НОВОЕ
В ЖИЗНИ, НАУКЕ,
ТЕХНИКЕ
ЗНАНИЕ
С.А.Степанов
СРАВНЕНИЯ
a=b(mod m)
11/1975
СЕРИЯ
МАТЕМАТИКА,
КИБЕРНЕТИКА
С. А. Степанов,
кандидат физико-математических наук
СРАВНЕНИЯ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ЗНАНИЕ»
Москва 1975
1
51
С79
Степанов С. Л.
С79 Сравнения. М.» «Знание», 1975
64 с. (Новое в жизни, науке, технике. Серия «Математи-
ка, кибернетика», 11. Издается ежемесячно с 1967 г.)
Брошюра знакомит читателя с основами теории сравнений,
одной из интересных и важных областей математического зна-
ния. Доступное изложение современного состояния теории срав-
нений стало возможно благодаря работам автора брошюры,
создавшего новый арифметический метод доказательства всех
ее результатов. Ранее это было под силу лишь сложному аппа-
рату алгебраической геометрии.
20200	51
© Издательство «Знание», 1975 г.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория сравнений — наука о целых числах, рассматри-
ваемых в их связи с остатками от деления на фиксирован-
ное натуральное число, называемое модулем. Созданная
трудами Ферма, Эйлера, Лежандра, Лагранжа, К. Гаусса
и Дирихле теория сравнений обогатила математику мно-
гими новыми понятиями; ее идеи и методы давно вышли за
пределы теории чисел и проникли в алгебру, алгебраиче-
скую геометрию, теорию кодирования, кибернетику, вы-
числительную технику.
Возникновение теории сравнений связано с изучением
диофантовых уравнений. Ясно, что для разрешимости
диофантова уравнения необходима разрешимость соответ-
ствующего сравнения по любому модулю. Во многих слу-
чаях оказывается, что локальная разрешимость, т. е. раз-
решимость соответствующего сравнения по всем модулям,
является также и достаточным условием для разрешимости
диофантова уравнения. Например, справедлива следующая
теорема, доказанная Лежандром.
Теорема. Если а, Ь, с— попарно взаимно простые
целые числа, свободные от квадратов и не все одного знака,
то уравнение
ах2 + by2 4- cz2 = О
разрешимо в целых числах тогда и только тогда, когда раз-
решимы сравнения
х2 в — be (mod а)
у2 = — са (mod b)
z2 = — ab (mod с)
Разрешимость указанных в теореме сравнений для каждого
конкретного набора чисел а, Ь, с можно установить хотя
бы простым перебором. Следовательно, теорема Лежандра
1*
3
дает простой и эффективный критерий разрешимости дио-
фантова уравнения ах2 + by2 + cz2 — 0.
Другим примером может служит такое утверждение:
целое число вида 4^ + 3 нельзя представить суммой двух
квадратов целых чисел. Действительно, если бы это было
возможно, то было бы разрешимо сравнение
х2 + у2 = 3 (mod 4).
Но простая проверка показывает, что последнее сравнение
не имеет решений, и мы приходим к противоречию.
Рассмотрение задач подобного рода в дальнейшем при-
вело Гензеля к введению нового типа чисел, названных им
р-адическими числами. В настоящее время р-адические
числа являются одним из основных инструментов теории
чисел и смежных с ней разделов математики.
Другим важным понятием, появлением которого мы
обязаны теории сравнений, являются конечные поля (поля
Галуа). Сфера их применения с каждым днем расширяется
и охватывает не только математику, но и физику, кибер-
нетику, радио и вычислительную технику.
Как самостоятельная наука теория сравнений имеет
свои собственные трудные и интересные проблемы. К таким
проблемам относится, например, знаменитая гипотеза
И. М. Виноградова о распределении квадратичных вычетов
и невычетов в натуральном ряде, гипотеза Артина о пер-
вообразных корнях и др.
В настоящей брошюре популярно и достаточно полно
изложены все основные вопросы теории сравнений, начи-
ная с простейших понятий и определений и кончая самыми
последними достижениями. Доступное широкому кру-
гу читателей изложение современного состояния теории
сравнений стало возможно благодаря трудам автора
С. А. Степанова, создавшего новый арифметический метод,
с помощью которого элементарно доказаны все результаты,
которые ранее были под силу лишь сложному аппарату
алгебраической геометрии.
Книга будет интересна всем, кто любит математику,
пытается узнавать новое и размышлять над нерешенными
задачами.
Проф. А. А. Карацуба.
4
Глава 1
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
1. Мы будем рассматривать целые числа в связи с их
остатками от деления на данное положительное число /и,
которое назовем модулем. Каждому целому числу а отве-
чает определенный остаток г = а — mq, 0 г ^т — 1
от деления его на т; если двум целым числам а и b отвечает
один и тот же остаток г, то они называются равноостаточ-
ными по модулю т, или сравнимыми по модулю т. Для обо-
значения сравнимости чисел а и b употребляется символ
а = b (mod т). Ясно, что а = b (mod т) тогда и только
тогда, когда разность а— b делится на т. Если а— b
не делится на т, то мы говорим, что а и b несравнимы по
модулю т, и записываем это следующим образом:
а ф- b (mod т).
Отношение сравнимости по модулю т является отноше-
нием эквивалентности; оно рефлексивно, так как
а = a (mod т) симметрично, поскольку из а == b (mod т)
следует b = a (mod m), транзитивно, так как из а= b (mod т)
и b = с (mod т) следует а = с (mod т). Тем самым отно-
шение «= (mod m)» разбивает множество всех целых чи-
сел на непересекающиеся классы эквивалентности Я,
В, С, ... , причем два целых числа сравнимы между собой
по модулю т тогда и только тогда, когда они лежат в одном
и том же классе. Эти классы называются классами вычетов
по модулю т.
Очевидно, что целые числа 0, 1, ... , т— 1 лежат
в разных классах вычетов, и так как каждое целое число
сравнимо по модулю т с одним из этих чисел, то имеется
точно т классов вычетов по модулю т.
Подобно обычным равенствам сравнения можно скла-
дывать, вычитать и перемножать. Если а = b (mod т)
и c==d(modm), то а ± с = b ± d (mod т) и ас==
s bd (mod т). Действительно, если а— b = mq, с —
5
— d = mt, то (a — b) ± (c — d) = (q ± t)m. Далее,
(a — b)c = mqc, так что ас == be (mod tri) и (c — d)b =
= mtb, так что be == bd (mod m), откуда по свойству
транзитивности яс== bd (mod tri).
В общем случае делить сравнения нельзя. Мы имеем
36 = 16 (mod 10), 12 = 2 (mod 10), но 3^8 (mod 10).
Однако обе части сравнения можно сократить на множи-
тель, взаимно простой с модулем.
Операции сложения, вычитания и умножения сравнений
индуцируют аналогичные операции на множестве классов
вычетов. Пусть А и В — два класса вычетов по модулю т.
Каковы бы ни были числа а£А и Ь£В (запись а£А озна-
чает, что а является элементом множества Л), их сумма
а + b всегда лежит в одном и том же классе вычетов С,
который мы назовем суммой С — А А- В классов А и В.
Аналогичным образом определяются разность А — Ви
произведение АВ двух классов вычетов по модулю т. Для
дальнейшего нам потребуются некоторые алгебраические
понятия.
Множество G с заданной на нем бинарной операцией
ху, ставящей в соответствие каждой паре элементов х, у
этого множества некоторый вполне определенный третий
элемент z — ху из G, называется группой, если:
1)	операция ассоциативна, т. е. (ab)c = а(Ьс) для лю-
бых a, b, c£G-,
2)	в G существует такой элемент е, называемый еди-
ницей, что ае = еа = а для любого a£G‘,
3)	для любого элемента a£G существует такой элемент
x£G, называемый обратным к а, что ах — ха = е.
Наряду с указанной выше мультипликативной за-
писью ab групповой операции, называемой умножением,
употребляется также аддитивная запись a + b, которая
называется сложением. В этом случае роль единичного
элемента играет нулевой элемент 0 группы G.
Группа G называется абелевой, если имеет место ком-
мутативный закон ab = Ьа для любых элементов a, b£G.
Произведение п элементов, равных а, называется п-й
степенью элемента а и обозначается ап. Наименьшее на-
туральное число п такое, что а'1 = е называется порядком
элемента а.
Группа G называется циклической, если она состоит из
степеней ап, п = 0, ±1, ±2, . . . одного и того же элемен-
та а.
о
Группа G называется конечной, если она состоит из
конечного числа элементов. Число элементов конечной
группы называется порядком этой группы.
Пример 1. Множество целых чисел образует груп-
пу относительно сложения.
Пример 2. Множество рациональных чисел обра-
зует группу относительно сложения, а множество отличных
от нуля рациональных чисел образует группу относительно
умножения. Аналогичные утверждения справедливы для
вещественных и комплексных чисел.
Множество R с заданными на нем двумя бинарными
операциями сложения и умножения называется кольцом,
если:
1)	R является абелевой группой относительно сложе-
ния;
2)	умножение ассоциативно и имеет единичный эле-
мент е;
3)	операции сложения и умножения связаны дистрибу-
тивным законом (х + y)z = xz + yz, z(x + у) = zx + zy
для любых х, у, z£R.
Кольцо R называется коммутативным, если ху = ух
для всех х, у, £R.
Коммутативное кольцо, в котором е =/= О ив котором
ненулевые элементы образуют группу по умножению, на-
зывается полем. Поле называется конечным, если оно со-
стоит из конечного числа элементов.
Пример 3. Множество целых чисел образует ком-
мутативное кольцо. Множество рациональных чисел яв-
ляется полем.
Легко проверить, что классы вычетов по модулю т
образуют относительно сложения абелеву группу. Нуле-
вым элементом этой группы является класс вычетов, со-
стоящий из всех целых чисел кратных т, а обратным к
классу А является класс — А, состоящий из всех элемен-
тов класса А, взятых со знаком минус. Более того, классы
вычетов по модулю т образуют коммутативное кольцо.
Единичным элементом служит класс Е, содержащий целое
число 1, а дистрибутивный закон А (В + С) = АВ + АС
непосредственно следует из дистрибутивного закона для
целых чисел.
Любое число класса вычетов по модулю т называется
вычетом по модулю т. Вычет г, О^г^/п—1, равный
остатку от его деления на модуль т, называется наимень-
шим неотрицательным вычетом. Вычет р, наименьший по
7
абсолютной величине, называется абсолютно наимень-
n	ftJ	nl
ишм вычетом. При	имеем р = г; при г > —
т
имеем р < г—т\ наконец, если т четное и г = ^-,
„	т т
то за р можно взять любое из двух чисел ~ и
Взяв из каждого класса вычетов по одному представи-
телю, получим полную систему вычетов по модулю т. Та-
ким образом, множество из т целых чисел образует полную
систему вычетов по модулю т тогда и только тогда, когда
его элементы несравнимы друг с другом по модулю т.
Чаще всего в качестве полной системы вычетов употреб-
ляются наименьшие неотрицательные вычеты 0, 1, ... ,
т — 1 или абслютно наименьшие вычеты, состоящие из
т— 1
чисел 0, ± 1, . . . , ± —2~ в случае нечетного т и чисел
т — 2 т	т — 2
О, ± 1, . . . , ±	2~» ~или 0, ± 1, . . . , ±	2 »
т
— ~2~ в случаях четного т.
Классы вычетов по модулю /и, элементы которых взаим-
но просты с /и, назовем приведенными классами вычетов.
Взяв из каждого такого класса по одному вычету, получим
приведенную систему вычетов по модулю т. Приведенную
систему вычетов можно составить из чисел полной системы
вычетов 0, 1, ... , т— 1, взаимно простых с модулем т.
Следовательно, приведенная система вычетов по модулю т
состоит из <р (т) элементов, где ср (т) — функция Эйлера,
равная количеству неотрицательных целых чисел, мень-
ших т и взаимно простых с т.
Пусть f (х) = аохп + д^х"-1 + . . . + ап — много-
член с целыми коэффициентами. Решением сравнения
f (х) = 0 (mod т) назовем всякий класс вычетов х=хг
(mod т) такой, что f (х^ == 0 (mod т) для целого числа хг.
Обозначим через (а, Ь) наибольший общий делитель
а и Ь. Если (а, т) = 1 и х пробегает приведенную систему
вычетов по модулю т, то ах также пробегает приведенную
систему вычетов по модулю т. Действительно, чисел ах
столько же, сколько и чисел х, т. е. ср (т). Далее, числа
ах несравнимы между собой по модулю т и взаимно просты
с т. Следовательно, сравнение ах = l(mod т) имеет един-
ственное решение х = Xj (mod т) такое, что (х1э т) = 1.
Другими словами, если А, X — приведенные классы вы-
8
четов и Е — класс вычетов, содержащий число 1, то урав-
нение АХ = Е разрешимо и тем самым приведенные
классы вычетов по модулю т образуют по умножению абе-
леву группу порядка ф (/п), единичным элементом которой
является класс Е.
Далее, если (а, т) = 1 их пробегает приведенную си-
стему вычетов, состоящую из наименьших неотрицатель-
ных вычетов rlt г2, . . . , гф(/Л), то наименьшие неотрица-
тельные вычеты ах состоят из тех же чисел гх, г2, . . . ,
г^т). Следовательно,
ir2 • • • агг. . . аг^т}(хпод т)
или
(аф(т)_ 1)Г1Гг . . . гф(/п)== О (mod /и).
Но гх, г2, . . . , гф(т) взаимно просты с модулем т, тогда
J (mod т). Тем самым нами установлен следующий
результат.
Теорема Эйлера. Если а взаимно просто с т, то
ач>(т) — J (mod т).
Рассмотрим теперь кольцо классов вычетов по простому
модулю р. В этом случае все классы вычетов, за исключе-
нием нулевого, будут приведенными и, следовательно, обра-
зуют по умножению абелеву группу. Таким образом,
классы вычетов по простому модулю р образуют конечное
поле из р элементов. В дальнейшем мы будем обозначать
это поле через Fp и его единичный элемент через 1.
В случае простого модуля р имеет место следующее ут-
верждение, являющееся частным случаем теоремы Эйлера.
Малая теорема Ферма. Если а не делится
на простое число р, то ap~l = 1 (mod р).
Из этой теоремы следует, что ар = a (mod р) для любого
целого а. Другими словами, каждый элемент поля классов
вычетов по простому модулю р удовлетворяет уравнению
хр — х = 0.
Для дальнейшего выяснения структуры поля классов
вычетов по простому модулю р нам потребуется понятие
первообразного корня. Первообразным корнем по модулю
т называется такое целое число g, что gvw = 1 (mod т)
и g6^l (mod т) при 1 ^ф (т) — 1. Существование
первообразных корней для всех простых модулей р уста-
навливает следующая теорема, принадлежащая Гауссу.
Теорема. Имеется ф (р— 1) первообразных кор-
ней по простому модулю р.
9
Доказательство этой теоремы мы приведем в следующем
параграфе для более общего случая произвольных конеч-
ных полей.
Из теоремы Гаусса следует, что мультипликативная
группа поля классов вычетов по простому модулю р является
циклической группой порядка р — 1.
2. В заключение главы остановимся на вопросе о ко-
личестве решений алгебраических сравнений f (х) =
== 0 (mod р) по простому модулю р, где f (х) = аохп +
+ а1хп~1 + . . . + ап— многочлен с целыми коэффи-
циентами и а о 0 (mod р).
Два целочисленных многочлена f (х) и g (х) назовем
сравнимыми по модулю р (точнее, их следовало бы назы-
вать тождественно сравнимыми), если все коэффициенты
их разности f (х) — g (х) делятся на р. Для обозначения
сравнимости многочленов f (х) и g (х) мы будем исполь-
зовать тот же символ f (х) == g (х) (mod р), что и для обоз-
начения сравнимости чисел.
Мы скажем, что класс вычетов х==хх (mod р) является
s-кратным решением сравнения f (х) = 0 (mod р), если
имеет место разложение f (х) = (х — xj5 g (х) (mod р),
где s 1 и g (х) — многочлен с целыми коэффициентами,
такой, что g (xj 0 (mod р).
В качестве общего результата о количестве решений
сравнения / (х) == О (mod р) укажем следующую теорему.
Теорема Лагранжа. Количество решений срав-
нения / (х) = О (mod р) по простому модулю р, взятых
с их кратностями, не превосходит степени п многочлена
f (х) = аохл 4- аххп~г + . . . + ап, а (mod р).
Теорему легко доказать индукцией по степени п мно-
гочлена f (х). Для п = 1 утверждение теоремы очевидно,
поскольку (ао, р) — 1. Если сравнение f (х) а= 0 (mod р)
степени п > 1 имеет s-кратное решение х == xjmod р),
то / (х) = (х — xj^g (*) (mod р), где g (х) — многочлен
степени п—s. Следовательно, каждое решение сравнения
/ (х) == 0 (mod р) удовлетворяет или сравнению х — хх =
« 0 (mod р), которое дает исходное решение х ==
в Xj (mod р), или сравнению g (х) == О (mod р), которое
по индуктивному предположению имеет не более п — s
решений. Тем самым сравнение f (х) == 0 (mod р) имеет
самое большее п решений.
Заметим, что сравнение f (х) = 0 (mod р) мы можем
трактовать как уравнение f (х) = 0 над полем классов
вычетов по простому модулю р. При такой интерпретации
ю
теорема Лагранжа выражает широко известный факт, что
число корней не равного нулю многочлена f (х) с коэффи-
циентами из произвольного поля не превосходит степени п
многочлена f (х).
Далее, из теорем Лагранжа и Ферма следует, что
хр — х= х (х — 1) . . . (х — р + 1) (modp). Действитель-
но, сравнение хр — х — х (х — Г) . . . (х — р + 1) в
==0 (mod р) имеет по теореме Ферма р решений, в то вре-
мя как степень многочлена хр—х — х (х—1) . . .
(х— р + 1) не выше р— 1. Значит, все коэффициенты
этого многочлена должны делиться на р. В частности,
сравнивая коэффициенты при первой степени х, мы полу-
чаем теорему Вильсона'., (р— 1)1 =— 1 (mod р).
Рассмотрим теперь двучленные сравнения хп = a (mod р),
где а ^0 (modp). Пусть g—первообразный корень по
модулю р и пусть х == gy(mod р), а = gl (mod р). Тогда
сравнение хп = a (mod р) эквивалентно линейному срав-
нению пу == I (mod р — 1).
Покажем, что линейное сравнение ах = b (mod т) не
имеет решений, если b не делится на d = (а, /и), и имеет
d решений, если b делится на d. Предположим сначала,
что d = 1. В этом случае, когда х пробегает полную си-
стему вычетов по модулю т, произведение ах также про-
бегает полную систему вычетов и, следовательно, сравне-
ние ах = b (mod т) имеет единственное решение. Пусть
d >• 1. Из равенства ах— b = tnq следует, что сравнение
ах == b (mod т) разрешимо лишь тогда, когда b делится
а Ъ
nad. При выполнении этого условия мы имеем т х<—	=
т	( а т \	о	а
= —q, причем)“5", -^-1 = 1. Значит, сравнение ~дх~
bl	т\
~ mod I имеет единственное решение х =
\ /
/ т \
= xt I mod 1, которое дает d решений х s& хх (mod т),
т ,	(d — 1) т
х xt (mod m), ...» х = х,4--------------—(modm)«
Отсюда следует справедливость следующего утверждения.
Критерий Эйлера. Пусть р — простое число
и q = (н, р — 1). Сравнение хп = a (mod р) разрешимо
тогда и только тогда, когда a q si (modр) и в случае
разрешимости имеет q различных решений.
Н
Если сравнение хп = a (mod р), где а 0 (mod р),
разрешимо, то а называется вычетом степени п по модулю
р. В противном случае а называется невычетом степени п
по модулю р. В частности, при п = 2 вычеты и невычеты
называются квадратичными, при /2 = 3 — кубическими,
при м = 4 — биквадратичными.
Заметим, что если а — квадратичный вычет, то сравне-
ние х2 = a (mod р) имеет два решения: х = х0 (mod р)
и х ss — х0 (mod р); если же а делится на р, то сравнение
х2 = a (mod р) имеет единственное решение: х == 0 (mod р).
Введем, наконец, в рассмотрение символ Лежандра
(а \
— , который определяется для всех целых а следующим
образом:
I, если а является квадратичным вычетом по
/ а \	модулю р;
I“) — • —1, если а является квадратичным невычетом
4 '	по модулю р;
О, если а делится на р.
Если р — нечетное простое число, то для каждого
а ф 0 (mod р) мы имеем по теореме Ферма ар~1 — 1 =
(р— 1	\ / р— 1	\	р—1
а 2 —1 Да 2 +1 / = ()(modp), причем а 2 —1 и
р— 1
а 2 +1 не делятся одновременно на р (иначе их разность
2 делилась бы на р). Это замечание позволяет, в случае
п = 2, следующим образом переформулировать критерий
Эйлера:
р— 1	.
а 2 = (-“) (mod р).
/ ab \	/ а \ / b \
Отсюда мы легко выводим, что I —— I = I —) I —I для любых
/ а \	/ b \
двух целых а, b и что = при а = b (mod р).
Кроме того, из критерия Эйлера следует, что если g— пер-
°	1
ьообразныи корень по модулю р, то1 —) = — 1 и, следова-
тельно, gy = a2(mod р) тогда и только тогда, когда у
является четным числом. Отсюда следует, что среди чисел
р — 1
х = 1, 2, . . . , р — 1 имеется в точности “у- квадра-
12
р—1
тичных вычетов и —%— квадратичных невычетов по
простому модулю р > 2.
Более полное изложение основных понятий теории срав-
нений читатель может найти в книге И. М. Виноградо-
ва 11].
Глава 2
СРАВНЕНИЯ ПО ДВОЙНОМУ МОДУЛЮ
И КОНЕЧНЫЕ ПОЛЯ
1.	Пусть Fp—поле классов вычетов по простому мо-
дулю р. Рассмотрим кольцо Fp [х ] многочленов от пере-
менного х с коэффициентами из поля Fp. Элементы поля
Fp назовем константами кольца Fp [х 1 и единичный эле-
мент Fp обозначим через 1.
Мы скажем, что многочлен g (х) делится на многочлен
f (х) в кольце Fp [х], если существует многочлен h (х) с
коэффициентами из Fp, такой, что g (х) = f (х) h (х). Если
многочлен [ (х) не имеет других делителей, кроме а/ (х) и
а, где а £Fpt то f (х) называется неприводимым многочленом
в Fp 1x1. Далее, наибольшим общим делителем двух
многочленов f (х) и g (х) называется такой многочлен d (х),
который является их общим делителем и вместе с тем де-
лится на любой другой общий делитель этих многочленов.
Заметим, что наибольший общий делитель определен с
точностью до постоянного множителя a£Fp, а =/= 0. Если
многочлены f (х) и g (х) не имеют общих делителей, отлич-
ных от констант, то они называются взаимно простыми.
С помощью алгоритма Эвклида легко показать, что
если d (х) есть наибольший общий делитель многочленов
f (*) и g (х), то в кольце Fp 1х ] можно найти такие много-
члены и (х) и v (х), что / (х)« (х) + g (x)v (х) = d (х), при-
чем если степени многочленов / (х) и g (х) больше нуля,
многочлены и (х) и v (х) можно выбрать такими, что сте-
пень и (х) меньше степени g (х) , а степень v (х) меньше
степени f (х). Отсюда следует, в частности, что если про-
изведение g (х)й (х) многочленов g (х) и h (х) делится в
кольце Fp [х] на неприводимый многочлен f (х), то либо
g(x)t либо h (х) делится на f (х). Действительно, если, на-
например, f (х) не делит g (х), то f (х)и(х) + g (х)и (х) = 1.
13
В таком случае h (х) f (х) и (х) + h (x)g (х) и (х) = h (х),
тогда f (х) делит h (х). Как следствие мы получаем отсюда
следующий результат: для каждого многочлена а (х) кольца
Fp [х ] имеет место разложение а (х) = f х (х)“> . . . f3 (x)as
на неприводимые сомножители (х)..........fs(x)> причем
такое разложение с точностью до констант кольца
Fp [х] и порядка следования сомножителей единственно.
Назовем два многочлена а (х) и b (х) из кольца Fp [х ]
сравнимыми по модулю f (х) = х" + о^х"-1 + ая,
fiFp, если их разность а (х) — b (х) делится на f (х)
в кольце Fp [х]. Сравнения такого рода будем называть,
следуя Дедекинду, сравнениями по двойному модулю и
для обозначения сравнимости а (х) и b (х) по модулю f (х)
использовать символ: а (х) = b (х) (mod f (х)).
Отношение сравнимости по двойному модулю рефлек-
сивно, симметрично, транзитивно и поэтому разбивает
множество всех многочленов с коэффициентами из Fp на
непересекающиеся классы А, В, С, ... , называемые
классами вычетов по модулю f (х). Поскольку каждый
многочлен а (х) сравним по модулю f (х) с одним и только
одним многочленом г (х) вида г (х) = ₽iXn-1 + р2хп“2 4-
+ . . . 4- Рп, где рх, р2, . . . , рп независимо друг от
друга пробегают элементы поля Fp, то имеется в точности
q == рп классов вычетов по модулю f (х).
Сравнения по двойному модулю можно складывать,
вычитать и перемножать подобно обычным сравнениям.
Эти операции индуцируют аналогичные операции на клас-
сах вычетов по модулю f (х), превращая множество клас-
сов вычетов по двойному модулю в коммутативное кольцо,
нулевым элементом которого служит класс, состоящий из
всех кратных многочлена f (х), а единицей — класс выче-
тов Е, содержащий единичный элемент 1 поля Fp.
Пусть теперь f (х) = хп + аххп-1 4“ . . . 4- ап — непри-
водимый многочлен из кольца Fp [х]. Если многочлен
g (х) не делится на f (х), то f (х) и g (х) взаимно просты
и, следовательно, в кольце Fp [х ] найдутся такие много-
члены и (х) и v (х), причем степень v (х) меньше п, что
f (х)и(х) + g (x)v (х) = 1. В таком случае g (x)v(x) =
== 1 (mod f (х)) и, стало быть, уравнение АХ = Е, где А —
класс вычетов по модулю f (х), состоящий из многочленов,
не делящихся на f (х), а Е — единичный элемент кольца
вычетов по модулю f (х) имеет единственное решение
X — Л-1. Следовательно, в случае неприводимого много-
члена f (х) классы вычетов по модулю f (х), отличные от
14
нулевого, образуют по умножению абелеву группу поряд-
ка q— 1.
Таким образом, классы вычетов по модулю f (х), где
f (х) — неприводимый многочлен степени п с коэффициен-
тами из Fp, образуют конечное поле Fq, состоящее из
q = рп элементов.
В дальнейшем единицу поля Fq будем обозначать че-
рез 1.
Пусть снова многочлен g (х) взаимно прост с /(х). Если
г (х) пробегает множество R, состоящее из q — 1 отлич-
ных от нуля многочленов вида х""1 + р2хл“2 + • • •+
+ рп, то остатки от деления g (х)г (х) на f (х) пробегают
то же самое множество. Следовательно,
П g (x)r (х) SS Пг (х) (mod f (х)),
r(x)£R	r(x)ER
или то же самое
((g (х)*-1 — О ПНх) = 0 (mod f (х)).
r(x)QR
Отсюда, поскольку все г (х) не делятся на f (х), мы по-
лучаем следующий аналог малой теоремы Ферма: если
f (х) — неприводимый многочлен степени п с коэффициен-
тами из поля Fp и q = рп, то (g (х))^ = g (х) (mod / (х))
для любого многочлена g (х) из кольца Fp[x]. Другими сло-
вами, каждый элемент поля классов вычетов кольца Fp [х 1
по модулю f (х), где f (х) — неприводимый многочлен с
коэффициентами из Fp удовлетворяет уравнению zQ—
— z = 0.
Далее, имеет место следующее обобщение теоремы Лаг-
ранжа: количество решений, взятых с их кратностями,
уравнения F (z) = 0 в элементах поля Fq, где F (z) — не
равный нулю многочлен с коэффициентами из Fq, не превос-
ходит степени т многочлена F (г).
Из этих теорем следует, в частности, что
& — z == П (z — г (x))(mod / (х)),
r(x)ZR
и тем самым имеет место следующий аналог теоремы Виль-
сона:
П г (х) а — 1 (mod / (х)).
r(x)GR
15
2.	Покажем теперь, что для каждого целого п 1 и
любого простого числа р существуют конечные поля, со-
стоящие из q = рп элементов. По сказанному выше для
этого достаточно установить существование в кольце Fp lx I
неприводимых многочленов произвольной степени 1.
Пусть g(x)— отличный от нуля нормированный (со
старшим коэффициентом 1) многочлен степени п из кольца
Fp[x]. Положим N (g) = рп (N (0) = — оо) и назовем
эту величину нормой многочлена g (х). Понятие нормы мно-
гочлена g (х) кольца Fр 1x1 аналогично понятию абсолют-
ной величины | целого числа а\ в частности, мы имеем
N (fg)—N (f) N (gi для любых двух многочленов f (х) и
g (х) кольца Fp 1х|.
Рассмотрим дзета-функцию
£„(S)= п 1-
I \
/V(/)J
кольца Fp lx], где s = а 4- it— комплексное перемен-
ное, о>»1, и произведение распространено на все нормиро-
ванные неприводимые многочлены f (х) кольца Fp lx ] сте-
пени 1.
По теореме об однозначности разложения на неприводимые
сомножители в кольце F р [х 1 мы имеем
TV (g)S ♦
где последняя сумма берется по всем нормированным мно-
гочленам кольца Fp lx] положительной степени.
Поскольку имеется точно рп нормированных многочленов
степени п, то из последнего равенства следует, что
Ср (s)	1 4“ рп$ (1 р$
п — 1	'
Обозначим через (п) количество нормированных неприво-
димых многочленов степени п. Тогда, исходя из опреде-
ления ($), мы имеем:
16
Отсюда, логарифмируя, получаем
ИЛИ
оо
2 (n)i°g(i—
п— 1
,А
(^) tnpmns
n= 1 m= |
kpks'
Z? = 1
Сравнивая теперь коэффициенты при p~ksy выводим, что
W
d| к
откуда по формуле обращения Мебиуса
I	——
(«) = Т^ P(d)p d .
d\n
n
Выражение Sp (d) pd представляет собой сумму различ-
ен
ных степеней простого числа р, взятых со знаками плюс
и минус, а следовательно, не может быть равным нулю.
В таком случае поскольку (п) — неотрицательное целое
число, мы имеем (n)^ 1, и, стало быть, для всякого 1
существуют неприводимые в кольце Fp [xl многочлены
степени п.
3.	Выясним теперь структуру полей Fq. Порядком от-
личного от нуля элемента а поля Fq назовем наименьшее на-
туральное число / такое, что а1 = 1. Заметим, что если а —
элемент порядка Z, то а,г = ат тогда и только тогда, когда
k = г (mod Z).
Покажем, что в каждом поле Fqy состоящем из q = рп
элементов, имеется хотя бы один элемент g порядка q— 1.
Этим будет установлено, что мультипликативная группа
поля Fq является циклической группой порядка q—1.
Пусть а и b— элементы поля Fq порядков Z и пг соответ-
ственно, где Z и m — взаимно простые натуральные числа.
Покажем, что в этом случае их произведение ab имеет по-
рядок 1m. Действительно, если (ab)k = 1, то amk = b~mk =
= 1 и blk = arlh — 1, откуда ввиду условия (Z,m) = 1
следует, что k кратно Z и /и, а стало быть, и их произведе-
нию 1m. Найдем теперь порядок элемента aky где а — эле-
2 Серия «Математика» X? !|
17
мент порядка /. Положим (/, k) = d; тогда (аЛ)^= (al)k/d^
= 1 и тем самым порядок элемента ak делит число j. С дру-
гой стороны, если aks = 1, то ks кратно I = ~^~d, так как
/
число взаимно просто с k, то оно должно быть дели-
r	k	1
телем s. Следовательно, порядок элемента (г равен
Докажем теперь существование в поле Fq элемента g
порядка q— 1. Пусть т—максимальный порядок нену-
левых элементов поля Fq и пусть g— элемент порядка т.
Так как т различных степеней элемента g отличны от нуля,
то т — 1. Пусть, далее, а— некоторый другой эле-
мент поля Fq и I — его порядок. Если / не делит т, то а{1’,п}
имеет порядок взаимно простой с т, тогда ga<l-,n) есть
/
элемент порядка Ш(/77Г)» превосходящего tn. Это противо-
речие показывает, что I делит т и, следовательно, каждый
отличный от нуля элемент поля Fq является корнем много-
члена хт— 1. По теореме Лагранжа число корней много-
члена х,п — 1 в поле Fq не превосходит его степени т.
Стало быть, q — 1 ^т и, следовательно, т = q — 1.
Таким образом, справедлива следующая теорема: в лю-
бом поле Fq, состоящем из q = рп элементов, где р — про-
стое число и п^1 — целое, существует такой элемент
g, что если х пробегает полную систему вычетов по модулю
q — 1, то gx пробегает по одному разу все ненулевые элемен-
ты ПОЛЯ Fq.
Этот результат можно усилить и доказать, что поле
Fq содержит ровно ср (q—1) элементов порядка q—1,
где ср (т)— функция Эйлера. Заметим, что приве-
денное доказательство существования в поле F4 элемента
g порядка q— по существу, повторяет доказательство
Гаусса существования первообразного корня по модулю р.
Вспомним теперь описанный нами выше процесс пост-
роения поля Fq. Элементами этого поля являются классы
вычетов кольца Fp [я] по модулю f (я), где / (я) — неприво-
димый многочлен с коэффициентами из Fp степени п. Обоз-
начим через 0 класс вычетов, содержащий многочлен
а (я) — я. Тогда f (0) = 0 и, следовательно, многочлен
[ (я) является минимальным многочленом элемента 0 6 Fq.
Далее, из алгоритма деления с остатком g (я) = f (x)h (я) 4-
18
4- г (х), где г (х) = агхп~х 4- а2хп~*+ ... + ап — много-
член с коэффициентами из Fp, следует, что каждый элемент
со поля Fq представляется в виде со = г (0) = а10л-1 +
4- а$п~г + ... + ап. Отсюда видно, что поле Fq является
алгебраическим расширением поля Fp степени п.
Характеристикой поля Fq назовем наименьшее нату-
k
ральное число k, такое, что 21 = 0, где 1 — единицы поля
I = i
р	k
Fq. Мы имеем 21 = 1«р = 0и21^0 при 1 k < р.
2=1	2 = 1
Следовательно, поле Fq, где q = рп имеет характеристи-
ку р.
Покажем, что в поле характеристики р имеет место ра-
венство (а + р)р =	для любых элементов а
и р этого поля. Действительно, по формуле бино-
л ,
ма Ньютона мы имеем (а_|_р)л =	где
i=o ' '
/ п\	р (р—1) . . . (р — k—1)
ИI = 	1)-- 2 tи утверждение следует из
того, что ^ = 0(modp) ДЛЯ всех k = 1, 2,..., р— 1.
Пусть снова / (х) — неприводимый многочлен степени п
с коэффициентами из поля Fq. В поле Fq, где q = рп урав-
нение / (х) = 0 имеет корень 0. Тогда f (0) — 0, и, возвы-
шая последнее равенство в степень р, мы получаем, исполь-
зуя свойство полей характеристики р, что f (0р)= 0. Повто-
ряя этот процесс, мы убеждаемся, что наряду с 0 корнями
уравнения / (х) = 0 будут 0, О/7, ..., 0р . Заметим, что
дальнейшее возведение в степень р не имеет смысла, ибо
9’ = 9-
Докажем, что элементы 0, 0р, ..., 0р различны между
собой. Пусть g— элемент поля Fq порядка q— 1 и пусть
ё — О10"-1 + л20"“2 4- ... 4- ап, где at £FP. Если
0pz=0p7 при	—1, то gp* = gpJ и,
стало быть, gpj-pl = 1,. Но 1 ^р^— р'< q— 1, и мы при-
ходим-в противоречие с определением элемента g.
Таким образом, справедливо разложение
л—!
/(х) = П(х- е^'),
где 0₽‘ Fp для всех i = 0,1, ..., п— 1.
19
Далее, назовем показателем числа а по модулю т на-
именьшее положительное число k, такое, что ak = 1 (mod/n),
и докажем следующий результат.
Теорема. Пусть а — элемент порядка т поля Fqt
где q = рп, k— показатель числа р по модулю т. Тогда
Л-1
многочлен f(x) = П (х — ар ) имеет коэффициенты из поля
i=0
Fp и f (х) неприводим в кольце Fp [х 1.
Покажем сначала, что ар =а и что элементы
а, а₽, . . . , а?*'1 различны между собой. Равенство а₽1 —
= а pJ выполняется тогда и только тогда, когда a°l~pJ = 1,
что справедливо лишь в случае, если р1— pJ == 0 (mod/n).
Но последнее сравнение равносильно сравнению pl~J =
в 1 (modm), откуда i = j (mod k).
Далее, мы имеем:
k—i	k—i
f(x)p = П (x — аР')₽= П (xn —ap'+1) =
f=0	f=0
k	It—)
= П (x₽ — ap‘) — П — ccp)
<=1	(=0
и, следовательно, f (x)p = / (xp).
k
Пусть / (x) = %asxk~s. Тогда
s = o
k
[ (x)P = S apx(ll~s)pt
s = o
k
I (xp)= S asx(k~s)py
s = o
и, сравнивая коэффициенты многочленов / (x)p и f (xp), мы
получаем, что ар — а8 при всех s = 0, 1, . . . , k. Но ра-
венство ар= а имеет место лишь тогда, когда a£Fp (иначе
число корней многочлена хр — х превышало бы его сте-
пень), и в таком случае f (x)£Fp [х ]. Предположим теперь,
что f (х) = g (x)h(x). Так как f (а) = 0, то либо g (а) = О,
либо h (а) = 0. Если g (а) = 0, то g (ар) = . . . =
=g (ар ) = 0 и тогда степень многочлена g (х) равна Л,
20
откуда g (х) = f (х). Аналогично, если h, (а) = 0, то
h (х) = f (х).
Этим теорема доказана.
Следствие. Пусть а — элемент порядка т поля
fe-i	f
Fq, q = рп и пусть f (х) = П (х — ар), где k—показа-
i = о
тель числа р по модулю т. Если g (а) = О для некоторого
многочлена g (x)£Fp [х 1, то в кольце Fp [х ] имеет место
разложение:
g(x) = f (х) h (х).
Действительно, по алгоритму деления с остатком мы
имеем g (х) = f (x)h(x) + г (х), где степень многочлена
г (х) меньше k. Но если g (а) =0, то g(ap) = . . . =
Л—1
= g (ар ) = 0, тогда по теореме Лагранжа г (х) = 0.
Следствие доказано.
Более подробное изложение теории конечных полей
читатель может найти в книге Э. Берликэмпа «Алгебраи-
ческая теория кодирования» (М., 1971). Заметим лишь,
что все рассмотренные нами поля Fq с одним и тем же q
изоморфны между собой. Более того, все конечные поля,
состоящие из любого числа элементов, по существу, исчер-
пываются этими полями. Именно, справедливо следующее
утверждение: любое конечное поле изоморфно одному из
полей Fq для некоторого q = рп.
4. Рассмотрим в заключение главы важный для теории
чисел, теории кодирования и других разделов математики
вопрос о разложении данного многочлена f (х) кольца
Fp [х 1 на неприводимые сомножители. Для изучения этого
вопроса нам потребуются некоторые новые понятия.
п
Дискриминантом многочлена / (х) — а0 |”| (х — af)
z=i
назовем выражение
D (/) = fl2(n-D П (at - a,)2.
Ясно, что дискриминант D (/) многочлена f (х) равен нулю
тогда и только тогда, когда многочлен f(x) имеет хотя бы
один кратный корень.
Далее, результантом двух многочленов
21
п	т
f (х) = ао П (* — ai)и s (х) = П (* — W
1=1	/=i
мы назовем выражение:
n tn
R (f, g) = «МП П (“i — ₽>)•
i = l / = 1
Из определения результата R (f, q) многочленов f (x) и
<?(x) непосредственно следует, что
п	т
R (f, g) = a? Fig (a,) = (- 1)""ЬгП f (₽,).
1=1	/=1
что R (f, g) = 0 тогда и только тогда, когда многочлены
f (х) и g (х) имеют хотя бы один общий корень.
Под производной f'(x) многочлена f (x)£Fp |xl будем
понимать формальную производную, равную коэффициен-
ту при у в разложении f (х + у) по степеням переменной у.
Мы имеем:
1)	(af (х))' = а/' (х) при a€Fp;
2)	(/ (х) ± g (х))' = f1 (х) ± g' (х);
3)	(f (х)£ (х))' = Г (x)g(x) + f (x)gz (x).
Покажем, что для дискриминанта D (f) нормированного
многочлена f (х) степени п имеет место равенство:
п(п—1)
D (/) = (-!) 2 «(/,/').
п
Действительно, если f (х) = П (х — at\ то
I = 1
п п
f' (Л') = 2 П (х—az), тогда
п
Г (ал) = П («* — «/).
£=1
i^k
22
Отсюда
п	п п
Я(АЛ)=П /'(а*)=П П(а*—а£) =
fe=l	A = l» = l
tVfe
n(n—1)
= П (а*— а:) П (о^ —а4) = (—1) 2 D (/),
и тем самым утверждение доказано.
Для дальнейшего нам потребуется также следующее
утверждение.
Лемма. Если f (х) и g (х) — нормированные много-
члены, то
D (fg) = D (f)D (g)lR (/, g)]2.
Обозначим через п и т степени многочленов f (х)и^(х)
соответственно. Тогда по доказанному выше мы имеем:
(-1)	2 D(fg) = R(fg, (fg)') = R(fg,f'g+fg'),
и поскольку R (fg, h) = R (f, h)R (g, h)R (f, h 4- fr) =
= R (f, h), to
(-1)	2 D(fg)-R(f,f’g+fg')R(g,f'g+fg') =
= R (f, f'g) R (g, fg') = R (f, n R (f, g)R)g,f)R (g. g') =
n(n — 1)	m(m— 1)
= (-l) 2 D (/)(-!)	2	D(g)C-l)'"',^(/.g)la-
Утверждение леммы следует теперь из равенства
(т п) (т + п—1) п(п—I)	т(т—1)
-------2--------“----2--' = тп 4----2---
Из этой леммы мы легко получаем, что для любых s норми-
рованных многочленов fx (х), . . . , fs (х) справедливо ра-
венство
5	S
О(Пм= flow П lR(f„ «р.
1 = 1	1 = 1
Заметим далее, что R (f, g) £FP для любых многочленов
f (х) и q(x) кольца Fp [х]. Так как R (fh, g)=R (f, g)R(h, g),
то утверждение достаточно доказать для случая, когда
f (х) — хп 4- OjX”-1 4- . . . 4~ап является неприводимым
23
многочленом в кольце Fp [х]. В этом случае f (х) =
И—1
= П (х— Qpi), где 0(;Fq, q = рп и, следовательно,
1=0
n—1	п
R (f, gY = Пг (<=»₽' Y = П g (9',i) = R (f, g).
Z=0	<=1
Тогда R (f, g)£Fp, и этим утверждение доказано.
Докажем теперь следующий общий результат.
Теорема Штикельбергера:	Пусть
р > 2 — простое число, f (х) — нормированный многочлен
кольца Fp[x] степени п с отличным от нуля дискрими-
нантом D = D (f) и s — число неприводимых делителей
многочлена f (х) в кольце Fp [х ]. Тогда имеет место ра-
венство
Пусть сначала s = 1, т. е. многочлен f (х) неприводим
п—1
в кольце Fp [х]. В этом случае f (х) = П (х — apt), где
1=0
a£F9, q = рп, тогда D'1* = П (apI — ар/) — элемент поля
Fq. Далее,
= П (api — apj) = П (api — apJ) П И* — арП)=
= (— 1)Я-1П (ap—apJ) = (—
0<i </<n—1
и, следовательно, (D'^)p = если n нечетно, и
=/= D1'*, если n четно. Но равенство ap = а имеет место тогда
и только тогда, когда a£Fp. Стало быть, D = ю2 (mod р)
тогда и только тогда, когда п нечетно. Этим для s = 1
теорема доказана.
S
Пусть теперь f (х) =	где Д-(х) — неприводимые
z=i
многочлены кольца Fp [х], степени которых равны вели-
чинам nt соответственно, и пусть Dt = D (ft). Тогда D =
S
= /?2Пт\, где R = П R (fi, fj) и, следовательно £)*/«=
!=1 !</</<$
24
= fFW, (di^p = ^П(р7 2)р. Но R£Fp и, стало быть,
1 = 1	£ = I
S
(£>v2)p =П(£)/'г)р- По доказанному выше (JD'i's)p =
i = 1
= (— i)",-’d7’.
В таком случае
S
(D“<y = ЛГ1(— 1)
1	= 1
и поскольку
S
2	ni =п’
1 = 1
мы имеем
S
(D*'«X = (— 1)й"5 яП£>7’ = (— 1)Й’,О’/».
i = i
Следовательно, D’^Fp тогда и только тогда, когда п =
= s (mod 2). Теорема доказана.
Теорема Штикельбергера позволяет судить о четности
или нечетности числа различных простых делителей мно-
гочлена по его дискриминанту D (/). При этом величина
/D (Л \
к/) = (-•)" -у- • где п — степень многочлена / (х),
является аналогом арифметической функции р (т), ко-
торая определяется для всех натуральных чисел т равен-
ствами:
И (/72) =
1, если т — 1;
О, если т делится на квадрат простого числа;
(—l)s, если т = ptp2 . . . ps.
Действительно, если а£Гр и а =/= 0, то D (а) = 1 и,
следовательно, р (а) = 1 (заметим, что в кольце Fp [х 1
ненулевые элементы поля Fp играют роль, аналогичную
той, которую в кольце целых чисел играют элементы 4-1
и —1). Далее, если многочлен f (х) делится на квадрат
неприводимого многочлена, то D (f) = 0, и тогда р (/) = 0.
Наконец, если f (х) =	(х) . . . fs (х), то по теореме Шти-
кельбергера р (/) = (— 1)\ тем самым в этом случае зна-
25
чение р (/) определяет четность числа различных неприво-
димых сомножителей многочлена f (х).
В качестве следствия полученных нами выше резуль-
татов докажем следующее утверждение, принадлежащее
Гауссу:
Квадратичный закон взаимности:
Если р и I — различные нечетные простые числа, то
1 — 1
2
Доказательство, которое мы приведем, принадлежит
Суону.
Рассмотрим над полем Fp многочлен х1— 1. Если в
некотором поле Fq содержится элемент а порядка I (такое
поле, конечно, существует), то в этом поле имеет место раз-
i—\
ложение х1— 1 = (х— 1) П (х — а2), где все степени
г=1
а2, i = 1, 2, . . . , I— 1 являются элементами поля Fq
/-1
одного и того же порядка I. Положим g (х) = П (х — а2).
1 = 1
Каждый неприводимый делитель многочлена g (х) в коль-
це Fp [х] имеет степень k, где k — показатель числа р
по модулю I. Следовательно, число различных неприводи-
мых делителей многочлена х1— 1 в кольце Fp lx] равно
/ — 1
s = 1-f~ —Далее, по определению символа Лежандра
, Z“l	lP\ 1
число k делит —~ тогда и только тогда, когда I ~1 =1.
I—1
—Р \	I Р \
В таком случае ( — 1)	=1“),откуда I —1 = — (— l)s. (1)
Воспользуемся теперь теоремой Штикельбергера. Пусть
D — дискриминант многочлена х2— 1. Тогда мы имеем
/D\	Н/-1)
j = (_1)2-s=_(-1)s. Но D = (-l)——R{xl=it
/ </-1) /-1
/х2-1) = (— 1) 2 I1 = (— 1) 2 I1, и в таком случае
(/—1	\	1—1	Z—1
(- 1) 2	2	= M 2 (1Д
р ) \ р ) \ р I \ р )	\ р ) *
„	~	( — Ц
По критерию Эйлера мы имеем при р>2 1-т~ ==
26
р—1	/ —1\	р—1
= ( —1) 2 (modp), откуда (—) = (—!) 2 . Следова-
p-i /-i , i
тельно, —(—l)s=( — 1) 2	2	(2) и сравнивая (1),
/ \	7 р-1/~1 / i
(2), мы получаем, что (—) = (— 1) 2	2 (“р”/’ Но
/ , \9	/	. , , .	Р—1 £—1
I-1—\	1	(\	/	1\ 2 ’ 2
=1> тогда !~,Цт,М“*)
Утверждение доказано.
Глава 3
СРАВНЕНИЯ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ.
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕННЫХ ВЫЧЕТОВ
И НЕВЫЧЕТОВ
1. Пусть f (xn . . . , хп) — многочлен от переменных
хх, . . . , хп с целыми коэффициентами. Основным вопро-
сом, который нас будет в дальнейшем интересовать, яв-
ляется вопрос о количестве решений алгебраических срав-
нений
f (х( . . . , хп) = 0 (mod m).
Под решением сравнения f (xn . . . , хп) = 0 (mod tn) мы
понимаем всякий набор хл = Xi (mod tn), . . . , хп ==
=хп (mod tn) классов вычетов по модулю т, такой, что
f (xi, . . . , хп) = 0 (mod tn) для целых Xi, . . . , хп.
Обозначим через /V (tn) количество решений сравнения
f (xlt . . . , хл) == О (mod tn) и покажем, что N (т) явля-
ется мультипликативной функцией, т. е.
N (т^г,) = N (mx)N (m2) при (тх, т2) = 1.
Действительно, если xt = х, + mxtt и хг =	+
+ т2Мр i = 1, 2, . . . , п являются решениями сравнений
f (хь . . . , xn) s 0 (mod tnx) и f (Хр . . . , хп) = 0 (mod т2)
соответственно, где (тх, т^) =1, то при каждом i =
= 1, 2, . . . , п мы имеем mxti — m2ut = xt- — Далее,
поскольку каждое целочисленное решение уравнения
27
— tn<2Vt = xt — yt представляется в виде tt =
= ti + m2zit ut = Ui 4-	где ti, щ — некоторое
частное решение этого уравнения, a zi — пробегают мно-
жество целых чисел, то набор xt = х( 4- mxti 4- m1m2zi =
= yt 4- m2 Uf4- /n1m2zi, i=l, 2. . . , n является решением
сравнения f (хь . . . , хл) = 0 (mod mx m2). Следователь-
но, каждой nape xf = xt (mod m), x. = y\ (mod m2),
i = 1,2,..., n, решений сравнений f (xx , . . . , x„) =
=0 (mod tnx) и f (xv . . . , xn) = 0 (mod m2) соответствует
единственное решение сравнения f (xlt . . . , xn) ==
= 0 (mod	и, следовательно, N (mxtn2) =
= W (mx)N (m2) при (jnlt m2) = 1.
В силу свойства мультипликативности задача о коли-
честве решений сравнения f (хг, ...» хп) = 0 (mod т) по
произвольному модулю т сводится к более узкой задаче
о количестве решений сравнения f (хг, . . . , хп) =
=0 (mod ра) по модулю ра, равному степени простого числа
р. Для разрешимости сравнения f (х15 ...» хп) =
= 0 (mod ра), а > 1 необходимо, чтобы было разрешимо
сравнение f (хх , . . . , хп) = 0 (mod р). В невырожден-
ных случаях разрешимость последнего сравнения яв-
ляется также и достаточным условием для раз-
решимости сравнения / (хр ...» х„)= 0 (modpa).
Именно, пусть 1 — целое и х== x\s} (mod р5), . . . хп=
= Хп} (mod ps) — решение сравнения f (хх, . . . , xrt) =
== 0 (mod ps) такое, что	. . . ,	’) 7^0 (mod р)
хотя бы для одного номера i == 1, 2, . . . , п (под частной
df
производной *^7- (xt, . . . ,хя) многочлена f (хг, ...» хп)
мы понимаем формальную производную,равную коэффициен-
ту при первой степени у- многочлена F(yf) = f(xXt. . . ,
Xt-V xt 4- yit xi+v ...» хп), при разложении его по
степеням переменной z/f). Тогда х. = х(? 4- pstit i =
= 1, 2, . . . , n, f (x(?, ...» x{n) = pst0 и по формуле
Тейлора сравнение f (xt, . . . , xn) = 0 (mod p5+1) можно
переписать в виде
п df
f(x\s\. . . ,4S)) 4-ps 2	(modps + >)-
i=i
Отсюда для определения tx, . . . , tn получаем сравнение
28
t0 «b	= O^modp), которое имеет p"-1 различных
< = i
решений. Тем самым справедливо следующее утверждение:
Теорема. Каждое решение Х\ = х{'} (mod р), ... ,
хп == Хп} (mod р) сравнения f (хр ...» хп) = 0 (mod р)
такое, что (х\1} ........x!tn) ф 0 (modp) хотя бы для од-
ного i = 1, 2, ...» п порождает р{а~1)(n—D различных ре-
шений = х<7> (mod ра), . . . , xn= х(п} (mod ра) срав-
нения f (xv . . . , xn) = О (mod р(а)).
Следовательно, вопрос о количестве решений алгебраи-
ческих сравнений f (xlt . . . , xj = О (mod т) по состав-
ному модулю т сводится к аналогичному вопросу для
сравнений f (хь .... xn) == О (mod р) по простому мо-
дулю р. Тем самым сравнения по простому модулю р состав-
ляют фундамент теории алгебраических сравнений.
2.	Первые результаты в задачах о количестве решений
сравнений f (х, у) = 0 (mod р) по простому модулю р >2
были получены Лагранжем, доказавшим в 1770 году разре-
шимость сравнения х2 + р2 + 1 = 0 (mod р). В дальней-
шем для количества N р этого сравнения была получена
р— 1
точная формула Кр = р — (— 1) 2 . Более трудным ока-
зался вопрос о количестве решений сравнения f (х, у) ==
== 0 (mod р) в случае, когда f (х, у) является многочленом
степени большей 2. Некоторые частные случаи сравнения
у2 = f (х) (mod р) с многочленом f (х) третьей степени были
исследованы Якобсталем (см. 17]).
В 1924 году Э. Артин [91 предположил, что для коли-
чества Np решений сравнения у2 ==/(x)(mod р), где /(х)—
многочлен степени п^З, не сравнимый по модулю р
с квадратом g2 (х) другого многочлена g (х), справедлива
оценка
р‘Ч
(1)
где символ ]а ] означает целую часть числа а, т. е. наиболь-
шее целое, не превосходящее а. Оценка может быть вы-
ражена в виде
<2
п— Г
2
рх/*.
29
Для оценок сумм символов Лежандра
— 1
х —О
/ (X)
р
Хопфом [131, Давенпортом 1111 и Морделлом [141 при-
менялся метод кратных сумм. В этом методе оцениваемая
сумма представляется как среднее по некоторому количе-
ству таких же сумм, но с другими параметрами, после чего
осреднение распространяется на все многочлены данной
степени. Однако методом кратных сумм гипотеза Арти на
не только не была доказана, но даже не был получен истин-
ный порядок оценки по р.
В 1933 году Хассе [12] доказал гипотезу Артина для
сравнений вида р2=х3+ах4-Ь (modp). В дальнейшем Вейль
[151 распространил метод Хассе на общий случай и для
количества Nq решений уравнения f (х, р)=0 в элементах
поля Fq, где f (х, у) — абсолютно неприводимый много-
член, получил оценку \Nq—q\	(/) q1'*. Метод Хассе —
Вейля требует привлечения современного аппарата абстрак-
тной алгебраической геометрии и очень сложен.
В 1969 году автором [5], [61 был предложен новый,
чисто арифметический метод получения оценок Хассе —
Вейля, позволивший в дальнейшем доказать также ряд
более сильных результатов.
Проиллюстрируем этот метод на примере сравнения
y2=axiJi~bx+c (mod р),
(2)
где а и b не делятся одновременно на р. Обозначим че-
рез Np количество решений этого сравнения. Мы имеем:
ах2 + Ьх 4- с
Р
р— 1
ах2 4- Ьх 4- с'
р
Если а=0 (mod р), то

и поскольку Ьх+с пробегает вместе с х полную систему
вычетов, то в этом случае Ар=р.
зо
Предположим далее, что а^О (mod р) и обозначим че-
рез d=b2—4 ас дискриминант многочлена ах2+ЬхА~с. Ес-
ли р>2 и d=0 (mod р), то мы имеем:
'у^_
< р
f а \
= I”) (р
и, следовательно, в этом случае
2р —1, если
1, если
Пусть теперь (mod р), d-^0 (mod р) и р>3. По-
кажем, что в этом случае для числа Np решений сравнения
(2) имеет место формула
(а \
р у •
Нам удобнее будет трактовать сравнение (2) как уравнение
у2=ах2+Ьх+с
над полем Fp, состоящим из р элементов, а величину Np—
как число элементов поля Fp, удовлетворяющих этому
уравнению.
Напомним, что элемент a£Fp является s-кратным кор-
нем многочлена f (х) с коэффициентами из Fp, если f (х)=
=(х—aYg (х) и g (a)=j£0 в поле Fp. Под производной f (х)
многочлена / (х) мы снова понимаем формальную произ-
водную.
Лемма. Если f (а)=/'(а)=0, то а является по мень-
шей мере 2-кратным корнем многочлена f (х).
Утверждение леммы непосредственно следует из раз-
ложения f (x)=f (а+х—а)=/ (a)-j-f(a)(^—a)+g (x)(x—a)2=
= (x—a)2g (x).
Положим r (x)—ax2+bx+c и разобьем элементы поля
Fp на три класса: А, В и С. В класс А отнесем те a£Fp,
31
р — 1
для которых 1—г (а) 2 =0, в класс В — те элементы
р— 1
a£Fp, для которых I 4-г (а) 2 =0, и в класс С — те эле-
менты аСГр> для котрых г (а)=0. Обозначим через |Д|»
|В| и |С| количество элементов в классах А, В и С
соответственно. Мы имеем:
|Л| 4- \В\ + |С| =р
и по критерию Эйлера
Np =2 |Л| + |С|.
Рассмотрим многочлен
р— 1
R (х) = 2г (х) (1 4- г (х) 2 )+г'(*)С*₽—*)•
Так как хр—х=0 для каждого x£F то R (х) имеет корня-
ми все элементы классов В и С. Более того, поскольку
/ р— р —1
R' (х) = 2r' (х)\ 1 4-г(х) 2 /—г(х) 2 г'(х)4-
4-г" (х) (хр—х) — г' (х) = г' (х)\1 +г (х) 2 /4-г"(х)(хр—х)
(учитывая, что в поле Fp справедливо равенство р=0),
мы получаем по лемме, что все элементы класса В явля-
ются по меньшей мере 2-кратными корнями многочлена
Я(х).
Далее легко убедиться, что
R (х) = 2а
хр+1 + b
p_2z1
хр — а 2 х
d
х хР~* + Q(*) =
Хр—
~^xp~l + Q(x),
где Q (х) — многочлен степени не выше р—2, и так как
а^О (mod р), d^O (mod р), то R (х)=#0. Тогда по теореме
32
Лагранжа, сравнивая количество корней многочлена (х),
взятых с их кратностями, со степенью многочлена (х),
мы получаем:
2|B| + |C|sS
р+1, если j = 1;
/ а \
р—1, если 1~1 = —1.
Отсюда
(а \
и, стало быть,
/ а \
NB^2\A\ + \C\»p-[—)-
Проводя аналогичные рассуждения для многочлена
/	р—1 \
S(x) = 2r(x)\l—г (г) 2 )
+ '•'(*) W—x),
мы получаем
/ а \
^ = 2|Л| + |С|^р-(—).
Тем самым нами установлен следующий результат.
Теорема: Пусть d-b*—4 ас — дискриминант мно-
гочлена ахг-\-Ьх+с и а, b не делятся одновременно на про-
стое число р>3. Тогда
р
если d=0(modp);
а \
— |, если d ф. О (mod р).
3.	Рассмотрим теперь сравнение
y2^f (•*) (mod р),
где f (х) — многочлен степени п^З, и докажем таким же
методом следующую теорему.
Теорема. Пусть п^З — нечетное число и р>9п2 —
33
простое число. Тогда для количества Np решений сравне-
ния
y2=f (x)(mod р),
(3)
где f (х)=хп+а1хп~1+ ... +ап — многочлен с целыми ко-
эффициентами, справедлива оценка
\МР—Р\	(п) р1'*.
Ради простоты изложения мы не будем вычислять констан-
ту с (л). Заметим лишь, что изложенный ниже метод поз-
воляет получить оценку
(П 3)(П —4) у/,
|'лг«—1)^~----------п ) •
которая при больших значениях п оказывается сильнее
оценки Хассе — Вейля.
Будем трактовать сравнение (3) как уравнение
y2=f (*)
над полем классов вычетов Fp по простому модулю р, со-
стоящим из р элементов. Разделим элементы поля Fp на
три класса: А, В и С. В класс А отнесем те элементы a£Fp,
р— ।
для которых 1—-/(а) 2 =0, в класс В — те элементы
р— 1
a£Fp, для которых 1 4-/(а) 2 =0 ив класс С—те
a £FP, для которых f (a)-0, Обозначим через |А|, |В
и |С| число элементов в классах А, В и С соответствен-
но. Мы имеем:
|Л| + |В| + |С|=р и /V„=2 |Л| + |С|.
Обозначим, далее, через D — оператор дифференциро-
вания в кольце Fp [х] многочленов от переменного х с
d
коэффициентами из Fp. Под производной g(x) = g'(x)
мы снова будем понимать формальную производную мно-
гочлена g(x)£F [х].
Рассмотрим многочлен
34
(Р— 1 \ 2 т
1+/(х) 2 /2 '/’’W (xf-x)'-l +
/=1
2 in
+ 2 tl°\x)(xP-x)>,
P — 1
где	—2——натуральное число и r}0) (х), /J0) (х)— не-
которые многочлены из кольца Fp[x]. Ясно, что все эле-
менты класса В являются корнями этого многочлена. По-
ложим Ri(x)=DiR 0(х) и
/	р — 1 \ 2пг
R, (х) = (1 + /(х) 2 W (х',-х)>-1 +
/=1
2 АП
+ 2 (*) (хР—ХУ> 1 = Ь2,. . .,
/=1
где rj.° (х), № (х) задаются рекурентными соотношениями
JO__ пЛ”1)	Jt-O
Г/ = иг,- —Zjri+i — f Г/
4',=d/{,-1,-2(/+ i) 4'+_i1) +тг<1+'"	(4)
с начальными значениями r<.0) (х), t{p (х), j=\, 2, та-
кими, что rj0) =/}0) =0 при />2т. Пусть для некоторого
i выполнено равенство Ri(x) = R* (х) и пусть (х) опре-
делены рекуррентными соотношениями
F\'} = T‘
F^ = DF^~l) +2(.k-l)Ftizl4-!rF{r", k=l,2.j-l,
F^ = 2 (/ -1) F'l‘-I" + 2I-1 (j-1)! j-.
35
Докажем индукцией по $, что если
2'j!	=2 ?'k	/=h 2» •••» s'. s<p— 1,
k= i
to (x)=/?*+z (x) при всех /=1, 2, ...» s. Мы имеем:
р— 1 2tn
Ri+l(x) = DR-fx) = DR* (х) =—f ’	г'1}(хР—ху-' +
f=l
(p—!\ 2 m	/	p—1\
1+ГП2 (Dr!'’)(^-xy->-U+~)x
/•=1
2(7— \)r{ii](xP—x)'~a + 2 {xP—x)j —
i=\	i=\
“2 2M° (^-x)'-1.
/ = i
Следовательно,
(p— 1 \ 2m — 1	н \
(Dr’'’-2/r; + l—X
/•=1 7
/	^-\/ r \
x(xp_r)/-i+	2	Dr^--yr&, W — x)2m-‘ +
2m— 1
+ Dt'^(xP—л)2т + 2 D/',,-2(/+l)/J‘i1+-^-rJ4i )x
;___________________ i '	'	•
X {xP—x)j + r\t} — 2/(i°
и по формулам (4)
^i+1(^ = ^4-l (x) + ~ r\^ — 2/|^*
Отсюда следует, что утверждение справедливо для s=l.
Предположим теперь, что наше утверждение справедливо
36
для s^l, и докажем его справедливость для s+1. Мы имеем:
i
2*/1	/=1. 2.................... s+1	(6)
/!?= 1
и, следовательно, /?/+1 (x)=7?*+i (х). Далее, по формулам
(5) мы имеем при /=2, 3, ..., s+1
/— 1	/— i
2//!/!'1 = 2 (OfV"1’) 4'4 2 2 Ai +
k = 1	1
fe = l	'
Отсюда
= D f 2 f‘'_" 4°') - 2 -n x
\/e = I	J 1г =!
и по формулам (4) и (6)
/-I
2'7!/;‘i = 2/-4/-1)1DA- 2 F^~" 4‘+" +
k = I
+ 2^(j-l)lT',/‘'’'
Следовательно,
2<->(/-i)i ?‘±;>=2rt‘“'' A1’, /=2, з...........s+i
fe = 1
и по индуктивному предположению Ri+i(x)=R*i+i (x) при
1=2, 3,	s+1. Тем самым утверждение справедливо для
всех s<p—1.
Лемма. Пусть g (х) — не равный нулю многочлен с
коэффициентами из поля Fp и s<p+l—натуральное
число. Если g (cL)=gr(a)=g"(a)= ... =gs~1 (а)=0, то а
37
является по меньшей мере s-кратным корнем многочлена
g (Д
Утверждение леммы непосредственно следует из раз-
ложения
s' (а)
g (*) = g (а + х — а) = g (а) + ~п~ (х~а) +
е" (ос)	g<s~1) (ос)
+ 2Г-(*~а)2+ • • • + (S_i)t (r-a)s-^+^)(x-a)s.
Выберем теперь коэффициенты г/0) (х), //0> (х) многочле-
на /?0(х) таким образом, чтобы выполнялись равенства
2'/'/lz',,=2/rV’4°’. /=1. 2. 2m—1.	(7)
/г = 1
Тогда Rt (х)=/?/(х) при i=l, 2, ...» 2т—1, и поскольку
Z/l), определенные соотношениями (4), являются ра-
циональными функциями вида r{jt} = —p~,	= мы
имеем по лемме, что все элементы класса В являются по
меньшей мере 2/п-кратными корнями многочлена /?0(х).
Будем теперь добиваться, чтобы многочлен /?0(х) имел не
слишком высокую степень и, кроме того, чтобы /?о(х)=Н=0.
Положим для этого г/0> (х)=//0) (х)=0 при /=/п+1, ...»
2т—1. Тогда система (7) перепишется в виде:
244?=^'^, /=1, 2......... пг,	(8)
k = 1
j=m+l...... 2т-1.	(9)
k = l
Индукцией по / легко доказать, что Fk} (х) есть рациональ-
ные функции вида FV) = причем степени много-
членов Рь} (х) не превосходят величин (п—1)(/—&-Н) со-
ответственно. Положим r(k}=zfnt~k+1rh. Тогда система (9)
перейдет в эквивалентную систему
38
2^)га=0» /=^+1, ...» 2т— 1
с полиномиальными коэффициентами Р{^ (х), которая не-
тривиальным образом разрешима в многочленах rh(x), сте-
пени которых не превосходят величины (п—1) т2. Опре-
делим теперь многочлены (х), /=1, 2, .... т равенства-
ми (8). Ясно, что степени 6>, coft многочленов г}0) (х),	(х)
не превосходят величины пт (гп-Н), и если мы возьмем
(т + 1 )2 < 27, то
fy + 'T <.п (/п + 1)2	“f" и coft + 4г< л (т + I)2
(степень нулевого многочлена условимся считать равной —
сю). Обозначим через Ду и Qft степени многочленов
р— ।
\1+/	)г;°(хр — х)7-1 и (хр—х)*. Мы имеем
п п
~2~ р — ~	+ Р (/ — 1) и йЛ=(оЛ+р&. Так как
п нечетно, то из (10) следует, что при всех /, k=
= 1, 2, .... т, для которых r{0) (х)=#0, t(^(x)^O, и что Др>
>ДЙ, при всех j>k, для которых r[.0)(x)=^0, Zj.0) (х)=^
=/=0. Далее, поскольку не все Н0) (х) равны нулю, отсюда
следует, что члены
р— 1
U+/ 2	(хР—ху'-1, № (хр — хк), j, k== 1,2, т
не смогут уничтожиться и, следовательно, /?о(х)#=О. Кро-
ме того, степень многочлена R 0(х) не превосходит величины
тр +---2--пт + 0-
Сравнивая число корней многочлена R0(x) с его степенью,
мы получаем по теореме Лагранжа
2т | В [тр + "^2—~ + пт (т +1 )•
39
Следовательно,
2т (р — | А |—| C |)	mp -f-
n(p — 1)
2
4- nm (m 4-1),
и поскольку
mNp = tn (21A 14-1C |) mp —
~nm (m 4-2).
|C|^n, то
n(p—\)
2
Взяв теперь m =
мы получаем
No	p—c (n) p,/2.
Аналогичные рассуждения, проведенные для многочлена
•$0 (X) —
р — 1 \ 2 т
1— IW 2	r'l0'(х)(ХР—ху-1 +
/ = 1
дают
Следовательно,
+ 2 (х)(хр — хУ
/=1
Np < р—с (п) pi/2.
\ND—р| < с (п) р,/2,
и тем самым теорема доказана.
Заметим, что полученная нами оценка для величины Np
может быть выражена в виде:
С (П) р'\
4.	Воспользуемся теперь полученными нами результата-
ми для изучения законов распределения степенных вычетов
и невычетов по простому модулю р. В главе 1 мы показали,
р — 1
что при р>»2 имеется в точности ~~2~ квадратичных выче-
р— 1
тов и —д- квадратичных невычетов по модулю р. Однако
40
мы ничего не говорили о том, каким образом они распо-
ложены среди чисел 1, 2,	р—1.
Обозначим через d (р) максимальное расстояние меж-
ду соседними невычетами, через п (р) — наименьший квад-
ратичный невычет и через г (р) — наименьший простой
вычет по модулю р среди чисел 1, 2, ..., р—1.
Первые результаты в вопросе о распределении квадратич-
ных вычетов и невычетов были получены И. М. Виногра-
довым |2|. В частности, для наименьшего квадратичного
невычета в 1914 году им была доказана оценка
п ср(1пр)2,
где е—неперово число (основание натурального лога-
рифма, е=2.718281 ...).
И. М. Виноградов высказал также ряд гипотез о по-
ведении величин d (р), п (р) и г (р), а именно: для любого
фиксированного е>0
при р ->ОО.
В настоящее время мы далеки от доказательства этих
гипотез. Особенно трудной представляется гипотеза I, ко-
торая в отличие от гипотез II и III не следует даже из рас-
ширенной гипотезы Римана для L-рядов Дирихле.
Наиболее сильный результат о поведении величин d (р)
и п (р) дает следующая теорема, принадлежащая Д. Берд-
жессу [10].
Теорема. Для любого 8>0 существуют 6=6 (е)>
Д- + 8
>0 и ро=Ро(е)> такие, что приН > р	' р>р0 и любом
N справедлива оценка
N+H
Нр~6.
x=N+l
Следствие. Для любого 6>0 существует кон-
станта Pi=Pi(6), такая, что при р^>р± имеет место не-
равенство
41
«(р) < р
Основой для доказательства теоремы Берджесса яв-
ляется полученная нами выше оценка
с (п) р1/» .
(П)
Вывод теоремы Берджесса из этой оценки, который мы
здесь приведем, принадлежит А. А. Карацубе [4].
Докажем предварительно три леммы.
Лемма I (неравенство Гёльдера). Пусть ah bt,
i=l, 2, А и а, Р—неотрицательные действительные
числа, причем	Тогда
Будем предполагать, что at и не все равны нулю (в
противном случае нечего было бы доказывать). Рассмотрим
ха 1
при Х>0 функции f (х)=х и g (х) = — +-р-. Мы имеем / (1)=
=g(l)=l и /,(1)=^/(1)==1- Следовательно, прямая у=х
ха 1
является касательной к кривой у = — + -g-»и поскольку
производная g'(x)=x?~' (сО 1) функции g (х) монотонно
1
возрастает с ростом х, то график функции у = — +
при х>-0 расположен выше графика функции у=х (см. рису-
нок.) Отсюда мы получаем:
х
ха | 1
"сГ + Т’
и если мы положим х=ии1-р , где и, и>0, то
 о иа t/1	)а
42
Следовательно,
и из равенства
мы имеем:
Положим
Тогда из последнего неравенства следует:
и тем самым лемма I доказана.
43
Лемма 2. Пусть N — количество решений сравне-
ния xy=x'y'(mod р), где 1^х, х'-^Н, 1-^у, у'^Нп 1-^НН х<
«Ср. Тогдапри любом (о>0 справедлива оценка N = ^с(Н Н J14 ю,
где с>»0 — некоторая константа.
Поскольку HHx<Zp, то N равно числу решений в це-
лых х, у, х', у', 1	х'^Н, 1^у, у'^Ну уравнения ху=
=х'у'. Обозначим через d (л) количество решений в х',
у' уравнения х’у'—п и заметим, что если л = ра1 ...рс\
то d («)=(«!+!)... (a,+ l). Отсюда следует, что d (тп)^
^d (л?) d (л), и тогда
н /7,	н	н,
М=2 Sd(xp).^(S d(x))(S d (г/)).
x—1 у — I x—1 у —1
Далее, мы имеем:
2d<n>= 2 1 =
П= I	I
< C0t 10g t
и, следовательно,
N& (BA/t),+w.
Лемма доказана.
Следующая лемма принадлежит Давенпорту и Эрдешу:
Лемма 3. Пусть г — натуральное число, р — про-
стое число и 1^/i^p—1 — целое число. Тогда
< Wphr + с (г) р'4гг,
где с (г) — некоторая константа, зависящая лишь от г.
Мы имеем:
(х М). . .(х 4~ ^>2г)
р
Разобьем наборы (hlt Х2г) на два класса: А и В. В класс
А отнесем те (Хп ..., Х2г), в которых Хг- имеют не более г
различных значений, и каждое такое значение встреча-
ется четное число раз; остальные наборы (Хп ..., Х2г) от-
несем в класс В. Число наборов первого класса не прево-
сходит величины (2r)r hr, и так как
44
то
VI /~Ь • •(*+ ^2г)
\	р
х=0. '
<(2г)лр/Г.
Число наборов класса В не превосходит величины hirt
и для каждого набора (Хь ...» к2г)€В мы имеем:
р—।
х=0
(х-|- A.J.. .(* -|-Л2г)\ _ у,1 /(х-1- Tj)e’. .дх+т,,/8 '
р	~	\	р
х=0 4
где s^c2r, тп .... т8 попарно несравнимы между собой по
модулю р и ег, .... es не все четные. Выбросим теперь в
последней сумме те множители (х-|-т{)сц в которых et
четно. Тогда она запишется в виде
(х -|-од).. ,(х -f-ara)
где 1^п^2г и аь ..., ал попарно несравнимы по модулю р
Если п нечетно, то мы имеем по (11)
S (я) р1/?.
Если же п четное число, то, положив x-f-a1=p~1, мы по-
лучим
(х + og)...(x4-an)
Р
р— i
у— 1
(1 4- Р1У)- • — Рп-1У)
Р
х=0
Р
и тогда снова по (11)
|S| -<:с*(п) р‘/з.
45
Следовательно,
< (2r)'p/ir + с (г) p''Jrr
и этим лемма 3 доказана.
Перейдем теперь к доказательству теоремы Берджесса.
Докажем сначала оценку
Л’-Н—1
х=ЛЧ-1
<cpl/« In р,
полученную И. М. Виноградовым в 1914 году. Для про-
стоты будем считать, что М=0. Введем в рассмотрение
сумму Гаусса.
р—1
v=l
2Л1 —
где е—неперово число, 6=(—I)1'», л=3,14..., и восполь-
зуемся равенством |S| —р ,/2, которое мы докажем в
следующей главе. При (mod р) мы имеем:
У_ \
Р )
е р
и, следовательно,
Отсюда
и по формуле для суммы геометрической прогрессии
„ .t „ .(/ЛМН
2 л i—	2 л i- — —
Р	Р
е — е
2л1 —
1-е р
46
Л1--	—Л / - f
Но е р — е р = 2i sin — тогда
р *
Из графика функции у = sin ~легко видеть, что sin	~
и, следовательно,
р— 1
2	.
^р1/г 2 — <ср,/г1пр-
/=|
Ввиду этой оценки мы можем предположить, что
—+ е	—+—
р4 <$Н<*р2 8, где 0<е<0,01.
Положим
г = [4-]+1, 6 =	+	Н^Нр^6,
Н> = Р*
и введем в рассмотрение символ О (...). Пусть функции
f (х) и g (х)>0 определены для всех достаточно больших
значений переменного х. Тогда запись f (х)=О (g (х)) бу-
дет означать, что |/ (х)|	(х) при всех достаточно
больших значениях х, где Д>>0 — некоторая константа.
При	2 мы имеем
47
и, суммируя обе части этого равенства, по всем таким у
и z, получаем
Оценим сумму W. Мы имеем:
^2	.
Fl<(W1h2)-2 Af (X)2 (4-
X	г= 1 '
где N (X) — число решений сравнения xz/-1==X (mod р).
Г—1
Положив, далее, а= 7^7-у, P=r, aK = N(k) ' ,
Ь^~-
1 н2
г=1
X -J- г\
Р )
мы получаем по лемме 1
|Г|Г <
<адг'(£ JV (X))'-' £ ад £ *±-г
X	' X	г=<=1'
В таком случае
и так как (снова по лемме 1 с а=0=2)
X —1~ z
Р
ТО
|W'|2'<(W1H2)-’-'(2 W(X))2,'“' V AWV
>	X	X
Далее, поскольку
S N	и 2 Л/ (Х)2=ЛГ,
X	X
2г
♦
2г
48
мы имеем по лемме 2:
р— 1
|Г|2' < с(Н1НгГ2' (НН,)2 ,,_|1 (НН,)'+“ У
и на основании леммы 3
|F| ^Нр-ь'.
Следовательно,
У + г\|2г
JL ( р / ’
г=1 '	'*
и этим теорема Берджесса доказана.
Перейдем теперь к доказательству следствия. Возьмем
1 ,
~ + 8
е>0 и положим Н = р ]. Если п (р) ^Н */», то п (р)
_, 8	2
—2—I—£.
рАе '	, и в этом случае следствие доказано.
Пусть теперь п (р)>Нг^ и /	) = — 1, при т^Н. Посколь-
ку для любого неотрицательного квадратичного невы-
чета г мы имеем п (р), то среди простых делителей чи-
сла т может быть лишь один квадратичный невычет, иначе
неравенство п (p)Z>Hl > было бы противоречиво. Таким
образом, tn=qt, где q—простое число,
^q^H. Далее, поскольку
то
Г н 
Q
п (р)
4Q
где последняя сумма берется по всем простым q, п (р)^
^q^H. По теореме Берджесса мы получаем отсюда, что
1—2	2	q-^p-6', 6>0,
П (р)
так что
2	,-1> ' (1-р-»').
Н (Р)	Z
Воспользуемся теперь следующим фактом из теории про-
стых чисел (см. 17], гл. VII, § 5):
= log logH+C + O^j^j.
Тогда
, log// _	1	, .
log 1—~	"к-----« (P)»
b logn(p) 2 vr/
где co (p) —> О при p->oo, и, следовательно,
log w
log n (p) ''
Отсюда
П (P) < H 4
1
4e*/»
= P
+ 6
t
и тем самым следствие доказано.
Глава 4
СРАВНЕНИЯ ОТ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Перейдем к изучению вопроса о количестве Np решений
сравнения
/(хр .... xn)=0 (mod р),	(1)
где f (х1} .... хп) — многочлен с целыми коэффициентами
50
от п3 переменных xlf ..., хп, и в качестве первого шага
докажем следующий общий результат.
Лемма Шевалле. Если степень г многочлена
f (хр .... хп) по совокупности переменных xlt ...,хп строго
меньше п, то число Np решений сравнения (1) делится на р.
Действительно, по малой теореме Ферма мы имеем
р— ।	р—1	р—1
... 2	..., xn))=2 ...2 с (4..U 2 ...
xt =0x^=0	t, ’ in	x,=0
P~l ,	i
... 2 Xi1, ..., X Zln (mod p),
x_=0
где i\, ..., in — неотрицательные целые числа, такие, что
lid- ... -Нп</(р—1). Если is=0 хотя бы для одного s=
= 1, 2, ..., и, то
Р— 1 Р—1 , i„
2 ... 2 х 1 ... х "=0 (mod р).
х1=о хп~0
Если же все ilf ..., in отличны от нуля, то мы имеем
р—1 р—1 ,	i р— i р—1 ,	i
2 ... 2 xi1 ... х nn=2 ... 2 xl\ ... х ,in,
x,=° xR=0	Xj = l *n = l
и положив xx~gyt (mod p),..., xn=gyn (modp), где£—перво-
образный корень по модулю р, получаем
р—1 р—1	i р—1 р—1
2 ... 2 х? ... х п =2 ... 2	... g^n (mod р).
Xj=O хп—0	У! = 1 уп = ^
Далее, поскольку 1г-На+ ... +in<n (р—1), то хотя бы
для одного $=1, 2, ..._, п выполняются неравенства 0<.ij<Z
<р—1, и по формуле для суммы геометрической прогрес-
сии мы имеем
р—i
-----— = 0 (mod р).
1-g8
Следовательно, (mod р), и лемма доказана.
2. Теория сравнений от многих переменных к настоя-
51
щему времени развита довольно слабо, поэтому мы огра-
ничимся изучением лишь некоторых вырожденных случа-
ев. Рассмотрим сравнение
+ ... +апх ^==0 (mod р)
(2)
и докажем следующий результат.
Теорема. Пусть	р—/), i=l, 2, ..., п. Тогда
для количества Np решений сравнения (2) имеет место
неравенство
IW-K(61-I)... (бп-1)р" ч
Для доказательства этой теоремы введем в рассмотре-
ние суммы Гаусса
г=0
ах^
Р
Лемма 1. Пусть р>2 — простое число и
р-1 2я^
х = 0
Тогда при a^0(mod р) имеет место равенство
Мы имеем:
|SJ=P*''.
р—Ip —1 п_.а(хг—у*)
0 у — О
(Sa — комплексно спряженная с Sa величина). Сделаем
замену переменного x—y-\-t и заметим, что когда х и у
пробегают полную систему вычетов по модулю р, то у и
t также пробегают независимо друг от друга полные систе-
мы вычетов по модулю р. В таком случае
р—1р-1
is«i2= 2 2
t=o у = 0
2nrfl<2+2fl^
Р-1
, Р
/ = 0
и=о
2л^
е р ,
52
и поскольку
п—1
z/ = 0
р, если 2at =s 0 (mod р),
О, если 2а/ ^O(mod р),
то
2л^
е р
|SJ2=P.
Лемма доказана.
Заметим, что при а-т^О (mod р)
Р— 1 „ . ах2
X,	2Л1-----
’ Р
х = 0
2„;_ад
2 п (у) е °
и = 0
где п (у) равно количеству решений сравнений х2^=у (mod р)
Отсюда по критерию Эйлера
2л^
е р
2л1^-
е р .
Лемма 2. Пусть Ь=(1, р—/). Тогда при (mod р)
имеет место оценка
р — 1
х = 0
„ .ах1
2л/-----
Р
=С(6—1) p‘/t.
Если 6=1, то х1 вместе с х пробегает полную систему
вычетов по модулю р, тогда
о— 1 ах^ р — 1	, ау
е
х = 0	«/ = 0
Предположим теперь, что 6>1. Мы имеем:
х=0	у=0
где п (у) равно количеству решений сравнения xl^y (mod р).
Обозначим через g некоторый фиксированный первооб-
53
разный корень по модулю р и положим y=gx (mod р). Тог-
да по критерию Эйлера
(О, если т ф 0 (mod 6)
/г ~ [6, если т = 0 (mod 6)
б-i
и, следовательно, п (p)=S ys(p), где
«=о
(У) = б
« , ST
2л/-т-
0
Отсюда
х = 0
Хз (У) е р
6-1
s —О
V^1	2л/—
-Z^siyU '
s=l г/=1
Положим для s=l, .... 6—1
р— I
2 Хз (У) е
У--1
Л • а1>
2Л(—
и покажем, что ^Т^—р1^. Мы имеем:
р—1р—1
|2= 2 2^(^)Хз(0е
и = 1 t = 1
2Я/“1М=£1
р
Сделаем замену переменного y—tz и заметим, что Хз(^2)=
= Xs(O Xs(z)- Тогда
Р“‘
|Л1’= 2 Х.(г) 2®
Z=1	/=1
и поскольку при s^O (mod 6)
Р
»
р— 1
2 (г) =
2— 1
Р— 1
г— 1
.(os Р 2
2лх—г-
О
(0 — 0
р— 1
s —• <0
« • w
2Л(-----;—
Р —
“О,
54
мы имеем:
’eV v,’	(г~|)
г,|’= 2ьй 2«
z=\	t = 0
Р-1	Р — 1 о-.- at (z— I)
=р+ 2х.й2‘ “=₽•'
г=2	? = 0
Отсюда по (3)
Р —1 .ах^
2Л1-------------
Р
х = О
Р— 1
У= 1
= (6-1)рЧ

е
р
и тем самым лемма 2 доказана.
Перейдем к доказательству теоремы. Мы имеем:
,	.	1	s	+	+
р— 1 р — 1 р — 1	»	п п /
vt2 2 2*	7
s = 0 xt = 0xrt = 0
(It \
Р — 1	sa]xf \
2	•
XjeO	У
Отсюда
к
р — 1 п р — 1	saJxj
1^-Р»-ч<4-2П 2
s=l /=1 Xj = Q
и по лемме 2

(6,-1).. ,(6„-1 )p»/2^(fi,-l	)р^.
Теорема доказана.
Аналогичным образом можно доказать, что для коли-
чества Np решений сравнения
0!%!*+ ... +апХпп=а0(mod р),
55
при (mod p) справедлива оценка
n —1
I A'p-P"-11 ^Ap 2 ,
где константа А зависит лишь от /х, ...» 1п.
В общем случае имеет место следующее утверждение.
Теорема. Пусть многочлен f (хх, ...» хп) неприво-
дим в любом конечном расширении поля Fp. Тогда для ко-
личества Nр решений сравнения
f (%х, ..., хЛ)=0 (mod .?)
имеет место оценка
| Л/р—р"-1 I
(/) рп“1-1/Ч
Для п=2 теорему можно доказать тем же методом, ка-
ким мы в главе 2 получили оценку | Nfi—р | (f)p'1* для
числа Np решений сравнения y2=f (х) (mod р). Переход
от п- 2 к случаю произвольного числа переменных совер-
шается совсем просто.
3. В заключение рассмотрим некоторые приложения
теории сравнений к диофантовым уравнениям. Прежде
всего заметим, что из последней теоремы сравнительно про-
сто выводится следующий результат.
Следствие. Если f (хх, ...» хп)— абсолютно не-
приводимый многочлен с целыми коэффициентами, то срав-
нение
f (хх, хп)=0 (mod pft)	(4)
разрешимо для всех 1 и всех простых чисел р, больших
некоторой границы, зависящей лишь от многочлена f.
Заметим далее, что разрешимость сравнения (4) для всех
простых чисел р и всех натуральных k является необходи-
мым условием для разрешимости соответствующего дио-
фантова уравнения
/ (хх, ..., хп)—0.
Важность указанного выше следствия заключается в том,
что оно сводит проверку этого условия только к конеч-
ному числу простых чисел р.
•56
Для доказательства следствия достаточно показать, что
число решений сравнения / (хь .... х„)=0 (mod р) при
достаточно больших р больше, чем число решений системы
сравнений
f (xlt x„)*sO (mod р),
(5)
fXn (xlt .... xn)=0 (modp).
В таком случае найдется набор классов вычетов хх==
=xi!'(mod р), ...» xn=x*!1)(mod р) такой, что / (xj1’, ...»
Xn))=0 (mod р), fx (х\1\ ..., ХпП)^0 (mod р), тогда, как
было показано в начале главы 3, сравнение / (хь ..., хп)==
=0 (mod рА) будет разрешимо при любом целом 1.
Докажем сначала, что если не все коэффициенты мно-
гочлена g (хх, .... хп) делятся на р, то для числа Np решений
сравнения g (xlt ..., xn)==0 (mod p) справедливы оценки
Л^Ср"'1,
где С — некоторая постоянная, зависящая лишь от много-
члена g. Доказательство этого утверждения проведем ин-
дукцией по величине п. Для и=1 утверждение следует из
теоремы Лагранжа. При п>1 рассмотрим многочлен g (xlt
..., хп) как многочлен от хх, х„_х, коэффициенты ко-
торого суть многочлены от переменной хп. Обозначим
через d (xj наибольший общий делитель этих коэффици-
ентов по модулю р. Тогда
f (хх, ..., xn)==d (xj/i (xx, ..., xn)(mod p),
причем многочлен h (xx, ..., xn) ни при каком значении
хп несравним тождественно с нулем по модулю р. Если
d (х„)=0 (mod р), то g (хх, ..., xn)=0 (mod p) для любых
xx, xn_v Следовательно, число решений сравнения
g (хх, ..., xn)=0 (mod р), для которых d (хп)=Ь (mod р)
не превосходит Др"-1. Рассмотрим теперь те решения срав-
нения g (хх, ..., хя)=0 (mod р), для которых d (хп)^0
(mod р). В этом случае для каждого такого xn==an(mod р)
многочлен g (хх,..., x„_t, ап) несравним тождественно с ну-
лем по модулю р, тогда по индуктивному предположению
число А/Р(ап) решений сравнения g (хх, ..., хя_х, ап)=
==0 (mod р) удовлетворяет неравенству Np(an)^BpH~2. Так
57
как ап принимает при этом не более р значений, то общее
число решений сравнения g (хп xn)==0 (mod р) не пре-
восходит Ср"-1.
Рассмотрим f (хр хл) как многочлен от хп с коэф-
фициентами, являющимися многочленами от хп ..., хп_г.
Из абсолютной неприводимости / следует, что его дискрими-
нант D (xlt ..., не равен тождественно нулю по мо-
дулю р, иначе бы f делился на квадрат некоторого другого
многочлена. Пусть простое число р не делит все коэффици-
енты многочлена D (хь ..., хл). Тогда если x1=a1(mod р),
..., xn=on(mod р) — решение системы (5), то хп=ал(тоб р)
является общим корнем по модулю р многочленов f (alt
..., Ял_р Хл) И ........ Ял-р Хл), поэтому
D (ар ...,	(mod р).
Но число систем (alt ..., ал-!), удовлетворяющих послед-
нему сравнению по доказанному выше, не превосходит
величины Срп~2. Для заданных же alt ап_х значения
ап определяются из сравнения f (аи ..., ап_р х/г)==0 (mod р),
поэтому их число не превосходит степени многочлена f
по переменной хп. Таким образом, количество Np решений
системы (5) не превосходит величины Срп~2. Для количества
же Np решений сравнения f (хг, ..., хл)==0 (mod р) мы име-
.______________________________!_
ем оценку Np^p’1^—с (ftp	2 ‘ Отсюда	—Np>
>р"“2(р—с (f)p',:—С), значит NPZ>NP при всех достаточно
больших р. Следствие доказано.
Как мы уже отмечали, разрешимость серии сравнений
f (хр .... хл)=0 (mod pft)
для всех простых р и всех целых 1 является необхо-
димым условием для разрешимости уравнения
f C^li •••» Q
(6)
в целых хь ..., хл. По доказанному выше, на самом деле,
достаточно ограничиться проверкой этого условия для не-
которого конечного множества простых чисел р. Например,
уравнения
и
x2+2t/2+5z2=0
x3+2r/3+7z3=0
не разрешимы в отличных от нуля целых числах, посколь-
ку соответствующие сравнения
x2+2//3+5zW0 (mod 5ft)
и
х8+2//3+7г3=0 (mod 7*),
k=l, 2, ... имеют лишь тривиальное решение x—y=z=Q.
Однако часто случается, что разрешимость сравнений (4)
оказывается также и достаточным условием для разреши-
мости диофантова уравнения (6) в целых или рациональ-
ных числах, т. е. локальная разрешимость ведет к гло-
бальной разрешимости. В качестве примера такой си-
туации приведем следующую теорему Минковского — Хас-
се:
Теорема. Уравнение
Ф (хь ..., хп)=0,
где Ф (Xj, ..., хп)=2о^ед — квадратичная форма с
ii
целыми коэффициентами ai}, нетривиально разрешимо в
целых числах (т. е. когда не все xt равны нулю) тогда и толь-
ко тогда, когда форма Ф является неопределенной (т. е.
нетривиально представляет нуль в поле вещественных
чисел) и когда для любого модуля вида pk сравнение
Ф(Х1, .... x„)sO (mod pk)	(7)
имеет решение, в котором значение хотя бы одной перемен-
ной не делится на р.
В частности, используя лемму Шевалле, легко показать,
что при п^Ъ сравнение (7) всегда разрешимо, и тем са-
мым справедливо следующее утверждение (в дальнейшем
под представлением формой нуля мы всегда будем понимать
нетривиальное представление).
Следствие. Для того чтобы целочисленная неосо-
бенная квадратичная форма от 5 переменных пред-
ставляла нуль в кольце целых чисел, необходимо и достаточ-
но, чтобы она была неопределенной.
59
Таким образом, всякая неопределенная квадратичная
форма от достаточно большого числа переменных цело-
численно представляет нуль, а тем самым и всякое це-
лое число. Существует гипотеза Артина, что всякое урав-
нение
Ф (хъ хп)=0,
где Ф (хх, хп)— целочисленная форма нечетной степе-
ни d, нетривиальным образом разрешимо в целых числах,
если только n>d2. Берч в 1957 году доказал, что всякая
форма нечетной степени представляет нуль в кольце це-
лых чисел, если число ее переменных достаточно велико
по сравнению со степенью. Сама же гипотеза Артина до-
казана к настоящему времени лишь для случая d=2.
В заключение заметим, что в общей ситуации рассмот-
ренный нами принцип перехода от локальных решений к
глобальным неприменим. Например, как показал Рейхардт,
уравнение
17=2//2
не имеет решений в целых числах х, у и в то же время со-
ответствующее сравнение
х4—17==2£/2(mod р/г)
разрешимо при всех 1 и для всех простых чисел р.
ЛИТЕРАТУРА
1.	Виноградов И. М. Основы теории .чисел. М., 1972.
2.	Виноградов И. М. Избранные труды. М., 1952.
3.	Гаусс К. Ф. Труды по теории чисел. М., 1959.
4.	К а р а ц у б а А. А. Суммы характеров и первообразные корни
в конечных полях. Доклады АН СССР, т. 180, № 6, (1968), 1287.
5.	Степанове. А. О числе точек гиперэллиптической кривой
над простым конечным полем. Изв.АН СССР, сер. матем., 33, № 5
(1969), 1171.
6.	Степанове. А. Конструктивный метод в теории уравнений над
конечными полями. Труды МИАН СССР, 132 (1973), 237.
7.	Хассе Г. Лекции по теории чисел, ИЛ, 1953.
8.	Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию
чисел. М., 1974.
9.	А г t i n Е. Quadratische Кбгрег in Gebiete der hdheren Kongruen-
zen, II, Math. Z. 19 (1924), 207.
10.	Burgess D. The distribution of quadratic residues and nonresi-
dues, Mathematika, 4, No 8 (1957), 106.
11.	D a v e n p о г t H. On the distribution of quadratic residues (mod p)
J. London Math. Soc. 6 (1931), 49.
12.	Hasse H. Abstrakte Begrundung der komplexen Multiplikation
und Riemanushe Vermutung in Funktionenkorpern, A6h. Math. Sem.
Hamburg, 10 (1934), 325.
13.	Hopf H. Uber die Verteilung quadratischen Reste, Math. Zeit-
schrift, 32 (1930), 222.
14.	M о r d e 1 1 L. I. On a sum analogous to a Gauss's sum, Quart. J.
Math., 3 (1932), 161.
15.	Weil A. Sur les courbes algebriques et les varietes qui s'en de-
duisent, Act. Sci. Ind. 1041. Paris, 1948.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава	1.	Предисловие 	 Основные понятия	3 5
Глава	2.	Сравнения по двойному модулю и конечные поля ....	13
Глава	3.	Сравнения с двумя перемен- ными. Распределение степенных вычетов и невычетов	27
Глава	4.	Сравнения от нескольких пере- менных 		50
Степанов Сергей Александрович
СРАВНЕНИЯ
Редактор В. И. Ковалев
Обложка Л. П. Ромасенко
Худож. редактор В. Н. Конюхов
Техн, редактор. Т. В. Самсонова
Корректор Т. Ю. Дорогова
А 10888. Индекс заказе 54311
Сдано в набор 13/VIII-1975 г.
Подписано к печати 16/Х-1975 г.
Формат бумаги 84Х108’/з2. Бумага
типографская № 3. Бум. л. 1. Печ. л. 2.
Усл. л. 3,36. Уч.-изд. л. 2,85 Тираж 46 340 экз.
Издательство «Знание». 101835, Москва
центр, проезд Серова, д. 4. Заказ 1682
Цена 11 коп.
Чеховский полиграфический комбинат
Союзполиграфпрома при Государственном
комитете Совета Министров СССР
по делам издательств, полиграфии
и книжной торговли
г. Чехов Московской области
ОБРАЩЕНИЕ К ЧИТАТЕЛЮ
ВЫ ТОЛЬКО ЧТО ПРОЧИТАЛИ РАБОТУ С. А. СТЕПА-
НОВА «СРАВНЕНИЯ», НАПИСАННУЮ НЕСКОЛЬКО В
ИНОМ КЛЮЧЕ, ЧЕМ БОЛЬШИНСТВО БРОШЮР СЕРИИ
«МАТЕМАТИКА, КИБЕРНЕТИКА». В СВЯЗИ С ЭТИМ РЕ-
ДАКЦИЯ ОБРАЩАЕТСЯ К ВАМ С ПРОСЬБОЙ ПОДЕЛИТЬ-
СЯ СВОИМИ ВПЕЧАТЛЕНИЯМИ, В КАКОЙ СТЕПЕНИ
УДОВЛЕТВОРЯЕТ ВАС ПОДОБНЫЙ СТИЛЬ ИЗЛОЖЕНИЯ;
ВСТРЕЧАЛИСЬ ЛИ ТРУДНОСТИ ПРИ УСВОЕНИИ МАТЕ-
РИАЛА; КАКИЕ ГЛАВЫ, НА ВАШ ВЗГЛЯД, НАПИСАНЫ
НАИБОЛЕЕ УДАЧНО; ТАКИМИ ЛИ ВЫ ПРЕДСТАВЛЯЕТЕ
СЕБЕ БРОШЮРЫ НАШЕЙ СЕРИИ?
В ОТВЕТЕ НЕ ЗАБУДЬТЕ УКАЗАТЬ ВОЗРАСТ, СПЕ-
ЦИАЛЬНОСТЬ, УЧЕНУЮ СТЕПЕНЬ.