С. Б. КАТОК
р-адический
анализ в сравнении
с вещественным
С. Б. КАТОК
р-адический
анализ в сравнении
с вещественным
Перевод с английского
П. А. Колгушкина
Москва
МЦНМО
2004
УДК 511.6+ 517.1
ББК 22.132 + 22.161
К29
Каток С. Б.
К29 р-адический анализ в сравнении с вещественным / Пер. с англ.
П. А. Колгушкина. — М.: МЦНМО, 2004. — 112 с.: ил.
ISBN 5-94057-149-2
В брошюре излагаются основные сведения, связанные с р-адическим анали-
зом: приводится определение р-адических чисел, изучается . к топология, функции
от р-адического аргумента. Подробно рассматриваются отличия от классического
вещественного анализа.
Для студентов младших курсов физико-математических специальностей.
ББК 22.132 + 22.161
Перевод выполнен по изданию:
S. Katok, p-adic analysis in comparison with real Ц MASS selecta / Ed. by S. Katok,
A. Sossinsky, and S. Tabachnikov. Providence: AMS, 2003. P. 11—87.
ISBN 5-94057-149-2
© С. Б. Каток, 2004.
© МЦНМО, 2004.
Оглавление
Предисловие	4
Глава 1. Арифметика р-адических чисел	6
§	1. От Q к R; понятие пополнения................................... 6
§2	. Нормированные поля ............................................ 9
§3	. Построение пополнения нормированного поля..................... 16
§4	. Поле р-адических чисел Qp .................................... 20
§5	. Арифметические операции в .................................... 26
§6	. р-адическое разложение рациональных чисел..................... 29
§7	. Лемма Гензеля и сравнения..................................... 31
§8	. Алгебраические свойства целых р-адических чисел............... 36
§9	. Метрики и нормы на множестве рациональных чисел. Теорема
Островского .................................................... 40
§	10. Отступление: что такое Qg, если число g не простое?.......... 44
Глава 2. Топология пространства Qp в сравнении с топологией R	48
§11	. Основные топологические свойства............................. 48
§	12. Канторово множество.........................................  54
Глава 3. Математический анализ в Qp	61
§	13. Последовательности и ряды.................................... 61
§	14. р-адические степенные ряды................................... 66
§	15. Некоторые элементарные функции............................... 69
§	16. Можно ли р-адический степенной ряд продолжить аналитически? .	74
§	17. Нули р-адических степенных рядов............................. 76
§	18. Дальнейшие свойства р-адических экспонент и логарифмов ....	80
Глава 4. р-адические функции	85
§	19. Локально постоянные функции.................................. 85
§	20. Непрерывные и равномерно непрерывные функции ................ 89
§21	. Точки разрыва и теорема Бэра о категории..................... 92
§22	. Дифференцируемость р-адических функций ...................... 95
§23	. Непрерывно дифференцируемые функции и изометрии простран-
ства Qp......................................................... 98
§24	. Интерполирование............................................ 102
Список литературы	107
Предисловие
Эти заметки появились как результат курса «Действительный и р-ади-
ческий анализ», который был прочитан автором по программе MASS в
осеннем семестре 2000 г. Выбор темы был обусловлен как внутренней кра-
сотой предмета р-адического анализа, не вполне обычного для студентов
младших курсов, так и возможностью сравнить этот предмет с более зна-
комым им вещественным аналогом.
У этого подхода есть несколько педагогических преимуществ. И дей-
ствительные, и р-адические числа получаются из рациональных при помо-
щи процедуры под названием пополнение (которая может быть применена
к любому метрическому пространству), если использовать различные рас-
стояния на множестве рациональных чисел: обычное евклидово расстоя-
ние для действительных чисел и новое р-адическое для р-адических, для
произвольного простого числа р. Тот факт, что р-адическое расстояние
удовлетворяет «сильному неравенству треугольника», является причиной
многих удивительных свойств р-адических чисел, а также приводит к инте-
ресным отличиям от классического вещественного анализа, подобно тому
как отрицание пятого постулата Евклида о параллельных прямых приво-
дит к неевклидовой геометрии. С другой стороны, похожими оказываются
утверждения, не зависящие от «сильного неравенства треугольника», и в
этих случаях одно и то же доказательство работает и для вещественно-
го, и для р-адического случая. Анализ отличий помогает студентам лучше
понять доказательства в обоих случаях.
Хотя материал этих заметок описывается в нескольких как классиче-
ских, так и недавних работах [1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 10], в них он или остается
на сравнительно элементарном уровне с большим акцентом на теоретико-
числовых аспектах, или довольно быстро выходит на уровень, слишком
сложный для студентов младших курсов. Мой собственный вклад состоял
в отборе подходящего материала, в упрощении некоторых доказательств и
изложении их в подходящем контексте.
Я также включила в этот курс несколько тем из вещественного ана-
лиза и элементарной топологии, которые обычно не изучаются студентами
(вполне несвязные пространства и канторовы множества, точки разры-
ва отображений и теорему Бэра о категории, сюръективность изометрий
компактных метрических пространств). Эти темы помогли студентам луч-
ше понять вещественный анализ и связать вещественный и р-адический
контекст. Стандартное описание этих тем можно найти в книге [9]. Основ-
ные понятия алгебры обсуждаются очень кратко, и читатель отсылается к
любому стандартному учебнику по абстрактной алгебре, например к [3].
4
Курс сопровождался значительным количеством задач для самостоя-
тельного решения (с акцентом на доказательства), которые присутствуют и
в этих заметках. В частности, некоторые части доказательств из основного
текста оставляются в качестве упражнений. Хотя эти упражнения могут
затруднить непрерывное чтение, они помогают студентам глубже понять
предмет и делают эти заметки вполне подходящими для самостоятельного
изучения.
Помимо решения задач студентам было предложено сделать докла-
ды на дополнительные темы. Доклады, некоторые из которых были на
довольно высоком уровне, включали следующие: «Конечные расширения
р-адических чисел и р-адические окружности»; «Изометрии на множе-
стве целых р-адических чисел»; «р-адический соленоид»; «Х-адическая
норма на пространстве степенных рядов»; «Функция Сигнум»; «Разбиения
на треугольники равной площади»; «Евклидовы модели множества целых
р-адических чисел»; «Построение графической модели кривой Пеано с по-
мощью канторова множества»; «^Модифицированный гармонический ряд»;
«О диагональных кубических уравнениях».
5
Глава 1
Арифметика
р-адических чисел
Цель первой части этих лекций — ввести главный объект: поле р-ади-
ческих чисел Qp, определенное для каждого простого числа р.
Так же как и поле действительных чисел R, поле может быть по-
строено из поля рациональных чисел Q как пополнение по некоторой
норме. Эта норма зависит от простого числа р и кардинально отличается
от стандартной евклидовой нормы, которая используется для определения
множества R. Однако в обоих случаях результатом пополнения является
нормированное поле (R и Qp); это общее понятие детально изучается
в §2. Но сначала (§ 1) мы напоминаем, что представляет собой процедура
пополнения в более знакомом случае действительных чисел (от Q к R),
и только потом переходим к обобщению на произвольные нормированные
поля (§3).
После этих предварительных замечаний мы переходим к центральному
разделу части 1 (§4), где строится поле Qp.
В §§ 5—8 рассматриваются алгебраические и структурные свойства
р-адических чисел. Там, а также и в последующих частях, мы будем по-
стоянно сравнивать и R, подчеркивая как их сходства, так и различия.
Наконец, в §§ 9, 10 обсуждаются дополнительные вопросы, напрямую не
связанные с основным содержанием курса.
§ 1.	От Q к R; понятие пополнения
Действительные числа (их множество обозначается R), получаются из
рациональных с помощью процедуры, которая называется пополнением.
Эту процедуру можно применить к любому метрическому простран-
ству, т.е. пространству М с функцией расстояния d. Напомним, что функ-
ция
d\ М х М —* R,
определенная на множестве всех упорядоченных пар (х, у) элементов
непустого множества М, называется расстоянием, если она обладает
следующими тремя свойствами:
1)	d(x, у) 0; d(x, у) = 0 тогда и только тогда, когда х = у\
2)	d(x, у) = d(y, х) для любых х, у е М;
3)	d(x, у) d(x, z) 4- d(z, у) для любых х, у, z е М.
Последовательность {гп} точек метрического пространства М называ-
ется последовательностью Коши, если для любого е > 0 существует та-
кое натуральное число /V, что если п, т> N, то d(r„, гт) < е. Если любая
последовательность Коши из М имеет предел в М, то М называется пол-
ным метрическим пространством. Если пространство М не полное, то
существует такое метрическое пространство М, что
1)	Л4 полное;
2)	М_ содержит подмножество Mq, изометричное_пространству Л4;
3)	Mq всюду плотно в М (т. е. каждая точка из М является предельной
точкой множества Л4о).
Доказательство представляет собой явную конструкцию пополнения М.
Его элементы — это классы эквивалентности последовательностей Коши
из М (две последовательности Коши хп и уп называются эквивалент-
ными, если d(xn, уп) —* 0). Подробности приведены ниже в теореме 3.4,
где рассматривается частный случай метрических пространств, называе-
мых нормированными полями, включающий Q.
Для М = Q мы имеем обычное евклидово расстояние между рацио-
нальными числами:
d(rit г2) = |п - г2|-	(11)
Заметим, что это расстояние «получается» из евклидовой нормы на Q,
которая представляет собой абсолютную величину и является обычным
расстоянием на «числовой оси».
Другое описание пополнения множества Q, приводящее к R, более из-
вестное и не такое абстрактное, основывается на бесконечных десятичных
дробях. Рациональные числа характеризуются тем, что их представления в
виде бесконечной десятичной дроби являются периодическими (упражне-
ние 1). С другой стороны, любая бесконечная десятичная дробь представ-
ляет некоторую точку на «числовой оси». Таким образом, удобно отож-
дествить действительные числа с бесконечными десятичными дробями.
Каждое положительное действительное число а может быть записано как
десятичная дробь
ОС
a = ^akl0-k,	(1.2)
k=m
где т — некоторое целое число и коэффициенты или цифры ak принимают
значения
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Это представление единственно всегда, кроме случая, когда а* = 0 для
всех k > п, в этом случае у числа а есть другое представление: а'п = ап — 1,
afk = 9 для k > п и a'k = ak для k < п.
7
Несложно построить последовательность Коши, состоящую из рацио-
нальных чисел и не имеющую предела в Q:
0,1, 0,1011, 0,10110111, 0,1011011101111,...
С другой стороны, каждый класс эквивалентности последовательностей
Коши, состоящих из рациональных чисел, содержит в качестве представи-
теля представителя, последовательность частичных сумм ряда вида (1.2),
пределом которой является бесконечная десятичная дробь (упражнение 2),
причем это же верно для любой последовательности Коши бесконечных
десятичных дробей. Иными словами, множество действительных чисел
полно относительно евклидова расстояния (упражнение 3), и построение
действительных чисел с помощью бесконечных десятичных дробей эк-
вивалентно процедуре пополнения относительно евклидова расстояния.
Представление (1.2) можно обобщить на представления бесконечными
дробями по основанию g, где g — произвольное натуральное число,
большее или равное 2; таким образом,
ОС
а = akg~k<
k=m
где коэффициенты а* принимают значения из множества {0, 1, ..., g - 1}.
Заметим, что показатели —k уменьшаются и стремятся к —оо.
Практически пополнение часто строится с помощью следующей кон-
струкции.
Теорема 1.1. Пусть М — полное метрическое пространство и X —
подмножество в М. Тогда X полно в том и только в том случае,
когда оно замкнуто в М. В частности, замыкание подмножества X
в М можно рассматривать как пополнение подмножества X.
Пример 1.2. Пополнение интервала (а, Ь) относительно обычного ев-
клидова расстояния есть отрезок [а, Ь], замыкание интервала (а, Ь) в Ж.
Другие примеры представлены в упражнении 4.
Упражнения
1. Докажите, что число рационально тогда и только тогда, когда пред-
ставляющая его бесконечная десятичная дробь является периодической.
*2. Докажите, что для любой последовательности Коши рациональных
чисел относительно евклидова расстояния существует эквивалентная ей
последовательность частичных сумм ряда вида (1.2).
3.	Используя представление действительных чисел в виде бесконечных
десятичных дробей, докажите, что множество действительных чисел пол-
но относительно евклидова расстояния, т. е.что любая последовательность
Коши, состоящая из действительных чисел, имеет предел.
8
4.	Докажите, что следующие метрические пространства не являются
полными, и постройте их пополнения:
1) Rc расстоянием d(x, у) = |arctgx — arctgz/|;
2) R с расстоянием d(x, у) = |ех - еу\.
5. Докажите, что метрическое пространство полно тогда и только то-
гда, когда любая последовательность вложенных замкнутых шаров {Brt},
В\ D Вг Э Вз 3 ..., радиусы которых стремятся к нулю, имеет единствен-
ную общую точку.
§2. Нормированные поля
Рациональные и действительные числа являются основными примера-
ми алгебраической структуры под названием поле. Поле F — это множе-
ство с двумя бинарными операциями, которые обычно называются сложе-
нием и умножением и которые удовлетворяют основным свойствам этих
операций для чисел. Именно,
1)	а + b = b + а для любых a, b G F (коммутативность сложения);
2)	а + (Ь + с) = (а + Ь) + с для любых a, b, с е F (ассоциативность
сложения);
3)	существует такой элемент 0 е F, что 0 + а = а для любого а € F
(существование нуля);
4)	для любого элемента а е F существует такой элемент —а е F, что
а 4- (—а) = 0 (существование обратного по сложению);
5)	а • b = Ь • а для любых a, b е F (коммутативность умножения);
6)	а - (Ь • с) = (а • Ь) • с для любых а, &, с е F (ассоциативность умно-
жения);
7)	существует такой элемент 1 е F, что 1 • а = а для любого а е Fx =
= F \ 0 (существование единицы);
8)	для любого элемента а е Fx существует такой элемент а”1 е Fx,
что а • а”1 = 1 (существование обратного по умножению);
9)	а • (Ь + с) = а • b + а • с для любых a, b, с е F (дистрибутивность);
10)	0/ 1.
Алгебраическая структура с одной бинарной операцией, удовлетво-
ряющей свойствам 1)—4), называется абелевой (или коммутативной)
группой. Соответственно множество F с операцией сложения называется
аддитивной группой поля F, а множество Fx с операцией умножения
называется мультипликативной группой поля F. Важным свойством
поля является то, что оно не содержит делителей нуля, т. е. таких эле-
ментов a, b е F\ что а • b = 0 (см. упражнение 6).
Определение 2.1. Пусть F является полем. Нормой на F назы-
вается отображение из F во множество неотрицательных действитель-
9
них чисел, которое обозначается || • || и удовлетворяет следующим свой-
ствам:
1)	||х|| =0 тогда и только тогда, когда х = 0;
2)	||х#|| = ||х||||#|| для любых х, у е F;
3)	||х + #||	||х|| + H#|| для любых х, у е F (неравенство треуголь-
ника).
Норма называется тривиальной, если ||0|| = 0 и ||х|| = 1 для всех х / 0.
Заметим, что для любого п е N мы имеем
п • 1 := 1 + ... + 1 е F.
п
Мы будем обозначать этот элемент тем же самым символом п, что и со-
ответствующее натуральное число.
Предложение 2.2. Для любых х, у е F справедливы следующие
утверждения’.
a)	111II = 11-111 = 1;
Ь)	11*11 = ||-х||;
с)	||х ±i/|| > Ц|х|| - Ц//Ц1;
d)	||х -I/H < ||х|| + М;
е)	IIх/у\\ = ЦхЦ/lli/ll;
/) ||п|| п для любого п е N.
Доказательство.
а)	Мы имеем ||1|| = ||(±1) ’ (±1)|| = ||±11|2 => ||±1|| = 1.
Ь)	Мы имеем || - х|| = ||(-1) х|| = 1 - ||х||.
с)	Утверждение следует из п.Ь) и неравенства треугольника для нормы
(см. Упражнение 7).
d)	Утверждение следует из п. Ь) и неравенства треугольника.
е)	Утверждение следует из п. а) и свойства 2) нормы.
f)	Утверждение следует по индукции из п. а) и неравенства треугольни-
ка.	□
Пусть d(x, #) = ||х — #||. Из определения 2.1 и предложения 2.2 немед-
ленно следует, что d является функцией расстояния; в самом деле, из
свойства 1) определения 2.1 следует, что d(x, #) = 0 тогда и только тогда,
когда х = #, симметричность следует из утверждения 2.2 Ь), а неравенство
треугольника из утверждения 2.2 d). В такой ситуации мы будем гово-
рить, что расстояние индуцировано нормой || • ||, и будем рассматривать
(F, ||-||) как метрическое пространство.
Определение 2.3. Говорят, что последовательность {ап} элементов из F
1) ограничена, если существует такая константа С > 0, что
||ал||	С для любого п;
10
2)	является бесконечно малой, если
Нт ||а„|| =0,
л—+оо
т. е. для любого е > 0 существует такое N, что для всех п> N выполняется
неравенство ||ап|| < е;
3)	является последовательностью Коши, если
lim ||а„-am|| =0,
п,т—>оо
т.е. для любого е > 0 существует такое N, что для всех п, т> N выпол-
няется неравенство ||ал — ат\\ < е;
4)	сходится к а е F (мы пишем а = lim ап), если
п—>оо
lim ||ая - а|| = 0,
п—>оо
т.е. для любого е > 0 существует такое Л/, что для всех п> N выполняется
неравенство ||ал - а|| < е.
Из определения следует, что любая бесконечно малая последователь-
ность сходится к 0, а из неравенства треугольника следует, что любая схо-
дящаяся последовательность является последовательностью Коши: пусть
lim ап = а, тогда
п—+ОО
||а« - М = ||<з„ - а + а - ат|| < ||а„ - а|| + ||а - ат|| < | + | = е
для n, т > N, где N выбран из определения предела для е/2. В частно-
сти, каждая бесконечно малая последовательность является последова-
тельностью Коши. Свойства, приведенные ниже, доказываются такими же
стандартными рассуждениями.
1.	Каждая последовательность Коши ограничена.
2.	Пусть {ап} — последовательность Коши и {nj, п%, ...} — возрастаю-
щая последовательность натуральных чисел. Если подпоследовательность
аЛ1, йл2> ••• бесконечно малая, то и сама последовательность {ап} беско-
нечно мала.
3.	Если {ап} и {Ьп} — бесконечно малые последовательности, тогда
последовательность {ап ± Ьп} также бесконечно мала. Если последова-
тельность {ап} бесконечно мала, а {Ьп} ограничена, то последовательность
{апЬп} бесконечно мала.
Следующее простое утверждение часто бывает полезно.
Предложение 2.4. Неравенство ||х|| < 1 выполняется тогда и
только тогда, когда lim хп = 0.
Л-+ОО
Доказательство. Пусть ||х|| < 1. Так как ||х"|| = ||х||", мы получаем
Нт ||х"||=0,
п—>оо
11
т.е. lim хп = 0. Наоборот, если ||х||	1, то для всех положительных п
п—>оо
имеем ||хл ||	1 и, таким образом, 0 / lim хп.	□
п—*оо
Определение 2.5. Будем говорить, что две метрики d\ и на F эк-
вивалентны, если любая последовательность является последовательно-
стью Коши в метрике d\ в том и только в том случае, когда она является
последовательностью Коши в метрике ^2- Будем говорить, что две нормы
|| • ||1 и || • Ц2 эквивалентны (|| • ||] ~ || • Ц2), если они индуцируют эквивалент-
ные метрики.
Предложение 2.6. Пусть || • ||i и || • ||г — две нормы на поле F. Для
того, чтобы эти нормы были эквивалентны необходимо и доста-
точно существование такого положительного действительного
числа а, что
||х||2 = ||х||Т для любого х е F.	(2.1)
Доказательство. Пусть || • II1 ~ II ‘ Ц2• Если норма ||• ||i тривиальна,
то согласно упражнению 9 норма || • Ц2 также тривиальна и следовательно,
равенство (2.1) выполнено для любого а.
Если норма || • ||1 нетривиальна, то можно выбрать такой элемент a^F,
что ||а|| 1 / 1. Заменяя, если надо, а на \/а, можно считать, что ||а|| 1 < 1.
Положим	(1 ..
„ = loglklh
loglklh ‘
Так как нормы эквивалентны, из упражнения 10 следует, что ЦаЦг < 1,
значит, оба логарифма отрицательны и а > 0.
Покажем, что число а удовлетворяет условию (2.1). Рассмотрим сна-
чала такой х е F, что ||х|| 1 < 1; случаи ||х|| 1 > 1 и ||х|| 1 = 1 будут следовать
из упражнения 10. Рассмотрим множество
S = {г = т/п\т, п е N, ||х||j < ||a||j}.	(2.2)
Для любого г € S имеем ||х||™ < ||а||р поэтому ||“-|| <1- Тогда из упраж-
нения 10 получаем
поэтому ||х||!? < ||а||£ и ЦхЦ^ < ||а||2- Поменяв местами ||• ||i и ||• II2 и по-
вторив то же самое рассуждение, мы видим, что
S = {г = т/п\т, п е N, ||х||2 <	(2.3)
Логарифмируя, можно переписать условия (2.2) и (2.3) следующим обра-
зом:
r . loglklb r iogl№	/9 дч
log Mi ’	r> 10g||x||2’	'
12
так как все логарифмы, присутствующие в этих формулах, отрицательны.
Но тогда мы получаем
log Mi = Jog№
loglMli log||x||21
потому что в противном случае между этими двумя числами нашлось бы
какое-то рациональное число г и было бы выполнено только одно из усло-
вий (2.4). Таким образом,
log||*ll2 = logllalh
l°g||x||i l°g|lalli
что и требовалось доказать.	□
Теперь мы опишем все нормы на Q, эквивалентные абсолютному зна-
чению | • |.
Предложение 2.7. Функция ||х|| = |х|а, а > 0, является нормой на Q
тогда и только тогда, когда а 1. В этом случае она эквивалентна
норме | • |.
Доказательство. Пусть а 1. Первые два свойства нормы оче-
видны, поэтому нужно проверить только неравенство треугольника. Пред-
положим, что |z/|	|х|. Тогда
|х + ^|“с(И + |1/|)“ = И“(1 + Му^
И’О + и) |х,в(’ + 1$) = |х|“ +
Первое неравенство следует из того, что /а /, если /	1, а второе — из
того, что /а t, если 0 t 1.
С другой стороны, если а > 1, то неравенство треугольника не выпол-
няется: например, 11 + 1 |а = 2а > 11 |а + 11 |а = 2.	□
Определение 2.8. Норма называется неархимедовой, если для всех
х и у выполнено неравенство
||х + t/|| sj max(||x||, ||i/||).
Замечание 2.9. Очевидно, что из неархимедова свойства нормы сле-
дует неравенство треугольника. Мы будем называть это свойство сильным
неравенством треугольника.
Расстояние, индуцированное неархимедовой нормой, называется уль-
траметрикой. Вместо неравенства треугольника для обычной функции
расстояния
d(x, z) d(x, у) + d(y, z),
выполняется сильное неравенство треугольника
d(x, z) max(d(x, у), d(y, z)).
13
Соответствующие метрические пространства называются ультраметри-
ческами пространствами.
Следующая теорема дает необходимое и достаточное условие того, что-
бы норма была неархимедовой.
Предложение 2.10. Следующие утверждения эквивалентны'.
а)	норма || • || неархимедова\
Ь)	||и||	1 для любого целого числа п.
Доказательство, а) =>Ь). Докажем это по индукции.
База индукции. Очевидно, что ||1|| = 1	1.
Шаг индукции. Пусть ||/г||	1 для всех k е {1, ..., п — 1}; докажем,
что ||п||	1.
Заметим, что ||n|| = ||(п — 1) + 1|| max{||n — 1||, 1} = 1.
Из неравенства || 11| = 1	1 и предположения индукции получаем
||rz||	1 для всех п е N. Так как || — п\\ = ||л||, мы заключаем, что ||n||	1
для всех п е Z.
Ь) => а). Имеем
Ik+ < = !!(* +'/ГН =
k=0
п
Е 1к11*1МГ‘ ^ (« + l)[max(|k||, Ы)Г
*=0
Поэтому для каждого натурального числа п выполняется неравенство
Ik +t/ll v^n + 1 maxdkll. IklD-
Устремляя п к оо, получаем
|k + i/Kmax(|k||, ||//||).
Здесь мы пользовались тем, что (”) —целое число, и хорошо известным
пределом
lim у/п + 1 = 1.	□
л—»оо
Это утверждение помогает объяснить разницу между архимедовыми
и неархимедовыми нормами. Его можно переформулировать следующим
образом: норма является архимедовой, если она обладает свойством Ар-
химеда: для данных х, у е F, х 0, существует такое натуральное
число п, что \\пх|| > ||#||.
Легко видеть, что свойство Архимеда эквивалентно существованию це-
лых чисел, имеющих сколь угодно большую норму:
sup{||лгII: п е Z} = +оо.	(2.5)
14
Мы оставляем читателю проверить, что норма архимедова (т. е. не являет-
ся неархимедовой) тогда и только тогда, когда выполняется условие (2.5)
(упражнение 11).
Неархимедово свойство имеет и другие удивительные следствия.
Предложение 2.11. Если элементы а их неархимедова поля F удо-
влетворяют неравенству ||х — а|| < ||а||, то ||х|| = ||а||.
Доказательство. Согласно сильному неравенству треугольника
1И1 = ||х - а + а|| тах(||х - а||, ||а||) = ||а||.
С другой стороны,
||а|| = ||а - х + х|| max(||x - а||, ||х||).
Если бы выполнялось неравенство ||х — а|| > ||х||, то получилось бы, что
||а|| IIх “ а11> а это противоречит условию. Значит, ||х — а||	||х|| и
||а||	||х||. Поэтому ||х|| = ||а||, что и завершает доказательство. □
Это утверждение можно сформулировать в геометрических терминах
следующим образом: любой треугольник в ультраметрическом про-
странстве является равнобедренным, причем длина основания не
превосходит длин боковых сторон.
Доказательство следующего удивительного свойства мы оставляем чи-
тателю (упражнение 12).
Предложение 2.12. Если норма ||-|| на поле F неархимедова, то
любая точка замкнутого шара В(а, г) = {х: ||х — а|| г} в F является
его центром.
Завершая этот параграф, покажем, что архимедова и неархимедова
нормы не могут быть эквивалентны.
Предложение 2.13. Две эквивалентные нормы (|| • ||i ~ || • ||г) на по-
ле F либо обе архимедовы, либо обе неархимедовы.
Доказательство. Из упражнения 10 следует, что если || • ||i ~ || • Цг,
то для любого целого п имеем ||n||i > 1 тогда и только тогда, когда ||n||2 > 1.
Отсюда и из предложения 2.10 следует, что либо обе нормы неархимедовы,
либо обе архимедовы.	□
Упражнения
6.	Докажите, что поле не содержит делителей нуля.
7.	Используя неравенство треугольника для нормы на поле F (п.З опре-
деления 2.1), докажите, что
|||х|| - Н#Н| IIх ± #11 для любых х,у eF.
8.	Докажите, что в любом нормированном поле выполняются следую-
щие утверждения:
15
1)	каждая последовательность Коши ограничена;
2)	пусть {ап} — последовательность Коши и {rzi, /12, ...} — возраста-
ющая последовательность натуральных чисел, тогда если подпоследова-
тельность аП1, аП2, ... бесконечно малая, то и сама последовательность
{ап} бесконечно мала;
3)	если последовательности {ап} и {Ьп} бесконечно малы, то и после-
довательность {ап ± Ьп} бесконечно мала: если последовательность {ап}
бесконечно мала, а последовательность {Ьп} ограничена, то последователь-
ность {апЬп} бесконечно мала.
9.	Докажите, что если || • ||i ~ || • ||г и норма || • ||i тривиальна, то норма
|| • ||г также тривиальна.
10.	Докажите, что если ||-||i ~ ||• II2, то ||x||i < 1 тогда и только тогда,
когда ЦхЦг < 1; ||x||i > 1 тогда и только тогда, когда ||х||2 > 1, и ||x||i = 1
тогда и только тогда, когда ЦхЦг = 1.
11.	Докажите, что норма || • || архимедова тогда и только тогда, когда
sup{||rz||: п 6 Z} = +оо.
12.	Докажите, что если норма ||-|| на поле F неархимедова, то любая
точка замкнутого шара В(а, г) = {х: ||х — а|| г} в F является его центром
(и то же самое для открытого шара В(а, г) = {х: ||х — а|| < г}).
13.	Докажите, что если норма || • || неархимедова, то || • ||а также неар-
химедова норма для любого а > 0. (Сравните с предложением 2.7 для
евклидова абсолютного значения на Q.)
§3. Построение пополнения нормированного поля
В этом параграфе мы, исходя из произвольного нормированного по-
ля F (не обязательно полного по его норме || • ||), построим другое поле F,
содержащее F, и снабдим^ его нормой (индуцированной нормой ||-|| на F)
таким образом, что поле F будет полным нормированным полем.
Как мы уже видели (§ 1), в случае рациональных чисел с обычной (ев-
клидовой) нормой процедура пополнения приводит к полю действительных
чисел R. Ту же самую процедуру мы позже (см. §4) применим к по-
лю Q, снабженному совершенно другой нормой, и в результате получим
р-адические числа. Главную роль в процедуре пополнения будут играть
последовательности Коши: именно классы эквивалентных последователь-
ностей Коши будут объявлены элементами поля F. Поэтому мы начнем с
обсуждения последовательностей Коши, состоящих из элементов произ-
вольного нормированного поля F.
Последовательности Коши можно складывать, вычитать и перемно-
жать (упражнение 14), поэтому множество всех последовательностей
16
Коши в (F, Ц-Ц), обозначаемое {F}, является коммутативным кольцом.
Единичным элементом по сложению является последовательность
б = {0,0,0, ...},
а единичным элементом по умножению является последовательность
1={1, 1, I,***}*
Ясно, что множество {F} не является полем, так как оно содержит делители
нуля:
4	{1,0, 0, ...}{0, 1,0, 0, ...} = б.
Для каждого а € F последовательность
а = {а, а, а...}
лежит в {F}. Следовательно, {F} содержит подкольцо, изоморфное полю F.
Рассмотрим множество Р всех бесконечно малых последовательностей.
Очевидно, что Р является подмножеством множества {F}. Более того, Р
является идеалом в {F} (т. е. таким подкольцом, что для всех р е Р и для
всех a$F выполнено включение ар е Р). В самом деле, если последова-
тельности {ап} и {Ьп} лежат в Р, то и последовательность {ап ± Ьп} также
лежит в Р, И если последовательность {ап} лежит в Р, а последователь-
ность {Ьп} ограничена (в частности, является последовательностью Коши),
то {апЬп} также лежит в Р (упражнение 8 (3)).
Положим F = {F}/P. Элементами этого множества являются классы
эквивалентных последовательностей Коши из (F, || • ||), причем две после-
довательности эквивалентны, если их разность есть бесконечно малая
последовательность. Заметим, что постоянные последовательности
а = {а, а, а, ...},
где а € F, принадлежат разным классам в F для разных а. Будем обозна-
чать класс, содержащий последовательность {ап}, через (ал); (ап) является
элементом множества F. Будем рассматривать F как подмножество мно-
жества F, отождествляя а е F с_ (а) е F,
Теорема 3.1. Множество F является полем. _
Доказательство. Определим операции на F следующим образом:
если {ап} е Л, а {Ьп} 6 В, то А + В = (ап + Ьп) и АВ = (ап • Ьп). Из упраж-
нения 15 следует, что эти операции не зависят от выбора представителей.
Легко проверить, что множество F с такими операциями является комму-
тативным кольцом с единичным элементом по сложению (0) и единичным
элементом по умножению (1). Докажем, что F является полем. Пусть А —
2* р-адический анализ
17
класс эквивалентности из F, отличный от нулевого класса (б) = Р. Пусть
также {ал}— любая последовательность Коши из А. Так как последова-
тельность {ап} не является бесконечно малой, найдутся такие положитель-
ные числа с и /V, что
||ал || > с для любого	N.
Рассмотрим последовательность {а*}, определенную формулой
{О, если 1 < п N — 1,
1/ал, если п N.
Мы утверждаем, что эта последовательность является последовательно-
стью Коши. Действительно, если rz, т N, то
о < IK - «Sil = ||— - Л = ||а "|| . H^II < c'2|lam - М.
отсюда и вытекает нужное нам утверждение, так как {ап} является по-
следовательностью Коши. Обозначим класс эквивалентности, содержащий
последовательность {а*}, через Л-1. Тогда
{ал}{а*} = {0__0, 1, 1, 1...},
/V-1
причем разность последовательности Коши в правой части и 1 есть бес-
конечно малая последовательность
О, 0,0...}.
/V-1
Таким образом, AA~l = (1), что доказывает, что F является полем. □
Теперь мы продолжим норму || • || с F_ на F.
Определение 3.2. Для любого А е F положим
||Л||= lim ||ая||,
п—*оо
где {ап} — любая последовательность Коши из Л.
Для того чтобы убедиться в том, что эта норма определена корректно,
мы должны показать, что этот предел существует и не зависит от выбора
последовательности Коши {ап} из Л. Из упражнения 7 имеем
IIIM-Ы|<1|ая-М,
откуда следует, что последовательность действительных чисел {||ал||} яв-
ляется последовательностью Коши относительно абсолютного значения.
18
Так как множество действительных чисел Ж полно, предел, определяющий
норму ||-||, существует. Возьмем другую последовательность {а'п} е А. Из
того же самого неравенства имеем
0^ lim |||an||-Kill lim ||а„ - а^Ц = 0,
п—*оо	п—>оо
отсюда lim ||an|| = lim К||.
п—*оо	л—*оо	_
Предложение 3.3. Функция || • || является нормой на F.
Доказательство. Нужно проверить три свойства из определе-
ния 2.1.
1)	Если А = (б), тогда последовательность {ап} бесконечно мала и
ЦАЦ = 0. Если же А (б), то найдутся такие положительные числа с и
N, что для всех N имеем ||ал|| с > 0. Отсюда ЦАЦ > 0.
2)	По свойствам вещественных пределов
||ЛВ|| = lim КМ= lim ММ = lim ИМ lim ||M = ||Л||||В||.
n—*oo	n—*oo	n—*oo	n—*oo
3)	Аналогично получаем ЦА + ВЦ ЦАЦ + ЦВЦ.	□
Теперь мы можем определить ограниченные и бесконечно малые по-
следовательности, а также последовательности Коши по норме || • Ц в F.
Теорема 3.4. Поле F полно по норме Ц • ||, и F является всюду плот-
ным подмножеством множества F,
Доказательство. Докажем сначала второе утверждение. Пусть
A eF и {ат} — последовательность Коши элементов поля F, представляю-
щая А. Для каждого фиксированного натурального числа п рассмотрим по-
стоянную последовательность ап. Тогда последовательность {ат - ап}^=[
представляет А — (ап). Из того, что {ап} является последовательностью
Коши, получаем
lim ||Л - (ап) || = lim ||аот - М = °-	(3.1)
п—>оо	п,т—>оо
Это доказывает, что множество F всюду плотно в F. Теперь предположим,
что {Ал} = {А 1, Аг, ...} — последовательность Коши элементов поля F, Так
как F всюду плотно в F, для каждого Ап существует такой элемент ап е F,
что
1И„ - (ал)|| <	(3.2)
Тогда последовательность {Ап — (ап)} бесконечно мала и, следовательно,
является последовательностью Коши в F. Имеем
{(^л)} = {^л} ~ {Ап — (йя)},
19
отсюда {(art)}— последовательность Коши в Г, но так как все ее элементы
принадлежат полю F, то и сама последовательность {ап} является после-
довательностью Коши в F. Обозначим класс эквивалентности, содержа-
щий {ап}, через А (в наших обозначениях (ап) е F). Из соотношений (3.1)
и (3.2) следует, что последовательности {Л — (ап)} и {Ап — (ал)} в F бес-
конечно малы, а значит, и их разность
{Л - Ап} = {Л - (ап)} - {Ап - (ап)}
есть бесконечно малая последовательность элементов поля F. Отсюда вы-
текает, что
lim ||Л - Лл|| = О,
п—*оо
но это в точности означает, что Л = lim Ап.	□
п—*оо
Предложение 3.5. Арифметические операции продолжаются с F
на F по непрерывности, т. е. если
А = lim (ап), В = lim (bn),
п—*оо	п—*оо
то
А + В — lim (ап + Ьп), А • В = lim (ап • Ьп).
п—*оо	п—*оо
Доказательство. См. упражнение 16.	□
Упражнения
14.	Докажите, что если {ап} и {Ьп} — последовательности Коши, то
последовательности {ап + Ьп}, {ап - Ьп} и {апЬп} также являются после-
довательностями Коши.
15.	Докажите, что если {ап} ~ {а'п} и {Ьп} ~ {Ь'п}—две пары эквивалент-
ных последовательностей Коши, то {ап ±bn}~{a'n±b'n} и {ап -Ьп}~{а'п • Ь'п}.
16.	Докажите предложение 3.5.
§4. Поле р-адических чисел Qp
Абсолютная величина | • | является основным примером нормы на поле
рациональных чисел Q. Индуцированная ею метрика d(x, у) = \х — у\ — это
обычное евклидово расстояние на числовой прямой, и, как было объяснено
в § 1, результатом пополнения по этой норме является поле действительных
чисел Ж.
Возникает следующий вопрос: действительно ли евклидово расстоя-
ние между рациональными числами является наиболее «естественным»?
Существует ли другой способ описать «близость» между рациональными
числами? Оказывается, что ответ на этот вопрос положительный.
20
Новый способ измерения расстояния между рациональными числами
возникает из следующей «арифметической» конструкции.
Пусть р е N — произвольное простое число. Определим отображе-
ние | • |р на <Q> следующим образом:
=
' 1
< Р°"Ь>Х’
о,
если х / О,
если х = О,
(4.1)
где
.	_ рнаибольшая степень числа р, которая делит х, если х е Z,
ог р х — orc|^ а _ or(j^ если х = а, b Е Z, b / 0.
Замечания. 1. Заметим, что функция |-|р может принимать только
«дискретное» множество значений, а именно {рп, п е Z} U {0}.
2. Если a, b е N, то а = b (mod рп) тогда и только тогда, когда
|а - Ь\р < \/рп.
Предложение 4.1. Отображение |-|р является неархимедовой
нормой на Q.
Доказательство. Свойство 1) из определения 2.1 очевидно, а
свойство 2) следует из равенства
ordp(xp) = ordp(x) + ordp(^).
Проверим свойство 3). Если х = 0 или у = 0, то свойство 3) очевидно,
поэтому предположим, что х, у 0. Пусть х = а/b и у = c/d. Тогда имеем
, ad + be
x + *--~bd~'
ordp(x + y) = ordp(ad + bc) — ordp(W) min(ordp(ad), ordp(&c)) — ordp b -
ordp d = min(ordp a — ordp b, ordp c - ordp d) = min(ordpx, ordp y).
Таким образом,
I* + y\p =	™x(p-°r<4 p-ord^) =
= max(|x|p, |i/|p) |x|p + |i/|p.
Заметим, что попутно мы доказали, что норма |-|р неархимедова. □
Замечания. 1. Позднее мы увидим, что поле Q не полно по норме | • |р.
2. Норма |-|Р| не эквивалентна норме |-|Р2, если р\ и р2 — различ-
ные простые числа (действительно, для последовательности хп = (рх/ръУ1
имеем \хп |Р1 —> 0, но \хп |Р2 —* оо).
Теперь мы готовы определить основной объект этой книги. Зафиксиру-
ем простое число р. Определим <Q>P как пополнение поля Q по р-адической
21
норме |-|р, определенной соотношением (4.1). В соответствии с определе-
нием 3.2, р-адическая норма продолжается на Qp, и (Qp, | • |р) является
полным нормированным полем. Будем называть полем р-адических
чисел. Элементами поля являются классы эквивалентных последова-
тельностей Коши рациональных чисел относительно р-адической нормы.
Ранее было показано, что Q можно отождествить с подполем Qp, состоя-
щим из классов эквивалентности, содержащих постоянные последователь-
ности Коши.
Для произвольного а 6 возьмем последовательность Коши {ап},
представляющую а. Тогда по определению
|а|р = lim |а„|д.
п—*оо
Таким образом, множество значений отображения | • |р на совпадает с
множеством значений отображения | • |р на Q, а именно с {рл, п е Z} U {0}.
Это совсем не похоже на поведение абсолютной величины, которая при
продолжении с Q на К принимает все неотрицательные действительные
значения. Более того, если |а|р /0, то последовательность норм {|ал|р}
должна стабилизироваться, если п достаточно велико!
В каждом классе эквивалентных последовательностей Коши, опреде-
ляющем некоторый элемент поля Qp, содержится единственный канони-
ческий представитель. Для того чтобы его построить, нам потребуется
следующая лемма.
Лемма 4.2. Если х eQu |х|р 1, то для любого i существует та-
кое целое число а е Z, что |а — х\р р~1. Число а можно выбрать при-
надлежащим множеству {0, 1, 2, ..., р1 — 1}, причем из этого мно-
жества оно выбирается единственным образом.
Доказательство. Пусть х — а/b, где а и & взаимно просты (обо-
значается (a, b) = 1). Так как |х|р 1, число р не делит Ь\ следовательно,
Ь и р1 взаимно просты. Поэтому существуют такие целые числа тип, что
mb + пр1 = 1. Положим а = ат. Тогда
|<х - х\р = \ат - а/Ь\р = \a/b\p\mb - 1|р
\mb - 1|р = \пр1\р = \п\р(\/р1)	1/р‘.
Наконец, используя сильное неравенство треугольника, к целому а можно
прибавить число, кратное р‘, чтобы получить целое число между 0 и р',
для которого по-прежнему |а - х\р р“\	□
Теорема 4.3. Каждый класс эквивалентности a eQp, удовлетво-
ряющий неравенству |а|р 1, содержит ровно одну такую после-
довательность Коши {aj, что
1) а, е Z, 0 at < р1 для i = 1, 2, ...
22
2) а/ = az+i (mod pl) для / = 1, 2, ...
Доказательство. Пусть {&,} — последовательность Коши. Мы хо-
тим найти эквивалентную ей последовательность {а/}, удовлетворяющую
условиям 1) и 2). Для каждого / = 1, 2, ... выберем такое натуральное
число N(j), что
\bi - bi'\p для любых z, N(j).
Заметим, что последовательность N(j) можно выбрать строго возрастаю-
щей, поэтому 7V(/) j.
Далее заметим, что \Ь;\Р	1, если i N(l), так как для всех i' N(\)
выполняются неравенства
\bi\p max(|&//|p, \bi - Ьр\р) max(|&Jp, 1/р),
поэтому
\bi'\P |а|р 1 при i' -> оо.
Применяя лемму 4.2, можно найти целые числа а/, 0 aj < pi такие, что
\а/ ~ Ьщр\р *^7-
Покажем, что af = a/+i (mod pi) и (bi) ~ (aj).
Сначала докажем первое утверждение:
la/+i - ai\p = la/+i “	+ Ь/щ+\) - b^ - (aj - bN(j))\p
max(|a/+i - bN(j+v)\p, |&/v(/+i) - bN{j}\p, \aj - bNU)\p)
max(l/py+l, 1/p7, 1/p7) = 1/p7,
поэтому aj = a/+i (mod pi).
Чтобы доказать второе утверждение, возьмем произвольное /; тогда
для / N(j) имеем
|я/ — Ь[\р = |az — aj + aj — btfij) — (bi — &/v(/))|p
^max(|a/-a7|p, |ay-&/v(/)|P, \b-t-^(/)|р)^тах(1/ру, l/py, l/py) = l/p\
Следовательно,
l^z — bi\p -* 0 при i -+ oo.
Теперь докажем единственность. Пусть {а-} — другая последовательность,
удовлетворяющая условиям теоремы, но а-о для некоторого z*o. Тогда
а,0 а'о (mod р£°), так как а/0 и aZl заключены между 0 и р/0. Тогда из
условия 2) следует, что для i > Iq выполняются соотношения
а,- = aio ф а'в = a- (mod р'°),
23
т.е. at ф а\ (mod р'°). Но это в точности означает, что
\ai — аДр > для любого i Iq,
откуда вытекает, что (а,) / (а-).	□
Если а е и |а|р 1, то члены а/ последовательности из предыдущей
теоремы удобно записывать следующим образом:
at = do + d\ р + ... + di-1 pl 1,
где все di являются целыми числами из множества {0, 1, ..., р - 1}. Наше
условие 2) в точности означает, что
tf/+i = do + d\ р + ..• + di- \ pl 1 + di p',
причем «р-адические цифры» от do ДО di-\ являются теми же самыми, что
и для а/. Таким образом, а представляется сходящимся (по р-адической
норме, разумеется) рядом
a = ^dnp\
n—Q
который можно рассматривать как число, записанное по основанию р и
бесконечно продолжающееся влево, или содержащее бесконечно много
р-адических цифр. В дальнейшем мы будем записывать
а = ... dn... d2djdo
и называть эту запись каноническим р-одическим разложением или
канонической формой числа а.
Если |а|р > 1, то мы можем домножить а на некоторую степень числа р
(именно, на рт = |а|р) и получить р-адическое число а' = арт, которое
уже удовлетворяет неравенству |а'|р	1.
Тогда можно записать
а = £ dnpn,	(4.2)
п=—т
причем d-m /0 и bi G {0, 1, 2, ..., р — 1}. Тем самым мы представили
данное р-адическое число а в виде дроби по основанию р, содержащей
бесконечно много р-адических цифр перед запятой и конечное число цифр
после нее:
а = ... dn... d2dido,d—i_d—m\	(4.3)
это представление называется каноническим р-адическим разложени-
ем числа а.
Очевидно, что норма р-адического числа определяется индексом пер-
вого ненулевого коэффициента в его каноническом разложении. Более
24
того, порядок, определенный в начале §4 для рациональных чисел, мож-
но продолжить на все р-адические числа: для числа а из (4.3) имеем
ordp(x) = -m и |а|р = р-°Г(Ш = рт
Замечание 4.4. Единственность представления, которую гарантирует
теорема 4.3, отсутствует в случае представления чисел бесконечными дро-
бями по основанию g, о котором шла речь в § 1, например
1,0000... = 0,9999...
В р-адическом случае не бывает таких исключительных ситуаций. Если
два р-адичес^их разложения сходятся к одному и тому же р-адическому
числу, то они совпадают, т. е. все их цифры совпадают.
Определение 4.5. Целым р-одическим числом, называется такое
число a G Qp, что его каноническое разложение содержит только неотри-
цательные степени числа р.
Множество целых р-адических чисел обозначается Zp:
{°°	1
/=0	)
Легко видеть (упражнение 18), что Zp = {а е |а|р < 1}.
Теорема 4.6. Каждая бесконечная последовательность целых
р-адических чисел содержит сходящуюся подпоследовательность.
Доказательство. Напомним, что подпоследовательность {хП/г}
последовательности {хп} задается такой последовательностью натураль-
ных чисел {rz*}, что пi < П2 < п$ < ...
Пусть {xk} — последовательность элементов Zp. Запишем канониче-
ское разложение каждого члена Xk = ...а^а^а^. Так как цифры а$ могут
принимать только конечное число значений (именно, 0, 1, ..., р — 1), мож-
но найти такое &о € {0, 1, ...» р — 1} и такую бесконечную подпоследова-
тельность {хо*} последовательности {%*}, что первая цифра всех чисел x^k
равна Д)« Точно так же находим Ь\ е {0, 1, ..., р — 1} и подпоследователь-
ность {xik} последовательности {хо*}> ДЛЯ которой две первые цифры всегда
равны Ь\Ьо. Продолжая эту процедуру, мы получим такую последователь-
ность bo, bi, Ьъ, ... и такую последовательность последовательностей
*	оо» *оь *02, • •, *о$, • • •
*	10» *11» *12» • • • » *1$» • • •
*	20» *21» *22» •••» *2$, •••
что каждая последовательность является подпоследовательностью пре-
дыдущей и каждый элемент /г-й строки оканчивается на bn...b\bo. Для
25
каждого / = О, 1, ... имеем
Х/у 6 {Ху_jty, Ху_ij+i,
Таким образом, диагональная последовательность хоо, хц,... является
подпоследовательностью исходной последовательности и, очевидно, схо-
дится К ..	□
Замечание 4.7. Этот результат можно расширить на ограниченные
последовательности (см. упражнение 22). Эта теорема верна и для огра-
ниченных последовательностей действительных чисел. Помните ли вы,
как она доказывается? Попробуйте доказать эту теорему аналогичным
образом для последовательности вещественных чисел 0^хл^1, ис-
пользуя представление чисел хп в виде бесконечных десятичных дробей.
Упражнения
17.	Какова мощность множества Zp? Ответ обоснуйте.
18.	Докажите, что = {а е Qp: |а|р 1}.
19.	Найдите р-адические нормы и р-адические разложения следующих
чисел:
1)	15, -1, -3 в Q5;
2)	6! в Q3;
3)	1/3! в Q3.
20.	Найдите р-адическое разложение числа 1/р. Сделайте то же самое
для числа 1/р*.
21.	Найдите р-адическое разложение числа 1/2, если р — простое
нечетное число.
22.	Докажите, что каждая ограниченная последовательность элементов
поля содержит сходящуюся подпоследовательность.
§5.	Арифметические операции в
Отметим, что р-адическое разложение позволяет нам производить
арифметические операции над элементами поля Qp, подобно тому как
это было в случае Ж. Более того, вскоре мы увидим, что производить
арифметические операции над элементами поля Qp даже легче, чем над
действительными числами! Положим
оо	оо
а= 52 a"Pn' 6 = 12 ЬпрП'
п=—т	п=—т
где ап и Ьп — р-адические цифры, причем а_т 0, но, возможно, одна
или несколько первых цифр Ь-т, Ь-т+{, ... равны 0. Тогда правая часть
26
равенства
a±b = ^2(ап± bn)pn
п=—т
является сходящимся рядом; однако он, вообще говоря, не будет кано-
нической формой (4.2). Приведение к каноническому виду, описанному
в теореме 4.3, соответствует обычной процедуре сложения (или вычитания)
«столбиком», которую надо применить к р-адическим числам, записанным
в виде (4.3), причем здесь, как и в случае десятичных дробей, используется
система переноса в соседний разряд.
Чтобы проиллюстрировать алгоритм сложения, найдем каноническое
р-адическое разложение числа —1 в Qp. Имеем 1 = .. .00001. Пусть чис-
ло а = ... <230201^0 удовлетворяет соотношению 1 + а = 0 (тогда а = -1).
Начиная справа, имеем 1 + а0 = 0, но, так как ао е {0, 1, ..., р — 1}, един-
ственный способ достичь требуемого состоит в том, чтобы найти ао из
соотношения 1 + ао = р, а затем перенести единицу влево. Таким образом
ао = р — 1. Продолжая эту процедуру, мы видим, что все ап равны р - 1,
т. е.
-1 = ...(р - 1)(р - 1)(р -1).
Умножение выполняется похожим образом. Пусть заданы канонические
разложения чисел а и Ь:
оо	оо
а= 52 а"РП’ &= 52 ЬпрП-
п=-т	n--k
Перемножая ряды и приводя подобные члены, получаем
оо
ab= 52 UnPn’
n=—m—k
где
tt-m-k = a—mb—k>
U—m—k+\ = Я—m+1^—fc + Я—fc+1,
Снова этот ряд, вообще говоря, не является канонической формой, но ме-
тод теоремы 4.3 позволяет нам привести его к каноническому виду. Это
соответствует обычной процедуре умножения «столбиком», которую надо
применить к р-адическим числам, записанным в виде (4.3). ’
Чтобы проиллюстрировать деление, предположим, что даны два числа
a, b е причем b 0. Не теряя общности, можно предположить, что
27
b e Zp, b = ...bzb\bo, причем bo 0. Пусть р-адическое число а имеет
вид
а = ...a^aiUQ.a-i ...a_k.
Так как bo / 0 и кольцо вычетов Z/pZ является полем для простого чис-
ла р, всегда можно найти такое C-k 6 {0, 1, ..., р - 1}, что c_kbo = Д-л
(mod р). Продолжая обычную процедуру деления (перенося, если надо, 1
влево), мы получим частное а/b в канонической форме.
Из сказанного выше вытекает, что если а = ...	— целое р-ади-
ческое число, причем ао 0, то обратное по умножению число \/а также
является целым р-адическим! (Хотя это свойство целых р-адических чи-
сел, на первый взгляд, может показаться удивительным, оно оказывается
довольно удобным.)
С другой стороны, из того, что
р • 52Л/= аор + aip2 + ...	1 + Ор + Ор2 4-...,
/=0
следует, что р не имеет обратного по умножению в Zp (разумеется, р имеет
обратный элемент в (упражнение 20)). Похожие рассуждения показы-
вают, что целое р-адическое число, у которого первая цифра ао равна 0,
не имеет обратного по умножению в Zp. Резюмируем вышесказанное в
следующем предложении.
Предложение 5.1. Целое р-адическое число
а — ... а I ао Е Zp
имеет обратное по умножению в тогда и только тогда, когда
ао / 0.
Обозначим группу обратимых элементов кольца Zp через Z*. Тогда
aipl:ao 0 >.
Эта группа также называется группой р-адических единиц. Согласно
упражнению 23
Z* = {х G Zp: |х|р = 1}.
Следующее утверждение немедленно следует из определения р-адической
нормы и упражнения 23.
Предложение 5.2. Пусть х — р-адическое число, имеющее нор-
му р~п. Тогда число х может быть записано в виде произведения
х = рпи, где и е %*.
28
Заметим, что арифметические операции в расширяют обычные опе-
рации над натуральными числами (записанными по основанию р). Знако-
мые нам алгоритмы просто неограниченно продолжаются.
Вот несколько примеров арифметических операций в Q7:
...263 х ...154 = ...455;
...30,2-...56,4 = ...40,5;
...421 :... 153 = ...615.
>	Упражнения
23.	Докажите, что Z* = {х е Zp: |х|р = 1}.
24.	Пусть число а е имеет каноническое р-адическое разложение
• • • ап • • •	1 • • • й-т-
Какое каноническое разложение имеет число —а?
25.	Целые числа 2, 3, 4 обратимы в Z5. Найдите 5-адические разло-
жения обратных к ним. Найдите разложение числа 1/3 в Z7.
26.	Найдите 4 цифры канонических разложений следующих р-адиче-
ских чисел:
1)	... 1246 х ...6003 в q7;
2)	1 :...1323 bQ5;
3)	900 -...312,3 в QH;
27. Найдите р-адическую норму числа (р“)!.
28*. Найдите р-адическую норму числа п\.
§ 6. р-адическое разложение рациональных чисел
Каждое целое рациональное число является также целым р-адическим
числом (просто запишите его в системе по основанию р). Однако целые
р-адические числа есть и среди рациональных дробей! Мы видели, что
оо
-1 = (р -1)^2 р1'
/=0
поэтому
а это число является элементом кольца Zp. Заметим, что р-адическое
разложение этого целого р-адического числа бесконечно! Упражнение 31
содержит необходимое и достаточное условие конечности р-адического
разложения.
29
Следующая теорема показывает, что среди всех канонических р-ади-
ческих разложений можно выделить разложения рациональных чисел точ-
но таким же способом, как мы выделяем разложения рациональных чисел
среди всех десятичных разложений вещественных чисел.
Теорема 6.1. Каноническое р-адическое разложение (4.3) пред-
ставляет рациональное число тогда и только тогда, когда оно с
некоторого момента является периодическим влево.
Доказательство. Предположим, что каноническое р-адическое
разложение, начиная с некоторого момента, является периодическим.
Умножая (если надо) данное р-адическое число х на некоторую степень
числа р и вычитая рациональное число, можно считать, что х G и хо
имеет периодическое разложение вида
X = х0 + Х1Р + х2р2 + ... -hx^-ip*”1 + ХОр* + Х1Р*+1 ...
Число а = Хо + Xi р + х2р2 + ... + Xk-\ pk~} является целым рациональ-
ным, и поэтому х можно представить в виде
а(1 + pk + p2k + ...) = a-j-4_
следовательно, число х является рациональным.
Обратно, предположим, что
l =	’ ezp-
Можно считать, что числа а и b являются целыми взаимно простыми и
что b не делится на р. Запишем р-адическое разложение числа а/Ь:
^=х0 + х{р+х2р2 + ... + ХП-1 рп~1 + ...
и положим Ап =хо 4-xip +х2р2 + ... + xn_iprt-1, 0 Ап < рп — 1. Так
как Ап является целым рациональным числом,
- — Л 4- оп—
b + Р ь,
причем гп — целое число. Тогда гп = (а — АпЬ)/рп и имеет место следующая
оценка:
а-(рп - 1)Ь	а_
рп	п рп *
Если п достаточно велико, то — b гп 0, а это означает, что гп принимает
только конечное число значений. Теперь мы можем записать
х = Ап + pnrf = А„+, + p"+I = Ап + хпрп + pn+1
30
Отсюда вытекает, что гп = хпЬ 4- ргп+\ для всех п. Так как гп принимает
только конечное количество значений, существуют такой индекс т и такое
натуральное число Р, что гт = гт+р\ отсюда
хтЬ + ргт+1 = хт+РЬ + ргт+Р+1,	(6.1)
поэтому
(хт - xm+p)b = p(rm+P+i - rm+1).
Так как (£>, р) = 1, число р делит хт - хт+Р. Но и хт, и хт+р являются
цифрами из множества {0, 1, ..., р — 1}, поэтому хт = хт+р. Если под-
ставить это равенство в (6.1), то мы увидим, что гт+] = гт+р+\. Повторив
вышеизложенное рассуждение, получим, что
гп = гп+Р и хп = хп+Р
Таким образом, не только последовательность цифр хп, но и последова-
тельность числителей гп имеет период длины Р, если п т.	□
Возникает такой вопрос: можно ли по р-адическому разложению ра-
ционального числа определить его знак? Ответ на этот вопрос положи-
тельный, и он дан в упражнении 30.
Упражнения
29. Докажите, что
1) Zp П Q = {a/b е Q: р { Ь},
2) Z* nq = {a/b€Q:p\ab}.
30*. Пусть г 6 Q. Докажите, что существует такое число k 1, что
р-адическое разложение числа rpk может быть представлено в виде
...aaaaab, где фрагменты а и b содержат одинаковое количество цифр.
Докажите, что неравенство г > 0 эквивалентно неравенству b > а в обыч-
ном смысле (как для целых чисел, записанных в системе по основанию р).
31. Докажите, что р-адическое разложение числа а 6 обрывается
(т.е. a-t = 0 для всех /, начиная с некоторого N) тогда и только тогда, когда
а является положительным рациональным числом, знаменатель которого
является степенью числа р.
§7. Лемма Гензеля и сравнения
Попробуем извлечь Уб в Qs; это означает, что мы хотим найти такую
последовательность 5-адических цифр ао, аь аг, ..., 0 С Ъ С 4, что
(ао + х 5 + аг х 52 + ...)2 = 1 + 1 х 5.	(7.1)
Из (7.1) получаем а^ = 1 (mod 5), откуда ао = 1 или 4. Если ао = 1, то
2ai х 5 = 1 х 5 (mod 52) => 2а i = 1 (mod 5) => aj = 3.
31
На следующем шаге имеем
1 + 1 х5 = (1+3х5 + й2х 52)2 =1+1x5+ 2я2 х 52 (mod 53),
откуда следует, что 2^2 = 0 (mod 5) и, таким образом, Я2 = 0.
Итак, мы получаем ряд
а=1+Зх5 + 0х52 + ...,
где все ф, начиная с определены однозначно.
Если мы возьмем ао = 4, то получим решение
-а = 4+1 х5 + 4х52 + 0х53 + ...
С другой стороны, несложно, убедиться в том, что в Q5 существу-
ют числа, из которых невозможно извлечь квадратный корень (например,
2+1x5).
Изложенный выше метод решения уравнений (таких как х2 — 6 = О
в Q5) можно обобщить с помощью очень важного утверждения, которое
называется «леммой Гензеля».
Обобщая замечание 2, предшествующее предложению 4.1, будем гово-
рить, что числа а и b е сравнимы по модулю р", и записывать
a = b (mod рл),
если |а - Ь\р 1/р".
Теорема 7.1 (лемма Гензеля). Пусть F(x) = Со + Cix + ... + спхп —
многочлен с целыми р-адическими коэффициентами. Пусть
F'(x) = с\ + 2с2Х + Зсзх2 + ... + пспхп~}
— производная многочлена F(x). Предположим, что р-адическое
число ао удовлетворяет сравнению F(ao) =0 (mod р), причем F'(ao)
^0 (mod р). Тогда существует единственное целое р-адическое чис-
ло а, такое что F(ao) = 0 и а = ао (mod р).
Доказательство. Доказательство существования числа а состоит
в построении канонического р-адического разложения а = &о + ^1Р +
+ b%p2 + ... по индукции. На k-м шаге индукции, используя р-адиче-
скую модификацию метода Ньютона (см. замечание сразу после этого
доказательства), мы получим /г-е приближение числа а, имеющее вид
Uk = bo + ... + bkPk. Каждое ak будет корнем многочлена F(x) только
«по модулю р*+1» (т.е. Г(а^) = 0 (mod р*+1)). В пределе при k —* 00 мы
получим число а, которое будет «настоящим» корнем многочлена F.
32
Более точно, докажем индукцией по k следующее утверждение:
S(k): существует такое целое р-адическое число вида
ak = b0 + bip + ... + bkpk
(цифры bi лежат в множестве {0, 1, ..., р - 1} для всех I), что
F(ak) = 0 (mod pk+i) и ak = ао (mod р).
База индукции очевидна: возьмем Ьо равным первой р-а ди чес кой цифре
числа ао, тогда получим ао = ао и F(ao) = 0 (mod р).
Теперь вцполним шаг индукции, т.е. докажем, что из S(k — 1) следу-
ет S(k). Для этого положим ak = а^\ + bkpk, где цифра bk (пока неизвест-
ная) удовлетворяет неравенству 0 bk < р. Распишем F(a*), игнорируя
слагаемые, кратные p*+I:
F(ak) = F(a*-i + bkpk) = J2c,(a*_i + bkpk)‘ =
i=0
n
=	4- ia'k2\bkPk + слагаемые, кратные pk+{) =
/=о
= F(ak~\) + bkpkF,(ak-\) (mod pk+x).
Так как по предположению индукции F(ak-\) = 0 (mod pk), выражение для
F(ak) можно переписать в виде
F(ak) = ctkPk + bkPkF'(ak-i) (mod pk+i)
для некоторого целого а* е {0, 1, ..., р — 1}. Таким образом, мы получаем
следующее уравнение для неизвестной цифры Ь^.
а* + bkF'(ak-\) = 0 (mod р),
которое легко решается при условии F'(ak-i) 0 (mod р). Но это условие,
конечно же, выполнено, так как ak~i = ао (mod р), и поэтому
F'(ak_\) = F'(ao) £0 (mod р).
Разделив на F'(afc-i), мы находим требуемую цифру Ь^.
bk = р,7^-\ (mod р),
для которой выполнено сравнение F(ak) = 0 (mod p*+1). Тем самым, шаг
индукции завершен.
Теперь положим
а = Ьо 4- b\p 4- &2Р2 4-...
3* р-адичсский анализ
33
Заметим, что F(a) = 0, так как для всех k имеем
F(a) = F(ak) = 0 (mod pk+i).
Единственность числа а вытекает из единственности последовательно-
сти {a,k}.	□
Замечание 7.2. В методе Ньютона для вещественного случая, если
/ 0, мы выбираем
— &п—\

Поправочный член очень похож на «поправочный член» из доказательства
леммы Гензеля:
ЬпРп = -
а-пРп
F'(an-\)
-^4 wpn+1)-
Однако лемма Гензеля в некотором смысле лучше, чем метод Ньютона в
вещественном случае: в р-адическом случае сходимость к корню много-
члена гарантируется универсальным условием на начальное приближение
ао, причем вид этого условия не зависит от многочлена. В вещественном же
случае метод Ньютона сходится, если начальное приближение достаточно
близко к искомому корню, а это условие зависит от многочлена. Напри-
мер, если /(х) = х3 — х и ао = 1/л/5„ то получится а\ = — 1Д/5, а2 = 1 /\/5
и т.д.
Напомним, что в теореме 4.3 каноническое разложение р-адического
числа получается из последовательности сравнений. Лемма Гензеля под-
тверждает эту связь. Следующая теорема делает связь между р-адически-
ми числами и сравнениями еще более очевидной.
Теорема 7.3. Многочлен с целыми коэффициентами имеет корень
в Ър тогда и только тогда, когда он имеет целочисленный корень
по модулю pk для любого k 1.
Доказательство. Пусть Г(х) — многочлен с целочисленными ко-
эффициентами. Пусть а е является корнем этого многочлена, т.е.
F(a) = 0.	(7.2)
По теореме 4.3 существует такая последовательность целых чисел
{ан а2, ..., ak, ...}, что
a = ak (mod р*) (ak = &о + b\р + Ь2р2 + ... + bk-\pk^[).
Тогда из соотношений F(a^) = F(a) (mod pk) и F(a) = 0 следует, что
F(a*) = 0 (mod р*).	(7.3)
34
Обратно, предположим, что сравнение (7.3) имеет целочисленное ре-
шение ak для любого k 1. Согласно теореме 4.6 последовательность {а*}
содержит сходящуюся подпоследовательность {а^.}, lim = а. Покажем,
i—*оо
что а является решением уравнения (7.2). Действительно, так как много-
член является непрерывной функцией, имеем
F(a) = lim Р(а^)
i—*oo
(здесь мы пользуемся тем, что предел суммы равен сумме пределов и пре-
дел произведения равен произведению пределов, т. е. предложением 3.5).
С другой стороны,
F(aki) = Q (mod pki).
Таким образом, lim F(akt) = 0 и F(a) =0.	□
/ —*ОО
Практическое следствие теоремы 7.3 состоит в следующем. Если мно-
гочлен с целыми коэффициентами не имеет корней по модулю р, то он не
имеет корней и в Zp. Обычно бывает несложно найти корни по модулю р,
если они есть. Если корень по модулю р не является корнем производной
по модулю р, то по лемме Гензеля можно найти корень в Zp.
Второе условие (F'(ao) = 0 (mod р)) теоремы 7.1 существенно (см.
упражнение 32).
Будем называть целое рациональное число а, не делящееся на р, квад-
ратичным вычетом по модулю р, если сравнение
х2 = a (mod р)
имеет решение среди чисел {1, 2, ..., р - 1}. В противном случае а назы-
вается квадратичным невычетом.
Предложение 7.4. Целое рациональное число а, не делящееся на р,
имеет в Zp (р / 2) квадратный корень тогда и только тогда, ко-
гда а является квадратичным вычетом по модулю р.
Доказательство. Пусть Р(х) = х2 — а, тогда Р'(х) = 2х. Если а —
квадратичный вычет, то
а = (mod р)
для некоторого ао е {1, 2, ..., р — 1}. Значит, Р(ао) = 0 (mod р). Но
Р'(а0) = 2а0 0 (mod р),
так как (ао, р) = 1. Следовательно, по лемме Гензеля существует реше-
ние, принадлежащее Zp. Обратно, если а — квадратичный невычет, то по
теореме 7.3 многочлен Р(х) не имеет корней в Zp.	□
Например, %/—Т в Z5 существует, так как число —1 +5 = 4 является
квадратичным вычетом по модулю 5; в то же самое время у/^Т в Z3 не
35
существует, так как число —1 +3 = 2 является квадратичным невычетом
по модулю 3.
Выясните, существует ли у/~р в Zp?
Упражнения
32.	Приведите пример многочлена с целыми коэффициентами, который
имеет корень по модулю 2, но не имеет корней в Z2.
33.	Докажите, что если р ф 2, то р-адическая единица
и = Со + С\Р + С2р2 + ...
является квадратом в Zp тогда и только тогда, когда cq является квадра-
тичным вычетом по модулю р.
34.	Докажите, что уравнение х3 — 1 = О имеет решение а 1 в Z7, и
найдите три первые цифры его канонического разложения.
35.	Докажите, что уравнение х5 — 1 = 0 не имеет решений а / 1 в Q7.
Вы должны объяснить, почему такие корни из 1, если бы они были, должны
были бы лежать в Z7, а не просто в Q7!
§	8. Алгебраические свойства целых р-адических чисел
Мы уже видели, что целые р-адические числа во многом отличаются
от обычных целых чисел из множества Z. Здесь мы увидим, что алгебраи-
ческие свойства чисел из Zp не хуже, а может быть, даже чем-то и лучше,
чем свойства обычных целых чисел. Обычные целые числа образуют ком-
мутативное кольцо, т.е. это множество с двумя бинарными операциями,
которые называются, как и в случае поля, сложением и умножением, при-
чем эти операции удовлетворяют свойствам 1)—6) и 9) из определения
поля (§2). Коммутативное кольцо без делителей нуля называется обла-
стью целостности.
Непустое подмножество / кольца R называется идеалом, если оно яв-
ляется подгруппой в R по сложению и для любых х е / и г е R выполняется
включение г • х е /.
Например, множество mZ всех целых чисел, делящихся на данное чис-
ло т, является идеалом кольца Z.
Идеал называется максимальным, если он не содержится ни в ка-
ком другом собственном идеале. В примере, приведенном выше, идеал mZ
максимален тогда и только тогда, когда т является простым числом.
Идеал / с R называется главным, если / = rR = (г) для некоторого
г е R.
Для кольца R и идеала / с R можно определить фактор R/I как мно-
жество смежных классов с операциями сложения и умножения, которые
36
определяются естественным образом. Если R — коммутативное кольцо с
единицей, то R/1 является полем тогда и только тогда, когда идеал I
максимален. Например, Z/pZ— это поле вычетов по модулю р, кото-
рое является единственным полем из р элементов. Для более подробного
ознакомления см. [3], §3.5.
Предложение 8.1. Кольцо Хр является областью целостности.
Доказательство. Это вытекает из того, что Zp содержится в мно-
жестве Qp, которое является полем и поэтому не содержит делителей
нуля.	□
Пусть Fp	Z/pZ — конечное поле из р элементов. Отображение
а = a't Pl |—> ао (mod р)
z=0
определяет гомоморфизм колец, который называется приведением mod р.
Этот гомоморфизм сюръективен, и его ядро имеет вид
{а е Zp:ao = 0} — У^а/р1 =
p^az+ip' = pZp.
Так как фактор является полем, ядро pZp образует максимальный идеал
в кольце Zp.
Следствие 8.2. Кольцо Хр содержит единственный максимальный
идеал, а именно
р^р — Zp \ Z*.
Доказательство. Пусть / —другой максимальный идеал. Так как
идеал pZp также максимальный, / обязан содержать какой-то элемент а
из его дополнения, a е Z*. Так как / является идеалом, 1 = а • а~[ е / и
тогда / = Zp.
Предложение 8.3. Кольцо Zp является областью главных идеалов.
Более точно, все идеалы кольца Zp главные: {0} и pkZp для всех k е N.
Доказательство. Пусть / / {0} — какой-то идеал BZpHO/ae/ —
элемент, имеющий максимальную норму (такой элемент существует, так
как норма принимает дискретное множество значений). Пусть |а|р = р“*
для некоторого k е N. Тогда а = zpk, где е является р-адической единицей.
Следовательно, pk = e-1a С /, а значит, (pk) = pk%p с /. Наоборот, для
любого Ь е / мы имеем \b\p = p~w p~k. Но тогда мы можем написать
L	_ nk „W — k-f z-
и — p z = p p e G p iLp.
Таким образом, / С рк^р, и, значит, / = p*Zp.
37
В §7 в качестве приложения леммы Гензеля мы рассмотрели существо-
вание квадратных корней в Qp. Другим применением этого утверждения
является вопрос о примитивных корнях из единицы в Qp.
Напомним, что элемент поля С называется корнем степени т из еди-
ницы, если = 1; такой корень называется примитивным, если / 1
для 0 < п < т.
Предложение 8.4. Для любого простого числа р и любого нату-
рального числа т, взаимно простого с р, в существует прими-
тивный корень степени т из единицы тогдсс и только тогда, когда
т\(р — 1). В этом случае каждый корень степени т из единицы яв-
ляется также корнем степени (р — 1). Все корни степени (р — 1)
из единицы образуют циклическую подгруппу в Z* порядка (р — 1).
Доказательство. Пусть т | (р — 1); тогда р — 1 = km для неко-
торого k 1, и, значит, каждый корень степени т из 1 является также и
корнем степени (р — 1). Положим
Дх) = хр_| - 1, f (х) = (р - 1)хр-2.
Возьмем произвольное натуральное число Xq е Z* из отрезка 1 Хо Р - 1 •
Тогда
Дх0) = 0 (mod р) и Д(х0) 0 (mod р),
так как |/'(хо)| = 1. Следовательно, можно применить лемму Гензеля и по-
лучить в точности (р - 1) решение, которые являются корнями из 1 степени
(р — 1). Первые цифры этих корней равны, соответственно, 1, 2, ..., р — 1.
Обратно, еслиаефр — какой-то корень из 1 степени т, ат — 1,то |а|р = 1,
т.е. а е Zp. Пусть первая цифра числа а равна ао. Тогда ag1 = 1 (mod р),
и, значит, т делит р - 1, где р — 1 —порядок группы (Z/pZ)x. Так как
многочлен с коэффициентами в поле не может иметь корней больше, чем
его степень ([3], Lemma 5.3.2), многочлен хр~[ — 1 не может иметь больше
(р — 1) корня, и все его корни являются корнями из 1. Ясно, что корни
из 1 образуют группу по умножению. Наконец, так как конечная подгруппа
мультипликативной группы поля циклическая ([3], Lemma 7.1.6), группа
корней из 1 степени (р — 1) является циклической подгруппой порядка
(P-I)bZ*.	□
Для нахождения корней из единицы степени р лемма Гензеля непри-
менима (почему?), мы вернемся к этому вопросу позже (теорема 18.9).
Корни из единицы степени (р — 1) тесно связаны с так называемой
функцией сигнум sgnp(x), которая определяется в следующей теореме.
Теорема 8.5. Для любого х$Лр существует предел lim хрП. Этот
п—>оо
предел обозначается sgnp(x) и обладает следующими свойствами:
38
a)	sgHp(x) зависит только от первой цифры хо канонического
р-адического разложения числа х;
b)	sgnp(xz/) = sgnp(x) • sgn p(z/);
с)	sgnp(x) = 0, если xq = О, и является корнем из 1 степени (р — 1),
если Xq / О.
Доказательство. Пусть Xq е {1, 2, ..., р — 1}. Сначала мы пока-
жем, что последовательность {xq } сходится. По теореме Эйлера
х*(р } = 1 (mod рп),
где ср — функция Эйлера: для натурального числа т значение <р(/п) равно
количеству чисел, меньших т и взаимно простых с ним. Так как число р —
простое, имеем q(pn) = рп — рп~{. Тогда
х^ ~р = 1 (mod р"), х£ = хор (mod prt),
и, следовательно,
*	пП~ I	1
1Х0 Х0 1р
Так как \/рп —* 0 при п —> оо, последовательность {х^ } является после-
довательностью Коши и, поскольку пространство Zp полно, сходится к
некоторому пределу b,Zp, который мы обозначим
sgnJxo) = lim xfi\ -
к	п—*оо
Очевидно, что этот предел существует для Xq = 0, поэтому функция sgnp(x)
определена для всех Xq е {0, 1, 2, ..., р — 1} и sgnp(0) = 0. Далее мы по-
кажем, что этот предел существует для всех х е Zp и определяется первой
цифрой xq числа х. Для этого нам понадобится следующая лемма.
Лемма 8.6. Пусть х е Zp, причем первая цифра числа х равна xq.
Тогда выполнено неравенство \хр — Xq\p р-1|х — хо|р.
Доказательство. Пусть х = Xq + а, причем |а|р р”1. Тогда
<=(;)<-'«+(?)<2-2+-+(;)«'=
- (х	+ (£)х0'"2« + ...+ (£)«’*')•
Так как | (^)хо 'а*~* |
треугольника, получаем^
р~1 для / > 1, применяя сильное неравенство
\хр-х^\р^р '\х- Х0|д.
□
39
Применяя доказанную лемму, получаем
\хР" - хр"\р Р~'\хр"~' -хр" '|д с р~п\х - Хо|д.
откуда следует, что предел lim хрП существует и равняется lim Xq . Та-
ким образом, мы определили sgnp(x) для всех х е Zp, доказав тем самым
утверждение а). Утверждение Ь) вытекает из свойства пределов:
lim (ху)рП = lim (хрЯ)(урП) = lim хр“ lim ур“.
п—*<х>	п—*оо	П—*ОО п—*оо
Осталось показать, что если xq е {1, 2, ..., р — 1}, то sgnp(xo) является
корнем из 1 степени (р - 1). Используя утверждение Ь) и малую теорему
Ферма (которая является частным случаем теоремы Эйлера при п = р),
получаем
sgn£_|(*o) = sgnp(xp~') = sgnp(l) = 1.
Таким образом, значения функции sgnp(x) являются решениями уравнения
ур — у = 0. Так как Qp — поле, это уравнение не может иметь в Qp, а
значит, и в Zp, больше р решений. Следовательно, значениями функции
сигнум исчерпываются все решения этого уравнения.	□
§ 9. Метрики и нормы на множестве рациональных
чисел. Теорема Островского
Как мы уже видели, на поле Q можно ввести следующие нормы:
во-первых, р-адическую норму | • |р для каждого простого числа р, во-
вторых, обычную абсолютную величину | • | (которая иногда обозначается
| • |оо, удобно считать, что р = оо является бесконечно большим простым
числом). Здесь мы покажем, что на Q не существует других норм и, следо-
вательно, единственно возможными пополнениями поля Q являются поля
Qp для всех простых р и R = Qoo.
Теорема 9.1 (теорема Островского). Всякая нетривиальная нор-
ма || • || на Q эквивалентна норме | • |р для некоторого простого чис-
ла р или р = оо.
Доказательство. Предположим сначала, что норма ||»|| архиме-
дова, т.е. существует такое натуральное число и, что ||и|| > 1, и обозначим
через По минимальное число и, удовлетворяющее этому условию. Тогда
||ио|| = ЛЛЯ некоторого положительного действительного числа а.
Запишем произвольное натуральное число п в системе с основанием по,
т. е. в виде
п = а0 + а^по + а2Ио + ... + asns0,
40
где 0 di < /го, I = О, ... s и as / 0. Тогда
||«|| «£ ||«о|| + ||ai«o|| + ||«2«о11 + ••• + llas«oll =
= НМ + IIM«5 + ||a2||ng“ + • • • + IIMK-
Так как все цифры а/ строго меньше по, имеем (согласно выбору /го)
||az||	1. Следовательно,
ик 1 +п5 + 4‘ + --- + по“^
<(i + «о “ + «о 2“ + • • • + «о ~) «’ (E(i)) -
потому что п Пц. Выражение в скобках является константой, не завися-
щей от /г; обозначим ее С. Таким образом,
||/г|| Спл для всех п = 1, 2, ...
Если применить это же рассуждение к nN вместо /г, то получим
||пЛ'|| CnNa =* ||/г||	\/Сп“.
Зафиксировав п и перейдя к пределу при N —* оо, получим
И|О‘	(9.1)
Докажем теперь обратное неравенство. Сначала заметим, что
/2q+1 > п Пц.
Так как
4S+I)“ = ll«o+‘ll = ll« + «о+‘ - «II 11«11 + 11«о+‘ - «II.
Н«Н Н+1|1 - ll«so+1 - «II > «о+1)а - («о+1 - «)“.
потому что
К+1-«Н^(«о+1-«)а.
как было доказано выше. Таким образом, так как п /г^,
Н«Н > 4S+1)“ - («о+1 - «о)“ = «Г1)а[1 - - i)“] = С'4+1)а > с'п*
для некоторой положительной константы С', не зависящей от п.
41
Как и выше, применим это неравенство к nN. Извлекая корень N-й
степени и переходя к пределу при N оо, получаем
\\п\\ > п*.	(9.2)
Из неравенств (9.1) и (9.2) следует, что ||и|| = пл для всех п 6 N. Приме-
няя свойство 2) из определения нормы, мы видим, что ||х|| = |х|а. Наконец,
предложение 2.6 позволяет нам заключить, что данная норма эквивалентна
абсолютной величине | • |.
Теперь предположим, что норма || • || неархимедова, т.е. ||и||	1 для всех
натуральных чисел и. Так как мы предположили, что норма || • || нетриви-
альна, можно найти число по, которое является минимальным среди всех
натуральных чисел, удовлетворяющих неравенству ||и|| < 1. Заметим, что
это число По обязано быть простым, так как если бы оно было пред-
ставимо в виде по = П\П2, где п1у п% < по, то выполнялось бы равенство
||И1|| = ||И2|| = 1 и поэтому мы получили бы ||ио|| = ИМНМ = 1. Обозна-
чим это простое число по через р.
Покажем, что если п не делится на р, то ||и|| = 1. Разделим п на р с
остатком: п = гр + $, где 0 < s < р. Из минимальности числа р вытекает,
что ||s|| = 1. Мы имеем также ||rp|| < 1, так как ||р|| < 1 (по выбору р) и
||г||	1 (из неархимедовости нормы || • ||). Следовательно,
||Л - *11 < IK
и из предложения 2.11 мы получаем, что ||и|| = ||s|| = 1. Наконец, для дан-
ного п е Z можно записать п = pvn', где р не делит и'. Отсюда
Цп|| = 1К11«'11 = 11рГ
Пусть р = ||р|| < 1. Тогда р = (1/р)а для некоторого положительного дей-
ствительного числа а. Таким образом,
||«|| = |«|“р-
Теперь легко показать (воспользовавшись свойством 2) из определения
нормы), что то же самое соотношение будет выполнено, если вместо п
подставить произвольное ненулевое рациональное число х. Применив
предложение 2.6, получим ||-|| ~ |-|р, чем завершается доказательство
теоремы.	□
Предложение 9.2 (формула произведения). Пусть Qx =Q \ {0}. Тогда
для любого х е Qx выполняется равенство
П Мд = Ь
р^оо
42
где произведение берется по всем простым числам в N, включая
«простое число на бесконечности».
Доказательство. Достаточно доказать эту формулу в случае, ко-
гда х является натуральным числом, для остальных чисел она будет следо-
вать из мультипликативности нормы. Итак, пусть х = р°' • р£2 • • • р%к- Тогда
|х|? = 1, если q / р,, |х|А. = pf для i = 1, ...,k и |х| = р“‘ • р^--- pakk.
Утверждение доказано.	□
Эта формула устанавливает соотношение между нормами на Q. На-
пример, если мы знаем значения всех норм, кроме одной, то эта формула
позволяет нам восстановить значение неизвестной нормы. Это оказывается
очень важным в приложениях к алгебраической геометрии.
Предположим, что мы хотим найти корень многочлена в Q. Очевидно,
что если этот многочлен имеет корни в Q, то он имеет корни в R и во
всех полях Qp. Отсюда можно заключить, что если для некоторого р оо
многочлен не имеет корней в Qp, то этот многочлен не имеет корней и
в Q (здесь «оо-адических» снова означает «вещественный»). Обратное
утверждение представляется более интересным, но верно ли оно? Если
многочлен имеет р-адические корни для всех р, включая оо, то имеет ли он
хотя бы один рациональный корень? Вот простой пример, когда обратное
утверждение верно.
Предложение 9.3. Число х е Q является квадратом в Q тогда и
только тогда, когда оно является квадратом в каждом поле Qp,
р оо.
Доказательство. Для любого х G Qx имеем
X = ± П pord'>W.
р<оо
Если число х является квадратом в R, то оно положительно. В Qp мож-
но написать х = pQr6p^u, где и е Z* (предложение 5.2). Если х является
квадратом в Qp, то порядок ordp(x) должен быть четным и и = и2 для неко-
торой р-адической единицы и е Z*. Если мы перепишем наше исходное
разложение, то увидим, что х является полным квадратом в Q. □
Доказанный результат есть проявление так называемого принципа
«от локального к глобальному», который утверждает, что существова-
ние решений диофантова уравнения в Q (глобальных решений) может быть
установлено путем изучения для каждого р < оо решений в Qp (локальных
решений). К сожалению, этот принцип не является универсальным, хотя
он применим в некоторых важных случаях, например для квадратичных
форм от нескольких переменных (теорема Минковского—Хассе).
43
Упражнения
36.	Два поля F и К называются изоморфными, если существует такое
отображение (р: F —* /С, что
<р(а + Ь) = ср(а) + <р(а • b) = ср(а) • <р(Ь).
1)	Докажите, что поля и R неизоморфны.
2*) Докажите, что если р / q —два простых числа, то поля и
неизоморфны.
37.	Пусть р / 2 — простое число. Обозначим (Q*)2 = {а2: а е Q*}.
Докажите, что факторгруппа Qp/(Q£)2 имеет порядок 4, и укажите пред-
ставителя для каждого смежного класса.
§	10. Отступление: что такое Qg, если число g
не простое?
Для того чтобы еще раз оценить красоту р-адических чисел, давайте
посмотрим, что получится, если вместо простого числа р взять состав-
ное число g. Чтобы воспользоваться для определения нормы |-|g фор-
мулой (4.1), нужно более аккуратно определить ordg(x), если х — рацио-
нальное число. Если х € Z, то ordg(x) определяется, как и в случае про-
стого числа, как максимальная степень числа g, которая делит х. Если же
х = а/b, то определение порядка ord?(x) отличается от случая g = р. Нам
потребуется следующая лемма.
«Лемма 10.1. Пусть х = a/b, a, be N. (a, b) = 1. Тогда существуют
единственное такое целое число и и такая пара целых чисел а' и Ь',
что a/b = gva'/Ь', g { а' и (a', b') = (g, 6') = 1.
Доказательство. Если g{а и (g, b) = 1, то, очевидно, можно по-
ложить v = 0.
Если g | а, обозначим через g9 (<р > 1) максимальную степень чис-
ла g, которая делит а. Положим a' = ag~v и bf = b, тогда g\a' и
(a', b') = (g, b') = 1. Кроме того, имеем
и остается положить v = ср > 0.
Теперь предположим, что gfa и (g, b) > 1. Тогда b можно представить
в виде b = Ь\Ь% (b\, bz > 0), причем все простые сомножители числа Ь\ де-
лят g и (bz, g) = 1. Аналогично g можно представить в виде g = gig2
(gi, g2 >0), так что все простые сомножители числа gj делят bi, но
(g2, b\) = (g2, b) = 1. Существует минимальное натуральное число ф для
44
которого Ь\ | g^ и, значит, b\ | gf. Тогда в правой части равенства
ф ф
ё b btb2
частное g^/bi является целым числом. Таким образом, если положить
a' = ^-g$a и Ь' = &2.
t>i
то получим
^ = g^	(a',b') = (g,b')=l.
и остается положить v = -ф < 0.	□
Теперь если х = а/b, то определим ordg(x) как целое число и из лем-
мы 10.1 и определим соответствующую норму la/b]g = g“u. Однако эта
норма не является' мультипликативной, т. е. не удовлетворяет свойству 2)
из определения 2.1. Например,
|2о1ю = 1°2’ |5о1ю = 1°2, Н° I26'5б1ю = 1тобо11О= 103< 102’ 102'
Но конечно, если g = р является простым числом, то это определение
совпадает с определением 4.1.
Вообще говоря,
l^|g<|a|g|6|g,	(10.1)
поэтому отображение |-|g является не нормой, а так называемой псевдо-
нормой (см. упражнение 38). Тем не менее, функция d(x, у) = |х — y\g
является метрикой, и можно рассмотреть пополнение поля Q по этой мет-
рике. В результате пополнения получается кольцо Qg, которое, если чис-
ло g составное, не является полем (см. упражнение 39).
Следующая теорема принадлежит Гензелю.
Теорема 10.2. Если число g = P\Pz--Pk является произведением
различных простых чисел, то кольцо изоморфно прямой сумме
р-адических полей: = QP1 ф ... ф Q^.
Доказательство. Мы построим соответствующий изоморфизм в
случае g = 10, р\ = 2, р% = 5, но эта конструкция без затруднений пере-
носится на общий случай.
Рассмотрим последовательность Коши рациональных чисел относи-
тельно |- |ю- Она определяет 10-адическое число
(Ю)
А = lim ап,
П—+ОО
45
и из существования 10-адического предела вытекает существование 2-
адического и 5-адического пределов, которые мы обозначим
(2)	(5)
А2 — lim ап, А5 = lim ап
n—*OO	П~>ОО
соответственно. Обратно, очевидно, что из существования пределов А?
и Л5, очевидно, вытекает существование предела Л. Легко видеть, что циф-
ры чисел Л2 и Л5 не зависят от выбора последовательности Коши {ап}, с
помощью которой определялось число Л.
В частности, для Л е Qio существует каноническое разложение
(10.2)
»=-/
Чтобы найти цифры чисел А2 и Ag, запишем
ОО	ОО	оо	оо
а2 = £ с^5")2" = Е c«2"’ = Е ^2")5" = Еdn2n'
n=-f	n=-f	n=-f	n=-f
где коэффициенты cn и dn соответствующих канонических разложений по-
лучаются приведением к каноническому виду (теорема 4.3). Итак, имеем
Л = (Л2, Л5), и из правил сложения, вычитания и умножения g-адических
и р-адических пределов можно получить следующее утверждение: если
В = (Вь В2) —другое 10-адическое число (В2 € Q2 и В5 е Q5), тогда
Л ± В = (Л2 i В2, Л5 ± В5) и АВ = (Л2В2, Л5В5).
Обратно, пусть даны произвольные числа Л2 6 Q2 и Л5 е Q5. Покажем,
что существует единственное такое число Л € Qio, что Л = (Л2, Л5). Для
каждого р = 2, 5 пусть {а^} — такая последовательность рациональных
чисел, что
А» = lim по норме |-|р.
п—*оо
Вообще говоря, последовательность {а^} не обязана сходиться по нор-
ме |-|7, если р / р, и даже может не быть ограниченной по этой норме.
Чтобы преодолеть эту трудность, рассмотрим последовательности
е(2) =	5"	е(5) = 2П
п 2п + 5я * п 2я + 5я ’
Легко видеть, что
lim е[р} = ЪРЯ по норме | • |7, где Ъря =
п—*<х>
( 1, если р = р,
( 0, если р / р.
46
Отсюда вытекает, что существует такая бесконечная подпоследователь-
ность что
(я) /м М„, если р = я,
я [ 0,	если р / q.
Значит,
(Ю)	(Ю)
lim a^2)ej2) = (Л2, 0) и lim a(„5)e(r5) = (0, Л5).
Наконец, замечаем, что последовательность ап =	сходится
к (Л2, Л5) = А.	□
Упражнения
38. Докажите, что если число g составное, то функция |-|g является
псевдонормой, т.е. она удовлетворяет свойствам 1) и 3) из определения 2.1,
а также неравенству (10.1).
39. Докажите, что <Q>io не является полем, предъявив делители нуля.
40*. Рассмотрим следующую последовательность натуральных чисел:
6,	76, 376, 9376, 109376...
1)	Докажите, что эту последовательность можно продолжить одно-
значно таким образом, чтобы получить 10-адическое число а = ... 109376,
удовлетворяющее уравнению а2 = а.
2)	Докажите, что уравнение х2 = х имеет в Zjo четыре корня, а именно
0, 1, а и р.
3)	Цайдите первые 6 цифр числа р.
4)	Докажите, что Z10 « Z5 ® Z2 (прямое произведение групп).
41.	Докажите, что на не существует отношения порядка >, удо-
влетворяющего следующим свойствам:
1)	если х > уу ioz + x>z + y для любого z;
2)	если х > 0 и у > 0, то ху > 0;
3)	если хп > 0 и существует предел lim хп = х, то х 0.
п—>оо
47
Глава 2
Топология пространства Qp
в сравнении с топологией R
§11. Основные топологические свойства
Поле р-адических чисел во многом похоже на поле действительных
чисел: оно является нормированным полем, полным по метрике, порожден-
ной р-адической нормой (теорема 3.4). И поле R, и поле Qp являются
пополнениями пространства Q, оба содержат Q в качестве всюду плот-
ного подмножества и поэтому являются сепарабельными пространствами.
Поле R локально компактно, т. е. каждая точка содержится в некото-
рой компактной окрестности; то же самое, как мы скоро увидим, верно и
для (теорема 11.9).
Сначала рассмотрим R и Qp с точки зрения теории метрических про-
странств. Открытый шар В(а, г) в R — это открытый интервал |х — а| < г.
Открытый шар радиуса г е R+ с центром в точке а € М можно определить
для любого метрического пространства (Л4, d) следующим образом:
В(а, г) = {х е M:d(a, х) < г}.
В пространстве Qp открытыми шарами являются следующие множества:
В(а, г) = {х е Qp: |х - а|р < г},
и, так как р-адическая норма принимает дискретное множество значений
{О, рп\ п е Z}, можно рассматривать только шары радиусов г = рп, п е Z.
Напомним, что подмножество А метрического пространства М называ-
ется открытым, если для любой точки х е А существует шар В (а, г) С А,
содержащий х. Множество А С М называется замкнутым, если его до-
полнение М \ А открыто.
Пусть Q обозначает семейство всех открытых подмножеств простран-
ства М, a TF обозначает семейство всех замкнутых подмножеств простран-
ства М. По определению каждый элемент семейства Т является допол-
нением единственного элемента семейства Q и наоборот. Открытые и за-
мкнутые множества обладают следующими свойствами.
Предложение 11.1. 1) Если С С Q — произвольный набор откры-
тых множеств, то U G принадлежит Q. Если G\, ..., Gn е Q — про-
GEC
извольный конечный набор открытых множеств, то р| Gt принад-
i=\
лежит Q.
2) Если CcF — произвольный набор замкнутых множеств, то
Q F принадлежит Если F\, ..., Fn€F—произвольный конечный
FeC
набор замкнутых множеств, то U Ft принадлежит Т.
/=1
Доказательство мы оставляем читателю (упражнение 42).
Итак, семейство Q замкнуто относительно произвольных объединений и
конечных пересечений, а семейство FF замкнуто относительно произволь-
ных пересечений и конечных объединений. Семейство Q открытых под-
множеств метрического пространства определяет топологию. Понятия
окрестности, йредела, сходимости, непрерывности и т.д. можно определить
в терминах топологии без привлечения метрики. В действительности поня-
тие топологии является более общим и основывается только на свойствах
из предложения 11.1 (еще, конечно, предполагается, что все пространство
и пустое множество открыты). Вообще говоря, топологические простран-
ства могут быть весьма «патологическими» и довольно сильно отличаться
от пространств, в которых топология порождена метрикой.
Если М—топологическое пространство и X С М, то X можно превра-
тить в топологическое пространство, задав на нем индуцированную то-
пологию, объявляя пересечения открытых подмножеств пространства М
с X открытыми множествами в X. В случае метрического пространства
индуцированная топология получается ограничением метрики простран-
ства М на X.
Возвращаясь к р-адическим числам, рассмотрим сферу в Qp:
S(a, г) = {х € Qp: |х - а\р = г}.
Следующий важный результат кажется удивительным.
Предложение 11.2. Сфера S(a, г) является открытым множе-
ством в Qp.
Доказательство. Пусть х е S(a, г), е < г. Покажем, что В(х, е) с
С S(a, г). Пусть у е В(х, е). Тогда |х — у\р < |х — а\р = г и согласно
предложению 2.11 \у - а\р = |х — а\р = г, а это в точности означает, что
у е S(a, г).	□
Этот факт кажется довольно странным, так как в (в частности, в R)
сферы, конечно, не являются открытыми множествами! Давайте посмот-
рим, что следует из этого странного свойства.
Предложение 11.3. Шары в Qp являются одновременно откры-
тыми и замкнутыми множествами.
Доказательство. В любом метрическом пространстве любой шар
В(а, г) является открытым множеством, так как каждая точка х е В(а, г)
содержится в шаре В(а, г), который содержится в В(а, г). Чтобы доказать
4* р-адичсский анализ	49
замкнутость шара В(а, г), покажем, что его дополнение
С = {х 6 Qp:|x - а\р г}
открыто. Но С = S(a, г) U £>, где
D = {х е Qpi |х - а\р > г}.
Множество D открыто (это верно для любого метрического пространства).
В самом деле, пусть у е D. Тогда \у - а\р = г\ > г. Мы утверждаем, что
открытый шар В(у, Г\ - г) целиком лежит в D. Действительно, если бы это
было неверно, то нашлась бы такая точка х 6 В(у, — г) что |х — а\р < г.
Но тогда
Л = \У - а\р = |а - X + X - у\р < |а - х|, + |х - у\р < г + г, - г - гь
что невозможно. Теперь утверждение следует из того, что объединение двух
открытых множеств является открытым.	□
Напомним, что точка х е М называется граничной точкой множества !
А с Л4, если любой открытый шар с центром в точке х содержит как точки, .
принадлежащие, так и точки, не принадлежащие А. Множество А является
замкнутым тогда и только тогда, когда оно содержит все свои граничные
точки. Из этого определения следует, что в сфера S(a, г) не явля-
ется границей открытого шара В(а, г)! Более того, из предложения 11.3
немедленно следует, что В(а, г) не имеет границы вовсе! И конечно, за-
мкнутый шар
В(а, рп) = {х е <QP: |х - а\р рп} =
= {xeQp:\x-a\p< pn+l} = B(a, рп+1) (11.1) i
не является замыканием открытого шара В(а, pn)\	|
Также из соотношения (11.1) следует, что все утверждения, которые мы
доказали для открытых шаров, верны и для замкнутых шаров в Qp. |
Вот еще одно парадоксальное свойство шаров в Qp. Хотя это утвер- *
ждение предлагалось в качестве упражнения 12, для полноты изложения
приведем его доказательство.	f
Предложение 11.4. Если b 6 В(а, г), то В(Ь, г) = В(а, г), иными сло-
вами, каждая точка шара является его центром.
Доказательство. Пусть х € В(Ь, г). По нашему предположению
|а - Ь\р < г, |6 -х\р<г.	!
Применяя сильное неравенство треугольника, получаем
|а - х|р = |(а - b) + (b - х)|р < тах(|а - Ь\р, |6 - х|р) < г,
50	i
следовательно, B(b, г) а В(а, г). Так как условие b е В(а, г) эквивалентно
условию a G В(Ь, г) (оба они записываются в виде |а — Ь\р < г), точно так
же получаем В(а, г) с В(Ь, г), что окончательно доказывает совпадение
этих двух шаров.	□
Вот еще одно свойство шаров в Qp.
Предложение 11.5. Два тара в Qp имеют непустое пересечение
тогда и только тогда, когда один из них содержится в другом, т.е.
В(а, г) П В(Ь, $) / 0 => В(а, г) с B(b, s) или В(а, г) э В(Ь, $).
Доказательство. Предположим, что г s и у е В(а, г) ПВ(Ь, $).
Тогда из предложения 11.4 имеем В(а, г) = В(у, г) и B(b, s) = В(у, $). Но
В(у, г) С В(у, s), откуда следует требуемое включение.	□
Предложение 11.6. Сфера S(a, г) является одновременно откры-
тым и замкнутым множеством.
Доказательство. Мы уже знаем (предложение 11.2), что множе-
ство S(a, г) открыто. Кроме того, множество В(а, г) замкнуто, и, так как
множество В(а, г) открыто, его дополнение {х G Qp: |х — а\р г} замкну-
то. Но сфера S(a, г) является пересечением этих двух замкнутых множеств
и поэтому замкнута. Заметим, что это доказательство замкнутости сферы
работает во всех метрических пространствах.	□
Множество всех шаров в Ж несчетно, так как несчетно множество всех
положительных действительных чисел (теорема Кантора); то же самое вер-
но для множества центров а и для множества радиусов р, поэтому, тем
более, это верно для множества всех шаров В(а, р). Однако для множе-
ства шаров в справедлив совершенно противоположный результат.
Предложение 11.7. Множество всех шаров в Qp счетно.
Доказательство. Запишем центр шара В(а, p~s) в каноническом
виде
оо
а= 52 апР"
п——т
И ПОЛОЖИМ
s
Ло = 52 апрП-
п——т
Ясно, что ао является рациональным числом и |а — ао| < p~s, т.е. ао 6
6 В(а, p~s). Тогда согласно предложению 11.4 мы получаем
В(а0, p~s) = В(а, p“s).
Таким образом, как центры, так и радиусы образуют счетные множества.
Следовательно, множество всех пар (ао, $) счетно, что и доказывает счет-
ность множества всех шаров в Qp.	□
51
В обозначениях § 5 имеем
= В(0, 1) = В(0, р)
и
Z* = S(0, 1) = (1 4- pZp) U (2 4- pZp) U ... U ((р - 1) + pZp).
Схематично это изображено на рисунке для р = 5. Сфера Z£ является
объединением четырех открытых шаров, что находится в полном согласии с
предложением 11.2. Центральный шар представляет собой максимальный
идеал 5Zs в кольце Z5.
Определение 11.8. Множество в метрическом пространстве назы-
вается секвенциально компактным, если каждая бесконечная последо-
вательность точек из К содержит подпоследовательность, сходящуюся к
точке из /С
Согласно теореме Гейне—Бореля для метрических пространств это
условие эквивалентно компактности. (Напомним, что множество на-
52
зывается компактным, если любое открытое покрытие множества К
содержит конечное подпокрытие.)
Как мы уже видели (теорема 4.6), пространство Zp секвенциально ком-
пактно. Таким образом, пространство Zp компактно, и согласно упражне-
нию 22 отсюда следует компактность любого шара в Qp. Мы получаем
следующий результат.
Теорема 11.9. Пространство локально компактно.
Вот еще одно довольно неожиданное утверждение.
Предложение 11.10. Пространство Zp полно.
Доказательство. Так как любая последовательность Коши эле-
ментов пространства Zp содержит подпоследовательность, сходящуюся к
некоторому элементу пространства Zp, который мы обозначим а, и сама
последовательность должна сходиться к тому же элементу а, что и дока-
зывает полноту пространства Zp.	□
Теорема 11.11. Множество N плотно в 71>р.
Доказательство. Пусть х = . ..a^i^o € Для каждого п е N
положим
п
хп = ...Мапап-\ ...ао = '^а1р‘.
'	1=0
Тогда хп 6 N и |х — хп\ < р~п, откуда вытекает требуемое утверждение. □
Определение 11.12. Топологическое пространство X называется
несвязным, если его можно представить в виде объединения двух непере-
секающихся непустых открытых множеств. В противном случае простран-
ство X называется связным.
Подмножество пространства X называется связным, если оно является
связным пространством в индуцированной топологии.
Пространство X называется вполне несвязным, если все его связные
подмножества исчерпываются пустым множеством и одноточечными мно-
жествами {а} (а е X).
Пример 11.13. Любой интервал в R связен, т.е. не может быть пред-
ставлен в виде объединения двух непустых непересекающихся открыто-
замкнутых множеств.
Теорема 11.14. Пространство вполне несвязно.
Доказательство. Для каждого а е и п е N множество
Un(q,) = {х е Qp: |х - а\р р~п} = {х е Qp: |х - а|р < р-п+1}
является открытой и замкнутой окрестностью точки а. Пусть а е А, причем
А {а}. Тогда существует такое п € N, что Un(a) П А =4 А. Таким образом,
А = (Un(a) П Л) U (Q, \ Un(a) Л Л),
53
где множество Un(a) и его дополнение \ Un(a) открыты и непусты;
отсюда следует, что А не может быть связным.	□
Вернемся к мультипликативной группе Q* поля Qp. Мы уже видели
(упражнение 37), что если р / 2, то факторгруппа Q£/(Qp )2 имеет порядок
4 и изоморфна группе Z/2Z ф Z/2Z. Для р = 2 факторгруппа Qg /(Q2 )2
изоморфна группе Z/2Z ф Z/2Z ф Z/2Z ф Z/2Z, причем в качестве мно-
жества представителей можно взять {±1, ±5, ±2, ±10}.
Теорема 11.15. Подгруппа (Q*)2 группы Q* является открытым
подмножеством в Q*.
Доказательство. Напомним, что р-адическое число х 0 явля-
ется квадратом тогда и только тогда, когда х = р2пи2 для некоторых п 6 Z
и и е Z*. Пусть х е (Qp)2 и у € выбраны так, что |х — у\р < р~2п.
Тогда по свойству равнобедренного треугольника (см. предложение 2.11)
имеем |z/|p = |х|р = p~2rt, и, значит, у = p2nv для некоторого v е Z*. Отсю-
да получаем \у — х\р = р-2л|и — а2|р < р~2л, следовательно, |и — а2| < 1.
Последнее неравенство означает, что первые цифры этих двух р-адиче-
ских единиц совпадают. Но тогда из леммы Гензеля следует, что v также
является квадратом в Zp, и поэтому у € (Qp)2.	□
Упражнения
42. Докажите предложение 11.1.
§ 12. Канторово множество
Этот параграф посвящен в основном вопросам вещественного анализа.
Положим
Со = / = [0, 1], Cj = [о, |] U [|, 1],
- [«• §]и [!• з]и [!• 5]и
Множество Сп является объединением 2п отрезков, каждый из которых
имеет длину 3“л. Кроме того, имеют место включения Со D Ci D С2 D ...
Все множества Сп замкнуты, поэтому множество
оо
С := П С„ / 0
л=0
является замкнутым подмножеством единичного отрезка /.
Рассмотрим представление действительных чисел из отрезка 7 = [0, 1]
в виде бесконечных дробей по основанию 3. Заметим, что концевые точки
отрезков, из которых состоит Сл, имеют два таких разложения, например,
2	1
£ = 0,02 = 0,012222..., ± = 0,1 = 0,022222...,
У	о
54
причем одно из них не содержит цифру 1. Выбрав разложения концевых
точек таким образом, чтобы они не содержали единиц, замечаем, что раз-
ложение любой точки из С в троичную дробь содержит только цифры О
и 2, потому что остальные точки из С раскладываются в троичную дробь
единственным образом, причем по построению их разложения не содержат
единиц.
Обратно, каждая точка из /, разложение которой содержит только нули
и двойки, принадлежит пересечению всех множеств Сп: если первая циф-
ра — нуль, то точка принадлежит отрезку [0, 0,02222... если же первая
цифра —двойка, то точка принадлежит отрезку [0,2, 0,2222... ], точно так
же вторая цифра определяет, какому отрезку (левому или правому) из мно-
жества Сг принадлежит наша точка и т.д.
Суммируя сказанное выше, получаем следующий результат
Предложение 12.1. Троичное канторово множество С состоит
из всех точек отрезка /, которые могут быть представлены в виде
троичной дроби с помощью цифр 0 и 2.
Доказательство следующего утверждения иллюстрирует очень важный
метод в элементарной теории бесконечных множеств, так называемый диа-
гональный процесс Кантора.
Предложение 12.2. Канторово множство С несчетно.
Доказательство. Это следует из канторовского диагонального
процесса. Пусть множество С счетно, тогда занумеруем его точки и раз-
ложим их в троичную дробь:
X] = 0,Яцй12 • • •» х2 = 0,6121 #22 • • • >	• • •
Рассмотрим точку с = 0,CiС2..., которая строится следующим образом:
Ci = {0, 2} \ ац, С2 = {0, 2} \ Я22 и т.д. Тогда по предложению 12.1 с при-
надлежит множеству С, но не совпадает ни с одной.точкой (хь хг, ...) из
нашего списка. Итак, мы получили противоречие.	□
Замечание 12.3. В нашей итерационной процедуре построения мно-
жества С на каждом шаге мы выкидываем среднюю треть из каждого
остающегося отрезка. По этой причине С часто называют троичным канто-
ровым множеством. Эту конструкцию можно модифицировать, выбрасы-
вая, скажем, одну четвертую, или одну десятую, или еще какую-то часть
остающихся отрезков. Таким образом можно построить множества с до-
вольно парадоксальными свойствами, см. упражнение 51.
Определение 12.4. Множество называется совершенным, если оно
замкнуто и не содержит изолированных точек.
Предложение 12.5. Канторово множество С совершенно.
55
Доказательство. Пусть х е С и S — произвольный интервал, со-
оо
держащий х. Так как х € П Сп, мы получаем, что х G Сп. Пусть /л —
п=0
отрезок, входящий в Сп, который содержит х. Для достаточно большого п
имеем 1п с S. Пусть хп — концевая точка отрезка /п, причем хп / х. По
построению множества С мы имеем хп € С и хп е S. Таким образом, любой
интервал S, содержащий точку х, содержит и другие точки из С, поэтому
множество С совершенно.	□
Далее мы увидим, что канторово множество является геометрической
моделью множества целых р-адических чисел для любого простого чис-
ла р. Но сначала напомним некоторые определения, связанные с непре-
рывными отображениями метрических пространств.
Определение 12.6. Пусть (X, d) и (У, р)—два метрических простран-
ства. Тогда отображение f:X Y называется
1)	непрерывным, если для каждого открытого подмножества V С Y
его прообраз является открытым множеством в X;
2)	открытым, если для любого открытого множества U С X его образ
f(U) открыт в У;
3)	гомеоморфизмом, если оно непрерывно и биективно, причем об-
ратное отображение также непрерывно;
4)	непрерывным в точке х. если для любой окрестности А точки f(x)
в У ее прообраз содержит окрестность точки х;
5)	равномерно непрерывным, если для каждого е > 0 существует та-
кое 8 > 0, что p(/(*i), /(хг)) < е, если d(x\. хг) < 8.
Теорема 12.7. Множество целых 2-адических чисел Z2 гомео-
морфно канторову множеству С.
Доказательство. Рассмотрим отображение ф:Z2 —* С.
ОО	ОО
<=0	/=0
Покажем, что ф является гомеоморфизмом. Сначала заметим, что из един-
ственности представлений элементов множеств Z2 и С вытекает биектив-
ность отображения ф.
Если |xj — X2I < 1/3^, то числа х\ и Х2 принадлежат одному и тому
же или соседним отрезкам, которые образуются при разбиении отрезка /
на 3N равных частей. Но так как отрезки, образующие С^. не имеют общих
концов, числа Х\ и Х2 лежат в одной и той же компоненте множества С^.
и поэтому их первые N цифр совпадают.
Обратно, если первые N цифр чисел х\. Х2 6 С совпадают, то эти числа
лежат в одной и той же компоненте множества С^, С другой стороны,
первые N цифр 2-адических чисел yi и у% совпадают тогда и только тогда,
56
когда |z/i — Z/2I2 < 1/2^. Из того, что 1 /2/v и 1/3^ стремятся к 0 при N —* оо,
следует, что отображения фиф-1 непрерывны.	□
Следствие 12.8. Канторово множество С вполне несвязно.
Доказательство. Из предложения 11.14 следует, что простран-
ство Z2 вполне несвязно. Поэтому по теореме 12.7 это же верно и
для С.	□
Определение 12.9. Подмножество А СХ называется всюду плотным
в X, если его замыкание А совпадает с X. Подмножество А с X называется
нигде не плотным в X, если множество X \ А всюду плотно в X.
Из следствия 12.8 вытекает, что канторово множество не содержит ни-
какого интервала (для замкнутого множества это эквивалентно свойству
быть нигде не плотным).
Теперь рассмотрим Zp. Существует множество типа канторовского, го-
меоморфное множеству Zp: это множество всех действительных чисел из
отрезка / = [0, 1], разложения которых по основанию 2р — 1 содержат
только четные цифры. Это множество строится при помощи процедуры,
которая похожа на процедуру построения троичного канторова множества.
Чтобы получить Ci, разделим / на 2р — 1 равных частей и удалим каж-
дый второй интервал. Легко видеть, что С\ содержит те и только те точки
из /, которые могут быть записаны в виде дроби по основанию 2р — 1
0,0102, причем 01 четно. Повторяя ту же самую процедуру для каждого
из отрезков, составляющих Сь мы получим замкнутое множество С2, ко-
торое состоит из точек с четными двумя первыми цифрами 01 и 02, и так
оо
далее. Пересечение Ср = Q Сп является множеством типа канторовского,
л=0
которое несчетно и совершенно. Отображение
оо	оо
Ei Фр V 2а,
а‘Р ~Е(2р-1)Ж
/=0	/=0
из Zp в Ср является гомеоморфизмом, что можно доказать примерно так
же, как и теорему 12.7.‘Множество Z5 схематично изображено на с. 52.
Более того, пространства Z2 и Zp для любого простого числа р гомео-
морфны. Чтобы это доказать, достаточно построить гомеоморфизм между
двумя канторовыми множествами Ср и С. Но, как часто бывает в матема-
тике, обобщения делают задачу проще. Поэтому мы докажем более общий
факт (теорему 12.12), а для этого нам понадобятся две леммы.
Лемма 12.10. Пусть А с R — открытое множество. Тогда А яв-
ляется объединением не более чем счетной совокупности попарно
непер ссекающихся интервалов.
Доказательство. Как следует из [9], теорема 2.47, связными ком-
понентами множества А являются интервалы. Затем, как это часто дела-
57
ется в анализе, мы воспользуемся тем, что множество Q всюду плотно в Ж:
каждая связная компонента множества А содержит рациональную точку,
и, так как множество рациональных чисел счетно и компоненты множе-
ства А не пересекаются, множество связных компонент множества А не
более чем счетно.	□
Лемма 12.11. Пусть f : А —* В—монотонное взаимно однозначное
отбражение двух замкнутых подмножеств R. Тогда f — гомеомор-
физм.
Доказательство. Заметим, что f~1 также является биекцией, по-
этому достаточно доказать непрерывность монотонной биекции (которая
обязательно будет строго монотонной). Пусть с е А — предельная точка
множества А. Так как А замкнуто, существует такая монотонная после-
довательность точек из А (ее без потери общности можно считать стро-
го возрастающей), что lim хп =х. Тогда {f(xn)} — строго возрастающая
п—*оо
последовательность точек из множества В такая, что f(xn) < х. Так как
множество В замкнуто lim f(xn) = L 6 В, f(xn) < L и, значит, L Дх).
п—*оо
Если предположить, что L < Дх), то получится, что /-|(А) < х, и значит
найдется такое хп из нашей последовательности, для которого Дхл) > L.
А это противоречит показанному выше. Значит, lim f(xn) = Дх). □
п—>оо
Теорема 12.12. Любое компактное совершенное вполне несвязное
подмножество А с R гомеоморфно канторову множеству С.
Доказательство. Из компактности множества А следует его огра-
ниченность; из того, что А вполне несвязно, можно заключить, что А нигде
не плотно (и поэтому не содержит никакого интервала). Пусть т = inf А
(точная нижняя грань) и М = sup А (точная верхняя грань). Мы построим
такое строго монотонное отображение F: [т, А4] —> [0, 1], что F(A) = С.
Множество [т, М] \ А является объединением не более чем счетной со-
вокупности попарно непересекающихся интервалов, не имеющих общих
концов. Это множество интервалов не может быть конечным, так как А
нигде не плотно. Обозначим это счетное множество интервалов через Т.
Сейчас мы построим биекцию между множеством 1 и множеством ин-
тервалов, которые образуют дополнение канторова множества С до от-
резка [0, 1]. Возьмем один из интервалов, имеющих максимальную длину
(их число конечно); обозначим его через 1\, Определим F на интервале Ц
как возрастающее линейное отображение, образ которого есть интервал
(1/3, 2/3). Рассмотрим интервалы /21 и /22, имеющие максимальные длины
и расположенные соответственно слева и справа от интервала Ц. Отоб-
разим их линейно на интервалы (1/9, 2/9) и (7/9, 8/9) соответственно
и т.д. Продолжая эту процедуру, мы получим строго монотонное взаимно
однозначное отображение [m, Л4] \ А —» [О, 1] \ С. Чтобы в этом убедить-
58
ся, заметим, что максимальные длины интервалов, выбираемых на каждом
шаге, убывают, и, так как для каждого интервала / С [ли, Л4] \ А суще-
ствует только конечное количество интервалов в [т, А4] \ Д, длины ко-
торых превосходят |/|, рано или поздно мы дойдем до любого интервала
из Т. Итак, мы построили биекцию между множеством интервалов Т в
[m, Af] \ А и множеством их образов в [0, 1] \ С при отображении F,
причем эта биекция сохраняет порядок следования интервалов, т.е. интер-
вал А расположен левее интервала В тогда и только тогда, когда интер-
вал F(A) расположен левее интервала F(B). Таким образом, отображение
F: [т, Л4] \ А —> [0, 1] \ С взаимно однозначно. Это отображение по по-
строению строго монотонно на каждом интервале из Z, и если точки хну
(х < у) принадлежат разным интервалам, то F(x) < F(y), так как отображе-
ние F сохраняет порядок следования интервалов. Отображение F можно
продолжить по непрерывности на множество Е концевых точек выкинутых
интервалов. Получившееся отображение снова будет возрастающим. Для
каждой точки а е А рассмотрим множество
La = {х е Е:х < а}
и положим F(a) = sup{/(x); х е La}. Так как а = swp(La) и функция F
монотонно возрастает на ([ги, Л4] \ Л) U Е, отображение F продолжается
на весь отрезок [m, Af] до монотонно возрастающей функции. Ограничи-
вая F на А и применяя лемму 12.11, получаем требуемый гомеоморфизм
между А и С.	□
Следствие 12.13. Пространства Z2 u Zp гомеоморфны.
Вот еще одно замечательное применение результатов, изложенных
выше.
Теорема 12.14. Существует непрерывное отображение единич-
ного отрезка / на единичный квадрат /2.
Доказательство1. Рассмотрим отображение f'.C —* С2, описанное
в упражнении 47. Это отображение является гомеоморфизмом, следова-
тельно, оно непрерывно. Пусть g: С / — композиция гомеоморфизма
между С и Z2 и отображения, описанного в упражнении 45. Отоб-
ражение g также непрерывно. Декартов квадрат этого отображения
g х g: С2 —> /2 является непрерывным сюръективным отображением. Тогда
мы получаем непрерывное отображение (g х g) о f: С —* /2 канторова мно-
жества С на единичный квадрат /2. Так как С С /, это отображение можно
продолжить по линейности на интервалы, которые составляют дополнение
множества С. Полученное отображение отрезка / на квадрат /2 является
искомым.	□
’Эта конструкция принадлежит А. Шиндяпину.
59
Построенное отображение является разновидностью так называемой
кривой Пеано, которая обычно строится путем итераций.
Упражнения
43. Докажите, что отображение непрерывно тогда и только тогда, когда
оно непрерывно в каждой точке.
44. Докажите, что непрерывный образ связного множества связен.
45^ Рассмотрим отображение ср: —* Ж, которое сопоставляет каждо-
му р-адическому числу действительное число, записанное по основанию р,
следующим образом:
.. . 62M(hM-2 М Lb..	• • •
1)	Докажите, что ср является непрерывным отображением на мно-
жество R+ всех неотрицательных действительных чисел.
2)	Докажите, что ср отображает на отрезок [0, 1].
3)	Докажите, что отображение ср не взаимно однозначно.
46.	Рассмотрим отображение /: / —* /2 единичного отрезка / на единич-
ный квадрат /2 = / х /, определенное следующим образом:
(0,Х1 *2*3X4 ...)>-* (0,Х1Хз*5 .. ., 0,Х2Х4Хб ... )
(чтобы определить это отображение корректно, мы запрещаем «хвост»,
состоящий из одних девяток). Докажите, что это отображение не является
непрерывным.
47.	Рассмотрим отображение f:C —* С2 канторова множества С на его
декартов квадрат, определенное следующим образом:
(0,Х1Х2ХзХ4 ...)>-> (0,Х1ХзХ5 . .., 0,*2*4*6 ... ).
Докажите, что f — гомеоморфизм.
48.	Пусть даны два счетных всюду плотных подмножества А и В еди-
ничного интервала (0, 1). Постройте монотонно возрастающее отображе-
ние ф: (0, 1) —* (0, 1), переводящее А в В. Выведите отсюда, что подмно-
жества А и В гомеоморфны.	I
49*. Пусть А = Q О [0, 1] и В = Q П (0, 1). Докажите, что Л и В го- |
меоморфны.
50*. Существует ли непустое совершенное подмножество в R, которое
не содержит рациональных чисел?
51*. Модифицируйте конструкцию канторова множества С таким обра-
зом, чтобы получить множество положительной меры, гомеоморфное мно-
жеству С, т. е. такое подмножество отрезка [0, 1] типа канторова множе-
ства, чтобы сумма длин интервалов его дополнения была строго меньше 1.
60
J
Глава 3
Математический анализ в
§ 13. Последовательности и ряды
В этом параграфе мы рассмотрим основные свойства, связанные со
сходимостью последовательностей и рядов в Qp. Мы уже отмечали основ-
ной результат: является полным метрическим пространством, поэто-
му любая последовательность Коши сходится. Последовательности Коши
можно охарактеризовать следующим образом.
Теорема 13.1. Последовательность {ап} элементов простран-
ства является последовательностью Коши, и, таким образом,
сходится тогда и только тогда, когда
lim |ая+1 - ап\р =0.	(13.1)
п—*оо
Доказательство. Если {ап} — последовательность Коши, то
Jim, \ат - а„|р = 0.
п—>оо
В частности, если положить т = п 4- 1, то получим (13.1). Это верно для
последовательностей Коши в любом метрическом пространстве.
Обратное утверждение в R, конечно, неверно (приведите пример). Од-
нако в ультраметрических пространствах оно верно. В самом деле, пусть
выполнено условие (13.1). Это означает, что для любого е > 0 существует
такое натуральное число N, что для любого п > N выполняется неравен-
ство
~ ап)р < е.
Возьмем любые т > п > N и, применяя к выражению \ат — ап\р сильное
неравенство треугольника, получим
\^т	= \^т Ят—Х “Ь ^т— 1 ат—2 4“ . •.
rnax(|am - am_i |р, |am_1 - а^_2|р, ...» |ая+1 - ап\р) < е,
что и требовалось доказать.	□
оо
Теперь рассмотрим ряд сц в Qp. Будем говорить, что ряд сходится,
/=1
п
если последовательность его частичных сумм Sn = 52 ai сходится в Qp, и
/=1
оо
что ряд сходится абсолютно, если сходится вещественный ряд 52 \ai\p-
/=1
Как и в случае R, из неравенства треугольника следует, что абсолютно
сходящийся ряд сходится.
Предложение 13.2. Если ряд 521а/1р сходится в R, то ряд
сходится в Qp.
Доказательство. Так как ряд 521а/1р сходится, последователь-
ность его частичных сумм является последовательностью Коши, т.е. для
любого е > О существует такое натуральное число N, что для всех п, т,
удовлетворяющих неравенству т> п> N, выполняется неравенство
т
/=«4-1
Применяя неравенство треугольника, получаем
— Srt|p —
12 1а'1р<е.
р /=«4-1
откуда следует, что последовательность {Sn} является последовательно-
стью Коши, и поэтому ряд 52ai сходится в Qp.	□
Как обычно, мы ожидаем, что в дела со сходимостью рядов об-
стоят лучше. И действительно, следующий результат является следствием
теоремы 13.1.
оо
Предложение 13.3. Ряд 52 ап (ап G Qp) сходится в тогда и
«=1
только тогда, когда lim ап = 0; в этом случае
п—*оо
оо
^maxlflnlp.
f	п
«=1	р
Доказательство. Сходимость рассматриваемого ряда эквивалент-
п
на сходимости последовательности его частичных сумм Sn = 52 а/- Но
/=1
ап = Sn+] — Sn. Поэтому из теоремы 13.1 следует, что {ап} стремится к 0
оо
тогда и только тогда, когда ряд 52 ап сходится.
«=1
оо	оо
Теперь предположим, что ряд 52 ап сходится. Если 52 ап = 0, то дока-
Л=1	Л=1
зывать нечего. Если же это не так, то, поскольку ап -»0, из упражнения 52
62
следует, что существует натуральное число N, удовлетворяющее условиям
оо
Л=1 Р
и, следовательно, используя предложение 2.11, получаем
max{lanL; 1 < п < N} = max \апL.
п
Из сильного неравенства треугольника имеем
N
У ап тах{|ал|р; 1 п < N} = max \ап\р
* J	п
п=\ р
что и требовалось доказать.	□
Аналогичное утверждение для R неверно. Наиболее известный при-
мер расходящегося вещественного ряда с общим членом, стремящимся к
нулю, — гармонический ряд Впрочем, существуют и более тонкие
примеры, скажем, jV-) Inn или 22 “•
' п '	р простое Р
оо
Определение 13.4. Ряд 22 ап сходится безусловно, если для любой
л=0
оо
перестановки его членов ап —* а'п ряд $2 ап также сходится.
п=0
Очевидно, что из безусловной сходимости вытекает обычная сходи-
мость. Однако в верно и обратное,
оо
Теорема 13.5. Если ряд 22 ап сходится, то он сходится безуслов-
п=0
но и его сумма не зависит от перестановки членов.
Доказательство. Пусть е > 0 — произвольное положительное
действительное число. Пусть также N — такое натуральное число, что для
всех п> N выполнены неравенства |ал|р < е, \а'п\р < е и
оо	N
<е
п=1	л=1	р
(13.2)
N	N
Положим S = 22	5' = 22 и обозначим через Si и S{ соответственно
Л=1	П=1
сумму всех членов из S, для которых \ап|р > е, и сумму всех членов из S',
для которых |а„|р > е. Ясно, что Si и S{ содержат одни и те же члены,
поэтому Si — S{. Сумма S отличается от суммы Si членами, удовлетворя-
ющими неравенству |ал|р < е, и точно так же S' отличается от S{ членами,
63
удовлетворяющими неравенству |а„|р < е. Таким образом, |S - Si|p < е и
|S' — S{ |р < е, поэтому |S — S'|р < е. Сопоставляя эти результаты с (13.2),
получаем
оо	N
<е
rt=I	rt=I	р
оо
Так как е —> 0 и N —> оо, мы видим, что ряд а!п сходится и
/1=1
оо	оо
/7=1	П=\
что и требовалось доказать.	□
В вещественном случае ситуация совершенно иная. Там перестанов-
ка членов ряда может изменить сумму и даже сделать ряд расходящимся.
Однако перестановки членов ни на что не влияют, если ряд сходится аб-
солютно (по теореме Дирихле; помните ли вы, как она доказывается?).
Теорема 13.5 кажется еще более удивительной, так как следующее утвер-
ждение верно не только в вещественном, но и в р-адическом случае.
оо
Теорема 13.6. В пространстве существует ряд 22 ап, кото-
/1=1
рый сходится, но не сходится абсолютно.
Доказательство. Рассмотрим следующий ряд, составленный из
повторяющихся членов: 1; р повторяется р раз; р2 повторяется р2 раз;
и т.д. Очевидно, что члены этого ряда стремятся к 0, поэтому он сходится.
Однако
оо
52 ia«ip =1 + р • р~1 + р2 • р~2 + • • •=
п=\
что и утверждалось.	□
Следующий результат связан с перестановкой порядка суммирования
в двойных рядах, довольно тонким вопросом в вещественном случае.
Теорема 13.7. Рассмотрим такие р-ад инее кие числа Ь1}, i, j =
= 1,2,..., что для любого е > 0 существует натуральное число
N = /V(e), для которого
max(f, /) > N => \bij\ < е.
Тогда оба ряда
сходятся и их суммы равны.
64
Доказательство. По предложению 13.3 внутренние ряды 22Ъц и
/
сходятся (первый — для всех /, второй — для всех /). Кроме того,
для всех i N имеем
max|&z/|p < е,
и точно так же для всех / N имеем
< е.
р
Отсюда следует сходимость обоих двойных рядов. Чтобы доказать равен-
ство их сумм, напишем
оо / оо	\
цы
/=1 \/=1 /
N / N \ N / оо \
- 52 (52 b‘i 1 - ( 52 b‘i)
i=| \/=l	/	p ,=1 \/=/V+l	/
oo / oo \
+ 52 (52z’</ )
/=/V+l \;=i	/
P
что может выполняться для любого е лишь в том случае, когда суммы
обоих рядов равны.	□
По сути, это еще один вариант результата о перестановках членов в
рядах.
Упражнения
52.	Пусть lim ап = а в Qp. Докажите, что либо lim \ап\р = 0, либо
существует такое натуральное число N, что \ап\р = |а|р для всех N.
53.	Докажите, что последовательность ап = 23” сходится в Q3, и найдите
ее предел.
54	(«гармоническая» последовательность).
1) Покажите, что последовательность 1, 1/2, 1/3, ... не имеет предела
в Qp, но содержит сходящуюся подпоследовательность.
2*) Докажите, что множество {1,1/2,1/3,...} плотно в {xeQp:|x|p>l}.
00
55. Докажите, что 22 п! • п = — 1 в для любого р.
л=1
56. Используя идеи предыдущего упражнения, докажите, что в для
любого простого числа р имеют место равенства
f^n2 • (п+ 1)! = 2;	(«+!)! = 26.
rt=I	л=1
5* р-адичсский анализ
65
§ 14. р-адические степенные ряды
Формальным степенным рядом называется выражение вида
ОО
f(X) = £a„X"(
rt=0
где ап е Qp, а X — переменная. Множество всех степенных рядов от X с
коэффициентами в кольце R обозначается /?ЦХ]], а множество многочленов
через /?[Х].
Для данных х € и f е ЦХД можно рассмотреть соответствующий
оо
числовой ряд Дх), равный £ ап*п- Как мы уже знаем, он сходится тогда
л=о
и только тогда, когда |аях"|р —> 0.
Как и в архимедовом случае (степенные ряды с коэффициентами в Ж
или С), определим «радиус сходимости»
hm sup \ап\р
Напомним, что верхним пределом lim sup последовательности называется
точная верхняя грань (sup) множества ее предельных точек. Таким обра-
зом, в случае 0 < г < оо для любого С > \/г существует только конечное
количество чисел больших С. Следующее утверждение оправдыва-
ет термин «радиус сходимости».
Предложение 14.1. Предположим, что 0 < г < оо. Тогда ряд
оо
л=0
сходится, если \х\р < г, и расходится, если |х|р > г.
Доказательство. Пусть сначала |х|р < г. Положим |х|р = (1 - е)г.
Тогда
\апхп\р = (фя|‘/Т(1 - е)"-
Так как существует только конечное количество таких /г, что |ая|}/я >
> 7-(1/2)ег’ ИМееМ
lim |a„x"|p limf ~	) = lim (  ~ ) =0.
л->оо'	\(1-е/2)г/	л->оо\1—е/2/
Аналогично, если |х|р > г,‘то запишем |х|р = (1 + е)г. Тогда
|««хя|„ = (ф„|'/я)я(1 + е)я.
66
Так как существует только конечное количество таких п, что |ап|/я >
> г + (!/2)ег’ ИМееМ
limsup|а„хп|р > Hm( (1 +	) = lim С/Д/2)	П
п—^оо	+ е/2)Г/	п—*оо \ 1 4-E/Z/
Что происходит на «границе» |х|р = г? В архимедовом случае (R или С)
поведение степенного ряда на границе интервала или круга сходимости
может быть довольно сложным. Например, радиус сходимости обычно-
ОО	хп
го логарифмического степенного ряда 1п(1 + х) = 23("“1)”+1— равен 1.
л=1	п
Если |х| = 1, то при х = -1 ряд расходится, а при х = 1 —сходится (не
абсолютно).
В неархимедовом случае поведение степенного ряда во всех точках
|х|р = г одинаково, потому что ряд сходится тогда и только тогда, ко-
гда |апхл|р —> 0, а это условие зависит только от нормы |х|р, но не от
конкретного значения х.
оо	%п
Рассмотрим тот же самый пример 23("“1),7+1—. Мы имеем
л=1	п
\ап\Р = р°^п и lim |ая|У" = 1
п—*ОО	г
(упражнение 57). Этот ряд сходится при |х|р < 1 и расходится при |х|р > 1.
Если же |х|р = 1, то |апхл|р = pordp п 1, и поэтому для всех таких х ряд
расходится.
Лемма 14.2. Любой ряд f(X) е Zpf[X]j сходится в {х е Qp: |х|р < 1}.
оо
Доказательство. Пусть |х|р < 1 и /(х) = 22 Дл*'1- Так как для
л=0
любого п 0 выполняется неравенство |ал|р 1, имеем |апхл|р |х|" —* О
при п —> оо, откуда и следует сходимость ряда.	□
Пример 14.3. Зафиксируем некоторое а е Положим
оо
fa№ = ^(an)xneZPm
л=0
Здесь
(в) = а(а-1)"п{а ~” + 1) и fa(X):=(l+X)a.
Лемма 14.4. Если а е и 0, то Zp.
Доказательство. Для каждого и 0 рассмотрим
Рп (X) = W-D-.-y-H + l) е Q[%]
67
Как и любой многочлен, Рп определяет непрерывное отображение
—*	Если т, п — натуральные числа, € N, то для a е N имеем
рп(а) = (“) е N.
Таким образом, непрерывная функция Рп отображает N в N. Тогда по
непрерывности она переводит замыкание множества N в замыкание мно-
жества N. Но по теореме 11.11 множество N плотно в Zp; это означает,
что Рп отображает Zp в Zp.	□
Замечание 14.5. Несложно показать непосредственно, что если т е Z,
то ( е Z. Как это сделать?
\п J
Следующий результат очень похож на соответствующее утверждение
из вещественного анализа.
Лемма 14.6. Пусть f(x) = '£апхп, ап е Qp,— р-адический степен-
ной ряд, областью сходимости которого является открытый и за-
мкнутый шар D с Qp. Тогда f:D —* Qp является непрерывной функ-
цией на D.
Доказательство. Мы покажем, что функция f непрерывна в каж-
дой точке х е D, х / 0, а случай х = 0 оставим читателю (упражнение 59).
Пусть |х - х'|р <8, где 8 < |х|р будет выбрано позже. Тогда |х|р = |х'|р
по свойству равнобедренного треугольника. Мы имеем
\f(x) - f(x%> =
оо
]Г(а„хя - апх,П) max \апх" - апх,л\р =
л=0	р
= тах(|ая|р(х - х’)(хп~1 + хп~2хг + ... + х'я-1))|р.
п
Но
|хя-1 + хя-2х' + ... + х,""‘|р max |хя—'х'*-1 |р = |х|я-1.
Таким образом,
|/(х) - /(х')|р тах(|х - х'|р|а„|р|х|я-1) <	тах(|а„|р|х|я).
Так как числа |алхл|р ограничены при п —> оо, получаем |/(х) - f(x')\p < е
для подходящего 8.	□
Предложение 14.7. Радиус сходимости степенного ряда
f(X) = fynxn е QpM
л=0
68
совпадает с радиусом сходимости его производной
оо
Df(X) = ^nanXn-',
п=\
т.е. rf = rDf,
Доказательство. Для любого п е N имеем \п\р 1. Тогда
rDf = limsup|«a„|p/"_1 = lim sup |/гая|/" = limsup |a„|{/n = /7,
n—*00	n—*00	n—*00
что и требовалось доказать.	□
Следующий пример показывает, что поведение степенного ряда на
границе может отличаться от поведения его производной. Степенной ряд
ОО п
f(X) = 22 имеет радиус сходимости, равный 1, и расходится при
п=0
о° п
|х|р = 1, в то время как его производная Df(X) = 22 РпХр -1 сходится
п=1
оо
для |х|р = 1 (так как ряд 22 Рп сходится).
/1=1
Упражнения
57.	Докажите, что lim pordPn/n = 1.
п—*оо
58.	Пусть
оо
/(X) = У,апхп е QpPB
/1=0
— степенной ряд и г = 1/limsup |ал|}/п. Докажите, что если г = 0, то Дх)
сходится тогда и только тогда, когда х = 0, а если г = оо, то Дх) сходится
для всех х е Qp.
оо
59.	Докажите непрерывность степенного ряда Дх) = 22 апХп, имею-
/1=0
щего положительный радиус сходимости, в точке х = 0.
60.	Докажите, что
ordp(n!) =
где Sn — сумма цифр числа п, записанного по основанию р.
§ 15. Некоторые элементарные функции
§ 15.1. р-адический логарифм. Рассмотрим следующий степенной
ряд:
log(l +Х) = §(-1)ЯТ1^.	(15.1)
/1=1
69
Так как все коэффициенты этого ряда являются рациональными числами,
сам ряд принадлежит кольцу Q[[X]]. Как мы уже видели, соответствую-
щий степенной ряд в Qp, который мы будем обозначать lnp (1 4- х), чтобы
не путать с логарифмом по основанию р, и называть р-адический лога-
рифмом, сходится при |х|р < 1. (Мы сохраним обозначение log( 1 + х) для
соответствующего числового степенного ряда в R.)
Аналогично, определим ряд
|пр« = £(-1)л+1^.
П=1
который СХОДИТСЯ при X € В = {х € Zp! |х - 1|р < 1} = 1 + pZp.
Теорема 15.1. р-адический логарифм удовлетворяет основному
свойству
1пр(хр) = 1пр(х) + 1пр(р).
Доказательство. Следующее тождество:
log( 1 + X) + log( 1 + У) - log( 1 + Х + У+ХУ) = 0	(15.2)
выполнено для формальных степенных рядов. Можно проверить непосред-
ственно (разложив в ряды и перегруппировав члены), что все коэффи-
циенты получающегося в результате ряда равны 0. Однако можно это
проверить и по-другому. Заметим, что ряд (15.1) определяет веществен-
ный логарифм, который удовлетворяет соотношению (15.2). Это означает,
что ряд, стоящий в левой части равенства (15.2), обращается в 0 для
всех действительных чисел X и Y из интервала (—1, 1). Поэтому после
приведения подобных членов (которое не влияет на сходимость и сумму
соответствующего вещественного ряда, так как он сходится абсолютно)
левая часть записывается в виде ^сп,тХпУт и все сп,т равны 0. Возьмем
любые а, р е pZp, тогда а + р + ар € pZp и то же самое можно сказать
про
lnp( 1 + а) + 1пр(1 + р) - lnp( 1 + а)(1 + р).
Так как все рассматриваемые ряды сходятся, можно, применяя тео-
рему 13.7, перегруппировать члены и переписать левую часть в виде
22сл^апрт> причем все сп^т равны 0, откуда и вытекает требуемое утвер-
ждение.	□
§ 15.2. р-адическая экспонента. Теперь рассмотрим степенной ряд
~ Xя
ехр(Х) = 527П-.
л=0
70
Соответствующий вещественный степенной ряд сходится всюду. Рассмот-
рим этот степенной ряд в Qp; он называется р-адической экспонентой
и обозначается ехрр(х). Следующая теорема может сначала показаться
странной.
Теорема 15.2. р-адическая экспонента ехрр(х) сходится в кру-
ге Dp = {х е Qp: |х|р < гр}, где гр = р~[^р~[\ и расходится во всех
остальных точках Qp.
Доказательство. Сначала найдем радиус сходимости гр этого сте-
пенного ряда по формуле (14.1). В данном случае ап = 1/п!. Используя
упражнение 60} получаем
Из формулы	*
1
Гр = ---------Г7~
lim sup |«я|/я
(используя то, что гр является степенью числа р) получаем соотношение
ordn г„ = lim inf - ord„ ап = lim inf f—7—=-------------—r
p p	n p	\ n(p - 1)7 p - 1
(последнее равенство выполнено, так как
|im	= -i + Um Ь = -1),
n—*OO \	nJ	n—*<x> П
и тогда гр =	Теперь посмотрим, что будет при |х|р =
т.е. ordp(x) = 1/(р — 1). Можно написать
ord.^x") =	+ Д = Д •
Если п = рт, то Sn = 1 и ог6р(артхрт) = 1/(р — 1), поэтому
lim |a„x"|p /0 для |х|р = р-1/(р_|),
п—►оо
и ряд расходится при |х|р =	□
‘ Замечание 15.3. Если р =2, то радиус сходимости равен 1/2, поэтому
ехр2(х) сходится в 4^2.
Если р > 2, то радиус сходимости равен р~х^р"{\ Однако р-адическая
норма не может принимать такое значение, и так как 1/p <	< 1,
ряд ехрр(х) сходится в pZp.
Предложение 15.4. Если точки х и у принадлежат области схо-
димости Dp р-адической экспоненты, то ехрр(х+р) = ехрр(х) ехрр(р).
71
Доказательство. Так как это верно для формальных степенных ря-
дов, то доказательство аналогично доказательству предложения 15.1. □
Предложение 15.5. Если х е Dp = {|х|р <	то
|ехрр(х) - 1|р < 1,
т.е. ехрр(х) принадлежит области определения функции 1пр(х) и
1пр(ехрр(х)) = х.	(15.3)
Наоборот, если х е Dp, то
|1пр(1 +х)|р < р~~'
и
ехрр(1пр(1 + х)) = 1 + х.	(15.4)
Доказательство. Соотношения (15.3) и (15.4) следуют из соот-
ветствующих соотношений для формальных степенных рядов, поэтому до-
статочно проверить, что все рассматриваемые ряды сходятся.
Если х € Dp, то ряд ехрр(х) сходится и по предложению 13.3
lexPp(x) - 1|р т„ах|^г| •
Используя результат упражнения 60, получаем
1гп I	П J / к	п п
< р Р~х р0Г^Р^ <р Р-1 р Р-1 = 1.
Поэтому |ехрр(х) - 1|р < 1, как и утверждалось.
Чтобы доказать вторую часть, надо оценить ordp(n).
Лемма 15.6. Справедливо равенство огЛр(п)---—Ц-.
Доказательство леммы. Для п = 1 и п = р имеем равенство.
Если 1 < п < р, то ordp(rz) = 0 и имеет место строгое неравенство. Для
р > п имеет место следующая оценка сверху для ordp(/i) (ср. упражне-
ние 57 выше):	, . . . logn ordp(n)	г-5—. ₽	logp
Тогда	п — 1	, / . п — 1 log/1	гч 	г - ordp(rt) >	7 - 7-2-.	(15.5) Р - 1	р	Р - 1 logp
Положим	/(X) = — - Д' р-1 logp'
72
Мы имеем f(p) = 0 и /'(*) > О для х > р. Это означает, что функция f
возрастает, в частности, при п > р имеет место неравенство
п - 1 _ log и > 0.
р - 1 log р
сопоставляя это неравенство с (15.5), получаем требуемое утверждение. □
Пусть снова х е Dp. Тогда
|1пр(1 +х)|р max 1^-1 .
п | п | р
Применяя лемму, получаем
1УП I	П .	1
—	< р~~' ротй"(п} р~^,
/I I р
___I
откуда |1пр( 1 + х)\р < р р-'.	□
Пример 15.7. Пусть р = 2. Тогда —1 е {х € Z2: |х - 112 < 1}» так как
| — 1 — 1|г = 1/2 < 1. Таким образом, 2-адический логарифм 1п2(—1) можно
вычислить с помощью степенного ряда
ln2(-1) = 1п2(1 - 2) = -(2 + у 4- у + ...).
С другой стороны, имеем
О = 1п2(1) = 1п2(-1) + ln2(— 1) = 2 ln2(— 1),
откуда 1п2(—1) = 0. Это означает, что при п —> оо сумма
22	2^
2 + 3
£
п
2
становится все ближе и ближе (по 2-адической норме) к 0, т.е. делится на
сколь угодно большие степени двойки, если п достаточно велико. Более
точно, для каждого М существует такое п, что
Можете ли вы оценить максимальную степень двойки, которая делит
2
22	23
+ ~2 + У + -" +
п
73
§ 16. Можно ли р-адический степенной ряд продол-
жить аналитически?
Предположим, что нам дана функция, заданная степенным рядом в
некотором круге. Можно ли эту функцию «естественным» образом про-
должить на большую область? В вещественном случае ответ утвердитель-
ный: даже несмотря на то, что степенной ряд log(x 4- 1) расходится при
х > 1, существует бесконечно гладкая функция log, определенная для всех
положительных чисел. Способ продолжения в состоит в следующем: мы
выбираем внутри круга сходимости некоторую точку а, находим степенное
разложение нашей функции в этой точке и таким образом продолжаем на-
шу функцию в круг сходимости нового ряда. К сожалению, этот метод в
случае не работает.
Предложение 16.1. Пусть
оо
f(X) = Y,anXn eQpM,	|
л=0	\
и пусть а 6 D, где D — круг сходимости ряда f. Для т^О положим
Ь^ = Х(т)апаП~'П> .	(,6Л)
п=т
g(X) = \^bm(X -а)"1.	(16.2)	'
т=Ь	i
Тогда	|
1)	ряд (16.1) сходится для всех т, поэтому Ьт корректно опре- I
делено для каждого т\
2)	круг сходимости ряда g(X) совпадает с D\
3)	g(X) = /(X) для всех Хе D.
Доказательство.
Так как а е D, для каждого т имеем
< \ап^~т\Р = |а|-т-> О,
потому что ( " ) е Z. Значит ряд f(x) сходится в точке а. Тем самым утвер-
ждение 1) доказано.
Теперь, если X е D, то
оо	оо	I
f(k) = 52an(X-a + a)'’ = ^J2(")a„a''-m(k-a)m.	(16.3) j
л=0	rt=0 т^п	;
74
Последнее разложение очень похоже на частичную сумму ряда g(x), на-
до только поменять порядок суммирования. Чтобы обосновать законность
смены порядка суммирования, покажем, что этот двойной ряд сходится
«равномерно». Сначала сделаем так, чтобы оба индекса принимали бес-
конечное количество значений.
Положим

( □аХ-"(Х - «Г.
.0,
если т п,
если т > п.
Мы хотим показать, что ртл —> 0 равномерно относительно обоих индексов,
т.е. мы хотим найти такое число Л/, что если m>N или n>N, то |ртл |р < е.
Имеет место следующая оценка:
= Юа"аЯ-т(х - а)т| 1«и«я"т(“ - Х)"Ъ-
I \ т /	I р
Можно найти такую точку r\ е D, что г = |ri |р > тах(|а|р, |Х|р). (Возьмем,
например, Г\ = а или r\ = X в зависимости от того, какое из чисел а и X
имеет большую норму.) Тогда по построению |а|" гт, и
|Х - а|""" тах(|а|р, |Х|Р)""" гп~т
по построению и неархимедову свойству нормы; поэтому
1РЛ,т|р |a„a"-"(X - a)"|p^ \an\pr\
причем последнее выражение стремится к 0, когда п —* оо независимо от т,
т.е.
Ve>03MVn> N \$т,п\р<г,
а это половина нужного нам утверждения. Далее, если т> N, то
либо т => п > N => |Pm,n|p < е»
либо п < т => ртл = 0, поэтому |ртл\р = 0 < е.
Теперь мы можем применить теорему 13.7 и поменять порядок суммиро-
вания в соотношении (16.3):
оо	оо оо
к» = ££(")““""(>• - »>" - ЕЕ?”,-» =
л=0 т^.п	n=0 т—0
оо оо	оо оо
= Е Е₽-.» = Е ЕО“’“"‘"<Х -»)" = «и-
т=0 п=0	т=0п=т
75
Мы взяли произвольное X е D и получили, что ряд g сходится в точке X;
поэтому g сходится во всем круге D. Заметим, что f и g участвуют в
этих рассуждениях симметрично, поэтому можно, начав с g, построить /.
Отсюда следует, что ряд f сходится тогда же, когда сходится g, что и
требовалось доказать.	□
Итак, нам не удается продолжить функцию, заданную р-адическим
степенным рядом, так, как это делают в вещественном случае. Возника-
ет вопрос: продолжение какого рода мы хотим получить? В вещественном
случае функция называется аналитической, если она определяется степен-
ным рядом в некоторой окрестности каждой точки своей области опреде-
ления. Рассмотрим функцию, определенную в Zp и равную 1 на pZp и О
на Zp \ pZp = Z*. Так как оба эти множества открыты, наша функция f
может быть записана в виде степенного ряда (константы) в некоторой
окрестности каждой точки из Zp, но эта функция совсем не похожа на
«аналитическую»! Поэтому перед тем как ставить вопрос об аналитиче-
ском продолжении, нужно правильно определить аналитическую функцию.
§ 17. Нули р-адических степенных рядов
В следующей теореме речь идет о функциях /:Zp —> Qp, заданных сте-
оо
пенными рядами f(X) = 22 апХп, которые сходятся для всех х G Zp. Та-
л=0
кие функции характеризуются тем, что соответствующий ряд сходится для
Ир = 1, т.е.
lim ап = 0.
п—*оо
Теорема 17.1 (теорема Штрассмана). Пусть
оо
л=0
— ненулевой степенной ряд (т. е. не все его коэффициенты равны
нулю). Предположим, что lim ап = 0 и тогда ряд f(x) сходится при
п—юо
всех х 6 Zp. Пусть N — натуральное число, которое определяется
следующим образом:
1) |ал?|д = тах|а„|р,
2) \ап\р < \ан\р при п> N. Тогда функция f:Zp —»Qp имеет не более
N нулей.
Замечание 17.2. Так как ап —* 0, норма \ап|р принимает максимальное
значение на конечном множестве индексов п i, п%, nk\ тогда N = где
nk — максимальный из индексов чисел ап, имеющих максимальную норму.
Доказательство теоремы 17.1. Доказательство проводится
индукцией по N.
76
База индукции. При N = 0 наше предположение означает, что |ао|р >
> \ап\р для всех п > 0. Мы хотим доказать, что /(х) не имеет нулей в Zp.
Если
0 = /(х) = aQ + а\Х + а2х2 + ...,
то
|лоIр = ки* + а2х2 + ... | max |апхл|р max \ап\р < \ао\р,
п^\	п^\
и тем самым мы получили противоречие.
Шаг индукции. В явном виде выделим множитель, соответствующий
одному из нулей, и покажем, что частное также является степенным рядом,
для которого число N строго меньше. Предположим, что
\aN\p = тах|ал|р и \ап\ < \aN\p для п > Л/,
п
и пусть Да) = 0 для некоторого а € Zp. Возьмем произвольное число
х € Zp. Тогда
сю	оо п—1
f(x) = f(x) - Да) = ^ап(хп - а") = (х - a.)'^/'^anxian~'~i.
л=1	п=1 /=0
По теореме 13.7 можно поменять порядок суммирования: полагая k =
= п — j — получаем
оо	оо
Дх) = (х - а) ^2 bix' = (х ~ a)gi (*). гДе ь/ = ^2a/+i+k<**•
/=0	*=о
Мы имеем
\bj\p max |а/+1+*|р \aN\p для всех j от 0 до оо,
так как элемент а^ имеет максимальную норму. Далее,
\Ьн-1 |р — \а^ + a/v+ia + c^n+2^ + ♦ • • Ip = \<*н |р,
и если / > /V, то
1*/1р < тах|аж+1|р С max |az|p < Ы-
/? О	у /V i“ 1
Итак, элемент Ь^_\ имеет максимальную норму, а нормы всех последу-
ющих элементов строго меньше. Применяя к функции gi предположение
индукции, получаем, что количество нулей этой функции не превосходит
N — 1, поэтому максимально возможное количество нулей функции f рав-
но /V, а именно, N — 1 нулей функции g\ и а.	□
77
Теорема Штрассмана имеет несколько следствий.
Следствие 17.3. Пусть f(X) = £ апХп — степенной ряд, сходящий-
ся в Zp. Пусть также аь аг, ат — все нули функции f(X) в Zp.
Тогда существует степенной ряд g(x), сходящийся в Zp, но не име-
ющий там нулей и такой, что
Доказательство. Как и при доказательстве теоремы 17.1, можно
написать
КХ) = (Х -ai)gl(X),
причем ряд gi (X) сходится в Zp и имеет там не более т — 1 нулей. Продол-
жая этот процесс, мы выделим все т нулей и получим gm(X) = g(X). □
Следствие 17.4. Пусть f(X) = ^апХп — степенной ряд, сходящий-
ся в pmZp для некоторого meZ. Тогда f(X) имеет в pmZp конечное
число нулей. Это число не превосходит числа N, которое определя-
ется из соотношений
\pmNaN\p = тах\ртпап\р и \ртпап\р < \pmNaN\p дляп>И.
п
Доказательство. Положим g(X) = f(pmX) = ^апртпХп. Так как
ряд f сходится в pmZp, ряд g сходится в Zp. Теперь утверждение вытекает
из теоремы 17.1.	□
оо
Пример 17.5. Пусть f(X) = £ РпХп. Найдем область сходимости f(X)
п=0
и количество нулей. Радиус сходимости вычисляется по формуле (14.1),
где |an|p = \рп\р = р~л; г = р. При |х|р = р имеем
\рПхП\р = \рп\р\х\пр = р~п+п = \,
а это выражение не стремится к 0. Таким образом, ряд сходится при
{Ир < р} = {Ир 1} = ^р-
Последовательность |рл|р = р~п убывает, поэтому элемент р° = 1 имеет
максимальную норму. Непосредственное применения теорему Штрассма-
на, мы получаем, что N = 0, т.е. степенной ряд f(X) не имеет нулей в своей
области сходимости. Конечно, это можно было увидеть и напрямую, так
как в области сходимости имеет место обычная формула суммы бесконеч-
ной геометрической прогрессии и f(X) = (1 — рХ)~{.
Следствие 17.6. Рассмотрим два р-адических степенных ряда
1(Х) = ^пХп, g(X) = ^bnXn,
л>0	л>0
78
сходящихся в pmZp. Если существует бесконечно много таких чисел
а 6 pmZp, что Да) = §(а), то ап = Ьп для всех п^О.
Доказательство. Применим следствие 17.4 к разности f(X) — g(X).
Она имеет бесконечно много нулей в pmZp и поэтому представляется ну-
левым рядом. Таким образом, все коэффициенты рядов f(X) и g(X) равны,
т. е. ап = Ьп для всех п 0.	□
Это свойство аналогично соответствующим свойствам степенных рядов
с вещественными или комплексными коэффициентами.
Следствие 17.7. Пусть степенной ряд f(X)=^ апХп сходится
п^О
в pmZp. ЕсЛи функция f(x) периодическая, т.е. существует та-
кая константа т € pmZp, что f(x + т) = Дх) для всех х е pmZp, то
f(X) = const.
Доказательство. Легко видеть, что функция /(х) — ДО) равна ну-
лю в точках вида ип для всех п G Z. Так как т е pmZp, a pmZp является
идеалом, то пт 6 pmZp. Таким образом, функция Дх) — ДО) имеет бес-
конечно много нулей в pmZp, откуда следует, что ДА) — ДО) = 0, т.е.
ДА) = const.	□
Этот результат неверен в классическом случае, когда функции синус
и косинус являются периодическими и «целыми», т.е. задаются степен-
ными рядами, сходящимися во всех точках. Причиной различия является,
конечно, то обстоятельстве, что в случае Ж или С, если т — период, то
все точки вида пт не могут принадлежать ограниченному интервалу или
кругу.
Следствие 17.8. Пусть ДА) = £ апХп — р-адический степенной
п^О
ряд, который является целым, т.е. сходится при всех х е Qp. Тогда
функция Дх) имеет не более чем счетное множество нулей. Более
того, если множество нулей бесконечно, то оно образует такую
последовательность {zn}, что \zn\p —> оо при п -* оо.
Доказательство. Множество нулей в каждом ограниченном кру-
ге pmZp, т eZ, конечно.	□
Упражнения
61.	Используя теорему Штрассмана, покажите, что при р 2 равенство
1Пр(х) = 0 выполняется тогда и только тогда, когда х = 1. Покажите, что
при р = 2 равенство 1пр(х) = 0 выполняется тогда и только тогда, когда
х = ±1.
62.	Найдите область сходимости и скажите все, что можете, о нулях
следующих р-адических степенных рядов:
1)£р"лАл,
2) £п!Ал.
79
63.	С помощью степенных рядов определите р-адические аналоги си-
нуса и косинуса и найдите их области сходимости. Покажите, что если
р = 1 (mod 4), то существует такое i € Qp, что /2 = — 1 и для всех х из
общей области сходимости выполняется следующее классическое соотно-
шение:
expp(zx) = cosp(x) 4- i sinp(x).
§	18. Дальнейшие свойства р-адических экспонент
и логарифмов
Рассмотрим область сходимости ряда ехрр, которая имеет вид
Dp = {х eZp:|x|p < р~^}.
Как мы уже видели в § 15, если р / 2, то Dp = pZp и £>2 = 4Z2. Отобра-
жения
ewPp.Dp -> 1 + Dp и lnp: 1 + Dp Dp
взаимно обратны (предложение 15.5). Основные свойства экспоненциаль-
ной и логарифмической функций можно сформулировать на языке теории
групп следующим образом.
Предложение 18.1. Функция р-одический логарифм определяет
изоморфизм групп
lnp: 1 + Dp —* Dp,
где 1 + Dp рассматривается как группа по умножению, a Dp — как
группа по сложению', обратным изоморфизмом является отобра-
жение ехрр.
Доказательство. Сначала проверим, что 1 + Dp является муль-
типликативной подгруппой группы Zp. Это вытекает из того, что Dp явля-
ется идеалом в Zp: если х, у G Dp, то х + у + ху eZp и, следовательно,
(1 + х)(1 + у) е 1 + Dp, Оставшаяся часть является прямым следствием
предложения 15.5.	□
Следствие 18.2. Мультипликативная группа 1 +DP не имеет кру-
чения, т.е. не существует такого числа х е 1 + Dp, х / 1, что хт = 1
для некоторого натурального числа т.
Доказательство. Аддитивная группа Dp не имеет кручения, так
как в поле из соотношения ту = 0 следует, что у = 0, откуда и вытекает
требуемое утверждение.	□
Замечания. 1. Первое утверждение означает, что функция 1пр опре-
деляет взаимно однозначное соответствие между группами 1 + Dp и Dp,
причем образ произведения равен сумме образов. В частности, отображе-
ние 1пр инъективно, т.е. не существует двух чисел в 1 4- Dp, у которых
80
значения 1пр были бы равны. Заметим, что 1 + Dp является максималь-
ным кругом, в котором отображение 1пр инъективно. Действительно, для
р / 2 множество 1 + Dp является областью сходимости функции 1пр, по-
этому достаточно рассмотреть случай р = 2. Как мы уже видели (при-
мер 15.7), |—1 — 112 = 1/2, поэтому число —1 лежит в множестве 1 + 2Z2,
являющемся областью определения функции 1п2, но не лежит в множе-
стве 1 4- £>2 = 1 + 4Z2, являющемся областью определения функции ехр2.
С другой стороны, 1пг( 1) = 1п2(—1) = 0, поэтому, как только мы покидаем
1 + £>2, инъективность пропадает.
2. Этот изоморфизм аналогичен тому, который имеет место в веще-
ственном случае, когда log и ехр определяют взаимно обратные изоморфиз-
мы между группой положительных действительных чисел по умножению и
группой всех действительных чисел по сложению.
Но оказывается, и это особенно интересно, что экспонента является
изометрией! Чтобы это доказать, нам понадобится следующее предложе-
ние.
Предложение 18.3. Для любого х G Dp имеют место следующие
соотношения'.
О |ехрд(х)|д = 1;
2) |1пр(1 + х)|р = |х|р;
3) Ц -ехрд(х)|р = |х|р.
Доказательство. Для любого натурального числа п 1 имеем
Sn 1 (сумма р-адических цифр числа п). Тогда
С другой стороны, ordp(rz) ordp(rz!). Пусть гр = р р~х —радиус кру-
га Dp. Тогда
I«Ip > Hip Р~~х = rn~l
при п 2 и 0 < |х|р < гр.
Свойство равнобедренного треугольника (предложение 2.11) можно пе-
реформулировать следующим образом:
lalp > \b 1р => |л + Ь\р = |а|р (побеждает сильнейший!)
Можно написать
ехРр(х)= 1 +х +
п=2
6* р-адический анализ
81
Так как
имеем |ехрр(х)|р = 1. Аналогично получаем
|1пр(1 +х)|р = |х|р и |1 - ехр,(х)|р = |х|р,
что и требовалось доказать.	□
Замечание 18.4. Попутно мы получили более короткое доказательство
оценок из предложения 15.5.
Следствие 18.5. Отображения
ехрр: Dp 1 + Dp и 1пр: 1 + Dp Dp
являются изометриями.
Доказательство. Пусть х, у € Dp. Тогда
1ехРр(х) - ехрр(х/)|р = |ехрд(1/)|р|ехрр(х - у) - 1|р =
= |ехрр(х - I/) - 1|р = |х - у\р,
откуда следует изометричность экспоненты. Так как ехрр(1пр(1 + х)) =
= 1 + х, имеем
11Пр(1 + X) - 1Пр(1 + у)\р = 1(1 + х) - (1 + у)\р = |х - i/|p,
откуда следует изометричность логарифма.	□
В завершение этого параграфа покажем, что ехрр(х) и 1пр(х) удовле-
творяют тем же самым дифференциальным уравнениям, что и их веще-
ственные аналоги:
ехРр(х) = ехрд(х) и ln'p(x) = i
в соответствующих областях сходимости.
Сначала напомним определение производной (в контексте р-адичес-
кого анализа).
Определение 18.6. Пусть X с Qp, а 6 X — предельная точка множе-
ства X. Функция f:X —>	называется дифференцируемой в точке а,
если существует производная f'(a) функции f в точке а, равная
х-*а х — а
Функция f:X —> Qp называется дифференцируемой на множестве X,
если f'(a) существует в каждой точке а е X.
82
Заметим, что определение производной имеет смысл, так как яв-
ляется нормированным полем. Производная обладает следующими стан-
дартными свойствами.
1.	Хорошо известные правила дифференцирования суммы, произведе-
ния, частного и композиции переносятся без каких-либо затруднений.
п
2.	Как следствие, производная многочлена Р(х) = 22 aix' равна Р'(х) =
/=о
= 22
/=1
3.	Рациональные функции (частное двух многочленов) дифференциру-
емы.
4.	Дифференцируемые функции непрерывны.
Мы уже доказали (см. предложение 14.7), что если f(X) = 22 апХп—
n=Q
оо
степенной ряд, то его формальная производная Df(X} = 22 пап%п~[ имеет
п=\
тот же самый радиус сходимости, что и сам ряд. Как и в вещественном
или комплексном случае, формальный степенной ряд Df(X) представляет
производную /'(*) в области сходимости.
Предложение 18.7. Рассмотрим степенной ряд
оо
f(X) =	е QpQXB,
rt=0
оо	_,
и предположим, что ряд f(x) = апхп сходится в открытом шаре
л=0
U с Qp. Тогда функция f(x) дифференцируема в U и для всех х е U
выполняется равенство
оо
f\x) = У^папхп~х.
/1=1
Более того, функция f(x) имеет в U производные всех порядков, ко-
торые раскладываются в ряды следующим образом:
fw(x) = Л!^(”^о„хя-*.
n=k
Коэффициенты исходного степенного ряда можно вычислить по
следующим формулам:
Теперь мы можем вычислить производные функций ехрр и 1пр с помо-
щью разложений в степенные ряды.
83
Предложение 18.8. 1. Функция ехрр дифференцируема в Dp и
exp'p(x) = ехрр(лг).
2. Функция 1пр дифференцируема в 1 4- pZp и
lnpW =
Доказательство. Действительно,
п=1	п=1
Аналогично
ОО	_ |	оо
1п>)=В~1)я+1”х~п ' =	- ir* =
п=\	rt=I
как и утверждалось.	□
Теперь с помощью р-адических логарифмов определим, какие прими-
тивные корни из единицы степени р можно извлечь в Zp.
Теорема 18.9. Примитивные корни из единицы степени рп не при-
надлежат Qp, за исключением случая р =2, а п = 1.
Доказательство. Пусть р /2 и хрП = 1. Тогда |х|р = 1, т.е. х 6 Zp,
и первая цифра xq числа х удовлетворяет сравнению Xq = 1 (mod р). Од-
нако порядок каждого элемента мультипликативной группы (Z/pZ)x дол-
жен делить порядок самой группы, т.е. число (р - 1). Отсюда следует, что
Xq = 1 и х е 1 + pZp. Из инъективности функции 1пр (предложение 18.1)
следует, что единственным корнем уравнения 1пр(х) = 0 является х = 1.
Так как хрП = 1, получаем
0 = 1пр(1) = 1пр(хрЯ) = рп 1пр(х), значит, 1пр(х) = 0,
откуда х = 1.
Однако в случае р = 2 имеем 1п2(—1) = 1п2( 1) = 0 (см. пример 15.7), и
аналогичные рассуждения показывают, что, хотя х = — 1 является нетриви-
альным квадратным корнем из 1 в Q2, в Q2 не существует нетривиальных
корней из единицы степени 2Л при п > 1.	□
84
Глава 4
р-адические функции
§ 19. «Локально постоянные функции
В заключительной части наших лекций мы изучим р-адические функ-
ции р-адического переменного. Напомним определение 12.6 для случая
X = ZP, Y = Qp, если два последних пространства снабжены р-адической
метрикой.
Определение 19.1. Функция f:Zp —* Qp называется непрерывной в
точке а е Zp, если для любого е > 0 существует такое 8 > 0, что для
любого х е Zp, удовлетворяющего неравенству |х — а\р < 8, выполнено
неравенство |/(х) - f(a)\p < е.
Функция f: Zp —> Qp называется непрерывной, если она непрерывна в
каждой точке а е Zp.
Функция f:Zp —* Qp называется равномерно непрерывной, если для
любого е > 0 существует такое 8 > 0, что для любых х, у е Zp, удовлетво-
ряющих неравенству |х - у\р < 8, выполнено неравенство |/(х) — f(y)\p < 8.
Пример 19.2. Так как пространство Zp вполне несвязно, характери-
стическая функция любого шара U € Zp, имеющая вид
( 1, если х € (/,
(0, если х е Zp \ (/
непрерывна. Это очевидно, так как сам шар U и его дополнение Zp \ U
являются открытыми множествами.
Это понятие можно обобщить следующим образом.
Определение 19.3. Функция /: Zp —> Qp называется локально посто-
янной, если для каждого х 6 Zp существует такая окрестность Ux Э х
(например, шар с центром в точке х радиуса р~т для некоторого т е N,
{у е Zpi |х — у\р < р~т}), что функция f постоянна в Ux.
Замечание 19.4. Локально постоянными функциями на R или на ин-
тервале (или на любом связном пространстве) являются константы и толь-
ко они.
Предложение 19.5. Локально постоянные функции непрерывны.
Доказательство. Очевидно из определения.	□
Следующее утверждение вытекает из компактности пространства Zp
(теорема 4.6).
Предложение 19.6. Пусть f\Zp—>typ—локально постоянная
функция. Тогда ftp можно представить в виде конечного объедине-
ния
k
Zp = и UXi
i=\
таких попарно непересекающихся шаров, что функция f постоянна
в каждом из этих шаров. В частности, множество {f(x):x е Zp} всех
значений функции f состоит из конечного числа элементов.
Доказательство. Рассмотрим множество всех шаров Ux из опре-
деления локально постоянной функции. Все такие шары образуют откры-
тое покрытие пространства Zp. Так как пространство Zp компактно, это
покрытие содержит конечное подпокрытие (УХ|, ..., UXk. Напомним, что
два шара в ультраметрическом пространстве либо не пересекаются, либо
один содержится в другом, поэтому, если удалить шары, содержащиеся в
других шарах, получится покрытие пространства Zp попарно не пересека-
ющимися шарами.	□
Следствие 19.7. Любая локально постоянная функция, опреде-
ленная на Zp, равномерно непрерывна.
Доказательство. Пусть p~mi —радиус шара UXi, i = 1, 2, ..., k,
и т = тахт/. Покажем, что 8 = р~т является искомым для любого е > 0.
I
В самом деле, пусть \х — у\р < р~т. Так как х е UXi для некоторого i и
каждая точка шара является его центром, можно считать, что х = X/. Тогда
|х< - у\р < Р~т Р~т‘, т.е. f(y) = f(xi) = f(x).	□
Множество Zp содержит подмножество N натуральных чисел и под-
множество Z целых чисел, которые плотны в Zp (теорема 11.11), поэтому
иногда мы будем рассматривать функции из N в Qp, из Z в Qp и, вообще,
из Е —> Qp, где Е С Zp.
Определение 19.8. Пусть Е — подмножество пространства Zp, не обя-
зательно компактное. Функция f:E —* Qp называется кусочно постоян-
ной на Е, если существует такое натуральное число t, что
Дх) = Дхо) для всех таких х, Хо е Е, что |х — хо|р
Наименьшее целое число t, для которого выполнено это условие, называ-
ется порядком функции f.
Из определения ясно, что кусочно постоянная функция равномер-
но непрерывна и локально постоянна на Е.
Для каждого натурального числа t построим разбиение множества Е
следующим образом. Положим N/ = {0, 1, 2, ..., р* - 1}. Для каждого
х е Zp напишем каноническое разложение
X = Х0 + Xi р + . . . + Х/_]	+ ...
86
и положим
Nx = *о + Xip + ... + Х/-1р‘ *.	(19.1)
Тогда Nx G N/ и
|x - Nx\p Р~*.	(19.2)
Для каждого N G N/ положим
E(X) = E Л U(N, t), где U(N, t) = {x G Z„: |x - N\p p~‘ < p~‘+'}.
Мы уже видели, что каждое число х G Zp принадлежит некоторому ша-
ру U(N, t), и, так как для любых N, М G выполнено неравенство
|/V — М\р > р~‘, шары U(N, t) попарно не пересекаются. Таким образом,
получаем разбиение множества Е:
p’-i
Е = U E(N).	(19.3)
л/=о
Теперь мы можем доказать следующую довольно неожиданную теорему.
Теорема 19.9. Любая кусочно постоянная функция на N или Хр
является периодической.
Доказательство. Пусть Е — N или Zp, и пусть f:E —* — ку-
сочно постоянная функция порядка t. Рассмотрим описанное выше раз-
биение (19.3) множества Е, Если х, у е E(N), то, применяя сильное нера-
венство треугольника, имеем |х — у\р = |(х - N) + (N — у)\р р_/, следо-
вательно, Дх) = f(y). Заметим, что если х е E(N), то х + р1 € E(N). Таким
образом,
Дх + /?) = Дх) для всех х е Е,
т. е. функция f является периодической.	□
В вещественном анализе есть теорема, которая утверждает, что всякая
функция, непрерывная на отрезке, может быть равномерно приближена с
любой точностью кусочно постоянной функцией. Аналогичный результат
имеет место и для р-адических функций. Здесь даже есть дополнительное
преимущество: в р-адическом случае кусочно постоянные функции непре-
рывны.
Теорема 19.10. Пусть Е = N или %р. Функция f:E равномерно
непрерывна на Е тогда и только тогда, когда для каждого нату-
рального числа s существуют такое натуральное число t = t(s) и
такая кусочно постоянная функция S:E —*<Q>P порядка не выше t,
что
| Дх) - S(x)|p p~s для любого х е Е.	(19.4)
87
Доказательство. Предположим, что функции f и S удовлетворяют
неравенству (19.4). Если хо удовлетворяет неравенству
к - хо1р р~^
то
S(x) = S(x0), |f(x) - S(x)|„ O~s. Ift*o) - S(x0)|p p~s,
и тогда
|f(x) - /(Хо)|р = l(ftx) - S(x)) - (Дхо) - S(x0)|p S? P~s,
откуда следует равномерная непрерывность функции f.
Обратно, предположим, что функция f равномерно непрерывна на Е.
Тогда для любого натурального числа s существует такое натуральное чис-
ло t = /($), что
|/(х) - /(х0)|р p~s, если х, х0 G Е и |х - х0|р р-/.	(19.5)
Определим функцию S: Е следующим образом:
S(x) = f(Nx), если х е Е,
где число Nx определяется соотношением (19.1). Тогда S является кусочно
постоянной функцией порядка не выше t. Из неравенств (19.2) и (19.5)
имеем
|/(х) - S(x)\p = |/(х) - Ж)1р < Р~\
что и требовалось доказать.	□
Упражнения
В первых трех задачах предполагается, что число х является элементом
кольца и записано в каноническом виде
х = х0 + Xi р + х2р2 + ...,
где коэффициенты хп являются р-адическими цифрами 0, 1, 2, ..., р - 1.
64.	Определите, являются ли следующие функции равномерно непре-
рывными на N или непрерывными на Zp:
1)	Дх) = х0 + xix2;
2)	/(х) = Р(х0, Xj, х3), где Р— многочлен с коэффициентами в Zp;
3)	й = [';
[ х/хо, если хо 0 0.
88
65.	Являются ли какие-то функции из упражнения 64 локально посто-
янными или кусочно постоянными? Ответ обоснуйте.
сю	оо
66.	Какие из следующих двух функций /(х) = 52 хп\ Кх) = 52 х"п'
л=0	л=0
непрерывны? локально постоянны на N?
67.	Пусть функция /: Zp —>	определяется следующим образом:
с f 0, если х = 0,
К*) = < . /. |	, _
( 1/|х|р, если х / 0.
Является ли функция f непрерывной? локально постоянной на Zp?
§20. Непрерывные и равномерно непрерывные
функции
Пусть F С Zp и Хо G Е — предельная точка множества Е. Перечислим
некоторые свойства функций, непрерывных на Е.
Теорема 20.1. Пусть f:E —>Qp, g:E —
1) Функция f непрерывна в точке xq е Е тогда и только тогда,
когда для любой такой последовательности {хл}, что lim хп = Хо,
п—*оо
выполняется равенство
lim Дх„) = f(x0).
п—*оо
2) Если функции fug непрерывны в точке xq е Е, то функции
f + g, f — g и fg также непрерывны в этой точке. Если, кроме того,
g(x0) / 0, то функция f/g также непрерывна в точке xq.
Доказательство, точно такое же, как и в вещественном случае, мы
оставляем читателю. Теперь приведем несколько примеров разрывных
функций.
Пример 20.2. Пусть функция f: N —> Qp определяется следующей фор-
мулой:
Дх) = ——,
х - с
где с е Zp. Если с £ N, то знаменатель не обращается в нуль на N и по
теореме 20.1 функция f непрерывна на N (но не равномерно непрерыв-
на— можете ли вы это доказать?). Однако функция f не ограничена на N.
Действительно, так как с является целым р-адическим числом, существу-
ют такие натуральные числа х, что норма |х — с|р сколь угодно мала, и
поэтому норма | f(x)\p сколь угодно велика. Если с е N, то функция / раз-
рывна в точке с.
89
/2(х) = {
Пример 20.3. Следующие примеры используют специфику р-адиче-
ских чисел и, на первый взгляд, не похожи на примеры из вещественного
анализа. Однако, оказывается, вещественные аналоги у этих примеров
все-таки есть. Мы вернемся к этому вопросу в §21. Рассмотрим такую
бесконечно малую последовательность целых р-адических чисел {ап}, что
ап / 0 для всех п. По этой последовательности построим две функции
f\\%p —> и	—> Qp следующим образом:
{ах, если х е N,
0, если х £ N (но х е Zp),
ах, если х € N,
1, если х N (но х 6 Zp).
Обе функции /1 и /2 разрывны в точках из N. Чтобы в этом убедиться,
возьмем произвольное число х G N, тогда lim (х 4- рп) = х и
п—>оо
lim /i(x + рп) = lim ах+рп = 0,
п—*оо	п—*оо
так как вторая последовательность является подпоследовательностью бес-
конечно малой последовательности. Однако Д(х) = ах / 0, и аналогичное
утверждение верно для /2-
Докажем, что функция Д непрерывна во всех точках х Е Zp \ N. В са-
мом деле, возьмем любую последовательность хп —* х, и пусть {хГп} —
подпоследовательность, содержащаяся в N. Тогда аХгп —* 0, как подпосле-
довательность бесконечно малой последовательности, и, следовательно,
/i(xrt)->0.
Функция /2 разрывна во всех точках множества Zp. Действительно,
если х е Zp \ N, возьмем такую последовательность {хл}, состоящую из
натуральных чисел, что хп —> х. Тогда /г(^л) —> 0, но /2W = 1/0.
Так как множество Zp компактно, имеет место следующая теорема
(ср. [9], теорема 4.19).
Теорема 20.4. Каждая функция f:Zp —*Qp, непрерывная на Zp,
равномерно непрерывна и ограничена.
Докажем теперь следующую важную теорему. Мы воспользуемся ею в
случае Е = N (тогда замыкание Е совпадает с Zp).
Теорема 20.5. Пусть Е — подмножество множества %ру а Е —
его замыкание. Пусть функция f:E —> Qp равномерно непрерывна
на Е. Тогда существует единственная функция F:E—*QP, равно-
мерно непрерывная и ограниченная на Е и такая, что
F(x) = f(x), если х е Е.
90
Доказательство. Пусть X 6 Е. Тогда в Е существует такая после-
довательность {хп}, что
хп -* X при п -* оо.	(20.1)
(Представляет интерес только случай X & £.) Так как функция f равно-
мерно непрерывна на Е, для любого натурального числа s существует
другое натуральное число t = /($), для которого выполняется неравен-
ство (19.5). Согласно соотношению (20.1) существует такое натуральное
число N = N(t), что
k \хп-Х\р^р~*
Тогда для n, N имеем
\%т ~ %nlp = 1(Хт ~ X) — (хп — Х)|р р
и из (19.5) получаем
- f(xn)\p p~s.
Это означает, что {f(xn)} — р-адическая последовательность Коши. Пусть
Е = lim f(xn) — ее предел.
Легко видеть, что этот предел не зависит от выбора последовательности
хп —* X. Действительно, пусть {%'}—другая последовательность и х' —* X.
Тогда последовательность {хп — х'} бесконечно мала и, так как функция f
равномерно непрерывна, последовательность {/(хп) - Дх')} также беско-
нечно мала; но отсюда следует, что
L= lim f(x'n).
П—+ОО
Таким образом, функция F:E Qp, заданная формулой
F(X) = lim f(xn)
П—*ОО
при X e Ё и X = lim хп, хп е Е, определена корректно.
п—*оо	_
Покажем, что_функция F равномерно непрерывна на Е. Пусть пара
точек X и Хо из Е удовлетворяет неравенству |Х — %о|р p“z. Выберем
в Е точки х и Хо так, чтобы выполнялись неравенства
к - Х|р	ко - М Р~‘,
\f(x) - F(X)\P < p~s, \f(x0) - Г(Х0)|Р p~s.
Тогда
к ~ хо|Р = |(х - X) + (X - Хо) - (хо - Хо)|р р~*,
и из (19.5) имеем |Дх) — /(хо)|р p~s. Таким образом,
|F(X) - F(Xo)|p = | - (/(х) - F(X)) + (f(x) - Дхо)) + (/(x0) - F(X0))|, p~s,
тем самым, равномерная непрерывность F на Ё доказана.
91
Докажем, наконец, что функция F ограничена на Е. Действительно,
в противном случае нашлась бы такая бесконечная последовательность
{%„} С Ё, что
lim |F(X„)|P =оо.	(20.2)
п—*оо
Так как Е, а значит, и Е, являются подмножествами компактного мно-
жества Zp, найдется такая подпоследовательность {ХГп}, что существует
предел
Хо = lim ХГп.
П—+ОО
Поскольку все члены этой подпоследовательности принадлежат Е, а мно-
жество Ё замкнуто, Хо € £. Как мы уже знаем, функция F равномерно
непрерывна на Ё, а значит, и непрерывна в точке Хо. Отсюда получаем
lim Е(ХГ) = Е(Х0),
п—>оо
что противоречит условию (20.2).
Чтобы доказать единственность функции Е, предположим, что суще-
ствует другая функция Е* с теми же свойствами. Тогда разность F — F*
равномерно непрерывна_на Е и тождественно равна нулю на Е. Так как
множество Е плотно в Ё, jo непрерывности функция F — F* также тож-
дественно равна нулю на Е.	□
§21. Точки разрыва и теорема Бэра о категории
Функция /1 из примера 20.3 имеет близкий аналог в вещественном
анализе, это так называемая функция Римана r:R —> R, которая опре-
деляется следующим образом:
{\/q, если число х рациональное, х = p/q, (р, q) = 1,
О, если число х иррациональное.
Эта функция непрерывна во всех иррациональных точках и разрывна во
всех рациональных. Функция /2 из примера 20.3 также имеет действитель-
ный аналог (см. упражнение 68) — функцию, разрывную во всех точках
множества R. Другим примером функции, разрывной во всех точках мно-
жества R, является характеристическая множества рациональных чисел
или функция Дирихле.
( 1, если число х рациональное,
Yq(x) = < Л
[О, если число х иррациональное.
Возникает естественный вопрос: существует ли вещественная функ-
ция, разрывная во всех иррациональных точках и непрерывная во всех
92
рациональных? Аналогичный вопрос: существует ли р-адическая функ-
ция, разрывная во всех точках из Zp \ N и непрерывная во всех точках
из N? Ответ на оба эти вопроса отрицательный. Причина этого — тео-
рема Бэра о категории, которая верна для любого полного метрического
пространства.
Пусть (X, р) — метрическое пространство. Пусть Q обозначает семей-
ство всех открытых подмножеств множества X, а Т обозначает семейство
всех замкнутых подмножеств множества X. По определению (см. §11)
каждый элемент из Т является дополнением единственного элемента из Q
и наоборот. Цапомним, что множество Q замкнуто по отношению к любым
объединениям и конечным пересечениям, а множество Т замкнуто относи-
тельно любых пересечений и конечных объединений (предложение 11.1).
Легко построить примеры, в которых счетное пересечение открытых мно-
жеств не является открытым и счетное пересечение замкнутых множеств
не замкнуто. Однако такие множества настолько важны в анализе, что им
даны специальные названия.
Определение 21.1. Множество А С X называется множеством ти-
па Q§, если его можно представить в виде счетного пересечения открытых
множеств; множество А с X называется множеством типа если его
можно представить в виде счетного объединения замкнутых множеств.
Теорема 21.2. Пусть (X, р) и (У, d) — два метрических простран-
ства и f:X -* У—любое отображение. Тогда множество всех точек,
в которых отображение f непрерывно, является множеством ти-
па Gt.
Доказательство. Пусть А с X. Определим колебание функции f
на множестве А как элемент расширенного множества действительных
чисел R U оо, заданный следующим образом:
<д(Л) = sup{d(/(x), ft//)):x, у е А}.
Для xq е X определим колебание функции f в точке xq, полагая
<о(хо) = Нт <о(В(хо, 8)).
8—>0
Лемма 21.3. Пусть f:X —> У и е > 0. Тогда множество
Ге = {хеХ:со(х)<е}
открыто.
Доказательство леммы 21.3. Пусть xq е We. Пусть <о(хо) < е.
Это означает, что существует такое 8 > 0, что для любых х, у 6 B(xq, 8)
выполнено неравенство d(f(x), f(y)) < ei < е. Пусть z 6 B(xq, 8/2). Если
z\, гч e B(z, 8/2), to z\, z<i e B(xq, 8) и поэтому
^(/(20, f(z2))<ei.
93
Отсюда следует, что <o(B(z, 8/2)) Oi < е. Но тогда <o(z) <е и множе-
ство Wz открыто.	□
Чтобы завершить доказательство теоремы, заметим, что
оо
{х:ы(х) = 0} = р| Wi/n,
П=1
поэтому (см. упражнение 72) множество всех точек непрерывности отоб-
ражения f имеет тип Q^.	□
Следствие 21.4. Множество точек разрыва любой функции
f.X —* Y имеет тип
Доказательство. См. упражнение 71.	□
Теорема 21.5 (теорема Бэра о категории). Пусть (X, р) — полное
оо
метрическое пространство, и пусть S = |J Sn, причем все множе-
Л=1
ства Sn нигде не плотны в X. Тогда множество X \ S всюду плотно
в X. В частности, множество X нельзя представить в виде счет-
ного объединения нигде не плотных множеств.
Доказательство. Пусть Во — непустой шар в X. Чтобы доказать,
что мнжество X \ S всюду плотно, покажем, что X \ S П Во 0. Построим
по индукции такую последовательность вложенных шаров Вп = Вл(хл, гп),
что гп < 1 /п и	_____ __________
С Вп \ S/i+i.
Чтобы убедится в том, что это возможно, заметим, что Вп \ Sn+\ / 0, так
как множество Sn+i, а значит, и множество S„+i нигде не плотны. Тогда
возьмем какую-нибудь точку хп+\ € Вп\ Sn+\. Поскольку множество Srt+i
замкнуто, имеем
dist(x„+i, Srt+i) > О,
поэтому можно выбрать требуемый шар Вп+\. Последовательность {хп}
является последовательностью Коши, так как для любых п, т > N вы-
полняется неравенство
2
р(хл, хт) р(хл, xN) + p(xN, хт) < —.
Так как пространство X полно, существует такая точка х, что хп —> х. Но
для всех п точка хл+1 принадлежит Вп+\, поэтому
оо
х е р| ~Вп С Во Л (X \ S),
п=1
что и требовалось доказать.	□
94
Теперь мы готовы доказать следующую теорему.
Теорема 21.6. Не существует функции /:R —> К, непрерывной во
всех рациональных точках и разрывной во всех иррациональных
точках.
Доказательство. Согласно следствию 21.4, достаточно доказать,
что множество всех иррациональных чисел не является множеством ти-
оо
па Предположим обратное: пусть R \ Q = |J Fn, причем все множе-
rt=l
ства Fn замкнуты. Тогда каждое множество Fn нигде не плотно, так как в
противном случае нашелся бы интервал, в котором Fn было бы плотно, а
это невозможно, поскольку, будучи замкнутым множеством, Fn содержало
бы этот интервал, что противоречит тому, что R \ Q не содержит никакого
интервала.
Далее заметим, что множество Q имеет тип 7^, так как оно является
объединением счетного числа точек, которые, конечно же, являются за-
мкнутыми множествами. Таким образом, мы представили множество R,
которое является полным метрическим пространством, в виде счетного
объединения нигде не плотных множеств, что противоречит теореме Бэра
о категории.	□
Упражнение 73 содержит р-адический аналог этого утверждения.
Упражнения
68. Постройте функцию /: R -* R, которая напоминает функцию /г из
примера 20.3, и докажите, что она разрывна в каждой точке.
69. Пусть X — метрическое пространство. Докажите, что
1) если множество F замкнуто, то оно имеет тип
2) если множество G открыто, то оно имеет тип
70.	Постройте множество, которое принадлежит О но не является
ни открытым, ни замкнутым.
71.	Докажите, что если множество А имеет тип 7^, то его дополнение
X \ А имеет тип G& и наоборот.
72.	Докажите, что функция f непрерывна в точке х$ тогда и только
тогда, когда <о(%о) = 0.
73.	Докажите, что не существует функции f:Zp —> Qp, которая была
бы непрерывна во всех точках из N, но разрывна во всех точках из \ N.
§ 22. Дифференцируемость р-адических функций
Теорема Лагранжа о среднем значении является краеугольным камнем
дифференциального исчисления. Она утверждает, что для каждой пары
точек х у из области определения дифференцируемой функции f суще-
95
ствует такая точка £, лежащая между точками к и у, что
f(y) - f(x) = f'^y - х).	(22.1)
Таким образом, если Д(х) = 0 для всех х, то из равенства (22.1) следует,
что f(x) = f(y).
Для р-адических функций это неверно: существуют непостоянные
функции, производные которых тождественно равны нулю, поэтому тео-
рему о среднем значении вряд ли можно распространить на р-адический
случай, даже если убрать из формулировки слово «между», которое не
имеет смысла для р-адических чисел. Следующий пример показывает, что
происходит в р-адическом случае.
Пример 22.1. Пусть Е с — подмножество без изолированных то-
чек, и пусть f — локально постоянная функция на Е. Тогда для каждого
а € Е существует такое е > 0, что если х е Е удовлетворяет неравенству
|х — а\р < е, то Дх) = f(a). Таким образом,
Дх)-Да)	п ।	।
= 0, если а - х L < е,
х - а	\
поэтому функция f дифференцируема на Е и ff{a) = 0 для всех а е Е\
Из этого примера видно, что существует достаточно широкий класс
непостоянных функций, производные которых равны нулю. Этот результат
противоположен не только результатам вещественного анализа, но и свой-
ствам аналитических функций, т.е. функций, которые задаются степенными
оо
рядами. Действительно, пусть Дх) = £ х е R, и Е — область схо-
л=0
димости этого степенного ряда. Тогда если функция Д тождественно равна
нулю, то все ее производные также тождественно равны нулю и по предло-
жению 18.7 все коэффициенты ak степенного ряда равны нулю при k 1,
поэтому Дх) = ао, т.е. функция является константой.
Как мы уже видели, множество функций {/:ZP -* Qp: ff = 0}, также
называемых псевдоконстантами, содержит локально постоянные функ-
ции. Следующий пример опровергает естественное предположение о том,
что все псевдоконстанты являются локально постоянными.
Пример 22.2. Существует инъективная (и, таким образом, не локально
постоянная) функция /: Zp —> Zp, производная которой тождественно равна
нулю,
оо
Доказательство. Пусть х = ^2 апРп е Zp; положим
п=0
оо
f(x) = ^2a»P2n-
п=0
96
Тогда если числа
х = ^Г,апрп е 1Р и у = ^2,bnpn е Zp
л=0	л=0
удовлетворяют неравенству |х — у\р = р~! для некоторого j = 0, 1,2,...,
то
ао = &о, ai=&i, •••» ap-i-fy-i, aj^bj
и поэтому | Дх) — f(y)\p = р-2/. Таким образом, имеем
* 1/00 - Ку)\р = \х- у\2р для всех х, у е Zp.
Отсюда мы заключаем, что функция f инъективна (из равенства Дх) = f(y)
следует, что х = у) и
|~ ~цУ)| = Iх - У\р “* 0 при^->х,
I X — у \р
т. е. ff = 0 тождественно.	□
Этот пример приводит нас к определению условия Гёльдера для функ-
ций.
Определение 22.3. Пусть Е С Zp и а > 0. Функция f: Zp —* удовле-
творяет условию Гёльдера порядка а, если существует такая константа
М > 0, что для всех х, у е Е имеет место неравенство
|/(х) - f(y)\p < м\х - у\*.
Функция из примера 22.2 удовлетворяет условию Гёльдера порядка 2.
Заметим, что если функция удовлетворяет условию Гёльдера порядка
больше 1, то Д = 0, поэтому в вещественном случае f является константой.
В вещественном анализе имеет место теорема Ролля, которая утвер-
ждает, что если функция /: [a, b] R непрерывна на отрезке [а, Ь], диф-
ференцируема на интервале (а, Ь) и f(a) = Д&), то найдется такая точка
£ е (a, Ь), что Д(£) = 0. Вот пример, который показывает, что для р-адиче-
ских функций теорема Ролля, вообще говоря, не имеет места.
Пример 22.4. Рассмотрим функцию f:Zp Qp, заданную формулой
Дх) = хр - х.
Мы имеем ДО) = Д1) = 0, Д(х) = рхр-1 - 1. Кроме того, так как
|f'(x) + 1 |р 1/р, т.е. Д(х) е -1 + Р%р, имеем Д(х) /0 для всехх eZp.
Еще одно отличие р-адических функций от вещественных обнаружива-
ется, когда мы рассматриваем локальную обратимость (непрерывно) диф-
ференцируемых функций. В вещественном анализе верно следующее: если
7* р-адический анализ
97
для такой функции f выполнено неравенство /'(хо) / О, то функция f
локально обратима в некоторой окрестности точки xq. Для р-адических
функций это, вообще говоря, неверно, как показывает следующий порази-
тельный пример.
Пример 22.5. Существует такая дифференцируемая функция f:Zp ->
-» Qp, что f'(x) = 1 для всех х е Zp, но f(pn) = f(pn - р2л) для всех п е N,
поэтому функция f не инъективна ни в какой окрестности точки 0.
Для каждого п е N положим Вп = {х е Zp: |х — рп\р < р~2п}. Если
х е Вп, то |х|, = р~п («побеждает сильнейший»), поэтому все круги В/
попарно не пересекаются. Положим
г х - р2",
К*)= х,
если п е N, х G Вп,
если х е Zp \
п
Так как рп е Вп, имеем f(pn) = рп — р2л. С другой стороны, легко про-
верить, что рп — р2л не лежит ни в каком круге Вт. Отсюда следует, что
f(pn — р2п) = рп — р2л, т.е. функция f не инъективна ни в какой окрест-
ности нуля.
Чтобы доказать, что f = 1, рассмотрим функцию g(x) = х — Дх),
(р2л,
g(x) = < 0>
если п € N, х е Вп,
если х е Zp \
п
Так как функция g(x) локально постоянна на Zp \ {0}, имеем g' = 0 на
Zp \ {0}, поэтому достаточно проверить, что g'(0) = 0. Пусть х е Zp,x /0,
тогда
f \о2п\
I g(*) - g(Q) I =	если n e N, X e Вя,
I X Ip P
(0,	если x не лежит ни в каком шаре Вт.
Поэтому g'(0) = lim g(x)/x = 0. Таким образом, Д(х) = 1 для всех х Е Z».
х—>0
§ 23. Непрерывно дифференцируемые функции
и изометрии пространства
В вещественном анализе непрерывно дифференцируемыми функция-
ми называются такие дифференцируемые функции, производные которых
непрерывны. Как мы уже видели (пример 22.5), для р-адических функций
этого условия для локальной обратимости не достаточно. Оказывается,
этой проблемы можно избежать, если усилить определение непрерывно
дифференцируемой функции в р-адическом случае.
98
Определение 23. L Пусть Е — непустое подмножество простран-
ства без изолированных точек и f'.E—+Q)p. Первой разделенной
разностью Ф1/ для функции f называется функция даух переменных х
и у, заданная формулой
Ф1 f(x, у) =	~	(х, у еЕ,х/ у),
определенная на множестве Е х Е \ Д, где диагональ Д — это множесто
вида Д = {(х, х):х е Е}. Будем говорить, что функция f непрерывно диф-
ференцируема (или С1-гладкая) в точке а € £, если существует предел
lim У).
Иными словами, функция f является С 1-гладкой в точке а, если она диф-
ференцируема в точке а и для любого е > 0 существует такое 8 > 0, что
если |х - а\р < 8 и \у - а\р < 8, (х, t/) е £ х £ \ Д, то
|/(х~Т^~Па)1 <е-	(231)
\ X — у	|р
Будем говорить, что функция f является С1-гладкой на £, если она
С ^гладкая во всех точках а е £.
Замечания. 1) Из неравенства (23.1) следует, что всякая С1-гладкая
на £ функция имеет непрерывную производную на £. Обратное неверно.
Действительно, пусть f — функция из примера 22.5. Тогда
lim /(P")-y-P2")=0/1 = m
л->оо	Р2п	\ /
2) Для вещественных функций непрерывность производной /' гаранти-
рует существование предела
lim
(х,у)^(а,а) Х-у
(предел берется по всем х, у е [a, ft], для которых х / у), потому что
К*) — Ку)	ff/r\
х - у	' w
для некоторого числа £ между х и у по теореме о среднем.
Теперь рассмотрим С ^гладкие р-адические функции с точки зрения
локальной обратимости. Легко установить локальную инъективность.
Предложение 23.2. Пусть Е — непустое подмножество про-
странства Qp без изолированных точек и функция f:E —>QP яв-
ляется Сх-гладкой в некоторой точке аеЕ. Если f'(d) 0, то
существует такая окрестность U точки а, что
\f(x) - f(y)\p = 1Л(а)1/>1х -у\р (х,уеЕПЦ).
99
Другими словами, функция f/f'(a) является изометрией в некото-
рой окрестности точки а. В частности, функция f инъективна в
окрестности точки а.
Доказательство. По определению С1-гладких функций суще-
ствует такое 8 > 0, что для любых х / у, удовлеторяющих неравенствам
|х — а\р < 8 и \у — Ь\р < 8, выполнено неравенство
\ X — у	\р
Тогда по свойству равнобедренного треугольника получаем
1/у - Ку)\р = |^(а)|	п
I* - у\р р
Возникает вопрос: все ли изометрии пространства сюръективны?
Для многих знакомых нам метрических пространств (например, R, R2, R3,
гиперболическая плоскость) это верно. Однако этим свойством облада-
ют не все метрические пространства, как показывает следующий простой
пример.
Рассмотрим множество Е = {х е R: х 0} с обычным евклидовым рас-
стоянием d(x, у) = \х — у\. Тогда сдвиг f(x) = х + 1, очевидно, является
изометрией, но не сюръективной.
Тем не менее, все изометрии пространства сюръективны, потому
что это пространство обладает следующими двумя свойствами.
1) Пространство локально компактно.
2) Любой сдвиг х х + а (а е Qp) является взаимно однозначной изо-
метрией пространства Qp.
Сначала мы докажем, что нужным нам свойством обладают компакт-
ные метрические пространства.
Предложение 23.3. Любая изометрия компактного метрическо-
го пространства на себя сюръективна.
Доказательство. Пусть (X, d) — компактное метрическое,про-
странство, a f: X —> X — его изометрия. Предположим,' что отображение f
не сюръективно, т.е. существует такая точка у е X, что у £ f(X). Тогда лег-
ко видеть, что существует такой открытый шар В(у, г), что В(у, г) / f(X).
В самом деле, в противном случае нашлась бы такая последовательность
Уп —> У, что уп = f(xn). Поскольку пространство X компактно, последова-
тельность {хп} содержит такую сходящуюся подпоследовательность {хлД,
что lim Xnk = х е X. Так как lim ynk= У и отображение f непрерыв-
fc-юо	k—>оо
но (как и любая изометрия), получаем, что f(x) = у, что противоречит
предположению. Итак, требуемый открытый шар В(у, г) существует.
Теперь достаточно доказать, что любая изометрия компактного мет-
рического пространства «попадает» в любой открытый шар. Чтобы сде-
100

лать это более ясным, введем понятие емкости. Зафиксируем некоторое
действительное число г > 0 и рассмотрим всевозможные покрытия про-
странства X шарами радиуса г. Каждое такое покрытие содержит конечное
подпокрытие. Назовем минимальное количество шаров радиуса г, покры-
вающих пространство X, емкостью и обозначим ее через й(Х, г). Образ
f(X) компактного пространства X компактен ([9], теорема 4.14). Сейчас
мы докажем, что емкость не меняется при изометриях.
Лемма 23.4. Если f'.X —+Х — изометрия компактного метриче-
ского пространства на себя и г >0, то h(X, г) = h(f(X), г).
Доказательство леммы. Пусть X С В\ U В2 U ... U В/у — по-
крытие пространства X, состоящее из N шаров радиуса г. Поскольку отоб-
ражение f является изометрией, оно инъективно, и поэтому отображает X
на /(X) взаимно однозначно. Таким образом, / отображает каждый шар
В[ = B(Xi, г) = {х е X: d(x, xf) < г}
на шар, лежащий в пространстве /(X) и имеющий вид
ЯД) = {х е f(X): d(x, < г} = В( Дх(), г).
Тогда
/(X)cf(B1)U/(B2)U...U/(Byv)
и h(f(X), г) й(Х, г). Но если применить то же самое рассуждение к отоб-
ражению	/(X) X, то получим й(Х, г) h(f(X), г), что и доказывает
лемму.	□
Вернемся к доказательству предложения 23.3. Напомним, что соглас-
но нашему исходному предположению изометрия f: X —> X не сюръектив-
на; поэтому существует открытый шар В(у, г), не пересекающийся с /(X).
Пусть й = й(Х, г/2) и
Bi U В2 U ... U Bh D X	(23.2)
— минимальное покрытие пространства X шарами радиуса г/2. Заме-
тим, что если шар В/ содержит точку у, то Bi П /(X) = 0. Это означает,
что если мы из покрытия (23.2) выкинем шар В/, то оставшиеся ша-
ры по-прежнему будут покрывать пространство /(X). Таким образом,
h(f(X), г/2) < h(X, г/2), что противоречит лемме 23.41.	□
предложение 23.3 можно доказать, не. используя понятие емкости. Рассмотрим по-
следовательность точек у, j(y), f(f(y)), f(f(f(y))), ♦ • • Поскольку пространство X компакт-
но, существуют такие два члена этой последовательности fm(y) и fn(y) (т > п), что
d(fm(y), fn(y)) < г. Но тогда d(fm~n(y), у) = d(fm(y), fn(y)) < г, что противоречит тому,
что В(у, г) П f(X) = 0. — Прим, перев.
101
I
Теорема 23.5. Любая изометрия пространства сюръективна.
Доказательство. Пусть /:	— изометрия, не являющаяся
сюръективной. Если ДО) = а, то g(x) = Дх) — а — также несюръектив-
ная изометрия пространства Qp. Тогда существует точка у £ g(Qp). Пусть
\у\р = г. Поскольку отбражение g является изометрией и g(0) = 0, оно
отображает замкнутый шар В = В(0, 2г) на себя и у £ g(B). Так как В —
компактное метрическое пространство, полученный результат противоре-
чит предложению 23.3.	□
Упражнения
74. Пусть функция f:Zp Zp определяется следующей формулой:
(ОО	к	ОО
22аярп) :=52аяря2.
n—Q	л=0
Докажите, что Д = 0, т.е. f — псевдоконстанта.
75*. Пусть функцйя f:Zp Zp определяется следующей формулой:
z ОО	\	ОО
/(San/’n) :=12ая^я!-
'л=0	'	л=0
Докажите, что функция f инъективна, Д = 0 и f удовлетворяет условию
Гёльдера порядка а для любого положительного числа а.
76. Пусть функция /:ZP Zp определяется следующей формулой:
='^апрп-
'п=0	'	л=0
Докажите, что функция f непрерывна.
§24. Интерполирование
Пусть аь аг» .. • —последовательность элементов пространства Qp. Ее
можно рассмотреть как функцию /: N Qp, заданную формулой Дп) = ап.
Так как множество N плотно в Zp, из теоремы 20.5 следует, что существует
не более одной такой непрерывной функции F:ZP что F(n) = Дп)
для всех п е N. Если такая функция F существует, то будем говорить, что
последовательность {ап} может быть интерполирована. Конечно, ана-
логичное определение можно дать для двусторонних последовательностей,
и для последовательностей вида ао» аь ...
Если функция Д/г) = ап равномерно непрерывна на N, то из теоре-
мы 20.5 непосредственно следует, что последовательность {ап} может быть
102
4
интерполирована. Обратно, предположим, что f(n) = ап может быть ин-
терполирована непрерывной функцией F:ZP Тогда по теореме 20.4
функция F равномерно непрерывна на Zp, а значит, и на N. Таким об-
разом, последовательность alt а2, ... элементов пространства может
быть интерполирована тогда и только тогда, когда для любого е > 0 най-
дется такое Л/, что
если \п - т\р	p~N, то \ап - ат\р < е.	(24.1)
Оказывается, не обязательно рассматривать все положительные числа п,
гп, для которых |п — т\р p~N. Достаточно проверить условие (24.1)
только для таких чисел п, гп, которые отличаются на достаточно боль-
шую степень числа р. Более точно, имеет место следующее утверждение.
Предложение 24.1. Пусть а\, аг, ... —последовательность эле-
ментов пространства Qp. Она может быть интерполирована то-
гда и только тогда, когда для любого б > 0 существует такое N,
что
если п = т + pN, то {ап - ат\р < е.	(24.2)
Доказательство. Если функция f(n) = ап равномерно непрерыв-
на, то для любого е > 0 существует такое N, что выполняется усло-
вие (24.1). В частности, это верно для n = m+ pN, так как в этом
случае |n — т\р p~N. Покажем, что из более слабого, на первый взгляд,
условия (24.2) следует равномерная непрерывность. Для данного е > 0
найдем W, для которого выполняется условие (24.2). Возьмем n, т е N,
удовлетворяющие неравенству |n — т\р p~N. Тогда п - т делится на pN,
поэтому n = m + bpN для некоторого b е N. Мы имеем
ь
&п &т = (P'm+ipN ““ Ят+Ц—
/=1
Из нашего условия (24.2) следует, что р-адическая норма каждого сла-
гаемого меньше е. Применяя сильное неравенство треугольника, получаем
|ал — ат\р < е.	О
В некотором смысле равномерная непрерывность последовательно-
сти {ап} противоположна свойству быть последовательностью Коши.
Следующее простое утверждение дает нам множество примеров не рав-
номерно непрерывных Последовательностей, которые, следовательно, не
могут быть интерполированы.
Предложение 24.2. Пусть {ап} — непостоянная последователь-
ность Коши, состоящая из р-адических чисел. Тогда она не может
быть интерполирована.
103
Доказательство. Предположим, что последовательность {ап} мо-
жет быть интерполирована непрерывной функцией f:Zp —* Qp, f(n) = ап.
Так как N плотно в Zp, для любого х Е Zp \N существует последователь-
ность натуральных чисел п*, сходящаяся к х. Последовательность {ап} яв-
ляется последовательностью Коши и поэтому сходится к некоторому числу
с е Qp. Тогда и последовательность {ank} сходится к тому же самому преде-
лу, и по непрерывности имеем f(x) = lim ank = с. Далее, так как множество
Zp \ N также плотно’в Zp, для любого п е N существует такая последо-
вательность Xk G Zp \ N, что п = lim х*. Тогда ап = f(n) = lim f(Xk) = с,
k—+ОО	k—+OO
т.е. {an} является постоянной последовательностью, и, таким оборазом,
получили противоречие.	□
Для полноты изложения докажем несколько свойств равномерно
непрерывных функций (некоторыми из них мы уже пользовались в те-
ореме 20.5).
Предложение 24.3. Пусть Е с Zp и функции f:E —> Qp и g:E —> Qp
равномерно непрерывны на Е. Тогда функции f + g, f — g и fg также
равномерно непрерывны на Е.
Доказательство. Для любого натурального числа s существует
такое натуральное число /, что из неравенства |х — у\р следует, что
l/W - f(y)\p < p~s и |g(x) - g(y)|p < p~s.
По теореме 20.5 функции f и g ограничены на Е и, следовательно, на Е СЁ,
т.е. существует такое натуральное число и, что | f(x)\p ри и |g(x)|p
Пусть х, у е Е, причем‘|х — у\р р_/. Тогда
|(/(х) ± g(x)) - (f(y) ± g(y))\p = |(f(x) - f(y)) ± (g(x) - g(i/))|p s,
\f(x)g(x)~ f(y)g(y)\p = \f(x)(g(x)-g(y)) + (f(x)-f(y))g(y)\p^ p-‘+u. □
Следствие 24.4. Любой многочлен P(x) с коэффициентами в Qp
равномерно непрерывен на любом подмножестве Е с Zp.
Доказательство. Это следует из того, что функции Дх) = с И
Дх) = х равномерно непрерывны на любом подмножестве Е с Qp. □
Следствие 24.5. Пусть
/х\ _ х(х - 1)...(х — п + 1)
\л/	п\
— биномиальный коэффициент, где п € N и х eZp. Тогда функция
(х) = ( * ) равномерно непрерывна на %р и | ( * ) |	1, /п. е. ( * ) е Zp.
Доказательство. Поскольку Рп(х) = Q)—многочлен с рацио-
нальными коэффициентами, он равномерно непрерывен на Zp по след-
104
ствию 24.4. Пусть х eZp. Тогда существует такая последовательность
{хт} с N, что х = lim хт. По непрерывности многочлена Рп(х) имеем
lim
т—*оо
=О
Поскольку каждое число является целым рациональным, имеет ме-
сто неравенство (	)	1- Поэтому ( ) = Нт (	)	1, т.е.
\\пДр	у \\пДр т->оо\\П/\р
C)6Z<--	°
(Сравните это доказательство с доказательством леммы 14.4, где мы
доказали лишь, что Q) е Zp для любого х е Zp.)
Теперь рассмотрим р-адическую показательную функцию. Наша цель
состоит в том, чтобы выяснить, для каких р-адических чисел а е после-
довательность 1, а, а2, а3, ... может быть интерполирована. В результате
интерполяции получится непрерывная «показательная» функция f(x) = ах.
Теорема 24.6. Последовательность 1, а, а2, а3,... может быть
интерполирована тогда и только тогда, когда а е 1 + pZp.
Доказательство. Нам понадобится следующая оценка.
Лемма 24.7. Пусть 0 < е < 1. Тогда из неравенства \у — 1|р е
вытекает неравенство \ур — 1|р < т\у - 1 |р, где т = max(e, р~{) < 1.
Доказательство леммы. Положим у = 1 + а, тогда |а|р е и
=(9-<) +
Мы имеем ( р 1 р 1 для j = 1, ..., р - 1 и \ар гр 1 е.
I \ / / \р
Следовательно, \ур - 1 \р т\у - 1 |р, где т = тах(е, р"1).	□
Из теоремы 8.5 следует, что
1)	lim арП = 1, тогда и только тогда, когда
п—+ОО
2)	а с 1 + pZp.
Чтобы завершить доказательство, воспользуемся предложением 24.1.
Последовательность 1,а, а2, ... может быть интерполирована тогда и
только тогда, когда |а/+рЯ — а*\р стремится к 0 равномерно по /. Заме-
тим, что если |а|р < 1, то последовательность {ап} стремится к 0 и, таким
образом, по предложению 24.2 не может быть интерполирована. Поэтому
можно считать, что |а|р = 1. Тогда
\а.'+рП — ау|д = |а|^|ад" — 1|д = |ад" — 1|д,
105
а последнее выражение стремится к 0 равномерно по / тогда и только
тогда, когда выполняется условие 1), а вместе с ним и 2).	□
Функция
ах = Нгп ап (х е Zp, а Е 1 + pZp)
обладает следующими свойствами, которые мы оставляем без доказатель-
ства: для всех х, у Е и любого а Е 1 + pZp верно, что
1)	ах Е 1 + pZp,
2)	ах+У = аха\
3)	а~х = (ах)~\
4)	ехрр(рх) = (ехрр р)х,
5)	(ахУх=0 = 1п„(а),
6)	= 2 Р)(а - !)л.
/1=0	7
Свойство 4) устанавливает соотношение между функцией ах и р-адиче-
ской экспонентой, определенной в § 15.2. По теореме 15.2 ряд, определяю-
щий функцию ехрр(х), расходится в точке х = 1. Однако ряд для ехрд(рх)
при р 3 и ряд для ехрр(4х) при р = 2 аналитичны в Zp. Следовательно,
число, аналогичное е, не принадлежит Qp, но числа ер при р 3 и е4 при
р = 2 принадлежат Qp! Таким образом, число е лежит в алгебраическом
расширении поля степени р, если р > 3, и степени 4, если р = 2.
Упражнения
77.	Докажите, что для каждого / Е N р-адическая последовательность
Р, 27, Зу, ... может быть интерполирована.
78.	Докажите, что для каждого / Е N р-адическая последовательность
может быть интерполирована.
79.	Докажите, что р-адическая последовательность п (— 1)л может
быть интерполирована тогда и только тогда, когда р = 2.
106
Список литературы
[1]	Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. М.: Наука,
1964.
[2]	Gouvea Е Q. p-adic Numbers: An Introduction. 2nd edition.
Springer-Verlag: Berlin—Heidelberg—New York. Universitext. 2000.
[3]	H erst ein I. N. Topics in Algebra. 2nd edition. John Wiley & Sons:
New York—Chichester—Brisbane—Toronto—Singapore, 1975.
[4]	Кириллов А. А., Гвишиани А. Д. Теоремы и задачи функци-
онального анализа. М.: Наука, 1979.
[5]	Кириллов А. А. Что такое число? М.: Наука, 1993.
[6]	К о б л и ц Н., р-адические числа р-адический анализ и дзета-функ-
ции. М.: Мир, 1982.
[7]	Mahler К. p-adic Numbers and their Functions. Cambridge
University Press, 1973.
[8]	Robert A. M. A Course in p-adic Analysis. Springer-Verlag:
Berlin—Heidelberg—New York, 2000.
[9]	Рудин У. Основы математического анализа. М.: Мир, 1976.
[10]	Schikoff W. Н. Ultrametric Calculus, An Introduction to p-adic
Analysis. Cambridge University Press, Cambridge Studies in Adv. Math.
4, 1984.
107
Светлана Борисовна Каток
р-адический анализ в сравнении с вещественным
Редактор: Васильева О. А.
Художник: Сопова У.
Лицензия ИД № 01335 от 24.03.2000 г. Подписано в печать 15.05.2004 г. Формат
60 х 90 У16- Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Печ.л. 7. Тираж 1000 экз.
Заказ №193т
Издательство Московского центра непрерывного математического образования
119002, Москва, Большой Власьевский пер., И. Тел.241—72—85.
Отпечатано с готовых диапозитивов во ФГУП «Полиграфические ресурсы».
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга»,
Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. 241—72—85. E-mail: biblio@mccme.ru
ISBN 5-94057-149-2