СБОРНИК
ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
для втузов
Под редакцией А. В. Ефимова и А. С. Поспелова
МНЭТ
№ Oly
Москва
Издательство
Физико-математической литературы
2001
ББК 22.1
С 23
УДК 51(075.8)
Коллектив авторов:
А. В. ЕФИМОВ, А. Ф. КАРАКУЛИН, И. Б. КОЖУХОВ,
А. С. ПОСПЕЛОВ, А. А. ПРОКОФЬЕВ
Сборник задач по математике для втузов. В 4 частях. Ч. 1: Учеб-
ное пособие для втузов / Под общ. ред. А. В. Ефимова и А. С. Поспе-
лова. — 4-е изд. перераб. и доп. —М.: Издательство Физико-мате-
матической литературы, 2001.—288 с.—ISBN 5-94052-034-0 (Ч. 1).
Содержит задачи по линейной алгебре, аналитической геометрии, а также
общей алгебре. Краткие теоретические сведения, снабженные большим ко-
личеством разобранных примеров, позволяют использовать сборник для всех
видов обучения.
Для студентов высших технических учебных заведений.
Учебное издание
ЕФИМОВ Александр Васильевич, КАРАКУЛИН Анатолий Федорович,
КОЖУХОВ Игорь Борисович, ПОСПЕЛОВ Алексей Сегеевич,
ПРОКОФЬЕВ Александр Александрович
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ВТУЗОВ
Часть 1
Редактор Л. А. Панюшкина
Корректор Т. С. Вайсберг
Компьютерная графика М. В. Ивановский
Компьютерный набор Г. М. Красникова
Компьютерная верстка А. С. Фурсов
ИД №01389 от 30.03.2000
Гигиеническое заключение № 77.99.02.953.Д.003724.07.01
от 05.07.2001
Подписано в печать 15.10.2001. Формат 60x88/16.
Печать офсетная с готовых диапозитивов.
Усл. печ. л. 18. Уч.-изд. л. 19,8. Тираж 7000 экз.
Заказ № 388
Издательство Физико-математической литературы
117071 Москва В-71, Ленинский проспект, 15
Отпечатано в типографии ОАО «Внешторгиздат».
127576, Москва, ул. Илимская, 7
ISBN 5-94052-034-0 (Ч. 1)
ISBN 5-94052-033-2
© Коллектив авторов, 2001
© Физматлит, оформление, 2001
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНЫХ РЕДАКТОРОВ ............................ 5
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ............................. 6
Глава 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия ....	7
§ 1.	Векторная алгебра.................................... 7
1.	Линейные операции над векторами. 2. Базис и координаты
вектора. 3. Декартовы прямоугольные координаты точки. Про-
стейшие задачи аналитической геометрии. 4. Скалярное произ-
ведение векторов. 5. Векторное произведение векторов. 6. Сме-
шанное произведение векторов
§ 2.	Линейные геометрические объекты .................... 26
1.	Прямая на плоскости. 2. Плоскость и прямая в пространстве
§ 3.	Кривые на плоскости................................. 40
1.	Уравнение кривой в декартовой системе координат. 2. Ал-
гебраические кривые второго порядка. 3. Уравнение кривой в
полярной системе координат. 4. Параметрические уравнения
кривой. 5. Некоторые кривые, встречающиеся в математике и
ее приложениях
§ 4.	Поверхности и кривые в пространстве................. 62
1.	Уравнения поверхности и кривой в декартовой прямоугольной
системе координат. 2. Алгебраические поверхности второго по-
рядка. 3. Классификация поверхностей по типу преобразований
пространства
Глава 2. Определители и матрицы.
Системы линейных уравнений........................ 76
§1	. Определители........................................ 76
1.	Определители 2-го и 3-го порядков. 2. Определители п-го
порядка. 3. Основные методы вычисления определителей п-го
порядка
§2	. Матрицы............................................. 86
1.	Операции над матрицами. 2. Обратная матрица
§3	. Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы .	93
1.	Арифметические векторы. 2. Ранг матрицы
§	4. Системы линейных уравнений......................... 102
1.	Правило Крамера. 2. Решение произвольных систем. 3. Од-
нородные системы. 4. Метод последовательных исчислений
Жордана-Гаусса
4
Оглавление
Глава 3. Линейная алгебра.................................... 113
§1	. Линейные пространства и пространства со скалярным
произведением............................................. 113
1.	Линейное пространство. 2. Подпространства и линейные мно-
гообразия. 3. Пространства со скалярным произведением
§2	. Линейные операторы.................................. 126
1.	Алгебра линейных операторов. 2. Собственные числа и соб-
ственные векторы линейного оператора. 3. Линейные операторы
в пространствах со скалярным произведением. 4. Приведение
матрицы линейного оператора к диагональному виду
§	3. Билинейные и квадратичные формы...................... 143
1.	Линейные формы. 2. Билинейные формы. 3. Квадратичные
формы. 4. Кривые и поверхности второго порядка
§	4. Элементы тензорной алгебры........................... 154
1.	Понятие тензора. 2. Операции над тензорами. 3. Симме-
трирование и альтернирование. 4. Сопряженное пространство.
Тензор как полилинейная функция
Глава 4. Элементы общей алгебры ............................. 164
§ 1. Бинарные отношения и алгебраические операции........	164
1. Бинарные отношения и их свойства. 2. Виды бинарных от-
ношений. 3. Операции над бинарными отношениями. 4. Алге-
браические операции и их свойства
§2. Группы................................................ 176
1. Полугруппы. 2. Группы. 3. Группы подстановок. 4. Фактор-
группа. 5. Абелевы группы
§ 3. Кольца и поля ....................................... 194
1. Кольца. 2. Поля. 3. Многочлены над полями. Деление мно-
гочленов. 4. Фактор-кольцо. 5. Расширения полей. 6. Алгебры
над полем
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ ........................................... 237
ПРЕДИСЛОВИЕ ТИТУЛЬНЫХ РЕДАКТОРОВ
Настоящее издание «Сборника задач по математике для втузов»
подверглось значительной перестановке глав и их распределению
по томам. В результате первый том содержит алгебраические раз-
делы курса высшей математики, в том числе векторную алгебру и
аналитическую геометрию, определители и матрицы, системы ли-
нейных уравнений, линейную алгебру и новый раздел — общую
алгебру.
Второй том полностью посвящен изложению основ математи-
ческого анализа, дифференциальному и интегральному исчисле-
ниям функций одной и нескольких переменных, а также диффе-
ренциальным уравнениям.
В третьем томе собраны специальные разделы математиче-
ского анализа, которые в различных наборах и объемах изучаются
в технических вузах и университетах. Сюда относятся такие раз-
делы, как векторный анализ, элементы теории функций комплекс-
ной переменной, ряды и их применение, операционное исчисление,
методы оптимизации, уравнения в частных производных, а также
интегральные уравнения.
Наконец, четвертый том содержит теоретические введения, ти-
повые примеры и циклы задач по теории вероятностей и матема-
тической статистике.
Указанные выше изменения составляют лишь структурную пе-
реработку Сборника, никоим образом не затрагивая ни расположе-
ния материала внутри соответствующей главы, ни последователь-
ности нумерации примеров и задач.
В смысловом отношении авторы внесли только следующие из-
менения. Во всех разделах Сборника исключены теоретические
введения и циклы задач, связанные с численными методами. Дело
в том, что в настоящее время существует целый ряд программных
оболочек, каждая из которых реализует достаточно полный набор
стандартных методов приближенного решения задач, а основные
навыки работы с компьютером можно приобрести уже в школе.
Авторы посчитали также необходимым добавить один новый раз-
дел «Основы общей алгебры» и предложить цикл задач по тензорной
алгебре в разделе «Линейная алгебра» в первый, «алгебраический»
том Сборника. Это связано с тем, что круг идей и методов общей
алгебры все глубже проникает в наукоемкие отрасли промышлен-
ности и, следовательно, становится необходимой частью образова-
ния и подготовки специалистов по инженерным специальностям.
Кроме отмеченного выше, авторами выполнена стандартная
техническая работа по исправлению ошибок, описок и других не-
точностей, учтены также все замечания, возникавшие в процессе
работы с предыдущими изданиями Сборника.
А. В. Ефимов, А. С. Поспелов
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Идея создания «Сборника задач по математике для втузов», со-
держащего задачи по всем разделам курса математики инженерно-
технических специальностей вузов, принадлежит Б. П. Демидови-
чу. Однако преждевременная смерть профессора Б. П. Демидовича
помешала ему осуществить эту работу. Настоящий «Сборник за-
дач», подготовленный авторским коллективом, имеющим большой
педагогический опыт работы во втузах, — воплощение в жизнь
идеи Б. П. Демидовича.
Общая структура «Сборника задач» предложена редактором
А. В. Ефимовым и отражает содержание программы по математике
для инженерно-технических специальностей вузов, рассчитанной
на 510 часов и утвержденной Учебно-методическим управлением по
высшему образованию Минвуза СССР 14 мая 1979 г. При соста-
влении «Сборника задач» нашел отражение и опыт преподавания
курса математики в Московском институте электронной техники,
рассчитанного на 600-700 часов.
В сборник включены задачи и примеры по всем разделам вту-
зовского курса математики. С целью закрепления материала
школьной программы в нем, кроме того, приведен ряд задач, по-
зволяющих более углубленно повторить основные разделы ана-
лиза и векторной алгебры, изучаемые в школе.
Одной из основных особенностей настоящего сборника явля-
ется включение в большинство глав цикла расчетных задач, ре-
шение которых требует использования ЭВМ.
Предлагаемая первая часть сборника «Линейная алгебра и ос-
новы математического анализа» включает те разделы математики,
которые как правило, изучаются на первом курсе. Сюда относятся
векторная алгебра с элементами аналитической геометрии, линей-
ная алгебра, а также дифференциальное исчисление функций од-
ной и нескольких переменных и интегральное исчисление функ-
ций одной переменной.
Каждый раздел сборника задач снабжен кратким введением,
содержащим как необходимые теоретические сведения (определе-
ния, формулы, теоремы), так и большое число подробно разобран-
ных примеров. Начало решения примеров и задач отмечено зна-
ком О, а конец — знаком >. К задачам, номера которых помечены
соответственно одной или двумя звездочками, указания или реше-
ния даются в разделе «Ответы и указания».
Глава 1
ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
§ 1. Векторная алгебра
1. Линейные операции над векторами. Вектором (геометрическим
вектором) а называется множество всех направленных отрезков, име-
ющих одинаковую длину и направление. О всяком отрезке А$ из этого
множества говорят, что он представляет вектор а (получен приложе-
нием вектора а к точке А). Длина отрезка называется длиной
(модулем) вектора а и обозначается сим-
волом |а| = | А^|. Вектор нулевой длины
называется нулевым вектором и обозна- а/
чается символом 0.	/	______
Векторы а и Ъ называются равными -----------—а+Ь
(а = Ь), если множества представляю-
щих их направленных отрезков совпадают.	Рис. 1
В ряде задач часто бывает удобно не
различать вектор и какой-либо представляющий его направленный от-
резок. Именно в этом смысле, например, следует понимать выражение
«построить вектор».
Пусть направленный отрезок А.З представляет вектор а. Приложив к
точке В заданный вектор Ь, получим некоторый направленный отрезок
В(3. Вектор, представляемый направленным отрезком А$, называется
суммой векторов а и b и обозначается а + Ь (рис. 1).
Произведением вектора а на действительное число А называется
вектор, обозначаемый Аа, такой, что:
1) IАа| = |А|  Ы;
2) векторы а и Аа сонаправлены при А > 0 и противоположно напра-
влены при А < 0.
1.1.	Доказать, что операция сложения векторов обладает следу-
ющими свойствами:
а)	а -I- О = а;
б)	ai +	= аа + ai (коммутативность)',
в)	ai + (аг + аз) = (ai + аг) + аз (ассоциативность)-,
г)	Va3!b (а + Ь = О)
(вектор b называется вектором, противоположным вектору а, и
обозначается символом —а);
8
Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
. д) Vai, а23!аз (ai + аз = а2)
(вектор аз называется разностью векторов а2 и ai и обозначается
символом а2 — ai).
1.2.	Доказать равенства:
а)	—а = (—1)а;
6)	а2 - ai = а2 + (-ai);
в)	а = |а|ао, где ао — орт вектора а, т.е. вектор единичной
длины, сонаправленный с вектором а (а / 0).
1.3.	В параллелепипеде ABCDA'B'C'D' векторы т, п, р пред-
ставлены ребрами АЁ, аЬ, АА! соответственно. Построить век-
торы:
11 1
a)m + n + p; 6)-m+-n-p; в)-m - n +-р.
Z	£i	A
1.4.	Даны векторы ai и a2. Построить векторы 3ai, -а2, ai +
z
n 1
+ 2a2, -ai — a2.
z
1.5.	Доказать, что:
а)	операция умножения вектора на число обладает следующими
свойствами:
Оа = АО = 0, (AiA2)a = Ai(A2aj;
б)	операции сложения векторов и умножения их на числа свя-
заны следующими двумя свойствами дистрибутивности:
A(ai + а2) = Aai + Аа2 и (Ai + А2)а = Аха + А2а.
1.6.	Доказать равенства:
а)	а + |(Ь-а) = |(а + Ь);
Z	Z
б)	а - |(а+Ь) = |(а-Ь).
Z	Z
Каков их геометрический смысл?
1.7.	аЬ, В& и С^ — медианы треугольника АВС. Доказать
равенство АЙ + ВЙ + СЙ = О.
1.8.	АЙ и Вл1 — медианы треугольника АВС. Выразить
через р = АК и q = ВМ векторы АВ. ВС и С А.
1.9.	В параллелограмме АВСР обозначены: А$ = а, лЗ = ь.
точка пересечения диагоналей параллелограмма.
§ 1. Векторная алгебра
9
а и
, выразить AJN и через векторы
а и Ь.
1.11. ABCDEF — правильный шестиугольник, причем Аб =
= р, ВЁ = q. Выразить через р и q векторы СЁ), ЕЁ, ЁЁ, F%,
1i12. М — точка пересечения медиан треугольника АВС, О —
произвольная точка пространства. Доказать равенство ОМ =
= |(o2 + o3 + o3).
1.13.	В пространстве заданы треугольники АВС и А'В'С'-, М
и М' — точки пересечения их медиан. Выразить вектор ММ'
через векторы АА', ВВ' и ЁЁ'.
1.14.	Точки Е й F — середины сторон AD и ВС четырех-
угольника ABCD. Доказать, что ЕЁ = да+ ИЁ). Вывести
отсюда теорему о средней линии трапеции.
1.15.	В трапеции ABCD отношение длины основания AD к
длине основания ВС равно А. Полагая АЁ = а и В15 = Ь, выра-
1.16.	В треугольнике ABC AM = аАб и AN = flAC.^
а)	При каком соотношении между а и /3 векторы МЁ и ВЁ
коллинеарны.
б)	Пусть а и (3 таковы, что векторы МЁ и ВЁ неколлинеарны.
Полагая ВЁ = р и МЁ = q, выразить векторы и АЁ через
р и q.
Система векторов ai, ..., а2 называется линейно зависимой, если
существуют числа Ai, ..., А„ такие, что хотя бы одно из них отлично от
нуля и Ajaj + ... + Anan = 0. В противном случае система называется
линейно независимой.
1.17.	Доказать следующие геометрические критерии линейной
зависимости:
а)	система ai, ац линейно зависима в том и только в том слу-
чае, когда векторы ai и а.2 коллинеарны, т. е. их
совпадают или противоположны;
б)	система ai, &%, аз линейно зависима в том и только в том
случае, когда векторы ai, а? и аз компланарны, т.е.
некоторой плоскости;
в)	всякая система из п 4 векторов линейно зависима.
направления
параллельны
10
Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
1.18.	На стороне AD параллелограмма ABCD отложен вектор
А$ длины |AJ^| = Az5|, а на диагонали АС — вектор At ДЛИНЫ
5
|At| = —Доказать, что векторы к! и lS коллинеарны и
найти А такое, что Kt = X-L$.
1.19.	Разложить вектор s = a + b + cno трем некомпланарным
векторам: р = а + b — 2с, q = а — Ь, г = 2Ь + Зс.
1.20	Найти линейную зависимость между данными четырьмя
некомпланарными векторами: р = a + b, q = Ь — с, г = а — Ь + с,
s = b+^c.
1.21.	Даны четыре вектора a, b, с, d. Вычислить их сумму,
если известно, что а + b + с = ad, b + c + d = /3an векторы а,
Ь, с некомпланарны.
1.22.	Доказать, что для любых заданных векторов а, b и с
векторы а + b, b + сис-а компланарны.
1.23.	Даны три некомпланарных вектора а, b и с. Доказать,
что векторы а + 2Ь — с, За — b + с, —а + 5Ь — Зс компланарны.
1.24.	Даны три некомпланарных вектора а, b и с. Вычислить
значения А, при которых векторы Аа+Ь +с, a+Ab + с, а+Ь + Ас
компланарны.
1.25.	Даны три некомпланарных вектора а, b и с. Вычислить
значения А и р, при которых векторы Аа + рЪ + с и а + АЬ + рс
коллинеарны.
2. Базис и координаты вектора. Упорядоченная тройка некомпланар-
ных векторов ei, ег, ез называется базисом в множестве всех геоме-
трических векторов. Всякий геометрический вектор а может быть един-
ственным образом представлен в виде
а = A\ei + Хге2 + ^зез!	(1)
числа Xi, Хг, Хз называются координатами вектора а в базисе =
= (ej, ег, ез). Запись (1) называют также разложением вектора а по
базису *В.
Аналогично, упорядоченная пара ei, ег неколлинеарных векторов
называется базисом = (ei, ег) в множестве геометрических векторов,
компланарных некоторой плоскости.
Наконец, всякий ненулевой вектор е образует базис 2J = (е) в мно-
жестве всех геометрических векторов, коллинеарных некоторому напра-
влению.
Если вектор а есть линейная комбинация векторов а^, ..., ап с ко-
эффициентами Ai, ..., Ап, т.е.
п
а = 57 Л*аЬ
Л=1
§ 1. Векторная алгебра
11
то каждая координата ХДа) вектора а равна сумме произведений ко-
эффициентов Ai, Ап на одноименные координаты векторов ai, ...
п
Х<(а) = ^АкХДа)с), i = 1, 2, 3.
k=l
Базис 23 = (ej, е2, ез) называется прямоугольным, если векторы ei,
е2 и ез попарно перпендикулярны и имеют единичную длину. В этом
случае приняты обозначения
ei=i, е2 = j, e3=k.	(2)
Проекцией вектора а на вектор е называется число преа = |а| cost/?,
где у? = (а^е) — угол между векторами аие О)-
Координаты X, Y, Z вектора а в прямоугольном базисе совпадают с
проекциями вектора а на базисные орты i, j, к соответственно, а длина
вектора а равна
|а| = ^X2 + Y2 + Z2.	(3)
Числа	__ %
cos а — cos (a, i) = —=======,
v 7 х/Х2 + Y2 + Z2
-—-	Y
cos в = cos (a, i) = —====,
,	H 1 Jx2 + Y2 + Z2’
~ Z
cos7 = cos (a, k) = —=====
V '	y/X2 4- У2 + Z2
называются направляющими косинусами вектора а.
Направляющие косинусы вектора совпадают с координатами (про-
, 1
екциями) его орта а^ = — а.
1а1
1.26.	Задан тетраэдр О АВС. В базисе из ребер оА, 015 и 0(5
найти координаты:
а)	вектора D15, где D и Е — середины ребер oh и
б)	вектора 015, где F — точка пересечения медиан основания
АВС.
1.27.	В тетраэдре О АВС медиана AL грани АВС делится точ-
кой М в отношении |	: |м2| = 3:7. Найти координаты век-
тора в базисе из ребер оХ 015, 0(5.
1.28.	Вне плоскости параллелограмма ABCD взята точка О.
В базисе из векторов о5±, 015 и ОС найти координаты:
а)	вектора ОМ, где М — точка пересечения диагоналей па-
раллелограмма;
б)	вектора 015, где К — середина стороны AD.
12 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
1.29.	В трапеции ABCD известно отношение длин оснований:
-А
А- = X. Найти координаты вектора СВ в базисе из векторов
7^ 0, 1; а/3 7^ 1), О — точка пересечения СМ и BN. В базисе из
векторов ОМ и 0$ найти координаты:
а)** вектора оА;
б) векторов AI-!, В<5 и сА.
= 'уСХ. Пусть Р, Q и R — точки пересечения прямых BF и СК,
СК и AM, AM и BF соответственно. В базисе из векторов А$
и А(5 найти координаты векторов А?, В(*) и С А.
1.32.	Дан правильный пятиугольник ABCDE. В базисе из
векторов и А& найти координаты:
1.33.	Дан треугольник АВС, Aid =	Пря-
мая MN пересекает ВС в точке К.
а^ Найти координаты вектора А$ в базисе из векторов
б) Доказать, что векторы р = А^ + К d, q — 3(5 + JVa}
и г = сХ + М$ коллинеарны и определить коэффициент 7 в
равенстве р = 7g.
1.34.	В тетраэдре ABCD DM — медиана грани BCD и Q —
центр масс этой грани. Найти координаты векторов Did и AQ в
В дальнейшем, если не оговаривается противное, векторы предста-
влены своими координатами в некотором прямоугольном базисе. Запись
а = {X, Y, Z} означает, что координаты вектора а равны X,Y и Z, т.е.
а = Xi + Fj + Zk.
1.35.	Заданы векторы ai — {—1, 2, 0}, аг = {3, 1, 1}, аз =
= {2, 0, 1} и а — ai - 2аг + -аз. Вычислить:
a) |ai| и координаты орта а^о вектора аи
§1. Векторная алгебра
13
б) cos(ai, j);
в) координату X вектора а;
г) npja.
1.36.	Заданы векторы е = < -1, 1, - > и а = {2, -2, -1}.
I “ J
Убедиться, что они коллинеарны, и найти разложение вектора а
по базису *В — (е).
1.37.	На плоскости заданы векторы ei = {—1, 2}, е2 = {2, 1}
и а = {0, —2}. Убедиться, что *В = (ej, е?) — базис в множестве
всех векторов на плоскости. Построить заданные векторы и найти
разложение вектора а по базису !В.
1.38.	Показать, что тройка векторов ei = {1,0,0}, е? = {1,1,0}
и ез = {1, 1, 1} образует базис в множестве всех векторов про-
странства. Вычислить координаты вектора а = —2i — к в базисе
*В = (ei, ез, ез) и написать соответствующее разложение по ба-
зису.
1.39.	Заданы векторы а = 2i + 3j, b = —3j — 2k, c = i + j — k.
Найти:
а)	координаты орта ao;
ч	1,
б)	координаты вектора a — -b + с;
в)	разложение вектора a + b — 2c по базису 23 = (i, j, k);
r) npj(a-b).
1.40.	Найти координаты орта ao, если a = {6, 7, —6}.
1.41.	Найти Z(a), если X(a) — 3, У (a) = —9 и |a| = 12.
1.42.	Найти длину и направляющие косинусы вектора р =
— За — 5Ь + с, если а = 4i + 7j + 3k, b = i + 2j + k, c = 2i — 3j — k.
1.43.	Найти вектор x, коллинеарный вектору a = i — 2j — 2k,
образующий с ортом j острый угол и имеющий длину |х| — 15.
1.44.	Найти вектор х, образующий со всеми тремя базисными
ортами равные острые углы, если |х| — 2%/3-
1.45.	Найти вектор х, образующий с ортом j угол 60°, с ортом
к — угол 120°, если |х| = 5\/2.
1.46.	При каких значениях а и /3 векторы а = —2i + 3j + ak и
b = /3i — 6j + 2k коллинеарны?
1.47*	. Найти вектор х, направленный по биссектрисе угла между
векторами а = 7i — 4j — 4k и b = —2i — j + 2k, если |x| = 5%/6-
1.48.	Заданы векторы: a = {1, 5, 3}, b = {6, —4, —2}, c =
= {0, —5, 7} и d = {—20, 27, —35}. Требуется подобрать числа a,
/? и 7 так, чтобы векторы аа, /?Ь, 7с и d образовывали замкнутую
ломаную линию, если «начало» каждого последующего вектора
совместить с «концом» предыдущего.
14 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
1.49.	В тетраэдре ОАВС плоские углы трехгранного угла с
вершиной О — прямые. Точка Н — основание перпендикуляра,
проведенного из вершины О к плоскости грани АВС. Найти ко-
ординаты вектора 01^ в базисе из векторов о!,О$ и ой, если
|СМ| = а, |О^| = Ь, |ОЙ| = с.
3. Декартовы прямоугольные координаты точки. Простейшие задачи
аналитической геометрии. Говорят, что в трехмерном пространстве вве-
дена декартова прямоугольная система координат {О, ®), если за-
даны:
1) некоторая точка О, называемая началом координат-,
2) некоторый прямоугольный базис 53 = (i, j, к) в множестве всех
геометрических векторов.
Оси Ох, Оу и Oz, проведенные через точку О в направлении базис-
ных ортов i, j и к, называются координатными осями системы коорди-
нат (О, 23) = Oxyz.
Если М — произвольная точка пространства, то направленный отре-
зок Ол/ называется радиус-вектором точки М. Координатами точки
М в системе {О, <8} называются координаты ее радиус-вектора как
геометрического вектора в базисе 23,
х(м} = х(о13), y(M) = Y(oiti), z(M} = z(pti).
Если М\(х\, у\, zi) и Mz(x2, У2, Да) — две произвольные точки в
пространстве, то координаты вектора М1М2 равны
X = х2 -	, Y = У2 - У1, Z = Z2 - Z1.	(4)
Отсюда на основании (3) расстояние между точками выражается форму-
лой
p(Mi, М2) = |Л£1Л^| = У(х2 - xj)2 + (у2 - уС)2 + (г2 - Д1)2-
При решении задач аналитической геометрии целесообразно макси-
мально использовать методы векторной алгебры.
Пример 1. Заданы вершины А(1, 0, — 1), 13(2,2,1) и точка
Е(— 1, 2, 1) пересечения медиан треугольника АВС. Найти координаты
вершины С.
<1 Так как координаты вершины А заданы, то для вычисления коорди-
нат вершины С достаточно найти координаты вектора А$. Пусть BF —
медиана, проведенная из вершины В. Тогда
Ад = 2А^ = 2(В% + Вр) = 2^А^ + ^В^	(5)
(здесь использован тот факт, что точка Е делит медиану BF в отно-
шении 2:1). Далее, из условий задачи с помощью формулы (4) вычи-
сляем координаты векторов АЁ = {1, 2, 2} и В% = {-3, 0, 0}, откуда
§1. Векторная алгебра
15
на основании (5) получаем А(5 = {—7, 4, 4} и, наконец, вновь используя
формулу (4), находим координаты точки С:
т(С) = х
= 3. >
z{C) = z~
Пусть на прямой I заданы точки Mi, М2 и М, причем Mi Л/2-
Рассмотрим векторы Mi hi и ММ2. Так как они коллинеарны, то най-
дется такое действительное число А, что Mi hi = А • ММ2. Число А
называется отношением, в котором точка М делит направленный отре-
зок М1М2, причем оно положительно, если точка М находится внутри
отрезка М1М2, отрицательно (и А^ —1), если М находится вне М1М2,
и равно 0, если М = Mi.
Пример 2. Зная координаты точек Mi(xi, yi, zi) и M2(x2, У2,
и отношение А, в котором точка М делит направленный отрезок М1М2,
найти координаты точки М.
< Пусть О — начало координат. Обозначим: ОМ^ — и, ОМ*2 — г2,
Qhi = г. Так как
Mi hi = г - ri, ММ2 = г2 - г,
то
г - ri = А(г2 - г),
откуда (так как А / -1)
г =
Г1 + Аг2
1 + А ‘
Полученная формула и дает решение задачи в векторной форме. Пе-
реходя в этой формуле к координатам, получим
Xi + Ах2 yi + Л?/2	+ Az2
1 = ЧЧл'' 1, = -iTV г = 'Т?л_ '>
(6)
1.50.	Точка М(1, —5, 5) задана своими координатами в декар-
товой прямоугольной системе координат (О, 23 = (i, j, к)). Найти
координаты этой точки в системе {О', 23' = (i', У, к')), если:
а)	00' = —2i + j - к и i' = i, j' = j, к' = к;
б)	О' - О и i' = -j, j' = к, к' = i;
в)	OC^'=j и =	j' = 4=(i-j), к' = к
у Лл	у Ы
(предварительно убедиться, что 23' — прямоугольный базис).
16 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
1.51.	Даны три вершины Л(3, —4,7), В{~5,3, —2) и (7(1,2, —3)
параллелограмма ABCD. Найти его четвертую вершину D, про-
тивоположную В.
1.52.	Даны две смежные вершины параллелограмма Л(—2, 6),
В(2, 8) и точка пересечения его диагоналей М(2, 2). Найти две
другие вершины.
1.53.	Определить координаты вершин треугольника, если из-
вестны середины его сторон: К(2, —4), М(6, 1), N(—2, 3).
1.54.	На оси абсцисс найти точку М, расстояние от которой до
точки Л(3, —3) равно 5.
1.55.	На оси ординат найти точку М, равноудаленную от точек
Л(1, —4, 7) и В(5, 6, -5).
1.56.	Даны вершины треугольника Л(3, —1, 5), В(4, 2, —5) и
С(—4, 0, 3). Найти длину медианы, проведенной из вершины Л.
1.57.	Отрезок с концами в точках Л(3, —2) и В(6, 4) разделен
на три равные части. Найти координаты точек деления.
1.58.	Определить координаты концов отрезка, который точками
(7(2, 0, 2) и £>(5, —2, 0) разделен на три равные части.
1.59*	. Заданы точки Л(1, 2, 3), В(2, —2, 1), (7(3, 0, 3) и
£>(16, 10, 18). Е — точка пересечения плоскости О АВ (О — на-
чало координат) с прямой, проведенной через точку D параллельно
прямой ОС. Найти координаты точки Е.
1.60*	. Заданы точки Л(2, 5, 2) и В(14, 5, 4); С — точка пересе-
чения координатной плоскости Оху с прямой, проведенной через
точку В параллельно прямой О А. Найти координаты точки С.
1.61.	Даны вершины треугольника Л(1, —1, —3), В(2, 1, —2)
и (7(—5, 2, —6). Вычислить длину биссектрисы его внутреннего
угла при вершине Л.
<1 Найдем разложение вектора АЙ по базису из векторов АЙ и Л(5.
— орты векторов АЙ и А<5. Тогда
Пусть ei = и ег =
вектор А1% сонаправлен с вектором е = ei + ег (ср. с задачей 1.47), т. е.
существует число X > 0 такое, что
(7)
С другой стороны,
АЙ = Л^ + СЙ = лЙ + рС^ = ЛЙ + р(А$ - ЛЙ) =
= р,А& + (1 - м)лЙ>
М>0. (8)
§ 1. Векторная алгебра.
17
Формулы (7) и (8) представляют собой два разложения вектора АЕ
по базису из векторов АЙ и A^. В силу единственности разложения
вектора по базису имеем
ЙГ" ” ЙТ1-"'	19)
Решая систему (9), находим
д =	1	=
1/|АЙ| +1/|аЙ| |АЙ| + |АЙ|’
так что формула (7) принимает вид
А% =	+	13?! дЗ. (io)
|АВ| + |АЙ| |АВ| + |АС|
Из условий задачи находим:
= {1, 2, 1} и |АЙ| = Й6, АЙ = {-6, 3, -3} и |АЙ| = З7б,
и на основании (10) получаем
АЙ=ЛаЙ-ДаЙ,
4	4
о/куда
( 3 9 А	,-±,3/—
АЕ = <0 > и АЕ =-V10. >
( 4 4 J	' '4
1.62.	Треугольник задан координатами своих вершин
А(3, —2, 1), £?(3, 1, 5), <7(4, 0, 3). Вычислить расстояние от на-
чала координат до точки пересечения медиан этого треугольника.
1.63.	Даны вершины треугольника А(1, 0, 2), В(1, 2, 2) и
<7(5, 4, 6). Точка L делит отрезок АЙ в отношении А = СЕ —
медиана, проведенная из вершины С. Найти координаты точки
М пересечения прямых BL и СЕ.
4.	Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением не-
нулевых векторов ai и а2 называется число
(аь а2) = |a1||a2|cos(ai, а2).
Для скалярного произведения наряду с обозначением (alt а2) использу-
ется также обозначение aia2.
Геометрические свойства скалярного произведения:
1) ai ± а2 О aja2 =0 (условие перпендикулярности векторов)-,
2) если <р = (аГГаг), то
0 ip < — О aia2 >0 и
- < < л aja2 < 0.
18 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
'2
Алгебраические свойства скалярного произведения:
1)	а^аг = &2ai >
2)	(Aai)a2 = A(aia2);
3)	a(bi + b2) = abi + ab2.
Если векторы ai = {Al, Yi, Z\] и a2 = {X2, У2, Z2} представлены
своими координатами в прямоугольном базисе, то скалярное произведе-
ние равно	„ „ ,	_	. .
aja2 — XjA2 + Y1Y2 + AiZ2.	(*)
Из этой формулы, в частности, следует формула для определения коси-
нуса угла между векторами
z  ------------ а1 а2
COS(ai, а2) = ;   ; — —.	.	...
|ai||a2| y/xf + У;2 + Z? \/А2 + У22 + Z2
1.64.	Взяв формулу (*) за определение скалярного произведе-
ния, доказать справедливость алгебраических свойств 1), 2), 3)
скалярного произведения.
______________________________2тг
1.65.	|ai| = 3, |аг| = 4, (аТГаг) = Вычислить:
а)	а? = a^i;
б)	(3ai - 2a2)(ai + 2а2);
в)	(ai + а2)2.
1.66.	|ai| — 3, |а2| = 5. Определить, при каком значении а
векторы ai + аа2 и а; — аа2 будут перпендикулярны.
1.67.	Вычислить длину диагоналей параллелограмма, постро-
енного на векторах а = р — 3q, b — 5р + 2q, если известно, что
|р| = 2>/2, |q| = 3 и (p?q) =
1.68.	Определить угол между векторами а и Ь, если известно,
что (а - Ь)2 + (а + 2Ь)2 = 20 и |а| = 1, |Ь| = 2.
1.69.	В треугольнике АВС АВ = Зе^ — 4е2, вЗ = ei + 5е2.
Вычислить длину его высоты С1£, если известно, что ei и е2 —
взаимно перпендикулярные орты.
1.70.	Вычислить пра+ь(2а — Ь), если |а| = |b| = 1 и (а, Ь) =
= 120°.
1.71.	Известно, что АВ = 2ei — 6е2 и АС = 3ei + е2, где
ei и е2 — взаимно перпендикулярные орты. Определить углы
треугольника АВС.
1.72.	Найти угол, образованный единичными векторами ei и
е2, если известно, что векторы а = ei + 2е2 и b = 5е; — 4е2
перпендикулярны.
1.73.	Найти угол а при вершине равнобедренного треуголь-
ника, зная, что медианы, проведенные из концов основания этого
треугольника, взаимно перпендикулярны.
§ 1. Векторная алгебра
19
1.74.	К вершине куба приложены три силы, равные по величине
1, 2, 3 и направленные по диагоналям граней куба,- проходящим
через эту вершину. Найти величину равнодействующей этих трех
сил.
1.75.	Задан прямоугольник ABCD и вне его произвольная точ-
ка М. Доказать равенство	Вывести отсюда,
что |АМ|2 + |МС|2 = |М^|2 + |ЛЙ5|2.
1.76*	. ABCD — равнобочная трапеция, А$ = а — основа-
ние, аЬ = b — боковая сторона, угол между А^ и аЬ равен
Выразить через а и b векторы В(3, С1$, А(5 и D$.
1.77.	Зная, что |а| = 3, |b| = 1, |с| = 4 и а + b + с = О,
вычислить ab + Ьс + са.
1.78.	Даны векторы ai = {4, —2, —4} и а2 = {6, —3, 2}. Вы-
числить:
a) aia2; б) (2ai - 3a2)(aj + 2а2); в) (aj - а2)2;
г)	|2аг - а2|; д) пра1а2; е) пра2аг,
ж) направляющие косинусы вектора ап
3) nPai+a2(ai - 2а2); и) cos (аТГа^).
* 1.79. Даны точки А(2, 2) и В(5, —2). На оси абсцисс найти
------------------------- 7Г
такую точку М, чтобы AM В = —.
1.80.	Найти длины сторон и величины углов треугольника с
вершинами А(—1, —2, 4), В(—4, —2, 0) и (7(3, —2, 1).
1.81.	Для заданных векторов а, b и с вычислить прс(2а — ЗЬ):
а)	а = -i + 2j + k, b — 3i + j + k, c = 4i + 3j;
6)	a = i 2j + 3k, b = -3i + 2j - k, c = 6i + 2j + 3k.
1.82.	Доказать, что четырехугольник с вершинами А(—3, 5, 6),
В(1, —5, 7), С(8, —3, —1) и £>(4, 7, -2) — квадрат.
1.83.	Найти косинус угла у? между диагоналями АС и BD па-
раллелограмма, если заданы три его вершины А(2, 1, 3),
В(5, 2, -1) и (7(-3, 3, -3).
1.84.	Вычислить работу силы F = i + 2j + к при перемеще-
нии материальной точки из положения А(—1, 2, 0) в положение
В(2, 1, 3).
1.85.	Даны векторы а = {1, 1}иЬ = {1, —1}. Найти косинус
угла между векторами х и у, удовлетворяющими системе уравне-
ний 2х + у = а, х + 2у = Ь.
1.86.	Векторы а, b и с имеют равные длины и образуют попарно
равные углы. Найти координаты вектора с, если а = i 4- j, b =
= j + k.
20 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
<1 Если с = Xi + Yj + Zk, то из условия задачи следует, что вектор с
удовлетворяет системе уравнений
са = X + Y = ab = 1,
cb = Y + Z = ab = 1,
|с|2 = X2 + Y2 + Z2 = |а|2 = |Ь|2 = 2.
Решая эту систему, находим Xi
Y> = 0, Z2 — 1. с>
1
3’
4	1
Yi = -, Zi = -- или Х2 = 1,
и	О
1.87.	Лучи [ОЛ), [ОВ) и [ОС) образуют попарно равные углы
7Г
величины —. Найти угол между биссектрисами углов Z.AOB и
ZBOC.
1.88.	Найти координаты вектора х, коллинеарного вектору а =
= {2, 1, —1} и удовлетворяющего условию ах = 3.
1.89.	Вектор х перпендикулярен векторам а; = {2, 3, —1} и
аг = {1, —2, 3} и удовлетворяет условию x(2i— j+k) = —6. Найти
координаты х.
Если задан некоторый вектор е, то ортогональной составляющей
произвольного вектора а вдоль вектора е называется такой вектор ае,
который коллинеарен е, а разность а — а,, перпендикулярна вектору е.
Аналогично, ортогональной составляющей вектора а в плоскости
Р называется вектор аР, компланарный плоскости Р, причем разность
а — аР перпендикулярна этой плоскости.
1.90.	Для вектора а = {—1, 2, 1} найти ортогональную соста-
вляющую вдоль базисного орта j и ортогональную составляющую
в плоскости векторов ink.
1.91.	Заданы векторы е = {1, 1, 1} и а = { — 1, 2, 1}. Найти:
а)	ортогональную составляющую вектора а вдоль вектора е;
б)	ортогональную составляющую вектора а в плоскости Р, пер-
пендикулярной вектору е.
1.92.	Заданы вершины треугольника А( — 1, — 2,4), В(—4, —1, 2)
и С(—5, 6, —4); BD — его высота, проведенная через вершину В.
Найти координаты точки D.
1.93*	. Заданы векторы ei = {1, —2, 0}, е2 = {1, 1, 1} и а =
= {—2, 0, 1}. Найти ортогональную составляющую ае11е2 вектора
в плоскости векторов ei и е2.
Если базис ® = (ei, е2, ез) — прямоугольный, то координаты про-
извольного вектора а = Xjei 4- Х2е2 + -Хзе3 в этом базисе могут быть
вычислены по формуле
X, = aej, i = 1, 2, 3.
(И)
§ 1. Векторная алгебра
21
В частности, формула (11) позволяет легко найти связь между коор-
динатами одного и того же вектора й различных прямоугольных базисах.
Пример 3. Пусть базис ®' — (Г, j')
получен из базиса ® = (i, j) поворотом по-
следнего вокруг точки О на угол <р > 0 (мы
считаем, что <р > 0, если поворот произве-
ден против часовой стрелки, и у < 0 в про-
тивном случае) (рис. 2). Установить связь
между координатами вектора а в базисах ®
и ©'.
<3 Пусть а = Xi + Yj. Тогда
X' = ai' = Xii' + Yji', Y' = aj' = Xij'+ Yjj'. (12)
С другой стороны, имеем:
ii'
ч'
= cosy, ji'= cos
/7Г	\
= cos (^ - + <pj = -
~<p) = sin<p’
sincp, jj' = COS(£.
Поэтому формулы преобразования координат (12) принимают вид
X' = X cos<p + Y sin у,
Y' — — X sin у + Y cosy. >
1.94.	Вывести формулы преобразования координат точек плос-
кости при переходе от системы координат (О, 2J = (i, j)) к системе
(О', 2J' = (i', j')), если 00' ~ то* + yoj, а базис получен из ба-
зиса 2J поворотом на угол у > 0 вокруг точки О.
1.95.	Написать формулы преобразования координат векторов
при переходе от базиса $5 = (i, j, к) к базису = (Г, j', к'), если
i' = cosy • i -I- sin у • j, j' = — sin у  i + cosy • j, k'= —k.
1.96.	В прямоугольном базисе $5 = (i, j, к) вектор а имеет
разложение а = —2i + j — к. Убедиться, что тройка векторов
1 .	1 ,	,, 1 . 1 .
1 =i, J — —fJ------r=k, k = —7'j 4—F-k
Vl	^	72
также образует прямоугольный базис $5' = (i', j', k'), и найти в
этом базисе координаты вектора а.
1.97.	Проверить, что тройка векторов ei = {1, —2, 0}, е2 =
= {0, 1, 1} и ез = {1, 2, 2} образует (косоугольный) базис. Выра-
зить скалярное произведение векторов ai, аг через их координаты
в этом базисе, если
ai = ei + ^г)е2 + xj1}e3 и а2 = xj2)ei + Хр}е2 + Х<2)е3.
22 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
5. Векторное произведение векторов. Упорядоченная тройка неком-
планарных векторов ei, ег, е3 называется правой, если наблюдателю,
находящемуся внутри телесного угла, образованного этими векторами,
кратчайшие повороты от ei к е2 и от ег к е3 кажутся происходящими
против часовой стрелки. В противном случае тройка ei, е2, е3 назы-
вается левой.
Векторным произведением вектора ai на вектор а2 называется век-
тор, обозначаемый символом [aj, а2] (или ai х а2), определяемый сле-
дующими тремя условиями:
1)	длина вектора [а2, а2] равна площади параллелограмма, постро-
енного на векторах ai и а2, т.е. |[аг, а2]| = |ах||а2] sin (аГГаг);
2)	вектор [а1; а2] перпендикулярен плоскости векторов а! и а2;
3)	упорядоченная тройка ai, а2, [aj, а2] правая.
Из определения векторного произведения следует, что
а! || а2 О [aj, а2] = 0.
Алгебраические свойства векторного произведения:
1)	[»1, аг] = -[аг, ах];
2)	[Ла15 а2] = Л[а1; а2];
3)	[ах -I- а2, b] = [aj, Ъ] + [а2, Ь].
Если ai = {Ад, Yi, Zi} иа2 = {JV2, Y2, Z2} — векторы, заданные
своими координатами в правом прямоугольном базисе, то разложение
векторного произведения [ai, а2] в том же базисе имеет вид
[аъ а2] = (У^2 - ZiK2)i + (^Х2 - XiZ2)j + (XtY2 - KiX2)k,
или, в символической записи (с использованием понятия определителя
3-го порядка; см. § 1 гл. 2)
[ai, а2] =
i j
Xi У
Х2 У2
к
Zi
z2
(13)
1.98.	|aj| = 1, |a2| = 2 и (аГТаг) = Вычислить:
а) 11а1 > аг]|; б) |[2ai + а2, ах + 2а2]|; в) |[ai + За2, За! - а2]|.
1.99.	Какому условию должны удовлетворять векторы ai и а2,
чтобы векторы ai + а2 и ai — а2 были коллинеарны?
1.100.	Упростить выражения:
a)	[i, j + k] - (j, i + k] + [k, i + j + к],
б)	[а + b + с, с] + [а + b + с, Ь] + [Ь - с, а],
в)	[2а + Ь, с - а] + [Ь + с, а + Ь],
г)	2i[j, к] + 3j[i, к] + 4k[i, j].
1.101.	Доказать, что [а — Ь, а + Ь] = 2[а, Ь] и выяснить геоме-
трический смысл этого тождества.
§ 1. Векторная алгебра
23
1.102.	|а| = |Ь| = 5, (а, Ь) =
Вычислить площадь тре-
угольника, построенного на векторах а — 2Ь и За + 2Ь.
1.103.	Векторы а, b и с связаны условием а + b + с = 0.
Доказать, что [а, Ь] = [Ь, с] = [с, а]. Каков геометрический смысл
этого результата?
1.104. Доказать, что при любых векторах а, р, q и г векторы
[а, р], [a, q] и [а, г] компланарны.
-—7Г
1.105. |а| = 2, |Ь| = 5, (а, Ь) = —. Выразить через векторы
О
а и b единичный вектор со, перпендикулярный векторам а и b и
такой, что:
а)	тройка (а, Ь, со) правая;
б)	тройка (Ь, со, а) левая.
1.106.	Заданы векторы ai — {3, —1, 2} и аз = {1, 2, —1}.
Найти координаты векторов:
a) [ai, а2]; б) [2ai + а2, а2]; в) [2аг - а2, 2ai + а2].
1.107.	Вычислить площадь треугольника с вершинами А (1,1,1),
В(2, 3, 4) и 0(4, 3, 2).
1.108.	В треугольнике с вершинами А(1, —1, 2), В(5, —6, 2) и
Р(1, 3, —1) найти высоту h — |В?3|.
1.109.	Определить, при каких значениях а и Д вектор ai 4-
+ 3j + Дк будет коллинеарен вектору [а, Ь], если а = {3, —1, 1},
Ъ = <1, 2, 0}.
1.110.	Для заданных векторов а = {2, 0, 3}, b = {—3, 5, 4},
с = {3, 4, —1} вычислить проекцию вектора [а, Ь] на вектор
(а, Ь)с.
1.111.	Для заданных векторов а = {2, 1, —1}, b = {1, 2, 1},
с = {2, —1, 3}, d = {3, —1, 2} вычислить проекцию вектора а + с
на вектор [b - d, с].
1.112.	Найти вектор [а, а + Ь] + [а, [а, Ь]], если а = {2, 1, —3},
Ь = {1,-1,1}.	...
1.113.	Найти вектор [АВ + АС, [ВО, АВ]], если А(2, 2, 3),
В(1, 0, 4), 0(2, 3, 5).
1.114.	Три ненулевых вектора а, b и с связаны соотношениями
а = [b, с], b = [с, а], с = [а, Ь]. Найти длины этих векторов и
углы между ними.
1.115. Сила F = 2i — 4j + 5k приложена к точке А(4, —2, 3).
Определить момент этой силы относительно точки 0(3, 2, -1).
1.116. Даны три силы: Fi = {2, -1, -3}, F2 = {3, 2, —1} и
F3 = {—4, 1, 3}, приложенные к точке А(—1, 4, 2). Определить
величину и направляющие косинусы момента равнодействующей
этих сил относительно точки 0(2, 3, —1).
24
Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
1.117.	Вычислить площадь параллелограмма, диагоналями ко-
торого служат векторы 2ei — ег и 4ei — 5ег, где ei и ег — единич-
ные векторы и (ёГГег) =
1.118.	Найти координаты вектора х, если известно, что он пер-
пендикулярен векторам ai = {4, —2, —3} и а? = {0, 1, 3}, обра-
зует с ортом j тупой угол и |х| = 26.
1.119.	Найти координаты вектора х, если он перпендикулярен
векторам ах = {2, —3, 1} и аг = {1, —2, 3}, а также удовлетворяет
условию x(i + 2j — 7k) = 10.
1.120.	При каких условиях уравнение аг = [ах, х] имеет реше-
ние относительно х? Сколько существует решений?
1.121.	Найти составляющую вектора а = {—1, 2, 0}, перпенди-
кулярную плоскости векторов ei = {1, 0, 1} и ег = {1, 1, 1}.
1.122.	Как изменится выражение (13), если координаты век-
торов задать в левом прямоугольном базисе? Будет ли верна эта
формула в случае косоугольного базиса?
1.123*	. Вектор [а, [Ъ, с]] называется двойным векторным про-
изведением заданных векторов. Доказать, что справедливо равен-
ство
[а, [Ь, с]] = Ь(а, с) - с(а, Ь).
6. Смешанное произведение векторов. Смешанным произведением
упорядоченной тройки векторов ах, а2, а3 называется число ([ах, а2], а3).
Геометрические свойства смешанного произведения:
1)	если V — объем параллелепипеда, построенного на векторах at,
а2 и а3, то
( V, если тройка (ах, а2, а3) правая,
ах,а2а3 = Г
[ — V, если тройка (ах, а2, а3) левая;
2)	для того чтобы три вектора ах, а2, а3 были компланарны, необ-
ходимо и достаточно выполнение условия [ах, а2]а3 = 0.
Основное алгебраическое свойство смешанного произведения состоит
в том, что циклическая перестановка векторов не меняет его величины,
Т‘е‘	[а3, а2]а3 = [а2, а3]ах = [а3, ах]а2.
Это свойство позволяет ввести обозначение [ах, а2]а3 = аха2а3 (резуль-
тат не зависит от того, как расставить квадратные скобки в правой ча-
сти). Смешанное произведение через кодрдинаты векторов в правом пря-
моугольном базисе записывается в виде
аха2а3 =
Хг У1
Х2 У2
Х3 Y3
Z1
Z2
z3
1.124.	Векторы ах, аг, а3 образуют правую тройку, взаимно
перпендикулярны й |ai| — 4, |аг| = 2, |аз| = 3. Вычислить
ах аг аз-
§ 1. Векторная алгебра
25
1.125.	Векторы а, Ь, с образуют левую тройку, |а| = 1, |Ь| = 2,
|с| = 3 и (а, Ь) = 30°; с ± а, с ± Ь. Найти abc.
1.126.	Заданы векторы ai = {1, —1, 3}, а2 = {—2, 2, 1} и а3 =
= {3, —2, 5}. Вычислить аха2а3. Какова ориентация троек:
а) (ах, а2, а3); б) (а2, ах, а3); в) (аь а3, а2)?
1.127.	Установить, образуют ли векторы ах, а2 и а3 базис в
множестве всех векторов, если:
а)	ах = {2, 3, -1}, а2 = {1, -1, 3}, а3 = {1, 9, -И};
б)	ai = {3, —2, 1}, а2 = {2, 1, 2}, а3 = {3, -1, -2}.
1.128.	Доказать, что |аха2а3| |ах||а2||а3|; в каком случае
имеет место знак равенства?
1.129.	Доказать, что при любых а, b и с векторы а — b, b — с
и с — а компланарны. Каков геометрический смысл этого факта?
1;130. Доказать тождество
(а + b + с)(а - 2b + 2с)(4а + b + 5с) = 0.
1.131.	Доказать, что если а[а, Ь] + /3[Ь, с] + 7[с, а] = 0, причем
хотя бы одно из чисел а, [3 и 7 отлично от нуля, то векторы а, b
и с компланарны.
1.132.	Вычислить объем тетраэдра О АВС, если оХ = 3i + 4j,
= -3j + k, 0(5 = 2j + 5k.
1.133.	Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках
А(2, -3, 5), В(0, 2, 1), С(-2, -2, 3) и 0(3, 2, 4).
1.134.	В тетраэдре с вершинами в точках А(1, 1, 1), В (2, 0, 2),
С(2, 2, 2) и 0(3, 4, —3) вычислить высоту h = |ОВ|.
1.135.	Проверить, компланарны ли данные векторы:
а)	а = —2i + j 4- k, b = i — 2j + 3k, c = 14i — 13j + 7k;
6)	a = 2i + j — 3k, b = 3i - 2j + 2k, c = i - 4j + k.
1.136.	При каком А векторы a, b, с будут компланарны?
a)	a = {A, 3, 1}, b = {5, -1, 2}, c = {-1, 5, 4};
6)	a = {1, 2A, 1}, b = {1, A, 0}, c = {0, A, 1}.
1.137.	Доказать, что четыре точки A(l, 2, —1), В(0, 1, 5),
СД—1, 2, 1) и .0(2, 1, 3) лежат в одной плоскости.
1.138.	Найти координаты четвертой вершины тетраэдра ABCD,
если известно, что она лежит на оси Оу, а объем тетраэдра ра-
вен V:
а)	Л(—1, 10, 0), В(0, 5, 2), С(Ь, 32, 2), V = 29;
б)	А(0, 1, 1), В(4, 3, -3), С(2, -1, 1), V = 2.
26 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
1.139.	Доказать, что объем параллелепипеда, построенного на
диагоналях граней данного параллелепипеда, равен удвоенному
объему данного параллелепипеда.
1.140.	Доказать тождества:
а)	(а + c)b(a + b) = -abc;
б)	(а — b)(a — b — с) (а + 2Ь — с) = ЗаЬс;
в)	(а + b)(b + с) (с + а) = 2abc;
г)	Vq, {3 (ab(c + аа + /ЗЬ) = abc).
§ 2. Линейные геометрические объекты
1.	Прямая на плоскости. Прямая на плоскости в декартовой прямо-
угольной системе координат Оху может быть задана уравнением одного
из следующих видов:
1)	Ах + By + С = 0 — общее уравнение прямой',
2)	А(х - то) + В(у - у0) = 0 — уравнение прямой, проходящей через
точку Мо(хо, Уо) перпендикулярно нормальному вектору п = {А, В};
х — то У ~ Уо
3)	—:— = ;---------уравнение прямой, проходящей через точку
I m
Mq(xo, уо) параллельно направляющему вектору q = {I, m} (канони-
ческое уравнение прямой);
( X — Xq +	.
4)	1 _	-|.m/	6 (—оо, +оо) — параметрические уравнения
прямой, которые в векторной форме имеют вид
г = го + qi,
где го = {а?о, Уо} — радиус-вектор точки M0(xQ, у0), q = {I, т} —
направляющий вектор прямой;
5)	- + 7 = 1 — уравнение прямой в отрезках, где а и b — величины
а о
направленных отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях Ох
и Оу соответственно;
6)	a: cos а + у cos/З — р = 0 — нормальное уравнение прямой, где
сова и cos/3 — направляющие косинусы нормального вектора п, напра-
вленного из начала координат в сторону прямой, а р > О — расстояние
от начала координат до прямой.
Общее уравнение 1) приводится к нормальному виду 6) путем умно-
жения на нормирующий множитель
„ - sgng
М VA2 + В2 ’
Если прямая L задана уравнением вида 6), а М(х, у) — некоторая точка
плоскости, то выражение
5(М, L) = х cos а + у cos (3 — р
задает отклонение точки М от прямой L. Знак б(М, L) указывает
на взаимное расположение точки М, прямой L и начала координат, а
§ 2. Линейные геометрические объекты
27
именно: если точка М и начало координат лежат по разные стороны от
прямой L, то 6(М, L) > 0, а если точка М и начало координат находятся
по одну сторону от прямой L, то S(M, L) < 0. Расстояние р(М, L) от
точки М до прямой L определяется равенством р(М, L) = |<5(М, L)\.
Пример 1. Написать уравнение прямой L', параллельной двум за-
данным прямым L\. х + 2у — 1 = 0, L2: х + 2у + 2 = 0 и проходящей
посередине между ними.
<] 1-й метод. Так как вектор n = {1, 2}, нормальный к заданным
прямым Li и L2, является в то же время нормальным и к прямой
U, то достаточно найти какую-нибудь точку М', лежащую посередине
между Li и L2. Из уравнений для Li и L2 находим любые две точки
Mi € Li и М2 6 L2, например такие: A/i(l, 0) и М2( —2, 0). Тогда точка
Li и L2. Поэтому уравнение прямой V имеет вид
L' : х + 2у + = 0.
2-й метод. Произвольная точка М принадлежит L' в том и только в
том случае, когда р(М, 1д) = р(М, L2), т.е.
Li)\ = \6(М, Т2)|.
(1)
Для того чтобы снять модули в этом соотношении, установим положение
начала координат относительно заданных прямых Li и L2. Нормальные
уравнения этих прямых таковы:
12	1	12	2
Li : —у=х Ч—7=1/-7= = 0 и L2 :---т=зу---—у----- = 0.
л/5	>/5 х/б	у/b у/5 у/Ъ
Так как нормали щ и п2 из точки О в сторону L\ и L2 противоположно
направлены, то точка О находится в полосе между Li и L2.
Поэтому соотношение (1) принимает вид S(M, Li) = 8(М, L2), или
т. е. L': х + 2у + - = 0. >
В задачах 1.141-1.143 требуется:
1)	написать уравнение прямой, привести его к общему виду и
построить прямую;
2)	привести общее уравнение к нормальному виду и указать
расстояние от начала координат до прямой.
1.	141. Прямая L задана точкой Mq(xo, уо) G L и нормальным
вектором п = {Л, В}:
а) Мо(-1, 2), п = {2, 2};
28 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
б) М0(2, 1), п = {2, 0};
в) Мо(1, 1), п = {2, -1}.
1.142.	Прямая L задана точкой Л4о(то, ро) G L и направляю-
щим вектором q = {/, m}:
а)	Мо(-1, 2), q = {3, -1};
б)	Мо(1, 1), q = {0, -1};
в)	Мо(-1, 1), q={2, 0}.
1.143.	Прямая L задана двумя своими точками yi) и
М2(т2, V2):
a)	Mi(l, 2), М2(-1, 0);
б)	Мг(1, 1), М2(1, -2);
в)	Mi(2, 2), М2(0, 2).
1.144.	Заданы прямая L и точка М. Требуется:
1)	вычислить расстояние р(М, L) от точки М до прямой L;
2)	написать уравнение прямой L', проходящей через точку М
перпендикулярно заданной прямой L;
3)	написать уравнение прямой L", проходящей через точку М
параллельно заданной прямой L.
Исходные данные:
a)	L: —2х + у - 1 = 0, М(-1, 2);
б)	L-. 2у + 1 = 0, М(1, 0);
в)	L: х + у + 1 = О, ЛТ(О, —1).
Пусть заданы две прямые Li и L2. Возможны два случая их взаим-
ного расположения:
1) Li и L2 — параллельные прямые, в частности, они совпадают;
2) Li и L2 пересекаются.
В задачах 1.145-1.149 исследовать взаимное расположение за-
данных прямых Li и L2. При этом в случае 1) найти расстояние
р(£1, Т2) между прямыми, а в случае 2) — косинус угла (Ly, L2)
и точку Mq пересечения прямых.
1.145. Li : — 2х + у — 1 = 0,
1 г , х ~ 1 У
1.146.	Li г —у =
1.147.	Li : х + у — 1 = 0,
L2: 2у + 1 = 0.
т х + 2 у
' — = О'
L2 : 2х — 2у + 1 = 0.
г х у + 1
i2 : 2 = ~^Г-
L2 : 2х — 4у — 2 = 0.
1.148.	Li : х -Ь у — 1 = 0,
1.149.	: —х + 2у + 1 = 0,
1.150.	Треугольник АВС задан координатами своих вершин.
Требуется:
1)	написать уравнение стороны АВ;
§ 2, Линейные геометрические объекты
29
2)	написать уравнение высоты CD и вычислить ее длину h =
|С7)|;
3)	найти угол <р между высотой CD и медианой ВМ-,
4)	написать уравнения биссектрис Li и Ь2 внутреннего и внеш-
него углов при вершине А.
Исходные данные:
а)	А(1, 2), В(2, —2), С(6, 1);
б)	А(2, -2), В(6, 1), С(-2, 0).
1.151. Показать, что точка М(—1, 2) принадлежит прямой L:
х = 2t, у = —1 — 6t. Найти соответствующее этой точке значение
параметра t.
1.152. Вычислить расстояние от точки М(1, 1) до прямой L:
х = — 1 4- 2t, у = 2 4- t.
Если прямая задана общим уравнением Ах 4- By 4- С = 0 и при этом
В А 0 (т-е- прямая не параллельна оси Оу), то эта прямая может быть
описана уравнением с угловым коэффициентом вида у — кх 4- Ь.
Пример 2. Написать уравнение прямой L', проходящей через точку
7Г
М(2, 1) под углом — к прямой L; 2х + Зу + 4 = 0.
<1 Углом между прямыми I и L' называется наименьший из двух смеж-
ных углов, образованных этими прямыми. Поэтому (см. задачу 1.156)
к 4- 2/3
14-(—2/3)fc
= 1,
*	tg(Li,L2) =
где к — угловой коэффициент прямой L1. Из этого уравнения находим
ki = -, к2 = —5. Следовательно, задача имеет два решения. Используя
5
координаты точки М, мы можем записать для каждого случая уравнение
с угловым коэффициентом:
1	3 г
У=рх+-, У = -5x4-11,
_	5	5
или в общем виде
х - 5у 4-3 = 0, 5т 4- у -11 = 0. [>
1.153.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку
Mq(2, 4) и отстоящей от точки А(0, 3) на расстояние р = 1.
1.154.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку
Мо(1, 2) и удаленной от точки А(—2, —5) вдвое дальше, чем от
точки В(1, 8).
1.155.	Написать уравнение прямой, проходящей на расстоянии
а/10 от точки А(5, 4) перпендикулярно прямой 2х 4- бу — 3 = 0.
1.156.	Доказать, что если прямые L\ и Ь2 заданы уравнениями
с угловым коэффициентом, то
tg (Iq, L2) =
к2 — ki
1 4- к^к2
30 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
1.157.	Из точки М(5, 4) выходит луч света под углом <р =
= arctg2 к оси Ох и отражается от нее. Написать уравнения
падающего и отраженного лучей.
1.158.	Найти уравнение прямой, отсекающей на оси абсцисс от
начала координат отрезок длины 2 и образующей с прямой 2х —
— у + 3 = 0 угол 45°.
1.159.	В уравнении прямой 4х 4- Ху — 20 = 0 подобрать Л так,
чтобы угол между этой прямой и прямой 2т — Зг/ + 6 = 0 рав-
нялся 45°.
1.160.	В равнобедренном треугольнике АВС заданы вершина
С(4, 3), уравнение 2т — у — 5 = 0 основания АС и уравнение т —
— у = 0 боковой стороны АВ. Написать уравнение стороны ВС.
1.161.	Написать уравнение прямой, которая отстоит от точки
А(—1, 2) на расстояние р = \/34 и составляет с осью Ох угол,
вдвое больший угла, составляемого с осью Ох прямой 2т — бу +
+ 5 = 0.
1.162.	Составить уравнение прямой, которая проходит через
точку М(8, 6) и отсекает от координатного угла треугольник с пло-
щадью, равной 12.
1.163.	Написать уравнение прямой, параллельной двум задан-
ным прямым Li и 1<2 и проходящей посередине между ними, если:
a)	Li: Зт-2у-1 = 0, Т2: — =
б)	Li: Зт - 15у - 1 = 0, Ь2: ^±111 = У±111
5	1
1.164.
Написать уравнение прямой, проходящей через точку
7Г	2
7+7(2, 1) под углом — к прямой L: х = 1 + t, у = —2-1.
4	3
1.165.	Даны две противоположные вершины квадрата А(1, 3) и
С(—1, 1). Найти координаты двух его других вершин и написать
уравнения его сторон.
1.166.	Известны уравнение одной из сторон квадрата т + Зу —
— 3 = 0 и точка пересечения диагоналей 7V(—2, 0). Написать
уравнения остальных его сторон.
1.167.	Точка А(5, —4) является вершиной квадрата, диагональ
которого лежит на прямой х — 7у — 8 = 0. Написать уравнения
сторон и второй диагонали этого квадрата.
1.168.	Написать уравнения сторон треугольника АВС, если
задана его вершина А(1, 3) и уравнения двух медиан х — 2у+1 = 0
и у — 1 = 0.
1.169*	. Доказать, что прямая 2х + у + 3 = 0 пересекает отрезок
MiM2, где Mi(—5, 1) и 714-2(3, 7).
§ 2. Линейные геометрические объекты 31
1.170.	Написать уравнение прямой, проходящей через точку
Мо(—2, 3) на одинаковых расстояниях от точек Mi(5, —1) и
М2(3, 7).
1.171.	Установить, лежат ли точка МД1, —2) и начало коорди-
нат в одном угле, в смежных или в вертикальных углах, образо-
ванных пересекающимися прямыми Li и L2, если:
a)	Li‘. 2х — у — 5 = 0,	П2: За; + у + 10 = 0;
б)	Li: х — 2у — 1 = 0,	Ь2: За; — у — 2 = 0.
1.172.	Установить, какой из углов — острый или тупой, —
образованных прямыми За; — 5у — 4 = 0 и ж 4- 2у 4- 3 = 0, содержит
точку М(2, —5).
1.173.	Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его
вершину В (2, 6), а также уравнения высоты х — 7у 4- 15 = 0 и
биссектрисы 7х + у + 5 — 0, проведенных из одной вершины.
1.174.	Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его
вершину В(2, —7), а также уравнения высоты За; 4- у 4- 11 = 0 и
медианы х + 2у + 7 = 0, проведенных из различных вершин.
1.175.	Написать уравнения сторон треугольника, зная одну его
вершину А(3, —1), а также уравнения биссектрисы х — 4у + 10 = 0
и медианы б.т + 10у — 59 = 0, проведенных из различных вершин.
1.178.	Даны уравнения 5а; + 4у = 0 и Зх — у = 0 медиан тре-
угольника и координаты (—5, 2) одной из его вершин. Найти урав-
нения сторон.
1.177.	Даны уравнения у + 4 = 0, 7х + 4у 4- 5 = 0 биссектрис
двух внутренних углов треугольника и уравнение 4х 4 Зу = 0 сто-
роны, соединяющей вершины, из которых выходят данные бис-
сектрисы. Написать уравнения двух других сторон треугольника.
1.178.	а) Доказать, что точка Н пересечения высот треуголь-
ника лежит на одной прямой с точкой М пересечения его медиан
и с центром N описанной окружности.
б) Проверить утверждение п. а) для треугольника с вершинами
в точках А(5, 8), В(—2, 9), С(—4, 5). Определить, в каком отно-
шении А точка Н делит направленный отрезок МЙ.
1.179. В треугольнике А(—3, —1), В(1, —5), С(9, 3),	=
= ЗМЙ, АЙ = 3N&. Показать, что точка пересечения прямых
BN и СМ лежит на медиане, проведенной из вершины А.
2. Плоскость и прямая в пространстве. Плоскость Р в декартовой
прямоугольной системе координат Oxyz может быть задана уравнением
одного из следующих видов;
1)	Ах 4 By + Cz + D = 0 — общее уравнение плоскости;
2)	Л(т — я?о) 4 В(у — уо) + C(z — 2о) = 0 — уравнение плоскости,
проходящей через точку Mq(x0, уо, zq) перпендикулярно нормальному
вектору п = {Л, В, С};
32 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая	геометрия
х	у z	,
3)	—I-	т + - = 1	—	уравнение плоскости	в	отрезках, где а,	о, с —
а	Ъ с
величины направленных отрезков, отсекаемых плоскостью на коорди-
натных осях Ох, Оу, Oz соответственно;
4)	х cosа + у cos 0 + z cos-y — р = 0 — нормальное уравнение плос-
кости, где cosa, cos/3, C0S7 — направляющие косинусы нормального
вектора п, направленного из начала координат в сторону плоскости, а
р > 0 — расстояние от начала координат до плоскости.
Общее уравнение 1) приводится к нормальному виду 4) путем умно-
жения на нормирующий множитель
sgnB
U =---;....— — ...
у/А2 +В2 + С2
Если плоскость Р задана нормальным уравнением вида 4), а
М(х, у, z) — некоторая точка пространства, то выражение
<5(М, Р) = xcosa + у cos/3 + zcos7 — р
задает отклонение точки М от плоскости Р. Знак 5(М, Р) указы-
вает на взаимное расположение точки М, плоскости Р и начала коор-
динат, а именно: если точка М и начало координат лежат по разные
стороны от плоскости Р, то 6(М, Р) > 0, а если М и начало координат
находятся по одну сторону от плоскости Р, то 6(М, Р) < 0.
Расстояние р(М, Р) от точки М до плоскости Р определяется равен-
ством р(М, Р) = |<5(М, Р)|.
Прямая L в пространстве может быть задана:
1)	общими уравнениями
J Ajx + Biy + Cyz + Pi=0,
I А%х + В2У + C%z + Z?2 = 0,
где коэффициенты 4i, Bi, Ci не пропорциональны коэффициентам Аг,
Вг,Сг, что равносильно ее заданию как линии пересечения плоскостей;
2)	параметрическими уравнениями
{х = Хо + It,
У = Уо + mt,
z = Zg + nt,
или в векторной форме r(t) = tq + qt, где го = {хо, Уо, £о} — радиус-
вектор некоторой точки, принадлежащей прямой, a q = {/, т, п} —
направляющий вектор прямой;
3)	каноническими уравнениями
X- Хр _ у — Уо _ Z - ZQ
I т п
что равносильно заданию прямой как линии пересечения трех плоско-
стей, проектирующих эту прямую на координатные плоскости.
§ 2. Линейные геометрические объекты
33
Пример 3. Написать уравнение плоскости Р, проходящей через
точки Mj(l, 1, 1) и М2(0, 2, 1) параллельно вектору а = {2, 0, 1}.
0 Задача имеет единственное решение, так как векторы Мх М2 = {-1,1,0}
и а = {2, 0, 1} неколлинеарны. В качестве нормального вектора к плос-
кости может быть взять вектор
n = [MiМ2, а] =
i j k
-1 1 О
2 О 1
i + j - 2k.
Уравнение плоскости имеет вид (z - 1) + (у - 1) — 2(z — 1) = 0, или
х + у — 2z = 0. Так как в последнем уравнении отсутствует свободный
член, то плоскость проходит через начало координат.
Другой способ. Точка М(х, у, z) принадлежит искомой плоскости Р
в том и только в том случае, когда векторы М^М2 и а компла-
нарны. Следовательно,

а =
х - 1
-1
2
z - 1
О
1
У -1
1
О
= 0,
откуда х + у - 2z = 0. [>
Пример 4. Прямая L задана общими уравнениями
х + у - z = О,
2х - у + 2 = 0.
Написать канонические уравнения этой прямой, а также уравнение ее
проекции на координатную плоскость Oxz.
<3 Точка М(0, 2, 2) удовлетворяет общим уравнениям прямой (проверьте!)
и, следовательно, лежит на этой прямой. В качестве направляющего век-
тора прямой может быть взят вектор q = [щ, п2], где iq = {1, 1, -1} и
п2 = {2, —1, 0} —нормальные векторы плоскостей, линией пересечения
которых является заданная прямая. Таким образом,
q =
i
1
2
j k
1 -1
= -i - 2j - 3k,
-1 0
и канонические уравнения прямой таковы:
х у - 2 z - 2
^1 “ ~~2~ ~ -3 ’
Полученная пропорция эквивалентна системе трех уравнений
—	2х + у — 2 = О,
—	За: + z — 2 = О,
—	Зу + 2z + 2 = 0,
34 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
описывающих три плоскости, проектирующие прямую на координатные
плоскости Оху, Oxz и Oyz соответственно (уравнения прямой в проек-
циях}. В частности, уравнение — Зх + z — 2 = 0 есть уравнение проекции
заданной прямой на плоскость Oxz. [>
Пример 5. Заданы скрещивающиеся прямые
и
х у - 1	z + 2
L>'- —
л + 1 у + 1 z - 2
'i 2:
Найти расстояние p(L\, L^) между прямыми и написать уравнения об-
щего перпендикуляра L к этим прямым.
0 Найдем уравнение плоскости Р, проходящей через прямую Li парал-
лельно прямой L% (рис. 3). Точка АВ (О, 1; —2) лежит на прямой и,
следовательно, принадлежит искомой
плоскости Р. В качестве нормального
вектора к этой плоскости возьмем век-
тор
n= [qi, q2] =
i J
-2 О
1 2
= -2i-j-4k.
Уравнение плоскости Р:
—2х - (у - 1) - 4(z + 2) = О,
или, в общем виде, 2а: + у + 4z + 7 = 0.
Расстояние p(L\, L^) равно расстоянию от любой точки прямой В2,
например, от точки М2(—1, — 1, 2), до плоскости Р. Нормальное урав-
нение плоскости Р имеет вид
откуда
p(L1,L2) = |<5(M2, Р)| =
2	1_______8______7
^/21	х/21	а/21	а/21
12
а/21’
Для того чтобы составить уравнения общего перпендикуляра L, най-
дем уравнения плоскостей Pi и Р2, проходящих через заданные пря-
мые Li и В2 соответственно и перпендикулярных плоскости Р. Имеем:
М1(0, 1, -2) £ Pi и щ = [qi, n] = i - 10j + 2k ± Pi, откуда Pi:
§ 2. Линейные геометрические объекты
35
х - 10у + 2z + 14 = 0. Аналогично, М2(-1, -1, 2) 6 Р2 и n2 = [q2, п] =
= — 91 + 6j + 3k ± Р2, откуда Р2: Зт — 2у — z + 3 = 0. Следовательно,
х - 10у + 2z + 11 = 0,
Зт — 2у — z + 3 = 0
— общие уравнения прямой L = Pi А Р2. >
1.180.	Заданы плоскость Р и точка М. Написать уравнение
плоскости Р', проходящей через точку М параллельно плоскости
Р, и вычислить расстояние р(Р, Р'), если:
а)	Р: —2х + у - z + 1 = 0, М(1, 1, 1);
б)	Р: х-у- 1 = 0, М(1, 1, 2).
1.181.	Написать уравнение плоскости Р', проходящей через за-
данные точки М\ и М2 перпендикулярно заданной плоскости Р,
если:
а)	Р: -х + у - 1 = 0, Mi(l, 2, 0), М2(2, 1, 1);
б)	Р: 2х - у + z + 1 = 0, Mi(0, 1, 1), М2(2, 0, 1).
1.182.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
М параллельно векторам ai и а2, если:
а)	М(1, 1, 1), а1 = {0, 1, 2}, а2 = {-1, 0, 1};
, б) М(0, 1, 2), а1 = {2, 0, 1}, а2 = {1, 1, 0}.
1.183.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точки
Mi и М2 параллельно вектору а, если:
а)	МД1, 2, 0), М2(2, 1, 1), а = {3, 0, 1};
б)	МД 1, 1), М2(2, 3, -1), а = {0, -1, 2}.
1.184.	Написать уравнение плоскости, проходящей через три
заданные точки Mi, М2 и М3, если:
а)М](1, 2, 0), М2(2, 1, 1), М3(3, 0, 1);
б)	Mr(l, 1, 1), М2(0, -1, 2), М3(2, 3, -1).
Пусть заданы две плоскости Pi и Р2. Возможны два случая их вза-
имного расположения:
1) Pi || Р2, в частности, плоскости совпадают;
2) Pi и Р2 пересекаются по некоторой прямой.
В задачах 1.185 1.188 исследовать взаимное расположение за-
данных плоскостей. При этом в случае 1) найти расстояние p(Pi, Р2)
между плоскостями, а в случае 2) — косинус угла между ними.
1.185.	Pi:	— х + 2у — z + 1 = 0,	Р2 :	у + Зд — 1 = 0.
1.186.	Pi:	2х - у + z - 1 = 0,	Р2:	-4ж + 2у - 2z -	1	=	0.
1.187.	Pi:	х - у + 1 = 0,	Р2 :	у - z + 1 = 0.
1.188.	Pj:	2х — у — z + 1 = 0,	Р2:	—4т + 2у + 2z —	2	=	0.
1.189.	Вычислить объем пирамиды, ограниченной плоскостью
Р: 2х — Зу + 6z — 12 = 0 и координатными плоскостями.
36 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
1.190.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
Л/о(1, 7, —5) и отсекающей от осей координат положительные и
равные отрезки.
1.191.	Три грани тетраэдра, расположенного во втором октанте
(ж < 0, у > 0, z > 0), совпадают с координатными плоскостями.
Написать уравнение четвертой грани, зная длину ребер, ее огра-
ничивающих: |А^| = 6, |в<3| = V^9, |лд| = 5, и найти длину
высоты ОН тетраэдра.
1.192.	Написать уравнения плоскостей, делящих пополам дву-
гранные углы, образованные плоскостями Pi и Р?. если:
а)	Ру: х — Зу 4- 2z — 5 = 0, Р2; 3s — 2у — z 4- 3 = 0;
б)	Pi: 2х — у 4- 5д - 3 = 0, Ра: 2х - 10у 4- 4z - 2 = 0.
1.193.	Написать уравнение плоскости, равноудаленной от двух
заданных плоскостей Pi и Ра, если:
a)	Pi: 4х — у — 2z — 3 = 0, Ра: Ьх — у — 2z — 5 - 0;
б)	Pi: 5s - Зу 4- z 4- 3 = 0, Р2: 10s - бу 4- 2z 4- 7 = 0.
1.194.	Установить, лежат ли точки М\ (2, —1, 1) и М2(1, 2, —3)
в одном угле, в смежных или в вертикальных углах, образованных
плоскостями Pi и Р2, если:
a)	Pi: 3s — у 4- 2z — 3 = 0, Р2: х — 2у — z 4- 4 = 0;
б)	Pi: 2х — у 4- 5z — 1 = 0, Р2: 3s — 2у 4- 6z — 1 = 0.
1.195.	Известны координаты вершин тетраэдра: А(2, 0, 0),
В(5, 3, 0), С(0, 1, 1), D(—2, —4, 1). Написать уравнения его гра-
ней.
1.196.	Составить уравнение плоскости, проходящей через точку
А(1, 1, —1) и перпендикулярной к плоскостям 2х — у + 5z 4-3 = 0
и х 4- Зу — z — 7 = 0.
1.197.	Прямая L задана общими уравнениями. Написать для
этой прямой канонические уравнения и уравнения в проекциях
(см. пример 4), если:
Г 2х - у 4- 2z — 3 = 0,	( х 4- 2у — Зд — 5 = 0,
а' ‘ | х 4- 2у — z — 1 = 0;	[ 2х — у 4- z 4- 2 = 0.
1.198.	Написать канонические уравнения прямой, проходящей
через точку М0(2, 0, —3) параллельно:
а)	вектору q = {2, -3, 5};
* Х~1 У+ 2 z + 1
б)	прямой —— = —т— = ——;
э z — 1
в)	оси Ох; г) оси Oz;
Г 3s - у 4- 2z - 7 = 0,
Я) прямой ^ + 3y_2z_3 = 0.
е) прямой х = — 2 4-t, у = 2t. z = 1 — -t.
&
§ 2. Линейные геометрические объекты
37
1.199. Написать уравнения прямой, проходящей через две за-
данные точки Mi и М?, если:
a) Mi(l, -2, 1), М2(3, 1, -1);
б) -1, 0), М2(1, 0, -3).
х — 1
1.200. Заданы прямая L: —-—
£ L (проверить!). Требуется:
и точка М(0,1,2)
а)	написать уравнение плоскости, проходящей через прямую
L и точку М;
б)	написать уравнение плоскости, проходящей через точку М
перпендикулярно прямой L;
в)	написать уравнения перпендикуляра, опущенного из точки
М на прямую L;
г)	вычислить расстояние р(М, L);
д) найти проекцию точки М на прямой L.
1.201. Заданы плоскость Р: х + у — z + l = 0n прямая L:
—п— ~ о ~ Z"> пРичем L Р (проверить!). Требуется:
U	а	X	_
а) вычислить sin (Р, L) и координаты точки пересечения пря-
мой и плоскости;
»б) написать уравнение плоскости, проходящей через прямую L
перпендикулярно к плоскости Р;
в) написать уравнения проекции прямой L на плоскость Р.
1.202. Пусть заданы две прямые:
X-Xi y-yi z- Zl	X - X2 У~У2 z - Z2
Pl : —:--- = ------ = ------ И L2 : —;  = -------- = -----.
ii mi nj	I2 m2 n2
Доказать, что прямые Li и Р2 лежат в одной плоскости в том и
только в том случае, если выполнено условие	/
Х2 - Xi	У2 ~ У1	Z2 - Z1
h	Ш1	П1
12	т2	п2
= 0.
1.203. Используя результат задачи 1.202, убедиться, что пря-
мые L\ и L2 принадлежат одной плоскости, и написать уравнение
этой плоскости. Исходные данные:
. _ х ~ 1 у + 2 z — 5 г х — 7 у — 2 z — 1
. х ~ 2 у +1 z — 3 х — 1 у — 2 д-ЬЗ
б) Li: ~ = ~	Ьг: ~з“ = ~ - ~—2~
38
Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
1.204. Найти расстояние между параллельными прямыми
х — 2 _ у + 1 z ж — 7_у—l_z — 3
3 ~ ’ 4 “ 2 И 3 “ 4 ” 2
1.205. Найти расстояние от точки А(2, 3, -1) до заданной пря-
' х = 32 + 5,
б) < у = 2t,
z = —2t - 25.
Г 2х - 2у + z + 3 = °,
мой L. а) | За. _ 2у + 2д + 17 = 0;
1.206. Доказать, что прямые
(2х + 2у — z — 10 = 0,	ж + 7 у — 5 z — 9
Li: \x-y-z-22 = 0 И L<2' 3 ~ ~^Т~ = 4
параллельны и найти расстояние p(Li, £2)-
1.207. Составить уравнения прямой, проходящей через точки
пересечения плоскости х — Зу + 2д + 1 = 0 с прямыми
у + 4 z — 5
-6 = 2 ’
5 .ж — Зу + \z + 1 = 0
х — 5 у + 1 z — 3 х — 3
-------------------- и
5	—2	-1	“	4
1.208.	При каком значении А плоскость
будет параллельна прямой
( х — 4д — 1 = 0,
{У — 3z + 2 = 0.
1.209.	Найти уравнения проекции прямой
на плоскость х — Зу — г + 8 = 0.
1.210.	Определить угол между прямой
Г x + y + z- 2 = 0,
\2x + y-z-l = 0
и плоскостью, проходящей через точки А(2, 3, —1), В(1, 1, 0),
(7(0, —2, 1).
1.211.	Написать уравнение плоскости, проходящей через точку
Mq(7, 1, 0) параллельно плоскости 2х + Зу — z — 15 = 0 и пересе-
х у — 1 z — 3
кающей прямую — = —-— = —-—.
1.212.	Написать канонические уравнения прямой, которая про-
ходит через точку Mq(3, —2, —4) параллельно плоскости Зх — 2у —
о	»	х~2 У + 4
— Зд — 7 = 0 и пересекает прямую —-— = ——
1.213.	Доказать, что расстояние между скрещивающимися пря-
мыми Li: r(f) = Гу + qit и Li?- r(t) = Г2 + может быть вычи-
х — 4 _ у + 1 _ г
3 = —2 = 4
д-1
2
§ 2. Линейные геометрические объекты
39
слено по формуле
р(Ь1> Ь2) =
|(г2 — r1)q1q2|
Ifai, Q2] I
Для заданных прямых Ly и L2 требуется:
а)	доказать, что прямые не лежат в одной плоскости, т. е. явля-
ются скрещивающимися;
б)	написать уравнение плоскости, проходящей через прямую
L2 параллельно Iq;
в)	вычислить расстояние между прямыми;
г) написать уравнения общего перпендикуляра к прямым L
1
и Z2.
1.214. Li:
L2:
1.215.	Ly‘.
^2-
1.216.	Li:
1.217.	Li:
L2:
х + 7_у-|-4_г + 3
3 = 4 = —2 ’
x — 21 _у + 5_д-2
6	~ —4 ~ -1
x — 6 _ у — 3 _ д + 3
3 = —2 = 4 ’
ж + 1 _у + 7_д — 4
3 = -3 “ 8 '
x у — 9 z + 2
Г = ~4~ =	3~’ L2'
x+7_y-i_z—4
3 ' = —2 = 3 ’
x- l_y + 8_z + 12
1 “ 2 “ -1 '
x — 2 у z + 7
2 ~~^2~ 9
1.218. Куб ABCDA'B'C'D' задан своими вершинами A(0, 0, 0),
B(l, 0, 0), (7(1, 1, 0), D(0, 1, 0), АДО, 0, 1), В'(1, 0, 1), О"(1, 1, 1),
7?'(0, 1, 1). Выполнить следующие задания:
а)	написать уравнения прямых А'С и ВС'-,
б)	вычислить расстояние между прямыми А'С и ВС'-,
в)	написать уравнения общего перпендикуляра к прямым А'С
и ВС'-,
г) написать уравнение плоскости, проходящей через точки Р,
Qr.H, где Р — центр грани АВ В'A', Q делит ВС' в отношении
1
3
и Н расположена на ребре ВВ' так, что длина вектора
минимальна;
д) определить угол между полученной в п. г) плоскостью и
диагональю куба BD'.
40 Гл. 1, Векторная алгебра и аналитическая геометрия
§ 3. Кривые на плоскости
1. Уравнение кривой в декартовой системе координат. Говорят, что
кривая Г в системе координат Оху имеет уравнение
у) = 0,	(1)
если выполнено следующее условие: точка М(х, у) принадлежит кривой
Г В том и только в том случае, когда ее координаты хну удовлетворяют
соотношению (1). Если, в частности, F(x, у) = /(т) — у, то уравнение
(1) может быть записано в виде
У = f(x),	(2)
и в этом случае кривая Г совпадает с графиком функции /(т).
В настоящем параграфе изучается связь между геометрическими свой-
ствами кривой и ее уравнением в некоторых наиболее простых случаях.
Пример 1. Написать уравнение кривой, сумма квадратов рассто-
яний от каждой точки которой до точек А(-а, 0), В(0, а) и С(а, 0)
равна За2.
<] Пусть Г — кривая, удовлетворяющая условиям задачи; М (т, у) € Г в
том и только в том случае, когда
р\М, А) + р2(М, В) + р2(М, С) = За2,
х2
1.220. |ж| + у — х = 0.
ху + у2 = 0.
ху = 0.
х2 — х — 6 = 0.
х2 + у2 = 4.
х2 + 2у2 = 0.
1.222.
1.224.
1.226.
1.228.
1.230.
1.232.
или
(т + а)2 + у2 + х2 + (у - а)2 + (т - а)2 + у2 = За2.
2
После простых преобразований получаем х2 +у2 — ~ау = 0, или, выделяя
полный квадрат,
а\ 2 а2
37 = Т
Это и есть искомое уравнение кривой, являющейся окружностью радиуса
а	„ /л
— с центром в точке Мп (0, -1. >
о	> о /
В задачах 1.219-1.232 требуется установить, какие кривые опре-
деляются заданными уравнениями, и построить эти кривые.
1.219.	х + |у| = 0.
1.221.	х2 — ху = 0.
1.223.	х2 - у2 = 0.
1.225.
1.227.	х2у — 7ху + Юу = 0.
1.229.	х2 4- (у + З)2 = 1.
1.231.	2х2 + у2 + 2 = 0.
1.233.	Написать уравнение кривой, каждая точка которой на-
ходится на одинаковом расстоянии от точек Л41(3, 2) и Л4г(2, 3).
у2 - 9 = 0.
§ 3. Кривые на плоскости
41
1.234.	Написать уравнение кривой, разность квадратов рас-
стояний от каждой точки которой до точек Mi(—а, 0) и M2(a, 0)
равна с.
1.235.	Написать уравнение кривой, расстояние от каждой точки
которой до оси Ох вдвое больше расстояния до оси Оу.
1.236.	Написать уравнение кривой, сумма квадратов рассто-
яний от каждой точки которой до точек Му( —3, 0) и ЛГ2(3, 0)
равна 50.
1.237.	Написать уравнение кривой, расстояние от каждой точки
которой до точки 1, 1) вдвое меньше расстояния до точки
М2(—4, 4).
1.238.	Написать уравнение кривой, сумма расстояний от каж-
дой точки которой до точек Fi(—2, 0) и F2(2, 0) равна 2\/5.
1.239.	Написать уравнение кривой, модуль разности расстоя-
ний от каждой точки которой до точек Fi(—2, —2) и F2(2, 2) ра-
вен 4.
1.240.	Написать уравнение кривой, каждая точка которой на-
ходится на одинаковом расстоянии от точки F(2, 2) и от оси Ох.
1.241.	Установить, что каждое из следующих уравнений опре-
деляет окружность, найти ее центр С и радиус R:
f а) х2 + у2 — 4ж 4- бу — 3 = 0;
б) х2 + у2 — 8ж = 0;
в) х2 + у2 + 4у = 0.
1.242.	Написать уравнение окружности в каждом из следующих
случаев (обозначено: С — центр окружности, R — радиус, М, М\,
Л/г, М3 — точки на окружности):	1
а)	67(2, -3), R = 7;
б)	М(2, 6), 67(—1, 2);
в)	Л41(3, 2),	1, 6) — концы диаметра окружности;
г)	£7(1, —1), прямая 5ж — 12у + 9 = 0 — касательная к окруж-
ности;
д)	М(1, 2), окружность касается координатных осей;
ejI Mi(3, 1), M2(-l, 3), С G L-. 2>х - у - 2 = 0;
ж)* MJ-I, 3), М2(0, 2), М3(1, -1).
1.243.	Написать уравнение диаметра окружности х2+у2ЛЛх —
— бу — 17 = 0, перпендикулярного прямой 5х + 2у — 13 = 0.
1.244.	Вычислить кратчайшее расстояние от точки Мо до ок-
ружности Г, если:
а)	Л/0(6, -8), Г: х2 + у2 = 9;
б)	ЛГ0(—7, 2), Г: х2 + у2 - Юж - 14у - 151 = 0.
1.245.	Определить, как расположена прямая относительно ок-
ружности — пересекает, касается или проходит вне ее, если пря-
42
Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
мая и окружность заданы уравнениями:
а)	2х — у — 3 =	0,	х2	+ у2	— Зх + 2у — 3 = 0;
б)	х — 2у — 1 =	0,	х2	+ у2	— 8х -I- 2у -I-12 -= 0;
в)	х — у + 10 =	0,	х2	4- у2	— 1 = 0.
2. Алгебраические кривые второго порядка. Алгебраической кривой
второго порядка называется кривая Г, уравнение которой в декартовой
системе координат имеет вид
Ах2 + 2Вху + Су2 + Dx + Еу + F = 0,	(3)
где не все коэффициенты А, В аС равны одновременно нулю (в против-
ном случае Г — прямая, т. е. алгебраическая кривая первого порядка).
В общем случае может оказаться, что уравнение (3) определяет так
называемую вырожденную кривую (пустое множество, точку, прямую,
пару прямых).
Если же кривая Г невырожденная, то для нее найдется такая декар-
това прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой
имеет один из следующих трех видов (каноническое уравнение):
При этом кривая Г называется соответственно эллипсом, гиперболой
или параболой, а сама система координат, в которой ее уравнение имеет
вид (4), (5) или (6), называется канонической системой координат для
заданной кривой.
Приведение общего уравнения кривой второго порядка к канониче-
скому виду подробно рассматривается в п. 4 §3 гл. 3. Целью настоя-
щего пункта является изучение основных геометрических свойств невы-
рожденных кривых второго порядка на основе их канонических уравне-
ний.
2	2
%* уЛ
Эллипс с каноническим уравнением — 4-77 = 1, а Ь > 0, имеет
ОТ О'*
форму, изображенную на рис. 4.
Параметры а и 6 называются полуосями эллипса (большой и ма-
лой соответственно), точки Ai(-a, 0), Л2(а, 0), В}(0, -6) и В2(0, Ь) —
его вершинами, оси симметрии Ох и Оу — главными осями, а центр
симметрии О — центром эллипса. _____________
Точки F\(~с, 0) и F2(c, 0), где с — у/с? — №	0, называются фоку-
сами эллипса, векторы FtM и F?a1 — фокальными радиус-векторами,
а числа rj = |Fiл!| иг2 = |F2M | — фокальными радиусами точки М,
§ 3. Кривые на плоскости
43
принадлежащей эллипсу. В частном случае а = b фокусы F) и F2 совпа-
х2 у2
дают с центром, а каноническое уравнение имеет вид — н—- = 1, или
а2 а2
х2 + у2 — а2, т. е. описывает окружность радиуса а с центром в начале
координат.
Ь2
1------ (0 е < 1) называется эксцентрисите-
а2
его «сплюснутости» (при е = 0 эллипс
t Число е = -
а
том эллипса и является мерой
является окружностью).
Прямые D\-. х = — и Z>2:
е
а
и проходящие на расстоянии -
е
эллипса.
а
х = -, перпендикулярные главной оси
от центра, называются директрисами
1.246. Построить эллипс 9а;2 + 25у2 — 225. Найти:
а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) урав-
нения директрис.
1.247. Написать каноническое уравнение эллипса, если:
а) а = 3, b = 2; б) а = 5, с = 4; в) с = 3, е = -; г) b = 5,
12
е = —; д) с = 2 и расстояние между директрисами равно 5;
13
е) е = и расстояние между директрисами равно 32.
2?
1.248.	Написать уравнение эллипса с полуосями а и b и центром
в точке С(%о, уо), если известно, что его главные оси параллельны
координатным осям.
1.249.	Установить, что каждое из следующих уравнений опре-
деляет эллипс, найти его центр С, полуоси, эксцентриситет и урав-
44 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
нения директрис:
а)	5т2 + 9т/2 — 30а; + 18у + 9 = 0;
б)	16z2 + 25у2 + 32z - 100у - 284 = 0;
в)	4.т2 + Зу2 — 8ж + 12у — 32 = 0.
1.250.	Доказать следующие утверждения:
ж2 у2
а)	Если М(х, у} — произвольная точка эллипса -7 + 77 = 1,
а2 о2
а Ь, то фокальные радиусы этой точки равны
Г1(М) = a + ex, Г2^М) = a — ex
(см. рис. 4). Отсюда, в частности, следует, что для всякой точки
М эллипса выполняется равенство
ri(M) + г2(М) = const = 2а.
б)	Пусть заданы точки Fi(—с, 0) и F2(c, 0), с 0. Тогда
множество точек М, удовлетворяющих условию |FiA^| + \F$\ =
2	2
„	X У ,	,9	9	9
= const = 2а, есть эллипс —7 + 77 = 1, где о — а^ — с .
а2 о2
1.251.	Доказать следующие утверждения:
2	2
у*
а)	Если М(х, у) — произвольная точка эллипса -7 + -7 =
a2 IF
— 1, а > b, ri(M) и г2(М) — фокальные радиусы этой точки, а
р(М, Di) и р(М, _Е>2) — ее расстояния до директрис, то выполня-
ется равенство
П(М) г2(М)
—7Т-—77 = —, ,	= const = е.
р(М, Di) р(М, Г>2)
б)	Пусть заданы точка F(c, 0) и прямая D: x—d = 0, d > с > 0.
Тогда множество точек М, удовлетворяющих условию . 77—г. =
р(М, D)
9	2
„	,	, 9	9	9
= const = е < I, есть эллипс —7 + 77 = I, где a = de и о = a — с .
az lr
1.252.	Эллипс, главные оси которого совпадают с координат-
ными осями, проходит через точки Mi (2, у/З) и М2(0, 2). Напи-
сать его уравнение, найти фокальные радиусы точки Mi и рассто-
яния этой точки до директрис.
1.253.	На эллипсе 9ж2 + 25у2 = 225 найти точку, расстояние
от которой до фокуса F2 в четыре раза больше расстояния до фо-
куса Fi.
§ 3. Кривые на плоскости
45
1.254.	Написать уравнение кривой, по которой движется точка
М, если сумма расстояний от нее до точек Fi(—1, —1) и FjQ, 1)
остается постоянной и равной 2\/3.
1.255.	Написать уравнение кривой, по которой движется точка
Л/, если расстояние от нее до точки F(3, 0) остается в два раза
меньше расстояния до прямой х + у — 1 = 0.
1.256.	Определить, как расположена прямая относительно эл-
липса: пересекает, касается или проходит вне его, если прямая и
эллипс заданы уравнениями:
2	2
'll
а)	2s-у-3 = 0, — +	= 1;
10 У
б)	2s + у - 10 = о, у + у = 1;
ip
в)	3s + 2у - 20 = 0, - + ^ = 1.
г2 у2
1.257.	Написать уравнение касательной к эллипсу —х + -= = 1
а2 о2
в его точке Mq(so, Уо)-
О Пусть сначала уо / 0, т.е.
*	х2 у2
вершин Л1(-а, 0) и Да (а, 0). В этом случае уравнение —г + тт = 1
а2 Ь2
неявно определяет функцию у
проходит через точку A7q(xo, Уо) и совпадает с соответствующей (верхней
при уо > 0 или нижней при уо < 0) половиной эллипса. Дифференцируя
а:2	у2(т)	.	.
по х тождество — -I——— = 1, найдем, что производная у (хо) равна
а2 Ь2
точка Мо не совпадает ни с одной из
,2
— у(х)> —а<х'<а, график которой
If х b х0
у = ~л7-
ауо
Отсюда уравнение касательной к эллипсу в точке Мо(хо, уо) имеет вид
Ь2то
У ~ Уо = —j-(х ~ ^о)’
а2 у о
Xq j/q
или, с учетом равенства — + -у = 1,
a* b2
хря УоУ
а2 + Ь2
Если же у0 = 0 (и, следовательно, то = ±а), то уравнения касатель-
ных к эллипсу имеют вид х = ±а, т.е. ив этом случае формула (7)
остается верной. >
(7)
46
У2
Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
2	2
X у
1.258. Составить уравнения касательных к эллипсу — +	=
= 1, параллельных прямой Зт + 2у -I- 7 = 0.
1.259. Составить уравнения касательных к эллипсу ж2 + 4у2 =
= 20, перпендикулярных прямой 2х - 2у — 13 = 0.
2	2
X у
1.260. Доказать, что касательные к эллипсу — + — = 1, про-
ci2 о2
веденные через концы одного и того же диаметра, параллельны.
1.261. Написать уравнения касательных, проведенных из точ-
. /Ю 5\	ж2
ки А V’ Ч ) к ЭЛЛИПСУ ™ + Т = 11
\ о о /	20	О
ГЕ2 U2
1.262. На эллипсе — + — = 1 найти точку Mq, ближайшую к
18	8
прямой 2ге — Зу + 25 = 0, и вычислить расстояние от точки Mq до
этой прямой.
1.263. Доказать, что касательная к эллипсу в его произвольной
точке М составляет равные углы с фокальными радиус-векторами
И F-2^ этой точки.
5
2	2
X у
1.264*. Из левого фокуса эллипса — += 1 под тупым углом
45 30
а к оси Ох направлен луч света, причем tga = —2. Написать
уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от эллипса.
g = а, 6 > 0,
Гипербола с каноническим уравнением
имеет форму, изображенную на рис. 5.
а:2
а2
Рис. 5
Параметры а и 6 называются полуосями гиперболы, точки Ai (— a, 0)
и >b(a, 0) — ее вершинами, оси симметрии Ох и Оу — действительной
и мнимой осями, а центр симметрии О — центром гиперболы.
§ 3. Кривые на плоскости
47
Прямые у = ±-т являются асимптотами гиперболы.
а	______
Точки Fi(-c, 0) и F2(c, 0), где с = \/а2 + i2 > 0, называются фоку-
сами гиперболы, векторы и К2Л^ — фокальными радиус-вектора-
ми, а числа п = |Fi л!| и г2 =	— фокальными радиусами точки
М, принадлежащей гиперболе.
С
Число е = - =	(1<е< +оо) называется эксцентрисите-
том гиперболы и является мерой ее «сплюснутости». В частном случае
а = b гипербола называется равносторонней; ее эксцентриситет равен
/д	Д
е = V2, а угол между асимптотами равен —.
___	_.	Д	Д
Прямые D\: х — — и £/2: х = перпендикулярные действи-
е	е а
тельной оси и проходящие на расстоянии - от ее центра, называются
е
директрисами гиперболы.
1.265. Построить гиперболу 16а;2 L 9у2 = 144. Найти:
а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) урав-
нения асимптот; д) уравнения директрис.
1.266. Построить гиперболу 16а:2—9у2 = —144 (сопряженную к
гиперболе задачи 1.265). Какова каноническая система координат
для этой гиперболы? Найти:
а) полуоси; б) координаты фокусов; в) эксцентриситет; г) урав-
нения асимптот; д) уравнения директрис.
1.267.	Написать каноническое уравнение
а) а — 2, b - 3; б) b = 4, с = 5; в) с = 3,
5
е — -; д) с = 10 и уравнения асимптот у =
8
расстояние между директрисами равно -.
1.268.	Написать уравнение гиперболы с полуосями а и b и цен-
тром в точке С(я:о, Уо), если известно, что ее действительная и
мнимая оси параллельны осям Ох и Оу соответственно.
1.269.	Установить, что каждое из следующих уравнений опре-
деляет гиперболу, найти ее центр, полуоси, эксцентриситет, урав-
гиперболы, если:
3
е ~ г) а = 8,
,4	3
±-1; е) е = - и
нения асимптот и директрис:
а)	16а:2 — 9у2 — 64а; — 54у — 161 = 0;
б)	9г2 - 16у2 + 90а; + 32у - 367 = 0;
в)	16а;2 — 9у2 — 64а; — 18у + 199 = 0.
48 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
1.270.	Доказать следующие утверждения:
2	2
а)	Если М(ж, у) — произвольная точка гиперболы —т — -у = 1,
а2 о2
то фокальные радиусы этой точки равны
ri(M) = a + ex, r2(M) = — a + ex,
если точка М лежит на правой ветви гиперболы, и
Т1(М) = — a — ex, r2(M)=a — ex,
если эта точка лежит на ее левой ветви. Отсюда, в частности, сле-
дует, что для всякой точки М гиперболы выполняется равенство
|г1(7И) — r2(M)| = const = 2а.
б)	Пусть заданы точки Fi(—с, 0) и F2(c, 0), с > 0. Тогда мно-
жество точек М, удовлетворяющих условию ||Fiл!| —	=
2	2
= const = 2а, а > 0, есть гипербола — — 77 = 1, где Ъ2 = с2 — а2.
а2 о2
1.271. Доказать следующие утверждения:
2	2
а) Если М(х, у) — произвольная точка гиперболы —7 — 77 = 1,
а2 о2
Г1(Л/) и г2(ЛГ) — фокальные радиусы этой точки, а р(М, D])
и р(М, .D2) — расстояния от нее до директрис, то выполняется
равенство
П(М) т2(М)
-т ~	~ const = е.
р(М, Di) р(М, D2)
б) Пусть заданы точка F(c, 0) и прямая D: x—d = 0, с > d > 0.
лежит на гиперболе
Тогда множество точек М, удовлетворяющих условию '	=
2	2
ГС у
= const = е > 1, есть гипербола — — — = 1 где a = de и
а2 о2
Ь2 = с2 — а2.
1.272.	Убедившись, что точка М
2	2
ГС у
~ — ~ = 1, найти фокальные радиусы этой точки и ее расстояния
16 9
до директрис.
1.273.	Найти точки гиперболы —— — — 1, находящиеся на
9	16
расстоянии 7 от фокуса F\.
§ 3. Кривые на плоскости
49
1.274.	Написать уравнение гиперболы, если известно, что ее
фокусами являются точки РД—3, —4) и ^(З, 4), а расстояние
между директрисами равно 3,6.
1.275.	Написать уравнение гиперболы, если известны ее экс-
центриситет е = х/б, фокус F(2, —3) и уравнение соответствующей
директрисы Зх — у + 3 = 0.
1.276.	Показать, что кривая, заданная уравнением ху = 1 или
1
у = -, есть равносторонняя гипербола. Написать ее каноническое
х
уравнение, найти эксцентриситет, фокусы и уравнения директрис.
<р2 у2
1.277*	. Написать уравнение касательной к гиперболе — — =
а2 о2
= 1 в ее точке Mq(xo, уо).
У2,
1.278.	Составить уравнения касательных к гиперболе — — — =
= 1, параллельных прямой 10х — Зу + 9 = 0.
2	2
\	X у
1.279.	Составить уравнения касательных к гиперболе ——— —
= 1, перпендикулярных прямой 4х + Зу — 7 = 0.
2	2
х у
» 1.280. Доказать, что касательные к гиперболе -д — ух = 1, про-
ст о2
веденные через концы одного и того же диаметра, параллельны.
1.281.	Написать уравнения касательных,
проведенных из точки А(—1, —7) к гиперболе
х2 - у2 = 16.	2	2
X М
1.282.	На гиперболе — — — = 1 найти
24	18
точку Мо, ближайшую к прямой Зх + 2у 4-1 =
= 0, и вычислить расстояние от точки Mq до
этой прямой.
1.283.	Доказать, что касательная к гипер-
боле в ее произвольной точке М составляет
равные углы с фокальными радиус-векторами
л! и этой точки.
х2
1.284*	. Из правого фокуса гиперболы —-
5
3
а (д < a < -тг) к оси Ох направлен луч света, причем tga = 2.
Написать уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный
от гиперболы.
Парабола с каноническим уравнением у2 = 2раг, р > 0, имеет
форму, изображенную на рис. 6.
4
Рис. б
1 под углом
50
Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
б) х2 = 5у;
Число р называется параметром параболы, точка О — ее вершиной,
а ось Ох — осью параболы.
Точка F (, 0^ называется фокусом параболы, вектор FA$ — фо-
кальным радиус-вектором, а число г — |ЕЛ^| — фокальным радиусом
точки М параболы.
р
Прямая D-. х = —перпендикулярная оси и проходящая на рассто-
р	к	л	ч
янии - от вершины параболы, называется ее директрисой.
1.285.	Построить следующие параболы и найти их параметры:
а) у2 = 6ж;
в) у2 — —4т;
1.286.	Написать уравнение параболы с вершиной в начале ко-
ординат, если известно, что:
а)	парабола расположена в левой полуплоскости симметрично
относительно оси Ох и р = -;
б)	парабола расположена симметрично относительно оси Оу и
проходит через точку 1И(4, —8);
в)	фокус параболы находится в точке F(0, —3).
1.287.	Написать уравнение параболы, если известно, что вер-
шина ее находится в точке A(tq, уо), параметр равен р, ось па-
раллельна оси Ох и парабола расположена относительно прямой
х = xq:
а)	в правой полуплоскости;
б)	в левой полуплоскости.
1.288.	Установить, что каждое из следующих уравнений опре-
деляет параболу, найти координаты ее вершины А и величину
параметра р:
а) у2 = 4ж — 8;
в)	у = 4ж2 — 8ж + 7;
ч	1 2
д) % = ~^У + У\
б) X2 = 2 - у-
г) У = ~^х2 + 2х - 7;
О
е) х = 2у2 - 12у + 14.
1.289.	Доказать следующие утверждения:
а) Если М(х, у) — произвольная точка параболы у2 = 2рх,
т(М) — ее фокальный радиус, а р(М, D) — расстояние от точки
М до директрисы (см. рис. 6), то выполняется равенство
г(М)
/ ...m = const = 1.
p(M,D)
§ 3. Кривые на плоскости
51
(Р \
-, 01 и прямая D: х
£л / 
4 то-
л#	1^1
гда множество точек удовлетворяющих условию	=
р(М, D)
= const = 1, есть парабола у2 = 2рх.
1.290.	Вычислить фокальный радиус точки М параболы у2 =
= 12ж, если у(М) = 6.
1.291.	Написать уравнение параболы, если известны:
а)	фокус F(4, 3) и директриса D: у 4- 1 = 0;
б)	фокус F(2, —1) и директриса D: х — у — 1 = 0.
1.292.	Написать уравнение касательной к параболе у2 = 2рх в
ее точке Mq(xq, уо).
1.293.	Написать уравнение касательной к параболе у2 = 8ж,
параллельной прямой 2а; + 2у — 3 = 0.
1.294.	Написать уравнение касательной к параболе х2 = 16г/,
перпендикулярной прямой 2х + 4у + 7 = 0.
1.295.	Написать уравнения касательных к параболе у2 = 36ж,
проведенных из точки А(2, 9).
1.296.	На параболе у2 — 64а; найти точку Мо, ближайшую к
дрямой 4х 4- Зу — 14 = 0, и вычислить расстояние от точки Mq до
этой прямой.
1.297.	Доказать, что касательная к параболе в ее произвольной
точке М составляет равные углы с фокальным радиус-вектором
точки М и с лучом, исходящим из точки М и сонаправленным с
осью параболы.
1.298.	Из фокуса параболы у2 = 12х под острым углом а к оси
3
Ох направлен луч света, причем tga = Написать уравнение
прямой, на которой лежит луч, отраженный от параболы.
3. Уравнение кривой в полярной системе координат. Говорят, что на
плоскости введена полярная система координат {О, и), если заданы:
1) некоторая точка О, называемая полюсом",
2) некоторый луч и, исходящий из точки О и называемый полярной
осью.
ПолярныМи координатами точки М / О называются два числа: по-
лярный радиус г(М) = |ОЛ^| > 0 и полярный угол <р(М) — угол, на
который следует повернутьось и для того, чтобы ее направление совпало
с направлением вектора О1\% (при этом, как обычно, <р(М) > 0, если
поворот осуществляется против часовой стрелки, и <р(М) < 0 в против-
ном случае). Запись М(т, <р) означает, что точка М имеет полярные
координаты г и <р.
Полярный угол <р(М) имеет бесконечно много возможных значений
(отличающихся друг от друга на величину вида 2тгп, п € Z). Значение
52
Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
полярного угла, удовлетворяющее условию 0	< 2тг, называется глав-
ным. В некоторых случаях главным значением полярного угла называют
значение <р, удовлетворяющее условию —л < тг.
Пусть на плоскости введены правая декартова прямоугольная си-
стема координат Оху (т.е. такая, что кратчайший поворот от оси Ох к
оси Оу происходит против часовой стрелки) и полярная система (О, и),
причем полярная ось совпадает с положительной полуосью абсцисс. То-
гда связь между декартовыми прямоугольными и полярными координа-
тами произвольной точки М / О дается формулами
------ у
x = rcosp, 7/ = rsin<p; r = \/x2+y2, tg<p=~.	(8)
Уравнение кривой в полярных координатах имеет вид F(r, ф) = О
или г — Оно может быть получено либо непосредственно, исходя
из геометрических свойств кривой, либо переходом к полярным коорди-
натам в уравнении этой кривой, заданном в декартовых прямоугольных
координатах.
Пример 2. Построить кривую, заданную уравнением г = 6 cos 95.
< Прежде всего заметим следующее: если точка М(г, </?) принадлежит
заданной кривой, то для этой точки cose? = -	0, и, следовательно, вся
6
7Г
2
7Г
кривая расположена в секторе — —
£
Для того чтобы построить кривую, перейдем в ее уравнении к де-
картовым координатам. Умножив обе части уравнения г = 6 cos на г,
получаем г2 = Grcosip, откуда на основании формул перехода (8) имеем
х2 + у2 = 6х, или (х — З)2 + у2 = 9. Таким образом, заданная кривая —
окружность радиуса 3 с центром в точке Мо с координатами хд = 3,
уо = 0 или го =3, <р0 = 0. >
Пример 3. Вывести уравнение прямой в полярной системе коорди-
нат.
< Если прямая L проходит через полюс и ее угловой коэффициент по
отношению к полярной оси равен к, то уравнение этой прямой имеет вид
tg<p = к.
Пусть теперь прямая L не проходит через полюс. Напишем нормаль-
ное уравнение этой прямой в декартовой прямоугольной системе коорди-
нат
х cos а + у cos /3 — р = 0
и перейдем в этом уравнении к полярным координатам. Получаем (учи-
тывая, что cos /3 = sin а):
г cos р cos а + г sin sin а — р = 0, г cos [р — а) = р,
или
cos (<р — а)'
(9)
§ 3. Кривые на плоскости
53
Уравнение (9) и есть искомое уравнение прямой в полярной системе
координат. Оно может быть получено и непосредственно из следующего
очевидного факта: М € L прпг = г cos (93 - а) = const = р (рис. 7). >
Пример 4. Пусть Г — эллипс, ветвь гиперболы или парабола, F —
фокус этой кривой, D — соответствующая директриса. Вывести уравне-
ние кривой Г в полярной системе координат, полюс которой совпадает с
фокусом, а полярная ось сонаправлена с осью кривой (рис. 8).
< Общее свойство эллипса, гиперболы и параболы состоит в следующем
(см. задачи 1.251, 1.270 и 1.289):
М € Г <=>	= const = е,	(10)
р(М, £>)
где е — эксцентриситет кривой (е < 1 для эллипса, е > 1 для гиперболы
и е = 1 для параболы).
р
Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через - (р — пара-
е
метр кривой, называемый полуфокальным диаметром). Тогда из рис. 8
р
следует, что р(М, F) = г и р(М, D) = —I- г cosip. Подставляя эти
выражения в (10), получаем
г
—---------= е,
р/е + г cos ip
откуда
г - ----Р----.	(И)
1 - е cos ip
Уравнение (11) и есть искомое уравнение в полярной системе коор-
динат, общее для эллипса, гиперболы и параболы. >
Записать уравнения заданных кривых в полярных координа-
тах:
1.299.	у = х.	1.300. у = 1.
1.301.	х + у - 1 = 0.	1.302. х2 + у2 = а2.
1.303.	х2 — у2 = а2.	1.304. х2 4- у2 = ах.
54
Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
Записать уравнения заданных кривых в декартовых прямо-
угольных координатах и построить эти кривые:
“	1.306. tg<p = -1.
1.308. г sin 95 = 1.
*2
1.305. г = 5.
1.307. г cos 95 = 2.
1/v^
1.310.
1.312.
1.314.
г =----------------_
sin (95 + 7г/4)
г = 2а sin 95.
1
sin г = -.
2
1.316.	г2 = а2 cos 297.
1.309.	г =
cos (9? + 7Г/4)
1.311.	г = 2а cos 95.
1.313.	sin95 = —7=.
л/5
1.315.	r2sin2ip = 2а2.
1.317.	Написать в полярных координатах уравнения:
а)	прямой, перпендикулярной полярной оси и отсекающей на
ней отрезок, равный 3;
7Г
б)	луча, исходящего из полюса под углом — к полярной оси;
О
7Г
в)	прямой, проходящей через полюс под углом — к полярной
оси.
1.318.	Написать в полярных координатах уравнение окружно-
сти, если:
а)	радиус R = 5, окружность проходит через полюс, а ее центр
лежит на полярной оси;
б)	радиус R — 3 и окружность касается в полюсе полярной оси.
1.319.	Определить полярные координаты центра и радиус ка-
ждой из следующих окружностей:
а)
г = 4 cos 95; б) г = 3 sin 95; в) г = —5 sin 95;
„	/7Г	\	.	_ . /	7Г\
г = 6 cos I — — 95 I; д) г = 8 sin (95 — — ;
\3	/	\	3/
„ .	/7Г	\
г = 8sm I — — 95 I.
\ □	/
1.320.	В полярной системе координат вывести уравнение окруж-
ности радиуса R с центром в точке С(го, <А))-
тг	ж2 У2
1.321.	Для эллипса — 4- — = 1 написать полярное уравнение,
25 1о
считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс
находится:
а) в левом фокусе; б) в правом фокусе.
а;2 у2
1.322.	Для правой ветви гиперболы — —— = 1 написать по-
лярное уравнение, считая, что полярная ось сонаправлена с осью
абсцисс, а полюс находится:
а) в левом фокусе; б) в правом фокусе.
§ 3. Кривые на плоскости
55
1.323.	Для параболы у2 = 6х написать полярное уравнение,
считая, что полярная ось сонаправлена с осью абсцисс, а полюс
находится в фокусе параболы.
1.324.	Написать канонические уравнения следующих кривых
2-го порядка:
х	9	9	3
а) г = -—------; б г = -—-------; в) г =  -------.
5 — 4 cos ip 4 - 5 cos ip	1 — cos ip
1.325.	Вывести полярное уравнение эллипса —г +	= 1 при
az bz
условии, что полярная ось сонаправлена с осью Ох, а полюс нахо-
дится в центре эллипса.
2	2
X у
1.326.	Вывести полярное ^уравнение гиперболы — — -у = 1
az bz
при условии, что полярная ось сонаправлена с осью Ох, а полюс
находится в центре гиперболы.
1.327.	Вывести полярное уравнение параболы у2 = 2рх при
условии, что полярная ось сонаправлена с осью Ох, а полюс нахо-
дится в вершине параболы.
4.	Параметрические уравнения кривой. Пусть заданы функции
Л ф(1), непрерывные на некотором промежутке I числовой оси (проме-
жуток I может быть интервалом (а, Ь), отрезком [а, Ь], а также одним из
полуинтервалов (а, Ъ] или [а, Ь), причем не исключаются случаи, когда
а = —ос и (или) b = +оо). Уравнения
х - у = ф(£), tel,	(12)
называются параметрическими уравнениями кривой Г в декартовой
прямоугольной системе координат, если выполнено следующее условие:
для всякого значения параметра tel точка М(<p(t), ф(<)) принад-
лежит кривой Г и, наоборот, для всякой точки М(х, у) кривой Г су-
ществует такое значение параметра t е I, что х = </?(<) и у = ф(4).
Исключением параметра t из (12) уравнение кривой может быть пред-
ставлено в виде F(x, у) = 0.
Аналогично определяются параметрические уравнения кривой в по-
лярных координатах.
Пример 5. Показать, что параметрические уравнения
a: = acost, у = asinZ, t е [0, 2л),
определяют окружность х2 + у2 = а2.
< Если точка М(х, у) такова, что х — a cost и у = a sin t для некоторого
значения t е [0, 2тг), то
х2 + у2 = a2 cos21 + a2 sin2 t = а2,
т. е. точка М[х, у) принадлежит окружности х2 + у2 = а2.
56 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
Верно и обратное: если точка М(х, у) принадлежит окружности х2 +
+ у2 = а2, то, полагая t = (01$, i), t € [0, 2тг), получим х = a cost и
у = a sin t. О
Пример 6. Кривая Г задана полярным уравнением г = 2Rsmip.
Составить параметрические уравнения этой кривой в полярных и де-
картовых прямоугольных координатах, выбирая в качестве параметра
полярный угол <р.
< Нетрудно убедиться, что заданная кривая — окружность радиуса R
с центром в точке С(0, R). Параметрические уравнения этой кривой в
полярных координатах:
r = 2Rsint, <p = t, £ £ [0, тг).
Параметрические уравнения в декартовых прямоугольных координатах
получаются, если в формулы перехода х = rcosc/?, у = г sine/? вместо
г и подставить их выражения в виде функций параметра t. В итоге
получим
х = r(t) cos<p(t) = 7?sin 2t,
у = r(t) sin ip(t) = 7?(1 - cos 2£), £ G [0, тг). >
1.328. Составить параметрические уравнения луча
Г = {(ж, у)\ х - у + 1 = 0, у 0},
принимая в качестве параметра:
а) абсциссу ж; б) ординату у;
в) расстояние р(М, Mq) от точки М € Г до вершины Mq луча;
г) полярный 'угол, если полюс совпадает с началом координат,
а полярная ось сонаправлена с осью Ох.
1.329.	Составить параметрические уравнения отрезка с кон-
цами в точках Mi(l, 1) и М2(2, 3), принимая в качестве пара-
метра:
а) расстояние р(М, Mi); б) расстояние р(М, М2).
1.330.	Составить параметрические уравнения окружности ра-
диуса R с центром в точке Mo(xq, Уо), принимая в качестве па-
раметра £ угол между осью Ох и вектором МэЛ/, отсчитываемый
против часовой стрелки.
1.331.	Составить параметрические уравнения окружности ж2 +
+ у2 — 2Rx, принимая в качестве параметра полярный угол, если
полярная ось сонаправлена с осью Ох, а полюс находится:
а) в начале координат; б) в центре окружности.
В задачах 1.332-1.340 требуется исключением параметра £ найти
уравнения заданных кривых в виде F(x, у) = 0 и построить эти
кривые.
1.332.	х = — 1 + 2£, у = 2 - £, £ G (-оо, 4-оо).
1.333.	х = £2 — 2£ + 1, у = £ — 1, £ € (—оо, 4-оо).	<
§ 3. Кривые на плоскости
57
1.334.
1.335.
1.336.
х
1.338.
1.339.
1.340.
х
х
х = — 1 + 2 cos £, у — 3 + 2 sin t, t е [0, 2тг).
х = acost, у = bsini, t 6 [0, 2л).
х = 1 +2sect, у = -1 + tgt, t е
1.337. х = £ (t+ I), у = ~ [t-у Y t е (0, +оо).
= 27?cos21, у = 7?sin2t, tG
= Rsin2f, у = 27?sin2t, t E [0, л).
= 2pctg2t, у = 2pctgt, t G (o, ^1.
\ Ct J
—	2	2
x yz
1.341. Составить параметрические уравнения эллипса -л+тл =
а2 о2
— 1, принимая в качестве параметра t угол между осью Ох и
радиус-вектором Ол1, отсчитываемый против часовой стрелки.
ж2
1.342.	Составить параметрические уравнения гиперболы —т —
а2
у2
— -у = 1, принимая в качестве параметра t угол между осью Ох
о2	____.
и радиус-вектором ОМ, отсчитываемый против часовой стрелки.
1.343. Составить параметрические уравнения параболы у2 =
= 2рж, принимая в качестве параметра:
а)	ординату у;
б)	угол между осью Ох и вектором ОЛ1, отсчитываемый против
часовой стрелки;
в)	угол между осью Ох и фокальным радиус-вектором Рл1,
отсчитываемый против часовой стрелки.
5. Некоторые кривые, встречающиеся в математике и ее приложе-
ниях. В настоящем пункте, имеющем справочный характер, приведены
уравнения и указаны основные геометрические свойства ряда специ-
альных кривых (алгебраических и трансцендентных), встречающихся
в практике инженерных расчетов. Вывод уравнений этих кривых может
быть предложен в качестве задач повышенной трудности при изучении
курса аналитической геометрии. Достаточно детальное изучение формы
кривых может быть выполнено с привлечением методов дифференциаль-
ного исчисления.
1.	Спирали: спираль Архимеда г — ар (рис. 9), гиперболическая
спираль г = — (рис. 10), логарифмическая спираль г = (рис. 11);
стрелкой указано направление обхода кривой, соответствующее возраста-
нию р.

§ 3. Кривые на плоскости
59
2.	Лемниската Бернулли (x24-j/2)2 = 2а2(т2— у2) (рис. 12), или г2 =
= 2а2 cos2y> (полюс помещен в точку О). Характеристическое-свойство:
| = const = а2, где РЦ~а, 0), ^(а, 0).
3.	Циссоида y2(2R — х) = х3 (рис. 13), или г = 22? tg <р sin уз (полюс
помещен в точку О). Характеристическое свойство: для всякого луча
<Р = <Ро («Pocf-J, |ОМ| = |ВС|.
4.	Строфоида х2((х + а)2 4- у2) — а2у2 (рис. 14), или г = —— ±
cosy?
± atgy? (полюс помещен в точку А(—а, 0)). Характеристическое свойс-
f/ тг 7r\\
Y’oCf —|ВЛ/| = |BjV| = |ОВ|.
5.	Конхоида х2у2 4- (т + а)2(х2 — Ь2) = 0 (рис. 15), или г = —-— ± Ъ
cosy?
(полюс помещен в точку А(-а, 0)). Характеристическое свойство: для
(/ 7Г 7Г \\
у>о €	, 2))	=	— const = b.
6.	Улитка Паскаля (х2 +у2 ~2ах)2 = Ь2(х2 4-у2) (рис. 16), или г —
= 2а cosу?±Ь (полюс помещен в точку О). Характеристическое свойство:
для всякого луча у> = у>о	^)) l^-^l = l-^-M = const - Ъ.
» 7. Четырехлепестковая роза (х2 + у2)3 = 4а2х2у2 (рис. 17), или
г = а| sin 2уо| (полюс помещен в точку О). Характеристическое свойство:
всякая точка М этой кривой есть основание перпендикуляра, опущенного
из начала координат на отрезок АВ постоянной длины 2а, движущийся
так, что концы его все времй находятся на координатных осях.
8.	Астроида х = a cos3t, у — а sin31, t € [0, 2тг), или х2^3 4- у2^3 =
= а2/Гз (рис. 18). Характеристическое свойство: всякая точка Мэтой
кривой есть основание перпендикуляра РМ к отрезку АВ постоянной
длины а, движущемуся так, что концы его все время находятся на ко-
ординатных осях.
9.	Эвольвента (развертка) окружности х — a(cost 4-tsint), у =
= a(sint - tcost), t G [0, 4-00) (рис. 19). Характеристическое свойство:
каждая точка М этой кривой есть конец нити, которая, оставаясь натя-
нутой, разматывается с окружности х2 4- у2 = а2 (в начальный момент
конец нити находится в точке А(а, 0)).
10.	Циклоида х = a(t — sint), у = a(l — cost), t € (—00, 4-oo)
(рис. 20). Характеристическое свойство: кривая совпадает с траекторией
точки М окружности радиуса а, которая катится без скольжения по оси
Ох (в начальный момент точка М находится в начале координат).
11.	Эпициклоида х = (а + Ь) cost — acos ——t, у = (а 4- b)smt —
ъ	а
— a sin----1, i € [0, 4-oo) (рис. 21). Характеристическое свойство:
а
кривая совпадает с траекторией точки М окружности радиуса а, которая
60 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
Рис. 19
§ 3. Кривые на плоскости
61
Рис. 26
62
Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
катится без скольжения по окружности т2 + у2 = Ь2, оставаясь вне ее (в
начальный момент точка М находится в положении А(Ь, 0)). В частном
случае a = b соответствующая кривая называется кардиоидой.
12.	Гипоциклоида х = (b — a) cos t + a cos--t, у = (b — a) sin t —
— a sin----1, t E [0,+oo) (рис. 22). Характеристическое свойство:
a
кривая совпадает с траекторией точки М окружности радиуса а, которая
катится без скольжения по окружности х2 +у2 = Ь2, оставаясь внутри ее
(в начальный момент точка М находится в положении Л(Ь, 0)). В част-
ft
ном случае а = - эта кривая совпадает с астроидой.
13.	Полукубическая парабола у3 = ах2 (рис. 23).
14.	Петлевая парабола ау2 = х(х — а)2 (рис. 24)
15.	Декартов лист х3 + у3 - Заху = 0 (рис. 25).
16.	Локон Аньези у = -т-—- (рис. 26).
х2 +4а2	'
§ 4.	Поверхности и кривые в пространстве
1.	Уравнения поверхности и кривой в декартовой прямоугольной си-
стеме координат. Говорят, что поверхность S в системе координат Oxyz
имеет уравнение
F(x, у, z) = 0,	(1)
если выполнено следующее условие: точка М(х, у, z) принадлежит по-
верхности S в том и только том случае, когда ее координаты х, у и z удо-
влетворяют соотношению (1). Если, в частности, F\x, у, z) = /(т, y)—z,
то уравнение (1) может быть записано в виде
* = /(z, у),	(2)
и в этом случае поверхность S совпадает с графиком функции двух пере-
менных f(x, у).
Кривая Г в пространстве в общем случае определяется как линия
пересечения некоторых поверхностей Si и 5г (определяемых неодно-
значно), т.е. заданием системы двух уравнений
Fi(x, у, z) = 0, F2(x, у, z) = 0.
(3)
Пример 1. Вывести уравнение поверхности, каждая точка которой
расположена вдвое ближе к точке А(2, 0, 0), чем к точке В(—4, 0, 0).
<] Если S — поверхность, заданная условиями задачи, то М(х, у, z) Е S
в том и только том случае, когда р(М, В) = 2р(ЛГ, Л) или
\/(х + 4)2 + у2 + г2 = 2^/(х - 2)2 +у2 + z2.
§ 4. Поверхности и кривые в пространстве
63
(5)
Отсюда получаем
(а; 4- 4)2 4- у2 4- z2 - 4((т - 2)2 + у2 + z2),
Зт2 — 24т 4- За/2 4- 3z2 = 0
или, выделяя полный квадрат в слагаемых, содержащих т,
(т - 4)2 + у2 4- z2 - 16.	(4)
Уравнение (4) и есть искомое уравнение поверхности. Из него видно,
что заданная поверхность S есть сфера радиуса 4 с центром в точке
Мо(4, 0, 0). >
Пример 2. Исследовать форму кривой Г, заданной уравнениями
f (ж - I)2 4- у2 4- z2 — 36,
( у 4- z = 0.
Определить вид ее проекции на плоскость Оху.
<] Кривая Г задана как линия пересечения сферы (т - I)2 4- у2 4- z2 =36
с плоскостью у 4- z = 0 и, следовательно, есть окружность. Так как
центр сферы (7(1, 0, 0) лежит в плоскости сечения у 4- z = 0, то центр
окружности совпадает с точной С, а ее радиус равен радиусу сферы, т. е.
Я = 4.
Установим форму проекции окружности Г на плоскость Оху. Ис-
*	(х “ I)2
ключая z из системы (5), получаем (а; — I)2 4- 2у2 = 36, или ----Ь
2	36
4- — = 1. Отсюда заключаем, что искомая проекция — эллипс, главные
18
оси которого сонаправлены с осями Ох и Оу, центр находится в точке
С (1, 0), а полуоси равны а = 6, b = За/2. t>
Установить, какие геометрические образы определяются задан-
ными уравнениями:
1.344.	z 4- 5 = 0.
1.346.	х2 4- у2 4- z2 = 4.
1.347.	{х - 2)2 4- у2 4- (д 4-1)2 = 16.
1.348.	2х2 4- у2 + Зд2 = 0.
1.350.	х2 4- 2у2 4- 2х2 4- 7 = 0.
1.352.	xz = 0.
1.354.	х2 — 4х = 0.
1.356.	Вывести уравнение поверхности,
тов расстояний от каждой точки которой до точек Fi(2, 3, —5) и
Рг(2, —7, —5) равна 13.
1.357.	Вывести уравнение поверхности, сумма квадратов рас-
стояний от каждой точки которой до точек Fi (—a, 0, 0) и F2(a, 0, 0)
равна постоянному числу 4а2.
1.345. х - 2у + z - 1 = 0.
х2 4- 4д2 = 0.
х2 — 4z2 = 0.
xyz — 0.
ху-у2 = 0.
разность квадра-
1.349.
1.351.
1.353.
1.355.
64 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
1.358.	Вывести уравнение поверхности, сумма расстояний от
каждой точки которой до точек Fi(0, 0, -4) и 7*2(0, 0, 4) равна 10.
1.359.	Вывести уравнение поверхности, модуль разности рас-
стояний от каждой точки которой до точек Fi (0, —5, 0) и F2(0, 5, 0)
равен 6.
1.360.	Установить, что каждое из следующих уравнений опре-
деляет сферу, найти ее центр С и радиус R:
а)	т2 + у2 + z2 - 6z = 0;
б)	т2 + у2 + z2 — 4х — 2у + 2z — 19 = 0.
1.361.	Составить уравнение сферы в каждом из следующих слу-
чаев (обозначено: С — центр сферы, R — радиус, М, Mi, М2,
М3 — точки на сфере):
а) (7(—1, 2, 0), R = 2; б) М(2, -1, -3), С(3, -2, 1);
в)	Mi (2, -3, 5) и Л/г(4, 1, -3) — концы диаметра сферы;
г)	(7(3, —5, —2), плоскость 2х — у — Зя + 11 = 0 касается сферы;
д)	Mi(3, 1, -3), М2(-2, 4, 1), М3(-5, 0, 0), С е Р-. 2х + у -
— z + 3 = 0.
1.362.	Составить уравнение сферы, центр которой лежит на
прямой
( 2х + 4у — z — 7 — 0,
[ 4х + Ъу + z — 14 = 0
и которая касается плоскостей х+2у—2z—2 = 0 и х+2у—2д+4 ~ 0.
1.363.	Составить уравнение сферы, вписанной в тетраэдр, обра-
зованный плоскостями
Зх — 2у + 6z — 8 = 0, х — 0, у = 0, z = 0.
1.364.	Составить параметрические уравнения диаметра сферы
х2 + у2 + z2 — 2х — бу + z — 11 = 0, перпендикулярного к плоскости
5т — у + 2z — 17 = 0.
1.365.	На сфере (х—1)2+(у+2)2+(я—З)2 - 25 найти точку М§,
ближайшую к плоскости Зт —4я + 19 = 0, и вычислить расстояние
от этой точки до плоскости.
1.366.	Определить, как расположена плоскость относительно
сферы (пересекает, касается или проходит вне ее), если плоскость
и сфера заданы уравнениями:
a)	z = 3,	т2 + у2 + z2	— 6т	+	2у	-	10д + 22 = 0;
б)	у = 1,	х2 + у2 + z2	+ 4т	—	2у	-	6z	+	14 = 0;
в)	т = 5,	т2 + у2 + z2	— 2т	+	4у	—	2z	—	4 = 0.
§ 4. Поверхности и кривые в пространстве
65
> Г х2 + у2 + Z2
; 1у = 0;
( х2 + у2 + Z2
Г) 1	, „,2 , J2
= 49,
= 49,
- 4z - 25 = 0.
1.367. Установить, какие кривые определяются следующими
уравнениями:
. [ х — 5 = 0,
а) V + 2 = 0;
. ( X2 + у2 + z2 = 20,
В)	-2 = 0;
1.368.	Найти центр и радиус окружности:
. (X2 + у2 + Z2 = 10у,
’ [ж + 2у + 2z — 19 = 0;
Г (т - З)2 + (у + 2)2 + (z - I)2 = 100,
[ 2х — 2у — z + 9 = 0.
Указание. Центр окружности есть проекция центра сферы на плос-
кость.
1.369.	Найти проекцию на плоскость z = 0 сечения сферы х2 4-
+ у2 + z2 = 4(х — 2у — 2z) плоскостью, проходящей через центр
сферы и перпендикулярной к прямой х = 0, у 4- z = 0.
1.370.	Точки Л(3, —2, 5) и В(—1, 6, —3) являются концами
диаметра окружности, проходящей через точку (7(1, —4, 1). Со-
ставить уравнения этой окружности.
1.371.	Составить уравнения окружности, проходящей через три
точки Mi(3, —1, -2), М2(1, 1, -2) и Мз(-1, 3, 0).
2. Алгебраические поверхности второго порядка. Алгебраической по-
верхностью второго порядка называется поверхность S, уравнение ко-
торой в декартовой прямоугольной системе координат имеет вид
Ах2 + By2 4- Cz2 + 2Dxy + 2Exz 4- 2Fyz 4- Gx 4- Ну 4- Iz 4- К = 0,
(6)
где не все коэффициенты при членах второго порядка одновременно равны
нулю (в противном случае S — алгебраическая поверхность первого по-
рядка, т.е. плоскость).
Может оказаться, что уравнение (6) определяет так называемую вы-
рожденную поверхность (пустое множество, точку, плоскость, пару плос-
костей). Если же поверхность невырожденная, то преобразованием де-
картовой прямоугольной системы координат ее уравнение (6) может быть
приведено к одному из указанных ниже видов, называемых канониче-
скими и определяющих тип поверхности.
X2	и2	Z2
1.	Эллипсоид-. — 4- уу 4- -у = 1 (рис. 27).
а2	о2	с2
2.	Гиперболоид
х2	у2	Z2
а) однополостный:	-у 4- уу--у = 1 (рис. 28а);
а2	о2	с2
66
Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
Рис. 30
§ 4. Поверхности и кривые в пространстве
67
у2 z2
3.	Конус второго порядка-, +	----х = О (рис. 29).
а1 о2 с2
4.	Параболоид:
^2 у2
г) эллиптический: —у + уу = z (рис. 30а);
а2 о2
68
Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
т2 у2
б) гиперболический:	= z (рис. 306).
а2 о2
5.	Цилиндр второго порядка
х2 у2
а) эллиптический: — 4- 77 = 1 (рис. 31а);
а2 о2
т2 у2
б)	гиперболический: — - — = 1 (рис. 316);
а2 о2
в)	параболический: у2 = 2рх, р> 0 (рис. 31в).
Общие методы приведения уравнения (6) к каноническому виду опи-
раются на теорию квадратичных форм и рассматриваются в п. 4 § 3 гл. 3.
Цель настоящего пункта состоит в изучении основных геометрических
свойств невырожденных поверхностей второго порядка с использованием
их канонических уравнений.
Одним из основных методов исследования формы поверхности по ее
уравнению является метод сечений.
Пример 3. Методом сечений исследовать форму и построить по-
верхность, заданную уравнением
z = 2- — - —
16 25
<3 В сечении поверхности горизонтальной плоскостью z = h имеем кри-
вую Гд, проекция которой на плоскость Оху определяется уравнением
х2
Л=2-й
(7)
У2
25’
или
(8)
^ + ^=2-Л.
16	25
Уравнение (8) при h > 2 не имеет решений относительно (х, у). Это
означает, что соответствующее сечение пусто, т. е. рассматриваемая по-
верхность целиком расположена ниже плоскости z = 2. При h 2 урав-
нение (8) определяет эллипс с полуосями а = 4%/2 — h и b = 5ч/2 — h,
вырождающийся в точку х = у = 0 при h = 2. Заметим, что все эл-
липсы, получающиеся в сечениях поверхности плоскостями z = h 2,
/а	4\	,
подобны между собой 7 = const = - ), причем с уменьшением п их
\о	5/
полуоси неограниченно и монотонно возрастают.
Полученной информации достаточно, чтобы построить эскиз поверх-
ности. Дальнейшее уточнение ее формы можно получить, если рассмо-
треть сечения координатными плоскостями Оху и Oyz. Сечение плоско-
стью Oxz-. у = 0 дает кривую а;2 = 16(2 — z), т.е. параболу с параметром
р — 8, вершиной в точке х = 0, z = 2 и ветвями, направленными в
сторону убывания значений z. Наконец, сечение плоскостью Oyz: х = О
25
дает параболу у2 = 25(2 — z) с параметром р = —, вершиной в точке
у = 0, z = 2 и аналогично направленными ветвями.
§ 4. Поверхности и кривые в пространстве
69
Выполненное исследование позволяет теперь достаточно детально изо-
бразить заданную поверхность (рис. 32).
Заданная поверхность есть эллиптический параболоид. Преобразо-
вание координат
х' — х, у' = у, z' = 2 - z
(которое сводится к сдвигу начала в точку (0, 0, 2) — вершину параболо-
ида и обращению направления оси Oz) приводит его исходное уравнение
(7) к каноническому виду
М2 , W)2 _ .
>
(9)
Установить тип заданных поверхностей и построить их:
2	2	2 1.374. х2 + у2 — z2 ~ —1. 1.376. х2 + у2 = 2az, а / 0. V2 1.378. 2z = х2 + у. 1.380. z — 2 + х2 + у2.	2	2	9 _	х	yi	Z 1.373.	1- 		= 1. 16	4	36 1.375. х2 - у2 = z2. 1.377. х2 — у2 = 2az, а 0. 1.379. х2 — 2az, а =4 0. 2	2 X	V 1.381. — -	= 6z. 5	4
1.382. х2 + у2 - z2 = 4.	1.383. х2 - у2 + z2 + 4 = 0.
1.384*	. Доказать, что уравнение z2 = ху определяет конус с
вершиной в начале координат.
1.385*	. Доказать, что уравнение z = ху определяет гиперболи-
ческий параболоид.
1.386.	Назвать и построить поверхности:
а) х2 = 2yz; б) z — а = ху.
70 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
1.387.	Составить уравнения проекций на координатные плос-
кости сечения эллиптического параболоида у2+я2 = х плоскостью
х + 2у — z = 0.
1.388.	Установить, какие кривые определяются следующими
уравнениями:
k Зх — у + 6я — 14 = 0; х — 2у + 2 — 0.
1.389. Найти точки пересечения поверхности и прямой:
	V2	Z2	х — 3	У - 4	z + 2
а) — +		+ — = 1 и					————
7 81	36	9	3	-6	4
г2	у2	д2	а; у	z + 2	
б)	h		—- = 1 и		——	_	1	
7 16	9	4	4	-3	4	
ж2	У2		х + 1	у-2	z + 3
		= Z	и		 —.			——-
’ 5	3		2	-1	-2
Указание. Перейти к параметрическим уравнениям прямой.
1.390.	Доказать, что в каждом из указанных ниже случаев за-
данные поверхность и плоскость имеют одну общую точку, найти
ее координаты:
х2 z2
а) — + — = 2у, 2х - 2у - z - 10 = 0;
У т:
2	2	2
Чт + т-^-1’ 5* + 2*+5 = 0;
3	4 zo
z%
в) ёТ + чк “ ‘o' = 4х - Зу + 12z - 54 = 0.
о 1	30 У
1.391.	Доказать, что плоскость 2х — 12у — z +16 = 0 пересекает
гиперболический параболоид х2 — 4у2 = 2z по прямолинейным
образующим (т. е. прямым, целиком лежащим на этой поверхно-
сти). Составить уравнения этих образующих.
1.392.	Доказать, что плоскость 4х — 5у—10я — 20 = 0 пересекает
х2	у2	z2
— + г- —— = 1 по прямолинейным
25	1и	4
образующим. Составить уравнения этих образующих.
3. Классификация поверхностей по типу преобразований простран-
ства. Выделяют три класса поверхностей: цилиндрические, конические
и поверхности вращения,— инвариантных относительно преобразова-
ний соответствующего типа.
однополостный гиперболоид
§ 4. Поверхности и кривые в пространстве
71
Цилиндрической поверхностью (цилиндром) называется поверх-
ность, инвариантная относительно преобразований параллельного пере-
носа T(Zq), определяемых любым вектором, коллинеарным некоторому
вектору q = {I, т, п}. Из этого определения следует, что если точка
Mo(xq, уо, zq) принадлежит пилиндру 5, то и вся прямая —-— —
У ~Уо z- z0
=-------=-------также принадлежит этому цилиндру.
т п
Принята следующая терминология: всякая прямая, коллинеарная
вектору q = {/, т, nj, называется осью цилиндра 5; прямые —-— =
У Uq Z Zq \ г I	\ гч
— ------ = -----, Mq(to, Wo> zq) G 5, целиком принадлежащие ци-
т п
линдру, называются его образующими’, всякая кривая Г, лежащая на
цилиндре и пересекающая все его образующие, называется направляю-
щей этого цилиндра.
Пусть q = {/, т, п} — любой вектор, коллинеарный оси цилиндра
S, а направляющая Г задана уравнениями
Fi(t, у, z) = 0, F2(x, у, z) = 0.
Точка М(х, у, z) принадлежит цилиндру S в том и только том случае,
когда существует число t такое, что точка с координатами x + tl, у+ tm,
% + tn лежит на образующей Г, т. е.
Fi (х 4- tl, у + tm, z + tn) = 0,
F2(x + tl,y + tm, z + tri) = 0.
(10)
Исключая параметр t из системы (10), получим соотношение вида
F(x, у, z) — 0, которое и является уравнением заданного цилиндра.
Пример 4. Написать уравнение цилиндра, ось которого совпадает с
координатной осью Oz, а направляющая задана уравнениями F(x, у) =
= 0, z — h = 0.
<1 Полагая q = к = {0, 0, 1}, получим систему (10) в виде F(x, у) = 0,
z+t — h ~ 0. Этот результат означает, что точка М(х, у, z) принадлежит
цилиндру в том и только том случае, когда ее координаты х и у удовле-
творяют уравнению F(x, у) = 0 при произвольном значении координаты
z. Следовательно, уравнение F(x, у) = 0, описывающее проекцию на-
правляющей на плоскость Оху, и есть уравнение заданного цилиндра, о
Построить заданные цилиндрические поверхности
1.393. у2 + z2 = 4.
1.395. х2 + у2 = ах.
1.397. z = 4 - х2.
1.399. х2 - z2 = 0.
1.401. xz = 4.
И.2
1'394- 16 - 7 = L
1.396. х2 = 6z.
1.398. х2 — ху = 0.
1.400. у2 + 2z2 = 0.
1.402. у2 + z2 = -z.
72 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
1.403.	Составить уравнения трех цилиндрических поверхно-
стей, описанных около сферы х2 + у2 + z2 — 2ах = 0 с осями,
параллельными соответственно: а) оси Ох-, б) оси Оу- в) оси Oz.
1.404.	Найти уравнение цилиндра, проектирующего окружность
х2 + {у + 2)2 + (х - I)2 = 25,
х2 + у2 + z2 = 16
на плоскость: а) Оху, б) Oxz; в) Oyz.
1.405.	Найти уравнение проекции окружности
(х + I)2 + (у + 2)2 + (г - 2)2 = 36,
х2 + (у + 2)2 + {z - I)2 = 25
на плоскость: а) Оху; б) Oxz; в) Oyz.
1.406.	Составить уравнение поверхности, каждая точка которой
одинаково удалена от прямой х = а, у = 0 и плоскости Oyz.
Построить поверхность.
1.407.	Составить уравнение цилиндра, если:
а)	ось коллинеарна вектору q = {1, 2, 3}, а направляющая
задана уравнениями у2 = 4х, z = 0;
б)	ось коллинеарна вектору q = {1, 1, 1}, а направляющая
задана уравнениями х2 + у2 = 4х, z = 0.
1.408.	Сфера #2+y2+z2 = 4z освещена лучами, параллельными
прямой х = 0, у = z. Найти форму тени сферы на плоскости Оху.
1.409.	Построить тело, ограниченное поверхностями у2 = х,
z = 0, z = 4, х = 4, и написать уравнение диагоналей грани,
лежащей в плоскости х = 4.
Конической поверхностью {конусом) называется поверхность, ин-
вариантная относительно преобразований гомотетии H{k, Мб) с произ-
вольным коэффициентом к и центром в некоторой точке Mq{xq, уо, z0),
называемой вершиной конуса. Из этого определения следует, что если
w/	\	Х-Хх
точка	У1, 21) принадлежит конусу, то вся прямая ---- =
у - У1 Z - 2х	,,
=-------- = ----- , проходящая через эту точку и вершину Мо и на-
У1 - Уо 2i - zo
зываемая образующей конуса, целиком лежит на конусе. Всякая кривая
Г, лежащая на конусе и пересекающая все его образующие, называется
направляющей этого конуса.
Пусть задан конус S с вершиной Мо(то, уо, zo) и направляющей
Fi(t, у, z) = 0,
F2(x, у, z) = 0.
§ 4. Поверхности и кривые в пространстве
73
Точка М(х, у, z) принадлежит конусу S в том и только том случае, ко-
гда существует число t такое, что точка с координатами х + t(x — то),
У + t(y ~ Уо), z + t(z — z0) лежит на образующей Г, т. е.
Г Fl (х + t(x - то), у + t(y - Уо), z + t(z- z0)) = О,
[F2(х + t(x - То), у + t(y -Уо), z + t(z - z0)) = 0.
Исключая параметр t из системы (11), получим уравнение конуса в виде
F(x, у, z) = 0.
Пример 5. Написать уравнение конуса, вершина которого нахо-
дится в точке Мо(то, Уо, zo), а направляющая задана уравнениями
F(t, у) = 0, z - h = 0.
<1 Система (11) при этих условиях принимает вид
( F(x + Z(t - то), у + t(y - уо)) = 0,
[ z + t(z — zo) - h — 0.
, h - z (h - z0) - (z - zq) h - zq
Из второго уравнения t =--=-----------------=--------1, что
Z — Zo	Z — Zo	Z — Zo
после подстановки в первое уравнение дает
F (х0 + (Л - z0)X-^, yo + (h- z0)y-^} = 0.	(12)
\	2 Zq	Z Zq J
Уравнение (12) и есть уравнение заданного конуса. В частном слу-
чае то — уо = zo = 0 (вершина конуса находится в начале координат)
уравнение конуса принимает вид
f(4^)=0.	(13)
Заметим, что уравнение (13) однородно относительно т, у и z (т.е.
не меняется при замене х, у и z на tx, ty и tz при произвольном t / 0),
а уравнение (12) однородно относительно х — то, у — уо и z — zq. t>
1.410. Пусть функция трех переменных F(x, у, z) однородна
относительно х, у и z, т.е.
Vt 0 3 s е 1R : F(tx, ty, tz) = tsF(x, у, z).
Показать, что уравнение F(x, у, z) = 0 определяет конус с верши-
ной в начале координат, причем для любого h кривая
г(£4,1)=0, г —й = 0
\h h )
есть его направляющая.
74 Гл. 1. Векторная алгебра и аналитическая геометрия
дится
а)
в)
1.411. Составить уравнение конуса, вершина которого нахо-
в начале координат, а направляющая задана уравнениями:
f х2 + у2 = а2,
( z = Я;
'у2 z2
Ь2 с2 ’
. х = а;
бч (х2 + (у- 6)2 + z2 = 25,
1у = 3;
. [ х2 - 2z + 1 = 0,
г) <
7 1 у - z + 1 = 0.
Построить соответствующие конусы.
1.412.	Составить уравнение конуса, если заданы координаты
вершины Mq и уравнения направляющей:
a)	Mq(0, -а, 0), х2 = 2ру, z = h-
х2 и2
б)	Мо(О, 0, с), - + ^- = 1, Z = O;
as tr
в)	—a, 0), х2 + у2 + z2 = о2, у + z = а;
г)	Mq(3, -1, -2), х2 + у2 - z2 = 1, х - у + z = 0.
Построить соответствующие конусы.
1.413.	Построить конус, определить его вершину и направляю-
щую в плоскости z = h, если конус задан уравнением:
а) х2 -I- (у — h)2 — z2 = 0; б) х2 = 2yz.
1.414.	Составить уравнение кругового конуса, для которого оси
координат являются его образующими.
1.415.	Составить уравнения проекций линии пересечения сферы
х2 + у2 + z2 = а2 с конусом х2 + у2 — z2 — 0 на координатные плос-
кости:
а) Оху, б) Oxz\ в) Oyz.
1.416.	Источник света, находящийся в точке A/q(5, 0, 0), осве-
щает сферу ж2 + у2 + z2 — 9. Найти форму тени на плоскости
Oyz.
Поверхностью вращения называется поверхность, инвариантная от-
носительно поворотов 7?(<р, и) на любой угол р вокруг некоторой фик-
сированной оси и. Эта поверхность может
быть получена вращением вокруг оси и кри-
вой, получающейся в сечении поверхности
любой плоскостью, проходящей через эту
ось.
Пример 6. Вывести уравнение поверх-
ности, образованной вращением кривой
F(x, z) = 0, у = 0 вокруг оси Oz (рис. 33).
<1 Сечение поверхности произвольной плос-
костью z — zo есть окружность с центром
в точке (7(0, 0, z0) радиуса т0, причем
F(xq, Zo) = 0. Поэтому для произвольной
§ 4. Поверхности и кривые в пространстве 75
точки М(х, у, z) этой окружности имеем: z = Zq и р(М, Oz) = у/х2 +у2 =
= хо- Подставляя эти равенства в соотношение F(xq, zq) = 0, получаем
F(^/x2+y2, z) = 0.
(14)
Уравнение (14) и есть искомое уравнение заданной поверхности вра-
щения. t>
1.417.	Составить уравнение поверхности, образованной враще-
нием кривой z = х2, у = 0:
а) вокруг оси Од; б) вокруг оси Ох.
Построить обе поверхности.
1.418. Составить уравнение поверхности, образованной враще-
нием прямой z — у, х = 0:
а)	вокруг оси Оу, б) вокруг оси Oz.
Построить обе поверхности.
1.419. Составить уравнение поверхности, образованной враще-
нием вокруг оси Ог\
а) кривой z = е~х , у — 0;
4
б)	кривой д = — у = 0.
х2
«Построить обе поверхности в левой системе координат.
ж2 г/2 + д2
1.420. Показать, что —4---—— = 1 есть уравнение поверхно-
а2 о2
сти вращения с осью вращения Ох. Написать уравнение кривой
в плоскости д = 0, вращением которой получена эта поверхность.
х2 + yz z2
1.421. Показать что----х-----х = 1 есть уравнение поверхно-
а2 с2
сти вращения. Найти ее ось вращения и уравнения какой-нибудь
кривой, вращением которой образована эта поверхность.
Глава 2
ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 1. Определители
1. Определители 2-го и 3-го порядков. Квадратная таблица
/оц Я12
\ 021	«22
составленная из четырех действительных (или комплексных) чисел, на-
зывается квадратной матрицей 2-го порядка. Определителем 2-го
порядка, соответствующим матрице А (или просто — определителем
матрицы А), называется число
det А =
Оц 012
021	®22
— ОцЙ22 ~ О12Й21-
Аналогично, если
013
(Oil 012	013
021	022	O23
031	O32	Озз
Озз
— квадратная матрица 3-го порядка, то соответствующим ей определи-
телем 3-го порядка называется число
det А =
оц
021
031
012
022
032
013
023
033
— ОцОггОзз + 021032013 +
+ 012023031 — 013022031 —
— 012021033 — 011023032*	(1)
Определители 3-го порядка обычно вы-
числяются с использованием следующего
правила Саррюса: одно из трех сла-
Рис. 34
гаемых, входящих в правую часть (1) со знаком плюс, есть произведе-
ние элементов главной диагонали матрицы А, каждое из двух других —
произведение элементов, лежащих на параллели к этой диагонали, и
§ 1. Определители
77
элемента из противоположного угла матрицы (рис. 34а), а слагаемые,
входящие в (1) со знаком минус, строятся таким же образом, но относи-
тельно второй (побочной) диагонали (рис. 346).
Вычислить определители 2-го порядка:
2.1.	-1 4 -5 2	2.2.	а + b а — b	а — Ь а + b	. 2.3.	COS Ct sin	— sin о cos а	
2.4.	а + Ы 2а	b а — Ы	2.5.	cos а	+ i sin а 1	cos а	1 — i sin а	
2 sin cos tp 2 sin2 tp — 1
2«6« n	,
2 cos ip — 1 2 sin <p cos tp
Решить уравнения:
2.7.
1 -t2	2t
1+t2	1 + t2
2t	1 -t2
1+t2	1 + t2
x x + 1	„	„ „ cos 8x — sin 5x
.	, , =0. 2.9. . o E
—4 x +1	sinea: cosox
2.10*. Доказать, что при действительных a, b, с, d корни урав-
нения
а — х
с — di
с + di
b — х
= 0 действительны.
2.11.	Доказать, что для равенства нулю определителя 2-го по-
рядка необходимо и достаточно, чтобы его строки были пропорци-
ональны (т.е. чтобы элементы одной строки получались из соот-
ветствующих элементов другой строки умножением на одно и то
же число). То же верно и для столбцов.
Вычислить определители 3-го порядка:
	1 2 3		3	4
2.12.	4 5 6	. 2.13.	8	7
2.15.	7 8 9 o? + 1 a/?	a0 Z?2 +1	2	-1 ay 07
2.17. где e = cc	ay	0y 1 1 E lie2, E2 E 1 2л . 2л )S —- + I sin —-. 3	3		7	2 + l
-5 —2 8	. 2.14.		a + X X	X 6	X + X	X	
						X	X c + X
		sin a		COS Of		1	
. 2.16.		sin/3		cos 13		1	
		sin 7		cos 7		1	
		1	1	1			
2.18.		1	0	02	5		
		1	02	0			
				4л			4л
где p			cos	— -H sin 0			T'
78 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений
Решить уравнения:
	3	X	—х		X	х +1	х 4- 2	
2.19.	2	-1	3	= 0. 2.20.	х + 3	х 4- 4	х 4- 5	= 0.
	х +10	1	1		х + 6	х 4- 7	х 4- 8	
Решить неравенства:
	3 —2 1		2 х 4- 2 -1	
2.21.	1 ж -2	< 0.	2.22.	11-2	>0.
	-1 2 -1		5	-3 я	
2.23.	Доказать следующие свойства определителя 3-го порядка,
используя его определение:
а)	если строки матрицы определителя сделать столбцами с
теми же номерами (т. е. транспонировать матрицу), то опре-
делитель не изменится;
б)	если все элементы строки (столбца) умножить на одно и то
же число, то определитель умножится на это число;
в)	если переставить две строки (столбца) определителя, то он
изменит знак; в частности, если две строки (столбца) определи-
теля равны, то он равен нулю;
г)	если каждый элемент некоторой строки (столбца) определи-
теля представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель
равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы),
кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом опре-
делителе стоят первые, а во втором — вторые слагаемые;
д)	если одна строка (столбец) является линейной комбинацией
остальных строк (столбцов), то определитель равен нулю.
Используя свойства определителя 3-го порядка, перечисленные
в задаче 2.23, доказать следующие тождества (определители не
развертывать):
	ai 4- bix	О1 — Ь\Х	С1		«1	bi	С1	
2.24.	«2 4- Ь2Х	02 - Ь2Х	С2	= —2х	«2	&2	С2	
	аз 4- Ьзх	аз - Ьзх	сз		аз	Ьз	сз	
	ai 4- bix	aix 4- bi	С1			ai	bi	ci
2.25.	02 4- Ь2Х	а2х 4- 62	С2	= (1-	X2)	а2	Ь2	С2
	аз 4- Ьзх	азх 4- Ьз	сз			аз	Ьз	сз
2.26*.
§ 1. Определители
79
Вычислить следующие определители, используя свойства опре-
делителя 3-го порядка, перечисленные в задаче 2.23:
	х + у	z 1			(a +1)2	a2 4-1	a	
2.27.	y + z	X 1	•	2.28.	(6 + I)2	62 + l	b	
	z 4- х	У i			(c +1)2	c2 4-1	c	
	sm* а	cos 2a		2 cos* a		• 2 sm a	1	2 cos* a
2.29.	sin2 /3	cos 2/3		cos2 /3	. 2.30.	sin2/3	1	cos2 /3
	sm* 7	cos 27		2 008*7		. 2 sin 7	1	2 cos* 7
1 1
2.31.	Проверить, что определитель х у
х — У, У — z и. z — х.	х2 у2
2.32.	Проверить, что определитель
z
Z2
делится на
х	у	х + у
у х + у х
х + у	х у
делится на х 4- у и на х2 — ху 4- у2.
2.33.	Построить график функции
(а 0 Ь).
2.	Определители n-го порядка. Всякое взаимно однозначное отобра-
жение 7Г множества {1, 2, ..п} первых п натуральных чисел на себя
называется подстановкой п-го порядка.
Всякая подстановка может быть записана в виде

*2
^12
(2)
где aih = тг(гд;) — образ элемента t* € {1, 2, п} при отображении
тг. Для фиксированной подстановки тг существует много различных спо-
собов записи вида (2), отличающихся нумерацией элементов верхней
строки. В частности, запись вида
1	2 ... п
«1 а2 ... ап
называется канонической.
(3)
80 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений
Говорят, что пара элементов (г, j) образует инверсию в подстановке
тг, если i < j, но cnj > ctj. Число s(?r) всех инверсных пар определяет
четность подстановки: подстановка называется четной, если з(л) —
четное число, и нечетной, если s(?r) — число нечетное.
Пример 1. Определить четность подстановки
_ /1	3	5	2	4\
" ^2	3	5	4	1/ •
<1 Перейдем к канонической записи (3)
_ /1	2	3	4	5\
7Г“ у2	4	3	1	5J
и подсчитаем число инверсий. Так как инверсии образуют пары (1, 4),
(2, 3), (2, 4), (3, 4), то s(?r) = 4 и тг — четная подстановка. [>
Определителем п-го порядка, соответствующим квадратной матрице
Пц	(212	•	•	•	а.1п
021	022	•	•	•	О2п
.Оп1	Оп2	.	.	.	Опп
(или определителем матрицы А), называется число
	ац	«12	•	О1п
det А =	Й21	022	•	' О2п
	Оп1	аП2 •	• опп
—	1)	7Г(1) • • • ®П, 7Г(п) ,
где сумма берется по всем подстановкам тг n-го порядка.
Для определителя n-го порядка выполняются основные свойства, ана-
логичные свойствам а)-д) из задачи 2.23.
2.34.	На множестве {1, ..., 6} найти подстановку тг, если тг(А:)
является остатком от деления числа ЗА: на 7. Определить ее чет-
ность.
2.35.	На множестве {1, ..., 8} найти подстановку тг, если тг(А:)
является остатком от деления числа 5А на 9. Определить ее чет-
ность.
Определить четность подстановок:
Лп /5	2	4	3 1\	Лв„/3 4	6	5	2	1\
2’36, \3	1	2	5 4; ’ 2*37’	(1 4	3	2	5	бу
/	2п	2п-1	... 4	3	2	1\
2‘38,	^2п	-	1	2п	... 3	4	1	2/ *
§ 1. Определители
81
2.39.
n
к
n — 1
к-1
п —к+1 n-k n-k-1
1 n n — 1
2	1
к + 2 к + 1J
i
Выяснить, какие из приведенных ниже произведений входят в
определители соответствующих порядков и с какими знаками:
2.40.	«43«21«35«12«54-	2.41.	«61«23«45«36«12«54-
2.42.	«27«36«51«74«25«43«62- 2.43. азЗ«16«72«27«55«61«44-
2.44.	Выбрать значения ink так, чтобы произведение
«62«г5«33«к4«46«21
входило в некоторый определитель со знаком минус.
2.45.	Выбрать значения гик так, чтобы произведение
«47«63«li«55«7fc«24«31
входило в некоторый определитель со знаком плюс.
2.46.	Найти члены определителя
5ж 1 2 3
ж ж 1 2
1 2 ж 3 ’
ж 1 2 2ж
содержащие ж4 и ж3.
Пользуясь только определением, вычислить следующие опре-
делители:				
	0 .	0	0	О1,п
	0 .	0	02, п-1	02,п
2.47.	0 .	••	«3,п—2	03, п-1	03, п
	Оп,1 ... Оп^п — 2 Оп,п	— 1 «п,п	
	«11 «12 «13 «14 «15		
	«21 «22 «23 «24 «25		
2.48.	«31 «32	000	•	
	«41 «42	000		
	«51 «52	000		
2.49. Как изменится определитель, если:			
а) к каждой строке, кроме последней, прибавить последнюю
строку;
82 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений
б)	из каждой строки, кроме последней, вычесть все последую-
щие строки;
в)	из каждой строки, кроме последней, вычесть последующую
строку, из последней строки вычесть прежнюю первую строку;
г)	его матрицу «повернуть на 90° вокруг центра»;
д)	первый столбец переставить на последнее место, а остальные
передвинуть влево, сохраняя их расположение.
3. Основные методы вычисления определителей n-го порядка. Метод
понижения порядка определителя основан на следующем соотно-
шении (г фиксировано):
det А = У^а^А^* к\
Л=1
(4)
где
	Oil	• 1	О1,Л+1	•	Oin	
	<4+1,1	.	•	<4-1, к-1 <4+1,Л-1	O-i- 1.Л+-1	• Oi+l.Jk+l •	•	О|—1)П •	О£-|-1)П	(5)
	Onl	•	^n, Л—1	On, Л+1	• onn	
называется алгебраическим дополнением элемента а,* и представляет
собой (с точностью до знака (—1)г+*) определитель (п — 1)-го порядка,
получающийся из исходного определителя вычеркиванием i-й строки и
к-го столбца, на пересечении которых стоит элемент aik.
Соотношение (4) называется разложением определителя по
i-й строке. Аналогично определяется разложение определителя по
столбцу. Прежде чем применять метод понижения порядка, полезно,
используя основные свойства определителя, обратить в нуль все, кроме
одного, элементы его некоторой строки (столбца).
Пример 2. Вычислить определитель
	8	7	2	10
	-8	2	7	10
D =	4	4	4	5
	0	4	-3	2
<1 Из первой строки вычтем, а ко второй прибавим удвоенную третью.
Полученный определитель разложим по первому столбцу. Имеем
0 -1 -6
0 10 15
4	4	4
0	4-3
0
20
5
2
-1
= (-1)1+3 • 4 * 10
4
-6 0
15 20
-3	2
§ 1. Определители
83
Далее опять обращаем в нуль все элементы первого столбца, кроме эле-
мента в левом верхнем углу, и затем вычисляем определитель второго
порядка:
£ = 4
-1
О
О
-6
-45
-27
О
20
2

-45 20
-27 2
=-4(-90 + 540) =-1800. >
I
Метод приведения к треугольному виду заключается
в таком преобразовании определителя, когда все элементы, лежащие по
одну сторону одной из его диагоналей, становятся равными нулю.
Пример 3. Вычислить определитель
1111
1-12	2
11-13
111—1
<3 Вычитая первую строку из всех
остальных, получаем
Метод рекуррентных соотношений позволяет выразить
данный определитель, преобразуя и разлагая его по строке или столбцу,
через определители того же вида, но более низкого порядка. Полученное
равенство называется рекуррентным соотношением.
Пример 4. Вычислить определитель Вандермонда
	1	1	1	1
	ai	Я2	аз	• ап
Dn =	ai	а|	а|	•	ап •	п
	_п—1	_п—1	_П —1	
	а1	а2	«з	п
<1 Покажем, что при любом п (п 2) определитель Вандермонда ра-
вен произведению всевозможных разностей ai — aj, 1 j < i п.
Доказательство проведем по индукции, используя метод рекуррентных
соотношений.
Действительно, при п = 2 имеем
В2 =
1
ai
1
а2
— а2 — О1.
84 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений
Пусть наше утверждение доказано для определителей Вандермонда по-
рядка п — 1, т.е.
7?n—1 ~	(о{ Oj).
Преобразуем определитель Dn следующим образом: из последней п-й
строки вычитаем (п — 1)-ю, умноженную на ai и, вообще, последова-
тельно вычитаем из к-й строки (fc — 1)-ю, умноженную на ар Получаем
	1	1	1	1
	0	a2 ~ al	аз — ai	•	ап ai
Dn =	0	2	2 а3 — а1°3	•	а2 ®1®п
	0	„п—1	„ Лп—2 ®2	„П~1	~	2 о3 aiO3	„п—1	п Пп
Разложим последний определитель по первому столбцу и вынесем из всех
столбцов общие множители. Определитель принимает вид
		1	1	1	1	
		a2	03	a4	• on	
Dn - (о* - ai)(a3 - ai).	•(®n	01)	a|	a3	al .	•	«П	=
		n-2 o2	«Г2	oj-2 •	• a”-2	
— (с&2 Oj)(a3 ®1) • • • (®n Oj)Dn_ 1*
Получили рекуррентное соотношение. Используя предположение индук-
ции, окончательно выводим:
Dn = (a2-ai)(a3-ai) ...(an-ai) Д (а*-а,) = Д (а»-аД >
2^j<i^n
Вычислить определители, используя подходящее разложение
по строке или столбцу:
	1	0 2			-i	5 2			
2.50.	0	2 0	. 2.51.		0	7 0	•		
	2	0 3			i	2 0			
	2	1 0			9 10 11				
2.52.	1	2 1	. 2.53.		1	1 1	•		
	0	1 2			2	3 4			
		2	3 4 1			5 a	2 -1		a 1 1 1
		4	2 3 2			4 b	4 -3		6 0 11
2.54. a)		a	bed	; 6)		2 c	3 -2	; B)	c 1 0 1
		3 -	I 4 3			4 d	5 -4		d 1 1 0
§ 1. Определители
85
Вычислить определители:
	2-11	0		2 3-3	4	
	0	12-1		2 1-1	2	
2.55.		2.56.		
	3-12	3		6 2	10	
	3	16	1		2 3	0 -5	-
	3	-1	4	2		\/2	л/3	х/5	7з
	5	2	0	1		Тб	>/21	710	-2ТЗ
2.57.	0	2	1	-3	2.58.	716	2715	5	Тб
	6	-2	9	8		2	2ч/б	л/10	715
	0 —а —Ь -	-d			0 ь	с d		
	а 0 — с -	-е			b 0	d с		
2.59.	d с 0	0	•	2.60.	с d	0 b	•	
	d е 0	0			d с	b 0		
	2 1111				5 6	0 0	0	
	13 111				1 5	6 0	0	
2.61.	114 11			2.62.	0 1	5 6	0	
	1115 1				0 0	1 5	6	
	11116				0 0	0 1	5	
	х 0	-1	1	0		1 X	X2		я3 я4
	1 ж — 1	1	0		1 2я Зя2		Z	1я3	5я4
2.63.	1 0 я-1	0	1	. 2.64.	1 4х 9х2		16я3 25я4	
	0 1	-1	X	1		1 . У	У2		У3 У*
	0 1	-1	0	X		1 2?	/ Зт/2		I?/3	5з/4
	а а(3	0		... 0	0			
	1 а + /3 с			... 0	0			
2.65*.	0	1 а	+ 0		... 0	0			
0	0	0	... 1 а + р
	а + (3	а(3	0	. 0	0
	2	а + /3	а/3	. 0	0
2.66.	0	1	а + & ..	. 0	0
О О О О Г а + 0
86 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы, линейных уравнений
Вычислить определители порядка п приведением их к тре-
угольному виду:
	1	2	3 ... п		322... 2
	-1	0	3 ... п		2 3 2 ... 2
2.67.	-1-2	0 ... п	. 2.68.	2 2 3 ... 2
	-1 -2 -3 ... 0		2 2 2 ... 3
2.69.	Вычислить определитель, элементы которого заданы усло-
виями aij = min (i, j).
2.70.	Вычислить определитель, элементы которого заданы усло-
виями dij = max (г, j).
Вычислить определители порядка п методом рекуррентных
соотношений:
	0 1 1 ... 1		2 1 0 ... 0
	1 oi 0 ...	0		1 2 1 ... 0
2.71.	1 0 а2 ... 0	2.72.	012... 0
	10 0 ... ап		ООО... 2
2.73. Вычислить определитель
аГ1	а MS 1	7 йсо е	• о””1 п
а1	а2	о|	см е о
О1	«2	03	..	• оп
1	1	1	1
2.74.	Доказать, что для любого определителя выполняется со-
отношение n	f j , л .
- J detA’ fc = 8’
2^akiA jo, k/i,
j=l	4
где — алгебраическое дополнение элемента a^j (см. (5)).
§ 2.	Матрицы
1.	Операции над матрицами. Матрицей размера тхп или (т х п)-
матрицей называется прямоугольная таблица из чисел aij, г = 1, 2, ...
. . ., 771, j — 1, 2, . . ., 71,
/Оц «12	•••	«1п
д _ I «21	«22	• • •	«2п
\Oml От2 • • • Omn
состоящая из т строк и 71 столбцов.
§2. Матрицы
87
Суммой А + В (т х п)-матриц А = (а^) и В = (bij) называется
матрица С = (су) того же порядка, каждый элемент которой равен сумме
соответственных элементов матриц А и В:
Cjj (2ij "4*	, i — 1, 2, . . . , 772, J — 1, 2, • . . , 72.
Произведением aA матрицу A = (a^) на число а (действитель-
ное или комплексное) называется матрица В = (bij), получающаяся из
матрицы А умножением всех ее элементов на а:
bij = aaij, i = 1, 2, ... , т, j = 1, 2, ... , тг.
Произведением AB (m x n)-матрицы A = (aij) на (n x к)-матрицу
В = (bij) называется (тп x А;)-матрица С = (су), элемент которой c^,
стоящий в г-й строке и у-м столбце, равен сумме произведений соответ-
ственных элементов i-й строки матрицы А и у-го столбца матрицы В:
п
Cij = a-ivbyj, 7 = 1,2,..., 772, у = 1, 2, ... , к.
1/=1
2.75.	Доказать следующие свойства алгебраических операций
над матрицами:
а)	А + В = В + А, А + (В + С) = (А + В) + (7;
б)	(а + (3)А = &А + /ЗА, а(А + В) = аА + аВ, (а/3)А = а(/ЗА)',
в) А(ВС) = (АВ)С, А(В + С) = АВ + АС.
Вычислить линейные комбинации матриц А и В:
___ пЛ л	/2 1	-1\ п /-2 1 0\
2.76. ЗА +	2В, А -	*	_4J , В	-	2 2J	.
2.77.	(l + i)A + (l-.)B, А= Q _•),£=(_• })•
Вычислить:
-G ;) ”’(!
Л	3\ /-28	93 \ /7 3\
2.8°.	5J 38 _126j ^2
/1	-3 2\	/2	5	6\
2.81.	13	—4 1 |	I 1	2	5	j.
\2 -5 3/ \1 3 2/
/5	8 —4\	/3	2	5\
2.82.	I 6	9 -5 j	I 4	-1	3 |.
\4	7 -3/	\9	6	5/
88 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений
2.86.
2.83.
О
1
1
2.84. а) (4 О
/О О
2.85.	2
\3 3
a G R.
2.87.
2.88.
Л G R.
Найти значение многочлена /(А) от матрицы А:
2.90.	f(x) = Зя2 - 4, А = L ,).
\ U о /
2.91.	f(x) — х2 — Зх + 1, А =
/1
2.92.	f(x) = Зя2 - 2х + 5, А = 2
\3
Вычислить АВ — В А:
2\
3/
-2 3\
-4 1|
-5 2/
	/1	2\	/ 2	-3\
2.93. А =			, в= | Л	
	\4	-1/ :	\~4	V
		2 3	1\	Л 2
2.94. А =		1 1	0 , в =	Р 1
		1 2		\3 1
	/1	1 Г	\ /7	5 3'
2.95. А =	0	1 1	, В= 0	7 5
	\о	0 1,	/	\о	0 7.
§2. Матрицы
89
Матрицы А и В называются перестановочными, если АВ = В А.
Найти все матрицы, перестановочные с данной: j
/3 1 0\
I ° 3 i
\0 О 3/
2.96.
1
3 4/
О 0\
О ОГ
1 0 1
О 1Г
2.99.	Найти все матрицы 2-го порядка, квадраты которых равны
нулевой матрице О =
2.100.	Найти все матрицы 2-го порядка, квадраты которых
равны; единичной матрице Е =
2.101.	Как изменится произведение АВ матриц А и В, если:
а)	переставить г-ю и j-ю строки матрицы А,
б)	к 2-й строке матрицы А прибавить j-ю строку, умноженную
на число а,
в)	переставить i-й и j-й столбцы матрицы В,
г)	к г-му столбцу матрицы В прибавить j-й столбец, умножен-
ный на число а?
Матрица Ат называется транспонированной к матрице А, если вы-
полняется условие — aji для всех г, j, где Оу и — элементы
матриц А и Ат соответственно.
2.102. Доказать следующие соотношения:
а) (Ат)т; б) (А + В)т = Ат + Вт; в) (АВ)Т = ВТАТ.
Вычислить ААТ и АТА для заданных матриц А:
z. Л ‘ х	/-1	1-1	1-1
/1	2 1	3\	/ 2.103. „	, _	. . 2.104.	2	0	2	0 И -1 б -1)	1 о _2 о -2	2 ] • о/
Квадратная матрица В называется симметричной, если Вт = В.
Квадратная матрица С называется кососимметричной, если Ст = —С.
2.105. Доказать, что любую матрицу А можно представить, и
при этом единственным образом, в виде А = В 4- С, где В —
симметричная, а С — кососимметричная матрицы.
2. Обратная матрица. Квадратная матрица А называется вырожден-
ной (особенной), если ее определитель равен нулю, и невырожденной
(неособенной) в противном случае. Если А — невырожденная матрица,
то существует и притом единственная матрица А"1 такая, что
АА"1 = А“1А = Е,
90 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений
где Е — единичная матрица (т. е. такая, на главной диагонали которой
стоят единицы, а все остальные элементы равны нулю). Матрица А-1
называется обратной к матрице А.
Укажем основные методы вычисления обратной матрицы.
Метод присоединенной матрицы. Присоединенная матрица
Av определяется как транспонированная к матрице, составленной из ал-
гебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А (см.
формулу (5) из §1). Таким образом,
/Л(1,1)	А(2,1)	_	А(„,1А
AV=	А^’2)	Д(2>2)	...
{Д(Л,П)	Д(2,п)	...
Справедливо равенство
AVA = AAV = det А • Е.
Отсюда следует, что если А — невырожденная матрица, то
Пример 1. Методом присоединенной матрицы найти А \ если
/1	2 —1\
А= I3	0	2 j .
\4 ~2	5/
<1 Имеем det А = —4. Найдем алгебраические дополнения соответству-
ющих элементов матрицы А:
	0 -2	2 5	= 4, Д(2-1) =		2 -2	-1 5		=-8, А<3’1) =	2 - 0	-1 2	= 4,
а('-2> = -	3 ' 4	2 5	= —7, А<2-2> =		1 4	-1 5		= 9, д(з,2) = _	1 -1 3	2		= -5,
	3 i -	0 -2	= -6, А<2’3> =			1 4 -	2 2	= 10, А<3’3> =	1 2 3 0		= -6.
Поэтому	' 4		-8	4\					/-1	2	-П		
Av= 1	-7	9 — 5 j и А 1 10 -6/				--Av 4		= 1 7/4 -9/4 \3/2 -5/2	5/4 3/2;		. о
§2. Матрицы
91
Метод элементарных преобразований. Элементарными
преобразованиями матрицы называются следующие:
1)	перестановка строк (столбцов);
2)	умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;
3)	прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих эле-
ментов другой строки (столбца), предварительно умноженных на неко-
торое число.
Для данной матрицы А п-го порядка построим прямоугольную ма-
трицу ГЛ = (А|Е) размера п х 2п, приписывая к А справа единичную
матрицу. Далее, используя элементарные преобразования над строками,
приводим матрицу ГЛ к виду (Е\В), что всегда возможно, если А невы-
рождена. Тогда В — Л"1.
Пример 2. Методом элементарных преобразований найти А-1 для
/3	2	1\
А=	4	5	2 |	.
\2	1	V
<1 Образуем матрицу Гл‘.
/321
Гл =	4 5 2
\ 2 1 4
1 О О
О 1 о
О 0 1
Обозначив через 71, 72, 73 строки матрицы Гл, произведем над ними
следующие преобразования:
1	2	1
7i = J7b	7i	- 71 ~	^72,	71	- 71 “ ^7з,
4	Q	1
7г — 72 ~ g7i>	7г	~ у7г>	72	~ 7г — ^73 »
,	2	..	.	1 ,	...	7 .
7з = 7з - ^71,	7з	= 7з +	?72,	7з	= Т^7з •
В результате последовательно получаем
3 2 1
4 5 2
2 1 4
1	0	0 \	/1	2/3	1/3
О	1	0 j	->	I 0	7/3	2/3
0	0	1/	\ 0	-1/3	10/3
1
0
0
0
1
0
1/3 0 0 X
-4/3 1 0 | ->
-2/3 0 4/
1/7	5/7	-2/7	0
2/7	-4/7	3/7	0
24/7	-6/7	1/7	1
/10 0
0 10
\ 0 0 1
3/4
-1/2
-1/4
-7/24
5/12
1/24
-1/24 \
-1/12 ] .
7/24 /
92 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений
Следовательно,
/ 3/4	-7/24	-1/24\
А-1 =	I —1/2	5/12	—1/12 1	. >
1/4	1/24	7/24/
Методом присоединенной матрицы найти обратные для следу-
ющих матриц:
2.106.	/1	2\	. /3		4\	/cos а		— sin а
	\з	4/ '	. 2.107.		7/ '	2.108.	\sina	cos а
2.110.
/2	5	7\
2.109.	I 6	3	4 |	.
\5	-2	-3/
	/1	1	1 ..	•
	0	1	1 ..	. 1
2.111.	0	0	1 ..	. 1
\0 0 0 ... 1/
	/1	1	1	1\
	1	1	-1	-1
2.112.	1	-1	0	0
		0	1	-1/
/ 1 1 1 1 \
3/>/5 1/V5 -1/V5 -З/л/5
11Л 1-1-1 1
\1/л/5 -З/у/5 ЗД/5 -1/л/5/
Методом элементарных преобразований найти обратные для
следующих матриц:
2.114.
/2 7
3 9
V 5
Л
1
3\
4 I.
3/
1 1
1 -1
1 1
2.115.
2\
-2 |.
1/
2.116.
\1 -1 -1
	/1 1 0 ... 0\ 0 1 1 ... 0		/0 0 1 -1\ 0 3 1	4
2.118.	0 0 1 ... 0	. 2.119.	2 7 6 -1
	\0 0 0 ... 1/		V 2 2 -1/
1
2
2
§ 3. Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы 93
2.120.
/10 0
0 2 0
0 0 3
°
о о
о о
\0 О 0 ... О п/
Решить матричные уравнения:
/1 2\	/3	5\	/3	—2\	/-1
2.121 {	•!= I 2.122. X I 1 = 1
\3 4/	V	9/	^5	-4j	^-5
n1«n ?3	-A v (Ь	6\	/14	16\
г.Ш.	_2 j	• х • ^7	8 j	- 9	10J *
1	2	—3\	/ i	-3	0\
3	2	—4 |	• X =	10	2	7 |.
2	-1	0/	\1°	7	8/
/ 5	3	1\	/-8	3	0\
2.125.	X •	I 1	-3	-2 ]	=	I -5	9	0 1.
\—5	2	1/	\-2	15	О/
2.126.	Доказать следующие равенства:
а)	(аА)-1 = ~А~1;
б)	(АВ)-1 =В-1А"1;
в)	(А-!)т = (Ат)-1.
2\
6/
Вычислить значение функции д(х) при х = А:
2.127.	д(х) = х2 — Зж + 2ж-1 — ж-2, А = Q .
/2-1	0\
2.128.	д(х) — х — 8ж-1 + 16аГ2, А = I 0	2 -1 |.
\0	0	2/
/О 1 1\
2.129.	д(х) = (х2 — I)-1 — (ж2 4-1)-1, А = I 1 О 1 |.
V 1 °/
§ 3. Пространство арифметических векторов.
Ранг матрицы
1. Арифметические векторы. Всякая упорядоченная совокупность из
п действительных (комплексных) чисел называется действительным
(комплексным) арифметическим вектором и обозначается символом
Х= (®1, Х2, Хп).
94 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений
Числа a?i, а?2, ..хп называются компонентами арифметического век-
тора х.
Над арифметическими векторами вводятся следующие операции.
Сложение: если
х = (xi, т2, ... , хп), у = (yi, J/2, • • • , Уп),
то
х + у = (Т1 +J/1, Х2 +J/2, ... , Хп +уп).	(1)
Умножение на число: если Л — число (действительное или ком-
плексное) и х — (a?i, х2, ..., хп) — арифметический вектор, то
Ах = (Axi, Атг, ... , Ажп).	(2)
Множество всех действительных (комплексных) арифметических п-
компонентных векторов с введенными выше операциями сложения (1) и
умножения на число (2) называется пространств ом арифметических
векторов (соответственно действительным или комплексным). Всюду
в дальнейшем, если не оговаривается противное, рассматривается дейст-
вительное пространство арифметических векторов, обозначаемое симво-
лом К”.
Система арифметических векторов {xi, ..., хв} называется линейно
зависимой, если найдутся числа Д1? ..., АЛ, не равные одновременно
нулю, такие, что AiXi + ... + Xaxa = 0 (где 0 = (0, 0, ..., 0) — нулевой
вектор). В противном случае эта система называется линейно независи-
мой.
Пусть Q — произвольное множество арифметических векторов. Си-
стема векторов ® — (ei, ..., ea) называется базисом в Q, если выпол-
нены следующие условия:
а)	в* G Q, k = 1, 2, ..., з;
б)	система Ж = (ei, ..., ea) линейно независима;
в)	для любого вектора х G Q цайдутся числа Ai, ..., Xa такие, что
S
х = 52л*е*-	(3)
к=1
Формула (3) называется разложением вектора х по базису Ж. Коэф-
фициенты Ai, ..., Ха однозначно определяются вектором х и называются
координатами этого вектора в базисе Ж.
Справедливы следующие утверждения:
1) Всякая система векторов Q 6 К” имеет по меньшей мере один
базис; при этом оказывается, что все базисы этой системы состоят из
одинакового числа векторов, называемого рангом системы Q и обозна-
чаемого rangQ или r(Q).
2) Ранг всего пространства равен п и называется размерностью
этого пространства; при этом в качестве базиса Ж” можно взять следую-
§ 3. Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы 95
щую систему:
ei = (1, 0, 0,
62 = (0,1,0,
е3 = (0,0, 1,...,0),	W
е„ = (0, 0, 0,... , 1).
Этот базис принято называть каноническим.
Зафиксируем произвольный базис ® =, (ei, ..еп) в пространстве
IRn. Тогда всякому вектору х можно поставить во взаимно однозначное
соответствие столбец его координат в этом базисе, т. е.
х = Tiei 4-... 4- xnen О X —
Замечание. Необходимо различать компоненты вектора и его ко-
ординаты в некотором базисе. Мы используем для них одинаковое обо-
значение, хотя следует помнить, что координаты вектора совпадают с
его компонентами только в каноническом базисе.
Линейные операции (1) и (2) над арифметическими векторами в ко-
ординатной форме выглядят следующим образом:
Z = х + у Z - X 4-У (&zk = xk+yk, k = 1, 2, ... , п),
у = ХхФ>У = ХХ (О ук - Ххк, к = 1, 2, ... , п).
2.130. Доказать, что линейные операции (1) и (2) обладают
следующими свойствами:
1а) х 4- у = у 4- х;
16) (х 4 у) 4 z = х 4 (у 4 z);
1в) х 4- 0 = х;
1г) Vx, у 3!z (х = у 4 z) (вектор z называется разностью
векторов х и у и обозначается так: z = х — у);
2а) Х(/1х) = (X/i)x для любых чисел А и д;
26) 1 • х = х;
За) Х(х 4- у) = Хх 4- Ху;
Зб) (X 4- д)х = Хх 4- дх.
Заданы арифметические векторы:
а1 = (4, 1, 3, -2), а2 = (1, 2, -3, 2), а3 = (16, 9, 1, -3),
а4 = (0, 1, 2, 3), а5 = (1, -1, 15, 0).
Найти следующие линейные комбинации:
2.131.	3ai 4- 5а2 — а3.	2.132. ai 4* 2а2 — aj — 2as.	•
2.133.	2ai 4- 4а3 - 2ag. 2.134. -ai 4- За3 - |a4 4- a$.
96 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений
Заданы те же, что и выше, арифметические векторы ai, аг, аз,
а4, as- Найти вектор х из уравнения:
2.135.	2х 4- ai — 2аг — as = 0.
2.136.	ai — 3as 4- х 4- аз = 0.
2.137.	2(ai — х) 4- 5(а4 4- х) = 0.
2.138.	3(аз 4- 2х) - 2(as - х) = 0.
2.139.	Доказать, что линейно зависима всякая система векто-
ров:
а)	содержащая два равных вектора;
б)	содержащая два вектора, различающихся числовым множи-
телем;
в)	содержащая нулевой вектор;
г)	содержащая линейно зависимую подсистему.
Выяснить, являются ли следующие системы арифметических
векторов линейно зависимыми или линейно независимыми:
2.140.	Х1 = (-3, 1, 5), х2 = (6, -3, 15).
2.141.	Х1 = (1, 2, 3, 0), х2 = (2, 4, 6, 0).
2.142.	Х1 = (2, -3, 1), х2 = (3, -1,	5), х3	= (1,	-4,	3).
2.143.	Xi = (1, г, 2 — г, 3 4- i), х2 =	(1 — г,	1 4- г,	1 — Зг, 4 — 2г).
2.144*	. Показать, что система арифметических векторов
ei = (1, 1, 1, 1, 1), е2 = (0, 1, 1, 1,	1), е3	= (0,	0, 1,	1, 1),
>е4 = (0, 0, 0, 1, 1), е5 = (0, 0, 0, 0,	1)
образует базис в К5.
Найти координаты заданного вектора х в базисе 53 = (ei,..., es)
из задачи 2.144:
2.145*	*. х = (1, 0, 1, 0, 1).
2.146.	х = (5, 4, 3, 2, 1).
2.147.	Доказать, что если векторы ai, а2, аз линейно зависимы
и вектор аз не выражается линейно через векторы ai и а2, то
векторы ai и а2 различаются лишь числовым множителем.
2.148.	Доказать, что если векторы ai, а2,..., а* линейно неза-
висимы, а векторы ai, а2, ..., а^, b линейно зависимы, то вектор
b линейно выражается через векторы ai, а2, ..., а^.
2.149.	Доказать, что упорядоченная система векторов ai, а2 ...
..., ап, не содержащая нулевого вектора, линейно независима то-
гда и только тогда, когда ни один из этих векторов не выражается
линейно через предыдущие.
2.	Ранг матрицы. Пусть в матрице А размера m х п выбраны про-
извольно к строк и к столбцов (к min(m, п)). Элементы, стоящие на
пересечении выбрайных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу
порядка к, определитель которой называется минором к-го порядка ма-
трицы А.
§ 3. Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы 97
Максимальный порядок г отличных от нуля миноров матрицы А
называется ее рангом, а любой минор порядка г, отличный от нуля, —
базисным минором.
Строки (столбцы) матрицы А размера m х п можно рассматривать
как систему арифметических векторов из (соответственно ИГ71).
Теорема о базисном миноре. Ранг матрицы равен ранги
системы ее строк (столбцов)-, при этом система строк (столбцов)
матрицы, содержащая базисный минор, образует базис в системе
всех строк (столбцов) этой матрицы.
Приведем основные методы вычисления ранга матрицы.
Метод окаймляющих миноров. Пусть в матрице найден ми-
нор fc-ro порядка М, отличный от нуля. Рассмотрим лишь те миноры
(к + 1)-го порядка, которые содержат в себе (окаймляют) минор М: если
все они равны нулю, то ранг матрицы равен к. В противном случае среди
окаймляющих миноров найдется ненулевой минор (к + 1)-го порядка, и
вся процедура повторяется.
Пример 1. Найти ранг матрицы
/2 1-4	3 11 0\
А _ 1 I -4 2
3 1 ’
\4 -7	4 -4 5/
<1 Фиксируем минор 2-го порядка, отличный от нуля:
Минор 3-го порядка
окаймляющий минор М2, также отличен от нуля. Однако оба минора
4-го порядка, окаймляющие М3, равны нулю:
2	-4	З1	1		2	-4	3' 0	
1	-2	11	-4	= 0,	1	-2	11 2	= 0.
0	1		3		0	1	.-1J1	
4	-7	4	-4		4	-7	4 5	
Поэтому ранг А равен трем.' о
Метод элементарных преобразований основан на том
факте, что элементарные преобразования (см. п. 2 § 2) матрицы не ме-
няют ее ранга (см. задачу 2.158). Используя эти преобразования, ма-
трицу можно привести к такому виду, когда все ее элементы, кроме ац,
022, • • •, Огг (г min (т, п)), равны нулю. Следовательно, ранг матрицы
равен г.
98 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений
Пример 2. Найти ранг матрицы
	/ 0	2	-4\
	-1	-4	5
А =	3	1 .	7
	0	5	-10
	к 2	3	
< Производя последовательно элементарные преобразования, будем иметь
4
-5
-11
5
2
“5\
10
22
-10
-V
0 0\
1 о
о о
о о
о о/
Ранг последней матрицы равен двум, следовательно, таков же и ранг
исходной матрицы. t>
Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров:
/2 -1 3 —2 4\	fo 1 о
1	1	2 —1 —3	4
2.150.	4-2 5	17.	2.151. с .,	,	_
1 Л	п Л |	5	1-17
\2 -1 1	8 2/	„	„ Л «
4	7	\7	7	9	1/
/3 -1	3 2	5\	/1 2 3 4\
5 -3	23	4 I Л „	2 3 4 5
2.152.	. о с	л 7	• 2.153.	,	.	_	с	. 1	-3	—5	0	-7	3	4	5	6
\7 -5	1 4	1/	\4 5 6 7/
/1 2 3 0 -1\
2.154. I 0 1 1 1	0 |.
\1 3 4 1 -1/
/1 + г
2.155.
\ 4
1 - i 2 + Зг \
1	2
—1 — г	3 — 2г
—4г	10 +2г/
§ 3. Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы 99
Чему равен ранг матрицы А при различных значениях Л?
		/3 1	1 4\	/1 А -1	2\
2.156. А =		V 7 17 , • 2.157. А = 2 -1 А ^2 2	4 3/	10 “6		5 ]. А/
2.158. Показать, что ранга матрицы.			элементарные преобразования не меняют	
Вычисл ний: 2.159. 2.160.	| 2.161. 2.162. 2.163. Вычиы	ить ранг мат <25 31 17 75 94 53 75 94 54 ^25 32 20 /47 -67 2 26	98 2 ^16 -428 /24 19 36 49 40 73 73 59 98 \47 36 71 /17 -28 4( 24 -37 61 25	—7	32 31	12	1< \42	13	2< / 1	2	3\ 4	5	6 7	8	9 \10 11 12/ 1ить ранг мач /13—1 7 1 -3		эицы методом элементарных преоС 43\ 132 134 ‘ 48/ 15	201 155\ !3 -294 86 1. 1 1284	52/ 72	- 38\ 147	- 80 219	-118 * 141	—72/ >	11	39\ 13	50 -18 -11 . ) -43 -55 ) -55 —68/ /-1	3	3 —4\ .	-г? :  \-2	3	0	1/ ?рицы: 6\	/ 0	1 10	3\ Ю	2	0 4 -1	>разова-
2.165.	17 \ з	1 -7 4 -2	22 ’ 2Л66, 16	4 52	9 10/	\ 8 —1	6 -7)	
100 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений
	/0 1	1 1	1 0	0 0
2.167.	0	1	0	1
	1	0	1	0
	\о	0	1	1
°\		/ 0
0		0
1	. 2.168.	2
0		к“1
V		
1	0	4	3	1\
1	3	0	2	1
10	0	11
2	-1	-1	-1	1/
2.169.
/2	2
1 О
2	1
-1 -2
-3 -1
\ 1 2
1	5 -1\
4	-2	1
5	О	1
2	-6	1
-8	1	-1
-3	7 —2/
	/	0	-1	0	1	3	1\
		1	0	-2	0	-1	-1
2.170.		0	1	0	1	0	0
		1	0	0	1	1	1
		-1	-3	-1	2	2	0
	1	3	2	-1	-1	-1	-м
2.171.	Доказать, что если произведение матриц АВ определено,
то rang (АВ) min {rang A, rangB}.
2.172.	Пусть А — невырожденная матрица, а матрицы В и
С таковы, что АВ, С А определены. Доказать, что rang (АВ) =
= rangB и rang((7A) = rang С.
2.173.	Доказать, что если сумма матриц А + В определена, то
rang (А + В)	rang А + rang В.
Понятие ранга матрицы используется для исследования линейной
зависимости системы арифметических векторов.
Пример 3. Выяснить, является ли система арифметических векто-
ров ai = (2, —3, 1), аг = (3, —1, 5), а3 = (1, —5, —3) линейно зависи-
мой или линейно независимой. Найти ее ранг и какой-нибудь базис.
О Запишем матрицу А, вектор-столбцами которой являются ах, а2, а3:
/2	3] 1\
А = (aj*, aj, aj") = l_—3_ _-АJ ~5 I .
\ 1	5-3/
Ранг А, как нетрудно видеть, равен 2. Следовательно, исходная система
арифметических векторов линейно зависима, и ее ранг также равен 2
(по теореме о базисном миноре). Минор 2-го порядка
М2 =
2	3
-3 -1
= 7
§ 3. Пространство арифметических векторов. Ранг матрицы 101
^отличен от нуля и потому может быть принят за базисный. Отсюда
следует, что арифметические векторы ai и аг образуют базис исходной
системы.
Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно
зависимыми или линейно независимыми:
2.174.	Xi = (1, 1, 1, 1), х2 = (1,-1,-1,1), х3 = (1,-1,1,-1),
х4 = (1,1,-1,-1).
2.175.	Х1 = (4, -5, 2, 6), х2 = (2, -2, 1, 3), х3 = (6, -3, 3, 9),
х4 = (4, -1, 5, 6).
Найти ранг системы векторов:
2.176.	ai = (1, -1, 0, 0), а2 = (0, 1, -1, 0), а3 = (1, 0, -1, 1),
ад = (0, 0, 0, 1), аз = (3, -5, 2, -3).
2*177. ад — (1, г, 1, t, 1), а2 — (1, 1, 1, в, 1), а3 —
= (1, -1, 1, -1, 1), ад = (3, -1, -1, -1, 3).
Найти все значения А, при которых вектор х линейно выра-
жается через векторы ад, а2, а3:
2.178.	ад = (2, 3, 5), а2 = (3, 7, 8), а3 = (1, -6, 1), х =
= (7, —2, А).
2.179.	ад = (3, 2, 5), а2 = (2, 4, 7), а3 = (5, 6, А), х =
= (1, 3, 5).
2.180.	ад = (3, 2, 6), а2 = (7, 3, 9), а3 = (5, 1, 3), х =
= (А, 2, 5).
Найти ранг и какой-нибудь базис заданной системы векторов:
2.181.	ад = (5,2,-3,1), а2 = (4,1,-2,3), а3 = (1,1,-1,-2),
ад = (3, 4, -1, 2).
2.182.	ад = (2, -1, 3, 5), а2 = (4, -3, 1, 3), а3 = (3, -2,3,4),
ад = (4,-1,15,17), as = (7, -6, -7, 0).
2.183.	ад = (1,2,3,-4), а2 = (2,3,-4,1), а3 = (2, -5, 8, -3),
ад = (5, 26, -9, -12), as = (3, -4, 1, 2).
Найти рант и все базисы системы векторов:
2.184.	ад = (1, 2, 0, 0), а2 = (1, 2, 3, 4), а3 = (3, 6, 0, 0).
2.185.	ад = (1, 2, 3, 4), а2 = (2, 3, 4, 5), а3 = (3, 4, 5, 6),
ад = (4, 5, 6, 7).
2.186.	ад = (2, 1, -3, 1), а2 = (4, 2, -6, 2), а3 = (6,3,-9,3),
ад = (1,1,1,1).
102 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений
§ 4. Системы линейных уравнений
1. Правило Крамера. Пусть задана система п линейных уравнений с
п неизвестными вида
ац£1 + 012^2 4-... 4- Oln^n —
021 Я?1 + 022^2 + • • • + d2nxn — ^2,
(1)
Onl^l 4* ®n2^2 4”	+ 0,nnXn —
или, в матричной форме, АХ = В, где
/Он 012	••• О1п\
021	а22	• • • a2n
\ОП1 Оп2 • • • Опп/
\хп/
(ЬЛ
&2
\bj
Правило Крамера. Если в системе (1) det А = Д 0, т.е.
матрица А имеет обратную А-1, то система (1) имеет, и притом един-
ственное, решение
X = А-1В,
или, в покомпонентной записи,
где Д; — определитель, получаемый из определителя А заменой г-го
столбца на столбец свободных членов.
Пример 1. Решить систему уравнений
Зят1 + 2x2 + х3 =5,
2хг - х2 + х3 =6,
Xi + 5ят2 = —3.
/3	2 1\
< Матрица А = I 2 -1 11 невырожденная, так как det А = -2 0 0.
\1	5 °/
Присоединенная матрица Av имеет вид
/-5	5	3\
Av =	1	-1 -1 .
\11 -13 -7/
Следовательно,
/-5	5	3\
Л"х = --	1	-1 -1 ,
2 \11 -13 -7/
§ 4. Системы линейных уравнений
103
7-5	5	3\ / 5\	/-4\	/ 2\
Х = А-1В = --	1 -1 -111 6 =-|	2 = 1-1 ,
2 \11 -13 -7/ \-3/	2 \-2/	\ 1/
т.е. Xi = 2, Х2 = -1, хз = 1. [>
Следующие системы решить по правилу Крамера:
2.188. Зх - 4у = -6,
2.190.
2.192.
2.187. За; — 5у = 13,
2х 4- 7у = 81.
2.189. 2ах - ЗЪу = 0,
Заа; — 5Ъу = ab.
2.191. 2х + у =5,
х 4- 3z = 16,
5у — z ~ 10.
2.193.
4^1 + 4x2 + 5жз + 5а;4 = 0,
2iei 4- Загз — Х4 = 10,
XI 4- х2 — 5а;3	= -10,
За;2 4- 2хз = 1.
За; 4- 4у = 18.
7х 4- 2у 4- 3z = 15,
5а; — Зу 4- 2z = 15,
10а; 7- Пу 4- 5z = 36.
х 4- у - 2z = 6,
2х 4- Зу — 7z = 16,
5а; 4- 2у 4- z = 16.
2.194.
2xi —	Х2	4- Зхз 4-	2а?4	=	4,
3a;i 4-	3x2	+ Зхз 4-	2x4	=	6,
3a;i —	Х2	— а?з —	2а?4	=	6,
3a;i —	Х2	+ Зхз —	Х4	=	6.
2.195*	. Доказать, что для любых различных чисел a;i, а?2, хз
и любых чисел yi, У2, уз существует, и притом только один, мно-
гочлен у = f(x) степени 2, для которого f(xi) = у^ i = 1, 2, 3.
Когда степень этого многочлена < 2 (равна 1, равна 0)?
По заданным условиям найти многочлен f(x):
2.196.	/(1) = -1, /(-1) = 9, /(2) = -3.
2.197.	fj{x{] — 6j,j, i, j = 1, 2, 3, 6ij ~
Решить системы уравнений:
2.198.	5a; i 4- 8x2	4-	X3	— 2,	2.199.	2xi — 3x2	+ X3 =	—7,
3xi - 2x2	+	6а;з	= -7,	a?i 4- 4ж2	+ 2a;3 =	-1,
2xi + #2	~	хз	= -5.	xi - 4a;2	=	-5.
1, «= i
0, i 0 j.
2.200.
2a:i 4- 2x2 - X3 4- X4 = 4,
4xi + За;г — X3 4- 2x4 = 6,
8a;i 4- 5x2 — Зхз 4- 4a?4 = 12,
3a;i 4- ЗХ2 — 2хз 4- 2a?4 = 6.
2.201.
2xi + 3x2	4- 11а;з	4- 5ац =	2,
xi 4-	X2	4-	5хз	4- 2ai4 =	1,
2xi 4-	a?2	4-	Зхз	4- 2x4 =	~3
xi 4-	X2	4-	Зхз	4- 4x4 =	-3
2.202.	2a?i 4-	5x2	4- 4хз	4- X4	— 20 =	0,
a?i 4-	3x2	+ 2хз	4- X4	- 11 =	0,
2xi +	10^2	+ 9а;з	4- $X4	— 40 =	0,
3a;i 4-	8x2	4- 9а;з	4- 2ац	- 37 =	0.
104 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений
2.203.	3zi + 4я2 + я3 + 2я4 + 3 = 0,
3^1 4- 5^2 + З^з + 5^4 + 6 = 0,
6^1 + &Г2 + жз + 5я4 + 8 = 0,
3^1 + 5я?2 + Зяз + 7я4 + 8 = 0.
2. Решение произвольных систем. Пусть задана система тп линейных
уравнений с п неизвестными общего вида
О11®1 + 012^2 + • .  + О1ПЖП — Ь1,
021^1 + 0-22X2 + .. . + О2пХп — ^2>
0-mlXi + Ощ2Х2 + . .. + QmnXn
или, в матричной форме,
АХ = В,
ан	0-12	•	0>1п
021	0-22	О2п
O-ml	Ощ2	• отп)
(Ъ1\
Xb’rJ
(2)
(3)
Если В = О, то система называется однородной, в противном случае
она называется неоднородной.
Решением системы (2) называется всякий n-компонентный вектор-
столбец X, обращающий матричное уравнение (3) в равенство (соот-
ветствующий решению X арифметический вектор х G Кп также будем
называть решением системы (2)).
Система называется совместной, если у нее существует по крайней
мере одно решение, в противном случае она называется несовместной.
Две системы называются эквивалентными, если множества их ре-
шений совпадают.
Теорема Кронекера-Капелли. Для того чтобы система
(2) была совместной, необходимо и достаточно, чтобы
rang A = rang А,
(4)
где А = (А\В)—расширенная матрица системы.
Пусть rang А = rang А = г, т. е. система совместна. Не ограничивая
общности, будем считать, что базисный минор располагается в первых г
(1 г min(m, п)) строках и столбцах матрицы А. Отбросив послед-
ние т — г уравнений системы (2), запишем укороченную систему:
ЦцЯ1 + ... + aira:r + (11)Г+1®г+1 + • • • + a-inXn — bi,
(5)
QplXi + . . . + йррХр +	+ . . . + Qrn*^n — Ьр,
которая эквивалентна исходной. Назовем неизвестные xi,..., хг базис-
ными, а Яг+1, ..., хп свободными и перенесем слагаемые, содержащие
§ 4. Системы линейных уравнений
105
свободные неизвестные, в правую часть уравнений (5). Получаем си-
стему относительно базисных неизвестных:
^11£1 4“ • • • 4“ (L\rXr — Ь\ Й1,г4-1£г4-1	... О'Тп'^п^
Йг1£1 4“ • • • 4“ arrXr — Ъг йг,г-Ь1£г+1	... о,гпхп
которая для каждого набора значений свободных неизвестных ®Г4-1 =
= ci, ..., хп = сп-г имеет единственное решение xi(ci, ..., сп_г), ...
..., xr = (ci, ..., сп_г), находимое по правилу Крамера. Соответству-
ющее решение укороченной, а следовательно, и исходной систем имеет
вид
/£i(ci, ... , сп_г)^
(6)
Формула (6), выражающая произвольное решение системы в виде вектор-
функции от п — г свободных неизвестных, называется общим решением
системы (2).
Пример 2. Установить совместность и найти общее решение си-
стемы
2Ж1 4- х2 - £з - Зжд = 2,
4®i	+ ®з - 7ж4 = 3,
2х2 - Зж3 4- £4 = 1,
2ж1 4- Зж2 — 4ж3 — 2®4 = 3.
<3 Выпишем основную и расширенную матрицы системы:
/2 11 -1 -3\
_4__Qj 1 -7
0 2-3	1
\2 3 -4 -2/
/21-1-3
4 0	1-7
0 2-3	1
\ 2 3 -4 -2
2 \
3
1
3 /
rang А = 2 (проверьте!),
Так как rangА =
вместна.
Выберем в качестве базисного минор М2 =
ные ®i, х2 — базисные, хз, £4 — свободные,
имеет вид
то исходная система со-
2 1
4 0 •
а укороченная система
Тогда неизвест-
2x1 4- £г = 2 + £з 4- 3£4,
4£j	= 3 — £3 4- 7ж4.
106 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений
Полагая я3 = q, Х4 = с2 и решая укороченную систему относительно
базисных неизвестных, получаем
3	1	7
Х1 = Л “ 7С1	+ 7С2’
4	4	4
1	3	1
12 = 2 + 2С1-2С2-
Следовательно, общее решение исходной системы имеет вид
X(Ci, С2) =
Исследовать совместность и i
систем:
2.204. 1 х - у/Зу = 1,	2.
\/Зх — Зу = у/З.
2.206. 2х - у 4- z = -2, 2.
х 4- 2у 4- 3z = —1.
х — Зу — 2z = 3.
2.208.
3xi — 2x2 ~ 5хз + Х4 = 3,
2xi — Зх2 4- хз 4- 5x4 = —3,
xi 4- 2х2	~ 4а?4 — —3,
xi — х2 — 4хз 4- 9x4 = 22.
2.210.
2xi 4- 7х2 4- Зхз 4- яц = 6,
Зх 1 4- 5х2 4- 2хз 4- 2x4 = 4,
9xi 4- 4х2 4- хз 4- 7х4 = 2.
2.212.
9xi — Зх2 4- 5жз 4- 624 = 4,
— 2x2 4* Зхз 4- 4x4 = 5,
3xi — х2 4- Зхз 4-14x4 = —8.
аайти общее решение следующих
205. у/Зх — 5у ~ \/5,
х — у/5у = 5.
207. х 4- 2у — 4z = 1,
2х 4- у — 5z = —1,
х — у — z = —2.
2.209.
Х\ 4-	Х2	- 6x3 - 4X4	=	6,
3X1 —	Х2	— 6x3 — 4X4	—	2,
2xi 4-	Зх2	4- 9х3 4- 2x4	=	6,
3xi 4-	2х2	4- Зхз 4- 8x4	=	-7.
2.211.
3xi - 5х2 4- 2хз 4- 4x4 = 2,
7xi — 4x2 4- хз 4- 3x4 = 5,
5xi 4- 7х2 — 4хз — 6x4 = 3.
2.213.
3xi 4- 2х2 4- 2хз 4- 2x4 — 2,
2xi 4- Зх2 4- 2хз 4- 6x4 = 3,
9xi 4- Х2 4- 4хз — 5x4 = 1,
2xi 4- 2x2 4- Зхз 4~ 4x4 = 5,
7xi 4- х2 4- 6x3 - Х4 = 7.
3X5 = 1,
3x5 = 2,
Зх5 = 1,
9x5 = 2.
2.214. xi 4- х2 4- Зхз — 2x4 4-
2xi 4- 2x2 4- 4хз - Х4 4-
3xi 4- Зх2 4- 5хз - 2х4 4-
2xi 4- 2x2 4- 8x3 - ЗХ4 4-
§ 4. Системы линейных уравнений
107
2.215.	2^1 —	а?2 4-	+ 2^4	+	Зя^	= 2,
6^1 —	3^2 + 2я?з	+ 4x4	+	5^5	= 3,
6я?1 —	3#2 + 4хз	+ &Г4	+ 13^5	= 9,
4^1 —	2X2 + #3	+ Х4	+	2^5	= 1.
2.216.	12^1 4-14^2	—	15^3 4-	24я?4 4- 27x5 =	5,
16j7i 4- 1&Г2	-	22жз 4-	29x4 4- 37я?5 =	8,
18zi 4- 20я?2	—	21жз 4-	32я?4 4- 41а?5 =	9,
10xi 4-12^2	—	16x3 4-	20х< + 23я?5 =	4.
2.217.	24^1 4- 14я2	4- ЗОж3	4-	40x4 4-	41х5	= 28,
36xi 4- 21x2	4- 45жз	4-	61х< 4-	62я?5	= 43,
48д71 4" 28^2	4~ 60жз	4~	82я?4 4-	83я?5	= 58,
60я?1 4- 35^2	4- 75жз	4-	99x4 4-	102x5	= 69.
Исследовать совместность и найти общее решение в зависимо-
сти от значения параметра Л:
2.218.	2.219.
5^1 — 3^2 4- 2яз	4-	4x4	— 3,	Axi	4-	Х2	4-	хз 4-	Х4 =	1,
4a;i — 2х2 4- Зхз	4-	7x4	= 1,	4-	Хх2	4-	хз 4-	Х4 =	1,
8я1 — 6#2 — хз~	5x4	= 9,	xi	4-	Х2	4- Ая?з 4-	Х4 =	1,
7xi — 3^2 4- 7хз	4- 17x4	= A.	xi	4-	Х2	4-	хз 4- Ая?4 =	1.
2.220.	2^1 — Х2 4- Зжз 4- 4x4 = 5,
4^1 - 2x2 4- 5жз 4- 6^4 = 7,
6^1 — 3^2 4- 7яз 4- 8x4 = 9,
A^i — 4а?2 4- 9яз 4- 10x4 = П.
2.221.	(1 4-	A)xi 4-	Х2	4-	хз	=	1,
xi 4-	(1 4- А)ж2	4-	яг3	=	1,
xi 4-	Х2	4- (1	4- А)яг3	=	1.
3.	Однородные системы. Однородная система АХ = О всегда со-
вместна, так как имеет тривиальное решение X = О. Для существо-
вания нетривиального решения однородной системы необходимо и до-
статочно, чтобы г = rang А < п (при т = п это условие означает, что
det А = 0).
Пусть Q С R” — множество всех решений однородной системы.
Всякий базис в множестве Q состоит из п — г векторов ei, еп_г.
Соответствующая ему в каноническом базисе (см. (4) из §3) система
вектор-столбцов Ei, ..., Еп_г называется фундаментальной системой
решений. Общее решение однородной системы имеет вид
X — Ci Ei А ... -Ь cn_rEn_r,
где ci, ..., сп_г — произвольные постоянные.
Базисные решения Ei, ..., Еп_г могут быть получены методом, из-
ложенным в п. 2, если свободным неизвестным придавать поочередно
значение 1, полагая остальные равными 0.
108 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений
Пример 3. Найти фундаментальную систему решений и общее
решение следующей однородной системы уравнений:
3®i 4- Х2 — 8жз- 4- 2ж4 4-	= 0,
2ж1 - 2x2 - Зжз - 7ж4 4- 2®5 = 0,
4-11ж2 — 12®з + 34^4 — 5®5 = 0,
- 5ж2 4- 2жз - 1б®4 4- 3®5 — 0.
<] Матрица коэффициентов
	(3	11	-8	2
А —	_2_	_-2j	-3	-7
—	1	11	-12	34
	V	-5	2	-16
2
-5
з/
имеет ранг г = 2 (проверьте!). Выберем в качестве базисного минор
М2 =
/0.
Тогда укороченная система имеет вид
3®i 4- Х2 = 8®з - 2ж4 — %5,
2xi - 2х2 = Зжз 4- 7а?4 — 2®э,
откуда, полагая х$ = ci, #4 = с2, х& = Сз, находим
19	3	1
*' ~ С1  8С2 + 2сз’
7	25	1
Общее решение системы
X(ci, с2, сз) —
/19	3	1 \
"ТС1 - 8С2 + 2Сз
7	25	1
"8С1 + ТС2‘2Сз
ci
с2
\	с3	/
§ 4. Системы линейных уравнений
109
Из общего решения находим фундаментальную систему решений
Ех = Х(1, 0, 0) =
/-19/8Х
-7/8
1
0
Е2 = X(0, 1, 0) =
Ез = Х(0, 0, 1) =
/1/2\
-1/2
О
/-3/8\
25/8
О
1
\ 0 /
О
С использованием фундаментальной системы общее решение может быть
записано в виде Х(с\, с2, сз) = С1Ег + с2Е2 + С3Е3. [>
2.222.	Доказать, что всякая линейная комбинация решений од-
нородной системы уравнений также является ее решением.
Найти фундаментальную систему решений и общее решение
следующих систем:
2.223.	+ 2х2 ~ ^з = 0,	2.224. xi - 2х2 - Зх3 = 0,
2ж1 4- 9х2 — Зх3 = 0.	— 2ti 4- 4х2 4- 6x3 = 0.
2.225. 3ti 4- 2х2 4- х3 = 0,
2жх 4- 5х2 + Зтз = 0.
3xi 4- 4х2 4- 2х3 = 0.
2.227.
xi 4- 2х2 4- 4х3 — За?4 = 0,
3ж1 4- 5x2 4- 6x3 — 4x4 = 0,
4x1 4- 5x2 — 2х3 4- ЗХ4 = 0,
3xi 4- 8x2 4- 24хз — 19x4 = 0.
2.226. 2xi - Зх2 4- хз = 0,
xi 4- х2 4- х3 = О,
3xi — 2x2 + 2х3 = 0.
2.228.
2xi - 4x2 + бхз 4- 3x4 = О,
3xi — 6x2 4- 4хз 4- 2x4 = О,
4xi — 8x2 4- 17х3 4- 11x4 = 0.
2.229.	3xi 4- 2x2 4- х3 4- ЗХ4 4- 6x5 = О,
6x1 4- 4x2 + Зхз 4- 5x4 4- 7x5 = О»
9xi 4- 6x2 + 5хз 4- 7x4 4- 9x5 = О,
3xi 4- 2x2	+	4x4	4-	8x5	—	0.
2.230.	xi 4- х3 4- Х5 = О,
х2 - Х4 4- х6 = О,
xi - х2	4- х5 - х6 = О,
х2 4- х3	4- х6 = О,
Х1	— Х4 4- Х5 = 0.
2.231.	5xi 4- 6x2 — 2хз 4- 7x4 4- 4x5 = О,
2xi + Зх2 — х3 4- 4x4 4- 2x5 — О',
7xi + Эх2 - Зх3 4- 5x4 4- 6x5 = О,
5xi + 9x2 ~ Зх3 4- Х4 4- 6x5 = 0.
ПО Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнении
2.232.	3xi 4-	4х2	4-	хз	4- 2x4 + 3xs =	О,
5ж1 4-	7х2	4-	хз	4- 3x4 4- 4xs =	О,
4xi +	5x2	4-	2хз	4- Х4 4- 6x5 —	О,
7xi 4- 10x2	4-	хз	4- 6x4 4- 5xs =	0.
2.233*	. Выяснить, образуют ли строки каждой из матриц
	/30	-24	43	50	-5\	/4	2	9	-20	-3
	9	-15	8	5	2	, В= 1	-11	2	13	4
	\ 4	2	9	-20	-30/	\9	-15	8	5	2
фундаментальную систему решений для системы уравнений
3xi 4- 4x2 + 2хз 4- Х4 4- 6x5 = О,
5xi 4- 9x2 4- 7хз 4- 4x4 + 7x5 = О,
4xi 4- 3x2 ~	~	т	+	П^5	—	О,
Xi 4- 6x2 4- 8x3 4- 5x4 ~ 4x5 = 0.
Определить значения параметра а, при которых система имеет
нетривиальные решения, и найти эти решения:
2.234.	a2xi 4- 3x2 4- 2хз = 0,	2.235.	2xi	4-	х2 4- Зхз	= О,
axi - х2 4-' х3 = 0,	4xi	-	ж2 4- 7х3	= О,
8xi 4- х2 4- 4хз = 0.	Xi	4-	ах2 4- 2хз	=	0.
Если задана неоднородная система АХ = В, то ее общее решение
может быть найдено как сумма общего решения соответствующей одно-
родной системы АХ = О и произвольного частного решения неоднород-
ной системы.
Найти общие решения неоднородных систем, используя фун-
даментальную систему решений соответствующих однородных:
2.236.	2xi 4- х2	—	хз — Х4	4-	Х5 =	1,
Xi - х2	4-	х3 4- Х4	-	2х5 =	0,
3xi 4- Зх2	—	Зхз — 3x4	4-	4x5 =	2,
4xi 4- 5х2	—	5хз — 5x4	4-	7xs =	3.
2.237.	2xi — 2х2	4- жз — Х4	4-	Х5	=	1,
Xi 4- 2х2	~ 4- Х4	-	2x5	—	1,
4xi “ Юх2	4- 5хз — 5x4	4-	7xs	=	1,
2xi — 14х2	4- 7хз — 7x4	4- ПХ5	= —1.
2.238.	Xi — х2 4- хз — Х4 4- Х5 — Хб = 1,
2xi — 2х2 4- 2хз 4- Х4 — Хб 4- Хб = 1.
2.239.	Xi 4- 2х2 4- Зхз 4- 4x4 4- 6x5 = 0,
Xi — 2х2 — Зхз — 4x4 — 5x5 = 2,
2х2 4- Зхз 4- 4x4 + 5x5 = —1.
§ 4. Системы линейных уравнений
111
4. Метод последовательных исключений Жордана-Гаусса. С помо-
щью элементарных преобразований над строками и перестановкой столб-
цов расширенная матрица системы (2) может быть приведена к виду
/1	0 ..	. 0	ai,r+l	• а'1п		
0	1 ..	. 0	^2, г+1	••	®2п	^2	
0	0 ..	. 1	®Г, г + 1	• ^гп	Ъ'г	(7)
0	0 ..	. 0	0	. 0	б'г+1	
\ 0	0 ..	. 0	0	. 0	b'm J	
Матрица (7) является расширенной матрицей системы
+ а1,г+1жг+1 + • • • + а'1пхп — Ьп
•^2	+ ®2,	+ • • • + ®>2пХп — ^2’
*^г 4" О’г, г+1®г+1 4" • • • 4" агпХп — ^г’
о = ь;+1,
(8)
0 = Ь'т,
которая с точностью до обозначения неизвестных эквивалентна исходной
системе.
Если хотя бы одно из чисел Ь'г+1, ..b'm отлично от нуля, то системы
(8), а следовательно, и исходная система (2) несовместны.
Если же 6^+1 = • • • = b'm = 0, то система совместна и формулы (8)
дают по существу явное выражение для базисных неизвестных xi, ...
..., хг через свободные неизвестные xr+i, • • хп.
Пример 4. Методом Жордана-Гаусса найти общее решение си-
стемы
Xi - 2X2	+ Х4 = —3,
3x1 - х2 - 2х31	= 1,
2x1 + хг - 2х3 - Х4 = 4,
Xi + 3x2 - 2х3 - 2х4 = 7.
<] Производя элементарные преобразования над строками расширенной
матрицы, получаем
/1—2	0	1	-3	\
-3-1-20	1
А~	2 1 -2 -1	4	“*
\ 1	3-2-2	7	/
112 Гл. 2. Определители и матрицы. Системы линейных уравнений
/1	-2	0	1	-3\	f1	0
0	5	-2	-3	10	л	1
0	5	-2	-3	ю	и	1
\ 0	5	-2	-3	107	0	0
					1 0	0
4
5
2
5
О
О
1
5
3
5
О
О
1 \
2
О
0 /
Первые две строки последней матрицы составляют расширенную ма-
трицу системы
4	1
Xi - -х3 -	= 1,
5	5
2	3
Х2 ~	~	= 2,
О	о
эквивалентной исходной. Считая , Х2 базисными неизвестными, а хз
и Х4 свободными, получаем общее решение в виде
Х(С1,с2) =
(Х1\
Х2
ХЗ
\XJ
Методом Жордана-Гаусса исследовать совместность и найти
общее решение следующих систем:
2.240.	2.241.
Х1 4- 2x2 + Зх3	+	4X4	=	0,	Xi	+ Х2	—	1,
7ti 4- 14х2 4- 20х3	4-	27x4	=	0,	xi	4- х2 4- х3	=	4,
5Ж1 4- 10х2 4- 16х3	4-	19x4	=	—2, х2 4- х3 4- Х4	=	-3,
3x1 4- 5х2 4- бхз 4- 13x4 =5.	х3 4- Х4 4- Х5 = 2,
х44-х5 = -1.
2.242.	105X1 - 175х2 - З15х3 4- 245х4 = 84,
90x1 — 150х2 — 270хз 4- 210x4 = 72,
75xi - 125х2 - 225хз 4- 175х4 = 59.
2.243.	2.244.
8xi 4- 12х2 =	20,	7xi — 5х2	— 2х3 —	4х4	=	8,
14xi 4- 21х2 =	35,	—3x1 4- 2х2	4- х3 4-	2x4	= —3,
9х3 4- 11x4 =	0»	2xi “ х2	— х3 —	2x4	=	15
16х3 4- 20x4 = 0,	— xi 4- х3 4- 24x4 = 1,
10x5 4- 12хб = 22,	- х2 4- х3 4- 2x4 — 3.
15x5 4- 18x6 — 33.
Глава 3
ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
§ 1.	Линейные пространства
и пространства со скалярным произведением
1.	Линейное пространство. Множество £ называется линейным (век-
торным) пространством, если выполнены следующие условия:
. 1. В £ введена операция сложения элементов, т. е. Vx, у С £ опре-
делено отображение
(х, у) -> z G £
(обозначение: z = х + у), обладающее следующими свойствами:
1а) х + у = у + х; 16) (х + у) + z = х + (у + z); 1в) 3 О Е £ Vx Е £
(х 4- 0 = х) (элемент 0 называется нулевым)-, 1г) Vx Е £ 3(—х) Е £
(х+(—х) = 0) (элемент —х называется противоположным элементу х).
2.	В £ введена операция умножения элементов на действительные
(комплексные) числа, т. е. VA Е R (А Е С), Vx Е £ определено отобра-
жение
(А, х) -> у Е £
(обозначение: у = Ах), обладающее свойствами:
2а) 1 • х = х; 26) А(/гх) = (А/г)х.
3.	Операции сложения элементов и умножения их на числа удовле-
творяют законам дистрибутивности:
За) А(х + у) = Ах + Ау; 36) (А + р)х = Ах + дх.
Элементы линейного пространства называются векторами. Про-
странство £ называется действительным, если в £ операция умноже-
ния векторов на число определена только для действительных чисел, и
комплексным, если эта операция определена для комплексных чисел.
Проверить, что следующие множества являются линейными
пространствами:
3.1.	Множество Уз всех геометрических векторов (операции над
геометрическими векторами определены в § 1 гл. 1).
3.2.	Множество всех арифметических n-компонентных век-
торов х = (a?i, ..хп) (операции над арифметическими векторами
определены в §3 гл. 2).
3.3.	Множество Рп всех многочленов
p(t) = an_]tn 1 4- ... + ait + ao
114
Гл. 3. Линейная алгебра
степени п — 1 с естественным образом введенными операциями
сложения многочленов и умножения их на числа.
3.4.	Множество С[О)ь] всех функций /(£), непрерывных на от-
резке [а, б], с естественным образом введенными операциями сло-
жения функций и умножения их на числа.
3.5.	Множество Л4т,п всех матриц размера т х п (операции
над матрицами определены в §2 гл. 2).
Выяснить, являются ли следующие множества линейными про-
странствами:
3.6.	Множество Ц всех геометрических векторов, коллинеар-
ных фиксированной прямой.
3.7.	Множество всех геометрических векторов, исходящих из
начала координат, концы которых лежат на фиксированной пря-
мой.
3.8.	Множество всех геометрических векторов, удовлетворяю-
щих условию |х| > а, где a > 0 — фиксированное число.
3.9.	Множество всех сходящихся последовательностей.
3.10.	Множество всех расходящихся последовательностей.
3.11.	Множество всех функций, интегрируемых на отрезке [а, б].
3.12.	Множество всех преобразований поворота трехмерного
пространства геометрических векторов вокруг фиксированной оси.
Система векторов х1} ..., х, С £ называется линейно зависимой,
если найдутся числа Л1, ..., Ха, не равные одновременно нулю и такие,
что AiXi + ... + Asxs = 0; в противном случае эта система называется
линейно независимой.
Пусть Q С £ — произвольное множество векторов линейного про-
странства. Упорядоченная система векторов *В — (е1} ..., es) называется
базисом в Q, если:
a)	et G Q, к = 1, 2, ..., з;
б)	система = (ei, ..., es) линейно независима;
в)	для любого х G Q найдутся такие числа х\, ..., ха, что
3
х-^Хк^к-	(1)
Л=1
Формула (1) называется разложением вектора х по базису ?В.
Коэффициенты Х\, ..., ха однозначно определяются вектором х и
называются координатами этого вектора в базисе *В.
Если множество Q С £ обладает базисами, то все они состоят из
одинакового числа векторов, называемого рангом Q (и обозначаемого
rangQ). В частности, если все пространство £ имеет базис, то оно
называется конечномерным и обозначается £п, где n = dim£ — чи-
сло векторов в любом базисе, называемое размерностью пространства.
В противном случае пространство £ называется бесконечномерным.
Пусть £п — произвольное n-мерное пространство, ® = (е1} ..., еп) —
фиксированный базис в нем. Тогда всякому вектору х € £п взаимно
§ 1. Линейные пространства
115
однозначно соответствует столбец его координат в этом базисе:
(яЛ
: I .
*п/
При этом линейные операции над векторами в координатной форме вы-
глядят следующим образом:
z = х + у Z = X + У,
у = Ах У = XX.
Пусть ® = (ei, ..еЛ) и 23' = (ej, ..eJJ — два различных базиса
в £Л. Каждый из векторов базиса 23' разложим по базису 23:
(^1*\
. I , к — 1, 2, ... , п.
Ink/
Матрицей перехода от базиса 23 к базису Ж' называется ма-
трица
(*11	• • •	^1п\
............I )
^nl • • • tnnj
к-й столбец которой есть столбец Ек координат вектора е'к в базисе 23.
Если х — произвольный вектор из £Л, X и X' — столбцы его координат
в базисах 23 и 23' соответственно, то имеет место равенство
X’ = (тв^в.)-‘х
(2)
(формула преобразования координат при преобразовании ба-
зиса).
Пример 1. Найти координаты геометрического вектора х = —i +
+ 2j 4- к в базисе 25', состоящем из векторов = i + j, е2 = j + k,
вз = i + k.
< Выпишем координаты векторов е'п е2, в исходном базисе 23 =
= (i, j, k):
/1\	/0\	/1\
= 1 , 4=1, 4 = ° •
\°/	х1/	V/
Отсюда матрица перехода имеет вид
/1 О IX
= I 1 1 о I .
\° 1 V
116
Гл. 3. Линейная алгебра
Обращая матрицу и используя формулу (2), находим
/1 1 -1\ /-1\
= d-1 1 12
z \ 1 -1 1/ \ 1/
0\
2 ) ’
-1/
т. е. х = 2е'2 — е'3. >
3.13.	Пусть Q — произвольная система векторов из £. Подси-
стема ei, ..., es С Q называется максимальной линейно незави-
симой подсистемой в Q, если ei, ..., ев — линейно независимая
система и всякая расширенная система ei, ..., es, х, где х — про-
извольный вектор из Q, линейно зависима. Доказать, что всякий
базис в Q есть максимальная линейно независимая подсистема в
Q, и наоборот.
3.14.	Если заданы произвольные к векторов Xi, ..., х^, то из
них можно построить не более к линейно независимых комбина-
ций. Используя этот результат, доказать: если 53 и 53' — два
различных базиса в системе Q, то они состоят из одинакового чи-
сла векторов (т.е. имеет смысл понятие ранга системы Q}.
3.15.	В пространстве Уз заданы векторы
e'i = i+j, e'2 = i-j, е'3 = -i + 2j - k.
Доказать, что система 93' = (е'15 е2, е3) — базис в Уз, и написать
матрицу перехода где 53 = (ei = i, ег = j, е3 = к). Найти
координаты вектора х = i — 2j 4- 2k в базисе 53'.
Пусть 53 = (i, j, к) и 53' = (F, j', к') — прямоугольные ба-
зисы в У3. В задачах 3.16-3.18 найти матрицу перехода и
выписать столбец координат вектора х = i — 2j 4- к в базисе 53'.
3.16.	Базис 53' получен изменением на противоположное напра-
вление всех трех базисных ортов 53.
3.17.	Базис 53' получен перестановкой i' = j, j' = k, k' = i.
3.18.	Базис 53х получен поворотом базиса 53 на угол вокруг
орта i.
3.19.	Найти ранг и какой-нибудь базис системы геометриче-
ских векторов xi = -i + 2j, Х2 = 2i — j + k, X3 = —4i 4- 5j — k,
X4 = 3i — 3j + k.
3.20.	В пространстве IR4 заданы векторы = (1, 2, —1, —2),
e'2 = (2, 3, 0, -1), e3 = (1, 2, 1, 4), e'4 = (1, 3, -1, 0). Доказать,
что система 53' = (e'p e2, e3, е'4) — базис в IR4, и написать ма-
трицу перехода где 53 — канонический базис в 1R4 (см. § 3
гл. 2). Найти координаты вектора х = (7, 14, —1, 2) в базисе 53х.
3.21.	Доказать, что система арифметических векторов xi =
= (1, 2, 0, 4), Х2 = (—1, 0, 5, 1), Хз = (1, 6, 10, 14) линейно зави-
сима, и написать какое-нибудь нетривиальное соотношение вида
Л1Х1 4- Л2Х2 4- Азхз = 0- Найти ранг и все базисы этой системы.
§ 1. Линейные пространства
117
3.22. Доказать, что система матриц вида
	/0 ..	. 0	0	0 ..	 °)			
	0 ..	. 0	0	0 ..	. 0		а = 1, .	.. , т
А-ар —	0 ..	. 0	1	0 ..	. 0	ач	/3=1,.	.. . 71
	0 ..	. 0	0	0 ..	. 0			
	\0 ..	. 0	0	0 ..	• о)			

образует базис в пространстве Mm,n всех матриц размера m х
х п, и, следовательно, dim A4m,n = тп. Чему равны координаты
произвольной матрицы А — (atj) € Л4т)П в этом базисе?
3.23.	Доказать, что система многочленов 1, t, t2, ..., tn~l обра-
зует базис в пространстве Рп всех многочленов степени С п — 1 и,
следовательно, dim Pn = п (этот базис называется каноническим).
Найти координаты:
а)	многочлена —3t24-l в каноническом базисе пространства Рз;
б)	многочлена t2 — 2t в каноническом базисе пространства Р4.
3.24.	Доказать, что система многочленов t3 4-t2 4-1 4-1, t2 4-14-1,
<4-1, 1 линейно независима.
3.25.	Доказать, что система многочленов t2 4-1, — t2 4- 2t, t2 — t
образует базис в пространстве Р3. Выписать в этом базисе столбец
координат многочлена — 2t2 4-1 — 1.
3.26.	Доказать, что при произвольном to система многочленов
1, t — £о> (t ~ Л))2, • • •» (t ~ to)"”1 образует базис в Рп.
3.27.	Найти матрицу перехода от канонического базиса 1, t,
t2, ..., tn~l к базису 1, t - t0, (t - i0)2, ..., (t - to)"'1 в Pn.
3.28.	Найти координаты многочлена t2 — 14- 2 в базисе 1, t — 1,
(t-1)2.
3.29.	Доказать, что пространство Р всех многочленов бесконеч-
номерно. Вывести отсюда, что пространство функций /(t),
непрерывных на отрезке [а, Ь], также бесконечномерно.
В задачах 3.30-3.34 в произвольном пространстве Сп векторы
e'i, eJj,..., и х заданы своими координатами в некотором базисе
Доказать, что система 93' = (е^, ..., е^) — базис в £п, и найти
столбец X' координат вектора х в этом базисе.
/1\	/1\	/1\	/ 6\
3.30.	Е{ = 1 I , Е'2 = [ 1 | , Е3 = | 2 I , X =	9 I.
V/	\2/	\3/	\14/
118
Гл. 3. Линейная алгебра
3.33. Е{ =
/1\	/0\	/ -1\	/1\
3.34.	Е{ = | 0 , Е'2 = I i , Е'3 = 1 - i , X = ( 1 .
\О/	\О/	\ 1)	к1/
3.35.	Доказать следующие утверждения:
а)	матрица перехода всегда невырождена, и =
= СЛв—Х;
/tu ••• tln\
б)	если Т = I............I	— невырожденная матрица и
Vnl • • . tnn/
93 = (ei, en) — некоторый базис в пространстве £п, то си-
стема векторов
б,	— ^1x^1 + . . . +	i — I,12, ... , п
также образует базис в £п.
3.36.	Доказать, что если 93, 93х и 93" — базисы в £п, то спра-
ведливо матричное равенство
TtB-M" — Tfs^fQi • TfQi^fsn.
В задачах 3.37, 3.38 в произвольном пространстве £п векторы
ei, е2,..., еп и е^, е2,..., е„ заданы своими координатами в неко-
тором базисе. Требуется доказать, что системы 93 = (ер ..., еп)
и 93' = (вр ..., е'л) — базисы в £п, и, используя результаты задач
3.35 и 3.36, написать матрицу перехода
/1\	/2\	/3\
3.37.	Ei = I 2 j , Е2 = 3 j , Е3 = 7 |;
V/	W	V/
§ 1. Линейные пространства
119
Пусть С и £! — два действительных (или комплексных) линейных
пространства. Отображение ip: £ -> £' пространства £ на пространство
£' называется изоморфизмом, если:
а)	(р взаимно однозначно;
б)	<jp(Ax) - A<jo(x) и (р(х + у) = <р(х) + (р(у) для любых х, у £ £ и
для любого числа А.
Если существует изоморфизм £ на £', то пространства £ и £' назы-
ваются изоморфными:	и.
В задачах 3.39-3.41х) установить, является ли изоморфизмом
заданное отображение Уз на R3.
3.39.	<р(х\. + yj + zk) = (2х - у, z, х + у + г).
3.40.	<p(ari + yj + zk) - (х + у - 1, 2г, Зу).
3.41.	<р(ж1 + yj + гк) = (х + у, -у 4- 2z, х + 2у — 2г).
3.42.	Отображение ip: £n -» R” произвольного пространства
£п на пространство R” арифметических векторов имеет вид
(ап ...	«1П
.............
ani ... о>пп
где 93 = (ei, ..., еп) — некоторый базис в пространстве £п, а
А — (a,ij) — невырожденная матрица порядка п. Доказать, что
это отображение — изоморфизм и, следовательно, что £n ~ Йп.
3.43.	Доказать, что множество всех комплексных чисел с обыч-
ным сложением и умножением на действительные числа образует
линейное пространство, изоморфное пространству R2. Написать
*) Для обозначения координат геометрических векторов в прямоугольном ба-
зисе (i, j, к) условимся в этой главе использовать строчные буквы х, у, z, в
отличие от прописных букв, используемых в гл. 1, так как здесь прописными
буквами мы будем обозначать вектор-столбцы.
120
Гл. 3. Линейная алгебра
матрицу перехода от базиса 93 = (1, г) к базису 93' = (1 4- г, —г) в
этом пространстве, и для числа —2 4- Зг написать разложение по
базису 93'.
2.	Подпространства и линейные многообразия. Подпространством
линейного пространства £ называется такое подмножество £' С £, ко-
торое обладает свойствами:
а)	х, у € £'=> х + у € £';
б)	х € С => Ах € С для всякого числа А.
Если £' — некоторое подпространство в £, то множество векторов
£' + хо = {х € £|х = х' 4- х0, х' G £' для некоторого Хо € £}
называется линейным многообразием, полученным сдвигом подпростран-
ства £' на вектор Хо-
3.44.	Доказать, что всякое подпространство £' линейного про-
странства £ также является линейным пространством (при этом
dim£' dim£).
В задачах 3.45-3.49 требуется установить, являются ли задан-
ные множества подпространством в соответствующих простран-
ствах. В случае положительного ответа найти их размерность.
3.45.	Множество всех геометрических векторов из Уз:
а)	компланарных фиксированной плоскости;
б)	удовлетворяющих условию (х, а) = 0, где а — фиксирован-
ный вектор;
в)	удовлетворяющих условию |х| = 1.
3.46.	Множество всех векторов из Rn вида:
а)	х = (0, х2, 0, ®4, х5, ..., хп)‘,
б)	х = (1, х2, 1, ®4, х5, ..., хп).
3.47*	. Множество всех векторов произвольного пространства
£п, координаты которых в фиксированном базисе удовлетворяют
условиям:
a) xi = хп; б) xi + Х2 + ... + хп = 0; в) xi - ж2 = 1;
г) ацХ1 4-... 4- ainxn = 0,
4" • •. 4" О'тпЯ'п ~ 0?
или, в матричной форме, АХ = О, где А — заданная матрица
размера т х п.
3.48.	Множество всех матриц А порядка п, удовлетворяющих
условиям:
а) Ат = А (симметричные матрицы); б) det Л = 0.
3.49.	Множество всех функций f(t) G С[а,&] (см. задачу 3.4),
удовлетворяющих условиям:
a)	/(to) = 0 Для некоторого to в [а, Ц;
б)	/(to) — 1 для некоторого to G [а, 6];
§ 1. Линейные пространства 121
в)	/СО —	+ ... + ait + «о? т.е. f(t) — многочлен
степени не выше п — 1.
Пусть Q — произвольная система векторов из линейного простран-
ства £.
Линейной оболочкой системы Q называется множество векторов
£(Q) = {х|х = AiXi 4-... 4- Авхв, xi, ... , х, € Q}.
3.50.	Доказать, что
a)	C(Q) — подпространство в £;
б)	dim£(Q) = rangQ, причем в качестве базиса в £(Q) можно
взять любой базис системы Q.
3.51.	Найти размерность линейной оболочки £(xi, хг) ариф-
метических векторов xi = (1, 0, 2, —1), хг = (0, —1, 2, 0). Пока-
зать, что х = (1, -1, 4, -1) G £(xi, Х2).
Найти размерность и какой-нибудь базис линейной оболочки
заданной системы арифметических векторов:
3.52.	Х1 = (1, 0, 0, -1), х2 = (2, 1, 1, 0), х3 = (1, 1, 1, 1),
х4 = (1, 2, 3, 4), х5 = (0, 1, 2, 3).
3.53.	xi = (1, 1, 1, 1, 0), х2 = (1, 1, -1, -1, -1),
х3 = (2, 2, 0, 0, -1), х4 = (1, 1, 5, 5, 2), х5 = (1, -1, -1, 0, 0).
3.54*	. Показать, что линейная оболочка системы многочленов
—З/2—1, 2t24-t, — t совпадает с пространством Рз всех многочленов
степени 2.
Пусть V — произвольная система геометрических векторов. Геоме-
трическим образом системы V назовем множество точек, являющихся
концами векторов из V, при условии, что все векторы исходят из начала
координат.
3.55.	Написать уравнение геометрического образа линейной обо-
лочки £(а) и многообразия £(а) 4- Ь, если а = —2i 4- j — к и
b = 2i - j.
3.56.	Написать уравнение геометрического образа линейной обо-
лочки £(ai, аг) и многообразия £(ai, a2)4-b, если ai — —i4-j4-k,
а2 = 2j — к и b = i 4- k.
3.57.	Задана система уравнений:
Х1 4" Х2 ~ Зжз - т4 + х5 = 1,
3^1 - Х2 4- хз 4- 4^4 4- 3^5 = 4,
— 5жг ~ 9жз — 8^4 4- Я5 = 0.
а)	Доказать, что множество решений этой системы есть линей-
ное многообразие в пространстве R5,
122
Гл. 3. Линейная алгебра
б)	Сдвигом какого пространства получается это линейное мно-
гообразие? Найти ранг и какой-нибудь базис этого подпростран-
ства.
в)	Найти какой-нибудь вектор сдвига.
3. Пространства со скалярным произведением. Действительное ли-
нейное пространство Г называется евклидовым пространством, если
каждой паре векторов х и у из £ поставлено в соответствие действи-
тельное число, обозначаемое символом (х, у) и называемое скалярным
произведением векторов х и у, причем выполнены следующие условия:
1)	(х, у) = (у, х);
2)	(xi + х2, у) = (хь у) + (х2, у);
3)	(Ах, у) = А(х, у), А Е R;
4)	(х, х) 0, причем (х, х) = О О х = 0.
Длиной вектора х называется число
|х| = У(х, х).
Вектор х, длина которого равна единице, называется нормированным.
Для любых векторов х, у евклидова пространства справедливо не-
равенство Коши-Б у няковского
10, у)|2 (X, х)(у, у),
которое позволяет следующим образом определить угол между ненуле-
выми векторами:
Ненулевые векторы х, у € £ называются ортогональными, если (х, у) —
Базис ® = (ei, ..., еп) n-мерного евклидова пространства £п назы-
вается ортонормированным, если
(ег> ej) —
J °,
I
i 0 j,
i=j.
Если в пространстве £n задан произвольный базис (fi, f2, ..., fn), то
векторы
k—1
ei=fi, efc = ffc - ^Рс^-1)ег, к = 2, 3, ... , п,
t=i
(fc-i) (t*. ej
где с- ’ = ------, образуют ортогональный базис в этом пространстве
(е», Cjj
(процесс ортогонализации Шмидта).
Комплексное линейное пространство U называется унитарным, если
каждой паре векторов х, у из U поставлено в соответствие комплексное
число, обозначаемое символом (х, у) и называемое скалярным произве-
§1. Линейные пространства
123
дением векторов х и у, причем выполнены следующие условия:
1)	(х, у) = (у, х);
2)	(xi 4- х2, у) = (xi, у) 4- (х2, у);
3)	(Ах, у) = А(х, у), А € С;
4)	(х, х) 0, причем (х, х) = 0 х = 0.
В унитарном пространстве не определяется угол между векторами.
Однако все остальные определения и результаты, сформулированные вы-
ше для евклидова пространства, остаются справедливыми и для унитар-
ного пространства.
Евклидовы и унитарные пространства в дальнейшем называются
пространствами со скалярным произведением.
3.58.	Доказать следующие свойства скалярного произведения в
унитарном пространстве:	_
а) (х, У1 +У2) = (х, yi) + (х, у2); б) (х, Ау) = А(х, у);
в) (xi - х2, у) = (xi, у) - (х2, у); г) (х, 0) = 0.
3.59.	Доказать, что базис 93 = (ei, ..., er) в унитарном про-
странстве Цп является ортонормир ованным в том и только том
случае, когда выполнено любое из следующих условий:
а)	если х — xiei 4- ... 4- хпеп и у = 2/iei 4- ... 4- г/пеп, то
(х, у) = хгуг + ... + хпуп-
б)	если х = cciei 4-... 4- хпеп, то Xk = (х, е^), к = 1, ..., п.
3.60.	Доказать, что любая система попарно ортогональных век-
торов линейно независима.
3.61.	Пользуясь неравенством Коши-Буняковского, доказать
следующие неравенства треугольника:
а) |х + у| |х| 4- |у|; б) ||х| - |у|| |х + у|.
3.62.	а) Доказать, что в пространстве Rn формула
(х, у) = xiyi + ... + хпуп,
где х = («1, ..., хп) и у = (pi, ..., уп), задает скалярное произве-
дение (получаемое евклидово пространство арифметических век-
торов в дальнейшем будем также обозначать символом Rn).
б)	Показать, что в евклидовом пространстве канонический
базис (см. § 3 гл. 2) является ортонормированным.
в)	Написать неравенство Коши-Буняковского для евклидова
пространства Rn.
г)	Написать неравенства треугольника в евклидовом простран-
стве Rn.
3.63.	Пусть х = (a?i, X2) и у = (2/1, У2) — произвольные век-
торы арифметического пространства R2. Показать, что скалярное
произведение в R2 можно определить следующими способами:
а)	(х; у) = 2я?1Р1 + 5я2?/2;
б)	(х, у) = xiyx 4- Ж1р2 + х2у\ 4- Х2У2-
124 Гл. 3. Линейная алгебра
Вычислить скалярное произведение векторов х = (1, —2) иу =
= (5, 1) каждым из указанных способов.
3.64.	Доказать, что в пространстве Рп многочленов степени
п — 1 скалярное произведение многочленов
p(f) = a,Q 4- ait 4-... -Г an-itn *
и
q(t) = 4- bit 4- ... + bn-itn 1
можно определить способами:
a)	(p, q) = aobo + aibi + ... + an-ibn-i;
n
6)	(p, q) — £2	ti> •••, tn — произвольные попарно
k=i
различные действительные числа.
Вычислить скалярное произведение многочленов p(t) = 1 4-1 4- t2
и q(t) = t — 2t2 4- 3t3 каждым из указанных способов (п — 4), если
в случае б) ti = —2,	— ~~ 1?	— 1? й — 2.
3.65.	а) Доказать, что в пространстве С*[а,ь] соотношение:
ь
(f, д)= У f(t)9(t)dt
a
задает скалярное произведение.
б)	Написать неравенство Коши-Буняковского для этого про-
странства.
в)	Написать неравенства треугольника для этого пространства.
Применить процесс ортогонализации к следующим системам
векторов евклидова пространства (со скалярным произведе-
нием из задачи 3.62а):
3.66.	fi = (1, —2, 2), f2 = (-1, 0, -1), f3 = (5, -3, -7).
О Полагаем ei = fi = (1, —2, 2). Вектор е2 ищем в виде е2 = f2 — c^ei.
Так как (f2, ei) = -3, (ei, ei) = 9, то	Сле-
(ei, ej 3
. Наконец, вектор ез находим в виде
следующей линейной комбинации: е3 = f3 — c^ei — Вычисляя
скалярные произведения (f3, ех) = —3, (f3, е2) = 1, (е2, е2) = 1, нахо-
, .	(2) _ (f3, ei) 1 (2) . (Ез, е2)
дим значения коэффициентов с\ — ------- = — са — ----------г = 1.
(ei, ei) 3’	(е2, е2)
Следовательно, е3 — (б, —3, —б). О
2	2	1
3
довательно, е2 =
3’ 3’
§ 1. Линейные пространства
125
3.67.	ft =	(1,	1,	1,	1), f2 = (3, 3, -1, -1), f3 = (-2, 0, 6, 8).
3.68.	fi =	(1,	2,	1,	3), f2 = (4, 1, 1, 1), f3 = (3, 1, 1, 0).
3.69.	fj =	(1,	2,	2,	-1), f2 = (1, 1, -5, 3), f3 = (3, 2, 8, -7).
3.70*	. ft = (2, 1, 3, -1), f2 = (7, 4, 3, -3), f3 = (1, 1, -6, 0),
f4 = (5, 7, 7, 8).
Применяя процесс ортогонализации, построить ортогональный
базис подпространства, натянутого на данную систему векторов в
евклидовом пространстве Rn:
3.71.	ft = (1, 2, 2, -1), f2 = (1, 1, -5, 3), f3 = (3, 2, 8, -7).
3.72.	fi = (2, 1, 3, -1), f2 = (7, 4, 3, -3), f3 = (1, 1, -6, 0),
f4 = (5, 7, 7, 8).
Проверить ортогональность следующих систем векторов в
евклидовом пространстве Rn и дополнить их до ортогональных
базисов:
3.73*	. et = (1, —2, 1, 3), ej = (2, 1, -3, 1).
3.74.	ei = (1, 1, 1, 1, 1), е2 = (1, 0, 0, 1, -2),
е3 = (2, 1, -1, 0, 2).
„„	/2 1 2\	/1 2	2\
3.75.	е>	I, ео =	— •
V3 33/	\3 3’ 3/
3.76.	в1 = (1, 1, 1, 2), е2 = (1, 2, 3, -3).
3.77.	Пусть L — линейное подпространство в <£п. Доказать,
что:
а)	любой вектор х G <fп однозначно представим в виде х = y+z,
где у G L и z ортогонален к L (у называется ортогональной
проекцией вектора х на L, a z — ортогональной составляющей
х относительно L);
k
б)	если ЯЗ = (ei, ..., &k) — базис L, то у = 52 с»®»» где ко"
i=i
эффициенты Ci, i = 1, 2, ..к, однозначно находятся из системы
уравнений
к
y(®j 1 ®i)Ci — (®Jj ^с)> Э — 1, 2, • . . , к,
г=1
a z = х — у.
Используя результат задачи 3.77, найти ортогональную проек-
цию у и ортогональную составляющую z вектора х на линейное
подпространство L евклидова пространства Rn:
3.78.	х = (—3, 5, 9, 3), L натянуто на векторы: ei = (1, 1, 1, 1),
е2 = (2, -1, 1, 1), е3 = (2, -7, -1, -1).
3.79.	х = (4, —1, —3, 4), L натянуто на векторы: ei = (1, 1, 1, 1),
е2 = (1, 2, 2, -1), е3 = (1, 0, 0, 3).
126
Гл. 3. Линейная алгебра
3.80.	х = (5,2, —2,2), L натянуто на векторы: ei = (2,1,1, —1),
е2 = (1,1,3,0), е3 = (1, 2, 8, 1).
3.81.	Доказать, что в действительном евклидовом пространстве
справедлива теорема Пифагора, а также ей обратная: два вектора х
и у ортогональны тогда и только тогда, когда |х —у|2 = |х|2 + |у|2.
3.82*	. Доказать, что теорема Пифагора остается справедливой
и в унитарном пространстве: если векторы х и у ортогональны,
то |х — у|2 = |х|2 + |у|2. Показать вместе с тем, что обратное к
теореме Пифагора утверждение в этом случае неверно.
§ 2. Линейные операторы
1.	Алгебра линейных операторов. Линейным оператором в линей-
ном пространстве £ называется всякое отображение А: С -> £ про-
странства £ в себя, обладающее свойствами
А(Ах) = ААх и А(х 4- у) = Ах 4- Ау.
Пусть А — линейный оператор в конечномерном пространстве £п и
® = (ei, ..., еп) — некоторый фиксированный базис. Разложим век-
торы Aefc, к — 1, ..., п, по базису ®:
Ае* — cufcej 4* ••• 4" дп&еп, к — 1, ... , п.
Тогда матрица
/Яц	Я12	...	Д1п\
_	Я21	а22	• • •	a2n I
\Оп1	Оп2	Опп/
называется матрицей оператора А в базисе ®. Матрицу оператора бу-
дем иногда обозначать также символом [А] или [А]®, если существенно,
о каком базисе идет речь.
Заданием матрицы оператор определяется однозначно, а именно: ес-
ли у = Ах, то У = АХ, где X, Y — столбцы координат векторов х, у
и А — матрица оператора А в базисе ®.
Пусть А и А1 — матрицы оператора А в базисах ® и ®', а Т =
=	— матрица перехода от базиса ® в базису ®'. Тогда формула
преобразования матрицы оператора при преобразовании базиса имеет
вид
А' = Т^АТ.
(1)
Пример 1. В базисе ® = (i, j, к) написать матрицу оператора
проектирования Ра на плоскость а: х 4- у 4- z = 0.
< Оператор проектирования на плоскость а определяется равенством
Рах = ха, где ха — ортогональная проекция вектора х на плоскость а.
Имеем
_	п (п, х)
PQX = X - хп = х - прпх— = X - -- Г п,
n nr
§ 2. Линейные операторы
127
где п — нормальный вектор плоскости а. В рассматриваемом случае
n = i + j + kH, следовательно,
откуда
„ . . 1	2. 1. 1,
p“1 = 1-3n=31~3J"3k’
„ . . 1	2.	2. 1,
PcJ = J - дП = --1 + -J - -k,
„ .	.	1	1.	1.	2
PQk = k - -n = -~i - -j 4- -k,
О о о о
/ 2/3 -1/3 -1/3\
Ра = ( -1/3	2/3	-1/3 1 . >
\-1/3 -1/3	2/3/
Над линейными операторами, действующими в фиксированном про-
странстве С, вводятся следующие операции:
а)	сложение операторов: (А 4- В)х = Ах 4- Вх; при этом [А 4- В] =
= А 4* В\
б)	умножение операторов на числа: (ЛА)х = А(Ах); при этом [ЛА] =
= АЛ;
в)	умножение операторов: (АВ)х = А(Вх); при этом [АВ] = АВ.
Обратным к оператору А называется оператор А-1 такой, что
АА”1 = А~ХА = Е, где Е — единичный оператор, реализующий то-
ждественное отображение. Оператор А имеет обратный (и в этом случае
называется невырожденным) в том и только том случае, когда его ма-
трица А невырождена (в любом базисе); при этом [А'1] = А"1.
В задачах 3.83-3.89 установить, какие из заданных отображе-
ний пространства Уз в себя являются линейными операторами;
выписать их матрицы в прямоугольном базисе ЯЗ = (i, j, k).
3.83.	Ах = Ах, А — фиксированное число.
3.84.	Ах = Ах 4- а, А и а фиксированы.
3.85.	Ах = (х, е)е, где е — заданный единичный вектор. Вы-
яснить геометрический смысл этого отображения.
3.86.	Ах = [а, х], а — фиксированный вектор.
3.87.	Ах = (а, х)х, а — фиксированный вектор.
3.88*	*. U(e, <р) — отображение, состоящее в повороте на угол
р вокруг оси, задаваемой единичным вектором е.
3.89.	Если х = xi 4- pj 4- zk, то
Ах = (у 4- z)i 4- (2я 4- z)j + (Зя - у 4- z)k.
В задачах 3.90-3.95 установить, какие из заданных отображе-
ний пространства арифметических векторов R3 в себя являются
линейными операторами; выписать их матрицы в каноническом
128
Гл. 3. Линейная алгебра
базисе:
3.90.	Ах = (хз + хз, 2xi + хз, 3xi - х? + хз).
3.91.	Ах = (я?!, Х2 + 1, хз + 2).
3.92.	Ах = (0, Х2 — хз, 0).
3.93.	Ах = (xi + 2x2 + 2хз, -Зхг + хз, 2xi + Зхз).
3.94.	Ах = (3a;i + Х2, xi - 2x2 - ^з, Зхг + 2хз).
3.95.	Ах = (3a7i + 5хз, xi + хз + 1, Зхг — 6а?з).
В пространстве R3 заданы два линейных оператора А и В.
Найти матрицу [С] линейного оператора С = АВ — ВА и его
явный вид в каноническом базисе R3:
3.96.	Ах = (2x2, -2xi + Зхг + 2хз, 4xi -	+ 5хз),
Вх = (-3xi + хз, 2х2 + Хз, -Х2 + Зх3).
<3 Так как Аех = (0, -2, 4), Ае2 = (2, 3, -1), Ае3 = (0, 2, 5) и Bex =
= (-3, 0, 0), Ве2 = (0, 2, -1), Ве3 = (1, 1, 3), то
/ 0	2 0\	/-3	0 1\
А= -2	3 2, В =	0	21.
\ 4 -1 5/	\ 0 -1 3/
Далее,
/ 0	4	2\	/ 4	-7	5\
АВ =	| б	4	7	, BA =	( 0	5	9	.
\—12	-7	18/	V4	"б	13/
Поэтому	4	11	_з
[С]	= АВ-ВА=1 б	-1	-2
\-2б	-1	5
По определению	матрицы	линейного оператора в каноническом ба-
зисе Rn ее столбцы являются наборами компонент образов базисных
векторов, т. е.
Cei = (-4, б, -26), Се2 = (11, -1, -1), Се3 = (-3, -2, 5).
Отсюда находим:
Сх = C(a:iei + х2е2 + х3е3) = XiCei + х2Се2 + ж3Се3 =
= (-4^1 + 11ж2 - Зх3, 6a:i - Х2 - 2ж3, —26^1 - Х2 + 5ж3). >
3.97.	Ах — (7х\ + 4жз, 4х2 - 9а?з, 3a:i + Х2),
Вх — (а?2 — б^з, 3ж1 + 7а?з, xi + Х2 - хз).
3.98.	Ах = (2^1 -х2 + 5хз, + 4^2 - Х3, 3xi - 6x2 + 2хз),
Вх = (xi + 4x2 + Зхз, 2xi + хз, 3x2 ~ хз).
§ 2. Линейные операторы
129
3.99.	Ах = (3a?i + Х2 — 2д;з, 3a;i — 2x2 + 4д?з, —3a;i + 5а?2 — жз),
Вх = (2^1 + Х2,	+ ^2 + 2д?з, -®i + 2x2 + х3).
3.100.	Ах = (3^1 + Х2 4- хз, 2xi + х2 + 2хз, хг + 2x2 + Зхз),
Вх = (xi +х2 - хз, 2xi ~х2 + хз, хг + х2).
В задачах 3.101-3.105 найти матрицы указанных линейных
операторов А, действующих в пространстве Уз, в базисе 93' из
задачи 3.18.
3.101.	Ах = [а, х], а — фиксированный вектор.
<3 Пусть а = о^ + азj + 03k. Тогда матрица линейного оператора А в
базисе 93 = (i, j, к) имеет вид (см. задачу 3.86):
	/ 0	-а3	а2
[А]» = |	аз	0	-О1
	\—а2	О1	0
Матрица перехода из базиса 93 в базис 93' была найдена в задаче 3.18:
		/1	0	0 '
	=	0	cosip -	sin 9?
		\0	sin 9?	cos ip.
Так как		/1	0	0 '
	гр-1	_	0	COS (^7	sin </2
		\0	— sin ip	cos ip
i то, используя формулу (1), находим
[А]®/ =	• [А]® •	=
	/1	0	° \	/ 0	-a3	a2\	/1	0	0 ’
=	0	COS<£>	— sin<£> j	I a3	0	-Oi	0	cos ip	sin<£>
		sin 99	cos ip J	\-a2	ai	0 /	\°	— sin ip	cos ipt
О
—Оз COS <р 4- 02 sin ip Оз sin <£> + 02 COS <£>'
r =	Оз COS ip — 02 sin <p	0	-Oi
	у— Оз sin ip — 02 COS <p	Oi	0
к
3.102.	Ах = Лх, Л — фиксированное число.
3.103.	Ах = (х, е)е, где е — заданный единичный вектор.
3.104.	Ах = (а, х)х, а — фиксированный вектор.
7Г
3.105.	А — U(e, <ро) из задачи 3.88,	cos а = cos/? =
О
1
= COS 7 = —т=.
л/3
130
Гл. 3. Линейная алгебра
3.106.	В £4 задан линейный оператор А, матрица которого в
некотором базисе 53 = (ei, ег, ез, 64) равна
'12 0 Г
3 0-12
2 5 3 1
12	13
Найти матрицу этого оператора в базисах:
а)	53' = (еъ е3, е2, е4);
б)	53' = (ei, ei + е2, ei + е2 + ез, ei + е2 + ез + 64).
3.107.	В £3 заданы два базиса:
53': e'j ~ 8ei - 6е2 + 7ез, е2 — — 16ei + 7е2 - 13ез, 63 = 9ei -
— Зе2 + 7ез.
53": e'i = ei — 2е2 + ез, е2 — 3ei — е2 + 2ез, е^' = 2е^ + е2 + 2ез.
Найти матрицу оператора А в базисе 53", если его матрица в ба-
зисе 53' имеет вид
А1 =
' 1
-1
1
-18 15"
-22 20
-25 22
3.108.	В пространстве £2 оператор А в базисе 53': e't = ei+2e2,
(3 5\
4 2 ). Оператор В в базисе 53":
/4 6\
е" = 3ei + е2, е2 = 4ei + 2е2 имеет матрицу I R . Найти
\ О У /
матрицу оператора А + В в базисе 53".
3.109.	Пусть p(t) = an_iin-1 + ... + ait + ац — некоторый
многочлен и А — линейный оператор. Рассмотрим оператор р(А),
определяемый равенством
р(А) = an-iA.n 1 + ... + aiА + oqE.
Найти матрицу оператора р(А), еслир(£) = 3i2 — 2i+5, а оператор
а	л Л “2\
А задан матрицей А = I 9 _ . I.
\ А т: I
3.110.	В пространстве Рп задан линейный оператор дифферен-
d
цирования D = —. Найти матрицу этого оператора в базисе:
dt
а)	1, £ i2, ..., tn~l\
\	/ ч (t — io)2 (t —	m
6)	1, (i-io), —АГ2-, •••, \ - nt , to e HL
2!	(n — 1)!
§ 2. Линейные операторы
131
Доказать операторное равенство Dn = О (О — нулевой оператор:
Ох = 0).
3.111.	В пространстве Р4 задано отображение
1
Ap(t) = У K(t, т)р(т) dr,
о
где K(t, т) — многочлен от двух переменных, степень которого
по t не превосходит 3. Доказать, что А — линейный оператор
в Р4; найти его матрицу в базисе 1, t, t2, t3 для случая, когда
K(t, т) = t + т.
3.112.	В пространстве Р4 задано отображение
A/»p(t) = p(t + h),
где h — некоторое фиксированное число. Доказать, что —
линейный оператор, и найти его матрицу в базисе 1, t, t2, t3.
3.113.	В пространстве функций, дифференцируемых на всей
d
оси, заданы оператор дифференцирования D = — и оператор А =
dt
— ext умножения на функцию eXt. Проверить равенство DA —
AD = ЛА.
В задачах 3.114-3.119 требуется установить, какие из задан-
ных линейных операторов в Уз являются невырожденными, и
найти для них явный вид обратных операторов (е — фиксиро-
ванный вектор единичной длины, а х = :ri + pj + zk).
3.114.	Ах = Лх, Л — фиксированное число.
3.115.	а) Ах = (х, е)е; б) Ах = [е, х].
3.116.	а) Ах = х — (х, е)е; б)* Ах = х — 2(х, е)е.
3.117.	Ах = (у + z)i + (2х + z)j + (Зх - у + z)k.
3.118.	Ах = 2zi + (х — z)j 4- (2х + Зя)к.
3.119.	А = U(e, <р) — оператор поворота на угол вокруг оси,
заданной вектором е.
Установить, какие из заданных линейных операторов в R3
являются невырожденными, и найти явный вид обратных опе-
раторов:
3.120.	Ах = fa - х2 + хз, хз, х2).
3.121.	Ах = (х2 + 2д;з, -х2, 2х2 - хз).
3.122.	Ах = (#1 + 2х2 + 2яз, 2xi + х2- 2хз, 2xi - 2х2 + хз).
Множество ТА всех векторов Ах, х € С, называется образом опе-
ратора А. Множество NA всех векторов х G £, для которых Ах = О,
называется ядром оператора А. Образ и ядро линейного оператора явля-
ются подпространствами в £. При этом размерность образа rA = dimTA
132
Гл. 3. Линейная алгебра.
называется рангом, а размерность ядра nA = dim NA — дефектом опе-
ратора А. Справедливо равенство гА + пА = п, где п размерность
пространства
3.123.	Описать образ и ядро следующих линейных операторов,
действующих в пространстве Уз:
а) Ах = (х, е)е, |е| = 1; б) Ах = [х, а], а 0.
3.124.	Описать образ и ядро оператора дифференцирования D,
действующего в пространстве Рп.
В задачах 3.125-3.127 для указанных линейных операторов,
действующих в пространстве R3, определить ранг и дефект, а
также найти базисы образа и ядра.
3.125.	Ах = (х\ + 2x2 + хз, xi — хз, xi + гсг)-
<1 Для представления арифметических векторов и заданного линейного
оператора воспользуемся каноническим базисом в R3. В этом базисе
матрица оператора имеет вид
/1 2	1\
А= 1 0 -1 .
\1 1	°/
По определению у € ТА в том и только том случае, когда найдется
вектор х € R3 такой, что у = Ах или, в координатной записи,
/1 2
Y = АХ = 1 О
\1 1
1\ /хЛ	/IX	/2\	/	1\
-11 | Х2 I	= Xi	I 1 I	+ Х2	I- о |	+ Хз	| -1 I	. (2)
О/ V3/	\1/	\1/	\	О/
Равенство (2) означает, что образ ТА совпадает с линейной оболочкой
системы столбцов матрицы А. Следовательно, ранг оператора А совпа-
дает с рангом его матрицы, т. е. равен двум, а в качестве базиса ТА может
быть выбран любой из базисов системы столбцов матрицы А, например,
/1\	/2\
Ei = 1 , Е2 = 0 .
V/	V/
Аналогично х 6 NA в том и
в координатной записи,
только том случае, когда Ах = 0, или,
/1 2	1\ /хЛ	/0\
АХ = 1 О -1 т2 = 0 .
\1 1	0/ \х3]	\0/
(3)
§2. Линейные операторы
133
Отсюда следует, что ядро NA совпадает с подпространством решений
однородной системы (3), т.е. дефект оператора А равен nA = п - гА =
= 3 — 2 = 1, а в качестве базиса в NA может быть выбрана фундамен-
/ 1\
тальная система решений системы (3), например, Е — —1 I. >
\ V
3.126.	Ах = (2a7i — Х2 —	^1 - 2а?2 + хз, xi + Х2~ 2гсз).
3.127.	Ах = (xi + Х2 + х3, xi+x2 + хз, xi + х2 + т3).
3.128.	Доказать, что оператор А невырожденный тогда и только
тогда, когда его дефект равен нулю, а следовательно, ранг совпа-
дает с размерностью пространства.
2.	Собственные числа и собственные векторы линейного оператора.
Пусть число Л и вектор х G £, х =4 О, таковы, что
Ах = Ах.	(4)
Тогда число Л называется собственным числом линейного оператора А,
 а вектор х — собственным вектором этого оператора, соответствующим
> собственному числу Л.
В конечномерном пространстве £п векторное равенство (4) эквива-
t лентно матричному равенству
i.'
(А — ХЕ)Х = О, Х±О.	(5)
| Отсюда следует, что число Л есть собственное число оператора А в том
I и только том случае, когда det (А — ХЕ} — 0, т. е. Л есть корень мно-
f гочлена р(Л) = det (А — ХЕ}, называемого характеристическим много-
| членом оператора А. Столбец координат X любого собственного вектора,
? соответствующего собственному числу Л, есть некоторое нетривиальное
J решение однородной системы (5).
> Пример 2. Найти собственные числа и собственные векторы опе-
s ратора Роху проектирования на плоскость Оху в пространстве V.
i < 1. Геометрическое решение. Равенство Роху* = Ах, х 0, означает,
(что ортогональная проекция вектора х на плоскость Оху коллинеарна
. самому вектору х. Но это возможно лишь в двух случаях.
а) Вектор х / 0 компланарен плоскости Оху. Для всех таких век-
торов РолуХ = х, т. е. все они являются собственными векторами опе-
ратора Роху, соответствующими собственному числу Ai = 1.
' б) Вектор х 0 ортогонален плоскости Оху. Для всех таких векто-
t ров Роху* = 0 = 0 • х, т. е. все они являются собственными векторами
оператора Роху, соответствующими собственному числу = 0.
В результате получаем, что оператор Роху имеет два собственных
числа: Ai = 1 и А2 = 0. Соответствующие им собственные векторы:
i
Ai = 1: х(Л1) = xi + yj, х^Л1^	0,
Л2=0: х^ = zk,	/ 0.
134
Гл. 3. Линейная алгебра,
2.	Аналитическое решение. Матрица оператора Роху в прямоуголь-
ном базисе = (i, j, к) имеет вид
/1 0 °\
Р= 10 1 0 .
\0 О О/
Характеристическое уравнение:
det (Р - ХЕ) =
1-Х
О
О
О
1-А
О
= -Л(1 - А)2 = О,
откуда Ai = 1 и Аз = 0 — собственные числа оператора.
Найдем собственные векторы, соответствующие собственному числу
Ai = 1. При А = 1 система (5) принимает вид
/О 0	0\	/х\
(Р - Е)Х =00 О J L J
\0 0 -1/ \z)
Фундаментальная система решений:
£?2
£/2 =
а общее решение:
(ж\
У I •
°/
Отсюда заключаем, что собственные векторы, соответствующие собствен-
ному числу Ai = 1, имеют вид
Х(Л1) = xi + yj,
где х и у — произвольные числа, не равные одновременно нулю.
Аналогично рассматривается случай Аз = 0. При этом получим
х(х2) _
где z — произвольное число, отличное от нуля. С>
В задачах 3.129-3.133 найти собственные числа и собственные
векторы операторов в Уз. Решить эти задачи геометрически, т. е. в
инвариантной форме, не связанной с выбором какого-либо базиса в
Уз (см. пример 2, геометрическое решение). После этого в задачах
3.129-3.131 провести аналитическое решение.
3.129.	Ах = ах, а — фиксированное число.
3.130.	Ах = (х, i)i — оператор проектирования на ось Ох.
§ 2. Линейные операторы
135
3.131.	Ах = [i, х].
3.132.	А = U(e, 99) — оператор поворота на угол вокруг оси,
заданной вектором е.
3.133.	Ах = х — 2(х, е)е — оператор зеркального отражения в
плоскости с нормальным вектором е.
В задачах 3.134-3.143 найти собственные числа и собственные
векторы линейных операторов, заданных своими матрицами.
2
5
-1
-3
О
2\
3 I •
-2/
	/ 0	1	О'
3.135. А = |	-4	4	0
	\—2	1	2
3.134. А =
	/4 -5 2\	/ 1 -3	3^
3.136. А =	5 -7 3 .	3.137. А = 1-2 -6	13
	\6 -9 4/	\-1 -4	8;
	/1 -3 4\	/ 7 -12	6'
3.138. А =	14 -7 8 j .	3.139. А =10 -19	10
	\6 -7 7/	\12 -24	13у
	/ 1 0 0\	/2 6 -15\	
3.140. А =	1 2 1 | .	3.141. А = 1 1	-	5 .
	\-1 0 1/	\1 2	-	б/
	/1 -3 Л	/0—1	0
3.142. А =	13 -3 -1 .	3.143. А = 1 1	1	-2
	\3 -5	1/	Д-i -1	0
3.144.	В пространстве V2 геометрических векторов на плоско-
сти задан оператор поворота 11(99) на угол 0	< 2л вокруг
начала координат. Проверить (геометрически и аналитически),
что при 99	0, тг этот оператор не имеет собственных чисел^ Этот
пример показывает, что линейный оператор в действительном про-
странстве может не иметь собственных чисел (и собственных век-
торов).
3.145.	В комплексном пространстве £2 оператор А = А(<р)
задан матрицей
cos 99
sin 99
— sm 99 \
cos99) ’
О 99 < 2тг.
Найти его собственные числа и собственные векторы. Сравнить
i полученные результаты с результатами задачи 3.144.
3.146*	. Пусть оператор А, действующий в комплексном про-
странстве £п, задан в некотором базисе матрицей с действитель-
136
Гл. 3. Линейная алгебра
ними элементами. Доказать, что:	_
а)	если Л — собственное число, то Л — также собственное
число;
б)	если X — столбец координат собственного вектора, соот-
ветствующего собственному числу А, то X — столбец координат
собственного вектора, соответствующего собственному числу А.
3.147*	. В комплексном пространстве £3 найти Собственные чи-
сла и собственные векторы линейного оператора, заданного веще-
ственной матрицей
/ 4 -5 7\
А=	1-49].
у—4	0 5/
3.148.	Показать, что если х — собственный вектор оператора
А, соответствующий собственному числу А, то он является соб-
ственным вектором оператора р(А) = an_iAn-1 + .. .-f-aiA + aoE,
соответствующим собственному числу р(А).
3.149.	Доказать, что:
а)	оператор А имеет обратный в том и только в том случае,
когда он не имеет нулевых собственных чисел;
б)	если оператор А имеет обратный, то А и А-1 имеют одни и
те же собственные векторы. Как связаны между собой собственные
числа этих операторов?
3. Линейные операторы в пространствах со скалярным произведе-
нием. Пусть А — линейный оператор, действующий в пространстве со
скалярным произведением (х, у). Линейный оператор А* называется
сопряженным к оператору А, если для любых векторов х, у выполня-
ется равенство
(Ах, у) = (х, А*у).
Для всякого оператора А сопряженный оператор А* существует и един-
ствен.
Если оператор А в ортонормированном базисе имеет матрицу А =
= (aij), то сопряженный оператор А* в том же базисе имеет матрицу
А* = где a*j = (матрица А* называется сопряженной к матри-
це А). В частном случае евклидова пространства А* = АТ.
Пример 3. Линейный оператор А: -> £3 в базисе Ж' = (е^ ,62,63)
имеет матрицу
/1 1	3\
[А]®» = I 0 5 -1 .
\2 7 -3/
Известно, что = ei + 2е2 + ез, е'2 = ei + е2 + 2е3, е'3 = ei + е2 и
базис Ж = (ei, е2, ез) ортонормирован. Найти матрицу сопряженного
оператора А* в базисе Ж'.
§ 2. Линейные операторы
137
< Так как базис Ъ' не ортонормирован (проверьте!), то, чтобы восполь-
зоваться утверждением о связи матриц операторов А и А*, необходимо
найти матрицу [А]®. Имеем
/1 1 1\
= ( 2 1 11,
V 2 °/

следовательно,
/2 -3 7\	/2
[A]©» =Т®,1Ч.®-[А]®'-Т®,_>® = I б -4 6 j , [А*]® = I-3
\б -5 5/	\ 7
б б\
-4 -5 1.
б 5/
Отсюда окончательно получаем:
/-36
[А*]®» = Г®^®» • [А*]® • 2®-»®' = I 30
\ 26
-37
30
27
3.150.	Доказать, что операция * перехода от оператора А к со-
пряженному А* обладает следующими свойствами:
а)	(А*)* = А.
< Запишем цепочку равенств, верных для любых векторов х и у,
(Ах, у) = (х, А*у) = (А*у, х) = (у, (А*)*х) =
= ((А*)*х, у) = ((А*)*х, у),
т.е. (Ах, у) = ((А*)*х, у). Отсюда, в силу произвольности векторов х,
у, получаем А — (А*)* (показать подробнее!). с>
б)	(А + В)* = А* + В*; в) (АВ)* = В*А*; г) (аА)* = «А*;
д) (А-1)* = (А*)-1, если А невырожден.
Линейный оператор А в базисе 53' = (е'15 ..., е'п) имеет ма-
трицу А. Найти матрицу сопряженного оператора А* в том же
базисе 53', если векторы е'15 ..., е'п заданы столбцами своих коор-
динат в некотором ортонормированном базисе 23 = (ei, ..., еп):
3.151.	А = (} J), Е{ = (J), Е’2 = (}).
/1	1	3\	/Л	л\
3.152.	А =	10	5	-1 ,	Е' =	2	, Е' =	1	, Е' =	1 .
\2	7	-3/	\1/	\2/	\°/
. >
138
Гл. 3. Линейная алгебра
В пространстве многочленов Рз задано скалярное произведение
(/, 9) — aobo + aibi + ^2^2,
(6)
где f(t) = ao + art + art2, g(t) = bo + brt + Ы2- Найти матрицы
'	d
оператора дифференцирования D = — и сопряженного оператора
at
D* в базисе 93:
3.154.	<В=	t2-l,	+
3.155.	®= fl, t, |t2-|
3.156.	Найти сопряженный оператор для поворота евклидовой
плоскости на угол а вокруг начала координат против часовой
стрелки.
3.157.	Пусть Оху — декартова прямоугольная система коор-
динат на плоскости и А — оператор проектирования на ось Ох
параллельно прямой 1: ax + by = 0 (а / 0). Найти матрицу
сопряженного оператора А*.
3.158.	Пусть Оху — декартова прямоугольная система коор-
динат на плоскости и А — оператор отражения точек плоскости
относительно прямой I: ах + by = 0. Найти матрицу оператора А*.
Понятие сопряженного оператора может быть использовано при ис-
следовании совместности неоднородной системы линейных уравнений.
Пусть АХ = В — матричная запись такой системы, причем т = п.
Тогда X и В — столбцы координат соответствующих арифметических
векторов в каноническом базисе евклидова пространства а квадрат-
ной матрице А в этом же базисе соответствует некоторый линейный опе-
ратор A: Rn -> Rn. Система А*Х = О, где А* — матрица сопряженного
оператора А* в каноническом базисе, называется сопряженной однород-
ной системой. Верна следующая теорема Фредгольма: для того
чтобы система АХ — В была совместна, необходимо и достаточно,
чтобы вектор-столбец В был ортогонален ко всем решениям сопря-
женной однородной системы.
3.159*	*. Доказать теорему Фредгольма.
§ 2. Линейные операторы
139
Используя теорему Фредгольма, исследовать совместность сле-
дующих систем линейных уравнений:
3.160.	3a?i + 2x2 +	= ~ 1?
7a?i + 6я?2 + 5з?з = 5,
5^1 + 4^2 + Зтз = 2.
3.162.	2я?1 + Х2 ~ 2а?з = 1,
xi - 2х2 + з?з = 1,
- 2Т1 + X2 + яз = 1-
3.161. xi + Х2 + а?з = 0,
Xi + Х2 + Жз = 1,
xi + Х2 + Хз = -1.
3.163. Xi + Х2 + Хз — 1,
Z1 + Х2 + Хз = 1,
XI + Х2 + Хз — 1.
3.164*	. Доказать альтернативу Фредгольма: либо си-
стема АХ = В совместна при любой правой части В, либо сопря-
женная однородная система А*Х = 0 имеет ненулевые решения.
3.165.	Какие из систем линейных уравнений, указанных в за-
дачах 3.160-3.163, совместны при любой правой части?
Линейный оператор Н в пространстве со скалярным произведением
называется самосопряженным, если Н = Н*. Самосопряженный опе-
ратор в унитарном (евклидовом) пространстве называется также эрми-
товым (симметричным). Для того чтобы оператор А был эрмито-
вым (симметричным), необходимо и достаточно, чтобы в любом орто-
нормированием базисе его матрица А = (а^) удовлетворяла соотноше-
нию aij = aji (aij — aji). Такие матрицы называются эрмитовыми
(симметричными).
Линейный оператор U в унитарном (евклидовом) пространстве на-
зывается унитарным (ортогональным), если
UU* = U*U = Е, т.е. U*=U“1.
Для того чтобы оператор А был унитарным (ортогональным) необходимо
и достаточно, чтобы в любом ортонормированном базисе его матрица
А — (aij) удовлетворяла соотношению А-1 = А* (А-1 = Ат). Такие
матрицы называются унитарными (ортогональными).
3.166.	Доказать следующие свойства самосопряженного опера-
тора:
а)	собственные числа действительны;
б)	собственные векторы, соответствующие различным собствен-
ным числам, ортогональны.
3.167.	Доказать следующие свойства унитарного оператора:
а)	собственные числа по модулю равны единице;
б)	для того чтобы линейный оператор был унитарным, необхо-
димо и достаточно, чтобы он переводил ортонормированный базис
снова в ортонормированный базис;
в)	унитарный оператор сохранаяет скалярное произведение;
г)	унитарный оператор сохраняет длины векторов.
140
Гл. 3. Линейная алгебра
3.168.	Показать, что в пространстве Уз следующие операторы
являются симметричными:
а)	Ах — Ах, А — фиксированное число;
б)	Ах = (х, е)е, |е| = 1;
в)	Ах = х — (х, е)е, |е| = 1.
3.169.	Показать, что в пространстве многочленов Рз со скаляр-
ным произведением (6) следующие операторы являются симме-
тричными:
a) /(<)-+/(-«); б) /(t) = t”f
3.170.	Показать, что в пространстве V? оператор U(e, <р) пово-
рота на угол вокруг оси, заданной единичным вектором е (см.
задачу 3.88), является ортогональным.
3.171.	Показать, что операторы задачи 3.168 являются ортого-
нальными.
4. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.
Если оператор А, действующий в пространстве £п, имеет п линейно не-
зависимых собственных векторов ei, в2, ..., еп, соответствующих соб-
ственным числам Ai, А2, . •Ап, то в базисе из этих векторов матрица
оператора А имеет диагональный вид
/Л,	0\
\о	Л„/
Пример 4. Привести матрицу А линейного оператора к диагональ-
ному виду и найти соответствующий базис, если
А =
< Характеристическое уравнение
det (А - ХЕ) =
1-А
0
-2
2
2-А
-2
= (А — 2)(1 — А2) = 0
имеет корни Ai =2, А2 = 1, A3 = — 1. Следовательйо, матрица мо-
жет быть приведена к диагональному виду. Находим соответствующие
собственные векторы. При А = 2 система (5) принимает вид
/-1	2	0\ /хА	/0\
(А - 2Е)Х = I 0 0	0 I I = | ° I ,
2 -2 -3/ \х3)	\0/
§ 2. Линейные операторы
141
или
-я?1 + 2x2	— О,
—2x1 - 2x2 ~ Зхз = О.
Фундаментальная система решений состоит из одного вектора Е\ —
— (2, 1, — 2)т. Аналогично, при Л = 1 система (5) принимает вид
/О 2
(А-Е)Х = О 1
\—2 -2
0\ /тЛ /о\
0 j I Х2 I = I 0 j
-2/ \хз) \0/
Х2 = О,
ИЛИ -2а?! - 2х2 ~ 2х3 = 0.
Из этой системы находим второй собственный вектор 2?2 = (1> 0, -1)т.
Наконец, при Л = — 1 из системы
/	2	2	0\	/хЛ	/0\
(А + Е)Х =	0	3	0 |	Х2 I	=	0 j
2	-2	0/	\х3)	\0/
или
Xi + Х2 = О,
3^2 = О,
находим третий собственный вектор Ез = (О, О, 1)т.
Найденные векторы Ei, Е2, Е3 образуют искомый базис, в котором
матрица А линейного преобразования имеет следующий диагональный
: вид:
2 0	0\
0 1 О I . >
О 0 -1/
j В задачах 3.172-3.179 выяснить, какие из заданных матриц
 линейных операторов можно диагонализировать переходом к но-
У вому базису. Найти этот базис и соответствующую ему диагональ-
ную форму матрицы.
/1 1 2	3\	/ 0 1 0	0\
0 2 2	4	_	0010
ЗЛ72.	0 0 х _2 . 3.173.	0 0 0 х
\0 0 0	2/	\-6 1 7 -1/
/1 ! 1\	/ 2 -1	2\
3.174. [1 1 1 1.	3.175. ( 5 -3	3 1
\1 1 1/	\-1	0 -2/
/1/2 0 1/2\	/-1 3 -1\
3.176.	0	1	0 } . 3.177.	-3 5 -1 | .
\1/2 0 1/2/	\-3 3	1/
142
Гл. 3. Линейная алгебра
/1 1 1 1\
1 1-1-1
1-1 1-1
V -1 -1 V
/О 0 0 1\
ОО1О
0 10 0
\1 о о о/
3.180*. Вычислить Ат, если:
-1\
-2/
Вычислить:
3.181.
3.182.
6
Матрица А самосопряженного оператора всегда приводится к диаго-
нальному виду. При этом, используя понятие унитарного оператора, ее
можно представить в виде
A = UDU~\
где U — матрица унитарного оператора, осуществляющего переход от
исходного базиса к базису из собственных векторов оператора A, a D —
диагональная матрица вида (7).
Найти ортонормированный базис из собственных векторов и
матрицу в этом базисе для линейного оператора, заданного в не-
котором ортонормированном базисе матрицей А (искомый базис
определен неоднозначно):
	/ 11	2 —8\	/17 -8	4'
3.183. А =	2	2 10	. 3.184. А = 1—8 17	-4
	\-8	10	5/	\ 4 -4	11
	/3	—г 0\	/1 1 2\	
3.185. А =	1 i	3 0 | .	3.186. А = 1 1 2 1	
	\0	0 4/	\2 2 4/	
Для данной матрицы А найти диагональную матрицу D и уни-
тарную (ортогональную) матрицу U такие, что А ~ UDU~^:
2 + 2i\
1 ) ’
3.187. А =
4
3
2 — 2г
3.188. А =
3
2 + i
2 —г
7
§ 3. Билинейные и квадратичные формы
143
3.189.	А = I —4г 1 0 .	3.190. А = -2	4-2
\ О О 1/	\ 0 —2	5
/2	2	—2\
3.191.	А =	I 2	5	—4 I	.
\-2	-4	5/
§ 3.	Билинейные и	квадратичные формы
1.	Линейные формы. Говорят, что в действительном линейном про-
странстве £ задана линейная форма, если каждому вектору х € £ поста-
влено в соответствие число /(х), причем выполнены условия
Дх + у) =/(х) +/(у), х, уе£,
f(Xx) = Xf(x),	хе£, Хек
Доказать, что в пространстве £ функция /(х), х G £, является
линейной формой:
3.192.	/(х) = j x(t)dt, £ = C[a>6], х = a;(t).
3.193.	/(x) = z(t0), £ = x = x(t), t0 G [a, b].
3.194.	/(x) = (x, a), £ — V3, a G V3 —фиксированный вектор.
3.195.	/(x) = abx, £ = V3, a, b E V3 — фиксированные
векторы.
3.196. /(x) = x'{tQ), £ G x = x(t), t0 G [a, b].
3.197.	Пусть в пространстве/} фиксирован базис 93 = (ei,.. .,en).
Пусть, далее, /(е^) = i = 1, 2, ..., п, где /(х) — линейная
форма в £.
а)	Доказать, что /(х) = aixi 4- ... 4- апхп, где , ..., хп —
координаты вектора х в базисе Я5.
б)	Обозначим £* множество линейных форм /(х), в котором
введены операции сложения и умножения на число следующим
образом:
9 = fi + f2, если VxG£(p(x) =/i(x)+/2(х));
h = Xf, если Vx G £(Л(х) = Х/(х)).
Доказать, что £* — линейное пространство.
в)	Доказать, что dim£* = п (пространство £* называется со-
пряженным к пространству £).
3.198.	Доказать, что:
а)	если х G Kn, х — (xi, ..., хп), то формула /(х) = a?i опре-
деляет линейную форму;
144
Гл. 3. Линейная алгебра
б)	всякую не равную тождественно нулю линейную форму /(х),
х £ Кп, надлежащим выбором базиса можно привести к виду
/(х) = где xi — первая координата вектора х в этом базисе.
2.	Билинейные формы. Числовая функция А(х, у): £ х £ R, за-
данная на действительном линейном пространстве £, называется били-
нейной формой, если при фиксированном у она является линейной фор-
мой по х, а при фиксированном х — линейной формой по у. Билинейная
форма называется симметрической, если А(х, у) = А(у, х), х, у € £.
Если в пространстве £п фиксирован некоторый базис 93 = (е1} ..., еп),
то матрица А = (%•),	= A(ej, еД называется матрицей билиней-
ной формы А(х, у) в базисе 03.
Доказать, что в пространстве £ функция А(х, у) является би-
линейной формой:
3.199.	А(х, у) = /1 (х)/2(у), где /1, /2 — линейные формы в £.
ь ь
3.200.	А(х, у) = f f K(s, t)x(s)y(t) ds dt, где £ = С[а>ь], x =
= x(t) e C[a>6), у = y(t) e C[0>6], K(s, t) — некоторая непрерыв-
ная функция двух переменных.
3.201.	А(х, у) = aijxiyj> где £ = Rn, х, у € Rn, А =
ij=l
—	— некоторая матрица.
3.202.	Пусть в пространстве £п задан базис 93 = (ex,...,en),
А(х, у) — билинейная форма в £п и А(е;, е7) = а^. Доказать,
что:
а)	А(х, у) = £ aijXiyj, где xit yj (г, j = 1, 2, ..., n) — ко-
м=1
ординаты векторов х и у в базисе 93;
б)	если А1 = (a^j) — матрица билинейной формы А(х, у) в ба-
зисе 93х = (ех, ..., е'п), то А' = АТ, где Т =	— матрица
перехода от базиса 93 к базису 93'.
Пусть в пространстве R3 задана билинейная форма А(х, у).
Найти ее матрицу в базисе 93 = (ei, е2, ез), если:
3.203.	А(х, у) = хм! + 2х2у2 + Зщ31/з, ех = (1, 1, 1), е2 =
= (1, 1,-1), е3 = (1,-1, -1)-
3.204.	А(х, у) = о?12/2 + х2уз + хзУ1, ех = (1, 0, 0), е2 =
= (1, 1, 0), е3 = (1, 1, 1).
§ 3. Билинейные и квадратичные формы
145
В пространстве Rn задана билинейная форма А(х, у) в базисе
53. Найти ее матрицу в базисе 53', если:
3.205.	п = 4, А(х, у) = Т1У2 + ^2Уз + ^зУ4,
3.206.	п = 2, А(х, у) = Т1У1 + яц/2 + зад - ^2У2,

3.207.	Доказать, что скалярное произведение (х, у) в евклидо-
вом пространстве £ является билинейной формой.
3.	Квадратичные формы. Пусть А(х, у) — симметрическая билиней-
ная форма. Форма А(х, х), которая получается из А(х, у), если поло-
жить у = х, называется квадратичной. При этом А(х, у) называется
билинейной формой, полярной к квадратичной форме А(х, х).
Если в действительном линейном пространстве £п фиксирован не-
который базис 53 = (ei, ..., еп), то квадратичная форма А(х, х) в этом
базисе имеет вид
п
А(х, х) = aijXiXj,
(1)
где А = (а^) :— матрица квадратичной формы и х = xiei 4-... + хпеп.
Пусть в некотором базисе выражение (1) квадратичной формы не
содержит произведений XiXj (г / j), т.е.
п
А(х, х) =
г=1
(2)
Тогда выражение (2) называется каноническим видом квадратичной
формы. В частности, если А» = ±1, 0, i = 1, 2, ..., п, то получаем
нормальный вид квадратичной формы А(х, х).
Для всякой квадратичной формы существует такой базис 53', в кото-
ром она имеет канонический (и даже нормальный) вид.
Методы приведения квадратичной формы к каноническому виду.
Метод Лагранжа выделения полных квадратов. Пусть
квадратичная форма А(х, х) в базисе 53 имеет вид (1). Если все коэф-
фициенты ац (при квадратах х?), i = 1, 2, ..., п, равны нулю и в то
же время форма не равна тождественно нулю, то отлично от нуля хотя
146
Гл. 3. Линейная алгебра
бы одно произведение, например 2ai2XiX2- Выполним преобразование
базиса, при котором координаты векторов в старом и новом базисах свя-
заны формулами
= х{ 4- х2,
Х2 = х{ — х2,
Xi = x'iy i = 3, ... , п.
Тогда 2ai2XiX2 = 2ai2(x'2 — х'2) = 2ai2x'2 — 2ai2x'2, и так как, по
предположению, ац = аг2 = О» т0 коэффициент при х'2 отличен от нуля.
Таким образом, всегда найдется такой базис 03, в котором в записи
(1) хотя бы один коэффициент при квадрате отличен от нуля.
1 В дальнейшем считаем, что ац / 0. (Если ац =0, то отличен
от нуля коэффициент при квадрате какой-нибудь другой координаты, и
к рассматриваемому случаю можно прийти, иначе занумеровав векторы
ei, в2, ..., еп, что также является некоторым преобразованием базиса.)
Рассмотрим часть квадратичной формы, содержащую xi, т. е.
<Т1 = ацЖ1 4- 2ai2XiX2 + ... + 2ainxixn-
Дополним эту сумму до полного квадрата:
(Л = — (ацЖ1 4-... 4- а1пхп)2 - у,
ац
где 7 есть алгебраическая сумма членов, не зависящих от ц. Если
теперь сделать замену
х{ = ацХ1 4-... 4- ainxn,
х* = Xi, i = 2, ... , п,
то квадратичная форма в новом базисе примет вид
Л(х, х) = ~х'2 4- ^2 a'ijx'ix'j = T-z'i2 + Ai-
В полученной форме выделено слагаемое —х\2, а оставшаяся часть Ai
ац
является квадратичной формой в £n_i. Далее рассуждения повторяются
для квадратичной формы Ai(x, х), и т. д.
Пример 1. Методом Лагранжа привести к каноническому виду ква-
дратичную форму
А(х, х) = 2xiX2 4- 4siS3 - х2 — 8x3.
< 1-е преобразование: xi = х2, X2 = х{, хз = х3. Тогда получим
А = -х'2 4- 2х'1х2 4- 4х2х3 — 8х’32.
§ 3. Билинейные и квадратичные формы 147
2-е преобразование: х" = -х{ + х2, х2 — т2, х3 = х'3. Получим
новое выражение для квадратичной формы:
А = — х"2 + х22 + 4х2х3 — 8х’з2.
3-е преобразование: х"' = х", х'2 = х2 + 2х'3', х'3 = х3, и форма
принимает канонический вид:
.4(х, х) =-г"'2 + г"'2 - 12х'"2.
При этом
я"' = Х1 - х2,
х'2 = xi	+2хз,
х"' =	хз- t>
Метод собственных векторов. Будем рассматривать ква-
дратичную форму (1) в евклидовом пространстве К”. Так как ее ма-
трица А = (а^) симметрична, то она может быть представлена в виде
А = UDUT, где D — диагональная матрица, на диагонали которой
стоят собственные числа матрицы A, a U — ортогональная матрица
(см. пп. 3 и 4 §2). Столбцы матрицы U являются координатами неко-
торого ортонормированного базиса ЗУ = (ei, ..., еп), в котором матрица
А имеет диагональный вид D, и, следовательно, квадратичная форма —
искомый канонический вид. Соответствующее преобразование коорди-
нат определяется соотношением
Пример 2. Найти ортогональное преобразование, приводящее ква-
дратичную форму А(х, х) = 6xj + 5^2 + 7^3 - 4x1^2 + 4х1Хз, заданную
в евклидовом пространстве К3, к каноническому виду. Написать этот
канонический вид.
<3 Матрица квадратичной формы имеет вид
/ 6 -2 2\
А = -2	5	0.
\ 2	0	7/
(Обратить внимание, как получаются элементы a,ij (г / j) из явного
вида квадратичной формы!) Собственные числа этой матрицы суть Ai =
— 3, Аг = 6, Аз = 9. Соответствующие ортонормированные собственные
148
Гл. 3. Линейная алгебра
векторы:
/2	2 _1\
3’	3’	3/ ’
/1 -
3’	3’	3/’
/ 2	_1	2\
з’	з’	зу’
и, следовательно,
/ 2	-1.	2\
U = ~	2	2	-1	,
6	\-1	2	2у
/ 2	2 -1\
UT = - I -1	2	2 1.
3 \ 2 -1	2/
В базисе ОУ = (е^, е'2, е3) заданная квадратичная форма имеет вид
Л(х, х) = За^2 4- 6х2 4- 9а?з2, а соответствующее преобразование коор-
динат:
2х{ - х2 4- 2а?з
7"1 222  —--——
2х[ 4- 2х2 — х3
Х2 -	з	,
—х\ 4- 2®, 4- 2а?о
хз =--------------------. О
3.208.	Доказать, что всякая квадратичная форма А(х, х) в ев-
клидовом пространстве 8п может быть записана в виде А(х, х) =
= (Ах, х), где (х, у) — скалярное произведение в £п и А —
некоторый оператор.	'
3.209.	Доказать, что полярная билинейная форма А(х, у) од-
нозначно определяется своей квадратичной формой А(х, х).
Методом Лагранжа найти нормальный вид и невырожденное
линейное преобразование, приводящее к этому виду, для следую-
щих квадратичных форм:
3.210.	4- 5^2 — 4a?3 4- 2a;ia;2 — 4ж1а;з.
3.211.	a?ia;2 + ^2^3 + £3^1-
3.212.	4xl + х2 + хз ~ ^xix2 4- 4ж1а;з — 8x2x3.
Найти ортогональное преобразование, приводящее следующие
формы к каноническому виду, и написать этот канонический вид:
3.213.	11^1 4- 5^2 4- 2&з 4- 16a;ia;2 4- 4ж1а;з — 20^2^з-
3.214.	xi 4- х% 4- 5а?з — 6x1X2 4- Зжхжз — 2гг2£з-
3.215.	xi 4- х‘2 4-	4- 4a?ia;2 4- 4ж1а;з 4- 4ж2Жз-
3.216.	17a?i 4- 14a?2 4- 14a?3 — 4a?ia;2 ~ 4х\хз — 8x2X3.
§ 3. Билинейные и квадратичные формы
149
Квадратичная форма А(х, х), определенная в действительном ли-
нейном пространстве £п, называется положительно (отрицательно)
определенной, если для всякого х G £п (х 0)
А(х, х) > 0 (< 0).
Пусть А = (dij) — матрица квадратичной формы А(х, х) и
Di = оц, £>2 =
ац
021
		Оц	012	•	•	&1П
012 022	, ... , Dn —	021	022	•	• а2п
		ОП1	ап2	• О,пп
				
— последовательность главных миноров матрицы А.
Критерием положительной определенности квадратичной формы яв-
ляется следующее утверждение (критерий Сильвестра): для того
чтобы квадратичная форма А(х, х) была положительно определен-
ной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры ее ма-
трицы А были положительны, т.е. D*, > О, k = 1, 2, ..п.
3.217*	. Доказать: для того чтобы квадратичная форма А(х, х)
была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы
имели место неравенства (~l)kDk >0, к = 1, 2, ..., п.
В задачах 3.218-3.224 определить, какие квадратичные формы
являются положительно либо отрицательно определенными, а ка-
кие нет:
3.218.	Xi + 26^2 + 10371372-
3.219.	— xj + 2a?ia;2 ~ 4^2- У
3.220.	х? — 15x1 + 4^1372 — 2ж1а;з + 6^2•
3.221.	12371372 — 12371373 + 6a?2Z3 — 1137^ — 6a?2 “ 6^3-
3.222.	Эх? + 6a?2 + 6Ж3 + 12371372 — Юж^з — 2а?2Яз.
3.223.	2a?4 + a?ia;2 + ^1^3 ~ 2^2^з + 2ж2£4-
3.224.	xi + 4z| +.4а;,з + 8^4 + 8x2^4.
3.225.	Доказать, что квадрат длины вектора |х|2 в п-мерном
евклидовом пространстве £п является положительно определенной
квадратичной формой.
4. Кривые и поверхности второго порядка. Гиперповерхностью вто-
рого порядка в евклидовом пространстве называется множество то-
чек, координаты которых удовлетворяют уравнению
п	п
А(х, х) 4- 2(Ь, х) + с =. 52 OijXiXj + 2 52 bk^k + с = 0,	(3)
i,j=l	fc=l
где в левой части стоит многочлен второй степени от п переменных xi,
^2)••ч Хп.
150
Гл. 3. Линейная алгебра
Задача классификации гиперповерхностей второго порядка состоит
в нахождении такого базиса в R”, в котором левая часть уравнения в
новых переменных х[, х'2, ..х'п имеет наиболее простой вид. Для
этого сначала ищется такое ортогональное преобразование, что в новых
п
переменных квадратичная форма А(х, х) = aijXiXj имеет канони-
г, 7=1
ческий вид. В новом базисе уравнение (3) записывается следующим
образом:
п	п
52 А*42+2 J2 bkx'k+с = °>
fc=i	k=i
причем не все A*, i = 1, 2, ..., п, равны нулю. Если Хк 0, то перено-
сом начала координат можно уничтожить линейный член:
Хкх'ъ 4- 2Ькх’к = Хк (х'к 4-	= хкХк -
\ Afc / Ак	Ак
После этих преобразований получаем (изменяя нумерацию переменных,
если это необходимо)
All"2 + ... + As<'2 + б'5'+1<'+1 + Ь'Х + с" = 0.	(4)
Уравнение (4) называется каноническим уравнением гиперповерхности
второго порядка.
Множество точек плоскости R2, удовлетворяющих уравнению (3),
называется кривой второго порядка. В этом случае каноническое урав- *
нение (4) может принимать один из следующих видов (в переменных
ж, у):
1)	Ахж2 + Х2у2 4- с =0 (AiA2 /0);
2)	А1Ж2 4-Ьу = 0	(А^О);
3)	Aiж2 4-с =0	(Ai / 0).
Пример 3. Написать каноническое уравнение кривой второго по-
рядка:
Зж2 4- Юж?/ 4- Зу2 — 2ж — 14j/ — 13 = 0,
определить ее тип и найти каноническую систему координат.
(3
э
Ее собственные числа: Ai = 8 и А2 = —2; собственные векторы: ei =
( 1 1 А /1	1 \ п
= I ~2=, -у= I, е2 = I	—у= I. Выполняя преобразование
\ \	2)	\ 2	2)
5\
3/’
х^^х>+у'^ У = ^Х'~У^
§ 3. Билинейные и квадратичные формы
151
получаем
8х'2 - 2у'2 -	+ ^у' - 13 = 0.
х/2	г/2
Так как Ai и Аг отличны от нуля, то по каждой из новых переменных х'
и у' можно выделить полный квадрат:
8а?2 —= 8	~	— 4,
Л \	2 I ’
)2
+ 9.
Заменой переменных
// I	п I 3
х =х - у =у -
&	у/ 2
соответствующей сдвигу по каждой из координатных осей, получим
8ж"2 - 2у"2 -8 = 0, или х"2 - ^у"2 = 1.
Последнее уравнение есть каноническое уравнение гиперболы. Резуль-
тирующее преобразование координат имеет вид
х = -)=(х"+ !/") +2,
а каноническая система координат — (О', ei, ег), где
1.1. 1.1.
О (2, -1), в1 = -/=• + е2 =	- -;=j. с>
В задачах 3.226-3.231 написать каноническое уравнение кри-
вой второго порядка, определить ее тип и найти каноническую
систему координат.
3.226.	9а;2 — 4ху + 6?/2 + 16а; — Зу — 2 = 0.
3.227.	х2 — 2ху + у2 — 10а; — бу + 25 = 0.
3.228.	5а;2 + 12а:?/ - 22а: - 12?/ - 19 = 0.
3.229.	4а;2 — 4ху + у2 — 6а; + Зу — 4 = 0.
3.230.	2х2 4- 4ху + 5?/2 — 6а; — 8у — 1 = 0.
152
Гл. 3. Линейная алгебра
3.231.	х2 4ху + 4г/2 — 4т — Зу — 7 = 0.
3.232.	Кривая второго порядка определяется уравнением:
а) х2 — 2у + Х(у2 — 2х) = 0; б) х2 4- 2Хху 4- у2 — 1 = 0.
Определить ее тип при изменении параметра Л от — оо до 4-оо.
Множество точек евклидова пространства R3, удовлетворяющих урав-
нению (3), называется поверхностью второго порядка. Каноническое
уравнение (4) в этом случае принимает один из следующих видов (в пе-
ременных х, у, z):
1)	А1Я2 + Л2У2 + Аз*2 + с = 0 (AiA2A3^0),
2)	А]Х2	4-	A2j/2 + bz	= 0	(AiA2	0 0),
3)	Aix2	4-A2j/2 4-с = 0	(AiA2	/ 0),
4)	А1Ж2	+	^ = 0	(Ai	/0),
5)	Aia:2	+	с = 0	(Ai	± 0).
Поверхности типов 3)-5) являются цилиндрами (эллиптическим, ги-
перболическим и т. д. в зависимости от типа кривой в сечении плоско-
стью z = 0).
Пример 4. Написать каноническое уравнение поверхности второго
порядка
4ж2 4- 4j/2 — 8z2 — Южу 4- +yz 4- 4zx - 16т - I63/ — 8z 4* 72 = 0,
определить ее тип и найти каноническую систему координат.
< Матрица квадратичной части многочлена второй степени равна
4-5	2\
-5	4	2 | .
2	2 -8/
Ее собственные числа: Ai = 9, А2 = —9, А3 = 0, а собственные векторы:
-	_ 1 гЛ _ (_1__________I_______ /2 2 1\
Л’ /’ 62 “ \Зч/2’3^2’ 3^’ез-\3’3’ЗЛ
Выполнив преобразование
ЗХ + J/' + 2v^2z),
У=^/2^~ЗХ>+ У> + 2y^z'}’
*=^=(	~4у> 4-
получаем
9я'2 - 9г/'2 - 72z' + 72 = 0.
§ 3. Билинейные и квадратичные формы 153
Преобразование сдвига необходимо выполнить лишь по переменной z*\
-72? + 72 = —72(z' - 1) = -72?'.
Второе преобразование координат имеет вид
X =x , у =y , z = z - 1,
откуда окончательно получаем каноническое уравнение гиперболического
параболоида
*"2 _ = ,,
8	8'
Результирующее преобразование координат таково:
* = Зх"+ »" + 2v^2") + |'
у = ^~3х" + ^" + 2'/2г") + |-
г = _^( _V+^) + l,
а каноническая система координат — (О', ei, ег, ез), где
/2 2 1\	/1	1	\
° \3’ 3’ з/ ’ ei - (v2’ 72’7 ’
е2 ~ 1зТ2’ зТг’ з72J ’ ез ~ U’ 3’ ЗЛ >
В задачах 3.233-3.240 написать каноническое уравнение по-
верхности второго порядка, определить ее тип и найти канониче-
скую систему координат.
3.233.	7х2 + бу2 + 5z2 — 4ху — 4yz — бх — 24?/ + 18z + 30 = 0.
3.234.	2х2—Чу2—4z2+4xy+20yz—16za;+60a;—12y+12z—90 = 0.
3.235.	2х2 + 2у2 - 5z2 + 2ху - 2х - 4у - 4z + 2 = 0.
3.236.	2а;2 + 2у2 + 3z2 + 4ху + 2yz + 2za; — 4х + бу — 2z + 3 = 0.
3.237.	4х2 + у2 + 4z2 — 4ху + 4yz — 8zx — 28а; + 2у + 16z + 45 = 0.
3.238.	2х2 + бу2 + 2z2 — 2ху — 4xz + 2yz + 2х — 10?/ — 2z — 1 = 0.
3.239.	а;2 + бу2 + z2 4- 2ху + 2yz + 6zx — 2х + бу + 2z = 0.
3.240.	х2 — 2у2 + z2 + 4а;?/ + 4yz — lOza; + 2а; + 4у — 10z — 1 = 0.
154
Гл. 3. Линейная алгебра
§ 4. Элементы тензорной алгебры
1.	Понятие тензора. Будем рассматривать выражения вида а,, Ь}, (%
и т.д., где индексы г, j, к принимают значения 1, 2, п. Всюду в
этом параграфе, если в выражении какой-либо индекс стоит вверху и
внизу, то будем предполагать, что производится суммирование по этому
индексу. Например,
aj = а}+а! + ... + а”,
bjifc = Е bjafc, = Е«“Л cjj-fc = 12 с^к
a=l	a	a,0
и т.д. (сокращенные обозначения суммирования).
Через Сп (или просто С) будем обозначать линейное пространство
размерности п над полем действительных чисел R или над полем ком-
плексных чисел С. Изложение в этом параграфе проводится для поля
К. Все рассуждения для поля С также справедливы и устанавливаются
аналогично. Матрицу
(ан ••• «in\
...............
Qml • • • й'тпп/
будем обозначать (ау) или ||aijll*
Пусть.® = (ei, ..., еп) и ®' = (е'1; ..., е^) — два различных базиса
в £П’ Через S = S^-^' обозначим матрицу перехода от базиса ® к
базису ®', т.е. матрицу
/*1 ... з*\
= I............I = lls}ll>
\Si ... sn/
n
где e- = s|ei + ... + s^en = £ siej> « = 1, 2, ..., n.
j=i
Элементы обратной к S матрицы S'-1 обозначим s), т.е. S'-1 = ||s}||.
Вектор. Пусть x G £ — произвольный вектор. Координаты век-
тора х в базисе ® = (ei, ..., еп) обозначим ж1, ж2, ..., жп (здесь мы
пишем индексы вверху, а не внизу для удобства, чтобы можно было при-
менять сокращенные обозначения суммирования). Разложение вектора
по базису ® записывается в виде х = ж1е» (суммирование по i). В другом
базисе ®' = (е'и ..., е'п) имеем: х = ж* (здесь на самом деле следо-
вало бы писать е-,, но второй штрих не пишут для упрощения записи).
Формулы преобразования координат при переходе от базиса ® к базису
®' в сокращенных обозначениях имеют следующий вид:
Хг' -Т-Хг	(1)
§ 4. Элементы тензорной алгебры 155
(здесь предполагается суммирование по i, а хг обозначает i'-ю коорди-
нату вектора х в базисе е'15 ..е'п).
Приведенные выше рассуждения показывают, что вектор можно рас-
сматривать как совокупность наборов чисел (ж1, ж2, жп), задан-
ных в каждом базисе и изменяющихся при переходе от базиса к базису
по закону (1).
Линейная форма. Напомним, что линейной формой называется
отображение а: £ —> R, линейное в обычном смысле, т.е. удовлетворяю-
щее равенствам а(х + у) = а(х) 4-а(у) и а(Ах) = Аа(х) при всех х 6 £,
A G EL Если 23 = (ei, ..., еп) — базис пространства £, то положим
оц = a(ei). Ввиду линейности а имеем:
а(х) = а(ж1е1 + .. .+жпеп) = x1a(ei)-f-.. .4-жпа(еп) = ахж1-}-.. .+апхп.
В сокращенных обозначениях суммирования получаем: а(ж) = оцхг.
Итак, линейная форма в каждом базисе задается строчкой (ai, Q2,..., ап).
Пусть 23' = (ер ..., е^) — другой базис пространства £. Тогда, по
определению матрицы перехода,
е£/ = з^е£.	(2)
Отсюда	= a(s-/ej = s^afei) = з^а,, т.е.
оц' = s^oti.	(3)
Таким образом, линейную форму можно рассматривать как совокуп-
ность строчек (ai, «2> • • ап), заданных в каждом базисе и изменя-
ющихся при изменении базиса по закону (3).
Определение. Пусть в каждом базисе 03 линейного пространства
£п для некоторых неотрицательных чисел р, q задан упорядоченный
набор Т из np+q элементов Т^ "'^ G К (или С), где индексы изменяются
от 1 до п. Тогда Т =	называется р раз ковариантным и q раз
контравариантным тензором (или тензором типа (р, д)), если при
переходе от базиса 23 к базису 23' числа изменяются по закону
rpil-Jq _ ij	Ip	~jq rpjl--.jq	/д\
’ • ‘Si'p Sji * ”Sjq -41...tp ’	vO
(Напомним, что правая часть этого равенства представляет собой сумму
по индексам ii, ..., ip, ji, ..., jq.) Числа называются компонен-
тами (или координатами) тензора Т.
Замечание 1. Формулы (4) можно интерпретировать как незави-
симость тензора от выбора базиса в линейном пространстве.
Замечание 2. Формула (1) получается из общей формулы (4) при
р = О, q = 1, поэтому вектор можно рассматривать как тензор типа
(О, 1).
156
Гл. 3. Линейная алгебра
Замечание 3. Формула (3) получается из общей формулы (4) при
р = 1, q = 0, поэтому линейную форму можно рассматривать как
тензор типа (1, 0). Такие тензоры называют ковекторами.
Пример 1. Выписать все слагаемые, описывающие изменение ко-
ординат тензора Аг£ в двумерном пространстве £%.
< Из формул (4) получаем: Агк? = sf s? s^A'j!. Так как п = 2, то
Ak> ~ «1 sMi1 + «Мг1 + s’/«2 «Mi2 + s] s2 siA22 +
+ «2 Si s'L Aj1 + 8*2 s] 8%, Al1 + 8*2 «2	A?2 + 8^ «2 S*, A%. >
Пример 2. Доказать, что линейный оператор можно рассматривать
как тензор типа (1, 1).
< Пусть А: £ -> £ — линейный оператор и ||ct} || — его матрица в базисе
ei, ..., еп. Требуется доказать, что таблица ||а* || при переходе к другому
базису меняется по закону (1). Воспользуемся тем, что А' — S^AS, где
S — матрица перехода, а Л и А' — матрицы оператора в старом и новом
базисах. Тогда
i,3
что и требовалось доказать. >
/
Пример 3. Пусть А: £х£ -> £ — линейное по каждому аргументу
отображение, т. е. отображение, удовлетворяющее условиям
А(х + у, z) = А(х, z) + А(у, z), А(х, у + z) = А(х, у) + А(х, z),
А(Ах, у) = АА(х, у), А(х, Ау) = АА(х, у)
при всех х, у, z G £, A G Ж. Доказать, что А — тензор. Какого типа
этот тензор?
< Пусть ei, ..., еп — базис пространства £. Разложим вектор А(е», ej)
по этому базису: А(е^, е?) = а^ек. Докажем, что (а^) — тензор типа
(2, 1). Действительно, в новом базисе А(е^,	= a^^ek’, а значит,
= А(е,/, е,/) = A(s^ei} s^e,) = з^,А(еь ej) = s^.,a£efc.
Так как ек = sk ек>, то	ек>. Ввиду линейной не-
зависимости векторов ei, ..., е'п получаем: a^j, = s-,Sj,sk а^, что и
требовалось доказать. [>
§ 4. Элементы тензорной алгебры
157
3.241.	Доказать, что квадратичная форма /(х) = aijx'x3 явля-
ется тензором типа (2, 0).
3.242.	Доказать, что билинейная форма В(х, у) = bijx'y3 явля-
ется тензором типа (2, 0).
3.243.	Пусть Т: £ х £ х £ —> R — трилинейная форма, т.е.
функция Т(х, у, z) трех векторов, линейная по каждому аргу-
менту (например, линейность по первому аргументу означает, что
T(u+v, у, z) = T(u, у, z)+T(v, у, z) иТ(Ах, у, z) = АТ(х, у, z)
при всех х, у, z, u, v G £ и A G R). Доказать, что Т — тензор.
Какого типа этот тензор?
3.244.	В таблице приведены координаты тензора Hljk в базисе
ei, е2 (индекс к обозначает номер 2х2-матрицы, г — номер строки,
j — номер столбца). Найти координаты этого тензора в базисе
el = ei 4- 2е2, е'2 = 3ei - 2е2.
	j = 1	j = 2	j = 1	j = 2
i = 1	0	1	1	0
i = 2	-1	2	2	1
	к =	= 1	к =	= 2
3.245.	Пусть Агз — тензор типа (0, 2). Используя матрицу
перехода S от базиса к базису, выразить матрицу А' этого тензора
в новом базисе через матрицу А в старом базисе.
3.246.	Сколько координат имеет тензор типа (р, q)l
2.	Операции над тензорами. Для фиксированного линейного про-
странства С размерности п рассматриваются всевозможные тензоры.
Сложение тензоров и умножение на скаляр. Если А
и В — тензоры одного типа, то их сумма С — А + В определяется
формулой
т. e. в каждом базисе складываются соответствующие координаты этих
тензоров. Тензор С имеет тот же тип, что А и В. Если А ё К — скаляр,
то можно построить тензор D = АЛ того же типа, что А, по формуле
rpl-'-jq _ \дЬ-Зч
Тензоры одного типа (р, д) образуют линейное пространство размерно-
сти пр+ч.
Тензорное произведение. Пусть А и В — тензоры типов
(р, q) и (s, t) соответственно. Тензорным произведением С = А ® В
называется тензор типа (р + s, q + t), координаты которого в каждом
базисе определяются формулами
jqjq+l - jq+t -.Ajl - jq njq+l "jq+t
ii ...ip ip 4-1 ...ip	ii ...ip ip+i •••ip+«
158
Гл. 3. Линейная алгебра
Пример 4. Пусть х — вектор (т.е. тензор типа (0, 1)), а а —
ковектор (линейная форма). Тогда А — a 0 х — тензор типа (1, 1), т.е.
линейный оператор. Выяснить, как действует оператор А на произволь-
ный вектор у G £.
<1 Пусть ||а^ || — матрица оператора А. Тогда а*- = ajx1, а значит,
Ay = offlei = ajXlyjei - ctjyj  x'ei = a(y)x.
Таким образом, (a ® x)y = a(y)x. t>
Свертка тензора. Пусть T3A' '?* — тензор типа (р, q). Выделим
какой-либо верхний и какой-либо нижний индексы, например, ji и ц.
Тогда можно построить тензор типа (р - 1, q — 1), полагая в каждом
базисе
Tjj2--‘jq _ rpkj2---jq
fcl2--.ip
(в правой части — суммирование по к). Этот тензор называется сверт-
кой тензора Т по индексам й, fa.
Если Т = 7^, то сверткой тензора Т по индексам j и m является
тензор U}k = T^k (суммирование по индексу j}.
Тензор типа (0, 0) — это инвариант, т. е. число, принимающее одно
и то же значение в каждом базисе пространства £.
Пусть а*- — линейный оператор. Произведем сворачивание этого тен-
зора по индексам i и у, т.е. положим
b = a\(= aj + Оз + ... + а”).
Тогда Ь будет являться тензором типа (0, 0), т.е. инвариантом.
Число Ь — это сумма диагональных элементов, т. е. след матрицы
||а* ||. Отсюда вывод: след tr А матрицы А = ||а* || линейного оператора
не зависит от базиса пространства С.
Пусть
Si _ Г 1, если i = j,
з [ 0, если i 0 j.
(Этот объект называется символом дельта Кронекера). Докажем, что
6j — тензор типа (1, 1). Для этого надо доказать равенство 6j, =
Преобразуем правую часть этого равенства. Так как Sj = 0 при i 0 j, то
мы можем считать, что i = j. Тогда
sj'sp*.=si'sp: = 44 = (s-*s)j:=ej: = 4
(здесь E обозначает единичную матрицу). Нетрудно видеть, что ма-
трица тензора в любом базисе является единичной матрицей Е. Если
дельту Кронекера интерпретировать как линейный оператор Д, то это
будет тождественный оператор, т. е. Дх = х для всех векторов х.
§ 4. Элементы тензорной алгебры
159
3.247.	Пусть х — вектор, а а — ковектор (линейная форма).
Что собой представляет свертка тензора а ® х?
3.248.	По каким парам индексов можно осуществить свертку
тензора Аг-к17
3.249.	Доказать, что если матрица тензора Tij в каком-либо ба-
зисе невырождена, то матрица этого тензора невырождена в любом
базисе. Верно ли данное утверждение для тензоров TJ, TlJ7
3.250.	Пусть А13 — тензор типа (0, 2) такой, что в каком-либо
базисе (а значит, и во всех базисах) матрица ||AV*|| невырождена,
и пусть Bij — элементы обратной матрицы. Доказать, что Bij —
тензор типа (2, 0).
3.251.	Пусть а, /3 — ковекторы. Тогда В = а ® /3 — билиней-
ная форма. Выразить В(х, у) через х, у с помощью а, /3.
3.252.	Назовем бивектором Вгз тензорное произведение двух
векторов х и у. Выразить координаты тензора Ви через коорди-
наты векторов х и у.
3.253.	Пусть Агз — тензор типа (0, 2), и его матрица ||Аи|| в
каком-либо базисе является симметрической. Останется ли ма-
трица этого тензора симметрической при изменении базиса? От-
ветить на этот вопрос для тензоров В’, Cij типов (1, 1), (2, 0)
соответственно.
3.254.	Тензор Alk задан своими координатами в базисе ei, ег,
ез (см. таблицу). Найти координаты тензоров Вг = А1- и =
= А1? в базисе ei, ег, ез.
	j = l	J = 2	J = 3	J = 1	j = 2	j = 3	j = l	J = 2	j = 3
г = 1	2	1	-3	3	1	-1	1	-1	3
г = 2	0	0	1	-2	0	1	-2	2	0
i = 3	1	-2	2	0	3	4	1	0	-5
		k = 1			k = 2			fc = 3	
3.255.	Координаты тензоров А13 и Вг; в базисе ei, ег, ез опре-
делены матрицами А и В соответственно, где
/ i 2 3\	/ 1 1 1\
А = -1 3 4 1, В = -1 3 1 | .
\ 0 2 1/	\ 1 0 5/
Найти координаты тензоров CJ = AtkBkj, Dj = AzkBjk в базисе
ei, ег, ез. Вычислить свертки S = Al3Bij, Т = Al3Bji.
160
Гл. 3. Линейная алгебра
3.256.	Ранг матрицы тензора называется рангом- тензора.
Пусть А — тензор типа (2, 0), (1, 1) или (0, 2). Доказать, что
матрица тензора А в каждом базисе имеет один и тот же ранг.
3.257.	Найти ранг тензора:
a)	ei ® ei - ег ® ei + ei ® ег - ег ® ег;
б)	ei ® ei + е2 ® ei + е2 ® е2.
3.258.	Пусть А — тензор типа (р, q), тцер + q = 2. Найти усло-
вие, которому должна удовлетворять матрица тензора А, чтобы
тензор А можно было представить в виде произведения P®Q тен-
зоров Р, Q другого типа.
3. Симметрирование и альтернирование. Выделим у тензора
какие-либо к нижних индексов, например, й> й, ..., й- Симметриро-
вание по индексам й, ..., й — это построение нового тензора
rpjl--jq	_	1	\ 4 rpjl--jq	Zr\
(ii	...гР fa]	ai-..afcifc+1-..ip ’	' '
’ ai,...,ak
где суммирование производится по всем перестановкам ..., ин-
дексов й, •••) й- Координаты тензора 3ik)ik+1 ip в любом базисе
симметричны по индексам й, •••, й5 т.е. не зависят от перестановки
этих индексов. Альтернирование по индексам й, • й состоит в по-
строении тензора
l[ii...ifc]ifc+1...ip £! Z-z '	' *ai...akik+l...ip’	M
(Й • • • Й\
Qx &k)
индексов й, •••, й- Очевидно, слагаемое в (6) будет взято со знаком
«плюс», если подстановка а четная, и «минус», если она нечетная. Ана-
логично опр еделяются тензоры ’^т +1 ‘ ‘ и	+1 ’ ’
Выразим координаты тензоров B^im] чеРез Аг^, В%1т соот-
ветственно. По определению имеем:
д(О) — -(дч _i_ д^}
— 2^к1 + л-kiA
- <<+4).
Если Т — тензор типа (р, 0) или (0, q), то SymT или AltT — это
тензор, полученный из Т симметрированием или альтернированием по
всем индексам.
§ 4. Элементы тензорной алгебры
161
3.259.	Выразить координаты тензоров В^к\ через
координаты А1^, Bl^k, Cijk соответственно.
3.260.	Найти матрицы тензоров SymAu, Alt By в базисе еь
е2, ез, если заданы координаты тензоров Аи, By в этом базисе:
/-1 3	2\	/ 1 3 2\
И>||=.	0 1	4 , ||Ву||= -1 4 0 .
\ 2 1 —3/	\ 1 5 4/
3.261.	Тензор Aijk задан координатами в базисе еь ег, ез (см.
таблицу). Найти координаты тензоров By= A^j^, C^k = A[yjq,
Dijk = A(ijk) B базисе eb e2, e3.
	> = 1	J = 2	J = 3	J = 1	J = 2	J = 3	3 = 1	j = 2.	J = 3
i = 1	2	1	3	2	3	1	1	-3	2
i = 2	-1	4	2	5	0	0	-1	4	5
i = 3	6	-4	1	-5	4	1	4	-1	3
		к = 1			к = 2			к = 3	
4.	Сопряженное пространство. Тензор как полилинейная функция.
Пусть С — линейное пространство над полем действительных чисел.
Сопряженным пространством С* называется пространство всех ли-
нейных форм a: £ -> R. Если еь ..., еп — базис пространства £, то
в пространстве £* можно построить сопряженный базис е1, ..., £п, в
котором ковекторы е1 определяются равенствами ег(е7) = 6* при всех г,
j. Тензор Т типа (р, q) можно рассматривать как полилинейную функ-
цию Т: С х ... х Сх С? х „. х -> R от р векторов и q ковекторов
р	9
(полилинейность означает линейность по каждому из р + q аргументов).
Координаты тензора в базисе еь ..., еп пространства £ опреде-
ляется формулами Т^ '1^ —	.., £J’).
Пример 5. Представить линейный оператор в виде билинейной
функции от вектора и ковектора.
•О Пусть А: С. -+ £ — линейный оператор, ||а*|| — его матрица в
базисе ei, ..., еп. Возьмем произвольные вектор х € £ и ковектор
£ Е £*. Разложим х по базису еь ..., еп, а £ — по сопряженному базису
г1, ..., еп: х = x^ej, £ = Положим у = Ах. Линейный оператор,
как тензор типа (1, 1), является функцией Т(х, £) от одного вектора и
одного ковектора. Поэтому а*- = T(e-j, ег). Имеем:	,
Т(х, £) = T(xjGj, = x^iT^j, е>) = х^а} =
= ^i(aljXJ) = &у3 = £(Ах). >
162
Гл. 3. Линейная алгебра
3.262.	Представить вектор х € £ в виде функции Т(£) ковек-
тора £ G £*.
3.263.	Пусть А: £х£-^ £ — билинейное отображение, рассма-
триваемое как тензор типа (2, 1). Представить А в виде функции
от векторов и ковекторов.
3.264.	Написать матрицу линейного оператора ei ® е1 — 2е2 ®
® е3 + Зез ® е1 в базисе ei, е2, ез.
Пример 6. Вывести формулу, выражающую закон изменения век-
торов сопряженного базиса е1, ..еп при изменении базиса
ei, ..еп пространства £.
•О Для всякого ковектора а Е £* имеет место равенство a = оце1, где
at = «(ej. Полагая сх. — ег (здесь ег — вектор нового сопряженного
базиса), получим:
е*	= Р-ё.
Таким образом,
ег' = s]'e\ t>	(7)
Пусть ei, ег, ез — базис пространства £, а е1, е2, е3 — сопряженный
базис. Выясним, как изменится сопряженный базис, если в простран-
стве £ перейти к базису fi = ej + 2e2 — Зез, f2 = е^ + ег, Гз = 2ei — е3.
Пусть tj1, tj2, tj3 — базис, сопряженный с базисом fi, f2, Гз- Так как
/ 1 1	2\
(fi f2 fa) = (ei ег ез) I 2 1	0 | ,
\-3 0 -1)
то матрица перехода от базиса е к базису f равна
/ i 1	2\
5=210.
\-3 0 -1/
По формулам (7) получаем:
/г?1\	/£1\	/-1	1	-2\	/ех\
7,2	= 5-1 е2 = -	2	5	4 е2 .
V,3/	\е3/	\ 3	—3	—1/	\е3/
Таким образом,
т;1 = |(-е1 +е2 — 2е3),
т,2 = i(2ex + 5е2 + 4е3),
?73 = ^(Зе1 — Зе2 — £3).
§ 4. Элементы тензорной алгебры
163
3.265.	Написать выражения векторов нового базиса е'15 е'2, е'3
пространства С через векторы ei, ег, ез старого базиса, если со-
пряженный базис изменился следующим образом:
(s')1 = 2s1 - е2 + Зе3,
(е')2 = е1 +2е3,
(е')3 = -е1 +4е2.
3.266.	Найти значение Т(х, £) тензора Т = е1 ® ег + 2е2 ®
® (e2-3e3)+e3®(2ei~e2), гдех = ei+4e2-e3, £ = е1-2е2+Зе3.
3.267.	Найти значение тензора А®В—В® А от набора (u, v, w),
где А = е1®е2+2е2®е3, В = Зе2—4е3, и = ei+e2, v = е2-Зе3,
w = ei + e2 + e3.
3.268.	Найти значение тензора A®B+B® А от набора (a,/3,7,5),
где A = (ei + 2e2) ® e3 + ei ® e2, В = (e2 + e3) ® ei + 2ei ® e2,
a = e1, /3 = e1 + e2 + e3, 7 = 6 = e1 - e3.
3.269.	Найти координаты ifn тензора T^lm в базисе
/1	2	-2
(ei	ё2	ё3) =	(ei	е2 е3)	0	1	3
\0	0	1
если в базисе ei,	е2,	е3	все его координаты равны 2.
Глава 4
ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ
§ 1. Бинарные отношения и алгебраические операции
1. Бинарные отношения и их свойства. Декартовым (или прямым)
произведением множеств Ai, Аг, ..Ап называется множество
Ai х Аг х...х An = {(ai, аг, ... , ап) I (ai € Ai, а2 6 А2, ... , ап Е Ап)}.
Бинарным отношением а на множестве А называется подмноже-
ство множества А х А (а С Ах А). Если элементы х, у G А связаны
отношением а, то пишут (ж, у) G а или хау\ если не связаны, пишут
(ж, у) а или ж ф у.
Бинарное отношение а рефлексивно, если для любого а G А имеет
место (а, а) € а; симметрично, если для любых a, b € А из (а, b) G а
следует (b, a) G а; антисимметрично, если ни для каких a, b G А,
где а / Ь, невозможно одновременное выполнение условий (а, Ь) 6 а
и (b, a) G а; транзитивно, если для любых a, b, с G А из условий
(а, Ь) £ а и (Ь, с) € а следует (а, с) 6 а.
Пример 1. Выяснить, какими из основных свойств (рефлексив-
ность, транзитивность, симметричность, антисимметричность) обладает
отношение перпендикулярности (±), заданное на множестве всех пря-
мых на плоскости.
О Отношение ±, заданное на множестве всех прямых на плоскости, не-
рефлексивно (говорят также: иррефлексивно), так как а / а для любой
прямой а; симметрично, так как для любых прямых а и b из а ± b
следует b ± а; нетранзитивно (говорят также: интранзитивно), так как
для любых прямых а, Ь и с на плоскости из условий а!&и&1сне
следует а ± с; неантисимметрично, так как из albubla не следует
b = а. [>
Пример 2. Доказать, что из условий рефлексивности и симметрич-
ности бинарного отношения не следует его транзитивность.
<3 Для доказательства достаточно привести пример рефлексивного и сим-
метричного бинарного отношения, не являющегося транзитивным. В ка-
честве примера рассмотрим бинарное отношение а, заданное на множе-
стве К следующим образом: aab <=> |а — Ь| 1. Отношение а рефлек-
сивно, так как ааа для любого а € R (ввиду того, что |а — а| = 0	1), и
симметрично, так как |а — Ь\ = |Ь — а| для любых а, b € К. Однако а не
является транзитивным,, так как 1<т2, 2<тЗ, но 1 03. [>
§ 1. Бинарные отношения и алгебраические операции 165
В задачах 4.1 и 4.2 выписать все элементы декартова произве-
дения указанных множеств.
4.1.	Мх = {-1, 2}, М2 = {а, 6, с}.
4.2.	Mi = {1, 3}, М2 = {5, 6, 7}, М3 = {а].
В задачах 4.3-4.9 определить, какими из основных свойств (ре-
флексивность, транзитивность, симметричность, антисимметрич-
ность) обладают отношения сгг, заданные на множестве натураль-
ных чисел:
4.3.	main, если m и п не имеют общих простых делителей.
4.4.	тпа2п, если т делится на п2.
4.5.	та3п, если т2 = п.
4.6.	та^п, если т < п.
4.7.	та3п, если т п.
4.8.	та^п, если т—п = к, где к — фиксированное целое число.
4.9.	та?п, если т — п делится на к (к — фиксированное целое
число).
Если множество А конечно, т.е. А = {aj, ..., ап}, то каждому би-
нарному отношению а С А х А можно сопоставить матрицу размера
п х п, называемую матрицей отношения, в которой на пересечении г-й
строки и j-ro столбца стоит 1, если (а^, aj) € а, и 0 в противном случае.
4.10.	Пусть А — конечное множество, а С А х А — бинарное
отношение на А. Что собой представляет матрица отношения а в
случае, если оно:
а) рефлексивно; б) симметрично; в) антисимметрично?
4.11*	. Доказать независимость друг от друга свойств бинарного
отношения: «быть рефлексивным», «быть симметричным», «быть
транзитивным».
2.	Виды бинарных отношений. Бинарное отношение называется от-
ношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и
транзитивно.
Пусть а — отношение эквивалентности на множестве А. Для каж-
дого a G А определим класс эквивалентности К (а) элемента а, по-
лагая К(а) = {ж G А | (х, а) € а}. Фактор-множеством множества
А по отношению эквивалентности а (обозначается: A fa} называется
множество всех классов эквивалентности Аа’. А/а — {Аа | a G 1} (I —
некоторое множество индексов). Выберем в каждом классе эквивалент-
ности Аа по одному элементу аа. Множество {аа | а € 1} называется
множеств ом представителей классов эквивалентности, а сами эле-
менты аа — представителями классов. В качестве представителя класса
может быть выбран любой его элемент.
Пример 3. Пусть А — множество всех прямых на плоскости. На
А введено отношение а такое, что aab, если а||Ь (считается, что а||а для
любой a G А). Доказать, что а — отношение эквивалентности. Найти
166
Гл. 4. Элементы общей алгебры
фактор-множество А/а и какое-либо множество представителей классов
эквивалентности.
•О Отношение о является рефлексивным, симметричным и транзитив-
ным (проверяется непосредственно). Следовательно, а является отно-
шением эквивалентности. Зафиксируем на плоскости какую-либо точку
О. Каждая прямая а, проходящая через точку О, задает класс эквива-
лентности, в который входят все прямые, параллельные а. Эти классы
образуют А/а. Множество прямых, проходящих через точку О, является
множеством представителей классов эквивалентности. [>
Бинарное отношение называется отношением порядка (или отно-
шением частичного порядка), если оно рефлексивно, транзитивно и
антисимметрично.
Бинарное отношение а дихотомично, если для любых a, b G А
(a, b) Е а или (&, а) Е а. Дихотомичное отношение частичного порядка
называется отношением линейного порядка.
Множество, на котором задано отношение частичного (или линей-
ного) порядка, называется частично (или линейно) упорядоченным.
Если множество А частично упорядочено отношением то полагаем
а < Ь, если а Ь и а / Ь. Кроме того, а b & b а, а > b b < а.
Максимальный элемент частично упорядоченного множества Р —
такой элемент z, что для любого х Е Р из х z следует х = z\ мини-
мальный элемент — такой элемент и, что для любого х Е Р из х и
следует х = щ наибольший элемент — такой элемент р, что х р для
любого х Е Р; наименьший элемент — такой элемент q, что х q для
любого х Е Р-
4.12.	Какие из отношений ai задач 4.3-4.9 являются отноше-
ниями эквивалентности, а какие отношениями порядка?
В задачах 4.13-4.16 бинарные отношения заданы на множе-
стве всех бесконечных последовательностей натуральных чисел.
Какие из них являются отношениями порядка? Какие являются
отношениями эквивалентности?
4.13.	(ai,	• • -)^i(bi, Ь?,	...),	если	Vi G N	щ	<	Ьг:
4.14.	(ai,	а2,	• • -J^tbi, 62,	• • -),	если	3n: V /с	>	п	=	bk\
4.15.	(ai,	a2,	• • -)<7з(bi, 62,	• • •),	если	3n: Vk	>	n	а±	<	b^;
4.16.	(ai,	a2,	.. .)cr4(bi, &2S	• ••),	если	либо \/k	a* = bk, либо
3n: \/k 7^ n ak bk-
4.17.	Пусть n — натуральное число. Введем на множестве Z
отношение а, считая, что aab, если а — b делится на п Е N без
остатка. Найти фактор-множество Z/cr и какое-либо множество
представителей классов эквивалентности.
4.18*	*. Доказать, что всякое отношение эквивалентности а на
множестве А определяет разбиение множества А на непересека-
ющие ся подмножества. Наоборот, всякое разбиение множества
А есть разбиение на классы некоторого отношения эквивалент-
ности а.
§ 1. Бинарные отношения и алгебраические операции
167
Пусть сг, т С А х А — бинарные отношения. Включение т С a
означает, что все пары, принадлежащие т, принадлежат и а.
4.19.	Рассмотрим множество всевозможных бинарных отноше-
ний на множестве А х А, частично упорядоченное по включению
С. Ответьте на поставленные вопросы. В пунктах д) и е) огра-
ничьтесь случаем конечного множества.
а)	Какое бинарное отношение является наибольшим?
б)	Какое бинарное отношение является наименьшим?
в)	Какое отношение эквивалентности является наибольшим
(наименьшим)? Каковы разбиения на классы наибольшего (наи-
меньшего) отношений эквивалентности?
г)	Существует ли наименьшее отношение порядка?
д)	Существует ли наибольшее отношение порядка?
е)	Существует ли максимальное отношение порядка?
4.20.	Отношение а на множестве действительных чисел опре-
деляется правилом: (ж, у) G а х — у G Z. Доказать, что сг — от-
ношение эквивалентности. Что представляют собой классы экви-
валентности этого отношения?
4.21.	Пусть М — множество всех функций, определенных на
отрезке [а; Ь]. Отношения сг и т определяются следующим обра-
зом: fag, если f(a) ~ д(а); fry, если для всех х е [а;, &] f(x) <
д(х). Доказать, что сг — отношение эквивалентности, ат —
отношение порядка.
4.22.	Доказать, что в частично упорядоченном множестве наи-
больший элемент является максимальным. Привести пример ча-
стично упорядоченного множества, в котором максимальный эле-
мент не является наибольшим.
4.23.	На множестве N\ {1} введем отношение R: aRb, если b
делится на а без остатка. Доказать, что R — частичный порядок.
Есть ли в данном множестве наибольший, наименьший элемент?
Есть ли в нем максимальные и минимальные элементы (относи-
тельно Я)?
Графической интерпретацией на плоскости отношения сг, заданного
на конечном множестве А = {ai, а?, ..., an} (иначе графом отношения)
называется диаграмма, в которой элементы а±, а,2, ..., ап изображаются
точками, обозначаемых теми же буквами, что и элементы множества А,
при этом направленная стрелка из а; в aj изображается, если (а^, af) G сг.
Например, отношение сг = {(1, 2), (2, 3), (1, 4), (3, 3)} на множестве
А = {1, 2, 3, 4, 5} изображается следующим графом (см. рис. 35).
Если отношение сг симметрично, то вместо двух направленных ребер
(а, 6^ и (6, а) обычно рисуют одно (а, &) без направления.
При изображении графа отношения порядка, заданного на множестве
X, при х < у точку х располагают ниже точки у. Если имеются линии от
168
Гл. 4. Элементы общей алгебры
х к у и от у к г, то линию, соединяющую х и z, не рисуют. Аналогично
поступают и для более длинных цепочек элементов.
Рис. 35
Пример 4. Построить граф отношения включения С на множестве
всех подмножеств множества {о, &, с}.
<3 Множество всех подмножеств множества {о, Ь, с} содержит восемь эле-
ментов: 0, {а}, {&}, {с}, {а, 6}, {о, с}, {Ь, с}, {о, Ь, с}. В соответствии с
замечанием 2 в цепочках включений не изображаем лишние ребра. Так,
0 С {&} С {a, b} С {а, Ь, с}, но линии от 0 к {а, Ь} и {а, &, с} опускаем.
Полученный граф отношения изображен на рис. 36. О
4.24.	Пусть А = {1, 2, ..10}, R — отношение делимости на
множестве А, введенное в задаче 4.23. Построить граф этого отно-
шения. Найти максимальные и минимальные элементы А (отно-
сительно R).
4.25.	Пусть А = {3, 4, ..., 10}. Введем отношение ст, считая,
что для а, b 6 A aab, если существует некоторое с G А такое, что
а и Ъ делятся на с без остатка. Построить граф этого отношения.
4.26*	. Доказать, что всякий частичный порядок т на конечном
множестве может быть продолжен до линейного (т. е. существует
такой линейный порядок т', что т С т').	?
Пусть множество А = Ai х ... х Ап, причем на каждом из множеств
Ai, ..., Ап заданы отношения частичного порядка. На множестве А
можно определить отношения порядка и^:
a)	(ai, ..., ап) (а[, ..., а^), если Vi щ а<;
б)	(ai, ..., ап) (a'i, ..., а'п), если либо ai = а{, ..., a^-i = а^_1?
щ для некоторого i, либо ai = а\ для всех i.
Порядок Ч на множестве А называется лексикографическим (по та-
кому принципу упорядочены слова в словаре).
4.27.	Доказать, что отношение на множестве А = Ai х... хАп
является отношением частичного порядка.
4.28.	Доказать, что отношение на множестве А = Ai х... х Ап
является отношением частичного порядка.
§ 1. Бинарные отношения и алгебраические операции*169
4.29.	Доказать, что если все Д линейно упорядочены, то А
относительно отношения также линейно упорядочено.
4.30.	Построить графы отношений из задач 4.27 и 4.28 для
множества х Д, где Д = {а, 6, с | a < b < с}, Д = {и, v | и <
<»}•
3.	Операции над бинарными отношениями. Пусть ст, т С А х А —
бинарные отношения. Так как бинарные отношения являются подмно-
жествами множества А х А, то можно брать их пересечение ст Г) г, объ-
единение ст U г и разность <т\т.
Обратным отношением к бинарному отношению <т на множестве А
называется отношение <т-1 = {(?/, ж) | (ж, у) Е <т).
Противоположным отношением к бинарному отношению <т на мно-
жестве А называется отношение = (А х А)\<т. Очевидно, (a, b) G о <=>
О (о, &) о.
Произведением бинарных отношений а и г называется отношение
о-т = {(ж, у) |3д: (ж, г) € <т, (г, у) Е г}.
Обозначим через Д отношение равенства на А, т.е. Д = {(а, а) | а Е
еА}.
4.31.	Доказать следующие свойства операций над бинарными
отношениями:
а) = UC/9^); б) (Пра)сг С П(расг).
'а ' а	' а ' а
4.32.	Выразить с помощью операций сгт, ст-1 и отношения
С следующие свойства бинарных отношений: а) рефлексивность;
б) симметричность; в) транзитивность; г) антисимметричность.
Пример 5. Выяснить, является ли транзитивным отношение, ко-
торое одновременно симметрично и антисимметрично.
<	3 Пусть <т — симметричное и антисимметричное отношение. Симме-
тричность отношения а равносильна условию <т-1 = <т, а антисимме-
тричность — условию <т Г) сг-1 С Д. Из этих двух условий следует, что
<т С Д. Наконец, <т2 = <т<т С Д<т = <т, поэтому а транзитивно. О
Пример 6. Найти какое-нибудь транзитивное отношение <т такое,
что о2 С а (т. е. о2 С а и а2 / <т).
<	3 Надо найти элементы а, b такие, что (a, b) Е <т, но не существует такого
ж, для которого (а, ж), (ж, b) Е а. Примером может служить отношение
< на множестве целых чисел. Оно транзитивно и для него (3, 4) € ст, но
(3, 4) £ о2. О
Обозначим через Q универсальное отношение на множестве A: Q =
= А х А.
Пример 7. Пусть Д — отношение равенства на множестве А, а <т —
произвольное отношение. Чему равны произведения До, сгД, QcrQ?
<	3 Заметим, что (a, b) Е Act <=> Зж (а, х) 6 Д, (ж, b) Е о- а = ж,
(ж, b) Е а <=> (а, 6) Е <т. Значит, Дет — <т. Аналогично доказывается,
170 Гл. 4. Элементы общей алгебры
QctQ =
что сгД = <т. Нетрудно видеть, что если в о есть хотя бы один элемент
(а, &), то отношение QctQ содержит все пары (ж, у), где х, у & А. Таким
образом,
Q, если ст 7^ 0,
t>
0, если о~0.
Пример 8. Доказать, что если сг-1 С сг, то сг-1 = сг.
<3 Так как сг-1 С сг, то (ст-1)-1 С сг-1, т.е. о С сг-1. Следовательно,
сг-1 = о. t>
4.33.	а) Будет ли пересечение отношений эквивалентности также
являться отношением эквивалентности?
б)	Будет ли объединение отношений эквивалентности также
являться отношением эквивалентности?
в)	Будет ли пересечение отношений порядка также являться
отношением порядка?
г)	Будет ли объединение отношений порядка также являться
отношением порядка?
д)	Будет ли произведение двух отношений эквивалентности
также являться отношением эквивалентности?
е)	Будет ли произведение двух отношений порядка также яв-
ляться отношением порядка?
Транзитивным замыканием о1 бинарного отношения сг на множе-
стве А называется наименьшее транзитивное отношение, содержащее сг.
4.34.	Доказать следующие свойства транзитивного замыкания:
а) а* — пересечение всех транзитивных отношений, содержа-
щих сг;
б)	? = (7U<72U(73U...;
в)	(a, b) Е а <=> 3ci, ..., cn G Л, что (а, ci) G сг, (cn, b) G ст и
(q, Сг+1) е сг При i = 1, . . ., П - 1.
В задачах 4.35-4.37 доказать, что для любых отношений р, сг,
т на одном и том же множестве справедливы указанные равенства
либо включения.
4.35*	*. (рсг)т = р(стт). 4.36. (per)-1 = сг-1р-1.
4.37*	. p(crUr) — pcrUpr, р(сгГ1т) С рсгПрт. Привести пример
отношений, для которых р(сг А г) ра П рт.
Пример 9. Пусть о — отношение на множестве R, определенное
условием aab <=> |а — &| = 1. Что из себя представляет транзитивное
замыкание отношения ст?
<3 Условие (a, b) G о1 равносильно существованию элементов xi, Х2, ...
..., хп таких, что |а-Ж1| = |xi —тг! = •. • — |жп — b\ = 1. Таким образом,
(а, 6) € о1 в том и только том случае, когда а — b G Z. t>
§ 1. Бинарные отношения и алгебраические операции 171
4.38.	Доказать, что транзитивное замыкание отношения a —
это наименьшее транзитивное отношение, содержащее а в каче-
стве подмножества (или, что то же самое, пересечение всех тран-
зитивных отношений, содержащих ст).
В задачах 4.39 и 4.40 найти транзитивное замыкание задан-
ных отношений:
4.39.	хау, если х = у — 1 (на множестве Z);
4.40.	хау, если у = кх, где к — простое число или 1 (на
множестве N).
4.41.	Доказать следующие равенства для отношений параллель-
ности и перпендикулярности, заданных на множестве всех пря-
мых на плоскости (при этом считается, что любая прямая парал-
лельна самой себе):
Какие из этих равенств остаются справедливыми для прямых в
пространстве?
4.42.	На рис. 37 изображен граф отношения ст. Построить
графы отношений ст-1, ст2, стст'1, ст-1 ст, а1.
4.43.	Какие линии нужно добавить к графу отношения ст, изо-
браженному на рис. 37, чтобы получился: а) граф рефлексив-
ного отношения; б) граф симметричного отноше- q__________г)
ния; в) граф транзитивного отношения?	«\	S
4.44.	Доказать, что для любого отношения а от- jV
ношения ст-1ст и стст-1 — симметричные.	/ X-irf
В задачах 4.45-4.47 а, т, р — отношения экви-
валентности на одном и том же множестве, ст V т Рис- 37
обозначает наименьшее отношение эквивалентности, содержащее
ст и т. Доказать приведенные равенства.
4.45.	ст V т = (a U т)*.	4.46. р А (ст V т) = (р А т) V (р А т).
4.47.	р V (ст А т) = (р V т) А (р V т).
4.48.	Для двух данных отношений эквивалентности ст и т опре-
делить, что собой представляют классы отношений эквивалентно-
сти ст А т, а V т из задачи 4.45.
Два частично упорядоченных множества изоморфны, если между
ними существует взаимно однозначное соответствие, сохраняющее от-
ношения порядка.
4.49.	Перечислить все неизоморфные частично упорядоченные
множества, состоящие из 2 или 3 элементов.
4.50.	Рассмотрим конечное множество из п элементов. Сколько
на этом множестве можно ввести:
а)	различных бинарных отношений;
б)	рефлексивных бинарных отношений;
172
Гл. 4. Элементы общей алгебры
в)	симметричных бинарных отношений;
г)	антисимметричных бинарных отношений;
д)	отношений линейного порядка;
е)	отношений частичного порядка (п = 3);
ж)	отношений эквивалентности (п = 3)?
4. Алгебраические операции и их свойства. Алгебраической опера-
цией на множестве А называется отображение А х А -> А. Если при ото-
бражении элементам a, b G А ставится в соответствие элемент с G А, то с
называется произведением элементов а и Ь. Используется запись с — ab.
Термин «произведение» носит условный характер: он может означать
«сумму», «разность», «результат последовательного выполнения» (пре-
образований) и т.д. Произведение элементов а и b обозначают также
а • &, а * &, а + Ь, а о Ъ, а Г) & и т. д. Множество А, на котором задана
операция *, принято обозначать (А, *).
Операцию на конечном множестве А = {ai, 02, ..., ап} можно за-
дать таблицей Кэли, в которой на переселении строки элемента и
столбца элемента aj стоит элемент = ai * aj:
	ai		Qtj		Un
ai					
					
ai			Uk		
					
Un					
Операция коммутативна, если а * b = b * а для всех а, Ь. Операция
ассоциативна, если (а * &) * с — а * (& * с) для всех а, Ь, с.
Элемент и называется левой единицей, если и * а = а для всех а;
правой единицей, если а * и = а для всех а; левым нулем, если и * а = и
для всех а; правым нулем, если а * и = и для всех а. Единица (или
двусторонняя единица) — элемент, являющийся одновременно правой
и левой единицей. Нуль (или двусторонний нуль) — элемент, являю-
щийся одновременно правым и левым нулем.
Пример 10. На множестве А = {1, 3, 5, 15} задана операция а*Ь —
— НОД (а, 5) (наибольший общий делитель чисел а и Ь). Проверить
коммутативность и ассоциативность этой операции. Составить таблицу
Кэли этой операции. Найти единицы и нули.
<J Таблица Кэли имеет вид:
	1	3	5	15
1	1	1	1	1
3	1	3	1	3
5	1	1	5	5
15	1	3	5	15
§ 1. Бинарные отношения и алгебраические операции 173
Так как НОД (а, 6) = НОД (5, а), то операция * коммутативна. Опера-
ция * ассоциативна, поскольку НОД(НОД(а, &), с) = НОД(а, НОД(&, с)) =
= НОД(а, Ь, с). Так как НОД(15, а) = а и НОД(1, а) = 1 для всех а € А,
то 15 — единица в А, а 1 — нуль в А. Других единиц и нулей нет. О
4.51.	а) Сколько различных алгебраических операций можно
ввести на множестве из п элементов? б) Сколько из них будут
коммутативны?
4.52.	а) Доказать, что если в множестве есть правая и левая
единицы, то они совпадают, и этот элемент является двусторонней
единицей.
б)	Доказать аналогичное утверждение для нулей.
В задачах 4.53 и 4.54 построить таблицы Кэли указанных мно-
жеств с заданными операциями. Найти все левые (правые) еди-
ницы, левые (правые) нули.
4.53.	М = {а, Ь, с, d}, х *у = х для всех х, у £ М.
4.54.	М = {1, 2, 3, 4}, х*у =
(х + у + 1,
\х + у-3,
если х + у
если х + у
^4;
>4.
4.55.	Как по таблице Кэли конечного множества определить,
является ли операция на этом множестве коммутативной?
4.56.	Проверить ассоциативность операции, заданной следую-
щей таблицей Кэли:
Операция на множестве А обратима слева, если уравнение
ха = Ь разрешимо для всех a, b G А; обратима справа, если
уравнение ay = b разрешимо для всех а, b € А. Операция со-
кратима слева, если ах = ау => х = у для всех а, х, у € А;
сократима справа, если ха = уа => х = у для всех а, х, у Е А.
4.57.	Как по таблице Кэли конечного множества определить,
является ли операция на этом множестве:
а) обратимой (слева или справа); б) сократимой (слева или
справа)?
4.58.	Привести пример алгебраической операции:
а)	коммутативной, но неассоциативной;
б)	ассоциативной, но некоммутативной;
в)	ассоциативной, обратимой слева, но необратимой справа;
г)	ассоциативной, сократимой слева, но несократимой справа.
174
Гл. 4. Элементы общей алгебры
В задачах 4.59-4.66 для заданных операций выяснить, будут
ли они ассоциативны, коммутативны; найти все левые (правые)
единицы, нули.
4.59.	a*b = a — b (a, b Ф R).
4.60.	a * b = ab (a, b E R; a, b > 0).
4.61.	a * b = НОД(а, b) (a, b E N).
4.62.	a * b = HOK(a, b) (HOK — наименьшее общее кратное
чисел а и b (a, b E N)).
4.63.	a * b = \/a2 + b2 (a, b E R; a, b 0).
4.64.	(a, b) * (aj, bi) = (aai, ab\ + b) (на множестве R x R).
4.65.	(f*g)(x) =f(g(ж)) (на множестве отображений X —> X).
4.66.	a * b == a + b — ab (a, b E R).
Введем на множестве Zn = {0, 1, ..., n — 1} остатков от деления
целых чисел на п Е N операции сложения и умножения по модулю п.
Для a, b Е Zn выражения a+b (mod п) и a-b (mod п) обозначают остатки
от деления на п чисел а + b и а • b соответственно.
Пример 11. Доказать коммутативность и ассоциативность опера-
ции a + b (mod п) на множестве Zn.
<3 Чтобы различить операции обычного сложения и сложения по модулю
п, будем их в этом примере обозначать + и ф. Очевидно, а ф b = а +
+ b (mod п) для всех a, b Е Zn. Коммутативность операции очевидна.
Проверим ее ассоциативность. Пусть a, b, с Е Zn. Тогда (а ф Ь) ф с =
= (a + b)Sc = (a + b)ic = a + (b + c)=a + (b^cj = aQ(b^c) (modn).
Так как (а ф b) ф с ~ а ф (Ь ф с) (mod п) и оба числа (а ф Ь) ф с, аф(Ьфс)
принадлежат Zn, то (а ф Ь) ф с = а ф (Ь ф с). t>
В задачах 4.67 и 4.68 построить таблицы Кэли множества Z4
с указанными операциями. Найти все левые (правые) единицы,
левые (правые) нули.
4.67.	Операция сложения по модулю 4.
4.68.	Операция умножения по модулю 4.
4.69.	Доказать коммутативность и ассоциативность операции
а • b (modn) на множестве Zn.
Пусть а — элемент множества А с операцией *. Тогда по определению
ап ~ ап~г * а, где п Е N. Элемент а — идемпотент, если а2 = а. Пусть
множество (А, *) имеет нуль 0. Тогда а — нильпотентный элемент,
если ап = 0 при некотором n Е N.
4.70.	Найти все идемпотенты и нильпотентные элементы мно-
жества: а) (Zg, +); б) (Z8, •).
Гомоморфизмом множества (А, *) на множество (В, о) называется
отображение <р: А -+ В, удовлетворяющее условию tp(x *у) = ip(x) о
Vx,y Е А.
§ 1. Бинарные отношения и алгебраические операции 175
Взаимно однозначное отображение <р, являющееся гомоморфизмов^,
называется изоморфизмом. Множества (А, *) и (Б, о) изоморфны, если
существует изоморфизм между ними. В этом случае пишут (А, *) =
= (Б, о) или А = В.
Пример 12. Пусть Р(Х) — множество всех подмножеств множе-
ства X. Доказать, что множества с операциями (Р(Х), U) и (Р(Х), А)
изоморфны.
<] Проверим, что отображением, осуществляющим изоморфизм, явля-
ется взятие дополнения. А именно, пусть с/?(А) = А для А € Р(Х)-
Ясно, что отображение <р: Р(Х) —> Р(Х) взаимно однозначно. Наконец,
<р(АUБ) = АиБ = АпБ = 92(A) Аф(Б), поэтому <р — изоморфизм. t>
Пример 13. Изоморфны ли множества (Z, +) и (Z, *), если опера-
ция * определяется формулой a*b = a + b — 2?
<3 Пусть е — единица в (Z, *). Тогда для всех элементов х этого множе-
ства выполняется равенство е * х = х, или е + х — 2 = х. Таким образом,
е = 2. Это обстоятельство наводит на мысль, что изоморфизм множеств
(Z, +) и (Z, *) получится, если к каждому элементу прибавлять 2. Про-
верим это. Пусть ip: (Z, +) -> (Z, *) таково, что ip(x) = х + 2 для всех
х. Ясно, что <р взаимно однозначно. Кроме того,
<р(х + у) = х + у + 2 = (х + 2) + (у + 2) - 2 = (ж + 2) * (у + 2) = ip(x) * ip(y).
Следовательно, <р — изоморфизм. >
4.71.	Какие множества с заданными операциями из задач 4.53,
4.54, 4.67, 4.68 изоморфны?
4.72.	Пусть М = [а, Ь]. Положим х Л у = min (ж, у), х \/ у'=
= max (х, у). Изоморфны ли (М, Л) и (М, V)?
4.73.	На множестве Z целых чисел введена операция a * b =
= a 4- b + 3. Доказать, что (Z, *) = (Z, +).
4.74.	На множестве R введем операцию х*у = у/х3 + у3. Про-
верить, что (R, *) = (К, +).
4.75.	Изоморфны ли множества (Z, +) и (Z, •)?
Прямым произведением множеств Ai, Аг, ..., Ап с операциями
называется множество Ai х Аг х ... х Ап, в котором операция опреде-
ляется покомпонентно:
(qi , Ог, • • • , Пп) • (О|, (1-21 • • • , ®п) —	' Ог, • • • , оп • оп).
4.76.	Выяснить, при каких условиях на множества (Аг, •) толь-
ко что введенная операция в Ai х Аг х ... х Ап будет: а) комму-
тативной; б) ассоциативной.
4.77.	Какие элементы множества Ai х ... х Ап относительно
введенной выше операции являются: а) (левыми, правыми) еди-
ницами; б) (левыми, правыми) нулями?
176
Гл. 4. Элементы общей алгебры
В задачах 4.78 и 4.79 выяснить, изоморфны ли указанные мно-
жества.
4.78.	(Z2 х Z2, +) и (Z4, +).	4.79. (Z2 х Z2, •) и (Z4, •).
4.80.	Пусть А = {2, 3, 4, 5}, В = {2, 4, 5, 10}. На множест-
вах А, В операции обычного сложения и умножения являются
частичными операциями (т. е. определенными не для любых пар
элементов). Построить таблицы Кэли сложения и умножения на
множествах А и В. Показать, что (А, +) = (В, •).
§ 2. Группы
1.	Полугруппы. Непустое множество S с заданной на нем ассоциатив-
ной операцией называется полугруппой. Непустое подмножество Н С S
называется подполугруппой, если для любых элементов a, b G Н их
произведение ab € Н.
Пример 1. Выяснить, являются ли полугруппами указанные мно-
жества S с заданными на них операциями: a) S = Z, операция — вы-
читание; б) S' — множество матриц А = ||a*j|| (г, j = 1, 2, ..., п), где
aij — неотрицательные целые числа, с операцией матричного умноже-
\ ГТ г >1	х + У
ния; в) S = [а, о] — отрезок числовой прямой, операция: х * у = —-—.
<3 а) В общем случае (а—Ь)—с / а— (Ь—с) (приведите пример), так что
операция вычитания неассоциативна, значит, (Z, —) — не полугруппа.
б)	Непосредственно проверяется, что произведение матриц с неотри-
цательными элементами также является матрицей с неотрицательными
элементами. Кроме того, известно, что произведение матриц ассоциа-
тивно. Поэтому данное множество является полугруппой.
в)	Имеем:
/ ч /1, Л 1/11 А 1	1	1
(x*y)*z = I ~{х + у)] *г = - (2х+2у + г) = 4х + 4У + 22
и
7 Ч 1/	7 Ч\ 1 ( h Л 1	1	1
х * (у * Z) = - (х + (у * Z)) = - I X + -(у + Z) I = -X + -у + -Z.
Таким образом, (х * у) * z 0 х * (у * z). Поэтому (S', *) — не полу<
группа. [>
Пример 2. Пусть No = NU {0} = {0, 1, 2, 3, ...}. Выяснить, явля-
ются ли указанные множества подполугруппами полугруппы (No, +):
а) А = {0, 1}; б) В = {0, 2, 4, 6, ..в) С = No\{0, 1, 2, 5}.
<3 а) Так как 1 € А, но 1 4-1 А, то А не является подполугруппой.
б) Элементы из В имеют вид 2п, где п G Nq. Так как 2m + 2п =
= 2(m 4- n) G В при т, п G No, то В — подполугруппа.
в) Очевидно, С = {3, 4} U {п I п 6}. Докажем, что а + b G С при
a, b G С. Имеем: 3 4- 3 = 6 € С, 3 4- 4 = 7 € С, 4 4- 4 — 8 Е С, а
если хотя бы одно из чисел а, Ь больше или равно 6, то также а 4- b G С.
Следовательно, С — подполугруппа. t>
§2. Группы
177
Пример 3. Доказать, что множество 3 = [а, Ь] (а, HR) с опера-
цией х Л у = min (ж, у) является полугруппой, и найти все ее подполу-
группы.
< Проверим ассоциативность операции. Пусть х, у, z € 3. Тогда
(х Л у) Л z = min ((ж Л у), z) = min (min (ж, у), z) = min (ж, у, z)
и
х Л (у Л z) = min (ж, (у Л z)) = min (ж, min (р, г)) = min (ж, у, г).
Таким образом, (ж Л у) Л z = х Л (у Л z). Следовательно, (S, Л) —
полугруппа.
Докажем теперь, что любое непустое подмножество Т С S является
подполугруппой. Действительно, пусть ж, у ЕТ. Если х у, хо х /\ у =
= ж G Т, а если ж у, то ж Л у = у Е Т. Поэтому ж Л у Е Т для любых
ж, у Е Т. Значит, Т — подполугруппа, о
В задачах 4.81-4.83 выяснить, является ли полугруппой ука-
занное множество.
4.81.	Множество N с операцией а * b — НОД (а, Ь).
4.82.	Множество S = [а, Ь] с операцией х V у = max (ж, у).
4.83.	Множество всех матриц вида , где a, b, с, d Е К и
a, d > 0.
В задачах 4.84 и 4.85 выяснить, являются ли подполугруппами
полугруппы (Z, +) указанные множества.
4.84.	Множество {5, 8, 10} U {п|п 12}.
4.85.	Множество {11, 14} U {22, 24, 26, ...}.
4.86.	В полугруппе S = {1, 2, 3, 6} с операцией = НОК(а, Ь)
найти все подполугруппы, содержащие более двух элементов.
4.87.	Пусть X — произвольное множество, Вх — множество
всех бинарных отношений на X с операцией умножения отноше-
ний. Доказать, что Вх — полугруппа. Найти (левые и правые)
единицы и нули полугруппы Вх.
4.88.	Пусть Тх — множество всех отображений X —> X с опе-
рацией последовательного выполнения. Доказать, что Тх — полу-
группа, найти ее единицы и нули. Является ли Тх подполугруппой
полугруппы Вх?
4.89.	Сколько всего существует неизоморфных полугрупп из
двух элементов (определение изоморфизма множеств с операци-
ями см. в § 1)?
4.90.	Доказать, что пересечение любого множества подполу-
групп, если оно непусто, является подполугруппой.
4.91*	. Доказать, что во всякой конечной полугруппе найдется
идемпотент (т.е. такой элемент е, что е2 = е).
178
Гл. 4. Элементы общей алгебры
2. Группы. Множество G с операцией называется группой, если вы-
полняются условия:
(Г1) (а&)с = a(bc) для всех a, b, с € G',
(Г2) существует нейтральный (единичный) элемент е Е G такой, что
ае = еа = а для всех а 6 G;
(ГЗ) для любого а 6 G существует Ь Е G такое, что ab = Ьа = е.
Элемент b называется обратным к а и обозначается а-1.
Пусть а — элемент группы G. Полагаем а0 = е и = (ап)~г при
п Е N. Число элементов группы называется ее порядком и обозначается
|(7|. Если G — бесконечная группа, то пишем |<7| = оо.
Если операция группы является коммутативной, то группа называ-
ется коммутативной или абелевой.
В задачах 4.92-4.95 проверить, что следующие множества с
заданной на них операцией, являются группами.
4.92.	Множество R (Z, Q, С) с операцией сложения. Оно назы-
вается аддитивной группой действительных (целых, рациональ-
ных, комплексных) чисел.
4.93.	Множество Zn с операцией сложения по модулю п (группа
вычетов).
4.94.	Множество комплексных чисел Un, являющихся корнями
n-й степени из единицы, с обычной операцией умножения ком-
плексных чисел (группа всех корней п-й степени из единицы).
4.95.	Множество всех движений плоскости, переводящих пра-
вильный n-угольник в себя, относительно операции композиции.
Эту группу обозначают Dn (группа диэдра).
4.96.	Доказать, что в любой группе G'.
а)	единичный элемент единственный;
б)	для любого а Е G обратный элемент а"1 единственный;
в)	для любых элементов a, b Е G справедливо равенство
(ab)"1 = Ь~1а~1;
г)	для любого а Е G и любого п Е N выполняется равенство
(а'1)71 = (а71)"1.
4.97*	. Доказать, что если G — группа и а2 = е для любого
а Е G, то G коммутативна.
4.98.	Доказать, что во всякой группе каждое из уравнений ах =
= b, ya = b имеет единственное решение. Написать выражения х
и у через а и Ь.
В задачах 4.99-4.101 а, Ь, с — известные элементы группы,
х — неизвестный элемент. Решить уравнения:
4.99.	axb = с. 4.100.	= 6. 4.101. ах~1Ь = с.
В задачах 4.102 и 4.103 доказать, что полугруппа S является
группой в каждом из следующих случаев.
4.102*	. Уравнения ах — b, ya = b имеют решения для любых
a, b Е S.
§2. Группы
179
4.103.	Уравнение axb = с имеет решение для любых а, &, с € S.
4.104.	Пусть G — группа. Введем на G новую операцию, пола-
гая а * b = Ьа. Доказать, что (G, *) — группа.
4.105.	Проверить, что множество пар (а, 5), где а, b G R и а
0, является группой, если операция задана следующим образом:
а) (а,	6)	*	(а', Ь')	= (аа',	ab' + 6);
б) (а,	6)	*	(а', 6')	= (аа1,	ab1 + Ьа);
в) (а,	Ь)	*	(а', Ь')	= (аа;,	Ъ + Ь').
4.106.	Пусть G —	множество всех троек (а, 6, с), где а, с 6 R,
а 0, с 0. Доказать, что операция (а, 6, с) * (а', Ь', с') =
= (аа1, ab1 + Ьс, се.) превращает G в группу.
4.107. Пусть X — произвольное множество, Р(Х) — множест-
во всех его подмножеств. Доказать, что (Р(Х), А) — группа, где
ААВ = (А\В) U (В\А).
4.108*. Пусть G = (—с, с) — интервал числовой прямой. До-
\	к а + Ь 1Ч
казать, что (G, *) — группа, если а * Ь =----—-г1).
а + аЪ/ст
4.109. Показать, что множество всех дробно-линейных функ-
ах -J- Ь
ций f(x) =-------, где а, 6, с, d G R и ad—be 0, образует группу
сх + d
относительно операции суперпозиции. Является ли эта группа ком-
мутативной?
4.110.	На множестве Н = {1, —1, г, —г, у, —j, fc, — к} (элементы
которого следует рассматривать как формальные символы) вво-
дится операция, при которой элементы 1 и —1 действуют на осталь-
ные обычным образом и, кроме того, г2 = j2 = к2 = — 1, ij = к,
ji = —/г, ki = j, ik = —j, jk = i, kj — —i. Доказать, что
H — группа (она называется группой кватернионов). Построить
таблицу Кэли умножения этой группы.
Прямым (или декартовым) произведением групп Ai,..., Ап назы-
вается множество Ai х ... х Ап = {(си, ..., ап) | ai е Ai, ..., ап € Ап}
с операцией («и, ..an)(bi, ..., bn) = (aibi, ..., апЬп). Если операция в
каждой из групп А» (г — 1, 2, ..., п) — сложение, то говорят о прямой
сумме групп и пишут Ai ф ... ф Ап.
4.111.	Доказать, что если Ai, А2, ..., Ап — группы, то Ai х
х А2 х ... х Ап — также группа.
4.112.	Пусть А и В — множества с операциями, <р: А —> В —
гомоморфизм (определение гомоморфизма множеств с операцией
х) Эта операция представляет собой правило сложения скоростей в специ-
альной теории относительности.
180
Гл. 4. Элементы общей алгебры
см. § 1) Л на В. Доказать, что если А — группа, то В — также
группа.
4.113*	. Доказать, что если <р: G —» G' — гомоморфизм групп,
то <р(е) = е' и = 99(a)-1, где е, е' — единицы групп G, G'
соответственно.
4.114.	Найти все гомоморфизмы группы Z в себя.
4.115.	Пусть G — группаj a — фиксированный элемент G.
Определим другое умножение в G, полагая х * у = хау. Доказать,
что (G, *) a (G, ).
4.116*	. Доказать, что если X — конечное множество из п эле-
ментов, то группа из задачи 4.107 изоморфна Z2 х Z2 х ... х Z2.
п раз
4.117.	Доказать, что:
a)* (R, +) = (R+, •), где —множество всех положительных
действительных чисел;
*	б)* (Q, +)	(Q+, •), где Q+ — множество всех положитель-
ных рациональных чисел;
в)	Gi = G2, где Gi — группа матриц вида	(а, b Е R,
а 0) с операцией умножения матриц, G2 — группа из задачи
4.105а);
г)	Gi = G2, где Gi — группа матриц вида	(а, 5, с Е R,
а, с 0) с операцией умножения матриц, G2 — группа из задачи
4.106.
Непустое подмножество Н группы G называется подгруппой (обо-
значается Н G), если оно само является группой относительно той
же операции. В группе G наименьшая подгруппа — {е}, наибольшая —
G. Эти подгруппы называются тривиальными. Остальные подгруппы
(если они существуют) называются нетривиальными.
4.118.	Доказать, что непустое подмножество Н С G является
подгруппой группы G в том и только том случае, если выполнены
условия: ab € Н и а-1 € Н при всех а, b Е Н.
4.119*	. Доказать, что подмножества вида nZ, где п Е Z, и
только они, являются подгруппами группы Z (здесь nZ = {пк | к Е
ez}).
4.120.	Доказать, что пересечение ГЖ подгрупп На является
а
подгруппой.
4.121.	Может ли группа быть объединением двух своих нетри-
виальных подгрупп?
4.122.	Пусть G — множество всех ненулевых комплексных чи-
сел, А — множество положительных действительных чисел, В —
§2. Группы
181
множество комплексных чисел, по модулю равных 1. Доказать,
что относительно обычного умножения G — группа, А и В — ее
подгруппы, причем G = А х В.
Пусть М — подмножество группы G, тогда символом (М) будем обо-
значать пересечение всех подгрупп, содержащих множество М. Это мно-
жество называют подгруппой, порожденной множеством М: {М) =
= Q Р. Множество (М) состоит в точности из тех элементов, ко-
MCP^G
торые можно записать через элементы из М, используя операции умно-
жения и взятия обратного элемента а-1. Говорят, что М порождает
подгруппу Н, если (М) = Н.
4.123.	В группе Z12 с операцией сложения по модулю 12 найти
указанную подгруппу: а) (3); б) (4, 9).
Группа G называется циклической, если существует элемент а 6 G
такой, что (а) = G. При этом а называется образующим элементом
группы G.
Пример 4. Выяснить, какие элементы являются образующими эле-
ментами группы Zn.
О Пусть а € Zn. Докажем, что элемент а является образующим элемен-
том группы Zn в том и только том случае, если а взаимно просто с п.
Предположим вначале, что а и п взаимно просты. Тогда ах + пу ~ 1
при некоторых х, у G Z2). Можно считать, что х > 0. Так как п ~ 0
в группе Zn, то в этой группе а + а + ... + о = 1. Таким образом, скла-
х раз
дывая элемент а с самим собой несколько раз, можно получить элемент
1. Отсюда следует, что из а можно получить любой элемент группы Zn.
Следовательно, а — образующий элемент. Теперь предположим, что а
и п не являются взаимно простыми. Пусть d > 1 — их наибольший
общий делитель. Построим последовательность элементов группы Zn,
складывая элемент а с самим собой по модулю п: а, а + а, а + а 4- а, ...
Если а — образующий элемент, то построенная последовательность со-
держит все элементы группы Zn. Поэтому ka = 1 (mod п) при некотором
к. Отсюда следует, что ka + tn = 1 при некотором t G Z. Однако это
невозможно, так как ka + tn делится на d. [>
В задачах 4.124-4.127 определить, какие элементы являются
образующими в указанной группе.
4.124.	Zio- 4.125. Zi2. 4.126. Zi4. 4.127. Zi8.
4.128.	Доказать, что Un — циклическая группа, и найти ее
какой-нибудь образующий элемент (см. задачу 4.94).
4.129.	Доказать, что всякая циклическая группа изоморфна
либо группе Z, либо Zn при некотором n G N.
4.130.	Доказать изоморфизм групп Zn и Un.
2)	Теорема в теории чисел. Если d — НОД(а, 6), то существуют такие х, у 6
6 Z, что ах + by = d.
182
Гл. 4. Элементы общей алгебры
2itki
Пусть Ck = exp (----I — элемент группы Un к = О, 1, ..., п — 1
\ п /
(проверьте!). Назовем (k примитивным (или первообразным) корнем
п-й степени из единицы, если 1 при m = 1, 2, ..., п — 1.
Пример 5. Доказать, что произведение примитивных корней 3-й и
4-й степени из 1 является примитивным корнем 12-й степени из 1.
<3 Пусть а — примитивный корень 3-й, а /3 — примитивный корень 4-й
степени из 1. Если (а/3)к = 1 для некоторого к 6 N, то (а/3)зк = 1, и
ввиду того, что а3 = 1, получаем (Ззк — 1. Следовательно, 41 ЗА:, а значит,
41 к. Аналогично доказывается, что 31 к. Следовательно, к делится на
12. Эти рассуждения показывают, что (а/З)1 7^ 1 при 0 < t < 12, т.е.
а/3 — примитивный корень 12-й степени из 1. 1>
4.131.	Найти все образующие элементы группы U\2-
4.132.	В каком случае произведение примитивных корней
m-й и n-й степени из 1 является примитивным корнем mn-й сте-
пени из 1?
4.133.	Доказать, что всякая подгруппа циклической группы
является циклической.
Пусть G — группа с единицей е и a G G. Порядок о(а) элемента а —
это наименьшее натуральное п (если оно существует), для которого ап = е.
Если ап е при всех п, то говорят, что а — элемент бесконечного
порядка, и пишут о(а) = оо.
Порядок элемента обладает следующими свойствами:
а)	о(а) — делитель |(7|, если |(7] < оо;
б)	o(g~1ag) = о(а);
в)	о(а-1) = о(а);
г)	о(а) = |<а)|;
д)	o(ba) = o(ab);
е)	если о(а) = т и d\ т, то o(arf) = —;
а
ж)	если НОД (А:, о(а)) = 1, то (ак) = (а) и о(ак) = о(а);
з)	если о(а) = т и ак = е, то т | к\
и)	порядок элемента а = (ai, ..., ап) группы А = Ai х ... х Ап равен
наименьшему общему кратному чисел о(аг), т.е.
о(а) = HOK(o(ai), ..., о(ап)).
Пример 6. Найти порядки каждого из элементов группы Zg.
<3 Ze = {О, 1, 2, 3, 4, 5}. Порядком элемента а этой группы будет являться
наименьшее натуральное число т такое, что та — 0. Очевидно, элемент
0 имеет порядок 1, т. в. о(0) = 1. Далее, наименьшее число т, для ко-
торого т • 1 = 0, равно 6, поэтому о(1) = 6. Рассуждая аналогично,
получим: о(2) = 3, о(3) = 2, о(4) = 3, о(5) = 6. О
4.134.	Доказать свойства а)-и) порядка элемента.
4.135.	Доказать, что группа G порядка п является циклической
в том и только в том случае, если в ней есть элемент порядка п.
§ 2. Группы
183
4.136*	. Чему ррвны порядки элементов в группе R\{0} с опе-
рацией обычного умножения?
4.137*	. Пусть а и Ь — два элемента конечного порядка группы
G, причем аЬ = Ьа и НОД(о(а), o(b)) = 1. Найти o(ab).
4.138.	Пусть а и b — элементы группы G, причем аЬ = Ьа,
о(а) = 4 и о(6) = 10. Найти o(ab).
В задачах 4.139-4.141 найти все элементы указанного порядка:
4.139.	Порядка 8 в группе Z4g.
4.140.	Порядка 8 в группе С\{0} с операцией умножения.
4.141.	Порядка 10 в группе С\{0} с операцией умножения.
4.142.	Доказать, что в группе Zn количество элементов порядка
п равно (р(п)3).
В задачах 4.143-4.145 в группе С\{0} с операцией умножения
найти количество элементов указанного порядка.
4.143*	. Порядка 28. 4.144. Порядка 60. 4.145. Порядка 100.
В задачах 4.146-4.148 найти порядки каждого из элементов
указанных групп.
4.146.	Zio. 4.147. Z2 х Z2.
4.148.	Группа кватернионов (см. задачу 4.110).
4.149.	Чему равен порядок элемента а в группе Zn? (Ответ дать
в виде формулы, содержащей а и п.)
В задачах 4.150-4.153 найти количество элементов порядка т
в группе G.
4.150.	т — 6, G = Z2 х Z4 х Z3.
4.151.	т = 10, G = Z4 х Z4 х Z25.
4.152.	т = ра, G = Zp/3 (р — простое число, Q, Е N).
4.153.	G = Zn.
4.154*	. Доказать, что если Н0Д(т, n) = 1, то Zmn = Zm х Z„.
4.155.	Доказать, что если G — группа, a, b G G, аЬ = Ьа и
(а) А (Ь) = {е}, то о(аб) = НОК(о(а), о(6)).
4.156*	. Доказать, что в группе порядка п уравнение хт = а
разрешимо для любого а и любого целого т, взаимно простого с п.
3. Группы подстановок. Пусть 7г — подстановка, т. е. взаимно одно-
значное отображение множества {1, 2, ..., п] на себя (определение см.
гл. 2, § 1, п. 2). Произведением (композицией) ira подстановок тг и сг на-
зывается результат последовательного выполнения сначала отображения
тг, а потом <т4). Обратная подстановка тг-1 получается из тг переме-
ной строк. Совокупность всех подстановок множества {1, 2, ..., п] с опе-
рацией композиции отображений образует симметрическую группу п-й
3) Здесь <р(п) — функция Эйлера (количество натуральных чисел, меньших
п и взаимно простых с п).
4) Иногда произведением тга называют результат последовательного выпол-
нения сначала сг, потом тг.
184
Гл. 4. Элементы общей алгебры
степени Sn. Нетрудно видеть, что тождественное отображение множе-
ства {1, 2, ..п} на себя является единицей в группе Sn- Всякая подста-
новка группы Sn может быть записана в каноническом, виде
/1 2 ... п\
я = I .	i 1, т. е. с натуральным расположением чисел в верх-
ней строке.
Подстановка, в которой некоторые символы ai, а2, • ♦	€ {1, 2, ...
..., п} последовательно отображаются друг в друга, т.е. «1 —> а2 —>
—>... —> —> «1, а остальные символы при этом остаются на своих ме-
стах, называется циклом (длины к) и коротко записывается следующим
образом: (аца2.. .а*) (запись цикла можно начинать с любого оц (i =
— 1, 2, ..., к)). Всякая подстановка а может быть записана в виде произ-
ведения непересекающихся циклов, т.е. а = (ац, ..., ац)(/?1, ..., $). • •
. ..(о>1, ..., wq), где множества {ai, ...,	{/31,...,$},..., {иц,..., uq }
попарно не пересекаются.
Цикл длины 2 называется транспозицией. Всякую подстановку мож-
но представить в виде произведения транспозиций. Если подстановка за-
писана в виде произведения непересекающихся циклов, то для предста-
вления ее в виде произведения транспозиций каждый из циклов нужно
разложить в произведение транспозиций (например, (аца2.. .оц) =
= (aia*;)(a*!a*;_i)(a*;_ia*;_2).. .(a3a2)(a2ai)). Такое разложение не
единственно.
Пример 7. Представить подстановку
/1	2	3	4	5	6	7	8\
^6	5	8	1	2	4	7	3;
в виде произведения непересекающихся циклов и в виде произведения
транспозиций.
<3 Подстановка а действует на элементы множества {1, 2, ..., 8} следу-
ющим образом: 1 —> 6 —> 4 —> 1, 2 —> 5 -> 2, 3 —> 8 —> 3, 7 —> 7,
поэтому в виде произведения циклов подстановка представляется следу-
ющим образом: тг = (164)(25) (38), а в виде произведения транспозиций:
7г = (14) (46) (25) (38). О
Пример 8. Пусть а = (163)(25)(48), /3 = (142)(85). Вычислить а/3.
О Рассмотрим, как действует подстановка а/3 = (163)(25)(48) • (142)(85)
на элементы {1, 2, ..., 8}. Для этого, взяв элемент а € {1, 2, ..., 8},
найдем его образ аа под действием а, а далее для аа найдем его образ
аа/з под действием /3 (а аа аа/з\ т.е. а -А аар. Начнем
с 1: 1	6 А 6, 6	3	3, 3	1	4, 4	8 А 5,
5 -^4 2 А 1. Получили, что подстановка а/3 содержит цикл (16345).
Далее получаем, что подстановка а/3 содержит цикл (2 8), так как 2 -^4
-^4 5 -А 8, 8 -^4 4 А’ 2. И, наконец, 7 -^4 7 -А 7. Следовательно,
а/3 = (163)(25)(48) • (142)(85) = (16345) (28). О
§2. Группы
185
Пример 9. Решить уравнение: (135)(26) • я? • (23675) = (12).
<1 Подстановки а = (135)(26), х, /3 — (23675) и 7 = (12) являются эле-
ментами группы Sn (п > 7). Решение уравнения ах(3 = 7 в группе (см.
задачу 4.99) находится по формуле х = а-17/3-1. Следовательно, х =
= ((135)(26))"1-(12)-(23675)"1 = (153)-(26)-(12)-(57632) = (176)(235). >
Пример 10. Найти порядок каждого из элементов группы S&.
<3 Все 120 элементов группы S$ имеют один из следующих видов: е
(тождественная подстановка), (а&) (цикл длины 2), (abc) (цикл длины
3), (abed) (цикл длины 4), (abedf) (цикл длины 5), а также (ab)(cd) и
(abc)(df), где a, b, с, d, f G {1, 2, 3, 4, 5}. Порядок элемента группы под-
становок, представленного в виде произведения непересекающихся ци-
клов, равен наименьшему общему кратному длин этих циклов (докажите
самостоятельно!). Следовательно, порядки элементов группы S$ равны:
1, 2, 3, 4, 5, 2, 6. >
4.157.	Найти обратные подстановки к заданным:
/1	2	3	4	5	6\	/1	2	3 4	5	6\
а'\5	4	1	2	3	в)	’ бЦ2	4	3 5	6	1/
4.158.	Пусть
_ /1	2	3	4 5\	/1	2 3 4 5\
а~ ^3	5	1	4 2;’	^-\1	5423;’
Найти: а) а/?; б) в) г) а-1/?; д) а3; е) а~2(33; ж) /?~125.
4.159.	Представить следующие подстановки в виде произведе-
ния непересекающихся циклов:
/1	2	3	4	5	6 7\	/1	2	3	4	5	6	7\
а' \5	4	1	7	3	6 2J ’	б' ^3	1	6	7	5	2	4J ’
/1	2	3	4	5	6	7\
у 4	3	6	7	1	5	2)	‘
4.160.	Записать в каноническом виде следующие подстановки,
заданные как произведение циклов: а) (135)(2467); б) (147)(2356);
в) (123)(46).
4.161.	Найти произведение подстановок, записанных в виде
произведения циклов:
а) (135)(2467) • (147)(2356); б) (13)(57)(246) • (135)(24)(67).
4.162.	Найти порядок каждой из следующих подстановок, пред-
ставив ее в виде произведения непересекающихся циклов:
* /1	2	3	4	5 6\	/1	2	3 4	5	6	7	8\
^2	1	3	5	4 6) ’	б' у8	6	1 3	2	5	7	4у ’
/1 2	3	4 5	6	7\
в'	\^3 2	1	5 4	6	1) ’
186
Гл. 4. Элементы общей алгебры
4.163.	Представить следующие подстановки в виде произведе-
ния транспозиций:
/1 2 3 4 5 6 7\	/1 2 3 4 5 6 7 8\
а^5	6 1 4 3 7 2/ ’ б' ^8 6 5 4 3 1 2 7) ’
4.164. Выписать все элементы группы S3, выразив их через
элементы
_ /1	2	3\	/1	2	3\
a ~ ^2	3	1)	И 6 “ у2	1	3/	*
Найти порядок каждого из элементов S3. Составить таблицу Кэли
умножения элементов этой группы.
4.165.	Выяснить, какие порядки могут быть у элементов группы
$4, и сколько в Si имеется элементов заданного порядка.
4.166.	Найти порядок указанного элемента в группе Sn:
ч /1 2 3 4 5\	„	/1 2 3 4 5\
а) \2 3 1 5 4у ’ п “5; б) у 5 2 1 3 4J 1 п ~~5;
. /1	2	3	4	5	6\
в) \2	3	4	5	1	6J	’ п ~6’
4.167.	Как меняется четность (определение см. хл. 2, § 1, п. 2)
подстановки при умножении ее на транспозицию?
4.168.	Доказать, что четные подстановки образуют подгруппу
Ап группы Sn- Чему равен порядок этой группы? Выписать все
элементы группы А4.
Гомоморфизм, отображающий группу на ее образ взаимно однозначно,
называется изоморфным вложением.
4.169*	. Доказать, что каждая конечная группа изоморфно вкла-
дывается в группу подстановок.
В задачах 4.171-4.173 изоморфно вложить данную группу в
указанную группу подстановок.
4.170.	(Z3, 4-) в S3.	4.171. (Zr2 х Z2, +) в S4.
4.172.	Группу кватернионов в Sg.
4.173*	. Доказать, что группа подстановок Sn изоморфно вкла-
дывается в группу невырожденных nxn-матриц. Вывести отсюда,
что всякая группа порядка п вкладывается в группу невырожден-
ных п х п-матриц.
Движением плоскости называется отображение </?: R2 —> R2, сохра-
няющее расстояние между любыми двумя точками, т.е. M'N' — MN
для любых М, N Е R2, где М' = N' = <p(N). Если (х, у) —>
-> (х1, у'), то движение может быть записано в виде
{х1 = ах + by + р,	(х'\	t (х\	(р\
у' = сх + dy + q	\у 7 \yj	\qj
§ 2. Группы
187
где А —	Матрица А ортогональная (т.е. Ат = А г). Движение
<р называется движением 1-го рода, если det А = 1, и движением 2-го
рода, если det А = — 1 (других значений det А принимать не может).
Примерами движений 1-го рода служат параллельный перенос:
х' = х + р,
у' = y + q
и поворот вокруг начала координат на угол а:
х' = х cos а — у sin а,
у' = х sin а + у cos а.
Поворот на угол а вокруг точки (я?о, уо) задается формулами
х' = (х - £о) cos а - (р - ?/о) sin а + xq,
у' = (х - х0) sin а + (р - ро) cos а + р0.
К движениям 1-го рода относится, в частности, симметрия относительно
прямой.
Для движений плоскости имеют место утверждения:
1)	всякое движение 1-го рода является произведением параллельного
переноса и поворота вокруг наперед заданной точки;
2)	всякое движение 1-го рода является либо параллельным перено-
сом, либо поворотом вокруг некоторой точки (теорема Шаля)',
3)	всякое движение 1-го рода является произведением двух симме-
трий (относительно прямых), а движение 2-го рода — произведением
трех симметрий;
4)	всякое движение 2-го рода может быть представлено в виде про-
изведения симметрии относительно некоторой прямой и параллельного
переноса вдоль этой прямой;
5)	для любых точек А, В, А1, В' G R2 таких, что АВ = А'В',
существуют ровно два движения плоскости, переводящие А в А', а В
в В'; одно из них 1-го, а другое 2-го рода.
Аналогичным образом определяются движения трехмерного (<р: R3 —>
-> R3) и n-мерного (<p: Rn -> Rn) пространства.
Пусть Ф — фигура на плоскости или в пространстве. Группой дви-
жений (или группой самосовмещений) <7(Ф) фигуры Ф называется мно-
жество всех движений <р, под действием которых фигура Ф взаимно од-
нозначно отображается на себя, т.е. </з(Ф) = Ф.
В задачах 4.175-4.178 описать группу движений С?(Ф) фигуры
Ф, представить группу С?(Ф) подстановками.
4.174*	*. Ф — правильный треугольник.
4.175.	Ф — квадрат.
4.176.	Ф — ромб, не являющийся квадратом.
188
Гл. 4. Элементы общей алгебры
4.177.	Ф — правильный п-угольник (группа G(Ф) в этом случае
называется группой диэдра и обозначается Dn).
В задачах 4.175 и 4.180 найти порядок группы движений фи-
гуры.
4.178.	Фигура — куб.
4.179.	Фигура — правильный тетраэдр.
4.180.	Доказать, что множество всех само совмещений куба,
оставляющих неподвижной некоторую фиксированную вершину
куба, есть группа. Описать эту группу.
4.181*	*. Пусть G — группа движений плоскости. Какие эле-
менты группы G имеют конечный порядок?
4.	Фактор-группа. Пусть G — группа, Н — ее подгруппа. Для a G G
определяются На = {ha | h € Н} — правый смежный класс и аН =
= {ahi h G Н} — левый смежный класс группы G по подгруппе Н.
Если G представлена в виде объединения попарно непересекающихся
своих правых классов по Н:
G = (J
аЕ1
то такое разбиение называется правым разложением группы G по под-
группе Н. Множество {ga | а G 1} называется множеством предста-
вителей смежных классов по Н. Аналогично определяется левое раз-
ложение группы G по подгруппе Н. Число смежных классов в каждом
из разложений G по Н называется индексом подгруппы Н в группе G.
Пример 11. Построить разложение группы S3 по подгруппе Н =
= {е, (12)}.
<1 S3 = {е, а, а2, /3, а/3, a2fi}, где а = (123), /3 = (12). Нетрудно про-
верить, что fia = a2fi. Построим правое и левое разложения группы S3
по подгруппе Н.
Правые смежные классы группы G: Не = Н, На = {е, fi} • а =
= {a, fia} = {а, а2/3}, На2 = {е, fi} • а2 — {а2, а/3}‘, правое разложе-
ние: G — Не U На U На2.
Левые смежные классы: еН = Н, аН = а-{е, /3} = {а, а/З}, а2Н =
= а2 • {е, fi} = {a2, a2fi}. Левое разложение: G = еН U аН U а2Н.
Нетрудно заметить, что На £ аН, поэтому правое и левое разложе-
ния не совпадают. >
4.182*	*. Доказать, что любые два смежных класса (правых или
левых) группы G по подгруппе Н либо не пересекаются, либо сов-
падают.
4.183*	(Теорема Лагранжа). Доказать, что порядок и индекс
подгруппы конечной группы являются делителями порядка самой
группы.
4.184.	Доказать, что если G — конечная группа, то |€7| делится
на о(а) для каждого а Е G.
§2. Группы
189
В задачах 4.185-4.187 найти все подгруппы указанных групп.
4.185.	Zio. 4.186. Z2 х Z2. 4.187. Zn.
В задачах 4.188-4.190 определить число подгрупп указанной
группы.
4.188.	Z2 х Z4.	4.189. Zp х Zp (р — простое).
4.190.	Zpn (р — простое).
4.191.	Сколько подгрупп из четырех элементов имеет группа
Z2 х ... х Z2?
п раз
4.192. Доказать, что всякая группа порядка 6 изоморфна либо
Zg, либо S3.
4.193**. Доказать, что если G — группа и |(7| = р — простое
число, то G — циклическая группа (т.е. G = Zp).
4.194*. Доказать, что если G — группа и |(7( = р2 (р — про-
стое), то G = Zp2 или G = Zp х Zp.
4.195. Доказать, что подмножество К группы G является смеж-
ным классом (правым или левым) по некоторой подгруппе в том
и только том случае, если для любых a, b, с Е К ab~* lc Е К.
4.196. Доказать, что пересечение двух левых смежных клас-
сов по подгруппам Hi и В2, если оно непусто, является смежным
классом по подгруппе Hi П В2.
4.197**. Разложить группу Z по подгруппе nZ.
4.198. Найти пересечение смежных классов в группе Z:
а) (2 + 5Z) П (3 + 8Z); б) (5 + 6Z) П (7 + 9Z).
4.199. Пусть G = S3, И = {е, (12)}, И' = {е, (123), (132)}.
Построить разложения группы G (правое и левое) по подгруппам
И и Я'.
4.200*. Пусть А, В — конечные подгруппы группы G, АВ =
= {ab | а Е A, b G В} (АВ — не обязательно подгруппа). Доказать,
ЧТО|ЛВ| = ЩВ|
1	1 |АПВ|
4.201. Доказать, что если Н — подгруппа группы G и д Е G,
то д~1Нд — тоже подгруппа.
4.202. Построить разложения группы Zio в смежные классы по
каждой из ее подгрупп.
4.203. Построить левое разложение группы А4 по подгруппе
{е, (123), (132)}.
Пусть Н и К — подгруппы группы G и д Е G. Двойным смежным
классом НдК называется множество {hgk \h Е В, k Е К].
190
Гл. 4. Элементы общей алгебры
б) {(12), (123), (1234)};
г) {е, (1234), (13)(24), (1432)};
4.204*	. Доказать, что группа G является непересекающимся
объединением двойных смежных классов по подгруппам Н и К 5).
4.205.	В условиях предыдущей задачи доказать, что количе-
ство элементов двойного смежного класса может быть вычислено
по формуле |Я9К| =
4.206*	. В группе S$ выяснить, какие из следующих множеств
являются смежными классами и по каким подгруппам:
а) {(234), (1234)};
в) {(12), (152), (34)};
д) {(12), (13), (14), (15)}.
Подгруппа Н группы G называется нормальной (обозначается:
Н <1 G), если аН = На для любого a G G. Если Н — нормальная
подгруппа группы G, то множество всех смежных классов аН с опера-
цией аН • ЬН = аЬН является группой. Она называется фактор-группой
группы G по подгруппе Н и обозначается G/Н. Пусть р: G —> G' — гомо-
морфизм групп. Тогда кег<£> = {д € G\p(g) = е) — ядро гомоморфизма
</?, a Im р = p(G) — образ этого гомоморфизма.
Теорема об изоморфизме. Если р: G G' — гомоморфизм
групп., то кег</? — нормальная подгруппа группы G и имеет место
изоморфизм
G/ кег р = Im р.
Пример 12. Доказать, что Z/nZ = Zn.
<1 Покажем, что Z/nZ = Zn, двумя способами.
1-й способ (непосредственная проверка). Элементы фактор-группы
Z/nZ — смежные классы вида а 4- nZ. Следовательно, Z/nZ = {0 4-
4- nZ, 1 4- nZ, ..., (n — 1) 4- nZ}. Если a 4- nZ и b 4- nZ — два смежных
класса, то (а 4- nZ) 4- (b 4- nZ) = (a 4- b) 4- nZ, причем при a 4- b n
выражение a 4- b можно заменить на a 4- b — n. Таким образом, при
сложении смежных классов а 4- nZ и b 4- nZ их представители а и b
складываются по модулю п. Следовательно, отображение к -> к 4- nZ
является изоморфизмом групп Z и Z/nZ.
2-й способ (применение теоремы об изоморфизме). Рассмотрим ото-
бражение р\ Z —> Zn, которое каждому к G Z ставит в соответствие
его остаток от деления на п (р(к) = к modn). Нетрудно проверить,
что это отображение является гомоморфизмом. Ядром этого гомомор-
физма является подгруппа nZ. Из теоремы об изоморфизме следует, что
Z/nZ — Zn. [>
Пример 13. Пусть G — группа невырожденных п х n-матриц с
действительными элементами, а Н — множество всех матриц с опре-
5) В отличие от обычных смежных классов (правых и левых) двойные смеж-
ные классы по одной паре подгрупп могут содержать различное количество эле-
ментов.
 §2. Группы 191
делителем, равным 1. Доказать, что Н — нормальная подгруппа, и
выяснить, что из себя представляет фактор-группа G/H.
<1 Рассмотрим отображение </?: G R\{0} такое, что </?(А) = det А
(определитель матрицы А). Так как det (АВ) = det А • det В, то <р —
гомоморфизм. Ядром этого гомоморфизма как раз служит подгруппа Н.
Значит, по теореме об изоморфизме Н <1 G и G/Н = К*. [>
4.207.	Доказать, что произведение Н1Н2 двух нормальных под-
групп — нормальная подгруппа.
4.208.	Доказать, что подгруппа Н группы G является нормаль-
ной тогда и только тогда, когда V х 6 G х^НхСН.
В задачах 4.209-4.212 выяснить, какие подгруппы являются
нормальными в указанных группах.
4.209.	S3.	4.210. S4.	4.211. Группа кватернионов.
4.212.	Группа движений квадрата.
4.213*	. Доказать, что пересечение любой совокупности нор-
мальных подгрупп является нормальной подгруппой.
4.214*	. Доказать, что в группе движений плоскости параллель-
ные переносы, а также вращения вокруг фиксированной точки со-
ставляют подгруппы, первая из которых нормальна, а вторая нет.
4.215*	. На примере группы движений квадрата (см. задачу
4.212), показать, что из соотношений А <| В, В <| С не следует
А о С.
4.216*	. Доказать, что если А и В — подгруппы группы G и
А <1 С, то произведение АВ является подгруппой, причем в случае
А, В <] G имеет место также АВ <1 G.
4.217.	В группе кватернионов найти:
а)	все нормальные подгруппы;
б)	фактор-группы по всем ее нормальным подгруппам.
4.218.	Пусть G — группа движений плоскости, G\ — подгруппа
параллельных переносов. Описать фактор-группу G/Gi.
4.219.	Пусть п — натуральное число, d — его делитель. Опи-
сать фактор-группу ’Lnldfan.
4.220*	. Пусть Т обозначает группу комплексных чисел, по мо-
дулю равных 1. Доказать, что R/Z = Т (К и Z рассматриваются
как группы по сложению).
4.221*	. Пусть А, В — подгруппы группы G и А <| G. Доказать,
что А П В <] В и АВ/А = В/(А П В).
4.222*	. Пусть Ai <1 Gi (г = 1, 2, ..., п). Доказать, что Ai х ...
... х Ап о Gi х ... х Gn и (Gi х ... х Gn)/(Ai х ... х Ап) =
^(Gl/Al)x...x(Gn/An).
Пусть G — группа, а и b — ее элементы. Назовем а и b сопряжен-
ными, если Ь = д~гад для некоторого д G G. Подгруппы Н и Н' назовем
сопряженными, если Н — д~гНд для некоторого д G G.
192
Гл. 4. Элементы общей алгебры
4.223.	Доказать, что отношение сопряженности для элементов
группы является отношением эквивалентности.
4.224.	Доказать, что отношение сопряженности подгрупп дан-
ной группы является также отношением эквивалентности (на мно-
жестве всех подгрупп этой группы).
4.225*	. Какие элементы в группе Sn сопряжены друг с другом?
5. Абелевы группы. Группа А называется абелевой (или коммута-
тивной), если ab = Ьа для всех a, b G А. Для абелевых групп чаще
используется аддитивная запись, т. е. операция обозначается символом
«4-». Элемент а абелевой группы А называется периодическим, если
па = а 4- • • • + а = 0 для некоторого п G N.
п раз
Множество А ф В = {(a, b) | a G A, b G В] с операцией (а, Ь) 4-
4- (a1, b') = (а+а1, b+b') называется (внешней) прямой суммой абелевых
групп А и В.
Аналогично Ai ф ... ф Ап = {(щ, ..., ап) | cti G Ai; ...; ап G Ап} 6).
Говорят, что подгруппы Bi, ..., Вп абелевой группы А образуют
прямую сумму, если каждый элемент х, G Bi 4- ... 4- Вп однозначно
представляется в виде х = bi 4-... 4- bn, где bi Е В^; ..bn Е Вп. Это
внутренняя прямая сумма. Так же, как и внешняя, внутренняя прямая
сумма обозначается Bi ф ... ф Вп.
Если р — простое число, то примарной компонентой А(р) абеле-
вой группы А называется множество всех элементов, порядок которых
является степенью числа р: А(р) = {х G А | ртх = 0 при некотором т}.
Теорема 1. Всякая конечная абелева группа является прямой
суммой своих примарных компонент, т.е. А = А(р1)ф.. . фА(рп), где
|А|	-...
Примарная циклическая подгруппа — это циклическая группа по-
рядка рп, где р — простое число, т. е. о(а) = рп.
Теорема 2. Пусть А — конечная абелева группа, число р —
простое, являющееся делителем |А|. Тогда А(р) = Ai ф ... Ф As, где
Aj — примарные циклические, т. е. Aj = XpPj.
Теорема 3. Всякая конечная абелева группа А (| А| = р"1 •... -p*n)
является прямой суммой своих примарных циклических подгрупп:
А = Аи Ф • • • Ф Ai/-, ф А21 ф ... ф A2fc2 Ф ... Ф Ani ф ... ф Anfcn,
Л(Р1)
где Aij = %р0ц > причем это разложение единственно с точностью
до изоморфизма и перестановки слагаемых.
Пример 14. Описать все (с точностью до изоморфизма) абелевы
группы порядка 20.
<1 Так как 20 = 22 • 5, то в соответствии с теоремами 1-3 всякая абелева
группа порядка 20 изоморфна либо Z4 Ф Z5, либо Z2 Ф Z2 Ф Z5. Эти
°) Прямое произведение абелевых групп изоморфно их прямой сумме.
§2. Группы
193
группы между собой неизоморфны, так как во второй из них для любого
а выполняется условие 10а = 0, а в первой это не так. Заметим, что
Z20 — 2^4 ® ^5-
Пример 15. Найти все гомоморфизмы группы Z12 в Z25.
<1 Пусть ip: Zi2 -+ Z25. Если a G Zi2, то b =	€ Z25. Так как
12а = 0, то 126 = 0. Кроме того, поскольку 6 G Z25, то 256 = 0. Имеем
Г 126 = 0,
\ 256 = 0.
Но НОД(12, 25) = 1, поэтому 12ж + 25т/ = 1 для некоторых ж, у е Z.
Отсюда получаем
6 = (12® + 25у)6 = 126® + 256j/ = 0 + 0 = 0.
Итак, есть только один гомоморфизм — нулевой. >
4.226.	Пусть А — абелева группа, Bi, В2 — ее подгруппы.
Доказать, что сумма В± + В2 прямая тогда и только тогда, когда
В\ П В2 — 0.
4.227.	Пусть А — абелева группа, Bi, ..., Вп — ее подгруппы.
Доказать, что для того, чтобы сумма Bi + ... + Вп была прямая,
необходимо и достаточно, чтобы для любого г = 1, 2, ..., п выпол-
нялось условие Bi П (Bi + ... + Bj_i + Bi+i + ... + Bn) = 0.
4.228.	Доказать, что А(р) 0 тогда и только тогда, когда |А|
делится на р (р — простое).
4.229.	Найти все примарные компоненты группы А:
а)** А = Z24; б) А = Z30; в) А — Zioi-
4.230.	Определить количество элементов:
а)** порядка 10 в группе Zs Ф Z5 ф Z5;
б)	порядка 18 в группе Z2 Ф Z4 ф Z4 ф Zg.
4.231.	Выписать все элементы порядка 6 группы Z2 Ф Z4 ф Z3.
4.232.	Найти все гомоморфизмы:
а) группы Q в группу Z; б) группы Zm в группу Zn.
4.233.	Описать все (с точностью до изоморфизма) абелевы группы
указанных порядков: а)* 36; б) 200; в) 96.
4.234.	Доказать, что Zm ф Zn = Zmn, если Н0Д(т, n) = 1.
4.235*	. Доказать, что множество всех гомоморфизмов ср: А-+В
(А, В — абелевы группы) является абелевой группой относительно
операции (9? + т/»)(а) = ^(а) + V’(a)-
Группу всех гомоморфизмов А -> В с указанной операцией (см. за-
дачу 4.235) обозначают Нот (А, В).
4.236.	Что собой представляют группы:
a) Hom(Zi8, Z20); б) Hom(Z, Z);
в) Hom(Z, А), где А — абелева группа; г) Hom(Zm, Zn)?
194
Гл. 4. Элементы общей алгебры
4.237.	Доказать, что группа Hom(Z xZ, ZxZ) изоморфна
группе матриц размера 2x2 над Z.
4.238.	Пусть Z* — множество всех чисел из {1, 2, ..п — 1},
взаимно простых с п, относительно операции умножения по мо-
дулю п.
а)	Доказать, что Z* — группа.
б)	Построить таблицы Кэли; групп Zq0, Zg.
в)	Чему изоморфны группы ZJ0 и Zg?
4.239.	Определить количество элементов указанного порядка в
заданной группе:
а)	порядка pk в группе Zpn;
б)	порядка р в группе Zp2 ф Zp;
в)	порядка р2 в группе Zp2 Ф Zp.
§ 3.	Кольца и поля
1. Кольца. Пусть R — множество, на котором заданы две бинар-
ные операции + и •, условно называемые сложением и умножением.
Множество R называется кольцом, если выполнены следующие условия
{аксиомы кольца):
(К1) У а, Ъ, с € R (о+&)+с = о+(6+с) — ассоциативность сложения;
(К2) ЭО G Л Уо G R о + О = а — существование нулевого элемента;
(КЗ) У а 6 R Э & G R а + Ь = 0 — существование противополож-
ного элемента; элемент Ъ называется противоположным к а и обозна-
чается —а;
(К4) У о, b е R a + b = b + a — коммутативность сложения;
(К5) У а, Ъ, с G R {а + Ь)с = ас + be, с{а + b) = ca + cb — дистрибу-
тивность {левая и правая).
Группа (R, +) называется аддитивной группой кольца R.
Кольцо R называется:
— коммутативным, если ab = Ьа для всех a, b G R;
— ассоциативным, если {ab)c = а{Ьс) для всех а, Ъ, с Е R’,
— кольцом с единицей, если в R есть единичный элемент, т.е.
такой элемент 1, что для всех qER а • 1 = 1 • а = а.
Прямым (или декартовым) произведением Ri х R^ х ... х Rn колец
R\, R2, ..., Rn называется множество строчек (а1} а^, •.ап) с поком-
понентным сложением и умножением:
(di, 02, • • • , ®п) 4" (®11 ®2 » • • • , ®п) — (®1 4” "Ь ®2 > • • • >	4" а,п),
(oi, 02, . •. , ап)' (о^, 0,2, •. • , ап) = (oiOj, O2O2, • • • , а,пап).
Иногда кольцо Ri х R2 х ... х Rn называют прямой суммой колец
Ri, R2, ..., Rn и обозначают Ri фR2 Ф ... ФRn-
В задачах 4.240-4.242 проверить, что указанные множества
являются кольцами.
4.240.	Множество целых чисел Z с обычными операциями сло-
жения и умножения. Это кольцо называется кольцом целых чисел.
§ 3. Кольца и поля
195
4.241.	Произвольная абелева группа А с умножением a • b — О
для всех a, b G А. Это кольцо называется кольцом с нулевым
умножением.
4.242.	Доказать, что множество Zn с операциями сложения и
умножения по модулю п является кольцом. Это кольцо называется
кольцом вычетов.
В задачах 4.243-4.252 выяснить, являются ли кольцами сле-
дующие множества.
4.243.	Множество N натуральных чисел с обычными операци-
ями сложения и умножения.
т
4.244.	Множество чисел вида —, где т 6 Z, n G N, с обыч-
9П 7	7	7
ными операциями сложения и умножения.
4.245.	Множество Тп верхних треугольных матриц, т.е. ма-
триц вида
/ап 012 ••• «1п
О	022 • • • «2п
\ 0	0	... 0>пп/
где aij G R, с операциями матричного сложения и умножения.
4.246*	. Множество всех тригонометрических многочленов вида
оо + oi sin х + 02 sin 2х + ... + an sin nx,
где n € N, ог G R (i — 0, 1, ..., n) с операциями сложения и
умножения функций.
4.247.	Множество всех тригонометрических многочленов вида
bo + bi cos х + &2 c°s 2х + ... + bn cos nx,
где n € N, bi 6 R (i = 0, 1, ..., n), с операциями сложения и
умножения функций.
4.248*	. Множество Р(Х) всех подмножеств множества X, если
сложением считать объединение U, а умножением — пересече-
ние Г).
4.249.	Множество всех симметрических n х n-матриц с дей-
ствительными или комплексными коэффициентами (т.е. таких
матриц А, что Ат = А) относительно обычных матричных опера-
ций.
4.250.	Множество Р(Х) всех подмножеств множества X, если
умножением считать пересечение П, а сложением — симметриче-
скую разность Д (напомним, что аАВ — (А\В) U (В\А)).
4.251.	Множество С*[о, Ь] всех действительных функций, не-
прерывных на отрезке [о, 5] (с обычными операциями сложения и
умножения функций).
196
Гл. 4. Элементы общей алгебры
4.252*	. Множество С[а, Ь] непрерывных функций с обычной
операцией сложения, если в качестве умножения взять суперпози-
цию функций: (/ *д)(х) ~ f(g(x)).
4.253.	Введем на группе (Z5, +) умножение по формуле а* Ь =
— 2аЪ (произведение берется по модулю 5).
а)	Является ли (Z5, +, *) кольцом?
б)	Какой элемент является в этом множестве единицей по умно-
жению?
Пример 1. Вычислить значение выражения (3 + 5 + 9)19" в коль-
це Zio.
<1 Так как 3 + 5 + 9 = 7 (mod 10), то 3 + 5 + 9 = 7 в Zio, поэтому
(3 + 5 + 9)19" — 71999. Рассмотрим степени числа 7 в кольце йю (т.е.
по модулю 10): 71 = 7, 72 = 9, 73 = 3, 74 = 1, 75 = 7. Так как 74 = 1,
то 71999 = 74 499+3 = 73 = 3. >
В задачах 4.254-4.259 вычислить значение данного выражения
в указанном кольце.
4.254.	1 • 2 • 3 • 4 •... • 17 в кольце Z^.
4.255.	1 + 2 + 3 + ... + 9 в кольце Z27.
4.256.	З2001 в кольце Z28- 4.257. З-1 в кольце Z20-
4.258.	2-2001 в кольце Z15.
4.259.	(1 + р)-1 в кольце Zp3 (р — простое).
В задачах 4.260-4.269 проверить, что при р 5, где р — про-
стое число, в указанном кольце справедливы приведенные равен-
ства.
4.260.	I2 + 22 + ... + (р - 1)* = 0 в Zp.
/ — 1 \ 2
4.261.	I2 + 22 + ... + (	) = 0 в Zp.
4.262*	. I'2 + 2~2 + ... + ( -- = 0 в Zp.
\ Р )
4.263*	. I"1 + 2-1 + ... + (р - I)"1 = 0 в Zp2.
4.264*	. £ -i = 0 в Zp.
o<t<j<p г3
Пусть R — ассоциативное кольцо с единицей. Элемент a G R, для
которого существует обратный элемент а-1, называется обратимым
элементом.
Пример 2. Найти обратимые (по умножению) элементы в кольце Zg.
<1 Если а — обратимый элемент кольца Zg, то уравнение ах = 1 разре-
шимо в Zg, а значит, уравнение ах = 1 + бу разрешимо в Z. Имеем:
ах — бу = 1.
§ 3. Кольца и поля
197
Если а делится на 2 или на 3, то левая часть этого уравнения делится
на 2 или на 3, а так как правая часть не делится, то уравнение не имеет
решений. Если а не делится ни на 2, ни на 3, то а взаимно просто с 6,
поэтому уравнение ax — бу = 1 разрешимо. Итак, обратимыми являются
элементы из Zg, взаимно простые с 6, т.е. 1 и 5. [>
В задачах 4.265-4.267 найти обратимые по умножению эле-
менты в указанном кольце.
4.265.	В кольце Z14.	4.266. В кольце Z20-
4.267.	В кольце С [а, &].
4.268.	Сколько обратимых элементов в кольце Zp3 (р — про-
стое)?
Пример 3. Решить уравнения в указанном кольце:
а)	2х + 4 = 0 в Zg; б) 6х 4- 5 = 0 в Zg', в) х2 + ж + 6 = 0в Z12-
<1 а) Составим таблицу:
X	0	1	2	3	4	5
2x4-4	4	0	2	4	0	2
Отсюда х = 1 или х = 4. Этот пример показывает, что в кольце линейное
уравнение ах + & = 0 может иметь более одного решения.
б)	Если 6х 4- 5 = 0 в кольце Zg, то 6х 4- 5 = 8к в кольце Z. Отсюда
6х — 8к = 5. Но это равенство невозможно, так как в левой его части
стоит четное число, а в правой нечетное. Таким образом, уравнение
6х 4- 5 = 0 не имеет решений в кольце Zg, хотя 6/0. Значит, в кольце
уравнение ах + Ь = 0 при а / 0 может не иметь ни одного решения.
в)	Составим таблицу:
X	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
х2 4- х 4- 6	6	8	0	6	2	0	0	2	6	0	8	6
Отсюда получаем: xi =2, Х2 — 5, Х3 = 6, Х4 = 9. Таким образом, в
кольце квадратное уравнение может иметь более двух решений.
В задачах 4.269-4.274 решить следующие уравнения в указан-
ном кольце.
4.269.	Зж 4- 7 = 0 в кольце Zig.
4.270.	Зх 4- 7 == 0 в кольце Z20-
4.271.	6х 4- 4 = 0 в кольце Zg.
4.272.	х2 + х 4-4 = 0 в кольце Zg.
4.273.	Зж2 4- 6ж 4- 9 = 0 в кольце Zgg.
4.274.	ж4 = -1 в кольце Z34.
4.275.	Привести пример кольца без единицы.
4.276*	*. Привести пример неассоциативного кольца.
198
Гл. 4. Элементы общей алгебры
4.277*	. Доказать, что если R — кольцо с единицей и уравнение
х + х = 1 имеет решение, то это решение единственно.
4.278.	Для каких колец с единицей совпадают нулевой и еди-
ничный элементы?
Пусть R и R' — кольца. Отображение <р\ R -> R' называется гомо-
морфизмом, если выполнены условия:
ф(х + у) = <р(х) + <р(у), <р(ху) = р(х)<р(у)
для всех X, у Е R. Если р: R —> R1 взаимно однозначное отображение
R на R', то р называется изоморфизмом. Если существует изоморфизм
р: R -> R', то говорят, что кольца R и R' изоморфны, и обозначают
этот факт следующим образом: R = R'. Из определения гомоморфизма
следуют равенства: </?(0) = 0, р(—а) = — <р(а).
Пример 4. Показать, что отображение ср: Z —> Zn, р(а) = a (modn)
(остаток от деления а на п) — гомоморфизм колец.
<1 Так как
<р(а + b) = (а + b) (modn) = a (modn) + b (modn)
(сложение по модулю п) и
<р(а&) = (ab) (modn) = a (modn) + b (modn)
(умножение по модулю n), to <p — гомоморфизм. t>
4.279.	Доказать, что образ коммутативного кольца при гомо-
морфизме является коммутативным кольцом.
В задачах 4.426-4.429 проверить, что следующие отображения
являются гомоморфными отображениями колец.
a
b
4.280. f :
А
= а — о.
а /
О \	h I	—h г (G
a, b6Q> —> Q, f К
ли отображение C[a, 6] —>
b) =o + J-
R, f —>• f(a) гомо-
4.282.	Является
морфизмом колец?
В задачах 4.283 и 4.284 найти все гомоморфизмы колец.
4.283.	Z -> 2Z.	4.284. 2Z -> 2Z.
4.285.	Введем на группе (Z, +) умножение по формуле а * b =
= — ab. Доказать, что (Z, +, *) — кольцо, изоморфное кольцу
целых чисел Z.
4.286*	. Доказать, что ZTOn = ZTO © Zn при Н0Д(т, п) = 1 (в
правой части — прямая сумма колец).
§ 3. Кольца и поля
199
4.287*	. Пусть X — множество из п элементов и Р(Х) — множе-
ство всех его подмножеств. В качестве сложения на Р(Х} возьмем
симметрическую разность АДВ = (А\В) U (В\А), а в качестве
умножения — пересечение А А В. Доказать, что (Р(Х), Д, А) —
кольцо, изоморфное кольцу Z2 Ф ... Ф
п раз
4.288.	Доказать, что всякое кольцо изоморфно подкольцу неко-
торого кольца с единицей.
2.	Поля. Пусть F — множество с двумя бинарными операциями 4-
и •, которые мы будем условно называть сложением и умножением.
Множество F называется полем, если выполнены следующие условия
(аксиомы поля):
(П1) V а, Ь, с € F (а+Ь)+с = а+(Ь+с) — ассоциативность сложения;
(П2) 30 € F Vа 6 F а 4- 0 = а — существование нуля; элемент 0
называется нулем-,
(ПЗ) а е F ВЪ е F а 4- 6 = 0 — существование противополож-
ного элемента; элемент Ъ называется противоположным к а и обозна-
чается —а;
(П4) V а, b е F а + b = Ь + а — коммутативность сложения;
(П5) Vа, b, се F (a + b)-c = a-c + b-c — дистрибутивность;
(П6) Va, b, с G F (а-Ь)-с = а-(Ь-с) — ассоциативность умножения;
(П7) V a, b е F а-b = Ь- а — коммутативность умножения;
(П8) 31 6 F V а 6 F (1 / 0 и а -1 = а) — существование единицы;
элемент 1 называется единицей-,
(П9) Vа 6 F (а 0 => 36 6 F а-b = в) — существование обратного
элемента; элемент Ь называется обратным к а и обозначается а-1.
Из определения видно, что по сложению всякое поле является абе-
левой группой. Группа (F, +) называется аддитивной группой поля F.
Множество F* = F\{0} ненулевых элементов поля F является группой
по умножению. Группа (F*, •) называется мультипликативной груп-
пой поля F.
Пример 5. Доказать, что числа вида а 4- Ьд/2, где а, b 6 Q, относи-
тельно обычных операций сложения и умножения образуют поле.
< Перед проверкой аксиом следует убедиться в том, что применение опе-
раций сложения и умножения не выводят за пределы данного множества.
Пусть F = {а + Ъу/21 а, b 6 Q}. Если х = а 4- Ьу/2, и у = с + dy/2 —
произвольные элементы из F (здесь a, b, с, d € Q), то их сумма
х+ у ~ (а +с) + (b + d)Vl
также принадлежит F. Произведение
ху = (а + 6v/2)(c 4- d\/2) = (ас 4- 2bd) 4- (ad 4- bc)\/2
также принадлежит F, так как ас 4- 2bd G Q и ad 4- bee Q. Выполнение
аксиом (П1)-(П8) очевидно; ясно, что 04-СЛ/2 является нулем, а 14-0а/2 —
200
Гл. 4. Элементы общей алгебры
единицей в F- Осталось проверить аксиому (П9). Для этого нам следует
убедиться в том, что при a 4- Ьу/2 6 F\{0} всегда можно найти такие
х, у 6 Q, что (а 4- Ь\/2)(я; 4- у>/2) = 14- Од/2, т.е. надо показать, что
система уравнений
ax + 2by = 1,
Ьх 4- ау = 0
разрешима в Q. Определитель
а
b
2Ь
а
__	2	01,2
= а — 2о
не может равняться 0, так как \/2 — иррациональное число. Следова-
тельно, система разрешима и аксиома (П9) выполняется. Значит, F —
поле. >
4.289.	Доказать, что в произвольном поле F выполняются сле-
дующие утверждения:
а)	нуль в поле F единственный;
б)	противоположный элемент —а для данного а € F определя-
ется однозначно;
в)	единица в поле F определяется единственным образом;
г)	обратный элемент а-1 к элементу а 0 определяется един-
ственным образом;
д)	для любого а € F а • 0 = 0;
е)	в поле нет ненулевых делителей нуля, т. е. для любых а, b € F
из равенства ab = 0 следует а = 0 или Ь = 0.
В задачах 4.280-4.283 проверить, что указанные множества
являются полями.
4.290.	Множество рациональных чисел Q с операциями сложе-
ния и умножения (поле рациональных чисел).
4.291.	Множество действительных чисел К. с операциями сло-
жения и умножения (поле действительных чисел).
4.292.	Множество комплексных чисел С с операциями сложе-
ния и умножения (поле комплексных чисел).
4.293.	Множество Zp, где р — простое число, с операциями
сложения и умножения по модулю р (поле вычетов).
Многочленом над полем F называется выражение вида
f(x) = апхп 4-... 4- агх 4- а0,
где ао, ..., ап 6 F — коэффициенты многочлена. При ап 0 число
п называется степенью многочлена f(x) и обозначается deg/. Степень
многочлена, все коэффициенты которого равны 0, удобно считать равной
—оо. Вышеприведенная форма записи многочлена называется канони-
ческой записью многочлена п-й степени, коэффициент ап — старшим
§ 3. Кольца и поля
201
коэффициентом, а$ — свободным членом. Многочлен называется уни-
тарным, если an = 1.
4.294.	Пусть F — поле. Обозначим F[z] множество всех много-
членов ао + aiz + • • • + anxn с коэффициентами ао, ai, ..an G F,
ап 0. Сложение многочленов ао + + • • • + ^пхП и + Ь^х4-...
... + Ьтхт определим правилом
(ао + щх + ... + апхп) + (60 + biz + ... + Ьтхт) =
= (ао + &о) + (°1 + Ъ\)х + ... + (а^ + Ь^х^.
(здесь k — max(m, п), а, = 0 при i > n, bj = 0 при j > т).
Умножение определим правилом
52 aix' ‘ 52	= 52 Ckxk’
i	j	k
где ~ УЗ ai.bj. Доказать, что F[x] — кольцо. Это кольцо
i+j=k
называется кольцом многочленов над полем F.
4.295.	Доказать, что множество F(x) всевозможных дробей
вида -у где /(ж), g(x) G F[x] и д(х) / 0, относительно обыч-
9\х)
ных операций сложения и умножения является полем. Оно на-
-	„ тт я /М AW
зывается полем рациональных функции. Две дроби - - т и —у-г
9(х)	91 (х)
считаются равными, если f(x)gi(x) = g{x)fi(x).
4.296.	Доказать, что любое поле является кольцом.
4.297.	Пусть F — поле. Обозначим через Fn (другое обозначе-
ние:' Mn(F)) множество всех квадратных п х n-матриц с элемен-
тами из поля F с обычными операциями матричного сложения и
умножения. Доказать, что Fn — кольцо. Это кольцо называется
кольцом матриц (над полем F).
В задачах 4.298-4.301 определить, образуют ли поле указанные
элементы.
4.298.	Числа вида а+6^2, где а, b 6 Q, относительно обычных
операций сложения и умножения.
4.299.	Числа вида а + Ь^2 + с\^4, где a, b, с G Q, относительно
обычных операций сложения и умножения.
4.300.	Числа 0,1, 2, 3, 4, 5 с операциями сложения и умножения
по модулю 6.
(ж
2?/ х J ’ ГДе Ж’ относительно опе"
раций матричного сложения и умножения.
202 Гл. 4. Элементы общей алгебры
4.302.	Выяснить, при каких п G Zp матрицы вида I I,
где х, у 6 Zp, являются полем относительно операций матричного
сложения и умножения.
Пример 6. Вычислить значение выражения (2-3+3-4)10 в поле Z5.
<3 Так как 2 • 3 = 6 = 1 (mod 5), то 2 • 3 = 1 в Z5. Аналогично получаем:
3 • 4 = 2 в Z5. Следовательно, (2-34-3- 4)10 = (1 4- 2)10 = З10 = (З2)5 =
— 95 = (—I)5 = —1 = 4. Здесь использовано то, что —1 = 4 (mod 5), а
значит, — 1 = 4 в Z5. >
В задачах 4.303-4.306 вычислить значение выражения в ука-
занном поле.
4.303.	(2 • 6 + 3 • 5)10 в поле Z7.
4.304.	(1 + 2 • 3 • 4)-2 в поле Zu.
4.305.	(7 + 3-1 • 4)'1 в поле Z13.
4.306.	1-1 + 2-1 + ... + (р — I)-1 в поле Zp.
Пример 7. Решить уравнение в указанном поле:
а)	Зж 4- 4 = 0 в поле Z17; б) 2х2 4- 5х 4- 4 = 0 в поле Zu.
< а) В поле уравнение ах + b = 0 при а 0 0 имеет единственное
решение', х = (—Ь)а~1. В Z17 —4 = 13, 3-1 = 6. Следовательно,
х = 13-6 = 10.
б)	Воспользуемся обычной формулой корней квадратного уравнения
ах2 4- Ьх 4- с = 0, а именно, X} 2 = "	, где D = Ъ2 — 4ас7). В поле
z	2а
Zu дискриминант D — 52 — 4 • 2 • 4 = 25 — 32 = — 7 = 4 = 22, поэтому
-5 ±2	-5 ±2
Ж1,2“ 2-2 “	4 ’
Отсюда
В задачах 4.307-4.313 решить следующие уравнения в указан-
ном поле.
4.307.	Зх -4- 7 = 0 в поле Z17. 4.308. 5х 4-11 = 0 в поле Z19.
4.309.	4а;2 4- х 4- 2 = 0 в поле Z7.
4.310.	2х2 4- 4а; + 1 = 0 в поле Z§.
4.311.	ж3 4-1 + 2 = 0 в поле Z5.
4.312.	х4 -+ За;3 + 4а; + 5 = 0 в поле Z7.
4.313.	х4 = -1 в поле Z17.
7) Формула корней квадратного уравнения ах2 + Ьх + с = 0, где a, b, с Е F и
а 0 0, справедлива в любом поле F, в котором 14-100.
§ 3. Кольца и поля
203
В задачах 4.314 и 4.315 решить систему уравнений в указан-
ном поле.
( Зх + 4у = 1,	f 4х + 5г/ — 6,
4.314.	< _ 7?	’ в Z13. 4.315. < 7 7 q 1 в2ц.
(5ж + 3у = 7	[7ж + 3р = 1
4.316. Найти обратную матрицу для матрицы А, заданной в
указанном поле:
/1	2	5\		/1 л	0	1 л	1\	
а) А = 14	0	1 ] (над Z7);	б) А =	и 1	1 о	и 0	1 1	(над Z2).
\3	1	2/		V	1	1	V	
4.317. Найти ранг заданной матрицы в указанном поле:
	/2 3 1 4 5\	
	1 2 0 6 3	
а)	3 3 5 0 2	(над Z7);
	V 4 4 3 5J	
	р	2	1	1	0\	
	2	1	0	2	1	(над Z3).
б)	1	2	2	1	1	
	\о	0	1	0	м	
4.318*	*. Доказать малую теорему Ферма'. ар = а для всех
а ЕЕ Zp.
4.319*	. Найти количество элементов а поля Zp (р > 2), для
которых уравнение х2 = а разрешимо.
4.320*	. Пусть р — простое число, a, b, с 6 Zp и а 0. Сколько
различных значений принимает квадратный трехчлен аж2+6ж+с?
4.321*	. Доказать, что если р — простое число и р — 1 не де-
лится на 3, то уравнение х3 = а имеет единственное решение для
каждого а G Zp.
4.322.	Пусть F — поле чисел вида а + Ь\/2, где a, b G Q. Раз-
решимо ли в F уравнение х3 = 2?
4.323*	*. Выяснить, является ли полем прямая сумма двух по-
лей.
Пусть F — поле и 1 — единица поля F. Если существует n Е N,
для которого п • 1 = 0, то наименьшее из таких п называется харак-
теристикой поля F и обозначается charF. Если п • 1	0 при всех
п, то по определению считается charF = 0. Например, charZp = р,
char К = 0, char С = 0. Подполем Р поля F называется подкольцо в F,
само являющееся полем. Наименьшее подполе данного поля называется
его простым подполем.
Пример 8. Существует ли какое-либо поле характеристики 2, от-
личное от поля Z2?
< Пусть F — искомое поле. Так как по условию char F = 2, то u + и = 0
для любого и 6 F и, в частности, 1 + 1 = 0. Выберем некоторый элемент
aeF, а 0, а / 1 и рассмотрим элементы 0, 1, а, а + 1 поля F. Сло-
жение этих элементов друг с другом не выводит за пределы множества
{0, 1, а, а + 1} (проверьте!). Введем умножение. Для этого достаточно
204
Гл. 4. Элементы общей алгебры
определить произведение a • а. Если a2 = 0, a2 = 1 или a2 = а, то
получаем противоречие с аксиомами поля (какими?). Значит, возмо-
жен только один вариант, когда a2 = а + 1. Остается проверить, что
{0, 1, а, а2}, где а2 = а + 1, является полем. Проверка осуществляется
непосредственно. >
Пример 9. Пусть F — поле чисел вида а + Ь\/2, где а, b 6 Q. Что
из себя представляет простое подполе Fq этого поля?
< Единицей поля F является 1 + Од/2. Наименьшее поле, содержащее
1 -4- Ол/2, состоит из элементов а + 0\/2- Таким образом, Fq = {а +
+ Ол/2 | а € Q}. Оно совпадает с полем Q. >
4.324	*. Доказать, что характеристика поля, если она не равна
нулю, является простым числом.
4.325	**. Доказать, что, если р > 0 — характеристика поля F,
то для каждого а € F имеет место равенство ра — 0.
4.326	. Доказать, что в каждом поле содержится простое под-
поце.
4.327	**. Доказать, что если Fi, F± — два поля и Fi С F2, то
char Fi = char F2.
4.328	. Пусть F — поле и Fq — его простое подполе. Дока-
зать, что:
а)	если char F = р > 0, то Fq = Zpi,
б)	если char F = 0, то Fq = Q.
4.329	**. Доказать, что если F — поле характеристики р, то
для любых а, b G F имеет место равенство (а + Ь)рП = арП + ЬРп
(п G N).
4.330	. Раскрыть скобки и упростить выражение (а + &)20, если
а, Ь — элементы поля характеристики 2.
Пример 10. Доказать, что множество F матриц а =
где а, b 6 Z7, с обычными операциями матричного сложения и умноже-
ния является полем. Сколько элементов содержит поле F? Чему равна
charF? Что из себя представляет простое подполе Fq?
< Все аксиомы поля, за исключением (П9), для F проверяются просто.
Проверим аксиому (П9). Пусть а =	а/0. Тогда а и b не
равны 0 одновременно. Простым перебором убеждаемся, что det а =
= а2 + Ь2 0 в Z7. Отсюда следует, что существует обратная матрица
а-1. Имеем:	, ,	,х .
-1 1 (а
а = Т7~ к € F.
det а \о aj
Таким образом, F — поле. Очевидно, [F| = 72 = 49. Так как 7а = 0 для
всех а 6 F, то char F = 7. Наконец, простое подполе Fq здесь состоит
(а 0\
из матриц вида I g I. >
§ 3. Кольца и поля
205
(а Ь\
b а) ’
где a, b G Z5, с обычными операциями матричного сложения и
умножения?
(а Ь\
2b ah
где a, b G Z5, с обычными операциями матричного сложения и
умножения является полем. Найти |F|, charF, Fq.
3. Многочлены над полями. Деление многочленов. Элемент a G F
называется корнем многочлена f(x) 6 F[x], если /(а) = 0. Корень а
имеет кратность т, если f(x) представим в виде f(x) = (х — а)тд(х)
и 9(a) / 0- Корень а простой, если т = 1, и кратный, если т 2.
Пусть f(x) и д(х) € F[x], где F — поле. Говорят, что многочлен д(х)
делит f(x) (обозначают д(х) | /(ж)), если существует h(x) е F[z] такой,
что f(x) — h(x)g(x). В этом случае говорят также, что f(x) делится на
д(х), и записывают это в виде /(ж) :д(х).
Теорема. Пусть /(ж), д(х) 6 F^], где F — поле и д(х) 0.
Тогда f(x) может быть единственным образом представлен в виде
/(ж) = g(x)q(x) 4-г(ж), где q(x), г(ж) 6 F^], и degr(z) < бе§<?(ж).
Многочлен и(х) называют частным, а г(ж) — остатком.
Пример 11. Разделить многочлен /(ж) = 6ж4 + 5ж3 - 11ж2 4- Юж - 8
на многочлен д(х) = Зж2 4- 4ж — 5 с остатком.
• < Воспользуемся методом деления многочленов «уголком»:
f	6ж4 4- 5ж3 — 11ж2 4- Юж — 8 Зж2 4- 4ж — 5
!	6ж4 4- 8ж3 - Юж2 2ж2 — ж 4-1
-Зж3 — ж2 4- Юж — 8
|	-Зж3 - 4ж2 4- 5ж
5	Зж2 4- 5ж — 8
г	Зж2 4- 4ж ~ 5
L	ж — 3
Таким образом,
J 6ж4 4- 5ж3 - 11ж2 4- Юж — 8 = (Зж2 4- 4ж — 5) (2ж2 — ж 4-1) 4- (ж — 3). >
|	«(*)	г(х)
| Теорема Без у. При делении многочлена f(x) на двучлен (ж—жо)
[ остаток равен значению многочлена при х'= Хо, т.е. г = /(жо).
I. Схема Горнера. С помощью этой схемы можно осуществить де-
fi ление многочлена на двучлен. Пусть даны многочлен /(ж) = апхп + ...
206
Гл. 4. Элементы общей алгебры
...4- О1Ж 4- ао (ап 0, n 1) и двучлен (х — а). Тогда f(x) =
= (х — a)q(x) 4- г, где остаток г — многочлен степени < 1 (т. е. г =
= f(a) Е F по теореме Безу), а неполное частное — многочлен степени
п — 1 q(x) =	4- ... 4- Ь1Ж 4- Ьо- Быстрое нахождение коэф-
фициентов многочлена q(x) и остатка г осуществляется по следующей
схеме:
Коэффици- енты /(ж)	On	On —1		О1	ао
а	t>n—1 — ап	bn-2 = t>n-l<T4- 4-an_i		bo = bi а4- 4-oi	г = boa-I- 4'00
Заполнение таблицы производится слева направо.
Пример 12. Найти частное и остаток от деления многочлена f(x) —
= 2ж3 — Зх 4- 5 на многочлен д(х) = х — 4.
<3 Воспользуемся схемой Горнера:
	2	0	-3	5
4	2	8	29	121
Следовательно,
/(ж) = (х — 4)(2ж2 4- 8ж 4- 29) 4-121. >
Пример 13. Найти значение многочлена f(x) = ж4 —2ж3-Нг24-ж4-1
при х = —3.
< По теореме Безу значение многочлена /(—3) равно остатку от деления
f(x) на х 4- 3. Составим таблицу:
	1	-2	1	1	1
-3	1	-5	16	—47	142
Отсюда
Д-З) = 142. >
В задачах 4.333-4.336 для многочленов /(ж), д(х) над полем F
разделить с остатком /(ж) на д(х).
4.333.	/(ж) = ж44-Зж3 — 5ж2+6ж+7, д(х) = ж2 — ж 4-3 (F = R).
4.334.	/(ж) = ж5 - 1, д(х) = ж3 - 1 (F = R).
4.335.	/(ж) = 2ж4 + Зж3 + 4ж 4-1, д(х) = Зж3 + ж + 2 (F = Z5).
4.336.	/(ж) = ж5 + ж3 + ж + 1, д(х) = ж3 + ж + 1 (F — Z2).
§ 3. Кольца и поля
207
4.337*	. Некоторый многочлен над полем R при делении на
(х — 1) дает в остатке 3, а при делении на (х + 2) дает в остатке
—7. Найти остаток от деления этого многочлена на (ж — 1)(ж + 2).
В задачах 4.338-4.340 для многочлена / (ж) над полем К. найти
частное и остаток от деления этого многочлена на двучлен х — xq.
4.338.	/(ж) = ж4 — 2ж3 + 4ж2 — 6ж + 8, жо = 1.
4.339.	/(ж) = 2ж5 — 5ж3 — 8ж, жо = —3.
4.340.	/(ж) = Зж5 + ж4 - 19ж2 - 13ж - 10, ж0 = 2.
Наибольшим общим делителем (/(ж), д(х)) многочленов /(ж) и д(х)
над полем F называется многочлен наибольшей степени среди много-
членов, делящих /(ж) и д(х). Для любых двух многочленов, не равных
одновременно нулю, наибольший общий делитель существует и опреде-
лен однозначно с точностью до постоянного отличного от 0 множителя.
Из всех наибольших делителей многочленов /(ж) и д(х) обычно выби-
рается тот, у которого старший коэффициент равен 1. Два многочлена
называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей,
кроме констант (многочленов нулевой степени).
Наибольший общий делитель двух многочленов находят тем же спо-
собом, который используется для двух целых чисел, — алгоритмом Ев-
клида:
f(x) = д(ж)д1(ж) +Г1(ж), degn(T) < deg^);
я(ж) = п(ж)д2(ж)+г2(ж), degr2fa) < degnfc);
П-г(ж) = П-1(ж)^(ж) +т*(ж), degrfc(T) < degrk-i(x)-,
г*-1(ж) = rk(x)qk+l(x).
На каждом шаге степень многочлена, являющегося остатком, меньше
степени делителя. Последний отличный от нуля остаток г* (ж) и является
искомым наибольшим общим делителем многочленов /(ж) и д(х), т.е.
Ы«) = (/(я),
Наибольший общий делитель (fi(x), ..fn(x)) многочленов
Л(ж), ..., fn (ж) — это многочлен наибольшей степени, на который де-
лятся многочлены /1(ж), ..., /п(ж). Его можно определить индуктивно:
Наименьшее общее кратное многочленов /1(ж), ..., fn(x) — это
многочлен М(ж) наименьшей степени, который делится на многочлены
Л (я), •••, fn(x).
4.341*	*. Доказать, что ^(ж) — наибольший общий делитель
многочленов /(ж) и д(х).
4.342*	*. Доказать утверждения:
а)	если /1(ж), ..., fn(x) — ненулевые многочлены над полем F
и с?(ж), <71 (ж) — их наибольшие общие делители, то сЦж) = Adi (ж)
при некотором А 6 F, А 0;
208
Гл. 4. Элементы общей алгебры
б)	наибольший общий делитель d(x) многочленов /1(ж), ...
•••5 fn(x) можно представить в виде d(x) = j\(x)qi(x) 4- ...
• • • + fn(x)Qn(.x)> где Qi(х)5 ♦ • •, Qn(x) — некоторые многочлены.
Пример 14. Доказать, что если для многочленов /(ж), </(ж), /г(ж)
выполнены условия h(x) \f(x)g(x) и (/(ж), Л(ж)) = 1, то Д(ж) |р(ж).
<] Так как (/(ж), Л(ж)) = 1, то /(ж)и(ж) 4- р(ж)и(ж) = 1 для некоторых
и(ж), v(x). Умножив на д(ж), получим:
р(ж) = (/(ж)^(ж))и(ж) 4-р(ж)/г(ж)^(ж).
Следовательно, Л(ж) | д{х}. О
4.343*	*. Доказать утверждения:
а)	наименьшее общее кратное М[х) многочленов /(ж) и д(х)
является делителем любого общего кратного;
б)	если М(х) и с/(ж) — соответственно наименьшее общее крат-
ное и наибольший общий делитель многочленов / (ж) и д(х) с коэф-
фициентами из поля F, то f(x)g(x) = АМ(ж)ф) при некотором
Л G F, ЛИО.
В задачах 4.344-4.348 найти наибольший общий делитель мно-
гочленов /(ж) и д(х) над заданным полем.
4.344*	*. /(ж) = ж3 — 2ж2 — ж — 6, д(х) = ж3 4- ж — 2 (над R).
4.345.	/(ж) = ж4 4- ж2 4-1, д(х) = ж4 4- ж3 4- 2ж2 4- ж 4-1 (над R).
4.346.	/(ж) = ж44-2ж34-4ж4-1, д(х) — ж44-4ж34-2ж4-4 (над Z5).
4.347.	/(ж) = ж4 4- 2ж3 4- 2ж2 4-1, д(х) = ж4 4- ж3 4- 2ж2 4- ж 4-1
(над Z3).
4.348.	/(ж) = xm — 1, д{х) = жп — 1 (над R).
В задачах 4.349-4.351 найти наибольший общий делитель d(x)
многочленов /(ж) и д(х) над заданным полем, а также такие мно-
гочлены и(х) и v(x), Что d(x) = /(ж)ц(ж) 4- g(x)v(x).
4.349*	. /(ж) = ж44-2ж3 — ж2 — 4ж — 2, д(х) = ж44-ж3 — ж2 — 2ж — 2
(над R).
4.350.	/(ж) = ж5 4-Зж4 4-ж34-ж24-Зж4-1, д(х) = ж4 4- 2ж3 4-ж 4- 2
(над R).
4.351.	Многочлены из задачи 4.346.
4.352.	Найти многочлен наименьшей степени над полем R, да-
ющий в остатке многочлен 2ж при делении на многочлен (ж — I)2
и Зж при делении на (ж — 2)3.
4.353.	Найти все А € С, при которых многочлены /(ж) и д(х)
имеют общий корень:
а)	/(ж) — ж3 — Аж 4- 2, д(х) = ж2 4- Аж 4- 2;
б)	/(ж) = ж3 4- Аж2 — 9, д(х) = ж3 4- Аж — 3.
§ 3. Кольца и поля
209
4.354.	Определить, делится ли многочлен (ж 4-1)2” — ж2” — 2ж — 1
на 2ж3 + Зж2 + х (над полем R).
4.355.	При каких п многочлен 1 4- ж2 4- ж4 +... 4- ж2п-2 делится
на многочлен 1 4- х 4- ж2 4-... 4- жп-1 (над полем R)?
В задачах 4.356 и 4.357 выяснить, при каких а, Ъ многочлен
/(ж) делится на д(х) над заданным полем.
4.356.	/(ж) = ж64-аж34-2ж24-&ж4-3, д(х) = 2ж24-ж4-1 (над Z5).
4.357.	/(ж) = 2ж4 4- Зж3 4- ах2 4- 4ж 4- Ь, д(х) = Зж2 4- ж 4- 1
(над Z7).
В задачах 4.358 и 4.359 найти наименьшее общее кратное мно-
гочленов /(ж) и д(х) над заданным полем.
4.358.	/(ж) = ж3 4- 4ж2 4- 4ж 4- 3 и д(х) = ж3 — ж2 — ж — 2 (над
полем R).
4.359.	/(ж) = ж4 4- ж3 4- ж2 4-1 и д(х) = ж5 4- ж2 4- ж 4-1 (над
полем Z2).
Многочлен, представимый в виде произведения многочленов мень-
ших степеней (с коэффициентами из поля F), называется приводимым
над полем F. В противном случае многочлен /(ж) над полем F называ-
ется неприводимым. Приводимость многочлена зависит о^г рассматрива-
емого поля. Так, многочлен ж2 — 3 неприводим над полем Q, но является
приводимым над полем Ж, так как ж2 — 3 = (ж 4- л/3)(ж — -\/3).
Теорема Гаусса (основная теорема алгебры). Всякий многочлен
степени 1 с комплексными коэффициентами имеет комплексный
корень.
4.360.	Доказать следующие свойства неприводимых многочле-
нов над произвольным полем F:
а)	всякий многочлен первой степени неприводим;
б)	если многочлен /(ж) неприводим, то неприводимым будет и
всякий многочлен с/(ж), где с — отличный от нуля элемент из F;
в)	если /(ж) — произвольный многочлен, а р(ж) — неприво-
дим, то либо /(ж) делится на р(ж), либо /(ж) и р(ж) взаимно про-
сты;
г)	если произведение многочленов /(ж) и д(х) делится на не-
приводимый многочлен р(ж), то либо /(ж), либо д(х) делится
на р(ж);
д)	всякий многочлен /(ж) степени п, где п 1, раскладывается
в произведение неприводимых многочленов8).
4.361.	Пусть /(ж) = Р1(ж)р2(я)-• -Рк(х) — разложение много-
члена /(ж) € Р[ж] в произведение неприводимых множителей и
8) Неприводимый многочлен при этом считается произведением к неприводи-
мых многочленов при к = 1.
210
Гл. 4. Элементы общей алгебры
числа ci, сг,..Ck из поля F таковы, что их произведение равно 1.
Тогда /(ж) = [ciPi(rr)] [сгРгМЬ •	также будет разложе-
нием многочлена в произведение неприводимых множителей. До-
казать, что этим исчерпываются все разложения многочлена f(x).
4.362.	Доказать, что над полем С неприводимыми являются
многочлены первой степени и только они.
4.363.	Доказать, что над полем К неприводимы многочлены
первой степени Ах 4- В и квадратные трехчлены Ах2 4- Вх 4- С с
дискриминантом D < 0, других неприводимых над R многочле-
нов нет.
4.364.	Пусть даны разложения многочленов f(x) и д(х) на не-
приводимые множители /(ж) = Ър^(х)р22(х).. -pfa(x) и д(х) =
= cpil(x)p22(x).. .р^(х). Доказать, что:
а)	наибольший общий делитель d(x) многочленов f(x) и д(х)
может быть вычислен по формуле d(x) = р^1 (ж)р^2(ж).. .р^(х), где
7i =min(tti, А);
б)	наименьшее общее кратное двух многочленов f(x) и д(х)
может быть вычислено по формуле М(х) = pSl1(x)p22(x).. .рр(х),
где 8i — max (а», /%).
Пример 15. Разложить многочлен ж4 4-1 на неприводимые множи-
тели над полем Z3.
<] Убедимся в том, что многочлен ж4 4-1 не имеет корней в поле Z3.
X	0	1	2
ж4 4-1	1	2	2
Значит, многочлен ж4 4-1 не делится на многочлены первой степени
и если разлагается в произведение неприводимых множителей, то это
могут быть только множители вида ж2 4- аж 4- /3, где а, @ € Z3. Для их
нахождения воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.
Запишем
ж4 4-1 = (ж2 4- ах 4- Ъ)(х2 4- сх 4- d), а, b, с, de Z3
и, перемножив многочлены в правой части равенства, получим
ж4 4-1 = х* 4- (а 4- с)х3 4- (Ь 4- d 4- ас)ж2 4- (ad 4- Ьс)х 4- bd.
Равенство многочленов в левой и правой частях равенства означает
совпадение коэффициентов при одинаковых степенях ж. Следовательно,
получаем систему уравнений:
' а + с — 0
b 4- d 4- ас = 0
ad+bc~ 0
.bd= 1
(коэффициент при ж3),
(коэффициент при ж2),
(коэффициент при ж),
(коэффициент при 1).
§ 3. Кольца и поля
211
Из равенства bd — 1 следует, что либо b = 1, d = 1, либо b = 2,
d = 2. Если b = 1, d = 1, то значения а и с удовлетворяют системе
уравнений
( a 4- с = О,
( ас = 1.
Система не имеет решений. При 6 = 2, d = 2 получим
( а 4- с = О,
[ ас = 2.
Отсюда а = 1, с = 2 или а = 2, с = 1. Следовательно, разложение исход-
ного многочлена на неприводимые множители над полем Z3 имеет вид
х4 4- 1 = (ж2 4- 2х 4- 2)(ж2 4- х 4- 2). О
В задачах 4.365-4.376 разложить следующие многочлены на
неприводимые множители над заданным полем.
4.365.	ж3 - 2ж2 - 13ж - 10 (над К).
4.366.	ж4 — 6ж2 + 7х — 6 (над К и С).
4.367.	хп - 1 (над R и С).
4.368.	ж4 + ж3 — 5ж2 + ж — 6 (над R и С).
4.369.	ж4 4- ж3 4- 2ж2 4- ж 4-1 (над Z5).
4.370.	ж3 4- 2ж2 4- 4 (над Z5).	4.371. ж2 4- ж 4-1 (над Z3).
4.372.	ж4 + 2ж3 4- 2ж 4- 6 (над Z7).
4.373.	ж4 + 4 (над R).	4.374. ж5 4-1 (над Z5).
4.375.	ж6 4-27 (над R).
4.376.	ж₽-1 — 1 (над Zp, р — простое).
В задачах 4.377 и 4.378 найти многочлен /(ж) наименьшей
степени из 2б[ж], удовлетворяющий заданным условиям.
4.377.	f (0) = /(1) = /(4) = 1, /(2) = /(3) = 3.
4.378.	/(0) = /(2) = /(3) = 2, /(1) = 1, /(4) = 3.
В задачах 4.379-4.384 определить, являются ли неприводи-
мыми многочлены над указанными полями.
4.379.	ж5 4- 2ж2 4- ж 4-1 (над Z3).
4.380.	ж4 4- 2ж3 4- ж2 4- 2ж + 1 (над Z3).
4.381.	ж5 4- 2ж4 4- ж 4-1 (над Z5). 4.382. ж4 + ж 4-1 (над Z2).
4.383.	ж3 - 2 (над Q).	4.384. ж4 - 2 (над Q).
4.385.	Доказать, что многочлен 2-й или 3-й степени над полем
F неприводим тогда и только тогда, когда он не имеет корней в
F. Показать на примере, что это неверно для многочленов более
высоких степеней.
212 Гл. 4. Элементы общей алгебры
4.386*	*. Доказать, что над любым полем существует бесконечно
много неприводимых многочленов.
Назовем многочлен с целыми коэффициентами примитивным, если
наибольший общий делитель его коэффициентов равен 1.
4.387*	. Доказать лемму Гаусса: произведение примитивных
многочленов является примитивным многочленом.
4.388*	. Доказать, что многочлен с целыми коэффициентами не-
приводим над полем Q тогда и только тогда, когда он неприводим
над кольцом Z (т. е. не раскладывается в произведение многочле-
нов меньшей степени с целыми коэффициентами).
4.389*	. Доказать критерий Эйзенштейна: многочлен с це-
лыми коэффициентами f(x) = апхп + ... + а±х + а$ неприводим
над полем Q, если для некоторого простого р выполняются усло-
вия: а) ап не делится на р; б) an_i, ..., ai, «о делятся на р; в) ao
2
не делится на р.
В задачах 4.390-4.399 доказать неприводимость над полем Q
следующих многочленов.
4.390*	. ж3-2.	4.391. ж4 - 3.
4.392.	ж4 - 8ж3 4- 12ж2 - 6ж 4- 2.
4.393.	ж5 - 12ж3 4- 36ж - 12.
4.394.	1 4- ж 4- ж2 4-... 4- хр~х (р — простое).
В задачах 4.395 и 4.396 найти все многочлены 3-й степени,
неприводимые над указанным полем.
4.395.	Над полем Z2.	4.396. Над полем Z3.
4.397.	Найти все многочлены 4-й степени, неприводимые над
полем Z2.
В задачах 4.398-4.401 определить, при каких а многочлен / (ж)
неприводим над полем F.
4.398.	/(ж) = ж4 4-ж4-о, F = Z3.
4.399.	/(ж) = ж4 4~ a, F = Z3.
4.400.	/(ж) = ж4 4- a, F = Z5.
4.401.	/(ж) = аж4 4- ж 4- a, F —
4.402.	Найти какой-либо многочлен 6-й степени, неприводи-
мый над полем Z2.
4.403.	Доказать, что если многочлен /(ж) над полем Zp удовле-
творяет равенству /(ж 4-1) = /(ж), то его степень делится на р.
4.404*	. Доказать, что многочлен хр—ж4-а при а 7^ 0 неприводим
над полем Zp.
Теорема. Пусть R — ассоциативно-коммутативное кольцо.
Если R не имеет ненулевых делителей нуля, то R может быть вло-
жено в поле, т. е. существует поле F такое, что каждый элемент
§ 3. Кольца и поля
213
х G R представляется в виде х = ab-1 при подходящих a,b € R (т.е.
в виде дроби с числителем и знаменателем из R).
Поле F называется полем частных кольца R.
Пример 16. Выяснить, что из себя представляет поле частных
кольца Z[x].
<1 Всякий многочлен <р(х) € Q[a:] после приведения его коэффициен-
1	/ ч
тов к общему знаменателю может быть представлен в виде —щх), где
т
f (х\
т G Z и и G Z[x]. Следовательно, множество дробей вида где
ц (х \
f, а € совпадает с множеством дробей —~, где и, v G Z[x]. Сле-
v(x)
довательно, поле частных кольца Z[x] совпадает с полем рациональных
функций Q(ar). >
В задачах 4.405-4.407 определить, что представляет собой поле
частных кольца R.
4.405.	R = F — поле.
4.406.	R = 2Z — кольцо четных чисел.
4.407.	R = {а 4- Ы | а, b 6 Z, г2 = — 1} — кольцо целых гауссо-
вых чисел.
\
В задачах 4.408-4.410 определить, имеют ли поле частных ука-
занные кольца.
4.408.	Кольцо С[а, 5] всех функций, непрерывных на отрезке
[а, Ь].
4.409.	Кольцо К ф R.
4.410.	Кольцо F[x, у] всех многочленов от двух переменных над
полем F.
Дробь вида , гдер(я?) — неприводимый над полем F многочлен
РП{Х)
fix')
и degu(a?) < degp(ar), называется простейшей. Дробь *	— правиль-
ная, если deg/(я?) < degg(x), и неправильная в противном случае.
f (*^)
Теорема. Всякую правильную дробь можно разложить
9\х)
f(x) Uij(x)
на простейшие, т.е. представить ее в виде	у , где
Pi(x) — неприводимые многочлены над полем F и degUi7 (a?) < degpi(ar).
Пример 17. Разложить на простейшие дроби над полем Ж следую-
щую дробь:
2х + 3
х4 — 4х3 + 8я?2 — 16х + 16
214
Гл. 4. Элементы общей алгебры
<] Разложим знаменатель на неприводимые над Ж множители. Заме-
тим, что х = 2 — его корень. Следовательно, по теореме Безу данный
многочлен делится на х — 2. Разделив, получим:
ж4 — 4ж3 + 8ж2 — 16ж + 16 = (ж — 2)(ж3 — 2х2 + 4ж — 8).
Многочлен во второй скобке также имеет корень х = 2. Разделив еще
раз, получим:
ж4 — 4ж3 + 8ж2 — 16ж + 16= (ж — 2)(ж - 2)(ж2 + 4) = (ж — 2)2(ж2 + 4).
Следовательно, разложение дроби на простейшие (пока с неопределен-
ными коэффициентами) имеет вид
2ж + 3	_ А В Сх + D
ж4 — 4ж3 4- 8ж2 — 16ж + 16 ж - 2 + (ж - 2)2 + ж2 + 4 ’
После приведения к общему знаменателю суммы дробей и отбрасывания
знаменателя получим тождество:
2ж + 3 = А(ж - 2)(ж2 + 4) + В(ж2 + 4) + (Сх + D)(x - 2)2.
Равенство многочленов означает совпадение коэффициентов при каждой
степени ж. Следовательно, мы имеем систему уравнений:
' 0 = А + С	(коэффициент при ж3),
О = — 2А + В — 4С + D (коэффициент при ж2),
2 = 4 А + 4С — 4D	(коэффициент при ж1),
< 3 = —8А + 4В + 4D	(коэффициент при ж0).
3	7	3	1
Решив эту систему, получим: А = — —, В — -, С = —, D = —
16	8	16	2
Таким образом,
2ж + 3___________ 3/16	7/8	(3/16)ж - 1/2
ж4 — 4ж3 + 8ж2 — 16ж + 16 ж - 2 + (ж - 2)2 + ж2 + 4
В задачах 4.411 и 4.412 выделить целую часть дроби над за-
данным полем, т. е. представить дробь в виде суммы многочлена
и правильной дроби.
4.411. -Ж2---~-7 (над R).	4.412. -	-- (над Z5).
ж2 + 2ж - 1	Зж3 + х + 4
В задачах 4.413-4.416 представить рациональную дробь в виде
суммы простейших над полем С.
2
4 445 -------------------- 4 41g, -----_---
(ж - 1)(ж + 2) (ж + 3)	(ж4-1)2‘
§ 3. Кольца и поля
215
В задачах 4.417-4.420 представать рациональную дробь в виде
суммы простейших над полем К.
1
х3 — 1
1
4.417.
4.418.
х4 - 1
X
4.420.
4.419. -4 - 2'
\Х* — I)2
В задачах 4.421-4.424 представить рациональную дробь в виде
суммы простейших над указанным полем.
1
( 3.L 2_, Ln (Над Z2)-
х(х° 4- хл 4- х 4-1)
z3 + z2 + 1	,	™ X
х2(х2 + х 4-1)(ж4-1) (надЙ2'-
х4 4- ж3 4- х2 4- х 4- 1
------г----—-------- (над Да).
хь + ж4 4-1 v '
ж2 4- 2ж 4- 2
х(х2 +2) (ж2 +1) (над2з)-
В задачах 4.425-4.428 разложить на простейшие дроби над ука-
занным полем.
1	х
4.425. —----- (над Zp).	4.426.	:--- (над Zp).
хР — х	xP~L — 1	г
1	х
4.427. ------ (а) над С; б) над R). 4.428. ------ (над С).
хп — 1	хп 4-1
В задачах 4.429-4.431 выразить через <р(ж) указанные суммы,
где <р(ж) = (ж - xi)(x - жг). • .(х - жп).
П 1	п
4.429. £ ——. 4.430. V
i=l X-Xi	i=l X-Xi
4.432. Указать какое-либо бесконечное поле характеристики 2.
4.421.
4.422.
4.423.
4.424.
п 1
4.431. £ -------
Производная многочлена /(ж) = anxn 4-... 4- a\x 4- ао над полем F
определяется следующим образом:/'(ж) = папжп-14-(п-1)ап_1Жп-24-...
... 4* 2о2*г 4* ai.
Пример 18. Найти производную многочлена /(ж) = ж4 4-ж3 4-ж2 4-
4- ж 4-1 над полем 2г[ж].
< /'(ж) = 4ж3 4- Зж2 4- 2ж 4-1 = ж2 4-1. >
Теорема. Пусть F — поле u f(x) — многочлен с коэффициен-
тами из F. Многочлен f(x) не имеет кратных корней ни в каком
расширении поля F в том и только том случае, если f(x) и f'(x)
взаимно просты.
216
Гл. 4. Элементы общей алгебры
Пример 19. Найти какой-нибудь многочлен f{x) над полем Ж, не
имеющий кратных корней в К, для которого (/(ж), /'(ж))	1.
<] Таковым является, например, многочлен /(ж) = (ж2 4- I)2. Так как
/'(ж) = 2(ж2 + 1) • 2ж, то (/(ж), /'(ж)) = ж2 + 1	1. Противоречия с
предыдущей теоремой здесь нет, так как многочлен /(ж), хотя и не имеет
корней в R, но имеет кратные корни в поле С, являющемся расширением
поля R: (ж2 + I)2 = (ж + г)2 (ж — i)2. t>
Дифференцирование можно перенести с кольца многочленов Г[ж] на
поле рациональных функций ^(ж), положив
(' =	~ f(x)9'(x)
\д(х)/	92(х)
Пример 20. Найти производную функции (ж) =
^т&из2з(1)-
, .	1' • (ж3 + 2ж) - 1 • (ж3 4- 2ж)' _ -Зж2 - 2	_
Х	(ж3 4- 2ж)2	ж6 4- 4ж4 4- 4ж2
- 1
ж6 4- ж4 4- ж2 ’
Пример 21. Найти кратные корни многочлена /(ж) = ж4 4- 2ж3 —
— 5ж2 — 6ж + 9 из К[ж].
<] Найдем производную:
/'(ж) = 4ж3 4- 6ж2 - Юж - 6 = 2(2ж3 + Зж2 - 5ж - 3).
Затем найдем </(ж) = (/(ж), /'(ж)). Для этого применим алгоритм Ев-
клида к многочленам /(ж) и /'(ж). В результате получим: </(ж) =
= ж2 4- ж — 3, а /(ж) = (ж2 4- ж — З)2. Значит, /(ж) имеет двукратные
-1±х/Ю
корни Ж1,2 = --------. >
А
4.433.	Доказать свойства производной многочлена над произ-
вольным полем F:
1)	(/М +9(ж))' = f'(x) + д'(хУ
2)	(А/(Ж))' = (А 6 F);
3)	(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) +
4)	(№(*)))' = ГШ-
4.434.	Доказать, что для любого поля F и рациональной функ-
ции (р(х) 6 F(x) верно равенство I  ..	=---
§ 3. Кольца и поля
217
В задачах 4.435 и 4.436 определить кратность корня хо много-
члена f(x) из 1К[ж].
4.435.	f(x) = х3 — 5ж4 4- 7х3 - 2х2 4- 4х — 8, жо = 2.
4.436.	f [x) = Зж5 + 4т4 4- ж3 - Юж - 8, xq = -1.
В задачах 4.437 и 4.438 найти кратные действительные корни
многочленов из К[ж].
4.437. ж5 - Юж3 - 20ж2 - 15ж - 4.
4.438.	ж6 — 2ж5 — ж4 — 2ж3 4- 5ж2 4- 4ж 4- 4.
4.439*	. Доказать, что в поле R многочлен 14-^4-~4-...4-“т
1!	2! п\
не имеет кратных корней.
4.440.	Найти кратность корняа многочлена/(ж) — f'(a)(ж — а) —
— -//z(a)(^ — а)2, где /(ж) — многочлен из К[ж] степени 3.
4.441.	При каких соотношениях между а и b многочлен ж5 4-
4-	аж3 4- b имеет в поле R двукратный корень, отличный от 0?
4.442.	Найти все а, при которых многочлен /(ж) из К[ж] имеет
кратный корень:
а) /(ж) = ж3 — Зж 4- а; б) /(ж) = ж4 — 4ж 4- а.
4.443. При каком а многочлен ж5 — аж2 — аж 4-1 из К[ж] имеет
число —1 корнем кратности, не меньшей 2?
4. Фактор-кольцо. Непустое подмножество А кольца R называется
подкольцом этого кольца, если выполнены условия:
(Пк1) У a, b € А а + Ъ 6 А;
(Пк2) У а 6 А —а 6 А;
(ПкЗ) У а, b € A ab 6 А.
Первые два из этих условий означают, что подкольцо является подгруп-
пой аддитивной группы (Я, 4-) (но не наоборот).
Непустое подмножество I кольца R называется идеалом кольца R
(обозначается: I <] R), если выполнены условия:
(И1)Уа, bel а + ЬеЦ
(И2)Уаб7 -а 6 I;
(ИЗ) V а € I Уг € R га G I, аг € I.
Левый идеал — непустое подмножество 7, для которого I 4- 7, —7,
RI С R-, правый идеал: 7 4-7, —7, IR С R.
Во всяком кольце R есть тривиальные идеалы: это 0 — наименьший
идеал и R — наибольший идеал. Кольцо R называется простым, если
оно не имеет нетривиальных идеалов.
Суммой двух подмножеств А и В кольца R называется множество
А+В — {a4-b | a € A, b 6 В}, произведением подмножеств — множество
А • В =	| о.» € A, bi 6 в}.
Пример 22. Найти общий вид идеалов кольца R = Ri ф ... ф Rn,
где Ri — кольца с единицей.
218
Гл. 4. Элементы общей алгебры
<1 Докажем, что идеалы кольца R — это в точности множества вида
Л ф ... Ф 1п, где Ц < Ri (г = 1, 2, ..п). Ясно, что Л Ф ... Ф 1п <1 R,
если Ц <1 Ri для всех г (докажите!). Осталось показать, что всякий
идеал имеет такой вид. Пусть I < R. Обозначим через 7Tj гомоморфизм
R -> Ri, определенный правилом 7г(ж1, Х2, ..., хп) = Xi (проекция R на
Ri). Положим Ц = Ki(I) для i = 1, 2, ..., п. Проверим, что Ц <1 Ri.
Пусть х, у € Ii и г Е Ri- Положим е; = (0, ..., 1, ..., 0) («1» на г-м
месте, «0» — на остальных). Очевидно, е? = е, и ei + ... + en = 1 —
единица кольца R. Так как х, у Е Ii, то х = eiX, у = е^, следовательно,
-х = е,(-ж) Е R, х + у = ei(x + y) Е Ц, гх-г-егх- ei(rx) Е Ii и ана-
логично хг Е R. Значит, Ц <\ Ri. Если теперь a — произвольный эле-
мент из I, то a = (ai, ..., an), где ai Е Ri, следовательно, a = e^ai 4- ...
.. . + enan E Ii+-. - + In (так как ai = £ia € 4)- Утверждение доказано. >
Пример 23. Доказать, что кольцо Fn всех п х n-матриц над полем
F не имеет нетривиальных идеалов.
<1 Пусть I <1 Fn и I 0. Тогда существует матрица А = ||a,j|| € I
такая, что 0 при некоторых i, j. Пусть Ем обозначает матрицу,
у которой на (к, Г)-м месте стоит 1, а на остальных местах 0. Так
как I — идеал, то EsiA(Xa^j1 Ер) G I при всех Л € F и любых s,
t. Но ESiA(Xa~j1 Ejt) = XEst. Итак, все матрицы XEst принадлежат
I. Но тогда любая матрица принадлежит I, так как если В Е Fn, то
В = 52 bstEst Е I. Следовательно, I = Fn. >
s, t
Пример 24. Существуют ли в кольцах Z, К, Fn подкольца, не
являющиеся идеалами?
<1 Если А — подгруппа группы (Z, +), то А = nZ при некотором п. Ясно,
что nZ — идеал кольца Z. Следовательно, в кольце Z нет не только под-
колец, но и аддитивных подгрупп, не являющихся идеалами. В кольце
К есть подкольцо Q, не являющееся идеалом. В кольце матриц Fn при
п > 2 есть подкольца, не являющиеся идеалами. Приведем несколько
примеров: а) подкольцо Тп верхних треугольных матриц; б) подкольцо
диагональных матриц; в) подкольцо скалярных матриц, т. е. матриц
вида ХЕ, где X Е F, а Е — единичная матрица. >
4.444*	*. Доказать, что в поле нет нетривиальных идеалов.
4.445.	Доказать, что сумма двух идеалов является идеалом.
4.446.	Доказать, что произведение двух идеалов ассоциативного
кольца является идеалом.
4.447.	Привести пример подколец А и В кольца F[rc] (F —
поле), для которых сумма А 4- В не является подкольцом.
4.448.	Будет ли произведение АВ двух подколец А и В ассоциа-
тивно-коммутативного кольца также являться подкольцом?
4.449.	Перечислить все идеалы кольца Z20-
4.450.	Доказать, что если в кольце R а2 = а для всех а Е R,
то R коммутативно и а 4- а — 0 для всех а.
4.451.	Для идеалов кольца Z вычислить:
a)** mZ 4- nZ; б) mZ П nZ; в) mZ • nZ.
§ 3. Кольца и поля
219
В задачах 4.452 и 4.453 найти сумму указанных идеалов.
4.452.	4Z + 10Z.	4.453. 8Z + 6Z + 15Z.
В задачах 4.454 и 4.455 найти пересечение указанных идеалов.
4.454.	4Z П 10Z.	4.455. 8Z П 12Z.
4.456.	Найти все идеалы кольца Z2 Ф Z2.
4.457*	*. Доказать, что если F — поле, F[rc] — кольцо многочле-
нов над F, то всякий идеал I кольца F[z] имеет вид I = f (rc)F[rc],
где f (ж) — некоторый элемент F[rc].
4.458.	Доказать, что если F — поле и f (ж), д(х) 6 F[rc], то
f(x)F[x] + g(x)F[x] = d(x)F[x], где d(x) = (/(ж), д(х)).
4.459.	Доказать, что множество всех п х n-матриц над полем
F, у которых первый столбец состоит из нулей, образует левый
идеал кольца Fn. Является ли он правым идеалом?
Пусть R — ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей. Для
каждого a G R множество aR является идеалом. Это наименьший идеал,
содержащий элемент а. Он называется главным идеалом.
4.460*	*. Доказать, что в кольце Z целых чисел все идеалы глав-
ные.
4.461*	*. Найти все идеалы кольца Zn. Какие из них являются
главными?
4.462.	Доказать, что в кольце Z[rc] не все идеалы главные.
Элемент е кольца R называется идемпотентом, если е2 = е.
В задачах 4.463-4.466 доказать утверждения, если R — ассо-
циативное кольцо с единицей.
4.463.	Если е — идемпотент, то 1 — е — тоже идемпотент.
4.464.	Если е, f — идемпотенты и ef = fe, то ef — идемпо-
тент.
4.465.	Если е, f — идемпотенты и ef = fe, то е + f — ef —
идемпотент.
4.466.	Если ei, ..., ёп — ортогональные идемпотенты (т.е.
еге7 = 0 при i j), то ei + ... + еп — идемпотент.
4.467.	Пусть R — ассоциативное кольцо и Е — множество его
идемпотентов. Доказать, что Е будет частично упорядоченным
множеством, если положить е f <=> ef — fe = е.
4.468.	Пусть R — ассоциативное кольцо с единицей и е 6 R —
центральный идемпотент (т.е. е2 = е и er = ге для всех
г 6 R). Доказать, что R разлагается в прямую сумму колец: R =
= eR ф (1 — e)R.
В задачах 4.469 и 4.470 в кольце R найти ненулевые ортого-
нальные идемпотенты ей f такие, что е+/ = 1 и R = еЯф(1—e)R.
4.469.	R = Z24-	4.470. R = Z45.
220
Гл. 4. Элементы общей алгебры
Пусть R — кольцо, I — его идеал. Образуем фактор-группу R/I, рас-
сматривая лишь операцию сложения. Элементы фактор-группы имеют
вид a 4-1 и складываются по правилу (а + Г) + (b + I) = (а + b) + I.
Введем умножение на группе R/I, полагая
(а + /)(& + Z) =ab + I.
Множество R/I с введенными операциями является кольцом. Оно
называется фактор-колъцом кольца R по идеалу I.
Пример 24. Пусть F — поле, У[ж] — кольцо многочленов над F
и f(x) — многочлен степени п 1. Тогда элементы фактор-кольца
У[ж]//(ж)У[т] могут быть представлены в виде шо+сшжч-..	4-
4-1, где I = f(x)F[x], а а0, а1} ..., an-i е F.
<1 Действительно, пусть д(х) 4-1 — элемент фактор-кольца. Разделим
д{х) на f(x) с остатком: д{х) = /(ж)д(ж)4-г(ж), rfledegr(x) < п. Отсюда
получаем:
д(х) 4-1 - f(x)q(x) 4- г(ж) 4-1 = г(ж) 4-1,
так как /(я)д(ж) 6 I. >
4.471.	Найти общий вид элементов фактор-кольца А =
= R[a?]/(rc3 - 2х2 4- 4)К[ж].
4.472.	Доказать следующую теорему. Пусть F — поле, F[rc] —
кольцо многочленов над F и /(ж) — ненулевой многочлен. Тогда
фактор-кольцо А = F[x]/f (rc)F[rc] является полем в том и только
том случае, если многочлен f (х) неприводим над полем F.
Пусть <р: R -> R' — гомоморфизм колец. Определим ядро ker</> и
образ Im гомоморфизма следующим образом:
кег</> = {х € Я| = 0},	= {(/>(ж) | х € R}.
Теорема об изоморфизме для колец. Пусть : R-+ R' —
гомоморфизм колец. Тогда кет является идеалом кольца R и имеет
место изоморфизм
R/kenp й Im </>.
Пусть R — кольцо и I — его идеал. Гомоморфизм R -> R/I, ста-
вящий в соответствие каждому элементу а € R смежный класс а 4- Z,
называется естественным гомоморфизмом.
Пример 25. Пусть п 6 N и d\n. Доказать, что dZn <1 Zn и
Zn/dZn —
<] Определим отображение Zn -> Zd правилом: <р(х) = х mod d. Это
отображение определено корректно, так как если х = у (mod п) и d | п, то
х = у (modd). Проверка того, что является гомоморфизмом, осущест-
вляется непосредственно. Ядро отображения состоит из элементов,
которые = 0 (modd), т.е. кег= dZn. Следовательно, по теореме об
изоморфизме dZn <1 Zn и Zn/dZn S Zd- t>
§ 3. Кольца и поля
221
Пример 26. Доказать, что изоморфны друг другу и являются
полями кольца 7?i, R2 и R%, где Ri = ПЦж]/(ж2 4- 1)Н8.[ят], R2 =
f / а	1
= < I ь I |а, о 6 К > с обычными операциями сложения и умноже-
ния матриц и Лз = {(а, Ь) |а, b G К} с операциями (а, &) 4- (а', &') =
= (а 4- a', b 4- &'), (а, &)(а', &') = (аа1 — bb', ab' 4- Ьа1).
<1 Элементы из Ri имеют вид ах + b + I, где I = (х2 + 1)Щж]. Полагая
х + I = 0, получим: I
Ri = {a0 + b\a,be№, О2 4-1 = 0} = R[0].
Соответствия
(а Л ,
,	I —4 ад 4" Ъ
—b aj
между этими кольцами (7?з -4 R2 -4 R\), очевидно, взаимно одно-
значны. Сохранение операций при этих соответствиях проверяется не-
посредственно. Следовательно, кольца изоморфны. Так как R\ = /?[0] —
поле, то Я2 и Яз — также поля. Эти поля изоморфны полю С комплекс-
ных чисел. [>
Пример 27. Доказать, что если F — поле и /(ж) — многочлен
первой степени над F, то имеет место изоморфизм F[x]/f (ж)К[ж] = F.
<1 Положим I = /(ж)^[ж]. Элементы фактор-кольца F[x]/I имеют вид
д(х) 4-1, где д(х) Е К[ж]. Представители смежных классов могут быть
выбраны таким образом, что degp^) < deg/(ж). Значит, F[x]/I =
= {А 4- 11 Л G F}. Нетрудно показать, что соответствие А »-4 А 4- F
взаимно однозначно и сохраняет операции, а значит, является изомор-
физмом колец F и F[x]/I. >
4.473*	*. Доказать, что Z/nZ = Zn.
4.474.	Выписать все элементы фактор-кольца Zs/4Zg.
4.475.	Определить изоморфные образы заданных фактор-колец:
a) Z12/2Z12; б) Z48/6Z48.
4.476.	Найти все идеалы кольца 4])[ж]/(ж3 — l)Q[x].
4.477.	Пусть R = F[a;] — кольцо многочленов над полем F,
р = р(х) — неприводимый над F многочлен. Найти все идеалы
кольца R/pnR.
4.478.	Доказать, что если R — ассоциативное кольцо и I — его
идеал, то кольцо R/I также ассоциативно.
4.479.	Пусть R — кольцо и I — его идеал. Будет ли R комму-
тативным, если I и R/I коммутативны?
4.480*	*. Пусть Я1, ..., Rn — кольца и Д, ..., 1П — идеалы
этих колец. Доказать, что
Ri Ф • • • Ф Rn/Ii Ф---Ф1п = (-Я1/А) Ф • • • Ф (КпДп).
222
Гл. 4. Элементы общей алгебры
4.481*	*. Пусть R — ассоциативно-коммутативное кольцо с еди-
ницей, а и b — его элементы и R = aR 4- bR. Доказать, что
R/abR — R/aR ф R/bR.
В задачах 4.482-4.450 определить, чему изоморфны указанные
фактор-ко льца.
4.482*	*. ВД/(ж3 - 1)ВД. 4.483. ВД/(ж2 4- х + 2)ВД.
4.484.	Q[#]/(x3 — l)Q[z].	4.485. Иф?]/(ж4 — 1)1К[ж].
4.486.	R[x]/(x4 + 1)1ф].	4.487. Z5[x]/(i2 + 4)Z5[x].
Если R — кольцо и I — его идеал, то будем писать a = b (mod I) в
случае, если a — b G I (здесь a, b 6 R).
Китайская теорема об остатках. Пусть R — ассоциатив-
но-коммутативное кольцо с единицей. Ai,..., Ап — его идеалы такие,
что Ai 4- Aj = R при г / j. Тогда для любых xi, ..., хп 6 R суще-
ствует такое х Е R, что х = Xi (mod Ai), ..., х = хп (mod Ап).
Идеалы А, В с условием А 4- В = R называют взаимно простыми.
Из теоремы непосредственно следует, что система сравнений
х = Xi (modni),
х = Xk (mod nk)
имеет решение в кольце целых чисел, если числа щ, ..., Пк попарно
взаимно просты.
Пример 28. Решить систему сравнений <
<1 Имеем:
х = 3 4- 5т = 14- 8п,
х = 3 (mod5),
х = 1 (mod 8).
где т, п Е Z. Отсюда
5т — 8п = -2.
Частное решение этого уравнения: то = -2, по = —1. Общее решение:
т = — 2 4- St, п = — 1 4- 5t, где t Е Z. Таким образом,
х — 3 4" 5m — З-f- 5(—2 4- 8t) — —7 4- 40t.
Окончательно получаем: х = 33 (mod 40). >
Пример 29. Существует ли многочлен f(x) Е К[ж] такой, что f(x) —х
делится на (х — I)2, а /(ж) 4- 3 делится на ж2?
<1 Многочлены (х - I)2 и х2 взаимно просты, поэтому существование
многочлена f(x) следует из Китайской теоремы об остатках. Найдем все
такие многочлены. Имеем:
f(x) —х = и(х)(х — I)2, f(x) 4- 3 = v(x)x2.
§ 3. Кольца и поля
223
Отсюда
х 4- 3 = v(x)x2 - и(ж)(ж - I)2.	(*
Применим алгоритм Евклида к многочленам (ж — I)2 и ж2. Находим:
(ж — I)2 = ж2 • 1 4- (-2x 4-1) или ж2 = (-2ж 4-1) (—^х — 7)4-7.
\ 2	41	4
Следовательно,
1 = х2 • 4 4- (2ж 4- 1)(-2ж - 1) = х2 • 4 4- (2ж 4- 1)((ж - I)2 — ж2) =
= (2ж + 1)(ж - I)2 4- (-2ж 4- 3)ж2.
Отсюда
х 4- 3 = (х + 3)(-2ж 4- 3)ж2 - (х 4- 3)(-2ж - 1) (ж - I)2.
Значит,
Vq(x) = (х 4- 3)(-2ж 4- 3), и0(ж) = (ж 4- 3)(-2ж - 1).
Общее решение уравнения (*) имеет вид
и(х) = (х 4- 3)(-2ж - 1) 4- t(x)x2,
где t(x) — произвольный многочлен. Таким образом,
/(ж) = х 4- ((ж 4- 3)(-2ж - 1) 4- t(xjx2)(x - I)2 =
= -2ж4 — Зх3 4- 9ж2 - 3 4- t(x)x2(x — I)2 =
= —7х3 4- 11ж2 — 3 4- ti(x)x2(x - I)2.
Это общий вид всех многочленов /(ж), удовлетворяющих условиям
задачи. [>
4.488.	Доказать, что в кольце Z равенство mZ 4- nZ = Z имеет
место тогда и только тогда, когда числа тип взаимно просты.
4.489.	Решить системы сравнений:
. J а: = 3 (mod 12),	R J * = *
а (а: = 4 (mod5);	б) * = * Ю°*® ’
1 v '	(ж = 5 (mod7).
4.490.	Найти многочлен наименьшей степени, который при де-
лении на 2x4-1 дает в остатке 3, а при делении на х2 дает в остатке
х — 3.
5. Расширения полей. Пусть F — поле, р(ж) — неприводимый над по-
лем F многочлен. Кольцо А = F[x]/p(x)F[x] является полем. Элементы
этого кольца имеют вид
a — qq 4- ai® 4- ... 4- an-ixn 1
224
Гл. 4. Элементы общей алгебры
где q0> «1, • • •> ап-1 G F и p(x)F[o;] = I. Положим 0 = х 4- I. Тогда
а = ао4-а104-...4-ап-10”“1« Будем отождествлять элемент a + I поля А
с элементом а поля F. Теперь мы вправе считать, что А — расширение
поля F, т.е. F С А. Элементы 1, 0, 02, ..., 0п~1 образуют базис поля
А, рассматриваемого как линейное пространство над полем F. Так как
02 = (х +I)2 = х2 4-1, 03 = ж3 + 1 и вообще, д(0) — д(х) 4-1 для любого
многочлена д(х) с коэффициентами из F, то р{0) = р(х) 4-1 = 04-1 = 0
в кольце А. Итак, 0 является корнем многочлена р(х).
Каковы бы ни были поле F и многочлен /(ж) с коэффициентами из
F, существует поле Fi D F такое, что /(ж) имеет корень в поле Fj,.
Для неприводимого многочлена /(ж) построенное выше поле Fi —
наименьшее поле, содержащее поле F и корень многочлена По-
этому говорят, что поле Fi получено присоединением к полю F корня
многочлена f, и пишут Fi = F[0] (или Fi = F(0))9).
Если F — некоторое поле и /(ж) — многочлен над F (необяза-
тельно неприводимый), то существует расширение F' поля F, в ко-
тором многочлен /(ж) разлагается на линейные множители: /(ж) =
= А(х - си).. .(ж - Qn), ai G F1, k = 1, 2, ..., n. Наименьшее поле,
в котором /(ж) разлагается на линейные множители, называется полем
разложения многочлена f(x). Это поле можно получить, взяв в F1 пере-
сечение всех подполей, содержащих поле F и элементы «1, ..., ап. Поле,
полученное присоединением к полю F элементов ai, ..., ап, обозначим
F[ai, ..., QnJ (или F(qi, ..., Qn)).
Пусть F — поле и К — его подполе. Нетрудно проверить, что F явля-
ется линейным пространством над К. Размерность этого пространства
dimK F называется степенью расширения К С F.
Пример 30. Доказать, что К[г] = С.
<] Если F = К — поле действительных чисел и /(ж) = ж2 4- 1. Ввиду
неприводимости этого многочлена, кольцо Fi = К[ж]/(ж2 4- 1)К[ж] явля-
ется полем. Его элементы имеют вид с — ах + Ь +1, где I = (ж2 4- 1)1&[ж].
Полагая ж 4-1 = 0, получим с = а0 4- Ь, где 0 — корень многочлена ж2 4-1
(в Fi). Итак, с = а0 4- Ь', причем 02 = —1. Отсюда следует, что поле Fi
изоморфно полю С комплексных чисел. Таким образом, К[г] = С. [>
Пример 31. Доказать, что
Q[x]/(r’ - 2)ОД = Q^] = {а + Ь9 + ей2 | a, b, с е Q, »3 = 2).
<1 Пусть F = Q — поле рациональных чисел и /(ж) = ж3 — 2. Так как
/ — многочлен 3-й степени, не имеющий корней в Q, то / (ж) неприводим
над Q. Поле Fi = <Ц)[ж]/(ж3 — 2)<Ц)[ж] является расширением поля Q, в
нем многочлен ж3 — 2 имеет корень 0. Таким образом,
Fi = Q[fl] =	= {а 4- Ь0 4- с02 | а, b, с е Q}.
9) Обычно через Я[а] обозначают кольцо, порожденное кольцом R и элементом
а, а через F(a) — поле, порожденное полем F и элементом а. Однако если а —
корень многочлена с коэффициентами из F, то F[a] = F(a).
§ 3. Кольца и поля
225
Можно считать, что поле Fi состоит из всех действительных чисел вида
a 4- bffi 4- сд/4, где a, b, с € Q. >
4.491.	Доказать, что если К, L, М — поля, причем К С L С
С М, то dimK М = limL М • dimK L.
В задачах 4.492-4.496 найти степень расширения.
4.492.	Q(^5) над Q. 4.493. R(^5) над R.
4.494.	Q(^l) над Q10).	4.495. Z5(x/2) над Z5.
4.496.	Q(^T) над Q.
В задачах 4.497-4.499 выяснить, справедливы ли указанные
равенства.
4.497.	у/2 G Q(\/3).	4.498. у/2 G Z5(\/3).
4.499.	Q(-(/I) = Q«/l).
Пример 32. Построить поле из 4 элементов.
<1 Возьмем поле Z2 и неприводимый над ним многочлен 2-й степени.
Он один: х2 4- х 4- 1. Тогда А = Й2[я]/(ж2 4- х 4- 1)Й2[ж] — поле из
четырех элементов. Оно состоит из элементов вида аО 4- Ь, где a, b 6 Z2
и О2 4- 0 4- 1 = 0, т. е. О2 = 0 4-1. Имеем:
А = {0, 1, 0, 0 4-1} = {О, 1, 0, 02}.
Равенства 02 = 04-1и14-1=О позволяют составить таблицы сложения
и умножения этого поля.
Таблица сложения
4-	0	1	0	04-1
0	0	1	0	04-1
1	1	0	0 4-1	0
0	0	0 4-1	0	1
04-1	04-1	0	1	0
Таблица умножения
•	0	1	0	04-1
0	0	0	0	0
1	0	1	0	04-1
0	0	0	04-1	1
0 4-1	0	0 4-1	1	0
10) Здесь У1 означает такое 0, что 0 / 1 и 03 = 1.
226
Гл. 4. Элементы общей алгебры
, Пример 33. Построить поле из 9 элементов, присоединив к полю Z3
корень в неприводимого многочлена х2+х+2. Вычислить (04-1)(26 4-1),
(0 4-2)"1, (0 4- 1)1999.
<1 Искомое поле состоит из элементов вида a 4- ЬО, где a, b G Z3 и в2 4-
4-04-2 = 0. Отсюда 02 = —0 — 2 = 20 4- 1. Используя это соотношение,
получим:
(0 4-1)(20 4- 1) = 202 4- 20 4- 0 4- 1 = 2(20 4- 1) 4- 0 4-1 = 0.
Далее, (0 4- 2)"1 = х 4- уб, где ж, у Е Z3. По определению обратного
элемента (04- 2)(х4-уд) — 1, т.е. уд2 4-2у04-хд4-2х = 1, или 2/(204-1)4-
4-(2?/ 4- ж)0 4- 2х = 1, или (у 4- х)6 4- (у 4- 2х 4- 2) = 0. Так как 0 Z3, то
элементы 1 и 0 линейно независимы над полем Z3, следовательно, мы
имеем систему уравнений ?/ 4- ж = 0, у+ 2х 4-2 = 0. Решив эту систему,
получим: х = 1, у = 2. Таким образом, (0 4- 2)-1 = 1 4- 20.
Пусть F = Z3[0] — данное поле. Тогда F* = F\{0} — группа из 8
элементов. Следовательно, а8 = 1 для всех a 6 F*. Поэтому (0 4-1)8 = 1.
Разделим 1999 на 8 с остатком: 1999 = 8 • 249 4- 7. Следовательно,
(0 4- 1)1999 = (0 4- 1)8’249 • (0 4- 1)7 = (0 4- 1)7.
Далее имеем:
(0 + 1)2 = 02 + 20 4-1 = (20 4-1) 4- 20 4-1 = 0 4- 2,
(0 4-1)4 = (0 4- 2)2 = 02 4- 40 4- 4 = 02 4- 0 4- 1 = (20 4-1) 4- 0 4-1 = 2,
(0 4-1)7 = (0 4-1)4(0 4- 1)2(0 4- 1) = 2(0 4- 2)(0 4-1) =
= 2(02 4- 2) = 202 4-1 = 2(20 4-1) 4-1 = 0. >i
В задачах 4.500-4.503 построить поле из рп элементов и найти
образующий элемент мультипликативной группы этого поля.
4.500. р = 2, п = 4. 4.501. р = 3, п = 2.	'
4.502. р = 5, п = 2. 4.503. р = 3, п = 3.
4.504. Построить поле F из 49 элементов, присоединив к полю
Z7 корень 0 многочлена ж3 4- х 4- 3.
В задачах 4.505-4.507 произвести указанные вычисления й
поле F = Zs(0), где 03 4- 20 4- 1 = 0.
4.505. (302 4- 1)(02 4- 40 4- 2).	4.506. (02 4- 30 4- 1)"1.
4.507. (02 4- 1)2001.
В задачах 4.498-4.500 решить уравнения в указанных полях.
4.508. х2 = 2 в поле ^з(0), где 02 4- 0 4- 2 = 0.
4.509. х2 = 3 в поле Zs(0), где 02 = 2.
4.510. ж44-ж4-1 = 0в поле ^(0), где 04 4- 03 4- 1 = 0.	;
§ 3. Кольца и поля
227
В задачах 4.511-4.513 найти размерность поля разложения мно-
гочлена.
4.511.	ж4 + 1 над Z3.	4.512. ж3 — х2 — Зж + 2 над R.
4.513.	ж3 + х + 1 над Q. * 1
4.514.	Выяснить, какие подполя имеет поле из п элементов,
если: а) п = 8; б) п = 16.
Пример 34. Избавиться от иррациональности в знаменателе дроби
1
v^4 4- v^2 4- 2
<] 1-й способ. Рассмотрим поле Q(\/2) = Q[0], где в3 — 2. Задача
состоит в нахождении (б2 4- 0 4- 2)-1. Запишем:
(02 4- 0 4- 2)-1 = хб2 +ув 4- z,
где х, у, z Е Q. Отсюда
(02 4- 0 4- 2)(ж02 4- уб 4- z) = 1,
т. е.
или
ж04 4- (ж 4- у)63 4- (2ж 4- у 4- z)02 4- (2у 4- z)0 4- 2z = 1,
2x6 4- 2(ж 4- у) 4- (2ж 4- у 4- z)62 4- (2у 4- z)6 4- 2z = 1.
Используя линейную независимость элементов 1, 0, 02 над Q, получим
систему:
2ж 4- у 4- z = О,
< 2х 4- 2у 4- z = О,
2ж 4- 2у 4- 2z = 1.
Решив ее, получим: х = — i у = 0, z = 1. Следовательно, (^4 4- у/2 4-
а»
4- 2)-1 = -i^4 + l.
а»
2-й способ. Рассмотрим многочлены ж2 4- ж 4- 2 и ж3 — 2. Применим
к ним алгоритм Евклида:
ж3 — 2 = (ж2 4- х 4- 2)(ж — 1) — ж, ж2 4- ж 4- 2 = ж(ж 4-1) 4- 2.
Следовательно,
1 =	4- ж 4- 2) - ^ж(ж 4-1) =
а»	и
- ^(ж2 4- ж 4- 2) - ^((ж2 4- ж 4-2)(ж - 1) - (ж3 - 2))(ж 4-1) =
= |(я3 — 2)(ж 4-1) 4-(ж2 4-ж 4-2)	- ^ж2 4-	.
Ai	U	U j
Подставив ж = 0, получим: 1 = 0 4- (02 4- 0 4- 2) I 1 - -02 I . Значит,
\	^*7
(92+« + 2)-1 = l-ie2 = l-i-y4. >
А»	At
228
Гл. 4. Элементы общей алгебры
1
^з-v^S+i
4.516.
4.515.
В задачах 4.515-4.517 избавиться от иррациональности в зна-
менателе дроби.
1-^2
2 + у/2 + ^2‘
4.517.	---
2^5 + ^5 + 1
Пусть F — конечное поле. Тогда charF = р, где р — простое число.
Отождествим простое подполе Fq поля F с полем Zp. Тогда F будет
расширением поля 1ЪР.
Теорема 1. (а) Если F — конечное поле, mo |F| = рп, где р —
простое число’,
(б) аддитивная группа (F, +) конечного поля изоморфна группе
Zp ® ... + Zp;
п раз
(в) мультипликативная группа (F*, ♦) конечного поля является
циклической.
Теорема 2. Пусть п — натуральное число, ар — простое.
Тогда:
(а)	существует поле из рп элементов;
(б)	любые два поля из рп элементов изоморфны друг другу;
(в)	если F — поле из рп элементов, то существует неприво-
димый над полем Zp многочлен f(x) степени п такой, что F —
- Zp[®]//(ar)Zp[a;].
Поле из рп элементов называется полем Галуа и обозначается GF(pn).
Теорема 3. Пусть р — простое число, п — натуральное. Тогда
количество ф(п) унитарных многочленов, неприводимых над полем
Zp, вычисляется по формуле
d\n
Примечание. Если в этой формуле заменить р на q = ра, получится
формула количества неприводимых многочленов степени п над полем
Пример 35. Найти количество ф(п) унитарных многочленов, сте-
пени п, неприводимых над полем Zp, при заданных значениях р и п.
а) р = 2, п = 2; б) р — 2, п = 4; в) р — 3, п — 6.
11) д(п) — функция Мебиуса	>
/ \ Г (“I)*» если п = Р1Р2-• -рь, гае pi—различные простые, (
д(п) S	2
L 0, если п делится на р , р — простое.
§ 3. Кольца и поля
229
< а) ф(2) = j (/.(I) • 22 + д(2) • 21) = 1(4 - 2) = 1.
Значит, над полем Z2 есть только один неприводимый многочлен второй
степени. Это многочлен ж2 + х + 1.
6)	V*(4) = | (д(1)  24 + /2(2) • 22 + д(4) • 21) = 1(16 - 4 + 0) = 3.
Таким образом, имеется ровно 3 неприводимых многочлена 4-й степени
над полем Z2. Это х4 + х + 1, х4 4- ж3 + 1 и х4 + х2 + ж2 + х + 1.
в)	= 1 (м(1)  3е + д(2) • З3 + /2(3) • З2 + /2(6) • З1) = 1 (729 - 27) -
-1(9 + 3) = 116.
О
Следовательно, имеется ровно 116 унитарных многочленов шестой сте-
пени, неприводимых над полем Z3. [>
Если к полю GF(q) присоединить корень неприводимого многочлена
fc-й степени, то полученное расширение будет содержать корни всех не-
приводимых многочленов fc-й степени (или, по-другому: всякое непри-
водимое уравнение fc-й степени будет решаться в этом расширении).
Пример 36. Построить поле (7F(81). Найти образующий элемент
мультипликативной группы этого поля.
< Так как 81 = З4, то для построения поля надо найти многочлен 4-й
степени, неприводим’ый над полем Z3. На первый взгляд кажется, что в
качестве такого многочлена можно взять х4 + 1. Однако этот многочлен
приводим над Z3, так как х4 4-1 = (ж2 + х 4- 2) (ж2 + 2ж + 2). Рассмотрим
тогда многочлен /(ж) = ж4 +ж-|-2. Этот многочлен не имеет корней в Z3.
Если предположить, что этот многочлен приводим, то его разложение
запишется в виде ж4 + ж + 2 = (ж2 4- Ах 4- lHa;2 + Вх + 2); составив
(систему уравнений для коэффициентов А и В, убедимся, что она не
имеет решений, следовательно, многочлен ж4 +ж + 2 неприводим над Z3.
Цз неприводимости следует, что
<7F(81) = ЗД/(ж4 + ж 4- 2)й3[ж].
Положим I = (ж4 + ж 4- 2)йз[ж] и в = ж 4- I. Тогда в4 + в + 2 = 0,
откуда в4 = 20 4- 1.
Надо найти в группе GF(81)* элемент порядка 80. Определим поря-
док элемента 0. Имеем:
05 = 0.04 = 202 + 0}	08 = (04)2 = (20 + i)2 = 02 + 0 +
016 = (02 + 0 _|_ i)2 =	= 203 + 0 + 2, О40 = (016)2 • 08 = ... = 2.
Простые делители числа 80 — это 2 и 5. Значит, максимальные дели-
80	80
тели числа 80 — это — = 40 и — = 16. Так как 040 / 1 и 016 / 1, то
0 — элемент порядка 80, а значит, образующий элемент мультиплика-
тивной группы. О
Пример 37. Найти какой-нибудь многочлен 3-й степени, неприво-
димый над полем (7F(4).
23Q Гл. 4. Элементы общей алгебры
<] Поле (7F(4) представим в виде GF(4) — {0, 1, а, а 4-1}, где а2 = а 4-1.
Докажем неприводимость многочлена /(ж) = ж34-ж24-1 над полем GF(4).
Так как deg / = 3, то для этого достаточно доказать, что /(ж) не имеет
корней в GF(4). Имеем: /(0) = /(1) = 10 0,
/(а) = а3 + а2 + 1 = а2 • а + (а + 1) + 1 = (а + 1)а + а = а2=а+1/0
и /(а 4-1) = (а 4-1)3 4- (а 4-1)2 4-1 = а 0 0.
Заметим также, что неприводимость многочлена /(ж) можно вывести
из более общих соображений: если многочлен <р(х) степени п неприво-
дим над полем Zp и НОД(п, к) = 1, то tp неприводим над GF(pk). [>
Пример 38. Разрешимо ли в поле (7F(625) уравнение ж3 4- Зж 4- 3 =
= 0?
<] Многочлен ж3 4-Зж 4-3 не имеет корней в Z5 (это проверяется непосред-
ственно). Если бы этот многочлен имел корень в в поле F = GF^), то
поле F' — Z5($) было бы подполем поля F. Но это невозможно, так как
F' — GF(53), а число 3 не является делителем числа 4. Таким образом,
данное уравнение неразрешимо в поле F. [>
4.518.	Доказать, что для любого простого числа р и любого
натурального п существует неприводимый над полем Zp многочлен
степени п.
4.519.	Выяснить, существует ли поле, количество элементов в
котором равно указанному числу: а) 32; б) 36; в) 125; г) 243.
В задачах 4.520 и 4.521 найти какой-нибудь образующий эле-
мент мультипликативной группы указанного поля.
4.520.	GF(25) = Z5[0], где 02 = 40 4- 3.
4.521.	GF(27) = Z3[0], где 03 = 0 4- 1.
Пример 39. Построить изоморфизм полей
Fi = Z3[ж]/(ж2 4- 1)й3[ж] и F2 = й3[ж]/(ж2 4- ж 4- 2)й3[ж].
<] Очевидно, Fi = йз[0], где 02 = 2, a F2 = йз[и>], где ш2 =	4- 1.
Для построения изоморфизма надо найти в поле Fi элемент, удовле-
творяющий уравнению ж2 = 2ж 4- 1, т.е. найти такие а, /3 G Z3, что
(а 4- /ЭД)2 = 2(а 4- fld) 4-1. Решением является, в частности, а = fl = 1,
т.е. 0 4- 1. Значит, отображение ш »-> в 4- 1, осш 4- fl •-> a(0 4- 1) 4- fl
является изоморфизмом F2 -> F\. t>
В задачах 4.522 и 4.523 выяснить, изоморфны ли указанные
пары колец.
4.522.	2б[д:]/(ж2 — 2)2б[ж] и 2б[ж]/(ж2 — 3)2^[ж].
4.523.	2з[ж]/(д;4 4- 1)^з[ж] и 2з[ж]/(ж4 4- х 4- 2)23[ж].
4.524.	Доказать, что 23[ж]/(ж4 4- 1)2з[ж] = GF(9) ф GF(9).
§ 3. Кольца и поля
231
В задачах 4.525-4.531 найти количество многочленов заданной
степени, неприводимых над указанным полем.
4.525.	5-й степени над
4.526.	6-й степени над
4.527.	Унитарных многочленов 4-й степени над Z3.
4.528.	Унитарных многочленов 5-й степени над Z3.
4.529.	Унитарных многочленов 2-й степени над (р — любое).
4.530.	Унитарных многочленов 3-й степени, неприводимых над
GT(9).
4.531.	Унитарных многочленов 4-й степени, неприводимых над
GF(4).
В задачах 4.532 и 4.533 найти какой-нибудь многочлен задан-
ной степени, неприводимый над указанным полем.
4.532.	2-й степени над GF(9) = Z3[0], 02 = 0 + 1.
4.533.	4-й степени над GF(4).
6.	Алгебры над полем. Множество А называется алгеброй над полем
F, если оно является линейным пространством над F и в нем задана
операция умножения, причем выполнены аксиомы:
(Ал1) (а + b)c = ас + Ьс, с(а 4- Ь) = са 4- сЬ;
(Ал2) (Ла)Ь = а(ЛЬ) = Л(аЬ) для всех a, b, с G А, Л G F.
4.534.	Доказать, что поле F является алгеброй над F. Опреде-
лить размерность этой алгебры.
4.535.	Доказать, что поле С комплексных чисел является ал-
геброй над полем R действительных чисел. Найти размерность и
указать какой-либо базис этой алгебры.
4.536.	Доказать, что кольцо многочленов является беско-
нечномерной алгеброй над полем F с базисом {1, х, х2, ж3, ...}.
4.537.	Доказать, что кольцо Fn всех п х n-матриц над полем
F — ассоциативная алгебра с единицей, причем в качестве базиса
этой алгебры можно взять матричные единицы Eij (элемент на
пересечении г-й строки и j-го столбца равен единице, а остальные
равны нулю). Определить dim^ Fn.
Пусть G = {gi, g2, . •gn} — конечная группа, F — поле. Рас-
смотрим множество FG всех выражений вида Ai</i + ... 4- Хп9п, где
'Ai, ..., Лп G F, в котором сложение определяется обычным образом, а
• умножение по правилу
^2	^2 P'jdj = >2
i	3	*,3
(здесь gigj — произведение элементов gi и gj в группе G).
4.538.	Доказать, что FG — алгебра над полем F с базисом
91 > • • •> 9п-
232
Гл. 4. Элементы общей алгебры
Алгебра из задачи 4.538 называется групповой алгеброй и обозна-
чается FG. Элементы gi, ..., дп образуют базис алгебры FG, поэтому
dimF(7 = п.
Пусть S — полугруппа, F — поле, FS — множество всех формаль-
ных конечных сумм Ai$i + .. -4-Ansn, где Ai, ..., An G F, si, ..., sn G S.
4.539.	Доказать, что FS будет алгеброй над полем F, если по-
ложить
5 ^jSi + У faSj = У	У AfSf • 5 P'j^j У \
i	i	i	i j	i,j
Алгебра FS из задачи 4.539 называется полугрупповой алгеброй.
Если А — n-мерная алгебра над полем F, имеющая базис щ, и?, ...
..., ип, то произведения ищ можно разложить по этому базису:
п
uiui =	(г, j = 1, 2, ..., n). •
fc=i
Совокупность n3 элементов 7^ G F, называемых структурными
константами, однозначно определяет умножение в алгебре А, так как
если а и b — произвольные элементы из А, то при некоторых а,, Д G F
мы имеем а = aiui 4- ... 4- апип, b = (3]Ui 4- ... 4- (Зпип, а значит,
ab= £ aify^Uk.
i, j, k
Пример 39. Получить условия коммутативности алгебры, за-
данной своими структурными константами.
<] Докажем вначале, что коммутативность алгебры А равносильна пе-
рестановочности друг с другом базисных элементов, т.е. выполнению
равенств ищ = UjUi при всех г, j. Действительно, если базисные эле-
менты перестановочны и а = aiUj 4-... 4- апип, b = Д щ 4-... 4- @пип —
произвольные элементы из А, то
аЬ = 52 aiui ‘ 52	= 52 аг0зи*из ~
i	3	*. 3
= 52 OLifljUjUi = 52 @3U3 ’ 52 aiUi = ba-
*. 3	3	i
tj	(*) W
В терминах структурных констант это означает, что 7>. = 7^ ’ при
всех г, у, к. О
4.540.	Доказать, что ассоциативность алгебры А равносильна
выполнению соотношений ассоциативности для базисных элемен-
тов, т.е. (uiUj)uk — Ui(ujUk) при всех г, j, к.
Пример 40. Пусть F — поле, f(x) — многочлен над F (не обяза-
тельно неприводимый) и А =	Тогда А — конечномерная
§ 3. Кольца и поля
233
ассоциативно-коммутативная алгебра над F. Найти какой-нибудь базис
этой алгебры и получить правила умножения базисных элементов.
<] Пусть f(x) = xn 4- a\xn~l 4-... 4- an-ix 4- an (коэффициент при хп
можно считать равным 1) и I = /(t)F[t]. Тогда во = 1+1, = х+1,...
..en_i = хп~г 4-1 — базис алгебры А. Правила умножения базисных
элементов имеют вид: eiej = при i 4- j < n, eien_i = в2вп_2 =
= — aneo ~ fln-iei — ... — aien_i и т.д. Например, если f(x) = х3 +
4- 2х2 4- Зж 4- 5, то А = F[t]//(t)F[t] = £(е0, ei, ег), где ео = 1 4-1,
ei = х 4-1, ег = ж2 4-1 (символ £ обозначает линейную оболочку, см.
с. 121). Вычислим произведения базисных элементов:
6162 = ж3 4-1 = — 2ж2 - Зж — 5 4-1 = — 5во — 3ei — 2е2;
e262 = (-5ео - 3ei - 2ег) • ei =
X4+I	х3+1	х+1
= —5ei — Зег — 2(-5во - 3ei — 2вг) = Юво 4- ei 4- вг-
Таблица умножения базисных элементов имеет вид
	60	61	62
во	во	61	62
61	61	62	—5во - 3в1 — 2е2
62	62	—5ео — 3ei — 2сг	Юво 4- ei 4- ег
Алгебра А называется алгеброй с делением (или телом), если она
ассоциативна, имеет единицу и каждый ее ненулевой элемент имеет
обратный, т. е. Va / О Э b ab = ba = 1.
4.541*	*. Доказать, что конечномерная ассоциативная алгебра
А без ненулевых делителей нуля является телом.
4.542.	Выяснить, является ли ассоциативной алгебра А = Ra 4-
4- R5 со следующей таблицей умножения базисных элементов:
	а	b
a	a 4" b	0
b	а	b
4.543*	*. Пусть G = {1, a, а2} (а3 = 1) — циклическая группа.
Найти все идеалы групповой алгебры RG.
4.544*	. Выяснить, ассоциативна ли алгебра А — F 4- Fa 4-
4- Fb (F — произвольное поле) со следующей таблицей умножения
234
Гл. 4. Элементы общей алгебры
базисных элементов:
	1	а	b
1	1	а	b
а	а	а	b
b	b	0	0
4.545.	Выяснить, имеет ли единицу алгебра А = Fa + Fb + Fc
(F — поле) co следующей таблицей умножения базисных элемен-
тов:
	а	b	с
а	а 4- b	b	а 4- с
b	b	0	а
с	2с	с	2а —Ь + с
4.546.	Пусть А — конечномерная ассоциативная алгебра с еди-
ницей и a, b G А. Доказать, что если ab — 1, то ba = 1.
4.547.	Построить таблицу умножения базисных элементов ал-
гебры А — Р[ж]/ж3^[з:] (за базис взять 1 = 14-/, а = х 4- /,
а2 = х2 4- /)•
4.548.	Выяснить, ассоциативна ли алгебра А, заданная базисом
и таблицей умножения базисных элементов:
	а	Ъ	с
а	0	а	b
b	а	а + Ь	с
с	а	а + с	0
§ 3. Кольца и поля
235
4.549.	Найти единицу алгебры А = Rp + Rq + Rr, заданной
таблицей умножения:
	Р	q	r
р	p + 3q + 3r	2q + r	q + 2r
Q	3q	Q	Q
г	3r	r	r
4.550.	Найти все идеалы групповой алгебры FG, если F —
поле характеристики 0 2, a G = {1, д} — циклическая группа
порядка 2.
4.551.	Доказать, что для любого поля F алгебра F[x]/(xn—l)F[x]
изоморфна групповой алгебре FG, где G — циклическая группа
порядка п.
4.552.	Доказать, что центр тела является полем12).
4.553.	Полугруппа S — {а, 5, с} задана таблицей умножения
Пусть F — поле, FS — полугрупповая алгебра. Какой элемент
является единицей алгебры FS?	у
4.554.	Доказать, что над любым полем F двумерные алгебры
Fa 4- Fb и Fc 4- Fd со следующими таблицами умножения
изоморфны друг другу.
12) Центр Z(R) кольца R определяется следующим образом:
Z^R) = {а G К | Vг € R го, — аг).
236
Гл. 4. Элементы общей алгебры
4.555.	Пусть F — произвольное поле, А — алгебра над F с
базисом a, Ь и умножением, определяемым таблицей
	а	b
а	а 4- b	а
b	аа 4- РЪ	7а 4- 6Ь
При каких а, (3, у, 6 алгебра А ассоциативна?
Алгеброй кватернионов Н называется четырехмерная алгебра над
полем действительных чисел, имеющая базис 1, i, j, к, причем i2 =
= j2 = k2 = —1, ij = — ji = k, jk = — kj = i, ki = —ik ~ j. Элементы
q = a 4-	4-	4- 6k этой алгебры называются кватернионами. Алгебра
Н ассоциативна, но некоммутативна.
Модуль (или норма) кватерниона q — а 4-	4- 77 4- 6k определя-
ется по формуле |д| = \/а2 4- /З2 4- 72 4- 62. Сопряженный кватернион:
q = а — /31 — 7j — 6k. Легко проверяются равенства qq = qq = |g|2,
откуда следует, что всякий ненулевой кватернион имеет обратный (по
умножению): о-1 = -г-^q. Например, если q = 2 — i — j + 3k, то
kr
q~r = A(2 4-i4- j — 3k).
10
Алгебра кватернионов является четырехмерной алгеброй с делением
над полем действительных чисел, или телом (тело кватернионов).
Теорема Фробениуса. Существуют ровно три ассоциатив-
ные конечномерные алгебры с делением над полем К действительных
чисел. Это R, С и Н. Алгебра 1R одномерна, С — двумерна, Н —
четырехмерна. Алгебры R и С коммутативны, алгебра Н некомму-
тативна.
4.556.	Произвести вычисления в алгебре кватернионов:
а) (2 - г 4- j)(j 4- 2k)-, б) (1 - 2г 4- j)2;
в) (1 4- i 4- j 4- fc)10; г) (3 4- 2i - j)~l.
4.557.	Доказать, что для любых q, qi, q% 6 H и А 6 R имеют
место равенства:
a) Xq = Xq; б)	+ <Z2; в) 01^02 = <Z2 * Qi-
4.558.	Решить уравнения в алгебре кватернионов:
a) xi 4- kx — 1 4- 2j; б) (1 — j)x(l 4- г) = fc‘, в) х2 = —1.
{xi 4-yj = 1,
хк — у(г 4- j) = г.
4.560. Можно ли алгебру кватернионов Н = R 4- Ri + Rj + Ш?
считать алгеброй над полем С = R 4- № с базисом 1, у?
4.561. Что собой представляет центр алгебры кватернионов?
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ
Глава 1
2
3Р"34’
4	2
3P"3q
q- р,
= 2q - р. 1.13. ММ1 =	+ В1з' + C$). 1.15. AJ& =
Bt = ct> = Dl = - -^-(a 4- b). 1.16. a)l =
1 T Л	1 т л	1 т A
= /3; 6) Ai =	- q), A? = —Цr(ap - q). 1.18. A = 5.
a — p	a — p
2	3	3
1.19. s = -p + —q + -r. 1.20. 3p — 4q — 3r — 2s = 0. 1.21. 0. 1.24. 0,
1, 2. 1.25. A = p = 1. 1.26. a) {-1/2, 1/2, 1/2}); 6) {1/3, 1/3, 1/3}.
1.27. {7/10,3/20,3/20}.	1.28. a) {1/2, 0, 1/2}; 6) {1,-1/2, 1/2}.
1.29. {1, —1/A, -1}. 1.30. a) 077}• <	= АЛ? + МЙ =
= aAi-Oli = a(A^ + Ni)-O^ = a(Ai + O^) + aNi-Oii =
= aA& + aOft + aXOft — 01$. Отсюда находим A& = —/ - — О ft —
1 - a
1
1-0
Аналогично рассуждая, получаем
А$ =	-
aft. Здесь Ni = Xoft иМ$ = pOhi. В
силу единственности
разложения по базису тогда имеем
Ад =
б) ii =
г i i
t а — 1 ’ а((3 — 1)
* Q 1
0(1-аУ а(1 -/?)/’
I 1	1 1
1/?(1-а)’ 1-&]
Указание. Воспользоваться результатом за-
дачи 1.30а).
2
3
3
3
р
1
а — 1
+

238
Ответы и указания
! от 7^ - / вС1 ~	7(1 ~^)1 р7$ _ Г 2а/3 - а - /3 /3(1 - а) )
“ t 1 —а7 ’ 1 — а7 /’ 4 t 1 — а/3 ’ 1 - а0 J ’
ё$ =	132- a>	+ DAO-
аЗ = {1,(\/5 + 1)/2}; б) № = {(\/5-1)/2,1}, ct> = {(s/5 + 3)/2,
(л/5 + 3)/2}, D% = {-1, (1 - х/5)/2}. 1.33. а) {2/5, 3/5}; б) -9/5.
1.34. mJ = {1/2, 1/2, -1}, А$ = {1/3, 1/3, 1/3}. 1.35. a) |aj| = д/5,
ai.o = {-1/Л, 2/х/5, 0}; б) cos(ai, j) = 2/х/5; в) Х(а) = - 19/3;
4	2
г) npia = У(а) = 0. 1.36. а = — 2е. 1.37. а = — -ei — -е2. 1.38. а =
J	5	5
= - 2ej + е2 - е3. 1.39. а) ао = {2/л/13, 3/\/13, 0}; б) а - -Ь +
4- с — d — {3, 11/2, 0}; в) а 4- b — 2с = - 2j; г) npj(a — b) =
= 6. 1.40. {6/11, 7/11, -6/11}. 1.41. ±3v/6. 1.42. |р| = v^, cos а =
= 9/\/154, cos/3 = 8/VT54, cos7 = 3/\/154. 1.43. х = -5i 4- 10j 4- Юк.
5	5
1.44.	х = 2i 4- 2j 4- 2к. 1.45. х = ± 5i 4-	- -7= к. 1.46. a = - 1,
д/2	y/1
5
0 = 4. 1.47. x — -(i 4- 7j 4- 2k). Указание, x = A(ao 4- b0), где
ao и bo — орты заданных векторов а и b. 1.48. a — 2, /3 = 3, 7 = 5.
( ab2c?	ba2c2
1.49.
са2Ь2
а262 4- 62с2 4- с2а2 ’ а252 4- 62с2 4- с2а2 ’
а262 + &<? 4- с2а2 J
1.50. а) (3, -6, 6); б) (5, 5, 1); в) (-5/>/2, 7/\/2, 5). 1.51. В(9, -5, 6).
1.52. 0(6, -2), 0(2, -4).	1.53. А(-6, -2), В(2, 8), 0(10, -6).
1.54.	Mx(7, 0) и M2(-l, 0). 1.55. M(0, 1, 0). 1.56. 7. 1.57. (4, 0) и
(5, 2). 1.58. (-1, 2, 4) и (8, -4, -2). 1.59. (-19, 10, -17). Указа-
ние. Разложить вектор би по базису из векторов оХ, 0$ и 0(5.
1.60.	(10, —5, 0). Указание. Разложить вектор 01$ по базису из векто-
ров i, j, ol. 1.62. х/182/3. 1.63. (11/7, 10/7,18/7). 1.65. а) 9; б) -61;
в) 13. 1.66. а = ±3/5. 1.67.15, дДЭЗ- 1.68. 2тг/3. 1.69.19/5. 1.70.1/2.
2	1	_______
1.71.	ZA = 7г/2, Z.B = arccos-y=, ZC = arccos—yz. 1.72. (ei, e2) =
v5	v5
= 7Г/3. 1.73. arccos^. 1.74. 5. 1.76.	= Ц^Да, СЙ = ^а - b,
5	|a|	|a|
_ lal ~ lbla . ь ЙЙ - а - b Указание Сначала найти век
xlV/		 А	XXс* U* <7 11 d О G ** <1 V» ЧиЛСд лСдЛ<А ХдСДхлХх!
|а|
тор АЙ, где К — такая точка основания, что |AzJ| =	1.77. —13.
1.78.	а) 22; б) -200; в) 41; г) \/105; д) 11/3; е) 22/7; ж) cos а = 2/3,
Ответы и указания
239
cos/З = -1/3, cos7 = -2/3; з) — 84/>/129; и) 11/21. 1.79. Мх(1, 0)
и М2(6, 0). 1.80. |1Й| = 5, |ВЙ| = 5>/2, |АС| = 5; LA = тг/2, ZB =
15
= ZC = тг/4. 1.81. а) -41/5; б) 73/7. 1.83.	1.84. 4. 1.85. -4/5.
7у85
1.87. arccos5/6. 1.88. {1, 1/2,-1/2}. 1.89. {-3,3,3}. 1.90. aj =
= 2j, ai)k = - i + к. 1.91. a) {2/3, 2/3, 2/3}; 6) {-5/3, 4/3, 1/3}.
1.92. (—2, 0, 2). 1.93. —i 4-	— ^k. Указание. Вектор ав1>в2 имеет
вид ае]|е2 = Aiei 4- А2е2, где коэффициенты Ai и А2 могут быть найдены
из условия перпендикулярности вектора а — ав1)е2 плоскости векторов
ei и е2. 1.94. х' = (х — t0) cos 4- (у - Уо) sin <р, у' = ~ (х — xq) sin 4-
4- (у — уо) cos ip. 1.95. X1 = X cols <р 4- Y sin <p, Y' = — X sin <p 4- Y cos <p,
Z' = - Z. 1.96. {—2, 72, 0}. 1.97. ata2 =	£ X((1>X<2)e<et =
i,k = 1
= 5Х{1}Х{2) 4- 2X^X^} 4- ЭХ^Х^ - 2(Xx(1)X<2) 4- X^1)X1(2)) -
- 3(Х;1}Х<2) 4- X^X^) 4- 4(X^X^2) 4- X^X^). 1.98. а) л/З;
б) Зх/З; в) 10х/3. 1.99. [а15 а2] = 0, т.е. ai||a2. 1.100. а) 2(k - i);
б) 2[а, с]; в) [а, с]; г) 3. 1.102. 50\/2. 1.105. а) ^[а, Ь]; б) — ^[а, Ь].
1.106. а) {-3, 5, 7}; б) {-6, 10, 14}; в) {-12, 20, 28}. 1.107. 2х/б-
1.108. 5. 1.109. a = - 6, /3 = 21. 1.110. - 103/хЛб. 1.111. х/б.
1.112. {-20, 7, -И}. 1.113. {5, 16, 7}. 1.114. |а| = |b| = |с| = 1; век-
торы попарно перпендикулярны. 1.115. —4i 4- 3j 4- 4k. 1.116. \/66;
3
cosa — l/\/66, cos/3 = — 4/х/бб, cos7 = — 7/х/ёб. 1.117. -д/2.
1.118. {—6, —24, 8}. 1.119. {7, 5, 1}. 1.120. а2 ± аг, бесконечное мно-
жество решений. 1.121. {—1/2, 0, 1/2}. 1.122. Появится знак минус
перед определителем; в случае косоугольного базиса формула неверна.
1.123. Указание. Вычислить координаты векторов в обеих частях и
убедиться, что они равны. Вычисление координат удобно производить
в следующем специальном базисе: орт i сонаправлен с вектором Ь, орт j
лежит в плоскости векторов b и с. 1.124. 24. 1.125. —3/2. 1.126. -7.
а) Левая; б) правая; в) правая. 1.127. а) Нет; б) да. 1.132. 17/2.
1.133. 6. 1.134. Зх/2. 1.135. а) Да; б) нет. 1.136. а) -3; б) при лю-
бом А. 1.138. а) (0, 0, 0); б) (0, 1, 0). 1.141. а) 2(ж 4- 1) 4- 2{у - 2) = 0.
Общее уравнение: х 4- у — 1 = 0. Нормальное уравнение:	4-
240
Ответы и указания
4—у=у—— = 0; р = Д=. б) 2(т —2) = 0. Общее уравнение: х — 2 = 0,
V2 \ 2	v 2
прямая параллельна оси Оу. Нормальное уравнение: х — 2 = 0; р = 2.
в) 2(т — 1) — [у — 1) = 0. Общее уравнение: 2х — у — 1 = 0. Нормаль-
2	1	1 п 1	, ч ж + 1
ное уравнение: —f=x-----у=у----= 0; р = —т=. 1.142. а) —-— =
v5 v5 v5	v5	3
у - 2
= —р. Общее уравнение: x 4- Зу - 5 = 0. Нормальное уравнение:
1	3	5 n 5,чт—1у—1
—т=т-----т=у-----т= = 0: р — —f=^. б) —-— - -------
х/1б \/10	У10	У10 О
1 ’
У
2’
L":
— ——. Общее уравне-
ние: —х 4-1 = 0, прямая параллельна оси Оу. Нормальное уравнение:
х 4- 1 у — 1 ~
х — 1 = 0; р = 1. в) —-— = —-—. Общее уравнение: у — 1 =
&	и
= 0, прямая параллельна оси Ох. Нормальное уравнение: у — 1 = 0;
х — 1 у — 2 _
р = 1. 1.143. а) —— — —Общее уравнение: х — у + 1 = 0.
тт	1 "	1	1	1	„ч	х -1
Нормальное уравнение:	—у=х 4—у=у------7=	=0; р = —т=.	б)	—-—	=
х/2	\/2	2	у/ 2 О
у — 1
= ——. Общее уравнение: х — 1 = 0, прямая параллельна оси Оу.
тт	-л	.	. т — 2 у — 2 _
Нормальное уравнение: х — 1 = 0; р = 1. в) —— — —-—. Общее
уравнение: у — 2 = 0, прямая параллельна оси Ох. Нормальное урав-
нение: у — 2 = 0; р — 2. 1.144. а) р(М, L) = -7=, L':	= -—-
х/5	—2
т — 1
-2(х + 1) + (у - 2) = 0; б) р(М, L) = 1/2,	—
2у = 0; в) р(М, L) = О, L': j =	L": х + у + 1 =
= 0. 1.145. Пересекаются в точке Мо(—3/4, -1/2); cos(Li, L2) = 1/у/5.
1.146. Пересекаются в точке Мо(1, 0); cos(Li, L2) — 2/\/5. 1.147. Па-
раллельны; p(Li, L2) = \/2/4. 1.148. Параллельны; p(Li, L2) — у/2.
1.149. Совпадают. 1.150. а) АВ:	CD:
,	1	—4	—4
ь 19	19	т-1	у-2
п = 7-^-, cosep = 	, Li: —/==-----— = -----------
У17	-/17-58	/26 + 5у/Тт -4л
(/26 4- 5\/Т7)(ж—1) 4- (—4/26—/17) (у—2) = 0; б) АВ:
х + 2 У ъ л	1 г х~2
CD: —-— = —7, /г = 4, cos<p = -7=, М: ---------=
3-4’	х/10	4 - 2а/5
(4-2л/5)(я-2) + (3 + \/5)(у + 2) = 0. 1.151. t = -1/2. 1.152. 4/а/5.
1.153.	14-1 = 0, у - 2 = 0. 1.154. 13т 4- у - И = 0, 15т - у - 13 =
-1 ’
, L2:
х — 2 _ у 4- 3
4 ~ 3 ’
!/ + 2
~ 7“—77’ ь2-
Ответы и указания
241
= 0. 1.155. Зх — у — 1 = 0, Зж — у — 21 = 0. 1.157. у — 2ж + 6 = О,
у + 2ж - 6 = 0. 1.158. Зж + у ± 6 = 0, х - Зу ± 2 = 0. 1.159. 20,
-4/5. 1.160. 7ж - у - 25 = 0. 1.161. Зж - 5у + 47 = 0, Зж - 5у - 11 =
= О, Зж + 5у + 17 = 0, Зж + 5у - 41 = 0. 1.162. Зж - 2у - 12 = О,
Зж — 8у + 24 = 0. 1.163. а) Зж - 2у - 7 = 0; б) ж - 5у - 7/6 = 0.
1.164. ж - 5у + 3 = О, 5ж + у - 11 = 0. 1.165. В(1, 1), Р(-1, 3), АВ:
ж —1 = 0, ВС: у —1 = 0, CD: ж + 1 = О, AD: у-3 = 0. 1.166. Зж-у +
+ 1 = 0, ж + Зу + 7 = О, Зж - у + 11 = 0. 1.167. АВ: Зж + 4у + 1 = О,
ВС: 4ж - Зу - 7 = О, CD: Зж + 4у - 24 = О, AD: 4ж - Зу - 32 = О,
АС: 7ж + у — 31 = 0. 1.168. ж + 2у — 7 = 0, ж — 4у — 1 = 0, ж — у +
+ 2 = 0. 1.169. Указание. Отклонения 5(Mi, L) и <5(М2, L) имеют
разные знаки. 1.170. 4ж + у + 5 = 0 или у — 3 = 0. 1.171. а) В одном
углу, б) в вертикальных углах. 1.172. Тупой. 1.173. 4ж — Зу + 10 =
= 0, 7ж +	у — 20 = 0, Зж + 4у —	5 = 0. 1.174. ж -	Зу	— 23	=	О,
7ж + 9у +	19 = 0, 4ж + Зу + 13	= 0. 1.175. 2ж +	9у	— 65	=	О,
6ж - 7у - 25 = 0, 18ж + 13у - 41 =	0. 1.176. ж - бу +	17	= 0,	8ж	+
+ Зу -17 =	0, 7ж + 9у + 17 = 0. 1.177. 4ж - Зу = 0, 12ж + 5у + 16 =	0.
1.178.	б) Л = - 2/3. 1.180. а) 2ж - у + z - 2 = 0; 1/\/б; б) ж - у =
= 0, плоскость параллельна оси Oz и проходит через начало координат;
1/л/2. 1.181. а) ж + у-3 = 0; б) ж + 2у-2 = 0. 1.182. a) x-2y-z = 0;
б) — ж + у + 2z — 5 = 0. 1.183. а) — ж + 2у — 3z — 3 = 0; б) 2ж — 2у — z +
+ 1 = 0. 1.184. а) ж + у — 3 = 0; б) 2ж — у — 1 = 0. 1.185. Пересе-
._________________	1	4	3
каются, cos (Pi, Р2) —	1.186. Параллельны, p(Pi, Р2) —
1.187.	Пересекаются, cos(Pi,P2) = 1/2. 1.188. Совпадают. 1.189. 8.
1.190. ж + y + z — 3 = 0. 1.191. 3\/5ж - бу - 4\/5z + 12л/5 = О,
4х/5/х/161. 1.192. а) 4ж - 5у + z - 2 = 0 и 2ж + у - 3z + 8 = 0;
б) Зж — бу + 7z — 4 = 0 и ж + 4у + 3z — 2 = 0. 1.193. а) 4ж — у — 2z — 4 =
= 0; б) 20ж — 12у + 4г + 13 = 0. 1.194. а) В смежных углах; б) в одном
углу. 1.195. ж — у + 3z — 2 = 0, ж — у — 2 = 0, 5ж — 2у + 12г — 10 = О,
5ж —2у + 21z —19 = 0. 1.196. 2ж — у — z — 2 = 0. 1.197. a) q= [111,112] =
4ж + Зу — 5 = О,
5ж + 3z - 7 = 0, б) q =
= — 3i + 4j + 5k, уравнения в проекциях: <
5у - 4z + 1 = 0;
242
Ответы и указания
7х — у 4- 1 = О,
— [щ, П2] — —i—7j-5k, уравнения в проекциях: 5ж - z - 1 — О,
5?/ - 72 - 12 = О.
х — 2 _ у _ z + 3
1.1,8. а)	6) 5
24-3 . ж — 2 у 24-3 . ж - 2 у
= г) — = о = “Г1 д) — = - =
=	1.199. а) —у—= ^-^—= ——
8
3~ “ -2 5 б)
х-2 _у
О
-1 ’ 7 1
z 4- 3 . х - 2 у
__.е)_=_=
х - 3 у 4- 1 z
~	~ “з*
2	1
. х — 2у 4- z = О,
1.200. а) х — 2у 4- z = 0; б) 2х 4- у — 1 — 0; в) <	или
[ 2х 4- у — 1 = О,
г) 18/\/Зб; д) ЛГ(3/5, -1/5, -1). 1.201. а) 1/У15,
—1	2	О
ж4-у-24-1 = 0,
Зж — у 4- 2z — 1 = 0.
М(1, -6, -4); б) Зж - у 4- 2z - 1 = 0; в) <
2
1.203.	а) 2ж - 16г/ - 132 4- 31 = 0; б) 6ж - 20у - 112 4- 1 = 0. 1.204. 3.
1.205.	а) 6/А- б) 21. 1.206. 25. 1.207.
1.208.	-11.	1.209.	= Л =	1-210. arcsin —
4-17	2^/7
1.211.	£_1Z =	±. 1.212.= Ц2 = £±Д 1.214.б)4ж +
67	-28	70	5	-6	9	7
f 54ж - 44g/ - 72 4- 181 = О,
4-	3^4-122-93 = 0; в) 13; г) {	1.215. б) 4ж 4-
( —45ж - 76g/ 4- 342 4- 497 = 0.
4- 12g/ 4- 32 4- 76 = 0; в) 127/13; г) <
53ж - 7у - 482 - 429 = О,
105ж - 23g/ - 442 4- 136 = 0.
I 17ж 4- 16g/ 4- 272 - 90 = О,
1.216. б) 6ж - Зу - 22 4- 2 = 0; в) 7; г) {
( 31ж 4- 58g/ 4- 62 - 20 = 0.
1.217. б) 2ж - Зу - 42 - 74 = 0; в) 4v^6; г)
L218.a)£ = ^ = £z_l,£z2 = ^S б) J.;b)N + 2-1 = 0’
11—1	0	11 л/б [ж4-у — 22-1 = 0;
5
г) ж 4- у 4- 32 — 2 = 0; д) arcsin 1*219. См. рис. 38. 1.220. См.
рис. 39. 1.221. Прямые ж = 0иж — у = 0. 1.222. Прямые у = 0 и
-1 ’ О
х 4- у = 0. 1.223. Прямые ж — у — Оих + у = О. 1.224. Прямые
Ответы и указания
243
х = 0 и у = 0. 1.225. Прямые у = ± 3. 1.226. Прямые х — — 2 и
х = 3. 1.227. Прямые у = О, х = 2 и х = 5. 1.228. Окружность радиуса
R = 2 с центром в начале координат. 1.229. Окружность радиуса R — 1
Рис. 39
с центром в точке С(0, —3). 1.230. Начало координат. 1.231. Пустое
множество. 1.232. Точки (0, ±1). 1.233. х — у — 0. 1.234. 4ах ± с = 0.
1.235. у = ±2®. 1.236. х2 4- у2 = 16. 1.237. х2 4- у2 = 8. 1.238. — 4-
5
4- у2 = 1. 1.239. ху = 2. 1.240. у = — - х 4- 2. 1.241. а) 0(2, -3),
R = 4; б) 0(4, 0), R = 4; в) С(0, -2), R = 2. 1.242. а) (х - 2)4
+(у 4- З)2 = 49; б) (х 4- I)2 4- (у - 2)2 = 25; в) (х - I)2 4- (у - 4)2 =
- 8; г) (х - I)2 4- (у 4- I)2 - 4; д) (х - I)2 4- (у - I)2 = 1 или
(ж - 5)2 + (у - 5)2 = 25; е) (х - 2)2 4- (у - 4)2 = 10; ж) (х 4- 4)2 4-
4- {у 4- I)2 = 25. Указание. Написать уравнение искомой окружности
в виде х2 4- у2 4- Dx 4- Еу 4- F = 0, подставить в него координаты
каждой точки и затем найти D, Е и F. 1.243. 2х — 5г/ 4- 19 = 0.
1.244. а) 7; б) 2. 1.245. а) Пересекает; б) касается; в) проходит вне
окружности. 1.246. а) а = 5, 6 = 3; б) Fi(—4, 0), F2(4, 0); в) е = ~;
25	25 , ч х2 . у2 „ х2 ,"2
г) Dl:x =	D2: х = -. 1.247. а) - +	= 1; б) - +	= 1;
. х2
В)25
1.248.
4 ’	4 ‘	'94	’ ' 25
х Ж2 , У2	\	— — 1 •	— — 1
Г 169 + 25	’ Д) 5 + 1	’ ) 64 + 48
4-	- = 1. 1.249. a) 0(3, -1), a = 3, b =
4- 3 = 0; D2: 2x - 15 = 0; 6) 0(-l, 2), a = 5, b =
9
У2
48
5,
У
.£ = 1.
16
(ж - а?о)2
а2
е — 2,/3, Dr. 2х
= 4, е = 3/5, Dr Зж 4- 28 = 0; D2: 2х - 22 = 0; в) 0(1, -2), а = 4,
244
Ответы и указания
b = 2х/3, е = 1/2, Pi: у 4- 10 = 0; D2: у - 6 = 0. 1.252.	4-
1о
7,2	2	г~	,___
+ j = 1, Г1>2 = 4 ± х/З, Pl,2 = ^(4 ± >/3). 1.253. (-15/4, ±х/бЗ/4).
1.254. 2х2 — 2ху 4- 2г/2—3 = 0. 1.255. 7х2 —2ху 4- 7у2—46т 4- 2у 4- 71 = 0.
1.256. а) Прямая пересекает эллипс; б) проходит вне эллипса; в) касается
эллипса. 1.258. Зт 4- 2у — 10 = 0 и Зж 4- 2у 4- 10 — 0. 1.259. х 4- у — 5 =
= 0ит4-у4-5 = 0. 1.261. х + у ~ 5-0h3j4 4j/- 10 = 0.
1.262. Л/р(—3, 2), х/ТЗ. 1.264. 2ж 4-Ну —10 = 0. Указание. Восполь-
зоваться результатом задачи 1.263., 1.265. a) a = 3, 6 = 4; б) Fi(—5, 0),
5	4	9
Г2(5, 0); в) е = -; г) у = ± -т; д) х = ± -. 1.266. а) а = 4, b =
3	3	о
= 3; б) Fi(0, -5), Г2(0, 5); в) е = г) у = ± ^х; д) у = ± ~.
4	3	б
“1М"

X2 V2
г) —
7 64	36

1.268.
(х - Тр)2
а2
(у ~ Уо)2
62
= 1. 1.269. а) С(2, —3), a = 3, 6 = 4, е = 5/3, уравнения асимптот:
4т — Зу — 17 = 0 и 4т 4- Зу 4- 1 = 0, уравнения директрис: 5т — 1 —
= 0 и 5т — 19 = 0; б) С(—5, 1), а = 8, 6 = 6, е = 5/4, уравнения
асимптот: Зт 4- 4у 4- 11 = 0 и Зт — 4у 4- 19 = 0, уравнения директрис:
т = — 11,4 и т = 1,4; в) С(2, —1), а = 4, 6 = 3, е = 5/4, уравнения
асимптот: 4т 4- Зу — 5 = 0 и 4т — Зу — 11 = 0, уравнения директрис:
у = - 4,2 и у = 2,2. 1.272. п = 9/4, г2 = 41/4, р(М, = 9/5,
р(1И, Р2) = 41/5. 1.273. (-6, ±4х/3). 1.274. 7у2 4- 24ту - 144 = 0.
1.275. 7т2 - бту - у2 4- 26т - 18у - 17 = 0. 1.276. у - ~ = 1, е = х/2,
Ki(-x/2, -л/2), ^2(х/2, х/2), Р1)2: т 4- у ± х/2 = 0. 1.277.^-^ =
= 1. Указание. См. задачу 1.257. 1.278. Ют —Зу —32 = 0, Ют — Зу 4-
4- 32 = 0. 1.279. Зт-4у —10 = 0, Зт-4у4-Ю = 0. 1.281. 5т-Зу-16 =
= 0, 13т 4- 5у 4- 48 = 0. 1.282. Мо(-6, 3), р = 11/х^З. 1.284. 2т 4-
4- 11у 4-6 = 0. Указание. Воспользоваться результатом задачи 1.283.
1.285. а) р = 3; б) р = 5/2; в) р = 2; г) р = 1/2. 1.286. а) у2 =
= — т; б) т2 = — 2у; в) т2 = - 12у. 1.287. а) (у - уо)2 = 2р(т — то);
б) (у - Уо)2 = - 2р(т - т0). 1.288. а) 4(2, 0), р = 2; б) 4(0, 2), р =
= 1/2; в) 4(1, 3), р = 1/8; г) 4(6, -1), р = 3; д) 4(1, 2), р = 2;
Ответы и указания
245
е) А(-4, 3), р = 1/4; 1.290. 6. 1.291. а) у = |х2 - х + 3; б) х2 4- 2ху +
4- у2 - 6х 4- 2у 4- 9 — 0. 1.292. ууу — р(х 4- х0). 1.293. х 4- у 4- 2 = 0.
1.294. 2х - у - 16 = 0. 1.295. Зх - у 4- 3 = 0 и Зх - 2у 4- 12 = 0.
1.296. Мо(9, -24), р(1И0, L) = 10. 1.298. у - 18 = 0. 1.299. tg<p =
— 1. 1.300. rsincp = 1. 1.301. rcos^cp— — j —	1.302. т — a.
a2
1.303. r2 =---—1.304. r — acoso. 1.305. Окружность x2 4- y2 = 25.
cos 2<p
1.306. Прямая у — — x. 1.307. Прямая x = 2. 1.308. Прямая у = 1.
1.309. Прямая х — у — 1 — 0. 1.310. Прямая х 4- у — 2 — 0. 1.311. Окруж-
ность (х — а)2 4- у2 = а2. 1.312. Окружность х2 4- (у — а)2 = а2.
1.313. Пара лучей х = ± 2у, у 0. 1.314. Семейство концентрических
7Г
окружностей радиусов гп = (—1)п — 4- тгп, п = 0, 1, 2, ... 1.315. Гипер-
6
бола ху = а2. 1.316. Лемниската Бернулли (х2 4- у2}2 = а2(х2 — у2).
1.317. а) г cos 9? = 3; б) — тг/З; в) tg</? — 1. 1.318. а) г = lOcoscp;
6) r = ± 6sin<p. 1.319. a) 0(2, 0), R = 2; б) C(3/2, тг/2), R = 3/2;
в) 0(5/2, —тг/2), R = 5/2; г) C(3, тг/З), R = 3; д) C(4, 5тг/6), R =
— 4; e) C(4, — 7r/6), R = 4. 1.320. r2 — 2г$гcos(<p — <po) — R2 — Tq.
>•321- a) r =	6) r = 5-^. 1.322. a) r = -	9
3	• 1-324. a)
25
-
1 — e2 cos2 <p
1.328.
б)
б)
т 
х2
16
7----------5 б) Г =
5 — 3 cos
9	1.323. г 
4—5 cos ’
' и2
• " V = 1; в) У2 = 6х-
>	9
ь2
1 — cos ip
1.325. г2 =
4 — 5 cos <р 1
у2
4- — = 1-
+ 9
1.326. г2 =
2pcos<p
. - e
sm
4- 00); 6) X = t - 1, у
\/2
1.327. г =
t, у = t 4-
— t, t 6 [0, 4- оо); в) х =
2 cosi
е2 cos2 tp — 1 ’
4- 1, t € [-1,
х/2	V А.
= - 1 + —t, у = -t, t е [0, + 00); г) х =	,
\/2 sini , г л\ ллп .	,	1
у — —----------— > t G — 7г, —). 1.329. а) х — 1 4- —т=(, у =
у 2 cos(i —Зтг/4) L ’ 47	7	л/5
2	12
= 1 4- -7=i, t G [0, \/5]; б) х = 2 - у = 3 - t G [0, л/5].
х/5	х/5	v5
1.330. x = xo 4 Rcost, у = y0 4- jRsini, t G [0, 2тг). 1.331. a) x =
2
~ Я(1 4- cos2i), у = -Rsin2£, t € [—тг/2, tt/2); 6) x — R(1 4- cosi),
у — Rsint, t G [0, 2тг). 1.332. Прямая x 4- 2y — 3 = 0. 1.333. Парабола
у2 = x. 1.334. Окружность (x 4- I)2 4- {у — З)2 — 4. 1.335. Эллипс
246
Ответы и указания
х2 у2	(х — I)2 (у I)2
— 4- 7~ = 1. 1.336. Правая ветвь гиперболы --------------------- =
о2 о2	4	1
ж2 у2
= 1. 1.337. Правая ветвь гиперболы — — — = 1. 1.338. Окружность
а2 Ъ2
(x-R)2 + у2 — R2. 1.339. Окружность х2 + (у -R)2 = R2. 1.340. Верх-
_	9	......	аЬ cos t
няя ветвь параболы у = 2рх. 1.341. х —	. ...= у =
V о2 sin21 4- b2 cos2 t
absint	. _ л x - -	abcost
ab sin t
, t e [0, 2тг). 1.342. X -
у b2 cos21 — a2 sin21
( b b\
у — -.—.  = .= =, где t G I — arctg-, arctg- ) для правой ве-
Vb2 cos21 — a2 sin21	\	a aj
f b	b\
тви и t G 17Г — arctg 7Г 4- arctg - ) для левой ветви. 1.343. a) x —
\	a	aj
t2
= У = e (~oo, + °°); 6) x ~ 2pctg2*, У - Zpcfyt, где
2p
t G (0, тг/2) для верхней ветви и t G (Зтг/2, 2тг) для нижней ветви;
pt	t
в) х — ^ctg2 у — pctg-, t G (0, 2тг). 1.344. Плоскость z — — 5,
параллельная плоскости Оху. 1.345. Плоскость с нормальным вектором
n(l, —2, 1). 1.346. Сфера радиуса R = 2 с центром в начале координат.
1.347. Сфера радиуса R = 4 с центром в точке 0(2, 0, —1). 1.348. Начало
координат. 1.349. Ось Оу. 1.350. Пустое множество. 1.351. Пара пере-
секающихся плоскостей х — 2z — 0 и х 4- 2z = 0, параллельных оси Оу.
1.352. Пара координатных плоскостей Oyz и Оху. 1.353. Тройка коорди-
натных плоскостей. 1.354. Пара плоскостей х = 0 и х = 4. 1.355. Пара
плоскостей у =	0 и у = х. 1.356. 20р 4-	53 = 0.	1.357. х2 4- у2 4-
X2 И2	Z2	X2	V2 Z2
+ Z2 = а2. 1.358. — 4- ~ 4- — = 1. 1.359. — -	4- — = -1.
9	9	25	16	9 16
1.360. а) 0(0, 0,	3), R = 3; б)	0(2, 1,	-1),	R = 5.	1.361. а) (т	+ 1)2+
4-(р - 2)2 4- z2 = 4; б) (ж — З)2	4-(р 4-2)2 4-(г — I)2	= 18; в) (х	- 3)24-
4-(р 4- 1)? 4- (z - I)2 = 21; г) (х - З)2 4- (у 4- 5)2 4 Н 2)2 = 56;
д) (х - I)2 4- (у 4- 2)2 4- (z - З)2 = 49. 1.362. (х 4- I)2 + (у - З)2 4-
/	4\2	/	4\2	/	4\2	64
+ (г - З)2 = 1. 1.363. I® - 3	+(»+□) + р-н) =-н-
1.364. х = — 14-5t, p = 3-i, z =	4-2*. 1.365. Af0(-2, -2,7), р = 3.
1.366. а) Пересекает; б) касается; в) проходит вне сферы. 1.367. а) Пря-
мая, проходящая через точку (5, 0, -2) параллельно оси Оу, б) окруж-
ность в плоскости Oxz, имеющая центр в начале координат и радиус
Ответы и указания
247
R — 7; в) окружность, лежащая в плоскости z — 2 с центром в точке
С(0, 0, 2) и радиусом R = 4; г) окружность в плоскости z = 6 с цен-
тром в точке С(0, 0, 6) и радиусом R = \/13- 1.368. а) 0(1, 7, 2), R —
= 4; б) С(-1, 2, 3), R = 8. 1.369. Эллипс	= 1.
747	36	18
,	( 0е “ 1)2 + (У ~ 2)2 + (z- I)2 = 36,
1.370.
1.371.
2х - z — 1 = 0.
(т-2)2 + у2 4- (z — З)2 =27,
х 4- у — 2 = 0.
1.372. Эллипсоид. 1.373. Однополостный гиперболоид. 1.374. Двупо-
лостный гиперболоид вращения. 1.375. Конус. 1.376. Параболоид вра-
щения. 1.377. Гиперболический параболоид. 1.378. Эллиптический па-
раболоид. 1.379. Параболический цилиндр. 1.380. Параболоид враще-
ния с вершиной (0, 0, 2). 1.381. Гиперболический параболоид. 1.382. Од-
нополостный гиперболоид вращения. 1.383. Двуполостный гиперболоид
вращения. 1.384. Указание. Воспользоваться однородностью уравне-
ния. 1.385. Указание. Перейти к новой системе координат поворо-
том осей Ох и Оу вокруг оси Oz на угол тг/4. 1.386. а) Конус второго
порядка с вершиной в начале координат (см. задачу 1.384); б) гипер-
болический параболоид (см. задачу 1.385). 1.387. На плоскость Оху:
х2 4- 4ху 4- 5у2 — х = 0; на плоскость Oxz: х2 — 2xz 4- 5г2 — 4х =
= 0; на плоскость Oyz: у2 4- z2 4- 2у — z = 0. 1.388. а) Эллипс;
б) парабола. 1.389. a) ЛЛ(3, 4, -2) и М2(6, -2, 2); б) М(4, -3, 2) —
прямая касается поверхности; в) прямая и поверхность не имеют об-
щих точек. 1.390. а) М(9, 5, —2); б) М(3, 0, -10); в) М(6, —2, 2).
1.391.
2х — 12у - z 4- 16 = О,
х - 2у 4- 4 = О,
2х — 12у — z 4- 16 = О,
х 4- 2у — 8 — 0.
1.392.
у 4- 2z — О, I 2х — 5z = О,
(ж — 5 = 0,	( у 4- 4 = 0.
1.403. а) у2 4- z2 = а2; б) х2 4- z2 = 2ах] в) х2 4- у2 = 2ах. 1.404. а) х2 4-
4- Зу2 — 8у — 12 = 0; б) 4т2 4- 5z2 4- 4z — 60 = 0; в) 2у — z — 2 = 0.
1.405. а) 8т2 4- 4у2 - 36т 4- 16у - 3 = 0, z = 0; б) 2х - 2z - 7 = О,
у — 0; в) 4у2 4- 8г2 4- 16у 4- 36г — 31 = 0, х = 0. 1.406. у2 — 2ах — х2.
1.407. а) (Зу — 2z)2 = 12(3т — z); б) (х — z)2 + (у — z)2 = 4(т — z).
248
Ответы и указания
1.408. Уравнение проектирующего цилиндра: 2х2 4- (у — z 4- 2)2 = 8;
контур тени — эллипс
х2
4"
4-
(У ~Ь 2)2
8
= 1.
1.409. х = 4, z ± у — 2.
«.2 -I-	л«2	л,2
1.4п. a) —j— = д?; в) +г2) =16»2;в) -^2 + j? + ^ = °;
ж2
г) х2 4- у2 - z2 — 0. 1.412. а) Л2х2 = 2pz(h(y 4- a) - az); б) 4-
4- 77 - аС- = 0; в) х2 4- z2 - z(y 4- а); г) Зж2 - 5у2 4- 7z2 - бху 4-
(г cz
4- Ютг - 2yz - 4х + 4у - 4г 4- 4 = 0. 1.413. а) вершина (0, Л, 0),
направляющая — окружность х2 4- (у - h)2 — h2, z = h; б) вершина
(0, 0, 0), направляющая — парабола х2 — 2hy, z — h. 1.414. ху 4- xz 4-
4- yz = 0, ось конуса проходит в 1-м и 7-м октантах; ху 4- xz - yz =
= 0, ось конуса проходит во 2-м и 8-м октантах; ху — xz - yz — О,
ось конуса проходит в 3-м и 5-м октантах; ху — xz 4- yz = 0, ось ко-
нуса проходит в 4-м и 6-м октантах. 1.415. а) Окружность х2 4- у2 —
— (а/у/2)2; б) отрезки z = ± а/\/2, -а/>/2 х а/>/2; в) отрезки
z = ± а/\/2, — а/\/2 у а/\/2. 1.416. Уравнение проектирующего
конуса: 9т2 - 16т/2 — 16г2 — 90т 4- 225 — 0, контур тени — окруж-
ность у2 4- г2 = (15/4)2. 1.417. а) г — х2 4- у2; б) у/у2 4- г2 = х2.
1.418. а) х2 4- г2 — у2; б) г2 = х2 4- у2- 1.419. а) г = е~^ + у^;
4	х2	у2
б) г = -S----7- 1.420. -7 4- 77 = 1. 1.421. Поверхность образована
х2 4- yz	а2	о2
х2 z2
вращением гиперболы —------7 — 1, 2/ = 0 вокруг оси Oz.
сг
Глава 2
2.1.18. 2.2. 4ab. 2.3.1. 2.4. (о-Ь)2. 2.5.0. 2.6.1. 2.7.1. 2.8. Х1 =
.	. л Л'	. m <. л т г	тт
= — 4, Х2 = —1. 2.9. х— — 4- —, k G Z. 2.10. Указание. Показать,
о 3
что дискриминант соответствующего квадратного трехчлена неотрицате-
лен. 2.12. 0. 2.13. 0. 2.14. abc 4- x(ab + Ьс + са). 2.15. а2 4- /52 4- 72 4-
4- 1. 2.16. sin (а — (3) + sin (/3 - 7) 4- sin (7 - а). 2.17. —3. 2.18. 3V^3i.
2.19. —4 ± \/22. 2.20. (-оо, 4-оо). 2.21. (4, 4-оо). 2.22. (-6,-4).
Ответы и указания
249
2.26. Указание. Показать, что последний столбец исходного опре-
делителя можно представить в виде
Ь3
= (a + b + с) Ь2
-(ab + ас + be) b
4- abc 1 , и воспользоваться этим представле-
нием. 2.27.0. 2.28.0. 2.29.0. 2.30.0. 2.33. Парабола у = (х — а)(у — 5).
/12345 б\	/1234567 8'
2.34.	, нечетная. 2.35. I
\3 6 2 5 1 4/	\5 1 6 2 7 3 8 4
четная. 2.36. Нечетная. 2.37. Нечетная. 2.38. Четность подстановки со-
впадает с четностью п. 2.39. Если п нечетно, то подстановка четная при
любом к’, если п четно, то четность подстановки совпадает с четностью
к. 2.40. Входит со знаком минус. 2.41. Входит со знаком плюс. 2.42. Не
входит. 2.43. Входит со знаком плюс. 2.44. i = 5, к = 1. 2.45. i — 6,
к = 2. 2.46. Ют4 - 5х3. 2.47.	а1па2,п-ъ  -ani. 2.48. 0.
2.49. а) Не изменится; б) не изменится; в) обратится в нуль; г) умно-
п(п—1)
жится на (—1) 2	; д) умножится на (—1)п-1. 2.50. —2. 2.51. —14.
2.52. 4. 2.53. 0. 2.54. а) 8а 4- 155 4- 12с - 19d; б) 2а - 85 4- с 4- 5cZ;
в) 2а - 5 - с - d. 2.55. 0. 2.56. 48. 2.57. 223. 2.58. 9л/1б(х/з - \/2).
2.59. (be-cd)2. 2.60. (b-c-d)(b 4- с 4- d)(b-c 4- d)(b 4- c-d). 2.61.394.
2.62. 665. 2.63. x5 -x4 4- x3 4- x2 -2x 4- 1. 2.64. 2x*y(y-x)6. 2.65. an.
Указание. Доказать, что исходный определитель Дп(а) можно пред-
ставить в виде Дп(а) = аДп-1 (а). 2.66. ап 4- /Зп. 2.67. п!. 2.68. 2п 4-
4- 1. 2.69. 1. 2.70. (~1)п-1 -п. 2.71. -ага2.. .ап	—
\О1	«2	О.п.
n(n-i)	/ 2 5 . —3
2.72. п 4- 1. 2.73. (-1) 2	•	[] (а< - ак). 2.76.
у—6 7 ~8
/2 4-2i	0 \	/5 2\	/0 0\	/2 0
2.77.	. 2.78.	. 2.79.	. 2.80.
\ 0	2-2г/ V °/	\° °/	\° 3
250
Ответы и указания
/1 5 -5\
2.81. 3 10	0
к2 9 "7>
	/и	-22	29\	/56>
2.82.	9	-27	32	. 2.83. 69
	(13	-17	26;	W
2.84. а) (31);
	< 12	0	-6	9	3>		
							'5 1
	4	0	-2	3	1		
							15
6)	-4	0	2	-3	-1	2.85.	
							25
	20	0	-10	15	5		
	1 8	0	-4	6	V		V5/
2.87.
2.88.
2.86.
13
21
-14
-22
1 па
О 1
/Ап
\°
(cos па — sin па
sin па	cos па
2.90.
2.93.
2.96.
	/ 21	-23 15\
/8 15\	/-3	2\		
2.91.	2.92.	-13	34 10
\° 23/	х-1 -1/		
	\ -9	22 25;
/	ч	( 4	1 э\		/О 0 о\
( 4		
2.94.	-2 -6 3	2.95.	0 0 0
Х12 -4/		
х	7	\-8 -9 2)		к0 0 0;
а 2Ь \	( а	35 \
, где а и 5 — любые числа. 2.97.		
35 а 4- 357	\—55 а 4- 957	
fa b с\
где а и b — любые числа.
2.98. 0 а b , где а, b и с — любые
\0 0 а/
(a	b\
I, где а, Ь, с — произвольные числа, удовлетворя-
с —а)
(а	Ь\
ющие соотношению а2 + Ьс — 0. 2.100. ±Е; I |, где а2 4- be = 1.
ус —а)
2.101. а) г-я и j-я строки произведения поменяются местами; б) к г-й
строке произведения прибавится у-я строка^ умноженная на а; в) г-й и
j-й столбцы поменяются местами; г) к г-му столбцу произведения при-
бавится j-й столбец, умноженный на а.
Ответы и указания
251
2.103.
( 5	-2	21	-A
-2	5	-3	7
21	-3	26	-2
2.104.
\-1	7 -2	10/
/ 5 -1	5-1	5\
-6
12
0
-4\
О
8/
-15-15 -1
5-1	5-1	5
-1	5-1	5 -1
^5-1	5-1	5;
(cos a sin a
— sin a cos a
2.106.
-2	1
3/2 -1/2
2.107.
<1-1 A
2.109. -38	41 -34
27 -29	24;
					/1	-1	0 ..	
	/—8	29	-n\		0	1	-1 ..	. 0
2.110.	-5	18	-7	2.111.	0	0	1 ..	. 0
	11	-3	V					
						0	0 ..	• 1/
	<1/4 1/4	1/4 1/4	1/2 -1/2	0 > 0	
2.112.					
	1/4	-1/4	0	1/2	
	V/4	-1/4	0	-I/2J	
	<1/4	3/20	1/4	l/20\	
	1/4	1/20	-1/4	-3/20	
2.113.					
	1/4	-1/20	-1/4	3/20	
L	V/4	-3/20	1/4	— 1/20;	
	/—7/3	2	-l/3\		/1/9	2/9	2/9\
2.114.	5/3	-1	-1/3	2.115. 2/9	1/9 -2/9	
	\ -2	1	1 J		\2/9 -2/9	1/9/
252
Ответы и указания
		(! 1 1 1\					/ -7	5	12	-19\
1		1 1-1-1					3-2-5	8
2.116. -			2.117.				
4		1-1 1-1					41 -30 -69	111
		V -1 -1 1)					у-59	43	99 -159/
	р	-1 1 -1 .	.. (-1)	п	-л		
	С	1-1 1 .	.. (-1)	п	-2		
2.118.	С	0	1 -1 .	.. (-1)	п	-3		
	V	>0	0	0.	1		)		
	/.	-1/6	1/2 -7/(	ю/з\				
		-7/6 -1/2	5/(	-5/3				
2.119.							
		3/2	1/2 -1/2	1				
	\	1/2	1/2 —1/2	1 )				
	/1	0	0 ...	0 —1/п)				
	01/2 0	...		0	0				
2.120.	С	0	1/3 ...	0	0				
\0	0	0	... О 1/п /
2.121
-1
2.123.
2
	/1	2	
2.125.	4	5	6
	V	8	9/
	(_	7	5
2.129. 1		5	-7
	у	5	5
1-1 -1
2.127.
\ О -1
5^
5 . 2.131. (1, 4, —7, 7).
	<6	4	5>
2\ . 2.124.	2	1	2
V	\з	3	з/
	<2	1	
2.128.	0	2	1
		0	2/
2.132. (4, 6, -35, -1).
/	37	23
2.133. (70,40, -20, -16). 2.134. (51, 26, —, - —
\	£	А
2.135. (-5, 1, 3,3
\ **
Ответы и указания
253
2.136. (-17, -13, 41, 5).	2.137. (-8/3, -7/3, -16/3, -11/3).
2.138. (—23/4, —29/8,27/8,9/8). 2.140. Линейно независима. 2.141. Ли-
нейно зависима. 2.142. Линейно независима. 2.143. Линейно зависима.
2.144. Указание. Расписав векторное равенство aiei 4- аге2 4-	4-
4- 0464 = 0 покомпонентно, показать, что получающаяся система четы-
рех уравнений (относительно а1} аг, «з, «4) имеет единственное реше-
ние а! = а2 = аз = а4 = 0. 2.145. < Положим £iei 4- £262,4- £363 4-
4- £464 4- £565 = х и распишем это равенство покомпонентно: = 1,
£1 4- х? = 0, £1 4- £г 4- £3 = 1, £1 4- £2 4- £3 4- £4 = 0, £1 4- £2 4-
4- £3 4- £4 4- £5 = 1. Решая эту систему, находим х\ = 1, х% = — 1,
хз = 1, £4 = - 1, £5 = 1, Итак, х = ех - е2 4- е3 - е4 4- е5. >
2.146. 5ei - е2 - е3 - е4 - е5. 2.150. 2. 2.151. 3. 2.152. 3. 2.153. 2.
2.154. 2. 2.155. 2. 2.156. 2, если А = 0, и 3, если А 0. 2.157. 3 при
любом А. 2.159. 3. 2.160. 2. 2.161. 3. 2.162. 2. 2.163. 2. 2.164. 2.
2.165.2. 2.166.3. 2.167.5. 2.168.4. 2.169.3. 2.170.6. 2.174. Линейно
независима. 2.175. Линейно зависима. 2.176. 3. 2.177. 3. 2.178. А = 15.
2.179. А 12. 2.180. Ни при каких А. 2.181. г = 3; 93 = (а2, аз, а4).
2.182. г = 3; 93 = (ах, а2, а5). 2.183. г = 3; 93 = (аь а2, а<). 2.184. г =
- 2; 931 - (аь а2), 932 = (а2, а3). 2.185. г - 2; 931 = (аь а2),
932 =	(ai, а3),	933 = (аь	а4). 2.186. г =	2; 931 - (аь а4), 932	-
— (а2,	а4), 93з =г (аз, а4).	2.187. х — 16, у	= 7.	2.188. £ = 2, у	=	3.
2.189. х = - Ъ, у = - (2/3)а. 2.190. х = 2, у = - 1, z = 1. 2.191. х =
= 1, у — 3, z	— 5. 2.192. х = 3, у = 1,	z =	- 1. 2.193. £1	=	1,
х2 =	- 1, £3 = 2, £4 —	— 2. 2.194. £1	=2,	£2 = £3 = Х4	=	0.
2.195. Степень многочлена меньше двух, если выполняется соотношение
& — (Уз - У2)(х2 - £1) = (У2 - У1)(хз - £г); если к 0, то степень равна
единице; если же к — 0, то степень равна нулю. Указание. Доказать,
что определитель системы уравнений yi — ax2 4- bxi 4- с, i = 1, 2, 3
(с неизвестными а, Ь, с) отличен от нуля. 2.196. /(т) = х2 — 5т 4- 3.
9 107 f (^\ - (Х~Х2)(Х -£3)	, / . _ (£-£1)(£-£3)	, , .
2197- Л(1) - (х.-х^-х,)’ л(1) - (x2-x,)(x2-x3)’	=
=	~	~ дг) 2Л98_	= _з Х2 = 2 I3 = 1. 2.199. XI = - 1,
(£з ~ £1)(£з ~ Яг)
£2 = 1, £3 — - 2. 2.200. £1 — 1, £2 — 1, £з = - 1, £4 = - 1.
2>201. £1 — - 2, £г = 0, £3 = 1, х4 = - 1. 2.202. £1 — 1, £2 = 2,
254
Ответы и указания
х3 — 2, Х4 — 0.	2.203. xi = 2, х2 = - 2, х3 = 1, х4 = - 1.
2.204.	(1 4- \/Зс1, Ci)T. 2.205. Система несовместна. 2.206. Система
несовместна. 2.207. (-1 4- 2ci, 1 4- ci, Ci)T. 2.208. (—1, 3, —2, 2)т.
2.209. (0,2,1/3, -3/2)т. 2.210. (" +	- ^с2,	“ ^«1 + ^2-
)т
. 2.211. Система несовместна. 2.212. (ci, —13 4- 3ci, -7, 0)т.
/ 6	8	1	13	15	6	п
2.213. -- 4- -Ci, - —— ci, —— -ci, Ci . 2.214. Система несовместна.
\ 7	7	7	7	7	7	/
2.215. (ci, с2, 5 - 8ci 4- 4с2, -3, 1 4- 2ci - с2)т.
20	53	5 5
у + С, - -е2, -- - -с,
2.216.
5	1	2
+ 6С2’	9 + 9С2’ С1’ С2
1	7	5
2	12Cl	4е2
2.218. Если А 0, то
5	13
2С1	2С2’ 2
(А - 1)(Л + 3) / 0, то X = т
Л
стема несовместна; если А = 1, то X = (1 — ci — с2 — сз, ci, с2, сз)т.
2.220. Если А = 8, то X = (ci, 4 4- 2ci - 2с2, 3 - 2с2, с3)т-; если А 8,
то X = (0, 4 - 2ci, 3 - 2с1; ci)T. 2.221. Если А(А 4- 3)	0, то X =
=	1)т; если ~ 3, то система несовместна; если А = 0, то
X = (1 - ci - сг, ci, с2)т. 2.223. CiEi, Ег = (3, 1, 5)т. 2.224. ci#i 4-
4- с2Е2, Ei — (2, 1, 0)т, Е2 — (3, О, 1)т. 2.225. Система имеет только
тривиальное решение. 2.226. ciEi, Ei = (4, 1, -5)т. 2.227. CiEi +
4- с2Е2, Ei = (8, -6, 1, 0)т, Е2 = (-7, 5, О, 1)т. 2.228. CiEi 4- с2Е2,
Ei = (1, 0, -5/2, 7/2)т, Е2 = (0, 1, 5, -7)т. 2.229. CiEi 4- с2Е2 4-
4- с3Ез, Ei = (1, 0, 0, -9/4, 3/4)т, Е2 = (0, 1, 0, -3/2, 1/2)т, Е3 =
= (О, 0, 1, -2, 1)т. 2.230. ciEi 4- с2Е2 4- с3Е3, Ei = (1, 1, -1, 1, О, 0)},
Е2 = (-1, О, О, О, 1, 0)т, Е3 = (О, -1, О, О, О, 1)т. 2.231. CiEi 4- с2Е2,
Ei = (0, 1/3, 1, О, 0)т, Е2 = (0, -2/3, О, О, 1)т. 2.232. CiEi 4- с2Е2}
Ei = (-3, 2, 1, О, 0)т, Е2 — (-5, 3, О, О, 1)т. 2.233. Строки матрицы
А не образуют, а строки матрицы В образуют. Указание. Если ранг
матрицы коэффициентов при неизвестных равен г, то необходимо про-
2.217.
3
2
7
, 1
^Сз, Cl, С2, 1 - -Сз, Сз
8
система несовместна; если А = 0, то
7
2
7	19
“ 2С1 ~ ~2С2’ С1’ С2
(1, 1, 1, 1)т; если А = — 3, то си-
2.219. Если
Ответы и указания
255
верить, что а) ранг А (соответственно В) равен 5 — г; б) строки ма-
трицы А (соответственно В) являются решениями исходной системы.
2.234.	01 — 2, X — Ci-Ei, Е\ = (1, 0, —2)^; о2 = — 4, X = c^Ei, Ei =
= (1, -24/5, —4/5)т. 2.235.0! = -1, X = с^, Ei = (-5/3, 1/3, 1)т.
2.236.	Xq -f-	ciEi	4- С2Е2 4- С3Е3, Xq = (1/3,	1/3, О, О, 0)т,	Ei =
= (О, 1, 1, О,	0)т,	Ei = (О, 1, О, 1, 0)т, Я3 =	(1/3, -5/3, О,	О, 1)т.
2.237.	Ло +	с. Я,	+ С2Е2 + с3Я3, Xq = (2/3,	1/6, О, О, 0)\	Ei =
= (0, 1/2, 1, О, 0)т, Ei = (0, -1/2, О, 1, 0)т, Я3 = (1/3, 5/6, О,	О, 1)т.
2.238.	Xq + с. Я, + С2Е2 + с3Яз + С4Я4, Xq = (1/3, —1/3, О, О, О, 0)^",
Я! = (1, 1, 0, 0, 0, 0)т, Ei = (-1, 0, 1, 0, 0, 0)т, Я3 = (0, 0, 0, 1, 1, 0)т,
Я4 = (О, О, О, —1, О, 1)т. 2.239. Хо + С1Я1 + С2Я2 + с3Я3, Xq =
= (1, -1/2, О, О, 0)т, Я1 = (0, -3/2, 1, О, 0)т, Ei = (0, -2, О, 1, 0)т,
Я3 = (0, -5/2, О, О, 1)т. 2.240. (1, -1, -1, 1)т.
3, —1 — с, с)т. 2.242. Система несовместна. 2.243.
2.241. (6 - с, 5 + с,
(5 3
2 ~ 2С1 ’ ’ О’ О’
11 6
Y"5C2’C2
2.244. (—1 4* Ci 4- 2с2, —3 4- ci 4- 2с2, Ci, с2)т.
Глава 3
3.6. Да. 3.7. Да, если прямая проходит через начало координат.
3.8. Нет. 3.9. Да. 3.10. Нет. 3.11. Да. 3.12. Нет. 3.15.	=
Л 1
1 -1
о
< 1/2\
-3/2
\ ~2/
/-! О 0\
3.16.	= О —1 О
\ 0	0—1)
f-l\
Х'=	2 .
3.18.	—
3.17. Т<в_4«в/ =	1
\0
Л о о \
О cos<р —sin<р ,
^0 sin<£> cosy? j
—2 cosy? 4- sin у?
у 2 sin <р 4- cos <р
3.19. г — 2; базисом является, например, система (xi, х2). 3.20. Т»-*®' =
256
Ответы и указания
2 1	1\	/0\
3 2	3	, X1 =	2	. 3.21. 3xj -Ь 2x2 — хз = 0, г = 2,
0 1 -1		1	
\-2 -1 4	0/	\2/
любая пара векторов образует базис этой системы. 3.22. Координаты
матрицы в этом базисе совпадают с ее элементами.
/1	-to t20	-t*	...	(-l)n-l£n-l
О 1	-2t0	3t§	...	(-l)n-2(n-l)t£-2
\0	0	0	0
<2>
3.28. 1
w
/Л	/Л
3.30. 2 . 3.31. 1
W	V/
Zo\
2
1
w
3.34.
/—42 -71
3.37.	=	12	20
7	12
3.38.	—
-3	1-2	1
1-2	2-1
3.39.	Является. 3.40. He явля-
\ 1 -1 1 -V
ется, так как нарушено условие линейности отображения. 3.41. Не явля-
ется, так как нарушено условие взаимной однозначности отображения.
/1	0\
3.43.	|	1, —2-Ь Зг = -2(1 + г)-5(-г). 3.45. а), б) Под-
пространство размерности 2, базисом является любая пара неколлинеар-
Ответы и указания
257
ных векторов из заданного множества; в) не является подпространством.
3.46. а) Подпространство размерности п — 2; б) не является подпростран-
ством. 3.47. Множества, указанные в п. а), б), г), — подпространства,
а множество из п. в) подпространством не является. Указание. Усло-
вие, которому удовлетворяют координаты в любой из задач этой серии,
можно записать в виде АХ = О, где А — некоторая матрица, имеющая
п столбцов, а X — столбец координат в фиксированном базисе. Поэтому
размерность соответствующего подпространства равна n — rang А, а в
качестве базиса можно взять любую фундаментальную систему реше-
ний системы уравнений Ах = О. 3.48. а) Подпространство размерности
9	п(п -4- 1)	.	„	„
п —	=	----; б) не является подпространством. 3.49. а) Беско-
нечномерное подпространство; б) не является подпространством; в) под-
пространство размерности п. 3.51. 2. 3.52. 3; один из базисов есть,
например, = (xi, хг, хД 3.53. 3; один из базисов есть, например,
= (xi, Х2, х5). 3.54. Указание. Заданная система многочленов ли-
нейно независима. 3.55. £(а) — прямая = т = —т,	+ Ь —
A	J.
прямая —	— — —р 3.56. £(ai, аг) — плоскость — Зж—у—2г =
= 0, £(ai, аг) -Ь b — плоскость —Зж — у — 2г -Ь 5 = 0. 3.57. Множе-
ство решений неоднородной системы есть линейное многообразие, полу-
ченное из подпространства размерности п — rang А = 3 решений соот-
ветствующей однородной системы сдвигом на произвольное частное ре-
/ п
шение неоднородной системы. 3.62. в) ( 52 х*Уг
Е уЬ
Е *?-,/Е у1
3.63. а) 0; 6) -6. 3.64. а) -1; 6) 24.
6	2	6
л а	г а
J	Ч 1/2	/ Ьг	х 1/2
В
a
b
b
а
а	h
\ 1/2	/ Ьг
1/2	/ г
1/2
a
a
a
258
Ответы и указания
3.67. ei = fi = (1, 1, 1, 1), е2 = (2, 2, -2, -2), е3 = (-1, 1, -1, 1).
3.68. ei = fi = (1, 2, 1, 3), е2 = (10/3, -1/3, 1/3, -1), е3 = (-19/185,
87/185,61/185, -72/185). 3.69. ei = fx = (1,2,2,-1), е2 = (2,3,-3,2),
е3 = (2, -1, -1, -2). 3.70. ех = fi = (2, 1, 3, -1), е2 = (3,2,-3,-1),
е3 = (1, 5, 1, 10). Указание. Система fi, f2, f3, f< не является ли-
нейно независимой (вектор f3 может быть получен как линейная ком-
бинация векторов fi и f2). Поэтому получение вектора е3 с использо-
ванием f3 дает в результате е3 = 0. Показав это, следует искать век-
тор е3 в виде е3 = £д - с) 'ех - с), е2. 3.71. 23 = (ех, е2, е3), ех =
= (1, 2, 2, -1), е2 = (2, 3, -3, 2), е3 = (2, -1, -1, -2). 3.72. Я =
= (е1, е2, е3), ех = (2, 1, 3, -1), е2 = (3, 2, -3, -1), е3 = (1, 5, 1, 10).
3.73. е3 — (—4, 2, —1, 3), ед — (2, 4, 3, 1). Указание. Для определе-
ния вектора е3 = (жх, х2, х3, я?д) достаточно найти какое-нибудь реше-
ние системы относительно неизвестных хх, х2, х3, ягд двух линейных
уравнений (е3, ех) — 0, (е3, е2) = 0. Для определения ед аналогичная
система состоит из трех уравнений. 3.74. ед = (1, —1, 1, —1, 0), е5 =
= (0, 5, 1, —4, -2). 3.75. е3 = (2/3,-2/3,-1/3). 3.76. е3 = (1,-2,1,0),
е4 = (25, 4, -17, -6). 3.78.у = (1,7,3,3), z = (-4,-2,6,0). 3.79. у =
= (1, -1, -1, 5), z = (3, 0, -2, -1). 3.80. у = (3, 1, -1, -2), z =
= (2, 1, —1, 4). 3.82. Указание. Из равенства |х — у|2 = |х|
следует, что (х, у) 4- (у, х) = (х, у) 4- (х, у) = 0, т. е. (х, у) —
мнимое
0 о\
число, не обязательно равное нулю. 3.83. Является; А =
0
0
0
3.84. Не является. 3.85. Является оператором проектирования на
заданную вектором е. Если е = cos а • i 4- cos/3 • j 4- cos 7 • k, то
ось,
/ cos2 a
cos a cosfi
cos ficos a
cos2 fi
у cos a cos 7 cos fi cos 7
cos 7 cos aA
cos 7 cos fi
cos2 7 j
( 0
3.86. Является; если a =>axi 4- a2j 4- a3k, to A = a3
a2
—a3	a2
0	-ai
ai 0 )
Ответы и указания
259
3.87. Не является. 3.88. Является. <1 Ясно, что
у = U(e, <р)х = у+yQ,	(1)
где у — составляющая вектора у вдоль оси е, yQ — составляющая
вектора у, компланарная плоскости а. Составляющая у равна
у = х = (х, е)е.	(2)
Составляющая уа получается из вектора xQ поворотом последнего в плос-
кости а на угол <р. Для нахождения уа введем вспомогательный вектор
[е, xQ], лежащий в плоскости а перпендикулярно вектору xQ, причем
тройка xQ, [е, xQ], е — правая. Разложим вектор уа на составляющие
вдоль xQ и [е, xQ]:
Уа = |xQ| cos	—т 4- |xQ|sin(p Je’ —1 = cos<p-xQ 4- sin</>- [e, xQ].
|Xa|	Це, xQJ|
(3)
Наконец,
xQ = x — x = x — (x, e)e.	(4)
Подставляя (2), (3) и (4) в (1), получим
у = (х, е)е 4- cos<p(x — (х, е)е) 4- sin<p[e, х — (х, е)е] =
= cos<р х 4- (1 - cos<p)(x, е)е 4- sin<p[e, х]. (5)
Из (5) следует, что оператор U(e, 92) представляет собой сумму операто-
ров задач 3.83, 3.85 и 3.86, матрицы которых известны. t>
/О 1 1\	/о
3.89. Является; А =	2
О 1 . 3.90. Является; А =	2
V -1 1/
\3
/о о о\
1 1>
О 1
-1 1J
3.91. Не является. 3.92. Является; А =	0
/1	2	2\
А = 0-3 1
\2	0	Зу
\о
<3
3.94. Является; А =	1
\0
/ 22
1 — 1 . 3.93. Является;
0 Оу
1	0>
—2 -1 .
3 2у
13 - 37\
3.95. Не является.
3.97. С = -39 -16	25
\-1
0 -6/
260
Ответы и указания
Сх = (22xi 4- 13х2 - З7х3, -39xi - 16х2 4- 25х3, -Xi - 6x3). 3.98. С =
/—15 23 -7\
2	8 -4 , Сх = (-15хх 4- 23х2-7хз, 2хх 4- 8х2-4х3, -7xi 4-
\ -7 1 V
/2 3 - 2\
4- х2 4- 7х3). 3.99. С = 0, Сх = 0. 3.100. С =	10-4
Сх = (2xi 4- Зх2 — 2хз,Х1 - 4х3, 5хх - 2х3).
\5 0 -2/
/Л 0 о\
3.102. ОАО
cos2 a
0
3.103. (Ei, Е2, Ез), где Ei = cosot(cos/3cos<p — cos7sin92)
^cos a(cos /3 sin 4- cos 7 cos 92)/
E2 =
cos a (cos fi cos 92 — cos 7 sin 92)	\
cos2 /3 cos2 92 4- cos2 7 sin2 92
рпч^ fi__слч^ 'v
----------------sin 2<p 4- cos /3 cos 7 cos 2<p^
E3 =
cos a (cos /3 sin 92 4- cos 7 cos 92)
РЛЧ^ fi — ГЛЧ^ 'V
-------------sin 292 4- cos /3 cos 7 cos 292
2
(cos /3 sin 92 4- cos 7 cos <p)2
e = cos ai 4- cos /3j 4- cos 7k.
0
3.104.
0

3.105. i
3
0 \
1/ 4
-(a2 — аз) sin2<p
- (a2 — a3) sin 292 a2 sin2 92 4- a3 cos2 <pу
—(2 sin 92 4- coscp)
1	. n
2	— - sin 292
9	• 2
a2 cos <p 4- аз sin 92
1.
2'
2
2 cos 92 4- sin 92
2 sin 92 — cos 92
1 4- cos2 92
2 cos 92 — sin 92\
-(14- sin2 92)
2 4- sin 2ip у
Ответы и указания
261
3.106. а) А' =
2
3
О
3
-1
2
5
О
1
2
б) А' =
1
1
1
О
-4
4
1
-8
0>
-7
2
3.107. А" =
3
-1
2
2>
-2

3
6
4
4
3.108. [А 4- В]®.
\2 -3
44
-29,5
44
-25
г п о	( “б
3.109. [р(А)] = ЗА2 - 2А 4- 5Е = I
\ 22
22
49
3.110. а)
 3.111.
/О
О
1
О
1
О 2
О
3
о
б)
О п-1
о
/О
\0
1
О 1
О
1
о
о
1/
1/3
1/2
О
о
1/4
1/3
О
1/4
О
3.112.
О
о
h
1
о
о
о
h2
2h
1
о
л3\
ЗЛ2
ЗЛ
, 3.114. Оператор обратим в том и только в том случае, когда А 0 0;
; А-1х = —х. 3.115. а) Оператор проектирования на ось, заданную векто-
•- ром е, не имеет обратного; б) оператор не имеет обратного. 3.116. а) Опе-
ратор проектирования на плоскость, перпендикулярную вектору е, не
имеет обратного; б) оператор зеркального отражения в плоскости, пер-
пендикулярной вектору е, обратим, причем А 1 = А. Указание. По-
следнее следует из равенства А2 = Е, которое геометрически очевидно,
но может быть и проверено слёдующим образом:
А2х = А(х — 2(х, е)е) — х — 2(х, е)е — 2(х, е)Ае =
= х - 2(х, е)е - 2(х, е)(е - 2е) = х = Ex, х G V3.
262
Ответы и указания
3.117.	А-1х = (-х 4- 2у - z)i 4- (-ж - Зу - 2z)j 4- (2ж - Зу 4- 2z)k.
3.118. Оператор не имеет обратного. 3.119. U-1(e, <р) = U(e, — <р) =
= U(—е, <р). 3.120. А-1 = А. 3.121. Оператор не имеет обратного.
3.122.	А-1х = ^(xi 4- 2ж2 + 2х3, 2xi 4- х2 - 2ж3, 2#i - 2х2 4- х3).
3.123.	a) Na — двумерное подпространство всех векторов, ортогональ-
ных вектору е, ТА — одномерное подпространство всех векторов, кол-
линеарных вектору е; б) NA — одномерное подпространство всех векто-
ров, коллинеарных а, ТА — двумерное подпространство всех векторов,
ортогональных а. 3.124. ND = Pq = R, TD = Pn-i- 3.126. rA = 2,
базис TA: ei = (2, 1, 1), e2 = (—1, —2, 1); nA = 1, базис NA: e =
= (1, 1, 1). 3.127. rA = 1, базис TA: e = (1, 1, 1); nA = 2, базис NA:
ei = (1, —1, 0), e2 = (1, 0, —1). 3.129. A = a, — любой ненулевой
вектор. 3.130. Ai = 1, x(A1) = rri, x 0 0; X2 = 0, x(A2) = y] 4- zk,
x<A2> / 0. 3.131. A = 0, xW = xri, x 0 0. 3.132. При </> = 2ttZ, I =
= 0, ±1, ..., оператор U(e, <p) совпадает с единичным. Поэтому в этом
случае А = 1, а х(А) — любой ненулевой вектор. При = (21 4- 1)тг, I =
= 0, ±1, ..., Ai = 1, x(A1) = ае, a 0 0, А2 = — 1, x^A2^ — любой нену-
левой вектор, перпендикулярный вектору е. При 0 Z = 0, ±1, ...,
оператор имеет единственное собственное число А = 1, а х(А) = ае,
а 0 0. 3.133. Ai = 1, х(А1) — любой ненулевой вектор, компланарный
плоскости отражения, А2 = — 1, x^A2^ = ае, а 0 0.
%(А) = a
а2 не равны
, a 0 0. 3.135. А = 2, Х<А> = «1
2
\°/
3.134. А = - 1,
/°\
о
V/
4- 012
, СХ1 и
одновременно нулю. 3.136. Ai = 1,
Х(М) = а
1
V/
1
/3\
1 , а 0 0.
W
А2 = 0, Х<А2> = а 2 , а / 0. 3.137. А = 1,	= а
3.138. Ai = 3, Х<А1> = а
2 ; А2 = - 1, Х<А2) = а 2 , а ± 0.
\2/
\У
V/
Ответы и указания
263
3.139. Ах = 1,
/2\
Х<А‘> = а, 1
W
ai, а2 не равны одно-
временно нулю; Аг = — 1,
/о\
Х<А1> = a 1
\°/
х<А> = ai
\-м
/зХ
a 5 , а / 0. 3.140. Ai = 2,
/ 0\
Л2 = 1, Х<А2) = a 1 ; a 0 0. 3.141. А = - 1,
k-v
+ 012
q2 + Q2 0	ЗЛ42# Д1 = _	%(А1) =
W
А2 = 2,	= a
j 3.143. А = 2,	= a
3.145. При любых у 0 О, 7Г
-4 , а 0 0.
\ 3/
. оператор А имеет два собственных числа Ах(у) = cosy» 4- i sin у = etlf>,
'• A2(y) = cosy — i sin у = e~ttp. Соответствующие им собственные век-
ft	/А	/ А
5 торы: %(А1)(у) = a I I и X^A2\y) = Д I ), где а и 0 — произволь-
t	\-г/	\i J
 ные отличные от нуля комплексные числа. При у = 0 и у = тг оператор
£ А имеет по одному собственному числу: А(у = 0) = 1, А(у = тг) =
| = — 1. В обоих случаях собственным вектором является любой ненуле-
вой вектор из комплексного пространства £2- 3.146. Указание. К ра-
; венству (А — ХЕ)Х^ = О применить операцию комплексного сопряже-
:	/А	/3-3г>
5 — Зг ;
НИЯ. 3.147. Al = 1, Х(А1) = a 2 ; А2 = 2 + Зг, Х<Аг> =
V/
a
264
Ответы и указания
(3 4- ЗА
Аз — 2 — Зг,
%(А3) = a
5 4-Зг ;
a Е С, a 0 0. Указание. Вос-
пользоваться
результатом
задачи
3.146.
-59
3.149. б)
—45\
= 1/Ад.
3.151.
-1
-3
3.152.
107
83
67
10
3.153.
-11
13
е2 - 8
е - 8
е2 - 8у
. 3.154. D =
V
7-3/2
1/2
\ 1/2
-2
. 3.155. D =
D* =
-1/2 , D* =
3/2/
2/3
О
3.156. Поворот на
/ 1 о\
3.157.
угол а вокруг
1
3.158.
\0 0
начала
(b2 — d'
a2 4- b2
4/3
-1/2 •
0 )
стрелке.
координат по часовой
'? —‘lab \
, если ab 0;
—lab a2 - b2 )
0\
) при 5 = 0. 3.159. <] Пусть ai, ..., an Е
3
6
е - 8
1
о
о
о
\ 14
0
1
0
3 ,
0
2
1
\b/a 0J
/1 (Л	/-1
I I при a = 0: I
\0 “V	\ 0
G Rn соответствуют вектор-столбцам матрицы А. По теореме Кронекера-
Капелли система совместна тогда и только тогда, когда rang А = rang А,
т.е. вектор Ь, соответствующий вектор-столбцу В, принадлежит линей-
ной оболочке векторов ai, ..., ап, которые соответствуют также вектор-
строкам сопряженной матрицы А* (рассматривается действительный
случай). Арифметический вектор х является решением сопряженной
системы по определению тогда и только тогда, когда (а/, х) = 0, i =
= 1, 2, ..., п, а значит, и (Ь, х) = 0. Теорема доказана. В комплексном
случае строками матрицы А* являются не векторы ai, ..., ап, а их
комплексно-сопряженные, но доказательство проводится аналогично. t>
3.160. Совместна; общее решение сопряженной системы се, е = (—1,—1,2).
3.161. Несовместна; общее решение сопряженной системы ciei 4- сзвз,
ei = (—1, 1, 0), ез = (-1, 0, 1). 3.162. Совместна; сопряженная система
имеет только тривиальное решение. 3.163. Совместна; общее решение
Ответы и указания
265
сопряженной системы как в задаче 3.161. 3.164. Указание. Восполь-
зоваться теоремой Фредгольма. 3.165. Только система из задачи 3.162.
/Л
О
2

1
О
, А =
3.172. Ei =
W
о\
2/
Е2
3.173.
-1
\°/
Е4 =
е4
-3
-1
О
/3
О
о о\
О О . 3.175. Диагонализировать
О О/
* нельзя. 3.176. Е4
О
/о
<Л
о .
о
О
О
о
О
, Ез =
О
2
1
О
о
Л
о
о
2
О
о
9
О , Ез
, А =
1
о
о
о
о
, А =
О
1
О
/о\
/2
Л\
1 , А =
W
О
2
О
О
3.177. Ei =
3.178. Ej
е2 —
1
W
/Л
о
Ез =
-1
-1
О
, Е2 =
, Ез

О
1
О
1
о
О
W
W
266
Ответы и указания
/2 0 0
3.179. Ei =
\0 0 О
/-Л
О
О
/1 О
О 1 о
0 0-1
\0 0	0-1/
/2 -1\
тп четном, I	при тп
\3 —2/
Использовать формулу Am = Т 1DmT.
/190 189 —189\
3.182. 126 127 -126
\252 252 -251/
/—2/3\	/9 О
1/3 , D= 0 -9
Е2
/1 2m - 1
3.180. а)
\0 2т
нечетном. Указание.
3197 —12бб\
7385 —2922/
/2/3\	/ 1/3\
3.183. Ei = 2/3 , Е2 = -2/3 , Е3 =
V/3/
Л/л/2\
. 3.184. #1= 1Д/2
\ о /
о\
\ 2/3/
-l/s/18
к-4/ч/18/
0 2 0
0 0 2
о
о
V
о
о


9	0 . 3.185. Ei =	-i/\/2 , Е2 =
\ 2/3/	\0
/1/д/2\	/о\
, Е3 = 0 ,
\ 0 /	V/
/
О 27/
<2
D = О
\о
<1/л/б\
1/л/6 ,
\2/^б/
Е2
О о\
4 О
О 4у
D =
; \ 0 /
< 1/у^\
3.186. Ei =	-1/\/2 ,
\ 0 /
/о о о\
ООО. 3.187. и =
\0 0 6/
Ответы и указания
267
0\
. 3.189. U =
8/
3.190. U =
\ 0 0 V
-2/3	—1/3\	/1	0
1/3	2/3	,	D =	0	4
2/3	—2/3/	\0	О
<5
О
\0
О
-3
О
0>
О
V
3.203. А =
3.205. А' =
3.191. U =
/ 6 0 -4\
0 6	2 .	3.204. А = О
2
0>
О .
V
о>
о .
Ю/
1 1>
1 2
2 3,
1 -3
1 1
1 1
1 -3
/2	2
3.206. А' =
\2 -2
3.210.	х'1 4- х,22 - т'з,
,1,5,
Х1 = Х1 - п Х2 + ~х'3,
2 О
1 , 1 ,
< х2 =	2^2 ~ 6ХЗ’
1 ,
*з =	^з-
о
3.212. х'} + х,22 -т'з,
1 ,
xi = 2Х1 + х2,
Х2 = Х2 4- х3,
Хз -	-^4-Тз.
3.211.	х'\ - х'% - х'1,
f Xi = х{ - х'2 - х'3,
< Х2 = х{ 4- х2 - х3,
к Хз =	Х3.
3.213.	9х'1 2 4- 18т'2 - 9т'з,
2,2,1,
xi = -х\ 4- -х'2 - -т'з,
1 ,	2 ,	2 ,
х2 = - ^х\ 4- -х'2 4- -х'3,
ООО
2 ,	1 ,	2 ,
^з=	- -х'2 4- -х'3.
268
Ответы и указания
3.214. Зя'* 4- 6т'2 - 2т'з,							
	Х1 =	4=*; 75	1 , 1 ,				
<	Х2 =		к-д.» Уз 1	1 , 1 , ~ ^^2 + ^^31				
	хз =	—я' Уз 1	*.05 н -1^ i				
3.215. 5т'2		— х'з — х	'з,	3.216. Эх'2г		4- 18т	2 + 18®1,	
	Х1 =	1 , 4- Уз	1 , 1 , ~^2 + У2Жз’	=	З*1	2 , З^2	+ |*з,
<	Х2 =	—х' 4- 75 1	н ^1- н со**	Х2 =	зЖ1	-х1 3 2	-2-х' 3 31
	х3 =	—X1 — 75 1	7S 2'	хз - к	|я'1 +	2 , 3 2	+ ^з- О
3.218. Положительно определенная. 3.219. Отрицательно определенная.
3.220. Общего вида. 3.221. Отрицательно определенная. 3.222., По-
ложительно определенная. 3.223. Общего вида. 3.224. Положительно
д./2
определенная. 3.226. Эллипс — + у' =1, О'(-4/5, 2/5), ei =
= (l/Уб, 2/Уб), е2 = (—2/>/5, 1/У5). 3.227. Парабола у'2 = 4у/2х',
О'(2, 1), ei = (1/\/2, 1/У2), е2 = (-1/У2, 1/У2). 3.228. Гипербола
= 1, О'(1, 1), ei = (3/У13, 2/У13), е2 = (-2/У13, 3/У13).
3.229. Параллельные прямые х' = ± Уб/2, О'(—3/5, —3/10), ei =
= (-2/У5, 1/У5), е2 = (1/>/5, 2/>/5), или, в старых переменных,
х'2	у'2
2х - у + 1 - 0, 2х - у - 4 = 0. 3.230. Эллипс —— 4- —— = 1,
35/6	35/36
О'(7/6, 1/3), ei = (2/75, -1/75), е2 = (1/75, 2/75). 3.231. Парабола
у'2 =	О'(3, 2), е, = (-2/75, -1/75), е2 = (1/75, -2/75).
у5
/ 1 \ 2
3.232. а) При A G (—оо, —1) — гипербола (х - А)2 4- А I у — - I =
\ А /
А3 4-1
= —-—, при А = — 1 — две пересекающиеся прямые х — у — 0,
А
/ Х\2
х 4- у 4- 2 = 0, при A G (—1, 0) — гипербола (т — А)2 4- А I у — -т ) =
\ A J
А3 4- 1
= —-—, при А = 0 — парабола х2 = 2у, при A G (0, 4- оо) — эллипс
А
Ответы и указания
269
/	] \ 2 дЗ 1
(х - А)2 4- Л ( у - - J = —-—; б) при Л G (-оо, -1) — гипербола
(1 - Л)х'2 + (1 + А)у'2 = 1, О'(0, 0), е, = (-1/72, l/v'S), е2 =
= (—1/72, —1/72), при А = —1 — две параллельные прямые х — у ± 1 =
= 0, при A G (-1, 0) — эллипс (1 - А)я'2 4- (1 4- Х)у'2 = 1, О'(0, 0),
ех = (—1/72, 1/72), е2 = (—1/72, —1/72), при А = 0 — окружность
х2 4- у2 = 1, при A G (0, 1) — эллипс (1 — А)т'2 4- (1 4- А)?/'2 = 1,
О'(0, 0), ei = (-1/72, 1/72), е2 = (-1/х/2, -1/72), при А = 1 — две
параллельные прямые х 4- у ± 1 = 0, при А 6 (1, 4- оо) — гипербола
(1 - А)т'2 4- (1 4- A)t/'2 = 1, О'(0, 0), ex = (-1/72, 1/72), е2 =
=	3.233. Эллипсоид 4-	4-	= 1, О'(1,2,-1),
ех = (1/3,2/3,2/3), е2 = (2/3, 1/3,-2/3), е3 = (2/3,-2/3,1/3).
,2	/2
3.234.	Гиперболический параболоид -------- = — 2z', О'(1, 2, 3),
ei = (-2/3, 1/3, 2/3), е2 = (1/3, -2/3, 2/3), е3 = (2/3, 2/3, 1/3).
х'2	v'2	z'2
3.235.	Двуполостный гиперболоид 4-^7 4- 4/15" 4/25 =	^(0? 1» —2/5),
ex = (1/72, -1/72, 0), е2 = (1/v^, 1/72, 0), е3 = (0, 0, 1). 3.236. Эл-
,2	/2
липтический параболоид 4-	~	—19/40, 1/2),
ех = (1/7б, 1/7б, -2/7б), е2 = (1/73, 1/73, 1/73), е3 = (1/72,
_	2	4
—1/72, 0). 3.237. Параболический цилиндр у' = ~х', О'(2, 1, — 1),
ei = (2/3, 2/3, 1/3), е2 = (2/3, -1/3, -2/3), е3 = (1/3, -2/3, 2/3).
/2	,2
3.238.	Эллиптический цилиндр 4- —- = 1, (?'(0, 1, 0), ех = (1/\/3,
1/73, -1/л/З), е2 = (1/7б, -2/76, -1/7б), е3 = (1/^2, 0, 1/72).
х'2 у'2	z'2	/12 2\
3.239.	Однополостный гиперболоид — 4- 7-^ - 77г = 1, О' (- -, - -, 7),
1/3 I/O 1/2	\ 3	3 3/
е, = (1/73, -1/\/3, 1/73), е2 = (1/А 2/л/ё, 1/л/б), ез =
х'2	у'2
~ (1/72, 0, -1/72). 3.240. Гиперболический цилиндр —— — —тт = 1,
J. / о	J. / о
О'(1/6, 1/3, -5/6), е, = (1/Л, о, -1/%/2), е2 = (l/y/З, -1/ч/3, 1/у/З),
е3 = (1/л/б, 2/76, 1/76).
270
Ответы и указания
11 -111 \
). 3.245. A' =
7	5/
1 / 41 11
3.243 Тензор типа (3, 0). 3.244. - (
° \ —3 7
= S-1A(S~1)T. 3.246. np+q, где n = dimL. 3.247. a(x). 3.248. (i, j),
(i, fc), (г, Z). 3.249. Да. 3.251. B(x, y) = a(x)0(y). 3.252. Blj = x'y*.
3.253. Матрицы тензоров Av, Cij остаются симметрическими, а тензора
Bj — необязательно. 3.254. В = (6 0 -1), С = (1 1 -7). 3.255. ||Cj|| =
f 2 7 18\	/6 8 16^
6
V 7 5/
зовать формулы А' = STAS, А' = S гА8, А' = S 1A(ST) х. 3.257. а) 1;
б) 2. 3.258. rang А 1. 3.259. А« , =	+ А«), В,™ =	-
- i(B’fci B>ik + Biki + Bkij - Bkii\ C(W = l(Cyt + Cikj + Cjik) +
0 8 22
, Pjll =
14
19
. 3.256. Указание. Исполь-
+ Q^Cjki 4- Ckij 4- Ckji)’
2
О
(-1 3/2
1
5/2
3.260. USymAtf || =	3/2
5/2 ,
-3/
|| Alt Ву|| =
-2
<—1/2 5/2
-5/2 .
3.261.
Bijlc	> = 1	J = 2	;=3	; = i	;=2	J=3	J = 1	j = 2	j = 3
i = 1	2	3/2	2	3/2	3	-1	2	-1	2
i = 2	-1	9/2	1/2	9/2	0	2	1/2	2	5
i = 3	6	-9/2	5/2	-9/2	4	0	5/2	0	3
	k = 1			Jk = 2			k = 3		
cijk	; = 1	J =2	J = 3	j = l	J = 2	J = 3	7 = 1	j = 2	j = 3
i = 1	0	0	0	0	-1	0	0	1	0
i = 2	0	0	1	0	0	0	0	0	0
i = 3	0	-1	0	1	0	0	0	0	0
	k = 1			Jk = 2			Jk = 3		
Ответы и указания
271
Dijk		j=2	j = 3	j = l		J=3	j = l	j = 2	j = 3
i = 1	2	2/3	10/3	2	4	-5/3	10/3	-5/3	7/3
i = 2	2/3	4	-5/3	6	0	8/3	-5/3	8/3	5/3
i = 3	10/3	-5/3	7/3	-5/3	8/3	5/3	7/3	5/3	3
k=1	к=2	к=3
/1 о о\
3.262.7(£) = £(х). 3.263. ТДх, у, £) = £(Л(х, у)). 3.264. 0 0 -2
' ei = 4ei 4- е2 - 2е3,
3.265.
3	7
е2 = -6ei - -е2 + -е3,
\3 О О/
3.266. —94. 3.267. -1. 3.268. -12.
к ез = ei + 2е2 “ о®3’
3.269. Т}%3 = -168,	= 6.
Глава 4
4.1. Мх х М2 = {(-1, а), (-1, 5), (—1, с), (2, а), (2, 5), (2, с)}.
4.2. Mi х М2 х М3 = {(1, 5, а), (1, 6, а), (1, 7, а), (3, 5, а), (3, 6, а),
(3, 7, а)}. 4.3. Симметрично. 4.4. Транзитивно, антисимметрично.
4.5. Антисимметрично. 4.6. Транзитивно, антисимметрично. 4.7. Ре-
флексивно, транзитивно, антисимметрично. 4.8. При к = 0 рефлек-
сивно, транзитивно, симметрично, антисимметрично; при к / 0 анти-
симметрично. 4.9. Рефлексивно, транзитивно, симметрично. 4.10. а) На
главной диагонали матрицы отношения стоят 1; б) матрица отноше-
ния симметрическая; в) из двух элементов матрицы отношения, симме-
тричных относительно главной диагонали, не более чем один равен 1.
4.11. Указание. Для доказательства достаточно привести примеры, по-
казывающие независимость друг от друга свойств бинарного отношения.
Например, на множестве А = {а, 6, с} отношение стх = {(а, а), (6, 6)} —
симметрично, транзитивно, иррефлексивно; ст2 = {(а, а), (5, 6), (с, с),
(с, 5)} — рефлексивно, транзитивно, асимметрично, ст3 = {(а, а), (5, 6),
(с, с), (а, 6), (Ь, а), (5, с), (с, Ь)} — рефлексивно, симметрично, интран-
зитивно. 4.12. Об (при & = 0)?	— отношения эквивалентности;
as, (Те (при к = 0) — отношения порядка. 4.13. tri — отношение по-
рядка. 4.14. (Т2 — отношение эквивалентности. 4.15. сг3 не является
272
Ответы и указания
ни эквивалентностью, ни порядком. 4.16. <74 не является ни эквива-
лентностью, ни порядком. 4.17. Z/cr = {Aq, Ai, ..., Ап~ 1}, где Аь =
= k + nZ, k = 0, 1, ..., n — 1; в качестве множества представителей
можно взять {0, 1, ..., п - 1}. 4.18. Пусть a — отношение эквива-
лентности на А. Для каждого a G А пусть К(а) — {х | хаа}. Так
как а рефлексивно, то a G К (а) для каждого a G А. Докажем, что
классы К (а) либо не пересекаются, либо совпадают. Действительно,
если с Е К (а) П К(Ь) их 6 К (а), то хаа-, кроме того, саа и cab; из
симметричности и транзитивности отношения а следует, что xab, т. е.
х G К{Ъ). Следовательно, К (а) С К(Ь). Аналогично показывается, что
К(Ь) С К (а). Эти рассуждения показывают, что А является объеди-
нением непересекающихся классов: А = {A’(aa)|o! G /}. Наоборот,
если А = {Аа | а € 1} — разбиение множества А на непересекающиеся
подмножества, то отношение а = U {Аа х Ла |a Е /} есть отноше-
ние эквивалентности. 4.19. а) А х А; б) 0; в) наибольшее отноше-
ние эквивалентности — А х А, наименьшее — Д = {(a, а) |а G А}
(отношение равенства); отношение А х А имеет один класс А, у отно-
шения Д все классы одноэлементны; г) да, Д; д) наибольщего (при
|А| > 1) нет; е) да, линейные порядки. 4.20. Классы эквивалентно-
сти имеют вид а 4- Z, a 6 К. 4.22. На множестве А = {а, Ь, с}
отношение а = {(а, а), (6, Ь), (с, с), (а, Ь), (а, с)} определяет порядок,
относительно которого b и с — максимальные элементы, ни Один из
которых не является наибольшим. 4.23. Есть только минимальные эле-
менты — простые числа. 4.24. Граф отношения изображен на рис. 40.
Максимальные элементы — 6, 7, 8, 9, 10; минимальный (он же наи-
Рис. 41
меньший) — 1; наибольшего нет. 4.25. Граф отношения изображен
на рис. 41. 4.26. Указание. Пусть а — отношение порядка на А
и элементы а, b несравнимы, т. е. (а, Ъ) а и (Ь, а) а. Тогда
т — a U {(а, х) | (Ь, х) G a} U {(х, Ь) | (х, a) G а} — отношение по-
рядка и г D а. Утверждение справедливо и для бесконечного множества.
4.30. Граф отношения из задачи 4.27 см. на рис. 42a; из задачи 4.28 —
на рис. 426 4.32. а) а Э Д; б) ст-1 = а; в) а2 С а; г) a A a-1 С Д.
4.33. а) Да; б) не обязательно; в) да; г) не обязательно; д) в общем слу-
чае ответ «нет»; ответ «да» тогда и только тогда, когда ат = та; е) да.
Ответы и указания
273
4.35. <] Пусть (a, b) G (рсг)т. Тогда (а, ж) 6 pa, (х, b) G т для некото-
рого х G А. Отсюда следует, что (а, у) 6 р, (у, х) G а для некоторого
у G А. Следовательно, («/, b) G ат. Так как (а, у) G р и (у, b) G ат,
то (а, Ь) G р(<тт). Значит, (ра)т С р(ат). Аналогично доказывается,
что (ра)т D р(ат). t> 4.37. Указание. Если р = А х А, а = {а} х А,
т = {Ь} х А и а / Ь, то р(а Ат) ра А рт. 4.39. ха*у, если х < у.
4.40. ха*у, если у делится на х. 4.41. Все, кроме ± • ± = ||. 4.42. Графы
изображены на рис. 43. 4.43. а) Петли (d, d), (е, е); б) дуги (е, с), (Ь, а),
Рис. 43
(d, е), (d, b); в) дуги (с, d), (е, е), (a, d), (с, 6), (е, Ь). 4.48. Классы от-
ношения сгАт — попарные пересечения классов а и т; классы отношения
(crUr)* получаются следующим образом: надо взять класс Ai отношения
а, затем объединение Аг всех классов т, пересекающихся с Ai, затем
объединение Аз всех классов а, пересекающихся с Аг и т.д.; классом
°о	2
отношения а т будет являться U ai. 4.49. См. рис. 44. 4.50. а) 2п ;
г = 1
а б в г д е
Рис. 44
ж
б) 2п2-п; в) 2п<п + 1)/2; г) 2п  З^-1^2; д) тг!; е) 19; ж) 5. 4.51. а) пп2;
б) пп(п + 1)/2. 4.53. а, Ь, с, d — левые нули; а, b, с, d — правые единицы.
274
Ответы и указания
Таблицу Кэли см. на рис. 45а. 4.54. 3 — двусторонняя единица; нулей
нет. Таблицу Кэли см. на рис. 456. 4.55. Операция коммутативна, если
abed 1 2 3 4	+ 0 1 2 ?	• 0123
а	а	а	а	а	1	3	4	1	2	0	0	1	2	3	0	0	0	0	0
b	b	b	b	b	2	4	1	2	3	1	1	2	3	0	1	0	1	2	3
с	с	с	с	с	3	1	2	3	4	2	2	3	0	1	2	0	2	0	2
d	d	d	d	d	4	2	3	4	1	3	3	0	1	2	3	0	3	2	1
a	б	в	г
Рис. 45
таблица симметрична относительно главной диагонали. 4.57. а) Опе-
рация обратима слева, если в каждом столбце содержатся все элементы
множества; б) сократима слева, если в каждой строке все элементы раз-
х 4- у
личны. 4.58. а) х * у = —-—
б) умножение матриц; в) х * у = х\
г) х * у = у. 4.59. Операция неассоциативна, некоммутативна; 0 —
правая единица. 4.60. Операция неассоциативна, некоммутативна; 1 —
левый нуль. 4.61. Операция ассоциативна, коммутативна; 1 — двусто-
ронний нуль. 4.62. Операция ассоциативна, коммутативна; 1 — двусто-
ронняя единица. 4.63. Операция ассоциативна, коммутативна; 0 —
двусторонняя единица. 4.64. Операция ассоциативна, некоммутативна;
(1, 0) — двусторонняя единица. 4.65. Операция ассоциативна, некомму-
тативна; тождественное отображение е(ж) = х является единицей; ото-
бражения <ра(х) = а — левые нули, правых нулей при |Х| > 1 нет.
4.66. Операция ассоциативна, коммутативна; 0 — двусторонняя единица.
4.67. 0 — двусторонняя единица; нулей нет. Таблицу Кэли см. на рис. 45в.
4.68. 0 — двусторонний нуль; 1 — двусторонняя единица; нулей нет.
Таблицу Кэли см. на рис. 45г. 4.70. а) идемпотент 0; нильпотентных эле-
ментов нет; б) идемпотенты: 0, 1; нильпотентные элементы: 0, 2, 4, 6.
4.71. Изоморфны множества из задач 4.54 и 4.67. 4.72. Да, отображе-
ние <р(х) — а 4- b — х — изоморфизм. 4.75. Нет. 4.76. а) Ерли каждое
(Aj, •) коммутативно; б) если каждое (А{, •) ассоциативно. 4.77. а) Ле-
вые (правые) единицы — элементы вида (вх, ег, • • •, еп), где е; — левая
(правая) единица в Ai при i = 1, 2, ..., п; б) левые (правые) нули —
элементы вида (01, 02, • • •, #п), где 0» — левый (правый) нуль в А{ при
i = 1,2,..., п. 4.78. Нет. 4.79. Нет. 4.80. См. рис. 46. 4.81. Да.
Ответы и указания
275
4.82. Да. 4.83. Нет. 4.84. Да. 4.85. Нет. 4.86. {2, 3, 6}, {1, 3, 6},
{1, 2, 6}, {1, 2, 3, 6}. 4.87. Единица — А = {(ж, т) |x G X} (двусто-
ронняя); нуль — 0 (двусторонний). 4.88. Единица — тождественное
отображение: е(х) = х для любого ж; левые нули — такие отображения
/, что f(x) = a G X для любого х, правых нулей нет. Тх можно считать
Рис. 47
подподгруппой Вх, если в Тх или в Вх произведения элементов брать
в обратном порядке. 4.89. 5. 4.91. Указание. Пусть S — конечная
полугруппа и a G S. Тогда at + m = аг при некоторых тп, i > 0, а зна-
чит, аг + i = а* при j г. Докажите, что (awm)2 = aNm при достаточно
большом N. 4.97. Указание. Обе части равенства abab = е умножить
слева на а и справа на Ь. 4.98. х = а~1Ь, у = Ьа"1. 4.99. х — a-1cb-1.
4.100. х = a-16-1. 4.101. х = Ьс~га. 4.102. У казание. Пусть a G S.
Тогда существует u G S такое, что аи =
= а. Так как уравнение ya = Ь имеет
решение, то bu = b при всех b G S. С ле-
довательно, и — правая единица. Пока- у
жите, что и является также левой еди- -i
ницей. Наличие обратного элемента еле- i
дует из разрешимости уравнений ха =
= и, ау = и и совпадения их реше-
ний. 4.108. Указание. Отображение
с 4* ж
х -> pin------ (р 0) осуществляет
изоморфизм этой группы и группы К. 4.109. Нет. 4.110. См. рис. 47.
4.113. Указание. <р(а) — ср(ае) — <р(а)<£>(е), откуда<р(е) = е'. 4.114.Об-
щий вид гомоморфизма: <р(х) — кх, к G Z. 4.115. Отображение ср: х i->
н» ха является изоморфизмом. 4.116. Указание. Если Х = {х\,.. .,жп}
и А С X, то отображение <р(А) = (ei, .. .,en) £i = 1 4» Xi G А является
изоморфизмом (Р(я), А) с й2 х ... х й2. 4.117. а) Указание. Отобра-
п раз
жение х -> ех есть изоморфизм (1R, +) и (JR+, •); б) Указание. Если
бы (Q, +) была изоморфна (Q+, •), то в (Q+, •) было бы разрешимо лю-
бое уравнение вида хп = а, что неверно. 4.119. Указание. Пусть Н —
подгруппа группы Йип — наименьшее положительное число, принад-
лежащее Н. Докажите включения Н С пй и пй С Л. 4.121. Нет.
4.122. Указание. Отображение z -> (|z|, eiarg*) — изоморфизм G на
Ах В. 4.123. а) Н = (3) = {0, 3, 6, 9}; б) Н = (4, 9) = ЙХ2. 4.124. 1,
3, 7, 9. 4.125. 1, 5, 7, 11. 4.126. 1, 3, 5, 9, 11, 13. 4.127. 1, 5, 7, 11,
(2тгА? \
---). 4.131. cui, Ш5, W7, сип. 4.132. При
п /
НОД(тп, n) = 1. 4.136. Указание. Уравнения хп = 1, п G N в этой
группе могут иметь только два решения: 1 и —1. Поэтому о(а) = оо
для всех а, кроме а = 1 и а = — 1. Очевидно, о(1) = 1 и о(—1) =
276
Ответы и указания
= 2. 4.137. Указание. Если ab = ba, то o(ab) — НОК(о(а), о(&));
в нашем случае o(ab) = o(a)o(b). 4.138. Так как ab = ba, то o(ab) —
= Н0К(4, 10) = 20. 4.139. 6, 18, 30, 42. 4.140.	z2 = ~1-?t \
у 2	у/ 2
—1 — г 1 — г . *	/7гг\	/Зтгг\
Z3 = —у=- И z4 - —3=-- 4.141. Zi = exp — I, z2 - exp I —-), z3 =
v2	\о J	\ и /
= exp [ ^7-) и Z4 = exp [	). 4.142. Указание. Ясно, что в группе
\ 5 J	\ 5 /
Zn порядок элемента а равен п в том и только том случае, если a —
образующий элемент, а образующими являются такие а, для которых
НОД(а, n) = 1. 4.143. 12. Указание. Используйте мультипликатив-
ность функции Эйлера, т.е. <р(тпп) = <р(т)<р(п), если НОД(тп, n) = 1.
4.144. 16. 4.145. 40. 4.146. 1, 10, 5, 10, 5, 2, 5, 10, 5, 10. 4.147. 1,
2, 2, 2. 4.148. о(1) = 1, <?(—1) = 2, о(а) = 4 для остальных эле-
п
ментов. 4.149. тт ------г. 4.150. 6. 4.151. 12. 4.152. 1 при a =
НОД(п, а)
= 0, ра — р“-1 при 0 < а Д и 0 при а > /3. 4.153. 9?(тп), если
TH|и, 0 в остальных случаях. 4.154. Указание. Рассмотреть отобра-
жение: Zmn -> х Zn, т.е. х -> (ж mod т, х mod п). Второй спо-
соб: доказать, что элемент (1, 1) группы х Zn имеет порядок тп.
4.156. Указание. Воспользоваться тем, что mu + nv = 1 при некото-
/12345 б\	/12345 6'
рых u, v G Z. 4.157. a) j	; б)
\3 4 5 2 1 6/	\6 1 3 2 4 5
/1234	5\	/1234	5\	/1234	5'
4.158. а) I	; б)	; в)
\4 3 1 2	5/	\3 2 4 5	1J	\4 1 3 5	2
/1234	5\	/1234	5\	/1	234	5х
г)	; д)	; е)
\4 3 1 2	5/	\3 * 5 1 4	2/	\1	4 5 3	2,
/1 2 3 4 5\
ж)	. 4.159. а) (153)(247); б) (1362)(47); в) (1472365).
\1 2 3 4 5у
/1	2 3 4 5 6	7\	/1	2	3	4	5	6	7\
4.160. а)	; б)	;
\3	45617	2/	у4	3	5	7	6	2	1/
/1	2	3	4	5	б\
в) I	. 4.161. а) (1542736); б) (15647). 4.162. а) 2.
\2	3	1	6	5	4/
Указание. Является произведением независимых циклов длины 2;
б) 12; в) 2. 4.163.а)(13)(35)(27)(67);б) (16)(62)(27)(78)(35). 4.164. S3 =
= {е = а3 = b2, a, a2, b, ab, а2Ь}; о(а) = о(а2) = 3, о(е) = 1, о(5) =
= о(аЬ) — о(а2Ь) — 2. Таблицу Кэли группы S3 см. на рис. 48. 4.165. Один
Ответы и указания
277
элемент порядка 1, девять порядка 2, восемь порядка 3 и шесть по-
рядка 4. 4.166. а) 6; б) 4; в) 5. 4.167. Меняется на противоположную.
4.168. |Ап| = у (п>2). А4 = {е, (123), (132), (134), (143), (124), (142),
(234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23)}.
4.169.Указание. Пусть G = {gi, ..., дп}.
Каждому д G G поставим в соответствие
(Ql Qi • • • Qn i
j.
ffig 92g ••• gngj
Отображение g a(g) является вложением
G в Sn. 4.170. 0 -> e, 1 -> (123), 2 ->
-> (132). 4.171. (0, 0) -> e, (0, 1) -> (12),
(1, 0) -> (34), (1, 1) -> (12)(34). 4.172. г -»
e a a2 b ab aty
е	а	а2	b	ab	а2Ь
а	а2	е	ab	а2Ь	b
а2	е	а	а2Ь	b	ab
b	а2Ь	ab	е	а2	а
ab	b	а2Ь	а	е	а2
а2Ь	ab	b	а2	а	е
f
Рис. 48
-> (1324)(5768), j -> (1526)(3847). 4.173. Указание. Каждой подста-
/1 2 ... n\
новке сг=|	I поставим в соответствие матрицу п х п,
\Й 22 • • • in/
у которой (k, ik)-e элементы равны 1, а остальные элементы равны 0.
4.174. Очевидно, существуют ровно три движения 1-го рода, переводящие
правильный треугольник АВС в себя: это е — тождественное отображе-
ние, a — поворот на угол в 120° вокруг центра треугольника, а2 — пово-
рот на угол в 240°. Кроме того, имеются три движения 2-го рода — это
симметрии относительно высот треугольника. Если одну из этих сим-
метрий обозначить через 6, то другие будут равняться ab и a2b. Таким
образом, С(Ф) = {е, а, а2, b, ab, a2b}. Ясно, что (7(Ф) = S3, и изомор-
физм определяется соответствиями а н» (123), b •-> (12). 4.175. (7(Ф) =
= {е, а, а2, а3, b, ab, a2b, a3b}, где a — поворот квадрата на 90° во-
круг его центра, b — симметрия относительно одной из диагоналей.
Представление подстановками: а н» (1234), Ь н» (24). 4.176. (7(Ф) =
= {е, a, b, ab}, где а2 = b2 = е, ab = Ьа. С(Ф) = Z2 х Z2. Представление
подстановками: а н» (12), Ь >-> (34). 4.177. (7(Ф) = {е, а, а2, ..., ап-1, Ь,
ab, ..., ап-1 b}, ап — Ъ2 — е, Ьа = а-1Ь. Представление подстановками:
а (123.. .n), b (2п-аТ)(Зп — 2).. .(кп — к), где к —	4.178. |G| =
= 48, G = (а, Ъ, а), причем а4 = 64 = а2 = е, Ьа2 = а263, Ь2а =
= a3b2, aba = bab, аа — а3а, ab = Ьа. 4.179. G S4. 4.180. G — S3.
4.181. <] Пусть а — движение плоскости и о(а) = п. Если а — движение
2-го рода, то а = 6с, где 6 — симметрия относительно некоторой прямой
I, а с — параллельный перенос вдоль этой прямой. Так как ап = е, то с =
= е, а значит, а — симметрия относительно прямой. Если а — движение
1-го рода, то либо а — параллельный перенос, либо а — поворот вокруг
некоторой точки. Параллельный перенос а при а / е не может быть
элементом конечного порядка. Следовательно, а — поворот. Пусть угол
278
Ответы и указания
поворота равен <р. Так как о(о) = п, то ip = 2тг—, где m, п 6 Z. Таким
п
образом, элементами конечного порядка в группе движений плоскости
являются: а) симметрии относительно прямых (в этом случае о(а) = 2);
б) повороты вокруг точек на углы р = 2тг—, где m, n G Z (здесь о(а) =
= п, если (т, п) = !).[> 4.182. <] Очевидно, доказательство достаточно
провести лишь для левых смежных классов. Пусть aHnbH / 0. Тогда
существует элемент с G аН П ЬН. Имеем: с = ahi — bha при некоторых
hi, h,2 G Я. Если х — любой элемент из аН, то х = а/г3, где Д3 Е Н.
Поэтому х = ahs =	= bh^h^h^ G ЬН. Ввиду произвольности
элемента х G аН мы получаем: аН С ЬН. Аналогично доказывается, что
ЬН С аН. Следовательно, аН = ЬН.> 4.183. Указание. Воспользо-
ваться результатом предыдущей задачи. 4.185. О, 2Zio, 4^ю, 5Zio, Zw.
4.186. {е}, {е, а}, {е, Ь}, {е, с}, {е, а, Ь, с}, если Z2 х Z2 = {е, а, Ь, с}.
4.187. dZn, где d | п. • 4.188. 8. 4.189. Одна — порядка 1, одна — порядка
р2; р 4- 1 — порядка р. 4.190. По одной подгруппе порядка рт (т п).
(2n - 1)(2П-1 - 1)
4.191.	4.193. <] Пусть а — любой элемент из G, от-
личный от е. Порядок элемента а является делителем простого числа
р, поэтому о(а) = р (равенство о(а) = 1 невозможно, так как а / 1).
Отсюда следует, что элементы е, а, а2, ..., ар-1 различны. Поэтому G =
= {е, а, а2, ..., а₽~1} = Zp.[> 4.197. <] Так как группа Z коммутативна,
то правое и левое разложения совпадают. В группе Z операцией явля-
ется сложение, поэтому смежные классы имеют вид а 4- Н. Смежные
классы 0 4- nZ, 1 4- nZ, ..., (n — 1) 4- nZ различны, так как числа
0, 1, ..., п — 1 попарно не сравнимы по модулю п. Оказывается, что
других смежных классов нет. Действительно, пусть а 4- nZ — смежный
класс. Разделим а на п с остатком: а = пи 4- г, где 0 г п — 1.
Отсюда получаем: а 4- nZ = пи 4- г 4- nZ = г 4- nZ. Тогда разло-
жение группы Z по подгруппе nZ имеет вид Z = (0 4- nZ) U (1 4- nZ) U...
...U ((n — 1) 4- nZ).t> 4.198. a) 27 4- 40Z; 6) 0. 4.199. Разложения
по подгруппе Н: левое: S3 = {е, (12)} U {(123), (23)} U {(132), (13)};
правое: S3 = {е, (12)} U {(123), (13)} U {(132), (23)}. Разложение по
подгруппе Н' (левое, правое) S3 = {е, (123), (132)} U {(12), (23), (13)}.
4.200. Указание. Рассмотреть отображение А х В -» АВ, (a, b) i-> ab.
4.202. По подгруппе 0: Z10 = {0}U{l}U.. .и{9}; по подгруппе 2Zio: Z10 =
= 2Zio U {1 4- 2Zio}; по подгруппе 5Zio: Z10 = {0, 5} U {1, 6} U {2, 7} U
U {3, 8} U {4, 9}; разложение по подгруппе Zio содержит один класс Zio-
4.203. A4 = {e, (123), (132)}u{(134), (234), (12)(34)}u{(124), (13)(24),
(243)}U{(142), (143), (14)(23)}. 4.204. У к а за ниe. Рассуждать так же,
как в задаче 4.182. 4.206. а) (234) • Н, где Н = {е, (14)}; б) не явля-
ется; в) не является; г) является подгруппой Н = еН = Не\ д) не явля-
Ответы и указания
279
ется. Указание. Использовать результат задачи 4.195. 4.209. {е},
{е, (123), (132)}, S3. 4.210. {е}, {е, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}, А3,
S4. 4.211. Все подгруппы. 4.212. {е}, {е, а, а2, а3}, {е, а2, b, a2b},
{е, a2ab, a3b}, G, если G = (а, 6), где а4 = е = b2, ba = a3b.
4.213. Указание. Воспользоваться результатами задачи 4.208.
4.214. Неочевидным является лишь утверждение о том, что параллель-
ные переносы образуют нормальную подгруппу. Докажем это для п-мер-
ного пространства. Пусть а : х х 4- а — параллельный перенос, а
/3 : х Ах + b — произвольное движение (здесь А — невырожден-
ная п х п матрица). Тогда (3~la.(3 : х i-> А-1(А(ж - b 4- а) 4- 6), т.е.
/З^а/З : х<-> х~ Ь + а + А-16 — параллельный перенос. 4.215. Ука-
зание. С = {е, a, a2, a3, b, ab, а2Ь, а3Ь} — группа движений квадрата,
А = {е, а2}, В = {е, а2, Ь, а2Ь}. 4.216. <] Пусть х, у 6 АВ. Тогда
х = ab, у = а'Ь', где а, а' 6 A, b, b' 6 В. Отсюда ху = aba'b' =
= а • ba'b"1 • bb' G АВ, так как ba'b"1 6 А. Кроме того, ж-1 = (аб)-1 =
= b~1a~1 = b~ra~lb • b' € АВ. Значит, АВ — подгруппа. Пусть теперь
А, В < G и д 6 G. Тогда дАВ = АдВ = АВд, поэтому АВ < G.t>
4.217. а) Если Н — группа кватернионов, Hi = {1, —1, г, —г}, Н% =
= {1, -1, Л -Я, Я3 = {1, -1, к, -к}, Н4 = {1}, Н5 = Н, HG =
= {1,-1} (все подгруппы нормальны); б) Н/{1} = Н, Н/Hi = Z2 х Z2
(г = 1, 2, 3); Н/Н “ {1}, Н/{1, -1} “ Z4. 4.218. Указание. G/Gi
изоморфна группе движений, оставляющих фиксированную точку непо-
движной. 4.219. Zn/dZn =	4.220. Изоморфизм tp: 1R/Z -> T опре-
деляется формулой <р(х 4- Z) = е27”*. 4.221. Указание. Рассмотреть
отображение аЬА —> 6(АПВ). 4.222. Указание. Изоморфизмом групп
Gi х.. .xGn/Ai х.. .хАп и (Gi/Ai)x.. .x(Gn/An) является отображение
g(Ai х...хАп)и (gAi, ..., дАп), где д = (дх, ..., дп) 6 Gi х ... х Gn-
Взаимная однозначность и сохранение операции здесь проверяются не-
посредственно. 4.225. <] Пусть ст е Sn и kj(cr) — количество циклов
длины j в разложении а в произведение независимых циклов. Подста-
новки а и т сопряжены тогда и только тогда, когда kj(cr) = kj(r) для
всех j.t> 4.229. а) <] 24 = 23 • 3, поэтому в группе Й24 будут две пример-
ные компоненты: одна для р = 2, другая для р = 3. А(2) — множество
элементов порядка 2к, т.е. А(2) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}. А(3) —
множество элементов порядка 3*, т.е. А(3) = {0, 8, 16}. йг4 = А(2) ф
ф А(3); б) А (2) = {0, 15}; А(3) = {0, 10, 20}; А(5) = {0, 6, 12, 18, 24};
в) А(101) = Zioi.t> 4.230. а) <] д — (а, Ь, с) — общий вид элемента
этой группы. Тогда Ь, с — любые, не равные нулю одновременно, по-
рядка 5 в Z5 Ф Z5; а = 4 — единственный элемент порядка 2 в Z8.
Поэтому число элементов порядка 10 в Z8 ф Z5 ф Z5 равно 2 • (25 — 1) =
= 48; б) (23 - 1)(32 - З1) = 42.0 4.231. (0, 2, 1), (0, 2, 2), (1, 0, 1),
(1, 0, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2). 4.232. а) р(х) = 0 для всех ж; б) гомо-
280
Ответы и указания
морфизм <р:	-> Zn имеет вид ^р{х) — кх, где кт = 0 (modn).
4.233. а) Указание. Так как 36 = 22 • З2, то имеется ровно 4 не-
изоморфные абелевы группы порядка 36. Это Z4 © Zg, Z2 © Z2 © 2g,
Z4 ф Z8 © Z3, Z2 © Z2 © Z3 © Z3; б) Ai = Zg Ф Z25, А2 = Z8 © Z5 © Z5,
A3 = Z2 © Z4 ф Z25, Л4 = Z2 Ф Z4 Ф Z5 ф Z5, А5 = Z2 © Z2 © Z2 © Z25,
Aq = Z2 © Z2 © Z2 Ф Z5 ф Z5; в) Ai = Z32 © Z3, А2 = Zig © 2!<2 Ф 2<з,
A3 = Zg ф Z4 © Z3, А4 = Z2 © Z4 © Z4 © Z3, A5 = Z2 ® Z2 ® Z4 © Z4 © Z3,
A5 = Z2 ® Z2 ® Z2 © Z2 ® Z4 © Z3, Aq = Z2 ® Z2 ® Z2 ® Z2 ® Z2 ® Z3.
4.236. a) Hom(Zi8, Z20) — ^2- Все гомоморфизмы из Zi8 в Z20 имеют
вид х —> кх, где к = 0 или 9; б) Hom(Z, Z) = Z. Здесь <^(ж) =
= кх, к — любое целое; в) Hom(Z„i, Zn) Zj, где d — Н0Д(т, п);
г) Hom(Z, А) й A; cp(ri) = па. 4.238. б) Таблицы Кэли групп Zg и
ZJ0 см. на рис. 49; в) Zj0 = Z4, Zg = Z2 х Z2. 4.239. а) рг — р1-1;
б) р2 — р; в) р3 — р2. 4.243. Не является. 4.244. Является. 4.245. Явля-
ется. 4.246. Не является. Указание. Произведение sinfcx • sin lx =
= - (cos (fc — Г)х — cos (к + l)x) не является суммой синусов. 4.247. Явля-
ется. 4.248. Не является. Указание. Проверить выполнение акси-
омы (КЗ). 4.249. При п > 1 не является. 4.250. Является. 4.251. Явля-
ется. 4.252. Не является. Указание. Проверить выполнение аксиомы
дистрибутивности. 4.253. а) Является; в) е = 3. 4.254. 0. 4.255. 18.
4.256. 27. 4.257. 7. 4.258. 8. 4.259. р2 -р + 1. 4.262. Указание.
/	1 \ -2
—_	Л л —О	I Р	1	/
В кольце Zp элементы 1,2,...,! —-— 1 совпадают (с точно-
\ 4W J
( - 1\2
стью до перестановки) с элементами I2, 22, ..., I —-— 1 . 4.263. У к а-
\ 4W J
зание. Воспользоваться равенством к'1 + (р — к)~х = , ? - - в
к(р - к)
кольце Zp2. Далее, используя результат задачи 4.262, доказать, что
У' —------ = 0 в кольце Zp. 4.264. Указание. Воспользоваться ра-
кк(к-р)
( 1\2 1 1
венством I У' - ) =У^+2У'— в кольце Zp и результатами за-
\ г / г2 i^j 1Э
дач 4.260 и 4.263. 4.265. 1, 3, 5, 9, 11, 13. 4.266. 1, 3, 7, 9, 11, 13,
17. 4.267. Функции, не обращающиеся в 0 на [а, 6]. 4.268. р3 - р2.
Ответы и указания
281
4.269. Решений нет. 4.270. 11. 4.271. 2, 6. 4.272. 3, 4. 4.273. Ре-
шений нет. 4.274. 9, 15, 19, 25. 4.275. Например, кольцо 2Z всех
четных чисел. 4.276. <1 Этот пример можно строить многими спосо-
бами. Например, так. Рассмотрим двумерное линейное пространство
L над R. Пусть а, b — базис L над R. Элементы из L имеют вид
аа 4- /ЗЪ, где а, /3 G R. На множестве L уже есть операция сложе-
ния, введем операцию умножения. Положим для базисных элементов,
например, а2 = b, ab = Ьа = 0, Ъ2 = а. Зная произведение ба-
зисных элементов, из аксиомы дистрибутивности получим произведение
любых элементов из L: (аа + /ЗЬ)(7а 4- <5Ъ) = ауа2 4- /fyba 4- a<5ab 4-
4- /3<5Ь2 = 0:7b 4- /38а. Это кольцо неассоциативно, так как (аа)Ь =
= а2Ь = Ь2 = а и a(ab) = а • 0 = 0.0 4.277. Указание. Пусть
® + х = 1иу + у = 1. Умножьте первое равенство справа на у, а
второе слева на х. 4.278. Для кольца, состоящего из одного элемента 0.
4.282. Да. 4.283. (р(п) = 0 для всех п 6 2. 4.284.	= п, у>г(л) =
= 0 для всех n 6 2Z. 4.286. Указание. Проверить, что отображение
k i-> (fcmodm, fcmodn) является изоморфизмом колец Zmn -4 Zm®Zn.
4.287. <1 Если мы докажем изоморфизм (Р(Х), Д, П) и йг ф ... Ф Z2,
п раз .
то проверка аксиом кольца для Р(Х) не потребуется. Построим ото-
бражение следующим образом. Будем считать, что X = {1, 2, ..., п}
(это предположение не ограничивает общности). Для А С X положим
9?(А) = (ei, £2, • • •, £п), где £i = 1 при i 6 А и е» = 0 при i $ А. То
есть каждому подмножеству мы ставим в соответствие "строчку из 0 и 1;
в частности, 99(0) = (0, 0, ..., 0), (р(Х) = (1, 1, ..., 1), <р({1, 3}) =
= (1, 0, 1, 0, ..., 0). Ясно, что — взаимно однозначное отображе-
ние. Проверим, что tp — изоморфизм. Пусть А, В 6 Р(Х) и =
= (б1, £2,	£п), <р(В) =	7/2, Вп), ¥>(АДВ) = (G, <2, •••, Сп)-
Если i Е А и i Е В, то г ЛАВ, и мы имеем: Ei = rji = 1, Ci = 0.
В этом случае Сг = £г + Вг, так как 1 4- 1 = 0 в Z2. Аналогично рассма-
триваются другие случаи: i 6 А и i G В и т.д., и в этих случаях мы
также получаем Сг = £г + Вг- Следовательно, у)(АДВ) = (Ci, •••, Сп) =
= (£!,-•♦> £п) 4- (т/i, ..., т]п) = р(А) 4- ч>(В). Аналогично доказыва-
ется, что <р(А ПВ) = </?(А) • <р(В}. 4.298. Нет. 4.299. Да. 4.300. Нет.
4.301. Да. 4.302. Поле получится, если п не является квадратом в Zp.
4.303. 1. 4.304. 5. 4.305. 10. 4.306. 0.
4.310. Решений нет. 4.311. 4. 4.312. 4.
1
1
f у = 8. 4.315. х = 9, у = 5. 4.316. а)
4.307. 9. 4.308. 13. 4.309. 1; 4.
4.313. 2, 8, 9, 15. 4.314. х = 7,
/3 4 1\
1 4
\2 6
о
о
1
1
6 ; б)
3/
о
о
1
1
1
0
282
Ответы и указания
4.317. а) 3; б) 2. 4.318. < Так как Z* = {1, 2, ..., р - 1} — группа
по умножению и |Z*| = р — 1, то ар-1 = 1 для всех а G Z*. Значит,
ap — а при а 6 Zp, а 0. Кроме того, 0р = 0. Поэтому ар — а
р + 1
для всех a 6 Zp.|> 4.319. —-—. Указание. Воспользуйтесь тем, что
р 4" 1
х2 = (-ж)2. 4.320. —-—. Указание. Воспользуйтесь результатом
предыдущей задачи. 4.321. Указание. Воспользуйтесь результатом
задачи4.133 а). 4.322. Нет. 4.323. <] Пусть F и Fi — поля и R = F®F'.
Положим а = (1, 0), b = (0, 1). Нетрудно видеть, что а / 0, Ь 0.
Вместе с тем, ab = 0. Следовательно, R — не поле.О 4.325. <] ра =
= а 4- .у + а = а • (1 4- .^. 4- 1) = а • 0 = 0.0 4.327. -< Пусть 1 — еди-
р раз	р раз
ница поля Fi. Тогда элемент 1 является также единицей поля F^. Если
n-l = 0BFi,Ton-l = 0BF2H наоборот. Поэтому характеристики полей
Fi и F2 равны.о 4.329. <1 По формуле бинома Ньютона (а 4- Ь)р = ар 4-
4- СраР-Ч 4- С2ар~2Ь2 4- ... 4- Ьр. Рассмотрим коэффициент С?, где
„	. .	- m	р(р — 1).. .(р — г 4-1)
1 < г р — 1. Так как р — простое, то = —-----------------------------
р	г!
целое. Так как НОД(г!, р) = 1, то (р — 1). ..(р — г 4- 1) делится на
г!, следовательно, С? делится на р. Так как charF = р, то (7* = 0
в поле F, а значит, (а 4- Ъ)р = ар + Ь?. Далее применим индук-
цию по п: (а 4- Ь)р” = ((а 4- Ь)рП = (арП 1 4- V>n — арП 4-
4-	4.330. а20 4- а1664 4- а4616 4- Ь20. 4.331. Нет. 4.332. |F| = 25,
f fa (А
charF = 5, Fq = < | |а 6 Z5 >.
[ \0 a]
4.333. q(x) = x2 4- 4ж — 4;
г(ж) = — Юж 4- 19. 4.334. q(x) = ж2; г(ж) = ж2 — 1. 4.335. q(x) =
= 4ж 4- 1; г(ж) = ж2 4- 4. 4.336. д(ж) = ж2; г(ж) = ж2 4- ж 4- 1.
4.337. г(ж) = ^ж — i. Указание, /(ж) = <?(ж)(ж — 1)(ж 4- 2) 4-
4- т(ж), где г(ж) = ах 4- Ь. 4.338. ^(ж) = ж3 — ж2 4- Зж — 3; г(ж) =
= 5. 4.339. ?(ж) = 2ж4 - 6ж3 4- 13ж2 - 39ж 4- 109; г(ж) = - 327.
4.340. q(x) = Зж4 4- 7ж3 4- 14ж2 4- 9ж 4- 5; т(ж) = 0. 4.341. <] Из по-
следней строки алгоритма Евклида следует, что г*(ж) | rk-i (ж). Подни-
маясь на одну строку вверх, получим: г*(ж) |г*;-2(ж) = гл-1(ж)<7*(ж) 4-
4- г*, (ж). Рассуждая аналогично и поднимаясь вверх, будем получать:
гЦж) |т*_3(ж), г*_4(ж), ..., п(ж), р(ж), /(ж). Таким образом, гк(х) —
общий делитель многочленов /(ж) и д(х). Пусть с/1(ж) — какой-либо
общий делитель многочленов /(ж) и р(ж). Так как di (ж) | /(ж), </(ж), то
<11(ж) |Г1 (ж) = /(ж) — g(x)qi(x). Двигаясь вниз по строкам алгоритма
Евклида, будем получать: di(x)\r2(x), di(x) | Гз(ж), ..., <4(ж)|гЦж).
Ответы и указания
283
Итак, rk(x) делится на любой общий делитель многочленов f(x) и д(х),
значит, г*(т) = (/(т), </(яг)).О 4.342. а) < Докажем вначале данное
утверждение для двух многочленов. Пусть d(x), di(x) — многочлены,
каждый из которых удовлетворяет определению наибольшего общего де-
лителя многочленов /(т) и д(х), а г^(х) — наибольший общий делитель
этих многочленов, полученный с помощью алгоритма Евклида. Тогда
di(x) | г*(т) (см. задачу 4.341). Так как и dY одной степени, то d\ (х) =
= iiTk(x) при некотором р, 6 F, ц / 0. Аналогично d(x) = w*;(t), где
v 6 F, v 0. Отсюда следует, что d(x) = (v/j,~1)di(x). Для п многочле-
нов доказательство проводится индукцией по п. Пусть даны п многочле-
нов /1(ж), ..., fn(x) и d, di — их наибольшие общие делители. Тогда
d(x) = (и(т), fn(x)), di(s) = (ui(t), fn(x)), гдеи(т), щ(т) — наиболь-
шие общие делители многочленов fi(x), ..., /п_1(ж). По предположению
индукции u = (3ui, где /3 6 F, /3	0. Значит, d(x) и di(x) — наиболь-
ший общий делитель многочленов и(х) и fn(x). Отсюда d(x) = Xdi(x)
при некотором Л 6 F, А 0. б) Указание. Доказать сначала, что
й(т) = f(x)u(x) 4- g(x)v(x), где d(x) = (f(x), р(т)), двигаясь по строч-
кам алгоритма Евклида снизу вверх; затем рассуждать по индукции. [>
4.343. а) <1 Пусть (/(ж), д(х)) = J(t). Тогда f(x) = j\(x}d(x), д{х) —
= g\(x)d(x), где (/i(t), ffi(x)) = 1. Положим М(х) = fi(x)gi(x)d(x).
Ясно, что М(х) — общее кратное многочленов /(т) и д(х). Докажем,
что и(х) | М(х) для любого и(х) общего кратного многочленов /(т) и
д(х). Так как u(x) | f(x), то u(x) | d(x), следовательно, и(т) = ui(x)d(x).
Так как и(х) | /(т), то щ(х) | /1 (ж), поэтому ui(t) = /i(t)i>(t). Так как
ui(t) I f2(x), то fi(x)v(x) | /2(я); учитывая, что (fi(x), /2(т)), получаем:
v[x) I Значит, v(x) = w(x)f2(x). Таким образом, M(x)\u(x) =
= ui(x)d(x) = /i(t)v(t)c/(t) = fi(x)w(x)f2(x)d(x), т.е. M(x) — наи-
меньшее общее кратное многочленов f(x) и д(х). б) У к а з а н и е. Сохра-
няя обозначения пункта а), получим: M(x}d(x) — f\(x)g\(x)d(x}d(x} =
= f\{x}d{x}g\{x)d(x) = f(x)g(x). Для другого наименьшего общего
кратного т(х} имеем: т{х) = ХМ(х) (А € F, А / 0), а значит,
f(x)g(x} = XM(x)d(x}. t> 4.344. < х3 — 2х2 — х — 6 = 1 • (т3 4- х — 2) 4-
4- (-2т2 - 2т — 4), т3 4- т - 2 = (-0,5т 4- 0,5)(-2т2 - 2т - 4). Так
как -2т2 — 2т - 4 = - 2(т2 4- т 4- 2), то т2 4- х 4- 2 — наибольший
общий делитель многочленов. О 4.345. т2 4- т 4- 1. 4.346. т2 4- 2т 4- 3.
4.347. т 4- 2. 4.348. xd - 1, где d = Н0Д(т, п). 4.349. сДт) = т2 — 2,
ц(т) = — т — 1; ц(т) = т 4- 2. Указание. Для нахождения многочле-
нов ц(т) и г>(т) двигаться по строкам алгоритма Евклида снизу вверх.
4.350. d{x) = т3 4- 1, и(т) = -1, г>(т) = т 4- 1. 4.351. d(x) = т2 4- 2т 4-
4- 3, и(т) = Зт 4- 2, v(t) = 2т 4- 4. 4.352. 4т4 - 27т3 4- 66т2 -65т 4- 24.
4.353. а) 3; —1; б) ±г\/2, ±2г\/3. 4.354. Да. 4.355. При нечетных п.
4.356. a = 0, b = 1. 4.357. a = 1, b = 4. 4.358. (т2 4- т 4- 1)х
284
Ответы и указания
2
2
п
m ~ 2'
над С.
4.371. (х 4- 2)2. 4.372. \х 4- 4) (ж 4- 5)(ж2 + 1). 4.373. (ж2
х (ж2 4- 2ж 4- 2). 4.374. (ж 4- I)5. 4.375. (ж2 4- 3)(ж2 - I
х(ж - 2)(ж 4- 3). 4.359. ж5 4- ж2 4- х 4- 1. 4.365. (х 4- 1)(ж + 2)х
х(ж — 5). 4.366.	(ж	— 2)(ж 4- 3)(ж2	- х	4- 1) над R, (х	— 2)(ж 4- 3)х
/	1 -	/	1 - гх/зЛ _ л „„„ «-1 (
х I ж---------- I I ж 4-------- I над С. 4.367. 11 I ж — е п I над
\	2	/ \	2	/	* = о \	/
m	£5г ( 9	2тг/г	\
С; над R при нечетных п (ж — I) | j I ж^ — 2ж cos------F I I, где т =
к = i \	п	J
п — I	.	/ 9 п 2тгЛ;	\
, и при четных п (ж —1)(ж4-1) Ц I ж^ — 2жсоз---------F 1 ), где
к = 1 \	»	/
4.368. (ж2 4- 1)(ж 4- 3)(ж — 2) над R, (ж 4- г) (х — г) (ж 4- 3)(ж — 2)
4.369. (ж 4- 3)(ж 4- 2)(ж2 4- х + 1). 4.370. (ж 4- 1)(ж 4- З)2.
 2ж 4- 2)х
Зж 4- 3)х
р-1
х(ж2 4- Зж 4- 3). 4.376. П (х ~ /)• 4.377. ж4 4- 4ж2 4- 1. 4.378. 2ж3 4-
j = 1
4- 2ж 4- 2. 4.379. Да. 4.380. Да. 4.381. Нет, ж = 1 — корень. 4.382. Да.
4.383. Да. 4.384. Да. 4.386. <1 Рассуждаем аналогично тому, как Евклид
доказывал бесконечность множества простых чисел. Если рх(ж), р2(ж),
..., рп (ж) — все неприводимые многочлены, то многочлен pi (ж) -р2 (ж) •...
.. .-рп(ж) 4- 1 имеет неприводимый множитель, отличный от pi (ж), р2(ж),
..., рп(ж), — противоречие. [> 4.387. Указание. Рассуждать «методом
от противного». 4.388. Указание. Воспользоваться результатом пре-
дыдущей задачи. 4.389. Указание. Воспользоваться результатом пре-
дыдущей задачи. 4.390. Указание. Воспользоваться критерием Эй-
зенштейна. 4.395. ж3 4- ж 4- 1, ж3 4- ж2 4- 1. 4.396. fa = ж3 4- 2ж 4- 1,
/г = х3 4- 2ж 4- 2, /3 = ж3 4- ж2 4- 2, /4 = ж3 4- х2 4- ж 4- 2,
2/1, 2/2, 2/з, 2/4. 4.397. ж4 4- я 4- 1, я4 4- ж3 4- 1, ж4 4- ж3 4-
4- ж2 4- х 4- 1. 4.398. 2. 4.399. Таких а нет. 4.400. 2, 3. 4.401. 0.
4.402. Например, ж6 4- ж5 4- 1 (всего таких многочленов 9). 4.404. Ука-
зание. Пусть /(ж) = жр - ж 4- a = /Дж).. .fm(x), где /Дж) — не-
приводимы. Убедиться в том, что /Дж 4- а) = /Дж) при некоторых
i и а, и воспользоваться результатом предыдущей задачи. 4.405. F.
4.406. Q. 4.407. {а 4- bi | a, b 6 Q, г2 = — 1}. 4.408. Нет. 4.409. Нет.
4.410. Да. 4.411. ж2 — 2ж 4- 5 4—	& . 4.412. 4ж 4-
ж2 4- 2ж — 1	Зж3 4- х 4- 4
1 i » \	/	1
4.413. ~ I ~	~ 4"------ —-----г ). 4.414. ~ (------------7=4"
4\ж-1 ж 4-1 х — г х + г) 4\ ж —(14-г)/у2
1__________________1 1 \ 1
ж — (—1 4-г)/\/2 ж —(—1—г)/\/2	ж —(1-г)/\/2/	12
/ 1	16	27 \ л 1 / ж ж
\ж — 1 ж 4-2 ж 4- 3 J	16 у (ж — I)2 (ж 4-I)2
х — i
1
Ответы и указания
285
х
3	3
-------- — ----------- -|-
х — 2 х 4- 1
4.418.
х — г
1 /1
4	— 1
1
3
3
х
(х — г)2
/ 1
х ----
— 1
4.419. — (
16 \ х 4- 1 х — 1
4.4201	 Х~1
4
1
1-1 X2 4-
4.422. \
х/
1
X
х2 4- х 4- 1
р-1 l2
4.426. - £ -Ц.
k = 1 х
. 4.424. - +
х
С; б) при нечетном
4.427. а) -
п
1 1
п х — 1
1 1
п:
R; при четном
п:
4.428. — 52
х
х + 2
1
3
3
4
(х - I)2 +
2(х 4- 1) 5
4.417.
3
2х \
х2 4- 1)
4	\
1
+ (х + I)2
(х 4- I)2 х2 4- 1
L 4.421.-4- ——
х х 4- J
1
4- -----. 4.-ж««.	„	-г
х 4- 1	аг5 * * * 9 4- я 4- 1
2х 4- 2	Р"1	1
— 4------— 4.425. - У -------------
х + 2х2 + 1	к = ох~к'
Va1 шк	(27г/сг \
> > -------, где мк = ехр [ — ) над
fc = 0 х ~ Шк
(п-1)/2
Е
к = 1
9 п/2—1
+ ~ Г
1 (х2 4- 1)2^
х
4- —д	7
х2 4- х 4- 1
1
4.423.
2
\ п )
х cos (2тгк/п) — 1
х2 — 2xcos (2тг/с/п) 4- 1 НЭД
х cos (2лк/п) — 1
п 2 х2 — 2xcos(27rfc/n) 4- 1
(% 4- 2irk)i
, где шк = exp I ----------
п к = ох-шк	\ п
2
п
1
пх - 1 п X + 1
4.429.
4>(х)
(рЧж)	tp'^(x) — <p(x)tp" (х}
4.430. х-^- - п. 4.431.	< 4.432. Например, поле
йг(ж) рациональных функций над полем Z2 бесконечно и имеет харак-
теристику 2. 4.435. 3. 4.436. 0. 4.437. х = — 1 — корень кратности 4.
4.438. х = 2 — двукратный корень. 4.439. Указание. Доказать,
что / и /' взаимно просты. 4.440. > 3. 4.441. 3125b2 4- 108а5 = 0,
a 7^ 0. 4.442. а) ±2; б) 3. 4.443. —5. 4.444. <] Пусть F — поле, I < F
и 1 / 0. Возьмем элемент a G /, fl 0 0. По аксиоме (П9) существует
элемент а-1. Так как a G I и 1 = а-1 • а, то 1 6 I. Если г — произ-
вольный элемент из R, то г = г • 1 6 rl С I. Следовательно, R = 1.>
4.447. Например, А = {/(ж2) | /(ж) G В[ж]}, в = {/(^3 *) I f(x) €
так как ж2ж3 /(ж2) 4- д(х3), то А 4- В не является подкольцом.
4.448. Да. 4.449. 0, 2Z20, 4йго, 5Z20, IOZ20, %2о- 4.451. а) <] Докажем,
что mZ 4- nZ = dZ, где d = Н0Д(т, п). Действительно, так как d|m,
то mZ С dZ. Аналогично nZ С dZ. Так как d — наибольший общий де-
литель, то при некоторых х, у G Z имеет место равенство d = тх 4- пу.
Следовательно, d G mZ 4- nZ, а значит, dZ С mZ 4- nZ. Таким образом,
mZ 4- nZ = dZ; 6) mZ П nZ = ZZ, где t = H0K(m, n); в) mZ • nZ =
= mnZ. t> 4.452. 2Z. 4.453. Z. 4.454. 20Z. 4.455. 24Z. 4.456. 0 © 0,
Z2 © 0, 0Ф Z2, Z2 © Z2. 4.457. <] Если I = 0, то I = f(x)F[x] для
286
Ответы и указания
f(x) = 0. Пусть теперь /0 0. Выберем в I ненулевой многочлен /(ж)
наименьшей степени. Так как /(ж) G 1 и I — идеал, то все многочлены
f(x)g(x) при д(х) G F[s] лежат в I, т.е. f(x)F[x] С I. Осталось пока-
зать, что I С f(x)F[x]. Возьмем любой элемент h(x~) G 1. Разделим h(x)
на /(ж) с остатком: h(x) = /(x)u(ir) 4- г(ж), где degr(ir) < deg f(x). Так
как г(ж) = h(x) -/(ж)и(ж) и /г(ж), f(x) G 1, то т(х) G 1. Так как /(ж) —
многочлен наименьшей степени из 1\{0}, то г(ж) = 0. Значит, h(x} =
= /(x)u(x) G /(a?)F[ir|. Ввиду произвольности элемента h(x) G 1 полу-
чаем: I С f(x)F[x]. Таким образом, I = f(x)F[x]. 1> 4.459. При п > 1
А не является правым идеалом. 4.460. <1 Пусть I — идеал кольца 2.
Тогда I является подгруппой группы (Z, + ). Ранее было доказано, что
всякая подгруппа группы Z имеет вид tiZ (см. задачу 4.119), где п е Z.
Следовательно, I = nZ. [> 4.461. <] Если I — идеал кольца Zn, то по сло-
жению I является подгруппой группы Zn. Подгруппы группы Zn имеют
вид aZn, где а|п (см. задачу 4.187). Значит, в кольце Zn все идеалы
главные. [> 4.469. Z24 = 92^4 Ф I6Z24, здесь 92 = 9, 162 = 16, 9 • 16 =
= 0; 9Z24 = Z8, I6Z24 S Z3. 4.470. Z45 = IOZ45 Ф 36Z45; IOZ45 Z9,
36Z45 = Z5. 4.471. ax2 4- /Зх 4- 7 4-1, где a, (3, 7 G R, I = (x3 - 2x2 4-
4- 4)R[®]. 4.473. <] Всякий идеал кольца Z имеет вид tiZ, где п G Z.
Элементы фактор-кольца имеют вид a 4- nZ, где a G Z. Проверим,
что имеется ровно п смежных классов: 0 4- nZ, 1 4- nZ, ..., (n — 1) 4-
4- nZ. Действительно, пусть a 4- tiZ — смежный класс; разделим а на п
с остатком: a = пи + г, 0 г < п; теперь a 4- nZ = (пи 4- г) 4- nZ =
= г 4- (пи 4- nZ) = г 4- nZ. Сложение смежных классов осуществляется
по правилу (ri 4- nZ) 4- (7*2 + tiZ) = г 4- nZ, где г = (77 4- 7*2) mod п.
Аналогично для умножения: (77 4- tiZ)(t*2 4- tiZ) = г' 4- tzZ, где т' =
= (777*2) mod п. Очевидно, смежные классы можно поставить во вза-
имно однозначное соответствие элементам кольца вычетов Zn: k G Zn ->
-> к 4- tiZ. При этом сложению смежных классов будет соответствовать
сложение по модулю п в кольце вычетов, а умножению — умножение
по модулю, тг. Следовательно, имеет место изоморфизм Z/tiZ S Zn. [>
4.474. 0 4- 4Z8, 1 4- 4Z8, 2 4- 4Z8, 3 4- 4Z8. 4.475. a) Z2; 6) Z6. 4.476. 0,
Q[x]/(x3-l)Q[x], (x-l)Q[a;]/(x3 — l)Q[x], (x2 4- x 4- 1)4^[ж]/(х3 — l)Q[x].
4.477. plR/pnR (i = 0, 1, ..., 71). 4.479. Необязательно. 4.480. <1 Опре-
делим отображение ip: Ri ф ... Ф Rn -> (R\/I\) ф ... ф (Rn/In) по фор-
муле ip(ri, ..., rn) = (77 4- Л, ..., rn 4- 1п). Непосредственно проверя-
ется, что (р — гомоморфизм и ker<£> = /1 ф ... ф /п. Так как Im<p =
= (R1/I1) ф ... ф (Rn/In), то по теореме об изоморфизме мы получаем
требуемое. [> 4.481. <] Построим отображение <р: R -> R/aR®R/bR, по-
лагая <р(г) — (г 4- aR, г 4- bR). Ясно, что ip — гомоморфизм. Найдем его
ядро. Если ip(r) = 0, то г G aR иг G bR, т.е. г = ax — by при некоторых
х, у G R. Так как R = aR 4- bR, то 1 = аи 4- bv при некоторых и, v G R.
Ответы и указания
287
Отсюда получаем: х = axu + bxv = ru + bxv = byu 4- bxv G bR,
а значит, r = ax G abR. Мы доказали, что kercp C abR. Ясно, что
abR С kercp. Следовательно, abR — кегср. По теореме об изоморфизме
получаем искомый изоморфизм. |> 4.482. <1 Разложим многочлен х3 — 1
на неприводимые над полем R множители: х3 — 1 = (х — 1)(ж2 4- х 4- 1).
Многочлены х — 1 и ж2 4- х 4- 1 взаимно просты, поэтому запишем
R[x]/(a:3 - l)IR.[rr] = R[t]/(t — 1)ПОД] ф НОД]/(я2 4- x 4- 1)П&[яг]. Из при-
мера 27 этого параграфа следует, что 1й.[зс]/(гг2 4- х 4- 1)ПОД] = ПОД,
где в — корень многочлена х2 4- х 4- 1 любой из двух, например,
-14-
О =------------\. Так как в G ПОД и i G ПОД, то ПОД = П&[г] = С.
Следовательно, М[гг]/(яг3 — 1)В[ж] = К. ф С. > 4.483. С. 4.484. Q ф Q[£],
—1 4- ix/3
где С = -----4-485- R R ® С- 4-486- С ф С. 4.487. Z5 Ф Z5.
4.489. а) х = 39 (mod60); б) х = 187 (mod 210). 4.490. 26т2 4- х - 3.
4.492. 3. 4.493. 1. 4.494. 2. 4.495. 2. 4.496. 2. 4.497. Нет. 4.498. Да.
4.499. Да. 4.505.02 4- 20. 4.506.0 4- 2. 4.507.402 4- 20. 4.508. ±(0 4- 2).
4.509. ±20. 4.510. 03 + 02, 02 + 0, 03 + 02 + 1, 02 + 0 + 1. 4.511. 2.
4.512. 1. 4.513. 3. 4.514. a) Fq = Z2 (простое подполе) и само поле
1 F; б) Fq = Z2 (простое подполе), F\ (поле из 4 элементов) и само поле
' F. 4.515. |(^8 + 2л/2 - 4^2). 4.516. ^(-З03 + 502 + 20 + 7),
6	31
где 0 =	4.517. -^-(-5 - 9^5 + 19^25). 4.519. а) Да; б) нет;
176
* в) да; г) да. 4.520. Например, 0. 4.521. Например, 02 + 1. 4.522. Да.
1 4.523. Нет. 4.525. 6. 4.526. 9. 4.527. 18. 4.528. 48. 4.529. |(р2 -р).
4.530. 240. 4.531. 60. 4.532. Например, х2 + 0. 4.533. Например, х4 ±
I + вх ± 1, где 02 = 0 + 1. 4.534. dimF F = 1. 4.535. dimR С = 2; базис:
1,	г. 4.537. dimF Fn = n2. 4.541. <] Если a G А, а / 0, то а не явля-
ется делителем нуля, поэтому отображение А —> Л, ж н ха, является
вложением. Ввиду того, что dim Л < оо, мы получаем, что Аа = А.
 Аналогично доказывается, что аА = А. Значит, иа = а при некотором
«и G А. Отсюда следует, что хиа = ха, а потому хи = х при всех х G А.
[ Таким образом, и — правая единица. Далее, хиу = ху при всех у, сле-
 довательно, иу = у, т.е. и — левая единица. Равенство Аа = аА = А
Г показывает, что всякий элемент а 0 имеет обратный. Это означает,
' что А — тело. |> 4.542. Так как (аа)а = (а + Ь)а = а2 + Ьа = 2а + b
• и а(аа) = а(а + b) = а2 + ab = а + Ь, то алгебра А неассоциативна. [>
4.543. <] Положим и = —° . Нетрудно проверить, что ид = ди = и
288
Ответы и указания
для всех д Е G, а значит, их — хи для всех х € Шл. Кроме того, и2 = и.
Значит, RO = Шли ® RG(1 — и). Идеал Шли — одномерная алгебра,
изоморфная полю R. Идеал Шл(1 — и) двумерный, его базис — v, w, где
v = 1 — u, w = а(1 — и). При этом v2 = v, vw = wv = w (т.е. v —
единица алгебры RG(1 - u)), w2 = a2(l - u) = (3u - 1 — a)(l - u) =
= 0 — (1 — u) — a(l — u) — — v — w. Таблица умножения этой алгебры
выглядит так:
	V	W
V	V	W
W	W	—v — w
Элемент w удовлетворяет уравнению w2 = — v — w, т. е. w — корень
многочлена х2 + х + 1. Значит, Шл(1 — и) = R[w] = С. Итак, Ш? =
= RGu ® Шл(1 — и) 9* К. ® С Отсюда следует, что групповая алге-
бра Шл имеет ровно 4 идеала: 0, Шл, Шли, Шл(1 — и).с> 4.544. Да.
Указание. Достаточно проверить ассоциативность (xy)z = x(yz) для
X, у, z е {а, Ь}. 4.545. и = а — b — единица алгебры А. 4.547. См.
таблицу:
4.556. а) -1 + 2г + 4j + ЗА:; б) -4 - 4г + 2j; в) -512(1 + i + j + к)-,
г) ~(3 ~ 2i + j). 4.558. а) Нет решений; б) х = ^(1 + j)k^(1 — г) =
— i(l + г - j + А); в) х = /Зг + yj + 6А, где /З2 + 72 + 62 = 1.
4.559. х = ^(2 — 2г + j)> У —	~ J + 2А). 4.560. Нельзя, так как
гу / ji. 4.561. R.
СБОРНИК
ЗАДАЧ
ПО МАТЕМАТИКЕ
ДЛЯ ВТУЗОВ
•	ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
•	ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И МАТРИЦЫ
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
•	ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
•	ОСНОВЫ ОБЩЕЙ АЛГЕБРЫ