μ дуги MqS, то при t=l: траектория L
пересекает дугу 12 в некоторой точке N и кусок MN траектории L
не имеет, кроме своих концов, общих точек с дугами Zt и 12 и лежит
целиком в исходном четырехугольнике Г. Покажем, что если при этом
выполняется условие (23), то указанный кусок MN траектории Ъ целиком
лежит в Г2.
Обозначим параметр (время) на траектории L через Τ (чтобы не путать
его с параметром t на траекториях системы (А)), и пусть соответствующее
движение на траектории L имеет уравнение
χ = ψ(Τ), у=Ъ{Т). (24)
Кусок ΜΝ траектории L получается при изменении Τ от t0 до t(s),
где s—значение параметра на дуге /1? соответствующее точке М. В силу


56 δ-БЛИЗКИЕ СИСТЕМЫ И СВОЙСТВА ИХ ТРАЕКТОРИЙ [ГЛ. И
выбора δ этот кусок траектории L расположен целиком в исходном
четырехугольнике Г. Следовательно, для каждого Τ, ί0<77<τ(5),
* = Ф (*,*), » = Ψ (*,*),
где s и t—некоторые числа, удовлетворяющие условиям
$i<s<s2, *ο<*<τ(*)· (25)
Но это значит, очевидно, что уравнения
Φ(ί,*) = φ(Γ), Ψ(ί,*) = ψ(Γ) (26)
при любом Τ из сегмента [/0, τ (s)] имеет в области (25) единственное
решение относительно t и s. Пусть это решение есть
t = t(T), s = s{T).
ds
Найдем -ψ . Дифференцируя равенства (26) по Т7, мы получим
Φί(ί,«)^ + Φί (*,*)-*- = ? (Г),
Детерминант этой системы
/>=ф;(«, s)vi{t, 8)—<D't(t9 5)ψ;(ί, s).
В силу КТ, § 3.5, леммы 6 и 7,
Р (fugi) Q(h,8t)\
f'As) g[(s)
(27)
где
I=-DJ,
t
\ [Р^(Ф.*)+0^(Ф.*)]с«<
/ = <??° >0.
Так как по предположению Z^ > 0, то Z) < 0, и (27) есть крамеров-
ская система. Поэтому
Но
Поэтому
ds φ' (Τ) Ψ< ft, s) — ψ' (Τ) Φι ft, s)
dT ~ —Dil
Φι (*, s) = φί (/ —ί0, /t (5), ft (в)) =Р (ж, г/),
Ψί (ί, *) =ψί (ί —ί0, /ι И, ft 00) =<Ж 2/),
φ'(Γ) =?(*,?), $'(20=9 (*.»)·
dg Ρ (τ, y) Q (я, у)-Р (а?, у) Q (а, у)
dT — Ρ J
Из условия (23) и неравенства D= —DtI <0 следует, что в любой точке
куска MN траектории!,, т. е. при всех значениях Т9 *ο<^<τ(5)>
ds
т^г>0, т.е. s(T) возрастает с возрастанием Т. Так как при T — t^


§ 4] ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ТРАЕКТОРИЙ С ДУГАМИ И ЦИКЛАМИ БЕЗ КОНТАКТА 57
s = s >s0, т0 отсюда следует, что при ?0<77<т($) также выполняется
неравенство s (Τ) > s0. Но это, очевидно, значит, что весь кусок MN
траектории L лежит в элементарном четырехугольнике Г2. Лемма
доказана.
В следующей лемме рассматривается одна дуга без контакта, но
предполагается, что рассматриваемые траектории пересекают ее дважды.
Именно, мы будем предполагать, что Л/4 и М2 — внутренние точки дуги I
и чю каждая траектория системы (А), пересекающая при t = t0 кусок
М{М2 дуги Z, при некотором значении τ = τ (s) > t0 пересекает дугу I
еще раз Предположим, что при промежуточных значениях t, tQ < Ζ <
<С τ (.s), рассматриваемые
траектории уже не имеют общих точек с
дугой L
Пусть траектории L{ и L2,
проходящие соответственно через точки
Μι и Μ29 пересекают дугу I вторично
в точках Ni и iV2, также отличных
от концов дуги I (в случае, когда
Lx или L2 — замкнутая траектория,
точки Μι и Ν\ или соответственно Μ2
и Ν2 совпадают). Мы будем
предполагать, что куски М\М2 и Ν\Ν2
дуги / имеют общие точки, т. е.
пересекаются, так как в противном случае
мы могли бы считать, что имеет место
рассмотренный выше случай двух
различных дуг без контакта U и /2.
Обозначим через Ct (i = 1, 2) простую замкнутую кривую,
совпадающую с траекторией Lt в случае, когда эта траектория замкнута, и
образованную куском MiNi траектории Lx и частью Μ·ΧΝ ι дуги I в случае, когда
траектория L. не замкнута (рис. 13; сравните с КТ, § 3.9).
Пусть W — область, граница которой состоит из простых замкнутых
кривых С^ и С2. Мы предполагаем, что эта область вместе с границей
целиком содержится в области G*. Пусть, как и раньше, система (А)
δ-близка в области G* к системе (А), причем δ > 0 столь мало, что дуга I
остаегя дугой без контакта для траекторий (А).
Пусть Mt — точка дуги 1и достаточно близкая к Ми и М2—точка
дуги 1и достаточно близкая к Λί2, a Li и L2—траектории системы (А),
проходящие при t~t0 соответственно через точки М{ и М2. На
основании леммы 5 нетрудно видеть, что когда точки Aft и М2 достаточно
близки к Μj и Мъ а δ достаточно мало, траектории Li и L2 при
значениях хх и τ2 (τ1>ί0 и r2> t0) соответственно пересекут дугу I еще раз
в точках, которые мы обозначим через Ν{ и Ν2 . При этом у кусков MxNt
и M2N2 траекторий L4 и L2i кроме концов, нет больше общих точек
с дугой I. Обозначим через С% простую замкнутую кривую, совпадающую
с траекторией L% в случае, когда эта траектория замкнута, и
образованную куском MiNi траектории L, и частью ΜχΝχ дуги Ζ, когда
траектория Li не замкнута (ί = 1, 2). Пусть W—область, ограниченная простыми
замкнутыми кривыми С^ и С2.


58 δ-БЛИЗКИЕ СИСТЕМЫ И СВОЙСТВА ИХ ТРАЕКТОРИЙ [ГЛ. II
Лемма 11. Для всякого ε>0 существуют δ>0 и η>0 такие,
что если система (А) Ъ-близка в области G* к системе (А), а точки Мх
и М2 лежат соответственно в Un (М^ и Ui](M2)9 то
а) точки N\ и N2 лежат соответственно в Uъ (N\) и Uε (Ν2)">
б) каждая траектория, проходящая через точку области W,
пересекает дугу I как при возрастании, так и при убывании t\
в) область W ε-близка к области W.
В справедливости этой леммы легко убедиться, проведя
вспомогательную дугу без контакта, разбивающую область W на два элементарных
четырехугольника, и применив к каждому из них лемму 7.
Заметим, что для областей W uW утверждение, аналогичное лемме 8,
вообще говоря, не имеет места, т. е. без дополнительных предположений
относительно характера траекторий
области ТУ нельзя утверждать, как бы
малы ни были числа η и δ, что
разбиения областей WnW траекториями
соответственно систем (А) и (А)
ε-тождественны.
В заключение докажем одну
лемму, касающуюся областей,
ограниченных двумя циклами без контакта.
Пусть Ci и С2 —- две простые
замкнутые кривые, являющиеся
циклами без контакта для траекторий
системы (А), причем одна и? них — для
Рис. 14. определенности С2— лежит внутри
другой. Предположим, что каждая
траектория L системы (А), проходящая при t = t0 через точку Μ цикла Си
при некотором значении τ == τ (Μ) > t0 пересекает цикл без контакта
С2 в точке 7V, причем кусок MN траектории L не имеет, кроме своих
концов, других общих точек с циклами С{ и С2 (рис. 14). Пусть W —
замкнутая кольцевая область, ограниченная циклами Ci и С2, причем W с: G*.
Лемма 12. Для всякого ε > О существует δ > О такое, что если
система (А) δ-близка к системе (А) в области 6?*, то
а) циклы Ci и С2 являются циклами без контакта для траекторий
системы (А);
б) разбиение области W на траектории системы (А) г-тождественно
разбиению ее на траектории системы (А).
Доказательство. Проведем какие-нибудь две траектории,
пересекающие цикл без контакта С ι. Очевидно, они разобьют область W на
два элементарных четырехугольника. Применяя к каждому из них
лемму 8, мы без труда убедимся в справедливости леммы 12.


ГЛАВА III
ПРОСТРАНСТВО ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ГРУБЫЕ СИСТЕМЫ
Введение
В настоящей главе вводится понятие грубой системы, а также грубой
траектории и устанавливаются некоторые простейшие свойства их.
Понятие грубой динамической системы является основным для данной книги.
Точные определения даются в § 6 (определения 10 и 12). Выражаясь не
вполне точно, можно сказать, что система (А) является грубой —
например, в плоской области W,— если всякая достаточно близкая к ней
система (А) имеет в W (или в некоторой близкой области W) такую же
топологическую структуру разбиения на траектории, как система (А) в области
W, причем переход от одного разбиения к другому можно реализовать
сколь угодно малым сдвигом. Можно показать, что грубая система
представляет, так сказать, общий случай в множестве всех динамических
систем. Именно, произвольно заданная динамическая система является,
как правило, грубой, в то время как негрубые системы являются
исключительными. Грубые системы играют важную роль среди систем,
связанных с рассмотрениями физических задач.
Глава III состоит из трех параграфов (§§ 5, 6, 7).
§ 5 играет вспомогательную роль. В нем вводится метрика в
множестве динамических систем, заданных в плоской области или на сфере,
и, таким образом, эти множества превращаются в метрические
пространства. Метрика вводится естественным и, по-видимому, наиболее простым
способом. Рассмотрение множества динамических систем как метрического
пространства имеет целью геометризировать изложение и сделать его
более наглядным.
В § 6 даются основные определения — определения грубой системы
в плоской области (п. 1) и на сфере (п. 2), а также определение
относительной грубости (п. 3).
В § 7 вводятся понятия грубой и негрубой траекторий. Траектория L
системы (А) называется грубой, если система (А) груба в некоторой
окрестности траектории L. Доказывается, что если система груба в некоторой
области, то все траектории ее, лежащие в этой области, являются
грубыми (лемма 1). Поэтому из наличия в какой-нибудь области хотя бы одной
негрубой траектории уже следует, что система негруба в этой области.
Доказывается (теорема 10), что грубая система может иметь в замкнутой
области лишь конечное число состояний равновесия. Наконец, в § 7
вводится понятие кратности состояния равновесия и доказывается, что если
состояние равновесия М0(х0,Уо) является грубым, то оно является
простым (однократным), т. е. выполняется условие
I Р'х (Хо, Уо) Ру (*о, Уо)\
~ Q'x (*o> У о) Q'v (*<ь Уо) I


60 ПРОСТРАНСТВО ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ГРУБЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
§ 5. Пространство динамических систем
1. Пространство динамических систем, заданных в плоской области.
В этом параграфе мы введем в рассмотрение метрические
пространства, точками которых являются динамические системы. Введение таких
пространств позволяет придать ряду понятий излагаемой теории более
наглядную геометрическую форму.
Мы будем изучать динамические системы в плоской области или на
сфере. Всюду в дальнейшем, когда речь идет о динамических системах
на плоскости, мы будем считать, что все рассматриваемые системы
определены в одной и той же замкнутой плоской области G. Если понадобится,
мы будем иногда предполагать, не оговаривая этого явно, что они
определены в более широкой открытой области (содержащей G), но
исследование и в этом случае будет вестись в области G. Часто нам придется
рассматривать динамические системы (определенные в G) в некоторых открытых
или замкнутых подобластях области G. В этом случае мы будем всегда
предполагать, что замыкания таких подобластей лежат целиком в G, т. е.
находятся на конечном расстоянии от границы области G.
Все динамические системы данного класса к (к — фиксированное
натуральное число) или аналитического класса в области G мы будем
рассматривать как точки некоторого пространства. Пусть г — заданное
натуральное число, причем если речь идет о системах класса к, г<;&.
Пусть, далее, JW\ и М2 — Две точки нашего пространства, т. е. две
динамические системы
(М,)
(М2)
Рассмотрим максимум модуля разности функций Pi и Р2 в
области G, т. е.
maxj Pi {χ, у)—Р2 (я, у) |, (1)
(*» ν№
а также максимумы модуля разностей соответственных производных этих
функций до порядка г включительно, т. е.
max | Р«+г\ (*, y)-P[kV\ {z,y)\ (к +I = 1, 2, ..., г), (2)
(χ> υ)& ν 2 υ
и аналогичные максимумы модулей разностей функций Qx и Q2 и их
производных, т. е.
max \Qt—Q2\ (3)
(*, V)£G
И
,^ΧΧ'-^νΙ (* + ' = *· 2, ...,Ο. (4)
(Χ* V)£G 1X V
Наибольшее из всех чисел (1)—(4) примем за расстояние ρ (Μι, Μ2)
между точками Mi и Мг нашего пространства. Нетрудно убедиться, что
при этом выполняются все аксиомы метрического пространства.
Пространство динамических систем класса к (аналитического класса)
с введенной таким образом метрикой мы будем обозначать через R^ (coot-
§=РЛх,у),
dx
ж = Р2(х,у),
% = Qi{x,ti,
4Н<м*.¥)·


§ 5]
ПРОСТРАНСТВО ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
61
ветственно /?£г)). Очевидно, множество всех динамических систем класса ft,
δ-близких до ранга г в области G к системе
■§ = Ро(*,У). ^f-Qo{x,y)
класса к, является δ-окрестностыо точки М0 в пространстве R(p. Такое же
утверждение справедливо для точки пространства Rj\ При
фиксированном к можно, очевидно, рассматривать пространства
Они состоят из одних и тех же элементов (динамических систем класса к,
определенных в области G), но обладают различными метриками, δ-окрест-
ности, определяемые этими метриками, различны. В самом деле, будем
через Ut> (M\R) обозначать δ-окрестность точки Μ в метрическом
пространстве /?, и пусть l<ri<r2<ft. Рассмотрим динамическую
систему Μ о класса к и окрестности
U6(M0\R(^) и U6(M0\Ry).
Очевидно, Ub{Mo \ R(k2)) a U& (М0 | /?Γι}), однако обратное
включение, вообще говоря, не имеет места. Пространство R[{) мы будем
обозначать буквой i?! (без верхнего индекса). Очевидно, пространство /?ι
содержит каждое из пространств R^ (к = 1, 2, ...). В случае динамических
систем аналитического класса можно рассматривать бесчисленное
множество пространств
Ы1) Ы2) о(г)
-"а » -Па > · · · > -^а > · · ·
Аналогично предыдущему все эти пространства состоят из одних и тех же
элементов, но имеют различные метрики. Предположим теперь, что fei <fe2>
а г фиксировано. Так как всякая система класса к2 является системой
класса &ь а аналитическая система является системой любого класса,
то очевидно, что
/#>=><> =эДГ. (5)
При этом легко видеть, что каждое последующее из пространств (5)
является подпространством предыдущих в том смысле, что определенное в нем
расстояние между двумя любыми элементами совпадает с расстоянием
между этими элементами в объемлющем пространстве.
2. Пространство динамических систем на сфере. Динамические
системы на сфере обычно задаются с помощью открытых покрытий сферы
(см. КТ, дополнение, § 7.3). Однако, чтобы ввести метрику в множестве
динамических систем на сфере, удобнее рассматривать замкнутые
покрытия ее. Определим их следующим образом: пусть S — рассматриваемая
сфера (например, сфера, расположенная в трехмерном пространстве R3
и имеющая уравнение х2 + г/2 -)- ζ2 = 1), а
2 = {Gi, G2, ..., Gn}
— некоторое ее открытое покрытие. Если замыкание Gt каждой из
областей Gi (i — 1, 2, .. ., Ν) гомеоморфно замкнутой области Hi плоскости
ии vi9 то мы будем называть покрытие
2 = {Gi, G2» · · ·» Gn}


62 ПРОСТРАНСТВО ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ГРУБЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
замкнутым покрытием сферы S. При таком определении каждое замкнутое
покрытие сферы связано с открытым покрытием, но не каждому открытому
покрытию соответствует замкнутое. Так, никакая из областей Gt не может
быть, например, проколотой сферой (сферой, из которой удалена одна
точка). Отметим, что такое сужение понятия «замкнутое покрытие» не
сужает класса рассматриваемых динамических систем.
Динамическая система на сфере определяется при помощи замкнутых
покрытий в точности так же, как при помощи открытых (см. КТ, § 2.2),.
именно следующим образом: рассматривается замкнутое покрытие
Σ = {Gt, G2, ·. ·, GN}
сферы S. В каждой из областей G,- вводится локальная система
координат щ, vt. Для этого рассматривается отображение некоторой области Ht
плоскости (uj, Vi) на область Gt сферы S, задаваемое формулами
x = (fi(uuVi), y = tyi(uuvt), z = Xi(uuVi). (6)
Отображение (6) должно удовлетворять следующим условиям:
1) Оно должно быть топологическим отображением плоской
области И г на область 6?,·;
2) функции <pi, ψ*, %i должны быть функциями класса к + 1, если
рассматривается динамическая система класса А, и аналитическими, если
рассматривается аналитическая система;
3) ни в одной точке области Hi функциональные определители
D (фь Ь) ^ΦΐιΜ ρ (Ь, Χι)
D(uhUi) ' D(uhVi) ' Ώ{μι,υ{)
не обращаются одновременно в нуль.
Динамическая система (А) класса к (или аналитическая) на сфере
определяется путем задания в каждой области Η% (ί = 1, 2, . . ., Ν)
динамической системы
*У- = 17,(в,, !>,), ^L = Vi(ui,vi)
класса к (соответственно аналитической). При этом в каждой области
WJh = Hjf\Hk
динамические системы (Ау) и (Ak) должны переводиться одна в другую
преобразованием, осуществляющим переход от координат uj, Vj к
координатам uk, vh (см. КТ, § 1.10, а также § 2.2, определение 1).
Описанная таким образом динамическая система (А) задана при
помощи системы К локальных координат на сфере, определенной покрытием Σ
и формулами (6). Та же динамическая система (А) может быть задана при
помощи любой другой системы К* локальных координат, определенной
замкнутым покрытием
2* = {G*, G*, ..., G,**}
и формулами, аналогичными формулам (6) (см. КТ, § 2.2).
Для того чтобы ввести метрику в множестве динамических систем
на сфере и превратить, таким образом, это множество в метрическое
пространство, мы будем все динамические системы задавать с помощью одной
и той же фиксированной системы К локальных координат на сфере. Пусть


δ 5]
ПРОСТРАНСТВО ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
63
эта система определена замкнутым покрытием Σ = {G1? . . ., GN} и системой
формул (6). Рассмотрим две динамические системы (А) и (А) класса к (или
аналитические). Пусть система (А) задается уравнениями
2Ц- = Ъ(щ, ot), -g- = F,(«„ vt) (АО
(i = l, 2, ..., Ν), а система (А) — уравнениями
4r = ffi(B», Vi), ^i—VtiUi, vt). (АО
Зададим натуральное число г>1, причем если рассматриваются
системы класса к, то будем считать, что г</с (в случае аналитических
систем г может быть произвольным). Рассмотрим числа
шах \иг(ии vi) — Ut{uh vt)\ (i = l, 2, ..., Ν),
а также числа
(i = l, 2, ..., ЛГ, λ + ί=1, 2, ..., r)
и аналогичные максимумы модулей разностей функций Vt и Vt и их
частных производных до порядка г включительно. Наибольшее из всех
этих чисел мы примем за расстояние между динамическими системами
(А) и (А). Нетрудно убедиться, что при этом выполняются все аксиомы
метрического пространства.
Пространство динамических систем класса к (аналитического класса)
на сфере с введенной таким образом метрикой мы будем обозначать через
И^ (#аГ)). Замечания, сделанные в конце п. 1 относительно аналогичных
пространств динамических систем в плоской области, остаются
справедливыми и для пространств R^ и /?£г) динамических систем на сфере.
Мы будем называть две динамические системы на сфере (А) и (А)
класса к (аналитического класса) δ-близкими до ранга г (г<&). если
расстояние между ними в пространстве R^ (R^) меньше δ.
Замечание. Подчеркнем, что введенная нами выше в множестве
динамических систем метрика существенным образом зависит от
выбранной фиксированной системы К локальных координат на сфере. Расстояния
между динамическими системами (А) и (А), определенные указанным
способом с помощью различных систем локальных координат К и К*,
будут, вообще говоря, различными. Однако можно показать, что метрики,
определяемые всевозможными системами локальных координат,
эквивалентны, т. е. индуцируют одну и ту же топологию в пространстве
динамических систем *). Это вытекает из следующего предложения: каково бы
ни было δ > 0, существует такое δ* > 0, что всякая динамическая
система (А), б*-близкая к системе (А) в смысле метрики, определяемой системой
локальных координат if*, является δ-близкой к (А) в смысле метрики,
определяемой системой координат К.
Доказательство этого предложения не представляет труда, и мы его
опускаем.
*) См. П. С. Александров, Комбинаторная топология, ОГИЗ, 1947, гл. 1,
§ 2:3.


()4 ПРОСТРАНСТВО ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ГРУБЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
§ 6. Определение грубой динамической системы
1. Грубые системы, заданные в плоской области. Пусть
— динамическая система, определенная в ограниченной замкнутой
области G, a W—замкнутая или открытая подобласть области G *).
Определение 10. Динамическая система (А) называется грубой
в области W с G, если существует содержащая W открытая область Η
WczHaHczG,
удовлетворяющая следующему условию: каково бы ни было ε > 0, можно
найти такое δ > 0, что если система (А) δ-близка к системе (А) в области
G, то существует область Н, для которой
(Н, A) L (Я, А) (1)
(см. § 4.1, определение 9).
Если система (А) не является грубой в области W, то она называется
негрубей в этой области. Сформулируем подробно, что это значит.
Очевидно, динамическая система (А) является негрубой в области W,
если для всякой области #, W с Η с= II с G, существует число ε0 > 0,
обладающее следующим свойством: каково бы ни было δ > 0 и какова бы
ни была область Н, существует δ-близкая к (А) система (А) такая, что
разбиение области Η траекториями системы (А) не является 80-тожде-
ственным разбиению области Η траекториями системы (А).
Из определения 10 следует, что если система (А) является грубой
в области Wy то топологическая структура разбиения некоторой
окрестности Η области W траекториями системы (А) при переходе к достаточно
близкой системе (А) в известном смысле не меняется, именно в том смысле,
что сколь угодно малым сдвигом можно перевести область И в область Η
так, что траектории системы (А) перейдут при этом в траектории
системы (А). Другими словами, совокупность траекторий грубой системы
обладает структурной устойчивостью **). Термин «грубая система» имеет целью
подчеркнуть, что структура разбиения на траектории данной области
не может быть изменена малыми изменениями системы (А), т. е. что эта
структура, так сказать, выдерживает малые воздействия на систему (А).
Примеры грубых систем встретятся нам в дальнейшем. Приведем
сейчас пример негрубой системы.
Пример 3. Рассмотрим систему
£=-* 4Н+*· (2)
Она определена на всей плоскости, поэтому в качестве G можно взять
любую плоскую замкнутую область. Мы будем для определенности
считать, что G есть область, заданная неравенствами
я2 + */2<100.
*) Как указывалось в предыдущем параграфе, мы считаем всегда, что замыкания
рассматриваемых подобластей лежат целиком в G, т. е. находятся на конечном
расстоянии от границы области G.
**) В иностранной литературе грубые системы обычно называются структурно-
устойчивыми (structurally stable).


§ 6] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУБОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 65
В качестве W возьмем область
*» + ?·< 16.
(3)
Покажем, что система (2) в области (3) является негрубой. Примем
за Η область
я2 + ^2<25. (4)
За ε0 можно взять любое положительное число. Траекториями системы (2)
являются точка О (О, 0) и окружности
χ = с cos t, y — csmt
с центром в начале координат (рис. 15).
Рассмотрим наряду с системой (2) измененную систему
dx . dy ,
(5)
При малом μ система (5) сколь угодно близка в области G к системе
(2), точка О (0, 0) является фокусом системы (5), а все остальные ее
траектории суть спирали (см. КТ, § 1.14, пример 4). Какую бы область Η мы
ни взяли, разбиение ее траекториями
системы (5) не может быть е0-тождественно
разбиению области (4) траекториями
системы (2). В самом деле, все траектории
системы (2) в области (4), кроме состояния
равновесия О, замкнуты, в то время как
система (5) вообще не имеет замкнутых
траекторий. Следовательно, не существует
отображения области (4), переводящего
траектории системы (2) в траектории
системы (5). А это и доказывает, что система
(2) в области (3) является негрубой.
Сделаем несколько замечаний по
поводу грубых систем. Впервые грубые
системы были определены в 1937 году
в работе А. А. Андронова и Л. С. Понтря-
гина [4]. В этой работе, однако,
рассматривались динамические системы не в любой области, а в области W,
ограниченной циклом без контакта. Определение грубой системы в такой
области выглядит более просто. Именно, система (А), определенная
в области W, ограниченной циклом без контакта Г, называется грубой
в этой области, если для каждого ε > 0 существует такое δ > 0, что для
любой системы (А), δ-близкой к системе (А), выполняется соотношение
(W, A) L (W, 2).
Значительное упрощение здесь достигается за счет того, что не приходится
вводить область Η zd W и соответствующую область Я — все
рассмотрения проводятся в самой области W. Можно показать, что для области W,
ограниченной циклом без контакта Г, оба определения — определение 10
и определение, данное в работе [4],— эквивалентны. К сожалению, при
рассмотрении любой области W определение грубой системы, не требующее
введения вспомогательной области Н, не может быть дано (см.
дополнение, п. 5).
Рис. 15.


66 ПРОСТРАНСТВО ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ГРУБЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
Грубые системы (в данной области) могут считаться, в некотором
смысле, простейшими динамическими системами — именно в том же
смысле, в каком однократные корни функции можно считать простейшими
среди всех ее корней или однократные (простые) точки пересечения двух
кривых можно считать простейшими среди всех точек пересечения. Эти три
понятия — простой корень функции, простая точка пересечения двух
кривых и система, грубая в некоторой области,— аналогичны в том
отношении, что при малых изменениях (соответственно функции, пары кривых
или динамической системы) характер указанных объектов по существу
не меняется, а происходит лишь малый сдвиг (смотрите замечание к
теореме 5, § 1, замечание 3 к теореме 6, § 2, и определение грубой системы).
В дальнейшем (глава VI, § 18.2, теорема 23) мы выведем необходимые
и достаточные условия для того, чтобы динамическая система была грубой
в данной области W. Эти условия — аналогично условию простоты корня
или простоты точки пересечения двух кривых — выражаются
аналитически неравенствами, которые связывают величины, непрерывно зависящие
от правых частей динамической системы. Отсюда следует, что в
пространстве Ri всех динамических систем (см. § 5) системы, грубые в области W,
образуют открытое множество.
Определение грубой системы, использующее понятие пространства Rit
выглядит, очевидно, так:
Система (А), соответствующая точке Μ £ /?ι, называется грубой
в области W, если существует область Н, W с: Η α Η с G, для которой
выполняется следующее условие: при любом ε > 0 можно найти такое
δ > О, что если Μ ζ U& (Μ), то для системы (А), соответствующей точке
Μ, и для некоторой области Η £ 6? выполняется соотношение
(Я, A) i (Η, Α).
Заметим, что непосредственно из самого определения грубой системы,
по-видимому, еще не следует, что грубые системы (в области W) образуют
открытое подмножество пространства Д1# Это утверждение вытекает, как
мы указывали, из аналитических условий грубости.
В заключение этого параграфа сформулируем две простые, но очень
важные для дальнейшего леммы. Доказательства их мы опускаем ввиду
очевидности.
Лемма 1. Если система (А) является грубой в области W, то она
является грубой в любой подобласти W\ области W.
Следующая лемма относится к замене переменных. Рассмотрим
регулярное отображение класса 2
и = ф(аг, у), v = $(x,y), (6)
определенное в области G и переводящее ее в область G* плоскости (и, ν).
Всякая система
переходит при этом в систему
определенную в области G* (см. § 3.2). Пусть W — какая-нибудь
подобласть области G, W* — образ этой подобласти при отображении (6).


§ 6] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУБОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 67
Лемма 2. Если система (А) является грубой в области W, то
система (А*) является грубой в области W*.
Справедливость леммы 2 вытекает из равномерной непрерывности
функций φ и ψ.
Уравнения (6) можно рассматривать как формулы замены переменных.
Таким образом, лемма 2 означает, что грубость динамической системы
является свойством, инвариантным относительно замены переменных
класса 2.
2. Грубые системы на сфере. При исследовании динамических систем,
заданных на сфере, интерес представляет только случай, когда областью
задания является вся сфера. Действительно, динамическую систему,
заданную в области, замыкание которой не совпадает со всей сферой, можно
рассматривать, очевидно, как систему, заданную в плоской области
(см. КТ, § 2.2, замечание после формулы (10)).
Определение грубости динамической системы на сфере, с одной
стороны, значительно проще, чем в плоской области, так как нет
необходимости вводить вспомогательную область Η *). С другой стороны, при
рассмотрении сферы возникают некоторые осложнения, так как метрика,
вводимая в пространстве динамических систем на сфере, зависит от
выбранной на сфере системы локальных координат (см. § 5, замечание
в конце п. 2). Эти осложнения не являются, однако, существенными.
Приведем предварительно определение ε-тождественности на сфере,
аналогичное определению 9.
Определение 11. Пусть (D) и (D) — две динамические
системы, заданные на сфере S. Мы будем говорить, что разбиение сферы S
траекториями системы (D) ε-тождественно разбиению траекториями
системы (D), и будем записывать это символом
(S, D) i (S, D),
если существует отображение сферы S на себя, являющееся ε-сдвигом
и переводящее траектории системы (D) в траектории системы (D).
Разумеется, говоря об ε-сдвиге, мы предполагаем, что на сфере задана
метрика — внутренняя или индуцированная объемлющим евклидовым
пространством.
Для определения грубой системы зададим на сфере какую-нибудь
систему локальных координат и под расстоянием между двумя
динамическими системами будем понимать расстояние по отношению к этой системе
координат (см. § 5.2).
Определение 12. Динамическая система (D) на сфере S
называется грубой, если при любом ε > 0 существует δ > 0 такое, что для
всякой системы (D), δ-близкой к системе D, выполняется соотношение
(S, D) L (S, В).
В противном случае система (D) называется негрубой.
Очевидно, если динамическая система (D) на сфере является
негрубой, то существует ε0 > 0, обладающее следующим свойством: для
всякого δ > 0 можно найти δ-близкую к (D) систему (D) такую, что разбиения
сферы S траекториями систем (D) и (D) не будут г0-тождественны.
*) Сравните с замечанием в предыдущем пункте относительно определения
грубости системы, заданной внутри цикла без контакта.


68 ПРОСТРАНСТВО ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ГРУБЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
Определение 12 связано с рассмотрением выбранной на сфере системы
локальных координат К. Необходимо показать, что понятие «грубая
система» не зависит от выбора системы локальных координат на сфере,
т. е. что имеет место утверждение: если система (D) является грубой,
когда метрика (в пространстве динамических систем) вводится с помощью
системы локальных координат К, то она является грубой и при введении
метрики с помощью любой другой системы локальных координат К *.
Однако это утверждение непосредственно следует из предложения,
сформулированного в самом конце § 5 (в замечании к п. 2). Таким образом,
определение 12 имеет смысл, и мы можем при исследовании грубости
системы вводить метрику с помощью любой фиксированной системы
локальных координат.
Пусть (А) — динамическая система на сфере и W — область сферы,
замыкание которой W не совпадает со всей сферой. Выберем систему К
локальных координат так, чтобы по крайней мере одна из областей
замкнутого покрытия Σ, соответствующего этой системе,— скажем, область 6?ι —
содержала W внутри себя: W с G\. По самому определению системы
локальных координат и динамической системы на сфере (см. § 5.2)
область 6?ι соответствует некоторой области Hi на плоскости (ии Vf). Пусть
при этом область W соответствует области РГ*, W* с: Н±. Системе (А)
на сфере соответствует в области Hi некоторая динамическая система (А4).
Лемма 3. Если (А) — грубая система на сфере, то динамическая
система (Αι) является грубой в области W*.
Справедливость леммы вытекает непосредственно из определений
грубости (определения 10 и 12), а также из равномерности непрерывного
отображения области G\ на Щ\.
Утверждение леммы 3 имеет простой смысл, который можно выразить,
пользуясь не вполне педантичным языком, следующим образом: если
система (D) являемся грубой на сфере, то она является грубой и в каждой
области сферы.
3. Грубость динамических систем относительно пространств Цр£ и R J.
В приведенных выше определениях грубой и негрубой динамических
систем предполагалось, что (А) и (D) являются системами класса 1,
и наряду с ними рассматривались все δ-близкие к ним до ранга 1 системы.
Другими словами, рассматривались точки пространства Rx и б-окрестно-
сти этих точек (см. § 5). Однако в ряде вопросов интерес представляет
рассмотрение всевозможных систем не класса 1, а какого-нибудь более
узкого класса, например аналитического класса или класса систем
в плоской области, правые части которых являются многочленами.
Кроме того, иногда оказывается нужным рассматривать б-близость
не до ранга 1, а до некоторого более высокого ранга. Это значит, очевидно,
что рассмотрения проводятся не в пространстве i?i, а в пространстве Rk,
или i?£r\ или каком-нибудь другом. В связи с этим естественно возникает
понятие «относительной грубости» динамической системы, т. е. грубости
по отношению к некоторому пространству, точкой которого является
данная система *). Соответствующие определения аналогичны
определениям 10 и 12, поэтому мы приведем только одно из них, именно определе-
*) Вместо этого можно было бы говорить о грубости по отношению к данному
классу динамических систем. Но тогда необходимо добавочно указывать, в каком
смысле (т. е. до какого ранга) понимается 6-близость.


§ 6] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУБОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 69
ние грубости динамической системы в плоской области по отношению
к пространству Яьг). По-прежнему мы рассматриваем системы,
определенные в ограниченной плоской области.
Определение 13. Динамическая система (А) класса к
называется грубой в области W по отношению κ пространству R^ (W clfcG;
г<Ск), если существует содержащая W открытая область Я, W а Н а
с Я с 6?, удовлетворяющая следующему условию: каково бы ни было ε > О,
можно найти такое δ > 0, что если (А) есть система класса к, δ-близкая
до ранга г к (А) в области G, то существует область Я, для которой
(Я, A) i (Я, А)
(сравните с определением 10).
В противном случае система (А) класса к называется негрубой
в области W по отношению к пространству Я1г).
Пользуясь геометрической терминологией, можно сказать, что
динамическая система (А), соответствующая точке Μ пространства щ\
называется грубой в области W по отношению к этому пространству, если
существует область Я, № с Я с Я с С, для которой выполняется
следующее условие: при любом ε > 0 можно найти такое δ > 0, что если
Μ ζ Uq (M I i?ir)), то для системы (А), соответствующей точке М, и для
некоторой области Я с G выполняется соотношение
(Я, А) = (Я, А).
Очевидно, «просто грубость» (в смысле определения 10) является
грубостью по отношению к пространству Я4.
Пусть кх и к2 — натуральные числа, kv < к2, (А) — динамическая
система класса к2 (а следовательно, и класса А4) и г —- натуральное число,
г<Л1в Система (А) принадлежит тогда как пространству Я/£\ так
и пространству R$. Напомним, что R$ с: R$. Из определения 13
следует, очевидно, что если система (А) груба в области W по отношению
к пространству /?£?» то она груба и по отношению к пространству Rk2.
Аналогично, если (А) есть аналитическая система, то при любых
натуральных к и г<& система (А) принадлежит как пространству Rk, так
и пространству i?£r) cz /?1г). Если система (А) груба в области W по
отношению к R*k\ то она груба и по отношению к R(jK Приведенные
утверждения являются частными случаями следующего утверждения,
непосредственно вытекающего из определения грубости: если динамическая
система (А) принадлежит двум пространствам, одно из которых вложено
в другое, и если система груба в области W по отношению к более
широкому из этих пространств, то она груба в той же области и по отношению
к узкому пространству.
Пусть, далее, ri<r2<fe, (A) — динамическая система класса к,
Μ — соответствующая этой системе точка в пространстве i?lri) (и в Rk\
напоминаем, что оба этих пространства состоят из одних и тех же точек,
но метрики в них разные; см. § 5.1). Тогда, если система (А) груба в
области W по отношению κ пространству i?iri\ то она груба в этой области


70 ПРОСТРАНСТВО ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ГРУБЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
и по отношению к Rk- Это непосредственно следует из определения 13
и из соотношения
U6(M\R(h^)czU6(M\R(hri))
(см. § 5.1).
Возникает вопрос, справедливы ли обратные утверждения, например
утверждение, что если система (А) груба в области W по отношению
к Rk^i то она груба и по отношению к R^» (r<fei < fe2); или
утверждение, что если система (А) груба в области W по отношению к R%2\ то она
груба и по отношению к R^ {г\ < г2<&). Непосредственно из
определения относительной грубости эти утверждения конечно, не вытекают.
Более того, если система (А) принадлежит двум пространствам i? и Д*,
причем R* a R, то, вообще говоря, может оказаться, что система (А)
является грубой в области W по отношению к более узкому пространству /?*,
но негрубой по отношению к более широкому пространству R.
Однако если рассматривать не всевозможные пространства
динамических систем, а наиболее интересные для нас пространства Rk\ R^\ то
здесь дело обстоит проще. Именно оказывается, что если система (А)
принадлежит к какому-нибудь из этих пространств, то необходимые и
достаточные условия ее грубости (в области W) по отношению к этому
пространству являются одновременно необходимыми и достаточными условиями
ее грубости просто (т. е. по отношению к пространству Ri). Это будет
установлено при выводе необходимых и достаточных условий грубости
(§ 18.4, замечание г); при этом в дополнительных рассуждениях (при
рассмотрении пространства R^ или Ra) нуждается, очевидно, только
вывод необходимых условий грубости. Таким образом, если система (А)
принадлежит какому-нибудь из пространств /?1г) или i?£r) и груба в
области W по отношению к этому пространству, то она и просто груба.
Поэтому нет необходимости рассматривать грубость по отношению к этим
пространствам, и всюду в дальнейшем мы будем понимать грубость в смысле
определения 10.
Разумеется, в точности так же обстоит дело и для динамических систем
на сфере.
Изложенные выше понятия и рассуждения, относящиеся к
динамическим системам, аналогичны, как нетрудно заметить, понятиям и
рассуждениям, приведенным в § 1.4 при рассмотрении корней функции и в конце
§ 2 при рассмотрении точек пересечения двух кривых. Необходимо,
однако, отметить, что в одном существенном пункте указанная аналогия между
динамическими системами, с одной стороны, и функциями (или парами
кривых), с другой, в настоящее время не может быть полностью проведена.
Остановимся на этом несколько подробнее.
Рассмотрим для определенности аналогию между динамическими
системами в плоской области G и парами кривых Ft (χ, у) = 0, F2 (х, у) = 0.
В конце § 2 мы рассматривали кратность точки пересечения двух кривых
по отношению к данному классу Ш функций, В качестве класса Ш мы
брали, в частности, класс Шп всех многочленов от двух переменных
степени не выше η и показали, что необходимое и достаточное условие грубости
точки пересечения двух кривых по отношению к этому классу в точности
такое же (Δ Φ 0), как условие грубости в смысле определения 5 (§ 2.1).
Аналогичным классу функций Шп является класс динамических
систем (в плоской области), правые части которых суть многочлены
степени не выше п. Обозначим его через 3tn. Обычным образом определяется


§ 7]
ГРУБЫЕ И НЕГРУБЫЕ ТРАЕКТОРИИ
71
грубость динамической системы по отношению к классу ИЛ (δ-близость
можно брать до ранга 1 или более высокого). Однако полной аналогии
между парами кривых класса Шп и динамическими системами класса 9In
в настоящее время провести не удается. Дело в том, что до сих пор не
удалось найти необходимых и достаточных условий грубости
динамической системы по отношению к классу 21л. С другой стороны, неизвестно
ни одного частного примера системы
(Р и Q — многочлены степени не выше п), которая была бы грубой
в какой-нибудь области по отношению к классу 21д и негрубой в смысле
определения 10. Вопрос о том, существуют ли такие системы, а также
вопрос, каковы необходимые и достаточные условия грубости по
отношению к классу 3{Λ, пока остается открытым.
§ 7. Грубые и негрубые траектории. Необходимое условие
грубости состояния равновесия
1. Грубые и негрубые траектории. Нашей ближайшей задачей
является вывод необходимых и достаточных условий грубости динамической
системы в плоской области и на сфере. Этой задаче посвящены настоящий
параграф, а также главы IV, V и VI. Понятия грубая и негрубая
траектории, которые мы сейчас введем, позволяют указать простой подход к
выводу указанных условий. Всюду в дальнейшем в этой главе мы
предполагаем, что рассматриваемые системы являются динамическими системами
первого класса, определенными в фиксированной плоской области G,
а под δ-близостью систем понимается близость до ранга 1. Другими
словами, все рассмотрения ведутся в пространстве Д1# В тех случаях, когда
будет идти речь о динамических системах на сфере, мы будем оговаривать
это особо.
Пусть (А) — динамическая система, грубая в замкнутой или открытой
области W, a L — какая-нибудь целая траектория системы (А). Из
определения грубости и из леммы 1 § 6 следует, как нетрудно видеть, что если
траектория L целиком лежит в области W, то у этой траектории
существует такая окрестность F, в которой система (А) является грубой. При
этом можно еще считать, что L с V *).
Обратное утверждение, конечно, неверно: система (А) может быть
грубой в некоторой окрестности V траектории L, V cz W, но не быть
грубой в области W.
Изложенные обстоятельства дают повод к введению понятий грубая
и негрубая траектории.
Определение 14. Траектория L динамической системы (А)
называется грубой, если у нее существует такая окрестность V,
LaVczVcG, в которой система (А) груба. В противном случае
траектория L называется негрубой.
В силу определения 14 для установления грубости траектории L
достаточно показать, что система (А) груба в какой-нибудь ее окрестности
V, L с V. Для доказательства же негрубости траектории нужно
убедиться, что система (А) негруба во всякой области, содержащей L. Для этого
*) В качестве F, очевидно, можно взять любую область, удовлетворяющую
условию L cz V cz V cz Я, где Η — область, о которой говорится в определении 10.


72 ПРОСТРАНСТВО ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ГРУБЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. Ill
необходимо и достаточно, очевидно, чтобы система (А) была негрубой
в сколь угодно малой окрестности траектории L. Таким образом, мы
получаем следующее необходимое и достаточное условие негрубости
траектории:
Траектория L является негрубой, если при любом е>0 у нее
существует окрестность V, L с: V с: V с ί/ε(Ζ), в которой система (А)
негруба.
Лемма 1. Если система (А) груба в области W, то всякая ее
траектория, целиком лежащая в W, является грубой.
Это предложение непосредственно следует из леммы 1 § 6 и из
определений 10 и 14. Оно, собственно, и служит, как мы указывали выше,
поводом для введения понятия грубая траектория. В силу леммы 1, если
в области W существует хоть одна негрубая траектория системы (А), то
эта система является негрубой в области W. Естественно возникает
вопрос: следует ли из отсутствия негрубых траектории в области W грубость
системы в этой области! Оказывается, что при рассмотрении этого вопроса
интерес представляют только те траектории, которые могут быть
предельными. Такими траекториями являются, как известно (КТ, § 4.6 и § 15.6),
1) состояния равновесия, 2) замкнутые траектории, 3) траектории,
являющиеся одновременно а- и ω-сепаратрисами, т. е. стремящиеся
к состояниям равновесия а- и ω-орбитно-неустойчивые траектории.
Мы последовательно выведем, какие из траекторий трех
перечисленных типов являются грубыми.
2. Конечность числа состояний равновесия у грубой системы. Пусть
% = Р(*,у), ^ = Q{*,y) (А)
— динамическая система, определенная в области G, W — замкнутая
область, W с G.
Теорема 10. Если система (А) является грубой в области W, то
она может иметь в этой области лишь конечное число состояний
равновесия.
Доказательство. Покажем сначала, что, какова бы ни была
система (А), при любом δ > 0 существует динамическая система (А),
δ-близкая к (А) и имеющая лишь конечное число состояний равновесия.
Пусть δ > 0 задано. На основании теоремы Вейерштрасса (§ 1.1,
теорема 1) существуют многочлены Р* (х, у), Q* (х. у), γ-близкие в области G
соответственно к функциям Ρ (χ, у), Q (χ, у).
В случае, когда Р* и Q* взаимно просты, мы можем взять в качестве
(А) систему
Действительно, эта система у-, а следовательно, и δ-близка к системе
(А). Состояния ее равновесия определяются из системы уравнений
Р*(х, г/) = 0, Q*(*, г/) = 0,
а так как общий наибольший делитель (P*,Q*) = 1, то эти уравнения
могут иметь, по теореме Безу (см. [12], глава III, § 3.1), лишь конечное
число решений.


§ 7]
ГРУБЫЕ И НЕГРУБЫЕ ТРАЕКТОРИИ
73
Пусть теперь Р* и Q* не взаимно просты. Тогда их можно представить
в виде
Р*(х, y)=Pi(x, y)R(x, у),
Q*(*> y) = Qi(x, y)R{x, у),
где R (χ, у)—многочлены ненулевой степени, а Рх и Q4 взаимно просты:
(Л, Qi) = i-
Рассмотрим многочлены
P{z, y) = Pi{x, V)lR(x* 0 + α].
Q(«, y) = Qi(«, у)[Д(*. ζ/) + β],
где α и β—действительные числа, удовлетворяющие следующим условиям:
1) α и β достаточно малы, 2) α Φ β, 3) многочлен Р4 {χ, у) взаимно
прост с /? + β, а многочлен Q4 взаимно прост с R-\-a.
Покажем, что такие числа α и β всегда существуют. Пусть Pi {x, у) =
==pi(x, у)р2(х, у) ... Ps(z, У)—разложение многочлена Р4 на
неприводимые множители. Рассмотрим многочлены
R(x, iO+βι, Д(*. У) + Рг, .... R{*, У) + $8, R{x, */) + β*+ί, (1)
где βί — произвольные достаточно малые различные числа.
Предположим, что ни один из многочленов (1) не взаимно прост с Ρι (χ, у). Тогда
каждый из них делится по крайней мере на один из многочленов
Pi (я> У), ···» Ps (х* у)- Так как число многочленов (1) на 1 больше числа
многочленов рг (х, у), то по крайней мере два из многочленов (1), например
R (х> У) + β а и R (х, у) + β;, к Φ Ζ, делятся на один и тот же многочлен
Ρι (χ, у). Но тогда их разность βΑ — β/ делится на pt (x, г/), чего не может
быть, так как β^ Φ βζ.
Таким образом, по крайней мере один из многочленов (1) взаимно
прост с многочленом Р4 (х, у). Обозначим его через R (х, у) + β·
В точности таким же образом показывается, что существует число α
такое, что многочлены й ·}· α и ^ взаимно просты.
Ясно, что при этом α и β можно взять сколь угодно малыми и
различными. Таким образом, все условия 1), 2), 3) удовлетворяются.
α и β мы выберем настолько малыми, чтобы многочлены Ρ и Q были
-^--близки соответственно к многочленам Р* и Q* и, следовательно,
δ-близки к функциям Ρ и Q.
Так как α Φ β, то многочлены R + ос и R + β взаимно просты (иначе
их разность α — β делилась бы на многочлен ненулевой степени, чего
не может быть). Из условий (R + a, R + β) = 1, (Р4, (74) = 1 и из
условий 3) следует, в силу известной алгебраической теоремы, что (Р, Q) = 1.
Но тогда система
·£-*<**>· #-3(*. *>
δ-близка к системе (А) и имеет лишь конечное число состояний равновесия.
Таким образом, мы показали, что при любом δ > О существует
δ-близкая к (А) система (А), имеющая лишь конечное число состояний
равновесия. Отметим, что это утверждение справедливо для любой
системы (А), как грубой, так и негрубой.
Предположим теперь, что (А) — грубая система в области W и что она
имеет в W бесконечное множество состояний равновесия. По определению


74 ПРОСТРАНСТВО ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ГРУБЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
грубости для всякого ε > 0 существует такое δ > О, что если (А) δ-близка
к системе (А), то
(Я, A) i (Я, 2), (2)
где Я и Я — некоторые области, Η zd W.
Как мы видели, δ-близкую к (А) систему (А) можно выбрать так,
чтобы (А) имела на плоскости лишь конечное число состояний равновесия.
Но тогда, в силу соотношения (2), область Я, а следовательно и область W,
должна содержать конечное число состояний равновесия системы (А), что
противоречит предположению. Теорема доказана.
Следствие. Если система (А) является грубой в какой-нибудь
области W, то она может иметь в этой области лишь изолированные
состояния равновесия.
В самом деле, из теоремы 10 непосредственно следует, что состояние
равновесия, являющееся внутренней точкой области W, может быть лишь
изолированным. Граничная точка области W также не может быть
неизолированным состоянием равновесия. Это вытекает из теоремы 10, если
заметить, что система, грубая в W, является, очевидно, грубой и в некоторой
области, содержащей W целиком внутри себя.
Из теоремы 10 и определения 14 следует, что состояние равновесия
может быть грубым лишь в том случае, если оно изолированное.
Поэтому, если мы хотим исследовать, какие состояния равновесия
являются грубыми, нам нужно рассмотреть лишь изолированные состояния.
3. Кратность состояния равновесия. Рассмотрим динамическую
систему
£«*<*.»>. ir-Q <*.*>.
определенную в области G. Пусть М0 (х0, у0) есть состояние равновесия
этой системы, М0 ζ G. Как известно, М0 является тогда точкой
пересечения кривых
Р(х, р) = 0, Q(x, у) = 0. (3)
Введем понятие кратность состояния равновесия М0, понимая под
этим кратность М0 как точки пересечения кривых (3) (см. § 2.1).
Определение 15. Мы будем говорить, что состояние
равновесия Μ о (х0, у о) динамической системы является r-кратным или имеет
кратность г, если М0 является общей точкой кратности г кривых (3).
Состояние равновесия кратности 1 мы будем называть простым.
Мы будем говорить, что состояние равновесия М0 имеет бесконечную
кратность, если М0 имеет бесконечную кратность как общая точка
кривых (3).
Мы будем говорить, что состояние равновесия М0 имеет кратность,
большую г, либо когда оно имеет конечную кратность г > г, либо когда
оно имеет бесконечную кратность.
Наконец, мы будем говорить, что состояние равновесия является
непростым или сложным, если оно имеет кратность > 1.
Из определений 5 (§ 2.1) и 15 следует, очевидно, что если состояние
равновесия М0 имеет кратность г, то система (А) является системой
класса к >г и при этом выполняются следующие условия: а) существуют


«7]
ГРУБЫЕ И НЕГРУБЫЕ ТРАЕКТОРИИ
75
Δ =
ФО. (4)
числа ε0 > 0 и δ0 > 0 такие, что всякая система (А), б0-близкая до ранга г
к системе (А), имеет в ϋεο(Μο) не более г состояний равновесия; б) каковы
бы ни были числа е < ε0 и δ > 0, существует система (А), δ-близкая до
ранга г к системе (А) и имеющая в Uг (М0) не менее г состояний равновесия.
Следующее предложение устанавливает необходимое условие
грубости изолированного состояния равновесия.
Теорема 11. Для того чтобы изолированное состояние равновесия
Μ о (х0ч у о) было грубым, необходимо, чтобы оно было простым
(однократным), т. е. чтобы выполнялось условие
I Р'х (хо, Уо) Р'у (*<ь Уо) I
|Qi(*o» У о) Qy{xo> Уо)\
Доказательство. Предположим, что изолированное состояние
равновесия MQ является грубым, но не простым. В силу определения
грубости состояния равновесия существует об- .
ласть Я, содержащая М0 и обладающая еле- ^/^^
дующим свойством: для каждого ε>0 можно
найти такое δ > 0, что если система (А) δ-близ-
ка к системе (А), то выполняется соотношение
(Я, А) = (Я, А), (5)
где Η — некоторая область. В качестве Η
можно взять, очевидно, любую достаточно малую
окрестность точки Μ о- Примем за Η
окрестность Uε (М0), где ε0 > 0 настолько мало,
что внутри USo (М0) нет других состояний Рис. 16.
равновесия системы (А), кроме М0 (такое ε0
существует в силу того, что М0 есть изолированное состояние
равновесия). Соотношение (5) запишем в виде
(С/80(М0), A)L{H, А). (6)
Обозначим через W окрестность Ueo/2 (М0) (рис. 16). За ε примем
любое положительное число меньшее г~ . В качестве (А) возьмем
динамическую систему, настолько близкую к системе (А), чтобы выполнялось
соотношение (6), и имеющую в W по крайней мере два состояния
равновесия. Такая система (А) существует в силу того, что М0 есть не простое
состояние равновесия системы (А) (см. § 2.2, определение 5 и теорема 6).
Область Η получается из UeQ (М0) ε-сдвигом, где ε < χ · Поэтому,
как нетрудно убедиться, W = υεο/2 (М0) α Η *). Следовательно,
*) Действительно, пусть какая-нибудь точка Μ £W лежит вне Н. Обозначим
через / ε-сдвиг, переводящий ϋε в Я, через Г — границу окрестности ϋεο (Μ), через
Г—границу Η (Г = /(Г)), и пусть M = f(M). По условию ρ (Μ, Μ) < -—·. На отрезке
ММ лежит по крайней мере одна точка S! границы Т. Поэтому ρ (Μ, S)<C—?~.
Пусть S = f(S), где S £Т. Тогда ρ (Я, £)<-5р-. Но тогда ρ (S, M)<p(M, S) +
+ р (Sy S) < ~- , чего не может быть, так как ρ (S, W) — -~ .


76 ПРОСТРАНСТВО ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ГРУБЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. III
Η содержит не менее двух состояний равновесия системы (А). Но это
противоречит соотношению (6), так как Ζ7εο (Μ0) содержит только одно
состояние равновесия системы (А). Таким образом допущение, что MQ
есть грубое, но не простое изолированное состояние равновесия, приводит
к противоречию. Теорема доказана.
Теорема 11 может быть сформулирована так: изолированное состояние
равновесия М0 {x0l y0), для которого
Δ = JΡχ ^°' У^ Ру ^°' ^°^ I = О
|<?И*о. У о) Qy(*o, Уо)1
(т. е. непростое), является негрубым.
Таким образом, чтобы исследовать, какие состояния равновесия
являются грубыми, мы должны рассмотреть только простые состояния
равновесия. Это рассмотрение мы проведем в следующей главе.


ГЛАВА IV
СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ ГРУБЫХ СИСТЕМ. СЕПАРАТРИСА,
ИДУЩАЯ ИЗ СЕДЛА В СЕДЛО
Введение
Мы показали в главе III (§ 7.3, теорема 11), что если динамическая
система является грубой в какой-нибудь ограниченной области, то она
может иметь в этой области лишь простые состояния равновесия. В
настоящей главе устанавливается, какие из простых состояний равновесия
являются грубыми. Глава состоит из четырех параграфов (§§ 8—11).
В § 8 доказывается, что простой узел (обыкновенный, дикритический
или вырожденный), а также простой фокус *) являются грубыми
состояниями равновесия. Доказательство во всех случаях одинаково, поэтому
мы проводим его только для одного случая (обыкновенного узла).
В § 9 доказывается, что простое седло (т. е. простое состояние
равновесия, являющееся седлом) есть грубое состояние равновесия.
В § 10 рассматривается простое состояние равновесия, имеющее
чисто мнимые характеристические корни, и доказывается, что оно
является негрубым. Попутно доказывается сама по себе важная теорема о
рождении замкнутой траектории из сложного фокуса (теорема 14). Она
заключается в том, что если точка О есть сложный фокус системы (А) (т. е. имеет
чисто мнимые характеристические числа, но не является ни центром,
ни центро-фокусом), то сколь угодно малыми добавками можно из (А)
получить систему, имеющую в сколь угодно малой окрестности точки О
замкнутую траекторию.
В § 11 речь идет уже не о состояниях равновесия. Однако его
содержание тесно связано с содержанием § 10, и поэтому мы поместили его в
данной главе. Именно в § 11 рассматривается сепаратриса, идущая из седла
в седло, и доказывается, что такая сепаратриса является негрубой
траекторией динамической системы. Седла, к которым указанная сепаратриса
стремится при t -> -f- оо и при t ->· — оо, могут при этом быть различными
или совпадать.
§ 8· Грубость узла и простого фокуса
1. Канонический вид системы. В этом пункте мы напомним
основные предложения, относящиеся к простым состояниям равновесия.
Подробные доказательства их изложены в КТ, глава IV.
*) Простым узлом называется простое состояние равновесия, являющееся узлом
(характеристические числа действительны и имеют одинаковые знаки). Простой фокус —
состояние равновесия с комплексными, но не чисто мнимыми характеристическими
числами.


78
СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ ГРУБЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. IV
Не теряя общности, мы будем считать, что рассматриваемое простое
состояние равновесия есть начало координат, т. е. точка О (О, 0).
Динамическая система может быть записана тогда в виде
-£ = ах+Ъу + <р(х, у), 4jL = cx + dy + y(x, у),
(1)
где функции φ (χ, у) и ψ (χ, у) непрерывны и имеют непрерывные частные
производные первого порядка по χ и у в области 6?, причем в точке О (0, 0)
как φ и ψ, так и указанные частные производные равны нулю:
Ф(0, 0) = ψ(0, 0) = q>;(0, 0) = q>i(0f 0) = ψ;(0, 0)=ίΜ0. 0) = 0. (2)
В силу того, что О есть простое состояние равновесия,
\а 61
Δ =
\е d\
:0.
(3)
С помощью линейного неособенного преобразования систему (1)
можно привести к каноническому виду, который определяется жордановой
нормальной формой матрицы I с , 1 . Обозначим через λ4 и λ2
характеристические числа, т. е. корни характеристического уравнения
или
где
а—λ Ъ
с d—λ
o = a + d.
0
(4)
(5)
(6)
Возможны следующие случаи:
I. Характеристические числа λ4 и λ2 действительны, различны, имеют
одинаковые знаки. В этом случае система (1) приводится к
каноническому виду
dx
"dt
XiX+cfix, у), -^ = λ2ι/ + 'ψ(α:, у),
(7)
где λ1λ2>0. Состояние равновесия 0(0, 0) называется узлом
(«обыкновенный узел»).
II. λ4 и λ2 равны: λ! = λ2 = λ. Система (1) приводится либо к виду
dx
~ = λχ+<((χ, у),
dt
dy
dt
= Яу + -ф(ж, у),
либо к виду
dx
— = λζ + φ(:τ, у), -£=μχ+^+ψ{χ, у),
dt
(8)
(9)
где μ φ0.
В случае (8) состояние равновесия О называется дикритическим,
а в случае (9) — вырожденным узлом.
III. λι и λ2 действительны, различны, имеют противоположные знаки.
В этом случае канонический вид системы такой же, как в случае I, т. е.
(7), но λ4λ2 = Δ < 0. Точка О является седлом.


§ 8]
ГРУБОСТЬ УЗЛА И ПРОСТОГО ФОКУСА
79
IV. λι и λ2 комплексные, но не чисто мнимые числа. Канонический
вид системы (1) следующий:
^. = ах— βι/ + φ(ζ, у), ~--=$х + ссу + Ц>(х, у), (10)
гДе К, 2 =α ± β1» афО. β>0. Состояние равновесия О является
фокусом (простым фокусом).
V. Xt и λ2 чисто мнимые: λ1 = βί, λ2=—βέ, β=^=0. Канонический
вид системы (1):
τ5τ--β»+φ(*, у), -|- = β*+Ψ (*/*/)· (li)
В этом случае точка О называется состоянием равновесия с чисто
мнимыми характеристическими числами.
Мы покажем, что в случаях I—IV точка О является грубым
состоянием равновесия, а в случае V — негрубым.
Поведение траекторий динамической системы в окрестности точки
О (0, 0) в каждом из указанных пяти случаев исследовано в КТ, §§ 7 и 8.
Сформулируем еще некоторые, доказанные в КТ, § 7, свойства,
которые нам понадобятся при доказательстве грубости.
В случае I, т. е. в случае узла, все окружности
Х2+у2=г2 (12)
достаточно малого радиуса г являются циклами без контакта для
траекторий рассматриваемой системы. Предположим для определенности, что
О есть устойчивый узел, т. е. λ4 < 0, λ2 < 0. Тогда каждая траектория,
имеющая О своей предельной точкой, стремится к О при £->+ оо. Пусть
z = x(t), y = y(t) (13)
— такая траектория, Μ (t) — точка ее с координатами χ (£), у (£), и пусть
ρ (t) = У χ (t)2 + у (t)2 — расстояние точки Μ до начала координат. При
t ->- + °° Ρ (0 монотонно стремится к 0. В случае неустойчивого узла
(λ4 > 0, λ2 > 0) ρ (ί) ->■ 0 при ί -> — оо.
В случае дикритического узла (случай II, канонический вид системы
(8)), а также в случае фокуса (простого, случай IV) дело обстоит так же,
как в случае узла. Именно, окружности (12) достаточно малого радиуса г
являются циклами без контакта, и каждая траектория (13), при f = f0
пересекающая такую окружность, стремится к точке О при £-> + оо,
если узел или фокус устойчив (λ < 0, соответственно α < 0), и при
ί ->· — оо, если узел или фокус неустойчив (λ > 0, соответственно α > 0).
При этом ρ (t) ->■ 0 монотонно.
В случае вырожденного узла (случай II, канонический вид системы
(9)) вместо окружностей (12) нужно рассматривать эллипсы
x* + ky* = r*, (14)
где к — некоторое положительное число *). При достаточно малых г все
такие эллипсы являются циклами без контакта для траекторий системы (9).
В случае устойчивого (неустойчивого) узла, т. е. при λ < 0 (λ > 0) каждая
траектория, пересекающая такой цикл без контакта, стремится к точке О
при f -> + °° (* -*· — °°)·
*) В качестве к можно взять любое положительное число, удовлетворяющее
λ2
неравенству к < 4 -^. См. КТ, § 7.1.


80
СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ ГРУБЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. IV
2. Грубость простого узла и фокуса. В этом пункте мы докажем,
что простое состояние равновесия, являющееся узлом (обычным, дикрити-
ческим или вырожденным) или простым фокусом, есть грубая траектория
динамической системы. Основная часть доказательства содержится
в лемме 1, которую мы сейчас изложим.
Пусть
-£ = *(*, У), % = Q% У) (А)
— динамическая система, определенная в некоторой области 6?ι, О (0, 0)—
ее состояние равновесия, являющееся простым узлом или фокусом
(О с= 6?ι), и пусть система (А) имеет канонический вид.
Лемма 1. Существует окрестность Η состояния равновесия О,
обладающая следующим свойством: каково бы ни было ε > 0, можно найти
такое σ > 0, что если система (В) 1) определена в области Gt и о-близка
в этой области к системе (А); 2) имеет точку О (0, 0) своим состоянием
равновесия, то выполняется соотношение
(Н, А) г (Я, В).
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда О
является обыкновенным узлом (случай I). Система (А) имеет вид (7):
-J- = λχχ + φ (χ, у), -]L = %2у + ψ (я, у). (А)
Для определенности будем считать, что λ4 < 0, λ2 < 0, т. е. что
рассматриваемый узел устойчивый.
Приведем здесь некоторые результаты, изложенные в КТ, глава IV.
В КТ, § 6.3, было показано, что функции φ и ψ могут быть
представлены в некоторой окрестности точки О в виде
φ (χ, y)=xgi{x, y)+yg2(z, У), ψ (я, y) = zfi(*, y) + yf2fa У), {Щ
где
1 1
gi (*, У)=1 ФИ**. *y)dt, g2(x, У)=1 ФИ**» ty)dt, (16)
о о
a fi и /2 выражаются аналогично через производные функции ψ (χ, у).
Функции gu g2, /ι, /г непрерывны, причем
ft (0, 0) = g2 (0, 0) = U (0, 0) = П (0, 0) = 0. (17)
Пусть
* = *(*). V = v{t) (18)
—траектория системы (А). В полярных координатах ее уравнение имеет
вид
ρ = ρ(ί), θ = θ(ί). (19)
Так как
9*(t)=x*(t) + y*(t), (20)
то из (А) и (15) мы получаем, пользуясь формулами χ = ρ cos θ,
ι/= ρ sin θ, что
^£ = 2ρ2 (ί) [λ4 cos2 θ + λ2 sin2 θ + cos2 Qgi +
+ cos θ sin θ (g2 + /,) + sin2 θ/2], (21)


§ 8]
ГРУБОСТЬ УЗЛА И ПРОСТОГО ФОКУСА
81
гДе /ι» /25 gu gi — функции от ρ cos θ, ρ sin θ. Выражение λ\ cos2 θ +
+ λ2 sin2 θ отрицательно при всех действительных θ и периодично по Θ.
Поэтому у него имеется наибольшее значение — т, где т > 0. В силу
непрерывности функций^, g2, /1, /2 и равенства их нулю в точке О (0, 0)
можно найти такое г0 > 0, что если ρ (/)<r0, то
| cos2 Qg± + cos θ sin θ (g2 + ft) + sin2 θ/21 < -J-.
Тогда выражение в квадратных скобках в соотношении (21) будет
2га ^ т
заведомо меньше з""^—2~' следовательно
-^W.<-«p»(0. (22)
Из соотношения (22) вытекает, во-первых, что все окружности
х2 + у2 = г\ (23)
где Γ<ζτ0ι являются циклами без контакта для траекторий системы (А).
Действительно, условие касания траектории (18) с такой окружностью
в точке (х (to), у (t0)) есть χ (tQ) x' (t0) + у (t0) у' (t0) = 0, т. е. ^MrrO,
что противоречит соотношению (22). Во-вторых, разделяя в
соотношении (22) переменные и интегрируя от t0 до t > t0, мы убедимся, что
Р2(0<Р2(*о)е-™('-Ч
откуда следует, что при £—> + оо ρ (t) стремится к 0, причем, как видно
из соотношения (22), монотонно. В результате и получается упомянутый
выше результат, что каждая траектория (18), при t = t0 проходящая через
точку окружности
** + У* = г1 (24)
при возрастании t пересекает все концентрические окружности меньших
радиусов и стремится к точке О при t -> -(- 00.
Обозначим окружность (24) через С0, а ограниченную ею область,
т. е. Uτ (О), через Я и покажем, что определенная таким образом Я
удовлетворяет утверждению леммы.
Пусть (В) — динамическая система, определенная в области G4,
достаточно близкая в ней к системе (А) и имеющая точку О своим
состоянием равновесия. Система (В) может быть записана в виде
^·=^(λί + αί)χ + α^ + ψ(χ, у), ^ = a&+fa + aA)y + Tp{xf у), (В)
где at — достаточно малые числа, а функции φ и ψ достаточно близки
соответственно к функциям φ и ψ, причем φ и ψ и их первые производные
равны нулю в точке О.
φ и ψ могут быть представлена (аналогично функциям φ и ψ) в виде
φ (χ, y)-=-xgi(x, y) + ygz(z, У), Ψ(*, »)==ar/i(a?f у) + у7г(*> »). (25)
где gi и fi выражаются формулами вида (16) через первые производные
функций φ и ψ.
Пусть
ρ = ρ(ί), θ = θ(/)


82
СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ ГРУБЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. IV
—траектория системы (В), заданная уравнениями в полярных
координатах. Вычисляя ^ ' с помощью уравнений (В) и (25), мы получим
равенство
dp2dt{t) = 2р2 [(λ4 cos2 θ + λ2 sin2 θ) + (сц cos2 θ + (α2 + α3) cos θ sin θ +
+ α4 sin2 θ) + it cos2 θ + (£2 +7ι) cos θ sin θ +J2 sin2 θ]. (26)
Если система (В) достаточно близка в области G4 к системе (А), то
выражения в квадратных скобках в правых частях формул (21) и (26) достаточно
близки друг к другу в области С?ь а следовательно, и в области #*).
Но по выбору области Η выражение в квадратных скобках в формуле (26)
меньше чем ~- т < π- в области Н.
Поэтому, если система (В) достаточно близка
к системе (А), выражение в квадратных
скобках в формуле (26) также будет меньше
—γΒ области Н. Но тогда для системы (В)
выполняется в области Η соотношение (22),
а также все вытекающие из него следствия.
Отсюда вытекает, что существует число
σ4 > 0, обладающее следующим свойством:
если система (В) σι-близкая к системе (А)
в области C?i, то все окружности (23) явля-
Рис. 17. ются циклами без контакта для траектории
системы (В) и каждая траектория этой
системы, при t = t0 проходящая через точку окружности (24), при
возрастании t пересекает все концентрические окружности меньших радиусов
и стремится к точке О при t -* + оо **).
Пусть г4 — положительное число, причем rt < r0, r4 < у % С χ —
окружность радиуса г^ с центром в О, Η χ — область, ограниченная этой
окружностью, a W — область (кольцо), ограниченная окружностями С0
и d (рис. 17).
Воспользуемся леммой 12 (§ 4.2). В силу этой леммы существует
число σ2 > 0 такое, что если система (В) о2-близка к системе (А), то
разбиение области W траекториями системы (В) ε-тождественно разбиению
области W траекториями системы (А). При этом отображение Τ области W
на себя, реализующее указанную ε-тождественность, можно выбрать так,
чтобы каждая точка Μ ζ С0 переходила сама в себя:
Т(М) = М.
*) Мы сравниваем значения этих выражений в одной и той же точке (я, у),
т. е. считая, что р = р, θ = θ. Близость функций % и g^ соответственно к фупкциям
fi и gf вытекает из формул (16) и аналогичных формул для 7! и gi. При этом
близость здесь надо понимать до ранга 0.
**) Отсюда, в частности, следует, что точка О является для системы (В) узлом
или фокусом. Можно показать гораздо проще, пользуясь непрерывной зависимостью
характеристических чисел от коэффициентов системы, что для достаточно близких
систем (В) О есть узел. Но нам этого недостаточно. Из того, что показано в тексте,
следует, между прочим, что в области Η у системы (В) нет предельных циклов.


$ 83
ГРУБОСТЬ УЗЛА И ПРОСТОГО ФОКУСА,
83
Пусть σ — произвольное число, удовлетворяющее неравенствам
<т > 0, σ < σι, σ <; σ2. Пусть система (В) σ-близка к системе (А) в
области Gt. Так как σ <С σ2, то существует, как мы только что указывали,
отображение кольца W на себя, являющееся ε-сдвигом, переводящее
траектории системы (А) в траектории системы (В) и оставляющее
неподвижными все точки граничной окружности С0. Обозначим это отображение
через Г. Оно определено на W, а следовательно, и на окружности С$,
Пусть точка N £ Си L — траектория системы (А), проходящая чере?
точку Ν, Μ — точка пересечения траектории L с С0, L- траектория
системы (В), проходящая через АГ, и N — точка пересечения траекторииX
и окружности Ci (рис. 17). Очевидно, Τ (Ν) — Ν.
Продолжим теперь отображение Г, определенное в кольце W, на всю
область Я следующим образом. Положим, что Τ (0) = 0. Далее, пусть
S — произвольная точка, лежащая в Ηχ π отличная от 0. Проходящая
через S при t = £4 траектория L системы (А) пересекает, очевидно, при
некотором значении t — t0 < ί4 окружность С\ в точке N. Мы положим,
что Τ (S) = S, где S — точка, соответствующая моменту времени t.
и лежащая на траектории L системы (В), если при t = f0 траектория L
проходит через точку Ν = Τ (Ν) (отображение «по времени», см. рис. 17).
Так как радиус окружности Ci меньше -^ , то ρ (£, S) < ε.
Продолженное таким образом отображение Τ определено теперь уж£
в круге Я. Нетрудно видеть, что оно является ε-сдвигом и переводит
траектории системы (А) в траектории системы (В). Таким образом, мы
8
показали, что если система (В) δ-близка к системе (А), то (Я, А) == (Я, В).
8
а следовательно, и (Я, А) == (Я, В). В случае, когда О — обыкновенный
узел, лемма доказана.
В случае, когда О есть дикритический узел или фокус, лемма
доказывается в точности так же. Если О — вырожденный узел, то
доказательство проводится аналогично, с тем изменением, что вместо
концентрических окружностей (12) в этом случае надо рассматривать семейство
эллипсов (14) и в качестве Я взять внутренность одного из них. Лемма доказана
полностью.
Мы переходим к доказательству основного предложения о грубости
простого узла или фокуса.
Теорема 12. Состояние равновесия М0 (#0, у о) системы
§ = Р(х,у), -g-Q (*,*), (А)
для которого Δ > 0, σ -φ 0 (т. е. узел или фокус), является грубым.
Доказательство. Прежде всего мы можем считать, не
уменьшая общности рассуждений, что рассматриваемое состояние равновесия
есть начало координат О (0, 0), а система (А) имеет канонический вид.
Действительно, к этому случаю можно прийти, сделав линейное
преобразование. В силу леммы 2 § 6 (п. 1) и определения грубой системы
(определение 14, § 7.1) точка М0 является грубым состоянием равновесия
исходной системы тогда и только тогда, когда О есть грубое состояние
равновесия преобразованной системы.
Проведем доказательство для случая, когда О есть обыкновенный
узел. Во всех остальных случаях (вырожденпый или дикритический узел,


84 СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ ГРУБЫХ СИСТЕМ [ГЛ. IV
фок^с) доказательство проводится в точности так же. Мы считаем, что
система (А) имеет канонический вид (7).
Пусть Я — область, рассмотренная в лемме 1, т. е. внутренность
круга, заключенная внутри окружности С0 с центром в О достаточно
малого радиуса г0. Обозначим через C?i какую-нибудь область,
удовлетворяющую условию Я cz 6?i, GiCzG (рис. 18; G· — исходная область,
с помощью которой определяется близость систем). G% расположена на
положительном расстоянии
от границы области G.
Обозначим это расстояние
через d.
Пусть ε — произвольное
положительное число.
Воспользуемся сначала леммой
1. В силу этой леммы
существует такое число σ > 0, что
если система (В) определена
в области 6?ι, σ-близка в ней
к системе (А) и имеет точку
О (0, 0) своим состоянием
равновесия, то
ε
(Я, A) L (Я, В). (27)
Обозначим через δ
положительное число,
удовлетворяющее условию δ < тг и
обладающее следующим
свойством: если система (А)
δ-близка к системе (А) в области G, то (А) имеет в области Я
единственное состояние равновесия Ох (ξ0> Ή о)» причем
(28)
(29)
ρ (О, О,)=^й + Ч;<ро,
где ро — фиксированное число, удовлетворяющее неравенствам
Ро < у' Ро < d
и еще одному условию, которое будет сформулировано позже. Число δ
существует в силу замечания 3 к теореме 6 (§ 2.2).
Рассмотрим преобразование
х = и-\-%0, y=v + r\0l (30)
где #ι(ξο» η0)—указанное выше состояние равновесия системы (А), б-близ-
кой к системе (А). Пусть (А) есть система
£=*(*, »>· 4М <*.*>■
В результате преобразования (30) она йереходит в систему
du
It
= ?(w-|-£0, ^ + η0),
dv
~dt
= Q(u + lo, v+щ),


§ 8]
ГРУБОСТЬ УЗЛА И ПРОСТОГО ФОКУСА
85
которую мы запишем, заменяя и и ν соответственно через χ и у, в виде
^ = Ρ(* + ξ0, *Н η0), *L = Q{x + lQi у + Т|о). (β)
Система (В) определена в области G*, получающейся из G сдвигом
(трансляцией) на вектор v(—ξ0, —η0). Так как по условию К^ + Ло <
<Ро<^> то область G* содержит Gu т. е. (З^об*. Поэтому в области Gi
определены обе системы (А) и (В). Очевидно, если р0 достаточно мало,
то системы (А) и (В) достаточно близки в области 6г1# Еще одно условие,
которое мы налагаем на р0, кроме условий (29), заключается в
следующем: ро настолько мало, что если ^ξ^ + η? <Ро> то система (В)
-к--близка к системе (А) в области G4.
Отметим, что точка О (О, 0) является состоянием равновесия
системы (В).
Обозначим через К внутренность круга с центром в точке 0^ радиуса
г0 (рис. 18). К получается из области Я сдвигом на вектор — ν (т. е. на
вектор с координатами ξ0, ηο)· Отсюда вытекает, что К с: G* и,
следовательно, система (А) определена в К. При преобразовании (30) область К
переходит в область Я, система (А) — в систему (В) и траектории
системы (А), расположенные в К, πβρβλΟΛΗτ в траектории системы (В),
расположенные в Я. Так как У ξ£ + ц\ < Ро < у» а. преобразование (30) есть
топологическое отображение, то отсюда следует, что
(К, A) i (Я, В). (31)
Пусть теперь (А) — произвольная система, δ-близкая к системе (А)
в области G. Тогда по определению числа бив силу условий, наложенных
на р0, система (В) -^--близка к системе (А) в области 6?ι и выполняется
соотношение (31). Далее, так как δ <С ^ , то система (В) σ-близка к
системе (А) в области 6?ι·, Сверх того, система (В) имеет точку О (0, 0) своим
состоянием равновесия. Но тогда выполняется также соотношение (27).
Из соотношений (31) и (27) следует, очевидно, что
(Я, A) i (K% А). (32)
Таким образом, мы показали, что, каково бы ни было ε > 0,
существует такое δ > 0, что если система (А) δ-близка к (А) в области G, то
имеет место соотношение (32). Но это значит, что система (А) груба в
области Я, т. е. О есть грубое состояние равновесия системы (А).
Как мы уже указывали, грубость дикритического или вырожденного
узла и простого фокуса доказывается в точности так же, только в случае
вырожденного узла в качестве Я надо брать не круг, а внутренность
соответствующего эллипса. Теорема доказана полностью.
Замечание 1. Лемма 1 может быть усилена. Именно, в
формулировке ее может быть опущено условие 2). В таком виде она понадобится
нам в дальнейшем, поэтому приведем здесь измененную формулировку
и доказательство.


86
СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ ГРУБЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. IV
Существует окрестность Я*, простого узла или фокуса О,
ограниченная циклом без контакта, обладающая следующим свойством: каково бы
ни било ε > О, можно найти такое δ > 0, что если система (А) δ-близка
е ^
s системе (А), то (Я*, А) == (Я*, Л».
Заметим, что из этого утверждения немедленно следует грубость
состояния равновесия О. Однако мы, наоборот, докажем его, пользуясь
уже установленной грубостью точки О.
Доказательство. Рассмотрим для определенности случай,
когда О есть обычный узел, а система (А) имеет канонический вид. Возьмем
достаточно малый круг Я радиуса г с центром в О, не содержащий,
кроме О, других состояний равповесия, а также замкнутых траекторий
системы. В таком круге система (А) является грубой. Пусть Я* — круг радиуса
-^ с центром О. Возьмем ε* > О достаточно малое, например ε* < ^ .
В силу грубости существует δ* > 0 такое, что если система (А) б*-близка
к системе (А), то
(Я, А) = (Я, Л). (33)
Так как 8*<тк> то Я* с: Я. Отсюда и из соотношения (33) следует, что
в Я* нет замкнутых траекторий системы (А). Очевидно, граничная
окружность круга Я* есть цикл без контакта для системы (А).
Итак, круг Я* ограничен циклом без контакта системы (А) и все
достаточно близкие к (А) системы не имеют в Я* замкнутых траекторий.
Дальнейшее доказательство проводится аналогично доказательству
леммы 1, с тою только разницей, что траектории системы (А) и близкой к ней
системы (А) будут стремиться, вообще говоря, к разным точкам О и О.
Замечание 2. Простое состояние равновесия М0 (х0> у0) системы
является узлом или фокусом, если выполняются условия
\Ρ'χ(*ο* Уо) ρ'ν(χο, Уо)\
lQi(*o. Уо) Qy(4, Уо)\
6=Р'х(х0, y0)+Qy(x0, Уо)фО.
Δ =
>0,
Если система (А) достаточно близка к системе (А), то в достаточно
малой окрестности состояния равновесия М0 лежит, как мы знаем,
в точности одно состояние равновесия О (х0, у0) системы (А). При этом
величины Δ и δ, соответствующие точке О, мало отличаются от Δ и δ,
следовательно, Δ > 0, δ Φ О и точка О является простым узлом или
фокусом. Нетрудно видеть, что если О — обычный узел, то О также обычный
узел, а если О — простой фокус, то О также простой фокус. Но если О —
вырожденный узел, то О может быть либо обычным, либо вырожденным
узлом; если же О — дикритический узел, то О может быть либо фокусом,
либо люэым из узловюбычным, вырожденным или дикритическим. Во всех
этих случаях, однако, состояние равновесия О является грубой
траекторией системы (А).


§ 9]
ГРУБОСТЬ СЕДЛА
87
§ 9. Грубость седла
1. Приведение системы к каноническому виду преобразованием,
близким к тождественному. При доказательстве грубости простого
состояния равновесия, являющегося седлом, мы будем предполагать, так же
как и в случае узла и фокуса, что рассматриваемое седло есть точка О (0, 0),
а динамическая система имеет канонический вид
£ = Kx + if{x, у), ^ = Х2у + Ц(х, у), (А)
где λ±λ2 <1 0. Будем для определенности считать, что
λ!>0, λ2<0. (Ι)
Очевидно, эти предположения не уменьшают общности рассуждений.
Мы покажем в настоящем пункте, что всякую систему, достаточно
близкую к системе (А), можно привести к каноническому виду
преобразованием, сколь угодно близким к тождественному.
Лемма 1. Если система
£=р(*>у)> t=Q(*>y) (A)
достаточно близка в области G к системе (А), то линейным
преобразованием, сколь угодно близким к тождественному, систему (А) можно
привести к виду
~={λ1 + ει)χ+ψ(χ, у), ^==(Х2 + е2)у + Ц(х, у), (В)
где ει и г2 сколь угодно малы, а функции φ и ψ вместе со своими первыми
производными равны нулю в точке О (0, 0) и сколь угодно близки
соответственно к функциям φ и ψ.
Доказательство. Обозначим через ε0 и δ0 два положительных
числа, обладающих тем свойством, что у каждой системы (А), б0-блиг*кой
в области G к системе (А), имеется в окрестности UZo {О) в точности одно
состояние равновесия О (ξ0> η0), также являющееся седлом.
Существование чисел ε0 и δ0 следует из теоремы 6 и определения 5 (§ 2.1), а также
из того, что при малых изменениях системы (А) определитель Δ — λ4λ2
остается отрицательным.
Пусть система (А) δ-близка к системе (А), где δ < δ0ί и пусть
О (ξο? Ло) — состояние равновесия системы (А), лежащее в ϋεο (О). Систе-
му (А) можно, очевидно, записать в виде
dx
-^ = (λ4 +ai) (χ—Ιο) + α2 (у—η0) + φΑ {χ, у),
dy <2>
-gjf- = β! (χ—Ιο) + (λ2 + β2) (ν-η0) + ψ4 (χ, у),
причем если δ > 0 достаточно мало, то числа аг·, βί, |0> Tfa сколь угодно
малы, а φ! и ψ! сколь угодно близки соответственно к функциям φ и ψ
и равны нулю вместе со своими производными в точке О (ξ0» Ло)« Сделав
преобразование
x=X+L·, υ = Υ+4ο, (3)


88
СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ ГРУБЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. IV
мы получим систему
^=(^ + aOX + a2y+(p2(X, У), ~= βιΧ + (λ2 + β2)Χ + ψ2(Χ, У), (4)
где φ2 и ψ2 обращаются в точке О (0, 0) в нуль вместе со своими
первыми производными.
Если числа ocj и βί достаточно малы, то матрица
Ai+a4 a2 \
ν βι λ2+β2; (}
достаточно близка к матрице
/λ. 0\
(6)
и поэтому характеристические числа матрицы (5) близки к числам λ4 и λ2.
Обозначим их через λ! + ε1? λ2 + ε2.
Покажем, что существует неособенная матрица S, близкая к
единичной и удовлетворяющая соотношению
Ч βι λ2 + β2]5_1 = 1 0 λ2 + ε2)' (7)
Будем искать матрицу S в виде
Ч' Э·
Умножив соотношение (7) справа на S, мы запишем его в виде
V* *Λ βι λ2 + β2>1 1, 0 l2 + e2)\r s)' U
Сравнивая элементы левых и правых частей соотношения (8),
получаем четыре уравнения:
Ρ (К + *ι) + qh = (λ* + е4) ρ, pa2 + q(X2+ β2) = (λΑ + εΑ) g (9)
и
г (λ! + α0 + 5β4 = (λ2 + ε2) r, ra2 + s (λ2 + β2) = (λ2 + ε2)*. (10)
Рассмотрим сначала уравнения (9). Запишем их в виде
[(Я1 + а1)_(Я1 + е1)]р + ^ = 0, atf + KXa + Pa) —(λ1 + β1)]5 = 0. (11)
Детерминант этой системы однородных относительно ρ vi q уравнений
равен значению характеристического многочлена матрицы (5) при
λ = λι + 6ι· Но так как λι + pj. есть характеристическое число матрицы
(5), то этот детерминант равен 0. Следовательно, уравнения (11)
эквивалентны и достаточно найти решение, удовлетворяющее одному из них.
Мы положим, что ρ = 1, и из второго уравнения системы (11) найдем.
что 9 = %—г~т4—ϊγ ·
λ4 — A2 + ei — р2
В точности так же, принимая во внимание, что λ^ + ε2 есть
характеристическое число матрицы (5), и полагая s = 1, мы найдем из уравнений
(10), что г = т 5-х .
ν η λ2—λ! + ε2— α4


§ 9]
ГРУБОСТЬ СЕДЛА
89>
Найденные числа р, q, r, s удовлетворяют уравнениям (9) и (10),
и, следовательно, матрица
S = \r шГ[ β* ! I (12)
удовлетворяет соотношению (7). Так как λ4 =^= λ2, то при достаточно малых
<*i, β*, ε^ (i = 1, 2), т. е. когда система (А) достаточно близка к системе (А),
матрица S сколь угодно близка к единичной и, следовательно, является
неособенной. Применяя теперь к системе (4) преобразование
u = pX + qY, v = rX + sY, (13)
где ρ, q, г, s—найденные нами элементы матрицы (12), и заменяя и и ν
соответственно через жиг/, мы придем к системе
$- = (λι + ε,) χ + φ3 (*, У), ff = (λ2 + ε2) у + ψ3 (*, у) (14)
(см. КТ, § 6.2), т. е. к системе (В). Если система (А), т. е. система (2),
достаточно близка к системе (А), то, как мы показали, преобразования (3)
и (13) сколь угодно близки к тождественным. Но тогда сколь угодно
близки к тождественным и обратные к ним преобразования, а также их
произведения. А это произведение переводит систему (А) в систему (14). Таким
образом, мы показали, что если система (А) достаточно близка в области G
к системе (А), то линейным преобразованием, сколь угодно близким
к тождественному, систему (А) можно привести к виду (14), т. е. к виду
(В). При этом числа ε4 и ε2 будут сколь угодно малы, а функции φ3 и г|)3
будут, как нетрудно видеть, сколь угодно близки соответственно к
функциям φ и ψ. Лемма доказана *).
2. Доказательство грубости седла. Прежде чем идти далыпз
напомним здесь кратко,, как проводится исследование расположения траекторий
системы (А) в окрестности ее седла О (0, 0). Подробно исследование
с исчерпывающими доказательствами изложено в КТ, § 7.3.
Систему (А) запишем, в соответствии с формулами (15) § 8, в виде
-jr = bix + xgt(x, y)+yg2& У),
dy
dt
= λ21/+£/!(£, y)+yf2(x, */),
(15)
где /ι, /г» gi, gz — непрерывные функции, равные 0 в точке О (0, 0). Для
определенности будем считать, что выполняется условие (1), т. е.
Я*>0, λ2<0. (Ι)
Будем предполагать, что все рассмотрения проводятся в окрестности
точки О, не содержащей отличных от 0 состояний равновесия системы (А).
*) При доказательстве леммы 1 мы фактически пользовались не тем, что числа
λι и λ2 имеют противоположные знаки, а лишь тем, что λι Φ λ2. Поэтому утверждение
леммы справедливо и в том случае, когда точка О (0, 0) является не седлом, а обычным
узлом. Однако при доказательстве грубости узла это утверждение не было нам нужно.


90
СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ ГРУБЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. IV
Пусть к — произвольное фиксированное положительное число.
Проведем прямые у = ± кх и рассмотрим прямоугольник с вершинами
А (х0ч кх0), В (— х0% kxQ), Bt (— х0,
— кх0), Ai (x0, — кх0), имеющий эти
прямые своими диагоналями (рис. 19).
Обозначим этот прямоугольник через
Л, его внутренность — через R. Под х0
мы подразумеваем достаточно малое
положительное число. Рассмотрим отрезки
горизонтальных и вертикальных
прямых, заключенные между диагоналями
прямоугольника Д, а также сами эти
диагонали.
Пусть L есть траектория системы
(А), соответствующая решению
z = x(t), y = y(t).
траектория L при f = t0 пересекает диагональ у = кх (или
у = — кх) в точке, отличной от начала координат, то
в
L
/
Ъ
!!>
Ч.
Гъ
У&
У^
\
/
у
\s
S>
\
.
/
Ч
д
я
4
Рис. 19.
Если
Г'Ш1
Ι± Λ(λ2_λι) + /ι ± ky2-gl)-gtk*]t=ta.
(16)
Если траектория L при ί = ί0 пересекает отрезок вертикальной прямой,
заключенный между диагоналями прямоугольника i?, то
причем
*(*)
g2
)](=<»'
(17)
У («о)
<к.
(18)
Наконец, если траектория L при f — ί0 пересекает отрезок
горизонтальной прямой, заключенный между диагоналями прямоугольника /?, то
-5-W--1-*-! ι (19)
№]^-[»о («.+/. ^+/.)]-·
причем
*(*о)
(20)
Так как функции f% и #г непрерывны и равны нулю в точке О (0, 0),
то, если х0 достаточно мало, из соотношений (16), (17), (19) вытекают
соответственно соотношения
y(t)
Г'Ш1
L dt Jt=to
±%1*(Я« —λ0,
<2χ
Jt=to = bi/(io)^,
(21)
(22)
(23)
где Xj,
ствам
X2. χ, — некоторые числа, удовлетворяющие, например, неравен-
Т<Хг<Т
(24)


* 9]
ГРУБОСТЬ СЕДЛА
91
{i = 1, 2, 3. Знак + в формуле (21) соответствует диагонали ABit а знак
— диагонали ВА^).
Из соотношений (21)—(23) следует (см. КТ, § 7.3), что траектории
системы (А) в прямоугольнике R расположены так, как это показано
на рис. 20. Именно, на сторонах АВ и AiBk прямоугольника R имеется
по одной точке — соответственно D и Ζ>ι,— через которые проходят
ω-сепаратрисы седла О, а на сторонах АА± и BBi — точки С и Си через
которые проходят α-сепаратрисы, являющиеся продолжениями указанных
ω-сепаратрис. Стороны
прямоугольника R являются отрезками
без контакта для траекторий
системы (А). Через каждую точку,
лежащую внутри R, отличную от
точки О и не принадлежащую
указанным сепаратрисам, проходит /
траектория системы (А), при убы- Гл
вании t выходящая из
прямоугольника R через одну из сторон А В,
ΑιΒί, а при возрастании t — через
одну из сторон Α Αι, BBit
Очевидно, все приведенные
выше формулы и утверждения
остаются в силе, если вместо Λ взять _
любой меньший «концентрический» прямоугольник i?', имеющий своими
диагоналями те же прямые у — н^ кх, а сторонами — отрезки,
параллельные координатным осям (прямоугольник А'В'В[А[ на рис. 20).
Мы будем считать в дальнейшем, что число х0 >> 0 выбрано
достаточно малым,— так что формулы (21)—(23) имеют место — и рассмотрим
соответствующий числу х0 прямоугольник R.
Лемма 2. Если динамическая система (А) имеет канонический вид
dx χ
-,τ=λ1ζ+ φ (χ, у),
dt
dy
dt
= λ2χ + ψ (χ, у)
и достаточно близка к системе (А), то траектории системы (А) в
прямоугольнике R ведут себя аналогично траекториям системы (А). Именно,
на сторонах АВ и AiBi прямоугольника R имеется по одной точке — D
и Di — через которые проходят ω-сепаратрисы седла О системы (А),
и на сторонах Α Αχ и ВВ^ — точки С и Clt через которые проходят а-сепа-
ратрисыу являющиеся продолжениями указанных ω-сепаратрис. Стороны
прямоугольника R являются отрезками без контакта для траекторий
системы (А), и каждая траектория системы (А),
проходящаячерезвнутреннюю точку прямоугольника R и отличная от сепаратрис и от точки О,
при убывании t выходит из R через одну из сторон АВ, А^Ви а при
возрастании t —- через одну из сторон ААи ΒΒγ.
Доказательство. Если система (А) достаточно близка
к системе (А), то числа λι и λ2 близки соответственно к λ. и λ2. Поэтому
λι > 0, λ2 <С 0 и точка О является седлом для системы (А). Точка О (0, 0)
есть простое состояние равновесия системы (А) (§ 7.3, определение 15
и теорема 11). Отсюда следует, как нетрудно видеть, что все достаточно
близкие к (А) динамические системы (А) имеют в R в точности одно


92 СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ^ ГРУБЫХ СИСТЕМ [ГЛ. 1\
Рис.
состояние равновесия, именно точку О (О, 0). Далее, рассмотрение формул
(16)—(20) показывает, что для траекторий x = x(t), у — у (t) всякой
системы (А), достаточно близкой к системе (А), имеют место формулы,
аналогичные формулам (21)—(24) *). Но тогда утверждения леммы отно-
сительно расположения траекторий системы (А) в прямоугольнике R
доказываются в точности так же, как соответствующие утверждения для
системы (А) (КТ, § 7.3). Лемма доказана.
В следующих двух леммах мы будем понимать под (А) динамическую
систему, имеющую канонический вид и настолько близкую к (А), что для
нее выполняется утверждение леммы 2.
Обозначим через £ω, Ll(u, La, Lia
сепаратрисы системы (А), проходящие
соответственно через точки/), Ζ>ι, С, Су (рис. 20)г
а через Ζω, Lli0> Ζ,α, Lia — сепаратрисы
системы (А), проходящие соответственно
через точки D, Du С, С\, расположенные на
сторонах прямоугольника Ϊ? (D лежит на
стороне А В, D^ — на стороне Л. Bt и т. д.).
Лемма 3. Для любого ε > 0
существует такое δ > 0, что если система
(А) δ-близка к системе (А), а сепаратрисы
L& и La проходят через точки D и D при
значении t = t0, то каждые две точки этих сепаратрис, соответствующие
одному и тому же значению t > i0, находятся на расстоянии меньшем
чем г друг от друга. Аналогичное утверждение справедливо для каждой
из сепаратрис Llu>, Ln, Lta.
Доказательство. Мы проведем доказательство для
сепаратрисы Ζω. Для других сепаратрис оно проводится в точности так же.
Пусть число ε > 0 дано. Рассмотрим «концентричный» с
прямоугольником R прямоугольник R', целиком лежащий в ϋε/2 (О). Обозначим его
вершины через А\ В'. В[ и А[, а точку пересечения сепаратрисы L& с его
стороной А 'В' — через D' (рис. 21). Предположим, что сепаратриса Ьф
проходит через точку D при t = t0, а через точку D' при t = Τ > t0+
Пусть Τ χ — произвольное число, Tt > 7\
В силу теоремы 8 (§ 3) существуют содержащий внутри себя точку D
отрезок KiK2 стороны АВ прямоугольника Ry а также число δι > 0,
обладающие следующим свойством: если система (А) δι-близка к системе
(А), М0 — произвольная точка отрезка KiK2, L — траектория системы
(А), проходящая через М0 при t = f0, Μ (ί), Μ (t) — точки траекторий
£ω и L, соответствующие моменту времени f, то ρ (Μ (), Μ (t)) < ε для
всех £, fo^t^Ti и все точки Μ (7\) лежат внутри прямоугольника /?'.
В силу леммы 5 § 4 существуют содержащий внутри себя точку D'
отрезок К[К'2 стороны А'В' прямоугольника R' (рис. 21) и число δ2 > О
обладающие следующим свойством* все траектории любой системы (А)г
о^-близкой к (А), проходящие через точки отрезка К[К'2, при убывании t
пересекают сторону АВ прямоугольника R в точках отрезка К^Кг.
*) Это следует из того, что если система (А) достаточно близка к системе (А)г
то функции ft и gi сколь угодно близки соответственно к функциям fj и gt (i = 1,2),
как это видно из формул (16) § 8 и из аналогичных формул для /j, fiy gi.


i 9]
ГРУБОСТЬ СЕДЛА
93
*о<*<
Рассмотрим траектории Li и L2 системы (А), проходящие при каком-
либо значении t соответственно через точки К[ и К'2 Так как эти точки
лежат по разные стороны сепаратрисы Ζ/ω, то при возрастании f
траектории Li и L2 пересекут соответственно диагонали ОВ' и О А'
прямоугольника Я'. В силу леммы 5 § 4 существует такое δ3>0, что если система (А)
£3-близка к системе (А), то траектории ее L^ и L2, проходящие через
точки К[ и К'2, при возрастании t также пересекут соответственно отрезки
ΌΒ' и О А'. Но тогда в силу леммы 2 точка пересечения Ώ' сепаратрисы
La со стороной А 'В'
прямоугольника R' лежит между
точками К\ и К'2.
Обозначим через δ
наименьшее из чисел δ!, δ2, δ 3. Очевидно,
^сли система (А) δ-близка к
системе (А), то сепаратриса ее Εω
пересекает отрезок К[К'2 (так
как δ < δ3), а следовательно,
и отрезок ΚιΚ2 (так как δ < δ2).
Пусть D — точка пересечения
♦сепаратрисы Σω с отрезком КХК2.
Предположим, что сепаратрисы
£,ω и Ζ/ω проходят соответственно
через точки D и D при одном и
том же значении г0 времени. Тогда, так как δ<δ3, для любого ί,
^Ti4p (M (t), Μ(ί))<ε. Все точки Μ (t), M (t) этих сепаратрис,
соответствующие значениям f > ΤΊ, лежат внутри прямоугольника /?', т. е.
в Uг/2 (О). Поэтому расстояния между каждой такой парой точек меньше ε.
Таким образом, мы показали, что если система (А) δ-близка к системе (А),
то для любого £>£0 Ρ Ш (£)» Μ (t)) < ε. Лемма доказана.
Замечание. Лемму 3 можно обобщить. Пусть I — произвольная
дуга без контакта, пересекающаяся с сепаратрисой L& в единственной
точке S, отличной от концов I. Тогда для любого ε > 0 существует δ > О
такое, что если система (А) δ-близка к системе (А), то а) сепаратриса £,ω
системы (А) пересекается с дугой I в единственной точке 5, причем
ρ (£, S) <с ε; б) если L& и £,ω проходят через точки S и S при t = t0, то
каждые две точки этих сепаратрис, соответствующие одному и тому же
значению t > t0% также находятся на расстоянии меньше β одна от другой.
Доказательство этого утверждения проводится без труда. Нам понадобится
в ближайшее время лишь тот факт, что если δ достаточно мало, то точки S
и S (или D и D) сколь угодно близки.
Мы переходим к следующему предложению. Сохраняя обозначения,
введенные в предыдущей лемме, рассмотрим вновь прямоугольник R
и сепаратрисы £ω, £,ω, La, LSa седла О.
Выберем на стороне А В четырехугольника R две произвольные точки
S и Sx> лежащие по разные стороны от точки D, а на стороне А\В^ — две
точки S2 и 53, лежащие по разные стороны от точки Dx (рис. 22).
Обозначим траектории, проходящие через эти точки, буквами Λ, Lu L2, Lz. При
возрастании параметра t эти траектории пересекают стороны АА^ и ВВХ
четырехугольника R в точках соответственно Г, Ti9 Т2, Т3. Обозначим
через Η область, ограниченную отрезками SSi9 S2S3, ТТ3, ΤιΤ2 и дуга-


94
СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ ГРУБЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. IV
ми ST и SiTt (i = 1, 2, 3) траекторий L и Lt. Я является канонической
окрестностью состояния равновесия О (КТ, § 19.2). Сепаратрисы £ω,
Llt0, LunLla системы (А) разбивают каноническую окрестность Я на 4
правильные седловые области, которые мы обозначим через σ, σι, σ2, σ3
(рис. 22). Область σ ограничена дугами OD и ОС сепаратрис, точкой О,
дугой ST траектории L и отрезками DS и СТ, границы остальных
областей Oj аналогичны описанной границе области σ.
Рассмотрим теперь δ-близкую к системе (А) систему (А), также
имеющую канопический вид. Будем считать δ > О настолько малым, что,
во-первых, выполняется утверждение леммы 2 и, во-вторых, точки D
и Di (точки пересечения сепаратрис L&
и Χίω с отрезками АВ и ^^расположены
соответственно внутри отрезков SiS и S2£3.
Г Обозначим через L, Lit L2, L3 траектории
\£_ системы (А), проходящие соответственно
через точки S, Su £2, S3 (на рис. 22 эти
траектории, а также сепаратрисы системы
(А) изображены пунктирными линиями).
Обозначим через Я каноническую
окрестность седла О системы (А), аналогич-
РИС. 23. ную окрестности Я. Так же, как Я,
окрестность Я разбивается сепаратрисами седла
О системы (А) на 4 правильные седловые области σ и ог (i == 1, 2, 3),
аналогичные областям σ и ог. Мы считаем, что все области σ и σ являются
замкнутыми.
Лемма 4. Каково бы ни было ε > О, существует такое о > О,
что если система (А) δ-близка к системе (А), то выполняется соотношение
(Я, А) = (Я, 1). (25)
Доказательство. Покажем, что если δ достаточно мало,
то для области σ> а также для каждой из областей о* (i = 1, 2, 3)
существует отображение θ (соответственно Θ*) на область σ (σ,·)· причем
отображения θ и Qi а) являются ε-сдвигами; б) переводят траектории в тректории;
в) отображения θ и 9Ь θι и θ2, θ2 и θ3, θ3 и θ совпадают соответственно
на дугах сепаратрис OD, ОСi, ODi, ОС.
Очевидно, из этого утверждения сразу вытекает справедливость леммы 4.
Рассмотрим для определенности область σ и соответствующую ей
область σ (рис. 23).
Пусть ε > 0 задано. Рассмотрим, так же как при доказательстве
леммы 3, прямоугольник Я' с вершинами А\ В', В[, А[,
«концентрический» с Я и лежащий целиком в Uг/2 (О). Проведем в области σ
траекторию EF, пересекающую стороны АВ, ААи А'В\ А'А[ прямоугольников
β и Я' соответственно в точках Е, F, E\ F' (рис. 24). Обозначим через
/, 77, /77 элементарные четырехугольники, показанные на рис. 24
(их вершины соответственно TSEF E'EDD', FF'C'C). В силу
леммы 9 § 4.2 при любом заданном ε для четырехугольника I (77, III)
существует пара чисел η4, δ4 (η2, δ2; η3, δ3), обладающая следующим^свой-
ством: если система (Α) δ4 (δ2, б3)-близка к системе (А), 7^ (//, ///) —
соответствующий элементарный четырехугольник системы (А) и заданы


§ 9]
ГРУБОСТЬ СЕДЛА
95
отображения сторон FE, ES и ST четырехугольника / на стороны
соответственно FE, ES и ST четырехугольника / (соответственно сторон DD\
DE и ЕЕ' четырехугольника // и сторон СС', CF', и F'F
четырехугольника///), являющиеся η 1-едви-
гами (соответственно η2-, Цз~
сдвигами), то существует
отображение четырехугольника /
на /(// на /7, /// па ///),
сохраняющее траектории,
являющиеся ε-сдвигом, и
совпадающее на трех его сторонах с
заданными отображениями.
Пусть δ4 > О настолько
мало, что если система (Α) δ4-
близка к (А), то отрезки ЕЕ',
E'F' и F'F траектории
системы (А) можно отобразить
соответственно на отрезки ЕЕ', E'F'
и F'F траектории системы (А), _
проходящей через точку Е, а отрезок ST — на отрезок SΤ так, чтобы эти
отображения были тц-сдвигами, где η4 < min {ηι, η2, Лз}· Существование
такого δ4 очевидно.
Проведем траекторию KL' системы (А), пересекающую сторону АВ
прямоугольника R в точке К, расположенной между D и Ε (рис. 25),
а отрезок CF' — в точке L'. Из КТ, § 7.3, следует, что если точка К
достаточно близка к точке Ζ3, то LF сколь угодно близка к С. Мы выберем
точку К так, чтобы
длина отрезка DK была <
<-ттг, а длина CL' была
Рис. 24.
^ 10 '
Пусть δ5 > О
настолько мало, что
выполняется следующее
условие: если система
(А)лб5-близка к системе
(А)* то |ЯЛ |< Jk,
| С С' |<-^,частьШ)'
сепаратрисы £ω можно
отобразить на часть DD'
сепаратрисы L&
посредством т]2-сдвига, часть
С С сепаратрисы La
можно отобразить на
_ часть С С сепаратрисы
La посредством г\з~сквпт&. Существование такого δ5 следует из леммы 3
и из общих предположений относительно поведения траекторий близких
систем (см. лемму 5 § 4.1). Пусть, наконец, δ6>0 — такое число, что если
система (А) б6-близка к системе (А), то траектории систем (А) и (А),
проходящие через любую точку Μ отрезка КЕ, пересекают при возрастании t
Рис. 25.


'96 СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ ГРУБЫХ СИСТЕМ [ГЛ. IV
сторону А'А[ прямоугольника R' в двух точках, расстояние между
которыми меньше η3.
Мы хотим показать теперь, что если δ — произвольное
положительное число, меньшее каждого из бг (1<л<;6), и если система (А) δ-близка
к системе (А), то
(σ, A) i (σ, Α). (26)
С этой целью мы покажем, что существует отображение Θ,
реализующее соотношение (26). Построение отображения θ производится
постепенно, по шагам. Мы опишем эти шаги, указывая, что отображается, куда
и с какой близостью. При распространении уже сделанных отображений
мы заботимся все время о том, чтобы траектории переходили в траектории.
1) ST на ST, ЕЕ' на ЕЁ', E'F' на E'F', F'F на f'F — все с
близостью η4 < min {т)ь η2, η3}-
2) ES на ES тождественно (с нулевой близостью).
3) Распространяем отображения 1), 2) на /: / на / с близостью ε.
4) DK на DK (близость автоматически < 2^ < η2), КЕ на КЕ
тождественно, DD' на DD' с близостью η2.
5) Распространяем отображения 1) и 4) на II: // на // с близостью ε.
6) К' V на K'L' как угодно, К'Е' на К'Е' при помощи отображения,
индуцированного тождественным отображением КЕ на себя.
7) Распространяем 1) и 6) до отображения элементарного
четырехугольника К'E'F'L' на четырехугольник K'E'F'L'. Так как оба
четырехугольника расположены в £7ε/2 (О), то близость автоматически получается
меньше ε.
8) О в себя, D'O на D'O, ОС на ОС', D'К' на D'K'jmpn помощи
отображения, индуцированного отображением 4), DK на DK.
9) Распространяем отображения 6) и 8) до отображения правильной
седловой области L'K'D'OC на аналогичную область L'K'D'OC. Это
возможно в силу КТ, § 18.4. лемма 11. Полученное отображением будет
«-сдвигом, так как обе седловые области лежат в Ζ7ε/2 (О).
10) С С на С С с близостью т]я, C'F' на C'F' при помощи отображения,
индуцированного отображениями D'К' в 8) и К'Е' в 6). Близость при этом
получается <η3·
/——^
11) Распространяем отображения 1) и 10) на III: /// на III с
близостью ε.
Отображения 3), 5), 7), 9) и 11) все вместе определяют отображение θ
правильной седловой области σ на σ. Легко видеть, что отображение θ
является ε-сдвигом и переводит траектории в траектории, т. е. обладает
свойствами а) и б). Аналогично строятся отображения θ^ (i = 1, 2, 3)
областей σ} на σ*.
Заметим, что отображение 0! на части OD сепаратрисы £ω должно
совпадать с уже имеющимся отображением Θ. Поэтому при построении
отображения DD' на DD' в 4) нужно требовать, может быть, не близости
Лг» а η* < η2 и в связи с этим вместо δ2 брать δ* < δ2. Очевидно, это
всегда можно сделать. Аналогичное замечание относится и к отображениям
θ2 и 03. Совокупность отображений θ, θ1? θ2, θ3 можно рассматривать как
отображение области ЯнаН. Это отображение реализует соотношение (25).
Лемма доказана.


I 10]
НЕГРУБОСТЬ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ
97
Теорема 13. Состояние равновесия М0 (х01 у0) системы
§=Р(*'й> #=<?<* *>.
для которого Δ < 0, т. е. седло, является грубым.
Доказательство. Теорема 13 доказывается так же, как
теорема 12 (§ 8). Только теперь вместо леммы 1 и преобразования (30),
примененных в § 8 при доказательстве теоремы 12, нужно
воспользоваться соответственно только что доказанной леммой 4 и линейным
преобразованием, приводящим измененную систему
-£■=*<*. *>. &=?(*. ю
к каноническому виду
^=λί* + φ(^ у), -|?" = λ2ι/ + ψ(χ, у).
Если система (А) достаточно близка к (А), то это преобразование,
в силу леммы 1, сколь угодно близко к тождественному. Поэтому
рассуждения, которыми мы пользовались при доказательстве теоремы 12,
применимы и здесь. Теорема доказана.
Замечание 1. Из леммы 4 и из доказательства теоремы 13
вытекает, что если II — достаточно малая каноническая окрестность седла 0,
то для всякого ε* > 0 можно найти δ* > 0. обладающее следующим
свойством: если система (А*) б*-близка к системе (А), то
8*
(Я, А) == (Я*, А% (27)
где Я* — каноническая окрестность седла О* системы (А*).
Действительно, соотношение (27) следует из соотношения (25) лем-
8»
~ ~ 2
мы 4 и из соотношения (Я, А) = (Я*, А*), получающегося при
доказательстве теоремы 13. Но Я есть каноническая окрестность, а Я* и 4*
получаются соответственно из Я и Л линейным преобразованием (именно
преобразованием, приводящим систему (А*) к каноническому виду (А)).
Поэтому Я* также есть каноническая окрестность седла О*.
Замечание 2. Как мы уже указывали, если точка М0 (х0, у0)
является простым седлом системы (А), то всякая достаточно близкая
к (А) система имеет в достаточно малой окрестности точки М0 в точности
одно состояние равновесия, также являющееся седлом.
§ 10. Негрубость состояния равновесия с чисто мнимыми
характеристическими числами
1. Исследование состояния равновесия с комплексными
характеристическими числами (обзор). Мы покажем в настоящем параграфе, что
состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими числами
является негрубым. Как и в предыдущих параграфах, мы можем, не
уменьшая общности, ограничиться рассмотрением системы, имеющей
канонический вид, т. е. системы
-3jt= — β» + φ(*. V)* ^ = β* + Ψ (*> у), (1)
где β Φ 0. Для определенности будем считать, что β > 0. φ и ψ являются
функциями класса к > 1 или аналитическими в области G и равны нулю
в точке О (0, 0), так же как все их частные производные первого порядка.


98
СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ ГРУБЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. IV
Система (1) является частным случаем системы
^L = ax-$y + (p{x, у), ^- = $х + ау + Ц{х, у). (2>
Расположение траекторий в окрестности точки О (О, 0) системы (2)
подробно исследовано в КТ, § 8. Приведем в этом пункте результаты
этого исследования, которые непосредственно понадобятся нам. Мы
сохраняем все обозначения, введенные в указанном параграфе КТ.
При исследовании системы (2) переходят к полярным координатам
с помощью формул χ = ρ cos θ, у = ρ sin θ. Получается система
уравнений
% = F(ρ, θ), ^. = β+φ(ρ,θ), (3)
где
ρ (ρ, θ) = αρ + <p (ρ cos θ, ρ sin θ) cos θ + ψ (ρ cos θ, ρ sin θ) sin θ,
Φ(ρ, θ)= ^ (Ρ cos θ, ρ sin θ) cose_<p(pcose,psin9) ^ ^ (4)
При этом полагают, что
Φ (0, θ) = 0 (5>
при — оо <С θ <С + оо. Это условие обеспечивает непрерывность функции Ф.
Систему (3) можно заменить уравнением
dp ^ *(ρ,θ) /βν
άβ ~ β + Φ(ρ, θ) ' W
получающимся делением первого из уравнений (3) на второе. Правую
часть уравнения (6) обозначим через R (ρ, θ): ,
*foe>"p+g(peV <7>
Система (3) и уравнение (6), а следовательно, и функция R (ρ, θ)
рассматриваются в полосе
-Р*<Р<Р* (8)
плоскости (ρ, Θ), где р*—достаточно малое положительное число.
Функция R (ρ, Θ) имеет, как показывают несложные вычисления,
непрерывную частную производную по ρ во всей полосе (8), причем
dR (ρ, Θ)
др
~-τ· <9>
каково бы ни было Θ. Из существования непрерывной производной от
функции R по ρ следует, что для уравнения (6) в полосе (8) имеет место
как теорема существования и единственности, так и теорема о
непрерывной зависимости от начальных условий (КТ, дополнение, § 8.2). Поэтому
при любых θ0 и ро, | Ро I < Р*» существует единственное решение
уравнения (6)
Ρ = /(θ, θ0,ρ), (10)
удовлетворяющее условию
/ (θ0, θ0, ро) = р0. (И)
Решение (10) определено на некотором (максимальном) интервале
(θ1? θ2), содержащем точку θ0. При этом
/ (θ; θ0, 0) = 0f (12>


§ 10]
НЕГРУБОСТЬ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ
99
т. е. ρ == 0 (ось θ на плоскости (Θ, р)) является решением уравнения (6).
Это решение определено для всех θ, — оо < θ < оо.
Множество траекторий системы (3), расположенных в полосе (8)t
совпадает с множеством интегральных кривых уравнения (6). Если
р = р(<), θ = θ(ί)
есть решение системы (3), L—соответствующая ему траектория, а (р0, θ0) —
точка на этой траектории, то
ρ = /(θ, θ0ιΡο) (13)
является уравнением этой траектории.
Связь между траекториями системы (2) на плоскости (#, г/), с одной
стороны, и траекториями системы (3) на плоскости (ρ, Θ) (или, что то же,
интегральными кривыми уравнения (6)), с другой, заключается в
следующем: траектории ρ = 0 системы (3) на плоскости (ρ, Θ) соответствует
состояние равновесия О (0, 0) системы (2)
на плоскости (х, у). Пусть теперь L —
траектория системы (3), отличная от оси Θ,
расположенная в полосе (8) и соответствующая
решению ρ = ρ (£), θ = θ (ί), а (13) —
уравнение ее. Траектории L соответствует на
плоскости (#, у) траектория L системы (2),
расположенная внутри круга радиуса р* с центром
в точке О и соответствующая решению
s = p(f)cos6(i), y = p(t)smQ(t) (14)
этой системы. Уравнение (13) можно
рассматривать как уравнение траектории L в
полярных координатах. Заметим, что если L
замкнута, то ей соответствует одна траектория L
системы (3); если же L не замкнута, то ей соответствует бесчисленное
множество таких траекторий, параметрические уравнения которых
имеют вид
ρ = ρ(ί), θ = θ(ί)+2Απ (Α = 0, ±1, ±2, ...; см. КТ, § 8,3).
Исследование траекторий системы (2) в окрестности точки О (0, 0)
опирается на следующее предложение:
При любом ε > 0 существует η > 0 такое, что всякая траектория
системы (2), при t = t0 проходящая через какую-нибудь отличную от О
точку Μ о окрестности Ζ7η (О), пересекает как при возрастании, так и при
убывании t всякую полупрямую θ = const, не выходя при этом из Uг (О)
(рис. 26) (КТ, § 8.4, лемма 3).
Выберем произвольный луч θ = θ0, ρ > 0 (или ρ < 0). В силу
указанного предложения, если р0 достаточно мало (например, | р0 |<δ0),
то решение (13)
Ρ = /(θ, θο,ρο)
определено при всех θ, θ0<θ<θ0 + 2π.
Функция
Pi = / (θ0 + 2π, θ0> ρο) = /θ0 (Ρο)
называется функцией последования на луче θ = θ0, так как точки
Μ ο (ρο, θ0) и Μι (ρι, θ0) являются двумя последовательными точками


100 СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ ГРУБЫХ СИСТЕМ [ГЛ. IV
пересечения траектории системы (2) при возрастании t с этим лучом
(при β > 0; если β < 0, то -^ < 0 и возрастанию θ соответствует
убывание f). Так как в качестве θ0 можно взять произвольное число, то мы
положим для определенности, что θ0 = 0, а соответствующую функцию
последования /0 (р0) будем обозначать просто / (р0). Таким образом,
/(ρ0) = /(2π;0, ро). (15)
Так как / (θ, θ0, 0) = 0, то
/(0) = 0. (16)
Для определения характера траектории L системы (2), проходящей
через точку М0 с полярными координатами р0, 0 (р0 > 0),
рассматривается функция
й(Ро)=/(Ро)-Ро. (17)
Если d (ро) = 0, то траектория L, проходящая через точку М0, является
замкнутой. Если же d (р0) < 0 (d (р0) > 0), то L имеет вид спирали,
стремящейся при t—-> + оо (t ->■ — σο) либо к состоянию равновесия О, либо
к замкнутой траектории, содержащей точку О внутри себя.
Состояние равновесия О системы (2) является устойчивым
(неустойчивым) фокусом в том и только в том случае, если для всех достаточно
малых ро > 0 d (р0) < 0 (d (p0) > 0).
2. Вычисление первой фокусной величины. Так как первая часть
R (ρ, Θ) уравнения (6) имеет, как мы указывали, непрерывную частную
производную по р, то решение его / (0; θ0, Ро) имеет непрерывную частную
производную по р0 (КТ, дополнение, § 8.3). Следовательно, функция
последования / (р0) имеет непрерывную первую производную. В этом
пункте мы вычислим ее значение в точке р0 = 0.
С этой целью заметим, что по определению фуйкция / (Θ; 0, р0)
удовлетворяет дифференциальному уравнению
d/(^e°'po) = R (/ (θ; 0, ро), θ). (18)
Дифференцируя его по р0, мы получим
д ( dfje] 0, ро) \ dR (/ (θ; 0, ро), Θ) df (θ; 0, р0) (iQ
dpo V dQ ) dp dp0 * '
Как известно ([13], § 24, теорема 16), стоящая слева смешанная частная
производная непрерывна и не зависит от порядка дифференцирования.
Поэтому
d / df (θ; 0, ро) \ dR (/ (θ; 0, р0), θ) df (θ; 0, ρ0) 20
άβ V dpo ) dp dp0 ' ^U)
Уравнение в вариациях относительно начального значения р0 (20) является
линейным дифференциальным уравнением относительно -~— . Из
соотношений (12) и (9) следует, что при р0 = 0 уравнение (20) превращается
в уравнение
d /fl/(9;0t0)\ a df (θ; 0, 0) 9„
dQ\ dPo J-β dp0 · W
Найдем начальное условие. В силу соотношения (11) / (0; 0, р0) = р0.
Поэтому
а/ (θ; о, ро) I =1 /22\
^Ро [θ=ο ' * '


§ 10]
НЕГРУБОСТЬ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ
101
Интегрируя уравнение (21) при начальном условии (22), мы получим
«ψιΆ = βψ. (23)
Отсюда и из соотношений (17) и (15) следует, что
d'(0) = e2*3—1. (24)
Число д! (0) называется первой фокусной величиной состояния
равновесия О *). Из формулы (24) следует, что для состояния равновесия
с чисто мнимыми характеристическими корнями, в частности для
состояния равновесия О (0, 0) системы (1), первая фокусная величина равна
нулю.
3. Теорема о рождении замкнутой траектории из сложного фокуса.
Состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими числами
является либо фокусом (устойчивым или неустойчивым), либо центром,
либо центро-фокусом (КТ, § S.6).
Определение 16. Состояние равновесия динамической системы,
имеющее чисто мнимые характеристические числа и являющееся фокусом,
мы будем называть сложным фокусом.
Теорема 14 («теорема о рождении замкнутой траектории из
сложного фокуса»). Если состояние равновесия М0 (х0, у о) динамической
системы (А) является сложным фокусом, то, каковы бы ни были ε > 0
и δ > 0, существует δ-близкая к (А) система (А), имеющая в г-окрестности
точки Μ о по крайней мере одну замкнутую траекторию.
Мы воспользуемся этой теоремой при доказательстве негрубости
состояния равновесия с чисто мнимыми характеристическими числами.
Однако она представляется весьма интересной и имеет большое значение
сама по себе.
Доказательство. Как всегда, достаточно рассмотреть
состояние равновесия О (0, 0) системы
4г=-Ру + Ф(*,Р), ^- = $х + У(г,у), (А)
имеющей канонический вид.
Предположим для определенности, что β > 0 и что О (0, 0) является
устойчивым фокусом. В этом случае, как указано в конце п. 1, существует
такое г0 > 0, что при всех р0, 0 < р0 < г0, определена функция d (p0)
и выполняется неравенство d (р0) < 0.
Пусть гх — некоторое фиксированное число, 0 < rt < r0. Тогда
d(ri)<0. (25)
Рассмотрим теперь измененную систему
~ = ах—$y + q>(x, у),
^- = $х + ау + Ц{х,у)
(А)
и относящиеся к ней функции F, Φ и т. д., аналогичные функциям F,
Фит. д., связанным с системой (А). Если а достаточно мало по абсо-
*) i-й фокусной величиной называется число d^ (0) (если, конечно, оно
существует).


402 состояния равновесия грубых систем [гл. ιν
лютной величине, то система (А) сколь угодно близка к системе (А).
Нетрудно видеть, что при этом функции F и Ф, а поэтому и R, сколь
угодно близки соответственно к функциям F, Φ и R (п. 1, (4) и (6)),
по крайней мере до ранга 0. Но тогда, по теореме 1 п. 1 дополнения,
решения / (θ, θ0, р0) и f(Q, θ0, р0) уравнений -^ = R (ρ, Θ) и -^ = Й(р, Θ)
будут сколь угодно близки на конечном промежутке значений Θ, а
следовательно, будут сколь угодно близки и числа d(ri) и d(r^. Отсюда
и из неравенства (25) вытекает, что если α достаточно мало, то
rf>i)<0. (26)
Возьмем а настолько малым, чтобы выполнялось условие (26), и при
этом положительным: а>0. Тогда в силу (24)
5?(0) = в2яТ_1>0. (27)
Так как d' (p0) непрерывна, то rf' (p0) > 0 для всех достаточно малых
значений р0, т. е. при таких значениях d (p0) есть возрастающая функция.
Отсюда получим, принимая во внимание равенство d (0) = 0 (см. (15),
(16), (17)), что при всех достаточно малых положительных значениях р0
величина d(p0)>0. В частности, для некоторого г2, 0<г2<г1,
5>2)>0. ^ (28)
Из неравенств (26 и (28) и из непрерывности функции d следует в свою
очередь существование по крайней мере одного значения г3, г2 < г3 < г4,
для которого d (r3) = 0. Но это значит, что траектория L0 системы (А),
проходящая через точку с полярными координатами (г3, 0), является
замкнутой.
Нетрудно показать, что если числа а и rt достаточно малы, то
замкнутая траектория L0 целиком лежит в Uъ (О). Действительно, пусть
ρ = / (θ; 0, ρ) — общее решение уравнения -£ — R (ρ, Θ),
соответствующего системе (А). Замкнутой траектории L0 соответствует решение
ρ = /*(θ; 0, г3). Общее решение уравнения ~ = R (ρ, Θ) есть
ρ = / (θ; 0, ро), причем/ (Θ; 0, 0) == 0 (см. (12)). Если а и г± достаточно
малы, то (А) сколь угодно близка к системе (А), функция R (ρ, Θ) сколь
угодно близка к R (ρ, Θ), а число г3 сколь угодно близко к 0. Поэтому,
в силу теоремы о непрерывной зависимости решения от правой части
и начальных значений (дополнение, п. 1, теорема 2), для всех θ, 0<!θ<[
<2π, разность J (θ; 0, r3) — / (θ; 0, 0), равная7 (θ; 0, г3), будет меньше ε,
т. е.
0</(θ; 0, гз)<8.
Но это значит, что замкнутая траектория L0 целиком лежит в Us (О).
Теорема доказана.
Замечание 1. Так как по предположению О(0,0) является
фокусом системы (А), то в достаточно малой окрестности U точки О
система (А) не имеет ни одной замкнутой траектории. С другой стороны,
у любой достаточно близкой к (А) системе (А), у которой α > 0, в окре-


$ 10] НЕГРУБОСТЬ СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ 103
*стности U существует, как мы показали, по крайней мере одна замкнутая
траектория. Мы будем говорить в дальнейшем, что такая замкнутая
траектория рождается из сложного фокуса.
Замечание 2. Очевидно, если г3 есть наименьшее из чисел,
удовлетворяющих условиям г2<.гъ<.г1, d(г3) = 0, то замкнутая
траектория L0 заведомо является предельным континуумом изнутри (но может
быть одновременно и предельным континуумом извне, а следовательно,
предельным циклом). Точно так же, если г3 — наибольшее из* указанных
чисел, то L0 заведомо является предельным континуумом извне.
Замечание 3. При доказательстве теоремы 14 можно вместо
«системы (А) взять систему
dv (λ)
.векторное поле которой получается из поля системы (А) поворотом на угол,
равный arctg μ (см. конец § 3). Если β > 0, то точка О (0, 0) является
для системы (А) простым фокусом, устойчивым при μ > 0 и
неустойчивым при μ < 0. Если О (0, 0) — устойчивый фокус системы (A), ad —
функция, соответствующая системе (А), то поступая так же, как в
проведенном доказательстве, можно найти числа гх и г2 такие, чтобы
выполнялись условия 0 < г2 < гх <С г0 и d (r4) < 0, d (r4) < 0, d (r2) > 0.
Последнее неравенство будет выполняться для достаточно малого г2
при μ < 0. Таким образом, имеет место следующее утверждение: если
Ό (0, 0) есть сложный фокус системы (А), то либо при достаточно малом
повороте векторного поля на положительный угол, либо при достаточно
малом повороте его на отрицательный угол в сколь угодно малой
окрестности точки О возникает (рождается) замкнутая траектория.
4. Доказательство негрубости.
Теорема 15. Состояние равновесия М0 (x0l у0) системы
£ = Р(х,у), -§- = <?(*, if),
dt v ' *" dt
*для которого
Δ =
Ρχ (*ο, Уо) Р'у (*ο> Уо)
Q'x (*<ь Уо) Q'y (*о, Уо)
■0,
<У = РХ (z0, Уо) + Q'y fa» Уо) = Of
т. е. состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими
числами, является негрубым.
Доказательство. Проведем доказательство для состояния
равновесия О (0, 0) системы (А), имеющей канонический вид (1) (в силу
лемм 1 и 2 § 6.1 это не является ограничением общности). Предположим
противное, т. е. предположим, что точка О является грубым состоянием
равновесия системы (А). По определению 14 (§ 7.1) это означает, что
система (А) является грубой в некоторой окрестности Η точки О, причем Η
можно взять произвольно малой.


104 состояния равновесия грубых систем [гл. ιν
По определению грубости, для любого ε > 0 существует такое δ > 0,
что для каждой системы (А), δ-близкой к (А), выполняется соотношение·
(Я, A) i (Я, А), (29)
где Η — некоторад область. Окрестность Η выберем настолько малой,
чтобы в ней не было других состояний равновесия системы (А), кроме
точки О. Далее, число ε возьмем настолько малым, чтобы область Н,
получающаяся из Η ε-сдвигом, содержала точку О. Наконец, в качестве
(А) возьмем систему (2) с достаточно малым
и отличным от нуля а.
При этих условиях О £ Η и является
состоянием равновесия системы (А). Из (29)
следует — так как Η содержит только одно
состояние равновесия системы (А), —что система (А)
имеет в Η только одно состояние равновесия,
именно точку О. Так как α -φ 0, то О является
фокусом системы (А). Следовательно, в
достаточно малой окрестности точки О система (А)
не имеет замкнутых траекторий. При ε-сдвиге,.
реализующем соотношение (29), точка О
переходит сама в себя (так как такой сдвиг
сохраняет траектории). Поэтому система (А) также не может иметь в
достаточно малой окрестности точки О замкнутых траекторий. Это значит, что
состояние О не может быть для системы (А) ни центром, ни центро-фокусом,
т. е. является фокусом.
Таким образом, мы показали пока, что если О (0, 0) есть грубое
состояние равновесия системы (А), то О является сложным фокусом.
Обозначим через U окрестность Ur (О), где г настолько мало, чта
система (А) не имеет в U ни замкнутых траекторий, ни состояний
равновесия, отличных от О, а также является в U грубой. При малом г эти
условия выполняются в силу того, что О есть грубый сложный фокус.
Через W обозначим Ur/2 {О) (рис. 27). Зададим ε > 0, ε<-^-, и пусть
δ > 0 настолько мало, что если система (А) δ-близка к (А), то
(U, A) i φ, А), . (30>
где U — некоторая область. В качестве (А) возьмем δ-близкую к (А)
систему, имеющую в W замкнутую траекторию L0; такая система (А)
существует в силу теоремы 14 (т. е. теоремы о рождении предельного-
цикла из сложного фокуса).
Заметим теперь, что W cz U *). Поэтому в U имеется замкнутая
траектория L0 системы (А), а тогда, в силу соотношения (30), в U имеется
замкнутая траектория системы (А). Но это противоречит выбору
окрестности U. Полученное противоречие показывает, что предположение
*) Все точки области W находятся на расстоянии, большем -ψ , от границы
области U. Поэтому при сдвиге ни одна точка W не может оказаться вне «сдвинутой»
области V. См. носку на стр. 75.


Sii -
СЕПАРАТРИСА, ИДУЩАЯ ИЗ СЕДЛА В СЕДЛО
10&
о грубости состояния равновесия О системы (А) неверно, т. е. это состояние
равновесия является негрубым. Теорема доказана.
Замечание 1. Если (А) есть система класса Ν Λ но не является
системой класса N + 1 (iV>l), то ее можно рассматривать как точку
любого из пространств R(^\ l<fc<iV, l<r<fe (см. § 5.1). Если
же (А) — аналитическая система, то ее можно рассматривать как точку
любого из пространств R^ (к— любое натуральное число, i^r^k)
или любого из пространств i?£r) (r — любое натуральное число).
Теорема 15 — о негрубости — остается справедливой при рассмотрении по
отношению к любому из указанных пространств, содержащему систему (А).
Это следует из того, что измененная система (А), с помощью которой
доказывалась негрубость, отличается от системы (А) аналитическими
добавками ах и ау и входит поэтому в любое пространство, содержащее
систему (А).
Замечание 2. Теоремы 11, 12, 13 и 15 показывают, что грубыми
состояниями равновесия являются только простые узлы, фокусы и седла.
Но тогда из замечания 2 к теореме 12 и из замечания 2 к теореме 13
следует, что если точка О есть грубое состояние равновесия системы (А), то
всякая достаточно близкая к системе (А) система (А) имеет в достаточно
малой окрестности точки О в точности одно состояние равновесия, также
являющееся грубым и при этом такого же типа, как исходное (т. е.
соответственно узел, фокус или седло).
§ 11. Сепаратриса, идущая из седла в седло
Как известно (КТ, § 4.6 и § 23.1), если динамическая система,
рассматриваемая в ограниченной замкнутой области, имеет конечное числа
состояний равновесия, то а- или ω-предельное множество любой ее
траектории есть либо а) состояние равновесия, либо б) замкнутая траектория,
либо в) предельный континуум, состоящий из конечного числа сепаратрисt
являющихся продолжением друг друга с одной и той же стороны, и
конечного числа состояний равновесия. Мы хотим выяснить, какие предельные
множества могут быть у траекторий грубых систем, В предыдущих
параграфах мы установили, какие состояния равновесия являются грубыми.
Вопросу об условиях грубости замкнутой траектории посвящена
следующая глава. Допустим теперь, что грубая система имеет предельный
континуум типа в). Этот континуум должен состоять из сепаратрис грубых
седел (так как другие грубые состояния равновесия вообще не имеют
сепаратрис), причем каждая из них должна стремиться к седлу как при
t ->· — σο, так и при i*-* -f- oo. Мы будем для краткости говорить, чта
такая сепаратриса идет из седла в седло. При этом два седла, к которым
она стремится, можно предполагать как различными, так и
совпадающими. Мы покажем, что сепаратриса, идущая из седла в седло, является
негрубой (теорема 16). Отсюда сразу следует, что предельным множеством
траекторий грубой системы может быть либо состояние равновесия, либо
замкнутая траектория.
1. Поведение сепаратрисы при повороте векторного поля. Пусть
£=Р(х,у), ■& = <?<*,»)' (A)
— динамическая система, рассматриваемая в ограниченной плоской
области 6?, О — ее седло (простое), О £ G, L0 — сепаратриса седла О.


106
СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ ГРУБЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. IV
Пусть, далее, С — произвольная точка сепаратрисы L0, a I — дуга без
контакта, проведенная через С и не имеющая, кроме С, ни одной общей
точки как с сепаратрисой L0, так и с другими сепаратрисами седла О.
Будем считать, что дуга I задана параметрическими уравнениями
* = /(*)» y = g(s)> «<s<b,
причем точке С соответствует на I значение sQ параметра s (a < s0 < Ь).
За положительное направление на I выберем направление,
соответствующее возрастанию s.
Допустим для определенности, что углы, образуемые траекториями
системы (А) с дугой I, положительны (рис. 28).
Рассмотрим измененную систему (А*) вида
^. = Р-у^ = Р*, *V. = Q + VLp = Q*t (A*)
где μ — параметр. Очевидно, если значение μ достаточно мало по
абсолютной величине, то система (А*) сколь угодно близка к (А). Система (А*)
была рассмотрена в конце § 3 (§ 3.2,
лемма 3). Мы показали там, что множества
состояний равновесия систем (А) и (А*)
совпадают и что во всех отличных от
состояний равновесия точках поле системы
(А) образует с полем системы (А*)
постоянный угол Θ, причем
sin0:
μ
Vl + μ2
При μ > 0 этот угол положителен.
Из результатов § 9 (см. § 9, леммы 2
и 3 и замечание к лемме 3) следует, что если (А*) достаточно близка
к системе (А), т. е. если μ достаточно мало, то точка О является седлом
►системы (А*) и у системы (А) существует единственная сепаратриса L*
седла О, пересекающая дугу I, и она пересекает I в единственной точке С*.
При этом, если L0 есть а (ш-)-сепаратриса седла О для системы (А), то
L* является а ((О-)-сепаратрисой седла О для системы (А*). Пусть s* —
значение параметра s, соответствующее точке С*.
Лемма 1. Если μ > 0 и L0 является α-сепаратрисой седла О, то
s* > 50; если же μ > 0 и L0 — ω-сепаратриса, то s* < s0 *).
(Аналогичное утверждение, очевидным образом измененное, имеет
место, когда μ < 0.)
Доказательство. Мы можем без ограничения общности
предполагать, что рассматриваемое седло О системы (А) совпадает с началом
координат и что система (А) имеет канонический вид
^ = λιΛ:+φ (ж, у) =Р(х, у),
(1)
4г=**»+*(*· v)=Qi**vh
причем λι > 0, λ2 < 0.
*) Мы предполагаем, конечно, что соблюдается наложенное выше условие,
именно что траектории системы (А) образуют с дугой без контакта I
положительные углы.


3 11]
СЕПАРАТРИСА, ИДУЩАЯ ИЗ СЕДЛА В СЕДЛО
107
Так же, как в § 9, рассмотрим прямоугольник R с вершинами
А^ В, Ει, Ль изображенный на рис. 20 и достаточно малый. Расположение
траекторий системы (А) в этом прямоугольнике показано на рис. 20.
В качестве сепаратрисы L0 возьмем сепаратрису La. Докажем сначала
лемму для частного случая, когда дугой без контакта I является сторона
Α Αχ прямоугольника R *). В качестве положительного направления на I
мы примем направление от А\ и А, а за параметр s возьмем г/. При этих
условиях траекториц системы (А)
образуют с отрезком ΑχΑ положительные
углы.
Заметим предварительно, что если
{А) — какая-нибудь система, достаточно
-близкая к системе (1), то
1) в прямоугольнике R имеется
-единственное состояние равновесия О
системы (А), также являющееся седлом
и лежащее сколь угодно близко к
точке О (0, 0);
2) стороны прямоугольника R
являются дугами без контакта для
траекторий системы (А), причем через стороны Α Α ι и ВВ^ траектории
выходят из Л, а через АВ ш А\В^ входят в R;
3) сепаратрисы La и Lia системы (А) пересекаются соответственно
юо сторонами Α Α ι и ΒΒι в точках С и Cl9 сколь угодно близких к С и С1}
а сепаратрисы £ω и Li(u — со сторонами АВ и ΑχΒχ в точках D и jD4, сколь
угодно близких соответственно к fl и D\,
Справедливость утверждений 1) и 2) очевидна.
Справедливость утверждения 3) вытекает из 1), 2), из теоремы о
непрерывной зависимости от правых частей, а также из того, что внутри
замкнутой траектории не может лежать только одно состояние равновесия
системы (А), являющееся седлом (см. КТ, § 11.2, следствие 1 из теоремы 29
и § 11.4, теорема 30), вследствие чего в R нет замкнутых траекторий
системы (А) **).
Возьмем теперь в качестве (А) систему (А*) вида
-μ<? = Ρ·, ^- = μΡ+ <? = <?*. (А*)
Пусть при этом μ>0 и настолько мало, что выполняются указанные
выше условия 1), 2), 3). Тогда система (А*) имеет в R единственное
состояние равновесия, именно точку О, являющуюся седлом, и сепаратриса LJ
этого седла пересекает отрезок А\А в точке, которую мы обозначим
через С*. Пусть у0 — ордината точки С, у* — ордината точки С*. Для
доказательства леммы мы должны показать, что у* > у0. Рассмотрим
траекторию L* системы (А*), проходящую при t = t0 через точку С. Так
как сепаратриса La образует с L* положительный угол, то при
убывании t L* входит внутрь области W, ограниченной простой замкнутой
линией ODiAiCO (рис. 29). Возьмем на траектории L* какую-нибудь
*) Нетрудно видеть, что если прямоугольник R достаточно мал, то каждая его
сторона, в частности Α Α ι, удовлетворяет условиям, наложенным выше на дугу без
контакта I.
**) Мы рекомендуем читателю провести полное доказательство утверждения 3).
dx __ ρ
dt


108
СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ ГРУБЫХ СИСТЕМ
[ГЛ1. IV
точку М*, лежащую в области W. Проходящая через М* траектория L
системы (А) при возрастании t пересекает отрезок ΑγΑ в точке К,
лежащей ниже точки С, а при убывании t — отрезок ВХА^ в точке N.
Рассмотрим область Wij ограниченную простой замкнутой кривой ΝΑιΚΝ. Так
как в точке М* траектория L образует с L* положительный угол, то при
убывании t L* входит в область W\. При дальнейшем убывании t
траектория L* должна^ выйти из этой области. Однако ни через отрезок КАи
ни через дугу NK траектории L траектория L* выйти, очевидно, не может.
Следовательно, L* пересекает при убывании t отрезок ΝΑχ. Но тогда
и все траектории системы (А*), проходящие через точки отрезка А\С,
при убывании t пересекают отрезок NAU т. е. ни одна из них не является
сепаратрисой La системы (А*). Отсюда следует, что сепаратриса La
пересекает отрезок ΑιΑ в точке С*, лежащей выше С, что мы и хотели
доказать. Совершенно аналогично доказывается соответствующее утверждение
для ω-сепаратрисы £,ω. Таким образом, для рассматриваемой дуги без
контакта частного типа А\А (или В А) лемма доказана. Но тогда из
леммы 10 § 4.2 следует, что утверждение леммы справедливо и для любой
дуги без контакта Ζ, удовлетворяющей соответствующим условиям.
Лемма доказана.
Замечание. Из проведенного доказательства ясно, что лемма
остается справедливой и в том случае, когда в качестве (А*) берется
система
% = P-Vif(x,y)Q, % = Q + vf{x,y)P,
где функция / (х, у) > 0 во всех точках области G, за исключением самого*
седла, где она может быть равна нулю.
2. Доказательство негрубости.
Теорема 16. Сепаратриса, идущая из седла β седло, является
негрубой траекторией.
Доказательство. Пусть траектория L0 является
одновременно α-сепаратрисой седла О и ω-сепаратрисой седла О'. Предположим для
определенности, что точки О ж О' различны (в случае, когда они
совпадают, доказательство проводится аналогично).
Допустим, что сепаратриса LQ является грубой, т. е. система (А)
является грубой во всякой достаточно малой окрестности Η сепаратрисы L0.
Тогда для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что если система (А)
δ-близка к системе (А), то
(Н,А) = {Н,1), (2)
где Η — некоторая область. Обозначим через d расстояние от границы
области Η до сепаратрисы L0 и положим, что ε < d. Пусть Τ —
отображение, реализующее соотношение (2) (т. е. Τ является ε-сдвигом,
переводящим область Η в Η с сохранением траекторий). Очевидно, при
отображении Τ сепаратриса L0 системы (А) переходит в сепаратрису L0 системы (А),
также идущую из седла в седло и расположенную в Я (последнее вытекает
из того, что в силу условия ε < d при ε-сдвиге траектория L0 не может
выйти из Н).
Таким образом, мы видим, что если L0 — грубая траектория
системы (А), то, какова бы ни была ее окрестность Н, всякая достаточно
близкая к (А) система (А) имеет сепаратрису, расположенную целиком в Ή


§ 11] СЕПАРАТРИСА, ИДУЩАЯ ИЗ СЕДЛА В СЕДЛО 109
nN идущую из седла в седло. Покажем, что для некоторой окрестности Я
последнее условие не выполняется. Тем самым теорема будет, очевидно,
доказана.
Пусть Liy L2, L3 — сепаратрисы седла 0, a L[, L'2, L'z — сепаратрисы
седла 0\ отличные от L0. Выберем на сепаратрисе Lt (ТУ г) точку Мг (Mi)
и проведем через нее дугу без контакта lt (II), имеющую Mt (Ml) своей
внутренней точкой (i = 1, 2, 3). Пусть при этом каждая из дуг lt (Ц)
не имеет, кроме точки Mi (Ml), ни одной общей точки с сепаратрисами
седел О Έ.Ο' (рис. 30).
В качестве Я возьмем достаточно малую окрестность траектории L0,
именно настолько малую, чтобы она не содержала никаких состояний
Рис. 30.
равновесия системы (А), кроме О и О', и чтобы дуги без контакта lt и Ц
(i = 1, 2, 3) были расположены вне Я.
Пусть Μ о — произвольная точка сепаратрисы L0. Проведем через
нее дугу без контакта Z0, целиком лежащую в Я и не имеющую, кроме М0,
ни одной общей точки с сепаратрисами седел О и О'.
Рассмотрим систему
% = *-&' ΊΓ = ν+»Ρ- (А)
Будем считать, что μ>0. Если μ достаточно мало, то система (А)
не имеет в области Я других состояний равновесия, кроме О и О'; эти
состояния равновесия являются для нее седлами, и сепаратрисы их Lt
и LI (έ = 1,2, 3) пересекаются соответственно с дугами без контакта lt
и II (в силу замечания к лемме 3 § 9). Кроме того, седло О системы (А)
имеет сепаратрису L0, пересекающую дугу 10 в точке М0, а седло О' —
сепаратрису L'Q, пересекающую дугу /0 в точке М'0. В силу леммы
предыдущего пункта точки М0 и М'0 лежат на дуге 10 по разные стороны
от точки М0 (рис. 30). Докажем, что система (А) не может иметь в
области Я сепаратрисы, идущей из седла О в седло О'.
Действительно, допустим, что такая сепаратриса—обозначим ее
у — существует. Ясно, что у не может быть ни одной из сепаратрис Lt
и LI (i = 1, 2, 3), так как эти сепаратрисы пересекают дуги без контакта


110
СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ ГРУБЫХ СИСТЕМ
[ГЛ. IV
/г (Ij) и выходят из Н. Следовательно, сепаратриса γ должна совпадать
как с L0, так и с L'0, т. е. она должна проходить при некотором t =!&
через точку М0 и при некотором t = t'0 через точку М[. Очевидно, t0 < t'Q.
Обозначим через S (S') точку пересечения одной из сепаратрис Li (Li),
например сепаратрисы L3 (L3), с границей области #*). Мы будем при
этом считать, что S (S') есть первая точка пересечения сепаратрисы L&
(L'3) с границей, т. е. все точки этой сепаратрисы, расположенные между О
и S' (между О' и 5), лежат целиком внутри Н. Рассмотрим простую
замкнутую линию OM0M'0O'S'SO, ограниченную кусками траекторий £3
и L3, частью М0М'0 дуги без контакта 10 и частями ОМ0 и Μ 'β'
сепаратрисы γ. Эта линия ограничивает некоторую подобласть Я* области Я.
Пусть Mt — точка сепаратрисы γ, соответствующая значению t0 + v
времени, а ΜΊ — точка, соответствующая значению времени t'Q—τ, где
τ—достаточно малое положительное число, причем £0 + τ<*ά—τ· Точки М'г
и Mt лежат, как легко видеть, по разные стороны от дуги без контакта 10.
Поэтому одна из них расположена вне области Я* (на рис. 30 точка Мх)т
а вторая—внутри этой области. Но тогда траектория γ, переходя с
возрастанием t из точки Mt в точку М[, должна пересечь границу области Я*.
Однако это невозможно, так как при ί0 + τ<*<*ά—τ сепаратриса
не может иметь общих точек с кусками ОМ0 и М'0О' самой себя, а также
не может, очевидно, пересекать дугу без контакта 10. Кроме того, ни при
каких значениях t сепаратриса γ не может иметь общих точек с кусками
OS и O'S' сепаратрис L3 и Ъ'3 и с границей области Я. Таким образом,
мы показали, что в области Я не существует сепаратрисы, идущей из О
в О'. Теорема доказана.
Следствие. Если динамическая система (А) является грубой
в ограниченной области, то а- и ω-предельные множества всякой ее
траектории являются либо состояниями равновесия, либо замкнутыми
траекториями.
Действительно, если система (А) грубая в ограниченной области,
то она может иметь лишь конечное число состояний равновесия
(теорема 10, § 7.2). Поэтому в силу КТ, § 4.6 и § 23.1, каждое ее предельное
множество есть либо состояние равновесия, либо замкнутая траектория,
либо предельный континуум, состоящий из траекторий, идущих из седла
в седло. Однако последняя возможность исключается теоремой 16.
Замечание 1. Система (А)
£=Р-М, t-Q + vP
является системой такого же класса, как исходная система (А), и — при
достаточно малом μ — сколь угодно близка к системе (А) до любого ранга.
Отсюда и из доказательства теоремы 16 следует, что сепаратриса
системы (А), идущая из седла в седло, является негрубой траекторией по
отношению к любому из пространств R%\ R^J\ точкой которого является (А).
*) Мы предполагаем, без ограничения общности, что граница области Η есть
простая гладкая замкнутая кривая.


ϋ]
СЕПАРАТРИСА, ИДУЩАЯ ИЗ СЕДЛА В СЕДЛО
111
Замечание 2. При доказательстве теоремы 16 вместо системы (А)<
можно взять систему
% = P-Vf(x,y)Q, % = <2 + μί(χ,υ)Ρ, (A,>
где функция / (х, у) имеет один и тот же знак во всех точках области G,
за исключением самих рассматриваемых седел, где она может быть равна
нулю. Это следует из замечания к лемме 1 п. 1. Таким образом, есла
μ φ 0 достаточно мало, то при переходе от системы (А) к (А/) сепаратриса,,
идущая из седла в седло, исчезает (разрушается).


ГЛАВА V
ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ В ГРУБЫХ СИСТЕМАХ
Введение
В настоящей главе рассматриваются замкнутые траектории и
устанавливается, какие из них являются грубыми и какие негрубыми. Глава
состоит из четырех параграфов (§§ 12—15). В § 12 исследуется, каков
может быть характер расположения траекторий в окрестности замкнутой
траектории L0. С этой целью проводится дуга без контакта Z,
пересекающая L0, и на ней рассматривается функция последования / (п) и функция
d (ή) = f (ή) — η, где η — параметр, введенный на I. Оказывается, что
либо 1) в некоторой окрестности L0 нет других замкнутых траекторий,
кроме L0, т. е. L0 есть предельный цикл, либо 2) все траектории,
проходящие через точки некоторой окрестности L0, являются замкнутыми, либо,
наконец, 3) сколь угодно близко к L0 проходят как незамкнутые
траектории, так и замкнутые, отличные от L0. Если рассматриваемая система
аналитическая, то возможны только случаи 1) и 2). Наличие той или
другой топологической структуры динамической системы в окрестности
траектории L0 зависит от свойств функции d (ή), причем особо важную
роль играет величина д! (п0), где п0 — значение параметра на дуге I,
соответствующее точке пересечения дуги I с траекторией L0.
В § 13 вводится сравнительно простая система криволинейных
координат в окрестности замкнутой траектории L0, с помощью которой можно
вычислить величину д! (/г0). Эта система вводится так: через каждую
точку Μ (s) траектории L0, соответствующую значению времени s,
проводится отрезок нормали, и координатами точки, лежащей на этом
отрезке, считают числа s и /г, где η — значение параметра на нормали.
В качестве дуги I берут один из указанных отрезков нормалей. Ока?ы-
вается, что если уравнения замкнутой траектории L0 суть χ = φ (г),
У — Ψ (0> ГДе ψ и ψ — периодические функции с периодом τ, то
τ
I lP'x«i>(s), iKe))+Qy(q>(«). ψ(β))] ds
d' (0)=<?6 _i = cJ_i.
Если интеграл /, стоящий в этой формуле, отличен от нуля, то L0
является изолированной замкнутой траекторией, т. е. предельным циклом,
и называется простым предельным циклом. Доказывается, что если / < О,
то L0 есть устойчивый, а если / > 0 — неустойчивый предельный цикл.
В случае, когда L0 есть предельный цикл, но / = О, L0 называется
сложным предельным циклом.
В § 14 доказывается, что всякий простой предельный цикл является
грубой траекторией динамической системы (теорема 18). Наконец, в § 15
рассматривается замкнутая траектория L0, для которой / = 0. и дока-


§ 12] ОКРЕСТНОСТЬ ЗАМКНУТОЙ ТРАЕКТОРИИ. ФУНКЦИЯ ДОСЛЕДОВАНИЯ 113
зывается, что такая траектория является негрубой. При доказательстве
используется теорема 19. представляющая большой самостоятельный
интерес (теорема о рождении замкнутой траектории из сложного
предельного цикла).
Заметим, что исследование негрубой замкнутой траектории во многом
аналогично проведенному в § 10 исследованию состояния равновесия
с чисто мнимыми характеристическими числами.
§ 12. Замкнутая траектория и ее окрестность. Функция последования
1. Введение функции последования. Пусть
£=Р(х,у), % = Q{*,y) (А)
—динамическая система класса N или аналитическая, рассматриваемая
в области G. Предположим, что у системы (А) существует замкнутая
траектория L0, лежащая в G. Пусть
* = <Р(0. У = Ф(0 (1)
— соответствующее этой траектории движение, φ (t) и ψ (t) —
периодические функции с общим периодом, который мы обозначим через τ (τ > 0).
Нас интересует характер расположения траекторий системы (А) в
окрестности траектории L0. Пусть ε0 > 0 настолько мало, что в Uε (L0) нет
ни одного состояния равновесия системы (А) (такое ε0 существует, так
как L0 — замкнутая траектория).
Возьмем на траектории L0 произвольную точку Μ0 и проведем через
нее дугу без контакта I, расположенную в U£o (L0), причем так, что
М0 есть внутренняя точка дуги I. Введем на дуге I какой-нибудь
параметр /г, например, путем задания параметрических уравнений дуги I:
* = gi(O, U = g2(n). (2)
Будем считать, что точке М0 соответствует на дуге I значение параметра
η = п0.
Пусть η > 0 настолько мало, что все траектории, пересекающие
при t — t0 часть дуги I, соответствующую значениям η
щ—η<^θο + η, (3)
пересекают дугу I вторично при значениях t, больших £0, не выходя до
этого из Ueo (L0). Такое η существует в силу КТ, § 3.8, лемма 13. Тогда
на части дуги Ζ, соответствующей значениям (3) параметра п, определена
функция последования
»=/(«). (4)
построенная в направлении возрастания t (КТ, § 3.8).
Обозначим через М' точку дуги /, соответствующую значению п0 — η
параметра п, через L' — траекторию системы (А), проходящую через
точку М', через Ν' — точку, в которой траектория L вторично
пересекает дугу I при возрастании L Точка Ν' соответствует, очевидно,
значению / (тг0 — η) параметра п. Ν' может отличаться от точки М' или
совпадать с нею. Если эти точки совпадают, то L' есть замкнутая траектория,


114 ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ В ГРУБЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. V
и мы обозначим через Г' кольцевую область, ограниченную траекториями
L0 и ΖΛ Если же точки М' ulN' различны, то траектория U не замкнута,
и мы будем под Г' понимать кольцевую область, ограниченную
траекторией L0 и замкнутой кривой, состоя-
/ щей из витка Μ'N' траектории U и
части M'N' дуги / (рис. 31).
Совершенно так же, обозначая
через М" точку дуги Z,
соответствующую значению щ + η параметра тг,
мы введем траекторию L", точку Ν"
и область Г", аналогичную области Г'
(рис. 31). Области такого типа
рассматривались в КТ, § 3.9. Из утверждения
КТ, § 3.9, лемма 14, и из замечания 1
к ней, очевидно, следует:
1) области Г" и Г* вместе со
своими границами лежат в Ueo (L0);
2) каждая траектория,
проходящая через точку области Г',
пересекает часть M0N' (или MqM' , если точка N' лежит на дуге I между М0
и М') дуги I как при возрастании, так и при убывании времени t.
Аналогично каждая траектория, проходящая через точку области Г", как при
возрастании, так и при убывании t пересекает часть M0N" (или MqM")
дуги Z.
2. Расположение траекторий в окрестности замкнутой траектории.
Выясним сначала возможный характер отдельной траектории, проходящей
вблизи замкнутой траектории. С этой целью рассмотрим траекторию L*,
проходящую при t = t0 через точку М* дуги /, соответствующую
значению параметра тг*, | тг* — тг0 \ <Щ- Обозначим через М** последующую
для М* точку пересечения траектории L* с дугой Ζ. Μ** соответствует
значению / (и*) параметра п.
Введем вспомогательную функцию
d(n)=f(n)—n, (5)
аналогичную функции d (p), которой мы пользовались при исследовании
сложного фокуса (§ 10.1, (17)). Функция d (n) заведомо определена при
всех значениях тг, удовлетворяющих неравенству (3): | η — п0 |<η. Как
показано в КТ, § 3.8, замечание 1 к лемме 13, если система (А) и функции
(2) принадлежат классу N (являются аналитическими), то функция / (тг),
а следовательно и d (тг), также является функцией класса N
(соответственно аналитической).
Возможны следующие случаи:
1) d (тг*) = 0, т. е. тг* = / (тг*). В этом случае М* и М** совпадают,
a L* является замкнутой траекторией, целиком лежащей в Г' или Г".
2) тг* > 0, d (тг*) < 0 или тг* < 0, d (тг*) > 0. Для определенности
рассмотрим случай тг* > 0, d (тг*) < 0. В этом случае траектория L*
является незамкнутой, точка М** лежит на дуге I между М0 и М*
и траектория L* при t>t0 целиком лежит в области Г" (рис. 32). Так
как область Г" расположена в UBo (L) и, следовательно, не содержит ни
одного состояния равновесия, то траектория L* при t —>- + оо стремится
к некоторой замкнутой траектории, либо совпадающей с L0, либо целиком
лежащей в Г". При значениях t < t0 траектория L* может либо выйти


§ 12] ОКРЕСТНОСТЬ ЗАМКНУТОЙ ТРАЕКТОРИИ. ФУНКЦИЯ ПОСЛЕДОВАНИЯ 115
из области Г" через отрезок MnN" дуги Z, либо целиком оставаться в
области Г". В последнем случае траектория L* определена для всех значений
t < t0 и ее предельным α-континуумом является замкнутая траекторияг
целиком лежащая вТ", но отличная от L0. Заметим, что если а- или?
Рие. 32. Рис. 33.
ω-предельная для L* замкнутая траектория целиком лежит в области Г",
то она не гомотопна нулю в Г" (т. е. ограниченная ею внутренняя область
не лежит целиком в Г").
В случае тг* <; 0, d (тг*) > 0 дело обстоит в точности так же, с той
только разницей, что траектория L* лежит целиком в Г'. При £-»· + оо
траектория L* не выходя из Г', стремится либо к LQ, либо к замкнутой
Рис. 34. Рис. 35.
траектории, лежащей в Г'. При £-»·—оо траектория L* либо выходит
из Г', либо стремится к замкнутой траектории, отличной от L0 и лежащей
в Г' (рис. 33).
3) тг* > 0, d (тг*)>0 либо тг* <0, d (тг*) < 0. Этот случай
аналогичен предыдущему. Траектория L* является незамкнутой, точка М*
лежит на дуге I между точками М0 и М** (рис. 34 и 35), и траектория
L* при t -»· —оо стремится либо к замкнутой траектории, целиком
лежащей внутри Г" (Г'), либо к траектории L0. При возрастании t {t> t0)*


116 ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ В ГРУБЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. V
траектория L* либо выходит из области Г" (Г'), либо стремится к
замкнутой траектории, расположенной в области Г" (Г') и отличной от L0.
Очевидно, перечисленными случаями 1), 2), 3) исчерпываются все
типы траекторий, пересекающих часть М'М" дуги без контакта Z.
Но каждая траектория, проходящая через точку области Г' или Г" либо
при возрастании, либо при убывании t, пересекает указанную часть М'М"
дуги Ζ. Таким образом, мы установили возможный характер траекторий,
проходящих через точки областей Г' и Г".
Перейдем теперь к исследованию топологической структуры
динамической системы (А) в окрестности замкнутой траектории LQ. Для этого
опять рассмотрим функцию d (η) = / (η) — п. Так как значению η = щ
соответствует на дуге без контакта точка М0 замкнутой траектории L0,
то d (п0) = 0. Могут представиться следующие два случая:
а) существует т > 0, τη<η такое, что d (п) ф0 для всех тг,
0 < | η — п0 |<яг;
б) каково бы ни было т > 0, существует п, 0 < | η — щ \ <С т,
такое, что d (дг0) = 0.
Рассмотрим подробно случай а). В этом случае все траектории,
проходящие через точки дуги Z, соответствующие значениям параметра п,
0 < | η — щ\*Ст, являются незамкнутыми.
Замкнутая траектория L0 является в этом случае изолированной,
т. е. является предельным циклом (КТ, § 4.9). В силу непрерывности
функции d (η) очевидно, что в случае a) d (n) имеет один и то же знак для
всех положительных η и один и тот же знак для всех отрицательных η
(| η I <C m). Поэтому возможны следующие четыре подслучая:
ai) d (η) < 0 при η > nQ, d (ή) > 0 при п < щ;
аг) ^ Μ > 0 при n>nQ, d (ή) < 0 при η < п0;
а3) d (η) < 0 при n>nQ, d (η) < 0 при η </г0;
а4) d (тг) > 0 при η > /г0, d (тг) > 0 при тг < гг0.
В случае а4) все траектории, проходящие при достаточно малом δ
через точки U& (L0) и отличные от L0, при t ->· + оо стремятся к
траектории L0, а при убывании ί выходят из Ль (£<о)- При этом предельный цикл
L0 является устойчивым, и мы будем говорить, что все достаточно близкие
к L0 траектории, отличные от L0 накручиваются на L0.
В случае а2) все достаточно близкие к L0 траектории (отличные от L0)
стремятся к L0 при ί->- — оо, а при t возрастающем выходят из U& (L0).
В этом случае предельный цикл L0 называется неустойчивым. Мы будем
говорить, что все указанные траектории скручиваются с L0.
В случаях а3) и а4) все траектории, проходящие через точки
окрестности Z/б (LQ) и лежащие по одну сторону от траектории L0i стремятся к L0
при £-*■ +оо и выходят из Ub (Ζ/ο) ПРИ убывании t; траектории же,
лежащие по другую сторону от L0, стремятся к L0 при t-+ —оо и выходят
из 17б (L>0) при возрастании L
В случаях а3) и а4) предельный цикл называется полуустойчивым.
Близкие к полуустойчивому циклу L0 траектории, расположенные по одну
его сторону, накручиваются на L0, а по другую — скручиваются с LQ.
Перейдем теперь к случаю б). В этом случае в любой окрестности
траектории L0 расположено бесчисленное множество замкнутых
траекторий. Мы не будем проводить здесь подробное исследование. Отметим
только, что этот случай, так же как и аналогичный случай состояния
равновесия с чисто мнимыми характеристическими числами (см. КТ, § 8.6),


§ 12] ОКРЕСТНОСТЬ ЗАМКНУТОЙ ТРАЕКТОРИИ. ФУНКЦИЯ ПОСЛЕДОВАНИЯ 117
охватывает бесчисленное множество различных возможных
топологических структур окрестности замкнутой траектории L0. Та или другая
топологическая структура целиком определяется свойствами функции d (ή)
и зависит от структуры множества ее корней и от знаков функции d (η)
в тех интервалах, где она не равна нулю. В частности, если при всех
достаточно малых η d (η) = 0, то все траектории, проходящие через точки
достаточно малой окрестности траектории L0, являются замкнутыми.
3. Случай динамической системы аналитического класса. Мы
остановимся подробнее на случае, когда система (А) является аналитической,
и установим все возможные здесь топологические структуры окрестности
замкнутой траектории. При этом мы укажем, каким условиям должна
удовлетворять функция последования в окрестности замкнутой
траектории L0 для того, чтобы эта замкнутая траектория была предельным
циклом того или другого типа (устойчивым, неустойчивым или
полуустойчивым). Будем считать, что дуга Ζ (т. е. функции (2)) является аналитической.
Тогда, если система (А) аналитическая, то функция последования η =
= / (ή) также является аналитической (КТ, § 3.8, замечание 1 к
лемме 13). Как и раньше, будем предполагать, что рассматриваемой
замкнутой траектории L0 соответствует значение параметра η = дг0, так что
f(n0)=^nQ при d(n0)=0. (6)
В рассматриваемом нами случае аналитической динамической
системы (А) могут представиться следующие две возможности:
1) Хотя бы одна из производных d^> (тг0) отлична от нуля, т. е.
существует натуральное число А>1 такое, что
d* Ы = d' (no) = .. · = d{M) (п0) = 0, dik) Ы фО. (7)
В этом случае, разлагая функцию d (ή) в окрестности значения η — п0
в ряд по степеням η — п0, мы будем иметь
d (η) = (л—n0)k [dik) (до) + {η— no) d(fc+1) Ы +...] =
= (n-n0)h [dik) (nQ) + (n-n0) Φ (η)], (8)
где Ф (ή) — некоторая аналитическая функция. Из формулы (8) следует»
что знак функции d (ή) в окрестности точки щ совпадает со знаком числа
(п — п0)к dW (nQ). Отсюда нетрудно видеть, что при к четном мы будем
иметь случай а3) или а4) (в соответствии с тем, отрицательна или
положительна величина d^ (тг0)), т. е. будем иметь полуустойчивый предельный
цикл. При к нечетном и d<fe> (п0) < 0 мы будем иметь случай а4), т. е.
устойчивый предельный цикл, и, наконец, при к нечетном и d' (n0) >0 —
случай а2), т. е. неустойчивый предельный цикл.
Выделим случай, когда к = 1, т. е. когда
а'(п0) = Г{по) — 1фО. (9)
В этом случае мы будем называть замкнутую траекторию L0 простым
предельным циклом. Простой предельный цикл является, очевидно, либо
устойчивым, либо неустойчивым в соответствии с тем, отрицательно или
положительно d' (дг0), или, что то же, в зависимости от того, выполняется
ли неравенство /' (п0) < 1 или /' (п0) > 1.


118 ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ В ГРУБЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. V
Если fe>l, то замкнутая траектория L0 называется сложным
предельным циклом кратности к *). Кратность цикла совпадает, очевидно,
с кратностью корня η = п0 функции d (η).
2) Все производные dW (n0) равны нулю:
d' {n0) = d" (no) = ... =d(i) (Λο) = ... =0.
Тогда в силу аналитичности
d {η) = 0,
т. е. все траектории, проходящие через точки достаточно малой
окрестности траектории L0, замкнуты.
Таким образом, мы показали, что у аналитической динамической
системы всякая замкнутая траектория L0 либо является простым или
сложным (кратным) предельным циклом, либо все траектории, проходящие
через точки достаточно малой окрестности траектории L0, замкнуты.
В рассматриваемом случае (аналитической динамической системы)
необходимым и достаточным условием того, чтобы замкнутая траектория L0
была предельным циклом, является неравенство нулю хотя бы одной
из производных d(i> (п0) (ί>1).
4. Случай неаналитической динамической системы. Рассмотрим теперь
^случай, когда динамическая система (А) не является аналитической,
а принадлежит классу N. Будем считать при этом, что и дуга I (т. е.
функции (2)) принадлежат классу N. Тогда в силу КТ, § 3.8, замечание 1
к лемме 13, функция последования η = / (η) также является функцией
класса N.
В этом случае, проводя рассмотрение, аналогичное проведенному
в предыдущем пункте, можно найти достаточные условия для того, чтобы
замкнутая траектория являлась предельным циклом. Именно,
предположим, что не все существующие у функции d (n) производные
d'(n0), ...,d(N)(n0)
обращаются в нуль при п = п0, так что существует такое к, i^k^N.
что
rf'(Wo) = ..e=d(*-i)(Wo)=:0, а(к)(щ)ф0. (10)
Из этого условия и из равенства d (щ) = 0 получается по формуле Тэй-
лора, что
d (η) = ^("o+eot-no» („_„0)*, (И)
где 0<θ<1.
В силу непрерывности А-ой производной, при достаточно малых по
абсолютной величине значениях η — п0 знак множителя при (п — п0)к
в (11) совпадает со знаком d^ (n0). Тогда из соотношения (11) следует
так же, как в предыдущем пункте из формулы (8), что в зависимости
от четности или нечетности к и знака d^ (n0) мы будем иметь один из
случаев а4), а2), а3) или а4).
Так же, как при рассмотрении аналитической динамической
системы, мы выделяем случай к = 1.
*) Данные здесь определения простого предельного цикла и сложного
предельного цикла кратности к связаны с выбором дуги без контакта I. Чтобы эти
определения имели смысл, необходимо показать, что они не зависят от выбора этой дуги. Мы
не будем здесь приводить доказательство, а дадим впоследствии (в § 13)
инвариантное определение простого предельного цикла.


§ 13] СИСТЕМА КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ В ОКРЕСТНОСТИ 119
В этом случае, как и в предыдущем пункте, траектория называется
простым предельным циклом *).
Неравенство нулю хотя бы одного из чисел dW (nQ), к = 1, 2, ..., Ν,
в случае системы (А) класса N является достаточным, но не необходимым
условием для того, чтобы замкнутая траектория L0 была предельным
циклом.
Если для такой системы (т. е. для системы класса"^)
d' (щ) = d" (щ) = ...=-- diN) (щ) = О,
то без дополнительных сведений о функции d (n) нельзя сделать
определенных заключений о топологической структуре] динамической системы
в окрестности замкнутой траектории L0.
§ 13. Система криволинейных координат в окрестности
замкнутой траектории. Функция последования на нормали
к траектории
1. Криволинейные координаты в окрестности замкнутой траектории.
В предыдущем параграфе мы видели, что при исследовании
топологической структуры динамической системы в окрестности замкнутой
траектории L0 существенную роль играют функция последования / (п) на дуге
без контакта I (или функция d (η) = / (η) — ή) и значения ее производных
в точке тг0, соответствующей траектории L0. Для вычисления этих
производных мы введем в окрестности траектории L0 вспомогательную
криволинейную систему координат. Эта система аналогична полярной системе
координат, а проводимое исследование аналогично исследованию
расположения траекторий в окрестности фокуса (§ 10).
Пусть
1Г = Р <*·»>· ■& = <?(**> <А>
—динамическая система (класса N или аналитическая), LQ—ее
замкнутая траектория,
* = Ф(0. » = *(*) (1)
— движение, соответствующее траектории L0, τ > 0 — период функций φ
и ψ. Заметим, что функции φ и ψ, как решение системы (А) класса N
(аналитического), являются функциями класса N + 1 (аналитического).
В частности, они заведомо имеют непрерывные вторые производные. В тех
вопросах, которые мы будем рассматривать, выбор той или другой дуги
без контакта для построения на ней функции последования вблизи
замкнутой траектории не играет роли. Поэтому мы выберем в качестве I
наиболее простую из таких дуг, именно отрезок нормали к траектории L0.
Мы построим криволинейную систему координат в окрестности
траектории L0, наиболее удобную для наших рассмотрений.
Проведем через каждую точку Μ (φ (s), ψ (s)) траектории L0 нормаль
к ней и отложим на этой нормали по обе стороны от L0 отрезки длиной
Лемма 1. Если δ > 0 достаточно мало, то никакие два из
указанных отрезков нормалей, проведенные через две разные точки траектории
L0, не имеют общих точек.
*) См. сноску к определению простого и сложного предельных циклов в
предыдущем пункте.


120
ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ В ГРУБЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. V
Доказательство этой леммы, использующее обычные соображения
компактности, а также существование и непрерывность вторых
производных функций φ и г|), приведено в дополнении, п. 4.
Мы будем считать δ > 0 настолько малым, что утверждение леммы 1
выполняется. Тогда концы отрезков длины δ j/φ' (s)2 + ψ' (s)2,
отложенных нами на нормалях с положительной (отрицательной) стороны
траектории L0, образуют простую замкнутую кривую
1\ (Г2). Кривые 1\ и Г2 «концентричны» с
траекторией L0 и ограничивают заключенную
между ними область плоскости (х, у), которую мы
обозначим через Ω. Очевидно, область Ω гомео-
морфна открытому круговому кольцу (рис. 36).
При достаточно малом δ система (А) не имеет
в области Ω состояний равновесия. Мы будем
считать, что это условие тоже выполняется.
Рис. 36. Введем функции
φ {s,n) = φ (s) + m|/ (s), ψ (st η) = ψ (s)—щ' (s), (2)
где буквой s обозначено время t. Эти функции определены яа всей
^плоскости (s, п), но мы будем рассматривать их только в полосе
— оо 0< + оо, —δθ<δ. (3)
Функции φ и ψ обладают, очевидно, следующими свойствами:
1) если (А) — аналитическая система, то φ и ψ являются
аналитическими функциями; если (А)—система класса iV, то φ и ψ также
функции класса Ν, но, кроме того, φ и ψ имеют непрерывные производные
δ*+ιφ
по η всех порядков и непрерывные смешанные производные
дпк dsl
afe+i ί
где к любое, a s^N.
дпк dsl __
2) Функции φ и ψ, а следовательно, и их частные производные
являются периодическими функциями по s с периодом τ. _
3) φ (s, 0) == φ (s), ψ (s, 0) == ψ (s), т. е. при η = 0 уравнения χ = φ (s, ri),
у = ψ (^, ή) являются параметрическими уравнениями траектории L0, в
которых параметр s совпадает с t.
4) функциональный определитель
I <Ps («, Π)
Δ (s, га)
Д(ф. Ψ)
ψ; (5, /г)
φή (», λ)
ψ; (^, η)
(4)
при тг = 0 равен
Δ (β, 0) = -φ'(*)2-ψ'(*)2.
т. е. при η —0 он не обращается в нуль ни при каком значении s,
— оо <s<+°°·
Из свойства 4), а также из компактности сегмента 0<!s<!t и из
периодичности функций φ и ψ по s следует, что для всех достаточно
малых η выполняется соотношение
Δ (s, η) Φ 0. (5)
Наконец, нетрудно видеть, что если δ достаточно мало, то все
проведенные отрезки нормалей являются дугами без контакта для траекторий
системы (А).


§13] СИСТЕМА КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ В ОКРЕСТНОСТИ 121
Мы будем считать δ настолько малым, что выполняются все указанные
выше условия. Перечислим их.
1) Отрезки нормалей длины 2δ ]Лр' (sf + г|/ (s)2, проведенные через
разные точки траектории L0, не пересекаются. Отсюда следует, в
частности, что область Ω гомеоморфна круговому кольцу.
2) Все эти отрезки нормалей являются дугами без контакта для
траекторий системы (А).
3) В области Ω нет состояний равновесия системы (А).
4) Определитель Δ (s, ή) в полосе (3) отличен от нуля.
Рассмотрим отображение, определяемое формулами
* = <р(*, rc) = (p>) + m|/(s),
# = г|)(5, n)==yp(s) — mp'(s).
(6)
".
ά
ϋ
*
\
so
л=с
W
τ
%+r„
s
*h ^rr 7
σ
**β
«2?
Рис. 37.
Отметим некоторые его свойства:
а) (6) отображает полосу (3) плоскости (s, η) на кольцевую область Ω
плоскости (х, у).
б) Ось η = О переходит при отображении (6) в траекторию L0,
прямые η = с, 0 < | с | <С δ, параллельные оси s, переходят в простые
замкнутые кривые, не
пересекающие друг друга и
лежащие одна внутри другой в
области Ω (эти кривые «кон-
центричны» траектории L0).
в) Отрезки s = const,
—- δ < η < δ полосы (3)
переводятся в отрезки нормалей
к траектории L0 (рис. 37).
г) Все точки (s, тг),
имеющие одно и то же η и
значения 5, отличающиеся на кратные периода τ, т. е. все точки (s + кг, т?),
к = 0, ~ 1, ±2, ..., отображаются в одну и ту же точку плоскости (х, у).
д) Отображение (6) не является взаимно однозначным. Однако при
произвольном фиксированном s0 оно взаимно однозначно на
«полуоткрытом» прямоугольнике W плоскости (s, тг), определенном соотношениями
$o<s<.s0 + x, — δ<τζ<δ, (W)
и отображает каждый такой прямоугольник на область Ω.
Из д) следует, что (6) является локально взаимно однозначным
отображением, т. е. оно взаимно однозначно в любой области полосы (3),
имеющей достаточно малый диаметр. Так как при этом Δ (s, η) фО
и отображение (6) непрерывно, то оно регулярно в каждой такой
области. Другими словами, отображение (6) является локально-регулярным,
s и η можно рассматривать как криволинейные координаты в области Ω.
При этом надо иметь в виду, что каждой точке области Ω соответствует
одно значение координаты тг, но бесчисленное множество значений s,
отличающихся друг от друга на кратные периода τ (аналогично полярной
системе координат на плоскости).
2. Переход к переменным s9 n в динамической системе. Произведем
теперь в системе (А)
•^-Р(ХпУ),
dt
■ = Q{*,y)
(А)


122 ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ В ГРУБЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. V
замену переменных, перейдя—пока чисто формально—к координатам s
и п. Дифференцируя по t формулы
z = q>(s, ή), #=i|)(s, η)
и принимая во внимание уравнения (А), мы получим:
dx —, ds . —, dn π /—7 ν ~, ν ν
_ (7)
В силу условия 4) определитель
ψβ ψη
Δ (s, η) —
ψ; ψ;
отличен от нуля в полосе (3). Поэтому систему (7) можно разрешить
ds dn
относительно -τ-, -— и найти их значения:
at at
ds ρ (φ> ψ) ψ; -Q (φ» Ψ) φ; ^ Q (φ, Ψ) φ;—-Ρ (φ» Ψ) ψ;
<Ζί
Так как
Δ (5, П)
φ(«, 0)=-φ(*?),
<Ζί
ψ(β,0)=ψ(β)
Δ (s, /г)
(см. (2)),
(8)
а
есть решение системы (А), то
*£»> = /> (φ (,, 0), *(., 0», ^^ = ρ(φ(,, 0) ψ(., 0)) (9)
для всех s, 0<[s<[t. Отсюда следует, что
Ρ (φ (β, 0), ψ (*, 0)) ψ; (*, 0)—<? (φ (*, 0), ψ (*, 0)) φ; (*, 0) =
= й (», 0)ψ; (β, 0)-ψ; (β> ο) φ;(*, ο) = δ (*, 0). (ίο)
В силу условия (5) Δ($, 0)=^0 для всех s, 0<[s<:t. Поэтому левая
часть последнего равенства отлична от нуля при всех s, 0<$<<τ.
Но тогда, в силу непрерывности всех рассматриваемых функций и
компактности сегмента 0<[s<!t, для всех достаточно малых η и для всех s,
Ρ (φ!(«ι ΌΓψ («. λ)) ψ; (s, μ)—<? (φ (s, λ), ψ (5, η)) φη (β, λ) =7^ 0. (11)
Так как функции φ и ψ и их производные периодичны по s, то
последнее соотношение выполняется при всех s и всех достаточно малых п.
Мы будем считать, что оно выполняется во всех точках полосы (3);
очевидно, этого можно добиться, выбрав число δ > 0 достаточно малым.
В силу (11) правая часть первого из уравнений (8) отлична от нуля
в полосе (3). Поэтому вместо системы (8) мы можем рассматривать
дифференциальное уравнение
й=_оЩ-рЩ=д 12)
ds ρ(φ, ψ)ψ„-<2(φ, ψ) φ„ V'
получающееся, если разделить второе уравнение системы на первое.


§ 13] СИСТЕМА КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ В ОКРЕСТНОСТИ 123
Отметим основные свойства решений уравнения (12) и связь между
этими решениями и траекториями системы (А) *). Функция R (s, тг)
определена и непрерывна в полосе (3) и, как нетрудно убедиться, имеет там
непрерывную частную производную по гг. Поэтому для уравнения (12)
справедлива как теорема существования и единственности, так и теорема
0 непрерывной зависимости от начальных значений. Из теоремы
существования следует, что при любых s0 и дг0, | щ | < δ, существует
единственное решение уравнения (12)
n = f(s; s0,n0), (13)
определенное на некотором (максимальном) интервале (su s2),
содержащем точку s0 и удовлетворяющем начальному условию
/(во*. *<ь щ) = щ. (14)
В силу соотношений (6) и (9)
R(s, 0) = 0. (15)
Поэтому η = О является решением, а ось s на плоскости (s, η) —
интегральной кривой уравнения (12).
Все интегральные кривые уравнения (12), расположенные в полосе (3),
очевидно, совпадают с траекториями системы (8). Если
s = s(0, n = n(t) (16)
какая-нибудь траектория L системы (8) и s0, n0 — точка на этой
траектории, то решение n — f(s;s0,n0) уравнения (8) является уравнением
траектории L в координатах s, гг. При отображении (6) траектория L
переходит в линию
χ - φ (s (f), η (0), у = ψ (s (ί), η (0), (17)
являющуюся, в силу локальной регулярности отображения (6),
траекторией системы (А), расположенной в кольцевой области Ω. Обозначим эту
траекторию через L. Нетрудно видеть, что каждая траектория L
системы (А), расположенная в Ω, является образом (при отображении (6))
по крайней мере одной траектории L системы (8), расположенной в
полосе (3), т. е. образом по крайней мере одной интегральной кривой
уравнения (12)**).
Уравнение
n = f(s; s0, "о) (13)
траектории L на плоскости (s, n) можно рассматривать как уравнение
в криволинейных координатах 5, η траектории L на плоскости (х, у).
Мы воспользуемся этим для изучения функции последования. Обозначим
через I отрезок нормали к L0, расположенный в области Ω и проходящий
через точку Μ0 траектории L0, соответствующую значению 0 параметра s.
1 является, как мы знаем, дугой без контакта для системы (А).
Из теорем существования и непрерывной зависимости решения от
начальных условий, а также из того, что η = 0 есть решение уравнения
(12), непосредственно вытекают следующие утверждения:
*) Рассмотрение этих вопросов аналогично соответствующему рассмотрению
при исследовании поведения траекторий в окрестности фокуса. См. § 10.1, а также
КТ, § 8.3.
**) Траектория L системы (А) является образом либо одной (если она замкнута),
либо бесчисленного множества (если она не замкнута) траекторий системы (8). Мы
не будем на этом останавливаться. Ср. КТ, § 8.3.


124 ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ В ГРУБЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. V
I. Всякое решение η — f (s; s0, n0) уравнения (12) при всевозможных
s0, 0<!$0<!τ, и достаточно малых п0 определено для всех s, 0<!s<;t,
и может быть представлено в виде
n = f(s; О, пЪ).
Для системы (А) это означает, на геометрическом языке, что каждая
ее траектория, проходящая через точку достаточно малой окрестности
траектории L0, пересекает нормаль I (при s = 0), а также все остальные
нормали к траектории L0, расположенные в кольцевой области Ω, и
пересекает нормаль I вторично (при s = τ) (рис. 38). Отметим, что при η = 0
1 (см. (10) и (8)), а так как числитель и знаменатель выражения
dt
для
— в (8) не меняют знак в полосе (3), то в этой полосе -г- > 0, т. е.
возрастанию s соответствует
возрастание £, и наоборот.
П. При любом ε>0
существует η > 0, η = η (ε), такое,
что если [ Л70 | < η, то
|/(*, о, η0)|<ε
при всех s, 0<^<[τ.
Это означает, что часть
траектории системы (А),
расположенная между двумя последовательными точками пересечения ее с
дугой без контакта Ζ, целиком лежит в Uъ (L0), если первой из точек
пересечения соответствует значение дг0, по модулю меньшее η.
3. Функция доследования на нормали к замкнутой траектории. Мы
рассмотрим функцию последования на дуге без контакта Ζ, о которой шла
речь в предыдущем пункте, т. е. на нормали, проходящей через точку М0.
В силу того, что s возрастает одновременно с t (см. п. 2, утверждение 1),
функция последования на дуге Z, очевидно, равна / (τ; 0, тг0). Для
краткости мы ее будем обозначать просто / (тг0)./Таким образом,
/Ы = /(т; 0, w0).
Так как п = 0 есть решение уравнения (12), то
/ (s; 0, 0) = 0,
и, следовательно,
/(0) = 0.
(18)
(19)
(20)
В § 12, пп. 3 и 4, было показано, что при исследовании
топологической структуры динамической системы в окрестности замкнутой
траектории важную роль играют значения производных функции d (n0) =
= f (по) — по- Мы вычислим сейчас первую производную этой функции
в точке щ = 0. Метод вычисления вполне аналогичен методу вычисления
первой фокусной величины состояния равновесия с комплексными
характеристическими числами (§ 10.2).
По определению функция / (s; 0, тг0) есть решение дифференциального
уравнения (12), т. е.
dHs;d°;no) = R(s,f(s;0,n0)). (21)


§ 13] СИСТЕМА КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТ В ОКРЕСТНОСТИ 125
Дифференцируя по щ, мы получим
д /'df(s; О, п0 \ dR(s, f(s; О, п0)) df (*; 0, п0) ,™
дп0 \ ds ) дп дпо ' ^ '
Так как R (s, ή) есть непрерывная функция, имеющая непрерывную
частную производную по п, то стоящая в левой части уравнения (22)
смешанная производная непрерывна и не зависит от порядка
дифференцирования (см. [13], § 24, теорема 16). Поэтому
d / df (s; 0, п0)\ = dR (s; f (s; 0, и0)) df (s; 0, я0) ,™
ds V дп0 ) дп дп0 * '
(уравнение в вариациях относительно щ).
По определению / (0; 0, щ) == щ. Поэтому
df (s; 0, п0) I = ^ ,24)
дп0 |s=0 * ^ '
Полагая в уравнении (23) п0 = 0 и интегрируя его при начальном
условии (24), мы получим
? dR (s; / (s; 0, 0)) Дд
2«£А»Й| =βί ал . (25)
Так как / (s; 0, 0) = 0 (см. (19)), то подынтегральное выражение в (25)
равно —^—-. Вычислим его.
Дифференцируя (12) по п, мы будем иметь
dR(s, n)^— [РхЦ>п + Ρ'υψη] ψβ + [Q'xtpn + Qyty'n] q>s — Ptyln + ΟψΙη ,
dn ~ Ρψη—Qyn
(Ptyn-Qyn)2 dn V Y Y ' V '
где Ρ = Ρ(φ, ψ),^ = ^(φ> ψ) и т. д.
Из соотношений (9) следует, что при η = 0 Ρ (φ, ψ) ψ^—(? (φ, ψ) φ^ ξ 0.
Поэтому при /г = 0в правой части формулы (26) остается только первая
дробь.
Мы имеем
и = Р(Ф(»), *(«)), |* = <?(Ф(«), Ψ(»))·
Дифференцируя по s, получим:
φ" (*) = ^ (φ (.), ψ («)) φ' (.) + Ρ'„ (φ (*), ψ (.)) ψ' (»),
Отсюда
Р'у (φ (s), ψ (s)) ψ (s) = φ' (s) - Ρ; (φ (β), ψ («)) φ' (β),
& (φ (»), Ψ (*)) φ' (»)=Ψ" (») - Q'v (φ (*). Ψ W) V (»). ( '
Полагая в (26) п = 0и пользуясь соотношениями (6), (9) и (27), мы
находим после несложных выкладок, что
или
¥ = ίί(ϊ('). *(*)) + %(ф(«). *(«))-[Ь([ф'(»)]» + №'(«)]»)]'· (28)


126 ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ В ГРУБЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. V
Левая часть последнего соотношения представляет подынтегральное
выражение в формуле (25). Поэтому
8
а,, п ч . I ilP'x+Qyl-Un <[φ' (*)]2+[1|)' (s)]2)]'> ds
df (s; О, яр) = j __
d/iQ |no=0
_ [ΦΊ0)Ρ+№-(0)Ρ j Cp; (Ф (s)' * (S))+Qi (Φ i5h *(S))]* ,2Q,
Из формул (18) и (29) получается, если положить в них ^ = ти
принять во внимание периодичность функций φ и ψ и их производных,
окончательное выражение для /' (0):
X
а/(τ; 0, п0)
Ι ίΡχ (Φ (β). Φ (s))+Qy (φ (s), <ψ (s))] ds
r(0)=^^o,|no=o=eo . (30)
Следовательно,
τ
J ίΡχ (Φ (β), Ч> (s))+Qy (Φ <·>. Φ («))] d»
d'(0) = /'<0)-l = e° -1. (31)
Определение 17. Число
χ
χ—J- 5 i^i (φ (*), Ψ (·))+Q'v (φ W. Ψ (·))] λ (32)
С
называется характеристическим показателем замкнутой траектории L0.
τ
г*
Непосредственное вычисление показывает, что \ [Р'х (φ (s), ψ (s)) +
о
+ Qy (ψ (5)> Ψ (ЮЛ ^» а следовательно и характеристический показатель χ,
не меняется при преобразовании координат, т. е. не зависит от того,
в какой системе координат рассматривается динамическая система. Таким
образом, этот интеграл полностью определяется замкнутой траекторией L0.
Ксли характеристический показатель χ ф0, то d' (0) ^0 и замкнутая
траектория L0 является предельным циклом (§ 12, пп. 3 и 4).
Определение 18. Замкнутая траектория L0 называется
простым предельным циклом, если выполняется условие
X
J [Р'х (φ (*), ψ (s)) + Qy (φ (*), ψ (*))] ds φ 0 (33)
о
или, что то же, если не равен 0 характеристический показатель χ.
В случае, если Lq является предельным циклом, но χ = 0, т. е. если условие
(33) не выполняется, траекторияЬ0 называется сложным предельным циклом.
Заметим, что если χ = 0, то замкнутая траектория LQ может вообще
не быть предельным,циклом (см. § 12.4).
Из § 12, пп. 3 и 4, и из (31) вытекает следующее утверждение, которое
мы сформулируем в виде теоремы.
Теорема 17. Простой предельный цикл L0 является устойчивым,
X
если \[P'x(<f(s), ty{s))+Q'y(φ(5), ty(s))]ds<.0, и неустойчивым, если
о
этот интеграл больше 0.


§ 14] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГРУБОСТИ ПРОСТОГО ПРЕДЕЛЬНОГО ЦИКЛА 127
§ 14. Доказательство грубости простого предельного цикла
Пусть
%=Р{х,у), & = <?<*,*) (A)
—динамическая система класса iV>l или аналитическая, определенная
в области G, a L0—ее замкнутая траектория, лежащая в G и являющаяся
простым предельным циклом. Пусть, далее,
* = ф(0. У = *(<). (1)
где φ и г|) — периодические функции с периодом τ, есть движение,
соответствующее циклу L0.
Настоящий параграф посвящен доказательству следующей теоремы.
Теорема 18. Всякий простой предельный цикл L0 динамической
системы (А) является ее грубой траекторией.
Доказательство. Проведем через какую-нибудь точку М0
траектории L0 нормаль и введем на этой нормали параметр η так, как
Рис. 39.
это было сделано в предыдущем параграфе *). Точке М0 соответствует
на нормали значение η = 0. Для определенности будем считать, что
отрицательным значениям η соответствуют точки нормали, лежащие внутри L0,
а положительным — точки, лежащие вне L0 (рис. 39). Рассмотрим часть
нормали, соответствующую значениям тг, 0<! | η |<[/г*. Если тг* > 0
достаточно мало, то эта часть нормали является дугой без контакта,
которую мы обозначим через Ζ.
*) Если точке М0 на траектории L0 соответствует t = 0, то уравнения нормали
имеют вид
х = φ (0) + ηψ' (0), у = ψ (0) — шр' (0).
См. § 13.1, (6).


128 ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ В ГРУБЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. V
Пусть η = / (η) — функция доследования, построенная в
направлении возрастания параметра t. Можно считать, что она определена в
каждой точке дуги Ζ (этого можно добиться, взяв достаточно малое п*).
Рассмотрим функцию
d (η) = / (η)—п.
Очевидно, d (0) = 0 и, в силу определения простого предельного цикла,
d' (0) =^=0. Положим для определенности, что d' (0) < 0, т. е. что
рассматриваемый предельный цикл L0 устойчив. В случае, когда L0 —
неустойчивый цикл, доказательство проводится совершенно аналогично.
Так как 0 есть простой корень функции d (n), то в достаточно малой
окрестности нуля эта функция не имеет других корней. Мы будем считать,
что у функции d (η) нет корней при 0 < | η К и*. При этом
предположении все траектории, пересекающие дугу Ζ, являются незамкнутыми
и стремятся при ί->· + оо к предельному циклу L0.
Пусть Li — траектория, проходящая через какую-нибудь точку Pi
дуги Z, соответствующую значению щ, 0<rci<ra*, параметра η (τ. е.
через точку, лежащую вне L0), a L2 — траектория, проходящая через
какую-нибудь точку Qu соответствующую значению п2, п2 < 0, \п2 | < тг*,
параметра η (т. е. через точку, лежащую внутри L0). Тогда на части
дуги Z, расположенной вне L0, лежит, очевидно, стремящаяся к точке М0
последовательность точек
М» * 2» · · · » *п» · · ·
траектории Li? а на части дуги Z, расположенной внутри L0, лежит
стремящаяся к точке М0 последовательность точек
Qu Qz·» · · · > Qm · ·.
траектории L2 (см. КТ, § 3.7, следствие 2 леммы 11). Очевидно, всякая
траектория, пересекающая часть PiP2 (Q1Q2) дуги Ζ в отличной от концов
точке, последовательно пересекает каждый из отрезков PkPk+i (QkQk+i)
и при этом в одной и только одной, отличной от концов, точке.
Рассмотрим наряду с дугой Ζ дугу без контакта Г', проведенную через
точку М'0 траектории L0 и не имеющую общих точек с дугой Z. В качестве
такой дуги можно взять также отрезок нормали, проходящей через
точку М'0. Мы будем предполагать тг* > 0 настолько малым, что каждая
траектория, пересекающая при t = t0 дугу Ζ, пересекает при некотором
t > t0 дугу Ζ', не имея до этого общих точек ни с дугой Ζ, ни с дугой V.
Пусть при этом траектории, проходящие через точки Р4 и Qx (т. е.
траектории Li и L2), пересекают дугу V в точках соответственно Р[ и Q[ (рис. 39).
Обозначим через С4 простую замкнутую кривую, образованную
дугой ΡίΡ2 траектории L4 и отрезком Ρ2Ρι дуги Z, а через С2 — простую
замкнутую кривую, образованную дугой QiQ2 траектории L2 и отрезком
(?2@ι дуги Z. Обозначим, далее, через Η область, ограниченную кривыми
С ι и С2. Все траектории системы (А), проходящие через точки области Н,
очевидно, пересекают дугу Ζ в точках, расположенных между точками Qi
и Р1у и среди этих траекторий нет ни одной замкнутой траектории, кроме L0.
Отрезки PiQi и Ρ'βΊ дуг без контакта Ζ и V разделяют область Η на два
элементарных четырехугольника PiP[Q[Qi и P'^P^Q^Q^· Мы обозначим
первый из них через Δ4, а второй — через Δ2.
Будем рассматривать теперь измененные системы (А), достаточно
близкие к системе (А). В силу лемм 1,2и11§4и замечания к теореме 5


§ 14] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГРУБОСТИ ПРОСТОГО ПРЕДЕЛЬНОГО ЦИКЛА 129
(§ 1.3) существует число δ4 > 0 такое, что для всякой системы (А), бгблиз-
кой к системе (А),
1) дуги ( и Г являются дугами без контакта;
2) на дуге I при всех п, |/г|</г*, определена функция последования
n = J(n);
3) уравнение d (n) = f (ή) — η = 0 имеет единственный корень п такой,
что \п\<С.п*, причем этот корень удовлетворяет условиям п2<Сп<Сщ
и d' (я)<0;
4) все траектории системы (А), при t = Z0 пересекающие отрезок PiQi
дуги Z, при />/0 пересекают дугу Г, не пересекая до этого дуги Z.
Обозначим через L\ и L\ траектории 6гблизкой к (А) системы (А),
проходящие через точки соответственно Pt и Qi дуги Z, а через Р[ и Q[ —
точки пересечения этих траекторий с дугой Z'.
Условие 3) означает, что среди траекторий системы (А), бгблизкой
к системе (А), пересекающих дугу Z, имеется только одна замкнутая
траектория L0, причем эта траектория является устойчивым предельным
циклом и пересекает дугу Ζ в точке М0, расположенной на этой дуге
между точками Рхт Qim Очевидно, траектория Lx лежит вне замкнутой
траектории L0, а траектория L2—внутри L0. На части РХМ0 дуги I
лежит стремящаяся к точке М0 последовательность точек
Ри Ргч Ръ-> · · ·
траектории L4 (при этом Р1 совпадает с точкой Pi), а на части QiM0
дуги I лежит стремящаяся к точке М0 последовательность точек
(?1, <?2, <?3, · · ·
траектории L2 (точка Qt совпадает с точкой Qi). Рассмотрим простые
замкнутые кривые, аналогичные кривым С^ и С2, именно кривую Сь
состоящую из дуги Р\Р2 траектории Lt и отрезка Р2Р\ дуги Z, и
кривую С2, состоящую из дуги Q\Q2 траектории L2 и отрезка $2@ι Дуги Z.
Рассмотрим, далее, область //, ограниченную кривыми С\ и С2. Очевидно,
все траектории системы (А), проходящие через точки области //,
пересекают дугу Ζ в точках, расположенных между ^ и Pj. Поэтому через
точку области И не проходит ни одна замкнутая траектория системы (А),
кроме траектории L0- Отрезки P\Qt и Ρ'βΊ дуг без контакта ! и Г
разделяют область Η на два элементарных четырехугольника ΡίΡ'β'βι
и P[P2Q2Q'V которые мы обозначим соответственно через Δ! и Δ2 (эти
четырехугольники аналогичны четырехугольникам Δγ и Δ2 системы (А)).
Мы покажем, что, каково бы ни было ε>0, существует такое б>0,
что если система (А) б-близка к системе (А), то выполняется соотношение
(Я, A) L (Я, А).
Тем самым будет доказано, что траектория L0 является грубой (см.
определение 14, § 7.1, и определение 10, § 6.1).
Пусть σ — произвольное положительное число. Покажем прежде
всего, что если δ2, 0 < δ2 < δ4, достаточно мало, а система (А) б2-близка


130 ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ В ГРУБЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. V
к системе (А), то можно построить топологическое отображение φ
отрезка P\Qi дуги I на себя, обладающее следующими свойствами:
а) Точки Р4 и Qi переходят сами в себя, т. е. φ (Р4) = Ри φ (Qi)= Qi-
Точки, лежащие на одной и той же траектории системы (А), отображаются
в точки, лежащие на одной и той же траектории системы (А) (и наоборот).
б) Отображение φ является σ-сдвигом (т. е. для любой точки Μ
отрезка Ρι^ ρ (Μ, φ (Μ)) < σ).
Построим сначала топологическое отображение дуги Ρ$ι на себя,
обладающее свойством а), не заботясь о том, чтобы выполнялось
условие б). Это отображение построим отдельно на отрезке ΡιΜ0, а затем на
Рис. 40.
отрезке QiM0. Отрезок P\MQ мы отобразим на отрезок Р4М0 следующим
образом:
1) Возьмем произвольное топологическое отображение φι отрезка ΡιΡ2
на отрезок Ρ4Ρ2 такое, что
Φι(Λ) = ?ι, φι(Ρ2)=2ν
2) Считая, что отображение φ^-! отрезка Ph-J?h на Pk-xPh (к = 2, 3,
4,...) ужо построено, определим q>k как отображение отрезка РъРи±\
на PkPkAU индуцируемое отображением φ^ в следующем смысле: если М^\
и Μ и. — две последовательные при возрастании t точки пересечения
некоторой траектории L системы (А) с дугой Z, лежащие соответственно
на отрезках Рк-хРк и РъРи+и а Mk-t и Mk—две последовательные при
возрастании t точки пересечения траектории L системы (А) с дугой Z,
лежащие соответственно на отрезках Pu-iPk и РцРкн·» и если
Фа-1 (Λ^α-ι) = ΛΓα-ι , то (fk (Mk) - Mk
рис. 40; на этом рисунке пересечения дуги / с траекторией L, с одной
стороны, и с траекторией L, с другой, для наглядности изображены
отдельно). Так как каждая траектория L (L) системы (A) ((A)),
проходящая через точки отрезка Р{Р2 (Р\Р?), пересекает каждый из отрезков
PkPk+i (PkPk+i), к = 2, 3, 4, ..., в точности в одной точке, то
отображение <рА определено однозначно. Очевидно,
Фа (Ра) = Ρ и, Φα (^α+ι) = ^α+ι -


$ 14] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГРУБОСТИ ПРОСТОГО ПРЕДЕЛЬНОГО ЦИКЛА 131
3) Положим, что φ (М0) =М0 и что φ совпадает с φΑ на отрезке iWf
(А = 1, 2, ...)·
Мы получим отображение φ, определенное на отрезке PiMQ. В
точности так же отображение φ строится на отрезке QiM0 (т. е. сначала
берется произвольное отображение φ* отрезка QiQ2 на QiQ2, а потом
индуцированные отображения (ft отрезков QkQk+i на QkQk+i)- В
результате получается отображение φ отрезка P\Qi на отрезок PtQi.
Построенное таким образом отображение φ удовлетворяет условию а) и является
топологическим *).
Покажем теперь, что при достаточно малом δ2 и при надлежащем
выборе отображений φ4 и φ!* построенное отображение φ будет
удовлетворять условию б), т. е. будет σ-сдвигом. Для этого сначала возьмем при
заданном σ > 0 столь большое натуральное число /, чтобы отрезок PjQr
дуги I целиком лежал в £7σ/2 (Μ0) (точка М0, очевидно, лежит на этом
отрезке).
Все траектории, проходящие при t = t0 через точки отрезка PiP2
(соответственно QiQ2), пересекают все отрезки PiPi+i (соответственно
QiQut) при i = 2, 3, ..., 7 — 1 за ограниченное время (см. КТ, § 3.8,
лемма 13). Отсюда и из § 4.2, леммы 7—11, следует, что при достаточно
малом δ2 и при надлежащем выборе отображений φ! и φ4*
1) часть PjQj дуги Ζ (содержащая точку М0) целиком лежит в Ua/2 (M0);
2) отображение <р& отрезка PhPk+i на отрезок ΡηΡη+ι (А: = 1, 2, ...
..., J—1) является σ-сдвигом;
3) отображение φ* отрезка QkQk+i на отрезок QkQk+ι (fc = 1, 2, ..., J— 1)
является σ-сдвигом.
Так как оба отрезка Р$г и PjQr лежат в UG/2 и при отображении φ
первый из них переходит во второй, то на отрезке PjQj отображение φ
является σ-сдвигом. Отсюда и из условий 2) и 3) следует, что при этих
условиях отображение ψ отрезка P\Qi есть σ-сдвиг.
Таким образом, мы показали, что если δ2 достаточно мало,
а система (А) б2-близка к системе (А), то можно построить (при любом
σ > 0) отображение φ отрезка PiQi дуги I на себя, удовлетворяющее
условиям а) и б).
Покажем теперь, что при любом ε > 0 выполняется, если система (А)
достаточно близка к (А), соотношение (Н, А) = (Я, А).
*) Легко написать формулу, определяющую отображение φ. Пусть /(л)
—функция последования на дуге J, определяемая системой (А), а /(тг) —аналогичная
функция для системы (А). Через g(n) обозначим функцию, определяющую
топологическое отображение отрезка Р\Р2 на ΡχΡ2. Очевидно, итерация Ц {n)]h~i = /<fe-1> (n)
определяет отображение отрезка Р^Р2 на отрезок PkPk+i· Это отображение
топологическое, поэтому для него существует обратное отображение. Соответствующую
функцию для обратного отображения обозначим через /~*Λ_1*(η). Точно так же
рассматриваются функции 7(/г-1> и /-(ft_1). Тогда, если М — точка отрезка PkPk+i*
η — соответствующее точке Μ значение параметра, а п—значение параметра,
соответствующее точке φ(Μ), то
n=r(ft-1)?r(ft-1)w-
Аналогичная формула получается для отображения φ на отрезке QkQk+i- /* (Λ) =
= [/(Λ)]Λ означает здесь не производную, а к-ю итерацию функции /, т. е.


132 ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ В ГРУБЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. V
Пусть ε>0 задано. В силу леммы 8 § 4.2 существуют σ'>0
и δ3>0, ό3<δ2, удовлетворяющие следующему условию: если
φ'—отображение отрезка P[Q[ дуги V на отрезок P[Q[ той же дуги, являющееся
σ'-сдвигом, а системы (А) и (А) 63-близки, то существует отображение Т2
элементарного четырехугольника Δ2 на четырехугольник Δ2, совпадающее
с φ' на PtQ[, переводящее траектории в траектории и являющееся
ε-сдвигом. Пусть δ4>0, δ4<δ2, настолько мало, что если система (А) б4-близка
к системе (А), то существует отображение Τ элементарного
четырехугольника Aj на четырехугольник Δ4, удовлетворяющее следующим условиям:
1) 7\ совпадает на отрезке PiQi с описанным выше отображением φ
этого отрезка на себя;
2) Ti переводит траектории в траектории;
3) 7\ является ε-сдвигом;
4) на отрезке P[Q[ отображение Τ является σ'-сдвигом (переводящим
этот отрезок в отрезок P[Q[).
Существование числа δ4 > 0, обладающего указанным свойством,
вытекает из леммы 8 § 4.2 и из того, что для близких систем отображение φ
является сколь угодно малым сдвигом (свойство б)). В качестве δ возьмем
произвольное положительное число, меньшее чем δ4 и чем δ3. Пусть
система (А) δ-близка к системе (А). Тогда мы строим отображение φ
отрезка P\Q\, затем отображение Т1 четырехугольника At на Δ4, обладающее
указанными свойствами 1)—4). Далее, в качестве отображения φ' берем
отображение Tt на отрезке P[Q[ (переводящее этот отрезок в P[Q^
и, наконец, строим отображение Т2 элементарного четырехугольника Δ2
на Δ2, совпадающее с φ' на P[Q'^ сохраняющее траектории и являющееся
ε-сдвигом.
Легко видеть, что отображение Г, совпадающее с 7\ на Aj и с Т2
на А2, переводит область Η в Н, сохраняет траектории и является
ε-сдвигом. Но это и значит, что выполняется соотношение
(Я, А) = (Η, А).
Теорема доказана.
Замечание. Из приведенного доказательства следует, что если
LQ есть простой предельный цикл динамической системы (А), то
существуют такие ε* > 0 и δ* > 0, что у всякой системы (А), б*-близкой
к системе (А), существует в г*-окрестности траектории L0 единственный
предельный цикл L0, причем характеристические показатели циклов L0
и Lo имеют одинаковые знаки (т. е. циклы L0 и L0 либо одновременно
устойчивы, либо одновременно неустойчивы).
§ 15. Негрубые замкнутые траектории
1. Основная лемма. Пусть, как и раньше,
-£ = *<*·*>. ίΗ?<*.*> (А)
— динамическая система класса А^>1 или аналитическая,
рассматриваемая в области G, L0 — ее замкнутая траектория (L0czG),
* = ф(0. » = *(') (1)


§ 15] НЕГРУБЫЕ ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ 133
— соответствующее этой траектории движение, φ (/), ψ (t) —
периодические функции с периодом τ > 0. φ и ψ, как решение системы (А)
класса >1, заведомо являются функциями класса 2.
Лемма 1. Существует функция класса 2 ζ = F (χ, у), определенная
в области G и такая, что при всех s, — оо <; s <; + оо,
а) *■ (φ (*), ψ (*)) = <);
б) (П (φ (*), Ψ (s)))2 + (Fy (φ (*), ψ (s)))2 ^ 0.
Доказательство а). Построим сначала функцию F (х, у)
класса 2, удовлетворяющую условиям а), б), не во всей области G,
а в некоторой окрестности траектории L0.
С этой целью рассмотрим систему уравнений
s = <p(*) + na(s)f y = y{s) + nb{s), (2)
где a(s) и b(s)—периодические функции с периодом τ класса 2 такие,
что функциональный определитель
D(*'V)\ -ДМ-
D(st /г)|п=0~А^~
отличен от нуля при всех s:
A(s) φ 0, — оо < 5 < + оо . (4)
В качестве a (s) и Ъ (s) можно взять соответственно функции г|/ (s)
и — φ' (s), если они второго класса (так будет, например, если (А) —
система второго класса). Если же ψ' (s) и — φ' (s) — функции только
первого, но не второго класса, то в качестве a (s) и Ъ (s) можно взять
тригонометрические многочлены с периодом τ, достаточно хорошо
аппроксимирующие ψ' (s) и — φ' ($). Такие многочлены существуют в силу теоремы
Вейерштрасса (см. [11], т. 3, п. 734, стр. 580) и, очевидно, удовлетворяют
условию (4).
Пусть δ — некоторое достаточно малое положительное число. Будем
рассматривать (2) как формулы, определяющие отображение полосы
— оо<г?<+оо, — б<тг<о (5)
плоскости (s, тг) в плоскость (х, у).
При этом отображении ось s переходит, очевидно, в траекторию L0»
а каждый вертикальный отрезок
s = const, — 6<[7г<;6
полосы (5) — в прямолинейный отрезок Zs, проходящий через точку Μ (s)
траектории L0, соответствующую значению s параметра. В силу условия
(4) отрезок ls не касается траектории L0 в точке Μ (s). Кроме того, из
теоремы о неявной функции и из условия (4) следует, что в достаточно
малой окрестности каждой точки (s, 0) оси s отображение (2) взаимно
однозначно. Но тогда в точности так же, как в случае леммы 1 § 13.1,
можно показать, что если δ достаточно мало, то все отрезки Zs,
соответствующие разным точкам траектории L0 (например, при 0Ό<;τ),
попарно не пересекаются. Мы будем считать, что это условие выполняется.
Тогда полоса (5) переводится отображением (2) в некоторую замкнутую
кольцевую область Ω плоскости (х, у), ограниченную простыми
замкнутыми кривыми Г4 и Г2 (рис. 41). Если δ достаточно мало, то во всех
ф'(«)
a{s)
b(s)
(3)


134 ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ В ГРУБЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. V
точках полосы (5) якобиан
D (*, у)
ФО.
(6)
Рис. 41.
U (s, η)
Мы будем считать, что это условие тоже выполняется.
Отображение (2) полосы (5) на область Ω вполне аналогично
рассмотренному в § 13.1 отображению (6) и обладает аналогичными
свойствами. В частности, внутри полосы (5) отображение (2) локально взаимно
однозначно, а в силу условия
(6) также и регулярно, т. е. оно
локально-регулярно.
Рассмотрим (2) как систему
уравнений относительно s и п,
считая, что точка (х, у) £ Ω.
В силу вышесказанного каждой
точке (х , у) £ Ω соответствует
в точности одно значение η и
бесчисленное множество
значений s таких, что числа s, η
удовлетворяют системе (2)
(значения s отличаются друг от друга
на кратное τ). Указанное значение η является поэтому однозначной
функцией от х, у. Мы обозначим ее через F (х, у):
n = F(x,y). (7)
Если ограничиться локальными рассмотрениями, то и s можно считать
однозначной функцией от χ и у. При этом η ш s являются функциями 2-го
класса (по теореме о неявных функциях).
Покажем, что определенная соотношением (7) функция 2-го класса
Ρ {χι У) удовлетворяет условиям а), б) леммы.
Условие а) вытекает непосредственно из того, что каждой точке (х, у),
-г. е. (φ (s), ψ (s)), траектории L0 соответствует, в силу уравнений (2),
значение тг, равное нулю.
При доказательстве соотношения б) мы будем пользоваться
локальными рассмотрениями и будем считать, что как дг, так и s являются
однозначными функциями от χ и у.
Доказательство б). Дифференцируя соотношения (2) по χ
и у, получим соответственно:
1 = [φ' (s) +na' (s)) -g- + a (s) -g- ,
0:
-W(s) + nV{8)]^r + b(s)dn
дх
дх
И
О = [φ'(*) + »«'(*)] |L +* (*) |L
1 = [ψ'(«)+»&'(*)]
ds , , ч дп
(8)
(9)
При п = 0 каждая из систем (8), (9), рассматриваемая как линейная
система относительно частных производных, имеет определитель Δ (s),
не равный нулю в силу (4). Решая эти системы и принимая во внимание,
что n = F(x, у) и что при η — О x = cp(s), y = ty(s), мы найдем:
(5)
У=№)
_ ψ (*)
A(s)
=^(φ(»), *(*))
φ'(s)
"Δ(«)"
(10)


3 15]
НЕГРУБЫЕ ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ
135
Отсюда
(F'x (φ (s), ψ (s)))2 + (F'y (φ (*), t (*)))« = ίΦ'ΟΙ'+ί»'WI» _ (И)
Последнее выражение не может быть равно нулю, так как если φ' (s) >=
= -ψ' (5) = 0 при некотором 5, то (φ (s), ψ (s)) есть состояние равновесия
системы (А), а это противоречит тому, что точка (φ (s), -ψ (s)) принадлежит
замкнутой траектории L0. Утверждение б) доказано.
Таким образом, мы показали, что существует определенная в
кольце Ω функция F (х, у) второго класса, удовлетворяющая условиям а), б).
Границей кольца Ω являются простые замкнутые кривые 1\ и Г2,
параметрические уравнения которых
* = Φ (*) + δα (5)» У = Ψ (5) + δδ (*)
и
χ = ψ (5)_6a(s), 2/ = ,ψ (s) — bb (s).
Правые части этих уравнений суть функции 2-го класса. Поэтому в силу
известной теоремы Уитнея (см. [11], т. 1, п. 260, стр. 594) функция F (х, у)
может быть продолжена с сохранением класса на всю область G. Ясно,
что продолженная функция по-прежнему обладает свойствами а), б).
Лемма доказана.
Замечание 1. Если (А) — система класса N > 1, то существует
функция F (х, у) класса N + 1, удовлетворяющая условиям а), б) леммы.
Доказательство проводится в точности так же, только в качестве функций
a (s) и Ъ (s) нужно взять функции класса N + 1.
Замечание 2. Предположим, что плоскость (х, у), на которой
рассматривается система (А), есть координатная плоскость трехмерного
пространства (х, у, ζ). Тогда уравнение ζ = F (χ, у), где F — функция,
о которой идет речь в лемме 1, есть уравнение поверхности, проходящей
через траекторию L0. Из условия б) следует, что в точках этой траектории
поверхность не касается плоскости (х, у).
2. Теорема о рождении замкнутой траектории из сложного
предельного цикла. Напомним, что замкнутая траектория L0 называется
предельным циклом, если она является изолированной, т. е. если у нее существует
окрестность, не содержащая ни одной замкнутой траектории, кроме
самой L0. В этом случае, как было показано в § 12.2, либо все траектории,
проходящие через достаточно близкие к траектории L0 точки,
накручиваются на L0 (устойчивый предельный цикл), либо они скручиваются
с L0 (неустойчивый предельный цикл), либо траектории, расположенные
с одной стороны от L0, скручиваются, а с другой — накручиваются на L0
(полуустойчивый цикл). Предельный цикл называется сложным, если
его характеристический показатель отличен от нуля (определение 18,
§ 13.3).
В настоящем пункте мы докажем теорему, аналогичную теореме
о рождении замкнутой траектории из сложного фокуса (т. е. теореме 14).
Теорема 19 («теорема о рождении замкнутой траектории из
сложного предельного цикла»). Пусть (А) — динамическая система класса
iV>l (аналитического класса), L0 — ее сложный предельный цикл. При
любых ε>0 и δ>0 существует δ-близкая к (А) до ранга r*CN
(г < + оо) система (А) того же класса, имеющая в г-окрестности
предельного цикла L0 не менее двух замкнутых траекторий.


136 ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ В ГРУБЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. V
Доказательство теоремы 19 опирается на лемму 1,
а в остальном аналогично доказательству теоремы 14. Будем
рассматривать, так же как в предыдущих параграфах, функцию исследования / (п)
и функцию d (η) = f (ri) — η на некоторой нормали к траектории Ζ,0.
Мы считаем, что η — параметр на нормали, определенный формулами (2)
в § 12.4. Так как по условию L0 есть предельный цикл, то существует
п* > О такое, что для всех η, \ η | < гс*, η Φ О, определена функция
исследования / (п) и / (ή) — η — d (η) Φ 0 (d (0) = 0). Будем под I
понимать отрезок нормали, соответствующий значениям η, \ η |-<тг*. Для
определенности предположим, что L0 — устойчивый предельный цикл
(в случае неустойчивого или полуустойчивого цикла доказательство
проводится в точности так же). Тогда для всех η, \ η | < η*, η Φ 0,
d(ri) = f(n)—тг<0, если /г>0;
d(n) = f(n) — rc>0, если л<0. * '
Докажем сначала теорему для случая, когда (А) есть система класса 1.
Пусть ε > 0 и δ > 0 даны. Мы будем считать п* > 0 настолько
малым, что каждая дуга траектории системы (А), концы которой лежат
на нашей нормали и соответствуют значениям η и / (п) параметра (т. е.
дуга, заключенная между двумя последовательными точками
пересечения с нормалью), | η |<!дг*, лежит в i/8 (L0).
Возьмем произвольное щ, 0 < щ < дг*. В силу (12)
а(щ)<0. (13)
Пусть, далее, 6и 0<Γδ1<δ, настолько мало, что если система (А)
б^близка к системе (А), то а) нормаль I остается дугой без контакта
для траекторий системы (А); б) на ней при всех п, |/г|</г*, определены
функции / (ή) и б? (п); в) дуги траекторий системы (А), заключенные
между двумя последовательными точками η и / (п) пересечения их с
нормалью (| η | < η *), лежат в Uz (L0) и г) выполняется условие
а(щ)<0. (14)
Существование числа δ, удовлетворяющего указанным условиям,
следует из лемм 1, 2 и 11 § 4.
Мы будем рассматривать измененные системы некоторого
специального вида, именно следующие.
Пусть F (х, у) — функция класса 2, удовлетворяющая условиям
леммы 1, а μ — произвольное действительное число. В качестве измененной
системы (А) мы возьмем систему
■J- = Ρ (*, У) + VF (*, у) F'x {χ, у) = Р (χ, у),
~— <?(*. у) + μΡ (*. у) Fy (*, y) = Q (*, ν).
Очевидно (А) есть система класса 1, причем если μ достаточно мало по
модулю, то (А) сколь угодно близка к системе (А).
Так как χ = φ(/), y = ty(t) есть решение системы (А), соответствующее
траектории L0, а функция F (х, у) по самому ее выбору удовлетворяет
условию
*(φ(ί),ψ(0) = 0, (15)


§ 15]
НЕГРУБЫЕ ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ
137
то функции φ (Ο» Ψ (0 являются одновременно и решением системы (А),
т. е. траектория L0 системы (А) является одновременно траекторией
системы (А).
Пусть μ настолько мало, что система (А) б^близка к системе (А).
Тогда выполняется неравенство (14), т. е. d (щ) <С 0.
Вычислим d'(0). По условию <2'(0) = 0, т. е.
X
\ [Рх (Ф (*), Ψ (s)) + Qy (φ (s), ψ (*))] ds = 0. (16)
о
Дифференцируя Ρ и Q соответственно по χ и у и принимая во
внимание (15) и (16), мы найдем, что
τ
\ [Р'х (φ (*), Ψ (s))+Q'y (φ (s), ψ (.))] ds =
о
χ
=μ Ι КП(ф W. ♦Ш'+^Пф W. *(*)))■] a=μ/· (17)
0
Буквой / обозначен интеграл, стоящий в правой части равенства.
Из свойства б) функции F следует, что / > 0. Наконец, из формулы (17)
вытекает, что
X
I (Px+Qy)ds
d'(0) = e° _i = ^J_l. (18)
Пусть μ > 0. Тогда d' (0) > 0, т. е. траектория L0 является для
системы (А) неустойчивым предельным циклом. Следовательно, для всех
достаточно малых η > 0 d (ή) > 0.
В частности, для некоторого п2, 0 < тг2 < тг4,
^Ы>0. (19)
Из непрерывности функции с? и из неравенств (14) и (19) следует,
что между щ и п2 существует по крайней мере одно значение п* > 0
такое, что d (η*) = 0. Этому значению соответствует замкнутая
траектория L* системы (А), отличная от траектории L0. В силу условия в),
наложенного на δι, L* cz.Ue(Lo). Вторая замкнутая траектория системы (А),
лежащая в Uz (L0),— сама L0. Таким образом, для случая, когда (А) —
система класса 1, теорема доказана.
В случае, когда (А)—система класса 7V>1, r<7V, и близость
рассматривается до ранга г, доказательство проводится в точности так же,
только в качестве F (х, у) нужно взять функцию класса N +1 (см.
замечание 1 к лемме 1), а μ выбрать настолько малым, чтобы система (А)
была б-близка к (А) до ранга г
Пусть теперь (А) — аналитическая система. В этом случае мы не
можем воспользоваться непосредственно леммой 1. Действительно, мы
можем построить в окрестности траектории L0 аналитическую функцию
Ρ (#» У)у удовлетворяющую условиям а) и б); это можно сделать так же,
как для систем класса N. Однако распространить эту функцию на всю
область G мы, вообще говоря, не можем. Поэтому мы поступим несколько
иначе.


138 ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ В ГРУБЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. V
Для определенности предположим, как и выше, что L0 есть
устойчивый предельный цикл (сложный). Возьмем произвольное щ, О < щ < дг*.
Тогда d (щ) < 0. Считая, что δ > 0 задано, построим функцию F (#, г/)
(г + 1)-го класса, удовлетворяющую условиям леммы 1, и рассмотрим
Λ
-9
^
/7
5.
^
t
_d(ntKO
-2(π2)>σ
-2ΐσ)>σ
-dtyKO
*,
",
"г
О
"з
Φ
\
dfy)>0
-3ψ<0
-S'(0J<0
-d(n3)>0
t>
"τ
пг
σ
%
ej
ι
dty<0
d(nr)<0
-df/rjyO
-2Ш>а
dfrsJ</7
~3fr3J<0
/7
"f
Ъ
σ
Ъ
л*
1 άίπ,χσ
dfa)<o
l'
-d(ng)>0
-dfoj>0
-ЩН0
d(rtg)>0
df/?2)>0
8J
Рис. 42.
•систему (А). В качестве μ возьмем положительное число, при этом
настолько малое, чтобы система (А) была γ-близка к системе (А) до
ранга г и чтобы выполнялось условие (14)
3(щ) < 0.
Так как при μ ;> 0 d' (0) ;> 0 и, кроме того, d (0) = 0, то при достаточно
малых гг2>0 и тг3<0 выполняются условия
d(n2)>0 (19)
и
d(n3)<0 (20)
(рис. 42, а).
Рассмотрим теперь аналитическую систему (А*), η-близкую к
системе (А) до ранга г, где η < -к-. η выберем настолько малым, чтобы на
дуге I для системы (А*) была определена функция последования /* (п)
и чтобы выполнялись условия:
i*W<0, tf*(rc2)>0, tf*(rc3)<0. (21)
Очевидно, в качестве (А*) можно взять любую систему, правые части
которой многочлены, достаточно хорошо аппроксимирующие правые части
системы (А). Так как η<γ, то система (А) δ-близка к (А) до ранга г.
Из (21) следует, что существуют по крайней мере два значения η (лежащие
соответственно между щ и п2 и между п2 и п3), в которых функция d*
обращается в нуль. Этим значениям соответствуют две замкнутые
траектории системы (А*). Ясно, что при достаточно малом δ эти траектории
лежат в Uъ (L0).
Случай, когда L0 неустойчивая или полуустойчивая
траектория, рассматривается аналогично. Эти случаи проиллюстрированы на
рис. 42, б, в. Теорема доказана полностью.
Замечание 1. Нетрудно видеть, что если L0 является
устойчивым или неустойчивым сложным предельным циклом, то существуют
сколь угодно близкие к (А) системы (А), у которых в сколь угодно малой
•окрестности цикла L0 имеется не менее трех замкнутых траекторий.


3 15]
НЕГРУБЫЕ ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ
139
В справедливости этого утверждения можно убедиться почти таким же
рассуждением, как при доказательстве теоремы (см. рис. 42, а для
устойчивого случая). Однако для полуустойчивого цикла L0 последнее
утверждение (о наличии не менее трех замкнутых траекторий), вообще говоря,
не имеет места.
Замечание 2. Легко показать, что если L0 является сложным
предельным циклом системы (А), то существует сколь угодно близкая
к (А) система (А*), имеющая в сколь угодно малой окрестности цикла L0
по крайней мере два простых, т. е. грубых, предельных цикла. Докажем
это для случая, например, аналитических систем. Сначала строим, как
выше, систему 1-го класса (А^ типа (А), для которой L0 является уже
простым предельным циклом и которая имеет близко к L0 еще одну
замкнутую траекторию Lx. Если L4 есть простой предельный цикл, то
мы берем достаточно близкую к (А4) полиномиальную (а следовательно,
аналитическую) систему (А*). В силу грубости циклов L0 и L4 системы
(А4), система (А*) будет иметь в близкой окрестности циклов L0 и Ll грубые
циклы L* и L*, что и доказывает наше утверждение. Если Lx не является
простым предельным циклом системы (А4), то мы строим систему (А4),
связанную с циклом L^ так же, как система (А) в доказательстве
теоремы 19 связана с циклом L0. При надлежащем выборе числа μ система
(А4) будет настолько близка к (А4), что в сколь угодно малой окрестности
траектории L0 система (А4) будет иметь простой предельный цикл L0.
Траектория же L4 будет простым предельным циклом системы (А^
(см. доказательство теоремы 19). После этого остается только
аппроксимировать (А4) достаточно близкой аналитической системой.
Докажем еще одну лемму, которая понадобится нам в дальнейшем.
Доказательство ее непосредственно опирается на лемму 1.
Лемма 2. Пусть
§- = Р(*,у), § = <Ηχ,ν) (А)
— динамическая система класса iV>.l, рассматриваемая в области G,
а х = φ (t), у = ψ (t) — ее замкнутая траектория L (L cz G), не являющаяся
грубым (т. е. простым) предельным циклом. Каково бы ни было δ > О,
существуют сколь угодно малая окрестность U траектории L и
динамическая система (В) класса Ν, обладающие следующими свойствами:
а) Система (В) δ-близка до ранга N к системе (А) в области G.
б) Система (В) совпадает с системой (А) вне окрестности U.
в) Траектория L системы (А) является грубым предельным циклом
системы (В).
Доказательство. Так как (А) является системой класса Ν,
то φ и ψ — функции класса N + 1. Введем в окрестности траектории L
криволинейные координаты s и п, определяемые соотношениями
χ = 4(8) + ηψ (5), y = ${s)—щ' {*). (22)
В лемме 1 было показано, что каждой точке (#, у) достаточной малой
окрестности траектории L соответствует в точности одно значение п:
n = F(x, у),
и бесчисленное множество значений s таких, что числа s и η удовлетворяют
системе (22). При этом F (х, у), в силу теоремы о неявных функциях, есть
функция класса N.


140 ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ В ГРУБЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. V
Пусть щ — достаточно малое положительное число, а п2 и п3 —
произвольные положительные числа, причем п3 < п2 < щ. Обозначим
через W, U и V окрестности траектории L, определяемые соответственно
условиями:
Очевидно,
WcnUdV
(см. рис. 43, а; на нем заштрихована окрестность W).
Обозначим через у (п) какую-нибудь функцию, удовлетворяющую
следующим условиям:
а) γ (η) есть функция класса Ν, определенная для всех тг, | η | < щ;
б) vW^l при |гг|<тг3,
γ (тг) = 0 при п2 < | η | < пи
0<γ(π)<1 при п3<|^|<Аг2
(рис. 43, б). Очевидно, существуют функции γ (η) любого класса,
удовлетворяющие условию б).
При доказательстве теоремы 19 было установлено, что если L не
является грубым предельным циклом системы (А), то существует сколь


§ 15]
НЕГРУБЫЕ ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ
141
угодно близкая к (А) до ранга N система
класса N, для которой L является уже грубым предельным циклом.
Рассмотрим систему (В), совпадающую с системой (А) в области G—V
и определяемую уравнениями
-J- = Ρ (χ, у) + [Р (х, у)-Ρ (χ, у)] у (F (х, у)),
л (В)
-g- = Q {χ, у) + [Q (х, y) — Q (χ, у)] у (F (х, у))
в окрестности V замкнутой траектории. Легко видеть, что в окрестности W
система (В) совпадает с системой (А), т. е. L является для системы (В)
грубым предельным циклом. Далее, в области V — U система (В)
совпадает с системой (А). Следовательно, система (В) совпадает с (А) и в области
£?—[/. Наконец, очевидно, что (В) является системой класса N и сколь
угодно близка до ранга N к системе (А), если только (А) достаточно
близка к (А). Таким образом, система (В) удовлетворяет всем утверждениям
леммы. Лемма доказана.
3. Негрубость замкнутой траектории с нулевым характеристическим
показателем.
Теорема 20. Замкнутая траектория L0 системы (А), для которой
X
5 \Ρχ (φ Μ, Ψ W) + Qy (φ W, Ψ (*))] л =- о,
о
является негрубой {по отношению к любому из пространств iOv, r*CN,
если (А) — система класса JV, и R^J\ если (А) — аналитическая система).
Доказательство. Докажем сначала теорему 20 в
предположении, что (А) есть система класса JV, а негрубость рассматривается по
отношению к пространству Ядг\ где lO<iV.
Для доказательства предположим противное, т. е. допустим, что
рассматриваемая траектория L0 является грубой в некоторой
окрестности Я траектории L0. Тогда для любого ε > 0 существует δ > 0 такое,
что если система (А*) класса N δ-близка до ранга г к системе (А), то
(Я, A) i (Я*, 4*), (23)
где Я* — некоторая область. Покажем, что при этом L0 непременно
является предельным циклом системы (А).
Пусть / — рассмотренная выше дуга без контакта для траекторий
системы (А) (являющаяся нормалью к L0), Ω — окрестность траектории
L0, обладающая тем свойством, что каждая траектория системы (А),
проходящая через точку области Ω, пересекает дугу без контакта / как при
возрастании, так и при убывании t. В качестве Ω можно взять достаточно
малую каноническую окрестность траектории L0 (см. КТ, § 24.3).
Относительно окрестности Я мы предположим, что она находится внутри
области Ω на положительном расстоянии от границы этой области. Пусть
ε ^> 0 настолько мало, что если область Я* получается ε-сдвигом из
области Я, то Я* с Ω. Положим, что δ > 0 — число, соответствующее


142 ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ В ГРУБЫХ СИСТЕМАХ [ГЛ. V
выбранному ε в том смысле, что если системы (А) и (А*) δ-близки, то»
выполняется (23). Пусть бь 0 < δ4 <; δ, настолько мало, что если
система (А*) бгблизка к (А), то каждая траектория системы (А*), проходящая
через точки области Ω, пересекает дугу без контакта I как при
возрастании, так и при убывании t и для нее определена на этой дуге функция
последования /*, а следовательно, и функция d*.
Возьмем сначала систему (А) класса N вида
~ = Ρ (χ, у) + μΡ (χ, у) F'x (χ, у), -^ - Q (χ, у) + μΡ (χ, у) F'y {χ, у) (А)
(см. п. 2), выбрав μ>0 так, чтобы (А) была -у--близка до ранга г к (А).
В силу формулы (18) д! (0) > 0, т. е. d (ή) φ 0. Далее, пусть (А*) —
б2-близкая к (А) до ранга г аналитическая система. При этом 0<δ2 <-<г ·
Если δ2 достаточно мало, то d* (ή) мало отличается от d (ή), и поэтому
d* (η) ψ 0. Мы будем считать, что это условие выполняется. Система
(А*) бгблизка к (А) до ранга г и является аналитической, следовательно,
функция d* (η) также является аналитической. Так как при этом
d* (η) щ= 0, то эта функция на конечном интервале значений η может иметь
лишь конечное число корней. Отсюда следует, очевидно, что в области Ω
система (А*) может иметь лишь конечное число замкнутых траекторий.
Но тогда каждая из них является изолированной, т. е. предельным
циклом.
В силу предположения о грубости системы (А) в области Я и в силу
условий, наложенных на числа δ4, δ и ε, выполняется соотношение (23),
причем Н* cz Ω. При отображении Η на if*, реализующем
ε-тождественность (23), замкнутая траектория L0 системы (А) переходит в некоторую
замкнутую траекторию L* системы (А*), расположенную в Н* и,
следовательно, изолированную. Но тогда и L0, очевидно, изолирована, т. е.
является предельным циклом системы (А).
Таким образом, мы пока доказали, что если траектория L0 грубая,
то L0 есть предельный цикл. Пусть опять L0 является грубой в
окрестности Н. Мы можем считать, что Η содержит только одну замкнутую
траекторию L0. Пусть U — окрестность траектории L0 настолько малая, что
U α Η π U находится на положительном расстоянии от границы
окрестности //.
Возьмем ε > 0 настолько малым, что при ε-сдвиге окрестности И
U остается в «сдвинутой» окрестности *). Пусть δ — число,
соответствующее ε в смысле определения грубости системы (А) в Н. По теореме 19
(о рождении замкнутой траектории из сложного предельного цикла)
существует δ-близкая к системе (А) до ранга г система (А) класса Ν,
имеющая в окрестности U не менее двух замкнутых траекторий.
В силу выбора чисел δ и ε и окрестности U
(Н, А) 4 (Я, 1),
где Η — некоторая область и U cz H. Из этих соотношений вытекает,,
что в Η имеется не менее двух замкнутых траекторий системы (А) и,
следовательно, Η содержит не менее двух замкнутых траекторий системы (А).
Но это противоречит предположению, что в Η расположена только одна
*) См. сноску на стр. 75.


§ 15]
НЕГРУБЫЕ ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ
14а
замкнутая траектория "системы (А), именно L0. Полученное противоречие
доказывает негрубость траектории L0 по отношению к пространству R^.
В случае, когда (А) — аналитическая система, негрубость
траектории L0 относительно i?^ доказывается вполне аналогично. Теорема
доказана полностью.
Следствие. Для того чтобы замкнутая траектория L0 была
грубой, необходимо и достаточно, чтобы она была простым предельным
циклом, т. е. чтобы ее характеристический показатель
τ
о
был отличен от нуля.
Справедливость этого утверждения непосредственно вытекает из
определения 18 и из теорем 18 и 20.


ГЛАВА VI
НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГРУБОСТИ СИСТЕМЫ
Введение
В предыдущих главах был найден ряд необходимых условий грубости
динамической системы. Именно было установлено, что если динамическая
система (А) является грубой в замкнутой ограниченной области 6?*, то:
I. Она может иметь в области G* лишь конечное число состояний
равновесия, причем эти состояния равновесия могут быть лишь простыми
узлами, седлами или фокусами (Δ <; О либо Δ>0πσ^0; см. § 7,
теоремы 10 и 11 и § 10, теорема 15).
II. Замкнутыми траекториями системы (А) могут быть лишь простые
предельные циклы (т. е. траектории χ = φ (s), у = ψ (s), для которых
τ
J = ^(Ρ'χ (φ (s), ψ (»)) + Qy (φ («), Ψ (β))) ds φ 0, где τ — период функций
φ и ψ; см. § 15, теорема 20).
III. Система (А) не может иметь в 6?* сепаратрис, идущих из седла
в седло (§ 11, теорема 16).
В настоящей главе доказывается, что условия I—III являются не
только необходимыми, но и достаточными для грубости системы в
области G*. Строгое доказательство этого предложения хотя и просто по
существу, но требует довольно длинного и кропотливого рассмотрения. Оно
аналогично доказательству теоремы 76 из КТ, § 29.4.
Глава VI состоит из трех параграфов (§§ 16, 17, 18).
В § 16 доказывается, что если система (А) является грубой в
области G*, то у нее может существовать в G* лишь конечное число замкнутых
траекторий (теорема 21), а следовательно, и орбитно-неустойчивых
траекторий и полутраекторий (теорема 22). Далее, в § 16 вводится
понятие области с нормальной границей. Нормальная граница состоит из
конечного числа простых замкнутых кривых, каждая из которых является
либо циклом без контакта, либо составлена из четного числа чередующихся
дуг без контакта и дуг траекторий. Основная теорема о грубости
доказывается для областей с нормальной границей, так как это позволяет
упростить доказательство, не являясь в то же время существенным ограничением.
§ 17 является чисто вспомогательным. В нем показывается, что
область G* с нормальной границей можно разбить на канонические
окрестности состояний равновесия и предельных циклов и на элементарные
четырехугольники. Такое разбиение используется при доказательстве
основной теоремы.
В § 18 дается исчерпывающее доказательство того, что условия
I—III являются необходимыми и достаточными для грубости системы (А)


§ 16] ОСОБЫЕ ТРАЕКТОРИИ И ПОЛУТРАЕКТОРИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 145
в области G* (теорема 23). В п. 3 этого параграфа доказывается, что такие
же условия необходимы и достаточны для грубости системы на сфере
(теорема 24). В конце параграфа, в п. 4, приведено несколько
существенных замечаний и дополнений. Отметим среди них теоремы о том, что
грубые системы образуют открытое множество в пространстве всех
динамических систем в плоской области (теорема 25) и на сфере (теорема 25'),
и теорему о том, что грубые системы всюду плотны ,в пространстве всех
динамических систем (теорема 26). Эти теоремы означают, что «почти все»
динамические системы являются грубыми, а негрубые системы являются
исключениями.
Читатель, желающий ускорить ознакомление с основными фактами
излагаемой теории, может — без ущерба для понимания дальнейших
глав книги — опустить доказательство основных теорем 23 (§ 18.2)
и 24 (§ 18.3) и прочитать лишь § 16.1, формулировку теоремы 23 в § 18.2,
а также пп. 3 и 4 § 18.
§ 16. Особые траектории и полутраектории динамической системы
1. Конечность числа замкнутых траекторий у грубых систем. Прежде
чем переходить к доказательству достаточности условий I—III (см.
введение к главе) для грубости системы, мы покажем, что из этих условий
вытекает конечность числа замкнутых траекторий в грубой системе.
Заметим, что в силу условия II каждая замкнутая траектория в грубой системе
является изолированной. Однако это не позволяет еще непосредственно
сделать заключение о конечности числа замкнутых траекторий, так как
точка сгущения для точек замкнутых траекторий может сама не
принадлежать, очевидно, замкнутой траектории.
Теорема 21. Если система (А) является грубой в области G*,
то у нее может существовать в G* только конечное число замкнутых
траекторий.
Доказательство. Предположим противное, т. е. что у
системы (А) имеется в области 6?* бесчисленное множество замкнутых
траекторий. Выберем последовательность Lu L2i L3l ... таких траекторий и на
каждой из них возьмем произвольную точку. Пусть Μ ι, М2, Μ3ι ... —
последовательность этих точек, М% £ L%. Так как область G* компактна,
то последовательность {Mi} имеет по крайней мере одну точку сгущения,
и мы можем без ограничения общности считать, что {Mt} является
сходящейся последовательностью (если это не так, нужно перейти к
подпоследовательности). Пусть она сходится к точке М*. Таким образом, М* есть
точка, в любой окрестности которой проходят замкнутые траектории,
целиком расположенные в G*. Покажем, что если (А) — грубая система,
то такой точки М* в области 6?* существовать не может. В случае, когда
М* не является состоянием равновесия, мы обозначим через L*
проходящую через ΛΡ траекторию. Если а- и ω-предельные множества
траектории L* лежат вб*, то мы обозначим их соответственно через Ка и Κω.
Допустимы следующие возможности:
1) М* есть простой фокус или узел.
2) М* есть простое седло.
3) Траектория L* при возрастании или убывании t выходит из
области G*.
4) Ка или Κω есть узел или фокус.


146 НЕОБХОДИМЫЕ ИГДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГРУБОСТИ СИСТЕМЫ [ГЛ. VI
5) Ка или Κω есть замкнутая траектория·
6) Ка или К& есть седло.
7) Ка или Κω есть предельный континуум, состоящий из седла
и сепаратрис, идущих из седла в седло и являющихся продолжениями
одна другой.
Разберем каждый из этих случаев.
Случай 1) не может иметь места, так как все траектории, проходящие
достаточно близко к узлу или фокусу, стремятся к нему и, следовательно,
являются незамкнутыми.
Случай 3) не может иметь места, так как если траектория L* выходит
из области G*, то и всякая замкнутая траектория Lk, проходящая
достаточно близко к точке М*, также
выходит из области 6?*. А по условию
все замкнутые траектории целиком
лежат в области G*.
Случай 7) не может иметь места,
так как в грубой системе нет
сепаратрис, идущих из седла в седло.
Рассмотрим остальные случаи.
Случай 4). Допустим, что Κω есть
узел или фокус О. Пусть U ъ (О) —
настолько малая окрестность точки О,
что все траектории, проходящие
через нее, стремятся при t->- + оо
к точке О и, следовательно, являются
незамкнутыми. Так как траектория
L* имеет точки в Uъ (О), то, по
теореме о непрерывной зависимости от
начальных значений, всякая
траектория Lu, проходящая достаточно близко к точке М*, также проходит
внутри U8 (О), т. е. является незамкнутой, что противоречит
определению Lk.
Случай 5). Пусть Κω есть замкнутая траектория. Возьмем на ней
произвольную точку S. В любой ее окрестности U ъ (S) имеются точки
траектории L*, а следовательно, по теореме о непрерывной зависимости
от начальных значений, и точки любой замкнутой траектории L&,
проходящей достаточно близко к точке М*. Но тогда Κω есть неизолированная
замкнутая траектория, что противоречит грубости системы (А).
Случай 6). Допустим для определенности, что Ка есть седло, т. е.
L* есть сепаратриса одного из седел системы. Так как в грубой системе
нет сепаратрис, идущих из седла_в седло, то либо при возрастании t
траектория L* выходит из области G* (случай 3)), либо Κω есть узел, фокус
или замкнутая траектория области G* (случай 4) и 5)). Невозможность
этих случаев показана выше.
Случай 2). Предположим, что М* есть седло. Рассмотрим достаточно
малую каноническую окрестность его U, ограниченную простой замкнутой
кривой С, состоящей из четырех дуг без контакта и четырех дуг
траекторий (рис. 44). Возьмем окрестность U настолько малой, что, кроме седла
М*, в U нет других состояний равновесия системы (А). По условию
в окрестности U лежит бесчисленное множество точек Afft, расположенных
на замкнутых траекториях Lk. Однако никакая замкнутая траектория
системы (А) не может лежать целиком в Z7, так как в противном случае


§ 16] ОСОБЫЕ ТРАЕКТОРИИ И ПОЛУ ТРАЕКТОРИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 147
внутри этой траектории либо совсем нет состояний равновесия, либо
расположено одно состояние равновесия, являющееся седлом, чего
не может быть (КТ, § 11.2, теорема 30 и следствие 1 из теоремы 29).
Поэтому каждая замкнутая траектория Lk имеет по крайней мере одну точку ΜΑ,
лежащую на кривой С. Так как эта кривая компактна, то можно выбрать
последовательность точек {Mk}, сходящуюся к некоторой точке М* £ С.
Μ* не является состоянием равновесия, и ее можно взять в качестве
исходной точки М*. Мы приходим к одному из случаев 3)—7),
невозможность которых уже была показана.
Таким образом, ни один из случаев 1)—7) не может иметь места. Это
доказывает справедливость теоремы.
В КТ, § 15, было введено понятие орбитной устойчивости и
установлено, какие траектории являются орбитно-устойчивыми и какие — орбит-
но-неустойчивыми. Здесь нет необходимости воспроизводить эти
результаты. Укажем только, что если система (А) груба в области G*, то ее орбит-
но-неустойчивыми траекториями в этой области являются все состояния
равновесия, предельные циклы и сепаратрисы седел *).
Теорема 22. Если система (А) груба в области G*, то она может
иметь в этой области лишь конечное число орбитно-неустойчивых
траекторий и полутраекторий.
Справедливость этой теоремы непосредственно вытекает из теорем 10,
11 (§ 7) и 21.
Замечание. Теоремы 21 и 22 остаются, очевидно, справедливыми,
если заменить в них требование грубости системы (А) требованием, чтобы
система (А) удовлетворяла условиям I—III (на самом деле оба
требования являются эквивалентными, но пока мы этого не доказали).
2. Области с нормальной границей. Доказательство достаточности
условий I—III (см. введение к главе) для грубости системы в области G*
мы проведем не для самого общего случая, а в предположении, что G*
имеет так называемую нормальную границу. Области с нормальной
границей введены в КТ, § 16.2, однако мы приведем здесь соответствующее
определение полностью. Заметим, что условие нормальности границы,
не являясь существенным ограничением, позволяет избежать
значительных усложнений при доказательстве достаточности **).
Определение 19. Граница компактной связной области
называется нормальной для данной динамической системы (А), если
выполняются следующие условия:
1) Она состоит из конечного числа простых замкнутых кривых.
2) Каждая из этих замкнутых кривых либо является циклом без
контакта, либо составлена из четного числа чередующихся дуг без
контакта и дуг траекторий***). Будем называть общую точку граничной дуги
траектории и дуги без контакта угловой точкой; полутраекторию,
лежащую в G* и имеющую концом угловую точку,— угловой полутраекторией;
дугу траектории, все точки которой, отличные от концов, лежат в 6?*,
*) Сепаратрисы седел могут быть целыми траекториями или полутраекториями,
в зависимости от того, лежат они целиком в G* или нет.
**) Можно показать, что если граница области G* состоит из конечного числа
простых замкнутых непересекающихся кусочно-гладких кривых, то ее можно
аппроксимировать сколь угодно близкой нормальной границей.
***) Граничные дуги траекторий мы будем иногда называть для краткости просто
граничными дугами.


148 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГРУБОСТИ СИСТЕМЫ [ГЛ. VI
а концы лежат на граничных дугах без контакта и по крайней мере один
из концов есть угловая точка,— угловой дугой] аналогичную дугу
траектории при условии, что ни один из ее концов не является угловой точкой,—
целой неособой дугой.
3) У всякой угловой дуги только один конец является угловой точкой.
4) Ни одна угловая полутраектория не является сепаратрисой седла.
5) Ни одна граничная дуга траектории не принадлежит замкнутой
траектории, целиком лежащей в G*.
Условия 4) и 5) означают, очевидно, что граничные дуги траекторий
не принадлежат орбитно-неустойчивым траекториям или полутраекториям,
целиком расположенным в
области G*.
Мы будем называть граничную
и угловую дуги траектории,
имеющие общий конец и,
следовательно, образующие вместе одну дугу
траектории системы (А),
продолжением одна другой (соответственно
в сторону возрастания или
убывания t). Точно так же мы будем
называть продолжениями одна
другой граничную Дугу и угловую
траекторию, имеющие общий конец.
На рис. 45 изображена трех-
связная область G* с нормальной
границей. Граница эта состоит из
трех простых замкнутых кривых,
одна из которых есть цикл без
контакта Λ, две другие состоят
каждая из четного числа дуг
траектории Ъг и дуг без контакта Xt
для внешней граничной кривой и 6<г<;7 для внутренней),
контакта λ| изображены на рисунке прямолинейными отрезками.
Угловые точки — At (1<г<10) и Bj (l</<4). На рисунке
изображены: угловые дуги C3Ak, С5А6, А7С7, #iCV, угловая
полутраектория L\ с концом A i, стремящаяся к устойчивому
фокусу Оΰ угловая полутраектория L\,
стремящаяся к устойчивому предельному циклу Z,
внутри которого лежит неустойчивый узел или
фокус 02', седло 03 с четырьмя сепаратрисами.
Граничные дуги Ь2 и Ь5 не имеют
продолжений в области G*. Каждая из остальных
граничных дуг имеет продолжения в обе стороны.
Продолжением граничной дуги Ь3 в сторону
убывания t является угловая дуга 44С3,а в
сторону возрастания — угловая полутраектория L\.
На рис. 46 показана граничная дуга Ъ,
имеющая продолжение только в одну сторону (в сторону возрастания t).
Определение 20. Мы будем называть особыми траекториями,
полутраекториями, дугами (траекторий), дугами без контакта и циклами
без контакта расположенные в области G* соответственно орбитно-
неустойчивые траектории, сепаратрисы седел и угловые полутраектории,
(1<ί<5
Дуги без


§ 16] ОСОБЫЕ ТРАЕКТОРИИ И ПОЛУТРАЕКТОРИИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 149
граничные и угловые дуги траекторий, граничные дуги без контакта
и граничные циклы без контакта. Все остальные траектории,
полутраектории и дуги траекторий мы будем называть неособыми. Особые
траектории, полутраектории и т. д. мы будем называть также особыми
элементами.
Приведем полный перечень возможных траекторий, полу траекторий
и дуг грубой системы (А) в области G* с нормальной границей.
A) Особые траектории и полутраектории,
являющиеся орбитн о-н еустойчивыми:
1) Состояние равновесия (устойчивый узел или фокус, неустойчивый
узел или фокус, седло).
2) Предельный цикл (устойчивый или неустойчивый).
3) Сепаратриса, стремящаяся при £-»· + оо (— оо) к седлу, а при
£~> — оо (+ оо) к неустойчивому (устойчивому) фокусу, узлу или
предельному циклу или выходящая при убывании (возрастании) t из области
G* через граничную дугу или цикл без контакта.
B) Особые орбитн о-у стойчивые
полутраектории:
4) Угловая полутраектория, стремящаяся при ί-> — оо (+ оо)
к неустойчивому (устойчивому) узлу, фокусу или предельному циклу.
C) Особые дуги и циклы без контакта:
5) Угловая дуга.
6) Граничная дуга траектории.
7) Граничная дуга без контакта.
8) Граничный цикл без контакта.
D) Неособые целые траектории и
полутраектории:
9) Траектория, стремящаяся при ί->-οο к неустойчивому, а при
t->- + оо к устойчивому узлу, фокусу или предельному циклу (9
возможностей).
10) Полутраектория, стремящаяся при ί-> — оо (+ оо) к
неустойчивому (устойчивому) узлу, фокусу или предельному циклу, а при
возрастании (убывании) t выходящая из области G* через граничную дугу или
цикл без контакта.
E) Неособые целые дуги:
11) Дуга траектории, не являющаяся угловой или граничной, концы
которой лежат на граничных дугах или циклах без контакта, а все
остальные точки — в области G*.
В дальнейшем мы будем называть устойчивые узлы, фокусы и
предельные циклы системы (А), расположенные в области G* (фактически
в G*), элементами притяжения или стоками, а неустойчивые узлы,
фокусы и предельные циклы — элементами отталкивания или источниками.
Очевидно, граничные дуги или циклы без контакта, через которые
траектории выходят при возрастании t из области G*, также играют в известном
смысле роль элементов притяжения (стоков), а граничные дуги и циклы
без контакта, через которые траектории входят в G*, — элементов
отталкивания (источников).
Так как у грубой системы в области G* имеется только конечное
число особых элементов, то справедливы все предложения относительно
разбиения области G* на ячейки, изложенные в КТ, § 16. Именно, множество
Ε всех точек области G*, принадлежащих особым элементам, является


150 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГРУБОСТИ СИСТЕМЫ [ГЛ. VI
замкнутым множеством. Дополнение к нему, т. е. открытое множество
G*—Е, состоит из конечного числа компонент, называемых ячейками.
Каждая ячейка заполнена неособыми траекториями, полутраекториями
или дугами траекторий, ведущими себя в известном смысле «одинаково»
(см. КТ, § 16, теоремы 46—48, 53, 57). Ячейки могут быть либо односвяз-
ными, либо двусвязными. В следующей главе мы рассмотрим, какие типы
ячеек возможны у грубых систем.
§ 17. Правильная система окрестностей и разбиение области О*
на канонические окрестности и элементарные четырехугольники
1. Правильная система канонических окрестностей в случае грубых
систем. Как известно, вокруг всякого узла или фокуса можно провести
цикл без контакта, содержащий внутри себя этот узел или фокус и не
содержащий других состояний
равновесия, а также замкнутых
траекторий. При этом цикл можно провести
в любой сколь угодно малой
окрестности узла или фокуса *). Мы будем
говорить, что такой цикл без
контакта принадлежит данному узлу
или фокусу, а также, наоборот, что
узел или фокус принадлежит данному
циклу без контакта.
Замкнутую область, состоящую
из точек, лежащих внутри указанного
цикла без контакта, и из точек
самого цикла, мы будем называть
замкнутой канонической окрестностью
узла или фокуса. Очевидно, все
траектории, проходящие через точки
Рис. 47. канонической окрестности узла или
фокуса О и отличные от самой
точки О, не выходя из этой окрестности, стремятся к О либо при t ->- + оо
(если О — устойчивый узел или фокус), либо при t -»· — оо (в
неустойчивом случае).
Рассмотрим теперь предельный цикл L0 системы (А). В КТ, § 24.3,
показано, что в любой окрестности цикла L0 можно провести два цикла
без контакта С и С", один лежащий внутри L0, а другой содержащий
внутри себя Z/0, причем так, что кольцевая область Г, ограниченная
циклами С" и С, не содержит внутри себя ни одного состояния равновесия
и ни одной замкнутой траектории, кроме L0 (рис. 47). Замкнутая
кольцевая область Τ является суммой двух замкнутых односторонних
канонических окрестностей 7" и Г", ограниченных соответственно замкнутыми
кривыми L0nC" и.10иС". Мы будем говорить, что циклы без контакта С
и С" принадлежат предельному циклу L0. Область Τ мы будем называть
двусторонней замкнутой канонической окрестностью или просто
канонической окрестностью предельного цикла L0.
Всякая отличная от L0 траектория, проходящая через точку
канонической окрестности Г, стремится, не выходя из Г, к предельному циклу
L0 при £->- + оо, если цикл L0 устойчив, и при £-»· — оо, если он
*) См. КТ, § 18.1, лемма 3 и замечание к ней.


§ 17] ПРАВИЛЬНАЯ СИСТЕМА ОКРЕСТНОСТЕЙ И РАЗБИЕНИЕ ОБЛАСТИ G* 151
неустойчив. Соответственно при убывании или возрастании t такая
траектория выходит из Τ через один из циклов без контакта С" или С.
Очевидно, при любом ε > 0 циклы С и С" можно провести всегда так, что
область Τ будет целиком лежать в Uъ (L0).
В дальнейшем во многих случаях нам будет удобно не различать,
имеем мы дело с канонической окрестностью узла, фокуса или
предельного цикла, и мы будем говорить просто о канонических окрестностях
элементов притяжения или отталкивания. Мы будем также говорить
о цикле без контакта, принадлежащем данному элементу притяжения
или отталкивания, и, наоборот, об элементе притяжения или
отталкивания, принадлежащем данному циклу без контакта.
Кроме канонических окрестностей узлов, фокусов и предельных
циклов мы будем рассматривать канонические окрестности седел. Такая
окрестность ограничена четырьмя дугами без контакта, пересекающими
каждая одну из сепаратрис седла, и четырьмя дугами траекторий (рис. 44;
канонические окрестности седел определяются в КТ, § 19.2). При любом
ε > О всегда можно взять каноническую окрестность седла О, целиком
лежащую в Uг (О).
Всюду в дальнейшем в этой главе мы будем предполагать, что
динамические системы, о которых идет речь, удовлетворяют условиям I—III
введения к главе VI и рассматриваются в области с нормальной границей.
Лемма 1. Если дуги без контакта, входящие в границу
канонической окрестности седла О, достаточно малы, то каждая из этих дуг имеет
только одну общую точку с соответствующей сепаратрисой седла О и не
имеет общих точек ни с одной из других особых траекторий и
полутраекторий (т. е. предельных циклов, сепаратрис и угловых полутраекторий),
а также с угловыми дугами.
Доказательство. Справедливость леммы непосредственно
вытекает из конечности числа особых траекторий и полутраекторий
у рассматриваемых динамических систем (§ 16, теоремы 21 и 22, замечание
к теореме 22 и определения 19 и 20), а также из того, что в силу
условия III у таких систем сепаратрисы седел не могут быть предельными
траекториями (т. е. входить в предельный а- или ω-континуум какой-
нибудь траектории).
Лемма 2. Существует такое ε0>0, что если каноническая
окрестность каждого седла Ot лежит в Ueo (Of), то ни одна траектория,
проходящая через точки канонической окрестности одного седла, не
может иметь точек в канонической окрестности какого-либо другого
седла.
Доказательство. Выберем сначала канонические
окрестности элементов притяжения и отталкивания (узлов, фокусов и предельных
циклов) так, чтобы они не имели друг с другом общих точек. Все седла
системы (А) лежат, очевидно, вне этих окрестностей. Рассмотрим
множество Ω, состоящее из всех циклов без контакта, входящих в границы
канонических окрестностей элементов притяжения и отталкивания, из
всех граничных циклов без контакта и из всех открытых граничных дуг
без контакта (т. е. граничных дуг, у которых отброшены их концы).
В силу условия III каждая α-(ω-) сепаратриса любого из седел пересекает
при возрастании (убывании) t один и только один из элементов
множества Ω, причем только в одной точке.
Пусть Οι (i = 1, 2, ..., т) — седла системы (А), расположенные
в области G*, a L^ (k = 1, 2, 3, 4) — сепаратрисы седла Ot. Рассмотрим
полутраекторию, выделенную из сепаратрисы L\h) и имеющую своим


152 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГРУБОСТИ СИСТЕМЫ [ГЛ. VI
концом точку пересечения ее с соответствующим циклом или дугой без
контакта, принадлежащей множеству Ω. Чтобы не вводить новых
обозначений, будем под Lik) понимать именно эту полутраекторию. Множество,
состоящее из седла Ог и всех точек полутраекторий L{h) (к = 1, 2, 3, 4),
мы обозначим через Ft (i = 1, 2, ..., т). Очевидно, каждое из множеств Ft
замкнуто и эти множества не имеют общих точек в силу отсутствия
сепаратрис, идущих из седла в седло. Поэтому расстояния между любыми
двумя из множеств Ft положительны и существуют замкнутые окрестности
их, не имеющие общих точек.
Мы обозначим такие
окрестности через Wi- При этом мы будем
понимать под Wi (i = 1, 2,..., к)
замкнутую окрестность
множества Ft в множестве,
состоящем из точек области 6?*,
лежащих вне или на границе
канонических окрестностей элементов
притяжения или отталкивания.
Окрестности W% напоминают по
форме «крестовины» (рис. 48).
Рассмотрим канонические
окрестности U% (Ог), целиком
лежащие в Wi. Пусть в границу
окрестности Ut входят дуги без
контакта 1^ (к = 1, 2, 3, 4).
Если эти дуги достаточно
малы, то каждая проходящая
через их точки траектория как при убывании, так и при возрастании t
либо выйдет из области G*, либо попадет внутрь одной из канонических
окрестностей элементов притяжения или отталкивания, оставаясь до этого
в множестве Wi. Но тогда тем же свойством обладает каждая траектория,
проходящая через любую точку окрестности Ut.
Пусть ε0 — настолько малое положительное число, что при любом
i = 1, 2, ..., т UBo (Oi) cz 11г. Очевидно, такое число удовлетворяет
утверждению леммы: Лемма доказана.
Определение 21. Пусть (А) — динамическая система,
удовлетворяющая условиям I—III введения к главе и рассматриваемая в области
с нормальной границей. Мы будем называть систему канонических
окрестностей динамической системы (А) правильной *), если выполняются
следующие условия:
1) Канонические окрестности различных состояний равновесия не
имеют общих точек ни друг с другом, ни с каноническими
окрестностями предельных циклов; канонические окрестности различных предельных
циклов также не имеют общих точек друг с другом.
2) Ни одна траектория системы (А) не проходит через канонические
окрестности двух различных седел.
*) В КТ, § 27, понятие правильной системы канонических окрестностей было
введено для динамических систем более общего типа. Рассматриваемые здесь
динамические системы удовлетворяют условиям I—III, поэтому их правильная система
канонических окрестностей удовлетворяет сформулированным ниже условиям (более
сильным, чем в общем случае).


§ 17] ПРАВИЛЬНАЯ СИСТЕМА ОКРЕСТНОСТЕЙ И РАЗБИЕНИЕ ОБЛАСТИ G* 153
3) Всякая входящая в границу канонической окрестности седла дуга
без контакта удовлетворяет утверждению леммы 1, т. е. имеет в
точности одну общую точку с соответствующей сепаратрисой и не имеет
общих точек ни с одной из других особых траекторий и полутраекторий,
а также с угловыми дугами.
Из лемм 1 и 2 следует, что правильные системы канонических
окрестностей существуют. Мы будем предполагать, что всякая рассматриваемая
в дальнейшем система канонических окрестностей является правильной.
Из приведенного выше перечня типов траекторий, полутраекторий,
дуг траекторий и т. д., а также из свойств канонических окрестностей,
очевидно, следует:
A) Всякая неособая траектория, целиком лежащая в G*, пересекает
один цикл без контакта, принадлежащий элементу отталкивания, и один
цикл без контакта, принадлежащий элементу притяжения. .
B) Всякая неособая полутраектория пересекает один цикл без
контакта, принадлежащий элементу притяжения или отталкивания, и одну
граничную дугу или граничный цикл без контакта.
C) Всякая α-(ω-) сепаратриса либо пересекает один цикл без
контакта, принадлежащий элементу притяжения (отталкивания), либо выходит
из области G* при возрастании (убывании) t через граничный цикл или
граничную дугу без контакта.
D) Всякая положительная (отрицательная) угловая полутраектория
пересекает один цикл без контакта, принадлежащий элементу притяжения
(отталкивания).
Приведем здесь терминологию и некоторые факты, относящиеся
к циклам и дугам без контакта, входящим в множество Ω, и к разбиению
этих дуг и циклов на части особыми траекториями и полутраекториями
(определение множества Ω дано в доказательстве леммы 2).
Пусть С — цикл без контакта, входящий в границу некоторой
канонической окрестности или в границу области G*. Если такой цикл не имеет
общих точек с особыми траекториями, полутраекториями и угловыми
дугами системы, то он называется свободным. При этом мы будем говорить,
что С является свободным ω-циклом (α-циклом), если С принадлежит
элементу притяжения (отталкивания) или если С является граничным
циклом, через который траектории системы выходят из G* (входят в G*).
Цикл без контакта С называется несвободным, если он имеет хотя бы
одну общую точку с особыми траекториями, полутраекториями или
угловыми дугами (угловая дуга может иметь с С общую точку лишь в том
случае, когда С является граничным циклом без контакта). Если несвободный
цикл без контакта С имеет более одной общей точки с особыми
полутраекториями, траекториями или угловыми дугами, то он разбивается этими
точками на конечное число простых дуг, каждая из которых, кроме
концов, не имеет больше ни одной общей точки с указанными особыми
элементами. Такие дуги называются простыми элементарными. Если же
несвободный цикл С имеет только одну общую точку Μ с особыми
траекториями, полутраекториями и угловыми дугами, то С называется
циклической элементарной дугой, а точка Μ — концом циклической дуги.
Элементарная дуга — простая или циклическая — называется
элементарной ω-дугой (α-дугой) или просто ω-дугой (α-дугой), если цикл без
контакта С, дугой которого она является, принадлежит элементу
притяжения (отталкивания) или если С есть граничный цикл без контакта,
через который траектории системы выходят из 6?* (входят в G*).


154 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГРУБОСТИ СИСТЕМЫ [ГЛ. VI
Граничные дуги без контакта также разделяются точками,
принадлежащими особым элементам — именно сепаратрисам или угловым
дугам, — на простые элементарные дуги, каждая из которых, кроме концов,
не имеет общих точек с особыми элементами. В частности, простая
элементарная дуга может совпадать с граничной дугой без контакта.
Указанные элементарные дуги также являются ω- или α-дугами в
соответствии с тем, выходят ли траектории системы через эти дуги из области
6?* или входят в нее.
Сформулируем теперь без доказательств несколько вспомогательных
предложений, которыми мы ниже воспользуемся. Доказательства их не
представляют труда. Они изложены в КТ, § 27.4, причем для более
широкого, чем здесь, класса дина-
/I В С мических систем (именно для
систем, относительно которых
не требуется обязательного
выполнения условий I—III). Из
приведенного в § 16.2 перечня
траекторий, полу траекторий
и т. д. и из определения
свободных циклов без контакта
и элементарных дуг
непосредственно вытекает, что
каждая неособая траектория ди-
"г °? р2 °) комической системы (А), рас-
Рис· 49' положенная в области G*,
является ли она целой
траекторией, полутраекторией или целой дугой, пересекает одну α-дугу или
свободный α-цикл и одну ω-дугу или свободный ω-цикл.
Лемма 3. Все траектории, проходящие через точки одного и того
же свободного α-(ω-) цикла пересекают один и тот же свободный ω-(α-)
цикл, причем один из указанных циклов лежит внутри другого.
Замечание.. Траектории, о которых говорится в этой лемме,
являются неособыми (в силу определения свободного цикла). При этом
либо они все одновременно суть целые траектории, либо полутраектории,
либо целые дуги. Свободные а- и ω-циклы, пересекаемые одними и теми
же траекториями, называются сопряженными.
Лемма 4. Все траектории, проходящие через (внутренние) точки
одной и той же α-(ω-) дуги, пересекают одну и ту же ω-(α-) дугу.
Замечание. Здесь также речь идет о неособых траекториях.
Две элементарные дуги без контакта, пересекаемые одними и теми же
траекториями, называются сопряженными элементарными дугами. Две
сопряженные элементарные дуги грубой системы либо являются
одновременно простыми, либо одна из них простая, а другая —
циклическая.
В случае, когда (А) — негрубая система, может оказаться, что у нее
имеются две сопряженные циклические дуги. Однако у грубых систем
сопряженных одна с другой циклических дуг быть не может. Это будет
показано позже (глава VII, § 19.3, лемма 3).
На рис. 49 простые α-дуги АХВХ и B2Ci сопряжены соответственно
с простыми ω-дугами АВ и ВС, а простая α-дуга BiB2 сопряжена с
циклической ω-дугой Г, имеющей своим концом точку М0. Все указанные дуги
принадлежат границе двусвязной области G*.
Ш


§ 17] ПРАВИЛЬНАЯ СИСТЕМА ОКРЕСТНОСТЕЙ И РАЗБИЕНИЕ ОБЛАСТИ G* 155
2. Разбиение области <?* на канонические окрестности и
элементарные четырехугольники. Как и выше, мы считаем, что (А) — динамическая
система, удовлетворяющая в области G* с нормальной границей
условиям I—III введения. Предположим, что в G* задана какая-нибудь
правильная система канонических окрестностей. Обозначим через К
множество, состоящее из всех внутренних точек всех канонических окрестностей.
Точки области G*, не
принадлежащие множеству К, образуют
замкнутое множество G* — К.
Лемма 5. Замкнутое
множество G* — К может быть
разбито на конечное число
замкнутых элементарных
четырехугольников так, что каждая дуга
без контакта, входящая в гра- Рис. 50.
ницу любого из них, является:
либо частью граничного цикла без контакта, либо частью цикла без
контакта, принадлежащего какому-нибудь элементу притяжения или
отталкивания, либо частью граничной дуги без контакта, либо дугой
без контакта, входящей в границу канонической окрестности седла.
При этом
а) всякие два четырехугольника разбиения либо не имеют общих
точек, либо их общие точки образуют дугу траектории, входящую в
границу каждого из них;
б) дуга без контакта, входящая в границу четырехугольника
разбиения, либо имеет одну отличную от конца общую точку с сепаратрисой
седла и больше не имеет общих точек с особыми элементами; либо один
из ее концов принадлежит угловой полутраектории или угловой дуге или
является угловой точкой границы, а все остальные точки принадлежат
неособым траекториям; либо состоит целиком из точек, принадлежащих
неособым траекториям.
Замечание. Мы будем называть разбиение области G* на
канонические окрестности, образующие правильную систему, и на
элементарные четырехугольники, удовлетворяющие утверждениям леммы 5,
правильным разбиением области G*.
Доказательство. Рассмотрим прежде всего канонические
окрестности седел системы (А). Пусть О — какое-нибудь седло, Η — его
каноническая окрестность, γ-дуга без контакта, входящая в границу
окрестности Н, А и В — ее концы, L — сепаратриса седла О,
пересекающая дугу у, D — точка пересечения L и γ (рис. 50). Для определенности
будем считать, что L есть α-сепаратриса. Тогда L при возрастании t
выходит из окрестности Η через точку D и пересекает либо цикл без контакта С
(граничный или принадлежащий элементу притяжения), либо граничную
дугу без контакта. Предположим для определенности, что сепаратриса
L пересекает цикл без контакта С в точке Ώ' (в случае, когда L
пересекает граничную дугу без контакта, рассуждения проводятся в точности
так же). Из определения правильной системы канонических окрестностей
непосредственно следует, что все траектории, проходящие через точки
дуги γ, при возрастании t пересекают дугу без контакта γ', составляющую
часть цикла С. При этом концы дуги γ' — точки А' и В' — лежат
соответственно на траекториях LA и LB, проходящих через концы А и В дуги γ,


1 56 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГРУБОСТИ СИСТЕМЫ [ГЛ. VI
а на дуге γ', за исключением точки D', нет точек, принадлежащих особым
траекториям.
Дуги γ и γ' мы будем называть сопряженными дугами.
Четырехугольник Δ, ограниченный дугами γ и γ', является элементарным.
Таким образом, каждой дуге без контакта γ, входящей в границу
канонической окрестности седла, соответствует элементарный
четырехугольник. Пусть At (i = 1, 2, ..., Ν) — все такие четырехугольники,
γ. и γ: — ограничивающие их дуги без контакта. Очевидно,
четырехугольники Δ ι не имеют попарно общих точек (см. определение 21, 2)).
Рассмотрим теперь угловую траекторию L, имеющую своим концом
угловую точку R границы. Предположим для определенности, что L есть
л Л.
отрицательная полутраектория. Тогда L имеет общую точку R с циклом
без контакта С, принадлежащим элементу отталкивания (рис. 51).
Возьмем на цикле С две точки А и В,
расположенные по разные стороны
от точки R и настолько близко к ней,
чтобы на дуге АВ цикла С не было
ни одной точки ранее выделенных
дуг у\ и ни одной точки какой-нибудь
Л.
угловой траектории, кроме точки R.
Рассмотрим отдельно дуги RA и
RB. Обозначим их соответственно
через %ι и Х2-
Траектории, проходящие через
точки одной из этих дуг (на рис. 51
Рис. 51. через точки дуги χ2), пересекают при
возрастании t дугу χ2,
составляющую часть граничной дуги без контакта и имеющую одним из своих
концов точку R (все остальные точки дуги χ2 принадлежат неособым
траекториям). Траектории, проходящие через точки второй из дуг χ4,
при возрастании t пересекают дугу %и либо также составляющую часть
граничной дуги или цикла без контакта, либо (как на рис. 51) являющуюся
частью цикла без контакта, принадлежащего элементу притяжения. При
этом один из концов дуги χι — обозначим его Rx — принадлежит угловой
дуге или полутраектории либо является угловой точкой границы, а все
остальные точки дуги χ4 принадлежат неособым траекториям.
Четырехугольник, ограниченный дугами без контакта %t и %t (i = 1, 2) и
проходящими через их концы дугами траекторий, является элементарным
четырехугольником Aj. Дуги %i и %i мы будем, как и выше, называть
сопряженными одна с другой.
Мы возьмем все угловые полутраектории Lu как положительные,
так и отрицательные, и аналогичным образом построим соответствующие
им элементарные четырехугольники Дг. Заметим, что если имеются две
различные полутраектории, положительная и отрицательная, являющиеся
продолжением одной и той же граничной дуги траектории, то две
соответствующие им дуги χ и χ мы будем выбирать «согласованно» друг с другом.
Это лучше всего пояснить примером: на рис. 51 полутраектории L и 1ц
с концами соответственно R и Rt являются продолжениями одной и той
же граничной дуги RiRi. Поэтому мы можем произвольно выбрать одну


§ 17] ПРАВИЛЬНАЯ СИСТЕМА ОКРЕСТНОСТЕЙ И РАЗБИЕНИЕ ОБЛАСТИ G* 157
из двух дуг χι и χ4, а вторая из них определяется уже этим выбором. Обе
эти дуги определяют один и тот же элементарный четырехугольник Δ1β
Пусть Aj (/ = 1, 2, ..., iV") — все определенные таким образом
различные элементарные четырехугольники. Мы возьмем все дуги %f (и χ^)
достаточно малыми. Тогда они не будут иметь попарно общих внутренних
точек друг с другом и не будут иметь общих точек (как внутренних, так
и концевых) с ранее определенными дугами yt. При этих условиях
элементарные четырехугольники Аг (i = 1, 2,...) и Δ,- (/ = 1, 2, ...) не будут,
очевидно, иметь попарно общих внутренних точек (но Δ7· и Ak могут иметь
Рис. 52.
общими дуги траекторий, входящие в их границы, или части этих дуг.
Последний случай имеет место, например, для четырехугольников Αχ
и А2, рис. 51).
Элементарные четырехугольники Δ,- примыкают к угловым
полутраекториям (и может быть, к их продолжениям; например,
четырехугольник А2 рис. 51 примыкает к полутраектории L, а четырехугольник Δ4 —
к полутраектории L, к ее продолжению — граничной дуге i?i?i, и к
продолжению этой дуги — полутраектории Ζ4).
В точности так же, как прямоугольники Δ^·, выделяются элементарные
четырехугольники — обозначим их через А% (к = 1, 2, ..., Ν*),—
примыкающие к угловым дугам. Обозначим входящие в границы
четырехугольника А% дуги без контакта через λΑ и λ% и будем также называть эти дуги
сопряженными. Заметим, что четырехугольник, примыкающий к угловой
полутраектории, может одновременно примыкать и к угловой дуге
(например, четырехугольник А2 на рис. 52). Поэтому мы будем под А%
(к = 1, 2, ..., Ν*) понимать элементарные четырехугольники,
примыкающие к угловым дугам, но не примыкающие к угловым полутраекториям.


158 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГРУБОСТИ СИСТЕМЫ [ГЛ. VI
Кроме того, мы возьмем дуги λΑ и λ% достаточно малыми. При этих
условиях четырехугольники Ai9 Α^ и А% будут все различны и не будут иметь
попарно общих внутренних точек (но Δ7· и А% могут иметь общими дуги
траекторий, вводящие в их границы, или части этих дуг; таковы,
например, пары четырехугольников Δ* и А2, At и А2, Δ* и Δ* на рис. 52).
Рассмотрим теперь граничные дуги траекторий. Те из них, которые
являются продолжениями угловых дуг или угловых полутраекторий,
входят в границу четырехугольников At или Aj (таковы, например,
дуги SiTx и S2T2 на рис. 52, входящие соответственно в границы
четырехугольников А2 и Δ*). Пусть теперь граничная дуга траектории ST не имеет
продолжения внутри области G*. Нетрудно видеть, что тогда угловые
точки этой дуги принадлежат двум различным граничным дугам без
контакта. Возьмем достаточно малый отрезок μ одной из них,
примыкающий к угловой точке (например, отрезок SBi на рис. 52), и проведем через
точки отрезка μ траектории системы до их выхода через отрезок μ второй
граничной дуги без контакта. Мы получим элементарный
четырехугольник, примыкающий к граничной дуге траектории ST (на рис. 52
четырехугольник Δ4). Пусть Δζ (I = 1, 2, ..., Ν) — все такие четырехугольники.
В их границы входят сопряженные дуги без контакта μ™ и μ7η.
Рассмотрим теперь все элементарные четырехугольники Δ2, Δ7·, А%
и Δ/ и все входящие в их границы дуги без контакта γί, χ7· и χ^·, λΑ и λ&,
μ^ и μ^ (кроме дуг γ^, входящих в границы канонических окрестностей
седел). Для простоты обозначим все эти четырехугольники через At
(ί = 1, 2, ..., s, где s = N + N+N*+ N), а указанные дуги без
контакта — через γ^ (γ™*) (тга = 1, 2, ..., А), если они являются частями
циклов без контакта, принадлежащих элементам отталкивания
(притяжения) или если эти дуги принадлежат границе области G* и траектории
системы (А) через них входят в 6?* (выходят из 6?*) *).
Рассмотрим далее все несвободные циклы без контакта С ,
принадлежащие элементам отталкивания, а также все граничные дуги без
контакта с(а) и несвободные циклы без контакта Ζ(α\ через которые траектории
системы (А) входят в область 6?*. Все дуги у^ (т = 1, 2, ..., г)
принадлежат указанным циклам без контакта и граничным дугам С(а), с(а) и Ζ(α).
Удаляя из каждого цикла С(а) и Ζ(α) и из каждой граничной дуги с(а)
(а)
точки принадлежащих им дуг ут , мы получим конечное число открытых
дуг без контакта, не имеющих общих концов. Обозначим замыкания этих
дуг через а[а\ а^\ ..., а^\ Заметим, что концы каждой из них
принадлежат неособым траекториям.
Аналогично этому, рассматривая все несвободные циклы без
контакта С((0), принадлежащие элементам притяжения, а также граничные
дуги без контакта с((0) и циклы Ζ(ω) и удаляя из них точки дуг γ<£>, мы
получим дуги без контакта, замыкания которых мы обозначим через
af), ар\ ...
*) Нетрудно видеть, что дуг у^ имеется столько же, сколько дуг у}£' (мы
обозначим их число через г). Если в области G* седел нет, то s= r. Если же в G* имеется к
седел, то г = s — 2к.


§ 18] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ГРУБОСТИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 159
Рассмотрим все траектории, проходящие при некотором значении t
через точки дуги а\а) (i = 1, 2, ..., ρ). Нетрудно видеть, что при
возрастании t все они пересекают одну из дуг α<ω), именно — при надлежащем
выборе обозначений — дугу а(®\ Отсюда сразу следует, что дуг α[ω)
имеется столько же, сколько дуг αι , т. е. р. Дуги траекторий,
расположенные между дугами без контакта а\а) и α*ω), образуют элементарный
четырехугольник, который мы обозначим через Δί
(i = 1, 2, ..., ρ). Все четырехугольники Аг:, так же как
четырехугольники Af, входят в множество G* —К.
Рассмотрим, наконец, свободные α-циклы
системы (А), расположенные в области G* (если таковые
имеются). Обозначим их через В[а) (i = 1, 2, ..., q).
Цикл 2?£α) сопряжен, как известно (см. п. 1, лемма 3),
со свободным ω-циклом В^\ и оба эти цикла
ограничивают кольцевую область, заполненную отрезками
неособых траекторий (рис. 53). Проводя в каждой из
этих кольцевых областей по три отрезка траектории, мы
разобьем эти области на элементарные четырехугольники. Обозначим эти
четырехугольники через Δ? (i ~ 1, 2, ..., Зд). Все они входят, очевидно,
в множество G* — К.
Нетрудно убедиться, что каждая точка множества G* ·— К
принадлежит по крайней мере одному из четырехугольников Аг- (г = 1, 2, ..., s),
А} (/ = 1, 2, ..., ρ) и Ak (k= 1, 2, ..., Zq) и что все эти четырехугольники
удовлетворяют условиям леммы 5. Лемма доказана.
На рис. 52 изображена двусвязная область G* с нормальной границей.
В ней имеются две канонические окрестности — неустойчивого узла Οχ
и седла <92· Дополнение к ним — множество G* — К ■— разбито на 15
элементарных четырехугольников. Это разбиение удовлетворяет всем
требованиям леммы.
§ 18. Основная теорема о грубости динамической системы
1. Вспомогательные предложения. В этом пункте мы изложим
несколько лемм, которые понадобятся нам при доказательстве основной
теоремы о грубости динамической системы. Часть из них мы приведем
без доказательства.
Лемма 1. Пусть (А) — динамическая система, определенная β
области G, a G* (G* с: G) — область с нормальной границей. Каково бы ни
было ε>0, сгщестеует область с нормальней границей 6?** такая, что
G* cz G** с: G** с: G, причем есе точки области 6?**, не входящие в G*,
лежат в ε-окрестности границы области G*, а схемы границ областей
G* и G** тождественны*).
Ввиду геометрической очевидности леммы 1 доказательство ее мы
опускаем. Область G**, удовлетворяющую утверждению леммы, мы будем
называть расширением или ε-расширением области G*. На рис. 54
изображена двусвязная область G* и ее расширение. Заштрихована область
G** — G*.
*) Относительно схемы границы области см. КТ, § 26.


160 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГРУБОСТИ СИСТЕМЫ [ГЛ. VI
Замечание. Если в области G* выполняются условия I — III
введения к данной главе и если ε>0 достаточно мало, a G** есть
ε-расширение области G*, то система (А) не имеет в G** других состояний
равновесия и замкнутых траекторий, кроме тех, которые расположены в G*,
т. е. условия I—III выполняются
в области G**.
Справедливость замечания
относительно состояний равновесия
вытекает из того, что состояния
равновесия системы не могут
лежать сколь угодно близко к
границе области G*, так как их нет
на самой границе. Справедливость
замечания относительно
замкнутых траекторий доказывается
рассуждением, аналогичным
приведенному при доказательстве
теоремы 21 *).
Лемма 2. Пусть I —
простая дуга, Μχ и М2 — две точки
на ней. Если η > 0 достаточно
мало, а М[ и М2 — две точки дуги I,
лежащие соответственно в ц-окрестностях точек Μ χ и М2, то
направление дуги I, определяемое переходом от Μ ι κ Μ\, совпадает с направлением,
определяемым переходом от М[ к М'2 (рис. 55).
Лемма 3. Пусть С — простая замкнутая
кривая, Mi (i = 1, 2, ..., η; /г>3) — точки на ней, и
пусть при обходе кривой С в некотором направлении
{одном из двух возможных) эти точки расположены в
порядке Μ γ, Μ2, ..., Μη. Тогда, если η > 0 достаточно
мало, a M'i (i = 1, 2, ..., тг) — точки кривой С такие,
что ΜΙ £ t/η (Mt), то при обходе кривой С в том же
направлении точки Ml расположены в порядке М[, М'2,...
..., Μ ή (рис. 56).
Доказательства лемм 2 и 3 мы опускаем.
Будем теперь наряду с данной системой (А)
рассматривать измененные системы (А), достаточно близкие к системе (А)
Лемма 4. Пусть L — грубый предельный цикл системы (А) (т. е
предельный цикл с характеристическим показателем, не равным нулю)
Рис. 54.
Рис. 55.
*) Пусть бтг—^-О, 8л > 0, Нп — ε^-расширение области G*, Ln — замкнутая
траектория, лежащая в Нп, но не лежащая целиком в G*, Мп — точка Ln, лежащая
вне Нп. Можно считать, что Мп сходится к точке М0. М0 лежит на границе
области G*. Пусть L0—траектория, проходящая через М0. Если L0 имеет точку S,
лежащую вне G* на расстоянии σ>0 от границы области G*, то при больших η
Ln проходит сколь угодно близко к £ и в то же время лежит в сколь угодно
малой окрестности области G*, чего не может быть. Если же L0 целиком лежит
в G*, то Mq принадлежит граничной дуге траектории, продолжениями которой
в обе стороны являются угловые пол у траектории, одна из которых стремится
к источнику, расположенному в G*, а другая —к стоку. Но тогда траектория Ln,
проходящая достаточно близко к Mq, при ί->—со стремится к тому же
источнику, а при ί-> + οο—к тому же стоку, т. е. она не может быть замкнутой.
Утверждение доказано.


§ 18] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ГРУБОСТИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 161
α у — его каноническая окрестность (кольцо), ограниченная циклами без
контакта С\ и С2. Тогда, каково бы ни било ε > О, существует δ > О
такое, что если система (А) δ-близка к системе (А), то
а) Ci и С2 являются циклами без контакта для траекторий системы
(А), и эти траектории пересекают каждый из циклов С^ и С2 в том же
направлении, что и траектории исходной системы (А);
б) в кольце у существует единственная замкнутая
траектория L системы (А), причем L является грубым
предельным циклом устойчивым, если цикл L устойчив,
и неустойчивым, если L неустойчив;
в)
(γ, Α) = (γ, А).
(1)
Доказательство. Пусть для
определенности рассматриваемый грубый предельный цикл L
является устойчивым. Возьмем на нем произвольную
точку Μ о и проведем через нее нормаль к траектории L.
Пусть I — отрезок этой нормали, Рь Qx — его концы,
Li и L2 — траектории системы (А), проходящие
соответственно через точки Рх и @ι· Мы предполагаем, что М0 есть
внутренняя точка отрезка L Кроме того, мы будем считать отрезок I настолько
малым, что I является дугой без контакта для траекторий системы (А)
и что траектории Lt и L2 при возрастании t пересекают отрезок I еще раз
в точках Ρ2 и (?2, причем дуги ΡιΡ2 и QiQ2 этих траекторий целиком
лежат в у (рис. 57; см. § 12.1).
Рис. 57.
Пусть ΓΊ — простая замкнутая кривая, состоящая из витка Р\Ръ
траектории £ц и части Р\Р2 нормали I, а Г2 — аналогичная кривая,
состоящая из витка QtQ2 траектории L2 и части Q\Q2 нормали I (рис. 57).
Обозначим через W область, ограниченную кривыми Γι и Г2. Очевидно,
La W сну.
По самому определению канонической окрестности в окрестности у,
а следовательно, и в области W, кроме L, нет ни одной замкнутой траекто-


162 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГРУБОСТИ СИСТЕМЫ [ГЛ. VI
рии системы (А). Поэтому траектории L4 и L2, проходящие через точки
Pi и Qu при убывании t выходят из у через точки Р0 и Q0, лежащие
соответственно на циклах без контакта 6Ί и С2 (рис. 57).
Возьмем на отрезке Р\Р2 нормали I произвольную точку S, а на
отрезке Q\Q2 — произвольную точку R. Проходящие через эти точки
траектории L[ и L'2 системы (А) при убывании t выходят из окрестности γ
через точки S0 и R0 соответственно циклов Ct и С2 (рис. 57). Дуги P0Pi
траектории Lx и S0S траектории L[ разбивают область, заключенную
между простыми
замкнутыми кривыми С ι и Гь на
два элементарных
четырехугольника, которые мы
обозначим через Δ4 и А[
(рис. 57, 58). Точно так же
дуги QqQi траектории L2
и R0R траектории L\
разбивают область,
заключенную между кривыми С2 и
Г2, на два элементарных
четырехугольника Δ2 и Δ^.
Пусть (А) —
динамическая система, достаточно
близкая к системе (А), а Р2у
Q2, S, R, Lu Ζ[, Δ4 и т. д.
имеют то же значение для
системы (А), что
соответственно Р2, Q2, S, R, Lu
L[, At и т. д. для системы (А) (мы считаем, что точки Ри Qt, отрезок I
и замкнутые кривые Cj и С2 при переходе к системе (А) не меняются).
В главе V, § 14, при доказательстве теоремы 18 (о грубости
простого предельного цикла) было показано, что для любого г^ > О
существует δι>0, обладающее следующим свойством: если система (А) бгблизка
к системе (А), то
(W, A) = (PF, A), (2)
причем отображение Ти реализующее это соотношение, определено
в области W и может быть выбрано так, что
Ti (Pi) = Λ, Tf (&) = Qt и Тх (1) = Ζ. (3)
Воспользуемся теперь леммой 9 § 4 (глава II, § 4.2). В силу этой
леммы для любого ε2 > О можно найти числа δ2 > 0, η > О, обладающие
следующим свойством: если система (А) 62-близка к системе (А) и задано
топологическое отображение φ, переводящее дуги Р^РХР2, SS0, Q^Q^Qz
и RR0 траекторий системы (А) соответственно в дуги Р0Р^Р2, SS0, Q0Q\Q2
и RR0 траекторий системы (А), а дуги без контакта SP2 и RQ2—в дуги §Р2
и RQ2, причем φ является η-сдвигом, то отображение φ может быть
продолжено до отображения Т2, которое переводит четырехугольники Δ^ и Δ^
соответственно в Д[ и Δ^, сохраняет траектории, является е2-сдвигом
и совпадает с отображением φ там, где последнее определено.
Рис. 58.


§ 18] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ГРУБОСТИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 163
Далее, в силу леммы 8 § 4 (глава II, § 4.2) для любого ε3>0 можно
найти такие б3 > 0 и η* > 0, что если система (А) б3-близка к
системе (А) и задано топологическое отображение φ*, переводящее дуги без
контакта SPi и RQi системы (А) соответственно в дуги без контакта SPi
и RQi системы (А), причем φ* является г)*-сдвигом, то отображение φ*
может быть продолжено до отображения Т3, которое переводит
элементарные четырехугольники Δ4 и Δ2 соответственно в Aj и Δ2, сохраняет
траектории, является е3-сдвигом и совпадает с отображением φ* на
отрезках SPi и RQ^
Наконец, пусть δ4 > О настолько мало, что если система (А) 64-близка
к системе (А), то циклы без контакта С^ и С2 и дуга без контакта I
системы (А) являются соответственно циклами и дугой без контакта
системы (А), причем траектории системы (А) пересекают каждый из
циклов Ct и С2, а также дугу I в тех же направлениях, что и
траектории системы (А).
Пусть ε>0. Положим, что ε2 = ε, и найдем по ε2 числа δ2 и η.
Положим, что ε3<ε, ε3<η, и найдем по ε3 числа η* и δ3.
Положим, что ε!<ε, ε!<η, ε!<η*, и найдем по ε4 число δ^
Положим, наконец, что
δ<πιίη{δ1, δ2, б3, б4}.
Найденное таким образом δ > 0 удовлетворяет всем утверждениям
леммы.
Действительно, пусть система (А) δ-близка к системе (А). Тогда
в силу выбора числа б4 существует отображение Тх области W на
область W, удовлетворяющее условиям (2) и (3).
Далее, так как 6<δ3 и ε1<η*, ε!<ε, то можно построить
отображение Г3, переводящее элементарные четырехугольники At и Δ2
соответственно в Δ4 и Δ2 и обладающее указанными выше свойствами (под φ*
мы понимаем уже построенное на отрезках Ρ β и QtR отображение 7\).
И наконец, так как ε2 = ε, ε1<η, ε3<η и δ, <δ, мы можем
построить отображение Т2 четырехугольников AJ и Δ'2 соответственно на
Δ[ и Ά'2, обладающее указанными выше свойствами (под φ надо понимать
уже построенные на соответствующих отрезках границ
четырехугольников Δ[ и Δ'2 отображения Т3 и Т{).
Легко видеть, что отображения Т1ч Т2, Т3 совместно дают
отображение Τ канонической окрестности γ на себя, сохраняющее траекторий
и являющееся ε-сдвигом. Поэтому, если система (А) δ-близка к (А), то
(Y, A) L (γ, А),
т. е. выполняется утверждение в) леммы. Из него сразу вытекает
утверждение б). Утверждение а) выполняется в силу выбора числа δ4 и
соотношения δ<δ4. Лемма доказана*).
Следующая лемма является усилением леммы 4.
Лемма 5. Пусть L — грубый предельный цикл системы (А),
γ —его каноническая окрестность, ограниченная циклами без контакта С\
*) На рис. 58 указаны числа ε, ό, η, соответствующие областям W, Δι, Δ(,
Δ2> Δ^. При построении отображения сначала строится 7*4 (в области W)> затем Т3
(в четырехугольниках Aj и Δ г) и> наконец, Т2 (в четырехугольниках А[ и Δ£).


164 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГРУБОСТИ СИСТЕМЫ [ГЛ. VI
и С2. Тогда, каково бы ни было ε >> 0, существуют η > 0 и δ > 0,
удовлетворяющие следующему условию: если система (А) Ь-близка к системе (А),
α φ есть топологическое отображение, переводящее каждый из циклов С±
и С 2 в себя и являющееся ц-сдвигом, то С ι и С2 являются циклами без
контакта для системы (А) и существует отображение Τ окрестности γ
в себя, являющееся е-сдвигом, переводящее траектории в траектории
и совпадающее с отображением φ на
границе окрестности γ (т. е. на циклах
С, и С2).
Доказательство леммы 5
аналогично доказательству леммы 4 и
отличается от последнего очевидной
модификацией рассуждений. Именно,
сначала строится отображение Τ
элементарных четырехугольников Аь Δί, Δ2,
Ag соответственно на Аь Δ^, Δ2, Δ^ так,
чтобы оно совпадало с отображением φ
на границе окрестности γ. Построенное
отображение индуцирует отображение
отрезков Р\Р2 и Q\Q2 соответственно на
отрезки ΡχΡ2 и QiQ2 (точки Pi и Р4
теперь могут быть различными, в то
время как в лемме 4 они совпадают.
Аналогичное замечание относится к
точкам Q и Qi). Это индуцированное отображение мы продолжаем сначала
до отображения отрезка PiQt на Ρι(?ι, а затем до отображения области W
на область W способом, изложенным в доказательстве теоремы 18 (см.
§ 14).
Нам понадобятся еще две леммы. Первая из них относится к
окрестности седла.
Пусть О—грубое седло системы (А), у — его каноническая
окрестность, ограниченная дугами без контакта l[a\ l[a\ ΐψ\ Ζ(4ω)*) и дугами
траекторий СХС3, С2В3, Bfik и Β2Β± (рис. 59). Сепаратрисы седла О,
пересекающие указанные дуги без контакта, мы обозначим соответствен-
но L[a\ 4α\ 4ω), LT\
Обозначим через λ[ω) (ι = 3, 4) «удлинение» дуги без контакта /£ω),
т. е. дугу без контакта, частью которой является ΐ[ω) и концы которой
отличны от концов 4ω) (таким образом, 4ω) состоит целиком из
внутренних точек дуги λ*ω)). Пусть (А)—динамическая система, достаточно
близкая к системе (А). Траектории системы (А), проходящие через концы С%
и Вг дуг без контакта 4а). (ί = 1, 2), при убывании t пересекают дуги λ[ω)
(г = 3,4) в точках, которые мы обозначим через С3, В3, С4, Bk. Части
С3В3 и С4#4 ДУГ λ(3ω) и λ(4ω) обозначим соответственно через Ζ(3ω) и Ζ4ω)·
Область, ограниченную дугами 1и /2, 13 и Ζ4 и кусками СХС3, С2В3, BxCk
и B2Bk траекторий системы (А), мы обозначим через γ. Наконец, будем
понимать под φ топологическое отображение каждой из дуг /4 и 12 на
себя, при котором концы дуг /£ и 12 остаются неподвижными, а точки
*) Мы будем их иногда обозначать просто li9 l2l l3, l^
Рис. 59.


§ 18J ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ГРУБОСТИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 165
пересечения этих дуг с сепаратрисами соответственно L^ и ΐ4α)
переходят в точки пересечения их с сепаратрисами L[a) и Ζ4α)·
Лемма 6. Каково бы ни было ε>0, существуют числа δ>0
и η>0, обладающие следующим свойством: если система (А) Ь-близка
к системе (А), а отображение φ является х\-сдвигом, то дуги 1{, 1г, λ3
и λ4 являются дугами без контакта для траекторий системы (А)
и существует отображение Τ окрестности у на у, совпадающее с φ на
дугах Ζ(ια) и 1^, являющееся ε-сдвигом и переводящее траектории
в траектории.
Замечание. Очевидно, из леммы 6 следует, что в области у
имеется единственное состояние равновесия О системы (А), причем О
является седлом, а у—его канонической окрестностью, и что
(γ, A) L (γ, А).
Доказательство леммы 6 аналогично доказательству
леммы 4 § 9.2 и получается из последнего очевидным видоизменением.
Лемма 7. Пусть О — грубое состояние равновесия системы (А),
являющееся узлом или фокусом, у — его каноническая окрестность,
ограниченная циклом без контакта С. Каково бы ни было ε > 0, существуют
η > О и Ь > 0, удовлетворяющие следующему условию: если система (А)
Ь-близка к системе (Α), α φ есть топологическое отображение цикла С
в себя, являющееся ц-сдвигом, то С является циклом без контакта для
системы (А) и существует отображение Τ окрестности у в себя, являющееся
г-сдвигом, переводящее траектории в траектории и совпадающее с
отображением φ на границе окрестности у (т. е. на С).
Доказательство леммы 7 вполне аналогично
доказательству, приведенному в замечании к теореме 12 (§ 8.2), и получается из
последнего незначительным очевидным изменением.
2. Основная теорема для плоской области.
Теорема 23. Для того чтобы динамическая система (А),
определенная в плоской области G, была грубой в области G* с нормальной
границей (G* с: G), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
I—III введения к главе VI, т. е. условия:
I. Система (А) имеет в области 6?* лишь конечное число состояний
равновесия, причем эти состояния равновесия являются простыми узлами,
седлами или фокусами.
II. Ее замкнутые траектории в области G* являются простыми
предельными циклами.
III. Система (А) не имеет в области G* сепаратрис, идущих из
седла в седло.
Доказательство. Необходимость условий I—III для
грубости системы (А) в области G* была уже доказана в предыдущих главах
(§ 7, теоремы 10 и 11; § 10, теорема 15; § 15, теорема 20; § 11, теорема 16).
Таким образом, мы должны доказать только достаточность условий I—III
для грубости системы.
Пусть условия I—III выполняются. В силу леммы 1 (п. 1) и
замечания к ней, если σ > 0 достаточно мало, то любое σ-расширение области
G* не содержит других состояний равновесия и замкнутых траекторий


166 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГРУБОСТИ СИСТЕМЫ [ГЛ. VI
системы (А), кроме тех, которые расположены в G*. Пусть Η — такое
расширение области G*. Мы покажем, что Я обладает следующим
свойством: каково бы ни было ε > 0, существует такое δ > 0, что если
система (А) δ-близка к системе (А), то
(Я, A) L (Й, А), (4)
где Я—некоторая область. Так как G* с: Я, то это означает, по
определению, что система (А) является грубой в области G*.
Очевидно, область Я имеет нормальную границу и система (А)
удовлетворяет в ней условиям I—III. Поэтому существуют правильные
разбиепия области Я на канонические окрестности и элементарные
четырехугольники (§ 17.2, лемма 5). Выберем и зафиксируем одно из таких
разбиений и обозначим его буквой П.
Введем следующие обозначения:
Ui (i= 1, 2, .. ., ρ) — канонические окрестности источников и стоков
разбиения П;
Vj (/ = 1,2, ..., q) — канонические окрестности седел О у,
l(ij\ l>2j\ ύΤ, AT (/ = 1, 2, ..., q)—дуги без контакта, входящие
в границу канонической окрестности седла Ot;
F(ff, F{2j\ F(3j\ Fffi (/ = 1, 2, ..., g) — элементарные
четырехугольники разбиепия Π, в границы которых входят соответственно дуги iff,
1>2j\ й?\ 1$· Для краткости мы будем также обозначать указанные
четырехугольники и дуги через Fu F2, ..., Fkq\ lu h, ···, hq\
Rk (A = 1,2, ...,г) — все остальные элементарные четырехугольники
разбиения Π;
ak (bk) (A = 1, 2, . . ., г) — дуги без контакта, входящие в границу
четырехугольника Rk, через которые траектории системы (А) входят
внутрь Rk (соответственно выходят из Rk);
Αι (ί = 1, 2, . . ., s) —«вершины» элементарных четырехугольников,
принадлежащие границам канонических окрестностей источников или
граничным дугам без контакта, через которые траектории системы входят
в область Я;
В ι (i = 1, 2, . . ., s*) — вершины элементарных четырехугольников,
принадлежащие границам канонических окрестностей стоков или
граничным дугам без контакта, через которые траектории системы выходят
из области Η (среди точек At ж Bt содержатся, очевидно, все угловые
точки границы области Я).
Пусть (А)—достаточно близкая к (А) динамическая система. Прежде
всего определим область Я, в которой мы будем ее рассматривать. Пусть
С — какая-нибудь граничная замкнутая кривая области Я. Если С
является циклом без контакта, то мы будем считать ее граничной
кривой области Я. Пусть теперь С состоит из дуг без контакта 1и 12, ..., 1п
и дуг траекторий zu ζ2, ..., ζη системы (А) и при обходе кривой С
в положительном направлении эти дуги расположены в порядке lu zu Z2,
z2, ..., 1Пп Ζη (рис. 60), а концами их (угловыми точками) являются
соответственно точки XtJ Yu Х2, Y2, ···> ^п, У η- Обозначим через λ4,
λ2, ..., λΛ некоторые фиксированные удлинения дуг lu Ζ2, ..., /Λ*).
*) Если λ — дуга без контакта, a Z —часть ее, состоящая целиком из
внутренних точек λ, то λ иазывае!ся удлинением дуги без контакта /.


§ 18] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ГРУБОСТИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 167
Через точки Ylf Y2, -.., Υη проведем дуги zu z2l ..., zn траекторий
системы (А) до пересечения их соответственно с дугами λ2, λ3, ..., λΛ, λ!
в точках Х2» Х"з» ·.·» Хм %ι (на^рис. 60 эти^дуги обозначены
пунктиром). Дуги без контакта Х± Yu Х2 Y2, --, %п Υη обозначим
соответственно через 74> 72, ..., 1п- Если система (А) достаточно близка к
системе (А), то кривая С, составленная из дуг lu z^ l2, z2, ..., ln, zn,
является простой замкнутой кривой. Заменим каждую граничную
кривую Ci области Η кривой С» построенной указанным образом. Область,
ограниченную всеми кривыми Си обозначим
через //.
Построим теперь разбиение II области Н,
аналогичное правильному разбиению Π области
Я, поставив каждому элементу Uu Vh Fm, Rh
разбиения П в соответствие элемент Uu Vj, Fm,
Дк. Именно положим, что
D\ совпадает с Ut (i= 1, 2, ..., ρ).
Каждой канонической окрестности Vj
седла Oj (у— 1, 2, ..., q) поставим в соответствие
область Vj, построение которой описано при
формулировке леммы 6 (см. рис. 59; роль
областей Vj и Vj в лемме 6 играют
соответственно γ и γ). Под T[f, 7 2?, 7 = 1,2, .. ^ q, мы будем
понимать соответственно 1^\ 1^\ 1($ (1($) является дугой без контакта,
входящей в границу области V j. Она составляет часть дуги 1*$ (1{$) или ее
удлинения (мы считаем, что эти удлинения выбраны заранее и фиксированы).
Каждый элементарный четырехугольник Fm (m = 1, 2, . . ., 4g)
разбиения Π состоит из дуг траекторий системы (А) и ограничен с одной
стороны дугой Zm, а с другой — дугой без контакта, принадлежащей
либо граничному циклу Г окрестности источника или стока, либо
граничному циклу (или дуге без контакта) области И. Мы поставим в
соответствие четырехугольнику Fm четырехугольник ~Fm, состоящий из дуг
траекторий системы (А) и ограниченный с одной стороны дугой Zm, а с
другой — дугой без контакта, принадлежащей тому же граничному циклу Г
(или указанному граничному циклу без контакта, или граничной дуге
без контакта).
Угловыми точками границы области Η являются угловые точки Υ·τ
границы области Η и точки Хи описанные при построении Η (рис. 60).
Угловые полутраектории и дуги траекторий области II определяются
самой этой областью и системой (А).
Рассмотрим теперь элементарный четырехугольник Bk и входящую
в его границу дугу ak (к = 1, 2, . . ., г; см. выше). Пусть А%} и Af —
концы дуги ак. Обозначим через Г(а) тот цикл без контакта (граничный
или принадлежащий источнику) или граничную дугу без контакта, частью
которой является ak.
Точка Aft* (или А™) может быть угловой точкой границы области Я,
либо точкой угловой дуги или угловой по л у траектории системы (А),
либо может быть вершиной одного из четырехугольников Fm. В каждом


168 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГРУБОСТИ СИСТЕМЫ [ГЛ. VI
из этих случаев соответствующая точка А™ (или А™) естественно
определяется предшествующим построением. Если же Αψ (или А™) не является
точкой одного из перечисленных типов, то мы будем считать, что А™
совпадает с А)? (соответственно Aff совпадает с ^2)). Таким образом,
точки Ak} и А™ уже определены. Дуге ад мы ставим в соответствие дугу
без контакта а&, составляющую часть цикла (или дуги без контакта)
Г и имеющую своими концами точки Aft* и Αψ. Наконец, элементарному
четырехугольштку Rk, составленному из дуг траекторий системы (А)
и ограниченному (с одной стороны) дугой ak, мы поставим в соответствие
элементарный четырехугольник Rk, составленный из дуг траектории
системы (А) и ограниченный дугой без контакта ak.
Точки В% (i = 2, 3, ...,s*), соответствующие точкам Btl а также
дуги без контакта Ьд, соответствующие дугам bk (к = 1,2, ...,/'),
определяются естественным образом с помощью уже построенных дуг ah
и точек At.
Пусть система (А) достаточно близка к системе (А), и пусть при
обходе цикла без контакта Г(а), принадлежащего источнику или границе
области Η (или при обходе граничной дуги без контакта), в каком-
нибудь направлении точки At встречаются на нем в порядке A\v Ai2, ..., Ais.
Из лемм 2 и 3 следует тогда, что при обходе цикла Г(а) в том же
направлении точки Ai расположены на Г(а) в порядке Αϊν А-г^ ..., Ais.
Аналогичное утверждение справедливо для цикла Γ(ω) (или граничной дуги
без контакта) и для точек В ι и Bt.
Нетрудно видеть, что если система (А) достаточно близка к
системе (А), то:
а) Uι (они совпадают с Ut) являются каноническими окрестностями
источников или стоков системы (А); при этом, если Ut есть
каноническая окрестность состояния равновесия (предельного цикла) системы (А),
то Ui есть каноническая окрестность состояния равновесия (соответственно
предельного цикла) той же устойчивости системы (А).
б) Каждому седлу Oj системы (А) соответствует седло Oj
системы (А) и Vj (/ = 1, 2, ..., q) является канонической окрестностью седла Oj.
в) Построенные выше области Fm (m==i, 2, ...,4g) и Rk (& = 1,
2, ...,/') являются элементарными четырехугольниками системы (А).
г) Множество всех точек четырехугольников Fm и Rk и
окрестностей Ui и Vj совпадает с областью Н.
д) Система (А) не имеет в области Η других состояний равновесия
и замкнутых траекторий, кроме тех, которые расположены в
канонических окрестностях Ui и Vj.
Это утверждение непосредственно следует из предыдущих и из того,
что каждый элементарный четырехугольник Fm и Rk примыкает либо
к границе области Я, либо к границе канонической окрестности Ut или Vj.
е) Канонические окрестности Ui и Vj и элементарные
четырехугольники Fm и Rh образуют правильное разбиение области Н, которые мы
обозначим через П.


§ 18] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ГРУБОСТИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 169
ж) Канонические разбиения Π и Π областей соответственно Η и Η
изоморфны друг другу в очевидном смысле*).
Покажем теперь, что если ε>0 произвольно, а δ>0 достаточно
мало и если система (А) δ-близка к системе (А), то (#, ^4) ξξξ (//, А).
Пусть ε>0 дано. Соответствующее ему число δ>0 будем
отыскивать постепенно, по шагам.
1) Находим число бп>0 такое, что если система (А) бп-близка
к системе (А), то для области И выполняются все перечисленные выше
утверждения а)—ж).
2) Для каждой канонической окрестности Ut найдем числа ηζ- > О,
б| > 0 (ί = 1, 2, . . м /?), определяемые леммами 5 и 7 (т. е. такие, что
если система (А) бгблизка к системе (А), а φΣ есть топологическое
отображение границы окрестности Ui в себя, являющееся η/-сдвигом, то
существует отображение Tt окрестности Ui в себя, являющееся
ε-сдвигом, сохраняющее траектории и совпадающее с q>t на границе области Ut).
Положим, что
6l7 = min{61, δ2, ..., δρ}, ησ = ιηίη{ηΐ9 η2, ..., ηΡ}.
3) Рассмотрим элементарный четырехугольник Fj и входящую в его
границу дугу без контакта lj (/ = 1, 2, . . ., Aq) (напоминаем, что lj
входит в границу канонической окрестности седла). Обозначим через cj
и dj дуги траекторий системы (А), входящие в границу
четырехугольника Fj. Пусть гр = min {ε, η^}.
В силу леммы 9 § 4.2 существуют числа δ7·>0 и η7\>0 такие,
что если система (А) б^-близка к системе (А), а φ; есть отображение
дуг lj, Cj, dj на соответствующие граничные дуги lj, Cj, dj, причем φ
является η^-сдвигом, то существует е^-сдвит Tj элементарного
четырехугольника Fj на Fj, совпадающий с φ; на Z/, Cj, dj и переводящий
траектории в траектории.
Пусть
δΡ = min {б1э δ2, ..., δ4ς}, T|F = min {η!, η2, ..., η4$}.
4) Рассмотрим элементарный четырехугольник Rk и входящие в его
границу дугу без контакта ак и дуги траекторий Cj и dj {/ = 1, 2, ..., г).
Так же, как в случае 3), полагаем εβ = 8F = miii{8, η^}, находим для
каждого из четырехугольников Rk числа bj и η7· (описание их вполне
аналогично сделанному выше) и полагаем
6/{ = min{6l9 δ2, ..., δΓ}, ηβ = ιηίη{η1,η2, ..., ηΓ}.
5) Рассмотрим дугу без контакта ak, входящую в границу
четырехугольника Rk. Пусть Aki и Ак2 — концы дуги ак. Обозначим через ckl
и ch2 духи траекторий системы (А), проходящие через точки
соответственно Aki и Ah2 и входящие в границу четырехугольника Rk (к = 1, 2, . . .
. . ., г). Дуга ак лежит либо на граничном цикле или граничной дуге
*) Именно в следующем: если два элемента Ε ι и Е2 разбиения инцидентны, т. е.
один из них входит в границу другого, то соответствующие элементы Et и Е2
разбиения Π также инцидентны. Под элементами разбиения Π мы понимаем окрестности
Ui и Vj, элементарные четырехугольники Fm и Rk, дуги без контакта и дуги
траекторий, входящие в их границы, а также концы этих дуг. Предшествующим
построением было установлено естественное взаимно однозначное соответствие между
элементами разбиений Π и П.


170 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГРУБОСТИ СИСТЕМЫ [ГЛ. VI
и 6k > 0 такие,
без контакта, либо на цикле без контакта, принадлежащем элементу
отталкивания.
Если (А)—достаточно близкая к (А) система, то в правильном
разбиении Π четырехугольнику Rk, его сторонам аъ cki, ck2 и вершицам Aki
и Ак2 соответствует четырехугольник Rki стороны ak. 7ku 7k2 и
вершины Aki и Ak2. В силу лемм 7 и 8 § 4.2 можно найти числа £&>0
что если система (А) δ^-близка к системе (А),
а р (Aku Aki) < ζΛ, ρ (Ak2, Ak2) < ζΛ,
то существует отображение φΑ,
определенное на дугах ak, cki и ck2,
переводящее эти дуги соответственно
в од, cki, jk2, a ToqKH Aki и Ak2—
в Aki и Ak2 и являющееся ηβ-
сдвигом (t]r определено шагом 4;
см. рис. 61). Положим, что
ζΑ = πιίη{ζ1, ζ2, ..., ζΓ},
6A = min{61, δ2, ..., δΓ}.
6) Рассмотрим каноническую
окрестность Vj седла Oj и
входящие в ее границу дуги без контакта
lt\l{h\ *Й°. 'Й°- Обозначим через
бу > 0 число, обладающее
следующим свойством: если система (А)
оу-близка к системе (A), Vj—
каноническая окрестность
разбиения П, соответствующая
окрестности Vj, и 8у =min {ε, r\F, η^}, то
а) существует отображение Tj
окрестности Vj на ]/j, переводящее
траектории в траектории, являющееся 8у-сдвйГом и являющееся на
каждой из дуг lf{\ I{j2 отображением φ, описанным перед формулировкой
леммы 6*);
6) каждая дуга траектории с (или d), входящая в границу
элементарного четырехугольника Р($ (или F^, F^ff, F^), может быть
отображена на соответствующую дугу с (d) посредством г]*-сдвига, где η* =
= min{T]F, η#}; в) каждой вершине As четырехугольника Fffi или F$
(/ = 1,2, ..., q) соответствует в разбиении Π вершина As такая, что
р(А8, Λ>)<ζΑ
(ζΑ определено шагом 5)).
Существование числа δν вытекает из леммы 6 (п. 1), из лемм 7 и 8
§ 4.2 и из замечания к лемме 3 § 9.2.
7) Рассмотрим элементарный четырехугольник Rk и входящую в его
границу дугу без контакта ak (к = 1, 3, . . ., г). Обозначим через Еи
*) То есть отображение Tj каждую из дуг tfv Ц2 топологически отображает
саму на себя, оставляет неподвижными концы этих дуг и переводит точки пересечения
их с сепаратрисами системы (А) в точки пересечения с соответствующими
сепаратрисами системы (А).
Рис. 61.


3 18] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ГРУБОСТИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 171
Е2, . . ., Ег* концы дуг аА, являющиеся угловыми точками границы
области или принадлежащие угловым дугам или угловым
полутраекториям *). Пусть δΕ>0 настолько мало, что если система (А) б^-близка
к системе (A), a Es — точка, соответствующая точке Es (s = 1, 2, . . ., г*),
то ρ (Е8, Е8) < ζΑ.
Существование числа δ^ вытекает из способа построения области Η
и из леммы 5 § 4.1.
Пусть
6 = min{6n, δυ, bF, δΛ, δΑ, δν, δ^}.
Мы утверждаем, что если система (А) δ-близка к системе (А), то
(Я,л) = (#Д). ^ (4)
Для доказательства предположим, что система (А) δ-близка к
системе (А), и построим отображение Г, реализующее соотношение (4).
Построение отображения Т.
I ш а г. В каждой седловой области Vj (/ = 1, 2, . . ., q) строим
отображение Tj, удовлетворяющее условиям, описанным в 6), и
обозначаем отображение Tj буквой Т.
II шаг. Строим отображение Τ дуг траекторий end, входящих
в границы четырехугольников F^a\ Ff*\ на дуги с и d так, чтобы оно было
т]*-сдвигом (см. 6)) и совпадало с построенным выше отображением Τ
в точках, принадлежащих окрестности Vj.
III ш а г. Уже построенное на граничных дугах /, с и d
четырехугольников Fj (j? = 1, 2, . . ., 4g) отображение Τ продолжаем на Fj так,
чтобы оно было eF -сдвигом и сохраняло траектории. Это возможно в силу
условия 3).
IV ш а г. Каждой точке Es (s = 1, 2, . . ., г*; см. 7)) ставим в
соответствие точку Е8, полагая Τ (Es) = Е8.
V ш а г. Шагами III и IV отображение Τ уже определено в концах
каждой дуги без контакта ak, входящей в границу элементарного
четырехугольника Rk. Мы продолжим его до отображения Τ всей дуги ak на
ДУГУ ак так» чтобы Τ было т]я-сдвигом. Это возможно в силу 5).
VI шаг. Пусть Е8 — конец дуги без контакта аА, входящей в
границу элементарного четырехугольника R^ (см. 7)), cs — дуга траектории
системы (А), проходящая через точку Es и входящая в границу
четырехугольника Rki cs — соответствующая ей дуга траектории системы (А),
входящая в границу четырехугольника Rk. Отображение Г, определенное
в точках Es шагом IV, продолжим до отображения Τ дуги траектории cs
на с8 (s = 1, 2, . . ., г*) так, чтобы Τ являлось ηβ-сдвигом. Это возможно
в силу 5).
VII шаг. Отображение Τ определено шагами I—VI на дуге без
контакта ak и на дугах траекторий, входящих в границу каждого
элементарного четырехугольника Rk {к — 1, 2, . . ., г), и является ηβ-сдви-
гом. Мы продолжаем его до отображения Τ четырехугольника Rk на Rkl
сохраняющего траектории и являющегося е^-сдвигом. Это возможно
в силу 4).
VIII шаг. Отображение Τ определено предшествующими шагами
на границе каждой канонической окрестности Ui (i = 1, 2, . . ., ρ)
*) Концы дуг ak могут принадлежать еще элементарным четырехугольникам Fj.


172 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГРУБОСТИ СИСТЕМЫ [ГЛ. VI
и является ηυ-сдвигом. Мы продолжаем его до отображения Τ окрестности
Ui на себя, сохраняющего траектории и являющегося ε-сдвигом. Это
возможно в силу 2).
Отображение Т, определенное шагами I—VIII, является, очевидно,
ε-сдвигом, переводящим область Η в область U и сохраняющим
траектории. Таким образом, выполняется соотношение
(Я, А) = (Я, А). (4)
Теорема доказана.
3. Основная теорема для сферы. Определение грубой динамической
системы на сфере было дано в главе III (§ 6.2, определение 12). Оно
заключается в следующем: динамическая система (А), заданная на сфере Sf
называется грубой, если при любом ε > 0 можно найти такое δ > О,
что для всякой системы (А), δ-близкой к системе (А), выполняется
соотношение
(S, A) L (S, А).
Необходимые и достаточные условия грубости системы, заданной
на сфере, в точности такие же, как на плоскости. Сформулируем и
докажем соответствующее предложение.
Теорема 24. Динамическая система (А), заданная на сфере S,
является грубой в том и только в том случае, если:
I. Каждое из состояний равновесия системы (А) является простым
узлом, седлом или фокусом.
II. Замкнутые траектории системы (А) являются простыми
предельными циклами.
III. Система (А) не имеет сепаратрис, идущих из седла в седло.
Доказательство. Для определенности мы предположим, что
(А) является аналитической системой на сфере, и будем доказывать
грубость по отношению к пространству Ra}. Грубость по отношению к
пространству ЛаГ) (г > 1) доказывается так же, а по отношению к
пространствам R$ — даже проще.
Достаточность. Доказательство достаточности условий I—III
для грубости динамической системы (А) на сфере проводится вполне
аналогично соответствующему доказательству в теореме 23, но несколько
проще. Упрощение получается, естественно, за счет того, что на сфере
нет граничных дуг траекторий и граничных дуг и циклов без контакта.
Необходимость. Мы ограничимся доказательством
необходимости условия II, т. е. докажем, что всякая замкнутая траектория
грубой динамической системы на сфере является простым предельным
циклом. Отсутствие у грубой системы сложных состояний равновесия
и сепаратрис, идущих из седла в седло, доказывается аналогично, причем
часть доказательства упрощается.
Не ограничивая общности, мы будем считать, что системы
рассматриваются на сфере 5, расположенной в трехмерном пространстве f?a
и заданной уравнением
«· + »* + *«= 1. (S)
В качестве замкнутого покрытия сферы (см. § 5.2) возьмем покрытие,
являющееся в известном смысле простейшим и состоящее из двух
областей 6?! и С?2> гДв G\ представляет множество всех точек сферы Sy


§ 18] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ГРУБОСТИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 173
для которых Zi<z<l, a G2—множество всех точек сферы, для
которых — 1<ζ<ζ2. При этом мы считаем, что — 1<Ζι<;0 и ζ1<ζ2<1
{рис. 62). Пусть Ut, Vi — локальные координаты в области Gf (£_= 1, 2),
причем области G% соответствует на плоскости (щ, vi) область Hi,
которую можно считать кругом с центром
в начале координат.
Области 6?! и 6г2 пересекаются по
кольцевой области, которую мы
обозначим В.
Пусть рассматриваемая грубая
аналитическая система (А) задана
системами уравнений (аналитическими)
^± = Pi(uh vt),
dvj
dt
= Qi(Uh vt), (Αή
где i = 1, 2, a Pu Qt — функции,
определенные в области 6?j (или, что
то же, в области #,·), причем в общей части В этих областей система (А4)
переходит в систему (А2) в силу формул преобразования (также
аналитических), определяющих связь между координатами ии vt и и2> v2 (§ 5.2).
Доказательство будем вести от противного. Именно предположим,
что на сфере S существует замкнутая траектория L системы (А), не
являющаяся простым предельным циклом (т. е. имеющая нулевой
характеристический показатель). Мы можем считать, опять-таки не ограничивая
общности, что траектория L лежит в области Git но вне кольца В, и можем
рассматривать ее как замкнутую
траекторию системы
diit
dv.
dt -PiiuuVi), -^ = <?i(wi, vj, (A,)
определенной в плоской области Н1ш Так
как характеристический показатель
траектории L равен 0, то, в силу
результатов главы V, либо
(1) траектория L является сложным
предельным циклом системы (А), либо
(2) все траектории, проходящие в
достаточно малой окрестности траектории
L, являются замкнутыми.
Рассмотрим сначала случай (1). В
силу замечания 2 к теореме 19 (§ 15.2)
в этом случае при любом δ4 > О существует бгблизкая к (At) система
(А*), имеющая в сколь угодно малой окрестности траектории L по
крайней мере два грубых предельных цикла. Обозначим их L\ и L*.
Отождествим для упрощения изложения область Gx с областью #lf
т. е. будем рассматривать G4 как круг с центром в начале координат
и с радиусом R на плоскости (и4, vx). Пусть кольцо В состоит из точек
круга Gu для которых радиус-вектор ρ удовлетворяет неравенству
/?t < ρ < Ϊ?. Далее, предположим, что цикл L лежит внутри круга 0 < ρ < i?2,
где R2<CBi (рис. 63), и что система (А*) имеет вид
Рис. 63.
^- = Pi(ultVi), ^-^Qtiuuv,).
(Αϊ)


174 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГРУБОСТИ СИСТЕМЫ [ГЛ. VI
Построим систему (А^ класса 1, достаточно близкую к системе (Aj),
совпадающую с (А*) в круге р</?2 и совпадающую с системой (A4)
в кольце В. Для этого обозначим через φ (ρ) функцию, удовлетворяющую
следующим условиям:
а) φ(ρ) есть функция класса 1, определенная для всех р, 0<!р<;Л;
б)
φ (ρ) = ι
φ(ρ) = 0
0<φ(ρ)<1
при 0<p<i?2,
при /?1<р<#,
при J?2<p<i?i
(рис. 64; очевидно, существуют функции любого класса г>1,
удовлетворяющие условию б)).
Правые части системы (А4)—функции Р\(ии vt) и Qi(uit v^ —
определим формулами
<?ι = <?ι+(<??--<?ι)ψ(Ρ)>
(5)
где p-=Vu\+v\.
Система (Aj) с так определенными правыми частями имеет класс 1,
совпадает с системой (А4) в кольце В и совпадает с системой (А*)
в круге 0<!p<;i?2. Кроме того, легко видеть, что если Ьх достаточно
мало, то (Ai) сколь угодно близка к
системе (А4).
Так как системы (Aj) и (А2)
по-прежнему совпадают в кольце В, то, взятые
вместе, они представляют динамическую
систему на сфере S, которую мы обозначим
через (А). Эта система является, вообще
ρ говоря, системой 1-го класса. Покажем,
что ее можно сколь угодно хорошо
аппроксимировать аналитической системой.
С этой целью рассмотрим в
пространстве Rz соответствующее системе (А) векторное
поле w (M) — w (х, у, ζ), где Μ (я, у, ζ) — точка сферы. Вектор w (Μ) лежит
в плоскости, касательной к сфере в точке М.
Пусть fi(x, ζ/, z), ί = 1, 2, 3, — координаты вектора w(ar, у, ζ).
Рассмотрим куб Ε с центром в начале координат и с гранями,
параллельными координатным плоскостям, внутри которого заключена сфера S.
Рассмотрим сферический слой Σ, определенный неравенствами
1 —ηΟ<1 + η,
Рис. 64.
где r = y х2 + у* -\-ζ2, а η—положительное число, настолько малое, что
слой Σ лежит внутри куба Е. Определим функции F% (χ, у, ζ) в любой
точке (ху у, ζ) слоя Σ формулой
(i = 1, 2, 3; г = У χ2 + у2, + ζ2). Так как (А) является динамической
системой 1-го класса, то нетрудно видеть, что функции Ft {χ, г/, ζ) являются
функциями 1-го класса в слое Σ. По теореме Витни (см. [111, т. I, п. 260,
стр. 594) функции Ft (χ, г/, ζ) могут быть продолжены на весь куб Ε с сохра-


§ 18] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ГРУБОСТИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 175
нением класса. Полагая, что функции Ft являются компонентами
вектора w, мы получим векторное поле 1-го класса, определенное в кубе Ε
и совпадающее с полем w на сфере S. По теореме Вейерштрасса поле w
можно сколь угодно хорошо аппроксимировать до ранга 1 аналитическим
полем wa. На сфере S векторы wa не будут, вообще говоря,
касательными к сфере. Однако, проектируя их на соответствующие касательные
плоскости к сфере, мы получим векторное поле касательных к сфере
векторов, определяющих на сфере S динамическую систему, которую
мы обозначим через (А). Очевидно, система (А) является аналитической
и при надлежащей степени аппроксимации сколь угодно близка к
системе (А), а следовательно, и к исходной системе. При этом, в силу грубости
циклов L* и L*, система (А) имеет в окрестности каждого из них
соответственно грубые циклы L4 и L2.
Таким образом, мы показали, что если аналитическая система (А)
имеет на сфере S сложный предельный цикл L, то существует сколь угодно
близкая к ней аналитическая система (А), имеющая в сколь угодно малой
окрестности цикла L по крайней мере две замкнутые траектории. Но тогда
система (А) не может быть грубой — это показывается так же, как в
доказательстве теоремы 20 (§ 15.3).
Остается рассмотреть случай (2), когда все траектории, проходящие
в окрестности траектории L, являются замкнутыми. В этом случае, так же
как при доказательстве теоремы 20, можно построить сколь угодно
близкую систему класса 1, для которой L будет простым предельным циклом,
и затем аппроксимировать ее, как выше, аналитической системой (А).
Последняя будет иметь сколь угодно близкий к циклу L простой
предельный цикл L. Если ε достаточно мало, то при отображении,
реализующем ε-тождественность разбиения сферы траекториями систем (А)
и (А), изолированная замкнутая траектория L системы (А) переходит
в неизолированную замкнутую траекторию системы (А), лежащую вблизи
L, чего не может быть.
Таким образом, для рассматриваемого случая (т. е. для грубости
по отношению к пространству R^) теорема доказана. В остальных
случаях теорема доказывается аналогично, с очевидными изменениями.
4. Замечания и дополнения, а) Замечание о грубых
системах внутри цикла без контакта. Как мы уже
указывали (§ 6.1), впервые грубые системы рассматривались не в любой
области, а в области, ограниченной циклом без контакта (14|). В этом
случае определение грубой системы (определение 10, § 6.1) может быть
упрощено. Покажем это.
Пусть (А) —динамическая система, определенная в области G, а G* —
замкнутая подобласть области 6?, ограниченная циклом без контакта Г.
Предположим сначала, что система (А) груба в 6?*. Так как G*
является, очевидно, областью с нормальной границей, то применима теорема 23,
и, следовательно, в области G* выполняются условия I—III. Но тогда,
применяя такие же рассуждения, как при доказательстве достаточности
в теореме 23, нетрудно убедиться, что справедливо следующее утверждение:
Лемма 8. Каково бы ни было ε > 0, существует такое δ > 0,
что если система (А) δ-близка к системе (А), то выполняется соотношение
(G*, A) s (G*, А). (6)


176 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГРУБОСТИ СИСТЕМЫ [ГЛ. VI
Предположим теперь, что для системы (А) лемма 8 выполняется.
Пусть Η — σ-расширение области G* (см. п. 1, лемма 1), где σ > 0
достаточно мало. Очевидно, в данном случае Η представляет собой область,
также ограниченную циклом без контакта, a G* с Я. Но тогда из
предыдущей леммы, а также из лемм 12 и 8 § 4.2 вытекает (в этом легко
убедиться), что при любом ε > О
(Я, A) L (Я, А),
если системы (А) и (А) достаточно близки, а это значит, что система (А)
груба в области G*.
Таким образом, мы показали, что если система (А) груба в области 6?*,
то выполняется утверждение леммы 8, и наоборот. Следовательно,
выполнимость леммы 8 может быть принята за определение грубости
системы (А) в области, ограниченной циклом без контакта.
Аналогичное замечание справедливо в том случае, когда система
рассматривается в области, ограниченной несколькими
непересекающимися циклами без контакта. Доказательство проводится вполне
аналогично.
В общем случае — когда G* является областью с нормальной
границей — выполнимость леммы 8 уже не может быть принята за
определение грубости системы. В самом деле, если выполняется соотношение
(6), то граничные дуги траекторий области G* должны быть одновременно
дугами траекторий как системы (А), так и системы (А). Но ясно, что это,
вообще говоря, не выполняется.
б) Грубые системы на замкнутых
поверхностях. Условия грубости динамических систем (1-го класса) на
замкнутых поверхностях ненулевого рода, как ориентируемых, так и неориенти-
руемых, были рассмотрены Пейшото (М. Peixoto, [7]). Они заключаются
в следующем: динамическая система (А) 1-го класса, заданная на
поверхности рода р>0, является грубой в том и только в том случае, если
1) она содержит только конечное число состояний равновесия, причем
все они являются грубыми;
2) она не имеет сепаратрис, идущих из седла в седло;
3) она содержит лишь конечное число замкнутых траекторий, причем
все они являются простыми предельными циклами;
4) а(6)-)-предельное множество каждой ее траектории есть либо
состояние равновесия, либо предельный цикл.
Таким образом, в случае грубости на поверхности ненулевого рода
добавляется условие 4). На сфере (или на плоскости) условие 4)
автоматически следует из условий 1)—3) в силу теории Пуанкаре — Бендиксона
(КТ, § 4.6). Но на поверхностях ненулевого рода существуют
динамические системы, траектории которых, например, всюду плотны. Условие 4)
устраняет наличие таких траекторий.
в) Грубые системы в пространстве
динамических систем. Мы уже указывали (§ 6.1), что в пространстве
динамических систем системы, грубые в какой-нибудь области, образуют
открытое множество. Сейчас мы имеем возможность доказать это. Пусть
G — ограниченная плоская область, /?4 — пространство динамических
систем 1-го класса, определенных в области G, a G* — область с
нормальной границей, G* cz G.


§ 18] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ГРУБОСТИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 177
Теорема 25. Совокупность динамических систем i-го класса,
определенных в области G и грубых в области 6?*, является открытым
множеством в пространстве Я^
Доказательство. Пусть (А) — динамическая система, грубая
в области G* и принадлежащая пространству Л1# Покажем, что все
достаточно близкие к (А) динамические системы также являются грубыми. Тем
самым будет доказана справедливость теоремы 25.
В силу леммы 1 § 18.1 и замечания к ней
существует область с нормальной границей Η
такая, что
ё*сЯсЯсб,
причем система (А) не имеет в Η других состояний
равновесия и замкнутых траекторий, кроме тех,
которые расположены в G*. Обозначим через σ
расстояние от области б?* до границы области Н.
Очевидно, σ>0 (рис. 65).
Пусть ε—положительное число, ε < γ. При Рис. 65.
доказательстве теоремы 23 было показано, что
если 6t>0 достаточно мало, а система (А) 6гблизка к системе (А),
то выполняется соотношение
(/7, A) i (Й, А), (4)
где Η—некоторая область. Будем считать, что 6t>>0 удовлетворяет
этому условию.
Из соотношения (4) и условия е<у следует, что
G*c#
(см. сноску на стр. 75).
Область Η была подробно описана при доказательстве теоремы 23.
В частности, там было установлено, что если система (А) б2-близка к
системе (А), где δ2 достаточно мало, то система (А) не имеет в области Η других
состояний равновесия и замкнутых траекторий, кроме тех, которые
расположены в канонических окрестностях Όχ и Vj.
Наконец, если система (А) б3-близка к системе (А), где δ3 достаточно
мало, то состояния равновесия и замкнутые траектории системы (А),
расположенные в окрестностях ϋχ и Vj, являются грубыми (в силу замечания 2
к теореме 12 (§ 8.2), замечания 2 к теореме 13 (§ 9.2) и замечания к
теореме 18 (§ 14)). Из соотношения же (4) следует, что система (А) не имеет
в области Я сепаратрис, идущих из седла в седло.
Из всего вышесказанного следует, что если
6 = min{61, δ2, δ3},
и система (А) δ-близка к системе (А), то для системы (А) выполняются
в области Η с нормальной границей условия I—III теоремы 23 и, в силу
этой теоремы, система (А) является грубой в этой области. Но тогда
из условий (6) и из леммы 1 § 6.1 вытекает, что система (А) является
грубой в области G*. Теорема доказана.


178 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГРУБОСТИ СИСТЕМЫ [ГЛ. VI
Очевидно, предложение, аналогичное предыдущей теореме,
справедливо и в случае сферы.
Теорема 25'. Совокупность грубых динамических систем на сфере
является открытым множеством в пространстве всех динамических
систем *).
Справедливость теоремы 25' следует почти непосредственно из
теоремы 24.
Пейшото показал [7], что утверждение теоремы 25' справедливо
и для динамических систем 1-го класса на любой замкнутой поверхности,
как ориентируемой, так и неориентируемой.
Покажем теперь, что грубые системы образуют всюду плотное
множество в пространстве динамических систем. Будем рассматривать
динамические системы 1-го класса, определенные в некоторой области 6?.
Пусть Η — односвязная область, ограниченная простой замкнутой
кривой Г и такая, что Η a G. Для простоты мы проведем доказательство
для пространства, состоящего из динамических систем, определенных
в G и имеющих кривую Г своим циклом без контакта. Обозначим это
пространство через R*. Под близостью в нем будем понимать близость
до ранга 1 в области G.
Теорема 26. Пусть
£=*<**>. 4Н <?<*·*> (А)
— динамическая система, принадлежащая пространству R*. Каково бы
ни было δ > 0, существует δ-близкая к (А) система (А), грубая в области Н.
Доказательство. Пусть δ > О задано. Мы будем считать δ
настолько малым, что всякая система, δ-близкая к системе (А),
принадлежит пространству i?*, т. е. Г является для нее циклом без контакта.
В силу теоремы Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных
функций многочленами существует -^-близкая к (А) система
-^=Л(*,у), -§- = <? (χ, [у), (At)
правые члены которой являются многочленами.
Пусть степени многочленов Р4 и ^ — соответственно т и п. При
доказательстве теоремы 10 (§ 7.2) было показано, что существуют сколь
угодно близкие соответственно к Рх и Qx многочлены таких же степеней,
как Рх и Qu и при этом взаимно простые.
Пусть Р2 и Q2 — такие многочлены, и пусть система
^■~Рг(х,у), % = Qz{x,y) (A2)
у-близка к системе (А^.
В силу теоремы Везу ([12], глава III, § 3.1) система (А2) может иметь
лишь конечное число состояний равновесия, не превышающее т-п. Пусть
Οι (χι, Уг), i = 1, 2, . . ., s,— все состояния равновесия системы (А2),
расположенные в области Η (s^Cm-ri).
*) Речь идет, конечно, о грубости по отношению к одному из пространств R%\ #д .


§ 18] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ГРУБОСТИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 179
Предположим, что какое-нибудь состояние равновесия 0^, например
О и не является простым, т. е.
д^2(*1> У\)
дх
d(?2 fob У\)
дх
д?г(хх, Уд
ду
д(?2 fol* У ι)
ду
:0.
Рассмотрим систему
df = α(χ — χί)+ Р2 (χ, у) = Р2 (ж, у),
■7ϊΗβ(0--0ι) + 02(* v) = Ql(x, у).
(AS)
При любом выборе чисел α и β точка 04 является состоянием
равновесия системы (А*), а Р* и ^* — многочлены соответственно степеней т
и п. Выберем числа α и β достаточно малыми, причем такими, чтобы
выполнялось соотношение
дР2 (Xj, Ух)
дх
d<?2 (Si, Ух)
дх
дР2 (*ι, Ух)
д<?2 (*х, Ух)
ду
ФО
(очевидно, это можно сделать). Тогда система (А*) будет сколь угодно
близка к системе (А2) и будет иметь точку Οχ простым состоянием
равновесия.
В случае, если многочлены Р* и Q* не являются взаимно простыми,
мы заменим их достаточно близкими многочленами Р2 и Q2 тех же
степеней (т. е. соответственно т и гс), но уже взаимно простыми. Мы получим
систему
(А2)
также имеющую не больше т-п состояний равновесия.
Если система (А2) достаточно близка к (А*), то она имеет в
достаточно малой окрестности точки Οχ простое состояние равновесия Οχ
(см. § 2.2, замечание 3 к теореме 6). Мы предположим, что это
выполняется. Таким образом, можно считать, что система (А2) сколь угодно
близка к (А2) и имеет конечное число состояний равновесия, меньшее
чем т-п, причем одно из них, Οχ, заведомо простое.
Допустим, что среди состояний равновесия системы (А2),
расположенных в Н, имеется сложное, например 02. Тогда в точности так же,
как мы переходим от (А2) к системе (А2), мы перейдем от (А2) к сколь
угодно близкой системе
~-р2(я, */), -^f = &(*>y),
dt
(А2)
правые части которой — взаимно простые многочлены степеней т и η
и которая имеет в окрестности точки 02 простое состояние равновесия 02.
При достаточной близости системы (А2) к (А2) система (А2) имеет также
простоз состояние равновесия Οχ в окрестности точки Οχ.


180 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГРУБОСТИ СИСТЕМЫ СГЛ. VI
Продолжая поступать аналогично, мы получим после конечного
числа шагов систему
■£«*.(*. Ю. ■§·-&<*. у). (А*>
ft
-=■ - близкую к системе (А2) и имеющую в области Η конечное число —
и притом только простых — состояний равновесия.
Если система (А3) имеет в области Η сложные фокусы или
сепаратрисы, идущие из седла в седло, то мы можем избавиться от них
поворотом векторного поля. В самом деле, рассмотрим систему
■^ = Ρ,-μρ, = Ρ4 (*,»), ^—Cs + μΡ. = &(*,?), (А*)
где μ Φ 0. Векторное поле ее получается поворотом векторного поля
системы (А3) на угол, равный arctg μ.
Система (А4) имеет состояния равновесия в тех и только в тех
точках, что и система (А3) (§ 3.2, лемма 3). Так как система (А3) имеет в
области Η только простые состояния равновесия, то при достаточно малом
μ система (А4) имеет в области Η тоже только простые состояния
равновесия. Допустим, что у системы (А3) имеется сложный фокус (#0, у0).
Не ограничивая общности, будем считать, что х0 = у0 = 0. Пусть
дРг (0, 0) _, „ дРъ (0, 0) _и dQ3 (0, 0) _ т dQz (0, 0) ^
Тх -а' Ту ~°> di "~ ' Щ
Так как О(0,0) — сложный фокус, то величины Δ и σ для состояния
равновесия О системы (А3) равны
Δ =
а Ъ
с d
>0, σ = α + d = 0.
Дл^той жо точки, рассматриваемой как состояние равновесия системы (А4),
величины Δ и σ равны соответственно
Δμ =
а — μβ Ъ — μ<2|
ι л ι ^ I * σμ = μ(6 —с).
c+μα α + μ6|? μ ην '
Если О (0, 0) — сложный фокус системы (А4), то Ъ = с. Так как,
кроме того, d = —а, то Δ =—а2 — Ь2<10, что противоречит условию
Δ > 0. Таким образом, точка О (0, 0) не может быть сложным фокусом
системы (А4). Ясно, что если μ Φ 0 достаточно мало, то Δ* > 0, а о*
мало, т. е. точка О (0, 0) является простым фокусом системы (А4). Таким
образом, мы попутно установили, что при повороте векторного пол#
динамической системы на достаточно малый угол всякий ее сложный
фокус превращается в простой.
В главе IV было показано, что если динамическая система имеет
сепаратрису, идущую из седла в седло, то при повороте векторного поля
системы на достаточно малый угол такая сепаратриса исчезает
(«распадается» на две сепаратрисы; см. § 11.1, лемма, а также § 11.2,
доказательство теоремы 16). Так как система (А3) может иметь лишь конечное
число состояний равновесия и сепаратрис, то из всего вышесказанного
следует, что при μ^0 и достаточно малом выполняются следующие
условия:


§ 18] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ГРУБОСТИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 181
1) Система (A4)-g--близка к системе (А3).
2) Система (А4) имеет в области Η лишь конечное число, и притом
только простых, состояний равновесия, среди которых нет сложных
фокусов (другими словами, в области Η имеется только конечное число,
и притом грубых, состояний равновесия).
3) Система (А4) не имеет в области Η сепаратрис, идущих из седла
в седло.
Из условий 1) — 3) и из того, что система (А4) аналитическая, следует,
что для нее выполняется и условие:
4) Система (А4) может иметь в области Η лишь конечное число
замкнутых траекторий.
Справедливость утверждения 4) доказывается в точности так же,
как теорема 21 (§ 16.1). Отличие имеется лишь в доказательстве одного
пункта, на котором мы и остановимся. Именно, пользуясь обозначениями,
применяемыми при доказательстве теоремы 21, покажем, что Ка или
Κω не может быть замкнутой траекторией (т. е. что случай 5) в
доказательстве теоремы 21 в наших условиях также невозможен). В самом
деле, предположим, что Κωι например, есть замкнутая траектория. Тогда
эта траектория, по самому определению Κω, является неизолированной
замкнутой траекторией. Из наличия у аналитический системы
неизолированной замкнутой траектории вытекает существование ячейки, сплошь
заполненной замкнутыми траекториями (§ 12.3). Пусть W — такая
ячейка. Как известно (см. КТ, § 23.2), граница ячейки W должна состоять
из двух нуль-предельных континуумов, каждый из которых есть либо
а) замкнутая траектория, либо б) состояние равновесия, являющееся
центром, либо в) континуум, состоящий из сепаратрис, идущих из седла
в седло, и из состояний равновесия. Однако в нашем случае таких нуль-
предельных континуумов не существует, так как система (А4) не имеет
в области Η ни центров, ни сепаратрис, идущих из седла в седло, а
замкнутая траектория аналитической системы не может быть нуль-предельным
континуумом (у аналитической системы всякая замкнутая траектория
является либо изолированной, либо внутренней траекторией ячейки).
Таким образом, Κω не может быть замкнутой траекторией. В остальном
доказательство утверждения 4) не отличается от доказательства
теоремы 21.
Обозначим замкнутые траектории системы (А4), расположенные в Н,
через L,, L2» · · ·, Ln (они являются предельными циклами). Если все
эти предельные циклы простые, то система (А4) является грубой (в силу
теоремы 23, § 18.2), и наша теорема доказана. Допустим теперь, что
среди циклов Ьг (г = 1, 2, . . ., г) системы (А4) есть сложные. Тогда мы
снова сделаем поворот векторного поля, т. е. рассмотрим систему
В § 12.3 было введено понятие кратность предельного цикла и было
установлено, что всякий предельный цикл аналитической системы имеет
определенную кратность. Воспользуемся сейчас некоторыми
результатами, которые будут доказаны позже, именно теоремами 60 и 01 (§ 32.4).
В силу этих теорем, если Lt есть коночнократный цикл аналитической
системы (А4), то существуют числа ег· > 0 и μ* > 0, обладающие
следующим свойством: всякая система (Αμ), для которой | μ | < μ*, имеет в Uz.(Li)


182 НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ГРУБОСТИ СИСТЕМЫ [ГЛ, VI
не более двух замкнутых траекторий, причем эти траектории являются
простыми предельными циклами.
Пусть ε = min {еи ε2, . . ., εΓ}. Обозначим через Vi (i = 1, 2, . . .
- . ., г) каноническую окрестность замкнутой траектории Lb
расположенную в Uъ (Li), через у\ и γ^ — циклы без контакта системы (А4),
образующие границу окрестности Vt. Мы мэжем считать, что окрестности Vt
г
лежат вЯияе пересекаются. Множество Η \ \]\7ι (τ. е. дополнение суммы
__ ι
окрестностей Vt в множестве Н) обозначим через F.
Пусть μ*, 0 < μ* < min {μ*, μ*, . . ., μ?}, настолько мало, что
если | μ | <; μ*, то выполняются следующие условия:
а) Система (Αμ) -^ - близка к (А4).
б) Система (Αμ) имеет в области Η лишь конечное число, и притом
грубых, состояний равновесия.
в) Система (Αμ) не имеет в области Η сепаратрис, идущих из седла
в седло.
г) Циклы без контакта у\ и γ£ (г = 1, 2, . . ., г) системы (А4)
являются циклами без контакта системы (Αμ).
д) В каждой из окрестностей Vt существует не более двух замкнутых
траекторий системы (Αμ), причем эти траектории являются грубыми
предельными циклами.
Выполнимость условий а) — г) при малых μ очевидна. Выполнимость
условия д) вытекает из определения числа ε, чисел μ* и окрестностей Vt.
Покажем, что если число μ достаточно мало по модулю, то кроме
условий а) — д) выполняется условие:
е) Всякая замкнутая траектория системы (Αμ), расположенная в Н,
целиком лежит в одной из окрестностей Т^.
Для доказательства заметим, что множество F является замкнутой
областью, ограниченной конечным числом циклов без контакта системы
(А4), и что система (А4) имеет в F лишь конечное число, и притом
грубых, состояний равновесия и не имеет сепаратрис, идущих из седла в
седло, а также замкнутых траекторий. Поэтому система (А4) является грубой
в области F. Но тогда всякая достаточно близкая к (А4) система имеет
в области F такую же топологическую структуру, как система (А4)
(см. § 18.4, п. а)).
Отсюда следует, что при достаточно малом μ система (Αμ) не может
иметь замкнутых траекторий, целиком лежащих в F. Далее, если
замкнутая траектория системы (Αμ) имеет точку, принадлежащую какой-нибудь
из окрестностей Vt, то она целиком лежит в этой окрестности, в
противном случае она пересекалась бы с циклом без контакта у\ или у\, чего
не может быть. Утверждение е) доказано.
Таким образом, мы показали, что если μ достатонно мало, то
система (Αμ) удовлетворяет условиям б), в), г), д). Но тогда она является
грубой в области Η в силу основной теоремы об условиях грубости
(теорема 23, § 18.2). Так как при этом система (Αμ) δ-близка к системе (А),
то теорема 26 доказана.
Пейшото показал, что теорема 26 справедлива и в том случае, когда
под R* понимается пространство динамических систем на любой
замкнутой поверхности, как ориентируемой, так и неориентируемой (см. [7]).
Из теоремы 26 следует, что грубые системы образуют всюду плотное
множество в пространстве R* систем 1-го класса.


§ 18] ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА О ГРУБОСТИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ 183
При доказательстве теоремы 26 мы фактически показали, что сколь
угодно близко к любой системе пространства R* имеется аналитическая
грубая система. Отсюда следует, что в пространстве аналитических систем
грубые системы также всюду плотны.
Теоремы 25 и 26 означают, что грубые системы составляют, так
сказать, всю «толщу» пространства динамических систем. Негрубые же
системы образуют в этом пространстве «перегородки», разбивающие его
на области, каждая из которых заполнена грубыми системами одного
и того же топологического типа.
г) Замечание об условиях грубости
динамической системы по отношению к пространствам
R^P и R%\ В теореме 23, дающей необходимые и достаточные условия
грубости динамической системы, грубость понимается, естественно,
в смысле определения 10 (§ 6.1), т. е. по отношению к пространству Ri
(см. § 6.3). Предположим теперь, что (А) является системой класса N > 1
или аналитического и рассматривается как точка пространства /?*, где
R* — одно из пространств Rff (r<iV) или i?£r) (см. § 5.1). Рассмотрим
по-прежнему область G* с нормальной границей, G* cz G. Пусть
система (А) является грубой в области G* по отношению к пространству R*.
Тогда:
она может иметь лишь конечное число состояний равновесия, причем
только простых,— в силу теорем 10 и 11, § 7.3;
она не может иметь состояний равновесия с чисто мнимыми
характеристическими числами в силу замечания 1 к теореме 15, § 10.4;
она не может иметь сепаратрис, идущих из седла в седло,— в силу
замечания к теореме 16, § 11.2;
она может иметь лишь такие замкнутые траектории, которые
являются простыми предельными циклами,— в силу теоремы 20, § 15.3.
Но это значит, что условия I—III теоремы 23 являются необходимыми
условиями грубости системы (А) в области G* по отношению к
пространству Л*.
Обратно, если эти условия выполняются, то система (А) является
грубой по отношению к пространству Riy а следовательно, и по
отношению к пространству R* (см. § 6.3).
Таким образом, мы установили, что условия I—III теоремы 23
являются необходимыми и достаточными условиями грубости системы (А) в
области (?* по отношению к любому из пространств R%\ Rj\ точкой
которого является система (А). Следовательно, если мы имеем дело только
с пространствами R{p и Ra\ можно не указывать, по отношению к
какому из них система (А) является грубой (или негрубой).


ГЛАВА VII
ЯЧЕЙКИ ГРУБЫХ СИСТЕМ. ДОПОЛНЕНИЕ К ТЕОРИИ
ГРУБЫХ СИСТЕМ
Введение
Настоящая глава состоит из трех параграфов. В первом из них —
§ 19 — рассматриваются ячейки грубых систем. Понятие «ячейка
динамической системы» введено в КТ, глава VII, § 16. Оно заключается в
следующем. Если из области 6?, где рассматривается динамическая система
(или из сферы), удалить все особые элементы, т. е. граничные дуги,
состояния равновесия, предельные циклы и орбитно-неустойчивые траектории
и полутраектории, считая, что их имеется конечное число, то оставшиеся
точки области G образуют открытое множество, состоящее из конечного
числа компонент. Эти компоненты и называются ячейками. В каждой
ячейке траекторий системы ведут себя в известном смысле одинаково.
Общие свойства ячеек изучаются в указанной главе в КТ, причем —
если рассматривать любые динамические системы — существует
бесчисленное множество различных типов ячеек. Однако динамические системы,
грубые в области G* с нормальной границей, имеют сравнительно
небольшое число различных типов ячеек. Исследованию этих типов и
посвящен § 19. Именно, в нем полностью перечисляются все типы односвязных
внутренних ячеек грубых систем (т. е. ячеек, не примыкающих к границе
области), а также все типы двусвязных ячеек (как внутренних, так и
примыкающих к границе).
В § 20 приведено несколько примеров грубых систем и показаны
ячейки этих систем.
§ 21 не имеет отношения к ячейкам. В нем показано, что в
определении системы, грубой внутри цикла без контакта (или на сфере), можно
отказаться от требования ε-тождественности близких систем (см. § 18.4, а)),
т. е. можно дать следующее определение:
Система (А) называется грубой в области, ограниченной циклом без
контакта, если всякая достаточно близкая к ней система имеет в этой
области такую же топологическую структуру, как (А).
§ 21 посвящен доказательству эквивалентности этого определения с
исходным определением 10 (§ 6.1), заключающим в себе условие
ε-тождественности, и может рассматриваться как дополнение к теории грубых систем.
Заметим, что определение, требующее ε-тождественности, является
очень естественным и с ним удобнее иметь дело при выводе необходимых
условий грубости, так как оно позволяет вместо рассмотрений в целом
(глобальных) иметь дело с локальными рассмотрениями (например,
в окрестности данной траектории). С другой стороны, определение, не
требующее ε-тождественности, проще и из него сразу видно, что грубые
системы образуют открытое множество в пространстве динамических систем.


§ 19] ЯЧЕЙКИ ГРУБЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 185
§ 19. Ячейки грубых динамических систем
1. Общие сведения о ячейках динамических систем. Понятие «ячейка
динамической системы» и свойства ячеек подробно рассмотрены в КТ,
глава VII. В этом пункте мы приведем без доказательств основные
сведения о ячейках, которые понадобятся при изучении ячеек грубых систем.
Рассмотрения можно вести либо на сфере, либо в ограниченной
плоской области G. В случае сферы мы будем предполагать, что
рассматриваемая динамическая система (А) имеет конечное число особых
траекторий (см. КТ, § 16.9). В случае, если система (А) определена в плоской
области G, мы будем рассматривать ее в подобласти G* с нормальной
границей и будем предполагать, что система (А) имеет в G* конечное
число особых траекторий. Для определенности рассмотрим случай
системы, заданной в плоской области.
Обозначим через Ε множество всех точек, принадлежащих особым
элементам системы, расположенным в G* *). При сделанном нами
предположении (относительно конечности числа особых элементов) Ε является
замкнутым множеством. Следовательно, дополнение к нему — множество
G*\E — является открытым и состоит из непересекающихся компонент.
Эти компоненты и называются ячейками динамической системы (А).
Имеют место следующие предложения, доказательства которых
приведены в КТ, глава VII, § 16:
I. Число ячеек конечно.
П. Всякая ячейка или односвязна, или двусвязна**).
III. Траектории, принадлежащие одной ячейке,
либо все являются целыми траекториями,
либо все являются положительными (отрицательными)
полутраекториями,
либо все являются дугами траекторий.
В случае, когда ячейка состоит из целых траекторий, ее траектории
либо все замкнуты,
либо все являются петлями,
либо все являются незамкнутыми траекториями, а- и ω-предельные
континуумы которых не имеют общих точек.
IV. Все целые незамкнутые траектории, принадлежащие одной
ячейке, имеют один и тот же α-предельный континуум и один и тот же
ω-предельный континуум.
V. Если ячейка, состоящая из целых незамкнутых траекторий,
является двусвязной, то один из граничных континуумов этой ячейки
является α-предельным, а второй ω-предельным континуумом ее
траекторий.
VI. Если какая-нибудь точка Ρ является граничной для ячейки,
состоящей из целых траекторий, то и все точки траектории LP,
проходящей через Р, являются граничными для этой ячейки.
*) Множество Ε состоит из точек всех орбитно-неустойчивых траекторий и
полутраекторий, из точек угловых полутраекторий и угловых дуг траекторий, из точек
граничных дуг и циклов без контакта и граничных дуг траекторий и из всех состояний
равновесия. См. § 16.2.
**) Напоминаем, что ограниченная область является односвязпой, если ее
граница состоит из одного связного множества (граничного континуума), и двусвязной,
если ее граница состоит из двух непересекающихся связных множеств. В последнем
случае одно из них является внешним граничным континуумом, а другое —
внутренним. Внутренний граничный континуум может быть, в частности, точкой.


186 ЯЧЕЙКИ ГРУБЫХ СИСТЕМ. ДОПОЛН. К ТЕОРИИ ГРУБЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VII
VII. Граница каждой ячейки состоит из точек, принадлежащих
особым элементам. При этом, если какая-нибудь точка Ρ входит в
границу ячейки Ζ и принадлежит особой траектории L, целиком расположенной
в 6?*, либо особой полутраектории Ζ,Ο (орбитно-неустойчивой или
угловой), либо угловой дуге, то вся траектория L (соответственно
полутраектория 1Д> или дуга I) принадлежит границе ячейки Ζ.
Если точка Ρ входит в границу ячейки Ζ и принадлежит граничной
дуге I траектории и если при этом Ρ не является угловой точкой границы,
то вся дуга I также входит в границу ячейки Ζ *).
VIII. Если траектория или полутраектория L входит в границу
ячейки Ζ, то все предельные точки L также входят в границу ячейки Ζ.
Будем называть особой дугой часть граничной дуги без контакта,
у которой все точки, кроме концов, принадлежат неособым траекториям,
а каждый конец либо является угловой точкой, либо принадлежит особой
цуге или особой полутраектории (особая дуга может, в частности,
совпадать с граничной дугой без контакта). Особая дуга называется особой
спили ω-дугой в соответствии с тем, входят ли траектории системы через эту
дугу в области 6?* или они выходят из области 6?*. Аналогично
граничный цикл без контакта, все точки которого принадлежат неособым
траекториям, мы будем называть особым α-циклом (ω-циклом), если траектории
системы входят через этот цикл в область (?* (выходят из области (?*).
IX. Если какая-нибудь полутраектория (или дуга траектории)
ячейки Ζ пересекает некоторую особую ω (а-)-дугу λ, то и все полутраектории
(дуги траектории) ячейки Ζ пересекают эту же дугу λ в отличных от ее
концов точках и, кроме дуги λ, не могут пересекать больше никакой
другой ω (а-)-дуги.
Если какая-нибудь полутраектория (или дуга траектории) ячейки Ζ
пересекает некоторый особый ω (а-)-цикл, то и все полутраектории (или
дуги траекторий) ячейки Ζ пересекают этот цикл.
X. Ячейка, в границу которой входит ω- или α-дуга, односвязна.
XI. Ячейка, в границу которой входит особый ω- или α-цикл,
двусвязна.
Наша задача заключается в том, чтобы найти все типы ячеек,
которые могут существовать у грубых систем. Так как грубые системы имеют
лишь конечное число состояний равновесия и замкнутых траекторий
и не имеют сепаратрис, идущих из седла в седло, причем состояниями
равновесия могут быть лишь простые узлы, седла и фокусы, то различных
типов ячеек у грубых систем сравнительно немного. Так, например,
ячеек, заполненных замкнутыми траекториями или петлями, у грубой
системы быть не может.
2. Двусвязные ячейки грубых систем. Мы переходим к рассмотрению
ячеек грубых систем. В этом пункте мы установим все типы двусвязных
ячеек — это делается очень просто.
Рассмотрим сначала ячейки грубых систем, заполненные целыми
траекториями. Из утверждения IV п. 1 и из свойств грубых систем
непосредственно вытекает следующая теорема, справедливая как для одно-
связных, так и двусвязных ячеек.
*) Бели точка Ρ входит в границу ячейки Ζ и является угловой точкой,
принадлежащей граничной дуге траектории, то эта дуга может как принадлежать целиком,
так и не принадлежать границе ячейки Ζ. В этом можно убедиться на простых
примерах.


§ 19]
ЯЧЕЙКИ ГРУБЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
187
Теорема 27. Если Ζ — ячейка грубой системы, заполненная
целыми траекториями, то все эти траектории при t -> + оо стремятся
к одному и тому же элементу притяжения (т. е. к устойчивому узлу,
фокусу или предельному циклу), а при t -*■ — оо стремятся к одному
и тому же элементу отталкивания (к неустойчивому узлу, фокусу или
предельному циклу).
Теорема 27 может быть сформулирована, очевидно, следующим
образом: каждая ячейка грубой системы, заполненная целыми траекториями,
имеет один источник и один
сток *).
Двусвязные ячейки,
заполненные целыми траекториями.
Теорема 27 и утверждения IV
и V п. 1 позволяют сразу
установить все типы двусвязных
ячеек грубой системы,
заполненных целыми траекториями.
В самом деле, граница
такой ячейки состоит из одного
элемента притяжения и из
одного элемента отталкивания,
т. е. либо из двух предельных
циклов, либо из предельного
цикла и состояния равновесия,
либо из двух состояний
равновесия. Однако последняя
возможность отпадает, так как
граница ограниченной области
не может состоять из двух точек.
Таким образом, граница дву-
связной ячейки состоит либо из
двух предельных циклов, либо из одного предельного цикла и из
состояния равновесия. В обоих случаях, очевидно, наружный граничный
континуум является предельным циклом, внутри которого лежат все
траектории ячеек. Внутренний граничный континуум представляет собой
предельный цикл, узел или фокус.
Для того чтобы перечислить все типы возможных ячеек, нужно
условиться, в каком случае мы будем считать две ячейки имеющими
одинаковый тип. Это можно сделать разными способами. Примем следующее
определение.
Определение 22. Мы будем говорить, что ячейки Zv и Z2
имеют одинаковый тип (или принадлежат одному и тому же типу)**),
если существует топологическое отображение Τ замыкания Ζ χ на Ζ2,
Рис. 66. а) Устойчивый цикл; б) неустойчивый
цикл; в) устойчивый цикл; г) неустойчивый
цикл.
*) Для негрубых систем эта теорема, вообще говоря, не имеет места. Так,
например, у ячейки, заполненной петлями, все траектории как при t -> — оо, так и при
t -> + оо стремятся к одному и тому же состоянию равновесия, т. е. источник такой
ячейки совпадает со стоком.
**) Вместо сформулированного условия можно было бы потребовать
существование отображения Τ с перечисленными свойствами, переводящего ячейку Ζ^ в Ζ2
(т. е. не рассматривать замыкания ячеек). Или можно было бы отказаться от
требования, чтобы Τ сохраняло ориентацию или сохраняло направление по t на траекториях.
Выбор того или другого определения однотипности двух ячеек в значительной
степени произволен и не играет существенной роли. Иногда такой выбор связан с
условиями рассматриваемой задачи.


188 ЯЧЕЙКИ ГРУБЫХ СИСТЕМ. ДОПОЛН. υ ТЕОРИИ ГРУБЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VII
сохраняющее ориентацию и переводящее траектории в траектории с
сохранением направления по t на них. В противном случае мы будем считать,
что ячейки Zv и Z2 имеют разные типы.
Теперь мы имеем возможность описать все типы двусвязных ячеек
грубой системы, заполненных целыми траекториями.
I. Ячейки, ограниченные предельным циклом
и сое т^о янием равновесия. Граница такой ячейки состоит
из предельного цикла L0 и заключенного внутри него состояния
равновесия — узла или фокуса. Цикл L0 может быть устойчивым или
неустойчивым, и возрастанию t может соответствовать обход его в положительном
eJ г) ej e)
Рис. 67. Li—предельный цикл, устойчи- Рис. 68. Lx—предельный цикл,
устойчивый в случаях а) и б) и неустойчивый вый в случаях а) и б) и неустойчивый в
в случаях в) и г), случаях в) и г).
направлении (против часовой стрелки) или в отрицательном. В
соответствии с этим возможны 4 типа ячеек, которые изображены на рис. 66.
Нетрудно убедиться *), что указанные 4 типа ячеек*различны в смысле
определения 22 и что каждая двусвязная ячейка, состоящая из целых
траекторий и ограниченная предельным циклом и состоянием равновесия,
имеет один из типов, изображенных на рис. 66.
II. Ячейки, ограниченные двумя предельными
циклами. Обозначим внешний граничный предельный цикл такой
ячейки через Lb а внутренний — через L2. При возрастании t точка
может обходить каждый из циклов L\ и L2 в положительном или в
отрицательном направлении. Кроме того, цикл L{ может быть устойчивым
или неустойчивым. Это дает 8 возможных случаев, изображенных
на рис. 67 и 68.
Нетрудно видеть, что все 4 ячейки, изображенные на рис. 67,
принадлежат различным типам. С другой стороны, каждая из ячеек рис. 68
*) Например, с помощью схемы динамической системы (КТ, § 29).


§ 19] ЯЧЕЙКИ ГРУБЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 189
имеет такой же тип, как соответствующая ей ячейка рис. 67 *). „Таким
образом, существует 4 типа ячеек, ограниченных двумя предельными
циклами.
III. Двусвязные ячейки, заполненные
полутраекториями или дугами траекторий. Очевидно, в
границу ячейки, заполненной полутраекториями или дугами траекторий,
должны входить особые граничные дуги или циклы
без контакта (см. п. 1). В силу утверждения X п. 1
в границу двусвязной ячейки не могут входить
особые дуги, и, следовательно, в нее входит по крайней
мере один особый цикл без контакта. Отсюда
непосредственно вытекает, что граница двусвязной
ячейки, заполненной полутраекториями, состоит из
особого цикла без контакта и из источника или
стока (предельного цикла, узла или фокуса). Это
позволяет без труда найти все типы таких ячеек, что
мы предоставляем сделать читателю. Двусвязные
ячейки, заполненные дугами траекторий,
ограничены двумя особыми циклами, один из которых лежит внутри
другого. Существует только один тип таких ячеек (рис. 69).
3. Внутренние ячейки грубых систем. Односвязные внутренние
ячейки. Мы будем называть ячейку Ζ области G* внутренней, если Ζ cz G*,
т. е. граница ячейки Ζ не имеет общих точек с границей области G*.
Лемма 1. Каждая внутренняя ячейка состоит из целых
траекторий.
Доказательство. Если ячейка Ζ состоит из полутраекторий,
то концы их лежат, очевидно, на границе ячейки и принадлежат,
следовательно, некоторым особым элементам. Такими особыми элементами
могут быть только граничные дуги или циклы без контакта. Таким
образом, граница ячейки, состоящей из полутраекторий, пересекается с
границей области G*, т. е. такая ячейка не является внутренней. Точно
так же доказывается, что внутренняя ячейка не может состоять из дуг
траекторий.
Лемма 2. Граница внутренней ячейки не имеет точек,
принадлежащих угловым полутраекториям или угловым дугам траекторий.
Доказательство. Пусть L — угловая полутраектория или
дуга траектории, Ρ — точка ее, принадлежащая границе внутренней
ячейки Ζ. В силу утверждения VII п. 1 конец М0 полутраектории (или
дуги траектории) L, являющийся точкой границы области G*, также
принадлежит границе ячейки Ζ, т. е. Ζ не является внутренней ячейкой.
Лемма доказана.
Из определения внутренней ячейки и из леммы 1, а также из
утверждения VI п. 1 следует, что граница внутренней ячейки грубой системы
состоит из целых траекторий, являющихся предельными циклами,
сепаратрисами или состояниями равновесия. Двусвязные ячейки были
рассмотрены в предыдущем пункте, и было показано, что их границы не
*) Отображение 7\ переводящее, например, ячейку а) рис. 67 в ячейку а) рис. 68,
сохраняющее ориентацию, а также траектории и направления на них, переводит,
очевидно, внешний предельный цикл ячейки во внутренний и наоборот. Но это не
противоречит определению 22.


190 ЯЧЕЙКИ ГРУБЫХ СИСТЕМ. ДОПОЛН.К ТЕОРИИ ГРУБЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VI1
содержат ни седел, ни сепаратрис. Докажем, что для внутренних ячеек
справедливо обратное предложение.
Теорема 28. В границу внутренней односвязной ячейки грубой
системы входит седло и по крайней мере две сепаратрисы.
Доказательство. Пусть Ζ есть внутренняя ячейка грубой
системы, в границу которой не входят седла и сепаратрисы. В силу
леммы 2 граница ячейки Ζ может состоять тогда только из узлов, фокусов
и предельных циклов, т. е. из элементов притяжения и отталкивания.
Так как эти элементы не имеют попарно общих точек и по крайней мере
два из них — именно а- и ω-предельные континуумы траекторий ячейки
Ζ — входят в границу Ζ, то Ζ не может быть односвязной, что
противоречит предположению. Таким образом, в границу Ζ входит либо седло,
либо сепаратриса. Но если в границу ячейки, заполненной целыми
траекториями, входит сепаратриса какого-нибудь седла, то входит и само это
седло (п. 1, VIII). С другой стороны, если граница ячейки содержит
седло, то она содержит по крайней мере две сепаратрисы этого седла,
являющиеся продолжениями одна другой. Теорема доказана.
Рассмотрим теперь какую-нибудь правильную систему канонических
окрестностей грубой системы (А) в области G* (§ 17.1). Всякая
α-сепаратриса (ω-сепаратриса) грубой* системы, целиком лежащая в G*,
непременно пересекает цикл без контакта, принадлежащий элементу
притяжения (элементу отталкивания).
В главе VI, § 17.1, мы ввели понятия свободного и несвободного
циклов без контакта, элементарных а- и ω-дуг, простых и циклических
элементарных дуг. Напомним некоторые утверждения, относящиеся
к этим понятиям.
1) Всякая неособая траектория пересекает либо в точности один
α-цикл, либо в точности одну α-дугу (простую или циклическую) в точке,
отличной от концов этой дуги, и либо один ω-цикл, либо одну ω-дугу.
2) Неособые траектории, пересекающие α-дугу (ω-дугу), не могут
пересекать свободный ω-цикл (α-цикл), и все эти траектории пересекают
одну и ту же ω-дугу (α-дугу). Если а- и ω-дуга обладают тем свойством,
что неособые траектории, пересекающие одну из них, пересекают другую,
то они называются сопряженными дугами. Аналогично а- и ω-свободные
циклы, пересекаемые одними и теми же траекториями, называются
сопряженными свободными циклами.
3) Всякая α-сепаратриса (ω-сепаратриса) седла системы (А) проходит
либо через общий конец двух простых ω-дуг (α-дуг), либо через конец
циклической ω-дуги (α-дуги).
4) Траектории одной и той же ячейки пересекают единственную
пару сопряженных а- и ω-дуг или единственную пару сопряженных
απ ω-циклов (КТ, глава XI, § 27, лемма 5).
Докажем, что две циклические дуги грубой системы не могут быть
сопряжены друг с другом. Заметим, что для негрубых систем это
утверждение несправедливо.
Лемма 3. Из двух сопряженных элементарных дуг грубой системы
по крайней мере одна является простой (не циклической) дугой.
Доказательство. Пусть а — циклическая дуга, М0 — ее
конец. Для определенности предположим, что а является циклической
α-цугой. Дуга а и точка М0 образуют цикл без контакта С, либо
принадлежащий элементу отталкивания, либо являющийся граничным циклом.
Обозначим через L0 траекторию, проходящую через точку М0. По
определению циклической дуги L0 есть особая траектория, т. е. является либо


§ 19]
ЯЧЕЙКИ ГРУБЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
191
сепаратрисой, либо угловой полутраекторией, либо угловой дугой
траектории.
Предположим сначала, что L0 есть сепаратриса некоторого седла О.
Очевидно, она является ω-сепаратрисой, т. е. стремится к О при t-*
-> + оо. Пусть Li и L2 — α-сепаратрисы седла О (рис. 70). Обозначим
через Ъ ω-дугу, сопряженную с а. Все траектории, проходящие через
точки дуги а, отличные от ее конца
Μ о, пересекают при возрастании t
дугу Ъ в ее внутренних точках.
Сепаратрисы Li и L2 должны
проходить через концы дуги 6.
Действительно, если сепаратриса
Lu например, не проходит через
конец дуги 6, то она проходит
через общий конец двух ω-дуг Ьх и
Ъ2 или через конец циклической
ω-дуги Ь3- Но тогда и траектории,
проходящие через точки дуги а,
близкие к точке М0, пересекают
при возрастании t дугу Ь4, Ъ2 или
Ь3, т. е. не могут пересекать дугу
6, что противоречит условию
сопряженности дуг а и Ь.
Таким образом, сепаратрисы Li и L2 проходят через концы дуги Ъ.
Так как эти сепаратрисы не имеют общих точек, то концы дуги Ъ не могут
совпадать, т. е. Ъ — простая дуга.
Предположим теперь, что L0 есть угловая дуга или полутраектория.
Обозначим через Ρ угловую точку, являющуюся концом полутраектории
(или дуги) L0 и граничной дуги без
контакта λ (рис. 71). Очевидно,
траектории, проходящие через точки
дуги а, достаточно близкие к точке М0,
и расположенные по ту же сторону
от L0, что и дуга λ, при возрастании t
пересекают дугу λ. Но тогда
нетрудно убедиться, что дуга λ сопряжена
с а. Так как λ есть граничная дуга
без контакта, то она является простой
ω-дугой. Лемма доказана.
Мы переходим теперь к
рассмотрению возможных типов односвязных
внутренних ячеек грубых систем.
Пусть Ζ — такая ячейка. В силу
теоремы 28 в границу ячейки Ζ
входят седло и сепаратрисы седла.
Очевидно, траектории ячейки Ζ не
могут пересекать свободный цикл С, принадлежащий элементу
притяжения или отталкивания. Действительно, если траектории ячейки Ζ
пересекают такой цикл, то все точки его принадлежат ячейке Ζ. Поэтому
как внутри цикла С, так и вне его лежат граничные для этой ячейки
точки, а, следовательно, и граничные континуумы. Эти континуумы не
могут иметь общих точек, т. е. ячейка Ζ не односвязна, что противоречит
предположению.
Рис. 71.


192 ЯЧЕЙКИ ГРУБЫХ СИСТЕМ. ДОПОЛН. К ТЕОРИИ ГРУБЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VII
Рис
Отсюда следует в силу свойства 4), что траектории односвязной
внутренней ячейки пересекают единственную пару сопряженных
απ ω-дуг. В силу леммы 3 по крайней мере одна из этих дуг является
простой (не циклической). Предположим для определенности, что простой
дугой является α-дуга. Обозначим ее через Q, а цикл без контакта, частью
которого она является,— через Са- Очевидно, Са
принадлежит источнику (неустойчивому узлу, фокусу или
предельному циклу).
Обозначим через Μι и М2 концы простой дуги а, а
через Li и L2 соответственно траектории, проходящие
через Μι и Μ2. Эти траектории входят в границу ячейки
Ζ, т. е. являются, в силу леммы 2, сепаратрисами.
Предположим для определенности, что дуга а лежит по
положительную сторону сепаратрисы Li и, следовательно,
по отрицательную сторону сепаратрисы L2. Все
траектории, пересекающие цикл без контакта Са, при
возрастании t выходят из канонической окрестности
соответствующего источника (которому принадлежит цикл Са). При
этом указанный источник может лежать либо внутри
цикла Са, либо вне его. Рассмотрим отдельно обе
возможности.
А) Источник, принадлежащий циклу Са> лежит
внутри Са.
В этом случае указанный источник может быть неустойчивым узлом,
фокусом или предельным циклом. Траектории, пересекающие цикл Са,
в том числе сепаратрисы Lt и L2» при
возрастании t выходят из канонической
окрестности, которую ограничивает цикл Са.
Пусть Oi — седло, к которому при
t -> + оо стремится сепаратриса Li (см.
рис. 72, 73, 75, 77, 79, 80). Тогда это
седло и α-сепаратриса его L[, являющаяся
продолжением ω-сепаратрисы Li с
положительной стороны, также входят в границу
ячейки Ζ (см. доказательство теоремы 28).
Сепаратриса L2, проходящая через
конец Μ2 дуги а, при t-*- -f- оо также
стремится к некоторому седлу 02. При
этом возможны два случая:
Ai) Седла Оу и 02 различны.
А2) Седло 02 совпадает с О^
Рассмотрим сначала первый случай.
Ai) Седла Οι и 02 различны (рис. 72
и 73). Дуга а лежит по отрицательную сторону от L2, поэтому
α-сепаратриса Lg, являющаяся ω-продолжением сепаратрисы L2 с
отрицательной стороны, также входит в границу ячейки Z. Очевидно, сепаратрисы
L[ и L'2 проходят через концы М[ и М'2 ω-дуги Ь, сопряженной с дугой а.
Так как М\ и М\ различны, то Ъ является простой дугой. Пусть
Съ — цикл без контакта, частью которого является дуга Ъ. Съ
принадлежит стоку, к которому стремятся при t -> + оо сепаратрисы L[ и L'2.
Здесь опять могут представиться две возможности:
Аи) Циклы без контакта Са и Съ лежат один вне другого.
А12) Цикл Са лежит внутри цикла С&.
Рис


S 19]
ЯЧЕЙКИ ГРУБЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
193
Рассмотрим сначала первую из них.
Аи) Цикли без контакта Са и Съ лежат один вне другого. Пусть у —
простая замкнутая кривая, состоящая из дуг аиЬ, частей М202 и Μ±Οι
сепаратрис соответственно L2 и Lu частей 02М\ и ΟχΜ[ сепаратрис Ь'г
и Li и из состояний равновесия Οι и 02. Обозначим через Δ ограниченную
Рис. 74. a) Si— неустойчивый узел; S2— устойчивый узел;
б) S — неустойчивый узел; в) S — неустойчивый узел; г) S —
устойчивый узел; д) S — устойчивый узел. В случаях е), ж), з),
и) Li— неустойчивый цикл.
кривой γ односвязную область. Точки кривой γ, являющиеся
внутренними точками дуг а и Ь, принадлежат ячейке Ζ, а все остальные точки
кривой γ являются граничными точками Ζ. Все траектории ячейки
пересекают дугу а и при возрастании t выходят из цикла Са. При этом они
должны либо входить в область Δ, либо выходить из нее. Покажем, что
второе допущение не может иметь места.


194 ЯЧЕЙКИ ГРУБЫХ СИСТЕМ. ДОПОЛН. К ТЕОРИИ ГРУБЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VII
В самом деле, предположим, что траектории ячейки Z, пересекая
дугу а, при возрастании t выходят из области Δ (рис. 73). Тогда вне
кривой у заведомо имеются точки ячейки Ζ, а следовательно, и точки,
граничные для ячейки Ζ. Обозначим через Ε множество этих граничных
точек (расположенных вне γ).
Множество Ε состоит из точек
особых траекторий. Нетрудно*
видеть, что области,
ограниченные циклами Са и Съ, лежат
внутри кривой. Поэтому
сепаратрисы Lij Li, L2 и Lg не имеют
точек, лежащих вне γ, т. е.
множество Ε состоит из точек
особых траекторий, отличных от
сепаратрис Lu L[, L2, L'2i а
также, очевидно, отличных от
состояний равновесия Οι и 02.
Но все точки, лежащие
достаточно близко к кривой у вне
ее, принадлежат неособым
траекториям. Таким образом, множество Ε находится на положительном
расстоянии от кривой у и вне ее. Но тогда Ε не пересекается с граничным
континуумом, содержащим сепаратрисы Lu L2, L[, L'2 и их предельные-
Рис. 75.
точки, т. е. ячейка Ζ имеет по крайней мере два граничных континуума.-
А это противоречит предположению, что ячейка Ζ односвязна.
Таким образом, мы показали, что в случае Аи) все траектории
ячейки Ζ, пересекая дугу а, при возрастании t выходят из цикла Са и входят
внутрь области Δ (рис. 72). Ячейка имеет один из типов, изображенных
на рис. 74, в зависимости от того, является ли источник или
соответственно сток, к которому стремятся траектории ячейки, состоянием равно-,
весия или предельным циклом, и в последнем случае в зависимости or


§ 19]
ЯЧЕЙКИ ГРУБЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
195
того, совпадает ли направление движения на этом предельном цикле
с положительным направлением обхода (по часовой стрелке) или с
отрицательным. Очевидно, в случае Аи) граница ячейки Ζ состоит только
из сепаратрис Lu L[, L2 и L'2 и их α- и ω-предельных точек.
А12) Цикл Са лежит внутри цикла Съ- Очевидно, в этом случае
цикл без контакта Съ принадлежит некоторому устойчивому предельному
циклу L0, причем Съ лежит внутри L0 (рис. 75). Рассматривая, как и в
предыдущем случае, простую замкнутую кривую γ и ограниченную ею
область Δ, нетрудно убедиться, что область Δ является частью кольцевой
области, заключенной между циклами Са и Съ- Траектории ячейки Ζ
пересекают дугу а и при возрастании t входят в область Δ. При
дальнейшем возрастании t эти траектории пересекают дугу 6,
входят в каноническую окрестность цикла L0 и стремятся
к LQ. Сепаратрисы L[ и L'2 при возрастании t также
стремятся к циклу Lq. Поэтому предельный цикл L0 входит
в границу ячейки Z. Так же, как в предыдущем случае,
эта граница состоит из сепаратрис Lb L2, L[ и L'2 и их
α- и ω-предельных точек. Ячейка Ζ имеет один из типов,
изображенных на рис. 76. Тип этот зависит от характера
источника, которому принадлежит цикл Са, а также от
направления движения точки по этому источнику (если он
является циклом) и по циклу L0.
Перейдем теперь к рассмотрению случая А2).
А2) Седло 02 совпадает с Οχ (рис. 77, 79, 80). В этом
случае, очевидно, сепаратриса L[, являющаяся
ω-продолжением сепаратрисы Lt с положительной стороны,
является в то же время ω-продолжением сепаратрисы L2 с отрицательной
стороны и входит в границу ячейки Z. Пусть Ъ — дуга без контакта,
сопряженная с дугой а, а Съ — цикл без контакта, частью которого является
дуга Ъ. Сепаратриса L[ проходит через конец М[ дуги Ь. Нетрудно
видеть, что через точки, лежащие на цикле Съ вблизи точки М[ по обе ее
стороны, проходят траектории, пересекающие дугу а. Поэтому Ъ является
циклической дугой.
Обозначим через γ простую замкнутую кривую, состоящую из частей
ΜχΟι и Μ2Οί сепаратрис соответственно Lt и L2l из дуги α и из точки Ои
а через Δ — ограниченную кривой γ область. Возможны два случая:
А21) Траектории ячейки Ζ пересекают дугу а и при возрастании t
входят в область Δ (рис. 77). В этом случае сепаратриса L[, а также цикл
без контакта Съ лежат внутри кривой γ, а сток, которому принадлежит Съ,
лежит внутри Съ- Циклы Са и Съ лежат один вне другого. Граница
ячейки Ζ состоит из сепаратрис L4, L2, L[ и их α- и ω-предельных точек.
Ячейка Ζ имеет один из типов, изображенных на рис. 78. Так же, как
в предыдущих случаях, тип ячейки зависит от характера источников
и стоков, к которым стремятся траектории ячейки, и от направления
движения точки по источнику (или стоку), если он является предельным
циклом.
А22) Траектории ячейки Ζ пересекают дугу а и при возрастании t
выходят из области Δ (рис. 79 и 80). В этом случае либо циклы Са и Съ
лежат один вне другого (рис. 79), либо цикл Са лежит внутри Съ (рис. 80).
Однако, применяя рассуждения, аналогичные проведенным при
рассмотрении случая Аи), можно показать, что случай, изображенный на
рис. 79, не может иметь места. Таким образом, цикл Са лежит внутри
цикла Съ- Отсюда следует, что источник, которому принадлежит цикл


196 ЯЧЕЙКИ ГРУБЫХ СИСТЕМ. ДОПОЛН. К ТЕОРИИ ГРУБЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VII
Рис. 79


* iiij
ЯЧЕЙКИ ГРУБЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
19:7
Съ, является предельным циклом L0, а Сь лежит внутри L0. Граница
ячейки Ζ состоит из сепаратрис Lu L2, L[ и их предельных точек. Типы
ячейки Z, возможные в данном случае, изображены на рис. 81.
dj e)
Рис. 81.
Мы полностью рассмотрели случай А), когда источник,
принадлежащий циклу Са, лежит внутри Са-
В) Источник, принадлежащий циклу Са> лежит вне Са-
Таким источником является, очевидно, неустойчивый предельный
цикл L0, причем Са лежит внутри L0. Так же, как в случае А),
сепаратрисы Li и L2, проходящие через концы Μι и М2 дуги а, могут
В4) стремиться к различным седлам Οι и 02 (рис. 82);
В2) стремиться к одному и тому же седлу Οι (рис. 83).
Нетрудно видеть, что случай В4) аналогичен случаю А12) и
отличается от последнего только направлением стрелок на траекториях, а
случай В2) аналогичен случаю А22) *). Поэтому нет необходимости подробно
*) В случае Α22) источник лежит внутри стока, а в случае В2) сток лежит внутри
источника.


198 ЯЧЕЙКИ ГРУБЫХ СИСТЕМ. ДОПОЛН. К ТЕОРИИ ГРУБЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VII
Рис. 82.
Рис. 83.
Φ ej
Рис. 84.


S 19]
ЯЧЕЙКИ ГРУБЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
199
исследовать эти случаи. Типы ячеек, соответствующих случаю В2),
изображены на рис. 84. Эти ячейки аналогичны ячейкам рис. 81.
Во всех рассмотренных выше случаях предполагалось, что дуга а
является простой дугой, а сопряженная с ней Ъ — либо простой, либо
циклической. Случаи, когда дуга Ъ является простой, а сопряженная
о ней а — циклической, получаются из случаев А2) и В2) изменением
направления стрелок на траекториях.
ж} sj uj
Рис. 85.
После всего вышесказанного нетрудно подсчитать, сколько
различных — в смысле определения 22 — внутренних односвязных ячеек может
существовать у. грубых систем. Мы не будем останавливаться на этом.
Заметим, что из приведенных выше рассуждений не следует, что каждый
из описанных выше типов ячеек действительно существует у той или иной
грубой системы. Мы доказали только, что у грубых систем не может
существовать — кроме перечисленных нами — других типов односвязных
внутренних ячеек. Не представляет труда доказать, что все
перечисленные типы ячеек действительно существуют. Это можно сделать, например,
строя соответствующую каждому типу ячейки динамическую систему
с помощью задания векторного поля.


200 ЯЧЕЙКИ ГРУБЫХ СИСТЕМ· ДОПОЛН. К ТЕОРИИ ГРУБЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VII
Мы установили выше все типы двусвязных ячеек (п. 2), а также все
типы внутренних односвязных ячеек, возможных в грубых системах.
Остаются еще односвязные ячейки, не являющиеся внутренними, т. е.
такие, границы которых имеют общие точки с границей области. Мы не
будем останавливаться на установлении типов таких ячеек — это можно
сделать рассмотрениями, аналогичными проведенным выше. На рис. 85
изображены типы односвязных ячеек грубой системы, примыкающих
к границе области 6?*, в том случае, когда эта граница состоит из одного
цикла без контакта.
Для многих прикладных задач представляет интерес понятие области
устойчивости в большом данного элемента притяжения (стока). Под такой
областью понимается совокупность всех ячеек, имеющих
рассматриваемый особый элемент своим элементом притяжения. Примеры области
устойчивости в большом приведены в следующем параграфе,
§ 20. Примеры грубых систем
В настоящем параграфе мы приведем несколько примеров грубых
систем.
Пример 4. Рассмотрим систему
х = ах + Ьу—х(х2 + у2)=Р(х, у),
у==сх + dy—y (x2 + y*) = Q (χ, у),
предполагая, что
Ъ¥=09
Δ =
а Ъ
с d
<0
(1)
(2)
(3)
Ζ) = σ2—4Δ=:(α — tf)2 + 46c>0 (σ = α + ά). (4)
Так как для системы (1)
Р(—х,—у) = —Р(х,у) и Q{ — x9—y) = —Q(Xfy)9
то, наряду со всяким решением χ = φ (t)y у = ψ (t) системы (1), χ =
= — φ (t)9 у = —ψ (t) также является ее решением. Геометрически это
означает, что отражение всякой траектории системы (1) в начале
координат также является траекторией, или, как это иногда выражают,
фазовый портрет динамической системы (1) симметричен относительно
начала координат.
Мы будем рассматривать систему (1) в круге
*» + р»<:Д*, (5)
ограниченном окружностью
х* + У* = Я*. (6)
Условие касания траектории
* = ф(0. У = *(0 (7)
системы (1) с окружностью (6) в их общей точке (х, у) имеет вид
χ у
— У х
хх + уу = 0.


§ 20]
ПРИМЕРЫ ГРУБЫХ СИСТЕМ
201
В силу уравнений (1) при достаточно большом R
хх + уу = ах* + (b + c)xy + dy*—(x* +1/2)2 < 0. (8)
Последнее соотношение показывает, что при достаточно большом R
окружность (6) является циклом без контакта для траекторий системы (1).
Далее, так как
то из соотношения (8) следует, что при возрастании t величина х2 + у2
убывает, т. е. все траектории, пересекающие окружность (6), при
возрастании t входят внутрь цикла без контакта (6). Мы будем считать R
настолько большим, что последнее условие выполняется.
Из условия (2) следует, как легко видеть, что траектории,
проходящие через точки оси χ = 0, пересекают эту ось, переходя с одной ее
стороны на другую (за исключением, конечно, траектории, являющейся
состоянием равновесия О (0,0)).
Предполагая, что Ρ (χ, у) Φ 0, перейдем от системы (1) к уравнению
dy cx + dy — y(x* + y*) ,qv
dx ax+by — x(x* + y2) \ '
и найдем, при каких к прямая
у = кх (10)
или ее часть может являться интегральной кривой уравнения (9). Из
уравнений (9) и (10) мы получаем
,, c+dk—Ь?2(1 + &2)
К~ α + Μ —*2(1 + Α2)
или
bk2 + (a—d)k—c = 0. (11)
Отсюда
к^т d-a±y(d-a)2 + 4bc ^ ,™
Из условий (2) и (4) следует, что существует в точности два значения
к, определяемые соотношением (12). Обозначим их соответственно kt и йг2,
где &! соответствует знаку плюс в формуле (12), а к2 — знаку минус.
Найдем состояния равновесия. Одним из них является точка О (0, 0).
На оси ординат, очевидно, других состояний равновесия нет. Поэтому
координаты любого состояния равновесия, отличного от точки О (0, 0),
имеют вид (х0, кх0). Подставляя эти координаты в уравнения Ρ (χ, у) = 0,
Q (χ, у) = 0, мы убедимся, что к удовлетворяет уравнению (11), т. е.
каждое состояние равновесия системы (1), отличное от точки О, лежит
на одной из прямых у = к^х и у = к2х, где й4 и к2 определяется
соотношением (12).
Далее, из уравнения Ρ (я0, кх0) = 0, мы найдем, что
и, следовательно,
у0 = кх0= ±к |/£±^. (14)
Характеристическое уравнение состояния равновесия О (0, 0) имеет
вид
Л2 —σλ + Δ = 0. (15)


202 ЯЧЕЙКИ ГРУБЫХ СИСТЕМ. ДОПОЛН. К ТЕОРИИ ГРУБЫХ СИСТЕ Μ [ГЛ. VII
Из условия (3) следует, что точка О (0, 0) является простым седлом.
Пусть λί и λ2 — корни уравнения (15). Непосредственные вычисления
показывают, что
α + 6Λ1 = λ1, a + bk2 = X2i (16)
причем, в силу (3), λ4 > 0, λ2 < 0. Из (13) и (16) вытекает, что на прямой
у = к2х нет состояний равновесия (кроме точки О), и, следовательно,
лучи у = к2х (х > 0) и у = к2х (х < 0) являются траекториями системы,
т. е. сепаратрисами седла О. На прямой же у = Λ4£ имеются, кроме начала
координат, в точности два состояния
равновесия Ογ (χ0ι у0) и 02 (—я0, —у0),
где х0 и г/0 получаются из формул (13) и
(14) при к = ϊζχ. Состояния равновесия
О, Οι и 02 разбивают прямую у = к&
на 4 части, каждая из которых является
траекторией системы. Части ОО^ и 002
прямой у = fe^ являются сепаратрисами
седла О.
Сравнительно несложные
вычисления показывают, что Δ (я0, г/0) —
= Δ(-*0, -у0) =2λ4 V#XK
Поэтому точки Οχ и <92 являются
простыми узлами (фокусами они не
могут быть, так как к ним стремятся
траектории, составляющие части прямой
у = fax).
Система (1) не имеет замкнутых траекторий. В самом деле, внутри
замкнутой траектории должно лежать по крайней мере одно из
состояний равновесия О, 04, 02» и» следовательно, такая траектория должна
была бы пересекаться с прямой у = к±х, что невозможно, так как эта
прямая состоит из траекторий системы. Таким образом, система (1)
не имеет замкнутых траекторий и сепаратрис, идущих из седла в седло,
и имеет 3 состояния равновесия — простое седло и два простых узла.
Поэтому в силу теоремы 23 система (1) является грубой в круге (5).
Расположение траекторий системы показано на рис. 86. Направление
стрелок на траекториях определяется тем, что все траектории входят
в круг (5) при возрастании L
Круг (5) содержит две ячейки системы (1) —- Z4 и Z2. Обе ячейки
заполнены полутраекториями и являются односвязными. Граница
ячейки Ζ ι (Ζ2) состоит из сепаратрис ОА^ ОА2 и ОО ι (002), состояний
равновесия О Έ.Οχ (02) и простой дуги без контакта AiBlA2 (АХВ2А2). Очевидно,
дуги, сопряженные с дугами А^ВХА2 и АХВ2А2, являются циклическими.
Ячейка Ζχ (Ζ2) является областью устойчивости в большом устойчивого
узла Οι (02).
Пример 5. Рассмотрим систему (1)
Рис
х = ах + Ъу—х(х2 + у2), У = сх + dy—y {х* + у2),
предполагая, что
:a + d>0,
\а Ъ\
\с d\
D = o*—4Δ>0.
Δ =
>0,
(17)
(18)
(19)


§ 20]
ПРИМЕРЫ ГРУБЫХ СИСТЕМ
203
.0**0
Так же, как в предыдущем примере, окружность (6) достаточно
большого радиуса R является циклом без контакта и все траектории
нашей системы при возрастании t входят внутрь ее.
Будем рассматривать систему в круге (5) достаточно большого
радиуса. Прямые у = к\х и у = к2х, где А4 и к2 — корни уравнения (11),
состоят из траекторий рассматриваемой системы.
Характеристические числа λχ и λ2 состояния равновесия О (0, 0),
в силу условий (17), (18), (19), положительны и различны, так что О
является неустойчивым узлом. Из формул (13), (14), (16) и из того, что
в нашем случае оба числа λ4
и λ2 положительны, следует, &\ /У=*гф
что на каждой из прямых
у = кхх, у = к2х имеется,
кроме точки О, еще по два
состояния равновесия.
Обозначим их соответственно
через А1, Вх и А21 В2 (рис. 87).
Вычисления показывают, что
для состояний равновесия А ^
и Ви расположенных на
прямой у — к^х, определитель
Δ = 2λχ УЪ > 0, а для
состояний равновесия А2 и В2
Δ = — 2λ2 YD < 0. Таким
образом, Αχ έ. Βχ являются
простыми узлами, а А2 и
В2 — простыми седлами.
Система не имеет замкнутых
траекторий по тем же
причинам, что в предыдущем
примере, и ее фазовый портрет симметричен относительно начала координат О.
Расположение траекторий системы показано на рис. 87. Направление
стрелок на траекториях и ход сепаратрис определяются тем, что все
траектории при возрастании t входят внутрь граничного цикла без контакта.
В силу теоремы 23 рассматриваемая система является, очевидно,
грубой в круге (5). Этот круг состоит из четырех ячеек: Zu Z2 и
симметричных с ними относительно начала координат ячеек Z[ и Z'v Ячейка Z^
является внутренней. Она состоит из целых траекторий, идущих из
неустойчивого узла О в устойчивый узел Аи и имеет такой же тип, как
ячейка а) на рис. 74. Ячейка Z2 состоит из полутраекторий и имеет такой же
тип, как ячейка а) на рис. 85. Область устойчивости узла Ах состоит
из ячеек Zx и Z2, а узла Вх — из ячеек Z[ и Z'2.
Замечание. Система (1) может быть исследована аналогичными
методами при всевозможных значениях коэффициентов а, Ь, с, d. См. КТ,
§ 30, пример 18.
Пример 6. Система
*L = 2y + xy + x* + y*-l = P(x, у),
*L=-2x-x* = Q(x,y)
имеет два состояния равновесия: А(0, —1 + ]/"2) и В(0, — 1—V2),
причем А—неустойчивый фокус, а В—седло. Непосредственно проверяется,
Рис. 87.
(20)


204 ЯЧЕЙКИ ГРУБЫХ СИСТЕМ. ДОПОЛН. К ТЕОРИИ ГРУБЫХ СИСТЕМ [ГЛ. ΎΙΙ
что окружность
х2 + У* —1=0
(21)
является траекторией системы (см. КТ, § 30, пример 14). Фокус А лежит
внутри этой окружности, а седло В — вне ее.
Покажем, что окружность (21) есть грубый предельный цикл
системы (20). Чтобы убедиться в этом, нужно вычислить интеграл
/ = Ι \Ρχ (φ (0. Ψ (0) + Qx (φ (0. Ψ (0)1 л.
где
* = Φ(0> » = Ψ(0
— решение системы, соответствующее траектории (21), а т-
φ и ψ (т>0). В силу формулы (34) § 13
, f Px(*,y)+Qyl**v)
(22)
-период функций
(Ьо)
Vp(*,v)*+Q(*,vP
rfs,
(23)
где буквой L0 обозначена окружность (21). Последний интеграл легко
вычисляется, если ввести на окружности L0 параметризацию с помощью
формул χ = cos ί, у = sin ί и подставить вместо Ρ и Q их выражения
из (20). Мы получаем в результате вы-
2π
т v* sin г + 2 cos г
числении, что J = \ —-~—! —
' J 2 —cosi
О
с«о№Юсяг>
dt =
= Τπ(3
2 ]/3) < 0. Отсюда
следует, что окружность (21) является
для нашей системы устойчивым
грубым предельным циклом.
Топологическая структура
системы (20) на плоскости исследована
в КТ, § 30, пример 14 *). Там
установлено, что система (20) не имеет
других замкнутых траекторий, кроме
окружности (21), и не имеет
сепаратрис, идущих из седла в седло.
Расположение траекторий системы
_ (20) показано на рис. 88.
Пусть G* — область с нормальной границей, ограниченная дугами
без контакта EF и RS и дугами траекторий FR и ES (рис. 88) и
содержащая внутри себя состояния равновесия А и В рассматриваемой системы
и ее предельный цикл (21)^ В силу теоремы 23 система (20) является
грубой в области G*. Область G* содержит четыре ячейки. Ячейка Ζ4 является
внутренней двусвязной и состоит из целых траекторий, скручивающихся
с фокуса А и накручивающихся на предельный цикл L0. Остальные
Рис. 88.
*) Это исследование опирается на рассмотрение поведения траекторий
системы (20) в бесконечности и на рассмотрении траекторий вспомогательной системы
£ = * + *· + *■-!. §"=-2*,
имеющих общий интеграл (х2 + у2 — 1)еу = С. Замкнутые траектории
вспомогательной системы образуют топографическую систему кривых для системы (20).


§ 21] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУБОСТИ, НЕ ТРЕБУЮЩЕЕ ε-ТОЖДЕСТВЕННОСТИ 205
три ячейки односвязны. Ячейка Z2 состоит из полутраекторий и огра*·
ничена дугой без контакта E>JFU тремя сепаратрисами седла J5,
предельным циклом L0 и седлом В. Остальные две ячейки Z3 и Z4 состоят из дуг
траекторий. Очевидно, с дугой без контакта EiFu входящей в границу
ячейки Ζ2, сопряжена циклическая дуга без контакта. Область
устойчивости цикла L0 состоит из ячеек Z4 и Z2.
§ 21. Определение грубости, не содержащее требования
ε-тождественности
Мы будем рассматривать в данном параграфе динамические системы,
грубые в области W, ограниченные циклом без контакта Г. Как было
показано в главе VI (§ 18.4, а)), определение грубости динамической
системы (А) в такой области имеет следующий вид:
I. Система (А) является грубой в области W, ограниченной циклом
без контакта Г, если для каждого ε > 0 существует такое δ > 0,
что для любой системы (А), δ-близкой к системе (А), выполняется
соотношение
(W,A) = (W,A).
Определение I требует не только чтобы системы, достаточно близкие
к грубой системе (А), имели такую же топологическую структуру в области
W, как и система (А), но также чтобы траектории каждой такой системы
можно было перевести в траектории системы (А) сколь угодно малым
сдвигом. В соответствии с этим получается сравнительно сложное
определение негрубости системы. Между тем наиболее естественно считать
негрубой такую систему, топологическая структура которой может быть
изменена сколь угодно малыми добавками. Но тогда более естественным
является следующее определение грубой системы:
II. Система (А) является грубой в области W, ограниченной циклом
без контакта Г, если существует такое δ > 0, что каждая динамическая
система (А), δ-близкая к (А), имеет в области W такую же
топологическую структуру, как (А) *).
Определение II проще определения I, так как оно налагает на грубые
системы менее сильные ограничения. Ясно, что если система (А) груба
в смысле I., то она груба и в смысле II. Обратное не очевидно: можно
было бы предположить, что существуют динамические системы, грубые
в смысле II и негрубые в смысле I. На самом деле этого быть не может,
т. е. оба определения эквивалентны. Это было показано М. Пейшото
в [14]. Настоящий параграф посвящен изложению доказательства
Пейшото.
Для определенности мы будем рассматривать грубость по отношению
к пространству R (αυ, τ. е. к пространству аналитических функций с
расстоянием, учитывающим лишь первые производные.
В случае грубости по отношению к пространствам R(J\ Rffl
доказательство проводится в точности так же (или проще).
*) В определениях I и II следует указать, по отношению к какому из пространств
в£) или R$ рассматривается грубость. Однако, в силу замечания г) § 18.4, для
определения I это не играет роли. Из дальнейшего будет видно, что это не играет
роли и для определения II.


206 ЯЧЕЙКИ ГРУБЫХ СИСТЕМ. ДОПОЛН. К ТЕОРИИ ГРУБЫХ СИСТЕМ [ГЛ. VII
Условия I, II, III теоремы 23 (§ 18.2), т. е.
1) наличие у системы (А) в области W лишь конечного числа
состояний равновесия, являющихся при этом простыми узлами, седлами или
фокусами;
2) отсутствие сепаратрис, идущих из седла в седло;
3) отсутствие замкнутых траекторий с характеристическим
показателем, равным нулю, мы будем обозначать У Г (условия грубости).
Для доказательства эквивалентности определений I и II мы
установим, что из определения II вытекают У Г. С этой целью мы докажем
ряд лемм.
В леммах 1—8 мы считаем, что система (А) с правыми частями
Ρ (χ, у) и Q (х, у) есть аналитическая динамическая система, грубая
β области W в смысле определения II, а δ есть число, о котором идет речь
в этом определении. Аналитические динамические системы, δ-близкие
к (А), мы будем называть допустимыми системами. В силу
определения II допустимые системы имеют такую же топологическую структуру
в области W, как и система (А). Мы будем для определенности
предполагать, что все траектории системы (А), пересекающие цикл без
контакта Г, при возрастании t входят в область W.
Лемма 1. Системы, грубые в смысле определения II, образуют
открытое множество в пространстве всех (аналитических) динамических
систем.
Справедливость леммы 1 вытекает непосредственно из определения II,
так как в силу этого определения допустимые системы сами являются
грубыми *).
Лемма 2. Система (А) имеет лишь конечное число состояний
равновесия, причем все они являются простыми.
Доказательство. В силу теоремы Вейерштрасса существует
допустимая система (А), правые части которой являются взаимно
простыми многочленами (см. доказательство теоремы 10, § 7.2). Из теоремы
Везу следует, что (А) имеет лишь конечное число состояний равновесия*
Но тогда и (А) также имеет лишь конечное число состояний равновесия-
Первое утверждение леммы доказано.
Переходим к доказательству второго утверждения. Допустим, что
какое-нибудь состояние равновесия системы (А) не является простым.
Предположим для определенности, что это точка О (0, 0), т. е. Ρ (0, 0) =
= Q (0, 0) = 0 и Δ (0, 0) = 0.
Обозначим через φ (χ, у) многочлен, равный 1 в точке О (0, 0) и
равный нулю во всех остальных состояниях равновесия системы (А).
Рассмотрим систему
-£- = Ρ (χ, у) + еаху (х, у) = Р (х, у),
% - <4>
-2Г = <?(*. у)+гЪуч (*> v) = Q (*» у)*
где а и Ъ — действительные числа, по абсолютной величине меньшие 1,
а ε > 0 настолько мало, что система (1) является допустимой. Очевидно,
все состояния равновесия системы (А) являются одновременно
состояниями равновесия системы (1). Так как система (1) допустимая, то у нее
имеется в области W столько же состояний равновесия, сколько у систе-
*) Аналогичные утверждения для систем, грубых в смысле определения I, были
приведены выше (§ 18.4, в), теоремы 25 и 26). Доказательство их не только не вытекает
из определения I, но требует, напротив, предварительного вывода условий грубости.


$ 21] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУБОСТИ, НЕ ТРЕБУЮЩЕЕ ε-ТОЖДЕСТВЕННОСТИ 207
Δ (0, 0) =
мы (А). Но тогда обе системы (А) и (1) имеют в области W одни и те же
состояния равновесия.
Обозначим через С окружность с центром в точке О (0, 0),
расположенную в W и содержащую все состояния равновесия системы (А), за
исключением точки О, вне себя. Выберем ε > 0 настолько малым, чтобы
для любых двух систем типа (1) векторы определяемых ими полей ни
в одной точке окружности С не имели противоположных направлений.
Тогда в силу КТ, § 10.2, лемма 2, вращения векторных полей всех таких
систем на окружности С равны друг другу. А так как внутри С имеется
единственное состояние равновесия О системы (А), а следовательно,
и всякой системы (1), то индекс Пуанкаре состояния равновесия О один
и тот же для всех систем (1).
С другой стороны, из уравнений (1) следует, как показывают
вычисления, что
°в%]у)] _0 = ε№(°. °) + Wv(°· °) + 8аЬЬ
Ясно, что надлежащим выбором чисел а и Ъ Δ (0, 0) можно сделать как
положительным, так и отрицательным. В силу КТ, § 11.4, теорема 30,
в первом случае индекс Пуанкаре состояния равновесия О будет равен
+1, а во втором он равен —1. Но это противоречит установленному
выше. Лемма доказана.
Лемма 3. Ни одно состояние равновесия системы (А) не является
центром.
тт τι» дР , dQ
Доказательство, пак известно, ~—\-~- «есть расходимость
векторного поля (Р, Q), обозначаемая символом div (Ρ, Q). Мы будем в
дальнейшем пользоваться этим обозначением.
Пусть Oi(ai>bi), i = l, 2, ..., η,—все состояния равновесия
системы (А). Рассмотрим линейные функции
φ. (χ, у) = т (X—aj)+p{y—bj)
(/ = 1, 2, ..., η), где числа тир выбраны так, что
div(<p., (р.) = т + рф0
и при / ф к <fj (ak, bk) Φ 0. Пусть φ (χ, у) = φ^ ... φη.
Очевидно, функция φ(χ, г/) = 0в каждой точке 0%. Далее, из формулы
div (φ, φ) = Σ Φι · · · Ф.м d*v (Φ7·> Φ;) φ,+ι
φη
и из наложенных выше условий следует, что div (φ, φ) отлична от нуля
в каждом из состояний равновесия системы (А).
Рассмотрим систему
% = Ρ (χ, у) + εφ (χ, у) = Р*, *£ = <? (*, У) + «Р (*, У) = О*, (А*)
выбрав ефО настолько малым, чтобы система (А*) была допустимой.
При этом множество состояний равновесия системы (А*) совпадает,
очевидно, с таким же множеством системы (А), т. е. состоит из точек Oj. Так как
div(P*, <?*) = div(P, <?) + ediv((p, φ),
то при ε достаточно, малом div (Ρ*, ()*)ф0 в тех точках 0,·, где


208 ЯЧЕЙКИ ГРУБЫХ СИСТЕМ. ДОПОЛН. К ТЕОРИИ ГРУБЫХ СИСТЕМ ЕГЛ. VII
div (Ρ, Q) Φ 0. В тех же точках Oj, где
div (Ρ, Q) = 0, div (P*, Q*) = ε div (φ, φ) φ 0.
Таким образом, в каждой точке Oj div (P*, Q*) Φ 0, т. е. ни одно
из состояний равновесия системы (А*) не является центром. А тогда
не имеет центров и система (А). Лемма доказана.
Замечание. Проведенное доказательство остается в силе и для
систем класса 1. То обстоятельство, что грубые системы класса 1 не могут
иметь центро-фокуса, следует
непосредственно из
существования допустимых
аналитических систем.
Лемма 4. Система (А)
не имеет сепаратрис, идущих
из седла в седло.
Доказательство.
Пусть η, 0<η<;π,
настолько мало, что для каждого
λ £ /, где / — сегмент 0<!
<[λ<;ΐ, система
dx
— = ρ cos (λη) — Q sin (λη),
J- = Ρ sin (λη) + Q cos (λη)
(Αη)
является допустимой.
Векторное поле системы (Ад,)
получается, очевидно, из векторного поля системы (А) поворотом в
положительном направлении на угол λη. Состояния равновесия систем (Αη)
и (А) совпадают. Наконец, якобианы Δ систем (Αη) и (А) в каждой точке,
как нетрудно видеть, равны. Поэтому седла системы (Αλ) совпадают
с седлами системы (А). Обозначим эти седла через 0% (ί = 1, 2, . . ., т),
а сепаратрисы седла Ot — через LiU Li2, Li3l Lu.
На каждой сепаратрисе L^ (/ = 1, 2, 3, 4; i = 1, 2, . . м т) выберем
произвольную точку Cijj лежащую достаточно близко к
соответствующему состоянию равновесия 0$, так что куски ОьСг^ сепаратрис не
пересекаются попарно. Пусть Ζ7ί7· — окрестности этих кусков,
удовлетворяющие следующим условиям: каждая окрестность Ϊ7ί7· содержит только
одно состояние равновесия системы (А), именно Ot1 и только одну из
точек С, именно С^ (рис. 89). Очевидно, если точки Сц достаточно близки
соответственно к Ог, то такие окрестности существуют.
Проведем через каждую точку Ci7· отрезок без контакта ltj
(например, отрезок нормали к траектории ltj), лежащий целиком внутри U%}
и настолько малый, что отрезки liS не имеют общих точек друг с другом
и каждый отрезок ltj имеет только одну общую точку со всеми кусками
OiCij сепаратрис, именно точку Ctj, Если система (Αλ) достаточно близка
к системе (А), например, если число η достаточно мало, то в силу § 9.2,
замечание к лемме 3, каждому отрезку ОгС^ сепаратрисы Ltj седла Ot
соответствует отрезок Ofi^ сепаратрисы Lty седла Ог системы (Αλ),
целиком лежащий в Uij и такой, что С{$ £ Ζί7·. При этом, так же как
в случае системы (А), каждый отрезок ltj имеет только одну общую точку
со всеми кусками С^С$> сепаратрис системы (Αχ)· Мы будем предпола-
Рис. 89.


$ 21] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУБОСТИ, НЕ ТРЕБУЮЩЕЕ С-ТОЖДЕСТВЕННОСТИ 209
гать число η настолько малым, что указанное свойство выполняется для
всех систем (Α*,), λ £ I.
В силу сказанного выше каждой окрестности U^ естественным
образом ставится в соответствие в точности одна из сепаратрис любой системы
(Αχ,), 0<λ<!ΐ, именно сепаратриса Ь$\ Ми будем называть ее
сепаратрисой, соответствующей окрестности Uij.
Пусть теперь система (А) имеет сепаратрису γ, идущую из седла в
седло. Для определенности будем предполагать, что у идет из седла Οι в
седло 02- Случай, когда сепаратриса γ идет из какого-нибудь седла в то же
самое седло, т.е. образует петлю,
рассматривается аналогично.
Обозначим через Т%
гомеоморфизм области Wb себя,
переводящий траектории системы
(А) в траектории системы (Ад,)
(такой гомеоморфизм
существует, так как (А) — грубая, Рис 90.
а (Αλ) — допустимая система;
см. определение II). Очевидно, 7\ (γ) есть сепаратриса, идущая из седла
Τχ (Οί) в седло 7\ (02). Как сепаратриса двух седел, она соответствует,
очевидно, двум (различным) окрестностям Utj.
Сепаратрис Τ χ (γ) существует несчетное множество (так как λ £ /),
а пар окрестностей U\j — только конечное число. Поэтому существует
несчетное множество I* cz I значений λ, а также две окрестности Uij —
например, окрестности С73з и С744 седел 03 и 04 ~ такие, что если λ £ /*,
то сепаратриса Т% (γ) идет из седла 0% в седло 6)4 и соответствует при
ЭТОМ ОКреСТНОСТЯМ С733 и #44·
Так как /* есть несчетное множество точек сегмента / = ГО, 1],
то I* не может состоять сплошь из изолированных точек. Поэтому
существует по крайней мере одно значение λ £ /* и последовательность
значений λι, i = 1, 2, 3, . . ., такая, что %t £ /* и lim λ^ = λ0. Без ограни-
£-*оо
чения общности можно считать, что λ$ есть монотонно убывающая
последовательность.
Сепаратриса Γλο (γ), а также сепаратрисы Τλ. (γ) идут из седла 03
в седло 04 и соответствуют окрестностям С73з и Uu (рис. 90). Пусть V —
произвольная окрестность сепаратрисы 7\0 (γ). Из § 9.2, замечание
к лемме 3, а также из § 4.2, лемма 7, следует, что для всех достаточно
больших η Τ% (γ) cz V. Но векторное поле системы (А^0) получается
из векторного поля системы (А) поворотом на положительный угол.
А при доказательстве теоремы 16 (§ 11.2) мы установили, что если имеется
сепаратриса системы (А), идущая из седла в седло, и достаточно малая
окрестность ее, то система, получающаяся из (А) путем поворота поля
на достаточно малый угол, не может иметь в этой окрестности
сепаратрису, идущую из седла в седло *). Таким образом, мы получили
противоречие. Лемма доказана.
*) При доказательстве теоремы 16 мы рассматривали не системы (А^), а
системы вида
Переходу от системы (А) к (А) соответствует поворот поля на угол a, tg а = μ, и
растяжение векторов поля в Ύί + μ2 раз.


210 ЯЧЕЙКИ ГРУБЫХ СИСТЕМ. ДОПОЛН. К ТЕОРИИ ГРУБЫХ СИСТЕМ [ГЛ. \11
Замечание. Проведенное доказательство фактически показывает,,
что если динамическая система (А) с конечным числом простых седел
имеет сепаратрисы, идущие из седла в седло, то система, получаемая
поворотом векторного поля системы (А) на достаточно малый угол, уже
таких сепаратрис не имеет.
Лемма 5. Каждая замкнутая траектория L системы (А) является
изолированной, т. е. предельным циклом.
Доказательство. Так как (А) — аналитическая система, та
замкнутая траектория L либо является предельным циклом, либо
заключена в открытом кольце Е, сплошь состоящем из замкнутых траекторий
(см. главу V, § 12.3). Покажем,
что такое кольцо не может
существовать.
В самом деле, предположим,,
что кольцо Ε существует. В силу
КТ, § 23.2, внутренняя граница
его, являющаяся
нуль-предельным континуумом, есть либо
замкнутая траектория L0, либо состоит
из конечного числа седел и
сепаратрис, идущих из седла в седло,
либо является центром. Последние
две возможности исключаются
леммами 3 и 4. Первая же возможность
исключается ввиду того, что все
траектории, проходящие вблизи
L0 и вне ее, являются замкнутыми.
Но тогда и все траектории, проходящие вблизи траектории L0, внутри
ее тоже являются замкнутыми, т. е. L0 состоит из внутренних точек
кольца Е, что противоречит предположению. Лемма 5 доказана.
Замечание. Очевидно, утверждение леммы справедливо и тогда,,
когда рассматриваются не аналитические системы, а системы класса 1.
Лемма 6. Система (А) может иметь лишь конечное число
замкнутых траекторий.
Доказательство леммы 6 полностью аналогично
доказательству теоремы 21 (§ 16.1).
Лемма 7. Система (А) не может иметь сложных предельных циклов.
Доказательство. В силу леммы 6 система (А) может иметь
лишь конечное число предельных циклов. Пусть Lu L2, . . ., Lp — все
эти циклы. Допустим, что один из них, например Lu является сложным.
Пусть U — достаточно малая окрестность траектории Lb не
пересекающаяся с траекториями L2, . . ., Lp (рис. 91). Пользуясь теоремой
о рождении замкнутой траектории из сложного предельного цикла (§ 15.2,
теорема 19) и применяя такую же конструкцию, как при доказательстве
леммы 2 § 15.2, нетрудно построить систему (А4) класса 1,-г-- близкую·
к системе (А), совпадающую с (А) вне окрестности U (L) и имеющую
в этой окрестности не менее двух замкнутых траекторий. Пусть L[ и И[ —
две такие траектории (лежащие в U).
В силу той же леммы 2 § 15.2 существует система (А2) класса 1,.
-^--близкая к системе (At), для которой кривые L'x, L{, L2, L3, . . ., L&
являются грубыми предельными циклами.


§21] ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУБОСТИ, НЕ ТРЕБУЮЩЕЕ ε-ТОЖДЕСТВЕННОСТИ 211
Пусть, наконец, (А3) есть аналитическая система, достаточно хорошо
аппроксимирующая систему (А2). В силу теоремы 18 и замечания к ней
(теорема о грубости простого предельного цикла, § 14) система (А3) имеет
в окрестности каждой из кривых L[, L![, L2, . . ., Lp no одному
предельному циклу, т. е. имеет не менее ρ + 1 предельного цикла. Если при
этом система (А3) ^--близка к системе (А2), то она δ-близка к системе (А),
т. е. является допустимой системой. Но тогда в силу грубости системы
(А) система (А3) должна иметь столько же предельных циклов, сколько
система (А), т. е. р. Таким образом, наше допущение, что среди
предельных циклов системы (А) имеются сложные, приводит к противоречию.
Лемма доказана.
Лемма 8. Система (А) не может иметь сложных фокусов.
Доказательство. Предположим, что какое-нибудь из
состояний равновесия системы (А), например Οι (аи &ι), является сложным
фокусом, для определенности устойчивым. Очевидно, в точке Οι якобиан
Δ > О, a div (Ρ, Q) = 0. Пусть (А*) — система, рассматривающаяся
в доказательстве леммы 3. Очевидно, можно взять ε = ε' сколь угодно
малым и такого знака, чтобы соответствующая система (А*) — обозначим
ее Α* (ε') — имела точку Οι своим неустойчивым фокусом. Простое
стандартное рассуждение (см., например, доказательство теоремы 14 о
рождении замкнутой траектории из сложного фокуса, § 10.3) показывает,что
тогда при некотором ε", заключенном между О и ε', система Α* (ε") имеет
замкнутую траекторию, расположенную целиком в окрестности точки 01#
В силу лемм 6 и 7 система (А) имеет конечное число замкнутых
траекторий, являющихся простыми предельными циклами. Принимая во
внимание, что при переходе к достаточно близкой системе каждый простой
предельный цикл лишь слегка сдвигается *), мы сразу заключаем, что
система Α* (ε") имеет по крайней мере на одну замкнутую траекторию
больше, чем система (А). Но это противоречит условию, что А* (г") есть
допустимая система. Лемма доказана.
Замечание. Доказательство этой леммы также значительно
упрощается, если рассматривать не аналитические системы, а системы
1-го класса. В этом случае легко найти допустимую систему, правые
части которой в окрестности сложного фокуса Οι являются линейными
частями функций Ρ и Q. Очевидно, эта допустимая система имеет точку Οχ
центром, чего не может быть.
Теорема 29. Определения I и II грубости динамической системы
в области, ограниченной циклом без контакта, эквивалентны.
Доказательство. Если система (А) является грубой в смысле
определения I, то она груба и в смысле определения П. Это ясно
непосредственно. Если система (А) груба в смысле определения II, то в силу
лемм 2—7 она удовлетворяет условиям грубости (УГ). Наконец, если
система (А) удовлетворяет У Г, то в силу теоремы 23, § 18.2, она является
грубой в смысле определения I. Таким образом, I -»· II -»- У Г -> I. Но это
означает, что определения I, II и УГ эквивалентны. Теорема доказана.
Утверждение теоремы 29 справедливо и для динамических систем
на сфере. Однако в случае сферы мы ограничимся рассмотрением только
систем 1-го класса. Понимая под W в определениях I и II сферу 52, мы
получим два определения грубости системы на сфере, причем определе-
) Это следует из грубости простого предельного цикла (см. § 14, теорема 18)»


212 ЯЧЕЙКИ ГРУБЫХ СИСТЕМ. ДОПОЛН. К ТЕОРИИ ГРУБЫХ СИСТЕМ ЕГЛ. VII
ние I совпадает с определением 12 (§ 6.2), а определение II не содержит
требования ε-тождественности.
Теорема 30. Определения I и II грубости динамической системы
1-го класса на сфере S2 эквивалентны.
Доказательство теоремы 30 проводится в точности так же,
как доказательство теоремы 29. Проведенные выше доказательства
лемм 1—8 остаются в силе при рассмотрении динамических систем 1-го
класса на сфере; при этом только в случае сферы приходится
пользоваться добавочно рассуждениями, аналогичными примененным при
доказательстве теоремы 24 (§ 18.3).
В точности так же, как для систем 1-го класса, теорема 30 может
быть доказана для систем класса г > 1. Случай аналитических систем
на сфере более сложен, и мы его не рассматриваем.
Замечание. Теорема 30 справедлива для динамических систем
1-го класса не только на сфере, но и на любой замкнутой поверхности,
как ориентируемой, так и неориентируемой [7].


ГЛАВА VIII
ПОНЯТИЕ О БИФУРКАЦИЯХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ.
РАСПАДЕНИЕ СЛОЖНОГО СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ^ НА ГРУБЫЕ
Введение
Предыдущие семь глав книги составляют первую ее часть,
посвященную грубым системам. Во второй части рассматривается ряд вопросов
так называемой теории бифуркаций динамических систем. Настоящая
глава является первой главой второй части. Она содержит два
параграфа — §§ 22 и 23. В § 22 излагается постановка основных задач теории
бифуркаций и устанавливается связь между материалом первой и второй
частей книги. В частности, в этом параграфе определяются понятия
бифуркаций и степени негрубости динамической системы. Так как § 22
является «беллетристическим» (не содержит никаких лемм, теорем и
доказательств), то мы не будем излагать здесь его содержания. Заметим только,
что теория бифуркаций изучает, как меняется топологическай структура
динамической системы в рассматриваемой области при изменении самой
системы (ее правых частей), а под бифуркацией обычно понимают именно
указанное изменение топологической структуры.
В § 23 рассматриваются бифуркации сложного изолированного
состояния равновесия (т. е. бифуркации динамической системы в
окрестности такого состояния равновесия). При этом мы ограничиваемся
аналитическими системами и предполагаем, что рассматривается только
простейшее сложное состояние равновесия, именно такое, для которого
разложения функций Ри^в ряд в окрестности его содержат по крайней
мере один линейный член. Кроме того, вопрос о бифуркациях указанных
состояний равновесия изучается в § 23 не в самом общем виде, а
исследуется лишь количество и характер грубых состояний равновесия, на
которые может распадаться сложное состояние при переходе к близким
системам *).
Топологическая структура исследуемых состояний равновесия
подробно рассмотрена в КТ, глава IX (§§ 21 и 22). Там установлено, что
если для рассматриваемого состояния равновесия О (О, 0)
o = P'x(0,Q) + Q'v(Q, 0)Ф0,
то точка О является либо топологическим узлом, либо топологическим
седлом, либо седло-узлом. Если же σ = 0, то могут представиться шесть
возможностей: топологический узел, топологическое седло, фокус или
*) Вопрос о бифуркациях сложного состояния равновесия в общем виде
выглядит так: установить, как меняется топологическая структура динамической системы
в окрестности состояния равновесия при переходе к близким системам. В § 23
рассматривается лишь сравнительно узкая часть этого вопроса.


214 ПОНЯТИЕ О БИФУРКАЦИЯХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. VIII
центр, состояние равновесия с эллиптической областью, вырожденное
состояние равновесия, седло-узел. В § 23 устанавливается связь между
топологической структурой сложного состояния равновесия, с одной
стороны, и числом и характером грубых состояний равновесия, на которые
сложное может распадаться при переходе к близким системам,— с
другой. Так, например, если σ = Рх (О, 0) + Q'y (0, 0) Φ 0 и сложное
состояние равновесия О есть топологическое седло, то оно может распадаться
лишь на нечетное число грубых узлов и седел, причем число грубых
узлов на 1 меньше числа грубых седел. Мы не будем приводить здесь
остальные результаты этой главы — они содержатся в теоремах 35, 37—39.
Заметим только, что в случае, когда σ Φ 0, тип сложной особой точки
полностью определяется количеством грубых состояний равновесия,
на которые она распадается, и их топологической структурой. Если же
σ = 0, то иногда приходится принимать во внимание различие (не
топологическое) между узлами и фокусами, а в некоторых случаях вообще
невозможно установить характер сложного состояния равновесия с
помощью грубых состояний равновесия, на которые оно распадается.
Читатель, желающий ускорить чтение книги, может без ущерба
для дальнейшего пропустить доказательства теорем 37—39,
ознакомившись лишь с их формулировками.
В заключение заметим, что в § 23.3 изложена нужная для
доказательства теоремы 38, но представляющая и самостоятельный интерес теорема
Пуанкаре (теорема 36) о том, что если динамическая система имеет лишь
простые состояния равновесия, а изоклина Ρ (#, у) = 0 (или Q (#, у) = 0)
не имеет особых точек (т. е. таких, в которых Р'х = Ρ'υ — 0), то на этой
изоклине седла чередуются с узлами и фокусами.
§ 22. Понятие о степенях негрубости
и о бифуркациях динамических систем
Предыдущие главы были посвящены рассмотрению грубых
динамических систем. Такие системы рассматривались либо на сфере, либо
в плоской области. При этом определение грубой системы в плоской
области W было дано при условии, что W есть произвольная, но
ограниченная область (§ 6.1, определение 10). В дальнейшем, например при
выводе необходимых и достаточных условий грубости, мы налагали
некоторое добавочное ограничение на область W, именно предполагали, что W
есть область с нормальной границей (§ 16.2, определение 19). Это
ограничение не является существенным, но позволяет упростить ряд
доказательств.
Определение грубости в произвольной плоской области W (в том
числе и в области с нормальной границей) обладает тем недостатком,
что наряду с областью W приходится рассматривать другие (близкие
к W) области. Чтобы избежать возникающих в связи с этим (в общем,
непринципиальных) усложнений и изложить более выпукло вводимые
ниже понятия, мы будем предполагать сейчас, что граница Г области W
является циклом без контакта *).
*) Наиболее цельная и простая картина получается в случае динамических
систем на сфере, где определение грубости также значительно проще. Мы, однако,
будем рассматривать плоскую область. Подчеркнем еще раз, что налагаемое нами
на область ограничение сделано исключительно с целью упрощения изложения.
Понятия бифуркации и степеней негрубости можно аналогично ввести и для динамических
систем, рассматриваемых в любой ограниченной плоской области.


<§ 22] СТЕПЕНЬ НЕГРУБОСТИ И БИФУРКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 215
Итак, пусть
— динамическая система, определенная в области G и рассматриваемая
в замкнутой области W, ограниченной циклом без контакта Г (W cz G).
Необходимо указать, в каком из пространств динамических систем
проводятся наши .рассмотрения. Пусть это будет, одно из пространств R^
(1<г<:Лг) или i?ir) (г>1), определенных для области G *), которое
мы обозначим через Д*. Система (А), конечно, должна принадлежать
пространству R*. В дальнейшем, говоря о грубости (или негрубости)
системы (А) в области W, мы будем всегда подразумевать грубость
(негрубость) по отношению к пространству R*.
Грубость динамической системы может быть определена с помощью
понятия ^-тождественность разбиений (§ 6.1, определение 10 и § 18.4,
замечание а)). Однако в главе VII (§ 21, теорема 29) было показано,
что при рассмотрении области, ограниченной циклом без контакта, нет
необходимости пользоваться ε-тождественностью. Именно, система (А)
является грубой в области W, если все достаточно близкие динамические
системы (А) имеют в области W такую же топологическую структуру,
как система (А). Другими словами, если (А) — грубая система в области
W, то все точки некоторой окрестности Ue ((A) | Д*) системы (А) в
пространстве R* являются системами, имеющими одинаковую
топологическую структуру в области W.
Напротив, если система (А) является негрубой в W, то существуют
•сколь угодно близкие к (А) динамические системы (А), имеющие в области
W топологическую структуру, отличную от топологической системы (А).
В главе VI (§ 18.4) было установлено, что грубые системы образуют
открытое множество пространства R* и что это множество всюду плотно
в Л*. Негрубые же системы образуют в R* «перегородки», отделяющие
друг от друга области, заполненные грубыми системами. При этом каждая
из таких областей состоит из динамических систем, имеющих одинаковую
топологическую структуру в области W.
В КТ исследуется в основном вопрос о том, какова может бить
топологическая структура динамической системы в данной области
и от чего она зависит. Вопрос, к которому мы переходим теперь,
заключается в следующем: как меняется топологическая структура системы
>в области W при изменении самой динамической системы (т. е. ее правых
частей — функций Ρ и Q). Все дальнейшие главы настоящей книги
посвящены рассмотрению этого вопроса для ряда важных частных случаев.
Само собою разумеется, мы считаем, что при своем изменении
динамическая система все время остается в пространстве R*.
Обычно, в частности в приложениях, поставленный вопрос
рассматривается не в приведенной выше, самой общей форме, а в более узкой.
Именно, задается некоторое множество 2?, Ε cz i?*, и рассматривается,
как меняется топологическая структура в области W, когда динамиче-
*) См. § 5.1. R$ — пространство динамических систем класса N с метрикой,
определяемой близостью (в области G) функций Ρ и Q и их производных до r-го
порядка включительно. R^ — пространство аналитических функций с такой же метрикой.


216 ПОНЯТИЕ О БИФУРКАЦИЯХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. VIII
екая система пробегает точки этого множества. Характер множества Ε
определяется поставленной задачей. Нередко в качестве Ε берется малая
окрестность данной динамической системы (А0) либо какая-нибудь линия,
поверхность или гиперповерхность пространства R*. Динамические
системы, связанные с реальными физическими задачами, как правило,
содержат один или несколько параметров, т. е. имеют вид
--jj = Ρ (Х, J/j λ|, λ2, ·*·, Лщ), "^"== Q \χι У* Μ, λ2, ·· ., Am) (Αχ, m)·
В таких задачах обычно нужно исследовать, как меняется
топологическая структура динамической системы при изменении параметров λέ
в некоторой области. Очевидно, в этом случае роль Ε играет
гиперповерхность размерности т (или некоторая область такой
гиперповерхности). В случае, когда система зависит от одного параметра,
соответствующее множество Ε является линией в пространстве R*.
Сформулированный выше вопрос (как меняется топологическая
структура разбиения на траектории при изменении динамической
системы) представляет большой теоретический интерес и сам по себе. Два
добавочных обстоятельства значительно увеличивают его значение. Первое
из них заключается в том, что исследование изменения топологической
структуры при изменении динамической системы, т. е. теория
бифуркации, оказалось основным орудием исследования конкретных
динамических систем. Как уже отмечалось, не существует никаких регулярных
методов такого исследования, и без преувеличения можно сказать, что
почти все известные результаты в этом направлении получены с помощью
теории бифуркаций. Поэтому теория бифуркаций играет очень большую
роль при исследовании конкретных систем.
Второе обстоятельство связано со значением теории бифуркаций
в прикладных вопросах, в частности в физических и технических задачах.
Динамические системы, соответствующие таким задачам, всегда содержат
то или иное число параметров. При рассмотрении свойств физических
систем, связанных с топологической структурой динамической системы
(например, при рассмотрении вопроса о наличии или отсутствии
автоколебаний у данной физической системы), изучение изменения
топологической структуры при изменении параметров представляет обычно
первостепенный интерес. Поэтому теория бифуркаций в том или ином виде
используется при рассмотрении почти всякой динамической системы*
соответствующей физической задаче.
Мы ограничимся в дальнейшем рассмотрением случая малых
изменений динамической системы. Этот случай играет ключевую роль при
исследовании «больших» изменений, а кроме того, он особенно важен для
приложений, например, в вопросах устойчивости физических систем.
Таким образом, наша задача может быть сформулирована следующим
образом: исследовать, как меняется топологическая структура разбиения
на траектории области W при малых изменениях соответствующей
динамической системы.
Ясно, что при этом интерес представляют только негрубые системы,
так как, если система (А) является грубой в области W, то при малых
изменениях топологическая структура ее не меняется. Напротив, если
система (А) является негрубой, то в сколь угодно малой окрестности ее
(в пространстве ί?*) существуют динамические системы различных
топологических структур.


§ 22] .СТЕПЕНЬ НЕГРУБОСТИ И БИФУРКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 217
В последнем случае говорят, что точка (А) пространства R*
является точкой бифуркации динамической системы *). Под бифуркацией же
обычно понимают изменение топологической структуры динамической
системы, происходящее при прохождении ее через точку бифуркации.
Таким образом, точками бифуркации являются негрубые системы
и только они, а поставленная выше задача сводится к следующей:
исследовать, как меняется топологическая структура негрубой системы при
переходе к достаточно близким системам.
В связи с этим естественно возникает вопрос о классификации
негрубых систем. Негрубая система может быть «более негрубой» или «менее
негрубой». Этим неточным терминам можно придать точный
математический смысл, введя понятие степени негрубости системы. Впервые это
было сделано в работе [9]. Для упрощения мы дадим здесь определение
степеней негрубости только в области W, ограниченной циклом без
контакта. Соответствующее определение для произвольной ограниченной
области будет дано ниже (§ 31, определение 30).
Мы будем предполагать, что рассматриваемые системы либо являются
аналитическими в области 6?, либо имеют класс N, где N — натуральное
число, величина которого, как будет ясно из определения, зависит от
степени негрубости системы. Под W мы понимаем подобласть области G,
ограниченную циклом без контакта. Условимся называть системами
нулевой степени негрубости системы, грубые в области W. Как известно
(§ 18.4, а)), система (А) является грубой в области W, если она обладает
следующим свойством: каково бы ни было ε > 0, существует такое δ > 0,
что если система (А) δ-близка к системе (А), то выполняется соотношение
(УГ,А)=УУ,А).
Степени негрубости могут быть определены индуктивно.
Определение 23. Динамическая система (А) класса АГ>3
называется системой 1-й степени негрубости (или имеет первую степень
негрубости) в области W, если она не является грубой в этой области
и если удовлетворяется следующее условие: каково бы ни было ε > 0, можно
найти такое δ > 0, что для всякой негрубой системы (А), Ь-близкой
к системе (А) до ранга 3, выполняется соотношение
(W, A) = (W, А).
Система (А) класса АГ>5 называется системой 2-й степени
негрубости в области W, если она не является системой нулевой или первой
степени негрубости и если выполняется следующее условие: каково бы
то ни было ε > 0, можно найти такое δ > 0, что всякая система (А),
Ь-близкая до ранга 5 к (А), либо является системой нулевой или первой
степени негрубости в W, либо для нее выполняется соотношение
(W, A) i (W, А).
Система (А) класса JV>2fc + 1 называется системой k-й степени
негрубости в области W, если она не является системой меньшей степени
*) Bifurcation (англ., франц.) — раздвоение, разветвление. Более точно
следовало бы сказать: (А) является точкой бифуркации топологической структуры
динамической системы в области W* Мы будем пользоваться приведенным в тексте более
коротким выражением.


218 ПОНЯТИЕ О БИФУРКАЦИЯХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ.! VIII
негрубости {т. е. 0-й, 1-й, 2-й, . . ., (к — 1)-й) и если выполняется
следующее условие: каково бы ни было ε > 0, можно найти такое 6 > 0, что
-всякая система (А), δ-близкая до ранга 2к + 1 κ системе (А), либо имеет
4 области W степень негрубости*Ск— 1, либо для нее выполняется
соотношение
(W, A) i(W, A).
Сделаем несколько замечаний по поводу степеней негрубости. Как
видно из определения 23, для того чтобы система имел-а определенную
•степень негрубости, необходимо, чтобы она была системой достаточно
высокого класса. Это обстоятельство не является неожиданным — с
аналогичной ситуацией мы уже встречались в главе I. Действительно, при
введении, например, понятия «кратность корня функции» (§ 1.3,
определение 2) мы видели, что можно говорить о корне кратности г функции
F (х), лишь если F (х) имеет класс iV>r. В нашем определении степеней
негрубости может вызвать недоумение, почему к-ю степень негрубости
может иметь лишь система класса N>2k + 1. Мы не будем
останавливаться здесь на соображениях, вынуждающих наложить это условие.
Заметим лишь, что указанное обстоятельство связано со свойствами
кратности сложного фокуса, рассматриваемыми в главе IX (§ 25.1,
теорема 40).
Существенным недостатком определения 23 является то, что
невозможно, опираясь на него, приписать каждой динамической системе
определенную степень негрубости. Для систем конечного класса это очевидно.
В самом деле, пусть, например, iV = 2/с + 1, fe>l. Нетрудно построить
систему (А) класса N, но не класса N + 1, имеющую в некоторой области
W к + 1 состояние равновесия, каждое кратности два. Из определения 23
и из определения кратности состояния равновесия (§ 7.3) следует, что
такая система (А) не может иметь степень негрубости, меньшую или
равную к. С другой стороны, из определения 23 вытекает, что система (А)
не может иметь степень негрубости, большую чем к. Таким образом,
построенная система (А) не имеет определенной степени негрубости,
Рассмотрим теперь аналитический случай. Нетрудно показать, что
существуют аналитические системы любой конечной степени негрубости.
Далее, существуют аналитические системы, в любой окрестности которых
имеются аналитические же системы всех конечных степеней негрубости.
Таким системам естественно приписать бесконечную степень негрубости,
что обычно и делается. Однако из определения 23 не вытекает, что каждая
аналитическая система имеет определенную конечную или бесконечную
степень негрубости *). Таким образом, указанный недостаток имеет место
и в случае аналитических систем.
Системы 1-й степени негрубости являются относительно, или реля-
тивно, грубыми в множестве всех негрубых систем **). Точно так же
системы А-й степени негрубости являются релятивно грубыми в
множестве всех негрубых систем, имеющих степень негрубости > к.
Как выше указывалось; динамические системы, связанные с
физическими задачами, обычно содержат один или несколько параметров.
Поэтому системы, зависящие от параметров, представляют особый инте-
*) Это нетрудно показать. См. Д. А. Гудков [8], стр. 485.
**) В следующем смысле: если рассматривать множество негрубых систем
и близость до ранга 3, то по отношению к этому множеству системы 1-й степени
негрубости являются грубыми.


$ 22] СТЕПЕНЬ НЕГРУБОСТИ И БИФУРКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 219
рес. Предположим сначала для простоты, что правые части содержат
только один параметр, т. е. что система имеет вид
£ = P{x,y,X), §-=Q(x,yA). (Αλ)
Параметр λ может при этом изменяться на некотором множестве
действительных чисел или пробегать всю действительную прямую.
Если нас интересуют только системы, получающиеся при различных
значениях параметра λ, то имеет смысл рассматривать понятия грубости
и степеней негрубости по отношению к системам (Αχ). Определение
грубости будет, например, выглядеть следующим образом (для области W,
ограниченной циклом без контакта): система (A^0) является грубой
в области W относительно систем (Ая,), если существует такое δ > О,
что каждая динамическая система (Ая,), для которой | λ — λ0 | < δ,
имеет в области W такую же топологическую структуру, как (А^0).
Аналогично обстоит дело со степенями негрубости.
Очевидно, если система (Αχ0) является грубой в обычном смысле,
то она является грубой и относительно систем (А*,). Обратное, конечно,
несправедливо: система может быть грубой относительно систем (Ая,),
не будучи грубой в обычном смысле.
Понятие бифуркации также можно рассматривать только
относительно систем (Ая,). В связи с этим получается следующее определение
бифуркационного значения параметра:
Определение 24. Значение λ0 параметра λ называется
бифуркационным, если найдутся сколь угодно близкие к λ0 значения параметра λ,
для которых топологическая структура динамической системы в
рассматриваемой области отлична от топологической структуры системы
(Ая,0). Значение параметра, не являющееся бифуркационным, называют
обыкновенным.
В случае системы, зависящей от нескольких параметров, дело обстоит
-аналогично. Так, например, для системы
^ = Р{х, ί/, λ, μ), $L = Q (я, у, λ, μ), (Αλ, μ)
зависящей от двух параметров λ и μ, можно говорить о грубости или
о степенях негрубости относительно систем (Αλ, μ). Можно также
говорить о бифуркационной паре значений параметров λ, μ или о
бифуркационной точке на плоскости параметров. Если в рассматриваемой области
плоскости параметров нет бифуркационных точек, то все динамические
системы, соответствующие этой области, имеют одну и ту же
топологическую структуру. Изменение топологической структуры может
происходить (при непрерывном изменении параметров) только при переходе
через бифуркационную точку.
Нетрудно убедиться, что вопрос об исследовании возможных
бифуркаций динамической системы в данной области W сводится к
исследованию того, что происходит при малых изменениях системы в окрестности
элементов, определяющих топологическую структуру. Другими словами,
достаточно исследовать, как меняется топологическая структура в
окрестностях состояний равновесия, замкнутых траекторий и предельных
континуумов, расположенных в W. Некоторые из относящихся сюда
вопросов будут полностью или частично разобраны в настоящей и в
последующих главах.


220 ПОНЯТИЕ О БИФУРКАЦИЯХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. Villi
В заключение этого параграфа приведем два примера.
Пример 7. Рассмотрим систему
—Ξ. = Ρ (я, у, а) = χ cos а + у sin а—(х cos а—у sin α) (χ2 + У2)»
-JL=zQ(x, у, a) = xs\na—^cosa—(χ sin α + У cos α) (#2 + г/2),
зависящую от одного параметра α. Эта система получается при повороте
векторного поля системы
£ = *-*(*· +^), if-=-y-i/(*2 + !/2) (Ao)
на угол а. Поэтому можно считать, что а меняется от 0 до 2π. Мы будем
рассматривать систему (Аа) на всей плоскости (х, у). Так как (Аа+Л)
получается из системы (Аа) изменением направления вектора поля в
каждой точке плоскости на противоположное, то достаточно рассмотреть
систему (Аа) при 0<α<π.
Из соотношений
Ρ (—χ, —у, а) = —Р (я, у, а), Q (—х, —у, а) = —Q (ж, у, а)
следует, что фазовый портрет динамической системы (Аа) при любом а
симметричен относительно начала координат (§ 20, пример 4).
Применим прежде всего критерий Бендиксона. Так как
дР(х,у, «) + «*?(у «) = _4(s' + y«)co8a,
, π Λ ^ · дР , дО
то при α Φ-γ, 0<а<л, выражение ——^ητ~ не меняет знак на всей
плоскости. Поэтому, в силу критерия Бендиксона (КТ, § 12.3), приа^-о-
система (Аа) не имеет на фазовой плоскости ни замкнутых траекторий
(в частности, предельных циклов), ни замкнутых кривых, составленных
из траекторий системы.
Пусть x = x(t), y = y(t)—траектория системы (Аа). Тогда, как
вытекает из самих уравнений системы,
x(t)i(t)+y(t)y(t)=±-lLix(t)*+y№ =
= х2 cos a + 2ху sin a—ζ/2 cos a—(χ2 + г/2)2 cos a.
Последнее соотношение показывает, что при 0<а<^- бесконечность
абсолютно неустойчива, а при -ο-<α<π бесконечность абсолютно
устойчива (см. § 20, пример 4, а также КТ, § 13.1).
Теперь нетрудно установить расположение траекторий динамической
системы (Аа) при всевозможных значениях параметра а, 0<а<я.
Рассмотрим отдельно случаи α = 0, 0<α<-^-, α = -^-, -тр<а<л.
1) а = 0. Из уравнений системы (А0) непосредственно видно, что
положительная и отрицательная полуоси координатных осей являются
траекториями системы. Вычисления показывают, что система (А0) имеет
три состояния равновесия — седло О (0, 0) и два устойчивых дикрити-
ческих узла А (—1, 0) и В (1, 0). Отсюда следует, принимая во внимание
отсутствие замкнутых кривых, составленных из траекторий системы, что


I 22] СТЕПЕНЬ НЕГРУБОСТИ И БИФУРКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 221
разбиение фазовой плоскости на траектории имеет вид, схематически
изображенный на рис. 92.
2) 0 < α < γ. Система (Αα) имеет своими состояниями равновесия
те же три точки О (О, 0), А (—1, 0), В (1, 0), что и в предыдущем случае *).
При этом точка О (0, 0) является простым седлом при любом значении а.
Точки же А и В являются устойчивыми грубыми фокусами. Замкнутых
кривых, составленных из траекторий системы, в частности предельных
циклов и сепаратрис, идущих из седла в седло, нет. Поэтому ω-сепаратри-
*сы седла О приходят из бесконечности, а α-сепаратрисы накручиваются
Рис. 92.
Рис. 93.
на фокусы А и В. Чтобы определить направление накручивания
траекторий (спиралей) на фокусы, найдем поле направлений на оси х. При у = 0
~4г = х sin α — a? sin α = (χ — χ*) sin α. Так как при рассматриваемых
-значениях α sin α > 0, то
%>0 при
0<а;<1
dt
<0 при — 1<;г<0
при —οο<£<—1,
при 1<С.х<С + оо.
dx
Далее, на оси χ — = (д:—#3)cosa и, следовательно, -,*[- = tga.
Направления сепаратрис седла О определяются из уравнения
sin а · к2 + 2 cos а - к—sin a = 0
(см. КТ, § 9.2, следствие из леммы 1). Его решения:
*) При вращении векторного поля число и расположение состояний
равновесия не меняются. Может измениться только их характер (см. КТ, § 1.14, замечание
перед примером 7).


222 ПОНЯТИЕ О БИФУРКАЦИЯХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. VIII
Принимая во внимание все эти данные, нетрудно видеть, что разбиение
фазовой плоскости на траектории имеет вид, схематически изображенный
на рис. 93.
3) а — -о-. Система имеет вид
dx
(Απ/2>
Непосредственной проверкой убеждаемся, что система (Ал/2) имеет общий
интеграл
{# + у*)*—2(а*~у*) = С (1)
(см. КТ, § 1.13).
Так как
(x* + y*)* — 2(x*—y*) = (x2—l)* + 2y*(l+x*) + y4—l1
то С>—1. Поэтому можно положить, что С = а4—1, где а>0.
Уравнение (1) принимает вид
(х2 + У2)2 — 2 (*2 — У2) = я4-1. (2)
Кривые (2) представляют семейство так называемых овалов Кассили
с фокусами в точках А (—1, 0) и В (1, 0). Как следует из элементарного
исследования, при α>]/~2 кривые
(2) являются выпуклыми овалами,
при 1 < а< У2 —«овалами с талией»,
при а = 1 — лемнискатой. При
0 < α < 1 кривые распадаются на два
овала и, наконец, при а = 0
представляют две точки А и В (рис. 94).
Каждый из овалов представляет
траекторию системы (Ал/2), лемниската
состоит из трех траекторий (седла О
и двух сепаратрис, образующих
петли), а точки А и В являются
центрами. Направления на траекториях легко определить, рассматривая знак
— при у — 0. Таким образом, получается картина, изображенная на
рис. 94.
4) γ < α < π. Этот случай рассматривается в точности так же,
как случай 2). Картина расположения траекторий на фазовой плоскости
схематически изображена на рис. 95.
3 3 3
При α —π, π < α < ^л;, α— γ π, γ π <; α <; 2π расположение
траекторий будет такое же, как на рисунках соответственно 92, 93, 94, 95, но
направления на траекториях изменятся на противоположные. При α = 2π
мы вернемся к исходной системе (А0).
Выберем в качестве W круг, ограниченный окружностью
*2 + i,2 = tf2,
где радиус R настолько велик, что лемниската
(х2 + У2)2-2(х2-У2) = 0
Рис


§ 22] СТЕПЕНЬ НЕГРУБОСТИ И БИФУРКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 223
лежит целиком внутри W. Из основной теоремы о грубости системы
(§ 18.2, теорема 23) следует, что при а, лежащих в пределах: 0<α < 2π,.
π з
а ф у» ос =т^ -tj-jt, система (Аа) является грубой в области И/ *), а при
π 3
а = уиа = уЛ —негрубой. Таким образом, бифуркационными являют-
π 3
ся значения параметра
Если при определении топологической структуры принимать во
внимание не только траектории системы, но и направления на них, то при
переходе параметра
через значение, например, у\
у происходит
бифуркация, так как устойчивые
фокусы А и В
превращаются в неустойчивые,
т. е. топологическая
структура системы
меняется. Заметим, однако,
что если не принимать
во внимание направлений
на траекториях, то
в рассматриваемом
примере при переходе через
бифуркационное
значение параметра
бифуркации не происходит.
Рис. 92—95
позволяют проследить, что
происходит с
траекториями системы (А0) при
вращении векторного
поля системы. В исходный момент точки А и В являются узлами, а
сепаратрисы седла О — координатными полуосями. При вращении
векторного поля в положительном направлении узлы превращаются в
фокусы, траектории начинают накручиваться на них в направлении по
часовой стрелке, а касательные к сепаратрисам в точке О также
вращаются в положительном направлении, но со скоростью вдвое меньшей,
чем векторы поля**). При α = у все траектории превращаются
в замкнутые, кроме фокусов (превращающихся в центры), а также
кроме седла О и его сепаратрис. Последние соединяются по две и
превращаются в петли. При дальнейшем вращении поля центры снова
превращаются в фокусы, но траектории уже скручиваются с них.
Сепаратрисы седла О вновь разъединяются, причем α-сепаратрисы уходят
на бесконечность при t-+- + оо, а ω-сепаратрисы стремятся к фокусам
Рис. 95.
*) Теорема 23 доказана для области с нормальной границей, a W может не быть
таковой для системы (Аа). Однако окружность достаточно большого радиуса i?4 >> R
является для системы (Аа) циклом без контакта, поэтому внутри такой окружности
система (Аа) груба в силу теоремы 23, а тогда она груба и в области W (§ 6.1, лемма 1).
**) Последнее вытекает из формул k1 = tg-^~, &2 = tg [-ψ-\—^-J (стр. 221).


224 ПОНЯТИЕ О БИФУРКАЦИЯХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. VIII
при £-»· — оо. Изменение картины при дальнейшем вращении поля
очевидно.
Приведем еще один пример, иллюстрирующий изменение
топологической структуры при повороте векторного поля.
Пример 8. Рассмотрим систему
dx
— = —arsina—у cos a -\- (я2 + у2— Ι)2 (χ cos a — y sin a),
-Ij- = χ cos a—^ sin a + (ж2 + у2 — l)2 (я sin a + # cos a)·
(Ba)
Эта система получается поворотом векторного поля системы
dx
-у+я^+г/2-!)2, ^-=χ+ν(^+^-ΐ)« (Во)
на угол α. Поэтому можно считать, что α меняется от —π до π. Так
как, однако, системы (Ва) и (Βα+π) имеют одинаковые траектории и
отличаются только направлениями на них, то достаточно рассмотреть систему
(Βα) при 2~<α<~2"·
Система (В0), а следовательно и система (Ва), имеет единственное
состояние равновесия 0(0,0). Характеристическое уравнение его
Icosa—sin α—λ —(sin a + cos a) I
| cos a -J-sin a cos a—sin a—λ |
= 0 (3)
имеет корни
a,b2 = cosa—sina ± Υ—sin2a— 1.
Поэтому при значениях α в интервале —2~<α<1Γ состояние равновесия
О (0, 0) системы (Ва) является
при —2"<сс<—т- и при —Т<^а<^~Т неустойчивым фокусом;
л
при а——т- неустойчивым дикритическим узлом;
при а = -т- сложным фокусом или центром;
при π/4<α<-ττ устойчивым фокусом.
Условие касания траектории x — x(t), y = y(t) системы (Ba) с
окружностью
^4-^ = /? (4)
имеет вид
l^. = ir + w = 0 (р = 1/^+?). (5)
В силу уравнений (Ва)
если Τ<-α<-Ύ'' и
если ο.==·γ
^ + ^ = (^2 + ^)[(^2 + г/2-1)2—tga]cosa, (6)
» + W=— (*2 + г/2), (7)


§ 22] СТЕПЕНЬ НЕГРУБОСТИ И БИФУРКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 225
Наконец, заметим еще, что в полярных координатах система (Ва)
имеет вид
^L=sp[(p2_i)2C0Sa_ sina]? (8)
-τ- = (ρ2— Ι)2 sin α + cos a. (9)
Очевидно, равенство (8) эквивалентно равенству (6) при α Φ γ и
равенству (7) при α—γ.
Найденные соотношения позволяют теперь без труда исследовать
расположение траекторий системы (Ва) при всевозможных значениях
параметра а.
1) а = у. Состояние равновесия О (О, 0) есть устойчивый фокус. Из
соотношений (5) и (7) вытекает, что все окружности (4) являются
циклами без контакта. Поэтому система не может иметь замкнутых
траекторий. Ввиду отсутствия других состояний равновесия, кроме фокуса О,
система не имеет предельных континуумов, состоящих из продолжаемых
траекторий. В силу (7) траектории, пересекающие цикл без контакта (4),
при возрастании t входят внутрь него. Таким образом, все траектории
системы при возрастании t накручиваются на
фокус О (0, 0), а при убывании t уходят в
бесконечность (рис. 96). Уравнение (9) показывает, что
при возрастании t движение по траекториям
происходит против часовой стрелки.
2) γ > a > -т-. В этом случае уравнение
(р2 — l)2cosa — sina = 0 (10)
имеет единственный действительный корень
Ро = ]/1 + l/^tga. Из уравнения (8) следует,
что окружность *" ""* ""* ~"~- 2
2,22 iAAS ЧИВЫЙ *°КУС-
р = р0, т. е. x2 + y2 = pl (11)
является траекторией системы (Ва). Все остальные окружности (4), в силу
соотношения (6), являются циклами без контакта, причем если R > р0
(R < Ро)» т0 ПРИ возрастании t траектории, пересекающие окружность (4),
выходят из нее (входят внутрь нее). Поэтому окружность (11) является
неустойчивым предельным циклом системы. Точка О (0, 0) есть
устойчивый грубый фокус. Других предельных континуумов система не имеет,
поэтому все траектории являются спиралями, скручивающимися с
предельного цикла. Из уравнения (9) следует, что движение по ним при
возрастании t происходит против часовой стрелки. Расположение
траекторий изображено на рис. 97.
Исследование в остальных случаях проводится аналогично.
3) a = -г. Система имеет единственный неустойчивый предельный
цикл — окружность
я2 + ^2 = 2. (12)
Состояние равновесия О (0, 0) является сложным (негрубым)
устойчивым фокусом. Движение по спиралям происходит при возрастании t
против часовой стрелки (рис. 98).
Рис. 96. <х= -я-. Устой-


226 ПОНЯТИЕ О БИФУРКАЦИЯХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. VIII
4) -~;>а;>0. Система имеет два предельных цикла — неустойчивый
х*+у* = 1+Уг^, (13)
представляющий окружность радиуса больше 1, и устойчивый
я2 + #2 = 1 —Ι/Ί-ga (14)
(окружность радиуса меньше 1). Состояние равновесия О (0, 0) есть
неустойчивый фокус. Движение по спиралям — против часовой стрелки (рис. 99).
Рис. 97. у > α > -^ , г >1/2. Рис. 98. α = -*- , г = /2.
Неустойчивый цикл; устойчи- Неустойчивый цикл; слож-
вый фокус. ный устойчивый фокус.
5) а = 0. Система имеет один полуустойчивый, а следовательно,
сложный (см. § 12.3) предельный цикл — окружность
х* + у2 = 1, (15)
и неустойчивый фокус О (0, 0). Движение по траекториям происходит
против часовой стрелки (рис. 100).
Рис. 99. -5- > α > 0, ri > 1 — не
устойчивый цикл; г2 < 1 — устой
чивый цикл, неустойчивый фокус
6) 0 > а > — -т-. Все окружности (4) являются циклами без
контакта. Поэтому система не имеет замкнутых траекторий и замкнутых
кривых, составленных из траекторий. Все траектории при возрастании t
Рис. 100. α = 0. Устойчивых
циклов нет; неустойчивый
фокус.


§ 22] СТЕПЕНЬ НЕГРУБОСТИ И БИФУРКАЦИИ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 227
уходят в бесконечность, а при t-+- — оо накручиваются на неустойчивый
фокус О (0, 0).
Из уравнения (9) видно, что
dQ ^ η 9 ^ α ι ι ί cos α
•>0, если р2<1+|/
at * ^ 'г sin α'
И
cos α
-£<0, если Р2>1+/ since
Поэтому внутри окружности
р> = а. + у.-1+ /-^ (16)
движение по траекториям происходит против часовой стрелки, а вне
этой окружности — по часовой стрелке (рис. 101). Очевидно, окружность
(16) ортогональна к каждой пересекающей ее траектории.
Рис. 101. 0 > а> — γ . Цик- Рис. 102. а = —т-. Циклов нет.
лов [нет. R >/2-неустойчи- R ^π _ неустойчивый дикритиче-
выи фокус. с^ий узел#
7) а = — -τ-. Расположение траекторий такое же, как в предыдущем
случае, но точка О (0, 0) является в данном случае не фокусом, а
неустойчивым дикритическим узлом (рис. 102). Роль окружности (16) играет
теперь окружность (12).
8) — γ>α> —2". Состояние равновесия О(0, 0) является
неустойчивым фокусом. Все окружности (4) суть циклы без контакта. Выражение
rift
— = (ρ2 — l)2 sin α + cos α обращается в нуль на окружностях
Ρ
,2_1+ι/_?ο!!Ξ (17)
1 V sm α ν /
В кольце между этими окружностями — > 0, а в остальных точках пло-
dft
скости -j- < 0. Поэтому движение по траекториям при возрастании t


228 ПОНЯТИЕ О БИФУРКАЦИЯХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. VIII
происходит в указанном кольце в направлении против часовой стрелки,
а вне окружности (17) и внутри окружности (18) — по часовой стрелке
(рис. 103).
При α = — у система будет иметь те же траектории, что при α = у ,
но направление движения на них меняется на противоположное. При
дальнейшем убывании α от —ψ до ^ π мы будем получать последовательно
рисунки, отличающиеся от рисунков 97—103 только направлениями
стрелок. Наконец, при а = гл мы возвращаемся к исходной системе
(Вя/2) (рис. 96). ^
Очевидно, бифуркационными значениями параметра α являются
( π
>а>
значения
Ои —-
Проведенное исследование
Рис. 103.
лов
зх ^ π
нет. i?i </*2, #2 < 1
устойчивый фокус.
Цик-
не-
л π
Τ' Τ' VJ* — Ύ
и рисунки наглядно показывают, что
происходит с траекториями рассматриваемой
системы при убывании параметра α (т. е.
при вращении векторов поля по часовой
стрелке) и какие бифуркации система
испытывает. При переходе через
бифуркационное значение параметра γ появляется
неустойчивый предельный цикл —
окружность большого радиуса с центром в
точке О (этот цикл, как говорят, рождается
из бесконечности). При дальнейшем
убывании α этот цикл сжимается (радиус
окружности монотонно убывает). При
бифуркационном значении а = -т-
топологическая структура системы такая же,
как перед этим, но грубый устойчивый
, фокус О в этот момент превращается
в сложный (негрубый) фокус. При
переводе через бифуркационное значение -г из этого сложного фокуса
рождается устойчивый предельный цикл, сам сложный устойчивый фокус
превращается в грубый неустойчивый, а существовавший неустойчивый
предельный цикл продолжает сжиматься. Далее устойчивый предельный
цикл расширяется, а неустойчивый — сжимается, и при бифуркационном
значении α = 0 оба цикла сливаются в один сложный полуустойчивый
цикл. При переходе через α .= 0 этот сложный цикл исчезает, и при
дальнейшем уменьшении α в интервале 0 > α > ψ изменение
топологической структуры системы более не происходит. На рис. 101—103
видно, как при этом происходит изменение направления вращения (при
движении по траекториям) на противоположное. Именно, при переходе
через α = 0 из бесконечности появляется окружность р2 = 1 + у — ^iS 9
на которой происходит это изменение. Эта окружность сжимается при
уменьшении а. При а = у- фокус О (0, 0) превращается в дикритиче-
ский узел (той же устойчивости). При дальнейшем уменьшении α вблизи
точки О возникает вторая окружность, на которой происходит изменении.


δ 23] РАСПАДЕНИЕ СЛОЖНОГО СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ НА ГРУБЫЕ 22$
направления вращения, а дикритический узел снова превращается в фокус.
Обе окружности движутся навстречу друг другу. В момент, когда а = — ^ ,
они сливаются, и движение по всем траекториям в этот момент происходит
в одном и том же направлении — по часовой стрелке (рисунок, отли-
чающийся от рис. 96 направлением стрелок).
Заметим еще, что при возрастании а изменение топологической
структуры происходит в обратном порядке. В частности, при малых
отрицательных значениях α система не имеет предельных циклов (рис. 101).
Когда α достигает значения 0, появляется полуустойчивый (сложный)
предельный цикл х2 + У2 = 1 (рис. 100). В этом случае говорят, что
указанный предельный цикл возникает или рождается из уплотнения
траекторий (или из сгущения траекторий). При дальнейшем
возрастании α имеются уже два предельных цикла. В этом случае говорят, что
сложный предельный цикл распадается на два цикла или что из сложного
цикла рождается еще один цикл. Таким образом, в указанном примере·
мы наблюдаем рождение предельных циклов из бесконечности, из
сложного фокуса, из сложного предельного цикла и из уплотнения
траекторий. В дальнейшем, в главах XI—XIII, мы познакомимся еще с
некоторыми случаями рождения предельных циклов.
§ 23· Распадение сложного состояния равновесия на грубые
1. Число грубых состояний равновесия, на которые распадается
сложное состояние равновесия. В настоящем параграфе мы будем
рассматривать только аналитические динамические системы. Некоторые
утверждения относительно кратных состояний равновесия, которые мы
при этом получим, сохраняют смысл и остаются справедливыми также
для систем класса N. Так как, однако, все проводимые здесь в
аналитическом случае доказательства либо' остаются без изменения при
переходе к системам класса Ν, либо упрощаются, то достаточно ограничиться
рассмотрением аналитических систем.
Пусть
ж-рЬй> ■£=<?(*.»> (А>
— динамическая система, О (0, 0) — ее состояние равновесия. Мы будем
считать, что О (0, 0) есть сложное состояние равновесия кратности г,
где г — натуральное число, г>2. В силу определений 15 (§ 7.3) и 5
(§ 2.1) состояние равновесия О системы (А) имеет кратность г, если
выполняются следующие условия:
а) существуют числа ε0 > 0 и δ0 > 0 такие, что всякая система (А),,
б0-близкая до ранга г к системе (А), имеет в U£Q(0) не более г состояний
равновесия;
б) каковы бы ни были числа ε < ε0 и δ > 0, существует система
(А), δ-близкая до ранга г к системе (А) и имеющая в UB(0) не менее г
состояний равновесия.
Из определения r-кратности состояния равновесия О и из условия
г>2 и теоремы 6 (§ 2.2) следует, что в рассматриваемом нами случае
точка О (0, 0) является изолированным состоянием равновесия и что
Δ(0) =
Р'х (0,0) Р'у(0,0)
Q'x(0,0) Q'„(0,0)
= 0. (1)


230 ПОНЯТИЕ О БИФУРКАЦИЯХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. VIII
В дальнейшем мы будем понимать под е0 > 0 и 60 > 0
фиксированные числа, определяемые условием а). Кроме того, мы будем считать ε0
настолько малым, что О (0, 0) есть единственное лежащее в υεο (О)
состояние равновесия системы (А). В случае необходимости мы будем налагать
на числа ε0 и δ0 и другие условия, выполняющиеся при достаточно малых
значениях их.
Аналитические динамические системы, б0-близкие до ранга г к
системе (А), мы будем называть допустимыми. Пусть С — граница окрестности
UBo (О). Мы будем считать δ0 настолько малым, что каждая допустимая
система (А) не имеет состояний равновесия, лежащих на окружности С,
и ни в одной точке этой окружности векторы, определяемые системами
{А) и (А), не имеют противоположных направлений. Тогда, в силу
известного предложения (см. КТ, § 10.2, лемма 2), вращение WA (С)
векторного поля системы (А) вдоль кривой С равно вращению W-χ (С)
векторного поля системы (А) вдоль той же кривой, т. е.
WZ(C) = WA(C). (2)
Мы хотим выяснить в этом пункте, что можно сказать о числе состояний
равновесия допустимой системы (А), лежащих в С/8о(0), если известно,
что все они являются грубыми. Сначала мы изложим предложения,
справедливые для любого г-кратного состояния равновесия (леммы 1 и 2
и теоремы 31 и 32), а затем мы ограничим класс рассматриваемых
состояний равновесия, наложив одно добавочное условие.
\ Если допустимая система (А) имеет в окрестности Ueo (О) в точности к
состояний равновесия <9Ь 02, . . ., Okj причем все они являются
грубыми, то мы будем говорить, что сложное состояние равновесия О (или
сложная особая точка О) распадается при переходе к системе (А) на
грубые состояния равновесия 04, 02> · · ·> Ok.
Лемма 1. Если допустимая система (А) имеет β окрестности
UZo (О) r-кратного состояния равновесия О г состояний равновесия, то все
они являются простыми.
Доказательство. Предположим, что допустимая система (А)
имеет в Ueo(0) г состояний равновесия, Ot, 6?2» · · ·» Ог, причем по
крайней мере одно из них, например Ои является сложным. Пусть Ut —
окрестность точки Ог, i = 1, 2, . . ., г, причем U% с: U&0 (О) и все Ut
не пересекаются попарно. Если точка 0%, i — 2, 3, . . ., г, есть
непростое состояние равновесия системы (А), то мы заменим эту систему в
достаточно малой окрестности Vt точки 0% (Vi cz иг) сколь угодно близкой
к (А) системой (Αί), для которой 0% является уже простым состоянием
равновесия *). Далее, в достаточно малой окрестности У4 точки Oit
Vi cz J7i, мы заменим систему (А) сколь угодно близкой системой (А^),
имеющей в V± по крайней мере два состояния равновесия 0[ и 0'2) это
можно сделать, так как на основании теоремы 6 (§ 2.2) сложное состояние
*) Пусть в окрестности точки 0г· (яг·, у{) система имеет вид -=- = а (х—#0+
+ Ь(у — yi)+..., -JL = c(x--Xi)+d(y--yi)+... Если Δ =
= 0, то, давая а и d
Ъ\
\с d\
достаточно малые добавки, мы получим сколь угодно близкую систему, для которой
Δ Φ 0, т. е. для которой точка Οι будет простым состоянием равновесия.
Аналогично из пегрубой точки сколь угодно малым изменением системы можно сделать
грубую.


§ 23] РАСПАДЕНИЕ СЛОЖНОГО СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ НА ГРУБЫЕ 231
равновесия имеет кратность, большую чем 1. В силу сноски на стр. 230
состояния равновесия 0[ и 0'% можно считать простыми. Далее, мы можем
построить систему (А') класса г, сколь угодно близкую до ранга г к
системе (А), совпадающую вне окрестностей Ut с системой (А), а внутри каждой
окрестности У$ — с системой (Αί) *). Пусть теперь (А") —
динамическая система, правые части которой — многочлены, достаточно хорошо
аппроксимирующие правые части системы (А'). Очевидно, что (А")
является тогда допустимой системой, имеющей в Ueo (О) не менее чем г + 1
состояние равновесия. Но это противоречит условию, что точка О — г-крат-
ное состояние равновесия. Лемма доказана.
Лемма 2. Если О — r-кратное состояние равновесия системы (А),
то существуют сколь угодно близкие к (А) до ранга г системы, имеющие
в UBo (О) г грубых состояний равновесия.
Справедливость леммы 2 вытекает непосредственно из определения
кратности состояния равновесия и из сноски на предыдущей странице.
Теорема 31. Если 1А (О) = I есть индекс Пуанкаре г-кратного
состояния равновесия О системы (А), то
J = r(mod2). (3)
Доказательство. Пусть С — граница окрестности Ζ7εο (О).
По^определению индекс Пуанкаре / равен вращению WA (С) векторного
поля системы (А) вдоль кривой С, деленному на 2π (ΚΤ, § 11.2,
определение XIII и § 10.2, определение XI). По предыдущей лемме существует
допустимая система (А), имеющая в Ueo(0) в точности г, и притом
грубых, состояний равновесия. Далее, по формуле (2)
Wx(C)=WA(C) = 2nI.
С другой стороны, в силу КТ, § 11.2, лемма 1,
I = I~(Ol) + II(02)+... +Ix(Or). (4)
Но каждое состояние равновесия Ot системы (А) является грубым, т. е.
его индекс равен +1 или —1. А тогда из последнего равенства следует,
очевидно, что
J== r (mod 2).
Теорема доказана.
Теорема 32. Если состояние равновесия О системы \А) имеет
кратность г, а допустимая система (А) имеет в Ueo (О) в точности А,
и притом грубых, состояний равновесия, то
к == г (mod 2). (5)
Доказательство. В точности так же, как в предыдущей
теореме, доказывается, что
&==/(mod2). (6)
Из (3) и (6) вытекает сравнение (5). Теорема доказана.
Предыдущие леммы и теоремы относились, как мы уже указывали,
к любым г-кратным состояниям равновесия. Теперь мы рассмотрим более
*) Возможность построения такой системы класса г показана в главе VI (§ 18.3)
при доказательстве теоремы 24.


232 ПОНЯТИЕ О БИФУРКАЦИЯХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. VIII
детально один, хотя и сравнительно узкий, но важный класс состояний
равновесия. Именно, всюду в дальнейшем в этом параграфе ми будем
считать, что разложения правых частей функций Ρ и Q в окрестности
рассматриваемого состояния равновесия О (О, 0) содержат по крайней
мере один линейный член, т. е. что выполняется условие
|ρ;(θ,θ)| + |Ρί(θ,θ)|+|ρ;(θ,ο)|+|ρί(θ, о)|^о. (7)
Для определенности будем предполагать, что
% (0,0) =^0. (8)
В случае, когда Qy (0, 0) = 0, а отлично от нуля, например, число
Р'х (0, 0), приводимые дальше утверждения и их доказательства меняются
очевидным образом.
Мы выведем прежде всего необходимое и достаточное условие тогог
что состояние равновесия рассматриваемого типа имеет кратность г.
Заметим, что в случаях г = 1 и г = 2 условие (7) выполняется
автоматически (теоремы 6 и 7, § 2.2 и 2.3)
Теорема 33. Пусть точка О (0, 0) является состоянием
равновесия системы
§=Р(х,у), ^=Q{x,y) (A)
класса г (в частности, аналитической) и значение хоть одной из первых
производных функций Ρ и Q в точке О (0, 0), например Qy (0, 0), не равно
нулю. Пусть далее, у — φ (χ) есть решение уравнения
Q{x,y) = 0 (9)
относительно у в некоторой достаточно малой окрестности точки О *), а
θ (*)=/>(*, φ (*)). (10)
Тогда для того, чтобы точка О была r-кратным состоянием
равновесия системы (А), необходимо и достаточно, чтобы число 0 было г-крат-
ным корнем функции θ (χ) **).
Доказательство теоремы 33 проводится аналогично
доказательству соответствующего утверждения в теореме 7 (§ 2.3). Естественно,
что, применяя при доказательстве лемму 1 § 1.3, сейчас надо взять в
качестве Ρ (χ, у) функцию
а& + а2х2 +...+ ar-ix*'1 + Ρ (χ, у)
с надлежаще додобранными коэффициентами at. Условия а) и б)
теоремы 7 являются соответственно условиями (1) и (8) и в нашем случае
выполняются по предположению.
Переходим к следующей теореме. Пусть О (0, 0) — г-кратное
состояние равновесия системы (А), для которого выполняется условие (8)г
а ε0 > 0 и δ0 > 0 суть числа, определенные выше. Будем предполагать,
сверх того, ε0 настолько малым, что Qy Φ 0 в окрестности UZ0(O), а
кривая Q (х, у) = 0 может быть задана в этой окрестности явным
уравнением у = φ (χ), где gt < χ < ξ2, ξ4 < 0, ξ2 > 0.
*) Уравнение Q (χ, у) = 0 имеет в достаточно малой окрестности точки О
однозначное решение у = φ (а?) в силу условия (8) и теоремы о неявной функции; при этом
φ — функция класса г и φ (0) = 0,
**) Если Qy (0, 0) = 0, но отлично от нуля, например, число Рх (0, 0), то вместо·
θ (χ) нужно взять функцию Θ* (у) = Q (φ* (у), у), где χ = φ* (у) есть решение
уравнения Ρ (χ, у) = 0 относительно х.


§ 23] РАСПАДЕНИЕ СЛОЖНОГО СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ НА ГРУБЫЕ 233
Теорема 34. Для любого целого числа к, удовлетворяющего
условиям 0<А<г fe==r (mod 2), и для любых положительных б < δ0 и ε <
< ε0 существует аналитическая система (А), которая δ-близка до ранга
г к системе (А) и имеет в окрестности UBo (О) в точности к, и притом,
грубых состояний равновесия, причем все они расположены в Uъ (О).
Доказательство. Пусть, как и выше,
Ρ(χ,φ(ζ)) = β{χ). (10)
В силу теоремы 33 х = 0 есть корень кратности г функции θ (ж). Поэтому
θ (х)=Ахг + ... =Ахг (1 +/ (я)), (И)
где А Ф 0, а / (х) есть аналитическая функция, причем / (0) — 0.
Рассмотрим систему
£ = Р(х,у) = Р(х,у) + р(х>у), % = Q(*,y) = Q(x,v), (12)
где
ρ (χ, y)^A{x-Xi) (χ-χ2) ... (z—xh) (xr~k + a) (1 +/ (*)) - θ (χ), (13)
причем к — целое число, 0<A<r, к = г (mod 2), α>0, gt < а:г < ξ2 и все
Xi различны (ρ (χ, у) не зависит от у).
Так как Q=Q, то кривая Q (#, у) — 0 совпадает с кривой Q (ζ, у) = 0,
т. е. в окрестности Ueo(0) она может быть задана явным уравнением
У = φ (я), ξι<£<ξ2. Поэтому
1) (*) = £(*, $(*))=£(*, φ(*))=ρ(*. У)+Р(х, Ψ(χ)) =
= А(х-хх)(х—х2) ... (x-Xk)(a?-h + a)(l + f(x)). (14)
По условию О (0, 0) есть единственное состояние равновесия системы (А),
расположенное в Ueo(0). Отсюда и из соотношений (10) и (11) следует,
очевидно, что \-\-f {х)ф0 при ξι<#<ξ2· Далее, хг~к-^-аф0, так как
а>0, а г—к четно. Но тогда из (14) вытекает, что система (12) имеет
в Ueo (О) в точности к состояний равновесия О ι (χ» φ (xt))9 i = 1, 2, ..., к.
Из (11) и (13) следует, что
p(x,y) = A(i+f (χ)) {хг~к [(ζ—xt) (z—x2) ... (χ—xk)~ zr] +
+ α(χ—χι) (x—x2) ... (x—Xk)}-
Если числа ζ*, ί = 1, 2, ...,&, и α достаточно малы, то функция ρ (χ, у)
на конечном интервале сколь угодно близка к нулю вместе со своими
производными, а следовательно, система (12) сколь угодно близка до
ранга г к системе (А). Далее, при малых х% все точки 0\ лежат в Ue (О).
Покажем теперь, что состояния равновесия Ог(хг, φ (я*)) системы (12)
просты. В самом деле, из соотношений Ρ (ζ, φ (χ)) = θ (χ), Q(x, φ (χ)) == 0,
следует, что
\Ρ'χ(χ, ψ (Χ)) Ру(х,<?{х))\
\Q'x(z, ψ (χ)) Q'y(x, φ И) Ι
θ'(*)=
Поэтому
·).
<&(*. φ(*))
Δ (Oi)=A (xu φ («,))= -θ' (*,) Q'y(xu φ (xt)) (i = 1, 2, ..., к).
*) Мы встречались уже с этой формулой при доказательстве теоремы 7 (§ 2.3).


234 ПОНЯТИЕ О БИФУРКАЦИЯХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. VIII
Но Q'y (#ь 1<φ(χι))φ0 по условию, a Q{xt) отлично от нуля, так
как х\ есть простой корень функции θ (χ) (см. (14)). Следовательно,
Α (Οι) Φ О, т. е. точки 0% (i = l, 2, *.., к) являются простыми
состояниями равновесия системы (12).
Если при этом точки Ot являются грубыми состояниями равновесия,
то теорема доказана. Если же среди них имеются негрубые (т. е. сложные
фокусы или центры), то так же, как при доказательстве леммы 1, мы
можем перейти к сколь угодно близкой аналитической системе, имеющей
в Ueo (О) в точности к, и притом грубых, состояний равновесия,
расположенных в Uг (О). Теорема доказана.
Замечание. Теоремы 32 и 34 естественным образом дополняют
друг друга и полностью решают вопрос о том, сколько состояний
равновесия достаточно близкой системы может лежать в окрестности С78о(0),
если все они являются грубыми. Однако теорема 32 доказана нами для
общего случая, в то время как теорема 34 в предположении, что
выполняется условие (8) (или (7)). В связи с этим возникает следующий
представляющий интерес вопрос: выяснить, справедлива ли теорема 34 в общем
случае, т. е. тогда, когда условие (7) не выполняется.
2. Характер грубых состояний равновесия, на которые распадается
сложное состояние равновесия са^О. В предыдущем пункте мы
исследовали, на сколько грубых особых точек может распадаться г-кратное
состояние равновесия О динамической системы (А) при переходе к
близким системам. В этом пункте мы хотим выяснить, что можно сказать
о характере этих грубых особых точек. Мы считаем, что рассматриваемое
сложное состояние равновесия О является изолированным и
удовлетворяет условию
|р;(о,о)|+|Рпо, о)|+|%(о, ο)|+|<?ί(0, о)|^о. (7)
Топологическая структура динамической системы в окрестности
такого состояния равновесия была подробно исследована в КТ, §§ 21 и 22.
Нам понадобятся основные результаты этого исследования, поэтому мы
приведем их здесь. Удобно различать два случая: σ = 0 и σ Φ 0.
а) Пусть . .
о = Р'х(0,0) + <2'у(0,0)ф0. (15)
В этом случае систему (А) неособым линейным преобразованием
можно привести к виду
Щ. = Р2 (*, у), ^ = y + Qz (*, у), (16)
где Р2 и (^-—аналитические функции, разложения которых в ряды
в окрестности точки О (0, 0) состоят из членов не ниже второго порядка.
Пусть
Р = Ф(*) [(17)
есть решение уравнения
¥ + &{*, У) = 0 (18)
в окрестности точки О(0, 0), и пусть разложение по степеням χ функции
Ψ (*)=Ρι(*, φ (*)) (19)
имеет вид
W(x) = Amxm+..., (20)


$ 23] РАСПАДЕНИЕ СЛОЖНОГО СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ НА ГРУБЫЕ 235
где m>2, a
ЬтфО (21)
(существование таких чисел т и Ат вытекает из условия изолированности
рассматриваемого состояния равновесия).
Рис. 104. т нечетно, Ат > 0. Рис. 105. т нечетно, Дт <0.
Имеет место следующее утверждение:
I (KT, § 21.2, теорема 65).
1. Если т нечетно, а Ат > 0, то состояние равновесия О системы
(16) есть топологический узел (рис. 104).
2· Если т нечетно, а Ат < 0, то О есть топологическое седло (рис. 105).
3. Если т четно, то состояние равновесия О (0, 0) есть седло-узел,
т. е. каноническая окрестность его состоит из параболического и двух
гиперболических секторов (рис. 106 и 107).
б) Пусть
σ = Ρ;(0, 0)+ρ^(0,0)=0. (22)
В этом случае систему (А) неособым линейным преобразованием
можно привести к виду
§. = у+Р2(х,у), §. = <?,(*,»). (23)


236
ПОНЯТИЕ О БИФУРКАЦИЯХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. ЛШГ
Систему (23) в свою очередь можно привести к еще более
простому виду
1Г = ТЬ
ац=Ы*ч)
dt
преобразованием
взаимно однозначным в окрестности точки О(0, 0). Возвращаясь к
первоначальным обозначениям, мы можем, таким образом, считать, что
рассматриваемая система имеет вид
dx
4=&(*,</),
-Λ-™,„. (24)
где разложение функции Q2 (я, у) не содержит линейных членов.
Рис. 108.
Рис. 109.
Так как точка О (0, 0) есть, по условию, изолированное состояние*
равновесия системы (24), то эту систему можно записать в виде
dx
= у, % = aarii + h(x)] + b?yll + g{x)] + y*f(x,y),
(25)
где h (x), g (x), f (χ, у) — аналитические функции; h (0) = g (0) = 0;,
г>2; α Φ 0; b может быть равен нулю; если Ъ Φ 0, то тг>1.
В этом случае имеет место следующее утверждение:
II (КТ, § 22.2, теоремы 66 и 67).
1. Если г нечетно, то состояние равновесия О является либо
топологическим седлом, либо топологическим узлом, либо фокусом или центром,
либо, наконец, состоянием равновесия с эллиптической областью
(окрестность которого содержит один гиперболический и один эллиптический
сектор, рис. 108).
2. Если г четно, то О есть либо вырожденное состояние равновесия
(два гиперболических сектора, рис. 109), либо седло-узел (рис. 110).
Заметим, что в силу теоремы 33 и условия а Ф 0 число г является
кратностью состояния равновесия О.
Мы переходим теперь к вопросу о характере грубых состояний
равновесия, на которые распадается сложная особая точка. Рассмотрим сначала


3 23] РАСПАДЕНИЕ СЛОЖНОГО СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ НА ГРУБЫЕ 237
случаи, когда
σ = Ρ'χ(0,0)+Ο'υψ, 0)=#=0.
(15)
В этом случае вопрос решается очень просто, так как характер указанных
грубых состояний равновесия полностью определяется индексом Пуанкаре
сложной особой точки О. Мы можем считать без ограничений общности,
что рассматриваемая система имеет вид (16).
Будем обозначать через Η число гиперболических, а через Ε число
эллиптических секторов канонической окрестности состояния
равновесия 0. По формуле Бендиксона
индекс Пуанкаре точки О
г Е — Н
+ 1
(26)
(см.
как
Рис. 110.
КТ, дополнение, § 10).
В рассматриваемом случае,
видно из уравнений (16),
σ = 1, а Δ = 0. Пусть (А) — δ0-
близкая к (А) до требуемого ранга
динамическая система, а 04, 02,
. . ., Ок — все ее состояния
равновесия, расположенные в UtQ (О),
причем все они являются грубыми.
Если числа δ 0 и ε0 достаточно малы,
то для каждого из состояний
равновесия Oti i = 1, 2, . . ., fe, число
Oi = σ (Oi) близко к 1, a Aj = Δ (Ог)
близко к нулю. При этих
условиях, если Δ (Oi) > 0, то 0% есть грубый узел, а если Δ^ (Ot) < 0, то
О г — грубое седло. Следовательно, в рассматриваемом случае все грубые
состояния равновесия, на которые распадается сложная особая точка О,
являются грубыми узлами и седлами.
Из теоремы 33 следует в силу соотношений (20) и (21), что кратность
состояния равновесия О (0, 0) системы (16) равна т. Вычисляя индекс
Пуанкаре / = 1А (О) точки О по формуле Бендиксона (26), мы получаем
следующие результаты:
1) Если О есть топологический узел, то / = 1 (Е = Η = 0).
2) Если О есть топологическое седло, то / = — 1 (Е = 0, Η = 4).
3) Если О есть седло-узел, то / = 0 (Е = 0, Η = 2) *).
С другой стороны, мы знаем (см. доказательство теоремы 31), что
1л (0)~1 = 1-х Ψι) +1?Фг) + ·· · + Ь(Ok)· (27)
Так как индексы Пуанкаре грубого узла и грубого седла равны
соответственно +1 и —1, то из формулы (27) можно сразу заключить —
принимая во внимание найденные выше значения индекса Пуанкаре /,—
сколько имеется грубых узлов и грубых седел среди точек Ои 02> · · ·> Ок
в каждом из случаев 1), 2), 3). Вопрос о том, чему может быть равно число к,
полностью решается теоремами 32 и 34.
Сопоставляя вместе все полученные результаты, мы сформулируем
их в виде следующей теоремы.
*) Заметим, что индекс Пуанкаре состояния равновесия О (0, 0) системы. (16)
легко вычислить и без формулы Бендиксона. Для этого нужно рассмотреть, сколько
раз и как вектор поля динамической системы проходит через направление оси у при
обходе окружности малого радиуса с центром в О. См. Красносельский и др. [19 j, § 7.


238 ПОНЯТИЕ О БИФУРКАЦИЯХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. VIII
Теорема 35. Пусть
£ = Р(х,у), % = Q{x,v) (A)
— динамическая система, О (О, 0) — ее состояние равновесия, для которого
Δ = 0, а а = Р'х (О, 0) + Q'y (0, 0) Φ О, и пусть т>2 — кратность
состояния равновесия О. Тогда число к грубых состояний равновесия
Οχ, 02, . . ., Ok, на которые распадается сложная особая точка О при
переходе к сколь угодно близким системам *), удовлетворяет условиям
О < & < тга и k = m (mod2)
и может быть равно любому из чисел, удовлетворяющих этим условиям.
Каждая из течек Ot (ί = 1, 2, . . ., к) есть либо грубый узел, либо грубое
седло, и
1) если О есть топологический узел, то к нечетно и число грубых узлов
среди точек Οχ, 02, . . ., 0^на\ больше числа грубых седел;
2) если О есть топологическое седло, то к нечетно и число грубых
узлов среди точек О и 02, · . ., Oh на 1 меньше числа грубых седел;
3) если О есть седло-узел, то к четно и число грубых узлов среди
точек Οχ, 02, . . ., Oh равно числу грубых седел.
Замечание. Теорема 35 полностью решает вопрос о том, на
какие грубые состояния равновесия может распадаться сложная особая
точка О (0, 0) в случае, когда σ = Р'х (0, 0) + <ЭД (0, 0) Φ 0. Из этой
теоремы следует, между прочим, что в указанном случае топологическая
структура состояния равновесия О взаимно однозначно определяется его
индексом Пуанкаре, равным разности между числом грубых узлов и
числом грубых седел, на которые это состояние равновесия распадается.
3. Характер грубых состояний равновесия, на которые распадается
сложное состояние равновесия с σ=0. При доказательстве основных
теорем этого пункта нам понадобится одно предложение, принадлежащее
Пуанкаре ([15], стр. 43, теорема V) и интересное само по себе. Чтобы не
отвлекаться в дальнейшем, приведем его здесь.
Теорема 36. (теорема Пуанкаре). Если динамическая система
ж=р(*>у)> w=Q(*>y) (А)
имеет только простые состояния равновесия и если изоклина Ρ (χ, у) = 0
(или Q (х, у) = 0) не имеет особых точек (т. е. точек, в которых обе
частные производные Рх и Р'у одновременно равны нулю), то на этой
изоклине состояния равновесия^ для которых Δ > 0, τη. е. седла, чередуются
с состояниями равновесия, для которых Δ > 0, т. е. с узлами и фокусами.
Доказательство. Пусть Οχ {χχ, Ух) и 02 (#2» Уг) — два
простых состояния равновесия системы (А) и Ζ — заключенная между ними
простая дуга кривой Ρ (χ, у) = 0, не содержащая других состояний
равновесия, кроме своих концов. Мы должны доказать, что Δ (Οχ) и Δ (02)
имеют различные знаки. Предположим противное, и пусть для
определенности Δ (Οχ) > 0 и Δ (02) > 0.
Рассмотрим векторы η (М)=п (х, у) с координатами (Рх (х, у), Р'у (х,у)),
где Μ (χ, у) — точка кривой Ρ (χ, у) = 0. Эти векторы образуют на
дуге I непрерывное поле нормалей, причем ни один вектор этого поля
*) Это число определено перед леммой 1.


!23] РАСПАДЕНИЕ СЛОЖНОГО СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ НА ГРУБЫЕ 239
не является нулевым (т. е. поле не имеет на дуге I особецностей).
Рассмотрим функцию Q (х, у) = Q (М) и ее градиент grad Q (Μ). Так как
Οχ и О г —- состояния равновесия системы (А), то Q (Οχ) = Q (02) = 0.
Далее, условия Δ4 > 0 и Δ2 > 0 означают, очевидно, что вектор η (Ot)
образует с вектором grad(?(0£), f = 1, 2, положительный угол (рис. 111).
Предположим для определенности, что касательная ΟχΤχ в точке Οχ
кривой Ζ, соответствующая направлению ее от Οχ к 02, образует с нормалью
η (Οι) положительный угол. Тогда касательная 02Т2 в точке 02 кривой /,
соответствующая направлению от 02 к Οι, образует, очевидно, с нормалью
η (02) отрицательный угол. Вычисляя производную от функции Q (#, у)
по кривой I в направлении ее Οχ02 (02Οχ) в точке Οχ (02) и принимая
во внимание, что она равна проекции градиента функции Q (#, у) на
соответствующую касательную, мы
nfW
МО,)
фйаШ*;
найдем, что эта производная
меньше 0 в точке Οχ и больше 0 в
точке 02. Отсюда и из соотношений
ρ(Ο1) = (?(Ο2)=0, —7-т
а также из определения
производной по дуге кривой следует, что
функция Q (х, у) отрицательна на
дуге I вблизи точки Οχ и положительна на этой дуге вблизи точки 02-
Но тогда Q (х, у) = 0 в некоторой внутренней точке дуги Ζ, т. е. эта точка
является состоянием равновесия системы (А), что противоречит исходному
допущению. Теорема доказана.
Рассмотрим теперь состояние равновесия О (0, 0) при условии, что
Рис. 11.
|Pi(o,o)|+|Pi(of 0)|+|%(0f 0)| + |ρ; (о, 0)|^о
(7)
o = P'xl(0,0) + Q'y(0,0)=0.
(22)
В этом случае исследование значительно сложней, чем в предыдущем,
и связано с рассмотрением ряда специальных алгебраических
предложений. Поэтому мы изложим некоторые результаты, относящиеся в этому
случаю, без доказательств. Подробные доказательства их даны в [16].
Осложнения, возникающие здесь, связаны с двумя обстоятельствами.
Во-первых, если особая точка О распадается на грубые состояния
равновесия Ot (i = 1, 2, . . ., к), то величины Δ (Οχ) и σ (Ot) могут принимать
произвольные сколь угодно малые значения. В частности, величина
σ {Oi)2 — 4Δ (Oi) может быть как положительной, так и отрицательной.
Это значит, что среди точек Ot могут быть теперь, вообще говоря, не
только грубые узлы и седла, но и грубые фокусы. Во-вторых, индекс Пуанкаре
состояния равновесия О теперь уже не определяет топологическую
структуру его (как это было в предыдущем случае). В самом деле, в силу
утверждения II предыдущего пункта, если кратность г точки О нечетна,
то эта точка может быть
а) топологическим седлом (Е = 0, Η = 4);
б) топологическим узлом (Е = 0, Η = 0);
в) состоянием равновесия с эллиптической областью (Е = 1; Η = 1);
г) фокусом или центром (Е = 0, Η = 0).
Если же кратность г состояния равновесия О четна, то О может быть
д) вырожденным состоянием равновесия (Н = 2, Ε = 0);
е) седло-узлом (Я = 2, Ε = 0).


240 ПОНЯТИЕ О БИФУРКАЦИЯХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. VIII
По формуле Бендиксона индекс Пуанкаре точки О имеет следующие
значения:
J = — 1 в случае а);
/=+1 в случаях б), в), г); (28)
/ = 0 в случаях д), е) *).
Поэтому топологическая структура состояния равновесия
определяется теперь индексом Пуанкаре, только когда этот индекс равен — 1, т. е.
когда О является седлом. Характеристика особой точки О с помощью
грубых точек, на которые она распадается, получается в случае а) такая
же, как в теореме 35, если только не делать различия между грубыми
узлами и грубыми фокусами, т. е. между грубыми точками, для которых
Δ>0 **). Именно, принимая во внимание теоремы 32 и 34, мы получаем
следующий результат.
Теорема 37. Сложное состояние равновесия О (0, 0) системы (А),
для которого выполняется условие (7), но а = Р'х (0, 0) + Q'y (0, 0) = 0,
является топологическим седлом в том и только в том случае, когда число
грубых узлов и фокусов, на которые оно распадается, на единицу меньше
числа грубых седел. При этом общее число к грубых состояний равновесия,
на которые О распадается, может быть произвольным положительным
нечетным числом, не превышающим г, где г — кратность точки О.
Для полноты результатов следовало бы еще исследовать, существуют
ли какие-нибудь зависимости между числом грубых узлов и числом грубых
фокусов или каждое из этих чисел может принимать любое значение
между 0 и —ψ-. Однако на этом вопросе мы не будем останавливаться.
В случаях б), в), г), как следует из соотношений (28) и из предыдущих
результатов, число узлов и фокусов среди грубых состояний равновесия
О и О 2, - - ·, Ok на 1 больше числа седел, а в случаях д) и е) число узлов
и фокусов равно числу седел***). Таким образом, мы можем, в терминах
распадения на грубые состояния равновесия, отличить точки б), в), г),
с одной стороны, от точек д), е) — с другой. Оказывается, что, в тех же
терминах, можно отличить точки типа д) от точек типа е), а также
охарактеризовать каждый из типов б), в), г). Однако получающаяся при этом
характеристика является более тонкой и не чисто топологической —
именно, теперь необходимо различать между собой грубые узлы, на которые
распадается особая точка О, и грубые фокусы. Кроме того, теперь
приходится рассматривать распадение не на любое возможное число грубых
состояний равновесия, а на максимальное число их (равное кратности
состояния равновесия). Чтобы подчеркнуть последнее обстоятельство,
мы будем называть допустимую систему (А) расщепленной, если при
переходе к ней от системы (А) сложная особая точка О кратности г распадается
на г грубых состояний равновесия.
Сформулируем сначала результат, относящийся к четнократному
состоянию равновесия (/ = 0, случаи д) и е)).
Теорема 38. Пусть (А) — динамическая система, О (0, 0) —
ее сложное состояние равновесия кратности г = 2т, //г>1, для которого
*) Как и в случае системы (16), индекс Пуанкаре состояния равновесия О
системы (24) может быть легко вычислен без теоремы Бендиксона. См. сноску на стр. 237.
**) Заметим, что с чисто топологической точки зрения такого различия и не
существует, так как узел и фокус имеют одинаковую топологическую структуру.
***) Напомним, что 0±, 02> . . ., О* — грубые состояния равновесия, на
которые распадается сложная особая точка О.


§ 23] РАСПАДЕНИЕ СЛОЖНОГО СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ НА ГРУБЫЕ 241
выполняется условие (7) и σ = Р'х (О, 0) + Q'y (0, 0) = 0 (т. е.
вырожденное состояние равновесия или седло-узел). Тогда:
1) Если при переходе к допустимой системе состояние равновесия О
распадается на к грубых состояний равновесия Ot, i — 1, 2, . . ., к,
то к четно и число грубых седел среди точек Οχ равно числу грубых углов
и фокусов.
2) Если О является вырожденным состоянием равновесия, то
существуют сколь угодно близкие к (А) расщепленные системы, при переходе
к которым О распадается только на грубые фокусы и седла.
3) Если О есть седло-узел, то при переходе к любой достаточно
близкой расщепленной системе среди грубых состояний равновесия, на которые
О распадается, имеется по крайней мере один грубый узел.
Доказательство. Справедливость первого утверждения
теоремы вытекает из теоремы 32 и из формулы (28) и фактически уже была
установлена выше.
Докажем второе утверждение. Не уменьшая общности
рассуждений, мы можем считать (см. § 3.2, лемма 2), что рассматриваемая система
(А) имеет вид (25):
§. = у = Р{х,у), if- = aa*m[l + h(x)] + Ъхпу[l+g(z)] + y*f (x, y) = Q (x, у),
где h (χ), g (χ), f (χ, у) — аналитические функции, h (0) = g (0) = 0, т > 1;
α>0; тг>1, если ЪфО. Пусть О(0, 0) является вырожденным состоянием
равновесия. В КТ (§ 22.2, теорема 67) показано, что в этом случае
либо Ь = 0,
(29)
либо ЪфО и тг>тга. ν '
Предположим сначала/что ЪфО. Пусть η>0—некоторое
положительное число, & Xi, i = l, 2, ..., η—1,-—произвольные числа такие, что
0<х1<*2<... <ζ„-1<η. (30)
Составим многочлен
Ъ (х) = Ъх (х—хх) (х—х2) ... (x—xn-t) = Ъхп + Ъ^хп~х + . .. + Ъп-Хх, (31)
имеющий числа 0, хи х2, ..., xn-i своими корнями.
В силу условия (29) т—1</г—1. Пусть xf, хъ .. .,
хт—произвольные числа, удовлетворяющие неравенствам
0<я1<я1<я2<;г2< . . . <arm_2< <Хт<.Ц. (32)
Составим, далее, многочлен
а (х)=ах(х—хх)... (х—xm-i)(x—Χι) ... (х—хт) =
= ах*т + о1г«т-1 + ... + a2m.lX, (33)
имеющий своими корнями числа 0, xt, Xj. Очевидно, если число η
достаточно мало, то коэффициенты &г и aj сколь угодно малы.
Рассмотрим систему
%L = y = P{x,y),
·§■ = (ах*т + atx^-i + .. . + a^-ix) [1 + h (χ)] + (A)
+ (bxn + hxn-i +...+ bn-iX) y\i + g (x)] + iff (x, y) =
= a(x)H + h (*)] + b (x) у [1 + g (x)] + y*f (x, y) = Q (x, y).


242 ПОНЯТИЕ О БИФУРКАЦИЯХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. VI11
Мы выберем η > 0 настолько малым, чтобы выполнялись следующие
условия:
а) η<ε0; }
б) система (А) является допустимой; [ (34)
в) если | χ | < η, то 1 + h (χ) > 0. J
Все состояния равновесия системы (А) лежат на оси Ох. Из
соотношений (33) и (34, в) следует, что все состояния равновесия системы (А),
расположенные в ϋΆ (О), суть
0(0,0), 0,(*„О), i = l,2,...,m—1, и 0,(^,0), / = 1, 2, ..., т. (35)
Таким образом, система (А) имеет в окрестности Ζ7η (О) 2т состояний
равновесия. Но Ζ7η (О) cr Ζ7εο (0) в силу условия (34, а). Поэтому (А)
является расщепленной системой, и в силу леммы 1 все состояния
равновесия (35) являются простыми. Определим их характер. С этой целью
вычислим для каждого из них величины Δ и σ.
Непосредственные вычисления показывают, что если О* (х*, 0) есть
состояние равновесия системы (А), то
д (О*) _ _ρ; (**, 0) = -α' (*·) [1 + h (**)] —α (х) Ь! (*·) (36)
и
σ (О*) = Qy (х\ 0) = Ъ (х*) Ц+g (χ*)]. (37)
Если О* есть одна из точек (35), то а (х*) = 0 и
Δ (О*) = — а' (х*) [i + h (χ*)]. (38)
Вычисляя а' (#), подставляя вместо х* абсциссы точек (35) и пользуясь
неравенствами (32), (34, в) и условием а > 0, мы получаем из последней
формулы
Δ(Ο)>0; Δ(Ο,)>0, £ = 1,2, ...,m—1;
— (39)
Δ(0,·)<Ο, / = 1,2. ...,ιλ. ;
Далее, так как х = 0 и x = xt, i = i, 2, ..., m—1, являются корнями
многочлена b (χ), то из формулы (37) следует, что
σ(0) = 0, σ(*,) = 0, i = l, 2 те—1. (40)
Соотношения (39) и (40) показывают, что точки Oj, j = 1, 2, . . ., ту
являются грубыми седлами, а точки О и О^ i = 1, 2, . . ., т — 1,—
сложными фокусами системы (А). В силу неоднократно применявшихся
рассуждений (см., например, доказательство леммы 1) существует
система (А), сколь угодно близкая к системе (А), у которой точки Oj остаются
грубыми седлами, а точки О и Ot являются грубыми фокусами. Очевидно,
(А) есть расщепленная система и, если η достаточно мало, (А) сколь угодно
близка к системе (А). Второе утверждение теоремы для случая Ъ Φ 0
доказано.
Если 6 = 0, то многочлен Ъ {х) составлять не надо, а в качестве
хи х2, . . ., xm-i можно взять произвольные положительные числа,
меньшие чем η.
Переходим к доказательству третьего утверждения теоремы. Пусть
состояние равновесия О (0, 0) системы (А) есть седло-узел. В силу КТ,


§ 23] РАСПАДЕНИЕ СЛОЖНОГО СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ НА ГРУБЫЕ 243
§ 22.2, теоремы 67, в этом случае
ЪфО и 1<п<т. (41)
Мы разобьем доказательство на две части,
а) Пусть система (А) имеет вид
dx
7ЕГ = $(*. ») = G(*· У) + Ч(х> У)- (А)
= ах*т [1 + h (χ)] + bxny [i+g (χ)] + y*f (x, y) + q (x, у),
где Ь=7^0и1<дг<<771. Докажем сначала, что если (А) достаточно близка
до ранга 2т — 1 к системе (А) и имеет в Ueo (О) в точности 2т, и притом
грубых, состояний равновесия, то по крайней мере одно из них есть узел.
Очевидно, близость до ранга 2т — 1 систем (А) и (А) означает
близость до ранга 2т — 1 функции q {x, у) к нулю.
Обозначим через Ot (хи 0), i = 1, 2, . . ., 2//г, состояния равновесия
системы (А), лежащие в U£o (О), и рассмотрим соответствующие каждому
из них величины Δ, σ, а также λ = σ2 — 4Δ. Очевидно,
Δ (а?, ()) = —&(*, 0) = — q'x(x, 0)~2msix2m~i[l + h(x)]—ax2mh,{x), (42)
σ(χ, 0) = Q'y {χ, 0) = q'y{χ, 0) + Ъхп [i+g(x)]. (43)
Из этих формул следует, что
λ (χ) = σ2—4Δ = b2x2n + φί (χ) + φ2 (χ) = b2x2n + φ (χ)9 (44)
где
q>i (χ) = 2Ь2я2п£ (a?) + bVV (ж) + 8 max2»»-* [1 + h (χ)] + 4ax2mh' (χ) (45)
Φ2 (*) = ?№ 0) + 2g;(a:, 0)baril+g(x)]+4q'x{x, 0). (46)
Из условия п<Ст следует, что 2дг<2тгг—1. Так как, кроме того,
g (0) = 0, то функция φ4 (χ) может быть представлена в виде
<ρί(χ)=χ2η+1φί{χ),
где φ ι (я)— аналитическая функция. Поэтому существует число ε4,
удовлетворяющее следующим условиям:
а) 0<ε1<ε0; Λ
б) Ъ2х2П + ф4 (х) > 0 при a: = 8i и при х =—ε^ ^ /^
в) | φ(2»> (Ж) | < Щ^-'прл -Ei <χ< ε2. ]
Далее, выберем число бь 0<δ1<;δο, удовлетворяющее следующему
условию: если функция q(x,y) бгблизка к нулю до ранга 2т—1, то
1) λ(—8i)>0, λ(εΟ>0; 1
2) φ(2-) (χ) < Щ^- при, - ε, < χ < ε2; 1 (48)
3) все состояния равновесия 0%, i — 1, 2, ..., 2m, лежат в UZl (О), j
Условию 1) можно удовлетворить в силу формулы (44) и условия
(47, б). Условие 2) выполняется при достаточно малом б4 в силу
соотношений (46) и 2тг + 1<2яг — 1. Наконец, условие 3) автоматически
выполняется при достаточно малом б4.


244 ПОНЯТИЕ О БИФУРКАЦИЯХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. VIII
Пусть теперь система (А) б4-близка к системе (А) до ранга 2т — 1,
т. е. функция q (χ, у) б^близка к 0 до ранга 2т — 1. Рассмотрим функцию
Х(х) = Ъ2х*п + <({х) (49)
аа сегменте [ — ε4, ej.
Из равенства
<p(x) = (f>i(x) + <P2(x) (50)
и из условий (47,в) и (48,2) следует, что на этом сегменте
|φ<2η>(ζ)|<(2τζ)!62.
(51)
Поэтому функция λ (χ) не может иметь на сегменте [— еь ej больше
тем 2п корней *). Пусть ξ1? ξ2» · · ·» \к — все различные корни функции
Рис. 112.
λ (χ), расположенные на указанном сегменте (среди них могут быть
кратные). Рассмотрим к + 1 интервал, на которые сегмент [— ε4, ε4)
разбивается корнями ξ7·. В каждом таком интервале функция λ (χ) сохраняет один
и тот же знак. В силу условия (48,1) в первом и последнем из этих
интервалов λ (χ) > 0. Назовем те интервалы, в которых λ (χ) < 0,
отрицательными и обозначим их /1? /2> · · ·» J ι (рис. 112). Докажем, что их число
£</г. Действительно, оба конца каждого отрицательного интервала
являются корнями функции λ (χ). При этом, если интервалы Jj и Jj+1
имеют общий конец |8 (как, например, интервалы /2 и /3 на рис. 112),
то ξ8 является четно-кратным корнем функции λ (#), т. е. имеет кратность
не менее 2. Поэтому общее число корней функции λ (χ) на сегменте
(— ει, ej не менее 21. Так как, с другой стороны, это число не больше 2дг,
то Z<rc. Но тогда в силу (41)
/ < т. (52)
Все состояния равновесия Οέ, i = 1, 2, . . ., 2т, расположены
в и?л (О) (см. условия (48)) и являются грубыми, а следовательно, и
простыми. При этом, если точка Ot (xt, 0) лежит в каком-нибудь
отрицательном интервале, то Δ (0{) = Δ4 > 0, так как в противном случае λ (xt) =
= λ2 = σ? — 4Аг > 0. Но тогда в силу теоремы 36 (теоремы Пуанкаре)
в каждом отрицательном интервале Jj лежит не более одной точки Ot.
А это значит, как следует из неравенства (52), что число состояний
равновесия £?,, для которых λ < 0, т. е. фокусов, меньше чем т. С другой
стороны, из первого утверждения доказываемой теоремы вытекает, что общее
число узлов и фокусов среди точек Ot равно числу седел, т. е. равно т.
Следовательно, среди точек Ог имеется по крайней мере один узел,
А
и утверждение 3) для системы (А) доказано.
*) Если на каком-нибудь сегменте функция имеет N корней (с учетом их
кратности), то ее производная имеет не менее N — 1 корней. Это следует из теоремы Ролля
и из того, что каждый кратный корень функции является корнем производной на 1
меньшей кратности.


§ 23] РАСПАДЕНИЕ СЛОЖНОГО СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ НА ГРУБЫЕ 245
б) Перейдем теперь к общему случаю. Пусть
jT = y + p(z, у) = Р(х,у), тйг = <?(*> ») + ?(*> ») = #(*> У) (А)
— динамическая система, δ-блкзкая до ранга 2т к системе (А) и имеющая
в ύεο (О) в точности 2т, и притом грубых, состояний равновесия.
Мы должны доказать, что если δ достаточно мало, то среди них имеется
по крайней мере один узел. Обозначим эти состояния равновесия через
Οχ, 02, . . ., 02т.
Рассмотрим преобразование
Х = х, Y = y + p(x,y). (53)
Мы можем считать, что основная область G, в которой рассматриваются
все системы, выпукла по у *) и что δ < 1. Тогда, как легко видеть,
отображение (53) является взаимно однозначным и регулярным и переводит
область G в некоторую область Я плоскости (Χ, Υ). Действительно, еслв
две различные точки (хи ух) и (х2, у2) переводятся преобразованием (53)
в одну и ту же точку, то xt =·χ2, у ι Фу2ъух + ρ (хи У±) = У 2 + Ρ (*ι, Уг)-
Но тогда г/2 — yt = ρ (хи у χ)—ρ (ат4, у2) = (Ух — У 2) Ру (*и У*)> гДе Vi<
< У* < У2 (или yi> у* > у2). Поэтому | р'у (х9 у*) | = 1, что
противоречит условию δ < 1.
С помощью преобразования (53) система (А) переходит в систем?
dX γ, %-=ή(χ,γ).
dt ' dt
Будем рассматривать теперь X и Υ как координаты на плоскосте
(#, у), т. е. заменим Χ, Υ буквами соответственно х, у. Мы получив*
систему
# = У. # = <?<*.»). (А)
определенную в области Н.
Преобразование (53) δ-близко до ранга 2т к тождественному
преобразованию X = χ, Υ — у (см. § 3.2). Пусть (т4 — замкнутая область
такая, что G гэ G4 zd Ueo (О). Если δ достаточно мало, то в силу леммы 1
§ 3.2 система (А) определена в области Gx и сколь угодно близка к
системе (А), а следовательно, и к системе (А) до ранга 2т —- 1. Каждому
состоянию равновесия Ot, i = 1, 2, . . ., 2ттг, системы (А) соответствует
состояние равновесия Οχ системы (А). Так как преобразование (53) регулярно,
то в силу леммы 2 § 6.1 состояния равновесия Ьг являются грубыми,
причем соответствующие друг другу точки 0% и Ot являются либо
одновременно узлами, либо фокусами, либо седлами. Наконец, при достаточно
малом δ все состояния равновесия Ot системы (А) лежат в ϋεο (О) и там
нет других состояний равновесия системы (А).
Но тогда система (А) удовлетворяет всем условиям утверждения
(см. стр. 243) а), т. е. среди точек Ot, а следовательно, и среди точек Ot
имеется по крайней мере один грубый узел. Теорема доказана полностью.
В теоремах 37 и 38 рассмотрены случаи, когда индекс Пуанкаре
исследуемого расстояния равновесия О (О, 0) равен —- 1 или 0. Переходим
*) Выпуклость по у означает, что если концы какого-нибудь отрезка, параллель*
иого оси Оу, лежат в области G, то и весь этот отрезок лежит в G.


246 ПОНЯТИЕ О БИФУРКАЦИЯХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. VIII
к последнему случаю, когда этот индекс равен + 1. В этом случае, как
указывалось выше (см. (28)), состояние равновесия О (0, 0) системы (А)
является либо
б) топологическим узлом;
либо
в) состоянием равновесия с эллиптической областью,
либо
г) фокусом или центром (смотри стр. 239).
В п. 2 мы видели, что рассматриваемую систему можно привести
к виду (25):
Ж=-У> ^r = ™rU + h(x)] + bxny[l+g(x)]+y*f(x,y).
Как показано в КТ, глава IX, § 22.2, теоремы 66 и 67, случаи б),
в), г) имеют место, если а < 0, а г — нечетное число. Таким образом,
мы можем считать, что система (А) имеет теперь вид
Ж = »· Ж = ax*m+1 V + h <*>] + bxny[i + g (χ)] + y2f (χ, у), (54)
где α<0, тга>1, fe, g и / — аналитические функции и h (0) = / (0) = 0.
При этом (см. КТ, теорема 66)
б) О (0, 0) есть топологический узел, если
ЬфО, η—четное число и п<С.т (55)
либо если
ЪфО, η—четное число, п = т и £> = 62 + 4 (иг+1) а>0; (56)
в) О (0, 0) есть состояние равновесия с эллиптической областью, если
ЬфО, η нечетно, п<С.т (57)
либо если
ЬфО, η нечетно, п = т и /) = &2 + 4(тгс + 1)а>0; (58)
г) О (0, 0) есть фокус или центр, если
Ъ = 0 (59)
либо если
ЪфО и п>т, (60)
либо если
ЪфО, п = т и Z) = fe2 + 4(m+l)a<0. (61)
Следующая теорема характеризует — в терминах распадения на
грубые состояния равновесия — различие между случаями б) и в), с одной
стороны, и случаем г) — с другой. Однако эта характеристика дается
при условии, что система (А) приведена к виду (54) и что если η = т,
то D = Ь2 + 4 (т + 1) а Ф 0. Мы покажем ниже (см. замечание к
теореме 39), что последнее условие не может быть устранено по существу дела.
Теорема 39. 1) Если при переходе от системы (54) к допустимой
системе состояние равновесия О (0,0) распадается на к грубых состояний
равновесия О^ i = 1, 2, . . ., к, то к нечетно и число грубых седел среди
точек Οι на единицу меньше числа грубых узлов и фокусов,
2) Если О (0, 0) есть топологический узел или состояние равновесия
с эллиптической областью и если при η = т D — Ь2 + 4 (т + 1) а Ф 0,
то при переходе к любой достаточно близкой расщепленной системе среди
грубых состояний равновесия, на которые О распадается, имеется по крайней
мере один грубый узел.


§ 23] РАСПАДЕНИЕ СЛОЖНОГО СОСТОЯНИЯ РАВНОВЕСИЯ НА ГРУБЫЕ 247
3) Если О (О, 0) есть сложный фокус или центр, то существуют
сколь угодно близкие к системе (54) расщепленные системы, при переходе
к которым О распадается только на грубые фокусы и седла.
Доказательство. Первое утверждение теоремы следует
непосредственно из того, что во всех случаях б), в), г) индекс Пуанкаре равен
+ 1 (см. формулы (28)). Что касается второго и третьего утверждений,
то, если т Φ дг, оба этих утверждения доказываются в точности так же,
как соответствующие утверждения теоремы 38. Если же т = п, то
доказательство значительно усложняется, и мы его опускаем *).
Замечание. Если η = т, a D = Ь2 + 4 (т + 1) а = 0, то
существуют сколь угодно близкие к системе (54) системы того же вида с D > 0
и с В < 0. Поэтому при указанных условиях не применим, очевидно,
никакой критерий, отличающий — в терминах распадения на грубые
состояния равновесия — случай узла или состояния равновесия с
эллиптической областью, с одной стороны, от случая фокуса или центра —
с другой.
Для полноты результатов следовало бы дать критерий, позволяющий
отличать — в терминах распадения на грубые состояния равновесия —
случай б) от случая в), т. е. узел от состояния равновесия с эллиптической
областью. Один такой критерий установлен в [16] (стр. 55, теорема 6).
В нем используется, в частности, характер устойчивости грубых узлов
и фокусов, на которые распадается сложное состояние равновесия О.
Так как, однако, этот критерий использует существенно не
топологические понятия, то он не может считаться удовлетворительным с
топологической точки зрения, и мы его здесь не приводим. Вопрос об отыскании
достаточно удовлетворительного (топологического) критерия такого рода
остается открытым.
В заключение этого параграфа заметим, что, как показывает
сопоставление полученных результатов, тип сложной особой точки О (0, 0)
системы (А) при условиях (7) и (22) (т. е. когда σ = Р'х + Q'y = 0) не
определяется, вообще говоря, топологической структурой и числом грубых точек,
на которых сложная распадается. Для характеристики точек типов б),
в), г), д), е) (стр. 239) приходится принимать во внимание различие
(не топологическое) между узлами и фокусами. Если в системе (54) η = т,
aZ) = &2-|-4(77i-f-l)a — 0, то случаи б) и в) вообще невозможно
отличить от случая г) рассмотрением грубых точек, на которые распадается
сложная.
*) Именно в этом случае приходится использовать ряд специальных
алгебраических лемм, о которых мы упоминали выше в тексте. См. [16], теорема 5.


ГЛАВА IX
РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ СЛОЖНОГО ФОКУСА
Введение
В предыдущей главе мы рассматривали бифуркации сложного
состояния равновесия, причем изучался только вопрос о числе и характере
грубых состояний равновесия, на которые сложное может распадаться.
В IX главе также рассматривается состояние равновесия, однако простое,
именно негрубый фокус (Δ Φ О, характеристические числа чисто мнимые),
и исследуется, сколько предельных циклов может возникнуть в его
окрестности при переходе к близким системам. Решение этого вопроса позволяет
описать бифуркации динамической системы, возможные в окрестности
негрубого фокуса.
Глава состоит из двух параграфов. Первый из них, § 24, является
вспомогательным. В нем изучаются более детально свойства функции
последования, а также определяются играющие основную роль понятия
фокусных величин и кратности сложного фокуса. Функция последования
была введена в § 10. Она определяется следующим образом: пусть
точка О — фокус, I — луч, выходящий из нее, М0 — точка на нем, лежащая
достаточно близко к О, L — траектория (спираль), проходящая через М0,
Μχ — следующая (после М0) при возрастании t точка пересечения
траектории L и луча Z. Пусть ОМ0 = р0, ОМх = pt (рис. 26 на стр. 99).
Функция Pi = / (ро) является функцией последования на луче L
Фокусными величинами называются значения производных функции
<*(Ро)=/(Ро) — Ро
в точке р0 = 0.
В § 24 доказывается, что если существует η такое, что
~d9 (0) = дГ (0) = ... = rf<M> (0) = 0, d<n) (0) φ 0,
то η является нечетным числом (лемма 5). В этом случае число
* —21
называется кратностью фокуса О. Простой фокус имеет кратность 0
(лг = 1), сложный либо не имеет определенной кратности, либо его
кратность &>1. В § 24.3 выводится ряд формул, с помощью которых можно
вычислять фокусные величины. На эти формулы опирается
доказательство основной теоремы главы IX. В § 24.4 выводятся выражения фокусных
величин для случая, когда система является аналитической. Эти
выражения оказываются полезными при исследовании конкретных систем.
В § 25 доказывается основное предложение данной главы — теорема
о рождении предельных циклов из сложного фокуса (теорема 40).


§ 24]
ФОКУСНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
249
По формулировке она очень проста и заключается в следующем: если
О (О, 0) есть сложный фокус кратности А>1 динамической системы (А),
то в достаточно малой окрестности его достаточно близкие к (А) до ранга
2fc + 1 системы (А) не могут иметь более к замкнутых траекторий. С
другой стороны, существуют сколь угодно близкие к (А) (до ранга 2к + 1)
системы (А), имеющие в сколь угодно малой окрестности фокуса в
точности к замкнутых траекторий. Таким образом, из А-кратного фокуса может
родиться к, но не более к предельных циклов.
В теореме 41 устанавливается, что при любом s, l<s</c,
существуют бифуркации, при которых из fe-кратного фокуса рождается ровно s
предельных циклов.
Из теорем 40 и 41 следует, что в окрестности конечнократного фокуса
динамическая система может иметь лишь конечное число различных
бифуркаций. В § 25.2 показывается, как эти бифуркации можно описать.
В конце главы (§ 25.3) рассматривается один специальный случай,
часто встречающийся в приложениях. Именно рассматривается система,
зависящая от одного параметра, и исследуются бифуркации, возникающие-
в окрестности ее сложного однократного фокуса при изменении параметра.
При переходе через бифуркационное значение параметра устойчивость
фокуса меняется, и при этом либо рождается предельный цикл, либо
предельный цикл «стягивается» в фокус.
§ 24. Фокусные величины
1. Некоторые свойства функции последозашш. Содержание
настоящей главы непосредственно примыкает к материалу, изложенному в § 10
(«Негрубость состояния равновесия с чисто мнимыми характеристическими
числами»). Поэтому мы будем пользоваться введенными там
обозначениями и понятиями, а также некоторыми результатами. Так же, как в § 10,
мы можем считать, что рассматривается система класса N, имеющая
в окрестности состояния равновесия О (0, 0) с чисто мнимыми
характеристическими числами канонический вид
-^ = -βϊ/ +φ (*,!/), ^ = β* + Ψ(*,ίΟ, (1>
где β>0. Эта система является частным случаем системы
^ = ах— $у-\-у(х, у), ^- = $х + ау + тр{х,у). (2)
Относительно функций ψ и ψ смотрите § 10.1.
Переходя к полярным координатам ρ, Θ, мы получали сначала систему
-£- = F (ρ, Θ) = ар + φ (ρ cos θ, ρ sin θ) cos θ + ψ (ρ cos θ, ρ sin θ) sin θ,
(3)
*1 = β + φ(ρ, θ) = β + -*-οο8θ—J-Sin θ,
а затем уравнение
При этом мы считали, что Φ (0, θ) ξ 0 при всех Θ. Это обеспечивает
непрерывность функции Ф. Полагая, что
Ρ = /(θ;.θ*Ρο) (5)


250 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ СЛОЖНОГО ФОКУСА [ГЛ. IX
есть решение уравнения (4), удовлетворяющее начальному условию
/(θ0;00, Р) = ро, (6)
мы определили функцию последования
Ρ-/θο(Ρο)-/(θ0 + 2π;θ0, ро) (7)
на луче θ —θ0, а также функцию
^θο(Ρο)=/θ0(Ρο) — Ρο. (8)
При θ0 = 0 мы обозначили эти функции, соответственно через /(ро)
и d(p0). Таким образом,
/(Ρο)-/(2π;0,ρ0), (9)
d (Ро) = / (Ро) — Ро = / (2π, 0, р0) — р0. (10)
В § 10 мы рассматривали функции /е0 (р0) и dQo (ро) ПРИ значениях
р0 > 0. Сейчас для вывода некоторых свойств мы будем рассматривать их
и при отрицательных значениях р0. Мы будем предполагать при этом, что
ΙΡοΚδ, (И)
где δ — достаточно малое положительное число.
Отметим прежде всего, что уравнение (4) не меняется при
одновременной замене ρ на — ρ и θ на θ + π. Точнее: если ρ = ρ (θ) есть решение
уравнения (4) и если р* = — ρ и θ* = θ + π, то ^р = R (ρ*, Θ*).
Действительно,
(последнее из этих равенств непосредственно вытекает из соотношений
(3) и (4)). Таким образом, если ρ = ρ (θ) есть решение уравнения (4), то
^|—Λ(-Ρ.Θ + π)=-Α(ρ,β). (12)
Лемма 1, Имеет место равенство
doo(~Р)=— ^θ0+π(ρ)=— /(θ0 + 3π; θ0 + π, ρ)+ρ. (13)
Доказательство. По определению
^θο(-Ρο)^/(θο + 2π; θ0, -Ро)-(-Ро), (14)
где ρ = /(θ; θ0, —р0) есть решение уравнения (4) при начальных условиях
θ = θ0, р=— р0.
Рассмотрим решение уравнения (12) при начальных условиях
р* — —ρ — р0, Θ* = θ + я = θ0 ■+·я. Очевидно, это решение есть
р* = — ρ = /(θ·; θ0 + π, ρο) = /(θ + π; θ0 + π, ρ0).
Таким образом, при указанных начальных условиях
р=— /(θ + π;θ0 + π, ρ0). (15)
Но условие р* = р0 при Θ* = θ0 + л эквивалентно условию ρ = — р0 при
θ = θ0.
Поэтому в силу теоремы единственности
-/(θ + π;θ0 + π,ρ0) = /(θ;θ0, —р0). (16)


$24]
ФОКУСНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
251
Из (14), (16), (7) и (8) следует, что
<*θο(-Ρο) = /(θ0 + 2π; θ0, — р0) — (—р0) = —/ (θ0 + 3π;.θ0 + π, ρ0) +р0-
= — Ι/θο+π (Ро) — Ро] = — ^θο+π (ро) ·
Заменяя р0 на р, мы получим соотношение (13). Лемма доказана.
Геометрически лемма 1 совершенно очевидна. В самом деле, пусть
Μ о — точка с полярными координатами (θ0, — р0), где ρ > 0, ai-
проходящая через эту точку траектория, и пусть
траектория L пересекает вторично луч ОМ0 (при
увеличении полярного угла θ на 2π) в точке Μt
с полярными координатами (θ0 + 2π, —р4),
Pi>0 (рис. 113). По определению d^{— Po) =
= — Pi — (— Ро) = Ро — Pi- С другой
стороны, М0 и Μι можно рассматривать как
точки с полярными координатами соответственно
<θ0 + π, р0) и (θ0 + π, р4). Но тогда dQo+n (р0) =
= Pi — Ро = — dQo (— Ро)·
Лемма 2. Если существует гх > 0 такое,
что для всех р, 0 <; ρ <г4, de0 (ρ) > 0 (deo (p) <
<0), то существует такое г2 > 0, что для
всех р, 0 < р<г2, do0 (— ρ) < О (соответственно d$0 (— ρ )) > 0).
этому для всех р, 0 <; | ρ |<г = min {r4, г2},
<*θο(ρ)·<*θ0(-ρ)«>.
Рис.
Яо-
(17)
Доказательство,
когда при всех р, 0 <; р<г1?
Для определенности рассмотрим случай,
<ЫР)>0. (18)
В этом случае все траектории системы (2), проходящие через точки
(θ0, ρ), 0<pOi, луча θ = θ0, не замкнуты и являются спиралями,
накручивающимися на фокус 0(0,0) при t ->—оо (§ 10.1). Но тогда
все эти траектории пересекают все лучи θ = const, в частности луч
θ = θ0 -f- π. Функция последования на этом луче / θο_|_π (ρ) = / (θ0 +2π;
θο + π, ρ), а также функция dQo+n (p) =
= /θη-л: (ρ) — Ρ заведомо определены при
всех значениях ρ, 0 < р<г2, где г2 —
некоторое положительное число (рис. 114).
Из неравенства (18) следует, что при
всех р, 0 < р<г2, <2θ0+π (ρ) > 0. А тогда
в силу предыдущей леммы функция do0 (—ρ)
определена при всех р, О <С р<г2, и
отрицательна. Следовательно, при всех р, 0 <
< p<min {ru r2}, dQo (p) dQo (— ρ) < 0.
Лемма доказана.
2. Кратность сложного фокуса.
Фокусные величины. Все дальнейшие
рассуждения опираются на две леммы, кото-
Рис. 114. Рые мы сейчас приведем.
Так же, как в п. 1, мы будем
рассматривать систему (2) и связанное с ней
уравнение (4). Правая часть R (ρ, Θ) уравнения (4) определена при всех θ
и при всех р, | ρ J < ρ*, где ρ* — достаточно малое положительное


252 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ СЛОЖНОГО ФОКУСА [ГЛ. IX
число, и является непрерывной функцией, периодической по θ с
периодом 2π.
Лемма 3. Если система (2) является системой класса iV>l, то
функция R (ρ, Θ) имеет во всех точках области — оо < θ <; оо, 0<
< Ι Ρ I < Ρ* непрерывные частные производные по ρ до порядка N
включительно.
Доказательство леммы 3 не представляет принципиальных
трудностей, но связано с громоздкими вычислениями. Поэтому оно
помещено в дополнении, п. 3.
Следствие. Из леммы 3 следует, в силу КТ, дополнение, § 8.3,
теорема В", что решение уравнения (4), т. е. функция ρ = / (θ; θ0, ρ0),
имеет непрерывные частные производные по р0 до порядка N включительно.
Лемма 4. Частные производные
df за/
д9о ' dpi ' ·
dNf
(19)
рассматриваемые как функции от θ (т. е. при постоянных θ0 и р0),
удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
J ( df \ 0Я(/(6; 60, ро), 6)3/(0; θ0, Ρο)
dB \ др0 ) др др0
d ( e»f \ _ ад (/, θ) ау а»д(/, θ) / of \i
аР dpi "*" dp* I aPo )
^ад(/, θ) ay
*P ар? " . (20>
d ( S*f \
dQ \ др% )
■EZ{Q; θ0, ρο),
^Upfi
ад (/, 0) а*/ а^д
aP
<
аР"
(-&)+···+*
02# а^-1/ 0/
0р2
^"Х
Яро
^(/,θ)^/+^(θ;θθ)ροΓ)
^p ^pS
я/ж начальных условиях
df I
др0 |θ=θο
= 1,
ay
Зр2о
θ=θβ
= 0,
θ=θο
= 0.
(21)
Доказательство. Справедливость соотношений (20) следует
из КТ, дополнение, § 8.3, теорема В". Соотношения (21) непосредственно-
вытекают из тождества (6). Лемма доказана.
В дальнейшем мы положим для простоты, что θ0 = 0 (очевидно, это
не уменьшает общности рассуждений). Для функций /0 (ро) = / (2π; 0, р0)
и ^о (Ро) — /о (Ро) — Ро мы ввели выше обозначения соответственно / (р0)
и d (р0) (см. (9) и (10)). Заметим, что функция /, фигурирующая в
формулах (20) и (21), есть функция трех переменных: / (θ; θ0, ρ0), в то время
как / (р0) — функция одной переменной. Связь между этими функциями
дается формулой (9).
Так как / (θ; θ0, ρ0) имеет непрерывные частные производные по р0
до порядка N включительно, то функции / (р0) и d (p0) непрерывно·
дифференцируемы N раз.
*) Выражения для Е2, Е3у . . ., EN, определяемые формулами (20), мы
подробнее не выписываем. Нетрудно сообразить, какова их структура, и найти их, если
заметить, что каждое последующее из уравнений (20) получается из предыдущего
дифферепцировапием по р0.


$24]
ФОКУСНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
253
Определение 25. Значение 1-й производной функции d (р0)
s точке О, т. е. d^ (0), называется 1-й фокусной величиной фокуса О.
В случае, если (2) есть система класса N, фокусные величины d^> (0),
1 < i < Ν, заведомо существуют.
Лемма 5. Если существует к такое, что
d' (0) = 0, d" (0) = 0, ... , d*-» (0) = 0, d<fc> (0) φ 0, (22)
то к является нечетным числом.
Доказательство. Из соотношений (3) и (4) следует, что
φ == 0 есть решение уравнения (4). Поэтому
/(0) = d(0) = 0. (23)
Применяя к функции d (р0) формулу Маклорена и пользуясь
соотношениями (22) и (23), мы будем иметь
d(Po)=d-^^Pl (24)
где 0 < η < 1. Поэтому, если к — четное число, то при всех достаточно
малых р0, как положительных, так и отрицательных, величина d (p0)
имеет один и тот же знак (совпадающий со знаком к-й фокусной величины
-d(fe> (0)). Но это противоречит лемме 2. Таким образом, к должно быть
нечетно. Лемма доказана.
Определение 26. Если выполняются условия (22), причем
к = 2т + 1, яг > 0, то мы будем говорить, что фокус О (0, 0) является
фокусом кратности т.
В главе IV (§ 10.2) было показано, что первая фокусная величина
d'(0) = e2*f—i. (25)
Если τη = 0, то к = 1, д! (0) Φ 0, а Ф 0. Но тогда фокус О (0, 0)
имеет комплексные, но не чисто мнимые характеристические числа, т. е.
является простым. Напротив, если ттг > 0, то А>3, d! (0) = 0, α = 0
и характеристические числа чисто мнимые, т. е. фокус является сложным
(§ 10.3, определение 16). Таким образом, при ττι>1 мы имеем сложный
фокус кратности т. Заметим, что сложный фокус не всегда имеет
определенную кратность. Именно, если (1) является системой класса Ν, но
не N +1 и если d' (0) = d" (0) = ... = £#*> (0) = 0, то определение 26 теряет
-силу.
В дальнейшем нас будет интересовать только сложный фокус, так
как простой фокус является грубым и при переходе к близким системам
топологическая структура разбиения на траектории в достаточно малой
окрестности его не меняется.
В случае, когда β > 0, фокус является устойчивым, если для всех
достаточно малых положительных р0 d (р0) < 0, и неустойчивым, если
d (ро) > 0 *).
Отсюда и из формулы (24) вытекает, что если к = 2ттг + 1 > 1
удовлетворяет условиям (22), а β > 0, то фокус О является
устойчивым, когда dih) (0) < 0, (26)
и
неустойчивым, когда d(k) (0) > 0. (27)
*) См. § 10.1. При β < 0 d (ро) >0в случае устойчивости и d (p0) <0в случае
ееустойчивости.


254 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ СЛОЖНОГО ФОКУСА [ГЛ. IX
Определение 27. Первая {по порядку) отличная от нуля
фокусная величина сложного фокуса называется ляпуновской величиной.
Другими словами, ляпуновской величиной называется число d^ (0)
при условии, что выполняются соотношения (22) и что &>3. Если
А: = 2/тг + 1, то мы будем называть ляпуновскую величину также т-й
ляпуновской величиной (т>1) *).
Из соотношений (26) и (27) следует, что при β > 0 сложный фокус
является устойчивым (неустойчивым), если его ляпуновская величина
< о (> 0).
3. Вычисление фокусных величин сложного фокуса. Так как нас
интересует теперь только сложный фокус, то мы считаем, что во всех
последующих вычислениях а = 0, т. е. рассматривается система (1).
Как следует из результатов главы IV (§ 10.1, (9) и § 10.2, (23)), в этом
случае
гм^вп ξ0 γ^Αρο)] =1< (28)
L dp Jp=0 L dpo Jp0=°
Для вычисления фокусных величин мы воспользуемся леммой 4.
Введем следующие обозначения:
^Щ%ьЫ^_„ктш t = 1>2,...,№ (29)
(функции Ek определены уравнениями (20)).
Из соотношений (28), (29) и (30) следует, что Ux (θ) = 1, Rx (θ) == О
и что
±- [Ek (θ; 0, р0)]ро=о - Hk (θ) = Rk (θ) + .. ., к = 2, 3, ..., Ν. (31)
Обозначенные многоточием выражения в формуле (31) представляют
многочлен от функций R2 (θ), R3 (θ), . . ., i?A-i (θ) и функций U2 (θ), . . .
. . ., l7A-t (θ).
Положим теперь в уравнениях (20) р0 = 0 и будем последовательно
интегрировать их, как линейные уравнения первого порядка, принимая
во внимание начальные условия (21), а также соотношения
/ (Θ; 0, 0) = 0 и R (0, Θ) = 0
и обозначения (29), (30), (31). Первое из этих уравнений уже
рассматривалось (§ 10.2). Его решение дается формулой (28).
Умножая к-е из уравнений (20) (к = 2, 3, . . ., Ν) на -^- и интегрируя
его, мы получим
θ θ
, $Hi<e)de § -ΙκκθΗΘ
0
*) С логической точки зрения этот термин не является удовлетворительным,
так как каждый сложный фокус имеет только одну ляпуновскую величину. Однако
он удобен тем, что сразу указывает, которой по счету фокусной величиной является
ляпуновская величина.


§ 24] ФОКУСНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 255
В силу формул (28) и (30) Ri(Q) = 0. Поэтому
^[|[]ро=О = С7а^=5Яа(0)^ к^ 3' ■■" Ν· (33)
По определению фокусные величины суть значения производных
функции
d(p0) = f(2n; 0, ро) —Ро
в точке ро = 0. Поэтому, пользуясь формулами (28) и (33), мы получаем
для фокусных величин следующие выражения:
2π
d' (0) - 0, d<ft> (0) = к\ \ Hk (θ) d0, к = 2, 3, ..., TV. (34)
о
Рассмотрим теперь, как выражаются фокусные величины через
правые части Ρ и Q системы (2). Для этого найдем прежде всего выражения
для величин Rk (θ). Система (1) имеет вид
1йГ=—β» + φ(*· V)f 4τ = β* + Ψ(*. У)>
где функции φ и ψ имеют непрерывные производные до порядка N
включительно, причем сами эти функции и их частные производные первого
порядка обращаются в 0 в точке О (0, 0). Как известно (см. дополнение,
п. 2), при любом A, 2<ft<iV, функции φ и ψ могут быть представлены
в виде
ф(*. У)=Р2(х, У)+Рз(х, У)+ · · . +Рн{х. У)+Р*(х, У),
Ψ(*. »)=&(*. y) + Qs(x, y)+ ...+Qk(x, y) + Q*(x, у),
(35)
где Pi (#, у) и Qi (#, у) — однородные многочлены степени i (i = 2, 3, .. ., к), а
k k
Р*= 2 xh-ay*P**{x, у), Q*= Σ *ft-W£(*, у), (36)
a=0 a=0
причем PJ (я, #) и ^* (а:, у) — непрерывные функции, обращающиеся в О
при χ =у = 0.
Рассмотрим функцию R (ρ, Θ). По определению (см. (3) и (4))
ρ ( а\ ~ φ (р cos θ, ρ sin θ) cos θ + ψ (ρ cos θ, ρ sin θ) sin θ ,ън\
β Ι Ψ (Ρ cos θ, ρ sin θ) cocQ φ (ρ cos θ, ρ sin θ) ^ Q ' ^ '
Ρ Ρ
В силу леммы 3 функция R (ρ, θ) имеет непрерывные частные
производные до порядка N включительно по р. Кроме того, R (0, Θ) = 0,
1Г~ - ~®' Поэтому имеет место следующее соотношение, аналогичное
соотношениям (35):
R (ρ, Θ) - R2 (θ) ρ2 + ... + Rk (θ) ρ* + R* (ρ, θ) ρ\ (38)
где Ri (θ), ι = 2, ..., к, вычисляется по формуле (30) ίτ. е. равно
-т.- Щ^-2 ) , а 7?*(р, Θ)—непрерывная функция от ρ и Θ, равная
нулю при р = 0.


256 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ СЛОЖНОГО ФОКУСА [ГЛ. IX
Подставляя в формулу (37) выражения (35) для функций φ и ψ,
мы получим теперь
k
2 pm[Pmcos0 + Qmsin0] + P*cos0 + Q*siiiQ
Λ(Ρ,Θ)= m=2
0 , χι m ч wax л r> · л, , Q* cos θ Ρ* sin θ
β+ 2j Pm~4QmCOs0-Pmsine] + b_
где
Ρ
m=2
Pm = Pm (cos Θ, sin Θ), Qm = <?m (cos Θ, sin Θ),
Pm = Pm(P COS Θ, psin0), <?m = <?m (p COS θ, ρ Sin Θ).
(39)
Обозначим множитель при pm в числителе и множитель при р™""1
в знаменателе последней дроби соответственно через ит (cos θ, sin θ)
и vm (cos θ, sin θ). Далее, в силу соотношений (36)
Р*(рсо8 0, psin0)cos6 + <?*(pcos0, p sin θ) sinQ = pku* (ρ, cos θ, sin θ),
Q* (ρ cos θ, ρ sin θ) cos θ —Ρ* (ρ cos θ, ρ sin θ) sin θ = phv* (ρ, cos θ, sin θ),
где и* (ρ, cos θ, sin θ) и г?* (ρ, cos θ, sin θ) — непрерывные функции от ρ
и θ, обращающиеся в нуль при ρ = 0.
Из соотношений (38)—(40) мы получаем
Л2(0)р2+...+ДА(9)рь + ^*(р, θ)ρ* =
k
2 9тит (cos θ, sin θ) + pku* (p, cos θ, sin θ)
= —*? · (41)
β+ S Vm~~lv™ (cos θ> sin в) + Рк~г»* (p, cos θ, sin θ)
τη=2
Умножая обе части формулы (41) на знаменатель правой части, мы
получим равенство, справедливое при всех (достаточно малых) значениях р,
т. е. тождество. Все входящие в него коэффициенты являются
непрерывными функциями от р, а и* (0, cos θ, sin θ) = Л* (0, θ) = 0. Поэтому,
сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ρ и применяя обычные
соображения, использующие непрерывность, мы получим следующие
соотношения:
u3 = $R3 + v2R2, K ^
uk = $Rk + v2Rk^ + . . . + ib-iД2-
Из них следует, что
^2~Т' 3"1 F ( '
и, вообще,
где
Rm = 4± + Wm, го = 3, 4, ..., к,
г


§ 24] ФОКУСНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 257
Очевидно, Wm выражается через функции ut (cos θ, sin θ) и vt (cos θ, sin θ)
с номерами г, не превышающими т — 1.
Заменяя в формулах (43) и (44) щ и v% их выражениями через Pi
и Qu мы получим
ρ __Pm(cos6, sin θ) cos θ + Qm (cos θ, sin θ) sin θ ТЛ7 //с;ч
rim — g \-VVm \f*d)
(m = 2, 3. ..., &), где Wm выражается через β и через функции
Pi (cos θ, sin θ), Qi (cos θ, sin θ) с номерами i, не превосходящими т — 1.
В рассматриваемом нами случае сложного фокуса (т. е. при α = 0)
первая фокусная величина равна 0. Если JV>2, то вторая фокусная
величина d" (0) = 0 в силу леммы 5. Остальные фокусные величины
d,W (0) вычисляются по формуле (34) с помощью выведенных выше
выражений (45) для Rm (θ). Сопоставим все полученные выше формулы и
сформулируем в виде леммы следствие из них, которое понадобится нам
в дальнейшем.
а) Из формул (28), (20), (30) и (31) следует, что
Я2(в) = Д2(в).
б) Из формулы (31) следует, что при т = 3, 4, ..., N
#т(0) = #т(0) + Фт(Д2(9), ..., #m-i(0), ΜΘ), ..., "m-l(0)),
где Фт есть некоторый многочлен от соответствующих функций.
в) Из формулы (33) и б) следует, что и2 (0) выражается через R2 (θ),
и3 (θ) выражается через R2 (θ) и R3 (θ), . . ., ит (θ) выражается через
Я2(в), Я,(в), .. ., Ят(8).
г) Из б) и в) следует, что
#т(0)=Дт(О) + Ф?Ц#2(е), ..., i?m-l(0)),
где Фт выражается с помощью алгебраических операций и
интегрирования через функцию R2 (0), . . ., i?m-i (θ).
д) Из формулы (45) и из г) следует, что
Я,оч _ Рт (cos θ» sin θ) cos Q + Qm (cos θ, sin θ) sin θ . ^**
m [у) — g г ^m
(m = 2, 3, . . ., fe), где OJf выражается с помощью алгебраических
операций и интегрирования через число β и через функции Pt (cos θ, sin θ),
Qi (cos θ, sin θ) с номерами г, не превосходящими т — 1.
Наконец, из формулы (34) и из д) вытекает следующий нужный нам
результат:
Лемма 6. Пусть в динамической системе класса N
£^=-№ + <¥(*, у)=Р(х, У), ^ = ^ + ^(х,у) = (?(х,у) (А)
функции φ и ψ выражаются формулами (35) и (36), где к — одно из чисел
2, 3, . . ., N. Тогда фокусная величина d<m> (0), т = 2, 3, . . ., /с, может
быть вычислена с помощью формулы
2я 2я
d<->(0) = m! \ ^(cose,Sine)cose+Qm(cose,sine)smerfe + /w! j φ**(θ)£ΖΘ)
о δ
(46)
где функция Фт* (Θ) выражается через число β и че/?<?з функции Pt и Qt
с номерами, не превосходящими т — 1.


258 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ СЛОЖНОГО ФОКУСА [ГЛ. IX
Прежде чем переходить к основной теореме настоящей главы, мы
применим полученные результаты, в частности формулу (46), к
вычислению ляпуновской величины фокуса О (0, 0) измененной системы одного
частного вида.
Пусть (А) — динамическая система класса N (см. предыдущую стр.),
a s — целое число, удовлетворяющее условиям l<s, 2s + l<iV.
Обозначим через (As) динамическую систему
f (A,)
!%- = Q{x,y) + 4* + vv)sv = Q(*,vh
где λ — параметр. Пусть d (р0) — соответствующая системе (As) функция,
аналогичная функции d (р0). Очевидно, точка О (0, 0) является сложным
фокусом системы (As) и d (0) = d (0) = 0.
Лемма 7. Если все фокусные величины фокуса О (0, 0) системы (А)
до (2s + \)-й включительно обращаются в нуль, т. е. если
d' (0) = d" (0) =-- ... = d(2s+1) (0) = 0, (47)
то фокусные величины фокуса О (0, 0) системы (As) до (2s)-u
включительно равны 0, т. е.
S (0) = 3" (0) =..;: = d<2s> (О) = о, (48)
а (2$+1)-я фокусная величина
#ιβ+ι> (0) = (2s + 1)! -^. 2π. (49)
Доказательство. Запишем правые части системы (As) с помощью
формул, аналогичных формулам (35), в виде
Р(х, у) = -$у+Р2 (*, у) +.. · +p2s+i (χ, у) +?* [χ, у),
~ ~ ~ ~ (50)
Q(x, y) = ^x + Q2(xt y)+ ... + <?2*+i(*, V) + Q*(x, У)-
Очевидно,
Pt (χ, у) = Pt {χ, у), Qi {x, у) = Qt (χ, у), (51)
если 2<i<2s + l. Если же i = 2s-\-i, то
Pzs+i (х, У) = P2s+i (х, У) + λ (χ2 + y2)s χ,
~ (52)
<?2*+ι (х, У) = Qzs+ι (х, У) + λ (χ2 + у2)3 у.
Из равенств (51) и формулы (46) вытекает, что при 2<i<2s
3<») (0) = d<*) (0), т. е. 3<*> (0) = 0, в силу (47). Первая фокусная величина
d' (0) = 0, так как 0 есть сложный фокус системы (As). Таким образом,
равенства (48) доказаны.
Для вычисления (2$ + 1)-й фокусной величины мы воспользуемся
формулами (46), (51) и (52). Из них непосредственно следует, что
d<2s+D (0) =
2π
= (2S+1)!\ λ(€082θ + 5ίΓΐ2θ)0Ο52θ + λ(0082θ + 8ίη2θ)8ίη2θ^θ ^g+l)/Q4
Отсюда и из условия d(2s+1) (0) = 0 следует в свою очередь, что
#«»+1>(0) = (2*+1)!у.2я.
Лемма доказана полностью.


§ 24]
ФОКУСНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
259
4. Случай аналитической системы. В этом пункте мы особо
рассмотрим, как вычисляются фокусные величины в случае, когда система (А)
является аналитической. Будем считать, как и раньше, что
рассматриваемый фокус совпадает с началом координат, а система имеет
канонический вид
-*f = ax— $y + y(x, у), -Jf==$x + ay + ty(x,y), (A)
где β > 0, а φ и ψ — аналитические функции.
Очевидно, в этом случае функция R (ρ, Θ), стоящая в правой части
уравнения (4) (см. п. 1), является аналитической функцией θ и ρ в полосе
— oo<0<-foo, [p|<r0, (53)
где г0 — некоторое положительное число. Поэтому она может быть
разложена в ряд по степеням р. Так как в силу формул (3) и (4) R (О, Θ) = О,
то разложение ее в такой ряд имеет вид
R(p, e) = i?1(e)p+i?2(e)p2+... (54)
Заметим, что функция R (ρ, Θ), а следовательно, и функции Rt (θ),
i = l,2, . . ., являются периодическими функциями от θ с периодом 2π.
Как вытекает из известных свойств аналитических функций, существует
такое г1 > 0, что ряд (54) сходится при всех θ, 0<θ<2π, и при всех р,
|p|<rf.
В силу КТ, дополнение, § 8.3, теорема С, решение
Ρ = /(θ;0,ρ0) (55)
уравнения
■ -!· = *(ρ,θ), (4)
удовлетворяющее начальному условию
/ (0; 0, р0) = р0, (56)
является аналитической функцией своих аргументов. Разложим его в ряд
по степеням «начального значения» р0. Так как R (0, Θ) = 0, то ρ == 0
есть решение уравнения (4), и, следовательно, / (Θ; 0, 0) = 0. Поэтому
разложение функции / (Θ; 0, р0) по степеням р0 имеет вид
ρ = /(θ; Ο, Ρο) = ^ι(θ)ρ0 + ^2(θ)ρ?+... (57)
Существует, очевидно, такое r2<.ri, что ряд (57) сходится при всех Θ,
0<θ<2π, и при всех ρ, | ρ |<г2.
Из соотношений (56) и (57) следует, что
Μ0)-1, ы2(0) = и8(0)=...=--0. (58)
Подставляя в уравнение (4) вместо ρ и R их выражения
соответственно (57) и (54) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ра
в правой и левой частях, мы получим следующие рекуррентные
дифференциальные уравнения для коэффициентов ut (θ) (ι = 1, 2, 3, . . .):
!*ί(θ)=Λ|(θ)»ΐ(θ).
«; (θ) =-- Д t (θ) ы2 (θ) + R2 (θ) η» (θ), .
Μ,; (θ) -= i?, (θ) μ3 (θ) + 2i?2 (θ) Μι (θ) μ2 (θ) + /?3 (θ)"? (0), '


260 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ СЛОЖНОГО ФОКУСА [ГЛ. IX
Соотношения (58) можно рассматривать как начальные условия для
функций ut (0), удовлетворяющих дифференциальным уравнениям (59) *).
Принимая их во внимание и последовательно интегрируя уравнения (59),
как линейные относительно соответствующих функций, мы получим:
θ
I Ri(0)d0
Μθ) = *°
θ
][βι(θ)*β j?
u2(Q) = e* J *2(θ)ΜΘ)ίθ,
ο
θ
i*Hi(e)d0 β
Щ (θ) = <?° J [2Д2 (θ) u2 (θ) + R3 (θ) и2, (θ)] d9,
(60)
По определению функция последования / (р0) = / (2π; 0, р0) (см. п. 1,
(9)). Поэтому, полагая в формуле (57) θ = 2π, мы получим выражение
для функции последования в виде ряда:
Р = / (Ро) = Щ (2π) ро + и2 (2π) pj+ ...
Введем обозначения:
Wf (2π) = α^, ί = 1, 2, ...
Тогда
Р = / (Ро) = α,ρο + α2ρ? + ...
(61)
(62)
Из последней формулы и равенства d(p0) = /(p0)—р0 получаются
следующие выражения для фокусных величин:
d'{0) = ai — l = u1{2n)—l, d(ft)(0) = ft! ak = к\ uh(2π) (Ar = 2, 3, ...)■
(63)
Рассмотрим теперь, как выражаются коэффициенты щ через правые
части системы (А). Выражение для первой фокусной величины
d'(0) = e2nT—l
было найдено раньше (см. п. 2, (25)). Следующие фокусные величины
представляют для нас интерес лишь в случае, когда О (0, 0) является
сложным фокусом, т. е. когда а — 0. Система (А) имеет в этом случае вид
4г=-β»+<р (*.»). 4г=Р*+* (*·»>·
Пусть
<f{z,y) = Pi(x,y) + Pt(x,y)+..., t(*. y) = Q2{x, y) + Qt(*, ») + .·.,
(64)
*) Нетрудно видеть, что уравнения (59) получаются из уравнений (20), если
в этих последних положить р0 = 0 и ввести соответствующие обозначения.


§ 24] ФОКУСНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 261
где Pi (χ, у) и Qi (ж, у)— однородные многочлены г-й степени (£ = 2, 3, ...).
Из формул (3), (4) и (64) следует, что
оо
2 9тит (cos θ, sin θ)
R (ρ. θ) = ~~ , (65)
β+ 2j 9m"lvm (cos θ, sinG)
m=2
где
ит (cos θ, sin θ) = Рш (cos θ, sin 0) cos θ + Qm (cos Θ, sin Θ) sin Θ,
a (66)
vm (cos Θ, sin Θ) — Qm (cos Θ, sin Θ) cos θ—Pm (cos Θ, sin Θ) sin θ
(ср. с формулой (39); проводимое здесь вычисление фактически является
повторением вычисления, сделанного в предыдущем пункте для систем
класса Ν).
В силу первой из формул (28) при α = 0
^)=[Τ]Ηβ°· (67)
Поэтому разложение в ряд функции R (ρ, Θ) имеет вид
Л (ft 0) = J?2(0)p* + i?3(O)p3+... (68)
Из равенств (65), (66), (68) получаются так^же, как в предыдущем пункте,
соотношения
и2 = ββ2,
«3=β#3 + ^2ΐ;2,
uk = $Rt + R3v2 + R2v3l
Отсюда
D u3 &Ζν2
и*--р β <
(69)
Подставляя эти выражения в формулы (60), полагая в"них θ = 2π
и пользуясь соотношениями (67) и (63), мы получим значения фокусных
величин. В случае сложного фокуса первая из них d' (0) = 0. Вторая
фокусная величина d" (0) = 2α2 = 0 в силу леммы 5. Заметим, что
равенство ее нулю можно усмотреть и непосредственно, так как
2π
сГ(0)=2а2 = 2 ξ i?2(9)d9.
о
Подынтегральная функция является, как нетрудно видеть, нечетной
периодической с периодом 2π. Поэтому последний интеграл равен нулю.
Вычислим третью фокусную величину сложного фокуса. Мы имеем
d" (0) = 3! а3 = 6 ξ [2R2 (Θ) и2 (Θ) + R3 (θ)] dB.


262 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ СЛОЖНОГО ФОКУСА [ГЛ. IX
Принимая во внимание выражения для R2 (θ) и R3 (θ) через
многочлены Р2, (?2, Рз, (?з и записывая эти многочлены (соответственно второй
и третьей степени) в виде
^2 (я, У) "= «20^2 + duty + а02У2,
Р3 (дг, г/) — а30х* + а21х2у + ai2xy2 + а03у3,
(?2 («, */) = Ь20х2 + Ьцху + Ь02у2,
<?з (*» У) = b30zz + b2ix2y + bl2xy2 + Ь03г/3,
(70)
мы получим после элементарных, но довольно длинных вычислений
следующее выражение для а3:
аз = -"р [3 {а30 + b03) + (ai2 + b2i)] —
— 4β2" Ι2 (^20&20— β02^02) ~ α11 («02 + «2θ) + &11 (^02 + Ь20)]. (71)
В случае, когда α3 =т^ 0, dm (0) = 6α3 является ляпуновской
величиной. Из результатов п. 2 (см. (24), (26), (27)) следует, что если β > 0,
то точка О является устойчивым фокусом при а3 < 0 и неустойчивым
при а3 > 0.
В случае, когда а3 = 0, для решения вопроса о характере
рассматриваемого состояния равновесия (с чисто мнимыми характеристическими
числами) нужно перейти к нахождению а5 (если а3 — 0, то в силу леммы 5
и а4 = 0); в случае, когда и а5 = 0,—к нахождению а7 и т. д. Однако
трудности нахождения этих величин очень быстро возрастают *).
Выражение (71) для а3 выведено в предположении, что система имеет
канонический вид (1). Приведем еще выражение для а3 через
коэффициенты системы, имеющей общий вид
dx
w = ax + by + Р2 (χ, у) -f-Ps (*, У) + - · -.
£ = cz + dy + Q2(z,y) + Q3(z,y)+..., (72)
где Р2, Рз, (?2» Оз определяются формулами (70). Так как О(0,0) есть
сложный фокус, то
a + d = Q, A = ad—bc>0. (73)
Характеристические числа фокуса О равны ± β/, где
β = |/"Δ= + Υ ad - be, (74)
Выражение для α3 через коэффициенты системы (72) выведено в книге
Η. Η. Баутина [18]. Для вывода этого выражения система (72)
подстановкой
о а Ъ
*) Для динамических систем, правые части которых являются многочленами
второй степени, т. е. имеют вид
Ρ (я, у) = ах — $у + а20х*+апху + а02у2,
Q(s, у) = $х + ау + Ъ20Х2 + Ъиху+ЬО2у2,
выражения для величина3, а5, а7 через коэффициенты аи и Ъц вычислены в работе [18].


§24]
ФОКУСНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
263
приводится к каноническому виду:
■§-=-Ρη + ?8(ξ,η) + Ρ,(ξ,η)+...,
4r = K + &(S,Tl) + &(&,i))+... (75)
Выражая а3 по формуле (71) через коэффициенты системы (75) и заменяя
последние их выражениями через коэффициенты исходной системы (72),
мы получим следующую формулу:
а* = ~~ ~Щ? ^ас ί0*11 + αι1&02 + а02ьи) + аЪ (Ь\х + a20bH + анЬ20) +
+ с2 (аиа02 + 2а02&02) — 2ас (&о2 — а2о«ог) — 2afe (а|0 — Ьго&ог) —
— Ь2 (2а20Ь20 + ЬцЬ2о) + (be—2а2) (ЬцЬ02 — «11*20)] ~
— (а2 + Ьс) [3 (сЬоз—Ь^зо) + 2а (а21 + bi2) + (cai2 — bb2i)]} (76)
(см. [18], стр. 29).
Формула (71) является частным случаем формулы (76) и получается
из нее при а = d = О, Ъ = — β, с = β.
Заметим, что формула (76) фактически дает выражение — через
коэффициенты системы (75) — для фокусной величины системы (75), а не
исходной системы (72). Однако это не играет роли при рассмотрении вопросов,
связанных с топологической структурой, так как системы (72) и (75)
получаются одна из другой при помощи неособого линейного
преобразования *).
Заметим, что ляпуновские величины были получены Ляпуновым
при рассмотрениях, отличающихся от изложенных в тексте.
Замечание по поводу случая центра у аналитической динамической
системы. Как известно (см. КТ, § 8.6), если состояние равновесия
динамической системы класса iV>l имеет чисто мнимые характеристические
числа, то оно может быть либо сложным фокусом, либо центром, либо
центро-фокусом. Для аналитических систем случай центро-фокуса не
может иметь места. В самом деле, если система (А) аналитическая, то
соответствующая ей функция d (р0) также является аналитической.
Поэтому либо при достаточно близких к нулю положительных значениях р0
d (р0) сохраняет знак и точка О (О, 0) является сложным фокусом, либо
d (p0) = 0и точка О есть центр. В первом случае по крайней мере одна
из фокусных величин отлична от нуля. В случае же центра все фокусные
величины равны нулю, т. е.
«4 = 1, α2 = α3= ... =0. (72)
Очевидно, условия (72) являются необходимыми и достаточными для
того, чтобы точка О (0, 0) была центром. Таким образом, случай центра
имеет место, когда выполнено бесчисленное множество условий**).
*) Преооразование £ = я, η=—rr χ—я- у является неособым, так как в силу
Ρ Ρ
условий (73) Ъ Φ 0.
**) Подразумеваются условия, каждое из которых требует вычисления одного
числа. Конечно, все эти условия равносильны одному — d (р0) == 0, но последнее
требует нахождения уже не числа, а функции.


264 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ СЛОЖНОГО ФОКУСА [ГЛ. IX
§ 25. Рождение предельных циклов из сложного фокуса
1. Основная теорема.
Теорема 40 (теорема о рождении предельных циклов из
сложного фокуса). Если О (0, 0) есть сложный фокус кратности k (fe>l)
динамической системы (А) класса N^>2k + 1 или аналитического класса, то
1) существуют числа ε0 > 0 и δ0 > 0 такие, что всякая система (А),
Ь ^-близкая до ранга 2к + 1 κ системе (А), имеет не более к замкнутых
траекторий, расположенных в Ueo (О);
4з& 2) для любых ε < ε0 и δ < δ0 существует система (А) класса N или
(соответственно) аналитического класса, Ь-близкая до ранга 2к + 1 к
системе (А) и имеющая к замкнутых траекторий, расположенных в U& (О).
Доказательство. 1) Докажем сначала первое утверждение
теоремы. Без ограничения общности мы будем считать, что
рассматриваемая система (А) класса N или аналитического имеет канонический вид
-§-=-рУ + <Р(*,2/), %г = Рх + Ъ(*,У), (А)
где φ и ψ — функции, обращающиеся в точке О (0, 0) в нуль вместе
со своими производными первого порядка.
Рассмотрим соответствующую системе (А) функцию d (р0) =
= / (2π, 0, р0) — ро (см. § 24.1). Предположим, что она определена при
всех значениях р0, | Ро I < го> ГД£ го — некоторое положительное число.
Как известно (см. § 24.2, следствие из леммы 3), d (p0) является функцией
класса N или (соответственно) аналитического. По условию теоремы
функция d (ро) имеет число 0 своим корнем кратности 2к + 1 (см. § 24.2,
определение 26). Поэтому существуют такие числа ε0 > 0 и σ0 > 0, что
всякая функция d (р0), определенная при значениях р0, | р0 | <С г0 и σ0-
близкая до ранга 2Ϊ + 1 к функции d (р0), имеет в интервале (— ε0, ε0)
не более 2к + 1 корней.
Будем теперь рассматривать измененные системы (А), причем вначале
только такие, для которых точка О (0, 0) является фокусом и которые
имеют канонический вид. Пусть d (p0) — соответствующая системе (А)
функция, аналогичная функции d (р0). В силу теоремы 3, п. 1 дополнения,
существует число δ0 > 0 такое, что если система (А) б0-близка до ранга
2к + 1 к системе (А), то функция d (р0) определена для всех р0, | Ро I < г<ъ
и для этих значений р0 функции d (р0) и d (р0) о0-близки до ранга 2к + 1.
Докажем, что числа δ0 и ε0 удовлетворяют первому утверждению теоремы.
Для доказательства предположим противное, т. е. предположим, что
существует измененная система (А) канонического вида, б0-близкая до ранга
24; + 1 к системе (А) и имеющая более к замкнутых траекторий,
расположенных в Ueo (О). Каждая такая траектория L пересекается с каждым
лучом, выходящим из О, в точности в одной точке (см. КТ, § 8.4, лемма 1).
Пусть pi и р2 — абсциссы точек пересечения траектории L с лучами
соответственно θ = 0 и θ = π. Тогда р4 и р2 являются соответственно корнями
функций d (ρ) = d0 (р)^и dn (ρ), τ. е^ 2 (pt) = 0, dn (pg) = 0. Но в силу
формулы (13) § 24.1 d (— p2) == — Зл (р2)· Поэтому d (— p2) = 0, т. е.
— p2 также является корнем функции d. Очевидно, р4 и — р2 —
различные числа, по модулю меньше ε0. Таким образом, каждой замкнутой
траектории L системы (А), расположенной в Ueo (О), соответствуют два


§ 25] РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ СЛОЖНОГО ФОКУСА 265
корня функции d (ρ), заключенных в интервале (— ε0, ε0). Следовательно,
если система (А) имеет в Ueo {О) больше чем к замкнутых траекторий,
то функция cf (р) имеет по крайней мере 2к + 3 различных корня *),
расположенных в интервале (— ε0, ε0). Но это противоречит выбору чисел
δ0 и ε0. Таким образом, для измененных систем (А), имеющих
канонический вид, первое утверждение теоремы доказано.
Будем теперь рассматривать всевозможные измененные системы (А)
(не только канонического вида). Допустим, что первое утверждение
теоремы не выполняется. Тогда, каковы бы ни были числа ε4 > 0 и 6j > О,
существует бгблизкая до ранга 2к -\- I система (А*), имеющая в Uei (О)
более к замкнутых траекторий. Если ε! и δι достаточно малы, то
существует сколь угодно близкое к тождественному линейное преобразование,
приводящее систему (А) к каноническому виду (А)**). При достаточно
малых ει и 6i система (А) будет 60-близка к системе (А) и будет иметь
в Ueo {О) больше чем к замкнутых траекторий, получающихся из
замкнутых траекторий системы (А*), расположенных в t/8l (О), указанным
линейным преобразованием, но это противоречит только что полученному
результату. Таким образом, первое утверждение теоремы доказано
полностью.
2) Переходим к доказательству второго утверждения. С этой целью
рассмотрим измененную систему специального вида
dx ~
~Jf = Ρ ix"> У* λο4λι, . . ., Afc-i) =
-^ =--#(*■ If, λο,λ!, ...,λΑ-!)= (Α)
При достаточно малых Xt система (А), очевидно, сколь угодно близка
к системе (А) до любого (возможного) ранга и принадлежит тому же
классу, что и (А). Точка О является для системы (А) состоянием равновесия.
При этом, так как линейные части функций Ρ и Q равны соответственно
λ0χ — §у и §х -f λ0#, то состояние равновесия О (О, 0) является для
системы (А) фокусом при λ0 φ 0 и фокусом, центром или центро-фокусом
при λ0 — 0. Обозначим через
d (ро» λο, λι, ..., Xk-i)
функцию, соответствующую системе (А) и аналогичную функции d (p0).
Очевидно, d является непрерывной функцией р0 и параметров λ0, λ1? . . .
. . ., λΑ-!. Так как система (А) получается из системы (А) при λ0 = Xt =
= . . . = λΛ-! = 0, ТО
d (Po, 0, 0, ..., 0) в d (ро). (1)
*) Так как 0 также является корнем этой фупкцпи.
**) Это можно доказать так же, как лемму 1 § 9.1. В этой лемме доказывалось
аналогичное утверждение для седла. В случае фокуса надо еще воспользоваться тем,
/α + βί 0 \ /а — β\
что переход от матрицы I ' г _а ·) к матрице I о I осуществляется
ным преобразованием с матрицей ( . J .


266 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ СЛОЖНОГО ФОКУСА [ГЛ. IX
Для любых ε > 0 и δ > 0 существуют λ* > 0 и г* > 0, г* < г0 *),
такие, что если
|λ*|<λ*, i = 0, l, 2, ...,Λ-1, (2)
то
1) система (А) δ-близка до ранга 2к + 1 к системе (А);
2) функция d (ро, λ0, λ4, . . ., λΑ_!) определена для всех р0, I Ро I < г0,
и всякий ее корень, удовлетворяющий неравенству | р0 | < г*,
соответствует замкнутой траектории системы (А), целиком лежащей в Ueo (О).
Мы будем считать, что выбираемые в дальнейшем числа λί? i = 0, 1,
2, . . ., к — 1, удовлетворяют условию (2).
Покажем, что при надлежащем выборе значений параметров λ0, λ4,
λ2, . . ., λΑ_! система (А) имеет в иг (О) к замкнутых траекторий.
По формуле Маклорена при всех достаточно малых р0
*<Ро)=|вд^+1+*(Ро)Р§к+1. (3)
где h (р0) — непрерывная функция и h (0) = 0 (см. доказательство
теоремы 5, § 1.3).
По условию теоремы d(2ft+1) (0) Φ 0. Пусть для определенности
^(2fe+i) (0) > 0. Тогда при всех достаточно малых положительных
значениях р0 d (ро) > 0. Выберем одно из таких значений, меньшее чем г*,
обозначим его через г^ и зафиксируем. Таким образом,
0<r1<r*f d(r1)=d(r1>0,0f ...,0)>0. (4)
Положим теперь, что
λ0 = λχ = . . . = Xk-2 = 0> λή-! φ 0,
и рассмотрим соответствующую этим значениям параметров измененную
систему
±%- = Р(х,у,0,0, ...,0, λ*_,) =/>(*, y) + Xh-i (x* + y*)k~*x,
, _ (А,)
-Jf = <? («, У, 0, 0, ..., 0, λ*_,) = Q (χ, у) + λ*-, (*· + г/2)*"11/
и соответствующую функцию с?! (р0) = d (р0, 0, 0, . ..,0, λ^-ι). В силу
леммы 7 предыдущего параграфа
rfi (0) = 5ϊ (0) = = 5'<12fe-2) (0) = 0, ?(12ή-1)(0) = (2Α:-1)!^ί-2π, (5)
и по формуле Маклорена при всех достаточно малых р0
5Ί (Ро) —^ Ро26"1 + и (Ро) Pi""1- (6)
где hi (ро) — непрерывная функция и fet (0) = 0.
Предположим для определенности, что β>0, и выберем λ^ так,
чтобы удовлетворялись условия
| λΑ-41 < λ*, λΑ_, < 0, dt (rt) = d{ru 0, 0, ..., 0, Xft-i) > 0. (7)
Последнее из этих условий удовлетворяется при любом достаточно малом
значении %h-i в силу (4) и непрерывности функции <2(р0, λ0, λι, ..., λ^-i).
*) По оцределению rQ > 0 есть число, обладающее тем свойством, что при | р0 | <
<С г0 функция d (ро) определена.


§ 25] РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ СЛОЖНОГО ФОКУСА 267
Из условий β>0, λΑ_!<0 и из формулы (6) следует, что при всех
достаточно малых положительных значениях р0 dx (p0) < 0. Выберем одно
из таких значений, меньшее чем гь и обозначим его через г2. Таким
образом,
0<г2<г1<г* (8)
и
^(г,)>0, ί,(Γ2)<0. (9)
Дальнейшее построение проводится вполне аналогично*). Именно
рассматривается система
ff = Ρ (χ, у) + Xh.2 (χ* + if)k~* χ + λ*.* (χ' + у»)*"1 χ =
# = $(*.») + Κ-2 (*2 + if)*"2 у + λΛ-! (χ2 + у2)4'1 у -=
= Ρ(Χ, I/, 0, . . ., 0, λΑ-2ι λΑ-ι), ~
(Α2)
,— П{<г ιΛ_1_1. . ί<*·2 _ΐ_ „2\κ-2 „ _i_ 1 . . /-ν-2 _±_ 7,2\ft-l „ __
= 5 (ж, jf, 0, ..., 0, λ^_2, λΛ_ι),
являющаяся измененной как по отношению к системе (А), так и по
отношению к системе (А4), и соответствующая ей функция
d2 (Ро) = ^(Ро» 0, 0, ..., 0, λΑ_2, λΑ-ι)·
Из соотношений (5) и леммы 7 предыдущего параграфа следует,
очевидно, что
dH0) = dH0)=...=^2*-4)(0) = 0, di2k-s\0) = (2k-3)\^2n. (10)
Поэтому при всех достаточно малых значениях р0
d2 (ро) =-^ 2πρ§*-« + А2 (ро) р02"-3, (11)
где h2 (ро) — непрерывная функция и й2(0) = 0. Выберем λΑ_2 так, чтобы
удовлетворялись условия
|λ*-2|<λ*, λΑ_2>0, d2(r1)>0> <Г2(г2)<0. (12)
Из формулы (11) следует, что тогда при всех достаточно малых
положительных значениях р0 d2 (p0) > 0, и мы можем найти такое г3, что
0<г3<г2 (13)
и
d2(r3)>0. (14)
Продолжая аналогичное построение, мы получим систему
£ = Р(х, у, 0, λ4, ..., λΑ-4) =
= Ρ (χ, у) + λ, (χ2 +1/2) χ + ... + λΑ-4 (χ* + у*)1*'1 χ,
~==Q(x,y,0,Xu ...Ди)= (Α&"ι}
= Q{z,y) + h(a* + y*)y+...+Kk-i(x* + y*)y
и числа г4, /*2, ..., га-!, га такие, что |λ^|<λ*,
0<^а<^а-1<... <г2<г1<г* (15)
*) Сравните с доказательством леммы 1 § 1.3.


268 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ СЛОЖНОГО ФОКУСА [ГЛ. IX
^ ~ ~ \ > О, если к нечетно,
*-, (г,) > 0, d^ (г2) < 0, ..., d„ (rk) j < 0) есди k qeTHo< (16)
(А»)
Переходя от нее к системе
^- = Ρ (ж, #, λ0, λ4, ..., λΑ-4) = Ρ (ж, #, 0, λ4, ..., Xft_i) + λ0χ,
-^■ = Q(X, уЛоЛи · , λΑ-!) = Q (Χ, У, 0, λ1? . . ., λΑ-j) + λ0Ζ/,
выберем число λ0 настолько малым, чтобы выполнялись условия
|λ0|<λ*, 5а(г4)>0, 2*(г2)<0, ...,?ft-i(rA)^0 (17)
и условие
;0, если Λ нечетно,
^(°М>0, если Счетно. | <18>
В силу формулы (25) § 24.2 для первой фокусной величины
d'k(0)=e β-1·
Поэтому, чтобы удовлетворялось условие (18), надо выбрать λ0
отрицательным, если к нечетно, и положительным, если к четно. Очевидно, что если
при таком выборе λ0 число rk+i > 0 достаточно мало, то
_ ] < 0, если к нечетно,
dk(rk+1) ]>0> есди feqeTH0> (19)
Будем считать, кроме того, что rk+i < rk. Все выбранные нами числа
%tJ i = 0, 1, 2, . . ., к —- 1, по модулю меньше λ*. Поэтому в силу условия
1), наложенного на λ*, построенная нами система (Ah) δ-близка до ранга
2к + 1 к системе (А). Далее, в силу условий (17) и (19) и в силу
непрерывности функции dft, между г4 и г2, г2 и г3, . . ., rk и rft+i имеется по
крайней мере по одному корню функции dk (p0). Следовательно, эта
функция имеет по крайней мере к различных положительных корней, меньших
чем г*. В силу условия 2) относительно г*, каждому из этих корней
соответствует замкнутая траектория, целиком лежащая в Ue (О). Если ε < ε0
и δ < δ0, то Ue(0) a Ueo (О), ив силу первого утверждения теоремы
система (Aft) не может иметь более к различных замкнутых траекторий»
расположенных в UBQ (О). Теорема доказана полностью.
Замечание. При доказательстве первого утверждения теоремы
40 числа ε0 и δ0 нужно выбрать настолько малыми, чтобы всякая система
(А), б0-близкая к системе (А), имела в Ζ7εο (О) только одно состояние
равновесия, являющееся при этом фокусом. Тогда можно говорить о
существовании у системы (А) функции последования и функции d. Говоря
в дальнейшем о числах ε0 и б0, мы будем всегда предполагать, что это
условие выполняется. Кроме того, если δ0 достаточно мало, то в
окрестности Ut0 (О) движение точек по траекториям системы (А) при возрастании t
происходит в одном и том же направлении (в смысле часовой стрелки).
В самом деле, приводя систему (А) к каноническому виду с помощью
преобразования, близкого к тождественному, т. е. сохраняющего
ориентацию, мы получим систему


§ 26] РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ СЛОЖНОГО ФОКУСА 269
Число β мало отличается от β и имеет, следовательно, такой же знак,
как β. А это и обеспечивает совпадение направлений вращения. Мы будем
в дальнейшем предполагать, что указанное условие также выполняется.
2. Бифуркации динамической системы в окрестности сложного
фокуса. Следующая теорема является усилением второго утверждения
теоремы 40. Она играет вместе с теоремой 40 основную роль в вопросе
0 бифуркациях динамической системы в окрестности сложного фокуса.
Теорема 41. Пусть О (0, 0) — сложный фокус кратности к
динамической системы (А) класса N>2k + 1 или аналитического класса, а
ε0 и δ0 — положительные числа, определяемые первым утверждением
теоремы 40 и сделанным выше
замечанием к ней. Тогда
1) для любых ε и δ, 0 <
< ε < ε0, 0 < δ < δ0, и для
любого s, 1 <$<&, существует
система (В) класса N (или
соответственно аналитического), δ-
близкая до ранга 2к + 1 κ
системе (А) и имеющая в Us (О)
в точности s замкнутых
траекторий;
2) если система (В)80-близ-
ка до ранга 2k + i к системе (А)
и имеет β UBo (О) к предельных
циклов, то все эти циклы,
а также фокус системы (В),
лежащий в Ueo (О), являются
грубыми (простыми).
Доказательство.
Докажем сначала первое
утверждение теоремы. Пусть
1 < s < k (при s = к это
утверждение совпадает со вторым утверждением теоремы 40). При
доказательстве теоремы 40 мы строили последовательно системы (А^, (А2), . . .
. . ., (Ад-!), (Aft). Очевидно, их можно считать δ-близкими до ранга
2fe + 1 к системе (А).
Рассмотрим систему (As). По построению для нее
Рис. 115.
% (0) = d"s (0) = ... = d<2*-2»> (0) = 0, d<2ft-2s+1) (0) φ 0
(20)
d* (rt) > 0, ds (r2) < 0, ..., ds (rs+l)
> 0 при s четном,
<0 при s нечетном
(21)
(см. доказательство теоремы 40). Из условия (21) следует, что система (А$)
имеет в Uг (О) по крайней мере s замкнутых траекторий. Допустим, что
она имеет в Uъ (О) s + 1 замкнутую траекторию Lx, L2, . . ., Ls+i. В силу
условий (20) точка О (0, 0) является для системы (As) сложным фокусом
кратности к — s. Пусть V и W — окрестности точки О такие, что
W с= V a Uε (О), причем окрестность V лежит внутри всех траекторий Lt
(i = 1, 2, . . ., s + 1). Эти траектории «концентричны» (рис. 115).


270 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ СЛОЖНОГО ФОКУСА [ГЛ. IX
По теореме 40 существует сколь угодно близкая к (As) до ранга 2к + 1
система (А*) класса N, имеющая в W к — s замкнутых траекторий Ь8+2г
Ls+3, . . ., Lk+i. Но тогда, пользуясь такой же конструкцией, как в
доказательстве леммы 2 § 15.2, можно построить систему (А) класса N, сколь
угодно близкую до ранга 2к + 1 к системе (As) и совпадающую с
системой (As) вне окрестности V и с системой (А*) внутри W. Систему (А),
очевидно, можно считать б0-близкой к системе (А) до ранга 2к + 1, и она
имеет в U£o (О) по крайней мере к + 1 замкнутую траекторию Lt (i = 1,
2, . . ., к + 1). Но это противоречит теореме 40. Таким образом, система
(As) имеет в Uε (О) в точности s предельных циклов, т. е. первое
утверждение теоремы доказано *).
Предположим теперь, что система (В) б0-близка до ранга 2к + 1
к системе (А) и имеет в 17εο (О) к предельных циклов, причем по крайней
мере один из них является негрубым. Тогда, меняя систему только в
окрестности этого цикла (опять с помощью конструкции леммы 2 § 15.2),
мы придем к системе, близкой к (А) и имеющей в U4 (О) более к
замкнутых траекторий, чего не может быть. Точно так же приводится к
противоречию допущение, что фокус системы (В), лежащий в ίΐεο (О), является
сложным. Теорема доказана.
Теоремы 40 и 41 позволяют сделать важные выводы в возможных
бифуркациях динамической системы в окрестности ее сложного конечно-
кратного фокуса. В самом деле, рассмотрим fe-кратный фокус О (0, 0)
динамической системы (А) (к>2). Пусть ε0 и δ0 — достаточно малые
числа (определенные теоремой 40 и замечанием к ней), а V — окрестность
точки 0, ограниченная циклом без контакта Г, Fc U&0 (О). Выберем
б, 0 < δ < δ0, настолько малым, чтобы выполнялось следующее условие:
если система (А) δ-близка к системе (А), то кривая Г остается для (А)
циклом без контакта и система (А) имеет в V только одно состояние
равновесия О, являющееся фокусом. В силу теорем 40 и 41 система (А), δ-близ-
кая до ранга 2к + 1 к (А), может иметь в V не более к предельных циклов,
причем существуют системы (А), имеющие в V в точности s предельных
циклов, где s — любое число, l<s<&. Эти предельные циклы
расположены «концентрически» и содержат фокус О внутри себя. Обозначим их
через L4, L2, . . ., Ls, причем будем считать, что цикл Lt лежит внутри
Li+i (i = 1, 2, . . ., 5—1). Очевидно, топологическая структура системы
(А) в окрестности V полностью определяется характером устойчивости
фокуса О, числом s предельных циклов, лежащих в V, и характером их
устойчивости. При этом, если характер устойчивости фокуса О известен,
то относительно каждого из циклов Lt достаточно только знать, является
он полуустойчивым или нет**). В § 12 мы ввели понятие кратности
предельного цикла***) и показали, что четнократный цикл является
полуустойчивым, а нечетнократный — либо устойчивым, либо неустойчивым (это
вытекает из формул § 12.3 (8) и § 12.4 (И)). Следовательно, топологиче-
*) В случае, если (А) — аналитическая система, (AJ тоже аналитическая.
**) Если, например, фокус О устойчив, то цикл Li может быть либо
неустойчив, либо полуустойчив (неустойчив изнутри и устойчив снаружи). В первом случае
цикл L2 может быть либо устойчив, либо нолуустойчив, во втором же — либо
неустойчив, либо полуустойчив и т. д.
***) В § 12.3 определение кратности предельного цикла дано для
аналитических систем. В точности такое же определение для систем класса N дается в главе X
(§ 26.2, определение 28).


§ 25] РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ СЛОЖНОГО ФОКУСА 271
екая структура динамической системы (А) в окрестности V полностью
определена, если известны:
а) характер устойчивости фокуса О;
б) число $ предельных циклов системы (А), лежащих в V;
в) каким является каждый из этих циклов — четнократным или
нечетнократным.
Так как s<!&, то очевидно, что у систем (А) существует лишь
конечное число различных топологических структур в окрестности V. Другими
словами, система (А) в окрестности конечнократного фокуса может
испытывать лишь конечное число различных бифуркаций *).
Ставя в соответствие устойчивому (неустойчивому) фокусу знак -f
(—), а четнократному (нечетнократному) циклу число 0 (1), мы можем
перечисленные выше сведения а), б), в) задать схемой вида
+ ,1, 1,0, 1,0,0... 0, 1,0,
где число единиц и нулей равно s. Каждой системе (А), δ-близкой до ран-
га 2/с + 1 к системе (А), соответствует вполне определенная схема такого
вида. Мы не останавливаемся на вопросе о том, для всякой ли схемы
такого вида существует сколь угодно близкая к (А) система, соответствующая
этой схеме. Заметим только, что в силу теорем 40 и 41 существуют сколь
угодно близкие к (А) системы, схемы которых содержат к единиц.
3. Бифуркации в окрестности сложного однократного фокуса. В этом
пункте мы рассмотрим один специальный случай, часто встречающийся
в приложениях. Пусть
dr
ж = а(Х)х + Ъ(Х)у + <р(х, у, λ) = Ρ(χ, у, λ),
du (А*)
%=c(X)z + d(X)y + y(z, у, X) = Q(x, у, λ)
— динамическая система, зависящая от параметра λ. Мы будем
исследовать бифуркации этой системы, возникающие при изменении параметра λ
в окрестности состояния равновесия О (0, 0) в случае, когда О является
сложным однократным фокусом. Для простоты будем считать, что
бифуркационным значением параметра является λ = 0. Пусть
σ(λ)=α(λ)-Μ(λ), (22)
α (λ) 6(λ)|
Δ (λ)
Тогда
с (λ) d (λ)
(23)
σ(0) = 0, (24)
Δ(0)>0. (25)
Для того чтобы выяснить характер устойчивости сложного фокуса
О (0, 0) системы (А0), удобно поступить так же, как мы поступали в конце
§ 24 с системой (72), т. е. привести систему (А0) преобразованием
t α(°) b(°) /о*ч
ъ ι 1/Δ(0) Т/А(0Г v ;
*) Подчеркнем, что в случае fc-кратного фокуса близость систем рассматривается
до ранга 2к + 1.


272 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ СЛОЖНОГО ФОКУСА [ГЛ. IX
к каноническому виду
§-« -УТЩц + уЦ, η), ^- = УА(Р)1 + Ц(1, η). (27)
Так как (26) есть неособое преобразование, то точка О остается сложным
однократным фокусом и для системы (27), причем такой же устойчивости,
как для системы (А0). Поэтому третья фокусная величина фокуса О
системы (27) отлична от нуля, т. е. является ляпуновской или первой ляпуновской
величиной фокуса О (см. § 24.4, определение 27). Мы обозначали эту
величину через 6а3 (§ 24.2, (63)). Формула (76) § 24 дает выражение
величины а3 через коэффициенты исходной системы (А0), поэтому
преобразование (26) фактически производить не надо. Мы показали (§ 24.2, (26), (27)),
что если а3 < 0, то О является устойчивым фокусом (системы (27), а
следовательно, и системы (А0)), а если а3 > О, то неустойчивым.
Пусть V — достаточно малая окрестность точки О, ограниченная
циклом без контакта Г системы (А0) и не содержащая замкнутых
траекторий этой системы и состояний равновесия, отличных от О.
Пусть δ0 > 0 настолько мало, что всякая система (Αχ), для которой
| λ | < δ0, обладает следующими свойствами:
а) кривая Г является для нее циклом без контакта;
б) система (Αχ) не имеет в V состояний равновесия, отличных от
точки О;
в) точка О является фокусом системы (Αχ);
г) система (Αχ) имеет в V не больше одной замкнутой траектории.
Выполнимость первых трех условий при достаточно малом δ0
очевидна. Условие г) выполняется в силу того, что О есть однократный фокус
системы (А0), и поэтому близкие системы не могут иметь в малой
окрестности такого фокуса более одной замкнутой траектории (по теореме 40).
Из условия а) следует, что траектории всех систем (Αχ) (| λ | < δ0)
при возрастании t либо все одновременно входят внутрь кривой Г, либо
все одновременно выходят из нее.
Мы будем считать, что при переходе через бифуркационное значение 0
параметра λ величина σ (λ) меняет свой знак, т. е. фокус О меняет
устойчивость. Это условие заведомо выполняется, если σ' (0) Φ 0.
Перейдем к рассмотрению возможных случаев:
1) а3 < 0. Мы будем предполагать, что при переходе λ через
бифуркационное значение 0 величина σ (λ) меняет знак с минуса на плюс. В
случае, когда о' (0) Φ 0, это выполняется
при возрастании λ, если σ' (0) > 0;
при убывании λ, еслж σ' (0) < 0.
Так как а3 < 0, то при λ = 0 фокус О является устойчивым фокусом
системы (А0). Поэтому все траектории системы (Αχ) при возрастании t
входят внутрь цикла без контакта Г. При σ (λ) < 0 точка О является
устойчивым фокусом систем (Αχ). В силу теорем 40 и 41 система (А^) имеет
в окрестности V не более одного предельного цикла, причем если такой
цикл существует, то он является простым, т. е. либо устойчивым, либо
неустойчивым. Ясно, что при σ (λ) < 0 такого цикла нет. В самом деле,
если такой цикл имеется, то он должен быть устойчивым снаружи и
неустойчивым изнутри, т. е. он не является простым. Таким образом,
мы показали, что если а3 < 0 и σ (λ) < 0, то система (Ад,) не имеет в V
предельных циклов.
Наоборот, если σ (λ) > 0, то О является неустойчивым фокусом
системы (Αχ). Но тогда в силу соображений, аналогичных изложенным выше,


§25] РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ СЛОЖНОГО ФОКУСА 273
Рис. 116. а3 < 0, σ' (0) > 0. α) λ <0 —
устойчивый фокус, λ = 0 — сложный устойчивый фокус;
б) λ > 0 — неустойчивый фокус, устойчивый цикл.
внутри V существует единственный предельный цикл L\ системы (Αχ),
причем этот цикл является простым устойчивым. Нетрудно показать,
что если число λ достаточно мало, то цикл L% расположен сколь угодно
близко к О,
Таким образом, получаются следующие результаты. Если а3 < 0
и σ' (0) > 0, то при малых отрицательных значениях λ и λ = 0 система
(Αχ) не имеет в окрестности
V предельных циклов и
фокус О является для нее
устойчивым. При переходе
же через бифуркационное
значение параметра λ (т. е.
при λ > 0) фокус
становится неустойчивым, а в
окрестности V возникает
устойчивый предельный цикл
(рис. 116).
Очевидно, если мы
будем изменять λ в
противоположном направлении,
т. е. переходить от
положительных знаиений λ к
отрицательным, то
имеющийся в окрестности V устойчивый предельный цикл будет стягиваться
к фокусу О и в момент λ = 0 он исчезнет, а фокус изменит свою
устойчивость.
При дальнейшем убывании λ фокус остается устойчивым и
топологическая структура в окрестности V не меняется.
Если а3 < 0, о' (0) < 0, то устойчивый предельный цикл рождается
при переходе λ от положительных значений к отрицательным и, наоборот,
исчезает, когда λ, возра-
/" ^"" "\' стая, обращается в нуль.
2) а3 > 0.
Исследование проводится в точности
так же, как в предыдущем
случае. Результаты
получаются следующие.
Если а3 > 0 и о' (0)>0,
то при малых
отрицательных значениях λ точка О
является устойчивым
фокусом системы (Αχ) и
система имеет в окрестности
V один неустойчивый
предельный цикл. При
возрастании λ этот цикл
стягивается к точке О, и в бифуркационный момент λ = 0 он исчезает, а
фокус О становится неустойчивым. При дальнейшем возрастании λ фокус О
остается неустойчивым и топологическая структура системы в окрестности
V не меняется (рис. 117).
Если а3 > 0 и σ' (0) < 0, то неустойчивый предельный цикл
рождается при переходе λ к положительным значениям и, наоборот, исчезает,
когда λ, убывая, обращается в нуль.
Рис. 117. а3 > 0, & (0) > 0. α) λ < 0 —
устойчивый фокус, неустойчивый цикл; б) λ = 0 —
сложный неустойчивый фокус, λ >· 0 — неустойчивый
фокус.


274 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ И31СЛОЖНОГО ФОКУСА ГГЛ. IX
Все полученные выше результаты мы сопоставим в виде следующей
таблицы:
α3<0, σ'(0)>0
а3<0, σ'(0)<0
а3>0, σ'(0)>0
«з>0, σ'(0)<0
λ<0
Фокус устойчив,
цикла нет
Фокус неустойчив,
цикл устойчив
Фокус устойчив,
цикл неустойчив
Фокус неустойчив,
цикла нет
λ = 0
Фокус устойчив,
цикла нет
Фокус устойчив,
цикла нет
Фокус неустойчив,
цикла нет
Фокус неустойчив,
цикла нет
λ>0
Фокус неустойчив,
цикл устойчив
Фокус устойчив,
цикла нет
Фокус неустойчив,
цикла нет
Фокус устойчив,
цикл неустойчив
Проведенное исследование показывает, что при изменении λ фокус
меняет свою устойчивость в том случае, когда из него рождается или
когда в него стягивается предельный цикл. При этом из устойчивого
фокуса рождается устойчивый цикл, а из неустойчивого — неустойчивый.
Таким образом, при рождении цикла из фокуса появляется цикл той же
устойчивости, какой был фокус, а устойчивость фокуса меняется.
Напротив, при исчезновении цикла (когда он «поглощается» фокусом) фокус
приобретает такую устойчивость, какую имел исчезнувший'цикл.
Очевидно, аналогичная картина имеет место не только в рассматриваемом случае
(однократного фокуса), а всегда, когда из фокуса рождается или фокусом
поглощается цикл определенной устойчивости (т. е. не полу устойчивый).
Пример 9. Рассмотрим систему
ТГ = У> ^"Ζ + ^ + β^ + Υ^ + δ*2 (28)
при малых значениях параметра λ *). Эта система имеет два состояния
равновесия. Мы исследуем состояние равновесия О (О, 0).
λ
Характеристическое уравнение к2—Хк + 1 = 0 имеет корни Α = γ±
-τ 1. Поэтому при малых значениях λ точка О (0, 0) есть фокус,
устойчивый при λ < 0 и неустойчивый при λ > 0.
В данном случае σ (λ) = λ, т. е. σ' (λ) = 1. Для вычисления
величины а3 воспользуемся формулой (76) § 24.4, полагая в ней
а = 0, 6 = 1, с=— 1, d = 0, δ2ο = δ, bu = P, b02 = y, ]/Δ~=1.
Мы найдем, что α3 = π/4 β (γ +6). Из соотношения σ' (0) > 0 и из
приведенной выше таблицы следует, что если β (γ + δ) < 0, то при λ^0
фокус О (0, 0) устойчив и в окрестности его предельных циклов нет. При
переходе же к положительным значениям λ из фокуса рождается
устойчивый предельный цикл, а сам фокус становится неустойчивым.
Если β (γ + δ) > 0, то при λ < 0 фокус О (0, 0) является устойчивым
и в окрестности его имеется неустойчивый предельный цикл. При
возрастании λ он стягивается в точку и в момент λ = 0 исчезает. В этот момент
фокус О становится неустойчивым. При λ > 0 топологическая структура
в окрестности точки О такая же, как при λ = 0.
*) Система (28) представляет интерес для теории автоколебаний. Ее
исследование проведено в заметке Η. Η. Баутина [20].


ГЛАВА X
РОЖДЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ ИЗ СЛОЖНОГО
ПРЕДЕЛЬНОГО ЦИКЛА
Введение
Настоящая глава полностью аналогична предыдущей («Рождение
предельных циклов из сложного фокуса») как в отношении применяемых
в ней методов, так и по результатам. Она непосредственно примыкает
к главе V («Замкнутые траектории») и может рассматриваться как ее
продолжение. Так же, как в главе V, основную роль играет рассмотрение
функции последования / (тг) на нормали к предельному циклу L0 и функции
d (η) = / (η) — тг. В главе V было показано, что если d! (0) Φ 0, то
предельный цикл L0 системы (А) является грубым, если же в! (0) = 0, то
он является негрубым и существуют сколь угодно близкие к (А) системы,
имеющие в сколь угодно малой окрестности цикла L0 по крайней мере
две замкнутые траектории.
В настоящей главе рассматривается не только первая производная
d' (0), но и значения последующих производных функций d (тг) в точке О,
и это позволяет получить более тонкие результаты относительно рождения
замкнутых траекторий из сложного предельного цикла.
Глава X состоит из двух параграфов — 26-го и 27-го. § 26 хотя и
очень важен для дальнейшего, но является, по существу, вспомогательным.
В основном он посвящен выводу выражений для производных функций
последования через правые части Ρ и Q динамической системы. Кроме
того, в § 26 вводится понятие кратности предельного цикла (определение
28, § 26.2). Именно, предельный цикл L0 называется г-кратным
предельным циклом, если выполняются условия
d* (0) = d" (0) = ... rfC-υ (0) = 0, dfr) (0) φ 0. \
В § 27 излагаются основные теоремы о рождении замкнутых траектории
из сложного предельного цикла (теоремы 42 и 43). Теорема 42 аналогична
теореме 40 (о рождении замкнутых траекторий из сложного фокуса)
и заключается в следующем: если L0 есть сложный предельный цикл
кратности к динамической системы (А), то достаточно близкие к (А)
системы не могут иметь в достаточно малой окрестности цикла L0 более к зам·*
кнутых траекторий. С другой стороны, существуют сколь угодно близкие
к (А) системы, имеющие в сколь угодно малой окрестности цикла Le
в точности к замкнутых траекторий. В отличие от случая fe-кратного
фокуса, где требуется близость до ранга 2к + 1, здесь нужно брать
близость до ранга к. В теореме 43 показывается, что если L0 есть А-кратный
предельный цикл, a s — произвольное целое число, l<[5<[fe, то
существуют сколь угодно близкие к (А) системы,' имеющие в сколь угодно
малой окрестности траектории L0 в точности s предельных циклов:*


276 РОЖДЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ ИЗ СЛОЖНОГО ЦИКЛА [ГЛ. X
Из теорем 42 и 43 вытекает, что в окрестности конечнократного
предельного цикла динамическая система может испытывать лишь конечное число
различных бифуркаций. Эти бифуркации нетрудно описать.
§ 26. Выражения для производных функций исследования.
Кратность предельного цикла
1. Выражения для производных функций доследования. Пусть
£=*<*.»>. % = Qbv) (А)
— динамическая система класса iV>l или аналитическая, L0—ее
замкнутая траектория,
* = <Р(*), У = *(0 (1)
—движение, соответствующее этой траектории, т>0—период
функций φ и ψ.
Рассмотрим описанную в главе V (§ 13.1) окрестность Ω
траектории L0 и введенные в ней криволинейные координаты s и п,
определенные соотношениями
3=φ(β> η), ρ = ψ(*, η), (2)
где _
Φ(*ι n) = ff(s) + n^'(s)9 i|)(s, Λ)=-ψ(5) — η-φ'(s). (3)
Функции φ и ψ рассматриваются при этом в полосе
— оо<5< + оо, — δ<η<δ, (4)
где δ—достаточно малое положительное число.
Свойства отображения (2) и функций (3) изложены в главе V (§ 13.1),
и мы не будем повторять их здесь.
Переходя в системе (А) к переменным s и η с помощью формул (2),
мы получим систему
ds Ρ(ψ> ·ψ)·ψ;— Q(?. Ψ)·φ; dn <?(φ.ψ)·φ;—*(φ". Ψ)·*;
(5)
(6)
dt Δ (sy η) ' dt Δ (s, λ)
где
А / ν Ι Ψ· ψ"
Δ (s, τι) = I _
(см. § 13.2, (8)). Так же, как в § 13, мы будем рассматривать вместо
системы (5) дифференциальное уравнение
-тг = — _ = R(s, n), (7)
получающееся, если разделить второе уравнение системы (5) на первое.
Такое деление возможно в силу § 13.2, (11). Напомним здесь свойства
функции R (s, ή) и уравнения (7).
Функция R (s, η) определена в полосе (4) и является там непрерывной
функцией, периодической по s с периодом т. Если (А) — динамическая
система класса N (аналитического класса), то R (s, ή) также есть функция
класса N (аналитического класса). Далее,
R (s, 0) == 0. (8)
Поэтому η =ξ 0 есть решение уравнения (7). Это решение
соответствует, очевидно, самой замкнутой траектории L0 системы (А).


§ 26] ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИЙ ИССЛЕДОВАНИЯ 277
Пусть
n = f(s; s0, щ) (9)
—решение уравнения (7), удовлетворяющее начальному условию
/(*<>; s0, щ) = п0. (Ю)
Тогда
f(s0 + r; s0, n0)
есть функция последования на дуге без контакта s = s0, являющейся
нормалью к траектории L0. В дальнейшем мы для простоты будем считать,
что 50 = 0 (очевидно, это не ограничивает общности рассуждений), и
соответствующую функцию последования обозначим через / (щ), а нормаль
5 = 0 — через /. Таким образом,
/Ы = /(т; 0, до) (11)
есть функция последования на дуге без контакта Z.
Наряду с функцией последования f(n0) мы будем рассматривать
фуНКЦИЮ d(n0) = f(n0)-n0. (12)
В главе V мы вычислили ее первую производную в точке п0 = 0
и нашли, что
τ
Ϊ [Pi«P<·), W«))+Qy (Φ(β), 4>(e))]de
d'(0) = l° —1. (13)
Нашей ближайшей целью является отыскание выражений для следующих
производных, т. е. для чисел
d"(0), <Г(0), ...,
или, что то же, для производных функций последования
/"(0), /"(О), ...
Вывод этих выражений, к которому мы переходим, полностью аналогичен
выводу выражений для фокусных величин, данному в § 24.3.
Так как правая часть R (s, n) дифференциального уравнения (7) есть
функция класса Ν, то решение
n = f(s; 0, п0)
этого уравнения имеет непрерывные частные производные по п0 до
порядка N включительно.
Так же, как в § 24.2, лемма 4, показывается, что эти частные
производные, рассматриваемые как функции от s (т. е. при постоянном п0),
удовлетворяют следующей системе дифференциальных уравнений:
d ( df \_ dR(s,f (*; 0, п0)) df (s; 0, п0)
ds \ дпп ) дп дп0
(JL)
d ( a»f \ ^ dR («, /) <?2/ dtR (г, /) / df γ
is V dnl ) дп dnl ~*~ дп* \ дп0 )
_ dR(s,j) 8»f ,F (- „ ν
-—eh—-Щ + Ь*^ n°>'
d ( dNf \ _ dR (s, f) dNf aNR ι df ψ AT a*R dN~if df _
\ (14)
d ( d"f \ ащ,,п d"f a"R ι df γ ν
ds \ dn» ) On dnN + dnN \ dn0 ) + · · · +iV
dR (s, f) 9"f
дп* dnN-i dn0
Эп dnir + En(s,n0)*).
*) Мы не выписываем подробно выражения для Е3, Е±, . . ·, EN; см. §. 24.2,
сноску к лемме 4.


278 РОЖДЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ ИЗ СЛОЖНОГО ЦИКЛА [ГЛ. X
В силу соотношения (10) / (0; 0, тг0) == /г0. Поэтому
Равенства (15) являются начальными условиями для уравнений (14).
Поступая в точности так же, как в § 24.3, введем обозначения:
■а-С-Ч^-З—-Λ« (*=1·2·····ΛΓ>· <")
— [Ek (s, «o)lno=o = Hk (s) =
Л =Γ«*<».»)1 (A-1,2, ...,Л). (19)
Jno=0 L #лд -J n=0
_ ι fdkR/df \* r am a*-1/ a/ ί Mft
~ *I L te* V dn0 ) + ' · · +* to· вя*-1 too Jn(F=0 K }
(к = 2, ..., ΛΓ, функции Яд определены уравнениями (14)).
Так как η = 0 есть решение уравнения (7), то / (s; 0, 0) == 0,
г dkR(s, /(g;o, я0)) π Γ **Д («> ")
L dnh Jn0=o
Поэтому
^W-^C)[-S-]Lo+- (2°)
(& = 2, 3, . . ., JV; невыписанные члены в формуле (20) представляют
многочлен относительно функций R2 (s), R$ (s), . . ., Лд-ι (s) и функций
^1 (5), u2 (s), . . ., w*-! (5)).
Положим в уравнениях (14) η = 0 и будем интегрировать их
последовательно, принимая во внимание начальные условия (15), а также
соотношения
/(»; 0, 0) = 0 и Я(*, 0)ss0
и соотношения (16)—(20). Первое из этих уравнений уже рассматривалось
в главе V (§ 13.3). Его решение дается формулой
8
Г Rl(8)d8
(см. § 13.3, (25)).
Умножая к-е из уравнений (14) на -ту и интегрируя его, мы получим
8
ί Rl(s)ds s -1 i?i(s)ds
ΙΓ^^οΙΙ =Uh{s)==J \нк(э)е'о ds. (22)
Λ! L dnl J no=0 J
Из формул (11), (21) и (22) получаются следующие выражения для
производных от функции последования в точке п0 = 0:
τ
I Hi(8)d8
/'(0) = *° , (23)
J Hl(s)ds t -J Rl(s)ds
dW (0) = /(*) (0) = &!e° J Hk (s) e ° ds. (24)


§ 26] ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИЙ ПОСЛЕДОВАНИЯ 279
Рассмотрим, как выражаются функции Rk (s) и Hk (s) через правые
части Ρ (#, у) и Q {х, у) системы (А). Выражение
мы вычислили в главе V. Именно, дифференцируя по η функцию R (s, n),
определенную равенством (7):
Q(T.*)?i-'>(9.*)·*;
Л (5, п).
^(φ.ψ)*;-^(φ.ψ)φ;
и произведя ряд преобразований, мы показали, что
-jL[ln(<p'(s)* + V(s)*)] (25)
{см. § 13.3, (28)).
Вычислим теперь производную ^ п' , где 2<[fe<iV. При этом
выпишем подробно только члены, содержащие производные fe-ro порядка
от функций Ρ и Q. Дифференцируя равенство (7) к раз по η и пользуясь
обозначением символической степени *), мы получим, как нетрудно
убедиться, следующую формулу:
*Я(., п) , [ (ft £+% ^гГ<?(^] g- [ (f-Jg+ft £)*Р<* *> ]%
*»k *(φ. ·ψ)ψ;-<?(φ, Ψ)φ;
С (φ. Ψ) φ;—-Ρ (φ. ψ) ψ; (г/-, д -, д\кп,- Тчтт,
-[(i;^+t;^-)ftQ]i;+}···, (26)
где многоточием обозначены члены, не содержащие производных fe-ro
порядка от Ρ и Q (эти члены содержат функции Ρ и () и их производные
порядка<;& — 1). ΠoлoжимJ в формуле (26), что η = 0. Из соотношений
(3) следует, что
φ (β, 0) = φ(β), ψ(ί, 0) = \|?(s),
φί (β, 0)=φ'(*), ψ; (β, 0) = ψ'(*),
9s (в, и) = ψ' (в), ψη' (5, п) = — φ' (s).
Далее, так как φ и ψ — решения системы (А), то
q/(s)=P((p(s), ψ (5)), Ψ'(») = <2(Φ(»). +(»))·
*) Если /(ж, г/)—функция двух переменных, то под символической степенью
I и~-—ry-^~ 1 понимают, как известно, оператор, определяемый равенством
V to dy / aa.ftT a-ft-i ди ^
2! дз*-» Зу» dj/ft


280 РОЖДЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ ИЗ СЛОЖНОГО ЦИКЛА [ГЛ. X
Поэтому при η — 0 числитель дроби, стоящей перед фигурной скобкой
в формуле (26), равен нулю, и мы получим
dkR{s, n)
[ (ψ'(ί) ΊΙ~Ψ'(s) ~wfQ (<p(s)' ψ (s))] φ'(s)
где
Wh (s)
(28)
[ (ψ,(5)ΐ~φ' (ί)"έΓρ (φ (s)al?(s))] ψ'(*>
— q)'(s)2__a|/(s)2 »
а многоточием обозначены члены, содержащие функции Ρ и Q и их
производные порядка не выше к — 1.
Из соотношений (16)—(22) и (25)—(27) следует, как нетрудно
убедиться, что
Hh(s)=^-Wk(s)[ul(s)]h + Oh(s), (29)
/с!
где ФА (s) выражается — с помощью алгебраических операций и
интегрирования — через функции Ρ и Q и их производные не выше (& — 1)-го
порядка и через функции φ (s), ψ (s), φ' (s), г|/ (s).
Теперь мы можем найти производные функции последования / (п0)
в точке п0 = 0. Из формул (23) и (25) следует (если принять во внимание
периодичность функций φ и ψ, а следовательно, и их производных), что
t
J [^<Φ(β).Ψ(β))-Η?ί,<Φ(8), iKe))]de
/'(0) = *Ь . (30)
(Эта формула была уже выведена в главе V. См. § 13.3, (30).)
Из формул же (21), (23), (24) и (29) следует, что
rfW(0) = /(ft)(0) =
8 S
* (fe-1) J' Bi(8)de t · -J β!(δ)
= /' (0) ξ ^* (*) e b ds + *' f (0) J Φα (») * ° ds, (31)
о о
где к = 2, 3, . . ., Ν.
Эта формула аналогична формуле (46) § 24.3 и играет важную роль
при доказательстве основной теоремы настоящего параграфа. Выражения
для /' (0), Ri (s) и Wk (s) даются соответственно формулами (30), (25)
и (28). Подчеркнем еще раз, что второе слагаемое в правой части формулы
(31) не содержит производных выше (к — 1)-го порядка от функций Ρ
и Q, причем значения этих производных берутся в точках кривой χ=φ (χ),
У = Ψ (*)·
2. Кратность предельного цикла. В V главе мы ввели понятие
кратности предельного цикла для случая аналитических систем
(см. § 12.3). Введем теперь это понятие для систем класса N. Пусть
£=Р(х,у), t=Q(*,y) (А)
— динамическая система класса 7V>1, L0 — ее замкнутая траектория,
х = φ (г)? у = -ψ (t) — соответствующее ей движение, τ > 0 — период
функций φ и ψ.


§ 26] ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИЙ ПОСЛЕДОВАНИЯ 281
Напомним, что траектория L0 называется предельным циклом в том
случае, когда она является изолированной замкнутой траекторией. При
этом (см. § 13.3, определение 18) предельный цикл L0 называется сложным,
если
τ
/ = ξ [Ρ'χ (φ («), ψ (*)) + Q'y (φ (.), t (*))] ds = 0, (32)
0
и простым в противном случае.
Как неоднократно указывалось, если (А) есть динамическая система
класса N, то у функции / (тг0), а следовательно, и у функции d (n0)
существуют, при достаточно малых значениях щ, производные до порядка N
включительно, в частности, существуют числа д! (0), d" (0), . . ., d(N) (0).
В § 12.4 было показано, что если хоть одно из этих чисел отлично от нуля,
то замкнутая траектория L0 является изолированной, т. е. предельным
циклом (устойчивым, неустойчивым или полуустойчивым).
Определение 28. Замкнутая траектория L0 динамической
системы (А) класса N называется предельным циклом кратности г (или
r-кратным предельным циклом), если выполняются условия
d' (0) = tf" (0) = ... = dirwmi) (0) = 0, d(r) (0) φ 0 (33)
(г — натуральное число, r<UV).
Очевидно, определенное здесь понятие кратности цикла совпадает
для аналитических систем с понятием, введенным в § 12.3. Так же, как
в § 12.3, оно связано с выбором дуги без контакта I, и следовало бы
доказать, что оно не зависит от выбора этой дуги *). Однако здесь нет
необходимости останавливаться на доказательстве, так как независимость
кратности предельного цикла от выбора дуги без контакта I явится
непосредственным следствием основной теоремы этого параграфа, которую мы
ниже докажем.
Из определений 18 (§ 13.3) и 28 следует, что всякий простой
предельный цикл является однократным, и наоборот. Что касается сложных
предельных циклов, то здесь дело обстоит так: если (А) есть аналитическая
система и!0 — ее сложный предельный цикл, то он имеет определенную
кратность г, где г может быть любым натуральным числом, большим
чем 1 **). Если же (А) есть система класса N>2 и L0 — ее сложный
предельный цикл, то, как правило, он имеет определенную кратность г,
2<r<iV. Однако может оказаться, что для L0
d' (0) = d" (0) = ... = а^-^ (0) - d(N) (0) - 0. (34)
Если (А) не является при этом системой класса N + 1, то в этом случае
определение 28 теряет силу и сложный предельный цикл L0 не имеет
определенной кратности.
Если замкнутая траектория г0 является предельным циклом
кратности г, т. е. если выполняются соотношения (33), то по формуле Маклорена
Отсюда и из результатов § 12.2, следует, что четнократный предельный
цикл является полуустойчивым, а нечетнократный — устойчивым или
*) Ср. со сноской на стр. 118.
**) Если (А) — аналитическая система, L0 — ее замкнутая траектория и все
d(h) (0) = 0 (fc = l, 2, . . .), то d (nQ) ~ 0 и все траектории, близкие к L0, являются
замкнутыми, т. е. L0 не является предельным циклом. См. § 12.3.


282 РОЖДЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ ИЗ СЛОЖНОГО ЦИКЛА [ГЛ. X
неустойчивым. При этом в случае нечетного г, если d(r) (0) < 0, то цикл
является устойчивым, а если d(r) (0) > 0, то неустойчивым.
Мы рассмотрим теперь измененную систему одного специального
вида и докажем относительно нее лемму, аналогичную лемме 7 § 24.3.
Пусть (А) — динамическая система класса N, L0 — ее замкнутая
траектория, а χ = φ (t), у — ψ (t) — соответствующее этой траектории
движение (φ и ψ — периодические функции с периодом τ > 0). В силу
леммы 1 § 15.1 и замечания 1 к ней в области определения G системы (А)
существует функция F (х, у) класса N + 1 такая, что при всех s,
— оо < s < + оо, выполняются соотношения
F(9(»H(»))S0 (35)
И
Ш (φ (*), ψ (s))P + [П (Ф (»), Ψ («))]■ 9* 0. (36)
Из соотношений (35) и (36) следует, что при всех s выполняется также
условие
F'x (φ (.), ψ (»)) f (*)-^ (Φ («). Ψ («)) Ψ' (») ^ 0. (37)
Действительно, предположим, что условие (37) не выполняется. Тогда
при некотором значении s = s0 мы имеем **w
С другой стороны, дифференцируя тождество (35) и подставляя s = sQ,
мы получим
F* (φ (so), Ψ (So)) φ' Ы +П (φ (*ο), Ψ Ы) Ψ' (*о) = 0.
Будем рассматривать последние два соотношения как линейные
однородные уравнения относительно F'x (φ (s0), ψ (s0)) и F'y (φ (s0), ψ (s0))·
Из соотношения (36) следует, что эти уравнения имеют ненулевое
решение. Но тогда детерминант системы [φ' (s0)P + W (5о)12 = 0» Τ· е·
φ' (s0) = Ρ (φ (s0), ψ (s0)) = 0 и ψ' (*0) = Q (φ (s0), ψ (*0)) = 0. А этого
не может быть, так как точка (φ (s0) ψ (s0)) лежит на замкнутой траектории
L0 и не является, следовательно, состоянием равновесия. Таким образом,
соотношение (37) доказано.
Рассмотрим, наряду с системой (А), измененную систему частного вида
-J- = Ρ (χ, у)=Р (х, у) + XFMF* -§- = Q(x,y) = Q (χ, у) + XF™F'y, (Αχ)
где λ — параметр, am — натуральное число. Очевидно, (Αχ) является
также системой класса iV, причем если λ достаточно мало, то система
(Αχ) сколь угодно близка к системе (А).
Из условия (35) следует, что замкнутая траектория L0 системы (А)
является также траекторией системы (Αχ). Действительно, так как L0
есть траектория системы (А), то
φ' (t) =Ρ(φ (0, ψ (*)), Ψ' (t) = Q (φ (t), Ψ (f))·
Из этих равенств и из (35) следует, что
φ'(0=^(9(0. +(0). *'(0=$(ф(*). *(*))·
А это и значит, что LQ является траекторией системы (Αλ).
Пусть
7=7 (щ, λ) (38)


!§ 26] ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИЙ ПОСЛЕДОВАНИЯ 283
— функция исследования, построенная для системы (Αχ) на той же дуге
без контакта I и при том же выборе параметра на ней, что и функция
исследования /0 для системы (А) (при достаточно малом λ функция / определена;
см. § 4, леммы 1, 2 и 11).
Очевидно,
7(»0,0)зз/(пв). (39)
Далее, так как L0 является также траекторией системы (А*,), то
7(0) =7(0, λ)=о. (40)
Наряду с функцией / (тг0) введем также функцию d (п0) = d (тг0, λ),
аналогичную функции d (щ) системы (А) и определяемую равенством
d (nQ) = d (тг0, X)=rJ(n0,X)—n0 = J(nQ) — nQ. (41)
Система (Ал) играет — в вопросах рождения предельных циклов
от замкнутой траектории L0 — в точности такую же роль, как система
(As) (§ 24.3) в вопросах рождения предельных циклов из фокуса.
Лемма 1. Пусть для замкнутой траектории L0 динамической
системы (А) класса N > 1 выполняются условия
d' (0) = d" (0) = ... = d(r) (0) - 0, (42)
где 1 < r*CN, и пусть т — целое число, удовлетворяющее неравенству
1<т<г, (43)
α λ — отличное от нуля действительное число. Тогда замкнутая
траектория L0 является для системы (А%) сложным предельным циклом
кратности яг, т. е.
d' (0) = d" (0) = ... =3(m"1) (0) = 0, (44)
а
d(m) (0)ф0. (45)
При этом
d(m) (0) = λ·ττι! [φ' (О)2 + ψ' (О)2]т~1 χ
[φ'ω2+ψ'ω2Γ
Χ \ r~/ /~\9. ι -u/ /„\5iim Χ
0
S
(m-i) J [Ρ^(φ(β), ·ψ(8))+(?'ί/(φ(8), ψ(β))] da
Χ β ό Λ. (46)
Доказательство. Так как LQ является траекторией системы
(Ая), то производные d^ (0), i = 1, 2, . . ., ттг, могут быть найдены
с помощью формул (30) и (31) (для производных dW (0)). В этих формулах
нужно только функции Ρ (х, у) и Q (х, у) и их производные заменить
функциями Ρ (х, у) и Q (х, у) и их производными (функции φ, ψ, φ', -ψ'
остаются, очевидно, прежними).
Напомним, что при вычислениях по формулам (30) и (31) значения
функций Ρ и Q и их производных нужно брать при х — φ (s)y у = ψ (s),
0<5<τ.


284 РОЖДЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ ИЗ СЛОЖНОГО ЦИКЛА [ГЛ. X
Из соотношений
Р(х, у)^Р{х, y) + XFmFxt
ρ (я, y)=Q{x, y) + lFmF'y, (47)
F{q>(s), ψ(5)) = 0 и т>\
следует, как показывают простые вычисления, что в точках (φ (s), ψ (s))
значения функций Ρ и Q и их частных производных до порядка иг — 1
включительно равны соответственно значениям функций Ρ и Q и их
производных до порядка т — 1, т. е.
Ρ (φ (*), ψ (s)) = Ρ (φ (s), ψ (s)), ρ (φ (s), ψ (*)) = ρ (φ (*), ψ (*)),
Ι. дх1 ду1~1 J*=(p(s) L дх1 ду1~1 J χ=φ(β)' j
j"g'Q(g> У)] = Г dlQ (χ, у) Ί
у=Щ$) У=,ф(з)
(Z = l, 2, ...,/гг—1; 0<ί<Ζ).
Вычислим теперь частные производные т-то порядка от функций
Ρ и ρ в точках (φ (s), ψ (s)). В силу соотношения ί7 (φ (s), ψ (s)) = 0
достаточно рассматривать только члены, получающиеся дифференцированием
функций Ρ, ρ и Fm (все остальные члены, получающиеся при
дифференцировании, содержат множителем функцию F (х, у) и при значениях
х = φ ($), у = -ψ (s) исчезают). Отсюда следует, как показывают
несложные вычисления, что
дтР(х, у) 1 _ ρ атР (я, у)
} (48)
L дх1ду™-1 J*=<p(8) L дх1дут~1 J*=q>(e)
г/=-ф(8) y=ij)(s)
+ λ.Βΐ![(^(*. У))1+1(^(*. У))"-*!*-^.), , ....
»=+(«) } (49)
L дхгдут~г -1зс=ф(в) L дхгдут~г -1χ=φ(8) У=Ъ(*)
у=-ф(в) l/=il>(e)
(ί = 0, Ι, 2, ...,ιλ).
Обозначим через i?* (S), #* (s) и т. д. функции, определенные для
системы (Ая) и аналогичные соответственно функциям Rt (5), /7* (5) и т. д.
системы (А). Из соотношения (25), аналогичного соотношения для i?4 (s)
и из формул (48) следует, что
Rl{s) = Ri{»). (50)
Отсюда и из соотношения (23) вытекает, что
7'(0) = /'(0), (51)
а следовательно,
d'(0) = d'(0). (52)
Далее, из соотношений (21), (28), (29), (31) и из аналогичных
соотношений для системы (Αλ), а также из формул (48), (50) и (51) вытекают


26] ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ ПРОИЗВОДНЫХ ФУНКЦИЙ ПОСЛЕДОВАНИЯ 285
соотношения:
Wk{s) = Wk(8) (53)
при к<Ст— 1;
Фк{8)=Фь{8) (54)
при к*Ст;
Hk(s) = Hk(s) (55)
при А<т — 1 и, наконец,
d(ft)(0) = tf(ft)(0) (56)
при А = 2, 3, ..., т—1.
Из соотношений (42), (43), (52) и (56) следует, что
d' (0) = d" (0) = ... = d(m^1} (0) =,0.
Таким образом, мы доказали соотношение (44).
Вычислим теперь d(w)(0). С этой целью воспользуемся формулой (31),
заменив в ней функции /, W, R и т. д. соответственно функциями /, W, R
и т. д. Принимая во внимание формулы (50), (51) и (54), мы получим,
очевидно,
3 8
х (А-1) ί Ri(s)ds τ - f Ri(s)ds
d(m) (0) = /' (0) ξ Wm (s) e о rfs + m!/' (0) J (Dft (S) e ο ώβ
о о
(57)
Выражение для функции Wm (s) найдем с помощью формулы (28).
Заменив в ней функции Ρ и Q через Ρ и Q и пользуясь
соотношениями (49), мы получим
w /ч_И7 /ч , λ-ml [^ (φ (*), Ψ (*)) Ч>' («)-*y (ψ (')> Ψ («)) ψ' М1те+1 ,-ft4
Из формул (31) и (58) следует, очевидно, что
} φ' («)2 + ψ' (»)«
0
ds
ds.
По условию леммы tf(m)(0) = 0. Далее, d' (0) = /' (0) — 1 = 0, т. е.
/' (0) = 1. Подставляя эти значения и выражение (25) в последнюю
формулу, мы найдем окончательно, что
d(m) (0) = λ·т\ [φ' (Ο)2 + г|/ (0)а]т-* X
? [F'x (φ («), ψ («)) г[/ («) - F; (φ («). φ (»)) φ' (ι)]"4-1
Χ j [φ'(«)» + *'(»),Γ Χ
S
(m-1) J [Ρ^(Φ(8), *(e))+Q^(V(e), ψ(8))] de
Χ β ° ds,
т. е. имеет место формула (46).
Неравенство (45) вытекает непосредственно из формулы (46) и
неравенства (37). Лемма доказана полностью.


286 РОЖДЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ ИЗ СЛОЖНОГО ЦИКЛА [ГЛ. X
Замечание. В настоящей лемме предполагается, что г>2
(а следовательно, JV>2), и, при выполнении условий (42),
рассматривается измененная система (А^), где /тг>2. При этих условиях замкнутая
траектория L0 системы (Αχ) оказывается сложным предельным циклом
кратности т. Случай, когда т = 1, т. е. когда измененная система (А%)
имеет вид
-%L=P + XFF'X, ^L = Q+XFF'V, (Αλι)
рассматривался при доказательстве теоремы 19 (§ 15.2). Там показано,
что если (А) есть динамическая система класса JV>1, L0 — ее замкнутая
траектория, для которой д! (0) = 0 (d" (0) может при этом не быть равным
нулю или может вообще не существовать), а λ Φ 0, то L0 является простым
предельным циклом системы (А>у1) и соответствующая производная
τ
λ j[ [(Fi(q>(·), ψ(β)))»+(^(Φ(β). ΨΟΟ))2] <*s
ui(0) = * ° -1. (59)
§ 27. Рождение предельных циклов из сложного предельного цикла
1. Основная теорема. В главе V мы рассматривали сложный
предельный цикл и показали, что из него могут «рождаться» замкнутые
траектории (§ 15.2, теорема 19). В этом пункте мы выясним, сколько замкнутых
траекторий может появиться («рождаться») в окрестности сложного
предельного цикла при переходе к достаточно близким системам. Именног
мы докажем следующую теорему, аналогичную теореме 40 (§ 25.1).
Теорема 42 (теорема о рождении предельных циклов из сложного
предельного цикла). Если (А) есть динамическая система класса N > 1
или аналитическая, a L0 — ее сложный предельный цикл кратности к
(2<fc<A0, ™>
1) существуют числа ε0 > 0 w δ0 > 0 такие, что всякая система (А),
б0-близкая до ранга к κ системе (А), имеет в окрестности UZo (L0) не более
к замкнутых траекторий;
2) для любых положительных ε < ε0 и δ < δ0 существует система
(А) класса N или (соответственно) аналитического класса, Ь-близкая до
ранга к κ системе (А) и имеющая в окрестности USo (L0) k замкнутых
траекторий *).
Доказательство. 1) Докажем сначала первое утверждение
теоремы. Как и в предыдущем параграфе, будем рассматривать дугу без
контакта I, являющуюся нормалью к траектории L0 (см. § 26.1), и
соответствующую системе (А) функцию последования / (тг0) на дуге I, а также
функцию d (п0) = / (дг0) — дг0. Допустим, что эти функции определены
при всех п0, | п0 |<!rc*, где п* — некоторое положительное число. Как
отмечалось в начале § 26, d (n0) является функцией класса N.
Так как L0 есть предельный цикл кратности к системы (А), то
d' (0) = d" (0) = ... = а{к-{) (0) = 0, dih) (0) φ 0, (1)
т. е. функция d (n0) имеет число 0 своим корнем кратности к. Поэтому
(см. главу I, § 1.3) существуют такие положительные числа η<!η* и σ,
*) Ясно, что замкнутые траектории, о которых идет речь в теореме 42, являются
изолированными, т. е. предельными циклами.


S 27] РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ СЛОЖНОГО ПРЕДЕЛЬН. ЦИКЛА 287
^=7.
что всякая функция d (п0), определенная при всех щ, |п0 |<и*,
и σ-близкая к функции d (п0) до ранга А, может иметь на сегменте [— η, η}
не более к корней.
В качестве ε0 возьмем настолько малое положительное число, чтобы
все точки нормали Ζ, лежащие в Ueo (L0), соответствовали значениям
параметра п0, по абсолютной величине меньшим чем η (рис. 118). В качестве δσ
возьмем положительное число
настолько малое, что выполняется следующее
условие: если система (А) б0-близка
к системе (А) до ранга к, то для нее
определена на дуге I при всех значениях
гс<ъ I по К я*» функция последования
/ (тг0), а следовательно, и функция d (n0)
и при | п0 К тг* функция d (n0) σ-близка
к функции d (n0) до ранга к. Такое
число δ о существует в силу теоремы 3 п. 1
дополнения. Очевидно, выбранные таким
образом числа ε0 и δ0 удовлетворяют
первому утверждению теоремы. Таким
образом, это утверждение доказано.
2) Второе утверждение теоремы докажем сначала для случая, когда
(А) является динамической системой класса N. Рассмотрим измененную
систему специального вида
Рис. 118.
dx ~
-^- = Ρ (Χ, J/, λ1? λ2, . , ., λΑ-4) =τ
= Ρ (*, y) + l,FFx + k2F*F'x + ... + λ^-ψχ,
■jt = Q fa У\ Κ λ2, ..., λ^) =
= Q fa У) + biFF'y + X2F*F'y + ... + X^F^Fy,
(A)
dt
где λ| — параметры, a F (χ, у) — функция класса N + 1, определенная
в области G и удовлетворяющая условиям (35) и (36) предыдущего
параграфа (§ 26.2). В силу условия (35) функция F (я, у) обращается в нуль
в точках предельного цикла L0 системы (А) и поэтому L0 является
одновременно траекторией системы (А). Ясно, что (А) также есть система
класса N.
При достаточно малых Кг система (А), очевидно, сколь угодно близка
к системе (А) до любого (возможного) ранга, и в силу § 4, леммы 1, 2 и 11,
для системы (А) на дуге без контакта I определена при всех значениях п0г
I Щ К я*, функция
d (тг0, λ4, λ2, ..., λ^_4),
аналогичная функции d (п0) системы (А) *). Очевидно, 5 является
непрерывной функцией п0 и параметров λ4, λ2, . . ., Хи-\- Так как система (А)
получается из системы (А) при Xi = λ2 == . . . = λΑ_4 = 0, то
d(n0, О, 0, ...,0) = £/(710).
(2)
*) Напомним, что п* > О есть такое число, что при | п0 | <; п* функция d (n0)
определена.


288 РОЖДЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ ИЗ СЛОЖНОГО ЦИКЛА [ГЛ. X
Для любых ε > 0 и δ > 0 существуют числа λ*>0πη<«* такие,
что если
|λ||<λ·, ί = 1, 2, ..., k-U (3)
то
а) система (А) δ-близка до ранга к к системе (А);
б) функция d (п0, λ1? λ2, . . ., λ^ι) определена для всех тг0, \ п0 \^п*,
и всякий ее корень, удовлетворяющий неравенству | п0 | < п,
соответствует замкнутой траектории системы (А), целиком лежащей в Uъ (L0).
Пусть ε и δ — фиксированные положительные числа, ε<ε0, δ<δ0.
Пусть, далее, λ* и η — соответствующие значениям ε и δ числа (т. е.
такие, что если имеет место (3), то выполняются условия а) и б)). Покажем,
что при надлежащем выборе значений параметров λ4, λ2, . . ., λ^
система (А) δ-близка до ранга к к системе (А) и имеет в Uг (L0) к замкнутых
траекторий.
Мы будем считать, что выбираемые в дальнейшем числа Хг
удовлетворяют условию (3).
Из формулы Маклорена следует ввиду соотношений (1), что при
всех достаточно малых п0
d Ы = -^^- л? + h (no) л* (4)
где h (п0) — непрерывная функция и h (0) = 0 (см. доказательство
теоремы 5, § 1.3).
По условию d(fe> (0) Φ 0. Пусть для определенности d<ft) (0) >0. Тогда
при всех достаточно малых положительных значениях п0 d (n0) > 0.
Выберем одно из таких значений, меньшее чем п, обозначим его через щ
и зафиксируем. Таким образом,
0<п1<п, d(ni)=d(ni, 0, ...,0)>0. (5)
Положим теперь, что
λι == λ2 = . . . = λ^_2 = 0, λ^_4 φ 0,
и рассмотрим соответствующую этим значениям параметров измененную
.систему
dt
dy
dt
= Р(х, у, 0, 0, ..., 0, XA-t) = />(*, y) + Xk-lFh-Wx,
= Q(x, У, 0, 0, ..., 0, λΑ-1) = ρ(α:> y) + Xk-iFk^F'y
(Αι)
я соответствующую функцию di(n0) = d(n0, 0, 0, ..., 0, λ^). В силу
условий (1) и леммы 1 предыдущего параграфа
Ά (0) = < (°) = · · · = 3[к-2) (0)=о, (6)
a d[h-^ (0) вычисляется по формуле (46) предыдущего параграфа, т. е.
di*-i)(0) = C1XA.lf
где Ci — постоянная, отличная от нуля. (С4 — множитель при λ в
формуле (46) при т = к — 1. Однако здесь нет необходимости выписывать его
лодробно.)


§ 27] РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ СЛОЖНОГО ПРЕДЕЛЬН. ЦИКЛА 289
Как и выше, из формулы Маклорена и из соотношений (6) следует,
что при всех достаточно малых п0
где ^ (п0)—непрерывная функция и А1(0)=0.
Предположим для определенности, что 6Ί>0, и выберем λ^ так,
чтобы удовлетворялись условия
| λΑ-! | < λ*, λ^ < 0, dt (щ) = J(Wl, 0, 0, ..., 0, XA-i) > 0. (8)
Последнее из этих условий удовлетворяется при любом достаточно
малом значении Xk-i в силу равенства (5) и непрерывности функции
d (n0i Хи λ2, ..., λπ-ι)-
Из неравенств 6Ί > 0, λΑ_4 <0 ииз равенства (7) следует, что при
всех достаточно малых положительных значениях п0 dx (n0) < 0. Выберем
одно из таких значений, меньшее чем тгь и обозначим его через п2.
Таким образом,
0<п2<щ<:п (9)
и
3i(*i)>of rfiN<o. (Ю)
Дальнейшее построение проводится вполне аналогично (ср. с
доказательством 2-го утверждения теоремы 40, § 25.1). В результате после
(к — 1)-го шага *) мы получим систему
dx ~
— = Ρ (#, у, λ1? λ2, . . ., Kk-i) =
= P{x, y)+XiFF'x-\-X2F*Fx + ... +Xk-iF*-iFx,
~- = Q (x, y, λ1? λ2, ..., Xk-i) =
(A)
= Q(*. v) + KFF'y + X2F*Fy +...+ X^F^Fy
и числа щ, тг2, . . ., nk такие, что | λέ | <; λ*,
0 < nk < лА-4 < ... < ^ < /г (11)
и
~ ^ ^ 1 > 0, если к нечетно,
d Ы > 0, d (п2) < 0, ..., d Ы } < 0) ^ к четно (12)
Из неравенств (12) и из непрерывности функции d (n0) следует, что между
щ и тг2, п2 и тг3, . . ., тг^ и пА существует по крайней мере по одному
корню функции d (тг0). Этим корням соответствуют замкнутые траектории
системы (А). В силу условий (3) и (11) указанные замкнутые траектории
лежат в Uъ (L0). Кроме того, траектория L0 системы (А) сама является
траекторией системы (А). Таким образом, в окрестности Uг (L0)
существует по крайней мере к траекторий системы (А). Так как е < ε0 и δ < δ0,
то в силу уже доказанного первого утверждения теоремы в Ue (L0) не
*) При построении систем (А4), (А2), . . ., (Aft_2) и чисел щ, п2, - · ·, nh-i
мы пользуемся все время леммой 1 предыдущего параграфа. Однако при последнем,
(к — 1)-м шаге нужно воспользоваться уже не этой леммой, а замечанием к ней
и соответственно не формулой (46), а формулой (59) предыдущего параграфа.


290 РОЖДЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ ИЗ СЛОЖНОГО ЦИКЛА [ГЛ. X
может существовать более к траекторий системы (А), т. е. их существует
ровно к. Второе утверждение теоремы для систем класса N доказано.
3) Перейдем теперь к рассмотрению аналитического случая. В этом
случае проведенное выше доказательство непосредственно неприменимо,
так как, вообще говоря, не существует аналитической функции F (х, у),
определенной во всей области G и удовлетворяющей условиям (35) и (36)
предыдущего параграфа *). Мы воспользуемся поэтому рассуждением,
аналогичным проведенному при доказательстве теоремы 19 (§ 15.2).
Пусть (А) — аналитическая система, a L0 — ее сложный предельный
цикл кратности к, ε0 и δ0 — числа, о которых идет речь в первом
утверждении теоремы. Пусть заданы произвольные положительные числа ε << г0
и δ<δ0. Так же, как выше, построим систему (А) класса Ν>к и числа
Λι, ηζ, · · ·» пь. так» чтобы удовлетворялись следующие условия:
а) Система (А) δ/2-близка до ранга к к системе (А).
б) Выполняются соотношения (11) и (12), причем η — число,
обладающее следующим свойством: всякая траектория L системы (А),
пересекающая дугу без контакта I в точке Ми соответствующей значению
параметра αζ0, | п0 | < п, вторично пересекает дугу I при возрастании t
в точке Μ29 причем дуга MtM2 траектории L целиком лежит в Ue/2 (L0).
В силу формулы (59) предыдущего параграфа d' (0) Φ 0, т. е. L0 есть
простой, а следовательно грубый, предельный цикл системы (А).
Пусть η — некоторое число, 0 < η <-ϊγ » а (А*) — аналитическая
система, η-близкая до ранга к к системе (А) (например, система, правые
части которой — многочлены, достаточно хорошо аппроксимирующие
правые части системы (А)). Очевидно, если η достаточно мало, то
выполняются следующие условия:
а*) Функция d* (az0), соответствующая системе (А*), определена для
всех п0, | п0 | < п, и
л* ι \-^ (\ j*/ \ ^с\ л* / ч ]>0> если ^ нечетно, 0
d* (щ) > 0, d* (п2) < 0, ..., d* (nk) (13)
J<0, если к четно.
б*) Всякая траектория L* системы (А*), пересекающая дугу без
контакта I в точке М*, соответствующей значению параметра п0, \ п0 | <п,
вторично пересекает дугу Ζ при возрастании t в точке М*, причем дуга
M*jM* траектории L* целиком лежит в f/8 (L0) **).
в*) Существует замкнутая траектория L* системы (А*), лежащая
целиком в Uг (L0) и пересекающая дугу без контакта Ζ в точке М*,
соответствующей значению п* параметра, где п* < щ (условие в*) выполняется
при достаточно малом η в силу того, что L0 является грубым предельным
циклом системы (А)).
Из условий а*), б*), в*) следует, очевидно, что система (А*) является
аналитической, δ-близка до ранга к к системе (А) и имеет в окрестности
Uε (L0) не менее к замкнутых траекторий, т. е. удовлетворяет
утверждению 2) теоремы. Теорема доказана полностью.
*) Мы уже указывали в главе V (§ 15.2), что такая функция может быть
построена в окрестности траектории L0. Но этого недостаточно, так как система (А) должна
быть определена во всей области G.
**) При малом η условие б*) выполняется ввиду условия б) и § 4.2, лемма И»


§ 27] РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ СЛОЖНОГО ПРЕДЕЛЬН. ЦИКЛА 291
Замечание. Если (А) является системой класса N, то во втором
утверждении теоремы 42 условие, что система (А) δ-близка до ранга к
к системе (А), может быть заменено условием δ-близости до ранга N.
Если же (А) — аналитическая система, то можно найти аналитическую
систему (А), удовлетворяющую второму утверждению теоремы, но δ-близ-
кую к (А) до ранга т, где т — произвольное натуральное число.
Справедливость замечания непосредственно вытекает из доказательства
теоремы 42.
2. Добавления. О рождении предельных циклов из конечнократного
фокуса. Теорема 42 и замечание к ней позволяют усилить второе
утверждение теоремы 41. Именно, имеет место следующее предложение:
Теорема 41'. Пусть О (О, 0) — сложный фокус кратности к
динамической системы (А) класса iV>2& + 1 (или аналитической), а г0и δ0 —
достаточно малые положительные числа (определяемые первым
утверждением теоремы 40 и замечанием к ней). Если система (В) 60-близка до ранга
Ik + 1 к системе (А), то сумма кратностей фокуса и предельных циклов
системы (В), расположенных в Ueo(0), не превышает к.
Доказательство. Допустим, что сумма кратностей фокуса
и предельных циклов системы (В), расположенных в С/8о (О), равна
к* > к. Тогда, пользуясь конструкцией леммы 2 § 15.2, а также
теоремами 40 и 42 и замечанием к теореме 42, мы можем изменить систему (В)
в окрестности каждого из указанных предельных циклов и фокуса
и прийти к системе (В*), сколь угодно близкой до ранга 2к + 1 к
системе (В) и имеющей в ϋεο (О) fe* > к замкнутых траекторий. Но
существование такой системы (В*) противоречит условию, что О (0, 0) есть фокус
кратности к. В случае, когда рассматриваются только аналитические
системы, предельные циклы системы (В*), расположенные в £/8о (О),
нужно еще сделать грубыми (см. § 15.2, лемма 2) и аппроксимировать
(В*) аналитической системой. Теорема доказана. Ясно, что из теоремы 41'
вытекает второе утверждение теоремы 41.
Бифуркации динамической системы в окрестности конечнократного
предельного цикла. Приведем сначала предложение, аналогичное
теореме 41 и являющееся усилением второго утверждения теоремы 42. Это
предложение, наряду с теоремой 42, играет основную роль в вопросе
о бифуркациях динамической системы в окрестности конечнократного
предельного цикла.
Теорема 43. Пусть (А) — динамическая система класса N > 1
или аналитическая, L0 — ее сложный предельный цикл кратности
fc(2<[/c<;iV), α ε0 и δ0 — достаточно малые положительные числа
(определяемые первым утверждением теоремы 42*)). Тогда:
1) для любых ε и δ, 0 < ε<!ε0, 0<δ<!δ0, и длялюбогоs, l<!s<!fe,
существует система (В) класса N (соответственно аналитическая),
δ-близкая до ранга к κ системе (А) и имеющая в U ъ (L0) в точности s
замкнутых траекторий;
2) если система (В) 60-близка до ранга к κ системе (А), то сумма
кратностей всех предельных циклов системы (В), расположенных в Ueo (L0),
не превышает к.
Доказательство утверждения 1) аналогично доказательству
соответствующего утверждения теоремы 41. Доказательство утверждения 2)
*) Мы предполагаем, кроме того, что все системы, 60-близкие к системе (А),
не имеют в окрестности Z7 (L0) состояний равновесия.


292 РОЖДЕНИЕ ЗАМКНУТЫХ ТРАЕКТОРИЙ ИЗ СЛОЖНОГО ЦИКЛА [ГЛ. X
аналогично доказательству теоремы 41'. Мы предоставляем проведение
подробных доказательств читателю.
Рассмотрение бифуркаций динамической системы в окрестности
конечнократного предельного цикла вполне аналогично рассмотрению,
проведенному в конце пункта 2 § 25 для сложного фокуса. Основную
роль играют при этом теоремы 42 и 43. Пусть L0 — /с-кратный предельный
цикл динамической системы (А) (&>2), V — достаточно малая
окрестность его, ограниченная циклами без контакта Г4 и Г2, δ — достаточно
малое положительное число. В силу
теорем 42 и 43 система (А), δ-близкая до
ранга А: и системе (А), может иметь в V не
более к замкнутых траекторий. Далее, су-
ществуют системы (А), имеющие в V в
точности s замкнутых траекторий, где s —
любое число, l<[s<;fc. Эти замкнутые
траектории являются, естественно,
предельными циклами и расположены
«концентрически» (рис. 119). Так же, как в
случае сложного фокуса (§ 25.2),
топологическая структура системы (А) в окрестности
V полностью определяется числом s
предельных циклов, лежащих в F, и
характером их устойчивости. Обозначим указанные
циклы через Lu L2, . . ., Ls, причем будем
считать, что цикл Lt лежит внутри Li+i (i =
= 1, 2, . . ., s — 1). Пусть нам известно,
как ведут себя по отношению к циклам
без контакта Г4 и Г2 траектории системы (А) *). Траектории каждой
достаточно близкой к (А) системы (А) ведут себя по отношению к Т1 и Г2
так же, как траектории системы (А).. Поэтому топологическая
структура системы (А) в окрестности V полностью определена, если указано:
а) число s предельных циклов системы (А), лежащих в V;
б) каким является каждый из этих циклов — четнократным или
нечетнократным.
Отсюда вытекает, так же как в случае сложного фокуса, что в
окрестности конечнократного предельного цикла динамическая система (А)
может испытывать лишь конечное число различных бифуркаций. Мы не
останавливаемся на их описании, так как дело обстоит здесь в точности
так же, как в случае фокуса (§ 25.2).
Пример 10. Рассмотрим систему
dx
-%-=-y+z(x*+y*-i)h, ^=х+у(х2 + у2-^)\
dy
dt
(В*)
где к — натуральное число.
Непосредственные вычисления показывают, что система имеет
единственное состояние равновесия О (0, 0), являющееся неустойчивым фокусом
при к четном и устойчивым при к нечетном. Нетрудно проверить, что
окружности
a* + y* = C* (14)
*) То есть известно, входят ли в окрестность V при возрастании t траектории,
пересекающие цикл Г^ (i == 1, 2), или они выходят из окрестности V.


§ 27] РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ СЛОЖНОГО ПРЕДЕЛЬН. ЦИКЛА 293
при С Φ 1 являются для системы (Bft) циклами без контакта, а окружность
х* + у* = 1 (15)
есть траектория системы. Отсюда следует, что эта окружность есть
единственная замкнутая траектория системы, т. е. является предельным
циклом. Мы будем обозначать окружность (15)
через L0. Все траектории системы (ВА), отличные
от фокуса О и предельного цикла L0, являются
спиралями. Так как
' . · 1 dp2
= р2(р2-
■i)k,
то бесконечность абсолютно устойчива. Все эти
данные однозначно определяют топологическую
структуру динамической системы (Bft). При к
четном предельный цикл L0 полуустойчив,
а при к нечетном — неустойчив. Расположение
траекторий показано на схематических
рисунках 120 (к четное) и 121 (fe нечетное).
Покажем, что для системы (ВА) траектория
L0 является циклом кратности к. Это
непосредственно вытекает из леммы 1 § 26.2. В качестве исходной системы (А)
указанной леммы возьмем систему
dx -у, ^ = х (16)
Рис. 120. При к четном
фокус неустойчив, предельный
цикл полуустойчив.
dy
dt
и положим, что
F(x, у) = я* + у*—1.
За числа т и λ примем соответственно числа /си—. Тогда система (Αχ),
фигурирующая в лемме 1 § 26.2, совпадает с
системой (ВА). Система (16) имеет своими
траекториями состояние равновесия О (0, 0) (центр) и
концентрические окружности χ— С cos t,y = С sin t,
в том числе и окружность L0. Поэтому для
системы (16) функция последования / (р0) ^ Ро» а
d (р0) ξ 0. Но тогда при любом г выполняются
условия (42) § 26.2. Очевидно, что на
траектории LQ выполняются также условия
F(x, ρ) s= 0f (Р'х)* + (ГУ)*Ф0
(условия (35) и (36) § 26). Таким образом, все
условия леммы 1 § 26.2 выполняются, т. е.
окружность L0 является предельным циклом
системы (ВА) кратности к.
Случай, когда к = 2, был подробно рассмотрен в главе VIII (§ 22,
пример 8). Именно, там было выяснено, как меняется топологическая
структура системы при вращении ее векторного поля и, в частности,
что происходит при этом с предельным циклом L0.
Рис. 121. При к нечетном
фокус устойчив,
предельный цикл неустойчив.


ГЛАВА XI
РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ ПЕТЛИ
СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА
Введение
Предположим, что динамическая система (D) имеет простое (грубое)
седло О (χ0ι Σ/ο) и чт0 существует траектория L0, стремящаяся к седлу О
как при /->- — оо, так и при t->- + оо. Такая траектория является
одновременно а- и ω-сепаратрисой седла 0, и говорят, что она образует петлю.
В главе IV (§ 11.2, теорема 16) показано, что сепаратриса, образующая
петлю, является негрубой траекторией и что существуют сколь угодно
близкие к (D) измененные системы, при переходе к которым петля
сепаратрисы исчезает.
В настоящей главе рассматривается вопрос о появлении (рождении)
замкнутых траекторий из петли сепаратрисы при переходе к близким
системам.
Глава состоит из двух параграфов (§§ 28 и 29). § 28 является
вспомогательным. В первом пункте его изучается функция последования на дуге
без контакта, пересекающей петлю сепаратрисы, и устанавливается ряд
свойств этой функции. Все основные результаты настоящей главы
получаются в дальнейшем с помощью рассмотрения указанной функции
последования. Во втором пункте исследуется, что происходит с седлом и его
сепаратрисами при переходе к близким системам.
Основные результаты главы содержатся в § 29. Они заключаются
в следующем.
Будем считать для определенности, что две сепаратрисы седла О,
не принадлежащие Z/0» лежат вне петли, образованной сепаратрисой L0.
Прежде всего доказывается (п. 1, теорема 44), что если величина
σο fob У о) = Ρ'χ (*<ь У о) + Qy (*о> У о)
больше нуля (меньше нуля), то петля L0 неустойчива (устойчива) изнутри,
т. е. все траектории, проходящие через близкие к петле точки, лежащие
внутри петли, стремятся к ней при £->- — оо (£->■ -f °°)·
Далее рассматривается вопрос о рождении замкнутой траектории
из петли сепаратрисы (п. 2, теоремы 45 и 46). Именно устанавливается,
что если петля сепаратрисы устойчива или неустойчива (в частности,
если σ0 φ 0), то существуют сколь угодно близкие измененные системы,
при переходе к которым петля исчезает, но в сколь угодно малой
окрестности ее появляется по крайней мере одна замкнутая траектория (рис. 122).
В п. 3 доказывается, что если σ0 φ 0, то из петли сепаратрисы
в достаточно малой окрестности ее может появиться не более одной
замкнутой траектории. Для ее появления необходимо (но недостаточно), чтобы
петля сепаратрисы исчезла. При этозд, если при переходе к близкой систе-


§ 28]
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
295
ме рождается замкнутая траектория, то она является предельным циклом
такой же устойчивости, как исчезнувшая петля сепаратрисы (теоремы
47 и 48).
В п. 4 рассматривается случай, когда σ0 = 0. В этом случае теорема
единственности не имеет места, т. е. существуют сколь угодно близкие
к (D) измененные системы, имеющие в сколь угодно малой окрестности
петли по крайней мере две замкнутые траектории (теорема 50).
Кроме изложенного выше в § 29 рассматривается вопрос о том, при
каких условиях в случае исчезновения петли в ее окрестности обязательно
Рис. 122.
появляется или, напротив, не может возникнуть замкнутая траектория.
Теоремы 45 и 49 дают исчерпывающее решение этого вопроса в
предположении, что σ0 Φ 0.
В главе XI мы предполагаем для определенности, что
рассматриваемые динамические системы являются аналитическими. Однако все
полученные результаты являются справедливыми и для систем класса η
(дг>1), причем доказываются они в точности так же, как для
аналитических систем.
Отметим еще, что всюду в главе XI, где мы говорим о близости
динамических систем, мы подразумеваем, как всегда, близость в некоторой
фиксированной замкнутой области G.
§ 28· Вспомогательный материал
В этом параграфе мы излагаем ряд лемм, которые используются при
доказательстве основных предложений данной главы. Часть этих лемм
имеется в КТ. Однако мы считаем целесообразным для удобства привести
их здесь, иногда без доказательств.
1* Функция соответствия и функция последования. Пусть
-ЗГ = *(*,?), ■%■ = <}(*> V) (D)
— динамическая система, /4 и 12 — две ее дуги без контакта, не имеющие
общих точек, а
и z = g2{u), y = h2(u), "α<ζ/<6
— параметрические уравнения дуг соответственно 1Х и Ζ2· Мы будем
считать, что gt, hu g2, h2 — функции 2-го класса. Точку на дуге Zt (Z2),
соответствующую значению параметра и (и), мы будем обозначать через Μ (и)
(соответственно Μ (и)).


296 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА [ГЛ. XI
и=со(Ь)
M(U)(U))
a=a)faj
Предположим, что каждая траектория L системы (D), при t = ί0
проходящая через точку Μ (и) дуги Ζ4 (а^и^Ь), при некотором
значении t> ίο проходит через точку Μ (и)
дуги Ζ2. Пусть при этом при t0 <
< ί< t траектория L не имеет общих
точек ни с дугой /1} ни с дугой Z2.
Величины t и и явлдются функциями
ют и. Обозначим их соответственно
через χ (и) и ω (и):
ϊ = Χ(Μ)ι и = <о(и).
Функции χ и ω определены для всех
и, а<!и<;Ь, и, как показано в КТ,
§ 3.6, замечание 2 к лемме 9,
являются функциями 1-го класса. Функция ω (и) называется функцией
соответствия между дугами /4 и Ζ2. Нетрудно видеть, что ω (и) есть
монотонная функция.
Пусть, как обычно,
« = φ(ί; t0, х0, у0), ζ/ = ψ(ί; ί0. *ό. Уо) (!)
ί0 проходящее через точку (а:0, у0).
Рис. 123.
— решение системы (D), при t
Положим, что
Ф(*; t0, ft (и), Λ1(Μ)) = Φ(ίι и), ψ(ί; ίο, ft (и), Α|(Μ)) = Ψ(ί, и)
Тогда
Φ (ίο. ») = ft И, Ψ (^o. и) ξξξ Ai {и).
С другой стороны, в силу сделанных выше предположений
Φ (χ (и), u) = ft (ω (и)), Ψ (χ (и), и) = h2 (ω (и)).
Так как Ζ4 и Ζ2—Дуги
(2)
(3)
(4)
контакта, то каждый из определителей
М«) =
Φι (t0, и) Ψί (ί0, и)
ft (и) л; {и)
и Δ2 (и):
Φί(χ("). ») Ψί(χ(»). »)
ft (ω (г/)) К (ω (и))
сохраняет один и тот же знак при всех значениях и, а<[и<;&. He
уменьшая общности, мы будем считать, что оба этих определителя
положительны. При этом условии функция ω (и) является монотонно возрастающей
(рис. 123).
Заметим еще, что
Φί(ί, и) = Р(Ф(*, и), Ψ (ί, и)), Ψί(ί, ι*) = ρ(φ(ί, и), Ψ(ί, в)). (5)
Это следует из соотношений (2) и из того, что (1) есть решение
системы (D).
Лемма 1. Функции
x = <p(t; t0, х0, уо), y = ty{t; tQ, х0, y0) (1)
удовлетворяют уравнениям в частных производных
(6)
яГ = "ХгГ Р (жо. Уо)
dt


§ 28]
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
297
Доказательство. По определению функций φ и ψ если
x = (f(t; t0i х0, у0), y = ^{t; t0, х0, у0),
то
Поэтому
ζο = φ(*ο; t, χ, у), yo = ty{t0\ t, x, у).
~^ = Р(*о,Уо), j%-=Q ix*Vo).
(7)
(8)
Из (1) и (7) следует, что
χ = φ(ί; t0, φ(ί0," ί, χ, у), ψ(ί0; ί, x, у)),
y==ty(t; t0, φ(ί0; t, χ, г/), ψ (ί0; ί, ж, г/)).
Дифференцируя последние тождества по t0 и принимая во внимание (8),
мы получим
■£+-£-*«*.*>+-£■<?<*.*>-*
Эф
Но, как известно,
φ(ί; ίο. «о. #ο) = <ρ(ί—ίο, о» «о. г/о)» Ψ(*; ** я0, уо) = <Ф(*—ίο, о. я0, уо)
Поэтому
Эф _ Эф Эф Эф
dtQ dt dtQ
+ 4~P(*o, Уо)+-|£-<?(*о, Уо) = 0.
(9)
Эж0
Э*
Отсюда и из соотношений (9) вытекают соотношения (6). Лемма доказана.
Лемма 2. Пусть
J{t; ίο, #ο* г/о)=:^ =
Эя0 ^^о
Эф Эф
дх0 ду0
где φ = φ(ί; ί0, *о, »o)t Ψ = ψ(*; ίο, #ο, Уо)· Тогда
t
Ι ΐΡ'χ(φ, *H»+Qy(<P> Ψ)] **
(10)
(И)
Доказательство. Вычислим -^-. По правилу дифференцирования
определителя
dJ
dt
dJ
dt
д Эф Эф
dt дх0 ду0
д Эф Эф
dt дх0 ду0
+
Эф
дх0 dt ду0
Эф Э Эф
дх0 dt ду0
дР (φ, ф) Эф
+
дх0 ду0
dQ (φ, ф) Эф
^0 ##0
j?P__д$ _^_ЭР_ _Эф
Эа: дх0 '
Э(? Эф ,
Эф ЭР(ф, ф)
дх0 ду0
Эф dQ (φ, ф)
Эж0
Эф
дУо
ду дх0 ду0
dQ Эф Эф
дх дхп
ду дх0 ду0
+
дР Эф , дР
дх0 дх дуо
Эф dQ д<р
ду ду0
dQ Эф
дх0 дх ду0 ду ду0


298 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА [ГЛ. XI
откуда после простых вычислении следует, что
dj
dt
[ρ;(φ, ψ)+α, (φ. Ψ)1-λ
(12)
Зафиксируем ί0» χοι Уо> т. е. будем рассматривать последнее соотношение
как обыкновенное дифференциальное уравнение. Так как
ψ (*οί *ο> 3οι Уо) = *о, Ψ (*о; *о, х0, у0) = у0,
то
Г-^-1 =1
L дх0 J<=(0 '
L дх0 _|<=<0 υ'
L ду0 Jt=i0 υ»
Г-^-1 =1.
L ду0 Jt=t0
Поэтому
L dt Jt=t0
(13)
Интегрируя уравнение (12) при начальном условии (13), мы получим
соотношение (11). Лемма доказана.
Обозначим через Δ (£, и) якобиан
Ρ (Φ, Ψ) =
D (t, и)
Лемма 3.
*{1,Щ— D(tu)
φ,' {t, и) ф; (t, и)
= J{t; t0, gi(u), Ai(w))
P(gi(u),hl(u)) Q(giM,hi(»))
g'l («) К (U)
(14)
где J(t; t0, #i(m), Ai (w)) определяется формулой (10).
Доказательство. Из соотношений (2) и (6) следует, что
Δ (*, и) =
■g-P(ftM,*i(»))+^-<?tei(»).AiM) -Цг^И+^^н
дЖл
где значения производных
θψ
дур
0ψ
дхо ' ду0 * &е0 ' ду0
(15)
берутся в точке
J{t\ to, gi(u), hi (и)) и
Лемма доказана.
(*; *о» gi (и), Αι (и)). Но определитель (15) равен произведению определителей
Предыдущие леммы дают возможность найти выражение для
производной от функции соответствия. Это выражение играет в дальнейшем
очень важную роль, и мы переходим к его выводу.
Мы рассматривали выше определители
М») =
Φί (t0, и) Ψί (t0, и)
g'l (и) К (U)
и Δ2(«) =
Φί (χ («).«*) Ψί (%(»).»)
£(ω(ι*)) *; (ω (и))


I 28]
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
299
Как уже указывалось, не уменьшая общности, можно считать их
положительными. Из соотношений (2), (4) и (5) следует, что
Ρ (gi (и), h (и)) g[ (и) I
Q {g\ (и), ht (и)) h[ (и) |
Ρ (£2 (ω (и)), h2 (ω (и))) g'2 (ω (и)) I
ρ (*2 (ω (и)), *j (ω (в))) *; («(«)) I
Выражение для производной от функции соответствия
Ai(u) =
Δ2 (и) =
(16)
(17)
Лемма
имеет вид
где
v ' Δ2(η)
(18)
φ = φ (t; t0, gt (и), ht (и)) = Φ (t, к),
i|) = i|)(i; t0, g±(u), Αί(ι^)) = Ψ(ί, и).
Доказательство. В силу соотношений (4)
Φ (χ (и), и) ξ g2 (ω (и)), Ψ (χ {и), и) == k2 (ω (и)).
Дифференцируя эти тождества по и, мы получим:
Φι (Χ Η, и) χ' (и) + Φ; (χ (и), и) = g'% (ω (и)) ω' (и),
Ψί (X (и), и) X' {и) + Ψ; (χ (и), и) з Α; (ω (и)) ω' (и).
Последние соотношения можно рассматривать как линейную систему
относительно χ' (и), ω' (и). Очевидно, детерминант ее равен Δ2 (и), т. е.
она является крамеровской. Решая ее, мы найдем, что
\ФЦХ(и),и) Ф;(Х(и),и)|
ψ; (χ (и), в) ψ;(χ(«),«)
ω' (и) ■■
Δ2(β)
(19)
Числитель последней дроби есть Α (χ (и), и). В силу формулы (14)
Δ (λ (и), в) = / (χ (и); ί0. ft ("). *ι Μ) Δι (»)·
Отсюда и из формул (11) и (19) вытекает формула (18). Лемма доказана.
Замечание. Величина производной to' (и), очевидно, не зависит
от выбора движения (2) на траектории L, проходящей через точку
(g (и), h (и)) (т. е. не зависит от выбора начального значения t0).
Перейдем теперь к рассмотрению функции последования.
Предположим, что на некотором интервале дуги без контакта Z, заданной
параметрическими уравнениями
x = g(u), y = h(u)
(g и h — функции второго класса), определена функция последования
й = /(в). (20)
Пусть М0 — точка дуги Z, соответствующая значению и0 параметра и,
L0 — траектория, проходящая через точку Μ0, и
* = ф(0> Ρ = Ψ(*)
— движение на этой траектории, при котором точке М0 соответствует
значение t0 времени. Допустим, что функция последования / (и) определе-


300 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА [ГЛ.XI
на в точке и0 и что
Щ = f ("о) Φ Щ- (21)
По определению функции последования это значит, что траектория L0
пересекает дугу без контакта Ζ еще раз при некотором значении Τ > t0
в точке М0 (и0) и что при t0 < t < Τ она не имеет общих точек с дугой I
(рис. 124). В силу условия (21) точки М0 и М0 различны, и,
следовательно, траектория L0 не замкнута.
Пусть х0, у0 — координаты точки М0, а х0, у0— координаты точки М0.
Очевидно,
η' (ϋ.Δ = Ρ (τ.Λ. ή Δ. il/ (/Δ = Π (τ.Λ ή Δ
(22)
(23)
(24)
fb \1Ь) Ι
Из соотношений (22) —(24) следуетг что
Δ0 = Δ (х0, у0, и0), Δ = Δ (ϊ0, у0, и0). (25)
Лемма 5. Выражение для производной от функции последования
в точке М0 (щ) дуги без контакта Ζ, через которую проходит
незамкнутая траектория L0, имеет вид
φ
' (to)=P(*o, г/о
>, Ψ' (to)
= <?(яо> г/о).
φ' (Τ) = Ρ (Χο, уо), Ψ' (Τ) = Q (χ0, у0).
Пусть, далее,
Δ0 =
ψ'(to) t'('o)
g' (и0) h' (щ)
. Δ =
φ'(Γ) ψ'(Γ)
#' Ы К Ы
Введем обозначение
Δ (χ. и. и) = I
P(*,y) ρ (ж, у)
г»
fe'(n)
#
([Ρ^(Φ(ί),Φ(ί))+<3»(<Ρ(<),ψ(0)]<ίί
/>0)^Д(?'^-°Уо
Δ (ж0. #о> "ο)
(26)
Доказательство. Так как по предположению точки М0 и ilf 0
различны, то функцию последования и = / (и) в достаточно малой
окрестности точки Мо* можно рассматривать как функцию соответствия между
двумя дугами Ζ' и Г без общих точек,
являющимися частями дуги I и содержащими
соответственно точки М0 и М0.
Тогда в силу леммы 4 (формула (18))
τ
/'(Mo) = -fV·
Δ
Отсюда и из соотношений (25) вытекает
формула (26). Лемма доказана.
Замечание 1. Выражение для
производной от функции последования в точке,
через которую проходит замкнутая траектория, получается, очевидно, из
формулы (26), если положить, что к0 — и0, х0 = х0, у0 = у0. В этом случае
τ
Δ (ж0. 2/о, «о) = Δ (*0, уо. "о) и /' (к0) = е'°
веденное раньше, в V главе (§ 13.3, (30)).
Рис. 124.
■выражение, вы-


§ 28]
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
301
Замечание 2. Предположим, что наряду с дугой без контакта Z,
на которой определена функция последования (20), рассматривается
дуга без контакта Z*,
параметрические уравнения ,
которой / J*o
x = g*(v), y = h*(v) M*(U<&
(g* и h* — функции
второго класса). Пусть
траектория L0, пересекающая
при t = t0 дугу Ζ в точке
Μ о (и0), пересекает дугу Ζ*
при значении t = t* > t0
(или t* < t0) в некоторой
точке N0 (v0), причем при
значениях t, лежащих
между h и С» траектория L0 не
имеет общих точек ни с
дугой Z, ни с дугой Z* (рис.
125 ). Мы считаем, кроме
того, что Μ о и Ν0 — внутренние точки дуг без контакта соответственно Ζ и Ζ*.
Нетрудно видеть, что на дуге Ζ в окрестности точки и0 определена
функция соответствия между дугами Ζ и Ζ*:
V = (u(u),
а на дуге Z* в окрестности точки v0 — функция последования
v = f*{v),
причем
ν = /* (ν) = /* (ω (и)) =ω (/ (и)) =ω (и). ^(27)
Рис. 125.
Дифференцируя последнее соотношение по г, мы получим
ifo
ω'(и)
(28)
Формула (28) устанавливает связь между производными от функции
последования на различных дугах без контакта. Мы воспользуемся ею в
дальнейшем. Отметим, что если траектория L0 замкнута, то и0 = и0, v0 = v0
и из формулы (28) следует, что
/*>о)=/>).
Это значит, что величина производной от функции последования в этом
случае не зависит от выбора дуги без контакта, а также, очевидно, от
выбора параметра на дуге без контакта.
Лемма 6. Пусть и = / (и) — функция последования на дуге без
контакта Z, определенная при всех значениях и, а^и^Ь, и пусть при
всех этих значениях
/'(»)<! (/'(»)>!)· (29)
Тогда существует не более одной замкнутой траектории, пересекающей
часть дуги Z, соответствующую указанным значениям и, причем если такая
замкнутая траектория существует, что она является грубим устойчивым
{соответственно неустойчивым) предельным циклом.


302 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА [ГЛ. XI
Доказательство. Допустим, что на дуге I существуют две
точки Mi (Ui) и Μ2 (и2), через которые проходят замкнутые траектории,
причем Ui и и2 принадлежат сегменту [а, 6]. Тогда / (z^) = uu f (и2) = г/2,
т. е.
/Ы — f(u2) = ui — и2.
По формуле Лагранжа / (щ) — f (и2) = /' (и) (их — и2), где и
принадлежит интервалу (ии и2), а следовательно, и сегменту [а, 6]. Но тогда
/' (и) {ui — и2) = щ — и2, т. е. /' (и) = 1, что противоречит условию (29).
Таким образом, первое утверждение леммы доказано. То обстоятельство,
что замкнутая траектория, для которой /' (и) <; 1 (/' (и) > 1), является
грубым устойчивым (неустойчивым) предельным циклом, было
установлено в V главе (§ 12.4, а также § 14, теорема 18). Лемма доказана.
Приведем без доказательства еще две леммы, в которых
рассматривается не только система (D), но и близкие к ней системы.
Пусть Ιι и 12 — две дуги без контакта системы (D), не имеющие общих
точек, и пусть при всех значениях параметра и на дуге lu а^и^Ь,
определена функция соответствия и = ω (и) между дугами ij и /2, причем
значениям а = ω (а) и Ь = ω (b) соответствуют внутренние точки дуги Ζ2·
Лемма 7. При любом ε > 0 существует δ > 0 такое, что для
всякой системы (D), δ-близкой к системе (D)i l± и 12 являются дугами без
контакта и существует функция соответствия между этими дугами
и — <й(и),
причем эта функция определена на сегменте [а, Ь] и ε-близка к функции
ω (и) на этом сегменте *).
Аналогичное утверждение имеет место и для функции последования.
Именно, пусть у системы (D) на дуге I при всех значениях параметра и
на этой дуге, а^и^СЬ, определена функция последования и = / (и),
причем значениям а = / (а) и Ъ = / (Ь) соответствуют внутренние точки
дуги I.
Лемма 8. При любом ε > 0 существует δ > 0 такое, что для
всякой системы (D), δ-близкой к системе (D), I является дугой без контакта
и на этой дуге существует функция последования
u=J{u),
причем эта функция определена на сегменте [а, Ъ] и ε-близка к функции
f (и) на этом сегменте.
Лемма 7 почти непосредственно вытекает из леммы 2 § 4.1 и из
теоремы 4 (§ 1.1), если принять во внимание, что функция соответствия ω (и)
вместе с некоторой, функцией] χ (и) удовлетворяет системе уравнений
Φ (X (и). ») = £2 (ω (и)), Ψ (χ (в), и) = h2 (ω (в)),
аналогичной системе (4). Лемму 8 можно рассматривать как частный
случай леммы 7.
2. Некоторые свойства седла и его сепаратрис. Простые состояния
равновесия, являющиеся седлами, подробно рассматривались в КТ, гла-
*) Напоминаем, что под близостью мы всегда понимаем близость по крайней
мере до ранга 1. См. § 3.1, определение 6 и § 1.1, определение 1.


§ 28]
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
303
ва IV, § 7.3, а также в главе IV настоящей книги (§ 9). Приведем здесь
те свойства седел и их сепаратрис, которые понадобятся нам в дальнейшем.
Пусть О (х0, у0) — седло динамической системы (D), являющееся
внутренней точкой области G.
Лемма 9. а) Существуют ε0 > 0 и δ0 > 0 такие, что всякая
система (D), 60-близкая в области G к системе (D), имеет в Uъ (О)
единственное состояние равновесия О, причем оно также является седлом.
б) Для всякого ε, 0 < ε < ε0, существует δ, 0 < δ < δ0, такое, что
если система (D) δ-близка к системе (D), то у нее имеется седло О,
лежащее в Uε (О).
Доказательство. Справедливость леммы 9 вытекает
непосредственно из определения простого состояния равновесия (см. § 7.3,
определение 15, а также § 2.1, определение 5) и из
того, что для седла Δ < 0. ι ι+ Μ Ι1
Замечание. Предположим, что ^L- "*"" —^j^^/
рассматривается динамическая система, υ\
правые части которой — непрерывные . м
функции параметра μ, т. е. система _»-Л**-*-Т+
М0(а0}
\
^ = Р(х, у, μ), 2jf = Q(x, У, μ), (ϋμ)
причем (Ομο) есть исходная система (D). Рис· 126·
Тогда существуют числа ε0 > 0 и а > 0
такие, что если | μ — μ0 |<α, то система (ϋμ) имеет в UZo (О) единственное
состояние равновесия О (μ), являющееся седлом, причем координаты его
#о (μ) и У о (μ) — непрерывные функции от μ, в частности,
lim х0 (μ) = х0, Km у0 (μ) = у0.
μ-»μο μ-НЮ
Справедливость последних соотношений, т. е. непрерывность функций
х0 (μ) и у0 (μ) в точке μ0, непосредственно вытекает из леммы 9.
Непрерывность при остальных значениях μ, близких к μ0, следует из того, что
каждое такое значение μ может быть принято за μ0.
Следующее предложение содержится в замечании к лемме 3 § 9.2,
и мы приводим его без доказательства. Пусть О — седло системы (D), L+—
его ω-сепаратриса, I — дуга без контакта, пересекающаяся с
сепаратрисой L+ в единственной точке М0, отличной от концов дуги I, и не
пересекающаяся со второй ω-сепаратрисой седла (рис. 126). Пусть, далее,
х = g (и), у = h (и) — параметрические уравнения дуги /, причем точка
М0 соответствует значению и0 параметра и.
В силу леммы 9 у всякой измененной системы (D), достаточно
близкой к системе (D), в некоторой фиксированной окрестности Ueo (О)
существует единственное седло О, сколь угодно близкое к О.
Лемма 10. Для любого ε > 0 существует δ > 0, такое, что если
система (D) δ-близка к системе (D), то:
а) Одна из ω-сепаратрис седла О, которую мы обозначим через L+,
пересекается с дугой I в единственной точке Mq, соответствующей
значению и0 параметра, причем М0 6 U& (M0), а вторая ω-сепаратриса седла О
не пересекается с дугой L
б) Если на сепаратрисах L+ и L+ выбраны движения, при которых
точкам М0 и М0 соответствует одно и то же значение t = t0, то при


304 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА [ГЛ. XI
любом t> t0 точка Μ (t) сепаратрисы L+, соответствующая значению
времени t, лежит в ε-окрестности точки Μ (t) сепаратрисы L+,
соответствующей тому же значению времени.
Аналогичное утверждение справедливо для α-сепаратрисы седла О.
Замечание. Пусть так же, как в замечании к лемме 9, (ϋμ)
есть система, правые части которой — непрерывные функции от μ и
которая совпадает с исходной системой (D) при μ = μ0. Тогда, в силу леммы 10,
существует число α > 0 такое, что если | μ — μ0 | < α, то система (Όμ)
имеет в Ueo (О) единственное седло О (μ) одна из ω-сепаратрис которого
Χμ пересекается с дугой I в единственной точке М0 (μ), а вторая не имеет
общих точек с дугой Ζ. При этом
значение U0 (μ) параметра и,
соответствующее точке Μ ο (μ),
является непрерывной функцией μ.
Аналогичное утверждение справедливо
и в том случае, когда правые
части системы являются
непрерывными функциями от нескольких
параметров.
Из результатов исследования
поведения траекторий в
окрестности седла (КТ, § 7.3) легко
вывести еще одно предложение,
необходимое для дальнейшего. Мы
приведем его без доказательства,
Рис. 127. сформулировав в виде леммы.
Рассмотрим окружность С с
центром в седле О, не содержащую
как внутри себя, так и на себе ни одного состояния равновесия системы (D),
кроме О. Пусть L+ и L~ — ω- и α-сепаратрисы седла О. Допустим, что
каждая из них имеет лежащие вне С точки, и обозначим через Λ/Ί и М2
последние общие точки этих сепаратрис с окружностью С (так что на
частях OMi и ОМ2 полутраекторий L+ и L~ не лежит уже больше ни
одной точки окружности С; рис. 127). Части ОМх и ОМ2 сепаратрис L+
и L" делят круг, ограниченный окружностью С, на два (криволинейных)
сектора, в одном из которых лежат две другие сепаратрисы седла О.
Обозначим второй сектор через К. Пусть А и В — отличные от Mi и М2
точки на частях ОМ^ и ОМ2 сепаратрис L* и L", а λ4, λ2 — дуги без
контакта, проведенные через А и В и не имеющие общих точек.
Лемма 11. Существуют части ΑΑι и ВВХ дуг без контакта λ4 и λ2,
лежащие целиком (кроме концов А и В) в секторе К и обладающие
следующим свойством: каждая траектория L системы (D), при t = tt проходящая
через отличную от А точку Μ дуги Α Α ι, при некотором значении t2>h
пересекает дугу λ2 в некоторой отличной от В точке Ν, причем
а) все точки траектории L, соответствующие значениям t, tt<it<C.t2
лежат в секторе К;
б) траектория, проходящая через точку А^ дуги ААи пересекает
дугу ВВХ β точке Вх\
в) точка N стремится к точке В, когда Μ стремится к А;
г) при любом Τ > 0 существует точка М* дуги ΑΑι такая, что для
всякой траектории, при t — ^ пересекающей часть М*А дуги AAi9
выполняется неравенство t2 — £4 >> Г.


§ 28]
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
305
Сохраняя обозначения, введенные в последней лемме, рассмотрим
измененную систему (D).
Из теорем о непрерывной зависимости решения от начальных
условий и от правых частей и из предыдущих лемм следует, очевидно, что
существуют числа ε0 > 0 и δ0 > 0, обладающие следующими свойствами:
если система (D) б0-близка к системе (D), то
1) в ϋεο (О) существует одно и только одно состояние равновесия—
седло О;
2) λ4 и λ2 являются дугами без контакта для системы (D);
3) существуют сепаратрисы седла О системы (D) L* и L^,
пересекающие дуги λί и λ2 соответственно в точках А я В, причем точка А лежит
на дуге λ4 по ту же сторону от Аи что и точка А, а точка В лежит
на дуге λ2 по ту же сторону от Ви что и точка В\
4) траектория системы (D), проходящая через точку Аи пересекает
дугу λ2 в некоторой точке Ви лежащей на дуге λ2 по ту же сторону от
точки В, что и точка Bt.
Нетрудно убедиться в справедливости следующих двух лемм.
Лемма 12. Для любого ε > 0 (ε < ε0) существует δ > 0 (δ < δ0)
такое, что если система (D) Ь-близка к системе (D), то
а) A£Ue(A), B£US(B), B^U^B,)·
б) траектория системы (D), проходящая при t-=t^ через какую-
нибудь точку Μ дуги ААи при t~t2>tv пересекает дугу λ2 в точке Ν;
в) точка N стремится к В, когда Μ стремится к А.
Лемма 13. Пусть при заданном Т>0 М* — точка дуги λ1?
удовлетворяющая условию г) леммы 11. Тогда существует δ>0 такое, что
если система (D) Ь-близка к системе (D), то точка А на дуге ^ лежит
по ту же сторону от точки М*, что и А, и для всякой траектории
системы (D), пересекающей часть М*А дуги λ^ справедливо
неравенство t2 — ti > Т.
В дальнейшем существенную роль будет играть взличина
σ (я0> Уо) = Ρ'χ (*о, Уо) + Q'y (*o, Sfo)> (30)
где х0, у0 — координаты рассматриваемого седла О системы (D). Покажем,
что она является инвариантом преобразования координат.
Пусть в области G произведено преобразование координат,
определяемое формулами
l = f(x,y)> 4=g{z,y) (31)
или эквивалентными формулами
* = φ(ξ, л), # = Ψ(ξ>η)> (32)
где /, g, φ и ψ—функции второго класса.
В новых координатах система (D) имеет вид
-§ = />*(!. η), § = ^(ξ,η), (D*)
где
ρ* (Ι, η) = /i (φ, Ψ) ρ (φ, Ψ)+П (φ, Ψ) Q (φ, Ψ)>
Q* (Ι. η)=g'x (φ. Ю ρ (φ, Ψ)+g'„ (φ, Ψ) Q (φ, ψ).
(33)


306 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА [ГЛ. ΧΪ
При этом новыми координатами седла О будут числа
£о = /(яо> Уо), Ло = £(*<), У о).
Лемма 14. Величина σ (х0, у0) — Р'х (xQ, у0) -\- Q'y (х0, у0) является
инвариантом преобразования координат, т. е.
о* do, %) = PI' (Ιο, %) + <&' (io, η0) = о (х0, у0). (34)
Доказательство. Дифференцируя первое из равенств (33) по |,
а второе по η, складывая их и подставляя вместо ξ и η соответственно
ξ0 и т]о, мы получим, принимая во внимание соотношения Р{хо,Уо) —
= <?(*о. Уо) =0, что
σ*(ξο, т|о) = {/И<Р. Ψ)[^(Φ. Ψ)φέ + ^(φ. Ψ)Ψξ] +
+ /ί(φ» Ψ)1&(φ» Ψ)φξ + %(Φ» Ψ)Ψδ1+ίΗφ. Ψ) I^i (Φ. Ψ)φη+^(φ» Ψ)Ψη] +
+ &, (Ψ» Ψ) [<?i (φ. Ψ) Φη + Q'y (Φ» Ψ) Ψη!}|=!ο.
Равенство (34) получается непосредственно из последнего соотношения
в силу тождеств
а =5 φ (/ (ж, г/), g (я, у)), у ξξ ψ (/ (χ, г/), # (x, у))
и получающихся из них дифференцированием по χ и у тождеств
1Ф *' _L _?Ф гг' = 4 _^Ф. *' J_ _^5L rr' = 0
dg ' * + 5η gx
1 it/'+UL*'
Α» 0ξ /Ι/ "Τ ^η Sy
д\ 7у ^ d4gy
1.
§ 29. Рождение предельных циклов из петли сепаратрисы простого седла
1. Некоторые свойства петли сепаратрисы. Пусть
%Г = Ρ {*>¥)>
!-<?<*. *>
(D>
— динамическая система, О (х0, у0) — ее простое состояние равновесия,
являющееся седлом. Предположим, что одна из α-сепаратрис L0 седла О
является одновременно ω-сепаратрисой, т. е.
представляет целую траекторию,
стремящуюся к седлу О как при t -> — оо, так и при
t~* + оо. В этом случае говорят, что
сепаратриса L0 образует петлю *). Обозначь
через С0 простую замкнутую кривую,
образованную траекторией L0 и точкой О.
Кривую С0 мы будем называть петлей
сепаратрисы L0 или просто петлей.
Кроме траектории L0 седло О имеет
еще две сепаратрисы L\ и L\ (различные или
совпадающие), лежащие либо обе внутри
кривой С0, либо обе вне этой кривой. Всюду
в дальнейшем мы будем для определенности предполагать, что сепаратрисы
L\ и L~ лежат вне кривой С0 (рис. 128). В случае, когда они лежат
внутри кривой С о, все рассуждения полностью аналогичны.
Рис. 128.
*) В силу теоремы 23 (§ 18.2) сепаратриса, образующая петлю, может
существовать только у негрубой системы.


§ 29] РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА 307
Лемма 1. Сепаратриса, образующая петлю, может иметь не более
одной общей точки с дугой без контакта.
Доказательство. Допустим, что сепаратриса L0, образующая
петлю, имеет две общие точки А и В с какой-нибудь дугой без
контакта I (рис. 129). Тогда седло О должно, очевидно, лежать одновременно
как внутри простой замкнутой кривой,
образованной частями АВ траектории L0 и дуги без
контакта I, так и вне этой кривой, чего не может быть.
Лемма доказана.
Пусть х = (f0 (t), у = ψ о (t) — какое-нибудь
решение, соответствующее сепаратрисе L0, M0
и Μι — точки сепаратрисы, соответствующие
значениям t0 и tx времени. Будем считать для
определенности, что t0 < tia Проведем через точки М0
и Μι дуги без контакта 10 и /ь не имеющие друг
с другом общих точек (рис. 130). Пусть М0В0 —
часть дуги 10, все точки которой, кроме конца М0, лежат внутри кривой
С0; М0А0 — часть дуги Z0, все точки которой, кроме М0, лежат вне
кривой С0. Пусть, далее, М1В1 и ΜχΑχ — аналогичные части дуги Ζ4 (рис. 130).
Лемма 2. Для любого ε > 0 существует δ > 0, обладающее
следующим свойством: всякая траектория L, при t = t0 проходящая через
отличную от М0 точку Μ дуги М0В0, лежащую β Us [М0), при некотором
значении Τ > t0 пересекает, часть М0В0 дуги 10 еще раз β некоторой
точке М, не выходя при t0<sCt*CT из ε-окрестности петли С0 (точка Μ
может быть отличной от М, как на рис. 130,
или совпадать с М).
Доказательство леммы 2 непосредственно
вытекает из леммы 11 предыдущего параграфа, если
принять во внимание свойства траекторий, пересе-
^ кающих две дуги без контакта (КТ, § 3.4, лемма 5).
Замечание. Пусть Δ > 0 —
произвольное число. Число δ, о котором идет речь в лемме 2,
можно взять настолько малым, что траектория L при
некотором значении t[, t0 < t[ < Τ, | t[ — tx | < Δ,
будет пересекать часть ΜχΒχ дуги 1Х.
В следующей лемме мы рассматриваем
траектории, пересекающие часть М0А0 дуги Ζ0,
лежащую вне петли С0.
Лемма 3. Существуют числа ε0 > 0 и
Рис. 130. δ0 > 0, обладающие следующим свойством: если
траектория L проходит через точку Μ дуги
М0А0, лежащую в U&0 (M0) и отличную от М0, то траектория L выходит
из г0-окрестности петли С0 как при возрастании, так и при убывании t.
Доказательство. Рассмотрим ω- и α-сепаратрисы L\ и L\
седла О, лежащие вне кривой С0. Пусть Νχ и iV2 — точки на этих
сепаратрисах, а λί и λ2 — дуги без контакта, проведенные соответственно
через эти точки (рис. 130). В силу леммы 11 предыдущего параграфа
существует число δ0 > 0, обладающее следующим свойством: если траектория
L проходит через точку Μ дуги М0А0, лежащую в U&0(M0) и отличную
от М0, то эта траектория при возрастании t пересекает дугу λ2, а при
убывании t — дугу λ1β В качестве ε0 > 0 возьмем число, удовлетворяющее
условию, что окрестность Ueo (C0) не пересекается с дугами без контакта
λ4 и λ2. Очевидно, числа δ0 и ε0 удовлетворяют утверждению леммы.
LoJB


308 * РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА [ГЛ. XI
Вернемся к рассмотрению дуги М0В0, лежащей внутри кривой С0.
В силу леммы 2 всякая траектория, при t = t0 пересекающая эту дугу
в точке М, достаточно близкой к М0, при некотором значении T>t0
пересекает эту дугу еще раз в точке Μ («последующей» для М), причем
когда Μ стремится к М0, то точка Μ также стремится к М0. Так как дуги
М0В0 и Μ ι#ι могут быть приняты соответственно за дуги BBt и Α Αι
леммы 11 предыдущего параграфа, то из этой леммы и из леммы 2
непосредственно вытекает очень важная для дальнейшего
Лемма 4. Когда точка Μ на дуге М0В0 (рис. 130) стремится
к точке М0, лежащей на сепаратрисе, то значение Τ времени,,
соответствующее точке М, стремится к + оо.
Будем говорить, что траектория L стремится к петле С0 при t ->· + оо
(£->·— оо), если ее ω-предельное (соответственно α-предельное)
множество состоит из петли С0.
Доказательство следующей леммы, в которой используется лемма 2,
мы опускаем ввиду его очевидности.
Лемма 5. Если среди траекторий, пересекающих дугу М0В0
β достаточно близких к М0 точках, нет замкнутых траекторий, то либо
все эти траектории стремятся к петле при £->· + °°» либо все они
стремятся к петле при t ->■ — оо.
Определение 29. Мы будем называть петлю С0 устойчивой
(неустойчивой), если все траектории, пересекающие дугу MqB0 в
достаточно близких к Μ о точках (отличных от М0), стремятся к петле С0
при t ->· + оо (соответственно при £—>■ — оо).
В силу леммы 2 на некоторой части М0В дуги М0В0 определена
функция последования (саму точку М0 надо при этом исключить).
Пусть
* = вГо(и). У = К(и) (1)
— параметрические уравнения дуги Z0. Как и в предыдущем параграфе,
мы будем предполагать, что g0 и h0 — функции второго класса *).
Предположим, что точкам М0, А0, В0, В соответствуют значения
параметра и0, а0, Ъ0, Ъ, причем а0 < и0 < Ъ < 60.
Пусть
й = /(«) (2)
— функция последования на дуге М0В. В силу сделанного выше
предположения / (и) определена при всех значениях и, и0 < гг<[6
(подчеркнем, что мы рассматриваем функцию последования в направлении
возрастания t, т. е. каждой «последующей» точке соответствует значение времени
большее, чем «предыдущей» точке).
В дальнейшем мы будем также рассматривать функцию
d(u) = f(u)-u. (3)
В силу леммы 2
lim d{u) = 0. (4)
Если через точку М* (гг*) дуги М0В проходит замкнутая
траектория L*, то d (и*) — 0.
*) Если в качестве 10 взять, в частности, отрезок нормали к траектории LQ в
точке Μ о, то за функции g0 и h0 можно взять функции
So (и) = <Ро(*о)—Ψί (to) и» ΜΜ) = Ψο(*ο) + φό (t0) м.


29] РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА 309
Если существует число ии и0 < гг^Ь, такое, что при всех и, и0<
<гг<и1, d (и) Φ 0, т. е. если нет замкнутых траекторий,
пересекающих дугу Μ0Β0 в точках и, и0 < г/<иь то
петля устойчива, если d(w)<0,
петля неустойчива, если d (и) > 0
(при щ<.и<Сщ).
В дальнейшем мы будем рассматривать предел, к которому стремится
производная от функции последования /' (и), когда и ->■ и0.
Обозначим через
х = Ч>мУ), y = tyM(t) (6)
решение, соответствующее траектории L, проходящей через точку Μ (и)
дуги М0В. Будем, как и выше, предполагать, что решение (6) проходит
через точку Μ при t = t0, а через точку Μ (и), последующую для М>
при t = Τ > ίο-
Координаты точек М0, Μ, Μ и седла О обозначим соответственно
через (ξ0, η0)> (L η), (ξ> η) и (ζ0, ί/ο)· Пусть, как и в предыдущем параграфе,
σο = σ (ж0, Уо) = ^i («о» Jto) + % (*о> Уо) · (7)
Лемма 6. Пусть точка Μ на дуге М0В стремится к точке М0,
т. е. и-+и0. Тогда
если σ (xQ, y0) = Р'х {xQl у0) + Q'y (х0, у о) > 0, то /' (и) -> + со; (8)
веда σ (я0, #0) < 0» то /' (гг) —> 0. (9)
Доказательство. Заметим прежде всего, что lim /' (и) не
w->uo
зависит от того, какую дугу без контакта мы возьмем в качестве Z0. Это
непосредственно вытекает из формулы (28) предыдущего параграфа.
В силу этой формулы, если Ζ* — аналогичная Ζ дуга без контакта,
ν и /* (ν) — параметр и функция последования на ней, причем
сепаратриса L0 пересекает Z* в точке г?0, и если ω (и) — функция соответствия между
дугами без контакта Ζ и Ζ*, то
' v ' ω (и) ' ν '
Еслии—>м0, то ι>—>у0, и—»ίί0, и так как ω'(«0)^=0 в силу § 28.1,
(18), то
lim /*'(ν) = lim /'(и).
Рассмотрим сначала случай, когда
ст0 = σ (я0, #о) > 0.
Пусть С — окружность с центром в О настолько малого радиуса, что
во всех точках (х, г/), лежащих внутри С, выполняется соотношение
о (х, у) = Р'х (х, у) + Q'y (χ, у)>^. (Ю)
Выберем точки М0 и М4 и дуги Z0 и Z4 так, чтобы эти дуги, а также
части сепаратрисы L0, соответствующие значениям £<; t0l а также
значениям £>£4, лежали внутри окружности С (рис. 131).
В силу леммы 5 предыдущего параграфа мы имеем
τ
/'(и) = ^Лф*· , (11)
δ (ξ, η, м)


310 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА [ГЛ. XI
где
Δ (ξ, η, ») =
ΙΡ (ξ, η) Q (ξ, η)
I g'« («) κ (»)
Δ (ξ, η, и) ■■
^(δ.η) <?(δ.η)
g'o (») *ί (»)
Когда и—> и0, оба определителя Δ (i, η, и) и Δ (1, η, ω) стремятся к одному
и тому же пределу Δ (|0, η0, и0), отличному от нуля, и, следовательно,
lim АЙЬ> и)
и->мо Δ (S. η, ")
Поэтому нам нужно найти только
1.
(12)
lim \ σ(φΜ(0» Ψμ (0)Λ·
M-*Mo
Очевидно,
J су (φΜ (t), ^M (ί)) dt = ^ σ (φΜ, ψΜ) Λ + ^ σ (φΜ, Ψμ) Λ, (13)
где ίί — значение t, соответствующее точке пересечения М[ траектории L
с дугой без контакта lv (рис. 131); напомним, что траектория L проходит
через точку Μ при t = t0).
t'l h
Когда Л/-> М0, το ^ α (φΜ, ψΜ) dt-^ ^ σ (φ0 (/), Ψο (0) rf*> гДе
ίο to
x = (f0[t), y = ty0(t)—решение, соответствующее сепаратрисе L0 и
проходящее при t = t0 через точку М0.
Таким образом, первый из
интегралов в правой части формулы (13)
стремится к конечному пределу.
Рассмотрим второй из этих
интегралов, т. е.
τ
\ o{(fM(t)^M(t))dt.
Очевидно, если точка Μ
достаточно близка к М0, то М[ сколь
Рис. 131. угодно близка к точке М1 и часть
М[М траектории L целиком лежит
внутри окружности С (см. § 28.2, лемма 11). Но тогда, в силу неравенства (10),
подынтегральная функция в последнем интеграле >-γ- ПРИ Л1°бом
*е[*;. Т], т. е.
τ
\ о (Фм (0, Ψμ (*)) dt > -f- (Г- #.


$ 29] РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА 311
При М—>М0 t[—>ti, a T-^> + оо (в силу леммы 4). Поэтому послед-
т
яий интеграл, а следовательно и \ σ (φΜ, г|)м) dt, стремится к + оо при
ίο
Μ—>MQ. Отсюда и из формул (И) и (12) следует, что Нт /' (и)= +оо.
Таким образом, мы доказали соотношение (8). В точности так же
доказывается, что если σ0<0, то
τ
lim \ σ(φΜ(0» ^M(t))dt= — оо, т.е. f'(u)->0.
Μ->·Μο /-
Ό
Лемма доказана.
Замечание. Мы предполагали выше, что сепаратрисы L* и L2
седла О, отличные от L0, лежат вне петли С0 и что часть М0В дуги без
контакта 10, на которой определена функция последования / (и),
соответствует значениям параметра и>и0. В случае, если сепаратрисы L\ и L~
лежат внутри петли С0, петля может быть а- или ω-предельной для
траекторий системы лишь извне, в остальном же ничего не меняется, в
частности, остаются справедливыми все выведенные выше леммы настоящего
параграфа. Таким образом, предположение, что сепаратрисы L\ и Z,"
лежат вне петли, несущественно и было сделано только для определенности.
Рассмотрим теперь, что происходит, если изменить на
противоположное направление на дуге 10 (например, выбрав на ней новый параметр
и* = — и). Прежде всего заметим, что функция последования / (и) на
дуге Z0 (точнее, на том участке ее, примыкающем к точке М0, где она
определена) является монотонно возрастающей и производная ее /' (и)
положительна независимо от того, какое направление на дуге 10 выбрано за
положительное. Это непосредственно следует из геометрических
соображений (или, например, из леммы 5 предыдущего параграфа и замечания
к ней). Таким образом, доказанная только что лемма 6 остается в силе
при любом выборе параметра на дуге без контакта Z0.
Напротив, выведенные выше условия (5) справедливы лишь в том
случае, когда функция последования / (и) определена для значений и>и0.
Если же она определена для значений и, меньших и0 (например, при
гг0>и>гг1), и если нет замкнутых траекторий, пересекающих дугу 10
в точках и, и0 < u^ui, то очевидно, что
петля устойчива, если d (и) > О,
петля неустойчива, если d (и) < 0 ^
{при и0 > и>щ).
Мы имеем теперь возможность вывести достаточное условие
устойчивости (неустойчивости) петли, образованной сепаратрисой.
Теорема 44. Пусть О (х0 , у0) — седло динамической системы
£ = Р(Х,У), £ = <?(*, У). (D)
a L0 — его сепаратриса, образующая вместе с седлом О петлю С0.
Тогда, если σ0 = Р'х (х0, у0) + Qy (#<ъ Уо) > 0, то петля неустойчива;
если σ0 < 0, то петля устойчива.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда функция
последования определена при значениях и, близких к и0, но больших,


312 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА [ГЛ. XI
чем и0. Пусть σ0 > 0. В силу формулы (4)
lim d(u) = 0.
it->tto
С другой стороны, в силу леммы 6, если σ0>0, то
lim /' (и)= + оо.
Поэтому существует такое ии что при всех и, u0<iu<iuu
f (и) > 1, a d' (и) = /» -1 > 0. (15)
Из (4) и (15) следует, что при всех и, щ<С.и<ии d(w)>0, т. е. в силу
(5) петля неустойчива.
Пусть теперь σ0<0. Тогда из леммы (6) следует, что
lim /'(и) = 0,
1i->U0
т. е. существует такое ии что при всех w, и0<Си<С.Щ,
/'(и)<1 и d'(u)<0. (16)
Из (4) и (16) следует, что при всех и, и0 < и < ии d (и) <; 0, т. е.
в силу (5) петля устойчива.
В случае, когда функция последования определена при значениях
и < и0, доказательство проводится аналогично. В этом случае из
соотношений (4) и (15) следует, что при и0>и> их d (и) < 0, а тогда в силу (14)
Рис. 132. Рис. 133.
петля неустойчива. Из соотношений (4) и (16) следует, что d (и) > 0,
т. е. в силу (14) петля устойчива. Теорема доказана.
Замечание 1. Из теоремы 44 следует, что если четыре
сепаратрисы седла О образуют две петли (лежащие вне друг друга или одна внутри
другой, рис. 132 и 133), то при σ0 > 0 обе петли одновременно
неустойчивы, а при σ0 < 0 обе петли устойчивы.
Замечание 2. В теореме 44 рассматривается случай, когда
су0 = р*х (#0, у0) + Q'y (х0, у0)ф0. Покажем на примере, что если σ0 = 0,
то возможен как случай, когда в сколь угодно малой окрестности петли
имеются замкнутые траектории, так и случаи, когда петля устойчива
или неустойчива.
Пример 11. Рассмотрим систему
£ = 2у = Λ (χ, у), -g- = 12*- 3*2 = Qi (χ, у), (Dt)


§ 29] РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА 313
исследованную в КТ, § 1.14, пример VIII. Непосредственно проверяется,
что система имеет общий интеграл
дв — б^ + у^С. (17)
Вид кривых (17) легко установить, пользуясь их явными уравнениями
у= ±Y6x2 — х* + С
и рассматривая вспомогательные кривые
z = 6x*—xs + С,
построение которых не представляет трудностей. Кривые (17) изображены
на рис. 134. Значению С = О соответствует кривая, имеющая петлю. При
С>0 кривая (17) состоит из одной
ветви, расположенной вне петли. . ill У\
При 0 > С > — 32 кривая состоит
из двух ветвей. Одна из них
расположена слева от оси у, а другая
представляет овал, лежащий
внутри петли. При С = — 32 кривая
состоит из ветви, расположенной
в левой полуплоскости, и из точки
Oi (4, 0). Наконец, при С< —32
кривая имеет одну ветвь,
расположенную в левой полуплоскости.
Каждая из кривых (17) либо
является траекторией системы (Dt) (при
С > 0 и С < -— 32), либо состоит
из двух (при 0 >С > — 32) или
четырех (при С = 0) траекторий.
Система (D4) имеет два состояния
равновесия: О (0, 0) и Οι (4, 0).
Первое из них является седлом,
две сепаратрисы которого
образуют петлю L0, второе — центром.
При этом σ0 (0, 0) = Р\х (0, 0) + Qiy (0, 0) = 0, т. е. мы имеем
случай, когда σ0 = 0, а в любой окрестности петли имеются замкнутые
траектории.
Рассмотрим теперь, наряду с системой (Di), систему
Рис. 134.
* = 2ν-μ(χ*
dt
dy
dt
Λ2χ-
6*2 + ?) (12* - Зх2) =-Р2(х,У),
З*2 + μ (ж3 - б*2 +1/2) 2у = Q2 (χ, у),
(D2)
где μ—малое по абсолютной величине число.
Очевидно,
P2 = Pi-VfQi, & = <?! +μ/Λ, (18)
где
f = f(x,y) = x*-ex* + y*. (19>
Непосредственно проверяется, что четыре траектории системы (Dt),
из которых состоит кривая
х3—6ж2 + у2 = 0, (20>


314 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА [ГЛ. XI
являются также траекториями системы (D2). Далее, система (D2) имеет
те же состояния равновесия, что и (Di), т. е. точки О (0, 0) и 0± (4, 0),
причем точка О является седлом системы (D2), точка же Οι при малом
μ -φ 0 является грубым фокусом — устойчивым, если μ > 0, и
неустойчивым, если μ < 0. Таким образом, L0 есть сепаратриса системы (D2),
образующая петлю. Векторное поле системы (D2) получается поворотом
поля системы (D4) на угол, тангенс которого равен μ/ (χ, у) (это
вычисляется непосредственно; см. также КТ, § 1.14, замечание перед
примером VII). Но тогда все замкнутые траектории системы (D4) являются
циклами без контакта для системы (D2). Отсюда следует, очевидно, что
внутри петли L0 система (D2) не имеет замкнутых траекторий, т. е. все
траектории системы (D2), лежащие внутри петли сепаратрисы, либо при
t-+ — оо накручиваются на петлю сепаратрисы, а при £->- + °° — на
фокус 0!,либо, наоборот, при t-+ — оо накручиваются на фокус 04, а при
t ->· + оо — на петлю сепаратрисы. Так как при μ > 0 (μ < 0) фокус Οχ
устойчив (неустойчив), то петля сепаратрисы L0 является
устойчивой при μ < 0,
неустойчивой при μ > 0.
Что касается величины σ0 = Р'гх (0, 0) + Q'2y (0, 0), то она равна
нулю при любом μ. Таким образом, рассмотренный пример показывает,
что при σ0 = 0 может иметь место любая из трех указанных в замечании 2
возможностей.
2. Теоремы о рождении замкнутой траектории из петли сепаратрисы.
Предполагая, как и выше, что у системы (D) существует сепаратриса L0
юедла О, образующая петлю, будем, наряду с системой (D), рассматривать
измененную систему
■£-*(*. 0. %-Q(^v). (В)
Сохраним все обозначения предыдущего пункта, т. е. будем считать,
что Μ о и Μι — точки сепаратрисы L0, соответствующие значениям t = t0
и t = ti, t0 < tu 10πΙι — дуги без контакта, проведенные через эти точки,
и — параметр на дуге 10 и т. д. (рис. 130). Пусть L+ — положительная
полутраектория траектории L0, содержащая точку М0 (а следовательно,
и точку Mi; LI является ω-сепаратрисой седла О, и точки ее соответствуют
значениям t>t*, где t* < t0), a L~ — отрицательная полутраектория
траектории L0, содержащая М0 и Mi (точки L~ соответствуют значениям
*<**, где i*> tt).
В силу леммы 9 и 10 § 28 существуют ε0 > 0 и δ0 > 0 такие, что
если измененная система (D) б0-близка к системе (D), то
а) в U4 (О) существует только одно состояние равновесия системы
(D) — седло О;
б) существуют ω-сепаратриса LJ и α-сепаратриса L'0~ седла О,
пересекающие дугу 10 соответственно в точках М0 и М'0, лежащих внутри
дуги Z0;
в) ω- и α-сепаратрисы L+ и £/0~ пересекают дугу Ζ4 соответственно
в точках Μι и М[, лежащих внутри дуги lv (рис. 135).
Кроме того, в силу тех же лемм 9 и 10 § 28 при любом
положительном ε <С ε0 существует δ < δ0 такое, что у всякой системы (D), δ-близкой


§ 29] РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА 315
Рис. 135.
к системе (D), седло О лежит в Uг (О), а всякая точка полутраектории
Ll (L'0~) — в ε-окрестности точки полутраектории L\ (L~), соответствующей
тому же значению времени. При этом точки М0 и М'0 лежат в U ъ (М0),
а точки Μι и М[ — в Uъ (Mt).
Обозначим через и0 и и[ значения параметра и, соответствующие
точкам М0 и М'0 (а < и0 < Ь, а < и'0 < Ь). Очевидно, в зависимости
от рассматриваемой
измененной системы возможны
следующие случаи:
1) Точки М0 и Mi
различны, т. е. и'0 Φ и0.
2) Точки Μ о и М'0
совпадают, т. е. ш = гг0.
В первом случае, в
силу леммы 1, у системы
(D) не существует
сепаратрисы, образующей петлю,
полутраекториями которой
являются L* и L'~. Мы
будем говорить в этом случае,
что при переходе от
системы (D) к системе (D) петля
нарушается. Очевидно,
всегда существуют измененные системы, сколь угодно близкие к
системе (D), при переходе к которым петля нарушается. В качестве такой
системы можно указать, например, систему
ж=г-М' %=<*+& <D*>
где μ Φ О — достаточно малое по абсолютной величине число. В силу
леммы § 11.1, если μ > 0, то для системы (D*), взятой в качестве (D),
и[ > и0, и0 < и0, т. е.
если же μ<0, то и0<Сщ, и0>и0, т. е.
Щ>и'0. (21)
В случае 2), т. е. в случае, когда точки М0 и М[ совпадают, у
системы (D) существует сепаратриса L0, образующая петлю. Ll и L'~ являются
ее полутраекториями, так что в этом случае полутраекторию L'0~ можно
обозначать просто L~.
Пусть, как и выше, у системы (D) во всех точках дуги М0В, кроме
точки Μ0ι определена функция последования.
Лемма 7. Существует δ0 > О такое, что если система (D) 60-близ-
ка к системе (D), то 10 остается для системы (D) дугой без контакта,
и всякая траектория системы (D), при t = t0 пересекающая часть М0В
дуги 10, при некотором значении Τ > t0 пересекает часть М'0В0 этой дуги.
Доказательство этой леммы почти непосредственно вытекает из лемм 7
и 9—12 § 28, и мы не будем его проводить. Заметим только, что при


316 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА [ГЛ. XI
доказательстве нужно рассмотреть отдельно случаи, когда и'0 > u0l u'Q = и0
яЪ'0 <ϋ0 (см. соответственно рис. 135, 136 и 137). Рассмотрения во всех
трех случаях аналогичны.
Лемма 8. Существуют числа ε0 > О и δ0>0, удовлетворяющие
следующим условиям: если система (D) 60-близка к (D), а и0 < и0 (и[ > г/0),
то все траектории системы (D), пересекающие часть М0М'0 дуги Ζ0, при
возрастании (убывании) t выходят из
г0-окрестности петли L0.
Доказательство.
Справедливость леммы 8 непосредственно
вытекает из свойств траекторий системы (D),
Рис. 136. Рис. 137.
пересекающих часть Μ0ΜΌ дуги без контакта 10 (см. рис. 135 и 137), если
принять во внимание лемму 3 настоящего параграфа, а также леммы 9
и 10 § 28.2.
Мы можем теперь доказать одну из основных теорем, которую можно
назвать теоремой о рождении замкнутой траектории из петли
сепаратрисы. В ней устанавливаются достаточные условия появления замкнутой
траектории при исчезновении (нарушении) петли сепаратрисы.
Пусть О — седло динамической системы (D), L0 — его сепаратриса,
образующая петлю. Будем считать, что Z0, Ζ*, Ζ^,Ίΐο,Ίΐο, А0, В0, а0, Ь0, Ъ
и т. д. имеют тот же смысл, что выше, причем а0 < Ь0 и точка В0 лежит
внутри петли (рис. 135 или 137).
Теорема 45. Пусть петля, образованная сепаратрисой L0 седла О,
устойчива (неустойчива). Тогда, каково бы ни было ε > 0, существует
такое δ > 0, что если система (D) δ-близка к системе (D) и если и0 < и'0
(и0 > u'Q), то в ε-окрестности петли существует по крайней мере одна
замкнутая траектория L* системы (D), пересекающая дугу без контакта
10 в точке М* (и*), причем
Ио<и*<Ь К<г/*<6).
Аналогичное утверждение имеет место, если сепаратрисы седла О,
отличные от L0, лежат внутри петли.
Доказательство. Рассмотрим случай, когда петля
сепаратрисы устойчива. Пусть ε > 0 задано. На отрезке М0В дуги 10 выберем
точку Nt (щ), настолько близкую к М01 что выполняются следующие условия:


§ 29] РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА 317
а) проходящая через точку N± траектория LN системы (D) стремится
при ί-> +оо к петле;
б) кусок траектории LN, заключенный между точкой Νι и
«последующей» точкой пересечения N2 (и2) траектории LN с дугой 10, вместе с
куском ΝχΝ2 дуги 10 образуют простую замкнутую кривую CN, целиком
лежащую в иг/з (Ζ/ο)· Область, ограниченная петлей сепаратрисы L0 и лежащей
внутри нее кривой CN, также
лежит в Ζ7ε/3 (рис. 138).
Так как петля
сепаратрисы устойчива, то очевидно,
что если точка Νι достаточно
близка к Μ0, то оба условия
выполняются. Очевидно
также, что п2 < щ.
Выберем теперь число
$>ι > 0 настолько малым,
чтобы выполнялись условия:
а) δ!<δ0, где δ0—
число, определенное леммой 7;
б) если система (D) δ4-
близка к (D), то траектория
LN системы (D), проходящая
через точку Nu пересекает
вторично дугу 10 в точке
N2 (п2) так, что пг < п^ и Рис. ш.
простая замкнутая кривая С ν,
аналогичная кривой C^f расположена целиком внутри петли сепаратрисы L0
и ограничивает вместе с петлей область, целиком лежащую в Е/8/з (£)·
Ясно, что если 6t достаточно мало, то оба условия выполняются.
В частности, условие б) выполняется из-за того, что при достаточно малом
δι кривая Сн может быть получена из кривой CN сколь угодно малым
сдвигом. Выберем, далее, число δ2 > 0, удовлетворяющее следующему
условию: если система (D) 62-близка к системе (D), то простая замкнутая
кривая С, состоящая из части ОМ0 сепаратрисы L+, части ОМ'0
сепаратрисы L'~ и части MqM'q дуги Z0, целиком лежит в U&/3 (L0) и содержит
кривую CN внутри себя, причем область, ограниченная кривыми С nCN,
также лежит в £7в/3 (L0)·
Существование числа δ2 вытекает из лемм 9 и 10 § 28.2, а также
из того, что при достаточно малом δ2 кривая С может быть получена
из петли сепаратрисы L0 сколь угодно малым сдвигом.
Покажем, что число δ = min {δ1? δ2} удовлетворяет утверждению
леммы. Пусть система (D) δ-близка к системе (D) и и0 < и'0. Пусть, далее,
К\ (&ι) — точка, расположенная на части Μ0Β дуги 10 достаточно близко
к точке Μ о- Тогда проходящая через нее траектория Lk пересекает
вторично дугу /0 в точке К2 fe), причем выполняются следующие условия:
а) к2 > кх; ^
б) замкнутая кривая Ck, состоящая из части КХК2 траектории Zft
и части К2КХ дуги Z0, содержит кривую CN внутри себя и ограничивает
©месте с CN область, целиком лежащую в Ue (L0).


318 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ1ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА [ГЛ. XI
Пусть/ (и) — функция последования на дуге без контакта Z0,
соответствующая системе (D). В силу леммы 7 эта функция определена на
отрезке ΚχΝ^ При этом
Т(к1) = к2>к1
и
7{щ)='п2<Щ.
Отсюда следует, что существует число и*, A1<w*<;^1, такое, что
J (и·) = и*. (22)
Соответствующая этому значению параметра точка М* лежит между
точками К χ и Niy и проходящая через нее траектория L* системы (D)
замкнута (в силу (22)). При этом /,* лежит внутри области, ограниченной
простыми замкнутыми кривыми CN и СК, и, следовательно, лежит
в Uε (L0). Таким образом для случая, когда петля устойчива изнутри,
теорема доказана. В остальных случаях она доказывается аналогично.
Мы показали выше, что если у системы
£ = Р{х,у), -& = Q{**V) (D>
сепаратриса LQ седла О образует петлю, то для системы
где μ—достаточно малое по абсолютной величине число, определены
числа щ и и'ц и
Щ < uOi если μ > О,
и0>и'0, если μ<0
(см. формулы (20) и (21)). Отсюда и из теоремы 44 вытекает следующая
теорема о рождении замкнутой траектории из петли сепаратрисы:
Теорема 46. Если сепаратриса L0 системы (D) образует
устойчивую или неустойчивую петлю, то при любых ε > 0 и δ > 0 существует
Ь-близкая к (D) измененная система (D), у которой в ε-окрестности петли
L0 лежит по крайней мере одна замкнутая траектория L*.
Замечание. Нетрудно видеть, что если δ > 0 достаточно мало,
то замкнутая траектория L*, существование которой утверждается в
теореме, пересекает дугу 10 в точке М*, лежащей в Uъ (М0). При этом точка
М* лежит на части М$В дуги 10, если uQ <C w0, и на части М\В, если
и0 < и'0 (точка М* не может лежать между точками М0 и М'0, если они
различны, в силу леммы 8).
Мы будем говорить, что замкнутая траектория L* системы (D),
о которой идет речь в теореме 46, рождается из петли, образованной
сепаратрисой L0 системы (D) (рис. 122).
Из теорем 44 и 46 следует, что если для седла О (х0, у0) системы (D)
σ0 (ж0, У о) = Р'х (*о> У о) + Qy (*о, Уо) Φ 0, (23)
то всегда существуют сколь угодно близкие к (D) измененные системы,
у которых из петли, образованной сепаратрисой L0, рождается хотя бы
одна замкнутая траектория.


§ 29] РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА 319
3. Единственность замкнутой траектории, рождающейся из петли
сепаратрисы. Мы покажем в этом пункте, что если сепаратриса L0 седла
О {xq, у о) образует петлю и если выполняется условие (23), то из петли
сепаратрисы не может рождаться более одной замкнутой траектории.
Докажем сначала вспомогательное предложение.
Лемма 9. При любом С > О существуют ε > 0 и δ > 0 такие,
что если система (D) δ-близка к системе (D) и имеет замкнутую
траекторию LJ, лежащую в
ε-окрестности петли Lq, то период τ
г*
больше,
этой траектории
чем С.
Доказательство.
Наряду с дугой без контакта 10
рассмотрим, как и выше, дугу 1^
(рис. 139). Сепаратриса L0
пересекает дуги 10 и Zt в точках М0
и А/у, соответствующих
значениям времени t0 и tt > t0.
В силу замечания к
теореме 46 замкнутая траектория L*
системы (D), о которой идет
речь в лемме, пересекает дугу 10
в точке М*. Предположим, что
это пересечение происходит при
t = t0. Очевидно, если ε > О
и δ > 0 достаточно малы, то L*
пересекает также и дугу li при ^
некотором значении t* > t0 в точке М*, лежащей на части MxBi дуги Zlf
причем t* сколь угодно близко к tx (рис. 139). Далее, при некотором
значении Т* > t* траектория L* снова пересекает дугу 10 в точке М*.
Очевидно,
Рис. 139.
где τ — период замкнутой траектории L*.
Если ε > 0 и δ > 0 достаточно малы, то точка М* сколь угодно
близка к точке М0 (и, следовательно, к точкам М0 и М'0), а точка М* —
к точке Mt, т. е. в силу леммы 13 § 28.2 значение Г* сколь угодно велико.
Но это значит, что при достаточно малых ε и δ выполняется неравенство
х = Т* — t0>C.
Лемма доказана.
Теорема 47. В случае, когда σ0 (х0, у0) φ 0, существуют ε0 > О
и δ0 > 0 такие, что всякая система (D), 60-близкая к системе (D), может
иметь в ε ^-окрестности петли L0 не более одной замкнутой траектории.
При этом, если такая траектория существует, то она является
предельным циклом такой же устойчивости, как петля исходной системы,
т. е. устойчивым при σ0 (хо, Уо) < 0 и неустойчивым при σ0 (хо, Уо) > 0.
Доказательство. Предположим для определенности, что
σ0 = σ0 {х0, Уо) > 0.
В силу теоремы 44 в этом случае петля системы (D) неустойчива.


320 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА [ГЛ. XI
Пусть ει > 0 настолько мало, что во всех точках Μ (χ, у) окрестности
Uъ (О) выполняется неравенство
о (*, у) = Р'х (х, у) + Q'y (χ, у) > f . (24)
Пусть, далее, χ = φ0 (t), у = ψ0 (О —- решение, соответствующее
сепаратрисе L0. Точки М0 и Ми соответствующие значениям времени t0
и ti9 и дуги без контакта Z0 и Z4 выберем так, чтобы эти дуги, а также
полутраектории ОМ0 и ΜίΟ сепаратрисы L0 лежали целиком в Uг (О). Пусть,
как и раньше, MQB0 и MiBi — части дуг 10 и 1и целиком, кроме концов
Μ о и Μι, лежащие внутри петли L0 (рис. 139).
Рассмотрим интеграл
*1
/= $σ(φ0(*). Φ)(0)Λ. (25)
Пусть χ>0 таково, что
И<Х- (26)
Будем теперь, наряду с данной системой (D), рассматривать
измененные системы (D).
Пусть 6i>0 — число, удовлетворяющее следующему условию: если
система (D) б^близка к системе (D), то во всех точках М(х, у)
окрестности Ue (О) выполняется неравенство
σ {χ, у) = Р'х {х, у) + Q'y {χ, у) > ^- .
Каково бы ни было число С > 0, существуют числа δ2 > 0 и ε2 > 0
такие, что если система (D) б2-близка к системе (D) и имеет лежащую
в Uг (L0) замкнутую траекторию LJ, которая соответствует решению
* = φ·(ί), У = Г(0 (4*)
с периодом τ, и если эта траектория пересекает дугу Ζ0 в точке М* при
t = t0, & дугу lt — в точке Μ* при t = t*, 0 < t* — t0 < τ, то
выполняются следующие условия:
а) т>С;
tt
б) | jj ?(φ*(0,ψ·(0)*|<2χ;
«о
в) точки траектории L*, соответствующие значениям времени £*<;
<!£<^о + τ» целиком лежат в 178 (О).
При достаточно малых б2 и ε2 условие а) выполняется в силу
леммы 9, условие б) — в силу теоремы о непрерывной зависимости решений
от правых частей и в силу непрерывности функции σ (χ, у). Что касается
условия в), то оно выполняется в силу грубости динамической системы
(D) в правильной седловой области (указанная грубость вытекает,
например, из леммы 4 § 9.2).
Положим теперь, что δ0 = min {δ4, δ2}, ε0 = min {еь ε2}, и
покажем, что выбранные таким образом δ0 и ε0 удовлетворяют утверждению
теоремы. С этой целью предположим, что L* есть замкнутая траектория
системы (D), б0-близкой к системе (D), и что эта траектория лежит


§ 29] РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА 321
в Ue (L0), и вычислим интеграл
to+x
J*= ^ σ(φ*(ί), r(t))dt. (27)
ίο
Мы имеем
t* <о+т
/*= $ σ (φ* (0, V (*)) dt+ Ι σ (φ* (ί), Ψ* (ή) Λ.
*1
В силу условия б) первый из интегралов, стоящих направо, больше,
чем —2χ. Что касается второго интеграла, то он больше, чем
-Γ"(*ο + τ—**)» в СИЛУ неравенства (26). Поэтому
/*>-?·(«ο + τ-ί)-2χ
или, в силу условия а),
J*>^£-(to + C-tt)-2x.
Так как при малых δ0 число t* мало отличается от постоянного
числа £4, то при достаточно большом С (т. е. при достаточно малых δ0 и ε0)
/* > 0. Но тогда, в силу теоремы 17 (§ 13.3), замкнутая траектория L*
динамической системы (D) является неустойчивым предельным циклом.
Таким образом мы показали, что если ε0 > 0 и δ0 > 0 достаточно
малы, то все замкнутые траектории б0-близкой к (D) системы (D),
лежащие в Us (L0), являются неустойчивыми предельными циклами.
Допустим, что существует более одной такой траектории. Тогда можно найти,
очевидно, две замкнутые траектории L* и L\, расположенные в UBo(L0),
причем такие, что одна из них лежит внутри другой и в ограниченной
ими области больше нет замкнутых траекторий. Но этого не может быть,
так как обе траектории L* и L* являются неустойчивыми предельными
циклами (мы предполагаем, разумеется, что в C/Co(L0) нет других
состояний равновесия системы (D), кроме седла О). Теорема доказана.
В случае, когда σ0 (хо, у о) < 0, доказательство полностью
аналогично.
Замечание, Теорема 47 может быть обобщена. Именно, пусть
у системы (D) существует замкнутый контур γ, составленный из
сепаратрис седел Ot (xt, у ι), i = 1,2, . . ., п, тг>2, и из самих седел. Тогда
рассуждениями, аналогичными проведенным выше, можно показать, что
если σ (χι, yt) < 0 (i = 1, 2, . . ., n), то контур γ устойчив, а если
G (xii Уд > 0, то он неустойчив, и что от контура у может рождаться
единственный предельный цикл, в первом случае устойчивый, а во
втором — неустойчивый.
Следующая теорема почти непосредственно вытекает из теоремы 47.
Теорема 48. Пусть у системы (D) сепаратриса L0 седла О (х0, у0)
образует петлю, и пусть при этом выполняется условие (23), т: е.
Go (*о. Уо) Φ 0.
Тогда существуют ε > 0 и δ > 0 такие, что если система (D) δ-близ-
ка к системе (D) и имеет в ε-окрестности петли L0 сепаратрису L0
седла О, образующую петлю, то система (D) не может иметь в ε-окрестности
петли Lq ни одной замкнутой траектории.


322 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА [ГЛ. XI
Доказательство. В качестве ε и δ можно взять, напримерг
числа
ε = ^ и δ--=^-, (28)
где ε0 и δ0 — числа, определенные теоремой 46. В самом деле, пусть
равенства (28) выполняются, и пусть система (D) δ-близка к (D) и имеет
в ε-окрестности петли L0 сепаратрису L0, образующую петлю, а также
замкнутую траекторию L^ Пусть L4 не является простым предельным
циклом системы (D). В силу теоремы 19 (§ 15.2) существует δ-близкая
к (D) система (D), имеющая в ε-окрестности траектории Lx не менее двух
замкнутых траекторий L4 и L2. Очевидно, система (D) б0-близка к
системе (D), а траектории Li и L2 лежат в ε0 окрестности петли L0. Но это
противоречит теореме 47. Таким образом, LA не может быть сложным
предельным циклом системы (D). Допустим теперь, что Ll является
простым, т. е. грубым, предельным циклом. В силу теоремы 46 существует
сколь угодно близкая к (D) система (D), имеющая в сколь угодно малой
окрестности петли L0 замкнутую траекторию L0. При достаточной
близости системы (D) к (D) система (D) имеет, в силу грубости цикла L[r
предельный цикл Li, лежащий сколь угодно близко к циклу Lu причем
оба цикла L0 и Lx различны и лежат в ε-окрестности петли L0. Но это
снова противоречит теореме 47.
Приведем еще одно предложение, являющееся в известном смысле
дополнением к теореме 45.
Теорема 49. Если сепаратриса L0 седла О (х0, у0) системы (D)
образует петлю и при этом σ0 (χοι У о) > 0 (<0), т0 существуют числа
ε > О и δ > 0, обладающие следующим свойством: всякая система (D),
δ-близкая к (D), для которой и0 < и'0 (соответственно и0 > и'0), не имеет
в Uε (L0) ни одной замкнутой траектории.
Доказательство. Для определенности рассмотрим случай,
когда σ0 (xq> y0) < 0. В этом случае петля, образованная сепаратрисой
Lo, устойчива (§ 29.1, теорема 44). Пусть ε0 > 0 и δ0 > 0 — числа,
определяемые теоремой 47.
I. Рассмотрим точку Μι {их) дуги /0, где их > и0. Если точка Мх
достаточно близка к М0, то траектория Li, проходящая через нее при
t = t0, при возрастании t пересекает дугу /0 вторично в точке iVi. Пусть
Ci — простая замкнутая кривая, образованная частью MiNl
траектории Li и частью ΝιΜχ дуги /0. Выберем их так, чтобы выполнялись
следующие условия:
а) кривая Си а также область (кольцевая), заключенная между
петлей сепаратрисы L0 и кривой Си лежат в U? (L0)\
б) d (щ) < 0.
Очевидно, оба условия выполняются, если их достаточно близко к иь
(второе условие выполняется в силу предположения, что петля устойчива).
II. Выберем число 8t > 0 настолько малым, что если система (D)
б^близка к системе (D), то выполняются следующие условия:
B)d(ut) <0;
г) кривая С1 и область, заключенная между этой кривой и петлей
сепаратрисы L0, лежат в Ue (L0) (функция d аналогична функции г/,


§ 29] РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА 323
а 6Ί есть кривая, проходящая через точку Mi и аналогичная кривой Су,
рис. 140).
III. Выберем ε2 > 0 и δ2 > 0, удовлетворяющие следующим условиям:
д) ε2<-|·;
е) если система (D) б2-близка к (D), то кривая С χ и область,
ограниченная ею, не пересекаются с Ue (L0).
IV. Выберем числа ε3 > 0 и δ3 > 0, удовлетворяющие следующим
условиям:
ж) ε3<|-;
з) если система (D) б3-близка к (D), a L — замкнутая траектория ее,
лежащая в Uъ (L0), то траектория L пересекает дугу без контакта 10
в точке Μ (и), для которой и > и0 (и0 — значение параметра и,
соответствующее точке Μ о).
Существование чисел ε3 и б3 вытекает из того, что если система (D)
достаточно близка к (D) и если при этом и < гг0, то замкнутая
траектория L должна содержать
седло О, а следовательно,
и все его сепаратрисы
внутри себя. Но тогда она не
может лежать в достаточно
малой окрестности петли.
Докажем, что числа
8=-min{e2, ε3},
o = min j^0-, δ,, δ2, δ3|
(29)
--ч^
4&/V
удовлетворяют
утверждению теоремы. рис. 140.
Предположим, что это
не так. Тогда существует система (D), δ-близкая к системе (D), для которой
Щ > и'0 (30)
и которая имеет в и& (L0) замкнутую траекторию L. Пусть эта траектория
пересекает дугу без контакта /0 в точке Μ (и).
Из соотношений (29) и условий е) и з) следует, как легко видеть,
что
щ<.и<.щ. (31)
Рассмотрим функцию d (и) системы (D). Так как траектория L замкнута,
то
d(u) = 0. (32)
Далее, в силу условия в)
а{щ)<0. (33)
Наконец, если число и2 достаточно близко к щ и щ<С.и2<и,
то
%)<0 (34)
в силу неравенства (30).


324 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА [ГЛ. XI
Из условий (32), (33) и (34) следует, что либо функция d (и) имеет,
кроме корня и, по крайней мере еще один корень и*, и2 < и* < ии
либо d'(u) = 0. В первом случае через точку М* (гг*) проходит
замкнутая траектория L* системы (D), лежащая, в силу условия г), в
окрестности Usq (L0), т. е. в этой окрестности имеется по крайней мере две
замкнутые траектории. Но это противоречит выбору чисел ε0 > 0 и δ0 > 0.
Во втором случае замкнутая траектория L не является простым
предельным циклом. Но тогда, в силу теоремы 19 (§ 15.2), существует
сколь угодно близкая к (D) система (D), в частности б0-близкая к (D),
имеющая в UB$ (L0) не менее двух замкнутых траекторий, что опять
противоречит выбору чисел б0 и ε0. Теорема доказана.
Замечание. Пусть О (х0, у0) — седло системы
§ = Р(х,у), -§-=<?(*,*/), (D)
имеющее сепаратрису L0, образующую петлю, и пусть
σο (*<ъ Уо) = Ρχ (*о> Уо) + Q'y (*о, у0) Φ 0.
Поворот векторного поля системы (D) на угол, тангенс которого
равен μ, приводит к системе вида
£ = Ρ-μζ>, *L = Q+llP. (0μ)
При этом в зависимости от знака μ имеет место либо неравенство
(20), либо (21), т. е.
щ < и'0 или щ > и'0.
Из этих неравенств следует, что при повороте векторного поля системы
(D) на достаточно малый угол петля сепаратрисы нарушается.
Теоремы 45, 47 и 49 показывают, что при повороте поля в одном из двух
возможных направлений вместо исчезнувшей петли сепаратрисы в ее
окрестности появляется предельный цикл той же устойчивости, что петля;
при повороте же поля в другом направлении в достаточно малой
окрестности исчезнувшей петли замкнутые траектории отсутствуют.
4. Случай, когда ~Р'Х (х0, f/0) + Q'y (ос0, у0) = 0. Рассмотрим теперь
случай, когда седло О (х0, у0) системы (D) имеет сепаратрису L0,
образующую петлю, но при этом σ0 (х0, у о) = 0.
Мы покажем, что в этом случае существуют сколь угодно близкие
к (D) системы, у которых в сколь угодно малой окрестности петли L0
имеется не менее двух замкнутых траекторий.
Лемма 10. Пусть (D) — динамическая система, О (х0, у0) — ее
седло, L0 — его сепаратриса, образующая петлю, и пусть
<*о (я<>, Уо) = Ρχ (*о> Уо) + Q'y 0*о, У о) = 0· (35)
Тогда, каковы бы ни были ε > 0 ^ δ > 0, существует система (D),
удовлетворяющая следующим условиям:
а) Система (D) δ-близка к системе (D).
б) Точка О (#о, у о) является седлом системы (D), причем
о0 {х0, Уо) = Р'х (*о, У о) + Q'y (χο, Уо) > 0 (или < 0).


§ 29] РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА 325
(οαμ)
в) Седло О системы (D) имеет сепаратрису L0l образующую петлю
и лежащую целиком в е-окрестности петли L0 системы (D).
Доказательство. Не ограничивая общности, мы
предположим, что седло О находится в начале координат и что система приведена
к каноническому виду. Тогда х0 = у0 = 0 и, в силу условия (35),
система имеет вид
-g- = vx + Р2 (*, у), %=-у>У+<?2 (*, У), (Di)
где ν Φ О, а функции Р2 и Q2 обращаются в начале координат в нуль
вместе со своими первыми производными.
Пусть, как и выше, Z0 — дуга без контакта, проведенная через какую-
нибудь точку М0 сепаратрисы L0, а и — параметр на этой дуге, причем
точке Μ о соответствует значение и — и0, а точкам дуги 10у лежащим
внутри петли,— значения и > и0.
Рассмотрим измененную систему вида
-J- --= νχ+ Р2 (я, у) = Ра {х, у), -gf· = — (ν—α) У + Qi (а, у) = <?« (*, »). (D«)
Если α достаточно мало по абсолютной величине, то точка О (О, 0)
является для этой системы седлом и
POx{0,0) + Q'ay(0,0) = a. (36)
Наряду с системой (Da) рассмотрим систему
■~-==<?α+μΡα = —(ν —а)^ + (?2(ж, ^) + μ[νζ + Ρ2(*> ρ)Ι = <?βμ(*» у),
векторное поле которой получается поворотом поля системы (Da) на угол,
тангенс которого равен μ. При любом достаточно малом по модулю μ
точка О есть седло системы (Οαμ) и
(0,0)+<?;μ,(0,0)=α.
Будем для определенности считать, что a > 0.
Пусть, как и выше, £+ и Lo — полутраектории, выделенные из
сепаратрисы L0 и содержащие точку Μ0. При любых ε > 0 и δ > 0
существуют а0 > 0 и μ0 > 0 такие, что если | α | < а0 и | μ | < μ0, то
система (Όαμ) δ-близка к (D) и имеет сепаратрисы Ltan и Ζ,όαμ седла О,
лежащие соответственно в ε-окрестностях сепаратрис L* и Lo. Пусть эти
сепаратрисы пересекают дугу 10 в точках М0 (α, μ) и М'0 (α, μ),
которым соответствуют значения и0 (α, μ) и и'0 (α, μ) параметра и.
Предположим сначала, что μ = 0, т. е. рассмотрим систему (Da).
Априори возможны два случая:
1) Существуют сколь угодно малые положительные числа а* такие,
что
щ(а*, 0) = ^(α*,0), (37)
т. е. сепаратрисы Lta*o и Lo«*o сливаются в одну сепаратрису системы
(Da*), образующую петлю. Очевидно, каковы бы ни были ε > 0 и 6 > 0.
при достаточно малом а* система (Da*) будет δ-близка к системе (D), а
указанная петля будет лежать в Uz {LQ), т. е. в этом случае лемма доказана.
2) Существует такое β > 0, что при всех а, 0 < а < β, либо
Ио(а,0)>и;(а,0), (38)


326 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА [ГЛ. XI
либо
Μα,0)<ι*;(α,0) (39)
(если существуют сколь угодно малые значения а, при которых
выполняется неравенство (38), и сколь угодно малые значения а, при которых
выполняется (39), то существуют и сколь угодно малые значения а*,
при которых имеет место равенство (37), т. е. имеет место случай 1)).
Для определенности предположим, что для всех а, 0 < а < β,
выполняется неравенство (38).
Рассмотрим теперь систему (Όαμ) при α = 0 (она получается из
системы (D) поворотом поля на угол, тангенс которого равен μ). В силу
леммы § 11.1, если μ>0 и достаточно мало, то
w0 (0, μ)<ι*;(0, μ) (40)
(см. (20)).
Пусть заданы числа δ>0 и ε>0, и пусть а0 и μ0 — определенные
выше положительные числа, соответствующие заданным б и ε.
Положим, что СЦ — фиксированное положительное число, α1<α0,
α4<β. Тогда
и0{а1,0)>и'0{аи0). (41)
Из последнего неравенства и замечания к лемме 10 § 28.2 следует,
что если μ* достаточно мало по модулю, то
Μαι> μ*)>η'0(αι, μ*). (42)
Будем считать, что 0<μ*<μ0. В силу неравенства (40) при малом
положительном μ*
и0(0, μ*)<χ(0, μ*). (43)
Из неравенств (42) и (43) и непрерывности функций щ и щ следует,
что при некотором α*, 0<α*<αΐ5
щ(а*, μ*)=Χ(α*, μ*).
По это значит, что у системы
^ = νχ + Ρ2{χ, у) — μ*[ — (ν — oc*)y + Q2{x, у)],
du (Οα*μ*)
-f- = - (ν-α·) у + Q2 (χ, у) + μ* [νχ + Ρ2 (χ, у)]
существует сепаратриса L0, образующая петлю. Так как при этом
0<Га*<Сао» 0<μ*<μ0, то система (Οα*μ*) б-близка к (D), а петля L0
лежит в иг (L0). Кроме того,
Р****х (0, 0) + Q'a*^y (0, 0) = α*.
Лемма доказана.
Теорема 50. Пусть О (х0, у0) — седло динамической системы (D),
a L0 — его сепаратриса, образующая петлю. Если при этом σ0 (χ0ι у0) =
= 0, то при любых ε > 0 и δ > 0 существует измененная система (D),
Ь-близкая к системе (D), у которой в ^-окрестности петли L0 имеется
не менее двух замкнутых траекторий.
Доказательство. Будем считать для простоты, что х0 = у0 =
= 0. Если в любой окрестности петли L0 имеются замкнутые траектории,
то в качестве (D) можно взять саму систему (D). Таким образом,
достаточно рассмотреть случай, когда в некоторой окрестности петли L0 нет


§ 293 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА 327
замкнутых траекторий, т. е. петля L0 либо устойчива, либо неустойчива.
Предположим для определенности, что она неустойчива. Пусть 10 — дуга
без контакта, проходящая через точку М0 петли L0, и — параметр на
дуге /0, щ — значение параметра, соответствующее точке М0. Мы будем
предполагать, как и выше, что точки дуги /0> лежащие внутри петли,
соответствуют значениям параметра и, щ < и^Ь0, и что функция
последования и = f (и) системы (D) на дуге 10 определена при всех и,
Рис. 141.
Щ < и^Ъ, где Ь < Ь0. Так как по предположению петля L0 системы
(D) неустойчива, то при значениях и, больших щ и достаточно близких
к щ, выполняется неравенство
d(u) = f(u) — u>0.
Пусть числа ε>0, δ>0 заданы.
I. Выберем u1>w0 настолько близким к щ, чтобы выполнялись
следующие условия:
а) а(щ)>0.
б) Траектория Lu проходящая при t = f0 через точку Μ\ (щ) дуги
без контакта 10, при возрастании t пересекает вторично дугу 10 в точке ΛΊ,
так что кривая С±, состоящая из части M\N\ траектории Ll и части Ν^Μχ
дуги /о, а также область, заключенная между кривой С4 и петлей
сепаратрисы L0, лежат в — -окрестности петли L0 (рис. 141).
II. Обозначим через η расстояние между кривой С ι и петлей
сепаратрисы L0. Выберем δι > 0 настолько малым, чтобы выполнялись
следующие условия:
а) δ4<Α.
б) Если система (D) бгблизка к системе (D), то
d>i)>0 (44)
и кривая Ciy аналогичная кривой С1э лежит как в Γ/η/4 (С), так и в Ζ7ε/4 (С).
в) Если система (D) δι-близка к системе (D), а М0 (щ) — точка
пересечения соответствующей сепаратрисы L0 с дугой без контакта 10,
то щ < щ и функция последования / (и) системы (D) на дуге 10
определена для всех и, щ < и < щ.


328 РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛА [ГЛ. XI
III. Выберем числа μ* и а* так, чтобы выполнялись следующие
условия:
а) Система (ϋα*μ*), рассмотренная в лемме 10, δ-близка к
системе (D).
б) Сепаратриса L0 седла О системы (ϋα*μ*) образует устойчивую
петлю, лежащую целиком как в £7ε/4 (L0), так и в Ζ7η/4 (LQ).
Существование чисел μ* и α*, удовлетворяющих условиям а) и б),
показано при доказательстве леммы 10. В частности, чтобы петля Ζ0
была устойчивой, нужно взять а* < 0.
Выберем на дуге 10 точку М2(и2), достаточно близкую к М0(и2>щ).
Пусть d(u)=-f(u)—и, где / (и) — функция последования для системы
(ϋα*μ*). Так как петля L0 системы (Οα*μ*), по условию, устойчива, то
d(u2)<0. (45)
С другой стороны, имеет место соотношение (44). Из этих соотношений
следует, что для некоторого и*, и2<Си* <Сщ,
d (и*) = 0,
т. е. через точку М* (и*) проходит замкнутая траектория L* системы
(Όα*μ*). ^
Обозначим систему (ϋα*μ*) через (D*). Из условий II,а) и III,а)
следует, что система (D*) γ -близка к системе (D). Далее, система (D) имеет,
как мы показали, сепаратрису L0, образующую устойчивую петлю,
и замкнутую траекторию L*. При этом как петля LQ, так и замкнутая
траектория L* лежат в Ue/2 (L0) — петля в силу условия III,б), а
траектория L* — в силу условий 1,6), II,б) и III,б).
Если замкнутая траектория L* системы (D*) не является ее
простым предельным циклом, то в силу теоремы 19 (§ 15.2) существует
у -близкая к (D*) система (D), имеющая в Uε/2 (£*) не менее двух
замкнутых траекторий L4 и L2. Но тогда система (D) удовлетворяет
утверждению теоремы. Если же L* является простым, т. е. грубым, предельным
циклом системы (D*), то в силу теоремы 46 существует сколь угодно
близкая к (D*) система (D), имеющая в сколь угодно малой окрестности петли
L0 замкнутую траекторию L4. При достаточной близости системы (D)
к (D*) система (D) имеет, в силу грубости цикла L*, предельный цикл L2,
лежащий сколь угодно близко к £*, причем траектории Ll и L2 различны
и лежат в Uε (L0). Таким образом, и в этом случае система (D)
удовлетворяет утверждению теоремы. Теорема доказана полностью.
Замечание. В теореме 50 доказывается, что в случае, когда
<*о (хо> Ι/ο) — 0» из петли сепаратрисы седла О (х0, у0) могут родиться
по крайней мере две замкнутые траектории. Вопрос о том, каково
наибольшее число замкнутых траекторий, которые могут родиться из петли
сепаратрисы при условии σ0 (хо, у о) — 0, и от чего это число зависит,
требует значительно более сложного исследования. Такое исследование
проведено в диссертации Е. А. Леонтович, и результаты его изложены
в [21].


ГЛАВА ΧΙί
РОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНОГО ЦИКЛА ИЗ ПЕТЛИ
СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЛА. СИСТЕМЫ ПЕРВОЙ
СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ И ИХ БИФУРКАЦИИ
Введение
Двенадцатая глава состоит из двух параграфов (§§ 30 и 31). В § 30
рассматривается рождение предельного цикла из петли сепаратрисы
седло-узла. Пусть (А) — динамическая система, М0 (хо, у о) — ее
состояние равновесия, являющееся седло-узлом и имеющее кратность два.
Каноническая окрестность седло-узла состоит из одного
параболического сектора и двух гиперболических, отделенных друг от друга тремя
сепаратрисами. Будем считать для определенности, что у седло-узла М0
имеется одна α-сепаратриса L~ и две ω-сепаратрисы L\ и L\.
Рис. 142. Рис. 143.
Предположим, что α-сепаратриса L~ при t ->· + оо также стремится
к точке М0, т. е. образует петлю, причем пи одна из сепаратрис L\ и L\ пе
является продолжением сепаратрисы L~ (рис. 142)·
Так как М0 — двукратное состояние равновесия системы (А), то
существуют сколь угодно близкие системы, у которых в окрестности
точки М0 нет состояний равновесия. Основной результат § 30
заключается в том, что если при достаточно малом изменении системы (А)
состояние равновесия М0 исчезает, а следовательно, исчезает и петля
сепаратрисы, то в достаточно малой окрестности зтой петли рождается
предельный цикл, и притом только один (теоремы 51 и 52; см. рис. 143).
§ 31 посвящен рассмотрению простейших негрубьтх систем, именно
систем первой степени негрубости. Определение системы первой степени
негрубости внутри цикла без контакта было дано в главе VIII (§ 22).
В § 31 дается определение таких систем для любой ограниченной области
и устанавливаются необходимые и достаточные условия для того, чтобы
S


330 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЛА [ГЛ. XII
система в данной области имела первую степень негрубости (теорема 67).
С помощью этих условий исследуется, какие бифуркации возможны
у систем первой степени негрубости. Оказывается, что все такие
бифуркации являются частными случаями бифуркаций, рассмотренных в
предыдущих главах книги и в § 30.
§ 30. Рождение предельного цикла из петли сепаратрисы
состояния равновесия седло-узел
1. Теорема существования. В настоящем параграфе мы рассмотрим
аналитическую динамическую систему
■§-=р<*,у), 4Н<?<*,»), <D>
имеющую двукратное состояние равновесия (х0, у0) типа седло-узел, одно
из характеристических чисел которого отлично от нуля. Не ограничивая
общности, можно считать, что указанное состояние равновесия
находится в начале координат, т. е. х0 = у0 = 0. При этих условиях
Δ (0,0):
ρ; (0,0) Р'у (0,0)
ρ; (0,0) Q'y (0,0)
о, (i)
σ (0, 0) = Р'х (0, 0) + Q'y (0, 0) φ 0. (2)
Состояние равновесия указанного типа рассматривалось в главе VIII
(§ 23, пп. 1 и 2). Каноническая окрестность его состоит из одного
параболического сектора и двух гиперболических. Будем считать для
определенности, что траектории параболического сектора стремятся к О при
t ->- + оо. Тогда у состояния равновесия О существует одна α-сепаратриса
L~ и две ω-сепаратрисы L\ и L\.
Мы предположим, что траектория L0, из которой выделена
сепаратриса L~, стремится к состоянию равновесия О не только при t -> — оо,
но и при t -> + °°, т· е. образует петлю. Кроме того, мы будем считать,
что ни одна из сепаратрис L* и L\ не является частью этой петли (т. е.
что сепаратриса L~ не сливается, образуя одну траекторию, ни с
сепаратрисой L+, ни с сепаратрисой L\\ см. рис. 142).
Так как О является двукратным состоянием равновесия, то
существуют числа δ0 > 0 и ε0 > 0 такие, что если система (D) б0-близка
к системе (D) до ранга 2, то у нее имеется в U8 (О) не более двух
состояний равновесия (см. определение 15, § 7.3 и определение 5, § 2.1).
Следовательно, априори возможны три случая:
1) Система (D) имеет в Uε (О) одно состояние равновесия О.
2) Система (D) имеет в ί/ε (О) два состояния равновесия Οχ и 02.
3) Система (D) не имеет в U8 (О) ни одного состояния равновесия.
Все три случая реализуются: случаи 2) и 3) — в силу теоремы 34,
§ 23.1; случай же 1) — если взять, например, в качестве (D) саму
систему (D).
Нетрудно видеть, что если система (D) достаточно близка к системе
(D), то в случае 1) состояние равновесия О также имеет кратность 2 и
представляет седло-узел (это следует из замечания к теореме 35, § 23.2).


§ 30] ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЕЛ 331
В случае 2) одно из состояний равновесия 0± и02, на которые
распадается седло-узел О, является грубым узлом, а другое — грубым
седлом (§ 23.1, лемма 1 и § 23.2, теорема 35).
Мы рассмотрим сейчас более подробно случай 3), т. е. случай, когда
при переходе к близкой системе состояние равновесия исчезает, и
покажем, что при этом в окрестности петли L0 обязательно появляется
замкнутая траектория. Именно, имеет место следующая теорема:
Теорема 51. Для любого ε > 0 существует δ > 0 такое, что
если система (D) Ь-близка к (D) и не имеет в Uг (О) ни одного состояния
равновесия, то у (D) существует по крайней мере одна замкнутая
траектория^ лежащая в г-окрестности петли L0.
Рис. 144.
Доказательство. Пусть ε > 0 задано. Рассмотрим
каноническую окрестность V состояния равновесия О системы (D),
ограниченную:
1) частью К^К2 дуги* без контакта I с концами i?i и i?2,
пересекающейся с сепаратрисами L~, L+ и L\ соответственно в точках Ν0, Νι πΝ2
(рис. 144);
2) дугой без контакта 10 с концами Mi и M2l пересекающей
сепаратрису L~ в точке М0\
3) дугами траекторий K^Mi и К2М2.
Понятие «каноническая окрестность» введено в КТ (глава VIII,
§ 19.2), и там же показано, что в сколь угодно малой окрестности
состояния равновесия можно построить такую окрестность. Поэтому мы можем
считать, что рассматриваемая каноническая окрестность V и дуга без
контакта I лежат в Ue/2 (О) и что выполняется следующее условие:
траектории Loi и L02, проходящие при f = t0 через концы соответственно М{
и М2 дуги /0» ПРИ возрастании t пересекают дугу без контакта I в
точках М[ и М'2> причем четырехугольник Δ, ограниченный дугой без
контакта /<ь частью M'LM'2 дуги без контакта I и дугами ΜιΜ'± и М2М'2 траек-
тории L0l и ь02, является элементарным и расположен в —окрестности
петли L0. Так как траектория L0 пересекает дуги без контакта 10 и I в их


332 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЛА [ГЛ. XII
внутренних точках М0 и N0, то это условие выполняется всякий раз,
когда дуга Z0 достаточно мала.
Выберем число δ > 0 настолько малым, что если система (D) δ-близка
к (D), то
а) дуги Ζ0 и I являются дугами без контакта для системы (D);
б) траектории Loi и L02 системы (D), проходящие при f = t0
соответственно через точки Μι и М2, при возрастании t пересекают дугу I
Рис. 145.
в точках Μ[ и М'2, и получающийся при этом четырехугольник Δ
(аналогичный Δ) является элементарным четырехугольником системы (D)
и расположен в Uг {L0) (рис. 145);
в) при убывании t траектории Lol и L02 пересекают дугу I в точках
Κι и К2, и окрестность V точки О, ограниченная дугой без контакта /0,
частью К{К2 дуги I и дугами траекторий ΚίΜι и К2М2, расположена
в ϋе (LQ).
Условия а), б) и в) выполняются при достаточно малом δ в силу лемм 1
и 5 § 4.1 и леммы 7 § 4.2.
Покажем, что выбранное таким образом число δ удовлетворяет
утверждению теоремы.
Пусть система (D) δ-близка к системе (D) и не имеет в Uz (О) ни
одного состояния равновесия, и пусть W — сумма множеств Δ и V (мы
считаем эти множества замкнутыми). Очевидно, W представляет
замкнутую окрестность петли L0, причем в силу условий б) и в) W cz Ue (L0).
Введем на дуге 10 параметр и, и пусть концам Μχ и М2 дуги 10
соответствуют значения щ и и2 параметра, причем щ < и2. Рассмотрим
произвольную точку Μ (и) дуги lQ (w!<w<w2) и проходящую через эту
точку траекторию L системы (D). При возрастании t эта траектория
пересекает дугу без контакта I в некоторой точке Μ дуги I и входит в
окрестность V. Так как в окрестности V нет состояний равновесия, а следо-


-§ 30] ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЕЛ 333
вательно, и предельных континуумов системы (D), то при дальнейшем
возрастании t траектория L должна выйти из V. Очевидно, она может
выйти из V только через дугу без контакта 10, τ. е. она вторично
пересекает дугу 10 в некоторой точке М* (и*). Но это значит, что при всех и,
Щ^.и^и2, на дуге без контакта Z0 определена функция исследования
причем 1{щ)>щ, f(u2)<u2.
Из последних неравенств следует, что существует число и, ut <w< и2,
такое, что f(u)=u.
Траектория L, проходящая через точку Μ (и) дуги Ζ0, является
замкнутой. Очевидно,
LczWczUs{Lo).
Теорема доказана.
Мы будем говорить, что замкнутая траектория L рождается из
петли сепаратрисы L0 седло-узла О.
Замечание. Теорема 51 и проведенное выше доказательство ее
остаются справедливыми и в том случае, когда точка О есть не
обязательно двукратное, а любое четнократное состояние равновесия, для которого
выполняются условия (1) и (2) (такое состояние равновесия также есть
-седло-узел, см. § 23.2,а)).
2. Теорема единственности. Покажем единственность замкнутой
траектории, рождающейся из петли сепаратрисы состояния равновесия
седло-узел. Так же, как в предыдущем пункте, предположим, что
рассматривается четнократное состояние равновесия О (0, 0), удовлетворяющее
условиям (1) и (2), т. е. седло-узел, и что траектория L0, из которой
выделена α-сепаратриса L~, образует петлю, не сливаясь при этом ни с одной
из ω-сепаратрис L\ и L+.
Лемма. Пусть М0 — произвольная точка траектории L0, a l0 —
дуга без контакта, проведенная через точку М0 и содержащая М0 внутри
себя. Существуют числа ε0 > 0 и δ0 > 0 такие, что если система (D)
80-близка к (D), a L — замкнутая траектория системы (D), лежащая
в Uъ (L0), то L пересекает дугу 10, и притом в единственной точке.
Доказательство. Нетрудно видеть, что если утверждение
леммы справедливо для всякой достаточно малой дуги Z0, выделенной
из некоторой фиксированной дуги без контакта, пересекающей
траекторию LQ, to оно справедливо и для любой наперед заданной дуги без
контакта Z0 (см. § 4.2, лемма 7). По условию σ (0, 0) = Р'х (0, 0) + Q'y (0, 0) =^0.
Предположим для определенности, что
σ(0, 0)^-σ0>0.
Пусть ε > 0 настолько мало, что для любой точки (х, у), (х, у) а
<cz Uъ (0), σ (χ, у) > 0. Рассмотрим описанные в предыдущем пункте
(при доказательстве теоремы 51) каноническую окрестность V и
элементарный четырехугольник Δ системы (D), а также каноническую
окрестность V и четырехугольник Δ близкой системы (D) и их сумму W. Будем
предполагать, что V a Uъ(0). В качестве Ζ0 возьмем дугу без контакта
ΜχΜ2, входящую в границу окрестности V (рис. 144 и 145).


334 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЛА [ГЛ. XII
Выберем δ0 > 0 и ε0 > 0 так, что если система (D) б0-близка к (D),
то выполняются следующие условия:
а) 10 является дугой без контакта для системы (D);
б) для всякой точки (х, у) £ UB (О)
σ(χ, у)=Р'х (ζ, у) + Q'y (χ, у) > 0;
в) V<=:Ue(0)i
г) UBq(Lo)czW.
Очевидно, при достаточно малых ε0 и δ0 эти условия выполняются
Пусть L — замкнутая траектория системы (D), б0-близкой к (D),
и пусть L с UbQ (L0). Тогда в силу в) L cz W.
Если траектория L лежит целиком в V, то она лежит в U ъ(0).
Но, в силу условия б) и критерия Бендиксона (КТ, § 12.3, теорема 31,
следствие), у системы (D) не может существовать замкнутых траекторий,
целиком лежащих в Uε (О). Поэтому замкнутая траектория L имеет
точки, лежащие в четырехугольнике Δ. Но тогда, в силу свойств
элементарных четырехугольников, траектория L пересекает дугу Ζ0, причем,
в силу условия а), в единственной точке. Ясно, что дугу без контакта /а
можно взять при этом сколь угодно малой.
Лемма доказана.
Теорема 52. Пусть О (0, 0) — седло-узел динамической
системы (D), для которого σ0 = σ (0, 0) Φ 0, a L0 — его сепаратриса,
образующая петлю.
Существуют числа ε > 0 и δ > 0 такие, что если система (D) Ь-близ-
ка к (D), то она не может иметь в U& (LQ) более одной замкнутой
траектории. При этом, если такая замкнутая траектория существует, то
в случае σ0 < 0 она является устойчивым, а в случае σ0 > 0 —-
неустойчивым грубым предельным циклом.
Доказательство. Рассмотрим для определенности случай,
когда σ0 > 0.
Выберем ε0 > 0 настолько малым, чтобы для каждой точки (х, у) £
6 U г (О) выполнялось соотношение
σ (χ, у) - Р'х (х, у) + Q'y (χ, у) > -ψ . (3)
Будем понимать под I, Z0, V, Δ, W, V и т. д. дуги без контакта,
канонические окрестности, элементарные четырехугольники и т. д.,
рассматривавшиеся в предыдущем пункте (рис. 144 и 145). Пусть каноническая
окрестность V настолько мала, что
VcUeo(0), (4)
и пусть Δ — соответствующий элементарный четырехугольник системы
(D) (рис. 146).
Выберем δ4 >- 0 настолько малым, что если система (D) бгблизка
к системе (D), то выполняются следующие условия:
а) Для траекторий системы (D) дуги I и /0 являются дугами без
контакта.
б) Каноническая окрестность V, соответствующая системе (D), лежит
в f/g (Z/0) вместе со своим замыканием.


30] ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЕЛ 335
в) Траектории системы (Ό), проходящие через точки дуги /0, при
возрастании t пересекают дугу Z, и отрезки этих траекторий,
заключенные между дугами 10 и Z, образуют элементарный четырехугольник Δ.
г) Для всех точек (х, у) £ υεο (Ο) σ (χ, у) > ^ .
Пусть W — сумма множеств V и Δ. Выберем ε1? 0 < ε4 < ε0,
настолько малым, что для каждого множества W, соответствующего о\-близкой
к (D) системе (D), выполняется соотношение
Uh (L0) c= W. (5)
Существование чисел δί и ει, удовлетворяющих указанным
условиям, очевидно.
Пусть L — замкнутая траектория системы (D), б^близкой к (D),
и пусть L a Uг (L0). Тогда в силу соотношения (5) L a W = V[) Δ.
Рис. 146.
Покажем, что траектория L не может лежать целиком в F. В самом деле,
если L с F, то в силу условия (4) L cz UE (О). Но этого не может быть,
так как из соотношения (5) и критерия Бендиксона (КТ, § 12.3,
теорема 31, следствие) следует, что у системы (D) не может существовать
замкнутых траекторий, целиком лежащих в Uε (О). Таким образом, всякая
замкнутая траектория L системы (D), лежащая в Uг (L0), имеет точки,
лежащие в четырехугольнике Δ. Но тогда, в силу свойств элементарных
четырехугольников, траектория L пересекает дуги / и Z0, а все точки ее,
не принадлежащие Δ, расположены в окрестности V, и, следовательно,
в υ,ύ (О).


336 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЛА [ГЛ. XII
Пусть
я=Фо(*)» ν = Ψο(0 (6)
—решение, соответствующее траектории L0 системы (D), М0 и 7V0— точки
пересечения L0 с дугами без контакта соответственно /0 и /, ^ и t2i
^1<^21 — значения t, соответствующие при движении (6) точкам М0 и N0
(рис. 146). Пусть, далее,
J = \ [Ρ'χ (фо (0. Ψο (0) + <?у (Фо (0, Ψο (ί))ϊ Λ· (7)
t\
Обозначим через χ какое-нибудь число, удовлетворяющее условию
1Л<х. (8)
и пусть С—некоторое число, удовлетворяющее условию
C>f· 0)
Обозначим через S0 точку траектории LQl соответствующую при
движении (6) значению t = t2 + С.
Положим, что δ и ε—положительные числа, удовлетворяющие
условиям δ<δ1, е<Сеь (D) —динамическая система, δ-близкая к (D), L — ее
замкнутая траектория, расположенная целиком в US(L0), Μ и TV—точки
пересечения L с дугами соответственно 10 и I (рис. 146). Пусть
* = ф(0. У=$(0 (Ю)
— движение на траектории L, при котором точке Μ соответствует
значение t — tv. Обозначим через N0 и S0 точки замкнутой траектории L,
соответствующие при движении (10) значениям t = t2 и t = t2-\-C, и пусть
τ—период решения (10). Ясно, что если число ε достаточно мало,
то точка Μ будет сколь угодно близка к точке М0. Отсюда и из
предложений о непрерывной зависимости решения от начальных значений
и правых частей следует, что если числа б и ε достаточно малы*
то выполняются следующие условия:
1) Точка 7V0, а также все точки траектории L, лежащие между N и /V0,
расположены в Ue (О).
2) Дуга MS0 траектории L, соответствующая значениям t, tx < t < t2+C,
лежит настолько близко к дуге M0S0 траектории L0, соответствующей
тем же значениям t, что
t2 + C<tl + r (11)
(напоминаем, что τ—период траектории L).
1Л = Ι \ ο (φ (t), ψ (0) dt\=\ [Pi (φ (ί), $ (ί)) + Q'y (φ (<), ψ (0)1 * < 2χ.
Ιο I «J
ίι ίι
(12)
Последнее условие выполняется при достаточно малых δ и ε в силу (8).
Пусть δ и ε выбраны так, что условия 1) — 3) выполняются. Оценим число
h= \ σ(φ(ί), ψ(/))Λ= \ odt+ [ odt.


§31] СИСТЕМЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ И ИХ БИФУРКАЦИИ 337
В силу (12) \ σώ>—2χ. Из условия 1) следует, что все точки траек-
тории L, соответствующие значениям £2< *< *ι + τ, расположены в UeQ (О).
Поэтому в силу (5) и (11)
^ adi>C^ и h>-2X + C-?±.
Отсюда и из неравенства (9) следует, что h > О, т. е. замкнутая
траектория L системы (D) является грубым неустойчивым предельным циклом
(§ 13.3, теорема 17, § 14, теорема 18).
Таким образом, мы показали, что всякая замкнутая траектория
δ-близкой к (D) системы (D), расположенная в Uг (L0), является
неустойчивым предельным циклом. Но тогда, в силу очевидного рассуждения
(см. конец доказательства теоремы 47, § 29.3), система (D) не может иметь
в U ъ (L0) более одной замкнутой траектории.
Случай σ0 < 0 рассматривается аналогично. Теорема доказана.
§ 31. Динамические системы первой степени
негрубости и их бифуркации
1. Определение системы первой степени негрубости· В предыдущих
главах и в § 30 были рассмотрены бифуркации следующих типов:
1) Распадение сложного состояния равновесия на грубые.
2) Рождение предельных циклов из сложного фокуса.
3) Рождение предельных циклов из сложного предельного цикла.
4) Рождение предельного цикла из петли сепаратрисы седла.
5) Рождение предельного цикла из петли сепаратрисы седло-узла.
В этом параграфе мы рассмотрим динамические системы 1-й степени
негрубости и выясним, каким условиям удовлетворяют такие системы
и какие бифуркации возможны у них. Так как системы 1-й степени
негрубости являются, в известном смысле, простейшими негрубыми системами,
то естественно рассматривать и их бифуркации как простейшие.
Оказывается, что каждая простейшая бифуркация, при которой рождается
предельный цикл, является бифуркацией одного из типов 2)—4).
Определение степеней негрубости динамической системы, в частности
1-й степени негрубости, было дано в главе VIII (§ 22, определение 23).
Однако в этом определении предполагалось, что система рассматривается
в области, ограниченной циклом без контакта. Поэтому мы дадим прежде
всего определение системы 1-й степени негрубости, имеющее смысл для
любой ограниченной замкнутой области. Условие замкнутости не
является при этом существенным — такое же определение можно дать и для
любой ограниченной области.
Так же, как понятие «грубая система» (см. § 6.3), понятие система
1-й степени негрубости связано с рассмотрением определенного
пространства R* динамических систем. При рассмотрении грубых систем в
качестве Д* можно взять любое из пространств Л(аг) или Д£г), где й>г>1.
Оказывается (мы уже отмечали это в § 22), понятие динамической системы
1-й степени негрубости имеет смысл лишь по отношению к пространствам
Л(аг) или R%\ где г>3. Поэтому в дальнейшем мы будем предполагать,
не указывая этого явно, что речь идет о негрубости по отношению к одно-


338 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЛА [ГЛ. XII
му из пространств R^P или R^\ где г>3. Обозначим это пространство
через Д*.
Как и в случае грубой системы (§ 6.1, определение 10 или § 6.3,
определение 13), при определении системы 1-й степени негрубости в какой-
нибудь области W приходится, наряду с W, рассматривать более
широкую область. Обозначим через G основную область, с помощью которой
определяется метрика в пространстве Л*. Под динамическими системами
мы будем понимать теперь только системы, принадлежащие
пространству Л*, а под близостью их — близость в R*. Рассматривая какую-нибудь
подобласть области G, мы будем всегда предполагать, что замыкание ее
целиком лежит в G, т. е. находится на конечном расстоянии от границы
области 6?.
Пусть
%=Р{х,у), %=Q{x,y) (A)
— динамическая система, a W — замкнутая подобласть области G.
Определение 30. Динамическая система (А) называется
системой i-й степени негрубости в области W, если она не является грубой
в этой области и если существует открытая область Н,
WaHaHaG,
удовлетворяющая следующему условию: каково бы ни было ε > 0, можно
найти такое δ > 0, что для всякой системы (А), Ь-близкой к (А) и
являющейся негрубой· в области W, существует подобласть Н, для которой
(Я, !) = (#, А).
Смысл этого несколько громоздкого определения может быть
выражен так: (А) есть система первой степени негрубости в области W, если
сама она является негрубой в W, а всякая достаточно близкая к ней
система (А) либо является грубой в W, либо же системы (А) и (А) имеют
в некоторых окрестностях области W одинаковые топологические
структуры разбиения на траектории, причем переход от одного разбиения
к другому можно реализовать сколь угодно малым сдвигом.
Мы выведем сейчас условия, которым удовлетворяет всякая система
первой степени негрубости, т. е. необходимые условия. Вывод их по
своему методу аналогичен выводу необходимых условий грубости системы
и является естественным и сравнительно несложным. Однако он требует
рассмотрения значительно большего числа возможностей.
Всюду в дальнейшем в этом параграфе мы понимаем под (А) систему
первой степени негрубости в области W в смысле определения 30.
2. Состояния равновесия систем первой степени негрубости.
Приведем сначала теоремы, выясняющие, какие состояния равновесия могут
существовать у систем первой степени негрубости.
Лемма 1. Пусть Ρ (χ, у) и Q (х, у) — функции класса Ν,
определенные в замкнутой ограниченной области G, а М0 (х0, у0) —
произвольная точка этой области. Каковы бы ни были числа δ>0 и η^ζ,Ν (η —
натуральное), существуют многочлены Ρ (χ, у) и Q (х, у), обладающие
следующими свойствами:


§ 31] СИСТЕМЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ И ИХ БИФУРКАЦИИ 339
а) Р и Q Ь-близки до ранга N в области G соответственно к
функциям Ρ и Q.
б) Ρ и Q взаимно просты, т. е. (P,Q) = 1.
в) Значения многочлена Ρ (χ, у) (Q (χ, у)) и всех его производных до
порядка η включительно в точке М0 (х0, у0) совпадают с
соответствующими значениями функции Ρ (χ, у) (Q (χ, у)) и ее производных в той же
точке.
Доказательство. Будем считать, что х0 = у0 = 0; очевидно,
это не ограничивает общности. Пусть δ > 0 задано. В силу теоремы Вейер-
штрасса (§ 1.1, теорема 2) существуют многочлены Р* (я, у) и Q* (х, у),
—близкие до ранга N к функциям соответственно Ри^и
удовлетворяющие условию в). Если многочлены Р* и Q* взаимно просты, то их можно
взять в качестве Ρ и Q, и лемма доказана. Предположим, что Р* и Q*
не взаимно просты. Тогда их можно представить в виде
P* = Pi(x, y).R(x, у), Q* = Qi{x, y)-R(x> у),
где (Ри (?i) = l, a R—многочлен ненулевой степени.
Если (R, Ql) = i1 то мы положим, что Ρ (χ, у) = Ρ* (χ, у). Допустим
теперь, что R и Qx не взаимно просты. Пусть
Qi{z, У) = Ч>1& #)-<Р2(*, У) .· -Фа (ж, у)'Ь(х> У)'^2(х, у) - . . % (*, у) (1)
— разложение многочлена @4 на неприводимые множители. Будем считать
при этом, что выполняются следующие условия:
R(x,y) делится на ψ7·, / = 1, 2, ..., I; (2)
(Д,ср,) = 1, < = 1, 2, ..., к (3)
(число к может быть равно нулю, т. е. многочлены φ^ могут
отсутствовать в разложении (1)). Пусть, далее, ах-\-$у, α^Ο, β=^=0,
—многочлен первой степени, взаимно простой с каждым из многочленов
ψ7· (/= 1, 2, ..., Ζ), а г—натуральное число.
Положим, что
Ri {χ, y) = R {χ, у) + {αχ + $y)r φ^ ... φΑ,
a
Ρ {χ, у) = Ρ^ = Ρ* (χ, y) + Pi (χ, у) (ах + βζ/)Γ φ^ ... φΑ.
Из соотношений (1), (2), (3) следует, что (Дь Q±) = 1. Так как
(Pt, Qi) = 1, то (P,Qi) = 1. Далее, очевидно, что если числа α и β доста-
точно малы, а число г достаточно велико, то многочлены Ρ и Р*—-близки
до ранга Ν, а значения этих многочленов и их производных до порядка η
включительно совпадают в точке (0, 0). Таким образом, мы построили
многочлен Р, взаимно простой с Qx.
Рассмотрим теперь многочлены Ρ и Q* = QiR. Если (Р, R) = 1,
то (Р, ^*) = 1, и мы положим, что Q (х, у) = Q* (х, у). Если же Ρ и Л
не взаимно просты, то, применяя такую же конструкцию, как для
построения многочлена Л4 (х, у), мы можем построить многочлен R2 (x, у),
взаимно простой с Ρ (χ, у) и такой, что многочлен
<?(*, y)=Qi(*, у)Иъ(х* У)


340 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЛА [ГЛ. XII
Δ(«0. Уо) =
= 0. (4)
будет -у-близок к Q* (#, у) до ранга 7V, а значения Q и Q* и их производных
до порядка η включительно будут совпадать в точке (0, 0). Построенные
таким образом многочлены Ρ и Q удовлетворяют условиям а), б), в)леммы.
Лемма доказана.
Теорема 53. Система 1-й степени негрубости в области W может
иметь в этой области лишь конечное число состояний равновесия, причем
каждое из них является изолированным.
Доказательств,о. Так как W есть замкнутая область, то
достаточно доказать, что каждое состояние равновесия системы (А)
в области W является изолированным. Предположим, что это не так
и что М0 (х0, у0) — неизолированное состояние равновесия,
расположенное в W. Тогда в силу замечания 3 к теореме 6 (§ 2.2)
I Р'х (*о, Уо) Ру (*<ь Уо) I
\Qx(*to У θ) <?у(*0. Уо)\
Так как (А) является системой 1-й степени негрубости в области W,
то для нее существует область Я, W с: Я, описанная в определении 30.
Пусть ε > 0 — произвольное число. В силу указанного определения
существует δ > 0 такое, что если система (А) δ-близка к системе (А), то
либо а) система (А) является грубой в области W;
либо б) система (А) является негрубой, и тогда
(Я, A) i (Я, Л), (5)
где Я—некоторая область.
Рассмотрим δ-близкую к (А) динамическую систему
■£ = ?(*, У), ■& = $(*, У). (А)
правые части которой — взаимно простые многочлены, причем значения
этих многочленов и их первых производных в точке М0 (#0» У о) совпадают
с соответствующими значениями функций Ρ и Q и их первых
производных в этой точке (такая система существует в силу леммы 1). Тогда точка
М0 (#о, г/0) является для системы (А) состоянием равновесия, причем
Δ(*ο> #ο)=Δ(ζ, у) = 0. (6)
Так как система (А) δ-близка к (А), то для нее должно выполняться либо
условие а), либо условие б). Однако условие а) для нее не выполняется,
так как в силу (6) система (А) имеет в области W негрубое состояние
равновесия М0. Условие б) для нее тоже не выполняется, так как
система (А) имеет в области бесчисленное множество состояний равновесия,
а система (А) имеет на плоскости максимум конечное число состояний
равновесия (так как (Р, Q) = 1), и, следовательно, соотношение (5) нет
может иметь места. Мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
Лемма 2. Пусть Oi9 02, . . ., Os — все состояния равновесия
системы (А), расположенные в W. Существуют числа ε0>0 и δ0>0,
обладающие следующим свойством: если система (А) 60-близка к (А)
и является негрубой в области W, то в ^^-окрестности каждой точки 0%,
i = l, 2, . . ., 5, существует в точности одно состояние равновесия Ох
системы (А), причем состояния равновесия Ot и Ot имеют одинаковую


§ 31] СИСТЕМЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ И ИХ БИФУРКАЦИИ 341
топологическую структуру. Число ε0 > 0 можно взять при этом сколь
угодно малым.
Доказательство. Пусть Я —область, удовлетворяющая
условию определения 30, Η zd W (рис. 147). Не ограничивая общности, можно
считать, что в области Я нет других состояний равновесия системы (А),
кроме точек Ои <92, . . ., Os (это выполняется, если Я — достаточно
малая окрестность замкнутой области PF). В качестве ε0 > 0 возьмем
число, удовлетворяющее
следующим условиям:
а) Окрестности Uг (Ot),
ί= 1, 2, . . ., s, расположены
в Я и попарно не пересекаются.
б) Расстояние каждой из
окрестностей U ъ (Ог) до границы
области Я больше 2ε0 (рис. 147).
В силу определения 30
числу ε0 соответствует число δ0 > 0
такое, что если система (А)
б0-близка к (А) и является
негрубой, то *"" — ^
~* ~ ε° Риг 1Λ7
_ (Я, А) = (Н, А), (7) Рис' 147·
где Я —некоторая область. ^
Из соотношения (7) следует, что в области Я имеется в точности^
состояний равновесия системы (А). Обозначим их через 04, 02, ..., Os>
Пусть /—отображение области Я на Я, реализующее
соотношение (7) (т. е. / есть 80-сдвиг, переводящий Я в Я и сохраняющий
траектории; см. § 4.1, определения 8 и 9). Пусть, далее, / (Оь) = Ои
i = 1, 2, .. ., s. Тогда
OiCzU^iOi). (8)
В силу условия б) каждая из окрестностей иео(Ог) расположена в Я, т. е.
Ueo(Oi)czH ^ (9)
(см. сноску на стр. 75). Из соотношений (8) и (9) следует, что Ог есть
единственное состояние равновесия системы (А), расположенное в{/„ (Ot).
Так как / (б^ = Ot и / есть топологическое отображение, сохраняющее
траектории, то состояния равновесия Ot и Ot имеют одинаковые
топологические структуры. Лемма доказана.
Лемма 3. Пусть О — состояние равновесия системы (А), О a W.
Существует число δ0 > 0 такое, что если система (А) является
негрубой, 60-близка к системе (А) и имеет точку О своим состоянием
равновесия, то топологическая структура состояния равновесия О системы (А)
совпадает с топологической структурой состояния равновесия О
системы (А).
Лемма 3 непосредственно вытекает из леммы 2. В качестве δ0 можно
взять число δ0, определяемое леммой 2.
Теорема 54. Система 1-й степени негрубости в области W не
может иметь в этой области состояния равновесия, для которого Δ = 0,
σ = 0.


342 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЛА [ГЛ. XII
Доказательство. Пусть (А) — рассматриваемая система 1-й
степени негрубости. Допустим, что в области W она имеет состояние
равновесия О (О, 0), для которого Δ = 0, σ = 0.
Пусть δ о > 0 — число, определяемое леммой 3. По теореме Вейер-
штрасса существует -^--близкая к (А) система
£ = *<*. У). !=?(*. V)> (А)
где Ρ и Q — многочлены, причем значения Ρ и Q и их первых
производных в точке О (0, 0) совпадают соответственно со значениями функций Ρ
и Q и их первых производных в той же точке. Точка О (0, 0) является
состоянием равновесия системы (А), для которого
Δ(0, 0)=Δ(0, 0) = 0, σ(0, 0) = σ(0, 0) = 0. (10)
Мы будем считать, что хоть один из многочленов Р, Q имеет
линейные члены (в противном случае можно вместо Ρ взять Ху + Р, где λ —
достаточно малое число; при этом точка О останется состоянием
равновесия с Δ = σ = 0). Так как (А) — система 1-й степени негрубости,
а система (А) -у--близка к (А) и имеет О своим состоянием равновесия,
то (А) — негрубая система и точка О является ее изолированным
состоянием равновесия.
Воспользуемся теперь результатами § 23. В силу этих результатов
мы можем считать, что система (А) имеет вид
чг = *· 'If = αχΤ f1+h <*>l + ЪхПу f1+* (*N+ff <*' »>· <x>
где h, g1, / — аналитические функции, h(0) — g(0) — Q, r>2, a=^=0,
а число тг>1, если ЬфО (см. § 23.2, (25)).
Рассмотрим систему
£-=г/' % = ter-i + axrll + k(x)] + bxny[l + g(x)]+y*f(x, у), (А,)
где λ<0 и настолько мало по модулю, что системы (At) и (А) -—-близки.
Рассмотрим сначала случай, когда г > 2. В этом случае точка О
является состоянием равновесия системы (А4), для которого Δ = 0.
При этом в силу § 23.2, II, стр. 236, если г нечетно (четно), то точка О
является для системы (А) (для системы (А4)) либо седлом, либо узлом,
либо фокусом, либо центром, либо состоянием равновесия с
эллиптической областью, а для системы (А4) (для системы (А)) — либо
вырожденным состоянием равновесия, либо седло-узлом. Таким образом, (А) и (А4)
являются негрубыми системами, б0-близкими к системе (А), причем
топологическая структура состояния равновесия О системы (А) отличается
от топологической структуры состояния равновесия О системы (А^.
Это противоречит лемме 3.
Пусть теперь г = 2. В этом случае система (А4) имеет вид
■g- = y, 2jL = kz+aa*[l + h(z)] + ...
Точка О (0, 0) является для нее состоянием равновесия с Δ = — λ > 0
и с σ = 0, т. е. сложным фокусом или центром. Такое состояние равно-


§ 31] СИСТЕМЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ И ИХ БИФУРКАЦИИ 343
весия является негрубым, а следовательно, негруба и система (А^. Что
касается системы (А), то при г = 2 точка О является для нее
вырожденным состоянием равновесия (см. КТ, § 22.2, теорема 67). Но тогда в
точности так же, как в случае г > 2, мы приходим к противоречию с
леммой 3. Теорема докааана.
Из теоремы 54 следует, что каждое состояние равновесия системы (А)
в области W является либо простым, либо изолированным состоянием
равновесия, для которого Δ = 0, а σ Φ 0.
Как известно, простое состояние равновесия имеет кратность,
равную 1 (§ 7.3, определение 15 и § 2.2, теорема 6). Выясним, чему равна
кратность сложного состояния равновесия системы (А).
Теорема 55. Если (А) — система 1-й степени негрубости в
области W, то всякое ее сложное состояние равновесия, расположенное в W,
имеет кратность 2.
Доказательство. Пусть О (0, 0) — сложное состояние
равновесия системы (А), О £ W. В силу предыдущей теоремы Δ (0, 0) = 0,
σ (0, 0) Φ 0. Не ограничивая общности, мы можем считать тогда, что
система (А) имеет вид
-^Г = Р(*. У)* $г = У + Я{*> »)' <41)
где
Р(0, 0) = рИ0, 0) = pi(0, 0)=<7(0, 0) = <£(<), 0) = й(0, 0) (12)
(к такому виду система (А) может быть приведена с помощью
неособенного линейного преобразования; см. КТ, § 21.2).
По теореме о неявных функциях уравнение
V + q(*,'v) = 0 (13)
имеет в окрестности точки 0(0, 0) единственное решение относительно г/.
Обозначим его через φ (ж). Тогда
φ (*) + ?(*, φ(*)) = ο, (14)
причем
φ(0)=0. (15)
Из соотношений (12), (14) и (15) следует, что
φ'(0)=0. (16)
Рассмотрим функцию
ψ(*)=ρ(*, φ (χ)). (17)
Непосредственные вычисления показывают, что
Ψ(0)=0, γ(0) = 0, ιΠ0)=ΐ£*(0, 0). (18)
Из определения 15 (§ 7.3) и теоремы 7 (§ 2.3) следует, что
состояние равновесия О(0, 0) системы (11) имеет кратность 2 в том и только
в том случае, если рхх (0, 0) Φ 0. Покажем, что это условие выполняется.
Допустим противное, т. е. допустим, что
Р«(0, 0) = 0. (19)
Пусть 8о и δ0 — положительные числа, определяемые леммой 2. Так же,
как при доказательстве теоремы 54, воспользуемся теоремой Вейерштрасса
и построим -^--близкую к системе (11) систему


344 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЛА [ГЛ. XII
где ρ и q — многочлены, совпадающие в точке О(0, 0)— вместе со своими
производными до второго порядка включительно — с соответствующими
значениями функций ρ и q в этой же точке. Тогда
Р(0, 0)=й(0, 0) = й(0, 0) = g(0, 0) = g;(0, 0) =й(0, 0) = 0 (20)
и
Й«(0, 0) = 0. (21)
Так как Δ(0, 0) = 0, то система (А) является негрубой в области W,
Поэтому, в силу леммы 2, ее состояние равновесия О (0, 0) является
изолированным.
Обозначим через φ (χ) и ψ (χ) функции, аналогичные функциям φ
и ψ, т. е. определяемые соотношениями
?(*) + ?(*, φ(*))=0 (22)
и
?(*)=£ (ж, φ(*)). (23)
Так как ρ и q — аналитические функции (многочлены), то φ и ·ψ
также аналитические. Из соотношений (20) и (21) следует, что
φ(0) = φ'(0) = 0 (24)
И
Ψ(0)-$'(0) = ?'(0) = 0. (25)
Кроме того, ψ (я) не может быть равна нулю тождественно.
Действительно, если ψ (χ) ξ 0, то при всех достаточно малых χ точка (χ, φ (χ))
есть состояние равновесия системы (А), что противоречит изолированности
состояния равновесия О. Таким образом, вблизи точки а;=0 функция
ψ (χ) имеет вид
ψ (χ) ^ахп + а±хп+1 + ..., (26)
где α Φ 0, а тг>3.
Рассмотрим динамическую систему
~ = μα:71-1 + ^(Λ;, ^) = Ρμ(^, у), -^==*/ + <ί(^ У) ="&(*. »). (Αμ)
где μ=£θ настолько мало, что системы (Αμ) и (А) -^--близки. Так как
О(0, 0) —сложное состояние равновесия системы (Αμ), то эта система
негрубая в области W.
Будем искать близкие к точке О состояния равновесия системы (Αμ).
В силу (22) у = ц>(х) есть решение уравнения @μ (χ, г/) = 0 относительно у.
Подставляя φ (χ) вместо у в уравнение Ρμ (χ, г/) = 0, мы получим уравнение
относительно χ: Ρμ (χ, φ (χ)) = 0, т. е.
Xй'1 [μ + αχ + αιΧ2 +...]= 0
или
χη'1Η(μ, х) = 0, (27)
где h(μ, χ) = μ + <χχ + αί3?+ ...
Так как h (0, 0) = 0, К (0, 0) = α Φ 0, то, по теореме о неявных
функциях, уравнение h (μ, χ) — 0 имеет в окрестности точки О (0, 0)
решение χ — χμ, стремящееся к нулю при μ -»· 0. Очевидно, если μ Φ 0,


§ 31] СИСТЕМЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ И ИХ БИФУРКАЦИИ 345
то χμ Φ 0. Точка Оμ (χμ, φ (#μ)) является состоянием равновесия системы
(Αμ), отличным от 0 и лежащим, если μ достаточно мало, сколь угодно
близко к 0.
Таким образом, мы показали, что если рхх (0, 0) = 0, то существует
б0-близкая к (А) система (Αμ), негрубая в области W и имеющая в сколь
угодно малой окрестности точки О два состояния равновесия — О я Ομ.
Но это противоречит лемме 2. Следовательно, рхх (0, 0) Φ 0, т. е.
состояние равновесия О имеет кратность 2. Теорема доказана.
Теорема 56. Если (А) — система 1-й степени негрубости в
области W, то всякое ее сложное состояние равновесия, расположенное в W,
есть седло-узел.
Доказательство. Теорема 56 непосредственно вытекает из
теорем 54 и 55 в силу следующего более общего предложения: двукратное
состояние равновесия, для которого σ Φ 0, есть седло-узел. В случае,
когда (А) есть аналитическая система, последнее предложение
содержится в утверждении I § 23.2 (или, что то же, в КТ § 21.2, теорема 65).
Для неаналитической системы доказательство может быть проведено
таким же методом, как доказательство указанной теоремы 65 из КТ.
Теоремы 54, 55, 56 показывают, что всякое сложное состояние
равновесия системы 1-й степени негрубости представляет собой седло-узел
с σ Φ 0 и имеет кратность 2.
Рассмотрим теперь простые состояния равновесия (т. е. такие, для
которых Δ Φ 0). В главе IV было показано, что простое состояние
равновесия всегда является грубым, за исключением случая, когда оно имеет
чисто мнимые характеристические числа. Нетрудно видеть, что у системы
1-й степени негрубости может существовать грубое сортояние равновесия
любого типа. Поэтому нужно рассмотреть лишь состояния равновесия
с чисто мнимыми характеристическими числами. Как известно, каждое
такое состояние равновесия является либо сложным фокусом, либо
центром, либо центро-фокусом, причем центро-фокус может существовать
лишь у неаналитической системы (§ 24, замечание в конце п. 4).
Не ограничивая общности, мы будем считать, что рассматриваемое
состояние равновесия есть точка О (0, 0) и что система (А) имеет
канонический вид
£=-β0 + φ(*, У), |*- = β* + ψ(*. у), (28)
где β > 0, а φ и ψ -- функции 3-го класса, обращающиеся в точке О
в нуль вместе со всеми своими производными 1-го порядка.
В главе IX мы рассмотрели функцию последования / (р),
определенную на луче, выходящем из точки О, и функцию d (ρ) = / (ρ) — р. Обе
они являются функциями такого же класса, как φ и ψ. Значения
производных функции d (ρ) в точке О называются фокусными величинами.
Мы показали (§ 24.2, лемма 5 и формула (25)), что
tf(0) = tf'(0) = d"(0) = 0. (29)
В случае, когда dm (0) Φ 0, точка О (0, 0) является сложным
фокусом кратности 1 (см. § 24.2, определение 26). Если же dm (0) = 0, то О
является либо сложным фокусом кратности т > 1, либо сложным
фокусом, не имеющим определенной кратности, либо центром, либо центро-
фокусом.
Теорема 57. Если система 1-й степени негрубости в области W
имеет в этой области состояние равновесия с чисто мнимыми характери-


346 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЛА [ГЛ. XII
стическими числами, то оно является сложным фокусом кратности 1,
т. е. для него выполняется соотношение dm (0) Φ 0.
Доказательство. Допустим противное, т. е. предположим,
что для точки О (0, 0) системы (28) имеет место равенство
ίΓ(0) = 0. (30)
Как известно (§ 24.3, (35), (36)), система (28) может быть записана
в виде
з
~ = Ρ{χ, у)=-$у+РЛ*, у)+Р*{х, у)+^хъ-ауаР1{х, у),
(3D
^ = Q(x, */) = β*+<?2(*, y) + Q*(x, y)+ 2*3~V*<?S(*, У),
α=0
где Ρ2 и Q2 (Рз и ζ)3) — однородные многочлены степени 2 (степени 3),
а Ра (х, у) и Qa (х, у) — непрерывные функции, равные нулю при
х = у = 0.
Пусть δ0>0 —число, определяемое леммой 3. Пусть, далее, Р'а и Qa —
многочлены, достаточно хорошо аппроксимирующие функции
соответственно Ра и Qa и равные нулю в точке О(0, 0). Тогда система
з
^--β*/ + Ρ2(ζ, у)+Р3(х, у)+% хв~аУаР*а(х, У) = Р(х, У),
(А)
-^ = β*+<?2(*, y) + Qs(x, y)+j\ х3~ауа&(х, y) = Q(x, у)
α=0
-^-близка к (А) и точка О также является для нее состоянием
равновесия с чисто мнимыми характеристическими числами. Обозначим через
d (p) соответствующую системе (А) функцию, аналогичную функции <2(р).
Из равенства (30) и из леммы 6 § 24.3 вытекает, что
5^(0) = 0. Ч (32)
Так как система (А) аналитическая, то из последнего равенства
следует, что точка О (0, 0) является для нее либо центром, либо сложным
фокусом кратности μ>1. Покажем, что она не может быть центром.
В самом деле, допустим, что О есть центр системы (А). Рассмотрим
систему
^ = Р(х, υ) + μ(χ* + ν2)ν, -|- = <?(*, ίΟ+μ(*2 + ?2)*. (А,)
где μ Φ 0, и соответствующую ей функцию di (ρ). При μ достаточно
малом система (At) б0-близка к системе (А) (т. е. к системе (28)).
Из леммы 7 § 24.3 следует, что
d[ (0) - d{ (0) = 0, tf;" (0) = 12π Jy- Φ 0,
т. е. О есть сложный фокус системы (Ai). Таким образом, (А) и (А4) —
негрубые системы, б0-близкие к (А), причем состояние равновесия О
является фокусом для системы (А4) и центром для системы (А). Это
противоречит лемме 3.


§ 31] СИСТЕМЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ И ИХ БИФУРКАЦИИ 347
Таким образом, мы показали, что точка О является сложным фокусом
системы (А).
Но тогда, в силу леммы 3, точка О является также сложным фокусом
для исходной системы (А). Покажем, что это приводит к противоречию.
В самом деле, допустим, что О есть сложный фокус системы (А).
Тогда, если η > 0 достаточно мало, то все траектории системы (А),
расположенные в Ζ7η (О) (за исключением самой точки О), являются
спиралями, накручивающимися на О либо при £-»· — оо, либо при £-> + оо.
Будем считать, что η > 0 удовлетворяет этому условию.
Пусть ε — положительное число, ε < -τ-, δ, 0<δ<δ0,— число*
соответствующее числу ε в силу определения 30. Тогда если какая-
нибудь система (В) является негрубой в области W и δ-близкой к (А),
то выполняется соотношение
(Я, A) i (Я1? В),
где Ηί—некоторая область, а Я—область, фигурирующая в
определении 30.
Мы можем взять η "> 0 настолько малым, что Ζ7η (О) cz Я. Тогда
из предыдущего соотношения следует, что
(Уч(0), Л)4(7, В), (33)
где V — некоторая область.
Допустим еще, что система (В) имеет точку О своим состоянием
равновесия, и посмотрим, что можно сказать относительно области (V).
Из соотношения (33) следует, что все траектории системы (В),
расположенные в F, являются спиралями, накручивающимися на точку О
(кроме, конечно, самой точки О). Из неравенства ε < ~ следует, что
ί^η/2 {О) а V. Таким образом, если (В) δ-близкая к (А) негрубая система,
имеющая точку О своим состоянием равновесия, то все ее траектории,
расположенные в Ζ7η/2 (О), являются спиралями, накручивающимися на О.
Пусть система (А), построенная выше, у-близка к (А). Так как δ <δ0,
то, как было уже показано, О есть сложный фокус кратности т >> 1
системы (А).
Возьмем в качестве (В) систему
^ = Р(х, Ι/) + μ(*2 + */2)ϊΛ % = $(*, ι/) + μ(*2 + ?/2)*. (Αι)
где μ Φ 0 настолько мало, что (А4) у-близка к системе (А). При
доказательстве теоремы 40 было показано, что если выбрать η достаточно
малым и надлежащего знака, то система (А4) будет иметь в Ζ7η/2 (О) по
крайней мере одну замкнутую траекторию (см. § 25.1, доказательство
теоремы 40, в частности формулы (3)—(9); в качестве к нужно взять
число 2). Но это противоречит доказанному выше утверждению, что все
траектории системы (А4) в окрестности ί7η/2 (О) являются спиралями.
Теорема доказана.
Теоремы 53—57 полностью решают вопрос о состояниях равновесия
системы 1-й степени негрубости. Именно, они показывают, что если (А)


348 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЛА [ГЛ. XII
есть динамическая система 1-й степени негрубости в области W, то она
может иметь в этой области лишь конечное число состояний равновесия,
причем каждое из них является либо грубым состоянием равновесия,
либо сложным фокусом кратности 1, либо, наконец, седло-узлом са^О
кратности 2.
3. Замкнутые траектории систем первой степени негрубости. Мы
рассматривали замкнутые траектории динамических систем в V и X главах.
В настоящем пункте мы будем пользоваться введенными в этих главах
обозначениями и рядом полученных там результатов.
Приведем сначала несколько лемм, относящихся к функции
исследования на нормали к замкнутой траектории.
Пусть
w=p(*>y)> t=Q^y) (A)
—динамическая система класса N или аналитическая, L0 — ее замкнутая
траектория,
* = Ф(0. Ρ = Ψ(0 (Lo)
— движение, соответствующее этой траектории, τ > 0 — период
функций φ и ψ.
В § 13.1 мы ввели в окрестности траектории L0 криволинейные
координаты s, п, определенные соотношениями
s = <p(s, /ι), ρ = ψ(», η),
где
cp(s, /ι) = φ (г?) + тг-г|/ (5), ψ($, n) = ty{s) — n-<p'{s). (34)
Системе (А) соответствует в указанных координатах
дифференциальное уравнение
4г=д(*.»). (35>
где R(s, η)—функция класса N (или аналитическая), периодическая
относительно s с периодом τ и удовлетворяющая условию
R {s, 0) = 0.
Пусть n = f(s, щ)—решение уравнения (35), удовлетворяющее
начальному условию / (0, щ) == п0.
Тогда
/(Λο) = /(τ, щ)
есть функция последования на дуге без контакта Ζ, определяемой
уравнениями
* = φ(0) + Λψ'(0), ιτ = ψ(0) —ηφ'ίΟ)
и являющейся нормалью к траектории L0 в точке s = 0. Наряду с
функцией последования мы рассматривали функцию
d (по) = / (по) — Щ.
f (п0) и d (n0) определены при всех достаточно малых по модулю
значениях п0, скажем при | п0 | < п*, и являются функциями такого же
класса, как исходная система (А) (см. § 12.2, формула (5) и последующий
текст).
Сформулируем сначала три леммы (леммы 4, 5 и 6), касающиеся
функций последования близких систем. Эти леммы непосредственно


§ 31] СИСТЕМЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ И ИХ БИФУРКАЦИИ 349
вытекают из общих предложений (о непрерывной зависимости решений
дифференциальных уравнений от правых частей и о дифференцируемое™
решений по параметрам и начальным значениям), и мы приведем их без
доказательства. Мы будем предполагать, что измененные системы
% = Р{х,у), %=G(x,y) (A)
принадлежат тому же классу, что система (А), и будем рассматривать
близость до ранга к, где l<A<iV (если (А) — аналитическая система,
то к может быть любым натуральным числом).
Лемма 4. Для любого ε > О существует δ > 0, обладающее
следующим свойством: если система (А) δ-близка к (А) до ранга к, то
а) нормаль I остается дугой без контакта для системы (А)^и на этой
дуге при всех п0, \ п0 \ <С п*, определена функция последования f (п0)
системы (А), а следовательно, и функция d (п0) = f (п0) — п0;
б) функции f (п0) и f (щ), я следовательно, и функции d (п0) и d (n0)
δ-близки до ранга к.
В дальнейшем нам придется в качестве измененных систем брать
динамические системы специального вида, именно:
dx
-дг-=Ρ (χ, у) + μίρί {χ, ») + ...+ μηΡη (*, у),
du ^μ'n^
^jr=<?(*» ») + μι?ι(*. y) + ^^· + μnqn{χ, у),
где μ* — параметры, a pt(x, у) и q% (χ, у) — функции того же класса, что
Ρ и Q.
Лемма 5. Существует μ*>0 такое, что если |μ*|<μ*, то
нормаль I является дугой без контакта для системы (Αμ>Λ) и при всех
значениях щ, \щ\<Сп*, на этой дуге определена функция последования
f (п0, μι, μ2, ..., μη) того же класса, что функции Ρ и Q. При этом
7(щ, 0, 0, ..., 0) = /(/г0).
Будем рассматривать наряду с (Αμ,η) систему
dx
~dt
Ρ* (χ, у) + μ4ρ* (χ, y)+mau+ μηΡ1 (χ, у),
du (^>n)
-JL = Q*(X, y) + μiqΐ{x, y)+ ... +μ„£* (χ, у),
где Ρ*, Q*, pf, q*—функции того же класса, что Ρ и Q. Пусть μ*—
число, удовлетворяющее утверждению леммы 5.
Лемма 6. Для любого ε>0 существует δ>0, обладающее
следующим свойством: если |μί|<μ*, а функции Р*, Q*, p*, q* δ-близки
до ранга к κ функциям соответственно Р, Q, pt, qt, то нормаль I
является дугой без контакта для системы (Αμ> η), на ней при всех
значениях щ, | п01 < п*, определена функция последования /* (п0, μ1? μ2, ..., μη)
того же класса по совокупности своих переменных, что Ρ и Q, и /*
г-близка до ранга к κ функции /.
Следующая лемма носит более специальный характер. В ней
рассматривается система
^L = P(x, y) + μp(x, у)=Р{х, у, μ), ^ = Q{x, y) + μq{x, y) = Q(x, у). (А)


350 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЛА [ГЛ. XII
Обозначим функцию последования этой системы на нормали I через
7(ло. μ)·
Лемма 7. Для функции последования f (п0, μ) системы (А) на нор-
мали I имеет место формула
X 8
л l (P'x+Q'x)ds х -I {P'x+Qy)ds
^(0>0)-(φ-(0))2+(^(0))2^° \W{')-W'{')]e ° ds, (36)
δ
где значения функций РХ1 Q'y, ρ и q берутся в точке (φ($), ψ($)).
Доказательство. Мы нашли в V главе, что дифференциальное-
уравнение (35), соответствующее системе (А), имеет вид
dn D/ ч 9(φ. Ψ)φ;—-Ρ(φ. *)γ;
-5Г=Д(*| ή)
ds ' ρ(φ, ψ)ψ;-ρ(φ»α|))φ; '
где φ и ψ определяются формулами (34) (см. § 13.2, (12)). Для системы (А)
соответствующее уравнение имеет вид
dn ς< .
—- = R(s, η, μ) = = =^-, (37)
где значения функций Ρ, (?, ρ, g берутся в точке (φ (s, n), i|)(s, η)).
Пусть n — f(s\ щ, μ)—решение уравнения (37), удовлетворяющее
начальному условию / (0, гс0, μ) == п0. Тогда выполняется тождество
d7is'dng0' μ) = Я (., 7(s; «о, μ), μ), (38>
а функция последования системы (А) на нормали I определяется
соотношением
f(n0, μ) = Τ(τ, щ, μ) (39)
(обозначение двух различных функций одним и тем же значком /
не должно вызывать недоразумений, так как одна из них зависит от двух,
а другая — от трех аргументов).
Введем обозначение
Θ(*) = &(*.Ό. 0). (40)
Дифференцируя тождество (38) по μ, меняя в левой части порядок
дифференцирования, полагая λζ0 = μ = 0 и пользуясь обозначением (40), мы
будем иметь
dB(s) ρ 0R(*; J(s\ тг0, μ), μ) ~j Q ,„ч , f dR(s\J(s, тг0, μ), μ) η ,,.
-ds-^l Τη Jno=oUW+L flf Jno=0' ^L>
μ=0 μ=0
Так как при μ = 0 система (А) обращается в (А), то / (s, 0, 0) — 0,
а коэффициент при θ (s) в правой части формулы (41) равен ^ .
Последнее выражение было вычислено в главе V (§ 13.3, (28)). Оно равна
**£$- = Ρ'χ(φ(8), Ψ(*)) + &(Φ(«). ψω)-^-[1η(φ'(*))2+(Ψ'(«))2]· (42)
Выражение Г dR(s> f (g> "о* μ)» μ) 1 можно вычислить непосредственным
7l0=0


§ 31] СИСТЕМЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ И ИХ БИФУРКАЦИИ 351
дифференцированием, пользуясь формулами (37) и (34). Принимая во
внимание соотношения φ' (s) ~ Ρ (φ (s), ψ (s)), ψ' (s) ξξξ () (φ (s), ψ (s)), мы
получим
Г dR(s;J(s; тг0, μ), μ) ~| __ ρ (φ (s), «ψ (*)) «ψ' (s) — g (φ (*), г|) (*)) φ' (s) (,^
L δμ Jn0=0~ (<Ρ'Μ)2 + (Ψ'(*))2 ' l '
Из (41), (42) и (43) следует, что
4^={^+α-^α-((Φ'(.))·+(ν(.))·ι}θ(.)+ϊ^=^^ (44)
где под Pi, (?y, /j, g подразумеваются значения этих функций в точке
(ф(«). + (*))·
Из соотношения | (0; п0, μ) == п0 и из (40) следует, что
θ(0) = /μ(0, 0, 0) = 0.
Интегрируя линейное дифференциальное уравнение (44) при
начальном условии 0(0) = 0, полагая s = x и принимая во внимание (39), мы
получим
θ(τ)=/μ(τ; 0, 0) = /μ(0, 0) =
τ
\ (P'x+Q'v)ds \ . .
J ' -\(PX+Qy)ds
= W1WTWmr ) [pf (»)-(№' (»)] e ° ds,
где значения функций P'x, Q'y, ρ и q берутся в точке (φ(«), ψ($)). Лемма
доказана.
Следствие. Если система (А) имеет вид
т. е. если ее векторное поле получается поворотом из поля системы (А),
Τθ/μ(0, 0)^0.
Доказательство. Справедливость последнего неравенства
непосредственно вытекает из формулы (36), если принять во внимание, что
в рассматриваемом случае
ρΨ (*)-gq>' (*) = -<? (φ (*), Ψ (*)) Ψ' (s)-p (φ (*), ψ (*)) φ' (s) =
= _ (φ'(,))·_ (ψ'φ^Ο.
Мы будем в дальнейшем пользоваться также измененными системами
вида
%- = P + VJr*F'm ^ = Q + i,FmF'y, (А?)
где F (х, у)—функция класса JV + 1, удовлетворяющая условиям:
а) F{ff{s), ψ(*)) = 0;
б) [F'x(<f(s), Ч>(«))1* + Ш(ф(»), Ψ (»))!·^0.
Такие системы рассматривались в главах V и X.
Л емма 8. Если для функции d (tzq) = f (щ) — щ системы (А)
выполняются равенства
d' (0) = d" (0) = ... = dim~l) (0) = dim) (0) = 0,
где ί<Ζτη^Ν, то для соответствующей функции системы (А™) имеют


352 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЛА [ГЛ. XII
место равенства
d(0) = 2' (0) = ... = d{m-l) (0) = 0, d(m) (0) = μβ, (45)
где ^β Φ 0, т. е. при μ Φ О L0 является сложным предельным циклом
кратности т системы (А™).
Если d' (0) = 0, то для функции d (n0) системы
£ = Ρ + μΡΡ'χ, % = Q + vFF'y (AJ)
выполняются равенства
<Г(0) = 0, а'ф) = е»1— 1, (46)
Ό
где 1= J [(^(9W. Ф(»)))2 + (^(ф(«). Ψ(»)))*]<*»> то. е. тгри μ=^=0 Ц
о
является простым предельным циклом системы (Α'μ).
Доказательство. Первое утверждение леммы содержится
в § 26.2, лемма 1, а второе было установлено при доказательстве
теоремы 19 (§ 15.2, (18)). Число β в последней из формул (45) есть постоянная,
зависящая только от функций Р, (?, F, φ и ψ.
Замечание. Если (А) является системой класса N и для ее
замкнутой траектории L0 выполняются соотношения
d'(0) = d"(0) = . . . = d(m-i>(0) = 0,
где l<m<iV, то при всех достаточно малых μ Φ 0 траектория LQ
является ттг-кратным предельным циклом системы (А™). Действительно,
если d(m) (0) = 0, то наше утверждение вытекает из леммы 8. Если же
d(m)(0) Φ 0, то при достаточно малых μ производная d<m) (0) также
не равна 0, величины же d'{0), еГ(0), . . ., dvtl~v (0) совпадают
соответственно с d'(0), d" (0), . . ., ά{ηι~ν (0), т. е. также равны 0 (см. § 26.2,
доказательство леммы 1).
Следующая лемма является основной для дальнейшего.
Лемма 9. Пусть (А) — динамическая система класса 7V>2, a m
и к — натуральные числа, 2^.m^.k*CN. Если система (А) имеет
т-кратный предельный цикл L0, то, каковы бы ни были числа ε > 0
и δ > 0, существует Ь-близкая к (А) до ранга к аналитическая система
(А), имеющая в Uъ (L0) т-кратный предельный цикл.
Доказательство. Мы проведем доказательство для случая
т = 3. При т = 2 или т > 3 оно проводится полностью аналогично.
Кроме того, при рассмотрении систем 1-й степени негрубости нам
понадобится только случай ттг = 3.
Итак, пусть L0 — трехкратный предельный цикл системы (А). Тогда
d(0) = 0, d'(0) = 0f d"(0)-0, ат(0)ф0. (47)
Зададим числа 8>0 и5>0, и пусть F (х, у) — определенная выше
функция класса 7V + 1 (удовлетворяющая условиям а) и б)). Рассмотрим
измененную систему
4f = P(*, У)—μ<#(*. ΐΟ+μι^ί*. V)Fx{*> У).
(А )
-§- = <?(*, υ) + μοΡ(Χ, y)+ViF(*> V)F'u(*, У)


§ 31] СИСТЕМЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ И ИХ БИФУРКАЦИИ 353
и соответствующую ей функцию d = d(nQl μ0, μ^. Мы будем считать μ0
и μ! настолько малыми, что система (Αμ) у-близка до ранга к к системе (А),
а функция d определена при всех значениях п0, \п0\<п*, при которых
определена функция d{n0). Очевидно,
d(n0, О, 0)^d(n0). (48)
Из (47) и (48) следует, что система уравнений
d(n0, μ0, μ0 = 0, d'no (nQ, μ0, μι)=0, а'^Щ, μ0, μ0=0 (49)
имеет решение п0 = 0, μ0 = 0, μ4 = 0. Рассмотрим якобиан этой системы.
Мы имеем
_ .. ,_ \<*пл d*< dk
D{d, d' d'n%)
Δ Κ, μ0, μι) -~ °-
D (τι0, μν μ0)
'"ο
dn2 d'n^x ^η0μ0
Из соотношений (48) и (47) следует, что <£ (0, 0, 0) = 0, ^(0, 0, 0) = 0,
an* (0, 0, 0) Φ 0. Вычислим значения элементов άμ , ί/μ0 и d'nQlXl в точке
(0, 0, 0). Очевидно, при вычислении чисел ά'μ (0, 0, 0) и d"nQVi{ (0, 0, 0)
можно с самого начала положить μ0 = 0, τ. е. рассматривать функцию с?,
соответствующую системе —^ = Ρ + μ^Ρ'χ, -^ = Q-\- \bxFF'y. Но тогда можно
(XX, Q,o
применить лемму 8. В силу первой из формул (46) d (0, 0, μ,) = 0.
Поэтому ά'μ (0, 0, 0) = 0. Далее, в силу второй из формул (46) <2ή0 (0> 0» μι) =
= βμιΓ — 1, где ΙφΟ. Поэтому <ft μ (0, 0, 0) = Ιφ0.
При вычислении ά'μ (0, 0, 0) можно с самого начала положить
μι = 0, τ. е. рассматривать функцию d, соответствующую системе
Но тогда, в силу следствия из леммы 7, d^ (0, 0, 0) Φ 0.
Таким образом, при п0 = μ0 = μ{ = 0 все элементы якобиана
Δ (и<ъ μο* μ0> стоящие на второй диагонали, отличны от нуля, а стоящие
слева от этой диагонали — равны нулю, т. е. Δ (0, 0, 0) Φ 0. Отсюда
следует по теореме о неявных функциях, что в достаточно малой
окрестности точки (0, 0, 0) система (49) не имеет других решений, кроме
Щ = μ0 = μι = 0.
Рассмотрим аналитическую систему
/7ΤΛ Λ Λ Λ /71/ Α. Λ Λ Λ Λ
■1Γ=Ρ-μ<β + μίΡΡ'χ, -f-^ + μοΡ + μ,ίΤ^, (Α„)
где Ρ, Q — многочлены, бгблизкие до ранга к к функциям соответствен-
но Ρ и (?, a F — многочлен, бгблизкий до ранга к + 1 к функции F.
Пусть d (дг0, μ0, μ4) — соответствующая этой системе функция, а
d(n0, μ0, μι) = 0, d'nQ(n09 μ0, μ4) = 0, d^ (#ζ0, μ0, μ4) = 0 (50)
— система уравнений, соответствующая системе (49), В силу теоремы 4
(«теорема о малом изменении неявной функции», § 1.2), если функция d


354 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЛА [ГЛ. XII
достаточно близка до ранга 2 к функции d, то система (50) имеет в
достаточно малой окрестности точки (0, 0, 0) единственное решение. С другой
стороны, в силу леммы 6, если δ4 достаточно мало, то функция d сколь
угодно близка до ранга к к функции d, причем А>т = 3. Поэтому
можно выбрать число Ь^ > 0 настолько малым, чтобы выполнялись
следующие условия:
1) $1 < -к ' ^ система (50) имеет в некоторой окрестности точки
(0, 0, 0) единственное решение (дг0, μ0, μ^, сколь угодно близкое к
нулевому.
Заметим еще, что если δ4, μ0, μι достаточно малы, то выполняется
условие
3) аЦ Οίο, μ0, μι) Φ 0. (51)
Это следует из (47).
Будем считать, что все эти условия выполняются. Тогда система
является аналитической, δ-близка к системе (А), и в силу условий (50)
и (51) она имеет трехкратный предельный цикл L0, соответствующий
значению п0 параметра п0 и лежащий в {/8 (L0). Для случая т = 3 лемма
доказана.
При т = 2 в качестве системы (Αμ) нужно брать систему
а в общем случае—систему
^г = p-V*Q + PiW'x + \hF*F'x + ... + \nm-2Fm-*F'x,
dt
dy
dt
= Q + VoP + ViFF'y + μ2Ρ*Ρ'υ + ... + \xm-2Fm-2F'y.
В остальном доказательство проводится при т Φ 3 так же, как при
т = 3.
Теорема 58. Если динамическая система (А) является системой
1-й степени негрубости в области W, то она может иметь в этой области
только изолированные замкнутые траектории.
Доказательство. Пусть LQ — замкнутая траектория
системы (А), расположенная в W. Будем, как и выше, рассматривать нормаль I
к траектории L0 в какой-нибудь ее точке и функцию d (n0).
Предположим, что эта функция определена для всех дг0, | п0 | < п*, и что сама
траектория L0 соответствует значению п0 = 0. Через Η обозначим область,
фигурирующую в определении системы 1-й степени негрубости, Η zd W.
Пусть Ω, Qc Я,— окрестность траектории L0, обладающая тем
свойством, что каждая траектория системы (А), проходящая через точку
области Ω, пересекает нормаль / как при возрастании, так и при
убывании t на ее участке | п0 | << rcj. В качестве Ω можно взять, например,
достаточно малую каноническую окрестность траектории L0 (рис. 148).
Рассмотрим окрестность U траектории L, расположенную внутри
области Ω на положительном расстоянии от границы этой области (на
этом рис. 148 Ω заштрихована простой, a U — мелкой штриховкой.)


§ 31] СИСТЕМЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ И ИХ БИФУРКАЦИИ 355
Пусть ε > 0 настолько мало, что при ε-сдвиге окрестность U остается
внутри Ω. Пусть, далее, δ > О — число, соответствующее числу ε
в силу определения 30.
Возьмем б4, 0 < δι < δ,
настолько малым, что если
система (А) бгблизка к (А),
то каждая траектория
системы (А), проходящая
через точки области Ω, как
при возрастании, так и при
убывании t пересекает
дугу без контакта I на ее
участке | п0 | << п* и на
этом участке для системы
(А) определена функция
d (п0). По условию d (0) =
= 0. Так как(А) — система
3-го класса, то существуют
числа d' (0), d* (0), d" (0).
Если хоть одно из этих
чисел отлично от нуля, то L0 является предельным циклом (простым,
двукратным или трехкратным), т. е. является изолированной замкнутой
траекторией, и теорема доказана.
Предположим теперь, что
d (0) = d' (0) = d" (0) = dm (0) = 0.
Рис. 148.
Рассмотрим систему
dx
ZL-P+yJVF* 2L=Q + lU»F'u
dt
dt
(A)
При μ Φ 0 и достаточно малом система (А) -близка к (А), и в силу
леммы 8 L0 является ее трехкратным предельным циклом.
В силу леммы 9 существует аналитическая система (А), -^-близкая
к системе (А) и имеющая в сколь угодно малой окрестности траектории L0
трехкратный предельный цикл L0. Система (А) б^близка к (А) и является
ε
негрубой. Поэтому имеет место соотношение (Н, А) === (Н, А), а
следовательно, и соотношение
(17, Α) Ξ (U, А),
(52)
где U—некоторая область. Так как U получается ε-сдвигом из
окрестности U, то U α Ω.
Рассмотрим функцию d (n0), соответствующую системе (А). Она
определена для всех п0, | п0 \ < дг*, и является аналитической функцией.
Пусть п0 — значение параметра дг0, соответствующее циклу L0. Мы можем
считать, что | п0 | < raj. Так как L0 — трехкратный предельный цикл,
то d!" (п0) Φ 0, а следовательно, d (п0) φ 0. Но тогда, ввиду
аналитичности, функция d (п0) может иметь в интервале | п0 \ <; дг* лишь конечное
число корней, т. е. система (А) может иметь в области Ω, а следовательно,


356 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЛА [ГЛ. XII
и в U лишь конечное число замкнутых траекторий. Эти траектории
являются изолированными, т. е. предельными циклами. При
отображении области U на С/, реализующем соотношение (52), один из этих
предельных циклов переходит в траекторию L0. Следовательно, L0 также
является предельным циклом, т. е. изолированной замкнутой
траекторией. Теорема доказана.
Теорема 59. Если (А) является системой первой степени
негрубости в области W, то каждая ее замкнутая траектория L0y лежащая
в W, является либо простым (т. е. грубым), либо двойным (двукратным)
предельным циклом.
Доказательство. Предположим, что теорема несправедлива.
Тогда у системы (А) существует в области W замкнутая траектория L0,
не являющаяся ни простым, ни двойным предельным циклом системы.
Будем считать, что L0 соответствует значению параметра п0 = 0 на
нормали I к траектории. Пусть / (п0) — функция последования на /,
заведомо определенная при всех тг0, | п0 | < дг*, и d (п0) = / (п0) — п0.
Тогда
d(0) = d'(0) = d"(0) = 0. (53)
По предыдущей теореме L0 есть предельный цикл системы (А).
Поэтому, если η > 0 достаточно мало, то L0 является единственной замкнутой
траекторией, расположенной в ϋΆ (L0), а все остальные траектории,
проходящие в этой окрестности, накручиваются на L0. Мы будем считать,
что это условие выполняется. Кроме того, мы предположим, что ϋΆ (L0) cz
с Я, где Я — область, о которой говорится в определении 30.
Пусть V—окрестность траектории L0 такая, что F с ί/η (L0),
а е>0 — настолько малое число, что если U получается из 11ц
посредством ε-сдвига, то U zd V. Пусть, далее, δ > 0 — число,
соответствующее числу ε в силу определения 30. Тогда для всякой негрубой систе-
мы (А), δ-близкой к (А), выполняется соотношение (Я, А) = (Я, А),
и, следовательно,
(Щ (L0), A) i (U, A), (54)
где U — некоторая область, содержащая V.
Так как L0 есть предельный цикл системы (А), то для всех
достаточно малых п0 > 0 d (n0) сохраняет один и тот же знак. Пусть для
определенности d (п0) >0и η{0Ό — достаточно малое число. Тогда d (n{Ql)) > 0.
Рассмотрим систему
£ = P + ,lFV;, ·£=<? +μ*ν„ (λ)
где F (χ, у) — неоднократно встречавшаяся выше функция класса 4.
Системе (А) соответствует функция d (n0).
Пусть μ =7^=0 настолько мало, что удовлетворяются следующие условия:
1) Система (А) δ-близка к (А).
2) d «") > 0.
Из условий (53) и из леммы 8 следует, что траектория L0 системы
(А) является двойным предельным циклом системы (А) и что d (0) =
= d'(O) = 0, d" (0) = μβ, где β Φ 0 есть константа, не зависящая от μ.
Выберем знак μ противоположным знаку β. Тогда выполняется условие
3) 2' (0) = μβ < 0.


§ 31] СИСТЕМЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ И ИХ БИФУРКАЦИИ 357
Jit /Г\\
Так как по формуле Маклорена d(n0) — -^- η2 +ю (гф, то при
достаточно малых п0 d (п0) < 0.
Пусть п™ > 0, п™ < п*\ достаточно мало. Тогда
4) 2 «2)) < 0.
Из условий 2) и 4) следует, что существует п(3\ п™ <С ni3) <С п^1>,
такое, что d (п(3)) = 0. Значению п<3) соответствует замкнутая
траектория L системы (А), отличная от L0. Если п™ и μ достаточно малы, то
L с V. Таким образом, при достаточно малом μ, имеющем надлежащий
знак, система (А) имеет в окрестности F, а следовательно, и в U по
крайней мере две замкнутые траектории L0 и L. Так как L0 есть двойной
предельный цикл, то система (А) негрубая. Но это противоречит
соотношению (54), в силу которого в О имеется только одна замкнутая
траектория системы (А). Теорема доказана.
Замечание. Мы предполагаем в проведенном доказательстве,
что рассматриваются системы 3-го класса, т. е. речь идет о негрубости
первой степени по отношению к пространству Щ3) (см. § 5.1). В классе
аналитических систем это доказательство неприменимо, так как функция
F (х, у), обладающая требуемыми свойствами и притом аналитическая,
может быть построена, вообще говоря, лишь в окрестности траектории
Lo, а не во всей области G. Чтобы доказать теорему в аналитическом
случае, можно поступить так: построить, как выше, систему (А) 3-го
класса, имеющую в окрестности V двойной цикл L0 и замкнутую
траекторию L. В силу леммы 2 § 15.2 существует сколь угодно близкая система
3-го класса (А^, совпадающая с (А) всюду, за исключением малой
окрестности траектории L, и имеющая в этой окрестности, а следовательно,
и в V грубый предельный цикл L4. В силу же леммы 9 существует сколь
угодно близкая к (А4) аналитическая система (А2), имеющая в окрестности
траектории L0 двойной предельный цикл. Если система (А2) достаточно
близка к (Ai), то в окрестности цикла Lt у нее существует грубый
предельный цикл L2. Таким образом, аналитическая система (А2) имеет
в окрестности V две замкнутые траектории. Мы опять получаем
противоречие с тождеством (54).
4. Сепаратриса седла, образующая петлю. Сепаратриса, идущая из
седла в седло, подробно рассматривалась в главах IV и XI. В главе IV
(§ 11) было показано, что грубая система не может иметь таких
сепаратрис. В главе XI рассматривалась сепаратриса, образующая петлю,
и был установлен ряд ее свойств.
В этом пункте мы рассмотрим сепаратрису системы первой степени
негрубости, идущую из седла в седло. Случай, когда сепаратриса идет
из одного седла в другое, не представляет интереса, так как в этом случае
принадлежность ее системе 1-й степени негрубости не налагает никаких
дополнительных условий. Поэтому мы рассмотрим только случай, когда
сепаратриса седла стремится к этому седлу как при £-> — оо, так и при
£-> + оо, т. е. образует петлю. Получающиеся результаты почти
непосредственно вытекают из результатов главы XI.
Пусть (А) — система 1-й степени негрубости в области W, О (х0, у0) —
ее седло, L0 — сепаратриса седла О, лежащая в W и образующая петлю


358 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЛА [ГЛ. XII
Так же, как в главе XI, мы будем считать для определенности, что две
сепаратрисы седла О, отличные от L0, лежат вне петли, образованной
сепаратрисой L0.
Лемма 10. Существует такое ε0 > 0, что в г-окрестности петли
L0 не лежит ни одной замкнутой траектории системы (А).
Доказательство. Допустим, что лемма несправедлива, т. е.
что в любой окрестности петли L0 имеются замкнутые траектории
системы (А). Тогда в силу теоремы 44
(§ 29)
σ0 = Р£ (х0, у о) + Qy (*ο, у о) = 0. (55)
Очевидно, замкнутые
траектории, расположенные достаточно
близко к L0, могут лежать только
внутри петли.
Пусть Η — область,
фигурирующая в определении 30, HZD W.
Пусть, далее, η>0 настолько
мало, что окрестность £7η (L0) (Ζ Η
и не содержит ни одного состояния
равновесия системы (А), за
исключением точки О, и ни одной замкнутой траектории, лежащей вне петли L0
(рис.149). Рассмотрим какое-нибудь число ε, 0<ε<-~-. В силу
определения 30 ему соответствует число δ > 0 такое, что если система (А)
δ-близка к (А) и является негрубой, то выполняется соотношение
(Я, А) = (Н, А). Но тогда
(Ζ7η(£0), Л) 4 (7, Л), (56)
где V—некоторая область.
Из соотношения (56) и условия ε<~ вытекает, что
ί/η/2 (L0) с V.
Далее, из (56) следует, что в области V существует в точности одно
седло О системы (А) и в точности одна петля L0, образованная траекторией
системы (А), соответствующей траектории L0. Наконец, в силу того же
соотношения (56) в любой окрестности петли L0 должны существовать
замкнутые траектории системы (А). Но это противоречит результатам
главы XI. В самом деле, в силу леммы 10 § 29.4 существует δ-близкая
к (А) система (А), для которой точка О является седлом, причем это седло
имеет сепаратрису L0, целиком лежащую в Ζ7η(£0), и
~2
σ0(χ0, Уо) = Рх(*о, yo)+Q'y(xo> Уо)>0-
В силу же теоремы 44 (§ 29.1) петля L0 неустойчива, т. е. в
достаточно малой окрестности ее не существует замкнутых траекторий. Лемма
доказана.
Лемма 10 означает, очевидно, что если система (А) имеет в области
W сепаратрису, образующую петлю, то эта петля является либо
устойчивой, либо неустойчивой.


$ 31] СИСТЕМЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ И ИХ БИФУРКАЦИИ 359
Теорема 60. Если система 1-й степени негрубости в области W
имеет седло О (#0, у0), сепаратриса которого образует петлю, лежащую
е W, то σ0 (я0, у о) Φ 0.
Доказательство. Допустим противное, т. е. предложим, что
система (А) имеет седло О (х0, у0), сепаратриса которого L0 целиком
лежит в W я образует петлю, и в то же время σ0 {xq, у о) = 0.
При доказательстве теоремы 50 (§ 29.4) было показано, что если
петля L0 устойчива (или неустойчива), а σ0 (#0, у0) = 0, то для любых
η >0 и δ>0 существует δ-близкая к (А) система (А), имеющая в
окрестности Ζ7η(£0) сепаратрису, образующую петлю, и по крайней мере
одну замкнутую траекторию.
Система (А) является негрубой, следовательно, при надлежащих ε
и δ для нее должно выполняться соотношение (56). Но оно не может
выполняться, так как при достаточно малых η и ε в ϋΆ (L0) не существует
замкнутых траекторий системы (А), а в области V существует по крайней
мере одна замкнутая траектория системы (А). Теорема доказана.
Теорема 60 означает, что если система 1-й степени негрубости в W
имеет седло О (х0, у0), для которого σ0 (χ0, у0) = 0, то у этого седла не
существует сепаратрисы, образующей петлю и лежащей целиком в W.
5. Простейшие негрубые траектории. Как известно, при
исследовании топологической структуры динамической системы на плоскости
основную роль играют ее особые траектории, т. е. состояния равновесия,
предельные циклы и сепаратрисы. В силу теоремы 23 (§ 18.2) у грубых
систем возможны особые траектории только следующих типов:
а) грубые состояния равновесия — узел, седло, простой фокус;
б) грубые предельные циклы;
в) сепаратрисы седел, стремящиеся к простому узлу, простому фокусу
или простому предельному циклу или выходящие из рассматриваемой
области.
Всякая негрубая система, в частности система 1-й степени негрубости,
должна иметь по крайней мере одну особую траекторию, отличную от
перечисленных. Рассмотрим следующие типы траекторий:
1. Сложный фокус кратности 1.
2. Седло-узел с σ = Р'х + Q'y Φ 0 кратности 2.
3. Двойной предельный цикл.
4. Сепаратрису седла, идущую в другое седло.
5. Сепаратрису седла Μ (χ0, у0), образующую петлю при условии,
что σ (х0, у о) Φ 0.
Будем называть траектории этих типов простейшими негрубыми
траекториями. Существование таких траекторий у системы 1-й степени
негрубости не противоречит теоремам 53—60. С другой стороны,
динамическая система (А) 1-й степени негрубости в области W должна иметь
в этой области по крайней мере одну простейшую негрубую траекторию
(в противном случае система была бы грубой в W).
Мы покажем в этом пункте, что динамическая система 1-й степени
негрубости в области W не может иметь в этой области больше одной
простейшей негрубой траектории.
Приведем сначала несколько лемм.
Лемма 11. Пусть LQ — сепаратриса седла О динамической
системы (А) класса N, идущая в другое седло 01# Существует простая замкнутая


360 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЛА [ГЛ. XII
кривая класса к {к — заданное число <iV + 1), проходящая через точки О
и Ои содержащая L0 внутри себя и не содержащая внутри никакой другой
сепаратрисы и ни одного состояния равновесия
системы (А).
Доказательство. Покажем сначала,
что через точку О можно провести дугу I параболы,
которая во всех своих отличных от О точках не
имеет контактов с траекториями системы (А) (рис.
150). Не ограничивая общности доказательства,
мы будем считать, что точка О является началом
координат и что система (А) имеет канонический
вид
■•XiX + Vix, у), -^7 = λ2*/ + Ψ (*» у), (57)
dt
Рис. 150.
класса. Поэтому
дополнение, п. 2)
(см.
(58)
где φ и ψ—функции, равные в точке О(0, 0)
нулю вместе со своими производными первого по-
рядка (см. § 8.1, (1), (2)), а λ1λ2<0.
По предположению все рассматриваемые нами
системы, в частности (А), являются системами 3-го
функции φ и ψ, в силу теоремы 5 дополнения
моут быть записаны в виде
2
φ (χ, у) = апх2 + а12ху + а2гу* + 2 х2~аУаР%, {х, у),
2
*(*, У) = Ьпх* + Ь12ху + Ь22у*+ 23 x*-*y*Ql(x, у),
а=0
где Р£ и Qa—непрерывные функции, равные нулю в точке 0(0, 0).
Возьмем параболу у = Сх2, где С — коэффициент, величина которого
будет выбрана в дальнейшем. Условие касания траектории системы (57)
и параболы у = Сх2, в их общей точке имеет вид
2Сх1Х%х + ч(х, ρ)]-[λ20 + ψ(*. у)] = 0.
Подставляя вместо φ и ψ их выражения (58) и заменяя у через С#2,
мы можем записать последнее условие в виде
х2 [(2Xi—λ2) С- bn] + о (χ*) = 0. (59)
Так какЯ!Я2< 0, то 2Xt — λ2 Φ 0. Поэтому для всякого С Φ2χ ~λ
при всех х, | χ \ < #0, где х0 — достаточно малое положительное число,
дуга параболы у = Сх2 во всех точках, отличных от О, не будет иметь
контактов с траекториями системы (57). Обозначим эту дугу через L
Ясно, что дугу I можно провести так, что сепаратриса L0 седла О
будет лежать по одну сторону дуги I (со стороны вогнутости параболы),
а остальные три сепаратрисы — по другую ее сторону. Аналогичную
дугу параболы Ιχ можно провести через седло Οι (рис. 150).
Пусть О является α-предельной точкой траектории L0, а Ох — ее
ω-предельной точкой. Точки О и О^ соответственно делят каждую из дуг I
и Zj на две части: V и Z", 1[, и ζ. Нетрудно видеть, что всякая траектория,
пересекающая дугу Г достаточно близко к точке О, пересекает дугу Гг,
а всякая траектория, пересекающая Ζ", пересекает Γν Возьмем по одной
такой дуге траектории. Мы получим простую кусочно-гладкую замкнутую
кривую, состоящую из частей Р'Р" и Q'Q" дуг I и 1Х и дуг P'Q' и P'Q*


§ 31] СИСТЕМЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ И ИХ БИФУРКАЦИИ 361
траекторий. Эта замкнутая кривая, очевидно, содержит внутри
сепаратрису L0.
Выберем на дуге ОР' произвольную отличную от О и Р' точку А,
а на дуге траектории P'Q' произвольную точку В. В силу того, что I есть
дуга без контакта, всегда можно соединить точку А с точкой В дугой
(без контакта), которая в точке А и точке В имеет с дугой I и соответственно
с дугой траектории соприкосновение любого заданного порядка к <UV+1
(это легко доказать с помощью КТ, § 3.5, лемма 8). Проведя еще три
аналогичные дуги (рис. 150), мы можем получить простую замкнутую
кривую класса к, целиком содержащую внутри сепаратрису L0, не
содержащую других сепаратрис, а также
никаких состояний равновесия. Лемма
доказана.
Замечание. Число fe должно
быть, вообще говоря, <!7V + 1, так
как траектории систем класса N
являются кривыми класса N + 1,
а в приводимой при доказательстве
леммы конструкции куски таких
траекторий входят в построенную
замкнутую кривую.
Лемма 12. Пусть L0 —
сепаратриса системы (А) класса N,
идущая из седла О в него же {образующая
петлю), и пусть у L существует
окрестность, в которой не лежит ни одной замкнутой траектории (так
что петля является устойчивой или неустойчивой). Тогда существуют две
простые замкнутые кривые С и С" класса к, где к — любое наперед
заданное целое число, fc< JV" + 1, одна из которых содержит L внутри, а
другая содержится внутри петли, образованной L, такие, что в кольцевой
области между С и С не лежит ни одного состояния равновесия, ни одной
замкнутой траектории и, кроме L, ни одной сепаратрисы системы (А).
Доказательство. Пусть для определенности две отличные
от L0 сепаратрисы седла О лежат вне петли, образованной траекторией L.
Всегда можно через седло О провести отрезок прямой, который
во всех достаточно близких к О (отличных от О) точках не имел бы
контактов (см. КТ, § 7.3, стр. 155). Пусть I — такой отрезок, содержащий О
и во всех отличных от О точках не имеющий контактов с траекториями
системы (А) (рис. 151).
Пусть V и Г — части, на которые отрезок I разделяется точкой О.
Нетрудно видеть, что всякая траектория, пересекающая отрезок Г в
точке Р', достаточно близкой к О, пересекает Г в некоторой точке Р".
Мы получаем, таким образом, простую замкнутую кусочно-гладкую
кривую, содержащую L внутри и такую, что в области между этой кривой
и L нет ни одного состояния равновесия, ни одной замкнутой траектории
и ни одной сепаратрисы (в этом нетрудно убедиться, если заметить, что
через все точки этой кольцевой области проходят дуги траекторий,
пересекающие части V и I" дуги Z). «Сглаживая» затем эту кусочно-гладкую
кривую так, как это было сделано в предыдущей лемме, мы получим одну
из указанных в лемме простых замкнутых кривых С".
В качестве второй кривой С" можно взять цикл без контакта,
достаточно близкий к «петле» (рис. 151). Существование такого цикла показано
в КТ, § 24.3, лемма 2.


362 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЛА [ГЛ. XII
В случае, когда две отличные от L сепаратрисы седла О лежат внутри
петли, образованной сепаратрисой L, доказательство проводится
аналогично.
Лемма доказана.
Лемма 13. Пусть у — простая замкнутая кривая класса /с,
расположенная в некоторой области G. Существует функция ζ = Ф (х,у)
класса к — 1, определенная в области 6?,
обращающаяся в нуль в точках кривой у,
положительная внутри у и отрицательная вне ее и
такая, что в точках кривой у
ф;2+ф;2¥=о.
Доказательство. Выберем на
кривой γ в качестве параметра длину дуги s,
отсчитываемую от некоторой заданной точки. Тогда,
как нетрудно видеть, у может быть задана
параметрическими уравнениями χ — φ (s), у — ty (s),
где φ и ψ являются функциями класса к + 1,
s изменяется от 0 до некоторой величины τ и φ (τ) = φ (0), ψ (τ) = ψ (0). При
этом, в силу гладкости γ, мы можем считать, что φ' (s) иг|/ (s) не
обращаются одновременно в нуль ни при каком значении s, 0<s<t.
Введем в окрестности кривой γ криволинейную систему координат
(s, n) с помощью формул
Рис. 152.
x = <V(s) + nty' (s), y = ty(s) — mp'(s),
(60)
правые части которых являются, очевидно, функциями класса к.
Из результатов главы V (см. § 15.1, лемма 1 и замечание 1 к ней) следует,
что формулы (60) определяют
в некоторой окрестности кри- f(n)\
вой γ величину η как
однозначную функцию координат χ и у\
n = F{x, у),
причем F есть функция класса
к — 1, равная нулю на кривой γ,
положительная по одну ее
сторону и отрицательная по другую
и в точках кривой γ F'x + F'y ф0.
Выберем для определенности
направление на нормалях так, чтобы функция F (х, у) была положительна
внутри кривой γ и отрицательна вне ее. Рассмотрим какие-нибудь две
замкнутые кривые у{ и γ2, заданные соответственно уравнениями η = щ
и η — дг2, т. е. F (#, у) = щ и F (х, у) = п2, где числа щ и п2
достаточно малы и 0 < щ < дг2 (рис. 152).
Пусть / = / (п) — функция класса к — 1, определенная при
0 < η < оо и удовлетворяющая следующим условиям:
1)
2)
/ (п) == η при 0<тг<тг1;
/ (п) == п2 при дг>п2;
3) 7*1 </ (п) <гс2 при щ < η < тг2 (примерный график функции
] (п) изображен на рис. 153; аналогичная функция строилась в § 15.2


§ 31] СИСТЕМЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ И ИХ БИФУРКАЦИИ 363
при доказательстве леммы 2). Мы определим функцию Φ (#, у) внутри
кривой γ следующим образом:
1) в кольце между кривыми γ и γ2
ф(*. v) = f(n)=f(F{x, 2/));
2) внутри кривой γ 2
Φ (χ, у) ξξξ п2.
Вполне аналогично функция Φ (χ, у) строится вне кривой γ.
Очевидно, построенная таким образом функция Φ удовлетворяет всем
условиям леммы. Лемма доказана.
Лемма 14. Пусть
(А)
·£ = />(*, If), ■£-<?<*,*)
dt
Рис. 154.
— динамическая система класса Ν, L — ее сепаратриса, идущая из
седла О' в седло О" (О' и О" могут совпадать). Каковы бы ни были числа δ > О
и г < iV (г натуральное), существует δ-близкая к (А) до ранга г
аналитическая система (А), имеющая
сепаратрису, идущую из седла
в седло.
Доказательство.
Проведем через какую-нибудь
точку Μ сепаратрисы L дугу
без контакта I и введем на ней
параметр и так, что точке Μ
соответствует значение
параметра 0. Для определенности
будем считать, что
сепаратриса L образует с дугой I
положительный угол (рис. 154).
В силу основной теоремы о грубости динамической системы (§ 18.2,
теорема 23) динамическая система (А) является грубой в достаточно малых
окрестностях частей О'Μ и 0"М сепаратрисы L. Отсюда следует, как
легко видеть, что существует число η > 0, обладающее следующим
свойством: если система (А) η-близка к системе (А), то в достаточно малой
окрестности седла О' {О") имеется единственное седло О' (О") системы (А)
и сепаратриса V (L") седла б' {О") пересекает дугу без контакта I в точке
Μ' (Μ"), соответствующей значению и' (и") параметра и, причем часть
б'М' (0"М") сепаратрисы L' (L") лежит в сколь угодно малой окрестности
части О'Μ (0"М) сепаратрисы L (рис. 154).
Пусть δ4—положительное число,
Рассмотрим систему
Выберем λ0 > 0 настолько малое,
(Αλ) бгблизка до ранга г к системе (А). Положим, что λ4 > 0, λ4 < λ0,
λ2 < 0, Ι λ2 Ι < λ0. При переходе от системы (А) к системе (Αλ.)
(i = 1, 2) сепаратриса L разделяется на две сепаратрисы L\ и L\,
пересекающих дугу I в точках соответственно N\ и N\. Пусть эти точки
соответствуют значениям и' (Xt) и и" (λ^) параметра и. В силу леммы § 11.1
<
ι<-
dy
dt
что при всех λ, | λ |
(Αλ)
λ0, система


364 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЛА [ГЛ. XII
(61)
имеют место соотношения
»'(λ1)>0, w"(M<0,
ι/'(λ2)<0, ι*"(λ2)>0,
(рис. 155).
Пусть Р* и Q*—многочлены, настолько близко аппроксимирующие
функции соответственно Ρ и Q, что выполняются следующие условия:
1) При всех λ, |λ|<λο, система
dy
^ = P*-XQ*, df
= Q* + XP*
(Αχ)
oj-близка до ранга г к системе (А).
2) Сепаратрисы Ζ' (λ4) и L" (λ^ системы (Ая,) пересекают дугу без
контакта I в точках Ν' (λ^ и Ν" (кх), соответствующих значениям параметра
и (kj) и и"^), настолько близких к точкам N[ и N"2, что
и9 (К) >0,
3) Сепаратрисы V (λ2) и L" (λ2)
^'(λ1)<0.
(62)
системы (Αλ2) пересекают дугу без
контакта I в точках Ν' (λ2) иЛ" (λ2), соответствующих значениям параметра
и (λ2) и и"(к2), настолько
близких к точкам Ν'2 и Щ, что
и'(Я2)<0, ί?(λ2)>0. (63)
Из условий (62) и (63)
следует, что
£'(λι)-ϊ*(λι)>0,
U'W-?'M<o.
Так как и' и
и"—непрерывные функции параметра λ,
то существует число λ, λ2 <С
<λ<λ1, для которого
^'(λ)=ί?'(λ).
Рис. 155. Но это значит, что
сепаратриса системы (А^) идет из
седла О' в седло О". Так как система (А^)б-близка до ранга г к системе (А)
и является аналитической, то она удовлетворяет всем утверждениям леммы.
Лемма доказана.
Теорема 61. Если (А) есть динамическая система 1-й степени
негрубости в области W, то она не может иметь в этой области более
одной простейшей негрубой траектории.
Доказательство. Мы проведем доказательство от противного,
т. е. допустим, что у системы (А) в области W имеются две простейшие
негрубые траектории, и покажем, что это приводит к противоречию. При
доказательстве мы не будем различать траектории типа 4 и 5 (см. стр. 359),
т. е., говоря о сепаратрисе, идущей из седла в седло, мы будем
подразумевать при этом либо сепаратрису, идущую из одного седла в другое,
либо сепаратрису, образующую петлю седла, для которого σ Φ 0. Далее,
мы будем считать, что рассматриваемые системы являются аналитически-


Δ (α, b) :
= 0. (64)
§ 31] СИСТЕМЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ И ИХ БИФУРКАЦИИ 365
ми, т. е. что речь идет о негрубости 1-й степени по отношению к
пространству R{J\ где г>3. Все приводимые доказательства остаются в силе,
как легко видеть, и в неаналитическом случае (т. е. для пространства
Rn\ 3<r<iV), причем некоторые из них в неаналитическом случае
можно заменить более простыми.
Рассмотрим последовательно все возможные случаи существования
в области W двух простейших негрубых траекторий.
1) У системы (А) в области W существует два седло-узла.
Пусть один из них есть точка О (0, 0), а второй—0± (а, Ь), причем
система (А) имеет вид
где ρ (0, 0) = рх (0, 0) = р'у (0, 0) = q (0, 0) = qx (0, 0) = qy (0, 0) = 0 (см. п.1,
(11) и (12)).
Так как Qx (a, b)—седло-узел, то
\р'х{а, Ь) р'у (а, Ъ)
\qx{a, Ъ) l + q'v(a, Ъ)
Рассмотрим измененную систему
•^-=y + q(x, у)=Ъ(х, У), (А)
где μφΟ. Каково бы ни было μ, точка 02(а, Ъ) является сложным
состоянием равновесия системы (А), так как Δ (α, Ъ) = А(а, Ь) = 0. Поэтому
система (А) является негрубой.
Пусть у = (р(х) есть решение уравнения y + q(x, y) — 0 в окрестности
точки О (0, 0), а ψ (χ) = Ρ (χ, φ (χ)) = ρ (χ, φ) (χ)). Так как О является
для системы (А) состоянием равновесия кратности 2, то функция ψ(#)
имеет вид
ψ (χ) = а2х2 + α3ζ3 + . -. , (65)
где α2=τ^0 (теорема 33, § 23.1). _
Будем искать теперь состояния равновесия системы (А), лежащие
в окрестности точки О (0, 0). Для этого нужно решить совместно уравнения
Р(х, у) = 0, Ц{х, у) = 0
или, что то же, систему
у = φ (*)» Q (χ, φ (*)) = о.
Так как φ(χ)~φ'(χ) = 0 (см. (15), (16)), то разложение функции φ (χ)
в ряд содержит члены не ниже второго порядка. Поэтому
Q(x, φ (χ)) = p(x,<f (x)) + μ \{x2-a2f + (φ* (x)-b2)2] =
= a2x2 + a3xs + ... +μ[α4+64] — 2μα2χ2 + ... = μ (α* + W) + α2χ2 + .. . ,
где α2 φ 0, а невыписанные члены имеют по совокупности переменных μ
и χ степень, не меньшую трех.
Таким образом, нам надо найти близкие к нулю корни уравнения
μ(α* + №) + α2χ2+ ... =0, (66)


366 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИТЕ ПАР АТРИСЫ СЕДЛО-УЗЛА [ГЛ. XII
где μ Φ О, α2 φ 0. Исследование корней уравнений такого типа подробно
проводится в следующей главе, в § 32. В частности, из леммы 2 этого
параграфа следует, что если μ достаточно мало и имеет знак,
противоположный знаку а2, то уравнение (66) имеет в точности два действительных
корня, причем эти корни стремятся к нулю при μ -> 0. Но это означает,
что, какова бы ни была окрестность точки О (0, 0), при достаточно малом μ
надлежащего знака система (А) имеет в этой окрестности по крайней
мере два состояния равновесия. Так как система (А) является негрубой,
то это противоречит лемме 2 настоящего параграфа.
2) У системы (А) в области W существует сложный фокус
(кратности 1) и седло-узел.
Не ограничивая общности, мы будем считать, что указанный фокус
есть начало координат О (0, 0) и что система (А) имеет вид
-J-= -у + ф(*. у)=Р(х, ν), -^- = х + Ц{х, y)=Q{x, у), (А)
где φ и ψ—аналитические функции, разложения которых в ряды содержат
члены не ниже второго порядка. Пусть Oi (α, Ь) £ W—седло-узел системы (А).
В качестве измененной возьмем систему
£.=р-М=Р, §-=ς>+μρ=-$, (Α)
получающуюся из системы (А) поворотом ее векторного поля на угол,
равный βι-^μ.
Так как Ох (а, Ъ) есть седло-узел системы (А), то Ρ {a, b) = Q(a, Ь) =
= Δ (а, Ь) — 0. Из этих соотношений и из непосредственно проверяемого
равенства Δ (#, у) = Δ (χ, у) (1 + μ2) вытекает, что Ρ (α, Ъ) = Q (α, b) =
= Δ (α, Ъ) = 0, т. е. точка Oi есть негрубое состояние равновесия системы (А)·
Следовательно, система (А) является негрубой. Но тогда с помощью
такого же рассуждения, как при доказательстве теоремы 57 (см. п. 2, (33)
и (34)), можно показать, что если μ достаточно мало, то в некоторой
окрестности V точки О система (А) не имеет замкнутых траекторий. В силу же
замечания 3 к теореме 14 (§ 10.3) при достаточно малом μ надлежащего
знака система (А) имеет в сколь угодно малой окрестности точки О по
крайней мере одну замкнутую траекторию. Мы пришли к противоречию.
3) Система (А) имеет в области W два сложных фокуса.
Пусть один из них О (0, 0), второй — Ох (а, 6), а система имеет вид
-§-=-0 + ф(*, У)=Р{х, У), -^- = * + *(*. ») = С(*. У)· (А)
В качестве измененной возьмем систему
-§- = *(*, y)-H(x-*Y + (y-b?]Q=P{x, у),
^- = Q{x, y) + V\{x-af + {y-bY\P = Q(x, у). (А>
Так как точка О\ (а, Ъ) есть сложный фокус системы (А), то
Δ (а, Ъ) > 0, σ (а, Ъ) = 0. Непосредственные вычисления показывают, что
д (а> Ъ) = Δ (α, b) и σ (a, b) = σ (α, Ъ). Поэтому Ох (а, Ъ) есть состояние
равновесия системы (А) с чисто мнимыми характеристическими числами,
т. е. (А) — негрубая система.


§ 31] СИСТЕМЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ И ИХ БИФУРКАЦИИ 367
Система (А) может быть записана в виде
-*Ξ-=_„_μ(α* + 5»)*+..·. , *L = x^(a* + b')y+...,
где невыписанные члены имеют степень не ниже второй. Поэтому точка
О (О, 0) есть грубый фокус системы (А), устойчивый или неустойчивый
в зависимости от знака μ. Но тогда так же, как в замечании 3 к теореме 14,
можно показать, что при достаточно малом μ надлежащего знака
система (А) имеет в сколь угодно малой окрестности точки О по крайней мере
одну замкнутую траекторию. Мы приходим к противоречию в силу тех же
соображений, как в случае 2).
4) У системы (А) в области W существует седло-узел и двойной
предельный цикл.
Пусть О (0, 0) является указанным седло-узлом, a L — предельным
циклом. В качестве измененной системы возьмем снова систему
■£=<ρ-μ<?=Ρ. -§-=<?+μ^=& (А)
получающуюся путем поворота векторного поля системы (А). Система (А)
является негрубой, так как точка О (0, 0) остается ее состоянием
равновесия и Δ (0, 0) = 0.
Воспользуемся опять одним результатом из следующей главы, именно
теоремой 71 (§ 32.4). В силу этой теоремы, какова бы ни была окрестность
двойного предельного цикла L, при достаточно малом μ надлежащего
знака система (А) имеет в этой окрестности две замкнутые траектории.
С другой стороны, L есть предельный цикл системы (А), а (А) — негрубая
система. Поэтому, применяя неоднократно использованное рассуждение,
можно показать, что при достаточно малом μ в достаточно малой
окрестности траектории L система (А) имеет только одну замкнутую траекторию.
Мы пришли к противоречию.
5) Система (А) имеет в области W седло-узел О (0, 0) и сепаратрису
L, идущую из седла в седло.
Как и в предыдущем случае, возьмем в качестве измененной
систему (А).
Точка О (0, 0) остается для системы (А) сложным состоянием
равновесия, т. е. система (А) является негрубой. Поэтому для любого ε > 0
существует такое μ0, что если | μ | < μ0, то выполняется соотношение
(Я, Α) =ξ (Я, А), а следовательно, и соотношение (U (L), А) == (V, А),
где U (L) — произвольная окрестность сепаратрисы L. Из последнего
соотношения в свою очередь вытекает, что в области V имеется
сепаратриса системы (А), идущая из седла в седло. С другой стороны, при
доказательстве теоремы 16 (§ 11.2) было показано, чТЬ если окрестность U (L)
траектории L и числа ε и μ достаточно малы, то в области V не может
существовать сепаратрисы системы (А), идущей из седла в седло. Мы пришли
к противоречию.
6) Система (А) имеет в области W сложный фокус и двойной
предельный цикл, и
7) Система (А) имеет в области W сложный фокус и сепаратрису,
идущую из седла в седло.


368 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЛА [ГЛ. XII
Невозможность случаев (6 и 7) доказывается одинаково. Пусть
О (О, 0) — указанный сложный фокус. В качестве измененной возьмем
систему
^r = Q{x,y) + \i (χ2 + у2) Ρ (χ, у) = Q(x, у). (А)
Точка О (0, 0) продолжает оставаться сложным фокусом системы (А),
поэтому система (А) является негрубой. Далее, во всех точках, кроме
точки О, векторное поле системы (А) получается из поля системы (А)
Рис. 156.
поворотом в одном и том же направлении (на угол, равный arctg μ (χ2 +у2)).
Поэтому в случае 6) мы приходим к противоречию также, как в случае 4),
с помощью теоремы 71 и замечания 2 к теореме 72. В случае 7)
противоречие получается так же, как в случае 5), если принять во внимание
замечание 2 к теореме 16 (§ 11.2).
8) Система (А) имеет в области W два двойных цикла.
Пусть L{ и L2 — указанные циклы, U = U (L2) — произвольно малая
окрестность цикла L2. Пользуясь теоремой о рождении замкнутой
траектории из сложного предельного цикла (§ 27.1, теорема 42) и применяя
такую же конструкцию, как при доказательстве леммы 2 § 15.2, можно
построить сколь угодно близкую к (А) до ранга г>3 систему (Ai)
класса N > г, совпадающую с (А) вне окрестности U и имеющую внутри U две
замкнутые траектории, являющиеся грубыми предельными циклами.
Далее, на основании леммы 9 настоящего параграфа существует сколь
угодно близкая к (А,) до ранга г аналитическая система (А), имеющая
в сколь угодно малой окрестности цикла L4 двойной предельный цикл
и являющаяся поэтому негрубой. При достаточной близости систем (At)
и (А) система (А) будет иметь в окрестности U (L2) не менее двух
замкнутых траекторий. Мы приходим к противоречию таким же рассуждением,
как в случае 4).
9) У системы (А) существует в области W двойной предельный цикл
Li и сепаратриса L2, идущая из седла в седло (рис. 156, а).


§ 31] СИСТЕМЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ И ИХ^БИФУРКАЦИИ 369
а)
Рис. 157.
Пусть сепаратриса L2 идет из седла 0± в седло 02. Возьмем достаточно
малую окрестность U = U (L2) сепаратрисы L2l не содержащую других
состояний равновесия, кроме Oi и 02. Изменяя систему (А) с помощью
поворота векторного поля на малый постоянный угол и применяя такую же
конструкцию, как при доказательстве леммы 2 § 15.2, можно построить
сколь угодно близкую до ранга г>3 систему (А4) класса N>r, которая
а) совпадает с (А) вне окрестности U;
б) не имеет в U других состояний равновесия, кроме седел Ot и 02\
в) не имеет в U сепаратрис, идущих из седла в седло (рис. 156, б).
В силу леммы 9
настоящего параграфа существует
сколь угодно близкая к (А4)
до ранга г аналитическая
система (А), имеющая в сколь
угодно малой окрестности
цикла Li двойной предельный
цикл и, следовательно,
негрубая. Но система (At) является
грубой в окрестности U. Поэтому, если система (А) достаточно близка
к (А4), то для (А) также будут удовлетворяться условия б) и в). Таким
образом, мы показали, что существует сколь угодно близкая к (А)
негрубая система (А), не имеющая в окрестности U сепаратрисы, идущей из
седла в седло. Мы приходим к противоречию так же, как в случае 5).
10) Система (А) имеет в области W две сепаратрисы, идущие из седла
в седло,— Lx и L2.
Возможны два случая:
а) хотя бы одна из сепаратрис L± и L2 идет из одного седла в другое;
б) каждая из сепаратрис идет из седла в то же седло.
Рассмотрим сначала случай а)." Пусть Ll — сепаратриса, идущая
из седла О в другое, отличное от О седло 04.
Сепаратриса L2 либо находится на положительном расстоянии от L4,
либо по крайней мере одно из состояний равновесия, к которому она
стремится, совпадает с О или с 04. Так как ни одна из точек сепаратрисы Lx
не является предельной для L2,
1 2 ? то очевидно, что простую
замкнутую кривую класса к (к
заведомо может быть равно 4),
существование которой
устанавливается в лемме 11, можно взять
так, чтобы Lx содержалась впут-
ри нее, a L2 — вне ее.
В случае б) возможно
несколько подслучаев. Именно,
петли, образованные
сепаратрисами Lx и L2, могут находиться на положительном расстоянии друг от друга
или на нулевом, одна внутри другой или вне друг друга (рис. 157 и 158).
Однако нетрудно видеть, применяя лемму 12, что в каждом из этих
подслучаев существует простая замкнутая кривая класса А, содержащая
одну из сепаратрис Lx и L2 внутри, а другую — вне себя.
Таким образом, во всех случаях существует простая замкнутая
кривая γ класса А, содержащая, скажем, сепаратрису Ζι внутри, а
сепаратрису L2 вне себя.
оо
Рис. 158.


370 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЛА [ГЛ. XIJ
Пусть ζ — Φ (χ, у) — функция класса к — 1, определяемая лемм-
мой 13, т. е. равная 0 на кривой γ, положительная внутри γ и отрицатель-
ная вне ее.
Рассмотрим измененную систему
ί = Ρ—7ψ—μφρ, y^Q + λΡ + μΦΡ. (Αλμ)
Проведем через какую-нибудь точку М0 сепаратрисы Lx дугу без
контакта 1и а через точку JV0 сепаратрисы L2 — дугу без контакта 12
(рис. 159).
Пусть и и ν — параметры, на дугах соответственно lv и Z2, причем
точке М0 соответствует значение и = и0, а точке N — ν = ν0.
При всех достаточно малых λ и μ существуют сепаратрисы L[ и L"x
системы (Αλμ), пересекающие дугу 1Х в точках М'0 (и'0) и Щ (и^), сколь
Рис. 159.
угодно близких к Μ о, и сепаратрисы L'2 и L"^ пересекающие дугу Z2 в
точках N'0 (v'0) и N1 (ν'ή), сколь угодно близких к Ν0. В частности, точки М'0
и Ml (или N'0 и N1) могут совпадать, тогда сепаратрисы L[ и L[
(соответственно L2 и L"2) совпадают и образуют петлю.
По условию внутри кривой у Φ (#, у) > 0. Отсюда следует, в силу
леммы § 11.1 и замечания к ней, что если λ и μ положительны и достаточно
малы, то у системы (Α>,μ) в достаточно малой окрестности сепаратрисы Lt
нет сепаратрисы, идущей из седла в седло (т. е. и'0 Φ и!'^\ см. также
доказательство теоремы 16, § 11.2).
Вне замкнутой кривой γ выполняется неравенство Φ (χ, у) < 0.
Поэтому вне кривой γ векторное поле системы (Α>,μ) повернуто по
отношению к полю системы (А)
при μ > 0, λ = 0 на отрицательный угол;
при μ = 0, λ>0 на положительный угол.
Предположим для определенности, что сепаратриса L2 образует
с дугой без контакта /2 положительный угол. Тогда, в силу (67) и
леммы § 11.1,
если λ = 0, μ > 0, то v'Q < v"0;
если λ>0, μ = 0, то v'Q>vZ. ^
(На рис. 159 в предположении, что λ = 0, μ > 0, изображены пунктиром
сепаратрисы L[, L"x, L2, L'2.) v0 и vnQ являются функциями параметров λ


§ 31] СИСТЕМЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ И ИХ БИФУРКАЦИИ 371
и μ: ν'0 = ν'0 (λ, μ), vl = v"Q (λ, μ), причем, в силу замечания к лемме 3
§9.2, эти функции непрерывны. Выберем достаточно малое λ4 > О
и зафиксируем его. В силу (68) ν'0 (λ4, 0) > v"Q (λ4, 0), а в силу
непрерывности функций v'0 и vl, если μ > 0 достаточно мало, то
ν'ΛΚ μ)>^ο(λι» μ)· _ _ (69)
В силу (68), если μ>0 достаточно мало, то ν'0(0, μ)<^(0, μ). Но тогда
для достаточно малого λ2>0
<(λ2, μ)<νΙ(λ2ι μ). _ (70)
Из (69) и (70) следует, что существует λ>0, λ2<λ<λ1, для которого
νΌ (λ» μ) = ^о (^ μ)· Поэтому сепаратрисы L'2 и L\ системы (А·^-) совпадают,
образуя одну сепаратрису, идущую из седла в седло, т. е. система (А^-)
является негрубой. Числа λ и μ можно взять сколь угодно малыми,
в частности настолько малыми, что у системы (А^·-) в достаточно малой
окрестности сепаратрисы L4 нет сепаратрисы, идущей из седла в седло.
Далее, если (А) есть система класса iV>3, то в силу лемм 11 и 12
в качестве γ можно взять кривую класса N + 1 и в силу леммы 13 в
качестве Φ (χ, у) — функцию класса N. Тогда система (А^-) также будет
системой класса N.
Мы показали, таким образом, что если (А) есть система 1-й степени
негрубости класса iV>3, имеющая две сепаратрисы L4 и L2, идущие
из седла в седло, то существует сколь угодно близкая к (А) негрубая
система (А^-) того же класса, у которой в достаточно малой окрестности
сепаратрисы Lx нет сепаратрисы, идущей из седла в седло. Но это
противоречит определению системы 1-й степени негрубости. Поэтому для
системы 1-й степени негрубости по отношению к пространству Rn\
3<r<iV, случай 10) невозможен.
В случае, когда рассматриваются системы 1-й степени негрубости
по отношению к пространству R^ (пространство аналитических систем
с близостью до ранга г), для доказательства невозможности случая 10)
нужно воспользоваться еще леммой 14. Пусть (А) — аналитическая
система 1-й степени негрубости, имеющая две сепаратрисы Lt и L2, идущие
из седла в седло. Пусть, далее, г>3 — натуральное число, а δ и ε —
положительные числа, причем ε достаточно мало. Так же, как выше,
мы можем построить систему (А^·-) класса Ν > г, δ/2-близкую до ранга г
к системе (А), у которой в U& (L2) имеется сепаратриса, идущая из седла
в седло, а в С/ε (L4) такой сепаратрисы нет.
Пусть δ! > 0 — произвольное число, δχ <δ/2 . В силу леммы 14
существует б4-близкая до ранга г к системе (А^·-) аналитическая
система (А), имеющая сепаратрису, идущую из седла в седло. Если δ4
достаточно мало, то система (А), очевидно, не имеет в Uε (Li) сепаратрисы, идущей
из седла в седло, и мы так же, как выше, приходим к противоречию
с определением системы 1-й степени негрубости. Таким образом, и для
систем 1-й степени негрубости по отношению к пространству R^ случай
10) невозможен. Теорема 61 доказана полностью.
6. Свойства сепаратрис седло-узла систем первой степени
негрубости. Пусть (А) — система 1-й степени негрубости в области W,
имеющая в этой области седло-узел О (0, 0). Рассмотрим какую-нибудь


372 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЛА [ГЛ. XII
сепаратрису L этого седло-узла. Для определенности положим, что она
является α-сепаратрисой, т. е. стремится к О при £-> — оо. Так как в силу
теоремы 61 седло-узел О является единственной негрубой траекторией
системы (А) в области Wj то априори при возрастании t для сепаратрисы L
может иметь место одна из следующих
/ возможностей:
1^ 1) L выходит из области W.
**— М£ 2) L стремится к грубому узлу или
I фокусу, или к грубому предельному циклу.
3) L стремится к состоянию равнове-
Рис. 160. сия О, но не является его ω-сепаратрисой
(т. е. положительная полутраектория,
выделенная из L, есть одна из внутренних полутраекторий
параболического сектора седло-узла О).
4) L стремится к состоянию равновесия О, являясь его
ω-сепаратрисой.
5) L стремится к какому-нибудь грубому седлу.
В настоящем пункте мы покажем, что случаи 4) и 5) не могут
иметь места.
Приведем сначала без доказательства две леммы, которые понадобятся
нам в дальнейшем.
Лемма 15. Пусть сепаратриса L седло-узла О системы (А)
пересекает какую-нибудь дугу без контакта I в точке М0, отличной от концов
этой дуги. Каково бы ни было ε > 0, существует δ > 0 такое, что если
система (А) Ь-близка к системе (А), а О есть седло-узел системы (А), то
а) существует единственная сепаратриса L седло-узла О системы (А),
которая пересекает дугу I в точке М0, лежащей в Uъ (М0);
6) если на сепаратрисах L и L точки М0 и М0 соответствуют одному
и тому же значению t = t0, то точки частей М0О и М0О сепаратрис L
и L, соответствующие одному и тому же значению времени t, находятся
на расстоянии, меньшем ε, друг от друга.
Доказательство леммы 15 аналогично доказательству леммы 3 § 9.2
й замечания к ней.
Пусть опять L — α-сепаратриса седло-узла О системы (А), М0 —
произвольная точка на ней, I — дуга без контакта, проведенная через М0
и не имеющая, кроме М0, ни одной общей точки как с сепаратрисой L,
так и с другими сепаратрисами седло-узла О. Будем считать, что дуга I
задана параметрическими уравнениями
x = j{u), y = g(u)
и что точке Μ соответствует значение параметра и0.
Предположим, кроме того, что положительное направление на I
соответствует возрастанию параметра и что углы, образуемые
траекториями системы (А) с дугой Ζ, положительны (рис. 160).
Будем рассматривать измененные системы (А) вида
^ = Ρ-μ<2 = Ρ, ^- = (? + μΡ=ρ, (Αμ)
'получающиеся из системы (А) поворотом векторного поля.
Лемма 16. Если μ Φ 0 достаточно мало, то точка О есть седло-
узел системы (Αμ) и дуга без контакта I имеет в точности одну общую
%=


§ 31] СИСТЕМЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ И ИХ БИФУРКАЦИИ 373
точку М0 с одной из сепаратрис L седло-узла О системы (Αμ) и не имеет
общих точек с другими сепаратрисами седло-узла О. Если точке М0
соответствует на дуге I значение и0 = и0 (μ) параметра и, то и0 (μ) -> и0
при μ -► 0. При этом, если μ > 0 (μ < 0), то и0 (μ) > и0 (и0 (μ) < и0).
Аналогичное утверждение, очевидным образом измененное, имеет место,
когда L является ω-сепаратрисой седло-узла О.
Доказательство леммы 16 вполне аналогично доказательству
соответствующей леммы для сепаратрисы седла (§ 11.1), вследствие чего
мы его опускаем.
Теорема 62. Если (А) является системой 1-й степени негрубости
в области W, то у нее не может существовать в этой области
сепаратрисы седло-узла, стремящейся к
седлу.
Доказательство.
Предположим противное, т. е.
допустим, что у системы (А)
существует в области W
сепаратриса L седло-узла О,
являющаяся одновременно
сепаратрисой седла Ох (рис. 161). Пусть
I — дуга без контакта,
проведенная через точку Μ0 сепарат- Рис 161.
рисы L. Рассмотрим систему
(Αμ). Так как точка О остается седло-узлом системы (Αμ), то система (Αμ)
негрубая. Далее, из леммы 16 и соответствующего предложения для седла
(§ 11.1) вытекает, что при достаточно малом μ Φ 0 система (Αμ) не имеет
в достаточно малой окрестности траектории L сепаратрисы, идущей из О
в 04. Но тогда мы приходим к противоречию с помощью обычного рассуж-
ε _
дения, использующего соотношение (U (L), A) =(V, Α μ). Теорема доказана.
Теорема 63. Если (А) — динамическая система 1-й степени
негрубости в области W, то у нее не может существовать в этой области
траектории L, являющейся одновременно а- и ω-сепаратрисой седло-узла
системы (А).
Доказательство теоремы 63 аналогично доказательству
предыдущей теоремы и проводится рассуждением от противного,
использующим систему (Αμ), лемму 16 и то обстоятельство, что траектория,
образующая петлю, не может пересекать отрезок без контакта более чем в
одной точке.
Теоремы 62 и 63 показывают, что случаи 4) и 5), перечисленные
в начале п. 6, не могут иметь места.
Вернемся теперь к замкнутым траекториям системы 1-й степени
негрубости и выведем, опираясь на установленные выше теоремы, еще
одно их свойство.
Теорема 64. Система (А) 1-й степени негрубости в области W
может иметь в этой области лишь конечное число замкнутых
траекторий *).
Доказательство теоремы 64 аналогично доказательству
соответствующего предложения для грубых систем (§ 16.1, теорема 21). Предположим,
что теорема неверна, т. е. что у системы (А) имеется в области W бесчислен-
*) Теорема 64 не вытекает непосредственно из теоремы 58 (об изолированности
замкнутых траекторий системы 1-й степени негрубости).


374 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЛА [ГЛ. XII
ное множество замкнутых траекторий. Выберем последовательность Lu
Z/2, L3, . . . таких траекторий и на каждой из них возьмем произвольную
точку. Пусть Μι, М2, М3 . . . последовательность этих точек, Mt £ Lt.
Так как область W компактна, то мы можем без ограничения общности
считать, что последовательность Mt является сходящейся. Пусть она
сходится к точке М*. Покажем, что такой точки существовать не может.
Априори возможны два случая:
1) Точка М* является состоянием равновесия.
2) Точка М* отлична от состояния равновесия.
В случае 1) точка Ж* не может быть ни узлом, ни фокусом (простым
или сложным), так как в достаточно малой окрестности узла или фокуса
не могут лежать точки замкнутых траекторий.
Следовательно, М* является либо седлом, либо
^^ седло-узлом. Но тогда бесчисленное множество
точек Mt принадлежит одному из гиперболи-
м ческих секторов состояния равновесия О, и
можно показать, что существует последователь-
Рис. 162. ность точек, принадлежащих замкнутым
траекториям Lt и имеющих в качестве точки сгущения
точку, не являющуюся состоянием равновесия (см. § 16.1, доказательство
теоремы 21, случай 2)). Таким образом, случай 1) приводится к случаю 2).
Рассмотрим этот случай.
Пусть L* — траектория системы (А), проходящая через М*.
Очевидно, L* не может выходить из области W, а также не может быть
траекторией, стремящейся к узлу, фокусу (простому или сложному) или
предельному циклу (в противном случае сколь угодно близко к узлу, фокусу
или предельному циклу проходили бы замкнутые траектории Lf, что
невозможно). Точно так же L* не может быть внутренней траекторией
параболического сектора седло-узла. Наконец, в силу теорем 62 и 63 L*
не может быть сепаратрисой седло-узла, а в силу теоремы 58 L* не может
быть замкнутой траекторией. Таким образом, остается единственная
возможность, именно, что L* есть траектория, стремящаяся при £-> — оо
к седлу О и а ПРИ ί-> + оо к седлу 02-
Предположим сначала, что точки Οχ и 02 совпадают, т. е. L* есть
сепаратриса седла, образующая петлю.
Пусть (#0, у0) — координаты седла Οχ. По теореме 60 в этом случае
<у (я<ъ У о) = Р'х (*<ь У о) + Qy (яо, У о) Φ 0· Но тогда в силу теоремы 44
(§ 29.1) петля L* является устойчивой или неустойчивой, т. е. в
достаточно малой окрестности ее не могут существовать точки замкнутых
траекторий. Таким образом, мы пришли к противоречию.
Пусть теперь седла Οχ и 02 различны, причем L* стремится к Οχ при
t ->- — оо ик02 при t —>- + оо (рис. 162). Рассмотрим тот
гиперболический сектор седла 01у который содержит бесчисленное множество точек Mt.
Пусть L** — ω-продолжение сепаратрисы L* со стороны указанного
сектора. Очевидно, Z,** вполне аналогична траектории L*, т. е. является
сепаратрисой, идущей из седла в седло. Но тогда система (А) имеет две
негрубые траектории L* и L**, что противоречит теореме 61. Теорема
доказана.
7. Свойства сепаратрис седел систем первой степени негрубости.
Мы уже установили некоторые свойства сепаратрис седел систем 1-й
степени негрубости. Именно, мы показали, во первых, что сепаратриса седла
О (#о» Уо) не может образовывать петлю, если σ (#0,г/0) = 0, (теорема 60),
1^И)


§ 31] СИСТЕМЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ И ИХ БИФУРКАЦИИ 375
и, во-вторых, что ω (а-)-сепаратриса седла не может быть одновременно
<х (со-)-сепаратрисой седло-узла (теорема 62). В настоящем пункте мы
докажем еще два свойства сепаратрис седел систем 1-й степени негрубости.
Теорема 65. У системы 1-й степени негрубости в области W
не может существовать в этой области двух сепаратрис седел, одна из
которых стремится к двойному предельному циклу при t-+- — оо, а
другая — при t —>■ + оо.
Доказательство. Предположим противное, т. е. допустим,
что у рассматриваемой системы (А) в области W существует двойной
предельный цикл L0 и две сепаратрисы
седел Lj и L2, одна из которых, L4,
стремится к L0 при t -*■ + оо, а
вторая, L2, —при t -*■ — оо. Очевидно,
одна из этих сепаратрис лежит вне
L0l а другая — внутри L0.
Пусть ε0>0 таково, что в Ue(L0)
не лежит ни одного состояния
равновесия системы (А) и ни одной
замкнутой траектории, кроме L0.
Проведем через какую-нибудь
точку Μ цикла L0 дугу без контакта Z,
и пусть s — параметр на дуге Z,
выбранный так, что точке Μ
соответствует значение s = 0. Пусть, далее,
— функция последования на дуге Z,
определенная для всех s, \ s | < η,
где η — некоторое положительное
число. Так как сепаратрисы Lx и L2,
по предположению, стремятся к L0
(соответственно при ί-> + оо и при
t->· — оо), то на дуге Ζ лежит бесчисленное множество как точек Lu так
и точек L2. Пусть М'0 (s'0) и М[ (s^) — две последующие по t точки
пересечения траектории Lx с дугой Z, a Ml (s"0) и Ml (si) — две последующие
по t точки пересечения траектории L2 с дугой Z. Мы считаем при этом
точки М\ и М\ настолько близкими к М, что витки М'0М[ и М\М'[
траекторий соответственно L^ и L2 лежат целиком в Ueo (L0) и | s\ | < η, \ si | <η,
г = 1, 2.
Для определенности будем считать параметр s на дуге Ζ выбранным
так, что s'0 < 0, si > 0 (рис. 163). Тогда
*;<*;< о <*;<*;.
Заметим еще, что s'1 = f(s'0), «ί = /(«£).
Рассмотрим, наряду с системой (А), систему
Рис. 163.
dt
-vQ.=Px
μ»
-§- = ρ+μΡ=ρμ,
(Αμ)
и пусть μ0>0 настолько мало, что для всех μ, |μ|<!μο> выполняются
-следующие условия:
1) I является дугой без контакта системы (Αμ), и при всех s,
Js|<T], на ней определена функция последования s = fyit(s) этой системы.


376 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЛА [ГЛ. XII
2) В Ue(L0) не лежит ни одного состояния равновесия системы (Αμ)
и—либо при всех μ>0, либо при всех μ<0—ни одной замкнутой
траектории системы (Αμ) (последнее выполняется в силу теоремы 71, § 32.4).
3) Существуют сепаратрисы Li[it и L2[l системы (Αμ), пересекающие
дугу I в точках Μόμ, Μ[μ, Μ'όμ, Μ'ίμ, соответствующих значениям $όμ,
$ίμ, $0μ> $ϊμ параметра s, причем
$ί)μ < *ίμ < *0μ < *ϊμ
И
$ίμ = /μ ($()μ), *ϊμ = /μ ($'όμ).
4) Витки Μ'ομΜΊμ и ΜΙμΜ\μ траекторий £1μ и L2ll лежат в UeQ (L0)
(рис. 164).
Рассмотрим последовательные итерации функции /μ, τ. е. функции
/2μ = /μ (/μ) > /βμ = /μ (/2μ)»
И ПОЛОЖИМ, ЧТО
/*μ (»0μ) — *Λμ
(Α = 2, 3, ...).
В силу сделанных предположений, если μ = 0, то для любого А:>2
выполняется неравенство
«Ομ > *Λμ = /Αμ (*0μ). (71)
Обозначим через 6ίμ и С2м< простые замкнутые кривые, образованные
соответственно витками ΜΌμΜ\μ и Μ"§μΜ\μ траекторий £1μ и Ζ,2μ и частями
.ΜίμΜόμ и Μ\μΜΙμ дуги /. μ.
Нетрудно видеть, что при наших условиях кривая С2р, лежит внутри
(71μ, и если μ0 достаточно мало, то ограниченная этими кривыми область
Γμ лежит в Ueo (О). Мы будем
считать, что это условие
выполняется. Очевидно, предельный
цикл L0 лежит между кривыми
Сю и ^20·
В силу условия 2) при всех μ
определенного знака (если 0 <
< Ι μ Ι < μο) в ϋε (L0) не лежит
ни одной замкнутой траектории
системы (Αμ). Будем считать, что
это выполняется при положи-
тельных μ. Рассмотрим
траекторию £1μ, считая, что 0<μ<μο·
При возрастании t траектория
Ζ/1μ входит в область Γμ,
ограниченную кривыми С1м, и &2μ (Γμ с=
czUeo(L0)), через точку Μ"2μ.
Так как в Ueo (L0) нет ни
состояний равновесия, ни
замкнутых траекторий системы (Αμ),
то при дальнейшем возрастании t траектория £,ίμ должна выйти из C/8o(L0)r
а следовательно, и из области Γμ. Это может произойти лишь в том
случае, если Ζ/1μ пересекает часть ΜΙμΜ"ιμ дуги без контакта Ζ. Таким
образом, существует такое натуральное iV> 1, для которого выполняется
соотношение
ΪΝμ (*άμ) > 4μ· (72)
Рис. 164.


§ 31Г СИСТЕМЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУ^ОСТИ И ИХ БИФУРКАЦИИ 377
С другой стороны, в силу (71) при μ = 0 выполняется соотношение
/*μ(*Ομ)<*0μ. (73)
Так как 50μ, 50μ и /jy-μ являются непрерывными функциями от μ (в силу
замечания к лемме 3 § 9.2), то из неравенств (72) и (73) следует
существование числа μ*, О <С μ* < μ, такого, что
/^μ* (*0μ*) ^^Ομ*»
т. е. что <
$ΛΓμ* = «0μ*·
Последнее равенство означает, что сепаратриса £1μ* системы (Αμ*)
совпадает с сепаратрисой £2μ*, τ. е. система (Αμ*) имеет сепаратрису,
идущую из седла в седло. Число μ* можно считать при этом сколь угодно-
малым. Таким образом, мы показали, что если система (А) имеет в
области W двойной предельный цикл, к которому стремятся две сепаратрисы
седел, причем одна при t-*· — оо, а
другая — при t -»■ + оо, то существует сколь
угодно близкая к (А) система (Αμ*), имеющая
в области W сепаратрису, идущую из седла
в седло. Система (Αμ*) является негрубой.
Поэтому, так как (А) есть система 1-й
степени негрубости, должно выполняться *
соотношение
(Η,Α) = (Η,Αμ*). рис ^
Ясно, что это соотношение выполняться
не может, так как система (Αμ*) имеет сепаратрису, идущую из седла
в седло, а система (А) таких сепаратрис в окрестности области W не
имеет. Таким образом, мы пришли к противоречию. Теорема доказана.
Теорема 66. У системы 1-й степени негрубости в области W
не может существовать в этой области сепаратрисы седла, стремящейся
{при t ->■ — оо или при t -+■ + оо) к сепаратрисе седла, образующей петлю.
Доказательство. Допустим противное, т. е. предположим,
что у системы 1-й степени негрубости (А) существует в области W
сепаратриса L0 седла О (х0, у0), образующая петлю, и сепаратриса Ll седла
Οι (χι> Vi)i стремящаяся к петле L0 при t -*■ + оо (очевидно, седла О и Οχ
различны). В силу теоремы 60 для седла О выполняется тогда условие
σ (χο> У о) Φ 0» а в силу теоремы 44 (§ 29.1)
<*(*о,уо)<0. (74>
Предположим для определенности, что две сепаратрисы седла О,
отличные от L0, лежат вне петли, образованной траекторией L0, так чта
сепаратриса L4 стремится к петле L0 изнутри (рис. 165).
Пусть ε0 > 0 таково, что в С/8о С^о) не лежит ни одного состояния
равновесия, кроме О, и ни одной замкнутой траектории системы (А).
Проведем через какую-нибудь точку Ρ траектории L0 дугу без
контакта Z, и пусть s — параметр на дуге Z, выбранный так, что точке Ρ
соответствует значение s = 0, а точкам дуги Z, лежащим вне петли,—
положительные значения s (рис. 166). Так как по предположению петля устойчива,
то всегда можно указать такую точку А дуги Z, лежащую внутри петли,
чтобы все траектории, пересекающие часть АР дуги Z, стремились к петле,


378 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЛА [ГЛ. XII
образованной траекторией L0, и, следовательно, пересекали часть АР
в бесчисленном множестве точек. В частности, в бесчисленном множестве
точек часть АР дуги Ζ пересекает сепаратриса L4 седла 0±.
Обозначим значение s, соответствующее точке А, через а. На части АР
дуги Z, т. е. при a<s< 0 определена, таким образом, функция
исследования
s = /(s).
Очевидно, кроме того, что, какое бы целое N мы ни взяли, у всякой
точки дуги АР существует N-я последующая
*iv = /iv(s).
Среди точек пересечения сепаратрисы L4 с дугой АР выделим две
последовательные точки М0 и Мх. Пусть s0 и ^ — соответствующие им
значения параметра s, a t0 и ^ — соответствующие им значения времени
Рис. 166.
на траектории L^ Очевидно, t0 <C tu a s0 < $ι· Мы возьмем, кроме того,
точку Μ о настолько близко к петле L0, что часть Μ0Μι траектории L0
будет лежать в U€o (L0) (рис. 166).
Рассмотрим измененную систему
η£- = Ρ (χ, у) — μ<? (ж, */), "If- = <? (*» Р) + μρ (*> »). (Αμ)
получающуюся из системы (А) поворотом векторного поля. При всех
достаточно малых μ Φ О у системы (Αμ) в окрестности Ueo (L0) нет
сепаратрисы, образующей петлю, а имеются две различные сепаратрисы L'0 (μ)
и LI (μ), пересекающие дугу Ζ.
Пусть L'0 (μ) является ω-сепаратрисой, a L\ (μ) — α-сепаратрисой
седла О.
Обозначим через Ρ' (μ) и Ρ" (μ) «первые» точки пересечения
сепаратрис соответственно L'0 (μ) и LI (μ) с дугой Ζ, так что на части ОР' (μ)
траектории L'0 (μ) и на части ОР" (μ) траектории L"0 (μ) нет точек дуги Ζ, кроме
Ρ' (μ) и Ρ" (μ). Пусть s' (μ) и s" (μ) — значения параметра s,
соответствующие точкам Ρ' (μ) и Ρ" (μ). Очевидно,
lim s' (μ) = lim 5" (μ) = 0. (75)
μ->0 μ->0


§ 31] СИСТЕМЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ И ИХ БИФУРКАЦИИ 379
Пусть μ0 > 0 достаточно мало. Тогда, если | μ | < μ0, то s' (μ) > 0,
$* (μ) > а и части ОР' (μ) и ОР" (μ) сепаратрис L'0 (μ) и Ll (μ) лежат
в Ueo (LQ). Если при этом μ > 0, а ε0 достаточно мало, то в силу леммы
§ 11.1 s" (μ) > 0, a s' (μ) < 0. В силу же теоремы 49 и замечания к ней
(§ 29.3) у системы (Αμ) нет ни одной замкнутой траектории, лежащей
в Ueo (Z/0). Ниже мы всегда будем предполагать, что эти условия
выполняются.
В силу леммы 7 § 29.2 при всех | μ | < μ0, где μ0 > 0 — надлежащим
образом выбранная величина, на части АР' (μ) дуги без контакта Ζ, т. е.
при всех значениях s, α <$<;$' (μ), определена функция последования
!=/(*, μ).
Из условия, что в Е78о (L0) нет ни одной замкнутой траектории,
следует, как нетрудно видеть, что / (s, μ) > s.
Кроме того, очевидно, что
lim / (s, μ) = s" (μ)
8->5'(μ)
и что при μ = 0 функция s = f (s, μ) обращается в функцию последования
исходной системы (/ (s, 0) == / (5)), определенную на части АР дуги Z.
Так как у исходной системы каждая точка части АР дуги I имеет
TV-ю последующую при любом целом N, то при всяком заданном N любая
фиксированная точка части АР дуги I будет при достаточно малом μ иметь
N-io последующую системы Αμ. Мы будем обозначать ее
SN = fN{s, μ).
Очевидно, fN (s, μ) — непрерывная функция μ (конечно, при тех
значениях μ, при которых она определена).
Из леммы 3 § 9.2 и замечания к ней следует, что если μ Φ 0
достаточно мало, то система (Αμ) имеет сепаратрису Lx (μ) седла Ои пересекающую
дугу без контакта I в точках М0 (μ) и Μι (μ), причем М0 (μ) -*■ Μ0
и Mi (μ) ->- Μχ при μ ->- 0. Пусть s0 (μ) и 5t (μ) — значения параметра s,
соответствующие точкам М0 (μ) и Μχ (μ). В силу леммы § 11.1, если
μ > 0, то 50 (μ) > s0 и Si (μ) > st.
Мы будем предполагать, кроме того, число μ0 настолько малым, что
если | μ | < μ0, то виток траектории L4 (μ) между точками М0 (μ) и Mt (μ)
лежит целиком в С/8о (L0)·
В силу замечания к лемме 3 § 9.2 $0 (μ), s4 (μ), s' (μ) и s" (μ) являются
непрерывными функциями от μ. Отметим еще, что состояния равновесия
систем (А) и (Αμ) совпадают, поэтому система (Αμ) также не имеет в U ъ (L0)
ни одного состояния равновесия, кроме седла О.
Из всего вышесказанного следует, что если ε0 > 0 и μ0 > 0
достаточно малы, а 0<μ<μο» то выполняются соотношения
*о (μ) < «ι (μ) < s' (μ) < 0, s" (μ) > 0
и в Ueo (L0) нет ни одной замкнутой траектории системы (Αμ) и ни одного
состояния равновесия ее, кроме седла О.
Так как М^ (μ) является последующей для М0 (μ), то
Μμ) = /(*ο(μ). μ)·
Кроме того, на основании сказанного выше нетрудно видеть, что при
заданном целом N для всех достаточно малых μ существует iV-я последующая


380 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЛА [ГЛ. XII
точки Μ ο (μ), τ. е. существует
** (μ) = /*(*<> (μ)» μ)>
и эта функция является непрерывной функцией μ (конечно, при тех μ,,
при которых она существует).
Рассмотрим теперь, каково при сделанных предположениях
возможное поведение сепаратрисы L4 (μ).
Могут представиться два случая:
1) либо существуют сколь угодно малые значения μ, | μ | < μο> при
которых для некоторого N
/n {s0 (μ), μ) = «'(μ),
т. е. существуют сколь угодно малые значения μ, при которых Lx (μ)
совпадает с сепаратрисой L'0 (μ) (рис. 167);
2) либо можно указать такое μ4 > 0 μι<μ0, что при всех | μ |<μι
сепаратриса Ζ^ (μ) не совпадает с сепаратрисой L'Q (μ).
Выясним возможное поведение сепаратрисы в случае 2).
Для этого рассмотрим:
а) простую замкнутую кривую С", составленную из витка
траектории Li (μ) между точками М0 (μ) и Mi (μ) и части дуги I между точками
Μ ο (μ) и Mi (μ);
б) простую замкнутую кривую С", составленную из части Ρ' (μ) О
сепаратрисы L'Q (μ), точки О, части ОР" (μ) сепаратрисы L\ (μ) и части дуги I
между точками Ρ' (μ) и Ρ" (μ). у
Обозначим через Г кольцевую область, ограниченную кривыми С
и С (рис. 168). Нетрудно видеть, что область Г целиком лежит в Е/8о (L0)
(так как каждая точка этой области принадлежит витку траектории
системы (Αμ), лежащему целиком
в υεο (ί>0)) и, следовательно, не
содержит ни одной замкнутой
траектории и ни одного
состояния равновесия, кроме седла О.
Сепаратриса L4 (μ) в точке Μι (μ)
при возрастании t, очевидно,
входит в область Г. Так как по
предположению она не
совпадает с сепаратрисой L'0 (μ)
седла О, то при дальнейшем
возрастании t она непременно должна
выйти из области Г. Но из
области Г она может выйти, лишь
пересекая часть Ρ' (μ) Ρ" (μ)
дуги Ι. ■;.'*
Обозначим через Q (μ)
точку пересечения сепаратрисы
Li (μ) с частью Ρ' (μ) Ρ" (μ)
дуги Ζ. Точка Q (μ), очевидно, является JV-й последующей точки М0 (μ),
где N — некоторое натуральное число, зависящее от μ.
Таким образом, если обозначить через sQ (μ) координату точки Q (μ)
на дуге I, то при всяком μ* > 0, μ* < μί мы будем иметь
Рис. 167.
Μμ·) = Λν·(*ο(μ·), μ*)»


§ 31] СИСТЕМЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ И ИХ БИФУРКАЦИИ 381
где iV* зависит от μ*. При этом выполняется соотношение
Λν*Μμ·), μ*)>*'(μ*)· (76)
Зафиксируем μ* и соответствующее ему число Ν*.
При μ = 0 для любого Ν, в частности для N = iV*, существует
число fN* (s0 (0), 0), причем оно меньше нуля. Но s0 (μ), s' (μ), s" (μ),
/λγ* ($ο (μ), μ) являются непрерывными функциями μ. Поэтому, если μ**,
Рис. 168.
О << μ** < μ*, достаточно мало, та число fN* (s0 (μ**), μ*) близко
κ fN* (s0 (μ*), μ*), а число s' (μ**) близко к нулю, и, следовательно, будет
выполняться соотношение
Λν·(»ο(μ*·), μ*)<5'(μ**). (77)
Из (76) и (77) и из непрерывности рассматриваемых функций
следует, что существует число μ, μ**<μ<μ*, для которого
/лг*(Мй. μ) = *'(μ).
т. е. что сепаратриса Li (μ) седла Οι совпадает с сепаратрисой LO (μ)
седла О. Но это противоречит предположению 2).
Таким образом, мы показали, что если у системы первой степени
негрубости (А) существует в области W сепаратриса L0 седла О,
образующая петлю, и сепаратриса Lt седла Ot, стремящаяся к этой петле, то
существует сколь угодно близкая к (А) система (Αμ), у которой
а) существует сепаратриса, идущая из седла О в седло 04;
б) нет сепаратрисы, образующей петлю и лежащей в Ueo (L0), где
ε0 — достаточно малое положительное число.
Из а) следует, что (Αμ) — негрубая система, а из б) — что для систем
(А) и (Αμ) не может выполняться соотношение (Я, А^) ξξ (Я, А). Но тогда
система (А), в силу определения 30 (п. 1), не может быть системой 1-й
степени негрубости. Мы пришли к противоречию.
Теорема доказана.


382 ПРЕДЕЛЬНЫЙ ЦИКЛ ИЗ ПЕТЛИ СЕПАРАТРИСЫ СЕДЛО-УЗЛА [ГЛ. XII
8. Основная теорема (необходимые и достаточные условия для систем
первой степени не грубости). Собирая вместе все полученные выше
результаты, мы видим, что динамическая система (А) первой степени негрубости
в замкнутой области W удовлетворяет следующим условиям:
I. Система (А) имеет в области W одну и только одну простейшую
негрубую траекторию, т. е. траекторию одного из следующих типов:
1) сложный фокус кратности 1;
2) седло-узел с σ0 = Р'х + Q'y φ 0 кратности 2;
3) двойной предельный цикл;
4) сепаратриса седла, идущая в другое седло;
5) сепаратриса седла, образующая петлю, при условии, что в этом
седле σ0 φ 0.
И. Система (А) не имеет в области W негрубых предельных циклов,
сепаратрис седла, образующих петлю, и состояний равновесия, отличных
от перечисленных в I.
III. Если система (А) имеет в области W седло-узел, то ни одна его
сепаратриса не может стремиться к седлу и никакие две его сепаратрисы
не могут являться продолжением одна другой.
IV. Сепаратриса седла системы (А), расположенная в области W,
не может стремиться при t -»■ — оо или при t -»■ + оо к сепаратрисе,
образующей петлю. В области W не может существовать двух сепаратрис
седел, стремящихся к одному и тому же двойному предельному циклу
одна при £-*■ — оо, а другая — при t-+- + оо.
Оказывается, что условия I—IV являются не только необходимыми,
но и достаточными для того, чтобы (А) была системой 1-й степени
негрубости в области W, т. е. имеет место
Теорема 67. Для того чтобы динамическая система (А) была
системой 1-й степени негрубости в замкнутой области W, необходимо'
и достаточно, чтобы выполнялись перечисленные выше условия I—IV.
Доказательство. Необходимость условий I—IV
непосредственно следует из теорем 54—57, 59—63, 65 и 66. Доказательство
достаточности мы опускаем. Заметим только, что хотя доказательство
достаточности довольно громоздко, но по идее оно несложно и проводится
аналогично доказательству теоремы 23 (о необходимых и достаточных
условиях грубости системы, § 18.2) *).
9. Бифуркации систем первой степени негрубости. Установленные
выше свойства позволяют без труда перечислить все возможные бифуркации
динамической системы (А) в той области W, где она имеет первую степень
негрубости. Очевидно, эти бифуркации определяются тем, какая именно
простейшая негрубая траектория имеется у системы.
Рассмотрим случаи, которые могут иметь место.
1) В области W имеется сложный фокус кратности 1. Очевидно,
в этом случае возможна бифуркация только одного типа — рождение
предельного цикла из сложного фокуса. При такой бифуркации сложный
фокус превращается в простой (грубый) и меняет устойчивость, а
рождающийся цикл является грубым и имеет такую же устойчивость, как
исходный фокус.
2) В области W имеется двойной предельный цикл. В этом случае
возможны бифуркации двух типов — исчезновение предельного цикла
*) Динамические системы 1-й степени негрубости на торе рассматривались
Арансоном (см. [38]).


§ 31] СИСТЕМЫ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ НЕГРУБОСТИ И ИХ БИФУРКАЦИИ 383
и распадение его на два предельных цикла, В последнем случае оба цикла,
рождающиеся из сложного, являются грубыми, причем один из них
устойчивый, а второй — неустойчивый.
3) В области W имеется сепаратриса седла, идущая в другое седло.
В этом случае при переходе к близкой системе сепаратриса, идущая из
седла в седло, может распасться на две сепаратрисы, не являющиеся
продолжением одна другой. Это — единственный возможный здесь тип
бифуркации.
4) В области W имеется сепаратриса седла, образующая петлю.
Бифуркации происходят лишь при условии, что при переходе к близким
системам петля сепаратрисы исчезает. При этом либо из исчезнувшей
петли сепаратрисы в ее окрестности рождается грубый предельный цикл
(той же устойчивости, что исчезнувшая петля), либо петля исчезает
и предельный цикл при этом не возникает. Таким образом, в этом случае
возможны два типа бифуркаций.
5) В области W имеется седло-узел М0 с σ0 Φ 0. Здесь приходится
рассматривать два подслучая:
5а) Седло-узел М0 не имеет сепаратрисы, образующей петлю.
В этом случае возможны два типа бифуркаций — исчезновение
состояния равновесия М0 либо распадение его на два грубых состояния
равновесия — седло и узел. В обоих случаях рождение предельных циклов не
происходит.
56) Седло-узел М0 имеет сепаратрису, образующую петлю.
В этом случае возможны бифуркации двух типов:
1) Распадение состояния равновесия М0 на грубое седло и грубый
узел. Рождение предельного цикла при этом не происходит.
2) Исчезновение состояния равновесия М0. При этом петля
сепаратрисы, естественно, исчезает, а в окрестности ее рождается
предельный цикл.
Перечисленными бифуркациями исчерпываются все простейшие
бифуркации, т. е. бифуркации, возможные у систем первой степени
негрубости. Это утверждение вытекает из результатов предшествующих глав
и из § 30.
Приведенное здесь перечисление показывает, что все простейшие
бифуркации, при которых происходит рождение или исчезновение
предельного цикла, являются частными случаями бифуркаций,
рассмотренных в главах IX, X, XI и в § 30 настоящей главы. Заметим, однако, что
содержание этих глав, а также главы VIII далеко не исчерпывается
рассмотрением простейших бифуркаций.


ГЛАВА XIII
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ
СИСТЕМ, ЗАВИСЯЩИХ ОТ ПАРАМЕТРА
Введение
В настоящей главе рассматриваются аналитические динамические
системы, зависящие от параметра, т. е. имеющие вид
■д|г = Р(ж, у, μ), -д|г = <?(*> У. V)* (Αμ)
где Ρ и Q — аналитические функции, и изучается вопрос о предельных
циклах, рождающихся из замкнутой траектории L0 «исходной» системы
(А0) при переходе от μ = 0 к близким значениям μ.
Глава состоит из двух параграфов (§§ 32 и 33). Первые три пункта
§ 32 носят вспомогательный характер. В § 32.1 изучается функция
исследования на дуге без контакта, пересекающей замкнутую траекторию L0,
и выводится ряд формул для коэффициентов разложения этой функции
в ряд. В § 32.2 более подробно излагается постановка вопроса. § 32.3
стоит несколько особняком — он посвящен одному классическому вопросу
теории аналитических функций и может представлять самостоятельный
интерес. Именно, в нем рассматривается уравнение F (w, ζ) = 0, где
F — аналитическая функция, удовлетворяющая условию F (О, 0) = 0,
и показывается, как с помощью так называемого многоугольника Ньютона
можно исследовать число и характер решений этого уравнения в
окрестности точки w = 0, ζ = 0.
Основные результаты § 32 изложены в п. 4 и составляют содержание
теорем 71 и 72. В этих теоремах в качестве системы (Αμ), зависящей от
параметра, берется система
ж-р-*· %-<>+*
векторное поле которой получается из векторного поля системы (А0)
поворотом на постоянный угол. Доказывается, что если L0 есть четно-
кратный предельный цикл системы (А0), то при повороте векторного поля
в одну сторону этот цикл распадается на два грубых цикла, а при повороте
в другую сторону он исчезает (теорема 71). Если же L0 есть нечетнократ-
ный предельный цикл системы (А0), то всякая система, получающаяся
малым поворотом векторного поля системы (А0) в любую сторону, имеет
в малой окрестности цикла L0 единственный, и притом грубый, предельный
цикл (теорема 72).
В § 33 рассматривается рождение предельного цикла из замкнутой
траектории консервативной системы. В п. 1 даются основные
определения. Консервативная система определяется как система, имеющая в дан-


§ 32] ПОВЕДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ПРИ МАЛЫХ ИЗМЕНЕНИЯХ μ 385
ной области интегральный инвариант с положительной плотностью
(см. п. 1, определения 31 и 32).
Однако в § 33 рассматривается лишь один частный класс
консервативных систем, именно системы, определенные в двусвязной («кольцевой»)
области, все траектории которых в этой области являются замкнутыми
траекториями, вложенными одна в другую. В § 33.1 доказывается, что
такая система действительно является консервативной (теорема 74).
Динамические системы, имеющие вид
^L· — _ δΙί(χ> У) ^_ _ дН(х, у)
dt ~ ду~ ' dt ~ дх '
называются гамильтоновыми и представляют частный случай
консервативных.
В § 33.2 рассматриваются системы, близкие к линейной
консервативной системе
х^—у, У = х, (В0)
т. е. имеющие вид
*=—0 + μΜ*> У) + \*?Р2{х, */) + ···
(Βμ)
!ί = χ + μςί(χ, 2/) + μ2#2(^ у)+ ·.-,
и выводятся условия, при которых из траектории х2 -f у2 = pi исходной
системы (В0) рождается при переходе к достаточно близкой системе (Βμ)
единственный предельный цикл (теорема 75).
В § 33.3 аналогичные условия выводятся для общего случая систем,
близких к консервативным (см. теорему 77). В теореме 78 (§ 33.4)
показывается, что эти условия для систем, близких к гамильтоновым, имеют
особенно простой вид.
Отметим, что условие аналитичности рассматриваемых систем,
налагаемое в главе XIII, не является обязательным, — аналогичные
результаты могут быть получены и для неаналитичных систем.
§ 32. Поведение предельных циклов некоторых
динамических систем при малых изменениях параметра
1. Функция последования в окрестности замкнутой траектории.
Рассмотрим зависящую от параметра μ динамическую систему
^=Р(х, у, μ), ^- = Q(x, у, μ), (Αμ)
где Ρ (χ, у, μ) и Q (x, у, μ) — аналитические функции от х, у и
параметра μ, определенные при значениях х, у, принадлежащих некоторой
области G плоскости (х, у), и при значениях μ в некотором интервале,
содержащем точку μ0. Очевидно, (Αμ) можно рассматривать как однопараметриче-
ское семейство динамических систем аналитического класса, определенное
в области G.
Предположим, что при значении параметра μ = μ0 система (Αμ)
имеет замкнутую траекторию L0. He ограничивая общности, можно
считать, что μ0 — 0, т. е. L0 есть замкнутая траектория системы
£ = Р(х,у), % = Q(x,y), (Αβ)
где Р(х, у) = Р(х, у, 0), Q(x, y) = Q(z, у, 0).


386 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. ХШ
Пусть
*=<Р(0> » = ♦(*). (1)
где φ (t) и ty(t) — периодические функции с периодом τ,—решение,
соответствующее траектории L0.
Так же, как в § 13, введем в окрестности этой траектории
криволинейные координаты s, n, определенные соотношениями
x = (f(s, n), y = ty(s,n), (2)
где функции φ и ψ обладают следующими свойствами:
1) φ и ψ определены в полосе
— оо <.s<C + oq, ~n*<Сп<Сп*, (3)
где п* — некоторое положительное число, и являются в этой полосе
аналитическими функциями.
2) φ и ψ являются периодическими функциями по s с периодом τ.
3) φ(*,0)==φ(*), ψ(*,0) = ψ(*). (4)
4) Функциональный определитель
Ιψβ Φή
*<·.·>-4&3~
(5)
отличен от нуля во всех точках полосы (3), т. е. сохраняет знак в этой
полосе.
В качестве функций φ (s, η) и ψ (s, η) можно взять, в частности,
рассматривавшиеся в § 13 функции
φ = φ(5) + /ιψ'(5), ψ = ψ(5) — щ' (s), (6)
которые при достаточно малом п* > О удовлетворяют, очевидно, всем
перечисленным выше условиям. Однако, как мы увидим в дальнейшем,
в некоторых случаях удобнее в качестве φ и ψ брать функции другого
вида (см. § 33.3, (56)). Из соотношений (4) следует, очевидно, что
φ; (5, 0) = φ' (5), ψ; (s, 0) - ψ' (5). (7)
Перейдем во всех системах (Αμ) с достаточно малыми μ к
переменным 5, /г. Дифференцируя по t соотношения (2) и принимая во внимание
уравнения (Αμ), мы получим:
dx —, ds . —, dn тт,— ~7 ч du —, ds . —, dn τς/~ ~7 \
Решая эти уравнения относительно -т—, - и исключая t, мы
придем к одному дифференциальному уравнению:
dn <?(φ, Ψ, μ)φ; —Ρ"(φ, ψ, μ) ψ;
-γ-= = — = Я (s, η, μ). (Ru)
ds Ρ (φ, Ψ, μ) ψ;~Q (φ, Ψ, μ) φ;
При λ = 0, μ = 0 знаменатель правой части уравнения (Κμ) равен, очевидно,
^"(φ (*)■ Φ (»), 0) ψ; (», 0) - ρ (φ (β), ψ (β), 0) φ; (*, ο> =
- Φ' (*) ψ; (*> 0) - Ψ' (^) Φ» (* 0) - Δ (*, 0).


§ 32] ПОВЕДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ПРИ МАЛЫХ ИЗМЕНЕНИЯХ μ 387
В силу условия 4) A(s, 0)^=0 при всех s, в частности при всех 0<$<τ.
Поэтому, если ?г*>0 и μ*>0 достаточно малы, то знаменатель правой
части уравнения (Rp,) отличен от нуля при всех s, η, μ, удовлетворяющих
неравенствам соответственно
0<s<t, |rc|0*, |μ|<μ*,
т. е. в силу периодичности по s функций φ и ψ при —οο<5<-+-οο
|/г|</г*, |μ|<μ*. Отсюда следует, что R (s, η, μ) является аналитической
функцией в области —oo<s< + oo, |/г|</г*, |μ|<μ*. Но тогда она
может быть разложена в окрестности любой точки этой области в ряд
по степеням η, μ, причем коэффициенты этого ряда будут аналитическими
функциями от 5. Легко видеть, что
R (s, 0, 0) = 0. (8)
Поэтому разложение функции R (s, η, μ) в окрестности точки (s0, 0, 0)
(s0 — произвольное фиксированное число) имеет вид
R {s, η, μ) = Ах0 (s) η + Αοί (s) μ + A20 (s) η2 + An (s) ημ + A02 (s) μ2 + .. . (9)
Из периодичности функции R (s, n, μ) no s следует, как нетрудно
показать, что коэффициенты Atj (s) также являются периодическими
функциями с периодом τ.
Из соотношения (8) следует, что функция η = 0 является решением
уравнения (-R0)· Однако, как правило, она не является решением
уравнения (2?μ) при μ Φ 0.
Мы будем рассматривать функцию последования на дуге без
контакта Ζ, определяемой уравнением s = 0 (в случае, когда функции φ и ψ
имеют вид (6), эта дуга является нормалью к траектории (1) в точке s = 0).
Построение функции последования проводится так же, как в главе V
(§ 13.3). Пусть
n = f(s; 0, щ, μ) (10)
— решение уравнения (ίίμ), удовлетворяющее начальному условию
/ (0; 0, щ, μ) ее щ. (И)
В силу общих теорем это решение определено в области
— ηΟ<τ + η, |тг0|<гг, |μ|<μ, (12)
где η>0, а гг<гг* и μ<μ* — достаточно малые положительные числа,
и является в этой области аналитической функцией своих аргументов.
Так как η = 0 есть решение уравнения (R0), то
/(*;0f 0, 0)ее0
и разложение функции / в ряд по степеням щ и μ имеет вид
/ (s\ 0, η0, μ) = α10η0 + α01μ + α2ο^ο + «ιιΛ0μ + α02μ2 + . .. (13)
Здесь коэффициенты αί<7· = α^· (ί) являются аналитическими функциями от s
в интервале — η<$<τ + η.
Подставляя в уравнение (Βμ) вместо R (s, η, μ) и η их выражения (9)
и (13) и приравнивая соответствующие коэффициенты правой и левой частей,
мы получим следующие рекуррентные дифференциальные уравнения,


388 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. XIII
которым удовлетворяют функции aij(s):
dal0 (s) __ Δ
—d~—— лю'аю>
da0l (s) _ л л
—^— — ^ю · αοι -г ^οι »
—^ = ^ο·α2ο + ^2οαϊ„ (14)
^ = ^10α11 + 2Л2оаюа01 + -4ΐ1α10'
— = Ai0<X02 + ^20αοΐ + ^11α01 + ^02>
Из соотношений (11) и (13) следует, что при i = 1, / = 0 atj (0) = 1, а во всех
остальных случаях α^·(0) = 0.
Равенства
α10(0)-1, а„(0)=0 (15)
являются начальными условиями для уравнений (14). Поэтому функции
atj (s) можно найти последовательно, решая уравнения (14) при
начальных условиях (15).
Заметим, что для функций ai0 (s), являющихся в разложении (13)
коэффициентами при членах, не содержащих μ, мы получаем такие же
выражения, как в главе X (§ 26.1). Действительно, эти функции можно
найти, полагая μ = 0. Но тогда мы приходим к системе (А0) и уравнению
(R0), рассмотренному в указанной главе.
Обозначим функцию последования системы (Αμ) на дуге без контакта /
через / (п0, μ). По определению она получается из функции (10) при s = τ,
т. е.
n=f(n0, μ) — /(τ; 0, щ, μ). (16)
Отсюда и из (13) следует, что разложение функции последования в ряд
имеет вид
/ К, μ) = αΙ0 (τ) η0 + αοι (τ) μ + α20 (τ) η20 + αΗ (τ) η0μ + · · · (17)
Вводя обозначения
<*υ(τ) = ην, (18)
мы будем иметь
n = f (л0, μ) = щ0щ + ^0ίμ + и20п20 + ипщ]х + .. . (19)
Найдем выражения для коэффициентов ui0 и uoi и укажем структуру
коэффициента ип, развернутое выражение которого весьма сложно. Эти
коэффициенты будут использованы в дальнейшем.
Мы имеем
dn Ό, ч Q(?» Ψ. μ)φί—^"(φ. Ψ. μ) ψ; ,_ χ
-г- ==.· R (s, η, μ) = = — . (R.,)
ds ρ (ψ, Ψ, μ)ψ;-(?(φ. ψ. μ) φ; μ
Обозначим числитель и знаменатель последней дроби соответственно
через g(s, η, μ) и h (s, η, μ), т. е. положим, что
g(s, η, μ) =Q(φ, ψ, μ)φ'8-Ρ(φ, ψ, μ) ψ;,
h{s, η, μ)=Ρ(φ, ψ, μ)ψη — <? (φ, ψ, μ) φή·


§ 32] ПОВЕДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ПРИ МАЛЫХ ИЗМЕНЕНИЯХ μ 389
Напишем разложения функций g (s, η, μ) и h (s, /г, μ) в ряды по
степеням η и μ. Так как g (s, 0, 0) ==0, a h (s, 0, 0) Φ 0, то эти разложения
имеют вид
g (s, η, μ) = gl0n + £01μ + g2on2 +...,
h (s, η, μ) = h00 + hi0n + Α01μ + h20n2 + . .., (21)
где gij ~ gu (s) и Ы] = ha (s) — аналитические функции от s, причем
h00 (s) Φ 0. Таким образом,
dn = g(s, η, μ) __
ds h (s, τι, μ)
" Λοο + Α10» + Λοιμ+... = 10 + 0# + 20 + И μ + * * *'
т. е.
ξξ (Л10тг + ^01μ + А20п2 + Α1ίημ+ ...) (h00 + hl0n + Α01μ +...)·
Из этого тождества мы получаем, приравнивая коэффициенты при
соответствующих членах правой и левой частей и находя Ац, следующие
формулы:
А — lift A ffoi л — ^20—^lQ^io л _ g"n —^4qi^io—Л10Д01 ,99v
^ю τ;—» Λοι — "I—» ^20— 1 » лн — Ε · l·^;
'*00 "00 "00 "00
Найдем функции gij(s) и hij(s), входящие в формулы (22). С этой
целью разложим функции Ρ и Q в ряды по степеням μ, а функции φ
и ψ —по степеням гг. Мы имеем:
Ρ{χ, у^) = Р & у) + μρι (*. у) + μ2/>2 (ж, у) + ...,
Q{x, yi\*) = Q («, у) + μϊι (ж, у) + μ2£2 (ж, г/) + . . .,
φ (5, η) = φ (5) + τιβ! (5) + Ν2β2 (5) + . ,
ψ (5, λ) = ψ (г?) + /ιγ! (г?) + π2γ2 (s) + .
(23)
(24)
где Pi, q-t, βί и γ;— аналитические функции своих аргументов.
Разлагая функции P{$(s, ή), ψ (s, η), μ) и (?(<p(s, re), ·ψ (s, η), μ) в ряд
Маклорена по степеням μ и η и пользуясь соотношениями (23) и (24),
мы получим:
Ρ(ψ{8, η), ψ(», га), μ) = Ρ(φ>, 0), ψ(», 0), 0)+
+ [РИФ(*. 0). *(». °). °)Φ«(*. 0)+^(φ(», 0), ψ>, 0), 0)ψ;(8, 0)]η +
+ ^μ(φ(., 0), ψ(., 0), 0)μ + »Μ^>»μ+...=
= φ' (β) + [Pi (φ (*), ψ (.)) β4 (s) + Ρ; (φ (*), Ψ (*)) Υ! (*)1» + Ρι (φ (*), ψ («)) μ +
+ ΙρΊχ (ψ (*), Ψ (*)) Ρι (*) + Ply (Φ (*), Ψ (*)) Υι (*)] ημ + ... (25)
и аналогично
<?(<p(s, и), ip(s, и), μ) =
= ψ' (·) -г [<?; (φ (*), Ψ (·)) βί (*) + Q'y (φ (*), ψ (*)) Υι (*)1» + ?ι (Φ (·), ψ (*)) μ +
+ \q'ix (φ (*), ψ (»)) βί (*) +9iy (φ (·), Ψ (*)) γ» (*)] «μ + · · · (26)


390 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. ХШ
Далее, подставляя в формулы (20) выражения (25) и (26) и пользуясь
соотношениями (24), мы будем иметь:
g (s, η, μ) = {[Q'x (φ, ψ) β4 + Q'y (φ, ψ) Υι] φ' -
- [Ρ'χ (φ, Ψ) βι + Py (φ, Ψ) Υι] ψ' + ψ'Κ ~ φΎί) » + (ίιφ' - Ριψ') μ +
+ [(?;χβι + ϊί,,Υι) Φ' — (PixPi + ΡίνΥι) Ψ' + ,(?ιΚ — ΡιΥί)1 «μ + · · ·. (27)
h (s, η, μ) = <p'Yl - ·ψ'β! + {Ρ'χ (φ, ψ) βί +P'y (φ, ψ) Υι) γ, -
- (<& (Φ, Ψ) βι + Q'y (Ф, Ψ) Υι) βι + 2 (φ'γ2 - Ψ'β2) η + (ΡιΥ! - gA) μ + · · · (28)
Отсюда и из равенств (21) следует, что
gio = [Qx (φ, ψ) βι + Q'y (φ, ψ) Υιΐ φ' -
- [Pi (φ, ψ) β, + Ρ; (φ, ψ) Υί] ψ' + ψ'β; - φ'γ;,
δΌι = ?ιφ'—Ριψ';
fti = (?ίχβι + £uYi) Φ' — (ΡίχΡι + ΡίνΥι) Ψ' + ?ιβί — ΡιΥί. J
^οο=φΎι—·ψ'βι = φΗ«. θ)ψή(«, θ) —ψ;(», 0)φ;(», 0) = A(s, Ο), 1
^ο=\Ρ'χ (φ, ψ) βι +^(φ, Ψ) γιΐ γι —
- [& (Ψ, Ψ) Ρι + <?ί/ (Φ, Ψ) Υι! βι + 2 (φ'γ2 —ψ'βί),
Λοι=ΡιΥι —?ιβι
) (29)
(30)
(в силу формулы (5)).
Выражение для gl0 может быть преобразовано. Именно, используя
соотношения
φ" (») == Р'х (φ, ψ) φ' (*) +Р'У (φ, ψ) f (s),
ψ" (») = ρ; (φ, ψ) φ' (*)+ρ; (φ, ψ) ψ' (S),
получающиеся дифференцированием из тождеств
φ'(*)=Ρ (φ (»),*(*)), f («) = С (ф (·).+<*)).
можно непосредственно проверить, что
&о = [Яе(ф. Ψ) + <?ν(Φ> WKo(s)—K0(s) (31)
(ср. с формулами (26) —(28) § 13.3).
Пользуясь формулами (22), (29), (30), (31), мы находим, что
Ai0 (s) = P'x (φ (»), ψ (*))+% (φ (*), ψ (*)) —-^- In Λ00 (*) =
= Ρ;(φ, ψ)+%(φ, ψ)—gj-lnA(*,0), (32)
a <Q\ _ gi(<p(*)» φ(*))φ'(*)—Ρι(φ00. Ψ(*))Ψ'(«) /ооч
Последние формулы, а также уравнения (14), начальные условия (15)
и формулы (18) дают возможность найти коэффициенты щ0 и u0i
разложения (19). Для коэффициента и10 получается такое же выражение, как для
производной функции последования в главе V (§ 13.3, (30)), а именно:
τ
$[ρ^(φ(«). Ws))+Qy«P(s), Ws))]rfs
ию = αιο (τ) = е° · (34)


$ 32] ПОВЕДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ПРИ МАЛЫХ ИЗМЕНЕНИЯХ μ 391
Интегрируя второе из уравнений (14) при условии (15) и пользуясь
формулами (32) и (33), мы получим
s
$[Pi«p(s>, We))+Qy(q>(s), Ws))]ds β
*01 (S) - e° ATCO)" J [?1 (Φ' Ψ) Φ' (S) ""
О
s
-Ρί(φ>Ψ)Ψ'(*)1* ° d5· (35)
Так как Δ (τ, 0) = Δ(0, 0), то отсюда следует, что
«οι=αοι(τ) =
τ s
- Δ (0t o) g° J« ό (?ι(φ,ψ)φ'(*)—α (φ» Ψ) Ψ'(»))<**■
0
(36)
Перейдем теперь к выражению для ии. Оно значительно сложнее,
чем выражения (34) и (36). Интегрируя четвертое из уравнений (14) при
начальном условии а14 (0) — 0, мы получим
S S
|Ai0(s)ds s _ ^Ai0(s)ds
«и ($) = е° \ е δ (2Л20а10а01 + -4иа10) ds.
е.*
о
Отсюда следует, что
τ s
Aio(s)ds
"и = «ii (τ) = e° jj e ό (2Л20а10ао1 + ^ца10) is. (37)
о
s τ
$Aw(3)ds J*Ai0(s)ds
Ho e° =ai0(s), a e° = а10(т) = и10. Поэтому
τ
м11 —^10 J {Aii + 2A2XflL0i)ds. (38)
о
Подставляя сюда выражение для Ап из формул (22), мы получим
Un = „10 J (gH-^-^oftoi + 2^2οαοι j rfs- (39)
О
В силу (29) выражение для gn имеет вид
*ιι = (ϊίχβι + ?ίι/Υι) Ψ' (5) - (Ρί*βι + PivYi) Ψ' (») + ?ιΡί - Ριϊί. (40)
где значения функций ри qt и их производных берутся в точке (φ (s), ψ (s)).
С помощью очевидных соотношений
Ρί„(φ(*), ψ(,))ψ'(,) = -^(ϊ^^4ί1)_ρ;:ϊ(φ(,)| ψ(β))φ'(.)
И
?w (φ. Ψ) φ' =^-^-<7;„ (φ. Ψ) Ψ' (*)


392 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. ΧΙ1Ϊ
выражение для gn преобразовывается к виду
£ιι(*) = [ρίχ(φ(*)> Ψ(*)) + ?ίν(φ(*)> ψ(«))](φ'Υι — Ψ'βι) + (?ιβι—ΡιΥι)'· (41)
Но φ'γ! — ψ$ι=ίΐοο в силу формул (30). Поэтому, подставляя в (39)
выражение (41), получим
τ
"и -= Що \ ΙΡίχ (ф, Ψ) + ?iy (ф, ψ)] ^ + ^ο» (42)
ь
где
/о = "ю S [(g|h"PlYir7^0l7ll0"^10^1 + 2^2^1J Λ. (43)
о
Из выражений (33) для A0i, (30) для h0l и (35) для а01 следует, что
если
А (Ф (*), ψ (*)) - qt (φ (5), ψ (s)) = 0, (44)
т. е. если функции р4 (а:, г/) и д4 (ж, ι/) обращаются в нуль на замкнутой
траектории L0, то /0 = 0· Однако при этом интеграл
τ
ί [ρίχ (Φ (*). Ψ (*)) + q'iy (φ (*), ψ (*))] ds (45)
f ι
0
может быть не равен нулю. В самом деле, пусть F (х, у)— аналитическая
функция, удовлетворяющая условиям:
а) ^(ф(»И(«))зО,
б) F'x (φ (5), ψ (s))2 + Fy (φ (s), ψ (»))· φ Ο
(доказательство существования такой функции в некоторой окрестности
траектории L0 проводится в точности так же, как доказательство леммы 1
§ 15.1). Тогда, если
Pi (χ, у) -■= F (ζ, у) F'x {χ, у), ql (x, y)=F{x,y) F'y (χ, у), (46)
то интеграл (45) не равен нулю.
2. Постановка вопроса. Нас интересует вопрос о числе предельных
циклов системы (Αμ), расположенных в достаточно малой окрестности
траектории L0, при достаточно малом μ Φ 0, т. е. вопрос о числе
предельных циклов, рождающихся из замкнутой траектории L0 при переходе
от значения μ = 0 к близким значениям μ.
Введем функцию
d (#ζ0, μ) ----- f (л„, μ) — η0. (47)
Очевидно, поставленный вопрос эквивалентен вопросу о числе достаточно
малых действительных корней функции d (дг0, μ) при достаточно малых μ Φ 0.
Напомним, что вопрос о рождении предельных циклов из замкнутой
траектории системы (А0) при переходе к измененным системам изучался
в главе X. Однако там рассматривались всевозможные достаточно близкие
к (А0) измененные системы, т. е. в соответствующем пространстве R
динамических систем, точкой которого является система (А0), мы брали
окрестность этой точки (достаточно малую). В случае, когда замкнутая
траектория LQ является сложным Ar-кратным предельным циклом системы (А0)у
было установлено, что максимальное число предельных циклов, рождаю-


§ 32] ПОВЕДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ПРИ МАЛЫХ ИЗМЕНЕНИЯХ μ 393-
щихся из L0 при переходе к системам указанной окрестности, равно к
(§ 27.1, теорема 42).
В настоящем параграфе вопрос о рождении предельных циклов из
замкнутой траектории L0 системы (А0) рассматривается в более узком
аспекте. Именно, в качестве измененных берутся не всевозможные
достаточно близкие к (А0) системы, а лишь системы (Αμ), соответствующие
достаточно малым значениям параметра μ. В геометрических терминах
это означает, что мы рассматриваем не всю окрестность точки (А0)
пространства R динамических систем, а лишь некоторую кривую Ζμ, лежащую
в этой окрестности и проходящую через точку (А0). Нас интересует вопрос
о появлении (или исчезновении) предельных циклов в окрестности
траектории LQ системы (А0) при движении в пространстве R по кривой Ζμ.
Мы выведем достаточные условия такого появления (или
исчезновения) предельных циклов для некоторых простейших частных случаев.
Эти условия совпадают, очевидно, с достаточными условиями появления
или исчезновения малых действительных корней уравнения
d{n0, μ)-О (48)
при переходе от μ = 0 к достаточно малым μ, отличным от нуля.
Предварительно заметим, что в случае, когда замкнутая траектория L0.
является простым предельным циклом, т. е. когда
τ
ilPi(<P(s), Ws))+Qy(<p(s), 4>(s))]ds
uiQ -> φ-i (49>
(cm. (34)), существуют числа дг* > 0 и μ* > 0, удовлетворяющие
следующему условию: если | μ | < μ*, то уравнение (48) имеет одно и только одно
решение п0 = п0 (μ) такое, что | п0 (μ) | < μ*.
Это вытекает из теоремы о грубости простого предельного цикла
(см. § 14, замечание к теореме 18). Кроме того, это непосредственно
следует также из теоремы о неявной функции (§ 1.2, теорема 3 и замечание
к теореме 4). В самом деле, из соотношений (47), (19) и (49) следует, что·
если L0 есть простой предельный цикл системы (А0), то выполняются
условия
d(0,0) = 0, с/;0(0, 0)^=0,
обеспечивающие возможность применения теоремы о неявных функциях.
Однако если щ0—1, то
d(0,0) = 0, d;0(0,0) = 0
и условия теоремы о неявной функции не выполняются.
Допустим, что в этом случае существует к > 2 такое, что
d (0, 0) =-- d'na (0, 0) = ... = φ"Υ (0, 0), d4 (0, 0) φ 0. (50>
ηο ηο
Нетрудно видеть, что тогда можно найти ?г*>0 и μ*>0, обладающие
следующим свойством: при всех μ, |μ|<μ*, уравнение
d (щ, μ) -- 0
имеет не более к действительных корней, меньших по абсолютной величине,
чем /г*. В самом деле, пусть гг* и μ* таковы, что если | п0 \ <С гг*, | μ | < μ*, то»
<Λ)(«ο.μ)=^0. (51).


394 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. XII]
Тогда, если | μ | <; μ* и функция d (п0, μ) имеет в интервале (— тг*, -f- дг*)
Л + 1 корень, то ее первая производная по п0 имеет в этом интервале
по крайней мере к корней, вторая — к — 1 корень и т. д., а к-я
производная — не менее одного корня, что противоречит условию (51). Таким
образом, при малых п0 и μ уравнение (48) не может иметь более к
действительных корней. Однако вопрос о том, действительно ли существуют такие
корни, а если существуют, то сколько именно, требует специального
рассмотрения. При этом рассмотрении целесообразно воспользоваться
введенной еще Ньютоном диаграммой или многоугольником Ньютона,
описание которого дается в следующем пункте.
3. Многоугольник Ньютона и решения уравнения вида F(w, z) = 0.
В том исследовании корней функции, к изложению которого мы
переходим, существенно предположение, что переменные принимают комплексные
значения.
Поэтому мы будем рассматривать аналитическую функцию F (w, ζ),
где//; и ζ — комплексные переменные. Полученные результаты мы
используем затем в случае, когда w и ζ действительны.
Мы считаем, что F (0, 0) = 0. Разложение функции F (w, z) в ряд
по степеням w и ζ в окрестности точки (0, 0) имеет вид
F(w, z)^-ui0w + u0iz + u20w2+ ... — 2 utjWxz\ (52)
i2+i2>o
Сделаем относительно функции F (w, ζ) еще одно предположение,
именно, что по крайней мере один из коэффициентов ui0 и по крайней
мере один из коэффициентов uoj отличны от нуля, т. е. что в разложении
(52) имеется по крайней мере один член, не содержащий ζ, и по крайней
мере один член, не содержащий ιυ. Это допущение не является по
существу ограничением для рассматриваемой нами задачи (о решении
уравнения F (w, ζ) = 0 относительно w). В самом деле, если все ui0 = 0
(i = 1, 2, ...), то функция F (w, z) может быть представлена в виде
F (w, ζ) = zFi (w, z)
и вопрос сводится к рассмотрению уравнения Ft (ιυ, ζ) = 0. Аналогично
обстоит дело, если все uoj = 0 (/ > 0).
Все дальнейшее опирается на ряд сведений из теории аналитических
функций, которые мы частично изложим без доказательств.
Теорема 68 (теорема о неявной функции). Пусть F (w, z) —
аналитическая функция в окрестности точки (0, 0), и пусть
F(0,0) = 0, /^(0,0)^=0.
Тогда существуют числа δ > 0 и ε > 0 такие, что для каждого ζ,
\ ζ | < δ, уравнение F (w, ζ) = 0 имеет один и только один корень
w — / (ζ), удовлетворяющий условию \ f (z) \ < ε. Функция f (z) разлагается
•в ряд по целым положительным степеням ζ, сходящийся при \ ζ \ < δ>
/тг. е. является однозначной аналитической функцией от ζ, обращающейся
<в нуль при ζ = 0.
Теорема 68 является теоремой о неявных функциях для случая
комплексных переменных. Доказательство ее см. в [22], гл. IV, стр. 354.
Оно проводится с помощью построения мажорирующего ряда. Теорема 68
является также непосредственным следствием следующей теоремы.


32] ПОВЕДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ПРИ МАЛЫХ ИЗМЕНЕНИЯХ μ 395
Теорема 69 (подготовительная теорема Вейерштрасса). Пусть
F (w, ζ) — аналитическая функция в окрестности точки (О, 0),
удовлетворяющая условиям
F(0,0) = 0, 5М = 0) ., ^40^0). = о; **Ш>фО. (53)
Тогда в некоторой окрестности \w\<Z.z, |ζ|<δ точки (0,0) функция
F (w, ζ) может быть представлена в виде
F (w, z) = \wk + A, (z) wk~i +...+Ah (ζ)] Φ (w, z), (54)
где Φ (w, ζ) — аналитическая функция, не равная нулю в указанной
окрестности, a Al(z), Α2(ζ), ..., Ak(z) — аналитические функции при
|ζ|<δ.
Доказательство теоремы 69 см. в [22], гл. IV, стр. 352. Из теоремы 69
вытекает, что уравнение
F(w, z) = 0 (55)
в достаточно малой окрестности точки (0, 0) эквивалентно уравнению
wk + A1(z)w*-*+...+ Λ-i (*) w + Ak (z) = 0, (56)
левая часть которого есть многочлен относительно w. Таким образом,
подготовительная теорема Вейерштрасса сводит локальное изучение общего
случая неявной функции w (z), определяемой уравнением (55), к случаю
неявной функции, заданной алгебраическим уравнением относительно w
(но, вообще говоря, не относительно ζ).
Заметим, что из соотношений (53) и (54) и из условия Φ (г/;, ζ) Φ 0
непосредственно вытекают равенства
А, (0) = 0, А2 (0) = 0, ..., Ah (0) = 0. (57)
Теорема 70. Пусть F (w, z) — аналитическая функция в
окрестности точки (0, 0), удовлетворяющая условиям (53). Тогда существуют
€>0 и δ>0 такие, что для каждого ζ, |ζ|<δ, уравнение
F{w,z) = 0
имеет в точности к корней (различных или совпадающих) Wi, w2, . . ., wk,
по модулю меньших ε. При этом, если ζ-+0, то каждый из корней wt
также стремится к нулю.
Доказательство. Справедливость теоремы 70
непосредственно следует из предыдущей теоремы, а также из теоремы о непрерывной
зависимости корней многочлена от его коэффициентов (см. [29], § 73).
В самом деле, из теоремы 69 вытекает, что корни уравнения F (w, z) = 0
совпадают с корнями уравнения (56). В силу равенств (57) при ζ = 0
последнее уравнение имеет к корней, равных нулю. Поэтому все корни
уравнения (56) стремятся к нулю при 2-^0.
Замечание. Корни wl, w2, . . ., wk уравнения (55) зависят от ζ.
Предположим, что при некотором ζ = ζ0 все значения этих корней
различны. Нетрудно показать, что при этом условии корни wx, w2, . . ., wk
могут быть определены в окрестности точки z0 так, что они будут
аналитическими функциями ζ в этой окрестности (для этого достаточно
наложить условие, что при изменении ζ корни wt (z) меняются непрерывно).
В дальнейшем нас будет интересовать только тот случай, когда для
каждого ζ Φ 0 в некоторой окрестности U точки О корни wlt w2, . . ., wh
уравнения (55) различны (это имеет место, если дискриминант D (ζ) уравне-


396 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. XIII
ния (56), являющийся аналитической функцией от ζ, не равен
тождественно нулю). Тогда уравнение (55) естественным образом определяет вблизи
каждой точки ζ Φ О указанной окрестности к аналитических функций
wt(z)4 w2(z), ..., wh(z) (58)
— однозначных ветвей неявной функции w. Однако в окрестности U
точки О эти функции уже не являются, вообще говоря, однозначными
аналитическими функциями. Именно, можно показать, что если точка ζ
совершает обход по какой-нибудь замкнутой жордановой кривой вокруг
точки О, то при возвращении в исходную точку ζ значение функции w-t (z),
вообще говоря, меняется. При этом оказывается (см. [35], глава XIII,
п. 1), что функции (58) образуют одну или несколько непересекающихся
систем, обладающих следующим свойством: если точка ζ совершает
однократный обход по кривой Г вокруг точки О, то функции каждой такой
системы подвергаются циклической перестановке. Указанные системы
называются циклическими системами решений уравнения (55), а точка
Обточкой разветвления функции w (ζ). Разумеется, при ζ —>■ О все функции
Щ (ζ) -* 0.
В случае, когда дискриминант D (ζ) ~ 0, дело обстоит сложнее.
Однако этот случай нам не понадобится в дальнейшем, и мы не будем
на нем останавливаться.
Мы переходим к вопросу о том, в каком виде могут быть представлены
решения wt (z) уравнения (55) в окрестности точки О.
Если к = 1, то в силу теоремы 68 существует единственное решение,
причем оно может быть представлено в виде ряда по целым степеням ζ,
т. е. в виде ряда
сходящегося при достаточно малых значениях ζ.
При к > 1 каждое из к решений, существующих в силу теоремы 70
и замечания к ней, уже не может, вообще говоря, быть представлено
в виде ряда по целым степеням ζ. Для того чтобы выяснить, в каком виде
естественно искать решения в этом случае, рассмотрим сначала простые
примеры. Пусть уравнение (55) имеет вид
u0i-\-u20w2 + u03z3 = 0,
где все коэффициенты отличны от нуля. Тогда
w
V "20 Г ' U20
где под |/ — -^ и I/ 1 -{—— ζ2 подразумевается одно (фиксированное)
значение каждого из этих корней. При малых ζ второй корень
разлагается в ряд по целым степеням ζ. Поэтому решение w имеет вид
w = а^1^ + α2ζ3/2 + .. .,
где оц Φ 0. Последний ряд дает оба решения для w, так как ζ1/* есть
двузначная функция ζ.
В случае, если уравнение (55) имеет вид
U0lZ + МзоЫ?3 + Щ2*2 = 0,
его решения могут быть записаны в виде ряда
^-β1ζ1/3-ΐ-β22ν3+...,


§ 323 ПОВЕДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ПРИ МАЛЫХ ИЗМЕНЕНИЯХ μ 397
где β! Φ О, причем указанная запись дает все три решения, так как
ζ1/* есть трехзначная функция от ζ,
В приведенных примерах решения уравнения (55) имеют вид рядов
по дробным (рациональным) положительным степеням ζ. Это дает
основание предполагать, что так будет и в общем случае. Поэтому мы будем
искать решения уравнения (55) в виде
w = yza + γ^ι + y2za* + ..., (59)
где γ -φ 0, а α и α£ — положительные рациональные числа и α < α4 <
< α2 < ... Установим прежде всего, каким может быть показатель а,
если ряд (59) при малых ζ сходится и является решением уравнения (55).
Пусть uk0 — первый не равный нулю коэффициент вида ui0 в
разложении (52), a u0i — первый не равный нулю коэффициент вида uQj (такие
коэффициенты существуют по предположению).
Если (59) есть решение уравнения (55), то
/,(γζα + γ1ζα+..., ζ) = 0, (60)
т. е., подставляя в ряд (52) вместо w его разложение (59), мы должны
получить тождественный нуль. Это дает нам возможность выяснить, каковы
могут быть числа α и γ. Пока а остается неизвестным, мы не можем
сказать точно, какие из членов ряда, получающегося из ряда (52)
подстановкой (59), имеют наименьшую степень. Но можно выделить конечное число
членов, среди которых заведомо содержатся все члены наименьшей
степени.
Такими членами являются, во-первых,
u0izl и uMykza* (61)
и, во-вторых, члены вида
и«У*в*+Ч (62)
где 1<г<&— 1, а индекс /г удовлетворяет условию 1</г-<;/— 1
и является при этом наименьшим индексом /, для которого коэффициент
utj с данным ί отличен от нуля.
Нетрудно видеть, что низшие по ζ члены могут содержаться только
среди членов (61) и (62).
Если выполняется тождество (60), то члены наинизшей по ζ степени
должны взаимно уничтожаться. Так как ни один из коэффициентов ии
в членах (61) и (62) не равен нулю, то отсюда следует, что по крайней мере
два таких члена должны иметь одинаковую степень, при этом не большую,
чем остальные члены. Таким образом, среди чисел
Λα, (Λ — 1)α + /Α-ι, (к — 2)a + /ft_2, ..., a-f-/i, Z (63)
должны существовать по крайней мере два равных числа, не
превышающих всех остальных из этих чисел. Положим, что /&=^0, а j0 — l, т. е.
что числа (63) имеют вид ioc + ji, i~0, 1, 2, ..., к. Тогда α должно
удовлетворять по крайней мере одному из линейных уравнений
4α + /η = ϊ2α + /ί2, (64)
где ii^i2j причем для любого i = 0, 1, 2, ..., к должно выполняться
соотношение
ia + 7i>*ia + 7'ii {^ha + Нг)· (65)


398 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. &ΙΪ1
Будем называть такие значения показателя а допустимыми. Допустимых
значений может быть несколько. Для нахождения их мы воспользуемся
следующим геометрическим способом, принадлежащим еще Ньютону
и сводящимся к построению так называемого многоугольника Ньютона.
Рассмотрим прямоугольные координаты i, / на плоскости и поставим
в соответствие каждому из членов (61) и (62) точку Ах плоскости с
координатами (г, ji) (i = О, 1, 2, . . ., к). Очевидно, членам (61) соответствуют
точки А0 (О, Г) и Ak (к, 0), лежащие на координатных осях, остальные же
точки Αχ лежат в первом квадранте, причем их абсциссы и ординаты не
превышают соответственно к — 1 и I — 1.
Пусть при некотором α выполняется соотношение (64), причем
к Φ *2· Тогда
rv — ^2"~/ή
\Л — : ; ,
т. е. α есть угловой коэффициент прямой, проходящей через точки
Ah(iu in) и Ai2(i2, /ia).
Уравнение такой прямой имеет вид
/ —7ύ= —α(ί —Ч) или j — ji1+a(i — ii) = 0. (66)
Очевидно, для точек (/, /), лежащих не ниже прямой (66), выполняется
соотношение у — /il + a(i — it) >0, т. е.
j-\-a.i>U1 + a>iv (67)
а для точек, лежащих ниже этой прямой,—соотношение
j + ai<jil-\-aii. (68)
Условие (65) означает, что каждая из точек Аг (i, jt), i = 0, 1, 2, . . .
. . ., А, либо лежит на прямой (66), либо лежит выше этой прямой. Отсюда
непосредственно вытекает, что каждому допустимому значению α взаимно
однозначно соответствует прямая, проходящая по крайней мере через
две точки Аи имеющая отрицательный угловой коэффициент и
обладающая тем свойством, что все точки At лежат не ниже этой прямой. Будем
называть такие прямые также допустимыми. Величина а равна угловому
коэффициенту соответствующей прямой, взятому с обратным знаком.
Таким образом, чтобы найти все допустимые значения показателя а,
нужно найти все допустимые прямые. Это можно сделать следующим
способом. Пусть s — подвижная прямая, совпадающая в исходный момент
с осью i. Будем поворачивать ее по часовой стрелке вокруг точки Ак (к, 0)
до тех пор, пока она не пройдет через какую-нибудь из точек Ai9 например
через точку Akl (к1у jkl). Обозначим полученную таким образом прямую
АкАьг через st. Очевидно, она является допустимой. Может оказаться, что
на прямой Si лежит более двух точек At. Тогда мы будем считать, что Akl
является самой левой из них (т. е. имеет наименьшую абсциссу).
Если точка Akl не совпадает с точкой А0 (0, Z), то мы будем далее
подвижную прямую вращать по часовой стрелке вокруг точки Akl до тех
пор, пока она не пройдет через некоторую точку Аь2 (к2, jk2) (если таких
точек несколько, то мы будем считать, что Ak2 — самая левая из них).
Полученную прямую обозначим через s2 и будем продолжать вполне
аналогично до тех пор, пока подвижная прямая не пройдет через точку
А о (0, I). Пусть это будет прямая sm (рис. 169). В частных случаях т
может быть равно 1.


$ 32] ПОВЕДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ПРИ МАЛЫХ ИЗМЕНЕНИЯХ μ 399*
Получающаяся в результате такого построения выпуклая ломаная
AkAk1Ah2 . · . Аьт Ао и называется многоугольником Ньютона (или
диаграммой Ньютона). Из самого построения ясно, что каждая сторона
многоугольника Ньютона является отрезком допустимой прямой.
Нетрудно видеть, однако, что справедливо и обратное — каждая допустимая
прямая является прямой, содержащей в качестве своего отрезка одну
из сторон многоугольника Ньютона. Таким образом, мы выяснили, что»
все допустимые значения α
являются взятыми с обратными знаками
угловыми коэффициентами сторон
многоугольника Ньютона.
Предположим теперь, что в
разложении (59) α является одним
из допустимых значений
показателя, и выясним, каков может
быть при этом коэффициент γ.
С этой целью опять воспользуемся
условием, что низшие члены
выражения, стоящего в левой части
тождества (60), должны взаимно
уничтожаться. Пусть для
определенности α есть угловой
коэффициент стороны А^Аи2
многоугольника Ньютона, и пусть AiXJAi2,. . .
. . ., Ais, ^ > h > Z2 > · . · >
> ls > /c2,— те из точек At,
которые лежат на этой стороне. Для
того чтобы низшие члены
соответствующего выражения взаимно уничтожались, необходимо, чтобы
коэффициент при низшей степени ζ (эта степень равна кха + hi — ha + Hi ~
= . . . = к2а + /Λ2) был равен нулю, т. е. чтобы выполнялось условие
g (У) = "fciJAlYfcl + "/ii/tYZl + · · · + uisilsVls + ub*h24ht = °· (69>
Так как по предположению γ φ 0, то нас интересуют только корни
уравнения (69), отличные от нуля, т. е. корни многочлена
h (Υ) = uj^Y**-** + βι.ί,,Υ11-** + · · · + »*rfft2· (70)
Число их (с учетом кратности ) равно кх — fe2. Следовательно, каждой
стороне многоугольника Ньютона соответствует столько значений
коэффициента γ, сколько единиц содержит проекция этой стороны на ось
абсцисс. Эти значения могут быть как действительными, так и мнимыми,
кроме того, среди них могут быть совпадающие. Так как длина проекции
всей ломаной Ньютона равна fe, то для первого коэффициента у ряда (59)
получается к значений (не обязательно различных).
Мы нашли необходимые условия, которым должны удовлетворять
числа α и γ, если w = yza + ytzai + . . . есть решение уравнения
F (w, ζ) = 0. Эти условия заключаются в следующем: α должно быть равно-
абсолютной величине углового коэффициента какой-нибудь стороны
многоугольника Ньютона, а γ — при данном а — должно быть одним из не·
равных нулю корней уравнения (69).
Ограничиваясь случаем, когда γ Φ 0 есть простой корень уравнения
(69), покажем теперь, что эти условия являются также достаточными
Рис. 169.


400 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. XIII
для того, чтобы уравнение F (w, ζ) = 0 имело решение вида (59) с
данными α и у.
Пусть α = — , где ρ и q взаимно просты,— допустимое значение
показателя, соответствующее, как и выше, стороне AklAh2 многоугольника
Ньютона, а γ Φ 0 — один из корней уравнения (69). Из равенств
£ια + /Αχ = ha + jh = . .. = lsa + Us = &2a + h2
следует, очевидно, что каждое из чисел кх — к2, h~k2, ..., ls — k2
кратно числу q, т. е. h (у) является многочленом относительно yq сте-
к* — /со
пени — —.
Я
Предположим, что γ Φ 0 является простым корнем многочлена g (у)
(а следовательно, и h (у)). В этом случае
«Τ(Υ)=0, *'(Y)=^0. (71)
Для исследования уравнения F (w, ζ) = 0 при ζ =^= 0 сделаем подстановку
w=i;za=i;zP/9, (72)
где под ζ1/я будем понимать одно из q возможных значений этой д-знач-
бой функции. Нетрудно видеть, принимая во внимание соотношения (52)
и (69), что
F {w, z)=F {vzv/v, z) = /ια+?*ι [g (V) + ζλ/<7φ (У, zi/i)]t (73)
где λ — целое положительное число, а (p(v,zi/q) есть степенной ряд
относительно ν и zi/q, заведомо сходящийся при всех достаточно малых
по модулю значениях переменных ζ и vzi/q = w и, следовательно,
сходящийся при всех достаточно малых значениях |z|, если ν изменяется
в ограниченной области. Уравнение F (ιυ, ζ)==0 эквивалентно при ζ Φ Ο
уравнению
g(v) + z^y(v, ζ^η^Ο.
Произведя подстановку
**/* = £, (74)
мы получим уравнение
Φ(ΐ7, ζ) = ίτ(ι;) + ζλφ(ΐ7, ζ) = 0. (75)
Ясно, что коэффициенты степенного ряда, в который разлагается
функция φ (г;, ζ), и, следовательно, сама эта функция не зависят от того,
какое именно из q возможных значений z1^ мы берем в подстановке (72).
Из условий (71) следует, что
Φ (γ, 0) = 0, Φ; (γ, 0)^0.
Поэтому в силу теоремы 68 (о неявной функции) уравнение (75) имеет
в достаточно малой окрестности точки ζ = 0 единственное решение,
обращающееся в γ при ζ = 0. Это решение имеет вид
^γ + γιΠ-γ2ζ2+... (76)
Ему соответствует решение
w = vzv/v = yzv/Q + YiZ<p+D/9 + γ2ζ<*Η-2)/<7 + ... (77)
Таким образом, мы показали, что если a = plq есть допустимое
значение показателя, а у — простой корень уравнения (69), соответствующего
данному а, то уравнение F (w, z) = 0 имеет решение вида (59).


§ 32] ПОВЕДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ПРИ МАЛЫХ ИЗМЕНЕНИЯХ μ 401
Пусть at, a2, ..., ат — все допустимые значения показателя а
для уравнения F (w, ζ) -=Q, причем a-t ~ Pilqi, где pt и </,· взаимно просты.
Рассмотрим случай, когда для любого аг(г = 1, 2, ..., т) все ненулевые
корни соответствующего уравнения (69) являются простыми. Обозначим
их число через ги а сами корни — через уи, yi2, ..., γ7>.· Мы показали
выше, что если к есть число, определяемое условиями (53), то
rt + r2+... +rm = k. (78)
Как было только что установлено, каждой паре чисел аи ytj {i = 1, 2, ..., т;
7 = 1, 2, ..., s^ соответствует решение
= γ«Ζρ«Λ« + γ«ι2(ρ'+1)/"+... (79)
W
я1г-
Будем считать, что при фиксированном i значение корпя \fz = zi/q'1
для всех /, 7" = 1» 2, ..., гг, в формуле (79) берется одно и то же.
Из равенства (78) вытекает, что существует в точности к решений вида (79).
Покажем, что если ζ Φ 0 достаточно мало по модулю, то значения
решений (79) различны. В самом деле, если это не так, то существуют два
решения вида (79), например wx и г/;2, значения которых совпадают
на последовательности точек Ζι —> 0. Если эти решения соответствуют
различным значениям а, то они имеют разные порядки малости
относительно ζ; поэтому limW{ (z ^ равен 0 или со и равенство w{ (ζι) = w2 {ζι)
не может выполняться при больших Z. Если же решения wx и г/;2
соответствуют одному и тому же значению а, то у них различны первые
коэффициенты γ. Поэтому lim^-~^=^=l и равенство и;4 {z{) = w2 (zi) также
невозможно. Таким образом, наше утверждение доказано. Из него
следует, что все к решений (79) уравнения F (ιν, ζ) — 0, стремящиеся к нулю
при ζ—> 0, различны. Но тогда, в силу теоремы (70), функции (79)
исчерпывают все решения уравнения F (w, ζ) = 0, стремящиеся к нулю при ζ —> 0.
Покажем теперь, как выделить циклические системы решений,
о которых говорилось в замечании к теореме 70. При этом мы придем
к другой записи решений (79), которая понадобится нам в дальнейшем.
Как и выше, будем считать, что для любого аг, i = 1, 2, . . ., т, все
ненулевые корни уравнения (69) являются простыми. Достаточно
рассмотреть одно из допустимых значений аг. Обозначим его для краткости а,
и пусть
а = р/д, (ρ, g) = l.
Пусть
* (Υ) = "ftii^V1-*· + иЫцУ11-** + · · · + uk»k2 (70)
— соответствующий данному значению α многочлен h.
Мы установили выше, что h(y) является многочленом относительно у9
степени d-
Положим, что
Γ = γ<* (80)
ftl—ft2 h~ &2
H(T) = uhlJkV q +ultiT q +...+uht} (81)


402 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. XIII
Обозначим через Г4, Г2, ..., Td корни многочлена Я (Г). Так как
λ(γ) = #(γ*) (82)
и все корни многочлена h(y) просты, то числа Гь Г2, ..., Г^ различны.
Пусть
Ун, Yi2, .... Yig (83)
— все корни q-й. степени из IV В .силу (80) и (82) они являются
корнями мпогочлена h (у). Таким образом, каждому корню Tt многочлена Я (Г)
соответствует серия (83) корней многочлена h(y). Как известно из алгебры,
числа (83) могут быть записаны в виде
У in Унъ, Υπε2, ..., Ун^-\ (84)
где уц — один из корней q-й степени из Г* (произвольный, но
фиксированный), а ε — первообразный корень q-й степени из 1.
Пусть ζ0 — одно из значений Υ ζ (также произвольное, но
фиксированное). Как было установлено выше, серии (83) чисел ytj соответствует
серия
wiu wi2, ..., wiq (85)
решений уравнения F (w, ζ) = 0, где
»U = Q?(Yu+YiiiEo + Y*i.e+···) (/ = 1, 2, ..., q). (86)
Если заменить в правой части формулы (86) ζ0 каким-нибудь другим
значепием корня q-й. степени из ζ, то мы также получим решение
уравнения F (w, z) = 0. Поэтому, если мы зафиксируем /, положив для
определенности, что 7 = 1, и заставим в формуле (86) ζ0 пробегать все
значения корня q-й степени из ζ, τ. е. числа
ζο, ζ0ε, ζ0ε2, ..., ζοε'"1, (87)
то мы получим серию из q решений
wiv wi2, ..., wiq, (88)
где
iii = (beI)p[Yi1 + YiiiCoeI + Yii2(Coel)i+...] (1 = 0, 1, 2 g —1) (89)
или
w« = tt[Ynelp + YiiieP(z+1)b+...] (' = 0, 1, 2, .... q-i). (90)
Так как ε есть первообразный корень q-й степени из 1, а (р, q) = 1,
то числа ειρ (I = 0, 1, 2, . . ., q —- 1) образуют множество всех корней
q-u степени из 1. Поэтому числа γηε ρ (Ι = 0, 1, . . ., q — 1) совпадают
с числами (84), а следовательно, и с числами (83). Отсюда следует — так
как каждое решение вида (79) определяется своим первым
коэффициентом,— что решения (88) совпадают с решениями (85).
Из структуры решений (88), определяемой соотношением (89),
непосредственно видно, что функции (88) образуют циклическую систему
решений. В самом деле, при обходе точки ζ по простой замкнутой кривой
вокруг начала координат числа ξ0ε', являющиеся корнями q-й степени
из ζ, подвергаются циклической перестановке.
Сопоставим полученные результаты. Пусть α = p/q — допустимое
значение показателя (полученное путем рассмотрения многоугольника
Ньютона). Чтобы получить решения уравнения F (w, z) = 0,
соответствующие этому а, находим корни Г4, Г2, . . ., Td уравнения Я(Г)=0. Пусть


§ 32] ПОВЕДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ПРИ МАЛЫХ ИЗМЕНЕНИЯХ μ 403
Ун — какой-нибудь из корней q-ш степени из Tt (i = 1, 2, . . ., d). Ему
соответствует решение
"и = О? (Yii + Yiiibi+...). (86)
где ζ0 — какое-нибудь значение У ζ. Заставляя ξ0 пробегать все значения
этого корня, мы получим q решений
образующих циклическую систему. Так как i = i, 2, ..., d, то всего
получается d циклических систем решений, соответствующих допустимому
значению a = plq. Напомним, что d = — , где кх — к2 — степень
многочлена (70).
В дальнейшем, при рассмотрении вопроса о рождении предельных
циклов из сложного предельного цикла, роль функции F (w, ζ) будет
играть d (п0, μ) (см. (47)), т. е. действительная функция действительных
переменных, и нас будет интересовать наличие или отсутствие у нее
действительных корней.
В этом вопросе существенную роль играет следующая лемма.
Лемма 1. Если все коэффициенты разложения в ряд функции
F (w, z) действительны, а у есть действительный, простой, отличный
от нуля корень уравнения g (γ) = 0 (см. (69)) или, что то же, функции
h (у), то все коэффициенты γ4, γ2, ... соответствующего решения (77)
w — γζρ/« + γ^Ρ+Ο/ί + γ2ζ<ρ+2>/3 + .. .
уравнения F (w, ζ) = 0 действительны.
Доказательство. Числа у и уг (i = 1, 2,. . .) являются
коэффициентами разложения в степенной ряд функции ν (см. (76)),
удовлетворяющей уравнению (75). Так как ряд для функции F (w, z) имеет
действительные коэффициенты, то ряд для функции Φ (ν, ζ) также имеет
действительные коэффициенты. При решении уравнения Φ (ν, ζ) = 0
методом неопределенных коэффициентов каждый последующий коэффициент
γί+1 оказывается многочленом относительно коэффициентов функции Φ
и коэффициентов γ, уи у2, . . ., γ^ (см. [11], т. II, п. 450). Но тогда из
условия леммы следует, что все коэффициенты yt действительны. Лемма
доказана.
4. Поведение предельных циклов некоторых динамических систем
при малых изменениях параметра. В этом пункте мы применим
полученные выше результаты к рассмотрению вопроса о том, что происходит
с предельным циклом динамической системы, зависящей от параметра,
при малом изменении параметра. При этом мы рассмотрим только системы
двух частных видов, один из которых — системы, получающиеся из
некоторой фиксированной системы вращением векторного поля. Однако
используемые здесь методы могут быть применены и к другим типам систем,
зависящих от параметра. Как и всюду в этой главе, мы ограничиваемся
рассмотрением только аналитических динамических систем.
Для удобства приведем сначала все леммы, на которые опираются
доказательства основных предложений. Эти леммы непосредственно
вытекают из результатов предыдущего пункта.
Пусть в уравнении
F (w, ζ) =; ulow + u0iz + u20w2 + ... = 0 (55)


404 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. XIII
все коэффициенты ubj действительны и uk0 есть первый из коэффициентов
вида ui0, не равный нулю. Говоря о решениях или корнях уравнения (55),
мы будем сейчас подразумевать достаточно малые по модулю корни,
соответствующие достаточно малым не равным нулю действительным
значениям ζ.
Лемма 2. Пусть к — четное число, а и01 Φ 0. Тогда, если —— <0
(Ji°L;>0), то уравнение F (w, ζ) = 0 имеет два действительных различ-
них корня при ζ > 0 {ζ < 0), причем
эти корни являются простыми, и не
имеет ни одного действительного
корня при ζ < 0 {ζ > 0).
Доказательство. Пусть
к = 21, Ζ>1. Так как и01 Φ 0, то
многоугольник Ньютона состоит
только из одного отрезка,
проходящего через точки Α2ι (21, 0) и А 0 (0, 1)
получается единственное допустимое
(21,0)
(рис. 170),
значение а
т. е.
для показателя α
2j. Значения коэффициентов γ получаются из уравнения (69),
имеющего в данном случае вид
M2*oY2i + Hoi=0.
(91)
Поэтому уравнение F (w, ζ) = 0 имеет 2Ζ решений. Как мы показали выше,
все эти решения могут быть записаны в виде
Η; = ζ1/2ί(γ + γι21/2ί + γ2Ζ2/2ί+...)ι
(92)
где коэффициенты γ и γ,- одни и те же, а в качестве ζ1/2ί нужно брать
поочередно все корни степени 21 из ζ.
Если -^-<0, то уравнение (91) имеет два действительных корня.
Возьмем один из них в качестве γ в формуле (92). Тогда все
коэффициенты Yi, ί = 1, 2, ..., в силу леммы 1 будут также действительны.
Если ζ > 0, то существуют два действительных значения функции
ζ1/2ί. Этим значениям соответствуют, по формуле (92), действительные
значения w. Комплексным же значениям ζι/2ί соответствуют при
достаточно малом ζ значения w, близкие комплексному числу zi/2ly, т. е. тоже
комплексные. Если ζ < 0, то все значения функции ζ1/2' комплексны,
а тогда и функция w не может принимать при достаточно малых ζ
действительные значения.
Так как все корни уравнения (91) различны, то и все к = 21 корней
уравнения F (ιυ, ζ) = 0 при достаточно малых ζ тоже различны, а
следовательно, являются простыми. Таким образом, мы доказали утверждение
леммы для случая -м°1— < 0. Случай, когда -^->0, приводится к пре-
и2№ и2Ю
дыдущему заменой ζ на — ζ. Лемма доказана полностью.
Лемма 3. Если к нечетно и u0i Φ 0, то уравнение F (w, z) = 0
как в случае ζ > 0, так и в случае ζ < 0 имеет в точности один
действительный корень, причем этот корень является простым.
Доказательство. Пусть к = 21 + 1, Ζ> 1. Уравнение (69)
имеет вид


§ 32J ПОВЕДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ПРИ МАЛЫХ ИЗМЕНЕНИЯХ μ 405
а соответствующее решение уравнения F (w, z) = 0—вид
1 1 2
w = ζ 2/-И (γ + γ4ζ 2<+* ·+ γ22 2'+1 + ...)·
Справедливость леммы непосредственно устанавливается такими же
рассуждениями, как в предыдущем доказательстве.
Следствие. Если к нечетное, то уравнение F (w, ζ) = 0 может
иметь более одного действительного решения лишь в том случае, когда
и01 = 0.
Лемма 4. Если к нечетно и выполняются условия
«οι = 0, ии =т^ 0, (93)
ттго уравнение F (w, ζ) — 0 либо имеет три действительных корня при
ζ > 0 и один действительный корень при ζ < 0, лггбо имеет три
действительных корня при ζ <С 0 и один действительный корень при ζ > 0. Яри
эимш все корни уравнения, в частности
действительные его корни, являются
простыми.
Доказательство. Пусть
fe = 2Z + l, />1,и пусть ы0т —
первый из коэффициентов uOJ, отличный
от нуля. Так как u0i — 0, тот>2.
Нетрудно видеть, что при данных ___
условиях ломаная Ньютона состоит Π д (zi+jgi
из двух отрезков, один из которых про- ^+/
ходит через точки А0 (0, яг), At (1, 1), Рис. 171.
а другой —через точки ^ (1, 1) и
^2ί+ι(2/ + 1, 0) (рис. 171). Поэтому существует два допустимых значения
показателя а, именно: а^лг — 1 и а2 — -zr . Показателю α1 = τη—1
соответствует уравнение для γ WnY-+Mom = 0, имеющее действительный
корень, и решение
w=z(y + ylz + y2z*+ ...), (94)
являющееся аналитической функцией от ζ. В силу леммы 1 все yt (/ = 1,2,...)
действительны, и, следовательно, при любых действительных ζ решение w
действительно.
Показателю ^2~"оГ соответствует уравнение для γ
"2ΐ+ιοΥ2,+1 + ΜιιΥ = 0 (95)
(см. (69)) и 21 решений, имеющих вид
w = z21 (γ + ΥιΖ2ί + γ2ζ2<+ ...). (96)
Рассмотрим случай, когда Ц|1 < 0. В этом случае уравнение (96)
м2Й-1 0
имеет действительный корень и так же, как при доказательстве леммы 2,
показывается, что при 2>0 существует два действительных решения
вида (96), а при ζ<0 таких решений нет. Таким образом, если ц и <0,
то при 2>0 существует три действительных решения уравнения t (w, z) = 0
(одно —вида (94) и два-вида (96)), а при ζ<.0 — только одно
действительное решение (вида (94)).


406 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. XIII
Случай, когда Uil > 0, приводится к предыдущему заменой ζ
и2Й-1 0
на —ζ. В этом случае при ζ>0 уравнение F(w, z) = 0 имеет одно
действительное решение, а при z<0 — три действительных решения. Так
как все корни уравнения (95) различны, то все корни уравнения F (ιυ, ζ) = 0,
в частности его действительные корни, также являются различными,
а следовательно, простыми. Лемма доказана полностью.
Мы переходим теперь к основным предложениям дапного пункта.
Прежде всего рассмотрим, что происходит с предельным циклом
динамической системы при повороте векторного поля. Ответ на этот вопрос
дается в теоремах 71 и 72.
Пусть
§ = Р(х,у), !£ = <?(*, 0 (А)
— исходная аналитическая система.
В качестве системы (Αμ), зависящей от параметра, будем
рассматривать систему
^L = P(x, у) — \x,Q{x, у) = Р{х, у, μ),
άυ — ' μ'
ij- = Q(z>y) + v>p(z> ») = <?(*> y> μ).
векторное поле которой получается из векторного поля системы (А)
поворотом на угол, равный aгctgμ (см. конец § 3).
Будем пользоваться обозначениями, введенными в п. 2. Тогда, в силу
формулы (23), функции pt и дг, соответствующие системе (Αμ), имеют вид
л (*· y)=—Q (*. у), ?ι (χ, у) = р (*. у),
Pi{z, y) = Qi{z, У) = 0 при ι>2.
Предположим, что система (А) или, что то же, система (А0) имеет
предельный цикл L0.
Теорема 71. Если LQ — четнократный предельный цикл системы (А0),
то существуют числа ε>0 и μο>0, обладающие следующим свойством:
либо при всяком μ > 0, | μ | < μ0, система (Αμ) имеет в U& (L0) в
точности два предельных цикла, причем эти циклы грубые, а при всяком
μ < 0, | μ | < μ0 система (Αμ) не имеет в Ue (L0) ни одного предельного
цикла, либо, наоборот, при μ > 0, | μ | < μ0, система (Αμ) не имеет
в Ue(L0) предельных циклов, а при μ<0, |μ|<μο» система (Αμ) имеет
в иъ (L0) в точности два предельных цикла, причем эти циклы грубые.
Число ε можно взять при этом сколь угодно малым.
Доказательство. Πусть n = f(n0, μ) — функция последования,
построенная для системы (Αμ) на некоторой нормали к продельному
циклу L0 (см. (16)), a d(nQ, μ) = /(η0, μ) — η0 (см. (47)).
Как и в п. 1, будем предполагать, что предельному циклу LQ
системы (А0) соответствует значение щ = 0. Разложение функции d (п0, μ)
в ряд в окрестности точки (0, 0) имеет, в силу формул (19) и (47), вид
d (и0, μ) = (и10 — 1) п0 + !ΐ0ιμ + Щ^г\ + · · · (98)
В частности,
d {Щ, 0) = (и10 — 1) Щ + и20п20 + и30п30 + ... (99)
По условию LQ есть четнократный предельный цикл системы (А0).
Отсюда и из определения 28 (§ 26.2) следует, что и10 —1=0 и что пер-


§ 32] ПОВЕДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНЫХ ЦИКЛОВ ПРИ МАЛЫХ ИЗМЕНЕНИЯХ μ 407
вый отличный от нуля коэффициент в разложении (99) является
коэффициентом при четной степени щ. Пусть это будет коэффициент иПу 0,
где Ζ>1. Таким образом,
d (щ, μ) = и21, 0щ1 + ϊ%μ + ... (100)
Коэффициент uoi можно вычислить по формуле (36), п. 1. Пусть
где φ и ψ —периодические функции с периодом τ, есть· решение
системы (А0), соответствующее предельному циклу L0. Тогда
Ρ (φ (s), ψ (s)) = φ' (s), Q (φ (s), ψ (*)) = ψ' (*).
В силу этих соотношений и формул (97) мы имеем:
«ι (Ф (»). Ψ (*)) = Φ' (»). Pi (Φ (5)> Ψ (»)) = — Ψ' W.
Подставляя последние выражения в (36), получим:
τ s
J (Pi+Qy) ds τ - J (^i+Qy) ds
0
Отсюда следует, что и01 =^= 0. Но тогда, в силу соотношения (100), для
функции d (п0, μ), если ее рассматривать как F (w, ζ), выполняются
условия леммы 2. По этой лемме при достаточно малых μ система (Αμ) имеет
в достаточно малой окрестности траектории L0 в точности два предельных
цикла. Так как, в силу той же леммы 2, действительные корни уравнения
d (п0, μ) = 0, которым соответствуют эти циклы, являются простыми,
то соответствующие предельные циклы являются грубыми (см. § 13.3,
(31), а также § 13.3, определение 18 и § 14, теорема 18). Теорема доказана.
Утверждение теоремы 71 может быть сформулировано в следующей
наглядной форме:
При повороте векторного поля динамической системы в одну сторону
четнократный предельный цикл распадается на два грубых цикла, а при
повороте в другую сторону он исчезает.
Рассмотрим теперь случай, когда динамическая система (А) имеет
нечетнократный предельный цикл L0.
Теорема 72. Если L0 — нечетнократный предельный цикл
динамической системы (А0), то существуют числа ε > 0, μ0 > 0 такие, что
при всех μ Φ 0, | μ | < μ0, система (Αμ) имеет в U8 (L0) единственный,
и притом грубый, предельный цикл. При этом число ε можно взять сколь
угодно малым.
Доказательство. В рассматриваемом случае первый не
равный нулю коэффициент при п% (к = 1, 2, ...) в разложении (98) является
коэффициентом при нечетной степени п0, например при n$l+i, где Z>0.
Коэффициент и01 имеет тот же вид, что и в предыдущей теореме, т. е. не
равен нулю. А тогда утверждение теоремы 72 непосредственно вытекает
из леммы 3. Теорема доказана.
Замечание 1. Если L0 имеет кратность 1, т. е. является простым
предельным циклом системы (А), то он является грубой траекторией
(теорема 18, § 14). Поэтому не только система (Αμ), получающаяся
поворотом векторного поля, но и всякая достаточно близкая к (А) система


408 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. XIII
имеет в достаточно малой окрестности траектории L0 в точности один
предельный цикл. В случае большей кратности цикла L0 всегда
существуют сколь угодно близкие к (А) системы, имеющие вблизи L0 более одного
предельного цикла. Теорема 72 показывает, что при малом повороте
векторного поля сложный нечетнократный цикл ведет себя аналогично
простому, т. е. измененная система имеет в достаточно малой его
окрестности один и только один, и притом грубый, предельный цикл.
Замечание 2. Утверждения теорем 71 и 72, а также приведенные
доказательства их остаются в силе и в том случае, когда под (Αμ)
понимается система
~ = P(arf у) —μ/(ж, y)Q(x, у), -дт = <?(*> »)+μ/(*. У)р О*. У)>
где / (х, у) — функция, имеющая один и тот же знак во всех точках
предельного цикла Ζ/0·
В заключение настоящего параграфа приведем еще одну теорему,
уже не связанную с поворотом векторного поля динамической системы.
Пусть L0 — предельный цикл системы (Α), χ = φ (t), у = ψ (ή —
решение, соответствующее траектории L0, τ > 0 — его период. Пусть,
далее, F (х, у) — аналитическая функция, заданная в области
определения системы (А) и удовлетворяющая условиям:
а) F{V(8), *(«)) = 0,
б) |F;(<p(s). ψ(*))]* +[^(Φί*). У(8))]*Ф0
(см. конец п. 1).
Теорема 73. Пусть
х = Ρ (χ, у) f μρί (χ, у) + μ2ρ2 (*, »)+··.= Р{х, У, μ),
dt
dy
{dt
(Αμ)
Q0*> y) + μ?ι(*> y) + μ2^2(χ, y)+ ...=Q(χ, у, μ)
— динамическая система, причем функции Ρχ(χ, у) и qi(x, у) имеют вид
Pi (*, y)=F {х, у) F'x {χ, у), ql {χ, y) = F {x, xj) F'y (x, у), (101)
где F — функция, удовлетворяющая условиям а) и б). Тогда, если L0 —
нечетнократный предельный цикл системы (А), то существуют числа
μ0 > 0 и ε > 0, удовлетворяющие следующему условию: при всех μ,
| μ Ι < μ0, имеющих один знак, у системы (Αμ) существует в Uъ (L0)
в точности три, и притом грубых, предельных цикла; при всех же μ,
Ι μ Ι < μο> противоположного знака у системы (Αμ) существует в Uε (L0)
в точности один, и притом грубый, предельный цикл.
Доказательство. Разложение функции d (n0, μ) в ряд
в окрестности точки (0, 0) имеет вид (98):
d (щ, μ) = (и10 — 1) п0 + κ01μ + иищ + и20и20 + .. .,
где и10 вычисляется по формуле (34). Коэффициент и01 вычисляется по
формуле (36). Из формул (101) и условия а) следует, что uoi = 0.
Коэффициент ип вычисляется по формуле (42), и, как показано в конце п. 1,
при условиях нашей теоремы ми Φ 0. Таким образом, для функции
d (п0, μ), если ее рассматривать как F (w, z), выполняются условия
леммы 4, из которой непосредственно вытекает утверждение теоремы.
Теорема доказана.


§ 33] ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ 409'
§ 33. Рождение предельного цикла из замкнутой
траектории консервативной системы
1. Интегральный инвариант и консервативные системы.
Постановка задачи. Метод малого параметра. Понятие интегральный инвариант
было введено Пуанкаре (см. [24], п. 235, стр. 5). Мы дадим здесь
определение интегрального инварианта для динамической системы 2-го порядка.
В общем случае — для системы дг-го порядка — это понятие вводится
аналогично. Так же, как в предыдущем параграфе, мы будем считать, что
все рассматриваемые системы являются аналитическими.
Пусть
§ = Р(х,у), -& = <?<*, у) (А)
— динамическая система, рассматриваемая в области G. Для простоты
будем считать, что G состоит из целых траекторий системы (А). Пусть D—
замкнутая подобласть области G, М0 (х0, у0) £ D — произвольная ее
точка. Рассмотрим траекторию χ = φ (t; х0, у0), у = ψ (t; x0, y0) системы (А),
проходящую при / = О через точку М0. Обозначим точку с
координатами φ (t; х0, у0), ψ (t; х0, у0) через Μ (/, М0). Совокупность всех точек
Μ (t, Μ о), получающуюся, когда М0 пробегает все точки подобласти Ζ),
a t фиксировано, т. е. множество точек {М (t, М0); М0 6 D), обозначим
через Dt. Ясно, что Dt есть область, гомеоморфная D и входящая в G.
Dt получается из области D, так сказать, сдвигом по траекториям на
расстояние t (по времени).
Пусть ρ (χ, у) — функция, аналитическая в области G и не равная
в ней тождественно нулю.
Определение 31. Выражение
\ \р(х, y)dxdy (1)
(D)
называется интегральным инвариантом динамической системы (А), если
для любой ограниченной замкнутой подобласти D aG и для любого t
выполняется соотношение
\\ ρ (я, у) dxdy = \ \ ρ {χ, у) dx dy. (2)
(Dt) (D)
В случае, когда (1) является интегральным инвариантом, функция
ρ (χ, у) называется плотностью интегрального инварианта.
Нетрудно дать гидродинамическую интерпретацию интегрального
инварианта. Будем интерпретировать (А) как систему уравнений,
определяющую скорость стационарного движения некоторой двумерной
«жидкости», заполняющей область G и не имеющей в этой области ни
источников, ни стоков. Пусть ρ (χ, у) — плотность этой жидкости в точке (х, у).
Тогда интеграл (1) представляет массу жидкости, заполняющей область D,
а равенство (2) выражает тот факт, что масса жидкости остается
неизменной, когда частицы жидкости, переместившись по своим линиям тока
за время t, заполнят область Dt. Очевидно, в случае несжимаемой
жидкости ρ (#, у) = const интегральным инвариантом является площадь
области D.
Найдем условие, которому должна удовлетворять функция ρ (χ, у)
для того, чтобы выражение (1) являлось интегральным инвариантом.


410 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. XIII
Считая пока область D фиксированной, введем обозначение
J(t) = \ \p(x,y)dxdy. (3)
Тогда \ \ ρ (χ, y)dxdy = J(0), и для того, чтобы равенство (2)
ВЫПОЛНЯСЬ
лось при любом г, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
/' (0 = 0
{дифференцируемость функции J (t) будет показана ниже). Для
вычисления /' (/) предстааим J (t) в виде интеграла по области D. С этой целью
произведем в интеграле (3) замену переменных с помощью формул
x = <t(t;x0, у0), y = ty{t; x0, г/о), (4)
осуществляющих отображение области D на Dt. Мы получим
/^== \\ р(*' У)ахаУ =
(Dt)
= ^ ρ (φ (t; z0, z/0), <ψ (t; x0, y0))k {t; x0, y0) dx0 dy0, (5)
(D)
где
Δ № *°> Vo) щ^^
— якобиан отображения (4). Этот якобиан вычислен в КТ, и там
показано (КТ, § 3.5, лемма 6), что
t
Ι ΙΡχ (Φ, W+Qy (Φ, Ψ)] dt
A(t',xOiyo) = e0 . (6)
Из последней формулы следует, что Δ (t; х0, у0) Φ 0, т. е. преобразование (4)
регулярно, и что
dA (^*°' 'Л) = Δ (<; аь, Уо) [Ρχ (φ, 4) + ft (φ, Ψ)]. (7)
По формуле (5) / (t) ~ \ \ ρ Δ cfc0 dy0. Так как в этом интеграле область
Ф)
интегрирования не зависит от ί, а подынтегральная функция
дифференцируема, то J (t) дифференцируема и
Г W = I l~df[р (φ (t; Xq> У ω* * (ί; ж°' У°))Δ (ί; *0' ^°)1 ώ° d^°- (8)
(β)
Вычислим подынтегральную функцию интеграла (8). Принимая
во внимание (7) и очевидные соотношения
άψ{''*θ'νο) = Ρ(φ,4), "*(';^|ΓΒ)-<?(φ.1>),
мы будем иметь
<2г
-A[iE^^(9.*) + -2^<?(T.+) + p(ft(9.*)+«(f.*))l· (9)


§ 33] ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ 411
При t = О φ (t; х0, у0) == х0, ψ (t; х0, г/о) = *Ль а Δ (t; х0, у0) = 1. Поэтому
в силу формул (8) и (9)
+ Ρ (*о, Ы {Р'х (*о> ί/ο) + % (*<>» г/о))] Л*о <fyo- (Ю)
Из условия /' (г) == 0 следует, что /' (0) = 0. Так как последнее
условие должно выполняться для любой области D, то подынтегральная
функция в интеграле (10) должна быть тождественно равна нулю, т. е.
в любой точке (я, у) области G должно выполняться соотношение
|£.р+|е.<Н-р(Р; + <&)^о. (И)
С другой стороны, из формул (8) и (9) следует, что если (11) выполняется,
то /' (ή =Ξ 0, какова бы ни была область D. Таким образом, мы
установили, что тождество (11) является необходимым и достаточным условием
для того, чтобы выражение (1) являлось интегральным инвариантом.
Замечание. Условие (11) может быть записано в виде *_Р ' +
Η If = 0. Для системы п-го порядка "jr^^i {хи ^2» · · ·» χτΐ)->
* = 1, 2, ..., дг, функция ρ(χί9 χ2ι ..., хп) является плотностью
интегрального инварианта в том и только в том случае, когда выполняется
тождество (см. [30])
V d(9Pj) _0
ZJ dxi ~
Пусть G, как и выше, область, состоящая из целых траекторий
системы (А).
Определение 32. Мы будем называть систему (А)
консервативной в области G, если у нее сугцествует в этой области
интегральный инвариант, имеюущй положительную плотность.
Рассмотрим консервативную в области G систему (А). Пусть
λ \ ρ (χ, у) dx dy, где ρ (а:, г/)>0, —ее интегральный инвариант. Тогда
Ы
траектории системы (А) совпадают с траекториями системы
£ = р(х,у)Р(х,у) = Р, %f = p{x,y)Q(x,y) = Q. (A)
В силу условия (11) в области G имеет место соотношение
dQ _ дР
ду дх
(12)
Поэтому, если G—односвязная область, то в G существует однозначная
функция Н(х,у), удовлетворяющая условиям
ρ ^ дН (х, у) п^дН (*» У) (13)
ду ' ^ дх ' * '
в система (А) может быть записана в виде
ах дН (х, у) dy ^ дН (х, у) ,,,.
dt ду dt дх К '


412 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. XIII
Определение 33. Динамическая система вида
А- — _ дН (Xj у) dy - дН (Ху у}
~Ж ~~ ~~ ду ' dt ~~ дх '
где И (х, у) — однозначная функция, определенная в области G, называется
гамилътоновой системой в области G.
Из определений 32 и 33 и из условия (11) вытекает, что гамильтонова
система является частным случаем консервативной. В качестве
плотности ρ интегрального инварианта
гамилътоновой системы можно взять
число 1, тогда интегральным инвариантом
системы будет площадь области.
Гамильтонова система имеет общий
интеграл Я (х, у) = С (см. КТ, § 1.13).
Мы показали, таким образом, что
если (А) есть консервативная система
в односвязной области G, а р (χ, у) —
плотность ее интегрального
инварианта, то система (А) является гамиль-
тоновой в G. ρ (χ, у) является
интегрирующим множителем дифференциально-
Рис. 172. го уравнения Q (х, у) dx — Ρ (χ, у) dy =
=0, соответствующего системе (А).
Нетрудно видеть, что если Ρ и Q — аналитические функции, то Η (χ, у)
также аналитическая функция.
В случае, когда G не является односвязной областью, из соотношения
(12) еще не вытекает существования в G однозначной функции Η (χ, у),
удовлетворяющей условиям (13). В этом случае можно только утверждать,
что такая функция существует в любой односвязной подобласти области G.
В этом параграфе мы будем рассматривать только случай, когда G
есть замкнутая «кольцевая» область, сплошь заполненная вложенными
одна в другую замкнутыми траекториями системы (А). Покажем, что
в этом случае (А) является консервативной системой в области G, т. е.
она имеет в этой области интегральный инвариант с положительной
плотностью ρ (χ, у), и что система
является гамильтоновой.
Теорема 74. Пусть (А) — аналитическая система, a G —
замкнутая кольцевая область, сплошь заполненная вложенными одна в другую
замкнутыми траекториями системы (А). Тогда существует определенная
в G однозначная аналитическая функция ρ (χ, у), удовлетворяющая условию
fxp+ilQ+p(p*+Qv)^°> (υ)
т. е. система (А) консервативна в области G, а система
§ = рр· !=?? <А>
является гамильтоновой.
Доказательство. Рассмотрим аналитическую дугу без
контакта I, расположенную в G и соединяющую точки двух граничных
замкнутых траекторий (см. рис. 172; существование такой дуги доказано в КТ,
§ 19.5, лемма 6). Пусть χ = / (s), у = g (s), a<s<;&,— параметрические


§ 33] ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ 413
уравнения дуги I (/ и g — аналитические функции). Как известно, каждая
замкнутая траектория области G имеет с дугой I в точности одну общую
точку. Обозначим через τ (s) период замкнутой траектории, пересекающей
дугу I в точке, соответствующей значению s параметра.
Пусть x = q>(t; х0, у0), y = ty(t;x0j y0) — решение системы (А),
удовлетворяющее начальным условиям φ (0; х0, у0) =аг0» ψ (Φ #ο» Уо) = У о- Рас-
смотрим отображение Т, задаваемое формулами
x = <b(t,s), ρ = Ψ(ί,*), (15)
где
Φ (*,*) = Φ (*;/(*),*(*)), Ψ(ί, 8) = W;f{8),g{8)). (16)
Функции Ф и Ψ являются аналитическими, а Т отображает область R
плоскости (£, s), заданную неравенствами
а<г?<6, 0<ί<τ(5), (R)
на область G. Отображение Τ регулярно во всех внутренних точках
области R (см. КТ, § 3.5, лемма 8), но не является взаимно однозначным, так
как в каждую точку дуги I, соответствующую параметру $ (a<Ts<!&),
переходят две точки (0, s) и (τ (s), s), принадлежащие границе области.
Последнее вытекает из очевидных соотношений
Ф(0, *) = ф(т(*), s), Ψ(0, *)=Ψ(τ(*), s). (17)
Положим, что
t
r(t, s)=e o dt. (18)
Функция r (t, s) задана в области R плоскости (£, s). В силу соотношений
(15) ее можно рассматривать как функцию от х, уу заданную в области G.
Обозначим эту функцию через ρ (χ, у).
Таким образом, мы полагаем, что
Ρ (s, y) = r(t (χ, у), s (x, */)), (19)
где t = t (χ, у) ц s = s (x, у) — функции, определяемые уравнениями (15).
Покажем прежде всего, что определенная формулой (19) функция
ρ (χ, у) однозначна в области G. Если точка (х, у) не принадлежит дуге
без контакта Ζ, то ей соответствует в точности одна точка (t, s) области R
и, следовательно, вполне определенное значение функции г. Пусть теперь
Μ (χ, у) — точка, принадлежащая дуге I и соответствующая значению s
параметра. В этом случае, как отмечено выше, точке Μ (χ, у)
соответствуют две точки области R, именно (0, s) и (τ (s), s). Для того чтобы убедиться
в однозначности функции ρ (χ, у), достаточно показать, что г (0, s) =
= г (τ (s), s). Но г (0, s) = 1 в силу формулы (18). С другой стороны,
Ι ΐΡ'χ (Ψ (t\ /, g), Ψ (t; f,g))+ Q'y (φ (t; /, g), ψ (t; /, g))] dt
о
отличается только множителем τ (s) от характеристического показателя
замкнутой траектории LM, проходящей через точку Μ (см. § 13.3,
определение 17). А так как траектория LM принадлежит семейству
«концентрических» замкнутых траекторий, заполняющих область G, то она
не является предельным циклом, и ее характеристический показатель,
а следовательно написанный выше интеграл, равен нулю (см. § 13.3 (31)
и § 12.3). Но тогда, в силу (18), г (τ (s), s) = 1 = г (0, s). Мы показали,


414 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. XIII
таким образом, что функция ρ (χ, у) в области G однозначно определена
формулой (19).
Покажем теперь, что эта функция удовлетворяет утверждению
теоремы, т. е. тождеству (11). В силу (18) и (19) мы имеем:
12. ~~ EL· ^L· _l EL· — — с\(Р' -иП'\ — -1- дг ds
дх '~ dt дх "*" ds dx ~ Ρ * * + VW dx~T~~ds~~dx '
ду dt ду "*" ds ду ~ Р I * ~*~"*' ду ~т~ ds ду '
Умножая равенства (20) соответственно на Ρ (χ, у) и Q (х, у) и складывая
и принимая во внимание, что
dt π , dt f) dt dx , dt dy dt ,
~дх ^г~ду^~~дх'дГ^~'дуЖ~'~дг~~'
ds ρ ds ^ ds dx , ds dy ds ^
~dx ^"dy^^Hx~dt'^Ty~dt~'^t~'
мы получим
£*+£<?=-p<*+«>.
дх '
^Q _
ду -
%
a/>
да:
т. е. соотношение (11).
Покажем, наконец, что система
является гамильтоновой в кольцевой области G. Так как р>0, то
траектории системы (А) совпадают с траекториями системы (А), т. е. являются
замкнутыми. Далее, в силу (11)
д (р, Р) . д (р, (?) _ 0
дх ^ ду ~ и'
т. е.
(21)
Пусть М0(х0ч г/0) — фиксированная, а Μ (х, у)—произвольная точка
области G, γ—гладкая кривая, принадлежащая G и идущая из М0 в Λ/.
Покажем, что криволинейный интеграл
\Q(z,y)dx-P{z,y)dy (22)
(Υ)
является однозначной функцией от х, у. Для этого достаточно убедиться,
что этот интеграл не зависит от пути интегрирования γ, τ. е. что интеграл
по любой замкнутой кривой С, лежащей в G, равен нулю. Если область,
ограниченная кривой С, целиком принадлежит G, то \ Q dx — Ρ dy = О
(С)
в силу формулы Грина и соотношения (21). Возьмем теперь в качестве С
замкнутую траекторию χ = φ (£), У — ψ (0 системы (А), проходящую
через точку М0 (эта траектория содержит внутри себя внутреннюю
граничную кривую области G, т. е. не гомотопна нулю в G). Обозначим через τ


§ 33] ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ 415
период функций φ и ψ. Тогда
X
5 Qdx-Pdy^ J [0(φ (*). ψ>)) φ' (0-^(φ W. *(0) ♦'(*)]<"<
(С) О
τ
= 5 »' (0 φ' (0-φ' (*)*' (01 л=о.
о
Из последнего соотношения и из (21) следует, что рассматриваемый
криволинейный интеграл по любой замкнутой кривой С, принадлежащей
области G, равен нулю. Но тогда интеграл (22) не зависит от пути интегрирова-
ния γ, т. е. является функцией точки Μ (χ, у). Обозначим ее через Η (χ, y)r
т. е. положим, что
II (х, у) = \ Q (х, у) dx—P {χ, у) dy.
(Υ)
Ясно, что так определенная функция Η (χ, у) удовлетворяет соотно-
Л Q ТТ С\ТТ
шениям Р= -—, Q = -jj—, т.е. система (А) гамильтонова. Теорема
доказана полностью.
В дальнейшем в настоящем параграфе под консервативной системой
мы будем понимать аналитическую систему, определенную в двусвязной
области G, у которой все траектории, расположенные в G, замкнуты
(очевидно, они при этом вложены одна в другую). Ясно, что такие системы
образуют сравнительно узкий класс консервативных систем в смысле
определения 32. Так как, однако, мы будем рассматривать только
указанные системы, то для краткости мы именно их и будем называть
консервативными. Точно так же под гамильтоновым мы будем понимать в этом
параграфе гамильтоновы системы, определенные в двусвязной области,
сплошь заполненной замкнутыми траекториями.
Мы будем рассматривать системы, близкие к консервативным, т. е.
системы, имеющие вид
^•=Р(х,у)-г μρ (*. у. μ). 4?"=Q & у} + м (*■ ^ ·*)» (А^>
где μ — малое действительное число, ρ и q — аналитические функции
своих аргументов, а система (А0), т. е.
§ = Р(х,у), *jL = Q(x,y), (A0)
консервативна. Ниже мы установим достаточные условия, налагаемые
на функции ρ (χ, у, μ), q (x, у, μ), при выполнении которых в окрестности
одной из замкнутых траекторий L0 системы (А0) существует предельный
цикл системы (Αμ). Другими словами, пользуясь принятой нами
терминологией, мы установим достаточные условия для того, чтобы из
траектории L0 системы (А0) рождался предельный цикл Ζ/μ системы (Αμ).
В качестве частного случая систем, близких к консервативным, мы
рассмотрим системы, близкие к гамильтоновым. Они имеют вид
dx дН . . ν dy дН . ч /TJ ч
sr= -ΐ£-+μρ(*>»> μ)» w^-w+wfa у* μ). (Ημ)
где ρ и q — аналитические функции в двусвязной области G, а система (7/0)
гамильтонова.


416 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. XIII
Мы покажем, что при переходе от общего случая систем, близких
к консервативным, к случаю систем, близких к гамильтоновым,
упомянутые выше достаточные условия для функций ρ и q значительно
упрощаются.
Особенно просто обстоит дело, когда исходная консервативная система
является линейной. В этом случае можно считать, не ограничивая
общности, что она имеет вид
dx du /Гк ч
Система (В0) является гамильтоновой и имеет своими траекториями окруж-
пости
Х2+у2 = С. (23)
Система, близкая к линейной консервативной, имеет вид
4f = — у+рр (*» у* i*)> |f=*+μ?(*. ν* μ)· (βμ)
Такую систему можно изучать, либо рассматривая ее как частный
случай системы, близкой к гамильтоновой, либо непосредственно,
с помощью перехода к полярным координатам. Так как непосредственное
исследование проводится очень просто и в то же время позволяет лучше
понять исследование в общем случае системы, близкой к консервативной
то мы прежде всего рассмотрим (в следующем пункте) систему вида (Βμ)
•с помощью перехода к полярным координатам.
Излагаемые в настоящем параграфе результаты позволяют в ряде
случаев устанавливать существование (или отсутствие) предельных
циклов у нелинейных динамических систем. Это делается с помощью метода,
называемого методом Пуанкаре или методом малого параметра. Он
заключается в рассмотрении нелинейной динамической системы как системы,
близкой к консервативной. Существование предельных циклов
нелинейной системы устанавливается путем нахождения замкнутых траекторий
консервативной системы, от которых такие циклы рождаются. Метод
Пуанкаре применим, конечно, только тогда, когда исследуемая нелинейная
система близка к консервативной или когда ее можно «подогнать» к такой
с помощью какого-нибудь приема.
2. Системы, близкие к линейной консервативной. В этом пункте
мы рассмотрим систему вида
x = —y + v>p(x, у* μ). у = х+м{х> у у μ)> (Βμ)
близкую к линейной консервативной системе (В0), траекториями которой
являются окружности х2 + у2 = С. Функции ρ и q мы предполагаем
аналитическими в окрестности точки (0, 0, 0). Системы вида (Βμ) часто
встречаются в приложениях. Так, например, если рассматривать на фазовой
плоскости (х, у) (у^-—х) уравнение
χ + χ = μ/ (χ, χ),
близкое при малых μ к уравнению гармонического осциллятора χ + χ = 0,
то мы придем к системе
х^— у, ν = ζ—μί{χ, —У),


§ 33] ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ 417
имеющий вид (Βμ). Относительно функций р(х, у, μ) и q(x, г/, μ) мы будем
предполагать, что они обращаются в нуль при х = у~0, т.е. что
ρ (0, 0, μ) = ?(0, 0, μ)=0. (24)
Это не ограничивает общности рассуждений. В самом деле, допустим,
что условие (24) не выполняется. Рассмотрим систему уравнений
— У + μρ^ι У, μ) = 0, х + щ{х, у, μ)=-0. (25)
В точке χ=}^==μ = 0 эта система удовлетворяет условиям теоремы о
неявных функциях и, следовательно, может быть решена относительно χ ж у.
Пусть
*=/(μ)> y = g{v)
— решение системы (25) в окрестности точки (0, 0, 0). Тогда
-g (μ) +μρ (/ (μ), g (μ), μ) =■ О, / (μ) + μq (/ (μ), g (μ), μ) ^ 0, (26)
причем /(μ) и g (μ) — аналитические функции и
/(0) = £(0) = 0. (27)
Сделаем в системе (Βμ) замену переменных
* = Χ + /(μ), y = Y + gfa).
Тогда
^^-Y-giri+WiX + fW, Y + g(μ),μ) = -Y + μp*(XiYiμ)^
dY <28>
^ = Χ + /(μ)+μ^(Χ + /(μ), Y + gfc), μ) =Χ + μ<7* (Χ, Υ, μ).
Из соотношений (26) следует, что ρ* (0, 0, μ) = ^*(0, 0, μ) = 0, т. е. для
системы (28) условие (24) выполняется.
Таким образом, мы будем рассматривать систему (Βμ) при
условии (24). Пусть
ρ (χ, у, μ)=ρ (х, у) + μρ2 (*, у, μ), q {x, У, μ) = q (*, У) -|- μ^2 (ж, У, μ). (29)
Из условий (24) следует, что
ρ (0, 0) - q (0, 0) = 0, р2 (0, 0, μ) = q2 (0, 0, μ) = 0. (30)
Исходная система (Βμ) в силу формул (29) записывается в виде
dx
-57-= — ν + μρ{χ> у» μ)= —ν + μρ(χ, ν) + μ2,ρζ{χ, у, μ),
-±=,Х + М{х, у, μ)=χ+ μς(χ, y)+μ2q2(x, У, μ).
(31)
Переходя к полярным координатам по формулам # = pcos0, у = p sin θ,
мы получим, как нетрудно видеть, систему
—γ = μ [cosBp (ρ cos θ, ρ sin θ, μ) + sin Qq (ρ cos θ, ρ sin θ, μ)],
dQ ρ2 + μ [ρ cos θ? (ρ cos θ, ρ sin θ, μ) —ρ sinGp (ρ cos θ, ρ sin θ, μ)]
~dt ρ2
(32)
В силу условий (24) правая часть последнего уравнения при | ρ | < р*
(р* — некоторое положительное число) имеет вид
1 + μ^(ρ, θ, μ),


418 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. XIII
где F (ρ, θ, μ)—аналитическая функция своих аргументов (не обязательно
обращающаяся в нуль при р=0). При малых μ последнее выражение
отлично от нуля, поэтому мы можем перейти от системы к одному
уравнению *
^ = μΛ(ρ,θ,μ), (33)
где
г* , д ч cos θ ρ (р cos θ, ρ sin 0, μ)4-δίηθ</ (ρ cos θ, ρ sin θ, μ) ,ο/ν
VP» ι W— 1 + μ/?(ρ, θ, μ) * ^
R (ρ, θ, μ) есть аналитическая функция, периодическая по θ с периодом 2я
и обращающаяся в 0 при ρ = 0. Поэтому ρ = 0 при любом μ есть
решение уравнения (33). Так как это решение не зависит от Θ, то оно
определено при всех Θ. Но тогда, в силу теоремы 1 п. 1 дополнения, при
всех достаточно малых μ — скажем, при |μ|<μ* — решение уравнения (33)
заведомо определено при всех θ, 0<!θ<2π. Обозначим решение,
соответствующее начальным значениям θ0 и р0, через
Ρ = /(θ; θ0, Ро, μ).
/ есть аналитическая функция своих аргументов. Так как при μ = О
уравнение (14) имеет вид —£- = 0, то / (θ; θ0, ρ0, 0) == р0. Поэтому
/(θ; θ0, ро, μ) = ρ0 + μ/ι(θ; θ0, Ρο, μ).
Мы предположим для определенности, что θ0 = 0, и будем записывать
решение / (Θ; 0, р0, μ) в виде
ρ=Ρο + μΨ(θ; ро, μ). (35)
Здесь Ψ (θ; ρ0, μ) есть аналитическая функция в области
0<θ<2π, |ρ|<ρ·, |μ|<μ*.
Условие касания траектории системы (Βμ) с лучом Θ —const в точке
(#, у) имеет вид
ху—ух=χ2 + у2 + μ (qx—ру) = 0-
В силу выбора чисел р* и μ* это условие в рассматриваемой области
не выполняется, т. е. лучи θ = const не имеют контактов с траекториями
системы. Из уравнения (35) следует, что функция последования на луче
θ = 0 имеет вид
ρ = ρ0 + μΨ(2π;ρ0>μ). (36)
Замкнутым траекториям системы (Βμ) соответствуют те значения р0=^=0,
для которых
μψ(2π; ρ0, μ)=0,
т. е. для которых при μφΟ
Ψ(2π;ρ0, μ) = 0. (37)
Так как функция последования—аналитическая функция от μ, то
функцию Ψ можно записать в виде
Ψ (2π; ро, μ) = Ψ (2π; ρ0, 0) + μΨμ (2π; ρ0, 0) + ... (38)
Из непрерывности функции Ψ следует, что если уравнение Ψ(2π; ρ0, μ) = 0
имеет корень ρ0(μ), стремящийся к некоторому числу pt при μ—>0


§ 33] ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ 419
(ΙριΙ<ρ*). τ0
Ψ(2π; pi, 0) = 0. (39)
Допустим, что для некоторого р4, |ρι|<ρ*, последнее условие
выполняется, и пусть, кроме того,
3Ψ(2π;Ρι,0) 0 (40)
Из теоремы о неявных функциях следует тогда, что существуют числа
μ*>0 и δ>0, удовлетворяющие следующему условию: если |μ|<μ*,
то уравнение
Ψ(2π;ρ0, μ) = 0 (41)
имеет единственное решение р0 = Ро (μ)» удовлетворяющее условию
I Ро (μ) — Pil < δ, причем р0 (0) = р4. Но это, очевидно, означает,
что при μ φ 0, но достаточно малом у системы (Βμ) имеется в малой
окрестности окружности х2 + у2 = Pj единственный предельный цикл, причем
этот предельный цикл стягивается к указанной окружности, когда μ -*■ 0.
Естественно говорить, что этот предельный цикл системы (Βμ) «рождается»
из траектории х2 + у2 = р* исходной линейной системы.
Отметим, что уравнение Ψ (2π; ρ0, 0) = 0 может иметь наряду с р4
другие решения, удовлетворяющие условию (40). Если р2 — одно из
таких решений, то из траектории х2 + У2 = pi исходной консервативной
системы также рождается предельный цикл.
Найдем выражения для Ψ(2π; р0, 0) и —L5l-£(>l_' через функции
Ρ (#» У, μ) и q(x, у, μ), входящие в правые части системы (Βμ). С этой
целью разложим правую часть уравнения (33) по степеням μ. Уравнение
примет вид
% = yJii (ρ, θ) + μ27?2 (ρ, θ) + ... (42)
Решение (35) этого уравнения можно записать в виде
Ρ = Ро + μΨ (θ; Ро, 0) + μ2Ψμ (θ; ρ0, 0) + . .. (43)
Подставляя последнее выражение в уравнение (42) и сравнивая его правую
и левую части, мы получим
4r = i?i(Po. θ)· (44)
Из соотношений (29), (33), (34) и (42) следует, что
■#1 (Ро, Θ) = cos θρ (ро cos θ, ро sin θ) + sin Qq (p0 cos Θ, p0 sin Θ). (45)
С другой стороны, так как / (0; 0, р0, μ) = р0, то Ч; (0; р0, μ) ξ= 0.
В частности,
Ψ(0;Ρο, 0) = 0. (46)
Интегрируя уравнение (44) при начальном условии (46), пользуясь
соотношением (45) и полагая θ = 2π, мы получим следующее выражение для
Ψ(2π; ро, 0):
2π
Ψ (2π; ро, 0) = \ [cos θρ (р0 cos θ, ρ0 sin θ) + sin Qq (p0 cos θ, ρ0 sin θ)] άθ. (47)
ο
Вычислим теперь — °* . Дифференцируя последнее равенство по р0,
vr0


420 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. XIII
мы получим
2π
3Ψ(?π;ρ0, 0) = jj ^ cog2 Q + ^ ^ Q + ^ ^ 0 cog g + gi sin g cog 0) rfe>
b
где под ρ'χ, p'y, gi, g[, подразумеваются значения этих функций в точке
(poCosB, posin0). После простого преобразования мы получим, далее,
2π 2π
ΘΨ%090'0)=1 (Рх + Я'у)М+\ [(-Р; sin θ+ Р; сое θ) sin θ +
b о
+ (qx sin θ — q'y cos Θ) cos θ] dQ. (48)
Из соотношений
^(PocoS^Posin9) = (_^s.ne+p,cose)po>
dq (P0 "»% Po Sln 9) = (- q'x sin θ + g; cos Θ) p0
следует, что второй интеграл правой части равенства (48) равен
2л
1 f Г <?Р (Рс cos β« Po sin θ) sjn q df> foo c°s θ* Po s'n θ) coc 91 ^9
Po J L rftt <*θ J
Интегрируя по частям и принимая во внимание, что p(pocos0, posin0)
и g(pocos0, po sin θ) — периодические функции по θ с периодом 2л;,
мы убедимся, что последний интеграл равен
2π
\ [р (po cos θ, po sin θ) cos θ + q (p0 cos Θ, p0 sin Θ) sin Θ] dQ,
Po «)
0
т. е., в силу (47), равен
--1-Ψ(2π;ρ0,0).
Поэтому
2π
δΨ (2π; ρ0, 0) С г ' / ω · m .
— «Po" ^ J Ρ* ^Ρο C°S Po Sm *
+ ?ί (Ροοοβθ, Posin0)]tf0—^-Ψ(2π; ρ0, 0). (49)
Из равенств (47) и (49) следует, что условия
Ψ(2π;Ρι,0) = 0 и *ψ (2g Pl> 0) φ 0 (50)
эквивалентны условиям
2π
\ [р (Pi cos θ, Pi sin θ) cos θ + q (p4 cos Θ, pt sin Θ) sin Θ] dQ = 0,
b
2π
\ [pi (Pi cos Θ, pi sin Θ) + q'y (p4 cos Θ, p4 sin Θ)] dQ Φ 0.
о
Сопоставляя полученные выше результаты, мы приходим к следующей
теореме.


§ 33] ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ 421
Теорема 75. Если для некоторого числа plt [ р4 | < р*,
выполняются условия (50) или, что то же, условия (51), то при переходе от
системы (В0) к достаточно близкой системе (Βμ) из траектории ρ = pt исходной
линейной системы (В0) в достаточно малой окрестности этой траектории
рождается, и притом единственный, предельный цикл системы (Βμ).
Замечание. Если для числа ρ4Ψ(2π; рь 0) = 0 и —L5i_El»_J = o,
т. е. выполняется лишь первое из условий (50), то мы уже не можем
утверждать, что из траектории ρ = Ρι рождается предельный цикл.
Теорема 75 является локальной в том смысле, что в ней идет речь
о возникновении предельного цикла в окрестности одной траектории
системы (В0). Приведем еще одну теорему, также относящуюся к системам,
близким к линейной консервативной, но носящей уже глобальный
характер. Пусть а и Ъ — некоторые положительные числа, а < Ь.
Теорема 76. Если уравнение Ψ (2π; ρ0, 0) = 0 имеет в точности s
решений р0 = ρ*, ί = 1, 2, . . ., s, принадлежащих сегменту [а, Ъ], причем
каждое из них удовлетворяет условиям а < рг < Ъ, — ^' Рм ' Φ 0, то при
достаточно малом μ Φ 0 система (Βμ) имеет в кольце α ·<ρ·<6 в
точности $ замкнутых траекторий.
Доказательство. В силу предыдущей теоремы существуют
числа μ* > 0, δ > 0 такие, что если 0 < | μ | < μ*, то уравнение
Ψ (2π; ρο, μ) = 0 имеет в каждом из интервалов (р^ — δ, pt + δ),
i = 1, 2, . . ., s, в точности по одному корню. Обозначим эти интервалы
через Ii. Можно считать, что интервалы It попарно не пересекаются и что
все они лежат внутри интервала (а, Ъ), —- это будет выполняться, если δ
s
достаточно мало. Обозначим через Г множество [a, b]\\JIi (т. е. дополне-
i=i
ние суммы множеств It до сегмента [а, &]).
Доказательство проведем от противного. Допустим, что теорема
несправедлива. Тогда существует последовательность μΣ, i = 1, 2, 3, ...,
такая, что μ{ Φ 0, | μέ | < μ*, lim μι = 0, а система (Βμ.) имеет в кольце
α<ρ<:6 более s замкнутых траекторий, т. е. уравнение Ψ (2π; ρ0, μ*) = 0
имеет более $ корней, удовлетворяющих условию α·<ρ0·<&. Тогда
существует по крайней мере один корень указанного уравнения,
принадлежащий множеству Г. Обозначим его через р£*>.
Таким образом, р<*> £ Г, Ψ (2π; р<*>, μ<) = 0.
Переходя в случае необходимости к подпоследовательности, мы можем
добиться, чтобы последовательность чисел pj*> сходилась. Пусть это
выполняется, и пусть lim р(*> = р*. Очевидно, р* f Г и Ψ (2π; ρ^>, 0) = 0.
i->oo
Но тогда pi есть корень уравнения Ψ(2π;ρ0, 0) = 0, отличный от корней
Pi,i ~ 1, 2, . . ., s, что противоречит условию теоремы. Теорема доказана.
3. Общий случай системы, близкой к консервативной. Пусть (А0) —
система, консервативная в некоторой двусвязяой области G. Мы будем
рассматривать близкую к ней систему вида
dx
-гт- = Р{х, у)+рр(х, у, μ) = Ρ(χ, у, μ),
a (Αμ)
-%· =*=#(*. У) + М{х, У, μ) = <?(*, У, μ),
где ρ (χ, у, μ), q (χ, у , μ) — функции, аналитические в области G.


422 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. XIII
В § 13.1 для рассмотрения функции последования мы вводили
в окрестности замкнутой траектории L0 криволинейную систему
координат, в которой траектория L0 имеет уравнение η = 0.
Покажем, что если (А0) есть система, консервативная в области G,
a L0 — какая-нибудь замкнутая траектория ее, L0 с G, то в некоторой
окрестности траектории L0 можно ввести криволинейную систему
координат 5, я, в которой траектории системы (А0) имеют уравнение η = const.
Геометрически это очевидно. Формальное доказательство можно
провести так. Пусть χ = φ (£), у = ψ (t) — уравнения траектории L0, а τ —
период функций φ и ψ. Введем сначала в окрестности траектории L0
криволинейные координаты s и т с помощью, например, формул
χ = ψ (,s) -f- /тг- -ψ (s), y = \jp(s) — m-<p(s) (52)
(cm. § 13.1, (6)). После перехода к этим координатам системе (Αμ)
соответствует дифференциальное уравнение
^L = R*(s;m^). (53)
Обозначим его решение, удовлетворяющее начальному условию т = т0
при 5 = 0, через
m = f*(s; m0l μ) (54)
(сравните с § 32.1, (ИД (10)).
Так как при μ = 0 все траектории системы (Αμ) в окрестности L0
замкнуты, то /* (s; m0y 0) есть периодическая функция относительно $
с периодом τ при всех т0, \ т0 | < т*, где т* — достаточно малое
положительное число.
Введем координаты s, n, положив
s = s, m = f*(s; n, 0). (55)
Так как L0—замкнутая траектория, то /* ($; 0, 0) ξ 0. Далее, из
результатов § 32 следует, что
8
Ϊ А?о& d8
fdf*(Sj m0, 0)Ί ^J 0
L дЩ J m0=0
(см. § 32.1, (9), (13), (14), (15)). Таким образом, при любом s
/* (s, 0, 0) = 0, ' ^— Ф- 0. Следовательно, уравнение /* (s, /г, 0) = т
имеет, при достаточно малых по модулю значениях т, однозначное
решение относительно η в окрестности точки /г = 0, т. е. формулы (55)
определяют взаимно однозначное преобразование координат. Связь между
координатами s, η и декартовыми координатами х, у, в силу формул (52)
и (55), определяется соотношениями
*=Ф (*)+/*(*. и, 0)ψ(5)-=φ(5, η), y = ty(s) — f*(s, л, 0) φ (5)= ψ (β, и).
(56)
Из определения функции /* (s, m0, 0) следует, что в системе координат s, n
кривые η = const совпадают с замкнутыми траекториями системы (А0).
Поэтому уравнения (56) при фиксированном значении η являются
параметрическими уравнениями одной из таких траекторий. В частности,
значению η = 0 соответствует траектория L0 исходной системы (А0).


§ 33] ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ 423
Параметр s совпадает на траектории L0 со временем t. Однако на
отличных от L0 замкнутых траекториях системы (А0) параметр s, вообще
говоря, уже не совпадает со временем, а периоды движения на этих
траекториях, вообще говоря, различны и не равны τ. Нетрудно убедиться,
однако, что в частном случае, когда исходная система (А0) линейна, s
совпадает с £, а период движения на всех замкнутых траекториях системы (А0)
один и тот же. Что касается формул (56), то их правые части при любом η
имеют один и тот же период τ относительно s.
Непосредственно проверяется, что функции φ (s, η) и ψ (s, n),
определенные формулами (56), обладают свойствами 1)—4), перечисленными
в начале § 32 (см. § 32.1, формулы (2)—(5)). Поэтому мы воспользуемся
результатами этого параграфа, сохраняя введенные там обозначения.
Системе (Αμ) соответствует в координатах s, η дифференциальное
уравнение
-^- = Д(«, η, μ), (57)
тде R (s, /г, μ) — аналитическая функция в области
— оо<5< + оо, |л|<л*, |μ|<μ*
(дг* и μ* — достаточно малые положительные числа; см. § 32.1, (ΙΙμ)).
Система координат s, η выбрана так, что при μ = 0 решениями
уравнения (57) являются функции η — const. Поэтому R ($, η, 0) ~ 0. Но тогда
все члены разложения функции R (s, η, μ) в ряд по степеням тг, μ в
окрестности точки η = 0, μ = 0 содержат множитель μ, т. е. это разложение
имеет вид
R (г?, η, μ) = A0i (s) μ + Λη (s) μη + Α02 (s) μ2 + .. . (58)
Так же, как в § 32.1, обозначим через
n = f(s; 0, п0, μ) (59)
решение уравнения (57), соответствующее начальному условию п — щ при
5 = 0. Функцию последования системы (Αμ) на дуге без контакта Ζ,
определяемой уравнением s = 0, обозначим через / (щ, μ). Очевидно,
f(n0, μ) = /(τ; 0, η0, μ). (60)
Пусть
d (λ0, μ) = / (λ0, μ) — »ο- (61)
В силу свойств йыбранной системы координат / (s; 0, п0, 0) = п0. Поэтому
d (/ι0> 0) = / (лг0, 0) — гг0 = 0, и разложение функции d (η0ι μ) в ряд
в окрестности точки (0, 0) имеет вид
d {щ, μ) = г/οιμ + Μ4ιΛ0μ + Μ02μ2 + .. -, (62)
так что
d(n0, μ)=μ·άι(η0, μ), (63)
где
di {Щ, μ) = u0l + uu+n0u^ + . .. (64)
Как мы указывали, функция d (гс0, μ), а следовательно, и dx (дг0, μ)
заведомо определены при всех достаточно малых значениях п0, μ.
Значению п0 = 0 соответствует замкнутая траектория L0 системы
(А0). Предположим, что dl (0, 0) = 0. Тогда, если числа | п0 \ и μ
достаточно малы и μ Φ 0, то d (дг0, \л.) =£ 0. Но это значит, что достаточно
близкая к (А0) система (Αμ) не имеет в окрестности траектории L0 системы (А0)


424 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. XIII
замкнутых траекторий. Таким образом, равенство
является необходимым условием для того, чтобы у достаточно близкой
к (А0) системы (Αμ) в достаточно малой окрестности кривой L0
существовали замкнутые траектории.
Вопрос о числе таких замкнутых траекторий эквивалентен вопросу
о том, сколько достаточно близких к нулю корней имеет уравнение
di (п0, μ) = 0 при достаточно малых μ Φ 0. По теореме о неявных
функциях достаточными условиями существования единственного такого
корня являются условия
^(0, 0) = 0, tf'lno(0, 0)^0. (65)
Теорема 77. Пусть L0 — замкнутая траектория системы (А0)г
соответствующая значению п0 = 0, и пусть выполняются условия
<?μ(0, 0) = 0, dlno(0, 0)ф0. (66)
Тогда существуют числа е>0 и δ>0 такие, что
а) для любого μ, | μ | < δ, система (Αμ) имеет в Uг (LQ) одну и только
одну замкнутую траекторию Ζ/μ, стягивающуюся к L0 при μ ->- 0;
б) эта траектория является грубым предельным циклом,
устойчивым, если μ·<ίμη0 (0, 0) < 0, и неустойчивым, если μ·<2μηο (0> 0) > 0.
Доказательство. Из формулы (63) следует, что
^ (о, о) = dt (О, 0), ^μηο (о, θ) = d[no (о, 0). (67)
Последние соотношения показывают, что условия (66) эквивалентны
условиям (65), и утверждение а) вытекает непосредственно из теоремы
о неявных функциях.
Переходим к доказательству утверждения б). Пусть замкнутая
траектория Ζμ соответствует значению п0 = h (μ) (μ Φ 0, | μ | < δ). Это
значение удовлетворяет уравнению άχ (η0, μ) = 0, т. е. d4 (h (μ), μ) = 0. h (μ)
есть аналитическая функция, и так как d^ (0, 0) = 0, то h (0) = 0, т. е.
разложение функции h (μ) в ряд по степеням μ имеет вид
h (μ) = α4μ + α2μ2 + · · · (68)
Для того, чтобы доказать грубость цикла Ζ/μ и установить характер
его устойчивости, найдем d'no(n0, μ) при n0 = h(\x). Из условий (60)
следует, в силу (64), (65) и (67), что
"οι = 0, ин = rfino (0, 0) = din, (0, 0) φ 0. (69)
Дифференцируя (62) по щ, мы получим
d'no (Ло. μ) = μ"ιι + ^12μ2 + 2α2ι^0μ + . . .,
откуда
d'no (h (μ)» μ) = μ^ιι + ^μ2 + 2"2ι& (μ) μ +...
или, в силу (68) и (69),
d'no (h (μ), μ) = μ - d^0 (0, 0) + ο (μ).
Последнее равенство показывает, что при достаточно малых μ Φ 0
производная d'no (h (μ), μ) отлична от нуля и имеет знак, совпадающий со знаком
μ·ίΖμηο (0, 0). А это и значит, в силу результатов главы V (см. § 12.3),
что выполняется утверждение б). Теорема доказана полностью.


§ 33] ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ 425
4. Системы, близкие к гамильтоновой. В случае, когда исходная
система является гамильтоновой, условия рождения предельного цикла
из замкнутой траектории такой системы приобретают особенно простой
вид. Мы выведем их, пользуясь теоремой 77 и формулами § 32.
Пусть система, близкая к гамильтоновой, записана в виде
"if = —^ + μρι{χ9 y)+μ*P2(x, у)+...,
7 дн (Βμ)
-J- = -q^+mi (*. у) + μ2^ (*, у) +...
Уравнения замкнутых траекторий исходной системы (В0) имеют вид
Η (χ, у) = С. Мы будем считать, что система (Βμ) рассматривается в дву-
связной области G, заполненной траекториями Η (х, у) = С, где 6Ί < С <С
< С2. Пусть L0 — одна из таких траекторий, χ = φ (t), у — ψ (/) —
соответствующее ей движение, τ — период функций φ и ψ. Введем
в окрестности траектории L0 криволинейную систему координат s, n,
описанную в начале п. 3 (см. (56)), в которой траектории динамической
системы (В0) имеют уравнения η = const. Пусть траектория L0 имеет
уравнение η = п0. Тогда разложение функции d (тг0, μ) в ряд в окрестности
точки 7г = /г0, μ = О имеет вид
<1{Щ, μ) = ν>0ιμ + ν>η(η0—ηο)μ + ιι02μ2+... (70)
(см. формулы (59) — (62)). Очевидно, в этом случае в теореме 77 вместо
чисел ά'μ (0, 0), άμηο (0, 0) надо взять числа ά'μ (п0, 0) <2μ„0 (гс0, 0).
Так как d^ (n0l 0) = иои то для вычисления d^ (дг0, 0) можно
воспользоваться формулой (36) § 32.1, заменив в ней Δ (0, 0) через Δ (0, п0).
Принимая во внимание, что для гамильтоновой системы
Ρχ{χ, y) + Qy(x, y) = -ij^r+i^- = of
мы получим:
τ
d'v К, 0) =—±=- \ [?1 (φ (*), ψ (s)) φ' (s)-Pi (φ (*), ψ (*)) ψ' (s)} ds (71)
Δ (0, w0) J
или, записывая последний интеграл как криволинейный,
ά'μ(η01 0)= ' /Ы, (72)
Δ (0, п0)
где
J (щ) = J ffi (ж, #) dx—Pi {x, у) dy. (73)
Пусть G0 — область, заключенная внутри кривой L0. Если система
(Βμ) определена во всей области С?0, то, применяя формулу Грина, мы
можем криволинейный интеграл заменить двойным. Поэтому условие
ά'μ (гс0, 0) = 0 эквивалентно условию
Ι Ι [Ρίχ{ζ, y) + q'iy{x, y)]dxdy = 0. (74)
Go
Если же система (Βμ) не определена во всей области 6г0, то условие
d[i (гсо» 0) эквивалентно условию
J (по) = \ 4i dx—pi dy = 0. (75)
(L0)


426 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. ХШ
Перейдем к рассмотрению числа άμηο(η0, 0). Так как число щ
не играет никакой особой роли среди чисел п0, то άμηο (щ, 0) можно
найти, дифференцируя (72) по п0. Таким образом,
1 dl (щ) , т—х d / 1 \
V А(0,й0) '
^μηοΚ, 0)=-
Δ (0, nQ) dn0
dI^+J(n0) d
driQ
(76)
Вычислим —e^. Будем для определенности считать, что возрастанию t
driQ
соответствует обход замкнутой траектории L0b положительном направлении.
Мы имеем
dj(n0) =цт J(n0+h)— J(n0) ,,jrj.
driQ
Λ-^0
Обозначим через L0h замкнутую траекторию
системы (В0), соответствующую значению
параметра n0-\-h, через Gh—область, ограниченную
траекториями L0 и L0h. Число h возьмем такого
знака, чтобы траектория L0 лежала внутри L0h
(рис. 173). Тогда J(n0 + h)—J (щ) есть
криволинейный интеграл (73), взятый по границе области Gh, и, по формуле Грина,
Рис. 173.
J{n0 + h)—J (п0) = — ^ [ρίχ (я, у) + qiy (я, у)] dxdy.
(78)
Переходя в последнем интеграле к криволинейным координатам s, η
по формулам x = q>(s, /г), y = ty(s, /г), мы получим
J(n0 + h) — J(n0)= — ^ [pU (φ, ^) + ^iy (Ψ. Ψ)11 Δ (5, n)\dsdn, (79)
Gh
где A(s, /г)— якобиан -yr^-l--· Этот якобиан, по условию, имеет один
и тот же знак вблизи траектории L0, мы будем считать, что Δ (s, /г)>0.
В силу выбора системы криволинейных координат s, /г в разложении
функции (57) в ряд по степеням μ и η—п0 отсутствуют члены, не
содержащие μ (см. (58)). В частности, 410(s)s0. Однако в нашем случае,
в силу § 32.1, (32)
Ai0(s) = P'x{<p, ψ) + <?ί,(9. ψ)-
ds
■Id (Δ (s, /ι0)),
a Px-\-Qy = 0. Поэтому -j- In (Δ (5, ?г0)) = 0, т. е. Δ (s, щ) при любом /г0
не зависит от s, а значит, при любом тг
Δ (5, λ) = Δ(0, η). (80)
По условию при возрастании t траектория L0 обходится в
положительном направлении, а
Δ (s, щ) =
φ; (5, щ) ψ; (5, λ0)
φή (^, λ0) ψ; (5, η0)
φ'(^) Ψ'W
φή (5, гг0) ψ; (s, л0)
>0.
Следовательно, вектор v(cpn(s, тг0), ψή(«, /г0)) направлен внутрь
кривой L0 (рис. 173). С другой стороны, этот вектор имеет направление,


J 33] ЗАМКНУТЫЕ ТРАЕКТОРИИ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЫ 427
соответствующее возрастанию щ на кривой x=-(f(s, п0), y = ty(s, щ), где
s—постоянная. Поэтому из условия, что кривая L0 лежит внутри L0k,
следует, что А<0. Переходя в формуле (79) от двойного интеграла
к повторному, принимая во внимание, что /г<0, aA(s, η) = Δ(0, /г)>0,
мы получим
по τ
J(n0 + h) — j(n0)= — J dn jj [p\x (φ, ty)+q'iy (φ, ψ)] Δ (0, n)ds,
no+h 0
тде <p = <p(s, η), ψ = ψ(«, /г). Отсюда
_ т
^> = Ϊ [ρί, (φ W, Ψ (»)) + q'iy (φ (*), ψ (*))] Δ (0, щ) ds. (81)
dn0 J
Из формул (76) и (81) следует, что при условии J(n0) = 0 имеет место
равенство
χ
ίμη0(Λθ, 0)= J [Ρί*(φ(»), Ф(*))+?1у(ф(»). Ф(*))]Л. (82)
О
Из всего вышесказанного и из теоремы 77 получается, очевидно,
следующая теорема, принадлежащая Понтрягину (см. [31]).
Теорема 78. Пусть L0 — замкнутая траектория гамилътоновой
dx дН dy дН
системы -=— = —, -£- = —— ,
dt ду ' dt дх '
— соответствующее ей движение, % —период функций φ w ψ, G0-
область, заключенная внутри траектории L0, α
— система, близкая к гамилътоновой (μ —малый параметр). Тогда, если
[ J [pi* (ж, ») + ?!„ (ж, г/)] dxdy = 0, (74)
"во
τ
г= jj ΙρΊχ(φ(5), *(«)) + ?1у(ф(»), *W)li^o, (75)
b
/гго существуют числа ε > 0 и δ > 0 такие, что
а) Зля любого μ, | μ | < δ, система (Βμ) имеет в Uг (L0) одну и
только одну замкнутую траекторию Ζ,μ, причем Ζ/μ стягивается к L0 при μ ->- 0;
б) эта траектория является грубым предельным циклом, устойчивым
при μΐ < 0 и неустойчивым при μι > 0.
Замечание 1. В случае, когда система (Βμ) определена не во
всей области G0, а лишь в окрестности траектории L0, условие (74) нужно
заменить условием
т
I lffi(q>(«), ψ(*))φ'(*)—Л(Ч>(*), ^(s))V(s)]ds = 0
(см. (75)).


428 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ НЕКОТОРЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ [ГЛ. XIII
Замечание 2. Нетрудно видеть, что доказанная в п. 2 теорема 75t
относящаяся к системам, близким к линейной консервативной -^ = —у>
-j- = х, является частным случаем теоремы 78. В самом деле уравнение
траектории указанной линейной системы имеет вид χ = pt cos t, у =
= pi sin t. Подставляя эти функции в качестве φ и ψ в (74) и (75), мы
получим соотношения (51) п. 2.
В заключение настоящего параграфа сделаем замечание относительно
рождения предельных циклов из фокуса или центра. Мы уже
неоднократно видели, что существует большая аналогия между исследованием
динамической системы в окрестности замкнутой траектории и исследованием
в окрестности фокуса или центра. Эта аналогия имеет место и в вопросах,
связанных с рождением предельных циклов.
Предположим, что у исходной динамической системы (А0) начало
координат является состоянием равновесия с чисто мнимыми
характеристическими числами (т. е. сложным фокусом или центром). Рассмотрим
измененную систему
~ = Ρ + μΡι + μ2Ρ2+..., -gjf- = <? + μ<Ζι + μ2<?2+... (Αμ)
Переходя к полярной системе координат, ρ, θ и заменяя систему одним
уравнением, мы получим уравнение, аналогичное уравнению (57) п. 3:
-ig- = R (θ, ρ, μ) = Ri0p + JW + Я20Р2 + ..., (Ημ)
где коэффициенты Rtj—периодические функции от θ с периодом 2jc,
а ряд в правой части последней формулы сходится при всех достаточно
малых значениях ρ и μ (см. § 24.4, (54)).
Аналогично тому, как это делалось в п. 3, мы будем искать
решение /(Θ; О, ро, μ) уравнения (Βμ), удовлетворяющее условию /(0; 0, р0, μ) ==
==Ро, в виде ряда
Ρ = ЩоР + м0# + w20p2 + "ιιΡμ + ...,
где коэффициенты иц—функции от Θ, удовлетворяющие рекуррентным
уравнениям, аналогичным уравнениям (14) (§ 32.1).
Рассматривая функцию последования ρ = / (2π; 0, р0, μ) и функцию
d (р0, μ) = / (2π; 0, р0, μ) — Ро» мы можем так же, как в § 32.4, для
вывода достаточных условий рождения предельных циклов из сложного фокуса
или центра использовать диаграмму Ньютона.
Так как функция последования, построенная в окрестности фокуса
или центра, обладает некоторыми специфическими свойствами (см. § 24.1,
леммы 1, 2, 5), то специфическими свойствами обладает и функция d(p0, μ).
Однако мы не будем здесь останавливаться на этом.
Отметим, что функция Ψ (θ, ρ0, μ), построенная в п. 2 при
рассмотрении близкой к линейной динамической системы (31), определена для всех
достаточно малых значений р0 и μ. Поэтому мы можем использовать ее
при исследовании рождения предельных циклов как из замкнутых
траекторий исходной консервативной системы, так и из состояния равновесия
типа центр.


ГЛАВА XIV
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ БИФУРКАЦИЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ
КОНКРЕТНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Введение
В настоящей главе рассматриваются примеры динамических систем,
содержащих параметры. Почти все эти системы возникли в связи с
рассмотрением конкретных физических или технических задач. Основной
вопрос, который, естественно, возникает при рассмотрении таких задач,
заключается в выяснении того, как пространство параметров разбивается
на области, соответствующие одинаковым качественным структурам
динамической системы.
При значениях параметров, принадлежащих каждой из этих областей,
система имеет одну и ту же качественную структуру и, вообще, является
грубой (или во всяком случае «релятивно грубой», т. е. грубой по
отношению к пространству динамических систем, определяемому областью
изменения параметров). Точкам пространства параметров, лежащим на границе
двух областей, соответствуют негрубые системы, и при этом, вообще
говоря,— за исключением отдельных точек, — системы первой степени яегру-
бости.
Изложенные в настоящей книге сведения теории бифуркаций,
во-первых, дают приемы, позволяющие получать некоторые сведения о
качественной структуре динамической системы, и, во-вторых, позволяют
разобраться в возможном изменении качественной структуры при изменении
параметров.
При использовании указанных приемов большую роль играет уменье
однозначно установить качественную структуру динамической системы
хотя бы при частных значениях параметров. Поэтому при рассмотрении
примеров, приведенных в настоящей главе, используются также частные
приемы, изложенные в КТ (расположение изоклин, критерий Дюлака,
топографическая система и др.).
В общих чертах приемы качественного исследования, опирающиеся
на теорию бифуркаций, могут быть охарактеризованы следующим
образом:
1) Если в системе при некоторых значениях параметров есть
состояние равновесия, для которого Δ > 0 (т. е. узел или фокус), то
устанавливается, существуют ли значения параметров, при которых оно меняет
устойчивость, т. е. существуют ли значения параметров, при которых
у системы есть состояние равновесия с чисто мнимыми
характеристическими корнями. Исследование, изложенное в § 25.3, позволяет в этом случае
обнаружить (если это состояние равновесия не центр) появление
предельного цикла и, следовательно, найти область значений параметров, при
которых у динамической системы заведомо существует предельный цикл.


430
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ БИФУРКАЦИЙ
[ГЛ. XIV
2) Если состояния равновесия не определяются элементарно, то
ищутся значения параметров, при которых состояния равновесия имеют
максимальную сложность.
Исследование возможного характера состояний равновесия при
значениях параметров, близких к значениям, соответствующим максимальной
сложности, позволяет в некоторых случаях установить все возможности,
которые могут осуществиться в отношении числа и характера состояний
равновесия.
3) Если какими-либо приемами установлена качественная структура
в двух различных точках пространства параметров, то при переходе от
одной из этих точек к другой можно иногда установить, например, наличие
сепаратрисы, идущей из седла в седло, и, в связи с этим, появление
предельных циклов.
Наибольшие трудности при качественном исследовании представляет
доказательство отсутствия или наличия предельных циклов, которые
появляются из «уплотнения траекторий». Ввиду этого среди
рассмотренных ниже примеров лишь в очень немногих удается провести полностью
однозначное исследование.
§ 34. Примеры
Пример 12 (рождение предельного цикла из сложного фокуса).
Рассмотрим систему
-?±^Qxy + Vi{i-2x-2y-2x* + 2xy + ?>y%
! (1)
-g- = 4—2x—2y- 2х* + 2ху + Ъу*-Ь\1ху,
где μ>0 и достаточно мало.
Векторное поле ее получается из поля системы
■§- = Ъху, ^-=Ь-2х-2у-2х* + 2ху + Ъу* (2)
поворотом на угол, равный arctg μ (см. § 3.2). Непосредственно видно,
что ось ординат χ = 0 есть траектория системы (2). Система (2) имеет два
состояния равновесия — точки А (1, 0) и В (— 2, 0). Оба они являются
простыми (Δ Φ 0). Характеристическое уравнение состояния равновесия
А (1,0) имеет вид λ2 + 36 = 0, т. е. А (1, 0) есть состояние равновесия
с чисто мнимыми характеристическими числами. Так как (2) —
аналитическая система, то А может быть либо сложным фокусом, либо центром.
Характеристическое уравнение состояния равновесия В (— 2, 0) есть
Я,2 + 6λ + 72 =■ 0. Его корни λ1>2 = — 3 ± 3ι>'Ύ, т. е. В (— 2, 0) есть
простой устойчивый фокус системы (2).
Система (1) имеет своими состояниями равновесия те же точки Л (1, 0)
и В (—2, 0), что и система (2) (см. сноску на стр. 221). Очевидно, если μ
достаточно мало, то В (—2, 0) является простым устойчивым фокусом
также для системы (1).
Для исследования характера состояния равновесия А (1,0)
воспользуемся результатами главы IX. Перенося начало координат в точку А и
возвращаясь к прежним обозначениям, мы получим из системы (1) систему
-JL = — 6μχ + 6у—2μχ* + (6 + 2μ) ху + 3μι/,
at (3)
^=_6*-6μ^-2*2 + (2-6μ):π/ + 3ί/2,


§ 34]
ПРИМЕРЫ
431
при μ = 0 обращающуюся в систему
*L = 6y + 6xy, -ff=-6x-2z* + 2xy + 3y\ (4)
Для системы (3) σ (μ) = Р'х + Q'y = — 12μ, σ'(0) = — 12 < 0.
Величина α3 для системы (4) подсчитывается по формуле (76) § 24.4 и равна
-^-, т. е. а3>0*). Следовательно, как показывает таблица, приведенная
I Li
в § 25.3, точка А (1,0) есть неустойчивый сложный фокус системы (2)
и — при малом положительном μ — устойчивый фокус системы (1),
в окрестности которого имеется неустойчивый предельный цикл.
Исследуем поведение траекторий системы (1) на бесконечности, следуя
схеме, описанной в КТ, § 13.2. Применяя преобразование χ = — , у = — ,
мы убедимся, что «концы оси ζ» не являются состояниями равновесия.
и 1
Применяя к системе (1) преобразование χ = — , у = — и умножая правые
части полученной системы на ζ, мы получим систему
-^-=3μ — 2μζ + (3 + 2μ) ν + 4μζ2 + (2 — 2μ) νζ +
+ (ίμ — 2)ν2 — <ίζ*ν + 2ν2ζ + 2ν3^Ρ(ν, ζ), (5)
.|£-=_3* + (6μ —2) vz + 2z* + 2v*z + 2vz*—4z* = Q(v, ζ).
Так как Q (ν, ζ) имеет множителем ζ, то ось ζ = 0 состоит из
траекторий системы (5). Чтобы найти лежащие на ней состояния равновесия,
рассмотрим уравнение
Ρ(ν, 0) = 3μ+(3 + 2μ)ι; + (4μ — 2) ι;2 + 2ι;8=0. (6)
Производная Ρ'υ (ν, 0) = 3 + 2μ + (8μ — 4) ν + бг;2 при малых μ
не имеет действительных корней. Поэтому если μ мало и μ > 0, то
уравнение (6) имеет единственный действительный корень г?0, причем легко видеть,
что ν0 < 0 и lim v0 = 0. Таким образом, система (5) имеет на оси ζ = 0
единственное состояние равновесия D (v0, 0). Рассмотрим определитель
Δ(ι;0, 0):
P'v (V0, 0) P'z (V0, 0) |
Q'v (v0, 0) <?; (v0, 0)
^[3 + 2μ + (8μ-4)ϊ;ο + 6ι;20][-3 + (6μ-2)ι;ο + 2^].
При μ достаточно малом ν0 мало и Δ (г;0, 0) < 0, т. е. состояние
равновесия D (г?0, 0) есть седло системы (5). Две его сепаратрисы совпадают
с полуосями оси ζ = 0, примыкающими к точке D (г>0, 0). Направление
движения на них определяется уравнением dvldt = Ρ (ν, 0). Из этого
уравнения видно, что обе сепаратрисы, расположенные на оси ζ — 0,
являются α-сепаратрисами. Поэтому ω-сепаратрисы седла D лежат
по разные стороны оси ζ = 0 и расположение траекторий системы (5) в
*) Величины а/, в частности а3, введены в главе IX (§ 24.4, (61)). В этой главе
показано, что если О есть сложный фокус, а α3 φ 0, то знак а3 определяет характер
устойчивости фокуса.


432 ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ БИФУРКАЦИЙ [ГЛ. XIV
окрестности седла Ь имеет характер, изображенный на схематическом
рисунке 174.
Отсюда следует, в соответствии со схемой исследования на
бесконечности (КТ, § 13.2), что траектории системы (1) вблизи экватора
расположены так, как это показано на
ч
σ
V
рис. 175
В силу (1) при χ
μ (4—2у + 3»»)>0, а
2у + 3у*>0. При
О
-4
dx
Рис. 174.
dx
~df =
dy
dp
у=о
~—2μ(χ + 2)(ί-χ), a *L =
= 2 (χ + 2) (1—χ). Поэтому
траектории системы (1) пересекают оси
координат в направлениях,
указанных на рис. 175.
Принимая во внимание все
вышеизложенное (т. е. наличие у
системы (1) при малом μ > О двух устойчивых фокусов Л (1, 0) и В (— 2, 0)
и неустойчивого предельного цикла в окрестности фокуса Л, а также
расположение траекторий на бесконечности и направление движения
на траекториях в точках их пересечения с координатными осями),
приходим к выводу, что у системы (1) в полуплоскости χ < 0 должен
существовать неустойчивый извне предельный цикл Ct, к которому стремится
при t ->- — оо сепаратриса седла i?,
а в полуплоскости χ > 0 —
устойчивый извне предельный цикл С2,
к которому стремится при t-+- + оо
сепаратриса седла Ό\ Очевидно,
всякая замкнутая траектория
системы (1), отличная от Ct и С2,
либо лежит целиком в
полуплоскости χ < 0, и тогда она
расположена внутри С χ и содержит
точку В внутри себя, либо в
полуплоскости χ > 0, и тогда она
расположена внутри С2 и содержит
внутри себя фокус А. Нетрудно
убедиться, что система (1) может
иметь лишь конечное число
замкнутых траекторий. В самом деле,
допустим, что это не так. Тогда
существует бесконечное множество
замкнутых траекторий {Г},
расположенных «концентрически»
внутри цикла, скажем, С4. Из них можно выделить бесконечную
последовательность траекторий 1\, Г2, Г3, ..., обладающую тем свойством, что
каждая предыдущая лежит внутри последующей и каждая траектория
множества {Г} лежит внутри по крайней мере одной траектории Tt (см.
КТ, § 16.9, лемма 16). Пусть К — топологический предел
последовательности Г; (см. КТ, дополнение, § 1.10). Легко видеть, что К есть либо
замкнутая траектория Г*, причем в любой достаточно малой окрестности
Рис. 175.


§ 34]
ПРИМЕРЫ
433
внутри Г* имеются замкнутые траектории, а вне Г* их нет, либо К имеет
структуру О-предельного континуума (см. КТ, § 23.2, теорема 70), т. е.
состоит из чередующихся, состояний равновесия и сепаратрис,
стремящихся к ним. Однако так как (1) есть аналитическая система, то
замкнутой траектории
указанного типа
у нее быть не может. Структуру же нуль-
предельного континуума топологический
предел К не может иметь, так как все
состояния равновесия системы (1) —
фокусы.
Таким образом, мы показали, что
система (1) имеет лишь конечное число
замкнутых траекторий, причем по крайней
мере один предельный цикл в
полуплоскости х<с 0 и по крайней мере два в
полуплоскости χ >> 0. Мы не можем указать
точное число предельных циклов
системы (1). Однако ясно, что число предельных
циклов (с учетом их кратности),
расположенных в полуплоскости χ <: 0, нечетно,
а в полуплоскости χ > 0 —четно.
Расположение траекторий системы (1) в круге,
являющемся моделью евклидовой плоскости, изображено
до четного числа предельных циклов — на рис. 176.
Пример 13 (рождение предельного цикла из сложного фокуса
и из петли сепаратрисы, см. [20]).
Система
Рис. 176.
-С ТОЧНОСТЬЮ
х = У, У = — х+\*>У + ху + х2 + У*·
(7)
Она имеет два состояния равновесия — О (0, 0) и А (1, 0). Состояние
равновесия А является седлом при любом μ. Характеристические числа
состояния равновесия О (0, 0) λ1>2 = ~-± у \ ^ » поэтому оно
представляет собой:
1) при μ<: — 2 — устойчивый узел;
2) при — 2 < μ < 0 — устойчивый фокус;
3) при 0 < μ < 2 — неустойчивый фокус;
4) при + 2<!μ — неустойчивый узел.
При μ = 0 точка О есть состояние равновесия с чисто мнимыми
характеристическими числами. Для его исследования воспользуемся, как
и в предыдущем примере, результатами § 25.3. Мы имеем: σ (μ) = μ,
σ' (μ) = 1 > 0. α3 подсчитывается по формуле § 24.4 (76) и равно -у >0.
Поэтому при малых μ > 0, а также при μ = 0 точка О есть неустойчивый
фокус системы (7), в достаточно малой окрестности которого нет
предельных циклов, а при малых μ <С 0 точка О — устойчивый фокус, в
окрестности которого имеется неустойчивый цикл (см. таблицу в § 25.3).
Для исследования на бесконечности применяем сначала преобразова-
Умножая правые части получающейся
ние Пуанкаре χ = — , у = —
системы на ζ, мы приходим к системе
dv , « « о dz
- -μνζ — ν2—ν^ζ — vs,
dt
dt
— —ζ—VZ-
μζ2 + ^z2 — ν2 ζ. (8)


434
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ БИФУРКАЦИЙ
[ГЛ. XIV
При ζ = 0 система (8) имеет единственное состояние равновесия (0, 0),
являющееся устойчивым узлом. Второе из уравнений (8) доказываем
что ось ζ = 0 состоит из траекторий системы (8). Преобразование Пуанка-
1 и
ре χ = ■
У-
— приводит к системе
1 du л ,
-ζ + μιιζ — ζιι2-{-ιι2, -jr-
■uz,'
При ζ = 0 последняя система не имеет состояний равновесия. Отсюда
следует, в соответствии со схемой исследования на бесконечности (КТ,
§ 13.2), что траектории системы (7) на
бесконечности расположены так, как
это изображено на рис. 177.
Для дальнейшего исследования
системы (7) воспользуемся
вспомогательной системой
-^-=-х + х2.
(9)
dx dy
Ее общий интеграл, как легко
видеть, есть
[/2 я3 .г2
У*
(10)
Система (9) имеет своими
состояниями равновесия те же точки О и А,
что и система (7), причем О(0, 0) явля-
Рис. 177. ется ее фокусом, а ^4(1, 0) — седлом.
Кривые (10) и траектории системы (9),
из которых эти кривые состоят, изображены на рис. 178. Одной из
траекторий является петля L, идущая из седла А в то же седло и имеющая
уравнение
(И)
лежащие
У2 _ х* χ2 ι 1
~1Г~*~~3 2~+ 6 *
Все траектории системы (9),
внутри петли L0, замкнуты.
Рассмотрим контактную кривую
систем (7) и (9) (см. КТ, § 12.5). Ее
уравнение
{ — x + yLy + xy + x* + y*)y—
-у(-х + х*) = 0
или
9«(μ + * + Ι0 = Ο. (12)
Она состоит из всех тех точек, в
которых траектории систем (7) и (9)
касаются, и из состояний равновесия этих систем. Контактная кривая
распадается на прямые χ + у + μ = 0 и у = 0, однако контакт на прямой
у = 0 ложный, т. е. траектория системы (7), касаясь в точке с у = 0
траектории системы (9), пересекает ее (т. е. переходит с одной ее стороны
на другую; см. КТ, § 12.5).
Так как сумма индексов состояний равновесия, лежащих внутри
замкнутой траектории, равна 1, то всякая замкнутая траектория систе-
Рис 178.


§ 34]
ПРИМЕРЫ
435
мы (7) содержит состояние равновесия О внутри, а А — вне себя.
Поэтому такая траектория непременно должна пересекаться с замкнутыми
траекториями системы (9).
Рассмотрим пересечение кривой (11), частью которой является петля
L, с прямой контактов χ + у + μ = 0. Подставляя у = — χ — μ в (11),
мы получаем уравнение
/(*) = -£--*·-μ*+-ΐ— -£=0. (13)
Так как /' (х) = х2 — 2х — μ имеет корни #1>2 = 1 ± "j/Ί + μ, то
при μ < — 1 /' (х) > 0 и уравнение (13) имеет только один
действительный корень. При μ = — 1 уравнение (13) имеет трехкратный корень
х = 1, т. е. прямая контактов χ + у +
+ μ = 0 пересекается с кривой (11) в
точке Л (1, 0). Таким образом, при μ = — 1
петля Ь имеет с прямой контактов одну
общую точку А. Но тогда, как видно из
расположения прямой χ + У + μ = 0, при
μ < — 1 петля L не пересекается с
прямой контактов χ + У + μ = 0. Отсюда
вытекает, что при μ<[— 1 система (7)
не имеет замкнутых траекторий. В
самом деле, допустим, что L — замкнутая
траектория системы (7). Как было
установлено выше, L пересекается с замкнутыми
траекториями системы (9) и содержит часть
этих траекторий внутри себя. Но тогда Рис- Ι79· μ = —1 < μ*,
существует замкнутая траектория
системы (9), имеющая контакт (не ложный) с траекторией L,— именно
«наименьшая» траектория Ζ1? имеющая общую точку с L. Пусть Μ —
указанная общая точка. Μ лежит внутри петли L на контактной кривой (12),
т. е. на прямой у = 0. Но этого не может быть, так как во всех точках
этой прямой контакт ложный.
Установив, таким образом, что при μ<[— 1 система (7) не имеет
замкнутых траекторий, мы можем найти ее топологическую структуру.
Будем считать для определенности, что μ = — 1 (при μ < —- 1
структура такая же, только при μ<!— 2 точка О является устойчивым узлом,
а не фокусом), ω-сепаратрисы L^ и L2 седла А (1,0) должны выходить
из неустойчивого фокуса на бесконечности, так как других α-предельных
точек нет. Но тогда однозначно определяется и поведение α-сепаратрис
L3 и L4: одна из них, скажем L3, при t -^ + оо накручивается на фокус О,
а другая, L4, стремится к устойчивому узлу на бесконечности. Принимая
во внимание направление траекторий в точках координатных осей, мы
получим расположение траекторий, изображенное на схематическом
рисунке 179.
Рассмотрим теперь расположение траекторий системы (7) при μ = 3.
В этом случае точка О (0, 0) — неустойчивый узел. Абсцисса точки
пересечения кривой (11) с прямой контактов χ + у + 3 = 0 определяется,
после исключения у, из уравнения / (х) = х3 — Зх2 — 9х — 13 = 0.
Исследуя обычным образом функцию у = f (x), легко убедиться, что она
имеет единственный действительный корень х0, причем х0 > 3 (график


436
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ БИФУРКАЦИЙ
[ГЛ. XIV
/ (х) изображен на рис. 180). Отсюда следует, что прямая контактов
я + у + 3 = 0не пересекается с петлей L, и, применяя такое же
рассуждение, как выше, мы убеждаемся, что при μ = 3 система (7) также
не имеет замкнутых траекторий. Но тогда поведение сепаратрис седла А
(1, 0) системы (7) определяется однозначно (аналогично случаю, когда
μ<[ — 1). В самом деле, α-сепаратрисы седла A L3 и Lk могут идти только
в устойчивый узел на бесконечности, причем замкнутая кривая,
образованная этими сепаратрисами,
У\ должна содержать точку О внутри
себя. Но тогда одна из
ω-сепаратрис седла А — обозначим ее Li —
должна стремиться при t -*■ — оо
к узлу О, а вторая — L2 — к
неустойчивому узлу на бесконечности.
Учитывая направления
траекторий в точках координатных осей
и в узле О, а также направление
сепаратрис в седле А, можно
убедиться, что расположение
траекторий системы (7) при μ = 3 имеет
вид, изображенный на
схематическом рисунке 181. Легко видеть,
что при μ > 3 система (7) также не имеет замкнутых траекторий и,
следовательно, ее топологическая структура такая же, как при μ = 3.
Проследим, как ведут себя сепаратрисы L± и L3 при изменении
параметра μ от —1 до 3. С этой целью заметим прежде всего, что при
переходе от значения параметра μι к значению μ2 > μι все векторы поля
поворачиваются в одном и том же направлении, именно в положительном
(против часовой стрелки). Это следует из
того, что в силу уравнений (7)
Рис. 180.
(iL-liL-"-"^ (14)
Обозначим «первую» точку
пересечения сепаратрисы Li (L3) системы (7) с
отрицательной полуосью χ через Μι (μ),
ее абсциссу — через Χχ (μ) (соответственно
Μ ζ (μ) и *з (μ))· Отрицательная полуось х
не имеет контактов с траекториями
системы ни при каком μ. Поэтому мы можем
воспользоваться результатами § 11.1. Из
леммы этого параграфа следует, если
принять во внимание направления, в которых
сепаратрисы Lx и L3 пересекают ось х, что
при возрастании параметра μ χ3 (μ) убывает,
а χι (μ) возрастает, т. е. точки Jlf 4 (μ) и М3 (μ) перемещаются по оси χ
в противоположных направлениях. В силу проведенного выше
исследования *4 (—1)<*з (— 1). а *ι (3) >*з (3) (см. рис. 179 и 181). Далее,
функции χι (μ) и х3 (μ) непрерывны (см. замечание к лемме 3 § 9.2).
Следовательно, в интервале (-—1, 3) существует, и притом единственное, значение μ*
такое, что xt (μ*) = Хз (μ*)· Но это значит, что соответствующие этому
значению μ*ceπapaτpиcы Li и L3 совпадают, т. е. что при μ = μ*
система (7) имеет сепаратрису, образующую петлю. Обозначим эту сепаратрису
Рис. 181.


§ 34]
ПРИМЕРЫ
437
через L*. Значение функции σ (χ, у) = Р'х (х, у) + Q'y (x, у) в седле А
(1, 0) при μ = μ* равно μ* + 1. Так как μ* > — 1, то μ* + 1 > 0.
Поэтому (см. теорему 44, § 29.1) петля L* неустойчива, т. е. все
достаточно близкие к ней траектории, расположенные внутри петли, являются
спиралями, скручивающимися с петли. При μ — μ* топологическая
структура системы (7) вне петли L* определяется однозначно. Что
касается топологической структуры системы внутри петли L*, то она
определяется числом предельных циклов и характером устойчивости состояния
равновесия О, которые нам не известны. Если μ* < 0, то О — устойчивый
фокус и система (7) либо не имеет внутри петли L* замкнутых
траекторий, либо имеет четное число таких траекторий (с учетом их кратности).
Рис. 182. μ = μ*. Рис. 183. 0 > μ > μ*.
Если же μ*>0, то О есть неустойчивый фокус или узел и система (7)
имеет внутри петли L* нечетное число замкнутых траекторий. На рис. 182
изображена топологическая структура системы (7) при μ = μ* в
предположении, что система не имеет замкнутых траекторий.
Применяя результаты главы XI, мы можем теперь проследить, что
происходит с петлей сепаратрисы при изменении параметра вблизи
значения μ*. Именно, из замечания к теореме 49 (§ 29.3) следует, как легко
видеть, что при возрастании параметра μ от значения μ* петля
сепаратрисы L* нарушается (исчезает), а в окрестности ее рождается единственный
неустойчивый предельный цикл (см. рис. 183, сделанный в
предположении, что других предельных циклов система не имеет). При убывании
же параметра μ от значения μ* сепаратриса исчезает и в окрестности ее
предельных циклов нет.
Для того чтобы проследить, как меняется топологическая структура
системы при изменении параметра, нужно знать число предельных циклов
системы при каждом значении μ. Это число может меняться только при
переходе через бифуркационное значение параметра, причем в
рассматриваемой системе предельные циклы могут рождаться либо из сложного
фокуса, либо из петли сепаратрисы седла, либо из сгущения траекторий
(см. § 22, пример 8), либо, наконец, из сложного предельного цикла
(если таковой имеется). Проведем условное исследование именно в
предположении, что μ* < 0 и что система (7) при любом значении μ имеет
не более одной замкнутой траектории, причем грубой. Предварительно
рассмотрим, что происходит с предельным циклом системы при повороте
векторного поля системы.


438
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ БИФУРКАЦИЙ
[ГЛ. XIV
Замечание об изменении предельного цикла при повороте векторного
поля системы.
Пусть
~ = Р(х, у, μ), i!L = Q(x, у, μ) (Αμ)
— динамическая система, имеющая при μ = μ0 предельный цикл L0.
Для определенности будем считать, что L0 есть устойчивый предельный
цикл, на котором возрастанию t соответствует движение в
положительном направлении (рис. 184), и что при возрастании μ векторы поля
поворачиваются в положительном направлении.
Проведем через какую-нибудь точку Μ0 цикла L0 дугу без контакта Z,
возьмем на ней точку Ми лежащую внутри L0 и достаточно близкую
к точке Μ о (рис. 184), и рассмотрим траекторию Lu проходящую через
точку Ми Li пересекает вторично дугу I в
точке М2, лежащей между Μχ и М0.
Рассмотрим систему (Αμ), где μ —
достаточно близкое к μ0 число, μ > μ0. Траектория Li
системы (Αμ), проходящая через точку М4,
пересекает дугу без контакта I в точке М2,
достаточно близкой к М2. Предельный цикл L0
системы (Αμ ) является для системы (Αμ) циклом
без контакта, причем всякая траектория L
системы (Αμ ), пересекающая L0, при возрастании t
входит в область Г, ограниченную кривой L0
и замкнутой кривой С, состоящей из витка ΜχΜ2
траектории L4 и части ΜιΜ2 дуги I (на рис. 184 Г
заштрихована). Так как L не может выйти из
области Г и в этой области нет состояний равновесия, то в Г имеется —
причем в силу теоремы 72, § 32.4, только одна — замкнутая траектория L0
системы (Αμ). Таким образом, мы можем сказать, что при повороте векторного
поля системы (Αμ ) в положительном направлении его предельный цикл L0
сжимается. Очевидно, при повороте поля в отрицательном направлении
предельный цикл L0 расширяется. Аналогичный результат получается
для неустойчивого предельного цикла. Применяя такое же рассуждение
к полуустойчивому (четнократному) циклу и пользуясь теоремой 71
(§ 32.4), мы убедимся, что при вращении векторного поля в одном
направлении четнократный цикл исчезает, при вращении же в другом
направлении этот цикл распадается на два цикла (устойчивый и неустойчивый),
один из которых сжимается, а другой расширяется.
Вернемся к рассмотрению системы (7). Итак, допустим, что μ* < О
и что система (7) имеет не более одной замкнутой траектории, причем
грубой. При μ< -— 1 система имеет топологическую структуру,
изображенную на рис. 179, в частности, она не имеет замкнутых траекторий.
При значениях μ от —1 до μ* у системы (7) также нет замкнутых
траекторий. В самом деле, при возрастании μ от —1 до μ* < 0 замкнутая
траектория могла бы появиться только от сгущения траекторий, но тогда
она не была бы грубой. Итак, при возрастании μ от —оо до μ*
топологическая структура системы одна и та же (рис. 179), причем точки Mi
и Μ ζ сепаратрис Ζ,4 и L3 движутся по оси χ навстречу друг другу.
При μ = μ* сепаратрисы L\ и L3 сливаются и образуют
неустойчивую петлю. Так как состояние равновесия О при этом устойчиво, то систе-


§ 34]
ПРИМЕРЫ
439
ма (7) при сделанном предположении не может иметь предельных циклов
и, следовательно, имеет топологическую структуру, изображенную на
рис. 182.
При переходе через значение μ = μ* (при возрастании μ) из петли
сепаратрисы рождается неустойчивый предельный цикл. Других циклов
система иметь не может, и ее топологическая структура имеет вид,
изображенный на рис. 183. При возрастании μ от μ* до 0 этот цикл, в силу
сделанного замечания, сжимается и при μ = 0 «влипает» в состояние
равновесия О, меняющее в этот момент свою устойчивость. Так как при
μ = 3 система не имеет замкнутых траекторий, то она не имеет их и при
μ = 0. В самом деле, замкнутая траектория могла бы появиться при
уменьшении μ от 3 до 0 только из сгущения траекторий, но тогда она
не была бы грубой. Таким образом, при значениях μ>0 система имеет
топологическую структуру, изображенную на рис. 181.
При уменьшении μ от оо система вначале не имеет замкнутых
траекторий, затем — при переходе через μ = 0 — из фокуса О рождается
неустойчивый предельный цикл, этот цикл расширяется и при μ = μ*
превращается в петлю сепаратрисы, которая при переходе через μ = μ*
исчезает.
Мы предлагаем читателю провести в качестве упражнения
аналогичное («условное») исследование, исходя из предположения, что μ* > 0
или μ* = 0 и что система имеет в каждый момент наименьшее возможное
число замкнутых траекторий.
Пример 14 (рождение предельного цикла из петли сепаратрисы
седло-узла; см. [34]).
Рассмотрим систему
%ΐ = ν(χ + μ)+& + ν*—1=Ρ{χ, У, μ), %=—x{x + v) = Q(x, У, μ).
(δμ)
Непосредственно проверяется, что окружность
х2 + У2 —1-0
(обозначим ее W) состоит из траекторий системы (8μ).
Состояния равновесия определяются из уравнений Ρ (χ, у, μ) = 0,
Q{x, У-, μ) = 0· Имеется два состояния равновесия на оси у А^ (0, αμ),
βμ(0, 6μ), где
βμ=-ξ-+1/^+1>°· ^=-£-ΐ/-£+1<0.
Остальные состояния равновесия определяются из уравнений χ + μ = 0
и χ2 + у2 — 1 = 0. При | μ | > 1 эти уравнения противоречивы. При
"0 <С | μ | <С 1 они определяют два отличных от 4μ и 5μ состояния
равновесия С^ (—μ, εμ) πΖ)μ (—μ,—сД где ομ = ]/l — μ2. Таким
образом, при 0 < Ι μ Ι < 1 система имеет четыре состояния равновесия.
При | μ | = 1 состояния равновесия Ομ и D^ сливаются и система имеет
три состояния равновесия Аи В1 и С4 (С± совпадает с Z?t). Наконец, при
μ = 0 система имеет два состояния равновесия А0 и В0 (их можно считать
совпадающими соответственно с С0 и/)0). Ομ πΖ)μ лежат на окружности W.
Так как αμ·&μ = — 1, то при μ Φ 0 одна из точек Αμ, Βμ лежит внутри,
а другая — вне окружности W. Расположение состояний равновесия
системы (Sp,) при разных значениях параметра μ изображено на рис. 185
(на этом рисунке стрелки показывают направление движения состояний
равновесия при возрастании параметра μ).


440 ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ БИФУРКАЦИЙ [ГЛ. XIV
Характер состояний равновесия определяется обычным способом.
Оказывается, что при μ Φ 0, | μ | Φ 1 точки 4μπ5μ являются узлами
или фокусами при μ > 0 и седлами
при μ < 0, а точки Βμ и С^ — узлами
или фокусами при μ < 0 и седлами
при μ > 0 (рис. 185). Состояние
равновесия С^ системы (βμ) при μ = ± 1
является сложным, причем для него
Δ = 0, σ = Р'х + Q'y φ 0. Положим
для определенности, что μ = — 1,
и произведем исследование методом,
изложенным в КТ, § 21.2, применяя
теорему 65 этого параграфа.
Система (βμ) при μ = — 1 имеет вид
dx
^. = „(*_!)+*·+ „«_!,
dt
-i).
(S-i)
Рассматриваемое состояние
равновесия C-i имеет координаты (1, 0).
Перенося начало координат в
точку С-и сделав затем преобразование
координат χ = —2у, у = ^х + у^ = ·^
и возвращаясь к старым обозначениям
х, у, t, мы получим систему
Рис. 185.
dx
1
—- = -— ΎΔ
dt Ъх
-if
dt
У —
16"
V
Применяя к ней теорему 65 из КТ, § 21.2, мы убедимся, что точка С-х
является седло-узлом системы (S_t) и что расположение траекторий
вблизи него имеет вид,
схематически изображенный на рис. 186
(этот результат можно было
предвидеть заранее, рассматривая
точку С_! как получившуюся от
слияния узла Сμ и седла Ζ3μ
системы (βμ) при μ ->- — 1). Аналогично
обстоит дело с точкой С\
системы (Si).
Состояния равновесия А0и В0
также являются седло-узлами
(системы (S0)). Однако мы не будем
доказывать этого, так как для
дальнейшего нам важно только,
что индекс Пуанкаре каждого из
этих состояний равновесия равен 0.
В последнем же можно убедиться,
заметив, что при переходе к близ-
Рис. 186.
кой системе (8μ) в окрестности
точки А о (или В0) появляются два состояния равновесия Αμ и £μ
(соответственно Вμ и Ζ)μ), сумма индексов которых равна нулю.


§ 34]
ПРИМЕРЫ
441
Как уже указывалось выше, окружность W {х2 + У2 — 1 = 0) состоит
из траекторий системы (βμ). В случае, когда на этой окружности нет
состояний равновесия, т. е. при | μ | > 1, W является замкнутой
траекторией системы (βμ). Покажем, что ни при каком значении μ система
(βμ) не имеет замкнутых траекторий, отличных от W.
Рассмотрим сначала случай, когда μ — 0. В этом случае система
(βμ) имеет два состояния равновесия А0 и В0, индекс Пуанкаре каждого
из которых равен 0. Так как сумма индексов состояний равновесия.
а) б)
Рис. 187. α) μ > 0; б) μ < 0.
лежащих внутри замкнутой траектории, равна 1 (КТ, § 11.2, теорема 28г
следствие 1), то система (S0) не может иметь замкнутых траекторий.
Пусть теперь μ Φ 0. Рассмотрим вспомогательную систему
-^■ = μ^ + ^2 + ι/2—Ι, $ί.= —ζμ (ξμ)
ί обе системы (8μ) и (Эй) можно рассматривать как частные случаи системы
^- = ΰ(αχ + μ)+α* + ν*—ί, 2jL= — χ(αχ+μ)} .
Непосредственно проверяется, что система (βμ) имеет общий интеграл
(:с* + 0* —1)е»У=С. (15>
Семейство кривых (15) имеет вид, изображенный при μ > 0 на рис. 187, а,
а при μ < 0 — на рис. 187, б. Контактная кривая систем (βμ) и (§μ)
имеет уравнение х2 (х2 + у2 — 1) = 0. Она распадается на прямую χ — 6
и окружность W. Контакт на прямой χ — 0 ложный (см. предыдущий
пример, а также КТ, § 12.5) — знак выражения х2 (х2 + У2 — 1)
меняется только при переходе через окружность W.
Допустим, что система (βμ) имеет замкнутую траекторию L. Так как
сумма индексов состояний равновесия системы (βμ), лежащих внутри L,
равна 1, то по крайней мере один узел системы (βμ) лежит внутри L и πα


442
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ БИФУРКАЦИЙ
[ГЛ. XIV
крайней мере одно седло — вне L. Но тогда траектория L непременно
пересекает замкнутые траектории системы (βμ) и, следовательно, должна
иметь контакт (не ложный! — см. предыдущий пример) с одной из таких
замкнутых траекторий. Так как точка контакта может лежать только
на окружности W, являющейся траекторией системы (βμ) при любом
μ φ 0, то замкнутая траектория L системы (βμ) должна касаться
окружности W. Но это может быть лишь в том случае, когда L совпадает с W
(в силу того, что W является траекторией или состоит из траекторий
системы (βμ)).
Таким образом, мы доказали, что система (βμ) не имеет замкнутых
траекторий при | μ |<;1 и имеет в точности одну замкнутую
траекторию — окружность W — при | μ | > 1. При μ — — 1 система (βμ) имеет
седло-узел С-ι, ω-сепаратриса L+ которого образует петлю,
составляющую вместе с точкой С_4 окружность W. При t -*· — оо сепаратриса L+
стремится к седло-узлу С_4, являясь одной из внутренних траекторий
узлового сектора. В точке С_4 (1, 0)
Р'х{х,у, -l) + Q'y(x,y, -1) = 2>0. (16)
Рассмотрим теперь бифуркации, происходящие в окрестности
окружности W при изменении μ вблизи значения —1. При μ > — 1 система
не имеет замкнутых траекторий, а на окружности W вблизи точки (1, 0)
имеется седло и узел. При убывании μ эти точки сближаются, и при
μ = — 1 они сливаются, образуя седло-узел, одна из сепаратрис
которого образует петлю. При дальнейшем убывании μ седло-узел Сх
исчезает, и, в силу теорем 51 и 52 (§ 30) и соотношения (16), система должна
иметь в окрестности петли сепаратрисы Vе в точности один, и притом
неустойчивый, предельный цикл. Этим циклом является окружность W.
Таким образом, в данном примере рождение предельного цикла из петли
сепаратрисы осуществляется следующим образом: состояние равновесия С_4
превращается в обыкновенную точку, образующую вместе с петлей
сепаратрисы предельный цикл W. В точности так же обстоит дело при
изменении параметра μ вблизи значения μ = 1.
Для того чтобы выяснить топологическую структуру динамической
системы (SfA) на всей плоскости, необходимо рассмотреть более детально
характер состояний равновесия, а также расположение траекторий на
бесконечности. Мы предоставляем сделать это читателю в качестве
упражнения. Очевидно, значения μ = 0, 1, —1 являются бифуркационными.
Пример 15 (рождение предельного цикла из петли сепаратрисы
седла и из сложного фокуса).
Рассмотрим систему
^.= -(1-Р) + у(1 + Рх)=Р(х,у),
(А)
■^-= e(a? + y»)(l-hPar) =<?(«, у).
В задаче, описываемой этой системой (задача об устойчивости горизонта
в уравнительной башне; см. [26]), физический смысл имеют только
значения х, удовлетворяющие соотношению
1 + β*>0, (17)
и только значения β и ε, удовлетворяющие неравенствам
0<β<|, 0<ε<οο. (18)


§ 34]
ПРИМЕРЫ
443
Мы будем считать, что неравенства (17) и (18) удовлетворяются.
В полуплоскости, определяемой неравенством (17) (т. е. располо-
1 \
женной правее прямой χ = -^- -^ J, система (А) имеет два состояния
равновесия Oi (—1, 1) и 02 (х2, Уг), где
1 1 . Έ/1 3 1 . Έ/1
*2 = Т ~Т + V ¥~Т' ^2= —2 + К Т~
1,1)
Проводя необходимые вычисления, нетрудно убедиться, что точка Ot (-
β
является узлом или фокусом, устойчивым при ε> 2(i__r\ и неустойчивым
β
при ε
_ β
-2(1—β)·
При 8 =
— о м —· ftt состояние
равновесия Ох имеет чисто мнимые
характеристические числа.
Состояние равновесия 02
является седлом при всех
рассматриваемых значениях
параметров. Установим
некоторые свойства его сепаратрис.
Изоклины вертикальных
и горизонтальных наклонов
имеют уравнения
соответственно
-(1-β) + „(1 + β*) = 0 (19)
llf+t-J
х + у* = 0.
(20)
Первая из них — гипербола,
а вторая — парабола.
Они разбивают
полуплоскость 1 + βχ>0 на области,
в которых χ и у сохраняют
знак. Обозначим эти области
/, II, ///, IV (рис. 188).
В скобках на этом рисунке указаны знаки соответственно χ и у.
Уравнение, определяющее направления сепаратрис, имеет для седла
02 вид
Рис. 188.
к'+ »"+?■ <'-Р> к + г = 0.
Так как ε > 0, 1 + βζ2 >0, у2> 0 и 0 < β < у , то оба корня
уравнения (21) отрицательны. Отсюда следует, что части сепаратрис,
расположенные вблизи точки 02, лежат в областях II и IV (рис. 188).
Принимая во внимание, что две сепаратрисы стремятся к седлу при
t-+- + оо, а другие две — при t-+- — оо, и рассматривая, как меняются
χ и у в областях // и IV, нетрудно убедиться, что вблизи седла 02
сепаратрисы расположены так, как это представлено на рис. 188.
Рассмотрим точку сепаратрисы L4, лежащую вблизи 02. Пусть она
соответствует значению t0 времени. Так как эта точка лежит в области IV


444
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ БИФУРКАЦИЙ
[ГЛ. XIV
то при возрастании t она будет двигаться влево вверх (х убывает, у
возрастает). Но тогда сепаратриса L4 не может пересечь параболу (20),
являющуюся изоклиной горизонтальных наклонов, и должна, очевидно,
пересечь прямую 1 + β# = 0. Точно так же можно показать, что
сепаратриса Li при убывании t уходит в бесконечность.
<2?+^ =
Рис. 189.
Что касается сепаратрис L2 и L3, то их поведение не определяется
однозначно и требует специального исследования. Для проведения его
рассмотрим вспомогательную систему
£ = *. ^=-в(*+г/2). (В)
dt
dt
Деля второе уравнение на первое и делая замену у2 = ζ, мы придем
к линейному уравнению, в результате интегрирования которого
получается общий интеграл системы (В), имеющий вид
F(x, y) = ea« ( —£- + x + f} = C.
(22)
Система (В) имеет единственное состояние равновесия — начало
координат О (0, 0) (оно соответствует значению С = — ■=— в
уравнении (22)). Исследование кривых (22) обычными элементарными методами
показывает, что они имеют вид, изображенный на рис. 189. Значению
С = —ψ- соответствует состояние равновесия О(0, 0). Значениям
—2~< С < 0 соответствуют замкнутые траектории системы (В), причем,
когда С возрастает, эти замкнутые траектории расширяются. Значению
С = 0 соответствует парабола —у- + χ + у2 = 0, получающаяся из
параболы у + х2 = 0 сдвигом вправо на у- (на рис. 189 последняя
парабола изображена пунктиром; она не является траекторией системы (В)).
Значениям С > 0 соответствуют незамкнутые траектории.


§ 34]
ПРИМЕРЫ
445
Найдем уравнение контактной кривой систем (А) и (В). Вычисляя
производную от функции F (х, у), в силу системы (А)
**S^=F'»+r*=rj>(z,y)+F'vQ(z,v)
dt ~ х dt
(см. КТ, § 3.13) мы получим
dt
dF
dt
— 2ее2*х(х + у2)(1 — β).
(23)
dF
Отсюда следует, что контактная кривая -^—= 0 есть парабола а: + г/2 = 0,
являющаяся изоклиной горизонтальных наклонов как системы (А), так
и системы (В).
Так как β<-ο" , а ε>0, то в областях, где х + у*>0, т. е. в
областях II и III рис. 188, -^-<0. Это означает, очевидно, что траектории
ЛГ+>-)
М(—J
Рис. 190. Пунктиром показано возможное поведение
сепаратрисы L2.
системы (А), пересекающие в этих областях замкнутые траектории
системы (В), при возрастании t входят внутрь их. В областях же/и IV, где
я + #2<0, -^т->0 и траектории системы (А), пересекающие замкнутые
траектории системы (В), при возрастании t выходят из этих кривых.
Ось χ является изоклиной вертикальных наклонов системы (В).
Каждая замкнутая траектория системы (В) пересекает положительную
полуось χ только в одной точке в направлении сверху вниз (рис. 189).
Рассмотрим теперь α-сепаратрису L2 системы (А), выходящую из
седла 02 в область // (х > 0, у < 0, см. рис. 190). Так как точка 02 лежит ле-
вее параболы —^—\- х + У2 = 0> то проходящая через нее траектория


446
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ БИФУРКАЦИЙ
[ГЛ. XIV
системы (В) является замкнутой (рис. 190). Обозначим ее L0. В
точке 02 сепаратриса L2 входит внутрь Ь0, так как в этой точке наклон L2
отрицателен, а наклон L0 горизонтален (рис. 190; точка 02 лежит на
изоклине горизонтальных наклонов системы (В)). Находясь в области,
где χ + у2 > 0, сепаратриса L2 не может пересечь кривую L0 и выйти
из нее, так как в указанной области она пересекает замкнутые траектории
системы (В), входя внутрь их. Кроме того, при возрастании t сепаратриса
L2 не может перейти из области 77 в область /, пересекая дугу Oi02
параболы у + х2 = 0, так как во всех внутренних точках этой дуги траектории
системы (А) направлены слева направо.
Поэтому для сепаратрисы L2 априори можно предполагать одну
из следующих возможностей:
1) либо, не выходя из области //, L2 стремится при t -»· + оо к
состоянию равновесия 04;
2) либо, оставаясь внутри кривой С0, сепаратриса L2 пересекает
изоклину вертикальных наклонов (гиперболу (19)), а затем пересекает
параболу (20) и входит в область IV.
При дальнейшем возрастании t для сепаратрисы L2 можно
предполагать следующие три возможности (не противоречащие тому, что в
областях I и IV траектории системы (А) пересекают замкнутые траектории
системы (В), выходя из них наружу):
2') сепаратриса L2 стремится к состоянию равновесия Οί9 если оно
устойчиво, или к устойчивому предельному циклу, окружающему это
состояние равновесия, если такой цикл существует;
2") сепаратриса L2 стремится к седлу 02; в этом случае, она,
очевидно, сливается с сепаратрисой L3, образуя петлю;
2'") сепаратриса L2 пересекает прямую 1 + β# = 0 (уйти в
бесконечность в нижней полуплоскости сепаратриса L2 не может ввиду того,
что в области IV у > 0).
Поведение сепаратрисы L3, как нетрудно видеть, определяется
поведением сепаратрисы L2.
Обратимся теперь к вопросу о существовании или отсутствии у
системы (А) замкнутых траекторий.
Всякая замкнутая траектория системы (А) должна содержать точку
Οχ внутри, а точку 02 вне себя и не может иметь общих точек ни с какой
другой траекторией, в частности с сепаратрисами L2 и L3. Отсюда
следует, что если сепаратриса L2 стремится к состоянию равновесия О^
то система (А) не имеет замкнутых траекторий. Допустим теперь, что
сепаратриса L2 пересекает гиперболу (19), и обозначим через х0 абсциссу
их точки пересечения М0 (рис. 190). Всякая замкнутая траектория
системы (А) обязательно пересекается с частью Ох02 изоклины (20) (параболы).
Принимая это во внимание, а также учитывая направление поля
системы (А) в областях /, II, IV и на изоклинах (19) и (20), нетрудно
показать, что если система (А) имеет замкнутые траектории, то они могут
лежать только внутри области, расположенной между вертикальными
прямыми χ = х2 и χ = х0.
Обозначим через М* (х*, у*) точку пересечения траектории L0
вспомогательной системы (В) с положительной полуосью х. Так как х0 < х*
(это видно при рассмотрении поведения сепаратрисы L2), то из
установленного выше следует, что если система (А) имеет замкнутые
траектории, то они могут лежать только в области, заключенной между
вертикальными прямыми χ = х2 и χ = х*.


§ 34] ПРИМЕРЫ 447
Воспользуемся теперь критерием Дюлака (КТ, § 12.3). В качестве
функции Дюлака возьмем
е2гх
Вычисления показывают, что
-к <фр)+-£ (ф« =^т&?[2ε <4+р*>-w·
Так как Р<у» а 1-|-β#^0, то последнее выражение обращается
в нуль только в точках прямой
β —2ε
Х~~ 2εβ *
В силу критерия Дюлака система (А) не может иметь замкнутых
траекторий в области, где — (ФР)+—(ф(?) =^0. Поэтому, если
упомянутая прямая не лежит между прямыми х = х2 и х — х*, т. е. если
выполняется одно из условий
β-2ε _1 1 /1 Τ
-2ψ~^χ2- 2~~β"^ V β 4
или (24)
β-2ε *
2εβ ^ж '
то система (А) не имеет замкнутых траекторий.
Первое из условий (24) может быть записано в виде
2е^2^К β 4 #
Ясно, что оно выполняется при любом β, 0<β<-ο-, если ε>1.
Рассмотрим теперь второе условие (24). Уравнение кривой £0 имеет
вид (22), где С определяется из условия, что L0 проходит через точку
О г (#2» У 2)- Поэтому L0 имеет уравнение
Полагая в нем у = 0, мы получаем уравнение для х*:
или, после элементарных преобразований,
1 - 2εχ* = β2β(*ι-χ·> [1 _ 2ε (χ2 + у%]. (25)
Так как каждая кривая (22) пересекается с положительной
полуосью χ только в одной точке (рис. 189), то уравнение (25) имеет
единственное положительное решение (для х*). Пусть 2ex*~z. Тогда
уравнение (25) можно записать в виде
1 —*—*-*/(ε) = 0, (26)
где f(e) = e2ex2 [1 — 2г(х2 + у1)] (х2 и у2 не зависят от ε).
При ε = 0 уравнение (26) имеет вид
1 — ζ-<Γ2 = 0.


448
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ БИФУРКАЦИЙ
[ГЛ. XIV
Оно имеет единственное решение ζ = О, причем производная от
левой части его в точке ζ = О отлична от нуля. Поэтому, в силу
теоремы 3 и замечания к теореме 4 (о малом изменении неявной функции,
§ 1.2), при достаточно малом ε уравнение (26) имеет единственное близкое
к нулю решение, причем оно стремится к 0 при ε ->- 0. Нетрудно
убедиться, что если ε > 0, то это решение положительно. А так как
уравнение (25) имеет единственное положительное решение относительно х*,
то ясно, что 2εχ* —>· 0 при ε —>· 0.
Второе неравенство (24) может быть записано в виде
β—2ε>2ε**·β.
Отсюда и из условия lim 2εχ* = 0 следует, что при любом β второе
условие (24) выполняется, если ε > 0 достаточно мало.
τ
к
S
ζ Ψ7 \
f
О а?
Τ
Чч
и
S
и*
У,
\Ч\*
z>—
ι
σ
f^*
ΝΑ
_ \м
Μ* я*
Рис. 191. ε:
Рис. 192. ε = ε2.
Таким образом, мы доказали, что при всяком фиксированном β,
0<β<-ο", система (А) не имеет замкнутых траекторий, если ε
достаточно мало или достаточно велико. Выясним, что можно при этих
условиях сказать о топологической структуре системы (А).
Положим, что
β
# = ;
-ε.
(27)
'2(1 —β)
Как указывалось выше, при R > 0 состояние равновесия Оц (—1, 1)
есть неустойчивый фокус или узел, а при R < 0 — устойчивый.
Покажем, что, каково бы ни было β, 0<β<·ττ, существует такое
значение ε > 0, при котором сепаратрисы L2 и L3 сливаются, образуя
петлю.
В самом деле, если ε = ε4 > 0 достаточно мало, то система (А),
во-первых, не имеет замкнутых траекторий и, во-вторых, /? > 0. Но тогда
Οι есть неустойчивый узел или фокус; сепаратриса L2 не может при t-*
-> + оо стремиться к Оь и она либо сливается с сепаратрисой L3, либо
выходит из области IV через отрезок ST прямой χ = —g-. В первом
случае наше утверждение доказано, а во втором сепаратрисы
расположены так, как это представлено на схематическом рисунке 191.
Точно так же можно убедиться, что если ε = ε2 > 0 достаточно
велико (в частности, настолько, что R < 0), то либо сепаратрисы L2 и L3
сливаются, образуя петлю, либо сепаратрисы расположены так, как
на рис. 192.


§ 34]
ПРИМЕРЫ
449
Допустим теперь, что ни при значении ε = ε1? ни при значении
ε = ε2 сепаратрисы L2 и L3 не сливаются (т. е. что они расположены
в соответствии с рис. 191 и 192), и покажем, что они тогда сливаются
при некотором значении ε = ε0, ε4 < ε0 <С ε2. Заметим прежде всего,
что прямая χ = — -д- не имеет контактов с траекториями системы (А)
{это видно непосредственно из уравнений (А)). Далее, так как
контактная кривая систем (А) и (В) есть парабола (20), то дуга 02Ν траектории Ъ0
системы (В), расположенная между точками 02 и N ее пересечения с
параболой (20) (рис. 192), также не имеет контактов с траекториями
системы (А). Поэтому в силу известных свойств сепаратрис (§ 9.2, лемма 3
и замечание к ней), если при каком-нибудь значении параметра ε сепа-
ратриса L2 пересекает прямую χ = — -g- (рис. 191) или сепаратриса L3
пересекает дугу 02N кривой LQ (рис. 192), то при всех близких
значениях параметра указанные сепаратрисы будут вести себя так же.
Допустим тэперь, что ни при каком значении ε, гх < ε < ε2, сепаратрисы L2
и L3 не сливаются. Будем менять ε от значения ε4 до ε2. Легко видеть,
что при этом существует «первое» значение ε = ε*, при котором сепарат-
риса L2 не пересекает прямую х — —«- (но при всех ε, ει<[ε<ε*,
такое пересечение имеет место). Так как мы допустили, что сепаратрисы
L2 и L3 не образуют петли, то при значении ε = ε* сепаратриса L2
стремится при £-»■ -|- °° либо к состоянию равновесия Ои либо к
предельному циклу, охватывающему Οχ. В обоих случаях траектория L3
пересекает при этом дугу 02N кривой L0. Но тогда и при всех близких
значениях ε, в частности и при ε <; ε*, сепаратриса L3 пересекает дугу 02N,
и, следовательно, сепаратриса L2 не может пересекать прямую χ = — -~- .
Мы пришли к противоречию, доказывающему, что при некотором
значении ε0, εΑ < ε0 < ε2, седло 02 системы (А) имеет сепаратрису,
образующую петлю.
Зафиксируем β и проследим за изменением топологической
структуры системы (А) в окрестности состояния равновесия Οχ (—1, 1) при
изменении ε.
Пусть ε = 0/4 л\- При ε=ε Οχ (— 1, 1) есть состояние равновесия
с чисто мнимыми характеристическими числами. Так как в точке Oi (—1, 1)
σ = β—2ε (1 — β), то при ε = ε, σ — 0 — <0. α3 подсчитывается по
формуле (76) § 24.4 и оказывается равным
яУ2рз(5-9Ц) 0
8(1 —3β)(1 —β)»ΐ/β(1—ЗР)
Поэтому при г — г Οχ есть неустойчивый фокус, а при переходе ε от
значений, меньших ε, к значениям, большим чем ε, фокус Οχ
превращается в устойчивый и в окрестности его появляется единственный
неустойчивый предельный цикл (см. таблицу в § 25.3).
Таким образом, при изменении ε от достаточно малого значения ε4
до достаточно большого ε2 заведомо происходят следующие
бифуркации:
1) по крайней мере при одном значении ε = ε0 сепаратрисы L2 и L3
седла 02 сливаются, образуя петлю;


450
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ БИФУРКАЦИЙ
[ГЛ. XIV
2) в точности один раз, при ε = ε, Οι превращается в сложный
фокус, и затем, при возрастании ε, из него рождается неустойчивый
предельный цикл.
Кроме этих бифуркаций в рассматриваемой системе можно априори
предполагать еще существование бифуркаций следующего типа:
3) появление четнократного, в частности двойного, предельного
цикла («из уплотнения траекторий») или исчезновение такого цикла.
Обнаружение бифуркаций последнего типа или доказательство их
отсутствия встречает очень большие трудности, и в данном примере мы
не можем сказать ничего определенного об их существовании.
Установим еще один факт, касающийся петли сепаратрисы. Как
известно, в случае, когда сепаратрисы седла образуют петлю, эта петля
является устойчивой или неустойчивой в зависимости от того, является ли
значение выражения Р'х + Q'y в седле отрицательным или положительным
(§ 29.1, теорема 44). В нашем примере при ε = ε0
Р'х(х* У2) + фу(*ъ ife) = ite№—2Μ1 + β*2)]. (28)
Р'х (*2, 2/2) + Q'y (*2, ife) = 02 [ β - 2εθ(^~β) ] · (29)
Предположим, что выполняется условие
(ε0 — значение ε, при котором сепаратрисы L2 и L3 сливаются, образуя
петлю; ε — значение, при котором О^ есть сложный фокус). При0< β <~Т *
как легко видеть, у2 > 1. Отсюда и из (29) и (30) следует, что
Р'х(ъ, у2)+<?П*2, у2) = У2 [β- 2εο(^~Ρ) ] >β-24τΓ^§Γ = °·
Таким образом, мы показали, что если петля сепаратрисы образуется
при значении ε0<!ε, то она является неустойчивой.
На основании полученных сведений проведем теперь «условное»
исследование изменения топологической структуры системы (А) при
возрастании ε от ε4 до ε2, именно в предположении, что выполняются еще
следующие условия:
а) при изменении ε от ε4 до ε2 бифуркаций типа 3) не происходит;
б) существует только одно значение ε0 параметра ε, при котором
сепаратрисы L2 и L3 сливаются, образуя петлю.
Подчеркнем, что на самом деле нам не известно, выполняются ли эти
условия (или какое-нибудь из них) или нет, однако мы делаем
допущение, что они выполняются (в этом и состоит «условность» нашего
исследования).
При ε = ει система не имеет замкнутых траекторий и сепаратрисы
расположены так, как на рис. 191.
При возрастании ε топологическая структура системы вначале
сохраняется. Изменение ее может произойти при переходе через бифуркацион-
Но
Поэтому


§ 34]
ПРИМЕРЫ
451
τ
ЧЧ
ι
4
s
44
~-^L·
4ζΛν·§
I
&4
ΰ
,1'
д·
Рис. 193. ε < ε < ε0.
ное значение параметра. Такими значениями являются ε0 и ε.
Покажем, что ε < ε0. В самом деле, если ε> ε0, то при ε = ε0 Οχ
является неустойчивым узлом или фокусом и система имеет сепаратрису,
образующую петлю, причем эта петля, как показано выше, также
неустойчива. В силу условия а) в системе не могли появиться замкнутые
траектории. Поэтому траектории, расположенные внутри петли, при t -»- +<х>
должны стремиться либо к петле
сепаратрисы, либо к точке О и что
невозможно ввиду неустойчивости петли и
точки Οι,
Таким образом, мы доказали, что
ε < ε0. При ε = ε точка Οι является
сложным неустойчивым фокусом и при
всех значениях ε от ε4 до ε система имеет
одинаковую топологическую
структуру (именно такую, как на рис. 191).
При дальнейшем возрастании ε
фокус Οχ превращается в устойчивый,
а в его окрестности рождается простой неустойчивый предельный
цикл L0 (§ 25.3) и система имеет топологическую структуру,
представленную на схематическом рисунке 193. При изменении ε в пределах
ε < ε < ε0 эта топологическая структура сохраняется.
При ε = ε0 возникает петля сепаратрисы седла 02. Покажем, что
в этот момент предельный цикл L0 исчезает («влипает» в петлю
сепаратрисы), а сама эта петля неустойчива, т. е. система имеет структуру,
приведенную на рис. 194.
В самом деле, допустим, что при ε = ε0 неустойчивый предельный
цикл L0 существует. Мы знаем, что при ε = ε2 система не имеет
замкнутых траекторий. Поэтому грубый
предельный цикл L0 при возрастании ε
должен исчезнуть. Это может произойти
только за счет слияния его с некоторым
предельным циклом, рождающимся из
петли сепаратрисы, т. е. за счет
бифуркаций типа 3), что исключается
условием а). Таким образом, при ε = ε0
предельный цикл исчезает, а так как
фокус при этом устойчив, то петля
сепаратрисы неустойчива (рис. 194).
При дальнейшем возрастании ε
петля сепаратрисы нарушается. При
этом из нее не могут родиться
замкнутые траектории, так как впоследствии они должны были бы исчезнуть, что
невозможно в силу условия а). Поэтому при ε > ε0 система имеет такую
же структуру, как при ε = ε2 (рис. 192).
Мы видим, таким образом, что если выполняются условия а) и б),
то топологическая структура системы при всех ε > 0 определяется
однозначно.
Отметим, что если условия а) и б) (или одно из них) не выполняются^
то количество априори возможных топологических структур, очевидно^
значительно увеличивается. Так, например, если допустить бифуркации
типа 3) — возникновение двукратного предельного цикла (из сгущенцц
г
чч
1
4
S
Ь
\1'
V
h
1
}fi
σ
f
a?
Рис. 194. ε = ε0.


452
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ БИФУРКАЦИЙ
[ГЛ. XIV
траекторий) или исчезновение его,— то возможно, например, такое
изменение топологической структуры:
1) Появляется двукратный предельный цикл.
2) Он разделяется на два: внешний — неустойчивый V и
внутренний — устойчивый L".
3) Внешний цикл U «влипает» в петлю сепаратрисы, после чего эта
петля нарушается.
4) Фокус меняет устойчивость, после чего из него рождается
неустойчивый предельный цикл ΖΛ
5) Циклы L" и V" сливаются в двукратный, который затем исчезает.
Аналогично можно предполагать, что петля сепаратрисы и
бифуркации типа 3) возникают несколько раз.
Пример 16 (рождение предельного цикла из сложного фокуса;
см. [37]).
Рассмотрим систему
£=-[х + (х + у)у + 6] = Р(х, у), *{L=-y + ix + y)Xz=Qix,y) (31)
при положительных значениях параметров γ и δ.
Координаты состояний равновесия удовлетворяют системе уравнений
х + (х + у)у + & = 0, у-(х + у)х = о. (32)
Исключая из этих уравнений у, мы получаем следующее уравнение
для абсцисс состояний равновесия:
F(z, γ, 8) = x* + 2yx2 + (y2 + l)x + 6 = 0. (33)
Так как последнее уравнение кубическое, то (31) при всех
рассматриваемых значениях параметров γ и δ имеет по крайней мере одно
состояние равновесия и не может иметь больше трех состояний равновесия.
Для решения вопроса о том, сколько именно состояний равновесия
имеется, мы будем, в соответствии со сделанными во введении к настой-
щей главе общими указаниями, искать значения параметров, при
которых состояния равновесия имеют максимальную сложность. Как мы
увидим, локальное рассмотрение в окрестности этих значений параметров
позволит решить вопрос о существовании областей с различным числом
состояний равновесия.
Ордината у состояния равновесия находится из уравнения у =
= χ (χ + γ), τ. е. однозначно определяется его абсциссой. Поэтому, в силу
определения 15 (§ 7.3), кратность состояния равновесия (х, у), где χ —
корень уравнения (33), совпадает с кратностью этого корня, т. е.
максимальная кратность состояния равновесия нашей системы не может
превышать трех. Рассмотрим, при каких значениях параметров γ и δ
уравнение (33) имеет тройной корень. Как известно, такой корень должен
удовлетворять одновременно трем уравнениям:
F(x, γ, δ) = ζ3 + 2γζ2 + (γ2 + 1)ζ + δ = 0,
F'x (χ, γ, δ) = 3*2 + 4γ* + (1 + γ2) = 0, (34)
/*(*, γ, β) = 6* + 4γ = 0.
Из последнего уравнения мы получаем х= —-«-γ.
Подставляя это значение во второе уравнение и принимая во
внимание, что нас интересуют только положительные значения параметров,
__ су -ι /о О
1мы найдем, что γ=^ + |/"3. Отсюда следует, что #= ^-, a S=-q- ]/r3>0.


§ 34]
ПРИМЕРЫ
453
Таким образом, мы убедились, что существует единственная пара
положительных параметров у и δ — именно у0 = ]/г^, δ0 — irl^3— при
которых система (31) имеет тройное состояние равновесия. Мы обозначим его
2 Т/3 2
через М0(х0, у0), где х0 = ~—, у0 = —-о-. Очевидно, при этих
значениях параметров у системы нет других состояний равновесия.
Так как М0(х0, у0)— сложное состояние равновесия, то Δ (χ0ι г/о) —О
(это получается и непосредственным вычислением). Далее,
4
о(х0, Уо) = Р'х(х0, Уо) + <?у(хо, Уо)= —2 —г/0= — у<0·
Исследуя состояние равновесия М0 методами, изложенными в КТ
(глава IX, § 21.2, теорема 65), мы убедимся, что М0 является устойчивым
топологическим узлом. В силу теоремы 35 (§ 23.2) существуют как малые
добавки, при которых сложное состояние равновесия М0 распадается
на три грубых состояния равновесия (два узла и одно седло), так и
добавки, при которых М0 заменяется единственным грубым узлом
(устойчивым). Однако мы не можем здесь непосредственно применять результаты
§ 23, так как мы должны рассматривать не всевозможные добавки к
правым частям соответствующей системы, а лишь добавки, получающиеся
при изменении входящих в систему параметров γ и δ.
Для того чтобы исследовать вопрос о возможности существования
трех состояний равновесия, рассмотрим функцию F (χ, γ, δ) (см. (33))
в окрестности точки х0, γ0, δ0. Положим, что χ = Xq + £» Υ = Υο + ^»
δ = δ0 + fe.
Принимая во внимание, что #0, γ0, δ0 удовлетворяют уравнениям
(34), нетрудно убедиться, что
F(x,y, 8)=F(x0 + l, γο + A, δ0 + Α)-
= ξ3 + 2hl·? + (Ax0h + 2yQh + Α2) ξ + 2x20h + 2y0x0h +
+Хок* + к=:1*+А1*+в1+с>
где А = 2h и т.д.
Положим, что к — — 2x\h — 2γ0#0Α — #0fc2, т. е. что С = 0.
Уравнение F (χ, γ, δ) = 0 приобретает при этом вид ξ (ξ2 + Αζ + В) = 0.
Один его корень |4 = 0, а характер остальных корней зависит от вели-
чины дискриминанта А2 — 4Ζ? = — I6x0h — 8y^i = ^-y3h. Поэтому,
если h < 0, а к выбрано, как указано выше, то уравнение F (#, γ, δ) = 0
имеет три различных действительных корня, один из которых х0, а если
k > 0, то оно имеет один действительный корень х0 и два комплексных
корня. Ясно, что если h при этом достаточно мало по модулю, то к тоже
достаточно мало и значения параметров у = γ0 + Α, δ = δ0 + к
положительны.
Таким образом, мы установили, что существуют положительные
значения параметров γ и δ, при которых система (31) имеет три состояния
равновесия, и такие, при которых она имеет одно состояние равновесия *).
При переходе из области значений параметров одного типа в область
второго типа мы, очевидно, должны пройти через бифуркационные
значения, при которых система имеет кратное (двойное или тройное) состояние
*) Для доказательства мы провели рассмотрение в окрестности трехкратного
состояния равновесия. В данном случае нетрудно было бы получить найденный
результат, непосредственно исследуя кубическое уравнение F (χ, γ, δ) = 0.


454
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ БИФУРКАЦИЙ
[ГЛ. XIV
равновесия. Так как существует только одна пара значений γ0, δ0,
при которых у системы существует тройное состояние равновесия, а
значения параметров, при которых система имеет одно грубое или три грубых
состояния равновесия, заполняют области на плоскости параметров, то
при переходе из одной из этих областей (скажем, с тремя состояниями
равновесия) в другую (с одним) мы непременно должны пройти через
значения параметров, при которых имеется двукратное состояние
равновесия. Нетрудно найти уравнение кривой на плоскости параметров,
которая соответствует системам, имеющим кратные состояния
равновесия. Для этого, очевидно, нужно приравнять нулю дискриминант
кубического уравнения (33). Произведя вычисления, мы придем к уравнению
φ(γ, δ) = [27δ~2γ(γ2 + 9)]2-4(γ2--3)3 = 0, (35)
эквивалентному двум уравнениям:
δ = 2v(v2 + 9)-b2(V2-3)V^=3 = h j
Δί
и
6_2γ(γ2+9)-2(γ2-3)ν^=3_/(ΐ)_
ill
(36)
(37)
Очевидно, нас интересуют только положительные значения
параметра γ, большие или равные УЗ. При γ = γ0 = V% h (To) = / (Υο) =
Q
:=~-]/3 = δ0, т. е. получается точка М0 (γ0, δ0), соответствующая
системе с трехкратным состоянием равновесия. Кривая (35), состоящая из
двух ветвей (36) и (37), имеющих
£=/7(γ) общую точку Μ0, изображена на
рис. 195.
Кривая (35) разбивает 1-й
квадрант плоскости параметров на
две области I и II (рис. 195). Не-
f-f(y) трудно убедиться, что
динамические системы, соответствующие
точкам области / (φ (γ, δ) > 0),
имеют одно (и притом грубое)
состояние равновесия, а системы,
соответствующие точкам области
// (φ (γ, δ) < 0),— три, также
грубых, состояния равновесия.
Системы, соответствующие точкам
кривой (35), отличным от Μ о, имеют
одно грубое и одно двукратное
состояние равновесия.
Рассмотрим теперь вопрос о
характере состояний равновесия
системы (31). Прежде всего нас
интересует, имеет ли система, а если имеет, то при каких значениях
параметров, состояние равновесия с чисто мнимыми характеристическими
числами (центр или сложный фокус, из которого может рождаться
предельный цикл). Для такого состояния равновесия
Рис. 195.
\Рх
ру\
\Qx Qy\
>о,


S 34]
ПРИМЕРЫ
455
a σ = Ρ'χ + Q'y = 0. Для состояния равновесия (х, у) системы (31), как
легко видеть,
Δ = 3χ2 + 4ζγ + γ2 + 1, (38)
а=—{з* + ух + 2). (39)
Установим прежде всего, существует ли состояние равновесия, для
которого одновременно Д = 0 и σ = 0 *). Абсцисса состояния
равновесия системы (31), для которого σ = 0, удовлетворяет одновременно
уравнению (33) и уравнению
а=—(х* + ух + 2)=0. (40)
Исключая из этих уравнений γ, мы получим уравнение
ψ(γ, δ) = 2γ2-3γδ + δ2 + 2 = 0. (41)
На плоскости параметров γ, δ уравнение (41) представляет кривую
(гиперболу), причем только динамические системы, соответствующие
точкам этой гиперболы, могут иметь состояния равновесия с σ = 0.
Посмотрим, при каких значениях параметров динамическая система
может иметь состояние равновесия (х, у), для которого Δ = σ = 0.
Из уравнений
Δ = 3^2 + 4χγ + γ2 + 1 = 0, σ= — (х* + ух + 2) = 0
мы легко находим, что χ =——. Подставляя во второе уравнение, мы
5 2
найдем, что γ=—jt-. Отсюда х==—~-f- и> в силу уравнения (33),
.6= 8
уз * Уз
Уз
Таким образом, на плоскости параметров имеется единственная
с о
точка Α (γ4, δ^, где yt = —γ=- , δ4 = —-=·, которой соответствует система,
у О у о
имеющая состояние равновесия с Δ = 0 и σ = 0. Так как условие Δ = 0
эквивалентно существованию у динамической системы сложного
состояния равновесия, т. е. наличию кратного корня у уравнения (33), то точка
А (уи δι) лежит на кривой φ (γ, δ) = 0 (см. (35)) и является
единственной общей точкой этой кривой и кривой ψ (γ, δ) = 0. Нетрудно
показать, что в точке А кривые φ (γ, δ) = 0 и ψ (γ, δ) = 0 касаются. Кроме
того, можно показать, что ветвь гиперболы ψ (γ, δ) = 0, расположенная
в первом квадранте, целиком лежит в области // (рис. 195). Поэтому
смена устойчивости состояния равновесия с Δ Φ 0 возможна только
при значениях параметров, при которых система (31) имеет три
состояния равновесия.
Выясним, что представляют состояния равновесия, для которых
σ = 0. Так как σ = Р'х + Q'y = — (у + 2), то у состояния равновесия
(х, у) с σ = 0 ордината у = — 2. Абсцисса χ = δ — 2γ в силу первого
из уравнений (31). Перенося начало координат на плоскости (х, у) в
рассматриваемое состояние равновесия (δ — 2γ, —2), т. е. делая замену
переменных
* = Χ + δ-2γ, у = У —2,
мы получим систему
-*jL = X + (Y_6)y-Xyf -^ = (2δ-3γ)Χ-Γ+Ζ2+2γ2+δ2_3γδ + 2.
*) Мы рассматриваем, таким образом, как и выше, состояния равновесия,
имеющие наибольшую сложность.


456
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ БИФУРКАЦИЙ
[ГЛ. XIV
Так как, в силу условия σ = 0, выполняется соотношение (41),
то последняя система имеет вид
4f =--X + (y-8)Y-XY, -^- = (26-3y)X-Y + XK (42)
Рассматриваемое нами состояние равновесия (с σ = 0) имеет сейчас
координаты (0, 0). Характеристическое уравнение его имеет вид
2δΐ3γ _ΪΙλ| = λ2-ΚΥ-δ)(2δ-3ν) + 1]=0. (43)
В зависимости от знака выражения в квадратных скобках
характеристические числа будут либо комплексные сопряженные, либо
действительные разных знаков.
Нетрудно убедиться, что кривые
ψ (γ, δ) = 2γ2-3γδ + δ2 + 2 = 0 (41)
и
(γ_δ)(2δ-3γ) + 1=0
имеют в первом квадранте единственную общую точку, именно точку
А [—7=-, -утг), и что в этой точке они пересекаются (не касаются). Поэтому
выражение (γ — δ) (2δ — 3γ) + 1 имеет один и тот же знак во всех
точках ветви А В кривой (41) (отличных от точки А) и противоположный
знак во всех точках ветви АС этой кривой. Рассматривая, например,
точки (3, 5) и ί -у » 5) кривой (41), мы убедимся, что выражение (γ — δ) (2δ —
— 3γ) + 1 отрицательно на ветви АВ и положительно на ветви АС.
Но это значит, в силу (43), что если динамическая система (31)
соответствует точке ветви АВ, то ее состояние равновесия с σ = 0 есть сложный
фокус или центр (мы увидим ниже, что это сложный фокус кратности 1).
Если же система соответствует точке ветви А С, то ее состояние
равновесия с σ = 0 есть седло.
Ветвь АВ гиперболы (41) разбивает область // на две области —
ΙΓ и Пь (рис. 195).
Рассмотрим характер состояний равновесия систем,
соответствующих точкам каждой из областей. Заметим прежде всего, что при любых
значениях параметров γ, δ в системе (31) бесконечность абсолютно
неустойчива. Действительно, вдоль траектории системы (31)
• ίϋ£β_2(,*+,$).—2|* + ,. + *|.
Легко видеть, что при я2 + у2 > δ2 последнее выражение
отрицательно. Поэтому все траектории системы при возрастании входят внутрь
окружности достаточно большого радиуса с центром в начале координат.
Отсюда следует, в частности, что сумма индексов Пуанкаре всех
состояний равновесия равна +1.
Системы, соответствующие точкам области 1, имеют, как было
установлено выше, одно, и притом грубое, состояние равновесия. Так как
его индекс Пуанкаре равен 1, то оно является узлом или фокусом.
Нетрудно видеть — так как бесконечность абсолютно неустойчива,— что этот
узел (или фокус) является устойчивым.
В области II система имеет три простых состояния равновесия,
сумма индексов Пуанкаре которых равна 1. Поэтому одно из них является


§ 34]
ПРИМЕРЫ
457
седлом, а каждое из остальных — либо узлом, либо фокусом. Можно*
показать — мы не будем останавливаться на этом,— что узлы или
фокусы системы, соответствующей точке, лежащей внутри области 11ь,
устойчивы. С другой стороны, точкам ветви А В кривой (41) соответствуют
системы, имеющие три состояния равновесия, из которых одно является
фокусом с σ = 0.
При переходе из области Пь в область IP через ветвь АВ σ меняет
знак, и, следовательно, один фокус становится неустойчивым. Поэтому
точкам области IP соответствуют системы, имеющие один устойчивый
и один неустойчивый фокус (или узел) и одно седло.
Как уже было установлено, точкам кривой (35), отличным от М0,
соответствуют системы, имеющие одно простое и одно двукратное
состояние равновесия. При переходе в область / двукратное состояние
равновесия исчезает, а при переходе в область 77 оно распадается на два простых.
Точке М0 соответствует система, имеющая трехкратное состояние
равновесия.
Точкам ветви АВ кривой (41) соответствуют системы, имеющие один
сложный фокус, а ветви АС — системы, имеющие седло с σ = 0. Наконец,
точке А соответствует двукратное состояние равновесия с σ = 0.
Выясним теперь, как расположены состояния равновесия на фазовой
плоскости.
Для этого рассмотрим изоклины горизонтальных и вертикальных
наклонов. Изоклина горизонтальных наклонов Q (#, у) = 0 есть парабола
у = х(х + у), (44)
а изоклина вертикальных наклонов Ρ (я, у) —- 0 имеет уравнение
^(* + γ)+* + δ = 0. (45}
При δ = у эта изоклина распадается на прямые
х=— у и у=— 1. (46)
Если же у Φ δ, то (45) есть гипербола, причем, каково бы ни было δ,
прямые (46) являются ее асимптотами.
На рис. 196 изображена изоклина Q (#, у) = 0 и семейство изоклин*
Ρ (#> У) — 0 ПРИ фиксированном γ = γ0 > Yd *).
На изоклине горизонтальных наклонов — параболе у = (х + у) χ —
узлы и фокусы чередуются с седлами (в силу теоремы Пуанкаре, § 23.3,
теорема 36). Так как при наличии трех состояний равновесия два из*
них — узлы или фокусы, а одно — седло, то два крайних состояния
равновесия на указанной параболе являются узлами или фокусами,
а среднее — седлом.
Установим теперь, какое из состояний равновесия, не являющееся
седлом, меняет устойчивость при переходе из области Пь в область IP,
т. е. для какого из них σ = 0. Так как σ = — у — 2, то для такого
состояния равновесия у + 2 не может оставаться знакопостоянным. Рассмотрим
состояние равновесия Οχ с наименьшей абсциссой. Нетрудно видеть, что
его ордината ух всегда > — 1, так как Οχ есть точка пересечения
параболы с ветвью гиперболы, лежащей над асимптотой у = — 1 (рис. 196).
Таким образом, у^ + 2 > 0, т. е. менять устойчивость может только
фокус с наибольшей абсциссой.
*) Если у <; 3, то φ (γ, δ) > 0 (см. (35)) и система (31) имеет при всех б одпо-
состояние равновесия.


458
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ БИФУРКАЦИЙ
[ГЛ. XIV
Перейдем теперь к вопросу о существовании у системы (31)
предельных циклов.
Покажем прежде всего, что при переходе с ветви АВ кривой (41)
в область Пь из состояния равновесия, являющегося сложным фокусом,
родится в точности один, притом неустойчивый, предельный цикл.
Рис. 196. α) δ > γ0; б) δ = γ0; β) δ < γ0.
Делая такую же замену переменных, что и выше, т. е. перенося
начало координат в сложный фокус, мы получим систему
dX
dt
= x+(y-6)Y-XY,
dY
dt
= {26-3y)X-Y + X2.
(42)
Для того чтобы определить характер рассматриваемого состояния
равновесия, найдем величину а3 (см. § 24.4, (76)). Вычисления
показывают, что а3 имеет знак выражения
36—4γ
20—3γ
(47)


$ 34]
ПРИМЕРЫ
459
Таким образом, нам надо определить знак этого выражения в точках
кривой АВ. Это можно сделать следующим образом. Рассмотрим
вспомогательную прямую
5δ-8γ = 0, (48)
соединяющую начало координат с точкой A (5/\/ 3, 8/^3). Нетрудно видеть,
что ветвь АВ кривой (41) и полупрямые 36 — 4γ = 0 и 26 — 3γ = О,
расположенные в первом квадранте, лежат по разные стороны от
прямой (48). Следовательно, выражение (47) на ветви Л5 и на прямой (48)
имеет один и тот же знак. Но на прямой (48) это выражение > 0.
Следовательно, а3 > 0. Но тогда в силу таблицы, приведенной в конце § 25.3,
сложный фокус является неустойчивым и имеет кратность 1, а при
переходе в область 11ь он становится устойчивым и из него рождается
единственный неустойчивый предельный цикл.
Выделим теперь некоторые области на плоскости параметров,
которым соответствуют системы, не имеющие замкнутых траекторий (в
частности, предельных циклов).
Рассмотрим прямую # + γ = 0. Из первого из уравнений (31) видно,
что при δ —γ эта прямая является интегральной линией. Если же δ Φ γ,
то она является прямой без контакта. Действительно, при х =—γ
и δ Φ у -τ- = δ — у ф0, т. е. траектории не касаются указанной прямой.
Возьмем в качестве функции Дюлака функцию
Ф(*.У) = Т^. (49)
Мы имеем
В(х и) д(ФР) . d(<DQ) -S + 0-2Y 50
Это выражение меняет знак на прямой
* = δ-2γ. (51)
Отсюда следует, в силу критерия Дюлака, что всякая замкнутая
траектория системы (31) должна пересекать прямую (51).
При δ = γ прямая (51) совпадает с прямой χ + γ = 0, являющейся
интегральной. Следовательно, в этом случае у системы нет замкнутых
траекторий.
В случае, когда δ < γ, прямая (51) лежит слева от прямой χ + γ = 0,
а все состояния равновесия системы лежат справа от этой прямой (в этом
можно убедиться, заметив, что при δ < γ изоклина Q (χ, у) = 0
(парабола) может пересекаться только с правой ветвью изоклины Ρ (χ, у) = 0
(гиперболы), т. е. с ветвью, лежащей справа от прямой χ + γ = 0; см.
рис. 196, в). Всякая замкнутая траектория системы должна пересекать
прямую (51) в силу критерия Дюлака. С другой стороны, она должна
содержать внутри себя по крайней мере одно состояние равновесия.
Но тогда замкнутая траектория должна пересекать не менее чем в двух
точках прямую без контакта χ + γ = 0, чего не может быть.
Таким образом, мы показали, что при δ<!γ система не имеет
замкнутых траекторий.
Покажем теперь, что системы, соответствующие точкам области I
'(т. е. имеющие одно состояние равновесия), также не имеют замкнутых
траекторий. При δ<[γ это уже доказано. Пусть δ > γ. В этом случае
состояние равновесия системы является пересечением параболы у =
= χ (χ + γ) с ветвью гиперболы Ρ (χ, у) = 0, лежащей слева от
прямой χ + γ = 0 (см. рис. 196, а), а прямая (51) лежит справа от прямой


460
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ БИФУРКАЦИЙ
[ГЛ. XIV
х -)- γ = 0. Поэтому, если существует замкнутая траектория, то она
должна пересекать интегральную прямую χ + γ = 0, что невозможно.
Рассмотрим теперь системы, соответствующие точкам линии (35):
Ψ (Υ* δ) = 0, т. е. имеющие кратные состояния равновесия. Линия (35)
состоит из двух ветвей — (36) и (37) (рис. 195). Легко видеть, что на
ветви (37) δ < γ (в частности, в точке .Мо)· Поэтому системы,
соответствующие точкам этой ветви, не имеют замкнутых траекторий. Системы,
соответствующие точкам ветви (36), лежащим в области δ > γ, имеют одно*
грубое состояние — устойчивый узел или фокус и одно двукратное
состояние равновесия, имеющее индекс Пуанкаре, равный нулю. Легко видеть
(см. рис. 196, а), что между фокусом (или узлом) и прямой (51) в этом
случае лежит прямая без контакта χ + γ = 0. Поэтому, в силу
критерия Дюлака, не может существовать замкнутой траектории, содержащей
внутри себя фокус. Но тогда замкнутая траектория должна содержать
внутри себя двукратное состояние равновесия, чего не может быть, так
как его индекс Пуанкаре равен нулю.
Кратные состояния систем, соответствующих точкам кривой (35)г
можно исследовать с помощью результатов КТ, §§ 21 и 22. Оказывается,
что точке А (рис. 195) соответствует система, имеющая вырожденное
состояние равновесия, точке MQ — система, имеющая устойчивый
топологический узел кратности 3 (мы уже указывали на это раньше). Всем-
остальным точкам кривой φ (χ, у) = 0 соответствуют системы, имеющие
своей двукратной точкой седло-узел.
Легко видеть, что система, имеющая седло-узел, не может иметь
траектории, образующей петлю, стремящуюся к седло-узлу как при
t —>- — оо, так и при t—>· + оо. Это доказывается так же, как отсутствие-
замкнутых траекторий.
Рассмотрим теперь какую-нибудь точку S0, лежащую на части AD
кривой (35) (рис. 195). У динамической системы, соответствующей этой
точке, нет, как мы только что показали, замкнутых траекторий и
траекторий, образующих петлю. Кроме того, у этой системы нет сложных
фокусов (σ -Φ 0, так как S0 отлична от точки А). Но тогда можно
показать, что динамические системы, соответствующие точкам достаточно»
малой окрестности точки £0, также не имеют замкнутых траекторий
(им, так сказать, «неоткуда появиться»; мы предоставляем читателю
дать точное доказательство этого утверждения). В частности, нет
предельных циклов и замкнутых контуров, составленных из траектории
у систем, соответствующих точкам, лежащим достаточно близко к S&
в области //, т. е. имеющих три состояния равновесия.
Рассмотрим точку £4, лежащую достаточно близко к S0 в области Ilar
и точку £2, лежащую в области Пь ниже прямой γ = δ. Пусть Sx и S2 —
соответствующие этим точкам динамические системы. Так как обе
системы не имеют, как показано выше, замкнутых траекторий и контуров,
составленных из траекторий, то их топологическая структура
определяется однозначно. Покажем это.
I. Система St. Она имеет один устойчивый узел или фокус, один
неустойчивый узел или фокус и седло. Так как бесконечность
неустойчива, то обе α-сепаратрисы седла стремятся к устойчивому фокусу *).
*) При этом они образуют замкнутую линию, составленную из траекторий,
но эти траектории не являются продолжением одна другой. Когда мы говорили выше
об отсутствии замкнутых контуров, составленных из траекторий, то мы
подразумевали при этом контуры· типа предельных континуумов.


3 34]
ПРИМЕРЫ
461
Очевидно, что при этом неустойчивый фокус (или узел) лежит внутри
замкнутой кривой, образованной α-сепаратрисами, одна ω-сепаратриса
седла стремится при t ->- — оо к этому неустойчивому фокусу, а другая
уходит в бесконечность. Получается топологическая структура,
изображенная схематически на рис. 197.
Рис. 197.
ъ\
П. Система S2. Она имеет два устойчивых узла или фокуса. Обе
<о-сепаратрисы седла уходят при t -»- — оо в бесконечность и разделяют
«α-сепаратрисы, стремящиеся при t -►- + оо к фокусам. Получается
топологическая структура, изображенная на рис. 198.
Рассмотрим теперь точки области //, не лежащие вблизи £0, но для
которых δ > γ. Для того чтобы установить возможные случаи
расположения сепаратрис систем, соответствующих этим точкам, рассмотрим
изоклины горизонтальных и
вертикальных наклонов, т. е. кри- п\Л^^"У У\
вые (32). Эти изоклины
разбивают плоскость на части, в
которых χ и у сохраняют знак (рис.
199).
Так как δ > γ, то одно из
состояний равновесия (03 на
рис. 199) лежит левее прямой
х = — γ0, а два других, 02 и
Юи— правее ее (рис. 196, а).
Состояние равновесия 02 есть
-седло, а 03 — устойчивый фокус
или узел. Нетрудно показать,
что четыре сепаратрисы седла 02
входят — при возрастании или
убывании t — в четыре из
указанных выше областей,
примыкающих к точке 02 (в этом
можно убедиться рассуждением, аналогичным тому, которым устанавливается
характер седла; см. КТ, § 7.3). Далее, нетрудно показать, что имеют
место следующие факты:
Сепаратриса, расположенная вблизи точки 02 в области, где χ < О,
у < 0, является ω-сепаратрисой. Обозначим ее L\. При убывании t она
либо пересечет изоклину горизонтальных наклонов и выйдет из области,
Рис. 199.


462
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ БИФУРКАЦИЙ
[ГЛ. XIV
где χ < 0, у < 0, либо не выйдет из этой области и тогда уйдет в
бесконечность (т. е. пересечет цикл без контакта, существующий для
рассматриваемой системы).
• ·
Сепаратриса L~, выходящая из седла 02 в область, где χ > 0, у < 0Г
при возрастании t пересекает изоклину у = χ (χ -\- у) и входит в область,.
где χ > 0, у > 0 (рис. 199). В самом деле, если сепаратриса L~ не
выходит из области, где χ > 0, у < 0, пересекая параболу, то она должна
стремиться к состоянию равновесия Οχ. Но это невозможно, так как
седло Оч лежит ниже точки Οί} ав рассматриваемой области у < 0, т. е.
у убывает на L".
Мы рассматриваем случай, когда δ > γ, т. е. когда прямая (51)
χ — δ — 2γ проходит правее прямой без контакта χ = — γ. В этом
случае замкнутая траектория, если она существует, не может заключать
внутри себя состояние равновесия 03, а может окружать только фокус
(или узел) Οχ.
Из вышеизложенного вытекает, что для рассматриваемых систем
(имеющих три состояния равновесия и δ > γ) априори возможны
следующие расположения сепаратрис:
1) Сепаратриса L\ уходит в бесконечность через цикл без контакта,,
а сепаратриса L\ либо стремится к устойчивому узлу или фокусу Οχ (как
при δ < γ), либо стремится к устойчивому или полуустойчивому
предельному циклу, окружающему состояние равновесия Οχ (рис. 198).
2) Сепаратриса L~ стремится к устойчивому узлу или фокусу 6?3»
образуя вместе с сепаратрисой L~ замкнутую кривую, содержащую внутри
себя сепаратрису LJ". Сепаратриса L+ стремится к неустойчивому узлу
или фокусу Οχ или к неустойчивому (или полуустойчивому) циклу,
окружающему состояние равновесия Οχ (рис. 197).
3) Сепаратриса L~ сливается с сепаратрисой L+, образуя петлю-
(рис. 204).
Применяя такое же рассуждение, как в предыдущем примере, можно*
показать, что если при каких-либо значениях параметров имеет
месторасположение типа 1) (типа 2)), то при близких значениях параметров-
также будет иметь место расположение типа 1) (соответственно типа 2)).
Но, как мы видели выше, существуют как значения параметров,
при которых имеет место расположение типа 1), так и значения
параметров, при которых имеет место расположение типа 2).
А тогда, повторяя дословно рассуждение, проведенное в предыдущем'
примере, мы покажем, что существуют значения параметров, при которых
сепаратриса идет из седла в седло. При этом очевидно, что на каждой
непрерывной линии, соединяющей точку типа Sx с точкой типа S2,
существует точка S3, которой соответствует система, имеющая сепаратрису,
идущую из седла в седло. Но тогда очевидно, что в области // существует-
по крайней мере одна непрерывная линия Г, лежащая между прямой
δ = γ и ветвью АВ кривой (41), точкам которой соответствуют
динамические системы с сепаратрисой, идущей из седла в седло.
После всего вышеизложенного проведем, как и в предыдущем
примере, условное исследование, именно в предположении, что замкнутые
траектории не возникают из уплотнения траекторий и что все точки,
соответствующие системам, имеющим петлю сепаратрисы, образуют
незамкнутую линию Г (расположенную между ветвью АВ кривой (41>
и прямой δ = γ (рис. 200)).


§ 34]
ПРИМЕРЫ
46£
В области / система имеет одно состояние равновесия — устойчивый
узел или фокус — и топологическую структуру, изображенную на рис. 201.
Системы, соответствующие точкам ^.
участка АМ0Е линии φ = 0,
отличным от точки М0, имеют один
устойчивый узел или фокус и седло-узел с
устойчивой узловой областью.
Системы, соответствующие точкам
ветви AD кривой φ = 0 (отличным от
точки А), имеют устойчивый узел или
фокус и седло-узел с неустойчивой
узловой областью. Их топологическая
структура изображена на рис. 202.
При переходе с ветви AD в
область // мы получаем системы,
имеющие один устойчивый и один неустойчи- .
вый узел или фокус и топологическую
структуру, изображенную на рис. 197.
На линии AD топологическая
структура системы аналогична структуре рис. 197, но точка Οι является^
при этом сложным неустойчивым фокусом кратности 1.
Рис. 200.
Рис. 201.
Рис. 202.
При переходе в область III рис. 200 фокус меняет свою устойчивость-
(т. е. становится устойчивым), и из него рождается единственный
устойчивый предельный цикл. Соответствующая
топологическая структура изображена на рис. 203.
На линии Г предельный цикл исчезает,
«влипая» в петлю сепаратрисы, идущей из
седла 02 в то же седло. Система имеет
топологическую структуру, изображенную на рис. 204.
При переходе в область IV рис. 200 петля
сепаратрисы разрушается, и система имеет
топологическую структуру рис. 198. Точке М0
соответствует динамическая система, имеющая
трехкратное состояние равновесия. Оно является
устойчивым узлом, и топологическая структура
системы такая же, как на рис. 201. Наконец,,
динамическая система, соответствующая
точке А, имеет устойчивый фокус и вырожденное состояние равновесия. Ее
топологическая структура изображена на рис. 205.
Рис. 203.


464
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ БИФУРКАЦИЙ
[ГЛ. XIV
Напоминаем, что проведенное исследование является «условным»,
так как выполнено при предположениях, справедливость которых нам
неизвестна.
Пример 17 (рождение предельного цикла из замкнутой
траектории консервативной системы). Рассмотрим систему
4г=-»» 4τ=χ+(*(α+β*-γ*2)^ (52>
получающуюся, в частности, при исследовании работы лампового
генератора «с мягким режимом» (см. [6], стр. 703). Физический смысл имеют
Рис. 204. Рис. 205.
только положительные значения параметров α, β, γ, поэтому мы будем
«считать, что α > 0, β > 0, γ > 0.
. * Систему (52) можно рассматривать при малых μ как близкую к га-
мильтоновой системе
dx дН dy дН /e:q\
тде Η (χ, у) = γ (я2 + У2)- Траекториями системы (53) являются
окружности с центром в начале координат.
Так как (53) является линейной консервативной системой, то для
исследования системы (52) можно воспользоваться либо теоремой 75
{§ 33.2), либо более общей теоремой 78. Мы воспользуемся теоремой 78,
Ήeπocpeдcτвeннo позволяющей судить о характере устойчивости
рождающегося предельного цикла.
Пусть
х = р4 cos t, у = р4 sin t, (54)
где р4 > 0 — замкнутая траектория системы (53), a G0 — ограничиваемый
-ею круг. Вычислим
§ J ΙΡίχ (*» y)+9iv (*. У)] dx аУ' гДе Pi = °» ?ι = (α + β*—Υ*2) У
Go
(см. (Βμ) в формулировке теоремы 78). Мы имеем
\ \ ΙΡίχ (*. V) + Qiv (*» У)] dxdy=\\ (α + Ρ* — У**) dx аУ =
Go
2Л Pi
= \ \ (a + Ppeos0~Yp2cos20)pi?prf0 = -^-p^(4a — γρ").
Oo Go
2π Pi
0 0


§ 34] ПРИМЕРЫ 465
Поэтому условие (74) теоремы 78 (§ 33.4) выполняется в том и только
в том случае, когда
Pi= + j/^f (55)
(нас интересуют, очевидно, только положительные значения р^.
Вычислим при этом значении р4 величину I (§ 33.4, (75)). Мы имеем
I =\ [p'ix (pi cos s, p4 sin s) + q'iy (pt cos s, p4 sin s)] ds =
о
2π
= \ (α + βρι cos 5 — γρι cos2 s) ds = 2πα—γ γρ^2π =
о
= 2πα— -χ-у-2л- — ==2πα<0.
2 ' γ
Применяя теорему 78, мы заключаем, что из замкнутой траектории
(окружности)
— cos*, # = ]/ — sin*
линейной консервативной системы (53) рождается — при переходе к системе
(52) — грубый предельный цикл, устойчивый при μ>0 и неустойчивый
при μ<0.
Пример 18 (система, близкая к линейной консервативной).
*=-», У = х + \ь{ау + № + Ч1/ + Ьу*— ει/5). (56)
Эта система является системой типа (Βμ) (§ 33.2), причем для нее
Ρ (х, У, μ) = 0, q (х, у, μ) = ay + βι/2 + уу3 + Ь\/ — гуъ.
Поэтому в силу формулы (47) § 33.2
2π
ψ (2π; ро, 0) = [ (αρ0 sin θ + βρ2 sin2 θ + γρ3 sin3 θ +
ο
+ δρ4 sin4 θ — ερ5 sin5 θ) sin θ tf θ =
= πρ0(α+|γρ20-4ερ^). (57)
ψ (2π; ρο, 0) зависит только от параметров α, γ и ε.
В § 33.2 рассматривалось рождение предельных циклов из
траекторий системы χ = — у, у = х, соответствующих отличным от нуля корням
уравнения ψ (2π; ρ0, 0) = 0. Однако проведенные там рассуждения
остаются в силе и для корня, равного нулю (в случае, если таковой существует).
Значению р0 = 0 соответствует состояние равновесия О (0, 0) системы
х = — У, У = х-
Таким образом, полагая р0 = 0, мы рассматривали фактически
рождение предельного цикла из состояния равновесия О (0, 0) линейной
консервативной системы. Но точка О (0, 0) является при малых μ
фокусом системы (56), устойчивым, если μα < 0, и неустойчивым, если μα > 0.
Поэтому очевидно, что периодическое решение, рождающееся из
состояния равновесия 0(0, 0) линейной системы при переходе к системе (56)
с малым μ, есть не замкнутая траектория (т. е. предельный цикл), а сама
состояние равновесия О (0, 0).


466
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ БИФУРКАЦИЙ
[ГЛ. XIV
Исследуем отличные от нуля корни уравнения
•ψ (2π; ро, 0) = πρ0 (α + -у γρ* — -g.ερ*) =0,
(58)
считая, что γ > 0, ε > 0, а α может принимать как положительные,
так и отрицательные значения (это соответствует условиям той
физической задачи, из которой получена рассматриваемая система; см. [6],
глава IX, § 10).
Рис. 206.
Представляют интерес, очевидно, только положительные корни
уравнения (58). Как мы показали выше, в случае, когда α Φ 0, из состояния
равновесия О (0, 0) исходной системы не может родиться
предельный цикл.
Введя в уравнении (58) обозначения
г,
3
5 ъ
ΊΓε=6
и сокращая его на πρ0, мы получим уравнение
α + аг — Ъгг = 0,
(59)
α + У а2 + 4&а
корни которою равны ^ ·
Если α < 0 и а2 + 46а < 0, то уравнение (59) не имеет
действительных корней.


§ 34]
ПРИМЕРЫ
467
Если же α < 0, но а2 + 46а > 0, то оба корня уравнения (59)
положительны. Поэтому уравнение (58) имеет два положительных корня,
которым соответствуют два предельных цикла, рождающихся из замкнутых
траекторий исходной линейной системы. Нетрудно видеть, что условия
теоремы 76 (§ 33.2) при этом удовлетворяются и, в силу этой теоремы,
система не имеет в достаточно малой окрестности точки О других
замкнутых траекторий. Если μ > 0, то состояние равновесия О (0, 0) является
при α < 0 устойчивым фокусом. Поэтому один из рождающихся
предельных циклов, именно внутренний, является неустойчивым, а второй,
внешний,— устойчивым.
Между значениями α (отрицательными), для которых а2 + Aba < 0
и а2 + 46а > 0, лежит значение α = α* = — тг< 0> Для которого
а2 + 46а = 0. Этому значению соответствует единственный
положительный корень р* уравнения (37). Вычисления показывают, чтог|)р0 (2π; Ро>0)=
= 0; поэтому развитая в § 33.2 теория в этом случае неприменима (см.
замечание к теореме 75, § 33.2). Однако нетрудно убедиться
непосредственно, что соответствующая значению р* замкнутая траектория
системы (56) является двукратным предельным циклом, который при
возрастании α разделяется на два предельных цикла — устойчивый и
неустойчивый.
При дальнейшем возрастании а, когда α обращается в нуль,
неустойчивый предельный цикл стягивается в состояние равновесия, которое
при а>0 делается неустойчивым.
На рис. 206, а—г показано расположение траекторий системы (56)
соответственно для случаев α < α*, α = α*, α* < α < 0, α>0. При
этом предполагается, что μ > 0 и достаточно мало.
Замечание. Нетрудно видеть, что вопрос о рождении
предельного цикла из состояния равновесия типа центр не может быть решен
путем применения достаточных условий, данных в § 33.2. Действительно,
из этих условий вытекает лишь существование состояния равновесия ρ = 0
для системы (Βμ).
Однако исследование отличных от ρ = 0 корней уравнения
ψ (2π; ρ, μ) = 0, которые стремятся к 0 при μ -»· 0, конечно, может дать
ответ на вопрос о рождении предельного цикла из состояния равновесия
типа центр системы (В0). Только решение уравнения ψ (2π; ρ, μ) = 0,
соответствующее такому предельному циклу, вообще говоря, нужно
искать в виде разложения не по целым, а по дробным степеням μ — в
простейшем случае по степеням j/μ.


ДОПОЛНЕНИЕ
1. Теоремы о непрерывной зависимости решений системы
дифференциальных уравнений от правых частей и о дифференцируемости
решений. Пусть
jj · — Pk (£» xit χ2ι · · · » xn)i /С ==· 1, 2, . . . , П, (А)
— система дифференциальных уравнений, заданная в области G (п + 1)-
мерного пространства. Мы будем предполагать, что Pk — непрерывные
функции, имеющие в области G непрерывные частные производные 1-го
порядка по переменным хх, х2, . . ., хп-
Будем рассматривать, наряду с системой (А), измененную систему
^- = Pk(t, х±, ..., xn) = Pk(tu *i» .. ·. Xn) + Pk(ti9 Хи х* -·, Хп), (А)
где Ръ, а следовательно, и «добавки» рк — функции, удовлетворяющие
тем же условиям, что и функции Pk (к = 1, 2, . . ., п). В случае, когда
имеется система, зависящая от параметра:
" ^ = Pk (£> X\t χ2·> · · · » Хты [*)> (Αμ)
переход от значения параметра μ0 к значению μ соответствует переходу
от системы (Αμο) к измененной системе (Αμ), а добавками являются функции
Ph~Pk (£» XU x2t · · · » Хгы М-) — Pk (^> #1> #2> · · · » χηι М-о)·
Точно так же дело обстоит в случае системы, зависящей от нескольких
параметров.
Теорема 1 (о непрерывной зависимости решений от правых
частей). Пусть
Xk = 4k(t\ h, ZlO> #20, · · -ι Sjio)=4>ft(0» Λ=1, 2, ...,ΤΖ, (1)
— решение системы (А), удовлетворяющее начальным условиям
Фа (£<ъ ^о» #ю» #20» · · ·» Хпо) — #Ао (2)
и определенное при всех значениях t в интервале (τ, Γ), где x<C.t0<C.T.
Пусть, далее,
Xk = Фа (*; *о> *ю» ^2о» · · · > ^по) = Фа (0 (3)
— решение системы (А), удовлетворяющее тем же начальным условиям.
Тогда, каковы бы ни были числа τ4 и τ2, τ<τ1 <^0<^2<LT, и число
ε > 0, существует число δ > 0, удовлетворяющее следующему условию:
если \ръ (t\ хи х2, . ..,яп)|<6, А=1, 2, ..., л, wo решение (3)
определено при всех ί, τ1<ί<τ2, и лри всех эттшя значениях t выполняются


ДОПОЛНЕНИЕ
469
соотношения
| Фа (t; *о, «ю· «го, · · ·» «по) —Фа (*; t0, χιο, я20, ·. ·, «no) I < ε. (4)
Доказательство. Будем рассматривать только значения
t € Uo, τ2ΐ· Для значений t £ [τ4, ί01 рассуждение проводится аналогично.
Зададим ε > 0.
Пусть С?! — замкнутая ограниченная область, целиком лежащая в G,
выпуклая по совокупности координат xt (i = 1, 2, . . ., ή) и содержащая
внутри себя часть интегральной кривой (1), соответствующую значениям
t 6 U0, тг] *)· Обозначим через р0 расстояние этой части интегральной
кривой (1) до границы области Gl (очевидно, р0 > 0). Так как 6?4 —
ограниченная замкнутая область, то во всех ее точках Μ (t\ яг4, х2, . . ., хп)
выполняются неравенства
\Phx. (t\ χι, хъ, · · ·, Хп) | <В, (5)
где # > 0 — некоторая постоянная.
Введем обозначения:
Sft = фЬ (^» ^0» «10» «20» · ■ · > «по) —фА U» ^0» «10» «20» · · · » «по)· (6)
Функции ξΑ определены при всех тех t, при которых одновременно
определены функции (pft и φΑ, и, в частности, заведомо определены при
всех значениях t, достаточно близких к t0. При t — t0 \k = 0. Очевидно,
^ = Pk(t; φ4> φ2, ..., φη) —ΡΑ(*;φ4> φ2, ···, φ») =
= Pft(i; φ! + |ι, φ2 + ξ2, .■■,<Ρη + ξη) —
—Pk(t; Φι, φ2, · · ·, Φμ) + Ρα(^; Φι» фг» · ··, φη) =
η
= 2 Р^(^ 4ftit ЛА2» · · ·» iftn)£l+Pft(*; φι, φ2, · · ·» φη), (7)
1=1
где точка (£; ηΛ1, ηΑ2, ..., щп) лежит на отрезке, соединяющем точки
(t; <р4, φ2, ..., φη) и (tt; φ4ι φ2, . .., φΛ).
Рассмотрим вспомогательное дифференциальное уравнение
£ = ηΒν + 6η, (8)
где ι; = ν (£) — функция от ί, а δ>»0—постоянная. Решение этого
уравнения, удовлетворяющее условию ν (t0) = 0, есть
ι;^=-|.[βηΒ(ί-ίο)_ΐ]. (9)
Очевидно, при всех t, t0<it<Cx2,
В
и v' (t) > 0.
0<г;(0<-|-ИВ(Г2"'о) — 1] (10)
*) Выпуклость по совокупности координат а^ означает, что область Gt наряду
с любыми двумя своими точками Μ (t, xit х2, . . ., хп) в. Μ' (t, х[, . . ., х'п) целиком
содержит соединяющий их отрезок ММ'.


470
ДОПОЛНЕНИЕ
Пусть ε* = min \ ε, — J· .В качестве 6>0 возьмем какое-нибудь число,
удовлетворяющее соотношению
^_ [епБ(Г2-<0)_ 1] < ε*. (υ)
Тогда в силу (10) при всех t, ί0<*<τ2>
ν (t) < ε*. (12)
Покажем, что выбранное таким образом число δ удовлетворяет
утверждению теоремы.
Пусть
I Ph (t; χί9 %2, ·.., χη) Ι < δ. (13)
Предположим, что точка (ί, φ4, φ2, ..., φη), а следовательно, и
отрезок, соединяющий ее с точкой (£, φ4, φ2, .. ., φη), целиком лежит в
области G±. Тогда из соотношений (7), (5) и (13) получаем (так как точки
(*» η*ι» ...» Щп) принадлежат указанному отрезку)
η
dt
<В%\Ы + 6. (14)
г=1
Это неравенство заведомо выполняется для всех ί, достаточно
близких к t0. При t = t0 ξί — 0. Поэтому при ί, достаточно близких к t0,
--ft'<6, а следовательно, и подавно
dt
3l
dt
\<ηδ.
С другой стороны, при всех значениях t £ [t0, τ2]
ν' (t) = ηΒν + бгг > тгб.
Из последних неравенств вытекает, что при всех г, достаточно
близких к tQ (t>t0),
и, следовательно,
Ibk(0l = | \&{t)dt\<^v' (t)dt = v{t). (15)
t ίο
Предположим теперь, что при выбранном нами δ утверждение
теоремы не выполняется. Тогда либо решение (3) системы (А) определено
только для значений t£lt0,T*], где Γ*<;τ2, либо оно определено при
всех значениях t£[t0l t2], но при некотором t в этом интервале
нарушается по крайней мере одно из неравенств
|Ы*)|<е, (16)
а следовательно, и одно из неравенств
НПО К ε*· (17)
В первом случае существует значение t, ί0<*<2Τ*<τ2» при
котором соответствующая точка интегральной кривой χχ = φ* (t) лежит вне
области (?! (это следует из КТ, дополнение, § 8.1, теорема А'). Тогда ее


ДОПОЛНЕНИЕ
471
расстояние до точки (t, φ4 (t), φ2, .. ., φη(0)» лежащей в G1? должно быть
больше чем р0, т. е. Y^ (t)2+ ... +ξη(ί)2> Ρο· Но это может быть
лишь в том случае, когда хотя бы при одном к |ξΑ(ί)|> -ρ~>ε*. Таким
образом, и в первом и во втором случае при некотором t*, t0<it**C τ2,
и по крайней мере при одном к, 1<&<тг, имеет место неравенство
I £*(**)!> ε*, а следовательно, в силу (12)
\lk(t*)\>v(t). (18)
С другой стороны, в силу (15) при всех t, достаточно близких к t0,
и при всех i = l, 2, ..., η выполняются соотношения
}h(t)\<v(t). (19)
Из (18) и (19) вытекает, что на том интервале значений t, где
определены оба решения φ* (£) и φ* (f)> существует точка £lt ίο<*ι<τ2>
удовлетворяющая следующим условиям:
а) при всех £, £0<*<*1» и ПРИ всех * = 1» 2, ..., η
\h(t)\<v(t); (20)
б) при всех i = 1, 2, ..., η
Ι6ι(*ι)1<"(*ι). (21)
и по крайней мере для одного из этих значений £, например для i — k,
Ι δ* (*ι)| = »(Ί)· (22)
Из условий а) и б) и (12) вытекает, что при ίζ[ί0> *ι]
νΓΙι(0"+Ε2(0,+ ···+δ»(*)"<Κ^55<Ηη(-?)2<Ρ*·
т. е. часть интегральной кривой #г = <рг(£), соответствующая значениям
*€[*о» *il» лежит в 6?!· Но тогда, в силу (7), (8) и в силу
предположения, что |ра<6|, & = 1, 2, ..., тг, мы имеем
ίι *ι ίι η
1Ы«1)|=|$&(0л|<$1&(*)1<«<$ [в2 1Ы + *]л<
*о Ό <о *=1
< [ [Bnv (t) + /гб] dt=\v' (t) dt = v (tt),
ίο to
т. е. [Sft(ii)|<y(ii), что противоречит условию (22). Таким образом, мы
пришли к противоречию. Теорема доказана.
Теорема 2 (теорема о непрерывной зависимости решений от
правых частей и начальных значений). Пусть
«ft = Φα (*» *ο· «ю» «го» · · ♦ > «no) = Φα (ί) (ф)
—решение системы (А), соответствующее начальным значениям t0, a:10,
«го» · · ·» «no u определенное на интервале (τ0, Τ7), α
«а = Фа(^^о» «ю» -.» «по) = Фа(0 (ф)
— решение системы (А), соответствующее начальным значениям
t0, #10, #2о» ...» «по· Тогда, каковы бы ни были числа xt и τ2, τ0<τ1<
<*ο<τ2<27» w число ε>0, существуют числа δ>0 и η>0,


472
ДОПОЛНЕНИЕ
удовлетворяющие следующим условиям: если
| Pk (*» хи xzy . .., хп) | < δ, к = 1, 2, . . , п,
а
1*0—·^о|<Л и \xi0 — Xi0\<r\, i = l,2, . - ., η,
то решение (φ) определено при t, Χι<!ί<!χ2, и при всех этих значениях t
|<Ра(0 —Фл(0|<е (* = 1. 2, .. ,л)
Доказательство теоремы 2 легко получается, если перейти
в системе (А) к переменным χ и ζ^ по формулам
£ =τ —ί0 + ί0, я* = Za-—Zfco + Sfto»
применить предыдущую теорему и воспользоваться компактностью сегмента
[Xi, х2], а также тем, что решение (φ) определено и на сегменте [х± — σ,
χ2 + σ], где σ — некоторое положительное число.
Следствие 1. Пусть Ω — компактное множество в (п + 2)-мерном
пространстве t, t0, xl0, x2o, . .., #по» в каждой точке которого определены
функции <рд(г, £0; #ю» #го» •••»#ло)· Каково бы ни было ε>0,
существуют δ>0 и η>0, удовлетворяющие следующим условиям: если
\pk(t\ #ι, #2» ···» ^Λ)|<δι|ί' —ί"|<η, Ι ί0— ζ|<η, |#Αο — ϊΆο|<η
и точка (t\ ί0; ж4, . ..,#Λ)ζΩ, то функции φ^ определены в точке
(£"» V» #ю> · · · > #по) и
1 ф& (^ > ^о» #ю» · · · > #по) — Фй (* > V» #ю» · · · > #ηο) ι < ε
(λ=1, 2, ...,л).
Справедливость следствия 1 вытекает из предыдущей теоремы и
доказывается обычным рассуждением от противного, использующим
компактность области Ω.
Следствие 2. У системы
~ЙГ~ —*k \*\ #1» #2» · - · > #п> И')»
правые части которой — функции 1-го класса по 2, хи х2, ..., хп и
непрерывные функции параметра μ, решения
# = Фа(£> ^о» #ю» · · ·» #ηο» Μ-)
— непрерывные функции по совокупности всех своих аргументов при
всех тех значениях этих аргументов, при которых они определены.
Справедливость следствия 2 вытекает непосредственно из теоремы 2.
Предположим теперь, что функции Pk и Pk, стоящие в правых частях
систем (А) и (А), являются функциями класса г>1. В этом случае
решения φΑ (t, t0; Χίο, #2ο» · · ·> #ηο) при всех значениях входящих в них
переменных, при которых они определены, имеют непрерывные (по
совокупности всех переменных) производные: а) по t до порядка г + 1; б) по
совокупности переменных xi0 до порядка г; в) по совокупности всех
переменных, но содержащие по крайней мере одно дифференцирование по f, — до
порядка г + 1 (см. КТ, дополнение, § 8.3, теорема В"), и аналогичное
утверждение имеет место для решений <рй.
Теорема 3. Пусть решение (φ) системы (А) определено при
значениях ί с (т0, Т), и пусть х0 < Χι <С f0 < x2 < Т. Тогда, каково бы


ДОПОЛНЕНИЕ
473
ни было ε > О, существуют числа δ > 0 м η > 0, удовлетворяющие
следующим условиям: если система (А) Ь-близка до ранга г к системе (А)
и если | ?0 — ί0 | < η, | xi0 — χ}0 |< η (i = 1, 2, . . ., η), то решение
(φ) определено при всех ί, τι<£<τ2, и при всех этих значениях
:ε, (23)
d*>ft ft» *о< *ιο, ■.., Дно) дт<р ft, *р, *ю, ..., а^о)
л* *? j· βϊ &... й*а · ** я*» <ц*0... е*&
1 + Ч + Ч+ .-· +in = m<r + \, ii + i2+ ... + in<r.
Доказательство. Частные производные функций φΑ
удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
dt
■-Pk(t, Φι, φ2, ..., ψπ),
\ dt0 ) ~ Zj ^, ^ί0 » l**J
Pft_= у
при начальных условиях
фй fto> ^0> #10> ^20> · · ·» 3Vio)~#/iO>
Оь ,
***о !'=*о
(см. КТ, дополнение, § 8.3). Аналогично обстоит дело с частными
производными от функций φΑ. Справедливость теоремы 3 непосредственно
вытекает из теоремы 2, если применить последнюю к системе (24) с
начальными условиями (25).
Рассмотрим еще случай, когда правые части рассматриваемой
системы являются функциями некоторого параметра μ, т. е. система имеет вид
~^- = Pk(t, xu х2, ...,хп, μ) (Α = 1, 2, ...,гс). (Αμ)
Мы предполагаем, что функции Ph определены при любом значении μ,
μι < μ < μ2, во всех точках некоторой области G (п + 1)-мерного
пространства t, χι, х2, . . ., хп и что эти функции непрерывны по
совокупности всех своих аргументов и имеют непрерывные частные производные
по х1у х2, . . ., хп и μ до порядка г включительно.
Пусть
Хк = Фь (t, t0, χί0, ..., χη0, μ), к = 1, 2, ..., η, (26)
— решение системы (Αμ).
В силу следствия 2 теоремы 2 yk являются непрерывными функциями
по совокупности всех своих аргументов.
Теорема 4. Если функции Pk (t, xu . . ., хп, μ) имеют
непрерывные частные производные до порядка г включительно по переменным
Χι, х2, . . ., хп, μ, т0 функции фй ft, t0, xl0, . . ., Χηοι V) имеют
непрерывные частные производные до порядка г включительно при всех тех
значениях ί, при которых они определены, и эти частные производные


474 ДОПОЛНЕНИЕ
удовлетворяют системе дифференциальных уравнений
-^- = Pk {t, φ4> φ2, . .., φη, μ),
η
<* ftPft = у dPh(t, <plt ..., φΛ, μ) ^pj . flPfe
г=1
η
i=l
/_52φ^_\ у dPfe d*4j . у ^2Pfe дфг frPJ . у J^l\_^l_
\ dx-tQ ΰμ ) Zj дд^ d#i0 дР ^J dxjdxi δμ дХ(0 ~"~ Zj дXjдμ дхю '
при начальных условиях
ф/г (^0> ^0> ^10> · · · » xnQ-> M7) ~xkOi
дфб
0μ
= 0,
d<Pft
ί=ί0 dxi0
(28)
По поводу доказательства теоремы 4 см. [17].
2. Одно предложение о функциях многих переменных. Пусть
/ (х, у) — функция класса #>1 в области, содержащей точку (0, 0).
Теорема 5. При любом к, l^Ck^CN, функция f (x, у) может
быть представлена в достаточно малой окрестности точки (0, 0) в виде
/(*, у) = Р0(х, у)+Р,{х, y) + ...+Ph(x, У) + Р*{*, У), (1)
где Рг, i = 0, l, ..., &,— однородные многочлены степени i,
Ρ* (χ, у) = 2' xk~aVaPa (x, У), (2)
причем Ра (#, у) — непрерывная функция, обращающаяся в 0 при х—у = 0.
Доказательство. Воспользуемся формулой Маклорена для
функции одной переменной с остаточным членом в интегральной форме:
о
(см. [И], том 2, п. 306).
Применяя ее к функции <p(t) = f(tx, ty) и полагая ί = 1, имеем
k-i
Их, у)=/(о, о)+2 тг(^-*+1^)г/(0' 0) +
1=1
1
+7*=1)Г ϋ (■£■*+·£■*)'*&' 4f)(i-*)w*· (3)
о
Обозначим последнее слагаемое этой формулы через Q* (х, у). Очевидно,
?·<*· *>=<ώϊ- ς («i-Se^-it-*)»*)^*·.
α=0 0 у


ДОПОЛНЕНИЕ
475
Коэффициент при xh-aya в последней формуле является непрерывной
функцией от χ и у. Обозначим его через ga (x, у) и положим, что
П (*, y)=ga(x,lj)~ga(0, 0).
Тогда
ga(x,y) = g*(P,0) + P*(x,y) (5)
PS(0,0) = o. (6)
Подставляя выражения (4) и (5) в (3), мы получим формулу (1), в которой
Ро(*, У) = 1(0, 0),
Pi(*, y)=-jf{-ix+^-y)'f^0^ |==1· 2' ···.*-!.
Ph(x, ifl-2 ^«(0, 0)а*-«?«
а=0
И
Р*(х, г/)= 2 [««(ж, ?)-*«(<>, 0)]a*-<V.
Теорема доказана. Очевидно, аналогичное утверждение справедливо и для
функции η переменных.
3. Лемма о нормалях простой гладкой замкнутой кривой. Пусть
L0 — простая замкнутая кривая, заданная уравнениями
* = φ($), 0 = ψ(*)»
где φ и ψ — периодические функции с периодом τ. Мы будем
предполагать, что φ и ψ — функции второго класса и что φ' (s) и ψ' (s) ни при
каком значении s одновременно не обращаются в нуль.
Проведем через каждую точку Μ (φ (s), ψ (s)) траектории L0 нормаль
к ней и отложим на этой нормали по обе стороны от точки Μ отрезки
длиной δ}Λρ' (s)2 + Ψ' (s)2·
Лемма 1. Если δ > 0 достаточно мало, то никакие два указан-
них отрезка нормалей, проведенные через две разные точки кривой L0,
не пересекаются.
Доказательство. Так как величина ]Ар' (s)2 + Ψ' (s)2
ограничена сверху, то достаточно доказать лемму в предположении, что на
всех нормалях откладываются отрезки длины δ. Кроме того, достаточно
рассмотреть случай, когда эти отрезки расположены с одной стороны
от кривой L0 (все внутри нее или все снаружи). Мы будем считать, что
оба указанных условия выполняются. Доказательство проведем от
противного — допустим, что утверждение леммы неверно. Тогда существует
последовательность чисел δη -> 0 (δη > 0) и последовательность пар
точек Рп, Qn кривой L0 таких, что отрезки нормалей длины δη,
проведенных через точки Рп и Qn, пересекаются. В силу компактности кривой
Ln мы можем считать, что Рп -> Р, a Qn ->· Q, где Ρ и Q — точки
кривой L0.
Рассмотрим сначала случай, когда точки Ρ и Q различны.
Пусть Мп — точка пересечения отрезков нормалей, проведенных в
точках Рп и Qn. Тогда р{Рп, Μη)^δη, p(Qn, Μη)<ζδη и, в силу аксиомы


476
ДОПОЛНЕНИЕ
треугольника,
ρ (Ρ, <?)<ρ(Λ Ρη) + Ρ(Ρη, Μη) + 9(Μη, Qn) + p(Qn, Q)<
<p(P,Pn) + 26n + p(Qn, 0
(рис. 207). Так как при достаточно большом η правая часть неравенства
сколь угодно мала, а левая постоянна, то это неравенство не может
иметь места. Таким образом, точки Ρ и Q не могут быть различны, и мы
должны рассмотреть лишь случай, когда они совпадают.
Перейдем в этом случае к новой прямоугольной системе координат,
взяв за ее начало О точку Ρ (совпадающую с Q), а за ось абсцисс —
касательную к L0 в точке О (рис. 208). Сохраним старые обозначения, т. е.
будем обозначать новые координаты буквами χ и у и будем считать, что
параметрические уравнения кривой L0 по-прежнему χ = φ (s), у = ψ (s).
Очевидно, φ и ψ при этом остаются функциями 2-го класса и φ' (s)2 -f-
-{- ψ' (s)2 φ 0 при любом s.
Пусть точка О кривой L0 соответствует значению s0 параметра s.
Вблизи точки О. кривая L0 имеет уравнение у = / (х). При этом
? <*>=Ψ& · г (0)=°' ψ'ы=°· ф' (5о) ф °-
Поэтому вблизи точки χ = 0 функция / (х) имеет непрерывную вторую
производную /" {х).
По условию отрезки нормалей длины Ьп > 0, проведенные в точках
Рп и Qn, пересекаются при любых η (здесь δη ->· 0, Рп -> 0, Qn -+· 0).
Пусть Мп {Xn,Yn) — точка их пересечения, и пусть Рп {ап, Ъп), a Qn (ап, Ъп).
Тогда ап Φ ап и при η —> 0 αΛ —» 0, αΛ —> 0, δη —> 0, έΛ —> 0.
Уравнения нормалей к кривой £0 в точках Рп и ()„ имеют вид
соответственно
x — an=—f(an)(y—bn), x — an= — /' {ап)(у—Т>п).
Подставляя в эти уравнения вместо χ и у координаты Хп, Υη точки Мп
и почленно вычитая, мы получим после простых преобразований
ΥηΙί Ы-Г К)] = an-an + {\-bn) f (an) + bn [/' (ϊη)-/' (αη)]. (1)


ДОПОЛНЕНИЕ 477
По формуле Лагранжа
/' К) - /' Ы = /" (In) (an - ап) (2)
и
К -А =-- / (ап) — / (ап) = /' (ηΛ) (ап — ап), (3)
где ξΛ и η„ заключены между ап и ап и поэтому стремятся к нулю при
га—> оо. Подставляя (2) и (3) в (1) и сокращая на ап — ап, мы получим
Ynf (In) = 1 + /' (η,) /' К) + 6Λ/" (ξ»)
и, переходя к пределу,
limY„f (g») = l. (4)
П->оо
С другой стороны, мы имеем
У(Уп-К)*<У(Уп-Ьп)* + (Хп--ап)*<6п.
Так как Ъп —> 0 и δη —> 0, то Уд —> 0. Поэтому
НтУпП6») = 0,
п->0
что противоречит соотношению (4). Лемма доказана.
4. Доказательство дифференцируемости функции JB(p, θ) по ρ
(§ 24.2, лемма 3). Докажем сначала одно вспомогательное утверждение.
Пусть функция / (#, у) задана в круге х2~{-у2^Н2 и имеет в этом круге
непрерывные производные по χ и у до некоторого порядка iV>l, причем
/(0, 0)^0.
Рассмотрим функцию /*(р, Θ), определенную следующим образом:
I
/*(Р» θ)= — /(pcosB, ρ sin θ) при р=#=0,
/*(0, θ) = /;(0, O)cos0 + /y(O, O)sin0.
Так как по условию / (х, у) является функцией класса N, то, очевидно,
при ρ Φ 0 функция /* (ρ, Θ) имеет при всех θ непрерывные частные
производные по ρ до порядка N. В следующей лемме выясняется вопрос
существования и непрерывности производных функций /* (ρ, Θ) по ρ
при р = 0.
Лемма 2. Если f (χ, у) является функцией класса N > 1 в круге
х2 + У2<№, то
а) при любом θ функция /* (ρ, Θ) имеет непрерывные производные
по ρ до порядка N — 1;
б) при ρ ->· 0 функция ρ ——^—- стремится к нулю равномерно
относительно Θ.
Доказательство. В случае, когда / (я, у) есть однородный
многочлен степени л>1, утверждения леммы проверяются
непосредственно (проверку достаточпо сделать для одного члена xlyn~k). Далее,
очевидно, что если лемма справедлива для двух функций, то она
справедлива и для их суммы. Отсюда следует, что лемму достаточно доказать
для функции
N k
ы*. ?)=/(*. ν)-Σ ττ(Σ я/ϊ-ν0· °)**vq) ·
k=i q=0


478
ДОПОЛНЕНИЕ
У этой функции все производные до порядка N включительно в точке
(О, 0) равны нулю. Таким образом, при доказательстве леммы мы можем
без ограничения общности считать, что / (х, у) есть функция, все частные
производные которой до порядка N включительно равны нулю в точке
(0, 0). Мы будем считать, что это условие выполняется. Тогда по
формуле Тэйлора
N
f (χ, у) = JL ^ Сад?_РуР (*, у) χΝ- V, (2)
где χ и у—числа, заключенные соответственно между 0 и χ и 0 и у
и зависящие, вообще говоря, от точки (х, у). Подставляя вместо χ и у
соответственно ρ cos θ и ρ sin θ, мы получим /(#, y) = pNF(x9 ζ/), где
N
F (Ι, η) = -L- 2 ClTxN-VyV (ξ, η) cos"-* θ sin* θ. (3)
Точно так же, разлагая по формуле Тэйлора функцию /^-г г, 1 <;</<;
•<iV—1, 0<r<g, при том же предположении и принимая во внимание
равенство нулю частных производных функции / (#, у) до порядка N
в точке (0, 0), мы будем иметь
N-q
β-4{Χ, V)=1^W Σ С*-я№-г-Руг+Р far, ~yqr)xN-q-Vy*
p=0
ИЛИ
f$-ryr (x, y)=.p"~*Fqr (igr, yqr), (4)
где
N-q
Fir (Ι. η) = {N^_q)] 2 <%-я№-т-р„м* (Ι, η) cos"-*-* θ sin" θ, (5)
P=0
a xqr и yqr заключены соответственно между 0 и х и 0 и у. Функции
F (ξ, η) и Fqr (ξ, η) являются, очевидно, непрерывными функциями от ξ,
η и обращаются в 0 при ξ = η = 0.
Продифференцировав функцию
f(x, y) = f(pcosQ, ρ sin θ)
q раз по р (l<g<iV--1), мы получим
я.
m 1 {χ, у)=Σ e<if%w (*' у) cos*~r θ sinr θ· (6)
Ля)
дрч
r=0
Заменяя в этом выражении f^q-ryr {x, у) по формуле (4) и деля
на pN~g, мы будем иметь
_i__ Щ^у)_ = ^ CrgFqr (-gr> ~qr) cosi-, θ sinr θ>
Если ρ —■> 0, то а: —» 0, # —> 0, х^г —> 0, ^г —> 0, и, следовательно,
Fqr (xqr, Vqr) —» 0. Поэтому выражение
Ρ
1 Wf (s, у) Ν δη {χ, у) (
N-q доЯ ~μ до* V '
-Q dp* Г dpq


ДОПОЛНЕНИЕ
479
(1<</<АГ— 1) при р—>0 также стремится к 0, причем равномерно
относительно Θ. Кроме того, из формулы (2) следует, что выражение
-±rf{x,y) = p-Nf(x,y) (8)
Р
при ρ —> 0 также стремится к нулю равномерно относительно Θ.
Перейдем теперь к доказательству утверждения а) леммы. Полагая
сначала рфО и применяя формулу Лейбница, найдем выражения для
производных порядка к от функции
/*(р, θ) = — /(pcosQ, psinO) (см. (1)), где l<A<iV— l.
Мы получим
k( / (ρ cos θ, ρ sin θ) \ k
dhf* (Ρ, θ) _°\ ρ ) _ V rq &9f db-Q (p"t)
=2 я-
dpfe dp& ^ ^P* rfp^-a
ft
= (2 «(-IJ^i*--?)!^^-^-)^-*-1. (9)
g=0
Так как выражения (8) и (9) при ρ —> 0 стремятся к нулю равномерно
относительно Θ, то, очевидно, при ρ —> О
^*(р'е> — о, (Ю)
dp"
причем равномерно относительно Θ. Кроме того, в силу (1) и (2) при р—>0
/*(р, θ)-*0 (И)
равномерно относительно Θ.
В силу (10) и (11) для доказательства утверждения а) леммы,
очевидно, достаточно показать, что /* (0, Θ) = 0 и что у функции /* (ρ, Θ)
при ρ = 0 (т. е. в любой точке (0, Θ)) существуют производные по ρ до
порядка N — 1 и эти производные равны нулю. Но, очевидно,
/•(0,6) = 0
в силу самого определения функции /* (ρ, Θ) (так как f'x и f'y по условию
равны нулю в точке (0, Θ)). Предполагая, что N > 1, докажем
существование первой частной производной по ρ от функции /* (ρ, Θ) в точке (0, 0).
При этом, очевидно, мы не можем пользоваться выражением (9),
справедливым лишь при ρ Φ 0, а должны находить производную
непосредственно, т. е. как предел выражения
'ч*у<м> = яри=ιψ.=р*-, (p-w/ {х, у)). (12)
Множитель в скобках есть выражение (8), которое при ρ -^ 0 стремится
к нулю равномерно относительно Θ. Таким образом, предел выражения
(12) (т. е. производная от функции /* (ρ, Θ) в точке (0, Θ)) существует
и равен нулю. В силу (10) отсюда следует, очевидно, непрерывность
первой производной по ρ от функции /* (ρ, Θ) при ρ = 0.
Предположим теперь, что существование и непрерывность частных
производных по ρ до порядка ρ^.Ν — 2 от функции /* (ρ, Θ) в точке
(0, Θ) уже доказаны. Тогда в силу (10) все эти производные (до порядка ρ
включительно) равны нулю.


480
Дополнение
Найдем ρ + ί производную по ρ от функции / (ρ, Θ) в точке (0, Θ)
непосредственно, т. е. как предел выражения
Воспользовавшись равенством (9) (при k = p*CN—2) и указанными выше
свойствами выражений (7) и (8), мы сразу убедимся, что последнее
выражение стремится к нулю при ρ —> 0. А это значит, что производная
Jy в точке (0, Θ) существует и равна 0. Но тогда в силу (10)
dp
эта производная непрерывна в точке (0, 0). Таким образом, утверждение
а) доказано.
Перейдем теперь к доказательству утверждения б). При р=^=0
/(#, y)=-i (p cos θ, psin0) = /*(p, Θ) р. По формуле Лейбница
ί^=ρί^+λί^· (14)
dNf
При ρ ->- 0 левая часть —^ стремится к нулю равномерно относительно θ
(это следует из формулы (6), справедливой и при q = Ν, и из
предположений, сделанных относительно функции / (х, у)). Второе слагаемое
правой части формулы (14) только множителем отличается от выражения (10)
и поэтому также стремится к нулю равномерно относительно θ при ρ -^ 0.
dN1*
Но тогда и первое слагаемое правой части ρ —£· стремится к нулю равно-
мерно относительно Θ. Лемма доказана.
Перейдем теперь к основному предложению данного пункта.
Рассмотрим систему
•2г = скс—βρ + φ(*, у), -^-==$х + ау + Ц(х, у)у (15)
где β Φ 0, а функции φ и ψ вместе со всеми своими производными
первого порядка равны нулю в точке (0, 0). Положим, что
F (ρ, Θ) = ар + φ (ρ cos θ, ρ sin θ) cos θ + ψ (ρ cos θ, ρ sin θ) sin θ, (16)
Φ/ λ\ ψ (ρ cos θ, ρ sin θ) Λ φ (ρ cos θ, ρ sin θ) . Ω
(ρ, θ) =-*-**- - COS θ Ί-^- — -Sin θ
^ ' Ρ Ρ
при р^Ои
Φ(0,θ) = 0,
(17)
Лемма 3. Если (15) является системой класса Ν*>\ и р*>0
достаточно мало, то функция R (ρ, Θ) имеет во всех точках (ρ, Θ)
области —оо<6<+сх>, 0<[|р|<р* непрерывные частные производные
по ρ до порядка N включительно (лемма 3 § 24).
Доказательство. Из условия Ф(0, Θ) = 0 следует, что при р = 0
υ φ (р cos θ, p sin θ) ib (ρ cos θ, ρ sin θ) ,ΛΠ^
функции -2-^- - '— и -*-я- - —, входящие в выражение (17),
определены и равны нулю. Но тогда, очевидно, эти функции получаются
соответственно из функций φ (я, у) и ψ (я, у) так, как функции /*(р, Θ)


ДОПОЛНЕНИЕ
481
получается из функций f(x, у) (см. (1)). Поэтому к функциям
(p(pcosO, ρ sin θ) -ψ (ρ cos θ, ρ sin θ)
—. jj —.
Ρ Ρ
применима лемма 2, и мы можем сразу заключить, принимая во
внимание формулы (16)—(18), а также неравенство β + Φ (ρ, θ) Φ 0
(выполняющееся в любой точке (р, 0) рассматриваемой области при достаточно
малом р*), что функция R ,(р, Θ) имеет непрерывные частные
производные по ρ до порядка N — 1 в каждой точке (р, 0) (0< | ρ | < ρ*, θ —
любое) и до порядка N включительно в каждой точке, где ρ Φ 0. Таким
образом, нам нужно доказать только существование непрерывной
производной по ρ порядка N в точках, где ρ = 0. Запишем R (ρ, Θ) в виде
произведения двух функций:
я(Р.е)=*(р,е) * ,
' dN"iR
и найдем —тг^г ПРИ помощи формулы Лейбница (это возможно, так как
dp *
каждый из сомножителей имеет частные производные по ρ до порядка
N—1 включительно в любой точке (ρ, Θ)). Простые вычисления
показывают, что
dN-lR _ ff(p, 0) F(p,6) <Р-*Ф Mqv
0р*-1 - (β + φ)" (β + Φ)2 flp"-* ' { }
где Η (ρ, θ) есть многочлен относительно функций
dF tf*-xF ^ дф dN~20
F z. zL ch ^
* Ял ' " " " » ~ W — i » » Ял »
dp ' "" dp"""1 ' ~> dp > "·' dpN-2 '
Выражение —^—~ имеет, очевидно, непрерывную производную по ρ
во всех точках (ρ, θ) (0<|ρ|<ρ*, Θ —любое). Таким образом, для
доказательства леммы нам достаточно показать существование и непрерывность
в точках (0, Θ) производной по ρ от выражения
F(p,Q) 0*-'φ(ρ,θ) ,„m
(β+Φ)2 dp""1 ' Κ }
Докажем сначала существование этой производной при р = 0. При р = 0
F(p, θ) = 0, следовательно, равно 0 и выражение (20). Поэтому
Μ,Γ*(ρ,θ) ^^Φ(Ρ>0) Ί) _Ί,^Γ^(Ρ>Θ) 1 д"-*Ф(р, θ) η_
Ι*ρί(β + Φ)* dpN-i J/p=0~p™L Ρ (β + Φ)2 д^ J~
-Й?{^Т^[~в-5^Ш-*в-^№)]} ■ <21>
В силу предыдущего при ρ —> 0 частные производные —лггг( )
до 1 \ Ρ /
и —]у—fl —I стремятся к определенным пределам, именно к значениям
этих производных в точке (0, Θ). Далее, НтФ(р, θ) = 0, a lim—^р' ' =а.
р-*0 р-»0 Ρ
Отсюда вытекает, что предел, стоящий в правой части формулы (21),
существует и равен
α ·.. ^-^(р, θ)


482
ДОПОЛНЕНИЕ
т. е.
lip-L (β+Φ)2 ар»-* J/p-o—f;™ v^1 · ( '
Таким образом, мы показали существование частной производной по ρ
при р = 0 от выражения (20).
Докажем теперь непрерывность этой производной в точке (0, Θ).
Для этого найдем
F(p, θ) δΝ~ιΦ(ρ,Θ)
pTo^L (β+Φ)2 V
При р =5^=0 мы имеем
а г F(P,9) 0я-1 φ (ρ, в) -ι ,23ч
^1ρ~1-(β+Φ)2 λ,^-ι J" (2d)
a г F(P, θ) α№-'φ(ρ, θ) ί
aP L (β+Φ)2 ao^"1 J
^ρ(ρ.θ) gw-ΐφ 2F(P'e>-ap- а"-1ф
~(β+Φ)2 ар"-1 (β+Φ)3 ар"-1 +
ι ^(Ρ.θ) cos θ _Lp_l_ sin lp / ί24)
+ (β+Φ)2 Lcos ° aP" Sm aP" J* ( '
Последнее слагаемое можно записать в виде
*<Ρ.Θ)
(β+Φ)2
ρ—^f^-cose-p v ρ ; sine
• аРЛ ^ аР"
При ρ —> 0 ^р' ' —>· α, ft .2—> -ρ-, а выражение в квадратных
скобках стремится к нулю в силу утверждения б) леммы 2. Далее,
lim/Xp, θ) = 0, а
р-»0
limFp(p, θ) = ^ρ(0, 0) = lim^fi^ = a.
р-*0 ρ-»·0 V
Но тогда из формулы (24) следует, что
цт д Г F^Q) θΝ~ίφ(Ρ< θ)1 α lim ^~1φ (25)
hm1p- llffW аР"-» J—Prj™13s=i— <25>
p-*0
Из соотношений (22) и (25) следует, что частная производная по ρ
dN~~iR
от выражения (20), а следовательно, и от функции —^—γ существует
и непрерывна в точке (0, Θ). Лемма доказана.
5. Замечание по поводу определения грубой динамической системы.
При определении грубой динамической системы в области W (§ 6.1,
определение 10) кроме области W приходится вводить в рассмотрение
более широкую область Н. Поясним, почему нельзя обойтись без этого.
Рассмотрим динамическую систему (А), определенную в некоторой области
G и имеющую в этой области трехкратный неустойчивый предельный
цикл L0 (§ 26.2, определение 28). Обозначим через W замкнутую область,
ограниченную циклом L0, и предположим, что в области W имеется
грубый фокус О и что все траектории системы (А), расположенные в W,
кроме фокуса О и цикла L0, являются спиралями, стремящимися к О


ДОПОЛНЕНИЕ
483
при t ->- + оо ик!0 при t -> — оо (примером такой системы может
служить система (Bk) при к = 3 в примере 10, § 27.2; см. рис. 121). Так как
существуют сколь угодно малые изменения системы (А), при которых
цикл L0 распадается на три цикла (§ 27.1, теорема 42), то систему (А)
естественно считать негрубой в области W. С другой стороны, каково бы
ни было ε > 0, существует такое δ > 0, что если система (А) δ-близка
к (А) до ранга 3, то
(W, А) = (W, А), (1)
где W — некоторая область. Последнее утверждение вытекает из того,
что любая достаточно близкая к (А) система (А) имеет вблизи L0 одну,
две или три замкнутые траектории (§ 27, теоремы 42 и 43). Самая
внутренняя из них является предельным циклом, неустойчивым изнутри,
и ограниченная им область может быть принята за W. Соотношение (1)
показывает, что если бы в определении 10, § 6.1, вместо более широкой
области Η рассматривать саму область W, то систему (А), имеющую
трехкратный предельный цикл, нужно было бы считать грубой.


ЛИТЕРАТУРА
1. А. А. А н д ρ о н о в, Ε. А. Л е о н τ о в и ч, И. И. Γ ο ρ д о н, Α. Γ. Μ а й е р,
Качественная теория динамических систем второго порядка, изд-во «Паука>>,
Москва, 1966.
2. Н.Н.Баутин, О продольных движениях самолета, близких к фугоидным
движениям, Учен, записки Горьковского ун-та 13 (1947).
3. Л. Н. Беллюстина, К динамике симметричного полета самолета, Изв. АН
СССР, ОТН, № И (1956).
4. А. А. Андронов, Л. С. Π о н τ ρ я г и н, Грубые системы, ДАИ СССР 14,
№ 5 (1937).
5. Г. Ф. Багги с, Грубые системы двух дифференциальных уравпепий, Успехи
матем. наук X, вып. 4 (66) (1955), 101—126.
6. А. А. А н д ρ о π о в, А. А. В и τ т, С. Э. X а й к и н, Теория колебаний, Физмат-
гиз, 1959.
7. Μ. Μ. Peixoto, Structural stability on 2-dimensional manifolds, Topology,
vol. 1, pp. 101—120, Pergamon Press, 1962.
8. Д. А. Г у д к о в, О понятии грубости и степеней пегрубости для плоских
алгебраических кривых, Матем. сб. 67 (109), № 4 (1965).
9. А. А. Андронов, Е. А. Л е о н τ о в и ч, К теории изменения качественной
структуры разбиения плоскости на траектории, ДАН СССР, 21, № 9 (1938).
10. А. А. Андронов, Е. А. Л е о н τ о в и ч, Динамические системы 1-й степени
негрубости па плоскости, Матем. сб. 68 (НО): 3 (1965).
11. Г. М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления,
«Наука», Москва, т. 1, 1966, т. 2, 1959, т. 3, 1963.
12. Р. У о к е р, Алгебраические кривые, ИЛ, Москва, 1952.
13. Л. С. Понтрягин, Обыкновенные дифференциальные уравнения, 2-е изд.,
Москва 1965
14. Μ. Μ. Ρ е i χ о t о, On structural stability, Ann. of Math. 69 (1959), 199—222.
15. А. Пуанкаре, О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями,
ОГИЗ, М.— Л., 1947.
16. Η. Α. Γ у б а р ь, Характеристика сложных особых точек системы двух
дифференциальных уравнений при помощи грубых особых точек близких систем, Матем.
сб. 40 (82): 1 (1956).
17. В. В. Степанов, Курс дифференциальных уравнений, Физматгиз, Москва,
1959.
18. Н. Н. Б а у τ и н, Поведение динамических систем вблизи границ области
устойчивости, Гостехиздат, Москва, 1949.
19. М. А. Красносельский и др., Векторные поля на плоскости,
Физматгиз, Москва, 1963.
20. Н. Н. Б а у τ и н, Об одном дифференциальном уравнении, имеющем предельный
цикл, ЖТФ IX, вып. 7 (1939), 601—611.
21. Е. А. Леонтович, О рождении предельных циклов от сепаратрисы, ДАН
СССР XXVIII, № 4 (1951).
22. А. И. Μ а р к у ш е в и ч, Теория аналитических функций, Гостехиздат, М.— Л.г
1950.
23. Ш.Ж. дела Валле-Пуссен, Курс анализа бесконечно малых, т. II, ГТТИ,
М.-Л., 1933.
24. Η. Ρ о i η с а г е, Les methodes nouvelles de la mecanique celeste, t. Ill, Paris, 1899.
25. Α. Α. Α η д ρ о н о в и А. Г. Л ю б и н а, Применение теории Пуанкаре о
«точках бифуркаций» и «смене устойчивости» к простейшим автоколебательным
системам, ЖЭТФ 5, вып. 3—4 (1935).
26. Г. В. Аронович, Л. Н. Беллюстина, Об устойчивости колебаппй
горизонта в уравнительной баптне, Инженерный сборник АН СССР XIII (1952).
27. Н. Н. Б а у τ и н, К теории синхронизации, ЖТФ 9 (1939).


ЛИТЕРАТУРА
485
28. Л. Η. Беллюстина, Об одном уравнении из теории электрических машин,
Сборник памяти А. А. Андронова, Изд-во АН СССР, 1955, 173—186.
29. А. К. С у ш к е в и ч, Основы высшей алгебры, Гостехпздат, М.— Л., 1941.
30. В. В. Немыцкий и В.В.Степанов, Качественная теория
дифференциальных уравнений, Гостехпздат, М.—Л., 1949.
31. L. S. Pontrjagin, Uber Autoschwingungssysteme, die den Hamiltonschen
rahe liegen, Phys. Zeitschrift der Sowjetunion, Band 6, Heft 1—2, 1934.
32. L. Markus, The behavior of the solutions of a differential system near a periodic
solution, Ann. Math. 73, No. 2 (1960).
33. L.Markus, Structurally stable differential systems, Ann. Math. 73, No. 1 (1961).
34. ЦиньЮань-сюнь, Об алгебраических предельных циклах второго порядка
для дифференциального уравнения
Шусюэ сюэбао, Acta Math, sinica 8, № 1, 23 (1958).
35. Ε. Ρ icard, Traite d'analyse, t. 2, Paris, 1905.
36. S. S m a 1 e, On dynamical systems, Symposium International on ordinary
differential equations, La Univers. Nac. di Mexico, 1961.
37. B. M. Большаков, Ε. С. Зельдин, Р. Μ. Минц, Η. Α. Фуфаев,
К динамике системы осциллятор — ротатор, Известия высших учебных
заведений, Радиофизика VIII, № 2 (1965).
38. С. X. А ран с он, Системы первой степени иегрубости на торе. ДАН СССР,
164, № 5 (165).


АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Бифуркации динамической системы 213,
217
— — — в окрестности конечнократного
предельного цикла 291
— — — — — сложного однократного
фокуса 271
фокуса 269
— систем первой степени негрубости 382
Бифуркационное значение параметра 219
ε-близость динамических систем 34
— до ранга г 34
— областей 37
— — регулярного преобразования к
тождественному 37, 38
— функций до ранга г 13
Гамильтонова динамическая система 412
Грубая динамическая система в плоской
области 64
— — — на сфере 67
— точка пересечения двух кривых 25
— траектория 71
Грубость динамической системы по
отношению к данному пространству 69
Грубый корень функции 18
Диаграмма Ньютона 394, 399
Интегральный инвариант 409
— —, плотность 409
Источники 149
Каноническая окрестность предельного
цикла 150
— — седла 151
— — узла или фокуса 150
Канонический вид динамической системы
(в окрестности состояния равновесия)
78, 79
Консервативная динамическая система
411, 415
Кратность корня функции 18, 20
— — — по отношению к данному
классу функций 23, 24
— общей точки двух кривых 25
— предельного цикла 118, 280
— сложного фокуса 253
— состояния равновесия 74
Криволинейные координаты в
окрестности замкнутой траектории 119
Ляпуновская величина 254
Метод малого параметра (Метод
Пуанкаре) 416
Метрика в пространстве динамических
систем в плоской области 60, 61
— на сфере 61—63
Многоугольник Ньютона 394, 399
Негрубая траектория 71
— замкнутая траектория 141
Неустойчивая петля сепаратрисы 308, 311
Неустойчивый предельный цикл 116
Нормальная граница области 147, 148
Область с нормальной границей 147
— устойчивости в большом стока 200
Особые траектории, полутраектории,
дуги траекторий 148, 149
— элементы 149
Первая фокусная величина 101
Плотность интегрального инварианта 40$
Поворот векторного поля динамической
системы 39
Покрытие сферы замкнутое 62
— — открытое 61
Полуустойчивый предельный цикл 116
Правильная система канонических
окрестностей 152
Правильное разбиение области 155
Предельный цикл кратности к 118
— — неустойчивый 116
— — полуустойчивый 116
— — простой 112
— — сложный 112
— — устойчивый 116
Продолжение граничной дуги 148
— угловой траектории 148
Простая точка пересечения двух кривых
25
Простой корень функции 18
Распадение сложного состояния
равновесия на грубые 229
ε-расширение области 159
Рождение замкнутой траектории из
сложного предельного цикла 135
— предельного цикла из бесконечности
228
— — — из петли сепаратрисы седла 316,
318, 326
— — — — седло-узла 329, 331, 333


АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
487
Рождение предельного цикла из
сложного предельного цикла 286
— — — — — фокуса 264
— — — — уплотнения траекторий 229
ε-сдвиг множества 41
Сепаратриса, идущая из седла в седдр 105
Симметричность фазового портрета
динамической системы относительно начала
координат 200
Системы, близкие к гамильтоновой 415,
425
—, — к консервативной 415, 416
— первой степени негрубости 217, 338
Сопряженные элементарные дуги 154
Состояние равновесия простое 74
— — сложное 74
— — г-кратное 74
Степени негрубости динамических систем
217, 218
Стоки 149
Тождественность ε-разбиения на
траектории в плоской области 41
— — — — на сфере 67
Точка бифуркации 217
— разветвления аналитической функции
396
Устойчивая петля сепаратрисы 308, 311
Устойчивый предельный цикл 116
Фокусные величины 253
Фокусная величина первая 101
— —, вычисление 254
Функция лоследования на дуге без
контакта вблизи замкнутой траектории
113, 385
— — на луче, выходящем из фокуса 99
— — — нормали к замкнутой
траектории 124
Характеристический показатель
замкнутой траектории 126
Цикл без контакта 153
Циклические системы решений
уравнения 396
Элементарные а- и ω-дуги 153
Элементы отталкивания (источники) 149
— притяжения (стоки) 149
Ячейки грубых систем двусвязные 186
— — — односвязные 189
— динамической системы 150, 185
—, имеющие одинаковый тип 187


Александр Александрович Андронов,
Евгения Александровна Леонтович,
Израиль Исаакович Гордо*1,
Артемий Григорьевич Майер
Теория бифуркаций динамических систем
на плоскости
М., 1967 г., 488 стр. с илл.
Редактор Ю. М. Романовский
Техн. редактор И. Ш. Аксельрод
Корректоры М. Л. Липелис, Т. С. Плетнева
Сдано в набор 1/VI 1967 г. Подписано к печати
24/XI 1967 г. Бумага 70 Χ 1087ιβ.
Физ. печ. л. 30,5. Условн. печ. л. 42,7.
Уч.-изд. л. 37,84.
Тираж 7500 экз. Т-16011. Цена книги 2 р. 58 к.
Заказ № 1082
Издательство «Наука»
Главная редакция
физико-математической литературы.
Москва, В-71, Ленинский проспект, 15.
Московская типография № 16
Главполиграфпрома Комитета по печати
при Совете Министров СССР.
Москва, Трехпрудный пер., 9.