МАТЕМАТИ КА
ОРГАН МИНИСТЕРСТВА
ПРОСВЕЩЕНИЯ РСФСР
№ 1
В ШКОЛЕ —
ЯНВАРЬ—ФЕВРАЛЬ 1949 г.
МЕТОДИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ
'iiiiiiiimiiimmiimniiiuiiiiiiiiiuiiiiuiii'iiiiiiifiiiiiiminiuumuinuuiiiiiiiiitiitiiiitiimiiiiiiiiii
А	П0	ЛЕНИНСКОМУ	ПУТИ
(К 25-летию со дня смерти В. И. Ленина)
Двадцать пять лет назад умер величайший
гений нашей эпохи, основатель и вождь вели¬
кой партии большевиков, создатель и руково¬
дитель первого в мире Советского социалисти¬
ческого государства — Ленин.
ЦКВКП(б) в своем обращении «К партии, ко
всем трудящимся» писал:
«Никогда еще после Маркса история вели¬
кого освободительного движения пролетариата
не выдвигала такой гигантской фигуры, как
наш покойный вождь, учитель, друг. Все, что
есть в пролетариате поистине великого и ге¬
роического — бесстрашный ум, железная, не¬
сгибаемая, упорная, все преодолевающая воля,
священная ненависть, ненависть до смерти к раб¬
ству и угнетению, революционная страсть, ко¬
торая двигает горами, безграничная вера в твор¬
ческие силы масс, громадный организационный
гений, — все это нашло свое великолепное во¬
площение в Ленине, имя которого стало симво¬
лом нового мира от запада до востока, от юга
до севера».
Следуя великим ленинским заветам, советский
народ под руководством товарища Сталина пре¬
вратил нашу Родину в могучую индустриально¬
колхозную социалистическую державу и уве¬
ренно идет по пути строительства коммунисти¬
ческого общества.
Бессмертные идеи ленинизма завоевывали все
новые миллионы трудящихся, оказывали и ока¬
зывают все более глубокое влияние на судьбы
мировой истории.
Силы демократии и социализма растут и спла¬
чиваются. В орбиту борьбы за освобождение
от гнета империалистического, колониального
рабства втянуты теперь сотни миллионов людей.
Ленинизм стал знаменем освободительной борь¬
бы во всех частях земного шара. Социализм,
построенный в нашей стране советским наро¬
дом пЬд руководством партии большевиков, яв¬
ляется живым воплощением всепобеждающих
идей ленинизма.
Всю свою жизнь Ленин отдал делу освобожде¬
ния трудящихся от власти капиталистов и по¬
мещиков, делу социализма. Ленин не только
отстоял и защитил от врагов самое передовое
революционное учение — марксизм, но развил и
двинул вперед это учение применительно к но¬
вым условиям эпохи империализма и пролетар¬
ских революций.
На основе глубокого анализа империализма
Ленин открыл закон неравномерного экономи¬
ческого и политического развития капитализма,
доказал возможность победы социализма в од¬
ной, отдельно взятой стране.
После победы Октябрьской социалистической
революции и победоносного окончания граждан¬
ской войны под руководством Ленина был со¬
вершен переход страны на мирную работу по
восстановлению народного хозяйства. Ленин и
Сталин разработали основы новой экономиче¬
ской политики, укрепившей союз рабочего
класса и крестьянства для строительства социа¬
лизма.
Ленин ушел от нас, когда страна находилась
у самых истоков социалистического строитель¬
ства. Партия большевиков, советское государ¬
ство стояли перед лицом глубочайших проти¬
воречий и трудностей, связанных с технико-
экономической отсталостью страны и ожесто¬
ченной борьбой капиталистических элементов
города и деревни против социалистического
строя.
Чтобы выполнить великие заветы Ленина и
осуществить его план построения социализма
в нашей стране, нужно было мобилизовать и
сплотить всю партию большевиков вокруг ее
генеральной линии, разоблачить и разбить вра¬
гов социализма — троцкистов, бухаринцев и зи-
новьевцев, разбить в открытых боях капитали¬
1

стические элементы в городе и деревне, под¬
нять весь советский народ на великую созида¬
тельную работу по строительству социализма
в нашей стране. Эти гигантской сложности
задачи принял на свои плечи и победно их
разрешил достойный преемник и великий
продолжатель дела Ленина, наш вождь и
учитель Иосиф Виссарионович Сталин.
Товарищ Сталин, на основе учения Ленина,
создал величественную программу социалисти¬
ческой индустриализации. В результате осуще¬
ствления этой сталинской программы коренным
образом изменился облик нашей страны. Из
отсталой аграрной в прошлом наша родина
превратилась в передовую индустриальную стра¬
ну. В 1940 году крупная промышленность СССР
давала почти в 12 раз больше продукции, чем
в 1913 году. Под руководством товарища Сталина
партия решила труднейшую задачу социалисти¬
ческой революции — задачу коренной перестрой¬
ки сельского хозяйства. Колхозный строй сде¬
лал сельское хозяйство нашей страны самым
передовым и самым жизнеспособным в мире.
В ходе строительства социализма преобразо¬
валось не только хозяйство страны, но и люди.
Произошел коренной переворот во взглядах
людей на труд. Зародилось в стране стаханов¬
ское движение и с огромной быстротой распро¬
странилось на все отрасли промышленности и
сельского хозяйства. Социализм глубоко вошел
в жизнь страны и изменил духовный облик со¬
ветских людей.
Материальные и духовные богатства нашего
народа во всей своей силе сказались в годы
Великой Отечественной войны. Эта война яви¬
лась проверкой прочности советского строя,
нашей социалистической экономики. В ходе
войны особенно ярко проявилось преимущество
советского общественного и государственного
строя.
Вдохновленный учением Ленина, руководимый
большевистской партией, великим Сталиным, со¬
ветский народ не только отстоял независимость
нашей родины, но и помог другим народам из¬
бавиться от фашистского ига.
Победоносно завершив Отечественную войну,
наш народ приступил к мирному строительству.
В то время когда капиталистический мир раз¬
дирается острейшими классовыми конфликтами
и его экономика не может преодолеть проти¬
воречий послевоенного периода, наша страна,
наше хозяйство неуклонно идет в гору.
В 1948 году валовая продукция промышленно¬
сти в целом превзошла довоенный уровень. План
первых трех лет послевоенной пятилетки по ва¬
ловой продукции перевыполнен. Валовой сбор
зерновых культур в 1948 году уже достиг уровня
1940 года.
Принятое по инициативе товариша Сталина
постановление партии и правительства о плане
полезащитных лесонасаждений, введения траво¬
польных севооборотов, строительства прудов и
водоемов представляет грандиозный план пре¬
образования природы и дальнейшего расцвета
производительных сил сельского хозяйства на¬
шей страны. Этот план великих работ уже пре¬
творяется в жизнь.
В нашей стране идет неуклонный подъем ма¬
териального благосостояния народа. Проведение
денежной реформы и снижение цен на товары
дали возможность поднять реальную заработ¬
ную плату трудящихся более, чем в два раза.
Основой послевоенных успехов советского го¬
сударства является трудовой подъем советского
народа, вдохновляемого величественной про¬
граммой дальнейшего движения вперед, начер¬
танной нашим вождем товарищем Сталиным. Со¬
циалистическое соревнование приобрело подлин¬
но всенародный размах.
Советский строй впервые в истории челове¬
чества сделал доступными народу все духовные
ценности, накопленные человечеством, все до¬
стижения культуры, науки и искусства. Совет¬
ские ученые преисполнены чувством гордости
за нашу науку, за ее достижения, за ее прио¬
ритет в ряде важнейших открытий и изобре¬
тений; им чуждо преклонение перед буржуаз¬
ной наукой — служанкой реакции, пособницей
поджигателей войны.
Ленинизм учит, что' для успешного осуще¬
ствления постепенного перехода к коммунизму
решающее значение имеет коммунистическое вос¬
питание масс, преодоление пережитков капи¬
тализма в сознании людей.
Широкая пропаганда основ нашего научного
мировоззрения, глубокое изучение ленинизма, си¬
стематическое воспитание людей в духе ком¬
мунистической морали, последовательная и на¬
стойчивая борьба с пережитками капитализма
в сознании людей — одна из главнейших задач
нашего времени. В осуществлении этой задачи
исключительно важную роль играют кадры со¬
ветских педагогов.
Громадные созидательные задачи стоят перед
нашим народом. Преодолевая трудности, стоящие
на его пути, он неуклонно и уверенно движется
к коммунизму.
Ведет его к этой цели великий сподвижник
гениального Ленина—Сталин, о котором мил¬
лионы людей с любовью и воодушевлением го¬
ворят: Сталин—это Ленин сегодня. Под его муд¬
рым водительством наш народ после смерти
Ленина проделал свой победоносный путь, путь,
начертанный Лениным. Под его гениальным ру¬
ководством он достигнет новых успехов и
побед в строительстве коммунистического об¬
щества.
2

ИСТОРИЧЕСКАЯ ВЕХА В РАЗВИТИИ БИОЛОГИЧЕСКОЙ НАУКИ
(Кандидат сельскохозяйственных наук JI. Н. БАРСУКОВ (Москва)
Сессия Всесоюзной академии сельскохозяй¬
ственных наук имени В. И. Ленина, происхо¬
дившая 31 июля — 7 августа 1948 г., привлек¬
ла к себе всеобщее внимание, вызвала огром¬
ный интерес всего советского народа. Она
подвела итог многолетней борьбы двух на¬
правлений в биологии и показала полное тор¬
жество мичуринского учения над обанкротив¬
шимся в теории и на практике менделизмом-
морганизмом. Глубокий анализ положения в
биологической науке, данный акад. Т. Д. Лы¬
сенко в докладе на этой сессии, имеет гро¬
мадное научное и политическое значение. Этот
доклад4 одобренный ЦК ВКП(б) и, таким об¬
разом,» выражающий линию большевистской
партии, обосновывает и показывает тот путь,
по которому может и должна развиваться со¬
ветская биологическая наука, чтобы глубже
вскрывать закономерности природы, законо¬
мерности жизни и развития растений и живот¬
ных, чтобы умножать успехи в подчинении
природы воле человека и внести возможно
ббльший вклад в дело построения коммунизма
в нашей стране.
Биология как наука о законах возникнове¬
ния и развития живой природы является одной
из важнейших составных частей естественно¬
научной основы марксистско-ленинского миро¬
воззрения. Отсюда вполне понятно, что с того
момента как Дарвин своей работой «Происхож¬
дение видов» положил начало научной биоло¬
гии, последняя на всем протяжении своего
дальнейшего развития была ареной острой
идеологической борьбы. Это была борьба двух
непримиримых мировоззрений: диалектического
материализма и идеализма, борьба диалектики
против метафизики, науки против мистики.
В современный период мировой истории ука¬
занные две противоположные тенденции, два
противостоящих друг другу направления в био¬
логической науке определились особенно резко.
Одно из них — прогрессивное, материалисти¬
ческое, берущее начало от Дарвина, творчески
развивавшееся И. В. Мичуриным и блестяще
развиваемое сейчас школой советских биологов-
мичуринцев, возглавляемой акад. Т. Д. Лы¬
сенко. Другое направление—реакционное,
антидарвинистское, идеалистическое, выдвину¬
тое Менделем и развитое Вейсманом и Мор¬
ганом.
Представители реакционной биологической
науки защищают так называемую хромосомную
теорию наследственности. Они считают, что
наследственность целиком и полностью опре¬
деляется хромосомами, из которых состоят
ядра половых клеток. В хромосомах раз¬
мещены в определенном порядке; в опре¬
деленной последовательности невидимые и
никак не обнаруживаемые материальные но¬
сители наследственности — гены, каждый из
которых «несет» один определенный признак
или свойство организма. Структура хромосом¬
ных нитей представляется вейсманистам своего
рода шифровальным кодом, содержащим весь
«план» будущего развития живого организма
и его функционирования в зрелом состоянии.
Внешняя среда, условия жизни организма ника¬
кого влияния на его наследственную основу
оказать не могут. Изменения тела, вызванные
у родителей влиянием окружающей среды, ус¬
ловиями жизни, не наследуются потомством.
Иначе говоря, по мнению вейсманистов, приоб¬
ретаемые организмом в определенных условиях
его развития и жизни новые свойства, призна¬
ки, склонности и отличия не могут быть на-
iледственными, не могут иметь эволюционного
значения. И если у потомства выявляется ка¬
кой-либо новый признак, отсутствовавший у
родителей, то вейсманисты объясняют это тем,
что случайно создались условия для проявле¬
ния действия гена, находившегося до этого в
хромосоме в скрытом, невыявленном состоянии,
или же тем, что в наследственной основе, в
хромосомах половых клеток по неизвестным
причинам случайно произошли какие-то изме¬
нения (мутация). Вообще же наследственная
основа, по их мнению, передается из поколе¬
ния в поколение, как правило, неизменной.
Она существует непрерывно, пока существует
данный вид. В этих рамках наследственная ос¬
нова бессмертна. В половом процессе проис¬
ходит слияние ядер половых клеток родителей,
приводящее к различным комбинациям свойств
и признаков родителей у потомства, причем
характер этих комбинаций совершенно случаен.
Мутации, неопределенные качественные изме¬
нения наследственности (природы) живых тел,
с точки зрения вейсманистов, совершенно не¬
зависимы от условий внешней среды, от усло¬
вий жизни. Эти изменения имеют все признаки
случайных явлений. Они возникают неожиданно
и по неизвестным причинам. Ни предсказать,
ни вызвать произвольно ту или иную мутацию
человек не может. Вейсманисты решительно
отвергают наличие какой-либо закономерной
связи между качеством мутации и определен¬
ным изменением в факторах внешней среды.
Такова «концепция» вейсманистов. Из этих
лженаучных представлений они делали и соот¬
ветствующие производственные выводы, дезо¬
риентировавшие ученых и производственников
и нередко приносившие прямой вред. Они
I*
3

утверждали, например, что улучшение сортовых
качеств культурных растений и породы скота
путем систематическ jro отбора возможно толь¬
ко при наличии явных разаичий в наследствен¬
ной основе у различных особей данной группы
растений и животных, то-есть только в попу¬
ляциях. Внутри чистого сорта (чистой линии)
систематический отбор, по их мнению, не мо¬
жет дать положительных результатов, причем
изменением условий внешней среды наслед¬
ственно улучшить сорт невозможно. В целях
закрепления желательных свойств у данного
сорта перекрестно опыляющегося растения или
у данной породы скота они рекомендовали и
широко применяли принудительное самоопыле¬
ние растений (инцукт) и близкородственное
размножение у животных, что ослабляло жиз¬
ненные силы потомства и вело к вырождению
н деградации.
По мнению вейсманистов, внутрисортовое
скрещивание не может привести к улучшению
сорта в силу тождественности наследственной
основы у всех особей данного сорта. Они при¬
знавали лишь межсортовое скрещивание, поз¬
воляющее «комбинировать» наследственные за¬
датки, заложенные у родителей.
Межсортовое скрещивание, обеспечивая в по¬
томстве различные комбинации хромосом ядер
исходных по ювых клеток, может случайно при¬
вести к такой комбинации хромосом, которая
даст начало новому сорту с улучшенными свой¬
ствами. Систематическим отбором этот сорт
можно выделить, очистить его от примесей.
Процессом оплодотворения исчерпывается, по
мнению вейсманистов, творческая работа по вы¬
ведению сорта. После этого роль сетекционера за¬
ключается в том, чтобы лишь «отсеять», отобрать
наилучшую из полученных форм и закрепить ее
устойчивость путей отсева, удаления расщеп¬
ляющихся форм.
Все эти выводы вейсманистов, как и изло¬
женная выше их «концепция», ложны от нача¬
ла д) конца. Вся многовековая практика сель¬
ского хозяйства, садоводства и цветоводства,
весь накопленный естествознанием от Дарвина
и до наших дней богатейший материал, заме¬
чательные работы великого преобразователя
природы И. В. Мичурина, выдающиеся успехи
советских биологов-мичуринцев, достигнутые
ими в последние годы,—все это решительно
говорит против выводов и против всей «кон¬
цепции» вейсманистов. Эта «концепция» бес¬
плодна в смысле практическом и худосочна
в смысле познавательном. Возможности челове¬
ка по переделке природы растений и животных
она ограничивает «комбинаторикой» свойств и
признаков, извечно заложенных в хромосомах.
Сверх этого — лишь случайные, с течением вре¬
мени все более редкие, по их мнению, неопре¬
деленно направленные и неизвестно по каким
причинам возникающие мутации, которые слу¬
чайно могут дать начало улучшенному сорту
или породе. Какая беспомощность, какая бес¬
перспективности. И это называлось наукой!
На совершенно иных, диаметрально противо¬
положных позициях стоит мичуринская биоло¬
гическая наука. Она отвергает, как противо¬
речащее фактам, утверждение вейсманистов о
существовании в организме особого, специфи¬
ческого вещества наследственности, особого
материального носителя наследственности, ка¬
чественно отличного от остального тела. Она
решительно отбрасывает, как совершенно лож¬
ное, основное положение вейсманизма — поло¬
жение о полной независимости наследствен¬
ных свойств от условий жизни растений и жи¬
вотных, о ненаследуемости признаков и сЭойств,
приобретаемых растительными и животными
организмами в течение их жизни. Только ми¬
чуринская биологическая наука, опираясь на
принципы диалектического материализма, могла
действительно по-научному поставить на разре¬
шение вопрос о причинах изменчивости, о за¬
кономерностях возникновения наследственных
изменений, о путях направленного изменения
наследственности организмов.
В своем докладе на сессии акад. Т. Д. Лы¬
сенко дал блестящее изложение основ мичу¬
ринского учения. Исходным для мич.ринской
биологической науки является положение, что
«организм и необходимые для его жизни усло¬
вия представляют единство» (Т. Д. Л ы с е н-
ко). Разные живые тела для своего развития
требуют разных условий внешней среды. Ис¬
следуя особенности этих требований, мы и
узнаем качественные особенности природы ор¬
ганизм )в, качественные особенности наслед¬
ственности. «Наследственность есть свойство
живого тела требовать определенных условий
для своей жизни, своего развития и опреде¬
ленно реагировать на те или иные условия»
(Т. Д. Лысенко). Знание природных требо¬
ваний и отношения организма к условиям внеш¬
ней среды дает возможность управлять жизнью
и развитием организмов, что позволяет все
глубже и глубже постигать их природу и тем
самым устанавливать способы изменения ее в
нужную человеку сторону, т. е. направленно
изменять наследственность организмов.
Каждое живое тело, указывает Т. Д. Лы¬
сенко, строит себя из условий внешней среды
на свой лад, согласно своей наследственности.
Поэтому в одной и той же среде живут и раз¬
виваются различные организмы. Как правило,
каждое данное поколение растений или живот¬
ных развивается во многом так же, как и его
предшественники, в особенности ближайшие.
«Воспроизведение себе подобных есть общая
4

характерная черта любого живого тела»
(Т. Д. Лысенко).
В тех случаях, когда организм находит в
окружающей среде условия, соответствующие
его наследственности, развитие организма идет
так же, как оно проходило в предыдущих по¬
колениях. Когда же организмы не находят нуж¬
ных им условий и вынужденно ассимилируют
условия внешней среды, в той или иной сте¬
пени не соответствующие их природе, полу¬
чаются организмы или отдельные участки их
тела более или менее отличные от предше¬
ствующего поколения. Если измененный уча¬
сток тела является исходным для нового поко¬
ления, то последнее будет уже по своим по¬
требностям, по своей природе в той или иной
степени отличаться от предшествующих поко¬
лений. Причиной изменения природы живого
тела является изменение типа ассимиляции, ти¬
па обмена веществ. Половые клетки и любые
другие клетки, которыми размножаются орга¬
низмы, получаются в результате развития все¬
го организма путем превращения, путем обме¬
на веществ. Пройденный организмом путь раз¬
вития как бы аккумулирован в исходных для
нового поколения клетках.
В развитии растительных организмов акад.
Т. Д. Лысенко считает необходимым различать
два рода качественных изменений:
1. Изменения, связанные с процессом осуще¬
ствления индивидуального цикла развития, ког¬
да природные потребности, т. е. наследствен¬
ность, нормально удовлетворяются соответству¬
ющими условиями внешней среды. В результате
получается тело такой же породы, наследствен¬
ности, как и .предшествующие поколения.
2. Изменения природы, т. е. изменения на¬
следственности. Эти изменения также являются
результатом индивидуального развития, но укло¬
ненного от нормального, обычного хода. Изме¬
нение наследственности обычно является резуль¬
татом развития организма в условиях внешней
среды, в той или иной мере не соответству¬
ющих природным потребностям данной орга¬
нической формы.
Изменения условий жизни вынуждают изме¬
няться сам тип развития растительных организ¬
мов. Видоизмененный тип развития является, та¬
ким образом, первопричиной изменения наслед¬
ственности. Организмы, а отсюда и их природа,
создаются, подчеркивает акад. Т. Д. Лысенко,
только в Процессе развития. Конечно, замечает
он, и вне развития живое тело также может
изменяться (ожог, поломка суставов, обрыв кор¬
ней и т. п.), но эти изменения, однако, не бу¬
дут характерными, необходимыми для жизнен¬
ного процесса и потому не могут стать наслед¬
ственными. В этой связи становится очевидной
вся нелепость постановки Вейсманом (для по¬
лучения «неопровержимого» доказательства не-
наследственности благоприобретенных призна¬
ков) таких «опытов», как обрубание хвостов
у последовательного ряда поколений мышей.
Вейсманисты категорически отрицали возмож¬
ность получения гибридов вегетативным пугем,
так как вполне отдавали себе отчет в том, что
такая возможность нацело опровергает их хро¬
мосомную теорию наследственности и доказы¬
вает правильность мичуринского пониманья на¬
следственности. Между тем И. В. Мичурин и
его последователи нашли способы массового по¬
лучения вегетативных гибридов. В случае при¬
вивок подвой и привой, очевидно, не могут об¬
мениваться хромосомами, и все же наследствен¬
ные свойства передаются из подвоя в привой
и обратно. Следовательно, указывает акад.
Т. Д. Лысенко, пластические вещества, выра¬
батываемые привсем и подвоем, так же, как и
хромосомы, как и любая частичка живого тела,
обладают породными свойствами, им присуща
определенная наследственность.
Путем прививки или скрещивания, а также
путем воздействия условиями внешней среды в
определенные моменты развития организма мож¬
но «расшатать» его природу, т. е. ликвидиро¬
вать его консерватизм, ослабить его избира¬
тельность в отношении условий внешней среды.
Выращивая такие пластичные растительные фор¬
мы в тех условиях, потребность или приспо¬
собленность к которым требуется вырабатывать
и закреплять у данных организмов, можно на¬
правленно изменить их природу, их наслед¬
ственные свойства. Далеко не всегда этого
можно добиться сразу. Обычно требуется по¬
вторное все усиливающееся воздействие в опре¬
деленном направлении на несколько (2 — 8) по¬
следовательных поколений организмов, чтобы
получить нужный результат.
По мнению акад. Т. Д. Лысенко, биологиче¬
ская значимость процесса оплодотворения (сли¬
яния женских и мужских половых клеток) за¬
ключается в том, что таким образом получа¬
ются организмы с двойственной наследственно¬
стью: материнской и отцовской. Двойственная
наследственность обусловливает большую жиз¬
ненность организмов и более широкую ампли¬
туду их приспособленности к варьирующим ус¬
ловиям жизни. Полезностью обогащения наслед¬
ственности, указывает акад. Т. Д. Лысенко, и
определяется биологическая необходимость скре¬
щивания форм, хотя бы Легка различающихся
между собой. Не только в пределах сорта, да¬
же в пределах «чистой линии» цель я предста¬
вить себе наличия двух организмов с абсолют¬
но одинаковой наследственностью. Вот почему
внутрисортовое скрещивание, вопреки мнению
вейсманистов, может давать и действительно дает
положительный эффект, ведет к улучшению по¬
5

родных свойств сорта, к повышению его уро¬
жайности.
Обновление, усиление жизненности раститель¬
ных форм может идти и вегетативным, неполо¬
вым путем через ассимиляцию живым телом-но¬
вых, необычных для него условий внешней сре¬
ды. Управляя условиями внешней среды, усло¬
виями жизни растительных организмов, можно
направленно изменять, создавать сорта с нуж¬
ной нам наследственностью.
Умелой гибридизацией можно сразу объеди¬
нить в одном организме то, что ассимилирова¬
лось и закреплялось у взятых для скрещивания
пород многими поколениями. Но никакая гибри¬
дизация не даст положительных результатов,
если не будет создано условий, способствующих
развитию тех свойств, наследуемость которых
хотят получить у выводимого или у улучшае¬
мого сорта. Поэтому, процессом оплодотворе¬
ния, операцией скрещивания не завершается
творческая работа селекционера по выведению
сорта, а только еще начинается. Игнорирова¬
нием этого в первую очередь и объясняются
почти сплошные неудачи, постигшие селекцио¬
неров-менделистов (вейсманистов) в их попыт¬
ках путем гибридизации вывести нужные
сорта.
Таковы основные положения мичуринской био¬
логической науки, развитые и обоснованные
акад. Т. Д. Лысенко в его докладе на сессии.
Достаточно сопоставить их с положениями, за¬
щищаемыми вейсманистами, чтобы стало совер¬
шенно очевидным, что эти два направления в
биологии разделяет непроходимая пропасть. Уча¬
стники сессии в своих выступлениях привели
обширный и разнообразный опытно-эксперимен¬
тальный материал, подтверждающий жизненную
правду и действенность мичуринской науки.
Мичуринское направление в биологии представ¬
ляет собой качественно новую, высшую ступень
в развитии дарвинизма. Очищенный от ошибок
Дарвина, обогащенный творческим учением
И. В. Мичурина о развитии растений и В. Р. Виль¬
ямса о почвообразовании и путях прогрессив¬
ного повышения плодородия почвы, дарвинизм
приобрел великую действенную силу, стал мощ¬
ным орудием активного, планомерного преобра¬
зования живой природы. Опираясь на эту пе¬
редовую теорию, советская агрономия мобили¬
зует свои силы для успешного решения задач,
поставленных нашей партией и правительством
перед работниками сельского хозяйства.
Значение сессии выходит далеко за пределы
биологических наук. Доклад Т. Д. Лысенко, пре¬
ния, развернувшиеся на сессии, и вынесенные
решения имеют глубокое политическое, научное
и практическое значение для всех работников
культурного фронта, в частности и в особен¬
ности для преподавателей—воспитателей моло¬
дого поколения.
Они ярко освещают с марксистско-ленинских
позиций перед советской общественностью совре¬
менное состояние биологической науки, они по¬
вышают общий культурный уровень советского
работника, ибо биология является естественно¬
научной основой марксистско-ленинского миро¬
воззрения. Они наглядно демонстрируют всю си¬
лу и действенность принципа единства теории
и практики: блестящие практические достиже¬
ния, основанные на передовой мичуринской био¬
логической науке, с одной стороны, и бесплод¬
ность, беспомощность в этом отношении лож¬
ной теории вейсманистов.
Они показывают всю опасность, ве’сь вред,
которые таит в себе рабское преклонение пе¬
ред буржуазной наукой, некритическое прия¬
тие «открытий» и «теорий» западноевропейских
ученых и одновременно недооценку заслуг и до¬
стижений лучших представителей отечественной
науки.
Все эти положения целиком и полностью мо¬
гут быть отнесены к любой научной отрасли
и тем более к математике, где великие дости¬
жения русских ученых изумляют езсь мир.
Труды сессии помогают формированию и раз¬
витию нового типа человека, человека социали¬
стического общества, человека сталинской эпохи,
характерными чертами которого является твор¬
ческий, активный подход к природе, дерзание
и инициатива в труде.
Изучив труды сессии, каждый педагог глубже
поймет свои задачи как воспитателя советской
молодежи и свою ответственность перед роди¬
ной за формирование молодого поколения, за
выработку в нем ценнейших качеств советского
человека — человека, преобразующего общество
и природу. В трудах сессии он найдет и бога¬
тейший материал для этой своей воспитатель¬
ной работы с советской молодежью.

ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
МАТЕМАТИКА И ЕЕ ПРЕПОДАВАНИЕ В РОССИИ XV1I-XIX вв.
Проф. А. П. ЮШКЕВИЧ (Москва)
Продолжение
Петербургская математическая школа
На основе успехов в области просвещения,
постепенного усовершенствования университет¬
ского образования и роста общественной актив¬
ности русская математика испытала в послед¬
нее полустолетие перед Великой Октябрьской
■социалистической революцией новый подъем.
Как мы знаем, выдающаяся роль в прогрессе
русской математики во второй половине XIX в.
выпала на долю академика П. Л. Чебышева и
лично и в качестве основателя Петербургской
математической школы. Возникновение новой
математической школы в Петербурге явилось
важнейшим фактом истории русской математики
в рассматриваемый период времени, оказавшим
огромное влияние на развитие математической
мысли в направлениях теории чисел, теории
вероятностей и некоторых разделов анализа*.
Но одновременно или почти одновременно с
этой школой в других университетских центрах
России стали возникать и другие научные на¬
правления. Так, в Московском университете и
тесно с ним связанном Московском математи¬
ческом обществе начинаются исследования по
дифференциальной и проективной геометрии,
первоначально зародившиеся несколько ранее
в Дерпте (ныне Тарту). В университетах Казани
и Харькова ряд ученых также разрабатывает
вопросы высшей геометрии, в том числе (в
Казани) и неевклидовой; там же проводится
* Было бы правильнее говорить о второй Петер¬
бургской математической школе, ибо еще в XVIII в.
в прежней столице нашей родины работало возглав¬
лявшееся Эйлером содружество математиков: ака¬
демики Румовский, Котельников, Фусс, Лексель,
Шуберт, позже Гурьев и др.
ряд работ по теории дифференциальных урав¬
нений, как обыкновенных, так и с частными
производными, которые часто переплетаются
с аналогичными работами чебыидвской школы.
Разнообразные вопросы анализа и геометрии
изучаются также и москвичами и деятелями
более молодых университетов: Киевского, ос¬
нованного в 1834 г., и Новороссийского, ныне
Одесского, основанного в 1865 г. Возникнове¬
ние научных коллективов, пришедших на смену
отдельным замечательным новаторам первой
половины XIX в., было первой характерной
особенностью этого времени.
Другой характерной чертой рассматриваемого
периода явилось существенное и все нарастав¬
шее расширение круга-математических интере¬
сов русских ученых. Со временем значительно
расширяется проблематика самой Петербургской
математической школы, распространившись в
теории чисел на теорию квадратичных форм и
теорию алгебраических чисел, в области ана¬
лиза — на теорию уравнений с частными произ¬
водными и приводящиеся к ним задачи меха¬
ники и математической физики. Московские
математики в начале XIX в. включили в круг
своих занятий проблематику теории функций
действительного переменного и некоторые
проблемы классического анализа. В Киеве в
это же время заложен был первый фундамент
новой алгебраической и теоретико-групповой
школы; в Одессе проведены исследования по
основаниям геометрии; работа по алгебре на¬
чалась и в самом молодом из дореволюционных
университетов — Томском, основанном в 1888 г.
Мы ознакомимся здесь прежде всего с не¬
которыми важнейшими достижениями школы
академика Чебышева, в основном составившейся
7

из питомцев Петербургского университета, но
привлекшей в свои ряды и московских, и казан¬
ских, и харьковских математиков.
1. А. Н. Коркин, Е. И. Золотарев,
Г. Ф. Вороной. К поколению старших учени¬
ков Чебышева принадлежал прежде всего
Александр Николаевич Коркин. А. Н. Коркин
родился 19 февраля 1837 г. в семье зажиточного
крестьянина Вологодской губернии. По оконча¬
нии гимназии в Вологде Коркин в 1854 г. по¬
ступил на математическое отделение Петербург¬
ского университета, где слушал лекции Чебы¬
шева, Буняковского, Сомова, знаменитого
физика Ленца и др. Его студенческая работа
«О наибольших и наименьших величинах» по¬
лучила лестный отзыв Буняковского, была пре¬
мирована золотой медалью и вместе с тем
явилась его первым печатным трудом: она была
опубликована в „Студенческом сборнике" 1857 г.
По окончании университета в 1858 г. Коркин
занялся преподаванием в кадетском корпусе, а
параллельно подготовил магистерскую диссерта¬
цию «Об определении произвольных функций
в интегралах линейных уравнений с частными
производными», после защиты которой в 1860 г.
приступил к чтению лекций в Петербургском
университете. Докторская диссертация его
1868 г., принадлежавшая к той же области
математики («О совокупных уравнениях с част¬
ными производными второго порядка и неко¬
торых вопросах механики»), принесла ему
звание профессора.
В Петербургском университете Коркин про¬
работал без малого пятьдесят лет, до года
кончины его, последовавшей в 1908 г. Заместив
сперва в качестве лектора Буняковского, а
затем и Чебышева, Коркин на протяжении
своей рекордной по длительности профессор¬
ской деятельности вел курсы почти по всем ма¬
тематическим дисциплинам, начиная от сфери¬
ческой тригонометрии и начертательной гео¬
метрии и кончая специальными разделами клас¬
сического анализа. В течение трех десятилетий
он вел также курс дифференциального и инте¬
грального исчислений в Морской академии.
Один из лучших учеников Коркина — академик
А. Н. Крылов, заменивший его в 1900 г. в
Морской академии,.с благодарностью вспоминал
о своем учителе: «Как на русском, так и на
иностранных языках существовало множество
курсов дифференциального и интегрального
исчислений, но Коркин не придерживался ни
одного из них, и, можно сказать, не столько
читал, как диктовал нам свой совершенно ори¬
гинальный курс, отличавшийся особенною точ¬
ностью определений, краткостью, естествен¬
ностью и изяществом выводов всех формул,
отсутствием той излишней щепетильности и
строгости, которая не поясняет для техников,
каковыми мы были, а затемняет дело, и кото¬
рая необходима лишь для математиков, изуча¬
ющих математику как безукоризненную область
логики, а не как орудие для практических
приложений» *.
Наряду с исследованиями по интегрированию
уравнений с частными производными Коркину
принадлежит ряд важных результатов по теории
чисел, полученных им в 1871—1877 гг. сов¬
местно с его учеником Е. И. Золотаревым.
Отправляясь от работ Чебышева и Эрмита,
Коркин и Золотарев в трех мемуарах исследо¬
вали вопрос о точных границах минимумов
положительных квадратичных форм, т. е. одно¬
родных многочленов второй степени с несколь¬
кими переменными вида	при	отличном
от нуля дискриминанте (аш — действительные
числа); при этом они исправили некоторые
неточные утверждения Эрмита и вообще далеко
превзошли результаты, полученные этим выда¬
ющимся математиком. К этим мемуарам непо¬
средственно примыкала появившаяся вскоре
блестящая магистерская диссертация А. А. Мар¬
кова «О бинарных квадратичных формах поло¬
жительного определителя» (1880), под которыми
Марков понимал формы с двумя переменными
при отрицательном дискриминанте (т. е. не¬
определенные квадратичные формы), а также
некоторые работы Г. Ф. Вороного, за которыми
последовал ряд дальнейших изысканий и со¬
ветских и иностранных математиков **.
Упоминавшийся только что Егор Иванович
Золотарев (1847—1878), слушатель Чебышева
и Коркина, приват-доцент Петербургского уни¬
верситета с 1868 г., а с 1876 г. — профессор
и академик, обогатил теорию чисел не только
в учении о квадратичных формах. Отправляясь
от близкой Чебышеву проблемы об интегриру¬
емости в логарифмах эллиптических дифферен¬
циалов, приведенных к виду
	(х ~1~ A) dx
у/ Х(Х— 1)(Х — а)(х — £) ’
Золотарев пришел к созданию важнейших в
теории о делимости идеальных чисел (в док¬
торской диссертации «Теория целых комплекс¬
ных чисел с приложением к интегральному
исчислению», 1874 г.) ***. Отметив значение вве¬
дения Гауссом в теорию чисел целых комп¬
лексных чисел вида а-}-Ы, зависящих от урав-
* А. Н. К р ы л о в. Мои воспоминания, М.—Л. 1942,
стр. 78.
** О работах петербургских математиков по теории
чисел см. книгу Б. Н. Делоне, Петербургская
теория чисел, М.—Л. 1947.
*** Работы Чебышева по интегрированию алгебраи¬
ческих иррацш нальностей развиты были также в
чисто аналитическом направлении воспитанником, а
затем профессором Петербургского университета-
И. Л. Пташицким (1854—1912).
8

нения xs-{-I —0, и Куммером чисел а-\-Ьр-\-
ср2 -|- • ■ • +	причем р есть корень
уравнения деления круга xn~l -\-хп~2 -f-... -]-
х -f-1 = 0, где п — простое, Золотарев по¬
строил теорию комплексных чисел, зависящих
от корней какого-либо неприводимого урав¬
нения с целыми рациональными коэфициентами
и старшим коэфициентом, равным 1. При
этом он установил важнейшую теорему об
однозначности разложения в кольце таких чисел
на введенные им простые идеальные множи¬
тели. Эти исследования были углублены в
последующих работах Золотарева, в совокуп¬
ности своей давших стройную теорию идеаль¬
ных множителей в общих числовых алгебраи¬
ческих полях. Независимо от Золотарева и почти
одновременно с ним теорию идеальных множи¬
телей строил Р. Дедекинд, так что создателями
этого важнейшего теоретико-числового направ¬
ления, позднее разрабатывавшегося множеством
выдающихся русских и иностранных ученых,
явились оба названных математика *.
Магистерская диссертация Золотарева «Об
одном неопределенном уравнении третьей сте¬
пени» (1869) открыла, с другой стороны, об¬
ширную серию исследований наших ученых по
теории кубического поля и, в частности, глу¬
боких работ Георгия Федосеевича Вороного
(1868—1908), ученика Маркова и Сохоцкого,
а впоследствии профессора университета в
Варшаве, Вместе с русским уроженцем Г. Мин-
ковским Вороной явился создателем новой от¬
расли арифметики —■ геометрической теории
чисел, успешно развиваемой ныне рядом совет¬
ских ученых**.
2.	А. А Марков. Крупнейшим из прямых
учеников Чебышева был знаменитый математик
Андрей Андреевич Марков. А. А. Марков
родился 14 июня 1856 г. Еще будучи гимна¬
зистом, он начал самостоятельно изучать выс¬
шую математику и завязал переписку, а потом
и знакомство с Коркиным и Золотаревым, ко¬
торые, наряду с Чебышевым, явились его глав¬
ными университетскими наставниками. Универ¬
ситет Марков окончил в 1878 г. с золотой
медалью за сочинение об интегрировании диф¬
ференциальных уравнений с помощью непре-
* Сравнению и развитию теорий Золотарева и
Дедекинда посвящены были также некоторые работы
профессора и члена-корреспондента АН И. И. Ива¬
нова (1862— 1939J- Теорией делимости занимался
также проф. Юлиан Вас. Сохоцкий (1842—1927).
** В этой связи любопытно отметить, что иным
иностранным ученым дорого обходится плохое зна¬
комство с трудами русских математиков: некот1 рые
результаты Вороного они нелепым образом «пере-
чткрывают» еще почти полвека спустя. (См. статью
Б. Н. Делоне «Развитие теории чисел в России»
и «У«еных записках МГУ», вып. 91, М. 1947,
стр. 82—83.)
А. А. Марков
рывных дробей. Магистерская диссертация по
теории квадратичных форм 1880 г. принесла
Маркову приват-доцентуру в Петербургском
университете, а докторская работа «О некото¬
рых приложениях алгебраических непрерывных
дробей» 1884 г.— и профессуру. Выдающиеся
научные заслуги Маркова отмечены были уже
в 1886 г. избранием его в адъюнкты Академии
паук и четыре года спустя — в академики.
В 1905 г. Марков вышел в отставку за выслу¬
гой лет, подобно Лобачевскому, «не желая
занятием штатной должности загораживать до¬
рогу другим, более молодым силам». Но в ка¬
честве приват-доцента он продолжал чтение
отдельных курсов в университете почти до са¬
мой кончины, последовавшей 20 июля 1922 г.
Как педагог Марков отличался безукориз¬
ненной точностью и простотой изложения, всегда
обильно снабженного примерами. «Основным
свойством в преподавательской деятельности
А. А.,— говорится в одной его биографии,—
было стремление дать слушателям весь материал
курса в безупречно строгом виде; при этом
А. А. не стремился к нагромождению обиль¬
ного материала, но к заложению прочного
фундамента, на котором у его учеников строи¬
лось строго критическое отношение к изучае¬
мому материалу и к своей работе у тех из них,
кто пошел по пути самостоятельного научного
творчества. В лекциях А. А. всегда видна была
живая деятельность его острой мысли, несмотря
на то, что материал для лекций был тщательно
2 Математика в школе. № I
9

всегда обработан и подготовлен» *. Эти свой¬
ства отразились и на замечательных руковод¬
ствах Маркова. К сожалению, его курсы диф¬
ференциального и интегрального исчислений, в
отношении строгости не уступавшие лучшим
европейским руководствам конца XIX в., были
изданы только литографским путем. В печати
опубликованы были классические «Исчисление
конечных разностей» (СПБ 1889—1891; 2-е изд.,
Одесса 1911) и «Исчисление вероятностей»
(СПБ 1913; 4-е изд., М. 1924). Последнее
фундаментальное руководство с особенным
блеском соединило черты учебника, написанного
с совершенной полнотой выводов и простотой
изложения и поясненного тщательно рассчитан¬
ными примерными задачами, и оригинальной
научной монографии, включавшей исследования
автора по методу моментов, по испытаниям,
связанным в цепь, и по предельным теоремам
теории вероятностей.
Великий математик был также выдающимся
гражданином. Со смелостью и резкостью, не
так уж часто встречавшимися у «кабинетных
ученых» старого времени, Марков выступал на
борьбу с некоторыми реакционными действиями
царского правительства и его прислужников.
К числу таких проявлений гражданской актив¬
ности Маркова относятся протест в 1902 г.
против исключения М. Горького из почетных
членов Академии наук (не забудем, что это
исключение произошло по прямому распоряже¬
нию Николая II) и письмо в Синод с просьбой
отлучить его, Маркова, от православной церкви
в связи с отлучением от нее в 1901 г. Льва
Толстого.
На протяжении многих лет Марков также
вел энергичную полемику с проф. Н. А. Не¬
красовым, стремившимся подкрепить лженауч¬
ными аргументами, якобы заимствованными из
теории вероятностей, расшатанный авторитет
царского режима. Когда в 1915 г. Некрасов,
занимавший видный пост в министерстве про¬
свещения, сделал попытку ввести в этих целях
преподавание теории вероятностей в гимназиях,
Академия наук по предложению А. А. Маркова
организовала комиссию в составе его самого,
академиков А. М. Ляпунова, В. А. Стеклова,
А. Н. Крылова и др. Комиссия эта вынесла
следующее решение: «Взгляды Н. А. Некрасова
давно известны математикам, но пока они на¬
ходили место в специальных математических
журналах, их можно было считать безвредными.
Дело меняется, когда распространителем их
является официальный орган. Поэтому Ака¬
демия наук, как первенствующее ученое сос¬
ловие Российской империи (устав, § 1), могу¬
щее входить во все, касающееся просвещения
(§ 8), и обязанное иметь попечение о распро¬
странении просвещения и направлении оного
ко благу общему (§ 2, п. 6), обязана высказать
свое суждение об основных ошибках и непра¬
вильных, а потому вредных, идеях, распро¬
страняемых Н. А. Некрасовым с целью прове¬
дения их в обиход средней школы... Комис¬
сия полагает, что вышеупомянутые заблуждения,
ошибочные толкования основ науки и злоупот¬
ребление математикой с предвзятой целью пре¬
вратить науку в орудие религиозного и поли¬
тического воздействия на подрастающее поко¬
ление, проникнув в жизнь школы, принесут
непоправимый вред делу просвещения».
Научное творчество Маркова шло в направ¬
лениях, намеченных Чебышевым, но им были
выдвинуты также новые и весьма значительные
идеи. О магистерской диссертации его, посвя¬
щенной разысканию верхних границ двоичных
форм, уже упоминалось. Докторская работа
Маркова в значительной части была отведена
решению намеченного Чебышевым вопроса об
определении высшего и низшего пределов ин-
X
теграла J'f(x)dx, где а<^х<^Ь, по данным
а
значениям интегралов:
ь	ъ	ь
jf(x)dx, jxf(x)dx,..., jxmf(x)dx.
a	a	a
Обобщениям и	приложениям	того же	вопроса
посвящен	был и	ряд других	работ Маркова;
при этом	в ряде	случаев он опередил	близкие
по времени работы Стильтеса**. Не касаясь
исследований Маркова по теории непрерывных
дробей, их сходимости и т. д., а также по
приближенным вычислениям (оценки некоторых
приближенных формул,, усиление сходимости
рядов ***), мы упомянем об одной из работ по
теории функций, наименее уклоняющихся от
нуля ****.
Обобщая одну задачу, поставленную знамени¬
тым химиком Д. И. Менделеевым в труде
«Исследование водных растворов по удельному
весу», Марков в 1889 г. полностью исследовал
* См. биографический очерк в «Исчислении веро- ,
ятностей» А. А. Маркова, М. 1924, стр. IV.
** Эти исследования Маркова были обработаны и
продолжены воспитанником, позднее профессором
Петербургского университета и почетным акад.
К. А. Поссе автором ряда исследований по раз¬
личным вопросам анализа и известного курса диф¬
ференциального и интегрального исчислений (1-е
изд. 1891).
*** Ряд результатов изложен в «Исчислении ко¬
нечных разностей».
**** Основные труды Маркова по анализу собраны
в книге: А. А. Марков, Избранные труды по
теории непрерывных дробей и теории функций,
наименее уклониющихся от нуля, М.—Л. 1948.
10

вопрос о верхней границе значений производ¬
ной многочленов и-ой степени f(x), которые
при а^Х-^Ь сами лежат в границах —
^.f(x)-^-\-L. Марков решил этот вопрос
и для случая, когда х дано и когда х есть
любое число между а и Ь, показав, что верх¬
ней границей значений производной будет
2„2£
■=	. Задача Менделеева—Маркова была
Ь — а
вскоре обобщена на высшие производные бра¬
том академика Вл. А. Марковым (безвре¬
менно скончавшимся в возрасте 26 лет); ею
занимались и в наше время.
Наиболее значительными явились, однако,
исследования Маркова по теории вероятностей.
Одна группа работ Маркова посвящена была
точному обоснованию и выяснению условий
справедливости центральной (второй) предель¬
ной теоремы Чебышева, полный вывод которой
самим Чебышевым дан не был. Развивая чебы-
шевский метод моментов (математических ожи¬
даний степеней случайной величины), Марков
в 1898 г. дал строгое доказательство этой
теоремы. Однако вскоре А. М. Ляпунову уда¬
лось провести доказательство этой теоремы
в более широких предположениях ц иными
путями, чем это сделал Марков. Это побудило
А. А. Маркова к дальнейшим изысканиям,
о которых он в приложениях к «Исчислению
вероятностей» рассказывал в следующих выра
жениях: «Общность выводов в последней ра¬
боте А. М. Ляпунова далеко превзошла ту,
которая была достигнута методом математи¬
ческих ожиданий. Достигнуть столь общих
выводов методом математических ожиданий
казалось даже невозможным, ибо он основан на
рассмотрении таких математических ожиданий,
в неограниченном числе, существование которых
в случае А. М. Ляпунова не требуется. Для
восстановления поколебленного таким образом
значения метода математических ожиданий
необходимо было выяснить, что вышеупомяну-
тыми работами он далеко не исчерпан до кон¬
ца». И, действительно, Маркову удалось дока¬
зать предельную теорему Ляпунова с помощью
предпочитавшегося им метода моментов. В даль¬
нейшем советские математики внесли некоторые
дополнения в эти работы Маркова и Ляпунова
замечательные по своей 'общности и по своей
значительности для приложений к разнообраз¬
нейшим задачам механики и физики *.
Не останавливаясь на работах Маркова о
методе наименьших квадратов, отметим еще
публиковавшиеся им, начиная с 1906 г., изы¬
скания об «испытаниях, связанных в цепь».
В то время как в теоретико-вероятностных
работах предшествующего времени изучались
совокупности независимых случайных величин,
Марков ввел в рассмотрение такие последова¬
тельности случайных величин гг, z2,...,
гп,..., для которых вероятность значения ве¬
личины zn зависит от предыдущей zn—\ (про¬
стые цепи Маркова) или от нескольких пре¬
дыдущих (сложные цепи), и распространил
важнейшие теоремы, известные для схемы неза-
висимых случайных величин на эти случаи.
Сам Марков применил свои схемы лишь к изу¬
чению распределения гласных и согласных
в первых 20 000 букв текста «Евгения Онеги¬
на», и в 100000 букв из «Детских годов
Багрова-внука». Вскоре, однако, выяснилось
огромное значение созданной им теории в раз¬
нообразных проблемах статистической физики,
в которых вероятностные характеристики одних
состояний систем так или иначе зависят от им
предшествующих состояний. Советские матема¬
тики впоследствии далеко продвинули вперед
разработку теории случайных процессов**.
3.	В. Г. Имшенецкий и Н. Я. Сонин.
К Петербургской математической школе от¬
носится и ряд ученых, получивших образова¬
ние в других университетах и не столь непо¬
средственно связанных в своем творчестве
с собственно чебышевской тематикой. После
акад. Остроградского в Петербурге сравни¬
тельно мало занимались теорией дифферен¬
циальных уравнений и задачами математической
физики, — более других внимания уделил этой
проблематике А. Н. Коркин; ей посвящены
были также магистерские диссертации С. Е. Са-
вича, Г. К. Суслова, Д. А. Граве (о послед¬
нем нам придется говорить позднее). Широкий
размах работы в этой области получили в
Академии наук лишь позднее.
После Лобачевского кафедру математики
в Казанском университете возглавил его ученик
проф. А. Ф. Попов (1815—1876), бывший также
с 1866 г. чл.-корреспондентом Академии наук.
Важнейшие труды Попова относились к области
математической физики, и, вероятно, он возбу-
* Теорема Маркова—Ляпунова гласит, что для не¬
ограниченного ряда независимых случайных вели¬
чин Z|, z2,..., zn,... с математическими ожидания¬
ми я,, я2>... и дисперсиями blybit... вероятность
неравенств:
f Zj + z2-h ■. .z„ — at — a2—...—an
(£>i + b2 -p ... bn)
стремится (в некоторых дополнительных условиях)
при неограниченном возрастании п к пределу
t,
У/'
** См. приложения к «Исчислению вероятностей»
А. А. Маркова и статью Б. В. Гнеденко «Развитие
теории вероятностей в России», «Труды Института
истории естествознания АН СССР», т. П, 1948.
2*
11

дил первый интерес к теории дифференциаль¬
ных уравнений у В. Г. Имшенецкого. Василий
Григорьевич Имшеиецкий (род. в 1837 г. в
г. Ижевске), сын военного врача, окончил Ка¬
занский университет в 1853 г. и некоторое
время работал учителем в средних учебных
заведениях. Прослушанные им во время крат¬
ковременного пребывания в Париже курсы
лекций Ламэ и Бертрана по математической
физике окончательно определили круг его ин¬
тересов, и обе диссертации его—и магистер¬
ская (1864) и докторская (1868) — посвящены
были уравнениям с частными производными
1 го и 2-го порядка. О значительности этих
работ свидетельствует хотя бы тот факт, что
они вскоре после публикации были переведены
на французский язык Гуелем, профессором
в Бордо, -встречавшимся уже нам в качестве
переводчика Лобачевского.
Деятельность Имшенецкого в качестве ка¬
занского профессора математики оказалась
непродолжительной. Как и многим другим уче¬
ным XIX в., ему пришлось столкнуться с реак¬
ционным начальством, и сознание гражданского
долга побудило его подать в отставку. В на¬
чале 70-х годов прошлого столетия попечителем
Казанского округа состоял некий Шестаков,
который сам о себе писал, что за его действия
его назовут вторым Магницким. В 1871 г.
с ярким обличением ряда злоупотреблений и
безобразных поступков попечителя и поддер¬
живавшей его реакционной части профессуры
выступит знаменитый П. Ф. Лесгафт, занимав¬
ший в Казани кафедру физиологической анато¬
мии. «Дело Лесгафта» было доложено Але¬
ксандру 11, и по личному распоряжению импера¬
тора Лесгафт был уволен из университета.
Результатом этого увольнения явились сперва
запросы и прения в совете университета, а за¬
тем добровольная коллективная отставка шести
прогрессивных профессоров и среди них
Имшенецкого и выдающегося химика Марков-
никова. В одном письме Имшенецкий кратко
выразился следующим образом: «Видя, что
партия большинства подавляет и исключает
всякое проявление самостоятельного, основан¬
ного на законах, отношения к делу остальной
группы членов, я делал вместе с другими по¬
пытки получить удовлетворительный выход
из этого невыносимого положения, но эти по¬
пытки привели только к тому, что наши поня¬
тия о праве и правде втоптаны в грязь и
положение настолько ухудшилось, что всем
нам стало очевидно невозможно оставаться
далее в Университете, не поступившись своим
человеческим достоинством».
Проведя два трудных года в работе не по
специальности (в банке), Имшенецкий был
избран профессором Харьковского универси¬
тета, где в течение шести лет вел активную
педагогическую работу и, в частности, органи¬
зовал математическое общество. В 1881 г. он
был избран академиком и вскоре переехал
в столицу. В Петербурге он продолжал пре¬
подавательскую, научную (обобщения функций
Я. Бернулли) и общественную деятельность
(учреждение Петербургского математического
общества) и скончался в 1892 г*.
Из Московского университета, кроме самого
Чебышева и акад. Ив. Иосиф. Сомова (1815 —
1878), главные научные работы которого отно¬
сились к механике, вышел еще один видный
представитель Петербургской математической
школы — Николай Яковлевич Сонин (1849—
1915). Окончив Московский университет в
1869 г., Сонин вскоре защитил магистерскую
диссертацию о разложениях в ряды по сфери¬
ческим и цилиндрическим функциям, а в 1874 г.
докторскую диссертацию «Об интегрировании
уравнений с частными производными второго
порядка» («Математический сборник», т. VII),
которую проф. Энгель 23 года спустя опубли¬
ковал на немецком языке. Работа эта была
посвящена установлению некоторых теорем
существования и усовершенствованию метода
интегрирования Дарбу. С 1872 г. Сонин рабо¬
тал в Варшавском университете, а в 1893 г.
был избран академиком. Кроме трудов по тео¬
рии дифференциальных уравнений, Сонину
принадлежит много других работ по во¬
просам анализа — по специальным, особенно
бесселевым функциям, по оценке остаточных
членов формул суммирования Эйлера и Стир¬
линга и т. д.; некоторые мемуары Сонина
дополняли и развивали исследования Чебышева
(например, об определении предельных значе¬
ний интегралов): вместе с А. А. Марковым
Сонин также издал первое собрание сочинений
Чебышева.
4.	С. В. Ковалевская. Теории дифферен¬
циальных уравнений и их приложениям были
посвящены также замечательные работы вели¬
чайшей среди женщнн-математиков — Софьи
Васильевны Ковалевской. Ковалевская родилась
15 января 1850 г. в семье артиллерийского
генерала. Математика заинтересовала необык¬
новенно одаренную девочку весьма рано, но
в тогдашней России женщинам доступ в уни¬
верситет был закрыт, и для получения спе¬
циального высшего образования 19-летняя С. В.
вместе с своим мужем, впоследствии знамени¬
тым палеонтологом В. О. Ковалевским, уехала
за границу. Трудности встречались С. В. Ко-
* См. К. А. Андреев, Василий Григорьевич
Имшенецкий, Харьков 1892 и статью А. В. В а-
сильева в «БиографичЯжом словаре профессоров
и преподавателей Казанского университета», под
ред. проф. Н. И. Загоскина, Казань 1904.
12

валевскэй на всем ее жизненном пути: в Бер¬
линский университет ее также не допустили.
Тогда она обратилась к известному математику
Вейерштрассу с просьбой помочь ей в заня¬
тиях. Вейерштрасс был лично противником
допущения женщин в университеты. Лишь
яркий талант, продемонстрированный молодой
женщиной в решении предложенных ей ма¬
ститым ученым задач, убедил его согласиться
на ее просьбу. Вскоре же Вейерштрасс мог
сказать о молодой женщине: «Я имел очень
немногих учеников, которые могли бы срав¬
ниться с ней по прилежанию, способностям,
усердию и увлечению наукой».
В 1874 г. Ковалевская представила в Гет¬
тингенский университет диссертацию («К тео¬
рии дифференциальных уравнений с частными
производными»), в которой доказала важ¬
ную теорему о существовании решения у
весьма широкого класса систем уравнени1
с частными производными, разрешенных отно¬
сительно старших производных. Теорему эту
можно найти теперь в каждом солидном руко¬
водстве по теории дифференциальных уравне¬
ний в частных производных.
Попытки Ковалевской по возвращении на
родину найти приложение своим силам увен¬
чались неудачей. Министр просвещения не раз¬
решил ей даже, несмотря на ходатайство про¬
фессуры, держать магистерские экзамены при
Московском университете. Почти столь же
трудно оказалось получить профессуру и за¬
границей, и только в 1883 г. она была при¬
глашена профессором университета в Стокгольм.
С этого времени С. В. вновь с увлечением от¬
далась научной работе, совмещая ее с чтением
лекций, неизменно имевших громкий успех. В этот
второй период деятельности Ковалевской она по¬
лучила новые выдающиеся результаты. На 1888 г.
Парижская академия наук объявила конкурс
по вопросу о движении твердого тела вокруг
неподвижной точки, — вопросу, частные случаи
которого разобрали в свое время Эйлер, Лаг¬
ранж и др. Работа Ковалевской, представленная
под девизом: «Говори, что знаешь, делай, что
обязан; будь чему быть», была признана на¬
столько капитальной, что премия специально
была увеличена с 3000 франков до 5000.
В этом исследовании Ковалевская чрезвычайно
существенно продвинула исследование постав¬
ленной задачи и с помощью гиперэллиптических
функций получила решение для рассмотренного
ею случая в конечном виде.
Перечисленные и иные работы Ковалевской
(об абелевых интегралах, о преломлении света
в кристаллических средах и т. д.) снискали
Ковалевской мировую славу. По инициативе
Чебышева Петербургская академия наук избра¬
ла в 1889 г. С. В. Ковалевскую своим членом-
c. В. Ковалевская
корреспондентом, по поводу чего П. Л. Чебы¬
шев в приветственной телеграмме на ее имя
писал: «Наша Академия наук только что из¬
брала Вас членом-корреспондентом, допустив
этим нововведение, которому не было до сих
пор прецедента. Я очень счастлив видеть испол¬
ненным одно из моих самых пламенных и спра¬
ведливых желаний». Однако и после этого изб¬
рания Ковалевской пришлось столкнуться
с оскорбительными для женщины чертами цар¬
ского режима: когда она выразила желание
принять в своем новом звании участие в засе¬
даниях математического отделения Академии
наук, ей в этом, как женщине, было отказано.
Скончалась С. В. от воспаления легких 10 фев¬
раля 1891 г.* в расцвете сил и новых творческих
начинаний.
5.	А. М. Ляпунов. Наиболее крупные до¬
стижения в теории дифференциальных уравне¬
ний были получены на рубеже XIX и XX вв.
наиболее крупным же и оригинальным среди
учеников Чебышева — А. М. Ляпуновым.
Александр Михайлович Ляпунов родился
6 июня 1857 г. в семье директора Ярославского
лицея М. В. Ляпунова, до того работавшего
астрономом в Казанском университете. Окончив
в 1876 г. гимназию с золотой медалью, А. М.
поступил на физико-математический факультет
Петербургского университета, который в 1880 г.
* Научные труды С. В. Ковалевской еыходят сей¬
час в издании АН СССР. Там же см. ее биогрз-
фию, написанную П. Полубариновой —Кочиной.
13

окончил также с золотой медалью за работу по
гидродинамике. Особенно сильное влияние на
молодого Ляпунова оказывал, естественным об¬
разом, Чебышев. Чебышев же поставил перед
А.	М. Ляпуновым ту знаменитую задачу, с ко¬
торой были связаны наиболее значительные от¬
крытия последнего.
Уже магистерская диссертация Ляпунова «Об
устойчивости эллипсоидальных форм равновесия
вращающейся жидкости» (СПБ 1884) представ-
ллла собой частичное решение этой чебышев-
ской задачи. Речь шла о следующем. Ученые
издавна занимались проблемой о возможных фи¬
гурах равновесия вращающейся жидкой од¬
нородной массы в >словиях ньютонова закона тя¬
готения: проблема эта имела прежде всего важ¬
нейшее значение для астрономии и, в частности,
космогонии. Усилия многих первоклассных уче¬
ных (среди них Маклорена, Лапласа, Якоби),
продвинув несколько исследование вопроса, от¬
нюдь не довели его до завершения. Между про¬
чим, еще Маклореном было установлено нали¬
чие фигур равновесия, имеющих форму эллип¬
соидов вращения. Вот эту-то задачу неодно¬
кратно ставил перед своими младшими сотова¬
рищами, в том числе Золотаревым и Ковалев¬
ской, Чебышев, сформулировавший ее в следу¬
ющих выражениях:
«Известно, что жидкая однородная масса,
частицы которой притягиваются по закону Нью¬
тона и которая вращается равномерно около
некоторой оси, может сохранить форму эллип¬
соида, пока угловая скорость со не превосходит
некоторого предела. Для значений ш, больших
этого предела, эллипсоидальные фигуры равно¬
весия становятся невозможными. Пусть ш—ка¬
кое-либо значение угловой скорости, которой
соответствует эллипсоид равновесия Е. Даем уг¬
ловой скорости достаточно малое приращение е.
Спрашивается, существуют ли для угловой ско¬
рости ш-]-е иные фигуры равновесия, отличные
от эллипсоидальных, непрерывно изменяющиеся
при непрерывном изменении е, и при е = О,
совпадающие с эллипсоидом £?».
Работая над проблемой Чебышева в 1882—
1883 гг., Ляпунов получил решение вопроса
сперва только в первом приближении. В чет¬
вертом тезисе своей магистерской диссертации
он писал: «Для всякого целого п, превосходя¬
щего 2, между эллипсоидами Якоби можно най¬
ти по крайней мере один, а между эллипсоида¬
ми Маклорена Е (—ту—) ^ т. е. целую часть
—у—-—А. Ютаких, к которым бесконечно
близки некоторые алгебраические поверхно¬
сти п-го порядка, для которых можно в первом
приближении удовлетворить условию равнове¬
сия». Однако, не сумев еще найти лучших при¬
ближений, он не опубликовал, исследования,
приведшего к указанному результату, ограни¬
чившись формулировкой этого тезиса. Основ¬
ное содержание диссертации было посвящено
иным, хотя и родственным вопросам*. В этом
добровольном отказе от публикации уже най¬
денных интересных открытий сказалась исклю¬
чительная скромность и требовательность к са¬
мому себе А. М. Ляпунова, которые он прояв¬
лял и в дальнейшем.
Для оценки полученного Ляпуновым частич¬
ного решения задачи Чебышева интересно ука¬
зать, что несколько лет спустя выдающийся
французский ученый А. Пуанкаре опубликовал
мемуар «О равновесии жидкой вращающейся
массы» (1886), в котором вновь получил пер¬
вое приближение к решению той же задачи.
Результат Пуанкаре произвел сильнейшее впе¬
чатление на ученый мир Европы. Через год он
был избран членом Парижской академии, а в
1890 г. Лондонское королевское общество при¬
судило ему золотую медаль, при поднесении
которой президент общества Дж. Дарвин на¬
звал мемуар Пуанкаре, основной вывод кото¬
рого был уже предварен Ляпуновым, «как бы
откровением».
В.	А. Стеклов в связи с этим так охаракте¬
ризовал коренное различие в требованиях, предъ¬
являвшихся русским и французским геометрами
к математическим теориям. Пуанкаре, нередко
получавший свои результаты при помощи не¬
строгих рассуждений или простых аналогий, ис¬
ходил из того, что в механике нельзя требо¬
вать такой же строгости, как в чистом анализе,
между тем как Ляпунов в одной позднейшей
работе на ту же тему сказал следующее: «Не¬
позволительно пользоваться сомнительными суж¬
дениями, коль скоро мы решаем определенную
задачу, будь то задача механики или физики —
все равно, как только задача поставлена совер¬
шенно определенно с точки зрения математики,
она становится тогда задачей чистого анализа
и должна трактоваться как таковая». Насколько
прав был при этом Ляпунов, продемонстриро¬
вала дальнейшая история вопроса. Исходя из
первых приближений Пуанкаре, только что упо¬
минавшийся Дж. Дарвин пришел к заключению
об устойчивости так называемых грушевидных
форм равновесия. Между тем из более совершен¬
ных методов, развитых позднее Ляпуновым,
вытекало, как показал он в своей полемике
с Дарвином, что эти формы—неустойчивые и
что результат Дарвина неверен.
Через год после защиты магистерской диссер¬
тации Ляпунов переехал в Харьков, где осво¬
бодилась с отъездом Имшенецкого вакансия, и
* Магистерская диссертация Ляпунова была пе¬
реведена на французский язык 20 лет спустя.
.■14

■начал активную педагогическую и научную дея¬
тельность в университете и в математическом
обществе, в котором с 1891 по 1899 гг. состоял
товарищем председателя, а в 1899—1901 гг.—
председателем. Отказавшись по скромности от
предложенной ему должности и. о. профессора,
он долгие годы работал доцентом. К чтению
лекций и подготовке их конспектов он отно¬
сился с поразительной тщательностью и авто¬
ритетом среди студенчества пользовался огром¬
ным. Его ученик В. А. Стеклов вспоминал:
«А. М. занял совершенно особое положение
в глазах студентов: к нему стали относиться
с исключительно почтительным уважением. Боль¬
шинство, которому не чужды были интересы
науки, стало напрягать все силы, чтобы хоть
немного приблизиться к той высоте, на кото¬
рую вел А. М. своих слушателей Развился осо¬
бый стыд перед ним за свое незнание; боль¬
шинство не решалось даже заговаривать с ним
единственно из опасения обнаружить перед ним
свое невежество. Благодаря этому получилась
даже довольно своеобразная организация: курс
выдвинул как бы одного уполномоченного, к ко¬
торому товарищи обращались со своими недо¬
разумениями, а это одно лицо должно было уже
от себя лично вести работы с А. М., приняв
на себя обязанность за всех краснеть от стыда
в случае какого-либо явного промаха».
В 1892 г. А. М. Ляпунов защитил в Москов¬
ском университете при оппонентах Н. Е. Жу¬
ковском и Б. К. Млодзеевском докторскую
диссертацию «Общая задача об устойчивости
движения» (Харьков, 1892), через 16 лет пере¬
веденную на французский язык, ибо изложен¬
ные в ней открытия иностранным ученым оста¬
вались неизвестными. В этой фундаментальной
работе, составившей эпоху в развитии теории
дифференциальных уравнений и механики, Ляпу¬
нов впервые точно и правильно поставил самую
задачу об устойчивости и весьма далеко про¬
двинул ее решение для ряда важных случаев.
Одновременно с Пуанкаре он заложил вместе
с тем основы качественной теории дифферен¬
циальных уравнений, целью которой является,
не проводя интегрирования данного уравнения,
дать по свойствам правой части уравнения ха¬
рактеристику поведения интегральных кривых,
расположения особых точек и т. д. в полной
области их существования. Основное отличие
результатов обоих математиков состояло в том,
что у Пуанкаре задача ставилась несколько ши¬
ре, но решалась менее строго, чем у Ляпунова.
В 1893 г. Ляпунов получил звание профессо¬
ра, в 1900 — был избран членом-корреспонден-
том Академии наук, а в конце 1901—академи¬
ком, на вакансию, остававшуюся незамещенной
после кончины его учителя Чебышева. Парал¬
лельно с работами по устойчивости он некото-
А.	М. Ляпунов
рое время занимался отдельными задачами ма¬
тематической физики (теория потенциала) и,
в связи с чтением курса теории вероятностей,
уже упоминавшимися исследованиями централь¬
ной предельной теоремы. Последние 15 лет он
посвятил глубокому анализу той же задачи Че¬
бышева, которая явилась отправным пунктом
его первых научных работ и, между прочим,
подверг разрушительной критике ошибочные ра¬
боты Дж. Дарвина. Скончался А. М. Ляпунов
3 ноября 1918 г. в Одессе, куда переехал ле¬
том 1917 г. для лечения жены. Заслуги А. М. Ля¬
пунова перед наукой отмечены избранием его
также членом ряда иностранных академий и
обществ. Труды его продолжаются и сейчас
многочисленными советскими учеными*.
Академик Ляпунов обогатил тематику Пе¬
тербургской школы новыми проблемами огром¬
ного теоретического и прикладного значения.
Вместе с тем, в отличие от академика Маркова,
он пользовался новыми, чуждыми классическо¬
му чебышевскому направлению методами. Раз¬
личие между обоими великими учениками П. Л. Че¬
бышева, в связи с их работами по теории веро¬
ятностей, подчеркнул акад. С. Н. Бернштейн:
* См. А. М. Ляпунов, Избранные труды, ре¬
дакция акад. В. И. Смирнова. Л, 1948 и помещен¬
ные в этом издании статьи В. И. Смирнова о жизни
и научных трудах Ляпунова, а также статью
Н.	Д. Моисеева. А. М. Ляпунов и его труды
по теории устойчивости, «Ученые записки МГУ»,
вып. 91, М. 1947.'
15

«Несомненно,—писал он, — самым ярким выра¬
зителем идей и направления Чебышева был
А.	А. Марков, наиболее близкий своему учите¬
лю по характеру и остроте своего математиче¬
ского дарования... А. М. Ляпунов, как из¬
вестно, был также одним из ближайших учени¬
ков Чебышева, испытавшим на себе его глубо¬
кое влияние. Известно, например, что проблема
фигур равновесия вращающейся жидкости, кото¬
рая занимает центральное место в исследовани¬
ях Ляпунова, была ему предложена Чебышевым,
что свидетельствует, между прочим, о том, что
интересы Чебышева выходили за пределы об¬
ластей математики, в которых проявилось его
личное оригинальное творчество. Однако влия¬
ние Чебышева на Ляпунова, который по силе да¬
рования не уступал ни одному из своих совре¬
менников как в России, так и на Западе, не
было столь исключительным. Ляпунов лучше
других представителей Петербургской школы
понимал и умел ценить достижения западноев¬
ропейских математиков второй половины прош¬
лого столетия, которые ввели в точные рамки
методы классического «трансцендентного» ана¬
лиза, сделав их не менее надежными, чем алгеб¬
раические методы Чебышева. Именно это обстоя¬
тельство было причиной того, что Ляпунов бо¬
лее независимо подходил к проблемам Чебыше¬
ва, чем другие его ученики» *. В этом обстоя-
* См. сб. «Научное наследие П. Л. Чебышева >,
вып. I, М. — Л. 1945, стр. 59, 61 — 62.
-  1
В. А, Стеклов
тельстве была одна из выдающихся заслуг Ля¬
пунова, который первый в Петербургской шко¬
ле приступил к преодолению некоторых ее ог¬
раниченностей, стоявших препятствием на пути
к дальнейшему творческому подъему**.
6.	В. А. Стеклов. Если Казанский универ¬
ситет пополнил ряды Петербургской школы
Имшенецким, а Московский — Сониным, то из
Харьковского университета вышел академик
В.	А. Стеклов. Владимир Андреевич Стеклов
родился в семье священника в 1863 г. Про¬
учившись один год в Московском университе¬
те, он, после некоторого перерыва, поступил
на физико-математический факультет в Харь¬
кове, где, начиная с третьего курса, стал за¬
ниматься под руководством А. М. Ляпунова.
Университет он закончил в 1887 г. и остался
работать ассистентом на кафедре механики. Ма¬
гистерская диссертация его в 1894 г. была по
механике, а за нею последовал ряд работ,
частью выполненных совместно с Ляпуновым,
посвященных задачам математической физики,
ставшей затем основной специальностью Стек-
лова. Докторская диссертация его «Общие ме¬
тоды решения задач математической физики 5
(Харьков, 1902) вместе с некоторыми предше¬
ствующими мемуарами принесла Стеклову ши¬
рокую известность.
Наряду с педагогической деятельностью
В.	А. Стеклов вел в Харькове большую об¬
щественную и административную работу.
В 1902—1906 гг. он состоял председателем
местного математического общества, участвовал
в разработке нового университетского устава,
работал деканом и т. д. В 1903 г. он был
избран членом-корреспондентом Академии наук,
в 1906 г. переехал на работу в Петербургский
университет, а в 1910 г. был избран адъюнктом
и, наконец, в 1912 г.—членом Академии наук.
Важная часть жизни В. А. Стеклова пала
уже на советское время. В 1919 г. он был из¬
бран вице-президентом Академии наук и на
этом посту проявил большую энергию. Быть
может, особенной заслугой его при этом яви¬
лась организация Физико-математического ин¬
ститута, который уже после его смерти (1926)
был в 1932 г. разделен на два руководящих
научных учреждения: Физический институт име¬
ни П. Н. Лебедева и Математический институт
имени В. А. Стеклова/
Академик Стеклов являлся одним из ярких
математиков-прикладников и в ряде своих вы¬
** Для старшего поколения Петербургской школы
было характерно отсутствие интереса к методам
теории функций комплексного переменного, повой
теории функций действительного переменного, про¬
блемам аксиоматики и т. п. — все это в глазах его
представителей было своего рода математическим!
декадентством.

ступлений горячо пропагандировал, подобно
П. Л. Чебышеву, важность соединения теории
и практики. Научная его деятельность являлась
примером такого единства: основные математи¬
ческие исследования его принадлежали к части
прикладной математики. Искренний и горячий
патриот, он был большим любителем русской
культуры и, между прочим, русской музыки
(в молодости у Стеклова был сильный и кра¬
сивый голос). Ученый по преимуществу, он не
замыкался в кругу чисто научных проблем и
наряду с большой организационной деятель¬
ностью в Академии участвовал в работах Ко¬
митета науки при Совнаркоме, в комиссии Гос¬
плана по изучению производительных сил
и т. д.
Важнейшие работы Стеклова посвящены бы¬
ли уравнениям с частными производными и за¬
дачам математической физики. В них исследо¬
ваны были разнообразные разложения функций
в ряды по данным системам ортогональных
функций; при этом особенное значение имели
исследования по теории замкнутости, самое по¬
нятие о которой впервые детально исследовал
и использовал именно Стеклов. Другие работы
его относились к приближенным вычислениям,
формулам суммирования и т. д. В частности,
в 1917 —1919 гг. он опубликовал несколько
работ, в которых дал весьма полный раз¬
бор формул приближенного интегрирования
с помощью механических квадратур. И все его
труды характерным образом сочетали, как и ра¬
боты его учителя, точность и строгость мате¬
матических выводов с направленностью на при¬
ложения математики.
7. А. Н. Крылов. Работы В. А. Стеклова
по математической физике в большей части
своей посвящены были ее принципиальным проб¬
лемам; они расширяли и укрепляли самый фун¬
дамент теории, который, как выяснилось
к концу XIX в., являлся недостаточно проч¬
ным. Другому важнейшему направлению ма¬
тематической физики — конкретному числовому
решению конкретных же частных задач — по¬
святил видную долю своих творческих усилий
А. Н. Крылов. Алексей Николаевич Крылов
(15 августа 1863 г. — 26 октября 1945 г.)
являлся крупнейшим математиком, но в значи¬
тельной мере, так сказать, по совмести¬
тельству. Это был прежде всего великий
морской инженер, труды которого легли
в основу современного кораблестроения и от¬
части кораблевождения. Мы, разумеется, мо¬
жем здесь бегло очертить лишь его математи¬
ческие работы и то лишь в части, падающей
на рассматриваемое время, т. е. далеко не пол¬
но, ибо треть долгой жизни А. Н. Крылова
пала уже на советское время, и совокупность
его работ этого периода оказалась столь зна-
гУ	]
_х,Дг
А. Н. Крылов
чительной, что советское правительство при¬
своило ему и звание лауреата Сталинской пре¬
мии и почетнейшее звание Героя Социалисти¬
ческого Труда.
А. Н. Крылов окончил с отличием Морское
училище, а затем и Морскую академию, где
учителем его по математике был А. Н. Кор¬
кин. Яркий прикладник, Крылов, как матема¬
тик, испытал на себе несомненное влияние это¬
го выдающегося деятеля Петербургской мате¬
матической школы. Коркин же, большой по¬
клонник классиков XVIII — XIX вв — Эйлера,
Фурье, Пуассона и др., — воспитал в Крылове
глубокий интерес к тем вечно живым идеям,
которые заключаются в трудах этих уче¬
ных *.
Ряд важных работ А. Н. Крылова посвящен
был полному, доведенному до числового ра¬
счета решению задач о колебаниях, например
о вынужденных колебаниях стержней постоян¬
ного сечения. Именно в связи с этими задача¬
ми он получил, между прочим, замечательно
простой и изящный прием улучшения сходи¬
* Вспомним о замечательных трудах А. Н. Кры¬
лова по истории математики: его комментирован¬
ном переводе «Математических начал натуральной
философии» Ньютона (СПБ 1915», затем О перево¬
дах и дополнениях к работам Эйлера, его ярких
биографиях Чебышева, Ньютона и др. Исторические
исследования А. Н. Крылова вместе с тем нередко
служили для него отправным пунктом в оригиналь¬
ных исследованиях.
3 Математика в школе, № 1

мости рядов Фурье, разработал новый метод со¬
ставления и решения векового уравнения и т. д.
В ряде работ Крылов применял усовершенство¬
ванный им метод численного решения дифферен¬
циальных уравнений Адамса-Штермера. Осо¬
бенной заслугой Крылова перед отечественной
математикой явилась блестящая пропаганда
разнообразных методов приближенных вычисле¬
ний в форме, в которой ими могли бы воспользо¬
ваться при своих расчетах и ученые, и практи¬
ческие вычислители, и инженеры. В 1906 г. он
прочитал курс «Лекций о приближенных вы¬
числениях», в полном виде изданный в 1911 г.
Эта замечательная и по содержанию (во мно¬
гом оригинальному) и по изложению моногра- #
фия, равной которой не имеется до сих пор во
всей мировой литературе, явилась и до сих пор
служит настольной книгой многих физиков и
техников. По направлению к этой монографии
примыкала и другая, не менее классическая
книга «Приближенное численное интегриро¬
вание обыкновенных дифференциальных урав¬
нений», первым изданием вышедшая в
1918 г.
В 1916 г. А. Н. Крылов избран был акаде¬
миком, а через год начался новый период в его
жизни, как и в жизни всей нашей страны. Как
говорилось, нам придется отказаться здесь от
рассмотрения дальнейших достижений этого
яркого и своеобразного представителя старой
Петербургской математической школы, теоре¬
тика и прикладника, математика и конструкто¬
ра, администратора и литератора и, наконец,
историка науки, который, как никто, умел на¬
ходить в творениях старых мастеров идеи, пе¬
рекликающиеся с современностью*.
Мы рассмотрели далеко не все работы дея¬
телей предреволюционной Петербургской мате¬
матической школы. Нам пришлось пройти ми¬
мо многих интересных ученых, а деятельности
других мы не коснулись, ибо она в значитель¬
ной или даже подавляющей части относится
уже к советской эпохе развития математики.
Замечательные достижения Петербургской
школы в теории чисел, теории вероятностей,
теории приближения функций, и, наконец, тео¬
рии дифференциальных уравнений явились вер¬
шиной в развитии русской предреволюционной
математики, а также вкладом огромной цен¬
ности в развитие всей человеческой культуры.
Как и Лобачевский, Чебышев, Вороной, Мар¬
ков, Ляпунов, Стеклов и другие наши лучшие
математики во многих вопросах далеко опере¬
жали европейских ученых, которым, по незна¬
нию русской научной литературы, приходилось
многократно и с немалым опозданием «переот-
крывать» результаты русских новаторов науки.
Как говорилось в начале главы, во второй
половине XIX и начале XX в. заметно нарастал
темп прогресса математических исследований
и в других университетских центрах России.
Мы подробнее очертим успехи русской мате¬
матической мысли в Москве, Киеве, Казани,
Харькове и Одессе в следующий раз.
* См. посвященные академику А. Н. Крылову
статьи Л. А. Люстерника и В. И. Смирнова в «Ус¬
пехах математических наук», т. 1, выи. 1 и вып.
3 — 4, 1946.

МЕТОДИКА
НЕСОБСТВЕННЫЕ КОРНИ УРАВНЕНИЙ
А. Л. БОНДАРЕВ (Краснодар)
Когда решение уравнения
/(*) = ?(*) (1)
рассматривают как задачу отыскания в задан¬
ном множестве допустимых значений, тех зна¬
чений х = а, при которых
/(c) — <р (с) = 0,	(А)
то решением (корнем) уравнения может ока¬
заться только такое число из данного множе¬
ства, при котором обе части уравнения имеют
определенные числовые значения.
Так, в уравнениях
je -4-1	1	х2 п	,
-Л- = —= 2х; tgх-ctgх = 1
х = 0 не может быть корнем в указанном
смысле, так как в этом случае не существует
числового значения / (с) — ф (а) функции
/(*)—¥ (х)-
Отсутствие числового значения функции
/ (х) — ф (х) при некотором значении х = а
позволяет, однако, не меняя этой функции
в ранее заданной области определения, опреде¬
лить ее дополнительно, как нам это будет
удобно, и при х = а. Говоря точнее, в этом
случае представляется возможным построить
новую функцию, совпадающую с / (х) — ю (х)
в области определения последней, но опреде¬
ленную, кроме того (по нашему усмотрению),
и при значении х= а, выходящем из этой
области.
Обычно принято значением функции в точке,
в' которой она не определена, считать предел
этой функции в данной точке, если этот пре¬
дел существует. Такое дополнительное опреде¬
ление функции принято в анализе и оправды¬
вается стремлением получить функцию непре¬
рывную в рассматриваемой точке а.
Согласуясь со сказанным, будем значения
О*
х = а, при которых функция / (х) — <р (х) не
определена, но
lim[/(x) — ср(х)] = 0	(В)
х —*а
также считать корнями уравнения (1); эти кор¬
ни будем называть несобственными.
Примеры.
X®
1. В уравнении = 2х при х = 0 имеем:
lim 	2x^	= 0.
х —>. 0
Поэтому х = 0 является несобственным кор¬
нем этого уравнения.
С\ П	X	4- 11	гх
2. В уравнении = — при x=v имеем:
lim Г—+~ — -1 )= 1 ф 0.
х-^\ * х J
Поэтому х = 0 не является несобственным
корнем этого уравнения.
3. В уравнении cos = 0 при х = 0 левая
часть не определена. В этом случае lim cos -j-
х —*■ 0
не существует и х = 0 не может считаться не¬
собственным корнем уравнения.
2Х	2	х
4. В уравнении —= (аг —[— 2)! функция —ф-
не определена при х = 0, а функция (х -f - 2)!
не определена при любом нецелом значении х,
Ох
так что функция 	(х-[-2)! не определена
и при х = 0 и вблизи этого значения. В этом
случае 11т [-^ (х —J— 2)! | не имеет смысла
л'—>о L х	J
и значение X —0 не может считаться несоб¬
ственным корнем уравнения.
19

Последний пример показывает, что для того,
чтобы значение х = а могло оказаться несоб¬
ственным корнем уравнения (1), необходимо,
чтобы при х = а функция / (х) — ф (х) была
бы не определена, но в достаточно малой
окрестности точки а содержались бы точки,
принадлежащие области определения этой функ¬
ции. Если
lim [/ (х) — Ч> (х)] =0,	(С)
X —► эо
то условимся говорить, что уравнение 0) имеет
бесконечный корень х=оо.
Если
lim [/ (х) — ср (х)] = О, (С')
JC—* — СО
то будем говорить, что уравнение имеет бес¬
конечный корень х = —сю,
Например:
1.	Уравнение
= 1 имеет бесконечные
корни х = 4г°°> так как
lim ('
2л: 4-1
2л:
Но уравнение 2х-|-1=2х бесконечных
корней в принятом выше смысле не имеет, так
как
lim (2х+1 —2х) = 1 ф 0.
JT—v±oo
2.	Уравнение lg (x-f-l)=lgx, рассматриваемое
в множестве действительных чисел, имеет ко¬
рень х = -|-оо, так как
lim [lg (x-f 1) — lgx] = lim lg^-1 =
X "J- co	x	“J-	oo
Jf-^+OO
Ho x = — oo не является корнем этого
уравнения, так как при отрицательных значе¬
ниях х функция Ig х не определена, а потому
lim ns (х —j— 1) — lgx] не имеет смысла.
X —► —оо
Хотя в последнее время общим становится
мнение о том, что в средней школе следует
рассматривать лишь собственные корни, в учеб¬
ной и методическом литературе, а в том числе
и в школьных учебника^, вопрос о несобствен¬
ных корнях все еще остается неясным.
Преподаватель, доверчиво использующий
учебные и методические руководства, часто
встречает неразрешимые противоречия и затруд¬
нения.
Приведем несколько примеров.
1.	Проф. Извольский, рассматривая уравне¬
ния
jc-t-2
+
х2 4- 5л: -j- 6
* Журнал «Математика и физика в средней шко¬
ле», 193j, № 5.
П (х 4- 2)
{х -|-2) {х -(- 3)
-О,
считает их корнем х = — 2. И это объясняет
тем, что cl) неопределенность может рав¬
няться любому числу, в том числе и нулю, и
2)	подстановка в данное уравнение приводит
4	7	4
к — 4- — =-Q-t т- е- бесконечность равна бес¬
конечности»**.
В статье «О посторонних корнях алгебраи¬
ческих уравнений»*** автор Рутковский для
уравнения
(х — а) (х — Ь) (х — с)- • -(х — k)
{х—а) (х—bi) {х — сх)- • -(х — Л])
= 0
х = а считает посторонним корнем. И это
объясняет тем, что «в левой части уравнения
О
получается неопределенное выражение -д-, в то
время как правая часть равна нулю». Однако
вслед за этим автор указывает, что «после
перенесения всех членов в одну часть уравне¬
ния и сложения необходимо полученную дробь
сократить».
В итоге получается:
1) Один и тот же довод, которым автор
первой статьи оправдывает возможность счи¬
тать х = — 2 корнем второго уравнения (левая
часть уравнения оказывается неопределенной,
правая часть уравнения равна нулю), автор
второй статьи приводит в оправдание прямо
противоположного утверждения.
2) Если решать уравнение =0, «по Из¬
вольскому», то значение х=0 следует считать
корнем уравнения, так как «неопределенность
может равняться любому числу, в том числе и
нулю».
И «по Извольскому» же то же значение,
повидимому, нельзя считать корнем уравнения,
так как «подстановка в данное уравнение при¬
водит» к результату: «бесконечность равна
нулю».
х2
3) Если решать уравнение —— = 0 «по Рут-
ковскому», то х = 0 нельзя считать корнем
** Обратим внимание на то, что при х — —2 пра¬
вая и левая части первого уравнения и левая часть
второго уравнения не определены, а
( 4,7	*4
^ Jim^—0 +
= lim
-+- 2 1 jc —f- 3	л:*	4-5л:-|-6
11 (х 4- 2)
г)-
. — 2
(х 4-2) (л 4-3)
=11 фО.
Поэтому в принятом нами смысле v = — 2 не яв¬
ляется ни с бственным, ии несобственным корнем
этих уравнений.
*** Журнал «Математика в школе», 1937, № 1.
20

уравнения, так как в «левой части уравнения
О
получается неопределенное выражение -Q-, в то
время как правая часть равна нулю».
И «по Рутковскому» то же значение х = О,
повидимому, следует считать корнем, если
в левой части уравнения «полученную дробь
сократить».
Какой, даже опытный, преподаватель от всей
этой путаницы не будет сбит с толку? Кто же
здесь прав? Нужно предварительно установить,
как понимает каждый автор задачу отыскания
корней в рассмотренном особом случае. И мо¬
жет быть, все дело только в разных точках
зрения, неточно высказанных авторами.
Но в первой из статей в ответ на это нахо¬
дим только беспринципный довод: «неопреде¬
ленность может равняться любому числу»,
«бесконечность равна бесконечности». (Кстати,
совсем неясно, чем в этом «смысле» для пер¬
вого из уравнений значение х= —3 (не указан¬
ное автором) хуже, чем х— — 2.)
А во второй статье как будто бы определен¬
ное суждение в начале (рассматривать соб¬
ственные корни) никак не согласуется с концом.
2. В руководстве «Методика алгебры»*
проф. Чистяков рассматривает все время только
собственные корни, однако для уравнения
lg (jcs — бд^-1-lljc — 6)	„
lg (*-1)
(по неизвестным причинам) находит возможным
считать корнем значение х=1**. Что это —
простая ошибка или невысказанная точка зре¬
ния?
3. В «Сборнике алгебраических задач» Ша¬
пошникова и Вальцова до самых последних
изданий встречались такие уравнения, как
У а+х-\-У а — х
\/а-\-х—-/а — х х ’
с необъяснимым ответом л=0. Обратим вни¬
мание, что при х — 0 обе части этого уравне¬
ния не определены, а
У a -t- jc —|~Уа— х	а
х
lim
У а-у-jс— У а— х
= оо
* Издание 1934 г.
** Заметим, что lim
х-* I
= \фЪ.
lg С*3 — 6*2+11*-6)
lg(*~l)
шествующие пояснения в тексте задачника не
объясняют указанного ответа и даже не согла¬
суются с ним. Да и в примерах авторы непо¬
следовательны, так как в принципиально сходном
случае, например в уравнении
*	2	_	баз
ху-а х — а	4 (ж* — а2) ’
значение х — а в числе корней не указано. Это
уже не точка зрения, а беспринципность.
Редакторы последних изданий этого сбор¬
ника задач совершенно правильно (в пределах
школьного курса) ограничиваются рассмотре¬
нием лишь собственных корней уравнений. Это
высказано с полной, как нам кажется, опре¬
деленностью в формулировке:
«Если уравнение имеет дробные члены, то
корни этого уравнения должны быть подвер¬
гнуты испытанию (проверке). Именно, все те
корни, которые обращают один, по крайней
мере, из знаменателей какого-нибудь из дроб¬
ных членов данного уравнения в нуль, должны
быть отброшены, как посторонние»***. И после
этого в задачнике все-таки остаются уравне¬
ния:
V х	/х	— \ 'х —	ух = -у- j/"—
:+Ух
с ответом х = 0
и х^ — (]/х)хс ответом х — 0.
Что это — недосмотр или опять какая-нибудь
«точка зрения»?
4.	В «Сборнике задач по тригонометрии»
Н.	Рыбкина **** в отделе тригонометрических
уравнений после указания:	«В уравнениях
64 —73 данные выражения следует предвари¬
тельно сократить (иначе получатся посторон¬
ние корни)» — можно заключить, что если
автор и рассматривает несобственные корни,
то не иначе, как в смысле принятого выше
дополнительного определения функции, как ее
предела.
Однако для уравнения
1 — cos 2х
sin 2.x
2 sin х	1	-|-	cos	2х
.****«•
Поэтому значение х = 0 указано корнем из
соображений, отличных от принятых нами при
определении несобственных корней.
Эти соображения можно было бы принимать
или оспаривать, если бы они были отчет¬
ливо высказаны составителями задачника.
В действительности же, напротив, все пред-
по неизвестным соображениям указаны корни
х=-^-п, которые при п нечетном никак не
могут быть получены из этого уравнения после
«предварительного сокращения», так как
1 — cos 2jc	sin	2х	I
lim
х _»(2x+l),
2 sin x
1 cos 2x
= lim
| sin д:— tgAc| = oo
*** Издание 1946 г.
**** у q ж e_
***** § 14, № 70.
21

В более ранних изданиях этого сборника
задач столь же необъяснимый ответ л = 180 7г
указан и для уравнения
sin 2х  cos х *
sin x	cos 2x
Но в издании 1946 r. этот ответ исключен.
Далее, в том же отделе того же издания
для уравнения
tg2x _tg£_ _ 9	**
tgjc tg2*
дан ответ х=180°/г, повндимому, потому, что
lim + АЦ = lim (т—+
V *g ■*	tg 2дг /	\1—tg2x
х -► кп	х	—► А*
+ 1~2tg~) = 2>5-
Но, например, для уравнения
t+tg*
значения х — (2k-\- 1)	в числе	корней не
указаны.
А ведь и здесь точно так же
,.	cos	2х
lim	,	.	   =
х -> (2Л + I)	1 +	х
lim	(cosx—sinjc) cosx=0.
л: _* (2*4-1)^
Непоследовательность очевидна.
Мы привели лишь немного примеров оши¬
бочной или неточной трактовки задачи реше¬
ния уравнения в «особых случаях». Тахих и
подобных примеров можно было бы привести
очень много. Но и приведенных достаточно,
чтобы иметь основание предостеречь препода¬
вателей математики от возможных ошибок и
заблуждений в этом вопросе.
УМНОЖЕНИЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДРОБЕЙ
П. я. СЕВАСТЬЯНОВ (Воронеж)
При изучении умножения обыкновенных дро¬
бей самым трудным в методическом отношении
язляется вопрос об умножении числа на дробь.
Трудности здесь заключаются в понимании смыс¬
ла действия и в технике вычислений.
Ранее данное определение умножения для
целых чисел, как повторение множимого сла¬
гаемым столько раз, сколько во множителе
единиц, при умножении на дробь теряет свой
конкретный смысл, ибо повторять слагаемым
можно только целое число раз, хотя в обиходной
жизни мы и употребляем условное выражение
взять «два с половиной раза» и т. д.
Возникает необходимость в другом определе¬
нии умножения числа на дробь, которое оказы¬
вается более абстрактным, более трудным.
В курсах теоретической арифметики умноже¬
ние дробей выполняется согласно определению:
^ и а	с
под произведением двух дробей -g- и — разу¬
меется дробь
b-d
* -	.	/sin	2л:	cos	л:	\
- §14. №68. Здесь lim	 *
X -> кп
(ел	COS	X	\
— lim 12 cos х— cos 2л:') = cos кк
14, № 27.
*** § 14, № 64.
Такое формальное определение умножения
дробей не может быть дано для учащихся V класса
средней школы; в школе надо новое определе¬
ние умножения на дробь дать в конкретной
форме и показать его целесообразность. Учителю
только надо помнить, что, применяя различные
приемы объяснения умножения на дробь, он не
доказывает, а только конкретизирует эту опе¬
рацию и показывает ее целесообразность.
В методической литературе предлагается мно¬
го различных способов объяснения умножения
на дробь; рассмотрим наиболее распространен¬
ные и типичные из них.
В практике учителей дореволюционной и со¬
ветской школы и в методической литературе
(Геде «Методика арифметики», Лексин «Мето¬
дика арифметики») имеет место прием, осно¬
ванный на зависимости произведения от изме¬
нения множителей. Рассуждения здесь примерно
2
ведутся так: надо умножить 5 на . Забудем
про знаменатель дроби множителя, тогда у пас
будет умножение целого числа 5 на 2. Это
делать мы умеем. Но когда мы забыли про
знаменатель, множитель увеличился в три раза,
следовательно, мы получили произведение, в
три раз больше искомого. Чтобы получить
искомое произведение, надо полученное произ¬
ведение разделить на три. Запись ведется так:
22

_ 2	5-2	10	„1
5 • -тт- =	=	—г-	=	3	-гг-	Обратив	внимание
О	«5	О	О
учащихся на то, как получился числитель дроби
произведения и ее знаменатель, выводится пра¬
вило умножения целого числа на дробь. Этот
прием имеет глубокую давность. Еще Л. Эйлер
в «Универсальной арифметике», говоря об ум¬
ножении дробей, писал: «Надлежит только пом-
С	»
нить,	что	есть	с, разделенное	на	а,	и так
должно только сперва дробь умножить на с
а ■ с	,
и произойдет -у , потом разделить на гг и вый-
а-с „
дет ». Так трактуется вопрос умножения
дробей у ученика Эйлера Фусса, у Войтехов-
ского, учебники которых имели большое рас¬
пространение в конце XVIII и в начале XIX в.
Разобранный прием подкупает своей просто¬
той, но он имеет следующие существенные
недостатки:
а) Здесь без всяких оговорок, без предвари¬
тельного доказательства, свойство произведения
целых чисел изменяться в зависимости от из¬
менения сомножителей переносится на произ¬
ведение дробных чисел, что, с точки зрения
строгости логической системы, делать нельзя.
б) В этом случае смысл действия умножения
на дробь не раскрывается, вследствие чего
учащиеся будут уметь решать примеры на умно¬
жение целого числа на дробь, но будут затруд¬
няться применять действие умножения на дробь
при решении задач.
Некоторые учителя несколько видоизменяют
этот прием: рассматривают умножение на дробь
как умножение на частное, а при умножении
на частное надо число умножить на делимое и
разделить на делитель. Но такая трактовка
усложняет вопрос и не освобождает от указан¬
ного второго недостатка. Итак, мы считаем,
что рассмотренный прием не следует употреб¬
лять в школьной практике.
В дореволюционной школе большое распро¬
странение имел прием объяснения умножения
числа на дробь, исходящий из нового опреде¬
ления действия умножения. Это новое опреде¬
ление действия умножения имеется еще у фран¬
цузского математика XVIII в. Лакруа. В его
книге «Начальные основания алгебры» сказано:
«Умножить одно число на другое — значит со¬
ставить из первого числа произведение таким
точно образом, как второе составлено из еди¬
ницы». Это определение умножения как дей¬
ствия, при котором произведение составляется
из множимого так, как множитель составлен
из единицы, известно в методической литературе
как определение Коши; оно дается в работах
многих математиков и методистов, как русских,
так и западноевропейских: Дюгамель, Клейн
Давидов, Малинин, Тихомандринский, Пржеваль¬
ский, Маракуев и др. В алгебре Лобачевского так
п п
объясняется умножение а на	проис¬
ходит из единицы таким образом, что т-я доля
единицы возьмется п раз, следовательно, чтобы
найти искомое произведение, нужно не ;ти сумму,
написав т-ю долю ап раз».
Положительной стороной данного определе¬
ния является то, что оно объединяет в одно
общее определение случаи умножения целых,
дробных и даже отрицательных чисел. В этом
его несомненное достоинство. Но это новое
определение действия умножения и прием, на
нем основанный, для выяснения умножения
числа на дробь имеет следующие существенные
недостатки:
а) Составление множителя из единицы можно
делать различными путями и такими, которые
могут дать в произведении неверный результат.
Например, дробь можно из единицы соста¬
вить и так: для составления числителя единица
взята слагаемым два раза, а для составления
1 Ч- 1	2
знаменателя—три раза, т. е.	j = -g- .
Тогда согласно данному определению умноже-
с 2	5	+	5	о	2	D
ния получим:	Ре¬
зультат, безусловно, неверный.
б) Это определение абстрактно, формально
и непонятно для учащихся V класса.
в) Это определение не раскрывает реального
смысла умножения числа на дробь, поэтому
учащиеся научатся решать примеры на умноже¬
ние на дробь, но будут затрудняться в приме¬
нении действия умножения на дробь при реше¬
нии задач.
Мы считаем, что от применения данного при¬
ема в школе следует воздержаться.
В одной из статей журнала «Педагогический
сборник» за 1890 г. № 1 дается следующее
определение умножения на дробь: «Умножить
на дробь — означает взять слагаемым такую
часть множимого, какая указана знаменателем
множителя, и столько раз, сколько единиц в
числителе множителя».
3	7
Найти 7 • —г- ; это значит -г- взять слагаемым
4 *	4
7,7	7	21	_	1
три раза, т. е. _ + —+	=	_	=	5-j-.
Характерной особенностью данного определения
является введение новой счетной единицы и ее
повторение.
В приведенном примере новой счетной едини-
7
цей является , и она повторяется слагаемым
три раза. Эта новая счетная единица определена
путем деления 7 на 4.
23

Такое понимание умножения на дробь является
распространением толкования умножения целых
чисел как счета группами единиц. Сущность
этого понимания заключается в следующем: мы
можем любую группу единиц рассматривать как
счетную единицу, подобно составным счетным
единицам десятичной системы счисления, напри¬
мер: десяток, сотня и т. д. Другими словами,
мы можем вести счет двойками, тройками,
пятками и т. д. Выражение 5-7 означает, что
счетная единица 5 повторяется слагаемым семь
раз.
При умножении на целое число счетная еди¬
ница дается в готовом виде, при умножении на
дробь счетную единицу надо сначала составить
путем деления множимого на знаменатель мно¬
жителя, а потом уже повторять слагаемым эту
составленную счетную единицу столько раз,
сколько в числителе дроби множителя еди¬
ниц.
Данный прием объяснения умножения числа
на дробь хорошо объясняет решение примеров
умножения числа на дробь, но он опять же не
раскрывает реального смысла умножения числа
на дробь и не указывает, в каких случаях при
решении задач применять умножение на дробь.
Поэтому мы считаем, что от рекомендации дан¬
ного приема для практической работы следует
воздержаться.
В учебнике А. Киселева дается следующее
определение умножения числа на дробь: «Умно¬
жить какое-нибудь число (множимое) на дробь
(множитель) — значит найти эту дробь множи¬
мого». Лучше, пожалуй, было бы сформулиро¬
вать так: «Умножить какое-нибудь число иа
дробь — это значит найти от этого числа ту
дробь, которую выражает множитель». Это
определение умножения на дробь как нахож¬
дение дроби числа наиболее принято в совре¬
менной методической литературе. В русской
методической литературе на такое понимание
умножения числа на дробь указывалось давно,
например в журнале «Педагогический сборник»
за 1867 г. говорилось, что учащиеся, «умножая
какое-нибудь число на дробь, ищут одну или
несколько частей этого числа»; в объяснитель¬
ной записке к проекту программ по математике
1915 г. говорилось: «Умножение на дробь пред¬
почтительнее рассматривать, как нахождение
части от данного числа».
В осуществлении приема объяснения умноже¬
ния числа на дробь, как нахождении дроби
числа, имеются различные методические течения.
В статье Орешкина «Некоторые моменты
преподавания дробей в V классе средней школы»,
помещенной в журнале «Математика в школе»
№ 1 за 1938 г., рекомендуется к определению
умножения целого числа на дробь подойти,
пользуясь переместительным законом умноже¬
ния. Дается пример умножения дроби на целое
число ■ 5^ , потом множители переставля-
(4	5-4\
5—у- = -у-) и пос¬
ле соответствующих вопросов, устанавливающих,
что в первом случае произведение больше мно¬
жимого, а во втором случае меньше множимого,
сообщается смысл умножения на дробь, как
нахождения дроби множимого.
Такое разрешение вопроса не может считаться
удовлетворительным, так как здесь используется
переместительный закон умножения без пред¬
варительного доказательства его верности в
случае дробных множителей.
В книге «Методика арифметики» Егоров ре¬
комендует определение умножения на дробь как
нахождение части числа дать ученикам в гото¬
вом виде и на числовых примерах вывести
правило умножения на дробь. Другие методисты,
например Шохор-Троцкий, Евтушевский, Борель
и др., считают необходимым дать учащимся
определение умножения на дробь не догмати¬
чески, а подвести их к нему путем решения
соответствующих упражнений и задач, оправды¬
вающих целесообразность появления такого
нового определения умножения на дробь.
Считая последнюю точку зрения правильной,
дадим подробную конспективного характера
разработку урока на тему: «Умножение целого
числа на дробь».
Во вступительной части урока надо вспомнить
умножение дроби на целое число и нахождение
дроби числа. Далее дается примерно такая за¬
дача: «Пешеход проходит в час 4 км; сколько он
пройдет в три часа?» Решается задача устно
с последующей письменной записью. Условие
задачи дополняется следующими вопросами г
«Сколько километров пешеход пройдет в 2 часа?
2
в -д- часа?» На последний вопрос учащиеся
затрудняются ответить. Учитель в случае затруд¬
нения ставит следующие вопросы: «Изменился
ли смысл задачи?» Ожидаемый ответ:	«Нет».
«Каким действием мы определяли путь пешехода,
если время движения было равно целому числу
часов?», «Каким же действием мы должны
определять путь пешехода в случае дробного
2
числа часов, в нашей задаче в -= часа?»
О
Ожидаемый ответ: «Умножением». В результате
должна получиться на доске, а у учащихся в
тетрадях следующая запись:	4-3 — 12 (км)-г
4-2 = 8 (км), 4- -|-=?
2
Для определения пути пешехода в
часа
нам нужно умножить целое число 4 на дробь.
2
-j-. Как это сделать?
24

Чтобы ответить на вопрос, проделаем такую
знакомую работу: в 1 ч., т. е. ~ ч„ пешеход
1	4
пройдет 4 км, в — ч. пешеход пройдет -д- км,
2	4.2	8	2
в — ч. пешеход пройдет -g- =-д- = 2 — (км).
Полученный ответ записывается как решение
последнего вопроса задачи: «Bjt мы и выпол¬
нили умножение целого числа 4 на дробь
2
-у и тем узнали путь, который пройдет пеше-
2
ход за часа. Что мы находим таким вычис-
О
лением, которое мы проделали при определении
пути, пройденного пешеходом за -д- часа?»
Ожидаемый ответ: «Таким вычислением находим
дробь числа».
«Таким образом, умножение числа на дробь
выполнено нами путем нахождения дроби числа.
Следовательно, умножить какое-нибудь число
на дробь — это значит найти от этого числа ту
дробь, которую выражает множитель. Таков
смысл умножения числа на дробь».
Этим заканчивается основная часть урока,
раскрывающая смысл умножения числа на пра¬
вильную дробь. После этого учитель формули¬
рует правило умножения целого числа на дробь.
Закрепление изученного проводится путем
следующих упражнений:
а) решение примеров; ученик должен сказать
сначала правило умножения целого числа на
дробь, а потом выполнить заданный пример;
б) нахождение дроби числа посредством
умножения на дробь; например, найти от 5.
Ученик должен сказать: «Чтобы найти дробь
числа, надо данное число умножить на данную
с 3	15	,	7
дробь» и пишет: 5--g-= — = 1 -g-;
в) решение задач, приводящих к нахожде¬
нию дроби числа, например: «В книге 236 стр.,
ученик прочитал-^- книги. Сколько страниц
прочитал ученик?».
Все виды упражнений производить не обяза¬
тельно. Второй урок будет иметь своей целью
закрепить смысл и правило умножения числа
на дробь. Обязательно надо проделать первый
тип упражнений и сделать обобщение приобре¬
тенных знаний на уроке.
Наиболее ответственным в методическом от¬
ношении моментом является переход от умно¬
жения целого числа на целое число к умноже¬
нию целого числа на дробь. В методической
литературе здесь имеются различные предло¬
жения.
Некоторые методисты (Беллюстин) советуют
после умножения на целое число брать умно-
п 1 о 1
жение на смешанное число типа 2 -g-, 2 -g~ и
т. д. Множитель, равный смешанному числу,
дает возможность безболезненно перейти от
умножения на целое число к умножению на
дробное число, но он приводит к более слож¬
ным вычислениям, чем при умножении только
на дробь, и не снимает объяснения смысла
умножения на дробь.
В статье «К вопросу об умножении на дробь»,
напечатанной в журнале «Математика в школе»
№ 1 за 1938 г., Эменов считает целесообраз¬
ным предпослать умножению на правильную
дробь умножение на дробь, выражающую какое-
нибудь целое число. Например, решается сначала
задача: «Сколько стоит 5 м ситца по цене 6 руб.
за метр». Целое число 5 заменяется равным
ему по величине дробным числом . Если в
первом случае для определения стоимости 5 м
ситца нужно 6 руб. умножить на 5, то во
втором случае для той же цели надо 6 руб.
20 D
умножить на . Во втором случае учащиеся
отыскивают сначала цену четверти метра, а
потом 20 четвертей. Решение задачи примет
такой вид:^^. Хотя этот прием и обеспечивает
переход от умножения на целое число к умно¬
жению на дробь, однако он страдает искус¬
ственностью; учащимся сначала кажется непо¬
нятным, почему целое число заменяется равным
ему дробным числом, причем знаменатель этого
дробного числа берется произвольным.
В «Методике арифметики» Березанской ре¬
комендуется после задач, приводящих к умно¬
жению на целое число, дать задачу, приводя¬
щую к умножению на дробь с числителем
единица.
Дается задача: «1 кг сахару стоит 5 р. 40 к.
Каким действием узнать стоимость 2и? 3 кг?
5 лег?» Ответ: «Умножением». «Какова будет
стоимость -g- кг? л:г?» Ответ: «2 р. 70 к.;
1 р. 80 к.». «Каким действием узнать стои¬
мость кг? -д- кг?» Ответ: «Делением».
Ученикам далее приходится пояснять, что вслед¬
ствие одинакового смысла задач условились и
при определении стоимости -g- кг, -i-лг при¬
менять действие умножения. Вместо того чтобы
говорить, например: «Чтобы найти от чис¬
ла 540, надо разделить его на 2», говорят:
«540 умножить на -^-»-
Получается искусственный переход: вполне
естественное действие деления приходится за¬
менять умножением, и целесообразность этой
4 Математика в школе. № 1
Эб

замены на первых порах не убедительна для
учащихся.
Наиболее целесообразным является переход
от умножения на целое число к умножению на
правильную дробь с числителем, отличным от
единицы. В этом случае учащиеся или затруд¬
няются или, а это бывает в большинстве слу¬
чаев, дают ожидаемый ответ: «Умножить».
Далее вполне естественно, что при отыска¬
нии способа выполнения умножения числа на
дробь мы приходим к нахождению дроби числа,
и таким образом раскрывается смысл умноже¬
ния числа на дробь, а потом выводим правило
умножения.
В процессе последующих упражнений по за¬
креплению правила умножения целого числа на
дробь надо на конкретных примерах выяснить,
в каком случае произведение получается боль¬
ше, равно, меньше множимого. С этой целью
полезно вывесить в классе таблицу примерно та¬
кого вида:
80-
80-3 =240
3^
4
80-2 = 160 80-1 =80
= 60
80-±=40
80-4- =20
4
Подчеркнуть также, что при умножении и
целого и дробного числа на нуль в произведе¬
нии получится нуль.
Дальнейшие вопросы умножения дробей ре¬
комендуется изучать в следующем порядке: ум¬
ножение целого числа на смешанное число, ум¬
ножение дроби на дробь, умножение дроби на
смешанное число, умножение смешанных чисел.
При выяснении умножения целого числа на
смешанное число надо подчеркнуть целесообраз¬
ность умножения целого числа сначала на целое
число, а потом на дробь и сложения получен¬
ных результатов, т. е. надо делать так:
5-2-|-=5.2+5.4 = 10+^=10+^ =
= 10	3	=	13	±, а не так:
5-2 -1=5- ±- = f =13®.
4	4	4	4
Выяснение вопроса об умножении дроби на
дробь надо провести в основном по тому же
плану, что и выяснение умножения целого чис¬
ла на дробь. Схема построения урока на тему:
«Умножение дроби на дробь» может быть та¬
кова:
В первой части урока надо повторить умно¬
жение числа на дробь, подчеркнуть смысл этой
операции и поставить тему урока. Дальнейшую
беседу вести примерно так: «При умножении
целого числа на дробь мы находим дробь этого
числа, указанную в сомножителе. А если мы
целое число множимого заменим дробным чис¬
лом — изменится ли смысл умножения? Напри-
3	5	3
мер, вместо 5--^- возьмем  Какой смысл:
5	3,
имеет умножение -у на -у вообще — умноже¬
ния дроби на дробь?»
Ожидаемый ответ: «При умножении дроби на:
дробь мы находим дробь множимого». Вернемся
и „	3	51	5
к нашему примеру. Найдем у от -j-; у от ^
5	3	5	5-3	15
составит	от	~f	составит	;	от-
5	3	35
сюда т._=^-.
Путем соответствующих вопросов, касающих¬
ся получения числителя дроби произведения,
выводится правило умножения дроби на дробь.
Закрепление изученного производится реше¬
нием примеров тех же типов, которые были ука¬
заны при разборе вопроса об умножении цело¬
го числа на дробь.
Вопросы умножения дробей: изменение про¬
изведения с изменением сомножителей, произ¬
ведение нескольких сомножителей, основные
свойства умножения изложены достаточно под¬
робно в учебнике Киселева и в особых замеча¬
ниях не нуждаются.
Остановимся на следующих вопросах:
1) Можно ли употреблять буквы для выра¬
жения правила умножения дробей?
Употребление букв для выражения правила
умножения дробей целесообразно: буквенная за¬
пись в сжатом и общем виде выражает правило
умножения и подготовляет к курсу алгебры.
Полезно приготовить стенную таблицу с число¬
вой и буквенной записью умножения дробей.
2) Надо добиваться того, чтобы учащиеся со¬
кращали множителей числителя и знаменателя
в процессе умножения, а не в конечном резуль¬
тате. Нельзя так писать:
_5_
12
5
2
3
5-2-3 30
6
3
4
6-3-4 72
5
2
3
1 1
5 2 3 5
6
' 3 '
4
6 3 4 12
1 2
Надо: —= • —= • —т~ —
ОТ РЕДАКЦИИ. Редакция считает необхо¬
димым сделать несколько замечаний по поводу
статви т. Севастьянова.
1. После решения задачи на умножение на
целое число автор спрашивает: «Каким действи¬
ем мы определяли путь пешехода, если время
движения было равно целому числу часов? Ка¬
ким же действием мы должны определять путь
пешехода в случае дробного числа часов?» Ожи¬
даемый ответ: «Умножением».
Во-первых, здесь автор по существу апелли¬
рует к следующему логическому постулату. Ес¬
ли задача с целочисленными данными решается

путем некоторого действия, то задача того же
содержания с дробными данными решается пу¬
тем такого же действия.
Представление об этом постулате (хотя бы и
без явной его формулировки) едва ли могло
создаться у детей (не было для этого соответ¬
ствующих фактов).
Во-вторых, с точки зрения детской логики
скорее можно было бы ожидать ответ: «Деле¬
нием». В самом деле: в 3, в 2 часа пешеход
пройдет больше, чем в час, и естественно, что
длина всего пути находится умножением (или
2
сложением); в часа пешеход пройдет мень-
О
ше, чем в час, и также естественно найти ве¬
личину этого пути делением (или вычитанием).
2
Такой ответ почти неизбежен, если вместо -j ча¬
са взять -g- , -j- и т. п. Об этом говорит и сам
автор, возражая Березанской. Но замена поло¬
вины двумя третями логически ничего не ме¬
няет и лишь психологически несколько «улуч¬
шает» положение.
2 /1
2.	Найдя обычным путем -g- от 4 f в — ч. —
4	2	4-2	\
—	км,	в	-г-	ч.	—	км j,	автор неожидан-
iJ	О	О	у
но	заявляет:	«Вот	мы	и	выполнили умноже-
2
ние целого числа 4 на дробь -^ ». Ученики впра¬
ве возразить: «Нет, мы только обозначили ум¬
ножение на дробь, записав 4-	,	а находили
путь прежним способом, как всегда находили
часть числа».
3. Нам кажется, что было бы логичнее про¬
вести рассуждения в обратной последователь¬
ности. Определив путь, пройденный в 3 и 2 ча¬
са, учащиеся обычным знакомым путем находят
2
путь, пройденный в -g- часа. Затем устанав¬
ливается, что первые две задачи решались ум¬
ножением. Третья задача тождественна им по
смыслу. Поэтому целесообразно назвать тем же
термином «умножение» и нахождение части
числа.
4. Мы полагаем, что для первого примера
надо взять такие числа, чтобы в итоге получи¬
лось целое число ^например 6 •
5. Автор совсем упустил из виду такой важ¬
ный и в идейном и в методическом отношении
вопрос, как распространение законов арифмети¬
ческих действий (переместительного, сочетатель¬
ного и распределительного) на случай дробных
чисел. А между тем то обстоятельство, что
2	2
4- -5- дает тот же результат, что и
О	О
является одним из наиболее убедительных аргу¬
ментов, говорящих в пользу принятого опреде¬
ления умножения ка дробь. Еще ярче это вы¬
является на таком конкретном примере, как на¬
хождение площади участка, длина которого, до-
2
пустим, 6 км, а ширина -g- км. Понягно, что
мы должны получить одинаковый результат, ум¬
ножаем ли длину на ширину, или наоборот. Во¬
обще выяснению приложимости к дробным чис¬
лам знаков арифметических действий должно
быть уделено большое внимание путем специ¬
ального подбора примеров и задач.
К МЕТОДИКЕ ПРЕПОДАВАНИЯ УМНОЖЕНИЯ И ДЕЛЕНИЯ ДРОБЕЙ
А. Н. ДОБРОТИН (Урюпинск, Сталинградской области)
В настоящей статье я хочу поделиться своими
соображениями о том, как, по моему мнению,
нужно объяснять учащимся вопрос об умноже¬
нии дробей.
Умножение дроби на целое число никаких
трудностей не вызывает, и потому на этом я не
останавливаюсь. Вместе с этим я предлагаю,
чтобы до изучения умножения дробей ученики
занимались решением в два приема задач, в ко¬
торых находится некоторая часть от целого.
Умножение числа на правильную дробь уча¬
щиеся усваивают не сразу и не легко, так как
им приходится преодолеть две большие труд¬
ности, а именно: а) они должны сознать, что
умножить не всегда означает увеличить, что при
умножении чисел могут быть случаи, когда про¬
изведение получается и меньше множимого, и
больше его, и б) учащийся должен научиться
применять действие умножения к решению за¬
дач не ощупью, не путем гадания, а вполне
убежденно и сознательно (это особенно отчет¬
ливо скажется, когда будет проходиться де¬
ление).
К сожалению, обе эти трудности приходится
преодолевать не по очереди, а почти одновре¬
менно. Но, прежде чем приступить к рассмот¬
рению того случая умножения, когда множите¬
лем берется дробное число, преподаватель дол¬
жен привлечь внимание учащихся к одному во¬
просу важного принципиального значения, а
4*
27

именно: надо дать понять ученикам, что рас¬
сматриваемый случай умножения принципиально
отличен от того случая умножения, когда мно¬
житель есть число целое, а потому естественно
возникает вопрос, как обосновать новое дей¬
ствие.
Пон тие о дробном числе возникло у людей
из их потребности разрешить две практически
важные задачи: 1) разделить целое или несколь¬
ко целых на равное число частей и 2) срав¬
нить измеряемую величину (длину, вес, объем
и т. д.), с другой, принимаемой за единицу из¬
мерения.
Новые числа, дроби, потребовали установле¬
ния особых правил действий над ними, причем
эти действия, по крайней мере на первых по¬
рах, не столько обосновывались логически,
сколько проверялись практикой.
Так, в общих чертах, развивалось исторически
учение о дробях; так же строится и школьное
преподавание. «В школе,—говорит Ф. Клейн,—
всегда должно апеллировать к живому, конкрет¬
ному созерцанию; лишь постепенно позволитель¬
но выдвигать на первый план логические эле¬
менты'».
Однако в вопросе об умножении дробей од¬
ной апелляции «к живому, конкретному созер¬
цанию» недостаточно; по необходимости прихо¬
дится прибегать к аргументации, включающей
«логические элементы».
Со стороны педагога было бы крупным упу¬
щением, если бы он изложил эту тему так,
чтобы ученики не почувствовали необходимости
обоснования этой новой для них операции: го -
воря конкретнее, было бы плохо, если бы уче¬
ники не поняли, что умножение, в котором мно¬
житель—дробное число, требует иного истол¬
кования, чем умножение, в котором множи¬
тель—число целое. В самом деле, если множи¬
тель целое число, то умножение (при любом
множимом) можно заменить сложением (учитель
демонстрирует это на 2—3 примерах, беря раз¬
личные множимые); в этом случае умножение
есть не что иное, как «упрощенное сложение»,
применяемое тогда, когда слагаемые равны меж¬
ду собою, так что этот случай умножения мож¬
но трактовать, как действие, в котором мно¬
жимое берется слагаемым столько раз, сколько
во множителе содержится целых единиц.
Другое дело, когда множитель является чи¬
слом дробным ^напримерJ в этом слу¬
чае умножение заменить сложением уже нельзя,
ибо взять слагаемым раза абсурдно; та¬
ким образом, если все же рассматриваемое дей-
/ 5 „ 4 \
ствие ( -g- X -g- ) назвать умножением, то это
гребует, во-первых, своего оправдания, а во-
вторых, умения находить искомое произведе¬
ние.
Наиболее удачным исходным моментом для
разъяснения этого вопроса в школьной практи¬
ке, повидимому, является вопрос о нахождении
плошади прямоугольника (впрочем, при жела¬
нии можно брать и другие примеры).
Пусть требуется найти площадь прямоуголь¬
ника, одна сторона которого 80 см, а другая—
75 см. Ученики знают, что площадь такого пря¬
моугольника находится посредством умножения
чисел, выражающих длины сторон прямоуголь¬
ника, и записывается так:
(80 X 75) кв. см — 6 ООО кв. см; но 6 ООО кв.см=
3
= кв. м.
Ясно, что стороны прямоугольника можно
было бы задать в метрах, а именно: длина
4	3
80 см=-g- м и ширина 75 см = -^- м. Но если
мы находим площадь прямоугольника, когда его
стороны задаются целыми числами, умножением,
то представляется совершенно логичным распро¬
странить то же действие, т. е. умножение, и
на тот случай, когда стороны прямоугольника
выражаются и дробными числами, т. е. считать
произведением чисел, выражающих длины сто¬
рон (какими бы числами они ни выражались—
дробными или целыми), площадь этого прямо¬
угольника; следовательно, в нашем примере
X кв. м должно быть искомою пло¬
щадью. Нам известна ее величина -rce.M.'j.
Таким образом, произведенная нами операция
над дробными числами и названная, по анало¬
гии с действиями над целыми числами, умноже¬
нием дробей, является вполне оправданной (по
крайней мере в глазах учеников V класса).
После этих вступительных замечаний можно
перейти и к самой теме: «Умножение дробей».
Изложение этой темы мы разобьем на следую¬
щие пять этапов:
1.	Учитель выписывает на доске примерно
такую таблицу:
12X4 = 48
12 X 3 = 36
12X2 = 24
12X1 = 12
и устанавливает, что если множимое остается
без изменения, а множитель уменьшается, то
произведение также уменьшается; в том же слу¬
чае, когда множитель равен единице, произве¬
дение равно множимому.
После этого учитель подписывает к таблице
3
еще строку, например: 12 X -4-» и спрашива-

et учеников, каким должно получиться произ¬
ведение: больше 12 или меньше. Несомненно,
что ученики ответят вполне сознательно, что
в этом случае произведение должно получиться
меньше 12. Вовсе не обязательно находить это
произведение; важно лишь то, чтобы до созна¬
ния ученика дошла мысль, что при множителе,
меньшем единицы, произведение не может быть
больше множимого.
Сейчас же учитель должен поупражнять уче¬
ников примерно на таких вопросах: а когда про¬
изведение должно получаться больше: тогда ли,
з
когда 12 умножается на , или тогда, когда 12
умножается на и т. д. Едва ли ответы ко¬
го-либо затруднят. Таким образом, учащиеся
свыкнутся с мыслью, что произведения могут
получаться и больше множимого, и меньше мно¬
жимого, и быть равными ему; поймут и то, что
с возрастанием множителя, при неизменном мно¬
жимом, произведение увеличивается, а с умень¬
шением множителя произведение уменьшается.
Этими упражнениями ученики будут подготов¬
лены и к тому, что они сумеют или сейчас же,
или несколько времени спустя сформулировать
следующее положение: произведение получается
больше множимого тогда, когда множитель боль¬
ше единицы, и меньше множимого тогда, когда
множитель меньше единицы.
II.	На втором этапе учитель обращается к
учащимся примерно с таким вопросом: «Купле¬
но 4 кг сахара по 12 руб. за килограмм. Надо
узнать, сколько стоит весь сахар. Каким дей¬
ствием надо решать эту задачу?» Ответ не за¬
труднит никого. Потом учитель спрашивает:
«А если купить 3 кг, то какое действие надо
сделать? А если 2 к и, наконец: а если ку-
3	2
пить v кг, -тг кг и т. д.» Не подлежит со-
4	’	3
мнению, что большинство учащихся вполне соз¬
нательно ответят, что и в последних случаях
целесообразно решать задачу также умножени¬
ем. Ученики сейчас же вспомнят, что если ум¬
ножать 12 на правильную дробь, то произве¬
дение должно получиться мешше 12; да так
оно и должно быть, так как стоимость кг
сахара, конечно, меньше, чем стоимость целого
килограмма. Здесь следует и найти это произ¬
ведение. Но дальнейшее решение задач должно
быть примерно следующего вида: Поезд про¬
ходит в час 40 км', сколько он пройдет за
2 ~ часа, за 3 j часа? и т. д. Задачи эти ре¬
шаются в уме, по соображению, но запись их
в самой краткой форме надо вести: 40 кмХ2 ^
= 100 км и т. п. После нескольких примеров,
в которых множитель — смешанное число, мож¬
но перейти к решению и таких примеров, в ко¬
торых множитель — правильная дробь. Напри-
з
мер, сколько деталей сделает рабочий в -j часа,
если он в час может их сделать 20 штук? Вы¬
числить результат не составит труда, а так как
ученики подготовлены к тому, что эти задачи
решаются умножением, то следует и записывать
з
их так; 20 X 15. Понятно, числа надо под¬
бирать такими, чтобы вычисления производи¬
лись без труда и не отвлекали внимания уча¬
щихся от сути вопроса. Самое важное на этом-
этапе заключается в том, чтобы внедрить в со¬
знание учащихся ту мысль, что если содержа¬
ние задачи остается неизменным, а меняются
лишь числа, входящие в эту задачу, то и дей¬
ствие, которым решается эта задача, не долж--
но изменяться. Так, если для нахождения сто¬
имости 3 кг сахара при цене 12 руб. за кило¬
грамм вопрос решается посредством умножения.
о 1	3
то и для нахождения стоимости и 2-^ кг, и кг
сахара при любой цене за килограмм также
применяется умножение. Надо добиться того,
чтобы этот принцип неизменности действий при
решении одинаковых по смыслу вопросов проч¬
но вошел в сознание учащихся: он им в даль¬
нейшем пригодится не один раз. Чтобы фикси¬
ровать внимание учащихся на этом принципе,
я склонен думать, что уже на этой стадии обу¬
чения можно, и весьма полезно, предлагать уча-
3
щимся также и такие вопросы: за. м материи
заплачено 15 руб.; какое действие надо сде¬
лать, чтобы узнать, сколько стоит метр? Пусть
учащийся рассуждает примерно так: «А если
з
бы покупали не -j м, а 3 м, то стоимость 1 м
я узнаю посредством деления 15 руб. на 3;
значит, чтобы узнать стоимость 1 м, если из¬
вестна стоимость м, также надо 15 руб.
разделить на Если учитель сочтет возмож¬
ным включить этот последний вопрос в свое
преподавание уже на этом этапе, то он дол¬
жен здесь несколько задержаться, и ему нуж¬
но подобрать 10—15 задач, из которых одни
решаются посредством умножения, а другие —
посредством деления на правильную дробь и,
предлагая их учащимся, задавать им лишь та¬
кой вопрос: каким действием решается та или
иная задача? Если большинство учеников бу¬
дут давать правильные ответы, то это будет
означать, что главные трудности уже преодо¬
лены. Чрезвычайно полезно привлекать к со¬
ставлению таких задач и самих учащихся.
III.	Основная мысль, которую должен про¬
вести преподаватель на этом этапе, должна
29

заключаться в том, чтобы увязать умножение
на правильную дробь с нахождением части чис¬
ла от целого. Учитель опять берет примерно
такую задачу: скорость поезда в час 40 км\
з
какое расстояние пройдет поезд в ^ часа? Уче¬
ники уже знают, что задача должна решаться
3
посредством умножения 40 на . В то же вре¬
мя ученики вспомнят, что эту задачу они ре¬
шали раньше в два приема: сначала узнавали
какое расстояние поезд проходит в ~ часа, а
потом в ^-часа. Дальше учитель говорит при¬
мерно так: «В условии задачи было дано рас¬
стояние, проходимое поездом в час, и требо¬
валось найти расстояние, которое он пройдет в
3
j часа, т. е. было известно целое, а нужно
найти часть этого целого. Мы знаем, что наша
задача решается посредством умножения на пра¬
вильную дробь. Отсюда вытекает, что для ре¬
шения задач, в которых надо найти часть (или
дробь) от целого, на то целое умножить на за¬
данную дробь. В то же время мы знаем, что
эти задачи можно решать в два приема; значит,
одну и ту же задачу можно решать двумя спо¬
собами: в одно действие — умножением на за¬
данную дробь, или, как это было показано
раньше, в два приема». Понятно, что первый
способ надо предпочесть второму, так как вме¬
сто двух действий мы производим одно дей¬
ствие. Кроме того, и это главное, все задачи,
аналогичные разбираемой, решаются единооб¬
разно—умножением, независимо от того, какие
числа входят в задачу.
Заканчивая этот этап, учитель подчеркивает,
что смысл умножения на правильную дробь
как раз и состоит в нахождении части числа
по целому.
IV. На этом этапе учащиеся должны ознако¬
миться с техникой умножения, что после сде¬
ланной подготовки никаких трудностей не пред¬
ставит, и потому на этом вопросе я не оста¬
навливаюсь.
V. Закончить главу об умножении дробей,
мне кажется, нужно тем, с чего Киселев начи¬
нает, а именно: дать определение умножения,
причем я полагаю, что это определение должно
носить формальный характер. Я думаю, что это
определение можно дать в следующей форме:
умножение дробей есть действие, посредст¬
вом кот рого из двух сомножителей (множи¬
мого и множителя) составляется новое дроб¬
ное число, произведение,—так, что его числи¬
телем является произведение числителей с >-
множителей, а знаменат°лем — произведение
знаменателей.
Само собой понятно, что решению задач на
умножение должно быть уделено самое серьез¬
ное внимание, причем в классе почти исключи¬
тельно должны решаться задачи, а решение
примеров должно быть отнесено главным об¬
разом на домашнюю работу.
Конечно, учитель должен внимательно на¬
блюдать, чтобы все записи и возможные в про¬
цессе действия сокращения производились гра¬
мотно, аккуратно и культурно; вычисления в
уме следует всячески поощрять.
Перехожу к делению дробей. В основном
план работы должен совпадать с планом изло¬
жения темы «Умножение дробей». Однако в свя¬
зи с тем, что, с одной стороны, делитель мо¬
жет быть и именованным, и отвлеченным чис¬
лом, а с другой, что с многими важными мо¬
ментами учащиеся познакомились при прохож¬
дении умножения, в изложение темы «Деление
дробей» надо внести несколько изменений и от¬
ступлений от тех этапов, на которые распада¬
лась глава об умножении.
I.	Отправным пунктом опять должен слу¬
жить какой-нибудь конкретный вопрос, напри¬
мер: «Имеется 12 кг сахара; его надо разло¬
жить по сверткам. Сколько будет свертков,
если в каждый положить по 4 кг, по 3 кг, по
2 кг, по 1 кгЪ> Ученики отвечают, что задача
решается посредством деления и что свертков
будет столько, сколько раз 4 кг содержатся
в 12 кг и т. д. Составляется таблица:
12:4 = 3
12:3=4
12:2 = 6
12:1 = 12
(писать наименования здесь излишне).
Ученики замечают, что с уменьшением дели¬
теля, при неизменном делимом, частное возра¬
стает. Дальше учитель продолжает так:
«А сколько будет свертков, если в каждый
сверток класть полкилограмма, по одной чет¬
верти килограмма, по одной шестой килограм¬
ма и т. д. Несомненно, что ученики сумеют
ответить, что свертков будет столько, сколько
раз полкилограмма, четверть килограмма и т. д.
содержатся в 12 кг.
Ученики без труда найдут и результаты, ко¬
торые и следует записать:
24
12; 4 =48
12:| = 72
о
На основании этих таблиц учащиеся сфор¬
мируют и выводы, в такой, например, форме:
30

Если делимое остается без изменения, а де¬
литель уменьшается, то частное увеличи-
вгется, причем частное будет меньше дели¬
мого тогда, когда делитель больше 1; равен
делимому, когда делитель 1, и больше дели¬
мого, когда делитель меньше
II.	Если учащиеся научились "находить част-
1 1
ное от деления 12 на -g и т. д., то они су-
3	5
меют разделить в уме 12 на 10 на g-; 15
3
на и т. д.
О
Сначала делимое и делитель следует брать
именованным и спрашивать, например, так:
3	с
сколько раз кг содержится в о кг, или во
2
•сколько раз 6 кг больше — кг и т. п., а по¬
том перейти и к таким вопросам: разделить 8
4
на v и т. п.
о
Само собой понятно, что примеры должны
быть удачно подобранными. После того как
учащиеся усвоят этот материал, следует занять-
113	1
ся решением и таких примеров: 2": “4 > 'j : 5"
и т. п., ставя вопрос так: во сколько раз по¬
ловина больше четверти и т. д.
Что касается дальнейших стадий в прохож¬
дении деления дробей, то я полагаю, что они
должны протекать примерно так же, как и со¬
ответствующие стадии темы «Умножение».
Мне хотелось бы отметить лишь два момен¬
та: 1) следует подчеркнуть резче, чем это де¬
лается обычно (показать это на ряде приме¬
ров), что умножение и деление—действия вза¬
имно обратные; что всякое деление может быть
заменено умножением, а умножение делением
на число обратное; 2) обратить внимание уча¬
щихся на то, что числитель делимого, можно
сокращать с числителем делителя и знамена¬
тель с знаменателем делителя; в частности, ре-
8	4
зультат деления, например ^ на , ученики
2
должны получать сразу:	.
Определение и правило деления дробей я дал
бы в такой форме: деление дробей есть дей¬
ствие, обратное умножению, посредством ко¬
торого по произведению двух сомножителей
(делимому) и одному из этих сомножителей
(делителю) отыскивается другой сомножитель
(частное). Числитель частного есть произведе¬
ние числителя делимого на знаменатель делиге-
ля, а знаменатель частного—произведение зна¬
менателя делимого на числитель делителя.
Само собою понятно, что задачам на деле¬
ние дробей надо уделить много внимания, при¬
чем задачи на деление должны идти непремен¬
но вперемежку с задачами на умножение дробей.
ОТ РЕДАКЦИИ.
Статья т. Добротина также вызывает сле¬
дующие замечания.
1) В примере с площадью прямоугольника
методически правильнее взять в качестве од¬
ного из данных целое число и притом допу¬
скающее сокращение на знаменатель.
2) После умножения 12-2 и 12-1 автор пи¬
шет: 12и спрашивает: «Какое должно по¬
лучиться произведение?» С точки зрения стро¬
гой логики такой вопрос не имеет смысла, так
как ученики вообще еще не знают, что значит
умножить целое число на дробное.
3) Вводить здесь же деление на дробь счи¬
таем нецелесообразным. Опыт показывает что
это вносит лишь путаницу.
4) Увязка умножения на дробь с нахождени¬
ем части числа проводится автором, по нашему
мнению, слишком поздно. Отсюда все преды¬
дущие объяснения имеют по существу чисто
формальный характер. Наоборот, немедленное
сближение этих двух операций (как это сдела¬
но в статье т. Севастьянова) придает реаль¬
ный смысл умножению на дробь, вносит в вы¬
полнение этого действия большую сознатель¬
ность
5) Как и в предыдущей статье, и здесь сов¬
сем не уделяется внимание вопросу о распро¬
странении законов арифметических действий на
дробные числа. Возможно, что оба автора пред¬
полагают в дальнейшем выяснение этого вопро¬
са, но дело в том, что это уже на пер¬
вой стадии изучения умножения на дробь по¬
может его сознательному усвоению ^примеры
18-^- = -g~ 18; 6-4 -|- = 6-4-j- 6-и т. п.)
6) Некоторые сомнения вызывает аргумент
за предпочтение умножения на дробь нахожде¬
нию части числа (п. III), именно: что в пер¬
вом случае производится одно действие, а во
втором два.
Ведь в обоих случаях фактически приходит¬
ся производить над целыми числами одни и те
же две операции, и мы только меняем терми¬
нологию: вместо «нахождение части числа» го¬
ворим «умножение на дробь».
В статье т. Севастьянов и т. Добротин
дают ряд полезных указаний молодому педаго¬
гу по одной из труднейших тем школьного
курса арифметики. При этом, исходя из оди¬
наковых принципиальных установок, оба автора
иногда предлагают различные способы их кон¬
кретизации, причем, как правило, последние не
противоречат и скорее дополняют друг друга.

О ПРИМЕНЕНИИ СВОЙСТВ КОРНЕЙ КВАДРАТНОГО УРАВНЕНИЯ
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ НА МАКСИМУМ И МИНИМУМ
С.	И. ЗЕТЕЛЬ (Москва)
В интересной статье Д. М. Майергойза «Об
одном важном алгебраическом» навыке («Мате¬
матика в школе», 1948,	№ 3) рассматри¬
вается вопрос об исследовании квадратного
трехчлена на максимум и минимум.
В настоящей заметке мне хочется показать,
что на основании свойств корней квадратного
уравнения просто доказываются две теоремы,
позволяющие элементарно решать много инте¬
ресных и полезных задач на максимум и ми¬
нимум.
Первая теорема. Произведение двух поло¬
жительных множителей, сумма которых по¬
стоянна, имеет наибольшее значение при
равенстве множителей.
Вторая теорема. Сумма двух положитель¬
ных слагаемых, произведение которых постоян¬
но, имеет наименьшее значение при равенстве
слагаемых.
Покажем, что, пользуясь дискриминантом
квадратного уравнения с заведомо положитель¬
ными корнями, можно сразу доказать обе тео¬
ремы.
Рассмотрим квадратное уравнение
Xs— px-\-q = 0,	(1)
корни которого Хх и X, заведомо положи¬
тельны.
В этом случае О, <у^>0 и
(2)
£—Я> 0.
При обращении дискриминанта в нуль
р
X t — Xj —■ 2	■
Пусть сумма двух положительных слагаемых
хх и хг равна р; считая хх и лг2 корнями
квадратного уравнения (1), из неравенства (2)
получаем: 9^-^— и наибольшее значение про-
п2
изведения ххх2=q ~ При этом Xj=x2*=
= —. Итак, первая теорема доказана.
Пусть произведение двух положительных
множителей равно q, тогда из неравенства (2)
следует, что наименьшее значение суммы равно
p = 2\fq. При этом Х1=Х2= Vq.
Итак, доказана н вторая теорема.
Обобщение первой теоремы. Произведе¬
ние двух положительных множителей х и у,
связанных соотношением тх-\-пу = р, где т
и п положительные числа, будет наибольшим
при тх=пу=-^~, т. е. при х—~ и
Действительно, при ху, имеющем наибольшее
значение, наибольшее значение имеет и mxnv
или (тх)‘(пу), а так как тх-\-пу постоянно,
то тх = пу= ~ .
Обобщение второй теоремы. Сумма
mx-J-ny при положительных т, п, х и у и при
постоянном произведении ху имеет наименьшее
значение при тх = пу.
Действительно, при постоянном ху, постоян¬
но тхпу. Обозначив тх через zx и пу через>
г2, получим: zt -j- z2 имеет наименьшее значе¬
ние при 21 = га, т. е. при тх — пу.
Задача 1. Из круговых секторов данного
периметра найти сектор наибольшей площади.
Пусть радиус искомого сектора г, а длина
дуги/, тогда периметр сектора 2р = 2г—|— /.
Площадь сектора S = Так как /• -}- -*- =
— р, то гимеет наибольшее значение при
г— Y=k ’ 2г=;=г5Р-
Задача 2. В прямоугольнике проведены
два отрезка, параллельные одной стороне.
Сумма периметра и этих отрезков равна 2р.
Найти длины сторон, при которых площадь,
прямоугольника имеет наибольшее значение.
Имеем;
4х -}- 2у = 2р; 2х-\-у~р; xy = S;
откуда:
= 4; -^=2.
2 х —у =
Р_.
2 >
Задача 3. Найти положительное число,
которое, будучи сложено со своим обратным
дает наименьшую сумму.
Пусть искомое число равно х, а сумма иско¬
мого и обратного равна у, тогда имеем: у =
= х -4—-. Так как х—— =1, то наименьшее
1 х	х	'
значение сумма имеет при х= х~ 1.

ИЗ ОПЫТА
БОРЬБА С ФОРМАЛИЗМОМ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ
Заслуженный учитель школ УССР И. И. ГОЛЬДЕНБЛАТ (Одесса)
Бороться с формализмом математических зна¬
ний учащихся — это значит так повести препо¬
давание, чтобы с первых же уроков изучение
математики приобрело живой интерес, чтобы
учащиеся на каждом шагу убеждались, что
приобретаемые ими теоретические знания при¬
менимы к практической жизни, что эти знания
вооружают их к познанию действительности.
В настоящей статье я хочу поделиться своим
опытом борьбы с формализмом.
I. Устный счет и устные упражнения
Часто плохо владеют устным счетом уча¬
щиеся не только младших, но и старших
классов. Я присутствовал на уроке в V классе.
Учительница предложила решить пример:
125-793-8. Вместо того чтобы использовать
переместительный закон и решить пример устно
так:
125-8-793= 1000-793 = 793000,
учащиеся письменно умножили сначала 125 на
793 и полученный результат — на 8. Решение
еще двух примеров носило такой же характер.
Решая пример на сложение и вычитание сме¬
шанных чисел
6 20 + 9 12 + 13 20 ’
учащиеся привели дроби к общему знамена¬
телю и сложили эти числа обыкновенным пу¬
тем, вместо того чтобы устно решить его,
применив переместительное свойство:
6 20^'132б'*"912==2°^_9Т2==2912'
Интересно, что на упомянутом уроке учи¬
тельница повторяла с учащимися перемести¬
тельный, сочетательный и распределительный
законы, но использовать в вычислениях уча¬
щиеся не сумели, потому что они не привыкли
полученные теоретические знания применять
к практике, а учительница не стремилась
направить их мысль по правильному руслу.
Остановлюсь на элементарных частных прие¬
мах устного счета. Эти приемы должны быть-
закреплены и применяться учащимися постоянно,,
где только есть возможность.
1. Прием перестановки слагаемых:
74-}-57-|-6 = 74-}-6 + 57 = 137.
2. Округление данных:
502 — 67 = (500 — 67) + 2 = 435.
301 — 74 = (300 — 74)+ 1 =226 + 1=227.
467 — 99 = (467—100) + 1 = 367 +1 = 368.
3. Умножение на 50 и 25:
72-50=72-100:2 = 3600.
64-25=64-100 :4 = 1600.
4. Умножение на 9, 19, 29 и т. д.:
28-9=28-10— 28 = 252.
5. Перестановка и группировка сомножите¬
лей:
25-17-4= 25-4-17= 1700.
6. Применение сочетательного закона:
35-14 = 35-2-7 = 490.
7. Деление на произведение:
540:12 = 540:2:2:3 = 45.
Указанные приемы следует применять всегда
при решении примеров и задач.
Устные упражнения следует также применять
при прохождении делимости чисел, обыкновен¬
ных и десятичных дробей, при решении задач
на проценты.
При изучении алгебры, геометрии и тригоно¬
метрии я широко применяю различные устные
упражнения.
Ниже привожу образцы вопросов, предла¬
гаемых мною учащимся устно.
1.	Составьте наименьшее трехзначное число,
кратное 3-х; наибольшее четырехзначное число,
делящееся без остатка на 8.
33-

2. Составьте из цифр 3, 2, 5 и 8 такое
число, чтобы оно делилось без остатка на 25,
на 4, на 9.
3. Не перемножая чисел, узнать, делится ли
148-75 на 3, на 5, на 4.
4. Не производя деления, узнать частное и
остаток от деления 600 на 9, 1000 на 3, 2000
на 9, 200 на 3.
5. Одна бригада рабочих может выполнить
некоторую работу в 5 дией, а другая — в 3 дня.
Во сколько времени будет выполнена эта ра¬
бота обеими бригадами при совместной работе?
6. Через одну трубу водоем наполняется
в 8 часов, через другую—в 4 часа. Во сколько
времени наполнится водоем при одновременном
действии обеих труб?
7. Между двумя пунктами 960 метров. Из
этих пунктов идут друг другу навстречу два
человека, причем один проходит каждую ми¬
нуту 42 м, а другой — 38 м. Через сколько
минут они встретятся?
8. Из двух пунктов, между которыми 150 м,
выходят одновременно два человека и идут
в одном направлении. Человек, находящийся
впереди, проходит 47 м в минуту, а находя¬
щийся позади — 52 м в минуту. Через сколько
минут второй догонит первого?
9. Из одного пункта вышел человек, прохо¬
дящий 48 м в минуту. Через 5 минут из того
же пункта вышел по тому же направлению
другой, проходящий 60 м в минуту. Через
сколько минут второй догонит первого?
10. Разложите устно на простые множители
следующие числа:
14000, 2500, 35000, 640, 8100.
11. Сравните по величине 7% от 100 и
100% от 7.
12. В классе 45 учеников; из них 20% от¬
личников. Сколько отличников в классе?
13. Чему равны 30% от 50? 40% от 120?
4% от 350? 12-^-% ®т40? 1-^-% от 400?
33 -i-% от 60,12?
14. Сколько процентов составляет число 2
от 2; от 8, от 20; от 40; от 50; от 100?
15. Найти число, 17% которого на 27 боль¬
ше, чем его 14%.
16. В каком отношении находятся два числа,
3	2
если — одного из них равны -g- другого?
17. Каково отношение двух чисел, если 4%
одного из них равны 5% другого?
18. От какого числа число 48 составляет
3%; 6%; 10%; 12%; 25%; 50%?
19. Если прибавить к неизвестному числу
его 10%, то получится 660. Найти это число.
Приведу образцы вопросов по алгебре, гео¬
метрии и тригонометрии, предлагаемых мною
учащимся для устного решения.
Вопросы по алгебре
Решите устно:
1.	1-0,7;	1 :(— 0,8); —1+0,4;
1 — (— 0,8);
(—0,8) —(—1); х — Зх; х — (— х);
0 + 6; 4 — 0; 0 — 5; 3 + 0 —5; 0-1—5;
0-5; 4-0; 0-(—5); 3-0-5; (1 — 3)-0; 3-0 +
+ 0-5; (ft-ft)2; e.(ft_ft);-£; e+(ft - ft);
(а — а) — Ь.
2. Что больше:—3 или куб этого числа?
— 3 или квадрат этого числа?
 или куб этого числа?
1
 g- или квадрат этого числа?
-jL или куб этого числа?
или квадрат этого числа?
3. Может ли число при возведении его
в квадрат уменьшиться? Чему равно 0,22? 0,23?
4. Всегда ли х<[5х?
5. Каково значение х, если Зх = — Зх?
6. Найдите результат:
аБ-я2; (аБ)2; 52;
х7 • х2; (х7)2; 7®;
ftI0-ft2; (ft10)2; 102.
7. Перемножьте одночлены:
р Q , qP — 5tj -	-|-	2Ь,	—	5	Ъ
8. Разделите одночлены:
£р.р -{- q • qP — 5<у •	2b	. ^2а — ЪЬ
9. Перемножьте числа:
З4 • 24; З4 • З4; 3:'-37; 3Б-22.
10. Является ли число п ^ числом целым
или дробным при п целом?
11. Сократите дроби:
аз — ьз ^ х4 —yi ' а2.— 2ab -I- ft®
а — Ь ’	х2+у2	’ а — Ь ;
х3 — 3х*у + Злс_у2—.у3 _	/и2	+	rfl
х% -- 2ху +у-	’	т4	—	п4 ’
9х2 4-12ху 4- 4у* _	а — Ь
9х2 — 4_у3	’	а2 — 2аЬ + №
12. Как извлечь квадратный корень из деся¬
тичной дроби с нечетным числом десятичных
знаков?
з_
13. Что больше: 1^2 или у/з ?
14. Чему равно 10,g3? Найдите lg3	•
34

15. Всегда ли при увеличении числа его ло-
сарифм увеличивается?
1 г к	*8764 -I IgSl^ l°sab 0
16. Чему равно —f —?	?	а “ ?
J	lg?4 lg 3
17. Один из корней квадратного уравнения
с рациональными коэфициентами равен \^7—4.
Чему равен второй корень?
Вопросы по геометрии (из различных
разделов курса)
1. Найти угол, который меньше своего
смежного на 90°.
2. По данной сумме 5 и разности d двух
отрезков определить каждый из отрезков.
3. На плоскости даны п точек, расположен¬
ных так, что никакие три из них не лежат на
■одной прямой. Сколько различных прямых
можно получить, соединяя данные точки по
две?
4. Определить сумму внутренних углов
выпуклого десятиугольника.
5. Сумма внутренних углов выпуклого много¬
угольника с одним из внешних равна 17d.
Определить число сторон многоугольника.
Примечание. Следует добиться, примерно,
следующего ответа ученика: Сумма внутренних
углов всякого выпуклого многоугольника выра¬
жается формулой 2d (п — 2), то-есть равна
четному числу прямых углов. Так как, согласно
условию задачи, сумма внутренних углов мно¬
гоугольника с одним из внешних равна 17d,
то сумма одних внутренних равна 16tf, ибо
внешний угол упомянутого многоугольника,
выражаясь целым числом прямых углов, не
может быть больше одного прямого (как один
из двух смежных). Итак, 2d(n — 2) равно
16rf, откуда п = 10; значит, многоугольник этот
имеет 10 сторон.
6. Проведены биссектрисы двух внутренних
односторонних углов при параллельных. Под
каким углом биссектрисы эти пересекаются?
7. Что является геометрическим местом то¬
чек, равноудаленных от двух непараллельных
прямых? от двух параллельных прямых?
8. Как найти геометрическое место середин
равных хорд данной окружности?
9. Вокруг всякого ли треугольника можно
описать окружность?
10. Где находится центр окружности, описан¬
ной вокруг остроугольного треугольника? пря¬
моугольного? тупоугольного треугольника?
11. Во всякий ли треугольник можно впи¬
сать окружность?
12. Совпадают ли центры описанной вокруг
треугольника и вписанной в него окружности?
13. Что можно сказать о двух треугольни¬
ках с соответственно параллельными или пер¬
пендикулярными сторонами?
14. В какой четырехугольник можно вписать
окружность и вокруг какого четырехугольника
можно описать окружность?
15. Во сколько раз периметр правильного
описанного треугольника больше периметра
правильного вписанного треугольника?
16. Подобны ли два четырехугольника, если
углы одного из них соответственно равны углам
другого ?
17. Подобны ли два четырехугольника, если
стороны одного из них соответственно пропор¬
циональны сторонам другого?
18. Можно ли две стороны треугольника
пересечь прямой, непараллельной третьей его
стороне так, чтобы отсеченный треугольник
был подобен данному?
19- Как построить отрезок, равный |/5?
20. Как построить треугольник со сторонами
|/3', у/5 и ]/7?
21. Как влияет на периметр и площадь пря¬
моугольника увеличение его сторон в п раз?
22.	Во сколько раз	нужно	увеличить	сто¬
роны	прямоугольника,	чтобы	периметр	его
увеличился в п раз?
23.	Во сколько раз	нужно	увеличить	сто¬
роны	прямоугольника, чтобы площадь его	уве¬
личилась в п раз?
24. Можно ли водопроводную трубу диамет¬
ром в 15 мм заменить тремя трубами диамет¬
ром в 5 мм каждая, не изменяя пропускной
способности их?
25. Прямая параллельна плоскости; парал¬
лельна ли она всем прямым, лежащим на этой
плоскости?
26. Как найти расстояние между двумя скре¬
щивающимися прямыми?
27. Можно ли через две скрещивающиеся
прямые провести параллельные плоскости?
28. Какое свойство имеют проекции боко¬
вых ребер любой пирамиды на плоскость осно¬
вания, если эти ребра образуют с плоскостью
основания равные углы?
29. Какое свойство имеют высоты боковых
граней, проведенные из вершины пирамиды,
если эти боковые грани образуют с плоско¬
стью основания равные двугранные углы?
30. В конусе проведена плоскость через его
вершину под некоторым углом к его высоте.
Какая фигура образовалась в сечении?
Вопросы по тригонометрии
1. Могут ли все шесть тригонометрических
функций иметь одно и то же численное зна¬
чение?
2. Определить, в какой четверти sina-f-
-J- cos a 1.
35

3.	Может ли дробь
COS а
sec а
быть отрицатель¬
ной?
4. В каких четвертях произведение sin a cos я
положительно?
5. Чему равен arc sin 1 ? arc sin ? Arc sin-^- ?
6. Можно ли построить угол, косинус ко-
3	4	9
торого равен 0,7;	;	-д-	;	^	?
7. Можно ли построить угол, тангенс кото-
О 3 Q 1	1	■>
рого равен 2;	;	3	-g-	;	-^-е
/ 1 1 ' -
8. Чему равен sin ( arc sinarc cos-g I?
9. Может ли быть верным равенство:
cosa • cos p-cosf = 1,7?
10. To же о равенстве:
sec а • sec (3 • sec к = 0,78 ?
sin a
11. To же о равенстве:
12. To же о
cosec p
равенстве:
sin a -f- cos a -(- sin (3 = 4?
13. Можно ли функцию cosa выразить че¬
рез tga?
14. Можно ли найти угол, для которого
1 1
sin а - —, а cos а = —^-?
15. Определить, что больше: sin 2a или 2 sin a,
если а угол острый и положительный.
16. Какой знак может иметь cos , если a
есть угол треугольника?
а
COS-Q-
17. Сократите дробь
sin 2а
18.	Сократите дроби:
тс
:os -3-
Sin a
sin 20° _ sin 35°
sin 40° ’ sin 70° ’ sin 4a
cos ■
19.	Сократите следующие дроби:
a
1 4- cos 80°	2	cos*	32°	30'	1	cos	~2
2 cos2 40°	’	1	+cos 65*	’
2 sin2 -4"
20. Упростить выражения:
■> a	l	a	• л a
cos5 —	sin2-?*-	;	cos*	sm’y,
21. Упростить выражение:
4sin2ac6s2a.
22. Вычислить выражения:
sin ^ arc sin ; cos ^ arc cos
23. Упростить выражения:
1 — cos5 я -f- sin5 a; sin a -f- cos a tg a;
tgo-MgP
ctga+ctgf ‘
24. Основанием пирамиды служит прямо¬
угольный треугольник, катеты которого 6 см
и 8 см. Все грани пирамиды наклонены к
основанию под углом 60°. Определить боко¬
вую поверхность пирамиды.
II.	Рациональные приемы решения задач
Очень часто учащиеся при решении приме¬
ров и задач употребляют сложные приемы,
которые затемняют и затрудняют решение и
требуют больших и сложных вычислений.
Необходимо добиваться, чтобы учащиеся,
производя вычисления, пользовались своевре¬
менно всякими упрощениями, какие в данном!
случае возможны. В противном случае легко
прийти к таким сложным выражениям, операции
с которыми займут очень много времени и
легко могут вовлечь в ошибки.
Приведу из опыта своей работы образцы
решения некоторых примеров и задач.
Пример на сложение и вычитание алгебраи¬
ческих дробей:
(х + у)2 — г2
+
х—у — г
х2—y% + 2yz—г2 1 Л-+У — х
x+y + z (х+у + 2) (х+у — :)
х—y-f-г	ж2 — (у — а)г
| х —у—г	х+у + Z
х+у—г	x—y+z ~
(x+y + z)(x + y — z) | x—y—z
(x+y — z)(x — y + z)	х+у — г
+
х+у + г
x—y + z
x + y + z
x—y + z
X+y+z	x—y—z
x—y+z	x+y—z
X-y—Z „
X + y+z
Если в первой дроби не произвести предва¬
рительно сокращения, а привести все дроби
к общему знаменателю, то решение приведен¬
ного примера потребует весьма сложных и
громоздких преобразований.
Приведем образец решения задачи по гео¬
метрии.
Площадь правильного вписанного в itpyi
шестиугольника равна 6	3; определить пло-
* В данном случае (и аналогичных ему) лучше
было произвести отдельно преобразование первой,
дроби, не переписывая каждый раз остальных.
(Редакция.)
36

•щадь правильного шестиугольника, описанного
около того же круга.
Для решения приведенной задачи наиболее
рациональным путем следует воспользоваться
следствием из теоремы об отношении площа¬
дей подобных многоугольников.
Площади правильных одноименных много¬
угольников относятся между собой, как квад¬
раты их апофем. На основании этого получим:
л::6 )/з~=Я»:( R
где х есть искомая площадь правильного опи¬
санного шестиугольника, R — радиус круга,
Я У'З-
 2 апофема правильного вписанного
шестиугольника. Из приведенной пропорции
находим:
ж-«й£!=8,*.
Покажем два способа преобразования в про¬
изведение выражения 1 -J- sin 50°. Так как
sin 90°—1, то подставим sin 90° вместо 1 и
воспользуемся формулой суммы синусов; по¬
лучим:
1 -f- sin 50° = sin 90° -J- sin 50° =
= 2 sin 70° • cos 20 ’ = 2 cos* 20°.
Преобразуем данное выражение l-j-sin50°
другим путем.
Воспользуемся формулой
1 -J- cos а = 2 cos2 ~ .
Вместо sin 50° подставим в данное выраже¬
ние cos40°; тогда 1 -f-sin50^ = 1 -{-cos40J =
= 2 cos4 20°.
Ясно, что второй способ преобразования дан¬
ного двучлена в произведение более рацио¬
нальный.
III.	Изучение наглядной геометрии
в V классе
При прохождении в V классе курса нагляд¬
ной геометрии я пользуюсь индуктивно-лабо¬
раторным методом. Задачи практического ха¬
рактера, связанные со всеми разделами прохо¬
димого курса геометрии, я составляю сам или
черпаю из различных источников. Очень много
полезного материала имеется в задачнике по
наглядной геометрии А. Астряба (Государ¬
ственное издательство, Л. 1925).
Остановлюсь на двух-трех уроках, посвя¬
щенных в V классе измерительным работам.
В начале урока я раздаю учащимся модели
фигур различной величины, но одинаковой фор¬
мы (например, прямоугольники) и предлагаю
произвести нужные измерения и вычислить пе¬
риметр и площадь данной фигуры.
Все предложенные для измерения модели
фигур перенумерованы; периметр и площадь
каждой из них известны мне (сведения эти
записаны в отдельную тетрадь), и поэтому мне
легко проверить правильность измерения, про¬
изведенного каждым учеником. Все вычисления
учащиеся производят на отдельном листке бу¬
маги, на котором они пишут свою фамилию,
номер модели, и по окончании работы передают
его учителю вместе с моделью. Учащиеся с
самого начала урока имеют в своем распоря¬
жении линейку, разделенную на сантиметры,
либо измерительную ленту.
Весьма полезной классной работой является
измерение различных фигур более сложной
формы, составленных из квадратов и прямо¬
угольников (деревянных или фанерных) в виде
букв (черт. 1 — 4), и другие. Понятие о равнове-
Черт 1	Черт.	2
1 гп
1111
г
INI
И II
Черт. 3	Черт.	4
дикости фигур следует давать учащимся еще в
младших классах. В пятом классе, например,
можно продемонстрировать учащимся,как из двух
равных прямоугольных треугольников состав¬
ляются шесть различных по виду фигур (черт. 5);
все зависит, как видно из чертежа, от способа
приложения одного треугольника к другому.
Для измерения площади любой из приведенных
шести фигур достаточно измерить площадь пря¬
моугольника, что легче всего сделать ученику.
Преобразование параллелограма, треуголь¬
ника и трапеции в равновеликие фигуры уча¬
щиеся наблюдают на подвижных моделях, сде¬
ланных самими учащимися. Преобразование фигур
весьма полезно рассматривать при изучении
измерения площадей; учащиеся имеют возмож¬
37

ность наблюдать образование фигур, их свой¬
ства и превращения одной из них в другую;
все это содействует развитию у учащихся про¬
странственных представлений. Остановимся, на¬
пример, на преобразовании параллелограма в
равновеликий прямоугольник. Соответствующее
Черт. 5
пособие изготовляется следующим образом.
К прямоугольнику, вырезанному из фанеры и
покрытому белой краской, прикрепляется па-
раллелограм (картонный или фанерный) тем¬
ного цвета. От параллелограма (черт. 6) по
£12	£^7
Черт. 6
прямой, перпендикулярной к основанию, отре¬
зается прямоугольный треугольник; если этот
треугольник приложить к другой боковой сто¬
роне параллелограма, он преобразуется в пря¬
моугольник (без изменения величины площади).
После указанных измерительных работ сле¬
дует обратить внимание на измерения поверх¬
ностей и объемов тел (куба и прямоугольного
параллелепипеда). В классе работа эта прово¬
дится в том же порядке, как и при измерениях
плоских фигур (см. выше).
Из этих же тел могут быть построены тела
более сложного вида различной формы (черт.
7 и 8). Я вызываю обычно двух учеников, один
из которых при помощи измерительной ленты
или линейки производит необходимые измере¬
ния, другой ученик производит соответствую¬
щие записи на доске. Весь класс принимает
участие в работе по определению поверхности
и объема построенного тела, причем в течение
одного урока построение тела меняется не¬
сколько раз.
Черт. 7
Кроме измерительных работ в классе, уча¬
щиеся производят различные измерительные
работы и вне класса во внеурочное время (на
пришкольном участке или в открытом поле).
В V классе проводятся следующие работы:
1. Провешивание прямых линий и измерение
их. Упражнения для развития глазомера.
2. Построение на местности перпендикуляр¬
ных и параллельных линий.
3. Построение ара и гектара в виде квадра¬
та или прямоугольника.
4. Определение расстояния между двумя
точками; использование для работы самодель¬
ного эккера.
5. Съемка плана данной местности прямо¬
угольной формы при помощи эккера и вычис¬
ление площади этого участка.
G.	Шагомерная съемка маршрута.

а
J4	 -L
1	~~	in	г
ЗА РУБЕЖОМ
НЕКОТОРЫЕ СВЕДЕНИЯ О СОСТОЯНИИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
В СОВРЕМЕННОЙ ЗАРУБЕЖНОЙ ШКОЛЕ
Проф. И. Я. ДЕПМАН (Ленинград)
I
Что все преподавание в школах капитали¬
стических стран пронизано соответствующей
общественному строю идеологией, понятно
само собой. В школах этих стран учебник
арифметики является учебником коммерческой
арифметики, весь заданный материал прививает
лишь способность производить коммерческие
сделки. О каком-либо научно-идейном развитии
учащихся там заботятся очень мало. Характер¬
но признание одного русского ученого, препо¬
дававшего в американском университете. Он
привел в аудитории слова, приписываемые Пи¬
фагору: «Числа управляют миром», а потом
спросил студентов, как они эти слова пони¬
мают? Ответ гласил: «Деньги решают все».
Другого ответа было бы трудно ожидать в
стране, где для получения характеристики
человека существует формула: «Что он стоит?»,
т. е. сколько у него капитала.
Конечно, отдельные авторы в своих учебни¬
ках и задачниках делали попытки проводить
те или иные прогрессивные идеи. Так, напри¬
мер, известный методист и историк математики
в Колумбийском университете Д. Е. Смит
(i860—1944), автор многих книг, из которых
некоторые переведены и на русский язык, пос¬
ле первой мировой войны составил антивоенный
задачник, который на точных данных статистики
показывал, что стоила эта война экономически
(других сторон вопроса автор не касался) и что
можно было бы сделать на те суммы, которые
она поглотила. Эта книга регистрировалась как
курьез, и, конечно, она никакого распростра¬
нения не получила.
В 1947 г. в «Литературной газете» появи¬
лись заметки, которые уместно воспроизвести
здесь. Привожу их без всяких изменений.
ФАКТЫ БЕЗ КОММЕНТАРИЕВ*
Крамола в учебниках арифметики
Совет по делам образования штата Калифории»
признал вредными некоторые разделы представлен¬
ных на его рассмотрение двух новых учебников
арифметики. Эксперты констатировали, что «стрем¬
ление авторов обучать арифметике на примерах
из повседневной жизни слишком часто приводит
к грустным выводам о современной Америке», вроде
того, что «одна треть населения США не имеет
порядочных жилищ» и т. д. Совет по делам обра¬
зования распорядился удалить из учебников ариф¬
метики все, что может «привести к неприятностям».
Граждане второго сорта
Доктор Бенджамин Фиш, крупнейший специалист
по вопросам школьного образования в США, в ре¬
зультате своих многократных поездок по различным
районам страны, собрал обширный материал о пла¬
чевном состоянии школьного обучения и положении
учителей в Америке.
Большинство американских учителей, по утверж¬
дению Фиша, стремится переменить свою профессию:
с 1941 г. 350 000 человек ушло с педагогической
работы. Повсюду, где только ни побывал Фиш,
учителя жаловались ему на то. что чувствуют
себя «гражданами второго сорта», ибо правила,
установленные для них местными властями и об¬
щественными организациями, налагают на них все¬
возможные запреты. Дело доходит до курьезов.
Учителям не разрешают жениться, одеваться, как
им нравится, курить и т. п.
125 тыс. американских учителей обладают совер¬
шенно недостаточной квалификацией: одна треть
всего количества педагогов в США имеет лишь
среднее образование. Статистические данные, соб¬
ранные Фишем, свидетельствуют также о безобраз¬
ном состоянии школьных зданий, о перегружен¬
ности провинциальных школ, где ученикам прихо¬
дится сидеть на полу, о запущенности помещений
и отсутствии элементарных удобств для учащихся
и учащих.
* Литературная газета», № 49 (2364), 1947.
39

II
С какими непрочными знаниями по матема¬
тике выходят молодые люди из средней шко¬
лы в Соединенных Штатах Америки, об этом
читатель найдет данные в моих статьях, поме¬
щенных в журнале «Математика в школе»,
№ 4 за 1946 г. Могу к сообщенному там
добавить лишь то, что по моему предложению
несколько ленинградских учителей провели
американские проверочные работы в своих
классах и получили почти стопроцентное вы¬
полнение задания.
Американские тесты были мною предложены
в одном из учительских институтов на первом
курсе, следовательно, в аудитории, соответ¬
ствующей американскому колледжу.
Результаты оказались следующие:
№ задачи
Процент правильных
ответов
по списку
в СССР
в США
Тригономет¬
рия . . .
№ 23
82
21
№ 30
79
43
№ 36
84
53
№ 76
100
68
Алгебра . .
№ 120
100
44
№ 60
10Э
61
№ 46
100
74
Работа была предложена в случайно оказав¬
шийся свободным час, без всякого предупреж¬
дения.
III
Распространенные у нас мнения об англий¬
ской средней школе страдают неточностью.
Очень часто можно слышать и читать слова,
согласно которым в английской школе до сих
пор геометрия проходится по «Началам» Евкли¬
да. В действительности дело обстоит иначе.
В 1871 г. возникла Ассоциация по улучше¬
нию преподавания геометрии (Association for
the Improvement of geometrical Teaching),
начавшая кампанию против преподавания по
Евклиду. Это движение связано с именем Джо¬
на Перри, профессора математики и механики
в Королевском колледже в Южном Кенсингтоне
и члена Королевского общества. Имя Перри
и его идеи, некогда у нас весьма популярные,
современному учителю уже мало знакомы, поэ¬
тому скажу о нем несколько слов.
Джон Перри (1850—1920), как большинство
англичан, в молодости приступил к практиче¬
ской деятельности, не пройдя курса высшей
школы. Окончив потом курс во вновь устроен¬
ном техническом училище нового типа, Перри
попал учителем в Японию. Японцы, как давно
заметил известный механик Рело, склонны изу¬
чать природу лишь с утилитарными целями,
поэтому, под влиянием требований своих новых
хозяев, Перри стал применять новые методы
преподавания, скорее ведущие к поставленной
цели — научить делать нужные расчеты, не
заботясь ни об умственном развитии учащихся,
ни об обосновании приемов расчетов.
Результаты такого обучения оказались удач¬
ными для привития учащимся вычислительных
навыков. По возвращении на родину Перри
продолжал разрабатывать свои новые приемы.
Основы взглядов Перри заключаются в при¬
знании положения: мы живем в эпоху, когда
умение применять выводы наук стали необходи¬
мыми всякому человеку, а науки развились до
такой степени, что никто не может изучить их
все «до плодоносящей степени подробности».
Поэтому надо начинать изучение наук с сооб¬
щения самых нужных умений, на науках осно¬
ванных. Перри говорит, что ученик должен
«переоткрыть для себя всякий преподаваемый
ему научный факт», что и означает «усвоить ■
его. Метод, которым ученик достигает этого,
для Перри безразличен *.
По мнению Перри, ближайшая цель элемен¬
тарного обучения математике — сообщение уме¬
ния делать нужные расчеты. Изучение выводов
и доказательств он предоставляет лишь желаю¬
щим, которые будут продолжать изучение
математических наук. Эти идеи, взятые сначала
в штыки учеными и учителями, после тридца¬
тилетней агитации Перри получили признание
в такой мере, что с 1901 г. Британская Ассо¬
циация содействия наукам устроила на своих
заседаниях особый отдел по рассмотрению ме¬
тодов преподавания математики, под предсе¬
дательством Перри. К собраниям Ассоциации
1901 и 1903 гг. Перри и учитель самого ари¬
стократического учебного заведения в Англии
(Итонского) Эггар представили учебники для
школы по новому методу преподавания.
В России горячим сторонником идей Перри
был В. В. Лермантов, физик, приват-доцент
Петербургского университета, написавший кни¬
ги «Применимая алгебра», «Применимая гео¬
метрия», «Высшая математика для нематема-
тиков», «Механика» и переводивший книги
Перри на русский язык. «Силлабус» Перри
напечатан в «Вестнике опытной физики и эле¬
* Для советской школы, стремящейся дать уча¬
щимся всестороннее развитие, точка зрения Перри
абсолютно неприемлема. Однако за идеи Перри
ухватились разные капиталистические страны, как
утопающий хватается за соломиику.
40

ментарной математики» за 1902—1903 гг.
№№ 325, 326; его вступительная речь к засе¬
данию Британской Ассоциации, содержащая
обоснование принципов нового метода, напеча¬
тана в журнале «Техническое образование»
за 1902 г.; «Вычисления для инженеров» Перри
были изданы на русском языке, как и «Прак¬
тическая математика», содержащая лекции,
читанные для английских мастеровых.
Перри предсказывает экономическую гибель
тем странам, которые не введут у себя немед¬
ленно новый практический метод преподавания
математики: их забьют те страны, которые это
сделают своевременно. Это утверждение не
вызвало возражений, которые касались лишь
средств достижения поставленной цели. Пред¬
ставители физики и техники стали на сторону
взглядов Перри, в числе их знаменитый физик
Лодж, чья «Легкая математика» также была
издана на русском языке в переводе Н. А. То¬
милина.
Сторонники преподавания по Евклиду проя¬
вили ие меньше энергии, выступая против
Перри. Самыми ярыми из них были про¬
фессор математики в Оксфорде Ч. Л. Доджсон
и Льюис Керролл, автор книги «Алиса в
стране чудес» и других. Он издал в 1879 г.
книгу в защиту Евклида в виде драматических
сцен, в которых действующими лицами вы¬
ступают Евклид, Минос, Нострадамус, автор
учебника геометрии в новом духе Уильсон.
Эту пьесу Клейн признает самой остроум¬
ной защитой идей Евклида, так как, как
говорит нынешний председатель Ассоциации,
«за Доджсоном все время находился Льюис
Керролл». Заодно с Доджсоном были такие
математики и педагоги, как де-Морган и Тод-
гентер. Однако все это не спасло Евклида.
В результате неутомимой агитации Перри и
его единомышленников в 1902 г. появилось
правительственное распоряжение, которое в
Англии расценивается, как низложение с трона
Евклида. Следующее принципиальное решение
правительства о преподавании математики со¬
стоялось в 1917 г. и последнее в 1944 г.
Английские педагогические круги считают, что
от былого господства Евклида в английской
школе после этих трех актов не осталось
и следа. Последний акт расценивается как
решение ввести в школьную программу основы
анализа.
О господстве Евклида в массовой англий¬
ской средней школе не может быть речи, это,
конечно, не означает того, что в колледжах,
существующих на частные средства, по много¬
вековым традициям, он не может иметь преж¬
нее свое значение. И в них с давних пор дела¬
лись попытки облегчить ученикам усвоение Ев¬
клида. Так, уже в 60-х годах учитель знаменитой
школы в Харроу Мидльмист ввел раскрашен¬
ные фигуры и модели, но, как говорит хрони¬
ка, ученикам они помогали мало.
Учителя математики Англии объединены в той
же Ассоциации, которая издает журнал «The
Mathematical gazette». Ассоциация—учрежде¬
ние весьма почтенное, как и ее журнал. В 1946/
47 г. Ассоциация имела 2 500 членов, а журнал
насчитывает 32 тома (по 10 книжек каждый).
В качестве президентов Ассоциации в разные
годы фигурировали весьма крупные ученые: за
1945/46 г. проф. Сидней Чепмен, профессор'
натуральной философии в Оксфорде и член Ко¬
ролевского общества. Президентом Ассоциации’
за 1946^47 г. состоял учитель В. Ф. Бушель,
давший в прощальной речи (каждый президент,,
передавая свой пост новому президенту, гово¬
рит такую речь) очень интересный очерк эво¬
люции преподавания математики в английской
школе. Ассоциация имеет целый ряд специаль¬
ных комиссий и «разветвления» в частях и стра¬
нах Британской империи, вплоть до Новой Зе¬
ландии. В «Mathematical gazette» печатали свои
статьи самые крупные английские математики.
Главы посмертной книги недавно умершего Эд¬
дингтона, привлекавшей к себе столько внима¬
ния, появились при жизни автора на страницах
gazette.
Это показывает, что журнал пользуется ува¬
жением не только в учительских кругах. Из
последних номеров этого журнала мы и почерп¬
нем сведения о состоянии преподавания мате¬
матики в английской школе на сегодняшний день.
Каков в действительности уровень знаний по ■
математике в массовой английской средней шко¬
ле, об этом можно в известной степени судить
по следующему факту.
Упомянутый выше журнал печатает в каждом
номере заметки и статейки под заголовком «Mat¬
hematical Notes», в большинстве своем доволь¬
но серьезные. В февральском номере за 1946 г.
(том XXX, № 288, стр. 35) помещена под но¬
мером 1866 следующая заметка, подписанная
именем J. Fitz Roy, довольно часто фигуриру¬
ющим на страницах этого журнала.
В «Отчете конференции о школьных испыта¬
ниях по математике» (Report of the Conferen¬
ce on School Sertificate Mathematics, стр. 4) раз¬
ложение выражения a2b-\-b—ab2—а назы¬
вается «неподходящим, каверзным» (awkward).
Автор полагает, что следующий подход к этой
задаче мог бы снять с нее это клеймо.
а) Первое правило (очевидно, учебника или-
школьного жаргона.—И. Д.) говорит: «возьми за
скобки множитель, являющийся общим для всех
членов»;
б) для разложения четырехчленных выраже¬
ний «возьми члены по два и прилагай к каж¬
дой паре первое правило».
4К

Может оказаться необходимым группировать
члены данного выражения в пары более, чем
одним способом, ранее чем появятся общие мно¬
жители в виде групп членов. Тогда опять при¬
меняй первое правило.
Таким образом *:
ФЪ -\-Ь — аФ — а
= (ФЬ — (аЬ2 -|- а)
= Ь(Ф + \) — а{Ф^-\)
—группировка неудачная.
Другая группировка дает:
ФЬ — аф -\~{Ь — а)
- - ab (а— b)-\-(b — а)
= (a—b) (ab— 1).
Квалификация этого примера «неподходящим»,
«неуклюжим» является для нашего учителя седь¬
мого класса совершенно непонятной. Не найдется
ни одного учителя седьмого класса в нашей
стране, у которого возникло бы какое-либо со¬
мнение в том, можно ли пример такой труд¬
ности предложить на испытании,—настолько он
прост и тривиален. Если же он попал на стра¬
ницы органа английских учителей и там сопро¬
вождается приведенными комментариями, то по¬
зволительно делать из этого факта некоторые
выводы относительно уровня преподавания в ан¬
глийской массовой школе.
Еще более странно другое обстоятельство по
поводу того же примера.
Французское министерство просвещения из¬
дает солидный журнал, регистрирующий дости¬
жения в разных областях знания во всех стра¬
нах мира «Bulletin Analytique» с длинным ти¬
тулом издателя: «Министерство национального
воспитания. Национальный центр научных ис¬
следований». В т. VII, № 9, сентябрь 1946 г.,
стр. 1532 под номером 19030 (часть I, раздел
математики) зарегистрированы строчки: «а2й-}-
-|- Ь — аФ — а=ФЬ — аФ -J- b — а = (а —
—Ь) (аЪ — 1) Jones J. F. Math. gaz. 30 (февр.
1946), стр. 35». Последнее еще менее понятно,
чем помещение заметки в английском учитель¬
ском журнале. Какие научно-исследовательские
достижения усмотрел Национальный центр на¬
учных исследований французского министерства
просвещения в самом тривиальном примере ал¬
гебраических упражнений для учеников наших
седьмых классов, трудно себе представить.
Естественно сделать заключение, что обычный
в английской школе классный тренировочный
материал по алгебре более примитивен, чем
в наших школах, и нет оснований для распро¬
* В английских школах, повидимому, не пишут
знак равенства в конце строки, а только в начале,
в случае перехода на новую строку.
страненного у нас мнения, что по меньшей ме¬
ре уровень фактических, формальных знаний там
выше, чем у наших школьников.
IV
Французская школа живет в отношении пре¬
подавания в ней математики прочно установив¬
шимися, я бы сказал, окаменевшими традициями.
Идеал ее в области преподавания математики
заключается в том, чтобы подготовить своих
абитуриентов к конкурсу для поступления в Па¬
рижскую политехническую школу или в Выс¬
шую нормальную школу. Все остальные цели
школы отступают на задний план.
Роль университета (во Франции официально
существует лишь один единственный универси¬
тет, факультеты которого имеются и в разных
других городах, кроме Парижа) в духовной
жизни Франции незначительна. Все крупные
имена Франции в области физико-математиче¬
ских наук вышли из Политехнической школы
или из Высшей нормальной школы. Последняя
готовит по своему уставу учителей и профес¬
соров для лицеев, из избранной части которых
выходят и научные работники.
Подготовка будущих инженеров во Франции
уже с 1792 г. происходит следующим образом.
В течение двух лет все будущие инженеры про¬
ходят в Политехнической школе в Париже ма¬
тематику, механику, физику, химию, черчение,
стереотомию и начертательную геометрию и за¬
тем получают специальную техническую подго¬
товку в разных институтах 1— горном, дорог и
мостов, военных и т. д. Конкурс в Политехни¬
ческую школу громадный, до 2000 чел. на 20 ва¬
кансий. Кандидаты отбираются по сложной си¬
стеме. Идеальный кандидат может набрать
2000 очков. По литературным источникам, как
будто, за все время существования Политехни¬
ческой школы только один человек набрал пол¬
ное число очков (как будто, это был Эрмит).
Как происходит подготовка к конкурсу канди¬
датов в Политехническую школу, об этом пре¬
доставим рассказать французскому автору
Ж. Камескасу, хорошо знакомому с делом, так
как его книга, из которой мы заимствуем это
описание, издана под редакцией и с предисло¬
вием известного реформатора преподавания
математики И. А. Лезана, экзаминатора в Поли¬
техническую школу (см. Ж. Камескас, Как за¬
ниматься с помощью ознакомителя с математи¬
кой, стр. 23—24). Вот что пишет Камескас:
«Я не хочу упустить случая протестовать
энергически против настоящего преступления,
совершаемого учителями (как бы преданы делу
они ни были), которые не боятся давать учить
наизусть даже малолеткам, 7—8 лет, тексты из
истории Франции, более или менее тенденци¬
озной .
42

Несколько месяцев тому назад в Париже я
слышал, как 7-летний мальчик, ученик началь¬
ного городского училища, твердил наизусть,
под бдительным контролем своей матери, урок
истории, в котором говорилось о собрани¬
ях Генеральных штатов (Сословные съезды)
в 1614 г.,—я спросил:
«Так ты знаешь, что такое созывы Генераль¬
ных штатов?»
Малютка перестал говорить, посмотрел на
мать и сказал: «Ах, дальше я не знаю!» Одна¬
ко он знал потом урок наизусть, он получил
первую награду по истории в конце года. Ка¬
кая от этого польза? При таком положении
дел понятно, что дети бегут из школы или, что,
может быть, еще важнее, выходят из нее 13
или 18 лет с отвращением к учению. Было бы
несправедливо оставить читателя при мнении,
что это зло касается только начальных училищ.
Напротив, оно там менее важно, чем в средних
школах.
Наилучшей характеристикой того, что проис¬
ходит в этих последних, может быть следую¬
щая цитата из современного философа, недо¬
статочно известного: «Знаете ли вы, что такое
«Кротыш* ? Это подросток, который учится
специальной математике *. Кротыш встает при
первом пении воробьев. Обливаясь холодной
водой, он припоминает мысленно удовольствия
наступающего дня.
Во-первых, прочесть 80 страниц механики
и серьезной механики; в ней не говорится ни
о паровозах, ни о моторных двигателях, ни
о турбинах, ни о какой бы то ни было маши¬
не; это — механика без аппаратов: одни толь¬
ко строчки алгебраических символов; вообразите
глухонемого, осужденного на чтение музыкаль¬
ных страниц, не могущего думать о музыке, и
вы будете иметь некоторое понятие об удоволь¬
ствиях Кротыша.
Потом усесться с 50-ю подобными несча¬
стными в комнате с голыми стенами, наводя¬
щими уныние, и писать целых Н/2 часа под
диктовку человека, который после 15-летних
стараний успел сократить 3 страницы на 2.
Невольно вспоминаешь при этом тех терпели¬
* Во Франции «Кротышом» (Taupin) зовут ученика
курсов специальной математики, потому что он стре¬
мится поступить в Политехническую школу, чтобы
быть инженером и рыть, подобно кроту, подземные
.галереи в копях.
вых учителей чистописания, которым удается
написать большую страницу какого-нибудь тек¬
ста на кружочке бумаги величиной с монету.
Потом идти к доске и писать 90 слов в час,
со всевозможными ловушками. При первой же
запинке Кротыша с благодарностью отсылают,
как будто говоря насмешливо: «Вы недоста¬
точно умны, чтобы заниматься специальной ма¬
тематикой».
И Кротыш идет в другую комнату и отды¬
хает от математики, учась физике. Вы думаете
в простоте душевной: «Вот мальчик, наконец,
сможет слушать, наблюдать, заниматься с аппа¬
ратами, приблизиться к природе». Наивный че¬
ловек, вы ошибаетесь. Он сейчас же примется
писать еще быстрее, он будет описывать и разъ¬
яснять опыты, которых он никогда не видел,
которых никогда не увидит. Совсем близко,
в физическом кабинете, аппараты спят в сте¬
клянных шкапах» (Е. Chartrier, Les 101
Propos d’Alain).
Наши школы могли бы, однако, быть прият¬
ными помещениями (обыкновенно это не
так).
Пусть хорошенько зарубят себе на носу: когда
школа перестанет быть привлекательной для
детей, то нет никакого сомнения, что виновата
в этом школа».
К этому надо добавить, что ни один «Кро¬
тыш» не попадет из специальных математиче¬
ских классов средней школы в Политехниче¬
скую школу без того, чтобы он не проходил
в течение 1—2 лет специальных частных курсов
в Париже по натаскиванию к конкурсу. Для
этого существуют десятки и сотни руководств,
издаются специальные журналы, предприимчи¬
выми людьми выпускаются сборники задач, пред¬
лагавшихся на экзаменах. Хотя и существуют
подобные издания, ие преследующие явно ком¬
мерческих целей, но сверх них выходят и на¬
ходят потребителей все новые и новые издания,
обычно руководителей частных курсов по под¬
готовке к экзаменам, уверяющие читателя в том,
что издателю удалось достать самые настоящие
экзаменационные задачи.
Примерно таким же образом происходит и под¬
готовка к экзаменам кандидатов в Высшую нор¬
мальную школу, лишь с той разницей, что
в Нормальной школе конкурс несколько слабее,
так как там и мест больше и желающих по¬
ступить меньше.

РУССКИЕ ПЕДАГОГИ-МА ТЕМА ТИКИ
АЛЕКСАНДР ФЕДОРОВИЧ МАЛИНИН
В.	П. МАЛИНИНА (Москва)
8 марта (24 февраля ст, стиля) 1948 г. исполни¬
лось шестьдесят лет со дня смерти известного
математика-педагога, общественного деятеля, авто¬
ра целого ряда учебников — А л е к с а н д р а Фе¬
доровича Малинина.
Сын штатного смотрителя 3-го Московского
уездного училища — впоследствии 2-го городского
(у Красных ворот), А. Ф. родился 29 января 1835 г.
в здании этого училища и здесь же получил перво¬
начальное образование. Отец его, не жалевший сил
и средств для того, чтобы дать возможно лучшее
образование своим детям, поместил А. Ф. по окон¬
чании курса в уездном училище во 2-ю гимназию,
на Разгуляе. По смерти отца он был переведен в
1-ю гимназию пенсионером, где и окончил курс с
золотой медалью.
Высшее образование А. Ф. получил в Московском
университете по физико-математическому факуль¬
тету, который также наградил его золотой медалью.
Избрав себе, по окончании курса в университете
(в 1854 г.), трудное и как бы наследственное педа¬
гогическое поприще. А, Ф. покинул Москву для
того, чтобы отправиться старшим учителем мате¬
матики в Тверскую гимназию. Но уже через 2 года
он снова возвратился в Москву преподавателем 4-й
Московской гимназии, где и продолжал службу в
течение 14 лет, до назначения в 1870 г. директором
Тульской гимназии.
В 1872 году А. Ф. снова вернулся в Москву
(и уже больше не покидал ее до самой своей смер¬
ти)—на пост директора нового учебного заведе¬
ния— Московского учительского института, — осно¬
вателем которого был он сам.	I
Разностороннее образование и выдающиеся сио-
собности помогли А. Ф. в короткое время приб¬
рести вполне заслуженную известность лучшего
преподавателя математики. Но преподавательская
деятельность не могла вполне удовлетворить А. Ф.
и поглотить всю его энергию: он вскоре выступил
как педагог-писатель.
В то время (60-е годы) в учебном деле совершал¬
ся коренной переворот: от сухого, догматического
преподавания школа начала переходить к более жи¬
вому и приспособленному к пониманию учащихся.
Огромная доля в этом перевороте, коснувшемся и
математических наук, принадлежала А. Ф Мали¬
нину — и как преподавателю и как педагогу-писа-
телю.
Его живой разносторонний ум не мирился с уз¬
кими рамками современной ему педантической пе¬
дагогики. А. Ф. понимал, что для развития науки важ¬
но ее широкое распространение в на¬
родных массах, ее общедоступность.
Это легло в основу всей его деятельности.
В то время, когда началась и развивалась лите¬
ратурная деятельность Александра Федоровича, в
школе было недостаточно учебных пособий по ма¬
тематике. Существовавшие учебники являлись не¬
редко подражанием западным образцам: часто под
видом строгой научности в них скрывались не толь¬
ко педагогические ошибки, но и серьезные науч¬
ные промахи.
Создание элементарной математической отече¬
ственной литературы требовало таланта — и таким
талантом, соединенным с огромной энергией и тру¬
доспособностью, обладал Александр Федорович Ма¬
линин, выступивший в роли педагога-писателя.
Учебно-литературную деятельность А. Ф. начал
• Руководством тригонометрии», за ним последовали
«Руководство арифметики» и «Собрание арифмети¬
ческих задач». Этим было положено начало целому
ряду отличных для того времени учебников, напи¬
санных А Ф. один за другим в короткое время.
По этим руководствам десятки лет училось юно¬
шество всей России.
Всего Александром Федоровичем Малининым —
одним и в сотрудничестве с К. П. Бурениным —
составлено 15 учебных книг, из которых многие
были премированы министерством народного про¬
свещения.
Приводим перечень этих книг:
1. Руководство тригонометрии.
2. Руководство арифметики.
3. Собрание арифметических задач.
4. Физика и собрание физических задач.
5. Собрание физических задач.
6. Руководство алгебры и собрание алгебраических
задач.
7. Курс физики для женских учебных заведений.
8. Начальные основания физики для городских
училищ.
9. Собрание задач для умственных вычислений
(по Церингеру).
10. Руководство геометрии для городских училищ.
11. Руководство геометрии и собрание геометри¬
ческих задач для гимназий.
12. Курс геометрии для женских учебных заведений.
33. Курс алгебры для женских учебных заведений.
14. Космография и физическая география для гим¬
назий.
15. Курс математической и физической географии
для женских учебных заведений.

Отличительную особенность кьит Александра
Федоровича составляло соединение учебника со
специально и очень удачно подобранными задачами
и упражнениями, вполне соответствовавшими со¬
держанию и характеру учебника.
Распространение книг, составленных А. Ф., скоро
достигло громадных, небывалых раньше размеров.
Так, «Собрание арифметических задач» еще при
его жизни разошлось в 18 изданиях, в числе
645 тыс. экземпляров, «Руководство арифметики» —
в 15 изданиях, в числе 537 тыс. экземпляров.
Велика также роль А. Ф. как основателя и дирек¬
тора Московского народного учитель¬
ского института.
Чтобы оценить по достоинству роль его в этом
деле, необходимо сказать несколько слов о самом
учительском институте — этом совершенно новом, не¬
обычном для того времени учреждении, которому
суждено было стать высшим учебным заве¬
дением для будущих учителей город¬
ских школ, в котором воспитывались преиму¬
щественно дети бедных родителей, крестьян, мелких
чиновников.
В конце пятидесятых годов все более назревало
в умах лучших людей сознание о несостояте .ьности
тогдашнего общественного образования; все более
и более крепло убеждение в необходимости пре¬
образований. Реформа 1861 г. окончательно решила
этот вопрос в утвердительном смысле и определи¬
ла новое направление школы.
Наряду с другими реформами было приступлено
к реформе уездных училищ. Но так как министер¬
ство народного просвещения считало, что новые
училища только тогда смогут выполнить свое на¬
значение, когда будут снабжены хорошими учителя¬
ми, оно начало свою реформу не с преобразования
уездных училищ в городские, а с учреждения учи¬
тельских институтов для подготовки учителей.
Основать в Москве п е р в ы й в России учитель¬
ский институт был призван А. Ф. Малинин.
Если вообще трудно учредить новое учебное за¬
ведение даже но образцу существ} юшгх, то еше
■больший труд предстоял при учреждении учитель¬
ского института и организации в нем учебно-воспи¬
тательного дела: в то время ни программы, ни
методы преподавания не были выработаны. И с
этой задачей — благодаря лччным трудам и выда¬
ющимся педагогическим, организаторским и адми¬
нистративным способностям — блестяще справился
Александр Федорович, всю свою душу отдавший
этому делу.
А.	Ф. Малинин
Московский учительский институт, открытый
30 ноября 1872 г., по справедливости, называли
малининским. Много учителей кончило в нем курс,
и все учительские места в городских училищах
Московского округа замещались исключительно его
воспитанниками.
Необыкновенно отзывчивый на всякое полезное
дело, А. Ф. лично руководил (по заранее выработан¬
ному им самим плану) устройством отдела Москов¬
ского учебного округа на всероссийской выставке
в 1882 г. и при< бр«л институту за образцовые тру¬
ды его воет танников почетный диплом
Озабоченный изысканием образовательных средств
для воспитанников средних учеСных заведений,
А.	Ф. устроил при отделе Общества распростра¬
нения технических знаний общедоступные
чтения по разным отраслям знаний.
Среди занятий по устройству этих чтений 16 фев¬
раля 1882 г. А. Ф. скоропостижно скончался—■
53 лет, полный сил и энергии.

КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
КОГДА НАЧИНАТЬ ИЗУЧЕНИЕ СИСТЕМАТИЧЕСКОГО КУРСА
ГЕОМЕТРИИ В СРЕДНЕЙ ШКОЛЕ?
П. А. ГОРБАТЫЙ и Т. Я. НЕСТЕРЕНКО (Киев)
Вопрос о том, когда начинать изучение систе¬
матического курса геометрии, поднятый Я. С. Дуб¬
новым в «Известиях Академии педагогических
наук», т. VI, 1947 г. и в журнале «Математика
в школе» № 1, 1948 г. Н. М. Бескиным, является
чрезвычайно актуальным. От того, как будет ре¬
шен этот вопрос, зависит и программа и учебник
по геометрии.
Н.	М. Бескин совершенно правильно пишет, что
этот вопрос не может быть разрешен теоретиче¬
ски, а только опытом, и нельзя без должного упа-
жения относиться к длительному опыту всего че¬
ловечества, установившему сроки для начала изу¬
чения систематического курса геометрии.
Посмотрим, о чем же говорит этот опыт. Из
всех математических дисциплин геометрия с древ¬
нейших времен считалась наиболее пригодной для
общего развития человеческого ума, поэтому на¬
чальные сведения по геометрии непременно вклю¬
чались в курсы арифметики. Самым старинным
учебником по арифметике у нас является арифме¬
тика Магницкого 1703 года издания. Учебник Маг¬
ницкого содержит в себе сведения по начальному
курсу геометрии не только узко практические (вы¬
числение площадей простейших фигур и измерепие
объемов тел), но и вопросы, связанные с изуче¬
нием основных понятий геометрии, с развитием
логического мышления (мы не касаемся вопроса
методики изложения этого материала Магницким,
речь идет лишь о содержании).
Так как учебник Магницкого очень долгое время
был основным и единственным, то, следовательно,
изучению систематического курса геометрии в то
время предшествовал начальный курс.
В 1798 г. академик Семен Емельянович Гурьев
издает «Опыт о усовершении елементов геомет¬
рии». В этом трактате есть указания и о «детской
геометрии». Автор пишет, что молодые люди «не¬
чувствительным образом подготовляются к слуша¬
нию и удоборазуменню настоящих элементов гео¬
метрии, как объясняющих сопряжения и оттуда
происходящие свойства знакомых им уже предме¬
тов». Эти идеи академика Гурьева воплощались
в жизнь преподавателем Петроградского морского
корпуса Гейлером, который более пятидесяти лет
из года в год обучал своих учеников началам гео¬
метрии наглядным способом, подготовляя их к слу¬
шанию систематического курса геометрии.
В 1853 г. Ф. А. Федоров издает учебник под
названием «Геометрия для всеобщего употребле¬
ния». В предисловии он указывает на огромное
образовательное значение геометрии, но начпнат'
ее изучение с систематического курса нельзя. Да¬
вая характеристику начальному курсу геометрии,.
Федоров пишет: «Чуждая отвлеченностей, она вы¬
водит все важнейшие геометрические истины, слу¬
жащие к измерению протяженностей, самым на¬
глядным образом; и поэтому может быть доступна
и даже занимательна для самых маленьких детей.
Достоинство не малое, если вспомнить, каким
трудностям подвергаются вообще дети, начинаю¬
щие изучать эту часть математики по обыкновен¬
ным школьным курсам, где с первой страницы они
прямо вводятся в недоступную для их слабого
разумения область отвлеченностей. Поэтому не¬
удивительно, если в наших низших училищах, где
ученики лишены всякого наглядного понятия о гео¬
метрических теоремах, геометрия становится для
них самым трудным и непонятным предметом»
(Федоров, Предисловие к книге «Общенародная
геометрия»).
Выпуская свой курс по начальной геометрии,
Федоров и тогда еще предвидел, что найдутся
противники такого построения курса геометрии.
Эти противники обычно свою точку зрения аргу¬
ментируют тем, что детям, которым предстоит
прослушать полный общеобразовательный курс
геометрии, начальный курс геометрии может дать
превратные понятия о предмете геометрии и что
потом их придется переучивать. На эти возраже¬
ния Федоров отвечает так: «Ужель и в самом деле
отрок, начинающий изучать геометрию, непосред¬
ственно понимает те метафизические определения,
которые сообщаются ему в начале курса? Сознает
ли он прямо, что линия есть протяжение в одну
только длину, что плоскость не имеет толщины
и пр. и пр.? Не вероятнее ли всего, что долгое
время под прямой линией он представляет себе
туго натянутую нить, под плоскостью — тонкий
лист бумаги, слой слюды и пр.? Кажется, на эти
вопросы нельзя ответить отрицательно, потому что
ни один человек не перескакивает сразу в область
отвлеченностей, но доходит до сознания метафи¬
зических истин путем трудным и медленным, на¬
чиная с чувственкого и частного» (там же).
Большое внимание уделял вопросам преподава¬
ния геометрии академик М. В. Остроградский
(1801 — 1861 гг.). Он написал учебник по элемен¬
тарной геометрии, выступая ярым противником,
того, чтобы начинать изучение геометрии с аб¬
страктных понятий, что может вызвать лишь от¬
вращение к предмету. Он требовал, чтобы на пер¬
46

вой ступени изучения геометрии исходить из на¬
глядных представлений.
Со второй половины XIX столетия, когда
К. Д. Ушинский подвел научную базу под вопросы
методики и дидактики в своем произведении «Че-
ловек как предмет воспитания», вопрос о том,
нужно или не нужно вводить начальный курс гео¬
метрии (пропедевтический курс, как его тогда
называли), не ставился, так как необходимость его
была доказана. Вопрос стоял о том, каким этот
курс должен быть по объему и по расположению
материала. Вопросу о построении начального кур¬
са геометрии было уделено большое внимание на
педагогической дискуссии, проводившейся Петер¬
бургским педагогическим обществом в 1872 г.
В этой дискуссии принимали активное участие
такие видные методисты-математикн России, как
Евтушевский. Извольский, Волков, Косинский и др.
В первой четверти XX в. вопрос о начальном
курсе геометрии был поставлен еще более резко
и научно обоснованно. Это видно по материалам
всероссийских съездов преподавателей математики
1910—1913 гг. Проф. Богомолов, выступая с до¬
кладом об «основании геометрии в связи с поста¬
новкой ее преподавания» отмечает, что начало
изучения геометрии с систематического курса мо¬
жет оказаться в высшей степени непонятным vne-
никам и потому вредным. Изучению системати¬
ческого курса геометрии должен предшествовать
широко поставленный пропедевтический курс, цель
которого не только в накоплении геометрического
материала и пространственных представлений, но
и в подготовке мышления ученика к необходимо¬
сти логического доказательства.
В докладе Шохор-Троцкого о «требованиях, предъ¬
являемых психологией к математике как учебному
предмету», говорится: «Требовать от учащегося,
чтобы он только рассуждал, только мыслил и фи¬
лософствовал, чтобы он жил только в области от¬
влеченных понятий, считалось и поныне многими
считается признаком наилучшего тона, но во всей
строгости это требование невыполнимо. Путем
школьных наказаний и других более тонких средств
насилия можно добиться того, что учащиеся,
повидимому, будут исполнять подобные требования.
Но они это будут делать, только обременяя свою
память словами и лишая себя радостей творче¬
ства...» (Труды 1-го съезда, стр. 73).
Далее Шохор-Троцкий подчеркивает, что ученик
необходимо должен подниматься на высоты отвле¬
чённой мысли и посильно стремиться на эти вы¬
соты, но не делать это сразу скачком, ибо то, что
недоступно детскому возрасту, может оказаться
целесообразным в возрасте юношеском.
В тезисах к докладу Ройтмана на том же съезде
■ О математическом курсе элементарной геометрии
в средней школе» сказано: «Невозможность для
среднего ученика усвоить толково и с пользой
синтетический курс геометрии в эвклидовской (или
видоизмененной лежандровской) форме есть поло¬
жение, твердо установленное как долгой практи¬
кой преподавания, так и с точки зрения рацио¬
нальных требований педагогики и дидактики».
Главная идея всех этих выступлений сводится
к тому, что изучать геометрию, начиная с систе¬
матического курса, нельзя, необходим начальный
курс геометрии. Начальный курс геометрии должен,
с одной стороны, способствоьать изучению неко¬
торых важнейших свойств пространства, с другой
стороны, внести свою долю в дело развития мыш¬
ления и умения правильно формулировать умоза¬
ключения.
В г°Ды строительства нашей советской школы
такие же высказывания мы слышим от наших
советских учителей. Из материалов совещания
преподавателей математики средней школы в 1935 г.
также видно стремление к введению начального
курса геометрии. Особенно ярким было выступ¬
ление т. Шидлоеской о положении с началом
изучения систематического курса геометрии; она
говорит:	«Все ЕОпросы преподавания геометрии
очень важны, но мне кажется все-таки, что самый
большой вопрос- преподавание геометрии в VI клас¬
се. Это такой большой вопрос, что было бы не
худо, если бы была создана целая Секция, посвя¬
щенная вопросу о начале систематического курса
геометрии в VI классе. Ни для кого не секрет,
что там мы имеем тяжелое положение. Сплошь
и рядом мы видим, что учащиеся не понимают
самого главного: не понимают необходимости до¬
казательства. Они не усваивают самого смысла
доказательства, и преподаватель поставлен в очень
тяжелые условия... Иногда получается формальное
благополучие, т. е. учащиеся на вопросы препо¬
давателя дают гладкую формулировку какой-нибудь
теоремы, или дают точное определение, но в то же
время не понимают смысла произносимых слов»
(Материалы совещания преподавателей математики
средней школы, 1935 г., стр. 74).
На том же совещании т. Енджеевский из Пятигор¬
ска сообщает, что из обследования 1200 учащихся
40 классов установлено, что самое узкое место—■
это доказательство теоремы. В лучшем случае
учащиеся заучивают доказательство теорем, запо¬
миная определенное расположение букв на чертеже,
изменение которых сбивает с толку учащегося,
\ он не может доказать теорему. Происходит это
от того, что учащиеся не подготовлены к тому,
чтобы воспринимать осмысленно теорему, они не
понимают смысла и необходимости доказательства.
На страницах журнала «Математика в школе»
очень часто можно видеть те пли другие замеча¬
ния о необходимости перестройки существующего
к^рса геометрии.
В статье «О преподавании геометрии в VI классе»
т. Петров говорит, что, дойдя до VI класса, уче¬
ники ие приносят с собой никаких геометрических
понятий и представлений; тот геометрический ма¬
териал, который вкраплен в программу начальной
школы, случаен, разрознен, да и не пользуется
должным вниманием со стороны учителей. По су¬
ществу, в VI классе дети впервые знакомятся с гео¬
метрическими понятиями, и. излагая геометрию в
VI классе дедуктивно, мы убиваем в детях всякий
интерес к этой науке в дальнейшем.
В журнале «Математика в школе» № 3, 1938 г.,
напечатана статья т. Войтова. Статья составлена
на основании систематически проводимого в тече¬
ние 10 лет учета и' анализа знаний по математике,
которые были обнаружены лицами, окончившими
7 классов средней школы и поступавшими в транс¬
портный техникум. Тов. Войтов пишет: «Почти
100% учащихся либо не знали доказательства тео¬
рем, либо не давали их полностью и обоснованно,
почти совсем не отвечали на вопрос, что такое
вписанный или описанный угол. На предложение
начертить трн высоты в тупоугольном треугольнике
свыше 50% учащихся чертят так (черт. 1):
На вопрос по поводу последнего чертежа «мо¬
жет ли высота, опущенная на сторону, составлять
с ней острый или тупой угол?» отвечают: «В тупо¬
угольном треугольнике может, так как ее иначе по¬
строить нельзя». Очень многие утверждают, что
в треугольнике можно построить только одну вы¬
соту. На предложение «начертите прямоугольник» —
около 40% учащихся давали такие чертежи (черт. 2)
и т. д. Из материала, данного т. Войтовым, видно
47

-что на протяжении VI и VII классов учащиеся до¬
казывали механически теорем .1, не вникая в сущ¬
ность самих понятий. Получается так, что в погоне
за развитием логического мышления m.i предлагаем
учащимся материал по геометрии, недоступный их
возрасту, и в результате не достигаем никаких ус¬
пехов ни в области развития логического мышле¬
ния. ии в области накопления геометрических пред¬
оставлений.
бокого понимания излагаемых вопросов. Следова-
Ti-льно, дело не в обшем развитии учащиася, а в
раз .итии их пространственных представлений в на¬
коплении ими сведений геометрического характера.
Мы не один раз в своей школе проверяли, с ка¬
ким запасом геометрических представлений прихо¬
дят учащиеся к изучению систематического курса,
и всегда приходилось отмечать бедность этого за¬
паса. Из тел только куб выделяют правильно. Пря-
I
j
Черт. 1
fГ К таким же результатам мы пришли, проводя
беседы с учащимися своей школы. На вощос
«Чем вы занимались сегодня на уроке геометрии?»
■ отвечают- «Сегодня весь урок учительница дока¬
зывала, что два равных треугольника равны».
На вопрос «Какие теоремы усваиваются трудно?»
учащиеся, как правило, отвечаю так- «Мы ие по¬
нимаем, зачем доказывать то. что и без доказа-
.тельства ясно, например, перпендикуляр короче
Черт. 2
■наклонной, против большей стороны в треугольнике
лежит больший угол н др., поэтому в таких тео¬
ремах сделаешь чертеж а сказать не знаешь что.
Трудные теоремы усваиваются легче». Бывают и
такие ответы: «Очень трудно разобраться в том,
что дано и что требуется доказать». На вопрос
«что изучает геометрия»? абсолютное большинство
ответов были такие: «Нам >читель объяснял, что
геометрия — это землемерие, но я второй год изу¬
чаю геометрию и никакого в ней землемерия нет,
а только доказательства теорем». Часто приходится
слышать от оканчивающих среднюю школу такие
ответы: «Пойду только в такой вуз, где нет мате¬
матики, особенно геометрии».
Причины такого явления объясняются, во-первых,
большим несоответствием математического развития
учащихся с дедуктивным изложением курса а,
во-вторых, оторванностью излагаемых вопросов
геометрии от конкретных образов, в мире которых
живет ребенок. По существуюг'ей программе дети
до VI класса с вопросами геометрии, по существу,
не встречаются ни разу. В начальной школе весь
геометрический материал ограничивается одной те¬
мой 8	10 часов и сводится к нахождению площади
прямоугольника и объема прямоуго ьного парал¬
лелепипеда. Многократные наблюдения над уча¬
щимися IV классов показывают, что эти вопросы
не усваиваются детьми, они механически запоми¬
нают правила нахождения площади прямоугольника
и объема прямоугольного параллелепипеда, ие
понимая, почему это делается так. а не иначе.
Задача на определение стоимости побелки классной
комнаты данных размеров, если за 1 кв. метр
платят данную сумму, вызывает большие затруд¬
нения у учащихся V класса. А ведь те же ученики
прекрасно решают более сложные арифметические
задачи, пишут прекрасные сочинения, полные глу-
моугольные параллелепипеды различных размеров
и цветов не выделяют в общую группу. Отрезки
прямых, изображенные на доске, называют кривыми,
если они проведены не горизонтально, а наклонно,
угол называют треугольником и т. п. Ясно, что
с таким запасом геометрических сведений систе¬
матический курс геометрии ребенком 12 лет не
может усваиваться.
Настаивание на начале изучения систематического
курса геометрии с VI класса есть не что иное, как
дань веками установившейся традиции. В наше
время Э10 бремя традиции болезненно сказывается
на преподавании геометрии.
Говоря о необходимости начинать систематиче¬
ский курс геометрии в VI классе, Н. М. Бескин ссы¬
лается на дореволюционные гимназии. «В гимна¬
зиях геометрия начиналась в IV классе, что по
теперешнему счету соответствует шестому» (стр. 30),
и дальше он говорит: «Также мы не можем при¬
мириться с мыслью что английские и французские
дети способны в 12—13 лет штудировать геометрию
в эвклидовско-лежандрозском духе, а проект Afe 1
считает, что для советских детей это недоступно»
(стр. 31 j.
Как известно, преподавание геометрии в доре¬
волюционной гимназии у нас, а также и за гра¬
ницей было одним из самых слабых мест, о чем
говорят и магериа.ы дореволюционных съездов
преподавателей математики России и междунар д-
ное реформистское движение, охватившее все
страны Западной Европы. Основная идея между¬
народного реформистского данжения в области
улучшения преподавания геометрии сводилась к
тому, чтобы внести живую струю в преподавание,
приблизить это иренода1 анне к жизни н поставить
в соответствие с психологическими особенностями
детского возраста.
Глава реформистского течения Ф. Клейн говорит:
«Ни один предмет гимназий и реальных училищ ие
вызывает таких затруднений, как математ .ка, если
только большинство учеников сразу проявляют
нежелание дать себя втиснуть в мертвые рамки
логических выводов. Гораздо легче заинтересовать
молодежь, исходя из явлений, познаваемых внеш¬
ними чувствами, и только постепенно переходя к
абстрактной формули( овке ... По *тому важно, зна¬
чит убедить, что именно внешний вид ведет к
правильному мышлению на почве верных посылок.
Но в таком случае следует с самого начала обра¬
щать взор на внешний мир» (Трей тл ейн, Мето¬
дика геометрии, ч. 1, стр. 139в.
Высказываний передовых педагогов Западной
Европы о недоступности детскому возрасту в
12 лет понять синтетический курс геометрии мы
могли бы привести бесчисленное множество (Лезан,
48

Симон, Пуанкаре и мн. др.), но и из этого видно,
что иностранные дети не усваивают логического
курса геометрии. Оказывается, ссылка Н. М. Бес¬
кина на гимназистов и на иностранных детей не
основательна.
Признавая необходимость придать некоторую
законченность курсу геометрии в семилетней шко¬
ле, Н. М. Бескин серьезно недооценивает гриви-
тия практических навыков оканчивающим неполную
среднюю школу. «Учащиеся, проходящие полную
среднюю школу, должны совершенно неестествен¬
ным образом запомнить в VII классе бесполезные
с общеобразовательной точки зрения формулы для
объема шара и конуса только потому, что некото¬
рые их товарищи поступают в техникумы» (стр. 32).
Вопрос этот слишком суживается Н. М. Бески¬
ным. Дело не только в том, что некоторые из
окончивших семилетнюю школу поступают в тех¬
никумы, это меньше всего имеется в виду введе¬
нием начального курса геометрии. Главный вопрос
заключается в том, что абсолютное большинство
учащихся из семилетки выходит в жизнь — в кол¬
хозы, на заводы и т. д., где им очень необходимы
практические знания и навыки.
Статистика говорит о громадном количестве уча¬
щихся, выходящих из семилетней школы как в
техникумы, так и в жизнь, и пренебрегать приви¬
тием практических навыков преступно против на¬
шей родины, ведь обучение в наших школах про¬
водится не для обучения, а для жизни, для строи¬
тельства коммунистического общества. Потреб¬
ность в привитии навыков оканчивающим как не¬
полную среднюю, так и среднюю школу — огромна.
Это видно из целого ряда выступлений.
Строительный рабочий колхоза «Пламя» Рамен¬
ского района Московской области, окончивший не¬
полную среднюю школу, на совещании, созванном
редакцией «Учительской газеты», сказал: «Школь¬
ная математика не дает практических навыков, не
знакомит с приемами измерений, которые прихо¬
дится делать на производстве каждому рабочему»
(«Учительская газета» № 55 От 23 апреля 1939 г.).
Бригадир одного из колхозов, окончивший 9 клас¬
сов, измерял площадь участка треугольной формы
полупроизведением чисел, измеряющих две его сто¬
роны. Когда же ему указали на эту ошибку и убе¬
дили, что так делать нельзя, то ои заявил: «В ма¬
тематике там свои правила, а здесь, в практике,—
другие» (из ст. Ч у к а н ц о в а, Ближе к практике,
«Математика в школе» № 4, 1940 г.).
Иногда приходится слышать от учеников и та¬
кие ответы. Когда учеников Спрашиваешь, как уз¬
нать, какой из полевых участков треугольной фор¬
мы больше, ученики хором отвечают: «наложени¬
ем». Вопросам непосредственного измерения мы, к
сожалению, совсем не обучали учащихся, увлечен¬
ные идеей научить 12—13-летнего ребенка логи¬
чески мыслить.
Между тем мы знаем, что с трибуны XVIII съез¬
да ВКП(б) В. М. Молотовым была поставлена за¬
дача привития оканчивающим школу юношам и
девушкам хотя бы некоторой подготовки к буду¬
щей практической работе, так как на заводы, в
колхозы, в армию ежегодно вливаются миллионы
окончивших неполную среднюю школу.
Геометрия в семилетней школе, больше чем лю¬
бая другая дисциплина, оторвана от жизни. Ученик
изучает в VII классе взаимное расположение ок¬
ружностей и четыре замечательные точки в тре¬
угольнике, но не знает, как вычислить площадь
треугольника, трапеции, как узнать емкость ведра
цилиндрической формы и т. д.
Программу по геометрии семилетней школы не¬
обходимо перестроить так, чтобы учащиеся, кон¬
чая 7 классов, получили на уроках законченный,
практически необходимый для ннх цикл знаний а
определенные навыки. «Наука, порвавшая связи с
практикой, с жизнью, — какая же это наука?»
говорит товарищ Сталин на 1-м Всесоюзном сове¬
щании стахановцев.
Широко практиковать в начальном курсе геомет¬
рии вопросы непосредственного измерения необ¬
ходимо не для того, чтобы опытом заменить логиче¬
ское доказательство теорем, а прежде всего для
того, чтобы довести до сознания ученика смысл,
что он хотел получить, чтобы поднять значение
теорем в глазах учеников и показать связь теории
с практикой. Непосредственные измерения нужны,
чтобы заставить учеников искать другие способы
для утверждения того или иного положения, сво¬
бодные от ошибок, связанных с нашими органами
чувств. Следовательно, непосредственные измере¬
ния не только дают учащимся ряд столь необхо¬
димых практических навыков, но и убеждают уче¬
ников в необходимости логических доказательств
Н.	М. Бескин пишет: «Что же мы ответим вы
пускникам средней школы на резонный вопрос:
«В семилетке мы убедились, что курс геометрии
может быть изложен без логических доказательств.
Для чего нас заставляют изучать эти доказатель¬
ства в старших классах?» (стр. 33).
По научным данным, познание окружающей нас
реальной действительности совершается по методу,
указанному В. И. Лениным: «от живого созерцания
к абстрактному мышлению...» Особенно это ярко
выступает в развитии познавательной деятельности
у детей. Детский ум стремится к конкретному и
не способен к отвлеченному мышлению до 14, а
иногда до 15-летнего возраста.
Всякий ребенок по преимуществу эксперимента¬
тор; он любит наблюдения, опыт и мыслит образа¬
ми. Но по мере накопления геометрических пред¬
ставлений у учащихся начинает появляться потреб¬
ность в логическом обосновании справедливости
исследуемых свойств геометрических форм. Таким
образом, уже в начальном курсе закладывается
фундамент для развития логического мышления.
Начальный курс геометрии вовсе не исключает
логических доказательств; наоборот, при правиль¬
ном ведении начального курса геометрии как раз
должно пробуждаться желание и понимание необ¬
ходимости доказательства, и оно обязательно прос¬
нется, когда при рассмотрении форм, обсуждении
их и сравнении на почве внутренней наглядности
все настойчивее станет возникать вопрос «поче¬
му?», когда сомнительные, ненадежные результаты
измерений и черчений понемногу будут преобра¬
зовываться в точные определения. Ученик посте¬
пенно почувствует естественную потребность в ло¬
гическом доказательстве, так как оно избавит его
от ряда ошибок и ненужных измерений.
Начальный курс геометрии должен быть постро¬
ен так, чтобы часть вопросов систематического
курса можно было бы основательно в нем изучить.
(Здесь речь идет не об объеме материала, подле¬
жащего рассмотрению в начальном курсе, это—
предмет самостоятельной статьи, а лишь о харак¬
тере метода для изучения этих вопросов.) Таким
образом, введение в программу средней школы на¬
чального курса геометрии для V — VII классов не
только преследует задачу более целесообразного
выполнения последующего систематического курса,
но является одним из необходимых условий пра¬
вильного развития мышления ребенка.
При правильной постановке работы по изучению
начального кур’са геометрии ученики старших клас¬
сов, пожалуй, сами сумеют ответить на вопрос, по¬
ставленный Н. М. Бескиным, а если мы начнем
49 ■

изучение систематического курса геометрии в
VI классе, то как мы ответим на вопрос шестикласс¬
ника, который также резонно нас спросит: «Поче¬
му же всему тому, чему несколько месяцев назад
мы так доверяли, что убеждает нас в справедливо¬
сти выводов в физике, химии, отныне в геометрии
доверять нельзя, экспериментировать не разре¬
шается? Почему никакого действительного нало¬
жения производить нельзя на уроках геометрии,
а только мысленное, хотя на уроках физики мы это
делаем и считаем правильным?»	{
Заключение. Для правильного развития мысли¬
тельных способностей учащиеся, для правильного
понимания ими геометрии как науки начинать изу¬
чение систематического курса геометрии в VI клас¬
се нельзя. Это идет вразрез с психологическими
-особенностями детского возраста: ребенок из мира
ярких конкретных образов попадает в мир отвле¬
ченных идей, идет с завязанными глазами в даль¬
нейшем изучении геометрии и теряет к ней интерес.
В связи с тем, что больше половины юношей и
девушек, обучающихся в средней школе, из семи-
ле1кл выходят либо в техникумы, либо в жизнь,
вопрос о законченности программы по геометрии
и о привитии целого ряда практических навыков
заслеживает большого внимания и требует немед¬
ленной перестройки курса геометрии путем выде¬
ления для V-—VII классов начального вполне за¬
конченного курса геометрии.
Начальный курс геометрии, преподаваемый уча¬
щимся в основном индуктивно-экспериментальным
методом, необходимо должен включать и логиче¬
ские доказательства, в V классе мало, в VI больше
и в VII еще больше.
Систематический курс геометрии следует начи¬
нать в VIII классе!
К ВОПРОСУ О ПРЕПОДАВАНИИ ГЕОМЕТРИИ В ШКОЛЕ
Н.	А. ПРИНЦЕВ (Россошь)
1.	Нужна ли коренная ломка программ
по геометрии?
На страницах нашего журнала поднят вопрос
о том, когда в школе следует начинать изучение
систематического курса геометрии. Один из проек¬
тов программы предлагает начать изучение систе¬
матического курса геометрии с VIII класса, дру¬
гой — с VII.
Таким образом, предполагается (если иметь в ви¬
ду особенно проект № 1) коренная ломка учебной
программы по геометрии.
Нужна ли такая коренная ломка программы? Чем
вызывается она? Не следует ли стать на путь
«реформ» в вопросе об изменении учебной про¬
граммы по геометрии?
Мы работаем по существующим программам не
один и не два года, а значительно большее время.
Это доказывает, что существующая учебная про¬
грамма и постановка преподавания геометрии
в основном нас удовлетворяют.
Мы сказали в основном, так как, несомненно,
учебная программа и вообще преподавание геомет¬
рии в нашей школе имеют много недостатков.
Следует признать, что первые уроки систематиче¬
ского курса геометрии как для учащихся, так и для
учителя являются наиболее трудными; едва ли
найдется в курсе элементарной математики более
трудный для восприятия материал, чем первые
теоремы по геометрии. Но это вполне естественно
и закономерно. На первых уроках по геометрии
учащиеся впервые знакомятся с элементами логи¬
ки, с элементарными математическими доказатель¬
ствами (в курсе арифметики, если таковые и есть,
то они обычно на практике обходятся учителем).
Здесь вопрос опирается в психологическую проб¬
лему: доступны ли для учащихся этого возраста
дедуктивные доказательства с привлечением нагляд¬
ных образов—геометрических чертежей?
Нам кажется, что практика лучших учителей
и данные психологии ребенка отвечают утверди¬
тельно на этот вопрос. В таком случае, зачем де¬
лать коренную ломку учебной программы? Отсту¬
пать перед трудностями? Но это не путь научного
разрешения проблемы геометрического образова¬
ния, или, лучше сказать, проблемы развития логи¬
ческого мышления учащихся нашей школы.
Вот почему нам кажется необходимо стать на
путь реформ в разрешении рассматриваемого во
проса.
2.	О пропедевтическом курсе геометрии.
Ребенок и его психология не есть нечто за¬
стывшее, нельзя рассматривать психологию ребенка
определенного возраста как нечто неизменное.
Образование и воспитание влияют на психологию
ребенка, на его развитие. Можно последнее затор¬
мозить и, наоборот, ускорить. Ребенок находится
под воздействием комплекса факторов, который
мы называем педагогическим процессом. Мы дол¬
жны, очевидно, пользоваться этими факторами для
ускорения развития ребенка.
Поэтому мы утверждаем, что можно и необхо¬
димо развивать логическое мышление ребенка
путем изучения систематического курса геометрии,
как это мы делаем при существующей учебной
программе. Доказательства тому: 1) многолетняя
работа с учащимися по существующим учебным
программам по геометрии (несмотря на малую до¬
ступность для учащихся текста первой половины
учебника Киселева); 2) опыт лучших учителей, ко¬
торые достигают блестящих результатов в VI —
VII классах; 3) длительный опыт работы дореволю¬
ционной школы по аналогичным программам и учеб¬
никам.
При подходе к вопросу о новой программе по
геометрии необходимо прежде всего обратить вни¬
мание, как современная программа обеспечивает
предварительную геометрическую подготовку уча¬
щихся, для того чтобы они могли приступить к более
трудному, с психологической точки зрения, система¬
тическому курсу геометрии.
Если для систематического изучения арифметики
и грамматики родного языка учащиеся имеют со¬
лидную предварительную подготовку в течение
первых четырех лет обучения в начальной школе,
если для изучения начал алгебры учащиеся могут
иметь некоторую подготовку в V классе при изу¬
чении «цифровой арифметики», то в отношении
геометрии дело обстоит значительно хуже. А про-
50

яедевтический курс геометрии нужен здесь не
только как преддверие дчя изучения систематиче¬
ского курса, но он имеет и большое психологи¬
ческое значение.
Современная учебная программа наваливается
всей тяжестью логических определений и доказа¬
тельств на психику учащихся VI класса, но ничего
не делает, чтобы ослабить эту тяжесть.
В самом деле, в Ш и IV ктассах учащиеся изу¬
чают очень скудные обрывки из пропедевтики гео¬
метрии, в V же классе в лучшем случае учителя
поддерживают в стационарном состоянии эти обрыв¬
ки, а часто забывают и о них, так как считают
нужным заниматься только арифметикой. Лишь
в нынешнем учебном году впервые появились в би¬
летах для испытании по арифметике геометрические
вопросы, но мы уверены, что это для многих учи¬
телей явилось «неприятным сюрпризом».
Таким образом, существующая программа по гео¬
метрии не отводит необходимого места пропедевти¬
ческому курсу геометрии, который имеет не толь¬
ко практическое значение, но должен служить
подготовительной ступенью к систематическому
курсу геометрии.
Не следует пренебрежительно относиться и к прак¬
тическому значению пропедевтического курса; уме¬
ние вычислить площадь, объем и т. п. важно для
расширения понимания практических применений
математики, для расширения тематики арифметиче¬
ских и алгебраических задач, для решения задач
по физике, для понимания элементов топографии
и т. п.
Нам представляется программа пропедевтического
курса геометрии в таком схематическом виде:
1.	Линнч и их измерение. Окружность и круг.
2.	Углы и их измерение. 3. Треугольники
и многоугольники. 4. Понятие о подобии много¬
угольников. 5. Площадь многоугольников. 6. Дли¬
на окружности и площадь круга. 7. Многогранники,
их поверхности и объемы. 8. Круглые тела, поверх¬
ности и объемы. 9. Некоторые замечательные
предложения геометрии: сумма углов треугольника
и многоугольника, теорема Пифагора, отношение
площадей подобных многоугольников и кругов,
■отношение объемов и поверхностей шаров.
Курс должен быть насыщен задачами, наглядно¬
стью, но вместе с тем должен содержать логиче¬
ские определения и элементы логических доказа¬
тельств.
Только при серьезной постановке курса нагляд¬
но-логической геометрии можно с успехом выпол¬
нить основную задачу — изучить систематический
курс геометрии.
3.	Об изучении систематического курса
геометрии
Первая половина учебного года в VI классе по¬
свящается изучению арифметики и алгебры, а по¬
этому систематический курс геометрии следует на¬
чинать только со второй половины учебного года
в этом классе. В первую половину учебного года
продолжает изучаться пропедевтический курс гео¬
метрии.
Иногда делается такое возражение: так как уча¬
щимся многое знакомо из курса пропедевтики гео¬
метрии, то им будет «скучно» повторять известные
факты при изучении систематического курса гео¬
метрии. Но дело все в том, что повторять факты
нам не надо, если они не забыты учащимся; центр
тяжести не в фактах, а в логическом обосновании
их, в показе, что геометрия есть дедуктивная,
а не эмпирическая наука.
Задачей учителя при изучении систематического
курса геометрии является вскрыть логическую сто¬
рону геометрии, а при такой постановке изучения
не может быть никакой * скуки».
Теперь несколько замечаний по вопросу о со¬
держании учебной программы систематического
курса геометрии.
Пора уменьшить количество изучаемых теорем,
а за счет этого увеличить объем изучаемого ма¬
териала в семилетней школе. Этот объем может
быть увеличен и за счет того, что при изучении
пропедевтического курса учащимся будут известны
многие геометрические образы и факты, следова¬
тельно, их логическое обоснование потребует зна¬
чительно меньше времени.
В программу по геометрии в семилетней школе
в допо1нение к тому материалу, какой изучается
в настоящее время, следует включить вопросы:
пропорциональные отрезки, подобие фигур, площа¬
ди многоугольников и теорему Пифагора.
Дня этого, как мы уже заметили, часть учебного
материала, имеющегося в современной программе,
нужно исключить. Чтобы быть краткими, укажем
этот материал, ссылаясь на принятый в школе
учебник Киселева, 1-я часть. Можно было бы опу¬
стить материал, который помещен в следующих
параграфах учебника Киселева: 52, 55, 78, 83, 106,
107, 109, 114, 118, 119, 120, 121, а также большую
часть учебного материала по стереометрии, кото¬
рый сейчас изучается в IX классе.
Не надо закрывать глаза на то, что во многих
школах доказательства теорем разучиваются, что
упражняется память, а не мышление учащихся.
Необходимо так поставить преподавание, чтобы
было достаточно времени на решение задач на
доказательство (многие теоремы, из указанных
выше, можно было бы включить в число таких за¬
дач) и на построение.
Если некоторые вопросы в семилетней школе
не могут быть достаточно обоснованы (надо ^вооб-
ще иметь в виду условность понимания термина
«строгого» доказательства в условиях школы) или
просто должны быть опущены за их сложностью
и трудностью обоснования, то их можно в иной
связи включить в программу VIII — X классов,
(например, вопросы подобия и гомотетии).
Из курса VIII класса следует изъять учение
о тригонометрических функциях, эти вопросы
изучаются здесь формально и в отрыве от осталь¬
ных вопросов программы, изучение систематическо¬
го курса тригонометрии в IX классе не нуждается
в «некоторых сведениях» о тригонометрических
функциях в курсе VIII класса.
* Наконец, последнее замечание о геометрии в
XI классе. Из элементарной геометрии здесь можно
оставить весьма небольшую часть того материала,
какой сейчас имеется в учебной программе, а боль¬
шую часть времени отвести на повторение изучен¬
ного и обзорные лекции по геометрии, имея в ви¬
ду связь с современной научной геометрией, а так¬
же на изучение основ аналитической геометрии.

ЗАДАЧИ
О ЗАДАЧАХ, ПОМЕЩАЕМЫХ В ЖУРНАЛЕ
(Иа обсуждение читателей)
Отдел задач называет жиеой интерес среди чи¬
тателей журнала. Об этом говорят и все растущее
число участников в их решении, и многочислен¬
ные письма с вопросами и высказываниями относи¬
тельно этого раздела в целом или по поводу тех
или иных задач.
В связи с этим редакция обращается с просьбой
ко всем читателям высказать свои соображения
по вопросам, затронутым ниже. Учет этих выска¬
зываний поможет редакции внести в раздел те или
иные изменения, исправить имеющиеся недочеты,
чтобы в наибольшей степени удовлетворить запро¬
сы и интересы преподавателей математики.
Редакция просит сообщить все имеющиеся заме¬
чания по задачам, не ограничиваясь поставленны¬
ми здесь вопросами.
1. В отношении тематики задач редакция строго
ограничивается пределами элементарной математики.
Иначе и не может быть: включение в орбиту от¬
дела вопросов высшей математики только распы¬
лило бы его и увело бы далеко от вопросов, тесно
связанных именно С математикой, преподающейся
в средней школе.	*
Но редакция считает, что в решениях задач мо¬
жет быть до известной степени использован мате¬
матический аппарат, выходящий за рамки програм¬
мы средней школы. Ведь учитель должен знать
больше, чем того требует школьная программа.
Поэтому редакция считает вполне допустимыми
ссылки в решениях на достаточно общеизвестные
положения и теоремы из теории чисел и др. дис¬
циплин и особенно, конечно, на те или иные фор¬
мулы элементарной математики, не изучаемые в шко¬
ле (например, из геометрии треугольника, из трип -
нометрии). Но иногда в редакцию поступают проте¬
сты против таких ссылок. Указывается на неправо¬
мерность их, так как «учитель может их не знать
и не обязан знать». Желательно по этому вопрЛу
узнать мнение 6i льшинства.
2. В связи с предыдущим пунктом возникает вто¬
рой вопрос. Ставя целью не только повышение
техники, находчивости и вообще опыта в решении
задач, но и расширение теоретических знании учите¬
ля в области элементарной математики, редакция
систематически (особенно в довоенное время) по¬
мещала в качестве задач вывод тех или иных ф(р-
мул, выходящих за прс грамму средней школы (на¬
пример, соотш шения между элементами треуголь¬
ника и четырехугольника, некот< рые тригонометри¬
ческие формулы, выражения для суммы наиболее
Часто встречающихся тригонометрических рядов
и пр.). В дальнейших решениях на эти формулы уже
просто делались ссылки как на известные, что зна¬
чительно экономило и место (а это важно для жур¬
нала, имеющего такой неболышй объем). Но и это
вызывало возражения: указывалось, что краткость
и лаконичность решения не позволяют малоопытно¬
му учителю извлечь всю пользу из чтения такого
решения. Редакция хотела бы знать, целесообраз¬
но ли проводить такую систему и в дальнейшем.
3. Вариация задач по степени трудности прово¬
дилась в очень широких размерах: от совершенно
элементарных, доступных ученику VI—VII класса, до
задач сильно повышенной трудности. При этом ю ли-
чество легких задач явно преобладало. И тем не ме¬
нее довсльно часты сетования на то, что задачи труд¬
ны для рядовс го учителя. Об этом до не коп рс й
степени гсвсрит сравнительно иебольше е число
присылок решений всех двадцати задач, помещен¬
ных в номере. В подавляющем большинстве присы¬
лаются решения от 5 до 10 задач. Не следует ли,
может быть, исключив слишком элементарные за¬
дачи, в то же время и отказаться от «трудных» задач?
4. При выбе ре задач одним из руководящих мо¬
ментов является краткость решения, что целиком
объясняется малым объемом журнала и желанием
сэкономить место. Поэтому редакция вынуждена
отказываться от помещения и очень интересных
задач, но с длинным решением (в журнале «Мате¬
матическое образование» нередко решение (дной
задачи занимало несюлько страниц). Не следует
ли для включения и такого рода задач уменьшить
их количество, доведя, например, до 12—15 задач
на номер?
5. Редакция время от времени помещала и счи¬
тает не только целесообразным, но прямо полезным
помещать «невозможные» задачи, то-есть задачи,
не имеющие решения (например, №№ 47 и 64 за
1948 год). Раздел задач в журнале — не школьный
задачник, где такая задача повергла бы ученика в
недоумение. Такие задачи развивают критический
пгдход к задачам вообще, дают хороший материал
для исследования. Редакция имеет тенденцию не¬
сколько повысить процент таких задач и хотела
бы знать мнение читателей по этому вопросу.
6. Редакция не проводила строгой дозировки за¬
дач по четырем разделам элементарной математи¬
ки. Следует ли ввести такую дозировку и если да,
то в какой пропорции?
Вот, примерно, вопросы, на котг рые редакция хо¬
тела бы получить ответы читателей.
Повторяем, редакция с живым интересом примет
всякие другие замечания, указания на более удач¬
ные и, наоборот, неудачные задачи и пр.
52

II
Одновременно редакция предъявляет некоторые
претензии к читателям, присылающим решения
задач.
Многие получаемые решения оф°рмлены очень
хорошо, написаны аккуратно, разборчиво, с соблю¬
дением всех требований, неоднократно публиковав¬
шихся в журнале (тт. Шебаршин, Кодацкий, Ко¬
лесник, Сергиенко, Титов и мн. другие. Коллектив
преподавателей г. Ярославля прислал решения пря¬
мо в художественном оформлении). Но не меньше
половины решений оформляются далеко не удов¬
летворительно: небрежно, грязно, неразборчиво;
вычисления расположены как попало, — трудно
пр. следить ход решения; написаны на клочке бу¬
маги, д шщящем до размеров 1 см X 5 см. На од¬
ном листе даются решения задач из разных номе¬
ров журналов (в таком случае этот лист попадает
в сводку лишь по одному из номеров, остальные
задачи остаются без проверки). Нередко бывает
трудно и даже невозможно установить, правильно
ли решена задача, особенно на доказательство
или на построение, где решение не контролирует¬
ся числовым ответом.
Если принять во внимание, что по каждому но¬
меру журнала редакция получает до тысячи (а иног¬
да больше) решений, то легко представить, сколь¬
ко времени и труда требует их проверка и на сколь¬
ко это время и этот труд увеличиваются из-за не¬
брежного оформления решений.
III
Несколько слов по поводу задач, присылаемых
для помещения в журнале. Иногда запрашивают,
какие требования предъявляются к этим задачам.
Полагаем, что непосредственный просмотр 2—3
номеров журнала даст возможность более кон¬
кретно судить о характере задач, признаваемых
подходящими для их напечатания.
Часто приславший задачи просит сообщить но
поводу них мнение редакции. Редакция уже не
раз заявляла на страницах журнала, что она не
может (просто физически не в силах) вступать в
переписку по поводу задач, — не принятые к печа¬
ти задачи уничтожаются, а принятые печатаются,
иногда через длительный срок.
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ,
помещенных в № 4 за 1948 год
№ 61
Решать уравнение:
хз + (62 — 2) * = 26*2 — 26.
Решение. Переносим все члены влево, раскры¬
ваем скобки и располагаем многочлен по степе¬
ням х:
*з — 26*2 bix _ 2 < + 26 = 0.
Группируем последовательно по два соседних
члена:
(*з _ 6*2) - (6*2 — 62*) — (2* — 26) = 0;
*2 (* — 6) — 6* (* — 6) — 2 (* — 6) = 0;
(с — 6) (*2 — 6* — 2) = 0.
Отсюда легко находим:
6 + /ба + 8
*i — Ь\ *2_з —	2
Возможны (и давались в решениях) и другие
способы группировки, например:
а) Вынеся за скобки * в первых трех членах и 2
в последних двух, получим:
* (* — б)2 — 2 (* — 6) = (* — 6) (*2 - 6* — 2).
б) Разбивая —26*2 па два члена, будем иметь:
(*» — 6л2 _ 2*) — (6д2 - б»* — 26) =
= *(*» - 6* — 2) — 6(*2 — 6* — 2) =
= (* — &) (*2 — 6* —2).
Задача, конечно, совершенно элементарная.
Тов. Айзенштат (Кисловодск), кроме решений
а) и б), дал еще два решения: применением тео¬
ремы Безу и способом неопределенных коэфи-
циентов.
№ 62
Решить уравнение:
х*— 12* + 323 = 0.
Решение. Напоминая внешне предыдущую,
эта задача уже сложнее, хотя метод решения по
существу тот же: надо разложить левую часть на
два квадратных трехчлена. Можно применить спо¬
соб группировки и способ неопределенных коэфи-
циентов. Оба эти способа фигурируют в присланных
решениях.
1. Введение дополнительных членов для полу¬
чения расположенного многочлена и последующей
группировки было применено в ряде решений. Ре¬
шение получилось примерно такое:
*1 + 6*з - 6*з+ 17*2 _f_ 19*2 _ 36**2 — 114* +
+ 102* + 323 = 0;
(*< + 6*з + 19*2) — (6*3 + 36*2 + 114*) +
+ (17*2-f-102* + 323) = 0.
Дальнейшее ясно.
Нельзя признать этот способ удачным. Введение
6*3 и представление 12* в виде 1Н* — 102* хотя
и можно в конце концов обосновать, но все же
прийти именно к таким операциям можно или
после ряда неудачных проб, или путем довольно
длинных и сложных рассуждений.
2. К роче и естественнее применить способ не¬
определенных коэфициентов. Таких решений было
больше. При этом в подавляющем большинстве
решений с применением этого способа свободный
53

член 323 представлялся в виде 17-19, а тогда ре¬
шение принимало вид:
х4 — 12л: -(- 323 = (х2 -f- тх -(- 19) ( х2 + пх + 17),
откуда легко находятся т и п.
Против этого спссоба можно возразить лишь то, что
выбрать из возможных разложений числа 323 =
= 17-19= 1-323 = (— 17)-(— 19)= (— 1) • ( —323)
именно первое — есть все же дело случая или ре¬
зультат проб.
Поэтому некоторые полагали неизвестными и
свободные члены, беря равенство
х* — 12х + 323 = (х2 4- тх + п) (х2 -j- ах + Ь).
Неудобство этого способа в том, что для отыска¬
ния коэфициентов он приводит к уравнению 6-й
степени (приводящемуся к кубичному).
3. Подавляющее большинство решений совпада¬
ло с решением, предложенным автором задачи.
Оно и является наиболее коротким и изящным.
Свободный член 323 = 324— 1= 18а — 1. П( дставив
это выражение и перенеся 12л: и 1 в правую часть
(что. конечно, не обязательно), получим:
xi+ 182 = 12JC+1.
Естественно к сумме квадратов в леЕОЙ части (а
следовательно, и в праЕОЙ) прибавить удвоенное
произведение оснований. Получим:
Xi + 18г + 36л:2 = 36л:2 -f- 12л: + 1;
(лг2 + 18)2 = (6л:+ I)2;
л:2+18 = ±(6лг+ 1).
Дальнейшее ясно.
4. Обособленно стоит более оригинальное реше¬
ние тов. В. Буткевич (Ровно), применившего тоже
способ неопределенных коэфициентов, но довольно
своеобразно: левая часть уравнения представлена
в виде разности квадратов двучленов:
л:< — 12х + 323 = (л:2 + а)2 — (Ьх + с,2
После раскрытия скобок и приравнивания соответ¬
ствующих коэфициентов с помощью прс стых логи¬
ческих выведов легко получаются значения а, b
и с, а дальнейшее понятно.
№ 63
Найти объем правильной четырехугольнои
призмы со стороной основания а, если сумма уг¬
лов^, образованных диагональю призмы со сторо¬
ной и с диагональю основания (выходящими из
той же вершины) равна J35".
Решение. Обозначив z ВАС] = х и z САС] =
=у (черт. 1), по условию имеем:
х+у = 135°.	(1)
Далее, из ВхАССр
АС — а-/2 = АС] cosy
и из Д ABC]
АВ = а — АС] cos х.
Разделив (2) на (3), получим:
(2)
(3>
о C0SX
cos с
или:
cos y-=yf2 cos Хш
(4)
)-
Но из (1) имеем: х = 135е—у. Делая подстановку
в (4), будем иметь:
cos_y = уА 2 cos (135° —у) =
= |/2 (cos 135° cos .у-|-sin 135° sinj>) =
( /2 /2
= -/2	“2“	cos4-у sin .у
= — cos.v + sin у;
отсюда:
2cos_y =г sinjj; tgj' = 2.
Теперь получаем:
v = a2-CCj = а*'AC tg> = а*-а т '2-2 = 2 /2в».
№ 64
Найти объел, правильной четырехугольней приз¬
мы со стороной ochobi huh а, если разностьугловг
образованных диагональю призмы со стороной и
диагональю основания (выходящими из той же
вершины), равна 45°.
Решен не. Задача по своей формулировке ана¬
логична предыдущей, и однако не имеет решения.
Доказательств в решениях приводилось несколько,
но самым коротким и простым является, конечно,
следующее.
В трехгранном угле АВССЛ (вершина угла А>
имеем: х—_у = 45 и ^САС1 — 45°, т. е. разность
двух плоских углов трехгранного угла равна третье¬
му углу, чего быть не может.
№ 63
В треугольнике ABC определить сторону ВС,
если АВ + АС = т, а проекция биссектрисы угла А
на CTi рону АВ равна р.
Решение 1. Имеем (черт. 2):
Ь-\-с = т.	(1)'
Д
По известным формулам для биссектрисы:
ас ас	ab	ab

AD* = be — BD-DC = be-
  be {nfi — a2)
cfibc
m2
(3)
Из Д ABD:
BD2 = A B* + AD2 — ЧАВ-АЕ,
или:
a2c2	be	(nfi	—	a2)
= ^+ ги2 ’--Ъг.
nfi	~T~	nfi
(fie ~ nfic 4- 6 (nfi — a2) — Infip.
Отсюда:
Infip — b (nfi — a2) -(- с (m2 — я2) = m {nfi —■ a2);
2mp = m2 — я2;
afi = m2 — 2mp = m (m — 2p);
я = y/m (m — 2/7).
Решение 2. Из решений, в которых не при¬
менялись формулы (2) и (3), приведем наиболее
короткое и изящное решение А. Владимирова
(Ялта).
Имеем:
cfi = 62 4- с2 — 26с cos А = 62 + с2 —
— 26с ^2 cos2 4г~ 1^ = (6+с)2 —
А	А
— 46с cos2 —j- — nfi — 46с cos2 -у-.	(1)
Далее:
.А	А
2^ддвс — bAD sin 2 -f- cAD sin 2
= niAD sin ~2-.
26c cos -g = ni'AD.
Но из Д AD£:
AD =
A£
cos -
A
cos "2~
Подставив в (4), получим:
2 be cos2- 2' = mP-
Наконец, подстановка из (6) в (1) дает:
a2— nfi — 2тр = т (т — 2р).
№ 66
Показать, что при нечетной т число
nfi — 35 m4 + 259/и2 — 225
делится на 46080.
(2)
С другой стороны:
А А
2S^abc = be sin А = 26с sin —g- cos -тр.	(3)
Из (2) и (3) имеем:
А	А	А
mAD sin ~2~ — 26с sin -у cos -у,
(4)
(Ч
(6)
(О
Решение. Данное выражение можно разложить
на множители различными способами, например:
nfi ■— 35 m4 -|- 259т2 -—• 225 = {nfi — /я4) —
— (34т4 — 34т2) + (225т2 — 225) = т4 (т2 — 1) _
— 34т2 (т2 — 1) + 225 (т2 — 1) =
= (т — 1) (т + 1) {nfi — 34т2 + 225) =
={т — 1) (т -(- 1) (т2 — 9) {nfi — 25) = (т — 5) X
X (т — 3) (т — 1) (т + 1) (т 4- 3) (т 4- 5).
По условию т — число нечетное: т = 2п-|-1. Де¬
лая подстановку, получим:
nfi — 35m4 4- 259m* — 225 =
2в {п - 2) {п - 1) п {п 4- 1) (и 4- 2) (я 4- 3).	(2)
Известно, что произведение ft любых последова¬
тельных чисел делится на ft! Следовательно,
(л— 2) (л — 1) л (л 4- 1) (п 4- 2) (л 4- 3) делится на 61=
= 720. Значит, все данное выражение целится на
26-720 = 46080.
Можно, как это и делали многие, разложив
46080 = 2!0.32-5,- легко показать непосредственно,
что правая часть равенства (2) делится на 210, на З2
и на 5, а следовательно, делится и на их произве¬
дение.
№ 67
Показать, что nvu всяком натуральном п > 1
число
пп — л2 -|- л — 1
делится на (я — I)2.
Решение 1. 'Преобразуем данное 'выражение:
ля — л2 4- л — 1 = [(л — 1) 4- 1]л — л2 4- л — 1 =
= (л — 1)"4-С1п (л -1)л-1 + ... 4-
4-С> — 1)24-С> —1)4-1 -л2 f л-1 =
= (л - I)2 [(л - 1)л-2 4- С \ (л - 1) л~3 4-
4-... 4- С^] 4- л2 — л -fi—я24-л —1 =
= (л — I)2 [(л — 1)"—2 4- с\ (п — 1	4-
+ • • ■ 4- С2].
Так как выражение в прямых скобках — число
целое, то предложение доказано.
Решение 2. Данное выражение преобразуем так:
л — л2 4- л — 1 = (лл — 1) — л (л — 1) =
= (л - 1) [пл-1 4- лл~2 4-...4-л24-л24-л4-1 —
- я] = (я — I) [(я"-1 — лл-2) 4- 2(пл-2 - лл-3) f
4-3 (л
Я—3
„Я—4*
) 4- • • • 4- (л — 2) (л® — л) 4-
4-(п — 2)л1] = (л — 1) [я (л — 1)4-
4- 2лл—3 (л — 1)4-Злл-4(я- 1)4- ... 4-
4-л (л — 2) (л — 1)4-(л — I)2].
Каждое слагаемое в прямых скобках делится на
л — 1, а следовательно, данное выражение делится
на (я — 2)2.
При решении этим способом многие применяли
к выражению пп~1 -f- пп~~2	п2 + п2I тео¬
рему Безу, чтобы установить делимость его на
л — 1 (т. е. подставляли в выражение 1 и получали
55

в итоге 0). Это было неправомерно, так как теоре
ма Бсзу относится лишь к целым многочленам, а
здесь мы имеем показательную функцию.
№ 68
Показать, что при любых натуральных значе¬
ниях п число
(а + l)2n+1 + я"+2
делится на я2-(- а -+■ 1.
Решение 1. Преобразуем данное выражение,
прибавив и отняв а2<2"+1):
,я + 1) 2л+' +аП+'г= [(я + 1)2л+т + я2(2п+1)] —
_ [а2 (2"+’) - ап+2] = [(а + 1)2л+1 + ++"+4 _
_ап+2[(я3)п — 1].
Так как 2/х —(— 1 — число нечетное, то выражение
в первых прямых скобках делится на (я + 1) +
+я2_ а2 + я -f- 1. Выражение же во вторых прямых
скс бках при любом натуральном п делится на а3 —
— 1 —(а — 1) {а2 -+- а + 1). Предложение доказано.
Решение 2. Предложение легко доказывается
методом математической индукции. При п — 0 дан¬
ное выражение принимает вид а2 + я+1, при
п — 1:
(я + 1)3 + яЗ = (я + 1+я)[(я+ 1,а_я(я + 1) f-
+ аТ = (2я + 1)(д» + я+1).
Пусть теперь предложение справедливо для неко-
тор. го натурального значения п = k. Покажем, что
оно будет справедливо и для n = k-\-1. Действи¬
тельно, будем иметь:
(й + l)W>+i + я(к+1)+2= (я + l)2fc+3 + ак+3 =
= (а+- 1 )2k+’(«+ !)2 + nfc+2-n =
— (а 4- l)2fc+'(a2 + 2fl-f 1) +-ак+2-а =
= (а + l)2fc+V + я + I) + (я + l)2ft+! • а +
+ я*+2-с=-(я+ l)7fc+,(a2 + n + l) +
+ al(a -f l)2fc+l + ак+2].
Выражение в прямых скобках делится на а2 -1- а 4-
-4-1, по предположению, первое же слагаемое имеет
множителем я2 + л + 1. Предложение доказано.
№ 69
В треугольнике радиусы описанного и вписан¬
ного кругов равны R и г. Найти отношение пло¬
щади этого треугольника к площади треуголь¬
ника, образованного точками касания вписан¬
ного круга.
Р е ш е и и е 1. Обозначим площади треугольников
А}ОВ,, B,OC,t CjCM| соответственно через Si, S2 и
Ss (черт. 3.
В
В четырехугольнике AB,OCi углы С, и В, пря¬
мые; следовательно,
ZA-\- zBxOC^ 180°; z. BfiCi — 180* — А.
Аналогично:
ZBX0A\ = 189° — С,
ZA-iOC1= 180° — В.
Далее:
Si=. у r:sin BIOA1 = у r2sinC.
Апал -гично:
S2 = y r3sinA,
Sa — у /-2sln B.
С другой стороны, площадь треугольника ABC:
(1)
(2)
(3)
S=~2" ab sin С = у be sin A	ac	sin	B.	(4)
Из (1), (2), (3) и (4) получим:
Sy=j2_ .	J%=Z1
S ab ' S be ’ S ac '
Сложив эти равенства, будем иметь:
^cj_=r2 (JL + J_ + ±^ = r+_
SABc	\ab	be	'	ca)
4- b 4-1
abc
2pr*
(5)
(6)
abc ‘
Но, как известно:
_	S—pr; abc—4RS.
Делая подстан шку в (5), получим:
■^А1в1С1   2r-S _ г
&АВС	4,cS	2R'
Решение 2. Получив по предыдущему равен¬
ства (1), (2) и (3), сложим их:
1
sa1b1C1 = '2" г* (sin А + sin В + sin С).
Но
si п А. — 2r > sin В —• 2^ I sin С — 2R '
Произведя замену, получим:
1 +
’5>AiB1C1= 2 г
/Р
2 R
2 R-
Деля это равенство на SABc=rp, получим опять
соотношение (6).
Были даны и другие способы решения.
№ 70
В треугольнике:
с 2
я + с — 26 и tg ~2- = ""5_-
Определить
А	В
Ы ~2 и tg у
Решение 1. Исходим из формулы Мольвейде:
а + с
cos
А —С
cos
В
cos
А -р С
56

AC	AC
cos -2~ cos “2“ + sin ~2~ sin -fp
A
2
С
2
_4
2
С
2
Решение 2. Можно исходить нз формул для.
тангенса половинного угла:
С
‘g
-V
(p-b)ip-c)	_	_
р(р — а)	2
А С
1 + tg—2“ tg -g-
=	4	г*	•
l-tg-2-tg-2-
Приняв во внимание заданные условия, можем на¬
писать:
2	А
1 + 5 ‘g 2
2—	2	4	•
1—51В~2
Отсюда легко находим:
А 5
2 ~ 6 '
Далее:
А	В
С	АВ 1	*е	2	,g 2	2
‘g 2 — cfS 2	“	А	В	5	'
tg-2“	“г-
Отсюда:
— j/ (Р— а)(Р — Ъ)
Р(Р — с)
р — b а-\-с — Ь
р ~ я + с + b ’
Или, приняв во внимание заданные условия:
2 А	2 Ь — Ь	1
"g-lg
Отсюда:
2 26 + 6'
3
А
'ву =
tg~2~ можно найти по предыдущему.
№ 71
Упростить выражение:
sin а + sin Зх + sip 5а + . ■. + sin (2п — 1) а
cosa -f- cos За + cos 5*... + cos (2п—i)a *
Решение 1. Умножим числитель и знаменатель
на 2 sin a:
: sin2 a + 2 sin a sin 3a + ... A- 2 sin a sin-(2n — 1) a
2 sl па COS a + 2 Sin a COS 3a + .. .+2 sin a COS (2 П — 1) a
Применив формулы:
2 sin m sin n = cos (m — n) — cos (m + n),
2 sin m cos n — sin + n) — sin (m — n),
получим:
11—COS 2a) + (cos 2a — COS 4a) + (cos 4a — COS 6a) + ... + [COS (2/1 —-2) a — COS ?na]
sin 2a + (Sin 4a — sin 2a) + (sin 6a — sin 4a) + . .. + [sin 2na — Sin (2/J — 2) aj
  1 — COS 2na	2 COS2 na
sin 2/ia	2	Sin	a	COS	na	*g	nct-
Решение 2. Группируем в числителе и знаменателе члены, равноотстоящие от концов ряда. Полу
чим при п четном:
[sin а + sin (2п — 1) a] + [sin За + sin (2п — 3)а] + .. . + [sin (п — 1) а + sin (п + 1) а]
[cos а + COS (2П l) caj -f- [cos Зх + cos (2п — 3j] а + . . . + [cos (п 1) а + cos (я + 1)л]
' sin П a [cos (п-— I) а + COS (П — 3) а + COS (п — 5) а	+	COS	а]
2 COS Па [cos IП — 1) а + COS (П — 3) а + COS (п — 5) а + . . . + COS а] ^ П7‘
При п нечетном:
[sin a -A- sin (?П — 1)а]	[sin За + sin (2п -—3) а] -1- ... + [sin (п — 2) а Sin (п + 2) a] -I- sin па
А 5
Подставив tg _2"~= 1Г ’ наидем:
В £0
*8 2 ~ 37 •
[cos a + COS (2п — 1) a] + [cos 3a + COS (2П — 3) a]
sin na [2 cos (n — 1) a + 2 cos (n
COS na [2 COS (n — 1) a + 2 COS (П -
№ 72
Реши/пь систему уравнений:
jfl+yi + z2 + t2 = b,	(1)
xyzt =1,	(2)
jc-(yz + zl -f- yt) = 3x — 1,	(3)
x*(yz + t) = x (2x — 3)+ 1.	(4)
Решение. Из (2) заключаем, что ни одно из
неизвестных не может равняться нулю.
1) Из (4) имеем:
Зх—1 = х2 (? — ху — xz — xt).
Делай подстановку в (3) и сокращая на jfl, получим:
xy + xz + jtf+_yz+_y/+ zl = 2.	(5)
+ ... + |COS ]П — 2) a -|- cos (П -f- 2) a] + COS па
- 3) a + ... +2 COS 2а + 1]
= 3)a+...+ 2 COs2a+~l j- =	n“*
2) Из (3) имеем:
1
xyz + xzt + xyt + — = 3.
Но из (2) —=yzt. Делая подстановку, получаем:
xyz + xyt + xzt + yzt = 3.	(6)	■
3) Сложив (1) с удвоенным (5), будем иметь:
(* + .y + z + oa=9;
x + _y + z+l= +3.	(7)
4) Из уравнений (7). (5), (6) и (2) заключаем (тео¬
рема Виета), что х, у, z и t являются корнями
уравнений:
а) и* — ЗиЗ + 2и*— Зи+1 =0,
б)	+	2&* — 3» + 1 = 0.
57-

Решив обычным способом эти возвратные урав-
иения (решения не приводим, ввиду его простоты
и для экономии места), получим:
ul,2 — i г> w3,4
З+у^б
Определить сумму отношений:
А1В2 t	t	^*1^2
-(3 + тУ-7)±(/214-/ -3
vi,z —	4	•
_ (3 _ /=7) ± (/21 - /=Т
^3.4 =	4	•
Так как ур-ния (2), (5), (6) и (7) симметричны отно¬
сительно х, у, г, t, то, приравнивая каждое из них
одному из полученных корней, получим для каж¬
дого из уравнений а) и б) по 4! = 24 системы ре¬
шений, а всего 48.
№ 73
Найти трехзначные числа, являющиеся квадра¬
тами трех последовательных натуральных чисел,
причем суммы цифр этих квадратов являются,
в свою очередь, квадратами трех последователь¬
ных натуральных чисел.
Решение. Сумма цифр трехзначного числа не
больше 27. И так как она должна быть квадратом,
то суммы цифр могут быть лишь 1, 4, 16 и 25. Но
трехзиачное число, сумма цифр которого 25, может
лишь состоять из цифр 9, 9, 7 и 9, 8, 8, которые
ни в какой комбинации не дают квадрата. Итак,
суммы цифр искомых чисел могут быть только
1; 4; 9 или 4; 9; 16,
следовательно, наименьшее из искомых трехзнач¬
ных чисел должно иметь сумму цифр 1 или 4 Но
сумму цифр, равную 1, может иметь лишь число 100.
Отсюда первое решение:
100; 121; 144.
Далее, трехзначные числа, сумма цифр которых
равна 4, могут лишь состоять из цифр 4, 0, 0; 3, 1, 1;
2, 2, 0 и 2, 1, 1. Из них первая комбинация дает
число 400. Отсюда второе решение:
400; 441; 484.
Вторая и третья комбинации ие дают точных
квадратов; четвертая дает число 121, и получаем
третье решение:
121; 144; 169.
К 74
В четырехугольнике ABCD через точку О пересе¬
чения диагоналей проведены. || ЛВ(А, на AD),
В\С? II ВС (В, на АВ), CXD2 || CD (Сг на ВС) и
ОхАг || DA (Dx на CD) (черт. 4).
АВ
Решение.
А,О
отсюда:	дд
/) ] Л 2
~ВС ^ CD + ~DA
1) ДА.ОС-ДДВС;
OD .
отсюда:
OB,
= BD
2) £\В.,ОС-
ОС
' Д ЛВС;
АВ — лС
Сложив полученные равенства, найдем:
Афъ OD ОС .
АВ ~ BD + АС ’
3) Д BjO/4 сл Д ABC; отсюда:
ВхО АО
ВС~ АС'
4) Д C2OD 00 Д В DC; отсюда:
ОС2 OD
ВС — BD ’
но сложении получим:
В1С2 _ АО_ OD
ВС ~АС + BD '
Совершенно аналогично получим:
С,£>2 ВО АО
1BD + АС'
(1)
CD
DXA
ОС ОБ
Da — аг +
АС "■ BD'
(2)
(3)
(4)
Сложив (1), (2), (3) и (4), будем иметь:
^	,	C\D2	i	0^2	п	АО	ОС
,	,	,	___	=2-	АсГ	+2-д£~	+
п АО А-ОС
АВ
т ЬС
„ ВО
+ 2' BD + 2'BD
CD
OD
„АС
— 2 AC
AC
BD
+ 2
BO + OD
BD
'2 BD 4‘
(5)
Предложивший задачу т. Фридман (Красноярск)
указывает, что из соотношения (6) как следствие
получается известная теорема: заключенный между
непараллельными сторонами трапеции отрезок пря¬
мой, проведенной параллельно основаниям, есть
среднее гармоническое между основаниями трапе¬
ции. Это легко доказать, сделав для трапеции по¬
строение, аналогичное чертежу 4.
№ 75
Доказать, что если х3 А-у" = г3, где х, у иг —
целые числа, то одно из чисел х, у, г должно
делиться на 3.
Решение 1. Предполагаем х, у и г числами,
попарно взаимно простыми (если какие-либо два
из них имеют общий множитель т, то третье число
должно делиться на т, и все члены можно сокра¬
тить на /и3).
Имеем:
х*+У* = {х+у) (х2 +_у- — ху) = (х + у) [(х А-У)2 —
- Яху] = г3	(1)
Пусть х, у и г не делятся на 3. Тогда и х+у ие
делится иа 3 (в противном случае но (1) должно
было бы делиться на 3 и z). Но тогда х +_у и Зху,
а следовательно, х-f-у и [(-*:-Ь.У)2 — Зху] — числа
58

взаимно простые. Из (I) заключаем, что каждое из
этих выражений должно быть кубом целого числа.
Пусть
х +_у = т8,
х~ +_у* — ху = /7.5.	(2)
Возведя первое из этих уравнений в квадрат и вы¬
чтя из него второе, получим:
Зху = т8— п8 =(/77®— п) [(/л2 — п)2 + 3/77 2/г)]. (3)
Левая часть делится на 3. Значит т2 — п должно
делиться на 3. Но тогда правая часть делятся,
а левая не делится на 9 (так как * и у не делится
на 3). Полученное '^противоречие и доказывает
теорему.
Решение 2. Пусть х, у и z не делятся на 3.
Рассмотрим возможные случаи.
а) Пусть х = 3m + 1, у = Зл + 1. Тогда
дз +у) = (Зт +1)3 + (3/г +1)3 = 96 + 2,	(1)
где 6— целое. Число z не может иметь вид 3/7 + 1,
так как [Зр + I)3 имеет вид 96 + 1. Итак, z = 3/7+2.
Тогда:
z3 = (3/?+2)2 = 96,+8.	(2)
Сравнивая (1) и (2), получаем:
96 + 2 = 96, + 8; 96 = 96, + 6.
Левая часть делится, а правая не делится иа 9.
б) Пусть * = З/и + 2, у — 3/г + 2.
Тогда:
х3 -f- у3 = (3/77 -}- 2)3 + (З/z + 2)3 — 96 +16,	(3)
т. е. имеет вид Зя+1. Значит, z должен иметь
вид 3/7 + 1. Тогда имеем:
z3 = (3/7+l)3 = 96, + l.	(4)
Из (3) и (4) получаем:
96+16 = 96,+ 1; 96+15 = 96,.
Налицо опять противоречие.
в) Случай:	х = Зт+1, у = 3/77 + 2	(или	наобо¬
рот)— непосредственно приводит	к	заключению,
что z должно делиться на 3.
Решение 3 (М. Шебаршина). Имеем:
х3 ++> - z'! = 0.	(1)
Положим:
* +_у — z = а.	(2)
Вычитание (2) из (1) дает:
(*3 — х) + (у3 — у) — (z3 — z) = (* - 1)х(х + 1) +
+ (V — 1)3,(У+ 1) — (z —1) z(z+ 1) = -я.
Так как произведение трех последовательных
■натуральных чисел делится па 3, то я кратно трем:
•я = 3/.
Тогда из (2):
х +_у = z + 3(.	(3)
Рассмотрим выражение:
(* + У)3 — (*3 +J'3) = (z + 3+ - z3
или:
3ху (х + у) = 9гЧ + 27 zt2 + 21$.
Правая часть этого равенства делится на 9.
Следовательно, или х или у или х +_у должны
делиться на 3. В последнем случае должно делить¬
ся и z, так как
г3 = (* +3’) (*! — ху + V5).
№ 76
Доказать, что если Xs +_у5 = г5, где х, у иг —
целые числа, то одно из чисел х, у, z должно
делаться на 5.
Решение. Все три способа решения, приведен¬
ные для предыдущей задачи, применимы и к данной.
Кратко изложим первый способ.
Пусть х, у и г не делятся на 5. Имеем:
х6 +_уб = (х+у) {(х +_)+—5х_у [(х+у)2 ху] J = z5. (1)
Так как г не делится, то и х+_у не делится иа 5;
значит, X+J7 и выражение в фигурных скобках —
числа взаимно простые. Но тогда должно быть:
х+у = а\	(2)
х4 — х?у + х-у- — ху8 + у' = Ь\	(3)
Возведя (2) в четвертую степень и вычтя из него
(3), придем к выражению:
5х_у (х2 + ху + у'1) = (я4 — Ь) {(я4 — 6)4 +
+ 5я6 [(я4-6)2+я46]}.
Отсюда заключаем, что я4 — b должно делиться иа
5.	А тогда правая часть делится, а левая не делит¬
ся на	25	(легко показать, что если х и у	не делят¬
ся иа	5,	то и х* + х_у+_у2 не делится на	5).
Точно так же можно применить и два других спо¬
соба.
* *
*
По поводу задач № 75 и № 76 редакцией получено
несколько писем, возражающих против помещения
их в журнале, как противоречащих великой теоре¬
ме Ферма. Считаем эти возражения несправедли¬
выми.
Во-первых, теорема Ферма в общем виде еще не
доказана, а потому и ссылка на нее в такой фор¬
мулировке неправомерна. С другой стороны, известно,
что именно для рассматриваемых в задаче слу¬
чаев эта теорема доказана давно (для /7=3— Эй¬
лер и для /г=5 — Дирихле). Это верно. Но ведь
она доказана для х, у и z натуральных (как из¬
вестно, в случае дробных значений х, у, z уравне¬
ние можно преобразовать и привести значения к
целому виду). Задачи же № 75 и № 76 сформулиро¬
ваны так, что допускают решение, а именно:
1) х “0; у — а (или наоборот); 2) х = я; у= —я
(или наоборот), где я — произвольное целое (что
даже не обязательно) число. И к этим случаям до¬
казательство вполне применимо, так как в обоих
случаях одно из чисел, равное нулю, делятся и на
3 и иа 5.
Могут возразить, что теорема Ферма исключает
приведенные выше «тривиальные» случаи. Но ведь
задачи и не имели в виду теорему Ферма, а по¬
тому не упоминают его имени и дают другую фор¬
мулировку теоремы.
№77
Вычислить сумму:
S = COS а + COS + — ^ + cos + 2 • +) +
+ COS ^а + (л — 1)
Решение 1. Подавляющее большинство реше¬
ний исходило из тождества:
2 COS /77 sin п = Sin (/77 + tl) — Sin (/77 — tl).
271
Давая з десь т значения а, а 4- —, а +
2л	2л	л
+ 2 • ~п~... а + (/t — 1) —, а п значение — ,

получим ряд тождеств:
2 COS a Sin — = slu^a + —^ — Sin	,
2 COs(a + -^)sln ^ = sin (a + 3. * ) - 8Ш (a +
2 CCS (а + 2'Тг) sin ^=sin^a + 5- тг) - sin (a +
3r.\
+ n)>
2 COS j^a + (n — 1) ^jsin ^- == sin ja + ( 2n — 1) ^ j—
— sin [a + (2n~3, ^ j .
Сложив почленно эти равенства, получим:
»-|-(2я-!)£]-Sin («-£) =
a + (п — 1) ~п J Sin я = 0,
2 sin • S = sin
п
= 2 cos
так как siH7t = 0. Но 2 sin —ф 0 (при я>1), а
поэтому S=0.
Решение 2. В некоторых решениях принима¬
лась известной формула:
COS a + CCS (a + d) + ... + CCS (a + md) =
/ rn \ m +1
:(^a + 2d )('-
cos
sin-
2я
Полагая здесь d= и m = ti-—1, получаем:
S =
Г л — 1 2я 1 л 2я
[“+	2	'	~я	\	'sin	2	‘	п
Sin -
COS
[ a + П-~ * j Sin я
= 0.
Sinn
Решение 3. Предложивший задачу т. Голайдо,
а также Сакович (Киев) и Суховой (ст. Луганская)
дают геометрическое решение задачи.
Если проектировать периметр правильного
л-угольника на прямую, образующую соднсй из сто¬
рон угол а (черт. 5), то получим:
a jcos a + cos	“H cos^a + 2‘~л~) +■•■-+-
+ cos [“ + (п-1)-^г]}.
где а — длина стороны л-угольника.
Но проекция замкнутой ломаной равна нулю, от¬
сюда 3’	0.
В некоторых решениях применялась также три¬
гонометрическая форма комплексного числа.
№ 78
Доказать неравенство:
(аф] + аг6, +.. . + апЬп )2 < (а\ + а\-\-... +
+ al)(bl+bl + bl + ...+bl).
Решение. Рассмотрим выражение:
h=n
£ (Я; — .Сб,-)* = («j — Х&г)» + (Я2 — XhY + - . - -f-
f=I
+ (ап — xbnf.
Очевидно, что это выражение имеет положитель¬
ные значения при всех действительных значениях х.
С другой стороны, раскрыв скобки, его можно
представить в виде квадратного трехчлена относи¬
тельно х:
п	п	п
■** ^ ь) — 2х аф; + af
и так как он положителен при всех действитель¬
ных значениях х, то дискриминант его должен
быть отрицательным, т. е.:
А это и есть требуемое неравенство. Оно обра¬
щается в равенство, если числа а; и 6г пропорцио¬
нальны, т. е.
О] ■ kbj, я2 — 662,«..,	—	kb„.
Такое решение дано в «Алгебре» Новоселова и
в присланных решениях. Можно, как это и сделано
некоторыми, доказать неравенство методом мате¬
матической индукции.
Задача представляет собою известное неравенство
Буняковского. (Иногда его называют также нера¬
венством Шварца.)
№ 79
Решить уравнение Бхаскары (XII в.):
jc* — 2х‘ — 400* = 9 999.
Решение 1. Данное уравнение преобразовы¬
вается так:
х* — 2х‘ — 400х — 9999 = х* — Их2 + Их3 _ J21x* +
+119х» — 1309х + 909х — 9999 = х» (х — 11) +
+11х,(х — 11)+ 119х(х— 11)+ 909 (х — И) =
= (х-11)(х»+Их* f 119Х + 909).
Далее:
х3+ 11л* + 119х + 909 = х8 + 9л* + 2х* + 18х +
+ lOlx-1-909 = х* (х + 9) + 2х(х + 9) + 101(х + 9) =
= (х+9) (х* + 2х+ 101).
Итак, имеем:
(х—11)(х + 9)(х* + 2х+ 101) = 0.
Отсюда легко получаем:
X] = 11; х2 = — 9; х3 = — 1 + 101.
60

Такое решение прислано сравнительно немногими
(оно же дапо и в сборнике Т. Н. Попова «Истори¬
ческие задачиг). Несомненно, оно носит слишком
искусственный характер. По существу, для того
чтобы выделить, как это сделано здесь, множители
.к—11 и х +- 9, надо уже знать, что уравнение
имеет эти корни.
Более обоснованное разложение дано т. Айзен-
штатом (Кисловодск); он приходит к выражению:
(х* — 2 с — 99) (хг -{-2Х-+-101).
В большинстве присланных решений дано более
короткое решение, совпадающее с решением пред¬
ложившего задачу. Приводим его.
Решение 2. Переносим 40.)jc в правую часть н
лрибавляем к обеим частям по 4jc“ -р 1; получим:
х* t 2х? + 1 = 4х‘ + 400л:4-10000,
или:
(ла+1)* = 4 (л: -4- SO)8.
Отсюда:
jc3 + 1 = ± (2х + 100).
Дальнейшее ясно.
№ 80
Автомобиль проехал расстояние между двумя
городами со скоростью 50 км в час, а обратно
возращался со скоростью 30 км в час. Какова
была ею средняя скорость?
Решение. Пусть расстояние до города равно d.
Время, затраченное на проезд в город, будет
50
а на обратный проезд -эд-. Очевидно, средняя ско¬
рость будет равна:
2 d	2-150
d
50	30
8
= 37-у км/ч.
Задача, конечно, совершенно элементарная и все
же получила несколько (3) неверных решений.
Г. Саковнч дал этой задаче оригинальное ариф¬
метическое решение: автомобиль ехал обратно в
5
-^-раза медленнее.
Отсюда средняя скорость:
1-50-1--д-- 30
1 +
300
1
очи 47 — км.
_	__	3/	2
ЗАДАЧИ
(Срок присылки решений 15 марта 1949 г.)
1. Решить уравнение:
(jc- - 16) (X — 3)» + 9jcs = О.
Af. Mv6’ne:{
(Новошепеличи, Киевской обл.).
2. Решить уравнение:
cos* х — 2 cos х cos_y со» (х 4- у) cos8 (к + у) = а
относительно хну. Определить значения а, при
которых уравнение имеет решения.
М. Дубенец.
3. В треугольнике угол А равен 43°. Найти (без
помощи таблиц) остальные углы этого треугольни¬
ка, если для него имеет место соотношение:
2S = c5j/rsin2 а + sin2 В -+- sin A sin В .
B. Утемое (Красноуфимск).
4. Найти соотношение между углами а, р и -у, если
дано, что
tg(a + p)tgT = l.
В.	Утсмов.
5. Доказать неравенство:
■sin aj-Р sin <ь>-Р ... 4-sin а„	(а1+а2-|-- - ■+°л)
	й	<*№ 	„
при 0 < а/ < к.
C. Танасевский (Кишинев).
6. Определить, какой из вписанных в окружность
л-уюльников имеет наибольший периметр.
С.	Танасевский (Кишинев).
7. Дана окружность и ее центр. С помощью од¬
ной линейки вписать в эту окружность квадрат.
М. Шебаршин (Кемеровская обл.).
8. Даны окружность и ее центр. С помои-ью од¬
ной линейки вписать в эту окружность правильный
треугольник.	' М. Шебаршин
9. Дана окружность радиуса R. Внутри ее прове¬
дена окружность, проходяшая через центр данной
и внутренне касающаяся ее. Построить окружность,
касательную к данным окружностям и к диаметру
большей окружности, касательному к меньшей.
С.	Вотрин (Иваново).
10. Построить равносторонний треугольник, вер¬
шины которого по одной лежали бы на трех дан¬
ных пярз-лельных прямых (печатается вторично).
11. Найти обший вид целых чисел, выражаюп их
длину катетов прямоугольных треугольников, имею¬
щих общую гипотенузу.	v
Я- Айзенштат (Кисловодск).
12. Найти простые числа р, удовлетворяющие
условию, что 4р* у-1 и 6р* +■ 1 будут тоже просты¬
ми числами.
Я- Айзенштат.
13. Две вершины треугольника неподвижны, а
третья перемешается по некоторому контуру. До-:
казать, что центр тяжести данного треугольника
описывает при этом контур, подобный данному.
Э.	Ясиноеый (Куйбышев).
61

14. Определить объем трехгранной пирамиды по
трем ее боковым ребрам а, Ь, с и плоским углам
а, р, у при вершине.
Э.	Ясиноеый.
15. Доказать, что в любом трехгранном угле углы
аь а2> аз наклона ребер к противоположным граням
связаны соотношением:
 1_ _1	1
sin а] ' sin	' sin а3 ^ "
Э.	Ясиноеый.
16. Доказать для прямоугольного треугольника
неравенство:
П. Дзигава (Тбилиси).
17.	Доказать для остроугольного треугольника
неравенство:
tg-4-tg fi-tgO 3 /ЗГ
И. Дзигава.
18. Решить уравнение:
5	5
V 0,5 + х +/0,5 — л: =1.
Л. Китайгородский (Москва).
19. Определить стороны треугольника, если они
выражаются целыми числами, образующими ариф¬
метическую прогрессию, и периметр треугольника
равен 15.
А. Могильницкий (Кривое Озеро
Одесской обл.).
20. Определить стороны треугольника, если они
выражаются целыми числами, образующими геомет¬
рическую прогрессию, причем произведение этих
чисел равно 216.
А.	Могильницкий.
СВОДКА РЕШЕНИЙ
по № 4 за 1948-й год
Следует отметить, как положительный факт, не-
большс е количество неверных решений (4 из с б-
щего количества 740 решений), что до известней,
но только до известней, степени объясняется срав¬
нительной легкостью большинства задач. Ошибоч¬
ные решения были даны: по № 64 (8 решений) для
объема призмы вместо нуля получалась формула
2а3уг2; по № 73 (9 решений) давались два реше¬
ния вместо трех (или давалссь не решение, а проба
всех чисел от 10 до 30); по № 77 получались вы¬
ражения или неравные нулю, или не доведенные
до нуля.
Приводим евгдку верных решений.
Г. Автух (Чашники) 61 — 64, 67, 70, 71, 79 , 80;
К. Агринский (Москва) 61-—63, 65 — 67,69 — 72,
74 , 77 — 80; М. Адигамов (Чкалов) 61 —63, 65, 70,
79; Я. Айзенштат (Кисловодск) 61—£0; Г. Ала-
пашвили (Тбилиси) 61, 62, 65 — 68, 71, 72, 75 — 77,
78, 80; П. Алексеев (Череповец) 61, 63, 71, 79, 80;
Е. Алмазова (Беднодемьяновск), 61, 68, 78. 80;
Г. Ахеердов (Ленинград) 61 —74, 77 — 80: Ш. Ба-
курадзе (Бглниси) 61, 70, 79, 80; Д. Бескин (Моск¬
ва) 61 — 64, 66, 67, 71 — 73, 79, 80; Е. Боков (Ко-
ноково) 61—63, 65 — 72, 77, 78, 80; И. Бочкин
(Витебск) 61, 62, 65 — 68 , 70, 71, 73, 79, 80; Б. Бур-
назов (Ейск) 61 —63, 70, 71, 73, 77 —£0; Б. Вайн-
ман (Киев) 61, 66, 70, 71, 78 — 80; А. Владимиров
(Ялта) 61 — 73, 75 , 77 — 80; М. Волков (Mt сква)
61,65, 70, 79, 80; Р. Гангнус (Мссква) £0; Я. Глейб-
ман (Бельцы) 61 — 63, 66, 67 , 70, 71, 79, 80; В. Го¬
лубев (Кувшиново) 61 —64, 66 — 71, 73, 75 — 80,
Г. Голянд и С. Третьяков (ст. Ленинградская)
61-—64, 66 — 68,71,73, 80; Н. Дзигава (Тбилиси)
61 —66, 68 — 72,	77 — 79; Б. Диккер (Анань¬
ев) 61—63, 65 — 68.70 — 72, 75 — 80; Б. Дудоль-
кевич (Петраковка) 61, 63 — 65, 79, 80; И. Евланов
(Павелец! 61, 80; М. Зайденман (Бельцы) 63, 70,
79; В. Зяблицкий (Калинин) 61, 67; А. Карпов
(Ссбинка) 61 — 68, 70 — 80; Я. Килимник (Винни¬
ца) 75, 76 . 78, 80; Н. Кириллов (Ярославль) 61—64,
66-—73, 79, 80; П. Китайгородский (Мссква), 61,
62, 65 — 68 ; 75, 76, 78 — 80; Коллектив препода¬
вателей школы № 43 (Ярославль) 61, 63 — 67, 69,
70, 80; С. Колесник (Харьков) 61 — 80; А. Корни¬
лов (Новый Егорлык) 61 — 72, 75 — 77, 79, 80;
Н. Костогаров (Курск) 61, 62, 79, 80; И. Кофман
(Ярославль) 61—65, 69, 70, 79, 80; В. Кунахович
(Безводное) 63, 65 — 67, 70, 71, 74, 80; И. Куха-
рев (Уфа) 61 — 63, 65, 69 — 71, 74, 77, 79; С. Ле-
бензон (Малаховка) 61—80; М. Ляпин (Казань)
61 —64, 65 — 68, 71, 72, 77, 79, 80; М. Манукян
(Келлеровка), 61, 62, 71, 79; Медведев (Михайл< вка)
61 — 63, 65 — 70, 72 , 74, 79, 80; С. Мельников (Сим¬
ферополь) 61—71, 73, 75, 79, 80; М. Месяц (Жи¬
томир) 61 — 68, 70, 71, 77, 78, 80; Г. Многолетний
(Мглин) 61, 63, 64, 70, 71-, 78, 80; В. Нефедов (Вла¬
димир) 61—80; А. Овчинников (Сталинград) 61—
64, 66, 69 — 71, 73, 77 — 80; Ф. Певишев (Шилове)
61 — 80; О. Пищик (Золочев) 61 — 77, 79, 80; Г. По¬
лезнее (Туганск) 61, 63, 67, 79, 80; Т. Полякова
(Еагарино), 61, 63, 64, 69, 70, 80; А. Попов (Заинек)
61,63 — 65, 69 — 71; П. Постников (Ряжск), 61,
63 — 66, 68 — 72, 74, 77 — 80; /'. Рагинский (Из-
берг) 61—63, 65 — 80: Г. Сакович (Киев) 61—64,
66 — 68, 70 — 73, 75 — 80; И. Сергачев (Мссква) 61,
66, 79, 80; В. Серов (с. Н. Веруга) 61, 63, 65, 66,
68 — 71, 74, 77 — 79; Г. Соколов (Владимир) 61 — 80;
A. Стукен (Омск) 61, 63, 64, 67, 69, 70, 75, 76, 80;
М. Суховой (Каргасск) 61 — 65, 70, 71, 77, 79, 80;
B. Токарев (Константиновна) 61 — 80; В. Ураев-
ский (Кузнецк) 61, 62; В. Утемов (КраЕноуфимск)
61 — 80; М. Чаус (Вчерайшее) 61 —64, 66 — 68, 7с,
71, 79, 80; М. Шебаршин (Кемерово) 61 — £0;
А. Ширшов (Луганск) 61 —80; Я. Юрченко (Зна¬
менка) 61, 62, 67, 68, 78 — 80; Э. Ясиноеый (Куй¬
бышев) 61 — 63, 65 — 80.
62

ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ СВОДКА
по JVsJVs 1—3 1948 года
Я. Айзенштат (Кисловодск) 8, 19. 20; Г. Алапа-
швили (Тбилиси) 3—7, 14, 16; А. Бпгарян (Абхаз¬
ская АССР) 3, 4, II, 14, 16, 17: И. Б рпдуля (Реу¬
тово) 1, 3-5, 9, 11, 16, 18—20; И. Бочкин (Ви¬
тебск) 3—6, 9, 14—17; В. Варганов (Москва) 10;
Б. Дудолькевич (Петраковка) 3, 5, 8, 16; В. Куна-
хович (Безводное) 2—5, 7, 10, 11; М. Месяц (Жи¬
томир) 16; Af. Мустафаев (Нуха) 5. 14, 16; В. Ни¬
китин (Тамбов) 1—5, 7, 8, ЮГ 11, 13-20; Ю. Оре¬
хов (Ленинград) 3, 5, 14, 18; А. Павлов (Сталин-
абад) 1 — 7, 9—II, 13—17, 19; Г. Полякова (Гага¬
рине) 3, 6; X. Тартасоеский (Чериовицы) 1, 3—8,
10, 11, 14—18; Л. Твалавадзе (Баши) 3—5, 14;
Н. Титов (Казань) 10, 11; В. Токарев (Константи-
новка) 2—20; В. Утемов (Красноуфимск) 19,
И. Пипкин (Казань) 11, 13—20 М. Черепнин (Ка¬
раганда) 3, 7, 9, 17, 19; Юрченко (Знаменка) 3, 10, 11.
Я. Айзенштат (Кисловодск) 21—24, 27—40,
П. Алексеев (Череповец) 21, 22, 25—30; Л. Бага-
рян (Абхазская АССР) 21, 22, 25, 28, 30; И. Бай
дюк (Ольгополь) 21. 22, 25, 26, 30, 34, 37; J1. Бес¬
кин (Москва) 25, 27, 34; И. Бородуля (РеутоЕО)
21 — 23; Б. Вайнман (Киев) 28, 29; С. Гликсон
(Сарны) 21—40; В. Голубев (Кувшиново) 21—25,
27 - 36, 38, 39; Н Дзигава (Тбилиси) 21, 22, 21 —
26, 28 — 30, 33, 35, 37 — 40; Н. Зубилин (Нарыш-
киио) 21—25, 28 , 30, 33. 31, 36, 38 — 40; Б. Ко-
дацкий (Ленинград) 21—40; В. Кунахович (Без¬
водное) 28; Лебедев (Обоянь) 22, 2 •; С. Магцечюк
(Нежин) 25; В. Никитин (Тамбов) 21 — 40; Ю. Оре¬
хов (Ленинград) 21; Ф. Певишев (Шилово) 31, 32;
Г. Полознев (Томск, обл.) 29; Н. Рождест, енсний
(Петриково) 21—30,33 — 36,39; В. Розеншуллер
(Ленинград) 28 — ЗС; М. Саакян (Краснодар) 21,
22, 16 — 28— 30; Г. Сакович (Киев) 21—36, 39;
Г. Сотникова (Казань) 21, 22, 25, 30; Л. Твала¬
вадзе (Баши) 22, 24 — 26:77. Титов (Тюмень) '/1 —
32, 35 — 38; Н. Титов (Казань) 21—40; В. Тока¬
рев (КонстантиноЕка) 2i—38, 40; А. Фирсанов
(Свердловск) 21, 22, 26, 30; Н. Эрдншв (Барнаул)
21, 22, 27, 29 — 36, 38; Э. Я синовий (Куйбышев)
26, 27, 30.
Г. Алапашвили (Тбилиси) 42, 45, 46, 52, 53,
55 — 57 , 6J; Г. Бурнатов (Ейск) 42, 45, 48, 52 — 56.
60; Б. Вайнман (Киев) 48. 54, 56; В. Варганов
(Москва) 52, 55, 56, 59, 60; А. Владимиров (Ялта)
59; У*. Гангнус (Москва) 53, 56, 60; Г. Голянд и
С.	Третьяков (ст. Ленинградская) 45, 47, 48, 54 —
56, 6о; И. Дзигава (Тбилиси) 42, 44, 48 . 52 — 57;
А. Евдокимов (Ленинград) 56, 60; Б. К> дацкий
(Ленинград) 41, 42, 44, 4,, 47, 48, 51 —58, 60; В. Ку-
на*ович (Безводное) 56. 69; Н. Кухарев (Уфа) 48,
54, 60;	М.	ляпин	(Казань) 41, 42, 44,	47, 49,
5 —56.	58,	59;	77.	Макуха (Алма-Ата)	41. 42,
47 — 50.	52,	57,	00;	А. Овчинников (Сталинград)
45. 47. 52—54, 56 — 60; Ф. Певишев (ст. Шилово)
47, 55; Н. Рождественский (Петриковка) 51; Н. Ры¬
тое (Каменка) 56, 60; Г. Сакович (Киев) 41, 42,
45 — 5", 52, 51 — 57, 59, 60; С. Сачко (Москва) 44,
52 — 54, 56, 60; И. Ci-ргачев (Москва) 41, 42, 54,
56; Ф Сергиенко (Запорожье) 41, 42, 44—50,
52 — 57,	59;	Н.	Титнв (Казань) 41, 42,	44 — 46,
48, 51 — 58, 60; В. Токарев (Коистантиновка) 41,
42 — 44, 60; Н. Эрдниев (Барнаул) 41, 42, 44. 45,
47, 48, 52 — 56, 58, 60; Я. Юрченко (Знаменка)
52, 55, 56, 60; Э. Ясиновый (Куйбышев) 49, 50.

СОДЕРЖАНИЕ
Стр.
По ленинскому пути	 1
JI. Н. Барсуков — Историческая веха в развитии биологической
науки 	}
ИЗ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ
А. П. Юшкевич—'Математика и ее преподавание в России XVII —
XIX вв	  7
МЕТОДИКА
А.	Л. Бондарев — Несобственные корни уравнений	 19
Г1.	Я■ Севастьянов—Умножение обыкновенных дробей	 22
А. И. Добротны — К методике преподавания умножения и деления
дробей	 27
С.	И. Зетель—О применении свойств корней квадратного уравне¬
ния к решению задач на максимум и минимум	 32
ИЗ ОПЫТА
И И. Гольбенблат—Борьба с формализмом на сроках математики 33
ЗА РУБЕЖОМ
И. Я- Денман— Некоторые сведения о состоянии преподавания
математики в современной зарубежной школе 	 39
РУССКИЕ ПЕДАГОГИ-МАТЕМАТИКИ
И. 11. Малинина—Александр Федорович Малинин	 44
КРИТИКА И БИБЛИОГРАФИЯ
П. А. Горбатый и Т. Я■ Нестеренко—Когда начинать изучение
снстематнческо! о курса геометрии в средней школе ...... 4С
Н.	А. Принцев — К вопросу о преподавании геометрии в школе. .	50
ЗАДАЧИ
О задачах, помещенных в журнале	  52
Решения задач	 53
Задачи	•	 р,]
Сводки решений	 52
№ А — 11523
Редакционная коллегия
Редактор А. Н. Барсуков
Зам. редактора С. И. Новоселов
Заказ № 829
Члены редакционной коллегии
Ю. О. Гурвиц, В. В. Немыцкии, А. 77. Сади¬
Тираж 20 000 экз.
ков, Н. Ф. Четеерухин
Технический редактор Е. Н. Пергаменщик
Корректор А. С. Киняпина
Адрес редакции: Москва, Чистые пруды 6, Учпедгиз Министерства просвещения РСФСР
Сдано в производство 6/XI 1948 г. Подписано к печати 24/ХИ 1948 г. Печ. л. 4. Учетно-изд. л. 7,68
Печ. зн. в I п. л. 72 ООО. Цена 4 р. 50 к. Формат 82 X 108/16.
13-я тип. треста «Полиграфкиига* ОГИЗа при Совете Министров СССР. Москва, Денисовский, 30