/
Автор: Потоскуев Е.В. Звавич Л.И.
Теги: общее школьное образование общеобразовательная школа геометрия топология математика
ISBN: 978-5-358-02728-2
Год: 2008
Текст
Е. В. Потоскуев, Л. И. Звавич
ГЕОМЕТРИЯ
Учебник для классов
с углубленным и профильным
изучением математики
Под научной редакцией
А. Р. Рязановского
10
класс
Рекомендовано
Министерством образования и науки
Российской Федерации
6-е издание, стереотипное
Обложкка книги расположена в самом конце.
Это позволило оптимизировать нумерацию страниц.
эрофа
Москва • 2008
polinom (с) 2010
УДК 373.167.1:514
ББК 22.151я721
П29
Потоскуев, Е. В.
П29 Геометрия. 10 кл. : учеб, для общеобразоват. учреждений
с углубл. и профильным изучением математики / Е. В. По-
тоскуев, Л. И. Звавич. — 6-е изд., стереотип. — М. : Дро-
фа, 2008. — 223, [1] с.: ил.
ISBN 978-5-358-02728-2
Новый учебник по стереометрии для классов с углубленным и профиль-
ным изучением математики соответствует современным тенденциям развития
школьного курса геометрии, идеям дифференциации, углубления и расши-
рения знаний учащихся. В основе концепции предлагаемого курса лежат идеи
дальнейшего формирования и развития конструктивно-пространственного
воображения, а также таких качеств учащихся, как интеллектуальная
восприимчивость и способность к усвоению новой информации, гибкость
и независимость логического мышления.
Данный учебник может быть использован учащимися общеобразователь-
ных учреждений, интересующимися математикой, для самостоятельных
занятий, а также студентами педагогических вузов и репетиторами,
занимающимися подготовкой абитуриентов.
В учебный комплект входит задачник тех же авторов, полностью соот-
ветствующий содержанию учебника.
УДК 373.167.1:514
ББК 22.151я721
ISBN 978-5-358-02728-2
© ООО «Дрофа», 2003
ПРЕДИСЛОВИЕ
Новый комплект по стереометрии для 10 класса с углублен-
ным изучением математики состоит из трех частей: учебника,
задачника по стереометрии, книги для учителя.
Настоящая книга представляет собой учебник по стереомет-
рии для 10 классов с углубленным изучением математики.
Основная часть учебника соответствует программе теоретиче-
ского курса геометрии классов с углубленным изучением мате-
матики. Изучение материала рассчитано на 3 часа в неделю (хо-
тя гораздо лучше было бы иметь 4 часа в неделю). Примерное
планирование учебного материала приведено в конце учебника.
В процессе изложения основного курса стереометрии авто-
ры предлагают и дополнительный материал. Знаки ВЙ...ВЙ
обозначают начало и окончание изложения этого материала.
Знаки Е...Е означают начало и окончание текста, связан-
ного с уже изученными в курсе планиметрии вопросами, кото-
рые авторы считают необходимым еще раз обсудить.
Символ ▼ означает окончание доказательства утверж-
дения, а символ — задача из учебника.
Помимо основного текста, содержащего теоретический ма-
териал курса геометрии, в книге имеются:
• Дополнения, в которых подробно рассматриваются неко-
торые вопросы изображения фигур в параллельной проекции
и построения сечений многогранников. Они предназначены
для более глубокого и неформального понимания материала
и овладения продуктивными методами решения стереометри-
ческих задач. Построение сечений развивает пространствен-
ное и конструктивно-логическое мышление.
• Список основных теорем стереометрии 10 класса, в кото-
ром отражается структура логически последовательного по-
строения нашего курса. Список будет также полезен при
оформлении письменного решения задач на контрольных ра-
ботах и при ответах на уроке. Этот список дает представление
о том, какие из приведенных в тексте учебника теорем авторы
считают минимально необходимыми.
«—I____________________________________________________
Предисловие
• Список задач на построение в пространстве, в котором со-
держатся опорные задачи, лежащие в основе решения боль-
шинства стереометрических задач курса.
• Метрические формулы планиметрии и стереометрии; они
в определенной мере заменят справочный материал.
• Проспект содержания учебного комплекта 11 класса.
Наглядные представления о пространстве и пространствен-
ных фигурах в той или иной мере имеет каждый выпускник,
приобретая и вырабатывая их в процессе учебной и практиче-
ской деятельности. (Некоторые из выпускников 9 классов
изучали геометрию по фузионистским учебникам и их пред-
ставления о стереометрии уже довольно-таки широки.) Этим
обстоятельством мы пользуемся в учебнике.
Мы считаем, что такие понятия, как пространство, плос-
кость, параллельность и перпендикулярность прямых и плос-
костей, а также куб, тетраэдр, параллелепипед, призма, пи-
рамида, шар и другие на интуитивном уровне выпускникам
9 класса уже известны. Мы не ставили целью построение кур-
са стереометрии на строго аксиоматической основе; о возмож-
ности такого построения вы сможете прочесть в «Дополне-
ниях» к учебнику 11 класса.
Трудности, которые могут возникнуть буквально с первых
уроков стереометрии, связаны не столько с абстрактным ха-
рактером материала, сколько с отличиями между плоскими и
пространственными фигурами. Чтобы усвоение материала
строилось не на заучивании, а приобретенные знания не были
формальными, целесообразно с самого начала изучение теоре-
тического материала сопровождать построениями изображе-
ний пространственных фигур и соответствующими последую-
щими построениями на этих изображениях. Полезно также
внимательнее изучать и даже воспроизводить стереометриче-
ские чертежи. Таких чертежей в книге несколько сотен, ряд
из них дан в динамике развития построения. Стоит изучать и
модели пространственных фигур, а несколько таких моделей
изготовить самому. Опыт показывает, что время, затраченное
на решение задач такого рода, окупается при изучении после-
дующих разделов стереометрии: при решении таких задач ак-
сиомы и теоремы усваиваются сознательно, а следовательно,
сохраняются в нашей памяти.
В настоящей книге многое поясняется с помощью изобра-
жений куба, параллелепипеда, призмы, пирамиды. И хотя
__________________________________________________I____5
Предисловие
многогранники будут подробно рассмотрены лишь в 11 клас-
се, такое опережающее знакомство с «устройством» упомяну-
тых многогранников позволит увереннее «войти в стереомет-
рию», «наглядно увидеть» параллельные и перпендикулярные
прямые и плоскости, обнаруживая при этом определенную
аналогию между тетраэдром и треугольником, кубом и квад-
ратом, а также и существенные их различия.
Построение сечений многогранников является одним из
опорных разделов в изучении стереометрии. В данной книге
сечения многогранников строятся сначала на основании акси-
ом и следствий из них, а затем, в «Дополнениях», — с приме-
нением все новых и новых теорем и приемов. Построение сече-
ний многогранников делает предмет стереометрии нагляд-
ным, доступным и интересным, формирует конструктивные
пространственные представления.
Большое внимание в этом учебнике уделяется изучению
элементов векторной алгебры и координатного метода в про-
странстве. Дело в том, что векторный и координатный, а так-
же векторно-координатный методы могут быть успешно ис-
пользованы при решении широкого круга содержательных
геометрических задач на параллельность и перпендикуляр-
ность прямых и плоскостей, нахождение углов и расстояний
между ними, вычисление площадей поверхностей и объемов
геометрических фигур. Следует заметить, что векторный ме-
тод решения задач иногда оказывается проще «элементар-
но-геометрического» метода. Кроме того, методы векторной
алгебры широко используются при учебе в вузах.
Активное и эффективное изучение стереометрии возможно
лишь при условии решения достаточно большого числа задач
различной степени сложности. Поэтому вторая часть комп-
лекта представляет собой задачник, содержащий более 1000 за-
дач и строго соответствующий изложению теоретического
курса. Теоретическому материалу каждого параграфа учебни-
ка соответствует набор задач в соответствующем параграфе за-
дачника. Главы и параграфы задачника имеют ту же нумера-
цию и те же названия, что и главы и параграфы учебника.
В учебнике дано приблизительное планирование учебного
материала, которое после апробации учебника будет детали-
зировано в книге для учителя. Там же будут опубликованы
примерные контрольные и самостоятельные работы. До опуб-
6 I
Предисловие
ликования книги для учителя материалы для составления
самостоятельных и контрольных работ можно брать как из
задачника, так и из книг «Геометрия. 8—11 классы. Дидакти-
ческие материалы». Л. И. Звавич и др. М.: Дрофа, 2000.
Авторы выражают благодарность рецензентам учебника
доктору педагогических наук, профессору Ирине Михайловне
Смирновой, заслуженному учителю России, кандидату педа-
гогических наук учителю школы 420 г. Москвы Борису Пет-
ровичу Пигареву, учителю школы 1741 г. Москвы Илье Ев-
геньевичу Феоктистову. Авторы отмечают неоценимую по-
мощь в подготовке рукописи к печати учителя математики
Тамары Николаевны Потоскуевой.
Авторы будут благодарны за все замечания, присланные по
адресу: 121096, Москва, а/я 534, Звавичу Л. И. или 445030,
г. Тольятти, Потоскуеву Е. В. до востребования.
7
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ
Геометрические фигуры
А, В, С,М, P,Q — точки;
а, Ь, с, ..., т,р, q — прямые;
АВ — прямая, проходящая через точки А и В;
а, Р, у— плоскости;
(АВС) — плоскость, проходящая через точки А, В и С (т. е.
плоскость АВС);
(а; А) — плоскость, проходящая через прямую а и точку А;
A(BC)D — двугранный угол с ребром ВС и гранями АВС и
DBC;
аар — двугранный угол с ребром а и гранями аир;
Z (а, Ь) — угол между прямыми а и Ь;
Z (а, а) — угол между прямой а и плоскостью а;
Z (а, Р) — угол между плоскостями аир.
Отношения между геометрическими фигурами
= — равенство;
<z> — подобие;
II — параллельность;
± — перпендикулярность;
е — принадлежность элемента множеству;
с — включение одного множества в другое;
п — пересечение множеств;
и — объединение множеств.
Например:
А АВС = А А1В1С1 — треугольник АВС равен треугольни-
ку AjBjCp
А АВС оэ A AjBjCj^ — треугольник АВС подобен треуголь-
нику А^В/^;
а II а — прямая а параллельна плоскости а;
а ± а — прямая а перпендикулярна плоскости а;
L_J____________________________________________________
Условные обозначения
Aea — точка А принадлежит плоскости а или плоскость а
проходит через точку А1;
аса — прямая а лежит в плоскости а или плоскость а про-
ходит через прямую а;
А ё а — точка А не принадлежит плоскости а или плос-
кость а не проходит через точку А;
а <z а — прямая а не лежит в плоскости а или плоскость а
не проходит через прямую а;
о п а = А — прямая а пересекает плоскость а в точке А или
плоскость а пересекает прямую а в точке А.
Величины
АВ, |АВ|, р(А; В) — длина отрезка АВ или расстояние меж-
ду точками А и В;
р(Фр Ф2) — расстояние между фигурами Фх и Ф2;
А(ВС)В — величина двугранного угла;
(а; &) — величина угла между прямыми а и Ь;
(а; а) — величина угла между прямой а и плоскостью а;
(а; Р) — величина угла между плоскостями аир.
Прочие символы
=> — знак следования; заменяет слова «следовательно»,
«поэтому» и т. п.;
<=> — знак равносильности; заменяет слова «тогда и только
тогда», «равносильно» и т. п.
1 Мы не будем в дальнейшем различать высказывания «точка
принадлежит плоскости (прямой)» и «точка лежит в (на) плоскости
(прямой)», хотя второе высказывание является более «разговор-
ным».
Глава
ВВЕДЕНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИЮ
§1 . Предмет стереометрии.
Основные понятия
Раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на
плоскости (плоских фигур), называется планиметрией. Раз-
дел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в про-
странстве (пространственных фигур), называется стерео-
метрией.
Слово «стереометрия» состоит из греческих слов «сте-
реос» — телесный, пространственный и «метрео» — изме-
ряю.
При изучении математики вы уже встречались с основными
понятиями стереометрии: точками, прямыми и плоскостями,
а также расстояниями. На интуитивном уровне вы, скорее
всего, уже говорили:
• о принадлежности точки прямой или плоскости;
• о взаимном расположении прямых в пространстве (парал-
лельны, пересекаются или скрещиваются);
• о взаимном расположении прямой и плоскости (прямая
лежит в плоскости, пересекает ее или ей параллельна);
• о взаимном расположении двух плоскостей (плоскости пе-
ресекаются или параллельны).
Всюду в дальнейшем выражения «две точки», «две пря-
мые», «две плоскости» следует понимать соответственно так:
две различные точки, две различные прямые, две различные
плоскости.
При изучении стереометрии мы будем пользоваться рисун-
ками, чертежами: они помогут нам понять, представить, про-
иллюстрировать содержание того или иного факта, суть поня-
тия, представить то, о чем идет речь в задаче, теореме.
10 | Глава 1
Введение в стереометрию
Более того, интуитивное, живое пространственное
воображение в сочетании со строгой логикой мышле-
ния — это ключ к изучению стереометрии. Поэтому
прежде, чем приступить к пониманию сущности аксиомы, оп-
ределения, доказательству теоремы, решению геометриче-
ской задачи, постарайтесь наглядно представить, вообразить,
нарисовать фигуры, о которых идет речь. «Мой карандаш
бывает еще остроумней моей головы», — признавался
великий математик Леонард Эйлер (1707—1783).
Однако при строгом подходе к изучению геометрии рисунок
не имеет доказательной силы, даже если он выполнен безуп-
речно. И тем не менее, верно, наглядно и хорошо выполнен-
ный рисунок (чертеж) к задаче — это надежный помощник
при ее решении.
В научной литературе доказательство должно основываться
лишь на логических умозаключениях. В школьном же курсе
геометрии из-за громоздкости ряда рассуждений, многообра-
зия различных частных случаев при доказательствах теорем,
с одной стороны, и ограниченности времени, с другой сторо-
ны, порой приходится жертвовать логической строгостью,
прибегая к наглядности, что является вполне допустимым и
разумным.
§2 . О некоторых
пространственных фигурах
Хотя изучение пространственных фигур нам еще предстоит,
мы будем использовать отдельные виды многогранников при
рассмотрении ряда вопросов стереометрии.
Напомним некоторые сведения о многогранниках и дадим
каждому многограннику наглядное описание.
Многогранник представляет собой тело, поверхность кото-
рого состоит из конечного числа плоских многоугольников
(рис. 1—10). Эти многоугольники называются гранями мно-
гогранника, а стороны и вершины многоугольников называ-
ются соответственно ребрами и вершинами многогранни-
ка. Многогранники могут быть выпуклыми (рис. 1) и невы-
пуклыми (рис. 2). Выпуклый многогранник расположен по
одну сторону относительно плоскости, проходящей через лю-
бую его грань. (Мы будем изучать только выпуклые много-
гранники.)
1
11
§2. О некоторых пространственных фигурах
Приведем примеры отдельных многогранников.
Куб представляет собой многогранник, у которого шесть
граней, и все они — равные квадраты. У куба 12 равных ребер
и 8 вершин (рис. 3).
Параллелепипед представляет собой многогранник, у ко-
торого шесть граней, и каждая из них — параллелограмм. Па-
раллелепипед может быть прямым (рис. 4) или наклонным
(рис. 5).
Параллелепипед, все грани которого прямоугольники, на-
зывают прямоугольным. Прямоугольный параллелепипед
изображается также, как прямой. Из сказанного следует, что
куб — это прямоугольный параллелепипед с равными реб-
рами.
п-уголъная пирамида представляет собой многогранник,
одна грань которого, называемая основанием пирамиды, —
некоторый выпуклый n-угольник, а остальные п граней —
треугольники с общей вершиной (рис. 6). Эта общая вершина
называется вершиной пирамиды, а треугольники — боко-
Рис. 4
Рис. 5
Рис. 6
12 | Глава 1
Введение в стереометрию
выми гранями пирамиды. Отрезки, соединяющие вершину
пирамиды с вершинами ее основания, называются боковыми
ребрами пирамиды. Пирамида, в основании которой лежит
правильный n-угольник, а боковые ребра равны между собой,
называется правильной пирамидой (рис. 7). Пирамида, в ос-
новании которой лежит треугольник, называется треуголь-
ной пирамидой или тетраэдром. Таким образом, тетра-
эдр — это четырехгранник. Все его четыре грани — треуголь-
ники. Тетраэдр, все четыре грани которого — равные пра-
вильные треугольники, называется правильным тетраэд-
ром (рис. 8). Правильный тетраэдр — частный случай пра-
вильной треугольной пирамиды.
п-уголъная призма представляет собой многогранник, две
грани которого, называемые основаниями призмы, — рав-
ные n-угольники, а все остальные п граней — параллелограм-
мы. Они называются боковыми гранями призмы; Призма
может быть прямой (рис. 9) или наклонной (рис. 10). У пря-
мой призмы все боковые грани — прямоугольники, у наклон-
ной призмы хотя бы одна грань — параллелограмм, не являю-
щийся прямоугольником.
_______________________________________________I—'3
$ 3. Аксиомы стереометрии
Параллелепипед — это призма, в ----
основании которой лежит паралле- /
лозрамм» /, ~~ •*.
Кроме многогранников мы будем изу- г 4 J
чать также свойства сферы, шара и дру- L * J
гих пространственных фигур. ______
Сферой называется множество всех \ у
точек пространства, удаленных от дан-
ной точки, называемой центром сфе-
ры, на одно и то же расстояние (рис. 11). Рис*11
Отрезок, соединяющий любую точку сферы с ее центром, на-
зывается радиусом сферы. Радиусом сферы называют также
расстояние от любой точки сферы до ее центра. Для сферы,
как и для окружности, определяются хорды и диаметр.
Шаром называется множество всех точек пространства,
расстояние от каждой из которых до данной точки — центра
шара — не превосходит данного положительного числа, кото-
рое называется радиусом шара.
Шар и куб — примеры геометрических тел, сфера и
плоскость — примеры поверхностей.
§ 3. Аксиомы стереометрии
Слово «аксиома» греческого происхождения и в переводе оз-
начает истинное, исходное положение теории.
Из курса планиметрии мы знаем, что плоскость — это
множество, элементами которого являются точки и
в котором выполняется система аксиом планимет-
рии, описывающая свойства точек и прямых.
Аналогично, пространство — это множество, элемен-
тами которого являются точки и в котором выполня-
ется система аксиом стереометрии, описывающая
свойства точек, прямых и плоскостей.
Иначе говоря, система аксиом стереометрии дает описание
свойств пространства и основных его элементов. Понятия
«точка», «прямая» и «плоскость», «расстояние» прини-
маются без определений: их описание и свойства содержатся в
аксиомах. Аксиомы играют для них роль «неявных определе-
ний». С другой стороны, понятия «точка», «прямая»,
«плоскость» имеют наглядный смысл, отраженный на чер-
тежах или рисунках.
14 | Глава 1
Введение в стереометрию
В научных работах по геометрии свойства геометрических
фигур изучаются в отвлеченном (абстрактном) виде со строгой
логической обоснованностью.
Данный курс стереометрии, разумеется, не основан на стро-
гом аксиоматическом методе его изложения, однако знаком-
ство со списком аксиом стереометрии необходимо. Не всеми
из этих аксиом в явном виде и в равной мере мы будем пользо-
ваться в дальнейшем при изучении стереометрии, но особо хо-
тим обратить ваше внимание на аксиомы jRp jR2, jR3, jR4, jR5.
Подробнее о логическом построении различных геометрий
мы поговорим в 11 классе.
Изучение пространства приводит к необходимости расши-
рения системы аксиом планиметрии. Система аксиом стерео-
метрии, таким образом, состоит из всех аксиом планиметрии
и новой группы аксиом, в которых выражены свойства взаим-
ного расположения точек, прямых и плоскостей в пространст-
ве.
Аксиома ДР В пространстве существуют плоскости. В каж-
дой плоскости пространства выполняются все аксиомы плани-
метрии.
Эта аксиома дает нам право рассматривать в любой плоскос-
ти пространства отрезки, прямые, треугольники, многоуголь-
ники, окружности и другие плоские фигуры со всеми их свой-
ствами, которые изучались в планиметрии. Например, если
прямая а и не принадлежащая ей точка М лежат в некоторой
плоскости а, то в этой плоскости можно провести через точку
М прямую, параллельную прямой а, и притом только одну.
ГП Обратите внимание. В планиметрии иллюстрация ре-
шения этой задачи состояла в построении данных пря-
мой а, точки М и искомой прямой m (М е m, ш || а)
(рис. 12).
пг М
tl
а
Рис. 12
15
§ 3. Аксиомы стереометрии
В стереометрии иллюстрацию решения упомянутой зада-
чи необходимо начинать с изображения данной плоскости а,
(рис. 13). Затем в плоскости а проводим данную прямую а.
Отмечаем данную точку М £ а и строим искомую прямую тп:
М е ш, m || а.
Аксиома Я2 (аксиома плоскости). Через любые три точки, не
принадлежащие одной прямой, можно провести плоскость, и
притом только одну.
На рис. 14 проиллюстрировано содержание аксиомы R2:
плоскость а проходит через точки А, В, С — концы трех
стержней, не принадлежащие одной прямой, а плоскость р
проходит через другие концы М, К и Р этих стержней, также
не принадлежащие одной прямой.
ба Три точки, принадлежащие одной прямой, назы-
ваются коллинеарными, а три точки, не принадле-
жащие одной прямой, — неколлинеарными. Так, три
вершины треугольника неколлинеарны, а середины основа-
ний трапеции и точка пересечения ее диагоналей коллинеар-
ны. Вообще, все точки одной прямой коллинеарны,ба
Плоскость, которая проходит через три точки А, В и С, не
принадлежащие одной прямой (С £ АВ), обозначают символи-
чески (АВС); если этой плоскостью является плоскость а, то
пишут а = (АВС) или (АВС) = а. (В таком случае также гово-
рят, что три неколлинеарные точки в пространстве
определяют плоскость.)
Стол, имеющий три ножки, не может качаться на плоском
полу. Его устойчивость объясняется тем, что концы трех его
ножек (три точки) принадлежат одной плоскости — плоскос-
Рис. 13
Рис. 14
16 | Глава 1
Введение в стереометрию
ти пола, но не принадлежат одной прямой. Плохо сделанный
стол на четырех ножках качается на плоском полу, и под одну
из его ножек что-нибудь стараются подложить.
Через любые две точки А и В в пространстве можно
провести плоскость а. По аксиоме в этой плоскости
выполняются все аксиомы планиметрии. Согласно одной из
этих аксиом через точки А и В можно провести единственную
прямую.
Аксиома Я3. Какова бы ни была плоскость, существуют точ-
ки, принадлежащие этой плоскости, и точки, не принадлежа-
щие ей.
Данной аксиомой утверждается, что для любой плоскости в
пространстве можно выбрать любое количество точек в этой
плоскости, равно как и сколько угодно точек вне ее. В случае,
если точка А лежит в (принадлежит) плоскости а, то записы-
вают: А е а и говорят, что плоскость а проходит через
точку А. Если точка А не принадлежит плоскости а, то запи-
сывают: А £ а и говорят, что плоскость а не проходит че-
рез точку А. На рисунке 15 плоскость а проходит через точ-
ку А, но не проходит через точку В.
Аксиома Д4 (аксиома прямой и плоскости). Если прямая прохо-
дит через две точки плоскости, то она лежит в этой плоскости
(рис. 16).
ГП Если прямая а лежит в плоскости а, то записывают:
(Не путать знак «с» со знаком «е». Прямая a
представляет собой множество точек, которое является
подмножеством множества точек плоскости а. Поэтому
в данном случае используют не знак принадлежности
«е », а знак включения «с» одного множества в другое.)
17
§ 3. Аксиомы стереометрии
Итак, из аксиомы В4 следует: (М е a, N е а) => MN = а;
аса (рис. 16). При этом также говорят, что плоскость а про-
ходит через прямую а (через прямую MN).
В пространстве прямая может не лежать в данной плоскос-
ти, но иметь с этой плоскостью ровно одну общую точку.
В этом случае говорят, что прямая и плоскость пересека-
ются.
Определение. Прямая и плоскость, имеющие ровно
одну общую точку, называются пересекающимися.
Если прямая а пересекает плоскость а в точке В (рис. 17),
то символически записывают: а п а = В или В = а п а.
□ Важное замечание. Заметим, что запись «а п а» не
может заменить фразу: «прямая а пересекает плос-
кость а», так как эта запись имеет совершенно другой
смысл. Запись «а п а» означает множество всех общих
точек прямой а и плоскости а; это множество может
быть пустым, состоять из одной точки, а может содер-
жать и всю прямую а.
Существуют ли в пространстве прямые, пересекающие дан-
ную плоскость? С одной стороны, ответ очевиден — конечно,
существуют; однако посмотрим, каким образом аксиомы по-
зволяют обосновать существование таких прямых.
Прямую, пересекающую данную плоскость а, можно полу-
чить следующим образом. На основании аксиомы R3 выберем
произвольную точку А вне плоскости а и произвольную точ-
ку В в плоскости а (рис. 18). Тогда прямая т = АВ является
искомой: она имеет общую точку В с плоскостью а и не лежит
в этой плоскости, так как точка А выбрана вне плоскости а.
Значит, прямая АВ имеет с плоскостью а единственную об-
щую точку — точку В, а поэтому пересекает плоскость а в
точке В. Таким образом, прямые, пересекающие данную плос-
кость, в пространстве существуют.
Рис. 17
Рис. 18
18 | Глава 1
Введение в стереометрию
Аксиома Я5 (аксиома пересечения плоскостей). Если две плос-
кости имеют общую точку, то пересечение этих плоскостей
есть их общая прямая.
Аксиома Я5 утверждает, что если две плоскости аир имеют
общую точку М, то они имеют некоторую общую прямую а,
которая проходит через точку М (рис. 19). Кроме того, из этой
аксиомы следует,, что у плоскостей а и Р нет общих точек вне
их общей прямой а. В таком случае говорят, что плоскости а
и р пересекаются по прямой а и записывают: a r> р = а или
a = а п р.
Рис. 19
Если мы возьмем две фигуры Фх и Ф2, имеющие общие точ-
ки и лежащие соответственно в двух различных пересекаю-
щихся плоскостях, то все эти общие точки лежат на одной
прямой и представляют собой либо отрезок, либо луч, либо от-
дельные точки, либо всю прямую, либо объединение несколь-
ких отрезков, лучей или точек фигур. Вот почему, например,
плоскость, пересекающая грань куба, имеет с этой гранью ли-
бо общую точку, либо общий отрезок.
Определение. Две плоскости, имеющие общую точку
(следовательно, общую прямую), называются пересе-
кающимися плоскостями.
Ш Аксиома Я6 (аксиома разбиения пространства плоскостью).
Любая плоскость а разбивает множество не принадлежащих
ей точек пространства на два непустых множества так, что:
а) любые две точки, принадлежащие разным множествам,
разделены плоскостью а; б) любые две точки, принадлежащие
одному и тому же множеству, не разделены плоскостью а.
1
19
§ 3. Аксиомы стереометрии
Проиллюстрируем смысл этой ак-
сиомы. На рисунке 20 изображена
плоскость а. Она разбивает множест-
во всех не принадлежащих ей точек
пространства на два непустых множе-
ства Р и Q, которые не имеют общих
точек. Это разбиение обладает сле-
дующим свойством: если две точки,
например А и В, принадлежат одному
и тому же множеству Р, то отрезок
АВ не пересекает плоскость а. Это оз-
начает, что точки А и В не разделены
плоскостью а. Если же точки, например А и С, принадлежат
разным множествам (А е Р, С е Q), то отрезок АС пересекает
плоскость а. Это означает, что точки АиС разделены плоско-
стью а.
Все пространство (в нашем случае) является объединением
точечных множеств Р, Q и плоскости а. Объединение Р и а
множества Р и плоскости а называется полупространст-
вом, ограниченным плоскостью а. Плоскость а, ограничиваю-
щая это полупространство, называется его границей. Анало-
гично, объединение Qu а является также полупространством
с границей а.
Таким образом, пространство является объединением двух
полупространств, границей каждого из которых является
плоскость а. Изменение положения плоскости а влечет за со-
бой разбиение пространства в объединение новых полупрост-
ранств. ИЙ
Аксиома Д7 (аксиома расстояния). Расстояние между любыми
двумя точками пространства одно и то же на любой плоскос-
ти, проходящей через эти точки.
Смысл этой аксиомы состоит в следующем. По аксиоме jRx в
каждой плоскости выполняются аксиомы планиметрии. Сле-
довательно, на каждой плоскости любым двум точкам А и В
ставится в соответствие положительное число — расстояние
между ними на этой плоскости. Хотя через точки А и В прохо-
дят одновременно различные плоскости (рис. 21), аксиома jR7
утверждает, что расстояние между точками А и В будет одно и
то же на каждой из этих плоскостей.
2*
20 | Глава 1
Введение в стереометрию
Расстояние между точками Ан В будем обозначать симво-
лом АВ, либо р(А; В), либо |АВ| в зависимости от контекста,
если речь идет о длине отрезка АВ.
При выбранной единице измерения расстояние между лю-
быми двумя точками выражается положительным числом,
которое показывает, сколько единиц измерения длин и частей
этой единицы измерения содержится в данном расстоянии.
Так как число, выражающее расстояние между точками, за-
висит от выбранной единицы измерения, то единица измере-
ния длин (см, дм, мит. д.) пишется после этого числа. На-
пример, если единица измерения длин — см, а численное зна-
чение расстояния между точками А и В равно 9, то пишут
АВ = 9 см. Если же единичный отрезок не имеет названия, то
пишут АВ = 9, имея в виду АВ = 9 ед.
§ 4. Следствия из аксиом.
Способы задания плоскости
Рассматриваемые здесь простейшие следствия из аксиом бу-
дут играть в дальнейшем важную роль. Они почти очевидны,
но доказываются; их доказательства приведены с целью пока-
зать на примерах строгую логическую обоснованность каждо-
го шага рассуждения со ссылками на соответствующие акси-
омы и ранее доказанные теоремы.
____________________________________________L2'
§ 4. Следствия из аксиом. Способы задания плоскости
Теорема 1. Через любую прямую и не принадлежа-
щую ей точку можно провести плоскость, и притом
только одну.
Доказательство. Пусть даны прямая а и не принадлежа-
щая ей точка А.
Выберем на прямой а любые точки В и С (рис. 22). Через
точки В и С проходит только одна прямая — прямая а. Так
как точка А по условию теоремы не принадлежит прямой а,
то точки А, В и С не принадлежат одной прямой.
По аксиоме В2 через точки А, В и С проходит только одна
плоскость — плоскость АВС, которую обозначим а. Прямая а
имеет с ней две общие точки — точки В и С, следовательно, по
аксиоме В4 эта прямая лежит в плоскости а. Таким образом,
плоскость а проходит через прямую а и точку А и является
искомой.
Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую
а и точку А ё а, не существует.
Предположим, что есть другая плоскость — ар проходящая
через точку А и прямую а. Тогда плоскости а и 04 проходят
через точки А, В и С, не принадлежащие одной прямой, а зна-
чит, совпадают. Следовательно, плоскость а единственна. Тео-
рема доказана. ▼
Определение. Две прямые в пространстве называют-
ся пересекающимися, если они имеют ровно одну об-
щую точку.
Теорема 2. Через любые две пересекающиеся прямые
можно провести плоскость, и притом только одну.
Доказательство. Пусть данные прямые а и Ь пересека-
ются в точке С (рис. 23). Выберем на прямых аиЬ любые точ-
22
Глава 1
Введение в стереометрию
ки А и В, отличные от С: А е а, В е Ъ. Тогда три точки А, В и
С не принадлежат одной прямой (почему?), и по аксиоме В2
через них можно провести только одну плоскость. Обозначим
ее а.
Точки А и С прямой а принадлежат плоскости а, значит,
плоскость а проходит через прямую а (аксиома В4). Плос-
кость а проходит и через прямую &, так как точки В и С этой
прямой принадлежат плоскости а.
Таким образом, плоскость а проходит через прямые а и &,
следовательно, является искомой.
Докажем единственность плоскости а. Допустим, что есть
другая, отличная от плоскости а и проходящая через прямые
а и &, плоскость р.
Так как плоскость р проходит через прямую а и не принад-
лежащую ей точку В, то по теореме 1 она совпадает с плоско-
стью а. Единственность плоскости а доказана. ▼
Определение. Две прямые в пространстве называют-
ся параллельными, если они лежат в одной плоскости
и не пересекаются.
Если прямые а и & параллельны, то пишут а || &.
Теорема 3. Через две параллельные прямые можно
провести единственную плоскость.
Доказательство. Пусть а и & — данные параллельные
прямые. Из определения параллельных прямых следует, что
через прямые а и & можно провести плоскость. Обозначим ее а
(рис. 24) и убедимся, что она единственна.
Допустим противное. Пусть существует другая плоскость,
отличная от а, которая содержит каждую из прямых а и &.
Обозначим эту плоскость р.
Рис. 23
Рис. 24
| 23
§ 4. Следствия из аксиом. Способы задания плоскости
Выберем на прямой а точки В и С, на прямой Ь — точку А.
В силу параллельности прямых а и & точки А, В и С не прина-
длежат одной прямой.
Каждая из плоскостей аир содержит обе прямые а и &, зна-
чит, каждая из них проходит через точки А, В и С. Но по ак-
сиоме В2 чеРез эти точки можно провести лишь одну плос-
кость. Следовательно, плоскости а и Р совпадают. Теорема до-
казана. ▼
Из аксиомы В2 и теорем 1, 2 и 3 следует, что плоскость
в пространстве можно задать:
• тремя точками, не принадлежащими одной прямой;
• прямой и не принадлежащей ей точкой;
• двумя пересекающимися прямыми;
• двумя параллельными прямыми.
В дальнейшем мы узнаем, что задать плоскость в простран-
стве можно и другими определяющими ее элементами.
Применяя аксиомы стереометрии и первые следствия из
них, мы можем решать стереометрические задачи, то есть
задачи, в которых исследуются некоторые свойства геометри-
ческих фигур, расположенных в пространстве. К стереометри-
ческим относятся, например, задачи на построение сечений
многогранников плоскостями.
Сечением многогранника плоскостью является много-
угольник, представляющий собой множество всех точек про-
странства, принадлежащих одновременно данным многогран-
нику и плоскости, плоскость при этом называется секущей
плоскостью.
Как мы уже говорили при обсуждении аксиомы Л5, плос-
кость не может пересечь грань многогранника по ломаной,
а имеет с ней либо общий отрезок, либо общую точку (верши-
ну многогранника), либо не имеет с ней общих точек. Число
сторон многоугольника-сечения не может превышать числа
граней многогранника. Причем если пересечением плоскос-
ти и многогранника является точка (вершина много-
гранника) или отрезок (ребро многогранника), то эту
плоскость мы не будем называть секущей.
В качестве примера построения сечения многогранника
плоскостью решим следующую задачу.
24
Глава 1
Введение в стереометрию
ЗАДАЧА. Дана четырехугольная пирамида PABCD с вер-
шиной Р. Постройте сечение этой пирамиды плоскостью
а = (МНК), где Me РС,Не РВ,Ке PD (рис. 25).
Решение. Так как две плоскости пересекаются по прямой,
а прямая и плоскость — в точке, то сечением многогранника
(в данном случае — пирамиды) плоскостью является плоский
многоугольник. Вершинами этого многоугольника служат
точки пересечения секущей плоскости с ребрами многогран-
ника (или с прямыми, содержащими его ребра). Это означает,
что для построения искомого сечения пирамиды плоскостью а
достаточно построить точки ее пересечения с прямыми, содер-
жащими ребра пирамиды, после чего последовательно их со-
единить отрезками прямых.
У нас точки М, К и £Г, через которые проходит секущая
плоскость, принадлежат ребрам пирамиды, значит, эти точки —
вершины искомого сечения. Отрезок, который соединяет две
вершины, принадлежащие одной грани пирамиды, является
стороной искомого сечения. Поэтому, проведя отрезки МК и
МН, получаем две стороны искомого сечения, лежащие в гра-
нях соответственно CPD и ВРС.
Для построения оставшихся вершин, а следовательно, и
сторон многоугольника-сечения построим точки пересечения
плоскости а с прямыми, содержащими другие ребра пирами-
ды. Из рисунка 25 видно, что для построения этих вершин
удобно использовать прямые, содержащие ребра ВС и CD.
Найдем точку пересечения плоскости МНК с прямой ВС.
Рис. 25
I 2=
§ 4. Следствия из аксиом. Способы задания плоскости
Рис. 26
26 | Глава 1
Введение в стереометрию
□ Обратите внимание! Точка пересечения прямой
ВС с плоскостью сечения есть точка пересечения этой
прямой с прямой, лежащей в плоскости сечения и
в плоскости грани ВСР. Этой прямой является пря-
мая МН.
Пусть X — точка пересечения прямых ВС и МН. Тогда
точка X — точка пересечения плоскости МНК с прямой ВС.
Аналогично, точка Y пересечения прямых CD и МК явля-
ется точкой пересечения прямой CD и секущей плоскости
МНК, так как прямая МК лежит в секущей плоскости.
Таким образом, точки X и Y принадлежат как плоскости
основания ABCD, так и секущей плоскости МНК. Значит,
XY — прямая пересечения этих плоскостей. Она пересека-
ет ребра АВ и AD соответственно в точках L и Л, которые слу-
жат также вершинами искомого сечения. Тогда пятиугольник
MHLRK — искомое сечение пирамиды PABCD.
Итак, «цепочка шагов построения» вершин искомого се-
чения такова: 1. X = ВС п МН. 2. Y = CD п МК. 3. L =
= XY п АВ. 4. R = XY n AD. Последовательно соединив эти
точки отрезками, получаем пятиугольник MHLRK — иско-
мое сечение пирамиды PABCD.
Динамика построения этого сечения видна на рисунке 26.
§ 5. Рисунки на доске и в тетради
Очень многие «беды» начинающих изучать стереометрию про-
исходят от неумения сделать правильный и удобный («конст-
руктивный» для решения задачи) рисунок, или чертеж (мы не
различаем эти понятия). Причем речь идет сейчас вовсе не об
аккуратности, а о смысловой нагрузке чертежа.
Чертеж в стереометрии резко отличается от чертежа в пла-
ниметрии. В планиметрии чертеж, как правило, точно (по
крайней мере с точностью до подобия на плоскости) соответст-
вует данным задачи или условию теоремы: если прямые нари-
сованы параллельными — они паралллельны по условию,
перпендикулярными — они перпендикулярны по условию.
Если отрезки равны по условию задачи, то они равны и на чер-
теже. Если луч ОМ на чертеже расположен во внутренней об-
ласти угла РОК, то величина угла РОК равна сумме величин
углов РОМ и МОК (рис. 27) и так далее.
§ 5. Рисунки на доске и в тетради
Рис- 27
В стереометрии, при изображении пространственных фигур
на плоскости, наблюдается совершенно иная картина. Напри-
мер, на рисунке 28, изображающем куб ABCDA1B1C1D1:
— прямая ВВу «пересекает» прямую AyD19 а на самом де-
ле — не имеет с ней общих точек;
— угол АВС — «тупой», а в квадрате ABCD он равен 90°;
— «параллельные» прямые CyD и DyK изображают вовсе и
не параллельные прямые;
— сумма величин углов BAD и АуАВ отнюдь не равна вели-
чине угла AyAD (более того, все названные углы — прямые);
— «неравные» отрезки АС и BD на самом деле равны;
— параллелограмм ААуВуВ с «острым» углом АуАВ изобра-
жает квадрат;
— «отрезок» с точками N, М и L, взятыми соответственно
на ребрах АХВР AyDy и ААР в действительности вовсе и не от-
резок, а треугольник.
Вернемся к вопросу об изображении куба.
Куб можно было бы изобразить и так,
как на рисунке 29. Это изображение явля-
ется верным и с точки зрения планимет-
рии, и с точки зрения стереометрии, но,
в силу своей не наглядности, становится
неудобными «неконструктивным».
Заметим, к слову, что рисунок 28 также
«не удобен и не конструктивен» для изуче-
ния треугольника NLM. Но если на тот же
самый куб «посмотреть» в другом ракурсе
Рис. 29
28 | Глава 1
Введение в стереометрию
(«с другой стороны») (рис. 30), то
треугольник NLM (хотя и все рав-
но — искаженный) будет виден «как
на ладони».
Рассмотрим более простой рису-
нок. Ситуация: прямая АВ пересе-
кает плоскость а в точке А. На
рисунках 31, а, б и в совершенно
правильно изображено взаимное по-
ложение прямой АВ и плоскости а.
Любой из этих рисунков объективно
отражает ситуацию, но полезен и
конструктивен только рисунок 31, в.
Замечательная книга Антуана де Сент-Экзюпери «Малень-
кий принц» начинается с рисунка, сделанного рассказчиком в
6 лет. На этом рисунке изображена вовсе не шляпа, как дума-
ли окружающие, а кролик внутри удава. В данной книге этот
рисунок прекрасен и конструктивен, но нужно ли его поме-
щать в учебник по биологии?
Так и в курсе стереометрии: наглядные и правильно выпол-
ненные рисунки и чертежи обладают определенной специфи-
Рис. 31
29
§ 5. Рисунки на доске и в тетради
кой изображения на них пространственных фигур, и очень
важно овладеть этой спецификой изображать верно и нагляд-
но пространственные фигуры как на доске, так и в тетради.
Заметим также, что изображение пространственной фигуры
является не только эстетически более приятным и более эф-
фектным при использовании двух или трех цветов, но стано-
вится также и более эффективным.
Далее, при изучении отдельных тем курса стереометрии,
вам будет предложено примерное содержание трех графиче-
ских работ, которые следует выполнить.
Работа № 1. (После изучения темы «Следствия из аксиом».)
Работа № 2. (После изучения темы «Параллельность в про-
странстве».)
Работа № 3. (После изучения темы «Перпендикулярность в
пространстве».)
Предлагаемые в этих работах задачи, с одной стороны, доста-
точно просты, но, с другой стороны, они очень важны. Разоб-
равшись в их решениях и безукоризненно выполнив нужный
для каждой из них рисунок (чертеж), вы достигаете необходи-
мого уровня геометрической культуры, который позволит вам в
дальнейшем справиться со стереометрическими задачами более
высокой трудности.
Отметим также важность и необходимость того, чтобы каж-
дый изучающий стереометрию «видел» динамику (последова-
тельность) и диалектику построения изображения геометри-
ческой фигуры на рисунке (чертеже).
Например, надо построить сечение куба ABCPA1B1C1Z>1,
проходящее через внутренние точки М, N и L ребер соответ-
ственно АА19 В1С1 nAD. На рисунках 32, a—л вы можете ви-
деть динамику построения требуемого сечения куба.
Мы «сняли фильм» о решении данной задачи. Такие «филь-
мы» можно «снимать» и при решении более сложных сте-
реометрических задач на построение вообще, а не только се-
чений. Удобно при этом все построения делать, например,
простым карандашом и только нужные (новые) для данно-
го «кадра» отрезки (линии) строить (выделять) особым цве-
том. Аналогичный прием нескольких цветов и «развивающе-
гося» рисунка удобно применять и при доказательствах те-
орем.
30 | Глава 1
Введение в стереометрию
а) б)
31
§ 5. Рисунки на доске и в тетради
LMKNTP — искомое сечение
МК 11 TP, KN 11 LP, NT\\ML
л)
Глава
ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 6. Классификации взаимного расположения
двух прямых в пространстве
Из планиметрии известно, что на плоскости две прямые мо-
гут либо пересекаться, либо не пересекаться (быть парал-
лельными). При этом напомним, что в планиметрии речь
идет о таких прямых, которые заведомо лежат в одной плос-
кости.
В стереометрии же, где фигуры рассматриваются в про-
странстве, для взаимного расположения двух прямых воз-
можностей больше, чем в планиметрии. Это объясняется тем,
что в пространстве не для всяких двух прямых существует
плоскость, которая содержала бы каждую из этих прямых.
Иначе говоря, не всякие две прямые пространства лежат в од-
ной плоскости.
Например, ребра АВ и PC тетраэдра РАВС (рис. 33, а) не
лежат в одной плоскости; также не лежат в одной плоскости
ребра АВ и ВХСХ куба ABCDA1B1C1D1 (рис. 33, б).
Определение. Две прямые в пространстве называют-
ся скрещивающимися, если они не лежат в одной
плоскости.
Иначе говоря, две скрещивающиеся прямые — это такие
прямые, через которые не проходит ни одна плоскость.
Таким образом, можно сказать, что прямые, содержащие
ребра АВ и СР тетраэдра РАВС (рис. 33, а), скрещиваются;
также скрещиваются прямые, содержащие ребра АВ и ВХСХ
кубаABCDA1B1C1D1 (рис. 33, б).
______________________________________________Iм
§ 6. Классификации взаимного расположения двух прямых в пространстве
Рис. 33
Заметим, что на «плоском» чертеже две скрещивающиеся
прямые изображаются либо пересекающимися, либо парал-
лельными прямыми.
Определите на рисунках 33, а, б все пары скрещивающихся
прямых, содержащих ребра тетраэдра (куба). Какие из них
изображены пересекающимися, а какие — параллельными
прямыми?
Из сказанного выше следует, что для взаимного расположе-
ния двух прямых в пространстве возможен один и только
один из трех случаев.
• Две прямые лежат в одной плоскости и имеют одну об-
щую точку — пересекающиеся прямые (рис. 34, а).
• Две прямые лежат в одной плоскости и не имеют общей
точки — параллельные прямые (рис. 34, б).
• Две прямые не лежат в одной плоскости — скрещиваю-
щиеся прямые (рис. 34, в).
а) б) в)
Рис. 34
3-31 АЗ
34 J Глава 2
Введение в стереометрию
6.1. Скрещивающиеся прямые
При решении вопроса о равенстве двух треугольников мы
пользуемся, как правило, не непосредственно определением
равных треугольников, а признаками их равенства.
Аналогичная ситуация будет нам встречаться при решении
вопроса о взаимном расположении двух прямых в пространст-
ве, особенно в случае, когда мы хотим убедиться, что прямые
скрещиваются. В этом случае желательно иметь в распоряже-
нии признаки скрещивающихся прямых. Один из таких при-
знаков выражает
Теорема 4 (признак скрещивающихся прямых). Если од-
на из двух прямых лежит в плоскости, а другая пере-
секает эту плоскость в точке, не принадлежащей пер-
вой прямой, то эти прямые скрещиваются.
Дано: Ьса,апа = С,С« Ъ (рис. 35).
Доказать: прямые а и Ъ скрещиваются.
а| Доказательство. Докажем эту те-
| орему методом от противного. Предполо-
жим, что прямые а и & не скрещиваются.
•—& Cf Л Тогда они или параллельны, или пересе-
J °у каются, и, следовательно, лежат в неко-
\ торой одной плоскости Р (теоремы 2, 3).
’---\ Плоскость р содержит прямую Ь и точку
С = a п а. Но через прямую Ь и точку С
Рис. 35 проходит также и плоскость а. По теореме
1 плоскости а и Р совпадают. Это означает, что прямая a
должна лежать в плоскости а. По условию же прямая а пере-
секает плоскость а. Пришли к противоречию с условием тео-
ремы. Значит, предположение было неверным. Следователь-
но, прямые а и & не лежат в одной плоскости, то есть скрещи-
ваются. Теорема доказана. ▼
Из доказанного следует, что если прямая а в точке М пере-
секает плоскость а, то эта прямая скрещивается с любой пря-
мой плоскости а, не проходящей через точку М (рис. 36).
Часто бывает удобно использовать и такой признак скрещи-
вающихся прямых: если четыре точки А, В, С и Е не лежат
в одной плоскости (рис. 37), то прямые АВ и СЕ, АС и BE,
АЕ и ВС попарно скрещиваются.
___________________________________________________I—35
§ 6. Классификации взаимного расположения двух прямых в пространстве
Действительно, точки А, В, С и Е не лежат в одной плоскос-
ти, тогда и прямые АВ и СЕ также не лежат в одной плоскос-
ти (почему?), а, следовательно, скрещиваются по определе-
нию. Аналогично можно рассмотреть и другие пары прямых.
6.2. Параллельные прямые в пространстве
Параллельные прямые в пространстве обладают рядом
свойств, напоминающих свойства параллельных прямых на
плоскости. Рассмотрим некоторые из них.
Теорема 5. Если одна из двух параллельных прямых
пересекает данную плоскость, то и другая прямая пе-
ресекает эту плоскость.
Дано: a || Ь, a n а = М (рис. 38, а).
Доказать: Ь пересекает а.
Доказательство. Пусть через параллельные прямые а и
Ъ проходит плоскость Р (т. 3) (рис. 38, б). Плоскости а и Р име-
ют общую точку М = a п а, значит, они пересекаются по пря-
мой, которая проходит через М. Обозначим эту прямую с.
36 | Глава 2
Введение в стереометрию
Из планиметрии известно, что если одна из двух парал-
лельных прямых пересекает данную прямую, то и дру-
гая прямая пересекает данную прямую.
У нас в плоскости Р лежат три прямые: а, Ь и с. Причем а || Ь
и прямая а пересекается с прямой с. Это означает, что прямые
Ь и с также пересекаются в некоторой точке К. А так как пря-
мая с лыш в плоскости а, то точка К принадлежит плоскос-
ти а. Следовательно, прямая Ь пересекает плоскость а в точке
К. Теорема доказана. ▼
Заметим, что из вышесказанного следует: если одна из
двух параллельных прямых лежит в данной плоскос-
ти, то другая, параллельная ей прямая, не может эту
плоскость пересекать.
Теорема 6. Через точку пространства, не лежащую на
данной прямой, можно провести прямую, параллель-
ную данной, и притом только одну.
Доказательство. Пусть даны прямая а и не принадлежа-
щая ей точка М (рис. 39). Проведем через них плоскость а
(т. 1). В этой плоскости через точку М можно провести един-
ственную прямую, параллельную прямой а (из планимет-
рии). Обозначим эту прямую Ь и покажем, что в пространст-
ве не существует другой прямой, проходящей через точку М
и параллельной прямой а.
Предположим, что через точку М
\р можно провести некоторую другую пря-
r --------- ( мую с, параллельную прямой а. Прямая
) М ь / с не лежит в плоскости а (в плоскости а
J ( уже проведена через точку М прямая
(—-----------< Ь || а), а пересекает ее в точке М. Тог-
Рис. 39 да прямая а, будучи параллельной пря-
мой с, по теореме 5 также должна пересе-
кать плоскость а. Это противоречит тому, что а cz а. Значит,
наше предположение было неверным, то есть прямая Ъ —
единственна. Теорема доказана. ▼
Из теоремы 6 следует, что из двух пересекающихся пря-
мых только одна может быть параллельна некоторой данной
прямой.
37
§ 6. Классификации взаимного расположения двух прямых в пространстве
Теорема? (признак параллельности прямых). Если две
прямые параллельны третьей прямой, то они парал-
лельны.
Дано: a || Ь, с || Ь (рис. 40).
Доказать: а || с.
Доказательство. Случай, когда пря-
мые а, Ь и с лежат в одной плоскости, был
рассмотрен в планиметрии. а b
Рассмотрим теперь случай, когда прямые I
а, Ь и с не лежат в одной плоскости.
Проведем плоскость а через прямую а и
любую точку М прямой с (т. 1).
Возникает вопрос: лежит или не лежит в Рис*40
плоскости а прямая с?
Так как прямая а лежит в плоскости а и параллельна пря-
мой Ь, то прямая Ь не может пересекать плоскость а. Следова-
тельно, плоскость а не может пересекать и прямая с, парал-
лельная прямой Ь. Получили: прямая с имеет с плоскостью а
общую точку М и не пересекает эту плоскость. Это означает,
что прямая с лежит в плоскости а.
Таким образом, прямые а и с лежат в одной плоскости а.
Они не могут пересекаться по теореме 6. Следовательно, пря-
мые аис параллельны. Теорема доказана. ▼
Из теоремы 7 следует, что из двух скрещивающихся пря-
мых только одна может быть параллельна некоторой данной
прямой.
Замечание. Из теоремы следует: а || Ь, Ь || с а || с, то есть
отношение параллельности прямых в пространстве обладает
свойством транзитивности.
ЗАДАЧА 2.004. Прямая а лежит в плоскости а. Прямая Ъ па-
раллельна прямой а и имеет общую точку М с плоскостью а.
Докажите, что прямая Ь также лежит в
плоскости а.
Решение. Так как прямые а и Ъ парал- ( ~ ~ \
лельны, то через них можно провести \
плоскость. Обозначим ее Р (рис. 41). а (
Прямая Ъ проходит через точку TVf, по-
этому плоскость Р проходит через пря- Рис. 41
38
Глава 2
Введение в стереометрию
мую а и.точку М. Но через М и а проходит и плоскость а. По
теореме 1 плоскости а и Р совпадают. Это означает, что Ь с а.
Заметим, что можно рассуждать и так. Предположим, что
прямая Ъ не лежит в плоскости а, а имеет с ней только одну
общую точку М, то есть прямая b пересекает плоскость а в
точке М.
Так как прямые а и Ь параллельны, то они не пересекаются.
Значит, точка М пересечения прямой Ь с плоскостью а не при-
надлежит прямой а, которая, в свою очередь, лежит в плос-
кости а. Тогда по признаку скрещивающихся прямых прямые
а и Ь должны скрещиваться. Это противоречит условию зада-
чи: а || Ь. Следовательно, предположение о том, что прямая b
не лежит в плоскости а, неверно. Это означает, что Ъ с а.
ЗАДАЧА 2.015. Конец В отрезка АВ лежит в плоскости а; С —
внутренняя точка отрезка АВ. Через А и С проведены парал-
лельные прямые, пересекащие а соответственно в точках Ах
и Сх. Найдите длину отрезка ССХ, если: а) ВС = 12, АВ : ААХ =
= 3:5; б)ААх = 15, АС : СВ = 2 : 3; в) ААХ = 21, АС : АВ = 2 : 7.
Решение, а) Параллельные отрезки ААХ и ССХ определяют
плоскость р, которая содержит отрезок АВ и пересекает плос-
кость а по прямой АХСХ, проходящей через точку В (рис. 42).
Для вычисления длины отрезка ССХ, лежащего в плоскос-
ти Р, используем обобщенную теорему Фалеса.
Исходя из условия ССХ || А4Х, имеем: а) АВ : А4Х =
= ВС : ССХ = 3 : 5, откуда ССХ = | ВС = 20;
б)АС : СВ = 2 : 3 =* ВС : АВ = 3 : 5 => ВС = |аВ.
Далее, А СВСХ сл А АВАХ => ВС : АВ = ССХ : ААХ => ССХ =
ВС-AAj 0,6АВ-ААх
= = - АВ - =0>6>15 = 9>
д в) АС : АВ = 2 : 7 => ВС : АВ = 5 : 7 =>
>7pj => ВС = | АВ.
Тогда Д СВСГ со Д АВАГ ССг: ААг =
( --1—М---1 ) ВС • АА, 5
\В СХА___/ = ВС:АВССХ = —= ^А4Х = 15.
Рис. 42
Ответ: а) 20; б) 9; в) 15.
| 39
§ 7. Угол между лучами. Угол между прямыми в пространстве
§ 7. Угол между лучами. Угол между прямыми
в пространстве. Перпендикулярные прямые
7.1. Угол между лучами в пространстве
В стереометрии, как в планиметрии, два луча h = ОА и k =
= называются сонаправленными или одинаково на-
правленными (пишут: h ft k, ОА ft O^Af), если они или ле-
жат на параллельных прямых и расположены в одной полу-
плоскости относительно прямой, проходящей через их начала
(рис. 43, а), или один из них содержится в другом.
А йх t ________h А
О ох
д)
О h А
е)
Рис. 43
40
Глава 2
Введение в стереометрию
Два луча Л = ОА п k = OlAl называются противонаправ-
ленными или противоположно направленными (пишут:
h f| k, ОА tlOjAj), если они лежат на параллельных прямых
и расположены в различных полуплоскостях относительно
прямой, проходящей через их начала (рис. 43, б), или в том
случае, когда лучи лежат на одной прямой и либо не имеют об-
щих точек (рис. 43, в), либо их общей частью является одна
точка (рис. 43, г) или отрезок этой прямой (рис. 43, д). Если
лучи h = ОА nk = O^At лежат ни на параллельных прямых
и ни на одной прямой (рис. 43, е), то эти лучи не сонаправле-
ны и не противонаправлены.
Угол между сонаправленными лучами принимается рав-
ным 0°.
Если лучи h и k не сонаправлены и имеют общее начало (рис.
44), то величина угла между ними определяется как угловая ве-
личина плоского угла Z (Л, k) со сторонами h и k и обозначается:
(Л; k). Из этого определения следует, что 0° < (Л; k) < 180°.
Если же начала несонаправленных лучей link различны
(рис. 45), то для определения величины угла между ними пос-
тупают так: из любой точки О пространства проводят лучи
hl 11 h и kx 11 k. Тогда величина угла между лучами Л и Л рав-
на величине угла между лучами hr и kv
Покажем, что в таком случае величина угла между лучами
h и k не зависит от выбора точки О. Для этого докажем сле-
дующую теорему.
Теорема 8. Два угла с попарно сонаправленными сто-
ронами равны.
Доказательство. Рассмотрим два угла с вершинами О и
Oj и попарно сонаправленными сторонами: h И hv k ft kx.
Рис. 44
Рис. 45
I
§ 7. Угол между лучами. Угол между прямыми в пространстве
Если данные углы лежат в одной плос-
кости, то утверждение теоремы известно
из планиметрии.
Пусть данные углы не лежат в одной
плоскости (рис. 46). Докажем, что они
равны.
Отметим на сторонах h ink угла с вер-
шиной О любые точки А и В, а затем от-
ложим на сонаправленных сторонах со- ₽ис 46
ответственно hy и ky угла с вершиной Оу
отрезки OjAj = ОА и OjBj = ОВ и прове-
дем отрезки OOV ААу, ВВу, АВ иАуВу.
Так как ОА = ОуАу и ОА || OjAp то четырехугольник
ОАА1О1 — параллелограмм, значит, ААу = ООу и ААу || ООу.
Аналогично, ВВу = ООу и ВВу || ООу. Поэтому четырехуголь-
ник АВВуАу — параллелограмм, откуда АВ = АуВу. Тогда
в равных (по трем равным сторонам) треугольниках АОВ
и АуОуВу соответственные углы АОВ и А1О1В1 равны, то есть
Z (й, k) = Z (hy, ky). Теорема доказана. ▼
Докажите самостоятельно, что два луча, сонаправленные
с третьим лучом, сонаправлены.
На основании доказанного и определения угла между луча-
ми подтверждено: величина угла между двумя лучами не за-
висит от выбора точки, от которой проводятся сонаправлен-
ные с ними лучи.
7.2. Угол между прямыми в пространстве
Величина угла между параллельными прямыми считается
равной нулю.
Из планиметрии известно, что за величину угла между пе-
ресекающимися прямыми принимается величина наименьше-
го из углов, образованных этими прямыми.
Величина угла между скрещивающи-
мися прямыми а и Ь определяется сле-
дующим образом. Через произвольную
точку М пространства проводят пря-
мые аг || а и by || Ъ и находят величину
угла между пересекающимися прямы-
ми ау и by. Эту величину и принимают
за величину угла между скрещивающи-
мися прямыми а и 6 (рис. 47).
42 | Глава 2
Введение в стереометрию
Определение. За величину угла между двумя скре-
щивающимися прямыми а и Ъ принимается величи-
на угла между параллельными им пересекающи-
мися в некоторой точке М прямыми и Ъ19 то есть
(a; b) = (at; bj = <р, где ax || а, Ьх || Ъ, ах п Ьх = М.
На основании доказанного в п. 7.1 величина угла между
скрещивающимися прямыми не зависит от выбора точки М.
Из вышесказанного следует, что величина угла между пря-
мыми в пространстве принадлежит промежутку [0°; 90°].
В соответствии с этим определением две прямые в про-
странстве называются перпендикулярными, если ве-
личина угла между ними равна 90°.
Докажите самостоятельно, что если одна из двух парал-
лельных прямых перпендикулярна некоторой прямой,
то и вторая прямая перпендикулярна этой прямой.
Например, скрещивающиеся ребра ВС и DDX куба (рис. 48)
взаимно перпендикулярны, так как соответственно парал-
лельные им пересекающиеся ребра AD иААх перпендикуляр-
ны (ADDyA-i — квадрат). Аналогично, взаимно перпендику-
лярными в этом кубе являются пары ребер АВ и ВгСг, AD и
CCV А величина угла между прямыми ВгС и ААг равна 45°,
так как этот угол равен углу между пересекающимися прямы-
ми ВгС и ВгВ (BXB || АХА).
Докажите самостоятельно, что величина угла между
прямыми АС и BCt равна 60°.
Для нахождения величины угла между двумя скрещиваю-
щимися прямыми а и Ь можно взять на одной из них, напри-
Рис. 48
Рис. 49
___________________________________________________I 43
§ 7. Угол между лучами. Угол между прямыми в пространстве
мер, на прямой а, любую точку М и в плоскости, определяе-
мой прямой Ь и точкой М, провести через точку М прямую
Ь1 II Ь (рис. 49). Угол между прямыми а и Ь1 равен углу между
скрещивающимися прямыми а и Ь. При этом выбирать следу-
ет ту из двух данных скрещивающихся прямых, а также та-
кую точку на другой из них, чтобы полученное изображение
было наглядным, а его построение наиболее простым; величи-
на искомого угла не зависит от выбора точки М.
Глава
ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ
В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 8. Параллельность прямой и плоскости
В пространстве прямая может лежать в плоскости, а может и
не лежать в ней. При этом, если прямая не лежит в плоскости,
то по аксиоме прямой и плоскости она не может иметь с этой
плоскостью более одной общей точки. Это означает, что плос-
кость и не лежащая в ней прямая либо имеют одну общую
точку, либо не имеют ни одной общей точки. Если прямая
и плоскость имеют ровно одну общую точку, то они пересека-
ются. А если прямая и плоскость не имеют ни одной общей
точки?
Определение. Прямая и плоскость, не имеющие об-
щей точки, называются параллельными.
Если прямая а и плоскость а параллельны, то записывают
а || а или а II а. При этом говорят, что прямая а параллельна
плоскости а или плоскость а параллельна прямой а.
При решении стереометрических задач обоснование парал-
лельности прямой и плоскости при помощи только одного оп-
ределения их параллельности часто затруднительно и не при-
водит к желаемому результату. В таких случаях пользуются
признаками параллельности прямой и плоскости, один из ко-
торых выражает
Теорема 9 (признак параллельности прямой и плоскости).
Если прямая, не лежащая в плоскости, параллельна
какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости, то эти
прямая и плоскость параллельны.
Дано: Ь с: а, а || &, a <3. а (рис. 50).
Доказать: a || а.
45
§ 8. Параллельность прямой и плоскости
Доказательство. Так как пря-
мая b лежит в плоскости а, то (по
теореме о двух параллельных пря-
мых, одна из которых пересекает
плоскость (т. 5)) прямая а, парал-
лельная прямой &, не может пересе-
кать плоскость а; а так как прямая a
Рис. 50
по условию не лежит в плоскости а,
то прямая а параллельна плоскости а. Теорема доказана. ▼
Из этой теоремы, в частности, вытекает факт существова-
ния и способ построения прямой, параллельной данной плос-
кости и проходящей через данную точку, не лежащую в этой
плоскости.
Теорема 10. Если плоскость проходит через прямую,
параллельную другой плоскости, и пересекает эту
плоскость, то прямая пересечения этих плоскостей
параллельна данной прямой.
Дано: a || р, а с: а, а n Р = Ъ (рис. 51).
_____а а
Рис. 51
Доказать: Ъ || а.
Доказательство. Прямые а и Ь
лежат в одной плоскости а. Кроме
того, прямая а не имеет общих точек
с прямой &, так как прямая а по ус-
ловию параллельна плоскости Р, в ко-
торой лежит прямая Ъ. Таким обра-
зом, прямые а и & лежат в одной плоскости и не имеют общих
точек, следовательно, они параллельны по определению. Тео-
рема доказана. ▼
Из этой теоремы, в частности, следует, что если прямая а
параллельна плоскости а, то в плоскости а существует пря-
мая, параллельная прямой а, и таких прямых в плоскости а
бесконечно много.
Теорема 11. Если через каждую из двух параллель-
ных прямых проведена плоскость, причем эти плос-
кости пересекаются, то прямая их пересечения па-
раллельна каждой из данных прямых.
46 | Глава 3
Прямая и плоскость в пространстве
Дано: a || &, а с: а, Ъ с: р, а n Р = с (рис. 52).
Доказать: с || а, с || Ь.
Д о ка за те л ь ст в о. Докажем, что прямая с параллельна
прямой а.
По условию теоремы прямая а параллельна прямой &, лежа-
щей в плоскости Р, а значит (по признаку параллельности
прямой и плоскости), прямая а параллель-
Г 7 на и самой плоскости р. Кроме того, плос-
/ / кость а проходит через прямую а и пересе-
/ с / кает плоскость Р по прямой с. По теоре-
V &р\ ме 10 прямые а и с параллельны. Тогда
на основании свойства транзитивности
параллельности прямых прямая Ъ парал-
Рис. 52 лельна прямой с. Теорема доказана. ▼
Докажите самостоятельно еще один признак параллельнос-
ти прямой и плоскости.
Плоскость и не лежащая в ней прямая, параллельные не-
которой прямой, параллельны.
Теорема 12. Если прямая параллельна каждой из
двух пересекающихся плоскостей, то она параллельна
их линии пересечения.
Дано: a n Р = а, Ь || а, & || Р (рис. 53).
Доказать: Ь || а.
Доказательство. По следствию из те-
оремы 10 в плоскостях а и Р существуют
соответственно прямые ш и п, параллель-
ные прямой &, а следовательно, параллель-
ные между собой. Тогда по теореме 11 пря-
мые m и п параллельны прямой а пересе-
чения плоскостей а и р. На основании
транзитивности параллельности прямых
прямая Ь параллельна прямой а. Теорема
доказана. ▼
ЗАДАЧА 3.005. Даны две скрещивающиеся прямые а и Ъ. Че-
рез каждую точку прямой а проводится прямая, параллель-
ная прямой Ь. Докажите, что все такие прямые лежат в одной
плоскости. Как расположена эта плоскость по отношению к
прямой &? Ответ обоснуйте.
47
§ 9. Перпендикулярность прямой и плоскости
решение. Отметим на прямой а про-
извольную точку В и проведем через
нее прямую с (единственную!), парал-
лельную прямой Ь. Через пересекаю-
щиеся прямые а и с проводим плос-
кость (единственную!). Обозначим ее а —
(рис. 54). Эта плоскость (по признаку д4
параллельности прямой и плоскости)
параллельна прямой Ь.
Пусть М — произвольная точка прямой a, m — прямая,
проходящая через точку М параллельно прямой Ъ. Тогда пря-
мая m параллельна прямой с (т. 7) и лежит в плоскости а (по-
чему?). В силу произвольного выбора точки М на прямой а
можно сделать вывод: все прямые пространства, параллель-
ные прямой Ь и пересекающие прямую а, лежат в плоскости,
которая проходит через прямую а и параллельна прямой Ь.
Самостоятельно докажите единственность плоскости а.
§ 9. Перпендикулярность прямой и плоскости
9.1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Построение перпендикулярных прямой и плоскости
Мы приступаем к изучению важного раздела стереометрии —
перпендикулярности прямых и плоскостей. Интуитивное пред-
ставление о прямой, перпендикулярной плоскости (иногда го-
ворят: «перпендикулярной к плоскости*), мы получили из
практики.
Определение. Прямая называется перпендикулярной
плоскости, если она перпендикулярна любой прямой,
лежащей в этой плоскости (рис. 55, а).
Если прямая а перпендикулярна плоскости а, то записыва-
ют а ± а или а! а и также говорят, что плоскость а перпен-
дикулярна прямой а или прямая а и плоскость а перпендику-
лярны. (Прямую а называют также нормалью Плоскости а.)
На плоскости прямая может быть перпендикулярна двум
прямым только в том случае, когда они параллельны, в про-
странстве же прямая может быть перпендикулярна двум пере-
секающимся прямым. Действительно, рассмотрим две плос-
48 | Глава 3
Прямая и плоскость в пространстве
а ± а,
b <= а, с <= а,р <= а, q <= а
=>а± Ь, а ± с, а ± р, а± q
Рис. 55
кости аир, пересекающиеся по прямой МР (рис. 55, б).
В плоскости а проведем прямую РК, перпендикулярную МР,
и в плоскости Р — прямую РТ, также перпендикулярную
МР. Теперь прямая МР перпендикулярна двум пересекаю-
щимся прямым РК и РТ. Ниже будет доказано, что прямая
МР перпендикулярна и плоскости КРТ.
При решении задач затруднительно обосновывать перпен-
дикулярность прямой и плоскости при помощи только одного
определения. Более того, возникает вопрос о существовании
прямой, перпендикулярной данной плоскости. Решению этих
вопросов нам поможет признак перпендикулярности прямой
и плоскости, который выражает
Теорема 13 (признак перпендикулярности прямой и
плоскости). Если прямая перпендикулярна каждой из
двух пересекающихся прямых, лежащих в плоскости,
то она перпендикулярна этой плоскости.
Дано: 6 с а, сса; а 1 6, а 1с;Ьи с пересекаются (рис. 56).
Доказать: а±а.
Доказательство. Для доказательства теоремы достаточ-
но убедиться, что прямая а перпендикулярна любой прямой
тп, лежащей в плоскости а и не параллельной ни одной из
прямых b и с.
I 49
§ 9. Перпендикулярность прямой и плоскости
Проведем в плоскости а через точку О = а п а прямые bx || 6,
сх || с, || т и, выбрав на прямой Ъх любую точку В, отлич-
ную от О, построим параллелограмм OBDC с вершинами D и
С на прямых соответственно и cv Тогда:
(а ± Ь, Ь || by) =* а ± Ьг;
(а ±с, с || сг) => а ± cv
Если А — любая точка прямой а (А О) и М — точка пере-
сечения диагоналей параллелограмма OBDC, то отрезки ОМ
и AM — медианы треугольников О ВС и АВС соответственно.
Обозначив длины отрезков: ОА = h, ОВ = р, ОС = q, ВС = г,
АВ = pv АС = qv на основании соотношения между медианой
и сторонами треугольника получаем:
в А ВОС: OM^^ + 20C‘-BC^2P‘ + 2g‘-r‘
4 4
в А АВС: Амг.ЫВ’ + глс’-ВС* _W+2tf-r^
4 4
Учитывая, что треугольники АОВ и АОС — прямоуголь-
ные, находим:
AM2 _ ОМ2 _ _ д2 _ ОАг
4 4
4-3163
50 | Глава 3
Прямая и плоскость в пространстве
Тогда в Д АОМ получаем ОА2 + ОМ2 = AM2. Следователь-
но, по теореме, обратной теореме Пифагора, Д АОМ —
прямоугольный, откуда ОА ± ОМ, то есть a ± mv А так как
тг || т, то а ± т.
В силу произвольного выбора прямой т в плоскости а, при-
ходим (на основании определения прямой, перпендикулярной
плоскости) к выводу: прямая а перпендикулярна плоскости а.
Теорема доказана. ▼
Векторное доказательство теоремы 13 вы сможете прочесть
в пункте 23.3.
Переходим к построению перпендикулярных прямой и
плоскости.
ЗАДАЧА 1. Через данную точку М провести плоскость а, пер-
пендикулярную данной прямой а.
Решение. Возможны два случая: 1) точка М не принадлежит
данной прямой а; 2) точка М принадлежит данной прямой а.
Рассмотрим случай, когда М g а (рис. 57, а).
Через прямую а и точку М проведем плоскость Р (рис. 57, б)
и в ней через точку М — прямую Ь, перпендикулярную пря-
мой а; К = а о Ь (рис. 57, в). Далее, через прямую а проведем
любую плоскость у (рис. 57, г), отличную от р, и в ней через
точку К — прямую с, перпендикулярную а (рис. 57, д). Те-
перь через прямые Ь и с проведем плоскость а (рис. 57, е), ко-
торая по признаку перпендикулярности прямой и плоскости
Рис. 57
_____________________________________________________________I 51
§ 9. Перпендикулярность прямой и плоскости
перпендикулярна прямой а (с с а, Ь с а, с п Ь = К, а ± с,
а ± Ь). Таким образом, а — искомая плоскость.
Докажем, что а — единственная плоскость, удовлетворяю-
щая условию задачи. В самом деле, предположим, что через
точку М можно провести другую плоскость, например ар пер-
пендикулярную прямой а (рис. 58). Тогда плоскости аг и Р,
имея общую точку М, пересекаются по некоторой прямой Ъг,
которая перпендикулярна прямой а (а ± ар Ьг с 04). Получи-
ли: в плоскости Р через точку М проходят две прямые Ъ и Ьг,
перпендикулярные прямой а, что невозможно. Следователь-
но, наше предположение неверно, и плоскость а единственна.
Случай, когда М е а, рассмотрите самостоятельно. Его ил-
люстрация дана на рисунке 59.
ЗАДАЧА 2. Через данную точку М провести прямую (£, пер-
пендикулярную данной плоскости а.
Рассмотрим случай, когда М е а (рис. 60, а). Шаги постро-
ения:
1) в плоскости а через точку Af проводим произвольную
прямую Ь (рис. 60, б);
2) через точку М проводим плоскость р, перпендикулярную
прямой b (задача 1), при этом Р пересекает плоскость а по
прямой а, перпендикулярной прямой Ъ (рис. 60, в);
3) в плоскости Р проводим через точку М прямую с перпен-
дикулярно прямой а (рис. 60, г). Прямая с — искомая.
В самом деле, прямая с проходит (по построению) через
точку М и перпендикулярна пересекающимся в точке М и ле-
жащим в плоскости а прямым а и Ъ (с ± Ь, так как прямая с
лежит в плоскости Р, которая перпендикулярна прямой Ь).
Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и
плоскости прямая с перпендикулярна плоскости а.
4'
52 | Глава 3
Прямая и плоскость в пространстве
Доказательство (методом от противного) единственности
прямой а проделайте самостоятельно.
Для случая, когда точка М не принадлежит плоскости а,
проведите доказательство самостоятельно по рисунку 60, д.
Обобщая вышесказанное, отметим, что:
• через каждую точку пространства проходит единствен-
ная плоскость, перпендикулярная данной прямой, следова-
тельно, две различные плоскости, перпендикулярные одной
и той же прямой, не имеют общих точек.
В дальнейшем (в главе 4) мы, ес-
тественно, назовем не имеющие об-
щих точек плоскости параллель-
ными (рис. 61).
Мы доказали, что параллельные
плоскости существуют, и будем
этим пользоваться.
• Через каждую точку простран-
ства проходит единственная пря-
мая, перпендикулярная данной
плоскости, следовательно, две раз-
J 53
§ 9. Перпендикулярность прямой и плоскости
личные прямые, перпендикулярные одной и той же плоскос-
ти, не могут пересекаться.
В дальнейшем (в п. 9.2) мы докажем, что такие прямые па-
раллельны.
9.2. О прямых, перпендикулярных плоскости
Теорема 14. Если одна из двух параллельных прямых
перпендикулярна плоскости, то и другая прямая пер-
пендикулярна этой плоскости.
Дано: 1г || l2, 1г ± а.
Доказать: 12 ± а.
Доказательство. Проведем в
плоскости а две пересекающиеся
прямые а и & (рис. 62). Так как пря-
мая 1Х перпендикулярна плоскости
а, то (по определению прямой, пер-
пендикулярной плоскости) прямая
1г перпендикулярна каждой из пря-
мых а и Ь. Значит, прямая 12, парал-
лельная lv также перпендикулярна
каждой из прямых а и & (почему?).
Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости
прямая 12 перпендикулярна плоскости а. Теорема доказана. ▼
Верна я обратная теорема.
Теорема 15. Если две прямые перпендикулярны плос-
кости, то они параллельны.
Дано: 12 ± а, 1г ± а (рис. 63).
Доказать: 1г || 12.
Доказательство. Прямые 1г и 12
не могут пересекаться в силу един-
ственности перпендикуляра, прове-
денного через точку к данной плос-
кости.
Прямые 1г и 12 не могут и скрещи-
ваться. Действительно, допустив, что
прямые 1Х и 12 скрещиваются, прове-
54 J Глава 3
Прямая и плоскость в пространстве
дем через любую точку А прямой 1г прямую АВ, параллель-
ную Z2> но не совпадающую с 1Г (почему?). По предыдущей тео-
реме прямая АВ перпендикулярна плоскости а. Мы получили
два перпендикуляра (прямые 1Г к АВ) к плоскости а, проходя-
щих через точку А, что невозможно. Следовательно, прямые
1Г и 12 не могут быть скрещивающимися.
Таким образом, прямые 1Г и 12 не могут быть ни пересекаю-
щимися, ни скрещивающимися, значит, они параллельны.
Теорема доказана. ▼
§10. Перпендикуляр и наклонная к плоскости.
Теорема о трех перпендикулярах
Отрезок прямой, перпендикулярной данной плоскости, один
конец которого принадлежит этой плоскости, а другой — дан-
ная точка, называется перпендикуляром, проведенным из
данной точки на данную плоскость. Конец этого отрезка,
принадлежащий плоскости, называется основанием перпен-
дикуляра. Длина перпендикуляра, опущенного из данной точ-
ки на данную плоскость, называется расстоянием от этой
точки до данной плоскости.
На рисунке 64 отрезок CD — перпендикуляр, проведенный
из точки С на плоскость а, точка D — основание этого перпен-
дикуляра; длина отрезка CD — расстояние от точки С до плос-
кости а. Это расстояние обозначают: |С, а| = \CD\ или р(С; а).
(Можно сказать, что через точку С проведен перпендикуляр
CD к плоскости а или из точки С опущен перпендикуляр CD
на плоскость а, или из точки D восставлен перпендикуляр DC
к плоскости а.)
Наклонной, проведенной из данной точки к данной
плоскости, называется всякий отрезок, который соединяет
Рис. 64
55
§10. Перпендикуляр и наклонная к плоскости.
данную точку с точкой на плоскости и не является перпенди-
куляром к этой плоскости. Конец этого отрезка, принадлежа-
щий плоскости, называется основанием наклонной. Отре-
зок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной,
проведенных к плоскости из одной точки, называется ортого-
нальной проекцией наклонной на эту плоскость.
На рисунке 64 отрезок РО — перпендикуляр, проведенный
из точки Р на плоскость а; отрезок PH — наклонная, прове-
денная из точки Р к плоскости а; отрезок ОН — проекция
этой наклонной на плоскость а; в плоскости а проведены пря-
мые а и & через основание Н наклонной PH.
Докажите самостоятельно следующие утверждения:
• если из одной точки, не принадлежащей плоскости, про-
ведены к этой плоскости перпендикуляр и наклонная, то
длина наклонной больше длины перпендикуляра;
• длина проекции наклонной меньше длины самой на-
клонной;
• длины наклонных, проведенных из одной точки, не при-
надлежащей плоскости, равны тогда и только тогда, когда
равны длины их проекций;
• если из одной точки, не принадлежащей плоскости, про-
ведены две наклонные к этой плоскости, то большей наклон-
ной соответствует большая проекция. (Сформулируйте обрат-
ное утверждение.)
ГП Снова обращаем ваше внимание на аналогию с
" соответствующими утверждениями в плани-
метрии относительно перпендикуляра, наклон-
ной и ее проекции на прямую.
Наклонной к плоскости называют также любую пря-
мую, пересекающую плоскость и не перпендикулярную к ней.
В таком случае ортогональной проекцией наклонной является
прямая. (Подробнее с параллельным проектированием вы по-
знакомитесь в § 12.)
Докажите самостоятельно, что если AM — наклонная к
плоскости а, то основания перпендикуляров, проведенных к
плоскости а через все точки наклонной AM, принадлежат од-
ной прямой. Эту прямую называют ортогональной проек-
цией наклонной AM на плоскость а. Доказанное вами
утверждение подсказывает способ построения ортогональной
проекции наклонной на данную плоскость.
56 | Глава 3
Прямая и плоскость в пространстве
Теорема 16 (теорема о трех перпендикулярах). Если пря-
мая, лежащая на плоскости, перпендикулярна проек-
ции наклонной на эту плоскость, то данная прямая
перпендикулярна и самой наклонной.
Дано: АС — наклонная к плоскости а, пг — прямая, лежа-
щая в плоскости а, перпендикулярная проекции наклонной
АС (рис. 65, а).
Доказать: m_LAC.
Доказательство. Проведем АВ ± а (рис. 65, б). Тогда
ВС — ортогональная проекция наклонной АС на плоскость а.
Рассмотрим прямую m и плоскость АВС. Имеем: m ± ВС (по
условию) и m ± АВ (так как АВ ± а), то есть прямая m пер-
пендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости
АВС. Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плос-
кости прямая m перпендикулярна самой плоскости АВС,
а следовательно, и прямой АС, лежащей в этой плоскости.
Теорема доказана. ▼
Справедлива и обратная теорема.
Теорема 17. Если на плоскости проведена прямая
перпендикулярно наклонной, то эта прямая перпен-
дикулярна проекции наклонной.
Дано: АС — наклонная к плоскости a, m — прямая плоскос-
ти а, перпендикулярная АС (рис. 65).
Рис. 65
____________________________________________________L_!T
§10. Перпендикуляр и наклонная к плоскости.
Доказать: ml ВС (проекция наклонной АС).
Доказательство. Проведем АВ ± а. Тогда ВС — ортого-
нальная проекция наклонной АС на плоскость а. Рассмотрим
прямую m и плоскость АВС. Имеем: m ± АВ (так как АВ —
перпендикуляр к плоскости а) и m ± АС (по условию). Таким
образом, прямая m перпендикулярна двум пересекающимся
прямым плоскости АВС. Тогда по признаку перпендикуляр-
ности прямой и плоскости прямая m перпендикулярна самой
плоскости АВС, а следовательно, и прямой ВС, лежащей в
этой плоскости. Теорема доказана. ▼
Векторное доказательство теорем 16 и 17 вы сможете про-
честь в пункте 23.3.
Обе эти теоремы можно объединить одним предложением:
наклонная к плоскости тогда и только тогда перпендику-
лярна прямой, лежащей в этой плоскости, когда проекция
наклонной перпендикулярна данной прямой.
Или, иначе говоря:
для того чтобы проекция наклонной к плоскости была
перпендикулярна прямой, лежащей в этой плоскости, необ-
ходимо и достаточно, чтобы сама наклонная была перпенди-
кулярна данной прямой.
Придумайте еще несколько аналогичных формулировок
теоремы о трех перпендикулярах и заодно подумайте: что это
за «три перпендикуляра»?
Заметим, что теорема о трех перпендикулярах позволяет
нам построить проекцию наклонной с к плоскости а, не опу-
ская на эту плоскость перпендикуляра, если в плоскости а да-
на прямая Ъ, перпендикулярная наклонной с. В таком случае
достаточно через основание наклонной провести в плоскости а
прямую а, перпендикулярную прямой Ь. Прямая а является
искомой проекцией наклонной с на плоскость а. Этот при-
ем часто используется при решении задач.
ЗАДАЧА 3.050. К плоскости прямо-
угольного треугольника ABC (Z С = 90°)
проведен перпендикуляр ВР. На на-
клонных РА и PC отмечены соответ-
ственно такие точки Е и К, что отрезок
ЕК параллелен АС (рис. 66). Верно ли,
что треугольник ВКЕ — прямоуголь-
ный?
SB I Глава 3
Прямая и плоскость в пространстве
Решение. Имеем BP ± (АВС) => ВР ± АС. Кроме того,
АС ± ВС (Z. АСВ = 90°). Следовательно, по признаку перпен-
дикулярности прямой и плоскости АС ± (ВСР). Тогда
АС ± ВК. А так как KE || АС и АС ± ВК, то KE ± ВК. Это
означает, что Z ВКЕ = 90°, то есть Д ВКЕ — прямоугольный.
ЗАДАЧА 3.069. Через вершину прямого угла равнобедренного
прямоугольного треугольника АВС проведена прямая СМ,
перпендикулярная его плоскости. Найдите расстояние от точ-
ки М до прямой АВ, если АС = 4 см, СМ = 2 см.
Решение. Пусть точка К — середина гипотенузы АВ треуголь-
никаАВС (рис. 67). Так как АС = СВ, то СК LAB, и по теоре-
ме о трех перпендикулярах отрезок МК перпендикулярен
АВ. Это означает, что Длина отрезка МК — искомое расстоя-
ние от точки М до прямой АВ.
Далее, так как МС ± (АВС), то МС ± СК (по определению
прямой, перпендикулярной плоскости). Поэтому Д МСК —
прямоугольный, значит, МК2 = МС2 + СК2.
Так как Д АВС — равнобедренный прямоугольный (Z С =
= 90°) и СК — его медиана, то Д СВК — равнобедренный
прямоугольный (Z К = 90°). Тогда СК2 = ВС2 = 8. Учиты-
вая, что МК2 = МС2 + СК2, получаем МК = 6 (см).
§11. Угол между прямой и плоскостью
Определение. Углом между наклонной и плоскостью
называется угол между наклонной и ее проекцией на
эту плоскость (рис. 68).
59
§11. Угол между прямой и плоскостью
Угол между плоскостью и прямой, лежащей в плос-
кости или параллельной плоскости, считается рав-
ным 0°.
Угол между плоскостью и прямой, перпендикулярной
этой плоскости, считается равным 90°.
Таким образом, 0 < (а; а) < 90°.
На рисунке 69 ABCDAlB1CiD1 — куб, в котором:
• угол между прямой BDX и плоскостью ADDX равен углу
между прямыми BDV и ADP так как BA ± (ADD^), т. е. равен
. 7з
arcsin -5-;
О
• угол между прямой ВСГ и плоскостью АВС равен углу меж-
ду прямыми ВСг и ВС, так как СгС ± (АВС), т. е. равен 45°;
• угол между прямой ВС1 и плоскостью ВАА1 равен 0°, так
как ВСХ || (DAA]);
• угол между прямой ВгС и плоскостью АВСХ равен 90° (по-
чему?).
На рисунке 70: АС и АВ — соответственно перпендикуляр и
наклонная к плоскости а, проведен-
ные из точки А; ф — угол между на-
клонной АВ и ее проекцией ВС на
плоскость а; Р — угол между на-
клонной АВ и произвольной пря-
мой а, лежащей в плоскости а и про-
ходящей через основание В наклон-
ной АВ; AD — перпендикуляр к
прямой а, проведенный из точки А.
гр . АС . q AD
Тогда: sin <р = ^ ; sin ₽ = .
60 | Глава 3
Прямая и плоскость в пространстве
Имеем АС < AD => sin ф < sin р, а так как, кроме того, углы
ABC hABD — острые, то из неравенства sin ф < sin Р следует:
ф < Р, т. е. угол между наклонной и плоскостью не больше,
чем угол между этой наклонной и любой прямой, лежащей в
данной плоскости.
Попробуйте доказать самостоятельно, что параллельные
между собой прямые образуют с данной плоскостью равные
углы. Подумайте, почему обратное утверждение неверно.
§ 12. Параллельное проектирование и его свойства.
Ортогональное проектирование
В начале нашего учебника мы изображали на плоскости неко-
торые фигуры, расположенные в пространстве. Эти изображе-
ния строились с целью придать наглядность тому, о чем шла
речь в соответствующей теореме или задаче.
Однако изображения пространственных фигур на плоскости
строятся по определенным правилам и в школьном курсе гео-
метрии обычно осуществляются с помощью метода параллель-
ного проектирования, сущность которого состоит в следующем.
В пространстве выбирается произвольная плоскость я1, кото-
рую называют плоскостью проекций или плоскостью изо-
бражения, и прямая Z, пересекающая эту плоскость (рис. 71, а).
Пусть М' — произвольная точка пространства. Через эту
точку проведем прямую р, параллельную I. Точка М пересе-
чения прямой р с плоскостью л называется параллельной
проекцией точки М' на плоскость я в направлении пря-
мой I. Если М' — точка плоскости л, то М совпадает с М'.
При этом часто пользуются обозначением: М = Пр^М').
Прямую I и все прямые пространства, параллельные ей, на-
зывают проектирующими прямыми-, они определяют на-
правление проектирования. Всякая плоскость пространства,
параллельная проектирующей прямой, называется проекти-
рующей плоскостью.
Фигура, которую проектируют или изображают, на-
зывается оригиналом. Для построения проекции фигуры
достаточно построить проекции всех точек этой фигуры или
проекции точек фигуры, ее определяющих. На рисунке 71, б
1 Именно так (плоскость л) чаще всего обозначают плоскость про-
екций в начертательной геометрии.
61
§12. Параллельное проектирование и его свойства.
Рис. 71
треугольник АВС является параллельной проекцией тре-
угольника А'В'С' на плоскость л в направлении прямой I.
Замечание. Наряду с параллельным проектированием рас-
сматривается также центральное проектирование фигур
на плоскость. В этом случае проектирующие прямые проходят
через одну точку — центр проектирования, произвольно
выбранную вне плоскости проекций (рис. 71, в).
Параллельное и центральное проектирование можно наблю-
дать в реальном пространстве: тень, которую отбрасывает пред-
мет в солнечный день, является параллельной проекцией этого
предмета, так как солнечные лучи можно считать приближен-
но параллельными вследствие большого удаления Солнца от
Земли. А изображение на экране кинотеатра фигуры, заснятой
на кинопленку, является центральной проекцией этой фигуры.
На рисунках 72, 73, 74 спроектированы соответственно
квадрат, треугольник и каркас тетраэдра. Из этих рисунков
Р'А'В'С' —
каркас тетраэдра
Рис. 72
Рис. 73
Рис. 74
62 | Глава 3
Прямая и плоскость в пространстве
можно сделать предположение, что ни величина угла, ни дли-
на отрезка при параллельном проектировании, вообще гово-
ря, не сохраняются.
Рассмотрим некоторые свойства параллельного проектиро-
вания.
1. Все точки проектирующей прямой проектируются в од-
ну точку — точку пересечения этой прямой с плоскостью про-
екций (рис. 75).
В дальнейшем мы будем рассматривать проекции
прямых, не параллельных проектирующим прямым.
2. Проекция прямой есть прямая. Действительно, все пря-
мые, проектирующие точки данной прямой т' (рис. 76), при-
надлежат некоторой проектирующей плоскости, которая пе-
ресекает плоскость проекций по некоторой прямой т — па-
раллельной проекции прямой т'.
Причем, так как через точку, не лежащую на данной пря-
мой, можно провести лишь одну прямую, параллельную этой
прямой (т. 6) (мы проводим прямые, параллельные прямой Z),
то каждая точка прямой т' проектируется в единственную
точку своей проекции — прямой т, и наоборот, каждая точка
прямой т является проекцией единственной точки прямой т'.
Из доказательства этого свойства следует: три точки, лежа-
щие на одной прямой, проектируются в три точки, также ле-
жащие на одной прямой. ЕШ Также говорят, что три коллине-
арные точки проектируются в три коллинеарные точки. ИВ
3. Две параллельные прямые проектируются либо в две
параллельные прямые, либо в одну и ту же прямую. Дей-
ствительно, если прямые а' и Ь' лежат в одной проектирую-
щей плоскости, то они проектируются в одну и ту же прямую,
Рис. 75
Рис. 76
63
§12. Параллельное проектирование и его свойства.
именно, в прямую, по которой эта проектирующая плоскость
пересекает плоскость проекций.
Пусть теперь прямые а' и &' параллельны (рис. 77) и не ле-
жат в одной проектирующей плоскости.
Обозначим через аир плоскости, образованные прямыми,
проектирующими точки прямых соответственно а' и Пря-
мые а и Ь, по которым плоскости а и Р пересекают плоскость
проекции, не могут пересекаться, так как если бы эти прямые
имели общую точку М, то и прямые а' и &' по свойству 2 име-
ли бы общую точку М'9 что невозможно в силу параллельнос-
ти прямых а' и А так как прямые а и & лежат в одной плос-
кости (плоскости проекций) и не имеют общей точки, то они
параллельны, т. е. параллельными проекциями параллель-
ных прямых, не лежащих в одной проектирующей плоскости,
являются параллельные прямые.
Заметим, что плоскости аир, проектирующие параллель-
ные прямые а' и не лежащие в одной проектирующей плос-
кости, параллельны (в п. 9.1 мы показали, что параллельные
плоскости существуют; о свойствах параллельных плоскостей
мы подробно будем говорить в следующей главе).
4. Проекции параллельных отрезков лежат либо на парал-
лельных прямых, либо на одной прямой. Отношение длин
отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных
прямых, равно отношению длин проекций этих отрезков.
Если отрезки АВ' и В'С' лежат на одной прямой а' и проек-
тируются на отрезки соответственно АВ и ВС прямой а (рис.
78), то по обобщенной теореме Фалеса в плоскости, определяе-
мой прямыми а и а', получаем АВ': В'С' = АВ : ВС = m : п.
Пусть теперь отрезки АВ' и C'D' расположены соответ-
ственно на данных параллельных прямых а' и Ь'9 не лежащих
Рис. 77
Рис. 78
64 | Глава 3
Прямая и плоскость в пространстве
в одной проектирующей плоскости, и А'В': C'D' = m: п; АВ и
CD, а и Ь — соответственно их параллельные проекции на
плоскость л (рис. 79).
Так как а' || &', то (по свойству 3) a || Ь. Пусть Е — такая точ-
ка прямой а, что четырехугольник BCDE — параллелограмм.
Тогда на прямой а' существует (единственная!) такая точка Е',
что Е'Е || DD' и АВ': В'Е' =АВ : BE. А так как ВС || ED, то
В'С' || E'D' (по свойству 3), значит, B'C'D'E' — параллело-
грамм. Поэтому А'В': C'D' =А'В': В'Е' =АВ : BE =АВ : CD,
то есть А'В': C'D' = АВ : CD =m:n.
Из этого свойства, очень важного для теории построений
изображений пространственных фигур на плоскости, следует
не менее важный вывод: если отрезок А'С' параллельно проек-
тируется на отрезок АС и точка В' делит отрезок А'С' в отно-
шении А'В' : В'С' = m : п, то точка В — проекция точки В' —
делит отрезок АС в том же отношении m : п, то есть АВ : ВС =
= А'В' : В'С' = m : п. В частности, середина отрезка А'С' па-
раллельно проектируется в середину отрезка АС (тп : п = 1 : 1)
(рис. 80).
Пусть М — внутренняя точка отрезка АВ.
Определение. Число X, равное отношению длин
отрезков AM и МВ, на которые точка М делит отре-
зок АВ, называется простым отношением трех точек
А, В и М, лежащих на одной прямой, и обозначается
(АВ; М), т. е. (АВ; М) = X = AM : МВ.
При этом точки А и В называются базисными, а точка М —
делящей точкой.
Упорядоченность точек простого отношения необходима.
Например, если ААг — медиана треугольника АВС, М — его
Рис. 79
Рис. 80
I 65
§ 12. Параллельное проектирование и его свойства.
центроид (точка пересечения медиан тре- В
угольника), то (ААр М) =АМ : МАГ = 2:1, А
но (АгА; М) = АГМ : МА =1:2 (рис. 81). / \
Поэтому, если AM # MAV то (АА1; М) # / \
^(АгА;М). / I ДА
Учитывая свойство 4 параллельного про- /
ектирования, можно сделать вывод: простое / М \
отношение трех точек, лежащих на одной // j д
прямой, при параллельном проектировании С
сохраняется. В этом случае также говорят, А 1
что простое отношение трех точек, лежа- рис 81
щих на одной прямой, — инвариант па-
раллельного проектирования.
Свойства фигуры, сохраняющиеся при параллельном про-
ектировании, называются аффинными свойствами этой
фигуры. Например, свойства прямых быть параллельными —
аффинное свойство этих прямых; инвариантность простого от-
ношения трех точек одной прямой — аффинное свойство та-
ких точек.
Подробнее о параллельном проектировании и изображени-
ях фигур на плоскости читайте в конце учебника.
Определение. Проектирование в направлении пря-
мой, перпендикулярной плоскости проекций, называ-
ется ортогональным.
Удобно пользоваться обозначением: М = Пр^(М').
Ортогональное проектирование является частным случаем
параллельного и обладает всеми его свойствами. Однако, если
при параллельном проектировании, не являющемся ортого-
нальным, длина проекции отрезка может быть меньше, боль-
ше или равна длине самого отрезка, то при ортогональном
проектировании длина проекции отрезка не больше чем длина
самого отрезка, и длины этих отрезков связаны соотношением
Пр^(АВ) = |АВ| • cos ф, где ф — величина угла между прямой
АВ и плоскостью проекций а.
5-3163
Глава
] ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
§13. Параллельность плоскостей
13.1. Признак параллельности плоскостей
При взаимном расположении двух плоскостей в пространстве
возможен один из двух взаимно исключающих случаев.
1. Две плоскости имеют общую точку. Тогда по аксиоме пе-
ресечения двух плоскостей они имеют общую прямую. Такие
плоскости называются пересекающимися.
2. Две плоскости не имеют общей точки.
Определение. Две плоскости, не имеющие общей точ-
ки, называются параллельными.
Если плоскости аир параллельны, то записывают: а II Р
или р || а. При этом также говорят, что плоскость а параллель-
на плоскости Р или плоскость р параллельна плоскости а.
В п. 9.1 мы доказали, что в пространстве существуют парал-
лельные плоскости. Но возникает вопрос: как определить, парал-
лельны ли две данные плоскости? Ответить на этот вопрос помо-
гают признаки параллельности двух плоскостей (т. 18,19 и 24).
Теорема 18 (признак параллельности плоскостей). Если
каждая из двух пересекающихся прямых одной плос-
кости параллельна другой плоскости, то данные плос-
кости параллельны.
Дано: a с а, b с а, а n b = М; a || р, b || р (рис. 82).
Доказать: а || р.
Доказательство. Рассуждаем методом от противного.
Предположим, что плоскости а и р не параллельны. Тогда они
пересекаются по некоторой прямой с (см. рис. 82).
67
§13. Параллельность плоскостей
В плоскости а расположены прямая с и данные пересекаю-
щиеся прямые а и Ь. Так как из двух пересекающихся пря-
мых не более, чем одна может быть параллельна данной пря-
мой, то прямая с пересекает, по крайней мере, одну из пря-
мых а и Ь. Пусть с пересекает прямую а в некоторой точке К:
а ос = К.
Имеем: прямая с, следовательно, и точка К лежат в плос-
кости р. Значит, прямая а пересекает плоскость р. Это проти-
воречит условию теоремы (а || Р).
Также к противоречию с условием теоремы придем, если
допустим, что пересекаются прямые с и & или прямая с пере-
секает обе прямые а и Ь.
Таким образом, предположив, что плоскости а и Р не парал-
лельны, мы пришли к противоречию. Это означает, что пред-
положение неверно. Следовательно, а || р. Теорема доказана. ▼
Теорема 19. Если две пересекающиеся прямые одной
плоскости соответственно параллельны двум прямым
другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Доказательство. Пусть прямые а и & плоскости а пересе-
каются в точке М, прямые ar и плоскости Р параллельны
соответственно прямым а и & (рис. 83). Тогда по признаку па-
раллельности прямой и плоскости имеем:
а || ар ах с Р =* а || Р;
Ь II &р С р => Ь II р.
Таким образом, пересекающиеся прямые а и & в плоскости
а параллельны плоскости р. По предыдущей теореме плоскос-
ти а и Р параллельны. Теорема доказана. ▼
5*
68 | Глава 4
Плоскости в пространстве
Заметим, что доказанная теорема 19 также является при-
знаком параллельности двух плоскостей и может быть доказа-
на независимо от теоремы 18. Самостоятельно докажите те-
орему 19, не используя теорему 18.
Докажите самостоятельно, что две плоскости, перпендику-
лярные одной и той же прямой, параллельны.
13.2. Свойства параллельных плоскостей
Теорема 20. Прямые, по которым две параллельные
плоскости пересечены третьей плоскостью, парал-
лельны.
Дано: а ||р, у л а = а, у п р = & (рис. 84).
Доказать: a || Ь.
Доказательство. Прямые а и & лежат в одной плоскости
у. Эти прямые не имеют общей точки, так как плоскости а и Р
параллельны. Следовательно, прямые а и Ь параллельны по
определению. Теорема доказана. ▼
Теорема 21. Если прямая пересекает одну из двух па-
раллельных плоскостей, то она пересекает и другую.
Дано: а || р, a п а = А (рис. 85).
Доказать: а пересекает р.
Доказательство. Выберем в плоскости р любую точку С.
Через эту точку и прямую а проведем плоскость у.
Так как плоскость у имеет с плоскостями аир общие точки
А и С соответственно, то она пересекает эти плоскости по не-
которым прямым бис, которые проходят соответственно че-
Рис. 84
Рис. 85
| 69
§13. Параллельность плоскостей
рез точки А и С. По предыдущей теореме прямые & и с парал-
лельны. Тогда в плоскости у прямая а пересекает (в точке А)
прямую &, которая параллельна прямой с. Значит, прямая a
пересекает и прямую с в некоторой точке В. Так как прямая с
лежит в плоскости р, то точка В является точкой пересечения
прямой а и плоскости р. Теорема доказана. ▼
Теорема 22. Если плоскость пересекает одну из двух
параллельных плоскостей, то она пересекает и дру-
гую плоскость.
Дано: а II р, а и у пересекаются (рис. 86).
Доказать: Ри у пересекаются.
Доказательство. Проведем в плоскости у прямую а, пе-
ресекающую плоскость а в некоторой точке В. Тогда по теоре-
ме 21 прямая а пересекает и плоскость Р в некоторой точке А.
Следовательно, плоскости Р и у имеют общую точку А, т. е.
пересекаются. Теорема доказана. ▼
Вернемся к вопросу о существовании параллельных плос-
костей.
Теорема 23. Через точку, не лежащую в данной плос-
кости, можно провести плоскость, параллельную дан-
ной, и притом только одну.
Дано: а, М; М <£ а (рис. 87).
Доказать: существует единственная плоскость Р такая, что
Me р, р|| а.
Доказательство. В данной плоскости а проведем две про-
извольные пересекающиеся прямые а и Ь. Через точку М про-
ведем прямые и параллельные соответственно а и Ь.
Рис. 86
Рис.87
70 J Глава 4
Носкости в пространстве
Плоскость, проходящую через пересекающиеся прямые аг и
Ь19Обозначим р. На основании теоремы 19 плоскость Р парал-
леДна плоскости а.
Докажем методом от противного, что Р — единственная
плоскость, удовлетворяющая условию теоремы.
Допустим, что через точку М проходит другая плоскость,
нафимер РР параллельная а.
(ак как Рх пересекает плоскость Р (они имеют общую точ-
ку^), то по теореме 22 плоскость Рг пересекает и плоскость а
(Р II а). Мы пришли к противоречию. Таким образом, пред-
положение о том, что через точку М можно провести плос-
ко$ь, отличную от плоскости Р и параллельную плоскости а,
не£рно. Значит, плоскость Р — единственна. Теорема доказа-
на. V
,Цанная теорема дает нам хороший способ построения в про-
стфнстве плоскости, параллельной данной плоскости.
ЗАДАЧА. В кубе ABCDA1B1C1D1 через точку К — середину
pe^aA1D1 провести сечение, параллельное плоскости A1C1Z>.
Решение. Плоскость сечения пересекает плоскость AA1Z>1 по
прйой КМ, параллельной прямой ArD (почему?), а плос-
кость DCC1 — по прямой ME, параллельной прямой CXD (по-
чеф?). Треугольник КМЕ — искомое сечение (рис. 88).
Рис. 88
71
§13. Параллельность плоскостей
Самостоятельно постройте сечение этого куба плоскостью,
проходящей через середину ребра ААг параллельно плоскости
А1С12Э, и вы получите в сечении правильный шестиугольник.
Теорема 24. Две плоскости, параллельные третьей,
параллельны.
Дано: сс II Р, у II Р (рис. 89).
Доказать: а || у.
Доказательство. Допустим, что плоскости а и у пересе-
каются по некоторой прямой с. Выберем на прямой с произ-
вольную точку М. Через эту точку проходят две различные
плоскости а и у, каждая из которых параллельна плоскости р.
Это противоречит теореме 23. Значит, предположение было
неверно. Поэтому а || у. Теорема доказана. ▼
Теорема 25. Отрезки параллельных прямых, заклю-
ченные между параллельными плоскостями, равны.
Дано: а II Р; а II &; а п а = Ар a n Р = Вх;
b п а = А2, b п р = В2 (рис. 90).
Доказать: Ар^ = А2В2.
Доказательство. Проведем через параллельные прямые
а и & плоскость у (т. 3). Она пересекает параллельные плос-
кости а и Р по параллельным прямым АгА2 и В1В2 (т. 20).
А так как a || &, то четырехугольник A-iA2B2Bl — параллело-
грамм. Поэтому АгВг = А2В2 (как противоположные стороны
этого параллелограмма). Теорема доказана. ▼
Рис. 89
Рис. 90
72 | Глава 4
Плоскости в пространстве
Теорема 26. Если прямая перпендикулярна одной из
двух параллельных плоскостей, то она перпендику-
лярна и другой плоскости.
Дано: 04 || а2,1 ± аР
Доказать: I ± а2.
Проведите доказательство самостоятельно, построив две лю-
бые плоскости ух и у2, проходящие через прямую I (рис. 91).
ЗАДАЧА 4.007. Постройте сечение пятиугольной пирамиды
PABCDE плоскостью а, которая проходит через внутреннюю
точку М основания ABCDE параллельно грани РАВ (рис. 92).
Решение. Так как прямые, по которым две параллельные
плоскости пересечены третьей плоскостью, параллельны, а плос-
кость а параллельна грани РАВ, то: а) прямая пересечения
плоскости а с гранью АВС (плоскостью основания пирамиды)
должна быть параллельна АВ; б) прямая пересечения плос-
кости а с гранью РАЕ — параллельна АР; в) прямая пересече-
ния а с плоскостью грани РВС — параллельна РВ; г) прямая
пересечения плоскости а с плоскостью PAD — параллельна
РА, поэтому проводим: 1) через точку М прямую KF || АВ,
К е ВС, F g АЕ; 2) прямую FH || РА, Н е РЕ; 3) прямую
KR || РВ, R g PC; 4) прямую ML || АР, L g PD. Пятиугольник
HLRKF — искомое сечение.
Доказательство проделайте самостоятельно.
Замечание. При внимательном анализе обнаруживается
аналогия между свойствами параллельных плоскостей в про-
странстве и свойствами параллельных прямых на плоскости.
Рис. 91
Рис. 92
§14. Двугранные углы. Угол между двумя плоскостями
«1 И a2\\a3,A1A2=A2A3=>
= В2В3, CjC2 = С2С3
Рис. 93
Попробуйте, например, пользуясь рисунком 93,"сформулиро-
вать и доказать «пространственный аналог теоремы Фалеса».
§14. Двугранные углы.
Угол между двумя плоскостями
14.1. Двугранный угол и его измерение
Рассмотрим два полупространства, образованных непарал-
лельными плоскостями. Пересечение этих полупространств
будем называть двугранным углом.
Прямую, по которой пересекаются плоскости — границы
полупространств, называют ребром двугранного угла,
а полуплоскости этих плоскостей, образующие двугранный
угол, — гранями двугранного угла.
Двугранный угол с гранями а, Р и ребром а обозначают аар.
Можно использовать и такие обозначения двугранного угла,
как К1АВ)Т-, а(АВ)Р (рис. 94, 95).
Рис. 94
Рис.95
74 | Глава 4
Плоскости в пространстве
Замечание. Иногда говорят, что двугранный угол асф об-
разован двумя полуплоскостями аир, имеющими общую гра-
ничную прямую а.
Фигуры, образованные двумя страницами одной книги,
двумя соседними гранями куба, — модели двугранного угла.
Для измерения двугранного угла введем понятие его линей-
ного угла. На ребре а двугранного угла асф отметим произ-
вольную точку О и в гранях а и Р проведем из точки О соот-
ветственно лучи ОА и ОВ, перпендикулярные ребру а (рис.
96, а). Угол АОВ, образованный этими лучами, называется
линейным углом двугранного угла асф.
Так как ОА ± а и ОВ ± а, то плоскость АОВ перпендику-
лярна прямой а. Это означает, что линейный угол двугранно-
го угла есть пересечение данного двугранного угла и плос-
кости, перпендикулярной его ребру.
Вследствие произвольного выбора точки О на ребре дву-
гранного угла заключаем, что двугранный угол имеет беско-
нечное множество линейных углов. Докажем, что все они рав-
ны.
Действительно, рассмотрим два линейных угла АОВ и
А1О1В1 двугранного угла асф (рис. 96, б). Лучи ОА и OjAj ле-
жат в одной грани а и перпендикулярны прямой а — ребру
двугранного угла, поэтому они сонаправлены. Аналогично
получаем, что сонаправлены лучи ОВ и ОгВх. Тогда Z АОВ =
= Z А1О1В1 (как углы с сонаправленными сторонами).
Таким образом, нами доказана
I Теорема 27. Величина линейного угла не зависит от
выбора его вершины на ребре двугранного угла.
Иначе говоря, все линейные углы данного двугранного угла
равны между собой.
75
§14. Двугранные углы. Угол между двумя плоскостями
Это позволяет ввести следующее
Определение. Величиной двугранного угла называет-
ся величина его линейного угла.
Величина двугранного угла (измерен-
ная в градусах) принадлежит проме-
жутку (0°; 180°).
На рисунке 97 изображен двугран-
ный угол, градусная мера (величина)
которого равна 30°. В этом случае так-
же говорят, что двугранный угол равен
тридцати градусам.
Двугранный угол является острым (рис. 98, а), прямым
(рис. 98, б) или тупым (рис. 98, в), если его линейный угол
соответственно острый, прямой или тупой.
Рис. 98
Заметим, что аналогично тому, как и на плоскости, в про-
странстве определяются смежные (рис. 99, а) и вертикаль-
ные (рис. 99, б) двугранные углы. При этом справедливы и
аналогичные теоремы о величинах этих углов.
Попробуйте доказать самостоятельно следующие два ут-
верждения, важные для решения задач.
Рис. 99
76 | Глава 4
Плоскости в пространстве
• На гранях двугранного угла величины а взяты точки А и В;
А1иВ1 — проекции этих точек на ребро двугранного угла; ААг =
= а; ВВг = &; AXBX = h. Тогда АВ = Jh2 + a2 + b2 - 2ab cos а.
• Если внутри двугранного угла величины а взята точка на
расстояниях а и & от граней двугранного угла, то ее расстоя-
Ja2 + &2 + 2ab cos а
ние от ребра двугранного угла равно---sina-------•
14.2. Угол между двумя плоскостями
Две пересекающиеся плоскости образуют четыре двугран-
ных угла с общим ребром (рис. 100). Если величина одного из
них равна ф, то величины трех остальных равны соответствен-
но 180° - ф, ф, 180° - ф (почему?). Наименьшая из этих вели-
чин принимается за величину угла между данными пересе-
кающимися плоскостями.
Определение. Углом между двумя пересекающимися
плоскостями называется наименьший из двугранных
углов, образованных при их пересечении.
у\ Угол между параллельными или
/ совпадающими плоскостями полага-
_____А /- ч ется равным нулю.
Если величина угла между плоскос-
Z / / тями а и Р равна ф, то пишут: (a; Р) = ф.
у^у Так как двугранный угол измеряет-
v ся своим линейным углом, то из выше
Рис. юо приведенного определения следует,
что угол между пересекающимися
плоскостями равен углу между пересекающимися прямыми,
лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными к линии
их пересечения (рис. 100). Это означает, что величина угла
между плоскостями принадлежит промежутку [0°; 90°].
ЗАДАЧА. Отрезок DM длиной 3,2 перпендикулярен плоскос-
ти ромба ABCD (ZADC — тупой). Диагонали ромба равны 12
и 16. Найдите углы между плоскостями: а) АВС и МВС;
6)AMDnCMD.
Решение, а) Пусть DE — высота ромба ABCD (рис. 101). Тогда
по теореме о трех перпендикулярах ME ± ВС и Z DEM = ф —
77
§15. Перпендикулярность плоскостей
линейный угол двугранного угла, обра-
зованного плоскостями АВС и МВС.
Найдем величину этого угла.
По условию задачи DM ± (АВС), по-
этому Д MDE — прямоугольный, зна-
. DM m
чит, tg ф = . Так как DE — высота
ромба ABCD, то DE = где S — Рис. 101
площадь этого ромба. Сторона ВС ромба является гипотенузой
прямоугольного треугольника ВОС, катеты ОВ и ОС которого
равны 6 и 8. Значит, ВС = JOB2 + ОС2 = л/б2 + 82 = 10.
Учитывая, что S = | 'AC'BD = | • 12 • 16 = 96, находим:
96 „ „ „ . DM 3,2 1 .1
DE- = 9,6. Тогдаtgф = = 3 , откудаф = arctg 3 .
б) Так как отрезок DM — перпендикуляр к плоскости ром-
ба ABCD, toAD ± DM, CD ± DM, значит, Z ADC = ф — ли-
нейный угол двугранного угла, образованного пересекающи-
мися плоскостями ADM и CDM. Найдем этот угол.
В треугольнике ACD по теореме косинусов находим
AD2 + CD2 -AC2 102 + 102 - 162 7
v 2AD-CD 2-10-10 25’
откуда у = arccos
Ответ: a) arctg |; б) arccos
О
§ 15. Перпендикулярность плоскостей
15.1. Признаки перпендикулярности двух плоскостей
Определение. Две плоскости называются перпенди-
кулярными (взаимно перпендикулярными), если угол
между ними равен 90° (рис. 102).
Взаимную перпендикулярность плоскостей а и Р обознача-
ют а ± р. При этом также говорят, что плоскость а перпенди-
кулярна плоскости Р или плоскость Р перпендикулярна плос-
кости а.
78 | Глава 4
Плоскости в пространстве
Заметим, что все четыре двугран-
ных угла, образованные взаимно
перпендикулярными плоскостями,
прямые.
Примерами взаимно перпендику-
лярных плоскостей могут служить
плоскости пола и стены комнаты в
хорошо построенном доме, плоскос-
ти двух соседних граней куба или
прямоугольного параллелепипеда.
Для стены и пола перпендикулярность проверяют при помо-
щи «отвеса». А как определить, проверить, перпендикуляр-
ны ли две плоскости? Ответы на эти вопросы дают признаки
перпендикулярности двух плоскостей, а также свойства, ко-
торыми обладают перпендикулярные плоскости.
Рассмотрим признаки перпендикулярности двух плоскостей.
Теорема 28 (признак перпендикулярности двух плоскос-
тей). Если одна из двух плоскостей проходит через пря-
мую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плос-
кости перпендикулярны.
Дано: аи|3 пересекаются; a ± a; a с Р (рис. 103).
Доказать: р ± а.
Доказательство. Обозначим: А = a п а, Ь = а п р. Так
как по условию теоремы прямая а перпендикулярна плоскос-
ти а, то эта прямая перпендикулярна любой прямой, лежа-
щей в плоскости а. Значит, а ± Ь.
Проведем в плоскости а через точку А прямую АС, перпен-
дикулярную прямой Ь. Тогда Z ВАС — линейный угол дву-
гранного угла, образованного при пересечении плоскостей а и
р. Так как АВ 1 а, то Z ВАС = 90°
(почему?). Это означает, что (а; Р) =
= 90°, т. е. а ± Р (по определению
перпендикулярных плоскостей).
Теорема доказана. ▼
Следствие 1. Если в
плоскости есть хоть одна пря-
мая, перпендикулярная другой
плоскости, то эти плоскости
взаимно перпендикулярны.
79
§15. Перпендикулярность плоскостей
Следствие 2. Если плоскость перпендикулярна
прямой, по которой пересекаются две данные плоскос-
ти, то эта плоскость перпендикулярна каждой из дан-
ных плоскостей.
Докажите эти следствия самостоятельно.
15.2. Свойства перпендикулярных плоскостей
Теорема 29. Если прямая лежит в одной из двух вза-
имно перпендикулярных плоскостей и перпендику-
лярна линии их пересечения, то эта прямая перпен-
дикулярна другой плоскости.
Дано: а 1 Р; а п р = с; о с а, а ± с
(рис. 104).
Доказать: а ± р.
Доказательство. Обозначим
О = а п с и в плоскости Р проведем
через точку О прямую Ь, перпенди-
кулярную прямой с. Тогда (а; &) =
= 90° (как линейный угол прямого
двугранного угла, образованного при пересечении плоскостей
а и Р). Получаем (а ± с, а ± &) => а ± Р (по признаку перпенди-
кулярности прямой и плоскости). Теорема доказана. ▼ ''
Теорема 30. Если прямая, проведенная через точку
одной из двух взаимно перпендикулярных плоскос-
тей, перпендикулярна другой плоскости, то она лежит
в первой из них.
Дано: а±р,Аб а, А е а, а ± Р (рис. 105).
Доказать: аса.
Доказательство. Обозначим с = a n Р и через точку А
проведем в плоскости а прямую тп, перпендикулярную пря-
мой с. По теореме 2^ прямая m пер-
пендикулярна плоскости р. Так как в
пространстве через точку можно про-
вести лишь одну прямую, перпенди-
кулярную данной плоскости, то пря-
мая а совпадает с прямой т, лежа-
щей в плоскости а. Значит, аса.
Теорема доказана. ▼
80 | Глава 4
Плоскости в пространстве
Докажите самостоятельно следующее предложение («теоре-
му отвеса»). Если прямая, проведенная через точку од-
ной из двух пересекающихся плоскостей, перпендику-
лярна другой плоскости и не лежит в первой, то дан-
ные плоскости не перпендикулярны.
В планиметрии две прямые, перпендикулярные третьей пря-
мой, не могут пересекаться. Проводя аналогию, можно предпо-
ложить, что не могут пересекаться и две плоскости, перпенди-
кулярные третьей плоскости. Однако это не так. Достаточно по-
смотреть на две соседние стены вашей комнаты (мы надеемся,
что они обе перпендикулярны к полу), чтобы убедиться, что эти
стены не параллельны. Вообще, если две плоскости пересека-
ются по прямой, перпендикулярной третьей плоскости, то
каждая из них перпендикулярна этой третьей плоскости.
Верно и обратное утверждение.
Теорема 31. Если две плоскости, перпендикулярные
третьей плоскости, пересекаются, то прямая их пере-
сечения перпендикулярна третьей плоскости.
Дано: а ± у, р ± у; ап р = а (рис. 106, а).
Доказать: а ± у.
Доказательство.
Отметим на прямой а произвольную
точку А и проведем через нее прямую
&, перпендикулярную плоскости у.
Так как точка А принадлежит плос-
кости а (А е а = а n Р), которая пер-
пендикулярна плоскости у, то прямая
Ъ лежит в плоскости а (т. J@). Анало-.
гично, точка А принадлежит плоскос-
ти Р, поэтому прямая Ь лежит в плос- ;
кости р.
Таким образом, прямая Ь прохо-
дит через точку А, перпендикулярна
плоскости у и лежит в плоскостях а I
и р. Это означает, что прямая Ь совпа- :
дает с прямой а, т. е. а ± у. Теорема до-
казана. ▼
В дальнейшем мы будем часто рассмат-
ривать три попарно взаимно перпен-
дикулярные плоскости, имеющие об-
щую точку (рис. 106, б).
]«
§ 16. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых
ВВ1 Вернемся к вопросу об изме-
рении угла между двумя пересе-
кающимися плоскостями.
Прямую, перпендикулярную дан-
ной плоскости, называют нор-
малью к этой плоскости.
Пусть плоскости аир, величина
угла между которыми равна ф, пе-
ресекаются по прямой с. На рисун-
ке 107 плоскость у, перпендику-
лярная прямой с, пересекает плос-
кость а по прямой тп, а плоскость р по прямой п; через точки
Ре т и Н е п проведены прямые соответственно а и &, пер-
пендикулярные к плоскостям аир.
Так как с ± у, то по признаку перпендикулярности двух
плоскостей каждая из плоскостей аир перпендикулярна
плоскости у. По теореме 30 прямые а и & лежат в плоскости у,
в которой лежат также и прямые т и п. Тогда в плоскости у
угол между прямыми т и п (линейный угол двугранного уг-
ла, образованного плоскостями а и р) и угол между прямыми
а и Ь равны (как острые углы с соответственно перпендику-
лярными сторонами). Таким образом, величина угла между
двумя пересекающимися плоскостями равна углу между
нормалями к этим плоскостям
§16. Общий перпендикуляр
двух скрещивающихся прямых
Определение. Общим перпендикуляром двух скрещи-
вающихся прямых называется отрезок, имеющий кон-
цы на данных прямых и перпендикулярный к ним.
Пусть а и & — данные скрещивающиеся прямые (рис. 108).
Докажем, что существует общий перпендикуляр прямых а и
6, и притом только один.
Проведем через прямые а и & параллельные плоскости соот-
ветственно аир. Кроме того, через прямую а проведем плос-
кость у, перпендикулярную плоскости р. Пусть аг = у п р.
Очевидно, плоскость у пересекает плоскость а по прямой а,
6-3163
82 | Глава 4
Плоскости в пространстве
и прямая аг является ортогональ-
ной проекцией прямой а на плос-
кость р.
Так как а || р, а прямые а и Ь
скрещиваются, то прямая ах парал-
лельна прямой а (почему?) и пере-
секает прямую Ь в некоторой точке
С: точка С является ортогональной
проекцией на плоскость р некото-
рой точки А прямой а. Это означа-
ет, что отрезок АС перпендикуля-
рен плоскости р. Тогда отрезок АС
перпендикулярен прямым ах и Ь (почему?), следовательно, он
перпендикулярен прямой а (почему?). Учитывая, что А е а,
С g &, приходим к выводу: отрезок АС — искомый перпенди-
куляр прямых а и Ь.
Докажем единственность общего перпендикуляра прямых а
и Ь. Допустим, что существует другой общий перпендикуляр
прямых а и &, например отрезок А1С1, причем Ах g а, Сх g Ь
(рис. 108). Так как AtCT ± а, ах || а, то А1С1 ± av Тогда по
признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая
АгСг перпендикулярна плоскости р. Теперь имеем: АС ± р,
А1С1 ±' р => АС || А1С1. Это означает, что точки А, С, А19 С19
следовательно, и данные скрещивающиеся прямые а и &, ле-
жат в одной плоскости, что невозможно. Значит, допущение
неверно, и общий перпендикуляр скрещивающихся прямых а
и Ь единствен.
Расстоянием между двумя скрещивающимися пря-
мыми называется длина их общего перпендикуляра.
Из предыдущих рассуждений следует, что общий перпенди-
куляр АС двух скрещивающихся прямых а и & является об-
щим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходя-
щих через эти прямые. Следовательно, расстояние между
двумя скрещивающимися прямыми равно расстоянию меж-
ду параллельными плоскостями, проходящими через эти
прямые.
Итак, мы доказали: две скрещивающиеся прямые имеют
общий перпендикуляр, и притом только один. Он является
общим перпендикуляром параллельных плоскостей, прохо-
дящих через эти прямые.
§ 17. Площадь ортогональной проекции многоугольника
§17. Площадь ортогональной
проекции многоугольника
Из свойств параллельного проектирования (§ 12) следует, что
если фигура лежит в плоскости, параллельной плоскости про-
екций, то ортогональной проекцией этой фигуры является
равная ей фигура.
Рассмотрим вопрос о площади ортого-
нальной проекции многоугольника, рас-
положенного в плоскости а, которая об-
разует угол ф (0° < ф < 90°) с плоскостью
проекций я и пересекает ее по прямой I
(рис. 109). Предварительно рассмотрим
ортогональное проектирование отрезка,
лежащего. в плоскости а, выделив два
случая расположения этого отрезка от-
носительно прямой I = а п я.
Случай 1. АВ || I (рис. 109). От-
резок А1В1, являющийся ортогональной проекцией отрезка
АВ, равен и параллелен отрезку АВ (§ 12).
Случай 2. CD ± I (рис. 109). По теореме о трех перпен-
дикулярах прямая CrDv являющаяся ортогональной проек-
цией прямой СВ, также перпендикулярна прямой I. Следо-
вательно, Z СЕСг — угол между плоскостью а и плоскостью
проекций я, т. е. СЕСХ = ф = (а; я) = (СВ; СХВХ) = СВС0, где
С0В || CjBp Поэтому
|CxBi| = |СВ| • cos ф.
(1)
Теперь рассмотрим вопрос об ортогональном проектирова-
нии многоугольника.
Теорема 32. Площадь ортогональной проекции мно-
гоугольника на плоскость равна площади проектируе-
мого многоугольника, умноженной на косинус угла
между плоскостью многоугольника и плоскостью про-
екций.
SS Доказательство. 1. Площадь проекции треугольника.
а) Пусть одна из сторон, например АС, проектируемого тре-
угольника АВС параллельна прямой I == а п я (рис. 110) или
R*
84 | Глава 4
Плоскости в пространстве
Рис.110
лежит на ней. Тогда его высота ВН перпендикулярна прямой
I, а площадь равна |аС • ВН, т. е. <8Д авС = |АС • ВН.
На основании выше рассмотренных свойств ортогональной
проекции отрезка имеем:
АС || I => АгСх || Z; АС = АхСр ВХЯ\ = ВН • cos <р.
По теореме о трех перпендикулярах прямая ВгНх — ортого-
нальная проекция прямой ВН — перпендикулярна прямой I,
следовательно, отрезок ВХНГ — высота треугольника А^В^С^.
Поэтому
AAjBjCj = = 2^^ * ’ COS Ф = ® А АВС * COS Ф*
Таким образом,
® AAjBjCj = «А АВС ’ COS ф’ (2)
б) Ни одна из сторон проектируемого треугольника АВС не
параллельна прямой I (рис. 111).
Проведем через каждую вершину треугольника прямую, па-
раллельную прямой I. Одна из этих прямых лежит между двумя
другими (на нашем рисунке — это прямая тп), и, следовательно,
разбивает треугольник АВС на треугольники ABD и ACD с вы-
сотами соответственно ВН и СЕ, проведенными к их общей сто-
роне AD (или ее продолжению), которая параллельна I.
Прямая тпх — ортогональная проекция прямой m — также
разбивает треугольник AjBfii — ортогональную проекцию j
треугольника АВС — на треугольники AjBpDj и A1C1Z>1, где
A1D1 || I, B^Hi ± A1Z>1, СХЕ1 ± А^Ор Принимая во внимание |
(1) и (2), получаем |
_______________________,________________________I—?!
§ 17. Площадь ортогональной проекции многоугольника
^ДА1В1С1 ~ + 'S’AAjCjI»! = ® A ABD * COS Ф + A ACD * C0S Ф =
= (&ДАВО + «д ACd) * COS Ф = &Д АВС * COS Ф'
Итак, для произвольно расположенного в плоскости а тре-
угольника АВС выполняется
ЗдА^!^ = &д АВС * COS ф’ (3)
/
2. Площадь проекции многоуголь- в
ника. Пусть Ф — данный выпуклый
многоугольник ABCDEF (рис. 112), ——'^=*\
расположенный в плоскости а. Его op- \
тогональную проекцию — многоуголь- -—Др
ник A1B1C1D1E1F1 — обозначим Ф1. \
Проведя из вершины А многоуголь- ^_\
ника Ф все его диагонали, разобьем Е
этот многоугольник в объединение не- Рис 112
пересекающихся треугольников АВС,
ACD,ADE W.AEF и обозначим их площади соответственно Sp
S2, S3 и S4. Тогда для площади 8Ф многоугольника Ф выпол-
няется
-5Ф = Sx + S2 + S3 + S4. (4)
Аналогичным образом многоугольник Фг разобьем в объ-
единение треугольников А1В1С1, A1C1D1, A1D1E1 и A-J^F^,
площади которых обозначим соответственно Sp S2, Sg и S4.
Тогда для площади 8Ф1 многоугольника Фх выполняется
,8ф1 — S{ + S2 + Sg + S4.
Принимая во внимание (2), (3) и (4), находим
S0j = SJ + S2 + Sg + S4 = Sx • cos <p + S2 • cos <p + S3 • cos ф +
+ S4 • cos ф = (Sj + S2 + S3 + S4) • cos ф = Вф • cos ф.
Разбивая указанным способом на треугольники любой
n-угольник Ф, получим аналогичное соотношение между пло-
щадью В(Ф) этого n-угольника и площадью В(Ф4) его проек-
ции Фг:
8(Ф1) = 8(Ф) • cos ф,
86 | Глава 4
Плоскости в пространстве
где ф — угол между плоскостью данного n-угольника и плос-
костью проекций. Теорема доказана. ▼ SB
В школьном курсе геометрии изучаются выпуклые много-
угольники. Тем не менее, представляет интерес вопрос о том,
как изменяется площадь выпуклого многоугольника при
его ортогональном проектировании на другую плоскость,
образующую с плоскостью данного многоугольника угол ф
(ф < 90°).
Заметим, что разбиение многоугольника в объединение
непересекающихся треугольников называют триангуляцией
данного многоугольника. На интуитивном уровне очевидно,
что невыпуклый многоугольник М площади S , так же как
и выпуклый можно триангулировать, допустим на п тре-
угольников, площади которых равны Sp S2, ..., Sn. При
ортогональном проектировании каждый треугольник площа-
ди S^(k = 1, ..., п) проектируется в треугольник площади
Sk = Sk • cos ф. Тогда многоугольник М' — ортогональная про-
екция данного многоугольника М имеет площадь
S' = Sj + S'2 + ... + S'k = Sx • cos ф + S2 • cos ф + ... + Sn • cos ф =
= (Sx + S2 + ... + Sn) • cos ф = S • cos ф.
Таким образом, доказанная теорема справедлива и для не-
выпуклых многоугольников.
Глава
РАССТОЯНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§18. Расстояние от точки до фигуры
Мы уже говорили о расстоянии между двумя точками (рис. 113).
Расстояние от точки М до фигуры F мы будем обозначать:
р(М; F)1.
Если точка М принадлежит фигуре F, то расстояние от
нее до фигуры F равно нулю. Например, расстояние от лю-
бой вершины куба до этого куба равно нулю.
Если точка М не принадлежит фигуре F,
то рассматриваются всевозможные расстоя- А В
ния от данной точки до каждой точки фигу-
ры F. Наименьшее из них и принимается за Р(А;В) = |АВ| > О
расстояние от точки М до фигуры F. Рис 113
Таким образом: если точка М не прина-
длежит фигуре F и существует принадлежащая фигуре F точ-
ка А такая, что |МА| < |МХ| для любой точки X фигуры F, то
длина отрезка МА называется расстоянием от точки М
до фигуры F, а точка А — ближайшей к точке М точ-
кой фигуры F. При этом пишут: р(М; F) = |МА| (рис. 114).
Заметим, что такое определение расстояния от точки до фи-
гуры применимо как на плоскости, так и в пространстве. Бо-
лее того, если точка М и фигура F лежат в одной плоскости
(F — плоская фигура), то расстояние p(Af; F) на плоскости бу-
дет таким же, как и в пространстве.
Рассмотрим расстояния от различных точек пространства
до сферы S с центром О радиуса R.
• Если точка М расположена вне шара с центром О и
радиусом R (т. е. |OAf| > R), то точка А пересечения отрезка ОМ
1 Это обозначение не является общепринятым, но, как нам кажет-
ся, очень удобно.
88 | Глава 5
Расстояния в пространстве
р(М; F)=\MA\
р(М; S) = \МА\ = \МО\-R,A^S
р(К; F) = О
\МХ\ > \МА\
p(Mi; S) = | М^ | = R - | МгО |; А1 е S
р(М; S)=||MO|-B|
Рис. 114
Рис. 115
со сферой S является ближайшей к М точкой этой сферы (что
нетрудно показать при помощи неравенства треугольника)
(рис. 115). Таким образом, р(М; S) = |МА| = |МО| - R.
• Если точка Мг расположена внутри шара (рис. 115),
но не совпадает с его центром (т. е. О < |ОМХ| < JR), то точка
пересечения луча ОМг со сферой является ближайшей к Мх
точкой сферы, то есть р(Мх; S) = R - \ОМJ.
• Если точка М лежит на сфере, то р(М; S) = 0.
• Если, наконец, точка М является центром сферы,
то любая точка сферы является ближайшей к точке М и
р(М; S) = R.
ЕЙ В данной фигуре F может не быть точек, ближайших к
данной точке М. Такая ситуация может быть, например в
случае, когда фигура F — множество всех внутренних точек
шара с центром О и радиусом, равным 1 (т. е. всех таких то-
чек X, для которых 0 < |ОХ| < 1) Такое множество точек назы-
вают открытым шаром (шар без ограничивающей его сферы).
Если при этом точка М удалена от центра О шара на расстоя-
ние, равное 5, то в открытом шаре нет точки, ближайшей к
точке М: на отрезке МО не существует такой точки X, при-
надлежащей данному шару, для которой длина отрезка MX
достигает своего минимума. Поэтому введенное выше опреде-
ление расстояния от точки до замкнутой фигуры не распро-
страняется для определения расстояния от данной точки до
открытого множества точек («открытой» фигуры). В курсе
школьной геометрии рассматривается вообще говоря, замкну-
89
§ 18. Расстояние от точки до фигуры
Mia
р(М; а) = |МА|
А^а,МАА.а
Рис. 116
тые фигуры: шар с ограничивающей его сферой — поверх-
ностью шара, которую называют шаровой поверхностью; мно-
гогранник — геометрическое тело, границей (поверхностью)
которого является объединение конечного числа многоуголь-
ников — многогранная поверхность. Об этом речь пойдет в
курсе стереометрии 11 класса. ВИ
Расстоянием от данной точки М до данной прямой а, не
проходящей через точку М, является длина перпендику-
ляра, опущенного из точки М на прямую а (рис. 116); осно-
вание этого перпендикуляра есть ближайшая к М точка пря-
мой а.
Рассмотрим, к примеру, правильный тетраэдр ABCD с дли-
ной ребра а, в котором точка М — середина ребра АВ. Найдем
расстояния от этой точки до прямых, содержащих ребра тет-
раэдра (рис. 117).
Получаем:
• р(М; АВ) = 0, так как точка М лежит на прямой АВ;
• расстояния от точки М до прямых АС, ВС, BZ>, AD равны
, а ближайшей к М точкой, например, ребра ВС является
точка Нвс, делящая это ребро в отношении ВН : НС = 1 : 3;
• так как треугольник MDC — равнобедренный (почему?),
то нетрудно показать, что расстояние от точки М до прямой
£>С равно длине отрезка МК, где точка К — середина DC —
является ближайшей к М точкой прямой CD. Поэтому
Р(М; DC) = \МК\ = .
90 | Глава 5
Расстояния в пространстве
A^a,MAJ.a
Рис. 120
Рис. 118
Рис. 119
Расстоянием от точки М до плоскости а, не проходящей
через эту точку, является длина перпендикуляра МА, опу-
щенного из данной точки М на плоскость (рис. 118), а осно-
вание А этого перпендикуляра есть ближайшая к М точка
плоскости а (это утверждение становится совершенно очевид-
ным, если вспомнить о сравнении длин перпендикуляра и на-
клонной) (рис. 119).
Заметим, что если прямая а параллельна плоскости а, то
расстояние между ними равно расстоянию от любой точки
прямой а до плоскости а, так как это расстояние для любой
точки прямой а и то же (рис. 120).
Далее, если две плоскости параллельны, то расстояние
между ними равно расстоянию от любой точки одной из
данных плоскостей до другой, так как расстояния от любой
точки одной из этих плоскостей до другой плоскости одинако-
вы (рис. 121).
Докажите самостоятельно одно часто используемое при ре-
шении задач соотношение: пусть точки А и В не лежат в
плоскости а, а прямая АВ пересекает эту плоскость в точке
О, тогда (рис. 122).
р(и;а) ив
Рис. 121
Рис.122
91
§18. Расстояние от точки до фигуры
В качестве примера рассмотрим сле-
дующую геометрическую ситуацию.
Пусть MABCD — правильная четы-
рехугольная пирамида (рис. 123). Рас-
стояние от точки О пересечения ди-
агоналей квадрата ABCD до плоскос-
ти МВС равно 1. Требуется най-
ти расстояние до плоскости МВС от:
а) вершины D; б) точки К пересе-
чения медиан треугольника MAD',
в) точки F пересечения медиан тре-
угольника MDC.
а) Так как точка О является сере-
диной отрезка BD, то
p(D;(MBC)) _ DB
р(О;(МВС)) ОВ
= 2.
Следовательно, p(D; (МВС)) = 2.
б) Пусть N — середина AD, Н — середина ВС. Тогда
p(2V; (МВС)) = 2, так как точка О — середина NH и
р(О; (МВС)) = 1.
Далее, прямая NK пересекает плоскость МВС в точке М и
КМ 2 о
^ = 3. Значит,
p(tf;(MBC)) == КМ = 2
p(N;(MBC)) NM 3 ’
Тогда р(К;(МВС))~±
О
в) Если DF пересекает МС (а следовательно, и плоскость
л p(F;(MBC)) FQ 1 .
(МВС)) в точке Q, то ^.(мвс» = pq = 3 • А так как
P(D; (МВС)) = 2, то p(F; (МВС)) = |.
О
Отметим, что приведенный нами метод нахождения рас-
стояния от точки до плоскости позволяет решать подобного
рода задачи без построения на рисунках тех перпендикуля-
ров, длины которых равны искомым расстояниям от точек до
соответствующих плоскостей. (На рис. 123 перпендикуляры
проведены для наглядности и понимания предложенного ме-
тода; для решения задачи достаточно найти на рисунке подоб-
ные треугольники.)
92 | ГлаваS
Расстояния в пространстве
а М Очень многие задачи на нахожде-
л ние расстояний в пространстве со-
/ стоят в нахождении расстояния от
// некоторой точки М, не лежащей в
—/т' плоскости а, до фигуры F, лежащей
/----------------''Х в эт°й плоскости. Для решения за-
/ Н ) дач такого рода удобно применять
I / следующий прием.
У Опустим из точки М на плоскость
' ---------' а перпендикуляр МН (его длина
Рис. 124 |МН| = h есть расстояние от точки
М до плоскости а (рис. 124)).
Если точка Н принадлежит фигуре F, то расстояние от точ-
ки М до фигуры F равно h.
Если же точка Н не принадлежит фигуре F, то мы находим
на фигуре F точку А, ближайшую к Н. Тогда расстояние от
точки М до фигуры F равно длине отрезка AM, т. е.
AM2 = p2(Af; F) = р2(М; а) + р2(#; F).
Действительно, так как А — точка фигуры F, ближай-
шая к точке Н, то |ЛА| < |jWA^| для любой точки N фигуры F.
После применения теоремы Пифагора к прямоугольным тре-
угольникам АМН и NMH получаем соответственно |МА|2 =
= p2(Af; а) + |JfA|2 и |2WiV|2 = р2(Л1; а) + HN2, откуда (с учетом
|НА| < |HN|) следует |МА|2 < |MN|2, т. е. |МА| <
Используя соотношение p2(Af; F) = р2(Л1; а) + р2(/Г; F), по-
пробуйте придумать новое доказательство теоремы о трех пер-
пендикулярах.
Рассмотрим следующую задачу. Из вершины А трапеции
ABCD (АВ = ВС = CD = a; AD = 2а) к ее плоскости проведен
перпендикуляр AM, длина которого равна а. Найдите рас-
стояния от точки М до прямых, содержащих стороны и диаго-
нали данной трапеции (рис. 125, а, б).
Расстояния от точки М до прямых АВ, АС и AD равны а,
так как эти прямые содержат точку А — основание перпенди-
куляра, опущенного из точки М на плоскость трапеции.
Так как расстояние от точки А до прямой ВС равно высоте
Лл/З
трапеции и равно -g- , то расстояние от М до прямой ВС рав-
/ о , За2 ajl
н0 Ja2 + ~ =— ’
I 93
§18. Расстояние от точки до фигуры
Расстояние от точки А до прямой DC равно длине диагона-
ли АС (треугольник ACD — прямоугольный) и равно а-Уз,
следовательно, расстояние от точки М до прямой DC равно
л/п2 + За2 = 2а.
Расстояние от точки А до прямой BD равно длине отрезка
АВ (треугольник ABD — прямоугольный), следовательно,
расстояние от точки М до прямой BD равно a J2 .
При решении задач на нахождение угла между прямой и
плоскостью полезно пользоваться следующим приемом.
Пусть расстояние от точки А до плоскости а равно h, а точ-
ка О лежит в плоскости а. Тогда синус угла <р между прямой
ОА и плоскостью а равен (sin ф = (рис. 126)).
Есть удобное соотношение и для нахождения угла ф между
двумя пересекающимися плоскостями а и р. Именно, если
точка А лежит в плоскости а, а расстояния от нее до плоскос-
ти Р и до прямой пересечения данных плоскостей равны соот-
ветственно h и т, то синус угла между плоскостями а и Р ра-
вен (sin<p= ^)(рис. 127).
Рис.126
Рис. 127
94
Глава 5
Расстояния в пространстве
§19. Расстояние между фигурами
Рассмотрим две фигуры Гг и. F2. Если они имеют хотя бы одну
общую точку, то расстояние между ними равно нулю (рис. 128).
Если же фигуры не имеют общих точек, то рассматриваются все-
возможные расстояния между каждой точкой А первой фигуры
и каждой точкой В второй фигуры. Наименьшее из этих рас-
стояний (чисел) и принимается за расстояние между фигурами
Fr и F2. Как и расстояние между фигурой и точкой, расстояние
между двумя фигурами Ft и. F2 мы будем обозначать: p(-f'1; F2).
Из вышесказанного следует, что если p(Fx; F2) = d и фигу-
ры не имеют общих точек (рис. 129), то существуют такая точ-
ка Аг фигуры Fi и такая точка А2 фигуры F2, что |AtA2| =
= d, а для любых других точек М первой фигуры и точек N
второй фигуры |МЛГ| > d.
Рассмотрим расстояние между двумя фигурами на примере
двух сфер радиусов Rx и R2 с центрами соответственно Ог и О2.
• Если lOj^Oal > Rt + R2, mo сферы не имеют общих то-
чек. Пусть А — точка пересечения первой сферы с отрезком
ОХО2, В — точка пересечения второй сферы с этим же отрезком
(рис. 130). Тогда для любых точек М первой сферы и точек N
второй сферы справедливо |Л£ЛГ| > [АВ| и, таким образом, рас-
стояние между сферами равно длине отрезка АВ и равно
|OjO2l— (-^i +
P(Fi;F2) = O
Рис. 128
P(Fр F2) -
F p -A2 £= F2
Qv Qz неимеют
общих точек
P(Qp Q2) -
= | OjO21 — (2?j + 1?2)
Рис. 129
Рис. 130
95
§19. Расстояние между фигурами
• Если расстояние ОгО2 между центрами сфер равно
сумме радиусов, то сферы касаются друг друга внеш-
ним образом (рис. 131).
• Если расстояние ОХО2 равно модулю разности ради-
усов, но не равно нулю, то сферы касаются друг друга
внутренним образом (рис. 132).
• Если же расстояние между
центрами больше модуля разнос-
ти радиусов, но меньше их суммы,
то сферы пересекаются по окруж-
ности (рис. 133). Во всех этих случа-
ях расстояние между сферами равно
нулю.
• Если расстояние между цент-
рами сфер меньше модуля разнос-
ти радиусов, но не равно нулю, то
сфера меньшего радиуса находит-
ся целиком внутри шара сферы
большего радиуса, и расстоянием
между этими сферами является дли-
на отрезка АВ прямой центров сфер
(рис. 134). Это расстояние равно
|ЯХ - В2| - |охо2|.
• Если же центры сфер совпада-
ют, а их радиусы не равны, то
Расстояние между этими сфера-
ми равно |jRx - J?2|, причем таких
Ночек А и В, что |АВ| = |-RX - -R2| бес-
конечно много (рис. 135).
Рис.135
96 I Глава 5
Расстояния в пространстве
• Наконец, если центры сфер совпадают, а их ради-
усы равны, то совпадают и сферы, следовательно, рас-
стояние между данными сферами равно нулю.
Как видите, мы провели небольшое исследование на тему
«Расстояния между двумя сферами в пространстве». Попро-
буйте провести аналогичное исследование о расстояниях между:
• плоскостью и сферой (что сравнительно легко);
• кубом и сферой с центром на прямой, содержащей диаго-
наль куба, и радиусом, равным ребру куба (что значительно
сложнее).
Поговорим теперь о расстоянии между прямой и плоско-
стью.
Если прямая лежит в плоскости или ее пересекает, то рас-
стояние между прямой и плоскостью равно нулю (рис. 136).
Если прямая параллельна плоскости, то, как мы отмечали в
предыдущем параграфе, расстояния от любой точки прямой
до плоскости равны между собой и равны длине отрезка перпен-
дикуляра, опущенного из любой точки прямой на эту плоскость
(рис. 120). Следовательно, расстояние между плоскостью и
параллельной ей прямой равно расстоянию от любой точки
этой прямой до данной плоскости.
Аналогично, расстояние между двумя параллельными
плоскостями также равно длине отрезка их общего перпен-
дикуляра (рис. 121).
Интересным является следующее свойство расстояний меж-
ду двумя фигурами: если расстояние между фигурами Fx и F2
равно d (pfFp F2) = d), а расстояние между фигурами Qr и Q2,
принадлежащими соответственно фигурам Fr и F2 (рис. 137),
равно dx (p(Qp Q2) - dj), то d < dv Это утверждение легко до-
казывается методом от противного.
Теперь рассмотрим две параллельные плоскости а и Р, рас-
стояние между которыми равно Лив которых лежат соответ-
ственно прямые а и Ь.
aft а => р(а; а) = 0
Ь С а => р(Ь; а) = 0
Рис. 136
Рис.137
L2T
• Если прямые а и Ъ параллельны, то расстояние между
ними либо равно h (если перпендикуляр, опущенный из точки
А прямой а на плоскость р, пересечет прямую Ъ (рис. 138)),
либо равно л/Л2 + т2 (если этот перпендикуляр пересечет
плоскость Р в некоторой точке К, не принадлежащей прямой
Ь, а удаленной от нее на расстояние т (рис. 139)).
• Если прямые а и Ь скрещиваются, то опустим из точ-
ки А прямой а перпендикуляр АК на плоскость Р и через пе-
ресекающиеся прямые а и АК проведем плоскость у, которая
будет перпендикулярна каждой из двух данных параллельных
плоскостей (по признаку перпендикулярности двух плоскос-
тей). Плоскость у пересечет плоскость Р по некоторой прямой
КМ (рис. 140), параллельной прямой а и пересекающей (поче-
му?) прямую Ь в некоторой точке Р (которая может совпасть с
К). Расстояние от точки Р, принадлежащей прямой Ь, до пря-
мой а равно h и равно расстоянию между скрещивающимися
прямыми а и. Ь, которое, в свою очередь, равно длине их обще-
го перпендикуляра РТ, проведенного из точки Р на прямую а
(Т е а).
Пусть а и & — две скрещивающие-
ся прямые. Проведем через прямую
а и прямую Ь соответственно парал-
лельные друг другу плоскости аир.
Мы получим уже знакомую нам си-
туацию, а расстояние между прямы-
ми а и & будет равно, как было пока-
зано, расстоянию между параллель-
ными плоскостями аир. Если же мы
хотим найти на прямых а и & такие
точки Р и Т, чтобы длина отрезка
РТ была равна расстоянию между
7-3163
98 | Глава 5
Расстояния в пространстве
этими прямыми, то нам необходимо построить «общий пер-
пендикуляр» двух скрещивающихся прямых. Это всегда мож-
но сделать способом, указанным выше.
В некоторых случах для нахождения расстояния между
скрещивающимися прямыми удобно использовать метод орто-
гонального проектирования, состоящий в следующем. Пусть а и
Ь — скрещивающиеся прямые (рис. 141). Построим плоскость
а, перпендикулярную прямой а, и спроектируем на плоскость
а прямую Ь. Пусть эта проекция есть прямая bv Очевидно,
что плоскость р, проходящая через прямые & и &р параллель-
на прямой а. Следовательно, если А — точка пересечения пря-
мой а с плоскостью а, то расстояние р(а; &) = р(А; &х).
ЗАДАЧА 1. Дана треугольная пирамида ABCD (рис. 142), все
ребра которой равны а. Найти расстояние между прямыми
ВС и DM, где М — середина ребра АВ.
Решение. Пусть L — середина отрезка ВС. Тогда плоскость
ALD ± ВС.
Спроектируем прямую DM на плоскость ALD. Для этого из
точки М опустим перпендикуляр МН naAL. Тогда МН || ВС '
и, значит, МН ± (ALD), а ВС || (MHD). Следовательно, иско-
мое расстояние р(ВС; DM) есть высота A DHL, опущенная из
его вершины L.
Рассмотрим треугольник ADL. Он равнобедренный, посколь-
aJ3
ку AL = DL — —5-, а его основание AD = а. Заметим, что DH —
медиана A ADL, поскольку М — середина АВ, а МН || ВС.
Пусть LP — искомая высота A DHL, a DT — высота
A DHL, опущенная из вершины D. Тогда справедливо равен-
ство
LP _ LH Tp_DT-LH
DT DH DH *
99
§19 . Расстояние между фигурами
Медиану DH найдем из соотношения между сторонами и
медианой A ADL:
AL2 + 4DH2 = 2(DL2 + AD2),
ajll
откуда DH =
Отрезок DT найдем из соотношения между сторонами и вы-
сотами треугольника ADL: DT'AL = LK -AD, где LK — вы-
сота A ADL. Отсюда получаем
AD-LK
AL
Теперь окончательно находим
/2 а7з
Tp_DT-LH = N3* 4 _аТ22
DH а7П И •
4
Ответ: р(ВС; DM) = .
ЗАДАЧА 2. Рассмотрите рисунок 143 и убедитесь, что рас-
стояние p(DBx; DXC) = ОН=^.
Заметим: чтобы найти расстояние между двумя скрещиваю-
щимися прямыми, совершенно не обязательно строить их об-
щий перпендикуляр. Удобно пользо-
ваться следующими вытекающими из
вышесказанного утверждениями: рас-
стояние между двумя скрещивающи-
мися прямыми равно расстоянию от
любой точки одной из них до плос-
кости, проходящей через другую пря-
мую параллельно первой прямой,
а также равно расстоянию между па-
раллельными плоскостями, прове-
денными через две данные скрещи-
вающиеся прямые.
т
100 | Глава 5
Расстояния в пространстве
§20 . Геометрические места точек,
связанные с расстояниями в пространстве
Некоторые множества точек в пространстве задаются усло-
виями, связанными с расстояниями между точками, точкой и
_______ фигурой, двумя фигурами. Перечислим некс-
ус ____торые из этих множеств, предложив читателю
" А осмыслить и доказать, где это требуется, опи-
[ 2С *О J санные нами факты.
______-у • Множество всех точек пространства, уда-
ленных от данной точки на данное расстояние
R (JR > 0), есть сфера с центром в данной точке
Рис. 144 радиуса R (рис. 144).
• Множество всех точек пространства, удаленных от данной
прямой на данное расстояние R (R > 0), есть цилиндрическая
поверхность (рис. 145).
• Множество всех точек пространства, уда-
/ \ / \ ленных от данной плоскости на данное рас-
У ) стояние а (а > 0), есть две параллельные ей
( / плоскости (рис. 146).
\ / • Множество всех точек пространства, рав-
ноудаленных от двух данных точек, есть плос-
Рис. 145 кость, проходящая через середину отрезка с
концами в этих точках перпендикулярно пря-
мой, проходящей через данные точки. В этой плоскости лежат
центры всех сфер, проходящих через данные точки (рис. 147).
• Множество всех точек пространства, равноудаленных от
трех данных точек, не лежащих на одной прямой, есть пря-
мая, перпендикулярная плоскости этих точек и проходящая
АМ = МВ;АК = КВ
АВ 1 а, К а
а II рр а II р2; AMr =АМ2 = a
МгМ2 ± а, А а, А МГМ2
Рис. 146
Рис. 147
_____________________________________________________________
g 20. Геометрические места точек, связанные с расстояниями в пространстве
Рис. 148
all b,X^a,
XY La,XY La,XY 1 b-,
XZ = ZY
=> MX = MY
Рис. 149
через центр окружности, описанной около треугольника с вер-
шинами в данных точках. Этой прямой принадлежат центры
всех сфер, проходящих через данные точки (рис. 148).
• Множество всех точек пространства, равноудаленных от
четырех данных точек, не лежащих в одной плоскости, есть
единственная точка — центр сферы, проходящей через дан-
ные четыре точки.
• Множество всех точек пространства, равноудаленных от
двух данных параллельных прямых, есть плоскость, проходя-
щая через середину отрезка общего перпендикуляра этих пря-
мых и ему перпендикулярная. В этой плоскости лежат цент-
ры всех сфер, касающихся данных прямых (рис. 149).
• Множество всех точек пространства, равноудаленных от двух
данных пересекающихся прямых, есть
две плоскости, перпендикулярные плос-
кости, в которой лежат эти прямые, и про-
ходящие через биссектрисы углов, обра-
зованных данными прямыми (рис. 150).
• Множество всех точек пространства,
равноудаленных от прямых, содержащих
стороны данного треугольника, есть че-
тыре прямые, перпендикулярные плос-
кости треугольника и проходящие соот-
ветственно через центр окружности, впи-
санной в этот треугольник, и через центр
каждой из трех окружностей, вневписан-
ных для этого треугольника (рис. 151).
Pi 1 a, р2 1 a
Рис. 150
102 I Глава 5
Расстояния в пространстве
ma 1 a, mb 1 а
mc 1 а, ш0 1 а
Рис. 151
ХО 1 (АВС)
ОСХ = ОАг = ОВг
OCr 1 АВ, ОАХ 1 ВС, ОВг 1 АС
=> ХСг 1АВ,ХВ1 ЛАС,
ХАг 1 ВС; ХАГ = ХВг = Х€\
Рис. 152
• Множество всех точек пространства, равноудаленных от
сторон данного треугольника, есть прямая, перпендикулярная
плоскости треугольника, проходящая через центр вписанной в
него окружности. На этой прямой лежат центры всех шаров,
касающихся сторон треугольника (рис. 152).
• Множество всех точек пространства, равноудаленных от
двух параллельных плоскостей, есть параллельная им плос-
кость, проходящая через середину отрезка их общего перпен-
дикуляра. Ей принадлежат центры всех шаров, касающихся
обеих плоскостей (рис. 153).
• Множество всех точек двугранного угла, равноудаленных
от граней этого угла, есть «биссекторная» полуплоскость это-
го угла. Ей принадлежат центры всех шаров, вписанных в этот
угол (рис. 154).
(а VaQ
а|| р, у || a, АВ 1 а, АС = СВ
Хеу=> р(Х;а) = р(Х; р)
Рис. 153
Z М (АВ) X = Z Х(АВ) N
Хеу^ р(Х;а) = р(Х; р)
Рис. 154
103
§ 20. Геометрические места точек, связанные с расстояниями в пространстве
• Множество всех точек простран-
ства, равноудаленных от двух пере-
секающихся плоскостей, есть две
«биссекторные» плоскости, проходя-
щие через прямую пересечения этих
плоскостей и делящие образованные
двугранные углы пополам. Им при-
надлежат центры всех шаров, касаю-
щихся обеих плоскостей (рис. 155).
• Множество всех точек простран-
ства, лежащих внутри трехгранного
угла и равноудаленных от его гра-
ней, есть луч прямой пересечения
биссекторных плоскостей двугран-
Z(a,Y) = Z(p,y)
Хеу=> р(Х;а)= р(Х; р)
Z. (а, 5) = Z. (Р, 5)
Уе§=> р(У;а) = р(У; р)
ных углов этого трехгранного угла. рис 155
Этому лучу принадлежат центры
всех сфер, вписанных в трехгранный угол (рис. 156).
• Множество середин всех отрезков, концы которых лежат
на данных скрещивающихся прямых, есть плоскость, парал-
лельная каждой из данных скрещивающихся прямых.
• Множество всех точек пространства, равноудаленных от двух
равных касающихся шаров, есть плоскость, проходящая через
точку касания этих шаров перпендикулярно линии их центров.
• Пусть А и В — данные точки. Множество всех точек М
пространства таких, что треугольник АВМ — равнобедрен-
ный, представляет собой объединение, компонентами которо-
го являются: 1) плоскость а, перпендикулярная прямой АВ
и делящая отрезок АВ пополам, за исключением точки пере-
сечения АВ с плоскостью а; 2) сфе-
ры радиуса АВ с центром в точ-
ке А, за исключением точек пересе-
чения прямой АВ с этой сферой;
3) сфера S2 радиуса ВА с центром в
точке В, за исключением точек пе-
ресечения прямой АВ с этой сферой.
• Множество всех точек простран-
ства, из каждой из которых данный
отрезок АВ виден под прямым уг-
лом, есть сфера с диаметром АВ, за
исключением точек А и В.
Рис.156
Глава
ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД
В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 21. Понятие вектора.
Линейные операции над векторами
21.1. Понятие вектора
Замечательным является то обстоятельство, что понятие век-
тора, определения линейных операций над векторами и свой-
ства этих операций одинаковы для векторов на плоскости и в
пространстве. Поэтому мы лишь напомним некоторые основ-
ные факты, относящиеся к векторам на плоскости, и рассмот-
рим подробнее те свойства, которыми обладают векторы и опе-
рации над ними в пространстве.
Отрезок АВ, у которого указан порядок концов, на- .
зывается направленным отрезком: точка А называ-
ется «началом», а точка В — «концом» направленно-
го отрезка АВ.
В Направленный отрезок с началом в точке А
и концом в точке В обозначают АВ и рисуют
со стрелкой на конце (рис. 157). Длину на-
Рис. 157 правленного отрезка АВ обозначают |АВ|.
--> --->
Направленные отрезки АВ и CD называются коллинеар-
ными (обозначают АВ || CD), если они лежат на одной пря-
мой или на параллельных прямых (рис. 158 а—г).
Рис. 158
§21. Понятие вектора. Линейные операции над векторами
1105
Направленные отрезки АВ и CD называются одинаков,! на-
правленными (сонаправленными) (обозначают АВ ft ТО),
если одинаково направлены лучи АВ и CD (рис. 158, а,3у, и
противоположно направленными (обозначают АВ 1Ч5о),
если лучи АВ и CD противоположно направлены (рис. 158^ гу
Определение. Два направленных отрезка АВ :i qd
называются равными, если они сонаправлены Ицме.
ют равные длины, то есть АВ = CD <=> АВ tt ЛО и
|АВ| = |СО| (рис. 159).
Два направленных отрезка АВ и CD называются прогиво.
наложными, если они имеют равные длины и противоп^ож.
ные направления (рис. 160). В таком случае говорят, ч^ эти
направленные отрезки противоположны друг другу.
Отношение равенства направленных отрезков облдает
свойствами1 рефлексивности, симметричности и транзтив_
ности:
1) АВ = АВ (рефлексивность);
2) АВ = CD => CD = АВ (симметричность);
3) АВ = CD, CD = EF => АВ =
(рис. 161).
EF .(транзитивн^ть)
1 Такими же свойствами обладают отношения равенства исел
отношения равенства фигур.
106 | Глава 6
Векторный метод в пространстве
Свойства симметричности, транзитивности и рефлексивнос-
ти равенства направленных отрезков позволяют разбить мно-
жество всех направленных отрезков пространства на подмно-
жества — попарно непересекающиеся классы равных между
собой направленных отрезков: каждый класс представляет со-
бой множество всех равных друг другу направленных отрез-
ков пространства и называется вектором в пространстве.
Определение. Ненулевым вектором в пространстве
называется множество всех равных между собой на-
правленных отрезков пространства.
Векторы обозначают обычно строчными буквами латинско-
го алфавита со стрелкой сверху: а, Ъ, с,... .
Таким образом, вектор а — это множество всех равных меж-
ду собой направленных отрезков пространства. Если АВ — один
из отрезков этого множества, то записывают АВ = а; направ-
ленный отрезок вполне определяет (почему?) все множество
равных ему направленных отрезков пространства, то есть
определяет вектор а. В таком случае говорят, что направлен-
В ный отрезок АВ изображает (задает)
авектор а. и вектор а часто обозначают через
АВ'. АВ = а (рис. 162); про направленный от-
Рис. 162 резок АВ говорят: «Вектор АВ равен вектору
а». При этом на чертеже рисуют направлен-
ный отрезок АВ и говорят также, что изображен ректор АВ.
Длиной или модулем ненулевого вектора АВ = а называ-
ется длина отрезка АВ. Длина вектора АВ = а обозначается:
|АВ| = |а|.
Вектор, длина которого равна 1 (единице), называется еди-
ничным вектором. __>
Направлением ненулевого вектора АВ называется на-
правление луча АВ.
Рассматривается также нулевой вектор. Длина нулевого
вектора равна нулю, а его направление не определено. Нуле-
вой вектор изображается точкой и обозначается 0. Начало
нуль-вектора совпадает с его концом, т. е. 0 = АА = ВВ.
I 107
§21. Понятие вектора. Линейные операции над векторами
В дальнейшем будем предполагать, что все рассуждения
проводятся для векторов, среди которых нет нуль-вектора, ес-
ли это не оговорено специально.
Векторы а и b называются одинаково направленными
(сонаправленными) (обозначают a ft Ь), если одинаково на-
правлены изображающие их направленные отрезки, и проти-
воположно направленными (обозначают а Ц Ь), если проти-
воположно направлены изображающие их отрезки.
Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если
они сонаправлены или противоположно направлены. Нулевой
вектор коллинеарен любому вектору. Коллинеарность векто-
ров а и Ь обозначают: а || Ь. На рисунке 163 изображены попар-
но коллинеарные векторы а, Ъ и с: а || Ъ, а || с, b ||
При этом: a ft Ъ, так как сонаправ-
лены изображающие их отрезки АВ
и CD; а || с, так как изображающие
их направленные отрезки АВ и EF
противоположно направлены.
Два вектора называются рав-
ными, если они совпадают, т. е.
они сонаправлены и имеют оди-
наковую длину. Равенство векторов а и Ъ обозначают а = Ъ.
Заметим, что два равных треугольника могут занимать раз-
личное положение в пространстве (или на плоскости), т. е. два
равных треугольника в пространстве — это, вообще говоря,
две различные геометрические фигуры. Совершенно иная
картина наблюдается с «равными» векторами. Когда говорят,
что вектор АВ равен вектору CD, то это означает, что различ-
ные направленные отрезки АВ и CD имеют равные длины и
сонаправлены: эти отрезки являются различными представи-
телями одного и того же вектора а. Иначе говоря, вектор а,
как множество всех равных между собой направленных отрез-
ков пространства, равен только сам себе, а задан (изображен)
может быть различными, но равными по длине и одинаково
направленными, отрезками.
Векторы а и Ъ называются противоположными, если они
имеют равные длины и противоположные направления. Век-
с.
Рис. 163
108 | Глава 6
Векторный метод в пространстве
тор, противоположный вектору а, обозначают -а. Поэтому, ес-
ли Ъ — вектор, противоположный вектору а, то пишут b = -а
или а = -Ъ.
Заметим, что векторы АВ и ВА — противоположны и АВ =
= -ВА.
Таким образом, из определений равных и противополож-
ных векторов следует:
2 = Ь <=> 3 ft Ь и |а| = |Ь|,
а = —&<=> а & и |а| = |&|.
Если векторы а и & изображены направленными отрезками
соответственно АВ и CD, то
a = b<^AB]\CD и |АВ| = |СВ| (рис. 164),
а =-5 «АВ ПСП и |АВ| = |СП| (рис. 165).
С-------------------»-D D С
Рис. 164 Рис. 165
Из сказанного следует, что равные векторы изображаются
равными направленными отрезками, в частности, одним и
тем же направленным отрезком.
На данной прямой от данной ее точки в заданном направле-
нии можно отложить лишь один отрезок, равный данному,
поэтому от любой точки А про-
странства можно отложить лишь
один направленный отрезок АВ,
изображающий данный вектор а,
то есть АВ = а. Это означает, что от
каждой точки пространства можно
отложить вектор, равный данному,
и притом только один (рис. 166).
109
§21. Понятие вектора. Линейные операции над векторами
Таким образом, чтобы изобразить вектор с началом в данной
точке, равный данному, достаточно изобразить направленный
отрезок, задающий данный вектор с началом в этой точке.
Замечание. Вектор, как множество всех равных между со-
бой направленных отрезков, часто называют свободным век-
тором. Свободный вектор характеризуется только длиной и
направлением: от каждой точки пространства можно отло-
жить вектор, равный данному. Именно свободные векторы
применяются в геометрии при доказательстве теорем и реше-
нии задач. В физике примером свободного вектора является
вектор скорости прямолинейно движущегося твердого тела.
Мы будем изучать только свободные векторы и называть их
просто векторами.
21.2. Линейные операции над векторами
а) Сложение векторов. В стереометрии сумму двух векторов
можно найти, как и в планиметрии, по правилу треуголь-
ника*. если даны два вектора о и ft, то от произвольной точки
А пространства откладывают вектор АВ = а, затем от точки В
откладывают вектор ВС = b (рис. 167). Вектор АС = с, полу-
ченный таким образом, называется суммой векторов а и Ъ.
При этом записывают: АВ + ВС = АС или с = а + Ь. Резуль-
тат сложения векторов а и Ь не зависит от выбора точки А, то
есть если взять другую точку, например А19 и откладывать
------------> --------> ->
векторы А1В1 = а и В1С1 = Ь, то в результате получим вектор
А^Сг = АС (рис. 167).
Рис. 167
110 | Глава 6
Векторный метод в пространстве
Рис. 169
Сумму двух неколлинеарных векторов а и Ъ можно полу-
чить также по правилу параллелограмма: от одной и той
же произвольной точки А пространства нужно отложить век-
торы АВ = а и AD = Ь, затем на отрезках АВ и AD построить
параллелограмм, как на сторонах, выходящих из одной вер-
шины (рис. 168). Тогда вектор — диагональ АС есть искомая
сумма векторов а и b: АВ + AD = АС = с = а + Ь.
Правило параллелограмма при сложении векторов широко
применяется в физике для нахождения равнодействующей
векторных величин — «векторных сил», приложенных в од-
ной точке тела.
Свойства операции сложения векторов в пространстве те
же, что и на плоскости, и доказываются они так же, как на
плоскости. Перечислим эти свойства, сопроводив их соответ-
ствующими рисунками.
• Коммутативность сложения (переместительное
свойство):
для любых векторов а и Ъ имеет место равенство а + Ь = Ь + а
(рис. 169).
• Ассоциативность сложения (соче-
тательное свойство):
для любых векторов а, Ь, с справедли-
во: (а + Ь) + с = а + (Ь + с) (рис. 170).
• Свойство нуль-вектора: а + 0 = 0 +
+ а = а для любого вектора а.
• Существование и единствен-
ность противоположного вектора:
111
§21. Понятие вектора. Линейные операции над векторами
для любого вектора а пространства су- / /
ществует противоположный вектор -а, а/ -а/
и притом единственный, такой, что а 4- (-а) = б / у
(рис. 171).
При сложении трех и более векторов применяет- рис'171
ся правило многоугольника (или правило лома-
ной линии). Пусть надо найти сумму с = 4- а2 + а3 4- а4 век-
торов а19 а2, а3, а4. Выбрав произвольную точку А, откладыва-
—> -» --------------------------------> -» ------>
ем последовательно векторы ААГ = а19 АгА2 = а2, AgA3 = а3,
---->
А3А4 = а4 (рис. 172). Затем, тоже последовательно, применяем
—> ---------------------------------------------->
правило треугольника сначала для векторов ААг и АгА2, за-
—> -----------------------> —>
тем — для векторов АА2 и А2А3 и, наконец, для векторов АА3
------> —>
и А3А4. Тогда вектор АА4 — искомая сумма:
—* —> -------* -----> >
АА4 = ((АА1 + АХА2) + А2А3) + АдА4 = ((ах + а2) + а3) + а4 = с.
Если три вектора ОА, ОВ, ОС отложены от одной точки, но
не лежат в одной плоскости, то их сумма находится по прави-
лу параллелепипеда’, построим параллелепипед на отрезках
ОА, ОВ и ОС, как на ребрах, выходящих из одной вершины
(рис. 173). Тогда вектор OD4 — искомая сумма. В самом деле,
учитывая, что ОВ = AD, ОС = DD4, и применяя правило лома-
ной, получаем ОА + ОВ + ОС = ОА + AD + DDr = OD4.
Если векторы а, Ь, с не параллельны одной плоскости, то
от произвольной точки О пространства откладываем векторы
Рис. 172
112 | Глава 6
Векторный метод в пространстве
ОА = a, ОВ = Ь, ОС = с и по правилу параллелепипеда находим
сумму векторов ОА + ОВ + ОС =a+b+c= ODr (рис. 174).
На наш взгляд, «удобнее» складывать векторы по правилу
ломаной.
6) Вычитание векторов. Вычитание векторов — это опера-
ция, обратная сложению векторов. Разностью векторов а и .
Ь называется такой вектор с, который в сумме с век-
тором Ь дает вектор а,т.е.Ь + с = а.
Если О А = а, ОВ = Ь (рис. 175), то О А - О В = ВА, так как по .
правилу треугольника ОВ + ВА = ОА. Отсюда ВА = ОА - ОВ =
= с = а - Ь.
Вычитание векторов можно свести к сложению векторов.
Действительно, если ОА = а, ОВ = Ъ, то ВА = с = а - Ь = .
= О А - ОВ. По правилу треугольника ВА = ВО + ОА = ОА -
- ОВ = ОА + (-ОВ) = а + (-6).
Получим: ВА = а-Ь, ВА = а + (-5).
Значит,
а. - Ь = а + (-&) (*)
Из соотношения (*) следует: из одной
О части векторного равенства в другую его
Ач часть можно переносить вектор, изменяя •
у его знак на противоположный, т. е. заме-
в/ a-b няя этот вект°Р на противоположный ему
вектор. Из равенства а + Ь = с следует, что
Рис* 175 —> ,
b = с + (-Й) = с - а.
| 113
§21. Понятие вектора. Линейные операции над векторами
Заметим, что АВ - СВ = АВ + ВС — АС.
в) Умножение вектора на число. Пусть даны вектор а и
действительное число X.
Определение. Произведением вектора а на число X
называется такой вектор Ь (обозначается Ь = Ха), ко-
торый удовлетворяет условиям:
• если X = 0 или а = О, то по определению вектор Ха бу-
дем считать нулевым, т. е. О • а = X • б = б;
• длина вектора Ъ равна произведению длины векто-
ра а и модуля числа X, т. е. |Ь| = |Ха| = |Х| • |а|;
• вектор Ь сонаправлен с вектором а, если X > 0, и про-
тивонаправлен вектору а, если X < 0 (рис. 176), то есть
Ха________о а _А_________Ха
Х<0 Х>0
Рис.176
Ха И а, если X > 0; Ха П а, если X < 0.
Операция умножения вектора на число обладает одними и
теми же свойствами как в планиметрии, так и в стереометрии.
Именно:
1. х {уа) = {ху)а для любых чисел х, у и любого вектора а
{ассоциативность) (рис. 177, а);
2. (х + у)а = ха. + уа для любых чисел х, у и любого вектора
а {дистрибутивность умножения по отношению к сло-
жению чисел)',
8-3163
Рис. 177
114 | Глава 6
Векторный метод в пространстве
3. x(a + b) = xa + xb для любых векторов а и b и любого чис-
ла х (дистрибутивность умножения по отношению к
сложению векторов) (рис. 177, б).
Свойства 2 и 3 называются также распределительными
законами операции умножения вектора на число.
Как и на плоскости, в пространстве имеет место признак
коллинеарности двух ненулевых векторов.
Теорема 33. Ненулевые векторы а и b коллинеарны
тогда и только тогда, когда найдется такое число х,
что выполняется равенство b = ха. При этом число х
единственно.
Доказательство этого признака опирается на определение
умножения вектора на число и было проведено в планимет-
рии.
Геометрический смысл коллинеарности двух ненулевых
векторов АВ и AM, отложенных от одной точки, состоит в
том, что они лежат на одной прямой и один из них получается
из другого «сжатием» или «растяжением». Из этого следует:
точка М лежит на прямой АВ тогда и только тогда, когда вы-
полняется условие AM = хАВ (рис. 178).
В частности, если ЗАВ 4- 2ВС = б, то это означает, что точки
А, В и С лежат на одной прямой и точка В делит отрезок АС в
отношении АВ : ВС = 2:3. Подумайте, как расположены точ-
ки А, В и С, если:
„ • тАВ 4- пВС = б (т > 0, п > 0);
А £—> —>
• АВ 4- ХВС = 0;
Рис. 178 . kiXB + k2BC = б.
Замечание. Если векторы ар а2, ..., ak умножить соответ-
ственно на числа Хр Х2, ..., а затем полученные векто-
ры XjSp Х232, ..., hkak сложить, то получим некоторый вектор
с = 4- Х2а2 4- ... 4- \kak, который называется линейной
комбинацией векторов а19 а2, ...» ak, числа Хр Х2, ..., Xk на-
зываются коэффициентами линейной комбинации.
115
§21. Понятие вектора. Линейные операции над векторами
Например, вектор с = 2d + 3d является линейной комбинаци-
ей векторов а и Ъ с коэффициентами 2 и 3, а вектор р = -2d +
+ 0,5b - с — линейной комбинацией векторов а, В и с с коэф-
фициентами (-2), (0,5) и (-1).
ЗАДАЧА 6.029. Дан параллелепипед АВС2)А1В1С12)1. На ди-
агонали АС грани ABCD взята такая точка М, что AM : МС =
= 1: 4, а на диагонали АСг параллелепипеда — такая точка N,
что AN : _ZVCX = 1:5. Докажите, что точки М, N и Ах лежат
на одной прямой. Найдите отношение, в котором точка N де-
лит отрезок MAV
Решение. Для доказательства принадлежности трех точек М,
----------------------------------------------------->
N и Ах одной прямой достаточно показать, что векторы МА1 и
—> —> -------->
MN коллинеарны, т. е. MN = ЛМАХ (рис. 179).
Пользуясь условием задачи, находим: AM : МС = 1 : 4 =>
=* AM = | AC;AN:NC1 = 1: 5 => АУ = | АС^ = |(ААХ + AC).
Тогда МУ = AV - AM = |(ААХ + АС) - |аС = (5ААХ - АС).
Далее, МАХ = ААХ - AM = ААХ - |аС = |(5ААХ - АС). Таким
---------------------> 1 —> —> ---------> 1 —> —>
образом, получили: MN = ^(5ААХ - АС), МАГ = ^(5ААг - АС),
----------------------------------------> ->
откуда следует МАХ = WN. Это означает, что точки М, N и
Аг принадлежат одной прямой и MN : NAX = 1:5.
R*
116 | Глава 6
Векторный метод в пространстве
§ 22. Разложение вектора по базису
22.1. Компланарные векторы
Определение. Ненулевые векторы а, Ь, с называются
компланарными, если изображающие их направлен-
ные отрезки лежат в одной плоскости или параллель-
ны одной и той же плоскости (рис. 180, а).
Понятие компланарности определяется для произвольной со-
вокупности векторов. Так один (любой) вектор компланарен
некоторой плоскости. Два любых вектора также компланарны
некоторой плоскости. Но три любых вектора считаются ком-
планарными некоторой плоскости, если направленные отрез-
ки, изображающие эти векторы, будучи отложенными от од-
ной точки, лежат в одной плоскости. Аналогично определяет-
ся компланарность для четырех, пяти и т. д. произвольной
совокупности векторов.
—> —> ------>
На рисунке 180, б векторы АВ, АВ, D1B1 компланарны,
так как отрезок B1D1 параллелен плоскости ABD, но тройка
векторов АВ, AD и ААг не является компланарной, так как
отрезок ААГ не параллелен плоскости АВВ, в которой распо-
ложены отрезки АВ и AD. Некомпланарны и тройки векторов
АВ, АС, ААг и АВ, АВ, BBV Почему?
Укажите тройки компланарных и некомпланарных векто-
ров, изображенных на рисунке 180, б, в.
Рис. 180
1 И7
§ 22. Разложение вектора по базису
Замечание. Если среди трех
векторов хотя бы два коллинеар-
ны, то эти три вектора компла-
нарны. В самом деле, пусть среди
трех векторов а = АВ, Ь = MN,
с = CD коллинеарны векторы а и Ь,
т. е. а = xb. Проведем плоскость а,
параллельную непараллельным
прямым АВ и CD (рис. 181). Тог-
да MN || а (почему?). От произвольной точки О плоскости а
отложим направленные отрезки ОЕ = a, OF = Ь, ОК = с.
Эти отрезки лежат в плоскости а (почему?). Следовательно,
векторы 3, Ь и с компланарны. Три вектора, среди которых
имеется нулевой вектор, считаются также компланарными.
Рис. 182
22.2. Разложение вектора на плоскости
01 Пусть на плоскости а даны неколлинеарные векторы a
и.Ь;р — произвольный вектор этой плоскости.
Если вектор р коллинеарен с одним из векторов а и Ь, то или
р = х • a + 0 • b (р || а), или р = 0 • а + у • Ь (р || Ъ). Заметим, что
б = О*а + О*Ь.
Пусть теперь вектор р = ОС не
коллинеарен* ни с одним из век-
торов а и Ь (рис. 182). Через
точку С проведем прямые ах II а и
Ьг || Ь, при этом получим точки
Аг = а и Вг = b п av Тогда по пра-
вилу параллелограмма пишем:
ОС = ОАГ + ОВг = хОА + уОВ =
= ха + уЬ или
р = ха + уЬ.
(1)
1 Знаки 0 ... 0 означают, что
в курсе планиметрии вопрос.
обсуждается уже изученный
118 | Глава 6________________________________________
Векторный метод в пространстве
Равенство р = xa + yb называется разложением вектора р
по двум неколлинеарным векторам aub; числа х и у
называются коэффициентами разложения.
Покажем, что числа х и у в разложении (1) однозначно
определены. Действительно, предположим, что существуют
другие числа хг и уг такие, что, по крайней мере, или х± # х,
или ух # у и при этом верно равенство
р = хга + у^Ь. (2)
Из равенств (1) и (2) получаем ха + yb = хха + yjb или
(хг - х)а + (yt - y)b = б, откуда следует, что либо векторы а и В
коллинеарны (что противоречит условию), либо уг = у н
хг = х. Таким образом, нами доказана
Теорема 34. Если на плоскости дана упорядоченная
пара (а; 6) неколлинеарных векторов, то для любого
вектора р этой плоскости существует единственная
упорядоченная пара чисел (х; у) такая, что выполня-
ется векторное равенство
р = ха + yb.
Из равенства (1) следует, что любой вектор р, компланар- '
ный с неколлинеарными векторами а. и Ь, является линейной
комбинацией векторов а. и Ь. Поэтому пару векторов а и b на-
зывают базисом на плоскости, а также базисом на множестве
всех векторов пространства, компланарных с векторами а и 6.
Определение. Базисом на плоскости называется лю-
бая упорядоченная пара неколлинеарных векторов а
и Ь. Векторы а и Ь называются базисными векторами.
Базис из векторов а и В обозначают (а; 6). При этом равен-
ство р = ха_ + yb называется разложением вектора р по
базису (а; Ь) (или разложением вектора р по базисным векто-
рам а и Ъ), а числа х и у — координатами вектора р в ба-
зисе (d; b). Е
Если вектор р компланарен с неколлинеарными векторами
а, и Ъ, то выполняется равенство р = ха, + yb.
Справедливо и обратное предложение: если для векторов а,
Ь пр выполняется равенствор = ха + уЬ, то векторы а, Ъ ир
компланарны.
(Докажите это предложение самостоятельно.)
119
§ 22. Разложение вектора по базису
Таким образом: три вектора 3, b и с (где а и Ь неколлине-
арные векторы) пространства компланарны, если существу-
ют числа х и у такие, что выполняется равенство
с = ха 4- уЬ.
Признак компланарности трех векторов можно сформули-
ровать следующим образом.
Теорема 35 {признак компланарности трех векторов). Три
вектора 3, Ъ и с пространства компланарны тогда и
только тогда, когда существуют такие числа х, у, г,
из которых хотя бы одно отлично от нуля, что выпол-
няется равенство
ха 4- уЪ 4- zc = б.
Докажите это утверждение само- о
стоятельно.
Е Напомним одно важное вектор- / \
ное равенство на плоскости. Пусть точ- / / \
ка О не лежит на прямой АВ. Тогда / / \
точка М лежит на прямой АВ тогда и у\
только тогда, когда ОМ = х*ОА 4- В М
4- у • ОВ при х 4- у = 1 (рис. 183). Е Рис-183
22.3. Разложение вектора по трем некомпланарным
векторам
Определение. Три вектора называются некомпланар-
ными, если изображающие их направленные отрезки
не лежат в одной плоскости и не параллельны одной
плоскости.
Теорема 36. Если дана упорядоченная тройка (3; Ь; с)
некомпланарных векторов, то для любого вектора р
пространства существует единственная упорядоченная
тройка чисел (х; у; z), удовлетворяющая равенству
р = ха 4- уЪ 4- zc.
Доказательство. Пусть даны три некомпланарных век-
тора 3, 6, с и произвольный вектор р.
Если вектор р компланарен с любыми двумя из данных
трех векторов 3, &, с, то теорема верна (например, если р
120 | Глава 6
Векторный метод в пространстве
компланарен с векторами Ъ и с, то р = 0-3 4- уЬ 4- г* с)
(рис. 184).
Пусть теперь никакие три из векторов р, 3, Ь, с некомпла-
нарны.
От произвольной точки О отложим векторы ОА = 3, ОВ = Ь,
ОС = с и OD = р. Так как направленные отрезки ОА, ОВ и ОС
не компланарны, то плоскости АОВ, АОС и ВОС различны
(рис. 185).
Проведем через точку D прямую, параллельную ОС —
точка пересечения этой прямой с плоскостью АОВ). Тогда по
правилу треугольника
р =OD = OD1 4- D^D. (1)
ВекторыOD19 anb компланарны. Следовательно, ODt = xa +
4- yb. Так как D±D = ОС19 а вектор ОСГ коллинеарен вектору
ОС = с, то есть ОС± = zc9 то
р = OD = xa + yb + zc.
Таким образом, для произвольного вектора р пространства
выполняется равенство
р = ха + yb + zc9 (2)
где 3, Ь9 с — данные некомпланарные векторы. Равенство (2)
называется разложением вектора р по трем некомпла-
Рис. 184
Рис. 185
________________________________________________L
$ 22. Разложение вектора по базису
нарным векторам а9Ъис; числа х9 у9 z называются коэф-
фициентами разложения.
Докажем, что коэффициенты х9 у и z в разложении (2) од-
нозначно определены. Предположим, что существует другая
тройка чисел (хх; у19 zt)9 для которой верно равенство
р = хха + y^b + z^c. (3)
Вычитая (3) из (2), получаем
(х - xja + {у - у^Ь + (z - zt)c = б.
Из этого равенства на основании теоремы 35 следует, что
либо векторы а, b и с компланарны (что противоречит усло-
вию), либо z = zlt х = хг и у = yv Следовательно, тройки чисел
(х; у; г) и (хх; уг; гг) равны. Теорема доказана. ▼
Из равенства р = ха + yb + гс следует, что любой вектор р
пространства является линейной комбинацией тройки не-
компланарных векторов 3, Ь и с. Поэтому говорят, что эта
тройка образует базис векторов в пространстве.
Определение. Базисом векторов в пространстве назы-
вается любая упорядоченная тройка некомпланарных
векторов. Векторы, образующие базис, называются
базисными векторами.
Базис из векторов а, Ъ и с обозначают (а; Ь; с). Равенство р =
= ха + уЬ + гс называется разложением вектора р по ба-
зису (3; Ь; с) или разложением вектора р по базисным
векторам а,Ьис; числа х, у, г называются координата-
ми вектора р в базисе (3; Ь; с).
Из теоремы 36 следует, что любой вектор пространства
можно единственным образом разложить в данном базисе.
I ЗАДАЧА. В тетраэдре РАВС точка М — центроид (точка пе-
ресечения медиан, центр тяжести) треугольника РВС, точ-
ка Н — середина ребра PC, точка Е взята на ребре АР так, что
АЕ : ЕР = 2:1. Разложите вектор ЕМ по базису (а; 5; с), если
а = BA, Ь = ВС, с = ВР (рис. 186).
122 I Глава 6
Векторный метод в пространстве
Решение. По правилу ломаной ЕМ = ЕА + АВ + ВМ.
Находим:
—> 2 —> 2 —> —>
АЕ : ЕР = 2 : 1 =* ЕА = ^РА = ±ЛВА - ВР) =
о о
9 . ---> ---->
= 5 (а - с); АВ = -BA = -а;
О
М — центроид треугольника РВС => ВМ =
= ±BH=±-±(BC + BP)=±(b + c).
о о z о
Рис. 186 Тогда
ЁМ= 1(а-с)-а+ |(Ь + с) = -|а+ |с.
о о ООО
Л 1^,1» 1-
Ответ: -х а + х & - х с.
ООО
ИЙ Попробуйте доказать самостоятельно важный стереомет-
рический факт. Пусть даны треугольник АВС и любая точка
О, не лежащая в плоскости этого треугольника. В таком слу-
чае: точка М тогда и только тогда будет лежать в плоскости
АВС, когда выполняется векторное равенство ОМ = х • О А +
+ у • ОВ + z • ОС при условии, что х + у + z = 1 (рис. 187). ВИ
ЗАДАЧА 6.044. ABCDA1B1C1D1 — куб. Докажите, что цент- ;
роид М треугольника ACD1 принадлежит диагонали BXD и
делит ее в отношении 1:2, считая от вершины D.
Рис. 187
Рис. 188
123
§ 23. Скалярное произведение векторов
Решение. Для решения задачи достаточно убедиться, что век-
—> ------------>
торы DM и DBj (рис. 188) коллинеарны (почему?).
Введем базис a = DA, b = DC, с = DDr и найдем разложение
векторов DBX и DM по этому базису.
По правилу параллелепипеда имеем
DB^ = DA + DC + Dd\ = a + b + c. (1)
Так как точка М — центроид треугольника ACDV то
DM = l(DA + DC + DDA = ±(a + b + с). (2)
О х о
Из (1) и (2) следует, что DM = ±DBV поэтому векторы
DM и DB1 коллинеарны и сонаправлены. Это означает, что
точка М принадлежит диагонали DBr и DM : DB1 = 1:3, от-
куда DM : МВг = 1:2, что и требовалось доказать.
§ 23. Скалярное произведение векторов
23.1. Определение скалярного произведения
векторов
Напомним, что углом между двумя ненулевыми векто-
рами а и b называется угол между равными им векто-
рами ОА = а и ОВ = Ь, отложенными от одной точки
(рис. 189). Если векторы сонаправле-
ны, то угол между ними считается
равным нулю; если векторы противо-
положно направлены, то угол между
ними равен 180°; если угол между
векторами а и b равен 90°, то векторы
Рис. 189
называют перпендикулярными и
записывают: а ± Ь.
Определение. Скалярным произведением двух нену-
левых векторов называется произведение модулей
этих векторов и косинуса угла между ними. Если из
двух данных векторов хотя бы один нулевой, то ска-
лярное произведение двух таких векторов считается
равным нулю.
124 | Глава 6
Векторный метод в пространстве
Скалярное произведение векторов а и b обозначают a • b или
ab. Таким образом, по определению
a • b = |а| • |б| • cos <р, где <р = (а; Ь), 0° < <р < 180°. (1)
Если a = b, то скалярное произведение a • Ь принимает вид
a * а, называется скалярным квадратом вектора а и обо-
значается а2. Так как cos (а; а) = cos 0° = 1, то из (1) получаем
а2 = |а|2, то есть скалярный квадрат вектора равен квад-
рату его модуля. Отсюда |а| = ТЗ2. Если вектор а единичный,
то а2 = 1.
23.2. Свойства скалярного произведения векторов
Для любых векторов а, Ь, с пространства выполняются сле-
дующие свойства:
1. а2 > 0, причем а2 > 0, если а # 0;
2. а • Ь = Ь • а (коммутативный закон);
3. (ka) •b = a- (kb) = k(a • b) (ассоциативный закон);
4. (а + Ь)‘с = а*с + Ь• с (дистрибутивный закон умно-
жения по отношению к сложению векторов).
Справедливость свойств 1—3 скалярного произведения век-
торов в пространстве доказывается (практически) точно так
же, как и в планиметрии.
Свойство 4 доказано в планиметрии для случая, когда век-
торы а, b и с компланарны (лежат в одной плоскости).
Часто используются вытекающие из этих свойств равенст-
ва:
• (a+ b)2 = а2 + 2d'b+ Ь2; (2)
• (а - Ь)2 = а2 - 2а • b + Ь2.
Теперь докажем свойство 4 для трех некомпланарных век-
торов а, b и с.
Построим параллелепипед АВСИА1В1С1В1 такой, что АВ =
= a, AD = Ьи ААг = с (рис. 190).
125
§ 23. Скалярное произведение векторов
Пусть М и К — середины ребер соот-
ветственно DDV и ВВ±. Тогда в паралле-
лограмме АМСгК сумма квадратов
длин диагоналей равна сумме квадратов
длин всех его сторон, то есть ACf +
+ КМ2 = 2АЙГ2 + 2АМ2. В векторной
форме это равенство перепишем так:
ACf + КМ2 = 2АК2 + 2 AM2.
Разложив векторы АСг, КМ, АК и
AM по векторам a, b и с, запишем:
Рис. 190
((а + Ь) + с)2 + (Ь - а)2 = 2(а + 0,5с)2 + 2(Ь + 0,5с)2.
Используя равенства (2) и затем раскрывая скобки, полу-
чим:
(а + Ь)2 + 2(а + Ъ) • с + с2 + (а - Ь)2 =
= 2(а2 + а-с + 0,25с2) + 2(Ь2 + Ь>с + 0,25с2),
откуда: (а + Ь) • с = а • с + b • с. Что и требовалось доказать.
23.3. Признак перпендикулярности двух векторов
Если ненулевые векторы а и Ъ перпендикулярны, то (а; Ь) =
= 90°. Значит, cos (a; b) = cos 90° = 0. Следовательно, а-b =
= |а| • |б| • cos 90° = |а| • |6| • 0 = 0. Таким образом,
а ± Ъ => (а; Ь) = 90° => cos (а; Ь) = 0 => а • Ь = 0.
Обратно, для ненулевых векторов аиЬ справедливо:
а • b = 0 => |а| • |Ь| • cos (а; Ь) = 0 => cos (а; Ь) = 0 =>
=> (а; Ь) = 90° => а. ± Ь.
Итак,
а ± 6 <=> = 0.
Мы доказали: два ненулевых вектора перпендикулярны
тогда и только тогда, когда их скалярное произведение рав-
но нулю.
126 | Глава 6
Векторный метод в пространстве
Для решения многих задач с применением векторов полез-
ны следующие (кажущиеся, на первый взгляд, формальными)
формулы:
|а| = 7(2)2; cos (3. g) =
Приводим обещанные в пунктах 9.1 и 9.2 векторные дока-
зательства признака перпендикулярности прямой и плоскос-
ти, а также теорем о трех перпендикулярах. Впоследствии эти
доказательства вы можете использовать наравне с предыду-
щими доказательствами.
Теорема 13 (признак перпендикулярности прямой и плос-
кости). Если прямая перпендикулярна каждой из двух
пересекающихся прямых, лежащих в плоскости, то
она перпендикулярна этой плоскости.
Дано: & с а, с с а, 6 п с = О; а 1 ft, а 1 с.
Доказать: а ± а.
Доказательство. Для доказательства теоремы возьмем в
плоскости а произвольную прямую d9 отличную от прямых b
и с, и докажем, что a ± d. Для этого обозначим А = a п а и вы-
берем точки е af В1 е bf С^с, D е df Е е d (рис. 191).
Так как прямые & и с пересекаются, то направляющие век- ,
торы р = ОВ1 nq = ОСг этих прямых неколлинеарны. Поэто-
му пару векторов (р; q) можно принять в качестве базиса для
всех векторов плоскости а.
Рис. 191
Тогда вектор тп = DE можно разло-
жить по базисным векторам р и q:
m= хр + yq.
Найдем скалярное произведение на-
правляющих векторов АА± = г и m
прямых а и d.
Из условия теоремы получаем:
а ± & => г ± р => г • р =0;
a±c=>r±g=>r-g = 0.
127
§ 23. Скалярное произведение векторов
Тогда г • m = г • (хр + yq) = х(г • р) + у(г • q) = X' 0 + уО = 0.
Таким образом,
г’йг = 0=>г±йг=*а±</.
На основании определения прямой, перпендикулярной
плоскости, приходим к выводу, что а ± а. Теорема доказана. ▼
Теорема 16 (теорема о трех перпендикулярах). Если на
плоскости проведена прямая перпендикулярно проек-
ции наклонной, то эта прямая перпендикулярна и са-
мой наклонной.
Доказательство. Пусть отрезки АВ и АС — соответ-
ственно перпендикуляр и наклонная к плоскости а (рис. 192),
m — прямая, проведенная на плоскости а перпендикулярно
проекции ВС наклонной АС. Докажем, что m ± АС.
Пусть р — направляющий вектор пря-
мой иг. Тогда для доказательства перпен-
дикулярности прямых иг и АС достаточно
убедиться, чтор ± СА, то есть чтор • СА = 0.
Докажем это.
Из условия теоремы и признака пер-
пендикулярности двух ненулевых векто-
ров получаем:
АВ ± а, иг с а => АВ ± m => АВ ± р =>
=> АВ 'р = 0 => р • ВА = 0;
СВ ± m => СВ ± р => СВ >р = 0.
Так как СВ + ВА = СА, то р • СА = р • (СВ + ВА) = р • СВ +
+ р • ВА = 0 + 0 = 0, откуда р ± СА, то есть m ± АС. Теорема
доказана. ▼ Справедлива обратная теорема.
Теорема 17. Если на плоскости проведена прямая
перпендикулярно наклонной, то эта прямая перпен-
дикулярна проекции наклонной.
Доказательство. Используем рисунок 193. Прямая m в
плоскости а проведена перпендикулярно наклонной АС. Нуж-
но доказать, что m ± ВС, где ВС — проекция АС на плос-
кость а.
128 | Глава 6
Векторный метод в пространстве
Из условия теоремы получаем:
AC ± m => СА ± р => СА • р = О,
АВ ± а, ш с а => АВ ± тп => АВ ± р =>
=> АВ'р = 0.
Так как СВ = СА + АВ, то р • СВ =.
= р • (СА + АВ) = р • СА + р • АВ = 0, от-
куда р ± СВ. Это означает, что m ± ВС.
Теорема доказана. ▼
ЗАДАЧА 6.083. ABCDA1B1C1D1 — куб с ребром 2. Точка М — ,
центр основания Точки Е и Н взяты соответствен-
но на отрезках ВВг и АС так, что BE : ВВ± = 1:2, АН : АС =
= 1:4. Найдите: 1) длину отрезка: а) AM; б) ЕН; в) МН;
—> —,
2) угол между векторами: а) ВС^ и АС; б) АгВ и ВВг; в) НМ и
СВ! (рис. 194).
Решение. Введем базис a = АВ, Ь = AD, с = AAV Так как грани ;
куба — равные квадраты со стороной 2, то
а2 = Ь2 = с2 = 4, а • b = а • с = b • с = 0.
Рассмотрим некоторые случаи.
1. б) Длина отрезка ЕН равна длине вектора ЕН. Разложим
вектор ЕН по базису (а; Ъ; с). По правилу ломаной ЕН = ЕВ +
+ ВА + АН = ~АА1-АВ+±АС = -±с-а+±(а + Ь) = ~а +
+ - ^с. Тогда |£Н|2 = ЕН2 = +
,1г 1 9 ->9 . 1 7^9 . 1 ->9 3 -> |
+ 4Ь~2С) =16а +16Ь +4С 8а'Ь +
3 -4 -> 1
+ - -^Ъ-с. Учитывая (1), получаем
^|2 = й,4 + й,4 + г4 = ^’откуда;
|ЕН| = . Следовательно, \ЕН\ = .
(1)
| 129
$ 23. Скалярное произведение векторов
2. а) Обозначим (ВС^, АС) — <р. Тогда cos ф = ;— 3 . д. На-
IbcJ-IacI
ходим: ВСг • АС = (6 + с) • (a + b) = b • а + Ь2 + с • а + с • 6. Учи-
тывая (1), получаем ВСг • АС = Ь2 = 4.
IBCJ = J(b + с)2 = Jb2 + 2Ь-с +с2 = 74 + 2’0 + 4 = 2^2 ;
| АС| = 7(а + Ъ)2 = Ja2 + 2а^Ь + Ь2 = 2 J2 .
Получаем
4 1
cos ф “ = 2 •откуда ” - 60°'
Ответ: 1. б) Д . 2. а) 60".
ЗАДАЧА 6.085. Все ребра правильной четырехугольной пирами-
ды PABCD равны 1 (рис. 195). Точка О — центр грани ABCD.
Точки E,F,H — середины ребер соответственно ВР, СР, АР.
Найдите: а) длину отрезка ОР; б) длину отрезка СН; в) угол
между векторами АЕ и BF; г) угол между медианой РМ гра-
ни ВРС и высотой АЕ грани АР В. При решении пунктов а) и
в) используйте векторы.
Решение. Введем базис ВА = а, ВС = Ь, ВР = с. Так как боко-
вые грани пирамиды — правильные треугольники, а основа-
9-3163
130 | Глава 6______________________________________________ \
Векторный метод в пространстве
ние — квадрат, то |а| = |&| = |с| = 1, (а; с) = (Ь; с) = 60°, (а; Ь) = ;
= 90°. Поэтому имеем
a*c = |a|*|c|*cos60° = 5, Ъ*с = |&|• |с|• cos60° = a*b = Q. (1)
л а
а) Длина отрезка ОР равна длине вектора ОР. Разложим
этот вектор по базису (а; Ъ; с).
По правилу треугольника OP = ОВ + ВР = ВР - ВО = ВР -
- \bD. По правилу параллелограмма BD = ВА + ВС. Значит,
Л
OP = ВР - i(BA + ВС) = ~а ~\ъ + с. Тогда |ОР|2 = ОР2 =
а а а
= f-|a - |б + с) = |а2 + |б2 + с2 + 1а • Ь - а • с - Ъ • с. Учитывая :
(1), получаем |ОР|2 = i, откуда |ОР| = т. е. ОР =
-—? АЕ • BF
в) Пусть (АЕ; BF) = <р. Тогда cos <р = , , )Г Разложим
|АЕ| • |bf|
векторы АЕ и BF по базису (а; Ь; с). Имеем: АЕ = АВ + BE =
= -а + ±с, BF = ±(ВС + ВР) = ±(6 + с).
А А А
Находим:
АЕ • BF = (-а + 0,5с) • (0,56 + 0,5с) =
= -0,5а • Ь - 0,5а • с + 0,256 • с + 0,25с2;
|АЕ|2 = (-а + 0,5с)2 = а2 - а • с + 0,25с2;
|ВР|2 = + с)2 = ^(62 + 26 • с + с2).
Принимая во внимание (1), получаем: АЕ • BF = 0,125, |АЕ| =
= |BF| = ^.
„ 0,125 1 1
Поэтому cos <р = -j=—f= = х, значит, <р = arccos х.
~2 ‘Т
Л ч л/2 ч 1
Ответ: а) в) arccos
а о
131
§ 23. Скалярное произведение векторов
23.4. Применение векторного метода
к решению стереометрических задач
ЗАДАЧА 6.091. Дана правильная четырехугольная пирамида
MABCD. Векторы МА, MB, МС, MD — единичные. Вырази-
те вектор MD через МА, МВ, МС.
--------------------------------------------------->
Решение. Так как ABCD — квадрат (рис. 196, а), то МА +
+ МС = МВ + MD = 2МО, где О — точка пересечения диаго-
налей АС и BD. Тогда = 1 -МА- 1 -МВ 4- 1-МС.
ЗАДАЧА 6.092. Дана правильная шестиугольная пирамида
MABCDEF. Векторы МА, МВ, МС, MD, ME, MF — еди-
ничные. Выразите:
а) векторы MD, ME, MF через векторы МА, МВ, МС;
б) векторы MB, MD, MF через векторы МА, МС, МЁ.
Решение, а) Пусть точка О — центр правильного шестиуголь-
ника ABCDEF (рис. 196, б); К — точка пересечения диагона-
лей ромба АВСО. Тогда 2МК = МВ + МО = МА + МС, отку-
да МО = 1 • МА - 1 • МВ + 1 • МС.
-----------------> ---> ----> ---> ----> ----> ---->
Из равенств 2МО = МВ + МЕ = МС + MF = МА + MD на-
ходим:
Рис. 196
9*
132 | Глава 6
Векторный метод в пространстве
ME = 2М0 -МВ = 2МА - ЗМВ + 2МС;
MF = 2М0 -МС = 2МА - 2МВ + МС;
MD = 2МО - МА = МА - 2МВ 4- 2МС.
б) Пусть точка О — центроид треугольника АСЕ. Это озна-
---> I ---> --> ---> --->
чает, что МО = „(МА + МС + ME). Тогда из равенств 2М0 =
О
= МВ + ME = МА + MD = МС + MF находим:
-1-------2--2--
MD = 2МО - МА = ~МА + ъМС + ^МЕ;
ООО
-9------9--1 -
МВ = 2МО - ME = ъМА + ъМС - ±МЕ;
ООО
-> -> -> 9-> 1 -> 9->
MF = 2М0 -МС = ъМА - =>МС + %МЕ.
ООО
ЗАДАЧА 6.093. В правильной четырехугольной пирамиде
MABCD точка F — середина ребра МВ, К — такая точка реб-
ра MD, что МК = 5KD. В каком отношении плоскость AFK
делит: а) ребро МС’, б) высоту МО данной пирамиды?
Решение, а) Выберем пространственный базис: a = МА, Ь =
= MB, d = MD (рис. 197). Тогда 2МО = МВ + MD = МА +
+ МС, откуда
МС = -МА + МВ + MD = -a + b + d. (1) .
Обозначим L = МС n (AFK). Так .
Рис. 197
как точка L принадлежит плоскос-
ти AFK, то
ML = х • МА + у • МF + г • МК, rpfi
x + y + z = l. (2)
Учитывая условие задачи, полу-,
чаем
ML = X’d + ъУ'Ь + zZ’d. (3)
А о
Из условия коллинеарности векто-
ров МС и ML имеем:
| 133
$ 23. Скалярное произведение векторов
---15 6
ML = tMC => х = -t, ъУ = t, = t => x = -t, у = 2t, z = -=t,
2 ° 6 ° 5
где t — коэффициент пропорциональности.
Из условия (2) находим значение £:
-t + 2t + 11 = 1 => -5t + lOt + 6t = 5 =>
m ML _ 5 ML _ 5
t n. Тогда MC u LC 6-
б) Обозначим P = MO n (AFK). Точка О — середина BD,
значит, МО = 5 (b + d). Так как точки К, F иР принадлежат
А
одной прямой, то
--1 -> 5 ->
МР = mMF + nMK = g mb + nd, где m + n = 1. (4)
Из коллинеарности векторов МР и МО имеем:
МР = uMO => ±т = ±и, |и или т = u, п = |и. Изус-
& £i О А О
3 5
ловия (4) получаем и + z и = 1 или 8п = 5, откуда и = ~ . Это
О о
означает, что МР : МО = 5:8 или MP : РО = 5:3.
Ответ: а) 5 : 6; б) 5 : 3.
ЗАДАЧА 6.094. В тетраэдре МАВС боковые ребра МА, МВ и
МС попарно взаимно перпендикулярны и МА = 1, МВ = 2,
МС = 3; К — середина ВС; F — внутренняя точка ребра AM
такая, что AF : FM = 3:1. Найдите расстояние между прямы-
ми АК и CF (рис. 198).
С
Рис. 198
134 | Глава 6
Векторный метод в пространстве
Решение. В качестве базисных примем векторы a = МА, b ==
= МВ , с = МС. Имеем:
АК = -а + | Ь + | с, CF = | а + 0 • b - с.
Пусть PL — общий перпендикуляр прямых АК и CF, где
Р е АК, L е CF. Тогда
PL = РК + КС + CL = х АК + КС + yCF =
= -ха + ±xb + |хс + - |б + у(-с + |а) = (1)
= (-х + jyjs + (±х -|)б + (|х - у + |)с.
Коэффициенты разложения (1) вектора PL по базису (5; Ь; с)
найдем из условия перпендикулярности PL к прямым АК и
CF.
Имеем:
PLLAK^Jt-АК = 0,
PL±CF=>PL-CF = 0
или
а{~х + 4^) + О’Сг* - а) - 11 (2х”у + а) = 0’
откуда
12х - у = 0,
1-12x4- 17i/= 8
и
4
Х И’
8
|1/ п •
Тогда, подставив в (1) вместо х и у их найденные значения,
получаем PL = - А (4а 4- 76 4- с). Значит,
|PL| = |PL| = 716-1+49-4 + 9 = 7221.
Ответ: 7221.
135
§ 23. Скалярное произведение векторов
ЗАДАЧА 6.095. На ребрах МА, МВ и АС тетраэдра МАВС от-
мечены соответственно такие точки К, F и Т, что АК : КМ =
= 1:2, F — середина ВМ, Т — середина AC; KF = 3. Точки Р
и Q принадлежат соответственно прямым KF и ВТ, при этом
PQ || AM (рис. 199). Найдите длину отрезка КР.
Решение. Выберем векторы a = МА, Ь = МВ, с = МС в качест-
ве базисных. По правилу ломаной PQ = РК + КА + АТ + TQ.
Имеем: АК : КМ = 1 : 2 => КА = h; Р е KF => РК = xKF =
О
= x(jb - fa.y, AT = ТС => AT = |AC = |(с - a); Q е ТВ =>
=> TQ = уТВ = ~уВТ = -у(ВМ + МТ) = + |с -
Тогда
1-> , (1^ 2-Л. 1.->
PQ = да + x^b - ^aj + g(c - a) - y[^a + -^c-bj =
( 2 1 1 A-» . /"1 , Л,* । 1 z, z,\
= l“3X “ 2y ~ 6Г + l2X + УГ + 2^ “ y^C’ W
Так как PQ || AM, то векторы PQ и MA = a коллинеарны.
Следовательно, координаты ±x + у и ^(1 - у) в разложении (1)
вектора PQ в базисе (а; Ь; с) должны быть одновременно рав-
ны нулю, то есть
1 п
5x + z/ = 0,
1-У-о,
с
Рис. 199
136 | Глава 6
Векторный метод в пространстве
откуда х = -2, у = 1. Тогда РК = xKF = -2KF. Значит, |РЛГ| =
= |РК| = |-2_КТ| = 6.
Ответ: 6.
ЗАДАЧА 6.096. Дан параллелепипед ABCDA^B^C^D^. Точки
Р, М и Q выбраны на ребрах соответственно AAV АВ и AD
так, что АР : РАг = 3 :1, AQ : QD = 1: 4, AM = МВ (рис. 200).
В каком отношении плоскость PMQ делит диагональ АСг па-
раллелепипеда?
Решение. Примем в качестве базисных векторы АР = a, AM =
= b,AQ = c.
Тогда ААг = |а, АВ = 2b, AD = 5с; АСг = ААг + АВ+ AD =
4-v ->
= дй + 2b + 5с.
Пусть F =АСг n (PMQ). Для точек М, P,QnF, лежащих в
одной плоскости, имеем
AF = хАР + уАМ + zAQ = ха + yb + гс,
где
х + у + г = 1. (1)
Так как AF || AClf то одноименные координаты этих векто-
4
ров пропорциональны, то есть х = 51, у = 2t, z = 5t. Подстав-
О
Рис. 200
| 137
$ 23. Скалярное произведение векторов
ляя эти значения х, у и г в левую часть соотношения (1), по-
лучаем 51 + 2t + 5t = 1, откуда t = . Это означает:
о ZO
AF : АСг = 3:25 => AF гРС^З: 22.
Ответ: AF: FCX = 3 : 22.
ЗАДАЧА 6.097. Все плоские углы трехгранного угла МАВС
равны а. Прямая МР образует со всеми его ребрами углы,
равные ф, а со всеми гранями — углы, равные ф. Найдите ве-
личины углов ф и ф.
Решение. Пусть МА = a, МВ = Ь, МС = с — единичные векто-
ры базиса в пространстве, точка О — центроид треугольника
АВС (рис. 201); МК = а + b + с.
Так как вектор МК коллинеарен вектору МО = х (а + Ь + с),
О
ТО
Z (МК; а) = Х (МК; b) = Z. (МК; с) = ф
и Z (МР; (АМВ)) = Z (МР; (АМС)) =
= Z (МР; (СМВ)) = Z (МК; ML) = у,
где ML = а + Ь — направляющий вектор прямой ML, являю-
щийся проекцией прямой МК на плоскость АМВ. Прямая
ML содержит биссектрису угла АМВ, так как каждая точка
прямой МР, образующей равные углы с ребрами трехгранно-
М
Рис. 201
138 | Глава 6
Векторный метод в пространстве
го угла, равноудалена от каждого из этих ребер. Имеем:
МК2 = (а + Ъ + с)2 = 3 + 6cos а => |МК| = 73(1 + 2cos а). Тогда
СОя m = = (a + b + c)>a = 1 + 2cos а = 11 + 2cos а
|м^|«|а| |м^|*|а| 73(1 + 2соза) Ч 3
/1 + 2cos а.
=> (р = arccos /--т----;
о
MK-ML (а + b +с)*(а + 6)
cos у = । я I п = ------------------=г- =
|Л£К1 • |ЛГЬ| |а + Ь + с| • |а + Ь|
= 2(1 + 2cos а) > л/3(1 + 2cos а)л/2(1 + cos а) Al — 1 /1 + 2cos а ™ / о => \|/ arccos ос д/ о COS н < Ответ: <р = arccos /- + 2cos_a ♦ у = arccos /2(1 + 2cos а) = 1 3(1 + cos а) 1 11 + 2cos а ам 3 3OS2 1 11 + 2cos а ГУ л/ Q
Глава
ЗНВВ КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД
Д В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 24. Декартова прямоугольная
система координат в пространстве
24.1. Координаты вектора в пространстве.
Линейные операции над векторами в координатах
L2J С координатным методом на плоскости вы уже знакомы.
Напомним, что координаты вектора на плоскости вводятся так.
От произвольной точки О откладывают взаимно перпендику-
лярные единичные векторы in j (рис. 202). Упорядоченную па-
ру (Z; j) векторов i и j называют декартовым (ортонорми-
рованным) базисом векторов на плоскости, а векторы i
и j — базисными (координатными) векторами.
Любой вектор р плоскости можно единственным образом раз-
ложить в базисе (Z; у), то есть представить в виде: р = xi + уj.
Числа х и у называются декартовыми прямоугольными
координатами вектора р в базисе (i; у) и декартовыми
прямоугольными координатами точки М (ОМ = р)
в системе координат Оху, определяемой базисными векто-
рами i и у; при этом вектор ОМ называют радиусом-векто-
ром точки М. I2I
Аналогично вводятся декартовы прямо-
угольные координаты вектора в пространст-
ве. От произвольной точки О откладывают
три некомпланарных попарно взаимно пер-
пендикулярных единичных вектора i, j, k
(рис. 203), то есть i ± j, j ± k, k ± i, |i| = |j| =
= й = 1.
Рис. 202
140 I Глава 7
Координатный метод в пространстве
Упорядоченная тройка векторов (Z; у; k) называется
декартовым прямоугольным ортонор мированным ба-
зисом векторов в пространстве, а векторы i, j, k называ-
ются базисными (координатными) векторами.
Базисными векторами Z, у, k, отложенными от точки О, оп-
ределяются три взаимно перпендикулярные направленные
прямые, которые называются координатными осями и
обозначаются соответственно Ох, Оу и Oz (рис. 203). При
этом говорят, что в пространстве задана декартова прямо-
угольная система координат, которую обозначают Oxyz. Точ-
ка О называется началом системы координат; направ-
ленные прямые Ох, Оу и Oz называются соответственно осью
абсцисс, осью ординат и осью аппликат. Плоскости,
проходящие через каждые две координатные оси, называются
координатными плоскостями и обозначаются: Оху —
проходит через оси Ох и О у; Oyz — проходит через оси О у и
Oz; Oxz — проходит через оси Ох и Oz.
Такую систему координат называют декартовой по
имени всемирно известного французского ученого Рене Де-
карта (1596—1650), который впервые ввел координаты в гео-
метрии (на плоскости).
По теореме 36 любому вектору р пространства соответству-
ет единственная упорядоченная тройка чисел (х; у; z) такая,
что выполняется равенство
р = xi + у) + zk. (1)
Справедливо обратное утверждение: если в пространстве дан
базис (i; j; k), то любой упорядоченной тройке чисел (х; у; z) со-
Рис. 203
| 141
§ 24. Декартова прямоугольная система координат в пространстве
ответствует единственный вектор р пространства такой, что
выполняется условие (1). Для доказательства этого утвержде-
ния достаточно отложить от точки О векторы О А = xi, О В = у],
ОС = zk. Тогда для вектора р = ОА + ОВ + ОС = xi + у] + zk
(рис. 203) выполняется равенство (1) и он является соответст-
вующим данной тройке чисел (х; у; z). Такой вектор единствен.
Таким образом, если в пространстве дан прямоуголь-
ный базис (t; у; k), то между множеством всех векторов
пространства и множеством всех упорядоченных тро-
ек действительных чисел (х; у; г) устанавливается
взаимно однозначное соответствие, при котором для
каждого вектора р и соответствующей ему упоря-
доченной тройки чисел (х; у, г) выполняется равенство
(1). Числа х, у и z в этом равенстве называются декартовы-
ми прямоугольными координатами вектора р в базисе
(i; у; Л). При этом символически обозначают р (х; у; г) и говорят:
«Вектор р с координатами х, у, г» или «Вектор р имеет
координаты х, у, z в базисе (I; j; fe)».
В частности, так как i = l»i + O»y + O*ft,y = O»i + l»y +
+ 0 • fe, fe = O*i + O*y-l-l*feHO = O’i-l-O,y-l-O,A, то базисные
векторы i, у, k и вектор 0 имеют координаты: i(l; 0; 0), у(0; 1; 0),
fe(0; 0; 1) и 6(0; 0; 0).
Используя свойства операции сложения векторов и умно-
жения вектора на число, рассмотрим эти операции над векто-
рами, заданными своими координатами.
Пусть имеем векторы Й(хх; уг; гг) и S(x2; у2; z2), то есть а =
= xxi + yj + zxfe, b = x2i + y2j + z2k. Тогда
a + b = (xxi + pxy + zxfe) -I- (x2i + y2j -I- z2fe) = (xxi + x2i) + (yxy +
+ У2Ь + («1* +z2k) = (xx + x2)i + (px + y2)y + (zx + z2)k.
Аналогично найдем:
a - b = (xx - x2)i + (px - p2)y + (zx - z2)fe;
Х5 = X(xxi + у J + zxfe) = (Xxx)i + (Xz/x)y + (Xzx)fe.
142 | Гпава 7
Координатный метод в пространстве
Получили:
а(хг; V1; zj
а±Ь = (х1± х2; уг ± у2; ± z2),
la= (1хх; Xz^.
6(х2; у2, z2)
Таким образом:
ГП 1) каждая координата суммы (разности) двух векторов
Ш равна сумме (разности) одноименных координат дан-
ных векторов;
2) каждая координата произведения вектора на число
равна произведению этого числа на одноименную коор-
динату данного вектора.
Тогда можно сформулировать признак коллинеарности
двух векторов в координатах: два ненулевых вектора
а(ах; а2; а3) и &(&р &2; &3) коллинеарны тогда и только
тогда, когда пропорциональны их одноименные коорди-
наты, то есть
а1 = *"^1,
a || Ъ <=> а2 = t - &2,
л3 = ^ • &3.
Для векторов с ненулевыми координатами также записывают:
а и ь ?=? = ?
»2 &3
Допускается запись равенства таких отношений, когда не-
которые компоненты этих отношений равны нулю. Например,
1 -3 0 0 -3 0
записи 2=^б=бИб=:н6=б веРны и допустимы, но ис-
пользуются редко. (В первом случае рассматриваются колли-
неарные векторы а(1; -3; 0) и 6(2; -6; 0), во втором — колли-
неарные векторы р(0; -3; 0) и д(0; -6; 0).)
ИЙ Три ненулевых вектора а(ах; а2; а3), &(&х; &2; &3) и с(сх; с2;
с3) компланарны тогда и только тогда, когда существуют та-
кие одновременно не равные нулю числа х, у, г, что выполня-
ется векторное равенство xa + yb + гс = 0 (см. т. 35), то есть
когда система уравнений
| 143
§ 24. Декартова прямоугольная система координат в пространстве
агх + bty + <\z = О,
а2х + Ь2у + c2z = О,
а3х + Ь2у + c3z = О
имеет ненулевое решение (х; у, z).
ЗАДАЧА 7.001. ABCDA1B1C1D1 — куб с ребром 1. Пусть
AD = i, АВ = j, AAt = k. Найдите в базисе (г; j; k) координаты
векторов: а) АСХ; б) САХ; в) АК, где К = ВСХ п ВгС (рис. 204).
Решение, а) Так как СС1 = ААГ = k, АС = AD + АВ = i + j, то
АСг = АС + AAr = i + j + k, значит, вектор ACt имеет коор-
динаты (1; 1; 1), то есть АСХ(1; 1; 1); б) САХ = AAt - AC = k-
~ (* + /) = _ У + т0 есть САх(-1; -1; 1); в) АК = АС + СК =
= АС + i (ССХ + СВ) = i + y + |fc+5 (-г) = + ] + ^k, то есть
Ответ: а) (1; 1; 1); б) (-1; -1; 1); в) (|; 1; |).
И ЗАДАЧА 7.002. Коллинеарны ли векторы: а) а(3; 4; 5) и
Ь(6; 8; 10); б) р(2; -3; 3) и д(4; -6; 2)?
144 I Глава 7
Координатный метод в пространстве
Решение, а) Векторы а и Ъ коллинеарны, так как 3 : 6 = 4 : 8 =
= 5 : 10; б) координаты вектора q не пропорциональны одно-
именным координатам вектора р, например 2 : 4 3 : 2. По-
этому векторы р и q не коллинеарны.
Попытайтесь установить, компланарны ли векторы а, Ъ и р,
если:
а) Й(-1; 4; 6), 6(1; 7; 3),р(0; 11; 9); б) а(-3; 14; 6), 6(6; -8; 7),
р(-9; 62; 37); в) а(-1; 0; 0), 6(0; 7; 0), р(0; 0; 9)?
®Й Пусть векторы av a2, ..., ak заданы своими координата-
ми: а^; уг; zj, Й2(х2; у2; z2), ..., ak(xk; yk; zk). Тогда, учиты-
вая правила нахождения координат суммы, разности векторов
и произведения вектора на число, вектор с = -F Х2а2 -I-... +
+ являющийся линейной комбинацией векторов ар
а2, ..., ak, будет иметь координаты: -F Х2х2 -I- ... -F Xfexfe;
Xij/i + X,2z/2 + ... + X1z1 + X2z2 + ... + Xfezfe), то есть каждая
координата вектора с, являющегося линейной комбинацией
векторов av a2, ..., ak с коэффициентами Х2, ..., равна •
линейной комбинации одноименных координат этих векторов
с теми же коэффициентами. Докажите это самостоятельно, ес- ,
ли сможете. ВЭ
24.2. Скалярное произведение векторов
в координатах
Скалярное произведение векторов а и & равно (см. п. 23.1):
a • b = |а| • |&| • cos ф, где ф = Z (Й, &).
Мы знаем, что: a) a • a = a2; б) a ± Ъ <=> a • Ъ = 0.
Так как базисные векторы i, j,k попарно взаимно перпенди-
кулярны и единичны, то
г
i • j = j •k = k'i = 0, (1)
i • i = |i|2 = 1, j • ] = |y|2 = 1, k • k = |fe|2 = 1. (2)'
Найдем скалярное произведение векторов а и b, заданных
координатами: a(x1; yt', z^, b(x2; y2; z2).
145
§ 24. Декартова прямоугольная система координат в пространстве
Воспользуемся свойствами сложения векторов и умноже-
ния вектора на число:
Л • Ь = (xxi + yj + zxfc) • (x2i + y2] + z2k) = (xxx2)i2 + xxi/2(i • j) +
+ xxz2(i • k) + i/xx2(j • 0 + (j/xz/2)72 + V1Z2(] • *) + • 0 +
+ 2xl/2(fe • j) + (ZxZ2)fc2 = XXX2 + y^2 + ZXZ2,
то есть
2 • ft = xxx2 + yxy2 + zxz2. (3)
Скалярное произведение двух векторов, заданных своими
координатами, равно сумме произведений одноименных ко-
ординат этих векторов.
Тогда признак перпендикулярности векторов а(хх; yr; zx) и
b(x2; у2; z2) в координатах выражается условием
2 ± Ъ « ххх2 + yty2 + zxz2 = 0. (4)
Так как |р | = Тр2, то длина вектора р (х; у, z) находится по
формуле
|р| = 7*2 + у2 + z2. (5)
Из определения скалярного произведения векторов следует,
что угол ф между векторами а и & находится с помощью фор-
мулы
3-Ь *1*2 + У1У2 + *1*2
cos ф =-----— = -7 .— =—I----------— . (6)
131 • |&| 7*1 + + 21 • JX2 + у2 + 22
24.3. Проекции вектора на ось в координатах
Пусть задан вектор а и ось — прямая &, направление кото-
рой сонаправлено с вектором Ь (рис. 205).
Ю-3163
Рис.205
146 I Глава 7
Координатный метод в пространстве
Проекцией вектора а на ось вектора Ь называется
число, равное произведению длины вектора а на косинус угла
ф между векторами а и Ъ:
Ilp.ga = |a|cos ф.
Тогда:
а • Ъ = |Й| • |&| • cos ф =
|а|«(|&|«со8ф) = |а|-Пр.3Ь;
|&| • (|а| • cos (р) = |6| • Ilp.ga,
т. е.
(7)
скалярное произведение двух векторов равно длине одного
из них, умноженной на проекцию второго на направление
первого.
Заметим, что проекция одного вектора на направление вто-
рого может быть положительной (при 0 < ф < 90°, рис. 205, а),
отрицательной (при 90° < ф < 180°, рис. 205, б) или равной ну-
лю (при <р = 90°).
Пусть дан вектор
р = xi + yj + zk. (8)
Покажем, что координата х этого вектора равна его проек-
ции на направление базисного вектора i. В самом деле, умно-
жив обе части равенства (8) на вектор i скалярно, получим
i • р = i'(xi + yj + zk).
Находим:
i'P =|1|’|р|со8ф1 = 1 *np.jp = Пр.;р, где фх = Z(p;i);
i*(xi + yj + zk) = xi2 + y(i • 7) + z(i *k) = x.
Таким образом,
х = Пр.;р. (9)
Аналогично, умножив равенство (8) скалярно на у, затем на «
k, получим
у = IIp.jp, Z = Пр.^р . (10)
Итак, геометрический смысл декартовых прямоугольных ,
координат вектора состоит в следующем: каждая координа-
та вектора равна ортогональной проекции этого
| 147
§ 24. Декартова прямоугольная система координат в пространстве
вектора на направление соответствующего базисно-
го вектора.
На рисунке 206 проекции ОАг, ОА2 и ОА3 вектора р на на-
правления векторов i, j ink положительны (ОАХ ft i, ОА2 tty,
ОА3 tt А), следовательно, углы фр ф2 и Фз» образованные век-
тором р соответственно с базисными векторами i, j nk, явля-
ются острыми.
ЗАДАЧА 7.003. Найдите длины векторовр = 2d + 36, q = 2а - 36,
их скалярное произведение и угол между ними, если a = i - j +
+ 2k, b = 2i + 2j.
Решение. Найдем координаты векторовр и q в базисе (i; у; k).
Имеем: а(1; -1; 2) => 2а = (2; -2; 4),
6(2; 2; 0) => 36 = (6; 6; 0).
Тогда 2а + 36 = р (8; 4; 4), 2а - 36 = д(-4; -8; 4). Значит, [р | =
= 782 + 42 + 42 = 4д/б; g| = 7(-4)2 + (-8)2 + 42 = 4^/6; р • q =
= 8-(-4) + 4- (-8) + 4-4 = -48;
cos <p = = - ~48 = -|, откуда ф = Z (р; д) = 120°.
|р|«|д| 476*476 z
Ответ: 4^/6; 4^6; -48; 120°.
ЗАДАЧА 7.008. Компланарны ли векторы: а) а(1; -2; -1),
6(3; 1; 2), с(5; -3; 0); б) р(2; 0; -3), I, р, в) in(2; 0; -3), i, р,
г) а(1; -1; 2), 6(5; -1; 0), с(-2; 0; 1); д) а(0; 5; 3), 6(3; 3; 3),
с(1; 1; 4)?
10‘
148 I Гпава 7
Координатный метод в пространстве
Решение, а) Векторы 2(1; -2; -1) и b(3; 1; 2) не коллинеарны,
так как их одноименные координаты не пропорциональны
(1:3 5* -2 : 1). Если вектор с(5; -3; 0) можно разложить по
векторам а и &, то векторы 2, Ъ и с компланарны (т. 35); в про-
тивном случае векторы 2, & и с не компланарны. Таким обра-
зом, для решения задачи достаточно установить, существуют
ли числа х и у такие, что с = xa + yb. В координатах это озна-
чает, имеет ли решение система уравнений относительно х и у
х + Зу = 5,
-2х + у = -3,
-х + 2у = 0.
Складывая первое и третье уравнения этой системы, полу-
чаем у = 1, тогда х = 2. Поэтому с = 2а + Ъ. Это означает, что
вектор с является линейной комбинацией векторов а и &, сле-
довательно, векторы а,Ь и с компланарны.
24.4. Декартовы прямоугольные координаты точки
Пусть М — произвольная точка ?
пространства (рис. 207). Точке М со-
ответствует единственный отложен- *
ный от точки О вектор ОМ, который
называется радиусом-вектором точ-
ки М. Вектор ОМ имеет единствен-
ную тройку координат х, у, z в базисе
(г; у; k). Числа х, у, z называют
координатами точки М в сис-
теме координат Oxyz.
Определение. Декартовыми прямоугольными коор-
динатами точки М в системе координат Oxyz назы-
ваются координаты ее радиуса-вектора ОМ в прямо-
угольном базисе (i; j; k).
Так как вектор ОМ имеет единственную тройку координат
х, у, z в базисе (I; /; А), то точка М имеет единственную трой-
ку координат в системе координат Oxyz. При этом записыва-
ют М(х; у, z).
149
§ 24. Декартова прямоугольная система координат в пространстве
Справедливо и обратное утверждение: любая упорядочен-
ная тройка чисел (х; у; z) определяет в системе координат
Oxyz единственную точку М пространства. Действительно,
тройка чисел (х; у’, z) определяет в базисе (i; у; k) единствен-
ный вектор ОМ с координатами х, у, г. Вектор ОМ является
радиусом-вектором единственной точки М, координаты кото-
рой (по определению) — тройка чисел (х; у; z).
Таким образом, если в пространстве введена прямо-
угольная система координат Oxyz, то между множе-
ством всех точек пространства и множеством всех
упорядоченных троек действительных чисел (х; у, г)
устанавливается взаимно однозначное соответствие.
Поэтому, если дана тройка чисел (х; у; z), то говорят, что в
системе координат Oxyz задана точка (х; у; z). В частности,
точке О — началу системы координат — соответствует тройка
чисел (0; 0; 0), то есть 0(0; 0; 0).
24.5. Решение простейших задач стереометрии
в координатах
а) Расстояние между двумя точками
Пусть даны две точки А(х1; yt; Zj) и
В(х2; у2; z2). Тогда векторы ОА и ОВ
имеют координаты: OA(xt; уг; zj,
ОВ(х2; у2; z2). По правилу вычитания
векторов, заданных своими координа-
тами, находим (рис. 208): ОВ - ОА =
= АВ(х2 - Хр у2 - уг; z2 - zj.
Расстояние |АВ| между точками А
и В равно длине вектора АВ, то есть
—> / —>2
|АВ| = |АВ| = л/АВ . В координатном виде это означает:
|ЛВ| = л/<Х2 - *1)2 + (У2 - Ч1)2 + (22 “ г1)2-
Из этих рассуждений следует, что если вектор АВ задан ко-
ординатами начала А(х1; ур, z^) и конца В(х2; г/2; z2), то его
Длина |АВ| находится по формуле
Й = J(*2 “ *1)2 + (У2 “ У1)2 + (*2 “ г1)2-
150 | Глава 7
Координатный метод в пространстве
б) Деление отрезка в данном отношении
Пусть АВ — данный отрезок, С — некоторая точка прямой
АВ, отличная от точек А и В (рис. 209, а).
Говорят, что точка С делит отрезок АВ в отношении X (X -1),
если АС = ХСВ, и записывают (АВ; С) = X. При этом точки А и
В называют базисными, а точку С — делящей (см. § 12).
—>
Если точка С лежит внутри отрезка АВ, то векторы АС и
СВ сонаправлены, поэтому X > 0. В частности, если точка С —
середина отрезка АВ (рис. 209, б), то АС = СВ = 1 • СВ. Следо- -
вательно, X = 1.
Следует помнить, что речь идет о делении направленного
отрезка. Так, например, центроид М треугольника АВС >
(рис. 209, в) делит медиану ААХ треугольника в отношении :
AM : МАг = 2:1, считая от вершины А, но в отношении 1:2=
/ —
= АГМ : МА, считая от вершиныAt (AM = 2МА1г но AjM =
= ;
Кроме того, если точка С принадлежит прямой АВ, но ле-
—> *
жит вне отрезка АВ (рис. 209, г), то AC 11 СВ. Это означает, ;
g 24. Декартова прямоугольная система координате пространстве
что равенство АС = ХОВ выполняется при X < 0, т. е. отноше-
ние, в котором точка С делит отрезок АВ, отрицательно, ес-
ли точка С лежит вне отрезка АВ. На рисунке 209, в точка
Аг делит отрезок AM в отношении X = -3, так как точка ле-
—> -------->
жит вне отрезка AM и AAt = -ЗАгМ.
Так как точки А и В различны, то на прямой АВ не су-
ществует такой точки С, для которой было бы справедливо
равенство АС = (—1)« СВ. Рассмотрите рисунок 209, д и изу-
чите зависимость X от расположения точки М на прямой АВ.
Выведем формулы, позволяющие находить координаты де-
лящей точки С, если известны координаты базисных точек А
и В.
Пусть отрезок АВ задан в системе координат Oxyz коор-
динатами своих концов А^; г/х; гг) и В(х2; у2; z2), а точка
С(х; у; z) делит отрезок АВ в данном отношении X:
AC = X«CB.(1)
Имеем (рис. 210):
А(хг; yt; zt) => OA(xv yv zj,
B(x2; y2; z2) => OB(x2; y2; z2),
C(x; у; z) => OC(x; y; z).
Так как
AC = ОС - ОА, CB = OB- ОС,
то, исходя из (1) и учитывая (2), получаем
ОС - ОА = ЦОВ - ОС) => (1 + X)OC =
= ОА + ХОВ => ОС = —(ПРИ х #
1 + А
(2)
(3)
В координатах векторное равенство (3) равносильно системе
трех равенств:
х =
Xj + Хх2
У1 +*У2
У = ------
Z1 + Xz2
1 +Х
(4)
1 + %
1 + X
z =
152 | Глава 7
Координатный метод в пространстве
Формулы (4) позволяют находить координаты точки С, де-
лящей отрезок АВ в данном отношении X (X * -1). В частнос-
ти, если точка С — середина отрезка АВ (X = 1), то ее коорди-
наты находятся по формулам:
Хх + х2
2 ’
У1 + У*
У = ~2-
*1 + *2
2
(5)
ЗАДАЧА 7.026. Найдите расстояние от вершины А треуголь-
ника АВС до его центроида М, если А(-2; 1; -3), В(-1; 0; 4),
С(1; 2; 6).
Решение. Пусть А4Х — медиана Д АВС
(рис. 211). Точка Ах — середина стороны
ВС — имеет координаты:
-1 + 1 „ 0 + 2 , 4 + 6 _
х=—2—= 0, У= — = 1» г = — = 5,
то есть Ах(0; 1; 5).
Далее, точка М делит медиану ААХ
в отношении X = AM : МАХ = 2 : 1 = 2. Поэтому координаты
точки М равны:
_-2 + 2’0_ 2 _1+2-1_1 _-3 + 2*5_7
Х 1+2 3’ У 1 + 2 ’ Z 1 + 2 3-
(2 7 Л
~3 ; 1; 3 )• Тогда |АМ| =
- (/(-1+2У+(1-1)2+(1+зУ -1^-
Ответ: |717.
О
Замечание. Координаты точки М можно найти проще, ес-
ли учесть, что ОМ = 5 (ОА + ОВ + ОС), где точка О — начало
О
2
координат. Кроме того, AM = gAAx.
ЗАДАЧА 7.027. Дан треугольник АВС: А(1; 5; 3), В(3; 6; 5),
С(1; 1; 0). Найдите координаты точки пересечения стороны
ВС и биссектрисы угла А.
Решение. |АВ| = 722 + 12 + 22 = 3; |АС| = 702 + (-4)2 + (-3)2 = 5.
Если биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке
153
§ 24. Декартова прямоугольная система координат в пространстве
Аг(х; у; г), то по свойству биссектрисы внутреннего угла тре-
ВА, дв
угольника = др = 0,6, то есть точка At делит отрезок ВС
в отношении X = 0,6. Тогда:
= 3 + 0,6*1 = 9 = 6 + 0,6*1 = 33 = 5 + 0,6*0 = 25
Х 1+0,6 4’ У 1 +0,6 8’ 2 1 +0,6 8’
_ (9 33 25 Л
Ответ: (д;-8 ; у}
ЗАДАЧ А 7.043. Даны точки А(1; 3; 5) и В(2; 1; -7). Найдите
на оси абсцисс все такие точки С, что треугольник АВС —
прямоугольный.
Решение. Пусть С(х; 0; 0) — искомая точка. Тогда имеем:
АВ(1; -2; -12), АС(х - 1; -3; -5), ВС(х - 2; -1; 7). Может
представиться один и только один из трех случаев: в треуголь-
нике АВС прямым окажется или угол при вершине А, или
угол при вершине В, или, наконец, угол при вершине С. Рас-
смотрим каждый из этих случаев.
a) Z ВАС — прямой, если АВ • АС = 0. В координатной фор-
ме это означает: х-1 + 6 + 60 = 0, откуда х = -65, то есть вер-
шина прямого угла имеет координаты: Сх(-65; 0; 0).
б) Z АВС — прямой, если АВ • ВС = 0. В координатах это
равносильно уравнению х-2 + 2-84 = 0, откуда х = 84,
то есть вершина прямого угла имеет координаты: С2(84; 0; 0).
в) Z АСВ — прямой, если АС • ВС = 0. В координатах это
равносильно уравнению (х - 1)(х - 2) + 3 - 35 = 0 или х2 -
о оА а з - 7129 3 + 7129
- Зх - 30 = 0, откуда хг = -%--» х2 = --2---’ т0 есть
существуют два прямоугольных треугольника, вершинами
„<3-7129
прямых углов которых являются точки С31-2---;
с/3+Т129.0; оу
\ & J
и
Ответ: Сх(-65; 0; 0); С2(84; 0;
^3^ 7129.0.
3-7129.
2 ;
154 J Глава 7
Координатный метод в пространстве
§ 25. Задание фигур уравнениями и неравенствами
25.1. Уравнение сферы
Пусть f(x, у, г) = 0 — уравнение с переменными х, у, г;
Ф — некоторая поверхность (на рис. 212 изображена часть
этой поверхности).
Определение. Уравнение f(x, у, г) = 0 называется
уравнением поверхности Ф, если этому уравнению
удовлетворяют координаты х, у, z любой точки М этой
поверхности и не удовлетворяют координаты никакой
точки пространства, не принадлежащей поверхности Ф.
Если f(x, у, г) — многочлен, то его степень называют
порядком поверхности Ф.
Составим, например, уравнение сферы S с центром
К(а; Ь; с) и радиусом R.
Пусть М(х\ у; г) — произвольная точка сферы S(K, R). Тог-
да расстояние от точки М до центра К сферы равно R, то есть
[К7И| = R или КМ2 = R2 (рис. 213).
Учитывая, что |JCAf| = J(x - а)2 + (у - Ь)2 + (z - с)2, полу-
чаем искомое уравнение сферы
(х - а)2 + (у - Ь)2 + (г - с)2 = R2. (1)
Например, сфера с центром в точке (1; -2; 3) и радиусом 5 -
имеет уравнение (х - I)2 + (у + 2)2 + (z - З)2 = 25 или после
преобразований
х2 + у2 + z2 - 2х + 4г/ - 6г - 11 = 0.
В уравнении (1) сферы S(K, R) в алгебраической форме вы-
ражено характеристическое свойство точек данной сферы и
Рис. 212
Рис.213
g 25. Задание фигур уравнениями и неравенствами
L'“
только точек М этой сферы таких, что КМ = R. Говорят, что
сфера с центром (а; &; с) и радиусом R задается уравнением (1).
Сфера, центр которой совпадает с началом системы коорди-
нат (а = Ь = с = 0), задается уравнением
х2 + у2 + z2 = R2. (2)
Из уравнений (1) и (2) следует, что сфера — это поверхность
второго порядка. (Наблюдается аналогия с окружностью, ко-
торая на плоскости является линией второго порядка.)
Если в пространстве некоторая линия у является пересече-
нием двух поверхностей Фх и Ф2, заданных уравнениями
Д(х, У» г)= 0 и f2(x, у, z) = 0, то координаты х, у, г любой точ-
ки М линии у удовлетворяют каждому из этих уравнений, то
есть удовлетворяют системе уравнений
f^x, у, г) = 0,
|/2(x,p,3) = 0. ''
В этом случае говорят, что система уравнений (*) задает
линию у.
Ш Фигуры в пространстве могут быть заданы как урав-
нениями, так и неравенствами. Говорят, что фигу-
ра Ф задается неравенством g(x, у, г) > а или
g(x, у, г) < а в прямоугольной системе координат
Oxyz, если этому неравенству удовлетворяют
координаты х, у, г любой точки М фигуры Ф и
не удовлетворяют координаты х, у, z любой
точки пространства, не принадлежащей данной
фигуре.
Например, шар с центром К и радиусом R представляет со-
бой множество всех точек М пространства, для каждой из ко-
торых справедливо
\KM\<R или \KM\2<R2. (3)
Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz центр К ша-
ра и его произвольная точка М имеют координаты: К(а\ Ь; с),
М(х; у; г). Тогда расстояние [йГЛГ| равно
\КМ\ = 7(х - а)2 + (р - 6)2 + (z- с)2.
Следовательно, характеристическое свойство (3) для точек
М этого шара в координатах равносильно неравенству
(х - а)2 + (у - Ь)2 + (г - с)2 < R2. (4)
156 I Глава 7
Координатный метод в пространстве
Неравенству (4) удовлетворяют координаты х, у, г любой
точки М(х; у; г) шара с центром К(а; Ь; с) и радиусом Я и не
удовлетворяют координаты ни одной из точек пространства,
не принадлежащих этому шару. Это говорит о том, что нера-
венство (4) задает в системе координат Охуг шар с
центром (а; &; с) и радиусом R.
Заметим, что не всякое уравнение вида f(x, y,z) = 0 задает по-
верхность. Например, уравнение х2 + (у + 2)2 + (г - I)2 = 0 задает
единственную точку А(0; -2; 1); уравнение х2 + у2 = 0 задает пря-
мую — ось аппликат; уравнение ((х - З)2 + у2 + г2) • х = 0 задает
плоскость Oyz и точку М(3; 0; 0).
Подумайте, какие поверхности определены уравнениями:
• г/ = 0;
• х = -5;
• z2 + 4г + 4 = 0;
♦ г*х = 0;
• г2 - 4г = 0;
• Ё0 х2 + у2 = 9. 83
25.2. Уравнение плоскости
Пусть даны точка М0(х0; у0; г0) и ненулевой вектор Я(А; В; С)
(Я б, то есть А2 + В2 + С2 0). Тогда через точку Af0 прохо-
дит только одна плоскость (рис. 214), для которой вектор Я яв-
ляется перпендикулярным. Обозначим эту плоскость а (она .
однозначно определяется точкой Мо и вектором нормали Я).
Для вывода уравнения плоскости а определим то свойство,
которым обладают лишь точки плоскости а по отношению
к точке Мо и вектору Я.
Так как Я ± а, то вектор Я перпендикулярен любому вектору
плоскости а. Поэтому, если М(х; у; г) —
произвольная точка плоскости а, то
_ ----------------------->
п ± М0М. Это означает, что скалярное
_ ------------------------->
произведение векторов п и М0М равно 0:
Я-М0М = 0. (1)
Равенство (1) выражает характеристиче-
ское свойство точек плоскости а (не- -
обходимое и достаточное условие
Рис. 214
157
§ 25. Задание фигур уравнениями и неравенствами
принадлежности точки М плоскости а); для любой точ-
ки М пространства, не принадлежащей плоскости а, условие
> >
п • MQM = 0 не выполняется, так как векторы п и MQM не пер-
пендикулярны.
Равенство (1) называют векторным уравнением плос-
кости а (или уравнением плоскости а в векторной форме).
----> --------------------->
Так как вектор MQM имеет координаты: MQM(x - х0;
у - yQ; z - z0), то векторное уравнение (1) плоскости принима-
ет в координатной форме вид:
A(x - х0) + В(у - у0) + C(z - z0) = 0. (2)
Уравнение (2) называется уравнением плоскости по
точке и вектору нормали.
Раскрывая скобки в левой части уравнения (2) и обозначая
D = -<Ах0 + Ву0 + Сг0), получим уравнение
Ах + By + Cz + D = 0, (3)
которое называется общим уравнением плоскости.
В общем уравнении (3) плоскости коэффициенты А, В, С
являются координатами ненулевого вектора п, поэтому
А2 + В2 + С2 * 0, (4)
(иначе говоря, коэффициенты А, В и С не равны нулю одно-
временно).
Таким образом, любой плоскости а пространства в системе
прямоугольных координат Oxyz соответствует линейное
уравнение Ах + By + Cz + D = 0 с тремя переменными х, у,
z при условии А2 + В2 + С2 * 0.
Справедливо обратное утверждение: любое уравнение вида
(3) при условии (4) является в системе прямоугольных коор-
динат Oxyz уравнением некоторой плоскости.
В самом деле, уравнение (3) имеет бесконечное множество
решений. Пусть (х0; i/0; z0) — какое-нибудь одно из них. Тогда
справедливо равенство
Ах0 + Вуц + Czq + D = 0. (5)
Вычитая из уравнения (3) равенство (5), получаем уравнение
А(х - х0) + В(у - у0) + C(z - z0) = О.
158 | Глава 7
Координатный метод в пространстве
Это уравнение является уравнением плоскости, которая
проходит через точку (х0; у0; z0) перпендикулярно вектору
п(А; В; С) и, следовательно, является единственной.
Таким образом, нами доказана
Теорема 37. Каждое уравнение первой степени Ах +
+ By + Cz + D = О при условии А2 + В2 + С2 О зада-
ет в прямоугольной системе координат Oxyz единст-
венную плоскость, для которой вектор п(А; В; С) яв-
ляется вектором нормали.
Итак, все векторы, перпендикулярные плоскости Ах + By +
+ Cz + D = 0, имеют координаты (ЛА; kB; kC) (k 0); коорди-
наты (а; Ь; с) любого вектора, параллельного этой плоскости,
удовлетворяют условию: a‘A + b'B + c’C = 0.
Из вышесказанного следует, что две плоскости
а: Агх + Вгу + Crz + D1 = Q и Р: А2х + В2у + C2z + D2 = 0
— совпадают, если существует такое число k, что
B1 = k'B2,
Cl = k- С2,
Dl = k- D2;
— параллельны, если существует такое число k, что
Aj = Л • Alt
В-^= k* В2,
Сг = k- с2,
В1^к,В2.
В остальных случаях плоскости пересекаются.
Угол между двумя плоскостями аир, заданными уравне- ,
ниями соответственно Агх + Вгу + Сгг + D1 = Q и. А2х + В2у +
+ C2z + D2 = 0, удобно связать с углом между векторами их
нормалей пг(Ау\ Вг; Сг) и п2(А2; В2; С2) (рис. 215). Именно,
cos Z (а; Р) = |cos Z (пх; п2)| =
|AjA2 + В^В2 + С^С2|
7а2 + в? + с? • ДГ^вГ+ci'
В частности, равенство At • А2 + • В2 + Сх • С2 = 0 выра-
жает необходимое и достаточное условие перпендикулярности
плоскостей а и р.
I 159
§ 25. Задание фигур уравнениями и неравенствами
Рис. 215
Общее уравнение плоскости (3) называется полным,
если все его коэффициенты А, В, С и D отличны от ну-
ля. Если хотя бы один из указанных коэффициентов равен ну-
лю, уравнение называется неполным.
Рассмотрим все возможные виды неполных уравнений
плоскости а.
1) Если А О, В 5^ О, С * О, D = 0, то уравнение примет вид:
Ах + By + Cz = 0. Убедитесь, что плоскость а проходит через
начало координат (рис. 216).
2) Если А = О, В О, С и О, D 0, то уравнение имеет вид:
By + Cz + D = О. В этом случае вектор п(0; В; С) перпендику-
лярен координатной оси Ох, а плоскость а не проходит через
начало координат и параллельна оси Ох (рис. 217).
Аналогично, в случае равенства нулю только одного из ко-
эффициентов В или С в уравнении (3), плоскость а параллель-
на (почему?) соответственно оси Оу (рис. 218) или оси Ог.
3) Если А = О, В = О, С О, D и 0, то плоскость имеет урав-
нение Cz + D = 0; она не проходит через начало координат и
Рис.216
Рис.217
Рис.218
160 | Глава 7
Координатный метод в пространстве
параллельна координатной плоскости Оху (так как она парал-
лельна осям Ох и Оу) (рис. 219).
Аналогично убедитесь, что если В = О, С = О, А О, D О
или А = О, С = О, В О, D 0, то плоскость а имеет соответ-
ственно уравнение Ах + D = 0 или By + D = 0, при этом она
параллельна координатной плоскости соответственно Оу г или
Охг (рис. 220).
4) Если А 0, В = С = D = 0, то плоскость а имеет уравне-.
ние Ах = 0 или х = 0; плоскость а проходит через начало ко-
ординат и параллельна осям Оу и Ог. Это означает, что урав-
нением х = О задана координатная плоскость Oyz. Аналогия -
но, уравнением у = О задается координатная плоскость Охг, а
уравнением z = О — координатная плоскость Оху (рис. 221). *
Пусть теперь А и О, В О, С О, D 0. Тогда плоскость а не
проходит через начало координат и не параллельна ни одной
из координатных осей, значит, она пересекает каждую из них
(рис. 222).
Рис. 221
Рис.222
I 161
§ 25. Задание фигур уравнениями и неравенствами
Найдем точки пересечения этой плоскости с координатны-
ми осями.
Для определения точки ее пересечения с осью Ох преобра-
зуем уравнение Ах + By + Cz + D = 0 к виду
* , У , 2
а Ь с
(4а)
D . D D „
где a = --т ,Ъ = - р, с = - . Тогда, решая систему уравнении
л -О О
-+%+-=!, у = 0, z = 0
a b с &
(ось Ох — прямая пересечения координатных плоскостей Оху
и Oxz задана системой уравнений у = 0, z = 0), получим: плос-
кость а пересекает ось Ох в точке с координатами х = а, у = 0,
z = 0, то есть в точке (а; 0; 0).
Аналогично рассуждая, получим: плоскость а пересекает
координатные оси Оу и Oz соответственно в точках (0; Ь; 0) и
(0; 0; с).
Сравнивая числа а, & и с в уравнении (4а) плоскости а и ко-
ординаты точек ее пересечения с координатными осями, при-
ходим к выводу: числа |а|, |&| и |с| равны длинам отрезков, ко-
торые отсекает плоскость на осях Ох, Оу и Oz соответственно.
Поэтому уравнение (4а) называется уравнением плоскос-
ти «в отрезках». Этим уравнением часто пользуются при
изображении плоскости относительно системы координат,
когда эта плоскость задана своим общим уравнением (рис.
222).
ЗАДАЧА 7.085. Составьте уравнение плоскости, проходящей
через точки: а) Р(2; 0; 0), 2f(0; 2; 0), Н(0; 0; 2); б) Р(2; -1; 2),
К(1; -2; 3), Щ-1; 2; 0).
Решение, а) Воспользуемся уравнением плоскости в отрезках.
В нашем случае а = Ъ = с = 2, поэтому уравнение плоскости
РКН запишется в виде £ + □ + 5 = 1 или x + y + z- 2 = 0.
б) Пусть плоскость а = (РКН) имеет уравнение
Ах + By + Cz + 0 = 0. (1)
Чтобы составить уравнение плоскости а, нужно найти коэф-
фициенты А, В, С и свободный член D. Для этого используем
условие принадлежности точекР,КъН плоскости а. Так как
11-3163
162 | Глава 7
Координатный метод в пространстве
точки Р, К и Н принадлежат плоскости а, то их координаты
удовлетворяют уравнению (1), то есть
Р(2;-1; 2) е а => А-2 + В • (-1) + С • 2 + D = О,
К(1; -2; 3) е а => А • 1 + В • (-2) + С • 3 + D = О,
£Г(-1; 2; 0) е а => А-(-1) + В • 2 + С • 0 + D = 0
или
2А - В + 2С + D = 0,
А - 2В + ЗС + D = О,
-А + 2В + D = 0.
Решая эту систему уравнений, выразим коэффициенты А, В
Л D ТЭ 2D y-j- 7^ Л
и С через D: А = -77 , В = —z- , С = —у- . Полагая D = -9, име-
У У о
емА=1,В = 5,С = 6. Подставив найденные значения А, В и
С в уравнение (1), получаем искомое уравнение плоскости
РКН: х + 5у + 6z - 9 = 0.
25.3. Прямая в пространстве в координатах
Вектор AM называется направляющим вектором
прямой I, если отрезок AM параллелен прямой I или лежит
на ней (в таком случае также говорят, что вектор AM парал-
лелен прямой Z).
а) Задание прямой точкой и направляющим вектором
Пусть в прямоугольной системе координат Oxyz заданы
точка М0(х0; i/0; z0) и ненулевой вектор р(а; &; с). Через точку
Мо проходит лишь одна прямая, для которой вектор р являет-
ся направляющим (рис. 223). Обозначим эту прямую I и соста-
вим ее уравнение.
Для любой точки М(х; у9 z) прямой I (в отличие от точек
----------------------------------------------->
вне прямой I) характерным является то, что вектор MQM кол-
линеарен вектору р, то есть
---->
MQM = tp, где t g R. (1)
При каждом значении параметра t
получается определенная точка М пря-
мой Z, в частности, при t = 0 получаем
«начальную» точку Мо этой прямой.
Соотношение (1) называется пара-
метрическим уравнением пря-
мой в векторной форме.
I 163
§ 25. Задание фигур уравнениями и неравенствами
------------------>
Так как вектор MQM имеет координаты (х- х0; у -уQ*, z- z0),
то векторное уравнение (1) прямой равносильно системе урав-
нений
х = х0 + ta,
y = yQ + tb, (2)
Z = Zq + tc,
которые называются параметрическими уравнениями
прямой в координатной форме (а2 + Ь2 + с2 0).
Выражая из каждого уравнения системы (2) параметр t и
приравнивая эти значения, получаем
a b с ’
Равенства (3) называются каноническими уравнениями
прямой, в которых числа а, Ъ, с — координаты направляю-
щего вектора р данной прямой.
В равенствах уравнений (3) выражается в координатной
------------------------------------------>
форме условие коллинеарности векторов р и MQM. Поэтому в
случае, если одна или две координаты направляющего векто-
ра прямой равны нулю, то в уравнениях вида (3) этой прямой
могут равняться нулю соответственно один или два (но не
три!) знаменателя. Такая форма записи канонических уравне-
ний прямой верна и, следовательно, допустима. Например,
канонические уравнения координатной оси Ох можно запи-
х у z
сать в виде: у q = б •
Уравнения прямой, проходящей через точку А(2; -1; 3) па-
раллельно вектору р(1; -2; 0,5), имеют вид:
IX = 2 + t,
У = -1 - 2t, t g R.
z = 3 + 0,5£;
При t = -2 получаем точку M(0; 3; 2), лежащую на данной
прямой.
Тогда эту прямую можно задать так:
х = 0 + t,
у = 3 - 2t, t g R.
z = 2 + 0,5t;
11*
164 J Глава 7
Координатный метод в пространстве
Заметим, что параметр в уравнениях прямой можно обозна-
чать любой буквой (например, t или и).
Более того, если в качестве направляющего вектора данной
прямой взять вектор q, коллинеарный вектору р, например,
q = -2р, то есть д(-2; 4; -1), то уравнения прямой примут вид:
х = -2и,
• у = 3 + 4и, и g R.
z = 2-tr,
Если в одной задаче даны две различные прямые, то в их
уравнениях параметры обозначают обычно разными буквами.
Например, при исследовании взаимного расположения двух
прямых
X = и,
у = 3 - и, ие R
z = 3;
и
х = -5 + 3t,
у = 2, t g R
z =-17 + ПИ;
рассматривается система
[-5 + 3t = и,
2 = 3 - и,
-17 + 10t = 3.
Ее решение позволяет сделать вывод, что данные прямые
имеют единственную общую точку (1; 2; 3), которая получает-
ся при и = 1 для первой прямой и при t = 2 для второй пря-
мой. Если бы в уравнениях этих прямых параметр был обозна-
чен одной и той же буквой, то эту задачу не удалось бы ре-
шить.
б) Угол между прямыми в координатах
Пусть прямые а и Ъ имеют направляющие векторы
р-^а^, а2; а3) и p2(&v Ъ2\ Ь3) и заданы параметрическими урав-
нениями соответственно
х = х1 + аг1,
У = У1 + a2t, и
г = zx + a3t
х = х2 + bxt,
У = У2 + Ь2*>
z == z2 “I-
Обозначим: (р = Z (а; &), у = Z (р х; р 2). Так как угол у меж-
ду векторами изменяется в промежутке [0°; 180°], а угол (р
§ 25. Задание фигур уравнениями и неравенствами
между прямыми — в промежутке [0°; 90°] (п. 12.1), то либо
Ф = V (рис. 224, а), либо ф + \|/ = 180° (1>ис. 224, б). Учитывая,
что cos ф > 0 при ф е [0°; 90°], получаем cos ф = |cos \|/|. Это оз-
начает, что косинус угла между прямыми может быть найден
с помощью формулы:
I I |₽1 ‘-Pzl
cos ф = |cos \|/| = J-L или в координатном виде
|Р1| ’|Р2|
l&i&i 4" ЛпЬп + &о&о|
cos <р = '- Л 2 2 ». 3|... - . (4)
7а? + + а| • 7&2 +
Учитывая условия коллинеарности и перпендикулярности
двух ненулевых векторов, мы получаем в координатном виде
условия параллельности и перпендикулярности двух
прямых в пространстве*.
или
а^ и • а2,
Ьг = и*Ь2, где и е R.
сг = и • с2;
а ± Ъ <=> a^bi + а2Ь2 + аз^з = (®)
в) Уравнения прямой, проходящей через две данные точки
Пусть в системе координат Oxyz заданы две точки:
М1(х1; 1/х; Zj), М2(х2; у2; z2). Прямую, проходящую через точ-
ки Мх и М2, обозначим I и составим ее уравнения. Для этого
воспользуемся уравнениями (3).
------------->
Вектор MtM2 примем в качестве направляющего вектора пря-
мой I, а точку Мх — в качестве ее «начальной» точки (рис. 225).
166 | Глава 7
Координатный метод в пространстве
Рис. 225
Направляющий вектор имеет коорди-
------->
наты: М1М2(х2 - хх; у2 - yr; z2 - 24). По-
этому a = х2 - х19 Ъ = у2 - у19 с = z2 -
— zv Тогда, заменив в уравнениях (3)
координаты точки Мо одноименными
координатами точки М19 а вместо а, Ъ
и с подставив указанные выше их зна-
чения, получаем уравнения
х - хг _ у - уг _ z - zr
х2 - *1 У2 - У1 z2 “ Z1 ’
(7)
или
х = xt + t(x2 - xt),
У = У1 + Цу2 ~ У1)’ гДе * е R,
2 = zx + t(z2 - ад
которые называются уравнениями прямой по двум ее
точкам (см. замечание к (3)).
ЗАДАЧА 7.140. Составьте уравнения прямой, проходящей че- •
рез точки .4(1; -2; 3) и В(2; 1; 5).
Решение. Пусть .4(1; -2; 3) — «начальная» точка прямой I =
= АВ, а 4В(1; 3; 2) — ее направляющий вектор. Тогда пара-
метрические уравнения (2) прямой I имеют вид:
х = 1 + t,
у = -2 + St, (*)
z = 3 + 2t.
Уравнения (4) прямой I по двум ее точкам имеют вид
х -1 у + 2 г - 3 х -1 у + 2 г - 3
2-5 1+2 “И — “ 3-------------2~' <**>
Заметим, что уравнения (**) являются каноническими
уравнениями прямой I.
г) Прямая как линия пересечения двух плоскостей
Если прямая а является линией пересечения двух плоскос-
тей а и р, заданных уравнениями соответственно Агх + Вху + '
+ Cxz + .Dj = 0 и А2х + B2i/ + C2z + Z>2 = 0, то координаты х, у, 2
| 167
§ 25. Задание фигур уравнениями и неравенствами
любой точки М прямой а удовлетворяют уравнениям этих
плоскостей, то есть удовлетворяют системе уравнений
I А^х + Вху + Cxz + = О,
I А2х + В2у + C2z + Z>2 = 0. ' '
В таком случае говорят, что в пространстве прямая а
задается системой двух общих уравнений первого по-
рядка с тремя переменными х, у, г.
Попробуйте сами рассмотреть прямую, заданную системой
уравнений
ix + i/ + 2z + 3 = 0,
\х-у + z = 0
и убедиться, что ее параметрические уравнения имеют вид:
3,о
х = - + Зи,
3 , D
у = - о + и, где и е R.
Л
г = -2и;
25.4. Взаимное расположение прямой
и плоскости в координатах
Условие параллельности прямой I:
х = х0 + ta,
y = y0 + tb,
2 = Zo + tC
и плоскости a: Ax + By + Cz + D = 0 следует из условия орто-
гональности направляющего вектора р(а; Ь; с) прямой I и век-
тора п(А; В; С) нормали к плоскости а. Это означает: прямая I
и плоскость а параллельны тогда и только тогда, когда
Аа + ВЬ + Сс = О. В противном случае прямая и плоскость
пересекаются. В частности, если векторы р(а; Ъ; с) и п(А; В; С)
коллинеарны, то плоскость а перпендикулярна прямой I.
Угол между прямой и плоскостью можно найти, используя
угол между направляющим вектором р(а; Ь; с) прямой I и век-
тором п(А; В; С) нормали к плоскости а (рис. 226):
sin Z (Z; a) = |cos Z (p; n)| =
______\aA + bB + cC|__
7a2 + b2+c2- Ja2 + B2+C2’
168 I Глава 7
Координатный метод в пространстве
Пусть в системе координат Oxyz плоскость а и прямая I за-
даны уравнениями:
(а) Ах + By + Cz + D = 0, (1) х = х0 + a^t,
(Z) y = y0 + a2t, (2) z = z0 + a3t
и пересекаются в некоторой точке К (рис. 227).
Как же найти координаты точки К, зная уравнения плос-
кости а и прямой Z? Ответ на этот вопрос помогают найти сле-
дующие рассуждения.
Так как точка К принадлежит и прямой Z, и плоскости а, то
координаты этой точки должны удовлетворять уравнениям
(1) и (2), то есть искомая тройка чисел х, у, z является реше-
нием системы уравнений:
Ах + By + Cz + Z> = О,
х = х0 +
У = Уо +
z = zQ + a3t.
Каждому значению параметра t соответствует некоторая
единственная точка прямой Z. Найдем то значение параметра t,
при котором точка прямой Z является
точкой пересечения этой прямой и плос-
кости а: в первое уравнение системы (3)
вместо х, у, z подставим их выражения
из (2), после чего получаем уравнение
А(х0 + axt) + B(yQ + a2t) + C(z0 + a3t) +
+ D = 0 относительно параметра t, из
которого находим:
169
§ 26. Расстояние от точки до плоскости в координатах
~(Ах0 + Ву0 + Сг0 +D)
t =---------------------это значение параметра t, соот-
Ааг + Ва2 + Са3
ветствующее той точке прямой I, в которой она пересекает плос-
кость а. Подставив в (2) найденное значение t, получим иско-
мые координаты точки пересечения прямой I и плоскости а.
Замечание. Так как по условию прямая I и плоскость а пе-
ресекаются, то Ааг + Ва2 + Са3 0. Это является следствием
неперпендикулярности направляющего вектора p(av а2’> аз)
прямой I и вектора нормали Я(А; В; С) к плоскости а.
ЗАДАЧА 7.141. Найдите точку пересечения прямой I:
х = 1 - 2i,
у = 2 + 3*,
г = -1 + t
и плоскости а: х + у + 2г - 3 = 0.
Решение. Обозначим К = I п а. Координаты точки К удовлет-
воряют уравнениям прямой I и плоскости а, поэтому являют-
ся решением системы уравнений
x + i/ + 2z-3 = 0,
х = 1 - 2t,
y = 2 + 3t,
2 = -1 + t.
Подставив в уравнение х + у + 2г - 3 = 0 вместо х, у, г их
выражения через t, имеем (1 - 2t) + (2 + 3i) + 2(-1 + t) - 3 = 0,
2 2
откуда t = «. При t = о получаем координаты точки К:
о о
, _ 2 1 о , о 2 . , , 2 1
х = 1 - 2 • g = -g, у = 2 + 3 • g = 4; г = -1 + , то есть
k(-~ ; 4; V Проверьте, что точка К является искомой.
\ О о /
Ответ: (-1; 4; ).
§ 26. Расстояние от точки до плоскости
в координатах
Напомним, что расстояние от данной точки Мо до плоскос-
ти а равно длине перпендикуляра МОМР опущенного из точ-
ки Мо на плоскость а (рис. 228).
170 j Глава 7
Координатный метод в пространстве
Проведем через точку М0(х0; у0; z0), не
лежащую на плоскости а, прямую h, пер-
пендикулярную а. Так как вектор нормали
плоскости а является направляющим век-
тором прямой h, то для поиска координат
х1» У1» 2i точки Мг пересечения прямой h и
плоскости а достаточно, как и в предыду-
щем параграфе, решить систему уравне-
ний относительно параметра t:
Ах + By + Cz + D = О,
х = х0 + At,
y = y0 + Bt,
z = z0 + Ct.
Решением этой системы является
-(Ах0 + Ву0 + Cz0 + D) ~(Ах0 + Ву0 + Cz0 + D)
А-А + В-В + С-С ~ А2+В2+С2 > что по-
зволяет нам найти искомые координаты точки пересечения
прямой h и плоскости а:
х1 = х0+А^0,
У1 = У о + Bt0’
zl = Zq + Ct0.
Тогда находим длину отрезка MqMv равную искомому рас-
стоянию d от точки Мо до плоскости а:
d = lAfoMj = 7(^i “ *о)2 + (У1 ~ Уо)2 + (г1 “ го)2 =
= J (At 0~)2 + (В*о)2 + (С<о)2 = koi 7А2+В2 + С2 =
|Ах0 + Ву0 + Cz0 + D\ , _ |Ах0 + Ву0 + Cz0 +1>|
- ЛЗ+ВЗ+С* +В +С - JA: + B* + C* -
Если точка Мо лежит на плоскости, то Ах0 + ByQ + CzQ +
+ D = 0 и искомое расстояние равно нулю, что также следует из
полученной формулы
d = 1^*0 + Вур + Cz0 + д|
7а2 + в2 + с2
171
§ 26. Расстояние от точки до плоскости в координатах
Расстояние от начала координат 0(0; 0; 0) до плоскости а
равно
|Р|
7-4 2 + В2 + С2 *
Приведем еще один способ рассуждений.
Расстояние от точки MQ до плоскости а обозначим: d =
= |Af0; а| = |Af0Af1|, где точка Мг — основание перпендикуля-
ра, опущенного из точки Мо на плоскость а (рис. 228).
Пусть в системе координат Oxyz плоскость а задана уравне-
нием
Ах + By + Cz + D = 0, (1)
точки Мо и Мг имеют координаты: M0(xQ; у0; z0), М 1(х1; yt;
Заметим, что
Мг е а ^Ахг + Вуг + Сгг + D = 0. (2)
----->
Вектор Af1Af0(x0 - хг; у0 - yt; z0 - zt) и вектор нормали
п(А; В; С) плоскости а коллинеарны, так как каждый из них
перпендикулярен плоскости а, поэтому
п • Мгм\ = |п| • • (±1) = ±d • |n|;
_ ------> _ ----------------->
(+1, если n ft - 1, если n fl Af1Af0).
Тогда
|M0; a| = d = |M01 = !--^-2- =
Я
= |A(x0 - xx) + B(y0 - yx) + C(z0 - zx)[
Ta2 + b2 + c2
Раскроем в числителе скобки и, пользуясь соотношением
(2), заменим выражение -Ахг - Вуг - Сгг числом D. Полу-
чаем
|Ах0 + Ву0 + Cz0 + D|
a — .— .
Ja2 + в2 + с2
172 ] Глава 7
Координатный метод в пространстве
Сравните два приведенных способа рассуждений и выберите
для себя наиболее приятный.
ЗАДАЧА 7.182. Найдите расстояние от точки К(1; -2; 3) до
плоскости Зх + 2у - 6г + 5 = 0.
Решение. Находим координаты вектора нормали п плоскости:
п(3; 2; -6). Тогда
d = |3 • 1 + 2 • (-2) + (-6) • 3 + 5| = |-14| = 2
л/з2 + 22 + (-6)2 7
Ответ: 2.
ЗАДАЧА 7.183. Найдите множество точек, равноудаленных от
плоскостей 2х + 2у - z - 3 = 0 и Зх + 4у + 12г - 13 = 0.
Решение. Пусть точка М(х; у; г) равноудалена от данных
плоскостей, тогда
|2х + 2у-г-3| = |3х + 4у+ 12z - 13|
л/22 + 22 + (-1)2 л/32 + 42 + 122
|2х + 2у - г - 3| |3х + 4u + 12з - 13|
то есть------%----- =-------.
Данное уравнение распадается на совокупность двух урав-
нений
2х + 2у - z - 3 _ Зх + 4у + 12z - 13
3 “ 13
2х + 2у - 2 - 3 Зх + 4у + 12з - 13
или -------\----------------.
После упрощения получим уравнения двух плоскостей
17х 4- 14i/ - 49z = 0 и 35х 4- 38 г/ 4- 23z - 78 = 0.
Подумайте, почему эти плоскости получились вза-
имно перпендикулярными и как они связаны с дан-
ными в задаче плоскостями.
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
Изображение фигур в параллельной проекции
§1.06 изображениях фигур в параллельной проекции
Зачастую при решении стереометрических задач возникают
затруднения, в значительной степени по той причине, что по
условиям этих задач строятся неверные или верные, но не на-
глядные изображения (рисунки (чертежи)) фигур.
В школьном курсе геометрии изображения фигур на плос-
кости обычно осуществляются с помощью метода параллель-
ного проектирования, сущность которого была рассмотрена
нами ранее в § 12.
Теперь мы приступаем к рассмотрению некоторых вопросов
теории изображений фигур (плоских и неплоских) при помо-
щи параллельного проектирования этих фигур на плоскость
изображения (плоскость проекций).
Напомним, что фигуру, которую проектируют или
изображают, называют оригиналом, а фигуру, которая
получается на плоскости проекций (или плоскости изобра-
жения) при проектировании данного оригинала, называют
параллельной проекцией этого оригинала (этой фигу-
ры). Обычно для построения проекции данной фигуры строят
проекции тех точек фигуры, которые ее
определяют.
В дальнейшем изображения фигур бу-
дут осуществляться только с помощью
параллельного проектирования, поэто-
му вместо слов «параллельная проекция
фигуры» будем говорить просто «проек-
ция фигуры».
Прямую I (рис. 229—233), в направле-
нии которой проектируют фигуры на
174 | Глава 7
Дополнительный материал
б)
а)
Рис. 230
плоскость проекций л, и все прямые пространства, параллель-
ные ей, называют проектирующими прямыми. Прямая I
задает направление проектирования; она выбирается пересе-
кающей плоскость проекций л. Любая плоскость, параллель-
ная проектирующей прямой, называется проектирующей
плоскостью.
При построении изображений фигур на плоскости мы будем
использовать следующие свойства параллельного проектиро-
вания, которые также рассматривались нами в § 12.
1. Проекция прямой есть прямая (рис. 229) или точка1.
2. Две параллельные прямые проектируются либо в две па-
раллельные прямые (рис. 230, а), либо в одну и ту же прямую
(рис. 230, б).
3. Проекции параллельных отрезков лежат либо на параллель- ,
ных прямых (рис. 231, а), либо на одной прямой (рис. 231, б).
4. Отношение длин отрезков, лежащих на одной прямой
(рис. 232, а) или на параллельных прямых (рис. 232, б), равно
отношению длин проекций этих отрезков.
Рис. 231
1 В дальнейшем мы будем обсуждать, как правило, проекции пря-
мых, не параллельных проектирующей прямой (см. § 12).
| 175
Изображение фигур в параллельной проекции
б)
Рис. 232
В частности, середина отрезка-оригинала проектируется в
середину проекции этого отрезка (рис. 233).
Фигура, подобная любой параллельной проекции данной
фигуры Ф на данную плоскость л, называется изображени-
ем данной фигуры Ф на этой плоскости я.
Из этого определения следует, что непосредственно парал-
лельная проекция данной фигуры является ее изображением.
Но так как плоскость изображения и направление проектиро-
вания выбираются произвольно, то проекции некоторых фи-
гур могут оказаться «неудобно расположенными» на плоскос-
ти изображения, иметь очень малые или, наоборот, очень
большие размеры. Поэтому в качестве изображения фигуры
на плоскости принимают не только саму проекцию данной фи-
гуры на эту плоскость, но и любую фигуру плоскости изобра-
жения, подобную параллельной проекции оригинала. При
этом к изображениям (рисункам, чертежам), выполненным в
средней школе, предъявляются следующие требования:
1. Изображение должно быть верным, то есть должно пред-
ставлять собой фигуру, подобную параллельной проекции
оригинала. Иначе говоря, по верному
с» изображению можно представить реаль-
Жно существующую фигуру-оригинал. (Ве-
роятно, многим из вас знакомы картины
художникам. Эшера с «изображениями»
несуществующих в реальности фигур.)
2. Изображение должно быть нагляд-
ным, то есть должно вызывать простран-
------------------ ственное представление о форме оригина-
Рис. 233 ла. Иначе говоря, наглядность — это
176 | Глава 7
Дополнительный материал
способность изображения вызывать зрительное впечатление,
наиболее сходное с тем, какое вызывает геометрическая фор-
ма оригинала.
На рисунке 234 даны изображения куба. Однако верным
и наглядным является изображение куба на рисунке 234, г.
На рисунке 234, а и б изображение верно, но ненаглядно;
на рисунке 234, в изображение неверно, так как не выделе-
ны штриховыми линиями невидимые ребра куба. Вместе
с тем, изображение на рисунке 234, в можно считать и вер-
ным, и наглядным, если на нем изображена каркасная модель
куба.
В курсе черчения наглядным изображением фигуры
служит аксонометрическая проекция этой фигуры. ИЙ
3. Изображение должно быть быстро и легко выполни-
мым, то есть правила, по которым строится изображение,
должны быть максимально просты.
Следует заметить: если верность изображения является
строго определяемым понятием, то «наглядность» и «легкая
выполнимость» изображения — субъективные понятия.
Так как грани многогранника — многоугольники, то сна-
чала рассмотрим вопрос об изображениях плоских много-
угольников, в частности, правильных многоугольников. При
этом в дальнейшем будем считать, что плоскости, содержащие
изображаемые фигуры, не являются проектирующими —<
в противном случае проекцией многоугольника служит от-
резок.
LJ77
Изображение фигур в параллельной проекции
§ 2. Изображение плоских фигур
в параллельной проекции
2.1. Изображение окружности и многоугольников
а) Изображение окружности
Если данная окружность расположена в плоскости, которая
параллельна плоскости проекций л, то на основании свойств па-
раллельного проектирования проекцией данной окружности на
плоскость л является окружность, равная данной (рис. 235, а).
Если же данная окружность расположена в плоскости а, ко-
торая не параллельна плоскости проекций л, и проектирую-
щие прямые пересекают плоскость а, то проекцией данной ок-
ружности на плоскость л является кривая, которую называют
эллипсом (рис. 235, б).
Из сказанного следует, что окружность является частным
случаем эллипса. А так как середина отрезка проектируется в
середину его проекции, то проекцией центра окружности
(центра ее симметрии) является точка, в которой делится по-
полам любой проходящий через нее отрезок с концами на эл-
липсе. Значит, эта точка является центром симметрии эл-
липса и называется центром эллипса; любой отрезок с кон-
цами на эллипсе, проходящий через его центр, называется
диаметром эллипса. Таким образом, центр и диаметр ок-
ружности проектируется в центр и диаметр эллипса.
В дальнейшем будем считать, что центр данного эллипса
дан.
Эллипс используется при изображениях на плоскости фи-
гур вращения — цилиндров, конусов и усеченных конусов,
сфер и шаров, шаровых сегментов и секторов, а также шаровых
слоев, о чем речь пойдет во второй части нашего учебника —
в 11 классе.
0-1 до
Рис.235
178 | Глава 7
Дополнительный материал
б) Изображение треугольника
Изображения плоских фигур в параллельной проекции ос-
нованы на следующих двух теоремах об изображении тре-
угольника.
Теорема 1 (теорема об изображении треугольника). Лю-
бой треугольник АВС может служить изображением
любого треугольника А'В'С'.
Доказательство. Пусть в плоскости изображения л дан
треугольник АВС, а в пространстве — треугольник А'В'С'.
Покажем, что треугольнику А'В'С' можно придать в про-
странстве такое положение относительно плоскости л и вы-
брать при этом такое направление проектирования, что проек-
цией треугольника А'В'С' будет треугольник, подобный тре-
угольнику АВС. Тогда посредством преобразования подобия
полученный треугольник-проекцию можно преобразовать в
треугольник АВС, то есть А АВС можно считать изображени-
ем А А'В'С'.
Действительно, построим в плоскости л треугольник
ApBiCi так, чтобы: а) отрезки А^В^ иА'В' были равны; б) тре-
угольник А1В1С1 был подобен треугольнику АВС. При этом
плоскость треугольника А'В'С' расположим таким образом от-
носительно плоскости л, чтобы сторона А'В' совместилась со
стороной АуВ-^ и плоскости АВС и А'В'С' не совпадали (рис.
236). Тогда при параллельном проектировании в направлении
прямой С'СХ проекцией треугольника А'В'С' служит треуголь-
ник А1В1С1, подобный треугольнику АВС. Это означает, что
треугольник АВС — искомое изображение треугольника
А'В'С'.
Из приведенного доказательства следует вывод: изображе-
нием данного треугольника (в частности, как равнобедрен-
Рис. 236
179
Изображение фигур в параллельной проекции
ного, так и равностороннего) может быть произвольный тре-
угольник (треугольник произвольной формы). Это означает,
что длина отрезка и величина угла, вообще говоря, не сохра-
няются при параллельном проектировании.
Имея изображение данного треугольника, можно построить
изображение любой фигуры, содержащей этот треугольник
или лежащей в его плоскости. Сказанное подтверждает
Теорема 2. Если на плоскости изображения л тре-
угольник АВС служит изображением треугольника
А'В'С', то на плоскости те однозначно строится изобра-
жение любой точки плоскости а = (А'В'С').
Доказательство. Пусть М' — произвольная точка плос-
кости а (рис. 237, а). Будем строить изображение точки М'
следующим образом. Луч А'ЛГ пересекает прямую В'С' в точ-
ке К', изображением которой в плоскости те служит такая
точка К прямой ВС, что выполняется условие ВК : КС =
= В'К' : К'С'. Из этого соотношения следует, что точку К на
прямой ВС (рис. 237, б) можно построить (как?), и притом
только одну (почему?). Далее на луче АК можно построить
(каким образом?) такую единственную (почему?) точку М,
что АК : КМ = А'К': К'М'.
Точка М — искомое изображение точки М'.
Смысл и важность теорем 1 и 2 состоит в следующем: при
изображении плоской фигуры в параллельной проекции в
плоскости изображения произвольно строится изображение
трех точек оригинала, не лежащих на одной прямой (трех не-
коллинеарных точек). Изображения остальных точек ориги-
Оригинал Изображение
а) б)
Рис.237
180 | Глава 7
Дополнительный материал
нала (элементов оригинала) не могут быть произвольными, а
строятся с учетом его аффинных свойств. Поэтому алгоритм
построения изображения плоской фигуры таков.
1. Начертить оригинал (с точностью до подобия).
2. Выделить в оригинале какой-либо треугольник.
3. Изобразить этот треугольник произвольным тре-
угольником.
4. Постепенно строить изображения остальных то-
чек (элементов) оригинала, используя лишь его аффин-
ные свойства.
Проиллюстрируем сказанное на конкретном примере.
Пусть данная фигура — плоский пятиугольник A'B'C'D'E'
(рис. 238, а). Построим его изображение в плоскости л.
Выделяем в данном пятиугольнике треугольник АВ'С' (см.
рис. 238, а) и строим в плоскости л произвольный треуголь-
ник АВС (рис. 238, б), приняв его за изображение треуголь-
ника А'В'С'. Далее, проведя диагонали В'Е' и B'D', пересе-
кающие диагональ А'С' пятиугольника A'B'C'D'E', строим на
основании соотношений АК : КС = А К' : К'С' и ВК : КЕ =
= В'К' : К'Е' вершину Е, а на основании соотношений AM :
: МС = AM': М'С' и ВМ : MD = В'М' : M'D' — вершину D.
Тогда пятиугольник ABCDE — искомое изображение данного
пятиугольника A'B'C'D'E'.
ЗАДАЧА 1. Треугольник АВС является изображением пра-
вильного треугольника А В'С'. Постройте изображение центра
окружности, описанной около треугольника А'В'С' (рис. 239).
Решение. Так как при параллельном проектировании центр
окружности, описанной около правильного треугольника-
Рис. 238
| 181
Изображение фигур в параллельной проекции
Рис. 239
оригинала А'В'С', есть точка М' пересечения его медиан А'А^
и В'В{ (которые являются в нем высотами) (рис. 239, а), то
изображением искомого центра является точка М пересече-
ния медиан ААг и ВВг треугольника АВС (рис. 239, б).
ЗАДАЧА 2. Дано изображение окружности со', ее центра О' и
вписанного в нее треугольника А'В'С'. Постройте изобра-
жение точки Н' пересечения высот этого треугольника
(рис. 240).
Решение. Отыскиваем те свойства оригинала, которые сохра-
няются при параллельном проектировании (аффинные свой-
ства оригинала).
Пусть точки К' и L' — середины сторон соответственно А'С'
и В'С' треугольника-оригинала А'В'С' (рис. 240, а). Тогда вы-
Рис. 240
182 | Глава 7
Дополнительный материал
соты А'А{ и В'В[ этого треугольника параллельны соответ-
ственно прямым 0'1/ и О'К' (почему?). Так как середина от-
резка изображается серединой его проекции и параллельные
прямые изображаются параллельными прямыми, то на изобра-
жении (рис. 240, б) строим: 1. Точки К и L — середины сторон
соответственно АС и ВС треуголъъм.к.&АВС. 2. Проводим пря-
мые ААХ и ВВР параллельные прямым соответственно OL и
ОК. Точка Н пересечения прямых ААХ и ВВг является иско-
мой.
в) Изображение параллелограмма и трапеции
Пусть дан параллелограмм A'B'C'D' (рис. 241, а). В частнос-
ти, это может быть ромб, прямоугольник или квадрат.
Так как у параллелограмма противоположные стороны по-
парно равны и параллельны, то на основании свойств парал-
лельного проектирования (каких?) изображением паралле-
лограмма является параллелограмм.
Проведем диагональ А'С' параллелограмма А'В'С'О'. Изо-
бражение треугольника А'В'С' выполним в виде произвольно-
го треугольника АВС (рис. 241, б). Вершину D искомого
параллелограмма ABCD получаем как точку, симметрич-
ную точке В относительно точки О — середины отрезка АС
(ВО : OD = В'О': О'В' =1:1).
Изображение трапеции A'B'C'D' (A'D' || В'С') можно выпол-
нить в такой же последовательности, что и при построении
изображения параллелограмма, то есть сначала построить
произвольный треугольник АВС. Но для построения четвер-
той вершины D трапеции-изображения ABCD необходимо учи-
тывать параллельность оснований трапеции-оригинала и отно-
шение их длин (аффинные свойства трапеции): A'D' || В'С' =>
=> AD || ВС\ ВС : AD = В'С': A'D' (рис. 242).
Рис. 241
| 183
Изображение фигур в параллельной проекции
Рис.242
При этом изображением равнобедренной трапеции А'В'C'D'
(A'D' || В'С') (рис. 243) может служить как равнобедренная
трапеция, так и не равнобедренная, однако середины М' и К'
оснований A'D' и В'С' трапеции A'B'C'D' проектируются соот-
ветственно в середины М и К оснований AD и ВС трапеции
ABCD. Поэтому отрезок МК изображает высоту равнобедрен-
ной трапеции A'B'C'D' (см. рис. 243).
г) Изображение правильного шестиугольника
Рассмотрим оригинал — правильный шестиугольник
A'B'C'D'E'F' (рис. 244, а). Его диагонали A'D' и C'F' делятся
точкой О' — центром симметрии этого шестиугольника —
пополам, а четырехугольники А'В'С'О' и E'F'O'D' — равные
ромбы. Поэтому: 1) изображаем ромб А'В'С'О' в виде произ-
вольного параллелограмма АВСО (рис. 244, б); 2) строим точ-
ки D, Е и F, симметричные точкам соответственно А, В и С
Рис.243
184 | Глава 7
Дополнительный материал
Рис. 244
относительно точки О (середина отрезка-оригинала изобража-
ется серединой его проекции).
Шестиугольник ABCDEF — искомое изображение данного
шестиугольника.
2.2. Изображение многоугольников,
вписанных в окружность
Мы знаем, что при параллельном проектировании ни вели-
чина угла, ни длина отрезка не являются инвариантными, но
параллельные отрезки (прямые) изображаются параллельны-
ми отрезками (прямыми) и середина отрезка-оригинала изо-
бражается серединой отрезка-изображения. Кроме того, три
точки, лежащие на одной прямой, изображаются тремя точ-
ками, также лежащими на одной прямой. Эти свойства фигур
будем использовать при построении изображений многоуголь-
ников, вписанных в окружность.
а) Взаимно перпендикулярные диаметры окружности
Если диаметры А'В' и C'D' окружности со' взаимно перпен-
дикулярны (рис. 245, а), то диаметр А'В' делит пополам хор-
ды, параллельные диаметру C'D', а диаметр C'D' делит попо-
лам хорды, параллельные диаметру А'В'.
Определение. Два диаметра эллипса называются
сопряженными, если каждый из них делит хорды,
параллельные другому, пополам.
Так как середины параллельных хорд окружности со' изо-
бражаются серединами параллельных хорд эллипса со, и точ-
I '°5
Изображение фигур в параллельной проекции
Изображение
а) б)
Рис. 245
ки, лежащие на одной прямой, проектируются в точки, также
лежащие на одной прямой, то взаимно перпендикулярные
диаметры окружности изображаются сопряженными диа-
метрами эллипса. Поэтому для построения изображения диа-
метра C'D' окружности со', перпендикулярного диаметру А'В',
достаточно: 1) провести произвольный диаметр АВ эллипса со
(рис. 245, б); 2) провести любую хорду MN || АВ; 3) построить
середину L хорды MN. Диаметр CD эллипса со, проходящий
через точку L, является искомым.
6) Прямоугольный треугольник, вписанный в окружность
Гипотенуза А'С' прямоугольного треугольника А'В'С', впи-
санного в окружность со' (рис. 246, а), является диаметром
этой окружности. Поэтому для построения изображения тре-
угольника А'В'С' достаточно: 1) провести произвольный диа-
Рис. 246
186 | Глава 7
Дополнительный материал
метр АС эллипса со (рис. 246, б); 2) выбрать произвольную точ-
ку В g со; Д АВС — искомое изображение прямоугольного
треугольника А'В'С'.
в) Квадрат, вписанный в окружность
Диагонали А'С' и B'D' квадрата А'В'С'В', вписанного в ок-
ружность со' (рис. 247, а), являются взаимно перпендикуляр-
ными диаметрами этой окружности. Поэтому для построения
изображения этого квадрата достаточно: 1) провести произ-
вольный диаметр АС эллипса со (рис. 247, б); 2) построить со-
пряженный ему диаметр BD. Параллелограмм ABCD — иско-
мое изображение квадрата А'В'С'В'.
Замечание. Для построения изображения прямоугольни-
ка, вписанного в окружность, достаточно провести два любых
диаметра эллипса. Концы этих диаметров — вершины иско-
мого изображения прямоугольника.
г) Правильный треугольник, вписанный в окружность
Вершина А' правильного треугольника А'В'С', вписанного в
окружность со', является концом диаметра А'В', перпендику-
лярного его стороне В'С' (рис. 248, а). Причем сторона В'С'
проходит через середину Н' радиуса О'В', значит, В'С' || E'F',
где E'F' — диаметр окружности, перпендикулярный диа-
метру А'В'. На основании этих рассуждений строим: 1) произ-
вольный диаметр АВ эллипса со (рис. 248, б); 2) диаметр BF,
сопряженный диаметру АВ; 3) точку Н — середину отрезка
ОВ; 4) хорду ВС, ВС || BF, Н е ВС, Д АВС — искомый.
Рис. 247
187
Изображение фигур в параллельной проекции
Рис. 248
д) Правильный шестиугольник, вписанный в окружность
Вершины В' и Е' правильного шестиугольника A'B'C'D'E’F’,
вписанного в окружность си', являются концами диаметра
В'Е' этой окружности (рис. 249, а); диагональ-хорда А'С' про-
ходит через середину К' радиуса О'В' и параллельна диаметру
M'N', перпендикулярному диаметру В'Е'', диагональ-хорда
1УЕ' проходит через середину L' радиуса О'Е' и также парал-
лельна диаметру M'N'. Поэтому строим: 1) произвольный
диаметр BE эллипса со (рис. 249, б); 2) диаметр MN, сопря-
женный диаметру BE’, 3) точку К — середину ОВ и точку L —
середину ОЕ; А) AC || MN, К е АС; 5) DF || MN, L е DF. Тог-
да ABCDEF — изображение правильного шестиугольника,
вписанного в окружность.
а)
Рис. 249
188 | Глава 7
Дополнительный материал
ЗАДАЧИ
1. Может ли равносторонний треугольник быть параллель-
ной проекцией: а) равностороннего треугольника; б) прямо-
угольного треугольника? Сделайте рисунки. Ответ обоснуйте.
2. Может ли прямоугольный треугольник быть параллель-
ной проекцией: а) равностороннего треугольника; б) прямо-
угольного треугольника? Сделайте рисунки. Ответ обоснуйте.
3. Треугольник АВС является параллельной проекцией тре-
угольника А'В'С'. В треугольнике А'В'С' проведены из верши-
ны А' биссектриса, медиана и высота. Будут ли проекции этих
отрезков являться соответственно биссектрисой, медианой и
высотой треугольника АВС? Ответ обоснуйте.
4. (Устно.) Какие свойства ромба (прямоугольника, квад-
рата, трапеции) являются аффинными? Ответ обоснуйте.
5. (Устно.) Может ли быть изображением: а) данного четы-
рехугольника произвольный четырехугольник; б) трапеции —
параллелограмм; в) квадрата — ромб? Ответ обоснуйте.
6. Треугольник АВС — параллельная проекция прямо-
угольного треугольника. Постройте изображение центра ок-
ружности, описанной около треугольника-оригинала, если
АС — проекция его гипотенузы.
7. Треугольник АВС — параллельная проекция равносто-
роннего треугольника. Найдите в треугольнике АВС изобра-
жения радиусов вписанной и описанной окружностей для рав-
ностороннего треугольника-оригинала.
8. Нарисуйте несколькими способами параллельную проек-
цию: а) параллелограмма; б) правильного шестиугольника.
9. Нарисуйте параллельную проекцию прямоугольника, пос-
ле чего изобразите оси симметрии прямоугольника-оригинала.
10. Нарисуйте параллельную проекцию квадрата, а на полу-
ченном изображении укажите радиусы окружностей, вписан-
ной и описанной для квадрата-оригинала.
11. Нарисуйте параллельные проекции равнобедренной тра-
пеции и ее оси симметрии.
12. В трапеции А'В'С'D' А'В' = В'С' - C'D', A'D' = 2В'С'. На-
рисуйте параллельную проекцию этой трапеции и ее высоты,
проведенной из вершины А'.
13. ABCDEF — параллельная проекция правильного шес-
тиугольника A'B'C'D'E'F'. Постройте изображение перпенди-
куляра, проведенного из вершины А': а) на диагональ C'F';
б) на сторону C'D'', в) на диагональ В'Е'', г) на диагональ А'С'.
189
Изображение фигур в параллельной проекции
14. Треугольник АВС — параллельная проекция треуголь-
ника А'В'С', AM и ВК — изображения высот треугольника
А'В'С'. Постройте изображение центра окружности, описан-
ной около треугольника-оригинала, если этот треугольник:
а) равносторонний; б) равнобедренный; в) разносторонний.
15. Треугольник АВС — параллельная проекция треуголь-
ника А'В'С'. Постройте изображение центра окружности, впи-
санной в треугольник-оригинал, если этот треугольник:
а) равносторонний; б) равнобедренный; в) разносторонний.
16. Начертите параллельную проекцию ромба, имеющего
угол в 60°. Постройте изображение высоты этого ромба, прове-
денной из: а) вершины острого угла; б) вершины тупого угла.
17. Нарисуйте параллельную проекцию равностороннего
треугольника, вписанного в квадрат так, что они имеют общую
сторону и вершина треугольника лежит внутри этого квадрата.
18. Начертите параллельную проекцию квадрата, вписанного
в правильный треугольник так, что две соседние вершины
квадрата лежат на одной стороне треугольника, а остальные его
вершины — по одной на двух других сторонах треугольника.
19. На данном изображении треугольника, длины сторон
которого пропорциональны числам 2, 3, 4, постройте изобра-
жение центра окружности, вписанной в треугольник.
20. Дан эллипс, являющийся параллельной проекцией не-
которой окружности. Начертите изображение: а) центра ок-
ружности; б) касательной к ней в некоторой ее точке; в) опи-
санного около нее равностороннего треугольника; г) описанно-
го около нее квадрата.
21. Даны эллипс со, прямая а и точка М — изображения в
параллельной проекции лежащих в одной плоскости некото-
рых окружности со', прямой а' и точки М'. Постройте изобра-
жение прямой, проходящей через точку М' перпендикулярно
прямой а'.
§ 3. Изображение многогранников
а) Изображение тетраэдра
Объединение плоского четырехугольника ABCD и двух его
диагоналей АС и BD представляет собой фигуру, которая на-
зывается полным четырехугольником ABCD.
Полный четырехугольник ABCD может быть выпуклым
(рис. 250, а) или невыпуклым (рис. 250, б).
190 | Глава 7
Дополнительный материал
Рис. 250
Если рассматривать различные положения каркасного тет-
раэдра А'В'CD' относительно плоскости проекций тс, а на-
правление проектирования такое, что ни одна из граней тетра-
эдра не лежит в проектирующей плоскости, то можно заме-
тить, что ребра данного тетраэдра изображаются сторонами и
диагоналями полного четырехугольника ABCD, выпуклого
(рис. 251, а) или невыпуклого (рис. 251, б). Иными словами,
изображением любого тетраэдра в параллельной проекции
может служить любой полный четырехугольник.
Этот факт был впервые сформулирован в виде теоремы в
1853 году немецким математиком Карлом Польке для част-
ного случая тетраэдра, а затем обобщен в 1864 году учеником
Карла Польке — немецким математиком Германом Аманду-
сом Шварцем — для произвольного тетраэдра. Теорема эта
называется теоремой Польке—Шварца.
Рис. 251
1Q1
Изображение фигур в параллельной проекции
Рис. 252
Тетраэдр — это четырехгранник, противоположные ребра
которого попарно скрещиваются. Для достижения нагляднос-
ти изображения тетраэдра его невидимые ребра изображают
штриховыми отрезками, а видимые — сплошными (рис. 252).
S9
Следует заметить: как теорема об изображении тре-
угольника (т. 1) является основополагающей в изображениях
плоских фигур в параллельной проекции (см. т. 2), так и тео-
рема Польке—Шварца об изображении тетраэдра является
«фундаментом» изображения пространственных фигур на
плоскости в параллельной проекции. Именно, если на плос-
кости изображения полный четырехугольник ABCD являет-
ся изображением данного тетраэдра А'В'C'D', то однозначно
строится изображение любой точки пространства.
Действительно, пусть М’ — любая точка пространства. Обо-
значим Е' = А'М' n (B'C'D'), Р' = В'Е' n CD' (рис. 253). Тогда
на основании свойств (каких?) параллельного проектирова-
ния на прямой CD существует единственная точка Р такая,
Оригинал
а)
Изображение
о
Рис. 253
192 | Глава 7
Дополнительный материал
что СР : PD = С'Р' : P’D’, далее, на прямой ВР существу-
ет единственная точка Е такая, что BE : ЕР = В’Е’ : Е'Р',
а на прямой АЕ существует единственная точка М такая, что
АЕ : ЕМ = А'Е' : Е'М'. Точка М — искомое изображение
точки М'. ИЙ
б) Изображение пирамиды
Для построения изображения четырехугольной пирамиды
P'A'B'C'D' (рис. 254, а) выделим в ней треугольную пирамиду
Р’А'В’С и изобразим ее в виде произвольного полного че-
тырехугольника РАВС (рис. 254, б). Осталось построить точ-
ку D — изображение вершины D' данной пирамиды. С этой
целью проведем диагонали А'С' и B'D' основания данной пи-
рамиды. Пусть Е' = А'С' n B'D'. Так как при параллельном
проектировании простое отношение трех точек, лежащих на
одной прямой, сохраняется, то из соотношения А'Е' : Е'С =
= АЕ : ЕС строим точку Е на отрезке АС, а из соотношения
В'Е' : E'D' = BE : ED строим точку D на луче BE. Соединив
точку D отрезками прямых с точками А, Р и С, получаем иско-
мое изображение PABCD данной четырехугольной пирамиды
P'A'B'C'D'. Для достижения наглядности изображения выде-
ляем видимые ребра пирамиды сплошными отрезками, а не-
видимые — штриховыми.
Аналогично строится изображение любой re-угольной пира-
миды.
Для построения верного и наглядного изображения пра-
вильной пирамиды сначала строят {лучше в горизонталь-
но расположенной плоскости) изображение основания
этой пирамиды и его центра. Затем из этого центра верти-
Оригинал Изображение
а) б)
Рис. 254
193
Изображение фигур в параллельной проекции
Рис. 255
Рис.256
Рис.257
В
Рис.258
кально вверх проводят луч, на котором отмечают произ-
вольную точку и принимают ее в качестве вершины искомо-
го изображения данной пирамиды, а отрезок, соединяющий
эту вершину с точкой, изображающей центр основания, —
в качестве изображения высоты данной правильной пира-
миды-оригинала.
На рисунках 255, 256, 257 изображены
правильные соответственно треугольная,
четырех-, шестиугольная пирамиды
РАВС, PABCD, PABCDEF, а на рисун- А
ке 258 — произвольная пятиугольная
пирамида PABCDE.
в) Изображение параллелепипеда
Рассмотрим оригинал — параллелепи-
пед А'В'С'DfA{B[C{D{ (рис. 259, а). Так как все его грани —
параллелограммы, то изображениями этих граней должны
быть также параллелограммы. Три ребра В'А', В'С', В'В{ дан-
ного параллелепипеда, имеющие общую вершину В', опреде-
ляют тетраэдр А'В'С'ВОстальные ребра этого параллелепи-
педа параллельны и равны либо В'А', либо В'С', либо В'В{.
А' В' А В А В
а) б) в)
Рис.259
13-3163
194 | Глава 7
Дополнительный материал
Сначала строим полный четырехугольник АВСВг (рис. 259,
б) — изображение тетраэдра А'В'С' В { (строим произвольной
длины отрезки ВА, ВС и ВВг с общим концом В, никакие два
из которых не лежат на одной прямой). Так как при парал-
лельном проектировании равные параллельные отрезки
изображаются также равными параллельными отрезками, то
отрезки-изображения остальных ребер параллелепипеда-
оригинала строим на основании того, что каждый из них ра-
вен и параллелен одному из отрезков ВА, ВС, ВВг. Тогда
ABCDA1B1C1D1 (рис. 259, в) — искомое изображение данного
параллелепипеда, на котором все грани данного параллелепи-
педа изображены параллелограммами. Видимые ребра парал-
лелепипеда изображаем сплошными отрезками, невидимые —
штриховыми.
На практике параллелепипед можно изображать следую-
щим образом.
1. Строим произвольный параллелограмм ABCD
(рис. 259, в).
2. Проводим по одну сторону от плоскости этого па-
раллелограмма равные и параллельные отрезки ААУ
BBlf ССгhDDv
3. Строим параллелограмм A1B1C1Z>1.
4. Выделяем видимые и невидимые ребра.
ABCDAlBlC1D1 — искомое изображение параллелепипеда.
Разумеется, изображение ABCDA1B1C1D1 данного паралле-
лепипеда A'B'C'D'A^B^ClD'^ можно начинать и с изображе-
ния параллелограмма A1B1C1D1 (или же с параллелограмма
AB-BpAJ с последующим учетом взаимных равенств и парал-
лельностей соответствующих ребер параллелепипеда-ориги-
нала.
При изображениях прямоугольного параллелепипеда и ку-
ба следует учесть, что у прямоугольного параллелепипеда все
грани — прямоугольники, а у куба — квадраты. Это означает,
что изображением каждой грани как прямоугольного парал-
лелепипеда, так и куба является параллелограмм. Но так как
боковые ребра прямоугольного параллелепипеда и куба пер-
пендикулярны плоскости его основания, то в целях нагляд-
ности целесообразно эти ребра изображать вертикальными от-
резками. А если еще плоскость изображения выбрать парал-
195
Изображение фигур в параллельной проекции
дельной каким-нибудь двум противоположным боковым
граням этого параллелепипеда (куба), то проекции этих гра-
ней окажутся им равными. Полученные таким образом изо-
бражения прямоугольного параллелепипеда и куба даны на
рисунках 260 и 261 (на изображении прямоугольного парал-
лелепипеда четырехугольник АВВ1А1 — прямоугольник
(рис. 260), а куба — квадрат (рис. 261)).
г) Изображение призмы
Так как основаниями призмы служат равные многоуголь-
ники, лежащие в параллельных плоскостях, а боковыми гра-
нями являются параллелограммы, то изображение призмы
начинают с изображения одного из ее оснований (лучше в
горизонтально расположенной плоскости). Дальнейшие по-
строения аналогичны тем, которые выполнялись при изобра-
жении параллелепипеда: боковые ребра прямой призмы целе-
сообразно (для большей наглядности) изображать вертикаль-
ными отрезками (рис. 262), а боковые ребра наклонной
призмы — наклонными отрезками (рис. 263) по отношению к
плоскости основания. При этом необходимо выделить все не-
видимые ребра призмы штриховыми отрезками, а видимые —
сплошными. Вопросы об изображениях круглых тел мы рас-
смотрим в 11 классе.
Рис. 263
13*
ПРИЛОЖЕНИЯ
Список основных теорем 10 класса
1. О плоскости, проходящей через прямую и не лежащую на ней
точку.
2. О плоскости, проходящей через две пересекающиеся прямые.
3. О плоскости, проходящей через две параллельные прямые.
4. Признак скрещивающихся прямых.
5. О двух параллельных прямых, одна из которых пересекает плос-
кость.
6. О прямой, параллельной данной прямой и проходящей через дан-
ную точку пространства, не лежащую на данной прямой.
7. О транзитивности параллельности прямых в пространстве.
8. Об углах между сонаправленными лучами.
9. Признак параллельности прямой и плоскости.
10. О линии пересечения плоскостей, одна из которых проходит че-
рез прямую, параллельную другой плоскости.
11. О линии пересечения двух плоскостей, каждая из которых про-
ходит через одну из параллельных прямых.
12. О прямой, параллельной каждой из двух пересекающихся плос-
костей.
13. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
14. О двух параллельных прямых, одна из которых перпендикуляр-
на плоскости.
15. О двух прямых, перпендикулярных одной и той же плоскости.
16—17. Теоремы о трех перпендикулярах.
18—19. Признаки параллельности плоскостей.
20. О прямых пересечения двух параллельных плоскостей третьей
плоскостью.
21. О прямой, пересекающей одну из параллельных плоскостей.
22. О плоскости, пересекающей одну из параллельных плоскостей.
_____________________________________________________1_2?Г
Список задач на построение в пространстве
23. О плоскости, проходящей через точку и параллельной другой
плоскости, не проходящей через эту точку.
24. О двух плоскостях, параллельных третьей плоскости.
25. Об отрезках параллельных прямых, заключенных между двумя
параллельными плоскостями.
26. О прямой, перпендикулярной одной из двух параллельных плос-
костей.
27. О линейных углах двугранного угла.
28. Признак перпендикулярности плоскостей.
29. О прямой, лежащей в одной из двух взаимно перпендикулярных
плоскостей и перпендикулярной линии пересечения этих плоскос-
тей.
30. О перпендикуляре к одной из двух взаимно перпендикулярных
плоскостей, имеющем с другой плоскостью общую точку.
31. О линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярных треть-
ей плоскости.
32. О площади ортогональной проекции многоугольника.
33. Признак коллинеарности векторов.
34. О разложении вектора по двум компланарным векторам.
35. Признак компланарности векторов.
36. О разложении вектора в пространстве.
Список задач на построение в пространстве
1. Построение прямой, проходящей через данную точку и параллель-
ной данной прямой.
2. Построение прямой, проходящей через данную точку и параллель-
ной данной плоскости.
3. Построение плоскости, проходящей через данную точку и парал-
лельной данной прямой.
4. Построение плоскости, проходящей через данную прямую и па-
раллельной данной прямой.
5. Построение плоскости, проходящей через данную точку и перпен-
дикулярной данной прямой.
6. Построение прямой, проходящей через данную точку и перпен-
дикулярной данной плоскости.
7. Построение плоскости, проходящей через данную точку и парал-
лельной данной плоскости.
8. Построение двух параллельных плоскостей, каждая из которых
проходит через одну из двух скрещивающихся прямых.
9. Построение плоскости, проходящей через данную точку и парал-
лельной каждой из двух скрещивающихся прямых.
198 | Глава 7
Приложения
10. Построение «общего перпендикуляра» двух скрещивающихся
прямых.
11. Построение линейного угла данного двугранного угла.
12. Построение плоскости, проходящей через данную точку и пер-
пендикулярной данной плоскости.
13. Построение плоскости, проходящей через данную прямую и пер-
пендикулярной данной плоскости.
14. Построение точек пересечения прямой, лежащей на одной из гра-
ней многогранника, с плоскостями граней, не параллельных этой
прямой.
15. Построение прямой пересечения плоскости грани многогранника
с непараллельной ей плоскостью.
199
Формулы планиметрии
Формулы планиметрии
Треугольник
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Периметр (Р) Р = a + Ъ + с a + Ъ + с Р- 2 а, Ь, с — длины сто- рон; р — полупериметр
Сумма внутренних углов А + В + С = 180° А, В, С — величины углов
Теорема косинусов а2 = Ъ2 + с2 - 2&ccos А; &2 = а2 + с2 - 2accos В; с2 = а2 + Ъ2 - 2afrcos С; А Ъ2 + с2 - а2 cos А = о, 2Ъс а, Ь, с — длины сто- рон; А, В, С — величины углов
Теорема синусов а _ b _ с sin A sin В sin С
Радиус описанной окружности (В) 2R = = с sin A sin В sin С
Площадь (В) S=\aha=\bhb=\chc-, S = | ab sin С = А = | ас sin В = | be sin А; В = рг; с _ abc 4Я а, Ъ, с — длины сто- рон; ha, hb, hc — длины высот; А, В, С — величины углов; р — полу периметр; г — радиус вписан- ной окружности; R — радиус описан- ной окружности
Формула Герона s = Jp(p - а)(р - Ъ)(р - с)
200 | Глава 7
Приложения
Окончание. Начало нас. 198
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Связь между медиа- ной и сторонами , 2b2+2c2-a2 та 4 а9Ь9 с — длины сторон; та — длина медианы к стороне а; тп, п — длины отрезков, на которые биссектриса угла С делит сторону с; ha9 hb, hc — длины вы- сот; г — радиус вписанной окружности
Свойство биссект- рисы внутреннего угла О1Л II ё|е
Связь между высо- тами и радиусом вписанной окруж- ности ha hb hc г
Отношение площа- дей треугольников АВС иАрЕ^Ср имеющих равные углы с вершинами А и SABC _ АВ-АС SABC и SA1BjC1 — площа- ди треугольников АВС иА1В1С1
Прямоугольный треугольник
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Сумма острых углов А + В = 90° А, В — величины ост- рых углов
Теорема Пифагора а2 + Ъ2 = с2 а,Ъ — длины катетов; с — длина гипотенузы; hc — длина высоты; а19 Ьг — длины проек- ций катетов на гипоте- нузу; г — радиус вписанной окружности; R — радиус описанной окружности
Метрические соотношения а2 = с • а19 b2 = с • Ъг
Зависимость меж- ду сторонами, ра- диусами вписан- ной и описанной окружностей п с а + Ъ- с Л~2;Г" 2 ; а + b - Ja2 + b2 г — : 2 R + г — (а + Ъ) £
Площадь (S) S=±ab
201
Формулы планиметрии
Правильный треугольник
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Периметр (Р) Р = 3а a — длина стороны
Величина угла А = В = С = 60° А, В, С — величины углов
Зависимость между высотой и стороной д а/з h~ — h — длина высоты; a — длина стороны; R — радиус описан- ной окружности; г — радиус вписан- ной окружности
Зависимость между стороной, радиуса- ми вписанной и опи- санной окружностей a = Вл/З; В = 2г; п л */3 . л */3 U 3~’Г 6~
Выражение площа- ди (В) через: сторо- ну, радиус описан- ной окружности, радиус вписанной окружности О_ а27з. Ь 4 ’ с_ зд27з. Ь 4 ’ 5 = 3^73 a — длина стороны; R — радиус описан- ной окружности; г — радиус вписан- ной окружности
Четырехугольник
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Сумма углов A+B+C+D= 360° А, В, С, D — вели- чины углов; А, С и В, D — вели- чины пар противо- положных углов
Свойство сумм вели- чин противополож- ных углов вписанно- го четырехугольника A+C=B+D= 180°
Свойство сумм длин противоположных сторон описанного четырехугольника a + с = b + d а, с и Ъ, d — длины пар противополож- ных сторон; 771, 71 — ДЛИНЫ ДИ- агоналей; четырехугольник вписан в окруж- ность
Теорема Птолемея mn = ac + bd
202 I Глава 7
Приложения
Окончание. Начало на с. 200
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Площадь (В) о 1 S = 5 znnsin ф; S=pr т, п — длины ди- агоналей; ф — величина угла между ними; р — полупериметр; г — радиус вписан- ной окружности
Параллелограмм
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Периметр (Р) Р = 2(а + &) а9Ь — длины сторон; т, п — длины ди- агоналей; Ла, hb — длины вы- сот; В — величина угла между сторонами; т9 п — длины ди- агоналей; ф — величина угла между диагоналями
Соотношение между квадратами длин сторон и диагоналей т2 + п2 = 2(а2 + Ъ2)
Площадь (В) S = a*ha = b*hb; S = a&sin В; о 1 В = ~ znnsin ф
Свойства углов А + В + С + В = 360°; А = С; В = D; А + В = В + С = 180° А, В, С, D — вели- чины углов
Прямоугольник
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Периметр (Р) Р = 2(а + Ъ) а9Ъ — длины сторон; d — длина диагона- ли; ф — величина угла между диагоналями
Площадь (В) В = ab-9 А = | d2sin ф
203
Формулы планиметрии
Ромб
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Периметр Р = 4а a — длина стороны; h — длина высоты; тп, п — длины ди- агоналей
Площадь (S) S = ah-, S = | mn £л
Квадрат
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Углы A=B=C=D= 90° А, В, С, D — вели- чины углов
Связь между дли- ной стороны и ради- усом описанной ок- ружности a = Rj2;R= £л a — длина стороны; R — радиус описан- ной окружности; г — радиус вписан- ной окружности
Связь между дли- ной стороны и ради- усом вписанной ок- ружности a о г= 2;Л = 2Г
Площадь (S) S = a2;S = 2R2
Трапеция
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Свойство средней линии a + b т = — т — длина средней линии; а, Ъ — длины осно- ваний; h — длина высоты
Площадь (S) 00 00 II II |О 9 4 + 3?
204 | Глава 7
Приложения
Правильный многоугольник
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Сумма внутренних углов (L) S = (n-2)«180° п — число сторон; А — величина угла; ап — длина сторо- ны; г — радиус вписан- ной окружности; R — радиус описан- ной окружности
Угол А= 180°(п -2) п
Связь между длиной стороны и радиусом вписанной окружнос- ти О х 180° = 2г tg — ; °" пх 180° 2tg —
Связь между длиной стороны и радиусом вписанной окружнос- ти а = 2R sin — ; п п а3 = Rj3; а^ R, R
Площадь (S) ст 1 S = -z агп; £ S = l^nsin — 2 п а — длина стороны; п — число сторон; г — радиус вписан- ной окружности; R — радиус описан- ной окружности
Окружность и круг
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Длина окружности (С) С = 2tlR R — радиус окруж- ности; n — градусная мера дуги; Ф — радианная мера дуги; d — диаметр; b — основание сег- мента; h — высота сегмен- та
Длина дуги (?) , nRn , п Z=l80;Z = (PB
Площадь круга (S) S = nJ?2; S = 4
Площадь сектора (S) ~ _ nR2n b 360
Площадь сегмента (S) +1 Й 1,~. (NICO 2 и KI II co
205
Формулы планиметрии
Тригонометрические тождества
sin2 а + cos2 а = 1; sin (-а) = -sin а; . _ sin а cos (-а) = cos а; tg а cos а ’ tg (-а) = -tg а; х cos а ctg (-а) =-ctg а; ctg а = -—; & sin а tga*ctga = 1; 1 -I- /у t i
i г tg uc 9 , cos2 a 1 -4- •
1 “Г Cig ОС . 9 , sin2 a
cos (а - Р) = cos а cos Р + sin а sin Р; cos (а + Р) = cos а cos Р - sin а sin Р; sin (а + Р) = sin а cos Р + sin р cos а; sin (а - Р) = sin а cos Р - sin Р cos а;
tff (Ct - Ri = tg а ~tg Р .
1 + tg а • tg Р ’ sin 2а = 2sin а cos а; cos 2а = cos2 а - sin2 ! a;
1 + cos 2а о 1 - cos 2а . 9 , 5 = cos2 а; 5 = sin2 a; tg z z 2 _ 2tg a .
1 - tg2 a ’
. • о n • а + P а - p sin а + sin p = 2sin —x-2- cos Q ; z z
. о n а+p. a-p sin a sin p = 2cos o sm Q r ; z z . q n a+P a-P cos a + cos p = 2cos „ cos „ ; z z Q o . a + P . a-P cos a - cos p = -2sm —sm Q - ; z z
tg а + tg р =
sin (а + Р) .
cos а • cos Р ’
tg ос - tg р =
sin (а - Р)
cos а • cos Р ’
206 | Глава 7
Приложения
Формулы стереометрии
Векторы и координаты
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Правило треуголь- ника АВ+ ВС = АС А, В, С — про- извольные точ- ки
Правило паралле- лограмма ОА + ОВ = ОС ОАСВ — па- раллелограмм
Правило много- угольника > > > > ^1^2 + ^2^3 + ••• + = Aj, А2,..., Ап_р Ап — произ- вольные точки
Правило параллеле- пипеда ОА + ОВ + ОС = ОС1 оа9 ов9 ос — ребра паралле- лепипеда; ОСг — диаго- наль паралле- лепипеда
Формула вычитания ОВ -ОА = АВ А9 В9 О — про- извольные точ- ки
Признак коллинеар- ности двух ненулевых векторов Ь = k*a |а • &| = |а| • |&| k — число, от- личное от ну- ля, а * 0, Ь * б
Признак компланар- ности трех векторов р = ха + уЪ х, у — числа
Середина отрезка ОМ = 1(ОА + ОВ) М — середина отрезка АВ\ О — произ- вольная точка
207
Формулы стереометрии
Продолжение. Начало на с. 205
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Точка пе- ресечения медиан (центро- ид) ОМ = 1(ОА + ОВ + ОС) О M — центроид треугольника АВС; О — произ- вольная точка
Скалярное произведе- ние векто- ров а • Ъ = |Й| • |S|cos (а; Ъ) а, Ь — ненуле- вые векторы
Сложение и вычита- ние векто- ров в коор- динатах а ± b (хх + х2; уг + у2; + z2) Й(хх; уг; Zj); b(x2; у2; г2)
Умноже- ние векто- ра на число ka(kx; ky; kz) k — число; Й(х; у; г)
Скалярное произведе- ние а'Ь = xxx2 + угу2 + zxz2 а(хр уг; zx); 6(х2; у2; г2); ф — величина угла между векторами
Косинус уг- ла между векторами xix2+yly2+z1z2 COS ф = , 7*i + i/i + 4 • 7x2 + y% + zl
Длина век- тора |а| = Jx2 + у2 + z2 а(х; у; г)
Расстояние между точ- ками А и В AB = А(хр уг; Zj); В(х2; у2; г2)
= 7(*2 - Xl)2 + (j/2 - У1)2 + (22 “ 21)2
Уравнение плоскости A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0 а(А; В; С) — вектор, пер- пендикуляр- ный плоскости; Mq(xq; yQ; zQ) — точка, прина- длежащая плоскости
208 | Глава 7
Приложения
Продолжение. Начало на с. 205
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Общее уравнение плоскости Ах + By + Cz + D = 0 М(х; у; z) — произвольная точка плоскости
Косинус угла между двумя плос- костями _ H-i^-2 + ^1-^2 + jAf+B^+Cl-jA^+B^+Cl ф — величина
Условие перпенди- кулярности двух плос- костей А]А2 + В^2 + CjC2 = 0 угла между эти- ми плоскостями; Агх + Вгу + + C]Z + Dr = 0 иА2х + В2у + + С22 + Z)2 = 0 — плоскости
Условие па- раллель- ности двух плоскостей и
Расстоя- ние от точ- ки до плос- кости (d) d= |А*о + вУо + Сго + д| Та2 + в2 + с2 М0(х0; у0; z0) — точка; Ах + By + Cz + + D = Q — плос- кость
Парамет- рические уравнения прямой м И II м Н о о о о + + + + »* 5" * л* й а й “ч: W г — ради- ус-вектор про- извольной точ- ки прямой; г0 — радиус- вектор данной точки прямой; р — направ- ляющий вектор прямой; k — параметр; М0(х0; у0; г0) — данная точка прямой; М(х; у, z) — произвольная точка прямой; Pidi* ^2’ аз) направляющий вектор прямой
| 209
Формулы стереометрии
Окончание. Начало на с. 205
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Уравнения прямой по двум ее точкам Косинус угла меж- ду двумя прямыми <МСЧ Л 4- tT ** л3 I 1 « + N N + [S’ И 4? 7 » =» ® « • 1 1 + + » Л А II -2- + . cq,_| н н Ц. ' 11 * * 9- И о Af^Xp i/p г,), М2(х2, у2, z2) — данные точки; Р1(^1> ^2’ ^з)> Рг(^1’ ^2’ ^з) направляю- щие векторы прямых; ф — величина угла между ни- ми
Условие перпенди- кулярнос- ти двух прямых Условие параллель- ности двух прямых dj&j 4“ &2Ь2 4“ ci3b3 0 &2 а3 &1 &2 &3
Синус угла между пря- мой и плос- костью Условие параллель- ности пря- мой и плос- кости Условие перпенди- кулярнос- ти прямой и плоскос- ти |Аа, 4- Ва2 + Сач| sinф = , 1 1 2. 31 . = JA2 4- В2 4- С2 • Ja2 + а% + а% Ааг 4- Ва2 4- Са3 = 0 А = В = С_ а1 а2 а3 Ах 4- By 4- Cz 4- 4- D = 0 — плоскость; _p(^i5 #2’ ^з) направляю- щий вектор прямой; ф — величина угла между прямой и плос- костью
14-3163
210 | Глава 7
Приложения
Многогранники
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Площадь поверхно- сти куба(S) S = 6a2 a — длина ребра ку- ба
Площадь боковой поверхности пря- мой призмы (S6oK) S^-P'h Р — периметр осно- вания; h — высота (длина бокового ребра)
Площадь боковой поверхности на- клонной призмы (^бок) Р — периметр пер- пендикулярного се- чения; 1 — длина бокового ребра
Площадь боковой поверхности прямо- го параллелепипеда («бок) s^-p-i Р — периметр осно- вания; 1 — длина бокового ребра
Площадь боковой поверхности пра- вильной пирамиды («бок) « I9- H|(N । ° II II § 1 co Р — периметр осно- вания; a — апофема; Q — площадь осно- вания; ф — величина дву- гранного угла при стороне основания
Площадь боковой поверхности пра- вильной усеченной пирамиды (5б0К) p Ч-Pl ^бок 2 Р, Рх — периметры оснований; h — апофема
Объем куба (V) V = a3 a — длина ребра ку- ба
Объем прямоуголь- ного параллелепи- педа (V) V = abc а, Ъ, с — измерения параллелепипеда
| 211
Формулы стереометрии
Окончание. Начало нас. 209
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Объем призмы (параллелепипеда) (V) V-S^-h; V=Q-l S0CH — площадь ос- нования; h — высота; Q — площадь пер- пендикулярного се- чения; 1 — длина бокового ребра
Объем пирамиды (V) » § 1-IICO II S0CH — площадь ос- нования; h — высота
Объем усеченной пирамиды (V) V=^h[Q1 + + 7^1^2+ Фг) Qi, Q2 — площади оснований; h — высота
Отношение объемов тетраэдров ABCD и AiBiCpDi, имею- щих равные трех- гранные углы с вершинами АиА1 VABCD = VAXBXCXDX = AB -AC-AD A1B1 •A1C1 •A1D1 VaBCD и объемы тетраэдров ABCD vlA1B1C1D1
Фигуры вращения
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Площадь боковой поверхности ци- линдра (8б0К) ^бок = • h R — радиус основа- ния; h — высота
Площадь полной поверхности ци- линдра (Яполн) «Sn0JIH = 2лЯ(й + 7?) R — радиус основа- ния; h — высота
14’
212 j Глава 7
Приложения
Продолжение. Начало на с. 209
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Площадь боковой поверхности конуса (S6ok) ^бок = R — радиус основа- ния; I — длина образую- щей
Площадь полной поверхности конуса (^полн) Smmi-itR(l + R) R — радиус основа- ния; 1 — длина образую- щей
Площадь боковой поверхности усечен- ного конуса (S^) «бок = WR + г> R, г — радиусы ос- нований; 1 — длина образую- щей
Площадь сферы (S) S = 4лй2 R — радиус сферы
Площадь сегмент- ной поверхности (8) 8 = 2лЯ-К R — радиус сферы; Н — высота сег- ментной поверхно- сти
Площадь шарового пояса (8) S = 2kjR-H R — радиус шара; Н — высота шаро- вого пояса
Площадь поверхно- сти шарового секто- ра (S) 8 = лЯ*(2Л + + j2Rh - h2) R — радиус шара; h — высота шарово- го сегмента
Объем цилиндра (V) V=nR2-H R — радиус основа- ния; Н — высота
Объем конуса (V) V = lnR2-H О R — радиус основа- ния; Н — высота
Объем усеченного конуса (V) V= ±TtH(r2 + Rr + О + Я2) R, г — радиусы ос- нований; Н — высота
| 213
Формулы стереометрии
Окончание. Начало на с. 210
Содержание формулы Формула Символы (обозначения)
Объем шара (V) V=lnR3;V=lnd3 О о jR — радиус шара; d — диаметр шара
Объем шарового слоя (V) V = ^(3r?+3rf+ + HZ) гр г2 — радиусы ос- нований шарового слоя; Н — высота
Объем шарового сег- мента (V) V= ^(37-2 +-И-2) R — радиус шара; Н — высота; г — радиус основа- ния шарового сег- мента
Объем шарового сектора (V) V= |лЛ2-Н о R — радиус шара; Н — высота
ПРИМЕРНОЕ ПОЧАСОВОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
(10 класс)
(3 ч в неделю, всего 105 ч)
Введение в стереометрию. Аксиомы стереометрии (1—8)
Предмет стереометрии. Основные понятия стереометрии.
Аксиомы стереометрии. Следствия из аксиом. О плоскости,
проходящей: через прямую и не лежащую на ней точку; через
две пересекающиеся прямые; через две параллельные пря-
мые. Пересечение прямой и плоскости, двух плоскостей. Тех-
ника выполнения простейших стереометрических чертежей.
Стереометрические фигуры: куб, параллелепипед, призма,
пирамида, сфера и шар. Построение сечений куба и тетраэдра.
Графическая работа № 1.
Контрольная работа № 1.
Взаимное расположение прямых в пространстве (9—16)
Пересекающиеся и параллельные прямые в пространстве.
Скрещивающиеся прямые. Признаки скрещивающихся пря-
мых. Теорема о двух параллельных прямых, одна из которых
пересекает плоскость. Теорема о транзитивности параллель-
ности прямых в пространстве. Направление в пространстве.
Теорема о равенстве двух углов с сонаправленными сторона-
ми. Определение угла между скрещивающимися прямыми.
Решение простейших задач на построение в пространстве
(проведение через точку: прямой, параллельной данной; пря-
мой, скрещивающейся с данной). Число решений задачи на
построение.
Контрольная работа № 2.
Взаимное расположение прямой и плоскости (17—25)
Параллельность прямой и плоскости. Признак параллель-
ности прямой и плоскости. Теорема о линии пересечения двух
плоскостей, одна из которых проходит через прямую, парал-
лельную другой плоскости. Теорема о линии пересечения двух
плоскостей, каждая из которых проходит через одну из двух
параллельных прямых. О плоскости, проходящей через одну
из двух скрещивающихся прямых паралллельно другой пря-
мой. Решение простейших задач на построение в пространстве
| 215
Формулы стереометрии
(проведение через точку прямой, параллельной данной плос-
кости и плоскости, параллельной данной прямой).
Перпендикулярность прямой и плоскости (26—34)
Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Пер-
пендикуляр и наклонная. Теоремы о длинах перпендикуляра,
наклонных и их проекций. Теоремы о трех перпендикулярах
(прямая и обратная). Теорема о двух параллельных прямых,
одна из которых перпендикулярна плоскости. Теорема о двух
прямых, перпендикулярных плоскости. Построение плоскос-
ти, проходящей через данную точку перпендикулярно данной
прямой. Построение прямой, проходящей через данную точку
перпендикулярно данной плоскости.
Контрольная работа № 3.
Угол между прямой и плоскостью (35—43)
Определение угла между наклонной и плоскостью. О вели-
чине угла между наклонной и плоскостью. Угол между пря-
мой и плоскостью. Методы нахождения угла между наклон-
ной и плоскостью. Параллельное проектирование. Свойства
параллельного проектирования. Ортогональное проектирова-
ние, его свойства.
Параллельные плоскости (44—51)
Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
Параллельность плоскостей. Признаки параллельности двух
плоскостей. Теорема о линиях. пересечения двух параллель-
ных плоскостей с третьей плоскостью. Теорема о прямой, пе-
ресекающей одну из двух параллельных плоскостей. Теорема
о плоскости, пересекающей одну из двух параллельных плос-
костей. Теорема о проведении плоскости, параллельной дан-
ной плоскости, через точку, не лежащую на ней; единствен-
ность такой плоскости. Теорема о транзитивности параллель-
ности плоскостей в пространстве. Теорема об отрезках
параллельных прямых, заключенных между двумя парал-
лельными плоскостями. Теорема о прямой, перпендикуляр-
ной одной из двух параллельных плоскостей. Графическая
работа № 2.
Контрольная работа № 4.
216 | Глава 7
Примерное почасовое планирование
Угол между двумя плоскостями (52—60)
Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла. Теоре-
ма о линейном угле двугранного угла. Перпендикулярные
плоскости. Признак перпендикулярности двух плоскостей.
Теорема о прямой, перпендикулярной линии пересечения двух
взаимно перпендикулярных плоскостей и лежащей в одной из
них. Теорема о прямой, перпендикулярной одной из двух вза-
имно перпендикулярных плоскостей и имеющей со второй
плоскостью общую точку. Графическая работа № 3. Теоре-
ма о линии пересечения двух плоскостей, перпендикулярных
третьей. Угол между двумя плоскостями. Методы нахождения
двугранных углов и углов между двумя плоскостями.
Контрольная работа № 5.
Расстояния в пространстве (61—69)
Расстояние между двумя точками. Расстояние между точ-
кой и фигурой. Расстояние между точкой и прямой. Расстоя-
ние между точкой и плоскостью. Расстояние между точкой и
сферой. Расстояние между двумя фигурами. Расстояние меж-
ду двумя параллельными прямыми. Расстояние между прямой
и плоскостью. Расстояние между двумя плоскостями. Расстоя-
ние между скрещивающимися прямыми. Геометрические мес-
та точек пространства, связанные с расстояниями. Приемы на-
хождения расстояний между фигурами в пространстве.
Контрольная работа № 6.
Уроки обобщения пройденного материала
о параллельности, перпендикулярности,
углах и расстояниях в пространстве (70—72)
Векторы в пространстве (73—82)
Вектор в пространстве. Коллинеарность двух векторов;
компланарность трех векторов. Угол между векторами. Ли-
нейные операции над векторами (сложение, вычитание, умно-
жение вектора на скаляр) и их свойства. Разложение вектора
по двум неколлинеарным векторам, компланарным данному
вектору. О трех некомпланарных векторах в пространстве;
векторный базис пространства; разложение вектора и его ко-
ординаты в данном базисе. Условие коллинеарности двух век-
торов и компланарности трех векторов. Скалярное произведе-
I 217
Формулы стереометрии
ние двух векторов и его свойства. Формулы, связанные со ска-
лярным произведением. Условие ортогональности двух
векторов. Решение геометрических задач векторным методом.
Контрольная работа № 7.
Координаты в пространстве (83—92)
Ортонормированный базис в пространстве. Прямоугольная
декартовая система координат в пространстве. Координаты
вектора, действия над векторами в координатах. Проекция
вектора на ось в координатах. Условия коллинеарности и ор-
тогональности двух векторов в координатах. Координаты точ-
ки. Формулы нахождения: расстояния между двумя точками
в координатах; координат середины отрезка и точки, делящей
отрезок в данном отношении. Уравнение и неравенства, за-
дающие множества точек в пространстве. Уравнение сферы и
неравенство шара.
Уравнение плоскости в пространстве. Уравнение плоскости,
проведенной через данную точку перпендикулярно данному
вектору. Общее уравнение плоскости и его исследование. Урав-
нение плоскости в отрезках и другие виды уравнений плоскос-
ти. Угол между двумя плоскостями в координатах; условия па-
раллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Прямая
в координатах. Угол между двумя прямыми в координатах; ус-
ловия параллельности и перпендикулярности двух прямых в
пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в
координатах. Угол между прямой и плоскостью в координа-
тах, условие параллельности и перпендикулярности прямой и
плоскости. Формула расстояния от точки до плоскости. Реше-
ние геометрических задач координатным методом.
Контрольная работа № 8.
Повторение (93—105)
Теория, практикум по решению задач
по планиметрии и стереометрии. Устный зачет
Итоговая контрольная работа № 9.
При возможности выделить на изучение геометрии 4 часа в
неделю, время на изучение теоретического материала каждой
темы и на решение задач в особенности увеличивается.
218 I Глава 7
Примерное почасовое планирование
Краткое содержание курса
геометрии 11 класса
Глава 1. Преобразования пространства
§ 1. Отображения пространства
§ 2. Преобразования пространства
§ 3. Движения пространства. Общие свойства движений
§ 4. Симметрия относительно плоскости
§ 5. Параллельный перенос. Скользящая симметрия
§ 6. Поворот вокруг оси. Осевая симметрия. Зеркальный
поворот. Винтовое движение
§ 7. Взаимосвязь различных движений пространства
§ 8. Гомотетия и подобие пространства
Глава 2. Многогранники
§ 9. Понятие многогранника
§ 10. Объемы многогранников
§ 11. Призма
§ 12. Параллелепипед
§ 13. Трехгранные и многогранные углы
§ 14. Пирамида
§ 15. Правильные многогранники
Глава 3. Фигуры вращения
§ 16. Фигуры вращения
§ 17. Цилиндр
§ 18. Конус
§ 19. Шар и сфера
Дополнения
ИЙ 1. Применение определенного интеграла для нахожде-
ния объемов тел
8Й 2. О симметриях правильных многогранников
ИВ 3. О поверхностях второго порядка
ЙЙ 4. О векторном произведении двух векторов
ЙЙ 5. О различных ветвях геометрии
SB 6. Об аксиоматическом построении геометрии
Приложения
1. Список основных теорем курса стереометрии
2. Формулы планиметрии
3. Формулы стереометрии
4. Предметный указатель
предметный указатель
Абсцисса 140
Аксиомы стереометрии 13
Аппликата 140
Базис (прямоугольный) 139
Базисные (координатные) век-
торы 118,121, 140
Боковая грань пирамиды 11
------призмы 12
Боковые ребра пирамиды 12
------призмы 12
Вектор нормали 157
— нулевой 106
— противоположный данно-
му 107
Вершина многогранника 11
— пирамиды 11,193
Высота пирамиды 193
Вычисление координат середи-
ны отрезка 152
— расстояния между двумя
точками 149
------от точки до плоскости
89,169
— углов между прямой и
плоскостью 58
Вычитание векторов 112
Градусная мера двугранного уг-
ла 75
Грань двугранного угла 73
— многогранника 12
Двугранный угол 73
Длина вектора 106
Изображение плоских фигур 177
— пространственных фигур
189
Коллинеарные векторы 104,114
Компланарные векторы 116,119
Координатные векторы 139
— оси 140
— плоскости 140
Координаты вектора 141
— точки 148
Куб 11, 13
Линейный угол двугранного уг-
ла 74
Наклонная к плоскости 54
Направление вектора 104
Направляющий вектор пря-
мой 162
Ордината 140
Основание наклонной 55
— перпендикуляра 54
— пирамиды 11
Основания параллелепипеда 13
— призмы 12
Откладывание вектора от точки
103
Параллелепипед 11, 13
— наклонный 11
— прямой 11
— прямоугольный 11
Параллельное проектирование
60,178
Параллельность плоскостей 66
— прямой и плоскости 44
— прямых 22, 33, 35, 37
Пересекающиеся плоскости 18
Перпендикуляр к плоскости 47,
53
Перпендикулярность векторов
145,165
220 I Глава 7
Предметный указатель
— плоскостей 72, 77
— прямой и плоскости 47, 53
— прямых 53
Пирамида 11
— правильная 12
Плоскость 13, 21
Правило многоугольника 111
— параллелепипеда 111
— параллелограмма 105
— треугольника 109
Призма 12
— наклонная 12
— прямая 12
Признак параллельности двух
плоскостей 66
------------ прямой и плоскости 44
— перпендикулярности двух
плоскостей 78
-------векторов 125, 142,
145
-------прямой и плоскости 48,
125
Проекция наклонной на плос-
кость 55
— ортогональная 55
Противоположно направлен-
ные векторы 105, 107
Прямоугольная система коор-
динат в пространстве 139
Равенство векторов 107
Разложение вектора по трем не-
компланарным векторам 119
Разность векторов 112
Расстояние между двумя
плоскостями 90
------скрещивающимися пря-
мыми 82, 99
------фигурами 93
— от прямой до плоскости
90, 96
— от точки до плоскости 54,
89,169
Ребро двугранного угла 73
Секущая плоскость 23
Сечение многогранника 23
Скалярное произведение векто-
ров 123,144
Скалярный квадрат вектора 124
Скрещивающиеся прямые 32,
34
Сложение векторов 109
Сонаправленные векторы 105
Сумма векторов 109
Сфера 13
Теорема о трех перпендикуля-
рах 56,127
Тетраэдр 12
— правильный 12
Угол между векторами 145,
164
— — плоскостями 73, 76,
158
----прямой и плоскостью 58
----скрещивающимися пря-
мыми 42
Умножение вектора на число
113
Уравнение плоскости 156
----в отрезках 161
----общее 157
— поверхности 154
— сферы 154
Уравнения прямой 165
----канонические 163
----параметрические 162
Эллипс 177
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ
Условные обозначения................................... 7
Глава 1. ВВЕДЕНИЕ В СТЕРЕОМЕТРИЮ
§ 1. Предмет стереометрии. Основные понятия............ 9
§2.0 некоторых пространственных фигурах............ 10
§ 3. Аксиомы стереометрии........................... 13
§ 4. Следствия из аксиом. Способы задания плоскости. 20
§ 5. Рисунки на доске и в тетради................... 26
Глава 2. ПРЯМЫЕ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 6. Классификация взаимного расположения
двух прямых в пространстве............................ 32
6.1. Скрещивающиеся прямые.......................... 34
6.2. Параллельные прямые в пространстве............. 35
§ 7. Угол между лучами. Угол между прямыми
в пространстве. Перпендикулярные прямые............. 39
7.1. Угол между лучами в пространстве............... 39
7.2. Угол между прямыми в пространстве.............. 41
Глава 3. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 8. Параллельность прямой и плоскости................ 44
§ 9. Перпендикулярность прямой и плоскости.......... 47
9.1 Признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Построение перпендикулярных прямой и плоскости...... 47
9.2 . О прямых, перпендикулярных плоскости......... 53
§ 10. Перпендикуляр и наклонная к плоскости.
Теорема о трех перпендикулярах...................... 54
§ 11. Угол между прямой и плоскостью................ 58
§ 12. Параллельное проектирование и его свойства.
Ортогональное проектирование........................ 60
Глава 4. ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 13. Параллельность плоскостей....................... 66
13.1. Признак параллельности плоскостей............. 66
13.2. Свойства параллельных плоскостей.............. 68
§ 14. Двугранные углы. Угол между двумя плоскостями .... 73
14.1. Двугранный угол и его измерение............... 73
14.2. Угол между двумя плоскостями.................. 76
222 |
Оглавление
§ 15. Перпендикулярность плоскостей.................. 77
15.1. Признаки перпендикулярности двух плоскостей... 77
15.2. Свойства перпендикулярных плоскостей........... 79
§ 16. Общий перпендикуляр двух
скрещивающихся прямых................................ 81
§ 17. Площадь ортогональной проекции многоугольника .... 83
Глава 5. РАССТОЯНИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 18. Расстояние от точки до фигуры.................. 87
§ 19. Расстояние между фигурами...................... 93
§ 20. Геометрические места точек, связанные
с расстояниями в пространстве........................100
Глава 6. ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 21. Понятие вектора. Линейные операции над векторами . . 104
21.1. Понятие вектора................................104
21.2. Линейные операции над векторами................109
§ 22. Разложение вектора по базису...................116
22.1 Компланарные векторы............................116
22.2 . Разложение вектора на плоскости..............117
22.3 . Разложение вектора по трем
некомпланарным векторам..............................119
§ 23. Скалярное произведение векторов................123
23.1. Определение скалярного произведения векторов..123
23.2. Свойства скалярного произведения векторов......124
23.3. Признак перпендикулярности двух векторов.......125
23.4. Применение векторного метода
к решению стереометрических задач....................131
Глава 7. КООРДИНАТНЫЙ МЕТОД В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 24. Декартова прямоугольная система координат
в пространстве..................................... 139
24.1. Координаты вектора в пространстве.
Линейные операции над векторами в координатах........139
24.2. Скалярное произведение векторов в координатах.144
24.3. Проекции вектора на ось в координатах..........145
24.4. Декартовы прямоугольные координаты точки.......148
24.5. Решение простейших задач стереометрии в координатах . 149
§ 25. Задание фигур уравнениями и неравенствами......154
25.1. Уравнение сферы................................154
25.2. Уравнение плоскости............................156
25.3. Прямая в пространстве в координатах............162
| 223
Краткое содержание курса геометрии 11 класса
25.4. Взаимное расположение прямой и плоскости
в координатах......................................167
§ 26. Расстояние от точки до плоскости в координатах.169
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ МАТЕРИАЛ
Изображение фигур в параллельной проекции.......... . 173
§ 1. Об изображениях фигур в параллельной проекции...173
§ 2. Изображение плоских фигур в параллельной проекции . . 177
2.1. Изображение окружности и многоугольников......177
2.2. Изображение многоугольников, вписанных в окружность 184
Задачи.............................................188
§ 3. Изображение многогранников....................189
ПРИЛОЖЕНИЯ
Список основных теорем 10 класса...................196
Список задач на построение в пространстве..........197
Формулы планиметрии................................199
Тригонометрические тождества.......................205
Формулы стереометрии...............................206
Примерное почасовое планирование (10 класс)
(3 ч в неделю, всего 105 ч)........................214
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ КУРСА ГЕОМЕТРИИ 11 КЛАССА...........218
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ................................219
Учебное издание
Потоскуев Евгений Викторович
Звавич Леонид Исаакович
ГЕОМЕТРИЯ
10 класс
Учебник для общеобразовательных учреждений
с углубленным и профильным изучением математики
Редактор Г, Н. Хромова
Художественный редактор А. А. Абрамова
Технические редакторы В. Ф. Козлова, Н. И. Герасимова
Компьютерная верстка А. В. Маркин
Корректор Г. И. Мосякина
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.60.953.Д.008763.07.07 от 25.07.2007.
Подписано к печати 15.01.08. Формат бОхЭО1/^.
Бумага типографская. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная.
Усл. печ. л. 13,0. Тираж 6000 экз. Заказ № 3163.
ООО «Дрофа». 127018, Москва, Сущевский вал, 49.
Предложения и замечания по содержанию и оформлению книги
просим направлять в редакцию общего образования издательства «Дрофа»:
127018, Москва, а/я 79. Тел.: (495) 795-05-41. E-mail: chief@drofa.ru
По вопросам приобретения продукции
издательства «Дрофа» обращаться по адресу:
127018, Москва, Сущевский вал, 49.
Тел.: (495) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (495) 795-05-52.
Торговый дом «Школьник».
109172, Москва, ул. Малые Каменщики, д. 6, стр. 1А.
Тел.: (495) 911-70-24, 912-15-16, 912-45-76.
Сеть магазинов «Переплетные птицы».
Тел.: (495) 912-45-76.
Интернет-магазин: http://www.drofa.ru
Отпечатано в полном соответствии
с качеством предоставленных диапозитивов
в ОАО «Можайский полиграфический комбинат».
143200, г. Можайск, ул. Мира, 93.
Учебное издание
Потоскуев Евгений Викторович
Звавич Леонид Исаакович
ГЕОМЕТРИЯ
10 класс
Учебник для общеобразовательных учреждений
с углубленным и профильным изучением математики
Редактор Г. Н. Хромова
Художественный редактор А. А. Абрамова
Технические редакторы В. Ф. Козлова, Н. И. Герасимова
Компьютерная верстка А В. Маркин
Корректор Г. И. Мосякина
Санитарно-эпидемиологическое заключение
№ 77.99.60.953.Д.008763.07.07 от 25.07.2007.
Подписано к печати 15.01.08. Формат бОхЭО1/^.
Бумага типографская. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная.
Усл. печ. л. 13,0. Тираж 6000 экз. Заказ № 3163.
ООО «Дрофа». 127018, Москва, Сущевский вал, 49.
Предложения и замечания по содержанию и оформлению книги
просим направлять в редакцию общего образования издательства «Дрофа»:
127018, Москва, а/я 79. Тел.: (495) 795-05-41. E-mail: chief@drofa.ru
По вопросам приобретения продукции
издательства «Дрофа» обращаться по адресу:
127018, Москва, Сущевский вал, 49.
Тел.: (495) 795-05-50, 795-05-51. Факс: (495) 795-05-52.
Торговый дом «Школьник».
109172, Москва, ул. Малые Каменщики, д. 6, стр. 1А.
Тел.: (495) 911-70-24, 912-15-16, 912-45-76.
Сеть магазинов «Переплетные птицы».
Тел.: (495) 912-45-76.
Интернет-магазин: http://www.drofa.ru
Отпечатано в полном соответствии
с качеством предоставленных диапозитивов
в ОАО «Можайский полиграфический комбинат».
143200, г. Можайск, ул. Мира, 93.
ГЕОМЕТРИЯ