/
Текст
А. ХАЛАНАЙ, Д. ВЕКСЛЕР
КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ
ИМПУЛЬСНЫХ
СИСТЕМ
Перевод с румынского
М. И. БУКАТАРЯ И Г. В. НОЖАКА
Под редакцией
В. П. РУБАНИКА
D D D
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР» МОСКВА 1971
A. HALANAY, D. WEXLER
TEORIA CAL1TATIVA
A SISTEMELOR CU IMPULSURI
Editura Academici
Republicii Socialiste Romania
Bucuresti 1968
□ D D
УДК 517. 9; 517. 91; 519. 21
В отечественной и зарубежной литературе имеется много книг,
посвященных исследованию дискретных систем управления. Однако
все эти книги носят прикладной характер. Настоящая монография
представляет собой первое в мировой литературе исследование
математического характера, посвященное качественной теории
систем разностных и дифференциальных уравнений, описывающих
системы импульсного типа. Для таких систем рассматриваются
вопросы устойчивости, ограниченности, периодичности и почти-
периодичности решений; развивается теория устойчивости
дискретных систем со случайными параметрами; исследуются уравнения
с запаздывающим аргументом.
Значительная часть результатов принадлежит авторам,
известным румынским математикам. Многие результаты публикуются
впервые.
Для удобства читателя авторы снабдили книгу приложениями,
в которых излагается теория периодических и почти-периодических
обобщенных функций, а также теория почти-периодических
последовательностей.
Книга представляет интерес не только для специалистов пи
теории дифференциальных уравнений, но и для научных
сотрудников и инженеров, встречающихся в своей работе с проблемами
устойчивости, теорией колебаний, теорией управления и т. п. Она
доступна студентам старших курсов и аспирантам.
Редакция литературы по математическим наукам
Инд. 2-2-3
*17-71
ПРЕДИСЛОВИЕ
К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Основные идеи, которыми мы руководствовались при написании
книги, подробно изложены во введении. Поэтому нам хотелось бы
остановиться здесь лишь на некоторых личных моментах, связанных
с появлением русского перевода. У нас обоих это вызывает особые
чувства, объясняющиеся не только тем, что внимание советских
специалистов к нашей книге очень лестно, но и тем, что нет более
удобного случая, чтобы почтить память бывших наших
руководителей В. В. Немыцкого и Е. А. Барбашина и вспомнить все то, чем
мы им обязаны.
Мы не можем также не отметить того обстоятельства, что для
одного из нас стимулом к исследованию дискретных систем послужило
знакомство (во время Международного симпозиума по нелинейным
колебаниям в Киеве в 1961 г.) с работами Я. 3. Цыпкина по
импульсным системам, а для другого (помимо задачи, поставленной проф.
Н. Раковяну и детально рассмотренной во введении) источником
размышлений над теорией систем с обобщенными функциями в
правой части было изучение работ А. Д. Мышкиса и В. Д. Мильмана
по системам с толчками.
В этой книге, написанной в большей своей части в 1966 г.,
мы хотели главным образом подытожить цикл наших исследований
в области качественной теории импульсных систем, вот почел!у
в ней не нашел отражения целый ряд работ по смежным вопросам,
в частности советских авторов.
В заключение мы выражаем искреннюю признательность проф.
В. П. Рубанику и его сотрудникам за интерес, проявленный к нашей
книге, и за труд, который они взяли на себя в связи с ее переводом.
А. Халанай
Д. Векслер
This page intentionally left blank
ПРЕДИСЛОВИЕ
В настоящей монографии под названием «Качественная теория
импульсных систем» представлены некоторые последние результаты
по теории устойчивости и по теории периодических или
почти-периодических решений для дискретных (конечноразностных) систем
и дифференциальных систем с обобщенными возмущениями. Связь
между двумя этими на первый взгляд совершенно разными темами
обнаруживается при изучении импульсных систем,
представляющих собой частный случай систем с обобщенными возмущениями
и в то же время немедленно сводящихся к системам в конечных
разностях.
Мы не намеревались писать учебник, и потому в книге нет
упражнений и задач. Акцент делается на идеях и на методах, на выяснении
характера результатов, которые можно получить. Надеемся, что
чтение книги окажется полезным и для нематематиков,
сталкивающихся в своей деятельности с подобными моделями. Материал книги
расположен в порядке возрастания трудности. Для чтения основной
части первых двух глав достаточно элементарных сведений из
математического анализа и линейной алгебры. Глава, посвященная
импульсным системам, хотя в ней и используются элементы теории
обобщенных функций (распределений), сама по себе сравнительно
проста. В последней главе предполагаются более обширные знания
по функциональному анализу и по специальным вопросам теории
обобщенных функций; сейчас появилось достаточно много
монографий, в которых читатель может найти необходимые сведения.
Результаты из теории обобщенных функций, не содержащиеся
в используемом здесь виде в известных монографиях или новые,
приводятся в довольно обширном приложении к последней главе,
В приложении к первой главе, написанном Т. Морозаном, изложены
основные понятия из теории устойчивости систем со случайными
параметрами. Отметим в этой связи, что обобщение изложенных
8
Предисловие
в книге результатов на системы со случайными параметрами
представляет собой актуальную задачу. В приложении к главе II собраны
используемые в этой главе сведения о почти-периодических и
асимптотически почти-периодических последовательностях. Отметим тот
факт, что при изучении дискретных систем почти-периодичность
появляется на сцене самым естественным образом, ибо при
дискретизации непрерывного периодического процесса получается
последовательность, вообще говоря, не периодическая, а всего лишь
почти-периодическая.
Большая часть изложенных результатов принадлежит авторам.
Первые две главы написаны А. Халанаем, остальные главы и
приложение об обобщенных функциях — Д. Векслером.
Соавторство при написании этой книги является естественным
продолжением многолетнего сотрудничества в рамках семинара
по качественной теории дифференциальных уравнений в Институте
математики Академии Социалистической Республики Румынии.
Авторы
ВВЕДЕНИЕ
1. Уравнения в конечных разностях в их различных формах
давно изучаются во многих разделах математики. Что касается
качественной теории таких систем, упомянем результаты Пуанкаре
и Перрона, полученные в конце прошлого и начале этого столетия.
Систематическое изложение некоторых проблем теории уравнений
в конечных разностях с точки зрения, близкой к принятой в
настоящей монографии, дано в книге А. О. Гельфонда [24] и в недавно
вышедшей книге Л. Бранда [8].
Новые интересные проблемы в этой области возникли в связи
с новыми запросами технических наук. Уравнения в конечных
разностях оказались весьма удобной моделью для описания
дискретных динамических систем, а также для математического
моделирования импульсных систем. Это хорошо показано, например,
в книге Е. П. Попова [60] по динамике систем автоматического
регулирования, а также в известной монографии Я. 3. Цыпкина [82]
по импульсным системам. Изложению некоторых технических
аспектов теории посвящен обзор [62], где приводятся многочисленные
библиографические указания. Теорию устойчивости дискретных
систем впервые систематически изучал Вольфганг Хан; изложение
этой теории и библиографические указания можно найти в [27].
Интерес к дискретным системам повысился и в связи с
использованием цифровых вычислительных машин. Очевидно также, что задачи
сходимости итерационных процессов — это фактически задачи
устойчивости дискретных систем.
Другой подход к качественной теории дискретных систем связан
с методом точечных отображений, используемым в работах А. А.
Андронова и его школы по теории колебаний. В связи с этим вопросом,
кроме известной книги Андронова, Витта и Хайкина [3] по теории
колебаний, полезно ознакомиться с обзорным докладом Ю. И. Ней-
марка [54] на Международном симпозиуме по теории колебаний
1961 г. в Киеве; в этом докладе приведена и весьма богатая
библиография.
2. Чтобы доказать, каким образом математическое описание
импульсных систем приводит к уравнениям в конечных разностях,
рассмотрим подробно одну из многочисленных моделей теории
10
Введение
электрических колебаний. Эту модель предложил Н. Раковяну [63];
она детально изучена математически в [81].
Возьмем линейный осциллятор, описываемый уравнением
У" + ЪУ' + У2У = 0, (1)
характеристическое уравнение которого имеет комплексные корни
г± = а + ΐβ, г2 = а — /β, β > 0.
Общее решение уравнения имеет вид
у = ceat sin β (t — τ).
Пусть на осциллятор воздействуют импульсы, причем действуют
они в те моменты, когда решение у обращается в нуль, и величина
их обратно пропорциональна производной функции у в
соответствующий момент. Формальное математическое описание этого
процесса можно получить следующим образом. Пусть h = (2π/β) I, где
I — натуральное число, t0 — действительное число, tn = t0 + nh,
η = 1, 2, 3, ... . Для всякой непрерывной на полупрямой [to, oo)
и дифференцируемой на интервале (tn, tn+l) функции ζ с ζ (tn) = 0,
ζ (tn+i — 0) Φ 0 положим
сю
Δ-Λ z(in+i —U)
n,=0
где 8tn+i — «функция Дирака», представляющая собой единичный
импульс в момент tn+1; величина нашего импульса обратно
пропорциональна значению производной. В этих обозначениях импульсный
осциллятор описывается уравнением
у" + γι*/' +у2у = А (у). (2)
Это уравнение следует понимать так: решение уравнения — это
непрерывная на [t0, oo) и дифференцируемая на (tn, tn+1) функция
с У {tn) = 0 и у (tn+1 — 0) Φ 0, для которой обобщенная
производная (производная в смысле теории распределений) удовлетворяет
записанному уравнению.
Очевидно, существование таких решений надо доказывать.
Предложение. Для любого ζ0 Φ 0 существует решение
уравнения у (t; t0, z0), удовлетворяющее условиям
У (h; t0, z0) = 0, у (t0 + 0; t0, z0) = z0.
Это решение единственно и определяется формулой
\ a (t—t [*~*°] д)
у (t; t0, z0) = -£ апе ° h sin β (/— t0), tn^t<tn+l, (3)
Введение 11
где последовательность ап удовлетворяет уравнению в конечных
разностях
an+l = kan + -—, k = eah. (4)
kan
Доказательство. Уравнение (2) на каждом интервале
{tn, tn+i) совпадает с однородным уравнением (1), следовательно,
в каждом из этих интервалов решение, если оно существует,
записывается в виде
у (t; t0, z0) = cneat sin β (t — τη), tn<t< tn+i.
В силу принятых допущений решение должно обращаться в нуль
в точке tn, значит tn — τη = -^- ; отсюда следует, что
тп 2пп тл , ηϊπ
τη tn — = А) + —Г~ ь — = t0 i ~
β β β β
и, значит,
sin β (t - τη) = sin β {t - t0 - —^ = (-Ι)™' sin β (t - t0),
откуда
y(t; t0, z0) = cnecctsinfi(l — t0), tn^t<.tn+l.
Эту формулу можно записать еще в виде у (t; t0l z0) =
= Jane~anh ^α(ί~ίο) sin β (t — t0), tn^t< tn+l. При t0+ nh^t<
< t0 + (n + 1) h имеем η ^ (t — t0)/h < η + 1, значит п =
= [(t —t0)/h], и, следовательно, решение, если оно существует,
обязательно имеет вид (3).
Функция, определяемая формулой (3), непрерывна на [t0, oo)
и дифференцируема при t Φ tn\ ее обобщенная производная равна
у'=±апеа ('-'ο-Ρχ*1*) [a sin β (ί - Q + β cos β (t - ί0)],
И
У (*Л + 0; t0, z0) = anf у {tn+i — 0; i0. Zo) = aneah = kan,
так что у (*лИ — 0; t0, ζ0)φ0, если a„ Φ 0. Вторая обобщенная
производная имеет вид
сю
У"=У+ Σ {y(tn+i + 0; f0, z0)-y(tn+i-0\ ί0/*ο)}δ/η + ι =
n=0
oo
= У+ Zj (β/ι+ι — ^η)δ^ + 1.
n=0
12 Введение
Следовательно,
оо
У + ЪУ + ЪУ = У + ЪУ + ЪУ + Σ Κ+ι — кап) δίη + ι.
Поэтому если ап+1 — кап = i/kan, то с учетом равенства у + у^у +
+ У2У — 0 получаем
оо оо
ί + ъу +ъу = /.7-δίη+1= /j-t; in—:6^+i = i4^'
Z_J kan Z-J у (tn+i — 0, t0, z0)
n=0 д=0
т. е. формула (3) в самом деле определяет решение уравнения (2).
Заметим, что у (t0 + 0; t0, z0) = а0 и, значит, а0 = z0. Из
доказанного предложения следует, что изучение поведения решений
импульсной системы сводится к изучению уравнения в конечных
разностях (4).
Из (4) вытекает, что для любого а0 > 0 мы имеем ап ^ 2 при
п = 1, 2, ... (ибо минимум суммы кап + -— равен 2).
кап
Кроме того,
Г ~ Ад-1"1"Г+1ад'
откуда
ап+1 = к™ао + кп-1 ?ιΤΤ-,
j=o J
и с учетом неравенства α7· ^ 2 получаем
an+l^. кпа\ A /.—- = кпа<-\ при к φί
д+1^ 1ΊΓ 2 ZJ к3 2к(1-к)
:<1-Л)
αΛ+ι<αι+-2 при k=i.
Пусть к>\ (и, следовательно, α > 0). Тогда αΛ < αΛ+ι, Hm αΛ =
П-»оо
= +οο и lim ajkn = & =^= 0. В самом деле, так как последователь-
П-»оо
ность &д = ап1кп удовлетворяет уравнению
Введение 13
то последовательность Ъп возрастающая, а поскольку
\ tf1
то при к >> 1 последовательность Ъп ограничена сверху и, значит,
имеет предел b Φ 0.
При к = 1 (а = 0) имеем αη < αη+ι, lim αη = οο и
π,
2 1 η
-τ — 7^α^+1^αι + Τ"
7=1
Рассмотрим теперь случай /с < 1 (α < 0). В этом случае корни
алгебраического уравнения
суть особые точки уравнения в конечных разностях (постоянные
решения); обозначим через а положительное решение:
1
Л/к{\—к)
Очевидно, а ^ 2. Наше уравнение можно переписать в виде
*л+1 — а = — (ап — а) I ап — "Г" ) >
ад \ /с а/
! (5)
αη+ι —ап = —ъ— (а + ап) (а — ап)·
ка ап
Полагая dn = ап — а, получаем для dn уравнение
dn+i = kdn[i— -γ-——— I
V k2a(a + dn)J
(a + dn)j
Устойчивость особой точки можно теперь доказать при помощи
теоремы об устойчивости по первому приближению (гл. I, § 3, теорема 1).
Мы, однако, дадим здесь прямое доказательство, дающее
устойчивость в большом и оценку скорости сходимости. Имеем
2 1 п
ап+2 = к ап-\ f--
ап ' к2а2п + 1
откуда
к2(к+1)(к-1)
ап+2 — ап — "
andfai + i) \ к(к + 1)
(4 + ^^)Κ + α)Κ~α)·
14
Введение
Если ап ^ а и ап ^ 1//с2а, то α^ α„+ι ^ ад. Если а ^ а„ ^ 1//с2а,
то an+i ^ а; если 1/к2а ^ ап ^ а, то ад ^ an+i ^ а; если ап^Са
и ад<1/£:2<2, то ад+1><2. Наконеи, если ап> а, то ап+2^ад, и
обратно. Из неравенства
1 — кп
an+i ^ /с а* -\
2к{\ -к)
следует во всяком случае, что последовательность ап ограничена.
Пусть к > 1/2, тогда к2 > 1/4, к2а > 1/2, 1//с2а ^ 2 и, значит,
ап ^ 1/к2а; следовательно, последовательность ап возрастает, если
αι ^ α, и убывает, если αϊ ^ α, т. е. она в любом случае сходится.
Из соотношения (5) вытекает, что ее предел равен а.
Пусть теперь к < 1/2; в этом случае из а0 < а следует а0 < 1/к2а,
ибо к2а2 = kl(i — к), l/k2a2 = (ilk) — 1 > 1, а значит, \1к2а >а.
Из а0 < а и а0 < 1/к2а следует а4 > а; если ад >> 1/к2а при всех тг,
то наша последовательность убывает и сходится к пределу,
превышающему ilk2a > а, что невозможно. Если а\ > 1/к2а, то
существует такой индекс TV, что aN ^ 1//с2а и αΝ_ι > 1/к2а.
Следовательно, последовательность {αΝ+2η}η^ο убывает, а
последовательность {αΝ+2η+\}η^ο возрастает, так что эти две последовательности
сходятся. Полагая
&Ν + 2η — ^ηι получаем
к
а JV+271+2 αΝ+2η
k2(k+l)(k-i)
ап {к2а2п + 1)
«n +
■(ап + а)(ап —а)
к(к + 1)
и так как последовательность ап сходится, то lim an = а; очевидно
П-»оо
также, что lim aN + 2n + \ — а и, следовательно, lim ап = а. Таким
П-*оо П-»оо
образом, устойчивость в большом доказана.
Для того чтобы оценить скорость сходимости, положим ап — а =
= кыеп. Для еп получаем уравнение
При к = 1/2 имеем lim еп = 0 для любого λ ^ 0, а при к φ 1/2
имеем
lim^ = 0 для λ-
и
lim | еп | = оо для λ;
In [1 -2к\
Ink
In [1 -2к\
Ink
если еп Φ 0.
Введение
15
Достаточно заметить, что если существуют такое ε>0 и такое
натуральное Ν, что
1
к"
1
к2ааг,
^Ξ1—ε для п^> Ν,
то lim en = 0, и если
1
к
λ-ι
1
к2аап
ί> 1 + ε для n^ 7V и ед =^0,
то lim | еп \ = ооа Учитывая, что из &λ|> | 1 — 2к | следует
1
/сЛ
1
1
/cV
<1
и что lim an = а, заключаем, что для
П-»оо
In | 1 — 2к\
Ink
имеем
lim
>/с'
Λ-ι
1
к аап
<1.
Проведенное исследование разностного уравнения (4)
показывает, что в случае а < 0 уравнение (2) допускает два периодических
асимптотически устойчивых решения
У± (t) = ±jaea ^~to~[L^]hKm^(t - t0), i„< t<tn+1,
первое с областью притяжения 0<20<оо, второе с областью
притяжения — оо < z0 < 0. Для любого решения имеем
lim [y~(t) — y(t, t0, z0)]e'
ί->οο
-λα(ί-ί0).
:0
2 π Ια
ϊ — le β j
2πΙα
если
при любом λ > 0, если α = γη\η— , и при λ < '
а Ф гг-. In у. В этом равенстве берется знак + или — в
соответствии с тем, z0 > 0 или z0 < 0.
3. Другой вид систем, изучение которых сводится к
исследованию уравнений в конечных разностях,— это ударные системы.
Опишем одну простую физическую систему, приводящую к подобной
задаче. Рассмотрим линейный осциллятор, подверженный
воздействию ударов интенсивности sk в данные моменты времени th. В этом
16
Введение
случае в каждом из интервалов (th, th+i) движение будет
описываться уравнением (1), а эффект удара выражается в условиях
перехода от одного решения к другому следующим образом:
y(tk + 0) = y(th-0), y(th+0)-i(tk-0) = sk.
Такие системы встречаются, например, в теории часов (см. [3]).
Более общий случай рассмотрен в работах Мильмана и Мышкиса
[51], [52]. Рассматриваются система η- = / (t, у), строго
возрастающая последовательность th, lim tk = оо, и последовательность
k->oo
векторов sk, представляющих интенсивности ударов. Решение у
ударной системы удовлетворяет данной системе в каждом интервале
(tk, ift+i) и, кроме того, удовлетворяет условиям у (tk + 0) ■—
— У (th — 0) = йй. Заметим, что эта задача является частным
случаем так называемой задачи с «межповерхностными условиями»,
рассматривавшейся Сталлардом [73], [74], а также Сансоне [66],
Ч. Олешем [56] и другими. Указанные ударные системы в линейном
случае эквивалентны импульсным системам вида
-^ = A(t)x+^sh6tv (6)
h
Решения подобных систем являются распределениями типа кусочно
непрерывных функций; рассматривая уравнение (6) на каждом
интервале (th, £&+ι), мы получаем соответствующую однородную
систему; следовательно, сужение обобщенного решения на данный
интервал дает решение обычной системы дифференциальных
уравнений и, следовательно, совпадает с обычным решением.
Используя правила обобщенного дифференцирования кусочно
регулярных функций, легко проверить, что кусочно непрерывная
функция является решением системы (6) тогда и только тогда, когда
выполняется условие
х (h + 0) - χ (tk - 0) = sh,
т. е. система (6) сводится к ударной системе рассмотренного выше
типа.
Решения системы (6) представимы в виде
χ = X (t, tk) ck при fft < ί < tk+u
где X (t, th) — фундаментальная матрица решений однородной
системы, a ck удовлетворяют дискретной системе
ck + i = X (th+i9 tk) ck + sh+i. (7)
В точках tk решения имеют скачок sk.
Введение
17
Таким образом, изучение поведения решений системы (6)
сводится к изучению решений дискретной системы (7).
В то же время система (6) наводит на мысль рассмотреть общие
системы с обобщенными возмущениями вида
^L=A(t)x + f. (δ)
at
Такие системы, а также аналогичные обобщения систем с
запаздывающим аргументом или систем нейтрального типа были впервые
рассмотрены в [88], [89], [91], [92], [94], [95]. В книге «Некоторые
приложения теории распределений» Кристеску и Маринеску [16]
имеется специальная глава, в которой теория систем линейных
дифференциальных уравнений излагается с точки зрения теории
распределений. Изложение на основе теории распределений принято
и в монографии Долежаля [19], а также в курсе теоретической
автоматики Паллю де ла Барьера [57]. Точка зрения теории
распределений не только дала общий и единый подход к вопросу, но и пролила
свет на соотношение между основной и присоединенной системами,
что оказалось особенно плодотворным в теории периодических
решений. Даже в случае простых систем вида (6) условия, налагаемые
на последовательности tk и sk для того, чтобы было обеспечено
существование периодических или почти-периодических решений,
приобретают наиболее естественный вид в том случае, когда они
выражены как условия на распределение 2 sk$thl представленные в таком
виде результаты, вообще говоря, аналогичны известным результатам
из теории колебаний обычных систем.
Теория обобщенных функций оказывается особенно полезной
для почти-периодических систем. В самом деле, в нашем случае
решения системы (6) не могут быть почти-периодическими в смысле
Бора, ибо они не являются непрерывными функциями.
Следовательно, почти-периодические решения следует искать в более широком
классе. Если возмущение ^jSk6t является почти-периодическим
в смысле теории распределений, то естественно искать решения
среди таких же почти-периодических в обобщенном смысле функций.
Стоит отметить тот факт, что точка зрения теории распределений
существенна и в общей теории граничных задач. Рассмотрим
линейную задачу
*± = A(t)x + f{t),
at
ъ
Мх (а) + Nz (b) + I [dF (t)] χ (t) = /.
a
В качестве присоединенной задачи естественно взять задачу
у' = - уА (t) - vF', z(a) = - vM, z (b) = vN,
2 А. Халанай, Д. Векслер
18
Введение
где F' — обобщенная производная функции F. Один частный случай
можно найти в работе Коула [11]. Отметим еще и тот факт, что
граничные задачи для уравнений в конечных разностях связаны и с
теорией моментов и ортогональных многочленов. См. по этому поводу
книги Ахиезера [1] и Аткинсона [5].
4. Из сказанного выше видно, что источники и мотивировки
изучаемых проблем связаны с математическим моделированием явлений,
встречаемых в технике и в других областях. Однако, явно выделив
представляющие интерес новые модели, математическую теорию
развивают в дальнейшем уже независимо от них, руководствуясь
в первую очередь аналогиями с известными фактами из других
ранее исследованных моделей, главным образом из теории
обыкновенных дифференциальных уравнений. Такая точка зрения принята
и в этой книге.
Глава I
УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
§ 1. Линейные дискретные системы с постоянными
коэффициентами
1. Пусть А — постоянная матрица с комплексными элементами.
Рассмотрим систему вида хп + \ = Ахп, где хп — вектор-столбец.
Очевидно, при фиксированном х0 общее решение такой системы
есть хп = Апх0. Следовательно, для получения информации о
решении надо изучить поведение степеней данной матрицы. Совершив
в рассматриваемой системе замену переменных уп = Схп, получим
Уп+i = Cxn+i = САхп = САС~хуп, т. е. система примет вид уп + \ =
= Вуп, В = САС~Х. Как известно, существует такая неособая
матрица С, что матрица С АС'1 имеет каноническую жорданову
форму. Имеем
В
fJ, О
значит.
Вп.
/Г О
/г
λ* 4. о
О λΛι
Ό ι ο-
Ιρ= Ι ■■_'· |. /? = 0.
.0 0i
20
Глава I
Следовательно,
П = (%hE + IPT = ЦЕ + ηλΓ4ρ + η(η~1) λΓ2/2Ρ + · · ·
значит,
...+λί
AJ
η-ρ+ιη(η — 1)...(η—ρ + 2) Рт
J ъ. =
^Ρ — Ιλ η —p+i
(Ρ- 1)!
\
·*ρ»
Vo λΐ J
Отсюда следует, что преобразованная система допускает линейно
независимые решения
ηλΤ4 '■ \+К
(0\
0
+ ηλϊ
п — 1
(?]
1
0
\о)
+ К
/1\
0 '
1
и
' о '
Μ
о
Я2
о
1
о
/^P2"-ll Л—Р2 + 1
о
1
+ ... + λ?
W
о
1
W
§ ι
21
nP
Ps — 1л n — ps + 1
Ο
1
+ . . + λί
Для исходной системы получаются независимые решения вида
к?щ, пк^щ + Ки2, · · ·, С£1-%П~Р1+Ч + . . . + ηλΐ^ιΐρ^ + K?uPi,
А2иР1+1, · · ·» <-n ^2 WPl + i "f- · · · -j- A2UPi + P2, ...
• · ·» ^n As ^Pi+ ... +Ps_i+1 i~ · · · ~T hsUm
Pi + Рг + · · · + .Ps = Jft, Tft — размерность вектора £n). Эта
форма решений позволяет сделать некоторые выводы относительно
их поведения при η -> оо. Именно если для любого к имеем | Kk | <
< 1, то все решения стремятся к нулю; если существует
собственное значение λ^ с | Кк | > 1, то имеются решения, стремящиеся
к бесконечности; если \%к | ^ 1 для любого /с, но существует
собственное значение Kk с | λ& | = 1, которому соответствует жорда-
нова клетка размерности, большей 1, то существуют неограниченные
решения. Если \Кк | ^ 1 для любого к и всем собственным
значениям ^ с | Xk | = 1 отвечают жордановы клетки размерности 1?
то все решения ограничены. Таким образом, для того чтобы все
решения системы стремились κ нулю, необходимо и достаточно,
чтобы все собственные значения матрицы А содержались внутри
единичного круга.
2. Важный частный случай — уравнения порядка т вида
Уп + т = ЫтУп + т-1 + ат-1Уп + т-2 + · · · + <%Μη·
Такое уравнение можно записать в виде системы, если ввести
обозначения
Имеем
1 2
хп ===: Уп·» %п = Уп + ii · · ·
1 2
г2 , г3
m-ί т
хп + 1 = а1хп + · · · + ат-
, лп Уп + т — 1
гп—1 - т
-1хп -γ- ^тхпч
22
Глава I
т. е. соответствующая система имеет вид хп+\ = Ахп, где
О 1 0 ... О О
О О 1 ... О О
А= '
О О О ... О 1
^а4 а2 а3 ... ат_! аъ
Для матриц этого вида доказано (см. Попов [61],
приложение I), что каноническая жорданова форма обладает тем свойством,
что размеры ее клеток совпадают с кратностями собственных
значений, или, другими словами, что различные жордановы клетки
отвечают различным собственным значениям. Отсюда следует, что
для уравнения порядка т имеем независимые решения
яг, /ζλΓ1, ■·., cfrX~Pl+\ К, ..., c£2~%n-p2+i, ...
\п r,ps~ifkn~I)^ + 1
. . . , As , . . . , С- η /Ц ,
где Kk — корни характеристического уравнения, a pk — их
кратности.
3. Линейные дискретные системы с постоянными коэффициентами
допускают и другой метод исследования, представляющий собой
дискретный аналог преобразования Лапласа. Пусть хп — решение
оо
системы и / (ζ) = 2 χη%η\ так как для любого решения справедлива
оценка вида | хп | ^ &μη, то этот ряд, очевидно, сходится в круге
радиуса \1к. Посмотрим, как найти функцию / (ζ); из равенства
хп + 1 = Ахп вытекает, что χη+\Ζη = Αχηζη; значит,
%xn+izn = A ^]xnzn = Af(z).
71 = 0
Но
ζ ^]xn+izn= ^]xn+lzn+i= ^xnzn = j{z)-x0·
n=0 ?г = 0 п = 1
следовательно, / (ζ) — х0 = zAf (ζ), или / (ζ) — zAf (ζ) = χ0,
(Ε — ζΑ) f (ζ) = χ0, и, значит, / (ζ) = (Ε — ζΑ)-1 χ0. По найденной
таким образом функции / решение получается немедленно:
разлагаем эту функцию в ряд Тэйлора; коэффициенты этого разложения
и представляют собой решение дискретной системы.
§ 2
23
§ 2. Общие свойства линейных систем
1. Рассмотрим теперь линейные системы с переменными
коэффициентами xn + i = Лпхп.
Сразу заметим, что для таких систем множество решений
образует линейное пространство и что оператор Хп,п0: Rm -+Rm,
определяемый равенством Хп?по и = хп (п0; и), является линейным
оператором. Здесь через хп (п0; и) обозначено решение, которое при
η = п0 принимает значение и. Ему естественным образом
соответствует матрица, являющаяся решением системы, совпадающим при
η = п0 с единичной матрицей. Эту матрицу легко явно выразить через
матрицы Ап; в самом деле, Ζηο+ι, п0 = Ало, ХП0+2, п0 = AnQ + iAnQ
и вообще Хп>По = Αη-ιΑη-2 · · · АПо. Из этой формулы сразу
получается соотношение
Xn,kXk,l = Xn,l ДЛЯ ГС>&>/.
Назовем присоединенной для данной системы систему
Уп— ι — УпАп- ι»
где уп — вектор-строка.
Обозначим через Υη,ι решение этой системы, которое для η = I
совпадает с единичной матрицей; очевидно, Υι-ι,ι = ^4/.-ι, Υι~2,ι =
= Αι_νΑι_2 и вообще YUfl = Аг^^Ах_г ... Ап. Полученная
формула показывает, что Υη,ι = Χι,η· Тот же результат можно было бы
получить, заметив, что если уп — решение присоединенной системы,
а хп — решение исходной системы, определяемое для одного и того
же множества индексов
*1 < П < /С2, ТО упХп = УпАп- ΐΧη- ι = Уп- iXn-i,
т. е. всюду, где оба решения определены, их произведение постоянно.
Оба решения Xk,n и Υη,ι определены для индексов, заключенных
между η и Ζ, а их произведение Yk,iXk,n постоянно; для к = η это
произведение совпадает с Υη,ι, для к = I оно совпадает с Χι,η.
2. Установим теперь формулу вариации постоянных, дающую
полезное представление решений неоднородных систем вида χη + ι =
^= АпХп + /тг+1-
Если хп — некоторое решение системы, то
ХП == ■* П, ПХП = ■* П, П \An—lXn — l -\- ]п) = ■* П— 1, ПХП—\ ~Т" ■* П, JlJn ==:
= Yji-1, η \Αη-2,χη-2 + /тг-l) + Υ η, ηί η = Υ η—2, ηχη~2 +
η
"Τ" ■* η—1, ηϊη — ί "Τ" ■* Π| η/π = ·* /ϊ0ι п^я0 -f- ^j ■* /i, тг/fe·
24
Глава I
Учитывая соотношение между Xk,i и Yi,ki получаем
η
χη — Χη,η0χη0-\- 2 Xn\bfki П>Щ.
3. Систему zn + i = Mnzn назовем канонической, если матрица Мп
является симплектичной *), т. е. если
M*nJMn = J, где /=(° ~0Еу
Если система каноническая, то любое ее решение удовлетворяет
соотношению ζ*-μ«/ζλ + ι = z*Jzn и фундаментальная матрица
решений Zn является симплектичной. В самом деле, фундаментальная
матрица Zn задается с помощью М-^ \Мп- 2 . . . М0, а произведение
симплектичных матриц есть матрица симплектичная; соотношение
ζ*+ι/ζπ + ι = z*Jzn получается непосредственно, ибо ζ*+ι/ζΛ + ι =
= 2&M*JMnzn = zlJzn.
Если ип и vn — два решения, то ип = Znu0, vn = Znv0 и, значит,
v*Jun = v*ZnJZnii0 = v*Ju0, т. е. v%,Jun постоянно. Это свойство
эквивалентно тому, что билинейная форма (Ju, v) инвариантна
относительно Ζη.
Важным частным случаем канонических систем являются
системы вида
г /1 г _l Я и _!_ — д(^п
хп+1 = Ά пхп + ппУп+\ = ■
Уп = ^пхп + ^пУп+i '·
дУп+\
дЗвп
дхп
1
SB η (χη, Уп + i) = ~2 {Спхп, χη) + (Αηχη, Уп+i) + -g (ВпУп+и Уп+l),
где Вп, Сп — симметричные, а Ап — неособые матрицы. Можно
написать
χη+ι —ВпУп+ι = Апхп, Апуп+1== —Спхп -|- Упу
откуда
(Е -В\(хп+Л( Ап 0\(хп\
VO A*n)\yn+i)-\-Cn Е){уп)'
*) В качестве первой мотивировки этого определения заметим, что если
дискретная система получена из канонической системы —=— = JHx путем
«дискретизации», соответствующей рассмотрению некоторых последовательных
импульсов в моменты tn, то матрица этой системы имеет вид X (in+i, tn); следовательно,
фундаментальная матрица решений канонической системы является
симплектичной.
§ 2
25
полагая zn = I I, получаем
(Ε -ВЛ-Ч An 0\
zn+l=yQ Al ) y_Cn E)zn.
Симплектичность матрицы
Mn = \0 Al) \-Сп Ε)
устанавливается прямым подсчетом.
Заметим, что для систем рассматриваемого вида
( Ап 0\
\-Сп Е)
(Ε -Вп\
ЛО А\ )
det(E -Bn\ detA*
следовательно, если Zn — фундаментальная матрица решений, то
det Z„ = 1.
ίη - \Rn Sn)
Пусть Мп — I n I — матрица канонической системы, причем
матрица Sn неособая. Тогда существуют такая неособая матрица Ап
и такие симметричные матрицы Вп и Сп, что
В самом деле, условие симплектичности для Μ записывается в виде
RnPn = Рп^пу SnQn = QnSn, SnPn — QnRn = Ε.
Беря
A=Sn , Βη = QnSn , Cn = —Sn Rn,
сразу видим, что Bn симметрична. Далее,
Рп=$*п +£* QnRn = An —ВпА*п Сп
И
R*nPn = Rn>S*n + RnSn QnRn = PjiRji = $п Rn + RnQn^n йп,
ИЛИ
RnSn + R*nBnRn = Sn Rn -{- RnBnRn;
значит,
r* r
26
Глава I
Непосредственно проверяется, что
м [Ап—ВпАп Сп ВпАп \
Мп-у _Л.-1Св AV-i )-
(Ε ΒηΑ*~ι\( Αη 0\_(Ε -ВЛ-Ч Αη 0\
~V0 at1 )\-cn e)-\o Α*η ) \-cn ε)-
Заметим наконец, что уравнения второго порядка вида
где матрицы Ап, Сп симметричны, причем матрица Сп обратима,
можно записать в каноническом виде. В самом деле, положим
%п + 1 = ^пУпч
Уп + 1= —^ η %п-\-^п Апуп.
/о сп \
Имеем Мп = , т. е. Рп = О, Qn = Cn, Rn = -Сп1,
Sn = С^Ап; условия симплектичности матрицы Мп записываются
в виде SnQn = QnSni QnRn = —Ε. следовательно, A%PlrxCn =
=^C*CnlAn, —CnCn1 = —E; они удовлетворяются, если С% = Cn,
/1* — Л
В частности, если матрица Сп постоянна, ее, очевидно, можно
положить равной единичной матрице.
§ 3. Элементы теории устойчивости
1. Для общей дискретной системы вида xn+i = fn (xn), fn (0) = 0
естественным образом вводятся основные понятия теории
устойчивости.
Определение 1. Решение хп = 0 называется равномерно
устойчивым, если существует такое δ (ε), что из \ хПо | < δ (ε)
следует \ хп | < ε для любого η ^> п0. Решение хп = 0 называется
равномерно асимптотически устойчивым, если существуют такие
δ0 > 0. δ (ε) > 0 и такое натуральное Ν (ε), что из \ хПо | < δ (ε)
следует \ хп | < ε для η ^> п0, а из \ хПо | < δ0 следует \хп | < ε
для η ^> п0 + Ν (ε) 1). Решение хп = 0 называется устойчивым по
отношению к постоянно действующим возмущениям, если существуют
такие bi (ε) > 0, δ2 (ε) > 0, что при любом gn (χ) с \ gn (χ) | <<
< δ2 (ε) при I χ Ι ^ ε из j £До | < 6j (ε) следует \ xn | < ε для
η ^> n0. Здесь хп — решение системы χη+ι = fn (xn) + Sn (xn)·
*) Если указанное свойство имеет место при произвольном δ0, то
устойчивость называется равномерно асимптотической в большом.
§ з
27
Предложение 1. Необходимым и достаточным условием
равномерной устойчивости решения хп = 0 является существование
последовательности функций Vn (x), обладающей следующими
свойствами :
а) а (| χ |) ^ Vn (χ) < Ъ (| χ |), α (0) = Ь (0) = О,
где а, & — непрерывные строго возрастающие функции;
б) Fn (^д) ^> F^+! {xn+i) для любого решения хп.
Доказательство. 1) Достаточность. Возьмем δ (ε) =
= &"1 [α (ε)] и | хПо | < δ (ε). Для η ^> п0 в силу условия б)
^п (хп) < ^по (*n0)> а в СИЛУ условия а) α (| хп |) <ζ 7Д (хп),
Упп (Хпо) < ъ (I *по1); значит, α (| хп \)^Ъ(\хПо |)< Ь (δ (ε)) =
^=£ [б-1 (α (ε))] = α (ε), и, следовательно, | #η | < ε.
2) Необходимость. Пусть Vn (χ) = sup |#& (n, x)\. Как показал
Массера, функцию δ (ε) можно выбрать непрерывной и строго
возрастающей; следовательно, существует такая обратная функция
ε (δ), что | xk (η, χ) | < ε (| χ |); значит. Vn (χ) ^ ε (| χ\), и
непосредственно из определения вытекает, что Vn (χ) ^> | χ |. Далее, для
любого п0 <Сп
Vn (хп) = sup | ^ (п, хп) | = sup | xh (n0, хПо) |;
значит,
^д+1 (*n + i) = SUp \xk(n+i, Xn+i) I =
k^n + ί
= sup | xh (тг, ял) К sup I ^ (л, ял) | = F„ (хп)
n^n + i h>m
и теорема доказана.
Пусть теперь | fn (χ) — fn (χ) | ^ L, \ χ — χ | для | χ | ^ г,
Предложение 2. Необходимым и достаточным
условием равномерной асимптотической устойчивости решения хп = 0
является существование последовательности функций Vn (x),
обладающей следующими свойствами:
а) а(|* |Х Μ*Χ&(Ι*Ι);
б) Fn+1 (жп+1) — F„ (хп) ^ —с (| £π+1 |);
в) | Vn(x) - Vn{x) \^M \x -х |,
где а, Ъ — непрерывные, а, Ъ, с — строго возрастающие функции,
а(0) = b (0) = с (0) = 0.
Доказательство. 1) Достаточность. В силу а) и б)
выполнены условия предыдущего предложения, следовательно,
существование δ (ε) обеспечено; пусть δ0 = δ (h), где h — радиус
28
Глава I
шара, в котором определены /Л, и пусть
&(бо)
N{e):
[φ (г)]
+ 2.
Пусть п0 — произвольное число и | хПо | < δ0; покажем, что
существует такое η, η0 ^ η ^ п0 + Ν (ε), для которого \ хп | < δ (ε).
Если для всех таких η было бы | хп | ;> δ (ε), то для тг0 ^ /г ^
^ 7V (ε) + п0 — 1 выполнялось бы неравенство с (| χη + ι |) ^>
> с [δ (ε)], и, значит, Vn+i{xn+i) — Fn (жЛ) ^ —с [δ (ε)], откуда
VN(e)+nQ (ΧΝ(ε)+η0) — УПо {хПо) s^ — (TV (ε) — 1) с [δ [ (е)].
Следовательно,
VN(B)+n0 (ΧΝ(ε)+η0) < VUq (хщ) - (Ν (ε) - 1) С [δ (ε)] <
<Ь(|Жл^)_(^(е) —1)с[6(е)]<Ь(в0)_ (iVCe) —l)c[6(e)]===
= (6 (δο): с [δ (ε)] _ Ν (ε) + 1) с [δ (ε)] < 0.
Мы пришли к противоречию. Таким образом, существует η' ^ тг0 +
+ 7V (ε), для которого \хп* | < δ (ε) и, значит, | ^ | < ε при η ^ η',
а следовательно, и при всяком η ^> тг0 + Ν (ε); равномерная
асимптотическая устойчивость доказана х).
2) Необходимость. Пусть функция G (г) определена при г > 0,
G (0) - 0, С (0) = 0, С (r)> 0, G" (г) > 0, α > 1. Очевидно,
1 -4- cth
Пусть Гд (а:) = sup G (| яд+Л (л, я) |) . Тогда G (| χ |) ^
< ГЛ (ж) ^ aG (ε (I я |)). Для к> Ν (ε), | ^ | < δ0 имеем | xn+h (n,
ί 1
χ) I < ε, значит, при /с ^ 7V — | χ
1
I ^д+fe (П, Х) I < — I Ж|
1 _J_ cfc/c
G (I ^n+ft (w, x) I) , 7 < aG (I ^n+fe (w, ж) |) <
i -\-k
■M
<aG[^\x\\<G(\x\)<^Vn(x),
!) Заметим, что, заменив условие б) условием б') Fn + i (#n+i) — ^(^n) ^
<! — с (I xn |), мы получим то же заключение без каких-либо изменений в
доказательстве.
§ з
29
так что
Vn(x) = sup G(\xn+k(n,x)\) + " = G(\xn+h (η, x)\) + a ' ·
Следовательно,
1 -\-aki
Vn+i (xn+i) = G(\ xn+i+ht (« + 1, *n+i) |
^d^n + l+ft.C1' X»)D
1 -(-а/с!
1 + Ai '
= G(\ xn+i+ht (n, xn) |) τ ; 4—
1 + (Ai + 1
:^η(χη)[ι
1 —.
l+*i
a —1
(l + i.Kl+aft + l))
a —1
(1 _(_ Aj) (1 -j- a -f aAj)
(a - 1) Vn (xn)
(l+AiHl+afo + l))'
Поэтому
^д + l (*n + i) — Vn (Xn) <
<
(a-l)C(|*n|)
(ΐ+^(1μη+^|(ΐ+α + α^(ΐ|^+1|)|
Из | /n (sn) — fn (0) | <ζ L6o | £n | следует | xn+l | < L6o [ xa |, так
что
l*B|>-j?-l*n+il, G(Un|)>G(-Lkn+1|),
откуда
<
(a-l)G(^-|*n+il)
[i + N (I | *n+1 |)) (l + a + aTV (I [ xn+i | ))
= — С (1*71 + 1 I).
30
Глава I
Функция с (г) будет строго возрастающей, если функцию Ν (ε) взять
убывающей, что всегда возможно. Для проверки условия в) положим
Л Ν(-
= A\q Va
q==l_, G(r) = A[qN^mhr.
Пусть un = I xn (n0, x) — xn (n0, x) I; для тех индексов тг, при
которых решения хп (тг0, х), хп (тг0, х) не покидают шар | χ j ^ г, имеем
ип+1 ^ Ьгип, значит, ип ^ L™~n° \ χ — χ |. Если | χ | < δ (г),
| х | < δ (г), то решения не выйдут из шара | χ | ^ г. Далее, Vn (χ) =
= G:(|5:n+hl (щх)\)-~-^\ если | ял+Л1 (тг, x)| > | ζΛ+Λι (тг, ж)|, то
При I ял+Л1 (тг, ж) | < | #Λ+Λι (тг, ж) | получаем
0 < G(| ^+fel (тг, ж) |) — G(| λ;λ+Λι (тг, ж) |) <
< С (I xn+ki (тг, ж) I) (| xn+kl (тг, ж) | — | xn+kl(n, х) I) =
Если бы выполнялось неравенство | я | < δ (| xn + hi {η·> х) I)? то мы
имели бы | Xn + ki (ηι х) I < I ^n + fet (и, #) I? чт0 невозможно, значит,
\ х I > δ (| жл+г11 (тг, ж) |),
7V (1 |*|) <#(^ δ (|*л+к| (тг, о;) |)) .
Мы видим, что для | χ | < δ0, | # | < δ0
Vn (χ) < 7Λ(*) + aAqN ^Ml *" W·**1^ ^6(l *»+л1<в'*)|))|2_ж,.
Значит, Уд (я) <! Vn (χ) + α^Ι | χ — χ |.
Поменяв ^ и ^ ролями (при условии, что # и ^ отличны от нуля),
получим | Vn (χ) — Vn (χ) Ι ^ αΑ \ χ — χ |. Если ^ = 0, το Vn (χ) ^
^ αΑ | я |, и наше соотношение справедливо и в этом случае.
Предложение 3. Если решение хп = 0 равномерно
асимптотически устойчиво, то оно устойчиво по отношению к постоянно
действующим возмущениям.
Доказательство. Пусть ε > 0; выберем δι (ε) и δ2 (ε)
так, чтобы выполнялись неравенства Ъ (2δι) < α (ε), δ2 ^ δι, δ2 <
1
< -^ c (δι). Пусть ε настолько мало, что Ьгг + δ2 < δ (δ0), и пусть
§ 3 31
I gn (x) I < δ2 для I x | < ε. Обозначим через г/д (тг0, */) решение
системы уп+1 = /Л (г/д) + gn (г/„), совпадающее с у при тг = тг0.
Имеем хп + ] (тг, г/) = /Л (яЛ (тг, г/)) = fn (у). Для | г/ | < ε получаем
| хп+1 (тг, г/) | < Ьгг. С другой стороны,
Уп + 1 (П, У) = fn (Уп (П, У)) + gn (У (П, У)) = /Л (у) + gn (У),
и, значит,
I Уп+\ (п, у) — xn+i (п, у) | = | gn (У) К δ2 при | г/ |< ε
и
Ι ί/τι+ι (л, у) | < δ2 -ι- £εε < δ (δ0) при | у | < ε.
Следовательно,
ΐ7/7+ι (г/д+ι К г/)) — Vn (у) = Vn + l (χη + ί (тг, у)) — Vn (у) +
-!- Кг + ι (г/д+ι (и, ί/)) —
— Кг+ι (aVi + i К г/)) <
< — с (| яЛ + 1 (тг, у) | ) +
+ Μ | г/д+1 (тг, у) — xn+i (тг, г/) | <
< — с (| яд + 1 (тг, у) |) + Μδ2 <
< — с (| ^ + ι (тг, у) \) + с (δι).
Пусть теперь | г/ | < δι. Рассмотрим решение г/д (тг0, у). Если
неравенство | уп (тг0, г/) | < ε выполняется не для всех тг ^ тг0, то
найдется такой индекс тгь что | уП1 (тг0, у) |> ε и | г/д (тг0, г/) | < ε
для тг0 ^ тг ^ щ — 1. Следовательно,
ΐ/,1(^1Κ^))>α(ε)>6(2δ1)>Μδι + δ2) и 7Ло (£)< Ьб,.
Значит, существует такой индекс тг2, что
Р*2 (г/д2 К,1/)Х Ь (б4 + δ2) и ^2+1(г/Д2+1(тг0,^))>6(б1 + б2).
Поэтому | г/Д1+1 (тг0, г/) | < б4 + δ2, и
|яЛ2+1(и2, */„2K, г/))1>1 Уп2 + 1
— жП2+1 (тг2, г/Д2 (тг0,1/)) | > б4 + δ2 — δ2 = 6t.
Отсюда
о < vn2+i (yn2+i Κ,Ι/)) — упг (Уп2 (щ,!))) <
< — с (| хП2+1 (тг2, уП2 (πο,Ί/)) \) + с (6i) < О
— противоречие, доказывающее наше предложение.
2. Приведем теперь некоторые предложения, показывающие, как
можно использовать для получения выводов об устойчивости
функции Ляпунова с более слабыми свойствами.
32
Глава I
Предложение 4. Если существуют такие непрерывные
функции Vn: Gcz Rm -* R и W: G ->- R, что Vn (x) > a, W (x) > 0
при χ ζ G, где а — действительное {не обязательно положительное)
число, uVn + i (fn (χ)) — Vn (x) < — W (χ) или Vn + i(f (χ)) — Vn (χ) <
^ — W (fn (χ)), то любое решение системы, остающееся в G при
гс> п0, стремится к множеству А* = A (J {оо}, А = {χ £ G: W(x) = 0}
где G — замыкание множества G.
Доказательство. Пусть хп — решение, остающееся в G
при всех η ^ п0; последовательность Vn (xn) по предположению
является убывающей и потому имеет предел при η -> оо (значения
Кг (#) — ограничены снизу). Следовательно, Vn + i (xn + i) ~
— Vn (χη) -^0 при η ->-οο, а, значит, И7 (#„) -^0. Имеем
d (xk, А*) = min (inf { | xh — у \ : у е А }, 1/| xh |).
Пусть ε > 0; покажем, что существует такое Νε, для которого при
η ^ Νε будем иметь d (хп, 4*)< ε и, значит, 1/| хп | < ε, или
inf { | хп — у \ : у £ Α} < ε. Действительно, если это неверно, то
существует такое ε0 > 0, что, каково бы ни было п, существует
кп ^ п, для которого d {хип-> ^*) ^ εο и> значит, 1/| #ferl | ^ ε0
и inf { | xkn — у | : у ζ A} ^z е0; таким образом, | xkn | ^ 1/ε0,
т. е. последовательность xhji ограничена и, следовательно, содержит
подпоследовательность, сходящуюся к некоторой точке х*, для
которой | х* — у | ^ ε0 при любом у £ А, так что х* (J Л.
С другой стороны, функция И7 непрерывна, поэтому W (х*) =
= Jim И7 (^.) = Jim W (хп) = 0; значит, χ* ζ А. Получен-
ное противоречие доказывает наше предложение.
Замечания. 1) Если G — неограниченное множество и если
существует последовательность хп ζ G, такая, что | хп | —^оо,
W(xn)-*0, то система может иметь неограниченные решения.
Если множество G ограничено или W (х) ^ а > 0 для | χ | ^ R,
то все решения, остающиеся в G, ограничены и стремятся к
некоторому замкнутому множеству, содержащемуся в А. Если G —
это все пространство и W (х) > 0 для | χ \ -ф 0, W (χ) ^ а при
| χ | ^ Л, то все решения стремятся к нулю.
2) Если и (х) ^ F„ (я) ^.v (x), G (η) = {я; и (χ) < η}, 6?ι (η) =
— {^; у (χ) < η} и если условия теоремы удовлетворяются при
замене G на G (η), то все решения, выходящие из G\ (η), остаются
в G (η) и стремятся к А при тг ->- оо. В самом деле, если хПо £ G\ (η),
то при гс > гс0 имеем и (ял) < F„ (ял) < Vno (хПо) < г; (яЛо) < η,
а, значит, хп £ G (η).
IIjp и м ej^jji. 1°. Пусть £д + 1 = l/xn, а С — множество
положительных чисел. Все решения, выходящие из G, остаются в G; даже
те, которые выходят не из G, приходят в G после первого шага.
§ з
33
Χ
Функция V (χ) = , 2 положительна в G, и
2 2
/у» /у» /у» /у»
. , 1 1 + аг 1 + xk 1 + я2
1 + — "Г "г
τα:
_-*(ΐ+* + ^2)(*-ΐ)2<0 в G
(1+^(1+^) ^
Значит, А = {О, 1}, Л* = {0, 1, оо}. Если х0 = 1, то £fe = 1 для
всех /с; если #0 < 1, то #& ->-0 при четном к и #ft ->- оо при
нечетном &; если х0 > 1, то #ι < 1 и, значит, xk -^0 для нечетного А:
и #& -»* оо для четного к. Таким образом, действительно, все решения
стремятся к Л*.
^,2°. Рассмотрим систему xk + l = Mh (xh) xh1 где Mk (χ) —
некоторая матрица. Возьмем Vh (χ) = \ χ |, W (χ) = (1 — α (χ)) \ χ |,
а (х) ^ | Mft (χ) I при I я | < η. Тогда
Vh+i (Mk (χ) χ) - Vh (χ) = | Mk (χ) χ | - | χ | ^
< | Mh (χ) | | ж | - | χ | ^ (α (χ) - 1) | χ | = - W (χ).
Если α (#) < 1 для | # | < η, τ0 ~~ W (χ) ^ 0; множество А
содержит точку χ = 0 и, возможно, точки с | χ | = η, где может
выполняться равенство а (х) — 1. Так как | χ | убывает, то решения
не могут стремиться к точкам с | χ | = η, если они выходят из
области | χ | < η. Следовательно, если | Mk (χ) | ^ а (х) < 1, то все
решения, выходящие из области | χ | < η, остаются в ней и
стремятся к нулю.
3°. Рассмотрим систему
Уп + 1 = а хп + РпУпч
где
0<а< 1, 0< δ <рд < 1 - а2.
Если рп = ρ постоянно, то матрицей системы и характеристиче-
/0 1\
ским уравнением будут соответственно I 2 1 и λ2 — ρλ — а2 — 0;
ρ + Vp2 + 4α2 ρ - У ρ2 + 4α2
собственные значения равны ^ и ^ ·
Они действительны и имеют противоположные знаки; для положи-
34
Глава I
тельного корня (при а2 < 1 — р) имеем
P+Vp2+ 4а2 р + Ур2 + 4(1 -ρ) р+Ур2-4р + 4
р + У(р-2)2 = р-р + 2,
2 2
1;
значит, этот корень лежит в единичном круге. Абсолютное значение
отрицательного корня
2 2 2 2*
Оба собственных значения лежат в единичном круге при О < ρ <
< 1 — α2; значит, нулевое решение асимптотически устойчиво.
Посмотрим теперь, что происходит в случае переменного
коэффициента рп. Рассмотрим функцию Ляпунова V (х, у) = а2х2 + у2.
Имеем
V (г/, а2х + рпу) — V (х, у) = а2у2 + (а2х + рпу)2 — (а2х2 + у2) =
= а2 (а2 — 1) х2 + 2а2рпху +
+ (а2 + р* - 1) г/2 =
= —а2Рп (х—у)2 + а2(рп-(1—а2))х2 +
+ (Рп + 1) (Рп - ι + я2) г/2 <
< — а2рп {% — У)2 < — α2δ (χ — ι/)2.
Решения, выходящие из области а2х2 + у2 < η, остаются там;
следовательно, все решения ограничены и стремятся к
множеству χ = у, а, значит, #л — уп —>-0. Если /?д ^ 1 — α2 — ε, то
F (х, а2х + ρΛι/) — V (χ, у) ^ — α2δ (χ — ι/)2 — а2гх2 — (1 + δ) гу2
и решения стремятся к нулю. Если справедливо лишь неравенство
рп <С 1 — а2, то возможны решения, не стремящиеся к нулю; напри-
1—-а2
мер, для рп = j-—^ имеем решение хп = 1 + ап, уп = 1 + αη+1
С #п —>-1, г/д —>-1.
В заключение этого пункта докажем предложение,
представляющее собой дискретный аналог теоремы Барбашина — Красовского
для системы дифференциальных уравнений.
Предложение 5. Если существует непрерывная функция
V: G -+R, такая, что а (| χ |) ^ V (х) ^ Ъ (| χ |) (где а, 6 такие же,
как в предложении 1), 6 (/г0) < a (hi), h0 <C hi <C h (где h таково,
что шар \ χ | < h содержится в G) и V (xn + i) — V (хп) ^ 0 для
любого решения автономной системы xn + i = f (xn), причем равенство
имеет место лишь в точках некоторого множества Μ, не содержа-
§ з
35
щего целых полутраекторий, то решение хп = О асимптотически
устойчиво и шар \ χ | < h0 находится в области притяжения.
Доказательство. При | х0 | < h0 имеем а (| хп |) ^
< V (хп) < У (*о) < Ъ (| х0 I) < Ъ (h0) < a (h); значит, | хп | < Αι
и решения, для которых | х0 | < /г0, не покидают G. Те же
неравенства показывают, что | х0 | < б-1 (α (ε)) влечет за собой | #Л | < ε;
значит, решение хп = О равномерно устойчиво. Если не все
траектории с | х0 | < /го стремятся к нулю, то существует £0 с | х0 | < /г0,
для которого траектория хп (х0) не стремится к нулю. Рассмотрим
последовательность F* = V (хп (х0))', это убывающая
последовательность положительных чисел, следовательно, она имеет некоторый
предел V0. Так как последовательность хп (х0) не стремится к нулюг
то для некоторого η > О существует подпоследовательность xUk (x0)
с | хп (х0) | ^ η; для этой подпоследовательности имеем | xnji (х0) | <
< hi, значит, существует другая подпоследовательность (обозначим
ее по-прежнему через хПк (х0)), которая имеет предел х*. Из
неравенства | хп (х0) | ^ η следует, что χ* Φ 0. С другой стороны,
У*к = У (xnk (xо)) и из xnk (x0) -+xl вытекает, что V (хПк (*о)) ~^
-**V (х*), так что V0 = V (χ*). Рассмотрим полутраекторию хп (х*);
так как эта полутраектория не лежит целиком в М, то
последовательность V (хп (х*)) не постоянна, значит, - существует такое тг*,
что V (хп* (х*)) < V (х*) = V0. Поскольку хПк (х0) -+х*, имеем
хп* (хПк (х0)) -*хп* «), откуда V (хп* (хП]1 (х0))) -> У (хп* «)),
значит, lim V (хп* (хПк (хо))) < Vo- С другой стороны,
h-><x>
хп* (xnh (хо)) = %n*+nk (xо) (система автономна), а потому
У (Хп* (Xnk {хо))) = V(xn*+nk (хо)) = Vn*+nk -+V0. Мы получили
противоречие. Предложение доказано.
3. Рассмотрим некоторые специальные конструкции функции
Vn (x) в случае линейных систем, имея в виду получение ряда теорем
об устойчивости по первому приближению, а также другие
приложения.
Итак, возьмем линейную систему χη + ι = Апхп и предположим,
что решение хп = 0 равномерно асимптотически устойчиво. Пусть
N
Vn (х) = Σΐ xn+h (η, х) |. Из равенства хп (и0, χ) = Хп» х и из
ft=0
того факта, что равномерная устойчивость влечет за собой
ограниченность всех решений, следует, что | хп (п0, χ) | ^ Μ \ χ | и,
значит, Vn (χ) ^ (Ν + 1) Μ Ι χ |. С другой стороны, непосредственно
из определения Vn видно, что Vn (χ) > \ χ |. Имеем
Ν Ν
У η (χη) = Ц I χη+k (п, хп)\= Ц I Xn+h (щ, хПо) I
k=0 k=0
36
Глава I
для любого п0 ^ п, следовательно,
Vn+i(Zn+i) — Vn(xn)= 2 \%n+i+k(n+ l,xn+i)\— Σ\χη+Η(η,χη)\ =
h=0 k=0
Ν Ν
= Ц I Xn + l+k (П, Xn)\— ΣΙ Xn+h (П, Xn)\ = \ Xn+1 + п (П, Xn)\—\ *n V
h=0 h=0
Равномерная асимптотическая устойчивость влечет за собой
равномерное стремление к нулю всех решений, значит, | ХПуПо | ^ tyn-nli
где последовательность tyn имеет нулевой предел. Таким образом,
I ^jv + i+n (и, хп) |<Ψιν + ι \хп I» а> следовательно,
Vn+i (xn+i) — Vn (хп) < — (1 — Ψλγ+ι) I хп |.
1
Выберем Ν настолько большим, чтобы было г|^_и < -ψ. Тогда
1 1
^д + 1 (*n + i) — ^д Ю < — — I ^д I < — 07|/Г/ЛГ , .ч Vn (Xn),
2 2Л/(ЛГ + 1)
а, значит,
Vn + l (Zn + l)
<1
7Л(*ч) 2ЛГ(ЛГ+1)
откуда
I Xп\ < ^д (хп) < И ^0 Ко) <
V 2М(Л'+1)/ ° °
/ 4 \п-п0
< (Лг + 1) Μ 1 | *- |.
Итак, мы показали, что для линейных систем равномерная
асимптотическая устойчивость всегда является экспоненциальной, т. е. если
нулевое решение равномерно асимптотически устойчиво, то
существуют такие L>0, 0<д<1, что | хп | < Lqn~no \ хПо | для η ^ п0.
В случае экспоненциальной равномерной асимптотической
устойчивости функции Vn (x) допускают другие, более простые
конструкции.
1
Действительно, возьмем Vn (χ) = sup | хп+и (η, χ) \ — . Тогда
I x I < Vn (χ) < L | χ | и
1 1
Vn+i (xn+i) = SUP I Xn+i+k {n + 1, *Λ+1) I —й; = sup | xn+i+h (n, xn)\ — =
k^o q h^o q
1 1
= sup | xn+h (n, xn) | -τ— < g sup | xn+h (n, xn)\ — = qVn (xn).
ft^i q h^Q qK
§ 3 37
Следовательно, построенные функции имеют то свойство, что
^ (,Χηΐύ < q < 1, или Vn+i (*„ + ,) - Vn (xn) < - (1 - q) X
X F„ (*„) J).
Функция Vn интересна тем, что ее свойства выражены лишь
через константы L и q, характеризующие экспоненциальную
устойчивость.
Иная конструкция, также основанная на экспоненциальной
устойчивости, приводит к функциям Vn (χ), имеющим вид
квадратичных форм. Пусть Wn (χ) — квадратичные формы,
удовлетворяющие неравенствам μ | χ |2 ^ Wn (χ) ^ Μ \ χ |2. Положим
оо
Vn (#) — 2 Х*Х* nWkXktnx, где Wk — матрицы квадратичных
форм Wk (x). Сходимость ряда обеспечена предложением
относительно экспоненциальной устойчивости. Имеем
оо
оо оо
\Vn(x)\^M^\XKnx\z^MAz\x\z^q2(h-n) = j^1\x\z
k=n k=n
И
I Vn(x) \^χ*\Υηχ^μ \χ |2.
Кроме того,
ею оо
Vn(zn)= Τι x*nXtnWhXk,nxn= T xtWkxky
k=n h=n
а, значит,
Vn+i (Xn+i) — Vn (xn) < — x*Wnxn < — μ | xn |2.
Взяв
ею
Vn{x)= 2 x'Xt.nWhXk.nx,
k=n + l
получим
лт . ч , MA2q2 . l2
1 -q
χ) Важно отметить, что для линейных систем и | Vn (χ) — Vn (χ) | <;
<ζ. L \ χ — χ |. В самом деле,
~ 1 ~ 1
Vn (χ) — Vη (χ) = sup | xn+k (η, χ) | —— sup | xn+h (η, χ) | — <
- 1
< sup I zn+ft (λ, χ) — zn+ft (λ, я) J — =
= sup | xn+h (л, ж—ϊ) | = 7Λ(χ—i)<L|x—«Ί.
38
Глава I
Vn + i (χ) > x*X%+UnWn + iXn + i, nx= x*AtWn + iAnx}^£ μ | Anx |2;
если Ап обратимы, причем обратные равномерно ограничены, то
\А-
пХ |
<К\х\,
\х\^К\Апх
Помимо
vn.
того,
+ 1 (Zn + l) —
а,
1,
vn
значит
\Апх\2
(хП) =
1
>
—
\А-
1
К2
г*
пл.пх
\xf
±iWn.
\<к
и Vn
f iXjl + 1
1 Anx |
+i (x) >
^ — μ
, или
μ
я2'
Ι Хъ
х\\
t + 1
Эта конструкция представляет интерес в случае систем с
постоянными коэффициентами.
Возьмем положительно определенную матрицу С и определим
оо
матрицу В формулой В = 2 (A*)k CAk- ТогДа А*ВА =
ft=0
оо оо оо
= Σ (A*)k+1 CAk+1 = 2 (Л*)" СЛ* = S (^*)fe С4 - С -
fc=0 ft=l fc=0
= В - С.
Таким образом, получаем следующий алгебраический результат.
2?с/ш собственные значения матрицы А лежат внутри единичного
круга (это эквивалентно, как мы видели, экспоненциальной
асимптотической устойчивости), то для любой положительно определенной
матрицы С существует такая положительно определенная
матрица В, что А*ВА — В = — С.
Применим приведенные выше результаты для получения одной
теоремы об устойчивости по первому приближению.
Теорема 1. Рассмотрим систему χη + ι = Апхп + fn (хп),
где /д (0) = 0, | fn (χ) | ^ у \ χ |. Если нулевое решение линейной
системы первого приближения хп + 1 = Апхп равномерно
асимптотически устойчиво (а значит, экспоненциально устойчиво) и если у
достаточно мало, то нулевое решение данной системы также
экспоненциально устойчиво.
Доказательство. Пусть хп — некоторое решение
системы. Рассмотрим функцию Vn, построенную для системы первого
приближения и обладающую следующими свойствами:
\y\<Vn(y)^L\y\, Vn+i (yn + i) - Vn (yn) < - (1 - q) Vn (yn).
Имеем
Vn+i (xn + i) — Vn (xn) = Fnj_i (yn + i (n, xn)) — Vn (xn) +
+ Vn + i (xn+i) — Vn + i (yn + i (λ, xn)) <
< — (1 — q) Vn (xn) + L | xn+i— Уп+ι (w, xn) |.
Ho
Xn + i == AnXn ~r J η \Χη) ι Уп + i V*"> Xn) ~ Ά-ъХпч
§ з
39
так что
I χη + ι — Уп+ι (п, хп) | = | U (хп) I < γ I χη I < yVn (хп);
следовательно,
Vn + i (xn+i) - Vn (xn) ^-l^(l-q-Ly)Vn (xn).
Этим обеспечена экспоненциальная устойчивость системы, если
1 — а
1—q — Ζ/γ>0, т.е. если у <С -.
L·
Тот же результат можно получить и с помощью формулы
вариации постоянных. Пусть хп — некоторое решение системы. Положим
ίη (χη) = gn+i' Формула вариации постоянных позволяет написать
η η
xn — Xn,n0xn0-l· 2j ^n, hSk = Xjit n0xn0 + 2j Xn,hik-l(xh-l)-
k=n0 + l h=n0 + l
Из предположений относительно линейной системы следует, что
I Xn,k \ < £?п~\ значит,
fe=n,0+l
Вводя обозначение uk = g~fe I #ь I» получаем
π,
Положим
имеем
значит,
π,
h=n0+l
Ly Ly
q q
(r \ n-tiq—1 τ / \
откуда
40
Глава I
значит,
к П — П0 — 1
*< (ι-biip-i (, + !).,
и, следовательно,
Таким образом,
= L [ί + Χ) (l + Щ* (q + Lyf-"» I xno |,
и экспоненциальная устойчивость обеспечивается для q + Ly < 1,
или γ < —^ .
4. Определение 2. Будем говорить, что система χη+ι =
= -4Л#Л удовлетворяет условию Перрона, если для любой
ограниченной последовательности fn решение неоднородной системы xn + i ~
= -4Л£Л + /n + i c нулевыми начальными условиями является
ограниченным.
Докажем следующую теорему, впервые установленную Та Ли
[80] и являющуюся дискретным аналогом соответствующей теоремы
Перрона. В приведенном ниже доказательстве мы следуем в
основном Р. Беллману.
Теорема 2. Если система хп + \ = Апхп удовлетворяет
условию Перрона, то нулевое решение системы равномерно
асимптотически устойчиво.
Доказательство. 1) Пусть Хп,и — фундаментальная
матрица решений системы. Из условия Перрона вытекает существо-
п
вание такой матрицы С, что 2 I Xn,k I < С для любого η ^ 0.
k=0
Действительно, решение неоднородной системы с нулевыми началь-
п
ными условиями дается формулой хп = 2 %п kfki и из условия
Перрона следует, что последовательность Un (/) ограничена для
х) Заметим, что фактически доказана следующая
η
Лемма. Если ип*Саип +6 У] uh-u то ип < (1 + ^)η~~η°-1 (α+ 6) ип .
fc=n0+l
§ з
41
любого / 6 .2Г, где £С — пространство ограниченных последователь-
п
ностей из Rm с || / || = sup | fh |, а £/„ (/) = 2 ^ι,/Λ· Β силу
ft ft=l _
теоремы Банаха — Штейнгауза существует такое Μ ^ О, что
I Uη (/) Ι ^ Λ^ II / II для любого тг ^ 1 и любого / 6 «^» и> значит,
η
2 Xn,hfh I ^ -^ sup I /ft |. Пусть xlik — элементы матрицы Xn,h,
ft= 1 '
Д — элементы вектора /ft, ξη,& — элементы произведения Xn,hfk\
πι
ln,k = 2 ^m,ft/ft. Положив Д = sign χ% k, получим 1гП}к =
3=1
m
= 2 14ft ι и
i=i
η πι η πι η πι
Ι Σχ».*/*Ι= ΣΙ Σε».*Ι= Σ Σ Σΐ^κ^·
ft=l г = 1 ft=l j = lft = lj=l
η
Мы видим, что существует такое С > 0, что 2 I Xn,k I < С·
ft=0
г?
2) Поскольку 2 \ Хп k 1<С, то существует такое Μι, что
ft=0
| X^ft | < Μι для 0 ^ к ^ п. Действительно, в противном случае
существовали бы последовательности пх и ки О ^ кг ^ wz, для
которых | Xn fe J > Ζ. Но С > 2 I хп7,и | > | Χπ,,λ, Ι > V что
для достаточно больших I является невозможным.
3) В силу неравенства | Xn,h I < Λ^ι для любого решения имеем
\ хп\ <С Μ \ xk |, показывающее, что имеет место равномерная
устойчивость. Далее, соотношение Xn,h = Χη,ιΧι,Η справедливо
для η ^ I ^ /с, и так как последовательность {XUh)i ограничена,
то из условия Перрона следует, что последовательность
η
( 2 Хп iXuh)n ограничена, а значит, и последовательность
l=h+ 1
η
( 2 Xn,k)n ограничена, что можно записать таким образом:
ζ=Η-ι
Mo
I (лг — Λ:) ХП)к I ^ М2, или | X^>fe | ^ γ, и асимптотическая
72 — гС
η
устойчивость обеспечена. К тому же | 2 Χη,ιΧι, и Μ^Ξ
l=k+i
<Σ \Χη,ι I \Xi,h I < Mi 2 |ΧΛ,/ KW, значит, М2 не
/=ft-fl 1=1
зависит от к и асимптотическая устойчивость равномерна.
В случае линейной системы имеет место даже экспоненциальная^
устойчивость.
42
Глава I
§ 4. Абсолютная устойчивость дискретных
автоматических систем
Ниже мы изложим несколько результатов по устойчивости
дискретных автоматических систем; частотный метод В. М. Попова
впервые был распространен на такие системы Я. 3. Цыпкиным
и исследовался впоследствии многочисленными авторами. Общая
теория изложена в монографии В. М. Попова [61]. Поэтому мы
остановимся здесь лишь на некоторых новых результатах, которые
могут быть изложены независимо от общей теории.
1. Рассмотрим систему вида
xn+i = Ахп + &φ (ση),
оп с хп,
где А — постоянная матрица, Ь, с — постоянные векторы, а
функция φ строго монотонна и удовлетворяет неравенствам h0G2 ^
^ σφ (σ) ^ /^σ2, h0 > 0, hi < h. Предполагается также, что
собственные значения матрицы А расположены внутри единичного
круга.
Теорема 1. Если существуют константы α, γ, δ, α7·, γ7, δ7,
ρ7, γ — α ^ δ > 0, α ^ 0, γ7· > α7· ^ 0, δ7 ^ 0, ρ7· > 0, такие, что
ρ
Re L _ ае*« + У δ7 Ъ ~ ^ J с* (е~*°Е - А)~' Ь-^-^0
1 j=f yj + 9j + ocjeш) h
для ω £ [—π, π], то нулевое решение системы асимптотически
устойчиво в большом.
Доказательству. 1) Из формулы вариации постоянных
η
вытекает соотношение хп = Апх0 + 2 An~3b(p (σ7-ι) для η ^ 1,
3=1
значит,
ап = с*Апх0+ 2 c*An-jby(aj-l) = c*Anx0 + n% cM71^"1^ (σ7),
7 = 1 7=0
гс>1.
Положим
ζΛ = ^μ% + 4Λ_1&φΚ)], ^ = ^^ для д>1,
/сЛ = 0 для η ^ 0.
В этих обозначениях соотношение
п-1
ση = ^+ Ц ^-./ФК·)' /г>2,
7=1
§ 4 43
справедливо для любого решения системы. Заметим, что из
предположения относительно матрицы А вытекает, что
| ζη |< Liqn | х0 |, 0<?<1, |АЛ|<£2?В.
сю
Пусть к (ω) = 2 knein(0; сходимость этого ряда обеспечена в силу
п=1
оо
оценки для последовательности кп. Пусть /(ω) = 2 An~1bein(u;
сю сю
имеем Λ4/(ω) = 2 ^п&е(П+1)С0 = 2 А^Ье1™, а, значит,
п=1 п=2
ei03Af (ω) = / (ω) — &eiu). Отсюда (2? — ei(0A) f (ω) = &ei(u, или
(e-ia># — Л) / (ω) = Ь, а, значит, / (ω) = (<?-*ω# _ Л)"1 Ь.
Учитывая это соотношение, получаем к (ω) = с*/ (ω) =
2) Пусть 7V — данное натуральное число. Положим ср^ =
= φ (ση) для 1 < η < TV; φ^ = 0 для п > Ν; w% = ση — ζη для
IV
1^7Z^iV + lHl£7^= 2 *n-j9 (σ7) ДЛЯ ^ > TV + 1. ДЛЯ ЛЮ60ГО
сю
η ^ ί выполняется соотношение ^ = 2 *п-уфГ· Действительно,
3=1
с учетом определения последовательности cpj это соотношение
можно записать в виде w% = 2 *п -уфГ» и для га >> N + 1 его
3=1
справедливость следует сразу из определения w%; для 2 ^ га ^
^ N + 1 с учетом того, что Ап = 0 при га ^ О, соотношение можно
п—1 п—1
записать в виде w% = 2 *и-;фГ = 2 *η-;Φ Ю = σ„ — ζη,
3=1 3=0
а для га = 1 имеем и;^ = 0 = σι — ζι.
Положим
_ nein(u, φΝ(ω)= 2 rNJn"
71 = 1 71 = 1
^ (ω)= 2jtWne , φ (ω)= ДФп* ·
Тогда
Α(ω)φ*(ω)= 2 ^ίηω 2 φΜ" = Σ Σ K<ffeHn+))<a =
η = 1 7=1 η = 1 7=1
сю сю
ί=2 7=1 *=2
так как wf = 0. Пусть ξ^η определены равенством
44
Глава I
Имеем
h, n+i
Вводя обозначение
ъ
сю
Σ
^ e
ίηω
, *
' Y/ + P/
=1?(ω),
и£
τι+1
получаем
значит
~ ГУ z»?fi) ^ 1
if (ω) = -^-— if (ω) + ■— wN(ω),
Уз + Ρ; 4ι + Ρ*
ИЛИ
Пусть теперь
Ν
XiV /ι
(Τ.· + ^-α^ω)ΐΓ(ω) = ^(ω),
If И=—τ"^—s ^ (ω>·
Ъ + 9i — «/*
Ρ
Ν Ν 0 Ν ι \ с / Ν
ywn — awn-i — j φ„ + 2_\ δ/("Ί*
Λ Λ tW
ψη,
τι=1
7=1
где положено w0 = О, что совместимо со всеми соотношениями,
которым должны удовлетворять wn (ζο = σο)·
Заметим, что если обозначить ν™ =μ?^_ι, то
сю со со
7>(ω) = 2 vNeina = 2 ">η-ι*''"ω = Σ »η^'("+1)ω =
71 = 1 71 = 1 71=0
сю
= еш 2 "^ηω = eitowN (ω).
η=1
Воспользуемся теперь равенством Парсеваля
σο Я
/,αηβη==—J Re g (ω) /г* (ω) άω.
Так как
= У, Ιτ^η — аш"-, — j- ψη + \ 8j (Wn — рДл„)
Φ?,
71 = 1
7=1
§ 4
45
то
хя=& ίRe ίγ^ ~α~* ~ 4r+2δ> (™Ν ~ρίί?)}{Vr άω=
—Л 7=1
π
= — f Κθ(γΛ(ω)φΝ(ω)-α^ω^(ω)φ'ν(ω)- — φ^(ω) +
2π J l /г
—π
+ 5]φω)Φ*(ω) - Ρ^ω>^ΐ)} (?>))* ^
π ρ
= ± f Re( ίγ-«^+ УД, ^·~Κ^'ω8·ω Ifc (ω)-1|, yr (ω)f ^.
—π 7=1
Учитывая выражение для к (ω) и приведенное соотношение,
получаем основное неравенство χΝ ^0. ^j
Поскольку функция φ возрастающая, то для любых
действительных α и β имеем
|φ(σ)Λτ<φ(β)(β-α).
α
Следовательно,
$ φ(σ)άσ= £ ί φ(σ)Ατ< Σ Φ (β*) (& ~ βι-ι) =
= Σ φ (Эг) Эг — Σφ(βί)β/-ι,
Ζ=2 Ζ=2
а, значит,
Σβ-ιφΦίΧ Σβ;φ(β;)- ίφΗ<ίσ.
^=2 1=2 β ι
Отсюда получаем неравенства
~~a У\ ση-ιΨ (On) > — oc \ σηΨ (<*η) + oc 1 φ (σ) da —
n=2 n=2 σι
iV
P' я=2
ρ .ξν
ΓΙ, JV
>—^-У,Р>#»ф(рДл») + — f Φ(σ)ώσ,
46 Глава I
из которых вытекает неравенство
Gjsf N
α J φ (σ) άσ + (γ — α — δ) \ σηφ (ση) +
0 η=2
Ν
η=2
+2 2δ'(σ" ~p^n) (φ κ) ~φ (pj^n))+
η=2 7=1
JV ρ θ!
+ \ \ δ, (ση — pjl7 η) φ (Ρί, ξ£ „Χ α J φ (σ) ώσ + -^ φ2 (σ1; +
η=2 7=1 Ο
7V ρ
+2[(γ+2δ7')ζη_αζ'ι"ι]φ(ση)· (ΐ)
η=2 7=1
Далее,
ΛΓ ρ JV ρ
2 2Si (σ" ~рд^η) φ (ρ"ι*η) > 2ζη 2 δ'φ (ρ7'ξ;·"}+
д=2 7=1 Д=2 7=1
Ν ρ ρ MJS7, η
Ά?
+22δ7'ϊ^_^ρ^'ιφ(ρ7^η)+2δ'~ ί φ(σΜσ·
η =2 7=1 7=1 Ο
Учитывая это неравенство, получаем из (1)
N
°Ν Ρ Pj4 П
Ι φ (σ) do + V δ7· -^- 1 φ (σ) ώσ + (γ — α — δ) V σηφ (ση) +
0 7=1 0 тг=2
Ν Ρ IV
+2 2 ^^^^^^^")+δ 2 (ση -{fp^)<pK)"b
тг=2 7=1 * 7 η=2
7V ρ σι
+ \ \ δ;(ση - Ρ^λ «) [Ψ Ю — Φ (Ρί££η) < α J Ф (σ) ^σ +
η=2 7=1
§ 4
47
Ν Ρ
+ ·^φ2(σ,) + 2 [(γ + 2 δ})ζη ~αζη-'
Ν Ρ
φ (σ„) —
(2)
Д=2 7=1
Заметим, что в силу предположений относительно констант и
функции φ в первом слагаемом этого неравенства члены положительны.
Введем обозначения
Ν Ν
Л2 /л. χ о2 χι гп2 ,
2φ2(σ„) = β2, 2fW,»)=P?>
n=2
m
n=2
Имеем
in{(-L_±k &^ί} = μ
Ν Ρ
/j \\^+ \^)ζη—αζη-Λ φ(σ„)'
η=2 7=1
JV ρ
β2 21 (γ+2бг)ζη ~ αζη~' \s
fL23\x0\z
<
η=2 jr=i
JV
<β^:
η=2
«οΚ·
а, значит,
Аналогично
Σ [(ϊ+ Σδ^ζ,,-αζ^Ιφίσ^Κ^μοΙβ.
η=2 7=1
3^ф(рДлп)К^ко1Рг
η=2
Из неравенства (2) вытекает теперь, что
п=2 7=1 п=2
< α J φ (σ) do + j φ2 (σ4) + L41 χ0 | β + L5| ^ | V δ7·β7·,
48
Глава I
а, значит,
μ(β2+ 2δ^)<£6|*0|2 + £7ΚΙ(β+ EW-
7=1 7=1
Если все δ7· равны нулю, то, как видно из этого неравенства, β
ограничено. Если δ7· > 0, то имеет место неравенство вида
(β+ Σ^Ϋ<^\^\2 + ^\χ0\φ+ 2β>),
7=1 7=1
приводящее к неравенству
7=1
значит, β и β7· мажорируются линейной функцией от | х0 |.
N
Из неравенства 2 Φ2 (ση) ^Ξ -^ιο Ι χο I2 следует, что | φ (ση) | ^
^ Lio | х0 I для любого η и что lim φ (ση) = 0. Поскольку
71->оо
*η=,4Β*„ + 2 Л ""'fop {σ}-ύ=Αпх0+Ап~1Ъц> (σ0) + "^ Л""'"1^ К),
7 = 1 7 = 1
ТО
и-1
inl< AiKI + Li22^qn j 4φ (<*/) =
7=1
n-1
-1 X1 1
= Ln\x0\ + Li2qn /j— ΨΚΚ
7=1
7=1 7=1
n-1
Далее, lim gn_1 /,—^φ(σ7·) = 0. Действительно, возьмем λη =
П-VOO / Λ QJ
η—1
~ / ~ Φ (σ7')» Μ™ = "η=ϊ ί последовательность μη монотонно воз-
4-J g3 ?
§ 4
49
растает и lim μ^ = + °°; к тому же
П-*оо
i_
,. λη+ί-λ„ ,. 9"φ(ο'η) φ(ση)
hm —— 2-= hm = lim ΎΚ ' = 0.
n-*°° μ„+1 — μη n^°° 1 1 n-*°° 1—?
λ
Применяя лемму Штольца, получаем lim — = 0. Следователь-
но, для любого решения системы имеем окончательно | хп | ^
^ Li3 | х0 | и lim^n = 0. Теорема доказана.
п->оо
2. Рассмотрим теперь «неавтономные» системы вида
хп + 1 — АпХп -γ- Οηψη (СГП), Оп = СпХп
и укажем один подход к проблеме, приводящий также в автономном
случае к результатам Попова. В этой более общей ситуации уже
нельзя получить частотные условия устойчивости; условия
устойчивости выражаются в виде требования, чтобы определенные
операторы были положительными, что приводит к бесконечной
последовательности неравенств.
Покажем, однако, что если выполняется лишь конечное число
неравенств, то все-таки можно получить определенные оценки для
решений. В рассматриваемом нами случае воспользуемся прежде
всего формулой вариации постоянных. Имеем
η
%п = Хп, п0Хп0 + 2 Хп, А'-1<Р7-1 (°7-l)> П > И0,
η
ση = c*nXnt ПохПо + 2 с*пХп, A'-i<Pj-i Κ'-ι), η > щ,
j=n0-fl
и, как и раньше,
ση = с*Хп> ПохПо + с*пХп, По+ι&ηοφηο (σ„0) +
71-1
+ 2 cnXn,j+ibj<Pj(aj)r п^>щ + 2.
7=n0 + l
Полагая
Qn =z cn^-n, n0xn0 I" cn^-n, η0+1%Φη0 (ση0)'
получаем равенство (справедливое для любого решения
рассматриваемой системы)
η
ση = ζη+ 2 K,j<Pj(<*j), n>»o + l. (3)
/=n„+l
50 Глава I
На функции φ7· наложим условия
—/*ια2 ^ аср7 (а) ^ —h0a2, hi < h,
внешне отличные от принятых ранее; видоизменение,
продиктованное желанием выразить условия положительности более просто,
состоит в основном в замене Ъп на —Ъп и в перемене знака
функции срп.
Введем также основное условие положительности
N П N
2 2«дл+1 2 £><>
(Pn)
п = п0+1 j=n0 + l n = n0-\-l
при любых ξηο+ι, . . ., lN.
Введем обозначения
°г=(°Г7г0+Ь ···» σΛτ); ζ = (ζη0 + 1> ···> Ьдт); ξ = (ξη() + 1, ..., ξ,γ),
η
η = Ζξ, где η„= ^] knJlj, (Fl)n = q>n(ln),
j~n0 + l
Ν
В этих обозначениях равенство (3) запишется в виде
α = ζ + АЛт, (4)
так что
(σ, Fa) = (ζ, Fa) + (KFa, Fa),
и с учетом условий, наложенных на функции срд, получаем
Ν Ν
(or, Fa) = V σ7φ7 (σ7) < — — V φ' (σ7) = — — (Fa, F<V-
7=д0+1 j=n0 + l
Следовательно,
(ζ, ^σ> + (KFa, Fa) + i-(Fa, Fa)^ 0.
Учитывая условие (Pn), находим
(Α^σ, /'σ> + — (Fa, Fa) =
h
= (KFa, Fa) + — (Fa, Fa) + }LzJHl (Fa, Fa) >
h hhi
Mi
§ 4
51
Поэтому
а, значит,
h — }ц
Предположим теперь, что линейная система первого
приближения экспоненциально устойчива. Тогда J Xnj+i | ^ LQqn~\ g<l,
и | knJ | ^ Liqn-\ | ζη Ι < L2qn-n°+1 \яПо |, где U и Z2
непосредственно выражаются через L0, q, /г0, Αι, sup | ЬЛ | и sup | cn | (после-
n η
довательности Ьд, cn предполагаются ограниченными).
Следовательно,
1 Хп I ^ Lq (q + Aj | b
I) I ^o I +
+ n L°L^h\^\bn\\xnj = L3\xn^
(1 — ? ) (A — At)
оценка справедлива для n0 ^ η ^ TV + 1.
Заметим, что полученные оценки не зависят от N. Таким образом,
если (PN) выполняется для любого N, то решение хп ограничено.
сю
Более того, при этом ряд 2 Ψη (<5п) является сходящимся, а, значит,
lim φη (ση) = 0. На основании леммы Штольца отсюда выте-
п->оо
кает, что lim xn = 0.
П->оо
Итак, условие (Pn), удовлетворяющееся при любом Лг,
выступает как достаточное условие абсолютной устойчивости. Посмотрим
поэтому, как условие (Р^) можно выразить более эффективно.
Ядро knj было определено только для η ^ /; определим его для
7 > η соотношением knj — kjiTl. Получим
JV n
n = n0+l j=n0 + l
Ν Ν Ν Ν
n = n0 + l J=no + l n = n0-\-l j=7i + i
Ν Ν Ν η
n—n0-\-l j=n,0 + l п==?г0 + 1 j=n
Ν Ν Ν j
7=n0 + l j=n0 + l j=n0-\-l η—η0 + 1
Ν Ν Ν η
= 2j 2j kn,jbjbn 2j 2j fy,nbnbj-
71 == η ο +1 J=rio + l 7=n0 + i ./=710+1
52 Глава I
Принимая во внимание тот факт, что ядро knj симметрично, находим
Ν η Ν Ν
2j 2л κ'&ΐη=-^ 2α 2а К-зЫп'
n = n0 + l j=n0+l 71 = 71 о +1 7=п0 + 1
и условие (PN) может быть записано в виде
Ν Ν Ν
2 Σ *-^+! 2 ιι>0
η= η0+1 j=n0 + l
п = л0 + 1
ИЛИ
где
JV N
Δα Δα ^η, jSjSn^-O»
K,j = Kj Для и =£/, k'jj = —.
Полученное условие представляет собой условие
положительности некоторой квадратичной формы и может быть записано с
помощью N — п0 неравенств, первое из которых, очевидно,
выполняется:
_2
h
^По+2, п0+1
к
п0+2, ?г0 + 1
h
О,
^ ^гг0+2, п0 + 1 · · · &JV, ?г0 + 1
^iV, л0 + 1 "'JV, n0+2
_2
/г
>0.
Налагая дополнительные ограничения на функции φ7·, можно
получить более тонкие условия. Предположим, что φ7· (α) = φ (α),
где φ — монотонно убывающая функция. Как и в пункте 1, получаем
(учитывая, что теперь функция φ убывающая) неравенство вида
71 п σ^„+ι по + 1
Ц σΗψ (ah) > 2 σ*+ιΦ (σ*+ι) - ] φ(α)ώ+ ί φ (α) da.
fe=n0 + l ft=n0 + l 0 О
§ 4 53
Пусть В — оператор, определяемый соотношениями
(Bl)n = —qln-i + Pin, P >Q, n > no + 2, (Bl)no + i = 0.
В силу равенства (4) Βσ = Β ζ + BKFa и
(В a, Fa) = (Βζ, Fa) + (BKFa, Fa).
Ho
JV
(Ba,Fa) = 2 (Ρση ~ ?σΛ-ι) <Ρ Κι) =
JV JV
= P Σ <Μ>Κι) — ? 2 ση-ιφ(σ*) =
η—?г0+2 7г=п0+2
JV JV —1
= Р Σ апЧ>(Оп)—Р<Уп0+1<Р(<Уп0+1)—д Σ ο^φ(σ„+1)<
JV JV-i
<P Ц Οηφ(^η)—Ρ^η0 + ίψ(ση0+ί)—9 Σ ση + ΐφ(ση + ΐ) +
п.==7г0 + 1 тг = ?г0+1
+ g J φ(α)ώ-^ j φ (α) da =
о о
= (p—q) Σ ση<ρ Ю + q j φ (a) da —
п=?г0 + 1 О
?го + 1
— (ρ—Φ ^η+ιφ^ο+ι — я. j φ Η **·
о
Следовательно,
(βζ, Fa) + <£#,Fa, Fa)<-P-^- {Fa , Fa> -
n0+l
■q Ι φ (a) da — (p — g) σηο+1φ(σ„0+1).
(Pn)
0
Условие (PN) заменяется условием
JV η —1 JV
сводящимся к (PN) при ρ = 1, g = 0. Оно того же типа, что и (Pn)>
и также приводится к системе неравенств для ядра knj.
Условие (Pn) влечет за собой неравенство
(BKFa, Fa) + ?-=А (Fa, Fa) > О,
h
54
Глава I
приводящее в свою очередь к неравенствам
По + 1
<^—{Bl,Fo)—q Ι φ (α) da — (p— g) σ„ο+1φ (σ„ο+1).
о
Полагая || ξ || = (ξ, ξ)1/2, получаем неравенство вида
β И Fa ||» < ||βζ || || Fa || + γ.
Но
(^ζ)Λ=-9ζ„-ι- + ρζΛ, \\Βζ\\^(ρ+ q)\\l\\+qKno\,
и мы снова получаем мажоранту для || Fa \\ как функцию от || ζ ||.
которая используется точно так же, как и выше.
В случае когда ядро knj зависит лишь от разности аргументов,
что имеет место для автономных систем, условия (Pn) и (Pn) можно
выразить частотным образом; они превращаются в частные случаи
частотных условий пункта 1.
Пусть knj = kn-j, n0 = 0. Положим ξ^ = ξη для η ^ Ν,
ξ£ = 0 для η > Ν, η^ = ξ ft° _Д; для 1 < /г < TV, η^ =
i= ι
= Σ ^-7?7 Д^я rc>7V + l. Тогда η^ ^Σ ftji-^f Для всех
i= l j= ι
гс > 1.
Положим далее /г;^ = 0 для η ^ 0; получим ηΛ = 2 kn-j^f-
j=i
Значит, в обозначениях
сю
71 = 1
оо
71=1
1Ν(ω)= 2 i«e
Ν ίηω
71 = 1
будем иметь
ηΛ» = Α0(ω)!"(ω).
§4 55
С другой стороны,
Ν η °° π
2 2 *-**·=ΣчК=i iRe^ ΓξΝ)· *·=
?}=1 7=1 _ 71=1 —π
π
= — f ReX°(co) ll^Cco) |2rfco. '
2π J
—π
Но
2u=2(ffl,-sfiV'w|,'to·
n=l τι=1 —π
Итак, условие (ΡΝ) записывается в виде
π
— f (— +ΚβΑ;0(ω))|1ΑΓ(ω)|2ί/ω>0
— π
1
и эквивалентно частотному условию ~г + Re /c° (ω) ^ 0 для
—π ^ ω ^ π. Поскольку /$ = с*Ап~1Ь, то, как известно, /с0 (ω) —
= с* (е-^£ — А)'1 Ъ.
Полученное условие фактически представляет собой частный
случай условия пункта 1: напомним, что с учетом условий,
наложенных на φη, мы должны заменить Ъ на ( —Ь).
Аналогичным образом условие (Ρν) эквивалентно условию
Р-^Л + ReV (ω) > О, ω 6 [- π, π],
чг
где
kin=pk°n—qk°n-i для я>1.
Но
оо
к '(ω) = 2 (Р& ~ qk°n-i) ein<* = (ρ - qeia)l° (ω),
71 = 1
так что (Ρν) эквивалентно условию
l^Zl + Re (ρ — qei(u)%° (ω) > О,
h
являющемуся частным случаем условия пункта 1 (δ7· = 0).
56
Глава I
Приложение
УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
§ 1. Некоторые понятия теории вероятностей
Пусть {Ω, К, Р) — вероятностное пространство; Ω — это
некоторое множество, К — борелевское тело (σ-алгебра) подмножеств
множества Ω, Ρ — некоторая вероятностная мера на К.
Для суммируемой случайной величины χ (ω) полагаем
Ех= $s(<u)jP(d<o).
Ω
Пусть jp а К — борелевское подтело тела К и χ (ω) —
суммируемая случайная величина. Назовем условным математическим
ожиданием случайной величины χ относительно $р всякую измеримую
относительно jF случайную величину ζ, обладающую свойством
\ ζ (ω) Ρ (άω) = \ χ (ω) Ρ (άω) для любого Α £ jr.
A ** ^ A
Из теоремы Радона — Никодима следует существование и
единственность ζ (с точностью до эквивалентности). Введем обозначение
ζ = Ε [χ I $р\ш Если xt (ω), i = 1, 2, . . ., η,— случайные
величины, a jFo — наименьшее тело, относительно которого все они
измеримы, то пишем
Ε [χ I J^0] = Ε [χ Ι xu x2, . . ., xn].
Воспользуемся следующими свойствами условного
математического ожидания [26]:
1) ЕЕ [x\&]= Ex.
2) Ε [αχ + βι/ | &\ = αΕ [χ \ $ρ\ + βΖ? [у \ $р\ почти всюду в Ω
для любых действительных α, β.
3) Если случайная величина у измерима относительно jF, то
Ε [ху | яр\ = уЕ [х | jFl почти всюду в Ω.
4) Если χ (ω) ^ у (ω) почти всюду в Ω, то Ε [χ \ ер\ ^
^ Ε [у | £?] почти всюду в Ω.
5) Если ^2с^с К, то Е[Е [х\ &х] \ &2] = Ε [χ \ ^2\
почти всюду в Ω.
Случайные величины χλ (ω), λ 6 Λ, называются независимыми,
если для любого конечного множества индексов λ4, λ2, . . ., %п
и любого конечного множества действительных чисел αϊ, α2, . . ., ап
имеет место соотношение
η
Ρ {ω; ζλ.(ω)<α£ι ί = 1, 2, ..., η} = Ц ^{ω; ^(ω)<α,}.
ί=1
Приложение, § 2 57
Два семейства случайных величин χχ (ω), λ ζ Λ, и ζ/μ (ω), μ ζ Μ,
называются независимыми между собой, если имеет место
соотношение
η πι
Ρ ( П П {ω; χ4 (ω) < α,, у„. (ω) < β,·} )=
ι = 1 7=1 7
η m
= Ρ(Π {ω; ^λ.(ω)<α;})Ρ(η{ω; »μ.(ω)<β,})
ι=1 7=1 J
для любых %ι ζ Λ/ μ7· ζ Μ и любых действительных аг-, β7·, i =
= 1, . . ., η, j = 1, . . ., m, где /г, ттг — произвольные
натуральные числа.
Отметим следующие свойства независимых случайных величин
[40], [26], [71]:
1) Если случайные величины х% (ω), λ £ Λ, независимы и
функции /: Rl -+R, g: R3 -+R измеримы по Борелю, то случайные
величины f (χλι (ω), χλ2(ω), . . ., χλ[ (ω)), g (ζμι (ω), жД2 (ω), . . .
. . ., χμ (ω)) независимы, каковы бы ни были λ$ ζ Λ, μ7· ζ Λ, λ^ Φ
Φ μ7· ни для каких ί, j,
2) Если случайные величины х и г/ независимы и суммируемы,
то 2£ri/ = ЕхЕу.
3) Если случайная величина χ не зависит от случайных величин
хи i = 1, . . ., /г, то 2? [я | яч, . . ., хп] = Ex.
Последовательность случайных величин (xn)n£N называется
полумартингалом, если для любого η имеет место соотношение
Ε lxn+i I #ь · .'·> #rJ ^ ^n почти везде.
Последовательность (^П)Д£^ случайных переменных называется
супермартингалом, если последовательность (—xn)n^N
представляет собой полумартингал.
Нам понадобятся следующие теоремы о полумартингалах [20]:
1) Если {χη)ης.Ν — полумартингал и sup Ε | хп | < оо, то (χη)ηζΝ
η
сходится почти наверное к случайной величине х0.
2) Если (χη)η£Ν — полумартингал, то для любых λ ζ R, η > 1
имеет место неравенство
λΡ {ω; min xj (ω) ^λ} ^Ex^ — Ε \ xn |.
§ 2. Типы устойчивости дискретных систем
со случайными параметрами
Пусть R1 — действительное /-мерное евклидово пространство,
X — совокупность /-мерных случайных векторов, Lv, 1 ^ ρ < оо,—
совокупность /-мерных случайных векторов с суммируемой р-ш.
степенью,
\\χ\\Ρ=($\χ(ω)\ρΡ(ά(ύ))ι/ρ, x6Lp,
Ω
58
Глава I
L°° — совокупность /-мерных случайных существенно ограниченных
векторов и
||я||оо= inf sup I я (ω) I, x£L°°.
A£K, P(A)=o (u£CA
Обозначим через S (Μ) шар в L°° радиуса Μ с центром в начале
координат, так что если χ £ S (Μ), το | χ (ω) | < Μ почти всюду в Ω.
Пусть fn: Rl Χ Ω -^ Rl — последовательность функций,
непрерывных по переменной χ £ Rl для любого ω ζ Ω и измеримых по
ω ζ Ω для любого χ 6 Rl-
Рассмотрим дискретную систему со случайными параметрами
^n+i = fn (Хп, ω), η > 1, ω ζ Ω. (Ι)
Если функция Xi (ω) измерима, то для любого η векторы хп (ω),
определяемые системой (I), будут случайными векторами. Для любых
п0 6 Лг и х0 £ Χ система (I) допускает единственное (с точностью
до эквивалентности) решение, для которого хПо = х0; обозначим
это решение через хп (п0, х0, ω). В дальнейшем будем предполагать
fn (О, ω) = 0 для всех η ^ 1, ω £ Ω. Тогда последовательность
хп (ω) = 0, η ^ 1, будет решением системы (I).
Пусть Jl· — некоторое множество в X.
1) Нулевое решение системы (I) называется устойчивым по
вероятности относительно Jl·, если для любых ε > О, η > 0, η0ζΝ
существует такое δ > О, что если х0 £ Jl· и Ρ {ω; | χ0 (ω) | ^ δ} < δ,
то Ρ {ω; Ι χη (n0, χ0', ω) | >> η} < ε для любого η ^rn0.
2) Нулевое решение системы (I) называется сильно устойчивым
по вероятности относительно Jl·, если для любых ε > 0, η > О,
^о 6 Лг существует такое δ > 0, что если х0 £ Jl· и Ρ {ω; | χ0 (ω) | >
> δ} < δ, то Ρ {ω; sup | χη (η0, χ0, ω) | > η} < ε.
n^no
3) Нулевое решение системы (I) называется устойчивым в V\
1 ^Ξ Ρ ^Ξ °°> относительно Jl·, если для любых ε > 0, п0 ζ Ν
существует такое δ > 0, что если х0 £ Л [\ Lv и \\xQ ||р < δ, то
|| хп (п0, х0, ω) ||р < ε для η > nQ.
4) Нулевое решение системы (I) называется соответственно
равномерно устойчивым по вероятности, равномерно сильно
устойчивым по вероятности, равномерно устойчивым в Lv, 1 ^ ρ ^ оо,
относительно Jl·, если в определениях 1), 2), 3) δ не зависит от п0.
5).Нулевое решение системы (I) называется притягивающим
почти наверное относительно Л, если lim хп (тг0, Xq\ ω) = 0
П->оо
почти всюду в Ω для любых п0 £ Ν, χ0 6 Jl·,
6) Нулевое решение системы (I) называется притягивающим
по вероятности относительно Jl·, если lim Р хп (п0, х0; ω) = 0
• п->оо
для любых п0 6 Ν, х0 6 Jl·, где через limP обозначен предел по ве-
П-»оо
роятности.
Приложение, § 3
59
7) Нулевое решение системы (I) называется притягивающим
е Lv, 1 ^/? ^ оо, относительно Л, если lim || хп (η0ι х0; ω) ||ρ =
П->оо
= 0 для любых п0 6 Ν, х0 6 Jk [\ ΖΛ
8) Нулевое решение системы (I) называется асимптотически
устойчивым по вероятности относительно Jk, если она устойчиво
и притягивающе по вероятности относительно Jk.
9) Нулевое решение системы называется асимптотически
устойчивым в 2>, 1 ^ ρ ^ оо, относительно Jk, если оно устойчиво и
притягивающе в Lv относительно Jk.
10) Нулевое решение называется равномерно асимптотически
устойчивым в среднем квадратичном относительно Л, если оно
равномерно устойчиво в L2 относительно Jk и если существуют такое
£о>0 и такое η(ε) £ Ν, что для любого ε>0 из || х0 ||2 < δ0 следует
|| хп (п0, х0; ω) ||2 < ε для любого η ^ п0 + η (ε).
Между определенными выше понятиями устойчивости имеют
место следующие соотношения:
а) Из сильной устойчивости по вероятности относительно Л
следует устойчивость по вероятности относительно Jk.
б) Если нулевое решение является притягивающим в L°°
относительно Jk, то оно притягивающе в L1 относительно Jk. Этот факт
немедленно следует из неравенства || χ ||ι ^ || χ ||οο.
в) Если нулевое решение является притягивающим в Lv, 1 ^
^/? ^ оо, относительно Jk, то оно притягивающе по вероятности
относительно Jk.
г) Если нулевое решение является притягивающим почти
наверное относительно Jk, то оно притягивающе по вероятности
относительно Jk. /
д) Если Jk — множество почти всюду постоянных векторов,
то из устойчивости в Lp, 1 ^ ρ ^ оо, относительно Jk следует
устойчивость по вероятности относительно Jk. (При доказательстве
используется то, что из равенства х0 (ω) = х0 почти всюду следует,
что || х0 (ω) ||оо < | я0 | = || х0 (ω) ||р = || х0 (ω) Id < \\х0 (ω) |μ,
ρ > 1, и из неравенства Ρ {ω; | χ0 (ω) | > δ} < δ следует, что
I Хо | < δ.
§ 3. Метод функций Ляпунова
Для дискретных систем со случайными параметрами метод
функций Ляпунова тесно связан с теорией супермартингалов. Такая
связь становится вполне понятной, если учесть, что в
детерминированном случае одним из существенных условий является
требование, чтобы функция Ляпунова убывала вдоль решений, и что
детерминистским аналогом супермартингалов являются монотонно
убывающие последовательности.
Идея использования супермартингалов для исследования
дискретных систем со случайными параметрами принадлежит Бьюси [9]
60 Глава 1
(см. также [53]). В дальнейшем α (г), Ъ (г), с (г) — функции с теми
же свойствами, что и в теории устойчивости для детерминированных
систем, a Vn — непрерывные функции на В1 со значениями в [0, оо),
Vn (0) = 0.
Теорема 1. Если а (| χ |) < Vn (χ) < b (| χ |), η ζ Ν, χ ζ Β1,
lim а (г) = оо и
Γ-+οο
Ε [Vn+l {xn+i (тг0, χ0; ω)) | Vn (хп (тг0, £0; ω), ..., F„5 (я0 (ω))] <
< Vn {хп {Щ, Хо, ω)) — у (хп (щ, я0; ω))
/г/?гг 72 ^ тг0, £0 6 «?#» EVno (х0 (ω)) << оо, где у — непрерывная
функция, у (0) = 0, у (х) > 0 при χ Φ 0, то нулевое решение системы (I)
является притягивающим почти наверное относительно Л,
Доказательство. Пусть ζη (ω) = Vn {хп (η0ι χ0; ω)).
Приведенное в теореме неравенство показывает, что (ζη)η>>ηο является
супермартингалом. Так как Εζη (ω) ^ EVno {х0 (ω)) << оо при любом
η ^ п0, то по теореме о сходимости полумартингалов существуют
такие ζ (ω) и А £ Ω, Ρ (А) = 1, что ζη (ω) = ζ (ω) для любого ω £ Α.
Имеем
Ζ?ζΛ + ι < Εζη — Еу (χη (ηο, Χο, ω)), η > η0.
Значит,
η η
2 {Ezi+i — Ezt) < — Σ £γ (*ί К, ^о; ω)).
Следовательно,
η
2 #γ (ж,- (щ, χ0; ω)) < £ζ„ο — Ezn+i < #ζΛο < οο.
Таким образом,
оо
2 #γ (я* (л0, ^0; ω)) < оо
i = n0
и
lim Еу (хп (щ, х0; ω)) = 0,
откуда
limP γ (χη (η0, χ0; ω)) = 0.
Согласно теореме Рисса, существует такая подпоследовательность
натуральных чисел nt и такое множество В cz Ω, Ρ (Β) = 1, что
lim γ (хщ (щ, х0; со)) = 0, ω 6 В.
i->oo
Приложение, § 3 61
Предположим, что существует такое ω0 6 А (]В, что ζ (ω0) > 0.
Из неравенства ζη. (ω) ^ Ъ (| хп. (п0, χ ο; ω)|) вытекает, что
lim | хп. (п0, х0; ω) | ^ Ъ'1 {ζ (ω0)) > 0. Следовательно, у
последовательности Πι найдется такая подпоследовательность (которую
мы обозначим по-прежнему через nt), для которой
lim хп. (η0ι χ0; ω) = χι, Χ\ £ Rl, %ι Φ 0. Но у (χί) > 0,
и lim (χη.,ηοι χοΊ ω)) = 0. Мы пришли к противоречию. Следова-
г->оо (
тельно, ζ (ω) = 0 почти всюду. Из неравенства | хп (η0ι χ0; ω) | ^
^ а~г (ζη (ω)) следует, что lim хп (п0, х0; ω) = 0 почти всюду.
П->оо
Теорема 2. Если а (| χ |) ^ Vn (χ), η £ Ν, χ ζ RL и
EVn + i (χη+ί (η0, χ0; ω)) < EVn (xn (η0, χ0; ω))
для любых η ^ η0, Χο ζ S (Μ), то нулевое решение системы
устойчиво по вероятности относительно S (М).
Доказательство. Пусть х0 £ S (Μ). Из приведенного
в теореме неравенства следует, что в тех же обозначениях, что и
выше, Εζη (ω) 4Ξ EVno (χο (ω)) для η ^ п0. Так как функция Vno
непрерывна, Vno (0) = 0, Vno (χ) > 0 для χ Φ 0, то существует такая
непрерывная возрастающая функция ЬПо (г), что Vno {χ) ^ ЬПо (| χ |)
для любого х, значит, Εζη (ω) ^ ЕЬПо (| х0 (ω)|). Пусть ε > 0,
η > 0 и δ > 0 таковы, что
α (η)
Ап = {ω; |а:„ (га0, ΧοΊ ω) | > η}.
Если Ρ {Α) < δ, το
Eb0 (| *0 (ω) |) = $ ЬПо (Ι χ0 (ω) |) Ρ (ώω) + $ b„0 (| .r0 (ω) |) Ρ (άω) <
А СА
< 6,10 (Μ) Ρ (Α) + 6„0 (δ) < ЬПо (Μ) δ + ЪПо (δ).
Имеем
Ρ (^) α (η) < J ζΛ (ω) Ρ (άω) < Ζ?ζ„ (ω) < b7lQ (Μ) δ + ЬПо (δ),
Ад
значит, Ρ (Αη) < ε, и теорема доказана.
Приведенное выше доказательство показывает, что если
дополнительно Vn (χ) ^ Ъ (| χ |), то устойчивость равномерна.
Теорема 3. Если а (| χ |) ^ Vn (χ), η £ Ν, χ £ Rl, и
последовательность Vn (хп (п0, х0; ω)), η ^ п0, является
супермартингалом для любого х0 £ S (Μ), то нулевое решение системы сильно
устойчиво по вероятности относительно S (М).
62
Глава I
Доказательство. Пусть х0 £ S (Μ). В тех же
обозначениях (ζη ((^))п^п0 является супермартингалом, значит, Εζη (ω) ^
< EVno (χο (ω)) для η > п0. Как и выше, Vno (χ) ^ ЬПо (\ χ |). Пусть
ε >> О, η >0 и δ >0 таковы, что
ЬПо{М)6 + Ьпо(6) ε
— < —» Λ = {ω, \хо((о)\>о),
α (η) 2
J? = {ω; sup I xn (n0, x0; ω) j > η} = {ω; sup a (| £д (тг0, яь; ω) |) > α (η)},
n^no п^п0
Если Ρ (Л) < δ, то
£Fno («о (ω)) < ЕЪПо (| *0 (ω) |) (Ьщ (М) б + ЬПо (δ)).
Так как последовательность {ζη)η^ηο — супермартингал, то
α (η) Ρ {$η) < ЯКПо(ж0(<о)) + Ε\ζη (ω) |, Λ„ = {ω; max ζη (ω) > α (η)}.
Последовательность множеств Sn расширяющаяся. Пусть S =
σο
= lim 5n = U Sn. В силу последнего неравенства α (η) Ρ (*S) ^
П-»оо П=П0
< 2£6По (| x0 (ω)|). Так как В cz S, το α (η) Ρ (Β) ^ 2 [ЬПо (Μ) δ +
+ ^до (^)Ь а> значит, Ρ (J?) < ε, и теорема доказана.
Из доказательства следует, что если дополнительно Vn (χ) ^
^ Ъ ( ] χ | ), то устойчивость является равномерной.
Теорема 4. Если
EVn + i (xn+i (ло, ^0; ω)) < £Ύ„ (жп (тг0, я0; ω)) —
— Яс ( | яп (тг0, *οί ω) | )
для η ^ η0, χ0 ζ Jh, EVno (χο (ω)) <С оо, то нулевое решение
является притягивающим-почти наверное относительно Л {] {χ £ Χ;
Ενηο(χ(ω))<οο}.
Доказательство. Из предположения теоремы следует,
что в тех же обозначениях, что и выше,
п— 1 л — 1
2 Ε (zi+l — Z/) < — 2 #с (I xt {n0, x0; ω) |),
значит,
и-1
2 #c (I ^ (л0, x0; ω) |) < #z„0 (ω) — Ezn (ω) ^ Εζηο (ω)< оо.
г=?г0
ею
Следовательно, ряд 2 ^с (Ι χί (^о> #ol ω) |) сходится. По лемме
г=п0
оо
Фату ряд 2 с {\ χί (ηο, #о5 ω) |) сходится почти всюду. Сле-
г=тг0
Приложение, § 3 63
довательно, lim с (\ хп (п0, х0; ω) |) = 0 почти всюду, откуда
lim | хп (п0, х0; ω) | = 0 почти всюду. Теорема доказана.
П-*оо
Теорема 5. Если в дополнение к условиям предыдущей
теоремы β | χ \р ^ Vn (χ) ^ Ъ (| χ |), β > 1, ρ > 1, πιο нулевое решение
является притягивающим почти наверное и в L1 относительно
Jb П {%еХ; ЕЪ (\х (ω) |)< оо}.
Доказательство. Нам надо показать лишь, что нулевое
решение является притягивающим b.L1. По предположению
последовательность Εζη (ω) убывающая.
Из неравенства
Е\хп{п0, х0; ω)\ρ ^—Εζη{ω), л>тг0,
Ρ
следует, что
1
sup ΕI хп (тг0, х0; ω) |р < — ЕЪ (| х0 (ω) j) < оо.
п^п0 ρ
Так как р>1 и lim \хп(щ, χο\ ω) | = 0, то почти всюду
П->оо
lim ||жл(7г0, ar0; со) Id = 0.
Теорема доказана.
Теорема 6. Если в условиях s теоремы 4 с Jb = 5 (Μ) имеем
дополнительно а (\ χ \) ^. Vn (х), то нулевое решение является
асимптотически устойчивым по вероятности, относительно S (М).
Доказательство. Это немедленно следует из теорем 2 и 4.
Теорема 7. Если а \ χ |2 < Vn (χ) < β | χ |2, α > 0, β > 0, и
EVn+i {xn+i {n0, x0; ω)) < EVn (xn {n0, x0; ω))
при η > n0, x0 6 L2, || x0 ||2 < #,
mo нулевое решение равномерно устойчиво в L2 относительно шара
II χ ||2 < Я.
Доказательство. Пусть ε > 0, δ (ε) = Τ/ „■ ε,
||*ο (ω) |β<δ2(8). Тогда
1
II *η (Щ, χο, ω) \\1 < — £Ύ„ (жл (тг0, ж0; ω)) <
<^^0(Ι^ο(ω)ΙΧ^||^ο(ω)ϋ<^δ2(ε) = ε2.
ОС ОС ОС
64 Глава I
Теорема 8. Если в условиях предыдущей теоремы
дополнительно
EVn+i (xn+i (п0, х0; ω)) ^ EVn (хп (п0, х0; ω)) —
— уЕ | хп (п0, х0\ ω) |2, у > О, || х0 (ω) ||2 < Я,
то нулевое решение системы (I) является равномерно
асимптотически устойчивым в среднем квадратическом.
Доказательство. Пусть
*(ε)>-^, ΙΙ*ο(ω)||2<δο, δ0= Vf-tf.
γαε" ρ
Существует такое п0 < щ < п0 + η (ε), что || χηι {η0, χ0; ω) ||2 <
/а
> 1/^-8. Отсюда, как и выше, следует, что || хп (п0, Xq\ ω) || << ε
при η ^ щ, значит, тем более при η ^ п0 + η (ε). Если для любого
п0 ^ η ^ п0 + η (ε) мы имели бы || хп (п0, х0; ω) ||2 ^ 1/ α" ε> το
из приведенного в теореме неравенства следовало бы, что
η о+ η (ε) η ρ+η(ε)
П = П(у 71 —TIq
η ο+η(ε)
= — У \ \\хп(по, х0; ω)||< — «(ε)γ^-ε2,
откуда
^ηο+η(ε)+1<^ηο(^0(ω))-«(ε)γ-^ε2<βδ0-η(ε)^ε2<0,
что невозможно.
Примеры, а) Рассмотрим систему
%п + 1 == ^п^п "Τ" Ρπ£/η> /ТТ\
г/n + i = Υη^η + δηϊ/η;
где αη, βη, уп, δη — независимые случайные величины, для которых
Ё (ап$п-\-уп6п) = 0. Пусть Л — множество двумерных векторов
I I , обладающих тем свойством, что случайные величины
\Уо (ω)/
^ο(ω), г/о (ω), αη (ω), βη (ω), γη (ω), δη (ω) независимы. Пусть
Библиографические замечания
65
V (χ, у) = х2 + г/2. Имеем
Ε[χη + ί + */n + l I XU У\ч · · ·» ^η>^/η] =
= a£#[a*+Yn|s1, г/ь ·, **, ί/η] +
] +
+ 2хпупЕ[ап$п + γηδη | xtyl9 . . ., яп, г/п].
Если Ε (al + β£) < 1, Ε (β£ + δ*) < 1, το
^[^η + 1 + Уп + l Ι #1» */ΐ> · · ·» #7i> i/nj^^n + ί/η>
значит,
#[Τ(^η + 1, */η + ΐ)ί ^1> */l)> ···» V(xn,yn)] =
= E[E[Xn+i + yl+i\xl,yi, ..., ^l/nll^fel/i), · ·, V(xn,yn)]^
^Е[х2п + у2п\У{хиу1), ..., У(яп, i/n)]=V(sn, yn),
и, согласно теореме З, нулевое решение системы является сильно
равномерно устойчивым по вероятности относительно Л [\S (M),
а из теоремы 7 следует равномерная устойчивость в L2 относительно
б) Рассмотрим систему
%n+l ==: ^пхп T~ гпУп·)
1 —х\
где αη, β„, γη, δη, «^ те же, что и в а). Предположим дополнительно,
что Ε (с4 + γ») < 1/2, Ε (β* + 6Л) < 1/2, £δ^ > α > 0, £αηβη = О,
Еуп8п = 0. Выбрав V так же, как и в примере а), получим
E[Vn+l(xn+i, yn+i)\ V{xu yi), ..., V{xn,yn)]^
< V(xn, yn) - 4a -Х|4г2 - 4 ~ У*»·
\1 T~ "^71/
По теореме 1 нулевое решение является притягивающим почти
наверное относительно Jt.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Общие сведения о дискретных системах, в частности о линейных системах
с постоянными коэффициентами, можно найти в [24], [25]; из литературы
последних лет укажем [8], [41], [5]. Впервые функция Ляпунова в теории устойчивости
дискретных систем была использована в работах [27], [42]. Предложения 2 и 3
из § 3 получены в [32]. Результаты этой работы были обобщены и уточнены
Драйвером [21]. В изложении предложения 4 из § 3 и примеров мы следовали [39].
Относительно других результатов теории устойчивости дискретных систем
см. [10], [70], [58], [44], [72], [86], [87]. Относительно проблемы абсолютной
устойчивости, кроме книги В. М. Попова [61], см. [81], [85], [84], [75], [76],
[77], [78], [34].
Г л а в" а II
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ
РЕШЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ
§ 1. Линейные системы с периодическими коэффициентами
1. Рассмотрим систему
где последовательность Ап периодична: Αη + Ν = Ап, а матрицы Ап
неособые.
Обозначим через Хп матрицу Хп,0, определенную в § 2 гл. I,
т. е. матрицу решений системы, удовлетворяющую условию Х0 = Е.
Положим далее X N = U. Собственные значения матрицы U
назовем мультипликаторами системы.
Очевидно, Χη + Ν+ι = An + NXn + N = AnXn + N, значит, Xn + N
является решением системы, и так как при η = О это решение
совпадает с U, то Xn + N =- XnU-
Пусть ρ — некоторый мультипликатор системы, и —
соответствующий собственный вектор. Имеем Uv = ри и Xn + Nv — XnUv =
= Χηρν — ρΧην'·> отсюда следует, что решение, которое при η = О
совпадает с и, обладает свойством χη + Ν — рхп. Обратно, если хп —
решение, для которого xu + n = 9хп, то, в частности, xN = рх0
и, значит, Χ Νχ0 ~ р#о» или Ux0 = рх0, так что ρ — некоторое
собственное значение матрицы U. Этим оправдано название
«.мультипликаторы».
Пусть ρ — некоторый мультипликатор. Рассмотрим набор
векторов еи е2, · · ·, es из канонического базиса, соответствующего
матрице U, отвечающий собственному значению р.
Имеем Uet — реь Ue2 = ре2 + еи . . ., Uek = pek + ek-l.
Обозначая через хп (и) решение, которое при η = О совпадает с и,
замечаем, что xn + N (<?,·) = рХп (<?j) + xn (ej-i)i 7=2, . . ., к.
Действительно, xn + N (ej) является решением системы, в правой части
равенства стоит линейная комбинация решений, т. е. также решение
системы, и оба эти решения совпадают при η = О, ибо
xN (<?,·) - XNej = Uej = pej + eS-t.
η
Исследуем структуру решений хп (*,·). Имеем хп {ev) = pNpn,
η
Ρη + Ν = Ρηο· Действительно, рп = ρ Νχη (<?ι), значит,
n+,V η п_
Ρη+Ν = Ρ Ν */ι+Λγ(*ι) = Ρ Ν Р^/гЫ = Р NZn(ei)=Pn·
§ ι
67
-- Μ
Далее, пусть qn = ρ Νχη (e2) — -^- ρη. Тогда
-£±2" rc + N -— -ι
YVp
л 1 -— 1 ~—
— —- Ρη Ρη = 9 Ν*η{*2)-\ Ρ Νχη(Ζΐ) —
Νρ ρ ρ
__η_ _J_ _
,r Ρη Ρη — Qn·)
Νρ ρ
а, значит
, %η Ы = Ρ^ί 0η + y^Pn J , где qn — периодическая
последовательность.
Пусть
Тогда
s»+iv = Ρ w Яп+лг (<?з) — „,,Γ .2 Ρη —?n + 2 Ρη =
2(N9Y
ρ ffp (ρ^η (<?3) + ж„ (е2))
ρΛ' 2ρζ#
η2 + 2ηΝ + Λ'2 _ /г + iV
ρΝ
2ΝΥ
Ρη
4η +
η + Ν
1
+W^=P w*BW + 7iB+VPn~WPn_
тг 1 тг -^ι72!^
Νρ2 2р2 pTV p 2p27V 2p2
= Ρ Ν %η (<?з)
η η η
2(ΛΓρ)2*" РДГ" ' 2p27V*
откуда
^η (<?з) = ΡJ
ft2 . η (ί 1 \ f
m2Pn+^\7qn~^Pn)+Sn
ΐ2(Νρ)*Λ" ' Ν \ρ *" 2ρ2
где sn — периодическая последовательность.
68 Глава II
Предположим, что
η
где р^ — периодические последовательности, и покажем, что
η
*п (ej) = 9N [n*-^ + nj~2q2n + . . . + дЦ
где q\ — также периодические последовательности* Имеем
Хп+к (ej) =ιΡ Ν [(" + #/~V»+w + (и + A0J_2^+W + · · · + qi+N] =
П
= pxn (ej) + xn (ej-ι) = 9PN [га'~У„ + n}~2q2n + ... + q{] +
+ p"Mn'-yn + n,_Vn +... +ΡΓ1]·
Следовательно,
ρ [(га'"1 + CUn'^N + . ·. + Л^1) ?'„+* +
+ (п>-2 + С} V~W + · · · + Ν''2) q2n+N + ...
. .. + n^+V + N(f~+N + ^П+ЛГ] =
= ρ (n3~Vn + ^"V* + · · · + a) + nj-yn + «^Vn +. · · +р{~\
откуда
Ρ [«'"Va-ftf + Cj V~W*+tf + · · · + ^"Vn + ЛГ +
+ n'"V„+.v + Cj V~ W»+» + · · · + ^-Υη+π + · · ·
• · · + Vu+V + Wn~+N + gi+iv] =
= ρ [n^Wn + n}-2ql + ...+Α] + п}~Уп + n}-yn + ... +рГ'·
Возьмем
p[N}-Wn + N'-2& + ■■■ +Nqi-i] = pin-\
ρ [(/ - 1) ΛΓ^V„ + (/ - 2) N}-3q2n + ... + 2д{-2] = p*"2,
p{i-i)Nq\=pi.
Из этих соотношений qb, . . ., q^i определяются шаг за шагом
После такого выбора написанное выше равенство приводит к соот
ношению qn+N = Я^-
§ ι
69
Таким образом, мы выяснили структуру решений линейных
периодических систем. Такая система допускает систему линейно
независимых решений (соответствующую начальным условиям, задаваемым
векторами канонического базиса, соответствующего матрице U)
вида
η
Хп = р? [„>-уп· * + ηΐ-2ύ2 + · · · + mi: '-1 + й Ч').
Можно прийти к тому же заключению, показав, что линейная
система с периодическими коэффициентами, для которой матрица Ап
является неособой, приводима в смысле Ляпунова, т. е. что
существует такая периодическая неособая матрица Рп, что если уп =
= Рпхп, то уп удовлетворяют системе уравнений с постоянными
коэффициентами уп + \ = Вуп. Так как матрицы Ап неособые, то
1
и матрица U неособая; следовательно, существует V = -тт In U, так
что U = eVN. Возьмем В = ev. Тогда U = BN, и мы получаем
соотношение Хп = QnBn, где Qn — периодическая матрица.
Действительно, Qn = ХпВ~п и, значит,
Qn+N = Хп+nB n=XnUB В п = ХпВ n = Qn.
Положим Рп = Qu1 и уп = Рпхп. Имеем Yn = РпХп, ибо из 10 =
= Q0B° следует Q0 = Х0 = Е, а, значит, Р0 = Е. Следовательно,
Yn + i = Pn + iXn + i = Pn + iQn + iBn+\ а потому Yn + 1 = Βη+1 = ВВп =
= ΒΥη.
Из уп = Yny0 вытекает, что yn + i = Yn + iVo = BYny0 = ВуП1
откуда видно, что рассмотренное преобразование действительно
переводит данную систему в систему с постоянными коэффициентами.
Если для этой системы рассмотреть решения, начальными условиями
которых являются векторы канонического базиса, отвечающего
матрице В, то соответствующие решения данной системы будут иметь
указанный выше вид.
Из структуры решений или из теоремы приводимости вытекают
простые условия устойчивости для линейных периодических систем.
Предложение 1. Если собственные значения матрицы U
лежат внутри круга радиуса 1, то все решения системы стремятся
к нулю при η —>■ оо (нулевое решение является равномерно
асимптотически устойчивым)^ если собственные значения матрицы U лежат
внутри единичного круга или на его границе, причем собственным
значениям, расположенным на границе, соответствуют простые
элементарные делители, то решения системы ограничены при η ^ 0;
если имеется хотя бы одно собственное значение в единичном круге
г) В случае ρ = 0 соотношение xn + N (ej) = pxn (ej) + xn(ej-i) переходит
в xn+N (ej) = хп {ej-\)· Решение хп (е{) обладает свойством xn + N (e\) = 0; вообще
xn+jN (ej) — 0· Следовательно, решения, соответствующие нулевому
мультипликатору, обращаются в нуль после конечного числа шагов.
70
Глава II
с кратными элементарными делителями или хотя бы одно
собственное значение, лежащее вне единичного круга, то существуют
неограниченные решения.
Это предложение справедливо и без предположения
невырожденности матриц Ап. Действительно, из соотношения Xn + N = XnU,
которое имеет место в силу одной периодичности системы, вытекает,
что Xn+jN = XnU\ и, значит, поведение Хп определяется
поведением U\ откуда немедленно следуют утверждения предложения.
2. Используя изложенные выше общие соображения, получим
некоторые простые условия устойчивости в случае линейных
периодических систем.
Теорема. Рассмотрим систему χη + ι = Апхп, где
последовательность матриц Ап периодична с периодом N; если существует
такая постоянная матрица С со спектром, расположенным внутри
JV-1
единичного круга, что величина 2 I А к — С \ достаточно мала,
то нулевое решение системы является равномерно асимптотически
устойчивым.
Доказательство. Имеем χη + ι = Схп + (Ап — С) хп.
Из формулы вариации постоянных следует, что хп = Спх0 +
η
+ 2 Cn~h (Ak-i — С) xk~\. В силу ограничений, наложенных
на матрицу С, \ Сп | ^ Lqn, 0 < q < 1, откуда
| хп \ < Lqn + L J] qn~k \ Λ-ι -C\\ *Л_4 |.
k = l
Полагая ип = q~n \ Хп |, получаем неравенство
η
и„<£Н / .\Ah_i—C\uh-i.
= 1
Следовательно,
а, значит,
«„<L Π (ΐ + -ΙΛ-£|),
fe=0
ri-l
\Xn\^LqnY](l + j\Ak-C\y
k=0
§ 1 71
Далее,
ΙΝ-ί N-l
Ho
N-l
N-l LI ^
Π/ r V ~T иЬ I ^fe-cl
Поэтому
AT—1
X;jv|<Lexp(iVln(?+ — Пм*-С|) =
N-l
= Lexp\Nlnq + — \|Л-С|1/.
2 м*
N-l
i\i ι
Если — >, I -4ь — С I < TV In — , то для достаточно больших Ζ
? ZJ 2
имеем I Хш | < 1, и спектр матрицы XZJV лежит внутри
единичного круга. Поскольку XiN = Хдг, то и спектр матрицы U = ΧΝ
находится внутри единичного круга, и теорема доказана.
Ограничение, наложенное на матрицу Ап, можно записать в виде
ту—ι
±.У\Ак-С\<±1п1-.
Ν ΔΔ L а
/г=0
Заметим, что, отказавшись от периодичности, можно
получить экспоненциальную устойчивость, если предположить, что
сю
2 \ Ak — С | < оо. Действительно, в этом случае произведение
ь=о
IT 11+ — \ Ak — С I I сходится и из оценки, полученной для
л=о V q )
| Хп |, вытекает экспоненциальная устойчивость. Условие
периодичности позволяет существенно ослабить требования; между про-
оо
чим, если матрица Ап периодична, то ряд ^ \ Ак — С не может
сходиться, ибо последовательность Ак — С может стремиться к нулю
лишь в том случае, когда все ее члены равны нулю.
Сформулируем условие равномерной устойчивости для каждого
целого η применительно к случаю канонических систем.
72
Глава II
Предложение 2. Пусть Вп — периодическая
последовательность обратимых матриц, такая, что собственные значения
матрицы V = ΥΝ (где Yn — фундаментальная матрица системы
уп + 1 = Впуп) лежат β единичном круге и различны. Пусть Ап —
периодическая последовательность матриц, такая, что матрица
U — Χ Ν (где Хп — фундаментальная матрица системы хп+\ =
= Апхп) имеет сопряженное характеристическое уравнение. Если
Ν-1
сумма 2 \Ak —Bk I достаточно мала, то решения системы
и= о
xn + i = Апхп ограничены при всех п.
Доказательство. Используя формулу вариации
постоянных, находим
η
Хп = Υ η + 2-1 ^, k (Ak-i — Bk-i) Xk-u
k = l
Если матрицы Вп обратимы, то и матрицы Yk обратимы, и в силу
равенства Yn = Yn,kYk имеем ΥηΛ = YnY^, откуда
η
Χη = Υη[Ε + ^Yk (Ak-i—Bk-i)Xk-i]f
k = l
η
Xn — Υ η = 2 YnYk (Ak-i — Bk-i) (Xk-i — ^fe-i) +
k = l
+ 2 YnYk (Ak-i —Bk-i) Yk-i·
k = l
Из ограничений, наложенных на спектр матрицы V, следует, что
k_
Yh и Yu1 ограничены; действительно, Yk = QuYN » гДе матрица Qk
периодична и, значит, ограничена, а собственные значения матрицы
L
V N лежат в единичном круге и различны. Следовательно,
\χη-γη\*ζΜ1 2Мы-гм1 +
k = l
+ М2 |] | 4ft_, - Bk_x 11 IVi - Yh-ι I,
/ι=1
откуда
\Xn-Yn\<Mx 21 Ak-i ~Bk-, Ι \] (1 + M2\Ak-i -Вы ]),
k = l k=l
N N~l I
§ 1
73
Последнее показывает, что если сумма ^] | Ak-i — Bk-\ | доста-
точно мала, то матрицы U и V отличаются друг от друга сколь
угодно мало. Используя обычные рассуждения с учетом того факта,
что характеристическое уравнение матрицы U является
сопряженным, получаем, что собственные значения матрицы U расположены
в единичном круге и различны, чем и доказано наше предложение.
В качестве приложения этого предложения покажем, что для
уравнения
Уп + ι = (А + гРп) Уп — У η-и
где матрицы А и Рп симметричны, последовательность Рп
периодична, а собственные значения матрицы А лежат в круге | λ | < 2
и различны, все решения ограничены для достаточно малых | ε |.
Действительно, запишем это уравнение в виде системы
^д + i = Уп, Уп+i = — хп + (А + εΡη) уп.
Эта система каноническая. Она получается в результате малого
возмущения канонической системы с постоянными коэффициентами
χη+ί = Уп, Уп + i = хп \~ Ауп.
( ° Е\
Матрица этой системы Μ = I „ . I имеет характеристическое
уравнение
которое может быть записано в виде
или
А*
или
deti-4 —П, + -Мя) = 0.
О,
Следовательно, если λ — собственное значение для М, то μ —-
1
= λ + -г собственное значение для А. Поэтому λ2 — μλ + 1 — О,
74
Глава II
и поскольку | μ | -< 2, то собственные значения Кк матрицы Μ
различны и расположены в единичном круге. Тот факт, что
характеристические уравнения являются сопряженными, следует из свойств
симплектичности.
3. Рассмотрим систему вида
хп + 1 = Апхп ~\~ Лг + Ь \Ч
где последовательности Ап и /п периодичны с периодом Ν, и
исследуем условия, при которых эта система допускает периодические
решения с периодом N.
Решение хп периодично с периодом N тогда и только тогда, когда
xN = х0. Используя формулу вариации постоянных, получаем
N
XN = Χ Ν^ 0Х0 -j- 2j -Χ- η, ktk'
k=l J
Значит, для того чтобы решение было периодическим, необходимо
и достаточно, чтобы выполнялось условие
(E-U)x0= %XNtkfh. (2)
Отсюда немедленно вытекают следующие утверждения:
а) Если система χη + ι = Лпхп не имеет других периодических
решений с периодом N, кроме тривиального, то для любой
периодической последовательности fn с периодом N неоднородная система (1)
допускает единственное периодическое решение с периодом N.
б) Если система (1) допускает периодическое решение с периодом
N, то для любой периодической последовательности fn с периодом N
соответствующая однородная система не имеет других
периодических решений с периодом N, кроме нулевого.
Для доказательства утверждения б) достаточно показать, что
для любого вектора и можно выбрать последовательность fk так,
N
чтобы 2j ^N,kfk — и- Но для этого достаточно положить fN = и,
fk == 0 'для к = 1, 2, . . ., N — 1.
Требование, чтобы однородная система не имела периодических
решений с периодом N, эквивалентно условию det (Ε — U) Φ 0,
которое равносильно условию, что у системы нет мультипликаторов,
равных 1. Если это требование выполняется, то начальное условие
для периодического решения задается соотношением
х0 = (Е- иу1 2 xNt kfk = 2 (Е - иГ1 xn, kfk-
k=l k = l
§ ι
75
Отсюда следует, что периодическое решение может быть записано
в виде
η Ν η
%п = %п, 0^0 + 2j Xn, kfk = Хп, 0 2j № — ^) ^Л", А А + 2 Хпь bfk =
fc=l fc=l ft=i
iV η iV
= Σ^,οΟ^ — U) XN,kfk-l· *Σι Xn,kfk= ^Gn,kfk>
где
Gn, к = χη, ο (# — XNt o)_1 ^iv, л + Χ η, к Для А < и,
Gn.k = Xn,o(E — Xn,o)Xn, к Для rc</c<7V.
Из этой формулы видно, что для единственного периодического
решения справедливы оценки вида | хп \4^.М sup | /Л | или | хп | ■<
η
^Л^ Σ I /л I, где постоянные Μ и Μ зависят лишь от однородной
части системы.
Если однородная система допускает периодические решения
с периодом TV, то начальные условия для этих решений
удовлетворяют системе
(Е - U) х0 = 0.
Если эта система допускает к независимых решений, то матрица
Ε — U имеет ранг т — к, значит, система w (Ε — U) = 0 также
допускает к независимых решений.
Заметим, что U = ΧΝ,ο = Υ о, дм и> следовательно, равенство
w (Е — U) = 0 можно записать в виде w = wY0i N.
Последовательность уп = wYn, N представляет собой решение сопряженной
системы, удовлетворяющее условию уN = w. Действительно,
Уп-1 = WYji-1, N = WYji, N^-n-l = УпАп-1.
Если w удовлетворяет условию w = wY0, N, то решение уп
удовлетворяет соотношению у0 = yN, т. е. является периодическим,
и обратно. Таким образом,
I в) Система хп + \ = Апхп и сопряженная система уп_\ = упАп-\
имеют одинаковое число независимых решений.
Пусть уп — некоторое периодическое решение сопряженной
системы уп-\ =: Уп^п-ι и хп — некоторое решение системы (1).
Тогда
Уп + iXn + i = Уп + l (АпХп + fn + l) = Уп + 1АпХп + yn + ifn + \ =
= Упхп + Уп + ifn + l,
откуда
Уп + lXn + l — yn^n = yn-{-ifn-{-l-
76
Глава II
Суммируя эти равенства для η = О, . . ., N — 1, получаем
N
yNxN — у0х0 = 2 ykfk- (3)
k = l
Так как решение уп по предположению периодично, то уN = г/о?
и полученное соотношение можно переписать в виде
N
yN (xN — х0) = 2j ykfk'
k = l
Отсюда непосредственно следует такой результат:
г) Если система (1) допускает периодические решения, то
2ifc/ft = o (4)
для любого периодического решения уп сопряженной системы.
Пусть соотношение (4) выполнено для любого периодического
решения сопряженной системы. Тогда
N
W [ΧΝ, 0*0 — *0 + 2 XN, bfk ] = °
для любого решения г# системы w (Ε — ί7) = 0. Следовательно,
для любого w, удовлетворяющего условию w = wXN 0, имеет
N
место равенство w ^] X N kfk = 0. Это означает, что система
fe=l
г#(2? — Χ ν, о) = 0 и система, полученная из нее добавлением урав-
нения w ^>) XN kfk = 0, имеют одинаковое количество независи-
й=1
мых решений, а, значит, матрица Ε — XNf 0 и матрица, полученная
N
добавлением к ней столбца 2 XN,kfki имеют один и тот же ранг.
k=l
Следовательно, система (2) допускает решения, т. е. существуют
периодические решения системы (1).
Таким образом,
д) Если для любого периодического решения сопряженной системы
выполнено условие (4), то система (1) имеет периодические решения.
Предложение 3. Если система (1) не имеет периодических
решений с периодом N, то lim | хп (п0, и) \ — оо равномерно отно-
сителъно \ и \ ^ γ.
Доказательство. Если система (1) не имеет
периодических решений с периодом Ν, то существует периодическое реше_
§ ι
77
ние уп с периодом N сопряженной системы, такое, что
N
Σ Ук1к = \ь Φ®-
k=l
Имеем
π, + iV π,+iV η
Vn+Nxn+N Упхп = 2j УЪ-fh = Σ ^fe/^ — Σ Vhfk =
fe = ft + l /i=i ft = i
iV д + iV л
= Σ ί/л/л + Σ ί/ft/ft — Σ i/ftA =
Ν η η Ν
= Σ #&/& + Σ Vh + Nfh+N — Σ Ук/к = Σ Vhfk·
k=l k=i k = l k=i
Отсюда, учитывая, что уп — периодическое решение, получаем
N
У η (Χη+Ν — хп) = Σ У^Ь = Ι1'
Но вместе с хп решением системы (1) является и xn+jN, так что
Уп(хп+и+1№—#^+/]ν) = μ> 7 = 0, 1, 2, ...,/? — 1.
Складывая эти соотношения, заключаем, что
Уп \xn+pN хп) ~ РМ"
Значит, νηχη+ΡΝ = νηχη + ρμ, откуда \упхп+Рм \>Ρ \ μ \—\Упхп \-
Но | νηχη+νΝ \^\уп \\ χη+ΡΝ I, так что
\Уп\\ χη+νΝ I >р Ι μ I — I Упхп I > ρ Ι μ Ι — I yn Ι \χη I,
откуда следует, что
I xu+pn I <^-~; ; I #n I·
Среди г/д нет ни одного нулевого вектора, ибо эта
последовательность является периодическим решением однородной системы и не
равна тождественно нулю. Положим μ = inf ^' . Тогда
η \Уп\
\xti+i>n\ ^ ρμ— \ χη Ι· Рассмотрим теперь любое п^п0. Можно
написать /г = ρΝ + гс0 + к, 1 ^ к ^ Ν; значит, | хп \ =
= | xno+h+pN | > ρμ — I XnQ+k |. Ho XnQ+k = Xn0+k,jiQxn0, и если
Ι χη0\ < γ, то I хПо+к I < -Μγ, так что \ хп | > ρμ — Л/γ. Если
^ >—4J , т. е. если и > 1 +-дтЧ Ц^ , то
iV μ iV μ
Ι #Λ | > Ь. Этим и доказано, что Hm | хп \ = оо равномерно по
П->оо
I #п0 I < γ.
78
Глава II
§ 2. Линейные системы
с почти-периодическими коэффициентами
1. Рассмотрим систему
хп + 1 = Апхп + Λι + Ь (1)
где последовательности Ап и fn являются почти-периодическими*
Лемма 1. Если нулевое решение однородной системы хп+\ =
= Апхп является равномерно асимптотически устойчивым (т. е.
| Xnj | ^ Lqn~\ 0 < q < 1), пго для любых а > 0 гг η > 0
существует такое εη, α, чпго ес/ш ρ является некоторым εη, а-почти-периодом
для Ап, то | X„+jP, ^+jP — ΧΛ| ft | < η (q + a)n~k при η > к.
Доказательство. Пусть Ζη = X^+j?, /г+j? — Хп, ft· Тогда
^?г + 1 = Xn + p + i, k+p — Xn + i,k = An + pXn + p,h + P —
A n^ n, ft — A n%n г (^ n + p A n) X n + p, к + р·
Из формулы вариации постоянных вытекает, что
η
%п= 2j Xn,j(Aj+p-i — ^j-l)^j+p-l,h + pi П^к-j-i.
J=h + l
По предположению | Xn, j | ^ Lqn~J; поэтому
|Zn|<sup|^+/)-^| 2 LV"V~1_ft =
7 7=ft + l
= L2 (n - k) qn-k-1 sup I AJ+P - A, |.
J
Если /) является εη, а-почти-периодом, то
\Zn\<er),aL2(n-k)gn-k-1
и выбор εη,α определяется неравенством
Осуществимость такого выбора εη α вытекает из того, что после-
(?-!-а)п *
довательность ^— имеет бесконечный предел и, следовательно,
ограничена снизу положительным числом.
Теорема 1. Если нулевое решение однородной системы χη+ι =
= Апхп является равномерно асимптотически устойчивым, то для
любой почти-периодической последовательности fn система (1)
допускает единственное почти-периодическое решение. Для этого реше-
§ 2] 79
ния имеет место оценка вида \ хп \ ^ Μ sup | fn |, где Μ зависит
η
только от вида однородной системы,
η
Доказательство. Пусть хп = 2 Хп, ft/ft· Из неравен-
k=— со
ства
|*„.ft|<Z?"~\ 0<g<l,
следует, что этот ряд абсолютно сходится, причем
2 \Xn,kWfk\<Lsup\fh\ 2 ?η~Λ
/i= — оо /l = — оо
оо
г =- sup ι /Λ |.
1 —а и
1 — α л
Последовательность хп удовлетворяет уравнению (1), ибо
71+1 Π 11
Хп + 1= 2 Xn + i,hfk= 2 -^n + l./i/ft+Ai + l = 2 ^η^η,/ι//ι+//ι + 1·
ft= —oo ft= — оо k== — °°
Значит, жп + 1 = ^4па;Л + /η + ι.
Проверим, что последовательность хп является
почти-периодической. Пусть ε > 0 и ρ — некоторый г|8-почти-период, общий для
Ап и /п; значение ηε будет уточнено в процессе доказательства.
Имеем
п + р η
хп + р—χη = 2 Xп + р, kfk — 2 Xn,kfh =
fl = — oo ft = — oo
ft = —oo
откуда
2 (^"ft + 7?, k + pfk + p — Xn, ft//i)»
I ^П+р #71 Ι ^Ξ / . I ^71+P, k + p Xn, k I I /ft + p I +
ft= —oo
П П
2 Iz". * 111*+r> - /* К sup ι /ft ι η 2 (? + α)"~'! +
ft = — oo ft = — oo
Π
ι ^ г2 "Ч1 „*-* sup 1 /ft 1 ~ , £2 „
+ ηε£ /, q =-———:Чг + - ηε.
ft = — oo
во
Глава II
Возьмем ηε = ^— , . ,—— и выберем ηε таким образом, чтобы
2sup|/fc|
удовлетворялись неравенства
8(1-g) <min%ii±^T
Справедливость приведенной в формулировке теоремы оценки
следует теперь из леммы 1 и неравенства | хп+р — хп | < ε.
Единственность решения вытекает из того факта, что почти-
периодическая последовательность, стремящаяся к нулю,
тождественно равна нулю. Теорема доказана.
Заметим, что из этой теоремы следует асимптотическая почти-
периодичность всякого решения системы (1), если только решение
соответствующей однородной системы является равномерно
асимптотически устойчивым. Приведем прямое доказательство этого факта.
Тем самым мы получим новое доказательство теоремы.
Действительно, если хп — асимптотически почти-периодическое решение
системы (1), то xn + i = αη+ι + ωη+ι = Лп (ап -(- ωη) + /Λ+1;
значит, an + i + ωΛ + 1 = Ληαη + /Л+1 + ωηι причем an+i и Апап +
+ /Λ+ι почти-периодичны, а оод и ω^ + ι имеют своим пределом нуль,
и, следовательно, ад + 1 = Апап -(- /Λ + ι является
почти-периодическим решением системы (1).
Рассмотрим систему yn + i = Лпуп и предположим, что нулевое
решение является равномерно асимптотически устойчивым, а
значит, экспоненциально устойчивым. Как показано в § 3 гл. I, в этом
случае существует такая последовательность функций Vn, что
\Vn(x)-Vn$)\^L\x-x\, \x\^Vn(x)^L\x\,
Vn + i (Уп+ι) ~ У η {У η) ^ — (l—q)Vn {у п).
Следовательно, если хп — решение системы (1), a yk,n — решение
однородной системы, которое при к = η совпадает с хп, то
vk+i (yk+i, η) — vk (yK nX — (i—q) vk (ykt n).
Легко показать, что для к = η
Vn+i (Anxn) - Vn (xn) < - (1 - q) Vn (xn)
и
Vn + l (Zn + l) — У η (*n) = Vn + 1 (AnXn + fn + l) — Υ n (Χ) =
= Vn+i (Ληχη + fn+n+l) — Vt (Anxn) + Vn+i (Anxn) — Vn (xn) <
^L\fn+i\-(l-q)Vn(xn).
Пусть xn — некоторое решение системы (1), удовлетворяющее
условию | xnQ I <C К, Тогда для достаточно больших К неравенство
§ 2
81
Vn (xn) ^ LK будет иметь место при любом η ^ η0. Действительно,
если существует щ ^ п0, такое, что Vni (χηι) ^ LK и Vni+i (хщ+ι) >
> LK, то Vni+i (жщ+ι) — Fni (жП1) > 0. С другой стороны,
П\ \%П*
Χ Ζ sup I fn I + gZ,#,
а, значит, 2Ж <C L sup | /Л | + д2Ж, или К < sup | /n I + ?^". Беря
1
if ^ 3: sup | fn |, получаем противоречие. Следовательно, если
I xno I < /Г, to Ул (#Λ) ^ Ζ if для любого п ^ п0, а, значит, | хп | ^
^ Lif для любого η ^ тг0.
Таким образом, любое решение, начинающееся в шаре | χηο | ^
1
^-^ sup \fn I, допускает для произвольного п ^ п0 оценку
\Zn\<:-A sup |/Λ |.
i-q
Заметим, что в этом доказательстве совсем не использовались
свойства матриц Ап. Был использован только тот факт, что нулевое
решение однородной системы является равномерно асимптотически
устойчивым.
Пусть ип — почти-периодическое решение системы (1).
Предположим, что нулевое решение соответствующей однородной
системы является равномерно асимптотически устойчивым. Согласно
сказанному выше, все решения ограничены. Имеем
un + p + l un + i = An + Pun + P Anlln -j- fn + p + i fn + i =
= Ап (un+p un) -f- (An+P An) un+p -f- fn+p+i fn+i-
Положим vn = un+p — un — yn, где yn — решение однородной
системы, удовлетворяющее условию у0 = ир — и0. Тогда и0 = 0 и
vn + i = ип + р + 1 — un + i — Уп + ί = An (ип + р — ип) +
+ (Ап + р — An) ип + р + fn + p + i — fn + i — АпуП1
так что
vn + i = AnVn -)- (An + p — An) Un + p — fn + i + fn + p + i·
Из приведенных выше рассуждений вытекает оценка
|yj<- (sup|wjsup|4„+1 — An\ + s\xp\fn+p — /J), >г>0.
1 — g η η η
Если ρ является и8-почти-периодом, общим для Ап и /д, то \ ип | <<
<С ε/2 для η ^ 0, а, значит, \ ип+р — ип — уп | < ε/2.
82
Глава II
Из гипотезы о равномерной асимптотической устойчивости
следует, что lim уп = О, а значит, существует В (г), такое, что если
П->оо
η ;> В (ε), то | уп | < ε/2. Для η ;> В (ε) имеем | ип+р — ип | ^
^Ξ I *Лг I + I Уп I < ε· Это показывает, что решение ип
асимптотически почти-периодично.
1
Предположим, что \ иПо | ^ . sup \ fk |. Согласно доказан-
ному ранее, имеем | ип | ^ sup | fk | для п^п0. Но, как мы
ι — Я и
видели, ип асимптотически почти-периодично, т. е. ип — ап -\~ ωη,
где ап — почти-периодическая последовательность и ωη~>0. Более
того, ап является решением системы (1). Пусть ε > О, С (ε) таковы,
что для η > С (ε) выполняется условие | ωη | < ε/2. Тогда
L ε
Ι α, Κ sup I fk I + —.
1 — q h 2
Пусть п произвольно, а ρ есть ε/2-почти-период для ап,
удовлетворяющий условию ρ > С (ε) — п. Тогда | ап+р ~ ап | «< ε/2 и
L ε
I ап+р | < sup | fk I + —.
1 — q к 2
Значит, I ап | < -. sup \fk | + ε для любого п. Так как ε произ-
1 — q к
вольно, мы заключаем, что для почти-периодического решения имеет
место та самая оценка | ап \^-л sup \ fk |, которая получена
1 — Q k
нами и в первом доказательстве теоремы.
2. В случае когда однородная система допускает
почти-периодические решения, нет общих теорем относительно условий, при
которых существуют почти-периодические решения для неоднородной
системы. Поэтому представляет интерес получить хотя бы частные
результаты в этом направлении.
Предложение. Если система (1) допускает почти-перио-
ι N
дическое решение, то lim -^ "У Vklh = О ®ля любого почти-перио-
Ν-+οο Μ ~Λ
fe= 1
дического решения уп сопряженной системы уп-\ = ynAn-i.
Доказательство. В § 1 мы вывели формулу уNxN —
N
— Уохо — zj Уκίкч которая справедлива для любого решения хп
h=\
системы (1) и любого решения уп сопряженной системы. Если после-
§ 2
83
довательности хп и уп являются почти-периодическими, то они огра-
1
ничены, следовательно, lim -^ (уNxN — г/охо) — 0. Предложе-
ние доказано.
Укажем теперь один случай, когда условие этого предложения
является и достаточным. В случае систем дифференциальных
уравнений аналогичная теорема была доказана И. Г. Малкиным.
Предположим, что последовательность матриц Ап является периодиче-
s
ской с некоторым периодом Z, a fn = ^^Ф/т» гДе zk — различные
комплексные числа, расположенные в единичном круге, а (φ&Λ)η
периодичны.
Теорема 2. Пусть выполняются указанные выше
предположения и условия предыдущего предложения. Тогда система (1) допу-
S
екает почти-периодическое решение вида хп = У. Zhtykm г^е (ΨδτΟη
периодичны.
Доказательство. Рассмотрим систему χη + ι = Лпхп +
+ Zh+1^k,n + i и покажем, что при сделанных предположениях у этой
системы существует решение вида z^kn. Пусть уп = и\пхп. Тогда
Уп+\ = Чп yn+i = Zkn (Апхп-\-$ Φλ,λ+ι)»
1
т.е. yn + i = — АпУп + Ч>к,п + 1· Для Уп получаем периодическую
Zk
систему. Эта система допускает периодическое решение \pkn тогда
ι
и только тогда, когда 2 ui4>k,} = 0 Для всех периодических реше-
1 л о
нии сопряженной системы ип = un + i—Ап. Заметим, что если ип
Zk
является периодическим решением этой системы, то функция ип =
= z~hnun является почти-периодическим решением системы ип =
= vn + iAn, соответствующим мультипликатору ζΰι. Действительно,
vn + i = zk un + l + Vn + iA n = Zh Un + iAn = Zk ZhUn =
= Zknun = vn и νη+ι = z^n~ un+i = zk nzh un = zk vn.
Если z[ не является мультипликатором для системы xn+i ~
— Апхп, то ζΙι не является мультипликатором для сопряженной
системы, значит, система для ип не имеет периодических решений
и система для уп имеет периодическое решение, следовательно,
рассматриваемая система имеет периодическое решение вида z]^kn.
Если z{ — мультипликатор системы хп + 1 = Апхп, то Zk1 —
мультипликатор системы для vn, которая допускает решения вида ип =
84 Глава II
= Zknun, где последовательность ип периодична; эти решения
являются почти-периодическими, и для них
Ν Ν s
lim "77 /j vjUj-zk4>kj]= lim — / z^Uj V 4<Prj =
7 = 1 7·=1 r=i
гФк
s j\
r=i 7 = 1
гФк
Если выполняются условия теоремы, то
N
lim ~^7 У ι ^лфл,; = О
и, следовательно,
7=1
lim ~^7 /ι^Φλ,/ = 0·
7 = 1
Но так как Uj и φΑ> 7· периодичны с периодом Ζ, то
lim "77 /ι^Φλ,7-= /|мУФл,; = 0.
7 = 1 7 = 1
Последнее соотношение удовлетворяется при всех периодических
решениях Uj системы ип = un + i — Ап. Следовательно, существует
Zk
периодическое решение вида хп = Xhtyk,ni гДе последовательность
(Ψ&, η)η периодична. Это рассуждение годится для каждого к, и
теорема доказана.
3. В первой части этого параграфа существенную роль играло
требование равномерной асимптотической устойчивости для
линейных почти-периодических систем. Приведем теорему, дающую
простой критерий равномерной асимптотической устойчивости.
Теорема 3. Рассмотрим систему un+i = ип + гАпип, где
последовательность матриц Ап почти-периодична. Пусть
N
5= lim — /{Ak.
h=l
§ 2
85
Если собственные значения матрицы Ε -\- гА расположены внутри
единичного круга, то нулевое решение системы является равномерно
асимптотически устойчивым.
Для доказательства этой теоремы нужен дискретный аналог
одной леммы Η. Η. Боголюбова.
Лемма. Пусть fn (χ) — последовательность функций,
определенных на компактном подмножестве Ε некоторого метрического
пространства. Предположим, что для любого χ ζ Ε
η+Ν
lim "77 У i/ftW = 0
равномерно относительно п. Предположим, кроме того, что
| U (х) \<М, | /„ (х') - U (х") | < λρ (χ', χ"),
где ρ {χ , χ") означает расстояние между χ и х". При этих пред-
положениях указанный предел будет равномерным относительно
совокупности переменных (п, х).
Пусть
й{х)= 2 1\П~ХШ, 0<η<1.
fc = — оо
Тогда
\й(х)\<^-, где 1πηζ(η) = 0.
1 —η η-м
Доказательство. Имеем
оо оо (j+l)N
й (χ) = Σ Άιίη-ι (χ) = Σ Σ η'/n-z (*) =
Ζ=0 7 = 0 Ζ=7*ΑΤ
оо (7 + 1)Ат
= Ση}Ν Σ /»-*(*)η^'Λ' =
7=0 l=JN
00 U + DN
= Ση''Ν Σ {fn-i(x)+fn-i(x)(r)l4N-l)}-
7=0 Ζ=7ΛΓ
Поэтому
(7 + 1)ΛΓ оо (j + i)N
ι я ω ι < 2η7Ν 12 fn~i ^|+^2η;Ίν 2(1 ~ η,~,ΛΓ)=
7=0 Z=7iV 7=0 Ζ=7ΛΤ
°° O' + QiV oo JV
=2η^|2/η-Η+Μ2η;Ν2(ΐ~η*)=
7=0 Z=7iV 7=0 k=0
86 Глава II
=2ηΛνΙ 2/Λ"ζ(α;)
ΜΝ Μύ\
1=]'Ν
1_η^ !_η
< /.V Ν ε (Ν) +
J ' 1-ηγ 1-η'
7=0 '
11 _ ι
7ν Σ /λ (χ) > так что ^m ε (^0 = 0* Пусть ξ =
я—?г
= 1 — η, iV (ξ) = 1 -ί-Γ——1 · Тогда lim TV (ξ) = oo и, значит,
L у ξ J ξ->ο
Ν — 1 1 г 1 1
lim ε [-ΛΓ (ξ)1 = 0. С другой стороны,—=—ξ =-ψ ξ —τ7^-\ <
ξ->0 ώ Δ L j/ ξ J
1 TV — 1
<-~~]/ξ, значит, lim —ц—ξ = 0. Поэтому для достаточно малых
Ν—1
ξ, удовлетворяющих неравенству —-—ξ << 1, из
0-^0
вытекает
1-ηΛ=1-(1-ξ)Λ>ΛΓξ 1
ΜΝ_ Мц Μ Μ (1 - ξ)
Μ (ЛГ+1) —(ΛΓ —1)ξ
1
Следовательно,
4|ι
л и ι ^ 1 , f^(g)+!шш±щ.
.Λ #(ξ)-1.\\ 2 /
2
Полагая
0
§ 2
87
получаем
НтС(т]) = 0 и \fi(x)\^pLm
η->ι 1 —η
Лемма доказана.
Теперь мы можем обратиться к доказательству теоремы. Пусть
п— 1
Вп = Ап —Л, Вп= 2 η71"'*"1^· На основании леммы
fe— — сю
1 —η
Пусть мп = [Е + e5jj] yn. Тогда
[Я + Я?г+1] рп+1 = [Е + е2??г] ι;„ + гАп [Е + еЯ*] у„.
Но
и для η = 1 — ε получаем
Β1η-+\ = (ί-ε)Β\Τ + Βη.
Значит,
[Ε + εΖ^ι] y„+i = (Ε + ε#!Γ + еЯ„ - εΧ~ε) yn+1 =
= (Ε + еЯ1»-8) ув + гАп {Ε + еД|Ге) ув.
Учитывая, что
(Ε + еЯГ8 + гВп - г*В1~Т1 = Е- гВ1~* - гВп + г2В\Г' + о (ε)
(и замечая, что | eBi~e | ^ ζ (1 — ε)), находим
vn+i = [Е- еВ\Г -гВп+о (ε)] (Ε + г А п) (Е + гВ'~г) ип =
= [E + e(An-Bn)+o(e)]vn,
а, значит,
vn+i = (Ε + гА) νη + ο (ε) υη.
Утверждение теоремы вытекает теперь из предположения
относительно спектра матрицы Ε + ε^ и из теоремы об .устойчивости
по первому приближению.
88
Глава II
§ 3. Линейные системы в пространствах-произведениях.
Устойчивые инвариантные поверхности
Мы будем рассматривать здесь систему вида
Уп+ι = Апуп -f- Вnzn -f- /Λ+ι>
zn+i = ε [Cn (ε) zn + £>„ (ε) уп + g„+i (ε)]· (1)
Будем предполагать, что последовательности Ап, Вп, fn, Сп,
Dn, gn определены для любого целого п, ограничены и периодичны или
почти-периодичны; кроме того, будем предполагать, что матрицы Ап
обратимы и последовательность их обратных ограничена.
Для ε = 0 система приводится к виду
Уп + l = Апуп + /п + 1» /г>\
и допускает инвариантную поверхность ζ = 0: любое решение,
которое в начальный момент находится на этом многообразии,
остается там все время.
Покажем, что для достаточно малых ε существуют такие
ограниченные последовательности матриц Ln (ε) и векторов Ιη (ε),
соответственно периодические или почти-периодические, с lim Ln (ε) =
ε->0
= 0 и lim ln (г) = 0, что zn = Lnyn + ln образует притягиваю-
ε->0 _
щую инвариантную поверхность в том смысле, что если уп (п0, у0) —
решение системы
Уп + l = (Ап + BnLn) yn + BJn + fn + i, (3)
то пара уп (п0, у), Lnyn (n0, у) + 1п является решением
первоначальной системы. Кроме того, для любого решения системы справедливо
соотношение lim (zn — Lnyn — ln) = 0, показывающее, что инва-
П->оо
риантная поверхность является притягивающей.
Если тривиальное решение системы yn + i = Anyn равномерно
асимптотически устойчиво, то система
Уп + ί = (Ап + BnLn) yn
обладает тем же свойством (в силу теоремы об устойчивости по
первому приближению), так что система (3) имеет ограниченное на всей
оси решение, соответственно периодическое или почти-периодическое,
которое порождает ограниченное на всей оси, соответственно
периодическое или почти-периодическое решение системы (1).
Перед тем как перейти к доказательству всех этих утверждений,
установим некоторые свойства решений системы (2),
рассматриваемых для всех целых п; здесь существенно используется
предположение об обратимости матриц Ап.
§ 3 89
Решение системы (2) записывается в виде Yn,n0Uo + Цп, п0> гДе
Yn, т — матрица решений однородной системы, удовлетворяющая
условию Yn, no = Ε, ά Цп, п0 — решение системы (2), обращающееся
в нуль при η = п0. На основании формулы вариации постоянных
имеем
Л°,*о = Σ Yn,hfh, П>Щ,
k = n0 + i
п0
^71,710= — 2j Yn,hfhi П<СЩ.
h=n + l
(4)
Заметим, что справедливо соотношение
Yn, п0 = А~1А~1+1. . . Anl-u п<п0. (5)
Из (4) и (5) вытекают такие оценки:
\Yn,n0\<Mn°-n, M = suv\A-l\, п<щ,
По По
\r\°n,n0\<L 2 \y°n,j\<L 2
Mi-n< LM Mno-n
Μ-ί
7 = 71 + 1 .7=71 + 1
п<щ, М>1, L = sup|/J.
Обозначим через Zn, k (ε) фундаментальную матрицу решений
системы ζη + 1 = гСп (ε) ζη. Если | Сп (ε) | ^ С, то
\гп>к(г)\^гп-кСп-\
Положим
Lln(e) = e S Zn>h(e)Dh-l(e)Y°h-Un,
k = — σο
4(ε) = ε 2 ΖΛι»(β)[β»-,(β)τή-1ιΒ+?»(β)].
fe = —σο
Для достаточно малых ε в силу приведенных выше оценок
сходимость обеспечена. Получаем
71
|ii(e)|<e V en-kCn~hDMn
= ε Л DM(eCM)n-h= &DM = /Л,
ft = — oo
71
^ (ε) | <ε 2 zn~hCn~h (d Jj^L Mn~k+i + g) < Ζ'ε
& = — oo
90
Глава II
Пусть Ln х (ε), In 1 (ε) выбраны так, что
|£Γ4ε)|<Ζε, | Ζ^"1 (β) Ι < ίΐ
Рассмотрим систему
Уп+1 = {Ап+ВпЬ3п )Уп+Вп1п +//ι+ι·
Пусть
Yk, η = (An -\~BhLh ) {Ah+i -^ Bk+lLk+i) ... (An-i -f- Bn-lLn-i) ,
ηΓη=~ 2 yt/(/i+^-i^=i),
причем для достаточно малых ε
I УП I < (2Μ)η-\ Ι ηΠ Ι < ^^7 (2ΜΓ"\
2M — 1
Положим
Li(e) = e 2 ^η.Πβ)^-ι(β)^-Ί.η.
fc = — oo
71
ft = — oo
и покажем, что для достаточно малых ε и подходящих L, I эти ряды
сходятся и имеют место оценки
| Ljn (ε) Ι < Ζ,ε, | Z'n (ε) | <1ε,
обеспечивающие возможность продолжения построений.
Последовательности Ln и 1дп сходятся при / -> оо равномерно
по п, что легко проверяется непосредственно.
Пусть
Ln (ε) = lim LJn (ε), Zn (ε) = lim lJn (ε).
J —► OO J-+OO
Очевидно,
|Ln(e) |<Le, | Zn (e) I < Те.
Если Уп> По — фундаментальная матрица решений системы
Уп+t = {An + BnLn) yn, то У„, По = lim У^ Ло.
Аналогично если
π
§ з
91
το Άη,η = um Άη η' Отсюда следует, что
i->oo '
^п = г 21 Zn,hDk-i (ε) Υη-ι, и»
k = — σο
71
Zn = ε 2 Z", ^ \Pn-i (ε) Ла-i, η + gh (β)].
ft-* + oo
Пусть теперь г/„ (и0, г/) — решение системы
Уп+1 = (Ап +BnLn)yn +Bnln +/Л+1,
которое при η = п0 принимает значение у. Это решение определено
для любого целого п, и
Ζ/τι К, */) = ^τι,ηο^+ητι,τίο.
откуда
^Т! (Щ, #) + ^71 =
71
= е Ц ^71,л{^л-1(е)[^-1, п*/п К), у)+Цп-и п] + ён(*)}·
h = — σο
Но Уь_1>иуЛ (тг0, у) + ηΛ-ιιΛ = yh-t (no, 1/), ибо обе части
равенства являются решениями одной и той же системы, совпадающими
при η = к — 1. Следовательно,
η
LnUn К, у) + In = ε 2 Zn,h [Dh-i (ε) УЛ_4| nyn (n0, y) + gft (ε)],
h = — σο
а, значит, Lnz/n (гг0, г/) + Zn является решением системы
Zn+i = ε [Си (ε) 2η + Dn (ε) г/п (и0,1/) + gn+i]
и пара г/п (w0, г/), £n^n (w0, г/) + ln является решением системы (1).
Таким образом, мы доказали существование линейного
инвариантного многообразия Lnyn + ln.
Установим свойства периодичности (соотв. почти-периодичности)
построенной инвариантной поверхности. В случае периодических
коэффициентов имеем
-*71+iV, 710+iV = У?!, 710> ^71+iV, k+N = "П, ft>
71+JV 71
^n+iV, n0+N = 2j Yn+N,hfh= 2j *nt hfk = Ц τι, τι 0> П> Щ,
h=n0+N + l fe=7i0 + l
И
710+iV 710
'Hti+JV, n0+iV = 2j *n+N,hfk== Zj * n+N, k + nJh-\-N = Цп, п0, n<nQ-
h — n + N+1 k—n + l
92
Глава II
Следовательно,
n+N
Ln+N = £ 2j Zn+N,kDh-lYn-i,n+N =
h = — σο
= ε £j Zn+Nth+NDjl+n-iiil+N-itn+N=Ln
и аналогично 1п+н — 1п. По индукции немедленно получаем, что если
последовательности Ln~\ ^η-1 периодичны, то последовательности
LJn, ln также периодичны.
В случае почти-периодических коэффициентов имеем
| Y°h+Pt п+р - Yl п |< (п - к) Mn~h+l sup I AJ+P - Aj |,
J
| Zn+P, h+p - Z„, ft |< 8"-»С"-ь+) (η - Λ) sup I Cj+P - С, |,
откуда
I ^71+P — ^tt Ι ^Ξ
< гК1 (sup i Cj+P — Cj | + sup | Д;+р — D3 | + sup | Aj+P — Aj |),
i j j
а, значит, последовательность L\ почти-периодична вместе с
коэффициентами системы. Используя оценки такого же типа для
I Ць4- п+р — ^и η I» заключаем, что последовательность 1^ почти-
периодична. После этого применяем индукцию, как и в
периодическом случае.
Осталось доказать свойство устойчивости инвариантной
поверхности. Непосредственными вычислениями получаем
I zn - LnVn - ln I < (eC)"-"0 (I zno | + ε (K2 + | уПо |)) +
Пусть vn = (eC)-n | zn — L„?/n — Z„ |. Тогда
ип<^(гС)-п°{\ъПо\ + г(К2 + \уПо\)) + К, J ^,
а, значит,
vn^(eC)-n°(\zno\+e(K2 + \yno\) +
+ tf41 zno - Lnoyno - lno |) (1 + A·*)"-"·
и
I 27i — ^тг^/тг — In I ^Ξ
< [eC (1 + Kk)T-n* (| ^o | + ε (K2 + | yno |) + Kk \ zno - Lnoyno - 1Щ |),
откуда lim (zn — Lnz/n — ln) = 0.
§ 4 93
§ 4. Периодические и почти-периодические
решения нелинейных систем
1. Рассмотрим квазилинейную систему вида
хп + 1 — Апхп "Г In \хп)ч \Ч
где последовательности Ап и fn периодичны с периодом N.
Предположим, что соответствующая линейная система
xn~\-i ^-ηχη
не имеет других периодических решений с периодом Ν, кроме
тривиального.
Пусть GUf т — матрица, определенная в § 1. Напишем уравнение
N
хп == 2j ^п, rntm — l \xm — ij- (w
m=i
Как вытекает из результатов § 1, любое периодическое решение
системы (1) будет решением уравнения (2). Обратно, всякое решение
уравнения (2) удовлетворяет системе (1) и является периодическим.
Действительно, с учетом соотношений, установленных в § 1, имеем
Ν Ν
Хп = Хп, О 2j (^ — Χν, θ) %N, kfk-i (Xh-l) + 2j Χ η, hfk-1 (Xk-l)i
k = l k = l
значит,
η
χη = Χ η, 0^0 + 2j Χ η, hfh-i (xh-l)i
h=l
откуда
η + ί
xn + i = А п^п, 0^0 + 2j А пХп, hfh-ί (xh-l) = А пхп + fn (хп)·
Далее,
Ν Ν
XN= 2j Χ Ν, hfh-i (xh-l) + Xn, 0 (Ε— Χν,ο) Zj Χ Ν, hfh-i (xk-l) =
h=i h=i
= (XNt 0 (tf - XNt о)"1 + £) 2 Xn, h/ft-i (**-i) =
iV
= (2? — XN 0)-1 2 Xjv, ft/ft-i (*fc-i) = ^o>
h=l
чем и доказано, что решение является периодическим.
Если fn (0) = gn, fn (χ) — fn (0) = ε^η (χ), то система (1)
записывается в виде
xn+i = А пхп + gn + eFn (хп), (Г)
94
Глава II
а уравнение (2) принимает вид
Ν Ν
χη = 2 Gn, kgk-i +ε 2 Gn, hFk-t (*fc-i)·
ft = l ft = i
IV
ПОЛОЖИМ Φ„ = 2 ^тг, fcgfc-l»
φ n является единственным перио-
ft=l
дическим решением линейной системы, получающейся при ε = 0.
Уравнение (2) запишется в виде
Л'
хп = Φ/? + ε 2 ^, h^k-l (xk-l)-
k = l
Для этого уравнения можно получить решение методом
последовательных приближений, полагая
N
xi = ФЛ, 4 = ФЛ + ε 2 G-, ft^A-i (^-i).
h=i
Получаем
|4-Фп1<|е|МЬ, L= sup \Fn(x)\, M= sup | Gn, h |,
I ^-Фд I <#:
и для I ε Ι < ΚΙ ML последовательные приближения не выходят
из шара | χ — Фп \ <С К.
Далее,
14+1 - 4 К Ι ε | ML, sup 14 - xJT11
(если /^ удовлетворяют условию Липшица), значит, | xJ„ — х3п \ ^
^ (| ε | Μ Li)1 sup I Φη I и сходимость обеспечена для | ε | <
< g/MLt, g < 1.
Итак, имеет место следующее
Предложение. Если система хп + 1 = Апхп не имеет других
периодических решений, кроме тривиального, то для достаточно
малых | ε | система (1) допускает единственное периодическое
решение {и это решение может быть найдено методом последовательных
приближений) в предположении, что Fn удовлетворяют условию
Липшица.
Если пожертвовать единственностью и возможностью строить
приближения, то существование периодических решений можно
доказать при более слабых ограничениях. Так, если для системы (1)
I /д (х) Ι ^Ξ β (Ι χ Ι)> гДе функция β монотонна, причем для
некоторого а0
β(«ο)< 1
α0 ~^~ΜΝ'
§ 4
95
то из неравенства | хп | ^ а0 следуют неравенства
N
1 IV!
——— α0 и / . Gn hfh—ι (xk—ι)
1
MTV
Таким образом, оператор, который векторы х0, χι, . . ., χΝ-ι
переводит соответственно в векторы у0, г/ι, . . ., yN-i, определяемые
N
равенствами уп = 2 Gn,hfk-i Ы-ι), η = 0, 1, . . ., N — 1, пере-
водит множество sup | хп | ^ а0 в себя. Если функции /fe непрерыв-
п
ны, то этот оператор непрерывен и по теореме Брауэра у него
существует неподвижная точка, для которой имеем
N
Хп = 2j ^п, fc/ft-i (Xh-l)·
h=l
Согласно сказанному выше, эта неподвижная точка и определяет
периодическое решение системы (1).
2. Для общих нелинейных систем имеет место следующий
результат.
Теорема 1. Рассмотрим систему
Хп + 1 = ίη Μ + εΡη (χη, ε), (3)
где последовательности {п и Fn периодичны по η с периодом N. Если
при ε = 0 система допускает равномерно асимптотически
устойчивое периодическое решение хп1 то для достаточно малых | ε | она
имеет периодическое решение хп (ε), которое при ε —>0 стремит-
6л К Χγι ·
Доказательство. Можно считать, что хп = 0, ибо этого
всегда можно добиться с помощью замены переменных.
Из равномерной асимптотической устойчивости вытекает
существование таких б0 > 0, δ (η) и Τ (η), что из | у0 | < δ (η) следует
| уп | < η и из | г/о I < δ0 и η > Τ (η) следует \уп |< η; здесь
г/„ — решение системы yn + l = fn (yn).
Пусть
δι = δ(1α), 0<ζ<Πΐίη{δ0,δ(1δ1)}) Г=г[1в(1с)]
ж т — наименьшее натуральное число, для которого mN > Т.
1
Обозначим через S шар | χ | < δι. Для ^0 6 £ имеем | г/д (#о) Ι <"ο"α·
Если | ε | достаточно мало, то для х0 £ S, 0 ^ η ^ raiV имеем
| £п (#о, ε) | < α, где хп (х0, ε) — решение системы (3), которое
96
Глава II
при η = 0 совпадает с х0. Если fn и /^ определены лишь в
окрестности χ = О (т. е. решения £„), т. е. лишь для достаточно малых а,
то, поскольку решение не выходит из этой окрестности при 0 ^
^ η ^ mN, оно может быть построено вплоть до η = mN. Пусть
<р (х0, ε) = xN (х0, ε). Отображение φ и его итерации φ\ / = 2, . . .
„ . ., /гг, определены на £. Обозначим через 51 шар | χ | < ξ и через
!Ф)
£0 шар |я 1<τδ1"2 ^ J · Для \χο\<ζ, η > 0 имеем | г/д (я0) | <
1 /1 \
<-ySi, ибо ζ<δΙ -^-δι Ι . Для достаточно малых | ε| имеем поэтому
I хп (^о> ε) | < δι, 0 ^ η ^ mN, а, значит, φ3 (5Ί) cz 5, / = 1, 2, . . .
з /1 \ ι
• . ., т. Для 1*о Κ-^δΙ 2"£ I , ^^° имеем I У η (*о) Ι < 2~ζ, 8на"
чит, если | ε | достаточно мало, то | хп (х0, ε) | < ζ, 0 ^ η ^ raiV,
и, следовательно, cpj (S0) с: 5Ί, 0 <! / <! т. При ζ < δ0 для £0 6 Su
1 /1 \
гг > Г имеем | ι/η (#о) I < у δ I у ζ 1 , значит, для достаточно малых
3 /1 \
|ε| выполняется неравенство |*mjv(*o> ε) | ^"τ~δ Ι -^ ζ ι , а,
следовательно, включение cpm (Si) cz S0. По теореме Брауэра φ имеет
неподвижную точку в S0. Эта неподвижная точка является
начальным значением некоторого периодического решения. Но так как
радиус шара S0 можно выбрать сколь угодно малым, решение
стремится к нулю при ε —>- 0. Теорема доказана.
3. В почти-периодическом случае можно доказать аналогичную
теорему в предположении, что функция fn линейна.
Теорема 2. Если тривиальное решение почти-периодической
системы xn + i = Апхп является равномерно асимптотически
устойчивым, то для достаточно малых | ε | система (1') {где gn и Fn почти-
периодичны) имеет единственное почти-периодическое решение и это
решение может быть получено методом последовательных
приближений.
Доказательство. Это немедленно следует из теоремы 1
§ 2. Пусть Фп — решение системы, получающейся при ε = 0. Берем
х*п — фп. Тогда хдп является единственным почти-периодическим
решением системы xn + i = Апхп + gn + ^Fn (хп~1)- Отсюда следует,
что хп — Фп является единственным почти-периодическим решением
системы xn + i = Апхп + &Fn {х3^1)· Значит, для достаточно малых
| ε | последовательные приближения не выходят из некоторой
окрестности решения Фп. Если Fn удовлетворяет условию Липшица, то
из равенства
х{\\ -xUi = An (4+1 - 4) + ε (Fn (xjn) - Fn (xi'1))
§ 4
97
следует, что
ΐ4+1-4ΐ<|ε|Μ£8υρ|4-4"Ί,
ft
откуда, как и в периодическом случае, заключаем, что
последовательные приближения сходятся равномерно.
4. Рассмотрим теперь систему вида
xn+t = Рпхп + zFn (хп, ε), (4)
где последовательности Рп, Fn почти-периодичны (как и в
предыдущем случае, фактически необходимо, чтобы последовательность Fn
была почти-периодической равномерно относительно переменных
χ, ε). Предположим, что каждая матрица Рп имеет обратную и что
все решения линейной системы χη + ι = Ρηχη почти-периодичны,
а значит, почти-периодична и последовательность Хп, где Хп —
фундаментальная матрица решений. Производя замену переменных
хп = Χηζη, получаем Xn + izn + i = РпХп*п + zFn (Χηζη, ε), и так
как матрица Χη + ι обратима, то
zn + l = zn + zX-n + lFn (Xnzn, ε)·
Мы получили систему вида
Ζη + ι = Ζη + εΖη (ζη, ε)· (5)
Заметим, что в силу сделанных предположений
последовательность Ζη почти-периодична равномерно относительно (ζ, ε). Пусть
Ν-1
Ζ (ζ, ε) = lim — /, Ζη (ζ, ε).
71=0
Теорема З. Пусть ζ° — некоторое решение уравнения
Ζ (ζ, 0) = 0, такое, что собственные значения матрицы -τ— (ζ°, 0)
οζ
имеют отрицательные вещественные части. Тогда система (4)
для достаточно малых ε > 0 допускает почти-периодическое решение
хп (ε), для которого имеет место соотношение lim хп (ε) = Χηζ°.
Доказательство. Построим почти-периодическое
решение системы (5) с помощью метода последовательных приближений.
Пусть
h=—oo
Поскольку последовательность Zk почти-периодична и ε > 0, то,
как легко видеть, ζ° — почти-периодическая последовательность,
и из леммы Боголюбова, доказанной в § 2 (см. доказательство
теоремы 3 § 2), следует, что | ζ\ — ζ° | < η (ε), где lim η (ε) = 0.
ε->0
98
Глава И
Заметим, что
= ζ° + ε(1-ε) 2 (1-ε)"-%_1(ζο,ϋ) + εΖη(ζο,0).
h = — σο
Значит,
4+1 = εΖη(ζ°,0) + (1-ε)(4-ζ°),
и, следовательно,
ζ°η+ι = ζ°η + Β(Ζη(ζ°,0) -(ζ°η-ζ)).
Определим zJnr как единственное почти-периодическое решение
системы
zn+i = z,l + e^l(ζ°, 0) ζη + eZn (zjn, ε) - ε Ц±(ζ°, 0) <·
οζ οζ
Пусть Αη -=i^L(go, 0). Имеем
Λτ JV ^
2=liml-V^=lim4-y,^(E0.0) = -^(£0,0),
fc = l fc = l
так что собственные значения матрицы А имеют отрицательные
вещественные части. Поэтому собственные значения матрицы егА
лежат внутри единичного круга; но ег 1 = Ε -f- г A -f- О (ε2), значит,
для достаточно малых ε > 0 собственные значения матрицы Ε -\- гА
расположены внутри единичного круга. Из доказанной в конце § 2
теоремы 3 следует, что тривиальное решение системы un + i = ип +
-f- гАпип равномерно асимптотически устойчиво, а тогда из
доказанной в начале § 2 теорем г>т 1 вытекает, что система имеет
единственное почти-периодическое решение.
Далее,
z>„++\ - 4-и = 4+1- С + β -^-"(С °, 0) (ζ,{+1 - Z °) + ε ^U °, 0) ζΖ -
ΟΖ ΟΖ
- ζΖη (ζ°, 0) + ε (ζ°η - ζ°) + εΖη (4, ε) - ε ^ (^ 0) ζ{ =,
§ 4
99
£ + ε^(ζ°,0)
dz
(zi+i-Z°n)
+ ε
Zn (4, ε) - Zn (ζ°, 0) - V4£°, 0) (4 - 4)
az
+ ε(4-ζυ).
Ho
5Zn
Zn (4, ε) - Z„ (ξ°, 0) - -^(ζ0, 0) (4 - 4) =
dz
ι
= f Ц± (ζ° + λ (4 - ξ°), λε) dk (4 - ζ°) +
о
ι
+ ε ί^(ζ° + λ(4-ζ^λε)Λ-^(ζ°,0)(4-4) =
J dz dz
о
ι
= ί ί^(ζ° + λ(4 -ζ°), λε) -^(ζ°, 0)1 ^λ(4 -4) +
J L dz dz J
о
J (9Z
+ —ϋ(ζ° + λ (4 - ζ°), λε) Λ (Ζ°„ - ζ°) +
J dz
о
1
+ ε Γ^ΐ(ζ» + λ(4-ζ°),λε)Λ,
J dz
о
так что для достаточно малых ε и для матриц Ζη класса С1
| Ζη (ζ{, ε) - Ζη (ζ°, 0)-Ца. (ξ°, 0) (4 - 4) + 4 - ζ°Κ
dz
2 Λ/ я
где lim η ι (ε) = 0; мы учли тот факт, что \ ζ°η — ξ° | ^ η (ε), и
предположили «по индукции», что ζΊη — ξ° ->0 при ε ->0.
Таким образом,
4+1-4КМ
\2М SnP' Z'1 ~~ Ζ"η ' + ηι ^7 '
100
Глава II
а, значит, если \z\ — ζ°η | ^ 2Μτ\ι (ε), то такое же неравенство
справедливо и для / + 1 и предположение ZJ+1 — ζ° ->0
действительно выполняется.
Далее,
ζ{\\ - 4+1 = 4+1- zi + ε Άζ°, 0) (zl+l - zi) + eZ„ (4, ε) -
dz
- eZn (zi~\ ε) - e ^ (ζ°, 0) (4 - 4"1)
/97
Z„ (4, ε) - Zn (z}~\ ε) - ^Ρ(ζ°, 0) « - <"') =
dz
ώλ(4-4-1)·
= f Γ^(4-1 + λ(^-4-1),β)-^(ε°,ο)
J ι οζ dz
о
Значит,
14+1 — 4 Κ η2 (ε) sup 14 — 4-11,
η
чем и обеспечена равномерная сходимость последовательных
приближений. Теорема доказана.
Эта теорема лежит в основе применения метода усреднения к
дискретным системам.
Тем же способом можно получить аналогичную теорему для
систем в пространствах-произведениях.
Теорема 4. Рассмотрим систему
хп + 1 = хп + εΧη (хп-> Уп1 ελ ~
Уп+i = Апуп -j- fn+i -)- eYn (хп, yn, ε).
Предположим, что последовательности Хп, Υη почти-периодичны
(равномерно относительно (х, у, ε)), последовательности Ап, fn
почти-периодичны, а нулевое решение системы уп + 1 = Апуп
равномерно асимптотически устойчиво. Пусть Ц)п — единственное почти-
периодическое решение системы yn + i = Апуп + fn + i u
N
Χ (χ, ε) = Hm —- /. Xп (χ, φΛ, ε).
Если ξ° — решение уравнения Χ (χ, 0) = 0, такое, что собствен-
дХ
ные значения матрицы -^— (ξ°, 0) имеют отрицательные веществен-
§ 4 101
ные части, то для достаточно малых ε > 0 система (6) имеет
единственное почти-периодическое решение хп (ε), уп (ε), которое
удовлетворяет условиям
lim xn (ε) = ξ°, lim уп (ε) = φΛ.
Доказательство. Пусть
fe = —oo
a ^n+1, г/4+1 — единственное почти-периодическое решение системы
хп+1 = хп+г—^{1\ <рЛ, 0)*Λ+εΧΛ(4, #ί, ε) — ε—^(ξ°, <ρΛ, 0)^,
га га
Уп + 1 = Апуп +/„+1 + 8^(4, */η)·
Как и в предыдущей теореме, это решение устроено хорошо:
|4+1-ξ°Κη(ε), \у}п+1-<рп\^Ке,
14+1 - 4 I + L | г/п+1 - у' |<q (| 4 - я'-1| + L i г/£ - ί/Γ1 i), g < 1,
чем и обеспечена равномерная сходимость приближений.
5. Докажем теперь одну теорему общего характера, относящуюся
к сильно нелинейным системам и сводящую проблему существования
почти-периодических решений к проблеме существования
ограниченных решений с определенными свойствами устойчивости.
Теорема 5. Рассмотрим систему xn + i = fn (xn)i г^е
последовательность fn предполагается периодической. Если существует
ограниченное равномерно устойчивое решение, то это решение
является асимптотически почти-периодическим и, значит, система
допускает почти-периодическое решение.
Доказательство. Пусть хп — ограниченное равномерно
устойчивое решение системы. Найдется δ (ε), такое, что | хПо — хПо | <
< δ (ε) влечет за собой | хп — хп | < ε для η ^ п0. Если N —
период системы, то, взяв п0 = kN, получим, что | xhN — xkN | <
< δ (ε) влечет за собой | xn + hN — xn + kN I < ε Для η Ξ^ 0· Так
как данная система является периодической с периодом TV, то
хп + h Ν хп
(xhN) и, значит, | у — xkN | < δ (ε) влечет за собой
\ χη (у) — Xn + kN I < ε Для η ^ 0. Рассмотрим отображение Тх0 =
= χΝ (х0). Имеем хп (Тх0) = хп (xN (x0)) = xn + N (х0) и, вообще,
хп\1 х0/ == xn + kN \x0/i J- х0 == xkN \х0)·
102
Глава II
Из | хп (у) — xn + hN | < ε следует | xkN (у) — χ а + юн I < е, значит,
из | у — Ти х0 | < δ (ε) следует | Т1у — Τι+1χ0 | < ε.
Пусть hi4 h2, . . .— последовательность натуральных чисел
с Km hm = оо. Множество {Т lix0} является относительно ком-
W-»oo
пактным, ибо решение хп по предположению ограничено. Пусть
кт — такая подпоследовательность последовательности hm, что
lim Τ тх0 = χ*. Для достаточно больших т имеем | Τ гпх0 —
7П->оо
— х* | < δ (ε), значит, | Τ χ* — Τ1'1 rnx0 | < ε и, следовательно,
lim Tl hmXo =~ Τ1 χ*. Отображение Τ обладает тем свойством,
т—>σο
что из любой последовательности {Т '' lmXo}m можно выбрать
подпоследовательность {Т1 mXo}m, сходящуюся равномерно
относительно /. т. е. мы имеем асимптотическую почти-периодичность
в точке х0.
Таким образом, последовательность xkN является асимптотически
почти-периодической, так что для любого η > 0 найдутся такие
Ι (η), Κ(ύ\), что между первыми / - - 1 натуральными числами можно
найти такое число πι, что для к ^ К (η) имеет место неравенство
I x(h + m)X xhN I < ΊΊ·
Пусть η достаточно велико, п = η + kN, 0 ^ η < TV. Имеем
χη =- Xn' + hN =" Xw (хк ν) = χη' (Thx0). Пусть ε > 0. Существует
η > 0, такое, что \ χ — у | < η влечет за собой | хп (х) — хп (у) | <
< ε для 0 ^ η ^ TV. Для /с >> if (η) имеем
I xn xn + mN \:=:\xnr \xhx) xw \x(k + m)N) I < ε·
Окончательно, для каждого ε > 0 существуют L£ и /ε, такие,
что между первыми {1г + 1) N натуральными числами можно найти
число вида πιΝ, обладающее тем свойством, что если η ^ L8, то
I Хп — xn + mN I < ε> откуда и следует асимптотическая
почти-периодичность последовательности хп.
§ 5. Инвариантные многообразия для нелинейных систем
в пространствах-произведениях
1. Рассмотрим дискретную систему в некотором пространстве-
произведении
Cn + l = fn (Cn, Yn), Уп + 1 = gn (Сп, Yn), Сп в С, уп ^ %·
Обозначим через сп (п, с, γ), уп (п, с, γ) решение системы,
определяемое условиями с- = с, у- = у.
§ 5 103
Теорема 1. Пусть существуют постоянные /, L, Ν, αϊ, α2,
0<αι<1, 0<α2<1, &ι, к2, такие, что:
1°. Если | с | ^ /, то решение сп (п, с, γ), γη (я, с, γ)
определено для всех η ^ η и \ сп (п, с, у) \ ^ I для η ^ η -\- N.
2°. Если | ?ι | ^ /, |с2|<! и йт^^я^й! 27V, то
I Сд (л, q, γ) — сп (л, с2, γ) Ι + L \ yn (n, cuy) — yn (n, c2, y) I < α4 | q — c2|.
3°. ^сл^ |q|<^, |c21 </, I q — c2|<Z/|yi — γ21? mo
а) [γΛ(Λ, q, γι) —γΛ(«, c2, γ2) — γι -!-γ21 <α21 Yi — γ2 \ для η·\-Ν <
OCrc-!-27Vj
б) [сл(и, q, Yi) —сл(л, c2, γ2)|<(1 — a2)L| γ! — γ2| для η -\- Ν <С
<и</г-!-2ЛГ.
4°. |сл(/г, q,j?i) — fnK c2, γ2) | Jr | Υλ (w, q^jyi) — γΛ (и, c2, γ2) | <
<; kjb^-71 (\cl— c2\ Ί-1 Yi — Y2 I) ^ля 6ce<r η ^ n, для которых
решения определены.
При этих условиях для любого целого η существует такая
функция рп: % —>- С, что
а) I Рп (γ) Ι ^Ξ I для любого у ζ Ή;
б) I Рп (γι) — Рп (Ϊ2) I < £ I Yi — Ϊ2 I для любых уи у2 6 %\
в) для любого с ζ С с \ с \ ^ I и любого у ζ_% имеет место
неравенство
\сп{п, с, у) —рп{уп{п, с, у))\ ^Кап~п \с— р_(у)\, п^п, а<1;
η
г) если с = р~(у), то сп (п, с, γ) = рп (уп (п, с, γ)) для всех п;
д) функция рп этими соотношениями определена единственным
образом;
е) 1* если fn+v = fn, gn+v = gn для любого п, то ρη + ν ~ ρη для
любого п;
2* если fn (с, у -f ω) = /„ (с, γ), gn (с, у + ω) = gn (с, у) для
любого с ζ С, у £ *ё, то рп (у + ω) = ρη (γ), γ £ *6>\
ё) если последовательности fn и gn почти-периодичны равномерно
относительно с ζ С, у £ %, то последовательность рп
почти-периодична равномерно относительно у £ Ή.
Доказательство. 1) Пусть Q (/, L) — множество
функций q: % —>- С, которые для любого γ 6 ^ удовлетворяют условию
I Я. (у) I ^ ^ и Для любых γι, γ2 ζ % удовлетворяют условию
I Q Ы — Q (Υ2) I < ί/ Ι γι — γ2 |. Пусть функция θ^~: <£ -> <g
определена с помощью соотношения θ"7 ~ (γ) = уп (п, q (γ), γ).
Из условия 3° а) следует, что для η ^ η ^ η -\- 2Ν имеет место
104
Глава II
неравенство
ΙΘ7 ^Ы-θ7 _Ы —Yi + Y2l<a2lYi—γ2|, α2<1.
η, η η, η
Отсюда вытекает, что для п ^ η ^ η + 27V отображение θ^ -
является взаимно однозначным и отображает множество % на все
множество ^, а значит, допускает обратное отображение *); пусть
oqn ~: %-+% и является этим обратным отображением.
2) Рассмотрим отображение Pn ~д: % -> С, которое
определяется соотношением
[Ρ ^](γ) = ^(Λ,?[σ9 (γ)], aq Cy)),~n<n<~n + 2N.
η. η я, η η, η
Для η-\-Ν^η^.η + 2Ν в силу условия 1° | [Ρ ~q] (γ) | ^ /
и в силу условия 3° б)
η, η η, η η, η η, η
С другой стороны, из 3° а) следует, что (1 — α2) | γ — β | $Ξ
< Ι θ (γ) — θ (β) I, а, значит,
(1 - α2) Ι σ* _ (γ,) - σ* _ (γ2) | < | γ, - γ21,
П., П. П., П
так что
Ιί^ _?](νι)-[^ _?](Y2)l<£lvi-V2l·
π, η η, η
Таким образом, для η + Ν^.η^.η + 27V имеем Pn~q£Q (Z, L),
т. е. Рп~: (? (Ζ, L)+Q(l, L).
3) Пусть /г + Ν < raj < га + 2Ν, щ + W < 7г2 < raj + 2N,
qi = p~~g. Тогда Φ ~ [θ*- ~(γ)] = θ?~ ~ (ν). Отображение θ*· ~
^1 П, П1 ^ 712, Π\ ηΐ,ΤΙ U/ Π2, П ν·/ ^ П2, Π
является, следовательно, композицией двух взаимно однозначных
отображений, которые отображают множество % на себя, значит,
отображение θ^ ~ имеет обратное σ~ ~, определенное на ί?. Сле-
*) Вообще, если для отображения Θ: % -> % выполняется условие
| θ (γ) — θ (β) — γ + β | <; α2 | γ—β |, то это отображение взаимно однозначно
и переводит множество % в себя. Действительно, из приведенного неравенства
следует, что (1 — а2) \ у — β | < | θ (γ) — θ (β) | < (1 + α2) Ι γ — β |, так что θ
является взаимно однозначным. Далее, для δ £ % положим γ! = δ, γζ·+ι =
= Τι + δ — θ (yt). Тогда соотношение | θ (yi + i) — θ (yt) ~ yi+i + yt j <
< α2 I Yj + i — Yi I перепишется в виде | θ (γί + ι) — δ | < α2 | θ (γ£ ) — δ |,
следовательно, lim θ (yt) = δ. Из неравенства (1 — α2) | yi+k — yt I <
г->со
^C Ι θ (Уг+k) — θ (γζ·) I и из того факта, что последовательность θ (γζ·) имеет
предел, следует, что γζ· является последовательностью Коши, а значит, имеет предел.
Полагая γ=1ΐπιγί, немедленно получаем θ (γ) = δ; следовательно, любая
г->оо
точка из % является образом при отображении θ некоторой точки из %.
§ 5
105
довательно, отображение θ^ - имеет обратное, определенное на ^г
для всех η ^ η ^ η + AN. Повторяя рассуждения, заключаем,
что отображение θ^ ~ имеет для всех п^п обратное, определенное
на Ή. Имеем также Ρ n~~q 6 Q (Ζ, L) для всех η ^ η + Ν и Р~ ~ =
= Р~ ~ Р~ ~ для всех п2 ^ πι ^ η + N.
П2, П\ ГЦ, П ^ Δ -^ 1 *^ '
Кроме того,
\РпГпя\ (γ» (п, д (у), γ)) - [Рп~д] (θ« - (γ)) =
= сп (η, g [σ « ,θ «_ (γ)], σ «_θ «_ (f))= c„ (n, q (у), у)
η, η η, η η, η η, η
для всех п^ п.
А) Имеем
| сп (л, ^ γ) — [Ρ л] (уп (η, 7, у)) К а41 g (γ) — £|
η, η
для Ι с I ^ Ζ, ft + Af^rc^ft + 27V, откуда
Ι [Ρ „fcj {уη К д2 (γ), γ)) — [^ _gi] (γΛ (л, g2 (γ), γ)) Ι <
П., Д П, П
^αιΐ02(γ) — 0ι(ϊ)1>
а, значит,
\[Ρ λΜ-[ρ ^?ι](γ)Κ
η, η η, π.
<αιΙ?2ΐσ"„(γ)]-?1[σ9',_(γ)]|; η+ 7V<rc<« + 2JV.
η, п. п., η
Пусть теперь qt (z Q (Ζ, L), Km qt (y) = g (γ) равномерно относи-
тельно γ ζ ί?. Тогда
η,η η, η
5) Далее, Jim Ρn-nq = />„, ρη 6 (? (Ζ, L), РП2> П1рП1 = рП2 для
^2 ^ ^ι· Действительно, возьмем щ = η, Πι — 2Ν <! τζ^+ι ^ ^г —
— Ν, j > i > 1. Тогда
Pn,n.q = P _ (^ ^?)
У П, П . Tlj Tlj
I li J
106
Глава II
и
I V'n, nt ς] (γ) - iP^g] (γ) Ι = I ipnlt пг"· l\_v n. ?I (?) -
~-[P ...P~ ~ (P ^IMKaj-isuplI^ q](y) —
ί — I I L J у L J
-g(v)|<2a}-i/t
значит, lim [/\г> n.g] (γ) существует равномерно относительно γ6^·
г->оо ' ι
Более того, из неравенства
\[Р Λ2\(ν)-[Ρ „qi](y)<*ii*uv\qi№'-q2(v)\
η, η ι η, η ι
следует равенство
lim[/> ^2](y)-lim[P ^](γ),
i -* oo τι, τι ^ ί -* oo ?г , τι ^
откуда видно, что/)п не зависит от д. Из соотношения Ρη2ι щРп ^Ч^
■= Ρ -q при η -> — оо получаем jPn2j щРт^Рпг Для ^2 > ^ι·
6) Покажем, что последовательность рп обладает всеми
свойствами, указанными в формулировке теоремы. Очевидно, рп 6
ζ Q (/, L), значит, условия а) и б) удовлетворяются. Далее,
[Рп,п^ (Уп (w, g (γ), γ)) = cn (η, q (γ), γ) и Ρη>~ρ~ = ρη для всех
η ^ п. Положим в первом соотношении q = ρ-. Получим
сп {η, ρ- (γ), γ) = рп (уп (/г, р~ (γ), γ)) для всех η > л. Убедимся,
что фактически это соотношение справедливо для всех п. Имеем
vJ»-i.p„ [σ?Γ (γ)], σ^' (ΐ))=θ^' (/""<·) (γ) = γ,
η η—г η, n — i η, n — i η, n—i τι, n — i
а, значит, соотношение
~ ~ ~ ~ ρ ~ ~
сп (и, Ρ „(у), У) = сп{п — ί, ρ^ [ο J1'1 (γ)],
η n—i η, n—i
°У:1 G))=Pn{yn$-i,P„ [оУ^1 (V)]. <СГ (γ)))
η, n—i n — i n, n — i η, n—i
справедливо для любого η ^ η — ί. Отсюда следует, что
сп(п — ί,ρ^ (γ), у) = Рп(Уп(п — i,p„ (γ), γ)),
7? — г 71 — г
так что соотношение г) доказано для любого п.
§ 5
107
При установлении свойства в) будем исходить из неравенств
I сп (и, с, у) — [Р л] (уп (п, 7, у)) К а41 g (γ) — с |,
71, П
rc + TV<rc<rc + 27V, ki</.
Полагая q = рп, приходим к неравенствам
\сп{п,'с, у) —рп{уп{п, с, γ)) I ^ ot± 1 /?_ (γ) —7\,
η
По индукции немедленно получаем, что
I Сп (п, с, у) — рп (уп (п, с, у)) | < а*| р_ (у) — с \
II
для п + kN ^. η ^. η + (к -|- 1) TV. Наконец, для η ^. η ^. η -\- Ν
имеем
I сп (η, ΣΓ, γ) — рп {уη {η, с, у)) К (1 + L) kik2N\ с —р_(у) \.
η
^-J , α = α*. Тогда
Ι с„ (λ, £, γ) — Рп (у а (/г, £, γ)) | < if α дг| с— р^(у) | <
ζζΚαη-7ι\7— pjy)\, n^n^n + N,
П
\сп(п,7, у) —рп{уп(п,7, у))\ <αΛΛΓ|ίΓ— p„(y)\ <
η
^±an-^c^-Pfi(y)\^Kan^\c-p-(y)\
для η + &TV ^ η ^ /г Η- (A; -f- 1) TV, а значит, для всех η ^ п,
и свойство в) установлено.
Обратимся к свойству единственности д). Пусть р'п
удовлетворяет свойствам а), б), в), г), у ζ ^, η = η — Ν, у' = aW> (υ)·
Тогда
p~(y) =p1(y~("'» pL (y')» y')) = c~(^ pL(y')> y')
! c~(^'> p! (y'), y') — p~(y~(>*'> Pi (y')» y')) I <
П 71 ' П П Τΐ'
<Ka*-*'\pl(y')-p^(y-)\.
108
Глава И
Следовательно,
\P'JV) -Pjy) \^Ka N\pi (γ') -p„ (γ')|,
η η η' η'
откуда по индукции
ΙΡ^ (V) -Pjy) \<KajN\pi (γα)) -p„ (γ(Λ) \^21ΚοίΝ.
η η n—jN n—jN
При j -> oo получаем р~ (у) = p~ (γ).
7) Установим теперь свойство е) 1*. Для этого заметим, что
[р Л1 (Уη (η, q (γ), γ)) = cn (η, q (у), у) = сп + х (n + v,q (γ), у) =
η, η
= [Ρη + ν, n + vq](Уn-l·v{n + v,q(y), y)) = [P „ q]{yn{n,q{y), γ)),
η+ν, η + ν
а, значит, Ρη ~q = Ρ,ν ~ιν#, так что при η —» οο получаем
Рп == Ρη + ν·
Перейдем к е) 2*. В предположениях этого пункта имеем
сп (и, с, у + ω) = сп (л, с, γ), γη (л, с, γ + ω) = уп {η, с, у) + ω.
Действительно, если (сп, уп) — решение, то (сп, уп+ω) также
является решением, значит, в обеих частях тождеств стоят решения
системы; но эти решения совпадают при η = п.
Пусть теперь функция q периодична с периодом ω. Тогда
[р Л1 (Уп К Я (У + ω)> У + ω)) = сп (w, q (у+ ω), у + ω) =
η, η
= сп (п, q (γ), f+ ω) = cn (и, g (f), f) = [P _g] (γΛ (и, g (γ), γ))
η, η
И
[Ρ J2]{yn{n,q(y + ω), f+ ω) = [Ρ „g] (γΛ (и, ςτ(γ), γ + ω)) =
η, η η, η
= [Ρ ^](Yn(w,g(v), γ) + ω),
η, η
а, значит,
[^ „ί](Υ + ω) = [Ρ J\{y),
η, η η, η
и при η —» οο получаем рп (у -\- ω) = ρη (γ).
Если последовательности fn и gn являются, как в ё),
почти-периодическими равномерно относительно с ζ ^, у ζ ^, то любая
последовательность nk -^ оо содержит подпоследовательность wfe , такую,
что cn+nk (п + лй/, с, γ), γΛ+ΛΑ (л + nhv 7, у) сходятся при I ->
-> оо равномерно по п, с, у.
§ 5
109
Действительно, cn+nk {η + nk, с, γ), yn+nh {n + nk, с, у) есть
решение системы cn + i = fn+nk(cn, yn), γ„ + 1 = gn+nk {cn, yn), которое
при η = η совпадает с (с, у). Из почти-периодичности fn и gn вытекает,
что существует подпоследовательность nk, такая, что (fn+nk)h
{gn+nk)i сходятся равномерно относительно п, с, у к /£ (с, γ),
gn (с, у). Следовательно, последовательности cn+llk {η + nk[, с, γ),
yn+nk (η + rcfe с, γ) сходятся при Ζ ->- оо к решению системы,
соответствующему /*, g*, причем сходимость обладает требуемыми
свойствами равномерности.
Докажем, наконец, последнее утверждение теоремы. Пусть
lim с\ (л, с, γ) = с * (rf, с, γ), lim γ^ (л, с, γ) = γ * (л, с, у).
ί -> оо j -> оо
Тогда
4+^(»·?(ν).ν) = [^"> ^J(v(" Я ? (γ), γ)),
n+iV, π, n+iV
cl (n,q(y),y) = [Pl л](у1 (»,?(V),Y)),
n+iV n+iV, η д+iV
ибо если системы с{п {η, с, γ), γ^ {η, с, у) обладают свойствами
1°, 2°, 3°, 4°, то те же свойства будут выполняться и для системы
Сп (п, с, γ), γ* (тг, с, γ), полученной предельным переходом.
Следовательно,
\[Р~ Л](У1 (n,q(y),y))-[Pl л]{Ц («,?(V),V))K
Λ+JV, Я 71+JV Π,+iV, 71 TI+N
<\*1 fcqfad-lP™ л](у1 (»,ί(γ),ν))Ι +
д+iV n+iV, л д + дг
+ l<, &?(y)>y)—с1 Яд(т),т)К
n+iV Д+Лт
<lIyL (w, g(v), γ) — γ,! (м(т),т)1 +
П+iV Д+Лт
+ K, Яд (γ), γ) — ^1 Я 0(υ)> γ)Κ^,
ε<· = ^ SUP~ (14(λ, £ γ) — с*(п, с, у)\ + \упЯ £ γ) — УпЯ £ γ)Ι)·
Значит,
\[Р{2 J[(i)-[Pl л]Ш<к%.
η+Ν, η η+Ν, η
110
Глава I
Далее,
η + Ν, η η + Ν, η
\[P„ „?i] (у) -[Pi ^ι](γ)Ι+Ι[^: Λι](ν)-[ΡΙ лМЫ
η+Ν, η η + Ν, η η+Ν, η η + Ν, η
откуда
< k'Si + at sup I qi (y) — q2 (y) |,
у
\[P(n.n-jsq](y)-[Pln-jNq](y)\ =
I [/ n, n-N* n-N, n~2N · · · * n-(j-l)N, п-jnQ} [У)
— [Κ, η-Ν · · · Pn-(j-l)N, n-j№] (У) I <
< k'Ei (1 + ttl + a? + . . . + «{)<
1 — a4
При ; —>- oo получаем
ί^(ί)-^(ί)Κ·^
1 — a4
а, значит, lira p^ (γ) = ρ* (γ) равномерно относительно п и γ ζ %
i—>-oo
Пусть теперь nk ->оо, где ль — подпоследовательность, о суще
ствовании которой говорилось выше, с1п (п, с, у) = cn+nk (n -f
-f nhv с, γ), γ^ (л, с, у) = yn + nk {n + nkp с, у); последователь
ности с1п (п, с, γ), у'п (п, с, у) обладают свойствами 1°, 2°, 3°, 4°, ибс
эти свойства зависят только от разности η — п. Учитывая все ска
занное, заключаем, что lira pln (у) = p*L (у) равномерно относи
тельно η и v. По Р(1К ~ Ρ , ~ , поэтому при тг ->- — оо полу
чаем р(г =-- pn + nk, и pn + nk ~^Pn равномерно относительно тг и γ
т. е. рл является почти-периодической последовательностью.
Замечания. 1°. Если система обладает свойством перио
дичности из пункта е) 1, то можно построить функции рп, дающие
возможность доказать, что отображение PN,0: Q (/, L) —>Q{1, L)
имеет единственную неподвижную точку. Пространство Q (/, L)
можно превратить в обычное метрическое пространство, если ввеств
расстояние
Ρ (?ι,02) = sup I qi (у) — q2 (у) |.
у
§ 5
111
Пусть h таково, что N ^.hv ^ 2N. Тогда
I (Phv, o0i) (ϊ) — (Λιν, <#г) (γ) ί <^i sup |g4 (γ) — q2 (γ) I = a4p (g4, g2).
Значит, p(Phv,0qi, PhVi0q2) ^ осф {qi, q2) и ΡΛν, 0 является сжатием
в Q (/, L), так что Phv, 0 имеет единственную неподвижную точку д0.
НО ΡΛν, о = Phv, (/i-i)v^(/i-i)v, 0 = ^v, 0^(/i-i)v, 0 И ПО ИНДУКЦИИ
Phv, о = Ι-Ρν, o]h, откуда видно, что q0 является неподвижной
точкой для jPv, о·
Пусть рп = Pnt 0q0. Тогда
Р ~Р~=Р „Р„ Яо = Рп,(Яо = Рп', Pn£Q(l>,L),
η, η η η, η η, О
ибо
Pn,oqo = Pn+hv, hvQo = Pn+hv, hvPhv, o#0 = Pn+hv, o#0 6 (? (^ ^)»
поскольку η -f Αν ζ N.
Свойства а), б), в) легко проверяются, ибо для их
доказательства использовались только соотношения рп ζ Q (/, L) и Ρ η ~р~ —
= /?Л. Далее,
Ρη + ν = ■* η + ν, о#о =r= ■* n+v, vPv, o#o = ■* n + v, Wo = ■* η, o#o = Ρη·
Кроме того, PhVi 0 отображает функции с периодом ω из Q (/, L)
в себя, если выполняется условие е) 2, значит, функция д0 является
периодической и
Ρ η (Υ + ω) = (PHt 0g0) (Υ + ω) = (Ρ„, ο9ο) (y)=pn (γ).
2°. Использованный при доказательстве теоремы метод применил?
к системам вида cn + i — fn (cn) и позволяет доказать существование
ограниченного экспоненциально устойчивого решения, которое
является периодическим (соотв. почти-периодическим), если
последовательность fn является периодической (соотв.
почти-периодической). Доказательство в этом случае гораздо проще.
Предложение. Пусть дискретная система cn + i --- fn (cn)
удовлетворяет следующим условиям:
1°. Для | с | ^ /, η г Ν ^ η ^ η -- 2Ν имеем \ сп (п, с) \ ^ I.
2°. Для | с\ | ^ /, | с2 | ^ /, ^г -г 7V ^ ^г ^ ^г -г 27V имеем
| сп (л, с4) — сп (л, с2) I < «ι Ι ^ι — ^г J» ^е αϊ < 1.
3°. | c7i (тг, Cj) — cn (η, c2) | ^ k]k^~n \ ci — c2 \ для всех η ^ η,
1й |< и.
Тогда существует такая последовательность рп £ С', что
а) | Рп I < 1\
б) Рп ~ ^п (^ι> рщ)» т· е· Рп является решением системы]
112
Глава II
в) | сп (п, с) — рп | ^ кап-п\ с — р~\ для \ с \ ^ Ι, η ^ п, т. е.
решение рп экспоненциально устойчиво (а < 1);
г) если fn+v = fn, то ρη+ν = /ν,
д) ес/ш последовательность fn почти-периодична, то решение рп
также почти-периодично.
Это предложение доказывается так же, как и общая теорема.
Для | с | ^ I берем Ρ η -с = сп (п, с). Соотношение Р~ ~с =
= Р~ ~ Р~ ~пс является очевидным. Пусть щ = п, nt — 2N ^
< ni+1 ^Tii — Ν, j > i > 1. Тогда
\СП (m, С) — Cn (nj, C)\ = \C„ (Л2, C^ (nh с)) — C^ (n2, C^ (щ, с)),
Πι По ГЦ Π2
где с = с- (я,, с). Следовательно,
ni
\сп(щ, с) ~ca(nj, c)\^al1~i\c — c'\ ^2/αί"1,
т. е. lim сп (п, с) существует для \ с | ^ I. Полагаем рп =
= lim cn (п, с). Свойства б), в), г), д) доказываются так же,
п->—оо
как и в общем случае.
2. Для того чтобы выразить в более удобной форме условия
приведенной выше общей теоремы, докажем теорему о непрерывной
зависимости от параметра и теорему об устойчивости,
представляющие и самостоятельный интерес.
Теорема 2. Пусть дискретные системы xn+i = fn (хп)>
χ
n+l
/° (χ°) обладают следующими свойствами:
1) \fn(x)-fn(x)\<l,
2)
3)
дх
dfn
дх
ι,
дх
dfn
дх
дх
Ки
dfn
дх
(Χί)-°1ΐ-(ζύ
(*i)
дх
dfn
дх
Ы
<ω(|^ — х2\),
< ω (| Xi — х21).
§ 5
ИЗ
KN—l
Тогда \ хп (п, х) — х°п (п, х) | < * __ ξ,
I х τ,(л, я2) — хп (η, Χι) — х°п (п, х2) + х°п (η, Χι) | < αΝ (ξ) Ι χ2 — χγ j
для n^n<in-\-N', lim aN (ξ) = 0.
Доказательство. Имеем
Ι χ„ (η, χ) - χ°~+ι (η, ж) | = | / J*) - f~{χ) | < ξ.
71 + 1 П
Предположим, что
1 χ„ (η, χ) - χ\ (η, χ) |< (1 + Κ 4+ .. . + Κ'Γ1) Ι-
η + ρ
Тогда
η + ρ+1
= |/„ (x„ $~x))-!i+р{х~+р{пЛ))\<
η + ρ η+ρ
<Κι Ι χη-\-ν& *) -^+ρ (λ, ΐ) I fS<(l + Κχ +- . . · +Κ\) ξ,
и первое утверждение теоремы доказано. Заметим, что мы
использовали первую часть условия 1) и условие 2). Из доказанного
утверждения следует, в частности, что если решение системы х^, 1 =
— fn (χ()) определено для η ^ η ^Ζ η -}- Ν, то для достаточно малых
ξ решение системы хп + \ = fn (хп) также будет определено для я ^
< η < 7г + N.
Докажем второе утверждение теоремы. Исходим из соотношения
х^ (п, х2) — х^ (п, хх) — * ~+1(и, х2) + х°-+1 (л, χι)
п + 1 п+1
\ -1 (xt + λ (х2 — χα) (х2 — la) —-^(Χί + λ (х2 — хх)) (х2 — хх)
Vox ox
о
Получаем
(п, х2) — х^ (п, хх) — x~+i {η, х2) + x~+i (и, хд Κ ξ j χ2 — χί
\xt
п+1 п+1
114
Глава I
Далее, имеем
х„ (п, х2) — х„ (п, хх) — x~+p+i К х2) + ^+р+1 К х\) =
тг + Р + 1 п+р+1
= L· (х~ К ^)) — /„ (*„ (л, ^ι)) — /~+р (^+„(Я я2)) +
71+Ρ 71 +Ρ 77 + /) ΑΙ+ Ρ
+ ^7+р (^+рЯ *ι)) = /~ (*~ Я *г)) — /„ 1*~ Я ^) +
τι + Ρ тг + р п + р η Λ-ρ
п+р п+р
— х°п + р Я *ι)] — /~ (*£+» Я *г)) + /„ (*£+„ (л, *ι)) -
/ι + Ρ п + Р
— /„ (х„ Я *j)) + /„ (4 +ρ Я^г)) —
77 + Ρ 71 + Ρ П + Ρ
-/ (А Я^))— А (д£, Я^))+/Ч (*°j- Я^)) =
^ ~ V 77 +ρ V ' 17/ ■'77 + pV 71 + Р V ' άΠ l ' П + /) ^ 77 + ρ V ' 17/
/7+Ρ
1
Γ <9/~+ρ
|>„ (λ, я2) + λι/_ ] ώλι/^
га тг + р 7ί+ρ тг + р
О
1
Γ dfc+p
■ \χ (η, χχ) + λιΑ, 1 Лг/°~ +
дх п + рУ ;ΊΓ ^n+pJ ^+ρ^
ο
1
J дх
о
ΐ4+ρ^ΐι) + λ^+ρ|Λ^Η
Ι г?г п + Р v ' ^n + pJ °п + р '
о
+ [ df"+p [x°~ (n,lc2)-ky\r]dly\ ,
1 Я /г + р v ' z/ ^n + pJ у77 + р'
о
где приняты следующие обозначения:
у~. = х~. (п, х2) — х~, (п, Xi) — х~. „ (я, ^2) + х~, (и, Х\),
υΠ + Ρ 71 + Р V ' if 71+Р V ' V 71 + p v ' z/l 71 + ρ V ' J''
V-, = x^, (n, Xi) — χ°~, „ (η, x2).
^П+Р 71 + p V ' L/ 71 + P v 7 *'
§ 5
115
Поэтому
vP+i = I У~+р+11 < K,vp + ω (| x~+p (n, ~xx) - 4+p (л, *0 I) | y^+p | +
+ ξ 1 y°~+p 1 <^Ι7Ρ + ω ( У ~ * |^f 1^ - s2[ + ξΑΤ Γχ, -~χ2\,
νρ+ί < ΑΊϊ;ρ + Κ?$Ν (ξ) | ^ — χ21.
значит,
Отсюда получаем
l?p < JSTf ξ Ι Χί — tf2 I
кг1 -1
β.ν(£)Ι*1 —^2 I,
значит, νη ^ αΝ (ξ) | #1 — χ2 Ι для 0 ^ ρ ^ 7V и
т. е.
lim αΝ (Η) = 0.
Теорема доказана.
Теорема 3. Рассмотрим систему
Уп + 1 = Υ η (У η, GJ» θ?ι + 1 — θη = θ/ι (У/ι, Ο/ι)
w: предположим, что
а) Уд, ΘΛ определены для \ у \ ^ Н, Q ζ rS и
dYn
ду
(ί/,θ)
^Ки
ΘΥ
дв
-О/, θ)
<ки
дв
ду
~(У,в)
<Klt
(9Θ
3Θ
-0/,θ)
<#ь
η(ΐΛΘ')-^(ίΛΘ')
fy
%
dY dY
^(^θ')-^(^,θ-)
^"(^θ'ί-^α,-,θ-)
<^(|ι/'-ι/"Γ+|θ'-θ"|μ),
^ а:, о у- _ j,- r + |θ' — θ' r>,
^αίΑϊ/'-ζ/Τ + ΙΘ'-Θ'Τ),
<#ι(Ιι/'-2/Τ + ίθ'-θ"|μ);
116
Глава II
б) Уп(0,9) = 0, Θη(0,θ) = α„;
в) существуют 0 < g < 1 и К > О, такие, что \ ζη (я, ζ) | ^
^ Kqn~n | ζ I для всех решений системы ζη+ι = ЛЛ (25д) ζΛ, где
Ап(В) = Ц±(0,в), 58, = 58+ Υ α*.
k—n
При этих условиях существуют такие q , К', I, что
1°. При | У' | ^ I имеем
\Уп(п^,Ъ)\^К'^п~п\у\ для я>7г.
2°. /Т/ж | г/' | ^ Z, | у" | ^ I имеем
(Z зависит от р).
Доказательство. 1) Пусть Fn (z) — функция,
построенная для линейной системы, исходя из условия в), как в § 3 гл. I.
Тогда | ζ | ^ Vn (ζ) ^ Κ \ ζ |, и, полагая Vn = Vn [ζη (η, ζ)],
получаем V*n+1 - 7£<C - (1 - q) V*. Кроме того, | Vn (ζ') - Vn (ζ") | <
< Κ Ι ζ - ζ \. _
2) Пусть yn (η, у, θ), θη (η, у, θ)— некоторое решение системы
и V* = Vn [уп (η, у, θ)]. Тогда
К+х ~K^~(l~q)K+K2\yn (n, y9Q) Г+1 +
+ K31 yn Я £, θ) i (\\ yk (η, £, Θ) | )μ<
< -(i - q) ν*+κ2ν: μ+1+ κ3ν: (^V: )»
fe=n
1 ~*
Пусть g<g'<l, W„ = ^Vn. Тогда
0 η— η
L q q
n-1
9
§ 5
117
Предположим, что Wk ^ Г для к ^ п. Тогда
п — 1 _ п — 1 _
(2/ "Ό^ίΖ»' )'
Γμ
k=n
k = n
κ2
4
(l-q'T
μ(η-η) π / ST^] k-n \μ
n-l
>
>ι- —
9
„ С' μ(η-η) μ τζ
4 Λ2„- /' Λ3
Γ
—я
g'(i-?T'
■ο,
если
(?-?)
1/μ
Для таких Ζ' и для Wk ^ Г, /с ^ п7 имеем Wn + i — Wn < 0, а,
значит, Wn + \ <С И^ ^ Z; и неравенство Wn ^ Z' доказывается по
индукции, если оно справедливо при к = п, т. е. если
folate'-?)
1/μ
К
κ2 +
к*
1/μ
(i-gT-
Для таких г/ имеем И^ ^ V при всех п^ п, а, значит,
W„+1-^<-aIf„, ^„<(l-a)n-?;:ir~=A'(l-a)n-"|y|.
Но тогда V*^ К [q' (1 — а)]п~п | у |, так что
\Уп(п, y,%\^K[q(i-a)f-^\~y\,
и первое утверждение теоремы доказано.
3) Пусть^ теперь у'п =JnJn,j', θ'), у"п = г/д (л, ιΛ θ")^ θ^ =
= θη (η, у', θ'),^ θη = Эд (я, у", θ"). Предположим, что | у' | ^
Ξ^ I У" I? 93 = 4Θ', и положим F"** = УЛ (ι/ή — у'п). Используя
неравенство
|θ;-θ;-θ"+θί<^4(\ι^-^ι + ι?ιίθ'"-θί),
118
Глава II
получаем
I У'п -У"п\^ Vf* = q"n~~nWl ^ Kq"n~7i \ у'-~у" \ +
+ кь\уГ\Ъ"-%'\/ " +
}=п
ι
Пусть ип — \у'п — у"п |. Тогда
qi-n
д'Г\,^Кд'П " \у'-у"\+К5\у'Пд"-В-\д"П " +
«„< Λ'| у'-jh + ,κ,ιί'ΓΙθ'-η+
j=n
значит,
так что
ип^КА\у'-у"\ + \у'\»\3"-$'\),
I у ή - г/Л < Kiqr\\ у'- у"\ +1 у'\ μΙ θ '-θ Ί),
Ι θ; -θ; -θ" +θ' к к8(Гу' -~у" ι + w по" -θ' |),
и теорема доказана.
3. Теперь мы можем доказать следующую теорему о
существовании экспоненциально устойчивого инвариантного многообразия.
Теорема 4. Рассмотрим дискретную систему
y?i+i = У η (Уп, Эд) -f εΥ^ (уп, Qnj ε),
θΛ+ι = θ* -'- θ°η (уп, θη) + εθ^ (уп, вп, ε).
Предположим, что Υ°η, θ^ удовлетворяют всем условиям теоремы 3,
α Υη> Θ^ удовлетворяют условиям регулярности из теоремы 2.
Тогда для достаточно малых \ г \ существуют функции рп: сё ~>
—>- С, такие, что:
а) |ρη(θ)<*(β);
§ 5
119
б) I р„ (О,) - рп (02) | < L (ε) | Οί - 02 |, lim Ι (ε) = lim L (ε) = 0;
в) если \ у I ^ Ζ (ε), то
I yn (η, ~y, 0) -ря (0Я Я у, θ)) | < Гдл";Г | у -pJO) |;
71
г) если г/ == р^ (0), то уп (п, у, 0) = ря (Оя (и, г/, б)) и решение
определено для всех целых п;
д) функции рп однозначно определяются перечисленными
свойствами;
е) 1* если
n+v (0, 0) = Υ°η (у, 0), Υ;ί+ν (г/, О, ε) = Υ\ (у, θ, ε),
θ°+ν (.¥, 0) = К (У, °), ©η+ν (У, 0, е) = ©!г (.г/, θ, ε),
то ρη + ν =- рп;
2* если
У° (у, О + ω) = Υ° (у, θ), П (г/, О + ω, ε) = Υ\ (у, Ο, ε),
θ?, (у, θ + ω) = Θ°η Q/, 0), θ1* (у, Ο + ω, ε) = θ)τ (у, Ο, ε),
то ρη (Ο -;- ω) = р?г (О);
о) если последовательности Υϋη, Υ\, θ°, θη почти-периодичны
{равномерно по у, О, ε), то последовательность рп также почти-
периодична.
Доказательство. Проверим, что рассматриваемая
система удовлетворяет условиям теоремы 1. Пусть г/я, 0Я — решение
системы, получающейся при ε — 0. В силу теоремы 3 имеем
I Уп (п, г/, 0) | < K'qn-™ \y | для п^п, \у\^1- Пусть N таково,
что K'q'N < 1/3; тогда для η ^ η ^ η + 27V получаем, используя
теорему 2, что
| уп (и, #, 0) | < | г/?г (и, #, 0) — у°п (п, #, 0) | + |#° (и, ^,6) | <
<β*|β| + /ΓΖ<-£
о
для достаточно малых | ε | и I. Отсюда следует, что решение системы
определено при η ^п^п + 2Ν. Далее, при η ^ η + Ν имеем
\yn(n,~y,~(>)\<PN\£\ + K'q'Nl^V>N\e\+ll<l
для достаточно малых | ε |, и условие 1° теоремы 1 выполняется.
120 Глава II
В силу теоремы 3 имеем
| у°п (га, у',Ъ') - у°п (га, Ϋ,θ") | < K'q"1-71' (\у' - у"\ + ρ Ι θ' -θ" Ι),
|θ°η (и, у', θ') -θ°„ (га ~у", θ") - θ' + θ' | <
<Ζ'(Ι?-?Ί + ρΙΘ'-Θ"|).
Отсюда на основании теоремы 2 вытекает, что
ί.ί/;1(η,1/',θ) — уп(п,'у",Ъ)\ + L | θ„ (га, ]/', Θ) — θ„ (га,]/", θ) | <
< | уη (га, у", θ) - уη (га, у", θ) - yl (га, у',в) + у°п (га, у", θ) | +
+ Ь|0;г(^,?,е)-9!гЯ?',о)-о0пЯ?,е) + оип,7,о)| +
+ у°п (га,?, 0) - j/° (га, У', 0) I + L |0°n (ra, ?, 0) -θ° (га, у', θ) | <
< oc2iv (ε) | .г/' — г/" | + £«λγ (ε) | у' —'у" | +
+ K'qN\y -y"\ + LK'\y -y"\
для /г + TV ^С гс <С тг + 27V, значит, для достаточно малых ε, L
имеем
| уп (пГу'Л) — г/?г (λ,^,'Ο) | + L |θη (λ,?,Θ) —
— θη {η, у",Ъ) Κ αχ Ι г/' — Ι/" Ι,
где αϊ < 1, и условие 2° теоремы 1 выполняется.
Проверим условие 3° а) теоремы 1. Заметим, что при η ^ η <!
< л + 27V, I у' — у" К L | θ' — θ" I имеем
|θη(^^θ')-θη(Λ,^,θθ-θ'+θΊ^
<|ел^?,^)-о?гЯ?\е'')-е^Я?;е') +
<α2Ν (ε) (| #' -^ Ι + Ι θ' -θ" Ι) + Κ' (\? -?' | + ρ | θ' -θ" |) <
< α2Ν (ε) (1 + L) | θ' -θ" | + /Г (L + ρ) | θ' -θ" | <
1
<α2|θ'— θ'|, где α2<-^,
для достаточно малых | ε |, L и р.
Далее, при л + Ν < л < 7г + 27V, | у' — 1/" I < £ Ι Θ' — θ" |
имеем
\Уп(п, У Л', -i/.KbSlKli/nK?^') —У°п(п, у",Ъ")\ +
+ I У η (и, у',Ъ') — уп (п, у" Л") — У°п (п, у'Л') + у°п (п, у",Ъ") | <
Приложение 121
< KqN {W -γ\ + ρ Ι θ' -θ* |) + α2Ν (ε) fy -~y" | + | θ' -θ" |) <
^ | (L + ρ) | θ' -θ- | + α2Ν (ε) (L + 1) | θ' -Ъ" |< (1 - α2) Ζ ΐ'θ" -~θ'|
для достаточно малых ε и р.
Условие 4° теоремы 1 вытекает из условий регулярности. Таким
образом, теорема 4 следует из теоремы 1.
Полезно рассмотреть «автономный» случай
yn+i = Y°(yn^n) + ^Yi(yn^n^)1
θη+1 =θ„ + 0°(г/?г, θη) + εθ1 (уп, θη, ε).
Инвариантное многообразие для такой системы будет функцией
ρ: Ή -> С, обладающей тем свойством, что у = ρ (θ) влечет
¥°{у,Ъ) +zYlG,Q, β)=ρ(θ + θ°(#,θ) + εθ1(^,θ, ε)),
а значит, некоторое инвариантное многообразие отображения,
определяемого рассматриваемой системой.
Теорема 4 дает условия существования экспоненциально
устойчивого инвариантного многообразия для отображений, возникающих
при малых возмущениях отображения у ι = Υ° (г/, θ), θι = θ +
+ θ° (г/, θ), для которого у = О является инвариантным
многообразием с сильными свойствами устойчивости.
Приложение
ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
1. Определение 1. Последовательность ип (определенная
для любого целого η и принимающая значения в Rm или, более общо,
в некотором банаховом пространстве) называется
почти-периодической, если для любого ε > О существует такое число N (г), что
между любыми двумя последовательными кратными Ν (ε) найдется
целое р, для которого \ ип+р — ип | < ε, каково бы ни было п.
Числа р, обладающие указанным свойством, называются г-почти-
периодами последовательности. Всякая периодическая
последовательность является также почти-периодической: для любого ε > О
можно взять в качестве Ν (ε) период последовательности, причем
ε-почти-периодами для любого ε являются кратные периода
последовательности.
Предложение 1. Всякая почти-периодическая
последовательность ограничена.
122
Глава II
Доказательство. Пусть п0 — произвольное целое число
и ε > 0. Согласно определению, между —п0 и —п0 + Ν (ε)
существует ε-почти-период р; из неравенств —п0 ^ ρ ^ — п0 + Ν (ε)
следует, что 0 ίζ ρ + тг0 ^ TV (ε), и
1^/г0 I = I ип0 — ип0 + р + ип0 + р I ^Ξ I ^?г0 ~ ип0 + р I + I ип0 + р I <
<ε + max \ип\ = Μ (г).
Но так как п0 произвольно, наша последовательность является
ограниченной.
Для всякой ограниченной последовательности ип положим
|| ип || - sup \un | и для двух таких последовательностей ип и ип опре-
п
делим расстояние между ними формулой ρ (ιιη, ип) -- || ип — ип ||.
Используя это расстояние, можно определить сходимость в
пространстве почти-периодических последовательностей:
последовательность (u^)k сходится к последовательности ип, если lim || и\ —
— ип || = 0, т. е. если для любого ε > 0 существует такое К (ε),
что для к ^ К (ε) выполняется неравенство \\и^ — υη || < ε и,
следовательно, | и\ — ип | < ε для любого целого п. Итак, введенная
сходимость — это просто сходимость по индексу к, равномерная
относительно η *).
Предложение 2. Пусть (u%)k сходится κ иП7 где каждая
последовательность (и^)п почти-периодична. Тогда
последовательность ип почти-периодична.
Доказательство. Пусть ε > 0 и К (ε) таковы, что
I ип (ε) ~ vn I < ε/З для любого целого п, и пусть ρ является
ε/3-почти-периодом для и%(еК Тогда
| νη+ρ - νη К | νη+ρ - и^р | + | и??р - и™\ +
+ ι^<Β)-^„κ|- + |- + |-=β
и, значит, ρ является ε-почти-периодом для последовательности νη.
г) Определенное нами метрическое пространство является полным: если
последовательность (u^)k фундаментальна, то она сходится. Действительно,
если существует К (ε), такое, что || u^+l - ^ ||< ε для к > К (ε), каково бы
ни было Ζ, то | u^+l — и^ | < ε для любого целого п, т. е. для всякого
фиксированного η последовательность (ип)к является последовательностью Коши и,
значит, имеет предел, скажем ип. При I-*- оо получаем \υη — ип | -^ ε для любого
п, т. е. ϊ| ип — и\ || < ε.
Приложение
123
Теорема 1. Последовательность иа почти-периодична тогда
и только тогда, когда для любой последовательности целых чисел
mh существует такая подпоследовательность т^., что
последовательность ип + ткш сходится при / —> оо равномерно относительно п.
Доказательство. 1) Пусть последовательность ип почти-
периодична, mk — некоторая последовательность целых чисел и
ε > 0. Существует такое N (&), что между mk — N (г) и mk
найдется ε-почти-период pk. Поскольку mk — Ν (ε) << pk ^ mk, то
О < mk - pk<N (ε).
Пусть qk = mk — pk. Последовательность qk может принимать
лишь конечное число значений, следовательно, существует такое д,
что qk = q для бесконечного числа индексов /с, скажем для к). Так
как | ип+Шк — ип.\ qk | -- | uua Шк — unj{ mk-pk | < ε, то | иПА-,пк\ —
— un+q | << ε для любого п. Пусть ε] > ε2 > . . . > ε6. > . . .
. . ., lim 8j == 0. Из последовательности ип-\т} выберем подпосле-
j->oc ' h
довательность un+mfii, для которой | unjrinki — un-\-qi |<ε]. Из этой
подпоследовательности выберем подпоследовательность un\.mk2, для
которой | un\-mh% — Un+q* I < &2· Продолжая, получим подпосле-
довательность и . г, для которой | и г — ип Vqr | < εΓ. Обра-
зуем диагональную последовательность ип umJ и покажем, что эта
последовательность сходится равномерно по η при /' —>оо. Пусть
г>0 и ί таково, что eR < ε/2. Тогда для г, s ^ 7? имеем
| гг г—ua+m}iS | ^ | un+mkr — и в\-{-\и R un+mkS | <
/г+m/j.s s /· ?г + д /г + <? s
<εβ + εβ<ε,
ибо (/гг ,)7· и (/гг s)7· являются подпоследовательностями последова-
тельности (т R)j. Поэтому || ип_ г — ип_, 8 \\ < ε, так что после-
довательность (и , )j является фундаментальной, а значит, рав-
n-rrnk.
номерно сходящейся.
2) Пусть условие теоремы выполняется, а наша
последовательность не является почти-периодической. Тогда существует такое
£0 > 0, что, каково бы ни было натуральное число N, существует
N последовательных целых чисел, среди которых нет ни одного
ε-почти-периода. Пусть LN — такая группа последовательных целых
чисел, и пусть mi произвольно, а т2 таково, что /тсι — т2 находится
в L\. Например, если т — число из группы Li, то можно взять
т2 = пц — т. Для единообразия обозначим L\ = LVl и выберем
такие v2 > | ш\ — т2 | и т37 чтобы т3 — mi и т3 — т2 находились
124
Глава II
в LV2. Возможность такого выбора вытекает из следующих
соображений. Пусть Ι, Ζ + 1, . . ., Ζ + ν2 — 1 — числа из LV2 и т2 ^
^ mi; возьмем т3 = Ζ + /7г±, так что ттг3 — ^ι 6 А?2» a тз — т2 =
= га3 — mi + /τΐι — т/г2 = Ζ + mi — ra2 < i + ν2 и m3 - ra2 > i иг
следовательно, ттг3 — те2 6 ^ν2· В общем случае выбираем ν^ >
> max | ττιμ — wiv I и потом тп + \ так, чтобы числа mn + i — т^
принадлежали Lv для 1 ^ μ ^ п; выбор mn+i производится, как
выше, а именно % + ι = Ζ + ттг7·, где rrij = max /τιμ. Для построен-
ной последовательности тп имеем sup | ипАгШ — ип+т | =
η r s
= sup I ип ι m _ш — иЛ |. Но гаг — т8 £ Lv (для г ^ 5) и, значит,,
η r s Γ_1
не является е0-почти-периодом (в LN по предположению нет ни
одного 80-почти-периода). Отсюда следует, что существует индекс пу
для которого | Mn+Wr_ms — и?г | > ε0, значит, sup | ип+тг —
η
— ^r4-ms I > ε0, или II un+mr — un+ms || > ε0. Однако из наших
предположений следует, что последовательность тп содержит такую
подпоследовательность т^., что последовательность (ип^тъ \ являет-
ся (равномерно) сходящейся, а это означает, что существует такой
индекс /о, что для /, Ζ >/0 имеем || un+mk. — un+mk II < ε0. Мы
получили противоречие. Теорема доказана.
Следствия. 1) Сумма двух почти-периодических
последовательностей почти-периодична.
Действительно, если последовательности ип и ип являются почти-
периодическими, то из последовательности mk можно извлечь такую
подпоследовательность ти., что последовательность (un+mk)j
(равномерно) сходится, а из mkr можно извлечь подпоследовательность
ти., для которой (vn+mk)j (равномерно) сходится. Отсюда следует,
что из последовательности mk можно извлечь такую
подпоследовательность mk., что последовательность (un_|_mfe + vn+mk)j (рав-
·' 3 3
номерно) сходится.
2) Если ип — почти-периодическая последовательность, а ап —
почти-периодическая последовательность скаляров, то
почти-периодической является и последовательность апип.
Как и выше, из любой последовательности целых чисел mk можно
извлечь такую подпоследовательность т^., что последовательности
ocn+mk, и un+mkm (равномерно) сходятся. Отсюда вытекает
(равномерная) сходимость последовательности an_^_mfe un+mkm, а это влечет
за собой почти-периодичность последовательности апип.
Приложение
125
Приведенные следствия показывают, что множество
почти-периодических последовательностей со значениями в некотором банаховом
пространстве образует банахово пространство (с определенной выше
нормой).
Заметим, что если последовательности ип и ип принимают
значения из некоторой алгебры, то, как показывают проведенные выше
рассуждения, последовательность ипип является
почти-периодической одновременно с последовательностями ип и ип.
Смысл понятия почти-периодической последовательности очень
хорошо виден из того факта, что если / — непрерывная на
вещественной оси периодическая функция, то для любого I
последовательность ип — / (nl) является почти-периодической. Этот результат
непосредственно вытекает из следующего предложения, для
доказательства которого мы отсылаем читателя к книге Кордуняну ([13],
гл. I, § 6).
Предложение 3. Для того чтобы последовательность ип
была почти-периодической, необходимо и достаточно, чтобы
существовала такая почти-периодическая функция /, определенная на
вещественной оси, для которой ип = f (ή).
Заслуживает внимания и следующее предложение, которое
позволяет в определенных случаях вывести из существования почти-
периодических решений у дискретных систем, аппроксимирующих
данную непрерывную систему, существование почти-периодического
решения этой непрерывной системы.
Предложение 4. Функция / почти-периодична тогда
и только тогда, когда она равномерно непрерывна на вещественной
оси и, кроме того, существует такая стремящаяся к нулю монотонно
убывающая последовательность 6k, что последовательности (/ (n6k))n
являются почти-периодическими для всех к.
За доказательством вновь посылаем читателя к [13].
Докажем теперь теорему, позволяющую между прочим
утверждать, что если Ап — последовательность матриц размера h X 12
и если последовательности а^ почти-периодичны (i = 1, . . ., Ιχ,
7 = 1, . . ., h), то последовательность Ап является
почти-периодической.
Теорема 2. Если последовательности ип и ип
почти-периодичны, то для любого ε > О существует такое Νε, что между любыми
двумя последовательными кратными Νε найдется по крайней мере
один г-почти-период, общий для этих двух последовательностей.
Доказательство. Пусть Ν\ (у) , Ν2 (4-1 — числа,
соответствующие последовательностям ип и ип согласно определению
126
Глава II
почти-периодичности, и пусть Ν3 (ε) -- max ί Nt ί-у) , N2 (γ)) .
Между любыми последовательными кратными Ν3 (ε) найдется
ε/2-почти-период ρ ι для ип и ε/2-почти-период р2 для ип. Очевидно^
I Pi — Рг Ι ^Ξ Ν3 (ε), так что эта разность может принимать лишь
конечное число значений, где бы мы ни выбрали те Ν3 (ε)
последовательных целых чисел, среди которых мы нашли р\ и р2. Будем
говорить, что две пары (ρί7 р2) и (р[, р'2) эквивалентны, если | pi —
— Р2 I - = I р[ — Ρ2 U так как I Pi — Рг I может принимать лишь
конечное число значений, то существует лишь конечное число
классов эквивалентности относительно этого отношения
эквивалентности.
Выберем для этих классов эквивалентности какую-либо систему
представителей (prv ρΊ2), г =-= 1, 2, . . ., s. Положим Ν4 (ε) =
== max I p[ Ι, Ν (ε) — N3 (ε) -f 27V4 (ε) и покажем, что между
г
любыми целыми последовательными кратными 7V4 (ε) можно
найти ε-почти-период, общий для последовательностей ип и νη.>
Пусть п0 — целое число; р\, р2 — ε/2-почти-периоды,
расположенные между п0 -\- 7V4 (ε) и п0 + 7V4 (ε) + Ν3 (ε); (ρ[, ρζ) —
представитель класса, в котором находится пара (рь Рг), так что
I Р\ — Рг I == I Р\ — Р\ |. Имеем р\ — р\ = рх — р2, или р[ — р\ =
= Рг — Pi, значит, р[ — рх -~= р\ — р2 = — р, или р{ + рх =
= р\ -f р2 = Р· Из неравенства \ р[ | ^ 7V4 (ε) вытекает, что п0 <
< Pi + Pi < по + Ν3 (ε) + 27V4 (ε) = n0 + Ν (ε) и η0 < Ρί -
— ΡΊ ^Ξ ηο ~ Ν3 (ε) + 27V4 (ε) = η0 + 7V (ε), т. е. в обоих случаях
^о < Ρ ^ ^о ~г Л^ (ε). Число ρ, определенное таким образом,
является общим ε-почти-периодом для обеих последовательностей.
Действительно,
\~αΊΊ + Ό—ип\ = \и г — ип I ^ Iи г — μ,, + d, I+
ε ε
+ I un+Pi —и>п\< — + — = г,
yn + p
V
2 ' 2
^ ' n+D„+ni 71-I-p2 I I
n + p2±P2 " ' ^ ' ?г + р
ε ε
+ I ^г + р2 — Vn |< — + 2" = 8.
2. Определение 2. Последовательность ип, η ^ 0,
называется асимптотически почти-периодической, если для любого ε > 0
существуют такие N (г) и В (ε) > 0, ч/тго между любыми двумя
последовательными кратными N (г) найдется такое целое число р,
что если η ^ В (ε) и η -\- ρ ^ Β (ε), /тго | м?г+р — Щ% I < ε.
Для того чтобы пояснить смысл этого определения заметим, что
если ип = ап + ωη, где ап — почти-периодическая последователь-
Приложение
127
ность, a lim ωη = 0, то последовательность ип является аСИМПТО-
тически почти-периодической. Действительно, пусть ε > 0. Тогда
существует такое В (ε), что | ωΛ | < ε/З для п^В (ε). С другой
стороны, в силу почти-периодичности последовательности ап
существует такое N (г), что между любыми последовательными кратными
Ν (ε) найдется р, для которого | ап+р — ап | < ε/З, каково бы ни
было п. Пусть теперь η ^ Β (ε), η -\- ρ ^ Β (ε). Тогда
I ип+Р — ип ! = I ап+р + (°д+р — ап — ωη | < | ап+р — ап | +
ε ε ε
+ Ι ωη+ρ Ι + Ι ωη |< у + j + у = ε,
т. е. последовательность ип является асимптотически
почти-периодической.
Теорема 3. Если ип — асимптотически почти-периодическая
последовательность со значениями в Rm, то существуют такие
единственным образом определяемые почти-периодическая
последовательность ап и стремящаяся к нулю последовательность ωη, что
ип = ап + (о/г.
Для доказательства этой теоремы докажем сначала несколько
предложений.
Предложение 5. Всякая асимптотически
почти-периодическая последовательность ограничена.
Доказательство. Пусть п0 ^ В (1) произвольно.
Выберем р, лежащее между — п0 -f В (1) и — п0 + В (1) + N (1). Тогда
По + Ρ > В (1) и, значит, | unoJrP — иПо | < 1, или | uno | ^
< I Uno-rP — ип0\ + I unojrP |<l-f | ищ>+р\> так что I ип0 I < 1 J~
+ Μι, где Mi = max | ип |. Окончательно имеем | ип | <
< 1 + Μ, где Μ = max | un |.
0Сп^Л(1) |-iV(l)
Предложение 6. Если последовательность ип
асимптотически почти-периодична, то из любой последовательности целых
чисел hs -> оо можно извлечь такую подпоследовательность ks, что
последовательность (un+hjs будет сходиться равномерно по η ^ — /
при любом натуральном /. При этом последовательность ап =
= lim un+ks почти-периодична.
Доказательство. Пусть uns = unjrks- Так как
последовательность ип ограничена, существует такое М, что | vns | < Μ.
По лемме Чезаро можно выбрать такую подпоследовательность sky
что последовательность (vUs )k сходится. Пусть ; — произвольное
128
Глава II
натуральное число. Последовательность можно выбрать так, чтобы
hsk ^ / (ибо lim hs = оо) и, значит, η + hs ^ 0 при η ^ — /;
s-*oo
следовательно, vn& определено для η ^ — /. Беря поочередно
7 = 1, 2, . . ., г, . . ., получаем, что для / = г существует такая
последовательность (h )k, что (ипл.п r)k сходится для — г < η ^ г,
sk sk
причем мы можем взять в качестве (hsr)k подпоследовательность
последовательности (h r-i)k. Рассмотрим диагональную последова-
тельность un+h r. Пусть / произвольно, а ϋ — такое положительное,
sr
что —R ^ /. Для г ^ R последовательность un±h r содержится
4
в последовательности un+h R и, значит, сходится для —R ^ η ^ R,
sh
в частности для η = /. Отсюда следует, что последовательность
ип+п r является сходящейся, каково бы ни было п, причем
сходимость, очевидно, равномерна относительно п, пробегающего любое
конечное множество индексов.
Введем обозначение h r = h'r. Пусть ε > О и рг выбрано между
h'r — Ν (ε) и h'v согласно определению асимптотически
почти-периодической последовательности. Тогда для достаточно больших г
имеем h'r > TV (ε), так что рг > 0, и если η > R (ε), то η + pr >
> R (ε), так что | ип^_р — ип | < ε. Введем обозначение тг =
= h'r — рг. Имеем 0 < тг ^ Ν (ε); следовательно, если η ^ R (ε),
то η + тТ> R (ε), η + mr + pr> R (ε) и | мп+тдРг — мп+тг| <
< ε, т. е. | u.h'— un+mr | < ε для n^R (ε). Последовательность
mr может принимать лишь конечное число различных значений,
значит, существует значение га*, которое принимается для
бесконечного числа индексов г/, и, следовательно, | u.hr — un+m* I < ε.
Но последовательность (и ,. / )j является подпоследовательностью
ir.
последовательности (ип г)г, о которой известно, что она сходите «■
для любого п. Пусть ап — предел этой последовательности. Тогда
I осп — ип+т* | < ε для n^R (ε) и | ип^ — ап | < | ип+к, —
— ип+т* | + | ип+т* — ап | < 2ε для я > R (ε).
Пусть теперь Ζ — произвольное натуральное число. Рассмотрим
числа п, удовлетворяющие условию —Ζ ^ тг ^ Ζ? (ε). Согласно
выбору последовательности h'r, последовательность (un.h')r
равномерно относительно η сходится к ап; значит, то же верно и для
последовательности и hr , следовательно, если / ^ R (ε), то, каково
rj
бы ни было η ^ — I, имеем \ и , , / — ап I ^ 2ε. Возьмем ε = 1/35,
Приложение 129
I = s. Последовательность h'r. зависит от ε, а значит, от s; R (ε)
зависит от ε да еще и от Ζ, значит, тоже зависит от s. Введем
обозначение ks = h'r . Имеем | ип+ьв — осп \ ^ 2/3s < lis для η ^ — s.
Для произвольного натурального / и ε > О выбираем К (ε) так,
чтобы К (ε) > max (1/ε, /). Тогда для s ^ К (ε) будет выполняться
неравенство | ип+п8 — осп | << ε, каково бы ни было η ^ — /, и
первое утверждение нашего предложения доказано.
Остается показать, что последовательность ап (определенная для
всех целых п) является почти-периодической. Пусть ε > 0. Имеем
| ип+р — ип \ < ε/2 для п^ В (ε/2), η + ρ ^ В (ε/2), значит,
I ^n-fp+fes- — un+hs I < ε/2 для η + ks ^ В (ε/2), я + /? + &s >
^Ζ?(ε/2). Пусть η произвольно. Выберем s настолько большим,
чтобы η -]- ks ^ В (ε/2), η + ρ + ks^B (ε/2). Это возможно, ибо
lim /cs = 00. Из полученного выше неравенства получаем тогда
s—>-оо
| ад+р — ад | ^ ε/2 << ε, а это показывает, что ρ является ε-почти-
периодом для ап.
Доказательство теоремы 3. 1) Пусть es ->0, и
пусть ps — некоторый асимптотический εs-πoчτи-πepиoд,
расположенный между s и s + Ν (ε5). Тогда | ^n-;-Pg — иЛ | < es для и, ^
^В(г8). Из неравенства ps ^ s следует, что /?s->oo. Согласно
предыдущему предложению, существует такая
подпоследовательность р8 , что (un_;_p> )ft равномерно по η ^ — / сходится к почти-
периодической последовательности ад. Положим ωη = ип — ад.
Имеем | (оп | < | ип — ип+р | + | ^n+pSfe — αΛ |< eSft + | мп+Рв — ад |
для η ^ В (es ). Для к ^ К (&) имеем es < ε/2 и | un+р — α„ | <<
ft ft sfe
<С ε/2. Полагая Ζ? (ε8^ε)) = -В (ε), находим, что | ωη | << ε для
η ^ Β (ε), откуда lim ωη = 0.
П->оо
2) Предположим, что возможно еще одно разложение ип =
= α'η + ωή· Тогда ад — αή = ω'η — ωΛ, и так как ωή — (оп ->0,
то ап — αή ->0. Поскольку последовательность ад — ап является
почти-периодической, остается показать, что всякая
почти-периодическая последовательность β^ с нулевым пределом тождественно
равна нулю. Пусть es ->0 и ps — некоторый εs-πoчτи-πepиoд,
расположенный между s и s + N (es). Тогда последовательность
(β^+ρ )s содержит равномерно относительно η сходящуюся
подпоследовательность, скажем (Pn+ps )ft- В силу неравенства ps ^ s имеем
р8 ->оо, значит lim βη+ρ8 = 0, равномерно по п. С другой сто-
ft-юо h
роны, из неравенства | βη — $n+ps I < ε8 получаем при к ->оо,
что | β^ Ι ^ 0 и, значит, β^ = 0. Теорема полностью доказана.
130
Глава II
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Некоторые результаты общего характера, относящиеся к линейным
системам с периодическими коэффициентами, см. в [33], [43]. Предложение 3 является
обобщением предложения, полученного Векслером [90]. Лемма 1 из § 2
принадлежит фактически Векслеру. Теорема 1 получена в [33] и усилена Векслером.
Теорема 3 в непрерывном случае установлена в [36]. Результаты § 3 являются
дискретным аналогом результатов [35] и публикуются здесь впервые.
Теоремы 1—3 § 4 получены в [33]; для теоремы 3 здесь приведено новое доказательство,
аналогичное данному в [36] и основанное на одной идее У рабе [85]. Теорема 5
доказана Сел лом [69]; относительно непрерывного случая см. [28]. Результаты § 5
получены перенесением на дискретный случай результатов и методов Курцвайля
[45]. О почти-периодических последовательностях см. [13], [22].
Глава III
СИСТЕМЫ ИМПУЛЬСНЫХ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Имеется богатая литература, посвященная исследованию
линейных стационарных импульсных систем при помощи преобразования
Лапласа. Но, как известно, метод преобразования Лапласа
неприменим для получения решений линейных нестационарных и
нелинейных систем. С другой стороны, даже в стационарном случае
использования преобразования Лапласа и его разновидностей
недостаточно, чтобы получить ответы на некоторые вопросы
качественного характера.
В этой главе мы рассмотрим нестационарные импульсные системы
и, вводя системы уравнений в конечных разностях, исследуем ряд
проблем качественного характера для линейных систем.
§ 1. Общие сведения
1. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений 2)
оо
x' = A(t)x+ 2 **δί*. (Ο
k = — °°
где А — матрица размера I X L элементами которой являются
непрерывные комплексные функции действительного переменного,
sk — векторы /-мерного евклидова пространства С1, б/ — мера
(функция, импульс) Дирака, сосредоточенная в точке tk, причем
последовательность {^}__oc<fe<^00 строго возрастает, lim tk =
fe-> — ос
= — оо, lim th = + оо. При этих условиях ряд 2 sk$th (безу-
ft-»-foo k
словно) сходится и его сумма представляет собой некоторую меру
(см. приложение к гл. IV, § 1). Равенство и операции в (1)
понимаются в смысле теории обобщенных функций (распределений),
и решения мы будем искать среди обобщенных функций от одного
переменного со значениями в С1.
Обозначим через X (t, s) фундаментальную матрицу (обычных)
решений однородной системы
χ (t) = A (t) x(t), X (s, s) = Ε,
г) Отметим, что если а = f (аи . . ., а{) — вектор из С1 (значок t означает
транспонирование), то через αδ^ мы обозначаем меру t (αιδΛ, . . ., о/бд) со
значениями в С1.
132
Глава III
где Ε — единичная матрица. На каждом интервале (thl tk+i) система
(1) однородна. Поэтому ищем решения системы (1) в виде функций
на R1 вида
χ (t) = X (t, th) ch для t e ltk, *ft + i), —oo < к < + oo;
последовательность {ch} предстоит определить так, чтобы функция
χ удовлетворяла системе (1). По правилам обобщенного
дифференцирования кусочно-регулярных функций (см. [15]) получаем
* = [*'] + Σ ix (th + 0) - х (tk - 0)} 6ift,
к
где через χ обозначена обобщенная производная, а через \х'\ —
обычная производная, определенная для любого t Φ th. Так как
[χ] (t) = Л (t) x (t) при t = tk, то
x = A (t)x + ^]{ck —X(tkl ^-i)cft_i}6ife.
k
Чтобы функция х удовлетворяла системе (1), достаточно положить
ск — X (^t> *fe-i) ch-l — sh·
Таким образом, доказано следующее
Предложение. Решения системы (1) являются
распределениями типа функций с непрерывной производной на любом интервале
[thl tk + i). Они определяются равенствами
χ (t) = Χ (ί, tk) ch при t e tik, ift+i), —oo < к < + oo, (2)
где последовательность {ck}-oo<k<+oo удовлетворяет системе
разностных уравнений
Сл+1 = X (fft+i, tk) ch + sk+l x). (3)
В точке tk решение имеет скачок sh.
]) Фактически мы показали лишь, что функции вида (2), где {ck}
удовлетворяют системе (3), суть решения системы (1). Однако, как будет показано в § 1
гл. IV, однородная система не допускает других обобщенных решений, кроме
обычных. Отсюда следует, что любое решение системы (1) имеет вид
χ (t) = X (t, th) ck + X (f, tQ) x0,
где t £ [tk, th+l), a {ch} удовлетворяют системе (3). Следовательно, χ (t) =
= Χ (t, tk) си, где t e [tk, ift+i), a ck = ck + X (tk, t0) x0, ибо Χ (f, s) ==
= Χ (ί, α) X (a, s). Получаем
Ch+\ = X{tk+u ift)cft + 5/i+i + X(ift|.i, t0)x0 =
= Χ(/Λ+ι, tk){ck + X(tk, t0)x0)JrskjrlL^X(tkJr\J th)ch + Sh+\.
Следовательно, всякое решение системы (1) имеет вид (2), где
последовательность {ck} удовлетворяет системе (3).
§ ι
133
Замечания, а) Физические системы часто описываются
математически одним импульсным уравнением порядка / i> 2
~ + al{t)^r+--- + al(t)z=y.okbtk. (4)
k
Положим
Χι = ζ,
Уравнению (4) эквивалентна следующая система:
^2 = ^3 >
х\ -\-ai(t)xi+ ... + 4 (t) xv = 2 shbth.
Решения этой системы имеют в th скачок sk = '(О, . . ., Gk).
Следовательно, решения ζ уравнения (4) являются функциями,
непрерывными вместе с / — 2 первыми производными, производная же (I — 1)-
го порядка имеет в точке tk скачок ah.
б) Система (1) обладает свойством единственности решений: для
любых начальных функций 0 ζ R1, х0 6 С1 решение χ (£, 0, х0),
определяемое условием χ (0, 0, х0) — Хо, единственно. В самом
деле, предположим, что 0 ζ [tko, tk +i). Решение х однозначно
определяется последовательностью {ck}. Если χ (t) = X (t, tJu) cko для
t 6 ltko, tko+i), то x0 = X (0, tho) cko, и из Χ'1 (0, tko) = X (thn, 0)
следует cko = X (tko, 0) x0. Остается показать, что существует
единственное решение {ck} разностной системы (3), удовлетворяющее
равенству cko = X (tko, 0) х0. Но это немедленно следует из того
факта, что матрицы X (tk+i, th) обратимы и, значит, система (3)
обладает свойством единственности решений.
В дальнейшем для простоты возьмем в качестве начального
момента времени одну из точек tk, например t0, и для краткости
решение χ (t, t0, х0) обозначим через χ (t, x0).
в) Решений системы (1) могут быть записаны в виде
χ (*, х0) = X (t, t0) х0 + У х (*> h) sj ПРИ * > h- (5)
134
Глава III
В самом деле, учитывая формулу вариации постоянных для
разностных уравнений (гл. I, § 2) и соотношение X (£, а) X (a, s) =
= X (t, s), решения системы (3) можно записать в виде
k-k0
ck = X(th,tho)cko+ ^] X (tk, tko+j) sko+j для к>к0, (6)
.7 = 1
и мы получим (5), положив к0 = О, с0 = х0.
2. Тем же путем можно получить решения некоторых нелинейных
импульсных систем. Рассмотрим систему
^-=F{t,%), (7)
at
где F — непрерывное отображение В1 X С1 -+С1. Пусть F
удовлетворяет условиям, обеспечивающим существование,
единственность и продолжимость на (— оо, +оо) решений системы (7).
Обозначим через χ (t, t0l x0) решение, определяемое начальными
условиями (t0, х0).
Рассмотрим нелинейную импульсную систему
^L=F(t,z)+ 2j sk8ik, (g)
h = — °°
где последовательности {^fe}_00<ft<_|-oc и {sh}-оо^^оо удовлетворяют
условиям, указанным в пункте 1. Производная и равенство в (8)
понимаются в обобщенном смысле, а решения ищутся в классе
распределений типа обычных функций (чтобы имело смысл
выражение F (t, x)).
На каждом интервале (tk, tk+i) система (8) совпадает с
(невозмущенной) системой (7). Поэтому решение системы (8) ищем среди
функций на R1 вида г)
x(t) = x (t, tk, ch), t£[tk, tk+l), — oo</c<+ oo.
Нам предстоит определить последовательность {ck} так, чтобы χ
удовлетворяло уравнению (8). Совершенно так же, как в пункте 1,
показывается, что указанные функции суть решения системы, если
последовательность {ck} удовлетворяет нелинейной системе
уравнений в конечных разностях
ck+i = x{tk+i, tk, ck) + sk+i, — оо</с<+ оо.
]) Как легко показать с помощью леммы 2 § 1 гл. IV, все решения
системы (8) имеют этот вид.
§ 2 135
§ 2. Периодические решения
1. Рассмотрим импульсную систему
x=A(t)x+ 2**АЙ, (!)
h
где A, {sh} и {^} удовлетворяют условиям предыдущего параграфа.
На протяжении этого параграфа будем предполагать также, что
sk φ О, —оо < к < + оо. Как было показано, решения системы
суть функции на i?1 вида
χ (t, t0) = X (t, tk) ch при t e lh, tk + t), —oo < к < оо,
где последовательность {ck} удовлетворяет разностной системе
ck + i = X (£fc + i> th) ch + 5fe + b c0 = #0· (2)
Предположим, что функции ^4 и 25&δ/ периодичны с периодом
h k
ω > 0, и исследуем проблему существования периодических
решений системы (1) с периодом ω.
Из того факта, что решения χ (t, x0) системы (1) непрерывны
при t Φ tk и имеют в точках tk скачок sh Φ 0, немедленно следует,
что если система (1) допускает периодическое решение с периодом ω,
то существует такое целое ρ > 0, что
(а) th+p = tk + ω, —оо < к < + оо,
(б) последовательность {sk} периодична с периодом р.
Напомним (см. приложение, § 2), что выполнение условий (а)
и (б) необходимо и достаточно для того, чтобы распределение
2 sk8t было периодическим с периодом ω.
h к
Отметим, что если выполняются условия (а) и (б), то разностная
система (2) периодична с периодом р. Действительно, как известно,
фундаментальная матрица решений X (t, s) периодической системы
дифференциальных уравнений удовлетворяет равенству
X (t + ω, s + ω) - Χ (t, s).
Следовательно,
Χ (*λ + ι+ρ> tk+p) = X (*fe+i + ω, *ft + ω) = X (tk + u tk),
т. е. система (2) периодична с периодом р.
Предложение. Пусть А и 2 sk$tb периодичны с периодом
h k
ω. Решение χ (t, x0) системы (1) имеет период ω тогда и только
тогда, когда последовательность {ck}, ch = χ (th, x0), является
решением системы (2) с периодом р.
136
Глава III
Доказательство. Пусть χ (t, х0) — решение системы (1)
с периодом ω. Последовательность {ch}, ch = χ (thl x0),
удовлетворяет системе (2). Имеем
Ck+p = % (tk+p, *ο) = ζ (h + ω> χο) = x (h, x0) = ck,
т. е. последовательность {ch} периодична с периодом р. Обратно,
если последовательность {ch} имеет период р, то
χ (t0 + ω, х0) = χ (tp, χ0) = cp = c0 = χ (t0, x0).
Если χ (t + ω, x0) удовлетворяет системе (1), το χ (t, x0)
и χ (t + ω, χ о) суть два решения системы (1), совпадающие при t = t0.
Поэтому в силу единственности решений χ (t + ω, χ0) — χ (t, x0)
для t e R1.
Доказанное предложение позволяет использовать результаты
§ 1 гл. II, относящиеся к периодическим разностным системам, при
исследовании периодических импульсных систем.
2. Решения однородной разностной системы
ch+i = X (th+u tk) ch (3)
имеют вид
ch = X (hi h) c0.
Легко проверить, что {d}_00<ft<+00, / = 1, 2, . . ., т (т ^ Ι),
тогда и только тогда суть независимые решения с периодом ρ
системы (3), когда X (t, t0) c{ являются независимыми решениями с
периодом ω однородной системы χ (t) = A (t) x (t).
Из сказанного выше и из результатов § 1 гл. II следует, что
система (1) допускает периодические решения с периодом ω при
произвольных периодических распределениях 2 sk$th c периодом ω тогда
h
и только тогда, когда однородная система χ (t) = A (t) x (t) не имеет
других периодических решений с периодом ω, кроме нулевого. Если
это условие удовлетворяется, то решение системы (1) с периодом ω
единственно.
Замечание. Пусть однородная система χ (t) = A (t) x (t)
не допускает других решений с периодом ω, кроме нулевого.
Единственное периодическое решение может быть записано в более
компактной форме, если импульсные моменты равноудалены друг
от друга, tk = t0 + /coo, а последовательность {sh} постоянна, sh = s,
— оо < к < + оо 1). В самом деле, в этом случае ρ = 1. Кроме того,
X (th + u th) - X (t0 + (к + 1) ω, t0 + кю) = Χ (t0 + ω, *0),
l) Это наиболее часто встречающийся в технической литературе случай
(см., например, [59]).
§ 2 137
значит, разностная система (2) записывается в виде
ch+l = X (t0 + ω, t0) ch + s.
Эта система является автономной разностной системой. Ее
единственное решение с периодом ρ — 1 — это постоянная
последовательность ck = с*, где с* определяется из уравнения
с* = X (t0 + ω, t0) с* + s,
т. е.
с* = \Е - X (t0 + ω, Jo)]"1*.
Следовательно, единственное периодическое решение системы (1)
с периодом ω задается соотношением
х (t, с*) - х (t, tk) с* для t e itk, tk+t).
Соотношение t0 + &ω ^ t < t0 + (/с + 1) ω эквивалентно
соотношению к ^ ^ < к + 1, значит, к = е ( -0 ) , где через е (ζ)
ω ч ω У
обозначена целая часть числа ζ. Поэтому
tk — ^о ■
■№*·
и единственное периодическое решение системы (1) запишется в виде
ίτ(ί,0 = ζ(ί,ίο + «(^2)ω)[£-Ζ(ί0+ω,ίο)Γ1β. ^Л1·
3. Изучим теперь резонансный случай. Система, сопряженная
к системе χ (t) = A (t) x (t), имеет вид
у' (t) = — у (t) A (t) (у — вектор-строка),
и, как известно, ее решение дается формулой у (t, y0) = УоХ (£i, t)
(в качестве начальных условий мы взяли ti, у о)- Это решение
принадлежит классу % г.
Пусть / — некоторая периодическая обобщенная функция с
периодом ω, т. е. τω/ = /, где τω — оператор сдвига на ω. Известно,
что любая обобщенная функция имеет первообразную (см. [15]).
Пусть Φ — некоторая первообразная для /. Обобщенная функция
τ_ωΦ — Φ постоянна, ибо производная от нее равна нулю:
D (τ_ωΦ - Φ) = τ-ωΌΦ - ΌΦ = τ_ω/ - / = 0.
138
Глава III
Постоянную τ_ωΦ — Φ назовем интегралом от обобщенной
функции г) f по отрезку [0, ω] и обозначим через
ω
li(s)ds.
о
В случае когда обобщенная функция / является обычной функцией,
этот интеграл совпадает с обычным.
Пусть у (£, г/0) — решение сопряженной системы (4) с
периодом со и
f=y(t, г/о) 2 sk8tk = ^y(tk, г/о) sk6tk.
k h
Используя правила обобщенного дифференцирования
кусочно-регулярных функций, находим, что первообразные для / являются
кусочно-постоянными функциями, а именно
Φ (t) = ak при t e ltk, *ft+i),
где числовая последовательность {ock} удовлетворяет уравнению
α?ι+ι — &h = У {h+u г/о) Sfe+i.
Так как t0 + ω = tp, получаем
τ_ωΦ — Φ = Φ (t + ω) — Φ (t) = Φ (t0 + ω) — Φ (t0) =
ρ-ί
= αρ—oc0= 2j У (h+ii г/о) sh+i1
h=0
следовательно,
ω ρ—1
$y(s> г/о) (^sh6tk)(s)ds= 2 y(tk+i, Уо) sk+i. (5)
0 k ti =0
Как было показано в § 2 гл. I, система, сопряженная к
системе (3), имеет вид dh-i = dkX (£&+ι, tk). Поскольку матрицы
X (tk+i, th) обратимы, эту систему можно записать еще в виде dk =
-— dk-i X (tkl tk+i); ее решения определены для —оо < к < +оо
и даются формулой dk = d0X (£4, tk + [), так что dk = у (tk+u d0).
Немедленно устанавливается, что решение у (t, y0) системы (4)
имеет период ω в том и только в том случае, когда dh = у (th+i, y0)
является решением с периодом ρ системы dk = dk-iX (tk, th+i).
Учитывая предыдущее утверждение, формулу (5), предложение
пункта 1 и результаты § 1 гл. II, можно доказать, что система (1)
допускает решения с периодом ω в том и только в том случае, когда
распределение 2 sk$th ортогонально ко всем решениям сопряженной
h h
1) Более общее определение такого интеграла см. в [50].
§ 2 139
системы с периодом ω, т. е. когда
ω
О h
для любого решения у (t, у0) сопряженной системы (4) с периодом ω.
4. Покажем теперь, что если система (1) не допускает
периодических решений с периодом ω, то, каково бы ни было у > О,
lim \x(t, x0) I = °° (6)
ί->°ο
равномерно относительно | х0 | ^ у.
В самом деле, в этом случае система (2) не допускает решений
с периодом р, и из результатов § 1 гл. II следует, что, каково бы
ни было у > 0, решения {ch} системы (2) удовлетворяют
соотношению
lim | ch I = оо
fe->oo
равномерно относительно \ с0 \ ^У-
Оценим норму матрицы X (th, t) для t £ [£ft, £ft+i). Пусть к =
= np + ки 0 ^ ki <C ρ, и £ = th + 5, 0 ^ s sc: ω. Тогда
X {hi t) = X (tnp+ki, tnp+hl -f- s) =
= Ζ (*ftl + ηω', tki + 5 + /ιω) = Ζ (*ftl, *ftl + s)
и, значит,
| X (tk, 0|<M для ί 6 [**, **+ι)>
где
M= sup \X(u, u)\.
Поскольку
χ (t, χ0) = Χ (t, th) ch для t 6 [tk, th+i),
получаем
ch = X (*ft, *) я (*, я0) для ί 6 [^,
^-последовательно,
|сЛ |< \X(h, t) \\x(t, t0) \^M \x(t, xo) |,
откуда и вытекает (G).
5. Исследование периодических импульсных систем приводит
к одной интерпретации функции Грина, позволяющей получить
явное представление периодических решений систем обыкновенных
дифференциальных уравнений.
140
Глава ill
Рассмотрим систему
χ' (t) = A (t)x(t) +/(0, (7)
где А и / как функции от t непрерывны и периодичны с периодом ω.
Предположим, что однородная система
х' (t) = A(t) χ (t)
не имеет других решений с периодом ω, кроме нулевого.
Как известно (см., например, [31]), последнее условие
эквивалентно условию
det [Ε - Χ (ω, 0)] φ 0. (8)
Известно также, что это условие необходимо и достаточно для того^
чтобы система (7) имела единственное периодическое решение х*
с периодом ω. Решение х* может быть представлено в виде
О)
x*(t)= \G{t, s)f{s)ds,
о
где функция G (£, s) имеет период ω как по £, так и по s,
v_i X(t, s)[E — X(<u, 0)]-1Z(0, s) для 0<s<£<cd,
( ' S)~ { X(t+ ω, s)[E -Χ(ω, Ο)]"1 Ζ (0, s) для 0<C£<s<cd.
Покажем, что G есть функция Грина, естественным образом
возникающая при рассмотрении некоторой импульсной системы. А
именно рассмотрим импульсную систему
^- = АЦ)г + Е^6ш+„ (9)
k
где Ζ — матрица размера 1x1. Функция G (t, s) является
единственным периодическим решением системы (9) с периодом ω по t.
В самом деле, совершенно так же, как в пункте 1, показывается,
что решения системы (9) суть функции на R1, определенные
соотношением
Ζ (t, s) = X (t, /ceo, +s) Ch (s) для ί G [to + s, (k + 1) ω + s),
— oo < k < +oo,
где последовательность матриц {Ch (s)} удовлетворяет разностной
системе
Cfc+1 (s) = X ((k + 1) ω + s, Αω + s) Ch (s) + E.
Эта разностную систему можно записать в виде
Ch+i (s) = X (ω + s, s) Ch (s) + E. (10)
§ 2 111
Система (9) допускает решения с периодом ω в том и только в том
случае, когда система (10) допускает постоянные решения Ch (s) =
= С (s). Матрица С (s) является решением уравнения
[Е - Χ (ω + s, s)] С (s) = Ε. (11)
Но
Χ (ω + s, s) = Χ (ω + s, 0) Χ (0, s) =
= Χ (s, -ω) Χ (0, s) = Χ (s, 0) Χ (0, -ω) Χ (0, s),
значит,
Χ (ω + s, s) = Χ (s, 0) Χ (ω, 0) Χ (0, s)
и, следовательно,
Ε - Χ (ω + s, s) = Χ (s, 0) ΙΕ ~ Χ (ω, 0)] Χ (0, s).
Учитывая (8), получаем, что система (11) допускает единственное
решение
С (s) = X (s, 0) IE - Χ (ω, Ο)]"1 Χ (0, s).
Следовательно, единственное периодическое решение системы (9)
запишется в виде
Ρ (t, s) = X (t, Αω + s) С (s) при t 6 [Αω + s, (к + 1) ω + s).
Из равенств
Χ (ί, Αω + s) = X (t — Αω, s) =
= X (t - Αω, 0) Χ (0, s) = Χ (ί, Αω) Χ (0, s)
вытекает, что
Ρ (ί, 5) = Χ (ί, Αω) № - Ζ (ω, Ο)]"1 Ζ (0, s)
при £ ζ [Αω + 5, (Α + 1) ω + s), — οο < Α < + οο.
Так как матрицы # — Ζ (ω, 0) и Ζ (ω, 0) перестановочны, то легко
показать, что функция Р периодична по s с периодом ω.
Далее, подставляя в (12) А = 0, получаем для 0 ^ s ^ t < ω
Ρ (ί, 5) = Χ (ί, 0) [Я - Χ (ω, Ο)]"1 Ζ (0, s).
Подставляя в (12) А = —1, получаем для 0 ^ t < 5 < ω
Ρ (ί, s) = Χ (ί, -ω) [Я - Ζ (ω, Ο)]"1 Χ (0, s),
и поскольку X (£, —ω) = Χ (t + ω, 0), το
Ρ (ί, 5) = Χ (t + ω) [Ε - Ζ (ω, Ο)]"1 Χ (0, 5).
Таким образом, Ρ = G.
142
Глава III
§ 3. Почти-периодические решения
1. Начнем с нескольких замечаний относительно систем
линейных однородных дифференциальных уравнений. Рассмотрим систему
*'(f) = A (t)x(t), (1)
где А — матрица размера 1x1, элементы которой — непрерывные
комплексные функции действительного переменного, χ — функция
действительного переменного со значениями в Z-мерном
комплексном евклидовом пространстве С1. Обозначим через X (t, s)
фундаментальную матрицу решений системы (1), удовлетворяющую
условию X (s, s) = Ε, где Ε — единичная матрица.
Лемма 1. Если матрица коэффициентов системы (1)
ограничена:
sup | A (t) | = μ< сю,
гея1
то
\X(t,s)-E\<e»lt-sl -i, |Χ(ί, 5)|<^и"в| для f.sei?1.
Доказательство. Как известно, фундаментальная
матрица решений X (£, s) удовлетворяет системе
дХ (*' S) = A(t)X (i, s), X (s, s) = Ε,
dt
Эквивалентная интегральная система имеет вид
t
X(t, s) — E=\A(u)X {и, s) du,
s
ИЛИ
t t
X{t,s)-E=\A{u)du+\A (u) [X (u,s)- E] du.
s s
Для t ^ s получаем
t
\X(t,s)—E\<ζ:μ\t — s\-{-μ^\X(u,s)—E\du
s
и, применяя лемму Гронуолла на отрезке [s, t] (см., например,
[31]), находим
\X(t, s) — E\<^e"(t~s) -I для *>s.
Учитывая, что X (t, s) удовлетворяет и сопряженной системе
дХ (i, s)
ds
-X(t,s)A{s), X {I, t) = E,
§ з
143
приходим, как и выше, к неравенству
| X (t, s) - Ε К eMs~l) - 1 при ί < s,
доказывающему первую из оценок леммы. Вторая оценка
непосредственно вытекает из первой
В дальнейшем предположим, что нулевое решение системы (1)
является равномерно асимптотически устойчивым. Тогда по
теореме Персидского существуют такие а > О, Ь ^ 1, что
\X(t, s)\<^be~a{t~s) при *>s. (2)
Заметим, что из очевидного неравенства —θ ^ е2- следует, что
Θίταθ<-<Γ^Θ, θ е я1. (3)
Лемма 2. Пусть А как функция от t равномерно непрерывна
и ограничена на R1 и нулевое решение системы (1) равномерно
асимптотически устойчиво. Тогда для любого η > 0 существует такое
у (ή) > о» что
\X(t',s')-X(t,s)\<4e~^(t-s)
при | £' — t | < γ, I s' — 5 I < γ, t ^ s, t, s, t'', s' ζ 7?1.
Доказательство. Положим £' = £ -|- fe, s' = 5 + /с.
Пусть η > 0 произвольно и γ (η), Ο < γ < 1, таково, что
\A(t + h)-A{t)\<-7^Ya,
(4)
' 46V
>ui+ud_1 - 2L
^2fc
при ί ζ i?1, I h | < γ, | k | < γ. Положим
Ζ (t, s, h, k) = X (t + h, s + k) — X (t, s).
В силу лемдш 1
|Ζ(β,«,Λ,Α)|<ίμ",-',Ι-1<^,
|Χ(β + Λ,β + Α)Κβμ|Α_Λ,<β!!μ?<β!!μ
при s g i?1, I /ί Ι < γ, I /с I < γ. Далее,
-JL = A (t) Ζ + [А (t + h) - Α (ί)] Χ (ί + 7г, s + /с).
144
Глава III
Используя метод вариации постоянных, получаем
Ζ (t, s, h,k) = X (t, s) Ζ (s, s, h, k) +
t
+ J X (t, u) [A (u + h)—A (u)] X(u + h,s + k) du.
s
Из (2), (4) и (5) вытекает, что при t^s
t
I Z (t, S, U,4)|<1 e-*(t-s) + b2e-a(t-s+h-k) \ \ A (u + h) — A (u) \ du ^
s
Учитывая (3), немедленно получаем отсюда искомую оценку.
Лемма 3. Пусть А как функция от t почти-периодична в
смысле Бора и нулевое решение системы (1) равномерно асимптотически
устойчиво. Если ω есть ац/2Ь2-почти-период матрицы А, то
| X (t + ω, s + ω) — Χ (t, s) | <ψ 2 (t"s) при t > s.
Доказательство. Пусть
Ζ (t, s) = X (t + ω, s + ω) — X (f, s).
Тогда
37
= A (t) Ζ (f, s) + [A (t + ω) — A (t)] X (t + ω, s + ω).
dt
Поскольку Ζ (s, s) = 0, имеем
t
Z(t,s)=\X (t, u) [A (u + ω) — A (u)] X (и + ω, $ + ω) du. (6)
s
Наше утверждение немедленно вытекает отсюда, если учесть (2)
и (3).
Свойство матрицы X, выражаемое предыдущей леммой, можно
было бы назвать «почти-периодичностыо по диагонали».
Замечания, а) Если в лемме 3 отказаться от равномерной
асимптотической устойчивости нулевого решения системы (1), то
из (6) с учетом леммы 1 следует лишь, что
\Χ(ΐ+ω,8+ω)-Χ(ΐ, 5)|<ημ-5|<?μ1ί-δ|
для £, s 6 R1. Здесь ω есть η-почти-период матрицы А.
§ 3 145
б) Нет необходимости в лемме 3 требовать выполнения условия
(2) равномерной асимптотической устойчивости для любых £, s £ R1,
t ^ s. Достаточно, чтобы существовало такое s0 £ R1, что
I X (t, s) ί < be~a(t~s) при t,seR\ t^s^ s0.
В самом деле, пусть t, s £ R1, t ^ s. Для любых s ζ R1 и η > О
существует такой η-почти-период ω матрицы А, что s + ω ^ s0.
Учитывая предыдущее замечание, получаем
| X (t, s) ι < I X (t, s) — X (t + ω, s -f ω) \ + | X (t + ω, s + ω) Κ
откуда в силу произвольности η > 0 немедленно следует, что
условие (2) выполняется для любых t, s ζ R1, t ^ s.
2. Пусть А как функция от t почти-периодична в смысле Бора.
Исследуем проблему существования почти-периодических решений
у импульсной системы
x=A{t)x+ 2 sh&th, (7)
k = — оо
где мера 2 sh6th удовлетворяет условиям § 1. Заметим, что решения
h h
не могут быть функциями Бора, ибо они имеют скачки в точках th.
Смысл, в котором эти решения почти-периодичны, будет уточнен
в приводимой ниже теореме.
Пусть 1{ = th+j — th. Предположим, что
(i) последовательности {ifc}-oo<fc<+oo, j = 0, ±1, ±2, . . .,
равномерно почти-периодичны,
(ii) последовательность {sk}-oo<k<-{-oo почти-периодична.
Эти условия достаточны для того, чтобы мера 2 sk^t} была почти-
h l
периодична как обобщенная функция (см. § 6 приложения к гл. IV).
Если к тому же существуют такие θ, λ > 0, что t\ ^ Θ, | sk | ^ λ,
—-оо < /с < +оо, то условия (i), (ii) являются и необходимыми для
того, чтобы мера 2 sh$th была почти-периодичной. В доказательстве
k h
последующей теоремы мы воспользуемся леммами из § 6
приложения к гл. IV о свойствах последовательностей, удовлетворяющих
условию (i). Отметим, что формулировки и доказательства этих
лемм можно читать независимо от остальных параграфов
приложения.
Теорема. Пусть матрица А как функция от t
почти-периодична в смысле Бора, нулевое решение однородной системы (1)
равномерно асимптотически устойчиво и мера 2 sh$tf удовлетворяет
146
Глава HI
условиям (i) и (ii). Тогда система (7) допускает решение
X*(t)= 2 Х^ *m)*m,
являющееся почти-периодическим в следующем смысле: для любого
ε > О существует такое Lj (ε) > О, что в любом отрезке длины
L\ (ε) содержится точка τ, такая, что
| х* (t + τ) — χ* (ί) I < ε для t £ Д\ | ί — tk | > ε,
A = О, ±1, ±2, . . . .
Кроме того, последовательность {χ* (£fc)}-oo<k<oo почти-периодична
и решение х* равномерно асимптотически устойчиво.
Доказательство мы разделим на несколько этапов.
1) Пусть Ω (η) — множество всех действительных чисел ω?
для которых существует такое целое число Αω, что
11£" - ω |< η и | X (t + ω, s + ω) - Χ (ί, s) \ < η
для £, s 6 Τ?1, t ^ s, —οο < /c < -f-°°. Из леммы З этого параграфа
и леммы 7 § G приложения к гл. IV следует, что множество Ω (η)
относительно плотно г), каково бы ни было η > 0. Пусть Ηω (η) —
множество всех целых чисел ηω, соответствующих числам ω и η,
и Η (η) — объединение множеств Αω (η) по ω £ Ω (η). В силу
леммы 2 § G приложения к гл. IV множество Η (η) также является
относительно плотным, каково бы ни было η > 0.
2) Разностная система (3) § 1 допускает почти-периодическое
решение
h
т= — оо
В самом деле, фундаментальная матрица решений однородной
системы
Cfc+i = X (h+u ift) ^, (8)
соответствующей системе (3) § 1, есть X (th, tm). В силу (2)
Согласно лемме 4 из § G приложения к гл. IV, существует такое
целое N > 0, что на любом отрезке единичной длины находится
самое большее N членов последовательности {tk}. Следовательно,
к - т + 1 < N (е (th - tm) + 1)< N (th - tm) + Ν,
χ) Напомним, что множество В действительных чисел называется
относительно плотным, если существует такое I >> 0, что любой отрезок длины I
содержит хотя бы один элемент из В.
§ 3 147
где через е (ζ) обозначена целая часть числа ζ. Мы получаем
. tr / ч . ^ -, а И ττ ) (k—m) Ί
\X(th, tm)\^be У ν )e N y к>щ
чем и показано, что нулевое решение разностной системы (8)
равномерно асимптотически устойчиво.
Для установления того факта, что последовательность {с*}
почти-периодична, достаточно (см. § 2 гл. IV) показать, что
разностная система (3) § 1 почти-периодична. Пусть ε > 0 произвольно.
Согласно лемме 2, существует такое γ (ε) > 0, что
\X(t',s)-X(t,s)\<j
для t, s, t', s' £ R1, t ^ s, | £' — ί | < γ, | s' — s | < γ. Возьмем
γ ^ ε. Тогда для Αω £ Я (γ/2) получаем
< I X (*Λ+1+Λω, ift+Λω) — -X" (*fc+i + ω> *fc + ω) I +
+ |Χ(ίΛ+1 + ω, ίΛ + ω)-Χ(ίΛ+1, ϋ|<| + ^ε.
Так как множество // (γ/2) относительно плотно, то система (3)
§ 1 почти-периодична и ее решение {с%} почти-периодично.
Заметим, что х* (t) есть решение χ (t, x*) системы (7),
определяемое начальным условием х* = с%. Поскольку х* (th) = ck,
последовательность χ* (th) почти-периодична.
3) Пусть 2Г (γ) — множество всех действительных чисел τ, для
которых существует такое целое число qx, что
\tgx— τ|<γ, \sk+qx— 5ft |<γ,
\X(t + x,s + T)-X(t,s)\<y (У;
для t, s £ i?1, t ^ s, — oo < /с < +oo. С помощью обычного метода
нахождения общих почти-периодов можно показать, что множество
3 (γ) относительно плотно, каково бы ни было γ > 0. В самом деле,
из сказанного на этапе 1) и из того факта, что последовательность
{с%} почти-периодична, вытекает существование целого числа
Ν (γ/2), обладающего тем свойством, что среди любых его
последовательных кратных найдутся такие числа Ηω £ Η (γ/2) и /?, что
|ίΛΛω-ω|<|·, \c*h+P-c*k\<^, -oo</c<+oo. (10)
Так как | Αω — ρ | < Ν, то разности Αω — ρ могут принимать лишь
конечное число значений, скажем rt, 1 ^ i ^ п. Каждому rt
сопоставим пару целых чисел (piy йш.), 1ιω. — pt = rt; мы выбираем
148
Глава III
их произвольно, но в дальнейшем считаем фиксированными (как
и действительные числа ω, ζ Ω (γ/2)). Положим Μ = max | Λω. |.
l^i^n l
Пусть теперь Ζ + 1, ..., Ι + Ν + 2Μ — произвольные Ν + 2Μ
последовательных целых чисел. Среди N целых чисел Ζ + Μ + 1, ...
. . ., I + Μ + N найдутся К £ Η (γ/2) (так что ω £ Ω (γ/2))
и ρ, удовлетворяющее условию (10). Пусть Ηω — ρ = rt. Тогда
К — Ρ = h^ — pi и, значит,
Κ —Κι=Ρ —Pi = m.
Очевидно, πι — это одно из целых чисел Ζ + 1, ..., Ζ + Ν + 2М.
Для любого целого к имеем
1 cl+m — 4 КICft-Pi+p — <£_р. I + \4 — 4-р. |< — + — = γ.
Пусть (от = ω — (ог. Тогда для любого целого к
I t™ — ωπι Ι = I tk-h(u,+h(u — ift — ω + <ог Κ
<C| 4*Ц - ω | + | ω, -?^Ц|< Χ + 1 = γ.
Далее, для любых t, s ζ R1, t ^ s, имеем
|X(f+<om, s+com)-X(i, s)|^
< | X (t — ω,· + ω,, 5 — ωj + <ог) — Χ (* — <ог, 5 — <ог) | +
+ | Ζ (t - ω„ 5 - ω,) - Χ (ί, 5) |< |- + |- = γ.
Следовательно, оот ζ jT (γ). Так как среди N + 2М
последовательных целых чисел существует число т с указанными выше
свойствами, то множество таких чисел т относительно плотно. Из леммы 2
§ G приложения к гл. IV следует, что множество чисел оот, а вместе
с ним и множество У (γ) относительно плотны.
4) Пусть ε > 0 произвольно и
М*= sup \сЦ, η = πιίη
— oo</i< + oo
V3M*' 3b/ '
так что η < ε/3. По лемме 2 существует такое γ (η) > 0, что
| Ζ (f, 5') — Ζ (ί, s) |< η для ί, s, t', s e R\ t^s, | f — f |< γ,
j s' — 5 | < γ. Очевидно, можно считать γ < η. Согласно 3),
существует такое L (γ) > 0, что для любого отрезка / длины L
действительной оси найдутся τ £ / и целое число д, удовлетворяющее
условию (9). Возьмем Li (ε) = L (γ).
§ 3 149
Пусть теперь t £ R1, | t — tk | > ε, к = О, ±1, ±2, . . .,
и пусть для определенности tt + ε < £ < ίί+ι — ε. Тогда
ί£ + τ+ε<ί + τ< *г+1 + τ — ε.
С помощью первого из соотношений (9) получаем
ti+q < f,- + τ + γ, ti+i + τ — у < ίί + ι+9,
значит, при у < ε
^*+ςτ < * + τ < *i + i+<?·
Поэтому
\x*(t + T)-x*(t)\=\X(t + T, ti+q)cUq-X(t, ii)c?|<
< [ Ζ (ί + τ, ίί+ς) - Ζ (ί + τ, tt + τ) | | c*i+q | +
+ |Χ (t + τ, ί£ + τ) - Χ (t, tt) Ι | c*i+q \ + \X(t, h) \ \ c*i+q - 4 К
< Μ *η + Μ * у + 6γ < J + у + J = ε,
чем и завершается доказательство теоремы.
Замечание. в) Поскольку х* (t) = X (t, tk) c% при
t £ [tk, ife+i), —oo < /с < + oo, то решение ^* ограничено (ибо
последовательность {<:£} почти-периодична и X удовлетворяет
условию (12)). Решение х* является б^-почти-периодичным в смысле
Степанова г). В самом деле, по лемме 4 § 6 приложения к гл. IV
существует такое целое N > О, что на любом отрезке единичной
длины находится самое большее N членов последовательности
{tk}. Пусть η > О произвольно и
μ*= sup |a:*(i)|, e=min(^-, т^ЦЛ
гея1 \ 2 8Νμ /
Пусть, далее I (η) = Li (ε), где Ζ^ (ε) — то же, что и в предыдущей
теореме, и пусть / — произвольный отрезок длины I и τ ζ J выбрано
согласно предыдущей теореме. Пусть, наконец, t £ R1, V — есть
ε-окрестность множества тех членов последовательности {tk}, кото-
*) Локально суммируемая функция / называется S^nomnu-nepuodimecnou,
если для любого η >> 0 существует Ι (η) >> 0, обладающее тем свойством, что
на любом отрезке длины I действительной оси найдется такое τ, что
sup [ |/($4-τ)— /0?)|<*5<η
tern i
(подробнее см. [13], [45]).
150
Глава III
рые лежат в (ί, ί + 1), и W = (£, t + 1)\F. Тогда
f+i
J |**(5 + τ)_**(5)|ώ^ $|ί*(5 + τ)-ί·(ί)|ώ +
ί ν
+ J I £* (s + τ) — я;* (s) | ds < 2μ* mes V + ε mes VF< 4μ*ε7ν + ε < η,
w
следовательно, решение х* ^-почти-периодично. Заметим, что,
согласно сказанному в § 5 приложения к гл. IV, решение х* является
почти-периодичным и в смысле распределений.
Как показано в § 6 приложения к гл. IV, условие (i) выполняется,
если последовательность {tk} периодична. В этом случае
предыдущую теорему можно уточнить следующим образом.
Предложение. Если в предыдущей теореме предположение
«последовательность {th} удовлетворяет условию (i)» заменить
предположением «последовательность {ih} периодична», то будет
справедлив следующий результат: для любого ε > 0 существует такое
^2 (ε) > 0, что в любом отрезке длины L2 найдется такое τ, что
| х* (t + τ) — χ* (t) I < ε для всех t £ R1.
Доказательство. 1) Пусть ρ > 0 — наименьший период
последовательности {!{} и Ί'ξ — ω0. Согласно результатам § 6
приложения к гл. IV, последовательности {7^}_00</ί<+00, / = 0, +1,
±2, . . ., периодичны с периодом ρ и ΐ™ν = шо)0, —оо < /с,
т < + °°.
Мы утверждаем, что существует такое у0 > 0, что если
\th — $ \ <С Yo> —°° < * < +°°? то h является кратным р, h =
= тр. В самом деле, любые целые числа /г, к могут быть
представлены в виде h = тр + г, /с = иг'р + г', 0 ^ г, г' <С р. Имеем
Т Л. Г /г τ h 7 h Τ h Τ h]
lh L0 lr'+m'p L0 lr' 60>
и по формуле (1) § 6 приложения к гл. IV
~fh ~7h ~.h Jh -.τ' -IT' ~fr' ~.r' 7r' Tr'
lh L0 lr' L0 Lh L0 Lr-\-mp °0 lr ^0 ·
Предположим, что наше утверждение неверно. Тогда существует г0,
1 ^ 7*о < Р> Для которого 1гГо — 1Г0 = 0 при 0 ^ г" < р, т. е.
£р — Т0° = 0 при 0 ^ г" < р. Таким образом, для любого целого /с,
к = г' + иг'р, 0 ^ г' < р, имеем
71 71 7Г° 7Го 7 го 7Г°
*Ή+γ0 Lk — Lk + l lk — «r' + i + m ρ lr'+m ρ —
7 r° 7 r° 7 ro 7 ro Π
Получается, что г0 является периодом последовательности {tk},
а это противоречит выбору р.
§ з
151
2) Для любого γ > О существует такое L (у) > 0, что для любого
отрезка / длины L (у) найдется такое целое число т, что ιηω0 £ / и
4 | < у, \X(t+ тщ, s + тщ) —X(t,s)\<y (11)
при t, s £ 7?1, t ^ s, — оо < /с < +оо. В самом деле, по лемме 2
существует такое γι (у) > 0, что
\X(t',s)-X(t,s)\<l· (12)
для £, 5, t', s £ Л1, t^s, \t' — t \ <Суи I s' — 5 I < γι. Возьмем
γι < Υ и положим γ = min {~, -у) . Рассмотрим множество £Г (γ)
из предыдущей теоремы. Пусть τ 6 S (γ)· Тогда существует qx,
удовлетворяющее условию (9), так что \1^х —~tlx | < 2γ, —оо <
< /с < +оо. В силу 1) qx = тр. Далее, из соотношений | t^ —
— τ Ι < γ и IIх = £™ρ = шо)0 с учетом (9) и (12) вытекает, что,
каковы бы ни были t ^ s,
\Х (t-{- τηω0, s + τηω0) —X(t,s)\^
^ IX (t + игсо0, 5 -f- шо)0) — X (t + τ, 5 + τ) Ι +
+ |Χ(ί + τ,5 + τ)-Χ(ί,δ)|<-|+ν<ν,
чем и доказано наше утверждение.
3) Пусть ε > О произвольно и
АГ= sup К|, v = min(-^-, ^-).
Возьмем L2 (ε) = L (γ). Тогда для любого отрезка / длины L2
найдется целое число т, удовлетворяющее условиям (И), причем
τηω0 £ /. Положим τ = τηω0. Пусть теперь t ζ R1 произвольно.
Предположим для определенности, что tt ^ t < £i+i. Поскольку
tfp = ш0, то
ift + racoo = fft+wp, —оо < к < +oo,
следовательно,
ti + mp ^ t -\- X <d tj-_}-i-t-mp.
152
Глава III
Поэтому в силу (11)
I х* (t + τ) — χ* (t) I = | X (t + τ, ti+mp) c*+mp —
-X(t, tt)ct\=\X(t+mv0, и + тщ)-Х(и h) \ | c*+mp | +
+ \X(t, h) | I c*+mp - c* I < γΜ* + γδ < ε,
чем и завершается доказательство предложения.
§ 4. Ограниченные решения
1. Рассмотрим импульсную систему
x=A(t)x+ 2 sk6tk. (1)
k=—°°
Предположим, что Л, {sk}, {tk} удовлетворяют условиям § 1, и
установим условия, обеспечивающие ограниченность всех решений на
[t0, +oo). Поскольку в данном параграфе мы рассматриваем
решения лишь на интервале [£0, +°°), можно считать sk = О для к < 0.
Предположим, что нулевое решение однородной системы χ (t) =
= Л (t) x (t) равномерно асимптотически устойчиво. Тогда по
теореме Персидского существуют такие а > 0, δ ^ 1, что
\X(t,s)\^be~a(t~s) для £>s. (2)
На интервале [£0, + оо) решения системы (1) имеют вид
χ (t, t0) = X (t, tk) ck для t e lth, ift+i), к > 0,
где по формуле (6) § 1 последовательность {cfe} определена
соотношениями
С о = Xq,
h
Ck = х (/ft, g ^o + 2 * (ift, /,·) sj, a > ι,
-7 = 1
откуда
\ck\^b\x0\e-a^-i°)+b 2|Si|e"0<<ft_t>. *>*·
J = i
Таким образом, мы получили следующее достаточное условие
ограниченности всех решений на [t0, + °°): существует такое Η > 0,
что
h
^1\sj\e~a(tk~tJ)<H для А>1. (3)
j=i
§ 4 155
Представляют интерес условия ограниченности, зависящие от
коэффициента затухания а однородной системы. Укажем два
условия этого типа:
σο
(i) ряд 2 I sh I сходится;
h=l
(ii) существуют такие λ, ί>0 и такое целое число N > О, что
\ sk | ^ λ при Л^Ои любой отрезок положительной полуоси
длины I содержит самое большее N членов последовательности {tk}.
В самом деле, сразу видно, что если выполнено условие (i),
то выполнено условие (3). Если выполнено условие (ii), то для к ^ /
имеем
h^zli + i
ι
к-j + i^N Л^ -) + 1 <Ν
где через е (ζ) обозначена целая часть числа ζ. Следовательно;
J_
N
h - tj> l(±r - l) + 4г(к ~ /).
так что для к ^ 1
-a(th-tj) z A_J_4 Л _£ί
р. <СЪр.^ χ ' V ρ χ
j = l y = l
, /, 1 \ + °° aim
< Ae v JV / 2 g χ < οο,
m=^0
т. е. выполняется условие (3).
Условие (ii) выполнено, в частности, если существуют такие
λ, θ > О, что \ sk | ^ λ, tk + i — th ^ θ для к ^ 0. В этом случае
с помощью формулы (5) § 1 немедленно получается оценка решений
\x(t,x0)\^b\x0\e~a(t-^ + -^ для f>*0.
1 — е
Аналогия между этим результатом и известным результатом
для систем с возмущающей функцией станет очевидной, если
заметить, что выполнение условий (i), (ii) влечет за собой ограниченность
распределения 2 sk$th (см· § 4 приложения к гл. IV).
h к
2. Рассмотрим систему
х' (t) =A (t)x(t) + /(*), (4)
где матрица А как функция от t непрерывна и ограничена. Согласно
хорошо известной теореме Перрона, нулевое решение однородной
154 Глава III
системы χ (t) = A (t) χ (t) является равномерно асимптотически
устойчивым, если выполнено следующее условие Перрона: какова
бы ни была непрерывная ограниченная функция /, решение системы
(4) с начальным условием χ (0) =0 ограничено. С физической точки
зрения условие Перрона можно интерпретировать следующим
образом: на ограниченные возмущения (входы) система дает
ограниченные отклики (выходы).
Естественно рассмотреть классы возмущений, для которых
теорема Перрона остается справедливой. Различные общие вопросы,
касающиеся возмущающих функций этого типа, исследованы в цикле
работ Массеры и Шеффера 149], а также в [65]. Ниже мы укажем
простой класс возмущающих распределений, приводящий к
импульсным системам.
Π ρ едложение. Предположим, члъо матрицы А (£), t ^ £q>
и разности th+i — tk, к ^ 0, ограничены в совокупности. Если для
любой ограниченной последовательности {sk} (к ^ 0) решение χ (t, 0)
системы (1) ограничено, то нулевое решение однородной системы
χ (t) = A (t) χ (t) равномерно асимптотически устойчиво.
Доказательство. При указанных условиях разностная
система (3) § 1 удовлетворяет условию Перрона. Согласно
результатам § 3 гл. I, нулевое решение соответствующей однородной
системы ck+i = X (£ft+i, tk) ck равномерно асимптотически устойчиво.
Фундаментальная матрица решений этой однородной системы есть
■X" (^fe» tm). По теореме Персидского для разностных систем
существуют такие αϊ > 0, Ъ\ ^ 1, что
I X (k, tm) i < bie"ai(h'm) для к > т > 0.
По предположению существует такое у > 0, что tk+i — th ^ γ.
Положим а2 = ajy. Очевидно,
I X (tk, tm) I < Ь1<?"а2(^"'т> для к > т > 0.
Пусть μ = sup I A (t) |, и пусть t ^ s ^ t0. Предположим для опре-
деленности, что t £ [tk, tk+i), s ζ [tm, tm+i), так что к ^ т ^ 0.
В силу леммы 1 § 3
\X(t,s)\ = \X(t,tk)X(th9tm)X(tm,s)\^
Так как
h — tm = t — s + (th — t)+{s—tnu>t — s — y,
то
| X (t, s) К be~a{t~s) для t > 5> 0,
Библиографические замечания
155
где положено
6=ν(2μ+α2\ α=α2.
Предложение доказано.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Библиографические указания по теории импульсных систем (не
претендующие, конечно, на полноту) приведены во введении. Материал,
представленный в этой главе, в частности результаты, касающиеся периодических и почти-
периодических решений, можно найти в [88]—[90]. Условия ограниченности
из § 4 были получены Мильманом и Мышкисом [51] для систем, на которые
действуют толчки (см. также [52]).
Глава IV
СИСТЕМЫ С ОБОБЩЕННЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ
В этой главе рассматриваются системы, куда входят обычные
функции, меры или обобщенные функции одного действительного
переменного со значениями в комплексном Z-мерном евклидовом
пространстве С1. Если параметры системы действительны, то и
решения будут действительными. Впрочем, переход к действительному
случаю можно осуществить, просто заменив всюду функции, меры
или распределения со значениями в С1 соответственно функциями,
мерами или распределениями со значениями в действительном
Z-мерном евклидовом пространстве R\ ибо при этом все доказательства
останутся без изменения.
§ 1. Линейные дифференциальные уравнения
(общие сведения)
1. Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений
х' + A (t) χ = /. (1)
Если мы желаем рассматривать в качестве возмущений / не только
непрерывные функции, то необходимо соответствующим образом
расширить понятие решения системы. В дальнейшем будем
предполагать, что А — матрица размера 1x1, элементами которой
являются комплексные функции действительного переменного, а /
и χ суть функции, меры или распределения (это каждый раз будет
уточняться) одного действительного переменного со значениями
в С1.
2. В этом пункте мы предположим, что А и f локально
суммируемы на некотором интервале / (открытом, полуоткрытом или
замкнутом). Соответствующим расширением понятия решения является
понятие решения {в смысле) Каратеодори на /: это функция,
абсолютно непрерывная на любом компактном подинтервале в / (и,
значит, дифференцируемая на / почти всюду), которая удовлетворяет
системе (1) почти всюду
Теорема 1. Если А и f локально суммируемы на /, то для
любых начальных условий t0 £ /, χ0 £ С1 существует единственное
решение Каратеодори на I системы (1) с χ (t0) = х0.
§ 1 157
Доказательство1). Задача нахождения решения Кара-
теодори на / для системы (1) эквивалентна задаче нахождения
абсолютно непрерывного на любом компактном подинтервале в /
решения для системы интегральных уравнений
х (t) = х0 — з A (s) χ (s) ds + If (s) ds, 16 /.
to t
Исследуем вначале случай компактного интервала / = [α, β].
В этом случае А и f суммируемы, значит, функция
к (t) =max(\A(t) I, \ f (t) |, 1), * 6/,
также суммируема на /. Следовательно, функция
t
K(t)= ^k(s)ds, t£I,
to
абсолютно непрерывна, а значит, и ограничена на /.
Пусть
ср0 (t) = х0 для t 6 /
I t
Ψη+ι (t) = x0— ) A (s) yn (s) ds+\j (s) ds, t 6 /.
to to
Тогда
| φη+1 (t) - φη (t) |< (1 + | *0 1) ' K (t)'" , Для t^L
(n + 1)!
В самом деле, для t ζ /
|φι(ί)-φο(ί)Ι<Ι*οΙΐίΜ(*)|ώ| + |{|/(β)|ώ|<(ΐ + ι«0|)|/ί:(ί)|.
to to
Далее, если
\K(t)\n
И
t
Ιφ*(*)-Φ*-ι(*)Ι^(ΐ + Ι*οΙ
п\
х) Существует много доказательств этой теоремы. Так, например, можно
использовать принцип сжатых отображений в подходящем функциональном
пространстве. На этом пути доказывают сначала существование и единственность
решения в достаточно малой замкнутой окрестности ί0, а затем шаг за шагом
продолжают решение на весь интервал /. Здесь мы предпочли метод
последовательных приближений, позволяющий установить сразу существование
глобального решения. Единственность мы установим с помощью соображений,
аналогичных используемым при доказательстве леммы Гронуолла.
158 Глава IV
то для t £ / имеем
t
I φΛ+ι (t) — 4>п (t) К J -4 (5) [φ„ (s) — φ^_! (s)] ds <
ίο
/г! I J I n\ I J
<i + IV-i/i(<)
ίο ίο
71 + 1
(η + 1)!
Таким образом, последовательные приближения {φη} образуют
последовательность непрерывных функций, равномерно сходящуюся
на компактном интервале /. Предел χ этой последовательности есть
непрерывная функция. Переходя к пределу в соотношении,
определяющем срп + ь получаем, что χ есть решение на / системы
интегральных уравнений. Так как функция
t ^
х0 — ] A (s) χ (s) ds -f- \ / (s) ds
to to
абсолютно непрерывна на /, то и решение χ обладает тем же
свойством. Итак, мы установили существование решения Каратеодори
на / системы (1) с χ (t0) = х0.
Докажем теперь единственность решения. Пусть χι — другое
решение с х\ (t0) = х0 и и = | χ — xt |. Так как х\ удовлетворяет
системе интегральных уравнений, то
и(*)<| \k(s)u(s)ds\, t£l.
to
Пусть λ > 0 произвольно и
t
v(t) = X+\ lk(s)u(s)ds\, tei.
to
Очевидно,
u(t) <*;(*), t ei.
Поскольку функция ν абсолютно непрерывна на /, она почти всюду
дифференцируема на /,
v'(t)=i k(t)u(t) почти всюду в [t0, β],
\ —k(t)u(t) почти всюду в [a, t0].
§ 1 159'
Из неравенства к (t) и (t) ^ к (t) v (t) следует, что ν (t) ^ к (t) v (t)
почти всюду в [t0, β] и —υ (t) ^ к (t) ν (t) почти всюду в [α, t0].
Следовательно,
t t
[JL^Lds^l \k(s)ds
J v(s) I J
tei.
Так как функция ν абсолютно непрерывна на / и ν (t) ^ λ, то
функция In v (t) также абсолютно непрерывна на /. Здесь In v (t) —
неопределенный интеграл от функции ——г-.^Поэтому
t
I ) Ms) ds I
v(t)^v0(t0)e to
т. e.
t
t I J Ms) ds I
K + \lk(s)u(s)ds\^Ke to
to
Так как предыдущее соотношение справедливо для любого λ > 0, то
$k(s)u(s)ds=0, tei.
to
Если к (t) и (t) ^ 0 при t 6 /, то к (t) и (t) = 0 почти всюду в /;
учитывая, что к (t) ^ 1, получаем и = О и, следовательно, х\ = х»
Если интервал / открыт, / = (α, β), то из сказанного выше
следует существование и единственность решения с χ (t0) = х0 на любом
компактном интервале [а, β'], где а < а! < t0 < β' < β, а значит,
существование и единственность решения на (α, β). Аналогичным
образом исследуется случай полуоткрытого интервала /.
Фундаментальная матрица решений X (t, s) однородной системы,
соответствующей системе (1), определяется обычным способом как
решение матричной системы
dJL^lA + A(t)X (t, s) = О, X (s, s) = £,
dt
где Ε — единичная матрица. Существование и единственность этого
решения обеспечиваются предыдущей теоремой, ибо столбцы
матрицы X суть решения xj, 1 ^ / ^ Z, однородной системы,
удовлетворяющие начальным условиям
*;-(5) = г(0, ..., О, 1, 0, ..., 0),
160
Глава IV
где индекс 1 обозначает операцию транспонирования. Матрица X
обладает обычными свойствами; средни них отметим равенство
X (t, s) = X (t, a) X (α, s) для t, s, α ζ Ι9
Из равенства
X (t, s) X (s, t) = Ε
следует, что
X (t, s) = Χ'1 (s, t),
значит, X (t, s) абсолютно непрерывна по s в любом компактном
подинтервале в /. Кроме того,
κ-1—- + Χ (t, s) A (s) = 0.
ds
С помощью этих свойств прямой проверкой устанавливаем, что
решения χ системы (1), определяемое начальными условиями t0, x0,
представимо, как обычно, в виде
t%
x{t) = X (t, t0) x0 + ^ X (t, s) / (s) ds.
to
Очевидно, если А и / непрерывны, то решения Каратеодори
сводятся к обычным.
3. Простейшее дифференциальное уравнение χ = / приводит
к задаче нахождения первообразной для /. Как известно (см.,
например, [15]), любое распределение на открытом интервале / = (α, β)
имеет бесконечное множество первообразных, и точно так же, как
и в обычном случае, если χ — некоторая первообразная, то все
остальные имеют вид χ + с, где с — произвольная постоянная.
В этом пункте мы изучим несколько вопросов, касающихся
первообразных распределений.
Рассмотрим прежде всего первообразные меры. Напомним, что
в теории распределений под мерой подразумевают непрерывный
линейный функционал на пространстве 3)\ непрерывных функций
I -^С1 с компактным носителем. Мера Стильтьеса ώχ, определяемая
функцией, имеющей ограниченную вариацию на любом компактном
подинтервале в /, является мерой в указанном выше смысле. Вместе
с тем по теореме Ф. Рисса для любой меры μ на / существует
функция χ, имеющая ограниченную вариацию на любом компактном
подинтервале в / и обладающая тем свойством, что μ представляет
собой меру Стильтьеса d%, определяемую функцией χ х). В качестве
β
!) То есть (φ, μ> == J φ (ή άχ (ή для φ 6 Щ*
α
§ ι
161
χ можно взять функцию, задаваемую соотношениями χ (t) = μ [t0, t]
для t e [t0, β) и χ (t) = —μ it, t0] для t £ (α, *„), где t0 £ I — точка
нулевой μ-меры, а μ la, 6] есть μ-мера отрезка [α, fc]. Мера μ не
определяет однозначно функцию χ. Все-таки, если потребовать
дополнительно, чтобы χ была непрерывна справа (или слева) на /, то μ
однозначно определяет χ с точностью до аддитивной постоянной.
Лемма 1. Для того чтобы производная g' некоторого
распределения g была мерой на I = (α, β), необходимо и достаточно, чтобы
вариация функции g была ограничена на любом компактном подин-
тервале в I. Если это условие выполняется, то производная g' есть
мера Стилътъеса dg, определяемая функцией g\ при этом g
непрерывна в некоторой точке t0 ζ Ι тогда и только тогда, когда g -мера
точки t0 равна нулю.
Доказательство. Пусть функция g имеет ограниченную
вариацию на любом компактном подинтервале в /. Для φ £ £Dj
имеем
β β
(φ, g) = - <φ', S> = - $ φ' (t) g{i)dl=~lg (t) dy (t).
a a
По формуле интегрирования по частям (справедливой и для
интеграла Стильтьеса)
β
<<Р, #'>= $4>(l)dg(t) для cpt^L·
а
Таким образом, обобщенная производная gr совпадает с мерой
Стильтьеса dg, определяемой функцией g.
Обратно, предположим, что производная g' распределения g
есть мера. По теореме Ф. Рисса существует такая функция χ с
ограниченной на любом компактном подинтервале в / вариацией, что
gf есть мера Стильтьеса άχ, т. е. g' = άχ. Из сказанного выше
следует, что g и χ — две первообразные для меры άχ, значит, g = χ +
+ с, где с — некоторая постоянная. Следовательно, функция g
имеет ограниченную вариацию на любом компактном
подинтервале в /.
Последнее утверждение леммы вытекает из того факта, что скачок
в точке t0 функции ограниченной вариации g совпадает, как известно
(см., например, [17]), с dg-мерой точки ίο-
Известно, что если функция g имеет ограниченную вариацию
на любом компактном подинтервале в /, то g почти всюду обладает
обычной производной (обозначим ее через lg']), причем последняя
локально суммируема. Как было показано выше, обобщенная
производная gr есть мера Стильтьеса dg, определяемая функцией g. Вообще
говоря, распределения [g'\ и g' различны. Например, функция
162
Глава IV
Хевисайда Η,
H{t) = {\ при *<0'
при t > О,
имеет обобщенную производную Н' = б, где δ — мера Дирака,
и обычную производную [#'] (t) = 0 для t Φ О, так что [Я'] —
нулевое распределение. Однако для абсолютно непрерывных
функций g имеем [gr] = gr. Точнее, справедлива
Лемма 2. Производная gr распределения g на I является
локально суммируемой функцией на I тогда и только тогда, когда g есть
абсолютно непрерывная функция на любом компактном подинтер-
вале в I. Если это условие выполняется, то обобщенная производная
gr совпадает с обычной производной [gf].
Доказательство. Пусть g абсолютно непрерывна на
любом компактном подинтервале в /. Если учесть, что gr есть мера
Стильтьеса dg, то для φ 6 &ι получаем
β β
(φ, &=lv(t)dg(t)=$<p(t)[g](t)dt = (<p,[g]),
a a
следовательно, gr = [gf].
Обратно, предположим, что g — локально суммируемая на /
функция. Положим
t
to
где t0 — некоторая точка из /. Как известно, функция χ абсолютно
непрерывна на любом компактном подинтервале в /, и ее обычная
производная совпадает почти всюду с подинтегральной функцией,
т. е. почти всюду [χ'] (t) = g' (t). Поскольку обобщенная
производная χ есть мера Стильтьеса άχ, получаем для φ £ £Bj
β β
(φ, χ'> = $ φ (t) d% (t) = J φ (t) [%] (I) di =
a a
β
= l<p{t)g'(l)dt = (<p,g),
a
значит, χ = gr. Распределения g и χ, имея одинаковые
производные, могут отличаться лишь на постоянную, следовательно,
функция g абсолютно непрерывна на любом компактном интервале.
Лемма 3. Пусть g — некоторое распределение на I. Если g
имеет порядок г, г ^ 1, то g' имеет порядок г + 1; если g' имеет
порядок q, q ^ 1, то g имеет порядок q — 1.
Доказательство. Пусть g имеет конечный порядок г,
где г ^ 1. Тогда (см. приложение, § 1) g есть производная порядка г
некоторой меры μ на /, т. е. g = Όνμ. Следовательно^ g' = Όν+1μ
§ ι
163
принадлежит 3'ir+1. Если бы g' £ 3'\, то g' была бы производной
r-го порядка некоторой меры. Так как g' = Dr (Όμ), то отсюда
вытекало бы, что Ομ = ν есть некоторая мера, а, значит, g = Dr~xv
имело бы порядок ^г— 1. Таким образом, g' ^ 3'{ и g имеет
порядок г + 1.
Если gr имеет конечный порядок q, где q^l, то g' = Ό4μ,
где μ — некоторая мера. Следовательно, g = Ι)ς~1μ -\- с, где с —
некоторая постоянная. Отсюда видно, что g £ 3'iq~x. Если q = 1,
то утверждение леммы доказано; если q ^ 2, то в силу первой части
леммы g (J Z>H~2> значит, g имеет порядок q — 1.
Случаи г = оо, q = оо тривиальны.
Предыдущие леммы остаются, очевидно, в силе и для векторных
распределений со значениями в С1 (определение таких распределений
дается в п. 9 § 1 приложения).
4. В этом пункте мы предположим, что А локально суммируема
на / = (α, β), a / — векторная мера на / со значениями в С1. По
теореме Ф. Рисса существует такая функция χ (определенная
однозначно с точностью до аддитивной постоянной), имеющая
ограниченную вариацию на любом компактном подинтервале / и
непрерывная справа на /, что / есть мера Стильтьеса άχ, определяемая
функцией χ.
Под решением будем понимать всякую функцию, имеющую
ограниченную вариацию на любом компактном подинтервале в/и
удовлетворяющую системе (1) в обобщенном смысле, т. е. если
производную и равенство в (1) понимать в смысле теории обобщенных
функций (заметим, что в указанных предположениях произведение
A (t) х есть локально суммируемая функция). В дальнейшем мы
увидим, что в эти рамки укладываются и системы Каратеодори и
импульсные системы.
Теорема 2. Предположим, что А локально суммируема па 1Г
a f — некоторая мера на I. Тогда для любых начальных
условий t0 £ I, х0 ζ С1 существует единственное решение системы (1)
с х (t0 + 0) = х0 *), а именно функция, определяемая из уравнения
t
x(t) = X(t,t0)x0+$X(t,s)d%(s), te I. (2)
ίο
Доказательство. Воспользуемся методом вариации
постоянных. Так как матрица X обратима, то можно произвести
замену переменной х = X (t, t0) z. Как легко видеть, для произведения
г) Напомним, что функции ограниченной вариации имеют односторонние
пределы в любой точке.
164
Глава IV
абсолютно непрерывной функции на функцию ограниченной
вариации сохраняется обычная формула дифференцирования г)
—— л (t, t0) ζ = z + X(t, t0) —— .
at at at
Поскольку
dX (t, t0)
dt
-f- A (t) X (t, t0) = 0 почти всюду на /
и X"1 (t, t0) = X (t0, t), получаем для ζ систему
z' = X (t0, 0/,
эквивалентную системе (1).
Таким образом, возникла необходимость в нахождении
первообразных меры X (t0, t) f. Покажем, что функция g, определяемая
интегралом Стильтьеса
t
g(t)=lx(t0,s)d%(s), tei,
to
имеет ограниченную вариацию на любом компактном подинтервале
в /, непрерывна справа на / и является первообразной меры
1) В самом деле, пусть gt — скалярная функция, абсолютно непрерывная
на любом компактном подинтервале в /, и g2 — скалярная функция, имеющая
ограниченную вариацию на любом компактном подинтервале в /. Тогда для
любой функции φ £ 3j1 имеем
β
<φ. {g\g2)')= I φ (s) d (gig2) (s).
a
Переходя к интегральным суммам, немедленно убеждаемся, что
β β β
Ι Φ (s) d (gig2) (s) = Ι Φ (s) $2 (s) dgi (0 + Ι φ (s) gt (s) dg2 (s).
α α α
Так как функция gt абсолютно непрерывна, то
β β
Ι Φ (s) $2 (s) dgi (s) = Ι φ (s) g2 (s) g[ (s) ds.
a a
Следовательно,
β β
<Φ» (gu g2)')= l Φ (s) $2 (*) g[ (s) ds+ J φ (s) gi (s) dg2 (s) =
a a
= <<P> g'lg2) + (gl<V* ^2> = <Φ> Й^2> + <Ф» *1*ί> = <<Ρ, g'lg2 + gig&,
т. e.
(glg2)'=g'lg2+glg2·
§ 1 165
X (t0, t) /. В самом деле, для любого разбиения компактного подин-
тервала [a, b] a I имеем г)
Σ№+ι)-£(*/)!= ΣΙ I x(t0,s)dx(s)\^
j j tj
<2 sup ix(<o,*)iVx<
b
< sup \X(t0,s)\\J%\
следовательно, вариация функции g ограничена на любом
компактном подинтервале в /.
Пусть τ — некоторая точка из /. Для t >> τ имеем
Ы*)-«(*)'< sup \X(t0,s)\\J%
и, так как χ непрерывна справа в точке τ, получаем
t
lim Vx = °.
ί->τ+0 τ
Таким образом, g непрерывна справа на /.
Обозначим, как обычно, через dg меру Стильтьеса, определяемую
функцией g. Пусть {а, Ъ) — некоторый открытый ограниченный
подинтервал в /. Как известно (см. [17]), dg-мера интервала (а, Ъ)
равна
ь-о
g(b-0)-g(a + 0)= \ X(t0,t)d%(t).
С другой стороны, мера X (t0, t) f есть произведение непрерывной
функции X (t0, t) на меру /, т. е. на меру d%, определяемую
функцией χ:
X (t0, t)f = X (t0, t) άχ.
Следовательно, для любой непрерывной на / функции φ с
компактным носителем имеем
β
(φ, X (t0, t) d%) = (φ (t) Χ (t0, t), d% (t)) =l<p(t)X (t0, t) d% (t),
*) Через \y χ обозначена, как обычно, вариация функции χ на отрезке [α, β].
166
Глава IV
откуда немедленно вытекает, что X(t0, ί)άχ-Μβρ& интервала (α, Ъ)
равна
6-0
\ X (i0, t) άχ.
а + 0
Таким образом, на любом открытом ограниченном интервале (а, Ъ)
мера dg совпадает с мерой X (t0, t) /, значит, dg = X (t0l t) /. Как
было показано в предыдущем пункте, dg есть производная функции g,
значит, g есть первообразная меры X (t0, t) /. Все остальные
первообразные равны с -\- g, где с — произвольная постоянная.
Итак, ζ = с + g и решения системы (1) имеют вид
t t
X (t, g с + Χ (ί, g I X (ί0, s) d% (s) = X(t,t,)c+\X (t, s) d% (s).
to to
Значение с, соответствующее начальным условиям, определяется
сразу, если взять предел при t ->-10 -\- 0. Именно с = х0.
Доказательство теоремы закончено.
Заметим, что функция, определяемая формулой (2), не только
имеет ограниченную вариацию на любом компактном подинтервале
в /, но и непрерывна справа на /, ибо, как было показано, функция g
обладает этим свойством. Если /-мера каждой точки есть нуль, то χ
как первообразная для / будет в силу леммы 1 непрерывна на /.
Если функция / локально суммируема на /, то χ как
первообразная для / будет в силу леммы 2 абсолютно непрерывна на любом
компактном подинтервале в / и ее обычная производная [χΊ будет
равна обобщенной производной χ'. Мы видим, что
I X (t, s) άχ (s)=\x(t, s) [χ] (s) ds=\x (t, s) f (s) ds,
to to to
следовательно, формула (2) для решения сводится к формуле,
полученной в п. 2 для систем Каратеодори.
5. В этом пункте мы сделаем несколько замечаний о том, можно
ли налагать на матрицу коэффициентов системы более слабые
условия регулярности, чем локальная суммируемость. Предположим,
что матрица А и вектор / суть меры на / = (α, β), и пусть Ψ и χ —
функции, имеющие ограниченную вариацию на любом компактном
подинтервале в /, непрерывные справа на / и удовлетворяющие
соответственно условиям А = άΨ и / = άχ, где άΨ, άχ — меры
Стильтьеса, определяемые соответственно функциями Ψ и χ.
Под решением, как и выше, будем понимать функцию х,
обладающую ограниченной вариацией на любом компактном
подинтервале в/и удовлетворяющую системе (1) в смысле теории
распределений. Отметим, что если мы желаем приписать произведению Ах
обычный в теории распределений смысл, то мы обязаны искать
решения х, непрерывные на /.
§ ι
167
Для того чтобы включить в единую схему системы с
коэффициентами типа мер и системы, рассмотренные в п. 4, решения которых
могут иметь разрывы, удобно заменить дифференциальную систему
эквивалентной интегральной системой (с интегралами Стильтьеса).
Таким образом, задача нахождения решения с χ (t0 + 0) = х0
дифференциальной системы эквивалентна задаче нахождения решения
типа функции, имеющей ограниченную вариацию на любом
компактном подинтервале в /, для системы
t
x(t) = xo-l {άΨ («)} χ (s) + χ (t) - χ (to). (о)
to
Мы не будем изучать здесь системы вида (3). Среди работ,
посвященных этим системам, упомянем [37], где даются необходимые
и достаточные условия существования решения, и [74], где между
прочим приводятся приложения к так называемым
«межповерхностным задачам».
6. Для того чтобы иметь возможность рассматривать возмущения
(входы) / типа распределений, не являющихся мерами, наложим
на матрицу А более сильные условия регулярности. В этом пункте
предположим, что А принадлежит классу %т на /, а / принадлежит
пространству векторных распределений на / со значениями в С1,
и будем понимать под решением системы (1) некоторое
распределение на / со значениями в С1, удовлетворяющее системе в смысле
теории распределений.
Заметим, что произведение функции А класса ^т на / и
распределения χ на / определено лишь тогда, когда χ имеет порядок
^Lm. Поэтому ищем решения среди распределений порядка ^.т.
Но тогда по лемме 3 левая часть системы (1) имеет порядок ^.т + 1.
Следовательно, естественно требовать, чтобы порядок г
распределения / удовлетворял неравенству г ^ т + 1.
Теорема 3. Пусть А принадлежит классу Ή™ на I и f —
некоторое распределение на I порядка г, г ^ т + 1. Тогда решения
системы (1) имеют вид
х = Х (t, а) [с + g], (4)
где а — некоторая точка интервала I, g — первообразная
распределения X (a, t) /, а с — произвольная постоянная. Если г = оо,
то решения имеют порядок оо; если 1 ^ г < оо, то решения имеют
порядок г — 1.
Доказательство. Воспользуемся снова методом
вариации постоянных. Произведем замену переменных χ = X (t, a) z.
Так как А принадлежит классу %ш на /, то фундаментальная матри-
168
Глава IV
ца решений X (t, а) принадлежит классу ^m+1 на /. Для первой
производной произведения X (t, a) ζ верна обычная формула
d v ,. ν dX (t, a) dz
X (t, a) z = - — ζ + X (t, a)
dt dt dt
(cm. § 1 приложения). Точно так же, как и при доказательстве
теоремы 2, для ζ получаем систему
ζ' = X (α, t) /,
эквивалентную системе (1). Таким образом, мы пришли к
первообразным распределения X (a, t) /. Если g — некоторая
первообразная, то все остальные имеют вид с -\- g, где с — произвольная
постоянная. Отсюда видно, что решения системы (1) даются формулой (4).
Последние утверждения теоремы немедленно получаются, если
применить к ζ лемму 3.
Очевидно, представление (4) не зависит от выбора точки а £ I.
Замечания, а) Если / есть мера (т. е. распределение
порядка г = 0 на /), то по лемме 1 первообразная g меры X (О, t) f есть
функция, имеющая ограниченную вариацию на любом компактном
подинтервале в /. Следовательно, если / есть мера на /, то система
(1) не имеет других обобщенных решений, кроме рассмотренных
в п. 4. В частности, если / — локально суммируемая (соотв.
непрерывная) функция на /, то система (1) не имеет других обобщенных
решений, кроме решений Каратеодори (соотв. обычных решений).
б) Вообще говоря, если / имеет порядок г ^ 1, то задачи с
начальными условиями ставить нельзя, ибо значение обобщенной функции
в данной точке не всегда определено *). Но как видно из (4), если
первообразную g зафиксировать, то удается установить взаимно
однозначное соответствие между решениями и векторами с из С1.
в) Рассмотрим случай одного уравнения порядка I ^ 2:
zw + ai(t)z(l-l) + ... + al(t)z = f, (5)
где коэффициенты aj принадлежат классу %т на /, а / — скалярное
распределение на / порядка г ^ т + 1. Решения легко получить,
применяя обычный метод к системе, соответствующей уравнению (5).
г) О понятии значения обобщенной функции в точке см. [50]. Отметим, что
если значение обобщенной функции / определено в некоторой точке t0, то в ί0
определено значение и обобщенной функции X (£0, t) f, значит, определено
значение и первообразной g. Следовательно, в этом случае для всех решений
системы (2) определено значение в t0, и легко показать, что для любого х0 ζ С1
существует единственное решение, принимающее значение х0 в точке t0, а именно
χ = X (f, t0) x0 + Χ (ί, ί0) lg-g (ίο)]»
где g (t0) есть значение g в t0.
§ 2
169
Заметим, что если г < I, то решения уравнения суть {обычные)
функции] если г = I, то решения суть меры; если г > /, то решения
суть распределения порядка г — I. В самом деле, полагая ζ = Х\,
ζ' = х2, . . ., ζ{1~1} = Χι, получаем систему
Xl = Х2,
х2 = хЪ->
: "_ (6)
Xl-l Χι,
х[ +ai{t)xl + ...+al (t) χι = /.
Так как матрица коэффициентов системы (6) принадлежит классу
%ш, то удовлетворяются условия теоремы 3. Следовательно,
решение χ = ι(χι, . . ., Χι) системы (6) есть распределение порядка г — 1
или функция, имеющая ограниченную вариацию на любом
компактном подинтервале, в соответствии с тем, будет ли г> 1 или г = 0.
Из (6) видно, что χι-ι есть первообразная для х{\ xt-2 —
первообразная для Xi-i и, значит, первообразная второго порядка для хг
и т. д. Поэтому хи т. е. ζ, есть первообразная (I — 1)-го порядка
для Χι. Утверждения, касающиеся регулярности решений,
немедленно следуют из лемм 1 и 3.
§ 2. Нелинейные дифференциальные уравнения с мерами
(общие сведения)
1. Напомним сначала определение решений в смысле Каратео-
дори. Рассмотрим систему нелинейных дифференциальных
уравнений
х' (t) +F(t, χ (t)) = 0, (1)
где F — функция, определенная в области D пространства R1 X С1
и принимающая значения в С1. Пусть /' — некоторый интервал
действительной прямой В1. Говорят, что абсолютно непрерывная на
любом компактном подинтервале в /' (и, значит, почти всюду
дифференцируемая) функция χ: Γ -+С1 есть решение (в смысле) Каратео-
дори на /', если (£, χ (t)) £ D для t £ /' и х почти всюду
удовлетворяет системе (1) *).
2. В дальнейшем мы будем рассматривать класс нелинейных
систем, содержащих меры. Этот класс охватывает, в частности,
системы типа Каратеодори.
Рассмотрим систему
х + F (ί, χ) = f, (2)
х) Подробный анализ условий существования и единственности решений
можно найти, например, в книге Коддингтона и Левинсона «Теория
обыкновенных дифференциальных уравнений» (ИЛ, 1958).
170
Глава IV
где / — мера на открытом интервале / = (α, β) со значениями в С1,
a F — функция, определенная в некоторой области D пространства
R1 X С, со значениями в С1. Производная и равенство в (2)
понимаются в смысле теории распределений. Напомним, что мере /
соответствует функция χ (определенная однозначно с точностью до
аддитивной постоянной), имеющая ограниченную вариацию на любом
компактном подинтервале в /, непрерывная справа на / и
обладающая тем свойством, что / совпадает с мерой Стильтьеса άχ,
определяемой функцией χ. Согласно лемме 1 § 1, χ есть первообразная
меры /.
В этих условиях естественно искать решения среди функций
ограниченной вариации. Пусть /' = (α', β') — открытый интервал,
содержащийся в /. Будем говорить, что функция х: Г -+С1,
имеющая ограниченную вариацию на любом компактном подинтервале
в /', есть решение системы (2) на /', если
(i) (t, x (t)) £ D почти всюду в /;
(ii) функция F (t, x (t)) локально суммируема на /';
(iii) x удовлетворяет системе (2) на /' в смысле теории
распределений.
Заметим следующее. Пусть /' — открытый интервал и φ —
функция, имеющая ограниченную вариацию на любом компактном
подинтервале в /'. В определяемом φ классе эквивалентности локально
суммируемых функций существует ровно одна функция, имеющая
ограниченную вариацию на любом компактном подинтервале в /'
и непрерывная справа на /', а именно функция φι, определяемая
соотношением φι (t) = φ (t + 0) *). В рамках теории распределений
функции φ и φι равны. Поэтому функции, имеющие ограниченную
вариацию на любом компактном подинтервале в /', будут
предполагаться в дальнейшем непрерывными справа на /'.
Таким образом, мы можем говорить о значении решения х в
некоторой точке: это значение есть предел справа функции х в этой точке.
Отметим, однако, ту особенность рассматриваемых систем, что,
вообще говоря, график некоторого решения х на /' не есть связное
множество в R1 х С1, ибо функция х может иметь скачки. Вместе
с тем график решения для t, пробегающих некоторый подинтервал
I" в /', не обязан быть замкнутым множеством в R1 X С1, даже если
интервал I" компактен.
Заметим, что при / = 0 решения в указанном выше смысле
сводятся к решениям Каратеодори. В самом деле, из равенства х (t) =
= —F (t, x (t)) следует, что производная х решения х локально
х) Это утверждение очевидно для возрастающих функций. Если φ
принимает действительные значения и имеет ограниченную вариацию на любом
компактном подинтервале в Г, то это утверждение следует из теоремы Жордана
о представлении φ в виде разности двух возрастающих функций. Отсюда сразу
вытекает утверждение для функций, рассматриваемых в тексте.
§ 2
171
суммируема, и в силу леммы 2 § 1 χ есть решение в смысле Каратео-
дори на /'.
Заметим также, что замена переменных χ = у + χ приводит
к системе относительно г/
у' (0 + F (/, у (/) + χ (*)) = 0, (3)
эквивалентной системе (2). Полученная таким образом система есть
система типа Каратеодори. Однако из-за присутствия функции χ
результаты теории таких систем не переносятся автоматически
на систему (3). В дальнейшем мы исследуем систему (2)
непосредственно. При этом полученные результаты, как отмечалось выше,
будут включать в себя и результаты, относящиеся к системам типа
Каратеодори.
3. Укажем условия, обеспечивающие одновременно
существование и единственность решений системы (2). При доказательстве
приводимых ниже утверждений мы используем банахов принцип сжатых
отображений (в подходящем функциональном пространстве).
Пусть / = [αϊ, βι] — компактный интервал, t — фиксированная
точка из / и VM (J) — пространство функций / ->- С1 ограниченной
вариации на /, непрерывных справа на [αϊ, βι). Норма
ΙΙΙφ||| = Ιφ(ΟΙ + \/φ, <t€VM(j),
α,
индуцирует в VM (J) структуру банахова пространства. В самом
деле, как известно, пространство непрерывных на компактном
интервале функций, снабженное нормой равномерной сходимости,
есть банахово пространство. Следовательно, сопряженное к этому
пространству (пространство мер на /) также есть банахово
пространство. Напомним, что норма || dg || меры Стильтьеса dg,
определяемой функцией g ζ VM (/), совпадает с вариацией функции g
на / (по теореме Ф. Рисса).
Пусть теперь {срд} — последовательность Коши в VM (J). Тогда
{άψη} есть последовательность Коши в пространстве мер на /.
Следовательно, существует мера μ, для которой || μ — άφη\\-*0. Мере μ
отвечает такая функция ψ ζ VM (/), что μ = <#ψ. Пусть
φ (t) = К + ψ (t) - ψ (7), где К = lim φ„ (7).
Очевидно, φ 6 VM (J) и
Pi
\\\<P-4n\\\ = \K-4n(t)\ + \f№-<Pn] =
«ι
= | К - φn(t) | + || # - dcp J| =
= \Κ-φη(ί)\ + \\μ-άφη\\.
172
Глава IV
Этим доказано, что VM (J) — полное пространство.
Отметим, что для φ 6 VM (J) имеем
iiMii<iMiu + VV,"
где || φ ||tt = sup | φ (t) |. Вместе с тем для любых φ ζ VM (J) я t ζ J
Ι φ (Ο ΚΙ φ (01 +1 φ (0 — φ (Ο ΚΙ φ (01 + V φ = III φ III,
«ι
значит, || φ ||u ^ ||| φ||| и, следовательно,
ΙΙφΙΙα + \/φ<2|||φ|ϋ.
α4
βι
Таким образом, нормы |||·||| и ||#||u+ V эквивалентны, и мы
αϊ
получаем, что топология в VM (/) не зависит от выбора точки t.
4. Τ е о ρ е м а 1 (локальная теорема существования и
единственности). Пусть t0 6 ^ff1, ^o 6 С1, (t0, х0) £ D. Предположим, что
существуют такой интервал К = [t0 — a, t0 + α], α > 0, такой
замкнутый шар S в С1
s = {x\xec\ \х — х0\<ь}, б>о,
и такие суммируемые на К положительные функции п, г2, что
(i) Kcl, KxSczD; \/\<b;
t0-a
(ii) для любого фиксированного χ ζ S функция F (t, χ) измерима
(относительно t) на К х);
(ш) | F (t, s) I < η (t) для t ζΚ, χ ζ S;
(iv) I F (t, χι) — F (t, x2) | <; r2 (t) | χι — x2 | для t ζ К и
X\, Хг 6 S 2).
Тогда для любого а , 0 < а < а, такого, что 3)
ί0+«' ίο + α ίο+α'
J η(*)ώ<6- V χ, $ г2(*)&<1, (4)
t0~a t0—a t0—a'
x) Заметим, что в рассматриваемом случае замена условий типа Каратеодори
обычными условиями (непрерывность F как функции от (£, х)) ничего не дает
в отношении регулярности решения по £, ибо из-за наличия в системе (7) меры /
решения, вообще говоря, имеют скачки.
2) Можно показать, что при этих предположениях система (3)
удовлетворяет условиям существования и единственности, обычным в теории систем
Каратеодори.
3) Существует, очевидно, целый интервал (0, а'0)у а'0 >■ 0, точек а!,
удовлетворяющих условиям (4).
§ 2
173
система (2) имеет на интервале (t0 — а , t0 + а') одно и только
одно решение с χ (t0) = х0 и со значениями в S. В любой точке
t 6 (to — а'-> *о + а') скачок решения χ совпадает со скачком функции
χ в этой точке.
Доказательство. Напомним, что под функцией
ограниченной вариации мы понимаем здесь функцию ограниченной
вариации, непрерывную справа в любой точке.
Учитывая лемму 1 § 1 и тот факт, что любые две первообразные
данного распределения отличаются на постоянную, заключаем,
что задача нахождения решения системы (2) на интервале (t0 — а ,
t0 + α'), удовлетворяющего условию χ (t0) = х0, эквивалентна
задаче определения нахождения решения типа функции, имеющей
ограниченную вариацию на любом компактном подинтервале в (t0 — а ,
to + а) системы интегральных уравнений г)
t
x(t) = x0—\ F (s, x (s)) ds + %(t)—% (t0), (5)
ίο
Следовательно, для доказательства теоремы достаточно показать,
что на любом интервале J = [t0 — a", t0 + α"], 0 < а" < а',
система интегральных уравнений допускает единственное решение в
подпространстве VM (У, х0, Ь) пространства VM (J), состоящем из всех
функций φ, для которых 2) sup | φ (t) — х0 | ^ Ь; предполагается,
что пространство VM (J) снабжено нормой
III φ 111 = 1 φ (ίο) Ι+ V φ, <p£VM(J).
Покажем в первую очередь, что если φ £ VM (/, х0, b), то
функция F (£, φ (t)) локально суммируема на /. В самом деле, пусть для
φ ζ VM (J) имеет место неравенство sup | φ (t) — х0 | <С Ь', где
t £J
О < Ъ' < Ъ. Как известно, функция кусочно непрерывна 3) на /
тогда и только тогда, когда она есть предел равномерно сходящейся
на / последовательности ступенчатых функций (см. [55], т. II,
стр. 132). Так как функция φ на / имеет ограниченную вариацию,
то она кусочно непрерывна. Следовательно, существует
последовательность ступенчатых функций {срд}, равномерно сходящаяся
к φ на /. Так как сходимость равномерна и Ьг < Ь, то мы можем
считать, что все функции срд удовлетворяют неравенству sup | ψη (t) —
— х0\ ^ Ь. Следовательно, функции F (t, q>n (t)) определены для
*) Конечно, предполагается, что функция χ такова, что все
фигурирующие в (5) операции имеют смысл, т. е. (s, χ (s)) 6 D для s ζ (t — a', t0 + a')
и F (s, χ (s)) локально суммируема на (t0 — a', t0 + a').
2) См. предыдущую сноску.
/ 3) Напомним, что функция называется кусочно непрерывной, если она имеет
лишь разрывы первого рода.
174 Глава IV
t £ / и из (ii) сразу вытекает, что они измеримы на /. На
основании (iv)
\F(t, φ (t)) - F (f, φ, (t)) |< r2 (t) | φ (f) - φ, (ί) |, ί 6 /,
значит, F (ί, φη (ί) -+F(t, φ (£)) в любой точке и, следовательно,
Ζ7 (£, φ (£)) измерима на /. Рассмотрим теперь общий случай:
φ 6 УЖ («/"), причем sup | φ (£) — £0 I ^ b. Пусть {kn} — последо-
t£J
вательность чисел 0 <C kn < 1, такая, что кп —>-l, и пусть ψ^ =
= /с?гср. Очевидно, ψΛ ζ УЖ (/). В то же время для £ £ / имеем
Ι Ψ* (0 — *о К Λ* Ι Φ (t) —Χο\ + (1—Κ)\χ0\<
< b + (1 - йд) I xo I,
значит, существует такое целое число тг0 > 0, что sup | ψΛ (£) —
— ^о \ <С b для тг > тг0. Поэтому, согласно сказанному выше,
функции F (t, \pn (t)) измеримы для η > п0. В силу (iv) для п> п0 имеем
| F (t, φ (t)) - F (t, ψ, (t)) | < r2 (t) | φ (f) - ψ, (ί) |
и, так как \рп (t) ->- φ (£) на /, получаем, что F (t, φ„ (t)) -»■
-+F (t, φ (£)) на /, откуда вытекает, что F (£, φ (t)) измерима на /.
Суммируемость на / немедленно следует теперь из (ш).
Пусть φ е VM (/, х0, Ъ) и
t
y(t) = x0-^F(s,y(s))ds + %(t)-%( to).
to
Очевидно, ψ 6 VM (J). Далее, для t ζ J имеем
\^(t)-XoK\\F(s^(s))ds\ + \%(t)-%(t0)\^
to
< J \F(8,fp(8))\d8+ V,X·
t0~a' t0—a'
С учетом (iii) и (4) получаем
|ψ(ί)-*„Κ J r1(s)ds+ V Χ<&·
t0—a' t0—a
Следовательно, ψ 6 VM (/, ^0> Ь) и оператор Ω, определяемый
равенством Ωφ = ψ, переводит пространство VM (/, х0, Ъ) в себя.
Пространство VM (/, ^0> Ь) полно. В самом деле, пусть {срд} —
последовательность Коши в VM (/, х0, Ь). Так как VM (J) —
банахово пространство, то существует такая функция φ £ VM (J)r
§ 2 175
что III φ — φη HI -^0. Имеем
sup Ι φ (t) — x0 К sup |φ (t) — φη (t) | + sup | φ„ (t) — x0 |<
tej tej t£j
< sup | φ (t) — ц)п (t) | + b.
Как было показано в п. 3, для любого ψ £ VM (J)
sup I ψ (ί) Κ Ιϋ ψ |||.
t£J-
Следовательно,
sup Ι φ (t) — x0 К HI φ — φ„ ||| + b.
t£J
Переходя к пределу, получаем
sup Ι φ (t) — x0 К b,
значит, φ £ VM (/, x0l b).
Таким образом, для доказательства существования и
единственности на / решения системы интегральных уравнений (5)
достаточно показать, что Ω есть сжимающий оператор. Пусть φι, φ2 6
6 VM (/, х0, b) и ψι = Ωφ1? ψ2 = Ωφ2. Для t £ / имеем
t
(Ψ2 - Ψι) (t) = $ [F (s, Φι (*)) - F (s, φ2 (s))] ds.
to
Учитывая (iv), для t', t" £ /, t' < £" получаем
t"
Ι (Ψ2 - Ψι) (О - (ψ2 - Ψι) (Ο i = | j [/^(s, Φι (s)) - F (s, φ2 (*))] ds <
ί"
< Ι |^(ί,φ1(ί))-^(ί,φ2(ί))|ώ<
< $ r2 (5) | φι (s) — φ2 (5) | ds.
Но, как показано в п. 3,
значит,
sup | η (0 |< III η III для r\eVM(J),
sup | φ! (s) — φ2 (s) | < ||| ψι — φ2 |
s£j
и, следовательно,
t"
Ι (Ψ2 - Ψι) (Ο - (afe - ψ4) (Г) I < HI ф1 - φ2 HI \ r2 (s) ds.
f
176
Глава IV
Поэтому
V (ψ2 — ΨιΧΙΙΙφ2 — φι III \ r2(s)ds,
to—a" t0—a"
и так как (ψ2 — ψι) (^о) = 0, то
ΙΙΙψ2-ψιΙΙΚΙΙΙφ2-φιΙΙΙ ° ] r2(s)ds,
t0—a"
чем ввиду (4) и доказано, что Ω есть сжимающий оператор.
Для скачка решения в точке τ£(ί0 — а', t0 + а) имеем в
силу (5)
χ (τ) — χ (τ — 0) = χ (τ) — χ (τ — 0),
чем и завершается доказательство теоремы.
5. Так же как и в случае обычных систем, весьма важной
является задача продолжения решения на возможно больший интервал.
Предположим, что для каждой точки (t, x) из D существуют такие
К, 5, Γι, г2 (зависящие от точки (t, x)), что выполняются условия
теоремы 1. Рассмотрим два решения φ, ψ, проходящих через точку
(£о> #о) 6 Di и покажем, что они совпадают на пересечении {tu t2)
интервалов, на которых они определены. В самом деле, пусть
(t[, t2) — объединение всех интервалов /, содержащих t0 и
обладающих тем свойством, что рассматриваемые два решения совпадают
на / (существование таких интервалов / вытекает из предыдущей
теоремы 1)).
Очевидно, t\ ^ t[ <C t0 < t2 ^ t2 и (t[, t2) есть наибольший
из интервалов /. Если бы мы имели t2 < t2, то из равенств
h
Ψ (Q = x0—$F(Slq) (s)) ds + χ (t2) - χ (ί0),
ίο
h
Ψ(© = Xo-lF(s,y (s)) ds + χ (t2) -χ (t0)
to
следовало бы равенство φ (t2) = ψ (t2), ибо φ (s) = ψ (s) для s £
£ [t0, t2). В силу теоремы 1 решения φ, ψ совпадали бы и на
интервалах вида (t2 — ε, t2 + ε), ε > 0, а значит, и на некотором
интервале (t[, t2 + ε), что противоречит выбору интервала (t[, t'2).
Следовательно, t2 = t2. Аналогично показываем, что t[ = tu так что
t0-\-a
х) В самом деле, так как \7 χ < δ и φ, ψ удовлетворяют системе (5), суще-
ствует точка я', 0<а'<а, удовлетворяющая одновременно условиям (4)
и условиям φ (ί), ψ (t) £ S для t ζ /, где / = (t0 — a', t0 + а'). На основании
теоремы 1 (в части, относящейся к единственности) φ (t) = ψ (t) для t £ J.
§2
177
φ и ψ совпадают на пересечении {tu t2) интервалов, на которых они
определены.
Пусть Σ — множество всех решений системы (2), проходящих
через (t0l х0), и (τ", τ+) — объединение интервалов, на которых
определены решения из Σ. Очевидно, интервал (τ", τ+) содержит
точку t0. Определим функцию χ (t, t0l х0) для t £ (τ", τ+), взяв
в качестве ее значения в точке t значение в t какого-либо решения
из Σ, интервал определения которого содержит точку t. В силу
сказанного выше функция χ (t, t0, x0) определена корректно и любое
решение из Σ представляет собой ограничение функции χ (t, t0, x0)
на соответствующий интервал. Вместе с тем, χ (t, t0, x0) имеет
ограниченную вариацию на любом компактном подинтервале интервала
(τ", τ+), и, поскольку функции из Σ удовлетворяют интегральной
системе (5), получаем
t
х (t, t0, х0) = χ0 — J F (s, χ (s, t0, х0)) ds + χ (t) — χ (ί0)
to
для t 6 (τ~, τ+), значит, χ (t, ί0, χ0) — решение системы (2) на
(τ", τ+). Следовательно, χ (t, t0, x0) есть максимальное решение,
проходящее через (t0, x0), в том смысле, что любое другое решение,
проходящее через (£0, х0), есть ограничение χ (t, t0, x0) на
соответствующий интервал. Таким образом, мы доказали следующий
результат.
Теорема 2 (глобальная теорема существования).
Предположим, что для каждой точки (t0, x0) из D существуют такие
К, S, Γι, г2 (зависящие от t0l x0), что удовлетворяются условия
теоремы 1. Тогда для каждой точки (t0, x0) из D существует
максимальное решение χ (t, t0, x0) системы (2), проходящее через (t0, x0).
Если / = 0, то условия теоремы 1 сводятся к обычным условиям,
обеспечивающим существование и единственность решений в теории
систем типа Каратеодори.
Представляет интерес установить простые условия,
обеспечивающие выполнение предположений теоремы 2. В дальнейшем будем
считать, что F непрерывна в D по совокупности переменных (t, x)
и удовлетворяет условию Липшица по χ на любом компактном
подмножестве области D. Тогда предположения теоремы 2
выполняются, если /-мера каждой точки интервала / равна нулю (это
сводится к требованию, чтобы χ была непрерывна на /), ибо в этом
случае вариация функции χ есть непрерывная функция. Если в /
существуют точки ненулевой /-меры, то, вообще говоря, в D могут
существовать (вблизи границы области) такие точки, для которых
нельзя найти чисел а, Ь, удовлетворяющих условиям (i) теоремы 1.
Однако для областей D, являющихся декартовыми произведениями,
D = I X С1, предположения теоремы 2 выполнимы, даже если в /
имеются точки ненулевой /-меры.
178
Глава IV
6. Исследуем теперь поведение максимального решения на
концах того интервала, на котором оно определено.
Теорема 3. Предположим, что выполняются условия
теоремы 2. Пусть (t0, х0) — некоторая точка из D и χ (t, t0, х0) —
максимальное решение, проходящее через (t0, x0). Тогда для
любого компакта Δ cz D существуют такие t&, t\ £ (τ", τ+), что
(t, χ (t, t0, x0)) (f Δ при t e (τ~, tl){](ti, τ+).
Доказательство. Допустим противное, т. е. что
существует компакт Δ cz D, для которого нельзя найти такого t\ £ (τ", τ+),
что
(t, x (t, t0, xo)) $ Δ при /6 (tt, τ+). (6)
Тогда существует последовательность {tn}, такая, что
tn 6 (τ", τ+), tn -*τ+, (tn, xn) £ Δ
(мы положили хп — χ (tn, t0, х0)). Так как Δ — компакт, то из
последовательности {(tn, xn)} можно извлечь подпоследовательность,
сходящуюся к точке (τ+, χ) £ Δ. Без ограничения общности можно
считать, что к точке (τ+, χ) сходится сама последовательность
В точке (τ+, χ) выполняются условия теоремы 1. Следовательно,
существуют интервал К = [τ+ — α, τ+ + а], окрестность S точки χ
S = {x\xeCl, \x — x\^b}
и положительные, суммируемые на К функции гь г2,
удовлетворяющие условиям (i) — (iv) теоремы 1. Положим для краткости
τ+4-α
λ = V X' так что λ < &. Пусть Ъ' таково, что λ < Ъ' < Ъ, и
τ~ — а
т =
Т'Т +2
V={x\xeCl, \x — x\<b — b'}.
Очевидно, Τ χ V cz К X S, значит, Τ χ V cz D и, следовательно,
через каждую точку (£*, х*) из Τ Χ V проходит единственное
решение системы (2). Покажем, что существует такое у > О, не
зависящее от точки (£*, χ*) ζ Τ χ V, что решение, проходящее через
(£*, х*), определено на (t* — у, ί* + у). В самом деле, для любой
точки (£*, χ*) £ Τ Χ V положим
\е-±.
K*=\f-^, f + ±
, S* ={x\xeCl, \x-x*\<b'}
§ 2
179
и в качестве гь г2 возьмем функции, соответствующие точке
(τ+, χ). Тогда К* а К, S* a S и PxS*cD. Далее,
+ 2 τ + +ο
V λ< V χ = λ<6\
Это показывает, что /£"*, £* удовлетворяют условию (i) теоремы 1.
Остальные условия выполняются (для этих К* и S*), поскольку
К* X S* cz К X S и Γι, г2 суть функции, соответствующие точке
(τ+, я). Выберем γ, 0 < γ < α/2, так, чтобы
\ ri(s)ds^br — λ, J r2(s)tfc<l
для любого ί* из Τ, что всегда возможно. Тогда
* , α
ί*+7 τ + +α 2
J Γ4(δ)ώ<6' — λ=δ' — V О'— V
*' 2
и по теореме 1 решение, проходящее через (£*, я*), определено
на (£* — γ, ί* + γ) для любой точки (£*, #*) f Г χ F.
Так как (£Л, #Л) -ν(τ+, я), то существует такое целое число
ρ > О, что ^ f F, τ+ — tp < γ и, значит, ίρ ζ Г. Как было
показано выше, решение, проходящее через (tp, хр), определено на
(tp — γ, tp + γ). Поскольку хр = χ (tp, t0, χ0), a χ (t, t0, x0) —
максимальное решение, проходящее через (t0, х0), получаем
(tP — γ, tp + γ) cz (τ~, τ+),
что противоречит соотношению τ+ — tp < γ. Следовательно,
существует такое t\ £ (τ~, τ+), для которого выполняется (6).
Аналогично показывается, что существует такое t& £ (τ~, т+)г
для которого
(t, x(t, t0, х0)) $ Δ при ζ (τ", /д).
Этим доказательство теоремы и заканчивается.
Доказанная теорема показывает, что график максимального
решения, проходящего через (t0, x0), покидает любой компакт
Δ cz D, содержащий точку (t0, x0). Отсюда сразу вытекает
следующее условие продолжимости: если / — открытый интервал, t0 ζ Ι
и χ (t, t0, х0) £ Δι при t £ (τ~, τ+), где Δι — компактное множество
в С\ причем / Χ Δι cz D, то решение, проходящее через (£0, х0)7
может быть продолжено на /.
7. Пусть (t0, х0) £ D и Iti, t2] — компактный подинтервал
интервала, на котором определено максимальное решение χ (t, t0, x0),
180
Глава IV
h 6 Г^ь hi- Пусть Г — график максимального решения для
t 6 [^ь hi- Легко показать (см. [67]), что если замыкание Г
содержится в D, то значение χ (t, t0, ζ), t ζ [tu t21, определено для всех
ζ из некоторой окрестности точки х0 и равномерно непрерывно в этой
точке относительно t £ [ti, t2]. Условие Τ cz D всегда
выполняется, если /-мера любой точки равна нулю, ибо в этом случае,
множество Г компактно, поскольку функция χ (t, ί0, χ0) непрерывна по
t e [*i, hi
Можно также показать, что функция χ (t, t0, x0) имеет
ограниченную вариацию относительно t0.
§ 3. Оператор входа — выхода. Одна характеристика
устойчивости
1. В автоматике чаще всего встречаются системы типа «вход —
выход». С математической точки зрения их часто можно описать
системами обыкновенных дифференциальных уравнений вида
х' + A (t) χ = /, (1)
где / представляет собой «вход» системы, а решение χ представляет
собой «выход». Таким образом, получается оператор входа —
выхода: f ~>х. Обычно входы / берутся из класса функций,
обращающихся в нуль на полупрямой (— оо, t0), и в соответствии с
принципом причинности в качестве выхода χ берется то решение системы
(1), которое равно нулю на той же полупрямой. Входы / могут быть
распределениями — либо суммами импульсов, либо выходами
другой системы; например, если / = Dmg, где g — непрерывная
функция, не дифференцируемая т раз в обычном смысле, то Dmg является
распределением порядка ^.т. Оператор «вход — выход» для случая
распределений был исследован Кристеску [14], чьи результаты
с небольшими изменениями и будут представлены ниже.
2. Рассмотрим систему (1), где А — матрица размера 1x1
класса %ш, / принадлежит пространству (3)'lnJrX)i векторных
распределений порядка ^т -f- 1 с ограниченным слева носителем (см. § 1
приложения) и решение χ ищется в пространстве (3)'™)^
Целесообразно ввести линейный оператор U, определенный на пространстве
(3™^ι)ι функций R1 ~>С1 с ограниченным справа носителем,
имеющих т + 1 непрерывных производных:
(Uy)(s)=-y(s) + y(s)A(s) при ye(D™+%
Очевидно, Uy £(&™)ι и оператор U непрерывен. Сопряженный
оператор lU: {3)'™)i -^(<25+m+1)z определяется равенством
*υχ = ύ + Α(ήχ при xe(DT)i-
Систему (1) можно записать в виде lUx = /, а задача существования
решений сводится к нахождению области значений оператора tU.
§ 3 181
Пусть X (t, s) — фундаментальная матрица (обычных) решений
однородной системы χ + A (t) χ = О, X (s, s) = Ε (Ε —
единичная матрица), и пусть ws (t) = Η (t — s) X (t, s), где Η (t) —
функция Хевисайда,
H<t\ — ί ° при t<0>
^j_\l при ί>0.
Заметим, что, согласно правилу дифференцирования
кусочно-регулярных функций,
dws (t)
dt
dt
*".(*) л+E6„
где dws (t)/dt — обобщенная производная, a [dws (t)/dt] — обычная
производная (определенная всюду, за исключением точки t = s).
Следовательно,
*£iVL + A{t)wt(t) = E6a (2)
at
и ws (t) есть отклик матричной системы
dW
«f + A(t)W=F
dt
на вход типа импульса F = Εδ8.
Обозначим через (£$'т [с, +°°))г подпространство в (<2>+т)ь
состоящее из распределений с носителем на полупрямой [с, +оо).
Теорема 1. Для любого распределения f £ («25+п+1)г с
ограниченным слева носителем система (1) допускает единственное
решение с ограниченным слева носителем. Точнее, оператор lU есть
алгебраический и топологический изоморфизм пространства (3)'^)ι на
(«®+т+1)г, причем обратный оператор (*£7)-1 [оператор входа —
выхода) представим в виде композиции
Cu)-lf = wi, fe(2>+m+% (3)
где w — семейство функций {ws}S£ru Кроме того,
*и{3)'т[с, + оо))г=(^'т+1[с, +оо))г для всех с^В1. (4)
Доказательство. Пусть φ £ (2ΰ™)ι. Решения системы
Uy = φ имеют вид
so
у (s) = у0Х (s0, s) + J φ (t) X (t, s) dt,
s
где s0, y0 — начальные условия. Всегда можно считать, что
начальный момент s0 выбран так, что φ (s) = О при s ^ s0. Система Uy = φ
допускает единственное решение с ограниченным справа носите-
182
Глава IV
л ем, а именно
.So +f°
ψ (s) = j φ (t) X (t, s) di = Ι φ (t) X (t, s) di. (5)
s s
Из равенства £7ψ = φ вытекает, что
ψ' (s) = ψ (*Μ (s) - φ (5), (6)
откуда последовательным дифференцированием сразу получаем
ψ 6 (^™+1)ζ· Таким образом, С/ есть алгебраический изоморфизм
(£D™^l)i на (3™)ι, причем обратный оператор U~x есть отображение
φ -^ψ. Из (5) и (6) следует, что оператор С/-1 переводит
ограниченные подмножества пространства (3)™+χ)ι в ограниченные
подмножества пространства (<^!!г+1)г (об ограниченных множествах
см. в § 1 приложения). Так как пространства (£&™)t борнологичны х),
оператор Ό~χ непрерывен. Следовательно, сопряженный к U
оператор lU также допускает непрерывный обратный ('С/)-1 = 1{и~г).
Что касается представления (3), то заметим, что оператор 1{и~г)
представим (см. § 1 приложения) в виде семейства композиций
{1{и~г) (E6s)}S£Ri, а 1(и~г) (Εδ8) есть решение матричной системы
(2). Следовательно,
Установим теперь соотношение (4). Включение
1и{Жт[с, +oo))cz(S'm+1|>, + оо))
очевидно. Докажем обратное включение. Для этого покажем, что
если носитель распределения / £ (<2^ш+1)г лежит в [с, +оо), то
распределение CU)"1 f равно нулю на (— оо, с). В самом деле, пусть
носитель функции φ £ {ЭЬ™)ι лежит в (— оо, с). Тогда
(φ, \υγχ f) = (φ, '(С/"1) /) = <СГ'φ, /) = 0.
Замечания, а) Представление решения в виде композиции
гго/ показывает, что семейство w играет роль фундаментального
решения. Впрочем, если система (1) стационарна (матрица А
постоянна), то семейство w может быть заменено фундаментальным
решением w (t) = Η (t) X (t, 0), а композиция wof сводится к свертке
w*f.
б) Если / есть распределение типа функции, то, очевидно,
функцию wof можно представить в виде
(wof)(t)= $ X(t,s)j(s)ds.
г) Определение и свойства борнологических пространств см., например,
в [15]. Здесь отметим лишь, что всякое ограниченное линейное отображение
борнологического пространства F в локально выпуклое пространство G
непрерывно.
§ з
183
Предположим теперь, что / есть некоторая мера. Тогда по теореме
Ф. Рисса существует функция χ, имеющая ограниченную
вариацию на каждом компактном интервале и непрерывная справа в любой
точке, такая, что / есть мера Стильтьеса άχ, определяемая
функцией χ (причем этими свойствами χ определяется единственным
образом с точностью до аддитивной постоянной). Если носитель /
есть [а, +оо), то χ постоянна на (—оо, а), ибо χ = /, a / равна
нулю на (—оо, а). С помощью теоремы 2 § 1 заключаем, что функция
I X(t,s)dx(s),
— оо
имеющая ограниченную вариацию на каждом компактном
интервале и непрерывная справа в любой точке, есть решение системы (1)
с х (а) = 0. Так как это решение обращается в нуль на (— оо, а),
то в силу предыдущей теоремы получаем представление
("·=/)(<)= J x(t,s)dx{S), teii*.
— ею
в) Из предыдущего замечания следует, что если / —
распределение типа функции, то wof есть обычное решение системы (1),
определяемое нулевыми начальными условиями (начальный момент t0
расположен левее носителя /). Если / = Xo8t0, то
W о / = W о (Χ0δί() = WiQ (t) Х0.
Это — обычное решение однородной системы χ -f- A (t) χ = 0 на
(t0, -L-oo), определяемое начальным условием χ (t0 + 0) = х0.
Отсюда видно, что в рамках теории распределений можно дать
определение решения системы (1), задаваемого начальными условиями
(ί0, #о)· Если носитель распределения / 6 («2)+ж+1)г лежит в [с, +оо)
и t0 <С с, то обозначим через χ (t, t0, x0) единственное решение
в {3^2η)ι системы
χ +Α (t)x = f + x08to.
Из равенств
χ (t, t0, х0) = w о (/ + χ0δίο) = w о / + w ο (χ0δίο) = w о / + Wto (t) χ0
следует, что χ (t, t0, x0) удовлетворяет системе (1) на (t0, +°°)
и что χ (t, t0, x0) в некоторой окрестности точки t0 есть
распределение типа функции с χ (t0 + 0, t0, x0) = х0. Будем говорить, что
χ (t, t0, x0) есть решение системы (1), определяемое начальными
условиями (t0, x0). Это замечание объясняет с математической точки
зрения тот часто применяющийся в технической литературе прием,
согласно которому рассмотрение решения с начальным условием
х0 Φ 0 сводится к введению соответствующего импульса в правую
часть уравнения.
184
Глава IV
г; Рассмотрим две последовательно соединенные системы
х\ + Ai{t)xi=f,
Х2 ~Ь А 2 (Ч х2 == х\ ·
Имеем χχ = icv/, х2 = w2°xi, где и\ = {w\}, w = {w\} —
семейства элементарных решений, соответствующие этим двум
системам. Следовательно, х2 =: w2o{w\of). Поэтому (см. § 1 приложения)
выход х2 оператора / —>х2 может быть представлен в виде х2 =
= wof, где w = {w2owl}seRi.
3. Согласно хорошо известной теореме Перрона, нулевое решение
однородной системы χ (t) + A (t) x (t) = О равномерно
асимптотически устойчиво тогда и только тогда, когда для любой
ограниченной функции / решение χ системы (1) с χ (0) = 0 ограничено
на [0, +оо). Барбашин и Завалищин [97] дали иную характериза-
цию устойчивости, основанную на принципиально другой идее.
Условие Перрона заменено у них условием непрерывности
оператора входа — выхода в пространстве («25'° [0, +°°)), снабженном
подходящей топологией. Ниже мы излагаем их результаты с
некоторыми видоизменениями.
Пусть У — пространство векторных функций R1 -*С1, имеющих
ограниченную вариацию на любом компактном интервале,
обращающихся в нуль на (— оо, 0) и непрерывных справа в любой точке.
Последним условием гарантируется, что если две функции из У
отличаются в некоторой точке t0, то они отличаются и на целом
интервале [t0, t0 + ε). Следовательно, две различные функции
из У принадлежат разным классам эквивалентности локально
суммируемых функций. Таким образом, две различные функции из У
определяют различные распределения.
Пусть В — подпространство ограниченных функций из У,
снабженное нормой
Г| φ lb = sup I φ (01, φ£#.
t£Rl
Для сро 6 V, ε > 0 положим
°ll (<Po, e) = {φ Ι φ 6 У, φ — φ0 £Β, || φ — φ0 lb < ε}·
Непосредственно убеждаемся, что в У можно ввести топологию,
для которой множества °11 (φ0, ε) образуют фундаментальную
систему окрестностей точки ср0. Обозначим через BV пространство У,
снабженное этой топологией. На В эта топология индуцирует
исходную топологию. Пространство BV хаусдорфово и любая точка его
обладает счетной фундаментальной системой окрестностей.
Последовательность {срд} в BV стремится к нулю тогда и только тогда,
когда существует такое целое п0 > 0, что срд £ В для η > п0 и срд -^0
в В. Отметим, что топология в BV яе согласуется со структурой
векторного пространства: сложение непрерывно, а произведение на чис-
§ з
185
ла не является непрерывным (если числовая последовательность
λη -^0, ληφ0, и функция φ ζ BV неограничена, то
последовательность {λ^φ} не стремится к 0). Таким образом, BV наделено
лишь структурой топологической группы.
Пусть ν — подпространство функций φ £ V, вариация которых
а -\- 1
удовлетворяет неравенству sup V φ < оо. Наделим это подпро-
а£Ш а
странство нормой
а + 1
||φ||0= sup \/ф·
Для сро 6 V, ε > 0 положим
W (φ0, ε) = {φ Ι φ 6 F, φ — φ0 6 ν, || φ — φ0 \\ν < ε}.
Непосредственно проверяется, что в V можно ввести топологию,
для которой множества W (φ0, ε) образуют фундаментальную
систему окрестностей точки ср0. Обозначим через vV пространство F,
снабженное этой топологией. На ν эта топология индуцирует
исходную топологию. Пространство vV обладает теми же
свойствами, что и BV. Последовательность {срд} стремится к нулю в vV
тогда и только тогда, когда существует такое целое п0 > 0, что
ψη £ ν для η > п0 и ψη -^0 в v.
Лемма. Непрерывный линейный оператор Ω: vV -+BV
отображает подпространство ν в В.
Доказательство. Предположим противное: существует
такое η £ ν, что μ = Ωη (J В. Пусть {λ^} — последовательность
отличных от нуля чисел, λη -^0. Тогда λ^η ->0в vV. Из равенства
Ωλ^η = λ^μ следует, что λ^μ —>0 в BV. По определению сходимости
в BV существует такое целое п0 > 0, что λ^μ £ В для η ^ п0.
Значит, λ^ομ £ В и, следовательно, μ 6 В, что противоречит нашед!у
предположению.
Покажем, что оператор *U, определяемый левой частью
системы (1), есть алгебраический изоморфизм пространства V на
(3)'° [0, +оо))г. В самом деле, согласно замечаниям, сделанным
в начале этого пункта, различные элементы из V определяют разные
распределения; следовательно, V есть подпространство
пространства распределений. Из леммы 1 § 1 вытекает, что lU отображает V
в (£D'° [0, +оо))г. В силу теоремы 1 получаем, что lU есть
алгебраический изоморфизм V в (£$'° [0, +оо))г. В силу замечания б) образ
V при отображении lU совпадает с (3)'° [0, + оо))г.
Введем теперь в пространстве другую топологию. Оператор
дифференцирования есть алгебраический изоморфизм Уна («25'° [0, +°°)h
(это сразу следует из сказанного в предыдущем абзаце: если
взять в качестве U оператор —D, то lU = D). Обозначим через
ν (3'° [0, +°°))г пространство (££'° [0, +°°))ь наделенное
образом топологии vV при изоморфизме D.
186
Глава IV
Так как оператор lU, определяемый левой частью системы (1),
есть алгебраический изоморфизм V на («2>'° [О, -}-оо))ь то обратный
оператор CU)'1 есть алгебраический изоморфизм (£ZJ'° [0, +сх>))г
на V. Рассмотрим этот обратный оператор как оператор из
v(3)'° [0, +оо))г в BY.
Теорема 2. Предположим, что матрица A (t) как функция
от t непрерывна и ограничена на [О, +оо). Тогда нулевое решение
однородной системы χ (t) + A (t) x (t) = О равномерно
асимптотически устойчиво (в смысле Ляпунова) тогда и только тогда, когда
оператор входа — выхода
(*и)-*:и(О'0[0, + оо))г + £7
непрерывен.
Доказательство. Пусть оператор (ьи)~г непрерывен.
Тогда если fn -*0 в ν {3>'° [0, + оо)), то ('С/)-1 fn -*0 в BV. Но
fn -^0 в ν (£$'° [0, -}-оо))г тогда и только тогда, когда fn = Dyn,
φη ζ V и ψη —^0 в vV. Следовательно, если срп —^0 в vV, то
{U)'1 Dyn -^0 в BV. Таким образом, оператор Ω = CU)'1 D
непрерывен, равно как и оператор vV -^В. По лемме φ £ ν влечет
за собой Ωφ £ Β.
Пусть теперь ψ — ограниченная, непрерывная на [0, +°°)
и обращающаяся в нуль на (— оо, 0) функция. Положим
t
φ (ί) = $ ψ (s) ds.
о
Очевидно, φ £ V. В то же время, как известно,
α+l а+1
\/ф< 5 \^{s)\ds.
а а
Значит, φ f г?. В силу сказанного выше Ωφ ζ В, и так как Ζ)φ = ψ,
то(*£/)-1 ψ ζ В. Таким образом, для любой непрерывной на [0, +°°)
функции ψ из В функция (1и)~г принадлежит В. Поскольку ('£/)_1 ψ
есть решение системы χ (t) + A (t) x (t) = ψ (£) с начальным
условием я (0) = 0, условие Перрона выполнено. Следовательно,
нулевое решение системы χ (t) + A (t) x (t) = 0 равномерно
асимптотически устойчиво.
Обратно, предположим, что нулевое решение системы χ (t) +
+ A (t) x (t) = 0 равномерно асимптотически устойчиво. Как
было показано, оператор входа — выхода (lU)~l отображает
(£$'° [0, +°°))z на V. Остается показать, что он непрерывен как
оператор ν (3)f° [0, +oo))z -+BV. Пусть / 6 (<®'° [0, + оо))ь так
что / = Ζ)φ, φ £ V. Предположим сначала, что φ £ v. Полагая
§ 3 187
(1и)~г f = х и используя замечание б), получаем
t
x(f)=$X(t,s)dq>(s) для *>0, x(t) = 0 для *<0. (7)
о
Как известно, если ξ непрерывна и ζ имеет ограниченную
вариацию, то
а а
где η — вариация:
а
Следовательно, из (7) вытекает, что
t s
\x(t)\^l\X(t,s)\dr\(s), f>0, где r\(s) = \/<p.
о о
Поскольку мы предположили, что нулевое решение системы χ (t) +
+ A (t) x (t) = О равномерно асимптотически устойчиво, то по
теореме Персидского существуют такие а > О, 6^1, что
| X (f, s) К 6<Γα(/~β) для ί > 5 > 0.
Следовательно,
t
\x(t)\^be~at$easdr\(s), ί>0.
о
Пусть ί = /с + τ, где /с — целая часть числа £, так что 0 ^ τ < 1.
Так как eas и η (s) — возрастающие функции, то
k + l m k + 1 m
\x(t)\^be-ah 2 J easdn(s)^be-ah ^ еат \ dv\{s).
т=1 т — \ т=1 т — 1
Далее, поскольку
πι—1
то
III III
\ dr\ (s) = η (τη) — η (ι» — 1) = V Φ < II Φ IL
bea
k(<)|<- -\\ψ\\ν для ί>0.
1-е
Но если /е(^'°[0, +оо)),, f = Dq>, φ £ ν, то ('С/)"1/6-В и
ικ'εο^/ιΐΒ^-τ^-ιΐφΐι,.
1-е
188
Глава IV
Пусть теперь fn -+0 в ν (£$'° [0, +οο))ζ. Тогда fn = Dyny
Ψη 6 V и существует такое лг0, что срд 6 ^ ПРИ п> по и фи -^0
в v. Из сказанного выше получаем, что при η > п0 {1и)~г fn £ В и
ll(^)_1/Jb<^ II φ, II,.
1 — е
Следовательно, CU)*1 fn -^0 в BV и оператор ^U)'1 непрерывен.
§ 4. Периодические решения систем обыкновенных
дифференциальных уравнений
1. Рассмотрим систему
х' + A (t) χ = /, (1)
где A (t) суть I X Z-матрицы класса %ш, а / — некоторое
распределение из {35')ι порядка ^пг + 1. Как показано в § 1, всякое решение
системы (1) представимо в виде
x = X(t, 0) [с + g], (2)
где g — некоторая первообразная для X (0, t) /, с — произвольная
константа, а X (£, s) — фундаментальная матрица решений
однородной системы
χ (t) + A (t) χ (t) = 0, X (s, s) = Ε.
В дальнейшем фиксируем первообразную g. В этом случае мы
имеем взаимно однозначное соответствие между решениями системы
(1) и константами с £ С1.
Предположим, что А и / как функции от t периодичны с одним
и тем же периодом ω, и исследуем вопрос о существовании
периодических решений системы (1) с периодом ω.
2. Найдем сначала условие, которому должна удовлетворять
константа с для того, чтобы соответствующее решение χ было
периодическим. Решение χ системы (1), определяемое константой с,
является периодическим с периодом ω, если τ_ω χ = χ, τ. е.
Χ (t + ω, 0) (с + τ_ω#) = Χ (t, 0) (с + g). (3)
Как известно, фундаментальная матрица решений периодической
системы удовлетворяет условию X (t + ω, s + ω) = Χ (ί, s) для
любых t, s £ В1. Для t = 0, s = — ω получаем X (ω, 0) = Χ (0, —ω).
Далее, для s = — ω получаем X (t + ω, 0) = Χ (t, —ω).
Следовательно,
Χ (t+ ω, 0) = Χ (t, -ω) = Χ (ί, 0) Χ (0,"-ω) =
- Ζ (ί, 0) Χ (ω, 0).
§ 4
189
Таким образом, равенство (3) перепишется так:
X (t, 0) [Ε - Χ (ω, 0)]c = Χ (ί, 0) [Χ (ω, 0) τ_ω# - g].
Поскольку матрица X (t, s) имеет обратную, условие периодичности
решения х, определенного константой с, можно переписать в виде
[Е - Χ (ω, 0)] с = Χ (ω, Ο) τ_ω£ - g. (4)
Правая часть этого соотношения является постоянным
распределением, ибо имеет нулевую производную:
D [Χ (ω. 0) τ_ω£ -g] = X (ω, 0) x^Dg -Dg =
= Χ (ω, 0) τ_ω [Χ (0, t)f]-X (Ο,ί) / =
= Χ (ω, 0) X(0,t+ ω) τ_ω/ — X (0, ί) / =
= Χ(ω, ί + ω)τ_ω/-Χ(0, t)f =
= X(0,t)(x-J-f) = 0.
Следовательно, (4) есть система линейных алгебраических уравнений
с постоянными коэффициентами. Таким образом, решение х,
определяемое константой с, периодично тогда и только тогда, когда
система линейных уравнений (4) является совместной.
3. Условием того, что система (1) допускает решения с периодом
ω для всякого / с периодом ω, является то, что линейная система (4)
совместна, каково бы ни было / с периодом ω. Для выполнения этого
условия необходимо и достаточно, чтобы
det IE - Χ (ω, 0)] φ 0. (5)
Действительно, достаточность условия очевидна, причем если оно
выполняется, то система (4) допускает единственное решение.
Обратно, предположим, что линейная система (4) совместна при любом /
с периодом ω. В частности, для распределений / типа функции
мы можем, взяв первообразную в виде
g(t)=\x(0,s)l(s)ds,
о
переписать правую часть системы (4) так:
ί + ω t
Χ(ω, 0)τ_ω£-£= Ι X(w,s)f(s)ds-\X(0,s)f(s)ds =
о о
t t
= Jl(o),s+o))/(5+o))^-Jl(0, s)f(s)ds =
о о
t t 0
= J X(0,s)f(s)ds—lX(0,s)f(s)ds= J X(0, s)f(s)ds.
—ω Ο —ω
190
Глава IV
Пусть {ek} — базис пространства С1, ek = (0, . . ., 0, 1,0,.. ., 0),
к = 1, 2, . . ., Z, и пусть fk (t) = ek для t £ [—α, 0], 0 < α < ω,
/fe (0 = 0 Для t 6 ( — ω, —α), /fe (t + ω) = fk (t). Как легко видеть,
для достаточно малых а векторы
о
ак = \ X (0, s) fk (s) ds
—ω
линейно независимы. Отсюда следует, что для любого вектора
а 6 С1 существует периодическая функция /, для которой
о
\ Х(0, s)f(s)ds=a,
— ω
/ I
а именно для а = 2 hkak такова будет функция / = 2 ^kfh. Сле-
довательно, линейная система
[^ — Χ (ω, 0)] с = а
совместна для любых α ζ С1, откуда и вытекает (5).
Условие (5) эквивалентно тому, что линейная система
х0 = Χ (ω, 0) х0 (6)
не имеет других решений, кроме х0 = 0. В свою очередь последнее
условие эквивалентно тому, что однородная система χ (t) +
+ A (t) x (t) = 0 не допускает других периодических решений
с периодом ω, кроме тривиального, ибо решение X (£, 0) х0
однородной системы имеет период ω тогда и только тогда, когда х0
удовлетворяет системе (6).
Таким образом, необходимым и достаточным условием для того,
чтобы система (1) допускала периодические решения с периодом ω
при любом распределении f с периодом ω, является условие, что
соответствующая однородная система χ (t) + A (t) x (t) = 0 не имеет
других решений с периодом ω, кроме тривиального. Если это условие
выполнено, то решение с периодом ω единственно.
4. Исследуем теперь резонансный случай. Рассмотрим
сопряженную систему
У' (0 = У (0 A (t) (у — вектор-строка), (7)
решением которой будет у (t) = y0X (0, t). Очевидно, оно
принадлежит классу <ёт+1. Решение системы (7) периодично с периодом ω г)
г) Очевидно, сопряженная система имеет то же число независимых решений
с периодом ω, что и система х' (t) -\- A (t) x (t) = 0. Действительно, решение
Χ (ί, 0) х0 последней системы будет иметь период ω тогда и только тогда, когда х0
удовлетворяет системе (6), а алгебраические системы (6) и (8) имеют одни и те же
матрицы коэффициентов.
§ 4 191
тогда и только тогда, когда у0 = у0Х (О, ω), что можно переписать
так:
у0Х (ω, 0) = ι/ο- (8)
Лемма. Для любого решения у сопряженной системы (7) с
периодом ω и для любого решения χ системы (1) имеем
ω
у (τ-ωχ — x)=\y(s)f (s) ds*). (9)
о
Доказательство. Из равенства
ух + уА (t) χ = yf
следует ввиду (7), что
ух + у'х = г//,
или
(ух)' = yf.
Взяв интеграл по [0, ω], получим
ω
τ-ω {ух) ~ух=\у ($) f (s) ds,
о
или
ω
y(t+(u) τ-ωχ — yx=\y(s)f (s) ds.
о
Поскольку у (t + ω) = у (t), получаем (9).
Если система (1) допускает периодические решения с периодом ω,
то, согласно этой лемме, / удовлетворяет условию
ω
ly(s)f(s)ds=0. (10)
о
Покажем, что и обратно, если выполняется условие (10), то система
(1) допускает периодические решения. Действительно, в этом случае
имеем
у (τ-ωχ — χ) = 0
для любого решения у сопряженной системы (7) с периодом ω и для
любого решения χ системы (1). В силу (2)
τ_ωχ - χ = X (t + ω, 0) (с + τ_ω#) - Χ (ί, 0) (с + g) =
= Χ (ί, 0) Χ (ω, 0) (с + τ_ω£) - Χ (ί, 0) (c + g) =
= Χ (ί, 0) {IX (ω, 0) - Ε] с + Χ (ω, 0) τ_ω£ - g).
Откуда, учитывая, что у (t) = y0X (0, t), получаем
0 = у (τ_ωχ — χ) = г/о {IX (ω, 0) — Ε] с + Χ (ω, 0) τ_ω# — g] =
= Уо IX (ω, 0) - Ε] с + г/о [X (ω, 0) τ_ω£ - g],
J) Относительно определения такого интеграла см. гл. III, § 2, п. 3.
192
Глава IV
так что ввиду (8)
г/о IX (ω, 0) τ_ω£ -g]= 0, (И)
Следовательно, любое решение г/0 системы
г/о IE - Χ (ω, 0)] = 0
удовлетворяет и системе (И). Отсюда видно, что вектор
Χ (ω, Ο) τ_ω# — g
ортогонален ко всем решениям сопряженной однородной системы
для системы (4). Отсюда вытекает, что система (4) совместна.
Таким образом, система (1) допускает периодические решения
с периодом ω тогда и только тогда, когда распределение /
ортогонально ко всем решениям сопряженной системы (7) с периодом ω, т. е.
когда
ω
ly(s)f(s)ds=0
О
для любого решения у сопряженной системы (7) с периодом ω.
5. Пусть / имеет период ω. Предположим, что система (1) не
допускает периодических решений. Из сказанного в п. 4 следует, что
существует такое решение у с периодом ω сопряженной системы
(7), что
ω
y=lv(s)f(s)ds=£0.
о
Заметим, что если χ — решение системы (1), то τ^ω χ, где к — целое,
также является решением. Применив лемму к решению T_(fe_i)(0#,
получим
У \τ-ηωχ — t-(h-i)<ux) = У-
Просуммировав эти равенства по 1 ^ к ^ п, получим
у(т-па>х — х)=пу, ?г>1. (12)
Как известно, множество распределений Л ограничено тогда и
только тогда, когда оно слабо ограничено, т. е. когда для любой функции
φ £ 3 ограничено числовое множество
{{φ, /) 1/6с#}.
Соотношение (12) показывает, что множество распределений
{τ-ηωχ}η>>ι неограничено. Отсюда следует (см. § 4 приложения),
что распределение χ неограничено.
Таким образом, если система (1) не имеет решений с периодом ω,
то она не имеет ограниченных решений.
§ 4 193
6. Известно, что если в условиях п.2 / — функция, то
единственное периодическое решение допускает интегральное представление.
Если / — распределение, то единственное периодическое решение
представимо в виде композиции.
Предположим, что однородная система χ (t) + A (t) x (t) = О
не имеет других решений с периодом ω, кроме нулевого. Из
результатов п. 5 § 2 гл. III следует, что матричная импульсная система
оо
Z' + A(t)Z = E 2 δ8+ηω (13)
допускает единственное решение Ρ с периодом ω как по t, так и по s,
а именно функцию, определенную равенством
Ρ (t, s) = Χ (ί, Αω) ΙΕ - Χ (ω, Ο)]"1 Χ (0, s)
для t ζ Ik ω + s, (A -j- 1) ω + s), — оо < /с < +cx>.
Пусть / ζ (£&')ι — периодическое с периодом ω распределение
порядка г ^ т -f- 1. Покажем, что единственное периодическое
решение х* системы (1) можно представить в виде композиции х* =
= гг°/, где w = {ws}scri, ws (t) = Ρ (t, s), f есть (0, ^)-сечение f
(см. предложение 2 § 2 приложения), а композиция понимается
в смысле #'m+1 — 2ΰ'Μ.
Действительно, пусть φ £ (3)m)i. Тогда
+ оо -foo ηω-fs
ψ (s) = (φ (ί), юв (0> = ) y(t)P(t,s)dt= 2 I <p(t)P(t,s)dt =
— оо η = —оо (тг — ΐ)ω+«
+ Ο0 s+ω
= Σ \ 4>{i + {n — i)a)P{l + {n--i)a, s)dt =
71 — — оо s
+ 00 S + Q)
= Σ \ y{t + {n — i)a)P{i,s)dt.
n~ — oo s
Используя выражение для функции Р, получаем
+ 00 s+ω
ψ(β)= ^ ί φ (< + (и - 1) ω) Χ (ί, 0) [£ - Χ (ω, Ο)]-1 Ζ (0, s) di.
ц = — оо s
Поскольку φ имеет компактный носитель, последняя сумма локально
конечна. Как легко видеть, ψ ζ (^т+1)г и линейный оператор
W: (££т) ι -> (Ή™+1) h Wq> = ψ, порождаемый семейством *г,
отображает ограниченные подмножества (3)m)i в ограниченные
подмножества пространства (<e'm+1)z. Следовательно, оператор И7
непрерывен и, значит, семейство w является {%'mJrV)i — (iZTm) гкомпо-
зиционным.
194
Глава IV
Покажем, что wof имеет период ω. Из равенства τωιυ8 = ws
и из свойств композиции следует, что
τω (woJ) = (Εδω) ^{woJ) = {τΛ^δω}Λ£ΒΌ (w о/) =
= {{τΗΕδω}ηζη'ου;8}8ζη'ο}} = {(Εδω) Ж ws}s£R'of =
= {τωΐέ?β}8£Η- ο/= Wsefi- °/ = «с? о 7.
Остается показать, что ?#о/ удовлетворяет системе (1). Учитывая
предложение 2 § 2 приложения к этой главе, а также свойства
композиции, получаем
D (woj) + A (t) (гс о7) = {Dw8)8sR> oJ+ {A (t) ws}8^ oJ=
сю
= {Dwt + A(t)w,}seR>oJ={E 2 8.+Ла'°/ =
71 = — со
сю сю
= {τ8(£ 2 δ„ω)}.εΗ'°7=(£ 2 δηω )*/ = /·
η== —сю 71 = — со
7. В случае когда / — функция, проблема существования
периодических решений эквивалентна проблеме существования решений
двухточечной задачи χ (0) — χ (ω) = 0. Представляет интерес
изучение некоторых линейных задач такого типа в случае, когда / —
распределение.
Рассмотрим систему
χ + A (t) χ = /, (14)
где А принадлежит классу %т на открытом интервале /, а / —
распределение на / порядка ^т + 1 со значениями в С1, для которого
определены значения в точках ah £ I, 1 ^.h ^ p, ah<C ah+i. Как
было показано в § 1, решения системы (14) имеют вид χ = X (t, αϊ) X
X {с + g), где g — первообразная распределения Χ (αϊ, t) /, а с —
произвольная константа. В то же время для всех решений χ
определены значения в точках ah (см. примечание на стр. 168). Обозначим
значение распределения г в точке t0 через г (t0).
Пусть Mh — постоянная матрица размера к X Z, F — матрица
размера к X I класса %ш на [αϊ, αρ], F (t) = 0 для t ($ [αϊ, αρ1
и L — оператор вида
а
Ρ
Lx= ^Mhx{ah)+ I F(i)x(l)dt.
h сц
Оператор L определен на пространстве распределений х, для
которых определены значения в точках ah (значит, он заведомо определен
на решениях системы (4)). Очевидно, Lx £ Ck.
§ 4 195
Пусть Л 6 Ch. Установим необходимые и достаточные условия
для того, чтобы многоточечная задача
χ + A (t) χ = /, Lx = А (£Р)
допускала решения. Будем действовать согласно общей схеме,
предложенной Конти [12].
Для решений χ системы (14) условие Lx = Л перепишется в виде
LX (t, αϊ) с + LX (t, αϊ) g = Α. (15)
Положим
а
Lx = Σ Mh% (ah, aO+lF (I) X (t, βι) dt.
h «i
Очевидно, Lx — матрица размера к X l и LX (t, αϊ) с = Lxc. Пусть
Lgx — обобщенная обратная матрица Пенроуза для Lx, т. е. матрица,
удовлетворяющая условию LxLgxLx = Lx. Как заметил Конти,
для того чтобы задача (<^) допускала решения, необходимо и
достаточно, чтобы
(Е - LXLX) (А - LX (/, αϊ) g) = 0. (16)
Действительно, предположим, что задача (<^) допускает реше-
ния. В силу (15)
Lxc = Л — LX (t, α4) g,
откуда
LxLxLxc = LA-L1 (Л - LX (ί, βι) g).
Учитывая определение обобщенной обратной матрицы, находим
Lxc=LxLx(A-LX(t,al)g).
Но ввиду (15)
Lxc = Л — LX (t, αϊ) g,
значит,
Л - LX (t, at)g = LXLX (Л - LX (f, a,) g),
откуда и следует (16).
Обратно, если выполняется условие (16), то для всякого с0,
удовлетворяющего условию Lxc0 = 0, распределение
x = X(t, a^ic + g), где с= с0 + /£ (Л — LX (t, ajg),
является решением задачи (сГ>). Действительно, с учетом (16) имеем
Lxc = Lxc0 + LXLX (Л — LX (t, a,) g) = A — LX (t, a4) g,
196
Глава IV
следовательно,
Lx = LX (t, αϊ) с + LX (t, αγ) g = Lxc + LX (t, at) g = Λ.
Ниже мы выразим полученное необходимое и достаточное условие
в терминах решений сопряженной задачи.
Имеем
а
Ρ
LX (i, a,) g = 2 MhX (ah, a,) g(ah) + \ F{t)X (t, a,) g dt.
h ax
Следуя [50], пишем
\ X(a,s)fds=g(ah) — g(a4).
«1
Далее,
%
LX (t, al)g=%MhX (ah1 a,) [g(a,) + $ X (at, s) f ds] +
h
~P
I
at h
+ I F (t) X (t, augdt=[% MhX (ah, a,) + $ F (I) X (t, a,) dt J g (a,) +
-Г 2 Mh \X (ah, s) fds + I F (t) X (t, a,) [g-g (a,)] dt =
h at ax
a a
= Lxg fa) + 2 I MhX fa, s)fds+\ F (t) X (t, a,) [g - g fa) j dt.
h «ι «ι
ap
Матрица G (t) = \ F (s) X (s, ai) ds, очевидно, принадлежит
классу #m+1. Имеем
a a
f F (t) X (t, a,) [g-g (а,)] Л = - f G (t) [g-g (a,)] dt =
a cl
Ρ Ρ
= J G(t)g dt = J G(t)X(au t)fdt =
ai at
a a
= f [fV(S)X(s, t)ds]fdt.
ai t
§ 4 197
Мы использовали формулу интегрирования по частям, которая
справедлива в рассматриваемом случае (см. [50]). Далее,
%
LX (t, a,) g = Lxg (a,) + 2 J MhX (ah, s)fds +
h αϊ
a a a,
+ J [lF(s)X(s, t)ds]fdt=Lxg(al)+^l MhX{ah,s)fds +
бц t h ai
a a a
+ f [%F(t)X(t, s)dt]fds-%( MhX(ah,s)fds-
«ι «ι h a
a a
- ]{lF{t)X{t,s)dt]fds=Lxg(al)+ I LxX(ai,s)fds-
ax at αχ
a a
- 2 f MhX (ah, s)fds- f [f F (t) X (t, s) dt) ds.
h ah at ax
Учитывая, что {Ε — LxLgx) Lx = 0, получаем
a
(Ε - LXLX) LX (t, a,) = f (E - LXLX) Ζ (s) f dsl), (17)
at
где
Z(s) = 0 для 5$[ab ap)
Z(s)= %MhX(ah,s)+]F(t)X(t,s)dt для s6[aft,aft+1).
Чтобы интерпретировать полученный результат, рассмотрим
следующую задачу, которую обозначим через (&') и назовем
сопряженной к задаче (Ф): определить вектор ν £ Ск и функцию z: I -*-Cfe,
ζ (£) — 0 для £ (J [αϊ, αρ) так, чтобы функциям удовлетворяла
импульсной системе
z- _ zA {s) = v [F (s) + ^ Μ,δ ~ Μρδα ] (18)
/ι=1 h Ρ
(производная берется в смысле теории распределений, ν и ζ —
векторы-строки).
*) Этот интеграл следует понимать как сумму интегралов по отдельным
интервалам [ah, ah+l], на которых произведение Ζ (s) f имеет смысл.
198 Глава IV
Предположим, что сопряженная задача допускает решение ν, ζ.
С помощью метода, описанного в § 1 гл. III, получаем, что
( О при s<C ai9
I s
z(s) = < у I 2 Μ^χ (ak, s)+lF(t)X (t, s) dt при se[ah, ah+i), (19)
^ 0 при s^ap.
Но в силу (18) скачок функции ζ в точке ар равен —νΜρ. Поэтому
—1 α
ν [ 2 MhX (ah, ap)+ \ F (t) X (t, αρ) dt] = - νΜρ,
или
a
ν [ 2 MhX (ah, ap)+ I F (t) X (t, ap) dt] = 0,
h==i αΑ
что можно еще записать в виде
а
Ρ Ρ
v[ 2 MhX(ah,al)+ I F(t)X(t,ai)dt]X(ai,ap) = 0,
/ι=1 αχ
т. e.
vLx = 0.
Легко показать, что и обратно, если ν удовлетворяет условию
vLx = 0, то пара ν, ζ, где ζ определено формулой (19), является
решением задачи (с^'). Таким образом, условие vLx = 0 необходимо
и достаточно для того, чтобы сопряженная задача допускала решение.
Если это условие выполняется, то для заданного ν функция ζ
единственным образом определяется по формуле (19).
Пусть
Y(s) = (E-LxLx)Z(s).
Если Lx — обобщенная обратная матрица Пенроуза для Lx, то
любой вектор, удовлетворяющий условию vLx = 0, имеет вид
w (Е — LXLX). Учитывая выражения для функций ζ, Ζ, получаем,
что решениями сопряженной задачи являются пары
w(E-LxLx), wY(s), weC\
откуда следует, что пара матриц Ε — LXLX, Y (s) играет роль
фундаментальной матрицы решений для сопряженной задачи.
Из (16) и (17) вытекает, что исходная задача (с^) допускает
решения тогда и только тогда, когда
а
Ρ
(E-LXLX)A+ I Y(s)fds=0.
§ 5
199
Можно показать, что если выполняется предыдущее условие,
то решения многоточечной задачи (SP) даются формулой
X (t, a,) c0 + X (i, fll) LXA + (Ε - LgxL) X (f, a,) g.
Отсюда, как и выше, можно получить представление решений
с помощью матрицы Грина.
§ 5. Ограниченные и почти-периодические решения
систем обыкновенных дифференциальных уравнений
1. Рассмотрим систему
х' + A (t) χ = /, (1)
где A (t) = (αί<7· (t)) — матрица размера I X I, аг·/ ζ 38w, f —
ограниченное векторное распределение, / £ (JF'm+1); (определение этих
распределений см. в § 4 приложения). Как известно, в случае когда
нулевое решение однородной системы χ (t) + A (t) x (t) = 0 г)
равномерно асимптотически устойчиво, система (1) допускает решение,
ограниченное на всей оси, если функция / ограничена на всей оси.
Распространим этот результат на случай, когда / — ограниченное
распределение.
Пусть X (t, s) — фундаментальная матрица решений однородной
системы, X (s, s) = Ε и
ws (t) =H(t -s)X (f, s),
где Η — функция Хевисайда. Рассмотрим семейство гг = {ws}S£Ri
фундаментальных решений. Так как нулевое решение однородной
системы равномерно асимптотически устойчиво, то по теореме
Персидского существуют такие а > О, Ь ^ 1, что
\X(t,s)\^be-a(t~s) для f>s. (2)
Удобно ввести непрерывный линейный оператор U: (£ΰ™ι+1)ι ->■
—^(3^ΐι)ι, определяемый равенством
(Uy)(s) = -y'(s) + y(s)A(s) для ув(3>?Л-
Сопряженный оператор U отображает пространство ограниченных
распределений {SS'm)i в (JF'm+1)z и задается равенством
*Ux = x +A(t)x для x£{S8'm)i.
Таким образом, систему (1) можно переписать в виде lUx = /.
Теорема 1. Если нулевое решение однородной системы
χ (t) + A (t) χ (t) = О равномерно асимптотически устойчиво и
г) Заметим, что при т = 1 решения однородной системы являются
обычными решениями, а при т = 0 — решениями в смысле Каратеодорп.
200
Глава IV
коэффициенты системы ограничены в том смысле, что а^ £ $т,
то система (1) допускает единственное ограниченное решение, каково
бы ни было ограниченное распределение f £ (&ηη+1)ι. Точнее, оператор
lU есть алгебраический и топологический изоморфизм пространства
{3&'m)i на (3?,πι+1)ι, обратный к которому можно представить в виде
композиции
(tU)~if=wof для /бС5Гт+1Ь (3)
Доказательство. Пусть φ £ (^й)г· В силу (2) функция
φ (t) ws (t) суммируема по t. Пусть
-f oo -|-oo
ψ (s) = J φ (t) ws (t) dt= I <p(t)X (t, s) dt.
— oo s
Покажем, что ψ 6 (&™ι+1)ι и что оператор V: (£ΰΐι)ι -* (35fi+1)i,
j/φ = ψ, является непрерывным. Действительно, используя хорошо
известную формулу X (t, s) = X (t, 0) Χ (0, s), получаем
+ оо
ψ (S) = { J φ (ή X (t, 0) dt} X (0, s).
s
Следовательно, ψ абсолютно непрерывна на любом компактном
интервале. Так как X (0, s) удовлетворяет условию
-DX (0, s) + X (0, s) A(s)=0
почти всюду, то
-|-оо
ψ' (s) = - φ (s) X (s, 0) Χ (0, s) + { j φ (t) X (t, 0) di} Χ (0, s) Л (s),
s
или
ψ' (*) = -φ (s) + ψ (s) A (s) (4)
почти всюду. Заметим, что при т ^ 1 предыдущие равенства
выполняются всюду.
Учитывая (2), получаем
+ оо
|ψ(β)|<6 J \q>{t)\e-a«-s)dt.
s
Из существования повторного интеграла
+ оо t +00
j* df J 6|ψ(0Ι*~β('~θ)ώ = -£ J ίφ(<)|^ = |||φ||0
-oo —00 —00
вытекает существование повторного интеграла при другом порядке
интегрирования и равенство
-{-oo -|-оо
,(t)\e-a«-°)dt = ^\\q>\\0.
-f-00 -f-00
1 dsb I |φ|
§ 5 201
Отсюда следует, что ψ £ L1 и
ΙΐΨΐΙο<|ΐΙφΙΙο·
С учетом (4) получаем, что ψ' £ ΖΛ Последовательно
дифференцируя (4), находим, что функции ψ3\ j = 1, 2, . . ., иг + 1, также
суммируемы и, значит, ψ ζ (i^Li+1h· Из (4), (5) и равенства,
полученного из (4) последовательным дифференцированием, немедленно
вытекает, что оператор V непрерывен.
Покажем теперь, что оператор V является обратным для U.
Действительно, равенство (4) можно переписать в виде UVtp = φ
для φ 6 (i$Li)b значит, UV — тождественный оператор на (££>™ι+1)ι.
Пусть ξ6(^ϊ!ι+1)ζ. Тогда
(VUl) (s) = {V (- ξ' (ή + l(t)A (t))} (s) =
-J-oo -|-oo
= - I I' (t) X (t, s) dt + $ l(t) A (t)X (t, s) dt.
s s
Интегрируя по частям, получаем
-foo -foo
dt
J Г (ο χ (t, S)dt=[i (t) x (t, s)]?°° - J i ι
s
Поскольку
дХ (t, s) , . , ч xr, ч ~
dt
почти всюду, то
-|-оо +00
$ ξ'(ί)^(ί,β)Λ==-ξ(«)+ ί ξ(ί)^4(ί)Α·(ί,«)Λ.
s s
Следовательно, VUl·, = ξ для ξ 6 (i$Li+1)z и VU является
тождественным оператором на (£ΰΐι+1)ι· Таким образом, оператор U обратим
и U-1 = V.
Поэтому и оператор lU обладает непрерывным обратным {1и)~г =
= 1(и~г), и, следовательно, lU есть изоморфизм {38,m)i на (3?'m+1)h
Справедливость формулы (3) вытекает из того факта, что
оператор 1(и~г) представим (см. § 1 приложения) в виде семейства
композиций {1(и~г) (E6s)}s£R>, а 1(и~г) (Εδ8) является ограниченным
решением матричной системы
Ζ' + A(t) Ζ= Εδ8
и, значит, 1{и~г) (Εδ8) = ws.
Замечания, а) Если / является r-ограниченным
распределением, l^r^m + 1, то единственное ограниченное решение
202
Глава IV
wof системы (1) является (г — 1)-ограниченным распределением.
Действительно, из доказанной теоремы следует, что wof £ (3Sfr~1)i.
Для г = 1 наше утверждение справедливо. Предположим, что
г^2. Если бы wof £ (J?'r~2h, то, полагая в (1) χ = гг©/, мы
получили бы, что первое слагаемое принадлежит (J?'r-1)h что
противоречит r-ограниченности второго слагаемого. Следовательно,
wof (J (3?'r~2)i и распределение wof является (г—
^-ограниченным. Это замечание позволяет расширить класс возмущений, для
которых система (1) дает в качестве выхода ограниченную в
обычном смысле функцию: если распределение / является
^ограниченным (заметим, что класс этих распределений содержит и бесконечно
дифференцируемые неограниченные в обычном смысле функции
(см. § 4 приложения)), то решение wof0 является функцией из L°°,
ибо оно 0-ограничено.
б) Если / является 0-ограниченным распределением, т. е.
функцией из (3?'°)i = L°°> то функция
x*(t)= J X(t,s)f(s)ds, (6)
— оо
очевидно, абсолютно непрерывна. Из (2) немедленно следует, что
функция х* ограничена в обычном смысле, а непосредственный
подсчет показывает, что х* удовлетворяет системе (1) почти всюду.
Следовательно, х* = wof.
2. Исследуем теперь проблему существования
почти-периодических обобщенных решений (о-почти-периодических распределениях
и об используемых обозначениях см. § 5 приложения).
Предварительно установим одну лемму относительно компактности
«диагональных сдвигов» фундаментальной матрицы решений X.
Лемма. Предположим, что тривиальное решение однородной
системы х' (t) + A (t) x (t) = 0 равномерно асимптотически устой-
чиво и что коэффициенты системы ац £ 38%ν. Тогда из любой
последовательности действительных чисел {hn} можно извлечь такую
подпоследовательность {кп}, что для всякого ε > 0 найдется такое целое
число N > 0, что
а
\Х (t + An, s + kn) - X (t + Am, s + UKer^ (t~s)
при t ^ s и m, η > N.
Доказательство. Пусть
Ζ (и, ν, μ) = Χ (и + μ, ν + μ) — Χ {и, ν).
§ 5 203
Очевидно, матрица Ζ является решением в смысле Каратеодори
системы
37
+ А (и) Ζ =[А (и) - А (и + μ)]Χ (и + μ, ν + μ).
ди
Используя формулу вариации постоянных, получаем
и
Ζ (и, ν, μ) = I X (и, λ) [Α (λ) — Α (λ + μ)]Χ (λ + μ, ν + μ) άλ,
V
α
ибо Ζ (ν, ν, μ) = 0. Из неравенства — θ ^ ^ следует, что
α
Учитывая (2), получаем для и ^ ν и μ £ R'
\Z(u, ν, μ) К b2(u - ν) e"^""^ ess sup | Α (λ) - Α (λ + μ) |<
лея1
<-f^e 2 <*-»>θδ8 8ΐιρ|4(λ)-4(λ + μ)|.
Полагая гг = £ + /гт, у = s + /гт, μ = hn — hm, получаем для t ^ s
\X(t + hn,s + hn)-X(t + hm,s + hm)\^
<^ — e 2U s)essmv\A(K + hm)-A(K + hn)\.
а лея1
Ввиду того что dij 6 J?£p, из числовой последовательности {/гд}
можно извлечь такую подпоследовательность {кп}, что для любого
ε > 0 найдется такое целое число N > 0, что
#8
ess sup I 4 (λ + km) - Α (λ + kn) |< —
лея1 26
при любых иг, η > TV. Лемма доказана.
Известно (см. [29]), что, используя асимптотически
почти-периодические функции, можно доказать существование
почти-периодических решений у почти-периодической в смысле Бора системы.
Спомощью предыдущей леммы можно доказать аналогичный
результат при несколько более общих предположениях и даже получить
явное представление для почти-периодических решений.
Предложение. Если нулевое решение однородной системы
χ (t) + A (t) χ (t) = 0 равномерно асимптотически устойчиво,
аИ 6 &рр и ί ζ. ($%v)u mo система (1) имеет единственное решение
204 Глава IV
Каратеодори, почти-периодическое в смысле Бора, а именно
t
x*(t)= ]X(t,s)f(s)ds.
оо
Доказательство. Из замечания б) следует, что х* есть
абсолютно непрерывное ограниченное решение системы (1).
Покажем, что х* является функцией Бора. Для этого воспользуемся
критерием Бохнера. Пусть {hn} — последовательность
действительных чисел. Согласно лемме, мы можем извлечь из нее
подпоследовательность {кп}, удовлетворяющую следующему условию: для
всякого ε > 0 найдется такое целое число N > 0, что
\X{t + kn,s + kn)-X(t + km,s + km)\<T^e~^(t~s) (7)
4||/По
для любых t ^ s ж т, η > N. Поскольку / 6 ($?l(vv)u
подпоследовательность {кп} можно выбрать так, чтобы одновременно имело место
неравенство
(28
ess sup |/(£ + &n) _/(/ + AJK-— для m,n>N. (8)
ген1 2Ъ
Поэтому, учитывая (2) и (8), получаем для т, п> N
\x*(t + kn)-x*(t + km)\ =
t~\-kn t+km
= | I X{t + kn,s)f{s)ds- I X(t + km,s)f(s)ds\ =
— oo —оо
t
= | I X(t + kn,s+kn)f(s + kn)ds-
— оо
t
- $ X(t + km,s-\-km)f(s + km)ds\^
— oo
t
< I \X(t + kn,s + kn)-X(t + km,s + km)\\f(s + kn)\ds +
— oo
t
+ $ \X(t+km,s + km)\\f(s + kn)-f(s + km)\ds<e.
— oo
Следовательно, χ* — функция Бора.
Теорема 2. Предположим, что нулевое решение однородной
системы χ (t) + A (t) x (t) = 0 равномерно асимптотически
устойчиво и что коэффициенты системы почти-периодичны в том смысле,
что oLij 6 $т · Тогда система (1) имеет единственное почти-перио-
§ 5
205
дическое решение, каково бы ни было почти-периодическое
распределение / 6 (3?№+1)ι· Точнее, оператор lU есть алгебраический и
топологический изоморфизм пространства {$?'<$) ι на (3?'ρ™+1)ι, причем
обратный к нему оператор дается формулой (3).
Доказательство1). Учитывая теорему 1 и тот факт, что
(^pp)z cz {$?'m)i (CM· § 5 приложения), достаточно показать, что
*υ(#'ρη,)ι = (#™+\ (9)
Включение
очевидно, ибо производная всякого распределения из (^?'р™)г
принадлежит (@'ΡΤι)ι·
Докажем обратное включение. Для этого покажем, что система
lUx = / имеет решения в {SS'^i, каково бы ни было / £ ($?ρ™+1)ι.
Пусть / £ (&'ρ™+1)ι r-почти-периодично, так что г ^ т + 1. Если
г = 0, то в силу предыдущего предложения система lUx = f имеет
решение, являющееся функцией Бора.
Покажем, что если система lUx = / имеет решения в (&'>$>) ι,
каково бы ни было г-почти-периодическое / £ (i?'P™+1h, и если г <!
^ q — 1, то она имеет решения в (^?'р™+1)г и в том случае, когда /
является g-почти-периодическим. Действительно, существуют ζ £
в {&νν)ι и Ή ί (&%j)i> такие, что / = ϋ(}ζ + η (см. § 5 приложения).
Система lUx = η, очевидно, обладает решением Бора. Произведя
в системе lUx = Oqt, замену переменных χ = z + Τ>ς~1ζ, получим
эквивалентную систему
tUz= — A(t)Dq~iz,
где, очевидно, A (t) Dq~1z имеет ранг ^д — 1. Следовательно,
система lUx = f имеет решения в {SS'^u каково бы ни было
/ 6 0#Й?+1Ь откуда и следует (9).
Замечания, в) Совершенно так же, как и в замечании а),
можно показать, что если / есть r-почти-периодическое
распределение, где 1 ^ г ^ /тс + 1, то решение wof является (г — ^-почти-
периодическим. Это замечание позволяет расширить класс входов /,
для которых система (1) дает в качестве выхода функцию Бора.
Пусть / есть 1-почти-периодическая мера, обладающая тем свойством,
что /-мера каждой точки t £ R1 равна нулю (заметим, что класс таких
мер включает в себя функции Степанова (см. § 5 приложения)).
Тогда решение ivof является О-почти-периодическим. Из
сказанного в § 1 следует, что wof — непрерывная функция и, значит,
wof — функция Бора.
г) Заметим, что здесь неприменима схема, использованная при
доказательстве теоремы 1, ибо пространство ^В'^ не является сопряженным к
пространству &фр.
206
Глава IV
г) В условиях теорем 1 и 2 единственное ограниченное (соотв.
почти-периодическое) решение irof устойчиво в том смысле, что
любое другое решение имеет вид irof + хи где Χι (t) = X (t, 0) x0
(общее решение однородной системы) удовлетворяет оценке (2).
§ 6. Системы с запаздывающим аргументом
1. Рассмотрим систему уравнений
х' + A (t) χ + В (t) τΗχ = /, (1)
где A (t) = (oiij (£)), Β (t) = ($ij (t)) — матрицы размера I X l,
удовлетворяющие соответствующим условиям регулярности, / —
некоторое распределение и τΛ — оператор сдвига на h. Для
определенности предположим, что мы имеем дело с запаздывающим
аргументом г) (h > 0).
Система (1) является (неоднородной) сопряженной системой для
системы с опережающим аргументом
-у' (s) + y(s)A(s)+y(s + h)B(s + h) = <f (s). (2)
Рассмотрим эту систему в случае (обычных) функций. Как известно,
если А, В и φ локально суммируемы, то каждой непрерывной на
[σ, σ + h] функции η отвечает одно решение (в смысле Кара-
теодори) у (s, σ, η) системы (2), определенное на (— оо, σ + h)
и удовлетворяющее начальному условию у (s, σ, η) = η (s) при
s 6 [σ, σ + h\ 2). Согласно Беллману и Куку, это решение можно
представить в виде
σ
y(s, σ, т)) = y0(s, σ, т))+ $φ(/)Χ(ί, s) dt при 5<σ, (3)
s
где
г/о (s, σ, η) = η (s) при s £ [σ, σ + A],
Уо (s, or, η) = η (σ) Χ (σ, s) — j η (t)B (t) X (t — h, s) dt при s< σ. (4)
σ
Здесь матрица X (t, s) удовлетворяет уравнению
дХ ^h S) + A(t)X (f, s) + В (t) X(t-h,s) = 0
dt
*) Системы с опережением (h < 0) исследуются аналогичным образом.
2) Решение определяется шаг за шагом на интервалах [σ — (/ + 1) h,
о* — jh], / = 1, 2, . . ., ибо на каждом интервале получаем систему (Каратео-
дори) обыкновенных дифференциальных уравнений. Переход от интервала
к интервалу осуществляется, исходя из требования непрерывности решения
в точках σ — jh.
§ 6
207
в смысле Каратеодори при t £ [s, + °°), X ($, s) = Ε, X (t, s) = О
при t < s. Матрицу X можно определить методом последовательных
приближений, исходя из системы интегральных уравнений
t
X(t,s) = E—$[A (λ) Χ (λ, s) + Β(λ)Χ(λ- h, s)] οϊλ, t > s.
s
Эта матрица непрерывна по совокупности переменных в любой
точке (t, s), t Φ s, и абсолютно непрерывна по t в любом компактном
подинтервале полупрямой Is, + °°).
Известно, что решения систем с запаздывающим аргументом
определены лишь на положительной полупрямой и что эти решения
нельзя, вообще говоря, продолжить на всю действительную ось.
Несмотря на это, существуют решения, которые удовлетворяют
нашей системе на всей оси (точнее, решения, которые естественно
продолжаются единственным образом на всю ось: решения,
даваемые оператором входа — выхода, периодические решения и т. п.).
В этом параграфе под решением системы (1) будем понимать всякое
распределение χ £ (<®/m)j, удовлетворяющее системе (1) на всей оси.
2. Установим сначала один результат, касающийся регулярности
решений, не затрагивая вопроса о существовании.
В настоящем и следующем пунктах будем предполагать, что
матрицы А, В принадлежат классу %т.
Предложение 1. Пусть распределение f имеет порядок
г, г ^ т + 1. Если г = оо, то решения системы (1) {в
предположении, что они существуют) имеют порядок оо. Если 1 ^ г < оо,
то любое решение конечного порядка имеет порядок г — 1. Если
г = 0, то любое решение конечного порядка является функцией
ограниченной вариации на любом компактном интервале. Если f —
локально суммируемая функция, то всякое обобщенное решение
конечного порядка является решением Каратеодори (на R1).
Доказательство. Пусть χ — решение системы (1). Тогда
χ = — A (t) χ — В (t) τΗχ + /. (5)
Если г = оо, то левая часть (1) имеет порядок оо и по лемме 3
§ 1 χ имеет порядок оо. Пусть 1 ^ г < оо и χ имеет конечный
порядок q. Тогда q ^ г — 1, ибо в противном случае из леммы 3 § 1
следовало бы, что левая часть (1) имеет порядок > г, вопреки
предположению, что / имеет порядок г. Для г = 1 получаем q = 0, и наше
утверждение доказано. Для г > 1 предположение q < г — 1
приводит к противоречию. Действительно, если q < г — 1, то правая
часть (5) имеет порядок г, левая же часть, χ , имеет, согласно лемме 3
§ 1, порядок q + 1 < г. Итак, q = г — 1.
Пусть г = 0 и χ имеет конечный порядок q. Тогда χ имеет
порядок 0, ибо в противном случае левая и правая части (5) имели бы
208
Глава IV
различные порядки. Из леммы 1 § 1 вытекает, что χ — функция
ограниченной вариации на любом компактном интервале.
Пусть, наконец, / — локально суммируемая функция и χ имеет
конечный порядок. Из сказанного выше следует, что χ есть функция
ограниченной вариации на любом компактном интервале. Правая
часть (5) является поэтому локально суммируемой функцией, и
лемма 2 § 1 показывает, что функция χ абсолютно непрерывна на любом
компактном интервале и, значит, является решением Каратеодори
(на R1).
3 а м е ч а н и е. а) Как мы показали в § 1, для систем
обыкновенных дифференциальных уравнений заключения предыдущего
предложения справедливы и без того условия, что решение χ имеет
конечный порядок. Однако для систем с запаздывающим
аргументом нельзя отказаться полностью от этого условия; существуют
системы с запаздыванием (и даже однородные), которые допускают
обобщенные решения порядка оо. Действительно, пусть
-|-oo -J-00
тг=0 тг=1
где Ηη — функции, рассмотренные в § 1 приложения. Очевидно,
написанные ряды (безусловно) сходятся в 3)' и распределение χ
имеет порядок оо. Далее,
-foo -(-сю
72=0 72=2
-foo -f-oo
72=0 72 = 1
Таким образом, распределение х порядка оо удовлетворяет
(скалярному) уравнению
Утверждения предложения 1 останутся в силе, если потребовать,
чтобы решение имело конечный порядок лишь на отрицательной
полупрямой. Если отказаться полностью от условия конечности
порядка, заключения предложения будут справедливы лишь на
положительной полупрямой.
3. Совершенно так же, как и в § 3, можно рассмотреть оператор
входа — выхода. Пусть U: {3>™+1)ι -+(3>™)ι — оператор,
определенный соотношением
(Uy) (s) = -y'(s) + y (s) A(s) + y(s+h)B(s+h), y^ {$™+\
Тогда система (1) при / £ (3)'+m+1)i и χ ζ_ {£B'_m)i перепишется в виде
lUx = /.
§ 6
209
Непосредственно видно, что для любого φ £ (3)m)i система (2),
которую можно записать в виде Uy = φ, допускает единственное
решение ψ £ (<^!_п+1)/. Далее, используя представление (3), можно,
как и в § 3, показать, что U есть алгебраический и топологический
изоморфизм (3)т+1)1 на (3)m)i. Отсюда вытекает, что lU есть
алгебраический и топологический изоморфизм (S>\m)i на (3'+т+1)[.
Обратный к нему (оператор входа — выхода) представим с помощью
операции взятия композиции:
(U)-if=ivoj при /eW+1)«,
где и* — семейство функций {^6.}scri, ws (t) = X (t, s). В то же
время
ги (^[с^оо))/ = (®\™£))ι для всех с е й1.
4. Используя представление (3) и тот факт, что теорема
Персидского об экспоненциальной устойчивости линейных систем остается
в силе для систем с запаздыванием (см. [31]), результаты § 5 легко
распространить на системы с запаздыванием.
В этом и следующем пунктах будем предполагать, что а^, β^· £
£ Звш и что нулевое решение системы
х' (t) + A (t) χ (t) + В (t)x(t — h) =0 (6)
равномерно асимптотически устойчиво.
Рассмотрим оператор U из предыдущего пункта как оператор
из (&ΐίΛ)ι в (3)7li)i. Чтобы перенести теорему 1 из § 5 на системы
с запаздыванием, заметим прежде всего, что по теореме Персидского
существуют такие а > 0, Ъ ^ 1, что X удовлетворяет соотношению
(2) § 5. Следовательно, функция φ (t) X (t, s), φ £ (££'&) ι суммируема
no t. Легко проверяется, что функция
-J-00
ψ (s) = J φ (*) λ" (ί, s) dl
s
непрерывна; далее, как и в § 5, показываем, что ψ суммируема и
удовлетворяет соотношению (5) § 5.
Приведенное в § 5 доказательство того факта, что функция ψ
абсолютно непрерывна и удовлетворяет системе (2), теперь не
проходит, поскольку для систем с запаздыванием формула
X (t, s) = Χ (ί, 0) Χ (0, s)
не имеет места.
Эту трудность можно обойти следующим образом. Пусть η —
сужение ψ на интервал [σ, σ -|- h]. В силу (3) определенное на
( — оо, σ + h] решение у (s, σ, η) системы Uy = φ для s ^ σ
записывается в виде
σ+h
у (s, o,r)) = y(s) + Ц(а)[Х (σ, s) - Ε] — $ ψ (t)B (i) X (t - h, s) dt.
σ
210
Глава IV
Так как \ X (t, s)\ ^ b, то для s ^ σ получаем
σ+h
!^(*,σ,η)-ψ(«)!<|ψ(σ)|(6 + 1) + 6|||β|||ο J |ψ(01*<
σ
<(6 + 1 + 6Α|||β|||ο) sup |ψ(λ)|.
λ£[σ, σ+Λΐ
Учитывая, что φ g L1 и
-f-OO
|ψ(λ)|<6 Ι |φ(ί)|Λ,
λ
мы получаем, что г/(s, σ, η) -^ψ (s) при σ-^ οο равномерно по s
в любом интервале вида ( — оо, а]. Так как у при s ^ σ
удовлетворяет соотношению
y's (s, σ, η) = у (s, σ, η) Α (s) + у (s + h, σ, η) Я (s + /г) — φ (s)
(7)
почти всюду относительно s, то производная г/8' сходится в L1 [sb s2l
ПрИ σ -> + °°> каков бы ни был компактный интервал [sb s2] (при
τη ^ ί функция ι/ дифференцируема для любого s ^ σ,
соотношение (7) имеет место при любом s ^ σ и сходимость производной
равномерна на любом компактном интервале). Отсюда следует, что
на любом компактном интервале [si, s2) функция ψ абсолютно
непрерывна и у'8 (s, σ, η) ->ψ' (s) в L1 [su s2] при σ -»- -|- оо (см.
примечание на стр. 271).
Переходя в (7) к пределу в L1 [su s2] при σ -> + оо, получаем,
что ψ удовлетворяет системе (2) на [si, s2L каков бы ни был компакт
1st, s2]. Следовательно, ψ удовлетворяет системе (2) на R1 (почти
всюду).
В дальнейшем доказательство развивается, как и в § 5. Таким
образом, теорема 1 § 5 справедлива (в той же формулировке) для
систем с запаздыванием.
5. Укажем теперь способ, с помощью которого можно
распространить на системы с запаздыванием теорему 2 § 5. Предположим
сперва, что аи, βέ7· 6 9B%V. Положим
Ζ (и, ν, μ) = X (и + μ, ν + μ) — Χ {и, ν).
Матрица Ζ для и > ν удовлетворяет (в смысле Каратеодори) системе
9Ζ{μ' ϋ'μ) + А (и) Ζ (и, ν,μ)+Β (и) Ζ (и - h, ν, μ) =
да
= [А (и) - А (и + μ)] X (и + μ, ν + μ) +
+ [В (и) -В (и +μ)]Χ (и + μ - /г, ν + μ).
§6 2U
Кроме того, Ζ непрерывна в точках и = ν и Ζ (и, и) = О при и ^ v.
Используя явное представление решений для систем с
запаздыванием, получаем при и ^ и
Ζ (и, ν, μ) = )χ (и, λ) {[Α (λ) - Α (λ + μ)] Χ (λ + μ, ν + μ) +
ν
+ [β (λ) - Β (λ + μ)] Χ (λ + μ - h, ζ; + μ)} ίλ.
Поскольку Χ удовлетворяет соотношению (2) § 4, то для и ^ ν
\Z(u, г;, μ) К б2 (и - v) e~a(u~v) ess sup |.4 (λ) - /1 (λ + μ) | +
+ bV (и - ν) e~a(u~n)ess sup | β (λ) - Β (λ + μ) |.
Поступая совершенно так же, как и при доказательстве леммы § 5,
устанавливаем компактность «диагональных сдвигов» матрицы X.
Далее, на системы с запаздыванием можно перенести
предложение из § 5, а именно: если нулевое решение системы (5) равномерно
асимптотически устойчиво, аг-7·, β^· 6 $νν и f ζ (&р%)ь то
система (1) допускает единственное решение Каратеодори, почти
периодическое в смысле Бора; это решение дается формулой
t
x*(t)= ] X (I, s) f (s) ds.
— oo
Действительно, так же как и в предыдущем пункте, показываем,
что х* является решением Каратеодори системы (1), а потом,
используя компактность «диагональных сдвигов» матрицы X, показываем,
как и в доказательстве предложения из § 5, что х* является
функцией Бора.
В силу всего сказанного теорема 2 § 5 немедленно переносится
на системы с запаздыванием, с сохранением формулировки и
доказательства.
6. В этом и последующих пунктах предположим, что матрицы
А, В принадлежат классу %т и являются периодическими с
периодом 2π. Исследуем структуру пространства периодических решений
однородной системы
-У (s) + y(s)A (s) +y(s + h)B(s + h) = О (8)
и сопряженной однородной системы
χ (t) + A (t) χ (t) + В (t) x(t — h) = 0 (9)
с периодом 2π г).
1) Случай периодических решений с произвольным периодом ω (в
предположении, что А и В имеют тот же период ω) сводится к случаю решений с
периодом 2π подходящей заменой переменных.
212
Глава IV
Предположим, что запаздывание удовлетворяет условию 0 ^ h <
< 2л, что не нарушает общности рассуждений (если h = 2кп -|- /ц,
О ^ hi < 2л, то заменим просто h на /ц; задача существования
решений с периодом 2л для системы с запаздыванием h эквивалентна
задаче существования решений с периодом 2л для системы с
запаздыванием h^.
Как показано в § 1 приложения, всякое периодическое
распределение имеет конечный порядок. Так как периодическое решение
определено на всей вещественной оси, из предложения 1 следует,
что системы (8) и (9) не имеют других обобщенных решений с
периодом 2л, кроме обычных. Немедленно проверяется, что эти решения
принадлежат классу <ёт+1 на II1.
Условием того, что решение у0 системы (8), соответствующее
начальной функции η, определенной на интервале [2л, 2л -\- /г],
имеет период 2л, является равенство
η (s) = г/о (s — 2л, 2л, η) при s £ [2л, 2л + h]. (10)
Запишем это условие в другой форме. Рассмотрим пространство
*ёι [2л, 2л -|- h] непрерывных функций [2л, 2л -f- h] ~^C\
наделенное нормой равномерной сходимости. Пусть V\ — оператор сдвига
на период вдоль решений,
Vii cSl [2л, 2л -|- h] -+св1 [2л, 2л + /г],
(ΙΛη) (s) = г/о (s — 2л, 2л, η).
В силу (4) оператор Vi линеен и непрерывен. Так как у0 (s — 2л, 2л,
η) удовлетворяет при s ζ [2л, 2л -|- h] системе (8), то образ при
отображении V\ всякого ограниченного множества q/1 cz сёг [2л,
2л -|- h] представляет собой множество функций, первая производная
которых равностепенно ограничена. Отсюда следует, что функции
из ViJi равностепенно непрерывны, и из теоремы Арцела вытекает,
что множество Vio/fl относительно компактно. Следовательно,
оператор Vi компактен.
Условие (10), необходимое и достаточное для периодичности
решения, соответствующего начальной функции η, можно, таким
образом, записать в виде
(Е - Vi) η = 0. (И)
Теорема 1. Системы (8) и (9) имеют одно и то же (конечное)
число линейно независимых решений с периодом 2л.
Доказательство. Число независимых периодических
решений системы (8) совпадает с числом независимых периодических
решений уравнения (11). Так как оператор Vt компактен, это число
конечно, скажем равно п. Для η £ %ι [2л, 2л + h] положим ζ =
= τ_2π_^η, так что ζ g %г l—h, 0], ζ (s) = η (s + 2л + /г),
s £ [—/г, 0]. Сдвиг τ_2π-^: 'Ц ~^ ζ есть изоморфизм пространства
%х [2л, 2л + h] на %г [—h, 0], причем обратным изоморфизмом
§ 6
213
является сдвиг т2п-\-н- Следовательно, оператор V2 = Т-2п-нУ1т2п+н
из %ι [—/г, 0] в %ι [—/г, 0] также компактен. Функция η
удовлетворяет условию (11) тогда и только тогда, когда ζ удовлетворяет
условию
(Е - V2) ζ = 0. (12)
Следовательно, число независимых решений уравнения (12) тоже
равно п. Немедленно проверяется, что
о
(γ2ζ) (8) = ζ{-Κ)Χ(2τχ,8 + Κ)- ll(t)B(l-^h)X{t + 2n,s + h) dt.
-h
Решение x0 системы (9), определяемое начальным условием
ξ 6 c&i l—h, 0], дается (см., например, [31]) формулой
о
х0 (t, 0, I) = X (*, 0) I (0) — I X (*, s + К) В (s + h) I (s) ds при t > 0.
-h
Как и выше, можно доказать, что х0 имеет период 2л тогда и только
тогда, когда ξ удовлетворяет условию
(Е - Уз) ξ = 0, (13)
где V3: %i l—h, 0] ~>%ι [—/г, 0] — оператор сдвига на период
вдоль решений системы (9),
о
(V3l) (s) = X (t + 2л, 0) ξ (0) - I X(t + 2л, s + h) B (s + h) ξ (s) ds.
-h
Таким образом, число независимых периодических решений
системы (9) совпадает с числом независимых решений уравнения (13).
Это число, скажем р, конечно, ибо оператор V3 также компактен.
Остается показать, что ρ = п.
С этой целью введем следующую билинейную операцию. Пусть
φ, ψ — две определенные на [—/г, 0J матричные функции, которые
можно умножать друг на друга. Предположим, что φ и ψ имеют
конечное число точек разрыва и что φ непрерывна в нуле, а ψ
непрерывна в точке —h. Определим упомянутую билинейную операцию
формулой
о
{ψ, φ} = ψ(-Α)φ(0)— Ι ψ(λ)β(λ + Λ)φ(λ)ώλ.
—h
Мы можем написать
(ν2ζ) (s) = {ζ (/), X (t + 2π, s + h)}, (14)
(V3l)(t) = {X(t + 2n, s + h), l(s)}.
Установим следующее свойство:
{ΥΖζ, |} = {ζ, V3l} (15)
214 Глава IV
для любых непрерывных на [—h, 0] функций со значениями в С1.
Действительно,
{V£,l} = {i(-h)X(2n,s + h)-
о
- \ 'Q(t) В (I + h) X (t + 2π, s + h) dt, l(s)} =
= [ζ (- h) Χ (2π, 0) - Ι ζ (t) B(t + h)X(t+ 2π, 0) dt] ξ (0) -
—h
- I [i{-h)X(2u,s + h)-
-h
0
— J ζ(ί)#(* + Λ)Χ(* + 2π, 5 + Λ)Λ]5(5 + Λ)ξ(5)& =
-h
0
:ζ(—Α)Χ(2π, 0)ξ(0)— j ζ (t) Β (t + h) X (t +2л, 0) 1(0) dt
—h
0
$ ζ(-Λ)Χ(2π, s + h)B(s + h)l(s)ds +
0
-ft
о о
+ Π Ι ζ(*)£(* + λ)*(ί+2π, s + fe)d/]J?(s + fe)g(s)£fe.
-Λ -h
Меняя порядок интегрирования и группируя члены, получаем
№ 1} = ζ(-Η)[Χ(2η,0)1(0)-
о
— I X(2n,s + h)B (s + /г) 1 (s) ds] —
- Ι ζ(ί)Β(ί + Η)[Χ(ί + 2η, 0)1(0)-
-h
0
- 3 X(t + 2n,s + h)B(s + h)l (s) ds] di =
-h
= &(t),X(t + 2n,0)l(0)-
- J X(t + 2n,s+h)B(s + h)l(s)ds=& V3Q,
-/ι
чем и доказано свойство (15).
Пусть %\ l—h, 0] — сопряженное к пространству (βι [—/г, 0],
т. е. пространство мер на l—h, 0]. Будем обозначать через (ψ, μ)
значение меры μ на функции ψ. В силу компактности оператора V2
имеем
dim {μ ί μ 6 % [— h, 0], (Ε - l V2) μ = 0} = п. (16)
§ 6 215
Каждой непрерывной на l—h, 0] функции ξ со значениями в С1
мы сопоставим меру ξ, определяемую соотношением
(ψ, f) = {ψ, ξ} для ψ£#ζ[-Λ,0].
Сужение отображения ξ —>- ξ на множество решений уравнения (13)
является алгебраическим изоморфизмом. Действительно, пусть ξι,
£г — Два решения уравнения (13). Если ξι = ξ2, то> как легко видеть,
{X (t + 2π, s + /г), ξ! (s)} = {X (t + 2π, 5 + h), ξ2 (*)}
при ί £ [—/г, 0], и из (14) следует равенство F3Si = ^з?2- Но тогда
в силу (13) ξι = ξ2.
Ввиду (15) для любых непрерывных на l—h, 0] функций ζ, ξ
со значениями в %ι имеем
(ζ, ' V2l) = (V£, I) = {ν2ζ, 1} = {ζ, νΆ1) = (ζ, ΐξξ).
Значит,
*ν£=νϊί· (17)
Пусть теперь ξ7·, 1 ^/^£>,— максимальная система
независимых решений уравнения (13). Так как сужение отображения ξ —>- ξ
на множество решений уравнения (13) является алгебраическим
изоморфизмом, то меры ξ7· из ί?[ [—h, 0] также независимы. Но
ξ7· = V^j, поэтому из (17) вытекает, что ξ7 образуют систему ρ
независимых решений уравнения (Е — *F2) μ = 0, и в силу (16) ρ ^ п.
Меняя местами V2 и V3, получаем, η ^ р. Таким образом, η = р,
и теорема доказана.
7. К (неоднородным) периодическим системам с запаздыванием
метод § 4 неприменим, хотя бы потому, что здесь мы не располагаем
формулой для явного представления решений, кроме случая, когда
/ есть возмущение типа функции. С другой стороны, даже в случае
возмущений типа функции метод § 4 наталкивается на определенные
трудности, поскольку пространство начальных условий не имеет
конечной размерности.
Для изучения периодических систем с запаздыванием
воспользуемся следующим обобщением теоремы Банаха (см. [7], [47]),
которое назовем теоремой В.
Пусть F, G — пространства Фреше и U — линейный оператор
F -+G. Следующие условия эквивалентны:
(а) оператор U есть гомоморфизм г) пространства F на UF\
х) Линейное отображение U локально выпуклого пространства F в локально
выпуклое пространство G называется гомоморфизмом, если канонический
изоморфизм факторпространства F/£/_1(0) на UF является топологическим
изоморфизмом. Для этого необходимо и достаточно, чтобы U было непрерывно
и чтобы образ всякого открытого подмножества в F был открыт в UF.
216
Глава IV
(б) множество UF замкнуто в G;
(в) оператор U непрерывен и имеет непрерывный обратный справа,
т. е. существует такой непрерывный линейный оператор V из UF
в F, что UVy = у для любого у £ UF;
(г) оператор U непрерывен, и уравнение lUx = f нормально
разрешимо, т. е. для любого / £ F' уравнение lUx = f допускает решения
(в G') тогда и только тогда, когда f ортогонально ко всем решениям
(в F) однородного уравнения Uy = 0.
Из предыдущей теоремы немедленно вытекает классическая
теорема Банаха о непрерывности оператора, обратного к некоторому
обратимому непрерывному линейному оператору из Ε на F.
Как мы увидим в следующем пункте, при применении этой
теоремы к изучению неоднородных периодических систем
использование аппарата обобщенных функций существенно, даже если /
является возмущением типа функции.
8. Вернемся к системе уравнений с запаздыванием (1) и
предположим, что матрицы А, В принадлежат классу сбт и периодичны
с периодом 2л. Задача существования периодических решений
сводится к задаче существования решений системы (1) в пространстве
(ift'm)i векторных распределений с периодом 2л (см. § 3
приложения).
Рассмотрим оператор U из (^Ί1Ί+1)ι в (&m)i, задаваемый формулой
(Uy) (s) - - у' (s) + у (s) A (s) + y(s + h)B(s + h).
Очевидно, оператор U непрерывен. Сопряженный к нему оператор
lU: (&*ηη)ι ~^(^ηη+1)ι определяется соотношением
1 JJx = χ + A (t) χ + Β (ί) Thx.
Однородная система (8), рассматриваемая в (^m+1)i, запишется
в виде Uy = 0, а система (1) — в виде lUx —- /.
Теорема 2. Пусть / £ (uJ*'m+1)i. Система уравнений с
запаздыванием (1) допускает решения (в (zP'm)i) тогда и только тогда,
когда f ортогонально ко всем решениям (в (&^m+1)i) однородной
системы (8).
Доказательство. Эта теорема немедленно следует из
теоремы В предыдущего пункта, если показать, что U (ζΡΏΙ+1)ι замкнуто
в (^"')1.
Пусть φ ζ (&m)i· Рассмотрим систему уравнений с опережением
Uy = φ. Являющееся функцией решение у (s, 2π, η) этой системы,
определяемое начальным условием η £ (ё1 [2π, 2л + h], задается
соотношением (4) (при σ = 2л). Условие того, что это решение имеет
период 2л, записывается в виде
η (s) = y(s — 2л, 2л, η) при s ζ [2л, 2л + h],
§ 6
217
или
2 л
Ή (s) = Уо (s — 2л, 2л, η) + ^ Φ (О X (t, s — 2л) d£ при 5 £ [2π, 2л -j- Щ»
s—2π
С помощью оператора сдвига вдоль решений V\, введенного в п. 6Г
предыдущее условие можно переписать в виде
2 л
[(E — Vi)i]](s)= I y(t)X(t,s-2n)dt. (18)
s-2n
Таким образом, решение у (s, 2л, η) имеет период 2л тогда и только
тогда, когда η удовлетворяет условию (18). Если это условие
выполнено, то, очевидно, у ζ (£Pm+1)i.
Пусть 2/ — образ пространства сб ι [2л, 2л -|- h] при
отображении Ε — Vi и Ω — оператор из {^m)i в <ё1 [2л, 2л + /г],
определяемый равенством
2л
(Ωφ) (s) = \ y{t)X(t,s — 2n)dt, s е [2л, 2л + h].
s— 2л
Из сказанного выше следует, что для φ £ {^m)i система Uy — φ
допускает решения в (^т+1)1 тогда и только тогда, когда
Ωφ£3/. (19)
Но
U(^m+i)l = Q~i2/. (20)
Действительно, если φ £ С/ (а^?,,+1)ь то система ί/ι/ = φ допускает
решение в (<&ГоГП+1)г и из (19) вытекает, что φ £ Ω_1ίίΛ Обратно, если
φ £ Ω_13/, то φ удовлетворяет условию (19), значит, система ί/ι/ =^ φ
допускает решения в (<^'?,+1)/, т. е. φ ζ U (τΡΉΙ+1)ι.
Из (20) немедленно следует, что множество С/(^?,,+1)г замкнуто
в (cPm)i. Действительно, так как оператор V\ компактен, образ JH
пространства % г [2л, 2л -j- h] при отображении Ε — Vi замкнут
в %ι [2л, 2л -- /г], и, поскольку линейный оператор Ω непрерывен,
подпространство Ω-1# замкнуто в (οΡπι+1)ι.
Замечание, б) Если / — распределение типа функции, то
(см. § 3 приложения) условие ортогональности из теоремы 2
переходит в обычное условие:
л
\ y(s)f(s)ds=0
— л
для всех решений у системы (8) с периодом 2л.
Теорема 3. Для того чтобы система (1) допускала решения
в (oP'm)i при любом f £ (iP'm+1)i, необходимо и достаточно, чтобы
однородная система (9) не допускала других решений с периодом
218
Глава IV
2π, кроме пулевого. Если это условие выполнено, то lU есть
алгебраический и топологический изоморфизм пространства ($>,πι)ι на
Доказательство. Предположим, что система (9) не
допускает других решений с периодом 2π, кроме нулевого. Тогда
ядро оператора lU равно нулю. Но это ядро является ортогональным
дополнением пространства U {&m+1)i. Из одного следствия теоремы
Хана — Банаха вытекает поэтому, что С/(^ш+1)г плотно в (oPm)i.
Следовательно, U (^rri+1)/ - (^m)h ибо U (^w+1)/ замкнуто в (&>т)1
по теореме 2. С другой стороны, по теореме 1 ядра операторов U и lU
имеют одинаковую размерность, значит, Ό~χ (0) = {0}.
Следовательно, U есть алгебраический изоморфизм пространства (3bm+1)i
на (3*m)i. По теореме Банаха обратный оператор С/-1: {&m)i ->■
-+(3*m+1)i непрерывен. Поэтому 1{и~г) = ('С/)"1, значит, lU есть
алгебраический и топологический изоморфизм пространства
(&'m)i на (^'т^)1.
Предположим теперь, что lU (oPm)i = {ffim+1)i· Тогда по
теореме 2 ядро U равно нулю, значит, по теореме 1 ядро lU также
равно нулю.
Замечание, в) Из результатов § 1 приложения к этой главе
следует, что в условиях теоремы 3 единственное периодическое
решение х* системы (1) можно представить в виде композиции х* = tvof,
где tr = {ws}S£Ri, ws = {1и)~г (Εδ8). Таким образом, ws является
решением матричной импульсной системы
^- + A(t)Z + B(t)ThZ = E68.
at
§ 7. Периодические решения уравнений типа свертки
1. Некоторые однородные уравнения нейтрального типа
естественным образом допускают в качестве периодических решений
распределения. Так, например, к числу решений с периодом 2я
скалярного уравнения
χ — τηχ = 0,
где kh = 2π, k — целое число >0, относятся все распределения
с периодом /г.
В то же время аппарат теории распределений является
естественным аппаратом для исследования нормальной разрешимости
рассматриваемых уравнений. Так, например, однородное скалярное
уравнение нейтрального типа
у' — %-Ку' = 0,
§ 7
219
где запаздывание h несоизмеримо с 2π, не допускает других
периодических решений с периодом 2π, кроме постоянных, ибо
коэффициенты Фурье любого решения удовлетворяют условию сп (у) = О
при η ==£ 0. Следовательно, если сопряженное уравнение
χ — Thx = f
нормально разрешимо, то оно должно допускать решения с
периодом 2π, каков бы ни был 2я-периодический элемент / (того
пространства, в котором рассматривается уравнение) с нулевым средним
значением. У коэффициентов Фурье сп (х) решения χ появляются,
однако, «малые знаменатели»:
сЛх)= g^ ,
пК in(i-e-inh)
которые могут ухудшить свойства регулярности решения. Точнее,
как будет показано в § 8 (случай 6), существует такое /г, что наше
уравнение нормально разрешимо в <^/ο°, но для некоторых
непрерывных функций / не допускает решений типа функций, а имеет лишь
обобщенные решения. Более того, множество тех запаздываний h,
для которых уравнение не обладает свойством нормальной
разрешимости в о?5'00, имеет лебегову меру нуль.
Наконец, аппарат обобщенных функций является естественным
аппаратом для единой трактовки задачи существования
периодических решений стационарных линейных уравнений,
рассматриваемых как уравнения типа свертки.
2. Пусть U — стационарный непрерывный линейный оператор
в пространстве (с^00); векторных бесконечно дифференцируемых
функций с периодом 2π. Тогда (см. § 3 приложения) U представим
в виде оператора свертки:
Uy = R*y для ye(&°°h
где R = (гм) — однозначно определяемая по U матрица,
элементами которой являются распределения, гю £ g^°°. Сопряженный
оператор lU определен на пространстве (с^/ос)г периодических
распределений с периодом 2π и представляется с помощью свертки
следующим образом:
tUx=R*x для χ£{&'°°)ι.
В этом параграфе мы исследуем задачу существования "решений
для уравнения lUx = / в {^'°°)ι. Это уравнение включает в себя
как частный случай системы обыкновенных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами
R = Εδ' + Αδ,
220
Глава IV
системы с запаздыванием с постоянными коэффициентами
R = Εδ' + Αδ +B6h,
системы нейтрального типа с постоянными коэффициентами
Η = Εδ' + Λ δ + B6h + C6'h,
интегро-дифференциальные системы и т. д.
Мы установим необходимые и достаточные условия того, что
оператор U является гомоморфизмом, что, согласно теореме В § б,
эквивалентно нормальной разрешимости.
3. Обозначим коэффициенты Фурье для R через Сп = (сп).
Числа с3п являются коэффициентами Фурье распределения r]h
(см. § 3 приложения):
ΔΤί
Коэффициенты Фурье распределения г1}< суть
сп (rik) = ^-(e-int, rih (ί)> = ~ (eint, ?h (t)) = c_„ p).
Zn Zn
Отсюда следует, что матрицы (с^п) — {С'_„ являются
коэффициентами Фурье для R.
Из формулы (10) § 3 приложения вытекает, что для φ £ {&°°)ι
и^ = 2п^Спсп{ц)еш, (1)
а для/6(^/оо)г
1Щ = 2п^гС-пспи)еш. (2)
η
Ядром оператора U в пространстве ψη (определение этого
пространства см. в § 3 приложения) является подпространство тех
векторов сегп1 из ψ*η, для которых Спс — 0, а ядром оператора lU
в пространстве ψη является подпространство векторов ceint, для
которых С-пс = 0.
Учитывая (1) и лемму из § 3 приложения, получаем, что ядром
оператора U в {&ύοο)ι является замкнутая линейная оболочка
в (^°°)ι (объединения) ядер U в ψη. Аналогично ядром оператора
lU в {&'°°)ι является замкнутая линейная оболочка в (&'°°)ι ядер
lU в rfn. Отсюда вытекает
Предложение 1. Ядра операторов Ό (β (οΡ°°)ι) и ь11
{в (с^'00)/) имеют одну и ту же размерность.
Другими словами, число линейно независимых решений (в (qP°°)i)
уравнения Uy — 0 совпадает с числом линейно независимых реше-
§ 7
221
ний (в (sf'°°)/) уравнения lUx = 0. В случае, когда одно из этих
чисел бесконечно, предложение утверждает лишь, что и другое
число бесконечно (в § 8 мы покажем, что такая ситуация встречается
в системах нейтрального типа).
С помощью предложения 1 установим один результат, служащий
еще одним примером того, как применяются гомоморфизмы в
проблеме существования периодических решений.
Теорема 1. Пусть U — некоторый стационарный
гомоморфизм. Для того чтобы уравнение lUx = / допускало решения при
любом / £ (о?'00)/, необходимо и достаточно, чтобы уравнение lUx =
= 0 не допускало других решений, кроме нулевого. Если это условие
выполняется, то lU есть алгебраический и топологический
изоморфизм пространства {&'°°)ι на (^f°°)j.
Доказательство. Пусть lU (а?'00)/ =■ {οΡ'°°)ι. Так как
и~г (0) — ортогональное дополнение подпространства lU {&'°°)ι, то
JJ-1 (0) = {0}. Из предложения 1 вытекает, что {1и)~г (0) = {0}.
Если ('г/)"1 (0) - {0}, то и~г(0) = {0}, и по теореме В § 6
Обратно, пусть выполняется условие теоремы. Покажем прежде
всего, что U {οΡ°°)ι = (£Ρ°°)ι. Действительно, CU)'1 (0) есть
ортогональное дополнение подпространства U (^°°)/. Так как CU)'1 (0) —
= {0}, то по одному следствию из теоремы Хана — Банаха U (ίΡχ)ι
плотно в (с^00)/. По теореме В § 6 (условие (б)) подпространство
U (^°°)ι замкнуто в (^°°)/, значит, U (&>°°)ι = (о^°°)/. Таким
образом, U — непрерывное линейное отображение (^°°)/ на (а/^)/.
Поскольку и~г (0) = {0}, мы заключаем, что оператор U
допускает обратный U'1, а из теоремы Банаха следует, что линейный
оператор U'1 непрерывен. Но тогда и оператор 'С/ тякже допускает
непрерывный обратный и ('£/)_1 — Ч^"1)·
4. Установил! одну лемму из линейной алгебры. Пусть А: С1 ->■
—>С1 — некоторый линейный оператор ф0, А* — сопряженный
оператор, $ (А) — область значений и J" (А) — ядро оператора А.
Пространство С1 можно двумя способами представить в виде
ортогональной суммы:
С1 = ;fl (A) @ J" μ*) и С = .# (А*) © J" (А). (3)
Как легко видеть, А/Л (А*) ^= Μ {А). Поскольку :Я (А*) и ,У2 (А) —
подпространства одной и той же размерности, сужение В оператора
А на Μ (Л*) является обратимым оператором. Пусть μ2 —
наименьшее отличное от нуля собственное значение оператора А*А и μ —
положительный корень из него (как известно, все собственные
значения оператора А*А неотрицательны).
Лемма 1. Оператор В: Μ (А*) —*■ Μ (А) обратим, и его
обратный В~г: /Й (А) -+Μ {А*) имеет норму \ В~г \ = 1/μ.
222
Глава IV
Доказательство. Нам надо лишь найти норму оператора
β"1. Имеем
\В *|= sup - != sup -L2J_=( ιηί ί—*Л .
xt&U) \X\ у£&(А*)\ВУ\ \y£&U*) \У\ '
хф0 уФО уФО
Существует вектор у0, для которого А*Ау0 = μ2ζ/0· Очевидно,,
μ2Ζ/ο 6 ^ (-4*)> и, значит, г/0 6 -У2 (-4*)· Поэтому
I #*/о I2 = I Ау0 |2 = (Ау0, Ау0) = (А*Ау0, у0) = μ2 | у0 |2,
так что
inf \Μ<μ.
vG.%U*) \У\
уФО
Обратное неравенство получается немедленно, если воспользоваться
спектральным разложением самосопряженных операторов.
Действительно, пусть μ*, . . ., μΐ— различные собственные значения
оператора А*А. Пространство С1 представимо в виде ортогональной
суммы
Cl = C[®...®Clk,
где Cj — подпространство собственных векторов оператора А*А7
отвечающих собственному значению μ^. Пусть у £ Л (А*), у φ 0.
Тогда
У = Ут1 + · · · + Ут,* Ут.££1т.1 Ут.Ф®, \hn . ф0*
h J j J J
Имеем
\By\2=\Ay\2=(Ay,Ay) = (A*Ay,y) =
/22. , 2 . ι \
— \11т1Ут1 -[-··· + V>m1 Ут1 ? Ут1 "t" · · · + Ут1 ) —
h h h
== 2j И'т . \Ут . > Ут .) == /j И'т . ' Ут · ' *
j J J J j J J
Так как μ^. ^ μ2, получаем
\Byf>^^\ym.\2=\i2\y\\
3 J
значит,
inf 1^>μ.
у£&(Л*) \у\
уфо
5. Вернемся к стационарному непрерывному линейному
оператору U: (&°°)ι -+{&°°)ι, определяемому матрицей R. Будем
обозначать через Сп коэффициенты Фурье для R и через \\ наименьшее
§ 7
223
отличное от нуля собственное значение матрицы СпСп (если все
собственные значения матрицы С%Сп равны нулю, то Сп = О и мы
полагаем λη =0).
Предложение 2. Для того чтобы стационарный
непрерывный линейный оператор U: (<ζΡ°°)ι -> (^°°)ι был гомоморфизмом г
необходимо и достаточно, чтобы существовали такие К > 0 и ρ ^ 0>
что
\η>Κ\η\~ν при п=£0, ληφ0. (4)
Доказательство. Подпространство е~гп1Уп можно
двумя способами представить в виде ортогональной суммы:
e-intrη = ^ (С*} ф ж {Сп) и e-intrn = т {Сп) φ jr, (С»)в (5)
Пусть Вп — сужение оператора Сп на Μ (С*)- Из леммы 1 следует,
что Вп является изоморфизмом пространства Μ (С*) на Μ (Сп)
и | Вп1 | = 1/λη, если Вп ф0. Пусть Ми Ж и ^ч и Ж ι — замкнутые
линейные оболочки в (сУ^)г подпространств eini Μ (С*), etniJ" (Cn)7
егп1М (Сп) и eintJiA (Сη) соответственно. Как было показано в п. 3,
гЖ\ = и~г (0). Пространство (^°°)ι можно двумя способами
представить в виде топологической прямой суммы:
(^°°)l = .3i1 + jrl и {^)г = Мг + ^г. (6)
Действительно, пусть φ £ {ffi°°)i, φ = 2 cneint. Из включения
cneini £ ifn и из соотношений (5) вытекает, что существует
единственное разложение
Сп ==z Сη Т~ ^пч
где
с'пе-?нс*п), с"п^ж{сп).
Поскольку | сп |2 = | с'п |2 + | с"п |2, ряды
п и
сходятся в (ΰ*°°)ι. Таким образом, любое φ £ {ΰ*°°)ι можно
представить в виде
ψ = Φι + ф2? где φι £ Ми <Рг β /ь
и это представление единственно (в противном случае существовали
бы такие я^ £ ,УА, Ψ2 6 ^ь что ψι = ψ2 =И= 0 и, значит, с„ (-φι) =
= сп (фг); по лемме из § 5 приложения тогда бы сп (ψι) 6 ^ (С*),
сп Сфг) 6 *#' (СЛ), и в силу (5) мы имели бы сп (%) = сп (ψ2) = 0 при
любом п, т. е. яр! = ψ2 = 0). Итак, (^°°); является алгебраической
прямой суммой подпространств МЛ и JTu т. е. отображение
(фь фг) ->ψι + фг топологического произведения ^?ι Χ <#\ на
224
Глава IV
('£Ρ°°)ι есть алгебраический изоморфизм. Так как это отображение
непрерывно и Мх X Ж\ — полное метризуемое пространство, из
теоремы Банаха вытекает, что отображение (φι, φ2) —*■ φι + ψ2
является топологическим изоморфизмом, чем и доказана первая из
формул (6). Вторая получается аналогичным образом.
Используя (1) и лемму из § 3 приложения, сразу получаем, что
7Ц^), = ,9?2. (7)
Пусть выполняется условие (4). Покажем, что U {οΡ°°)ι = М2.
Действительно, пусть ψ £ /Л2 и ψ = ^ cneint·> так чт0 сп 6 «^ (Сд),
η
1
и пусть Ъп = тг- ВпС-п-, так что 6Д £ J# (С*). Если 6Д =^ 0, то
2.ΊΙ
\bn\ = ^\B-icn\^^\B-U\cn\^^\cn\^-^-\n\l'\cll\.
Zn Zn ZnAn ZnK
Так как последовательность {сп} быстро убывает, то и
последовательность {Ьп} обладает тем же свойством. Поэтому ряд2 bneint
η
сходится в (^°°)ι к некоторой функции φ £ J?1# Далее,
п. 77 /г
значит, U (&°°)ι — /Л2. В силу (7) множество С/ {№°°)ι замкнуто,
и из теоремы В § 6 (условие (6)) следует, что U есть гомоморфизм.
Обратно, допустим, что U является гомоморфизмом, и покажем,
что тогда выполняется (4). По теореме В множество U (ζΡ°°)ι
замкнуто, а в силу (7) U (&°°)ι = ?β2. Пусть 38 — сужение U на М\.
Из (6) вытекает, что 38 ,ЛЛ = U (с^00);, значит, 38/Л\ = /Л2. В то же
время оператор i? обратим. Из теоремы Банаха следует, что
обратный оператор 33~х\ М2 —*■ J?i непрерывен. Продолжим оператор
i?_J до оператора Ω: (&°°)ι -^(^°°)h положив Ωφ = ϋ?_1φ для
φ (Ε ,//2, Ωφ = 0 для φ £ Ж 2> Ввиду (6) оператор Ω непрерывен.
Далее,
Qceint = — B~xceint для с^М(Сп),
2π
ilceint = 0 для cejT(C*n),
значит, ψ*η — инвариантные подпространства для Ω. Пусть Gn —
сужение оператора Ω на Т'п, так что
Gnceint = ^Bn1ceint для с^.ЩСп),
Zn
Gnceint^0 для cejT(C*n).
§ 7
225
Тогда, очевидно,
Δπ
значит,
1
\GlA=~2ri)~ ПРИ λ"^°> \Gn\ = 0 при λη =0.
Согласно предложению 2 из § 3 приложения, распространенному
на операторы (ζΡ°°)ι -^(^°°)ь Ω является оператором свертки,
коэффициенты Фурье которого суть матрицы (2π)_1 Gn. Отсюда
следует (см. § 3 приложения), что для некоторого ρ ^ 0
lim \n\p\Gn\ = 0.
Ι η Ι ->οο
Значит, существует такое Кг > 0, что
iGJ^/fiM7' при w ^=0,
т. е.
1
— ^2π^ |w |р при η ф0,
откуда и следует, что λΛ удовлетворяет условию (4).
Замечания, а) Пусть U — стационарный гомоморфизм
и f ζ lU (e^'00)*. Если ядро оператора U не равно нулю, то уравнение
lUx - f допускает бесконечное множество решений х. Тем не менее
существует непрерывный линейный оператор / —*■#. Им будет
сужение оператора 'Ω на подпространство lU (ffi'°°)i', точнее,
'£7'Ω/ = / для /e'f/i^'00)/· (8)
Действительно, из соотношений (6) и из равенства jV\ = Ό~χ (0)
вытекает, что
ОП, = .#i+ £/-'(());
значит, всякое φ £ (oft00)ι представляется единственным образом
в виде
φ = ψι -f <Рг, где ψ! g J?b φ2 6 U'1 (0).
Так как ядром U служит ортогональное дополнение к lU (3b,°°)i, то
(φ2,/> = ο для ψ2ζυ~1(0), /e'W00)*.
Поэтому для любых φ £ (^°°); и f ζιϋ (^/oc)i
(φ, ' ί/Ώ/> = (£/φ, *Ω/> = (ί/φ1? Ώ/> = (ΩΕΛρ,, /> =
= {j?"1 ^ф4, /) = <φ4, /) = (cpt + φ2, /) = (φ, /),
откуда и следует (8).
226
Глава IV
б) Предыдущее замечание показывает, что непрерывный
линейный оператор Ώ: lU {&,oc)i -^{^,(Χ>)ι является обратным справа
для оператора lU: (^;°°)ι —>- (г?5'00)/. Из (7) следует, что lU также
является гомоморфизмом.
в) Легко проверить, что условие предложения 2 выполняется
для стационарных обыкновенных систем, для систем с
запаздыванием (это следует из одного доказываемого в § 8 результата,
относящегося к системам нейтрального типа), а также для стационарных
интегро-дифференциальных систем. Матрицы Сп представляют собой
значения характеристической матрицы присоединенной системы
уравнений в целых точках мнимой оси, и условие (4) сводит все,
таким образом, к поведению характеристической матрицы на
мнимой оси.
6. В следующем пункте мы приведем еще один критерий гомо-
морфности оператора U. Установим предварительно следующую
лемму. Пусть {νη}η^ — последовательность неотрицательных чисел,
для которой
inf К \νηφΟ, η^ί} = 0.
Построим подпоследовательность {vnk}k^i следующим образом:
vUi — первый отличный от нуля член последовательности {уп}п^;
\П2 — первый отличный от нуля и строго меньший νηι из членов,
следующих за νΛι; ν^3 — первый отличный от нуля и строго меньший
νη2 из членов, следующих за ν^2, и т. д. Очевидно, {vn }fe^i — строго
убывающая подпоследовательность последовательности {νη}η^ι,
причем
limvnft=0.
Будем говорить, что {vn/ }k^i является канонической
подпоследовательностью последовательности {νη}η^\.
Пусть {ν„}η:>ι —некоторая последовательность
неотрицательных чисел, а — некоторое целое неотрицательное число и
1ηί{ηα+ίνη\νηφ0, гс>1} = 0.
Тогда, очевидно,
Ϊηί{ηανη\νηφ0, я>1} = 0.
Л е м м а 2. Если {nf+1vn, }&^ι — каноническая
подпоследовательность последовательности {ηα+1νη}η·^ι, a {m^vm, }&:>ι —
каноническая подпоследовательность последовательности {ηανη}η^>ι, то
последовательность индексов {nk}h^i является подпоследовательностью
последовательности индексов {mk}k^i.
Доказательство. Индукцией по / ^ 1 покажем, что
Щ 6 {mh}k^i Для любого /^1.
§ 7
227
Прежде всего щ £ {rnk}k^i, ибо по построению щ = πΐχ.
Докажем, что если
ni£{mk}k>i для l<i</ — 1, (9)
то rij обладает тем же свойством. Действительно, если бы rij не
обладало этим свойством, то rij было бы расположено между какими-то
двумя последовательными числами mk, скажем mh < rij < mh+i.
Так как rij-χ является одним из чисел mk, соотношение mh < rij-ι <
< mh+i невозможно. Поэтому w7-_i ^ mh. Из способа построения
последовательности {η%+1νη, }&^>ι следует, что
и^Ч. <тГЧ,.
J —1 α
Из способа построения последовательности {mrfVmk}k^i вытекает,
что
/ι 7
значит, wi°J+1vm <C n4-+1vn. и, следовательно,
rij-х vn % ^ rij vn .
Последнее неравенство противоречит выбору члена ri°j-+1vn. из
последовательности {ηα+1νη}η^ι. Итак, rij ζ {rnh}k^A, и лемма доказана.
7. Предложение 3. Пусть U: (3*°°)ι -^(^°°)ι —
стационарный непрерывный линейный оператор. Условие (4) эквивалентно
следующему условию: если f £ {&°°)ι и уравнение lUx = f допускает
какое-нибудь решение в (#'°°)ь то оно допускает и регулярное
решение, т. е. решение χ £ {SP°°)i.
Заметим, что если потребовать дополнительно, чтобы однородное
уравнение lUx — 0 имело в ($b/oc)i лишь регулярные решения,
то указанное в предложении 3 условие сведется к тому, что при
любой функции /6((^°°)г неоднородное уравнение lUx = / имеет
лишь регулярные решения в (ΰ*'°°)ι. Требование же, чтобы все
решения однородного уравнения были регулярными, эквивалентно
требованию, чтобы однородное уравнение допускало лишь конечное
число линейно независимых решений.
Доказательство. Как мы видели,
1исем = 2л*С-псеш для с 6 С1.
228
Глава IV
Если λ-η Φ 0, то λ2-η является наименьшим отличным от нуля
собственным значением для [С*_п{С-п х). Подпространство e~intTn
можно двумя способами представить в виде ортогональной суммы:
е-Шгп = ^ (*с. я) @ ^ {tc_nh
e-intrn = м {tc_n) @ j, {tc*_^ (Ш)
Пусть Dn — сужение] оператора 'С_д на Μ ((С*п). Согласно
лемме 1, Dn есть изоморфизм пространства /А (1С*п) на ,У1 ('С_Л),
причем | Dn1 | = 1/λ_Λ, если 1С_п Φ 0, т. е. если λ_η Φ 0.
Пусть №ъ, j¥\, М± и JTь — замкнутые линейные оболочки
в (<Г~Ь подпространств Μ ('С!п), Ж ('С_Л), .# ('С_д) и X (*С%)
соответственно. Из сказанного в п. 3 следует, что JTъ является
ядром оператора lU в ((^>,ос)/. Учитывая (2), получаем
'tfOOfCi.^. (И)
Допустим, что выполняется условие (4) и / £ (έβΰ°)/, / =
= Σ <V2ni> таково, что уравнение 'С/я — / допускает решения
η
в (о/5'00)/. Из (11) следует, что / £ ,^?4, и, согласно лемме из § 3
приложения, сп ζ ,У1 {1С-п). Пусть Ъп — (2π)-1 D^cn, так что Ъп £
6 J? ('С!л). Для Ъп φ 0 имеем
ΙΜ<^Ι#ηΊΚΙ = -4— |сл|<-^-|/г|р|ся|,
ζπ ζπλ_η ζπΛ
значит, функция φ = Σ 6д<?*п' принадлежит {&°°)ι. Далее,
η
f C/φ = 2π 2 'С-В6„е/П' = 2π 2 Dnbnetnt = 2 cnetnt - /,
/г /г /г
следовательно, уравнение bUx = f допускает регулярное решение.
Обратно, предположим, что если для / £ (^°°) ι уравнение (Ux — /
допускает какое-нибудь решение в (су5'00);, то оно допускает и
решение χ £ (еТ500)/. Покажем, что тогда выполняется условие (4).
Для целого q ^ 0 положим
μ,= ίηί{|^|(?λ_η|λ_,^0, |/г|>1}.
х) Действительно, λ?.Λ — наименьшее отличное от нуля собственное значение
для С*пС_п, значит, и наименьшее отличное от нуля собственное значение для
i{C:inCn) = гС _д tC*n. Остается показать, что А* А и А А* всегда имеют одни
и те же собственные значения. Но, действительно, если λ Φ 0 принадлежит
спектру А*А, то существует х0 Φ 0, для которого А*Ах0 = λχ0; значит,
полагая у0 = Лх0, имеем у0 Φ 0 и ЛЛ*г/0 = АА*Ах0 = -4λζ0 = λί/0, т. е. λ
принадлежит спектру А А*. Если 0 принадлежит спектру А *А, то существует у0 Φ 0,
для которого А*у0 = 0, значит, АА*у0 = 0, т. е. 0 принадлежит спектру АА*.
Аналогично собственные значения для А А* являются собственными значениями
для А*А.
§ 7
229
Докажем, что существует такое р, что μρ Φ 0. Действительно,
предположим противное:
μ4 = 0 для q = 0, 1, 2, . . .
и положим
μ+ = ίηίΚλ_η|λ_η^=0, /г>1},
μ-=ίηί{|^|(?λ_,|λ_, ^0, /г<-1}.
Очевидно,
μ9 = πιίη(μ+, μ~).
Существует такая строго возрастающая последовательность целых
чисел qh ^ 0, что
μ+ =0, h= 1,2,.. ., или μ^ =0, h= 1, 2, ... .
h h
Пусть для определенности μ^ = 0, h = 1, 2, ... . Тогда
μ^ =■ 0, q = 1, 2, ... .Из каждой последовательности {nqK-n}n^i
извлечем каноническую подпоследовательность {n^kk-n k}k^i- По
лемме 2 последовательность индексов {nq+iik}k^i является
подпоследовательностью последовательности индексов {nqk}k>ii значит,
{nhk}k^i cz {nqk}k^i Для h ^ q. Рассмотрим диагональную
последовательность {nhh}h^l. Имеем nhh £ {пди}и>л для h ^ q.
Последовательности {nqkh-n }k^i, будучи каноническими
подпоследовательностями, обладают свойством
1ίπι^λ_η =0.
Поэтому
\imnqhh\-n = 0 для любого целого д^>1. (12)
Определим теперь бесконечную в обе стороны последовательность
векторов {dn} следующим образом:
d еяСс* ),
hh hh
I dnhh I = 1' C~nhh C-nhhdnhh = ^nhhdnhh;
dn = 0 для w фпКК.
Положим
П.
Очевидно, g^(S^,00)i и g (£ (е^°°)/. Пусть / = '£/#, так что
п.
230
Глава IV
Очевидно,
lC-ndn = 0 для η фпш
и
' Пиг. Пг.г. ' = ( Д ι. ι. П и и ' П , и П и ι) =
hh hh hh hh hh hh
= (С-Пг.г.С-П dn , flL )=λ_Λ JuL | =λ_Λ .
Поэтому из (12) следует, что / ζ (е^00);. Уравнение lUx = f
допускает в (βΡ'°°)ι решение χ = g. Так как ядром оператора '£7 в (οΡ'°°)ι
является *#*3» любое другое решение имеет вид gi — g + #2? #2 6 e#V
т. е.
П.
По лемме из § 3 приложения dn £ ^#* ('С_Л). Учитывая (10), получаем
•Ч,. + ^ l2== I d»hh l2+1 ^, 12=! +1d- ι2> 1.
/ι/ι /ι/ι hh hh hh
Значит, gi ζ (βΡ°°)ι. Таким образом, / ζ (^°°)ι, и уравнение lUx = /
допускает решения в {^г°°)и н° не допускает ни одного решения
в (Φ°°)ι, вопреки предположению.
Итак, существует такое целое ρ ^ 0, что μρ Φ 0. Но тогда
ΜΡλ_„>μρ для η,λ-ηφ0,
т. е. условие (4) выполнено.
Замечание, г) Пусть выполняется условие (4).
Периодическая функция / аналитична тогда и только тогда, когда ее
коэффициенты Фурье удовлетворяют следующему условию: существуют
такие α, β > 0, что | сп | ^ β^~αΙηΙ для любого целого η г).
х) Действительно, если | сп | <J β<?-οίΙηΙ, то для z = t + is имеем | спе^г\ ^
< β^~'η'^a+s Slgnn), так что ряд 2cn^inz представляет собой аналитическую
η
функцию в области | s | «< α и, следовательно, периодическая функция /
аналитична. Обратно, если периодическая функция / аналитична, то она допускает
аналитическое продолжение (обозначим его снова через /) в некоторую область
вида —π — ε0 <С t <J π + ε0, —у <J s ^C γ0 (ε0, γ0 ;> 0). Интеграл от функции
fk(z) e-inz по прямоугольнику с вершинами —π, π, —π + iy, π + iy равен
нулю для любого γ с Ι γ Ι < γ0. Но интеграл по стороне —π, π равен 2псп, а сумма
интегралов по сторонам π, π + iy и —π + iy, —π равна нулю, значит,
—π
1 Сп ι=i | ί / (г+г^ e'in (,+iv) dt ι < β*ην'
π
где β — некоторая мажоранта функции /. Для п <J 0 берем γ ;> 0, а для тг ;> 0
Заменяем γ на —γ. В результате получаем | сп | -<β<?~~α1ηΙ, где α = | у |.
§ 8
231
Совершенно так же, как в первой части доказательства
предложения 3, можно показать, что если / — аналитическая функция
и уравнение iUx — f допускает решения в (е^'°°)ь то оно допускает
и аналитическое решение. Из теоремы В § 6 и из предложений 2 и 3
вытекает
Теорема 2. Пусть U: (^°°)г -^(^°°)г — стационарный
непрерывный линейный оператор. Следующие утверждения
эквивалентны:
(а) для f £ {&'°°)ι уравнение lUx = f допускает решения в (i?'00);
тогда и только тогда, когда f ортогонально ко всем решениям
в {&°°)ι уравнения Uy = 0;
(б) если / £ (е^°°Ь и уравнение ιΌχ = f допускает какое-нибудь
решение в (с?5'00);, то оно допускает и регулярное решение, т. е.
решение χ £ (^°°)ζ;
(в) существуют такие К > 0, ρ ^ 0, что
λη^Κ\η\~ρ для η, λη =£0.
§ 8. Периодические решения стационарных систем
нейтрального типа
1. В этом параграфе мы применим результаты § 7 для
исследования систем нейтрального типа. Пусть А, В, С — матрицы размера
1x1 и / £ (аУ5'00);. Рассмотрим систему уравнений нейтрального
типа
Dx + Ах + Bxhx + CxhDx = /, (1)
для которой решения ищутся в (qP'°°)i, а также однородную систему
-Dy + 'Ay + *Bx-hy - 1Сх-кВу = 0, (2)
для которой ищем решения в (<^°°)г. Обозначим через U оператор
(£Ρ°°)ι -^(е^°°)ь определяемый равенством
Uy=-Dy + tAy + tB%-}ly-tC%-hDy для г/€(^°\
Тогда система (2) запишется в виде Uy = 0, а система (1) — в виде
lUx = /. Оператор С/ является оператором свертки с i?, где
А = - at + *лб + *яб_Л - fcb'-h.
Коэффициентами Фурье для ϊί служат матрицы
Сп = - ineinh (Eeinh + '£) + %А + ^?г\
Заметим, что Сп суть значения характеристической матрицы
присоединенной системы (1) в точках in мнимой оси. Пусть λη —
наименьшее, отличное от нуля собственное значение матрицы С%Рп
(λη = 0 при Сп = 0).
232
Глава IV
Проблему нормальной разрешимости системы (1) можно
исследовать с помощью теоремы 2 § 7. В результате получим следующую
теорему:
Теорема 1. Следующие утверждения эквивалентны:
(а) для f ζ (οΡ'°°)ι система (1) допускает решения в (ζΡ'°°)ι тогда
и только тогда, когда f ортогонально ко всем решениям в (е^°°)/
системы (2);
(б) если / £ (£Ρ°°)ι и система (1) допускает какое-нибудь решение
в (о?'00)/, то она допускает и регулярное решение, т. е. решение
(в) существуют такие К > 0, ρ ^ 0, что
λη^Κ\η\~ρ для η, λη =?=0.
Собственные значения λη могут вести себя самым разным
образом. Как мы увидим на примере одного уравнения нейтрального
типа (I = 1), бывают случаи, когда условие (В) теоремы 1 не
выполняется. Установим один достаточный признак справедливости
условия (в). Этот признак всегда выполняется для систем обыкновенных
уравнений (В = С = 0) и для систем с запаздыванием (С = 0).
Пусть Г — окружность | z | = 1 в комплексной плоскости.
Теорема 2. Если у матрицы 1С нет собственных значений
на Г, то условие (в) теоремы 1 выполняется.
Доказательство. Обозначим через о/11 алгебру
операторов С1 ~^С1 и положим
Q (ζ) = Εζ + lC.
По условию для каждого ζ £ Г существует такое гг > 0, что все
элементы открытого шара S (s, гг) cz Jl с центром в точке Q (z)
и радиусом εζ обратимы. Будем предполагать, что εζ — наибольшее
число, обладающее этим свойством. В силу компактности
множества Г inf εζ Φ 0. Пусть ε0 — некоторое положительное число,
2£Г
для которого ε0 < inf εζ, и jf — замкнутая εο-окрестность множе-
2£Г
ства {Q (z) | z £ Γ}. Очевидно, все операторы из Jf обратимы. Далее,
множество Qf замкнуто и ограничено в ο/Ιί. Так как &II —
пространство конечной размерности, то %ψ компактно. Отображение Μ —>-
—>- | М~х | множества & в множество положительных чисел
непрерывно. Поэтому существует такое К\ > 0, что
| М-1 К ΑΊ для Μ е .Г- (3)
Очевидно, существует такое целое п0 > 0, что
- (in)'1 e~inhCn £& для | η | > щ.
§ 8
233
Тогда для п^ п0 матрица Сп обратима, и в силу (3) \ η \ \ Cnl Ι ^Ξ
^ Κι. Следовательно,
1
—-Г>&\п\ Для \п\^п0,
\Сп |
где К = ИК\. Остается заметить, что, согласно лемме 1 из § 7,
λ, = \l\Cn1 |.
Замечания, а) В условиях теоремы 2 матрица Сп обратима
для \ η \^ п0. Из сказанного в п. 3 § 7 следует, что однородная
система lUx = О, присоединенная к системе (1), имеет конечное
число линейно независимых решений. Кроме того, если / £ (SP'^i
ортогонально ко всем решениям системы (2), то все решения с
периодом 2π системы (1) являются регулярными.
б) В условиях теоремы 2 нормальная разрешимость является
грубым свойством системы (1) в том смысле, что она сохраняется
при достаточно малых возмущениях параметров Л, В, С и h.
2. Рассмотрим подробнее различные ситуации, возникающие
в случае одного уравнения нейтрального типа (I = 1). В
дальнейшем предположим, что Л, В, С — вещественные числа, так что
1А = Л, 1В = В, [С = С. Коэффициенты Фурье для R суть
Cn=-in(l+ Ceinh) + Л + Beinh,
а λη = I Cn |. Предположим еще, что 0 ^ h ^ 2π. Это
предположение не нарушает общности, ибо если h = 2кп + hu О ^ hi < 2пг
то, учитывая, что τΗ — τΗί в пространствах (^°°)г и (^'°°)ь мы
можем заменить h иа hi.
1) С ^ ±1. В этом случае выполнено условие теоремы 2.
2) С = —I и h соизмеримо с 2π. В этом случае последовательность
{егп/1} является периодической. Пусть q — ее наименьший
положительный период. Тогда Сп = Л + В для п, кратных q. Далее,
существует такое К > 0 и такое целое п0 > 0, что \ Сп \^ К \ η \
для \ η \^ η0, η Φ mq. Следовательно, условие (в) теоремы 1
выполняется. Заметим, что, если Л -[ В = О, ядра U ж lU имеют
бесконечную размерность, значит, однородное уравнение, присоединенное
к (1), допускает обобщенные периодические решения.
3) С = 1 и /г соизмеримо с 2π. Этот случай исследуется так же,
как и случай 2). Отметим лишь, что если наименьший период q
последовательности {егпН} является нечетным, то 1 + егпН Φ О для любого
целого η и, значит, существует такое К > 0 и такое целое гс0 > 0>
что \ Сп \^ Кп для любого /г, \ η \7^ п0.
234
Глава IV
4) С = —1, h несоизмеримо с2пи\А\Ф\В\. В этом случае
Сп можно записать в виде
Сп = Л+В —21В sm — +ncos j J sm j +
, _ / _ /г/г . /г/г\ . /г/г
+ 2i\ В cos - η sin у I sin ~ ,
или
/- л п ч( η nh · nh\( nh . nh\
Cn = A — Β -\~ 2\Β cos — — η sin — j I cos — + l sin —- I.
(4)
(5)
Существует такое целое n0 > 0, что для | η \ ^ п0
2 <\А-В\
<
л+в,
\п
η
η
nh
Пусть j η Ι ^ η0. Если | sin — | ^ /г-2, то, как следует из (4),
\С„\>\А+В
( . nh nh\ .
— 2 Ι Β sin -j- -j-гс cos — I sin
nh
>
η2 2 η Ι'
Если
. nh
sin —
2
/г
_. /г , nh
Β cos — — η sin —
2/г 2
>
то из (4) следует, что
\Сп\>2
„ /г/г . nh
В cos η sin —
2 2
sin-
nn
>
Наконец, если
. nh
sin —
2
1
/г
„ nh . nh
В cos -/г sin —
2 2
то, как следует из (5),
|Сп|>|Л-Я|-2
η nh . nh
В cos у —га sin у
|raj'
>
Iral 2 In] I»!'
§ 8
235
Окончательно
\Сп\>
\п\
для |w|>w0,
и условие (в) теоремы 1 выполнено.
5) С = 1, /г несоизмеримо с 2л и \ А |
дуется аналогично.
6) С = — 1, А несоизмеримо с 2п и А = —В. В этом случае
Ζ? |. Этот случай иссле-
Сп \ = 2 \ in -\- В \ \ sin /?πμ
где μ = h (2π)_1, так что 0 < μ < 1. Для каждого целого и
существует единственное целое т = т (п), такое, что
1 _ 1
— — ζζημ — т<^
Очевидно, тп ^ 0. Далее,
| Сп | = 2 | ш + В | | sin π (τ^μ —
Поскольку Li ^ ι sjn ι ι ^ | t Ι для £ 6
(6), получаем
π I m + 2? I \ ημ — m \ ^ \ Cn | ^ 2
или (для /г =т^ 0)
π
."""2"'
jt I m -f
Wl)
π
Τ _
я
(6)
, то, учитывая
ημ —
я I n I I m + JS I
m
μ
η
<|СЯ
; 2π ί w I I ш + 5 I
μ
га
(7)
Таким образом, мы пришли к задаче аппроксимации
иррационального числа μ рациональными числами. Будем различать два под-
случая:
61) Иррациональное число μ таково, что для некоторых L > 0,
Р> 0
μ —
?
^> — /грц #сея? целых q ^> 0, г > 0.
(8)
Как известно из теории чисел, множество таких иррациональных
чисел μ ζ [0, 1] имеет лебегову меру единица г), значит, соответ-
*) Приведем одно особенно простое доказательство этого утверждения [4].
Пусть L >> 0 и ρ >> 2 фиксированы, и пусть 2?^ — множество тех точек μ £ [0, 1],
которые не удовлетворяют условию (8). Множество EL состоит из точек вида
qr~x (£ [0, 1]) вместе с их окрестностями радиуса Lr~P. Для фиксированного г
число точек вида qr~x равно г + 1, и мера соответствующего объединения
окрестностей равна 2Lr1_P. Поэтому
mes£b<2L2 ^ϊ ·
(#)
r=l
236
Глава IV
ствующее множество запаздываний h = 2πμ имеет меру 2π. Из (7)
вытекает, что
\Сп
i + -
В
ιί>-2
ДЛЯ П фО.
Значит, условие (в) теоремы 1 выполнено.
62) Для иррационального числа μ не существует никаких L > 0>
ρ ^ 0, для которых выполнялось бы (8). Множество таких
иррациональных чисел μ 6 [0, 1] имеет меру нуль, но не является пустым х).
В случае 62) для любых L > О, ρ ^ 0 неравенство
Г
«7>+2
имеет бесконечное множество решений (д, г), дг > 0. Очевидно?
множество этих решений (для фиксированных L и р) содержит пары
(д, г) со сколь угодно большими г. Можно показать, что существует
бесконечное множество решений (д, г), которые удовлетворяют
условию
, 1
скажем решения д = га7·, г = гс7·. Так как они удовлетворяют
условию (6), из (7) следует, что
IСп j < 2π
7
В
i + —
Hi
L 2π(1 +1^1)^
и;·
w*
Следовательно, для любых i*T > 0, ρ ^ 0 существуют такие целые пг
что | Сп | << i*T | η \~ν. Таким образом, в случае 62) условие (в)
теоремы 1 не выполняется и, значит, соответствующее уравнение
нейтрального типа не является нормально разрешимым.
7) С =- 1, h несоизмеримо с 2π, Л = В. Этот случай исследуется
аналогично случаю 6).
Для фиксированного ρ >> 2 множество чисел μ £ [0, 1], для которых не
существует ни одного L, для которого бы выполнялось (8), содержится в каждом
из множеств EL, L >> 0, и из (■£) следует, что это множество имеет меру нуль.
Значит, множество тех чисел μ 6 [0, 1], для которых такие L >» 0, ρ %> 0, при
которых выполняется (8), существуют, имеет меру единица.
2) Последнее утверждение вытекает из следующей теоремы теории чисел
(см. [38]): какова бы ни была положительная функция натурального аргумента,
существует такое иррациональное число α ζ [0, 1], что неравенство | α — (q/r) | <
< φ (г) имеет бесконечное множество решений в целых числах q >- 0, г >> 0.
Для того чтобы убедиться, что рассматриваемое множество не пусто, достаточна
взять иррациональное число, соответствующее функции φ (г) = е~г.
§ 8 237
8) С = —1, h несоизмеримо с 2π, Α = В. В этом случае имеем
\Сп\ = 2\
. nh „ /г/г
/г sin i) cos —
2 2
Для η Φ О положим
i? π π
α„ == arclg — , — — < αΛ < — »
гс 2 2
так что
ic„
cosa„
siniy — а Л >2|w| sini — — c/nJ
Положим 2_1/г = πμ, так что μ — иррациональное число из
интервала [0, 1]. Далее, положим ап = πβη. Тогда
| Сп | ^ 2 | η | | sin π (μτ-г — βη) | для η Φ 0.
Совершенно так же, как и в случае 6), показывается, что для
каждого целого η Φ 0 существует такое целое m = πι (ή), что
βη
j sin π (μ/г — β?1) j ^ — \η\
η ι
μ
Легко проверяется следующий факт: если даны е>0и
ограниченная последовательность действительных чисел {γΓ}Γ>ι, I yr I ^ Y»
то для почти всех μ ζ [0, 1] существует такое L > 0, что
μ
^
2-f ε
для любых целых д, г, г > 0.
(9)
Действительно, пусть L > 0 фиксировано, и пусть Εь — множество
точек μ £ [0, 1], не удовлетворяющих условию (9), FLir —
множество, состоящее из точек 0, 1 и лежащих в интервале [0, 1] точек вида
(Я + Yr) г_\ гДе Я — целое число, и GLir — £г_2_8-окрестность
множества FLir. Очевидно, Εь cz (J CL,r. Для фиксированного г ^ 1
число Γι точек вида (q + γΓ) г-1, лежащих в интервале [0, 1],—
это число целых чисел д, удовлетворяющих условию
0 < Я + Yr < г.
Следовательно,
Γι < 1 + γ + I г - γΓ Κ 1 + γ + г + Ι γΓ Κ 1 + 2γ + г.
Поэтому
mes CL> r < 2Lr~2-8 (3 + 2γ + r)
и
mes
#L<2mesG/^<2L2
3 + 2γ + r
.2 + 8
(10)
238
Глава IV
Множество оМ точек μ £ [0, 1], для которых не существует ни одного
L > О, при котором бы выполнялось соотношение (9), содержится
в каждом из множеств ΕL, L > О, и из (10) вытекает, что это
множество имеет лебегову меру нуль. Поэтому множество точек
μ 6 [0, 1], для которых такое L > 0, при котором выполняется
(9), существует, имеет меру 1, ибо оно представляет собой
дополнение в [0, 1] множества Л.
Итак, для почти всех μ ζ [0, 1] существует такое L > 0, что
\СЦ\>~^Ъ при пфО.
\п\г
Таким образом, в случае 8) условие (в) теоремы 1 выполняется для
почти всех h ζ [0, 2π).
9) С = 1, h несоизмеримо с 2π, Λ = —В Φ 0. Этот случай
исследуется аналогично случаю 8).
Замечания, в) Из сказанного выше следует, что для
некоторых запаздываний h £ [0, 2π), для которых скалярное уравнение
нейтрального типа
Dx + Ах + Bohx + CohDx = f (11)
нормально разрешимо в (ffi'°°)i, существуют такие непрерывные
функции /, что уравнение (11) не имеет обычных решений, а только
обобщенные.
г) Нам представляется интересным отметить, сколь богато
множество уравнений (11), обладающих свойством нормальной
разрешимости: согласно замечанию а), в случае С Φ ±1 нормальная
разрешимость является грубым свойством; из приведенных рассуждений
следует, что для С = ±1 и фиксированных Л, В множество
запаздываний h ζ [0, 2π), для которых уравнение нормально разрешимо,
имеет меру Лебега 2π.
д) В случае 62) ядра операторов U и lU оба нулевые, но
существует такое / 6 (ά*'°°), что уравнение lUx = / не имеет решений
в (^,0°). Более того, если иррациональное число μ может быть
достаточно хорошо аппроксимировано рациональными числами (и
существуют иррациональные числа, которые могут быть аппроксимированы
с любой заданной точностью), то мы можем выбрать даже / £ (#ύο°)
так, чтобы уравнение lUx = / не имело решений в (еТ5'00).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Результаты § 1, относящиеся к обобщенным первообразным и к методу
вариации постоянных для систем с обобщенными возмущениями (теорема 3),
изложены в основном по [68]. Формула представления решений для систем
с возмущениями-мерами установлена в [67]. Доказательство в тексте дано другое.
В § 2 мы следуем с небольшими видоизменениями работе [67].
Результаты § 3, касающиеся оператора входа — выхода, принадлежат Кри-
стеску [14]; мы излагаем их с некоторыми модификациями, Характеризацвя
Приложение, § 1
239
устойчивости в терминах непрерывности оператора входа — выхода дана в [97];
эта характеризация основана на результатах Барбашина [6]. Мы изложили здесь
лишь случай возмущения-меры, ибо для систем с переменными коэффициентами
случай произвольных обобщенных возмущений представляет определенные
трудности (см. [97]).
Результаты § 4 о периодических системах являются классическими для
случая возмущений типа функций. Случай обобщенных возмущений рассмотрен
в [92]. Результаты, относящиеся к многоточечным задачам, были получены
в изложенном здесь виде А. Халанаем и А. Моро (совместно).
Теорема § 5 о существовании почти-периодических решений для случая
возмущений типа функций, приведена в [29]. Случай обобщенных возмущений
излагается по [92], [93]. Замена условия устойчивости условием дихотомии
рассмотрена в связи с проблемой существования в [49] для случая возмущений типа
функций.
Периодические системы с запаздывающим аргументом и возмущениями
типа функций исследовались в [30]. Случай систем с постоянными
коэффициентами рассмотрен в [79]. Изложение результатов § 6 для случая обобщенных
возмущений, основанное на принципиально другой идее, дано в [94].
Результаты § 7 и 8 взяты из [95] и [96].
Π ρ иложение
ПЕРИОДИЧЕСКИЕ, ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ
И ОГРАНИЧЕННЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
В этом приложении приводятся определения, а также некоторые
свойства распределений (обобщенных функций), рассматриваемых
в гл. III и IV. Для общего знакомства с теорией локально выпуклых
пространств и распределений рекомендуем книги [15] и [47] 1).
Мы рассматриваем здесь лишь обобщенные функции одного
действительного переменного с комплексными значениями (иногда
со значениями в /-мерном комплексном евклидовом пространстве С1).
§ 1. Предварительные сведения
1. Пусть Τ — открытое непустое множество в R1. Обозначим
через Зт (или Зт) пространство бесконечно дифференцируемых
функций φ: Τ -> С с компактным носителем и через З'т (или 3^°)
сопряженное к нему пространство (см. [23]). Пространство З'т
называется пространством комплексных распределений (обобщенных
функций) на Г, а 3'^\ — просто пространством комплексных
распределений. Пространство 3Ri обозначается через 3 (иногда через
3°°), a 3ri — через 3' (иногда через 3'°°). Значение
распределения / 6 З'т на функции φ £ Зт будем обозначать через (φ, /}
(иногда через (φ (t), /(*)».
Через δα мы обозначаем меру Дирака (иногда будем называть
ее импульсом), сосредоточенную в точке а 6 Τ: (φ, δα) = φ (а) для
φ 6 Зт. Меру б0 будем обозначать просто через б.
г) Или [23].— Прим. ред.
240
Глава IV
Пусть Τι — открытое множество, Тх cz Т. Подпространство
функций φ £ Зт с supp φ cz Tu очевидно, изоморфно 35Tl. Поэтому
будем обозначать это подпространство также через 3Τι. Сужение
всякого распределения / £ З'т на 3Τι является распределением
на Тх х). Таким образом, распределения из Зт можно изучать
локально. Говорят, что распределение f ζ З'т равно нулю на открытом
множестве Τ χ cz Τ, если сужение этого распределения на 3Tl
является нулевым распределением на 7V Говорят, что
распределения /ь /2 6 З'т равны {совпадают) на Ти если /ι — /2 равно нулю
на Т\. Носитель распределения / ζ 3'Т — это дополнение в Τ
наибольшего открытого подмножества в Г, на котором / равна нулю
(см. [15]).
Производную функции φ £ Зт будем обозначать через φ', dy/dt
или Ζ)φ. Как известно, оператор дифференцирования D: Зт -+3Т
непрерывен. Оператор обобщенного дифференцирования — это
сопряженный к оператору — D: 3Т -+3Т. Производную распределения
/ £ Зт будем обозначать через /', df/dt или Df.
Мультипликаторы на J^ — это бесконечно дифференцирувхмые
функции а на Τ (с любым носителем); оператор / —>-а/ из З'т в Зт
является сопряженным к непрерывному линейному оператору
φ -^αφ из Зт в Зт.
Пусть h £ R1. Сдвиг Τ + h множества Τ cz R1 является
открытым вместе с Т. Для φ £ Зт положим (τ^φ) (t) = φ (t — /г), так что
τ^φ £ 3T+h; оператор сдвига функций на h
xh: 3T —►- 3T+h
есть изоморфизм, обратным к которохму является τ_Λ. Оператор
сдвига распределений на h (обозначаемый также через xh)
определяется как оператор (из З'т в З'т+ь), сопряженный к оператору
%-h из 3T+h в Зт. Оператор сдвига распределений xh является
изоморфизмом, обратным к которому служит X-h. В частности, для
Τ = R1 имеем Зт = 3T+h = 3 и З'т = 3T+h = &·
2. Пусть Τ — открытое непустое множество в R1 и m — целое
число 2>Ю. Через Зт будем обозначать пространство функций
φ: Τ —►- С с m непрерывными производными и с компактным
носителем. Пространство 3ri обозначается просто через Зи\
Пусть Q cz Τ. Обозначим через Зш (Q) подпространство функций
φ £ 3ψ с supp φ cz Q. Если ввести Hopiviy
II φ lib" = max sup \D\{t) |, cp€iZ5m(0,
то в случае, когда Q — компакт, пространство 3m (Q) будет
банаховым пространством. Если Ql9 Q2 — компакты в Τ и Qi cz Q2,
]) Существуют, однако, распределения на Tiy которые не могут быть
продолжены до распределения на Т. Так, например, функция/ (t) = е1^, t £ (0, + оо)
не может быть продолжена до распределения на R1.
Приложение, § 1 241
то Зт (Qi) является подпространством в Зт (Q2)- Значит, можно
ввести в 3ψ топологию строгого индуктивного предела
подпространств Зт ((?), где Q — компакты, содержащиеся в Т.
Множество Л α 3ψ ограничено тогда и только тогда, когда
существует такой компакт Q cz Г, что о/М cz Зт (Q) и оМ
ограничено в Зт (Q). Пространство 3™ борнологично *■), но не метризуемо.
Легко показать, что 3ψ сепарабельно и полно.
Пространство 3Т, очевидно, содержится в 3ψ. Топология
пространства Зт является более тонкой, чем индуцированная из 3ψ.
Подпространство Зт плотно в 3ψ. Действительно, пусть φ £ 3™
и Q0 — замкнутая е0-окрестность носителя φ, содержащаяся в Т.
Пусть {гп}п-^1 — последовательность чисел, удовлетворяющая
условиям 0 < гп < ε0, ε„ —>-0, и рп — последовательность функций
из 3 с носителем в [ —εη, εη], такая, что
J" p(s)ds=i2).
—εη
Положим (fn = φ*ρη, где φ (t) = φ (t) для t ζ Τ, φ (t) = 0 для
t 6 i?\ t $ Τ и
(φ*ρ*)(*)= I y(s)pn(t-s)ds, ten1.
— oo
Легко проверяется, что функции ψη бесконечно дифференцируемы
и что их носитель лежит в Q. Из равенства
-foo -f-oo
] Ψ (s) pn(t — s)ds= J φ (t — s) pn (s) ds (1)
— oo —oo
следует, что для t £ Q
-TOO
Ι φ (0 - ψη (t) Ι = I l [φ (*) - φ (t - s)] pn (*) ds\^
— oo
< $ \rq>(t)—'4>(t — s)\pn(s)ds^ sup |<p(j) _φ(* — s)|,
-εη se[—ε/ι, εη]
значит, φ*ρη -»■ φ равномерно на Q. Далее, в силу (1) имеем
D}(y*Pn) = (Djy)*pn,
значит, D3 (φ*ρη) -*~D\ равномерно на Q, 0 ^ / ^ т. Обозначая
через φη сужение срд на Т, получаем срд £ 3Τ, φη ->φ в 3ψ, т. е.
Зт плотно в 3ψ.
Обозначим через 3'™ пространство, сопряженное к 3ψ,
наделенное сильной топологией. Из сказанного выше вытекает, что
г) Для доказательства этого утверждения можно использовать тот же метод,
с помощью которого в [15] доказывается, что 35 обладает этим свойством.
2) Известно, что такие функции существуют (см. [15], где они введены в связи
с регуляризацией меры Дирака),
242
Глава IV
сужение на Зт всякого функционала / £ З'т1 является
распределением на Т; поскольку Зт плотно в 3ψ, функционал / однозначно
определяется этим распределением. Таким образом, З'т1 изоморфно
(алгебраически) некоторому подпространству в 3>т, причем
изоморфизм осуществляется оператором сужения. В дальнейшем мы
отождествляем З'тт с соответствующим подпространством в З'т-
Таким же образом мы отождествляем З'т1 с соответствующим
подпространством в З'т1^-
Легко показать, что пространства З'т1, О ^ пг < оо, и З'т
являются полными.
• Оператор дифференцирования D: З'т1 -+3'™^ определяется
как сопряженный к оператору —D: 3ψ+1 -^3ψ.
Мультипликаторы на З'т1 — это функции (с любым носителем), имеющие m
непрерывных производных на Т. Сдвиг определяется, как ив п. 1.
- Если функция а допускает m + 1 непрерывных производных
на Τ и / ζ З'т1, то справедлива известная формула
дифференцирования произведения
(а/)' = а'/ + а/'. (2)
Действительно, а/ 6 Σΰ'τ1, так что (а/)' 6 ^rm+1. Далее, af £ 3'Tm,
af 6 З'т1*1, и для любой функции φ £ 3ψ+1 имеем
(φ, («/)') = - <φ\ af) = - (αφ', /) = - ((αφ)' - α'φ, /) =
= ~ <(αφ)', П + (φ, α'/> = (αφ, /'> + (φ, a'f) =
= (φ, «/') + (φ, «7> = (φ, «/' + «7>,
откуда и следует (2).
Элементы из З'т — это меры на Т; они еще называются
распределениями на Τ порядка 0. Говорят, что распределение f £ З'т имеет
порядок т, где т — некоторое целое положительное число, если
/ £ 3^'т1 и / (| З'т1"1. Говорят, что / 6 З'т является распределением
бесконечного порядка, если / (J i$7m ни при каком целом
положительном т.
Пусть {sk} 6 С1, £ft 6 Л1,— две
двусторонние последовательности, причем {tk} строго возрастает,
lim tk = — оо и lim ^ = + °°· Легко показать, что семейство
й-> —оо Л->+°°
{sfe6* }_oo<fe< + oo суммируемо в 3'° и имеет в качестве суммы меру
6, определяемую равенством
(φ, 6>=2**Ф(**) Для ф€^°·
Ряд 2 S/A безусловно сходится в 3'°, и его суммой является
мера 6.
3. Пусть %ш, т < оо,— пространство функций i?1 ->- С1 (с любым
носителем), имеющих m непрерывных производных. Для всякого
Приложение, § 1
243
компакта Q cz R1 рассмотрим полунорму в %ш
||<р||2 = max sup | Ζ?^φ (ί) |, φ£ίΤ.
Введем в ^т локально выпуклую топологию, определяемую
полунормами ||'||q, где Q — компакты, содержащиеся в R1. Топологию
в %ш можно определить при помощи счетного семейства полунорм
\\'Ш » w = 1, 2, . . ., соответствующих компактам Qn = [—η, η].
Таким образом, <ёт является пространством Фреше.
В пространстве ίί°° бесконечно дифференцируемых функций
(с любым носителем) введем локально выпуклую топологию,
определяемую семейством полунорм ||-||q\ Q cz R1 — компакты, т =
= 0, 1, 2, ... . Топология в %°° может быть определена при
помощи счетного семейства полунорм ||·||™Λ, η = 1, 2, ... .
Следовательно, %°° является пространством Фреше.
Пространство Зт, очевидно, содержится в пространстве %т%
О ^ т ^ оо; топология в Зт является более тонкой, чем
индуцированная из <ёш. Пространства Зт и 3 плотны в ^т.
Действительно, пусть α 6 3, α (t) = 1 при t 6 [ —1, 1], α (t) = О при t (j: [—2, 21
Для любой функции φ £ %т функции cpfe (t) = α (tlk) φ (t), к =
= 1, 2, . . ., принадлежат i$m, и cpfe -^φ в ^т, значит, Зт плотно
в %т. Учитывая соотношение между топологиями, получаем, что
и 3 плотно в %т.
Обозначим через %'ш пространство, сопряженное к пространству
<em, наделенному сильной топологией. Из сказанного выше следует,
что сужение на Зт всякого функционала / £ (ё,т принадлежит
З'т', так как Зт плотно в %т, то / однозначно определяется своим
сужением. Таким образом, (ё,т (алгебраически) изоморфно
некоторому подпространству в З'т (и, значит, некоторому
подпространству в 3'), так что можно считать %'ш cz З'т. Аналогично можно
считать, что <ё,т cz fm+1 и %'т cz <Г~.
Пространства (ё,т, О ^ т ^ оо, суть пространства
распределений с компактным носителем. Действительно, если бы носитель
распределения / £ %'ш не был компактен, то существовала бы
функция ерь 6 3, такая, что cpfe (t) = О для t £ l—k, k] и (cpfe, /) Φ О,
k = 1, 2, ... . Мы можем выбрать cpfe так, чтобы (cpfe, /) = 1
(умножая в случае надобности на подходящий скаляр). Таким
образом, φ^->0 в %ш, а числовая последовательность {(cpfe, f)}k
не стремится к нулю, что противоречит предположению / £ %,т.
Обратно, предположим, что носитель распределения / 6 З'ш
компактен, supp / cz [α, b]. Пусть α £ 3, α (t) = 1 для t ζ [a — lt
b + 1] и α (t) = О для * $ (a - 2, b + 2). Тогда (φ - αφ, /) = 0f
т. е. (φ, /) = (αφ, /) для любой функции φ £ 3. Отсюда сразу
видно, что функционал / непрерывен на 3, наделенном
индуцированной из %ш топологией. Так как 3 плотно в %т, то / £ (ё,т.
16*
244
Глава IV
Справедливо равенство
Действительно, как мы видели выше, сё,т cz <ё'ос. Далее, если
/ £ %'°°, то существует такая окрестность нуля °11 в %°°, что
Ι (φ, /> 1<1 для φ ζϊί.
Поэтому существуют такой компакт Q a R1, такое целое
неотрицательное число т и такое λ > О, что из φ 6 ^°°, II φ ||ρ ^ λ следует
φ 6 °ίΙ· Отсюда сразу видно, что функционал / непрерывен на ^°°,
наделенном топологией, индуцированной из %т. Но так как S°°
плотно в %т, то / 6 Ъ'п\
Из сказанного выше следует, что всякое распределение с
компактным носителем имеет конечный порядок.
Все рассуждения этого пункта относительно распределений
с компактным носителем на R1 остаются в силе и для распределений
с компактным носителем на некотором открытом множестве Τ с: R1.
Однако мы не будем рассматривать такие распределения.
4. Обозначим через 3™, О ^ т ^ оо, подпространство функций
из %т с ограниченным справа носителем. Пусть (ёт (— оо, а] —
подпространство функций из %т с носителем (— оо, а], наделенное
индуцированной из <2ГП топологией. Очевидно, если а < Ь, то
%ш { — оо, а] а %т ( — оо, Ь] и топология пространства %ш { — оо, а]
совпадает с топологией, индуцированной из %ш (— оо, Ъ\. Далее,
з>™= и «т(-оо,а].
a£Rl
Введем в 3™ топологию строго индуктивного предела
подпространств Фреше %т { — оо, а], а 6 Л1. Множество 4сУ
ограничено тогда и только тогда, когда существует а £ Л1, такое, что
A d $™ [ — оо, а] и А ограничено в %ш \ — оо, а]. Пространство
3)™ борнологично, но не метризуемо. Можно показать, что 3™ сепа-
рабельно и полно.
Пространство Зт, очевидно, можно вложить в 3™; топология
в Зт тоньше, чем топология, индуцируемая из 3™. Пространства
Зт и 3 плотны в 3™ (это доказывается так же, как то, что Зт
и 3 плотны в %т).
Обозначим через 3[т, О ^ т ^ оо, сильное сопряженное к 3™.
Из сказанного выше следует, что сужение на Зт всякого
функционала / 6 ^+т является распределением из З'т, причем /
однозначно определяется своим сужением. Таким образом, 3'+т
(алгебраически) изоморфно некоторому подпространству в 3,т (и, значит,
некоторому подпространству в 3'). Кроме того, 3'+т с= Я^т+1.
Очевидно, %'т с= 3'+т.
Приложение, § 1
245
Пространства £&'+т суть пространства распределений из Згт
с ограниченным слева носителем. Это утверждение доказывается так
же, как в предыдущем пункте доказывалось аналогичное
утверждение для ^ш, с тем отличием, что здесь функции cpfe равны нулю
на [—к — 1, —к], а функция а 6 3> такова, что a (t) = 1 при
t 6 la — 1, +сх>) и a (t) = О при t £ (а — 2, +оо), где а — нижняя
грань носителя распределения /.
Аналогичным образом можно показать, что пространство £&'_т,
сопряженное к пространству «25™, состоящему из функций класса
%т с ограниченным слева носителем, есть пространство
распределений из З'т с ограниченным справа носителем.
5. Рассмотрим теперь вопросы, связанные с понятием композиции
распределений, введенной Кристеску [14] (см. также [15]). Пусть
Φ, Ψ — два локально выпуклых пространства, элементы которых
суть функции В1 -+С1 г), и w = {ws}S£Ri — семейство
функционалов из сопряженного пространства Ф', обладающее тем свойством,
что для любого φ 6 Φ функция
ψ (s) = (φ (ί), w8(t))
принадлежит Ψ. Семейство w порождает линейный оператор
W: Φ ->- Ψ, Wq> = ψ. Семейство w называется композиционным
(более точно, Ψ' — Ф'-композиционным), если оператор W
непрерывен.
Из непрерывности W следует непрерывность сопряженного
оператора lW: Ψ' -^Ф'. Пусть/ £ Ψ'. Будем говорить, что *W7
является композицией f с семейством гг, и писать lWf = w°f. Таким
образом, w°f 6 Φ' для / 6 Ψ', и линейный оператор / ->- w<>f
непрерывен. Функционал wof действует на Φ следующим образом:
(φ, wof) = <(φ(ί), w8(t)), f(s)) для φ 6 Φ.
Обозначим через δα линейный функционал φ —>- φ (а) на Ψ.
Для того чтобы функционалы δα, а £ -Я1, были непрерывны, т. е.
для того, чтобы δα f Ψ', необходимо и достаточно, чтобы всякий
фильтр jf = {F}, сходящийся в топологии Ψ, сходился в любой
точке а 6 R1 2).
Пусть δα ζ Ψ' для всех а £ R1, и пусть U — непрерывный
линейный оператор Φ -^Ψ. Сопряженный оператор lU: Ψ' ->- Φ' также
непрерывен. Рассмотрим семейство w = {ws}scRi, ws = ιυδ8. Для
φ 6 Φ имеем
ψ (s) = (φ (t), ι*β (ί)> = (φ (0, (^δβ) (ί)> ="
= ((£/φ) (ί), δ5 (ί) > = (£7φ) (s).
1) Элементами пространства Ф могут быть классы эквивалентности локально
суммируемых функций.
2) То есть чтобы семейство SFa= {Fa}, Fa = {φ («)}фгЕ было базисом
сходящегося в R1 фильтра для любого а £ R1.
246 Глава IV
Следовательно, оператор W, порожденный семейством w, совпадает
с оператором U, а, значит, lU = lW. Таким образом, имеет место
Предложение 1. Если δα £ Ψ' для любого а 6 R1, то one-
ротор lU: Ψ' —>-Ф', сопряженный к непрерывному линейному
оператору U: Φ —>- Ψ, представим с помощью композиции:
lUf = wof для /£Ψ',
где w = {1и88}8сЕ1.
Сформулируем несколько свойств Ψ' — Ф'-композиции,
использовавшихся в гл. IV. Они доказываются точно так же, как свойства
3)' — ^'-композиции в [14].
Если семейство w1 = {wls}s^Ri является Ф'2 — Ф[-композицион-
иым, а семейство w2 = {wl}s£Ri является Ф'3 — Ф'2-композиционным,
то семейство w = {iv1qwI}s^Ri является Ф'3 — Ф[-композиционным и
wio{w2of) = {wow2s}S£Ri о/ для /6Ф3.
Предположим, что функции из Φι дифференцируемы и что
оператор дифференцирования г) D есть непрерывное отображение
пространства Φι в Ф2. Если семейство w = {ws}S£Ri является Ψ' —
Φ^-композиционным, то семейство Dw = {Dws}S£Ri является
Ψ' — Ф[-композиционным и
D (te-ojf) = (Dw)of для f е Ψ'·
Пусть а — некоторый мультипликатор 2) Ф! — Ф2. Если
семейство w = {^s}scri является Ψ' — ^^-композиционным, то
семейство aw = {ocws}S£Ri является Ψ' — Ф[-композиционным и
a (ivof) = (aw)of для f £ Ψ'.
6. Пусть s £ R1. Сдвиг τ5φ на s некоторой функции φ £ Φ
определяется равенством (τ8φ) (t) = φ (t — s). Предположим, что Ф —
пространство с непрерывным сдвигом, т. е. τ5φ £ Φ для φ 6 Φ,
s ζ R1, и оператор сдвига τ8: Φ -ν Φ непрерывен. Оператор сдвига
функционалов из Ф' определяется как сопряженный оператору
τ_5: Φ -^Ф. Функционал τ8/, / 6 Φ', действует на функции из Φ
следующим образом:
(Ψ, τ5/> = (φ (t + s), f (t) > для φ 6 Φ.
Говорят, что функционал g £ Φ' есть свертка Ψ' — Ф', если
семейство w = {Tsg}S£Ri является Ψ' — Ф'-композиционным. Будем обо-
*) Оператор дифференцирования Ф'2 — Ф[ функционалов из Ф'2 определяется
как сопряженный непрерывному линейному оператору —D: Φι ->- Ф2.
2) То есть функция, обладающая тем свойством, что αφ £ Φ2 для φ 6 Φι
и оператор φ -> αφ из Φι в Ф2 непрерывен. Мультипликатор Ф2 ->- Ф{
определяется как оператор, сопряженный к оператору φ ->- αφ.
Приложение, § 1 247
значать w<>f через g*f. Таким образом, g*f ζ Φ' для/ ζ Ψ' и
свертка g%f действует на функции из Φ следующим образом:
(ф, g*f) = <<φ(ί + s), g(t)), f(s))) для φ^Φ.
Немедленно проверяется, что если Φ — пространство с
непрерывным сдвигом и δα G Φ' при любом а 6 R1, то δα является сверткой
Ф' — Ф' и
δα*/ = τ J для / 6 Φ'·
Если в условиях предложения 1 Φ и Ψ — пространства с
непрерывным сдвигом и оператор U стационарен (т. е. коммутирует
с любым сдвигом: tsU = Uts для s £ R1), то сопряженный оператор
представим с помощью свертки
tUf = g*f для /£Ψ',
где g = ιϋδ.
Как известно, всякое распределение с компактным носителем
является сверткой Σΰ' — 3ΰ'. Относительно общих свойств свертки
ЗЬ' — £В' см. [15]; здесь мы остановимся лишь на нескольких
вопросах, касающихся носителя свертки и свертки с обычными
функциями.
Если g £ ^,0°, / £ 3)', то носитель свертки удовлетворяет
соотношению
supp (#*/) с= (supp g) + (supp /) (3)
(как обычно, сумма А -\- В двух множеств А, В a R1 — это
множество всевозможных элементов вида t -\- s, t £ A, s £ В). Действи-
тедьно, пусть А = supp g, В = supp /. Учитывая, что множество А
компактно (ибо g имеет компактный носитель), а В замкнуто, сразу
получаем, что множество А + В замкнуто. Пусть Ω — дополнение
множества А -\- В, и пусть φ £ 3ΰ — любая функция supp φ cz: Ω.
Так как носитель распределения Tsg лежит в А + {s}, функция
ψ (s) = (φ (t + s), g(t)) = (φ, rsg)
равна нулю в некоторой (зависящей от φ) окрестности множества В.
Следовательно,
(φ, £*/> = <<φ(ί + «), g(t)), f{t)) = o,
т. е. свертка g*f равна нулю на Ω. Соотношение (3) доказано.
Если α ζ 3)т, f 6 3)'т, то а*/ есть непрерывная функция:
(a*f)(t) = <a(f-s), f(s)). (4)
Действительно, легко проверяется, что функция (a (t — s), f (s))
непрерывна в каждой точке t £ R1. Далее, с учетом связи между
сверткой и прямым произведением двух распределений (см. [15])
248 Глава IV
получаем, что для любого φ ζ ЗЬ
4-ое
(φ, α */> = «φ (* + *),«(*)>, /(*)> = <$ φ (* + s) a (t) dt, f (s)) =
— oo
+00
= <$ φ (*) α (f — s) Λ, /(s)> = «a(*-s), cp(*)>, /(*)> =
— oo
= <a(f — s)cp(f) X/(*)> = <«(* —$),/($) Χ φ (f)> =
= «α (ί-*),/(*)>, φ(ί)> = <φ(ί), <«(*-*),/(*)»,
чем и доказано (4).
Заметим, что если а 6 ^т+р и / 6 3)'т, το α*/ 6 ^р, а если
а е 3) и / 6 ^', то а*/ £ ^°°.
Из (3) сразу видно, что если φ 6 S, / 6 ^/о°» то φ*/ 6 «3L При
этом оператор φ—^φ^/из «25 в «S переводит ограниченные
множества в ограниченные и, следовательно, непрерывен.
Определим симметрию относительно начала (будем обозначать
ее символом ") следующим образом: если φ — некоторая функция,
то φ (t) = φ( — t); если / £ £β', то распределение / определяется
равенством
(φ, /> = <φ, /> для φ6<^.
Очевидно, (g^f)" = g*/ для любых g 6 ^,ос, / 6 3>'.
С учетом (4) значение свертки g^f, g £ <tp'oc, / 6 «25', на данной
функции φ £ «25 можно записать так:
(φ,"£*/> = «Φ (* + *),£(*)>■ /(*)> = «φ (*+*)> *(*)>> /(*)> = <<Р *£,/>,
и поскольку cp*g = g^cp, то
<φ,£*/> = <£*φ,/>. (5)
Следовательно, оператор свертки / -+g*f из <25' в <25' является
сопряженным к оператору свертки φ —^ g ^φ из 3) в с25.
7. В этом пункте рассмотрим вопрос о строении распределений.
Под сверткой будем понимать здесь обычную 3' — «^'-свертку
распределений, одно из которых имеет компактный носитель.
Пусть
Ня(*) = -, 777 Для *>0'
(? - Ι)'
£fq(t) = 0 для *<0,
g = 1, 2, ... . Заметим, что DHq = Hq-i для g ^ 2 и что Н%
является функцией Хевисайда, так что DHi = δ. Пусть функция
V 6 3) равна 1 в некоторой окрестности нуля, у (t) = 0 при
Приложение, § 1 249
£(£(—-1, 1), и пусть aq = yHq. Непосредственно видно, что мера
Дирака δ может быть представлена в виде
6 = Dqaq + lq,
где tq — некоторая функция из 3. Носители функций ослг, ζ<7 ле^кат
в [0, 1]. Поскольку для всякого распределения / £ ЗУ имеем / = δ */,
то любое распределение может быть представлено в виде
f = Dq(aq*f) + \q*f. (6)
Из сказанного в предыдущем пункте следует, что £д*/ есть
бесконечно дифференцируемая функция. В силу (3) если supp / с
с: [а, Ь], то носители распределений aq*f, ξ^*/ лежат в [а, Ъ + 1].
Предложение 2. Распределение f имеет порядок ^ т
(где т конечно) тогда и только тогда, когда f является производной
порядка т от некоторой меры.
Доказательство. Если / = Ζ)™μ, где μ — мера, то
/ £ З'т, ибо оператор Dm га-кратного дифференцирования мер
является сопряженным к дифференциальному оператору (— i)mDm
из Зт в 3°.
Обратно, пусть / £ 3,т. Ввиду (6) достаточно показать, что
ат*/ является мерой. Это будет сделано, если мы покажем, что
функционал am^f непрерывен на 3), наделенном топологией,
индуцированной из 3° (ибо 3 плотно в 3°).
Пусть {ср7} — последовательность функций из 3, такая, что
ср7 ->- 0 в «2)°. Тогда носители всех функций φ7· лежат д одном и том
же компакте и φ7· (t) —*0 равномерно на R1. Имеем
= ίΦ"
Ψ/ (s) = <4V (* + s), am (*)> = %· (t + s) am (t) dt =
(m — 1)! J
о
-j-OO
(m — i)
ЬмЬ
(t)y(t — s)(t~-s)m~1dt.
Немедленно проверяется, что ψ7· 6 Зт и ψ7· ->0 в Зт. Из равенств
(φ7·, ато*/> = <<φ7· (t + s), am (t)), / (s) > = (ψ7·, />
следует, что числовая последовательность {(φ7, am*/)} стремится
к нулю. Следовательно, функционал ат*/ непрерывен на 3,
наделенном индуцированной из 3° топологией.
250
Глава IV
Предложение 3. Всякое распределение f ζ £ΰ' представило
в виде локально конечного ряда г) обобщенных производных от
непрерывных функций xh с компактным носителем:
/= ^Dm*lh.
h
Доказательство. Пусть {Ω7·} — некоторое покрытие
прямой R1 открытыми множествами с компактными замыканиями.
Не уменьшая общности, можно считать, что покрытие {Ω7·} локально
конечно 2) и, следовательно, счетно. Пусть {β7·} — соответствующее
разбиение единицы, т. е. β7· £ £ΰ, 0 ^ β7· (t) ^ 1 для t £ i?1,
supp β7· с Ω; и 2 β7· (t) = 1 для t ζ R1. Заметим, что последний
з
ряд локально конечен.
Очевидно, / = 2 /у, где /7 = β7/, причем этот ряд локально
3
конечен, ибо supp /7· cz Ω7. Распределение /7 имеет компактный
носитель, следовательно (см. п. 3), /7 имеет конечный порядок,
скажем pj. Функция ар. + 2, рассмотренная в п. 7, принадлежит,
очевидно, £ΰνί. В силу сказанного в п. 6 ap.+2*fj является
непрерывной функцией, a 5P.+2*/j6<^· Согласно (6),
р.+2
fj = DJ (ар.+2*/7) + Ц.+2*/7,
значит, fj является суммой некоторой функции из 35 и производной
порядка pj + 2 от некоторой непрерывной функции. Для
завершения доказательства предложения 3 остается лишь заметить, что
ввиду (3) носители функции ap.+2*/j> £p.+2-#/j лежат в 1-окрест-
ности множества Ω7.
8. Распространим результаты предыдущего пункта на
распределения на открытом интервале действительной прямой. Для этого
используем замену переменных в обобщенных функциях.
Пусть (α, β), (а, Ь) — два непустых открытых интервала
действительной прямой и θ — бесконечно дифференцируемое
отображение (α, β) на (а, Ь) с Θ' (s) Φ 0 для s £ (α, β). Тогда функция θ
является строго монотонной и имеет обратную, причем Θ-1 — также
бесконечно дифференцируемая и строго монотонная функция
(возрастающая, если θ возрастает, и убывающая, если θ убывает), и
(Θ-1)' (t) = \ , te(a, b).
*) Говорят, что ряд (функций или распределений) является локально
конечным, если на любом открытом множестве с компактным замыканием лишь
конечное число членов этого ряда отлично от нуля.
2) То есть любой компакт имеет непустое пересечение лишь с конечным
числом множеств Ω7·.
Приложение, § 1 251
В дальнейшем композицию ξ (η (ν)) двух обычных функций ξ, η
будем обозначать через η·ξ. С использованием этого обозначения
предыдущая формула запишется так:
(Θ-1)
θ-1·θ'
Пусть θ — оператор <^(α,β) ->«2*(α, Ь)» определенный с помощью
равенства
θφ = |(θ"1)'Ι(θ"1·φ) для φ6^(α,β>.
Немедленно проверяется, что θ — непрерывный линейный оператор
с обратным Θ-1: £&(а, ь> -><3^<α, β)> задаваемым равенством
Θ~1ψ=|ΘΊ(θ·ψ) для уе&ь,ъ>
Обратный оператор также линеен и непрерывен, так что θ есть
изоморфизм <^(α,β) На 3!{а,Ъ)-
Сопряженный оператор 'Θ из пространства £^{а, ъ) распределений
на (а7 Ъ) в пространство 35{а,$) распределений на (α, β) называется
оператором замены переменных посредством Θ. Его значение на
данном распределении / £ 3)[а, ъ) будем обозначать через θ·/. Таким
образом, если /6«^(а, ь>> то распределение θ·/ из £В[а, β) задается
равенством
(φ,θ·/) = (|(θ-1Π(θ-1·φ),/> для φ 6 &(а, β)· (7)
Легко видеть, что если обобщенная функция / из £^{а,ъ) есть
обычная функция Д, то распределением θ·/ из 35{а, β) является
функция θ·/ι. Отсюда следует, что обобщенная операция замены
переменной (в обобщенных функциях) действительно обобщает
обычную операцию замены переменных (в обычных функциях).
Пусть / 6 3>\а,ьу Для любого ψ 6 «2*(α, β) имеем
(ψ, (θ · /)') = - (ψ', θ · /) = - (Ι (θ"V | (θ"1 · ψ'), /> =
= ^<Ι(θ-νι(θ-4ψΓ(-^7,/>.
Так как функция ' \~λ, постоянна на (α, b), то можно написать
(ϋ η
(ψ, (θ · /)') = - ί^Ρ ((θ"1 · ψ)', /> =
(ϋ )
-^-.♦.Л-<!^!Р-.«.Г>.
252
Глава IV
Но
1^4^ (θ_1 · Ψ) = ι (e"V ι (θ-1 ·θ-) (θ-1 · ψ) = ι (θ-γ ι [θ-1 · (θ-ψ)],
и мы получаем
(ψ, (θ·/)'> = (| (θ-1)' | [θ-4θ'ψ)], /') = <θ'ψ, θ./'),
<ψ, (θ·/)'>= <ψ, θ'(θ./')>.
Таким образом, совершенно так же, как в обычном случае,
производная распределения θ·/ есть произведение распределения Θ·/'
на функцию Θ':
(θ·/)' = θ' (Θ·/'). (8)
Распределения / £ 3[а,ъ) и θ·/ £ «2*(α, β) имеют одинаковый
порядок. Действительно, пусть / имеет порядок т. Тогда / является
непрерывным линейным функционалом на 3(а,Ъ), наделенном
топологией, индуцированной из 3™а ,ъу Согласно (7), функционал θ·/
непрерывен на 3^,$), наделенном топологией, индуцированной
из 3(а, Р). Так как 3(а, р> плотно в 3™а, β>, то θ·/ £ 3'$, β), а, значит,
θ·/ имеет порядок ^ т. Если бы распределение g = θ·/ из 3{а, β>
было порядка < т, то в силу сказанного выше распределение
θ-1·£· = / имело бы порядок < т, вопреки нашему предположению.
Значит, θ·/ есть распределение порядка т.
Покажем теперь, что предложение 2 остается справедливым
и для распределений на открытом интервале (а, Ь) г): распределение
f 6 3{a,b) имеет порядок ^.т (где т конечно) тогда и только тогда,
когда f является производной порядка т от некоторой меры на (а, Ь).
Утверждение очевидно для т = 0. Покажем, что если оно верно
для т <^р, то оно справедливо и для т = ρ + 1. Действительно,
пусть / £ 3[а,ъ) — распределение порядка ^р + 1 и θ —
бесконечно дифференцируемое отображение R1 на (а, Ь) с Θ' (s) Φ 0 при
s ζ R1 (такие отображения строятся весьма просто). Положим
Очевидно, /ι 6 3)(^1). Из доказанного выше следует, что θ·/ι 6
ξ- 3,ρ+1. В силу предложения 2 предыдущего пункта θ·/ι является
производной порядка ρ + 1 от некоторой меры на R1, т. е.
существует такая мера μ £ 3'°, что θ·/ι = g', где g = Όρμ. Так как
оператор Dv р-кратного дифференцирования мер является
сопряженным к дифференциальному оператору (—i)vDv: Зр -+3°у то
g e Σΰ'ν, так что θ"1·^ 6 3>[$,ъ)- Согласно (8),
(Θ-V)' = (Θ-1)' (Θ-V).
х) То же можно сказать и о предложении 3.
Приложение, § 1
253
Поэтому из θ·/ι = g' следует /ι — θ-1·£\ и
откуда (см. (9))/ = (θ-1·^)'. Таким образом, / является производной
от распределения θ-1·£ на (а, Ь) порядка ^р. По индукции θ-1·£ =
= Dpv, где ν — мера на (а, Ь), и, значит, / = Dp+1v.
9. Рассмотрим теперь вместо пространств функций Τ ->■ С1
пространства функций Τ —>-С1, сопряженные к которым суть
пространства векторных распределений со значениями в С1. Мы введем
векторные распределения со значениями в С1 способом, при котором
свойства этих распределений сводятся к свойствам их скалярных
компонент.
Пусть Φ — локально выпуклое пространство с сопряженным
Ф' и I — целое число ^1. Обозначим через (Φ)ι топологическое
произведение I экземпляров пространства Ф. Элементы пространства
(Φ)ι будем записывать как векторы-строки:
φ = (φ1? . . ., φ,), φ7· 6 Φ.
Элементы сопряженного пространства (Ф') г можно представлять
в виде векторов-столбцов:
(символ * обозначает транспонирование); «скалярное произведение»
определяется равенством
ι
(φ, /) = Σ (Фл fj) Для φ 6 (Φ)/, / 6 (Φ\
7=1
Таким образом, (Φ')ι изоморфно топологическому произведению /
экземпляров пространства Ф'.
Пространство (Φ')ζ можно рассмотреть и с другой точки зрения.
Каждому / 6 (Ф')г отвечает оператор Φ ->- С1:
φ->*«Φ,/ι>, ..·, (φ, Л)), φ 6 Φ-
Таким образом, (Φ') ζ изоморфно пространству непрерывных
линейных операторов Φ -> С1.
Так можно ввести пространства векторных распределений со
значениями в С1, соответствующие пространствам скалярных
распределений. Например, (£Dm)i — это пространство векторных функций
R1 -+С\ а его сопряженное (£ΰ,Ύη)ι естественно называть
пространством распределений порядка ^.т со значениями в С1; аналогично
^&'m)i будем называть пространством распределений с компактным
носителем порядка ^.т со значениями в %ш и т. д.
254
Глава IV
Свойства, установленные для скалярных распределений, легко
распространяются на распределения со значениями в С1 (с
очевидными видоизменениями), ибо эти векторные распределения суть
просто упорядоченные наборы из I скалярных распределений.
Всякий линейный оператор Α: (Φ)ζ -^(Ψ)/ представим с
помощью матрицы А = (А и) размера 1x1, где Atj — линейные
операторы Φ ->Ψ и для φ 6 (Φ)ζ
ι ι
Ач>= ( Σ^"Φί» ···' Σ^«φ«)·
i = l i = l
Оператор А непрерывен тогда и только тогда, когда все Ац
непрерывны. То же верно и для операторов В: (Ψ')ι ->(Ф')г: если В =
= (Ви), то
*/='(2зад· ···· hBufj)·
7=1 7=1
Немедленно проверяется, что если А = (Ац) — непрерывный
линейный оператор (Φ)Ζ->(Ψ)Ζ, то сопряженный оператор
представим с помощью матрицы 1А = (1А^).
Пусть iv = {ws}S£Ri — семейство матриц ws = (wlJ), wlJ £ Φ'.
Будем говорить, что семейство w является (Ψ')ι —
(Φ')[-композиционным, если Ζ2 скалярных семейств wld = {г^Ьдо являются
Ψ' — Ф'-композиционными. Для /6(Ψ')ζ будем обозначать через
wof вектор
7 = 1 7=1
и говорить, что w°f является композицией f с семейством w. У этой
векторной композиции свойства те же, что и у композиции,
введенной в п. 5.
Для того чтобы распространить на векторные распределения
предложение 1, целесообразно ввести векторную композицию другим
путем, представляющим собой естественное обобщение определения,
данного в п. 5. Для φ £ (Ф)г положим
ψ(ί)=(2<ψι(0.«'"(0>, ··- Е<ф'(«),^'(0>),
i=l i=l
так что ψ 6 (Ψ) г· Пусть Wtp = ψ. Семейство w является (Ψ') г —
— (Ф')Гкомпозиционным тогда и только тогда, когда оператор
W: (Φ)ι ->(Ψ)Ζ непрерывен. Легко проверить, что lWf = w<>f
для /6 (Ψ') ι-
Обозначим через Χ ((Φ) ι, С1) пространство непрерывных
линейных операторов (Φ)ι ->Сг. Такие операторы представимы при помо-
Приложение, § 2
255
щи матриц F = (/"'), /"' 6 Ф':
г'=1
Каждому непрерывному линейному оператору В = (В и) из (Ψ')*
в (Ф')г соответствует естественным образом линейный оператор
(мы снова обозначим его через В) из Χ ((Ψ)ζ, С') в <2? ((Ф)ь С1):
если *■ = (/ij), f £ Ψ', то BF = G, где С = (g%
gli= ^Bihf.
/ι=1
После всего сказанного обобщение предложения 1 очевидно: если
δ8 ζ Ψ' для любого s 6 R1, то сопряженный *£/: (Ψ')ζ ->(Φ')ζ κ
любому непрерывному линейному оператору С/: (Ф)г —^(Ψ')ζ представим
с помощью композиции / -^wof для / 6 (Ψ')ζ> гДе
«» = {'Ог(Ябв)}веи..
Аналогичным образом можно ввести и (Ψ')ι — (Φ')/-свертку.
Пусть G = (glJ) — матрица размера I X I с gl) £ Φ'. Говорим, что
G является (Ψ')ζ — (Ф')гсвертывателем, если gu являются Ψ' —-
Ф'-свертывателями, и свертку / £ (Ψ')ζ с G определяем формулой
7=1 7 = 1
§ 2. Периодические распределения
1. Будем говорить, что распределение / 6 «25' периодично с
периодом ω, если τω/ =^= / (где τω — сдвиг на ω).
Отсюда немедленно следует, что для всякой локально
суммируемой функции периодичность в этом обобщенном смысле
эквивалентна периодичности в обычном смысле г).
Пусть {5fe}_00<fe<+00 — двусторонняя последовательность
комплексных чисел и {tk}-00<k<+00 — двусторонняя строго
возрастающая последовательность действительных чисел, причем lim tk =
k->—оо
= — оо, lim tk = + оо. Как показано в § 1, ряд 2 sk6t без-
fc->+oo к h
условно сходится, и его сумма является мерой. Ниже будем
предполагать, что sk Φ 0.
г) Локально суммируемая функция / является периодической (в обычном
смысле) с периодом ω, если / (t + ω) = / (t) почти всюду.
256
Глава IV
Предложение 1. Мера 2 sk$th является периодической
к h
с периодом ω > 0 тогда и только тогда, когда существует такое
целое число ρ > 0, что
(а) tk+p = tk + ω, — оо < к < + оо;
(б) последовательность {sk} периодична с периодом р.
Доказательство. Пусть выполняются условия (а) и (б).
В силу непрерывности оператора сдвига τω: 3)'°-^£$'0 имеем
к к к к к + р к
т. е. мера 2 sk$th является периодической с периодом ω.
к к
Обратно, предположим, что мера 2 sk$th периодична с перио-
к h
дом ω, т. е.
2jsk$tk= 2j$k$th+(x>·
к к
Для каждого целого числа j выберем ε7· > 0 так, чтобы интервал
Ij = (tj ~Ь ω — ε7> ij + ω + ε7) содержал лишь один член tj + ω
из строго возрастающей последовательности {tk + ω}^. Сужением
распределения 2 5&δ* +ω на пространство непрерывных функций
с носителем в /7 будет 57·δί.+ω. Следовательно, сужением
распределения 2 5/Аь на это пространство также будет 57·δ/.+ω. Значит,
существует такое единственное целое число к (j), что sk(jfitkr) —
= sfitj+a. Так как sfe =^= О, — оо < /с < + оо, то sfe(7) = s/, £fe(7) =
= tj + ω. Пусть /? (у) = /с (у) — /. Поскольку последовательность
{tk} строго возрастает, ρ (j) > 0. Таким образом, для любого целого
/ существует однозначно определенное целое число ρ (j) > 0, для
которого
Ъ + М) = Ь + ω> Sj+P(j) = 57· ί1)
Аналогичным образом из равенства τ-ω (Σ sft^J = 2 sfe^^
/? к
следует, что
к к
и, как и выше, мы заключаем, что для любого целого j существует
такое целое q (j) > 0, что
Ъ-qU) = tj — (ύ, Sj-q(j) = SJ- (2)
Для завершения доказательства остается показать, что
ρ () + 1) = ρ (;), — оо < у < + оо.
Приложение, § 2
257
Но действительно, если бы между tj+p(j} = tj + ω и i7+i+p(j + i) =
— tj+ι + ω находился элемент th из последовательности {£&},
то из (2) вытекало бы, что th-qih) = th — ω расположен между tj
и tj+i, что невозможно. Значит, £/+i+p(7+d непосредственно следует
за tj+p(j) в последовательности {tk}, т. е.
3 + 1 +/7(/ + 1) =7+р(/) + 1,
так что ρ (j + 1) = ρ (;').
2. Рассмотрим теперь несколько вопросов, относящихся к
строению периодических распределений. Предварительно докажем одну
лемму.
Пусть / — локально суммируемая функция, G — открытое
множество в Л1 и ξ — характеристическая функция множества G.
Функцию / = ξ/ будем называть G-сечением функции /. Для того
чтобы распространить это понятие на распределения, заметим, что /
определяет распределение, совпадающее с / на G и равное нулю
на дополнении CG замыкания G. Пусть теперь / — некоторое
распределение. Будем говорить, что распределение / является
G-сечением распределения /, если / = / на G и / = 0 на CG.
Лемм а. Пусть f ζ 3)' и G — открытое множество в R1, G Φ В1.
Существует бесконечное множество G-сечений распределения /; любые
два G-сечения отличаются друг от друга на распределение с носителем
на границе множества G. Если f имеет порядок ^ т, то существуют
G-сечения порядка ^.т.
Доказательство. Из предложения 3 § 1 следует, что
распределение / представимо в виде локально конечного ряда
/= 2#т^
k
обобщенных производных от непрерывных функций %k с компакт-
ным носителем. Положим %k = ξχ^, где ξ — характеристическая
функция множества G. Очевидно, распределение
7= 2^т^
ft
является G-сечением распределения /.
Если / имеет порядок ^ т, то в силу предложения 2 § 1 / является
производной порядка т некоторой меры μ. Пусть μ — мера,
определенная равенством
μ (φ) = μ (Εφ) для φ £ ЗР.
Тогда μ является G-сечением для μ, a D™ является G-сечением
порядка ^ т для /.
258
Глава IV
Если / является G-сечением, то / + g также является G-сечением
для любого распределения g с носителем в fr G; следовательно,
существует бесконечное множество G-сечений для /.
Непосредственно проверяется, что всякая периодическая
функция / с периодом ω представима в виде
-}-оо -foo
/= Σ W = ( Σ δ»«)*/.
где / = ξ/, ξ — характеристическая функция интервала (0, ω).
Посмотрим, как устроены периодические распределения /.
Предложение 2. Всякое периодическое распределение f £ £ΰ'
с периодом ω имеет конечный порядок. Если порядок периодического
распределения f с периодом ω строго меньше г, то у распределения f
существует (О, ы)-сечение f порядка ^г, такое, что
/=( Σ М*А (3)
д = — оо
где свертка понимается в смысле S,r — 3),г.
Доказательство. Непосредственно проверяется, что мера
+ оо
2 бдсо есть S,r — с25,г-свертыватель, 0 ^ г ^ оо, и
П=—оо
+ оо -\-оо
( Σ δηω)*Λ= 2 ^Jb Для /ге«'г, (4)
П, = — оо П = — °°
где последний ряд (безусловно) сходится в i$'r.
Пусть распределение / 6 i$' периодично с периодом ω и имеет
порядок ^г (здесь не предполагается, что г конечно). В силу
предыдущей леммы существует (0, (о)-сечение/ порядка ^г для /. Пусть
+ оо
/ι=( Σ Μ* Α
где свертка понимается в смысле %,г — 3)п\ Учитывая (4), сразу
получаем, что /ι периодично с периодом ω. При этом /ι = / на любом
интервале вида (/ω, (у + 1) ω), где j — целое, ибо для φ £ 3}
с supp φ cz (/ω, (/ + 1) ω) имеем
+ οο 4-°° +°°
(φ, Λ) = (φ, 2 τΛω/> = 2 <φ» τ*ω/> = 2 <τ-™φ, />,
Π,= — οο Π = — °° Π. = —οο
и поскольку носитель т_д(0 φ лежит в ((/ — η) ω, (у — w + 1) ω), то
(ψ, /ι) = (τ-,/ωψ, /) = <τ-7·ωφ> /) = (φ, W> = (φ, /).
Следовательно, носитель распределения g — f—-fi порядка ^>
лежит в множестве F = {ηω}η.
Приложение, § 2 259
Пусть {ап} — разбиение единицы, соответствующее покрытию
интервалами 1п = ((п — 1) ω, (η + 1) ω), — оо < η < + <х>, т. е.
&п 6 35, 0 ^ ап (t) ^ 1 при ί £ J?1, supp an a In и 2 ад (*) = 1
η
при t £ i?1. Тогда g представимо в виде локально конечного
(безусловно сходящегося в 3,г) ряда g = 2 gn, гДе gn = ад£- Очевидно,
η
распределение #Л имеет порядок ^г и сосредоточено в точке ηω.
Из равенства τω# = g следует, что
4-оо 4-°°
/ ι t(ugn ==: 2j &n'
Распределение τω#Λ сосредоточено в точке (п + 1) ω, поэтому в силу
предыдущего равенства τω#Λ = g„+i. Таким образом, gn = Tn(ug0,
а, значит,
-|-оо
g= 2 τΛω£0·
П = — °°
Из (4) вытекает, что
+ оо
( Σ δ„ω)*£0,
где свертка понимается в смысле %'г — £$'г.
Пусть / = / + g0, так что / является (0, (о)-сечением порядка
^ г для /. Тогда
/ = /! + *=( Σ «и»)*/,
где свертка понимается в смысле %'г — ££'г. Этим заканчивается
доказательство второй части предложения.
Остается показать, что порядок любого периодического
распределения конечен. Действительно, распределение / имеет конечный
порядок, скажем т, ибо у него компактный носитель. Поэтому
свертку в (3) можно понимать в смысле %гш — ££,т, так что / £ ££'т.
Согласно формуле (6) § 1, всякое распределение / конечного
порядка т представимо в виде
/=£m+>m+2*/) + £m+2*/.
Так как ат + 2 6 3)т и £т+2 6 3), из результатов § 1 следует, что
функция ат + 2*/ непрерывна, а функция 5т+2*/ бесконечно
дифференцируема. Легко проверяется, что эти функции являются
периодическими с тем же периодом, что и /. Таким образом, всякое
периодическое распределение является суммой некоторой периодической
бесконечно дифференцируемой функции и обобщенной производной
от некоторой непрерывной периодической функции.
260
Глава IV
Предыдущие предложения без труда распространяются на
векторные периодические распределения в (3')ι. Заметим лишь, что
-|-оо
в формуле (3) свертыватель заменяется рядом 2 Εδηωι где Ε —-
П- — оо
единичная матрица,
§ 3. Периодические распределения (другая конструкция)
1. Дадим теперь другую конструкцию пространства
периодических распределений с периодом 2π х), где оно выступает как
сопряженное к пространству периодических функций. Преимущество
такого подхода к периодическим распределениям по сравнению
с подходом, изложенным в § 2, заключается в том, что при этом
можно использовать некоторые результаты из теории двойственности
локально выпуклых пространств.
Обозначим через <ИРт, m<oo, пространство 2я-периодических
функций R1 ->С\ имеющих т непрерывных производных, и через
2^°° пространство бесконечно дифференцируемых функций с
периодом 2π. В gfi™, т < оо, введем норму
||ф||т= max sup | £>7φ(ί) |, <р£^т,
а в 3Ьо° — локально выпуклую топологию, определяемую счетным
семейством норм ||*||т, т = 0, 1, 2, . . . . Легко проверить, что
|^т, 0 ^ т < оо, является банаховым пространством, а ^°° —
пространством Фреше.
Пространство <^°° монтелево.
Так как еТ500 метризуемо, то для доказательства этого
утверждения достаточно показать, что из любой ограниченной
последовательности {срд} в αΡ°° можно извлечь сходящуюся
подпоследовательность. Но, действительно, поскольку функции Όψη равномерно
ограничены на [—π, π], то функции ψη равностепенно непрерывны.
Так как ψη, кроме того, равномерно ограничены, то на основании
теоремы Арцела существует подпоследовательность {φ^0}
последовательности {ц)п}, сходящаяся в <^°. Далее, функции D\n0
равномерно ограничены, поэтому функции Dyn0 равностепенно
непрерывны, значит, существует подпоследовательность {φ^ι}
последовательности {φη0}, сходящаяся в с^1, и т. д. Таким образом,
получаем последовательности {φΛ7·}Λ, / = 0, 1, 2, . . ., для которых
диагональная последовательность {ψηη} является, очевидно,
сходящейся в с^°° подпоследовательностью последовательности {φ^}.
х) Все результаты данного параграфа, очевидно, справедливы и для
распределений с любым периодом.
Приложение, § 3 261
Свертку двух функций φ £ ^w, ψ 6 $*° определяем формулой
π
(φ * ψ) (t) = $ φ (ί —· 5) ψ (s) ds.
— π
Немедленно проверяется, что φ*ψ 6 ^m? φ*ψ -= ψ* φ и
Ζ)·7' (φ *ψ) = (β'φ) *ψ, 0 </ < m.
Обозначим через /*ГД ядро Фейера. Известно, что для φ £ с^°
функция ад = φ * /$ГД является тригонометрическим многочленом,
и ση ->φ равномерно на i?1. Следовательно, ση -> φ в ^°. Если
φ 6 <^m, то
DjGn = (£>7φ) * #w, 0</ < m,
а, значит, σ71 -> φ в ^т. Следовательно, пространство Π
тригонометрических многочленов плотно в &>п\ 0 ^ яг ^ оо.
2. Обозначим через е^"71 пространство, сопряженное к <^т,
наделенное сильной топологией. Пространство оР'т, т < оо,
является банаховым пространством относительно нормы
ll/llm= sup |(φ,/}|, /6^т
фе^°т,11фМт<1
Сужение на gfim+1 всякого функционала / £ $Р',т принадлежит
<^/τη+1, и / однозначно определяется своим сужением, ибо Π (и тем
более gpm+1) плотно в §*т. Следовательно, оператор сужения
устанавливает алгебраический изоморфизм между 3*ηη и некоторым
подпространством в $>'т+1. Таким образом, мы можем считать,
что &>'т cz $>пп+1. Немедленно проверяется, что если / £ еТ5'™,
то ||/ || m+i ^ II / ||ш· Следовательно, топология в &'т тоньше,
чем индуцированная из gp>,m+1.
Оператор сужения устанавливает алгебраический изоморфизм
между <^'m, m < оо, и некоторым подпространством в <^'°°; значит,
можно считать, что оР,ш а <гР'°°. Топология в &,т тоньше, чем
индуцированная из <^'°°.
Так как е^'°° является монтелевым пространством, то и его
сопряженное также является монтелевым пространством. Можно
показать, что £Р'°° не имеет счетной фундаментальной системы
окрестностей нуля.
Пусть / £ $*'°°. Очевидно, найдется такая окрестность нуля 41
в е^°°, что
|(φ,/)|<1 Для φ 6 Ч*
Далее, существуют такое целое число q ^ 0 и такое Ь > О, что
множество
{φ|φ€^°°, 11<р||*<Ь}
262
Глава IV
содержится в °11. Отсюда сразу следует, что функционал /
непрерывен на ^°°, наделенном топологией, индуцированной из «Э54.
Так как еТ500 плотно в <^д, то / 6 §P'q. Таким образом, мы доказали
Предложение 1. &'°° = (J &,ш.
0^т<оо
Производная, сдвиг и умножение на функцию определяются
обычным образом: оператор D дифференцирования функционалов
из &,т — это сопряженный к оператору —D: &>m+1 _>^m;
оператор τΗ сдвига функционалов из &,ш — это сопряженный к
оператору сдвига X-h: eT5™-^gT5»171; мультипликаторами на еТ5'т
являются функции а 6 еТ5™, и оператор умножения на а функционалов
из &,т — это сопряженный к оператору умножения на α в
пространстве еТ5™.
Всякой локально суммируемой 2я-периодической функции /
сопоставляем функционал / £ с^'°, определяемый равенством
π
(φ, J}= I tp(t)f(t)dt для φ 6 0>°.
— π
Если φ (t) = (2π)_1 е~гп1, то (φ, /') суть коэффициенты Фурье для /.
Функция / (точнее, класс функции /) однозначно определяется
своими коэффициентами Фурье, значит, / однозначно определяется
функционалом /. Отображение / —>f есть алгебраический
изоморфизм пространства локально суммируемых 2я-периодических
функций на некоторое подпространство в <^'°. В дальнейшем мы
отождествляем функцию / с соответствующим функционалом / и пишем
/ вместо /.
Можно показать, что подпространство распределений из Зпп,
имеющих период 2π в смысле § 2, изоморфно пространству &'ш
и что при этом изоморфизме операции дифференцирования, сдвига
и умножения на функции переходят друг в друга (см. [68]). Поэтому
элементы из еТ5'00 будем называть периодическими распределениями
с периодом 2π, а элементы из &,ш — распределениями порядка ^.т
с периодом 2π.
3. Пусть g ζ <^'°°. Непосредственно проверяется, что для φ 6 &°°
функция
ψ(*) = <φ(ί + s), g(t))
принадлежит &>°° и что линейный оператор φ ->ψ из ЗР°° в &°°
непрерывен. Следовательно, g является 3*'°° — ^/оо-свертывателем.
Таким образом, свертка g*f двух распределений из 3*'°° всегда
имеет смысл; она определяется (см. § 1) равенством
<φ,**/> = «φ (* + *), *(Ф, f(s)) для φ6^°°.
Приложение, § 3 263
Свертка коммутативна. Действительно, для g, / 6 ^'°° и φ (£) =
= егги имеем
(eint, (g*f) (ί)> = «ein(t+s\ g (t)), f (s)> =
= «еш, g (0> eirtS, / (s)> = <*"", g (/)> <i,пв, / (s)> =
= «eins, f (s)) eint, g (t)) = «*,,l(!+t), / (s)), g (i)> =
= <*"",(/**)(«)>,
так что распределения g*/ и f * g совпадают на функциях eint.
Отсюда следует, что они совпадают на пространстве
тригонометрических полиномов П, а так как последнее плотно в аР°°, то f * g =
= g*f.
Легко проверяется, что для сдвига и производной имеют место
известные формулы
*h(g*f) = (τΛ?)*/, D (g*f) = (Dg)*f.
Пусть g £ $>'°°. Покажем, что для φ 6 ^°° свертка g*cp
принадлежит ^°° и
(£ * φ) (*) = <φ (* + *),£(*)> ί1)
(символ ν обозначает симметрию относительно начала).
Действительно, пусть η £ g^°° фиксировано. Линейные функционалы на 3*°°
φ-^<η(5),<φ(ί + 5),?(ί)» и φ -*«η (s), φ (ί + s)>, g (ί)>, (2)
очевидно, непрерывны. Для φ (£) = eini имеем
(η (s), (etnli+l), g (t))) = (η (s), eins) (elnt, g (i)> =
= ((η (s), elns) eint, g (f)> = {{η (s), ein(t+s)), g (*)>,
т. е. функционалы (2) совпадают на функциях φ (t) = егп*. Но тогда
они совпадают на пространстве П, и поскольку последнее плотно
в с^°°, то
(η (S), <φ (*+ s), £(*)» = «η (s), φ(ί + s)>, g(0> ДЛЯ φ€^°°.
Следовательно, для η 6 <^°°
(η (5), (φ (ί + *), g(0» = ((η (*), φ (ί + ^)), g(t)) =
• =( I r\(s)cp(t + s)ds,g(t)) = { I r\(s-t)<v(s)ds,g(t)) =
—π t—π
π
= { Ι η (s - t) φ (s) <fe, g (*)> = «η (s - t), φ (s)>, | (ί)> =
—π
= «η(<? + ί), ψ (^)), g(t)) = (r\, φ*#} = (η, g*cp>,
чем и доказано (1).
264 Глава IV
Из (1) следует, что оператор свертки /->£*/ из if*'00 в Qpf<x
является сопряженным к оператору свертки φ ->g*cp из ^°° в Э>°°«
4. Исследуем теперь разложение в ряд Фурье. При помощи
хорошо известного критерия сходимости рядов Фурье легко показать,
что ряд Фурье всякой функции φ £ ^°°
2 спеш, cn = j-^(t)e-intdt,
п =—°° —л
сходится к φ в еР°°. Функции егп1 образуют базис в ^°°. Немедленно
проверяется, что для φ £ ζΡ°° коэффициенты Фурье производной
порядка ρ равны
cn{Dpq>) = (in)pcn(ff).
Так как сп (Όρψ) ->0 при \ η \ -> о©, то для любого целого числа ρ ^ О
lim |тг|р|С„| = 0. (3)
| П |->оо
Последовательности с таким свойством называются быстро
убывающими.
Легко показать, что если двусторонняя числовая
последовательность {сп} быстро убывает, то ряд 2 cne%nt {безусловно) сходится
η
в &°°.
Коэффициенты Фурье распределения / £ еТ5'00 определяются
формулой
cn = ^-(e-int,f(t)), /г = 0, ±1, ±2, ... .
2π
Коэффициенты Фурье распределения δ £ ζΡ'°° равны
cn(8) = ^-(e-int,8(t)) = ^-.
Δη Δη
Значит, рядом Фурье для δ служит ряд ~- 2 е%п*- Немедленно про-
Δη η
веряется, что для любой функции φ ζ $>°° этот ряд (безусловно)
сходится к
2 е" (φ) = φ(0),
η
значит, ряд Фурье для δ слабо (безусловно) сходится в <^'°° к 6.
Так как пространство gfi'00 монтелево, то этот ряд сильно
(безусловно) сходится к δ в сТ5'00.
Приложение, § 3 205
Учитывая, что оператор свертки непрерывен, получаем, что для
f 6^'°°
'=>*6='*(έΣ''"ΉΣ('*'','
В.силу (1)
— (/ * еш) = — (ein(t+s\ f (S)) = — (eiMt-s\ f (s)> =
2.TT 2я 2к
= ±efnt(e-int,f(s))^cn(f)etnt,
2я
значит,
f=^Cn(f)eint.
П
Таким образом, ряд Фурье периодического распределения f (безусловно)
сходится в <^'°° к /.
Отсюда следует, что для φ £ ^°°, / 6 &'°°
(φ, /) = {2 сп (q>) eint, f (t)) = £ (^ηί, / (*)> c„ (φ),
П П
т. е.
<φ,/>= Σ С„(ф) *-»(/)· (4)
Функции {eint} образуют базис в <^'°°. Действительно,
предположим, что наряду с разложением / в ряд Фурье 2 сп (/) e%nl имеет
η
место разложение / = 2 bneint. Тогда
η
: — V. <*"*«', ^ηί) 6„ = — (e~iqt, eiqt) bq = b{
2π Δ-Α 2π
ςτ "q-
Пусть / £ с^'°°. Из предложения 1 следует, что / принадлежит
некоторому с^'р, где ρ конечно. Поэтому
|c»(/)l = ^-Ki~t,lt,/(i)>l<^-ll/llplk"intllP = ^-l»rn/irp·
ΔΤί ΔΚ ΔΤί
Отсюда следует, что для любого / £ 3*'°° существует такое целое
ρ ^ 0, что коэффициенты Фурье распределения f удовлетворяют
266
Глава IV
условию
lim \п\~р\сп\ = 0. (5)
Ι η Ι -><»
Последовательности с таким свойством называются медленно
растущими.
Обратно, если двусторонняя числовая последовательность {сп}
растет медленно, то ряд 2 cne%nt {безусловно) сходится в с?5'00.
η
Действительно, если существует целое число ρ ^ 0, такое, что
последовательность {сп} удовлетворяет условию (5), то ряд
абсолютно и равномерно сходится на R1 к некоторой непрерывной
функции g (имеющей период 2π). Отсюда следует, что предыдущий
ряд (безусловно) сходится к^в £Ρ'°°. Таким образом,
Dp+2g= Σ спеш,
~}-оо
и, значит, ряд 2 cne%nt (безусловно) сходится в с?5'00.
п=—оо
Для g, f ζ οΡ'°° имеем
cn(g*f) = (2π)_1 (е ~ш, (g * /) (0> = (2л)-1 {{e~lMt+s\ g (t)), f (s)) =
= (2π)_1 «е~ш, g (ί)> e~ins, f (*)> = {2κ)~ι <e~int, g (*)> (e~ins, f (*)>,
так что
cn (g*f) = 2ncn (g) cn (/). (6)
5. Установим теперь один результат, относящийся к операторам
Предложение 2. Пусть U — непрерывный линейный
оператор qP°° -^с^°°. Следующие утверждения эквивалентны:
(а) оператор U стационарен {т. е. перестановочен с любым
сдвигом, τηυ = 17τη);
(б) оператор U представим как оператор свертки, т. е.
существует г ζ с^'°°, такое, что
Uq) = г * φ для φ £ <^°°;
(в) оператор U перестановочен с оператором дифференцирования:
DU = UD;
(г) функции егп1 являются собственными функциями оператора U:
Ue =ane . (7)
Приложение, § 3 267
Если выполнено условие (б), то г = 'C/δ. Если выполнено условие
(г), то (2π)_1 ап суть коэффициенты Фурье для г.
Доказательство, (а) =^> (б). Покажем сначала, что
tU(g*f) = (tUg)*f. (8)
Действительно, для φ £ ^°° имеем
(<t,tU(g*f)) = (U<p,g*f)=:(((U<f)(t + s),g(ty,f(s)) =
= «(т_.£Лр) (t), g (t)), / (s)) = (<(Ux-sy) (t), g (f)>, / (s)> =
= «(τ_8φ) (t), CUg) (t)), f (s)) = «φ (* + *), (*Ug) (i)>, / (s)> = (φ, ('Ug) * />,
откуда и следует (8).
Поэтому для / £ оРг°°
tuf=tu{§*f) = {tm)*f,
а значит, lUf = г*/. Но тогда C/φ = г*φ для φ £ <^°°.
(б) =^> (в). Действительно, для φ £ еГ»00 имеем
D C/φ == Ζ) (г * φ) = г * (Οφ) = Ζ7Ζ?φ.
(в) ==> (г). Пусть ψ = Ueint. Имеем
ζ?ψ = яо**' = гто<?*Л* = uW" = tnUeint = ыц.
Решением дифференциального уравнения D\p = шг|) служит ψ (£) =
= α^ιηί. Отсюда следует, что Ueint = апегпг.
(г) =^> (а). Каково бы ни было /г, имеем
UTheint= Uein{t~h)= Ue~int einh = e~inhUeint =
= e-^aneint=Th (aneint) = τΗ (Ueint),
т. е. операторы U и τΗ перестановочны на элементах базиса {eint}.
Но тогда ThU = C/τ^ на еТ500.
Предположим, что выполняется условие (г). В силу (1)
Ueint = г * еш = (ein(t+8\ r (s)) = (ein89 r (s)) eint =
= (e~in8, r (s)) eint = 2ncn (r) eint,
значит, ап = 2ncn (r).
Аналогичное предложение справедливо для операторов &'°° ->
6. Результаты предыдущих пунктов без труда распространяются
на векторные распределения. Пусть (S*m)i — топологическое
произведение I экземпляров пространства &*ш и {$>,m)i —
топологическое произведение I экземпляров пространства &гш. Как
показано в § 1, (c^'m)z можно отождествить с сопряженным к простран-
268
Глава IV
ству (3*ηι)ι, причем «скалярное произведение» определяется
равенством
(φ, /) = 2 (φ,, /,) для φ 6 (О*. 1 6 {&'т)ь
7 = 1
где φι, . . ., φ г — компоненты φ, а /ι, .··,// — компоненты /.
Далее, ставя в соответствие функционалу / ζ {oPrm)i оператор
сргп _^ q I.
φ ->(<φ, Л>> · · ·» <φ, /г»»
мы можем пространство (еТ5'™)^ отождествить с пространством
линейных непрерывных операторов &т ->Сг. Поэтому элементы
пространства {3*'m)i будем называть 2п-периодическими векторными
распределениями порядка ^.т со значениями в С1. ,
Всякий непрерывный линейный оператор A: {oPm)i ~>{^η)ι
представим при помощи матрицы А = (Ajk), где Ajk —
непрерывные линейные операторы @*ш -> &п. Аналогично всякий
непрерывный линейный оператора: (^,η)ι ->(e^'m)z представим при помощи
матрицы В = (Bjk), где Bjh — непрерывные линейные операторы
Если элементы из {&Ί1ι)ι, {3*η)ι записывать как векторы-строки,
а элементы из {@*,n)i, {&'m)i — как векторы-столбцы:
q> = (q>i, ..., φΖ), /='(/ι, ■■··//),
то
ι ι
7=1 ΐ = \
и
k=i k=l
Матрица сопряженного оператора %А\ {^,η)ι ->(c^'wh совпадает
в этом случае с матрицей 1А = ( Ajk).
Очевидно, элементы из (§Рт)и {&η)ι можно записывать и как
векторы-столбцы. В таком случае
ι ι
^Φ=4Σ Aik<Pk, · · ., TiAih4>k),
а матрицей сопряженного оператора будет lA = (*А^). В
дальнейшем при исследовании свертки и разложения в ряд Фурье будем
записывать элементы из (£Ρ°°)ι и (<^'°°); как векторы-столбцы.
Если G = (gkJ) — матрица размера Z.X I с gk3 g <^'°°, то свертку
<?*/ для / ζ (<^'°°)ζ, / = '(/,, . . ., /z), f e <^'°°, определяем равен-
Приложение, § 3
269
ством
G*f=t(J№1*fJ, ..., Σ *"*/,)·
7 = 1 .7 = 1
Линейный оператор /->-<?#■/ из (οΡ'°°)ι в ($>'°°)1 непрерывен; он
является сопряженным к непрерывному оператору φ—^6?*φ из
(&>™)1 в (&™)ь где G = (£'"*).
Пространство ίΡη векторов вида ceint, где
c='(Ci, . .., сп), Cj-eC\
изоморфно комплексному евклидову пространству С1. Мы наделяем
пространство ψη евклидовой нормой
ι<*""ι=(Σΐ<νΐ2)1/2·
7=1
Из сказанного в предыдущем пункте следует, что любой элемент
из (^°°)ι (соотв. из (£Ρ'°°)ι) представим единственным образом в виде
(безусловно) сходящегося ряда, члены которого спегпЬ суть элементы
пространства f~n; векторы сп называются коэффициентами Фурье.
Утверждения, относящиеся к поведению последовательности
коэффициентов Фурье функций и скалярных распределений, остаются
в силе и для векторных функций и распределений, если только
заменить модуль на норму (коэффициент Фурье теперь —- вектор, а не
число).
Л е м м а. Если Ln — подпространства в ψ'η, то замкнутая
линейная оболочка в (£Ρ°°)ι (соотв. в (<2^'°°)ζ) (объединения)
подпространств Ln совпадает с подпространством элементов из (оРж) ι
(соотв. из (α^'°°)/), коэффициенты Фурье которых удовлетворяют
условию
_ Ant r τ
Доказательство. Пусть φ £ (qP°°)i и сп (φ) elnt £ Ln.
Из равенства φ = У] сп (φ) егЫ следует, что φ принадлежит замкну-
п
той линейной оболочке в (&°°)ι подпространств Ln. Обратно, если
φ принадлежит этой замкнутой линейной оболочке, то существует
последовательность {cpfe} линейных комбинаций элементов из
пространств Ln, такая, что cpfe ->- φ в (^°°)ι. Отсюда следует, что
сп (<Рь) еШ 6 Ln. Учитывая, что lim сп (cpfe) = сп (φ) и что Ln
h->oo
замкнуто (как подпространство конечной размерности), получаем
с„ (φ) eint e Ln.
Случай пространства (^'°°)ζ исследуется аналогично.
Пусть G^= (ghJ) — матрица размера I X I с gkJ £ &'°°. Будем
говорить, что числовые матрицы Сп ~ (с$), с*3' ~ cn (gUJ) являются
270
Глава IV
коэффициентами Фурье матрицы G. Последовательность матриц
{Сп} растет медленно, т. е. существует такое целое число ρ ^ 0,
что г)
lim |ПГ"|СВ| = 0. (9)
Ι η | ->°°
Обратно, если двусторонняя последовательность числовых матриц
{Сп} растет медленно, то существует единственная матрица
распределений G = (gh:i), gkJ 6 с^'00, коэффициенты Фурье которой
равны Сп.
Немедленно проверяется, что для G = (ghj), ghj 6 @*'°° и / 6
6 (&'°°)ι имеет место равенство
Cn(G*f) =2nCn(G)cn(f). (10)
Предложение 2 справедливо и для операторов U: (οΡ°°)ι ->-
-^(^°°)ί· скалярное распределение г из условия (б) заменяется
матрицей распределений R = (гю), а условие (г) — следующим
условием:
(г') Для всякого целого η подпространство ψ*η инвариантно
относительно оператора U, т. е. существует такая числовая матрица
Ап, что
Uceint=Anceint.
Кроме того, если выполнено условие (г'), то матрицы (2π)_1 Αη
суть коэффициенты Фурье матрицы распределений R.
§ 4. Ограниченные распределения
1. Обозначим, как обычно, через L1 пространство суммируемых
(по Лебегу) функций на R1 и через L°° пространство существенно
ограниченных измеримых функций. Пусть £D'Li — пространство
равномерно непрерывных функций φ: R1 ->- С1, удовлетворяющих
условию φ, Dq> £ L1; 3™i, m = 2, 3, . . .,— пространства функций
φ: R1 -+C1, обладающих т — 1 обычными производными, причем
Ζ)?η-1φ абсолютно непрерывна, a DJy £ L1, 0 ^ /'^ т; ЗЬЪ. (будем
иногда писать короче £DLi) — пространство бесконечно
дифференцируемых функций, все производные которых принадлежат ΖΛ
Для единообразия обозначений будем писать иногда Σΰ\χ вместо ΖΑ
В пространстве 3)™\, т < °°> введем норму
||ф||т= max \\D\{t)\dt для φ6^,
а в ЗЪ- — локально выпуклую топологию, определяемую
семейством норм |Н|т, га = 0, 1, 2, . . . .
J) В соответствии с выбором евклидовой нормы для векторов норма числовой
матрицы С равна положительному корню из наибольшего собственного значения
матрицы С* С.
Приложение, § 4 27 f
Если φ £ £$™ι, то, очевидно,
t
ψ(ή= J Όψ (s) ds + с,
— сю
где с — некоторая постоянная. Отсюда следует, что lim φ (t) = с,
/->—оо
и, так как φ суммируема, получаем с = 0. Легко показать, что
и lim φ (t) = 0. Мы видим, что если φ £ <2Σ™ι+1, mo функции
/->+сю
Ζ>5φ (ί), 7=0, 1, . . ., т, стремятся к нулю на бесконечности и
t
D\(t)= \ Dj+\(s)ds, 7 = 0, 1, ..., т. (1)
— сю
Таким образом,
sup|Mp(f)|<||cp||m+1, 7 = 0, 1, ..., т. (2)
Предложение 1. Пространство 33, 0 ^ т < оо, 6α/^α-
#о#о, α iZ^' — пространство Фреше.
Доказательство. Для т = 0, когда <25?д = L1, наше
утверждение хорошо известно. Покажем, что если пространства
З)™! полны для т ^ q, то Згл1 также полно. Действительно, пусть
{срд} — некоторая последовательность Коши в З)^1. Тогда {срд}
является последовательностью Коши в З^ц и по индукции
существует такое φ £ ЗЪ, что <рд ->- φ в 3h-
Рассмотрим теперь последовательность абсолютно непрерывных
функций {Dqyn}n. В силу (2)
sup | D\n (t) - D\p (t) К || φ„ - φρ ||ς+1,
т. е. последовательность {Ό^φη}η поточечно сходится на R1 к
некоторой функции ψ. По предположению последовательность
производных {Dq+1q)n}n сходится в ΖΛ Следовательно, ψ абсолютно
непрерывна, {Dqq>n}n равномерно сходится к ψ на R1 и, {Dq+1q>n}n
сходится в L1 к ψ' *). С другой стороны, если срд —>-ср в iZ^i, то Dq<pn ->
*) Если последовательность абсолютно непрерывных функций {η^ } на
интервале / сходится в точке t £ Ι, \\'η £ L1 (I) и последовательность производных г\'п
сходится в L1 (I), то последовательность {ηη} равномерно сходится на I к
некоторой абсолютно непрерывной функции η на I и г\'п ->■ η' в L1 (/). Действительно,
пусть ζ — предел последовательности г\'п в L1 (I) и
Ή (*) = *+J £(*)<**, k = limr\n(t).
t
Очевидно, η абсолютно непрерывна на /, и из равенства
' _ t
Άη (0=ηη W + j ηή (*)<**
7
272
Глава IV
->Dqcp в L1 и, как легко показать, ψ — Dqy. Отсюда вытекает,
что φ 6 ^гд1 и φ„ -^ φ в «^β1.
Пространство £$li метризуемо, так как его топология
определяется счетным семейством норм. Пусть {срд} — некоторая
последовательность Коши в £&li- Тогда {срд} является
последовательностью Коши в любом ^й, т < оо, а значит, существует gm ζ i$£i,
такое, что lim φη = ξ7η в 3)Ъ--> т <С оо. Отсюда сразу следует, что
ξο = ξι = · · ·»
значит, ξ0 6 3>ΐλ и φη ->Ίο Β 3>Ъ: Следовательно, £$Ъ. является
пространством Фреше.
Предложение 2. Пространство 3) (и тем более
пространство Л)т) плотно в 3)™\, Ό ^ /тс ^ оо. Топология в Зт тоньше, чем
топогия, индуцированная из £$ι\.
Доказательство.. Пусть {рп} — дельта-образная после
довательность (см. § 1), φ ζ Зи. и
<Ы*) = (<Р*Р*)(0 = S q>(s)pn(t — s)ds.
— сю
Функции срд, очевидно, бесконечно дифференцируемы
(носители их, вообще говоря, не компактны). Так как свертка двух
суммируемых функций является суммируемой функцией, то функции
Я'фд = ф*(Я'рд)> 7 = 0, 1, 2, ...,
суммируемы, значит, срд £ £ΰ™\>
Покажем, что срд —>- φ в S)f\. Из равенств
4>n(t) = J q(t — s)pn(s)ds, φ(ί)= J 4>(t)pn(s)ds
~εη - ~гп
следует, что
ΙΙφ*-φΙΙο= J I ί [φ(ί-*)-φ(*)]ρ*(*)ώ|Λ<
-oo ~&η
< J df J I φ (t — s) — φ (t) | p„ (5) cb,·
следует, что
t
Ι η W -% (OKI *-nn (0 M-|l ζ Μ-ηίιΜ !«**«
т. e. ηη -> η равномерно на /. Так как η' = ζ, то η^ -►· η' в Ll (I).
Приложение, § 4
273
и так как можно поменять порядок интегрирования, то
IIφΛ — φΙΙο< ) pn(s)ds j \<f>(t — s) — <p(t)\dt. (3)
Пусть η > 0 произвольно. Поскольку пространство £D°
непрерывных функций с компактным носителем плотно в L1, то существует
функция ξ ζ 3°, для которой || η — ξ||0 < η/3. Из того факта, что
оператор сдвига т8 является изометрией в L1, вытекает, что
-f-OO
1 | φ (t — s) — φ (t) I ds= ||τ5φ — φ ||0 < ||τ8φ — τ5ξ ||0 +
— οο
-f-oo
+ ||τ5ξ-ξ||0 + ||ξ-φ||ο<|]+ j Ι &(*-*)-ξ
(t) I d*.
Так как ξ — непрерывная функция с компактным носителем, то
существует α (η) > 0, такое, что
ί
|ξ(ί_5)_ξ(ί)|Λ<|. для |*|<α.
Мы заключаем, что ||ср„ — φ||0 < η для η ^ TV (η), где TV > 0 —
такое целое число, что гп <С а для тг > N. Следовательно, срл —>-φ
в ΖΛ Из равенства
вытекает, что DJ<pn ->Z>jcp в L1, а, значит, срд -> φ в iZ5™i.
Таким образом, любую функцию φ £ <2Щ можно сколь угодно
хорошо аппроксимировать в 3™\ функциями из 2)Ъ·· Легко видеть,
что и любую функцию ψ ζ ЗЬЪ- можно сколь угодно хорошо
аппроксимировать в 3li (и тем более в 3™ι) функциями из £&.
Действительно, пусть функция α £ £D такова, что a (t) = 1 для t ζ [ — 1, 1],
α (t) = О для ί (£ (—2, 2). Положим
Мр= max sup \DJa(t)\, ρ = О, 1, 2, . . .,
и ψΛ (t) = α (f/и) ψ (ί). Очевидно, ψ„ 6 <25 и Dv^n (t) -^£>ρψ (ί) на й1
(даже равномерно на каждом компакте). В то же время
ρ
I D^n (t) I < 2 ^C* I (Яр->а) (Aj | D^ (ί) | <
7=0
Ρ
<Μρ2^^ρΐζ)7ψ(ί)ΐ'
7=0
274
Глава IV
Из теоремы Лебега о мажорированной сходимости заключаем, что
Dv\pn -^Ζ)ρψ в L1, ρ = 0, 1, 2, . . . . Следовательно, ψ„ -^ψ в 3li-
Последнее утверждение предложения 2 очевидно.
2. Обозначим через JF/m сопряженное к £$™ι, наделенное сильной
топологией. Очевидно, J?'m, m < оо, есть банахово пространство
с нормой
II/L = sup |<φ, /)| для φ6^?ι.
<pe<2>£ill<pl!m<i
Сужение всякого функционала / £ JF'™, га < оо, на i^£\+1
принадлежит J?'m+1, и / вполне определяется своим сужением, ибо 3)
(и тем более З)™!1) плотно в 3™и Оператор сужения устанавливает
алгебраический изоморфизм между 38'т и некоторым
подпространством в З8'т+1, так что мы можем считать JF'm cz 38,m+1.
Непосредственно проверяется, что если / £ J3'™, то ||/||m+i ^11/
Последовательно, топология в JF'm тоньше, чем индуцированная из
J$'m+1. Операто-р сужения устанавливает алгебраический
изоморфизм между 38'т, т < оо, и некоторым подпространством в 38'°°,
так что можно считать 38mr cz JF'°°. Топология в JF'm тоньше, чем
индуцированная из 38'°°.
Пусть / £ JF'°°. Тогда найдется такая окрестность нуля °11 в Зьи
что
| (φ, /) К 1 для φ £41.
Очевидно, существуют такое целое число р^Ои такое Ъ > О, что
множество
{<р1<р€з£., ΙΙφ||Ρ<6}
принадлежит °IL. Отсюда немедленно следует, что / непрерывна
на £В™1, наделенном топологией, индуцированной из 3&\χ. Так как
£$li плотно в <25£ι, то / 6 J?'p. Таким образом, мы доказали
Предложение 3. 98'™ = [) 38,т.
Из предложения 2 следует, что сужение на £Dm некоторого
функционала /6 38гт определяет распределение в £D,m1 причем / вполне
определяется своим сужением. Следовательно, пространство З8'ш
можно отождествить с некоторым подпространством пространства
З'т распределений порядка ^.т. Элементы пространства J?'°°
называются ограниченными распределениями. Заметим, что 38'° является
сопряженным к пространству 3ΰ\χ = L1 и, значит, JF'° = L°°.
Предложение 3 показывает, что всякое ограниченное распределение
имеет конечный порядок.
Из (2) немедленно вытекает, что %,т cz 38'm+1. Таким образом,
любое распределение с компактным носителем ограничено. Мера
Дирака δ принадлежит JF'1 (но, очевидно, δ $ 38'°).
Приложение, § 4
275
Так как JF'° = L°°, то любая ограниченная в обычном смысле
функция ограничена и в обобщенном смысле. Покажем, однако, что
существуют бесконечно дифференцируемые функции,
неограниченные в обычном смысле, но ограниченные в обобщенном смысле.
Если / £ L1, то в силу (2) для φ 6 3) имеем
-|-oo -f00 . +°°
1<<р,/>1 = 1 \ φ(0/(0л|< J |φ(0Ι/(0ΙΛ<ΙΙφΙΙι \ \fW\dt,
— оо —оо —оо
а, значит, / ζ J3'1. Таким образом, L1 cz 38'г.
3. Рассмотрим* теперь мультипликаторы в пространствах J?'m.
Обозначим через $'г пространство абсолютно непрерывных
функций φ: R1 -+С1, таких, что φ, Ζ>φ 6 L°°. Пусть 38т, πι = 2, 3, . . .,—
пространство функций φ: В1 -^С1, обладающих т — 1 обычными
производными, причем 1>т-1ф абсолютно непрерывна, a DJq> £ L°°,
О ^С j ^. πι; 38 °° — пространство бесконечно дифференцируемых
функций, все производные которых принадлежат L°°. Иногда мы
будем пространство L°° обозначать через 38°. В 3?т, т < оо,
введем норму
|||cp|||m= max ess sup | Ζ)7φ (t) | для cp6i?m,
а в JF°° — локально выпуклую топологию, определяемую нормами
|||-|||m. Заметим, что 38'° = L°° = 38°, причем нормы совпадают.
Легко видеть, что для α £ i?m, φ £ 3™ι, 0 ^ πι ^ оо, имеет
место включение αφ £ £$™ι и что билинейное отображение (α, φ) ->-
->αφ произведения 38т X £ΰ™ι в ЗЪ- непрерывно. Произведение
а/ распределения / £ i?'m на функцию α ζ J3™ можно,
следовательно, определить обычным образом: распределение α/ £ i?'m задается
равенством
(φ, α/) = (αφ, /> для φ6«2φ·
Таким образом, функции из 38т являются мультипликаторами
в З8'т. Легко показать, что для т < оо билинейное отображение
(а, /) ->а/ из 38т X ^'т в 38,ш непрерывно. Для πι = оо это
билинейное отображение является во всяком случае раздельно
непрерывным.
Дифференцирование и сдвиг в !$'т определяются обычным в
теории распределений образом и имеют обычные свойства. Если/ £ З8'т,
то Df £ i?'m+1, ибо оператор дифференцирования распределений
из 38пп является сопряженным к оператору —D: З)™?1 ->Jfi.
Заметим, что для α £ i?m+1, / ζ JF'm справедлива обычная формула
Ζ> (α/) - (Ζ?α) / + a (£>/).
Оператор сдвига есть алгебраический и топологический
изоморфизм 3$гт на !$'т (для га < оо это даже изометрия, ибо сдвиг
является изометрией в 3)™ι).
276
Глава IV
4. Дадим теперь несколько характеризаций ограниченных
распределений. Для простоты изложения введем предварительно
пространства Лш\ пространство <Д0·— это пространство мер с
компактным носителем; Л1 — пространство функций ограниченной
вариации с компактным носителем; Лт, т = 2, 3, . . .,— пространство
функций а с компактным носителем, обладающих т — 2 обычными
производными, причем Dm~2a абсолютно непрерывна, а Вт~га есть
функция ограниченной вариации; Л°° — это 3. Из результатов
§ 1 гл. III следует, что если α £ Лт+1, то Da £ Лт.
Лемма 1. Пусть т, q — целые числа, 0 ^ т, q < оо, и
а 6 Лт+Я. Тогда а'*/ 6 ^q для любого f £ ^'ш, и оператор f ->
->а#/ из 9&'т в 3§q непрерывен г). Если α ζ 3, то а*/ £ J?°° для
любого / £ i?'°°, u оператор / ->а^/ из i?'°° β JF°° непрерывен.
Доказательство. Как известно (см., например, [18]),
если μ, ψ 6 ^Λ то μ·*-ψ £ L1 и
ΙΙμ*Ψ llo< II μ Но IIΨ Но;
аналогично если μ — суммируемая мера на R1 и ψ £ L1, то μ -^ψ 6 L1 и
ΙΙμ*ΨΐΙο<ΙΙΨΐΙο 5 Ж·
— оо
Пусть теперь μ £ ^m. Поскольку свертыватель μ имеет
компактный носитель, наша свертка совпадает с обычной 3' — 3' -
сверткой. Поэтому для φ £ L1 имеем
β'(μ*φ)==(Ζ^μ)*φ,
а, значит, μ*ψ ζ_ 3™ι. При этом существует такое М>0
(зависящее, может быть, от μ), что
||(0'μ)*φΙΙο<Λ*ΙΙφΙΙο для фб^1, 0<7<7и,
т. е. || μ*φ ||m ^ Μ || φ ||0 для φ 6 L1. Если μ £ 3, то для любого
целого га ^ О
II μ*φ |К || μ ||m || φ Но при φ £ L1.
Предположим сначала, что q = О, так что а £ Ат. Из сказанного
выше следует, что оператор U: L1 -*3™1, £/φ = α*φ непрерывен.
Отсюда вытекает, что сопряженный оператор ιϋ: $ηη ->- L°° также
непрерывен. Для φ £ 3), f 6 $'т имеем
<ср, *£//> = (САр, ^> = (ά*φ;/>
х) Здесь под α & / понимается обычная 3)' — ^'-свертка, где свертыватель а
имеет компактный носитель.
Приложение, § 4 277
и, учитывая формулу (5) § 1, получаем
<ср,'£//> = <φ, α*/>.'
Следовательно, сопряженный оператор 3&'т —^L°° совпадает с
оператором / ->аж/ свертки с а. Таким образом, для q = О имеем
а*/ 6 L°° при любом / £ J?'m, и оператор / ->*α#·/ из JF'm в Z>
непрерывен.
Пусть теперь g > 0. Тогда DJa 6 *^η\ 0 < /^ д. В силу
сказанного выше (DJa) ж/ £ L°° и операторы / -+(DJa)*f из ?%,т в Z>,
0 ^ j^С д, непрерывны. Так как
то, очевидно, а ж/ 6 ^?д и оператор / -να*/ из J?'rn в J?g
непрерывен.
Наконец, пусть а^З). Тогда оператор φ -να* φ из L1 в <2*£Ί
непрерывен и сопряженный оператор /-να*/ из JF'°° в L°° также
непрерывен. Заменяя α на Z)ga, g — 1, 2, . . ., немедленно
получаем, что а*/ 6 i?°° и оператор / -να*·/ из JF'°° в i?°° непрерывен.
Легко проверить, что если α ζ 3 и / £ i?', то
ll|ce*/|||r/<||a||m+,||/||m (4)
для любых га, g < оо.
Предложение 4. Пусть q ^ 0 — г^ое число и f ζ 3)'.
Следующие утверждения эквивалентны:
(а) /6 .^'ш (где т < оо);
(б) а*/ 6 SSq для любого а 6 Лт+Ч;
(в) существуют такие ζ ζ 3?° и η £ i?°°, что / = Όπιζ -|- η.
Доказательство. То, что (а) -=£> (б), вытекает из
предыдущей леммы.
Покажем, что (б) =ф (в). Действительно, по формуле (6) § 1
f = Dm+q{am+q*f) + lm+q*f. (5)
Так как ат+9 6 ^m+q, το am+g*/ 6 ^g, а, значит, функция ζ =
= Dq (am+r/*/) принадлежит i?°. Далее, поскольку £m+r/ 6 <®>
то, функция η = lm+q #/ бесконечно дифференцируема. Так как
D%m+q £ ^ϊ?1+(? для любого целого /, то функция
D\ = (DJlm+q)*f
принадлежит i?g, а, значит, η £ JF°°.
Что касается импликации (в) =^> (а), то достаточно заметить,
что ζ £ JF° влечет ϋ™ζ £ J3'771, ибо оператор дифференцирования
Dm распределений из JF'° = J30 является сопряженным к оператору
дифференцирования ( — i)m Dm: ЗЪ -+3°Li.
278
Глава IV
Будем говорить, что распределение / £ Σΰ' является
^-ограниченным, если / ζ &'°, т. е. / £ L°°; будем говорить, что / £ Σΰ'
является г-ограниченным, 1 ^ г < оо, если / ζ i?'r и / (£ JF'7'""1. Из
предложения 3 следует, что любое ограниченное распределение является
г-ограниченным для соответствующего г.
Предложение 5. Производная r-ограниченного
распределения, г ^ 1, является (г + \)-ограниченным распределением.
Доказательство. Если / r-ограничено, г ^ 1, то,
очевидно, Ц/ £ JF'r+1. Остается показать, что Df § 3¥'г. Из формулы
(6) § 1 следует, что
f = Dr~i(ar*(Dj)) + lr*f.
Если бы Ζ>/ £ i?'r, то по лемме 1 мы имели бы ar^(Df) £ JF'° и,
значит, / £ JF'r-1, что противоречит r-ограниченности распределения /.
Замечание. Функция / (t) = sin el бесконечно
дифференцируема и ограничена в обычном смысле, так что / £ i?'°. Ее
производная Df неограничена в обычном смысле, а так как Df £ 38'1, то
Df 1-ограничена. Применяя предложение 5, заключаем, что
функция Drf является r-ограниченной. Следовательно, для любого г ^ 1
существуют бесконечно дифференцируемые функции, г-ограниченные
в обобщенном смысле и неограниченные в обычном.
Предложение 6. Если f £ $'°°, то множество сдвигов
{rsf}s£№ ограничено в 3' г).
Доказательство. В силу леммы 1 для любого α £ 3)
имеем а*/£^?°°, так что и α */£ i?00. Согласно равенству (4)
из § 1,
(а * /) (s) = {a(t-s),f (ή) = <τβα, /) = (α, τ_5/>.
Отсюда следует, что сдвиги {ts/}s№i образуют слабо ограниченное,
а значит, ограниченное множество в 3'.
5. Укажем теперь способ аппроксимации ограниченных
распределений ограниченными функциями.
Пусть 381 — подпространство функций φ £ SSX с непрерывной
производной и £D'li — сопряженное к J?1, наделенное сильной
топологией. Будем обозначать через (φ |/) значение функционала
/ 6 3)и на функции φ £ $}хш Всякой суммируемой на R1 функции /
сопоставляем функционал /, определяемый равенством
~ +°°
(φ|/)= J <p(s)f(s)ds для φΕ^1. (6)
*) Можно показать, что и обратно, если множество сдвигов некоторого
распределения f £ 3)' ограничено в J25\ то / £ Μ'°° [68]. Однако этот факт в
дальнейшем не используется.
Приложение, § 4
279
Очевидно, / £ «25й-. Пусть δ — функционал, определенный формулой
(φ β) = φ (0) для φ 6 i?1.
Очевидно, δ ζ <25£ι.
Если {ρ„} — дельта-образная' последовательность (см. § 1), то
рп -^δ в <25£ь Действительно, для φ £ J?1 имеем
1<<Р, 6 —ρΛ>| = |φ(0) — J φ(*)ρ„(*)^ί = Ι J [φ(0)-φ(5)]ρΛ(*)ώ|<
<ε„ sup |Ζ)φ(ί)Ι J рд(5)& = 8д sup |Ζ)φ(ί)|.
Обозначив норму в «25li через |||·|||ί, получим
III δ— рп |||ί= sup Ι (φ, δ — рд)|<8д.
ΙΙΙφΙΙΙΐ<1
Введем билинейное отображение «25& X J?'m->-J?'m+1, которое
также будем называть сверткой, но обозначать будем символом ®
в отличие от «обычной» свертки распределений. Напомним прежде
всего, что, согласно лемме 1, для / 6 $'т и φ £ <25 имеем φ*/ 6 SS°°
и, согласно (4),
ΙΙΙφ*/ΙΙΙι<ΙΙ/ΙΙ«ΙΙφΙΙη.+ι·
Для g 6 3>'L· и / 6 $}'т определим функционал g®/ на £ΰ формулой
(ф,«?®/> = <9*/1^>. (7)
Имеем
ι<φ,^®/> Kin «?ш; in φ*/ιιΐι< in «?iii;n/Lii9iu+i.,
Отсюда следует, что функционал g®/ непрерывен на пространстве
25, наделенном топологией, индуцированной из «25™ι+1. Так как «25
плотно в 3)1{-\ то g®f e &'m+1. Далее,
ll^®/llm+i<lil^llliH/llm,
а, значит, отображение (g, /) ->-g®f из ИЬ'Б. X i?'m в $?'т+1
непрерывно.
Пусть а 6 <25 и / g i?'m. Из (6) и (7) вытекает, что для φ 6 SB
(φ,α®/) = (φ*/|α)= } α (f) (φ */) (t) dt = (α, (φ*/)")·
— oo
Учитывая формулу (5) из § 1 и тот факт, что α*φ = φ* α, получаем
(φ, α ® /> = (φ * af /> = (α * φ, /> =
= (φ, ά*/> = (φ, (α*/)ν) = (φ, α*/).
280 Глава IV
Так как &) плотно в 3™ιι, то
α @ / = α Ж /.
Для φ £ 3) и / е %'ш имеем
(φ,δ®/> = (φ*/|δ) = (φ*/)(0).
По формуле (4) из § 1
(φ */) (ί) = (φ (t - 5), /(*)> = (φ (t + s), / (*)>,
значит, (φ*/) (0) = (φ (s), / (s)) и, следовательно, б®/ = /.
Поскольку рд -+Ъ в JSft, то рд®/ -^/в i?'?,l+1. Но как мы видели
выше, рд®/ = рд®/. Итак, мы доказали
Предложение 7. Если / £ i?'771 (где т конечно), то
Из этого предложения следует, в частности, что 38 °° плотно
в 3&'°°.
6. Рассмотрим распределение / = 2 S*A » ГДе последователь-
k h
ность {ife}_oo<fe<+c5o строго возрастает, lim tk = —- оо и lim £ft —
ft-> — оо ft—»~]-oo
= + оо. При этих условиях, как было показано в § 1, ряд
(безусловно) сходится и его сумма является мерой. Покажем, что мера /
является 1-ограниченной, если выполнено одно из условий
(а) ряд 2 \sh | сходится;
ft
(б) существуют такие λ, I > 0 и такое целое N > 0, что \ sk | ^ λ,
— оо < /с < + оо, и любой интервал действительной прямой
длины I содержит не больше N членов последовательности {tk}.
Действительно, по формуле (6) § 1 имеем
значит, достаточно показать, что αϊ*/ и ξι*/ принадлежат i?°. Но
(оч*/) (Г) = Σ**αι (* ~ h), (li*f) (t) = 2sftgi (* ™ **)-
ft ft
Если выполняется условие (а), то для £'£ Л1
Ка,*/)(*)К2Ы, ΐ(ξι*Λ(θΐ<Λ/Σΐ**ι.
ft ft
где Μ — мажоранта функции | ξι |. Следовательно, αϊ #■/, ξι #■/ £ J?°.
Предположим теперь, что выполняется условие (б). Так как
аь ξι имеют компактные носители, то существует такое целое К > 0,
что для любого t £ R1 самое большее К членов последовательности
Приложение, § 5 281
{^ — £fc}-3o<A<+oo попадают в носитель αϊ или в носитель ξι. Поэтому
Ι («ι */) (О К ΣI * 11α* (* - Ь) I < ffλ'
ft
I (Ь * /) (0 Κ ΣI «ft 11 ii (*- i01 < ΚΜλ,
ft
и, значит, α!*/, ξι*/6 J?°.
§ 5. Почти-периодические распределения
1. Пусть 38 ™р — подпространство функций φ £ J?™, сдвиги
которых {Thq)}h£Ri образуют относительно компактное в 38 т множество.
По теореме Бохнера функции из 38 р^, 1 ^ т <С оо,
почти-периодичны в смысле Бора, вместе со своими первыми т — 1
производными.
Через 38 ™v обозначим пространство функций,
почти-периодических в смысле Бора вместе со всеми своими производными.
Будем говорить, что распределение f ζ 38'°° почти-периодично.
если сдвиги {Thf}f^Ri образуют относительно компактное множество
в 38'°° *). Пространство всех почти-периодических распределений
будем обозначать через 38'р™ (иногда через 38 рр).
Рассмотрим пространство 38 v°^ поближе. Пусть 38'PZ, m < °°,—
подпространство распределений / £ 38,т, сдвиги которых {т^}п£ю
образуют относительно компактное множество в 38'т. Очевидно.
38ν™ cz 38Р^Ь1 и 38'р™ cz 38 р™. Заметим, что если φ — функция
Бора, то φ 6 38νν
Подпространство 38'vnv\ m < оо, замкнуто в 38,т 2).
Действительно, если /η £ 38'ρ™ и fn -^/ в 38пп, то для любого ε > 0
существует целое число Ν (ε) > 0, такое, что || / — fN \\т < ε, а, значит,
||τ/ι/ —^/i/iv||m<e для Ιιζϋ1.
Отсюда следует, что, каково бы ни было ε > 0, множество сдвигов
{Thf}h£Ri обладает относительно компактной ε-сетью, значит, / ζ
Пусть α £ 3. По лемме 1 из § 4 оператор свертки / —>- а ■#■/ из 38'Л
в 38°° непрерывен. Отсюда следует, что для f£38'v°v" сдвиги
К (ос */)}ft6fii = {α * (тЛ/)}лед1
образуют относительно компактное множество в 38 °°, т. е. а*/£
ζ 38™ν. Предположим дополнительно, что распределение / является
х) Можно показать, что распределение f d 3)' является
почти-периодическим тогда и только тогда, когда отображение h -*· xhf из В1 в &' почти-перио-
дично [68].
2) Это утверждение справедливо и для т—оо.
282
Глава IV
^-ограниченным. Согласно предложению 7 из § 4, рп #/ -^/ в J?'m+1.
Поскольку .«^+1 замкнуто в i?'m+1, то / 6 ^Рр+1. Таким образом,
мы доказали
Предложение 1. (а) Если почти-периодическое
распределение f т-ограничено, то f £ i?p™+1;
(б) #■? = и &™.
0^т<оо
(в) Пространство 3¥™р плотно в J?p°£.
Так как оператор дифференцирования распределений D: З8'т ->-
_^^j/ш+1 непрерывен и перестановочен со сдвигом, то производная
всякого, почти-периодического распределения является
почти-периодическим распределением. Действительно, из результатов § 2
следует, что периодическое распределение / представимо в виде
где функции ζ ζ ί?°, η ζ ί£°° периодичны. Очевидно, ζ, η 6 ^ρ°ρ,
значит, распределение / является почти-периодическим.
Если α £ i?™p, / 6 ^?р™, то α/ 6 iFp™, ибо, как было показано
в § 4, билинейное отображение (а, /) -^а/ из $т χ $?'т в 9&пп
непрерывно (для т <С оо).
Предложение 2. Пусть q > 0 — г/елое число и f ζ Sb',
Следующие утверждения эквивалентны,
(а) / 6 J?p™ (где ^ конечно)]
(б) а*/ 6 ^?р для любого а 6 «^m+<?;
(в) существуют такие ζ £ J?pp, η 6 ^~р» *^°
Доказательство. Если / ζ i?p™· и а £ ^m+gr, то по
лемме 1 § 4а*/£ $?q. Оператор свертки / -^а*/ из <Ш'Ш в J?g
непрерывен, поэтому сдвиги
{τΛ (α * У)}лед* = {α * О^ЛЬед1
образуют относительно компактное множество в i?g, значит, α*/ζ
ζ J?pp. Таким образом, (а) =^> (б).
Предположим теперь, что выполняется условие (б). В силу
предложения 4 § 4 / можно представить в виде
где ζ ζ J?°, η £ 'J?°° задаются формулами
Из условия (б) следует, что ζ £ 3?ρΡ· Но так как £>т+д 6 <2^> т<>
3)\ 6 J?pp при любом целом / ^ 0, значит, η £ J?p°p. Таким
образом, (б) ==> (§).
То, что (в) =Ф (а), очевидно.
Приложение, § 5 283
Будем говорить, что распределение / является О-почти-периоди-
ческим, если / £ .3?'°, и г-почти-периодическим, 1 ^ г < оо, если
/ 6 $'vv u fU&pp1' Следующее предложение доказывается
совершенно аналогично предложению 5 из § 4.
Предложение 3. Производная r-почти-периодического
распределения, г ^ 1, (г + \)-почти-периодична.
2. Мы доказали, что всякая функция Бора является почти-
периодической и в смысле теории распределений, более точно,
является О-почти-периодической. Покажем, что S1-no4mu-nepuodu-
ческие функции в смысле Степанова х) принадлежат .^?Рр.
Действительно, пусть локально суммируемая функция / является
^-почти-периодической. Из формулы (6) § 1 следует, что
f = D(at*f) + ξ,*/,
значит, достаточно показать, что αϊ*/ и ξι*/ являются функциями
Бора.
Так как ξι ζ£&, то функция ξι*/ бесконечно дифференцируема
и, значит, функция D (о^ */) локально суммируема. В силу леммы 2
§ 1 гл. IV αϊ*/ есть функция, абсолютно непрерывная на любом
компактном интервале. Пусть к > О — такое целое число, что
αϊ (t) = О для t ^ к. Положим
М= sup |αι(ί)|.
Пусть ε > 0 произвольно. Поскольку //^-почти-периодично,
существует такое Ζ (ε), что в любом интервале действительной прямой
длины I найдется такое ω, что
ί + 1
sup |/(5+ω)-/(*)|ώ<*
гея1 J kM
t
Поэтому
k
Ι («ι *Λ (t + ω) - (αϊ */) (f) I = I $ at {s)f(t + ω - s) -
о
k k
— Ι α ι (s) / (t — s) ds Κ Μ J | / (t -f- ω — s) — / (t — 5) | ώ =
о о
f ft i—7+1
= M \ \f(s+v)-f(s)\ds=M 2 J |/(*+ω)-/(*)|ώ<β.
ί-ft 7=1 ί-7
Следовательно, αϊ*/ является функцией Бора. Аналогично можно
показать, что и ξι*/ является функцией Бора. Значит, /£
за
1 pp.
х) См. примечание на стр. 149.
284
Глава IV
Заметим, что из сказанного нами следует большее: любая S1-
почти-периодическая функция является суммой некоторой функции
из 38 ™v с производной от некоторой абсолютно непрерывной
функции Бора.
3. Пусть
f(t) = sin , где g(t) = 2 + cos t -\-cosv2 t.
8(t)
Очевидно, g (t) > 0 для всех t £ Rl. Можно показать [45], что
функция / ^-почти-периодична и не является функцией Бора.
Следовательно, / £ i?pp. Поскольку / непрерывна и не является функцией
Бора, то / (£ J?p°p, значит, / 1-почти-периодична. Так как /
бесконечно дифференцируема, то из предложения 3 вытекает, что функция
Z)r_1/ является r-почти-периодической. Таким образом, каково бы
ни было г, существуют бесконечно дифференцируемые функции,
r-почти-периодические в смысле теории распределений.
Этот пример показывает в то же время, что утверждение (а)
предложения 1 не может быть усилено: действительно, 1-почти-перио-
дическая функция / является О-ограниченной.
§ 6. Один класс почти-периодических распределений
1. Пусть {tk}-<x<k< + *> -- строго возрастающая
последовательность вещественных чисел с lim tk = —оо, lim tk = +°°
h—> — оо /?—>--j оо
и {sft}_3o<ft< + 3o — некоторая последовательность комплексных чисел.
Как было показано в § 2, эти предположения обеспечивают
сходимость ряда 2 sk$tb в «25'°· Установим условия (на последователь-
k h
ности {th}, {sk}), при которых распределение 2 sk$tb будет
почтите k
периодическим.
Для целых /с, j положим 1{ = tk+l ~— tk. Немедленно
проверяется, что
h+h — h = tk+j — tk, tk — tk = tk+h. (1)
Пусть η > 0 и δη — множество действительных чисел ω, для
которых существует хотя бы одно целое число кш такое, что
ΰ£ω-ω|<η, -οο<Α< + οο. (2)
Пусть Ιιω — множество чисел /&ω, удовлетворяющих условию (2)
(для фиксированных η и ω) и Нц — объединение множеств ίιω,
ω ζ Ωη. С помощью первой из формул (1) легко доказывается
Приложение, § 6
285
Лемма 1. Если h является г\-почти-периодом, общим для всех
последовательностей {ti} -«<ft<+oo, / = 0, ±1, ±2, . . ., то tl* £ Ωη
и h £ Нц; если h £ ϋΓη, mo h есть 2г\-почти-период, общий для всех
последовательностей {t}k} -οο<&<+οο, / — О, +1? ±2, ....
Лемма 2. Пусть Ω d Ωη, Ω =^ 0 и Η ~ такое
подмножество объединения множеств Ηω, ω ζ Ω, что Η ί) ηω Φ 0 для всех
ω ζ Ω. Множество Ω относительно плотно *) тогда и только тогда,
когда множество Η является относительно плотным.
Доказательство. Целые числа из Η можно
расположить в строго возрастающую последовательность {/гг·}^. Так как
последовательность {tk}k строго возрастает, то последовательность
Ω' = {t^} обладает тем же свойством. Немедленно проверяется,
что если одно из множеств Ω, Ω' является относительно плотным,
то и другое таково же. Следовательно, достаточно доказать, что
Ω' относительно плотно тогда и только тогда, когда Η относительно
плотно. Мы докажем это, если покажем, что
1) lim ht = —оо тогда и только тогда, когда lim t^ =
г—>■ — оо г—> — оо
- —оо;
2) lim ht ■-= + °° тогда и только тогда, когда lim tl\} —
г-Η оо г->-| оо
= -Ьоо;
3) последовательность {/г^+ι — ^h ограничена тогда и только
тогда, когда ограничена последовательность {ί01/+1 — Vh·
Утверждения 1), 2) немедленно следуют из свойств
последовательностей {tk}kl {hi}i, {^о'Ь- Остается доказать утверждение 3).
С помощью второй из формул (1) получаем
ι Оог+· - Й - 4'+'~Λ' ι=ι («о'+' - Άг) - ^ !Г4* ι=
= I (#,+* - #') - (ϊ-'ftV -1\) I < I 2% - to11 +11%Г -to1"11.
Применяя лемму 1, находим
I (ioi + l ~ ft) - /Ji + t-Ai I < 2η + 2η = 4η,
откуда в силу свойств последовательности {tk}k и вытекает
утверждение 3).
Из предыдущих лемм немедленно следует
Лемма 3. Следующие утверждения эквивалентны:
(а) последовательности {4}_эо<А< + эо, ; = 0, ±1, ±2, ....
равностепенно почти-периодичны;
*) Напомним, что множество В действительных чисел называется
относительно плотным, если существует такое I >» 0, что в любом интервале
действительной прямой длины I найдется по крайней мере один элемент из В.
286
Глава IV
(б) множество Нц относительно плотно для любого η > 0;
(в) множество Ωη относительно плотно для любого η > 0.
Приведем два примера. Предположим, что последовательность
{tk}-oo<k<+oo периодична с периодом р. Пусть ίξ = ω. Из равенства
t'u+p = tk, — оо < к < + оо, следует, что th+i+p — th+i = tk+p —
— tk и, значит, tk+ί = tk, так что ί% = ω, —оо < к < + оо. Так
как
т—1
ίΓ = 2 #+>„ Для m > 0
]'=0
и
m
*Г=~ 2 #+jp Для т<0,
то
Ί™ρ=ηιω для —оо</с, га< + оо. (3)
С помощью первой из формул (1) получаем
h+p — h = h+j — h = 0?
значит, последовательности (й}-оо<ь<+оо, j = 0, ±1, ±2, . . .,
периодичны с периодом р.
Пусть {λ^}^ — почти-периодическая последовательность
вещественных чисел, причем sup | Хк \ — а < 2-1, и пусть tk = к + kk.
к
Тогда
ίΛ + ι - h > 1 - 2α > 0,
и, следовательно, последовательность {tk}^00<k<+00 является строго
возрастающей, причем lim tk = —оо, lim ift = -f-oo. Пусть
h—>—оо fe—>-|-oo
/г — некоторый ε/2-почти-период последовательности {λ^}^. Для
любых целых /, к имеем
I h+h — fa I = I (hk+j+h — ^k+j) — (hk+h — Kk) I < ε,
значит, последовательности {^}_оо<^< + ^, / = 0, ±1, ±2, . . .,
равностепенно почти-периодичны.
Лемма 4. Если последовательности {££}-«><&<+эо, / = 0,
+ 1, +2, . . ., равностепенно почти-периодичны, то для любого
I > 0 существует такое целое N (I) > 0, что в любом интервале
действительной прямой длины I найдется самое большее N членов
последовательности {tk}.
Доказательство. Пусть η = 1. По лемме 3 существует
такое ω £ Ωη, что ω — 1 > L Из неравенств ω > 1 и | £0« — ω | < 1
следует, что ~ί^ω > 0, значит, Ηω ^ 1. Положим N = /г0. Пусть
Приложение, § 6
287
(α, α + Ζ) —г некоторый интервал действительной прямой и tko —
первый член последовательности {tk}, попадающий в интервал
(а, а + Z). Из неравенства \1\Q — ω | < 1 вытекает, что
*Λο+Λω > **о + ω — ί > **о + 1 > α + Ζ'
чем лемма и доказана.
Л е м м а 5. Предположим, что последовательности {?й}^^<ь<+°°>
7=0, ±1» +2, . . ., равностепенно почти-периодичны. Тогда для-
любого η > О существует такое L (η) > О, что для любого интервала
J длины L (η) найдутся такой подинтервал I cz J длины η м такое
целое число q, что
| tl — ω Ι < η для — оо < й < + °° > ω £ /. (4)'
Доказательство. По лемме 3 множество Ωη/2
относительно плотно. Следовательно, существует Li (η) >> 0, такое, что для
любого интервала J\ длины Li найдутся такое ωι 6 J\ и такое целое
число q, что
\~й— <>>ι\<γ, -~оо </с< +оо. (5)
Пусть L=Li+4in/ = (α, α + L) — некоторый интервал
действительной прямой длины L. Для интервала J\ = (а + η/2, α +
+ η/2 + £ι) длины Li существуют ωι £ Li и g, удовлетворяющие
условию (5). Возьмем / = (ωι — η/2, ωι + η/2). Тогда I a J w для
ω ζ Ι имеем
\~tl- ω К| Ц — ω! I + Ι Щ — ω |< η, — σο </c< + σο.
Л e μ μ a 6. Предположим, что последовательности { ^}_00</?<+00,
/ = 0, ±1, ±2, . . ., равностепенно почти-периодичны. Тогда для
любого η > 0 существует такое L (η) > 0, что для любого у,
О < γ < η, и для любого интервала J длины L (η) найдутся такие
целые числа q, т, что ту ζ J и
1~~й — ту | < η, —оо < к < + оо.
Доказательство. Пусть L (η) определено согласно
лемме 5, / — некоторый интервал длины L (η) и /, q выбраны для
интервала / согласно лемме 5. Очевидно, существует такое ω0 6 I,
что ω0 + у 6 I- Если ω0 не кратно у, то, прибавляя некоторое число,
меньшее, чем у, получаем ω = ту, кратное у, причем, очевидно,
ту £1.
Используя обычную технику нахождения общих почти-перио-
дов двух почти-периодических функций, установим следующую-
лемму:
288
Глава IV
Лемма 7. Пусть последовательности {^}_00<fe<+00, / = О,
±1, ±2, . . ., равностепенно почти-периодичны и функция Φ почти-
периодична в смысле Бора. Тогда для любого η > О существует
такое Ι (η) > О, что для любого интервала J длины Ι (η) найдутся
такое ω ζ J и такое целое число ηωι что
Ι ί> - ω |<η, | Φ (* + ω) - Φ (*) |< η (6)
я/ж всех целых к и всех t ζ R1.
Доказательство. Пусть L (η/2) выбрано согласно лемме
6. Из теории почти-периодических функций известно (см., например,
[13]), что существует такое L' (η/2) > 0, что для любого у', 0 <
<С γ' < η/2, и любого интервала /' длины L' найдется такое целое
число т!, что
ту' е'Г и | Φ (t + т'у') — Φ (t) |< -^> * 6 Д1-
Положим L" = max (L, L'). Тогда для любого интервала J" длины
L" и любого β, 0 < β < η/2, найдутся такие целые числа т, т!, q,
ЧТО ΤΤΐβ, Wl'β £ /" И
| Ϊ2 - /ιιβ |< i, | Φ (t + т'Р) _ φ (*) |< -1 (7)
при всех целых к и всех £ ζ R1. Так как
| ^β _ т'$ | = |Ш-Ш' | β < L\
то разности т — т' могут принимать лишь конечное число значений,
скажем пи 1 ^ i ^ р. Для каждого из чисел nt существуют тройки
{ть т[, qi), удовлетворяющие условиям (7). Эти тройки можно
выбрать произвольно, но в дальнейшем будем считать их
фиксированными.
Положим
λ = max I т'ф |, I = L" -f- 2λ.
Пусть / = (α, а + ϊ) — некоторый интервал длины I. Для подин-
тервала J" = (а + λ, α + λ + L") длины L" найдутся целые числа
т, т'', д, удовлетворяющие условиям (7) и условию ττιβ. га'β £ /".
Пусть ττιβ — ττι'β = τ^β, τ. е.
mfi — ττι'β = m$ — m[$
и, значит, т — mt = m! — т[. Положим ω = (т — т^) β, Ιιω =·
- q — #j. Очевидно, ω £/. С помощью второй из формул (1) полу-
Приложение, § 6 289
чаем, что для любого целого к
Γίϊω-ω| = |ίΓ*ί-ω| = |ί2Ι«{+,.-ω| =
= | t%_q. - tqkLq. - mp + m$ К
< I ~fk-qi - /ηβ Ι + I ?hLqi - m$ |< -Π + Л = η.
Далее, для ί ζ i?1 имеем
|Φ(ί+ω)-Φ(0Ι=|Φ(/ + (η»-ι»ί)β)-Φ(ΟΙ =
= ΙΦ (ί + (те' — mi) β) _ φ (ί) Κ
< ΙΦ (ί — miP + /η'β) —
-<b(t - m$)\ + \0(t) -Φ (t - m$)\ <
чем и завершается доказательство леммы.
Известно, что если функция Φ почти-периодична в смысле Бора,
то почти-периодична числовая последовательность { Φ (/c)}_00<fe<+00
(см. [13]). Следующая лемма является обобщением этого факта.
Лемма 8. Пусть функция Φ почти-периодична в смысле Бора.
Если последовательности { ^}_оо<^<+оо, j = 0, ±1, ±2, . . .,
равностепенно почти-периодичны, то числовая последовательность
{ Φ (th) }-oo<fe<+oo почти-периодична.
Доказательство. Пусть ε > 0 произвольно. Так как
функция Φ равномерно непрерывна на В1, существует такое η (ε) >
>> 0, что
Ι Φ (О - Φ (О |<| для *', t" e R1, \t' - t" \ < η.
Возьмем η < ε/2. Согласно лемме 7, множество Ω тех
действительных чисел ω, для которых существует целое число /&ω,
удовлетворяющее условию (6), является относительно плотным. Согласно лемме 3,
множество Η таких чисел /&ω, ω £ Ω, также относительно плотно.
Отсюда следует, что для любого целого к
| Φ (tk + hJ - Φ (th) I < Ι Φ (tk + hJ - Φ (th + ω) | +
+ | Φ (*ft + ω) - Φ (ίΛ) |< у + η < ε,
чем лемма и доказана.
290
Глава IV
Теорема. Для того чтобы мера 2 sh$th была почти-периодич-
k h
на (точнее, 2-почти-периодична), достаточно, чтобы
(а) последовательности {^}-оо<й<+оо, 7 — 0, ±1, ±2, . . ., были
равностепенно почти-периодичны;
(б) последовательность { sh}-00<k<i~oo была почти-периодична.
Если существуют такие θ > 0, λ > 0, что
t\>Q, 1^|>λ, -оо</с<+оо,
mo условия (а) и (б) и необходимы для того, чтобы мера 2 sh$th была
k h
почти-пер иодична. —
Доказательство. Для любой непрерывной функции φ
с компактным носителем положим Φ — (25ь^ )#φ, так что
k h
ф(*)=3*ьф(*-*л)·
и
Ввиду формулы (6) § 1 (с q = 2) и предложения 2 § 5
достаточность условий (а) и (б) для 2-почти-периодичности меры 25Л
k k
будет доказана, если мы покажем, что функция Φ почти-периодична
в смысле Бора для любой непрерывной функции φ с компактным
носителем. Итак, пусть условия (а), (б) выполнены и φ —
непрерывная функция с компактным носителем, supp φ cz [—α, α]. Положим
μ! = sup I sk Ι, μ2 = sup | φ (t) |.
ft t
Согласно лемме 4, существует такое целое Ν, что любой интервал
длины 2а + 1 содержит самое большее N членов
последовательности {tk}.
Пусть ε > 0 произвольно. Так как φ равномерно непрерывна
на R1, то существует η (ε) > 0, такое, что
|φ(0 -φ (О \<2^ν для *''гед1> I *'-*"!< л- (8)
Возьмем η < 2-1 и обозначим через Η множество целых чисел,
являющихся в одно и то же время ε(2μ2.^V)~1-πoчτи-πepиoдaми
последовательности {sk} и η-почти-периодами последовательностей
Ш-ооОк+оо, 1 = 0, ±1, ±2, . . . . Пусть Ω = {#; h 6 Я}.
Согласно лемме 2, множество Ω относительно плотно, ибо Η таково.
Следовательно, для установления того факта, что Φ является
функцией Бора, достаточно показать, что числа —~£j, h ζ Η являются ε-
почти-периодами для Ф.
Пусть t% 6 Ω и t ζ R1 фиксированы. Найдем явные выражения
для Φ (t) и Φ (t — £j). Предположим сначала, что t таково, что
Приложение, § 6 291
для некоторого индекса к
t-~t%-tkei-a-4,a + r]). (9)
Так как длина этого интервала <С 2а + 1, то он не может содержать
больше, чем N членов последовательности { t — t% — tk}k, т. е.
соотношение (9) выполняется не более, чем для N индексов, скажем
для к = i, i + 1, ♦ · ., i + I — 1; 1 ^ I ^ N. Из включения
supp φ d [—а, а] следует, что
φ (* - Φ = Σ**φ (* - *ί - **) = Σ**φ (* - *ί - **)·
k k=i
Далее, имеем
ф (t) = Σ%φ (* - h) = Σ**+*φ (* - **+*)·
fe ft
В последней сумме отличны от нуля могут быть лишь члены,
индексы к которых удовлетворяют условию | t — tk+h | ^ а. Так как
\tk - tf I < η,
т. е.
I h+h - ** _ *Л |< η, -оо < /с < +оо,
то при
I t — tk+h I < а
получаем, сложив последние два неравенства,
\t-~t*-th |<α + η.
Таким образом, если индекс к удовлетворяет условию | t—tk+h | ^
^ а, то
t — if — tk 6 I—a — η, α + η]
и к является одним из индексов ί, ί + 1, ..., J + Z — 1.
Следовательно,
Φ (Q = Σ*λ+λΦ (^ — *л+л) = Σ**+λΦ (* — h+h)-
k k=i
Таким образом, если t таково, что для некоторых индексов к
выполняется условие (9), то
ΙΦ (ί — ίο) — Φ (О I = I ^] Κψ (ί — ί? — ίΛ) — «fe+лФ (ί — ίΛ+Λ)] Ι =
Σ
*л[ф (t-to - h) - φ (t - th+h)] +
+ УхЬк — Sk+hl φ (t — th+h) |
k=i
292 Глава IV
<2j\Sb\\<p(t-%-tk)-<p(t-th+h)\ +
h=i
+ /j\Sh— sh+h | | φ (t — ih+h) I <
h=i
г+Z-l
< μι 2j Ι Φ (* - *o - h) - φ (t - tk+h) | + j .
ft=*
Полагая £' = £ — ?£ — th, t" = t — th+hl находим t' — t" =1^ —
— *J; учитывая (8), получаем | Φ (£ — Ц ) — Φ (t) | < ε.
Пусть теперь t £ R1 таково, что
t — ~tf — tk$ [—α — η, « + η]» —°° < к < +οο.
Тогда из сказанного выше следует, что
* — tk + h ί t—^> аЬ —°° < А < + °°,
и, значит, Φ (£ — ~tfy = Φ (£) = 0. Таким образом,
| Φ (* - Щ) - Φ (*) |< ε для * 6 Д\
откуда видно, что φ является функцией Бора и, следовательно, мера
2 5А 2-почти-периодична.
Докажем теперь вторую часть теоремы. Предположим, что мера
Σ^δ* является почти-периодической и что существуют θ > 0,
k h
λ > 0, такие, что t\ ^ θ, | sft | ^ λ, —оо < /с < +°°. Пусть ε,
η > 0 удовлетворяют условиям ε < λ, η < θ/2. Известно, что
существует бесконечно дифференцируемая функция φη, такая, что 0 ^
^ Φη (t) ^ 1 Ддя t 6 i?1, φη (t) = 0 для I t | ^ η и φη (0) = 1.
ПОЛОЖИМ Φη = (25fc^ )#φη, ТаК ЧТ0
k h
Φη (t) = Σ **<Ρη (t ~ h).
k
В силу предложения 2 § 5 Φη является почти-периодической в
смысле Бора функцией. Следовательно, множество Ω' ε-почти-периодов
функции Φη относительно плотно. Пусть ω ζ Ω'. Тогда
ft ft
Покажем, что для любого целого числа i существует такое целое
число ht, что
|#'-ω|<η. (И)
Приложение, § 6 293
Действительно, учитывая, что \ tt — th \ ^ θ > η для к Φ ί, и
полагая в (10) t = tu получаем
Ι 2^φη (tt + ω — th) — st i <ε.
h
Поскольку I st I ^ λ > ε, то
2^φη(^ + ω — tk) φ0.
h
Следовательно, для любого целого ί найдется такое целое lt = ί +
+ Αό что φη (ti + ω — £г.) =^ 0. Поэтому
|ί*+ ω — ίΖί |<η,
чем и доказано (11).
Аналогичным образом, полагая в (10) t = tt — ω, заключаем,
что для всякого целого ί существует такое целое qt1 что
|φ + ω|<η. (12)
Покажем теперь, что hi + i = hb —оо < ί < + °°· Предположим
обратное, т. е. что существует целое число у, такое, что hj+ι < hj.
Тогда 1 + hj+i < hj, а, значит, tj+l+hj+l < fy+ь. и
что противоречит следующему неравенству, вытекающему из (11):
|ί^1-</|<|ί^1-ω| + |ω-</ΐ<2η<θ·
Далее, hi+i ^ hu —оо < ί < +оо. Действительно,
предположим противное: существует такое целое /, что Z^+i > hj. Пусть
т = / + 1 -*- hj. Тогда
/ + й/<™</ + 1 +Α;+ι и tj+h.<tm<
7 7 + 1
откуда, учитывая (12), получаем
tj+h. — ω—η<^ — ω—η< *m+gm <
В силу (11)
< tm — ω + η < ^ч-1+л — ω + η.
h-rh. > ί; + ω — η, ^+1+Λ.. < ί,+ι + ω + η,
7 7-t-l
а значит,
h — 2η < Wgm < *;+ι + 2η.
294
Глава IV
Но в последовательности {tk}-<x><k<+oo лишь два члена tj и £7·+ι
расположены в интервале (tj — 2η, tj + 2η), ибо t\ > θ > 2η,
— οο < /с < +οο. Следовательно, т + #m — 7 или ^ + #m — 7 +
+ 1. В первом случае, согласно (И) и (12),
Ι^-^Ι = |ϊ/ + ^Ι<|ϊ/-ω| + |?Γι+ω|<2η<θ,
а во втором
I tj+l+h .+i - im | = | Ut4 *mm I < IЙ1 - ω Ι + |ίΓ+ω|<2η<θ,
что невозможно. Следовательно, hi+i = ht1 —оо < J < +оо.
Окончательно, для любого ω ζ Ω' существует такое целое hm что
|ί?ω — ω|<η, — oo<t<+ oo.
Так как Ω' с= Ωη и Ω' относительно плотно, заключаем, что Ωη также
относительно плотно. Из леммы 3 следует, что последовательности
{tb}-oo<k<+oo, 7 = 0, ±1, ±2, . . ., являются равностепенно почти-
периодическими.
Что касается последовательности {5/г}_00</г<-|-00, то достаточно
заметить, что
Φη (*i) = Σ^Ψη (ti — h) = Si,
h
и, следовательно, последовательность {sh} почти-периодична в силу
леммы 8.
2. Отметим, что
*ί= Σ ti для />*>
i=h
h+j
~t{=- 2 *i Для 7<-1.
С помощью первой из формул (1) легко доказывается, что
равностепенная почти-периодичность последовательностей {tk}-oo<:h<-{-oo,
j = 0, ±1, ±2, . . ., эквивалентна следующему условию на
последовательность {£i}-oo<fc<+oo: для любого η > 0 существует
такое Ι (η) > 0, что в любом интервале длины I найдется целое число
А, для которого
h+h_ h'+h_
I 2 ή — 2 ^Ι<1Ί ПРИ всех целых к, к'.
i=k i=k'
Представляется интересным указать непрерывный аналог
последовательностей {t\} с этим свойством. Как мы увидим, этот аналог
Приложение, § 6 295
представляет собой некоторое обобщение понятия периодической
функции.
Напомним, что локально суммируемая функция / называется
периодической с периодом ω, если
/ (t + ω) = / (t) почти всюду.
Будем говорить, что локально суммируемая функция / является
интегрально периодической с периодом ω, если
t + ω ί'+ω
J / (s) ds = J / (s) ds для i, f e R1·
t t"
Легко показать, что эти два понятия эквивалентны. Действительно,
если / периодична с периодом ω, то
ί+ω ω ί+ω Ο
I f(8)ds=lf(8)d8+ J /(*)ώ+$/(*)ώ =
t 0 ω t
ω t 0 ω
= $ /(*) ώ+ $ /(*+ ω) ώ+ $ /(*) ώ= J /(*) ds,
0 0 ίΟ
значит, / является интегрально-периодической с периодом ω.
Обратно, если / интегрально-периодична с периодом ω, то
ί + ω ω
J /(*)ώ= $/(*)<&, *ед';
t о
дифференцируя, получаем
/ (t + ω) — / (t) — 0 почти всюду,
т. е. / периодична с периодом ω.
Различные упоминавшиеся до сих пор определения почти-перио-
дичности представляют собой обобщения определения «простой»
периодичности. Ниже мы обобщим понятие интегральной
периодичности и, не занимаясь его подробным изучением, рассмотрим лишь
соотношение между этим обобщением и понятием почти-периодично-
сти в смысле Бора. Будем говорить, что локально суммируемая
функция / интегрально почти-периодична, если для любого ε > 0
существует такое Ι (ε) > 0, что в любом интервале длины I найдется ω,
для которого
ί + ω ί'+ω
I J f(s)ds— I f(s)ds\<:e при Μ'6 Я1·
t r
Будем говорить, что / является N -интегрально почти-периодической,
если для любых ε > 0 и N > 0 существует такое Ζ (ε, Ν) > 0, что
в любом интервале длины I найдется ω, для которого
ί+ω ί'+ω
| J f(s)ds— J /(*)ώ|<ε при t,f£R\ \t — t'\<^N.
296 Глава IV
Понятие TV-интегральной почти-периодичности, очевидно, шире, чем
понятие интегральной почти-периодичности, которое в свою очередь
обобщает понятие периодичности. В то же время интегральная почти-
периодичность является непрерывным аналогом условия на
последовательность {ift}_00<ft<_|_00, о котором мы говорили в начале
этого пункта.
Пусть
t+y
Fy(t)= \ f(s)ds.
t
Тогда
t + v+y t+y t+y t+v+y t+y
Fy{t+v)-F„(t)= J - J = J + $ - J =
t + V t t + V t + lj t
t+y + v t + v t + v t+y + v t + v
■1-1-1=1-1
t+y t t+y t+y t
и, значит,
Fy (t + v)- Fy (t) =F,(t + y)- Fv (t). (13)
Отсюда следует
Предложение 1. Для того чтобы локально суммируемая
функция f была интегрально почти-периодической, необходимо и
достаточно, чтобы функции Fy (t) были почти-периодичны по t {в
смысле Бора) равномерно по у ζ R1. Для того чтобы локально суммируемая
функция f была N-интегрально почти-периодической, необходимо
и достаточно, чтобы для любого N > О функции Fy (t) были почти-
периодичны по t {в смысле Бора) равномерно по у, \ у \ ^ N.
Из этого предложения вытекает, что интегрально
почти-периодические функции, равно как и TV-интегрально почти-периодические
функции, образуют линейное пространство.
Замечание. Пусть функция / локально суммируема и
Φ (0 =}/(*)&.
о
Если Φ — функция Бора, то / интегрально почти-периодична.
Действительно, для любых ω и у £ R1 имеем
ί + ω+y t+y
\Fy(t + <u)-Fy(t)\ = \ J f(s)ds- J f(s)ds\ =
= | Φ (г + ω + г/) - Φ (ί + ω) - Φ (г + г/) + Φ (0 Ι 5ζ
<|Φ(ί + ω + 2/)-Φ(ί + ί/)| + |Φ(ί+ ω)-Φ (ί)Ι,
Приложение, § 6
297
т. е. любой ε-почти-период функции Φ является 2е-почти-периодом
функции Fy (t). Заметим, однако, что существуют интегрально почти-
периодические функции, первообразные которых не являются
функциями Бора; например, функция / (t) = sinH, t ζ_ R1,
периодична, а значит, и интегрально периодична, но первообразные ее неог-
раничены.
Из этого замечания вытекает существование непрерывных
интегрально почти-периодических функций, не являющихся функциями
Бора. Действительно, пусть / — функция Бора с непрерывной
производной на R1. Тогда /' интегрально почти-периодична. Как
известно, существуют такие /, что /' не является равномерно непрерывной
на R1, значит, /' не является функцией Бора.
Предложение 2. Пусть функция f равномерно непрерывна
на R1. Для того чтобы функция f была почти-периодична в смысле
Бора, необходимо и достаточно, чтобы f была N-интегрально почти-
периодична.
Доказательство. Пусть / почти-периодична в смысле
Бора, и пусть ε > О, N > 0 произвольны. Тогда существует
I (г/N) > 0, такое, что в любом интервале длины I найдется ω, для
которого
|/(ί+ω)-/(ί)|<-^ для t£Rl.
Поэтому для | у | ^ N и t £ R1 имеем
ί + ω + ϊ/ t-\-y
\Fu(t + a>)-Fy{t)\ = \ j f(s)ds- j" f(s)ds\ =
ί + ω t
t + y
= 1 f [/(*+ω)-/(*)]ώ|<|ϊΗ^Γ<ε,
J N
t
т. е. / является TV-интегрально почти-периодической функцией.
Предположим теперь, что / TV-интегрально почти-периодична,
а ε > О произвольно. Так как / равномерно непрерывна на R1, то
существует η (ε) > О, такое, что
ι/(θ-/(θκ|- для t',reR\ u'-ΓΚη.
Возьмем η < ε/3. Пусть Ι (η2, η) выбрано согласно определению
TV-интегральной почти-периодичности. Тогда в любом интервале
длины I найдется ω, такое, что для t £ R1
ί+η + ω ί+ω
η2>| J f(s)ds- $ ί(8)ά8\ = \Ρω(ί+Ά)-Ρω(ί)\,
i+η t
298 Глава IV
и, значит, в силу (13)
ί + ω+η £+η
η2> Ι/\,(' +ω)-ЗД 1 = 1 I f(s)ds- J f(s)ds\ =
t+ω t
t+h
= \ $ [/(*+ω)-/(*)]ώ|=η|/(ξ + ω)-/(ξ)|,
t
где ξ — некоторая точка интервала It, t + η] (зависящая, очевидно,
от t, η и ω). Таким образом,
Ι/(ξ + ω)-/(ξ)|<η,
так что
|/(ί + ω)-/(0'|<|/(/ + ω)-/(ξ + ω)| + |/(ξ + ω)-/(ξ)| +
+ Ι/(Ε)-/(0Ι<|-+η + |-<β,
откуда следует, что / почти-периодична в смысле Бора.
Из этого предложения вытекает, что всякая равномерно
непрерывная и интегрально почти-периодическая функция на R1 является
функцией Бора. Обратное утверждение, однако, неверно. Так,
например, ряд
оо
V 1 гЧ
/ι— е п
71 = 1
равномерно сходится, его сумма есть функция Бора, но, как можно
показать, / не является интегрально почти-периодической.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ЗАМЕЧАНИЯ
Большая часть этого приложения представляет собой изложение одного
раздела теории распределений, в той форме, в какой она была введена Лораном
Шварцем. Из монографий, в которых обобщенные функции строятся по Лорану
Шварцу, укажем [23], [48], [68] и на румынском языке [15], [47].
Композиция обобщенных функций введена Кристеску [14]. Замена
переменных в обобщенных функциях предложена в [2].
Условия периодичности меры ^ sh ^и> равно как и результаты § 6, при-
k
ведены в [88], [90].
БИБЛИОГРАФИЯ
Для переводных книг в скобках указан год оригинального издания
1. Ахиезер Н. И., Классическая проблема моментов, Физматгиз, 1961.
2. Albertoni S., Cugiani M., Sul problema del cambiamento di
variabili nelle teoria delle distribuzioni, Nuovo Cimento, 8 (1951), № 11, 1—15;
10 (1953), № 2, 1—17.
3. Андронов Α. Α., Витт Α. Α., Хайкин С. Е., Теория
колебаний, 2-е изд., Физматгиз, 1959.
4. Арнольд В. И., Малые знаменатели, ИАН СССР, 25 (1961), 21—86.
5. Аткинсон Ф., Дискретные и непрерывные граничные задачи, «Мир»,
1968 (1964).
6. Барбашин Ε. Α., Об устойчивости по отношению к импульсным
воздействиям, Дифференциальные уравнения, 2 (1966), № 7, 863—871.
7. Бурбаки Н., Топологические векторные пространства, ИЛ, 1959 (1953).
8. Brand L., Differential and difference equations, John Wiley & Sons Inc.,
New York — London — Sidney, 1966.
9. Bucy R. C, Stability and positive supermartingales, /. Diff. Eqs., 1 (1965),
№ 2, 151—155.
10. Buhowy Α., Vidal P., Wegrzyn S., Sur la methode directe de
Ljapounov pour une equation aux differences finies, C.R., 256 (1963), 4591 —
4592.
11. Cole R. H., General boundary conditions for an ordinary linear
differential system, Trans. Am. Math. Soc, 111 (1964), 521—550.
12. С ο η t i R., Recent trends in the theory of boundary value problems for
ordinary differential equations, Bol. UMI (3), 22 (1967), 135—178.
13. Corduneanu C, Functii aproape-periodice, Edit. Acad. RPR,
Bucuresti, 1961.
14. С r i s t e s с u R., Families composables de distributions et systemes
physiques lineaires, Rev. Roumaine Math. Pures et Appl., 9 (1964), № 8, 703—711.
15. Cristescu R., Elemente de analiza functional a si introducere in teoria
distributiilor, Edit, tehnica, Bucuresti, 1966.
16. Cristescu R., Marinescu G., Unele aplicatii ale teoriei
distributiilor, Edit. Acad. RSR, Bucuresti, 1966.
17. D i η с u 1 e a n u N., Teoria masurii si funcfii reale, Edit, didactica si
pedagogica, Bucuresti, 1964.
18. D i η с u 1 e a n u N., Integrarea pe spajii local compacte, Edit. Acad.
RPR, Bucuresti, 1965.
19. Dolezal V., Dynamic of linear systems, Czechoslovak Academy of
Sciences, Prague, 1964.
20. Д у б Д ж., Вероятностные процессы, ИЛ, 1956 (1953).
21. Driver R., Note on a paper of Halanay on stability for finite difference
equations, Arch. Rat. Mech. and Analysis, 18 (1965), № 3, 241—243.
22. F a n К у, Les fonctions asymptotiquement presque-periodiques d'une
variable entiere et leurs applications a l'etude de l'iteration des transformations
continues, Math. Z., 48 (1942/43), 685—711.
300
Библиография
23. Гельфанд И. Μ. и др., Обобщенные функции, вып. 1—4, Физматгиз
(вып. 1—3, 1958; вып. 4, 1961).
24. Гельфонд А. О., Исчисление конечных разностей, 3-е изд., «Наука»,
1967.
25. Ghermanescu Μ., Ecuatii funcfionale, Edit. Acad. RPR, Bucuresti,
1960.
26. Г и χ μ a η И. И., С κ ο ρ ο χ о д А. В., Введение в теорию случайных
процессов, «Наука», 1964 (стр. 154—162, 185—187).
27. Η a hn W., Theorie und Anwendung der direkten Methode von Ljapunov,
Springer Verlag, Berlin — Gottingen — Heidelberg, 1959.
28. Halanay Α., Solutii aproape-periodice ale unor sisteme neliniare, Gaz.
mat. si fiz., ser. A, 8 (1955), 396—399.
29. Halanay Α., Почти-периодические решения нелинейных систем с малым
параметром, Rev. Roumaine Math. Pures et Appl., 1 (1956), № 2, 49—60.
30. Η a 1 a n а у Α., Solutions periodiques des systemes lineaires a argument
retarde, C.R., 249 (1959), 25—29.
31. Halanay Α., Teoria calitativa a ecua|iilor diferenjiale, Edit. Acad.
RPR, Bucuresti, 1963.
32. Halanay Α., Quelques questions de la theorie de la stabilite pour les
systemes aux differences finies, Arch. Rat. Mech. and Analysis, 12 (1963),
№ 2, 150—154.
33. Halanay Α., Solutions periodiques et presque-periodiques des systemes
d'equations aux differences finies, Arch. Rat. Mech. and Analysis, 12 (1963),
№ 2, 134—149.
34. Halanay Α., Положительно определенные ядра и устойчивость
автоматических систем, Rev. Roumaine Math. Pures et Appl., 9 (1964), № 8, 751—765.
35. Η a 1 a n а у Α., An invariant surface for some linear singularly perturbed
Systems with time lag, /. Diff. Eqs., 2 (1966), № 1, 47—56.
36. Halanay Α., On the method of averaging for differential equations with
retarded argument, /. Math. Analysis and Appls., 14 (1966), 70—76.
37. Hildebrandt Т. Н., On systems of linear differentio-Stieltjes integral
equations, Illinois J. Math., 3 (1959), № 3, 352—373.
38. X и η ч и н А. Я., Непрерывные дроби, 2-е изд., Гостехиздат, 1949.
39. Hurt J., Some stability theorems for ordinary difference equations,
Technical Report 66—6, December 1966, Center for Dynamical Systems, Div. Appl.
Math., Brown Univ.
40. Iosifescu M., Mihoc Ch., Theodorescu R., Teoria pro-
babilitatilor si statistica matematica, Edit, tehnica, Bucuresti, 1966.
41. J u г у Ε. J., Theory and application of the z-transform, John Wiley &
Sons, N.Y., 1964.
42. К a 1 m a n R. Ε., Bertram S. E., Control system analysis and design
via the second method of Lyapunov. II. Discrete-time systems, Trans. AS ME,
Series D. J. of Basic Engineering, 82 (1960), № 2, 394—400.
43. Коваль П. И., Приводимые системы разностных уравнений и
устойчивость их решений, УМЕ, 12 (1957), вып. 6 (78), 143—146.
44. Коваль П. И., Об устойчивости решений систем линейных разностных
уравнений, УМЖ, 9 (1957), № 2, 141 — 153.
45. К u r z w e i 1 J., Exponentially stable integral manifolds. Averaging
principle and continuous dependence on a parameter, Cehosl. Mat. J., 16 (91),
(1966), 380—423.
46. Левитан Б. Μ., Почти-периодические функции, ВГИТТЛ, 1953.
47. Marinescu G., Spatii vectoriale topologice si pseudotopologice,
Edit. Acad. RPR, Bucuresti, 1959.
48. Μ a r i η e s с u G., Espaces vectoriels pseudotopologiques et theorie des
distributions, Veb Deutsch. Verlag Wiss., Berlin, 1963.
49. Massera J. L., Schaf f er J. J., Linear differential equations and
functional analysis. I, Ann. Math., 67 (1958), 517—573; 69 (1959), 88—104,
535-574.
Библиография
301
50. Минусинский Я., Сикорский Р., Элементарная теория
обобщенных функций, ИЛ, 1963 (1957).
51. Μ и л ь м а н В. Д., Мышкис А. Д., Об устойчивости движения при
наличии толчков, Сибирск. мат. ж., 1 (I960), № 2, 233—237.
52. Μ и л ь м а н В. Д., Мышкис А. Д., Случайные толчки в линейных
динамических системах. Приближенные методы решения дифференциальных
уравнений, Изд-во АН УССР, Киев, 1963, стр. 64—81.
53. Μ о г о ζ а η Т., Sur l'approximation stochastique, C.R., 264 (1967), 633 —
635.
54. Неймарк Ю. И., Метод точечных отображений теории нелинейных
колебаний. Тр. Международного симпозиума по нелинейным колебаниям,
Киев, 12—18 сентября 1961 г., т. II, Изд-во АН УССР, Киев, 1963,
стр. 268—307.
55. N i с о 1 е s с u М., Analiza matematica, v. I (1957), v. II (1958), v. Ill
(1960), Edit, tehnica, Bucuresti.
56. Olech Cz., Sur un probleme de M. G. Sansone lie a la theorie du synchrot-
rone, Ann. Mat. pura ed appl., 44 (1957), 317—330.
57. Pallu delaBarriere R., Cours d'automatique theorique, Dunod,
Paris, 1965.
58. Π a η о в А. М., Об одном классе итерационных систем, Изв. вузов,
Математика, 3 (28) (1962), 111—115.
59. Пановко Я. Г., Губанова И. И., Устойчивость и колебания
упругих систем, «Наука», 1966.
60. Попов Е. П., Динамика систем автоматического регулирования, Гос-
техиздат, 1964 (гл. I, § 4; гл. XIII).
61. Ρ ο ρ ο ν V. М., Hiperstabilitatea sistemelor automate, Edit. Acad. RSR,
Bucuresti, 1966.
62. Проблемы теории импульсных систем управления. Итоги науки, «Наука»,
1966.
63. R а с о ν е a n u N., Traducteur L. С. a grande deviation de frequence,
Mesure, regulation, automatisme, 25 (1964), 78—82.
64. Racoveanu N., Wexler D., Sistem oscilant cu un singur grad de
libertate autoamorsat discontinuu prin impulsuri, Bui. IPGG, 9 (1963), 199—
210.
65. Ρ e г и ш Μ., Ο неравномерной асимптотической устойчивости, Прикл.
мат. и мех., 27 (1963), № 2, 231—243.
66. S а η s о η е G., Sopra una equazione che si presenta nelle determinazioni
della orbite in un sincrotrone, Rend. Accad. Naz. Lincei, 8 (1957), 1—74.
67. Schmaedeke W. W., Optimal control theory for nonlinear
vector-differential equations containing measures, /. SI AM, ser. A, Control, 3 (1965),
231—280.
68. Schwartz L., Theorie des distributions, v. I, II, Hermann, Paris, 1959.
69. S e 1 1 G., Almost periodic and periodic solutions of difference equations,
Bull. Am. Math. Soc, 72 (1966), № 2, 261—265.
70. С к а л к и н а А. М., Об устойчивости по первому приближению систем
уравнений в конечных разностях, Тр. У Π И, Свердловск, 74 (1958),
63—71.
71. Скороход А. В., Случайные процессы с независимыми
приращениями, «Наука», 1964 (стр. 15—19).
72. S ρ a t h Η., Lber das asymptotische Verhalten der Losungen nicht homoge-
ner linearer Differenzengleichungen, Acta Math., 51 (1928), 133—199.
73. Stallard F. W., Differential systems with interface conditions, Oak
Ridge Nat. Lab. Rep. ORNL 1876, 1955.
74. Stallard F. W., Functions of bounded variations as solutions of
differential systems, Proc. Am. Math. Soc, 13 (1962), № 3, 366—373.
75. S ζ e g δ G. P., Sur la stabilite absolue d'un systeme non lineaire discret,
C.R., 257 (1963), 1749-1751.
302
Библиография
76. S z e g δ G. P., On the absolute stability of sampled-data control systems,
Proc. Nat. Acad. USA, 50 (1963), № 3, 558—560.
77. Szego G. P., Kalman R. E., Sur la stabilite absolue d'un systeme
d'equations aux differences finies, C.R., 257 (1963), 388—390.
78. Szego G. P., Pearson J. В., Jr., On the absolute stability of sampled-
data systems: the «indirect control» case, IEEE Trans. Automatic Control,
AC-9 (1964), № 2, 160—163.
79. Шиманов С. Н., К теории колебаний квазилинейных систем с
запаздыванием, Прикл. мат. и мех., 23 (1959), 836—844.
80. Τ a L i, Die Stabilitatsfrage bei Differenzengleichungen, Acta Math., 63
(1934), 99—141.
81. Ц ы ή к и н Я. 3., Об устойчивости в целом нелинейных импульсных
автоматических систем, ДАН СССР, 145 (1962), № 1, 52—55.
82. Ц ы π к и н Я. 3., Теория импульсных систем, Физматгиз, 1958.
83. Ц ы π к и н Я. 3., Критерии абсолютной устойчивости импульсных
автоматических систем с монотонными характеристиками нелинейного элемента,
ДАН СССР, 155 (1964), № 5, 1029—1032.
84. Ц ы π к и н Я. 3., Частотные критерии абсолютной устойчивости
нелинейных импульсных систем, Автоматика и телемеханика, 25 (1964), № 3, 281 —
289.
85. U r a b e M., Galerkin's procedure for nonlinear periodic systems, Arch. Rat.
Mech. and Analysis, 20 (1965), 120—152.
86. Wegrzyn S., Vidal P., Sur certaines functions de Liapunov et la
stabilite asymptotique des systemes echantillonnes, Bull. Acad. Pol. Sci.,
Serie des sciences techniques, 11 (1963), № 1, 45—51.
87. Wegrzyn S., Vidal P., Sur la stabilite asymptotique des systemes
echantillones, Bull. Acad. Pol. Sci., Serie des sciences techniques, 11 (1963),
№ 2, 99—101.
88. Wexler D., Solutions periodiques et presque-periodiques des systemes
d'equations differentielles lineaires aux impulsions, C.R., 259 (1964), № 2,
287—289.
89. Wexler D., Solutii periodice si aproape-periodice ale sistemelor de ecuatii
diferentiale cu impulsuri, Teza, Bucuresti, 1965.
90. Wexler D., Solutions periodiques et presque-periodiques des systemes
d'equations differentielles aux impulsions, Rev. Roumaine Math, pures et
appl., 10 (1965), № 8, 1163—1199.
91. Wexler D., Sur une equation differentielle non lineaire aux impulsions,
/. Diff. Eqs., 2 (1966) № 1, 1—11.
92. W e χ 1 e r D., Solutions periodiques et presque-periodiques des systemes
d'equations differentielles lineaires en distributions, /. Diff. Eqs., 2 (1966),
№ 1, 12-32.
93. Wexler D., Solutions presque-periodiques des systemes d'equations
differentielles a perturbation distribution, C.R., 262 (1966), 436—439.
94. Wexler D., Solutions periodiques des systemes lineaires a argument
retarde, /. Diff. Eqs., 3 (1967), № 2, 236—247.
95. Wexler D., Solutions periodiques des systems lineaires stationnaires de
type neutre, C.R., 265 (1967), 56—58.
96. Wexler D., Periodic solutions of some stationary linear systems, /. Diff.
Eqs. (в печати).
97. Завалищин СТ., Устойчивость обобщенных процессов, I, II,
Дифференциальные уравнения, 2 (1966), № 7, 872—881; 3 (1967), № ? 172—179.
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ
Андронов А. А. 9
Аткинсон (Atkinson F. V.) 18
Ахизер Н. И. 18
Барбашин Е. А. 5, 184, 239
Беллман (Bellman R.) 40
Боголюбов Η. Η. 85
Бранд (Brand L.) 9
Бьюси (Bucy R. С.) 59
Векслер (Wexler D.) 5, 8, 130
Витт А. А. 9
Гельфонд А. О. 9
Долежаль (Dolezal V.) 17
Драйвер (Driver R.) 65
Завалищин С. Т. 184
Коддингтон (Coddington Ε. Α.) 169
Конти (Conti R.) 195
Коул (Cole R. Η.) 18
Кристеску (Cristescu R.) 17, 180, 238,
245, 298
Курцвайль (Kurzweil J.) 130
Левинсон (Levinson N.) 169
Малкин И. Г. 83
Маринеску (Marinescu G.) 17
Maccepa (Massera J. L.) 154
Мильман В. Д. 5, 16, 155
Моро (Мого Α.) 239
Морозан (Morozan Т.) 7
Мышкис А. Д. 5, 16, 155
Неймарк Ю. И. 9
Немыцкий В. В. 5
Олеш (Olech Cz.) 16
Паллю де ла Барьер (Pallu de la Bar-
riere R.) 17
Перрон (Perron) 9
Попов В. Μ. (Popov V. Μ.) 22, 42, 65
Попов Е. П. 9
Пуанкаре (Poincare H.) 9
Раковяну (Racoveanu N.) 5, 10
Рубаник В. П. 5
Сансоне (Sansone G.) 16
Селл (Sell G.) 130
Сталлард (Stallard F. W.) 16
Та Ли (Та Li) 40
Урабе (Urabe M.) 130
Хайкин С. Ε. 9
Халанай (Halanay А.) 5, 8
Хан (Hahn W.) 9
Цыпкин Я. 3. 5, 9, 42
Шварц (Schwartz L.) 298
Шеффер (Schaffer J. J.) 154
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
асимптотическая периодичность 126
— устойчивость в большом
равномерная 26
— — — среднем квадратичном
равномерная 59
LP 59
— — — — равномерная 58
— — по вероятности 59
быстро убывающая последовательность
264
глобальная теорема существования 177
гомоморфизм 215
Дирака мера 239
интегральная замена переменных 251
— периодичность 295
— почти-периодичность 295
каноническая система 24
Каратеодори решение 156, 169
композиционное семейство 245
композиция с семейством 245
локально конечный ряд 250
локальная теорема существования и
единственности 172
математическое ожидание условное 56
матрица Пенроуза обобщенная
обратная 195
— симплектичная 24
медленно растущая
последовательность 266
мера 160
— Дирака 239
множество ограниченное 241
мультипликатор 66, 240, 242
независимость 57
носитель 240
обобщенное дифференцирование 240
обратная матрица Пенроуза
обобщенная 195
ограниченное множество 241
— распределение 274
оператор замены переменных 251
— обобщенного дифференцирования
240
— сдвига на период вдоль решений 212
— стационарный 247
относительная плотность 146
периодическое распределение 255, 268
периодичность интегральная 295
плотность относительная 146
полумартингал 57
порядок распределения 242
последовательность быстро
убывающая 264
— медленно растущая 266
почти-периодичное распределение 281
почти-периодичность 121
— асимптотическая 126
— интегральная 295
— «по диагонали» 144
— УУ-интегральная 295
равенство на множестве (о
распределениях) 240
— нулю (о распределении) 240
равномерная асимптотическая
устойчивость в большом 26
— — — — среднем квадратическом
59
LP 59
Предметный указатель
305
— устойчивость по вероятности 58
— — — — сильная 58
распределение ограниченное 274
— периодическое 255, 268
— почти-периодическое 281
— равное нулю 240
— г-ограниченное 278
— ε-почти-периодическое 283
распределения носитель 240
— равные на множестве 240
— порядок 242
— G-сечение 257
решение Каратеодори 156, 169
— притягивающее в Lv относительно
<# 59
— — по вероятности относительно ^
58
— — почти наверное относительно ^
58
ряд локально конечный 250
сдвиг 240
— на период вдоль решений 212
семейство композиционное 245
сильная устойчивость по вероятности
равномерная 58
симплектичная матрица 24
система каноническая 24
стационарный оператор 247
супермартингал 57
теорема В 215
— существования глобальная 177
— — и единственности локальная 172
условное математическое ожидание 56
устойчивость в среднем квадратичном
асимптотическая равномерная 59
LP 58
— — — асимптотическая 59
— — — — равномерная 58
— по вероятности 58
— — — асимптотическая
— — — равномерная 58
— — — — сильная 58
— равномерно асимптотическая в
большом 26
функция Хевисайда 161 — 162
— G-сечения 257
— iV-интегрально
почти-периодическая 295
— ^-почти-периодическая 149
Хевисайда функция 161 —162
G-сечение распределения 257
— функции 257
iV-интегральная почти-периодичность
295
^-почти-периодичность 149
г-ограниченное распределение 278
ε-почти-периодическое распределение
283
ε-почти-период 121
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИИ
Аш
<л°°
^°
&т
&™
М'Ь
Жт
&'°°
Шш)1
М1
Д?р
Мрр
Мрр
^рр
(Л
в
BV
<ёт
<ё°°
%'т
%'°°
%il·,·]
{%m)l
Ce'm)l
CI
%
%'
@m
276
276
275
275
275
275
274
274
253
278
281
281
281
281
281
253
184
184
242
243
243
243
212
253
253
156
239
239
240
3)'m
£™
2)'°°
&f
^m
3™
3Lm
&T
&T
2)Ψ
%тт
ody rp
ody rp
3%x
&Li
Sli
2)m{Q)
(3m)i
{%'m)i
(2?)i
{%'+m)i
(2)™) ι
(3Lm)i
&bh
D
240
239
239
245
244
244
245
239
239
240
241
239
239
270
270
270
278
240
253
253
253
253
253
253
253
162, 240
Ε — единичная
Η
162
, 242, 262
матрица
Hq
Κη
X(;·)
ΙΛ
L°°
L8x
aM
JT(-)
брт
Ой'ГП
^<x>
бр-оо
{&m)l
(&'m)i
(&'°°)ι
m·)
Ri
t
ψ^η
^Э'оо
V
VΜ (J)
VΜ {J,
ν
vV
ν (3'0 I
w
w\of
248
261
. 254
270
270
198
232
221
260
260
260
261
253
253
253
253
221
156
160, 253
269
269
184
171
α, 6)173
185
185
:0, + oo))z
245
[245
Указатель обозначений
307
Г
ό
δα
δ
th
(Φ)ζ
(Φ')ί
Ψ' —Φ'
232
239
239
279
240
253
253
r 245
ll'llm
ll-II'm
II-Hq
lll-lllm
lll-llli
<·!·>
260,
261
240
275
279
278
270
β
V
a
•
*
®
*
—
165
251
241, 246,255,258,
261, 262, 268
279
231
215
248
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ 5
ПРЕДИСЛОВИЕ 7
ВВЕДЕНИЕ 9
Глава I. УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ 19
§ 1. Линейные дискретные системы с постоянными
коэффициентами 19
§ 2. Общие свойства линейных систем 23
§ 3. Элементы теории устойчивости 26
§ 4. Абсолютная устойчивость дискретных автоматических
систем 42
Приложение. УСТОЙЧИВОСТЬ ДИСКРЕТНЫХ]
СИСТЕМ СО СЛУЧАЙНЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 56
§ 1. Некоторые понятия теории вероятностей 56
§ 2. Типы устойчивости дискретных систем со случайными
параметрами 57
§ 3. Метод функций Ляпунова ... 59
Библиографические замечания 65
Глава II. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ
РЕШЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ 66
§ 1. Линейные системы с периодическими коэффициентами 66
§ 2. Линейные системы с почти-периодическими
коэффициентами 78
§ 3. Линейные системы в пространствах-произведениях.
Устойчивые инвариантные поверхности 88
§ 4. Периодические и почти-периодические решения
нелинейных систем 93
§ 5. Инвариантные многообразия для нелинейных систем
в пространствах-произведениях 102
Приложение. ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ
ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 121
Библиографические замечания . 130
Оглавление 309
Глава III. СИСТЕМЫ ИМПУЛЬСНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ 131
§ 1. Общие сведения 131
§ 2. Периодические решения 135
§ 3. Почти-периодические решения 142
§ 4. Ограниченные решения 152
Библиографические замечания 155
Глава IV. СИСТЕМЫ С ОБОБЩЕННЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ ... 156
§ 1. Линейные дифференциальные уравнения (общие сведения) 156
§ 2. Нелинейные дифференциальные уравнения с мерами (общие
сведения) 169
§ 3. Оператор входа — выхода. Одна характеристика
устойчивости 180
§ 4. Периодические решения систем обыкновенных
дифференциальных уравнений 188
§ 5. Ограниченные и почти-периодические решения систем
обыкновенных дифференциальных уравнений 199
§ 6. Системы с запаздывающим аргументом 206
§ 7. Периодические решения уравнений типа свертки .... 218
§ 8. Периодические решения стационарных систем
нейтрального типа 231
Библиографические замечании 238
Приложение. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ,
ПОЧТИ-ПЕРИОДИЧЕСКИЕ И ОГРАНИЧЕННЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 239
§ 1. Предварительные сведения 239
§ 2. Периодические распределения 255
§ 3. Периодические распределения (другая конструкция) 260
§ 4. Ограниченные распределения 270
§ 5. Почти-периодические распределения 281
§ 6. Один класс почти-периодических распределений . . 284
Библиографические замечания 298
библиография 299
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ 303
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ 304
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ 306
УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!
Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве
перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва,
И-110, ГСП, 1-й Рижский пер., д. 2, издательство «Мир».
А. Халанай, Д. Векслер
КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ
ИМПУЛЬСНЫХ СИСТЕМ
Редактор В. И. Авербух
Художник Н. А. Фильчагина
Художественный редактор В. И, Шаповалов
Технический редактор Е. Д. Кузнецова
Корректор М. А. Смирнов
Сдано в набор 4/1 1971 г.
Подписано к печати 20/VII 1971 г.
Бумага кн.-журн. 60Χ90ΐ/ΐ6=9 ,75 бум. л.
19,5 печ. л.
Уч.-изд. л. 18,00. Изд. № 1/5628
Цена 1 р. 45 к. Зак. 676
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР»
Москва, 1-й Рижский пер., 2
Московская типография № 16 Главполиграфпрома
Комитета по печати при Совете Министров СССР.
Москва, Трехпрудный пер., 9