/
Текст
МИНИСТЕРСТВО ВНСИЕГО И СРЕДНЕГО СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ МССР
Кишиневский политехнический институт им. С.Лазо
Кафедра высшей математики
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
на тему „ОСНОВЫ ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЫ*
для студентов всех специальностей
д/о, в/о, з/о
Утверждено
Методической комиссией
энергетического факультета
31 мая 1983 г.
Кишинев
КПИ им. С.Лазо
1983
Составителя: В.А.Лункевич, И.И.Плешкан, В.Ф.Черний
Рецензенты: И.М.Гоян, И.А.Балтаг
Под редакцией И.И.Валуцэ
(§) КПИ им. С .Мао. 1983
§ I. ВЕКТОРЫ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ
I. В физике, а также в других областях естествознания исполь-
зуются два основных вида величин: скалярные* и векторные3®.К ска-
лярным относят те величины, которые полностью определяются одними
числовыми значениями (масса, температура, плотность). Векторные-
это величины, определяемые числовым значением и направлением (ско-
рость, ускорение, сила и др.).
В математике величины рассматривают обычно вне связи с их
конкретным физическим содержанием. Поэтому часто вместо "скаляр-
ная величина” говорят "скаляр*, понимая год этим словом некото-
рое число, вместо "векторная величина" - вектор.
Геометрически скаляр можно иллюстрировать (изображать) точ-
кой на числовой оси,
О
Р и с. I
а вектор - направленным отрезком прямой.
Р и с. 2
Поэтому в дальнейшем примем следующее определение.
Определение . Вектором называется направленный от-
резок прямой.
Направление вектора определяется тем, что одна его конечная
точка считается началом, а вторая - Концом. Поэтому вектор будем
рассматривать и как упорядоченную пару точек. В.соответствии с
этим считается, что вектор направлен от начала к концу. На черте-
же изображается стрелкой (рис. I), а письменно одним из следующих
символов: АВ,АБ, 3, а
^Название скалярная величина происходит от латинского слот
SCQcQZLS 9 что означает лестничный, ступенчатый. Имеется в виду
писала измерения величин.
^Название векторная величина происходит от латинского слова
V'Bctoz , означающего несущий, ведущий, везущий и от слова V’ehe-
ZQ , что означает вести/ влечь, тянуть.
Расстояние меаду началом и концом вектора (в некотором мас-
штабе, который предполагается задшшым) называется его длиной и
обозначается |Др| |ДВ1 |£7l IQI • Длину вектора еще называют
модулем вектора. ? ; 2
Задание вектора АВ (или Q ) определяет преобразование про-
странства, при котором каадой точке И ставится в соответствие
точка М* следующим образом. Из точки проводится луч Z ,
параллельный вектору Q и имеющий то же направление, и на нем
определяется точка М так, чтобы |М1ч1=Ю1* Такое преобразова-
ние называется параллельным переносом и обозначается Q (М)~М .
Р _ z _ Рис. 3
На рис. 3 ^О(Р)-Р) Q(Q)=Q‘ . Таким образом, кавдый век-
тор можно интерпретировать как параллельный перенос, а множество
векторов - как множество параллельных переносов.
2. Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной
прямой или на параллельных прямых. При этом они_могут быть сонап-
равленными (на рис. 4 это Q t (/ и С , / ) или противопо-
ложно направленными 1на pgc. 4 это Q и С , о и С , /2 и У* ,
/и/,Ги^/,/и//).
Очевидно, если два вектора Q и о коллинеарны (оИ6 ) ,
то они: -
а) либо сонаправлены (ОНо ) и имеют равные длины. T.&JOl~/6l ;
б) либо сонаправлены, но имеют разные донны ;
в) либо противоположно направлены (Off/j и их длины равш/^/V^;
г) либо_противоположно направлены и их длины не равны ( Qflb >
iQltl&l )•
Два вектора называются равными, если они сонаправлены и име-
ют равные длины (а)_. _ _
Если векторы Q и Нравны, то_это записывается .тик:<7--/
Отсада следует, что если#*/ , то 8=0; если 0-8 к 8 - С, to О=С.
Противоположно направленные векторы, имеющие равные длины
называются противоположными (в). В этом случае64--2Гили&--CL .
Векторы, расположенные в одной плоскости или в параллельных
плоскостях, называются компланарными.
Замечание «В определении вектора употребляют поня-
тие "отрезок", предполагая, что его длина отлична от нуля. К век-
торам относится и отрезок,у которого начало и конец совпадают.Та-
кой вектор будем называть нулевым и.и нуль-вектором и обозначать
О . У нулевого вектора направление не определено.
Вектор, длина которого равна единице, называют единичным.
Ортом данного вектора называется сонаправленный_с ним еди-
ничный вектор. Орт вектора G обозначается через (70
§ 2. Линейные операции над векторами
I. Сложение векторов. Известно, что действие .двух сил /> и Рг
на точку М тела можно заменить одной силой (их равнодей-
стующей), определяемой по правилу параллелограмма (рис. 5).
f-------- в
М~~р2 Р и с. 5
Если тело участвует в двух поступательных движениях, то результи-
рующая скорость также находится по правилу параллелограмма. Такая
замена двух векторных величин их равнодействующей и положена в оп-
ределение операции сложения векторов. Заметим, что для построе-
ния равнодействующей нет необходимости строить весь параллело-
грамм, достаточно построить лишь треугольники А В
О п р е д е_л е н и е . Суммой двта векторов О и О назы-
вается вектор С (обозначаемый^О+о ), соединяющий начало
первого слагаемого вектора Q с концом второго о при условии,
что начало второго слагаемого совмещено с концом первого (рис. 6).
При этом ясно, что результат сложения не зависит от того, в какой
точке пространства
помещено начало первого вектора.
Сумму трех векторов Q , & и С определим таК:/27/^7’'С •
Вообще, если Q< + Qf'+Ch-f определена, то сумму 7? векторов
а< + Ог+-‘ + а^+ап<я&ъыят формулой:
^ак=(огд^‘'^ап.^ап а)
Легко надеть, что вектор (I) будет иметь своим началом нача-
ло первого вектора (Q<) , а своим концом - конец последнего век-
тора (Оп) при условии, что каждый последующий вектор, начиная со
второго, приложен своим началом к концу предыдущего (рис. 7).
Р и с. 7
виямг
I) /I/
ото правило носит название правила многоугольника.
2. Умножение вектора на число. Очевидно, Что последователь-
ное сложение вектора и с самим собой Л. раз д .ет вектор, со-
паправленный о О е, длина которого yasaa.Ht(7l . _
Определение .Произведением вектора О на вещест-
венное число X называется вектор о , удовлетворяющий усло-
--/Ж i
2) вектора *и и сонаправлёны, если А>0 и противоположно
направлены, еслй‘.л<£? . _
3)Д = |? , 6CXhJJ=K7 или .
_ Произведение вектора Q на число Л обозначается через
Ха .
3. CfrofoTBfr линейных операций над векторами, Введенные оцз-
рации сложения векторов и умножения вектора на число называют ли-
нейными. В курсе средней школы были, выведены основные свойства
этих операций, а именно:
I) сложение векторов коммутативно (обладает переместительны*
свойством), т.е.£7с/= ^п7для любых векторов Q и о ;
2) сложение векторов ассоциативно (обладает <; мстотельннм
v , к fat- О+(6 C)w?. люб.':: 1.тр!,,в </ , ц,(.
3) в множестве векторов существует такой вектор, что прибав-
ление его к любому вектору Q не менят последнего. Это нулевой
вектор О : О+б = Q ; _
4) для любого вектора О существует вектор, прибавление
которого к вектору Q дает нуль-вектор. Это векторС- О)- противо-
положный вектору Q : (]+(-(])=О ; __
5) умножение вектора на число коммутативно, т.е.£7-Л=Л# для
любых вектора О и числа Л ; _
6) умножение вектора на число ассоциативно, -<£(]!) О)
для любых чисел и f> и любого вектора О ;
7) умножение вектора на число дистрибутивно по отношенйю к
сумме чисел, 4.e.(dC+Ji)O^Qtf>6 для любых чисел <Z и jb и лю-
бого вектора О ;
8) умножение вектора _на число дистрибутивно по отношению к
сумме векторов, ч.ъЛ(О+6)-^С1+Ар для любого числа й и любых
векторов О и S . 4
9) _ умножение любого вектора на единицу не меняет этого век-
тора: О .
Любое из этих свойств легко доказать, используя определение
равенства векторов и линейных операций над ними. Докажем, напри-
мер, свойство 7. • _ _ _ д;
Равенство (<£+очевидно при Q~ О ъллЛ+fo = О .
Рассмотрим случай, когда и $ одного знака <$£•£><) ). в
этом случае векторы ъ<£сГ+£С1 сонаправлены. При этом,
так как//^ _ ^0^01=1^01+1^01 , то/^//^=
=/А/У la/ = (i4+ipi)toi=Щ1ан-1р11сц ^ai+lftai^a+jwi •
Таким образом, >0 имеет место равенсто 7.. Если же числа
X и f> имеют разные знаки №/><О ) и, например,> Ify , то
числаи -J> йурут одного знака и по_доказанном7//«^Д)^^^7^=
-(оС+^а-ра, ™^а+/а=(£+р)й.
Замечания.
I) Так как длина стороны треугольника не превосходит суммы
длин двух других сторон, то модуль суммы векторов не превосходит
суммы модулей слагаемых/tfVj/ < 1О1+1и[ , причем равенство дости-
гается лишь в случае, когда векторы О и 6 сонаправлены.
2) Вычитание векторов определяется как действие обратное ело-*
жению и поэтому отдельно не рассматривается. Заметим, что раз- _
несть векторов Q и Е можно рассматривать как сумму векторов О
и , и, что если векторы О и S привести к общему началу и
построить на них то их сумма изобразится диаго-
налью ОС , а разность - диагональю ZM (рис. 8).
3) Если умножить орт век-
тора на его длину, то получим
сам вектор, т.е. любой вектор
Нравен произведению своего
орта на свой модуль: Q~tQ!Oo.
Из этого равенства подучаем
выражение для ogra данного
вектора а» ® О )•
4) Еслйвектор й ненулевой, то всякий вектор S
арный с нкм, можно представить (единственным образом) в
кохадзе-
виде про-
Число ,
изведения вектора Q на некоторое число Л : о=лО .
на которое надо умножить вектор чтобы получить_колли-
неарвай с ми* вектор , называется отношением вектора /
вектору О' д обозначается g : § ми -& . Это отношение по
солютнрй величине равно отношению модулей векторов g и Q ,
чем^>0 ,ееЖ векторы'cf
йротавополоадо направлены
К
при-
оет
ц л < и г если
- нуль-вектор,
В заключении этого параграфа рассмотрим несколько примеров,
показывающих, что введенные понятия полезны при решении рада гео-
метрически! И фйвическад задач.
Задача I, Доказать, что медианы треугольника проходят через
одну точку и делятся этой течкой в отведения 2:1.
Решение. Пусть Я -t Л з -щхжWteKHt_Tреух-олышк. • _ В о&ьмем
произвольную точку'0 н обовдадад да?.
Пусть /5/ середина стороны ЛгЖ • *<ЗДа (ом. рве. S) имеем:
О. V
Поэтому g,
точка Cj и ы Е ' 3
F И С* 9
3 -/
что
для точек Сг и Сз » Делящих мэ*-
дааныЖДг® Ж отношении 2:1,
иолучж то а® йиражевже (ь сижу сям-
мирив этого выражения) и е. , Гг н ^3 совладают.
Задача 2, Найти раадедейструвду® трех сил, приложенных в про-
довольной точке здоотрвнотва М » еож концы мэббрадамгх их веж-
;< находятся в вервшах правильного треугольника, вписанного
з шрриость о центром в точке С •
Решение. Имеем MAi'MC^CAi, МАрМС^СА?, МА3-МС+СА}.
Следовательно, М&+№,+МА, =
= 5£С+СА,+ёАг+СА3.
САЛСА^Я^О (почемУ ?> «
9НЭЧИТ 9
=ЗМС.
Задача 3. Доказать, что во всяком
четырехугольнике АЬС/У век«>Р ЁР ,
Соединяющий середина Е к р несмеж-
Р и с. 10
(7 и обозначим
йнх сторон I
ме векторов
Р и с. П
, равен полусум-
Доказательство. Возьмем произвольную точку
ЁА^ёГ, ОВ~Ё_,
ОС*с, СД = с/
тогда дЕ=£(Я+д\ОР*?$+с)
ЁР- ЁР-OE^P ($+с-а~ д.)
.ho/-^=4^? с^д=ДС_ и»,
следовательно, рр~ (ДВ+ДС)
Заметим, что теорема о сред-
ней линии трапеции получается как
следствие доказанного.
§ 3. Линейная зависимость и линейная независимость векторов
Линейные операции над векторами приводят нас к_ понятию их
линейной комбинации. Пусть даны векторы и числа
. Вектор^называется линейной
комбинацией векторовэтом говорят, что у
линейно выражается через векторы^, или разлагается по
этим векторам. Числа^/у^/'' называются коэффициентами ли-
нейной комбинации.
Линейные комбинации векторов обладают следующими очевидными
свойствами: I) если векторы? • коллинеарны, то любая
их линейная комбинация им коллинеарна; 2) если они компланарны,
то их любая линейная комбинация с ними компланарна (докажите эти
свойства сами). —. _ _
Определение . Система векторов£Г/? A>Z
называется линейно зависимой, если хотя бы один из ее векторов
линейно выражается через остальные,.и называется линейно незави-
симой я pjOTirv.?™ f J7V4JX?.
Говорят, что линейная комбинация
нетривиальна, если хотя бы одно из чисел о4; (Л> отлично
от нуля(</у А/? 7~'« • О ), тривиальна , если (с =
Теорема I. Для того, чтобы система векторов была линейно за-
висимой, необходимо и достаточно, чтобы существовала равная нулю
нетривиальная линейная комбинация этих векторов, _ _ _
Доказательство. Предположим^ что^система векторов
линейно зависима, причем#/Тогда-Х,^#^
-АмЛ/д; Х< = О f т.е. существует нетривиальная линейная комбина-
ция этих векторов, равная нулю (по крайней мере коэффициент при
<К, отличен от нуля).
_Пусть дана нетривиальная равная нулю линейная
причем^ О . Тогда
-••-"ЗГ.Хк, т.е. (Xz линейно выражается через
комбинация
остальные
векторы системы.
Теорема 2. Для того, чтобы система векторов была линейно не-
зависимой, необходимо и достаточно, чтобы только тривиальная ли-
нейная комбинация этих векторов была равна нулю.
Доказательство. Пусть дана система линейно независимых век-
торов (4/"? У к. • Составим их линейную комбинацию с коэф-
фициентами /г>,, '.^У^У^У^-" +У_к У к _• Докажем, что
из равенства нулю этой линейной комбинацииfay, +£, yz + ' • У=О
вытекает ее тривиальность. Действительно, если хотя бы одно из
чисел^/# ( ), то как следует из теоремы I у/ линейно
выражается через остальные векторы системы, т.е. что векторы
У> Уг >'">Ук. линейно завиримы, что невозможно. Следовательно,
Л = ...=>=«
Заметим; что тривиальная линейная комбинация любых /С векто-
ров всегда равна- нулю. Однако, если только их тривиальная ли-
нейная комбинация равна нулю, то они линейно независимы. Действи-
тельно, если бы векторы были линейно зависимы, то нашлась бы не-
тривиальная их линейная комбинация, равная нулю, что невозможно.
Из определения линейной зависимости и линейной независимости
векторов вытекает, что справедливы следующие утверждения.
1®в Если в системе векторов содержится нулевой вектор, то
векторы этой системы линейно зависимы.
2$. Если система векторов содержит подсистему линейно зави-
симых вектпрову то векторы исходной системы линейно зависимы/
3^. Если векторы данной системы линейно независимы, то и вект-
тор: любой ее подсистемы линейно независимы.
Доказать эти свойства предлагается самостоятельно| доказа-
тельства утверждений, отмеченных 0 вверху (например 2®), предо-
ставляются читателю).
Линейная зависимость и линейная независимость векторов име-
ют простой геометрический смысл.
Теорема 3, Для того, чтобы два вектора были линейно зависи-
мы, необходимо и достаточно,_чтобы они были коллинеарны.
_ Доказательство. Пусть 6СУ и X линейно зависимы. Тогда
например,<Z/ Отсюда получаем^--^ Хг и
Значит ГГ/ZZZg. Обратно, пустьХ,//Х& . Ёслиб1^-/:<7 _, то сущест-
вует такое число -4 , чтоХ< = JXg Тогда что и
доказывает линейную зависимость векторов . Если XZ = O ,то
система векторов 6С/,Xz линейно зависима, так как содержит нуле-
вой вектор.
Следствие 1°. Если два вектора неколлинеарны, то они линейно
Независимы.
Следствие 2®. Если вектор G параллелен прямой £ то
он может быть разложен по любому ненулевому вектору этой прямой,
т.е. О=А X , где ОК - произвольный ненулевой вектор прямой € ,
a J - некоторое действительное число.
Следствие 3®. Если вектор параллелен плоскости, то он может
быть разложен по любым двум неколлинеарным векторам этой плос-
кости.
Теореыя 4, Для того, чтобы три вектора были линейно зависимы,
необходимо и достаточно, чтобы они были компланарны.
Доказательство. Пусть векторы Х< , Х^ , Х} линейно зави-
симы, и,_ например По свойству (2) линейных комби-
наций Х3 компланарен с Х< и Хг . Пусть теперь Хг> X, - три
компланарных вектора. Если два из них коллинеарны, то. согласно 2й
векторы X/ , Хг < Х3 линейно зависимы. Если 6Г/ _и' Xz неколлине-
арны, то согласно следствию 3° один из векторов Cty , Xz ,XS
может быть разложен по остальным двум (рис. 12), т.е. один из
этих векторов линейно выражается через два остальных. Это значит,
что Х< , Хг , Х3 - линейно зависимы.
Р и с. 12
независю2ыУВИе 4°’ Если т₽и вектоРа некомпланарны, то они линейно
Теорема 5. Любые четыре вектора линейно зависимы.
Доказательство. Пусть 5Е/ , ,2*3 - четыре произвольных
вектора. Если два из них коллинеарны, то они (эти два) линейно за-
висимы. Отсвда^на основании предложения 2® заключаем, что данные
векторы X/ 9XZtX^, ЗГ^линейно зависимы. Предположим, что среда дан-
ных векторов нет пар параллельных векторов. Если три из них ком-
планарны, то согласно теореме 4 ^предложению 2° все четыре вектора
линейно зависимы. Пусть векторы X, >XZ t Х5 некомпланарны и X#не-
коллинеарен ни одному из них. Приведем все векторы в произвольную
точку О и обозначим их концы соответственно через А , ЬJ £ р
_________, ____ । и ,4 . Через конец ,4 вектора
I ft проведем прямую параллельную^ и
i £ _ / \ обозначим через Е точку пересече-
I \ / L ния 9Т— с плоскостью век-
/ xi<\e торов Xf (рис. 13). Тогда
। _/ векторыО£_ , Х< , Хг компланарны,
—лл - - s а_ректор£4 коллинеарен вектору
| . Х3 .Поэтому согласно теоремам 4 и
3 найдутся такие числаХ/ ,
Р и с. 13 _ .что . От-
свда, учитывая равенство3^= ОЕ+Е-А, получим##=<^#^£а^4<£4^
что доказывает линейную зависимость векторов ,Т2,1Г3,^.
Следствие 5^.'Каждый вектор пространства может быть разло-
жен по любым трем некомпланарным векторам.
Базиром ah прямой называется любой ненулевой вектор этой пря-
мой, базисом на плоскости - любые два неколлинеарных вектора этой
плоскости, базисом в пространстве - любые три некомпланарных век-
тора. . • —
Пусть векторы образуют базис в пространстве.
Тогда для любого вектора fl существуют такие числа аС/ ,<Z2
что Q=di€Эти числа называются координатами вектора
Q в базисе (<?/, Ег, Е3). Аналогично определяются координаты
вектора в базисе на прямой и на плоскости.
Теорема 6, Координаты вектора в данном базисе определяются
однозначно.
Докозательства. Проведем доказательство_для случая простран-
ства. Пусть вектор Q имеет в базисе , Ег. , два разло-
г?еажя: а~ ё< +<е2 ёг а -А г, + рг ёг+£ьёъ
Тогда, вычитая одно равенство из другого, получим: *
- ЛА + -А)ёг+(оСь -&)ё3 =а-а= д
Так как векторы £7 , , €$ линейно независимы, то <£;,-fa=O для
любого е- S, 2,3 , т.е.<< - Afi-S>2>3)9 что и требовалось доказать.
Исходя из свойств линейных операций над векторами, легко до-
казывается теорема.
Теорема 7. В данном базисе при умножении вектора на число
его координаты умножаются на это число, а при сложении векторов
складываются соответствующие координаты слагаемых.
Рассмотрим некоторые примеры.
Упр. I. Найти сумму векторов, приложенных к вершинам треу-
гольника и совпадающих с его медианами.
Решение ._Пусть в треугольни-
ке К&С, ТОЧКИ М .
А/ и Р середины сторон АВ ,ВС,
АС• Принимай#' ,_6 за. _0азис^
получим: Аё
(SiP=~CH-Z^ (рис. 14). Тогда
AN+CM+BP4.
Замечание . Тем самым доказано,' что из медиан произ-
зольного треугольника можно составить треугольщш.—
Упр. 2. Б треугольнике ABC AB-Q_,AC-В 'АЕ- биссектри-
са угла А . Найти координаты вектора АЕ в базисе О , 6 .
Решение. Имеем (рис. 15) AE-Q+ BE Ло свойству биссектри-
сы угла треугольника 727?=
Р и с. 15
и_тогда#£-= -Утт-еС ._Так как
ЕС=ВС~ВЕ^вов-а • то
ВЕ_ = откуда _
Упр. 3. В трехгранной пирамвде.ЗД^Г, SA~Q,SB=B С •
Точка /Гу - середина ребраSA • точка Кг - середина противополож-
ной стороны основания. Найти координаты вектора, идущего из вер-
шины пирамиды к середине отрезка/^ , приняв за базис тройку
векторов Q , 6 ,С •
Р и с. 16
_Решение. Имеем Jjjhc. 16)
SK^fSK.+SKt)
SK^-t-O , SK.^T-(6+.c)
Тогда SK-Tr(a+t+C)
Замечание. Пусть//, и Ьг -
середину ребер и/125 , L середина
отрезка £, Lz .. Ясно, что SL = ,
Тем самым доказана теорема. Отрезки,сое-
диняющие середины противоположных Скре-
щивающихся) ребер трехграннбй пирамиды,'
пересёкаются~в одной точке и делится
этой точкой пополам.
§ 4. Системы координат
I. Декартовой системой координат называется совокупность точ-
ки и базиса. Точка называется началом координат и обозначается че-
рез О , а три оси, сонаправленные базисным вектором и имеющие об-
щее начало в точке О - осями координат. Обычно они обозначаются
через Ох ,Оу , Ог и называются соответственно осью абсцисс, осью
ординат и осью аппликат.Плоскости, проходящие через каждые две
координатные оси, называются координатными плоскостями.
Пусть О , б/ , бг » 6$ - декартова система координат, Д -
произвольная точйа. Положение точки Д в пространстве определя-
ется вектором Опдх который^называют раДнусом-вектором точки А
(рис. 17), Пусть/Й-раз-
ложение вектора On по базис£&,^,Д . А
Координаты радиуса-вектора в бази- Ч to /
се , 6b называются координатами I* /
точки А в рассматриваемой системе | /
координат. Таким образом, каждой точке, xZ-—₽g'/
пространства ставится в соответствие : ®
упорядоченная тройка действительных
чисел (координат), которые записывают- Рис. 17
оя за точкой в скобках: А(0С,у>ё.)< Согласно теореме 6 координаты
точки определяются (в данной системе координат) однозначно. Спра-
ведливо и обратное - каждой упорядоченной тройке чисел У )
соответствует точка с координатами .
Покажем, как решаются некоторые задачи методом координат.
Задача I. Нахождение координат вектора.
• Пусть в данной декартовой системе координат заданы точки А
и 3 своими координатами (^7, ,<?/ ) и (Лг , Уz ,&z )•
АЗ~О5~ОА^ва. 18). По определению
координат ОА^е^вг+г^
Очевидно
и, следовательно,
То есть для того, чтобы найти коорди-
наты вектора, нужно из координат его
конца вычесть координаты его начала.
Задача 2. Деление отрезка в данном
(I)
отноше
Пусть даны точки f\(Xt}yn , Ь(Хг,Уг,сг) и число Л_____
прямой АЗ требуется найти такую точку С > чтобы АС ~ Л С&
. На
Обозначим (рис. 19) радиус-векторы
точек А ,3 и С_
через_2> ,%> и £
= C3=r,2?
Отсюда.
леднем равенстге к
соответственна
. Так как
, чог-г^Л(гг-~г).
Переходя в пос-
координатам, по-
/ У -f+k >
лучим
г_- М
у / 5
(3)
Задача 3, Условие коллинеарности векторов.
1!усть векторы иколлш-
неарны. Тогда существует_тадое_чисдс А , 4ToZ7~^£ Отсюда
ГГ/Д+y<ez ,у^=Ууг
Эти равенства можно записать в виде равенства отношений?
%г Уг Zz ' г , .
Обратно, пусть векторы
таковы, что имеет место равенство (4). Тогда = ^У-^Уг,
^.f=^Zz » т.е.£7=Лб и, следовательно, векторы коллинеарны.
Таким образом, для того, чтобы векторы были коллинеарны, не-
обходимо и достаточно, чтобы их координаты были пропорциональны.
2. Рассматривая координаты вектора и координаты точек мы
предполагали, что заданы определенный базис и определенная систе-
ма координат. Однако» выбор базиса и начала координат может быть
сделан произвольно, й поэтому, естественно, возникает вопрос о свя-
зи между координатами вектора в различных базисах и координатами
точки в различных декартовых системах координат.
Решим сначала задачу о нахождении координат вектора в одном
базисе_по его координатам в_другом базисе. Пусть даны два базиса
и , 6х/ , • Рассмотрим произвольны# вектор Q .
Пусть
в/ +<£гбг +^-зу (5)
<б>
Найдем связь между координатами , <Z2, и .
Дня этого разложим каждый вектор второго базиса по первому:
у
%=a«e_,+aaez<-asze_s, <’>
_ei=_atA +а.А +аюе,.
Подставляя ё^' , б'г , кз (7) в (6)* получаем;
a4>,a.t+fpa ^,а.,)ё,
Сравнивая последнее равенство с (5) в силу единственности разло-
жения вектора по базису, получим:
$>< + @а+@/з^з >
+@гз}>з > (8)
^3 ~ +@згftz •
Формулы (8) называются формулами перехода от базиса , ёг,
к базису , а матрица
@fZ G/з \
Г @zi @zz @гз I
I ^4/ @зг @зз /
матрицей перехода. В столбцах этой матрицы стоят координаты "но-
вых" базисных векторов ё/ , ё[ • £з по "старому" базису ,
@z'@t . а в ее строках - коэффициенты из формул (8), выражающие
координаты вектора d в "старом" базисе через его координаты в
"новом".
Рассмотрим теперь две декартовы системы координат: "старую"
0,ё„ё2,Зз • Пусть/| - произвольная точка.
Обозначим ее координаты в ’’старой” системе через ) , а в
"новой" - через . Выразим координаты точки Д в "старой"
системе координат через ее координаты в "новой" системе. При этом
будем считать, что нам известны координаты начала "новой" системы
координат относительно "старой". Пусть О имеет координаты ( Q ,
/,£?), а базисные векторы новой системы выражаются формулами (7).
Тогда радиус-векторы точки Д относительно точек О ж О связаны
равенством: __ _ _
______ ОА-ОО'+ОА ___________________ ______»> ..
Разложим все векторы равенства (9) по базису :
QA=^ё/+уёг+ze3; ОО^аё^бёг+сё^
х'(аЛЩ&+а,£зуу'^
Подставляя полученные разложения в (9) и сравнивая коэффициенты
при базисных векторах в обеих частях равенства, получим:
+а,гу'+а,} г'+а,
у= а*х'+аггу'+ atiz'+6,
е= а}< x'+a,ty+QKz'+c.
(10)
3 а^м е ч а н и е . Обозначим
и £>о= (с / • Тогда формулы (8) и (10) можно представить в мат-
ричной форме:
А-S3; X- SX+3,.
§ 5. Проекция вектора на ось.
Прямоугольная декавтора система координат____ -
Рассмотрим две оси и о» Если они пересекаются в некото-
рой точке Д , то углом мевду ними называется угол, на который
нужно повернуть одну из них вокруг точки Д , чтобы ее направле-
ние совпало с направлением другой оси. При атом поворот совершает-
ся в плоскости, определяемо^ осями, а угол берется в границах от
О до 9Г и обозначается^,^} или
оси иД не пересекаются. Выберем в -прбстранствё~ произволь-
ную точку 6 и проведем через нее две оси и ? соответст-
венно сонаправленные осям и (рис. 20,6). Углом между не-
пересекающимися осями и Д. назовем угол между осями 2^ и £[ .
<30
Рис.20
I. Проекция вектора на ось. Всякий вектор можно "связать” с
осью, на которой он расположен. Поэтому угол мевду вектором и
осью, а также угол мевду двумя векторами определяется Как угол
между соответствующими осями.
Пусть даны точка Д и ось £ • Через точку Д проведем пря-
мую, перпендикулярную оси. Ее пересечение с осью называется орто-
гональной проекцией точки Д на осыС •
Определение . Пусть АВ - вектор, € - ось; А ✓ -
ортогональные проекции точек Д и /3 на ось £ . Проекцией вектора
АВ на ось /f (zy> А&) называвтсячисло, равное длине вектора
Д^7£ (т.е./Д,/?,/), если векторД/J и ось € сонаправлены (рис.
21,а), и противоположное число (т.е. еслиД/3 и ось
^противоположно направлены (рис. 21,6).
Таким образом, проекция вектора на ось есть действительное
число, которое равно нулю тогда, когда вектор перпендикулярен оси.
Теорема I. Проекция вектора на ось равна произведению модуля
вектора на косинус угла_межцу ним^ осью:
№=IABJcos(AB, A) di).
Доказательство. Пусть(АВ, ~ острый угол (рис. 22,а).
Р и с. 22
Тогда изД^б ' имеем 71рс AB-IA BHABICOSW=I A BIcOS(Afy
Пусть (Ао^У^~ тупой Угол (рис. 22,6). В этом случае подучаем
прс АВ= -/AB'/=~/ABIcos(/80-4’)=/AB/cosv=/A'B/cos(AB, ?).
Из определения проекции вектора на ось и теоремы I получаем
следующие свойства проекций:
I) проекция суммы векторов на ось равна сумме проекций слага-
емых векторов на эту __ — —
Доказательство. Рассмотрим *сумму Й&х вёкторов АВ^ВС~А2 -
Проекции точек А , В и С на ось / обозначим соответственно че-
рез А » В • На оси /точки А \ В и С могут иметь шесть раз-
личных расположений: А \ В' > СА » С* *В>% в\А\С‘'9 В\С>А\
С'^А'^ С.В'.А'.
В первом случае (рис. 23,а) получаем (лв^с)=я>м/^а-
Р и с. 23
Jo втором случае (рю. гз.в>ф(AB*Bl')=ripeAC=IA'CJ л
т №^ВСЧАЖ+(-1вС1)=/АП а^лчре^&)=)пАВ^ВС.
Остальные случаи доказываются аналогично. ' ' с с
пре (Л5)=Х-пр^О. .
В этом случае говорят, что постоянный множитель Л можно вы-
носить за знак проекции. -i
Доказательство. Пусть век- |
тор Q составляет с осью угол
У. Тогда при Л >0 вектор Л О
составляет о этой осью_ также
угол у , а вектор -X.Q - угол
57-У (рис. 24). Исходя из тео-
ремы I получаем: пр£ (Лв)=1Хд1созу>=
Л1д1созу= Аща •> тгрс(-Ха) = '
=/-Л Qlcos(ft-y)=-/X alcos^=~Xiaicos4,=-Xnp£ci.
2. Декартова прямоугольная система координат.
РИС. 24'
Определение . Базис называется ортогональным, если
его некто]!’ попарю ортогональны (перпендикулярны). Декартова си-
стгмг кп?рл, -,т наььвается прямоугольной, если ее базис ортого-
нален.
Ортогональный базис, состоящий из единичных векторов, назы-
вается ортонормирбваиннм. Он имеет стандартное обозначение
В дальнейшем будем считать, что прямоугольная декартова си-
стема координат связана с ортонормировании» базисом/2,у }^).
Рассмотрим тройку некомпланарннх векторов 0^ , 03 .
4 *
правый оазис
е.<
ле^ый ffosuc
Р и с. 25
Эта тройка называется правой, если с конца третьего вектора
кратчайший поворот от первого вектора ко второму 0& виден про-
тив хода часовой стрелки, и, левой - в противном случае Срис. 25).
Правая тройке векторов может быть интерпретирована! оправленными
в разные стороны большим, указательным и- сродним пальцами правой,
руки. Леван - соответствующими пальцами левой руки. Декартову си-
стему координат называют правой (левой), если ее базис упорядочен
как правая (левая) тройка векторов. В Дальнейшем, если особо не
оговорено, систему координат будем_считатьправой. При этом ылОх
считается сонаправленкой вектору С _
_ Пусть & - произвольный вектор. Разложим его по базису с ,
f ,/С' ЧиолаХ ,у Z называются прямоугольными (
декартовыми координатами вектора и и записываются в виде#={х,у>£)
Теорема 2. Прямоугольные декартовы координаты вектора суть
проекции этого вектора на оси координат.
Доказательство. ПустьО ,с •/»/С - прямоугольная декарто-
ва система координат, ~сЪ *• произвольней вектор. Перенесем начало
вектора Q в точку О , а конец его обозначим через Д ,. Постро-
им параллелепипед с диагональю О А. Д-пя этого через точкуД про-
ведем три плоскости параллельные координатным плоскостям. Обозна-
чим точки пересечения этих плоскостей с осями координат Ох , Оу ,
Og соответственно через £>,/?, Д (рис. 26). Заметим, что по-
лученные точки - ортогональные проекции_точки Д на оси коорди-
нат; очевиднод=о^ОС+(Ао[^ ^1001=1пр,д1ООСМпряй1 ,
0№1прла1 • Покажем., ^O&zllp^O-l _• Так как0Е>~/0&/бт^ где
- °Р* вектора^ , то Qg=/тгр^СГв^ Бсли/7^ сонаправлен
4 , то 'Пр^О.-ЮВ/ 9 I И> сле-
довательно , $’ i • $ели же
Ж противоположно направлен Z ,
.ё^-1,^-^)
~rtflxQ-i -. Аналогично показы-^
вается, что _ oc^T^a j
04 ~ 71рё С№- Таким образом ,
G=rip* a* I + тд Z7 •/£.
Отсюда (в силу единственности раз-
ложения вектора по базису) следу-
ет, то7ЩсО G >7^47 ~ прямоугольные декартовы коорди-
наты вектора Q •
Следствие . Базисные ректоры имеют следупци'з коорди-
маты: - j=[0,y,0j :
Пусть вектор образует с осшш координат углы <£ 9 J& 9 У .
Рассмотрим орт Go вектора G . Очевидно, что его координатами
будут числа , 4YW , т.е,cosy } <
Косинусы углов сС р , у называются направляющим!! косинусами
вектора Q . •
§ 6. Произведения двух векторов
В векторной алгебре рассматриваются два вада произведений
двух векторов: скалярное и векторное.
Скалярное произведете двух векторов
Скалярное произведение
Определение . Скалярным произведенном двух векто-
ров называется число, равное произведению длин этих векторов на
косинус угла меаду ними. Если один из векторов нулевой, то скаляр
ное произведение по определению считается рвш ну».
векторов и О одним
. Итак, по определению и)-
s
векторов обладает еледушдаш свойст-
вами. г
а) Скалярное произведение двух векторов равно произведению мо-
дуля одного из векторов и проекции дрз&Ъго вектр^ ija направление
первого или в символической фермер
б) Лля того.чтобы два вектора были ортогонаВш^ми;неотхсдаж1 и
достаточно, чтобы их скалярное произведение было равно нулю (если
при этом считать, что нулевой вектор ортогонален любому вектору).
в) Скалярное произведение коммутативно:^ .
г) Скалярное произведение ассоциативно относительно умножения
на число (XQj 6) = А (О, 6) =(О, Хв(
д) Скалярное произведение дистрибутивно относительно сложения
_ _ (о, в+с)=(а, 6)+(а, с).
_е) (О ) >и, если и - ненулевой вектор, и (£7,<7)= 0, если
О - нулевой вектор.
Докажем, например, что скалярное произведение дистрибутивно
относительно сложения. Имеем 6-f~c) -~=lOlnp^fS^c) =
IO/(прав +npsC) =/Qlnps6+/einpaC=(a, $)+(&, с).
1 Пусть теперь векторы q и g заданы Своими координатами в не-
котором базисе^ : ^Х^УЛ +2<ё3 ‘ в-^ё^У^^
Тогда, используя свойства ^скалярного произведения, получим:
(а,1)=(х,е. +уег^eL xze, +yez +?ге5) =
-x^fa, е<)+х,уг(е<, ej+x< zz(e„ ё3)+у, хг(ёг, Z<)+yyz(ez,ez(
+У<(ez, ё3) +2txz(ё3ге,)+ё,у(ё31 ez)^z2(eb,_e3)
Если базис рртонормирован, т.е. £>-4 ,ёг =! ,е3 = К, то так как
СQ ' (/’1)= (*’*) =
получаемeJ=X^Xz^y^y+i(iz ’ *ем самым Доказано, что ска-
лярное йроизэедение двух'Лекторов в ортонормированием базисе рав-
но суше произведений одноименных коордйнат’ этих векторов.
Длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его
прямоугольных координат/^. ч • _ _ . _
Угол*/ мевду ненулевыми векторами fcXfl-i-yfj-l-gffC ъв~
’ Xit+y^j+ZziC в ортонормированием бязисе определяется по формуле
cosy. ______
Необходимым и достаточным условием ортогональности векторов
^[х#л}и Уг f заданных в ортонормированием базисе,
является равенство.
Скалярное произведение^векторов в механике можно интерпре-
тировать как работу силы р по перемещению материальной точки на
прямолинейном участке пути S \A-lPHSICOS4± где У - угол,об-
разованный направлениями силы р и движения, £ - вектор пере-
мещения.
Векторное произведение двух векторов
Огределение . Векторным произведением вектора Q
яа вектор S называется ректор С > удовлетворяю^ условпщ:
интерпретировать, на-
6)Cia,ci&; _
в) векторы (1 96 , С образуют правую тройку.
Векторное произведение вектора О на вектор i обозначается
одним из символов' или#*0 ♦
В механике векторное произведение moj
пример, как момент вектора Q , приложен-
ного в точке А -.относительно точки О :
топ!о Q=OA*Q ?
lnurnioO;=l0Al-iaisiv<f=/dl fl.
Свойства векторного произведения»
а)_Модуль векторного произведения
/СО, $Л численно равен площади паралел-
лограмма, построенного на приеденных к
общему началу векторах Q и О .
б) Векторное произведение равно нулю тогда
Р и с» 27
и только тогда, ког-
да векторы коллинеарны.
в) Векторное произведение антикоммутативноQ]*
Действительно, из условия (а) определения векторного произ-
ведения вытекает, , из условия (б) следует
коллинеарность векторов/# g] infg flj, а из условия (в) ( см.
также рис. 27) их противоположная направленность.
г) Векторное произведение ассоциативно относительно умножения
на число: [Ад,6)-ХСЗ, 6]=№,лЪ^ _
Действительно, для любых двух векторов G , о и числа А
l^a,6}l=^al^lsinaaj)
• При этом векторыб] сонаправлены. ТекйМ образам.
ела, 6] to.
д) Векторное произведение Дистрибутивно относительно сложения
Доказательство. Укажем предварительно один Способ построения
векторного произведения произвольного вектора и на любо# еди-
яичннй-вектор £ ,-Построим с началом в некоторой точке £? век ’
TopuZ2/?=Z7, urb€ и через точку V проведем плоскость (Ау пер-
пендикулярную вектору S . Пусть Л - ft 1
основание перпендикуляра,опущенного ^/1
из точки /! на плоскость (Р) (рис. /
28). Повернем вектор^/Гна угол / /
Jr по часовой стрелке, если смот- / //f 2 (р)!
реть_с кошю гора Q - Покалем,
'' - С ! а;;: '^чеиъно: р ч г
lOA^IOA'l^lol^nf^e)-l[o,eJi' OA[Lo}OAHlQ> векторы a ,
в, On" образуют правую^ тройку. Докажем теперь, что Сй+и, Со] =
=СйгСд]+[огСо], где C0--&j - орт вектора С ♦ Для_этогр пост-
роим с началом в точке Q векторы (7-^74 ,О+6=ОБ пСо=ОС (рис.
29). Проведем плоскость (Р) , проходящую через О я перпендику-
лярную Со . Пусть Д' и & осно-
вания перпендикуляров к плоско-
сти (Р) , проведенных из точек
А по . Повернем треугольник^.
ОКВ> вокруг точки О на угол
по часовой стрелке, если смот-
реть с конца вектор Со . Полу-
чим треугольник.^ 3 , в кото-
ром^- OAo-fii'fS' . Согласно
указанному выше правилу, векторы
ОВ> * О А!' и 473" _ определяют со-
_ Р и с. 29 ответственно/<7*££7, СО,Со] Л
[6 Gj’ т,е‘ ™еет иест0 равенство/77*^ Cj =[О,Со]+[6,СО] Ум-
ноЖая последнее равенство н&/С/ , тл^трО^о]/С1Со]~СОIClOe]+
f-[t,lcic.l < ‘^{а^,с]Ча,СМ6,С]
Найдем теперь выражение векторного произведения вектрров че-
рез их прямоугольные координаты. Пусть^д^/^м ,>6=ССг1. +
+ ^</^гА’. Используя свойства векторного произведения, получим:
-Г“ Jaa. —“ — 4 ь — J, — т“ <*
ЫД V^4&jty0J]+' Vyz№*&®
Отсюда, учитывая, 4to[if l]~[i. J]-EK, ^-I'O, Гс, /7= ~CJ 'f c]=£.
~х‘ V')-
CO,6]=~c^
zt
XfXt\
+IC I:
У<
VJ*.
z
В заключении этого параграфа рассмотрим две задачи.
- Задача I, Вычислить угол меаду противоположными (т.е. скре-
щивающимися) ребрами правильного тетраедра. _
Решение. 0бо_значим_5S£>~6 aSC-C -(вис. ЗО). .. Най-
дем М3, SCI Так KUK/4/J 6'Q’, то
(АЗ, sc)=(6~а> с)
как кавдый плоский... у iwi при верши-
не равен <') /т/С/С&Т-
- -^г >(а, c)=/al/e/cps f •
Следовательно,/^^ SC)-O^ т.е. ПР°“
тивоположнне ребра правильного
тетраедра ортогональны. Рис 30
Задача ?. Твердое тело повернуто вокруг оси/проходящей через
точку О и заданной единичным вектором 6 • на угол У (против
часовой стрелки, если смотреть с конца вектора £ ). Найти форму-
лу для вычисления радиус-вектора точки// , в которую переходит
при указанном вращении точка //, заданная радиус-вектором Z .
Решение. Через точку Q проведем плоскость (S) , перпендику-
лярную вектору ё • Пусть р - основание перпендикуляра, опущен-
ного из точки М на плоскость
Р и с. 31
(S) . Повернем треугольник ОРМ
на угол У вокруг оси ОЛ/. По-
лучим треугольник OP't'l , где
on=t'- искомый радиус-вектор
точки М • Пусть вектор /^ -
орт вектора 0Р , ,Р]
(рис. ’З!). Torfla£^^Z3£Vz5Jy._
Легко видеть ,_что
+ тапУ'у, =/(Pl(CO!Wp+
и,следовательно,
Z'-lO^KCOSVp+Sinif-^)^. (12)
Выразимр и ф черезZ я в . Для этого заметим, что ОР-
*tiM-PM=z-IPMIe=lffi>lp . 0ТКУДа
тоги 1131
^Ce,p]=Jfa[e,t-/PHie]=/face,tlL s_ (м)
Подставляя (13) и (14) в (12) и учитывая, что IPMI+/OMI
получим: e)e)cos<f+re, ё)ё,
§ 7. Произведение трех векторов
Из треу г<ч'и С] , 6 и С можно составить всего три раз-
личных типа iij •' i.<-п!ь.< пр^ci,6)c ; (ca,6J,c) \L-Ca,6J,c] .
Первое произведение трех векторов есть вектор, коллинеарный
вектору С (вектору, стоящему за знаком скалярного произведения).
Второе произведение называется векторно-скалярным или сме-
шанным произведением и является скалярной величиной. Ее геометри-
ческий смысл состоит в следующем. Смешанное произведение//”^ &J, С)
трех некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, пост-
роенного на приведенных к общему началу лекторах Q ,6 п С ,
если тройка векторов ,g ,С - правая, и противоположному чис-
лу, если тройка S , 6 ? - левая» Если же векторы Q, о и С
компланарны, равно нуля. В самом деле, пусть векто-
ры (7 tO , С некомпланарны. Приведем их к общему началу О и
построим на этих векторах как на ребрах параллелепипед. Оббзна-
чим площадь основания парал-
лелепипеда через S , высоту
Перез fi , а объем черм V
(рис. 3&). Положим\Га,о]=С1
Тогда//# gj, с)=(а, ^)=ldlnp^
При WMfCfl^S, bfiP(fC-h> если
Q <6 >С - правая тройка и
nptfC=-fl> если эта_тройка ле-
вая. Значит//#, с) = S(±h) .
Тагайл odpasoi^gF g$ q /= у
В случае, когда векторы Q ,g ,
С компланарны, вектор С лежит
в плоскости^ определяемой векто-
_ оами О и 6 , откуда следует,
= о ъ/го, &], c)=Q .
Смешанное произведение обладает следующими свойствами.
а) Смешанное произведение не меняется при_цицлической переста-
новке векторов в тройке, т.е.//?/ g]f с)=[Г6, CJ, d)=(fC,
ствительно, при такой перестановке не меняется ниб) 7сам параллеле-
пипед, ни ориентация тройки векторов. Заметим, что ввиду этого
для обозначения смешанного произведения применяется один из сим-
волов (<7, /, С ) или qSc .
Перестановка двух соседних множителей меняет _знак произве-
дения на противоположный. Действительно,Qgc=([j3,6], c)=-(Cg,&J,c}=
б) Необходимым и достаточным условием компланарности трех век-
Югов является равенство нулю их смешанного произведения. В са-
мом де..э, компланарность'векторов означает равенство нулю их сме-
шанного произведения. Обратно, ъыя.0бс=0, то iopu компла-
Hapih, гик кик иначе на них, как на ребрах, можно было бы постро-
ить пирнллилепипед с отличным от нуля объемом. _
bu|ia:iHM смешанное произведение векторов G , 6 , С через их
прямоугольные ,1111КПрТОШ1 координаты. ПуСТЫ/^Ху/У^Ук]
/>/:г4.г/ А I • r°raa, т.к '* н" ’ 1 -
TO
г ' 1 /^j % г3
отоьцл, в частности, вытекает, что для линейной независимо-
сти трех векторов О , 5 , С необходимо и достаточно выполнение
условия:
У/ 2i
4z Zz
Чъ г,
Третье произведение/27? 47? cj называется двойным векторным
произведением векторов О , & и С и является, очевидно, векто-
ром.
Заметим, что вектор^? 61, С] перпендикулярен вектору СО, 6J
и, следовательно, компланарен векторам Q и
вуют числа и такие, что
[Ca,8],cJ =<£а +j>6
Поэтому, сущест-
(15)
(почему ?). Так как вектор//^ 6] С] перпендикулярен и вектору
С , то согласно (15)
(otfi+pl, с)=о (16)
Из (16) ыжм№с(@,С)+}(£,ё)хО
и, полагая/2^ С)^О, получаем:
(17)
Г[(Г,С)
Подставим в (15) вместо <4. его Рис. 33
выражение из (17). Топца:
[Св, S], ё]=,^С1(а, c)-a(S,cj], <17 18>
Приведем векторы (Г ',g't с в общему началу О и выберем про-
странстве прямоугольную систему координат так, чтобы J был
компланар' О , 6 (рис. 34) . Тогда:
/of-t-oic
t-xJ+yj+Ok (Ig>
Р и с. 34
Следователям,
‘ J
пи--
Х< о о
Хг £ О
[Са,б],с]-- о о
=fC‘Xiy2.;
к.
_ ~^з Уз ^з
С другой стороны, из (18) с учетом (15) находгм:
[Са.6], c]^^-[(xj-/-yij)x, (xt x3+yz у*)]*
Сравнивая (20) и (21), получаем:
}>=(а,С). (22)
Из (22) и (18) вытекает:
[fif,lJtc]*S[a,c) -aft, с). (23) •
Произведение [G, £$, £7} также является двойным векторным про-
ааведением векторов,6,С, ^vaKo,[OfC^CjJ^£C6,8j,C] •
> самом деле, используя антикоммутативное свойство векторного про-
издаадения двух векторов и формулу (23) подучим:
Псе, cjJ - -US, и,о]^ -(efi,a)n^, о))-
(24)
При указанном выборе прямоугольной системы координат имеем:
x9)i+fc< (/г yjj,
(а, 6)с = x¥xt(x3 Г/ у3^г3к)=(х¥хе х3)с^х.(/3)^(х,хг?3)к
так, что в общем случаеи поэтому правые части
формул. (23) и (24) не совпадают.
В физике некоторые векторные величины можно записать с помо-
щью двойного векторного произведения. Так, например, кариолисово
z . \ -ускорение записывается в ваде:
ММ*> 'wc^C^,Coo,zJ]/
* где uj - вектор угловой спорости точ.
/У ; ? ~ радиус-вектор точки Д/ °W
• тельно некоторого центра О (рис.‘.%
Литература
Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры.
М.: Наука, 1980.
Дадаян А.А., Масалова Е.С. Аналитическая геометрия и элементы
линейной алгебры. Минск: Вышэйшая школа, 1981.
Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1974.
Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. М.: Наука, 1977.
Привалов И.И. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1966.
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
ца тему „Основы векторной алгебры
для студентов всех специальностей
д/о, в/о, э/о
Составители: Виктор Александрович Лункевич,
Иван Иосифович Плешкам,
Виктор Федорович Черйий
Редактор Л.С.Симова
Подписано в печать 18.06.83. Формат 60x84.1/16. Бумага тип. Ж 3.
Печать ротапринтная. Печ. л. 1,75. Тираж 1000 экэ. Заказ > 181
__________________________Бесплатно._________________________
КПИ им. С.Лазо. Кишинев, пр. Ленина, 168.
Ротапринт КПИ им. С.Лазо. Кишинев, ул. Студенческая, 9.