Н.Коблиц
Р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА, Р-АДИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
М.: Мир, 1981, 192 с.
Вводный курс по /7-адическому анализу — объекту многочисленных
исследований в теории чисел, теории представлений групп, алгебраической
геометрии, который служит связующим звеном между непрерывной и дискретной
математикой, написанный с большим педагогическим мастерством молодым
американским математиком.
Для студентов-математиков младших курсов университетов и пединститутов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА 1./>-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА	9
§ 1.	Основные понятия	9
§ 2.	Метрики поля рациональных чисел	10
Упражнения	17
§ 3.	Как строится поле комплексных чисел	19
§ 4.	Поле /j-адических чисел	21
§ 5.	Арифметика в Qp	29
Упражнения	34
ГЛАВА И. />-АДИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ	37
РИМАНА
§ 1.	Формула для значений ^(2^)	39
§ 2.	/j-адическая интерполяция функции/^) = а	44
Упражнения	48
§ 3.	/j-адические распределения	51
Упражнения	55
§ 4.	Распределения Бернулли	57
§ 5.	Меры и интегрирование	59
Упражнения	66
§ 6.	/j-адическая (^-функция как преобразование Меллина — Мазура	67
§ 7.	Краткий обзор (без доказательств)	75
Упражнения	80
ГЛАВА III. КОНСТРУКЦИЯ ПОЛЯ Q	82
§ 1.	Конечные поля	82
Упражнения	90
§ 2.	Продолжение норм	91
Упражнения	103
§ 3.	Алгебраическое замыкание поля Qp	104
§4.	Поле Q	112
Упражнения	115
ГЛАВА IV. />-АДИЧЕСКИЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ	118
§ 1.	Элементарные функции	118
§ 2.	Экспонента Артина — Хассе	129
Упражнения	136
§ 3.	Многоугольники Ньютона в случае многочленов	141
§ 4.	Многоугольники Ньютона в случае степенных рядов	144
Упражнения	156
ГЛАВА V. РАЦИОНАЛЬНОСТЬ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ СИСТЕМЫ	159
ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НАД КОНЕЧНЫМ
ПОЛЕМ
§ 1.	Гиперповерхности и их дзета-функции	159
Упражнения	167
§ 2.	Характеры и их поднятие	169
§ 3.	Линейные отображения на векторном пространстве степенных рядов 173
§ 4.	/j-адическое аналитическое выражение для дзета-функции	179
Упражнения	182
§ 5.	Конец доказательства	184
Литература	189
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Вещественные числа — это пополнение поля рацио-
нальных чисел в обычной топологии. Давно известно,
что у поля рациональных чисел есть еще много топо-
логий, согласованных с операциями. Эти топологии
нумеруются простыми числами; пополнения по ним суть
поля р-адических чисел, р-адический анализ созда-
вался медленно. Перенос обычных определений в не-
архимедову ситуацию кажется обманчиво простым де-
лом, но глубокие теоремы требуют деликатных изме-
нений в структуре основных понятий.
Книга молодого американского математика Нила
Коблица — одно из немногих в мировой литературе
введений в этот быстро развивающийся предмет. В ней
живо, с вниманием к читателю и на содержательном
материале представлены первые идеи, проблемы и ме-
тоды р-адического анализа. Очевидно, что некоторые
основные задачи ставит теория чисел. Два круга воп-
росов, относящихся к дзета-функциям алгебраических
многообразий над конечными полями и к классической
дзета-функции Римана, изложены в книге подробно.
Ознакомившись с этим материалом, читатель сможет
работать с обширной журнальной литературой послед-
них лет, посвященной увлекательным свойствам р-ади-
ческих дзета-функций.
Рисунок д-ра физ.-мат. наук А. Т. Фоменко на сле-
дующей странице (деталь — на обложке) символизирует
2-адический соленоид. Как и все графические листы
Фоменко, он отличается скрупулезной деталировкой,
и стоящий за ним математический образ поддается точ-
ному анализу. Читателю, который склонен к целостно-
му восприятию, глубокая работа Фоменко напомнит
о почти всегда скрытой визионерской компоненте ма-
тематического творчества.
ю. Манин

Профессору Марку Кацу
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эти записи лекций задуманы как элементарный ввод-
ный курс р-адического анализа. По этой причине требо-
вания к подготовке читателя минимальны. Помимо трех-
семестрового курса математического анализа предпола-
гается знакомство с некоторыми более абстрактными
математическими понятиями — в такой степени, чтобы
читателя не испугали матрицы с элементами не обяза-
тельно из вещественного поля, расширения поля рацио-
нальных чисел или непрерывные отображения тополо-
гических пространств.
Книга преследует двоякую цель: изложить некото-
рые основные понятия р-адического анализа и проде-
монстрировать два его замечательных применения.
Исторически они серьезно стимулировали интерес к
предмету; я надеюсь, что они могут быть столь же
эффективны с педагогической точки зрения. Первый из
этих результатов использует лишь самые элементар-
ные свойства поля (Qp и поэтому помещен в гл. II.
Это — предложенная Мазуром конструкция (с помощью
р-адического интегрирования) р-адической дзета-функ-
ции Куботы —Леопольдта, которая «р-адически интер-
полирует» значения дзета-функции Римана в нечетных
отрицательных целых числах. При изложении я поль-
зовался (неопубликованными) записями Мазура, сде-
ланными для Бурбаки. Затем я возвращаюсь к осно-
ваниям: устанавливается возможность продолжения
р-адической нормы на алгебраические расширения по-
ля (Е)р, строится р-адический аналог поля комплексных
чисел и развивается теория р-адических степенных ря-
дов. При этом специально подчеркнуты аналогии и раз-
личия с привычными понятиями и примерами из матема-
тического анализа. В гл. V содержится второй основной
результат: данное Дворком доказательство части знаме-
нитых гипотез А. Вейля о рациональности дзета-функ-
ции системы уравнений над конечным полем. В этой
главе я следовал изложению Серра, помещенному в
одном из выпусков Seminaire Bourbaki.
8
Предисловие
Эта книга не претендует на полноту. В ней не отра-
жены такие темы, как теорема Хассе —Минковского
(которую можно найти в гл. 1 книги 3. И. Боревича
и И. Р. Шафаревича [(b) 1]) и результаты диссертации
Тэйта (которая воспроизведена также в учебнике Ленга
[(b)2J). Кроме того, автор не пытался представить ре-
зультаты в самой общей форме. Например, р-адические
/.-функции, соответствующие характерам Дирихле, лишь
мимоходом упомянуты в гл. II. Целью автора был отбор
материала для полугодового курса по р-адическому
анализу, доступного второкурсникам.
Упражнения по большей части легкие, но они важны
для активного овладения материалом. Кроме того,
обилие упражнений позволит многим изучающим книгу
овладеть предметом самостоятельно или при минималь-
ном руководстве, проверяя и закрепляя свое понимание
материала проработкой задач.
Интерес к р-адическому анализу объясняется не-
сколькими причинами. Прежде всего р-адической
технике отводится важное место во многих областях
математических исследований — например, в теории
чисел и теории представлений. Но немаловажно и то,
что студенту, недавно познакомившемуся с рядами
и интегралами, «прекрасный новый мир» неархимедова
анализа представит классический анализ в неожиданном
свете. Уходя корнями в классический анализ и в тоже
время в алгебру и теорию чисел, р-адический анализ
открывает важные перспективы читателю, интересую-
щемуся любой из этих областей.
Я хотел бы поблагодарить профессоров Марка Каца
и Ю. И. Манина за их многолетнюю помощь и под-
держку, а также за образцы педагогической прони-
цательности в преподавании и изложении, образцы,
которым их ученики могут ревностно подражать.
Схема зависимости глав
Z \
X
‘5
Г лава I
уО-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
§ 1.	ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
Пусть X —непустое множество. Функция d, опре-
деленная на множестве всех упорядоченных пар (х, у)
элементов X и принимающая неотрицательные вещест-
венные значения d (х, у), называется расстоянием или
метрикой в X, если она обладает следующими свойст-
вами:
(1)	d (х, у) = 0 тогда и только тогда, когда % = //;
(2)	d(x, y) = d(y, х)',
(3)	d (х, y)s^d(x, z)~yd(z, у) для всех геХ,
Множество X вместе с заданной в нем метрикой d назы-
вается метрическим пространством. Как мы вскоре
увидим, одно и то же множество X может допускать
много различных структур метрического пространства
(X, d).
Чаще всего в качестве множеств X мы будем рас-
сматривать поля. Напомним, что поле F есть мно-
жество с двумя бинарными операциями + и , такими,
что F является коммутативной группой относительно
операции +, a F — {0} относительно операции •, и
выполнен закон дистрибутивности. Примеры полей,
которые следует пока иметь в виду, —это поле рацио-
нальных чисел (Q и поле вещественных чисел R.
Мы будем иметь дело с метриками d, соответствую-
щими нормам на поле F. Нормой называется отобра-
жение, обозначаемое через || J, поля F в множество
неотрицательных вещественных чисел, такое, что:
(1)	||х|| = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;
(2)	к'*/11=к1НЫ1;
(3)	к+$/|^И+Ы.
10 Гл. I. р-адические числа
Когда мы говорим, что метрика d «соответствует» норме
(или «индуцирована» нормой) || ||, то под этим мы пони-
маем, что метрика d определяется соотношением d(x, у)=
= ||х —р||. Легко проверить, что функция d, заданная
таким образом по произвольной норме || ||, будет дейст-
вительно метрикой.
Основной пример нормы на поле рациональных чи-
сел (Q Дает абсолютная величина |х |. Индуцированнаяею
метрика d (х, у) = | х — у\ совпадает с обычным расстоя-
нием на числовой прямой.
Я начал с абстрактного определения расстояния
потому, что отправным понятием для всего даль-
нейшего будет метрика нового типа. Она удовлетво-
ряет условиям (1) —(3), но ее свойства существенно
отличаются от привычных интуитивных представлений.
Кроме того, я напомнил абстрактное определение поля,
так как вскоре нам придется работать не только с по-
лем (Q, но и с его различными расширениями.
§ 2. МЕТРИКИ ПОЛЯ РАЦИОНАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ
Одну метрику с поля (Q мы знаем: она индуциро-
вана обычной абсолютной величиной. Есть ли еще
какие-нибудь метрики? Следующее определение
является основой для всего дальнейшего.
Определение. Пусть ре {2, 3, 5, 7, 11, 13, ...} —
некоторое простое число. Для произвольного ненулевого
целого числа а положим ordpa равным кратности вхо-
ждения р в разложение а на простые сомножители,
т. е. наибольшему целому неотрицательному числу т,
для которого а = 0 (mod рт). (Запись а = b (mod с) озна-
чает, что с делит а — Ь.) Например: ord5 35 = 1 ,ords 250 =
— 3, ord296 = 5, ord297 = 0. (Если a = 0, то условимся
писать ordpO = oo.) Отметим, что функция ordp немнож-
ко похожа на логарифм: ordp (аха2) = ordp (ах) + ordp (а^).
Теперь для произвольного рационального числа х =
— а/b положим ordpx равным ordpa — ordpb. Так опре-
деленная величина зависит только от х, т. е. из пред-
ставления x = ac!bc мы получим то же самое значение
для ordp х — ordp ас — ordp be.
§ 2. Метрики поля рациональных чисел
И
Кроме того, определим
ние | |р:
1
ord х,
Р р
о,
на (Q следующее отображе-
если х=/=0;
если х = 0.
Предложение. Функция | |р является нормой на поле (Q.
Доказательство. Проверку свойств (1) и (2) оставим
читателю в качестве легкого упражнения. Установим (3).
Если х = 0 или z/ = 0, или если хД-у = 0, то свой-
ство (3) очевидно. Поэтому предположим, что числа х,
у, х-\-у отличны от нуля. Пусть х = а/Ь и у = с!(1 — не-
сократимые представления. Тогда х + у = (ad + bc)/bd и
ordp (ху) = ordp (ad + be) — ordp b — ordp d. Заметим те-
перь, что наибольшая степень р, делящая сумму двух
целых чисел, не меньше любой степени р, которая делит
одновременно каждое слагаемое. Поэтому
ordp (х + у) min (ordp ad, ordp be) — ordp b — ordp d =
= min (ordpfl + ordpd, ordp b + ordpc) —
— ordp b — ordp d =
= min (ordp a — ordpb, ordpc —ordpd) =
= min (ordp x, ordpy).
Следовательно, |х + у|р = p-ordr <x + i/)^max(p_ordp'1»
p~0IV)==max(|x|p, | у |p), а последнее < | x |p +1 у |p. □
В действительности мы установили более сильное
неравенство, чем требуется в условии (3), и именно
это усиленное неравенство приводит нас к одному из
основных понятий р-адического анализа.
Определение. Норма называется неархимедовой, если
всегда выполнено неравенство ||x + z/||^max(||х||, ||z/|l).
Соответственно метрика называется неархимедовой, если
d(x, у) sC max (d(x, г), d(z, у))', в частности, метрика,
индуцированная неархимедовой нормой, неархимедова,
так как в этом случае d(x, у) = ||х —у|| = ||(х —г) +
+ (г — У) IK max (|| х — г j|, || г — у |1) = max'(d(x, г), d(z, у)).
Таким образом, | |р является неархимедовой нор-
мой на поле (Q.
12 Гл. I. р-аддческие числа
Норму (или метрику), не являющуюся неархимедо-
вой, называют архимедовой. Обычная абсолютная вели-
чина на поле (Q дает пример архимедовой нормы.
Для каждого метрического пространства X опреде-
лено понятие последовательности Коши. Последова-
тельность {а1( а2, а3,...} элементов X называется после-
довательностью Коши, если для всякого положитель-
ного числа е найдется такой номер W, что d(ат, ап) <
<е при любых m>N и n>W.
По определению, две метрики d3 и d2 на множе-
стве X эквивалентны, если отвечающие им классы
последовательностей Коши совпадают. Соответственно
две нормы эквивалентны, если они индуцируют экви-
валентные метрики.
Фиксируем вещественное число ре(0, 1), а затем
в определении | |р подставим pord₽* вместо (l/p)ordpJ'\
Тогда мы получим неархимедову норму, эквивалент-
ную | |р (см. упр. 4 и 5). Причину, по которой удобно
выбирать р = \/р, объясняет упр. 17 в конце пара-
графа.
Обычной абсолютной величине | | также соответ-
ствует семейство эквивалентных ей архимедовых норм,
а именно | |“, где 0<а<1 (см. упр. 7).
Обычную абсолютную величину мы иногда будем
обозначать через | |OT. При этом никакой прямой связи
между | (со и | |р не подразумевается, это всего лишь
удобное обозначение.
Под «тривиальной» нормой понимается такая норма
|( |, что ||0|| = 0 и || х ||=1 для всех х#=0.
Теорема 1 (Островский). Каждая нетривиальная
норма || || на поле (Q эквивалентна | |р для некоторого
простого р или р — оо.
Доказательство. Случай (i). Предположим, что
существует натуральное число п, для которого |п||>
>1. Пусть По — наименьшее среди таких п. Так как
|| п01| > 1, то || п01| = п“ для некоторого положительного
вещественного а. Запишем теперь произвольное целое
положительное п в п0-ичной системе:
п = а0 -ф- а^По -ф	4" • • • +
§ 2. Метрики поля рациональных чисел
13
где	и а^=/=0. Тогда
ИВ<1|ао|| + 11а1По11 + 1а2«о11 + ... + кЛоГ =
— II Й0 II + II а1 I!  П0 + К а2 II • Ло“ + • • • + |l as II • «Г.
Так как а,<Пв, то ||а,- J 1 по выбору п0. Следова-
тельно,
||п|=С1 +п“+п2“ + ... + ^“ =
= nj“(l + «-“+• ..+vs“)^
потому что n^njj. Выражение в квадратных скобках
является константой, которую мы обозначим через С.
Таким образом,
|| п | =С Спа для всех п=1, 2, 3......
Рассмотрим теперь достаточно большое натуральное У.
Затем подставим nN вместо п в полученное неравен-
ство и извлечем корень степени М из обеих частей.
Получим
\\п\\^^Спа.
Переход к пределу при /V оэ и фиксированном п
дает неравенство || п || па.
Обратное неравенство можно доказать следующим
образом. Как и выше, представим п в п0-ичной записи.
Тогда nj+’>n^nj. Кроме того, поскольку ||nj+4| =
||n + nj+1-n||^|nH||nj + 1 ~п11’ т0
II « II	I «о +1II - II «о+1 - « II n‘S +1 ’ “ - +1 - n)“,
что следует из соотношения ||nj+’ || — ||n0||s + 1 и уже
установленного неравенства (т. е. ||п || =С па) для вычи-
таемого члена. Значит,
II n||	n(0’+1)а —(nj+1 —-zzj)a ==	(так как
= „(s+ uah _ Л _ 1\“1 ==> с'па
0 L \	«о/ J
для некоторой константы С, зависящей только от п0
и а, но не от п. Затем, как и выше, подставим в
14
Гл. I. р-адические числа
последнее неравенство nN, извлечем корень степени У
и перейдем к пределу при /V -> оо. В результате полу-
чаем |1 п || Ss п“.
Таким образом, || п [| = п“. Далее, из свойства нормы
(2) легко вывести, что ||х|| = |х|“ для всякого xej).
Тогда из упр. 7 следует эквивалентность норм || ||
и | |, что и заканчивает доказательство теоремы в слу-
чае (i).
Случай (И). Предположим теперь, что || п ||	1 для
всех натуральных чисел п. Пусть п0 — наименьшее
натуральное п, для которого || п || < 1. Такое п0 суще-
ствует, потому что рассматриваемая норма || || нетри-
виальна.
Число п0 должно быть простым. Действительно,
если п0 = л1-/г2 и Пх, п2<п0, то ||пх || = ||n2||= 1, а по-
этому || п01| = || «11||| п21|= 1. Обозначим простое число п0
через р.
Покажем теперь, что || <711 = 1 для каждого про-
стого </, отличного от р. Предположим противное.
Тогда || q || < 1 и для достаточно большого натураль-
ного У имеем || II = || <7 ||w < 1/2. Аналогично, || рм || <
< 1/2 для достаточно большого М. Числа рм и qN
взаимно просты, т. е. не имеют общих делителей,
отличных от 1. Поэтому можно найти (см. упр. 9)
два целых числа пит, таких, что трм 4- nqN = 1.
Тогда, согласно свойствам нормы (2) и (3),
1 =11 1 \\-=\\tnpM -\-nqN\\^\\mpM || + || nqN\\ =
= ||т||||р,и НИ п || || ^||.
Так как ||т||, ||n||^g 1, то
1^|'рл,и+1Ю1<4+4=1’
и мы пришли к противоречию. Следовательно, ||<7||=1.
Теорема практически доказана, поскольку каждое
положительное целое число а можно разложить на
простые сомножители. Пусть a = pb^pbt2 ... pbrr. Тогда
IIа II = II Pi • II Рг f2 ••• 11 +11^- В последнем произведении
отличен от 1 лишь тот сомножитель || /?,• ||, для которого
Pi = р (если такой найдется), причем соответствующее bt
§ 2. Метрики поля рациональных чисел
совпадает с ordpa. Поэтому
И1 = рог<)Л
где р = | р I < 1. На основании свойства нормы (2) легко
установить, что последняя формула выполняется не
только для натуральных а, но также для любого
отличного от нуля рационального числа х. Из упр. 4
ниже следует эквивалентность такой нормы и нормы
| |р. Это заканчивает доказательство теоремы Остров-
ского. □
Конечно, наши интуитивные представления о рас-
стоянии основаны на примере архимедовой метрики| !«>.
Некоторые свойства неархимедовых метрик | |р пона-
чалу кажутся довольно странными, и к ним нужно
привыкать. Рассмотрим следующие два примера.
Свойство метрики (3): d (х, y)^xd(x, z)-j-d(z, у) —
известно как «неравенство треугольника», поскольку
в случае поля комплексных чисел С (с метрикой d(a-f-
+ bi, с 4- di) — У(а — с)2 + (b — d)2) оно означает, что
сумма длин двух сторон треугольника на комплексной
плоскости больше длины третьей стороны.
d(x,
d(z,y)
d(x,y)
Посмотрим, что происходит в случае поля F с неархи-
медовой нормой. Для простоты положим г = 0. Тогда
неархимедово неравенство треугольника утверждает,
что ||х —z/||sgmax(||x||, ||у||). Предположим сначала, что
«стороны» х и у имеют разную «длину», например
<|1у||. Третья сторона х — у имеет длину ||х — у||^||у||.
Но
||z/|| = ||x-(x-z/)||==Smax(||x||, ||х-у||),
и, значит, ||у||||х — у||, так как неравенство ||у||^||х||
не выполнено. Поэтому ||у] = ||х — у]. Итак, если две
16
Г л. I. р-адические числа
«стороны» х и у не равны, то наибольшая из них
должна совпадать по длине с третьей стороной. Все
«треугольники» равнобедренные!
Это не слишком удивительно, если понять, что
означает подобное свойство для поля (Q с нормой | |р.
Оно просто утверждает, что кратность вхождения р в
разность двух рациональных чисел с неодинаковыми
кратностями вхождения р совпадает с наименьшей из
этих кратностей (это и значит равняться наибольшей
из двух «сторон»).
Итак, для неархимедова поля ||х± у\\ sgmax (||х||,
||у)|) и при || х || #= || у || достигается равенство. Это важ-
ное свойство впредь мы будем называть «принципом
равнобедренного треугольника».
В качестве второго примера рассмотрим (открытый)
диск радиуса г (г — положительное вещественное число)
с центром в а (а —некоторый элемент поля F):
D(a, r~)={x^F\ ||х — а|Кг}.
Предположим, что норма || || неархимедова. Пусть Ь —
произвольный элемент D (а, г~). Тогда
D(a, r~) = D(b, г-),
т. е. каждая точка диска является его центром! Дей-
ствительно,
х е D (а, г~) => ||х — а||<г =>
=> II* - Ь || = || (х - а) + (а - Ь) |К
- max (|| х — а ||, || а — b ||) < г =$
=> хе D (Ь, г~),
и точно так же доказывается обратная импликация.
Определим замкнутый диск радиуса г с центром
в а как
D (а, г) = {хе/?| ||х — а|Кг};
тогда, как и выше, можно установить, что в случае
неархимедовой нормы || ] каждая точка диска D (а, г)
является его центром,
§ 2. Метрики поля рациональных чисел
17
Упражнения
1.	Для произвольной нормы || || на поле F докажите непрерыв-
ность операций сложения, умножения и нахождения обратного
элемента относительно сложения и умножения, т. е. установите,
что: (1) для любых х, y~F и любого е>0 существует такое
6>0, что || (х'+у’) — (х + //)||< е при ||х' —х||<б и \\у' — z/||<6;
(2) то же с заменой || (х' +у') — (х±у) || на \\х'у' — ху\\; (3) для лю-
бого ненулевого х е F и любого в > 0 существует такое б > О, что
||(1/х') — (1/х) ||<е при ||х'— х[|< 6; (4) для любого х F и любо-
го е > 0 существует такое б > 0, что || (—х') — (—х) [| < в при
||х'-х||<б.
2.	Докажите, что || — 1 || = '| 1 || = 1 для произвольной нормы
|| || на поле F. Докажите, что если || || неархимедова, то || п || sc 1
для любого целого п. (Здесь «л» обозначает 1 + 1 + 1+.•+1 —
результат n-кратного сложения 1 = 7 при н2э0 и результат
(— п)-кратного сложения — 1 е F при п < 0.)
3.	Докажите обратное: если норма || || такова, что || п ||1
для любого целого п, то эта норма неархимедова. (Указание.
Рассмотрите тождество ||х +//Ц77 = || (x±y)N Ц. Затем, используя
бином Ньютона и свойство нормы (3), оцените ||x+y||7V сверху
через max (J х II, || у |). При этом нужно помнить, что N можно
выбрать сколь угодно большим.)
4.	Пусть || и || ||2—две нормы на поле F. Докажите, что
|| ||х ~ || ||2 тогда и только тогда, когда существует такое положи-
тельное вещественное число а, что || х 1^ = || х ||“ для всех хе/7.
5.	Докажите, что если 0<р<1, то функция, определенная
для х е (Q как р Р при х#=0 и 0 при х = 0, является неархи-
медовой нормой. Отметим, что по предыдущему упражнению эта
норма эквивалентна | \р. Что произойдет при р=1? А прн р > 1?
6.	Докажите неэквивалентность норм ] | и | \ для различ-
ных простых чисел рг и р2.
7.	Для фиксированного вещественного а > 0 н х е (Q положим
||х|| = |х|“, где | |—обычная абсолютная величина. Докажите, что
|| || является нормой тогда и только тогда, когда a=gl, и что
в этом случае она эквивалентна норме | |.
8.	Докажите, что две эквивалентные нормы на поле F либо
обе архимедовы, либо обе неархимедовы.
9.	Пусть N и М — два взаимно простых целых числа. Дока-
жите, что существуют целые num, для которых nN + тЛ4 = 1.
(Указание. Покажите, что наименьшее положительное число вида
п$-(-тМ должно быть общим делителем N и Л4.)
18
Гл. 1. р-адические числа
10.	Вычислите:
(i) ord3 54,
(iv) ord, (— 700/197),
(vii) ord5 (0,0625),
(x) ord, (— 13,23),
(xiii) ordjg (— 26/169),
(ii) ord2 128,
(v) ord2 (128/7),
(viii) ord3 (10е),
(xi) ord5 (— 13,23),
(xiv) ordj03 (— 1/309),
11. Докажите, что ordp ((pN)l) = 1 + p + p2+  + £
(iii) ord3 57, <
(vi) ord3 (7/9)/
(ix)ord3(—13,23),
(xii)ordjj(-13,23),
(xv) ord3 (91).
N — 1.
ordp ((apN)l) =
12. Пусть Os/as/p—1.
= a(!+p + p2 + ... + pA’-!).
Докажите, что
13.	Пусть n = a0 4- atp + a2p2 Д-... Д- asps есть р-ичное разло-
жение натурального числа п, где 0 s'а; ас р — 1. Положим Sn —
= at (сумма коэффициентов р-ичного разложения). Докажите,
что
°rdp(n!)=^ZT-
14. Вычислите \а~Ь\, т. е.
где:
(i)a=l, 6 = 26, р = 5;
(iii) a = !, 6 = 26, р = 3;
(v)a=l, 6 = 244, р = 3;
(vii)a=l, 6 = 1/243, р = 3;
(ix) a= 1, 6= 183, р = 7;
(xi) а— 1, 6=183, р=оо;
(xiii) a = (9!)2/3o, 6 = 0> р = 3;
(xv) a = 22jV/(22V)1 , 6 = 0, p = 2.
р-адическое расстояние от а до 6.
(ii)a=l, 6 = 26, р=оо;
(iv)a = l/9, 6 = —1/16, р = 5:
(vi)a = l, 6=1/244, р = 3;
(viii) a= 1, 6=183, р= 13;
(x)a=l, 6= 183, р = 2;
(xii)a=91, 6 = 0, р = 3;
(xiv) a = 22'V/2'V, 6 = 0, р = 2;
15.	Объясните словами, в чем смысл неравенства | х | «с 1
для рационального числа х?
16.	Пусть x = (Q. Докажите, что lirn \xl/i\ L = 0 тогда и только
1 —♦ СО
тогда, когда ordpx^l для р =# 2 и ord2x>2.
17.	Пусть х—ненулевое рациональное число. Докажите, что
произведение чисел | х \р по всем простым р и р = оо равно
1: J[ | х |р = 1. (Отметим, что у этого «бесконечного произведения»
р
в действительности лишь конечное число сомножителей, отличных
от 1.)
18.	Пусть р — простое число. Докажите, что каждая последо-
вательность целых чисел содержит подпоследовательность Коши
относительно нормы i \р.
19.	Пусть х е (Q и | х ip s' 1 для всех простых р. Докажите,
что хе
§ 3. Как строится поле комплексных чисел
19
§ 3. КАК СТРОИТСЯ ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
Теперь у нас есть новое понятие расстояния между
рациональными числами: два рациональных числа в
такой метрике тем ближе, чем на большую степень
некоторого фиксированного простого р делится их раз-
ность. Чтобы работать с такими «р-адическими метри-
ками», нам придется увеличить поле рациональных
чисел (Q, подобно тому как в случае классической
архимедовой метрики | | оно пополняется до поля веще-
ственных чисел R и затем расширяется до поля ком-
плексных чисел ©. Поэтому прежде всего вспомним,
как это делается.
Начнем с еще более ранней ступени, которая логи-
чески и исторически предшествовала определению
поля (Q. Будем исходить из множества натуральных
чисел IN = {1, 2, 3, ...}. Каждый шаг на пути от IN к С
можно мотивировать желанием делать без каких-либо
ограничений следующие две операции:
(1) решать полиномиальные уравнения;
(2) находить пределы последовательностей Коши,
т. е. так «заполнить пробелы» в числовой системе,
чтобы в новой числовой системе каждая последователь-
ность Коши имела предел.
Прежде всего на этом пути можно ввести множество
всех целых чисел Z (включающее 0, —1, —2, ...) как
множество решений уравнений вида
а + х = b, a, b е IN.
После этого можно определить рациональные числа
как решения уравнений вида
ax — b, a, b е Z-
Пока что метрика не использовалась.
Один из возможных способов точного определения
вещественных чисел заключается в рассмотрении мно-
жества 5, состоящего из последовательностей Коши
рациональных чисел. Назовем две последовательности
} е S и s2 = {b/} е 5 эквивалентными и будем
писать s1~s2, если | Qj — bj |	0 при Очевидно,
20
Гл. I. р-адические числа
~ есть отношение эквивалентности, так как: (1) каж-
дая последовательность s эквивалентна сама себе;
(2) если	то s2~si; (3) если s1~-'S2 и s2~s3,
то Si^Sg. Определим теперь R как множество классов
эквивалентности последовательностей Коши рациональ-
ных чисел. На этом множестве нетрудно определить
операции сложения, умножения и нахождения обрат-
ного относительно сложения и умножения, а затем
показать, что R является полем. Хотя на первый
взгляд это определение кажется громоздким и чересчур
абстрактным, тем не менее оно приводит в точности
к старинному образу вещественной числовой прямой,
которая допускает простое наглядное представление.
Нечто подобное произойдет, когда мы станем рабо-
тать с | |р вместо | |. Начав с абстрактного определе-
ния р-адического пополнения поля ©, мы придем к
числовой системе с очень прозрачной структурой,
которую обозначим
Вернемся к нашему историческому экскурсу, где
мы добрались до R. Обратившись снова к первому
методу расширения числовой системы — добавлению
корней уравнений, математики сочли, что неплохо
иметь в запасе числа, которые позволяли бы решать
такие уравнения, как х1 24-1=0. (Здесь мы излагаем
логический ход событий; исторически введение комп-
лексных чисел предшествовало строгому определению
вещественных чисел в терминах последовательностей
Коши.) Тут произошло нечто удивительное! Как только
было введено число (= ]/ — 1 и определено поле ком-
плексных чисел вида a-\-bi, a, beR, оказалось, что:
(1) все полиномиальные уравнения с коэффициен-
тами в © разрешимы в © — это знаменитая основная
теорема алгебры (короче можно сказать так: поле ©
алгебраически замкнуто);
(2) поле © полно относительно (единственной) нормы,
продолжающей норму | | с R (эта норма задается фор-
мулой | а 4- (д' | = j/"a2 _|_ ^2), т. е. каждая последователь-
ность Коши {а/-\-Ьр} имеет предел вида а-\-Ы (так
как {оу} и {by}—также последовательности Коши в R,
то в качестве а и b берутся их пределы).
§ 4. Поле р-адических чисел 21
Итак, в данном случае процесс оканчивается на (С,
которое есть всего лишь «квадратичное расширение»
поля R (т. е. оно получается присоединением корня
квадратного уравнения х2-© 1 = 0). Поле © алгебраически
замкнуто и полно относительно архимедовой метрики.
Но увы! В случае нормы | \р все не так просто.
Построив (Е)р, пополнение (Q относительно | |р, нам
придется затем образовать бесконечную последователь-
ность расширений, задаваемых присоединением корней
уравнений старших степеней (не только квадратных).
Хуже того, построенное в результате алгебраически
замкнутое поле, которое обозначается через ©р, не
полно. Поэтому нужно будет «заткнуть дыры» в этом
и так уже громадном поле, что приведет к еще боль-
шему полю й.
А что потом? Не придется ли еще увеличивать й,
для того чтобы стали разрешимы все полиномиальные
уравнения с коэффициентами в й? Не будет ли этот
процесс продолжаться все дальше и дальше, как раз-
вертывающаяся спираль все более искусственных
абстракций? К счастью, тут вмешивается ангел-храни-
тель р-адического анализа, и уже поле Й оказывается
алгебраически замкнутым и полным. На этом наш поиск
неархимедова аналога поля © заканчивается.
Но это поле й, удобная числовая система, на кото-
рой можно было бы изучать р-адический вариант клас-
сического анализа, к сожалению, понято гораздо хуже,
чем ©. Как заметил И. М. Гельфанд, даже некоторые
из простейших вопросов, например описание всех
©)р-линейных автоморфизмов поля й, остаются пока
открытыми.
Итак, начнем наше путешествие к й.
§ 4. ПОЛЕ р-АДИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ
До конца этой главы р обозначает фиксированное
простое число.
Пусть 5 —множество таких последовательностей
{а(} рациональных чисел, что при любом е>0 суще-
ствует такое N, что | а,-— а,--|р < 8 при i, i'>N. Две
такие последовательности {<?,} и {&(}, называемые после-
22
Гл. 1. р-адические числа
довательностями Коши, считаются эквивалентными, если
I я,- — Ь{ |р-> 0 при i -> оо . Множество (Е)р, по определению,
есть множество классов эквивалентности этих последо-
вательностей Коши.
Пусть х е (Q. Обозначим через {х} «постоянную»
последовательность Коши, все члены которой равны х.
Очевидно, {х} ~ {х'} тогда и только тогда, когда х —х'.
Класс {0} обозначим просто через 0.
Определим норму | |р класса эквивалентности а как
предел Пш|я,|р, где {я,-} — некоторый представитель
I —+ со
класса а. Этот предел существует, так как:
(1) если я = 0, то lim|a,-|p = 0 по определению;
(2) если я #= 0, то для некоторого е > 0 и любого N
существует	с |я^|р>е.
Действительно, если N выбрано настолько большим,
что | я,-— Яр |р < е при i, I' > N, то
I Ui " UiN Ip < 6 ДЛЯ ВСеХ 1>N-
Так как | aiN е, то | а, \р = | aifJ |р по принципу равно-
бедренного треугольника. Поэтому | а{ |р имеет постоян-
ное значение | aiN |р при всех	А тогда предел
lim | at |р равен этому постоянному значению.
I —* со
Следует отметить одно существенное отличие рас-
сматриваемого сейчас процесса пополненйя от пополне-
ния (Q до R. Когда мы переходим от Q к R, область
возможных значений функции | | = | [«, увеличивается
до множества всех неотрицательных вещественных чисел.
С другой стороны, при переходе от (Q к (Qp множество
возможных значений | |р, а именно {pn}ni=z U {0}. оста-
ется одним и тем же.
Пусть а и Ь — два класса эквивалентности рассмат-
риваемых последовательностей Коши, а {я;} е а и
{bi]^b — их произвольные представители. Определим
а-b как класс эквивалентности последовательности
Коши {я,- Ь{}. Если {я|}ея, {Ь}} е Ь — другие предста-
вители, то
| a'tb'i - atbt \p = \a't (b't - b,) + bt (a} — a,) |p •
sC max (| a} lb} - bt) |p, | bt (a} - at) |p).
ft 4. Поле р-адических чисел
Первое выражение в последней строке при г->оо стре-
мится к	—bf|p = O, а второе —к | b |рX
xlim ]Of — aJp = 0. Следовательно, {a£b£} ~ {аД}.
Подобным же образом можно определить сумму двух
классов эквивалентности последовательностей Коши,
выбрав по последовательности в каждом из этих классов,
сложив их почленно, а затем показав, что класс суммы
зависит только от классов слагаемых. Аналогично опре-
деляется обратный класс относительно сложения.
Определяя обратный класс относительно умножения,
нужно соблюдать осторожность, ибо в последователь-
ности Коши могут встретиться нулевые члены. Однако
легко увидеть, что каждая последовательность Коши
эквивалентна некоторой последовательности Коши без
нулевых членов (заменим, например, все а, = 0 на
a'i = р1). Рассмотрим после этого последовательность
{1/а,}. Она будет последовательностью Коши, за исклю-
чением случая	т. е. {а,} ~{0}. Более того, если
{аг} ~ {«;} и среди ait a'i нет нулей, то, как легко дока-
зать, {I/O;} ~ {1/Д}.
После этого нетрудно установить, что множество (Qp
классов эквивалентности последовательностей Коши
вместе с введенными на нем операциями сложения,
умножения и нахождения обратных элементов является
полем. Проверим, например, дистрибутивность. Пусть
{а,}, Д}, {с,} — представители классов а, Ь, с<=(^р.
Тогда а(Ь-{-с) есть класс эквивалентности последова-
тельности
{а;(Ь; + с,)} = {аД + а£С;},
но ab-\-ac также совпадает с классом эквивалентности
этой последовательности.
Поле (Q можно отождествить с подполем в (Qp, кото-
рое состоит из классов, содержащих постоянные после-
довательности Коши.
И, наконец, легко доказать полноту поля (Qp. Дей-
ствительно, пусть 2, — последовательность клас-
сов эквивалентности, являющаяся последовательностью
Коши в (Qp. Выберем в каждом члене а> этой последова-
тельности по представителю, т. е. по последователь-
ности Коши рациональных чисел {a;£}£-i, 2,...- Тогда,
24
Гл. I. р-адические числа
как легко показать, предел последовательности равен
классу эквивалентности последовательности {ву}/.-1,2,.. •
Проведение доказательства мы оставляем читателю.
Вероятно, в каждом курсе или семинаре полезно
проделать один раз все хлопотные проверки такого рода,
чтобы не забыть полностью об аксиоматическом осно-
вании, на котором покоится все остальное. В этом
частном случае абстрактный подход позволяет, кроме
того, сравнить р-адическую конструкцию с конструкцией
вещественных чисел и убедиться в логическом совпаде-
нии этих процедур. Однако после доказательства сле-
дующей теоремы благоразумно как можно быстрее
забыть все, что связано с классами эквивалентности
последовательностей Коши, и начать мыслить более
конкретными понятиями.
Теорема 2. Каждый класс эквивалентности а из (Qp
с | а |р<; 1 содержит ровно одну последовательность Коши
целых чисел {а,-}, для которой:
(1)	O-Caz<p' при i=l, 2, 3, ...;
(2)	at = ai+l (modр‘) при i=l, 2, 3, ....
Доказательство. Докажем прежде всего единствен-
ность. Если другая последовательность, удовлетво-
ряющая (1) и (2), то aio^=a'i0 для некоторого i0. Отсюда
aia^a'i0 (modp‘°), так как оба эти числа расположены
между 0 и рК Но тогда для каждого i io имеем
at = aio ^а'{„ = a} (mod р1‘), т. е. а^а'{ (mod р1'»). Следо-
вательно,
\ai-at\p> 1/р‘°
для всех ie=zi0 и {а,} {аД.
Теперь предположим, что задана некоторая после-
довательность Коши {Ь^ е а и мы хотим найти эквива-
лентную ей последовательность {а,}, удовлетворяющую
(1) и (2). Используем для этого одну простую лемму.
Лемма. Пусть /ёеЩ и | х \р sg 1. Тогда для любого
натурального I существует целое a = Z, для которого
|а — х |р р_‘. Более того, такое а можно выбрать из
множества (0, 1, 2, 3, ..., р' —1|.
§ 4. Поле р-адических чисел
25
Доказательство леммы. Пусть х = а/Ь — несократимая
дробь. Тогда р не делит Ь, так как |x|psgl. Следова-
тельно, b и р‘ взаимно просты. Поэтому можно найти
два целых числа т и п, для которых mb-\-np‘=\.
Положим а = ат. Идея дальнейшего вычисления заклю-
чается в том, что число mb отличается от 1 на р-ади-
чески малую величину и, значит, т хорошо прибли-
жает 1/6, а потому ат хорошо приближает х = а/Ь.
Точнее, имеет место оценка
] а — х \р = j ат — (alb) \р = I a/b | mb — 1 |р -g
•g | mb - 1 \p = | np‘ \p = | n \p/p‘ -g 1/p1'-
Наконец, для того чтобы число а принадлежало ука-
занному в лемме интервалу целых чисел между 0 и р‘,
достаточно добавить к нему подходящее кратное р‘;
при этом неравенство а —х -Ср‘ сохранится. Лемма
доказана. □
Вернемся к доказательству теоремы. Пусть {Ь,} —
наша последовательность Коши. Сопоставим каждому
/=1, 2, 3, ... такое натуральное число N (j), что
j bi — b^ jp sgp i при любых i, i'^N(j). (Мы можем
считать, что последовательность чисел N(j) строго воз-
растает с увеличением /; в частности, N(j)^j.) Тогда
I bi |р sg 1 при r g- У (1), потому что для любого i' gs N (1)
| bi |р -g max (j b^ \p, \ bi — bi'\p)^max(\bi'\p, \/p),
a \ bi'\p-+\a\p^l при i'->oo.
По предыдущей лемме мы можем найти теперь после-
довательность целых чисел ар, для которой OsgtiyCp' и
Iй; Ьх (/) |р 1 !р' •
Утверждается, что последовательность {а;-\ удовлетво-
ряет всем необходимым требованиям. Очевидно, для
этого достаточно проверить сравнения а7-+1 == a- (mod pi)
и эквивалентность {6,} ~ Первое следует из нера-
венств
laj+i—ajl—la/+i—(/+1) -\~btf (7+1)—6д, (7)—(а/ — Ьх (7-)) |psg
sg max (I a7+1 — bN (y+1) |p, | b^ </+i) —
— bN (j) |p, | af — bN |p) =g
sg max (1//V+1, 1 /pi, 1 /pi) = 1 /p'.
26
Гл. I. р-адические числа
Для доказательства второго утверждения возьмем про-
извольное /. Тогда для любого (/)
\ai ~ t>i Ip = I di — О/ +«/ —	— (bi — btf (7-)) |p sg
max (\ai-aj\p, \a/-bN(/)\p, \b{-bN(/)\pX
<max(lK 1/pJ,
Поэтому | at — bi |p->0 при г->оо, и теорема доказана. □
Что делать, если наше р-адическое число а не
удовлетворяет неравенству \а |р^ 1? В этом случае умно-
жим а на подходящую степень рт числа р (например,
на степень числа р, равную \а\р) так, чтобы новое
р-адическое число а' = арт уже удовлетворяло нера-
венству a' |p«g 1. Выберем затем в соответствии с тео-
ремой 2 последовательность {a'i}, представляющую а'.
Тогда число а = а'р~т представляется последователь-
ностью {а;} с ai = a'ip-m.
Для удобства запишем теперь все числа a'i после-
довательности, соответствующей о', в р-ичной системе
счисления, т. е. положим
ai = bo + bip + bzp2 +... + bi~ipl~\
где коэффициенты bj обозначают «р-ичные знаки», т. е.
целые числа из множества {0, 1, ..., р—^.Сравне-
ние G7==a'+1(mod р‘) из теоремы 2 эквивалентно тому,
что все знаки числа
ам. = Ьо + bip + ЬгР2 + - • • + Ь/-1Р;_1 + Ь<р‘>
от Ьо до bi-i включительно, совпадают с соответствую-
щими знаками числа а}. Поэтому а' можно представлять
себе интуитивно как число, имеющее бесконечную
вправо р-ичную запись: всякий раз, переходя от а{
к a'i+1, мы добавляем в этой записи новый знак.
Теперь и наше исходное число а можно представ-
лять себе как р-ичное число с конечным числом зна-
ков «направо от запятой» (т. е. знаков, соответствую-
щих отрицательным степеням р; в нашей записи они
начинаются слева), но с бесконечным числом знаков
при положительных степенях р:
«=^ + Д + --- + b-^ + bm + bm+1p + bm+2p* + ....
§ 4. Поле р-адических чисел
27
Пока что правую часть этого равенства следует пони-
мать как сокращенную запись последовательности^},
где ai = bup~m-lr-...-lr-bi_1pi-1-m, т. е. как удобный спо-
соб изображения сразу всей последовательности {а;}.
Вскоре мы убедимся, что в некотором точном смысле
это равенство есть «настоящее равенство». Оно назы-
вается «р-адическим разложением» числа а.
Пусть = {а е (Qp |ajpsgl}. Это множество всех
чисел из (Qp, р-адическое разложение которых не содер-
жит отрицательных степеней р. Элементы Zp назы-
ваются целыми р-адическими числами. (Чтобы избежать
путаницы, начиная с этого места обычные целые из Z мы
называем целыми рациональными.) Сумма, разность и
произведение двух элементов из Zp снова принадлежат
ZP. Поэтому Zp — подкольцо поля (Qp.
Пусть a, b е (Qp. Мы пишем a = b (mod рп), если
| а — b |р р-п, или, эквивалентно, (а — Ь)/рп 1Р, т. е.
если первый отличный от нуля знак в р-адическом
разложении числа а — b встречается не ранее, чем на
рл-м месте. В случае когда а и b лежат не только в
(Е?р, но также и в Z (т. е. они целые рациональные),
это определение согласуется с данным выше определе-
нием сравнения a==b(modc) для с = рп.
В дальнейшем через Zp будем обозначать мно-
жество {х е Zp 1/х е Zp}, или, эквивалентно, {х е Zp|
x^O(modp)}, или, эквивалентно, {xeZp |х|р=1}.
Целые р-адические числа из Zp, т. е. числа, имеющие
ненулевой первый знак, называют иногда р-адическими
единицами.
Пусть теперь {6;}^_m — произвольная последова-
тельность целых р-адических чисел. Рассмотрим
частичные суммы
S.X’ = ~ргп + рт-1 • • • + Ьо Ь±р 4-Ь2р2 + . • •JrbNpN.
Последовательность, состоящая из этих сумм, является
последовательностью Коши: если Л1>М, то |S^v — 5,м!р<
< l/pN. Следовательно, она сходится к некоторому эле-
менту из (Qp. Как и в случае бесконечных рядов вещест-
28
Гл. I. р-адические числа
СО
венных чисел, определим У Ь,р‘ как предел после-
i = — т
довательности частичных сумм в (Qp.	\
Более общо, если {с,-} — произвольная последова-
тельность р-адических чисел и |С/|р->0 при г'-^-оо,
то последовательность частичных сумм SN = сг + с2 + • .
.. .Н-Су сходится к пределу, который обозначается через
со
, с,. В самом деле, — S,y |р = |	• •
I = 1
• •- + см |Р max ('Слч-i Ip, I c.v:-2 |р, • ••> сЛ)!р), а потому
—>-0 при М->со. Отсюда видно, что проверять схо-
димость бесконечных р-адических рядов проще, чем
бесконечных рядов вещественных чисел. Ряд сходится
в поле (Qp тогда и только тогда, когда последователь-
ность его членов стремится к нулю. В р-адическом
случае нет ничего подобного гармоническому ряду
1 +у + у + у+ • • • вещественных чисел, который рас-
ходится, несмотря на то, что его члены стремятся к 0.
Напомним, почему это так: норма | |р суммы двух чисел
не превосходит максимума (а не суммы) норм слагаемых,
если р оо, т. е. если норма | |р неархимедона.
Вернемся к р-адическим разложениям. Бесконечный
ряд
+  + b-y1 + ^m + bmJrip-Srbm^2pi + ...
(здесь bt е {0, 1, 2, ..., р —1}) в определении р-адиче-
ского разложения сходится к а. Значит, это выражение
можно истолковать содержательно как сумму бесконеч-
ного ряда.
Отметим, что утверждаемая в теореме 2 единствен-
ность не имеет места в архимедовом случае. Так, вся-
кая конечная десятичная дробь может быть записана
и в виде десятичной дроби с бесконечно повторяющейся
цифрой 9 на конце, например 1 = 0,9999 .... В про-
тивоположность этому два р-адических разложения,
сходящихся к одному и тому же числу из (Qp, совпа-
дают, т. е. имеют все одинаковые знаки.
§ 5, Арифметика а (Др
29
В заключение сделаем еще одно замечание. В каче-
стве множества р-ичных знаков мы могли бы выбрать
не только {О, I, 2, ..., р — 1}, но также и любое
другое множество S = {а0, аь а2, • • , an-i} целых р-ади-
ческих чисел, для которых «/==«'(mod р) при г = 0, 1,
2, ..., р — 1. Тогда р-адическое разложение можно
со
определить как сумму вида У, = bip‘, где теперь роль
i = — m
«знаков» bt играют элементы множества S, а не мно-
жества {0, 1..... р—	1}. Множество {0, 1,..., р— 1}
подходит для почти всех надобностей. Тем не менее
существует другое множество S, в некоторых отноше-
ниях более естественное. Это множество так называ-
емых представителей Тейхмюллера (см. ниже упр. 12).
§ б. АРИФМЕТИКА В
Техника выполнения операций сложения, вычитания,
умножения и деления р-адических чисел во многом
напоминает соответствующие операции с десятичными
дробями, изучаемые в начальной школе. Единственное
отличие в том, что «занимание», «перенос в другой
разряд», «умножение столбиком» и т. д. делаются слева
направо, а не справа налево. Вот несколько примеров
вычислений в (Q7:
3 + 6х7 + 2х7г + ...
Х44-5Х7+ 1Х724-...
5 + 4х7-Н х72 + ...
1 х7 + 4 х72 +...
Зх72 + ...
5 + 5X7 + 4х72 + ...
1 + 2x7 + 4 х 72 + •• •
1 + 6x7+ 1 х72 + ...
Зх7 + 2х72 + ...
Зх7 + 5х72 + ...
4х72 + ...
4Х72 + ...
2х7-1 +0х7° + Зх71+...
4х7-1 + 6х7° + 5х71+...
5х7-1 + 0х7° + 4х71+...
3 + 5x7+ 1 х72+...
5+1 х7 + 6х72 + ...
30 Гл. I. р-адические числа
В качестве еще одного примера попробуем извлечь
корень ]/б в (Q6. Мы хотим найти последовательность
целых чисел а0, alt а2....для которой 0г^<2,^4 и
(а0 + х 54-а2 х 524-.. .)2 = 1 4- 1 х 5.
Сравнивая коэффициенты при 1=5° в обеих частях
равенства, получаем сгй = 1 (mod 5), откуда а0 = 1 или 4.
Возьмем а0=1. Тогда, сравнивая коэффициенты при 5
в обеих частях, получаем 2а4х5= 1 х52(mod52). Сле-
довательно, 2a1 = l(mod5) и а4 = 3. На следующем
шаге мы должны решить сравнение
1 4-1 х 5 = (1 4- 3x5 4-а2 х 52)2 =
= 1 4~ 1 X 5 4- 2а2 х 52 (mod 53).
Следовательно, 2n2 = 0(mod5) и а2 = 0. Продолжая
этот процесс далее, получаем ряд
а=14-Зх54-0х524-4х534-а4х544-а5х554-...,
в котором каждый коэффициент а, определяется одно-
значно после выбора а0.
Напомним, однако, что при выборе а0 мы имели
две возможности, а именно 1 или 4. А если бы мы
выбрали 4, а не 1? В этом случае мы получили бы
— а = 4 4-1 х54-4х524~0х534-
4-(4 — а4) х 54 4~(4 — а5? х554~... .
Тот факт, что для а0 имеется два возможных выбора
и что, когда выбор сделан, последующие числа alt а2,
а3,... определены однозначно, просто отражает то обстоя-
тельство, что в таких полях, как (Q, R или (Qp, если
у ненулевого элемента есть хоть один квадратный
корень, то их ровно два.
Всякое ли число из (Q5 имеет квадратный корень?
Мы видели, что 6 имеет. А 7? Из равенства
(а0 4- а4 х 5 4- • • -)2 = 2 4-1 х 5
следовало бы сравнение а2 == 2 (mod 5). Но оно неразре-
шимо—это легко установить перебором всех значений
Оо = 0, 1, 2, 3, 4. Поэтому 7 не имеет квадратного
корня в (Q5. Более систематическое представление о
квадратных корнях в (Qp можно получить из упр. 5—11,
§ 5. Арифметика в Qp
31
Как показывает следующая важная «лемма», изло-
женный выше метод решения уравнения х2 — 6 = 0 в
(Е)в— решение сравнения — 6 = 0(mod 5) и затем пос-
ледовательное нахождение остальных а,- —является
весьма общим.
Теорема 3 (лемма Гензеля). Пусть F (х) = с0 + CiX-J-...
... + спхп — многочлен с целыми р-адическими коэффи-
циентами, a F' (х) = с1 + 2с2х + Зс3х2 -|-... -|- пСпХ^1 — его
производная. Предположим, что а0 — целое р-адическое
число, для которого F(o0)=0(modp), a F' (о0)^0 (modp).
Тогда существует единственное целое р-адическое число а,
такое, что
F(a) — 0 и a = a0(modp).
(Замечание. В нашем примере /7(х)=х2 — 6, F' (х) =
= 2х, а0= 1.)
Доказательство леммы Гензеля. Прежде всего утвер-
ждается существование и единственность последователь-
ности целых рациональных чисел аг, а2, а3.......для
которой при любом п 1:
(1)	F (ап) s 0 (mod pn+1);
(2)	an=Ean_1(modp'1);
(3)	0^ап</?л+1.
Докажем это индукцией по п.
Пусть п = 1. Обозначим через й0 единственное целое
число из множества (0, 1......р— 1}, сравнимое с а0
по модулю р. Тогда всякое alt удовлетворяющее (2)
и (3), можно представить в виде c0-(-bjp, где 0
р — 1. Рассмотрим выражение F(a()-]-b1p) и рас-
кроем в нем скобки, помня, что нас интересует резуль-
тат только по модулю р2, так что все члены, делящиеся
на р2, можно опускать:
F (aj = F (а0 + Ьщ) = £ ct (а0 + Ьгр)‘ =
=	++ члены, делящиеся на р2) =
S сга„ + (£ /с/йо-1) btp (mod р2) =
32 Гл. I. р-адические числа
(Обратите внимание на сходство с формулой из анализа
для приближения первого порядкафункции рядом Тей-
лора: F (х4-й) = F (x)4-Fz (х) й 4-члены более высокого
порядка.) По предположению, F (а0) == 0 (mod р), откуда
F (й0) = ар (mod р2) для некоторого а е {0, 1,..., р — 1}.
Поэтому сравнение F (аг) = 0 (mod р2) эквивалентно
сравнению ар 4- F' (d0)bip==0(modp2), или a4-/’’'(<20)bi=
= 0(modp). Так как, по предположению, F'(а0)^±
^O(modp), последнее сравнение разрешимо относительно
неизвестного by. Действительно, пользуясь леммой из
доказательства теоремы 2, выберем такое by е {0, 1, ...
..., р— 1}, что bi == — a/F' (а0) (mod р). Очевидно, bi е
е {0, 1, ..., р — 1}, удовлетворяющее данному усло-
вию, единственно.
Теперь, переходя к общему шагу индукции, пред-
положим, что мы уже отыскали а1г а2, .... an-i-
Требуется найти ап. По условиям (2) и (3) это число
вида ап = ап^ + Ьпрп, где Ьп е {0, 1, ..., р—1}.
Раскроем скобки и приведем выражение F (ап_у 4- Ьпрп)
к подходящему виду, как и выше в случае л=1,
только на этот раз не будем учитывать члены, деля-
щиеся на рл+1. Получим
F (ап) = F (ап_у 4- bnpn) == F (ал_г) 4- F' (ап^) bnpn (mod рл+1).
Так как по индуктивному предположению F(a„_1) =
= 0(modpn), то F (ап_у) = а'рп (mod рл+1). Нужное нам
условие F (ап) = 0 (mod рл+1) принимает вид
а'рл 4-F'(щ^) йлрл = 0 (mod рл+1), т. е.
а' 4- F' (ап-у) bn^0 (mod р).
Из сравнения ап-у s= ай (mod р) легко вывести, что
F' (a„_!) s= F' (ао)^О (mod р). Тогда требуемое Ьп е
е {0, 1, ..., р —1} находится точно так же, как и by
в рассмотренном выше случае, т. е. из сравнения
bn = — a'/F' (ал-1) (mod р). На этом индукция заканчи-
вается, и наше утверждение доказано.
Теорема следует теперь непосредственно из этого
утверждения. Действительно, возьмем а = а0-\-Ьур-\-
4-&2Р2 + ---- Тогда р-адическое число F (а) равно О,
так как F (a)=F (ап) = 0 (mod рл+1) для всех п. Обратно,
§ 5. Арифметика a (Dp
33
если а удовлетворяет требованиям теоремы и а = а0 +
+ Ь1.р + Ь2рг-\-... — его р-адическое разложение, то после-
довательность {а„} удовлетворяет требованиям доказан-
ного утверждения. Отсюда получаем единственность
такой последовательности, а значит, и единственность
искомого а. Лемма Гензеля доказана. □
Лемму Гензеля часто называют р-адической леммой
Ньютона, потому что метод последовательного прибли-
жения, использованный в ее доказательстве, по существу
Рис. 1.1. Метод Ньютона в вещественном случае.
совпадает с методом Ньютона нахождения вещественного
корня вещественного многочлена. Если f' (ап^) =# 0, то
в вещественном случае по методу Ньютона в качестве
следующего приближения берется
(см. рис. I.]). Поправочный член — f (an^t)/f (а^) в этой
формуле очень похож на «поправочный член» в дока-
34
Гл. I. р-адические числа
зательстве леммы Гензеля:
ЬпрП	“ рУЧ — “ Fto"1) <mod Рл+1>-
Г \ап~1) г \и п-1)
Но в одном отношении р-адический метод Ньютона
(лемма Гензеля) лучше, чем метод Ньютона в вещест-
венном случае. В р-адическом варианте гарантирована
сходимость к некоторому корню многочлена. В веще-
ственном же случае метод Ньютона обычно сходится,
Рис. 1.2. Неудачное применение метода Ньютона в вещественном
случае.
но —не всегда. Например, если мы рассмотрим /(х) =
= х3 — х и сделаем неудачный выбор а0— l/p^S, то
получим
аг = 1/К5 - [1/5 V5 - 1/К5]/(3/5 - 1) =
= (1/У5) [1 - (1/5 - 1)/(3/5 - 1)] = - 1/К5;
a2=l/K5; а3 = —1/^5
и т. д. (см. рис. 1.2). В такая несуразица невозможна.
Упражнения
1.	Пусть а е (Qp имеет р-адическое разложение а~тр~т -f-
-Ь a_m+1p_'7l+1 + ... + ао+щр ... . Как выглядит р-адическое раз-
ложение — а?
§ S. Арифметика a (QP
35
2.	Найдите р-адическое разложение для:
(i)	(6 + 4x7 + 2x72+1x73+...) (3+0x7+0x72+6x73+...)
в (Q7 с четырьмя знаками;
(ii)	1/(3 + 2x5+3x52+1 х53 + ...) в ©5 с четырьмя знаками;
(iii)	9х 112—(3X11-1+2+1 X 11*+Зх 112+-•) в (Quс четырьмя
знаками;
(iv)	2/3 в (Q2;	(v)	—1/6 в (Q7;	(vi)	1/10	в (Цц;
(vii) —9/16 в (Q13;	(viii)	1/1000 в (Qs;	(ix)	6! в	(Q3;
(x) 1/3! в (Q3;	(xi)	1/4! в (Q2;	(xii)	1/5!	в (Qs.
3.	Докажите, что р-адическое разложение числа а е (Qp обры-
вается (т. е. аг=0 для всех I, больших некоторого N) тогда
и только тогда, когда а является положительным рациональным
числом со знаменателем, равным степени р.
4.	Докажите, что р-адическое разложение числа a s (Qp начи-
ная с некоторого места периодично (т. е. аг-+г = а1- при некотором г
и всех i, больших некоторого N) тогда и только тогда, когда
a s (Q.
5.	Докажите, следующее обобщение леммы Гензеля. Пусть
F (х) — многочлен с коэффициентами в Zp- Если для некоторого
мы имеем F (а0) = 0 (mod р2ЛГ|1), F' ( а0) = 0 (mod рм),
но F' (oq) 0 (mod рм 1 г), то существует и притом единственное
a s Zp, Для которого F (а) =0 и а = а0 (mod рм+1).
6.	Воспользовавшись своим доказательством упр. 5, найдите
квадратный корень из — 7 в (Q3 с пятью знаками.
7.	Какие из следующих 11-адических чисел имеют квадратные
корни в (Q11?
(1) 5;	(И) 7; (iii) -7;
(iv)	5 + Зх И +9х 112+ 1 х 113;
(v)	Зх11-2 + 6хН-1 + 3 + 0хП+7х112;
(vi)	3х 11—1+ 6 + 3х 11 + 0х 112 + 7х 11Э;
(vii) 1хП7; (viii) 7 —6х ll2; (ix) 5хИ-2+ 2 лхИя.
п = 0
8.	Вычислите + V—1 в (Q13 с четырьмя знаками.
9.	Для каких р = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 можно извлечь
квадратный корень из —1 в (Qp?
10.	Пусть р —произвольное нечетное простое число. Предполо-
жим, что а е (Qp и а,р— 1. Опишите способ узнать, существует
или нет квадратный корень из а в ©р. Как действовать, если
|а !р=Л 1? Докажите существование такой четверки чисел а4, а2,
а3, а4 s (Qp, что для любого отличного от нуля а е (Пр среди
чисел а4а, а2а, а3а, а4а ровно одно имеет квадратный корень
в (Qp. (Если заменить р на со, a (Qp на IP, то существуют два
числа, например + 1, таких, что для любого ненулевого asp ровно
одно из чисел 1 а и —1 - а имеет квадратный корень в R.)
Гл. 1. р-адические числа
11.	Решите ту же задачу, что и в упр. 10, для р = 2. В этом
случае требуется иайти восемь чисел at, .... а8 е (Q2, таких, что
для любого ненулевого aeQ2 ровно одно из чисел ata, ... , a8a
имеет квадратный корень в {Ц2- (Конечно, выбор такой восьмерки
alt ..., a8 не однозначен.)
12.	Найдите первые четыре знака р-адических разложений
всех четырех корней степени 4 из 1 в (Q6. Докажите, что уравне-
ние хР — х = 0 всегда имеет р решений ав, at, ...ap.x в QJp, для
которых a,-=i(modp). Эти р чисел называются представителями
Тейхмюллера для {0, 1, 2, .... р— 1} и используются иногда
в качестве р-ичных знаков вместо {0, 1, 2....р—1}.
13.	Докажите следующий «признак неприводимости Эйзен-
штейна». Пусть f (х) = a0 + ai-*:+.. • + апхп — многочлен с коэф-
фициентами а, s Zp- Если ai = 0(mod р) при I = 0, 1, 2, ... , п — 1,
ап 0 (mod р) и а(, 0(mod р2), то f (х) неприводим над (Е)р, т. е.
не представим в виде произведения двух многочленов меньшей
степени с коэффит и нтали в (Е)р.
14.	Используя упр. 13, покажите, что 1 не имеет других кор-
ней степени р, кроме 1, в (Е)р при р > 2. (Указание: подставьте
р = х—1 в (хР— 1)/(х — 1).) Докажите это также другим способом:
представьте любой такой корень х в виде 1 ргх', где х' 1р=1,
а г >0 — некоторое целое (объясните, почему xes 1 (mod р)), затем
это выражение для х возведите в степень р, раскройте скобки
и сравните коэффициенты при степенях р.
15.	Докажите, что ряд 1 +р + р2 + р3Ц-... сходится к 1/(1 — р)
в (Qp- К чему сходятся 1 — р+р2 —р3+р4 —р?+... и 1 + (р—1)р +
+ р2+(р — 1)р3+р4+(р — 1)Р5+...?
16.	Предположим, что л —целое (положительное или отрица-
тельное) число, не делящееся иа р, и a = 1 (modp). Покажите,
что а имеет корень степени п в (Qp. Приведите пример, показы-
вающий, что при р — п это неверно. Покажите, что а имеет корень
степени р, если a = 1 (mod р2) и р -Е 2.
17.	Пусть a s 1р. Докажите сравнения а.Рм~ аРм~г (mod рм)
для М = 1, 2, 3, 4....Докажите, что последовательность }
стремится к некоторому пределу в Щр и что этот предел равен
представителю Тейхмюллера, сравнимому с а по модулю р.
18.	Докажите, что 1р секвенциально компактно, т. е. что
каждая последовательность целых р-адических чисел содержит
сходяшуюся подпоследовательность.
19.	Рассмотрим матрицы с элементами в Щр. Суммы, произ-
ведения и определители этих матриц задаются точно так же, как
и в вешественном случае. Пусть М = {гхг-матрицы с элементами
в Ip}, Mx={AeMi А обратима в М) (легко видеть, что это
равносильно условию det А е 1р ), и пусть рМ = {А е М | А = рВ,
где В е М}. Докажите, что если А е Мх и В е рМ, то суще-
ствует единственная матрица XеМх, для которой X2-AX-(-B=Q.
Глава II
р-АДИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА
Эта глава логически не связана с последующими
и помещена здесь как плато (по уровню абстракции)
на середине нашего восхождения к Q. Все происхо-
дящее в этой главе еще не выходит за рамки полей (Q,
Ор И R.
Дзета-функция Римана £ определяется на множестве
вещественных чисел > 1 формулой
ОО
aS 2 П*'
п — 1
/ 00
Легко установить (сравнивая с интегралом j (dx/xs) =
= l/(s — 1) при фиксированном s> сходимость этой
суммы при S > 1.
Пусть р — произвольное простое число. Цель этой
главы заключается в доказательстве некоторой «р-ади-
ческой непрерывности» последовательности чисел g (2k)
для й=1, 2, 3, .... Точнее, пусть 2k пробегает все
четные положительные целые числа из фиксированного
класса вычетов по модулю р— 1. Сопоставим каждому
из них значение
f(2k) = (]-p^)^(2k),
где ck = (—l)ft (2k — 1) I/22*-1. Оказывается, число f(2k)
всегда рационально. Кроме того, если два числа вида 2k
из рассматриваемого класса вычетов р-адически близки
(т. е. их разность делится на большую степень р), то,
как мы увидим в дальнейшем, соответствующие иод
38 Гл. II. р-адическая интерполяция дзета-функции Римана
значения f (2k) также р-адически близки. (При этом
нам понадобится еще одно предположение: 2k не
делится на р— 1.) По существу это означает, что функ-
цию f можно однозначно продолжить до непрерывной
функции f, определенной на множестве целых р-адических
чисел и принимающей значения в (Qp. (Непрерывность
понимается здесь, как в классическом анализе: если
{х„} р-адически сходится к х, то {f (х„)} р-адически
сходится к f (х).)
Эту процедуру мы называем р-адической интерпо-
ляцией. Она аналогична классическому методу, скажем,
определения функции )(х)=ах (где а —фиксированное
вещественное положительное число): сначала опреде-
ляем значения / (х) для рациональных х, затем доказы-
ваем близость значений ах при близких рациональных х
и в заключение определяем ах для иррационального х
как предел а*п по рациональным хп, стремящимся к х.
Отметим, что любую функцию f на множестве S,
например, четных положительных чисел можно про-
должить до непрерывной функции на 2Р не более чем
одним способом (при ру=2). Это следует из плотности
подмножества S в Zp: любое xeZp представимо в виде
предела последовательности целых четных положи-
тельных чисел хп. Действительно, если f — непрерывная
функция, то f (х) = lim f (хп). В вещественном же случае
Л —* 00
множество рациональных чисел плотно в R, a S —нет.
Поэтому условие непрерывности не определяет еще
вещественную интерполяцию функции, заданной на мно-
жестве четных положительных чисел. Таких интерпо-
ляций всегда бесконечно много. (Однако при некоторых
дополнительных требованиях на вещественную интер-
полирующую функцию, помимо непрерывности, она
может оказаться единственной. Например, гамма-функ-
ция Г (х+ 1) интерполирует kl для целых неотрицатель-
ных x = k. Кроме того, она удовлетворяет функцио-
нальному уравнению Г (х-|- 1) = хГ (х) при всех вещест-
венных х, а ее логарифм является выпуклой функцией
при х>0. Этими условиями гамма-функция характери-
зуется однозначно.)
§ 1. Формула для значений t(2k)
89
§ 1. ФОРМУЛА ДЛЯ ЗНАЧЕНИЙ g (2й)
Рассмотрим следующее разложение Тейлора:
t =______________1_______________
е'—1 ~ 1+^/2!+/2/3!+^/4! + ... + ^/(„+1)!+... =
33 J
k = 0
Произведение k-vo коэффициента этого степенного ряда
на k\ называется /г-м числом Бернулли и обозначается
через Bk. Вот несколько первых В*:
Во=1, Вг = — 1/2, В2=1/6, В3 = 0,
В4 = —1/30, В5 = 0, Вв=1/42.....
В этом параграфе мы установим формулу
U2^) = (-ir^^n(-^) для £= 1, 2, 3.............
Напомним определение гиперболического синуса,
обозначаемого через sh:
Для него мы имеем следующее разложение Тейлора:
уЗ	у 5	у 2 А 4*1
shx = % + gj- + gj- + ... + (2£+ J) J + . . . ,
которое получается усреднением соответствующих рядов
для ех и — е~х. Отметим, что он отличается от ряда
Тейлора для sinx отсутствием чередования знаков.
Предложение. Бесконечное произведение
00
л= 1
сходится при любом вещественном х и равно sh (лх).
Доказательство. Сходимость следует непосредст-
венно из логарифмического признака:
00	со
22 5<о° при любом х-
п= 1	/>•= 1
40 Гл. II. р-адическая интерполяция дзета-функции Римана
Доказательству равенства мы предпошлем вывод
разложения в бесконечное произведение для sinx.
Лемма. Пусть п = 2k + 1 — целое нечетное положи-
тельное число. Тогда существуют многочлены Рп и Qn-r
с целыми коэффициентами степени, не превосходящей
пип—] соответственно, такие, что
sin (пх) = Рп (sin х), cos (пх) = cos х Qn-x (sin х).
Доказательство леммы. Воспользуемся индукцией
по k. Для й = 0 (т. е. п=]) лемма очевидна. Пред-
положим, что она уже доказана для k— 1. Тогда
sin [(26 + 1) х] = sin [(2k — 1) х-(- 2х] =
= sin (2k — l)xcos2x+ cos(2& — l)xsin2x=
= Pik-i (sin x) (1 — 2 sin2 x) +
4- cos xQ.2k-2 (sin x) 2 sin x^os x,
откуда легко получить нужное представление вида
P2ft+i(sinx). Проверка соответствующего утверждения
для cos(2&+l)* аналогична, и мы оставляем ее чита-
телю. □
Продолжим теперь доказательство предложения.
Прежде всего, подставив х = 0 в тождество sin/ix =
= P„(sinx), мы устанавливаем, что постоянный член
у Рп равен нулю. Затем, продифференцировав sin пх —
= Рп (sin х) по х, получим
п cos пх = Р'п (sin х) COS X.
Подставим в это тождество х = 0; мы увидим, что
п = Р'п(0), т. е. первый коэффициент многочлена Рп
равен п. Следовательно,
= P2k(sinx) = 1+aisinx+n2sin2x + ...
П эШ X
.. •+ а2к sin 2ftx (п = 2&+1)>
где а,- — некоторые рациональные числа. Отметим теперь,
что левая часть обращается в нуль при х = ±л/н, ...
...,± kzi[n. Кроме того, все 2k значений t/ = ±sinn/n,
± sin 2л/н,..., sin ka/n, в которых обращается в нуль
многочлен Р2к (у), различны; степень P2k равна 2k,
§ 1. Формула для значений t,(2k)
41
а постоянный член равен 1. Поэтому
k
Следовательно,
sin2 X \
sin2 гл/nJ ‘
Подставив лх/п вместо х, получаем
sin лх
п sin лх/п
k
sin2 лх/п
sin2 гл/п
Перейдем теперь к пределу при n = 2k-{-1 -у со в обеих
частях последнего тождества. Левая часть стремится
к (sin лх)/лх. При г, достаточно малом по сравнению
с п, г-н член произведения близок к 1 — {(лх/п)/(лг/п))2 =
= 1 — х2/г2. Отсюда следует, что произведение сходится
00
к (1 —х2/г2). (Строгую проверку мы оставляем чита-
г -- 1
телю в качестве одного из приведенных ниже упраж-
нений.)
Таким образом,
00
П/. ____ X2'( _ sin лх . Л2Х2 , л4х4 л8х8 , л8х8
V п2)~"~лГ"={	зГ+-5! 7Г+ "9Г
п = I
Правая часть—это разложение синуса в ряд Тейлора.
С другой стороны,
sh лх  1 , л2х2 , л4х4 , лвхв , л8х8 ,
~лх~ ~ 1 ЗГ + “5Г + 7Г + "9Г	’
42 Гл. II. р-адическая интерполяция дзета-функции Римана
Если мы раскроем скобки в бесконечном произведении
для sin (лх)/лх, то знак минус будет только у тех
членов, которые содержат нечетное число сомножителей
вида №/п2, т. е. в точности у тех членов, которые
подобны членам со знаком минус в ряде Тейлора для
sin (лх)/лх. Следовательно, изменение знака внутри сомно-
жителей полученного разложения вызовет изменение в
ряде справа всех минусов на плюсы, что и доказывает
требуемое равенство. (Для «лучшего» понимания этого
завершающего шага см. упр. 3.) □
Теперь мы готовы доказать обещанную выше
формулу.
Теорема 4.
Доказательство. Прологарифмируем обе части тож-
дества
sh лх — лх
(при х>0). Слева мы получим
log sh лх = log [(еЯх — е~я*)/2] = log [(еЯх/2) (1 — е~2я*)] =
= log (1 — е-2яД -ф лх — log 2.
Справа, пользуясь разложением Тейлора функции
log(l +*), получим
log л + log х + J1, log (1+№/п2) =
п = 1
00 оо
= 1 ogл + logX + 2 2
n=1k=1
Последний двойной ряд сходится абсолютно при 0<х<
<1. Поэтому можно изменить в нем порядок суммиро-
§ 1. Формула для значений j(2k)
.43
вания и получить тождество
log (1 —е~2пх) 4- лх — log 2 =
со г	оо	
log" + log х + 2 (-1)fe41V 2 i
k = 1 _	n= 1
co
= log л-f-logx-f-	(—C(2&).
t = i
Продифференцируем теперь обе части этого тожде-
ства по х. Ряд справа можно дифференцировать поч-
ленно, так как ряд из производных сходится равно-
мерно на каждом интервале 0<х<;1—е при е>0.
Следовательно,
СО
g^ + n=| + 2 2 (-1)^х2^(2£).
k = i
Умножив на х, а затем подставив х/2 вместо х, получим
лх , лх _ , . VI (-!)*+! L (2k) 2k
елх _ 1 Т 2	'	г2^-1	’
k= I
Левая часть разлагается в ряд лх/2 + У Вк(лх)к/1г1.
fe = O
Сравнивая коэффициенты при четных степенях х, полу-
чаем равенство лгк B2k/(2k)\ = ((—l)fc+1/22fc-1) С (2&), что
и завершает доказательство теоремы. □
Вот несколько примеров:
Формула для С (2&) из теоремы 4 предусмотрительно
записана в таком виде, в котором выделены «интересная»
часть —B2kl2k и нежелательный множитель (—1)ьл2*х
x22ft-1/(2^—1)!. Именно эту интересную часть мы и
будем р-адически интерполировать. Позднее (в § 7) мы
представим некоторые мотивы для выделения —Bikfik
44 Гл. //. р-адическая интерполяция дзета-функции Римана
«из общего котла». Пока отметим лишь, что от л26
обязательно следует избавиться при р-адической интер-
поляции значений дзета-функции, поскольку нет разум-
ной р-адической интерпретации вещественных трансцен-
дентных чисел. (Как определить, например, их р-ади-
ческий порядок?)
§ 2. р-АДИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ФУНКЦИИ /(s)=as
Этот параграф сыграет свою роль в дальнейшем
изложении. Сюда же он помещен в учебных целях: как
на макете, мы ознакомимся с некоторыми чертами
р-адической интерполяции, которые могли бы иначе
вызвать недоумение.
Пусть а — некоторое фиксированное положительное
вещественное число. Мы уже отмечали выше, что функ-
цию f(s) = as можно определить как непрерывную функ-
цию вещественного аргумента, задав ее сначала на
множестве рациональных чисел, а затем «интерполируя»
или «продолжая по непрерывности» на все вещественные
числа, каждое из которых представимо в виде предела
последовательности рациональных чисел.
Предположим теперь, что а = п — некоторое фикси-
рованное целое положительное число. Будем рассмат-
ривать п как элемент {Qp. Тогда для каждого целого
неотрицательного s целое число ns принадлежит Zp.
Множество всех целых неотрицательных чисел плотно
в Zp, как и множество Q в R. Действительно, каждое
целое р-адическое число представимо как предел после-
довательности целых неотрицательных чисел (например,
последовательности частичных сумм его р-адического
разложения). Поэтому функцию f(s) = ns можно попы-
таться продолжить по непрерывности с множества целых
неотрицательных s на все целые р-адические s.
Для этого необходимо выяснить, близки ли два
значения ns и ns' для близких целых положительных s
и s', например для s' = s -ф pN при достаточно большом N.
Как показывают следующие два примера, это верно
не всегда:
(1) п = р, s = 0; тогда In-* — ns'jp = | 1 — ppN\P= 1
независимо от М;
§ 2. р-адическая интерполяция функции f(s) = a:
45
(2) 1<п<р; тогда по малой теореме Ферьр (см.
первый абзац в доказательстве теоремы 9 из § III. 1)
п = пр (mod р), поэтому п == п? = п₽2 ==№ = ...
... = npN (mod р); отсюда ns — ns+pN = ns(l — npN) =
ns (1 — n)(modp), а значит, |ni — ns'|p = l независимо от N.
Но наше положение не столь безнадежно, как может
показаться после двух таких примеров. Рассмотрим
такое п, что n=l(modp), т. е. п=\-\-тр. Пусть
|s' — s|psg l!pN, иными словами, s' = s-\-s"pN для неко-
торого s’gZ Тогда (если, скажем, s'>s)
| ns - ns' \р = | ns |p | 1 - ns'~s |p = | 1 - ns'~s |p =
= il-(l + mp/₽A' |p.
Но из разложения
(1 + mp)s'pN = 1 + (s”pN) trip + —	(mp)2 +...
... + (mp)s"pN
видно, что слагаемые в 1 — (1 ф- mp)s pV делятся на рУ+1.
Следовательно,
\ns-ns’\p^\p^1\p=-~.
Иначе говоря, если s’—s делится на pN, то ns — ns’
делится на pN+1.
Итак, если п=1 (modp), то мы можем определить
значение функции f(s) = ns для любого целого р-адиче-
ского s как целое р-адическое число, равное пределу
значений ns‘ по любой последовательности целых неотри-
цательных чисел Si, стремящейся к s (например, по
последовательности частичных сумм р-адического раз-
ложения s). Тогда /(s) — непрерывная функция на Zp
со значениями в Zp.
Можно добиться чуть большего и определить п“ для
любого п, не делящегося на р. С этой целью потребуем,
кроме сравнимости чисел s и s' по модулю большой
степени р, их сравнимости по модулю р — 1. Точнее,
фиксируем некоторое s0 е {0, 1, 2, 3, ..., р —2} и
вместо того, чтобы рассматривать значения /Г для всех
46 Гл. II. р-адическая интерполяция дзета-функции Римана
целых неотрицательных s, рассмотрим значения п3 только
для s, сравнимых с фиксированным s0 по модулю р — 1.
Пусть s = s0 + (р — 1) Si, где Sj — произвольное неотрица-
тельное целое число. Тогда выделенные значения при-
водят к числам	(р-1,1 После этого мы можем про-
вести р-адическую интерполяцию, так как
ns = ns° (np~r)s'
и пр-1 = 1 (mod р) для любого п, не делящегося на р.
Действительно, здесь пр-1 играет ту же роль, что и п
в предыдущем абзаце, a Si — роль s (постоянный мно-
житель ns« несуществен).
В результате мы получили интерполирующую функ-
цию /, которую можно ввести еще так. Пусть SS[1—
множество целых неотрицательных чисел, сравнимых
с s0 по модулю р — 1. Множество Ss„ плотно в Zp
(см. ниже упр. 7). Тогда функцию /: SSo->Zp, заданную
формулой f(s') = ns, можно однозначно продолжить по
непрерывности до функции /: ZP->ZP. Заметим, что
так определенная функция f зависит от s0, а не только
от п.
В случае когда n = 0 (mod р), мы сталкиваемся
с действительной трудностью. Это происходит потому,
что ns> 0 р-адически для любой возрастающей после-
довательности целых неотрицательных чисел. В самом
деле, любая последовательность целых неотрицательных
чисел, стремящихся к числу s е Zp, которое не является
целым неотрицательным числом, содержит бесконечно
возрастающую подпоследовательность. Поэтому единст-
венным кандидатом на роль интерполирующей функции
в этом случае будет нулевая функция, что нелепо.
В заключение отметим, что предыдущие рассуждения
дословно переносятся на случай функции \/ns (см.
ниже упр. 8).
Вернемся снова к дзета-функции Римана
СО
п = I
Можно попытаться наивно проинтерполировать каждый
член ряда C(s) и затем сложить результаты. Но из
§ 2. р-адическая интерполяция функции f(s)*=a*47
этого ничего не выйдет, потому что уже сумма одних
только поддающихся интерполяции членов, для кото-
рых р п, расходится в Zp. Тем не менее давайте
временно забудем про это и рассмотрим ряд почленно.
Прежде всего желательно избавиться от всех чле-
нов \/ns, для которых п делится на р. Сделаем это
следующим образом:
СО	со
2	2	=
n = l, pJp n	n = l, p]n
co	co	co
= У -7+ У -F7 = У A + ^C(S);
ш ns ' psns	ns	'
n-^.p^n	п=1	n = l,p^n
CO
£	= 1 - l/ps 2 ns'
n = 1, p 'j' n
В дальнейшем мы будем работать именно с этой послед-
ней суммой
со
п = 1, р п
Эта процедура известна как выделение эйлерова р-мно-
жителя. Название связано со знаменитой формулой
Us) =	1 —W
простые q
(см. ниже упр. 1). Множитель 1/(1 — l/qs) в этом про-
изведении, соответствующий простому числу q, называ-
ется эйлеровым q-множителем. Таким образом, умножая
C(s) на (1 — l/ps), мы уничтожаем эйлеров р-множитель
и получаем
П
простые qcfzp
Теперь мы намерены выбрать s0 е {0, 1, 2,..., р — 2}
и ограничить область изменения аргумента до множе-
ства всея s <= SSq = {s | s = So(modp— 1)}.
48 Гл. II. р-адическая интерполяция дзета-функции Римана
В дальнейшем окажется, что введенные в § 1 числа
— B2y2k после умножения на 1 — р^-1 могут быть
проинтерполированы для 2k^S2s„ (2s0 е {О, 2, 4, ...
..., р — 3}). Отметим здесь, что умножение происходит
не на [1 — (1/р2*)], как можно было бы ожидать, а на
эйлеров множитель с аргументом 1 — 2k вместо 2k-.
1 — (l/p1-2fr) = 1 — p2fr-1. Причина довольно естественной
замены 261 — 2k будет объяснена в § 7. (Мы увидим,
что «интересующий нас множитель» — B2ltl2k в £(2£)
равен в действительности £(1—26); значения С(х) и
С(1 — х) связаны между собой некоторым «функциональ-
ным уравнением».)
Точнее, мы установим следующий факт: если 2k,
2k'^S2k„ (где 2k0 е {2, 4...р — 3}; в случае /г0 = О
формулировка немного сложнее) и k = k' (mod pN), то
(см. § 6)	<
(1 _p2fe-i) (_в2*/2Аг) = (1 -p2fe'-1)(—B2fc72^')(modpA''+1).
Эти сравнения впервые были открыты Куммером около
ста лет назад. Но их интерпретация в связи с р-ади-
ческой интерполяцией ^-функции Римана была получена
только в 1964 г. Куботой и Леопольдтом.
Упражнения
1.	Докажите, что для s > 1
t(s)- П
простые q
2.	Докажите, что при п = 2£-)-1 ->оо
k
П1 — sin2 (лх/л)/sin2 (лг/л)	,
1-х2/г2
/•= 1
3.	Используя формулу eix = cos x-J- i sin x, покажите, что
shx = —i sin ix. Затем другим способом выведите бесконечное
произведение для sh х из произведения для sin х.
4.	Докажите, что Вд, = О для нечетных k> 1.
5.	Используя формулу для £ (2£) в сочетании с асимптотической
формулой Стирлинга п! ~ У2лл ппе~п (где знак ~ означает, что
отношение обеих частей стремится к 1 при л->оо), вычислите
асимптотику обычной архимедовой абсолютной величины для В3^.
§ 2. р-адическая интерполяция функции f(s)=q.>
49
6.	Вычислите с четырьмя знаками р-адическую функцию из
§ 2 в следующих случаях:
(I) И1/601 в ф6;	(п) /1710 в ф3;
(iii)	(_6)2 + 4-7 + 3-72 + 7’+... в Q7.
7.	Пусть so е {0, 1, .... р — 2}. Докажите, что множество
целых неотрицательных чисел, сравнимых с s0 по модулю р —1,
плотно в Zo, т. е. каждое число из Zp приближается этими чис-
лами с любой степенью точности.
8.	Что произойдет, если в рассуждениях § 2 целое положи-
тельное число п заменить на ng Zp? А если вместо функции
f(s)=ns рассмотреть f (s) = l/ns? Заметим, что последнее эквива-
лентно выбору в качестве плотного подмножества в Zp множества
неположительных целых чисел вместо неотрицательных пря той же
интерполируемой функции /.
9.	Рассмотрим функцию /, заданную на множестве целых
положительных чисел следующим образом:
( *’
%(«) = { -1,
если
если
если
п = 1 (mod 4);
п = 3 (mod 4);
2 [ п.
Положим (s) эд У (х (n)/ns)= 1 — (1/3S) + (1/5S) — (I/”-')-]-....
n = 1
Докажите, что (s) сходится при s > 0, а при s > 1 сходится
абсолютно. Найдите Ly_ (1). Найдите также эйлеровы произведения
для L? (s) и L*(s)^ У (x(n)/ns). (Оказывается, для зна-
л P? I. р п
чений Lx(2£+1) (т. е. здесь для нечетных аргументов вместо
четных) существует формула, аналогичная формуле теоремы 4: число
/	tc'
n n! • | коэффициент при tn в —-—----------------
заменяет Вп.)
е~{/1
Замечание. Упражнение 9 относится к частному случаю сле-
дующей ситуации. Пусть Д' —целое положительное число, а
(Z/WZ)*— мультипликативная группа классов вычетов по модулю
N целых чисел, взаимно простых с /V. Пусть у: (Z/'VZ)*Сх —
гомоморфизм группы (Z/WZ? в мультипликативную группу нену-
левых элементов поля комплексных чисел. (Легко установить, что
образу х в С принадлежат только корни из 1.) Гомоморфизм х
называется характером группы (Z/A’Z)'. Предположим, что X —
примитивный характер, т. е. не существует целого /И, делящего N,
для которого 1 -С М < N и значения х на элементах из (Z/jVZ)x
зависят только от их класса по модулю Л4. Обозначим через х
также функцию на множестве всех целых чисел п, равную
X (п mod N) для п, взаимно простых с N, и 0 в остальных случаях.
Такая функция х называется характером Дирихле с кондуктором N.
50 Гл. П. р-адическая интерполяция дзета-функции Римана
Определим теперь
п = 1
Для этой функции можно найти явную формулу, подобную фор-
муле из теоремы 4: число
fix, п jjj п! • коэффициент при tn в
заменит Вп. Эта формула задает значения 7Х для четных целых,
если /_(—1)=1> и для нечетных, если %(—1)=—1. (См. книгу
Ивасавы [(c) 1].)
Кроме того, имеет место явная формула
N — \
Т (у) V ~ 1 I • ап
~nL X («) log sm
а~ 1
N — 1
ШТ (х) V - , ч
т- 2 х(а)-а>
если	/_(—1) = 1;
если х(—1) = — 1,
где черта над у обозначает комплексное сопряжение характера:
% (а) та Х(а)> а числа
Чх)та S х(«)*2п'а/ЛГ
а — 1
известны как гауссовы суммы. (Доказательство этого факта можно
найти, например, в книге Боревича и Шафаревича [(b) 1],
стр. 442 — 444.)
10.	Используя предыдущую формулу для Lx (1), проверьте
полученное вами значение Lx (1) в упр. 9. Докажите также, что:
,„ч	1	1	,	1	1 । 1	1 | 1	1	।	,	1
(а? 1	2'	4	5	7	8	10 11 "•‘I'3*4-1
____!_+
3*4-2 З/З ’
,w 1-1- 1 , L , 1 _ l_2
1 ' 1	3	5 *' 7	9	11	13	15	17	19 21
J_ _ log (14-/2)
+ ?3 + -	/2
§ 3. р-адические распределения 61
§ 3. р-АДИЧЕСКИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
В качестве «базиса открытых множеств» метрического
пространства (Qp можно взять систему множеств а Д
+ pNZp = {х<=Qp| |х — a\p^\ipN\, гдеае^р) a.VeZ.
Это означает, что любое открытое подмножество в (Qp
представимо в виде объединения открытых множеств
такого вида. Множества a-\-pNZp в этой главе назы-
ваются интервалами (в других местах мы часто будем
называть их дисками') и обозначаются также через
<з + (Рлг)- Отметим, что все интервалы одновременно
открыты и замкнуты. Они замкнуты, так как дополне-
ние к a+(p/v) равно объединению открытых множеств
a' -\-(pN) по всем а' е (Qp, для которых а' a-\-(pN).
Напомним, что пространство Zp секвенциально ком-
пактно, т. е. каждая последовательность целых р-ади-
ческих чисел содержит сходящуюся подпоследователь-
ность (см. упр. 18 к § 1.5). Очевидно, то же самое
справедливо для любого интервала или их конечного
объединения. Для любого метрического пространства X
секвенциальная компактность некоторого подмножества
S а X эквивалентна следующему свойству, называемому
просто компактностью-, если S содержится в объеди-
нении открытых множеств, то оно содержится в неко-
тором объединении конечного числа этих множеств
(каждое открытое покрытие обладает конечным под-
покрытием). (См. Симмонс [(а) 1], § 24; эта книга
является хорошей сводкой понятий из общей тополо-
гии1).) Отсюда следует, что открытое подмножество
в (Е)р компактно тогда и только тогда, когда оно есть
объединение конечного числа интервалов (см. ниже
упр. 1). Такие подмножества, называемые «компактно-
открытыми», все время появляются в этом параграфе.
Определение. Пусть X и Y —два топологических
пространства. Отображение f: X -> У называется
локально постоянным, если каждая точка хе X обла-
дает такой окрестностью U, что f (U) — одноэлементное
подмножество У.
Ч См. также Куратовский [(а) 6], т, 1, § 41.— Прим, перев.
52 Гл. II. р-адическая интерполяция дзета-функции Римана
Очевидно, любая локально постоянная функция
непрерывна.
В классическом анализе понятие локально постоян-
ной функции малоупотребительно, потому что обычно
все такие функции постоянны. Последнее верно для
всякого связного X, например для R и 0.
Но у нас X будет компактно-открытым подмноже-
ством в (Е)р (как правило, Zp или ZP = {х е Zp I ) х \р = 1}).
На таких пространствах существует много нетривиаль-
ных локально постоянных функций. Точнее, f\ X->(QP
локально постоянна тогда и только тогда, когда f
представима в виде конечной линейной комбинации
характеристических функций компактно-открытых под-
множеств (см. ниже упр. 4).
Локально постоянные функции играют для р-ади-
ческих подпространств X ту же роль, что ступенчатые
функции при определении интеграла Римана в случае
X = R.
Пусть теперь X — компактно-открытое подпростран-
ство в (Qp, такое, как Zp или Zp-
Определение. Линейный над (Qp гомоморфизм р
(Е)р-векторного пространства локально постоянных функ-
ций на X в ©р называется р-адическим распределением
на X. Пусть X-> (Qp — некоторая локально постоян-
ная функция. Вместо р(/) мы обычно пишем fit.
Эквивалентное определение (см. ниже упр. 4). Адди,
тивное отображение р множества компактно-открытых
подмножеств в X со значениями в (Qp называется р-ади-
ческим распределением на X. Аддитивность означает,
что для всякого разбиения множества U cz X на ком-
пактно-открытые подмножества Ult U2.......Un
р (t/) = р (t/j) -Т р (U2) + •.. -Т р (Un).
Эквивалентность определений означает, что всякое
р во втором смысле однозначно «продолжается» до един-
ственного р в первом смысле, и наоборот, всякое р
в первом смысле «ограничивается» до некоторого р
во втором смысле. Точнее, пусть р — распределение
§ 3. р-адические распределения 53
в смысле первого определения. Тогда, положив
p(t/) =
= $ (характеристическая функция подмножества U) р
для каждого компактно-открытого подмножества U, мы
получим распределение (также обозначаемое через р)
в смысле второго определения. Обратно, если мы имеем
распределение р в смысле второго определения, то соот-
ветствующее распределение в первом смысле задается
(Qp-линейным продолжением с множества характеристи-
ческих функций, для которых полагаем
J (характеристическая функция подмножества (7)р =
= p(t/).
Итак, значение ^р для локально постоянной f легко
вычислить, зная .разложение f в линейную комбинацию
характеристических функций.
Предложение. Каждое отображение р множества
интервалов, содержащихся в X, в (Qp, для которого
р—г
р (а+ (pN)) = 2 И (а + bPN + (PN + ’))
ь = о
при любом a-\-(pN) cz X, однозначно продолжается до р-
адического распределения на X.
Доказательство. Каждое компактно-открытое под-
множество U с X можно представить в виде конечного
объединения непересекающихся интервалов: U = |J Ц
(см. упр. 1). Положим тогда р (U) У, р (/,). (В силу
аддитивности искомого р, это значение p (U) единственно
возможное.) Проверим теперь независимость р (U) от
выбора разбиения множества U на интервалы Для этого
заметим прежде всего, что любые два разбиения U =
= U Ц и U = (J I't на непересекающиеся интервалы
имеют общее подразбиение (более мелкое, чем каждое
из исходных) 7j = |j7y, причем если It = a + (pN), то
/
54 Гл. II. р-адическая интерполяция дзета-функции Римана
1ц пробегает все интервалы вида a'-\-(pN'), где N' —
некоторое фиксированное натуральное число >Л\
а а' =а (mod pN). Тогда, применяя несколько раз фор-
мулу из условий предложения, мы получаем
ц (7,) = р (а + (pN)) =	2 P(a + iPN + (PN’)) =
Z = 0
= S ц(Л/).
/
Следовательно, У, р (7г) = У р (1ц). Отсюда У р (7г) =
i	I. /	i
= У р (7г), потому что обе части равны сумме по общему
i
подразбиению. Теперь аддитивность р очевидна. А имен-
но, пусть U—объединениенепересекающихся U,. Разобьем
каждое U, в объединение непересекающихся интервалов
1ц. Тогда U = J1ц и
Л /
ц (U) = S Р (1ц) = S S Р (Л/) = S Р (Ui). □
Z, i	i I	i
Приведем теперь несколько простых примеров р-
адических распределений.
(1)	Распределение Хаара рнааг. Положим
РНааг (& (PN))tef ц .
По предыдущему предложению, эта функция продол-
жается до распределения на Zp, так как
р-i	р-i
2 ЦНааг(а + 6рЛГ + (рЛГ + ,))= 2 -дГ+7 = 4 =
6=0	ь = оР	Р
= рнааг (a + (PN)).
Это единственное (с точностью до постоянного мно-
жителя) распределение, инвариантное относительно
сдвигов, т. е. такое, что рнааг (о-р U) = рнааг (U) для всех
a<=Zp, где a + U ^ei{x <=ZP[ x — a^U}.
§ 3. р-адические распределения
55
(2)	Распределение Дирака ца, сосредоточенное в точке
cceZp (а фиксировано). Положим
( 1, если а е U,
о в противном случае.
Аддитивность ца очевидна. Отметим, что ^/ца = /(а) для
локально постоянных функций /.
(3)	Распределение Мазура цмагиг- Прежде всего без
ограничения общности запишем каждый интервал из Zp
в виде a-\-{pN), где а —целое рациональное число между
О и pN — 1. Предполагая это, зададим
HMazur (a + (pN))	- V-
р 2
Проверку аддитивности для цмагиг отложим до сле-
дующего параграфа, в котором она окажется частным
случаем некоторого более общего утверждения.
В заключение укажем на одно существенное отличие
распределений цнааг и pMazur от классических мер.
В этих двух примерах р-адических распределений мера
«стягивающегося» интервала (т. е. при М->оо) увели-
чивается в р-адической метрике, а именно:
|ЦНааг(й+(РУ))!р=|-^| =РУ
I Р 1р
и для р ф а (и в случае р = 2)
! PMazur (й+(РУ)) 1р =
1₽
С этой особенностью мы еще столкнемся ниже.
Упражнения
1.	Дайте прямое доказательство компактности Zp (т. е. суще-
ствования конечного подпокрытия для каждого открытого покры-
тия Zp). Затем докажите, что открытое подмножество в Zp ком-
пактно тогда и только тогда, когда оно представимо в виде
конечного объединения непересекающихся интервалов. Заметим,
что каждый интервал представим в виде конечного объединения
56 Гл. II. р-адическая интерполяция дзета-функции Римана
непересекающихся интервалов «равной длины»: a + (pn) = а ф-
+ &pn + (pn + 1). Докажите, что конечное повторное применение
последней процедуры позволяет получить любое разбиение интер-
вала в объединение непересекающихся подынтервалов.
2.	Приведите пример открытого некомпактного подмножества
в 1Р.
3.	Пусть U — открытое подмножество топологического про-
странства X, a f: X->-Z —его характеристическая функция, т. е.
Ш = { О
если х е X,
в противном случае.
Покажите, что f локально постоянна для X = ZP и любого ком-
пактно-открытого подмножества U, но не локально постоянна, если
X = |R и U — непустое открытое подмножество, отличное от R.
4.	Пусть X — компактно-открытое подмножество в (Qp. Пока-
жите, что функция f: X (Qp локально постоянна тогда и только
тогда, когда она равна конечной линейной комбинации с коэф-
фициентами в (Qp характеристических функций компактно-откры-
тых подмножеств в X. Затем докажите эквивалентность двух
определений распределения на X.
5.	Пусть tzeQp и ,а|р=1. Покажите, что Инааг(а^) =
= цНааг (U) для каждого открытого компактного подмножества U,
где aU обозначает множество {ах| xeU}.
6.	Пусть f: Zp-»-(Qp — локально постоянная функция, задан-
ная следующим способом: f (х) = первый знак р-адического раз-
ложения х. Найдите j /и, когда: (1) ц = распределение Дирака
Р-а’ (2) P = P'Haar: (3) P = PMazur-
7.	Пусть ц — функция на множестве интервалов a-\-(pN),
заданная формулой
+ если первые [jV/2] знаков
при нечетных степенях р
в р-адическом разложении
а равны О,
Н(а+(р")) =
в противном случае,
где [ ] — целая часть. Докажите, что и продолжается до распре-
деления на Zp-
8.	Обдумайте, как можно было бы построить примеры р-
адических распределений с разной степенью роста max I ц(аф-
o<a<pw
+ (pN)) Ip прн возрастании N.
§ 4. Распределения Бернулли
57
§ 4. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ БЕРНУЛЛИ
Прежде всего определим многочлены Бернулли Bk (х).
Рассмотрим следующую функцию от двух переменных
t и х:
Собирая коэффициенты этого произведения при tk, мы
получим для каждого k многочлен от х. Произведение
этого многочлена па k\ называется £-м многочленом
Бернулли и обозначается через Bk(x). Таким образом,
text
ef— 1
= 2
k= о
Вот несколько первых многочленов Бернулли:
В0(х) = 1, В1 (х) = х-1/2, В2(х) = х2-х + г/6,
В3 = х3 — 1/2х2-\-3/2х, ....
В этом параграфе, употребляя обозначение аф- (pN),
мы подразумеваем, что 0 а pN — 1. Фиксируем неко-
торое целое неотрицательное число k и определим ото-
бражение на множестве интервалов аф- (pN) фор-
мулой
PB.k(a + (pN)) = pN^-^Bk(a/pN).
Предложение. Функция рв, k продолжается до рас-
пределения на 1Р (называемого k-м распределением Бер-
нулли).
Доказательство. По предложению из § 3 доста-
точно показать, что
р —1
Ив, k (а ф- (pN)) = У, Цв. к(а+ЬрЛ' + (р" + 1)).
ь = 0
Правая часть равна
p(N + l)(k-l)
58 Гл. II. р-адическая интерполяция дзе&функции Римана
Умножим доказываемое соотношение на р—и и
положим a = a/pN + l. Тогда мы увидим, что необходимо
доказать соотношение
р — 1
В*(ра) = рА-1^ в*(а + у)-
ь = о
Правая часть, деленная на k\, равна по определению
многочленов Вк (х) коэффициенту при tk в разложении
Тейлора функции
Последний сомножитель получается суммированием гео-
р —1
метрической прогрессии У еь(1р. Далее находим
ь=о
снова по определению Bj(x). Следовательно, k! раз
взятый коэффициент этого ряда при tk совпадает с
(7)* = ^ (Ра)>
что и требовалось доказать. □
Несколько первых многочленов Вк (х) дают следую-
щие распределения:
PB,o(a + (PN)) = P~N,	т. е. рв, о = ЦнааГ;
Цв,1(а+(рУ)) = В1(-^) = 4 - V’ т> е- Нв, 1 = PMazun
Цв, 2 (а+ (PN)) = PN - ^ + 7) и т- д-
Можно показать, что среди всех многочленов много-
члены Бернулли единственные (с точностью до посто-
янного множителя), для которых можно задать распре-
деления указанным выше способом. Этот факт нам
не понадобится, поэтому мы его не доказываем. Однако
§ 5. Меры и интегрирование
59
следует отметить важную и уникальную роль много-
членов Бернулли В* (х) в р-адическом интегрировании.
Это окажется связанным с появлением чисел Бернулли
ВА (которые являются постоянными членами вк(*У,
см. ниже упр. 1) в доказанной выше формуле для £(2Л).
§ 5. МЕРЫ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ
Определение. Мерой называется р-адическое распре-
деление р на X, значения которого на открытых ком-
пактных подмножествах V cz X ограничены некоторой
константой Вер, т. е.
|р([/)|р^В для всех компактно-открытых UczX.
Распределение Дирака ра для любого фиксирован-
ного а е Zp является мерой, но ни одно из распре-
делений Бернулли не обладает этим свойством. Для
превращения распределений Бернулли в меры сущест-
вует стандартная процедура, называемая регуляризацией.
Прежде всего введем некоторые обозначения. Для
каждого ае Zp обозначим через {а}у целое рациональ-
ное число между 0 и pN — 1, сравнимое с a(modpy).
Для аеЩр и распределения р обозначим через ар
произведение этого распределения на а, т. е. (ар)([/) =
= а-(р([/)) для каждого компактно-открытого подмно-
жества U. И, наконец, если U cz (Qp — компактно-откры-
тое подмножество, а е (Qp и ау=0, то положим
af7	Легко проверить, что сумма
двух распределений (или мер) является распределением
(соответственно мерой), произведение ар распределения
(или меры) р на скаляр является распределением (соот-
ветственно мерой), а кроме того, если aeZp, ар —
распределение (или мера) на Zp, то функция р':
р' ([/) = р (at/) задает распределение (соответственно
меру) на Zp-
Рассмотрим целое рациональное а, отличное от 1 и
не делящееся на р. Регуляризованное распределение
Бернулли рв. к. а на Z, или, короче, р*, а, определяется
формулой
На. a (t/) Рв. k (U) -	»(at/).
60 Гл. II. р-адическая интерполяция дзета-функции Римана
Вскоре мы установим, что рА, а —мера. Во всяком
случае, как следует из замечаний в конце предыдущего
абзаца, это заведомо распределение.
Его легко вычислить явно при k = 0 или 1. Если
k = 0, ТО Цв, о = РНааг И, ОЧСВИДНО, Цо, а (^) = ° ДЛЯ
любого U (см. упр. 5 к § 3). При k=\ получаем
(где [ ] обозначает целую часть).
Предложение. Для всех компактно-открытых U cZp
I Pl, a(t/)!P^ 1.
Доказательство. Отметим, что (cr1 — 1)/2 е Zp, так
как 1/7EZ;, и 1/2 eZp, если р^=2. В случае р = 2
верно то же самое, потому что a'1 — 1 == 0 (mod 2).
Так как ['M/P'v]eZ, то по предыдущей формуле
Pt. а (о + (PN)) Zp. С другой стороны, любое компактно-
открытое множество U представимо в виде конечного
объединения непересекающихся интервалов /,-. Поэтому
I Pl, а (^) !Р шах I Pi. а (/,) |р === 1. □
Итак, pi a —мера. Это первый встретившийся нам
интересный пример р-адической меры. Вскоре мы уви-
дим, что мера р1л a играет почти такую же фундамен-
тальную роль в р-адическом интегрировании, как «dx»
в случае вещественного интегрирования.
Ниже мы докажем основное сравнение, связывающее
распределения цА, а и рг а. Его доказательство на пер-
вый взгляд кажется просто непривлекательным вычисле-
нием, но оно становится понятнее, если рассмотреть
аналогичную ситуацию из вещественного анализа. Пред-
положим, что мы вычисляем интеграл вида ^f{y^~x)dx
и хотим сделать замену переменных х>—*-xk, т. е.
перейти к вычислению интеграла $ f (х) d (xk). Далее
используется простое правило: d (xk)/dx = kx11-1. На са-
мом деле d (xk) можно рассматривать как «меру» рА
§ 5. Меры и интегрирование
61
на вещественной прямой, для которой ([a, b]) = bk — ak.
Тогда Ц! является обычной длиной. Соотношение
d (xk)/dx = kxh~l в сущности означает, что
lim ([a, b])/pi ([а, Ь]) = йа*-1.
Следовательно, заменяя ц*(7,) на ^х*-1р1(7() в интег-
ральных суммах Римана У, f (х,) ц* (/,), мы получим
при уменьшении длин всех 7, в пределе f(x) кхк~Д1х.
В доказательстве этого предельного соотношения
используется биномиальное разложение для (аф-Л)*
(где h = b — a'). В действительности важны только пер-
вые два члена этого разложения: ак -\-khak^. Подобно
этому в р-адическом случае при доказательстве асимп-
тотической формулы ц*. а (7)	а (7) для малых
интервалов 7, содержащих а, также используется бино-
миальное разложение. Таким образом, теорему 5 сле-
дует рассматривать как аналог теоремы из анализа,
утверждающей, что d (xk)idx = kx!l Y. (При этом можно
не обращать внимания на множители в обеих частях
сравн?ния из теоремы 5. Они означают лишь, что если
разделить обе части на dk, то pN заменится на pN~°TApdb,
где ordp dk — константа, не существенная при боль-
ших N.)
Теорема 5. Пусть dk — наименьшее общее кратное
знаменателей всех коэффициентов многочлена Вк (х):
dr = 2, d2 = &, d3 = 2 и т. д. Тогда
dkPk, a (fl + (pN)) = dk ka’1-1^, а (а + (pN)) (mod pN).
Доказательство. Из упр. 1 ниже следует, что мно-
гочлен Bk (х) начинается с
Baxk + kB^-1 +... = xk — ~ х11-1 + ... .
По определению,
dkPk, а (а + (И) = dkpN«-" (В.
\ \Р /	\ Р //
Многочлен dhBh (х) имеет целые коэффициенты и сте-
пень k- Поэтому в дальнейших рассмотрениях можно
62 Гл. II. р-адическая интерполяция дзета-функции Римана
учитывать только два его старших члена dhxk —
— dk (6/2) х*-1, ибо, так как х имеет знаменатель pN,
все остальные члены после умножения на рК(ь—С) ста,
новятся целыми, делящимися на pN. Кроме того, отме-
тим, что а.а = {aajjv (mod pN) и
{aa}w	аа	raa~
pN	pN |^ЛГ
Следовательно,
([ ]—-целая часть).
d^k,а (а + (р*)) = dllP" (*-)—- а-* Ц2"
\Р	\ р /
k { a)1-1
- (---------—
2 XpNUi-V)
— a^pN <*-»
k
- « ('afe-i _ cc-*p^ <*—«)
, ak'ak	raai
— a“* (^дГ ~ ka!< a I
& ,
- У <«'
.k~1 — a~k	(mod pN) =
aai
1/а — 1
2
= dkkak lulta(a + (pN)). □
Следствие. Распределение является мерой для
любого k — 1, 2, 3,... и любого ае Z, a pZ, a у= 1.
Доказательство. Мы должны установить ограничен-
ность чисел р*. а (а4- (р^). По теореме 5
PN
d-k р
\kak Vi, a (a 4- (pN)) Q
IPfe,a(«+(PV))lp^ ™ax
Ho Ip,,a(a+(py))|p< I, a dff фиксировано, q
§ 5. Меры и интегрирование
63
Для чего же мы суетились и превратили (регуля-
ризовали) распределения Бернулли в меры? Дело в том,
что если ц — неограниченное распределение, то интеграл
определен лишь для локально постоянных функ-
ций /, и при попытках распространить интегрирование
на непрерывные функции, рассматривая пределы рима-
новых сумм, возникают трудности.
Возьмем, например, ц = цнааг и простейшую функ-
цию /; Zp-^Zp, f{x') = x. Построим римановы суммы.
Для заданной функции f и каждого N разобьем Zn
p^-l
в объединение (J (а + (Ры))> выберем в а-м интервале
а = 0
произвольную точку xaiN и определим N-ю риманову
сумму функции /, соответствующую выбору точек
{ха, .у}, как
pN — 1
5л,-К. S / (^,л)н (« + (/’"))•
def а = 0
j
В нашем примере эта сумма равна ха, лг "W- ^а'
а — О
пример, при простейшем выборе ха. N = а получим
p^-i
Р~ы 2 a = p~N
д = 0
(pn-i)(pn) pN-i
2	2
При N ->-оо эта сумма имеет предел в (Qp, равный —1/2.
Но если одно из выбранных значений хо,Л = аеа+ (pN)
заменить на а 4- aopN е а -ф (pN) для каждого N, где
а0 — некоторое фиксированное целое р-адическое число,
то мы получим
(pN~X	\	N
Р-ЛЧ 2 a + flop" =^—+ а0,
' аг=0	/
что стремится к а0— 1/2. Следовательно, в этом случае
римановы суммы не имеют предела, который бы не
зависел от выбора точек в интервалах.
64 Гл. II. р-адическая интерполяция дзета-функции Римана
От «меры» р, мало толку, и она даже не заслужи-
вает названия меры, если по ней нельзя проинтегри-
ровать непрерывную функцию. (Здесь мы слегка преуве-
личиваем, см. ниже упр. 8—10.) Покажем теперь, что
с этой точки зрения ограниченные распределения имеют
право называться «мерами».
Напомним, что через X обозначается компактно-
открытое подмножество в (Qp, такое, например, как ZP
или Zxp. (Для простоты предположим, что X cl Zp-)
Теорема 6. Пусть р —некоторая р-адическая мера
на X, a f: X (Qp — непрерывная функция. Тогда суще-
ствует предел при N-^-co римановых сумм
SN-{xaN}= X f(Xa,N)U (а + (pN)')
def 0^n<pN
n + (pN)^X
(где суммирование ведется по всем а, для которых а -ф
4- (pN) с: X, a xa,N —точки, выбранные в a-}-(pNy), и
этот предел не зависит от выбора {хо>Л4-
Доказательство. Предположим, что | р (U) |р sg В для
всех компактно-открытых подмножеств U cl X. Оценим
вначале | S.v, {X(j — Sm, {xo M}|p ПРИ Л-1>У. Выберем
настолько большое натуральное /V, что каждый интер-
вал a-}-(pN') либо содержится в X, либо не пересекается
с ним. Это возможно в силу представимости X в виде
конечного объединения интервалов. Пользуясь адди-
тивностью ц, запишем 5/v, {хо следующим образом:
У f(Xa, N)p(a + (pM))
0 “L а < р^
a+(pM)c=X
(где а обозначает приведенный вычет числа а по модулю
pN J)). Кроме того, будем считать W настолько большим,
что (х) — f(y) !р<е, когда х = у (mod pN). (Отметим,
что, поскольку X компактно, из непрерывности следует
равномерная непрерывность; доказательство легко про-
вести самостоятельно или можно обратиться к книге
4 То есть наименьшее целое неотрицательное число, сравни-
мое с а по модулю oN, — Прим. перев.
§ 5. Меры и интегрирование 65
Симмонса [(а)!]1).) Тогда
I {ха, N}~SM. {-«а, Л1 } |р =
О а < р^
а+ (₽M)<= Л
max (I/ (х- N)~f(xa, м) |р• | Ц (а+(рмУ) |р) еВ,
р
так как х- N =ха, м (mod pN). Поскольку В фиксиро-
вано, а е произвольно, предел римановых сумм суще-
ствует.
Независимость от выбора {ха, л?} доказывается анало-
гично. А именно
|5л,-рЧ л?}-5*. {<л4|р =
2
О а < pN
a+(pN)czX
(f (ха, n) — f (X'a, N)) Ц (° + (pN))
p
max (| f (xo, N)-f(x'a, N)\p-\ii(a + (pN))\p)^sB. □
a
Определение. Пусть /: X -> (Qp — непрерывная функ-
ция, а ц —некоторая мера на X. Определим как
предел римановых сумм, существование которого было
только что установлено. (Отметим, что так определен-
ный интеграл совпадает с введенным ранее для
локально постоянных функций /.)
Следующие простые, но важные утверждения полу-
чаются непосредственно из этого определения.
Предложение. Если f: X->(QP — такая непрерывная
функция, что | / (х) |р «с А для всех хе X, a\p,(U)\p^B
для всех компактно-открытых подмножеств U с X, то
в.
Следствие. Если f, g: X->(QP — две такие непрерыв-
ные функции, что |/(х) — g(x) |р==се для всех хеХ,
а | ц (U) \Р^В для всех компактно-открытых подмно-
жеств U с X, то
!) См. также [(а) 5]. — Прим, перев.
66 Гл. II. р-адическая интерполяция дзета-функции Римана
Упражнения
ft
1.	Покажите, что Sft(x)=2 (?) Sj**-' и> в частности,
i=0
Bk(O)^=Bk. Кроме того, покажите, что
1
С	fl, если k = 0,	d
\Bk(x)dx = t	и v- Bk (x)=kBk_1(x).
J	10,	если я У= 0,	ах
о
2.	Докажите, что не существует распределения р (кроме тожде-
ственно равного нулю), которое обладало бы следующим свойством:
max I На+(р")) |р- 0 при	/V —> со.
0 а < р^
3.	Чему равно цв k (Zp)?	* (PZp)? Цв> ft(Z^)?
4.	Докажите, что р-адическое распределение ц является мерой
тогда и только тогда, когда при некотором aeZp распределение
а - р принимает значения в Zp- Докажите, что меры на X образуют
векторное пространство над (Qp.
5.	Выразите |х*. a(Zp) и |х*, a (Zp ) через а и k. Вычислите
п
( fai. а Для f (х)= 2 а1х‘-
7х	( = 0
Р
6.	Пусть р — нечетное простое число. Для а = 0, 1, ... , рп — 1
обозначим через Sa сумму р-адических знаков числа а. Докажите,
что функция ц (а-|-(рл)) = (—l)sa определяет меру на Zp и что
j)p = O для любой нечетной функции / (т. е. такой, что / (—х) =
= -/«)•
7.	Пусть р > 2, f(x) = \/x и а=1+р. Докажите, что
( a = —1 (mod р). (Указание. Воспользуйтесь следствием в
Zx
р
конце § 5 с g (х) = 1/(первый знак х), так что . (х) = g (х) (mod р),
а g (х) локально постоянна.)
8.	Распределение ц на X называется распределением ограни-
ченного роста, если max | рЛ,р (a + (pA,)J |р-> 0 при N ->-оо,
0 а <рМ
т. е. р «возрастает строго медленнее, чем ЦНааг». Докажите
справедливость теоремы 6 для таких р и функций f; X (Qp,
удовлетворяющих условию Липшица: существует /I ер со свой-
ством
I/W—/ (J/) \х—у |р при любых х,у<=Х,
g 6. р-адич. %,-функ, как преобр. Меллина— Мадура 67
(Это понятие ввел Ю. И. Манин и применил его к р-адической
интерполяции рядов Гекке.)
9.	Пусть ц —распределение из упр. 7 к § 3. Проверьте, что
ц имеет ограниченный рост. Пусть f: Zp—>-Zp—функция f(x) = x.
Вычислите интеграл j /ц, который определен в силу предыдущего
упражнения.
10.	Пусть г — некоторое вещественное положительное число.
Функцию ft Zp-*(Qp Мазур называет функцией «типа п>, если
существует такое А еР, что
\f(x)~ f (х') Ipsg А | х — х' \гр для всех х, х'(= Zp.
Отметим, что каждая такая функция непрерывна. Если
то / удовлетворяет условию Липшица (см. упр. 8). Рассмотрим
р-адическое распределение р на Zp, такое, что
p~Ns max (р (а+(рдг)) |р^-0 при N ->оо
О а <
для некоторого положительного s <= R. Докажите аналог теоремы 6
для такого р и функций типа г, когда r>zs.
§ 6. р-АДИЧЕСКАЯ g-ФУНКЦИЯ
КАК ПРЕОБРАЗОВАНИЕ МЕЛЛИНА-МАЗУРА
Пусть X — компактно-открытое подмножество в Zp-
Каждую заданную на Zp меру р. можно ограничить на X.
Это ограничение ц* на X определяется как мера
с ц* ((/) = ц ((/) для любого компактно-открытого под-
множества (7czX. В применении к интегрированию
это означает, что
= $/• (характеристическая функция Х)ц.
Интеграл J /ц* будет обозначаться через j /ц.
х
Как уже было сказано, мы хотим проинтерполиро-
вать значения —Bk/k. Имеет место следующее простое
соотношение;
j 1 • Ив, k — Ив, k (Zp) — Bk
(см. упр. 3 к § 5). Следовательно, нужно проинтер-
1 С 1
полировать числа —	\ 1 • k-
Имеется ли непосредственная связь между распреде-
лениями при различных й? По-видимому, нет,
68 Гл. II. р-адическая интерполяция дзета-функции Римана
однако регуляризованные меры а и Pi, а связаны
между собой по теореме 5. Точнее, из теорем 5 и 6
вытекает следующее
Предложение. Пусть f: Zp -► Zp — функция f (х) =
= (для фиксированного целого положительного k),
а X — компактно-открытое подмножество в 2р. Тогда
$ 1 ’ Pft, а = J /Ц1, а-
X	X
Доказательство. По теореме 5
Н*. а (а + (pN)) = kak - а (а + (pN)) (mod pN ~ OT6Pai>').
Рассмотрим теперь настолько большое /V, что X равно
объединению интервалов вида a-\-(pN). Тогда
рЪ.а = Л а («+(/>")) =в
х	0^а<рН
a + (pN)<=X
ss у	а (a + (pw))(modpw-ordpd*) =
= k У f(a')^.a(a + (pN)).
0^a<pw
a+(pw)<zX
Переходя к пределу при JV->-oo, мы получаем требуемое
соотношение 1 • |ife, а = k J /jxlt а. □
х	х
Если мы заменим в наших обозначениях f на л*-1,
считая х «переменной интегрирования», то результат
предложения примет вид
$ 1 = а.
X	X
Выражение справа гораздо приятнее левого с точки
зрения р-адической интерполяции, потому что вместо
загадочного индекса переменная интерполирования k
превратилась в показатель степени.
В § 2 мы уже выяснили, когда и как можно про-
интерполировать функцию х*"1 при фиксированном х
ft 6. р-адич. £-функ. как преобр. Меллина —Мазура 69
(см. также упр. 8 к § 2). А именно, для интерполяции
пригодны только x^O(modp). Чтобы область инте-
грирования состояла только из таких чисел х, нужно
взять X = Zp.
Итак, утверждается, что значения j а можно
7х
ZP
проинтерполировать. Чтобы добиться этого, скомбини-
руем результаты § 2 и следствия в конце § 5. Согласно
следствию, если [/(*) — |р «С е для всех х е Z*, то
5 /к а - 5
<уХ	«-^х
^р
«Се
р
(напомним, что | а (U) |р s=; 1 для каждого компактно-
открытого подмножества U). Подставим вместо f функ-
цию xk'~1, для которой &' = &(modp — 1) и k’ ==
= k (mod pN) (это равносильно выполнению одного срав-
нения k’ t=k (mod (р — 1) pN)). Из рассуждений § 2
следует неравенство
\xk’-l-xk-1 \p^\/pN + l
для всех х е Zp. Поэтому
5 Xft'-1Ka- 5 а
7х	7х
*-р	‘-’р
Р
Итак, фиксируем s0 е {О, 1, 2, ..., р — 2}. Пусть
Ss„ {целые положительные числа, сравнимые с s0
по модулю р—1} — область изменения переменной k.
Тогда из предыдущего мы заключаем, что функция
а от k продолжается до непрерывной функции
ZP
j xs»+s<p-1)_Ipi, a от целого р-адического $.
7х
zp
Однако мы ушли немного в сторону от исход-
1 с
ных чисел у} 1 • рв, *. Выше было установлено, что
значения
j а = т j 1 ЦА.в
«уХ	*7^
70 Гл. II. р-адическая интерполяция дзета-функции Римана
можно проинтерполировать. Сравним эти числа с исход-
ными:
ZP
(см. упр. 5 к § 5)
\	ZP	/'
Множитель 1— pk~' появился в силу того, что интег-
рировать пришлось по Z₽, а не по Zp. Этот эффект
уже был предсказан в конце § 2: перед интерполяцией
t-функции следует убрать эйлеров р-множитель, так
как функция ns при р\п не интерполируется. Поэтому
ниже мы будем интерполировать числа (1—р*-1)х
X (— Bk/k):
=	p-и...
Как мы предупреждали в § 2, читателя не должен
смущать вид эйлерова множителя 1 — pk~l, хотя по эври-
стическим соображениям из § 2 следовало как будто
ожидать множитель 1—р~*. Дело обстоит так, как
если бы на самом деле интерполировались не значения
£(k), а значения «£(1 — k)» (правда, мы их пока не опре-
делили при положительных k). Поэтому мы определим
ниже р-адическую ^-функцию так, чтобы она принимала
значение (1 — pft_1) ( — Bk/k) для целого числа 1— k,
а не для самого k.
Определение. Для целого положительного k пусть
W-k)^(\-pk^)(-Bklk),
так что, по предыдущему,
(1 — k) — J «•
7х
ZP
Заметим, что правая часть последнего выражения
не зависит от а. Действительно, если 0 е Z, Р ф 0,
§ 6. р-адич. %,-функ. как преобр. Меллина — Мазура 71
0=Л1, то I)-1 $	fj = (a-ft-I)’1
Zp	Zp
так как оба эти числа равны (1 — pk~1) (— Bklk). Это
равенство, т. е. независимость от а, также можно дока-
зать непосредственно (см. упр. 1). Независимость от a
будет использована ниже при определении £p(s) для
р-адических s.
Прежде всего выведем несколько классических тео-
ретикочисловых результатов о числах Бернулли. Эти
результаты всегда считались очень изящными, но зага-
дочными, пока не была открыта их связь с дзета-функ-
цией Куботы — Леопольдта ^р и мерой Мазура а,
которая показала, что они возникают естественным
образом из «аналитических» соображений (а именно,
из следствия в конце § 5, которое, грубо говоря,
утверждает, что две функции, близкие на некотором
интервале, имеют близкие интегралы).
Теорема 7 ((1) и (2) —Куммер, (3) —Клаузен и
фон Штаудт).
(1)	Если (р — 1)ф£, то | Bk/k\p^\.
(2)	Если (р~ 1) ф £ и £ = (mod (р — 1) ру), то
В	в
(1 -pft-!)-^ = (l - p*'-1)-^(modpv + 1).
(3)	Если (p—l)\k и k четно (или k=l, р — 2), то
pBtl sa — 1 (mod р).
Доказательство. Предположим, что р>2. Доказа-
тельство утверждения (3) при р = 2 мы оставляем чита-
телю в качестве упражнения (см. ниже упр. 6).
Сейчас нам понадобится один факт, доказательство
которого будет дано ниже, в начале следующей главы
(см. конец § Ш.1): существует такое яе{2, 3, ...
... , р—1}, что есть степень числа а с наимень-
шим положительным показателем, сравнимая с 1
по модулю р. Иначе говоря, мультипликативная группа
ненулевых классов вычетов кольца Z по модулю р
является циклической группой порядка р— 1, т. е.
.существует образующая яе{2, 3,	, р — 1}, для
72 Гл. II. р-адическая интерполяция дзета-функции Римана
которой наименьшие положительные вычеты элементов
а, а2, а3....... аР-1 исчерпывают все множество
{1, 2, 3, ... , р-1}.
При доказательстве утверждений (1) и (2) в каче-
стве «регуляризатора меры» а берется такая образую-
щая из {2, 3....р— 1}. Поэтому, так как (р — I)-}'}—k),-
то a-ft=£l (mod р) и (or* — I)*1 е Zp.
Докажем теперь (1) (предполагая, чю k> 1; если
k= 1 и р>2, то |В1/1|р = |—1/2|р= 1). Имеем

Xk _1Н1, а
5 а
7х
по предложению в конце § 5 (с Л = В=1), так как
I Hi. a (t/) ip «С 1 Для любого компактно-открытого под-
множества U cz Zp и | хк~1 |р sg 1 для всех х е Zp-
Чтобы доказать (2), запишем требуемое сравнение
в виде
J а ; <	2 j J хк' -‘Ц1, а (mod pN + >).
Заметим, что если для некоторых a, b, с, d е Zp
выполнены сравнения a = c(modpn) и b = d (mod рп), то
ab = cb = cd (mod рп). Таким образом, поскольку а —
= («"*—I)-1, b= $ xft-1Pi,a, с = (a~*'— 1)-‘, d —
= ^xft'-1pla принадлежат Zp, достаточно установить
сравнения (а~к — I)*1 = (a~ft' — I)-1 (mod рл' + 1) и
J а = J а (mod рл' + 1). Первое из них
Zx	7х
^•р	^р
сводится к ак = aft' (mod pN + *), а второе (согласно
следствию в конце § 5 с В=1 и е = р—Л'~1) —к х*-1 =
= хк'~’1 (modpA' + I) для любых х е Zp. Оба эти факта
нетрудно получить из рассуждений § 2.
В заключение докажем сравнение Клаузена—фон
Штаудта. Для этого рассмотрим а=1-|-р. Напомним,
§ 6. р-адич. {,-функ. как преобр. Меллина — Мазура 73
что мы ограничились случаем р>2. Итак,
pBk = — kp(— Bk/k) = \_pfe-i j Va, 1-
Вначале возьмем первый из трех сомножителей справа.
Если d = ordpk, то эт* — 1 = (1+p)~ft — 1 из
= — kp (mod pd+i), откуда
1 = s5rrT<mod/’)-
Далее, так как k^2, имеем (1 —	= 1 (modp).
Следовательно,
pBk = $ x*-Vi, a(modp).
zx
Используя снова следствие в конце § 5, на этот раз
для функций /(х) = х*-1 и g(x)=Hx, мы получаем
pBk = x-1^ a(modp),
zp
Последний интеграл сравним с —1 по модулю р в силу
упр. 7 к § 5. □
Вернемся теперь к р-адической интерполяции.
Определение. Фиксируем некоторое s0 е {0, 1, 2, ...
... , р~ 2}. Для seZp (з у= 0, если so = O) положим
tn с (s) =--------------- С — DS— 1 111 „
fep. def a-(s„+(p-l)s)_| J Л	Hl, a-
Смысл этого определения сейчас должен быть ясен:
значения
QT— («» + (₽— 1)S) _ S„ (q,P-1)-.S Ц
XS" + (p -1) s -1 = xs0-l
для любого xe Z₽ и целого р-адического s опреде-
ляются как пределы соответствующих значений для
последовательности целых положительных чисел {£,},
р-адически стремящейся к s. Значение ^р, Sq(s) можно
74 Гл. 11. р-адическая интерполяция дзета-функции Римана
также определить как предел
-lim (1 -pso + (₽-i)^-')B	/(So + (p_ i)^)_
k.-*s	”	‘
Теперь очевидно, что для каждого целого положитель-
ного k, сравнимого с s0 по модулю р — 1, т. е. k =
= so + (р — 1) k0, мы имеем Ср (1 — k) = Ср, So (k0). Поэтому
функции so можно рассматривать как р-адические
«ветви» функции Ср — одна ветвь для каждого класса
вычетов по модулю р—1. (Отметим, что нечетным
классам вычетов s0=l, 3.........р — 2 отвечает нулевая
функция, так как BSo+(p_1)fc, = 0 для таких s0; по этой
причине интересны только четные s0.)
В определении Ср, So значение s = 0 при s0 = 0 исклю-
чено. Причина этого в том, что при s = 0 было бы
a-<so+(p-i)s) = 1, так что знаменатель в определении
функции обратился бы в нуль. Как видно из записи
Ср(1 — fe) = Cp, so(^o), где & = s0 + (p—1) &о, исключенный
случай соответствует значению Ср(1)- Таким образом,
р-адическая дзета-функция, подобно архимедовой дзета-
функции Римана, обладает «полюсом» в 1.
Теорема 8. Фиксируем простое р и некоторый вычет
s0. Тогда функция Zp, s„ (s) (s 0 при s0 = 0) является
непрерывной функцией р-адического аргумента s и ее
определение не зависит от выбора ае Z, р ф а, а=^= 1.
Доказательство. Непрерывность по s интеграла
в определении функции получается непосредственно из
рассуждений § 2 и следствия в конце § 5. Множитель
l/(a~<s°+<₽—1)s) — 1) непрерывен, если при so = O исклю-
чить значение s = 0, потому что непрерывна функция
a-(s»+(p-i)s) (согласно § 2). Поэтому Ср, 5„ О) также
непрерывна.
Остается установить независимость Ср, s„(s) от а.
Пусть р е Z, р ф Р, Р #= 1. Две функции
-------?------- I	— Os — In,
a-(So + (p-Os)_| J x	Hl, о»
ZP
g-(s.+ (p_1)s)Zi J	+
§ 7. Краткий обзор (без доказательств)
75
совпадают для любых целых s04-(р— \)s = k, больших
О, т. е. для любых целых неотрицательных s(s>0
при s0 = 0), поскольку в этом случае обе данные функ-
ции принимают одно и то же значение (1 — pk~l) X
X ( — Bk/k). Но множество целых неотрицательных
чисел плотно в Zp, поэтому любые две непрерывные
функции, совпадающие на этом множестве, равны.
Следовательно, замена а на Р не влияет на опреде-
ление Ср, So- □
Теорема 8 дает р-адическую интерполяцию «инте-
ресной части» — В2л/2& значений £ (2£). Осталось только
объяснить несколько вещей: (1) термин «преобразование
Меллина — Мазура» в названии этого параграфа и (2)
таинственную замену k на 1 — k. Кроме того, следует
сказать кое-что о (3) более глубокой аналогии с клас-
сическими С-функциями и L-функциями, а также о (4)
связи с модулярными формами. Так как эти четыре
темы вывели бы нас далеко за рамки материала, ото-
бранного для изложения с доказательствами в этой
книге, то ниже мы лишь вкратце расскажем о самых
основных фактах, сюда относящихся. Доказательства
и дальнейшие сведения по темам (1) —(4) можно найти
в следующих работах: (1) Манин [(c) 6], § 8; (2) Ива-
сава [(c) 1], § 1 и приложение; (3) Ивасава [(c) 1], осо-
бенно § 5, Боревич и Шафаревич [(b) 1], стр. 439—444;
(4) Серр [(c) 5].
§ 7.	КРАТКИМ ОБЗОР (БЕЗ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ)
(1)	Функция £ (s) при s>»l представима в виде
интеграла
1 С S 1
Г (s) J Л е*—1 ’
о
где Г (s) — гамма-функция, которая удовлетворяет функ-
циональному уравнению Г (s-f-l) = sT (s), а Г(1)=1,
откуда Г (k) = (k— 1)! для всех целых положительных k.
(Случай s — k см. ниже в упр. 4.) Этот интеграл из-
вестен как преобразование Меллина. Вообще, если
76 Гл. II. р-адическая интерполяция дзета-функции Римана
f (х) — некоторая функция, определенная на множестве
положительных вещественных чисел, то функция
g(s) = \ xs~1f(x)dx
о
всякий раз, когда она определена, называется преоб-
разованием Меллина функции f (х) (или дифференциаль-
ной формы f (х) dx). Таким образом, Г (s) С ($) есть преоб-
разование Меллина дифференциала dx/(ex — 1), опреде-
ленное при s>l (см. ниже упр. 4).
В § 6 было показано, что функция, р-адически интер-
полирующая (1 — р*-1)(—Bk/ty, совпадает по существу
(с точностью до множителя l/(a_s—1) и некоторого
изменения аргумента в соответствии с выбором s0)
с интегралом
где Pi.a — регуляризованная мера Мазура. Следова-
тельно, подобно классической дзета-функции, р-адиче-
скую ^-функцию можно рассматривать как «р-адическое
преобразование Меллина— Мазура» регуляризованной
меры Мазура pi, a.
(2)	Рассмотрим ряд
п — I
для комплексных значений s с вещественной частью > 1.
Этот ряд сходится и определяет в этой области значе-
ний s комплексно аналитическую функцию. Эта функ-
ция С (s) допускает аналитическое продолжение на всю
комплексную плоскость, за исключением точки s=l
(в окрестности которой она ведет себя как l/(s—1)).
Фундаментальное свойство С ($) заключается в том, что
она удовлетворяет функциональному уравнению, связы-
вающему ее значения в точках s и 1 — s, а именно:
§ 7. Краткий обзор (без доказательств)
77
Пусть s = 2k — целое четное положительное число. Тргда
С (1 - 2£) = — gg—;С (2k) =
2 (—l)fe (2Л—1)1 (-1)^
(2л)а*	(2k-1)1	\ 2k 2k
(по теореме 4). С другой стороны, если s — нечетное
целое число >1, то правая часть функционального
уравнения обращается в нуль, так как cos(ns/2) = 0
(предположение s> 1 необходимо для конечности С (s)).
Следовательно, £(1—s) равно нулю, что также согла-
суется с формулой С(1 — k)=—Bk/k. Иначе говоря, функ-
циональное уравнение в этом случае утверждает, что
0 = 0.
Вот несколько первых значений £(!—£) =— Bk!k‘.
1 — k	—1	—3	—5	—7	-9		— 13	— 15	— 17	—19	—21
Zlt—k)	1	1 120		1_ 252	1 240	__ 1 132	691	1	3617 8160	43867	174 611	77683
	12					32 760	12		14 364	6600	276
Поэтому «в действительности» мы интерполировали
С-функцию Римана, заданную на множестве целых от-
рицательных нечетных чисел. Следующее соотношение
устанавливает простую связь между Ср и С:
Cp(l-fe) = (l-pft-1)C(l-fe), £ = 2,3,4.........
Пренебрегая всеми расходимостями, можно напи-
сать £(1—£)=	1/(1— qk~l), откуда
простые q
Г(1-£) = п 1/(1 —	— (1 — Р*-1) С (1 — £).
простые q, qz£ р
Появление множителя 1 — рк~* становится эвристически
понятным с этой «беззаботной» точки зрения.
В том же стиле можно непосредственно вывести
формулу С (1 — £) = — Bk/k:
л «= 1	Л == 1
78 Гл. II. р-адическая интерполяция дзета-функции Римана
Так как (d/d/)*-1^'|/-о = п*-1, то
\dt /	\1—е( / п-о \dt/	\1—е'/|/_о
\dt) I t Вп п!
(d X*-1 у (_ Вп\ tn-1 I
\dt J £i\ п )(п— 1)! |/_о
Вк
k
(3)	Существуют и более глубокие связи между СР и С-
Один важный пример такой связи требует введения
функций следующего вида:
обобщающих С-функцию; здесь х — некоторый характер
Дирихле (см. упр. 9—10 к § 2). Если характер х не
тривиален (т. е. отличен от 1 для некоторого п), то
функция Lx(s) сходится при s=l. Более того, имеет
место явная формула
N — 1
Lx(D = -T 2 X(fl)log(l-e-2™^),
/V — ]
где У —кондуктор характерах. ат(х) = У, i(d)e'2niaiN
а = 1
(эта формула легко приводится к виду, указанному
в упр. 9—10 к § 2).
Функция Lx(l — k) допускает р-адическую интерпо-
ляцию; конструкция, аналогичная конструкции £р,
позволяет построить р-адическую L-функцию Lx p. Не-
ожиданно оказывается, что значение Lx, р(1) равно сле-
дующему выражению:
N — 1
_(j X^2£L 2 X(fl)logp(l
§ 7. Краткий обзор (без доказательств)T9
в котором logp обозначает «р-адический логарифм», являю-
щийся р-адической функцией от р-адического аргумента
(см. § IV. 1 и упр. 5 к § IV.2), и все встречающиеся
в данном выражении корни из единицы, а именно
g’inia/N и значения характера х, рассматриваются как
элементы алгебраического расширения поля (Qp (см.
§ III. 2—3). Множитель 1—х(р)/Р нужно представлять
себе как р-множитель Эйлера (для обычной ^-функции
Х=1 и множитель Эйлера для С(1), будь это значение
конечным, был бы равен 1 — 1/р; см. также часть упр. 9
к § 2, касающуюся эйлеровых произведений для Lx).
В остальном выражение для Lx,p(l) совпадает с явной
формулой для Lx(l), за тем исключением, что в этой
формуле классический log заменен его р-адическим
аналогом logp.
(4)	Важную роль при изучении эллиптических кри-
вых и модулярных форм (см. Серр [(b) 3], гл. VII)
играют ряды Эйзенштейна Eik, k^s-2, которые представ-
ляют собой функции, определенные для всех комплекс-
ных чисел г с положительной мнимой частью следую-
щим образом:
^(г) = -|-^+ J
п = 1
где	om (п) dm-
d | п
Каждый такой ряд есть ряд Фурье, т. е. некоторый
степенной ряд относительно е2л'г, с постоянным членом
Оказывается, ряды Эйзенштейна допускают р-ади-
ческую интерполяцию. На это указывает, в частности,
р-адическая интерполируемость n-го коэффициента, если
только р ф п. Действительно, каждый такой коэффи-
циент о2*-! (п) равен конечной сумме значений функ-
ций б/2*-1, которые интерполируются согласно резуль-
татам § 2 при p-fd. Тогда интерполяцию g(l — 2k) можно
рассматривать как «вычисление нулевого коэффициента».
Как бы туманно это ни выглядело, в действительности
рее результаты этрй главы можнр извлечь из теории
80 Гл. II. р-адическая интерполяция дзета-функции Римана
р-адических модулярных форм. Подробности см. в упо-
мянутой выше статье Серра, а также в серии статей
Н. Катца по р-адическим мерам Эйзенштейна и р-ади-
ческой интерполяции рядов Эйзенштейна (см. литера-
туру).
Упражнения
1.	Используя соотношения между iij , а и ft, дока-
жите непосредственно (без упоминания чисел Бернулли) незави-
симость от а выражения
2.	Пользуясь таблицей значений £(!—&), проверьте сравне-
ния Куммера для р = 5, k = 2, k' =22, У=1. Также по этой таб-
лице проверьте, что эти сравнения неверны, если (p—\)\k.
Используя сравнения Куммера и несколько первых чисел Bk, вычис-
лите следующие числа по модулю р2:
(i)	Вю2 в (Qs! (ii) S2oe в (Q7; (iii) B502 в (Q7.
3.	Применяя теорему 7 и упр. 19 к § 1.2, докажите следую-
щий вариант теоремы Клаузена—фон Штаудта: (5* + 2 1/р) е Z,
где суммирование производится по всем р, для которых (р— 1) | k.
СО
4.	Установите существование интеграла f xs~x dx/(ex—1) при
О
s> 1. Записав 1/(е*—1) = ег"-*7(1—е~х) = У е~пх, покажите$ что
п— 1
00
-1)1 И*)>	* = 2,3,4,...
О
(представьте обоснования ваших вычислений).
5.	Докажите, что
00
Р yk~ 1
5	<** = (*->)' (1 —
9
§ 7. Краткий обзор (без доказательств)
для Иг —2, 3, 4...Покажите, что функция
1
Г (s) (1—21-*)
dx,
которая, как вы только что доказали, совпадает с £ (s) при s =
— Иг = 2, 3, 4, ..., определена и непрерывна на множестве чисел
s>0, s=# 1.
6.	Докажите теорему Клаузена —фон Штаудта для р = 2.
(Указание. Возьмите а=1+р3 = 5 и g(x) =(а04-2а1)-1, где а0,
— два первых 2-адических знака х.) Скажите словами, что
утверждает эта теорема о числителе и знаменателе числа Bk при
четном Иг и р = 2.
Глава III
КОНСТРУКЦИЯ ПОЛЯ О
§ 1.	КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ
В дальнейшем нам придется предполагать, что
читатель знаком с основными понятиями, касающи-
мися алгебраических расширений полей. Повторение
всех необходимых доказательств увело бы нас далеко
в сторону. Достаточно полное и доступное изложение
можно найти в книге Ленга [(а) 3] или Херстейна
[(а) 2]. Нам понадобятся следующие понятия и факты.
(1)	Абстрактное определение поля F', под расши-
рением К поля F понимается произвольное поле К,
содержащее F в качестве подполя; расширение К
называется алгебраическим, если любой элемент а е К
является корнем некоторого многочлена с коэффициен-
тами в F: п04-а1а4-п2“2 + -• • + п„ап = 0, где a,eF.
Например, множество чисел вида а-\-ЬУЧ с a, b е (Q
представляет собой алгебраическое расширение поля (Q.
(2)	Пусть F — некоторое поле. Наименьшее целое
положительное число п, для которого 1, будучи сло-
жена сама с собой п раз, дает в результате 0, назы-
вается характеристикой поля F и обозначается через
char (F). Если 14-1 4-... 4-1 всегда =#0, то по опреде-
лению char (Е) = 0. (Логичнее было бы полагать char(E) =
= со, однако принято считать характеристику поля
в этом случае равной 0.) Поля (Q, (Qp, R и С имеют
характеристику 0, тогда как множество классов выче-
тов кольца Z по простому модулю р является полем
характеристики р. (Вскоре нам встретятся другие при-
меры полей характеристики р.)
(3)	Определение векторного пространства V над
полем F", понятие базиса V над Е; свойство конечно-
мерности векторного пространства V; если V конечно-
§ J. Конечные поля
83
мерно, то его размерность равна числу элементов
любого базиса.
(4)	Любое расширение К поля F можно рассмат-
ривать как векторное пространство над F', если это
пространство конечномерно, то соответствующее рас-
ширение будет алгебраическим; размерность этого
векторного пространства называется степенью расшире-
ния и обозначается [Е : F], Если а е К обладает тем
свойством, что каждый элемент поля К представим
в виде рационального выражения от а над F, то гово-
рят, что расширение К получено присоединением эле-
мента а к полю F, и записывают это в виде /< = Е(а).
Пусть К' — конечное расширение поля К. Тогда легко
установить конечность К' как расширения поля F и
соотношение [Л': Е] = [/С : К] • [л : Е].
(5)	Пусть а —элемент алгебраического расширения
Е поля Е. Тогда существует единственный неприво-
димый многочлен со старшим коэффициентом 1 (неприво-
димость означает, что его нельзя разложить в про-
изведение многочленов меньшей степени с коэффициен-
тами в Е), такой, что
а" ф- an-iccn-1 + ... + Oia-j- а0 = 0, а,еЕ,
Этот многочлен называется минимальным многочленом
элемента а, а число п — степенью данного элемента а.
Расширение Е(а) имеет степень п над Е (действительно,
в качестве базиса векторного пространства Е (а) над Е
можно взять набор элементов {1, а, а2, .... ал-1}).
(6)	Если поле Е имеет характеристику 0 (напри-
мер, (Q или (Qp) или является конечным (подробное
изложение теории конечных полей следует за данным
обзором), то можно доказать, что каждое конечное
расширение К поля Е имеет вид К = Е(а) для некоторого
аеК. Такой элемент а называется примитивным.
(На самом деле это верно, если поле Е совершенное,
т. е. либо char (Е) = 0, либо char (Е) = р и каждый эле-
мент поля Е обладает корнем степени р в Е.) Знание
примитивного элемента а расширения К упрощает
изучение этого К, так как в этом случае каждый эле-
84 Гл. 111. Конструкция поля Q
мент из К представим в виде многочлена от а сте-
(п— 1
пени < п, т. е. К = < У, ар' | a^F
4 = 0
(7)	Рассмотрим некоторый неприводимый многочлен
f степени п с коэффициентами в F. Можно построить
расширение KzzF степени п, в котором / имеет
корень ае/(. Последовательно присоединяя корни всех
многочленов с коэффициентами в F,mw получаем алгебраи-
ческое замыкание (обозначаемое Fal’ cl или F) поля F,
т. е., по определению, наименьшее алгебраически зам-
кнутое поле, содержащее F (напомним, что поле К
называется алгебраически замкнутым, если всякий
многочлен с коэффициентами в К имеет корень в К).
Всякое алгебраическое расширение поля F содержится
в некотором его алгебраическом замыкании (т. е. его
можно расширить до алгебраического замыкания поля
F). Любые два алгебраических замыкания поля F
изоморфны. Поэтому мы обычно пишем «алгебраическое
замыкание» вместо «любое алгебраическое замыкание».
Как правило, алгебраическое замыкание поля F является
объединением бесконечного множества конечных алге-
браических расширений поля F. Так, например, алге-
браическое замыкание поля (Q состоит из всех комп-
лексных чисел, являющихся корнями многочленов
с рациональными коэффициентами. Однако алгебраиче-
ское замыкание поля вещественных чисел R равно
т. е. это конечное расширение степени 2
поля R. Но этот пример — скорее исключение, чем пра-
вило.
(8)	Пусть /( = F(a), /('—другое расширение поля
F, а о :/(->/(' — изоморфное вложение поля К в К.' (где
о — некоторый F-гомоморфизм, т. е. это отображение
сохраняет все операции поля и о(а) = а для любого
йЕ F). Тогда элемент а и его образ о(а) в К' обладают
одним и тем же минимальным многочленом. Обратно,
пусть K = F(a), /('—другое расширение поля F и а' е
е/('— корень минимального многочлена для а. Тогда
существует единственный изоморфизм о поля К на
подполе F(a')c:/(', для которого <j(a) = a при любом
a<=F и a(a) = a'.
§ 1. Конечные поля
85
(9)	Все корни минимального многочлена над/7 элемен-
та а е F, лежащие в поле F = Fals cl, называются элемен-
тами, сопряженными с а. Существует взаимно однознач-
ное соответствие между изоморфными вложениями F (а)
в F и элементами а', сопряженными с а (см. предыдущий
пункт (8)). Если char (F) = Q или F — конечное поле
(или F — совершенное поле), то каждый неприводимый
многочлен с коэффициентами в F не имеет кратных
корней. В этом случае число элементов, сопряженных
с а, равно [F(a): F],
(10)	Расширение К = F (а) поля F называется рас-
ширением Галуа, если все элементы, сопряженные с а,
лежат в К. В этом случае все сопряженные любого
п — 1
элемента х = У, а;а' е К также лежат в К, поскольку
1=0
п — 1
такие сопряженные имеют вид У а^а'1, где а' — эле-
/=о
мент, сопряженный с а. Приведем несколько примеров
расширений Галуа поля Q: (Е)(фл2) (так как а = ]/2
обладает единственным сопряженным, равным другому
корню а' = —уравнения ха —2 = 0, и — У 2 е
^(^^^^^(КсОдля любогоd е (Е); (Е) (^т), где Ст =
_ е2я1/т —примитивный корень из 1 степени т, лежащий в
С (так как все сопряженные с Cm — это другие примитивные
корни степени т, а они имеют вид С‘т, где i взаимно
просто с т). Поле (Е) (у^2) дает пример расширения
поля (Е), которое не есть расширение Галуа. Действи-
тельно, сопряженные с V~2 — это 4 корня уравнения
х4 — 2 — 0, а именно: ± >/"2, ± I |/2. Но (Q (]А2)
(так как (Е)(У2) содержится в поле вещественных
чисел).
(11)	Пусть К —некоторое расширение Галуа поля F.
Тогда образ каждого изоморфизма из пункта (8) совпа-
дает с К, т. е. все эти изоморфизмы являются F-
изоморфизмами поля К в себя, или F-автоморфизмами
поля К. Эти автоморфизмы образуют группу, которая
называется группой Галуа поля К над F. Каждый
автоморфизм а из этой группы определяет множество
86 Гл. III. Конструкция поля Q
элементов хе/(, для которых ст(х) = х. Оно назы-
вается полем ^-инвариантов (легко проверить, что
это действительно подполе в К, содержащее F). Рас-
смотрим следующий пример: поле К = (Е)	4- ]ЛЗ) —
расширение Галуа поля (Q степени 4; возьмем
автоморфизм ст, переводящий 1^2 4-^3 в У2 — ф^З;
тогда поле ст-инвариантов совпадает с (^(1^2). Нетру-
дно установить, что если К — расширение Галуа поля
F, а /<'/< —некоторое промежуточное поле между
К и F: F cz К' аК, то существует нетривиальный
автоморфизм поля К, оставляющий неподвижными все
элементы из К’- Более того, существует взаимно
однозначное соответствие между подгруппами S группы
Галуа поля /< над F и промежуточными полями
F с К.' с К, такое, что
S <-»/Сз = {х е/< | стх = х для любого ctgS|,
Однако в дальнейшем теория Галуа не понадобится
нам во всей своей силе; мы будем опираться лишь на
некоторые частные случаи сформулированных здесь
результатов.
Перейдем теперь к изучению конечных полей. Про-
стейший пример такого поля есть поле классов вычетов
целых чисел по простому модулю р. Элементами этого
поля являются классы эквивалентности целых чисел
по отношению эквивалентности х-^у, определяемому
как x = y(modp). Существует ровно р таких классов
эквивалентности, а именно классы элементов 0, 1,2,3,...
..., р — 2, р— 1. На множестве этих классов легко
ввести операции сложения и умножения, а затем про-
верить, что при этом получится поле (в частности,
каждый ненулевой класс эквивалентности обратим по
умножению; иначе говоря, если х — целое, не деляще-
еся на р, то существует целое у, для которого ху =
= 1 (mod р)). Это поле обозначается Рр, а иногда Z/pZ
(фактаркольцо кольца целых чисел по идеалу целых чисел,
делящихся на р). С таким же успехом можно построить
это поле, исходя из множества целых р-адических чисел
Z₽ и отношения эквивалентности x-z/(x, у е Z₽), опре-
деляемого как х = у (mod р) (т. е. эквивалентные х и у
§ 1. Конечные поля
87
имеют один и тот же первый знак в р-адическом раз-
ложении). Поэтому поле FP можно записывать также
в виде Z„lpZp (факторкольцо кольца целых р-адических
чисел по идеалу р-адических целых, делящихся на р.) Фак-
торкольцо Zp!pZp называется полем вычетов кольца Zp.
Причина нашего интереса к общим конечным полям
заключается в том, что ниже, при исследовании алге-
браических расширений поля (Qp, мы столкнемся с их
полями вычетов, которые строятся аналогично полю
вычетов для Zp с (Qp, однако оказываются уже совсем
не такими простыми, как Fp. Они представляют собой
алгебраические расширения поля Поэтому сейчас нам
необходимо получить некоторое представление о том,
как же выглядят конечные поля вообще.
Пусть F—конечное поле. Тогда характеристика F=/=0,
так как все элементы 0, 1, 1-f-l, 1 4- 1 4 1, ... из F не
могут быть различными. Пусть п — char)/7). Заметим,
что число п должно быть простым. Действительно, если
п = /?о«1 Для п0 и 4 < п, то п0 =/=0 и после умножения
на По' мы получаем противоречие: пА = щ1 п = 0. Обо-
значим это простое число char(F) через р.
Очевидно, любое поле F характеристики р содержит в
качестве подполя описанное выше поле из р элементов
(оно состоит из элементов вида I4-I4-...4-I). Это под-
поле называется простым падполем в F.
Заметим теперь, что для каждого поля F характери-
стики р определено отображение х*-*-хр, сохраняющее
операции сложения и умножения:
ху >— (ху)р = ХРуР ,
р
х + у	(X + у)р = 2 (0 х‘уР-‘ = ХР-\-уР,
потому что целое число (?) = p!/t! (р — г)! делится на р
при IsCtsgp— 1, а поэтому соответствующий элемент
в F равен 0.
Теорема 9. Пусть F — конечное поле, состоящее из q
элементов, a / = [/7:Fp] (размерность F как векторного
пространства над своим простым подполем Fp). Обозна-
чим через К некоторое алгебраическое замыкание поля
Fp, содержащее F. Тогда q = pf\ F — единственное под-
88 Гл. III. Конструкция поля Q
поле в К, состоящее из q элементов; при этом F есть
множество всех элементов из К, удовлетворяющих уравне-
нию х? —х = 0. Обратно, для каждой степени q=pf
простого р корни уравнения х? — х = О задают подполе
из q элементов в К.
Доказательство. Так как F является /-мерным
векторным пространством над рр, число элементов этого
пространства равно числу всевозможных выборов зна
чений для f компонент вектора (т. е. координат в неко-
тором базисе, состоящем из f элементов) в Fp, а поэ-
тому равно pf. Далее, каждое поле F из q элементов
содержит q— 1 ненулевых элементов. Эти ненулевые
элементы из F образуют мультипликативную группу
порядка q— 1. Степени любого элемента х=/=0 состав-
ляют подгруппу этой группы. Порядок ее равен пока-
зателю наименьшей степени х, равной 1 (этот показа-
тель называется также порядком элемента х). Легко
доказать, что порядок любой подгруппы конечной группы
делит порядок всей группы. Следовательно, порядок х
делит q— 1, откуда х?-1 = 1 для любого ненулевого х
из F. Поэтому хя — х = 0 для любого х (включая 0)
из F. Последнее справедливо для каждого подполя из q
элементов в К. Кроме того, всякий многочлен степени q
имеет в любом поле не более чем q различных корней. Из
этого следует, что каждое поле из q элементов в К
должно состоять из корней многочлена хя — х, а такое
множество единственно.
Обратно, пусть q = p!. Тогда множество элементов
поля К, для которых хя = х, замкнуто относительно
сложения и умножения (это доказывается так же, как
и утверждение, предшествующее формулировке тео-
ремы). Итак, это подполе поля К. Многочлен хя — х
не имеет кратных корней. Действительно, в противном
случае из упр. 10 ниже следовало бы, что кратный
корень является также корнем формальной производ-
ной этого многочлена qx^1 — 1=— 1 (так как q — 0
в К). Но многочлен —1 не имеет корней. □
Замечание. Поскольку любые два алгебраических
замыкания поля изоморфны, изоморфны также любые
два поля, состоящие из q = p! элементов.
§ 1. Конечные поля
89
Обозначим через единственное (с точностью до
изоморфизма) поле из q = p! элементов.
Если F—некоторое поле, то через F* обозначается
группа его ненулевых элементов.
Предложение. Группа является циклической
группой порядка q — 1.
Доказательство. Пусть о (х) обозначает порядок
элемента х (наименьший показатель степени х, равной 1).
Нам уже известно, что о(х) делит q— 1 при любом
хер,'. Однако если d — делитель q— 1, то уравнение
ха=1 имеет не более чем d решений, потому что вся-
кий полином степени d имеет в любом поле не более
чем d корней. Следовательно, если d = o(x), то d раз-
личных элементов х, ха, ..., х^1, xrf=l удовлетворяют
уравнению ха=\, и это все корни данного уравнения.
Сколько из этих d элементов имеют порядок, равный
в точности d? Ответ очевиден: число таких элементов
равно количеству целых чисел из {1, 2, ..., d— 1, d},
взаимно простых с d (т. е. не имеющих общих дели-
телей с d, кроме 1). Это количество обозначается q>(d).
Итак, порядок d имеют не более чем tp(d) элементов
из FJ. Утверждается, что для любого d — делителя q—\
число элементов изр£, имеющих порядок d, равно q>(d).
Этот факт будет выведен из следующей леммы.
Лемма. У, ср (d) = и.
d | п
Доказательство леммы. Пусть Z/nZ обозначает
аддитивную группу {0, 1, ..., п — 1} целых чисел по
модулю п. Каждому делителю d числа п соответствует
ее подгруппа Sa, состоящая из элементов Z/nZ, крат-
ных n/d. Очевидно, любая подгруппа в Z/nZ получается
таким способом.
Подгруппа Sa состоит из d элементов, ф (d) из
которых порождают ее (потому что множество элемен-
тов, кратных mn/d в Z/nZ, совпадает с множеством
элементов, кратных n/d, тогда и только тогда, когда
т и d взаимно просты). С другой стороны, каждое из
чисел 0, 1, ..., п — 1 порождает одну из таких под-
90 Гл. 111. Конструкция поля Q
групп Sd. Следовательно,
{О, 1...... п— 1} = U {элементы, порождающие Srf}.
d | п
Множества этого объединения не пересекаются, поэтому
п = ^Ф(с/). Лемма доказана.
tf | п
Из нее немедленно вытекает предложение, ибо
если число элементов порядка d для некоторого
d\n( = q — 1) меньше q>(d), то п=£ (число элементов
d п
порядка d) < ф (d) = п. Следовательно, в частности,
d | п
существует ф(д—1) элементов порядка у—1. Так как
ф(д — 1)^1 (например, 1 взаимно проста с q~ 1), то
найдется элемент а порядка точно q — 1. Тогда FJ =
= {а, а2, ..., а?-1}. □
Упражнения
1.	Пусть F— поле, состоящее из q = pf элементов. Докажите,
что F содержит (единственное) подполе из q' = р? элементов тогда
и только тогда, когда f делит f.
2.	Для р = 2, 3, 5, 7, 11 и 13 найдите некоторый элемент
ае{1, 2, .... р—1}, порождающий р*, т. е. такой, что р| =
= {а, а2, ..., аР-1}. В каждом из этих случаев определите число
всевозможных выборов таких а.
3.	Пусть F — множество выражений вида а-\-Ь], где а, Ь е
е р3= {0, 1, 2}. На этом множестве определим сложение поком-
понентно, а умножение —по формуле	(c4-d/) = (ac + 2M) +
-f- (ad-\-bc)j. Покажите, что F = pe, а 1 +/ — образующая в pg.
Найдите все образующие для pg.
4.	Опишите явно р4 и pg способом, аналогичным использован-
ному в предыдущем упражнении для р9. Объясните, почему любой
элемент из pg или pg является образующей.
5.	Пусть q = pf, а а—элемент, порождающий р*. Обозначим
через Р(Х) минимальный многочлен элемента а над PD. Докажите,
что deg P=f.
$ 2. Продолжение норм
91
6.	Пусть q — pt. Докажите, что все / автоморфизмов поля
иад F исчерпываются автоморфизмами сг^, 1 = 0, 1,	—1,сле-
дующеге вида: oj (х)=хр для х <= f
7.	Пусть aefp, а Р(Х) = ХР— X — а. Покажите, что если
а—корень многочлена Р (X), то элементы а + 1, а-}-2 и т. д.
также являются его корнями. Кроме того, покажите, что поле,
полученное присоединением акр, имеет степень р над т. е.
изоморфно IF р.
8.	Докажите, что содержит квадратный корень из —1 тогда
и только тогда, когда <?^3(mod4).
9.	Пусть g — некоторое алгебраическое число степени п над
т. е. g является корнем многочлена степени п с коэффициентами
в и не является корнем никакого такого многочлена меньшей
степени. Докажите существование целого числа Д’, для которого
£ ие удовлетворяет ни одному из сравнений вида
ап-А^1 + ап^п-2 +... + а& + а0 = 0 (mod pN),
где а,-— целые рациональные числа, не все из которых делятся
на р. (Указание. Предположите противное, а затем воспользуйтесь
тем же подходом, что и в упр. 18 к § I. 2 или в упр. 18 к§ I. 5.)
10.	Пусть F —произвольное поле, а / (X) = Хп + а^Х^1 +...
... + я,Х + Яо— многочлен с коэффициентами в F, распадающийся
п
на линейные множители над F, т. е. /(Х)= JJ(X—af), где a; <=
i =1
s F. Покажите, что всякий кратный корень а, этого многочлена
является также корнем для пХл-1 + ял_, (п — 1) Хп~г-(-ап_2 х
Х(п-2) Хя-з+...+aj.
§ 2. ПРОДОЛЖЕНИЕ НОРМ
Метрическое пространство X называется (секвенци-
ально) компактным, если каждая последовательность
его элементов имеет сходящуюся подпоследовательность
(см. начало § II.3). Например, Zp — компактное ме-
трическое пространство (см. упр. 18 к § 1.5). Простран-
ство X называется локально компактным, если каждая
точка хе А' обладает некоторой компактной окрест-
ностью (т. е. компактным подмножеством в X, содер-
жащим диск {z/|d(x, у)<е} для некоторого в > 0).
Множество вещественных чисел R с обычной архимедо-
вой метрикой, индуцированной абсолютной величиной,
локально компактно, но не компактно. Другой пример
92
Гл. III. Конструкция поля Q
локально компактного метрического пространства дает
поле (Qp с р-адической метрикой. В самом деле, для
любой точки х окрестность Zp {у 11 у — х|р 'С 1}
компактна (ибо она изоморфна Zp как метрическое про-
странство). Эти примеры можно включить в следующую
более общую картину. Пусть X — метрическое простран-
ство, обладающее структурой аддитивной группы, такой,
что d(x, y) = d(x — y, 0) для любых х, у (например, X—
векторное пространство с метрикой, индуцированной
нормой на X; определение см. ниже). Тогда X локально
компактно всякий раз, когда 0 имеет компактную
окрестность U. Действительно, для любой точки х
окрестность x-{-U^f {у\у — х^ U} (сдвиг U на х) ком-
пактна. Для (Qp в качестве компактной окрестности 0
можно взять U = Zp. Нетрудно установить (см. ниже
упр. 6) полноту каждой такой локально компактной
группы.
Пусть F — некоторое поле с неархимедовой нормой
|| ||. До конца данного параграфа будем предполагать F
локально компактным.
Пусть V — конечномерное векторное пространство
над F. Норму на векторном пространстве V можно
определить по аналогии с нормой в поле. А именно,
отображение || |у из V в множество неотрицательных
вещественных чисел называется нормой на V, если:
(1) || х ||у = 0 тогда и только тогда, когда х = 0;
(2) ||ах||у = ||а||||х||v для всех .reV и a^F (где ||а||
есть норма в F); (3) || х + у ||v	|| х l'v +1| у Например,
если Л—конечное расширение поля F, то всякая
норма на поле К, ограничение которой совпадает
с || || на F, есть норма на К, рассматриваемом как
векторное пространство над F. Сразу же предупредим,
что обратное, вообще говоря, не верно, так как свой-
ство (2) нормы векторного пространства слабее соответ-
ствующего свойства нормы поля (см. ниже упр. 3 — 4).
Как и в случае полей, две нормы || и || |2 на V
считаются эквивалентными, если отвечающие им мно-
жества последовательностей Коши совпадают. Это свой-
ство выполнено в том и только том случае, когда
существуют две положительные константы сх и са, для
§ 2. Продолжение норм
93
которых II X ||2 Cl || X 111 И II X Hi sg С2 II X Иг при любых xgV
(см ниже упр. 1).
Теорема 10. Пусть V — конечномерное векторное
пространство над локально компактным полем F.
Тогда все нормы на V эквивалентны.
Доказательство. Пусть {оь ол} — некоторый
базис в V. Определим на V функцию || ||sup формулой
||ai0i + ... + anMsupj3 max (||аг||).
Эта функция || ||sup является нормой (см. ниже упр. 2).
Мы будем называть ее sup-нормой. Пусть теперь || ||у—
некоторая другая норма на V. Прежде всего для
любого х = ajVi +... + anvn выполнены неравенства
|| х |lv	IIЯ1II |1 Vi |lv +... +1| ап || || vn ||у sg
^п (max || at ||) max |1 о,- ||у.
Поэтому || ilv^CiH |!SUp, где сА = п max (|| и, ||0. Таким
1 iп
образом, если мы найдем константу с2, для которой
будет выполнено братное неравенство, то тем самым
установим эквивалентность любой нормы на V sup-
норме. Пусть
t/ = {xel/| ||x||SUp = 1}.
Тогда утверждается, что существует положительное е,
для которого ЦхЦу^е при любом xg U. Предположим
противное. В этом случае можно найти такую после-
довательность {xj элементов U, что || х;-||к->0. В силу
компактности U относительно || ||sup (см. ниже упр. 2, 8)
существует подпоследовательность |х, }, сходящаяся
относительно sup-нормы к некоторому хе У. Но по
доказанному выше неравенству
II х IIV	|| X - Xi. ||v +1| Х(/ ||v С, || X - Xi. ||sup + (I Xf/ ||v
для любого /. Оба последних члена стремятся к 0
при /->оо, так как Х{ стремится к х относительно
II tup, a llx/llv—>0- Следовательно, jxJv = O, откуда
х = 0 U—противоречие.
94
Гл. III. Конструкция поля Q
Используя это утверждение, теперь нетрудно дока-
зать второе неравенство, а с ним и теорему. Идея
рассуждения такова. Как было установлено, норма
|| ||v на единичной сфере U относительно || ||sup прини-
мает значения ^е>0. Следовательно, || |!SUp «SM ||v
на U, где с2 = 1/е (левая часть по определению равна 1
на U). С другой стороны, все векторы из V можно
получить, умножая векторы, лежащие в U, на эле-
менты поля F. Поэтому такое же неравенство справед-
ливо на всем V.
Точнее, пусть х = а1о14-алол —произвольный
ненулевой элемент из V. Выберем такое /, что |1 оу|| —
= max||aii| = ||xl|suP. Тогда, очевидно, (х/а^^Д] и ||х/а7-||У2г
5s е == I /с2. Поэтому
UI|sup = ^/II^C2 X||v- □
Следствие. Пусть V = К — некоторое поле. Тогда
существует не более одного продолжения нормы || ||,
заданной на F, до нормы || ||к на К (т. е. такой, что
II а ||к = 11 а || для ae=F).
Доказательство следствия. Любые две такие нормы
|| Ь и || |12 эквивалентны по теореме 10. Следовательно,
II UsSSClII 111. Рассмотрим XG/(, ДЛЯ которого 11x11!=/=
=/=цх||2, скажем || х <|| х ||2. Тогда при достаточно боль-
шом N получается противоречие: сг || xN Ь < I1 xN ||2. □
Это следствие, однако, оставляет открытым вопрос
о существовании хотя бы одного продолжения || || с F
на К.
Напомним теперь одно из основных понятий, отно-
сящихся к расширениям полей: понятие «нормы» эле-
мента. Новое словоупотребление не следует путать
с прежним, относившимся к метрическим пространствам.
«Норма» в новом смысле будет всегда в кавычках, и
для нее мы введем специальное обозначение N-
Пусть К == F (а) — конечное расширение поля F,
порожденное некоторым элементом а с минимальным
многочленом
хп + а1хп-1 + ... + ап^1х + а„, at(=F.
§ 2. П родолжение норм
95
Тогда «норма элемента а из К в F», обозначаемая
через Ык/р(а), определяется одним из трех эквивалент-
ных способов.
(1)	Если К рассматривать как векторное простран-
ство над F, то умножение на а задает F-линейное
отображение с матрицей Аа в некотором базисе. Пола-
гаем Nk/f (a)sdet (4а).
(2)	(a)j3 ( 1)лйп.
n
(3)	Nk/f (a) П “i, где через at обозначены все
i = i
элементы, сопряженные с а = а} над F.
Эквивалентность (2) <=> (3) следует из соотношения
п
хп + а1хп~1 + - • - + an= fl (х — аг). Для доказательства
/=1
эквивалентности (!)<=> (2) возьмем в К над F базис
{1, а, а2.....а"-1}. Тогда матрица оператора умно-
жения на а примет вид
/0 0	— ап
1 0 0	— а„_!
1	0
0	---flj
,	1 — (h
(поскольку а"==—а^-1 —... — ап^а, — ап). Из разло-
жения определителя этой матрицы по первой строке
видно, что он равен (—1)ла„.
Пусть PeA’ = F(a). Тогда Nk/f(P) определяется
одним из двух способов: (1) как определитель
матрицы линейного оператора умножения на |3 в К или (эк-
вивалентно) (2) как (Nf<₽)/f (Р))(л Для доказатель-
ства эквивалентности выберем базис в F (|3) как век-
торном пространстве над F, а также в К как векторном
пространстве над F (|3). Тогда в качестве базиса К
над F можно взять все попарные произведения эле-
ментов первого и второго базисов. В этом базисе
Гл. III. Конструкция поля Q
(при подходящем порядке элементов) матрица умноже-
ния на р «распадается на блоки»
где Лр —матрица умножения на |3 в F(|3). Определитель
этой матрицы равен [К : F ((3)]-й степени ([К : F ((J)] —
это число блоков) det Лр, т. е. [К: F (Р)]-й степени
элемента Nf<₽>/f (Р). Итак, два определения действи-
тельно эквивалентны.
Из первого определения Nf/f (а) для любого а е /<
как определителя оператора умножения на а в К сле-
дует мультипликативность отображения Nf/f из /<
в F, т. е. Nk/f(«P) = Nf/f(«)Nf/f(P). (В самом деле,
матрица умножения на оф равна произведению матриц
умножения на а и на Р, а определитель произведения
матриц равен произведению определителей сомножи-
телей.)
Теперь можно догадаться, каким должно быть
выражение для продолженной нормы | |р алгебраи-
ческого числа	если такая норма существует.
Предположим, что а имеет степень п, т. е. минималь-
ный многочлен этого элемента над (Qp имеет степень п.
Пусть К — конечное расширение Галуа поля (Qp, содер-
жащее а (см. пункт (10) в § 1). В качестве К можно
взять, например, поле, полученное присоединением а
и всех его сопряженных к (Qp (как легко проверить,
это конечное расширение Галуа над (Qp). Предположим,
что найдено некоторое продолжение || || нормы | |р на К.
Эта норма || || на К единственна в силу следствия из
теоремы 10. Пусть теперь а'—элемент, сопряженный
с а, а о —некоторый автоморфизм поля К, переводя-
щий а в а' (см. пункты (8), (9) и (11) в § 1). Очевидно,
отображение ||	заданное соотношением |lx|j' =
= ||сг(х)||, является также продолжением нормы | |р на /(.
Следовательно, | |'=| |, откуда ||а|| = ||а||' = ||ст(а)| =|а'|.
Значит, норма элемента а равна норме каждого сопря-
женного с ним элемента. С другой стороны, норма
§ 2. Продолжение норм 97
элемента Nq <а)/<г (а), лежащего в (Qp, равна
| Nqp(<z)/qp (а) |р = || NQp(a)/Qp (а) || =
П а' |=Пиа' 1=и а11" •
сопряженные а' с а II
Поэтому
I “II = ) Nqp(«)/qp (а) |УЛ.
Итак, для того чтобы найти р-адическую норму числа а,
следует посмотреть на его минимальный многочлен.
Если он имеет степень п и постоянный член ап, то
р-адическая норма а равна корню степени п из
(Конечно, мы еще не доказали, что это правило опре-
деляет функцию, обладающую всеми необходимыми
свойствами нормы; это будет доказано ниже в теореме
Н.)
Отметим следующее эквивалентное определение ||а||:
где К — произвольное конечное расширение, содержа-
щее а. Действительно,
И « =	(а)  (Qp] = [Я .	(а)] •
Докажем теперь, что указанное правило вычисле-
ния || || действительно задает норму. Ниже мы будем
писать | |р вместо || ||, указывая тем самым, что || || про-
должает | |р. Это не должно приводить к путанице.
Следует предупредить читателя, что теорему 11 дока-
зать нелегко. Доказательство, изложенное ниже, кото-
рое я узнал от Д. Каждана, гораздо эффективнее дру-
гих известных мне доказательств. Однако и его сле-
дует внимательно прочесть и перечесть, пока читатель
не продумает рассуждения со всей основательностью.
Теорема 11. Пусть К — конечное расширение поля (Qp.
Тогда на К существует некоторая норма, продолжаю-
щая норму | |р с (Qp.
Гл. III. Конструкция поля О
Доказательство. Пусть n = [/<: (Qp], Сначала мы
определим | |р на К, а затем докажем, что эта функ-
ция в самом деле является нормой на К, продолжаю-
щей норму | |р с (Qp. Для произвольного а е К поло-
жим
I а Ip dTf | Nk/qp (а) |У",
где справа стоит определенная ранее норма на (Qp.
Легко проверить, что: (1) новое значение | а |р совпа-
дает с определенным ранее |а|р для всех а е (Qp;
(2) | а |р мультипликативна и (3) | а |р = 0 <=> а = 0. Труд-
ная часть — доказательство свойства | а 0 |р
^тах(|а|р, |0|р).
Предположим, что | 0 |р = max (|а |р, | 0 |р). Тогда,
положив у = а/0, мы видим, что достаточно доказать
неравенство
11	+ У 1р 1 Для всех У с IУ 1р 1 •
Допустим сначала, что у — «примитивный элемент»
поля, т. е. ^ = (Qp(y). Возьмем в качестве базиса век-
торного пространства К над (Е)р набор {1, у, у2, ... , у"'1}.
Пусть А— матрица умножения на у. Тогда А1 — мат-
рица умножения на у1'. Кроме того, | у |р = | det А \}]п,
а I 1+у 1р = I ^et О + Л) |р/л. Пусть III! обозначает sup-
норму на п2-мерном (Qp-векторном пространстве пхп-
матриц с элементами в (Qp. Утверждается, что после-
довательность значений {||А‘||} ограничена.
Предположим противное. Тогда существует такая
последовательность индексов ij, что fl /V/1 ==&/>- /. Пусть
07- — «максимальный» элемент матрицы А\ т. е. 10/ | =
= тах 0 |р —|j где максимум берется по всем эле-
ментам 0 матрицы Ali. Рассмотрим последовательность
матриц
W'/₽/-
Очевидно, || В; ||= 1. Единичная сфера в sup-норме ком-
пактна (см. ниже упр. 2 и 8), поэтому можно найти
подпоследовательность сходящуюся в этой норме
g 2. Продолжение норм
99
к некоторой матрице В. Так как det B, = det Аи/^", то
| det Bj |р < | det Au \p!jn | у \п“ця < 1//".
Ho Bjk-*~B, т. e. максимум | |р от элементов матрицы
В]к — В стремится к 0, поэтому det B,k стремится к det В.
Следовательно, det В = 0.
Таким образом, существует ненулевой элемент /еК,
для которого В (/) = 0. Покажем, что из этого следует
тождественное обращение в нуль матрицы В, что про-
тиворечит равенству || В || = 1.
Достаточно установить соотношение В(уЧ)~ 0 для
любого i, так как {у'7}?^1—базис в /(. Но
В (уЧ) = lim В,- (у11) = lim (/)
fe—>00	/г-юо R
(потому что Bjk — матрица умножения на степень у,
деленная на элемент |3/fe из (Qp). Последний предел
равен
У lim Bj (/) = уг В (/) = 0.
*->00	®
Следовательно,	ограничена некоторой констан-
той С.
Отметим, что для любой /г х «-матрицы 4 = {агу}
выполнено неравенство | det А |р (max |	|р)" = || А
ь /
В этом легко убедиться, если разложить определитель
и воспользоваться аддитивными и мультипликативными
свойствами неархимедовой нормы.
Теперь возьмем достаточно большое IV и рассмот-
рим разложение
(1 + д)« = 1+(7) д+...+(«->)
Тогда
11 +y|p=|det (1-М)"|Г^ 11(14-4)" 11^
< max ||(04 max
' OsiiigA'
Следовательно, 11 4-у|р^уЛС. Переходя к пределу при
ЛГ—>оо, мы получаем требуемое неравенство 114~у |р^ !•
100 Гл. 111. Конструкция поля Q
(Отметим сходство этого доказательства с доказатель-
ством теоремы Островского в § 1.2.)
Если у — не примитивный элемент, то, заменяя К
на (Е)р(у), мы получим 1 Sa | Nqp(V)/qp (1 +у) |'z lQP <v): Qp] ==
= |Nk/q (1 4- у) |p/n — 11 4-У Ip- Эт° неравенство завер-
шает доказательство теоремы 11. □
Пусть R — (коммутативное) кольцо, т. е. множество
с двумя операциями 4- и •, удовлетворяющими всем
требованиям, предъявляемым к полю1), кроме, возможно,
существования мультипликативно обратных элементов.
Иначе говоря, это аддитивная группа относительно +;
выполнены ассоциативность, коммутативность и суще-
ствует единица относительно •; кроме того, имеет место
дистрибутивность. Кольцо R называется областью це-
лостности, если из ху — 0 всегда следует, что х = 0
или у = 0. Примеры областей целостности — кольца Z
и Zp-
Собственное подмножество 7 кольца R называется иде-
алом, если оно является подгруппой в R относительно
сложения и для всех хе R и а е I справедливо вклю-
чение хае 7. В кольце Z множество всех чисел, крат-
ных некоторому фиксированному целому числу, задает
идеал. В Zp для любого г 1 множество {xeZp| |х|р<г}
есть идеал. Если, например, г = р~", то это множество
всех целых р-адических чисел, первые «4-1 знаков
которых в р-адическом разложении равны нулю.
Пусть 7t и 72 —два идеала из R. Тогда легко про-
верить, что множество
{хе/?| х представимо в виде х — ххх[ 4- • • • 4- хтх'т
с X; е 71 и х,' е 7.J
также является идеалом. Этот идеал обозначается через
7i72 и называется произведением двух данных идеалов.
Идеал 7 называется простым, если из включения
ххх2 е 7 следует, что хх е 7 или х2е 72).
4 В частности, 1 =/=0. — Прим, перев.
2) Заметим, что в этой книге все идеалы предполагаются соб-
ственными. — Прим, перев.
§ 2. Продолжение норм
101
Легко проверить, что кольцо Zp имеет единствен-
ный простой идеал (=/={()}) (см. ниже упр. 5), а именно:
Р%р 3ef Iх I I Х Ip < 1 }•
Кроме того, все идеалы (#= {0}) кольца Zp имеют вид
РП%Р def Zp I I Х Ip Р ”}•
Пусть 7 — некоторый идеал кольца R. Тогда легко
установить, что аддитивные классы смежности х-]~7
образуют кольцо. Это кольцо обозначается R/I и назы-
вается факторкольцом кольца R по идеалу 1. (Другой
способ описать это кольцо заключается в рассмотрении
классов эквивалентности элементов из R по такому
отношению: х^у, если х-уе7.) Например, если
7? = Z (или R = ZP), ю, как было установлено выше,
кольцо R/pR совпадает с полем из р элементов.
Идеал М из R называется максимальным, если не
существует такого идеала 7, что М cz 1 cz R (оба вклю-
чения строгие). Оставим в качестве легкого упражне-
ния проверку следующих фактов.
(1) Идеал Р прост тогда и только тогда, когда
RIP — область целостности.
(2) Идеал М максимален тогда и только тогда,
когда R/М — поле.
Предположим теперь, что К — некоторое конечное
расширение поля (Qp. (Или, более общо, пусть К —
алгебраическое расширение поля частных F некоторой
области целостности R, например: F = (Q — поле частных
для R = Z, F = (QP —поле частных для 7? = ZP и т. д.)
Пусть А — множество всех элементов хе К, удовлетво-
ряющих уравнению вида х" а^х"-1	4-	= О
с	(Конечно, каждый хеК удовлетворяет такому
уравнению с коэффициентами а, из (Qp, но они не обя-
заны лежать в Zp.) Множество А называется целым
замыканием кольца в К-
Нетрудно показать, что минимальный многочлен
любого элемента хеЛ имеет указанный вид. Кроме
того, целое замыкание всегда является кольцом. (Общее
доказательство, см. у Ленга [(а) 3], стр. 268 — 275.
102
Гл. 111. Конструкция поля Q
Случай, который нам необходим в дальнейшем, — целое
замыкание ZP в /( — рассмотрен в следующем предло-
жении.)
Предложение. Пусть К— конечное расширение сте-
пени п поля и
Д = {х_е/С| |х|р< 1}, Л4 = {х е К | | х<1 }.
Тогда А — кольцо, совпадающее с целым замыканием
кольца Хр в К, М — единственный максимальный идеал
этого кольца, а А/М — конечное расширение поля рр сте-
пени, не превосходящей п.
Доказательство. Используя мультипликативное и
аддитивное свойства неархимедовой нормы, легко про-
верить, что А — кольцо, а М — его идеал. Пусть теперь
а е. К — некоторый элемент степени т над (Qp. Предпо-
ложим, что а цел над Zp: am + aiam~1 + .. .-}-ат = 0,
at е Zp. Предположив, что |а|р>1, мы придем к про-
тиворечию:
I a |m = I ат I = I а.ат-1-4-.. , + п I max la.am4Ls^
J 1Р I |Р । 1 т т	, ip —
sg: max I am-i I =la|m—'.
'р 1 'р
Обратно, пусть |a|psg 1. Тогда для всех сопряженных
т
о a = аг над (Qp также I1Р = ЦI “/ |p/m = | a |р sg 1. Так
/=-|
как все коэффициенты минимального многочлена для a
равны суммам произведений (симметрическим много-
членам от а,), для этих коэффициентов также | |р^1.
Следовательно, они должны лежать в Zp, поскольку
они лежат в (Qp.
Докажем теперь, что М содержит каждый идеал
из А. Предположим, чтоае А иа^М. Тогда |a|p— 1,
откуда |1/а|р=1 и 1/аеА. Поэтому любой идеал,
содержащий а, должен содержать (l/a)-a=l, что
невозможно.
Отметим, что М f|Zp = pZp по определению М.
Рассмотрим поле А/М. Напомним, что элементы
этого поля суть классы смежности а-\-М. Заметим, что
$ 2. Продолжение норм
103
если а и b окажутся в Zp, то класс a-j-M совпадет
с b-j-M в том и только том случае, когда а — Ь&
е Л1 П ZP = pZp- Отсюда получается естественное вло-
жение Zp/pZp в А/M, задаваемое отображением (класс
а + pZp) * (класс а-\-М) для asZp. Так как ZPlpZp
есть поле Fp, состоящее из р элементов, то А/M — рас-
ширение этого поля Fp-
Утверждается, что А/M имеет конечную степень
над Fp. Точнее, установим неравенство [Д/Л1:рр]^
=g;[/C:(Qp]. Для этого покажем, что любая система из
«4-1 элементов аи а2, ..., ап+1^.А/М линейно зави-
сима над Fp, где « = [/(: (Е)р]. Для i=l, 2.....«4-1
выберем элемент сц в А, который переходит в класс а,
при отображении А -> А/M (т. е. а, — некоторый эле-
мент класса смежности at, или, другими словами,
ai = atA- М). Так как [K:Qp] = n, то alt ........ап+1
линейно зависимы над :
а1^14~а2^2 4-- • • + an+ibn+i = 0, bt е (Е)р.
После умножения на подходящую степень р можно
предполагать, что все bt^Zp и по крайней мере одно bt
не лежит в pZp- После факторизации это выражение
превращается в равенство
«1/4 4- «2^2 4- • • • + дл+15л+1 = 0
в Д/М, где bi — образ в ZplpZp (т. е. 5; определяется
первым знаком р-адического разложения bt). Поскольку
по крайней мере одно bt не принадлежит pZp, то одно
из bt не равно 0. Поэтому, как и утверждалось, аг,
а2,	, Оп+1 линейно зависимы. □
Поле А/M называется полем вычетов для /С Это рас-
ширение поля Fp некоторой конечной степени f. Кольцо А
называется кольцом нормирования, соответствующим
I 1Р> в К-
Упражнения
1.	Докажите, что две нормы |] |г н J |2 на конечномерном век-
торном пространстве эквивалентны в том и только том случае,
когда существуют такие константы с, > 0 и с2 > 0, что при всех
X е V
hb^ihlli и 1 * к с21 * L
104
Гл. Ill. Конструкция поля О
2.	Пусть F— поле с нормой [ [, а V — конечномерное вектор-
ное пространство над F с базисом {p1F	Покажите, что
функция ja 1014- ...-f-anon fls = max (||at ||) является нормой
p def I i n
на V. Докажите, что из локальной компактности F следует лока-
льная компактность V.
3.	Пусть V = ®р (Ир ), 01=1, о2 = )/ГР  Докажите, что
sup-норма не будет нормой на поле (QpfKp).
4.	Пусть V—K — некоторое поле. Может ли вообще sup-норма
быть нормой на этом поле (хоть для какого-нибудь базиса
..., ия}) при n = dim/<> 1? Для каких конечных расширений К
поля sup-норма никогда не является нормой на этом поле?
5.	Докажите, что Zp имеет единственный максимальный идеал
pZ„ и что все идеалы (=£ {0}) из Z„ имеют вид pnZp, пе
ejl, 2, 3,...}.
6.	Докажите, что всякое локально компактное векторное про-
странство V с нормой I ||р полно.
7.	Докажите, что векторное пространство с нормой || Ц^, локаль-
но компактно тогда и только тогда, когда компактен шар
8.	Докажите компактность сферы (х ||x[v=l| для локально
компактного векторного пространства с нормой || Ц^.
§ 3. АЛГЕБРАИЧЕСКОЕ ЗАМЫКАНИЕ ПОЛЯ (Qp
Сопоставляя две теоремы из § 2, мы видим, что
| |р имеет единственное продолжение (которое также
обозначается через | |р) на любое конечное расширение
поля (Qp. Поскольку алгебраическое замыкание (Qp
поля (Qp является объединением таких расширений,
норма | однозначно продолжается на (Qp. Точнее,
если ае(Е)р имеет минимальный многочлен хя4-а1Хя~14-...
...4-ая, то | а |р = | ап \^п.
Пусть К —расширение степени п поля (Е}р- Для
а е К положим
ordpа = — logp| а|р = — logp| Nx/qp («) \р" =
def
= - 4 1оёр I Nx/Op (а) |р-
При ае(Е)р значение ordpa совпадает с определенным
ранее. Кроме того, очевидно свойство ordpC$ = ordpa4-
§ 3. Алгебраическое замыкание поля Qp 105
H-ordpP. Образ К при отображении ordp попадает
в множество (1/zi) Z = {х е (Q | пх е Z}. Этот образ есть
def
аддитивная подгруппа в (l/zi) Z. Поэтому он представим
в виде (1/е) Z для некоторого целого положительного е,
делящего п. Это целое число е называется индексом
ветвления поля К над (Qp. Если е=1, то говорят, что
К — неразветвленное расширение поля (Qp. Пусть ле/( —
элемент, для которого ordpn=l/e. Тогда, очевидно,
любой хеК однозначно записывается в виде
лти, где | и |р = 1, ameZ (при этом m = e-ordpx).
Можно доказать (см. ниже упр. 12), что n — e-f,
где n = [/C:(Qp], е —индекс ветвления, а / — степень
расширения поля вычетов А/М над Fp. Во всяком
случае, мы уже знаем, что/=^п ие<п. Если /< —не-
разветвленное расширение, т. е. е=1, то в качестве л
из предыдущего абзаца можно взять р, потому что
ordpp = 1 = 1/е. В другом крайнем случае, когда е — п,
расширение К называется вполне разветвленным.
Предложение. Пусть К — вполне разветвленное рас-
ширение, а ле К — такси элемент, что ordpn=l/e.
Тогда л удовлетворяет некоторому уравнению Эйзен-
штейна (см. упр. 13 к § 1.5)
Xе 4- Ое-1Хе-1 4- . . • Ч" Но = О,
где a; = 0(modp) при всех I, a a0^0(modp2). Обратно,
если а — корень некоторого такого уравнения Эйзен-
штейна над (Qp, то (Qp (а) — вполне разветвленное рас-
ширение степени е над (Qp.
Доказательство. Прежде всего | а, |р < 1, так как
а, —значения симметрических полиномов от элементов,
сопряженных ели имеющих норму | |р = р_1/е. Что ка-
сается По, то I а0 |р = I л \ер = 1/р.
Обратно, как видно из упр. 13 к § 1.5, многочлен
Эйзенштейна неприводим. Поэтому, присоединив его
корень а, мы получим расширение степени е. Из равен-
ства ordpa0 = l следует, что ordpa = (l/e)ordpOo= 1/е.
Значит, (Qp(a) вполне разветвлено над (Qp. □
106
Гл. 111. Конструкция поля Я
Более точное описание корней многочленов, при-
соединение которых задает вполне разветвленные рас-
ширения степени е, можно дать, если е не делится
на р (в этом случае ветвление называется ручным',
если р | е, ветвление называется диким). А именно, ручные
вполне разветвленные расширения получаются присое-
динением решений уравнения хе — ри = 0, где и е Zp,
т. е. все такие расширения получаются добавлением
корня степени е из произведения р на некоторую
р-адическую единицу (см. ниже упр. 13 и 14).
Пусть теперь К — произвольное конечное расшире-
ние поля Следующее предложение утверждает, что
если ft не разветвлено, т. е. е=1, то К имеет очень
специальный вид: получается присоединением некото-
рого корня из 1. В случае же, когда К разветвлено,
вначале следует построить его максимальное неразветв-
ленное подполе, присоединяя некоторый подходящий
корень из 1, а затем исходное расширение получается
присоединением корня некоторого многочлена Эйзен-
штейна. Предупреждение-. доказательство следующего
предложения несколько утомительно, и читатель, кото-
рый спешит перейти к менее сухим материям из сле-
дующей главы, может пропустить его (а также часть
более трудных упражнений к § 4) при первом чтении.
Предложение. Существует, ровно одно не развет-
вленное расширение поля степени f, и оно
может быть получено присоединением примитивного
корня степени pf — 1 из 1. Пусть К — некоторое рас-
ширение поля степени п с индексом ветвления е
и степенью поля вычетов f (так что п = ef, как это
будет доказано ниже в упр. 12). Тогда ft = ftf'nram (л),
где л — корень некоторого многочлена Эйзенштейна
с коэффициентами в ft“nram.
Доказательство. Пусть а —образующая мультипли-
кативной группы (см. предложение в конце § 1),
а Р (х) = л/+ Si.r/-1 +..й; — ее минимальный много-
член над Fp (см. упр. 5 к § 1), где щ <= Fp- Для каж-
дого i выберем произвольный элемент а,- е Zp из класса
fl/(modp). Положим Р (х) — х! -\-ayxl1-\-...-spa^. Оче-
$ 3. Алгебраическое замыкание поля QP 107
видно, Р (х) неприводим над Qp, так как иначе его
можно было бы записать в виде произведения двух
многочленов с коэффициентами в Zp, что при редукции
по модулю р дало бы разложение в произведение
для Р(х). Пусть а е (Qplgcl — некоторый корень много-
члена Р (х), К = Щр («), Л = {х <= К 11 х |р -С 1}, М — {.vg
<= К | | х |р < 1}. Тогда [К : Щр] = /, в то время как класс
смежности a-j-M является корнем неприводимого
над Fp многочлена Р (х) степени f. Следовательно,
[Л//Й:рр] = / и К — неразветвленное расширение сте-
пени f. (Его единственность еще не доказана.)
Предположим теперь, что К — некоторое расширение
из второй части данного предложения. Пусть А =
= {х е К  х |р 1} —кольцо нормирования для | |р
в К, а М = {х <= К | | х |р< 1} — максимальный идеал
в А, так что A/M — ^pf. Рассмотрим а е рр/, образую-
щую мультипликативной группы Пусть а0 е А —
элемент, редуцирующийся в класс a (mod М). И, нако-
нец, пусть л е К — произвольный элемент с ordp л = \[е.
Таким образом, М — лА.
Утверждается, что существует элемент a==a0(mod л),
для которого а^-1 —1=0. Доказывается это анало-
гично лемме Гензеля. А именно, пусть asoj+ojn
(mod л2). Тогда выполнено сравнение Oss(ao4~
4-а1л)'’,_ 1 — 1 sag^-1 — 1 4-(р/_ l)a1nag,_2sag,“1 —
— 1 — с^лс^ -2 (mod л2). Но agz_1 1 (mod л), поэтому
ctj = (agf_ 1 — 1у^ла0₽, — 2) (mod л) удовлетворяет нуж-
ному сравнению по модулю л2. Продолжая этот про-
цесс вычисления далее, как и в лемме Гензеля, мы
находим а = а04-а1л4-а2Л2 + ..., решение уравнения
aPf -1 = 1.
Отметим, что а, а2,..., —1 — различные элементы,
потому что различны их редукции а, а2,...,	1 по
модулю М. Иначе говоря, а — примитивный корень
степени р! — 1 из 1. Кроме того, [Щр (а): Щр] f, так
как / — степень расширения поля вычетов. (Вскоре мы
увидим, что №Р(а) :QP] = /.)
108
Гл. III. Конструкция поля Q
Предыдущее рассуждение применимо, в частности,
к полю К, построенному в первом абзаце доказатель-
ства. Следовательно, Л’гзЩр(а), где а — примитивный
корень степени pf — 1 из 1. В силу неравенств f =
= [К:(Е!р]гг[(Е!р(а)-’(Е;р]гг/ получаем, что к = ^р(а)-
Значит, неразветвленное расширение степени f единст*
венно. Обозначим его через /<('пгат-
Вернемся к нашему полю К степени n = ef над
Пусть Е (х) — минимальный многочлен элемента л
над К = К/пгагп. Обозначим через {л,-} множество всех
элементов, сопряженных с л над K“nram, так что Е (х) =
= П(х-л;). Пусть d — степень, а с —постоянный член
Е (х). Тогда ordp с = d ord„ л = d/e. Но поскольку ef =
= п = [К : Щр] = [К : K—f^unrarn .	=	. ^unrain] . д
то dsge. С другой стороны, порядок ordpc цел, так как
сеК;'1”"1. Отсюда мы заключаем, что d = e и ordpc =
= 1. Таким образом, Е (х) — многочлен Эйзенштейна и
К“(л). □
Следствие. Пусть К —конечное расширение поля
степени п с индексом ветвления е и полем вычетов сте-
пени f, а л —такой элемент, что огйрЛ=1/е. Тогда
каждый элемент ае К однозначно представим в виде
У, apd,
i = m
где т = е ordp а, а каждое а,- удовлетворяет уравнению
af = а,- (т. е. а, — представители Тейхмюллера).
Доказательство этого следствия несложно, и мы
оставляем его читателю.
Для всякого целого положительного т, не деля-
щегося на р, можно найти степень pt числа р, срав-
нимую с 1 по модулю т (действительно, пусть, напри-
мер, / — порядок мультипликативной группы вычетов
(Z/mZ)x по модулю т целых чисел, взаимно простых
с т). Тогда pf — 1=тт', и если к полю присое-
динить примитивный корень а из 1 степени pf — 1,
то в полученном поле элемент ат' будет примитивным
$ 3, Алгебраическое замыкание поля Qf
109
корнем из 1 степени т. Из этого можно> заключить,
что конечные неразветвленные расширения поля (Qp —
это в точности все расширения, полученные присоеди-
нением корней из 1 степени, взаимно простой с р.
Объединение всех конечных неразветвленных рас-
ширений поля (Qp обозначается (Qpnram и называется
максимальным не разветвленным расширением поля (Qp.
Кольцо целых Zpnram поля (Qpnram (также называемое
кольцом нормирования') есть
Z“nram = {х f= (Q“nram 1Х |р 1},
Оно имеет (единственный) максимальный идеал MUnram =
=pZ” = Ue(Q“l |x!p<l} = {xe(Q”| |х|р^
гС 1/р}. Очевидно, поле вычетов ZPnram/pZPnram есть
алгебраическое замыкание рр поля рр. Каждый х е fp
обладает единственным представителем Тейхмюллера
х е ZPnram, который является корнем из 1 с образом х в
ZPnram/^ZPnram. По этой причине ZPnram часто называют
«поднятием Рр в характеристику нуль» (а также кольцом
векторов Витта поля рр).
Поле (Qpnram, гораздо меньшее, чем (Qplgcl, во многих
ситуациях может использоваться вместо (Qplgcl.
«Противоположный» к неразветвленным расшире-
ниям класс образуют вполне разветвленные расшире-
ния. Такое расширение можно построить, например,
присоединением примитивного корня из 1 степени р’",
при этом получается вполне разветвленное расширение
степени п = е= рг~1 (р — 1) (см. ниже упр. 7). Однако,
к сожалению, далеко не все вполне разветвленные рас-
ширения задаются присоединением корня из 1. Напри-
мер, присоединяя корень многочлена хт — р, мы, оче-
видно, получаем вполне разветвленное расширение К
степени т, и если бы К содержалось в поле, заданном
присоединением примитивного корня из 1 степени рг,
то число т должно было бы делить pr-1(p —1), что
невозможно, скажем, при т> р и р^т. Почти все,
что мы можем сказать о вполне разветвленных расши-
по
Гл. 111. Конструкция поля Q
рениях, содержится в первом предложении данного
параграфа и в упр. 14 ниже.
Повторим: расширение К поля (Qp степени п с ин-
дексом ветвления е и степенью поля вычетов / задается
присоединением примитивного корня из 1 степени pi — 1
и последующим присоединением к полученному полю
^unram КОрНЯ некоторого многочлена Эйзенштейна
с коэффициентами в К^пгат.
Закончим этот параграф двумя полезными предло-
жениями.
Предложение (лемма Краснера). Пусть а, b е
ё Щр( = (Qplgcl). Предположим, что элемент b располо-
жен к а ближе, чем любой из сопряженных at (а, Ф а)
для этого а, т. е.
\b-a\p<\ai-a\p.
Тогда (Qp(a) <= (Qp(&).
Доказательство. Пусть К = ЩР(&). Предположим,
что афК- Тогда имеется [К (а) : К] > 1 элементов,
сопряженных с а над К. Следовательно, существует
по крайней мере одно а, К, at =/=а, а также изомор-
физм а поля Щр(а) в Щр(а,), оставляющий на месте
все элементы К. и переводящий а в а,. Мы уже знаем,
что | ох |р = | х |р для любого х К (а) в силу единст-
венности продолжения нормы. В частности, \Ь — а,-|р =
= \ ob — оа\р = \Ь — а\р, откуда следует неравенство
I at - а |р sg шах (| а,- - b |р, | b - а |р) = | b - а |р < | а,- - а |р,
противоречащее предположению. □
Отметим, что точно таким же методом лемму Крас-
нера можно доказать в более общей формулировке:
если a, b е Щр, К — конечное расширение поля Щр и
| b — а |р< | а, — а |р для всех ah сопряженных с а над
К(а^а), то K(a)czK(b).
Рассмотрим теперь произвольное поле К с нормой
|| ||. Пусть f, gf= К [X], т. е. / = 2 atX‘ и g = £	—
два многочлена с коэффициентами в К- Определим рас-
$ 3. Алгебраическое замыкание поля Qp
111
стояние j/ — g|| от / до g как
I / ~ g К d?F max I at - bi ||.
i
Предложение. Пусть К,—конечное расширение поля
(EJP, a f (X) е К [X] — многочлен степени п,
/ (X) = апХп -|- ап_1Хл~1 -|-... -|- ахХ -|- а§.
Предположим, что все корни f в Щр различны. Тогда
для любого (достаточно малого) е > 0 существует та-
п
кое 6, что если многочлен g= Ь,Х‘К[Х] имеет
z=o
степень п и \f—g |р< 6, то для каждого корня много-
члена f (X) существует в точности один корень рг
многочлена g (X), для которого | а,- — р,- |р < е.
Доказательство. Если р —корень g(X), то
п
|/(₽) lP = i/(₽)-g(₽) |Р =

р
=Стах (|аг- й,-|р)Р |р) <|/~ g |р тах(1, (₽ (")<6С?
для некоторой константы (см. ниже упр. 3).
Пусть С2 = min	|а,— аДр. Очевидно, С2#=0,
1 I < / п
так как все а,-различны. Тогда неравенство |Р~а, |р<
<С2 имеет место не более чем для одного а; (так как
если бы оно выполнялось для другого a./^a.i, то мы
имели бы | аг — а/|р max (| а; — р |р> I Р — а/|р) < С2).
Поскольку
с?б>|/(Р)|Р=|а„П(₽-“<) |р = 1 1₽ п IР-“11р
(так как / (X) = ап (X — т0 ПРИ достаточно ма-
лом 6 такое а,, для которого | р — а,- |р < С2, сущест-
вует. Более того, для этого а,
1 Р ~ а/ 1р< 1рП I Р-«/ 1р 1р -Ч-1 ’
а последнюю величину можно сделать <е при подхо-
дящем выборе б. □
112
Гл. III. Конструкция поля Я
§ 4. ПОЛЕ й
До сих пор мы имели дело исключительно с алгеб-
раическими расширениями поля Qp. Но, как отмеча-
лось выше, для конструкции р-адического аналога поля
комплексных чисел этого недостаточно.
Теорема 12. Поле Qp не полно.
Доказательство. Нужно построить пример последо-
вательности Коши {а,} в (Qp, которая не сходится ни
к какому а е (Qp.
Пусть bi — примитивный корень из 1 степени р2'—1
в (Qp, т. е. 6f2-1==l и	Для 0<m<p2'—1.
2>'_ ]
Заметим, что bi =1, если Г>1, так как 2‘| 2''
влечет за собой (р2‘—1)|(р2< —1). (На самом деле 2г
можно заменить любой возрастающей последователь-
ностью натуральных чисел, i-й член которой делит
(г‘4-1)-й, например: З1', i! и т. д.) Таким образом, bi
есть степень by при i' > i. Пусть
ai = Z biPN^
где 0 =	< Afi <	<••• —возрастающая последова-
тельность целых положительных чисел, которая будет
выбрана позже. Отметим, что bj при / = 0, 1.....i
являются знаками р-адического разложения числа а,
в неразветвленном расширении (Qp (£,-), так как bj —
представители Тейхмюллера. Последовательность {аг},
очевидно, будет последовательностью Коши.
Выберем теперь по индукции подходящие Nj для
/>0. Предположим, что Nj уже определены для / i;
i
тогда определено также а, — btpNi. Пусть K = (Qp(b;).
/=о
В § 3 было доказано, что К есть неразветвленное рас-
ширение Галуа степени 2‘. Отметим прежде всего сов-
падение (Qp (а,) с К. В противном случае существовал
бы нетривиальный автоморфизм о поля К, оставляю-
щий а,- на месте (см. пункт (И) § 1). Но о (а,) имеет
§ 4. Поле Q 113
р-адическое разложение ° (fy) PN/ и ст (&,)=/=&,-. Поэ-
/=о
тому а (а,) #= а,, ибо различны их р-адические разло-
жения.
Из упр. 9 к § 1 следует существование такого
Ni+1>Nh что при п<2‘ и a;-eZp, не делящихся
одновременно на р, а, не удовлетворяет ни одному из
сравнений
4"	4~... 4~ ОС1Я/ 4“ ®о = 0 (mod р^,+1).
Итак, мы построили требуемую последовательность
М
Действительно, предположим, что а е (Е)р является
пределом этой последовательности. Тогда а удовлетво-
ряет уравнению
апап 4- ап_1ял-14-... 4- ага 4- а0 = О,
причем можно считать, что a,eZp и не делятся одно-
временно на р. Выберем г, для которого 2'4>п. Так
как а = a, (mod рУ‘+1), это приводит к противоречию:
апа" 4-	4- • • • 4-	+«о = 0 (mod pNl+1).
Теорема доказана. □
Заметим, что мы установили неполноту, используя
последовательность из (E)pnram, а не из всего замыкания
^P = (E!pgcI-
Перейдем теперь к «залатыванию дыр» и определим
новое поле Q как пополнение поля (Е)р. Строго говоря,
следует рассмотреть классы эквивалентности последо-
вательностей Коши в (Е)р, а затем определить все необ-
ходимые структуры на полученном множестве, посту-
пая при этом точно так же, как и при конструкции (Е)р
по (Е) (или R по (Q, или как при конструкции попол-
нения произвольного метрического пространства). Инту-
итивный смысл построения Q заключается в добавле-
нии всех тех чисел, которые должны быть пределами
114
Гл. III. Конструкция поля Q
сходящихсях) бесконечных сумм чисел из (Qp, напри-
мер сумм вида, рассмотренного в доказательстве тео-
ремы 12.
Точно так же, как и при переходе от (Q к (Е)р, при
переходе от Qp к й можно продолжить норму | L с (Qp
до нормы на й, положив |х |р= lim | х, |р, где {хД—
I—>со
некоторая последовательность Коши элементов из (Е)р,
лежащая в классе эквивалентности х (см. § 1.4). Как
и в случае перехода от (Q к (Е)р, нетрудно показать,
что на самом деле при х#=0 этот предел |х|р равен
] Xi \р для достаточно больших i.
Продолжим также функцию ordp на й:
ordpx = —logp| х|р.
Следующая теорема утверждает, что на этом работа
окончена: й может служить р-адическим аналогом поля
комплексных чисел.
Теорема 13. Поле й алгебраически замкнуто.
Доказательство. Пусть f (X) = Хп Д- аП_1Хп-1 Д-...
..,Д- ахХ Д-а0, Я/й. Мы должны установить сущест-
вование корня у f (X) в й. Для каждого i — 0, 1, ...
..., п— 1 выберем последовательность элементов
поля (Б}р, сходящуюся к а,. Пусть gf (X) = Хл Д-
Д-a„-i,/Хл~1Д-...Д-а1,/ХД-а01/, а г,/ —корни много-
члена gj(X) (i=l, 2, ..., п). Утверждается, что можно
найти такую последовательность индексов Д (1
j=l, 2, 3, ..., для которой |rf/i Д — последовательность
Коши. Действительно, предположим, что мы уже имеем
rt.j и хотим указать следующее гг /+1. Пусть 67 =
= I gj — g/+i Ip = max (I ai. i — ai- ж Ip) (это число стре-
i
мится к 0 при /->со). Положим Д; = тах(1, |	, |л).
Очевидно, существует некоторая константа А, такая,
что Aj^A для всех / (см. ниже упр. 3). Тогда
П I Г</. / “ /+1 |р = I §/+! (ГД /) |р =
1	= I &Ч! (fi., Д - gj (Г,, j) |р
Ч В смысле Коши. — Прим, перев.
§ 4. Поле О
115
Следовательно, по крайней мере одно из чисел
\rij.j — ri.j+i\p слева ^р^буД. Пусть г//+гЯ1 —соответ-
ствующее г/,7+1- Построенная последовательность {Gy/},
очевидно, является последовательностью Коши.
Пусть теперь r= lim rt у е £2. Тогда
/ —* со *
f(r) = lim f(rt Л = lira g^rt у) = 0. □
Резюмируя результаты глав I и III, можно сказать,
что мы построили наименьшее алгебраически замкну-
тое поле £2, содержащее (Q и полное относительно | \р.
(Строго говоря, это видно из следующего рассуждения:
пусть £2'—другое такое поле; так как £2' полно, оно
должно содержать поле, изоморфное р-адическому по-
полнению поля (Q, которое можно обозначить (Е)р; далее,
поскольку £2' содержит (Qp и алгебраически замкнуто,
оно должно содержать поле, изоморфное алгебраиче-
скому замыканию поля (Е)р; это замыкание можно обо-
значить (Е)р; и, наконец, так как £2' содержит (Qp и
полно, оно должно содержать поле, изоморфное попол-
нению (Е)р, которое можно обозначить £2. Таким обра-
зом, любое поле, обладающее указанными выше свой-
ствами, должно содержать поле, изоморфное £2. Это
объясняется тем, что и пополнение, и алгебраическое
замыкание определены однозначно с точностью до изо-
морфизма.)
Поле £2 следовало бы обозначать через £2Р, напоми-
ная о простом числе р, от которого зависят все кон-
струкции. Но для краткости индекс р мы опускаем.
Построенное поле £2 — это обширная и прекрасная
область, место обитания р-адического анализа.
Упражнения
1.	Докажите, что множество всевозможных значений | |р на
(Qp состоит из всех рациональных степеней р (лежащих в множе-
стве положительных вещественных чисел). Каково это множество
для Q? Напомним, что функция ordp продолжается на Q сле-
дующим способом: ordpX = —logp | х |р (т. е. чтобы получить
| х 1р, нужно возвести 1/р в эту степень). Каково множество все-
возможных значений ordp на Q? Докажите, что (Qp и Q не яв-
lie
Гл. III. Конструкция поля Q
ляются локально компактными. Эго одно из существенных отли-
чий Q от С, которое локально компактно в архимедовой метрике
(обычное расстояние на комплексной плоскости).
2.	Что получится, если на Q определить «эллипс» как мно-
жество точек, сумма расстояний которых от двух заданных то-
чек a, ie Q постоянна и равна некоторому фиксированному
вещественному числу г? Покажите, что этот «эллипс» является
либо объединением двух непересекающихся окружностей, либо
пересечением двух окружностей, либо пустым множеством в зави-
симости от выбора а, Ь и г. Что будет, если определить «гипер-
болу» как {гей | х—а\р— | х— & |р = г}?
3.	Пусть g(X)=X» + ^_1X»-J-b..+ &1X + &0, C0=|g|p^
= max | bi |p. Докажите существование такой константы Clt зави-
i
сящей только от Со, что любой корень $ многочлена g(X) удов-
летворяет неравенству | 0 |р < Ct.
4.	Пусть а—корень многочлена /(Х)еХ[Х] со старшим
коэффициентом 1, где К — конечное расширение поля (Qp. Дока-
жите существование такого е > 0, что всякий полином g (X) та-
кой же степени, как и f, удовлетворяющий неравенству \f—g\p<.
<е, имеет корень 0, для которого К (а)— К (0).
5.	Докажите, что всякое конечное расширение К поля (Qp
содержит конечное расширение F поля рациональных чисел (Q,
для которого [У6 7 8: (Q] = [K : (Qp) и F плотно в К, т. е. для каждого
элемента хе К и любого е > 0 существует у е F с |х—у|р<е.
6. Пусть р — такое простое число, что —1 не имеет квадрат-
ного корня в (Qp (см. упр. 8 к § 1). Используя лемму Краснера,
найдите е, для которого (Qp (У—o) = (Qp(r —1) при любом а
с \а— 1 |р с е. Для какого е из неравенства \а—р'р<.е. сле-
дует совпадение (Qp (Vа) с (Qp (Vр)? (Отдельно исследуйте слу-
чай р = 2.)
7. Пусть а — примитивный корень из 1 степени рп в (Qp, т. е.
аРл-1=/=]. Найдите |а—1 |р. (Указание: а имеет минимальный
многочлен (ХРп~ 1)/(ХРп 1—1); при п=1 см. упр. 14 к § 1.5.)
Пусть п=1. Докажите, что Qp(a) = (Qp((—р)1/(₽-1)). Докажите,
что если а — примитивный корень из 1 степени т и т не равно
степени числа р, то \а—1 |р=1.
8. Пусть К — конечное расширение поля (Qp, m —некоторое
целое положительное число, а (Хх)т обозначает множество т-х
степеней элементов из Xх. Предположим, что: (1) |т!р = 1 и (2)
К не содержит корней степени т из 1, отличных от 1. (Напри-
мер, для X = (Qp легко проверить, что эти два условия выпол-
нены тогда и только тогда, когда т взаимно просто с р и р—1.)
Докажите, что индекс мультипликативной подгруппы (Хх)т в К*
(т. е. число различных классов смежности) равен т.
§ 4. Поле Q
117
9.	Опустим оба предположения предыдущего упражнения.
Докажите, что индекс (Кх)т в К* равен mw/\ т 1р, где w — число
корней из 1 степени т, содержащихся в поле К.	)
10.	Пусть К —вполне разветвленное расширение поля (Qp.
Покажите, что каждый корень степени т из 1 в поле К лежит
на самом деле в (Qp, если р не делит т.
11.	Определите мощность множеств (Qp, (Qp и Q.
12.	Докажите, что ef = n, где n = [K : (Qp), е — индекс ветвле-
ния, a f—степень поля вычетов. (Указание. Пусть уи ..., у; —
элементы поля К, для которых |у(-!р=1, а их образы в поле
вычетов составляют базис этого поля над Покажите, что у;л/,
Isgt'sg/, Osg/^e—1, составляют базис в К над (Qp, где
ordp л = 1/е.)
13.	Пусть К — вполне разветвленное расширение степени е
поля (Qp. Установите существование такого Р е К, что | ре —ajp<
с 1/р для некоторого aeZp с ordp a = 1
14.	Предположим, что К — ручное вполне разветвленное рас-
ширение. Используя метод леммы Гензеля, покажите, что найден-
ное выше р можно подправить так, чтобы для него было спра-
ведливо включение ре е (Qp, т. е. р удовлетворяло уравнению
Xе— а = 0, где а е Zp и ordpa=l. Заметим, что тогда К =
= (Qp (Р) (объясните почему).
15.	Докажите для любого натурального п конечность числа
расширений поля (Qp степени, не превосходящей п.
16.	Комплексных чисел гораздо больше, чем рациональных
и даже алгебраических, потому что два последних множества
счетны, а С имеет мощность континуума. Поле Q также много
больше, чем (Qplgcl, хотя и в другом смысле (см. выше упр. 11).
Докажите, что Q нельзя представить в виде алгебраического
расширения поля, полученного присоединением счетного числа
элементов поля Q к (Qp (т. е. поля, состоящего из всех рацио-
нальных выражений от этих элементов и элементов поля (Qp).
Можно сказать, что Q имеет несчетную степень трансцендентно-
сти над (Qp. (Предупреждение. Это упражнение и следующее —
трудные!
17.	Будет ли счетной степень трансцендентности Q над р-ади-
ческим пополнением поля (Цапгат?
Глава IV
^-АДИЧЕСКИЕ СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ
§ 1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Напомним, что в метрическом пространстве, метрика
которого индуцирована некоторой неархимедовой нор-
мой || ||, последовательность удовлетворяет условию Коши
в том и только том случае, когда разность между
ее соседними членами стремится к нулю. Более того,
если это метрическое пространство полно, бесконечная
сумма в нем сходится тогда и только тогда, когда ее
общий член стремится к нулю. Поэтому выражения
вида
СО
f(X) = У, апХп, ап<=&,
позволяют задать значение функции f (х) как У апхп
для всех тех значений xeQ переменной X, для кото-
рых | апхп |р-> 0.
Следуя архимедову случаю (степенных рядов над R
или С), определим радиус сходимости соотношением
1
limsup \ап »
где выражение 1/г = lim sup | ап |рЛ обозначает наимень-
шее вещественное число 1/г, для которого при любом
С> 1/г существует лишь конечное число величин
|ая|р/л, больших С. Иначе говоря, 1/г есть наибольшая
точка накопления, т. е. наибольшее вещественное число,
представимое в виде предела некоторой подпоследова-
тельности из {| ап |р/л}. Так, например, 1/г равно
lim |ап ^рп, если последний предел существует.
П-+€О
§ 1. Элементарные функции
119
Чтобы обосновать употребление термина «радиус
сходимости», покажем, что соответствующий ряд схо-
дится при \x\p<Zr и расходится при |х|р>г. Пусть
сначала |х|р<г. Тогда, положив |х|р = (1—е)г, полу-
чим |«лхл|р = (г|«„|р/л)л(1 — е)л. Так как |ал|р/л>
> 1 /(г — 1/2ег) только для конечного числа значений
п, то
1-	,	! (1—е)г \«	I 1—е п
hm |алхл|р^ lim	= lim =°-
П-*<Х)	n-*GO \ U /2Ь/ ' / n-*ooV /2®/
Если |x\p>r, то подобны.м же образом легко устано-
вить, что апхп не стремится к 0 при п->оо.
Что происходит при |х|р = г? В архимедовом случае
ряды могут вести себя довольно сложно на границе
интервала или круга сходимости. Например, log (1 -\-х) =
ОО
= У ( —1)л+1хл/п имеет радиус сходимости 1. При
л = 1
| х | = 1 этот ряд расходится для х =—1 и сходится
(условно, не абсолютно) для всех остальных значений
х (т. е. для х= 1 в вещественном случае и во всех
точках единичной окружности, исключая х =—1,
в комплексном).
В неархимедовом же случае ответ не зависит от точки
границы |х|р = г. Это происходит по той причине, что
в данной ситуации ряд сходится тогда и только тогда,
когда его члены стремятся к нулю, т. е. тогда и только
тогда, когда |а„ |р | х/р->0. Но это условие зависит
только от нормы |х|р, а не от конкретного значения
х с заданной нормой. Такого явления, как условная
сходимость, здесь просто не существует (ряд У ± ап
сходится или расходится независимо от выбора знаков
Если мы рассмотрим тот же пример (~1)л+1-^,
П = 1
то найдем, что |ал|р = рогарл и lim |ал|р/л= 1.
П->00
Поэтому этот ряд сходится при |х|р<1 и расходится
при |х|р>1. Когда |х|р=1, I апхп |р = pordPn 1 ц
ряд расходится для всех таких х.
120
Гл. IV. р-адические степенные ряды
Введем теперь некоторые обозначения. Пусть R—
кольцо. Обозначим через 7?[[Х]] кольцо формальных
степенных рядов от X с коэффициентами в R, т. ё.
00
множество выражений У апХп, ап е R, которые склады-
п = о
ваются и умножаются по обычным правилам. Обычно
в дальнейшем R будет одним из следующих колец:
Z, (Q, Zp, (Qp или Q. Это обозначение часто исполь-
зуется для компактной записи других множеств,
например:
1+Х/?[[Х]] s/?[[Х]]| постоянный член а0
ряда f равен 1}.
Множество
Da ('') JTf е Q I |х-а|р<г}
называется замкнутым диском радиуса reR с центром
в точке а е Q, а
Da (f-) {х е Q I |х-а|р<г}
— открытым диском радиуса г с центром в а. Кроме
того, положим D (г) jj-r Dq (г) и D (г) Do (/-). (Заме-
чание: сразу оговоримся, что ниже, говоря о замкну-
том диске D (г) из Q, мы всегда подразумеваем, что
г —одно из возможных значений | |р, т. е. рациональ-
ная степень числа р; в противном случае, когда не
существует xeQ с | х |р = г, мы всегда пишем D (г-).)
(Предостережение. Термины «открытый» и «замкну-
тый» введены лишь по аналогии с архимедовым слу-
чаем. С топологической точки зрения такая терминоло-
гия неудачна. А именно, множество Сс = {х е Q | | х —
— а\р — с} открыто в топологическом смысле, так как
каждая точка х <= Сс обладает открытой окрестностью,
например Dx (с~), все точки которой лежат в Сс. Поэ-
тому любое объединение этих множеств Сс открыто.
Оба диска Da(r) и Da(r-), так же как и их дополне-
ния, являются такими объединениями, например
Da (r~) — |J Сс. Следовательно, диски Da (г) и Da (г~)
с<.а
одновременно открыты и замкнуты. Топологическое
§ !. Элементарные функции
121
пространство, подобное Q, с такими странными свой-
ствами называется вполне несвязным.)
Чтобы привыкнуть к обозначениям, докажем сле-
дующую тривиальную лемму.
Лемма 1. Каждый ряд f (X) е Zp [[X]] сходится
на
СО
Доказательство. Пусть f (X) = У алХп, ап е Zp
п~ О
и x^D(\~). Тогда |х|р<1. Кроме того, |ап |р1
для всех п. Следовательно, | апхп \р | х |р-+ 0 при
со. □
Установим еще один простой результат.
Лемма 2. Каждый ряд f (X) = апХп е Й[[Х]],
п = 0
сходящийся на некотором (открытом или замкнутом)
диске D = D(r) или D (г~), непрерывен на D.
Доказательство. Пусть х —точка в D. Предположим,
что |х' — х|р<6, где 6<|х|р будет выбрано позже.
Тогда \х' |p=[xip. (Ниже предполагаем, что х=^0;
случай х = 0 очень легко проверить отдельно.) Имеем
\f(x)-f(x')\p =
СО
У (апхп— апх'п)
max (| апхп - апх п |р) = max (| ап |р | (х - х') (х"-1 +
+ хл~2х'+ ... +хх'л-а + х'л-1 |р).
Но	| хл-1 + хл"2х' + ... +хх'л~2 + х'л-1 |р)
max | хл"/х',_11р — | х |р-1. Следовательно,
1	1п
\f(x)-f (х') |р шах (| х - х' |р I ап |р | х |р *) <
п
<Г^П1лХ (I °я И х £)•
Так как |ал|р|х|р ограничено при п->со, то \f(x) —
—	Для подходящего 6. □
122
Гл. IV. р-адические степенные ряды
00
Вернемся к ряду	(— l)n+1Xn/tt, который, как
п = 1
мы уже выяснили, имеет диск сходимости 0(1_).
Таким образом, этот ряд задает функцию на £>(1_),
принимающую значения в Q. Обозначим эту функцию
logp(l+X), где индекс р напомнит нам о простом
числе, определяющем норму на (Е), по которой строится
Q, а также не даст перепутать эту функцию с клас-
сическим логарифмом log*(l+X), имеющим другую
область определения (подмножество в R или ©) и
область значений (R или С)- К сожалению, обозначе-
ние р-адического логарифма logp совпадает с класси-
ческим обозначением для логарифма по основанию р.
Начиная с этого места, под logp всегда понимается
/j-адический логарифм
10gp(l +Х):	S2, logp(l +х)= 2 (-ly^/n,
п = 1
если противное не оговорено явно.
Ловушки, подстерегающие тех, кто путает архиме-
довы и /?-адические функции, будут проиллюстрированы
ниже, а также в упр. 8—10 к § 2.
Все когда-либо изучавшие дифференциальные урав-
нения (и многие не изучавшие) понимают, что функция
00
exp(^) = ex= 2 хп!п\ является, может быть, самой
П-0
важной в классической математике. Поэтому взглянем
00
на этот ряд 2 Хп!п\ р-адически. Классический экспо-
п = О
ненциальный ряд сходится всюду благодаря стремитель-
ному росту величины п\ в знаменателе. Но если
в классическом случае большой знаменатель способ-
ствует сходимости, в /?-адической ситуации он может
играть обратную роль. Действительно, нетрудно вычис-
лить (см. упр. 13 к § 1.2), что
оЧ(н!)=^
§ I. Элементарные функции 123
(Зп = сумма знаков р-ичной записи числа п);
|l/nl
Из формулы г = l/(limsup |ал |р/л) для радиуса сходи-
мости получаем
ordpг = lim inf ordpa„^
(где lim inf некоторой последовательности обозначает
наименьшую точку накопления). Тогда в случае ап —
= 1/п! имеем
ord„г = lim inf (-n.~‘S” J,
но lim (— (n — Sn)/(n(p— 1))) = — l/(p — 1). Следова-
n-*co
co
тельно, xn!n\ сходится при | x |p < p-i/(p-D и pac.
n ~ 0
ходится при |x|p>p-1/(p—°. Что происходит при
|х|р = р-1/(₽~1), т. е. когда ordpх= 1/(р—1)? В этом
случае
ord, (ад")
Если, например, п = рт — степень р, то S„ = 1. Поэтому
ordp(apmx₽m) = 1/(р—1), \артхРт |р = р-1/(Р-1) и алХл
СО
не стремится к 0 при п->оо. Итак, У Хп/п\ имеет
п — О
диск сходимости D (p-l/<p—о-) (последний минус, как
обычно, обозначает открытый	диск). Положим
ехрр(Х)з^ У Хп/п\ е(Рр[[Х]].	Отметим, что
п — О
D (р-шр—D-) с D (1”). Поэтому ехрр сходится в мень-
шем диске, чем logpl
Несмотря на важные различия между log (exp) и
logp (ехрр), о которых никогда не следует забывать,
некоторые из основных свойств log и ехр переносятся
на р-адический случай. Установим, например, основ-
ное свойство логарифма: логарифм произведения равен
сумме логарифмов сомножителей. Прежде всего заме-
124 Гл. IV. р-адические степенные ряды
тим, что если хе D (1-), y^D (1"), то (1 4-х) (14-//) =
= 1 (хуху) е 1 4-0(1-). Таким образом,
logp [(1 4-х) (1 4-0)] = £ (- 1)л+1 (х + у + хуу/п.
п = 1
Но в кольце формальных степенных рядов от двух
переменных над (Q (оно обозначается (Q [[X, У]]) выпол-
нено соотношение
у (- 1)л+1Хл/п4- У (- 1)л+1Ул/п =
= Л (- 1)л+1 (* + Y + XYyin.
Оно вытекает из соотношения log (1 4-х) (1 4*0) =
= log (1 4-х) 4* log (1 4*0), верного для R и ©. Тогда
разность между двумя частями доказываемого равен-
ства, скажем F(X, Y), обращается в нуль для всех
вещественных значений X и Y из интервала (—1, 1).
Поэтому коэффициенты при XmYn в F (X, Y) равны
нулю для всех тип.
Этот способ доказательства обращения в нуль фор-
мального степенного ряда F(X, Y) типичен для мно-
гих последующих рассуждений. Предположим, что
некоторое выражение, содержащее формальные степен-
ные ряды от X и У, например log(14*X), log (1 4-У)
или log (1 4* X 4- У 4* ХУ), тождественно обращается
в нуль после подстановки в него вместо переменных
вещественных чисел из некоторого интервала. Тогда
ряд, полученный приведением подобных членов по
ХтУл, будет иметь лишь нулевые коэффициенты. Мы
опускаем детали, так как это общий факт, не связан-
ный непосредственно с р-адическими числами. Если вы
не уверены, что смогли бы доказать его самостоятельно,
посмотрите упр. 25 к § 2, где даны разъяснения и
указания.
Возвращаясь к р-адической ситуации, отметим, что
члены любого ряда, сходящегося в Q, можно поста-
вить в любом порядке и полученный ряд будет схо-
диться к тому же пределу. (Это легко проверить: ведь
условной сходимости в этом случае не бывает.) Итак,
§ 1. Элементарные функции
125
СО
logp[(l+x)(1+//)]= 2 (-1)л+1(х4-р4-хр)л/п можно
П = 1
оо
переписать как У cmnxnym. Но по «формальному
т» п=0
тождеству» в (Q[[X, У]] все рациональные числа стп
равны 0, кроме чисел с л = 0 или т = 0, а для них
Со, п — сп, о = (— 1)л+1/я (<?0,о = О). Отсюда можно заклю-
чить, что
ОО
logp[(l 4-х) (1 +*/)]= Л (— 1)л+1хлМ4-
п = 1
оо
+ У (— 1 У^у'Чп = logp (1 + х) 4- logp (14-у).
п = \
В качестве следствия этой формулы рассмотрим
случай, когда 14-х есть корень степени рт из 1.
Тогда |х|р<1 (см. упр. 7 к § III.4) и рт logp (1 4-х) =
= logp (1 4- х)рт = logp 1 = 0. Следовательно, logp (1 4-
4-х) = 0.
Точно так же доказывается следующий р-адический
вариант известного свойства экспоненты: если х, у е
е D (p-V(p-D-), то х-\-у <= D (p-V(p-i)-) и ехрр(х4-
4- у) = ехрр (х) • ехрр (р).
Более того, как и в архимедовом случае, функции
logp и ехрр взаимно обратны. Точнее, предположим,
ОО
что х е D (р-'Ар-1»-). Тогда ехрр х = 1 4- У xn/nl и
ordp (хл/п!) > п/(р - 1) - (n - S„)/(p - 1) = S„/(p - 1) > 0.
Отсюда ехррХ— 1 <= D (1~). Рассмотрим
logp(14-exppX-l)= £ (—1)л+1 (ехррХ-1)л/п =
п = 1
00	/ оо	\ п I
= 2 (—1)л+1( 5 хт/тЧ / п-
Л = 1	vnssl	' I
СО
Этот ряд приводится к виду У с„хп. Но по тем же
п = 1
соображениям, что и выше, в Q [PQ] имеет место
126 Гл. IV. р-адические степенные ряды
формальное тождество
00	/ 00	\п I
у; (—i)n+i	/ «=*.
п ® 1	1	/ /
вытекающее из того, что log (exp х) — х для поля R или С.
Следовательно, сх=1 и сл = 0 при «>1, откуда
logp(l 4-ехррх—1) = х для всех х е £> (р-1/<₽~1)_).
Вычисляя выражение expp(logp(l 4-х)), нужно быть
немного осторожнее. Дело в том, что даже если х при-
надлежит области сходимости D (1~) ряда logp(l 4- X),
то совсем необязательно, чтобы logp(l 4~-г) принадле-
жал области сходимости D(p-'/<p-'>~) ряда ехрр(Х).
Это верно, если х е О (р~1/(р-1)~), ибо тогда при п^ 1
(ord„ хл/я)--Ц- > —— ord„ п--------Ц- =	— ord„ п,
' р ' '	р —1	р р — 1	р — 1	р
а последнее выражение достигает минимума, равного
нулю, при п=1 и п — р. Поэтому ordp logp (14~*)3г
minordpxnjn> 1/(р — 1). Затем, как и выше, полу-
п
чаем
expp (logp (1 4-х)) = 1 4-х для всех х е О (р-1/(₽_1)-).
Все установленные нами факты о logp и ехрр можно
кратко резюмировать в следующем утверждении.
Предложение. Функции logp и ехрр задают взаимно
обратные изоморфизмы между мультипликативной
группой точек открытого диска радиуса р—</<р—>) с цент-
ром в 1 и аддитивной группой точек открытого диска
радиуса р-'Лр-о с центром в 0.
(Это означает в точности следующее: logp задает
взаимно однозначное соответствие между двумя ука-
занными множествами, при котором образ произведения
двух чисел равен сумме образов сомножителей, а ехрр —
обратное отображение.)
Этот изоморфизм подобен изоморфизму в веществен-
ном случае между мультипликативной группой поло-
жительных вещественных чисел и аддитивной группой
§ i. Элементарные функции
127
вещественных чисел, который задается взаимно обрат-
ными функциями log и ехр.
В частности, в силу этого предложения logp инъек-
тивен на (/?-*/(₽->>-), т. е. в Д (p-i/(p-i)-) Не су-
ществует двух чисел с одним и тем же значением logp.
Легко показать, что £>i (р~1/(₽~1)~) — наибольший диск,
для которого это справедливо. В самом деле, |£ — 1 |р =
= р—>/(р—о для примитивного корня £ степени р из 1
(см. упр. 7 к § III.4), a logp£ = 0 = logp 1.
Аналогично определяются функции
sinp: D (p-'Ap-o-) Q,
sinpX= £ (—1)"Х2л+1/(2«+ 1)!;
п =0
cosp: Z) (р-'АР-1’-)-^-Q,
cospX= £ (—1)лХ2л/(2п)1.
п = 0
Другой тип функций, важных для классической
математики, представляют биномиальные разложения
в а (X) = (1+ х)а = У, а(а~1),'п|(а~п+1) хп. Если а е R
п —0
или С, этот ряд СХОДИТСЯ В R ИЛИ С при |х|< 1 и
расходится при | х | > 1 (кроме случая, когда а —целое
неотрицательное число); при | х | = 1 этот ряд имеет
достаточно сложное поведение, зависящее от конкрет-
ного значения а.
Определим теперь для каждого aeQ ряд
СО
ва.Р(Х)^ 2 -<а~^/—
л = 0
и проанализируем его сходимость. Предположим вна-
чале, что |а|р> 1. Тогда \a — i]p — \a\p и норма | |р
n-го члена этого ряда равна | ах |"/| п! |р. Поэтому при
|а|р>1 ряд Ва Р(Х) имеет область сходимости
128
Гл. IV. р-адические степенные ряды
Предположим теперь, что 1. В этом случае
картина становится более сложной и зависит от а. Мы
не будем приводить здесь ее полное описание. Во вся-
ком случае, |а —/|р^1 для любого такого а, откуда
\а(а —	—1).гл/п!|р^|.г7п1|р. Поэтому BatP(X)
сходится по крайней мере на D (р- 1 */(p-d-).
Вскоре нам понадобится более точный результат
о сходимости BatP(X) для aeZp. Утверждается, что
тогда Ва< р (X) е Zp [[X]] (и, в частности, этот ряд схо-
дится на 2?(1_) по лемме 1). Итак, надо показать, что
а (а — 1)...(а — п-\- 1)/л! eZp. Пусть а0 — целое поло-
жительное число, большее п, для которого ordp (а — а0)>
(подходящее N будет выбрано позже). Тогда
а0 (а0 — 1)... (а0 — п + 1)/«! = е Z с Zp. Поэтому до-
статочно установить, что разность между а0(а0— 1)...
. ,.(а0~п-\- })/п! и а (а— 1)...(а — п-\- 1)/я! для некото-
рого N имеет | А это следует прямо из непре-
рывности многочлена X (X — !)...(% — « + 1). Таким
образом,
Ва,р(Х) «=ZP [[%]], если aeZp.
Возьмем, например, а—Х/ш, где m = Z и р \ т.
Это один из важных случаев, когда aeZp. Пусть
xeO(lj. Тогда, используя те же соображения, что
и при доказательстве тождества logp (1 +*) (1 +у) =
= logp (1+х) + logp (1+у), получаем
(x)]m= 1 + х.
Таким образом, Bi/m, р(х) есть корень степени т из
1+х в Q. (При р\т последнее также имеет место,
но только для тех значений х, которые лежат
в D (| т |р	Поэтому для обычных рациональ-
ных чисел а можно пользоваться сокращенной записью
В3,р(Х) = (1+%)а.
Но при этом необходима осмотрительность! Как
быть, например, со следующим «парадоксом»? Рассмот-
рим 4/з= (1 + 7/8)1/2! ord7’/8=l в Z7. Поэтому для х =«
= 78 и я > 1
I 1/2(1/2-1)--(1/2-п+1) гп I , 7-л	.
I	П1	х |7^|п1|7
§ 2. Экспонента Артина — Хассе
129
Следовательно,
1>1(1+79)1/2-1|7 = |4/з-1|7 = |1/з|7=1.
Что стряслось?
Мы чересчур опрометчиво написали 4/з = (1+’/9)1/2-
Как известно, в R и в (Q, число 16/9 имеет два квад-
ратных корня ±4/3. В R ряд для (1 +’/9)1/2 сходится
к 4/3, и мы отдаем предпочтение положительному
корню. А в (Е}7 предпочтение отдается другому корню
—4/з = 1 — 7/з, поскольку он сравним с 1 по модулю 7.
Значит, один и mom же ряд рациональных чисел
V Уа (Уа-В-.-е/а-и+В/? V
Щ	\ 91
n*=Q
сходится к некоторому рациональному числу как
в 7-адической, так и в архимедовой метрике; но те
числа, к которым он сходится, различны! Это контр-
пример к следующей неверной «теореме».
СО
Не-теорема 1. Пусть ап — сумма рациональных
п. ~ 1
чисел, сходящаяся к некоторому рациональному числу
относительно | |р, а также к некоторому рациональ-
ному числу относительно | |от. Тогда рациональные зна-
чения этой суммы для двух метрик совпадают.
Другие «парадоксы» можно найти ниже в упр. 8—10.
§ 2. ЭКСПОНЕНТА АРТИНА-ХАССЕ
Введем теперь одну «элементарную функцию», кото-
рая несколько «лучше», чем ехрр, так как имеет боль-
ший диск сходимости, и которая часто используется
вместо ехр, особенно в тех случаях, когда нужна луч-
шая сходимость, чем только на D (p~'/l”Для
этого прежде всего разложим в бесконечное произведе-
ние обычную экспоненциальную функцию. Это разло-
жение использует функцию Мёбиуса ц(«), часто встре-
чающуюся в теории чисел. Для sejl, 2, 3, ...}
130
Гл. IV. р-адические степенные ряды
положим
' 0, если п делится на полный квадрат
натурального числа, большего 1;
(—1)*, если п равно произведению k раз-
личных простых чисел.
Таким образом, 1 = р (1) = р (6) = р (221) = р (1155),
О = р (9) = р (98), — 1 = р (2) = р (97) = р(30) = р (105).
Основное свойство функции р заключается в том, что
сумма ее значений по всем делителям некоторого целого
положительного числа п равна 1, если л=1, и 0
в остальных случаях. Действительно, если п=р^.. ,p“s—
разложение на простые множители и sS?l, то
= S	№$)=
d | п	всевозможные
е =0 или 1, i = 1, ..., s
= s (- i)E Е‘ = (1 - i)s=o.
Теперь утверждается, что в (Q[[X]] имеет место фор-
мальное тождество
оо	со
exp (X) = П (1 -	= П В~м (-*")•
п = 1	def п = I
(Сразу отметим, что это бесконечное произведение
бесконечных рядов корректно определено (формально),
так как я-й ряд в этом произведении начинается
с 1—р(я)/яХп, т. е. не имеет членов со степенью X,
меньшей п, кроме постоянного члена 1; поэтому для
того, чтобы найти коэффициент для каждой заданной
степени X, достаточно перемножить лишь конечное
число рядов.) Для доказательства прологарифмируем
правую часть. После приведения подобных членов
с одинаковой степенью X получим
ОО	оо
log | | (1-ХД-^,/" = - 2 nr log (1 - Х") =
л = 1	п = \
оо	со	оо
л = 1 m=i	/ — 1 L л j /
§ 2. Экспонента Артина — Хассе
131
(/ — прежнее mri). По доказанному выше основному
свойству pi последний ряд равен X. Взяв экспоненту
от обеих частей, получаем требуемое формальное тож-
дество.
(В этом доказательстве несколько раз неявно исполь-
зовался принцип, упоминавшийся при обсуждении logp.
Его подробное изложение дано ниже в упр. 25. Согласно
этому принципу, манипуляции с формальными степен-
ными рядами как с функциями вещественных перемен-
ных законны, если все получающиеся ряды сходятся
в некотором интервале около нуля.)
В р-адическом случае, рассматривая произведение
ОО
П (1 — Хп)~11('г)/'г, можно выделить все «нежелатель-
п = 1
ные» сомножители. Под «нежелательными» подразуме-
ваются сомножители, сходящиеся только на Z7 (р—’/<₽—>>-),
а не на D (].-). А именно, пусть р | п и п не содержит
полного квадрата >1. В этом случае (1 — Х«)-н(л)/«
сходится только для тех значений х, для которых
где
\хп !„ = [ х е= £> (z~),
г = р-'/(Р-1)|

Например, если п = р, сходимость имеет место в точ-
ности тогда, когда
\х\р < (р-'Ар-1) Х-]1Р = р-1/(Р-1).
До тех пор пока р ф п, все в порядке, т. е.
(1—Xn)~>1W/n ^ZP[[X]], так как —p(n)/n^Zp. (На-
помним, что здесь и ниже (1 — Хп)а — всего лишь крат-
кое обозначение для Ва,р(.— Хп) = У, а (а — 1)...
1=0
...(n-i+iH-xW)
Поэтому определим новую функцию Ер, которую
называют экспонентой Артина —Хассе, опуская все
«плохие» сомножители в рассматриваемом бесконечном
произведении (это похоже на отбрасывание эйлерова
132
Гл. IV. р-адические степенные ряды
множителя при определении р-адической дзета-функции
в гл. II):
П О -	е (Q [[X]].
п = 1
< П
Так как каждый ряд В-^^уп, р (—Хп) принадлежит
1 +XnZp[[X]J, их бесконечное произведение определено
(для того чтобы получить коэффициент при заданной
степени X, необходимо перемножить лишь конечное
число сомножителей) и лежит в 1 ф- XZP[[X]].
Легко найти более простое выражение для Ер (X).
Для этого воспользуемся следующим свойством функ-
ции ц:
У, н(Ф = 10’
d | п, р ф d
если п равно степени р,
в противном случае.
Это свойство выводится непосредственно из ранее до-
казанного свойства р для tilp°rApn вместо п. Рассмотрим
£р(Х) над R (или над ©). Логарифмируя, мы получим,
как и выше:
п—1	т=1
pj- п
СО	оо
= Ж 2 <25
i 1 n |/, рфп	т — О
Отсюда следует равенство формальных рядов в (Е)[[Х]]:
/ уР уР! уРэ \
£р(Х) = ехР(х + ^ + ^ + ^
Важнейшее отличие Ер (X) от ехрр (X) состоит в том,
что £p(X)eZP[[X]]. Поэтому ЕР(Х) сходится на
§ 2. Экспонента Артина — Хассе 133
D(l_). Можно показать (см. упр. 11 к § IV.4), что
это в точности диск сходимости, т. е. ряд не сходится
на D (1).
В заключение этого параграфа докажем одну полез-
ную общую лемму, принадлежащую Дворку.
Лемма 3. Пусть F (Х) = £ й/Х' Е 1 +X(QP [[X]]. Тогда
F (X) е 1 + XZP[[X]] в том и только том случае, когда
F(X₽)/(F(X))₽sl+pXZP[[X]].
Доказательство. Пусть F (X) е 1+XZp[[X]]. Тогда
из сравнений (а + b)p ^ap + bp (mod р) и ар = a (mod р)
для а е Zp следует, что (F (Х))₽ = F (ХД + pG (X) при
некотором G (X) е XZp [[X]]. Поэтому
F (Хр)   1 _ pG (X)	1 I у гг у и
(F (Х))р 1 (F (Х))р	' РЛ^р JJ*
так как (F (Х))₽ е 1 4-XZp [[X]], а значит, и обратный
к нему ряд лежит в этом же множестве (см. упр. 3).
В другую сторону, пусть
F (Хр) = (F (Х))₽ G (X), G (X) е 1 + pXZp [[Х]|,
G (X) = 2 Ь,Хг, F (X) = £ а/Х‘.
Докажем по индукции включение a, е Zp- По пред-
положению а0=1- Допустим, что a,eZp при i<n.
Тогда, приравнивая коэффициенты при Хл в обеих
частях равенства, получим соотношение
ап/р, если р делит п 1
О в противном случае /
/ п	\р/ п	\
= коэффициент при X" в J а<’Х‘‘1 (1+5 ЬХ1].
'll)	f \	1 = 1	/
Разложим произведение справа по степеням X, а затем
вычтем из него ап/рХп, если р | п (напомним, что а„/р ==
= а’/р (modp)). У полученного многочлена коэффициент
при Xя обращается в нуль. С другой стороны, он ра-
вен сумме, одно из слагаемых которой есть рап,
134 Гл. IV. р-адические степенные ряды
а остальные принадлежат pZp- Отсюда можно заклю-
чить, что рап е р2р, т. е. ап ZP- □
Леммой Дворка можно воспользоваться для прямого
доказательства (не опирающегося на разложение
в бесконечное произведение) того, что все коэффициенты
формального степенного ряда £р(Х)=ех+(х₽/₽)+(хр2/₽!)+...
лежат в Zp (см. ниже упр. 17).
Лемма Дворка, которая на первый взгляд кажется
странноватой, в действительности представляет собой
образец одного глубокого явления, свойственного
р-адическому анализу. Она утверждает, что если из-
вестно нечто о F (XP)/(F (А’))₽, то известно нечто и о F.
Отношение F (Xp)f(F (Х))р измеряет разницу между воз-
ведением X в степень р с последующим применением F
и между применением F с последующим возведением
в степень р, т. е. измеряет, насколько F коммутирует
с возведением в р-к> степень. Отображение возведения
в степень р играет фундаментальную роль, как мы уже
видели в другой р-адической ситуации (ср. с парагра-
фом о конечных полях). Итак, лемма Дворка утвер-
ждает, что если F «коммутирует по модулю р» с воз-
ведением в степень р, т. е. F (XP)/(F (Х))р = 1 -ф
+ Р  ^(р-адическое целое)АД то F имеет целые р-ади-
ческие коэффициенты.
Продемонстрируем одно приложение этой леммы
к функции, которая нам встретится в доказательстве
теоремы Дворка о рациональности дзета-функции. От-
метим прежде всего следующее обобщение леммы 3.
Пусть F(X, Y) = Viam.nXnYm — формальный степенной
ряд от двух переменных X и Y с постоянным членом 1,
т. е.
F(X, y)el+X(Qp[[X, У]]-фУ(Цр[[Х, У]].
Тогда все ат,П принадлежат ZP в том и только том
слчуае, когда
F (Хр, Yp)/(F(X, Y))pf=
el+pXZP[[X, УЦ + рУ2р[[Х, У]].
Доказывается это в точности так же, как лемма 3,
§ 2. Экспонента Артина — Хассе
135
Определим теперь ряд F (X, Y) из (Е)[[Х, К]] сле-
дующим образом:
F(X,
= (1+У)Х(1+ур)(хр-х)/Р(1 + урухр2-хр)/р2 ...
...(1 + Урп)(хрП-хрП~1)/Л..=
= 2 X(X-l)...(X-t-+l)r,-,,
V1T у хрп—хрп~1 / хрп—хрп~1
х И Z	*/
п ~ 1 4=0
I хрП-хрп~г Лу‘рп\
-I—
Этот ряд определен корректно, поскольку для того,
чтобы найти его коэффициент при любом XnYm, доста-
точно перемножить лишь конечное число сомножителей.
Кроме того, ряд F (X, У) — v am, nXnYm лежит в 1ф-
+Х(Е)р[[Х, У]] + У(Е)Д[Х, У]]. Используя отмеченное
выше обобщение леммы 3, докажем, что йШ1„е2р-
А именно,
F (ХР, YP) _
(F (X, Y))P ~
(1 _|_ур)Хр (1 _|_у₽2)(хр — хр)1р (1 _|_ур3)(хр —хр)1рг
(1_|_ у)рХ (l + YP)xP~ х (1 -j-yp‘)(XP‘~ хР)/р
_ (1 + УР)х.
— (1 + У)М
Поэтому достаточно показать, что (I+Ур)х/(1+У)рх
содержится в I + pXZp[[X, У]] + pYZp[[X, У]]. При-
менив лемму 3 в другом направлении к ряду ЦУе
е1+У2р[[У]], получим
(1 + Yp)/(I + Y)p = 1 + pYG (У), G (У) е Zp [[У]].
136
Гл. IV. р-адические степенные ряды
Отсюда
(1+ргс(Г))* =
= 2 Л(Л-1)-„(Л-'+1)р'(ГО(П)1
4 = 0
и последний ряд, очевидно, лежит в 1 + pXZp [[X, У]]+
+pVZp[[X, У]]. Из этого мы заключаем, что F(X, У) е
eZp[U, У]]-
Упражнения
1.	Найдите точный диск сходимости (указывая при этом, зам-
кнут он или открыт) для следующих рядов. (В пунктах (v) и (vi)
logp обозначает классический логарифм по основанию р, a Q
в (vii)— примитивный корень степени р из 1. Скобки [ ] означают
взятие целой части.)
(i)Sn!X’;	(Hi) £ рпХп-, (v) £ р lio8pn]xn;
(Н) ^рл(!огя]хп; (iv) ^рпхрп; (vi) Spl10gp4v7«}
(vii) S(£-l)’X’/nl.
2.	Докажите, что если S an и S bn сходятся соответственно
к а и b (где ар bp a, be Q), то Хсп сходится к ab, где с„ =
= У «А-/-
1 = 0
3.	Докажите, что элементы множества l-j-XZp[[X]] образуют
группу по умножению. Пусть D —некоторый открытый или замкну-
тый диск в Q с центром в 0. Докажите, что множество |/е!ф
+ ХЙ [[Л"]] | f сходится на D] замкнуто относительно умножения,
но не является группой. Покажите, что при фиксированном Л мно-
ОО
жество рядов f (X) = 1 + У, а/Х', для которых ordpa,- —А.4 больше О
i=i
при всех 1 = 1, 2, ... и стремится к со при 4-* со, есть мульти-
пликативная группа. Далее, пусть 1 + XZP [[X]], / = 1, 2, 3, ...,
a f (X) = /у (X7). Проверьте включение f (X) е 1+ XZP [[X]].
/ = 1
Предположим, что каждое сходится на замкнутом единичном
диске D (1). Сходится ли тогда /(X) на D (1) (приведите доказа-
тельство или контрпример)? Если все непостоянные коэффициенты
для всех fj делятся на р, то меняется ли от этого ответ (дайте
доказательство или контрпример)?
§ 2. Экспонента Артина — Хассе
137
4.	Пусть {ал} ей- некоторая последовательность н рп \ап]р-*-
0. Докажите, что
00
2	л!
S(x+l)(x + 2) ...(х + л)
л = 0
сходится при всех is Й, не лежащих в Zp- Что можно сказать
о случае, когда х е Zp?
5.	Докажите существование, единственность и непрерывность
функции f: й— {0}->й, для которой
f(x) = logpx, если |х—1 |р< 1;	/(р)=0;
f (xy)=f (*) + / (у) для всех х, у ей — {0}.
Эта функция называется логарифмической функцией Ивасавы и
также обозначается через logp. Покажите, что f нельзя доопреде-
лить по непрерывности в 0. (Именно эта функция logp уже встре-
чалась нам ранее в формуле для Lx, р(1) из § 11.7.)
6.	Пусть i —квадратный корень нз —1 в (Qp (на самом деле i
лежит в (Цр, если р ф. 3 (mod 4) и р =/= 2). Докажите, что ехрр (ix) =
= cosp x+i sinp x для x e D (p~l^p~ 4—).
7.	Покажите, что 2-адический порядок рационального числа
2 +22/2 + 23/3 + 24/4 + 26/5 +... + 2"/л
стремится к бесконечности с ростом п. Постарайтесь дать хорошую
оценку этому 2-адическому порядку в зависимости от п. Можете ли
вы придумать полностью элементарное доказательство (без исполь-
зования р-адического анализа) этого факта, который формулируется
совершенно элементарно?
8,	Найдите ошибку в следующем «доказательстве» иррацио-
нальности числа л, которое слишком прекрасно, чтобы быть вер-
ным. Пусть л = а/Ь, а р =/= 2—простое число, не делящее а.
Тогда
00
О = sin (рЬл) = sin (ра) =	(—1)" (ра)2л+1/(2п + 1)! = pa (mod р3),
п — О
что невозможно.
9.	Найдите ошибку в следующем «доказательстве» трансцен-
дентности е. Предположим, что е алгебраично. Тогда е—1 также
алгебраично. Возьмем простое число р =# 2, не делящее ни числи-
тель, ни знаменатель никакого коэффициента минимальных мно-
гочленов для е и е— 1 над (Q. Тогда \е\р = \е—1 р=1. Поэтому
1 = |е—1 |₽ = |(е-1)Р|р= еР-1
. В последней
|р
сумме все биномиальные коэффициенты делятся на р, а | — е|^=1,
138
Гл. IV. р-адические степенные ряды
ОО
5 р"/”1
Следовательно, I = | еР — 11 р =
что невозможно, так
л = 1	р
как каждое слагаемое в данной сумме имеет | |р<1.
10.	(а) Покажите, что биномиальные ряды для (1 — р/(р+1))~л
(где п — целое положительное рациональное число) и для (1Д-
(p24~2znp)/zn2)!/2 (где m — целое рациональное > (К2+ 1) р и
р tri) сходятся к одному и тому же рациональному числу неза-
висимо от того, рассматриваем ли мы эту сумму как сумму веще-
ственных или как сумму р-адических чисел.
(Ь) Пусть р>:7, а п = (р-1)/2. Покажите, что (1-)-р/я2)|/2
дает контрпример к не-теореме 1.
11.	Докажите, что для любого целого неотрицательного k
р-адическое число У п!грп лежит в (Q.
п ~ 0
12.	Докажите следующее равенство в (Q3:
У	у
' ц42,г	п4п ‘
п = I	п = I
13.	Покажите, что диск сходимости степенного ряда f(X) =
= У апХп содержится в диске сходимости формальной производ-
ной этого ряда f (Х)='£папХп~г. Постройте пример, в котором
эти области сходимости не совпадают.
14.	Докажите, что ехррХ, sinpX/X и cosp X не имеют нулей
в своей области сходимости, а Ер (X) не имеет нулей на D(l~).
15.	Найдите коэффициенты ряда Ер (X) при Х‘ для i<4 и
р = 2, 3.
16.	Найдите коэффициенты всех членов ряда Ер (X) вплоть
до ХР Найдите также коэффициент при ХР. Какой теореме эле-
ментарной теории чисел соответствует тот факт, что коэффициент
при ХР лежит в Zp?
17.	Используя лемму Дворка, докажите другим способом, что
все коэффициенты ряда Ер (X) принадлежат Zp-
18.	Пусть f (X) = expр У btXPl , bt е (Qp. Используя лемму
\ г=о !
Дворка, докажите, что f (X) е 1 4~XZP [[X]] тогда и только тогда,
когда —р&(-е pZp для всех i = 0, I, 2, ... (где b_A gg 0).
19.	(а) Приведите пример бесконечной суммы ненулевых рацио-
нальных чисел, которая сходится по норме | |р при всех простых р,
а также как сумма вещественных чисел (т. е. по норме | |оо=| |).
(Ь). Может ли такая сумма сходиться к некоторому рациональ-
ному числу по какой-нибудь из норм | или | |w?
§ 2. Экспонента Артина — Хассе
139
20.	Возьмем теперь вместо степенного ряда некоторую функ-
цию f: й->-й. Копируя известное определение из классического
анализа, скажем, что эта функция дифференцируема в точке а е й,
если существует предел (f (х) — f (а))/(х — а) при |х—а|р->0.
Пусть f (X) = У апХп — некоторый степенной ряд. Докажите
п = 0
прежде всего его дифференцируемость в каждой точке диска схо-
димости. Кроме того, покажите, что это дифференцирование можно
производить почленно, т. е. его производная в каждой точке а
диска сходимости равна У папап~1. Иначе говоря, ряд, соответ-
п = 1
ствующий производной, совпадает с, формальной производной сте-
пенного ряда.
21.	Используя определение дифференцируемости из предыду-
щего упражнения, постройте пример всюду дифференцируемой
функции f: й->-й, производная которой тождественно равна 0,
а сама эта функция не локально постоянна (подробности о локально
постоянных функциях см. в начале § II.3). Более того, эту функ-
цию можно выбрать так, чтобы она обращалась в нуль вместе
со всеми производными при х=0, но не была постоянной нив какой
окрестности 0. Такая функция подобна замечательной функции
е—из классического анализа, которая не равна своему ряду
Тейлора (тождественно равному нулю) в окрестности начала коор-
динат.
22.	Теорема о среднем значении из математического анализа
в применении к функции f: R->-R, f(x)=xP— х, на интервале
{х е R | | х |	!| утверждает, что
f' (а) = 0 для некоторого а е R, [ а I !,
так как = —!) = 0. (На самом деле а= -н (!/р)1?/'р — при
р-/= 2 и а=1/2 при р = 2.) Останется ли это верным, если R за-
менить на й, а Ч на | |р?
23.	Определим функцию f: (Qp -► сопоставлением х =
= 1>„рп>—£g(an) р", где рп есть р-адическое разложение
числа х, a g: {0, !, ..., р——произвольная функция.
Докажите непрерывность f. Пусть теперь g(a) = a2, а р=#2. Дока-
жите, что f не дифференцируема.
24.	Докажите включение
(l+X)^-! <==рГ£ [Х] + ХР*-' + 1%[Х]
для любого натурального N и любого / = 1, 2, ..., N. Предпо-
ложим, что а/Ь — некоторое рациональное число с | a/b |рг£ 1 и мы
хотим найти первые М коэффициентов (для достаточного боль-
шого М) степенного ряда (!+%)а/,й с определенной р-адической
точностью. Для решения этой задачи предложите какой-нибудь
простой алгоритм (например, программу для ЭВМ). (Все операции
140 Гл. /V. р-адичесКиб бтеМнные ряды
при этом должны выполняться в Z/P"Z> а ие в (Q, так как машин-
ные вычисления обычно гораздо проще производить в первом
случае.)
25.	Пусть R — некоторое кольцо. Определим кольцо R [[Xj, ...
.... Х„]] (или, короче, R [[X]]) формальных степенных рядов от я
переменных как множество «последовательностей»	; J. эле-
ментов кольца R, занумерованных наборами п целых неотрица-
тельных чисел ij, ..., in (каждая такая последовательность интер-
претируется как ряд SHj.....(или, короче, У, Г{Х‘')<
с операциями сложения и умножения, заданными обычным спо-
собом. Точнее, {г.............+	...,.J = ^.......где
Ч...........................‘V а {ч........иъ..........‘П} =
= {\.....где Ч.......................Л........vпричем сум-
мирование производится по всем парам наборов jlt .... jn и kr, ...
 , kn с +	12 + ^2 = 12,	in + kn = in.
Для каждого ненулевого степенного ряда f определена мини-
мальная степень ненулевых членов deg f: это наименьшее d, для
которого существует не равное нулю r(.	(. с ф...
,,.-|-in=d. Фиксируя некоторое положительное вещественное р<1,
можно определить на R [[X]] так называемую Х-адическую топо-
логию, индуцированную X-одической нормой
(| 0|х = 0 по определению).
(1)	Покажите, что I превращает R [[X]] в неархимедово
метрическое пространство (см. самое первое определение в § 1.1;
под «неархимедовостью» здесь, конечно, понимается выполнение
неравенства d (х, y)gKmax(d(x, г), d (г, у)), соответствующего
третьему свойству нормы). Что означает неравенство
(2)	Покажите, что R [[X]] полно относительно | |х.
(3)	Установите, что бесконечное произведение рядов ff s R [[X]]
сходится тогда и только тогда, когда | —1 |х->-0 (где 1 обозна-
чает постоянный степенной ряд |r(. i J с го 0=1 и осталь-
ными	(. =0). Поэтому, например, имеет смысл тот ужас-
ный степенной ряд, который определен в конце § 2.
(4)	Пусть f е R [[X]]. Обозначим через fd ряд, полученный
из f заменой всех коэффициентов r( ( с + + > d на 0.
Таким образом, fd можно считать многочленом от п переменных.
Пусть §!,..., gn е= R [[X]]. Заметим, что fd(gi(X), g2(X), ...
..., gn (X)) определено при любом d, так как это всего лишь
конечная сумма произведений степенных рядов. Докажите, что
Ud(gi(X), ..., gn (X)))d = 0, j 2 является последовательностью
Коши в R [[X]], если \g,-\x<Z 1 для / = 1, ..., п. Ее предел в этом
случае обозначается через f°g.
§ 3. Многоугольники Ньютона в случае многочленов 141
(5)	Рассмотрим теперь в качестве R поле вещественных
чисел R. Пусть f, fd, gt, , gn — такие же ряды, как и в (4),
с | gj < 1. Кроме того, предположим, что f и все gj сходятся
абсолютно для всех значений Х/ = х,- из интервала [—е, е] cz R
при некотором е > 0. Докажите, что тогда ряд f°g сходится абсо-
лютно для всех значений Х, = х/ из (возможно, меньшего) интер-
вала [—е', е'] при некотором е' > 0.
(6)	В предположениях пункта (5) докажите, что f°g — нуле-
вой степенной ряд из R [[X]], если .....хл) = 0 при любых
X}, ..., х„ е [—ег, в']. (Указание: прежде всего покажите, что
при данных предположениях о сходимости можно переставлять
члены встречающихся рядов; затем сведите все к доказательству
совпадения с нулевым степенным рядом всякого ряда из R [[X]],
равного нулю при всех значениях переменных из [—е', в']; по-
следнее докажите индукцией по rt.)
(7)	Пусть п = 3. Будем писать X, Y, Z вместо X!, Х2, Х3.
Тогда примером к предыдущему могут служить ряды:
кх, y,z)=^	+
i = ।
Д(Х, У, Z) = X, g2(X, Y,Z) = Y, g3(X, Y, Z)=x + r + xr.
Приведем еще один пример для п = 2:
f(X, У) = ( J (- 1)‘-+1Х'7/')-Y,
\i=l	/
Й(Х, У)=2^’ g2(X,Y)=X.
i = \
Объясните, как можно воспользоваться результатами пункта (6)
при доказательстве основных свойств элементарных р-адических
степенных рядов. (Постройте соответствующие f и gj в одной или
двух конкретных ситуациях.)
§ 3. МНОГОУГОЛЬНИКИ НЬЮТОНА В СЛУЧАЕ
МНОГОЧЛЕНОВ
Пусть f (X) =1 + 2 а‘ : 1	[X] ~ многочлен
i=i
степени п с коэффициентами в Q и постоянным
членом 1. Рассмотрим на вещественной координатной
плоскости последовательность точек
(0, 0),(1, ordpfli), (2, ordpa2),---
..., (i, ordpa,),... ,(n, ordpa„.)
142 Гл. IV. р-адические степенные ряды
(Если а, = 0, то соответствующая точка пропускается
либо считается лежащей «бесконечно» высоко над
горизонтальной осью.) Многоугольником Ньютона много-
члена /(X) называется «выпуклая оболочка» этого
множества точек, а именно самая высокая из выпуклых
вниз ломаных, соединяющих точки (0, 0) и (п, ordpa„)
и проходящих ниже всех точек (?', ordpa,) или через
них. «Механически» эта выпуклая оболочка строится
так. Возьмем вертикальную прямую, проходящую через
точку (0, 0), и начнем вращать ее вокруг (0, 0) против
часовой стрелки до тех пор, пока она не пройдет
через одну из точек (i,ordpa;) с i>0. Выберем среди
таких точек последнюю1) (ix, ord^a,,) и соединим
ее отрезком с (0, 0). Так находится первая сторона
многоугольника Ньютона. Затем продолжим вращение
этой линии вокруг точки (г\, ordpafl) до тех пор, пока
она снова не пройдет через одну из последующих точек
(i, ordpa,) (i>h), выберем последнюю из этих точек
(f2, ordpa(2) и соединим ее отрезком с (г1; ordp, а(1).
Это вторая сторона искомого многоугольника. Далее
продолжим вращение вокруг (i2, ordpOj,) и т. д., пока
не дойдем до (n, ordpa„).
На рис. 1 изображен пример многоугольника Нью-
тона для /(Х)=1+Х2 + 1/3Хз + зх< в (Е)3[Х].
J) В смысле порядка индексов. —Прим, перев.
$ 3. Многоугольники Ньютона в случае многочленов 143
Вершинами многоугольника Ньютона называются
точки (г}, ordp ), в которых изменяется наклон. По опре-
делению наклон отрезка, соединяющего вершины (i, m)
и (/', т'), равен отношению (m'— т)/(/'—/)• Под «дли-
ной наклона» понимается разность i' — i, т. е. длина
проекции соответствующей стороны многоугольника
на горизонтальную ось.
Лемма 4. В тех же обозначениях, что и выше,
пусть /(.¥) = (1 — X/aj)... (1 — Х/ап) — разложение много-
члена f (X) на множители, где е Q - его корни. Поло-
жим X, — ordpl/аг. Пусть X — некоторый наклон соответ-
ствующего многоугольника Ньютона, имеющий длину I.
Тогда среди всех чисел имеется в точности I равных X.
Иначе говоря, наклоны (длины наклонов) много-
угольника Ньютона многочлена f(X) равны р-адиче-
ским порядкам (кратностям) обратных корней для f(X).
Доказательство. После подходящей нумерации корней
можно считать, что Xr sc Х2 - -... i Х„. Пусть = Х2 =...
... = Хг<Хг+1. Тогда прежде всего утверждается, что
первая сторона многоугольника Ньютона совпадает
с отрезком, соединяющим (0, 0) и (г, rXt). Как известно,
каждое а, представимо в виде умноженного на (—1)‘
z-го симметрического многочлена от 1/<хг, 1/а2,..., 1/ал,
т. е. суммы всевозможных произведений по i элементов
из множеств чисел 1/а,-. Так как любое такое произ-
ведение имеет р-адический порядок не меньше i
то это верно и для а,. Значит, каждая точка (i, огбрЯ,-)
находится либо выше точки (/, iX^}, либо совпадает
с ней, т. е. лежит или выше, или на прямой, сое-
диняющей точки (0, 0) и (г, г Хх).
Рассмотрим теперь аГ. Существует единственное
произведение из г чисел l/az с р-адическим порядком
гХх, а именно ]/(«! а2.. .аг). Все остальные произведения
из г элементов имеют р-адический порядок >гХ1(
так как в эти произведения входит по крайней мере
один из элементов Хг+1, Хг+2,..., Хп. Таким образом, аг
равно сумме числа с порядком гХг и чисел с порядком
Z>rXY. Поэтому огбр<7л==г?ч по «принципу равнобедрен-
ного треугольника»,
144 Гл. IV. р-адические степенные ряды
Пусть теперь t>r. Как и выше, мы устанавливаем,
что все произведения по i чисел из 1/а,- имеют порядок
>17.!. Следовательно, ordpaz>iX1. Если вспомнить
теперь, как строится многоугольник Ньютона, то сразу
станет ясно, что его первая сторона совпадает с отрезком,
соединяющим точки (0, 0) и (г, rXj).
Если 7$	=... =	то совпа-
дение отрезка, соединяющего (s,	-j-Х2 + . • • + ^-s)
и (s + r, Х1 + Х2 + .. . + 754-гХ5+1), с одной из сторон
многоугольника Ньютона, доказывается точно так же,
и мы оставляем доказательство читателю. □
§ 4. МНОГОУГОЛЬНИКИ НЬЮТОНА В СЛУЧАЕ
СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
Пусть теперь f (X) = 1 + сц Х‘'е 1 + Хй [[X]] —
t=i
некоторый степенной ряд1). Многочлен /Л(Х) = 1 +
п
+ У, ai Х‘1 + Хй [X] называется n-й частичной сум-
1 = 1
мой ряда /(X). Многоугольник Ньютона для f (X)
определяется как «предел» многоугольников Ньютона
для f„ (X). Точнее, этот многоугольник строится по тому
же рецепту, что и в случае многочленов: наносим
на плоскость точки (0, 0), (1, ord^),..., (z, ordp а,), ...;
вращаем вертикальную прямую вокруг (0, 0), пока
она не пройдет через некоторую точку (i, ord^a;),
затем продолжаем вращение вокруг последней из этих
точек и т. д. При этом возможны следующие три
случая2).
(1) Получается многоугольник с бесконечным числом
сторон конечной длины. Таков, например, многоуголь-
СО
ник Ньютона ряда f (X) = 1 +	р‘2 X'; он представ-
i = i
В этом параграфе ряды предполагаются отличными от много-
членов, т. е. имеющими бесконечно много ненулевых коэффициен-
тов. — Прим, перед.
2) Ниже всегда Предполагается, что / имеет нетривиальный
(=/= {0}) диск сходимости, — Прим, перев.
$ 4. Многоугольники Ньютона в случае степенных рядов 145
ляет собой ломаную, вписанную в правую половину
параболы у = х2 (рис. 2).
(2) Вращаемая прямая попадает в такое положение,
при котором на ней оказывается сразу бесконечно
много точек (i, ordpa,). В этом случае многоугольник
Ньютона имеет конечное число сторон конечной длины
и одну, а именно последнюю,—бесконечной длины.
Например, многоугольник Ньютона ряда f(X) = l +
СО
+ 2 состоит из одного бес-
i=i
конечно длинного горизонталь-
ного луча из точки (0, 0).
(3) Сама прямая, вращае-
мая вокруг некоторой точки,
в какой-то момент еще не со-
держит ни одной из после-
Рис. IV.3.
дующих точек (/, огбраг), но при сколь угодно малом
дальнейшем повороте она уже пройдет над некоторой
из этих точек (i, ordp аг). Один из простейших при-
меров такого сорта дает ряд f (X) = I + рХ‘. В этом
1=1
случае вертикаль, проходящую через (0, 0), можно
повернуть до горизонтального положения, но при лю-
бом дальнейшем вращении она пройдет над некоторыми
точками (t, 1). В подобных ситуациях в качестве по-
следнего наклона многоугольника Ньютона берется точ-
ная верхняя грань всех наклонов, для которых соот-
ветствующая прямая проходит ниже всех последующих
(i, ordpа,-). В рассмотренном примере этот наклон
равен 0 и многоугольник Ньютона состоит из одного
горизонтального луча (рис. 3).
146
Гл. IV. р-адические степенные ряды
Многоугольник Ньютона в случае многочленов поз-
воляет быстро определить, на каких радиусах распо-
ложены обратные корни. Ниже будет показано, что
аналогично по многоугольнику Ньютона степенного
ряда f (X) можно судить о расположении нулей f (X).
Но вначале рассмотрим один особенно яркий пример.
Пусть
/(Х)=1 + 4+42 + --- + ттг + --- = -y’ogp(l-X).
Многоугольник Ньютона для f (X) (см. рис. 4 в слу-
чае р = 3) —это ломаная, последовательно соединяю-
щая вершины (0, 0), (р — 1, —1), (р2—1, — 2), ...
..., (р> — 1, — /),.... (На нем реализуется возможность (1)
из приведенного выше списка.) Предположим, что для
степенных рядов верен аналог леммы 4 из § 3. Тогда
по виду этого многоугольника Ньютона следовало бы
ожидать, что f (X) имеет ровно р;41 — р1 нулей с р-ади-
ческим порядком 1/(р^+1 — р').
Но посмотрим, каковы же в действительности нули
— logp(1 — Х)/Х? Прежде всего, если х= 1 — С, где
С —примитивный корень из 1 степени р;+1, то, как мы
знаем из упр. 7 к § III. 4, ordpx= l/(/V+1—pl). Отсюда
logp(l — x) = logpC = 0 (см. обсуждение logp в § 1).
Тем самым найдены все предсказанные нули, так как
существует р>'+1—р! примитивных корней степени р>+1
из 1. Имеет ли /(X) нули еще где-нибудь на £>(!-)?
Пусть х е D (1“) — один из таких нулей. Тогда для
любого j точка Xj = 1 — (1 —x)pl <= D (1~) также будет
нулем, поскольку logp (1 — xf) = р/ logp (1 — x)=0. Но при
достаточно большом j справедливо включение xs е
D (p-Wp-v-), откуда I - х^ = ехрр (log,, (1 - xj)
$ 4. Многоугольники Ньютона в случае степенных рядов 147
= ехрр0=1. Следовательно, (1—х)р7=1 и х совпадает
с одним из рассмотренных выше нулей. Таким образом,
форма многоугольника Ньютона полностью соответст-
вует нашей информации о нулях ряда logp (1 — X).
Перейдем теперь к доказательству того, что много-
угольник Ньютона играет для степенных рядов такую
же роль, как и для многочленов. Но вначале устано-
вим один гораздо более простой результат, согласно
которому по виду многоугольника Ньютона можно
сразу узнать радиус сходимости соответствующего сте-
пенного ряда.
Лемма 5. Пусть Ь — точная верхняя грань множе-
ства всех наклонов многоугольника Ньютона ряда f (X) =
ОО
= 1 + 2 а‘^' е 1 + X Q[[X]]. Тогда его радиус сходи-
i=i
мости равен рь (Ь может быть бесконечным, и в этом
случае f(X) сходится на всем Q).
Доказательство. Пусть вначале \х\р<рь, т. е.
ordpX> — b. Положим ordpX = — Ь'. Тогда Ь' <Zb и
ordp (а/Х') = ordp — Но, очевидно (см. рис. 5),
для достаточно больших i точка (i, ordp и,) лежит
сколь угодно выше точки (i, b'i). Иначе говоря,
ordp (ср xz) -> оо и /(X) сходится для таких Х = х.
Пусть теперь \х\р>рь, т. е. ordpx = — b'< — b.
Тогда по тем же соображениям имеется бесконечно
148
Гл. IV. р-адические степенные ряды
много значений i, для которых ordp (я,-х‘) = ordp Я/— b'i
отрицательно. Поэтому fix) не сходится. Отсюда мы
заключаем, что радиус сходимости ряда f (X) равен
в точности рь. □
Замечание. Эта лемма ничего не утверждает о схо-
димости или расходимости в точках, где |х|р = р&.
Легко понять, что сходимость для таких х (т. е. «на
граничной окружности») возможна лишь тогда, когда
реализуется третий из перечисленных выше случаев,
причем сходимость имеет место тогда и только тогда,
когда расстояние по вертикали от (z, ordpa;) до послед-
ней (бесконечной) стороны стремится к оо при
i -> со. Пример такого поведения дает ряд f (X) = 1 +
+ 2 PlXpl> многоугольник Ньютона которого совпадает
Z=1
с горизонтальным лучом из точки (0, 0). Этот ряд
сходится, если ordpx = 0.
Прежде чем приступить к доказательству аналога
леммы 4 для степенных рядов, сделаем одно заключи-
тельное замечание. Пусть cgQ, ordpc = X и g'(X) =
= f(X/c). Тогда многоугольник Ньютона для g полу-
чается из соответствующего многоугольника для f пото-
чечным вычитанием графика линейной функции у = Хх,
т. е. прямой, проходящей через точку (0, 0) с накло-
ном X. Действительно, если f (X) =1 + 2 а, К, ag(X) =
= 1 + 2 Xz, то ordp b, = ordp (a-ilc1) = ordp at — Xi.
Лемма 6. Предположим, что Xr — первый наклон
многоугольника Ньютона ряда f (X) = 1 + 2 at Х‘1 +
z=i
4-X Й [[X]]. Пусть cgQ, ordpc = X=^Xi. Предполо-
жим также, что f(X) сходится на замкнутом диске D(pK)
(по лемме 5 это выполнено автоматически, если Х<^Х1
или многоугольник Ньютона для f(X) имеет более одной
стороны). Пусть
g(X) = (l-cX)f(X)e 1 + XQ[[X]].
Тогда многоугольник Ньютона для g (X) получается
добавлением к отрезку, соединяющему точки (0, 0) и
$ 4. Многоугольники Ньютона в случае степенных рядов 149
(1, %), многоугольника Ньютона для f (X), сдвинутого на 1
по горизонтали и на % по вертикали. Иначе говоря, мно-
гоугольник Ньютона ряда g(X) получается «.присоедине-
нием'» многоугольника Ньютона степенного ряда f (X)
к многоугольнику Ньютона многочлена (1 — с X). Кроме
того, если f (X) имеет последний наклон и сходится
на D(pKf), то g также сходится на D(pKf).
Доказательство. Прежде всего сведем доказатель-
ство к разбору специального случая с= 1, Х = 0. Пред-
положим, что для этого случая лемма уже установлена
и мы имеем f (X) и g(X), удовлетворяющие условиям.
Тогда для Л (X) = / (X/G) и gl (X) = (1 - X) Л (X) вы-
полнены все те же условия, но с 1, 0, Xi —X вместо
с, X, Xi (см. замечание, непосредственно предшеству-
ющее формулировке леммы). По предположению, для
и g! лемма верна, откуда мы находим форму многоуголь-
ника Ньютона для gy (X) (и устанавливаем сходимость
gi на D(p^~K}, если f сходится наО(р?/)). Так как§-(Х) =
= gt (сХ), то можно еще раз воспользоваться упомя-
нутым замечанием, получить требуемое утверждение
о многоугольнике Ньютона для g (X) (см. рис. 6).
Итак, лемму 6 достаточно доказать прис= 1, Х = 0.
Пусть g-(X) = 1 + 2 ьiX‘. Тогда в силу равенства
;= 1
g'(X) = (l — X)f(X) имеем fei+1 = а!+] — а; для ZssO
(«о=1). Поэтому
ordp bi+1	m in (ordp«I+1, ordp«;),
причем имеет место равенство, если ordp а,+1 =/= ordp at
(по принципу равнобедренного треугольника). Так как
обе точки (i, ordp«,) и (г, ordp«i+1) лежат на или над
стороной многоугольника Ньютона для /(X), то же
самое справедливо и для (Z, ordpfe,+1). Если (i, ordp«;)—
вершина, то ordp«;+1>ordp«,-, а потому ordpb;+1 =
= ordp а,-. Отсюда следует, что многоугольник Ньютона
имеет требуемый вид вплоть до своей последней вер-
шины. Таким образом, остается разобрать случай, когда
многоугольник Ньютона для f (X) содержит последнюю
бесконечно длинную сторону наклона и показать,
что в этом случае то же самое верно для g'(X); более
150
Гл. IV. р-адические степенные ряды
того, еели f(X) сходится на D(pKf), то g(X) сходится там
же. В силу неравенства ordp bi+1 min (ordp ai+1, ordpa;)
из сходимости f (X) немедленно следует сходимость g (X)
в той же области. Итак, необходимо исключить воз-
можность, что Многоугольник Ньютона ряда^(Х) имеет
больший наклон чем kf. Если бы это выполнялось,
то при некотором достаточно большом i точка (i-\-1,
ordp а,) лежала бы ниже соответствующей точки много-
угольника Ньютона для g(X). Поэтому мы имели бы
ordpbj>ordpat для всех / ^i+1. Из этого, во-первых,
следует равенство ordp a;+1 = ordp а{, потому что ai+1 =
= fe,+i + a,-; затем по тем же соображениям ordpa;+2 =
= ardpO!i+1 и т. д., ordp Яу = ordp а, для всех j^>i. Но
это противоречит предполагаемой сходимости f(X) на
$ 4. Многоугольники Ньютона в случае степенных рядов 151
Лемма 7. Пусть Xj — первый наклон многоугольника
Ньютона ряда f(X) = 1 + У, 1 + ХЙ[[Х]]. Пред-
; = 1
положим, что f(X) сходится на замкнутом диске D (р^),
а, кроме того, линия, проходящая через (0, 0) с накло-
ном содержит некоторую точку (i, ordp а,). (Оба
эти условия автоматически выполнены, если многоуголь-
ник Ньютона имеет более одного наклона.) Тогда су-
ществует число х е й, для которого ordpx = —
а /(х) = 0.
Доказательство. Для простоты рассмотрим вначале
случай Х1 = 0, а затем сведем доказательство леммы
к этому случаю. Итак, пусть ^ = 0. Тогда ordpa,-^0
для всех i и ordp оо при i -> оо. Пусть /V Ss 1 равно
наибольшему i, для которого ordpaz = 0. (Очевидно,
N есть длина первой стороны многоугольника Ньютона
ряда f (X), за исключением случая, когда этот много-
угольник совпадает с горизонтальным лучом.) Пусть
п
Д(Х) = 1 + У а^Х1. По лемме 4 многочлен fn(X) при
< = 1
n^N имеет в точности N корней xn,i, ..., xn,N
с ordpX„j = 0. Пусть xN = xN<A, а хл+1 при п- N — лю-
бой из элементов хл+1,ъ ..., xn+ltN с минимальной нор-
мой разности | хл+1> i — хп |р. Утверждается, что {хл} — по-
следовательность Коши и ее предел х обладает нужными
свойствами.
Для n^N обозначим через Sn множество корней
многочлена fn (X) (с учетом их кратностей). Тогда при
п - N имеем
I fn+l (хп) fn (хп) |р — I fп+l (*Л)|р =
(так как /л(хл) = 0)
= П 11-Н=П11~;М=
reS„+]	i = i
(так как | 1 — хл/х|р= 1, если хе$л+1 и ordpx<0)
/V
| | хп+1, i хп Ip —'
i=l
152
Гл. IV. р-адические степенные ряды
(так как |хл+1, f|p= 1)
5" I хп+1 хп |р
в силу выбора хл+1. Поэтому
I хп+1 хп |р ^== | fп+1 (хп) f п (Хл) |р = | Ол+1-^n |р = । Ял+1 lp-
ПОСКОЛЬКу |a«+i|p->0 при п->оо, ]хл} является после-
довательностью Коши. Пусть х„-> х ей. Тогда / (х) =
= lim fn (х). Но
П -+ со
|/л(х) \p=\fn (x)-f„(xn) |р =
1 = 1	р
потому ЧТО ! й; |р 1 И I (х‘ — Хл)/(х — Хл) |р = | х'”1 +
4- xi~2xn + х‘-2х2	+ х1~11 «с 1 • Следовательно, /(х) =
= lim(х) = 0. Это доказывает лемму при Х1 = 0.
п —► со
Теперь легко вывести общий случай. Пусть лей —
произвольное число с ordpn = X1. Заметим, что такое л
существует: можно взять, например, корень степени i
из at, для которого (i, ordpaj) лежит на прямой с накло-
ном %!, проходящей через (0,0). Пусть теперь g(X) =
= f(X/n). Тогда g(X) удовлетворяет условиям леммы
с == 0. Таким образом, по только что доказанному
существует х0 с ordpx0 = 0, и g(xo) = 0. Пусть х = х0/л.
Тогда ordp х = —и f(x) = f(x0/n) = g (х0) = 0. □
Лемма 8. Пусть ряд f (Х) = 1 4- У, а,Х‘е 1+ХЙ[[Х]]
1 — 1
сходится к нулю при некотором а. Тогда ряд g(X) =
= 1 + У, Ь,Х‘, полученный делением ряда f(X) на
i = i
(1 — Х/а), или, что то же самое, умножением на ряд
1 + Х/а + Х2/аг + • • • + Х'/а* +..., сходится на D (| а |р).
п
Доказательство. Пусть f„ (X) = 1 + У а,Хг. Оче-
1 = 1
видно,
bt = 1 /аг +	+ аДаТ2 +   • + а,-т/а + сц.
$ 4. Многоугольники Ньютона в случае степенных рядов 153
откуда
Ь& = fi (а).
Следовательно, | |р = | ft (а) |р -> 0 при i -> оо, потому
что / (а) = 0. □
Теорема 14 (р-адическая подготовительная теорема
Вейерштрасса). Предположим, что ряд /(Х)=1 +
СО
+ У, а;Х‘ е 1 + Хй [[А']] сходится на £)(рх). Пусть
z = i
N — общая длина, если она конечна (т. е. если много-
угольник Ньютона ряда f(X) не имеет последней беско-
нечнодлинной стороны наклона %), проекции на гори-
зонтальную ось всех сторон с наклоном Если же
многоугольник Ньютона для f(X) имеет последний на-
клон К, то положим N равным наибольшему I, для
которого (i, ordp а,-) лежит на последней стороне (су-
ществование такого i следует из сходимости f(X) на
D(p1)). Тогда найдутся такой многочлен /г(Х)е
1 + Хй [X] степени N и такой степенной ряд g(X) =
СО
= 1 + 2 сходящийся и не обращающийся в нуль
t = 1
на D (рх), что
b(X)~f(X)g(X).
Многочлен h(X) определен однозначно этими свойствами,
а его многоугольник Ньютона совпадает с многоуголь-
ником Ньютона ряда f(X) вплоть до точки (N, or6paN).
Доказательство. Применим индукцию по N. Пусть
вначале N = 0. Тогда нужно установить существование
ряда g(X), обратного к f(X), его сходимость и не-
обращение в нуль на D(pK). Это утверждение было
частью упр. 3 к § 2, но в силу его важности мы при-
ведем здесь его доказательство для тех, кто пропустил
это упражнение. Как обычно (см. доказательства лемм 6
и 7, а также замечание, предшествующее формулировке
леммы 6), доказательство можно свести к случаю % = 0.
Итак, пусть /(Х)= 1+ £ ЯгХ‘, ordpa;>0, ordpa,->
->со, g (X) = 1 + S biX‘. Из соотношения f(X)g(X)= 1
получается рекуррентная формула
bj = — (bi-iOi + Ь^2а2 +... +	+ о»), 4 =s= 1,
154 Гл. IV. р-адические степенные ряды
из которой индукцией по i легко вывести неравенства
ordp&j>0. Поэтому осталось показать, что ordp &;->оо
при г->-оо. Возьмем достаточно большое М. Выберем
затем такое tn, что огАра,>М. при i>tn. Пусть
е = min(ordpаъ ordpa2, ••> ordpflm)>0.
Тогда утверждается, что ordp bt> min (М, пе) при
i>nm. Отсюда, конечно, получается требуемое соот-
ношение ordpfe,—>сю. Утверждение докажем индукцией
по п. Для п = 0 оно очевидно. Предположим, что п>: 1,
i>nm. По рекуррентной формуле
bi — — (^1-1^1 + •  • + bi-mam + bi~	. + at).
Для членов bi-j-dj с /> m имеет место неравенство
ordp (bi^dj)Ss ordp dj>M, в то время как ordp (bi-jdj)
ordp bi-j + е> min (М, (п —1)е)4-е при j^~tn по
индуктивному предположению (так как i — / > (п — 1) tn)
и по определению е. Поэтому все слагаемые в формуле
для bi имеют ordp>min (М, не). Это доказывает утвер-
ждение, а следовательно, и теорему при Х = 0.
Предположим теперь, что N 1 и теорема уже
доказана для У—1. Пусть Xj^X —первый наклон
многоугольника Ньютона ряда f(X). Применяя лемму 7,
найдем а, для которого /(а) = 0 и ordpa = —Xv Положим
МХ)-НХ)(и4 + ^+... + £+...) =
= 1 + S a'iX1 еЕ 1 + XQ [[X]].
По лемме 8 ряд Д (X) сходится на D (рх>). Пусть с= 1/а,
так что f (X) = (1 — сХ) ft (X). Если бы первый наклон Х]
многоугольника Ньютона для /ДХ) был меньше Xi.to
по лемме 7 ряд Л(Х) обладал бы корнем с р-адиче-
ским порядком —XJ, а тогда то же самое выполня-
лось бы и для /(X), но, как легко проверить, это не-
возможно. Следовательно, XJ Xj и мы находимся
в условиях леммы 6 (с f, XJ и Хл вместо f, g, Xi
и X соответственно). Тогда по этой лемме (X) имеет
тот же многоугольник Ньютона, что и /(X), если только
исключить у последнего сторону, соединяющую (0, 0)
и (1, Хг). В частности, f и fr имеют одинаковые радиусы
сходимости. Кроме того, даже в том случае, когда X
g 4. Многоугольники Ньютона в случае степенных рядов 155
совпадает с последним наклоном многоугольника
Ньютона ряда f (а поэтому и Д), ряд сходится на
£)(рх), поскольку f сходится на D (//) по предполо-
жению х).
Итак, Д (X) удовлетворяет требованиям теоремы
с N — 1 вместо N. По индуктивному предположению
можно найти такой многочлен h1 (X) е 1+XQ[X] сте-
пени X — 1 и такой ряд g(X) <= 1 + XQ[[X]], сходя-
щийся и не обращающийся в нуль на D (рх), что
h^X^fAXygtX).
Умножим обе части последнего равенства на (1 — сХ)
и положим h (X) = (1 — сХ) h± (X). Тогда
h(X) = f(X)-g(X)
и h(X) и g(X) обладают нужными свойствами.
Наконец, так как / имеет в точности X нулей
в D(pK), из этого немедленно следует, что h(X) един-
ствен. Действительно, этот многочлен имеет степень X,
постоянный член 1 и все X нулей ряда /(X) являются
также его нулями* 2). □
Следствие. Если сторона многоугольника Ньютона
ряда /(X) е 1+XQ [[X]] имеет конечную длину X и
наклон X, то существует в точности X значений х3),
для которых f (х) = 0 и ordp х = —• %.
В качестве другого следствия теоремы 14 можно
установить, что любой всюду сходящийся степенной
ряд разлагается в бесконечное произведение линейных
множителей (1— Х/r) по всем своим нулям г. В част-
ности, всюду сходящийся и нигде не обращающийся
в нуль ряд должен быть постоянным (см. ниже упр. 13).
В отличие от этого в вещественном и комплексном слу-
чае существуют непостоянные ряды без нулей, напри-
т) Это утверждение, обратное к сформулированному в конце
леммы 6, доказывается по существу тем же методом. — Прим,
перев.
2) Это рассуждение проходит, если все корни различны. Акку-
ратное доказательство требует индукции.—Прим, перев.
3) С учетом кратностей, которые позволяет определить преды-
дущая теорема. — Прим, перев.
156
Гл. IV. р-адические степенные ряды
мер ряд функции ех (или более общий ряд еА(л), где
h — любой всюду сходящийся степенной ряд). В ком-
плексном анализе разложение в бесконечное произве-
дение всюду сходящегося степенного ряда по его нулям
сложнее, чем в р-адическом случае; при этом для по-
лучения «произведения Вейерштрасса» «целой» функции
комплексного переменного необходимо вводить допол-
нительные экспоненциальные множители.
Таким образом, простой вид разложения в беско-
нечное произведение в р-адическом случае, существо-
вание которого следует из теоремы 14, возможен бла-
годаря отсутствию всюду сходящихся экспоненциальных
функций. Значит, тут нам с плохой сходимостью ехрр
крупно повезло. Но в других обстоятельствах, скажем
в теории р-адических дифференциальных уравнений,
отсутствие хорошо сходящейся экспоненты очень услож-
няет жизнь.
Упражнения
1.	Найдите многоугольник Ньютона для следующих много-
членов:
1-Х + рХ2;
(О
(iv)
(vi)
(1-/Х).
(ii) l-X3/p2; (Hi) 1+Х2 + рх* + рЗХв;
(v) (1 —X) (1 —pX) (1 —p®X)
(двумя способами);
2.	(а) Пусть / (X) е 1 + XZP [X] — многочлен, многоугольник
Ньютона которого состоит из одного отрезка, соединяющего точки
(О, 0) и (n, т). Покажите, что /(X) неразложим в произведение
двух многочленов положительной степени с коэффициентами в Zp,
если п и т взаимно просты.
(Ь)	Используя пункт (а), дайте другое доказательство крите-
рия неприводимости Эйзенштейна (см. упр. 13 к § 1.5).
(с)	Верно ли обратное к (а), т. е. всякий ли неприводимый
многочлен имеет многоугольник Ньютона указанного типа (дока-
жите или постройте контрпример)?
3.	Пусть / (X) е 1 +XZp [X] — многочлен степени 2п. Пусть
нам известно, что для всякого обратного корня а многочлена / (X)
обратным корнем является также p/а (с той же кратностью). Что
можно сказать о форме многоугольника Ньютона в этом случае?
$ 4. Многоугольники Ньютона в случае степенных рядов 157
Нарисуйте все возможные виды многоугольников Ньютона для
таких f(X) при л=1, 2, 3, 4.
4.	Найдите многоугольники Ньютона следующих степенных
рядов:
(1)	xp'-'/pi-, (ii) ((Рху+хр1);
i= 0	i=0
(iii) 2	(iv) 5 АГ‘7Л;
1=0	1=0
(V) (1-рХ2)/(1-р2№); (vi) (1 — P2X)/(1 — pX);
oo	oo	_
(vii) П (i — РгАГ);	(viii) 2 p[i/2]X.
1 = 0	1 = 0
5.	Покажите, что все наклоны сторон конечной длины много-
угольника Ньютона для степенного ряда являются рациональными
числами, но что наклон последней бесконечной стороны (если она
существует) не обязательно таков (постройте пример).
6.	Покажите, построив контрпример, что лемма 7 не верна,
если опустить условие существования точки (i, ordp а,-) с i > 0 на
прямой, проходящей через (0, 0) с наклоном Xj.
7.	Покажите, построив контрпример, что лемма 6 не верна,
если опустить условие сходимости f (X) на D (рЛ).
8.	Пусть / (X)— 1 + У] «/Х‘е 1 + ХЙ [[X]] —ряд, сходя-
I = 1
щийся на D (p?j. Докажите, что max | / (х) I достигается на
X Е D (рК)
множестве точек х с \x\p—ph, т. е. на «граничной окружности»,
н что р-адический порядок этого максимума равен
min (ordn а,- —(X),
i = o, 1, ... р
т. е. минимальному «расстоянию» по вертикали (которое может
быть отрицательным) от прямой, проходящей через (0, 0) с накло-
ном X, до точки (г, ordp а,).
9.	Пусть /(Х)=2 е Zp [[X]]. Предположим, что / (X)
i = o
сходится в замкнутом единичном диске 0(1). Кроме того, пред-
положим, что по крайней мере два коэффициента а,- не делятся
на р. Докажите, что /(X) имеет нуль на 0(1).
10.	Пусть /(X) —степенной ряд сходящийся и имеющий
бесконечно много нулей на О (г). Покажите, что тогда f (X)
тождественно равен нулю.
158
Гл. IV. р-адические степенные ряды
11.	Докажите, что Ер (X) сходится только на £>(!") (т. е.
не на всем Ь(1)). (Указание: воспользуйтесь упр. 9 и 10 и пока-
жите, что если Ер имеет хотя бы один нуль, то их бесконечно
много.)
12.	Пусть g(X)=h(X)/f (X), где g(X) е= 1+XQ [[X]] и все
коэффициенты этого ряда 'лежат в D (1), а А (X) и / (X) е
е 1-j-XQ [X]—два многочлена, не имеющие общих корней. Дока-
жите, что все коэффициенты h (X) и /(X) также лежат в D(l).
13.	Пусть f (X) е 14-XQ [[X]] сходится всюду на Q. Для
любого вещественного X обозначим через h^(X) многочлен h (X)
из теоремы 14. Докажите, что f при Х->со (т. е. каждый
коэффициент многочлена h-t стремится к соответствующему коэф-
фициенту ряда f). Докажите, что если f не многочлен, то он имеет
бесконечное число нулей (но не более чем счетное: rlt г2, ...) и
/(Х) =	(1—Х/r,). В частности, не существует всюду сходя-
i = i
щихся и нигде не обращающихся в нуль степенных рядов, кроме
констант (в противоположность комплексному и вещественному
случаям, где степенной ряд еМ-’О всюду сходится и не имеет
нулей для любого всюду сходящегося степенного ряда h(X)).
Глава V
РАЦИОНАЛЬНОСТЬ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
СИСТЕМЫ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ
§ 1. ГИПЕРПОВЕРХНОСТИ И ИХ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
Пусть F — некоторое поле. Через fife обозначим
п-мерное аффинное пространство над F, т. е. множе-
ство упорядоченных наборов (х1( хп) по п элемен-
тов из F. Пусть /(Х1(	Х„]—
некоторый многочлен от п переменных Xlt ХП.
Под аффинной гиперповерхностью, заданной уравнением
/ = О, понимается множество
•••>	/Сч, •••, 0 = 0}.
Число п — 1 называется размерностью гиперповерхно-
сти Hf. Если Н; одномерна, т. е. п = 2, она называется
аффинной кривой.
Сопутствующим к понятию аффинного пространства
является проективное пространство. Проективное про-
странство над F размерности п обозначается Pf и опре-
деляется как множество классов эквивалентности эле-
ментов из /Uf+i —{(О, 0....0)}	по отношению эквива-
лентности (х0, X],	хп)^(х'о, x'lt ..., х'п) <=> Зл е F\
для которого x'i — Xxi, i = 0, ..., п. Иначе говоря, мно-
жество Pf есть множество всех прямых в /Ц£+’, про-
ходящих через начало координат.
Пространство можно вложить в Pf при помощи
отображения (лу......хп)i-(1, хъ ..., хп). Образ
при этом отображении состоит из всех точек Pf, лежа-
щих вне «бесконечно удаленной гиперплоскости», кото-
рая есть множество классов эквивалентности упорядо-
ченных наборов по п 4-1 элементов с нулевой х0-коор-
динатой.
Эту гиперплоскость можно рассматривать как копию
пространства Pf-1 в силу взаимно однозначного соот*
160
Гл. V. Рациональность дзета-функции
ветствия
класс (0,	.....хп)(-н> класс (д.....х„).
(Например, если п = 2, то проективная плоскость Pf
представляется в виде объединения аффинной плоско-
сти и «бесконечно удаленной проективной прямой».)
Продолжая этот процесс, можно разложить Pf в не-
связное объединение
и точка.
Однородным многочленом f(X0, ..., Хп) е F [Хо, • • •
..., Х„] степени d называется линейная комбинация
мономов одной и той же полной степени d. Например,
Хо +	— ЗХ^Хд-р Х| — однородный многочлен сте-
пени 3. Под однородным пополнением f (Хо, Х1( ..., Хл)
заданного многочлена ЦХЪ ..., Хп)еГ[Хъ ..., Хл]
степени d понимается многочлен
Х^ИХх/Хо.....Х„/Хо),
который, очевидно, однороден и имеет степень d. На-
пример, однородное пополнение для Х| — ЗХ1Х2Х3-|-Х1+
+ 1 совпадает с приведенным выше примером однород-
ного многочлена степени 3.
Если f (Х'о, ..., Х„) однороден и f (х0, ..., х„) = 0,
то f (Хг0.... ХхП) = 0 для любого X е F*. Поэтому
можно говорить о множестве точек (классов эквива-
лентности упорядоченных наборов из пф! элементов)
пространства Pf, в которых f обращается в нуль. Это
множество точек Н? называется проективной гиперпо-
верхностью, заданной однородным уравнением f = 0 в Р".
Пусть f (Хо, ..., Хп) — однородное пополнение мно-
гочлена f(Xlf ..., Х„). Тогда называется проектив-
ным замыканием гиперповерхности Hf. С интуитивной
точки зрения Н? получается из Hf «присоединением
точек, к которым Hf стремится на бесконечности». На-
пример, если /// — гипербола (Е = Р)
Xj _ ^2 _ 1
а» Ь2 ~
g J. Гиперповерхности и их дзета-функции
161
то f (Хо, Xi, Х2) = Х{/а2 — Xl/b2 — Хо и Н? отождеств-
ляется с
{(1,ХЪ Х2)| Xf/aa-X^a=l}U{(0, 1, Х3)| Х2 = ±&/а},
т. е. это Н/ плюс точки бесконечно удаленной прямой,
соответствующие наклонам асимптот кривой Hf.
Пусть теперь К — произвольное поле, содержащее F.
Если коэффициенты некоторого многочлена лежат в F,
то они лежат и в К- Поэтому можно рассмотреть
«Х-точки» гиперповерхности Hf, т. е. множество
(Ю 5Ti {(*i....х„)еЕ<|	/(%!....х„)	= 0}.
Аналогично определяется Hj (К) для однородного мно-
гочлена f(X0....Хл).
Далее мы работаем с конечными полями /7 = р9 и
их конечными расширениями X = P9s. В этой ситуации
множества Hf(K) и Н?(К) конечны, так как (и Р£)
состоят лишь из конечного числа точек. Для это
число наборов по п элементов из К, и оно равно qsn.
Фиксируем Н/ (или Н^. В этом случае определена
последовательность натуральных чисел Х1( Nt, N3, ,
равных числу р9-точек, р^-точек, р9з-точек, ... гипер-
поверхности Hf (или Н^, т. е.
л'.зп#(^(Г.О)-
По любой заданной последовательности целых чисел,
которая, как {AZS}, имеет геометрический или теоретико-
числовой смысл, можно построить «производящую функ-
цию», а именно некоторый степенной ряд, кодирующий
всю информацию о данной последовательности {Л^}.
Это так называемая «дзета-функция», определяемая как
формальный степенной ряд
ехр(^ W7sUm
'S= 1	'
Будем обозначать ее через Z(X//p9; Т), где р9 указы-
вает на основное поле определения. Очевидно, постоян-
ный член степенного ряда Z(X//p9; Т) равен 1.
162
Гл. V. Рациональность дзета-функции
Прежде чем перейти к примерам, докажем две эле-
ментарные леммы.
Лемма 1. Коэффициенты ряда Z(H//Fg', Т) лежат в1.
Доказательство. Сопоставим каждой /(-точке Р —
— (%!, ..., х„) из Hf (К — конечное расширение поля р9)
наименьший показатель s = s0, при котором все х,-е
еF9s„- Пусть р, = (х1/,	хп/), /=1, So,-все
«сопряженные» с Р точки, т. е. xilt ..., xiSo сопряжены
с х< = Х|] над р9 Тогда точки Pj различны. Действи-
тельно, если все х, остаются неподвижными при неко-
тором нетривиальном автоморфизме о поля р ,0 над р9,
то они принадлежат меньшему полю (а именно полю
ст-инвариантов €= F^So | о(х) = х}).
Вычислим теперь вклад точек Plt ..., Ps,
в Z Т). Каждая из них является f^s-точкой в Hf
тогда и только тогда, когда о F So, т. е. когда s01 s
(см. упр. 1 к § III. 1). Итак, они вносят вклад, рав-
ный s0, в WSo, A^2s0, A^3s„... Поэтому общий вклад
этих точек в	Т) равен
ехр [ У, so7’'s«//So) = exp (— log (1 — 7s»)) =
\/ = i	/
Полная же дзета-функция представима в виде произве-
дения рядов такого вида (причем лишь конечное число
из них имеет нетривиальный Т-член степени sCs0),
а поэтому ее коэффициенты — целые числа. □
Замечание. Из доказательства видно, что эти коэф-
фициенты, кроме того, неотрицательны.
Лемма 2. Коэффициент при Т> в Z(Hfffig\ Т) не
превосходит qnf.
Доказательство. Максимальное значение Ns равно
<7ni — #	Очевидно, все коэффициенты рядаг(Д//р?; Т)
не превосходят соответствующих коэффициентов ряда,
§ 1. Гиперповерхности и их дзета-функции
163
полученного подстановкой в него qns вместо Ns. Но
ехр \ qnsTs/s j = exp (— log (I — (fT)) = 1/(1— qnT) =
'S= 1	/
= X qn>V. □
/=o
В качестве простого примера рассмотрим вычисле-
ние дзета-функции аффинной прямой
Очевидно, Ns = qs, поэтому

Z (Lffg; Т) = exp qsTs/s) = exp (— log (I - qT)) =
_ 1
~\~qT-
Аналогично определяется дзета-функция проектив-
ной гиперповерхности, только при этом используется
последовательность чисел
A^dTf# (#/(“>))•
Так, например, для проективной прямой L мы имеем
jVs= qs 4-1, поэтому
Z (Z/IF?; Т) = exp (S (qsTs/s + Ts/s)) =
= exp (— log (1 — gT) —log(l -7)) =
_ 1
“(l-OO-gT)’
Оказывается, гораздо естественнее работать с проектив-
ными гиперповерхностями, чем с аффинными.
Возьмем, например, единичную окружность X'i 4-
4- XI = 1, проективное замыкание которой Н? задается
уравнением f = X'i 4- Х| — XI — 0. В этом случае проще
вычислить Z(^/|F?; 7), чем Z (Д//1Г?; Т), где f = Xi4-
-|-Х|— 1. (Будем предполагать, что p = charlF?#=2.)
Почему же это проще? А потому, что существует взаимно
однозначное соответствие между Н? (К) и L (К) (L обо-
значает проективную прямую). Для конструкции такого
отображения рассмотрим проектирование из «южного
полюса» на прямую Хг—1, как показано на рис. 1.
164
Гл. V. Рациональность дзета-функции
После несложных вычислений получается: xl = 4t/(4-\-t2),
х2 = (4 — /2)/(4-Н2), a t = 2х1/(х2 + 1)- При переходе от t
к х это отображение имеет неопределенность для /2 = — 4,
т. е. для двух значений t в случае 7 s =1 (mod 4),
а если qs = 3 (mod 4), то таких значений t нет (см.
упр. 8 к § III.I). Для обратного отображения тоже
возникает точка неопределенности с х2 = — I и х,=0.
Однако при переходе к проективным замыканиям
окружности и прямой получается всюду определенное
взаимно однозначное соответствие, задаваемое в однород-
ных координатах (Хо, Хи Х2) и (Х^, XJ) следующим
образом:
(хЦ, х[) >-> (4xJ2 + х[2, 4х„х[, 4х$2 —xj2);
( (ха + х0> 2Xi), если (х2 + х0, 2xi)=#(0, 0),
(*о, *1,	(0>	если (Х2_|_Хо> 2хг) = (0, 0).
Читателю рекомендуется аккуратно проверить, что это
действительно взаимно однозначное соответствие между
проективной прямой и множеством классов эквивалент-
ности упорядоченных троек (х0, х1( х2), удовлетворяю-
§ 1. Гиперповерхности и их дзета-функции
165
щих уравнению + — Хо = О. Итак, поскольку Ns
одно и то же для Hf и L, имеем
Z (Яг/Р?; Т) = Z (L/P?; Т) = 1/[( 1 - Т) (1 - фГ)].
Если же мы хотим найти Z(/yz/F?; Т), f = Xi + Xl—
— 1, следует вычесть из Ns все точки «на бесконечности»
для Hf, т. е. те, для которых Xi + x| = Xo и хо = О.
Таких точек ровно две, если —I имеет квадратный
корень в р и ни одной в противном случае.
Случай (1). Пусть 7=1 (mod 4). Тогда —1 всегда
имеет квадратный корень в (см- УПР- 8 к § Ш.1),
и Ns = Ns-2,
1(HrIFq, Т\ \/[(\-T)(\-qT)]	1-Т
Z (Hf/Ff; Т) = -r-jj - = i/(i —ту = j _.qT-
exp 2Ts/s
\S — 1 I
Случай (2). Пусть 7 = 3 (mod 4). Тогда, как легко
показать, NS = NS при нечетных s и Ns = Ns — 2 при
четных s. Поэтому
г(йЛГ) _1/[(1-Л(1-9т)] 1+т
Л	1 ) —	,	х— 1/(1—т»)	- 1—qT'
exp J] 2T2s/2s
\s = l	/
Заметим, что во всех примерах, как ниже в при-
мерах из упражнений, дзета-функция оказывается ра-
циональной функцией, т. е. отношением двух многочле-
нов. Это важный общий факт. Его впервые доказал
Дворк в 1960 г., остроумно применив методы р-ади-
ческого анализа.
Теорема (Дворк). Дзета-функция любой аффинной
(или проективной, см. ниже упр. 5) гиперповерхности
является отношением двух многочленов с коэффициентами
в (Q (и даже в Z и постоянным членом 1, см. ниже
упр. 13).
Оставшаяся часть главы посвящена доказательству
этой теоремы, принадлежащему Дворку.
166 Гл. У. Рациональность дзета-функции
Отметим, что определение дзета-функции, данное
выше для гиперповерхностей, допускает обобщение на
более широкий класс объектов, включающий аффинные
и проективные «алгебраические многообразия», которые
определяются подобно гиперповерхностям, только уже
не одним, а несколькими полиномиальными уравнениями.
Теорема Дворка верна также и для алгебраических мно-
гообразий (см. ниже упр. 4).
Теорема Дворка имеет глубокие конкретные след-
ствия в теории систем полиномиальных уравнений над
конечными полями. Из нее следует существование
такого конечного набора комплексных чисел о^, ...
I	и
...,	0Х, ..., ₽ц, что Л(5=2 —	0? Для любого
i— 1	х~1
s=l, 2, 3, ... (см. ниже упр. 6). Иначе говоря, зная
конечный набор данных (а; и 0,), а эти данные опреде-
ляются уже конечным набором чисел Ms, мы получаем
простую формулу, предсказывающую все остальные Ns.
Правда, для практического применения этой формулы
необходимо знать верхнюю границу степени числителя
и знаменателя нашей рациональной функции Z (Z//F?; Т)
(подробности см. ниже в упр. 7 — 9). На самом деле
во всех важных случаях степень числителя и знаме-
нателя дзета-функции известна, как и многое другое.
Эта информация содержится в знаменитых гипотезах
А. Вейля1) (недавно доказанных, но доказательство
которых даже в простейших случаях выходит далеко
за рамки этой книги).
Рациональность дзета-функции была частью серии
гипотез, сформулированных Вейлем в 1949 г. Данное
Дворком доказательство рациональности представляло
собой первый важный шаг на пути к доказательству
этих гипотез. Последний шаг в этом направлении — по-
лученное в 1973 г. Делинем доказательство так назы-
ваемой «гипотезы Римана» для алгебраических много-
образий над конечным полем — явился кульминацией чет-
вертьвековых напряженных исследований в этой области.
!) В настоящей книге речь идет исключительно о гипотезах
Вейля, относящихся к случаю многообразий над конечным по-
лем.—Ярил. перев.
§ 1. Гиперповерхности и их дзета-функции 167
В случае гладкой проективной гиперповерхности Н?
(т. е. когда все частные производные f по всем пере-
менным не обращаются в нуль одновременно) гипотезы
Вейля утверждают следующее:
(i) Z(Wf/F?; Т) = Р(Т)±1/((1-Т)(1-(7Т)(1-<7аП...
... (1 — </л~17')), где Р (Т) е 1 + Т1 [71] имеет степень р,
а р — число, определяемое «топологией» данной гипер-
поверхности (оно называется ее числом Бетти; если Н;—
кривая, то это удвоенный род («число ручек») соответ-
ствующей римановой поверхности). Здесь ±: 1 означает,
что мы берем Р (Т) для четного п и l/P (Т) для нечет-
ного п.
(Н) Если а —обратный корень многочлена Р (Т),
то тем же свойством обладает </л~1/а.
(iii) Абсолютная величина каждого из обратных
корней многочлена Р (Т) равна g(«-0/2. (Это утвержде-
ние называется «гипотезой Римана» по аналогии с клас-
сической гипотезой Римана о нулях дзета-функции
Римана; см. по этому поводу ниже упр. 15.)
Упражнения
(ЛрД,: г)?
1.	Какова дзета-функция точки? Какова Z
2.	Вычислите /р?! 7^.
3.	Пусть f(Xi..... Хл) = Хл-|-§(Х1, .... Xn_!), где g е
е [Хг........Хп_1]. Докажите, что
Z(/7Z/|F?; Л =	т)-
4.	Пусть Л(Х1, .... Хл), /а(Х1, ..., Хл)..... /Г(Х1( ...
..., Хл)ер?[Х1( ..., Хл], a Н{^ ...fr) <= ZDp -множе-
ство наборов по n элементов из |f s, которые удовлетворяют всем
уравнениям /)=0, i=l, 2, ..., г:
H{fv f2..fr\	{<xi.... xn) e | A(*i....... x„) = ...
=	.... хл)=0|
Такое H называется (аффинным) алгебраическим многообразием.
Пусть Ns = Wflp^s) (где Я —сокращенное обозначение для
168	Гл. V. Рациональность дзета-функции
Ну 0. Определим	дзета-функцию,	как к выше:
/ °°	\
&№ Т) = ехр 2 NsTs/s I. Докажите, что из теоремы Дво-
е	\s = l	/
рка для аффинных гиперповерхностей следует теорема Дворка
для аффинных алгебраических многообразий. (Указание. Пусть,
скажем, г = 2. Покажите, что тогда	(F	s)+
+ 4фД^ (р s)—# (F s)> где Д^ —гиперповерхность, задан-
ная уравнением /1-/2 = 0.)
5.	Докажите, что если теорема Дворка верна для аффинных
гиперповерхностей, то она верна и для проективных гиперповерх-
ностей.
6.	Докажите, что теорема Дворка эквивалентна следующему
утверждению: существует набор алгебраических комплексных чи-
сел <%!, ..., а/, Рх, ..., Р„, для которого каждое из аг при
сопряжении переходит в некоторое а/, а каждое из Рг- — в некото-
рое ₽* и
t	и
Ns = а;— S 0? для всех s= 1» 2>	
< = !	Z=1
7. Известно, что дзета-функция гладкой проективной куби-
ческой кривой E — H~(dimE-
шической кривой) всегда
+ 9^)/[(1- Т)(1-фГ)] для
= 1, deg/=3; £ называется эллип-
представима в виде (l-f-aT-l-
некоторого о е Z. Покажите, что
если известно число точек в Е (р?), то можно найти: (1) а и
(2)	ПРИ всех 5.
8.	Используя факт, сформулированный в предыдущем упраж-
нении, найдите	Т) для f(Xv Х2), равного:
(i)	Xf —Xf—1 и <?s2(mod3);
(ii)	Х| — Xf-f-Xj и <7 = 3 (mod 4), а также для д = 5, 13 и 9.
9.	Предположим, что рациональность функции Z (Д/р?; Т)
уже известна. Пусть m и п—степени ее числителя и знаменателя
соответственно. Докажите, что числа	Д^р^5) для
s=l, 2, 3, .... m-f-n однозначно определяют все остальные Ns.
((	/ СО	\
То есть две такие рациональные функции ехр У] NsTs/s \ и
\s= 1	/
СО	\
У] N'sTs/sI, для которых NS = M'S при l<(s<;m-|-n, совпа-
S = 1	/
дают, а значит, и Д$ = Д, для всех s.
§ 2. Характеры и их поднятие 169
10.	Вычислите Z(//f/p9; Т) для трехмерной гиперповерх-
ности Hf, заданной уравнением
XjX4--XaXg = 1.
11.	Вычислите Z (Я//р9; Т) и Z (Hf7jp9; 7) (/—однородное
пополнение /) для кривой Hf, заданной уравнением:
(0X^=0; (ii) Х1Х2(Х1 + Ха+1) = 0; (iii) Х|-Х| = 1;
(iv) X| = Xf;	(v)Xf = Xf + Xf.
12.	Прямые в Р3 получаются как пересечение двух различных
гиперповерхностей, т. е. прямая состоит из классов эквивалент-
ности четверок, удовлетворяющих одновременно двум заданным
однородным линейным уравнениям. Пусть число прямых
в Рр Используя данное выше определение дзета-функции по
последовательности чисел Ns, вычислите дзета-функцню семейства
прямых на трехмерном проективном пространстве.
13.	Используя упр. 12 к § IV.4, докажите, что из приведен-
ной выше леммы 1 и теоремы Дворка «с коэффициентами в (£)»
следует теорема Дворка «с коэффициентами в Z н постоянным
членом 1».
14.	Пусть Hf — кривая, заданная уравнением X| = Xf + 1,
а р = 3 нли 7 (mod 10). Докажите, что
Z(HJ^p> 7') = (1-Т)(1_р7’)-
15.	Пусть Я- — гладкая проективная кривая. Предполагая
справедливость гипотез Вейля для Z (H~ffi9; Т) (которые для
кривых были доказаны гораздо раньше, чем в общем случае),
покажите, что все нули аналитической функции
7 (3)^(7/^;
комплексного переменного s лежат на прямой Res =1/2. Этот
факт объясняет, почему гипотезу Вейля (iii) называют «гипотезой
Римана».
§ 2. ХАРАКТЕРЫ И ИХ ПОДНЯТИЕ
Q-значным характером на конечной группе G на-
зывается гомоморфизм группы G в мультипликативную
группу йх ненулевых чисел из Q. Так как
^порядок элемента g_ ] дЛЯ люб0Г0 g^G, Характер ОТОбрЭ-
жает G в множество корней из 1 поля Q. Пусть, на-
пример, G — аддитивная группа поля Fp, е —корень
степени р из 1 в Q, и пусть а, — приведенный вычет
170 Гл. V. Рациональность дзета-функции
для аерр. Тогда отображение а>—*8" является харак-
тером на Fp. В дальнейшем будем писать ан—*8°,
опуская тильду. Если е=А 1, этот характер нетривиа-
лен, т. е. его образ состоит не только из 1.
Если рр —конечное поле из q = ps элементов, то
известно, что существует s = [F? : Fp] автоморфизмов
Oo, .... tfs-i поля р?, для которых о/(а) = аР1, а е F?
(см. упр. 6 к § III.1). Пусть аер?. След элемента а,
обозначаемый Тга, определяется формулой
S— 1
Тг а та S (fl) = а + ар +	+... -ф apS~l.
f = 0
Очевидно, (Тг а)р = Тг (а), т. е. Тг а <= рр. Кроме того,
Тг(а + 6) = Тга-|-Тг&. Поэтому отображение
а<—> еТга
есть Q-значный характер аддитивной группы поля р?.
Напомним, что каждому элементу а <= F? соответст-
вует единственный представитель Тейхмюллера t <= Q,
который лежит в неразветвленном расширении К поля (Е)р,
порожденном примитивным корнем из 1 степени (q — 1),
причем t9 = t, а редукция t по модулю р равна а. Цель
этого параграфа — найти р-адический степенной ряд
0(7), значение которого при Т = t совпадало бы с 8Тга.
(Точнее, ряд 0 (7) 0 (Тр) 0 (7"г)... 0 (7р5-1), где q = ps,
будет принимать значение sTr° при 7 = /.)
Фиксируем а ер?. Пусть t е К — соответствующий
представитель Тейхмюллера. Обозначим через Тгл ото-
бражение следа для элементов из К в (Qp, переводя-
щее элемент К в сумму сопряженных с ним над (Qp.
Тогда для представителя Тейхмюллера t (см. упр. 1
к § 4 ниже)
Тгк t = t + tp + tp" +... + /р5-1 e Zp,
а редукция Тг^< по модулю р равна
а-|-аР4-аРг4-...4-аР*_1 = Тг а ерр.
Следовательно, вТга = еТгк<, поскольку возведение в
в некоторую степень из Zp зависит только от класса
вычетов по модулю р.
§ 2. Характеры и их поднятие
171
Пусть X = е — 1. Нам уже известно, что ordp X —
=	(см. упр. 7 к § III.4). Хотим же мы найти
р-адическое выражение, зависящее от t, для
(1 + %)t + '₽ + tpi+ - +tpS^ = eTra.
Действуя наивно, можно было бы положить
оо
g (Т) = (1 + ку = 2 —+ к,
(=0
а затем построить ряд g(T)g(TP)g(TP2\..g(TPs~1'). Но
тогда возникает следующая трудность: как придать
смысл бесконечному ряду g(T) для интересующих нас
значений Т = t? А именно, если t ф Хр, т. е. вычет а
не лежит в рр, то, очевидно, 11 — i |р — 1 для всех i е Z,
откуда
Ч(-1Ь: (^+1) v = i ordp X -	= А -
р	i!	р	р — 1р—1’
так что этот порядок не стремится к бесконечности.
Выход из положения заключается в использовании
ряда F (X, Y) с лучшей сходимостью, который был
введен в конце § IV.2:
F (X, У)=(1 +У)х (1 +у₽)(х₽- х)/Р (1 + yp^(xp‘-xp)/p2 ...
... (1 + урп/хрП- хрП~1')/Рп ....
Напомним, что сомножители справа обозначают соот-
ветствующие биномиальные ряды из (Q [[X, У]]. Рас-
смотрим теперь F (X, Y) как степенной ряд от X при
фиксированном У:
F(X, У)= 2 \Хп йт>лУт), affl,„GZp;
при этом использован тот факт, что атп^=0 только
для т^п. Действительно, каждое слагаемое ряда
В(х₽л- хР^/рР, р ^Yp т’ е‘
после перемножения и приведения подобных членов
172
Гл. V. Рациональность дзета-функции
дает лишь члены, степень которых по X меньше или
равна степени Y'Pn по Y.
Напомним, что Х=е — 1, a ordpX= 1/(р — 1). Положим
0(T) = F(T, %)= J а»ТП>
п = О
со
где ап= У, am,„Xm. Очевидно, ordp ап Ss п/(р — 1), так
m = п
как каждый член в выражении для ап делится на Лл.
В силу полноты поля (Qp (е) = (Qp (%) имеет место вклю-
чение ап е (Qp (е), а 0 (Т) е (Qp (в) [f ZJJ. Более того, 0 (Г)
сходится для всех значений t е D (p'/tp-v-), потому
что ordp an п/(р — 1).
Рассмотрим теперь для фиксированного t ряд
(]+У/ + ^+... + ^и5+^ +tpS^(Y}.
Легко доказать следующее формальное тождество
в Щ[У]]:
(1+У)<+<р+- + ^_1 = Г(Л Y)F(tp, Y}...F(tpS~\ Y\
В самом деле, после тривиальных сокращений правая
часть приводится к виду
(1 _|_у)* + *₽+ ... + fpS-1(i 4-у₽)(«р5-t)lpx
х(i + yp!)Gp5+1-tpW(i + YP‘)(ipS+2-tP2)hfi . ..
Ho tpS = t, и мы получаем требуемое.
Итак, при подстановке t вместо Т в 0 (Г) 0 (Тр) ...
... 0 (TpS1) получается
F(t, X)F(tP, X) ...FitP^1, %) =
= (j + Х/ + tp+ - +	= 8Тга
В результате мы нашли хороший р-адический сте-
пенной ряд 0 (Г) = 2 апТп (= (Qp (е) [[Т]] с ordpa„^
5?п/(р-—1), такой, что значения характера ан-*еТга
на вычисляются подстановкой поднятия Тейхмюл-
лера для а в 0 (Т) 0 (Тр) ... 0 (Тр5-1). Ряд 0 можно рас-
сматривать как «поднятие» этого характера аддитивной
группы поля |р? до функции на Q (точнее, на некото-
§ 3. Линейные отображ. на простр. степенных рядов 173
ром диске в £2, включающем замкнутый единичный
диск, а следовательно, и все представители Тейхмюл-
лера).
Такие поднятия, как 0, важны потому, что многие
понятия анализа приложимы непосредственно только
к р-адическим, а не к конечным полям. Если некото-
рый объект, связанный с конечным полем, например
дзета-функция гиперповерхности над этим полем, допу-
скает поднятие в поле р-адических чисел, то к нему
уже можно применять анализ. В заключение отметим,
как важно, что наше поднятие 0 сходится по крайней
мере на замкнутом единичном диске (а, скажем, не
просто открытом единичном диске): ведь точки, кото-
рые нас больше всего интересуют, — представители
Тейхмюллера — лежат как раз на единичной окружности.
§ 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ НА ВЕКТОРНОМ
ПРОСТРАНСТВЕ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ
Обозначим через R кольцо формальных степенных
рядов над Q от п независимых переменных:
х2.....Хл]].
Моном ... Х“п будем обозначать через Xй, где
и = (и1... ип)	— упорядоченный набор из п целых
неотрицательных чисел. Тогда каждый элемент из R
можно записать в виде 2 аиХи, где и пробегает мно-
жество U всех упорядоченных наборов из п целых неот-
рицательных чисел и аи е Q.
Отметим, что R — бесконечномерное векторное про-
странство над Q. Для каждого G е R определим линей-
ное отображение из R в R, обозначаемое также через G,
сопоставлением
n-^Gr,
т. е. это отображение умножения степенных рядов из R
на некоторый фиксированный степенной ряд G.
Кроме того, для каждого целого положительного
q> 1 (в приложениях q будет степенью простого числа р)
определим линейное отображение Tg: R-*~R, полагая
г = 2 аиХп Tt (г) = 1 а9„Х“,
174
Гл. V. Рациональность дзета-функции
где qu обозначает набор (qult qu2, qun). Например,
при п=1 это отображение степенных рядов, при кото-
ром стираются все Х^-члены для /, не делящихся на q,
а во всех Х'-членах, где q\j, Xf заменяется на Х//в,
Положим теперь о Tq ° G: R-*-R. Пусть G —
= У gwXw- Тогда Т9 О —линейное отображение, зада-
w^U
ваемое на мономах Х“ формулой
1T9,O(X“) = TJ у gex«u У gqv_ux\
\И> G и	/ CJ ЕЕ и
(При этом если набор qv — и не лежит в U, т. е. имеет
отрицательную компоненту, то считается, что соответ-
ствующее gqv-u равно нулю.)
Обозначим через G9(X) степенной ряд G(X9) =
= У gwXqw. Легко проверить следующее соотношение
(см. ниже упр. 7):
G,Tq = Tq'Gq = 4q,Oq.
п
Определим на U функцию | | формулой | и | = У, щ.
i = 1
Пусть
7?оаз/б = У Х№е 7?| существует такое М>0, что
ordpg№ М | w | для всех w е t/}.
Нетрудно проверить замкнутость Ro относительно умно-
жения и инвариантность при отображении G<—*-Gq.
Отметим, что каждый степенной ряд из Ro сходится
для всех значений переменных, лежащих в некотором
диске, строго большем чем 0(1). Один из важных при-
меров ряда, принадлежащего Ro, дает 0 (аХ™), где а
берется из 0(1), a Xw обозначает моном от перемен-
ных Хх, ..., Хп (см. ниже упр. 2).
Пусть V — конечномерное векторное пространство
над полем F, а {а^} — матрица линейного отображения
А: V -> V в некотором базисе. Тогда след отображе-
ния А определяется как
Тг A ggj v aiit
§ 3. Линейные отображ. на простр. степенных рядов
17Б
т. е. как сумма элементов главной диагонали (эта сумма
не зависит от выбора базиса; по поводу этого факта
и других основных понятий и результатов линейной
алгебры см. [(а) 2], гл. 61). (Использование того же
символа Тг, что и для следа элемента поля р?, не
должно приводить к путанице, поскольку из контекста
всегда будет ясно, о чем идет речь.) Если поле F обла-
дает некоторой метрикой, можно ввести след бесконеч-
ной матрицы А, при условии что сумма У Оц сходится.
f = i
Лемма 3. Пусть G <= R(l, Tf = xP?o. Тогда Тг(’Р)
определен для s— 1, 2, 3, ... и
(qs — 1)лТг('Р)= £ G(x)-G(x’)-G(x?2)...G(x?s~1),
ней",
= 1
где х = (Х1, ..., хп), xqi — (x^,	axqS~1=l озна-
чает, что xqS~l = 1 для j = 1, 2, ..., п.
Доказательство. Разберем прежде всего случай s= 1,
а затем сведем к нему общий случай. Так какТ(№)=
= X то
вег
ТгТ= у g(?_1)a
'ieU
и ряд сходится по определению Ro.
Рассмотрим теперь правую часть равенства в лемме.
Для i=l, 2.......п имеем
г-, w 9 ~ 1 > если q — 1 делит wh
V х.1 = \	_
xeQ 1	(	0 в остальных случаях
’Г1-'
(см. ниже упр. 6). Следовательно,
У ^	] | у J(<7-1)", если?-1 делите,
,	1 I 0 в остальных случаях,
«ей”.	1 хЯ~х = \	v	J
x?-x = l
х) См. также книгу И. М. Гельфанда [(а) 4], гл. II. — Прим,
перед,
176
Гл. V. Рациональность дзета-функции
Отсюда
2 G(x) = 2 gw 5 х- =
ж7-1_]	weU х?-1 —।
= (9-1)" 2 g(?-1)B = (9-l)"TrY,
a<=U
что и доказывает лемму для s = 1.
Предположим теперь, что s>l. Тогда
T5 = 7,?oGo7,? = G = W^ = 7,?»7,?oGrG"Ti-2 =
= T92oGG?»T-2 = T92oT?0(G.G?)?G«T-3 =
= T93-GG?.Gq2.T'-’ = ... = 7>.GG?Gq2...GqJ-i =
= V g.g^.,.0^.
Итак, заменив q на qs и G на G • Gq • G^..мы
установим лемму в общем виде. □
Пусть Л —некоторая rxr-матрица с элементами
в поле F, аТ — независимая переменная. Тогда (1 — АТ)
(где 1 обозначает г X r-матрицу тождественного преобра-
зования) является rxr-матрицей с элементами в кольце
F|T]. Эта матрица играет существенную роль при изу-
чении линейного отображения на Fr, соответствую-
щего А, потому что ее определитель, равный det (1 — At)
для любого конкретного значения t <= F переменной Т,
обращается в нуль тогда и только тогда, когда суще-
ствует нетривиальный вектор v<=Fr, для которого
0 = (1 — At) v = v — tAv, т. е. Av = (1/t) v. Иначе говоря,
это происходит тогда и только тогда, когда 1/t есть
собственное значение матрицы А. Если А = {а^}, то
det (I — АТ) = 2 bmT",
m = 0
где
bm = (—l)m	У sgn(a)a„„a(H1) X
1 <“1..um^r
о— перестановка
этих и.
Xa“2-°(°2)---a“m-°(‘‘m)-
(Функция sgn(a) принимает значение +1 или — 1
р соответствии с тем, является ли данная перестановка а
§ 3. Линейные отображ. на простр. степенных рядов 177
произведением четного или нечетного числа транс-
позиций.)
Предположим теперь, что А =	—бесконеч-
ная «квадратная» матрица, af = Q Тогда выражение
для det (1 — АТ) будет иметь смысл как формальный
степенной ряд в	если только выражения для bm,
которые теперь являются бесконечными рядами (усло-
вие «-С п> на и, отбрасывается), сходятся.
Применим это понятие к случаю, когда А =
=	os и — «матрица» отображения yV = Tq°G, где
G е Ro, т. е. ordpg^ T& 'V!) w |. Тогда у>-адические порядки
членов в выражении для bm допускают следующую
оценку:
ordp	' goa(u2) — u2 ...gqo (um)-um\3=
2&M[|qo(Ui) -Ui| + ko(«2) — u2\+--- + \qv(um) — um\] =
= M[^q\o(ui)\-^\ui' ] = M(q- 1) £| «,• |.
(Отметим, что если G —степенной ряд от п переменных,
то каждое и, есть набор
чисел: «/ = (««, uin)
п целых неотрицательных
п	\
и Uj I = У, uif. I Из этого
< = I	/
видно, что
ordp bm -> оо
1 д ь
-ordp c*m —> оо
при
при
т->оо,
т—> оо.
Последнее верно, так как существует лишь конечное
число n-наборов и с заданным значением | и\, а среднее
для | и | по конечному множеству различных Ui, т. е.
m
(1/tri) У | Ut |, стремится к оо.
«=1
Это доказывает, что
СО
det(l-AT)= ЬтТ"
т = 0
корректно определен (т. е. ряд, задающий каждое Ьт,
сходится) и его радиус сходимости бесконечен.
Докажем теперь еще один важный вспомогательный
результат, сначала для конечных матриц, а затем для
178 Г л. V. Рациональность дзета-функции
А именно, в Й [[7]] имеет место следующее
тождество для формальных степенных рядов:
det (1 — АТ) — ехрр^— У, Tr (As) Ts/s\.
Чтобы доказать это, напомним прежде всего два факта
из теории матриц (см. [(а) 2], гл. 61)). Определитель
и след матрицы не меняются при сопряжении А>—>САС-1
посредством обратимой матрицы С, т. е. они инвари-
антны относительно замены базиса. Кроме того, если
основное поле алгебраически замкнуто, что верно,
например, для й, то после подходящей замены базиса
любая матрица может быть приведена к верхней тре-
угольной матрице А (например, к канонической жорда-
новой форме). Иначе говоря, последняя матрица не
имеет ненулевых элементов ниже главной диагонали.
Поэтому при доказательстве тождества без потери
общности можно предполагать, что А = {а;Дг-, у = ] верх-
няя треугольная. Тогда левая часть требуемого равен-
Г
ства принимает вид fj(l— ЯцТ). Справа же стоит
i = 1
/	°° Г	\	Г	! СО	\
ехрр - 2 ^a).Tsls = ПехРр( ~ D(an7)s/sj =
\	S=1Z=1	/	1=1	\	S=1	/
= П ехР₽ (108Р О - аиТ)> = п 0 ~ а,/7),
I = 1	1 = 1
г
поскольку Tr(As)= У asit.
i = i
Разбор обобщения этого тождества на случай бес-
конечных матриц А мы оставим читателю в качестве
упражнения (см. ниже упр. 8).
Резюмируем все это в следующей лемме.
Лемма 4. Пусть G (X) = У gwXw е Ro, а Т = Т9°в,
® = и
так что матрица отображения Т есть А =
-1) А также [(а) 4), гл, II и III. — Прим, перев,
g 4. р-адич. аналитич. выражение для дзета-функции 179
Тогда ряд det (1 — АТ) из ОЦТ]] корректно определен,
имеет бесконечный радиус сходимости и равен
ехрр (- S Тг Tsis
|	5 = 1
§ 4. р-АДИЧЕСКОЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ
ДЛЯ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ
В этом параграфе будет доказано, что дзета-функция
Т) е Z [[?]]<= ОДЛ]
любой гиперповерхности Hf, заданной уравнением / = 0
с f(Xx, Xn)elF?[Xx, Х„], является отноше-
нием двух степенных рядов из Q [|Т]] с бесконечными
радиусами сходимости. (В другой терминологии: явля-
ется р-адической мероморфной функцией, или является
отношением двух целых р-адических функций.)
Докажем это индукцией по числу переменных п
(т. е. по размерности п — 1 гиперповерхности Hf). При
п = 0 (т. е. когда Hf пусто) утверждение тривиально.
Предположим, что оно справедливо для 1, 2, ..., п — 1
переменных. Вместо того чтобы доказывать наше утвер-
ждение для
Z(//z/F?; Г) = ехр (2 NsTs/s),
достаточно доказать его для
n^expf ^N'T'/s
\s = 1
где
N's gjj число п-наборов (xX1 ..., xn) e F^s, для которых
f (xx, ..., xn) = 0 и все Xi отличны от нуля =
= число n-наборов (хх, ..., хп) е Fjs, для которых
f (хх, ..., хп) = 0, a xf ~1 = 1, i = 1......п.
Действительно, чем отличается Z' (ЯрТ?; Т) от
Z Т)? Очевидно,
Z (Hf/Fg; Т) = Z' (Hf/Fg; Т)  ехр (2	- N's) T‘/s),
180 Гл. К Рациональность дзета-функции
причем экспоненциальный множитель в правой части
есть дзета-функция объединения п гиперповерхностей
Н, (i=l, .... п) меньшей1) размерности (п — 2), задан-
ных уравнениями f (Хь Хл) = 0 и Х,= 0. Дзета-
функция такого многообразия есть произведение дзета-
функций для каждой Н,, деленное на произведение
дзета-функций попарных пересечений //,• и Hj (i j)
(т. е. (п — 3)-мерных гиперповерхностей, заданных
системой уравнений Х, = Х; = 0 и f(Xlt Хп) = 0),
умноженное на произведение дзета-функций тройных
пересечений, деленное на произведение дзета-функций
четверных пересечений, и т. д. Все эти дзета-функции
р-адически мероморфны по предположению индукции2).
Поэтому достаточно установить р-адическую мероморф-
ность для Z', а отсюда уже будет следовать р-адическая
мероморфность Z.
Фиксируем некоторое целое sSs 1. Пусть q = pr.
Напомним, что если t обозначает представитель Тейх-
мюллера элемента	то корень степени р из 1,
равный еТго, можно выразить через t при помощи
р-адически аналитической функции
еТг а = 0 (/) 0 (/Р) 0 (/Р2)	0 (Xs-1).
Одно из основных и просто доказываемых свойств
характеров (см. ниже упр. 3 — 5) заключается в сле-
дующем:
хп т , ,	(0, если и е
V еТг(хои) —)	4
КО^ s	\qs, если и = 0,
или, после вычитания члена с хо = 0,
—1, если
х	 qs — 1, если и = 0.
*5^	k
х) Это верно лишь для достаточно общей гиперповерхности.
Однако заметим, что если dim//,•>« — 2, то /7,- = /0р— *, а в этом
случае дзета-функция контролируема, так как хорошо известна.
Это следует иметь в виду и в дальнейших рассуждениях. —
Прим, перев.
2) Либо из их явного вида в случае многообразия
(см. предыдущее примечание). —Прим, перев.
4. р-адич, аналитич. выражение для дзета-функции 181
Применим это к функции u=f(x1,..хп) и просуммируем
результат по всем хь хлеПолучим
2 eTr(V(-!...........^))=^-(^-1)».
х0‘ Х1..хп eIT*s
Заменим теперь все коэффициенты в Xof(XltХп)<=
е ГДХ0) Хь • • • > Хп] их представителями Тейхмюллера;
при этом получится многочлен F (Хо, Хг, Хп) =
N
= 2 aiXWi е й[Хо, Хх, ., Хп], где XW{ обозначает
i = i
моном	. X®in, Wi — (wi0, wtl.wtn). В этом
случае
qsN's = (cf - 1)" + У eTr0°/ ...............*«)) =
V xi....
= (^-l)"+	£	П0(а,/')х
*o- *1.XneQ' ' = '
лг/-1= ,.=^S-1 = 1
Заметим, что поскольку все коэффициенты многочлена
f(Xi, Хп) лежат в a q — pr, то аРг = а(. Поло-
жим теперь
G(X0, ....
= П 0 "О 0 WXpwi)... 0 (ap(r~'xpr~lw‘).
Тогда
= — 1)" +
+ X G(x)-G (х?) • G (х’г) • • • G (x«s-1).
хо- Х1-XnSQ
x«S —l = .,.=x«S —1 = 1
0	п
Так как каждый ряд <ё) (aplXplw>') принадлежит Ro
(см. ниже упр. 2), то это же справедливо для G:
G (Хо, ..., Xi) £= Ro П [[Хо, ..., Хп]].
182
Гл. V. Рациональность дзета-функции
Следовательно, по лемме 3
qSN'S = (qs —	(cf- 1 )n+1 Tr (T*),
t. e.
N's= x (-1)'(?)qss’ V^Tr^)-
1 = 0	i = 0
Пусть (напомним, что А — матрица отображения Т)
Д (Т)	det (1 - АТ) = ехрр / - £ Тг (Ч*) T’/s
( S — 1
Тогда из предыдущего видно, что
Z' Т) = ехрр N'sTs/s =
i	J
nr	c co	И*-’)'
= П	ехРр t
t = 0	(s = l	J.
X expp / У, qs	Tr (Tf) Ts/s
1 = 0	(s=l
П	z , ,l+l Zn\ n -|- 1
X
1=0
1 = 0
Каждый член последнего «альтернированного произве-
дения» является целой р-адической функцией по лем-
ме 4.
На этом завершается доказательство р-адической
мероморфности дзета-функции— центральный результат
в доказательстве теоремы Дворка. В следующем пара-
графе будет установлена представимость дзета-функции
в виде отношения двух многочленов.
Упражнения
1.	Пусть t <= Q — примитивный корень степени (ps—1) из 1.
Докажите, что t, tp, tp2,..., tpS~1 исчерпывают все элементы,
сопряженные с t над (Qp. Другими словами, сопряженные с пред-
ставителем Тейхмюллера элемента а е совпадают с представи-
телями Тейхмюллера сопряженных с а элементов над
§ 4. р-адич. аналитич. выражение для дзета-функции 183
2 еТг<~> =
repps

2.	Пусть aeD(l), a XW = X^1... Л^п. Докажите, что
в (аЛ®) е Ro.
3.	Пусть Oj.as — различные автоморфизмы поля К. Дока-
жите, что не существует нетривиальных комбинации £ а;а,-, для
которых Е а,а(-(х) = 0 при любом х е К- (Указание: воспользуй-
тесь индукцией по числу ненулевых а;; в случае затруднений
см. книгу Ленга [(а) 3], стр. 238.) Выведите отсюда, что отобра-
жение следа Тг из в Fp ненулевое.
4.	Пусть eeQ — примитивный корень степени р из I. Дока-
жите, что У] еТг* = 0. (Указание: произведите замену xi—>х +
+ Хо, где xoeFp имеет ненулевой след.)
5.	Докажите, что
—I,	если и е
qs— 1, если	u = 0.
6.	Докажите, что для любых целых положительных п и а
п, если п делит а,
О в противном случае.
7.	В обозначениях § 3 докажите, что G > Tq = Tq » Gq.
8.	Распространите тождество
det (1 — AT)=expJ— У] Тг (Л^) Ts/s
\ S = 1
на бесконечные матрицы А при подходящих предположениях
о сходимости следов.
п
9.	Задача на повторение. Пусть f (Л)= У] aiX‘e^q [Л]-
1=0
многочлен от одной переменной с коэффициентами в F9, q = pr,
и ненулевым постоянным членом. Предположим, что нам надо
найти число N различных корней многочлена f (X) в F9. Обозна-
чим через Ai представитель Тейхмюллера элемента а(-, 1 = 0,...
... , п. Пусть е=1 +1 — фиксированный примитивный корень из 1
степени р в Q, а 0 (Т) — ряд из § 2. Положим
G (*. Л = П П 0 (Afxip'Ypf).
1=0/=0
Докажите, что
х, ЦЕ й.
184
Гл. V. Рациональность дзета-функции
§ б. КОНЕЦ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
Теорема Дворка теперь легко выводится из следую-
щего критерия представимости степенного ряда в виде
рациональной функции.
Лемма 5. Пусть F (Т} = У аД' е К [[Г]], где К —
1 = 0
произвольное поле. Целым числам m, s ^0 сопоставим
матрицу Л,. т = {as+,-+;}o <: i, j <: m:
	as +1	^s + 2	as + m
as + 1	as + 2	+ 3	’ ' as + m+l
as + 2	as + 3	+ 4	as + m + 2
+ m	Os + 7П + 1	+ m + 2	’ ' ^s + 2m .
Пусть Ns,m det (Xs m). Тогда ряд F (T) равен отноше-
нию двух многочленов
=	Р(Т), Q(T)^K[T],
в том и только том случае, когда существуют целые
т^О и S, для которых Ns.m = ® при всяком s^S.
Доказательство. Предположим вначале, что F (Т)
м
есть такое отношение. Пусть Р(Т)= У ЬД\ aQ(T) =
i = 0
N
= У с,Т‘. Тогда, приравнивая коэффициенты при Т1
1 = 0
в соотношении F (Т) • Q (Т) = Р (Т) для i>max(M, N),
получим
N
У Oi-N^CN-j = 0.
/=0
Пусть S = max (М — W-f-1, 1), а m—N. Возьмем s^S
и запишем эти уравнения для i = s-\-N, s-t-AZ-j- 1,...
s+2W:
dsCN + 0$+1сЛГ-1 + • • • + СЦ+нСо = 0,
fls+lcW + O-s+tpN-l + • • • + fls+W+lCo = 0,

§ 5. Конец доказательства
185
Следовательно, матрица коэффициентов при су, равная
AStN, имеет нулевой определитель:
Nt,m = Nt,N = Q ДЛЯ S3sS.
Обратно, предположим, что А^,т = 0 при s~^S,
где m выбрано минимальным с данным свойством:
У,.т = 0 при всех sssS. Утверждается, что А^,т-1#=0
ДЛЯ всех 8 2г S.
Предположим противное. Тогда некоторая нетри-
виальная линейная комбинация первых m строк г0,
г1г..., rm-i матрицы m обращается в нуль везде,
кроме, может быть, последнего столбца. Пусть г,-0 — пер-
вая строка с ненулевым коэффициентом в этой линейной
комбинации, т. е. г0-я строка равна
а1^С>+1 + а2г <о+2 + • • • + атН„-1Гт-1,
кроме, может быть, элемента последнего столбца. Заме-
ним г1а в Д4,т на г<0 —(а1г,„+1+... + ат_(0-1Гт-1) и рас-
смотрим следующие две возможности:
(1)7о>О- Тогда мы получаем матрицу вида
Os ffs + 1
tfs + 2
О о
Os + m Os + m + i
и определитель выделенной матрицы равен Л^+1,т-1 = 0-
(2) io = O. Тогда мы получаем
° :	0	   0	
я«+1 j	as + 2		flg + m + l
^s + m	^з + m + 1	. . A	
В этом случае	совпадает с определителем каж-
дой из двух выделенных матриц. Поскольку опреде-
литель m всей матрицы равен 0, то либо определи-
тель нижней выделенной матрицы равен 0, либо р = О
186
Гл. V. Рациональность дзета-функции
и определитель верхней выделенной матрицы равен 0.
Поэтому ^+i,m-l = 0.
Итак, в любом случае A/i+1>m_1 = 0. Далее по индук-
ции легко получить, что Ns'<m..1 = Q при всех s'^s.
Это противоречит минимальности выбранного т.
Но тогда при любом s^S мы имеем Л/5,т = 0
и	Следовательно, существует линейная
комбинация строк матрицы As,m, равная строке из
нулей. Более того, у этой комбинации коэффициент
последней строки отличен от нуля. Таким образом,
последняя строка матрицы As,m при любом s^S пред-
ставима в виде линейной комбинации предыдущих т
строк. Поэтому всякое решение линейной системы
+  • • + Я$'+тц0 = 0»
aS+m-lUm + Cls+mUm-1 + • • • + aS+2m-lUo — 0
является решением уравнения
+ aS+m+lum-l + • • • +	= 0,
а по индукции — любого линейного уравнения
при s S. Из этого, очевидно, следует, что
(т	\	! со	\
1 = 0	/ \i=l	/
— многочлен (степени <.S-\-m). □
Закончим теперь доказательство теоремы, используя
лемму 5. Нам понадобится «р-адическая подготовитель-
ная теорема Вейерштрасса» (теорема 14, § IV.4) в сле-
дующей форме: если F (Т) — целая р-адическая функция,
то для любого положительного вещественного R (равного
рациональной степени р) существует многочлен Р (Т) и
р-адический степенной ряд Fo (7) е 1 i 7Q [[7]], кото-
рый сходится на диске D (R) радиуса R вместе со своим
обратным G(T), a F(T) = P (T)-F0(T). Действительно,
положите в теореме 14 /)* = %; так как F целая, она
сходится на D(pK).
§ 5. Конец доказательства
187
Для краткости будем писать Z (7) вместо Z Т).
В § 4 мы выяснили, что Z (/) = А (Т)/В (Т), где А (Т)
и В(Т) — две целые р-адические функции. Выберем
некоторое R>qn', для простоты возьмем, например,
R — q2n. Применим теперь утверждение предыдущего
абзаца к В(Т). Получим, что В (Т) = Р (Т)/6 (Т), где
G (Т) сходится на D (R). Пусть F (Т) = А (Т) G(T). Этот
ряд также сходится на D (R). Итак,
F (Т) = Р (Т)  Z (7).
Пусть F (7) = biT1 е 1 + 7Й [[7]], Р (7) = £ с,-7г е=
i — 0	1 = 0
е 1 + 7Й [7], Z (7) =	п,7' е= 1 + 7Z [[7]]. По лем-
1 = 0
ме 2 из § 1
\co^qin.
Поскольку F (Т) сходится на D (R), то для достаточно
большого i
|^1Р^7-‘ = г2лг-
Фиксируем некоторое т>2е. Пусть As,m —
= {ai+i+7}0<ci, /<m, как и выше, a Ws,m = det (Д5>m).
Утверждается, что для данного m мы имеем У5Ш = 0
при всех достаточно больших s. По лемме 5 отсюда
будет следовать рациональность функции Z (7).
Приравнивая коэффициенты в соотношении F (7) =
= Р (7) Z (7), находим
t’z+e = а/+е + С1Р/+е-1 + С2а/+г-2 +... + Се<7/.
Добавим в матрице As,m к каждому (/4-е)-му столбцу,
начиная с последнего и двигаясь влево до е-го столбца,
линейную комбинацию е предыдущих с коэффициентом
ck при (/4-е — k)-M столбце. Тогда получится матрица,
е первых столбцов которой те же, что и у As_m,
а в остальных столбцах элементы а заменены соответ-
ствующими Ь. Определитель этой матрицы по-прежнему
равен NS'm Используя ее вид, оценим |А^,т Ip-
Так как ajeZ, имеем | at |р 1. Поэтому |V5, т|р«5
sg: ( max | bt |p^m+1-e < R~s для достаточно боль-
ших^. Но /? = <7ая, a m >2е, откуда | ^J,от|p<<Г'“tm+^,.
188 Гл. V. Рациональность дзета-функции
С другой стороны, грубая оценка прямо для
матрицы As,m дает неравенство | NSt m (m +
+ 1)!	(i+2m) (m+1> = (m-|-	Перемно-
жая две указанные оценки, мы видим, что произведе-
ние р-адической нормы и обычной абсолютной вели-
чины для NSi m ограничено сверху выражением, которое
меньше 1 при достаточно больших s:
| Ns, m Ip • I Ns, rn (m+2> • (m + 1)1 q2nm	=
_ (m+I)l 92лт<т+п
—	qns	" 1
при достаточно больших s. Однако	а един-
ственное целое число п с этим свойством: | п | • | п |р <; 1,
есть число п = 0. Следовательно, NSi m = 0 для всех
достаточно больших s.
Таким образом, Z (Т) — рациональная функция и
теорема Дворка доказана. □
ЛИТЕРАТУРА
Порядок работ внутри каждого из следующих пунктов при-
близительно соответствует возрастанию их трудности. Для книг
и больших статей это весьма грубая оценка, основанная главным
образом на уровне подготовки, необходимой для понимания тех
разделов, которые тесно связаны с материалом одной из наших
глав I —V. [Работы, отмеченные звездочкой, добавлены при пере-
воде. — Перев.}
(а)	Подготовительная
1.	Симмонс (Simmons G.) Introduction to topology and modern
analysis.—McGraw-Hill, 1963.
2.	Херстейн (Herstein I.) Topics in algebra. — John Wiley and
Sons, 1975.
3.	Ленг С. Алгебра. Пер. с англ. —M.: Мир, 1968.
4*	. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. —М.: Наука,
1966.
5*	. Рудин У. Основы математического анализа. Пер. с англ.—
М.: Мир, 1966.
6*	. Куратовский К- Топология. Пер. с англ.—М.: Мир, т. 1,
1966; т. 2, 1969.
(Ь)	Общая
1.	Боревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. —М.: Наука,
1964.
2.	Ленг С. Алгебраическая теория чисел. Пер. с англ.—М.:
Мир, 1966.
3.	Сер'р Ж--П. Курс арифметики. Пер. с франц.—М.: Мир,
1972.
4.	Айрленд и Розен (Ireland К- and Rosen М.) Elements of
number theory, including an introduction to equations over finite
fields. — Bogden and Quigley, 1972.
5.	Дынкин E. Б., Успенский В. А. Математические бесе-
ды.—M.: Гостехиздат, 1952.
6.	Малер (Mahler К-) Introduction to p-adic numbers and their
functions.—Cambridge University Press, 1973.
7.	Бахман (Bachman G.) Introduction to p-adic numbers and
valuation theory.— Academic Press, 1964.
8.	Моина (Monna A. F.) Analyse non-archimedienne. — Springer-
Verlag, 1970.
(с)	К главе II
1.	Ивасава (Iwasawa K-) Lectures on p-adic L-functions.— Prin-
ceton University Press, 1972.
2.	Кубота и Леопольдт (Kubota T., Leopoldt H. W.) Eine
p-adische Theorie der Zetawerte I.—J. Reine Angew. Math., 214/215
(1964), 328—339.
3.	Катц (Katz N.) p-adic L-functions via moduli of elliptic cur-
ves.— Proceedings A. M. S. Summer Institute of Alg. Geom. at
Arcata, Calif., 1974.
4.	Ленг С. Введение в теорию модулярных форм. Пер.
с англ. — М.: Мир, 1979.
5.	Серр (Serre J.-P.) Formes modulaires et fonctions zfita p-adiques.
190
Литература
In: Modular functions of one variable III (Lecture Notes in Math.
350).— Springer-Verlag, 1973.
6.	Манин Ю. И. Периоды параболических форм и р-адические
ряды Гекке.—Машем. сб., 92 (1973), № 3, 378 — 400. (Особо отме-
тим § 8.)
7.	Вишик М. М. Неархимедовы меры, связанные с рядами Ди-
рихле.— Машем, сб., 99 (141) (1976), № 2, 248—266.
8.	Амис и Велю (Amice Y., Velu J.) Distributions p-adiques
associees aux series de Hecke. — Journees arithmfctiques, 1974.
9.	Катц (Katz N.) p-adic properties of modular schemes and
modular forms. In: Modular functions of one variable III (Lecture
Notes in Math. 350).—Springer-Verlag, 1973.
10.	Катц (Katz N.) The Eisenstein measure and p-adic interpo-
lation.—Amer. J. Math., 99 (1977), 238—311.
11.	Катц (Katz N.) p-adic interpolation of real analytic Eisen-
stein series. — Ann. of Math., 104 (1976), 459—571.
12.	Мазур и Суинертон-Дайер (Mazur В., Swinnerton-Dyer S.)
Arithmetic of Weil curves. — Invent. Math., 25 (1974), 1—61.
(d)	К главе IV
1.	Дворк (Dwork В.) § 1 из: On zeta function of a hypersurfa-
ce.— Publ. Math. I. H. E. S„ 12 (1962), 7—17.
2.	Амис (Amice Y.) Les nombres p-adiques. — Presses Universi-
taires de France, 1975.
(e)	К главе V
1.	Вейль (Weil A.) Number of solutions of equations in finite
fields. — Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 497—508.
2.	Cepp (Serre J.-P.) Rationalite des fonctions g des varietes
algebriques (d’apres Bernard Dwork).—Seminaire Bourbaki, No. 198,
February 1960.
3.	Дворк Б. О рациональности дзета-функции алгебраического
многообразия. Пер. с англ. — Сб. Математика, 5:6 (1961), 55—72.
4.	Монски (Monsky Р.) p-adic analysis and zeta functions. Lec-
tures at Kyoto University. — Kinokuniya Book Store, Tokyo, or
Brandeis Univ. Math. Dept., 1970.
5.	Катц (Katz N.) Une formule de congruence pour la fonction
£.—S. G. A. 7 II (Lecture Notes in Math. 340), Springer-Verlag, 1973.
6.	Дворк (Dwork B.) On the zeta function of a hypersurface.—
Publ. Math. I. H. E. S., 12 (1962), 5—68.
7.	Дворк (Dwork B.) On the zeta function of a hypersurface
IL—Ann- of Math., 80 (1964), 227—299.
8.	Дворк (Dwork B.) A deformation theory for the zeta function
of a hypersurface.—Proc. Int. Cong. Math. 1962 Stockholm, 247—259.
9.	Катц H. Работы Дворка. Пер. с франц. — Сб. Математика,
1816 (1974), 3—19.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА I. р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА............................... 9
§ 1.	Основные понятия .............................. 9
§ 2.	Метрики поля рациональных чисел............... 10
Упражнения..................................... 17
§ 3.	Как строится поле комплексных чисел .......... 19
§ 4.	Поле р-адических чисел........................ 21
§ 5.	Арифметика в ................................. 29
Упражнения..................................... 34
ГЛАВА II. р-АДИЧЕСКАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ
ДЗЕТА-ФУНКЦИИ РИМАНА................................. 37
§ 1.	Формула для значений £ (2£)................... 39
$ 2.	р-адическая интерполяция функции f(s) — as . .	44
•	Упражнения................................... 48
§ 3.	р-адические распределения .................... 51
Упражнения..................................... 55
§ 4.	Распределения Бернулли ....................... 57
§ 5.	Меры и интегрирование......................... 59
Упражнения..................................... 66
§ 6.	р-адическая ^-функция как преобразование Мел-
лина—Мазура .................................... 67
§ 7.	Краткий обзор (без доказательств)............. 75
Упражнения..................................... 80
ГЛАВА	III. КОНСТРУКЦИЯ ПОЛЯ й	...... 82
§	1.	Конечные поля ............................ 82
Упражнения..................................... 90
§	2.	Продолжение норм ......................... 91
Упражнения.................................... 103
§	3.	Алгебраическое замыкание поля	(Q„........ 104
§	4.	Поле Q................................... 112
Упражнения.................................... 115
ГЛАВА	IV. р-АДИЧЕСКИЕ СТЕПЕННЫЕ	РЯДЫ...........	118
§	1.	Элементарные функции..................... 118
§	2.	Экспонента Артина —Хассе................. 129
Упражнения.................................... 136
§	3.	Многоугольники Ньютона в	случае многочленов 141
192
Оглавление
§ 4.	Многоугольники Ньютона в случае степенных
рядов.......................................... 144
Упражнения................................ 156
ГЛАВА V. РАЦИОНАЛЬНОСТЬ ДЗЕТА-ФУНКЦИИ СИ-
СТЕМЫ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ	......... 159
§ 1.	Гиперповерхности и их дзета-функции...... 159
Упражнения................................ 167
§ 2.	Характеры и их поднятие.................. 169
§ 3.	Линейные отображения на	векторном простран-
стве степенных	рядов	 173
§ 4.	р-адическое аналитическое выражение для дзета-
функцнн........................................ 179
Упражнения................................ 182
§ 5.	Конец доказательства .................... 184
Литература......................................... 189
Н. Коблиц
р-АДИЧЕСКИЕ ЧИСЛА
р-АДИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
И ДЗЕТА-ФУНКЦИИ