Текст
                    УДК 517.9
ББК 22.161.6+22.161.8
В 19
Васи л ьева А. Б., Медведев Г. Н., Тихонов Н. А., Уразгиль-
д и н а Т. А. Дифференциальные и интегральные уравнения, вариа-
вариационное исчисление в примерах и задачах. — 2-е изд., испр. — М.:
ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 432 с. — (Курс высшей математики и математической
физики. Вып. 10) - ISBN 5-9221-0628-7.
Пособие охватывает все разделы курсов «Дифференциальные и интеграль-
интегральные уравнения. Вариационное исчисление». По каждой теме кратко излагаются
основные теоретические сведения; приводятся решения стандартных и нестан-
нестандартных задач; даются задачи с ответами для самостоятельной работы.
Для студентов вузов, обучающихся по специальностям «Физика» и «При-
«Прикладная математика».
Ил. 80. Библиогр. 28 назв.
© ФИЗМАТЛИТ, 2005
© А. Б. Васильева, Г. Н. Медведев,
ISBN 5-9221-0628-7	Н.А. Тихонов, Т. А. Уразгильдина, 2005


ОГЛАВЛЕНИЕ ПРЕДИСЛОВИЕ Глава 1. Обыкновенные дифференциальные уравне- уравнения первого порядка 9 § 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого по- порядка, разрешенные относительно производной 9 1. Основные понятия и теоремы (9). 2. Примеры решения задач A5). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы B1). § 2. Элементарные методы интегрирования 23 1. Основные понятия и теоремы B3). 2. Примеры решения задач B9). 3. Задачи для самостоятельного решения D4). § 3. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной 47 1. Основные понятия и теоремы D7). 2. Примеры решения задач E1). 3. Задачи для самостоятельного решения E6). § 4. Зависимость решения от параметров 58 1. Основные понятия и теоремы E8). 2. Примеры решения задач F0). Глава 2. Дифференциальные уравнения высших по- порядков. Системы дифференциальных уравнений 63 § 1. Дифференциальные уравнения высших порядков 63 1. Основные понятия и теоремы F3). 2. Примеры решения задач F7). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы F9). § 2. Системы дифференциальных уравнений в нормальной фор- форме 70 1. Основные понятия и теоремы G0). 2. Примеры решения задач G6). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы (80).
Оглавление Глава 3. Линейные дифференциальные уравнения ... 82 § 1. Линейные однородные уравнения 82 1. Основные понятия и теоремы (82). 2. Примеры решения задач (86). 3. Задачи для самостоятельного решения (90). § 2. Линейные неоднородные уравнения 91 1. Основные понятия и теоремы (91). 2. Примеры решения задач (97). 3. Задачи для самостоятельного решения A03). § 3. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффици- коэффициентами 104 1. Основные понятия и теоремы A04). 2. Примеры решения задач A07). 3. Задачи для самостоятельного решения A16). § 4. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффи- коэффициентами 121 1. Основные понятия и теоремы A21). 2. Примеры решения задач A25). 3. Задачи для самостоятельного решения A42). § 5. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов 146 1. Основные понятия и теоремы A46). 2. Примеры решения задач A53). 3. Задачи для самостоятельного решения A60). § 6. Операционный метод решения дифференциальных уравне- уравнений с помощью преобразования Лапласа 161 1. Основные понятия и теоремы A61). 2. Примеры решения задач A69). 3. Задачи для самостоятельного решения A72). § 7. Операторный метод Хевисайда решения дифференциальных уравнений 173 1. Основные понятия и формулы A73). 2. Примеры решения задач A78). 3. Задачи для самостоятельного решения A85). Глава 4. Системы линейных дифференциальных урав- уравнений 187 § 1. Линейные однородные системы 187 1. Основные понятия и теоремы A87). 2. Примеры решения задач A92). 3. Задачи для самостоятельного решения A94). § 2. Линейные неоднородные системы 195 1. Основные понятия и теоремы A95). 2. Примеры решения задач B00). 3. Задачи для самостоятельного решения B03). § 3. Линейные однородные системы с постоянными коэффициен- коэффициентами 203 1. Основные понятия и теоремы B03). 2. Примеры решения задач B09). 3. Задачи для самостоятельного решения B21). § 4. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффици- коэффициентами 223 1. Основные понятия и теоремы B23). 2. Примеры решения задач B26). 3. Задачи для самостоятельного решения B38).
Оглавление Глава 5. Краевая задача для линейного уравнения вто- второго порядка 240 § 1. Неоднородная краевая задача 240 1. Основные понятия и теоремы B40). 2. Примеры решения задач B43). 3. Задачи для самостоятельного решения B47). § 2. Краевая задача на собственные значения (задача Штурма- Лиувилля) 248 1. Основные понятия и теоремы B48). 2. Примеры решения задач B49). 3. Задачи для самостоятельного решения B53). Глава 6. Теория устойчивости 254 § 1. Устойчивость по Ляпунову 254 1. Основные понятия и теоремы B54). 2. Примеры решения задач B56). 3. Задачи для самостоятельного решения B58). § 2. Методы исследования на устойчивость 259 1. Основные понятия и теоремы B59). 2. Примеры решения задач B61). 3. Задачи для самостоятельного решения B66). § 3. Фазовая плоскость 267 1. Основные понятия и теоремы B67). 2. Примеры решения задач B70). 3. Задачи для самостоятельного решения B79). Глава 7. Асимптотические методы 281 § 1. Асимптотика решения дифференциального уравнения по независимому переменному 281 1. Основные понятия и теоремы B81). 2. Примеры решения задач B84). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы B86). § 2. Асимптотика по параметру. Регулярные возмущения 287 1. Основные понятия и теоремы B87). 2. Примеры решения задач B90). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы B93). § 3. Асимптотика по параметру. Сингулярные возмущения 294 1. Основные понятия и теоремы B94). 2. Примеры решения задач C00). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы C10). Глава 8. Уравнения в частных производных первого порядка 313 § 1. Линейные уравнения 313 1. Основные понятия и теоремы C13). 2. Примеры решения задач C17). 3. Задачи для самостоятельной работы C27).
Оглавление § 2. Квазилинейные уравнения 328 1. Основные понятия и теоремы C28). 2. Примеры решения задач C30). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы C36). § 3. Разрывные решения 337 1. Основные понятия и теоремы C37). 2. Примеры решения задач C39). Глава 9. Вариационное исчисление 343 § 1. Понятие функционала 343 1. Основные понятия и теоремы C43). 2. Примеры решения задач C46). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы C48). § 2. Вариация функционала 349 1. Основные понятия C49). 2. Примеры решения задач C50). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы C51). § 3. Экстремум функционала. Необходимое условие экстремума. 352 1. Основные понятия и теоремы C52). 2. Примеры решения задач C53). § 4. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера 355 1. Основные понятия и теоремы C55). 2. Примеры решения задач C58). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы C63). § 5. Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления . 365 1. Основные понятия и теоремы C65). 2. Примеры решения задач C67). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы C68). § 6. Достаточные условия экстремума функционала 371 1. Основные понятия и теоремы C71). 2. Примеры решения задач C75). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы C79). § 7. Задача с подвижными границами 382 1. Основные понятия и теоремы C82). 2. Примеры решения задач C83). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы C85). § 8. Условный экстремум 386 1. Основные понятия и теоремы C86). 2. Примеры решения задач C88). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы C94). Глава 10. Интегральные уравнения 395 § 1. Однородное уравнение Фредгольма II рода 396 1. Основные понятия и теоремы C96). 2. Примеры решения задач C98). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы D03).
Оглавление § 2. Неоднородное уравнение Фредгольма II рода 404 1. Основные понятия и теоремы D04). 2. Примеры решения задач D07). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы D13). § 3. Интегральные уравнения Вольтерра II рода 416 1. Основные понятия и теоремы D16). 2. Примеры решения задач D17). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы D19). § 4. Интегральные уравнения с ядром, зависящим от разности аргументов 420 1. Основные понятия и теоремы D20). 2. Примеры решения задач D22). 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы D26). Список литературы 428
ПРЕДИСЛОВИЕ Книга написана на основе многолетнего опыта чтения лекций и ведения семинарских занятий на физическом факультете МГУ; пред- предназначена как для студентов, так и для молодых преподавателей, начинающих вести семинары. Она охватывает основной материал курсов дифференциальных уравнений, интегральных уравнений и ва- вариационного исчисления. Книга является не только сборником задач и упражнений. Ее назначение — помочь активному и неформальному усвоению студентами изучаемого предмета. Материал каждого пара- параграфа разбит на три пункта. В разделе "Основные понятия и теоремы" приводятся основные теоретические сведения и формулы (без доказательств, но с необходи- необходимыми и часто развернутыми пояснениями). Формулировки определе- определений и теорем в большинстве случаев соответствуют книгам [18, 3, 22]. В разделе "Примеры решения задач" разобраны типичные приме- примеры, демонстрирующие на практике применение результатов теории. Во многих примерах решения задач авторы стремились дать физиче- физическую интерпретацию и физические приложения математических по- понятий. Количество разобранных примеров варьируется в зависимости от объема и важности темы. Назначение раздела "Задачи и упражнения для самостоятельной работы" определено его названием. Авторы не стремились к большо- большому количеству упражнений, уделяя внимание их разнообразию. При подборе упражнений были использованы различные источники, в том числе широко известные задачники А. Ф. Филиппова, М. Л. Краснова и других авторов. Поэтому многие задачи пособия не претендуют на оригинальность, но среди них есть и много новых. К задачам и упражнениям даны ответы, а в ряде случаев и указания. Начало решений задач отмечается знаком А. Конец замечаний и решений задач отмечается знаком П. Пособие рассчитано на студентов физических факультетов уни- университетов, но вполне может быть использовано также в технических вузах. Авторы надеются, что пособие поможет студентам в овладении важными для физиков разделами высшей математики при самосто- самостоятельной работе над предметом. Они также выражают надежду, что пособие будет полезно и преподавателям в работе со студентами, и с благодарностью воспримут все критические замечания и пожелания, направленные на улучшение его содержания.
Глава 1 ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО ПОРЯДКА § 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной 1. Основные понятия и теоремы Дифференциальным уравнением называется уравнение, в которое неизвестная функция входит под знаком производной. Порядком дифференциального уравнения называется максималь- максимальный порядок входящих в него производных. Уравнения, содержащие производные от неизвестной функции только по одной независимой переменной, называются обыкновен- обыкновенными. Обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка име- имеет вид где F — заданная функция трех аргументов. В частности, % = f{x,y) или y' = f(x,y). B) Уравнение A) называется неразрешенным относительно производной, уравнение B) — разрешенным относительно производной. Решением уравнения B) называется любая дифференцируемая функция у = у(х), обращающая уравнение B) в тождество. График решения на плоскости (ж, у) называется интегральной кривой. Множество всех решений уравнения A) называется общим ре- решением уравнения A). Всякое отдельно взятое решение называется частным решением. Интегрированием уравнения называется процесс нахождения его решений. В математическом анализе интегрированием называется операция нахождения функции по заданной производной. В теории дифферен- дифференциальных уравнений слово "интегрирование" означает более сложную
0 10 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка [Гл. 1 операцию — нахождение решений дифференциального уравнения, а операция, называемая интегрированием в анализе, в теории диф- дифференциальных уравнений называется "квадратурой". Правая часть B) в каждой точ- точке некоторой области G плоскости (х,у) определяет тангенс угла на- наклона касательной к той интеграль- интегральной кривой, которая проходит че- через эту точку. Область G, в каж- каждой точке которой указано направле- направление касательной, определяемое вели- величиной /(ж, г/), называется полем на- направлений (рис. 1). С геометрической точки зрения интегрирование диф- дифференциального уравнения означает Рис. 1. нахождение таких кривых, которые в каждой точке имеют заданное на- направление касательной. Обратим внимание на следующее обстоятельство. Геометрически ось у ничем не отличается от любой другой прямой, проходящей через @,0). Поэтому уравнение B), в котором у считается функцией, а ж — независимой переменной, не вполне адекватно геометрической картине. Ввиду этого в случаях, когда хну равноправны, в частности, при решении геометрических задач, мы должны наряду с уравнени- уравнением B) рассматривать также уравнение dx __ 1 /g\ dy ~ f(x,y)' Часто уравнение первого порядка с самого начала задается в форме /i (ж, у) dx + /2 (ж, у) dy = 0, D) в которой хну равноправны. Уже простейшие примеры показывают, что дифференциальное уравнение A) имеет не одно решение, а семейство решений (см., например, раздел 2 данного параграфа, задачи 1 и 3). Это семейство часто можно записать в виде у = <р(х,С). E) Если в этой формуле содержатся все решения дифференциально- дифференциального уравнения, то выражение E) является общим решением уравне- уравнения A). Если семейство решений задается в виде, не разрешенном относи- относительно у: Ф(х,у,С) = 0 F) или, может быть, в виде, разрешенном относительно С: ф(х,у)=С, F')
§1] Уравнения, разрешенные относительно производной 11 то соотношение F) или F') называется интегралом дифференциаль- дифференциального уравнения (см., например, раздел 2, задача 3). Если соотноше- соотношение F) или F') содержит все решения, то оно называется общим интегралом уравнения. Заметим, что иногда интегралом дифференци- дифференциального уравнения называется не соотношение F) или F'), а функция Ф(ж,г/,С) или ф(х,у). Чтобы из бесконечного множества (семейства) решений данного уравнения B) выделить одно решение, нужно задать дополнитель- дополнительное условие. Простейшее дополнительное условие состоит в том, что задается точка (хо,уо), через которую должна пройти интегральная кривая. Аналитически это записывается так: У \х=хо= Уо или у(х0) = г/о- Уравнение B) вместе с этим дополнительным условием образует так называемую начальную задачу, или задачу Коши: -? = f(x,y), y{x0) =уо- dx G) Возникают вопросы: каким требованиям должна удовлетворять функция /(ж, у), чтобы решение уравнения B) действительно суще- существовало; на каком множестве значений х это решение будет опреде- определено, и действительно ли условие G) выделяет из множества решений какое-то одно. Ответ на эти три вопроса дает следующая теорема: Теорема 1 (существования и единственности). Пусть в некотором прямоугольнике R = {\х — хо\ ^ а, \у — уо\ ^ Ь} функция f(x,y) непрерывна по совокупности переменных х,у и удовлетворяет так называемому условию Липшица: \f(x,y)-f(x,-g\^L\y-g\ (здесь (ж, у), (ж, у) — любые две точки из R, L — постоянная, не зави- зависящая от выбора этих точек и называемая константой Липшица). Тогда на сегменте \х — хо\ ^ Н, где Н = minfa, тть {М = = sup \f(x,y)\) существует единственное решение задачи Коши G). х0 А 1 Jl м Рис. 2.
12 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка [Гл. 1 Замечание 1. Если Н = а < ^ ^ то интегральная кривая распо- 7 7 ложена внутри i2, как на рис. 2 6, а если iJ = -^ < а, то интегральная кривая расположена, как на рис. 2 а и может покинуть прямоугольник через его верхнюю или нижнюю сторону, т. е. уйти в область, где могут не выполняться условия теоремы 1, так что гарантировать существование решения для х > -^ уже нельзя. ? Замечание 2. Пусть условия теоремы 1 выполнены не в пря- прямоугольнике R, а в некоторой области G. Построив прямоугольник R С G с центром в начальной точке iV"o(#o,2/o)j получим по теоре- теореме 1 интегральную кривую внутри этого прямоугольника, причем она доходит либо до верхней границы R (Н = -^), либо до правой границы R (Н = а) (на рис. 3 Н = а). Приняв JVi за новую начальную точку и построив прямоугольник i?i, доводим интегральную кривую до границы R\. И так далее. Можно показать, что таким построением можно довести интегральную кривую до границы области G (см., например, [16]). ? Рис. 3. Рис. 4. Мы видели, как строится в G интегральная кривая, проходящая через М. Фиксируя хо и меняя уо, можно построить в G семейство интегральных кривых, зависящих от параметра уо (рис. 4). В си- силу теоремы 1 область G покрывается интегральными кривыми без пропусков (т. е. в G нет точек, через которые не проходила бы ин- интегральная кривая) и пересечений интегральных кривых, так как пропуски означали бы противоречие с утверждением о существовании решения, а пересечения означали бы противоречие с утверждением о его единственности. Таким образом, уравнению A) отвечает однопараметрическое се- семейство интегральных кривых, о чем уже говорилось выше (см. C)). Это семейство можно записать в виде (хо фиксировано, у о — пара- параметр) у = <р(х,хо,уо). (8) Так как (8) выражает закон соответствия между начальной точ-
§ 1 ] Уравнения, разрешенные относительно производной 13 кой (#о, У о) и текущей точкой (х,у), то в силу равноправия этих точек имеем Уо = <р(хо,х,у), (9) где ip — та же функция, что в (8). Соотношение уо — (р(хо,х,у) = О, таким образом, является интегралом уравнения B) (ср. с D)). Если выполнены все условия теоремы 1, кроме условия Липшица, то утверждение о существовании решения остается справедливым, но это решение, вообще говоря, уже не единственно (см. раздел 2, задачи 11 а, 11 Ь). Справедлива Теорема 2 (Пеано). Пусть в прямоугольнике R = {\х — xq\ ^ а, \у~Уо\ ^ Ь} функция f(x,y) непрерывна по совокупности переменных х,у. Тогда на сегменте \х — xq\ ^ Н, где Н = min(a, т*), М = = sup \f(x, y)\, существует по крайней мере одно решение задачи R Коти G). При выполнении условий теоремы 1 единственное решение зада- задачи 7 можно найти как предел некоторой функциональной последова- последовательности. Последовательность можно строить по-разному. Упомянем два способа построения. 1. Последовательность ломаных Эйлера. Эта последовательность строится следующим образом: а) отрезок [хо ,хо + Н] делится на п равных частей длины h = = ^-. Точки деления обозначаем х±,..., #n-ij x = х$-\- Н (рис. 5); эти точки сдвигаются с изменением п, так что Х{ зависит от п, но мы эту зависимость обозначать не будем. Xq Xj Л/? Xfj j Рис. 5. (n) б) п-й член последовательности, обозначаемый У (ж), геометриче- геометрически является ломаной линией, которая задается на каждом участке следующим образом: (п) [х0, хг] : У (х) = уо + f(x0, уо){х - х0), (п) /у- О^о * U (HP I ?/-| —I— Т \ ПГ t lit \\ HP HP t I j_ ч *aj 2t\ • ^ V / — V X l / V X 5 V X / V X / 5 где 2/i=2/o + Дао» 2/o)(^i - жо) = 2/o + /(^o, 2/o)^,
14 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка [Гл. 1 (n) [Xk, Хк+i] : У (x) = yk + f{Xk, Ук){х — Xk), где ук = Ук-i + f(xk-i,yk-i)h. Заметим, что наклон звена ломаной Эйлера на участке совпадает с направлением поля в точке (хк,Ук)- Справедлив предельный переход (п) У (х) => у(х), \х-хо\^Н, A0) (п —>¦ оо) где у(х) — решение задачи A), B). 2. Последовательность Пикара. Эта последовательность строится так. Сопоставим задаче G) эквивалентное интегральное уравнение X qil qn\ 11г\ —I— Т \ НС ?/( Т I I /7/7* У\х) — Уо * J Vх' У\х)) ах' XQ @) Теперь полагаем У (х) = (р(х), где (р(х) — произвольная непрерывная на \х — хо\ ^ Н функция. Часто полагают (р(х) = г/о и далее опреде- определяют X Уп+\{х) = 2/о + Г f(x, yn(x)) dx, n = 0,1,... Справедлив предельный переход У(п){х) => у(х), (п —>¦ оо) (и) где у(х) — решение задачи G). Метод построения решения задачи G) на примере описанной по- последовательности называют методом последовательных приближений Пикара (см. [18, гл. 2, § 6]). Как метод ломаных Эйлера, так и метод последовательных при- приближений Пикара может быть использован для эффективного по- построения приближенного решения задачи G), если за приближенное (п) решение взято У (х) или У(п){х). Последовательность ломаных Эйлера лежит в основе численного метода интегрирования дифференциальных уравнений, называемого методом Эйлера [18]. Замечание 3. Соотношение A0) получено в [18], § 2, в процессе доказательства теоремы 1. Соотношение A1) также получено в [18] в процессе другого варианта доказательства теоремы 1 (§ 6). ?
§1] Уравнения, разрешенные относительно производной 15 Замечание 4. Метод последовательных приближений может с успехом применяться и при построении решений других задач (на- (например, интегральных уравнений Вольтерра и Фредгольма второго рода (см. [3]), а также при исследовании зависимости решения диффе- дифференциального уравнения от параметра (см. задачу 4 из раздела 2 § 5). Последовательность ломаных Эйлера можно построить и в случае, когда условие Липшица не выполнено. Тогда уже предельное соот- (п) ношение A0) не справедливо, но из последовательности У (х) можно выделить подпоследовательность, равномерно сходящуюся к одному из решений задачи G). Именно на этом основано доказательство теоремы Пеано (см. раздел 2, задача 12). ? 2. Примеры решения задач 1. Построить поле направлений для уравнения A2) А Будем направление касательной указывать маленьким отрезком с центром в точке (ж, у), как на рис. 1. В данном случае такие отрезки будут, очевидно, лежать на прямой, проходящей через точку (ж, у) и начало координат @, 0) (рис. 6). Из вида поля направлений ясно, что интегральными кривыми будут все прямые, проходящие через начало координат (кроме оси у, так как ось у не описывается функцией вида у = у(х)). Следовательно, можно написать аналитическое выражение для решений у = Сх, A3) где С — произвольный параметр. Уже на этом простейшем примере можно наблюдать свойство, отмеченное на стр. 9: дифференциальное уравнение имеет не одно решение, а семейство решений. ? У Рис. 6. Рис. 7.
16 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка [Гл. 1 2. Каким дифференциальным уравнением описываются все пря- прямые, проходящие через начало координат? Л Перепишем уравнение A2) в более общей форме: у dx — х dy = 0, где переменные х и у равноправны. Этому уравнению удовлетворяют как функции семейства у = С\х, так и функции семейства х = С2У, в частности, функция х = 0 (ось у). ? 3. Построить поле направлений для уравнения у' = -- А Очевидно, направление касательных в этом случае перпендику- перпендикулярно направлению касательных, указанному на рис. 6. Отсюда ясно, что интегральные кривые представляют собой окружности произволь- произвольного радиуса (рис. 7), аналитически записываемые в виде х2 + у2 = С. В этой задаче решение получено в неявной форме F), т.е. в виде интеграла. ? 4. Получить семейство A3), не прибегая к геометрической интер- интерпретации. А Введем новую неизвестную функцию z = ^. Тогда у = zx, yf = xz+z = z^z=O^z = C^y = Cx. Замена переменной позволила свести задачу интегрирования диффе- дифференциального уравнения к задаче анализа — нахождению функции по заданной производной (в данном случае эта производная равна нулю). Как было указано в разделе 1, операция нахождения функ- функции по заданной производной в теории дифференциальных уравне- уравнений называется квадратурой. Таким образом, интегрирование урав- уравнения A2) сводится к квадратуре. ? 5. Найти для уравнения A2) решение задачи Коши G). А Подставляя A3) в G), получим 2/о - <^о ^ О - — => у - —х. U 6. Исходя из семейства A3), написать дифференциальное урав- уравнение, которому удовлетворяет это семейство.
§1] Уравнения, разрешенные относительно производной 17 Л Имеем у = Сх, у' = С. Исключая С, получим у' = ^, т.е. уравнение A2). ? 7. Для какого Н теорема 1 гарантирует существование единствен- единственного решения следующих задач Коши: а) у' = ху + 0,5, ?/@) = 0, а = Ъ = 0,5? б)у' = у + ху3, 2/@,5) = 0, а = 6=1? в)у' = у + ху3, 2/@) = 0, а = 1, 6 = 0,5? Л а) Здесь М = 0,75, Я = min(o,5; д^И = 0,5 (случай а) рис. 2). б) Здесь М = 2,5, Н = minfl; ^v ) = 0,4 (случай б) рис. 2). в) Здесь М = 0,625, Н = minfl; ^§5) = 0,8 (случай б) рис. 2). Однако на самом деле реализуется а), так как в данном случае един- единственное решение задачи Коши есть у(х) = 0. ? 8. Можно ли гарантировать существование единственного реше- решения задачи у' = х + ?/3, у@) = 0 на отрезке [-0,5; 0,5]? Л Рассмотрим прямоугольник R, где а = 1, 6 = 1. Тогда М = 1 + 1 = 2, Я = minfl, 1) = 0,5. Ответ: можно. ? 9. Рассматривая последовательность прямоугольников, доказать, что решение задачи у' = Ау + 5, 2/(#о) = ^о > 05 = const, = const A4) существует на всей оси. Проверить этот факт эффективным нахожде- нахождением решения (сводится к квадратуре заменой переменных у = zeAx или см. § 2). о- 1 /?! 1 Рис. 8. Л Построим последовательность прямоугольников размеров Ьп = Ь, «п = %Ъ/[А(у0 + (п + 1N) + Б].
18 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка [Гл. 1 Рассмотрим прямоугольник Rq. Для него l + b)+B, Мо = А(у0+ Ь) + В. Следовательно, интегральная кривая попадает в точке N\{xi,yi) на правую сторону Rq (случай рис. 8). Рассмотрим R\. Для него Ъ\ = = 6, аг = \Ъ/А(уъ + 26) + Б, М1 = А(уг + 6) + Б. Но г/i ^ г/о + + 6 и потому Mi ^ А(з/о + 26) + Б, ^- ^ 6/А(?/о + 26) + Б > > fli и, таким образом, интегральная кривая попадает на правую сторону R\ (в точке А^(^252/2))- Нетрудно доказать методом индукции, что в любом прямоуголь- прямоугольнике Rn интегральная кривая расположена так, что попадает на правую сторону Rn (рис. 8). Таким образом интегральную кривую удается продолжить на любой отрезок, равный clq + а\ + ... + ап. Так как ряд Y2 ап = ^2 2^/[^(^° + (п + 1)^) + В\ расходится, то тем п=0 п=0 самым интегральная кривая продолжается на всю полуось х ^ х$. Аналогично мож:но рассуж:дать и для х ^ Xq. Получим теперь, пользуясь указанной заменой переменных, реше- решение задачи A4) в виде формулы, откуда будет следовать существова- существование решения задачи A4) на всей действительной оси. Имеем: у' = z еАх + zAeAx, z еАх = Б, z = Be~Ax, откуда Л г V^o; — ж0 = yoe-Ax0 + BL-Ax0_e-Ax\ Следовательно, i/= U+ !У<*-*°>-f. п A5) 10. Убедиться на примере уравнений A2) и A4) в том, что в фор- формулах (8) и (9) (р — одна и та же функция. Л Для A2) (см. задачу 5) имеем у = |р-ж, откуда т/о = хх°' ^ имеем 2/о = (у + ^^е^^0"^ - ^. ?
§ 1 ] Уравнения, разрешенные относительно производной 19 11. а) Уравнение у' = у/у имеет два решения, удовлетворяющие условию у |ж=0 = 0, а именно у = 0 и у = -гх2. Какое условие теоремы 1 нарушено? Л В прямоугольнике R с центром в точке @,0) функция f(x,y) = = у/у непрерывна. Если бы было выполнено условие Липшица, ре- решение было бы согласно теореме 1 единственным. Следовательно, единственность нарушена в результате невыполнения условия Лип- Липшица. ? б) Убедиться непосредственно, что для уравнения у' = у/у нару- нарушено условие Липшица. Л Допустим, что условие Липшица выполнено. Тогда, полагая у = = 0, имеем y/tj ^ Ь|у|, т.е. 1/y/jj ^ L. При у —>> 0 отсюда получаем противоречие. ? 12. Методом ломаных Эйлера доказать теорему 2 (теорема Пе- ано). Упражнение направлено на изучение свойств ломаных Эйлера дополнительно к тем, которые выявились при доказательстве теоре- теоремы 1 в [18]. (п) Л Построим последовательность У (х) ломаных Эйлера (см. [18]). Докажем, что эта последовательность равномерно ограничена и рав- равностепенно непрерывна. (!) Покажем равностепенную непрерывность. Пусть х ? B) х ? [#p,#p+i] (для определенности р > к). Тогда У (х)- У (х) ^ У ( ж ) - У (хр) + У (хр) - У {xp-i, У {хк+2) ~ У {xk+i) + У {хк+i) ~ У {xi) ^ /B) A)\ /B) A)\ ^ М ( х -Хр + хр — ... — х \ = Mix - х 1, что и требуется. Так как все ломаные Эйлера проходят через точку (^0,2/0M то по известной теореме анализа (равностепенно непрерывная после- последовательность, ограниченная хотя бы в одной точке, является равно- равномерно ограниченной) ломаные Эйлера равномерно ограничены. Тогда согласно теореме Арцела [7] из последовательности ломаных (п) Эйлера У (х) можно выделить равномерно сходящуюся подпоследова- подпоследовательность У (х), пределом которой является некоторая непрерывная
20 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка [Гл. 1 функция у(х). В силу равномерной сходимости можно перейти к пре- пределу в интегральном уравнении У {х) = уо + [ \f(x, У {х)) + (п) которому удовлетворяет ломаная Эйлера. Здесь ф — равномерно стремящаяся к нулю невязка (см. [18, B.63)]). В результате пре- предельного перехода получим, что у(х) удовлетворяет интегральному уравнению у(х) = г/о+ J f{x,y{x))dx, а следовательно, является решением задач B), G). ? В задачах 13, 14 предлагаются упражнения на метод Пикара. 13. Построить по методу Пикара последовательные приближения 2/(о)? 2/AM 2/B) к решению задачи Коши: у' = х — у2, 2/@) = 0? положив 2/@) =УЫ) = г/о- А 2/(о) =0,2/A) = J[a-B/(o)J]da = ^xdx = ^,y{2) = ^ - g). ? 14. Задача заимствована из [14] и имеет целью показать, что для специальных классов уравнений можно непосредственно исследовать вопросы существования и единственности, не опираясь на теорему 1. Рассмотрим уравнение У' = F(y), у \х=хо = г/о- A6) Пусть F(y) непрерывна на [а, Ь] и F(c) = 0, где а < с < Ь. Пусть с а < у о < с и т?( \ СХ°ДИТСЯ- Исследовать вопрос существования Уо и единственности решения задачи A6) при х ^ хо, если F(y) > 0 при у < с и при у > с. Л Удобно проводить исследование, приняв х за функцию, а у — за независимую переменную. Интегрирование уравнения A6) сводится к квадратуре. Получим Уо
§1] Уравнения, разрешенные относительно производной 21 Семейство интегральных кривых имеет вид, представленный на рис. 9. Абсцисса х\ точки М\(х\,у\) пересечения интегральной кривой, проходящей через Мо(жо>2/о)> с ПРЯМОИ У — с (заметим, что у = с тоже является решением) определяется из уравнения х\ = ж о + с + , v . При этом, очевидно, через точку Mq проходит несколько 2/о интегральных кривых, а именно: все кривые типа М0М1М2М3, включающие в себя отрезки прямой у = с. В полосах а < у < с и с < ?/ < 6 имеет место существование и единственность решения задачи A6). ? Мл Рис. 9. 15. Будет ли нарушена единственность решения задачи A6) в по- полосе а < у <Ъ, если F(y) = (f(y)(y — с)а, где а < 1, а <р(у) непрерывна и (р(у) ф 0 при а < у < Ы Дать объяснение с точки зрения только что приведенных рассуждений и с точки зрения теоремы 1. А Единственность будет нарушена, так как при а < 1 интеграл A7) сходится. Нарушение единственности можно установить также по тео- теореме 1, так как все условия этой теоремы, кроме условия Липшица, выполнены. Нарушение условия Липшица устанавливается, как в за- задаче 11). ? 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы 1.1.1. Построить поле направлений для уравнения -У- = ^ (схема- (схематично) . 1.1.2. Пользуясь той же заменой переменных, что и в задаче 4, свести к квадратуре интегрирование уравнения у' = ^ + х2. 1.1.3. Решить задачу Коши: у' = | +ж2, у(х0) = г/о- 1.1.4. Убедиться на примере уравнения из задачи 1.1.2, что в фор- формулах (8) и (9) (f — одна и та же функция.
22 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка [Гл. 1 1.1.5. Написать дифференциальное уравнение заданного семей- семейства: а) у = сх3; б) х2 + су2 = 2у. 1.1.6. Дано уравнение у' = ху + жг/2 с начальным условием 2/A) = = 0,5. Для какого Н теорема 1 гарантирует существование единствен- единственного решения, если а) а = Ъ = 1? б) а = Ъ = 0,5? 1.1.7. Молено ли гарантировать существование единственного ре- решения задачи у' = ху2 — 0,5, 2/@) = 0, на отрезке [—0,5; 0,5]? 1.1.8. Построить последовательные приближения 2/(о)> 2/AM 2/B) по методу Пикара для задачи Коши у' = 2/2+Зж2 —1,2/A) = 1, положив 2/@) = 2/0- 1.1.9. Поставлена задача Коши A6). Исследовать вопрос существо- существования и единственности для случаев a) F(y) > 0 при у < с, F(y) < 0 при у > с; б') -FB/) < 0 при у < с, F(y) > 0 при у > с; в) исследовать тот же вопрос, заменив условие сходимости ин- с теграла 77v пРинятое в задаче A6), условием его расходимо- расходимости. Уо Ответы 1.1.1. Рис. 10. Указание: полезно иметь в виду, что правая часть уравнения постоянна на окружностях вида х2 -\-у2 = const. 1.1.2. у = = Сх-\- 7^х3. 1.1.3. у = -^—х-\- т^х3. 1.1.4. Прямой выкладкой из у--хъ ответа к задаче 1.1.3 получим у о = —-?—хо + + \xl. 1.1.5. а) ху' = Зу; Ъ) х2у' - ху = уу'. 1.1.6. а) Н = Jg = ^ « 0,13; Ь) Н = ^ = = i ж 0,17. 1.1.7. Можно. Достаточно взять а = Ъ = 0,5. 1.1.8. г/(о) = 1, 2/A) = ^3, 2/B) = = -к(х7 — 1)-\-х3 — х + 1. 1.1.9. В случае а) через каждую точку Mq полосы а < у < Ъ при х ^ ^ хо проходит единственная интегральная кри- кривая (рис. 11). В случае б) через каждую точку, Рис. 10.
§2] Элементарные методы интегрирования 23 кроме линии у = с, при х ^ Хо проходит единственная интегральная кривая (рис. 12). В случае в) через каждую точку полосы а < у < Ъ проходит единственная интегральная кривая (рис. 13). Рис. 11. Рис. 12. Рис. 13. 2. Элементарные методы интегрирования 1. Основные понятия и теоремы В ряде случаев семейство у (ж, С) решений дифференциального уравнения можно получить в виде формулы путем применения опе- операции квадратуры. Для построения решения начальной задачи G) (§1) нужно определить С из уравнения г/(жо, С) = Уо- Таким образом, существование и единственность решения задачи G) можно выяснить непосредственно, не прибегая к теореме 1. 1°. Уравнения с разделяющимися переменными. Так на- называется уравнение вида (I) Семейство решений может быть получено путем квадратур:
24 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка [Гл. 1 Решение начальной задачи D) § 1, поскольку у(хо) = уо, определяется в неявной форме h(x)dx+ | f2(y)dy = 0. ХО УО К уравнению A) легко сводится уравнение Л (х)дг {у) dx - /2 (х)д2 {у) dy = O B) делением на д\(у) $2(х). Надо иметь в виду, что при этом могут быть потеряны решения вида у = у = const — корни уравнения д\(у) = 0. Замечание 1. В уравнении A), а также в B), переменные х и у равноправны. С этой точки зрения мы должны учесть также, что могут быть потеряны решения вида х = х = const — корни уравнения /2 (х) = 0. Если же уравнение B) написано в форме dy_ _ fi(x)gi(y) /оч то, приведя его к виду A), мы должны учесть возможные потери решений вида у = у = const — корни уравнения д\(у) = 0. К уравнению с разделяющимися переменными сводится уравнение ^ = f(ax + by + c), D) где а, 6, с — постоянные. Для этого надо сделать замену и = ах-\-Ъу-\-с (и — функция, х — независимая переменная) и тогда уравнение D) принимает вид ^ = bf{u)-\-a (частный случай C)). Возможны потери решений вида и = п = const — корни уравнения bf(u) + а = 0. ? 2°. Однородные уравнения. Функция F(x,y) называется одно- однородной степени т, если для любого t справедливо тождество F(tx,ty)=tmF(x,y). Однородным называется дифференциальное уравнение вида М(х, у) dx + N(x, у) dy = 0, E) где М(ж, у) и N(x, у) — однородные функции степени га. Уравнение E) приводится к уравнению с разделяющимися переменными вида B) хт[М{1, и) + uN(l, и)} dx + xm+1N(l, iz) diz = О F) заменой у = их. Возможна также замена х = иу. Уравнение
§ 2 ] Элементарные методы интегрирования 25 очевидно, принадлежит к классу однородных уравнений. Замена у = = их дает du _ ?t \ _ Г du _ 1 | i n dxx-nu) и> \ f(u)-u ж1+<-- Кроме того, возможны решения вида г/ = г/ — корни уравнения /(гг) — гг = 0. Уравнение вида где а^, bi, Ci (г = 1,2) — постоянные, преобразуется к однородному уравнению вида G), если a\b<i — a^b\ ^ 0, или к уравнению с раз- разделяющимися переменными, если ai&2 — ^2^1 = 0- В первом случае следует сделать замену переменных ? = х — a, rj = у — b (? — новая независимая переменная, ту — новая функция), где а и 6 определяются из системы алгебраических уравнений aia+bib+ci = 0, a2a+&2^+C2 = = 0, и уравнение в переменных ?, ту приведется к виду G). Во втором случае а\ = /с<22, 6i = kb2, где /с — постоянная (индексы 1 и 2 могут меняться местами). Тогда заменой г? = a<ix + b<iy уравнение (8) сведется к виду ^ = = п2 + Ьг/! и + q1 i' Где пеРеменные сразу разделяются. Иногда уравнение вида ~dx _^^ ai J3i (q\ г=1 где a,i, oti, /3i (г = 0,..., тг) — постоянные, приводится к однородному заменой ?/ = 2/m. Это возмож:но, если найдется т такое, что а0 + тп/30 + тп - 1 = ai + т/Зг = ... = ап + тп/Зп. 3°. Линейное уравнение первого порядка. Это — уравнение 2/' = р(ж)у + д(ж). (ю) Если Q(#) = 0, то уравнение имеет вид У' = Р(х)у A1) и называется в этом случае однородным. В общем случае, т. е. когда Q(x) ф 0, уравнение A0) называется неоднородным. Выражение dx, A2)
26 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка [Гл. 1 где Р{х) dx — какая-либо первообразная от Р(х), при любом значе- значении постоянной С удовлетворяет однородному уравнению A1). С дру- другой стороны, всякое решение однородного уравнения A1) содержится в A2) при некотором значении С. Поэтому формула A2) называется общим решением однородного уравнения A1). Заметим, что форму- формулу A2) можно получить, рассматривая уравнение A1) как уравнение с разделяющимися переменными. Что касается неоднородного уравнения, то его общее решение мож- можно искать в виде y = C(x)e$p{x)dx, A3) т.е. в форме, напоминающей A2), но только теперь С является не постоянной, а функцией х. По этой причине описываемый метод по- построения у называется методом вариации постоянной. Фактически — это замена переменной в уравнении A0), состоящая в том, что вместо у(х) вводится новая неизвестная функция С(х). Подстановка A3) в A0) дает ^ = Q(x)e~ Ip(x)dx, откуда С(х) = = Г е- J P(x) dxQ(xj dx + C {С = const) и у = Се$ р& dx + J p^ dx f e" J"Р(ж) dxQ{x) dx. A4) Эта формула для общего решения неоднородного уравнения состо- состоит из двух слагаемых, первое из которых представляет собой A2), т. е. общее решение однородного уравнения, а второе является частным решением неоднородного уравнения A0), отвечающим G = 0. Отметим далее, что при построении общего решения неоднород- неоднородного уравнения можно в формуле A4) вместо второго слагаемого взять любое частное решение у(х) и тогда формула общего решения неоднородного уравнения принимает вид y = CeSp&dx+y(x). A5) Итак: общее решение неоднородного уравнения есть сумма общего решения соответствующего однородного уравнения и частного ре- решения неоднородного уравнения. Удобно встречающиеся во всех предыдущих выражениях перво- первообразные брать в виде J^ . Тогда формула A4) для общего решения неоднородного уравнения принимает вид
§ 2 ] Элементарные методы интегрирования 27 Ясно,что при х = хо получаем у(хо) = С, т. е. J ] Функция двух переменных К(х,?) = ei называется им- импульсной функцией, или функцией Коши. Через функцию Коши фор- формула A6) запишется в виде х у = УоК(х, х0) + | К(х, €)Q(?) d?. A7) Функция Коши по аргументу х удовлетворяет однородному урав- уравнению A1) и начальному условию К(х,?)\х=% = 1. Пусть х имеет смысл времени: х = t, ? = г. Тогда K(t,r) можно дать определенную физическую интерпретацию. Пусть при t ^ r уравнение A1) имеет решение y(t) =0. Пусть при t = г действует со- сосредоточенный мгновенный импульс, в результате которого скорость -тг при t = г бесконечно велика, а ?/ испытывает скачок и становится равным единице: у {г — 0) =0, у {г + 0) = 1. Итак, у (г) = 1, а при t > г по-прежнему справедливо уравнение A1). Тогда при t ^ т имеем J P(r))dr) у = 1 • ет = K(t,r). Таким образом, K(t,r) есть значение у в точке ?, вызываемое мгновенным бесконечно большим импульсом в точке г. К линейному уравнению сводится так называемое уравнение Бер- нулли у' = Р{х)у + Q(x)ya (a = const). Действительно, делая замену переменных z = у1~а, получим для z Замечание 2. При а > 0 уравнение Бернулли имеет тривиальное решение, которое можно потерять при переходе к z, что надо иметь в виду. ? Уравнением Риккагпи называется уравнение y' = P(x)y + Q(x)y2 + f(x). A8) Оно в общем случае в квадратурах не интегрируется. Однако, если известно какое-либо частное его решение у = yi(x), то задача интегри- интегрирования уравнения A8) сводится к задаче интегрирования уравнения Бернулли заменой переменных z = y—y\{x). Функция z удовлетворяет уравнению Бернулли:
28 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка [Гл. 1 4°. Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирую- Интегрирующий мноснсителъ. Уравнение М(х, у) dx + N(x, у) dy = 0 A9) называется уравнением в полных дифференциалах, если существует такая функция U(x, у), что dU(x, у) = М(ж, у) dx + N(x, у) dy. Тогда dU(x, у) = 0 и семейство решений уравнения A9) представимо в виде U(x,y) = C, B0) т. е. в виде интеграла F') из § 1. Для того чтобы функция U(x,y) существовала, необходимо и до- достаточно, чтобы выполнялось равенство ±М(х,у) = ?N(x,y). B1) Если B1) выполнено, то U(x,y) можно найти в виде криволинейного интеграла (*,У) Щх, у)= J М(х, у) dx + N(x, у) dy, B2) (хо,уо) где (жо?2/о) произвольная фиксированная точка области D, в которой заданы функции М(х,у) и N(x,y). Если равенство B1) для уравнения A9) не выполнено, то умножим уравнение A9) на функцию fi(x,y) ф 0: tiMdx + fiNdy = O B3) и попытаемся выбрать /л таким образом, чтобы для этого уравне- уравнения B3) выполнялось условие B1): ш Функция //(ж, у) называется интегрирующим множителем; она удо- удовлетворяет уравнению B3) или (другая форма того же уравнения) ду дх ^ \ дх ду ) v J Уравнение B4) является уравнением в частных производных. Его решение существует, если М, TV, ^^, jp- непрерывны в D и М2(ж, у)-\- Число интегрирующих множителей уравнения A9) бесконечно, потому что, если /i — интегрирующий множитель, то выражение /кр(и), где (р — произвольная дифференцируемая функция С/, очевид- очевидно, также является интегрирующим множителем. Справедливо также
§ 2 ] Элементарные методы интегрирования 29 утверждение, что любой интегрирующий множитель ц\ может быть представлен в виде щ = w(U), B5) где (р — некоторая дифференцируемая функция U. Интегрирование уравнения B4) в общем виде не проще, чем ре- решение исходного уравнения A9). Однако нам достаточно знать лишь одно частное решение уравнения B4), и это нередко удается в силу каких-либо специфических свойств уравнения A9). Исследуем, напри- например, когда интегрирующий множитель можно найти в виде функции только х. Уравнение B4) принимает вид дМ dN d[i ду дх м^ откуда ясно, что для существования интегрирующего множителя уь{х) необходимо и достаточно, чтобы правая часть B6) была функцией только х. Тогда \i находится квадратурой. Аналогично рассматрива- рассматривается случай /i = fi(y). Можно искать интегрирующий множитель в более общем виде: \i = = /л[ш(х, у)], где uj(x, у) — выбранная нами известная функция. Тогда уравнение B4) примет вид _ 8N дМ дх ду ду дх Если правая часть окажется функцией от cj(x,y), то /jl(uj) находится квадратурой. 2. Примеры решения задач 1°. Уравнения с разделяющимися переменными. 1. Проинтегрировать уравнение 2х2уу' + у2 = 2. Л Приведем это уравнение к виду B) и далее к виду A) делением на {у2 - 2Jж2: Ц + 2-^- = 0. Следовательно, -± + In \y2 - 2| = С. х у 2 Постоянную С удобно представить в виде С = In С (С > 0). Тогда \у2 - 2| = Сех, или 2 - у2 = ±Сех, или 2 - у2 = Сех, где С может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Кроме того, при делении на у2 — 2 можно потерять решения вида у = ±л/2- Нетрудно убедиться, что эти решения содержатся в полученном семействе при G = 0. Итак, окончательно 2 — у2 = Сех ? где С — произвольная постоянная (—оо < С < оо). ?
30 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка [Гл. 1 2. Проинтегрировать уравнение а/1 — у2 dx = xdy. А Разделяя переменные, как и в задаче 1, получим — = Ц^-. л/1 - V2 Отсюда х = Cearcsiny (С ф 0). При разделении переменных могли быть потеряны решения у = ±1, а также решение х = 0 (в исходном уравнении переменные хну равноправны). Но х = 0 содержится в полученном семействе при G = 0. Решения же у = ±1 в этом семействе не содержатся, и их надо приписать дополнительно. Итак, x = Cearcsiny, y = ±l. П 3. Проинтегрировать уравнение у' = cos {у — х). Л Это уравнение типа D). Сделаем замену и = у — х. Тогда уравнение примет вид и' + 1 = cos и. Разделяем переменные: Лгг — du _ _ du COSU-1 Отсюда получаем семейство решений: ctg ^—^— = х + С. Кроме того, имеются решения cos и — 1 = 0, т. е. и = 2тг/с, т. е. у = х + 2тг/с (к ? Z), которые надо приписать к полученному семейству дополнительно, как и в задаче 2. ? 4. Решить начальную задачу (х + 2г/)г/ = 1, 2/@) = —1. Л Сделаем замену и = х -\- 2у. Тогда ии' = и + 2 и, следовательно, 2/ — In |ж + 2г/ + 2| = С. Начальное значение лежит вне области определения логарифмической функции. Но имеется также решение и + 2 = 0, или ж + 2у + 2 = 0, потерянное при разделении переменных. Начальная точка @, —1) принадлежит этой прямой. Следовательно, решение поставленной начальной задачи есть х + 2у + 2 = 0. ? 5. Написать дифференциальное уравнение, определяющее кри- кривые, у которых точка пересечения любой касательной с осью х имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы точки касания. Найти эти кривые. А По условию касательная к кривой в точ- точке А (ж, у) пересекает ось х в точке 5(§,0). Пусть для определенности точка А расположе- расположена в первом квадранте. Имеем -^- = tg(CBA) (рис. 14). Рассмотрим ААВС. В нем \АС\ = у, Рис.14. \СВ\ = §• ПРИ этом \ЛС\ = \CB\tg(CBA),
§ 2] Элементарные методы интегрирования 31 или у = т^-р- Это и есть искомое уравнение. Заметим, что такое лее уравнение получим, если А расположена в любом квадранте. Решая полученное уравнение как уравнение с разделяющимися переменными, получим у = Сх2, где С — произвольная постоянная (-оо<С<оо). ? Замечание 3. Прямая у = 0 (ось ж), которая является интеграль- интегральной кривой (и может быть потеряна при разделении переменных, но, в данном случае, входит в семейство) по существу не может от- относиться к кривым, обладающим требуемым задаче геометрическим свойством, а может рассматриваться только как некоторое предельное положение таких кривых. ? 6. Тело массы т брошено вверх со скоростью Vo- Учитывая силу сопротивления воздуха Fc = — /3v, найти максимальную высоту подъ- подъема тела и время подъема. Л В качестве независимой переменной примем время t. Согласно второму закону Ньютона ?^^г = Р + Fc, где Р — сила тяжести. В проекции на ось, направленную вверх, это уравнение примет вид ^зг = —тд — /3v. Это уравнение с разделяющимися переменными, которое нужно решить при начальном условии г>@) = vq. Получим -—t , m Максимальная величина подъема тела соответствует моменту, ког- когда v = 0. Тогда из выражения для v получим ?тах = Щ 1п( 1 + -?щ ). Максимальная высота подъема tmax 2 ? 7. Вывести дифференциальное уравнение, описывающее закон из- изменения высоты уровня жидкости в цилиндрическом баке диаметром 2R через отверстие в дне диаметром 2г. Ось бака вертикальная. Через какое время жидкость вытечет из бака полностью, если первоначально бак был заполнен на высоту HI Л Следует воспользоваться формулой истечения Торичелли (см., например, [11]): v = л/Zgh (v — скорость протекания через отверстие, h — высота столба жидкости). За время At уровень жидкости изме- изменится на Ah. Следовательно, масса жидкости тоже изменится: Am = = 2тгRp А/г (р — плотность жидкости). Ту же величину Am можно
32 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка [Гл. 1 подсчитать другим способом: как массу, вытекающую через нижнее отверстие за время At, а именно, Am = — 2nrv At p. Отсюда имеем Это и есть искомое уравнение. Оно является уравнением с раз- разделяющимися переменными. Интегрируя его с учетом начального условия h@) = Н, получим 1\fh = — ^^/2gt + 2\fH или h = = f \H—^\7yt\ . Время, через которое жидкость вытечет ПОЛНО- ПОЛНОГО I О тт стью, получим, полагая h = 0, откуда t = =у^ 8. Кусок металла с температурой а градусов помещен в печь, температура которой в течение времени to равномерно повышается от а градусов до Ъ градусов. Скорость нагревания металла в любой момент времени равна произведению так называемого коэффициента температуропроводности к на разность температур печи и металла. Составить дифференциальное уравнение, описывающее процесс на- нагрева металла в печи. А Примем время t за независимую переменную. Обозначим темпе- температуру металла через Т, температуру печи через Тпеч. Имеем ^ = = /с(Тпеч — Т). В этом дифференциальном соотношении пока две неизвестные функции Т и Тпеч. Определим Тпеч. По условию задачи скорость нагревания печи является постоянной: 4тТиеч = С. Отсюда ^печ = ct + d. Постоянные cud определяются с учетом дополнитель- дополнительных условий Тпеч@) = а, Тпеч(?о) = Ь и равны с = t a, d = а. Под- Подставляя найденное выражение для Тпеч в первое уравнение, получаем дифференциальное уравнение, описывающее нагрев металла dT _ dt ~ Это уравнение типа D) и решается заменой и = ^ at-\-a—T. Постоян- Постоянную интегрирования определяем из условия Т@) = а. Окончательно получаем Т = а + ~ а (e~kt + kt — \). ? 2°. Однородные уравнения. 9. Проинтегрировать уравнение у2 + х2у' = хуу'. Л Полагаем гг = |. Тогда ?х2 = (iz'ar + iz)(iz - 1) или и1'^^- = ^. Путем квадратуры получим гх — 1п|гх| = 1п|ж| — In С или у = Сеу1х [С т^ 0)- Мож:ет быть потеряно решение и = 0, т. е. у = 0, но оно входит в семейство при С = 0. Окончательно получаем г/ = Сеу1х (-ос<С<ос). ?
§ 2 ] Элементарные методы интегрирования 33 10. Проинтегрировать уравнение Dж+2?/+3) dx—Bх+у+1) dy=O. Л Это уравнение вида (8), где определитель а\Ь^ — а^Ь\ = 0. По- Поэтому делаем замену и = 2х + у. Получим (Аи + 5) dx = (и + 1) cfaz. Разделяя переменные и интегрируя, находим 4гх + 5 = Се4и~16х (С ф Ф 0) или 8х + 4у — 5 = Gе~8ж+4у (С^О). При разделении переменных можно потерять решение и = —4, т. е. 8ж + 2?/ + 5 = 0, но оно входит в семейство при С = 0. Итак, 8ж + 4г/-5 = Се~8ж+4^ (-ос < С < ос). ? 11. Проинтегрировать уравнение т/т/ = 2у — х — 1. А Это уравнение вида (8), где определитель ai&2 — &2^1 Ф 0. По- Поэтому полагаем ? = х — а, г/ = у — 6, где а = —1, 6 = 0, т. е. ? = х + 1, г] = у. После этого нужно сделать еще одну замену и = г//?, как было рекомендовано для уравнения (8). В переменных и, ? уравне- ние принимает вид г/ ? = — -—и Отсюда, сводя к квадратуре и ж + 1 возвращаясь к преж:ним переменным, получим у — х — 1 = СеУ~х~г (С ф 0). Возможна потеря решения и = 1, т.е. у = ж + 1, но это решение содержится в семействе при G = 0. Окончательно: у — х — + 1 - 1 = СеУ-*-1 (-оо < С < оо). ? 12. Проинтегрировать уравнение 2х2у' = г/3 + ху. Л Это уравнение вида (9). Полагаем у = i?m. Тогда уравнение принимает вид 2х2тит~1 = и3т + :шт и становится однородным, если 2 + ?77, — 1 = Зга = га + 1, т. е. 777,= А. Итак, делаем замену и = у2. Получим х2и' = и2 + жг?. Полагаем г = ^ и имеем г'ж = z2. Отсюда -- 2 ж = Се * = Се~х'у (С ф 0). Потеря решения г = 0 при разделении переменных приводит к потере решения у = 0 исходного уравнения. Решение у = 0 в семействе не содержится и нужно его приписать дополнительно. Итак, х = Се~х1у (С ф 0), г/ = 0. ? 13. Найти кривые, у которых точка пересечения любой касатель- касательной с осью абсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала координат. Л В произвольной точке А(х, у) искомой кривой (для определенно- определенности лежащей в первом квадранте) проведем касательную, пересекаю- пересекающую ось абсцисс в точке В (можно воспользоваться рис. 14). Имеем \ОС\ = х, \АС\ = у, yf = tg(ABC). Тогда из равенства \АВ\ = \ОВ\, которое имеет место согласно условию задачи, получим \ / 9 + у2 = V (у) = х — -*у или у'[х2 — у2) = 2ху. Это однородное уравнение. Делаем 2 А. Б. Васильева, Г. Н. Медведев
34 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка [Гл. 1 замену и = у/х, после которой разделяем переменные. Получим In —^—2 = In \х\ + G, или у = С(х2 + г/2) (С / 0). Решение г/ = 0, 1 + и потерянное при разделении переменных, содержится в семействе при С = 0, но оно не имеет геометрического смысла. Итак, окончательно 14. Груз массы т, прикрепленный невесомой нерастяжимой ни- нитью к надутому воздушному шару, опускается с шаром на землю с постоянной скоростью vq. На шар действует сила сопротивления воздуха Fo = —[3w, v = |v|, [3 = kS, S — площадь поверхности шара, k = const > 0. В момент времени to происходит прокол шара, и его площадь начинает уменьшаться по закону S = So/(to + tJ (при этом оболочка остается шаром). Определить скорость груза после прокола шара. Силой сопротивления воздуха, действующей на груз, массой и подъемной силой шара пренебречь. Л Запишем второй закон Ньютона для груза: т^ = Р + Fc (P — сила тяжести). В проекции на ось, направленную вниз, уравнение примет вид dv kS0v2 дю_ _ _ kS0v2 r-t i i lib f. I I L\J . . r\ jlL*) LjlL lib i I I v\J r\ • / t/lj | L/ • at * (to+tJ dr * T2 Это однородное уравнение. Заменой и = v/т приводим его к уравне- уравнению с разделяющимися переменными и интегрируем с учетом началь- начального условия v(to) = vo. Получим m(t0 +t) ( 2а v= 2kS0 где a - \/l + 4fe5oP С ~ ^ где a - у i + m , о - tg — + 1 -a t m t0 3°. Линейные уравнения первого порядка. 15. Даны два различных решения у\ и у2 линейного неоднородно- неоднородного уравнения A0). Выразить через них общее решение этого уравнения. Л Введем функцию и = у\ — У2- Эта функция удовлетворяет соот- соответствующему однородному уравнению. Тогда Си есть общее решение однородного уравнения. Действительно, и, как некоторое частное ре- решение, содержится в формуле A2) общего решения при некотором значении С = G, т.е. и = Ce$Pdx. Отсюда у = Ч?и = Си (отношение С С/С в виду произвольности С можно вновь обозначить через С). Теперь можно воспользоваться формулой A5) и представить общее решение уравнения A0) в виде у = С(у\—у2) + У\ или у = С(у\ —
§ 2 ] Элементарные методы интегрирования 35 16. Проинтегрировать уравнение у' = 2х(х2 + у). Л Можно воспользоваться формулой A4). Однако при решении конкретных примеров лучше сделать замену A3) и все дальнейшие, приводящие к A4), выкладки непосредственно для данного уравне- уравнения. Итак, полагаем у = с(х)ех . Тогда с'(х)ех + с(хJхех = 2х3 + + 2хс(х)ех , или с'{х) = 2ж3е~ж . Отсюда с(х) = С — A + х2)е~х . Следовательно, у = Сех — A + ж2). ? 17. Проинтегрировать уравнение (х -\- у2) dy = ?/с^е. Л В этом уравнении переменные х и г/ равноправны. Нетрудно видеть, что если х рассматривать как функцию, а у — как независимое переменное, то уравнение относительно х(у) будет линейным, а имен- именно: уЩ^- = х + у2. Относительно у(х) уравнение линейным не будет. dy Решаем уравнение относительно х(у) как в задаче 2. Полагаем х = = с(у)у. Тогда с'(у) = 1 —>• с(г/) = С-\-у => ж = Су-\-у2. Следует учесть, что, выбирая у в качестве независимой переменной, мы потеряли решение у = 0, не содержащееся в полученном семействе. Итак, х = = Су + у2,у = 0. ? 18. Проинтегрировать уравнение Bеу — х)у' = 1. Л Хотя в самой записи уравнения у считается функцией ж, тем не менее для его решения удобно поменять ролями независимую переменную и функцию, т.е. получить уравнение относительно х(у), которое будет линейным: ^ = —х + 2еу. Имеем х = с(у)е~у, с'(г/) = = 2е2у, с(г/) = С + е2у. Следовательно, у = (С + е2у)е~у. Меняя роли х и у, мы могли потерять решения вида у = const, однако таковых решений данное уравнение не имеет. Итак, х = (С + е2у)е~у. ? 19. Проинтегрировать уравнение (ж + l)Byyf — 1) = у . Л Уравнение не является линейным, но сводится к линейному простейшей заменой неизвестной функции и = у2. Можно, хотя и не обязательно, сделать также замену независимой переменной ? = х + 1. Имеем ??/ = г/ + ?. Следовательно, г/ = (С + 1п|?|)?. Возвращаясь к прежним переменным, окончательно получаем 2 ( | + 1|)(ж + 1). ? 20. В сосуд, содержащий 10 л воды, начиная с некоторого момента, непрерывно поступает со скоростью 2 л/мин раствор, в каждом литре которого содержится 0,3 кг соли. Поступающий в сосуд раствор пере- перемешивается с водой, а смесь вытекает из сосуда с той же скоростью.
36 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка [Гл. 1 Составить дифференциальное уравнение, описывающее этот процесс. При составлении уравнения считается, что перемешивание происходит мгновенно. Сколько соли будет в сосуде через 5 минут? А Примем время t (t ^ 0) за независимую переменную, а за иско- искомую функцию y(t) — количество соли в растворе в момент t. Составим баланс изменения количества соли за время At. С одной стороны, это количество равно y(t + At) — y(t). С другой стороны, в минуту в сосуд поступает 2 л раствора, то есть, 0,6 кг соли, а удаляется из сосуда вместе с вытекающим раствором у^2 = у-0,2 (кг). Таким образом, всего за время At изменение количества соли равно t+At J [0.6 - i/(*) • 0,2] d*. t Приравнивая полученные выражения для изменения количества соли, получим y(t + At) - y{t) = J [0,6 - y{t) • 0,2] dt t или, согласно теоремам о среднем: Aty'(t*) = [0,6-y{t**)-0,2]At. Переходя к пределу при At —>• 0, получим !/'(<) =-0,2 »(*)+0,6. Это и есть дифференциальное уравнение, описывающее процесс. Для ответа на второй вопрос задачи решаем это уравнение. Пола- Полагаем у = c(t)e-°>2t. TorAac'(?)e-0'2t-C(?)-0,2e-0'2t = 0,6-0,2c(*)e-°'2t, т.е. c'(t) = 0,6e°'2t, c(t) = C+jj^e°'2t и, следовательно, у = З-Се'0^. Теперь надо удовлетворить начальному условию у@) = 0. Получим у = 3 - 3e-°'2t. Следовательно, у (Б) = 3 - Зе « 1,9 кг. ? 21. Написать и решить уравнение, описывающее изменение силы тока / в цепи, куда включено сопротивление R и катушка с ко- коэффициентом самоиндукции L. В цепи имеется внешний источник ЭДС, которая меняется по периодическому закону: Е = Eq cos cut. Начальное условие /@) = /0 (рис. 15). Л ЭДС самоиндукции равна —L^rr (см., например, [12]). По зако- закону Ома L^. B8)
§2] Элементарные методы интегрирования 37 Это — линейное уравнение относительно /(?), решение которого най- найдем согласно формуле A5) как сумму общего решения однородно- R го уравнения Се l и частного решения / неоднородного уравне- уравнения B8). Исходя из вида неоднородности Eq cos out, попытаемся найти частное решение в виде I = A cos cvt+B sin ujt, где Ал В — неизвестные постоянные. Подставляя это выражение в B8) и приравнивая отдель- отдельно коэффициенты при smojt и cosa;?, получим следующие уравнения для определения А л В: LAuj = RB, LBuj = -RA + Ео. г- Таким образом, решение Отсюда А = 2 2 25 L ио -\- R имеет вид R. I = Ce lf + 2 2г L ио -\- R F + . 771 D где в соответствие с начальным условием С = /о <г—2^ 2 • I—' Рис. 15. Рис. 16. 22. Имеются два контура, куда включены соответственно сопро- сопротивления Ri и]?2, катушки L\ и L2, имеющие общий сердечник. Ко- Коэффициент взаимной индукции катушек равен М (рис. 16). В первую цепь включен источник ЭДС: Е = Eq cosojt. Найти токи 1\ и /2, если R± = Д2, Li = L2; /ДО) = Ii0 (i = 1, 2). Л Запишем закон Ома для каждой из цепей (см. [12]): I1R1=E-L1%-M% I2Ib = -L2% -М% B9) Обозначим А = 1\ — /2, / = 1\ + /2. Тогда при R± = R2 = R, L\ = = L2 = L из B9) имеем д p тр т a /a i 1\/г а/\ т т> г? г Д-^ д^ а! AR-b-L^ + M^, LR-E-LTt-MTt. Каж:дое из этих уравнений является линейным и решается, как в пре- предыдущей задаче. Зная Аи/, легко найти 1\ и /2. ? 23. Проинтегрировать уравнение жг/ + 2г/ + ж г/ еж = 0.
38 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка [Гл. 1 Л Это уравнение Бернулли. Как рекомендовалось в разделе 1, сделаем замену z = у~2. Тогда уравнение станет линейным: Находим его решение z = (С -\-2ех)х4. Отсюда у2 = 4 . Здесь (С + 2е )х потеряно тривиальное решение у = 0 (так как а = 3 > 0), его надо приписать дополнительно. Итак, у2 = х 4 , у = 0. ? 24. Проинтегрировать уравнение Bжт/2 — у) dx -\- x dy = 0. А Если ?/ выбрать в качестве функции, а х — в качестве незави- независимой переменной, то получим уравнение Бернулли ху1 = у — 2ху2. Вводя z = у1, приходим к линейному уравнению, решая которое по- получим z = ^г +х или ж = (С + ж2)?/. Сюда, как и в предыдущей задаче, следует приписать потерянное решение у = 0. Кроме того, приняв у за функцию, мы потеряли решение х = 0, удовлетворяющее исходному уравнению, в котором х л у равноправны. Итак, окончательно х = = (С + х2)у, у = 0, х = 0. ? 25. Проинтегрировать уравнение ?/ж3 sin?/ = ху1 — 2у. А Это уравнение сводится к уравнению Бернулли, если х выбрать функцией, а у — независимой переменной: 2уЩ^- = х — х3 sin у. Его йу решение у = {С — cosy)x2. Кроме того, выбирая х функцией, мы потеряли решение у = 0, удовлетворяющее исходному уравнению. Итак, у = (С — cosy)x2, у = 0. ? Замечание 4. Решение х = 0 промежуточного уравнения Бер- Бернулли не является решением исходного уравнения. ? 26. В химической реакции участвуют два вещества А л В. Ве- Вещество В отличается от вещества А более устойчивой структурой молекулы. При столкновении молекул А и В молекула А от удара переходит в молекулу В. Кроме того, в реактор с постоянной ско- скоростью поступает вещество А. Описать процесс дифференциальными уравнениями, считая, что при столкновении молекул А и молекул В между ними никаких химических изменений не происходит. Л Пусть а и Ъ — концентрации веществ А и В соответственно. При составлении уравнений можно вести рассуждения, не применяя интегральную форму записи и теорему о среднем, как это делалось в задаче 5. В литературе по физике применяется именно такой способ рассуждений. Подсчитаем изменение Аа концентрации а за время At. Количество молекул вещества А в единице объема пропорционально
§ 2 ] Элементарные методы интегрирования 39 его концентрации. Число столкновений молекул А с молекулами В, очевидно, пропорционально произведению чисел молекул этих ве- веществ, т. е. пропорционально произведению концентраций. Изменение концентрации а в направлении уменьшения пропорционально числу столкновений и величине At, т. е. в конечном счете равно —kabAt, где к — коэффициент пропорциональности. Увеличение концентрации а происходит за счет поступления вещества А в реактор и равно aAt (скорость поступления постоянна), где а — постоянная величина. Концентрация Ъ вещества В увеличивается за счет столкновений, и это увеличение равно абсолютной величине изменения а за счет столкновений. Итак, Аа = —kahAt + aAt, Ab = kabAt. Переходя к пределу при At —>• 0, т. е. заменяя разностные отношения производ- производными, получим а' = -каЪ + а, У = каЪ. C0) Таковы дифференциальные уравнения, описывающие реакцию. ? 27. Свести решение уравнений C0) к уравнению Бернулли и по- получить выражения для а и b через их начальные значения. Л Складывая уравнения C0), мы получим (а + Ъ)' = а. Отсюда а + b = at + С, где С — неизвестная пока постоянная. А тогда Ъ' = = — kb2 + kb(at + С). Таким образом, концентрация b удовлетворяет уравнению Бернулли. Пусть заданы начальные концентрации а@) = по, 6@) = Ьо- Имеем тогда С = ао + Ьо и, следовательно, Ь' = — kb2 + kb(at + ао + Ьо)- Вводя z = т, решаем это уравнение и получаем Величина a(t) выражается через Ь(?) из соотношения a(t) = at + ao + + bo-b(t). ? 28. Путем подбора частного решения свести к уравнению Бернул- Бернулли следующее уравнение Риккати: т/ — 2ху + г/2 = 5 — ж2, и получить все его решения. Л При подборе частного решения следует ориентироваться на вид свободного члена и коэффициентов уравнения. В данном случае естественно попытаться искать частное решение в виде у\ = ах + Ь. Подставляем у\ в уравнение и приравниваем коэффициенты, стоящие при 1, ж, ж2 в его левой и правой частях. Получим три уравнения: a + b2 = 5, afr — 6 = 0, — 2a + a2 = — 1, из которых находим (достаточно найти какое-то одно решение) а = 1, b = 2. Итак, г/i = ж + 2. Полагаем теперь z = у — х — 2и получаем уравнение Бернулли z' + 4z + z2 =0.
40 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка [Гл. 1 Его решение: z = 0, z = , о, 4 -. Следовательно, у = х + 2, у = х + П Замечание 5. Так как две постоянные а и Ъ должны удовлетво- удовлетворять трем уравнениям, то эти три уравнения (при другом свободном члене вида Ах2 + Вх + С) могут быть и не совместны, т. е. частного решения вида ах + Ъ не существует. Отметим, что универсального способа построения yi, вообще говоря, нет. ? 29. Найти кривые, обладающие следующим свойством: если через любую точку кривой А(х,у) провести касательную, пересекающую ось абсцисс в точке В, то расстояние от точки А до начала координат равно расстоянию от точки В до прямой О А (рис. 17). А Из точки В проведем перпендику- перпендикуляр ВС к прямой О А. Рассмотрим АОАВ. В нем: \OB\ = \OD\ + \DB\ =x + y ctg(OBA) = ух; \AD\ = у, \ОА\ = \ОА\ = \ВС\ (по условию); Рис. 17. AD\ = \\OA\-\BC\ или х'у2— ху-\-х2-\-у2 = 0. Это дифференциальное уравнение Риккати. Как искать частное решение, не ясно. Однако можно заметить, что данное уравнение Рикатти принадлежит к классу однородных уравнений B). Поэтому полагаем и = ^ и получаем уравнение с разделяющимися пе- переменными и'у = — и2 — 1. Его решение у = Се~ агс1§ад. Следовательно, , X s-« — arctg — гп семейство искомых кривых у = Се у . U 30. В сосуде имеется в растворе некоторое вещество А, концен- концентрация которого равна а. Происходит уменьшение концентрации это- этого вещества под действием двух факторов: 1) вещество разлагается (например, под действием света); 2) вещество разрушается при столк- столкновении двух его молекул. Одновременно происходит увеличение ко- количества вещества А за счет добавления раствора из другого сосуда, описанного в задаче 7, в котором концентрация вещества А равна по > а. Составить дифференциальное уравнение, описывающее закон изменения концентрации а вещества А.
§ 2] Элементарные методы интегрирования 41 Л В первом из указанных процессов убыли вещества А его концен- концентрация а убывает за единицу времени пропорционально самой концен- концентрации: (Aa)i = —kaAt. За счет второго процесса убыль концентра- концентрации пропорциональна а2, т.е. (Аа)г = — aa2At. Наконец, изменение концентрации (Аа)з за счет добавления раствора из другого сосуда подсчитаем следующим образом. Имеем a = Ш, где V — объем рас- раствора, т — количество вещества А. Поэтому (Аа)з = ш ~2Ш , где Am = a0AV, т. е. (АаK = a°~aAV. При этом AV = 2irr^/2ghAt, а V = Vo + 2пгл/2дН dt, где /г — известная функция ?, полученная о в задаче 7, Vo — первоначальный объем раствора. Итак, (Аа)з имеет вид /л ч / \ 2irr^/2ghAt (АаK = (а0 - а) ^-^ , а искомое уравнение таково: где /(t) = 't • Это уравнение Риккати. П Vo + \2irr^2ghdt о 4°. Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирую- Интегрирующий мноснсителъ. 31. Проинтегрировать уравнение е~у dx — Bу + хе~у) dy = 0. А Уравнение имеет вид A9), где М = е-», N = -2у - хе-У, Ш- = -е"" = Щ, т.е. условие B1) выполнено. Имеем ^- = е~у. Квадратура по пе- переменной ж (г/ считается постоянной) дает U(x,y) = же~у + (р(у), где у?(у) — пока неизвестная функция, которую определим, зная ^-, а именно: ^Ш- = N = —2у — хе~у = —же~у+ ^/(?/), у?' = —22/. Тогда 9? = = —г/2 + С Выберем С = 0 и тогда С/(ж, г/) = же~у — у2. Следовательно (см. B0)), семейство решений имеет вид хе~у — у2 = С. Молено воспользоваться и формулой B2), в которой удобно по- положить хо = 2/о = 0^ а интегрирование вести по ломаной линии, состоящей из горизонтального прямолинейного отрезка от точки @, 0) до точки (ж, 0) и далее вертикального прямолинейного отрезка от
42 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка [Гл. 1 точки (х,0) до точки (х,у): (х,у) х у U(x, у) = [ е~у dx - Bу + хе~у) dy = \ dx - \Bу + хе~у) dy = @,0) о о = х — {у2 — хе~у)\у) = х — у2 + же~у — ж = же~у — г/2. П 32. Найти интегрирующие множители для уравнений B), E). Л Уравнение A) из раздела 1, очевидно, является уравнением в полных дифференциалах. Поэтому интегрирующим множителем для уравнения B) является, в частности, множитель, приводящий уравнение B) к виду A). Таким образом, для уравнения B) инте- г 1 грирующии множитель можно выбрать в виде /л = Для однородного уравнения E) интегрирующий множитель мож- можно взять в виде /i = Р—7—тут 7— ч -, , потому что при m+1 M(l^) iV( 1^)^1 Р—7—тут 7— ч -, xm+1 M(l,^) +iV( 1,^)^1 L V х/ V х/ xJ умнож:ении на этот множ:итель, как видно из F), уравнение сводится к уравнению в полных дифференциалах в переменных ж, и = ^. ? 33. Проинтегрировать уравнение xdx + (ж2 + г/2 + г/) cfa/. Л Так как ^^ т^ ^^5 то уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Будем искать интегрирующий множитель в виде /л = /л(у). Тогда согласно B7) имеем -J- = 2\i и, следо- следовательно, /л = Се2у (достаточно взять одно из решений /л = е2у). Домнож:ив на найденный множитель исходное уравнение, получим уравнение в полных дифференциалах хе2у dx + [х2 -\-у2 + г/)е2у dy = О, семейство решений которого найдем, как в задаче 31. Оно имеет вид {х2+у2)е2у = С. ? Замечание 6. Рекомендуется не пользоваться формулой B7), а проделать выкладки, приводящие к B7) в конкретной форме (см. рекомендации к задаче 16): fi{y)x dx + /а(у)(х2 -\- у2 -\- у) dy = О, &/** - ш^х2 + у2 + »)• *t - №, | = 2м. ? 34. Проинтегрировать уравнение с^г + A — е~ху) dy = 0. Л Уравнение не является уравнением в полных дифференциалах. Будем искать интегрирующий множитель в виде /i = /i(cj), где ио = = х-\-у. Тогда согласно B7) (опять-таки выкладки, приводящие к B7),
§ 2 ] Элементарные методы интегрирования 43 лучше проделать непосредственно) -j- = /i, fi = Сеи. Выберем С = 1. Умножив на \i = еш исходное уравнение, получим уравнение в полных дифференциалах, решая которое найдем ех+у + (у — 1)еу = С. ? 35. Проинтегрировать уравнение (#2/ + у4) dx + (ж2 — жу3) dy = 0. C1) Л Продемонстрируем на этом примере, как можно использовать для нахождения интегрирующего множителя формулу B5). Предста- Представим левую часть уравнения в виде суммы двух слагаемых (ху dx + + х2 dy) + (у4 dx — ху3 dy) = А -\- В, для каждого из которых легко разыскать интегрирующий множитель (может быть, просто непосред- непосредственно увидеть). В данном случае для выражения А = ху dx + x2 dy интегрирующим множителем является, очевидно, fi± = ^ и ^А = = у dx + х dy = dui, где г/i = ху. Для выражения В = у4 dx — ху3 dy -1 -1 /i# ft Hf* Hf* fjll интегрирующим множителем является а2 = Л- и -\В = « = 2/2/ 2/ = dii2, где г/2 = |. Чтобы решить уравнение C1), надо найти одинаковый множитель А^общ для А и В. Для этого воспользуемся формулой B5) и запишем равенство /лобщ = hf(xy) — ^^(fl)- Выралсая х и у через и± и и2, имеем отсюда u^j[ui) = i^2^(^2j- Этому уравнению легко удовле- удовлетворить, положив /(г/i) = -\, р(и2) = -^-. Тогда //общ = ^Л" = = Л-i. При умнож:ении на этот множитель уравнение C1) перейдет У и2 в уравнение -\ du\ + -\ du2 = 0. Следовательно, —^ i-^- = Ci и 1 1 17^ окончательно ^т + «"^ = ^- Сюда надо приписать решения г/ = 0 и ж = 0, потерянные при делении на ж и у. ? 36. Решить описанным в задаче 35 способом уравнение y2(ydx — 2xdy) = x3(xdy — 2ydx). Л Имеем (?/3 dx - 2ху2 dy) + Bж3?/ da; - ж4 dy) = 0, »2/ 2/ х у r/r\ _1 2 /Т2\ 8 _4 Отсюда /Ит — х 32/3> ^(^т) = %3У 3 (такое решение трудно \у / V 2/ У усмотреть непосредственно; поэтому рекомендуется искать / в виде
44 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка [Гл. 1 / = -Щу—, ю = ^-5- и тогда а = —-k, /3 = $ определятся из линейной У УР 6 6 системы уравнений). Имеем далее dUle~^Ul + du2etu* = О, -4e"iMl + etM2 = С C2) и, окончательно, — 4т/2 +ж3 = G \/жг/4. Сюда надо приписать потерян- потерянные решения х = 0 л у = 0. ? Замечание 7. При нахождении C2) был опущен знак модуля в выражениях для логарифма, т. е. фактически все проделано для х > 0, у > 0. Аналогичные выкладки в остальных квадрантах (на- (например, для х < 0, у > 0, когда и\ = lnf — -^-J, и2 = lnf %-))> как нетрудно проверить, дают то же самое выражение для решения. ? 3. Задачи для самостоятельного решения 1.2.1. Проинтегрировать уравнение у2 = у'уех + 1. 1.2.2. Решить начальную задачу dy — у dx = Bж — 3) dx, y(l) = 1. 1.2.3. Проверить, что уравнение, полученное в задаче 5, остается тем же самым, если точка А лежит в любом квадранте. 1.2.4. Найти кривые, обладающие свойством: если через любую точку кривой провести прямые, параллельные осям координат, до встречи с этими осями, то площадь полученного прямоугольника де- делится кривой в соотношении 1:2. 1.2.5. Решить задачу 6 раздела 2, если сила сопротивления воздуха квадратично зависит от скорости: Fc = —f3w (v = |v|). 1.2.6. Проинтегрировать уравнение у' = sin 2(у + х) — 1. 1.2.7. Проинтегрировать уравнение 2x3yf = уBх2 — у2). 1.2.8. Проинтегрировать уравнение (х — у) dx + (х + у) dy. 1.2.9. Проинтегрировать уравнение (у — х + 2)yf + х — у — 1 = 0. 1.2.10. При каких а и /3 уравнение у' = аха + Ъу& приводится к однородному? 1.2.11. Найти кривую, у которой расстояние от начала координат до касательной равно абсциссе точки касания. 1.2.12. Получить решение уравнения из задачи 16 раздела 2, поль- пользуясь формулой A5) и подбирая частное решение в виде многочлена. 1.2.13. Проинтегрировать уравнение у sin x + у' cos x = 1. 1.2.14. Проинтегрировать уравнение у + у'In2 у = {х + 2ylny)yf. 1.2.15. Проинтегрировать уравнение х(еу — у') = 2. 1.2.16. Из двух сосудов, каждый емкостью в 10 л, один содержит 0,3 кг растворенной соли, а другой наполнен чистой водой. Начиная с некоторого момента, происходит следующий процесс. В первый со- сосуд поступает чистая вода со скоростью 2 л/мин. Из первого сосуда раствор с той же скоростью 2 л/мин перекачивается во второй сосуд.
§ 2 ] Элементарные методы интегрирования 45 Из второго сосуда раствор вытекает опять-таки с той же скоростью 2 л/мин. Перемешивание происходит мгновенно. Составить уравне- уравнение, описывающее процесс. Сколько соли будет во втором сосуде через t минут? При каком t во втором сосуде будет максимальное количество соли и чему оно равно? 1.2.17. В цепь, описанную в задаче 21, включили вместо катушки конденсатор емкости С. Написать и решить уравнение для силы тока / при начальном условии /@) = /о- 1.2.18. Проинтегрировать уравнение ху dy — (у2 + х) dx = 0. 1.2.19. Проинтегрировать уравнение Bх2у1пу — х)у' = у. 1.2.20. Капля воды движется в поле тяжести в среде, в которой за счет конденсации происходит увеличение массы капли по закону dm = = Av dt, где А = const > 0, v — абсолютная величина скорости капли. Найти скорость капли в зависимости от массы, если в начальный момент капля была неподвижна, а ее масса равнялась то- 1.2.21. Убедиться, что для уравнения Риккати у' — 2ху + у = 5 — х частного решения вида у\ = ах + Ь не существует. 1.2.22. Путем подбора частного решения свести к уравнению Бер- нулли уравнение Риккати у' + 2уех — у2 = е2х + ех и найти все его решения. 1.2.23. Проинтегрировать уравнение Риккати 1.2.24. Проинтегрировать уравнение в полных дифференциалах Зх2 A + In у) dx=By-^j dy. 1.2.25. Решить начальную задачу 2ху dx = (у2 — х2) dy, y@) = 1. 1.2.26. Найти интегрирующий множитель для линейного уравне- уравнения A0): [Р(х)у + Q(x)]dx — dy = 0. Сравнить решение линейно- линейного уравнения, полученное при помощи интегрирующего множителя, с формулой A4). 1.2.27. Проинтегрировать уравнение у' = —х2у — ^\иу. 1.2.28. Проинтегрировать уравнение х2у3 + у + (х3у2 — х)у' = 0 способом, описанным в задаче 35 раздела 2. 1.2.29. Проинтегрировать уравнение (х2 — у) dx + х(у + 1) dy = 0 способом, описанным в задаче 35 раздела 2. Ответы 1.2.1. е~х + ^Ы\у2 - 1| = с, у = ±1. 1.2.2. 2х + у - 1 = 2ех~х. 1.2.4. Кривая г/ = ??ж2 (определяется из дифференциального урав- уравнения ху' = 2у) и кривая ж = Су2. 1.2.5. Уравнение имеет вид
46 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка [Гл. 1 = Се~2ж, у = -х + ктг (к е Z). 1.2.7. 1п|ж| = 4 + С, у = 0. у 1.2.8. arctg|+ln у^2 + 2/2 = С. 1.2.9. (г/-ж + 2J + 2ж = С. 1.2.10. а и /3 должны быть связаны условием а — /3 — а/3 = 0. 1.2.11. Указание. При решении задачи удобно пользоваться чертежом, на котором гра- график кривой в первом квадранте имеет отрицательную производную (в отличие от рис. 14). Ответ: х2-\-у2 = Сх. 1.2.13. у = С cos х + sin x. 1.2.14. х = Су+\п2у. 1.2.15. е~у = Сх2+х. 1.2.16. Обозначив через у количество соли в момент t в первом сосуде, а через z — количество соли в момент t во втором сосуде и рассуждая аналогично тому, как в задаче 20 раздела 2, получим следующие уравнения и начальные условия: ^ = -0,2?/, 2/@) = 0,3, ^ = -0,2z + 0,22/, г@) = 0. Через ? минут во втором сосуде будет z = 0,06?e~°'2t кг соли. Максималь- Максимальное количество соли, равное 0,Зе-1 кг, будет во втором сосуде через 5 минут. 1.2.17. Учитывая, что Е = IR + V, V = Q/C, где У — напряжение на обкладках конденсатора, Q — заряд конденсатора, по- получим уравнение — Eqlj sin cot = R%r + -рч- Его решение: / = С$е~ с -\- Н ^j—(Rcoscut- ^ sincut), Со = /0 ^п—. 1.2.18. у2 = = Сж2 — 2х 1.2.19. ху(С — In2 у) = 1. 1.2.20. Воспользовавшись законом Ньютона для капли с переменной массой jjjmv = Р, где Р — сила тяжести, получим для v = |v| уравнение т-Ф^ + v = = -Д, откуда г; = у о/Пш 1)- 1-2.21. Система уравнений для av у ол \ т / определения а и Ъ имеет вид а -\-Ъ2 = 5, —2а + а2 = 0, 2а6 — 2Ь = — 1. Из второго уравнения имеем а(—2 + а) = 0=> а) а = 0^> (из первого уравнения) Ъ = ±у55 а тогда третье уравнение не удовлетворяется. б) а = 2 => (из первого уравнения) 6 = ±уЗ и третье уравнение тоже не удовлетворяется. 1.2.22. у = еж, г/ = еж + ^Л-—. Указание: частное решение следует искать в виде у\ = аех. 1.2.23. ж = Се 1~ху . Указание: уравнение следует решать, сводя к однородному, методом, примененным в задаче 12 раздела 2. 1.2.24. x3lny -\- х3 — у2 = С. 1.2.25. у3 — Зх2у = 1. 1.2.26. /i следует искать в виде /i = /i(x): /i = е~ S p(x)dx. 1.2.27. Axlny -\- x4 = C; /i следует искать в виде /л = /if^j. 1.2.28. у2 = Сж2еж у . (Можно разбить левую часть уравнения на два слагаемых: А = х2у2 dx + ж3г/2 dy, тогда /ii = 3 з •> х у
§ 3 ] Уравнения, не разрешенные относительно производной 47 |; В = ydx-xdy, ц2 = \, и2 = §, /(^i) = e2ui, у?(гг2) = тт^; 2 ^2 ^ie2wi + -^- du2 = О, С?/2 = х2ех у . Сюда надо приписать потерянное решение у = 0 или записать семейство в виде у2 = Сж2еж у , вклю- включающем г/ = 0.) 1.2.29. 1п(^ + 4/1 + ^-)+ лЛс2 + г/2 = С. Сюда надо \J/ у х J приписать потерянное решение х = 0. (Можно разбить левую часть уравнения на два слагаемых: А = —ydx + ж ей/, /ii = —2, г/i = ^; 5 = 3. Уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной 1. Основные понятия и теоремы 1°. Уравнение первого порядка, не разрешенное относительно производной, имеет вид F(x,y,y') = 0, A) где F — заданная функция трех аргументов, последний из которых по традиции обозначается через р: F(x^y^p). Так как F, вообще говоря, нелинейна по р, то уравнение A) при определенных условиях эквивалентно нескольким (и даже бесконеч- бесконечному множеству) уравнений вида y' = fi(x,y) (г = 1,2,...) B) по числу корней уравнения F(x, y^p) = 0 относительно р. Достаточные условия сведения уравнения A) к уравнениям вида B) дает следую- следующая теорема. Теорема 3. Пусть в некотором параллелепипеде с центром в точке (хо,уо,ро) функция F(x,y,p) непрерывна по совокупности переменных вместе с частными производными Ц^-, ^—, причем F(xo,yo,po) =0, а Ц(*о,</о,Ро)/О. C) Тогда на некотором сегменте \х — xq\ ^ H существует единственное решение уравнения A), удовлетворяющее начальному условию у\х=х0 = 2/о, D) производная которого y'\x=XQ =pq.
48 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка [Гл. 1 Подчеркнем, что, как и в случае разрешенного уравнения, хо и у о молено задавать произвольно, аро> т-е- у'\х=х0, произвольно задавать нельзя, поскольку тройка чисел хо, уо, Ро должна удовлетворять уравнению F(xo,yo,Po) = 0. Теорема выделяет из уравнения A) одно из уравнений типа B), для кото- которого /(жо,2/о) = Р°' Если существует еще тройка чисел (xo,yo,pi), удовлетво- удовлетворяющая условиям теоремы (с заменой ро на pi), то выделится еще одно уравнение типа B), содержащееся в A). И так далее. Ввиду того, что уравнение A) заключает .гИС. 1о. ^ и /г»\ в себе несколько уравнении типа B), гео- геометрическая картина семейства интегральных кривых уравнения A) является наложением картин, представленных на рис. 4. На рис. 18 изображен случай, когда A) эквивалентно двум уравнениям типа B). Обратим внимание на то, что кривые на рис. 18 в силу условия ^—(xo,yo,pi) ф 0 пересекают друг друга без касания. Нарушение этого условия приводит к некоторым особенностям семейства инте- интегральных кривых уравнения A), о которых будет идти речь ниже в пункте 3°. 2°. Если функции /г (ж, у) в B) удается найти в явном виде (напри- (например, в случае квадратичной зависимости F от р), то к каждому из по- полученных уравнений можно попытаться применять методы решения, описанные в § 2. Однако это возможно лишь в исключительных случа- случаях. Когда уравнение F(x, y,p) = 0 невозможно эффективно разрешить относительно р (или даже когда это возможно, но соответствующие формулы очень громоздки), часто помогает так называемый метод введения параметра. Рассмотрим уравнение F(x,y,p) = 0 как уравнение поверхности в пространстве (х,у,р) (мы пока не учитываем, что Р — тгЧ • Известно, что уравнение поверхности в трехмерном пространстве может быть записано в параметрической форме x = X(u,v), y = Y(u,v), p = P(u,v). E) Будем считать, что функции X, У, Р удалось выписать в виде эффек- эффективных формул. Если теперь учесть, что р = -р, то подставляя в это соотношение ей/, dx ир, выраженные из E), получим дифференциаль- дифференциальное уравнение в переменных или, причем оно будет относиться к типу уравнений, разрешенных относительно производной 4^ (или Щ^-):
§ 3 ] Уравнения, не разрешенные относительно производной 49 Если семейство решений уравнения F) имеет вид v = ip(u,C), то подставляя это в первые два уравнения E), получим х = Х(и,<р(и,С)), y = Y(u,<p(u,C)). G) Это семейство решений в исходных переменных хну, причем это семейство оказалось заданным в параметрической форме. Отметим несколько случаев, когда интегрирование уравнения F) сводится к квадратурам. 1*. Пусть F = F(x,p). Уравнение F(x,p) = 0 имеет параметри- параметрическую форму х = Х{и), р = Р(и). Вторым параметром и можно считать у. Уравнение F) сводится к соотношению dy = Р(и)Х'(и) du, а семейство G) имеет вид х = Х(и), у = J P(u)X'(u) du + С. (8) 2*. Пусть F = F(y,p). Тогда у = Y(u),p = P{u),Y'{u) du = P{u)dx и семейство решений имеет вид 3*. Пусть уравнение A) имеет вид A0) где (f(yf), ф{у') — известные функции у'. Это уравнение называется уравнением Лагранжа. В этом случае представление E) получим, беря х в качестве и, ар-в качестве v: х = х, у = (р(р)х + ф(р), р=р. A1) Уравнение F) -p)dx + У(р)х + ф'(р)] dp = O A2) оказывается линейным относительно х как функции р. Решая A2), находим х = Х(р, С), и решение A0) получаем в виде х = Х(р,С), у = ф)Х(р,С) + ф(р). Замечание 1. Уравнение A2) проще получить, записывая A0) в виде у = (р(р)х + ф(р), дифференцируя и учитывая, что dy = pdx: pdx = (f(p) dx -\-[ipf(p)x + ф1\p)]dp. ? 4*. Пусть в A0) <p(yf) = у1', т.е. уравнение имеет вид у = у'х + ф(у') A3) и называется уравнением Клеро. Уравнение A2) сводится к уравнению [x + tl>'(p)]dp = 0. A4)
50 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка [Гл. 1 Отсюда dp = 0, р = С и, следовательно, семейство решений имеет вид A5) Но есть и другая возможность удовлетворить A4), а именно: х = —ф'(р). Это дает уже не семейство, а одну параметрически за- заданную кривую х = -ф'(р), у = -рф'(р) + ф(р), A6) которая тоже является решением уравнения A3). 3°. р- и С-дискриминантные кривые. Особые решения. Определим кривую у = Yp(x) исключением р из следующих соот- соотношений F(x, у,р) = 0, Fp(x, y,p) = 0. A7) Эта кривая называется р-дискриминантной кривой. В точках р-дис- криминантной кривой нарушается условие C) теоремы 3, и кривые, изображенные на рис. 18, касаются друг друга. На рис. 19 представле- представлены характерные ситуации: р-дискриминантная кривая является гео- геометрическим местом точек заострения (рис. 19а) или точек взаимного касания кривых семейства (рис. 196^) [17]. У=Ур(х) Рис. 19. Может случиться, что р-дискриминантная кривая сама является решением уравнения A). В точках графика этого решения нарушается условие C), и такое решение "не улавливается" теоремой 3. Оно назы- называется особым решением. Определение особого решения (независимо от р-дискриминантной кривой) можно дать так: особое решение урав- уравнения A) — это такое решение, в точках графика которого нарушается условие C). По причине нарушения условия C) в точках графи- графика особого решения имеет место касание этого графика с кривыми семейства, изображенное на рис. 20. Осо- Особое решение является, таким образом, огибающей семейства интегральных кри- кривых (определение огибающей см. [6]). Имеет место и обратное утверждение: огибающая семейства интегральных кри- рис 20 вых является особым решением.
§ 3] Уравнения, не разрешенные относительно производной 51 Отсюда следует, что особое решение можно находить по прави- правилу построения огибающей, если известно уравнение Ф(ж,т/,С) = О семейства интегральных кривых. Это правило (см. [6]) состоит в следующем. Найдем кривую у = Yc{x) исключением из уравнений Ф(х,у,С) = 0, Фс(х,у,С) = 0 A8) (это правило совершенно аналогично правилу нахождения у = Yp(x), только в этом участвует не F, а Ф). Кривая у = Yc(x) называется С-дискриминантной кривой. Эта кривая является огибающей, т. е. особым решением, если в ее точках выполнено условие Ф2Х + Ф2у ф 0. A9) Следует отметить, что нахождение особого решения при помощи р- дискриминантной кривой имеет то преимущество, что для этого нуж- нужно только само уравнение и не требуется знать семейства его решений. У=Ус(х) Рис. 21. В случае, если условие A9) не выполнено, С-дискриминантная кривая является геометрическим местом узловых точек (рис. 21а) или (предельный случай узловых точек) геометрическим местом точек заострения (рис. 216'). Как р-, так и С-дискриминантная кривая содержат огибающую и геометрическое место точек заострения. Что касается узловых точек, то они не входят в р-дискриминантную кривую, так как кривые семей- семейства проходят через узловые точки с разными касательными. Напро- Напротив, точки касания (рис. 196), входя в р-дискриминантную кривую, не входят в С-дискриминантную кривую, так как соприкасающиеся кривые являются "далекими" друг от друга по параметру С. Таким образом, р- и С-дискриминантные кривые служат для вы- выявления особенностей семейства интегральных кривых уравнения A). 2. Примеры решения задач В задачах 1-5 найти семейство решений и частное решение, не входящее в семейство, если таковое существует.
52 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка [Гл. 1 Л Введем параметр следующим образом (см. раздел I, пункт 2, случай 2*) у = siniz, р = cos и. Имеем dy = pdx, dx = -jf- = co^o^u = = du. Следовательно, х = и + С, а значит, у = sin(x — С). Это и есть искомое семейство. Кроме того, при сокращении на cos и могли потеряться решения, отвечающие cos и = 0и имеющие вид у = sin и = = ±1. Итак, окончательно, у = sm(x — С), у = ±1. ? 2. жг/2 - 2уу' + 4ж = 0. Л Семейство решений найдем, как указано в разделе I (пункт 2, случай 3*, замечание 1), поскольку заданное уравнение есть уравнение Лагранжа. Имеем у = hxy' + 2-^-, откуда 2|, B0) ,2 Vj Отсюда получаем а) ^г = -^-, р = Сх, у = ^х2 + ^. Это семейство решений (семейство парабол), б) р2 = 4, р = ±2, ?/ = ±х ± х = ±2х. Итак, у = у ж2 + %•> У = =Ь2ж. П Замечание 2. Необходимо обратить внимание на одну распро- распространенную ошибку. При разборе случая а), получив р = Сх, считают далее у' = Сх и, следовательно, у = ^ж2 + Ci. А между тем согласно описанному выше правилу надо выражение р = Сх подставить в B0). Неправильно полученное семейство является двупараметрическим, чего не может быть для уравнения первого порядка. (Можно, конечно, связать С\ и С подстановкой у = ^-х2 + С\ в исходное уравнение, и тогда получится правильное решение, но такой способ решения явля- является неоправданно длинным.) Аналогичную ошибку можно сделать и в случае б). ? о т 7/_ 4/2 8 /3 **• х — У — §У — 27У %у' Л Это снова уравнение Лагранжа: у = х — %у' + -}Ly' . Имеем pdx = с/ж — \ipdp + ^Зр2 ф, с/ж(р — 1) = |рф(р — 1). Отсюда:
§ 3 ] Уравнения, не разрешенные относительно производной 53 a) dx = %pdp, х = §р2 + С и семейство решений представляет- представляется параметрически в виде х = %р2 + С, у = ip2 + С — %р2 + ^р3 = = C-\--MjP3. Молено, однако, исключить р и получить семейство в форме (р(х, у, С) = 0, а именно, (х — СK = (у — СJ. б)р = 1,у = х-± + $г=х-±. Итак, (х - СK = (у- СJ, у = х-±. D 4. у'2[(х - уJ - 1] - 2у> + [(х - уJ - 1] = 0. Л Имеем у — х = ± . , откуда pdx — dx = ±-4*- , dp, т. е. V/2 + 1 rfp 2 + 1 dx(p - 1) = ±- ^7^- dp. Отсюда: A+p ) ' Квадратуру удобно провести, делая замену переменныхр = tgt. Тогда dx = =p cos tdt, x — С = =F sin t, у = CTsin^i )gt+1 = CfTsin^±cos^(tg^ + 1) = ±cos?. V1 + tg21 Окончательно семейство репгений имеет вид (у — СJ -\- (х — СJ = 1. Полученные в а) функции тоже являются решениями, не входя- входящими в семейство. ? 5. Bху' - уJ - 4ж3 = 0. А Заметим с самого начала, что уравнение имеет смысл при х ^ 0. Это уравнение удобно решать не методом введения параметра, а разрешая его непосредственно относительно у': у ~ 2х±х • Это — пара линейных уравнений. Решая их, как описано в § 2, получим у = ±фс(х ± С), или у2 = х(х + СJ. ? 6. Убедиться, что решение A6) уравнения Клеро A3) особое и яв- является огибающей семейства A5). Л Согласно A8) получим из A5) у = Сх-\-ф(С), 0 = х-\-ф'(С), что отличается от A6) только обозначением параметра, через который представлена кривая. Таким образом, A6) есть С-дискриминантная кривая. Так как при этом Фу = 1 ф 0, то эта кривая является огибающей семейства A5), т.е. особым решением уравнения A3). ?
54 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка [Гл. 1 В следующих задачах 7-10 исследовать особенности семейства ин- интегральных кривых, пользуясь р- и С-дискриминантными кривыми. Иллюстрировать чертежом. 7. Исследовать семейство интегральных кривых в задаче 1. Л Найдем Yp. Имеем р2 + у2 = 1, 2р = 0. Отсюда р = 0, у2 = 1, у = = ±1, т. е. р-дискриминантная кривая состоит из двух параллельных прямых. Так как у = 1 и у = — 1 удовлетворяют уравнению, то это — особые решения и огибающие семейства у = sin(x — С), полученного в задаче 1 (рис. 22). Тот же результат получаем, используя Yc. Имеем у — sin(x - С) = 0, cos(x - С) = 0. Отсюда sin(x - С) = ±1, т. е. у = ±1. Так как Ф^ = 1 ^ 0, то у = ±1 являются огибающими, т. е. особыми решениями. Заметим, что в данном случае р- и С-дискриминантные кривые совпадают. ? гх-у/1 Рис. 23. 8. Исследовать семейство интегральных кривых в задаче 3. Л Найдем Yp. Имеем у = х — %р2 + Дф3, 0 = — \р + |р2. Следова- Следовательно: а)р = 1, у = х — А, б)р = О, у = х. Итак, р-дискриминантная кривая распадается на две: а) ?/ = ж — 27. Выше (см. задачу 3) мы видели, что это решение ис- исходного уравнения и, таким образом, оно является особым решением. б) у = х. Эта функция решением не является, что можно непо- непосредственно проверить. Найдем теперь Yc. Имеем (см. задачу 3) (х - СK = (у - СJ, 3(х - СJ = 2B/ - С). Отсюда 2(х - С) = 3(у - С), С = Зу - 2х, (Зх - ЗуK = Bх - 2уJ или 27(ж - уK = 4(ж - г/J. Следовательно, а) 27(ж - у) = 4, т. е. у = х - ^, б) ж — г/ = 0, т. е. у = х. В случае а) имеем Фу = 2{у — С) = 4(ж — у) = й /Ои приходим к тому же выводу, который получен при помощи Yp, т.е. к тому, что
§3] Уравнения, не разрешенные относительно производной 55 у = х — ikj — особое решение (огибающая). Для случая б) имеем Фу = = 0 и точно так лее Фх = 0. Учитывая, что прямая у = х содержалась также в р-дискриминантной кривой, приходим к выводу, что у = х является геометрическим местом точек заострения (рис. 23). ? 9. Исследовать семейство интегральных кривых в задаче 4. Л Найдем Yp. Имеемр2[(х-уJ-1]-2р+[(х-уJ-1] = 0, 2р[(х-уJ- - 1] - 2 = 0- Отсюдар= _ 1 [(х-уJ-1]2 = 1^ъ)х-у = 0, [х у) 1 б) х — у = ±\/2. Функция у = х ± л/2 удовлетворяет уравнению, а 1/ = жне удовлетворяет. Найдем теперь Yc. Имеем (ж-СJ + (г/-СJ = 1, 2(ж-С) + 2B/-С) = = 0. Следовательно, С = i(# + ?/), (х — уJ = 2, ?/ = ж ± л/2- При этом Фу = 2(у — С) = у-х = ±л/2 / 0. Таким образом, у = х±л/2 является особым решением (огибающей). Заметим, что г/ = ж ± у2 содерж:ится такж:е в р-дискриминантной кривой. Что касается кривой у = ж, то она, являясь частью р- дискриминантной кривой, в С-дискриминантной кривой не со- содержится. Следовательно, это геометрическое место точек касания (рис. 24). ? У> Рис. 24. Рис. 25. 10. Исследовать семейство интегральных кривых уравнения Bxyf — уJ — 4ж3 = 0 в задаче 5. Л Найдем Yp. Имеем Bхр - уJ - 4ж3 = 0, 2Bхр - у) • 2х = 0. Следовательно, р = ^-, х = 0. Таким образом, р-дискриминантной кривой типа у = Yp(x) не имеется. Найдем Yc. Имеем у2 = х(х + СJ, 0 = 2ж(ж + С). Следовательно, 2 у=о = 2г/|у=о = 0, + С)](с7=-Ж) = 0. Прямая у = 0, таким г/2 = 0, т. е. у = 0. При этом фж| у=0 = [(ж + СJ +
56 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка [Гл. 1 образом, не является огибающей и в то же время не входит в р- дискриминантную кривую. Следовательно, это геометрическое место узловых точек (рис. 25). ? 11. Найти кривую, каждая касательная к которой образует с ося- осями координат треугольник площади 2а2. Л Задачи подобного типа, т. е. такие, где нужно найти кри- кривую по свойству ее касательных, удобно решать, пользуясь р- дискриминантной кривой. Пусть xq, i/q — координаты точки касания, у§ — тангенс угла наклона касательной. Отрезок оси у от 0 до пересечения с касательной имеет длину |т/о — 2/ожо|- Точно так же отрезок оси ж от 0 до точки пересечения с касательной имеет длину . По условию задачи 2а = 7}\уо—Уо%о\ xq — Щ-. Домножая на 2\у'0\ и опуская индекс "О" А Уо 2/о? У®, приходим к уравнению семейства кривых, огибающая которого будет давать решение поставленной задачи: 'J 4а2\у'\ = (у - ху' Найдем Yp. Имеем 4а2р = ±(у — хрJ, 4а2 = Т2х(у — хр). Отсюда р = ±(у ± ^-), Щ-(у =Ь ^-) = =Ь^-. Следовательно, у = ±^- или ^ ^ ^ ^ х 2 #2/ — =Ьа . Непосредственно убеж:даемся, что у = ±^- является реше- решением полученного выше дифференциального уравнения, т. е. является огибающей. Итак, искомая кривая ху = ±а2 (пара гипербол). ? 3. Задачи для самостоятельного решения В задачах 1.3.1-1.3.7 найти семейство решений и частное решение, не входящее в семейство, если оно существует. 1.3.1. х = y'yVJ + I- 1.3.2. е-У'у - у' + 1 = 0. 1.3.3. ху' -у — Ыу'. 1.3.4. 2ху' -у = sin(y')- 1.3.5. у = 2ху' + у2{у'K. (у у)у 1.3.7. у(у - 2xy'f = (у1J. 1.3.8. Доказать, что у = 1 + Ых является особым решением урав- уравнения из задачи 3 раздела 2. Построить чертеж:. 1.3.9. Доказать, что решения у = ± J— являются особыми реше- л/27ж ниями уравнения в задаче 7. Построить чертеж:.
§ 3 ] Уравнения, не разрешенные относительно производной 57 1.3.10. Решить уравнение 9y2yf = 4?/ — 2. Пользуясь р- и С- дискриминантными кривыми, исследовать семейство интегральных кривых. 1.3.11. Найти кривую, у которой длина отрезка касательной, за- заключенного между осями координат, имеет постоянную величину а. В задачах 1.3.12-1.3.29 уравнения разных типов даны вперемешку, чтобы научиться определять тип уравнения и нужный метод решения. 1.3.12. Bх - 4у + 6) dx + (х + у - 3) dy = 0. 1.3.13. у = 3xyf - 7{y'f. 1.3.14. X dx - X d2/ = °- У У 1.3.16. у = ху' -х2(у'K. ±.о.±/. у ух — \/у х -+¦ 1.3.18. ху' 1.3.19. 2у 1.3.20. 1.3.21. у' = х 1.3.22. ydx-xdy = 2x3tg^i L3-23- ^ = ^7- 1.3.24. j/ = у'у/1 + {у'J. 1.3.26. (sin2 у Ч- ж ctg у)?/7 = 1. 1.3.27. 2(УK - 3(УJ + ж = у. 1.3.28. x2yf = у{х + у). 1.3.29. A + ?/2sin2x)dx - 2у cos2 xdy = 0. Ответы 1.3.1. ж = /^ТТ ^? = Сх-ЫС(С>0),у = 1 = psmp + cosp + С, ру = psmp + 2cosp + 2С. 1.3.5. г/2 = Gж + id72, 32ж3 = — 27г/4. Указание: домножить уравнение на г/ и сделать замену z = у2. 1.3.6. х(С — у) = С2, х = 4г/. Указание: свести уравнение к двум уравнениям Лагранжа. 1.3.7. у2 = 2С3х + С2, 27х2у2 = 1. Указание: использовать тот же прием, что и в задаче 5. 1.3.8. Fy/ = = х—^- =0 при у = 1 + 1пж. Чертеж: приведен на рис. 26. 1.3.9. Fy/ = = —6ху(у — 2ху'J — 2у' = 0 при у = ± ,— . Чертеж: приведен на л/27х рис. 27. 1.3.10. (у + 1J(у - 1) = (а; + СJ, у = 1. Указание: удоб- удобно, как в задаче 5 раздела 2, разрешить уравнение относительно у'.
58 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка [Гл. 1 у = -1 Рис. 26. р-дискриминантная кривая: а) у = 0, б) у = i, С-дискриминантная кривая: а) т/ = ^, б) т/ = — 1; 2/ = ^ — особое решение (огибающая), г/ = = — 1 — геометрическое место узловых точек, ?/ = 0 — геометрическое место точек касания. 1.3.11. Задача решается по принципу задачи 11 раздела 2. Используя теорему Пифагора, приходим к уравнению Кле- роу = ху'± — =, особое решение которого даст искомую кривую v/l + fe'J (f J/3 + (IJ/3 = ! (астроида). 1.3.12. (j/ - 2хK = С(у - х - IJ; 2/ = х + 1. 1.3.13. ж = (З//2 + С)р-3/2, 2/ = 3C//2 + С)^-1/2 - 7р3; у = 0. 1.3.14. ж + ^ + | = С. 1.3.15. {у-1Jх = у - 1пСу; у = 0; 2/ = 1. 1.3.16. хр2 = С^\-1,у = хр-х2р3;у = 0. 1.3.17. ^у^х~- — фс = С, у = х. 1.3.18. у = х -\ ^-^5 У = ж- 1.3.19. х2уЫСу = 1; 2/ = 0. 1.3.20. 22/ = 2С(ж-1) + С2, 22/ = -(ж - IJ. 1.3.21. 4ж + у - -3 = 2tgBa; +С). 1.3.22. sin | = Се~х\ 1.3.23. х = Су3+ у2; у = 0. 1.3.25. sin(y-2x) -2 cos(y-2x) = Cex+2y. 1.3.26. х = (С- cosy) sin?/. 1.3.27. 40-СK = 27{у-СJ; у = х-1. 1.3.28. у-ЫСх = -х;у = 0. 1.3.29. ж-?/2 cos2 х = С. § 4. Зависимость решения от параметров 1. Основные понятия и теоремы Обратимся вновь к задаче G) из § 1. Пусть правая часть в G) зависит не только от ж и у, но содержит еще некоторую величину //, которая при интегрировании уравнения считается постоянной (неза- (независимую переменную х мы будем в интересах дальнейшего обозначать
§ 4 ] Зависимость решения от параметров 59 через t, индекс у начального значения у напишем сверху): § = Ж?/,м), A) y\t=t0 = У0- B) Если \i меняется, то мы имеем не одно уравнение, а семейство уравнений, в котором величина \i является параметром. Решение задачи A), B), таким образом, зависит не только от t, но и от /i. Более того, решение зависит как от параметров, так и от to и у0: y(t, /i, to, y°). Может быть также несколько входящих в уравнение параметров: § = /(*,!/, Mi,..., А**), C) y\t=t0 = У0- D) Например, в задаче 21 раздела 2 из § 2 в уравнении B8) параметрами являются L, R и Eq. Заменой переменных t — to = ?, у — у0 = rj можно параметры to, y° перевести в разряд параметров /ii,..., где to = №+ъ У° — d| = /(? + *о, *7 + 2/°, Mi,.. ^k=o = 0. Поэтому можно в задаче A), B) или C), D) исследовать лишь зави- зависимость от /ii,..., //&, считая to и ?/о фиксированными числами. Рассмотрим задачу A), B), где to, у0 — фиксированные числа. Теорема 4 (о непрерывной зависимости решения от па- параметра). Пусть /(t, 2/,//) непрерывна по совокупности аргументов в области G = {\t — to| ^ а; 12/ — 2/о| ^ Ъ, \/i — /io\ ^ С} и удовлетворяет условию Липшица i,/х) - /(?,2/2,^I ^ ^|2/1 - 2/21, г^е L = const7 (t,z/i,/iO (?, 2/2?аО "~ любые две точки, принадлежа- принадлежащие G. Тогда на сегменте \t—to\^H, Н=тт[а, -гт), M=sup|/| cy- \ м j G ществует семейство решений y(t,/i) задачи A) (/i — параметр се- семейства), причем функция непрерывна по совокупности аргументов при \{i — /io| ^ С, |t — to| ^ Н. Замечание 1. Аналогичная теорема имеет место в случае нескольких параметров /ii,..., /i/.. ?
60 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка [Гл. 1 Замечание 2. Как следствие теоремы 4 можно утверждать непрерывную зависимость y(t, ц) относительно \± в любой точке \ \ сегмента /jl — /jlq \/ /\ С, равномерную относительно t на сегменте — to\ ^ Н, т.е. для всех \t — to\ ^ Н имеет место неравенство \y(t,/ji + + A/i) —y(t,fi)\ ^ ?, если |A/i| < S(e), что означает геометрически, что данная кривая y(t, fi + A/i) находится в ^-окрестности кривой y(t,fi) на всем сегменте t-to\^H (рис. 28). ? т Рис. 28. 2. Примеры решения задач 1. Рассмотрим начальную задачу для линейного уравнения, зави- зависящего от параметра /i: ), E) F) y\t=o = У°- Пусть P(t,/i), Q(t, fi) непрерывны по совокупности аргументов в об- области G = {0 ^ t ^ Т, \/л — /io| ^ С}- Убедиться, пользуясь явным представлением для решения y(t,fi), что функция y(t,fi) непрерывна по совокупности переменных ?, \i в области G. Величина ?/0 считается фиксированной. Л По формуле A6) § 2 у О G) Согласно известным теоремам анализа о непрерывности интегралов (квадратур) от входящих в подынтегральное выражение параметров t и от пределов интегрирования, заключаем, что интеграл P(t, fi) dt т непрерывен при 0 ^ t ^ Т, 0 ^ г ^ ^, \/i — /iq\ ^ С, следовательно,
§ 4] Зависимость решения от параметров 61 t exp Р(?, ц) dt непрерывна в той же области. Отсюда следует непре- т рывность обоих слагаемых в G), а значит, и самого y(t,fx) в обла- области G. U 2. Пусть в E) Q(t,/i) = 0, а Р от /i не зависит: P(t,/i) = Р(?), причем P(t) непрерывна при t ^ 0; параметром считается у0. а) Доказать, что если P(t) ^ 0, то y(t,y°) непрерывна по у0 равномерно относительно t при t ^ 0. б) Доказать, что если Р(?) ^ а > 0, то утверждение о непрерыв- непрерывности y(t,y°) по у0, равномерной относительно t при t ^ 0, неверно. Л а) Из формулы G) имеем Отсюда Ау = y(t, у0 + Ау°) - y(t, у0) = Ау°е& р« ?. (8) Поэтому, если P(t) ^ 0, то |Аг/| ^ |Аг/°| и, таким образом, |Ат/| < е при |А?/°| < е = 6{е) для всех t ^ 0, что и требуется. Рассуж:даем от противного. Допустим, что имеет место утвержде- утверждение, доказанное в а), т.е. для е > 0 36(е) такое, что \Ау\ < е для всех t ^ 0, если |А?/0| < 5(е). Возьмем |А?/0| = ^5(е). В силу условия t P{i) ^ а > 0 имеем exp P(?) c^t ^ exp(at) и тем самым экспонента о t exp P(t) dt при достаточно большом t становится больше 4|, а тогда о из формулы (8) имеем |А?/| > 4 • 4 • 4 = 2е, что противоречит неравенству |А?/| < е. П Пример показывает, что теорема 4 не распространяется на беско- бесконечный промежуток изменения t и для ее справедливости нужны еще некоторые дополнительные требования специального типа, например, условие на знак P(t), как в случае а). 3. Убедиться, что решение задачи 21 раздела 2 из § 2 при R —>> 0 стремится к решению задачи L^ = Ео cos cjt, I\t=0 = /0 (9) для всех t ^ 0.
62 Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка [Гл. 1 Л Непосредственно из ответа к задаче 21 раздела 2 получаем lim / = /о + j^- sina;?, что действительно является решением задачи (9). ? Обратим внимание на то, что в задаче 21 раздела 2 уравнение является линейным иР = -у < 0 (сравните со случаем а) примера 2 данного параграфа). 4. Доказать теорему 4 методом последовательных приближений Пикара *). Л Построим последовательные приближения, как описано в § 1. (п) Каждое приближение У будет функцией х и /л. Опираясь на условие теоремы, нетрудно доказать непрерывность У (х, /л) по сово- совокупности ж, /л и равномерную сходимость У (ж, /i) относительно х и /л при \х — хо\ ^ Н, \/л — /ло\ ^ С. Это делается путем незначительной модификации рассуждений, приведенных в § 6 [18]. Отсюда следует непрерывность предельной функции у(х,/л) по совокупности ж, /л. То, что при каждом \л функция у(х,\л) является решением задачи Коши у1 = f(x, у, //), у\х=Хо = 2/°, доказывается в точности, как в § 6 [18]. ? х) В [18] теорема 4 доказывается другим способом.
Глава 2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 1. Дифференциальные уравнения высших порядков 1. Основные понятия и теоремы 1°. Общие свойства. Дифференциальным уравнением п-го по- порядка называется уравнение вида F(x,y,y',...,yM) = 0 A) (не разрешенное относительно старшей производной) или y^=f(x,y,y',...,y^-^) B) (разрешенное относительно старшей производной). Решением уравнения A) или B) на интервале X (конечном или бесконечном) называется п раз непрерывно дифференцируемая функ- функция у = ip(x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Множество всех решений уравнения A) или B) называется общим решением этого уравнения. Уравнение у = <р(х) задает на интервале X на плоскости пере- переменных (ж, у) некоторую кривую. Ее называют интегральной кривой уравнения B). Если множество функций у = ф,Сг,...,Сп), C) удовлетворяющих уравнению B), где Ci,..., Сп — произвольные по- постоянные, позволяет за счет выбора Ci,..., Сп получить любую ин- интегральную кривую уравнения B), то C) является общим решением уравнения B). 2°. Интегралы уравнения. Если общее решение уравнения B) неявно задано уравнением Ф(х,у,С1,...,Сп) = 0, D) то D) называют общим интегралом уравнения B).
64 Уравнения высших порядков. Системы уравнений [Гл. 2 Соотношение Щх,у,у',...,у(п-1\С1) = 0 либо ф(х,у,у',...,у^-^) = С1 E) называют первым интегралом уравнения B). Иногда первым интегралом называют функцию /ф(х,у,у',...,у^п~1^1), входящую в левую часть E). С помощью п независимых первых интегралов, исключая из них производные у1,..., у^п~1\ можно получить общий интеграл D) урав- уравнения B). Для независимости п первых интегралов необходимо и достаточно, чтобы якобиан функций г/^ (ж,?/,?/,..., по последним аргументам не обращался тождественно в нуль: Если известны т A ^ т < п) первых интегралов, то исходная задача интегрирования уравнения n-го порядка сводится исключе- исключением т старших производных к более простой задаче (п — т)-го порядка. 3°. Задача Коши. Если требуется найти решение уравнения B), удовлетворяющее условиям у(х0) = Уо,у'(хо) = у'о,..., у^п~^(хо) = = уд ? то говорят, что для уравнения B) поставлена начальная задача или задача Коши и записывают ее в виде yf(,y,y,,y% F) у(х0) = 2/о, у'Ы) = yf0,..., у^п~г\х0) = г/оП}- Теорема 5. Пусть 1) в уравнении B) функция /(ж, у, у',..., f/72)) определена в (п + 1)-мерном параллелепипеде D = {\x- Жо| ^ а, \у - t/oK h,..., It/™' - у{Г1]\ ^ Ьп} в пространстве своих аргументов] 2) в области D функция /(ж, у, yf,..., з/72)) непрерывна по сово- совокупности аргументов и удовлетворяет условию Липшица по пере-
§ 1 ] Дифференциальные уравнения высших порядков 65 менным у, у',..., у(п~1^ : 3=0 Тогда на отрезке [хо, хо + Н], где Н = min< a->jj\> М = max I/1, Ъ = minb{, существует единственное решение задачи Коши F). 4°. Пониснсение порядка уравнения. В некоторых случаях возможно понижение порядка уравнения, что облегчает его интегри- интегрирование. 1. Уравнение не содержит исходной функции и ее производных до {к — 1)-го порядка включительно: F(x,y^,y^k+1\...,y^) = 0. G) Заменой у(к> = и, где и — новая неизвестная функция, уравне- уравнение G) приводится к уравнению (п — к)-го порядка Его решение имеет вид и = и(х, Ci,..., С(п_д.)), после чего исход- исходная функция у находится /с-кратным интегрированием, в результате появляются еще к произвольных постоянных. 2. Уравнение явно не содержит независимой переменной: F(y,y',...,y^)=0. (8) Порядок уравнения (8) понижается на единицу заменой у' = р, где V — р{у) ~ новая неизвестная функция. Последовательные производ- производные у'у", у'",... в новых переменных р и у имеют вид: dy _ d у _ dp _ dp dy _ dp dx ~ ^' dx2 ~ dx ~ dy dx ~ dy ^' d3y _d^(^P\r)= d^dyr),dpdpdy = d2p^rJ, /^ФА^ dx3 dx \dy)P dy2 dxP^ dy dy dx dy2 P ^ \dy) P и т.д. Видно, что производные —\ выралсаются через производные dx от р по у порядка не выше к — 1. В результате указанной замены возможна потеря решений у = = const, что проверяется непосредственной подстановкой. 3. Уравнения в полных производных. Если левая часть уравнения F(x,y,y',...,yW) = 0 (9) 3 А. Б. Васильева, Г. Н. Медведев
66 Уравнения высших порядков. Системы уравнений [Гл. 2 является полной производной некоторой функции G(x, у, у',..., з/™)), то переписывая (9) в виде ?с(х,у,у',...,у^-1У) = 0, A0) находим первый интеграл уравнения A0) представляющий собой уравнение уже на единицу меньшего порядка. Если уравнение (9) не имеет вида A0), то иногда можно подобрать интегрирующий множитель fi = /i(x, т/, г/,..., у^п'), после умножения на который уравнение (9) становится уравнением в полных производ- производных. Корни уравнения /i = 0 могут оказаться лишними решениями, а разрывность \i может привести к потере решений. 4. Пусть уравнение F(x, у, у',..., у^) = 0 однородно относительно у, у',..., у(п~1\ что означает выполнение условия F(x,ty,ty',...,ty^) = tkF{x, у, у',..., j,(">). Порядок такого уравнения понижается на единицу подстановкой у' = у и, где и — новая неизвестная функция. 5. Пусть уравнение F(x, у, у',..., у^) = 0 однородно в обобщенном смысле относительно х и у. В этом случае вид уравнения должен со- сохраняться при замене х на tx и у на tmy. При этом в соответствующие выражения перейдут дифференциалы и производные: dx —> t dx, dy —> tm dy, d2y —> tm d2y и т. д., dy ,m-ldy #У_ ,т-2#У_ dx ^l dx> dx2 dx2 A' Таким образом, для сохранения вида уравнения должно выпол- выполняться условие F(tx, tmy, Г1?/,..., t™-"j,(")) = tkF(x, у,у',..., у(п)), которое может выполняться не при любом га. Для получения искомого значения т надо приравнять друг другу суммы показателей степе- степеней t в каждом слагаемом уравнения, в результате чего получается, вообще говоря, переопределенная система. Если искомое значение га существует, то делается замена переменных х = е*, у = uemt, где t — новая независимая переменная, a u(t) — новая неизвестная функция. Получается уравнение, не содержащее явно независимой переменной t и допускающее понижение порядка, например, согласно случаю 2.
§ 1 ] Дифференциальные уравнения высших порядков 67 2. Примеры решения задач 1. Решить уравнение Л Способ 1. Это уравнение не содержит у, поэтому заменой у' = = и, и = и(х) оно приводится к уравнению и' = и2, равносильному совокупности уравнений и = 0 и ^1 = dx. Из последнего находим и и = -^ . Так как гх = -Д, то, интегрируя найденные соотношения, получаем для 2/(ж): 2/ = С, 2/ = C2-In(Ci-ar). A1) Способ 2. Уравнение у" = у' относится также к типу, не содержа- содержащему явно независимой переменной х. Поэтому порядок уравнения понижается на единицу заменой у' = р, где р = р(у) — новая неиз- неизвестная функция. Действительно, / // dp У =Р, У =fyV и уравнение A1) сводится к уравнению первого порядка равносильному совокупности уравнений р = 0и -^ = dy. Из послед- последнего находим С\р = еу. Возвращаясь к функции у(х), получаем у' = 0, а также уравнение с разделяющимися переменными гу dy _ у 1 dx ~ Интегрируя эти уравнения, находим для у(х): у = С, у = lnCi - ln(C2 - х). A2) Результаты A1) и A2) совпадают с точностью до обозначений произвольных постоянных. ? 2. Решить уравнение У" = >Д + 2Л Л Умножая уравнение на интегрирующий множитель /л = , ;, можно записать его в виде
68 Уравнения высших порядков. Системы уравнений [Гл. 2 или (уравнение в полных производных), откуда находим первый интеграл Л/1 _l у' - X — Ql а затем и, окончательно, К этому решению надо добавить решение у = — х-\-С, потерянное при умножении на множитель // = /, разрывный при у1 = — 1. ? 3. Решить уравнение уу" = у' Л Уравнение является однородным, так как сохраняет свой вид после замены у, у' и у" на ty, ty' и ty" соответственно. Следовательно, молено понизить его порядок на единицу, полагая у' = уи, где и — новая неизвестная функция. Для производных у' и у" имеем у' = уи, у" = у'и + уи' = у (и2 + г/), после чего исходное уравнение приобретает вид 2/2 /\ 22 у [U +U)=yU, откуда у = 0 л и' = 0. Интегрируя последнее равенство, получаем после чего возвращаемся к переменной у(х): у = 0, у = С2ес^ (С2ф0). Решение у = 0 молено включить в последнюю формулу, "разре- "разрешив" С2 принимать значение, равное нулю. ? Замечание 1. Полезно решить это уравнение еще двумя спосо- способами: как не содержащее явно независимой переменной и как при- приводящееся к уравнению в полных производных после умножения на интегрирующий множитель 1/у' . ? 4. Решить уравнение
§ 1 ] Дифференциальные уравнения высших порядков 69 Л Уравнение не является однородным относительно у и производ- производных. Но при переходе приравнивая суммы показателей степеней t в левой и правой частях уравнения, находим: откуда т = 1. Уравнение оказывается однородным в обобщенном смысле. Замена переменных х = е*, у = г/е* приводит к уравнению й + г^ — г^2 = 0. Это уравнение является уравне- уравнением Бернулли, а также не содержит явно независимой переменной ?, и поэтому может быть решено разными способами, в том числе и понижением порядка согласно случаю 2. ? 6. Решить задачу Коши для математического маятника: у" + uj2 sin у = 0, ?/@) = 2/о, 2/'@) = 0. Л Уравнение не содержит явно независимой переменной ж, поэтому можно понизить его порядок, полагая у' = р, где р = р(у) — новая неизвестная функция. Далее находим: // _ dp dy _ dp 2 Ц^ = uj2(cosy — cos j/o)? p = ±о;\/2(со8 2/ — cos г/о), p= ~? = ±ujV2(cosy-cosyo)- Наконец, у 1 Г uo\/2 J \/2 J Vcos У - cos Уо ' Уо Интеграл выражается в так называемых эллиптических функциях. ? 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы Решить уравнения: 2.1.1. у1" = х + cos х. 2Л.2.у" = хех,у@) = у'@)=0. 2.1.3. у" = 2х\пх. 2.1.4. у*у" = 1.
70 Уравнения высших порядков. Системы уравнений [Гл. 2 2.1.5. ху" = у'. 2.1.6. ху" = у' + х2. 2.1.7. уу" = у'2 - у'3. 2.1.8. у" = \/1 + у'2. 2.1.9. у" = а/1 -у'2. 2.1.10. у" = 2уу'. 2.1.11. уу'" + Зу'у" = 0. 2.1.12. уу" + у'2 = 1. 2.1.13. уу" + у'2 = 0. 2.1.14. хуу" - ху'2 - уу'. 2.1.15. 2уу" - Zy'2 = Ay2. Ответы 2.1.1. у = |^ - sinz + Ci^2 + С2ж + С3. 2.1.2. 2/ = (ж - 2)еж 2.1.3. 2/= ^lnx- ^х3 + С1Х + С2. 2.1.4. С1г/2-1 = (Ci 2.1.5. у = dx2 + С2. 2.1.6. 2/ = ^ + Ci^2 + С2. 2.1.7. y + dhi \y\ = = х + С2,у = С. 2.1.8. 2/ = ch(ar + Ci) + C2. 2.1.9. у = С2 - 2/ = х + С. 2.1.10. 2/ = Ci tg(Cix + С2), у = С. 2.1.11. = С|(ж+С3J,2/ = С. 2.1.12. г/2 = x2+Cix+C2. 2.1.13. ?/2 = 2.1.15. ycos^x + Ci) = С2. § 2. Системы дифференциальных уравнений в нормальной форме 1. Основные понятия и теоремы 1°. Общие свойства. Системой дифференциальных уравнений, разрешенных относительно старших производных, называется си- система вида y[mi) = h(t,y1,y'1,...,y^-1\...,yn,y'n,...,y^-V), A) ?/(mn) — f (f ?/ ?/ (mi-1) / (mn-l)\ Уп ~~ Jn \Ъ1 У1 •> Уl •> • • • •> У •> • • • •> Упч Уп1 • • • •> Уп )• Число N = mi + ... + тп называется порядком системы A). Нормальной системой или системой уравнений, разрешенных отно- относительно производных от неизвестных функций, называется система
§ 2 ] Системы дифференциальных уравнений в нормальной форме 71 вида 2/i = /1(*,2/ъ---,2/п), B) Уп = fn(t,yi,...,yn). Систему A) всегда можно привести к виду B). Полагая в системе A) +mn_i+2 — 2/n' •••> ZN — Уп™ > получаем нормальную систему относительно функций ^i,..., ^дг. По- Поэтому, не ограничивая общности, можно рассматривать нормальные системы. Частным случаем системы A) является одно уравнение n-го по- порядка которое также всегда можно свести к нормальной системе. Полагая zi=y, z2 =?/,..., zn = y(n~1\ получаем: Z-t == Z2 2 3 "i Zn-1 = Решением системы B) на интервале Т (конечном или бесконеч- бесконечном) называется упорядоченная совокупность непрерывно дифферен- дифференцируемых функций У1 = (рг(г), ..., yn = <pn(t), teT, C) которые при подстановке в систему обращают все ее уравнения в тож- тождества. Множество всех решений системы A) или B) называется общим решением этой системы. Уравнения C) задают на интервале Т в пространстве переменных (?, г/1, • • •, Уп) некоторую кривую. Ее называют интегральной кривой системы B).
72 Уравнения высших порядков. Системы уравнений [Гл. 2 Если множество функций D- Г* Г* \ ' 1 (А\ Уг = ^Рг\Л"> ^1? • • • 1 ^п): 1 = 1, 71, D) удовлетворяющих системе B), где Ci,...,Cn — произвольные по- постоянные, позволяет за счет выбора Ci,..., Сп получить любую ин- интегральную кривую системы B), то D) является общим решением системы B). Нормальные системы допускают более простую и короткую форму записи в векторно-матричных обозначениях. Упорядоченную совокупность у\ (i),..., уп (t) дифференцируемых функций удобно рассматривать как координаты вектора-столбца (го- (говорят и о матрице-столбце) в n-мерном линейном пространстве. Ана- Аналогично задается и вектор-столбец с координатами /i(?, г/ъ • • •, Уп): • • • Введем обозначения: / yi(t) \ у= : , f(t,y) = V Vn(t) ) \ fn(t,y) Будем называть у и f вектор-функциями (иногда — векторами, иногда — функциями). Тогда систему B) можно записать в виде векторного уравнения y' = f(*,y). Формулы D) в векторной записи имеют вид y = (f(t,C), E) где — произвольный постоянный вектор. Выражение E) будет общим решением системы B) в тех же случаях, что и формулы D). 2°. Интегралы системы. Если общее решение системы B) может быть неявно задано системой п независимых уравнений г1л(Ъу!,...,уп)=Си г = 1,п, F) то систему F) называют общим интегралом системы B). Любое из соотношений F) называют первым интегралом си- системы B). Иногда первым интегралом называют любую функцию ipi(t, 2/i,..., уп), входящую в F).
§ 2 ] Системы дифференциальных уравнений в нормальной форме 73 Если функция ^i(t,yi,...,yn) непрерывно дифференцируема, то ее производная в силу системы B) равна нулю: = 0 Vt G Т. yj=f(t,yi,...,yn) Иначе говоря, первый интеграл обращается в постоянную вдоль лю- любого решения D) системы B). Для независимости п первых интегралов необходимо и достаточно, чтобы якобиан функций ^(?, 2/ъ • • • •> Уп) п0 последним п аргументам не обращался тождественно в нуль: D(yu...,yn) ^U' Если известны т A ^ т < п) первых интегралов, то исходная задача интегрирования системы B) с п неизвестными исключением т переменных сводится к более простой задаче интегрирования си- системы с п — т неизвестными. 3°. Задача Коши. Если требуется найти решение системы B), удовлетворяющее условиям yi(to) = г/^, г = 1,тг, то говорят, что для системы B) поставлена начальная задача или задача Коши и записы- записывают ее в виде: или в векторной форме: = уц г = Теорема 6. Пусть 1) в системе B) функции /Д^, г/ь • • •, уп)> i = 1^? определены в (п + 1)-мерном параллелепипеде D : 2) в области D функции fi(t, у\,..., уп) непрерывны по совокупно- совокупности аргументов и удовлетворяют условию Липшица по переменным Тогда на отрезке [to, ^o + Н], где Н = min< a, -A L М = max max /^, Ь = min^, I ^w J i D i существует единственное решение задачи Коши G).
74 Уравнения высших порядков. Системы уравнений [Гл. 2 4°. Фазовые траектории. Точки покоя. Важнейшей моделью нормальной системы являются уравнения движения механических си- систем. Роль неизвестных функций играют при этом координаты и ско- скорости (или обобщенные координаты и скорости). Роль независимой переменной t играет время. Замечание 1. Часто, особенно в физических задачах, где роль независимой переменной играет время ?, производные по t обозначают точкой: dy . dy2 -7Г = 2/, -^2" = У И Т. Д. ? В n-мерном пространстве переменных 2/ъ • • • ? 2/п решение C) опи- описывает движение точки (?/i(?),..., yn{t)) B зависимости от t как от параметра. Это пространство называют фазовым пространством. Кривую, описываемую параметрическими уравнениями C) в фазовом пространстве, называют траекторией точки (г/i,..., уп). Очевидно, что траектория точки (г/i,..., уп) в фазовом пространстве есть проек- проекция интегральной кривой C) в пространстве переменных (?, г/i,..., уп) на фазовое пространство. В частном случае, когда функции fi не зависят явно от времени, система B) называется автономной: у'\ = ЛB/ь---,2/п), Уп = fn(yi,---,yn)- В автономной системе скорость движения в фиксированной точке (г/i,..., уп) остается неизменной с течением времени. В фазовом пространстве траектория движения может обращаться в точку (постоянное решение). Такая точка называется точкой покоя (положением равновесия). Точка (г/J,. - -, 2/^) является точкой покоя системы B) тогда и только тогда, когда = 1, п. 5°. Приведение системы к одному уравнению. Одним из основных методов интегрирования нормальной системы дифферен- дифференциальных уравнений B) является приведение ее к одному уравнению n-го порядка (или нескольким уравнениям порядка, меньшего, чем п). Пусть функции fi(t, г/1,..., уп) имеют непрерывные частные произ- производные до (п — 1)-го порядка по всем аргументам. Предположим, что подстановкой некоторого решения yi(t),..., yn(t) все уравнения B) обращены в тождества.
§ 2 ] Системы дифференциальных уравнений в нормальной форме 75 Продифференцируем, например, первое из этих тождеств по t п — 1 раз, заменяя всякий раз производные y[(t) в силу уравнений B). Получим п тождеств вида: У\ = fi(t,yi,...,yn), Уг = F2{t,y1,...,yn), (8) (п—1) 7-1 /» \ Уг = Fn-i(t,yi,...,yn), Предполагая, что в рассматриваемой области якобиан первых п — 1 функций /i, i*2,..., Fn-i по переменным 2/2 5 2/з5..., уп отличен от нуля, разрешаем первые п — 1 уравнений (8) относительно переменных 2/2? • • • 5 Уп- Они будут выражены через ?, 2/i, • • •, 2/i ~ • Подставляя найденные выражения в последнее из уравнений (8), получаем урав- уравнение n-го порядка относительно неизвестной функции у\\ (п) 7-1/^ / (п—1)\ /п\ у\ } =F(t,yuy[,...,y\ }). (9) Решая уравнение (9), находим функцию yi(t), а затем подставляем ее производные в полученные выше выражения для 2/2(^)? • • • ? Уп{^). Замечание 2. Рассмотренные преобразования показывают, что нормальную систему не всегда можно привести к уравнению п-го порядка. Например, система Уг =Уг, У2 =2/2, очевидно, не может быть приведена к уравнению второго порядка. ? 6°. Интегрируемые комбинации. Интегрируемой комбинаци- комбинацией называется дифференциальное уравнение, являющееся следствием уравнений системы B) (получающееся обычно путем арифметических операций), но уже легко интегрирующееся. Обычно стремятся полу- получить уравнение вида или уравнение, сводящееся заменой переменных к какому-нибудь ин- интегрируемому типу уравнений с одной неизвестной функцией.
76 Уравнения высших порядков. Системы уравнений [Гл. 2 Для отыскания интегрируемых комбинаций часто бывает удобно перейти к так называемой симметричной форме системы дифферен- дифференциальных уравнений dyi _ _ dyn _ <fc щ /i (t, 2/1,..., г/n) '*' fn(t,yi, • • • ,Уп) 1' В симметричной форме записи системы A0) все переменные вхо- входят равноправно, что иногда облегчает нахождение интегрируемых комбинаций. Прежде всего выбирают пары соотношений, допускающие разде- разделение переменных. В других случаях полезно использовать свойство равных дробей bi b2 '" bm kibi + k2b2 + ... + kmbm ' выбирая произвольные коэффициенты ki удобным образом, напри- например, чтобы числитель был дифференциалом знаменателя, либо числи- числитель оказывался полным дифференциалом, а знаменатель был равен нулю (в последнем случае пропорции рассматриваются как равенства произведений средних и крайних членов). 2. Примеры решения задач 1. Найти точки покоя автономной системы х1 = у - х2 - х, у' = Зж — X2 — у. Л Координаты точки покоя (положения равновесия) системы A2) определяются алгебраической системой у — х2 — х = 0, A3) Зх — х — у = 0, получающейся приравниванием нулю правых частей системы A2). Решая A3), находим точки покоя системы A2) х = 0, у = 0 и х = 1, у = 2. A4) В пространстве переменных (?, ж, у) уравнения A4) определяют две прямые, вдоль которых сохраняются постоянные значения функций x(t) и y(t). На фазовой плоскости хОу уравнения A4) определяют две непо- неподвижные при изменении t точки — точки покоя системы A2). ?
§ 2 ] Системы дифференциальных уравнений в нормальной форме 77 2. Решить систему X = у — X , (ЛКЛ у' = уBх + 3) - 2ж3 - Зж2 - 2ж. l } Л Попытаемся свести систему A5) к уравнению второго порядка. Дифференцируя первое из уравнений A5) и заменяя образующиеся производные в силу A5), получаем систему / 2 х = у — х , (ла\ х" = yf- 2хх' = 3у- Зх2 - 2х. [ib) Исключая у из второго уравнения A6), приводим систему A5) к виду, допускающему последовательное определение хну: х" - Зх' + 2х = О, у = х' + х2, откуда е х = \ у = Cie* + 2С2е2* + (С1б* + С2е2*J (способы решения уравнений с постоянными коэффициентами см. в § 3 гл. III). ? Замечание 3. В некоторых случаях систему п уравнений пер- первого порядка можно свести не к уравнению n-го порядка, а только к нескольким уравнениям меньшего порядка, чем п. Например, си- систему х1 = у, у' = х, z1 = z можно свести лишь к уравнениям х" = х, zf = z и невозможно свести к уравнению 3-го порядка. ? 3. Решить систему dx_ _ dy_ _ dz^ (Л7\ у ~ х ~ z ' \11) Л Из первого равенства A7), допускающего разделение перемен- переменных, имеем х dx - у dy = О или d{x2 — у2) =0, откуда находим первый интеграл х2 - у2 = a. (is)
78 Уравнения высших порядков. Системы уравнений [Гл. 2 Запишем для заданной системы свойство A1): dx_ _ dy_ _ dz_ _ ki dx + k2dy + k3 dz у ~ x - z - kxy + k2x + k3z ' Полагая k\ = 1, &2 = 1, k% = 0, получаем cte _ dx + dy z ~ x+y ' d(x -\-y) dz откуда д. _¦_ = ^- и, следовательно, другой интеграл имеет вид х + г/ = С2?. Якобиан найденных интегралов по переменным ж и ?/ имеет ранг 2 при ж + у ф 0. Следовательно, при х ф —у найденные интегралы независимы, и их совокупность дает общий интеграл си- системы A7). Интеграл A8) можно также получить из A9), полагая к\ = ж, &2 = -У, h = 0. Тогда имеем dz_ _ xdx-ydy z - 0 откуда xdx-ydy = 0, d(x2 - у2) = 0, х2 - у2 = d. ? 4. Решить систему _ dt у - z z - х х - у 1 " Л Запишем для заданной системы свойство A1): dx _ dy _ dz _ A?i с?ж + k2dy + k3 dz y-z z-x x-y k1(y-z) + k2(z-x) + k3 Полагая k\ = k<i = ks = 1, получаем x — у ~ 0 ' откуда d(x + 2/ + ^) =0 и, следовательно, один из первых интегралов имеет вид х + ?/ + z = Ci. Полагая fci = ж, &2 = 2/, &з = ^5 получаем <iz _ xdx-\-ydy-\- zdz х - у ~ 0 '
§ 2 ] Системы дифференциальных уравнений в нормальной форме 79 откуда d(x2 + у2 + z2) = 0 и, следовательно, другой первый интеграл имеет вид 5. Рассмотрим движение материальной точки М с массой т в силовом поле F и найдем описывающую это движение систему дифференциальных уравнений, а также ее интегралы. А По второму закону Ньютона имеем в векторной форме систему трех дифференциальных уравнений т^- = F, B0) где v = ^, г = {х, у, z} — радиус-вектор точки М, F — сила. Если F = 0, то из B0) получаем ™ж = ° или mv = С = const. Таким образом, первым интегралом системы B0) является ин- интеграл импульса (в координатах — три уравнения для координат вектора скорости). Умножая B0) слева векторно на г, получаем [г ra^l - [г F1 [ ' dt\ ~ [ ' J' что можно также записать в виде |[r,mv] = [r,F] B1) (так как слагаемое ^mv равно нулю как содержащее два одинако- одинаковых вектора). Уравнение B1) — уравнение момента импульса. Если поле F центральное, и начало координат помещено в силовом центре этого поля, то [г, F] = 0 и из B1) имеем |[r,mv]=0, откуда [г, mv] = С = const. B2) Таким образом, получен другой распространенный в механике ин- интеграл — интеграл момента импульса. Непосредственным следствием существования интеграла момента импульса будет вывод о том, что траектория точки, движущейся в центральном поле, лежит в плоскости, проходящей через силовой центр.
80 Уравнения высших порядков. Системы уравнений [Гл. 2 В самом деле, уравнение B2) в координатах имеет вид yz — zy = Ci, zx — xz = C2, xy — ух = С3. B3) Умножая уравнения B3) на ж, г/ и z, соответственно, и складывая, получаем Ciz + С2у + C3z = 0, B4) т.е. [С, г] =0. Итак, точка М движется в плоскости B4), ее радиус-вектор г = = {ж, г/, z} лежит в этой плоскости и перпендикулярен вектору С = = {Ci, C2, С3} — вектору момента импульса (см. B2)). Найдем еще один важнейший интеграл — интеграл энергии. Умно- Умножая скалярно уравнение B0) на элементарное перемещение dr = vdt, получаем (т dy_ ^Л _ /F j \ или '4=(F,dr). B5) Из равенства B5) получится интеграл энергии, если силовое поле будет потенциальным, т. е. F = grad(^. Тогда правая часть B5) будет дифференциалом скалярной функции (р — потенциала силового поля: (F, dr) = dip. Величину и = —ip называют потенциальной энергией материаль- материальной точки М. Окончательно для движения точки в потенциальном поле из B5) находим откуда ^ + U = const. 2 Это выражение или величину ^Щ—\- U — сумму кинетической и потенциальной энергии — называют интегралом энергии. Таким образом, в зависимости от конкретных свойств того или иного силового поля F получаются различные интегралы системы дифференциальных уравнений, описывающие движение материаль- материальной точки в этом поле. ? 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы Найти точки покоя следующих систем. 2.2.1. х' = х2 -у, у' =1пA -х + х2) -1пЗ. 2.2.2. х' = Bх-у)(х-2), у' = ху - 2.
§ 2] Системы дифференциальных уравнений в нормальной форме 81 2.2.3. х' = х2 -у, yf = x2-(y-2J. Решить следующие системы, сводя их к уравнениям более высоко- высокого порядка (способы решения получающихся уравнений с постоянны- постоянными коэффициентами см. в § 3 гл. III). 2.2.4. х" = у, у" = х. 2.2.5. х" = Зж + г/, у' = -2х. 2.2.6. х1 = у2 + sint, у' = х/2у. Решить следующие системы уравнений. 2.2.7. х' = х2 + у2, у' = 2ху. 2.2.8. х' = х/у, у1 = у/х. 2.2.9. х' = у/(х - у), у' = х/(х - у). 2.2.10. х' = sin х cos т/, у' = cos x sin у. 2.2.11. 2 2 12 2.2.13. 9 9 1 Л 2.2.15. 9 9 1 (\ dt t ~ dt _ ху dx 2у- dx У + z dx _ z ~ dx dx X dx yt Z ~ ~ dy xz dy dy ty' dy xt' dy dz У z ' dy dz x + z x + у _ dz У ' dz Ответы 2.2.1. B; 4), (-1;1). 2.2.2. B;1), A;2), (-l;-2). 2.2.3. (-2;-4), A;1), B; 4), (-1;1). 2.2.4. x = Схег + С2е~% + C3 smt + C4cost, у = = Cie* + С2е"* - C3sini - C4cost. 2.2.5. x = (d + C2t)e* + C3e~2t, у = 2(C2 - Ci - C2i)e* + Сзе*. 2.2.6. x = Сгег + C2e"* - ±cost, y2 = de1 - С2е~г - \smt. 2.2.7. ^ + t = Cu ^ + t = C2. 2.2.8. | - i = d, 1 + Cix = C2ec^. 2.2.9. x2 - y2 = Cu x - у + + t = C2. 2.2.10. tg^p = Cie*, tg^^ = C2e*. 2.2.11. x = dt, у = C2e\ 2.2.12. t2 - x2 = d, x2 - y2 = C2. 2.2.13. у = dz, x = = 2y-z + d- 2.2.14. x - у = d(y ~ z), (x + у + z)(x - yJ = C2. 2.2.15. x2 - 2y = d, 6xy - 2x3 - Zz2 = C2. 2.2.16. x = dy, xy - z =
Глава 3 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ § 1. Линейные однородные уравнения 1. Основные понятия и теоремы 1°. Общие свойства. Линейным однородным дифференциаль- дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида 0-0(^J/ + п\(х)у^п ' + ...+ ап(х)у = 0, A) где функции ai(x) непрерывна на интервале X (X может быть как конечным, так и бесконечным). Если ао(хо) = 0, то точка х = xq называется особой точкой уравнения A) (в этой точке меняется порядок уравнения). Если ao(^o) 7^ О В рассматриваемой области переменной ж, то уравнение A) делением на uq(x) приводится к виду 2/(п) + а1{х)у^п~1) + ... + ап(х)у = 0 B) (для коэффициентов аДж) использованы те же обозначения). Решением уравнения B) называется п раз непрерывно дифферен- дифференцируемая функция у = г/(ж), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Если функции 2/1 (#)>••• >2/т(#) ~~ решения уравнения B), то лю- т бая линейная комбинация J^ Ciyi(x), где Ci,..., Cm — произвольные постоянные, снова есть решение уравнения B). 2°. Задача Коши. Если требуется найти решение уравнения B), удовлетворяющее условиям у(х0) = у0, у'(х0) = 2/0,..., 2/(п)(жо) = = 2/о ' то говорят, что для уравнения B) поставлена начальная задача или задача Коши и записывают ее в виде: 2/(n) + ai{x)y^n~^ + ... + ап{х)у = 0, . . ( 1 — '( \ — ' (п-1)( \ _ (п-1) \6)
§ 1 ] Линейные однородные уравнения 83 Теорема 7. Если функции аДж), г = 1, п, непрерывны на интерва- интервале X, то решение начальной задачи C) существует и единственно всюду на X. 3°. Определитель Вронского. Функции (fi(x),..., <рп{х) на- называются линейно независимыми на интервале X, если тождество Ciipi(x) + ... + Сп(рп(х) = 0 Ух ? X выполняется только тогда, когда все коэффициенты С^ равны нулю. Пусть функции (fi(x),..., <PnO*O непрерывны на интервале X со своими производными до (п — 1)-го порядка включительно. Функцио- Функциональный определитель ^l(x) Y2\-b) ••• Ч^пК^) f?\ называется определителем Вронского (вронскианом) функций ^i(x), ...,<рп(х), х е X. Теорема 8. Определитель Вронского решений yi(x),..., уп(х) уравнения B) — либо тождественно равен нулю на интервале X, и тогда эти решения линейно зависимы на X; — либо не равен нулю ни в одной точке интервала X, и тогда эти решения линейно независимы на X. Замечание 1. В теореме 8 говорится о свойствах определителя Вронского для решений уравнения B). Если (fi(x),..., (рп{х) — произ- произвольные функции, то из равенства нулю их определителя Вронского, вообще говоря, не следует их линейная зависимость. Рассмотрим две функции О, -1^я<0, ._г„\_\х2, -1^я<0, О ^ х ^ 1. Они линейно независимы на отрезке [—1; 1], так как условие Ciipi(x) + C2(f2(x) е 0 на отрезке [—1;0] дает С2 = 0, а на отрезке [0; 1] дает Сг = 0. Несмотря на это, определитель Вронского этих функций на каж- каждой половине этого отрезка имеет нулевой столбец и поэтому тож- тождественно равен нулю. Предположив, что эти функции являются решениями какого-то уравнения второго порядка, мы приходим к про- противоречию с результатом теоремы 8. ? Часто бывает полезен другой критерий линейной независимости произвольных функций.
84 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 Для того чтобы произвольные функции (fi(x),..., (рп(х), непре- непрерывные на [а, Ь], были линейно независимы на [а, Ь], необходимо и до- достаточно, чтобы определитель Грама этих функций был отличен от нуля, т. е. чтобы выполнялось условие Ф 0, E) где — скалярное произведение функций 4°. Фундаментальная система решений. Фундаменталь- Фундаментальной системой решений yi(x),..., уп(х) уравнения B) называются любые п линейно независимых решений уравнения B). Теорема 9. Линейное однородное уравнение всегда имеет фунда- фундаментальную систему решений. Обратно, по заданной системе п линейно независимых функций 2/1 (ж),..., Уп(х) молено найти единственное уравнение B), для которо- которого эти функции образуют фундаментальную систему решений. Если у(х) — неизвестная функция, то искомое уравнение имеет вид У\ О) У2 О) 2/2 О) Уп(х) У (п 2/1 2/2 =0. F) Действительно, добавляя к п линейно независимым функциям 2/1, • • •, 2/п любое другое решение у искомого уравнения n-го порядка, получаем систему из п + 1 решения этого уравнения, которые линейно зависимы, а значит, их вронскиан равен нулю. Множество решений линейного однородного уравнения образует линейное пространство. Любая фундаментальная система решений является базисом этого пространства. Существует бесконечно много фундаментальных систем решений однородного уравнения, переходя- переходящих одна в другую с помощью невырожденного линейного преобра- преобразования. Если функция и(х) -\-iv{x) (где и{х) и v{x) — вещественные функ- функции) есть решение уравнения B) с вещественными коэффициентами, то функции и(х) и v(x) также являются решениями уравнения B).
§ 1 ] Линейные однородные уравнения 85 Если функция и(х) + iv(x) (где и(х) и v(x) — вещественные функ- функции) есть решение уравнения B) с вещественными коэффициентами, то функция и(х) — iv(x) также является решением уравнения B). Если функции wi = ui(x) + ivi(x), ...,wn = un(x) + ivn(x), (?) w1 = ui(x) - ivi(x), ... ,wn = un{x) - ivn(x) (где щ(х) и Vi(x) — вещественные функции) линейно независимы на X, то функции щ(х) = Rewi, щ(х) =Imwi, г = 1,п, (8) такж:е линейно независимы на X. Таким образом, если уравнение B) имеет вещественные коэффици- коэффициенты, то от фундаментальной системы комплексных решений вида G) молено перейти к вещественной фундаментальной системе (8). Общее решение линейного однородного уравнения B) имеет вид У = C±yi(x) + ... + Спуп(х), где 2/i(ж),..., уп(х) — фундаментальная система решений, Ci,... ..., Сп — произвольные постоянные. 5°. Нормальная фундаментальная система. Если функции Уг(х), г = 1,72, фундаментальной системы имеют единичную мат- матрицу начальных значений в точке х = хо, т.е. yf (xq) = Sij, где Г1 г = j S^ = < ' . , .' — символ Кронекера, то система yi(x),... ,уп(х) [U, ъ т= 3i называется нормальной (при х = xq) фундаментальной системой решений. Пусть 2/i(ж),..., 2/п(#) ~~ нормальная (при х = xq) фундаменталь- фундаментальная система решений. Тогда решение задачи Коши 2/+1(J/ + + п()/ О, (9) у(х0) = Аъ у'(х0) = А2, • • •, 2/(п 1}(^о) = Ап имеет вид г/ = Ai2/i(ar) + А2у2(х) + ... + Ап2/П(ж). A0) Формулу A0) бывает удобно представлять как скалярное произве- произведение строки функций, образующих нормальную фундаментальную систему, на столбец начальных условий. Обратно, если для произвольных значений Ai решению задачи Коши (9) может быть придана форма A0), то входящие в нее функции 2/i(ж),..., уп(х) образуют нормальную (при х = хо) фундаментальную систему решений.
86 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 6°. Пониэюение порядка уравнения. Для произвольного ли- линейного уравнения с переменными коэффициентами не существует общего метода отыскания частных решений для построения фунда- фундаментальной системы. В некоторых случаях удается найти частное решение путем под- подбора, а затем, используя найденное решение, понизить порядок урав- уравнения на единицу. Зная частное решение у\{х) линейного однородного уравнения, молено понизить порядок уравнения с помощью замены у{х) = = у\ (х) и(х) dx или, что то же самое, и = (^) - На практике удобнее сначала положить у = yi(x)z, где z = z(x) — новая неизвестная функция. Для z получается линейное уравнение, содержащее уже только производные z, но не саму функцию z. После этого полагают и = /ит.д. Например, для уравнения второго порядка у" + а\{х)у' + п2(х)у = = 0, если у = yi(x)z, для функции z(x) получаем уравнение Полагая и = z' и разделяя переменные, находим -\ai{x)dx и = —%-е VI откуда -Jai(x)dx у = С1У1(х) Ге 2 dx + С2У1(х). A1) J у1(х) Если известны п — \ частных решений, то в результате последова- последовательного понижения порядка получается уравнение первого порядка, интегрирующееся в квадратурах. Проблема построения фундаментальной системы решений для ли- линейного уравнения с постоянными коэффициентами сводится к ал- алгебраической задаче решения так называемого характеристического уравнения, о чем пойдет речь в § 3. 2. Примеры решения задач 1. Показать, что функции 1, ж,..., хп линейно независимы на всей числовой прямой. Л Способ 1. Предположим, что данные функции линейно зависи- зависимы, т. е. что равенство а0 • 1 + а±х + ... + апхп = 0 A2)
§1] Линейные однородные уравнения 87 выполняется тождественно и не все о^ равны нулю. Тогда получаем уравнение степени не выше п, которое не может иметь более п корней, значит, тождественное равенство A2) невозможно. Способ 2. Получим тот же результат с помощью определителя Вронского. Имеем: 1 х х2 О 1 2х 0 0 2 п(п-1)х п-2 О п(п-1)---2-1 так как матрица вронскиана имеет треугольный вид, и все диагональ- диагональные элементы не равны нулю. ? 2. Показать, что функции eklX,..., екгпХ, к{ ф kj, линейно незави- независимы на всей числовой прямой. Л Способ 1. Пусть равенство агек1Х + а2ек2Х ¦ атектХ = 0 A3) выполняется тождественно, и не все щ равны нулю. Пусть ат ф 0. Разделим A3) на eklX и продифференцируем получившееся тожде- тождество. Получим Mkkl)x + ¦¦¦ + <*т{кт - h)ek™-ki = 0. )x = 0, После га — 1 такой операции придем к равенству ост{кш - fci)(fcm - к2)... (кт - ^m_i)e(/c- откуда аш = 0, что противоречит исходному предложению. Значит, тождество A3) выполняется только при всех щ = 0, т. е. функции ekiX при ki ф kj линейно независимы. Способ 2. Составляя для функций eklX,..., ектХ определитель Вронского, имеем Д = ekix _ е(к1+...+кт)х — 1 ъ.т — 1 (Значение последнего определителя — определителя Вандермонда — считаем известным из курса линейной алгебры.) ?
88 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 3. Определитель Вронского функций (fi(x),..., (рш(х) тожде- тождественно равен нулю на некотором интервале. Могут ли эти функции быть линейно независимы? Л Да, могут. См. раздел 1, замечание. ? 4. Известно, что функции у\{х),..., уп(х) линейно зависимы на интервале (а, C). Что молено сказать об их определителе Вронского? А Вронскиан этих функций равен нулю. ? 5. Что молено сказать об определителе Вронского системы линей- линейно независимых функций на интервале (а, [3I Л Сказать ничего нельзя. Если эти функции — решения однород- однородного линейного дифференциального уравнения, то их вронскиан не равен нулю ни в одной точке интервала (а, C). Если это произвольные функции, то вронскиан может равняться нулю (см. раздел 1, замеча- замечание). ? 6. Доказать, что функции sin ж, sin2x, sin3x линейно независимы на промежутке [0; 2тг]. Л Для данных функций, ортогональных на промежутке [0;2тг], определитель Грама E) имеет особенно простой диагональный вид и отличен от нуля: тг 0 0 0 тг 0 0 0 тг ф 0. Следовательно, функции sin ж, sin2x, sin3x линейно независимы на промежутке [0; 2тг]. ? 7. Даны функции (fi(x) = еж, (f2(x) = sinx. Построить: 1) дифференциальное уравнение, для которого эти функции обра- образуют фундаментальную систему решений; 2) нормальную (при х = 0) фундаментальную систему решений этого уравнения. Л 1) Проверим, образуют ли данные функции фундаментальную систему. Составим их определитель Вронского: ех sin х х( .ч ех cos ж ~е ^cosx smx)- Видно, что функции (fi(x) = ex и (f2{x) = sin ж линейно независи- независимы на интервалах, где cos ж — sin ж ф 0.
§ 1 ] Линейные однородные уравнения 89 Искомое уравнение находим по формуле F): A[ex,smx,y] = е cos ж у ех — sin х у" = 0. После сокращения на ех ^ 0 получаем уравнение у" (cos х — sin x) — 2у sin х + у (sin х + cos х) = 0. A4) Отметим, что точки, где cos ж — sin ж = 0 и вронскиан заданных функций обращается в нуль, оказываются особыми точками уравне- уравнения A4), в них обращается в нуль коэффициент при у". 2) Для получения нормальной (при х = 0) фундаментальной систе- системы решений решим для уравнения A4) задачу Коши с произвольными начальными условиями Ах, у'@)=А2. Зная общее решение у = С\ех + C^sinx, получаем систему для определения С\ и^: 2/@) = Ci + С2 = А2, откуда С\ = Ai, C2 = А2 — Ai, у = А\(ех — sin ж) + А2 sin ж. Решение при произвольных А\ и ^2 приведено к виду A0). Следовательно, функции г/1 = ех — sin ж и 2/2 = sin ж образуют нормальную (при х = 0) фундаментальную систему решений уравнения A4). Непосред- Непосредственной проверкой убеждаемся, что начальные условия, которым удовлетворяют эти функции в точке х = 0 2/i@) = l, 2/2@) = 0, 2/i@) = 0, 2/2@) = 1, образуют единичную матрицу. ? 8. Решить уравнение ху" — (х -\-1)у' + у = Q. А Убедимся, что частным решением данного уравнения является функция у\ [х) = ех. По формуле A1) вторым частным решением будет у2(х)=ех \-—^—dx=ex [ е* 2Т dx=ex \e~xdx= = ех(-е~хх - е~х) = -(х + 1). Общее решение имеет вид у(х) = С\ех + С2{х + 1).
90 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 Получим последний результат, не пользуясь готовой форму- формулой A1). Положим у = ех • z. Вычисляя у'', у", находим для z(x) уравнение xz" + (х - \)z = 0, а для функции и = zf — уравнение с разделяющимися переменными и' = Ц*«, откуда и = С\хе~х, z = -С±(х + 1)е~ж + С2, г/ = ~С\{х + 1) + С2е~ж. При Ci = — 1 и Сг = 0 получаем второе частное решение г/2 = ж + + 1. ? 3. Задачи для самостоятельного решения Исследовать, являются ли линейно независимыми в своей области определения следующие системы функций. 3.1.1. 1, sinx. 3.1.2. 1, 2, sinx. 3.1.3. 1, sin ж, sin2x. 3.1.4. 1, sin2 ж, cos2 ж. 3.1.5. 2, cosx. 3.1.6. 3, 4, cosz. 3.1.7. 2, cos ж, sin2x. 3.1.8. 2, sin22x, cos22x. Найти определители Вронского следующих систем функций. 3.1.9. sinx, cos ж. 3.1.10. 1,ех. 3.1.11. sinx, xsinx. 3.1.12. е-ж,же-ж,еж. 3.1.13. 1, sinx, sin2x. 3.1.14. х,х2 + 1,ж + 2. . . /ж2, ж < 0 . . /0, ж < 0 3.1.15. ^) = @> х^ У^х) = \ 3.1.16. у\(х) = ж2, 2/2(ж) = || \\ а) |ж| ^ 1, б) 0 ^ х ^ 1. Найти определители Грама следующих систем функций на проме- промежутке [—7г,тг]. Являются ли эти функции линейно независимыми? 3.1.17. 1, sinx. 3.1.18. sinx, sin2x. 3.1.19. sinx, cosx. 3.1.20. sin x, sin2 ж. Показать, что следующие системы функций образуют фундамен- фундаментальные системы решений некоторых дифференциальных уравнений и построить эти уравнения.
§ 2] Линейные неоднородные уравнения 91 3.1.21. ех,е~х. 3.1.22. sinx, cosx. 3.1.23. 1,ж,еж. 3.1.24. 1, sinx, cos ж. 3.1.25. Для фундаментальных систем решений, указанных в за- задачах 3.1.21 — 3.1.24, и полученных для них уравнений, построить нормальные (при х = 0) фундаментальные системы решений. Зная одно из частных решений, понизить порядок уравнения и найти фундаментальные системы решений для следующих уравне- уравнений. 3.1.26. 3.1.27. 3.1.28. 3.1.29. 3.1.30. 3.1.31. Bх ху" ху" ху" хBс х(х + 1)у" + 4; - Bх + 1) + V - Я2/ -Bж + 1) v + 1J//; + + %" - (: гг/' — 4г/ = С 2/; + (ar + l)i = 0, 2/i = ^ 2/; + 22/ = 0, 2(х + 1)^- 2х + 4J/; + ! M 2/i = ж. у = 0, 2/i = еж. 2/1 = е2ж. ¦22/ = 0, 2/i = ж' 6(/ — U, (/1 — X . Ответы 3.1.1. Да. 3.1.2. Нет. 3.1.3. Да. 3.1.4. Нет. 3.1.5. Да. 3.1.6. Нет. 3.1.7. Да. 3.1.8. Нет. 3.1.9. -1. 3.1.10. ех. 3.1.11. sin2 ж. 3.1.12. 2е~х. 3.1.13. -2sinxB + cos2x). 3.1.14. -2. 3.1.15. 0, но функции линейно независимы. 3.1.16. а) 0, но функции линейно независимы; б) 0, функции линейно зависимы. 3.1.17. тг, да. 3.1.18. тг2, да. 3.1.19. тг2, да. 3.1.20. |тг2, да. 3.1.21. у" - у = = 0. 3.1.22. у" + у = 0. 3.1.23. у'" - у" = 0. 3.1.24. у'" + у' = 0. 3.1.25. chx, shx; cos ж, sin ж; 1, ж, —1 — х + еж; 1, 1 + sin ж, 1 — cos ж. 3.1.26. ж, е-2ж. 3.1.27. еж, ж2еж. 3.1.28. ^,^.3.1.29. е2ж,2ж + 1. 3.1.30. |, ж+ 1. 3.1.31. ж2, ж+ 2. 2. Линейные неоднородные уравнения 1. Основные понятия и теоремы 1°. Общие свойства. Линейным неоднородным дифференци- дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида ао(х)у^ + ai(x)y(n-V + ... + ап(х)у = f(x), A) где функции a,i(x), г = 1,п, и f(x) непрерывны на интервале X (X может быть как конечным, так и бесконечным).
92 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 Если ао(жо) = 0, то точка х = хо называется особой точкой уравнения A) (в этой точке меняется порядок уравнения). Если ао(жо) 7^ О В рассматриваемой области переменной х, то уравнение A) делением на uq(x) приводится к виду Ly = УЫ + а1{х)у^-^ + ... + ап(х)у = f(x) B) (для коэффициентов ai(x) и правой части f(x) полученного уравнения использованы прежние обозначения). Теорема 10 (принцип суперпозиции). Пусть в уравнении B) правая часть f(x) является линейной комбинацией функций /г(ж), г = 1,772, т.е. f(x) = YlT=i aifi{x)> г^е аг ~ постоянные числа, и пусть yi (х) являются решениями уравнений у™ + a1(x)yln-1) + ...+ an(x)yi = ?(*). C) Тогда линейная комбинация функций yi{x) с теми же коэффи- коэффициентами oil, т.е. функция у(х) = Yl'iLi агУг{х), будет решением уравнения B). Следствие 1. Разность двух решений неоднородного уравне- уравнения B) удовлетворяет однородному уравнению Ly = 0. Следствие 2. Пусть у±(х) и У2(х) удовлетворяют уравнениям C) при г = 1,2 с вещественными коэффициентами а&(ж), к = 1,тг, и ве- вещественными правыми частями fi(x) и /2(ж)- Тогда функция z{x) = = у\ (х) + гу2 (х) удовлетворяет уравнению *<"> + ai(x)z(n-V +... + an(x)z = Л (ж) + if2(x). Обратно: пусть функция z(x) = У\(х) +iy2(x) удовлетворяет урав- уравнению B) с правой частью f{x) = fi(x) + if2{x) B/1, 2/2, /1, /2 — вещественные). Тогда fi(x) и /2(ж) удовлетворяют соответственно уравнениям C) при г = 1,2. Если ?/1 (ж),... ,уп(х) — фундаментальная система решений одно- однородного уравнения Ly = 0, а у(х) — некоторое частное решение неоднородного уравнения B), то общее решение уравнения B) имеет вид у(х) = dy^x) + ... + Спуп(х) + у(х), где Ci,..., Сп — произвольные постоянные. Иначе: общее penieHne неоднородного уравнения есть сумма лю- любого частного решения неоднородного уравнения и общего решения однородного уравнения. 2°. Задача Коши. Если требуется найти решение уравнения B), удовлетворяющее условиям у(х0) = у0, у'{х0) = у'о,. •., ^^"^(^о) =
§ 2 ] Линейные неоднородные уравнения 93 = 2/о ~ > т0 гов°рят, что для уравнения B) поставлена начальная задача или задача Коши и записывают ее в виде: (х ) = '(x)='f П (п~1Нх\= (п} ^ Теорема 11. Если функции a,i(x), г = l,n, u функция f(x) непре- непрерывны на интервале X, то решение начальной задачи D) существу- существует и единственно всюду на X. Пусть г/1 (ж),..., уп(х) — нормальная (при х = xq) фундаменталь- фундаментальная система решений однородного уравнения Ly = 0. Тогда решение задачи Коши уЫ + oi(ж)»^-1) + ... + an{x)y = f(x), у(х0) = Аи у'Ы = А2, ..., гЛ-^Ы = Ап мож:ет быть представлено в виде у = А1у1(х) + А2у2(х) + ... + Лг2/п(ж) + 2/(я), E) где у(ж) — частное решение неоднородного уравнения B), удовлетво- удовлетворяющее нулевым начальным условиям. Если известна фундаментальная система решений однородного уравнения, то построение частного решения неоднородного уравнения сводится к квадратурам, т. е. к интегрированию известных функций. Общими методами построения решения уравнения B) на базе фундаментальной системы решений соответствующего однородного уравнения являются метод вариации постоянных и метод Коши. 3°. Метод вариации постоянных (метод Лагранжа). Пусть известна фундаментальная система решений у\{х),..., уп{%), а значит, и общее решение однородного уравнения Ly = 0: г=1 где Сi — постоянные. Решение неоднородного уравнения B) ищем в виде F) т. е. считаем d не постоянными, а некоторыми функциями перемен- переменной ж, подлежащими определению.
94 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 Для определения Ci(x) имеем систему уравнений С'1{х)у1 + С'2{х)у2 + ... + С'п{х)уп = О, С'Му^ + С'2(х)у'2 + ... + С'п{х)у'п = О, G) С[{х)у{Г2) + С'2(х)у(Г2) + ¦¦¦ + С'п{х)у?-2) = О, С[{х)у^-Х) + С2(х)уBп-г) + ... + C'n(x)y?-V = f(x). Это — линейная неоднородная система алгебраических уравнений относительно С[(х), определитель которой отличен от нуля, так как является определителем Вронского фундаментальной системы реше- решений. Поэтому система G) имеет единственное решение откуда Ci(x) находятся интегрированием: С№) = \ \A /(Ж) dx + ^> ^ = C0I1St * (8) Здесь А(х) — определитель Вронского фундаментальной системы решений 2/i(#),... ,2/п(#), ^ш(х) — алгебраическое дополнение г-го элемента последней строки этого определителя. Подставляя найденные Ci{x) в искомый вид решения F), получаем общее решение неоднородного уравнения B) в виде у(х) = C±yi(x) + ... + Cn2/n(ar) + ^2/г(д?)[ д/дТ f(x)dx. г=1 Полагая С\ = ... = Сп = 0, находим частное решение неоднород- неоднородного уравнения B): (9) Замечание 1. На практике запоминать подынтегральное выра- выражение в (9) нет необходимости, так как оно непосредственно получа- получается в результате решения алгебраической системы G) относите ль- но СЦх). Выбирая в (9) одну из первообразных вида <%, (Ю)
§2] Линейные неоднородные уравнения 95 получаем частное решение уравнения B), удовлетворяющее в точ- точке х = хо нулевым начальным условиям у(хо) = yf(xo) = ... = = у(п~1\хо) = 0. В этом молено убедиться непосредственным диф- дифференцированием формулы A0) с использованием условий G) и вида С[{х). U 4°. Метод Коши. Зная фундаментальную систему решений 2/i(ж),..., уп(х) однородного уравнения Ly = 0, можно построить решение следующей специальной задачи Коши: y , у@ = о, у'@ = о, ..., 2/(»-2) (О = о, Ц (О = 1 (и) с начальными условиями в некоторой произвольной точке х = ?. Решение такой задачи зависит от ?, как от параметра. Обозначим это решение К(х^). Функцию К(х, ?) называют функцией Коши уравнения Ly = /. Естественно искать функцию Коши — решение задачи A1) — в виде — параметр. A2) Ясно, что такая функция по переменной х удовлетворяет уравне- уравнению Ly = 0. Подставляя К(х, ?) искомого вида в начальные условия задачи A1), получаем алгебраическую систему для определения Сг(?), аналогичную G), откуда A3) где, как и в формуле (8), Д(?) — определитель Вронского системы функций 2/i(?)>••• >2/n@> ^ni@ — алгебраическое дополнение г-го элемента последней строки. Для функции Коши с учетом A2) и A3) получается выражение An» (fl 1 = 1 Уг{х). A4) Формулу A4) удобно записать в виде 2/1 @ №@ 2/» ( уГ2)(О Hi ( Т\ У1\х) У2(х) Уп{х) A5) Числитель представляет собой определитель Вронского Д(?) си- системы функций 2/i@? • • • ? Vn(i), B котором последняя строка заменена
96 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 функциями 2/i(ж),..., уп(х). В п — 1 строке всюду — аргумент ?, в последней строке — аргумент х. Зная функцию Коти, молено получить частное решение уравнения Ly = / в виде формулы Когии: у{х)= JK(x,O№dt A6) х0 или, с учетом A4): х0 Непосредственная проверка показывает, что функция у(х) ви- вида A7) является решением уравнения Ly = /, а в точке х = хо, как и функция A0), удовлетворяет нулевым начальным условиям: у(х0) = у'(х0) = ... = у^-^Ы = 0. Замечание 2. Легко заметить сходство формул A0) и A7), сво- сводящихся одна к другой перестановкой порядка суммирования и инте- интегрирования. ? Замечание 3. Видно, что подстановка в интегралы в форму- формулах A6) и A7) нижнего предела ? = xq дает некоторые постоянные, умножающиеся затем на у%(х) — решения однородного уравнения Ly = 0. Иначе говоря, подстановка нижнего предела дает некоторое решение однородного уравнения. Поэтому, если нужно найти какое-нибудь частное решение урав- уравнения Ly = /, достаточно в формулах A7) и A6) ограничиться подстановкой верхнего предела. Символически можно для такой цели записать формулы вычисле- вычисления у(х) в виде: y{x) = J2yt(x)J^№)dt A8) ?, A9) либо просто использовать знак неопределенного интеграла для обо- обозначения какой-нибудь первообразной. Отметим, что полученные таким образом частные решения мо- могут не удовлетворять нулевым начальным условиям, как полученные по формулам A6) и A7). ?
§ 2 ] Линейные неоднородные уравнения 97 Функцию Коши называют также импульсной функцией или функ- функцией влияния мгновенного единичного источника. Рассмотрим неод- неоднородное уравнение со "сосредоточенной" правой частью. !/<"> + ai(x)yln-V + ... + ап(х)у = 6(х - Х1) B0) F(х — Х\) — функция Дирака) с нулевыми начальными условиями. Решение уравнения B0) по формуле A6) имеет вид х0 < х < х. у(х) = К(х, ?N(? - xi) d? = К(х, Следовательно, K(x,xi) имеет смысл функции, описывающей влия- влияние на точку х единичного воздействия, происшедшего в точке х\. Влияние на точку х точечных воздействий, распределенных по ин- интервалу (хо,х) с плотностью /(ж), дается интегралом A6). Замечание 4. В физической литературе функцию Коши также часто называют функцией Грина для начальной задачи, так как по физическому смыслу функции влияния сосредоточенного источ- источника она аналогична функции Грина краевой задачи (см. гл. V). ? Замечание 5. Метод вариации постоянных и метод Коши явля- являются общими методами построения частного решения неоднородного уравнения на базе фундаментальной системы решений соответствую- соответствующего уравнения. В ряде частных случаев, например, в линейных уравнениях с по- постоянными коэффициентами и специальными правыми частями, ши- широко применяется также подбор частного решения неоднородного уравнения методом неопределенных коэффициентов. ? 2. Примеры решения задач 1. Найти общее решение неоднородного уравнения Л Убедимся непосредственной подстановкой, что функции у\(х) = = sin х и 2/2 (ж) — cos ж удовлетворяют однородному уравнению у" + + у = 0. Их определитель Вронского отличен от нуля (найдите его), поэтому эти функции образуют фундаментальную систему решений. Нетрудно подобрать частное решение данного уравнения в виде у(х) = 1. Следовательно, общее решение неоднородного уравнения у" + у = = 1 имеет вид у = С\ sin х + С2 cos х + 1. ? 4 А. Б. Васильева, Г. Н. Медведев
98 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 2. Найти методом вариации постоянных общее решение неодно- неоднородного уравнения у" + у = /(ж), где/(ж) = gjp B1) А Фундаментальную систему решений соответствующего однород- однородного уравнения у" + у = 0 образуют функции yi(x) = sinx и У2(х) = cosх. Общее решение однородного уравнения имеет вид у = = С\ sin х + С2 cos ж. Общее решение неоднородного уравнения B1) ищем в виде у = = С\{х) sin ж + С2(#) cos х, т. е. считаем теперь С\ и С2 функциями ж, подлежащими определению. Для определения С\(х) и С2(х) имеем систему уравнений С[(х) sin ж + С 2 cos ж = 0, , . /(ж) Система B2) имеет единственное решение, так как ее определитель (вронскиан функций sin х и cos х) равен — 1: С[(х) = cosх • /(ж), С'2(х) = — sinх • /(ж), откуда d {х) = cos xf (x) dx + Ci, r _ B3) С2(ж) = (— sin x) f(x) dx + C2 (Ci и С2 — произвольные постоянные). Вычисляя С\(х) и С2(х) для /(ж) = . и подставляя их в ис- sin х комый вид решения, получаем общее решение неоднородного уравне- уравнения B1) в виде у = (Ci + In I sin#|) sinx + (С2 — x) cos x. Если в B3) положить С\ = C2 = 0 и подставить получившиеся С±(х) и С2(х) в искомый вид решения, то получится частное решение неоднородного уравнения B1): у = sin х • In I sin x I — x cos x. B4) ? 3. Найти методом Коши частное решение у{х) неоднородного уравнения y" + y = f(x), где f(x) = ^, B5) удовлетворяющее нулевым начальным условиям у(хо) = 0, yf(xo) = 0.
§ 2 ] Линейные неоднородные уравнения 99 Л Метод Коши состоит в представлении частного решения у(х) неоднородного уравнения в виде х у{х) = J К(х, 0/@ <% (формула Коши), B6) где К (ж, 0 ~~ функция Коши, для построения которой достаточно знать фундаментальную систему решений однородного уравнения. Рассмотрим построение функции Коши для уравнения B4). Способ 1. Согласно G) найдем функцию Коши как решение одно- однородного уравнения у" + у = 0 в виде К(х,?) = Сг @ sin x + С2@ cos x B7) (? — параметр), удовлетворяющем специальным начальным условиям #(*,OU=€ = 0, K'x{x,?)\x=t = l. B8) Подставляя искомый вид B6) в условия B7), получаем алгебраи- алгебраическую систему для определения Ci(?)j ^2@: откуда находим Ci(?) = cos?, C2@ = - sin^ и К(х,?) = sin(x - 0- Частное решение имеет вид X у(х)= Jsm(a:-O/(O^- B9) Конкретный вид у при /(ж) = -Л— будет вычислен нилсе. sin х Способ 2. Функция Коши может быть также найдена по форму- формуле A5): sin 4 cos t sin ж sin 4 cos I cos ? — sin ? откуда K(x,?) = — (sin ? cos x — sin ж cos 0 = sin(x — 0- Вернемся к общим свойствам и конкретному виду решения B9) уравнения B5). Непосредственно убедимся, что частное решение B9) удовлетворя- удовлетворяет нулевым начальным условиям у(хо) = 0, yf(xo) = 0. Действительно,
100 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 у(хо) = 0, так как совпадают пределы интеграла, а X х0 х0 = sm(ar - х)№ + | 008@; - 0/@ = О- ж0 Подставляя в B9) F(?) = -Л-^ и вычисляя интеграл, находим конкрет- sin ц ный вид частного решения для заданной правой части уравнения B5): у(х) = J sm(x - 0^ d€ = sinx J ЦЩ d? - cos? J d? = x0 x0 x0 = sinx[ln | sinx| — In I sinxo|] — cos ж • (x — xq) = = sin x In I sin x I — x cos x — [sin x • In | sin xq | — xq • cos ж]. C0) Частное решение C0) совпадает с B4) с точностью до частного ре- решения однородного уравнения sin x • In | sin xq \ + cos x • xq (линейная комбинация функций фундаментальной системы решений с конкрет- конкретными числовыми коэффициентами). Если нужно получить какое-нибудь частное решение неоднород- неоднородного уравнения B5) (не обязательно удовлетворяющее всем нулевым начальным условиям), в методе Коши достаточно ограничиться под- подстановкой только верхнего предела ? = х: X у{х) = sin(x — ?)-J^-т dt; = sinx • In | sinx\ — x cos x j sms (см. замечание 3). Итак, по фундаментальной системе решений однородного урав- уравнения строится функция Коши К(х,?), после чего частное решение неоднородного уравнения для заданной правой части f(x) находится квадратурой C0). ? Замечание 6. В данном примере функция Коши К(х, ?) = = sin(x—?) является функцией разности х — ? своих аргументов. Это — свойство функции Коши уравнений с постоянными коэффициентами (см. об этом подробнее § 3 гл. IV). ? 4. Найти решение задачи Коши для уравнения с начальными условиями у(хо) = уо, yf(xo) = yf0.
§ 2] Линейные неоднородные уравнения 101 Л Общее решение уравнения C1), согласно предыдущим приме- примерам, имеет вид у = С\ sin х + С2 cos x + 2/(ж), C2) где у(х) = sin ж [In | smx\ — In | sinxo|] — cos ж • (х — xq) — частное реше- решение уравнения C1), удовлетворяющее нулевым начальным условиям у(х0) = у(х0) = 0 (см. пример 3). Подставляя C2) в начальные условия у(хо) = уо, у'{хо) = т/0, получаем систему для определения С\ и^: С\ sin х0 + С2 cos ж0 + у(ж0) = уо, - С2 откуда с учетом того, что у(хо) = yf(xo) = 0, находим Ci = 2/0 sin хо + Уо cos ж0, = 2/о cos хо - у'о sin ж0. Подставляя С\ и С2 в C2), имеем 2/ = 2/о cos(x - ж0) + Уо sin(^ - хо) + у(ж). C3) Отметим, что решение C3) имеет вид E), откуда следует, что функции 2/i = cos(x — хо) и 2/2 — sin(x — #o) образуют нормальную (при х = Хо) фундаментальную систему решений уравнения у" + у = = 0. Действительно, эти функции имеют при х = Хо единичную матри- матрицу начальных значений: (xo) У2(хо)\ = ( cos(x-xo) sin(x-xo)\ = (\ 0\ у[(хо) УГ2(хо)) \-sm(x-xo) cos(x - хо)Jх_х \0 1 5. Построить функцию Коши для уравнения х2у" + xyf + (х2 -п2)у = 0 C4) при п = А и решить с ее помощью неоднородное уравнение х2у" + V + (ж2 - 1)г/ = х3 + |х. C5) Л Уравнение C4), называемое уравнением Бесселя, широко рас- распространено в математической физике. В общем случае при произ- произвольном п оно неразрешимо в элементарных функциях. Для отыскания фундаментальной системы решений однородного уравнения C6)
102 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 введем новую неизвестную функцию z, связанную с переменными х и у соотношением у = -^=. Вычисляя производные у' и у" и подстав- ляя их в уравнение C6), получаем относительно z уравнение z" + z = 0, для которого фундаментальную систему решений образуют функции zi(x) = sin ж и Z2(x) = cos ж. Таким образом, фундаментальную систему решений исходного уравнения Бесселя C4) образуют функции Функцию Коши для уравнения C5) найдем по формуле A5): где sin x cos x 1 1 cos ^ — sin ? — 2? sin ? — cos В отличие от предыдущего примера функция Копей уравнения с переменными коэффициентами не является функцией разности х — ? своих аргументов. Обратим внимание на то, что формула A6), выражающая решение неоднородного уравнения A) через функцию Коши К(х,?) и правую часть /(ж), выведена для уравнения A) со старшим коэффициентом, равным единице. Поэтому для определения вида правой части f(x) перепишем C5) в требуемом виде B), деля на х2: 4х2)У ~ откуда f(x) = х+ ^.
§ 2 ] Линейные неоднородные уравнения 103 Подставляя К(х,?) = имеем и /(?) = ?+ |? в формулу A6), {х) = J -^ V^sin^ - О (С + ^ Интегрируя по частям, получаем у[х) = -±= ж0 Видно, что сумма интегралов, не выражающихся в элементарных функциях, равна нулю. Итак, окончательно = х _ C7) Молено убедиться, что искомое решение C7) удовлетворяет нуле- нулевым начальным условиям у(хо) = yf(xo) = 0. П 3. Задачи для самостоятельного решения Построить функции Коши (желательно различными способами) для следующих уравнений. Предварительно найти фундаментальную систему решений, зная одно частное решение. 3.2.1. A + х2)у" + ху' - у = 0, У1 = х. 3.2.2. х2у" -ху-Зу = 0,у!= х3. 3.2.3. (х - iy - ху' + у = 0, У1 = х. 3.2.4. у" + 2/; + е-2ж2/ = 0, 2/i = cos(e-^). 3.2.5. 2//; - 2/; + г/е2ж = 0, уг = sin(e^). 3.2.6. х(х - 1)у" - {2х - 1)у' + 2у = 0 Методом вариации постоянных и методом Коши (используя функ- функции Коши, найденные в предыдущей задаче) найти общие решения следующих уравнений. 3.2.7. A + х2)у" + ху' - у + 1 = 0, 2/i = х. 3.2.8. х2у" - ху' -Зу = 5ж4, уг = х3. = х2.
104 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 3.2.9. (х - 1)у" -ху' + у = (х- 1)V, У1 = х. 3.2.10. у" + у' + е~2жг/ = е~3ж, г/i = cos^e"*). 3.2.11. у" - у' + ?/е2ж = же2ж - 1, 2/i = sin(es). 3.2.12. ж(ж - 1J//; - Bх - 1)у' + 2у = х2Bх - 3), ух = х2. Ответы 3.2.1. (Жу/ГТ^-?уТТ^)уТТе 3.2.2. ^f .3.2.3. 3.2.4. e^sin(e-^-e-^). 3.2.5. е-*8ш(ех-е*). 3.2.6. ^^^ Щ- 3.2.7. j/ = Сгх + С2л/1 + ж2 + 1. 3.2.8. г/ = Cix3 + Щ- +х4. 3.2.9. г/= = С1х + С2ех + ^ -^еж. 3.2.10. 2/ = Ci cos(e-*) + C2 si^e-^ + e^. 3.2.11. 2/ = С1СО8(еж) + С28т(еж)+ж. 3.2.12. у = Сгх2 + С2Bх- 1) + § 3. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами 1. Основные понятия и теоремы 1°. Построение общего решения. Линейным однородным уравнением п-ro порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида Ly = у{п) + ai2/(n-1} + ... + an_i2/' + an2/ = 0, A) где a^, г = l,n, — постоянные (вообще говоря, комплексные). Уравнение n-й степени М(А) = An + aiAn-1 + ... + an_iA + an = 0 B) называется характеристическим уравнением уравнения A) или опе- оператора L, а многочлен М(А) — характеристическим многочленом. Вид общего решения уравнения A) определяется видом корней характеристического уравнения (характеристическими числами) и их кратностью. Рассмотрим возможные случаи. 1. Каждому простому корню А (вещественному или комплексно- комплексному) отвечает частное решение уравнения A).
§ 3 ] Однородные уравнения с постоянными коэффициентами 105 2. Каждому корню Л (вещественному или комплексному) кратно- кратности т > 1 отвечают т частных решений еЛж, хеХх, ..., хш~1еХх уравнения A). 3. Если коэффициенты уравнения A) вещественные, то комплекс- комплексные корни уравнения A) будут попарно комплексно-сопряженными: Ai52 = ol ± i/З. В этом случае паре простых комплексных корней а ± i/З могут соответствовать два вещественных частных решения еах cos/Зх, еах s'm/Зх, а каждой паре комплексных корней а ± i/З кратности т могут соот- соответствовать 2т вещественных решений eaxcosf3x, xeaxcosf3x, ..., хт-1еах cos/Зх, eaxsinpx, xeaxsinpx, ..., хт-1еах бш/Зх. Фундаментальную систему решений уравнения A) образуют п частных решений, отвечающих всем корням характеристического уравнения с учетом их кратности. Таким образом, линейные однородные уравнения с постоянны- постоянными коэффициентами всегда интегрируются в элементарных функ- функциях, а построение фундаментальной системы решений сводится к алгебраическим операциям (решению алгебраического характери- характеристического уравнения). 2°. Задача Коши. Решение задачи Коши для уравнения Ly = 0 удовлетворяет уравнению Ly = 0 и начальным условиям у(х) |Ж-Жо=о=^ь у'(х) |Ж-Жо=о=^2, ..., ?/(п)(^) \х-хо=о= Ап- C) Отметим одно полезное свойство решения задачи Коши для одно- однородного уравнения с постоянными коэффициентами: решение задачи Коши для уравнения Ly = 0 с начальными условиями C) в точке х = xq имеет вид у(х,хо) = z(x — xq), т.е. зависит только от разности своих аргументов. Действительно, переходя в A) и C) к новым переменным t и z(t) по формулам х — хо = t, y(t + xo) = z(t) (xo — параметр), получаем для z(t) в силу постоянства коэффициентов оператора L то же самое уравнение Lz = 0 с начальными условиями z(t) \t=0= Au z'(t) \t=0= A2, ..., z(n-l\t) |t=0= An, D)
106 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 заданными в точке t = 0. Будем называть такую задачу задачей Коши с условиями в нуле. Решение исходной задачи Коши для уравнения Ly = 0 с началь- начальными условиями C) имеет вид у(х) = z(t) = z(x-x0). Таким образом, для получения решения задачи Коши для уравне- уравнения A) с постоянными коэффициентами и начальными условиями C) в точке х = хо молено сначала решить задачу Коши с условиями в нуле D), что приводит к более простым уравнениям для определения коэффициентов в общем решении, а затем в найденном решении z(t) положить t = х — xq. 3°. Нормальная фундаментальная система решений. От- Отметим, что и для построения нормальной (при х = хо) фундамен- фундаментальной системы решений уравнения Ly = 0 удобно сначала решить задачу Коши с условиями в нуле для уравнения Lz = 0 с начальными условиями D). Затем для получения функции z\(t) надо положить в найденном решении Ах = 1, А2 = 0, А3 = 0, ..., Ап = 0. Для получения функции Z2(t) надо положить в найденном решении Аг = 0, А2 = 1, А3 = 0, ..., Ап = 0 и т.д. Начальными условиями, определяющими функцию zn(i), будут Ах = 0, А2 = 0, А3 = 0, ..., Ап = 1. На практике удобнее, группируя слагаемые, придать решению за- задачи Коши с условиями в нуле D) вид z(t) = AlZl(t) + A2z2(t) + ... + Anzn{t), E) который и определит вид функций zi(i), z2(t),..., zn(i), образующих нормальную (при t = 0) фундаментальную систему решений уравне- уравнения Lz = 0. Нормальную (при х = х$) фундаментальную систему решений уравнения Ly = 0 образуют функции уг(х) = zx{x - хо), у2(х) = z2(x - х0), ..., уп(х) = zn(x - х0). 4°. Уравнение Эйлера. Линейное уравнение вида хпу^ + сцж'-У'-1) + ... + а„_1Ж2/ + апу = 0, F) где ai = const, г = 1,п, называется уравнением Эйлера.
§ 3 ] Однородные уравнения с постоянными коэффициентами 107 Частное решение уравнения Эйлера ищется в виде у = хг. После подстановки этой функции в F) получается характеристическое урав- уравнение для определения г. Вид общего решения уравнения F) определяется видом корней характеристического уравнения (характеристическими числами) и их кратностью. Каждому простому корню г отвечает частное решение уравнения F). Каждому корню г кратности т отвечают т частных решений xr In ж, ..., хг(\п.х \ТП—1 уравнения F). Если коэффициенты уравнения F) вещественные, то комплекс- комплексные корни уравнения F) будут попарно комплексно-сопряженными: r12 = a±i/3. В этом случае паре простых комплексных корней a ±i/3 могут соответствовать два вещественных частных решения: а каждой паре комплексных корней а ± i/З кратности т могут соот- соответствовать 2т вещественных решений: Такой вид частных решений уравнения Эйлера следует из того, что замена независимой переменной х = е* (х > 0) сводит F) к урав- уравнению с постоянными коэффициентами, имеющими частные решения вида eXt. 2. Примеры решения задач 1. Составить фундаментальную систему решений некоторого дифференциального уравнения, если известно, что его характеристи- характеристическое уравнение имеет корни а) Ai = 3 кратности mi = 1 и А2 = — 3 кратности гп2 = 2; б) Х1 2 = 2 ± Зг кратности mi?2 = 1 и Аз,4 = 3 ± 4г кратности Ш3,4 = 3. А а) Корню Ai = 3 кратности mi = 1 соответствует одно частное решение у\(х) = е3ж, а корню А2 = —3 кратности m<i = 2 соответству- соответствуют два линейно независимых частных решения У2(х) = е~3ж и уз(х) = = хе~3х. Таким образом, фундаментальную систему решений такого
108 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 дифференциального уравнения составляют функции У1 (х) = е3х, у2 (х) = е~3х, уз (х) = хе~3х. б) Первый вариант. Корням Ai52 = 2 ± Зг кратности mi^ — 1 соответствуют комплексные частные решения а корням Аз,4 — 3 ± 4г кратности тз,4 — 3 соответствуют шесть комплексных частных решений Ув(х) = еC^, уг(х) = хе<3-^*, у8(х) = х2е^~^х. Второй вариант. Корням Ai52 = 2 ± — г кратности mi^ — 1 соответствуют 2 действительных частных решения = е2х cos3x, 2/2(ж) = е2ж sin3x, ± 4г кратности 777,3,4 = 3 соотв ных решений 2/з(ж) = е3ж cos4x, 2/4(ж) = же3ж cos4x, уь(х) = а корням Аз,4 = 3 ± 4г кратности 777,3,4 = 3 соответствуют шесть действительных частных решений 2/6(#) — е3ж sin4x, 2/7B?) = же3ж sin4x, 2/8B?) = х2е3х В калсдом из возможных вариантов фундаментальную систему ре- решений образуют восемь линейно независимых частных решений. ? 2. Найти однородное дифференциальное уравнение и его фунда- фундаментальную систему решений, если известно, что характеристическое уравнение имеет вид А4 + 4А2 = 0. А Учитывая структуру характеристического уравнения, в котором каждое слагаемое Хк отвечает производной у^к\ находим, что дан- данное характеристическое уравнение соответствует дифференциально- дифференциальному уравнению у^ + 4т/2) = 0. Уравнение А4 + 4А2 = 0 имеет корни Ai = 0 кратности mi = 2 и комплексно-сопряженные корни А2,з = ±2г кратностей Ш2,з = 1- Таким А/, соответствуют частные решения, образующие фундамен- фундаментальную систему 2/i {х) = 1, у2(х) = х, у3(х) = e2ix, у4{х) = e~2ix или, в действительной форме, 2/i B?) = 1, 2/2B?) = ж, 2/з B?) = cos2x, 2/4B?) = sin2x. ?
§ 3 ] Однородные уравнения с постоянными коэффициентами 109 3. По данной фундаментальной системе решений у1(х) = 1, у2{х) = х, у3{х)=х2, у4{х) = e'sinx, у5(х) = ех cosx составить соответствующее этой системе однородное дифференциаль- дифференциальное уравнение. Л Первые три функции являются частными решениями, отвечаю- отвечающими корню характеристического уравнения Ai = 0 кратности mi = = 3, а последние две функции отвечают корням Л2,з = 1=Ьг кратностей т2,з = 1- Характеристическое уравнение с такими корнями имеет вид Л3[Л - A + г)][А - A - г)] = А3(А2 - 2А + 2) = А5 - 2А4 + 2А3 = 0, а соответствующим ему дифференциальным уравнением будет 4. Для дифференциального уравнения у'" — Зт/ -\-2у = 0 выписать характеристическое уравнение, найти кратности его корней и напи- написать общее решение. Л Характеристическое уравнение для данного дифференциального имеет вид А3 - ЗА + 2 = А3 - А - 2А + 2 = А(А2 - 1) - 2(А - 1) = = (А - 1)(А2 + А - 2) = (А - 1J(А + 2), откуда Ai,2 = 1, miJ = 2, А3 = -2, m3 = 1. Таким корням с учетом их кратности соответствуют частные ре- решения 2/i (ж) = ех, j/a (ж) = хех, у3 (х) = е~2х. Общее решение имеет вид у(х) = Схех + С2хех + С3е~2х. ? 5. Для дифференциального уравнения у^ + 2уB"> + у = 0 вы- выписать характеристическое уравнение, найти кратности его корней и написать общее решение. А Характеристическое уравнение для данного дифференциального имеет вид А4 + 2А2 + 1 = (А2 + IJ = 0, откуда Ai?2 = =Ьг, mi?2 = 2. В комплексной форме таким кратным корням соответствуют частные решения 2/i (ж) = eix, у2{х) = xeix, у3(х) = e~ix, у4(х) = xe~ix, а общее решение имеет вид у(х) = deix + C2areia: + C3e~ix + i
110 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 Так как данное дифференциальное уравнение имеет веществен- вещественные коэффициенты, то комплексные корни являются комплексно- сопряженными, поэтому допустима следующая вещественная форма частных решений вида Общее решение в этом случае имеет вид у{х) = С\ cos х + С2х cos x + С3 sin x + С±х sin x. ? 6. Решить задачу Коши У" - 9г/ = 0, G) А2. (8) Л Решить сначала задачу Коши с условиями в нуле, приводящую к более простым уравнениям для определения коэффициентов. Задача Коши с условиями в нуле, соответствующая G) и (8), имеет вид z" - 9z = 0, (9) z@)=Au zf@) = A2. A0) Подставляя общее решение (9) z(t) = C±e3t + C^~zt в начальные условия A0), получаем систему для определения С\ и С2'- C2=AU 3d-3C2 =A2, откуда 6Ci = 3Ai + А2, 6С2 = 3^1 - Л2 и z(^) = 1 CЛ1 + ^2)e3t + lCAi - ^2)et. A1) Решение задачи Коши G), (8) получаем, полагая в A1) t = х — х^\ у(х,х0) = z(x-xo) = \{?>А1^А2)е^х-х^Ч\{?>А1-А2)е-^х-х^. A2) П 7. Найти нормальные (при t = 0 и при ж = хо) фундаментальные системы решений уравнения у" — 9у = 0. Л Приведем решение задачи Коши с условиями в нуле A1) к ви- ДУ E): z(t) = A1-he3t + e-3t) + A2-Ue3t-e-3t) = AlChM + A2-±shM. A3)
§ 3] Однородные уравнения с постоянными коэффициентами 111 Множители при А\ и А2 как раз и являются функциями, образую- образующими нормальную (при t = 0) фундаментальную систему решений уравнения (9): Z! (t) = ch 3t, z2 (t) = | sh 3t. A4) Полагая в A4) t = x — xo, получаем нормальную (при x = x$) фундаментальную систему решений уравнения G): у1(х) = сЬЗ(ж - х0), У2{х) = g sh(x - х0)- Замечание 1. Пунктуальное приведение решений задачи Коши с общими начальными условиями А\ и А<± к виду A1) или A2) было нужно для последующего определения нормальной фундаментальной системы решений из вида A3). ? Для решения конкретной задачи Коши нет необходимости решать ее в общей постановке, а затем подставлять конкретные числовые значения начальных условий. Пусть имеем задачу Коши у" - 9у = 0, у(х0) = 1, у'(х0) = 2. A5) Соответствующая задача Коши с условиями в нуле имеет вид z" - 9z = 0, *@) = 1, z'@) = 2. Для определения коэффициентов С\ и С2 в общем решении z(i) = = Cie3t + C2e~3t имеем систему С2 = 1, 3d - ЗС2 = 2, откуда d = |, С2 = \ и *(*) = (§)«*+ (?>-*• A6) Решение задачи Коши A5) получим, полагая в A6) t = х — xq у(х,х0) = (|)е3(ж-ж°) + (l)e-3<*-">>. A7) Ясно, что A1) и A2) переходят соответственно в A6) и A7) при 1 = 1и А2=2. ? 8. Решить задачу Коши у" — 2у' -\- Зу = 0, у(хо) = Ai, y'{xo) = = Л2 и найти нормальные (при t = 0 и при ж = жо) фундаментальные системы решений данного уравнения.
112 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 Л Решим опять сначала задачу Коши с условиями в нуле, что при- приводит к более простым алгебраическим уравнениям для определения произвольных постоянных. Характеристическое уравнение, соответствующее данному диффе- дифференциальному, имеет вид А2 — 2А + 3 = 0, откуда Ai52 = lib г л/2 и общее решение есть z(t) = С\еь С08гл/2-\-С2ег sinty/2. Из начальных условий в нуле z@) = Ai, zf@) = А2 получаем систему, определяющую С\ иС2: Сг=Аг, C2V2 = A2. Таким образом, решение задачи Коши с условиями в нуле есть z(t) = Axel cos ty/2 + А2 • -^е1 sin ty/2. A8) л/2 Решение задачи Коши с теми лее условиями в точке х = xq явля- является функцией разности х — ж о и, следовательно, имеет вид у(х,х0) = z(x-x0) = = А1ех~хо cos((x - xo)V2) + A2 • -^ex~xo sin((x - v2 Решение A8) задачи Коши с условиями в нуле приведено к ви- виду E), поэтому нормальную (при t = 0) фундаментальную систему решений уравнения у" — 2у' + 3 = 0 образуют функции и z2(t) = (^=Vsinfr\/2. B0) Аналогично, используя вид A9) решения задачи Коши с условиями в точке х = Xq или полагая в B0) t = х — хо, находим нормальную (при х = Xq) фундаментальную систему решений уравнения У1{х) = ех~х° со8((ж-ж0)^2), у2{х) = {-^)ех~Хо sm{(x-xo)V2). ? 9. Найти общее решение уравнения х2у" - Ъху1 + Ъу = 0. B1) Л Данное уравнение является уравнением Эйлера. Будем искать решение уравнения B1) в виде у = хг. Подставляя искомый вид в B1), имеем xr[r(r- 1) -Зг + 3] =0. Так как хг ^ 0, то для определения г получаем характеристическое уравнение г2 — 4г + 3 = 0, имеющее простые корни г\ = 1 и г2 = 3, которым отвечают частные решения у\ = ж, у2 = х3. Общее решение B1) имеет вид 3 B2)
§ 3] Однородные уравнения с постоянными коэффициентами 113 Замечание 2. Напомним, что замена независимой переменной х = е* приводит уравнение B1) к уравнению с постоянными коэф- коэффициентами у - Ц + Зу = 0. B3) ? Общее решение B3) имеет вид у = С\ег + С^е3*, откуда, возвра- возвращаясь к переменной ж по формуле ? = In ж, получаем общее решение уравнения B1) у = С±еЫх + С2е31пж = Ciar + С2х\ П 10. Найти решение задачи Коши хут + 2?/" = 0, B4) 2/(яо) = 1, 2/'Ы = 2, 2/"(*o) = 3. B5) Л Уравнение B4) станет уравнением Эйлера, если записать его в виде жУ" + 2х2у" = 0. B6) Разыскивая решение B6) в виде у = жг, приходим к характеристи- характеристическому уравнению г(г - 1)(г - 2) + 2г(г - 1) = 0 или г2(г - 1) = 0, имеющему корень ri = 0 кратности mi = 2 и корень г2 = 1 кратности 777,2 = 1- Корню ri отвечают два частных решения у\ = ж0 = 1 и г/2 = = ж0 In ж = In ж, корню Г2 отвечает частное решение у% = х. Таким образом, общее решение B4) имеет вид B7) Подставляя общее решение B7) в начальные условия B5), получа- получаем систему для определения С\, С2 и Сз: =2, = 3, откуда С\ = 1 — 2^о + 3^оAпжо — 1), С2 = — 3^q, Сз = 2 + З^о и 2/(ж) = 1 + B + Зжо)(ж - хо) - Зх1(Ых - 1пж0). ? Замечание 3. Отметим, что уравнение Эйлера есть уравнение с переменными коэффициентами, поэтому для него несправедливо
114 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 утверждение о зависимости решения задачи Коши от разности ар- аргументов х — xq. Постановка задачи Коши с условиями в нуле для уравнения Эйлера вообще не имеет смысла, так как х = 0 — особая точка уравнения (в этой точке оно меняет порядок). ? 11. К одному концу пружины прикреплен груз массы т, а второй конец пружины закреплен. В точке с координатой х (отсчитываемой от положения равновесия груза) на груз действует со стороны пру- пружины упругая сила кх, направленная к положению равновесия. Сила сопротивления среды равна Ъх. Найти закон движения груза, если его начальное положение в мо- момент ?о равно жо, а начальная скорость равна vq. Л Обозначим через x(t) положение груза в момент t. Согласно вто- второму закону Ньютона: тх = —кх — Ъх для величины x(t), мы получаем следующую задачу Коши для линейного однородного уравнения: qx = 0, B8) x(t0) = хо, x(t0) = vo, B9) гдер=^, q=± (p^O, q>0). Характеристическое уравнение М(А) = Л2 + рХ + q = 0 имеет корни Ai52 = \{—Р =Ь л/р2 ~ ^я)- По теореме Виета при р ^ 0, q > О вещественные части обоих корней отрицательные или равны нулю. Возможны следующие случаи. 1°. А =р2 -4д< 0. Тогда а) при р = 0 Ai52 = ±^V^- Решение задачи B8), B9) с условиями в нуле имеет вид z(t) = С\ • cos y/qt + С2 sin yjqt, где С\ и Съ определяются из условий z@) = С\ = жо, ^@) = С2л/^ = = v0, откуда d = х0, С2 = ^%. Таким образом, решение задачи Коши B8), B9) в этом случае имеет вид x{t) = х0 cos y/q(t - t0) + -^= sin т. е. груз совершает периодические (гармонические) колебания с ча- частотой yfq и периодом Т = -^L = 2тг./^; б) если р > 0, то Ai52 = -| =Ь г——^ — ~\ \/4д-р2. Рептение задачи Копей B8), B9) с условиями в нуле имеет вид z(t) = e-2*(Ci cos ^t + C2 sin Щ,
§ 3] Однородные уравнения с постоянными коэффициентами 115 где С\ и С2 определяются из условий z@) = С\ = хо, i@) = — § C\ + + ^f = v0, откуда Ci = ж0, С2 = ?;{хоР + 2v0). Таким образом, решение задачи Коши B8), B9) в этом случае имеет вид x(t) = е~ 2 (*-*») [Жо cos |(t - t0) + ^(жор + 2г>0) sin f(t - t т. е. груз совершает затухающие по экспоненциальному закону "пери- "периодические" колебания около точки х = 0 с частотой Ц и периодом гр 4тг 4тг ~ ш ~ yv^F' 2°. А = р2 — 4д = 0. Тогда Ai = — ё, mi = 2 (кратность Ai). Решение задачи Коши B8), B9) с условиями в нуле имеет вид где С\ и С2 определяются из условий *@) = Сг= х0, откуда С\ = жо, С^2 = ^ + ^о- Таким образом, решение задачи Коши B8), B9) в этом случае имеет вид (получается из z(t) заменой t на t—to), т. е. груз совершает затухающее к точке х = 0 апериодическое движение. 3°. А = р2 - 4д > 0. Тогда А1?2 = -| ± ^^ 4g = -f db f, где cj = y/p2 — 4g < p. В этом случае оба корня вещественны и отрица- отрицательны. Решение задачи Коши B8), B9) с условиями в нуле имеет вид z(t) = Cie-^p-u)t + С2е~^р+ш)\ где С\ и С2 определяются из условий откуда Ci =
116 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 Таким образом, решение задачи Коши B8), B9) в этом случае имеет вид W "" 2oj 2oj ' т. е. груз совершает затухающее к точке х = 0 апериодическое движе- движение. ? 3. Задачи для самостоятельного решения Составить фундаментальную систему решений некоторого диффе- дифференциального уравнения, если известны корни А& его характеристи- характеристического уравнения и их кратности га&. 3.3.1. Ai = 1, mi = 1; А2 = 3, m2 = 1. 3.3.2. Ai = 1, т1 = 1; А2 = 3, т2 = 3. 3.3.3. Ai>2 = ±3г, mi>2 = 1. 3.3.4. Ai|2 = ±2г, тм = 2. 3.3.5. Ai|2 = 2±3г, mij2 = 1. 3.3.6. Ai'= 3 =Ь г, mij2 = 2. 3.3.7. Ai = 0, mi = 2; А2 = 1, m2 = 2; А3 = -2, m3 = 1. 3.3.8. Ai = 1 ± г, mi>2 = 1; A2 = 0, m2 = 3. Найти однородное дифференциальное уравнение и его фунда- фундаментальную систему решений, если известно его характеристическое уравнение. 3.3.9. А2 + ЗА + 2 = 0. 3.3.10. А(А + 1)(А-2) =0. 3.3.11. А(А2+А + 1) =0. 3.3.12. (А2 + 4J =0. По данной фундаментальной системе решений составить соответ- соответствующее этой системе однородное дифференциальное уравнение. 3.3.13. е2ж, e~Sx. 3.3.14. е2ж, хе2х, х2е2х. 3.3.15. cos2x, sin2x. 3.3.16. cos2x, sin2x, ?cos2x, xsin2x. 3.3.17. 1, cosx, sinx, еж. 3.3.18. 1, ж, cosx, sinx, еж, жеж. 3.3.19. 1, e^cosx, e^sinx, cosx, sinx. 3.3.20. 1, ежсо8ж, exsinx, жежсо8ж, хех smx. Решить уравнения (характеристические числа вещественные и простые). 3.3.21. у" - Ьу' + бу = 0. 3.3.22. 2/" + Зг/ + 2у = 0. 3.3.23. j," - 2^ - 2г/ = 0. 3.3.24. у'" - 1Ъу* - Yly = 0. 3.3.25. у" - 2у' = 0. 3.3.26. у'" + Зг//; + 2^ = 0.
§ 3] Однородные уравнения с постоянными коэффициентами 117 3.3.27. 2/E) - 1(У" + V = 0. 3.3.28. 2/E) - by + V = 0. Решить уравнения (характеристические числа вещественные и кратные). 3.3.29. у" + 2г/ + г/ = 0. 3.3.30. V + V + У = 0. з.з.31. У^ - бг/D) + V" = о. 3.3.32. 2///; - 32/" + Зу' - 1 = 0. 3.3.33. у1" -у" -yf + y = 0. 3.3.34. г/'" - Зу' + 2j/ = 0. Решить уравнения (характеристические числа мнимые и простые). 3.3.35. у" + у = 0. 3.3.36. 2//; + 9г/ = 0. 3.3.37. 2/D) + 52//; + 42/ = 0. 3.3.38. 2/D) + 102/" + 92/ = 0. Решить уравнения (характеристические числа мнимые и кратные). 3.3.39. 2/D) + 22/" + 2/ = 0. 3.3.40. 2/D) + 82/" + 162/ = 0. 3.3.41. 2/D) + 42/" + 42/ = 0. 3.3.42. 4г/4) + 42/" + 2/ = 0. Решить уравнения (характеристические числа комплексные и про- простые). 3.3.43. у" - Ау' + 52/ = 0. 3.3.44. 2/" + 22/; + 102/ = 0. 3.3.45. г/" - г/' + у = 0. 3.3.46. г/D)+г/ = О. Решить уравнения (характеристические числа комплексные и кратные). 3.3.47. т/D) + 2?/" + Зу" + 2т/ + г/ = 0 (характеристическое уравнение приводится к виду (Л2 + Л + IJ = 0). 3.3.48. ?/4) — 2уг" + 3у" — 2уг -\-у = 0 (характеристическое уравнение приводится к виду (Л2 — Л + 1J = 0). Решить уравнения (комбинированные случаи характеристических чисел). 3.3.49. у'" -8у = 0. 3.3.50. у'" - 2у" + 22/ = 0. 3.3.51. у^ -2/ = 0. 3.3.52. г/4) + 42/" + Зг/ = 0. 3.3.53. 2/^+42/ = О. 3.3.54. 2/^5) + 82/;" + 162/' = 0. 3.3.55. у^ + 2/D) + 22///; + 2^" + у' + 2/ = 0. 3.3.56. 2/G) + 32/F) + 32/E) + г/D) = 0.
118 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 Решить задачи Коши (задачи с условиями, заданными в точках, отличных от нуля, решить с помощью соответствующих задач с усло- условиями в нуле). 3.3.57. у" - by' + Ay = 0, j/@) = у'@) = 1. 3.3.58. у" - Ьу' + 4у = 0, j/B) = у'{2) = 1. 3.3.59. у" - 4у' + Зу = 0, 2/C) = 6, у'C) = Ю. 3.3.60. у'" - 32/" + 32/' - у = 0, у@) = 1, у'@) = 2, у"@) = 3. 3.3.61. у'" - 32/" + 32/' - у = 0, уA) = 1, у'A) = 2, у"A) = 3. 3.3.62. у" - 2у' + Зу = 0, 2/(-1) = 1, у'(-1) = 3. 3.3.63. у'" + у" = 0, 2/B) = 1, у'B) = 0, у"B) = 1. 3.3.64. у" + ш2у = 0, y(t0) = 2/0, J/'(*o) = «о- Решить задачи Коши и найти нормальные (при х = 0 и при ж = = жо) фундаментальные системы решений уравнений, входящих в эти задачи. 3.3.65. у" - by' + 4г/ = 0, 2/@) = 2/о, 2/'(О) = 2/о- 3.3.66. у" - 22/ + г/ = 0, 2/A) = 2/о, 2/41) = г/о- 3.3.67. у" + V + 3?/ = О, 2/Ы = 2/о, 2/'Ы = 2/о- 3.3.68. 2/" - 32/" + 32/' - 2/ = 0, 2/@) = 2/о, 2/'@) = 2/о, 2/"@) = 2/о • 3.3.69. 2//; - 2у' + 32/ = 0, 2/@) = 2/о, 2/;@) = 2/о- 3.3.70. 2///; - 2/; = 0, 2/B) = 2/о, у'{2) = у'о, у"B) = уЦ. 3.3.71. у'" + 2//; = 0, 2/@) = 2/о, 2/'@) = 2/о, 2//;@) = 2/о ¦ 3.3.72. 2//; + cj22/ = О, 2/Ы = 2/о, 2/'Ы = 2/о- Найти общие решения уравнений Эйлера и, где указано, решить задачу Коши. 3.3.73. х2у" + аУ - 2/ = 0. 3.3.74. xV " 4a?2/' + 62/ = 0, 2/A) = 2/;A) = L 3.3.75. х2у" + Зж2/; + 2/ = 0. 3.3.76. хг/" + у' = 0,2/B) = 0,2/42) = 2. 3.3.77. х2ут - Зху" + 32/; = 0. 3.3.78. яУ" = 22/;, 2/(-1) = 1, 2/4-1) = 0, 2/"(-1) = 0. 3.3.79. х2у" + ж2/; + 2/ = 0. 3.3.80. xV - 3^2/' + 5г/ = 0. 3.3.81. (х + 2J2/" + 3(ж + 2J/; - Зу = 0. 3.3.82. (ж + 1)У" - 122/' = 0. Ответы 3.3, siru x si] .1. Ix. i2x е(з-0*: 3.3 exs: - у .7. mx a ex. 3. -. 3 , x> 1, , 1 22 ,е3ж 3.4. .3.5 ж, е , ж, . 3. e2 . e1 o^ 3 ix B- a ж, же x2 0; 1 .2 ¦f3 , 3. xt 1J 3- e 3. e- еж, ,2гж Л)ж -2ж 9. "ж, е3ж , е ИЛ . 3 У" е2х , хе Ju с h)x или 1 [и е3ж .3.8. + Зг/; . 3.3. СО + 11 •2е е2х ( 22/ • 2/' \ 3.3. Е или е3х sii ;, еA" = 0; " + 2/' 3. С( е2' З.Х. > + еЗг: ds2, Е sii xt ' 1, у' с е-3г 13ж. 3, Ж ИЛИ | 2ж, ж i .3.6. е 2 = 0; или еа .3.10. 1, е^ cos3x, ,C+г)ж^ Е sin х. ?COS? 2///;-
§ 3] Однородные уравнения с постоянными коэффициентами 119 е~Х~2 3* или 1, e"f cos ^-х, e"f sin ^ж. 3.3.12. 2/D) + 8у" + 16 = _ q. е2гх^е-2гх^ хе2гх ^ хе~2гх или cos 2ж, sin2x, ж cos 2ж, х sin 2ж. 3.3.13. г/" + г/'-6г/ = 0. 3.3.14. г/'" - 6г/" + 12г/ - 8у = 0. 3.3.15. у" + + % = о. 3.3.16. г/4) + 8г/" + 1бг/ = о. з.з.17. ?/4) - ут + ?/' - г/ = о. 3.3.18. 2/F) - 22/E) + 2у^ - 2ут + 2/" = 0. 3.3.19. 2/E) - 2у^ + + Зг/C) - 22//; + 22/; = 0. 3.3.20. у&) - 4?/4) + V - V + V = 0. 3.3.21. у = de2x + С2е3ж. 3.3.22. у = Схе~х + С2е-2ж. 3.3.23. у = = Cie^1-^* + С2еA+^х. 3.3.24. г/ = Cie"* + С2е4ж + С3е-Зж. 3.3.25. у = d + C2e2x. 3.3.26. г/ = Ci + С2е-Ж + С3еж. 3.3.27. у = = Сг + С2еж + С3е-Ж + С4е3ж + С5е-Зж. 3.3.28. j/ = d + С2еж + + С3е-Ж + С4е2ж + С5е-2ж. 3.3.29. у = de~x + С2же-Ж. 3.3.30. у = = Cie~f +C2xe"f. 3.3.31. j/ = Ci + С2ж + С3ж2 + еж(С1 + С2ж). 3.3.32. у = (d + С2ж + С3ж2)еж. 3.3.33. г/ = (Ci + С2ж)еж + С3е~х. 3.3.34. ?/ = (Ci +С2х)ех +С3е~2х. 3.3.35. у = d cos ж + С2 sin x = = Dxeix+D2e-ix. 3.3.36. у = d cos3x + C2 sin3x = Dxezix +D2e~3ix. 3.3.37. у = d cos ж + C2 sin ж + G3 cos 2x + G4 sin 2ж = ^е*31 +D2e"^ + + Дзе2*ж + ^4e-2^. 3.3.38. у = Cicosx + C2sina; + C3cos3x + + C4sin3a: = Dxeix + D2e~ix + D3e3ix +D4e~3ix. 3.3.39. у = + С2ж cos ж + C3 sin ж + C4x sin ж = Die^ + D2e~ix + ?Kже*ж 3.3.40. 2/ = С^1СО8 2ж + C2xcos2x + ( + D2e-2ix+D3xe2ix+D4xe-2ix. 3.3.41. у = . O.O.4Z. ?/ = Ui COS —^ H~ Lj2X COS —^ H~ O3 Sin —p= -|- ^/2^/2^/2 ¦ Ж _ . Ж . Ж _ . Ж + C4arsin-^= = Die*V2 +LJe * V2 + D3xe V2 +D4xe %^2. 3.3.43. y = V2 f D2e^-^x. 3.3.44. ?/ = ¦f^e^1*^. 3.3.45. у = /1 , . л/3 ч _ A . л/3 ч _ 3.3.46. 2/ = e^(Cicos^x + C2 sin ^ж) + е"^ж (с3 cos . 3.3.47. у = e-f[(Ci + C2x) cos ^x + (C3 + / 1 , -^Зл / 1 -^3\ / 1 , -^3\ sin Y^J = ^ie(" 2+г^")ж + Л2е(~ 2 -*^")ж + Л3же(" 2+г^")ж + . 3.3.48. 2/ = ef [(Ci + C2x) cos ^ж + (С3 + 1 /^ B-^)ж. 3.3.49. 2/ = ^1в2ж + е~х(С2
120 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 3.3.50. 2/ = d + e*(C2cos? + C3sinx). 3.3.51. у = dex + С2е~ж + + Сзсоэж + C4sin#. 3.3.52. у = Cicosx + C2sinx + Сзсоэжл/З + +C4 sin#\/3. 3.3.53. 2/ = еж(С1 cosx+C2 8тж)+е~ж(Сз cosx+C4 sin ж). 3.3.54. у = d + (<^2 + C3x)cos2x + (C4 + C5x)sin2x. 3.3.55. 2/ = = Cie~x + (C2 + Сзж) cos ж + (C4 + Съх) sin 2ж. 3.3.56. y = d+ dx + + С3Ж2 + С4Ж3 + е-ж(С4 + С5ж + С6х2). 3.3.57. 2/ = ex. 3.3.58. 2/ = = p.31-2. a.a.sfl. ?/ = 4рж-3+2р3(ж-3) я.я.en. ?/ = ржп+гтЛ a.a.ei. ?/= 3 4 = ех~2. 3.3.59. ?/ = 6) ^-3). 3.3.60. у = ^ ( 3.3.63. 2/ = 3.3.65. 2/ = - 1)]. 3.3.62. j/ = [ 2)+-(х~2\ 3.3.64. 2/ = - 2/о)е4я: = 2/о • |Dеж ^ = -\{ех - е4х); Vl = l( ), ^ \{ ); Vl ( ), ж-жо)). 3.3.66. у = у^'1 + (-г/0 +у'0)(х- lje* = )ж1) + ( 1)ж1 х хж = е—о _ (ж _ 1; 2/1 = ех - хех, 2/2 = х~х°. 3.3.67. j/ = iC У1 = 1( у2 = \{е~х - \{е - е); У1 = \{ ). 3.3.68. г/ = 2/оеж + е^х-х^ - е~^х~хо -2/о У2 = [(х - х0) - )), = \{х - хъJех-х«. 3.3.69. у = х°, у3 у'о • v 2 1=(уо ~ /2; 2/1 = ° c 1= = у$ех ( л/2 2 ^ , 2/2 = Ц= л/2 2/2 = ^еж - хо)л/2. 3.3.70. у = B/о - 2#) + 1B/& + ^)е-2 - ±Ы - ^)e-(-2) = = 2/0 + 2/osn(x - 2) + Уо1сНх - 2) - 1]; 2/1 = 1» 2/2 = shx, 2/3 = chx - 1; 2/1 = 1,2/2 = sh(x - ж0), 2/3 = ch(x - х0) - 1. 3.3.71. у = (у - у%) + + B/о + 2/о )ж + 2/о ^ = 2/о + 2/ож + 2/о (~1 + х + е"ЖM 2/1 = 1, 2/2 = ж, 2/з = -1 + ж + е"ж; 2/i = 1, 2/2 = ж - ^о, 2/3 = -1 + {х - х0) + е"(ж"Жо). 3.3.72. 2/ = yocosoj(x — х$) + 2/o^sin^(^ — жо); 2/1 = coscjx, 2/2 = = ^ sincjx; 2/1 = coscj(x - #0)> 2/2 = ^ sincj(x - ж0). 3.3.73. 2/ = Cix + + %-. 3.3.74. 2/ = dx2 + C2x3, 2/ = 2x2 - x3. 3.3.75. г/ = l(Ci + + C2 In |ж|). 3.3.76. 2/ = Ci+C2ln|x|, 2/ = -41n2 + 41n|x|. 3.3.77. y = = d+C2x2+C4x4. 3.3.78. г/ = С1 + С2ж3 + G31п|ж|,г/ = 1.3.3.79. г/= = Ci cosln|x| + C2sinln|x|. 3.3.80. у = x2(Ci cosln|x| + C2sinln|x|). 3.3.81. у = d(x - 2) + С2(ж - 2)-3. 3.3.82. у = d + С2(ж + IM + + C3(x + 1)-2.
§ 4] Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 121 § 4. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 1. Основные понятия и теоремы 1°. Метод вариации постоянных и метод Коши. Ли- Линейным неоднородным дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида Ly = 2/W + aiy(n-V + ... + an_i2/ + апу = f(x), A) где cii, г = l,n, — постоянные, f(x) — непрерывная на интервале X функция. Так как фундаментальная система решений линейного однород- однородного уравнения Ly = 0, соответствующего A), всегда может быть построена (для этого надо найти корни характеристического уравне- уравнения), то для интегрирования уравнения A) достаточно найти частное решение уравнения A). Общими методами построения частного решения уравнения A) (как и в случае линейного уравнения с переменными коэффициента- коэффициентами) являются метод вариации постоянных (метод Лагранжа) и метод Коши (см. § 2). Отметим одно полезное свойство функции Коши уравнения A) с постоянными коэффициентами, позволяющее строить ее проще, чем в общем случае, когда коэффициенты уравнения переменные: функ- функция Коши для уравнения A) с постоянными коэффициентами имеет вид т. е. зависит только от разности х — ? своих аргументов. Действительно, согласно определению, функция К(х, ?) при каж- каждом значении параметра ? ? X удовлетворяет по переменной х однородному уравнению LxK(x,?) = 0 и специальным начальным условиям: Переходя к новым переменным t и z(t) по формулам (? — параметр), получаем для z(t) в силу постоянства коэффициентов оператора L то же самое уравнение Lz = 0 с начальными условиями в точке t = 0.
122 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 Таким образом, для получения функции Коши уравнения A) нуж- нужно решить задачу Коши со специальными условиями в нуле Lz{t) = О, *@) = О, *'@)=0, B) *(—2>(о) = о, и в полученном решении z(t) положить t = х — ?: В дальнейшем полезно использовать обозначение К(х — ?). Частное решение уравнения A), удовлетворяющее в точке х = хо нулевым начальным условиям, находится по формуле х у(х)= \K{x-Z)№dt-. C) Напомним, что если нужно найти произвольное частное решение уравнения A), достаточно в формуле C) ограничиться подстановкой верхнего предела. Символически можно для такой цели записать формулу C) в виде D) либо просто использовать знак неопределенного интеграла для обо- обозначения какой-нибудь первообразной. Отметим, что полученное таким образом частное решение мо- может не удовлетворять нулевым начальным условиям, как полученное по формуле C). Подстановка в C) нижнего предела ? = xq дает некоторое решение однородного уравнения. 2°. Метод неопределенных коэффициентов. Для специаль- специального, но важного для приложений вида функции f(x) используется также подбор частного решения уравнения A) методом неопределен- неопределенных коэффициентов (метод Эйлера). Рассмотрим возможные случаи. 1. Пусть:
§ 4] Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 123 1) правая часть уравнения A) имеет специальный вид f{x) = Pq(x)e°x, E) где а — параметр, вообще говоря, комплексный; Pq(x) — многочлен степени q (такую функцию f(x) называют квазимногочленом); 2) Ai,...,A/ — корни характеристического уравнения М(А) = О кратностей mi,..., га/ соответственно (rai + ... + mi = п). Тогда частное решение уравнения A) с правой частью E) ищется в виде y(x)=x*Aq(x)e*x, где: а) s = 0, если А ф А& (к = 1,/), т.е. параметр а не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения М(А) = 0; б) S = 777,fc, еСЛИ <7 = Afc, 777,/. — КраТНОСТЬ КОрНЯ Afc. Здесь Aq(x) — многочлен степени q (той же, что и Pq(x)), кон- конкретный вид которого находится методом неопределенных коэффи- коэффициентов. Искомая форма многочлена Aq(x) должна содержать все степени х от 1 до q. Замечание 1. Если правая часть A) имеет вид f(x) = Pq(x) cos/Зж + Qr(x) sin/Зж, F) то по формулам Эйлера можно перейти от F) к виду E), содержащему экспоненты с комплексными показателями. П 2. Пусть: 1) коэффициенты сц, г = 1,п, уравнения A) вещественные и f(x) = eax[Pq(x) cosCx + Qr(x) sin^ar], Ea) где а л Р — вещественные постоянные; Pq{x) и Qr{x) — многочлены степеней q и г соответственно (такую функцию /(ж) также называют квазимногочленом); 2) Ai,...,A/ — корни характеристического уравнения М(А) = 0 кратностей mi,..., m/ соответственно (mi + ... + m/ = n). Тогда частное решение уравнения A) с правой частью Eа) можно искать без перехода к комплексным функциям в виде у{х) = х3еах(Ар(х) cos/Зж + Вр(х) smCx), G) где а) s = 0, если <т = а + г/3 ф Xk (к = 1,1), т. е. комплексный параметр а = а + i/З не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения М(А) = 0; б) s = тк, если а = а + г^З = А/., га д. — кратность корня А/.. Здесь Ар(х) и Вр(х) — многочлены степени р = max{r, <s}, конкрет- конкретный вид которых находится методом неопределенных коэффициентов.
124 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 Искомая форма многочленов Ар(х) и Вр(х) должна содержать все степени ж от 1 до р. Замечание 2. Используя принцип суперпозиции, бывает полезно для решения уравнений с вещественными коэффициентами Ly = Pq(x)eax cos(Зх, (8) Ly = Pq(x)eaxsmCx (9) рассмотреть уравнение Ly = Pq(x)e^+i^x. A0) Вещественная часть решения уравнения A0) будет решением уравне- уравнения (8), а мнимая часть — решением уравнения (9). ? 3. Остановимся еще на одном частном случае чисто экспоненци- экспоненциальной правой части уравнения A): /О) = Foe™, Fo, a = const. A1) Частное решение уравнения A) с правой частью A1) может быть найдено по формуле у(х) = F"f eax, A2) где: а) s = 0, если <т ^ А& (к = 1,1), т. е. параметр а (вещественный или комплексный) не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения М(Л) = 0; б) s = тk, если а = А&, rrik — кратность корня А&, a Ms(a) — s-я производная по А характеристического многочлена М(А) при А = а. Доказательство см. в примере 12. 4. Неоднородное уравнение Эйлера У") + ... + ап_1Ху' + апу = f(x), где ai = const, г = 1, тг, также допускает отыскание частного решения методом неопределенных коэффициентов при специальном виде пра- правой части. Если правая часть уравнения Эйлера имеет вид /{х)=ххРш{Ых), то после замены независимой переменной по формуле х = е* функция f(x) принимает вид квазимногочлена: К уравнению с такой правой частью применимы рассмотренные ранее способы отыскания частного решения методом неопределенных коэффициентов.
§ 4] Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 125 2. Примеры решения задач 1. Известны характеристические числа Ai = Л2 = 2 и Аз = О неоднородного линейного уравнения с постоянными коэффициентами и его правая часть f(x) = (х + 3)е2ж. Найти вид частного решения этого уравнения. Л Правая часть f(x) имеет вид квазимногочлена E), которому соответствует параметр а = 2, совпадающий с характеристическим числом кратности 2. Степень многочлена в f(x) равна 1. Значит, частное решение надо искать в виде у = х2(Ах + В)ех. ? 2. Определить, в каком виде надо искать методом неопределен- неопределенных коэффициентов частные решения неоднородных уравнений: а) у» + у = ех-, б) yW +2у'" + у" = хех- в) у" + 6у' + 13у = х2е~3х cos 2х. Л а) Характеристическое уравнение А2 + 1 = 0 имеет корни Ai52 = = ±г. Параметр а в формуле E) для правой части ех равен 1, он не совпадает с характеристическими числами, а поэтому частное решение надо искать в виде у = Сех. б) Характеристическое уравнение А4 + 2А3 + А2 = 0 имеет корни Ai 2 = О, A3 = А4 = —1. Параметр а в формуле E) для правой части хе~х равен —1 и совпадает с характеристическим числом кратности 2. Степень т многочлена в квазимногочлене хех равна 1. Значит, частное решение надо искать в виде у = х2(С\ + С^х)е~х. в) Характеристическое уравнение А2 + 6А + 13 = 0 имеет корни Ai?2 = — 3 ± 2г. Параметр а = а + i/З в формуле Eа) для правой части х2е~3х cos 2x равен — 3+2г, он совпадает с характеристическим числом кратности 1. Степень q многочлена в квазимногочлене х2е~3х cosx равна 2. Поэтому частное решение надо искать в виде у = х[(Ах2 + Вх + С) cos 2x + (Dx2 + Ex + F) sin 2x]e~Sx. Отметим, что x2e~3a;cos2x = 11еж2е(~3+2г)ж. Поэтому вместо дан- данного уравнения можно рассмотреть уравнение найти его частное решение в виде y = x(Ax2 + Bx + C)e(-3+2i)x, A3)
126 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 а для получения решения исходного уравнения взять действительную часть A3). ? 3. Используя принцип суперпозиции, определить, в каком виде надо искать методом неопределенных коэффициентов частные реше- решения неоднородных уравнений: а) у" -у-2у = ех + е~2х; 6)yf"-y" = l + ex; в) у^ - 2у'" + 2у" - 2у' + у = 2ех sin2 х + 2 sin х cos 2x. Л а) В силу принципа суперпозиции частное решение данного урав- уравнения имеет вид у = у\ + у2, где у\ — решение уравнения с правой частью ех; у2 — решение уравнения с правой частью е~2х. Характеристическое уравнение Л2 — Л — 2 = 0 имеет корни Ai = 2 и Х2 = —1. Параметры а квазимногочленов ех и е~2х равны 1 и —2. Из них Л = 1 совпадает с характеристическим числом кратности 1. Поэтому частное решение, отвечающее еж, следует искать в виде 2/i = С\хех:, а частное решение, отвечающее е~2х — в виде 2/2 = С2е~2ж. Окончательно для исходного уравнения имеем у = С1хех+С2е-2х. б) В силу принципа суперпозиции частное решение данного урав- уравнения имеет вид у = у\ + 2/2? где 2/1 — решение уравнения с правой частью, равной 1, а 2/2 ~~ решение уравнения с правой частью ех. Характеристическое уравнение Л3 — Л2 = 0 имеет корни Ai = Л2 = = 0 и A3 = 1. Параметры а квазимногочленов 1 и ех равны 0 и 1. Из них сг = О совпадает с характеристическим числом кратности 2, а а = 1 совпадает с характеристическим числом кратности 1. Поэтому частное решение, отвечающее 1, следует искать в виде у1 = Сх2, а частное решение, отвечающее еж, — в виде у2 = С2хех. Окончательно для исходного уравнения имеем у = dx2 + С2хех. в) Правая часть уравнения допускает преобразование к сумме квазимногочленов: 2ех sin2 х + 2 sin ж cos 2ж = еж — еж cos 2ж — sin х + sin Зж. В силу принципа суперпозиции частное решение данного уравне- уравнения имеет вид у = у\+у2+у<$+у^ где уг,У2,Уз,У4 — решения уравнений с правыми частями, равными квазимногочленам еж, — ех cos 2ж, — sin ж, sin3x соответственно. Характеристическое уравнение А4-2А3+2А2-2А+1 = (А - 1J(А2 + + 1) имеет корни Ai = A2 = 1, A3,4 = =Ь*- Параметры а квазимного- квазимногочленов еж, — ех cos 2х, — sin ж, sin3x равны 1,1 + 2г, г, Зг соответственно, из которых 1 совпадает с характеристическим числом кратности 2, а г — с характеристическим числом кратности 1.
§ 4] Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 127 Поэтому частные решения следует искать в виде 2/i = С\х2ех:, ?/2 = (C2cos2x + С38ш2ж)еж, 2/з = х(С± cos ж + С5 sin ж), 2/4 = Сб cos Зж + CV sin Зх. Окончательно для исходного уравнения имеем у = С±х2ех + (С2 cos 2ж + С3 sin 2х)ех + + ж(С4 cos ж + С5 sin ж) + Cq cos Зж + CV sin Зж. П 4. Решить уравнение у" — 3yf + 2у = е3х. Л Характеристическое уравнение Л2 —ЗЛ+2 = 0 имеет корни Ai = 1 и А2 = 2. Общее решение данного уравнения имеет вид у = С\ех + + С2е2ж + gr. Частное решение 2/ неоднородного уравнения найдем несколькими способами. Способ 1 (метод неопределенных коэффициентов). Правая часть имеет вид квазимногочлена. Параметр а = 3, он не совпадает с ха- характеристическими числами, поэтому частное решение ищем в виде у = Ае3х. Подставляя искомый вид решения в исходное уравнение, находим А = ^ и у = ^е3ж. Способ 2 (метод вариации постоянных). Зная фундаментальную систему решений ех и е2х однородного уравнения, ищем у в виде у = = С\(х)ех + С2(х)е2х. Для определения функций Ci(#) и С2(ж) имеем алгебраическую систему относительно С[(х) и С'2(х) С[ех + С2е2ж = О, откуда Ci = -е2ж, G^ = еж и Ci(a:) = -^е2ж, С2(ж) = еж. Подставляя Ci(a:) и С2(ж) в искомый вид решения, получаем у = 2е3ж- Способ 3 (метод Коши). Частное решение неоднородного уравне- уравнения с постоянными коэффициентами может быть найдено по форму- формуле D). Для построения функции Коши К(х — ?) надо решить задачу Коши B) для однородного уравнения со специальными условиями в нуле: Z — oZ ~г ^Z == U, z{0) = О, и в полученном решении z(t) положить t = х — ?.
128 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 В результате имеем z = Cie* + С2е2*, z@) =d+ C2 = О, откуда С\ = — 1, С2 = 1. Следовательно, z(t) = e2t — е1 и По формуле D) получаем X XX J J J - рЗж _ 1 Зх _ \ Зх ж (напомним, что символ означает подстановку только верхнего пре- предела ? = х). Способ 4 {для экспоненциальных правых частей). Правая часть е3х имеет вид A1), поэтому частное решение у может быть найдено по формуле A2). Характеристический многочлен данного уравнения имеет вид М(А) = А2 — ЗА + 2, параметр а = 3 не совпадает с Ai = 1 и А2 = 2, поэтому s = 0. Следовательно, МC) ~ З2 -3-3 + 2" 2 5. Решить уравнение у" + у = cos ж. А Решим данное уравнение только одним способом по форму- формуле A2), заметив, что cosx = 11еегж. Найдя по формуле A2) частное решение уравнения у"'+у = егх и выделив из него вещественную часть, получим частное решение данного уравнения. Характеристический многочлен данного уравнения имеет вид М(А) = А2 + 1, параметр <т = г совпадает с одним из корней Ai52 = =Ьг первой кратности, поэтому s = 1. Следовательно, для уравнения у" + у = егх по формуле A2) имеем у = у егж = ^егж = -if (cosx + zsinx) = f sinx - if cosx. M (zj zz z z z Частным решением исходного уравнения будет у = % sin ж. ?
§ 4] Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 129 В следующих примерах мы не будем останавливаться на методе вариации постоянных, что отнюдь не умаляет его важности как об- общего способа отыскания частного решения неоднородного уравнения. Нашей целью будет иллюстрация важности метода подбора реше- решения в случае специальных правых частей (квазимногочленов), а так- также ценности метода Коши, позволяющего кратчайшим путем свести задачу отыскания у к квадратурам от известных функций (которые, конечно, не всегда интегрируются в элементарных функциях). Отметим, что в теоретическом смысле метод Коши и метод вари- вариации постоянных совершенно эквивалентны. 6. Решить задачу Коши у" - Зу' + 2у = е3ж, уA) = у0, у'A) = у'о. Л Способ 1. Возьмем общее решение неоднородного уравнения, найденное в примере 4, и определим произвольные постоянные из начальных условий. Общее решение данного уравнения, найденное в примере 4, имеет вид 2 + ±е3х. A4) Подставляя общее решение A4) в начальные условия, получаем линейную алгебраическую систему для определения С\ и С^'- C2e2 + ±е3 = у0, откуда 2ур -^ + |е Г -Уо + Уо О2 = о у = Bу0 - у'о + \ег)ех г + (-у0 + у'о - е3)е2(ж г) + \еЪх. A6) Способ 2. Найдем решение задачи Коши в виде у = Сгех + С2е2х + у, где решение однородного уравнения у = С±ех +С2в2х подчиним задан- заданным начальным условиям уA) = уо, yf(l) = у о, а частное решение у неоднородного уравнения подчиним нулевым начальным условиям. Рассмотрим сначала общее решение z(i) = C\el + C2e2t однород- однородного уравнения с заданными условиями в нуле: z(O)=yo, z'(O)=y'o. 5 А. Б. Васильева, Г. Н. Медведев
130 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 Для С\ и Съ получаем систему откуда Ci = 2уо-у'о,С2 = —2/о + 2/о и *№ = B^/0 — 2/о)е* + (о) Решение у (ж) задачи Коти с теми лее условиями в точке х = 1 является функцией разности х — 1 и, следовательно, имеет вид у(х) = z(x - 1) = B2/о - УоК + (-г/о + УоИ^- Частное решение у неоднородного уравнения, удовлетворяющее в точке х = 1 нулевым начальным условиям, имеет вид {x-i)e4di, A7) где К(х — ?) — функция Коши, которая для уравнений с постоянными коэффициентами зависит от разности аргументов х — ?. Функция Коши 1Г(ж - 0 = е2(я-« - еж-^ для рассматриваемого уравнения найдена в примере 4 (способ 3). По формуле A7) находим частное решение у, удовлетворяющее обоим нулевым начальным условиям: у = |(е2(*«) - еж«)е3« d? = е2х J е« ^ - ех J e2« dC = 1 J е« ^ - ех J 2х+1 = е2ж(еж - е) - f (е2ж - е2) = |еж+2 - е \ Окончательно решение задачи Коши получаем в виде у = у -\-у\ у = B2/0 - 2/оК + (-2/0 + V'o)e2(*-V + \ех+2 - е2х+1 + \е*х, A8) которое группировкой слагаемых может быть приведено к виду A6). Понятно, что частное решение A8) отличается от частного реше- е3х л е3х ния ^~ из примера 4, так как для ^~ не ставилась задача удовле- удовлетворения каким-то конкретным начальным условиям. Решение A8) Зх отличается от ^- на некоторое частное решение однородного уравне- уравнения A Способ 3. Для упрощения выкладок сделаем в данном неоднород- неоднородном уравнении замену переменных t = х — 1, z(t) = y(t -\- 1), чтобы
§ 4] Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 131 получить задачу Коши с условиями в нуле г" - Ъг' + 2z = е3<*+1\ z@) = yo, z'@) = y'o. Далее можно действовать указанными выше способами. Например, по способу 1 надо найти общее решение данного урав- уравнения и подставить его в начальные условия. Общее решение однородного уравнения имеет вид z = C1et + C2e2t. Частное решение z найдем по формуле A2) Подставляя найденное общее решение данного уравнения z = cie* + c2e2t + в начальные условия, находим откуда d = 2у0 -у'0 + \е\ С2 =-Уо + Уо ~ е3, z(t) = BУо -у'0 + 1е Возвращаясь к исходной переменной ж, получаем у = Bу0 -у'0 + ^е3)е-1 + (-у0 + у'о - е3)е2^ + \е3\ т.е. формулу A6). Видно, что система A9) для определения коэффициентов С\ и С2 проще системы A5), хотя и не намного. Ясно, что выгода от "сдвига в нуль" начальных условий сильнее скажется для уравнений более высоких порядков и более громоздких систем A5) и A9). Полезно также "сдвинуть в нуль" начальные условия в случае, когда задача решается в общем виде в точке х = хо у" -Зу' + 2у = е3х, B0) = у0.
132 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 Система A5) в этом случае имеет вид dex° + С2е2хо + ie3*0 = у0, Ciexo + 2С2е2ж° + §е3жо = ^. Производя в B0) замену t = ж — жо, z(?) = 2/(t + жо), получаем задачу Коши с условиями в нуле: z@) = yo, z'@) = y'o, для которой система для С\ и С^ имеет почти тот же вид, что и система A9): Ci+ С2 + ±е3жо = уо, B2) %3 В системе B2), как и в системе A9), коэффициенты С\ и С^ "не отягощены" дополнительными множителями, как в системе B1). Усложнение же правой части от "сдвига в нуль" незначительно. Решая B2), находим z(t): z(t) = Bу -у'0 + ±е3*о)е' + (-у0 + у'о- eZx°)e2t + \ez(*t+x°\ Возвращаясь к исходному переменному х = t + жо, получаем решение задачи B0): у = B2/о -у'0 + 1е3жо)еж-жо + (-у0 + у'о - ез-о)е2(ж-Жо) + 1езж< п 7. Решить уравнение у" + г/ = ^ (ж > 0). Л Характеристическое уравнение Л2 + 1 = 0 имеет корни Ai52 = = ±г. Общее решение однородного уравнения имеет вид у = С\ cosx + + С2 sin ж. Правая часть не имеет вида квазимногочлена, поэтому найдем частное решение у по методу Коши. Решая задачу Коши со специальными условиями в нуле z" + z = 0, *@) = 0, *'@) = 1, находим z(t) = sin? и, полагая t = х — ?, получаем функцию Коши @ (O
§ 4] Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 133 Частное решение ^находим по формуле C): Ж Г • / = sm(x- ж0 ж0 + оо ж О [Г cos? j^ . Г cos? j J Г Г sin? ,. Г sin? ,Л —т-^ d? + —т-^ dq - COS Ж —т-^ d? + —т-^ d? = ж0 +оо ж0 + ОО + ОО Г cos^ ,Л / Г cos^ ,Л] rfsin^j. Г sin? ,J ж0 0 0 = sin ж • ci x — cos ж • si x — ci x$ • sin ж + si x$ • cos ж. Остановимся подробнее на структуре полученной формулы. Опре- деленный интеграл — —-г~^ d?, не вычисляющийся в элементарных ж функциях, называется интегральным косинусом и обозначается с\х. х Аналогично, определенный интеграл —7-^ d? называется интеграль- интегральным синусом и обозначается six. В отличие от предыдущего примера мы выразили у интегралом в пределах от хо до х "из уважения" к "неберущемуся" интегралу и более сложной природе интегральных множителей при sin ж и cos ж. Как отмечалось выше, подстановка постоянного предела хо в пер- первообразную (пусть и неэлементарную) приводит к появлению в составе у некоторого частного решения однородного уравнения, которое затем можно отправить в общее решение однородного уравнения. В нашем примере такой частью у является — ci^o • sin ж + si^o • cos ж. Таким образом, в качестве частного решения можно оставить выражение у = sin х • ci x — cos x • si x. ? 8. Решить уравнение у" — 2у' + 2у = ех cos x. Л Характеристическое уравнение Л2 — 2Л+2 = 0 имеет корни Ai?2 = = 1 ± г. Общее решение данного уравнения у = (С\ cos х + С2 sin x)ex + т/. Частное решение т/ неоднородного уравнения найдем двумя спосо- способами. Способ 1 {метод неопределенных коэффициентов). Правая часть ех cos х имеет вид квазимногочлена. Параметр а = 1 + г совпадает с характеристическим числом кратности 1. Поэтому частное решение
134 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 ищем в виде у = xex(Acosx + В sin х). Подставляя искомый вид решения в исходное уравнение, находим 2Вех cos х — 2Аех sin х = ех cos ж, откуда А = 0,В=т^иу= ^ех sin ж. Способ 2 (метод Коши). Для построения функции Коши К(х — ?) надо решить задачу Коши со специальными условиями в нуле II Г) / | Г) rv 2 — zz + zz = U, *@) = О, /@) = 1 и в полученном решении z(t) полож:ить t = х — ?. В результате имеем z@) = Ci = 0, ^@)=Ci + C2 = l, откуда С\ = 0, C2 = 1, следовательно, z(t) = e* sint и K(x-?) = ex-^sm(x-?>). Вычисляя по формуле D) у, получаем X X у = ех~^ sm(x — ?)е^ cos ^ d^ = ех sm(x — ^) cos ? ей; = = |еж cos ж + |еж sin ж. Видно, что хотя мы ограничились при вычислении ?/ подстановкой в первообразную только верхнего предела ? = х, получившееся реше- решение содержит слагаемое ie^cosx, которое можно включить в общее решение однородного уравнения. Оставляя в у только второе слагае- слагаемое, получаем у = §еж sin x. ? 9. Решить уравнение у'" — Ау" + 5г/ — 2у = хех. А Характеристическое уравнение Л3 — 4Л2 + 5Л — 2 = (Л—1J(Л—2) = = 0 имеет корни Ai=A2=l, A3=2. Общее решение данного уравнения имеет вид у = dex + С2хех + Съе2х + у.
§ 4] Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 135 Частное решение у неоднородного уравнения найдем двумя спосо- способами. Способ 1 (метод неопределенных коэффициентов). Правая часть хех имеет вид квазимногочлена. Параметр а = 1 совпадает с харак- характеристическим числом кратности 2. Степень многочлена в функции хех равна 1. Поэтому частное решение ищем в виде у = х2(Ах-\-В)ех. Подставляя искомый вид решения в исходное уравнение, находим ех[-6Ах + FА - 2В)} = хех, откуда А = -\,В = -1 и у = -^-(ж + 3)еж. Способ 2 (метод Коши). Для построения функции Коши К(х — ?) надо решить задачу Коши со специальными условиями в нуле z'" - 4z" + bz1 - 2z = О, z@) = О, и в полученном решении z(t) полоясить t = х — ?. В результате имеем f63e2*, z@) =Сг + C3 = О, z'(O) = d+ C2+2C3 = О, Z'(O) = 6i+262+4C3 = 1, откуда G\ = —1,C*2 = —1,С*з = 1, следовательно, ^(f) = —e* — ?e* + + e2t и Вычисляя у по формуле D), имеем У=\[- Опять в составе у в квадратных скобках мы видим некоторое решение однородного уравнения, которое молено включить в общее
136 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 решение однородного уравнения, аву оставить лишь первое слагае- слагаемое. Получаем у = —^-(х + 3)еж. П 10. Решить задачу Коши для уравнения Эйлера х2у" - ху' + 2у = хЫх, уA) = у\1) = 1. Л Решение однородного уравнения х2у" — ху' + 2у = 0 ищем в виде у = хг и приходим к характеристическому уравнению г(г- 1) -г+ 2 = О, имеющему корни ri52 = 1 =Ь г. Решение однородного уравнения имеет вид у = х(С\ cos In ж + Сч sin In ж). Частное решение ищем в виде у = ж(т41пж + В). Подставляя это выражение в данное уравнение и приравнивая коэффициенты при х и ж In ж, находим, что А = 1, В = 0. Таким образом, у = ж In ж, а общее решение однородного уравнения у = у -\-у = х(С\ cos In x + С2 sin In ж) + ж In ж. B3) Подставляя общее решение B3) в начальные условия получаем С\ = 1, С2 = 0. Итак, решение задачи Коши имеет вид у = ж cos In ж + х\пх. ? 11. Рассмотрим колебания груза массы га на пружине с одним закрепленным концом (см. пример 11 §3) под воздействием периоди- периодической внешней силы. Пусть опять кх — упругая сила, Ъх — сила сопротивления среды, к грузу приложена периодическая внешняя сила f(t) = Fq sin(z/? + <?>), ср = const. Найти закон движения груза под действием силы f(t) при произ- произвольных начальных условиях. Л Обозначим через x(t) положение груза в момент t. По второму закону Ньютона тх = — кх — Ъх = Fq sin(z4 + tp), и для величины x(t) получается следующее линейное неоднородное уравнение: х + рх + qx = -^ sin(z/^ + if), B4) гдер=^,д=^,(р = const.
§ 4] Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 137 Движение груза под действием силы f(t) = Fq sm(vt + ф) при про- произвольных начальных условиях описывается общим решением неод- неоднородного уравнения B4), имеющим вид у = у + т/, где у — частное решение неоднородного уравнения. Вид общего решения однородного уравнения при различных зна- значениях параметров р и q обсуждался в примере 11 § 3. Найдем частное решение неоднородного уравнения B4). Способ 1 (метод Ньютона подбора частного решения методом неопределенных коэффициентов). Корни характеристического урав- уравнения следующие: Ai,2 = -f ± 2 • Правая часть Fo sin(vt + ф) = (Fo cos <p) sin z4 + (Fo sin ф) cos z4, <? = const, имеет специальный вид Eа) при следующих значениях параметров: а = 0, г = 0, s = 0, /9 = хл Вид частного решения уравнения B4) определяется тем, совпадает ли параметр а + г/3 = zV с корнем характеристического уравнения или нет. -1 тт л Pi vV - 4<? / • 1. Пусть Ai2 = — ту ± ——Q т^ гг/, что эквивалентно условию q — v2 + zpzv т^ 0 (нерезонансный случай). Частное решение в этом случае надо искать в виде G) при а = О, /3 = I/, ттг = 0, s = 0: x(t) = acos(z4 + у?) + 6sin(z/? + ф). B5) Подставляя B5) в B4), получаем (—аи2 + pfo/ + ga) cos(z/^ + ф) + (—hv2 — pav + g6) sin(z/^ + у?) = Приравнивая коэффициенты при cos(z/? + у?) и sin(z/^ + ф) (в силу линейной независимости cos(z/^ + у?) и sin(z/? + <^)), получаем систему для определения коэффициентов а и Ъ: (q — v2)a -\-pvb = 0, откуда -Fp-pz. F0(g-^2)
138 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 Таким образом, частное решение уравнения B4) в нерезонансном случае имеет вид ~, ч _ Fo[(q — v2) sin(zyt + <р) — pv cos(vt + <р)] _ Fo sm(vt + <p + a) ^ } ~ m[(g-z/2J+pV] ~ my/(q- v2J + p2v2' . B6) v - q Из формулы B6) следует, что в нерезонансном случае существу- существует режим установившихся колебаний на частоте v внешней силы Fq sin(z/? + (p) (режим вынужденных колебаний). Амплитуда этих вынужденных колебаний зависит от частоты v. График зависимости амплитуды А{у) от частоты называют "резонансной" кривой, а частоту z/res, на кото- которой амплитуда установившихся вынужденных колебаний достига- достигает максимума, называют "резонансной" частотой. Она находится из условия минимума знаменателя в B7), т.е. минимума функции д{у) = (д — v2J -\-p2v2. Условие д'(v) = 0 выполняется при z/res = ь22< Максимальная амплитуда колебаний груза т равна тр\ Замечание 3. Отметим наложение различных терминологий. Случай несовпадения параметра а + i/3 = iv, характеризующего ча- частоту v внешней периодической силы, с корнем характеристического уравнения мы назвали нерезонансным случаем, имея в виду существо- существование установившегося режима колебаний на частоте внешней силы. Вместе с тем, в рамках этого же случая мы сознательно говорим о "резонансной" кривой и "резонансной" частоте, используя физиче- физическую терминологию, связанную с зависимостью амплитуды А[у) этих колебаний от их частоты. Словом "резонанс" здесь подчеркивается возможность достижения максимальной (но все же ограниченной!) амплитуды вынужденных колебаний на некоторой частоте. Рассмотренные далее резонансные случаи имеют место при совпа- совпадении параметра а-\-if3 = iv с корнем характеристического уравнения, что приводит к неограниченному росту амплитуды и невозможности существования режима установившихся колебаний. ?
§ 4] Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 139 2. Рассмотрим теперь оставшиеся случаи, когда выполнено условие (q — iy2)-\-ipu = 0, равносильное системе q — v2 = O,pz/ = 0 (резонансные случаи). а) р = 0, v ф О, q = z/2, откуда Ai?2 = =bz/. При этом параметр ^ = v в правой части совпадает с корнем Л = v кратности т = 1. Частное решение в этом случае надо искать в виде G) при а = 0, /3 = г/, s = 1, т. е. x{t) =t[acos(vt + (p) + bsin(i/? + <p)]. B8) Подставляя B8) в уравнение х + z/2x = ^-sin(z/? + <p), получаю- получающееся из B4) при р = 0, q = z^ , и приравнивая коэффициенты при cos(z/? + у?) и sin(z/? + <p), находим систему для определения а и 6 -2i/a= откуда Ъ = 0, a = - Частное решение в этом случае имеет вид б) Р ф 0, z/ = 0, q = 0, откуда Ai = —р, А2 = 0. При этом параметр /3 = v = 0 в правой части совпадает с корнем А2 = 0 кратности га = 1. Частное решение в этом случае надо искать в виде G) при а = 0, /3 = 0, 777, = 1, Т. е. ?(t) = at. B9) Подставляя B9) в уравнение х -\- рх = -^ sin у?, получающееся из B4) при v = g = 0, находим уравнение для определения а: ра = = ^ sin у?, откуда а = ^ sin у?. Таким образом, частное решение в этом случае имеет вид ~ с1 у. ж W = ггф sin V' V = const * в) р = 0, v = 0, g = 0, откуда Ai = 0 — корень кратности т = 2. Частное решение в этом случае надо искать в виде x(t)=at2. C0) Подставляя C0) в уравнение х = ^ sin <p, получающееся из B4) при р = z/ = q = 0, находим уравнение для определения а: 2а = = ^ sin (р, откуда а = ^ sin ^. Частное решение в этом случае имеет вид — Ft2 x(t) = -^- sin (p, (p = const.
140 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 Способ 2. Учитывая, что правая часть уравнения B4) имеет вид (9), для отыскания частного решения можно воспользоваться видом правой части A0) и формулой E) частного решения. Рассмотрим уравнение V + py + qV=jke«vt+">\ C1) Тогда функция х = Im?/, где у — частное решение уравнения C1), будет частным решением уравнения B4). т) 4с 1. Пусть Ai52 = —1л =Ь ——q т^ **Л следовательно, в формуле A2) s = 0 и частное решение уравнения C1) имеет вид mM(iv) m[(q — v2) + ipv]' а решением B4) будет функция _/ ч _ Foe^ut+lf\q — v2 — ipv) x(t) = Imy = Im W9 9 9i , W ^ m[(g-^2J+pV2] ' преобразующаяся далее к виду B6). 2. Пусть: a) M(iv) = q — v2 + zpz/ = 0, p = 0, z^ 7^ 0, g = z^2. В этом случае характеристическое уравнение имеет вид М(Л) = А2 + z/2 = О, значение параметра А = iv является его корнем кратности 1. Поэтому M(iv) = 0, а М' (iv) = 2iv ф 0. Тогда в формуле A2) s = 1 и частное решение уравнения C1) имеет вид У ~ mM'(iv) ~ m-2iv ' а решением B4) будет функция б) M{iv) = q — v2 -\- ipv = 0,p 7^ 0,v = 0,q = 0. В этом случае пара- параметр iv = 0 является опять корнем кратности 1 характеристического уравнения М(Х) = Л2 + рА = 0. Значит, М@) = 0, а М'@) = р ф 0. Тогда в формуле A2) s = 1 и частное решение уравнения C1) имеет вид = ^ шМ'(О) тР ' а решением B4) будет функция x(t) = Im 2/ = j^p sin ^, ^ = const. в) M{iv) = q — v + ipv = 0, p = 0, v = 0, q = 0. В этом случае параметр iv = 0 является корнем кратности 2 характеристического
§ 4] Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 141 уравнения М(Л) = Л2 = 0, значит, М(О) = О, М'(О) = О, М"(О) = 2 ^ 7^ 0. Тогда в функции A2)з = 2и частное решение уравнения C1) имеет вид ~_ Fpt icp _ Fpt icp У~ mM"@) ~ 2ш е ' а решением уравнения B4) будет функция ~ —Ft2 x(t)=Imy=-?—sincp, Lp = const. ? 12. Доказать формулу A2) для отыскания частного решения уравнения Ly = / с экспоненциальной правой частью / = F§eGX. Л Если а — корень кратности s характеристического уравнения М(А) = 0, то частное решение уравнения Ly = / надо искать в виде у = аа^е0^. Отметим справедливость тождества L(aelx) = аМ{^)е1Х (а, 7 = const) (в чем можно убедиться непосредственно дифференцированием функ- функ) 1Х) ции ае Продифференцируем это тождество s раз по параметру 7> при- применяя к его правой части формулу Лейбница дифференцирования произведения: /с=0 Обратим внимание на множитель M^s~k^(/y) в каждом слагаемом суммы. Так как а — корень кратности s уравнения М(А) = 0, то М^\а) = 0 при г = 0,l,...,s - 1, а М^\а) ф 0. Поэтому, если полож:ить в C2) 7 — ^5 то останется отличным от нуля лишь одно слагаемое при к = 0. Получаем L(axseax) = aM^(a)eax. C3) Подставляя искомый вид решения у = axseax в уравнение Ly = / и учитывая C3), находим L(axseax) = аМ^\а)еах = Foeax, откуда а = —^у—. Следовательно, справедлива формула A2). ? MKS)(a)
142 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 3. Задачи для самостоятельного решения Найти, в каком виде надо искать частное решение линейного неод- неоднородного дифференциального уравнения, если известны корни его характеристического уравнения и правая часть f(x) (квазиполином). 3.4.1. Ai = 2, А2 = 3; f(x) = ах2 + Ъх + с. 3.4.2. Ai = -1, А2 = О, А3 = 2; f(x) = ах2 + Ъх + с. 3.4.3. Ai = О, А2 = 2; /(ж) = еж(аж + Ъ). 3.4.4. Ai = 1, А2 = 1, А3 = 2; f(x) = ех{ах + 6). 3.4.5. Ai = 1, А2 = 2; f(x) = а cos ж + 6 sin x. 3.4.6. Ai?2 = ±г, Аз = 2; /(ж) = а cos ж + Ъ sin x. 3.4.7. Ai'= -I, A2 = 1, А3 = 2; /(ж) = (аж2 + Ъх + с)е~ж. 3.4.8. Ai>2 = 3±2г, А3 = А4 = 0; /(ж) = (cos2x + isin2x)e3a;. 3.4.9. Ai,2 = 3 ± 2г, А3 = А4 = 0; f(x) = ах2 + 6ж + с. 3.4.10. Ai = А2 = 3-2г, А3 = А4 = 3 + 2г; /(ж) = (cos2x + zsin2x)e3a\ Найти значение параметра а, соответствующее правой части f(x) уравнения Ly = /(ж), где /(ж) — квазимногочлен. 3.4.11. /(ж) = 1. 3.4.12. f(x) = 2ж + 3. 3.4.13. f(x) = Зж + 2г + 5. 3.4.14. /(ж) = еж. 3.4.15. f(x) = Bж2 + ж + 1)еж. 3.4.16. f(x) = e2ix. 3.4.17. f(x) = cos ж + (x + 1) sin ж. 3.4.18. /(ж) = (cos3x + zsin3x)e2a;. 3.4.19. /(ж) = (cos3a; + sin3a;)e2a:. 3.4.20. f(x) = (cos3x + xsin3x)e2a\ Определить, в каком виде надо искать методом неопределенных коэффициентов частные решения неоднородных уравнений. 3.4.21. г/" + 4г/ = 2. 3.4.22. у" + V = 2. 3.4.23. 2/" + 3?/ = еж. 3.4.24. г/" + Зг/ = е-3ж. 3.4.25. 2//7 + 3у' = 2же-3я:. 3.4.26. у" + 25y = sm5x. 3.4.27. у" + 4^ + 82/ = (cos2x + sin2ar)e2a:. 3.4.28. у" - V + 8у = (sin2x - cos2x)e2a;. 3.4.29. у'" - 9yf = 4x + e~3x + ж cos Зж. 3.4.30. у'" + 4^ = 3 + е2ж + е2ж sin2x. Используя принцип суперпозиции, определить, в каком виде надо искать методом неопределенных коэффициентов частные решения неоднородных уравнений. 3.4.31. 2/" + V = a; + e-4a:. 3.4.32. у" -у = x^smx. 3.4.33. у'" + V = е2ж + sin2x.
§ 4 ] Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 143 3.4.34. у" + Ayf = sin ж • sin2x. 3.4.35. 2/"-42/ = 2cos24?. 3.4.36. у" + V = 4ж + еж + ж cos Зж. 3.4.37. г/'" - V = 3 + е2ж + е2х sin2x. 3.4.38. 2///; + Ъу" + 4г/ = ж2 + жеж + ж2е"ж + sin2x. 3.4.39. у'" + 6г/" + Юг/ = же~3ж cos ж + х. 3.4.30. г/4) - Ьу'" + б2//; = 2 sin 2ж + ж2е3ж + е~2х cos Зж. Решить уравнения методом неопределенных коэффициентов и ме- методом Коши. 3.4.41. у" -2у' -Зу = е4х. 3.4.42. у" + у = 4 sin ж. 3.4.43. у" + Зу' = Зхе~3х. 3.4.44. г/// + 4г// + 4г/ = 8е-2ж. 3.4.45. у" + 2yf + 2у = 1 + х. 3.4.46. у" + у = Ах cos х. 3.4.47. 2///-22// + 2/ = 6жея:. 3.4.48. у" + 2?/ = 4еж (sin ж + cos ж). 3.4.49. 2/W - 22///; + 22/" - 2?/ + у = ех. 3.4.50. 2/W -2у" + у = Решить уравнения методом вариации постоянных и методом Ко- Коши. 3.4.52. у"- у' = -^ 3.4.53. у"- 2j/ + y= 3.4.54. у" + у=—^ cos ж 3.4.55. у"-2»' +j/= 3.4.56. у"+ 2/=^ si X + sin x 3.4.57. у" - у1 = & 3.4.58. у'" + у" = ^±. 3.4.59. у"-у = ^J1- 3.4.60. у"- 2у' + у=х2 +ж23Ж + 2- Решить уравнения с экспоненциальной правой частью, пользуясь для отыскания частного решения формулой A2). 3.4.61. у" + 2у' + у = -2. 3.4.62. у'" + у" = 1. 3.4.63. у" — Ау1 -\- Ау = ех. 3.4.64. у" + 4г/ + Ау = 8е~2ж. 3.4.65. г//; + 4т/ + Зг/ = 9е~3ж. 3.4.66. у" + 4г/; — 2у = 8sin2x (sin2x = 1те2гж).
144 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 3.4.67. у" -у' = exsinx (ex 3.4.68. у" + 2у' + Ьу = е~х 3.4.69. у'" -у = sinx. 3.4.70. 2/D) - 2у" + j/ = cos ж. Решить уравнения, используя принцип суперпозиции для отыска- отыскания частных решений неоднородного уравнения. 3.4.71. у" -у' -2у = Ах-2ех. 3.4.72. у" - 2у' + у = 2 + еж sin ж. 3.4.73. 22//; - ЗУ - 2у = Ъех • chx. 3.4.74. 2/E) + 4у'" = ех + 3 sin 2ж + 1. 3.4.75. 2/" + 2/; = ^2-е-ж + еж. 3.4.76. у" + у = cos2 2ж + sin2 |. 3.4.77. у" - 2у' + 2у = ех sin2 §. 3.4.78. 2///; - 2у" + 2/; = 2ж + еж. 3.4.79. 2/" + 2/ = 2 sin ж • sin 2ж. 3.4.80. 2/E) - У{А) = хех - 1. Решить задачи Коши. 3.4.81. у" - by' + 4у = ех, у{0) = у0, у'{0) = у'о. 3.4.82. у" -2у' + у = sinx, уA) = у0, у'{1) = у'о. 3.4.83. у" + Ау' + 3у = еж, у(х0) = 2/о, 2/'Ы = 2/о- 3.4.84. 2///; - Зу" + 3у' -у = х, у{х0) = у0, у'{х0) = у'о, у"{х0) = у'?. 3.4.85. у" - 2у' + Зу = 1, 2/@) = 2/0, 2/;@) = 2/о- 3.4.86. 2/w - 2/; = 0, 2/B) = 2/о, 2/;B) = 2/о5 у"^) = Уо- 3.4.87. 2/^ + у" = 0, 2/@) = 2/о, 2/;@) = 2/&, 2/"@) = Уо • 3.4.88. 2//х + с^22/ = 0, 2/(ж0) = г/о, 2/;(»o) = 2/o- Замечание 4 (к задачам 81—88). Непосредственной проверкой можно убедиться, что в каждом ответе группа слагаемых, содержащих 2/о, У о, 2/о> представляет собой решение однородного уравнения, удо- удовлетворяющее заданным начальным условиям. Остальные слагаемые образуют частное решение неоднородного уравнения, удовлетворяю- удовлетворяющее нулевым начальным условиям. ? Найти общие решения неоднородных уравнений Эйлера. 3.4.89. х2у" -ху1 + у = 8х3. 3.4.90. х3у" - 2ху = 6 In х. 3.4.91. х2у" - 62/ = 5ж3 + 8х2. 3.4.92. х2у" - 2у = sin In ж. 3.4.93. х2у" + ж2/; + 42/ = Юж. 3.4.94. ж22//; + ху' + 2/ = яF - In ж). 3.4.95. x2y"-xy'- 32/ = ^|^. 3.4.96. ж22//х - 2жг/; + 22/ = ж2 - 2х + 2. 3.4.97. ж22//х + 4жг/; + 22/ = 2 In2 ж + 12ж. 3.4.98. (х - 2Jу" - 3(х - 2)у' + 4у = х.
§ 4 ] Неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами 145 Ответы 3.4.1. Ах2 + Вх + С. 3.4.2. ж(Аг2 + Бж + С). 3.4.3. еж(Аг + Б). 3.4.4. ж2(Лж + Б)еж. 3.4.5. Асоъх + Б sin ж. 3.4.6. + В sin ж). 3.4.7. х(Ах2 + Бж + С)е-Ж. 3.4.8. ( + Б8т2ж)е3ж. 3.4.9. ж2 (Ас2 + Бж + С). 3.4.10. x2(Acos2x + + Bsin2x)e3a\ 3.4.11. 0. 3.4.12. 0. 3.4.13. 0. 3.4.14. 1. 3.4.15. 1. 3.4.16. 2г. 3.4.17. г. 3.4.18. 2 + Зг. 3.4.19. 2 + Зг. 3.4.20. 2 + Зг. 3.4.21. А. 3.4.22. Ас. 3.4.23. Аех. 3.4.24. Аже*. 3.4.25. ж(Аж + + Б)е-Зж. 3.4.26. х(Асоъх + Bsinx). 3.4.27. (^cosx + ?sinx)e2a;. 3.4.28. ^(Acosz + 5sinx)e2a;. 3.4.29. ж(Аж + Б) + Cxe~3x + (Dx + +#) cos Зж + (Fx+C) sinЗж. 3.4.30. Ax+Be2x + e2x(Ccos 2x+D sin2ж). 3.4.31. ж(Лж + В) + Бжеж. 3.4.32. Az + Б + С cos ж + Dsinx. 3.4.33. Ле2ж + xEcos2x + Csin2x). 3.4.34. Л cos x + Б sin ж + + С cos Зж + D sin Зх. 3.4.35. Ах + Б cos 8ж + D sin 8x. 3.4.36. ж(Лж + + Б) + Се~3х + (Da; + Я) cos Зж + (Fx + G) sin Зж. 3.4.37. Аг + Бже2ж + + е2х(С cos 2ж + D sin 2ж). 3.4.38. х(Ах2 + Бж + С) + ж(Г>ж + Е)е-4ж + B) . 3.4.39. жеж[(Лж+Б) cosx + (Сх + D) sin ж] + ж(?ж + F). 3.4.40. A cos 2ж + Б sin 2ж + же3ж (Сх2 + 2 . 3.4.41. Схе~х + 3 i4 + С2е + ie / 2 3.4.42. Cicosx + C2sinx - 2xcosx. 3.4.43. C\ + G2еж - f ^- 3.4.44. (d + С2ж)е-2ж + 4ж2е-2ж. 3.4.45. (i ~ж + §. 3.4.46. Cicosx + C2sinx + x cos ж + x2 sin ж. 3.4.47. (С1+С2ж + ж3)еж. 3.4.48. 2 i 3.4.49. (C1 + C2x)ex + C3cosx + C4^ A2 С^)ж + i 3451 (C ) + (C +l | i|) sin ж. i cos ж. 3.4.51. (C\ — x) cos ж + (C2 +ln 3.4.52. C±ex + C2 + (еж + l)ln(l + е-ж). 3.4.53. + xex In |ж|. 3.4.54. Ci cosx + C2 sinx - f^f|. 3.4.55. - ex In л/l + x2 + xea^arctgx. 3.4.56. 3.4.57. C±ex +C2- cos ex. 3.4.58. Ci + С2ж + С3е~ж + 1 - x + ж In 3.4.59. С1еж + С2е-ж-4у^. 3.4.60. (Ci + С2ж)еж + |. 3.4.61. (C +С2)же-ж-2. 3.4.62. С1+С2ж+С3е-Ж + ^. 3.4.63. (С1+С2ж)е2ж+ 3.4.64. (Ci + С2)е-2ж + 4ж2е-2ж. 3.4.65. de* + С2е-Ж - |же- 3.4.66. Сге-^+2> + С2е(^-2)ж - 16со82ж + 12а1п2ж. 3.4.67. d i smx)ex. 3.4.68. (dcos2ar + C2sm2x)e~x 3.4.69. Сгех + - sinar). 3.4.70. (d + С^2^)еж + (C2 + C3x)e~x + i 3.4.71. С1е-ЧС2е2ж-2ж + 1 + еж. 3.4.72. (d +^2^)еж + 2 - ex sin ж.
146 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 3.4.73. de2x + С2е~§ + \{2хе2х - 5). 3.4.74. d + С2х + С3ж2 + ^ 4 cos 2ж + Съ sin 2ж + ^ + |^ + Зж ^ 2х. 3.4.75. Ci + С2е-Ж +хе~х ^--ж2 + 2ж. 3.4.76. Ci cos ж + С2 sin х - i 3.4.77. (Cicosx + Cisin^e31 + Q - f sina^e*. 3.4.78. Ci + (C2 + 2^ж2еж. 3.4.79. | | 3.4.80. С1+С2ж + С3ж2 + ^4Ж3 + С5еж + ^+^-4^еж. 3.4.81. г/= = lD2/o - y'0)ex - lB/o - 2/о)е4я: + J (еж + ^е4ж) - \e2x. 3.4.82. 2/ = + i sinx. 3.4.83. 2/ = ^Cy0 + 2/o)e (ж Хо) ~\Ы .e-(x-x0) +lex0e-Hx-x0) +lex^ 3.4.84. у = yQex^_yQ_i_y.Q)xe~_i_^yQ_ - 2yf0 + у'ц)х2ех + Зеж - 2жеж + ^ж2еж - х - 3. 3.4.85. у = ?/оеж cos ж л/2 - 1= [уо — Уо)^х sinх\2 — ттвж cosх\2-\ ^=еж sinx\2-\--^. 3.4.86. у = 1 / //\ —2 1 / п\ —( —2) 5 —2 3 —( —2) - ^-. 3.4.87. у = (у0 - 2/о) + B/о + 2/о)ж + Уое~х + 2 - Зж - 2жеж + + хех. 3.4.88. у = Уо cosuj(x — хо) + ут sinc<;(x — а?о) Н—Ц- sin2c<;xo x 2 . / ч 1 . 3W х coso;(x — жо) Н—% cos2o;xo • sinwfa; — хо) S" sm2o;x. 3.4.89. г/ = 3cj 3cj = x(Ci + С21п|ж|) + 2xs. 3.4.90. у = dx2 + i(C2 - |lnx - In2 ж). 3/1 qi л. Г^ /y>3 I /^ ~ — 2 I ^,3 ллл \ry\ O/y>2 о /i no n, Г^ /y>2 I /~i rf, — 1 I . ^x . t/ J. . Cy ч_У 1 Jb —— ч_У Q Jb —— Jb 1.1.1. Jb — ?a Jb • *3 . ^t. t/ 4 . Cy ч_У 1 Jb —— ч_У Г) t^C* —— + ^ coslnx— -A; sinlnx. 3.4.93. у = C\ cosB1n |ж|)+С2 sinB1n |#|)+2#. 3.4.94. у = C\ cos In ж + C2 sin In ж + §G — In ж). 3.4.95. у = С±х4 + I /^ ' /y» -L I -^- / 1 у-* /y» I О 1 у-* /y» \ О ^_ (]| ^5 л i /^ ' /y» I /^ ' /y» ^ I / /y» ^ I О /у» \ 1 у-* /y» I 1 3.4.97. ?/ = C\X -\- C2x -\- In x — 3 In x -\- 2x -\- 7. 3.4.98. у = (ж — . ~ _ _ о § 5. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов 1. Основные понятия и теоремы Большинство нелинейных, а также линейных уравнений с пере- переменными коэффициентами не интегрируются в квадратурах. К таким уравнениям принадлежат и многие уравнения второго порядка с пере- переменными коэффициентами, возникающие в задачах математической физики.
§ 5 ] Интегрирование с помощью рядов 147 Распространенным методом решения таких уравнений является отыскание решения в виде ряда. 1°. Нелинейное уравнение п-го порядка. Пусть задана за- задача Коши для уравнения n-го порядка, разрешенного относительно производной y(n)=f{x,y,y', ..., у{п-г)), A) У(хо)=уо, у'(хо) = у'о, ..., Vln-I)(xo) = yin-1). B) Теорема 12. Пусть функция f(x,y,yf,...,y(n 1"}) разложима в ряд Тейлора по своим аргументам в окрестности точки Мо(жо,г/о,Уо^--^оП))- Тогда решение задачи Коши A), B) имеет в окрестности точки х = хо производные любого порядка и, следовательно, разложимо в ряд Тейлора (п-1) °° у(х) = уо+ Уо(х -хо) + ...+ („"_!)! 0е " ^о)" + J2 а^х ~ Ж°)А:' C) к=п -> у\х0) , (п-1) где ak = -—T^j—-, Уо, Уо, — чУо известны из начальных условии, производная у(п\хо) находится подстановкой х = хо в уравнение A), а последующие коэффициенты an+i, CLn+2-> - - - находятся вычислением последовательных производных у^к\хо) в силу уравнения A). Например, где y(n+l)(a.o)=4f(*J dx о df „ В полную производную -т- войдут при х = х$ уже известные значения Уо(хо),..., у(п\х0). Вообще , к = п + 1,... dxk х=х0 Замечание 1. Если дано линейное уравнение У(п) +Pi{x)y{n-1) + ...+ рп(х)у = f(x) D)
148 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 и его коэффициенты Pi(x) и правая часть f(x) разложимы в ряды Тейлора, сходящиеся на всей оси, то ряд C) для уравнения A) схо- сходится также на всей оси. ? 2°. Линейное уравнение второго порядка без особых то- точек. Рассмотрим подробнее важный частный случай уравнения A), распространенный в математической физике, — линейное уравнение второго порядка y"+p(x)y' + q(x) = 0. E) Напомним, что неоднородное уравнение, соответствующее E), ин- интегрируется в квадратурах, если известна фундаментальная система решений уравнения E). Положим также для простоты хо = 0. Теорема 13. Пусть функции р(х) и q(x) разложимы в ряд Тей- Тейлора в окрестности \х\ < R. Тогда всякое решение уравнения E) разложимо в ряд Тейлора, сходящийся при \х\ < R. Будем искать решение уравнения E) в виде F) к=0 где a,k — коэффициенты, подлежащие определению. Подставляя ряд F) и ряды для р{х) и q{x) в уравнение E), имеем к=2 к=0 к=1 к=0 к=1 Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ж, получаем рекуррентную систему алгебраических уравнений для определения коэффициентов а&: 2 • 1 • а2 + podi + go«o = 0, 3 • 2 • а3 + 2р0а2 + {pi + go)«i + gi^o = 0, к (к + 2)(к + ±К+2 + X) [(г + l)pk-iai+i + qk-i<ii\ = 0. г=1 Коэффициенты ао и fli остаются произвольными и играют роль на- начальных условий в задаче Коши. Далее каждое уравнение определяет очередной коэффициент, начиная с а2 (первое — а2, второе — аз и т.д.).
§ 5 ] Интегрирование с помощью рядов 149 Для построения нормальной фундаментальной системы решений уравнения E) нужно для функции у±(х) взять начальные условия 2/1@)=а0 = 1, 2/1@) =ах =0, а для функции у2 (х) выбрать 2/2@) =ао = 1, Такие функции у\(х) и У2{х) будут линейно независимыми на любом отрезке, содержащем х = 0. Общее решение уравнения E) будет иметь вид: Ayi(x) + Ву2(х), где А л В —произвольные постоянные. 3°. Линейные уравнения второго порядка с особыми точ- точками. Рассмотрим снова уравнение y"+p(x)yr + q(x) = 0. G) Пусть теперь коэффициенты р(х) и q(x) имеют при х = 0 особую точку. В окрестности особой точки может не существовать решения, пред- ставимого рядом Тейлора. Ограничимся случаем так называемой регулярной особой точки х = 0, т. е. когда коэффициенты р(х) и q(x) имеют следующую струк- структуру: р(х) = ф, «(*) = *#, (8) X где рЦж) = 22к=0 акх", q^x) = }2к=о Ъкх ¦ Иначе говоря, регулярная особая точка является для функции р{х) полюсом не выше первого порядка, а для функции q(x) — полюсом не выше второго порядка. Ясно, что точка х = 0 будет особой, если хотя бы один из коэффи- коэффициентов ао, bo и Ъ\ отличен от нуля. В противном случае х = 0 будет устранимой особой точкой, и будет иметь место предыдущий случай. Замечание 2. Подставляя коэффициенты (8) в уравнение G) и умножая на ж2, получаем другую употребительную форму урав- уравнения G) х2у" + хрг {x)yf + qi (x)y = 0. (9) В такой записи особая точка х = 0 проявляет себя тем, что в ней меняется порядок уравнения. ? Теорема 14. Пусть: 1) х = 0 — особая точка уравнения (9) с коэффициентами (8) (ао, bo и Ъ\ не равны нулю одновременно), ряды для функций р±(х) и q±(x) сходятся в области \х\ < R,
150 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 2) Ai и \2 (ReAi ^ ReA2) — корни уравнения А2 + (а0 - 1)А + Ъо = 0, A0) где а0 =Pi(O), b0 = gi(O) (см. (8)). Тогда: 1) если Ai — А2 — не целое число, то уравнение (9) имеет два линейно независимых решения вида оф0), A1) к=0 к=0 2) если Ai — А2 — целое число, то уравнение (9) с коэффициента- коэффициентами (8) имеет одно решение указанного вида A1). Уравнение A0) называют определяющим уравнением. Ряды, входящие в у\ и у2, сходятся в области \х\ < R, а ряд J2 Соф0, A2) /с=0 называют обобщенным степенным рядом. Подставляя ряд A2) в уравнение (9) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ж, получаем рекуррентную алгебраическую систему уравнений для определения показателя А и коэффициентов Со, С\, С 2,... Первым в этой системе будет уравнение [А2 + (ао-1)А + 6о]Со = О. A3) Из требования Со ф 0 в A3) получаем определяющее уравнение А2 + (а0 - 1)А + Ьо = 0. A4) Коэффициент Со либо остается произвольным при построении общего решения, либо определяется из начальных условий задачи Коши. Если Ai — A2 не равно целому числу, то в качестве А далее берем любой из корней Ai или А2 уравнения A4). Уравнения для определения коэффициентов имеют вид rk • Ск = дк{Со, Съ ..., Ск-г), к = 1, 2,..., где _ (к(к + Ai - А2), если А = Ai, , . П ~ \fc(fc-Ai + A2), если А = А2, [ } дк — известные функции коэффициентов Со, Ci,..., С&_1.
§ 5] Интегрирование с помощью рядов 151 Видно, что если Ai — Л2 не равно целому числу, то в обоих случаях выполняется условие г к ф 0. Следовательно, если Ai — Л2 — не целое число, то система уравнений для С к позволяет построить два линейно независимых решения вида A1). Если Ai — А2 — целое число, то указанным способом молено по- построить только одно частное решение у\(х) вида A1). Действительно, пусть Ai — А2 = п, п ^ 0. Тогда при А = Ai выполнено г& = к(к + п) > 0 Vfc ^ 1 и все С к определяются. При А = А2 выполнено г к = к(к — п) = 0 для к = п, следовательно, Cn, Cn+i и т. д. не определяются, и решение вида A1) для А = А2 не существует. Второе линейно-независимое с у\ (х) решение можно найти по фор- формуле Лиувилля-Остроградского \^^<1Х. A6) Решение У2(х) может иметь в точке х = 0 степенную или логариф- логарифмическую особенность. 4°. Построение периодических решений. Известно, что важ- важнейшим инструментом исследования периодических функций явля- является тригонометрический ряд Фурье. Поэтому, говоря о решениях линейных дифференциальных уравнений, выражающихся рядами, необходимо рассмотреть случай построения периодических решений в виде ряда Фурье. Наиболее характерным примером такой задачи является построе- построение периодического решения линейного неоднородного уравнения вто- второго порядка с постоянными коэффициентами. Пусть в уравнении у"+Р1У'+Р2У = /{х) A7) V\iV2 = const, a f(x) — 2тг-периодическая функция, допускающая разложение в равномерно сходящийся ряд Фурье f(x) = ^тр- + 2^ ak cos kx + Ьк sin kx. A8) к=1 Периодическое решение уравнения A7) ищем также в виде ряда Фурье сю у(х) = ф + ^2 Ak cos kx + Bk sin kx. A9) к=1 Подставляя ряды A8) и A9) в уравнение A7) и приравнивая коэффи- коэффициенты при cos kx и sin kx, получаем бесконечную последовательность
152 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 равенств для определения Ао, Ак, Вк: = Ао B0) Ак[{р2 ~ к2J + р\к2} = (р2 - к2)ак - Plkbk, fe = 1, 2,... B1) Вк[(р2 ~ к2J + р\к2] = (р2 - к2)Ък + Plkak, к = 1, 2,... B2) Рассмотрим уравнения B0), B1), B2). Если р2 / 0, то Ао = |^, где а0 = ^ f(x)dx. Если р2 = 0, о то для существования решения уравнения B0) необходимо, чтобы выполнялось условие ао = 0 (правая часть не содержит нулевой гармоники). Тогда Ао — произвольная постоянная, входящая в общее решение уравнения у" + р\у' = f(x). Если лее р2 = 0, а ао ф 0, то периодического решения не существует. Переходим к уравнениям B1), B2). Если р\ ф 0 (что означает наличие трения в системе, описываемой уравнением A7)), то уравне- уравнения B1) и B2) разрешимы и а _ (Р2 - к2)ак - pikbk к~ {Р2-еу+Р1е ' B3) о _ (Р2 - k2)bk +pikak к~ {Ре Если pi = 0 (трения нет), то уравнения B1)—B2) принимают вид Ак(р2 - к2) = ак, /94ч Вк(р2-к2) = Ък. [ZV Уравнения B4) разрешимы относительно Ак и Вк в двух случаях: 1) если р2 ф к2 V/c. Тогда i _ ak _ 1 I f ik - P2 _ e ~ P2 - k2' * J 0 Ik = \2 = J2 ' n P2 - к p2 - к H J B5) и существует периодическое решение уравнения A7), определяемое формулой A9); 2) если для некоторого ко выполнено р2 = &о и ПРИ этом значении fco одноименные коэффициенты Фурье а&0 и Ько равны нулю: = 1 /(ж) coskoxdx = 0 и bfco = i /(ж) sin/co^a7^ = 0,
§ 5] Интегрирование с помощью рядов 153 иначе говоря, в составе f(x) отсутствуют резонирующие гармоники, то в этом случае уравнения B4) принимают вид Ако ¦ 0 = 0 и Вко ¦ 0 = О, откуда следует, что Ако и Вко остаются произвольными постоянными. Действительно, при р\ = О, Р2 = к$ сумма Akocoskox + Bkosmkox при любых Ако и Вко входит в состав общего решения однородного уравнения. Остальные коэффициенты Ak, Вк при к ^ ко определяются по формулам B4). Периодическое решение уравнения A7) существует. Если же р\ = О, Р2 = &0' но хотя бы один из коэффициентов ak0, bk0 отличен от нуля, периодического решения уравнения A7) не существует. Действительно, для ко -гармоники имеем уравнение (резонансный случай) у" + к%у = ако cos кох + Ько sin кох, в общее решение которого входит непериодическая функция х(Ако cos кох + Вко sin кох). Замечание 3. Если функция f(x) разложима в равномерно схо- сходящийся ряд Фурье, то ряд A9) для функции у{х) с коэффициентами Ак и Вк, определяемыми формулами B3) или B4), допускает дву- двукратное почленное дифференцирование, оставаясь равномерно сходя- сходящимся. Действительно, Ак = о(т|), вк = °(Ь) (см< B4)) и после двукратного дифференцирования коэффициенты ряда для у"(х) бу- будут отличаться от ак и Ък в равномерно сходящемся ряде A8) на множители порядка 0A). Значит, ряд для у" (х) будет, как и ряд A8), равномерно сходящимся, и ряд A9) допускает двукратное почленное дифференцирование. ? 2. Примеры решения задач 1. Решить уравнение У" -ху = О. B6) А Данное уравнение относится к виду E) и не имеет особых точек. Поэтому решение B6) будем искать в виде B7) к=0
154 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 Дифференцируя этот ряд и подставляя в данное уравнение, получаем сю 1)хк~2 - х ^^ акХк = 0. к=2 к=0 Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, находим а2 = 0, 3 • 2а3 - а0 =0, откуда а3 = т^д, 4 • За4 — а\ = 0, откуда оц = j^p 5-4а5-а2 =0, откуда а5 = ^, к(к - 1)ак - ак-з = 0, откуда ак = dk-з Итак, aSk — 1 = О, 2-3-5-6...Cfc-lKfc5 " 3 • 4 • 6 • 7,.. ЗА;(ЗА; + 1)' ' '11>5 uq и а\ остаются произвольными как две постоянные в общем решении уравнения второго порядка. Окончательно имеем [3 6 3fc 1 1 + 2ТЗ + 2 ¦ 3 • 5 • 6 + • • • + 2 • 3 • 5 • 6 ... C* - 1K* + '' 'J --]- B8) Ряд B7) по теореме 14 сходится при любых ж, значит, функция у вида B8) при любых х есть общее решение данного уравнения. П 2. Найти первые четыре члена разложения в степенной ряд ре- решения задачи Коши у' = 8шху, 2/@) = 1. B9) Л Видно, что функция sin xy разложима в ряд Тейлора по пере- переменным х л у в окрестности точки @,0) и этот ряд сходится на всей плоскости (х,у). Ищем решение задачи B9) в виде ряда C): Шх + УЖх + _ Коэффициент г/@) задан в задаче B9): г/@) = 1. Из уравнения B9) находим ?/@) = smxy\x=o = 0.
§ 5] Интегрирование с помощью рядов 155 Дифференцируя это уравнение как тождество относительно иско- искомого решения у(х) и полагая х = 0, находим у"@) = (у + од') со8од|ж=0 = 1, 2/'"@) = B?/ + xyff) cosxy - (у + од'J sin од 1^=0 = 0. Подставляя в ряд C0) найденные значения 2/@), 2/'@), 2/"@), 2/"'@), получаем искомое решение с указанной точностью: у(х) = 1 + 0+ |^+0.... П 3. Решить уравнение ж2?/" + ху' + (ж2 - z/2)?/ = 0, v = const. C1) Л Это уравнение называется уравнением Бесселя порядка v. Ограничимся вначале случаем, когда параметр v не является це- целым числом. Это уравнение имеет регулярную особую точку х = 0. Коэффици- Коэффициенты р(х) и q(x) из G) для данного уравнения имеют вид Определяющее уравнение A0), соответствующее этой точке, есть Л2 - v2 = 0. Если v ф 0, то определяющее уравнение имеет два корня Ai = v и А2 = — у . Решение уравнения C1) будем искать в виде обобщенного степен- степенного ряда оо y = xxY,Ckx\ Со^О. C2) к=0 Подставляя искомый вид решения C2) в уравнение C1) и сокра- сокращая на жЛ, имеем J2 [(А + кJ - v2] Скхк + J2 Снхк+2 = 0. к=0 к=0 Приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях ж, полу- получаем уравнения, определяющие коэффициенты Ск- (А2 - z/2)C0 = 0, к = 0, [(A + lJ-i/2]Ci=0, fc = l, C3) [(\ + kJ-v2]Ck = 0, fc = 2,3,... Так как Cq ф 0, то А2 = z/2, откуда А = ±z/.
156 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 Положим \ = v (is > 0), Со остается произвольным. Из второго уравнения C3) при А = v получаем С\ = 0. Подставляя Л = v во все остальные уравнения при к = 2, 3,... получаем fcBi/ + fc)Cfc + Cfc_2=0, откуда Ск = ~щ^щ- C4) Так как С\ = 0, то из C4) следует, что все нечетные коэффициенты равны нулю: C2m+i = 0 V m = 1, 2, 3,.... Для четных коэффициентов получаем формулы Со = 2 22- l. Таким образом, с точностью до произвольного коэффициента Со т/1 (х) имеет вид сю у^ = g(-i)fc22.fc!(, + 1)go+2)(, + fc)^- C6) По признаку Даламбера ряд C6) равномерно сходится на любом конечном промежутке, следовательно, у\(х) есть решение уравнения Бесселя при любом Со- В качестве Со принято выбирать число Г = 1 0 21T(i/ + l)' где Г(р) — гамма-функция Эйлера. При р > 0 Г(р)= [ xp-1e"x da;. о Известно, что Г (г/ -\- 1) = г/Г (г/), откуда ) к=0 2k+i>
§ 5] Интегрирование с помощью рядов 157 Функция В^^ (J^ C7) /с=0 называется функцией Бесселя zz-порядка. Повторяя выкладки для Л2 = —уи второго частного решения уравнения Бесселя, линейно независимого с у\(х), k=0 получаем функцию оо 2k — /с=0 (во всех предыдущих рассуждениях можно просто заменить v на —z/, включая выбор Со = 2-"г(-1>+ 1))' Функция C8) — функция Бесселя порядка —у. Таким образом, если v не является целым числом, общее решение уравнения Бесселя C1) имеет вид С\ и С2 — произвольные постоянные. Замечание 4. Функция Ju(x) обращается при х = 0 в нуль (ряд начинается с ж1'), а функция J_v(x) обращается при х = 0 в беско- бесконечность (ряд начинается с x~v). ? Замечание 5. При целом v = m функции Jm и J_m оказываются линейно-зависимыми. ? Действительно, для четных к = 2га мы из C5) имеем соотношение между С2ш и С2ш-2 2га • 2(i/ + т)С2т + С2т_2 = 0. C9) Пусть v = —771о. Тогда из C9) при га = гао получаем, что С2то-2 — 0. При 777, = 777,0 — 1 в C9) имеем 2(га0 - 1) • 2(-га0 + га - 1) • 0 + С2то_4 = 0. откуда С2то_4 = 0. Продолжая возвращаться по номерам га, доходим до Со = 0. Значит, в разложении у2(х) первым отличным от нуля коэффициентом будет С2то при х2то~т° = хт°. Поэтому, подставляя в C7) v = — гао, изменяя в C7) индекс суммирования, полагая к = гао + к' и учитывая, что к\ = Г (к + 1),
158 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 получаем j.mo{x) = (-1)-? r^JrW т.е. J-mo(x) и Jmo(x) линейно-зависимы. Итак, при целом v = т нужно искать второе решение уравнения Бесселя, линейно независимое от Jm{x). Одним из наиболее распространенных решений уравнения Бессе- Бесселя, линейно независимых при любых v с Ju(x) является функция Неймана Nv(x). Поэтому при целых v = m общее решение уравнения Бесселя может быть записано в виде При т = 0 Jo@) = 1, а функция Nq(x) имеет при х = 0 логариф- логарифмическую особенность. При т ^ 1 функция Jm(x) имеет при х = О нуль m-го порядка, а функция Nm(x) имеет при х = 0 полюс т-го порядка (см. [19]). Решения уравнения Бесселя называются цилиндрическими функ- функциями и играют большую роль в математической физике. ? 4. Найти периодическое решение уравнения D0) л, к=3 А Для уравнения D0) в общих обозначениях имеем Pi = 0, р2 = 4 = 2 , по = 0, а& = —о, А: Для правой части (обратим внимание на то, что суммирование начи- начинается с к = 3) = Е сю coskx к2 к=3 выполнено условие р2 ф к2 (к = 3,4,...). Иначе говоря, в правой части отсутствуют резонансные гармоники cos2x и sin2x. Поэтому \/к = 3, 4,... коэффициенты Ак и Вк существуют и находятся по фор- формулам B4):
§ 5] Интегрирование с помощью рядов 159 Таким образом, периодическое решение неоднородного уравне- уравнения D0) имеет вид coskx /с=3 V ' а все периодические решения D0) содержатся в формуле у = Л2 cos 2x + i?2 sin 2ж + к=з " х~ " ' где Л2 и 52 — произвольные постоянные. П 5. Найти периодическое решение уравнения у" + 4у = Y,^ fe=0 А Для уравнения D1) в общих обозначениях имеем Pi = 0, p2=4 = 22, oo = l, «fc = ^ (fc = 1,2,3,...), bk=0 (к = 1,2,3,...). Для правой части D1) имеет место р2 = &о ПРИ ко = 2. При этом flfco = а2 = 4' bk0 = Ь2 = 0, т.е. правая часть содержит резонансную гармонику cos2x. Следова- Следовательно, периодического решения уравнения D1) не существует. ? 6. Найти периодическое решение уравнения у" + 4у = sin2 х. D2) А Правая часть может быть представлена в виде sin х = ^ — ^ cos 2x. Следовательно, для уравнения D2) в общих обозначениях имеем Pi = 0, р2 = 4 = 22, а0 = ^, ai = 0, а2 = -|, Для правой части D2) имеет место р2 = ^о ПРИ ко = 2. При этом &/с0 = а2 = —^5 bk0 = Ь2 = 0, т.е. правая часть содержит резо- резонансную гармонику cos2x. Следовательно, периодического решения уравнения D2) не существует. ?
160 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 3. Задачи для самостоятельного решения Найти три первых члена разложения в степенной ряд решения задачи Коти. 3.5.1. у1 = 1 - ху, у@) = 0. 3.5.2. у" + ху = 0,2/@) = 0,у'@) = 1. 3.5.3. у" - sinxy' = 0, 2/@) = 0, у'@) = 1. 3.5.4. ху" + у sin х = х, у(тт) = 1, у'(к) = 0. 3.5.5. у'" + xsmy = 0, 2/@) = §, y'{0) = у"@) = 0. Найти с помощью степенных рядов решения задач Коши. 3.5.6. у1 - 2ху = 0, 2/@) = 1. 3.5.7. у"-ху' + у-1 = 0, 2/@) = 2/'@) = 0. Решить с помощью степенных рядов уравнения. 3.5.8. у" + ху = О. 3.5.9. у" - ху' -2у = 0. 3.5.10. ху" - (х + 1)у' + j/ = 0. 3.5.11. xV + жг/ + (ж2 - 1J/ = 0. 3.5.12. р" + Ij/+ 4з/= 0. Найти периодические решения уравнений (если они существуют). 3.5.13. у" + 42/ = ЕГ=4 3.5.14. у" -у= |sina;|. 3.5.16. у" -\-у = cos ж • cos 2ж. 3.5.17. 2/"+2/' = ЕГ=1^- 3.5.18. 2/" + 32/ = 1 + E^li cosfcr + sinb;, 3.5.19. у" + Ay = cos2 x. 3.5.20. 2/" + 92/ = sin3 ж. Ответы 3.5.1. 2/ = ж-^- + ^-... 3.5.2. 2/ = 1 + ^ + f^ + • • • 3.5.3. у = = ж+|! + 2^ + ...3.5.4. j, = l+(?^+(?^ + ...3.5.5. у = = f-4T + ?----3-5-6- 2/ = l + *2 + l? + f+ --- = e< 3.5.7. 2/ = х2 ,хА , Зхв , 3 ¦ 5 ¦ ж8 , , Bfc + l)!!>+4" = Г+4Г + "бГ + ~8^ + ---+ Bfe + 4)! +---3-5- (~l)fcx3fc \ / ^ (~l) t'3457
§ 6] Операционный метод решения с помощью преобразования Лапласа161 2 3.5.9. у = dxe^ + C2(l + x2 + ^- + f^ + ...). 3.5.10. j/ = Ci(l + + ж) + С2еж. 3.5.11. у = dJi(x) + C2J_i» = Y^(Cisinx + + C2cosz). 3.5.12. ?/ = CiJ0Bx) + С2УоBж). 3.5.13. j/ = oo oo = A2cos2x+52sin2x-? 2™ferc 3.5.14. ?/ = -f + | ? CQS42/^ . /c=4 ^ (« "" 4) /c=l 1^ ~~ 1 3.5.15. Периодических решений нет. 3.5.16. Периодических ре- «- _ гч v^ cos А:ж + sin кх о к i о _ 1 ¦7'0 - С ^ fe3(fe2 + 1) ¦ 3.5.18.» - з -. 3.5.19. Периодических решений нет. 3.5.20. Пе- риодических репгений нет. § 6. Операционный метод решения дифференциальных уравнений с помощью преобразования Лапласа 1. Основные понятия и теоремы 1°. Оригиналы и изобраснсения. В основе операционного мето- метода решения дифференциальных уравнений (использующегося как для решения обыкновенных дифференциальных уравнений, так и уравне- уравнений в частных производных) лежит переход от исходного дифферен- дифференциального уравнения к более простому, так называемому операторно- операторному, уравнению (алгебраическому для обыкновенных дифференциаль- дифференциальных уравнений и обыкновенному — для уравнений в частных про- производных). При этом учитываются также и дополнительные условия задачи Коши. Затем обратное преобразование решения операторного уравнения позволяет восстановить решение исходного дифференци- дифференциального уравнения. Рассмотрим применение интегрального преобразования Лапласа для построения решений линейных уравнений с постоянными коэф- коэффициентами [23]. Функцией-оригиналом называется комплекснозначная функция f(x) действительной переменной х (f(x) = и(х) + iv(x)), удовлетво- удовлетворяющая условиям: 1) f(x) = 0 для х < О, 2) f(x) для х > 0 является кусочно-гладкой на любом конечном от- отрезке (т. е. на таком отрезке f(x) кусочно-непрерывна и имеет кусочно- непрерывную производную), 3) f(x) при х —>- +ос имеет ограниченную степень роста, т. е. существуют такие постоянные М > 0 и а, что для всех х > О |/(ж)| < Меах. 6 А. Б. Васильева, Г. Н. Медведев
162 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 Точная нижняя грань по = inf а тех значений а, для которых имеет место неравенство, называется показателем роста функции f(x) при х -> +оо. Обратим внимание на то, что при самом uq неравенство |/(ж)| < < Меа°х может и не выполняться. Так, неравенство выполняется при любом п ^ 0 и сколь угодно малом а > 0. Следо- Следовательно, показатель роста степенной функции есть а$ = 0. Однако неравенство \хп\ < М очевидно неверно. Для краткости функцию-оригинал часто называют просто ориги- оригиналом. Простейшим оригиналом является так называемая функция Хевисайда х < 0. ^ ' Замечание 1. Если f(x) — функция-оригинал с показателем ро- роста ао, то функция xf(x) также будет функцией-оригиналом с тем же показателем роста uq. Следовательно, после умножения функции- оригинала на любую степень хп снова получается функция-оригинал с тем же показателем роста. ? Из замечания 1 следует, что квазиполиномы на полупрямой х > 0 удовлетворяют требованиям к функции-оригиналу. Замечание 2. Строго говоря, все функции-оригиналы имеют вид (ж), х > 0, х < 0. ? В дальнейшем, используя обычное обозначение /(ж), мы будем предполагать, что для х < 0 функция продолжена нулем. Только в п. 9 и примере 3 функция Хевисайда будет использовать- использоваться для задания функций-оригиналов разными формулами на разных отрезках. Замечание 3. Требования к функции-оригиналу могут быть сни- снижены. Функцией-оригиналом может быть функция /(ж), для которой сходится интеграл + ОО где ро — некоторое комплексное число. Это обстоятельство позволяет включить в число функций-оригиналов функции, имеющие интегри- интегрируемую особенность типа xv', где — 1 < v < 0. ?
§ 6] Операционный метод решения с помощью преобразования Лапласа163 Изображением по Лапласу функции-оригинала f(x) называется функция F(p) комплексного переменного р, определяемая формулой F(p)= | f(x)e-Pxdx, B) О где Rep > а$ (условие, обеспечивающее сходимость интеграла B)). Связь оригинала f(x) с его изображением F(p) символически бу- будем записывать так: f(x)=F(p). Согласно замечанию 2 эквивалентной формой записи является также f(x)v(x)=F(p). 2°. Некоторые важнейшие свойства преобразования Ла- Лапласа. Пусть f(x) = F(p), g(x) = G(p). 1. Линейное свойство. af{x) + Pg(x) = aF{p) где а и P — произвольные постоянные. 2. Теорема подобия. Для любого а > О 3. Теорема смещения. Для любого комплексного С eCxf(x) = F(p-C). Из определения изображения и свойств 1-3 получаются следующие изображения основных функций, входящих в квазиполиномы: еС* = -L Действительно, непосредственным вычислением получаем + ОО j е е ах - р_с, о Действительно, О (см. замечание 3). 6*
164 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 В частности, 1 = еСж|с=о = |, <т{х) = ± (см. замечание 2). хп = п! рп+1' ег/3ж = cos j3x + i sin fix = , 1 _ p + i/3 p-i/3 p2 + /32 ' cos fix — Re ег/^ж = • {p-ay+t32 На основании теоремы смещения и полученного ранее изображения для xv находим (см. замечание 3). В частности, x n _• п! _ , •~[()ЗГ+1 [ хп - x .- 2+jg2]n+i ¦ .-n. [(p_aJ+jg Таким образом, найдены изобралсения для всех функций, входя- входящих в квазимногочлены.
§ 6] Операционный метод решения с помощью преобразования Лапласа16Б 4. Дифференцирование оригинала. Пусть функция f(x) n раз диф- дифференцируема. Тогда f(x)=pF(p)-f@), f"(x)=piF(p)-pf@)-f@), C) /(")(х) =PnF(p) -р»-1/^) -р"-2/'@) -.•. -/С»11)@), где /«@) = lim^+oo /(fe)(s)> Л = 1,2,..., п - 1. 5. Дифференцирование изображения F'{p) = -яДя). 6. Интегрирование оригинала ся, то сю 7. Интегрирование изображения. Если интеграл F(p) dp сходит- 8. Теорема об умножении изображений (теорема о свертке) X X F(p)G(p) = J №g(x - 0 de = J /(^ " 0^@ <%- о о Правая часть называется сверткой функций f(x) и д(х). Говорят: умнож:ение изображ:ений соответствует свертыванию оригиналов. 9. Теорема запаздывания. Для любого ? > 0 f(x-0 = e-bF(p). D) Это свойство удобно применять для отыскания изображений функ- функций, заданных разными формулами на разных участках. Пусть f(x) = fi(x) на интервале (жь^), принадлежащем полу- полупрямой ж^0,и/(ж) = 0во всех остальных точках этой полупрямой. С помощью функции Хевисайда а(х) такую функцию f(x) можно задать в виде f(x) = /i(x)[cr(x - хг) - а(х - х2)], E) так как выраж:ение в квадратных скобках равно 1 на интервале (#i, X2) и равно нулю в остальных точках. Функция а(х — х\) "включает" функцию fi(x) в точке х = х±, а функция а(х — Х2) "выключает" ее в точке х = Х2-
166 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 Если Х2 = +оо, то f(x) = f1(x)a(x-x1). F) Пусть, например, f(x) = х на интервале A,2) и f(x) = 0 в осталь- остальных точках полупрямой х ^ 0. Согласно формуле E) f(x) = ха(х — 1) — ха(х — 2). Напомним, что ж -• -Ь- 1 -• ± ¦~р2' -~Р" Чтобы применить формулу D), преобразуем /(ж) к виду /(ж) = [(ж - 1) + 1]<т(ж - 1) - [(ж - 2) + 2]<т(ж - 2). Тогда изображение F(p) функции /(ж) с учетом D) имеет вид F(v) -el^+el^_el^_ 2e^ Замечание 4. Для любой "кусочно" заданной функции /(ж), рав- равной fi(x) на интервале (a^,a^+i), * = ^-'п' жп+1 = сю, обобщением формул E) и F) будет сумма выражений указанного типа, т. е. п-1 ЯЖ) = 5Z Л(Ж)[а(Ж - Хг) ~ а(Х ~ Xi+l)] + fn(x)<T(x ~ Xn). G) г=1 п 10. Изображ:ение периодической функции. Пусть f(x)— периоди- периодическая с периодом Т. Тогда т F(p) = 1 _ ^_рТ { e-P*f(x) dx (Rep > 0). О 3°. Восстановление оригинала по изображению. После ре- решения операторного уравнения (алгебраического, если исходное было обыкновенным дифференциальным) относительно изображения F{jp) необходимо по найденному изображению F(p) восстановить ориги- оригинал /(ж), являющийся решением исходной задачи. Для этого исполь- используют следующие приемы. 1. Пусть найденное изображение F{jp) представляет собой правиль- правильную рациональную дробь. Эту дробь разлагают на сумму простейших дробей, для каждой из которых находят оригинал по приведенным выше свойствам преобразования Лапласа. Основные оригиналы и их изображения сводятся в таблицы.
§ 6] Операционный метод решения с помощью преобразования Лапласа167 2. В общем случае для отыскания оригинала по изображению используется формула Меллина (или формула обратного преобразо- преобразования Лапласа) сг+гоо № = Ш \ ePXF(p)dp, (8) a — ioo где интегрирование ведется по прямой, параллельной мнимой оси плоскости р, расположенной правее всех особых точек изображения. Для вычисления интеграла в формуле (8) можно использовать лемму Жордана и теорему вычетов [23]. Если F(p) —>> 0 при \р\ —>> ос, то f{x) = ^Res[e^F(p),^], x > 0 (9) к=1 (суммирование ведется по всем полюсам pi,...,pm функции F(p)). Для х < 0 f(x) = 0, как и должно быть для функции-оригинала. Используя формулу вычисления вычета в полюсе pk порядка п/е, приводим формулу (9) к следующему виду т = Е 4°. Применение преобразования Лапласа для решения за- задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Пусть задана задача Коши для неоднородного уравнения с начальными условиями 2/@) = Уо, у'@) =у'о, ..., y^iO) = у(Г1]- A2) Предполагается, что функция f(x) и искомое решение удовлетворяют условиям существования преобразования Лапласа. Обозначим через Y(p) изображение неизвестной функции (ориги- (оригинала) у(х), а через F(p) — изображ:ение правой части /(ж), т.е. y(x) = Y(p), f(x)=F(p). По правилу дифференцирования оригинала получаем у'(х) =pY(p) -г/о, у"(х) =p2Y(p) -too - у'о.
168 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 В силу свойства линейности преобразования Лапласа после его применения к левой и правой частям уравнения A1) получаем опе- операторное уравнение M(p)Y(p) - N(p) = F(p), где М(р) — характеристический многочлен уравнения A1), N(p) — многочлен, содержащий начальные данные задачи Коши (обращается в нуль при нулевых начальных данных), F(p) — изображение функ- функции f(x). Разрешая операторное уравнение, получаем изображение Лапласа Y(p) искомого решения у(х) в виде Y(p) _ М{р) ' Восстанавливая оригинал для Y(p), находим решение уравне- уравнения A1), удовлетворяющее начальным условиям A2). Замечание 5. Задачу Коши, заданную в точке х = хо заменой ? = х — Хо всегда можно привести к задаче Коши с условиями в нуле. ? Замечание 6. Операционным методом может быть построено и общее решение уравнения A1). Для этого надо конкретные зна- чения у о, у0,..., г/Q ' начальных условии заменить на произвольные постоянные С\, С2, • • •, Сп. ? 5°. Интеграл Дюамеля. Рассмотрим две задачи Коши для уравнения Ly = f(x) с постоянными коэффициентами Lyi = 1, Пусть г/1 (ж) — решение специальной задачи A4) с единицей в пра- правой части уравнения. Решение задачи A3) имеет тогда вид A5) т.е. является сверткой правой части f(x) и производной решения специальной задачи A4). Формулу A5) называют интегралом Дюамеля.
§ 6] Операционный метод решения с помощью преобразования Лапласа!^ Замечание 7. Заменой неизвестной функции всегда можно све- свести ненулевые начальные условия к нулевым. Например, если для уравнения второго порядка заданы условия 2/@) = 2/о, 2/'@) = 2/о, то для новой неизвестной функции z(x) = у(х) - 2/о - Уох будем иметь нулевые условия: *@) = 2/@) - j/o = 0, z'@) = у'@) -у'0=0. Уравнение для z(x) примет вид Lz = Л (ж), h(x) = f{x) - L[y0 + yfox]. П 2. Примеры решения задач 1. Решить операционным методом задачу Коши у" + у = sinx, 2/@) = 0, у'@) = 1. A6) Л Полагая у{х) = Y(p) с учетом начальных условий, находим изображ:ения y(x)=Y(p), у"(х) =P2Y(p) -ру(О) - y'@)=P2Y(p) - 1, sin x = -^ . ' р2 + 1 Операторное уравнение имеет вид р откуда T Для отыскания оригинала для Y(p) воспользуемся тем, что —^— = sin ж, Р2 + 1
170 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 и по теореме умножения изображений (теореме о свертке) X 1 _ 1 1 _• Г ™^ t „\„(т с\ At — sin ж ж cos ж - ' ) р р о Итак, оригиналом для Y(p), т.е. решением задачи A6), является у(х) = i sin x — % cos ж + sin x = 4 sin x — % cos ж. A8) Если для отыскания оригинала У(р) воспользоваться форму- формулой (9), то получим 2 2 2/(ж) = V^ Res —-^—-g-, р/с + У^ Res /с=1 /с=1 где pi52 = =Ьг — полюсы второго и первого порядка в первой и второй суммах соответственно. Вычисляя вычеты, находим -4хегх - 4гегж , -4хе гж + 4ге р=г -гж , >(• -ъх р=-г ~ 16 ^ 16 2 ^ 2 ~ = — f cos x + i sin ж + sin ж = | sin ж - ^ cos ж. A9) ? 2. Решить задачу примера 1 с помощью интеграла Дюамеля. А Введем новую неизвестную функцию z = у — ж, для которой начальные условия станут нулевыми. Задача Коши для z(x) имеет вид 7 Л- 7 — Ч1Л Т — Т 7@) — 71 @) — О (9ГП Специальная задача A4) в данном случае имеет вид zx + z\ = 1, 2i@) = ^@) = 0, ее решение z\ = \ — cos ж, его производная z[ = sin ж. По формуле A5) находим решение задачи B0) X X Г Г • т Я J J 2 2' о о откуда г/(ж) = 4 sin ж — Ц cos ж, что совпадает с A8) и A9). ?
§ 6] Операционный метод решения с помощью преобразования Лапласа171 3. Решить задачу Коши y + y = f(x), |,@) = 0, у'@)=0, B1) где f(x) — прямоугольный импульс: Л С помощью функции Хевисайда A) функция f(x) записывается в виде E): f{x) = [а{х) - а{х - 1)]. Для отыскания изображения f(x) воспользуемся тем, что 1 Р Ф) ¦= Ъ и по теореме запаздывания D) а{х-\) = ^-. Полагая у(х) = Y(jy), получаем для Y операторное уравнение откуда y(p) = -рг—г - (%Р : Используя известные изображения и теорему запаздывания, нахо- находим 1 _• „(„\ р •= а(ж)' 2^_: •=' cosx B2) Замечание 8. Отметим, что в формулах B2) мы проявляем боль- больше внимания к тому факту, что, строго говоря, оригиналы всегда имеют вид f(x)(r(x), т.е. обращаются в нуль для отрицательных аргументов функции Хевисайда. Это внимание диктуется тем, что, в отличие от примера 1, в данном случае в функцию f(x) входят слагаемые, "включающиеся" в разные моменты. ? В примере 1 подобная строгость привела бы к умножению всех оригиналов на <j(x), чего обычно не делают.
172 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 Итак, решением задачи B1) является функция у(х) = [сг(х) — сг(х — 1)] — [cos ха(х) — cos(x — 1)а(х — 1)] или, в другом виде, у(х) = [1 — cos х]а(х) — [1 — cos(x — 1)]сг(ж — 1) = l -cosx, 0 < х < 1, . . — [cosx — cos(x — 1)], х > 1. ? 4. Решить задачу Коши из примера 3 с помощью интеграла Дюамеля. Л Специальная задача A4) в данном случае имеет вид 1/1+1/1 = 1, 2/i@) = 2/1@)= О, ее решение 2/i = 1 — cos ж, его производная у[ = sin x. По формуле A5) находим решение задачи B1) г X 1 • sin(x — ?) d? = 1 — cos ж, 0 < ж < 1, о 1 1 • sin(x — ?) d? = cos(x — 1) — cos ж, ж > 1, что совпадает с B3). ? 3. Задачи для самостоятельного решения Решить следующие задачи Коши. 3.6.1. у" +у' = 1,2/@) = О,?/'@) = 1. 3.6.2. у" + 32/' = е\ 2/@) = 0, j/'@) = -1- 3.6.3. у" - 2j/ = е2ж, у@) = 2/'@) = 0. 3.6.4. у1" + у' = 1, 2/@) = у'@) = 2/"@) = 0. 3.6.5. у" + 2у'+у = sina;, 2/@) = 0, у'@) = -1. 3.6.6. 2/" + 2/' = cos ж, 2/@) = 2, j/'@) = 0. 3.6.7. у" + у = совж, 2/@) = -1, 2/'@) = 1. 3.6.8. у'" + у" = х, у@) = -3, 2/'@) = 1, 2/"@) = 0.
§ 7] Операторный метод Хевисайда 173 3.6.9. у" + Ау = 2 cos х cos 3, у@) = yf@) = 0. 3.6.10. у" + с^2г/ = а[а(х) - а(х - Ь)], 2/@) = г/@) = °- Решить следующие задачи с помощью интеграла Дюамеля 3.6.11. у" - у = A*2*,)а, 2/@) = 2/@) = 0. 3.6.12. у" + 2у' + у= f^, 2/@) = 2/@) = 0. 3.6.13. у" -у'= 2^, 2/@) = t/@) = 0. 3.6.14. у" + у = 2 + losx, 2/@) = 2/@) = 0. 3.6.15. 2/" -у' = y^, 2/@) = 2/@) = 0. Ответы 3.6.1. у = х. 3.6.2. г/ = |еж + ^е-3ж-|.3.6.3. г/ = \A-е2х+2te2x). 3.6.4. гг = ж - sinx. 3.6.5. у = ^(е"ж - же"ж - cosx). 3.6.6. г/ = 2 + + Ые~х — cosx + sinx). 3.6.7. г/ = ixsinx — cosx + sinx. 3.6.8. г/ = = g?3 - i^2 + 2ж - 4 + е"ж. 3.6.9. у = |si ^ 3.6.10. у = ^[sin2 ^a{x)-sin2 ^^a{x- b)]. 3.6.11. 2/ = ^( - 1)-In ii^". 3.6.12. г/ = е-ж[(ж + 1Iп(ж + 1)-ж]. 3.6.13. г/ = ( ^Ь1-еж + 1. 3.6.14. 2/ = sinxfx-^ * V 3 ** V v 3 v 3 -ln3 cos ж. 3.6.15. j/ = еж-1- 7. Операторный метод Хевисайда решения дифференциальных уравнений 1. Основные понятия и формулы 1°. Операторный многочлен и его свойства. Для построе- построения частных решений уравнений с постоянными коэффициентами для некоторых видов правых частей (в основном для квазимногочленов) бывает удобен так называемый операторный метод (Хевисайда) [22]. Суть операторного метода состоит в том, что его применение позволяет свести отыскание частного решения к алгебраическим опе- операциям и интегрированию известных функций.
174 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 Пусть D = -^- — оператор дифференцирования. Тогда D2 = = зЦйж) = d^''"'Dk = ~dx*'"'~ опеРат°Ры вычисления произ- производных высп1их порядков. Уравнение Ly = f(x) в этих обозначениях примет вид Ly = M(D)y = /(ж), где M(D) = Dn + aiDn~1 + .. . + an-iD + an — операторный многочлен. Непосредственно проверяются следующие тождества 1) M(D)eXx = еЛжМ(А), 2) M(D2)smax = sinax • М(-а2), 3) M(D2) cos ax = cos ax • М(-а2), 4) M(D)eA^(i) = eXxM(D + A)v(a;). Сумма Mi(D) + M2(D) и произведение M\(D)-M2{D) операторных многочленов подчиняются правилам действий с обычными, не опера- операторными, многочленами. Справедливы формулы [Mi(D) + M2(D)]f(x) = M1(D)f(x) + M2(D)f(x), M1{D)M2{D) = M2{D)M1{D) (свойство коммутативности произведения операторов), M(L>)[M!(L>) + M2(D)] = M(D)M1(D) + M(D)M2(D) (дистрибутивное свойство). 2°. Обратный оператор и его свойства. Обратный оператор M~1(D) или ~- . дает решение операторного уравнения, т.е. если функция у(х) есть решение уравнения M(D)y = f(x), A) ТО у = м Подставляя B) в A), получаем тождество Ясно, что формула B) определяет некоторое решение уравне- уравнения A) с точностью до любого слагаемого у — решения однородного уравнения M(D)y = 0, так как сумма j . f(x) -\-y такж:е удовлетво- удовлетворяет тож:деству C).
§ 7] Операторный метод Хевисайда 175 Верно и равенство ^{x)] = f(x), так как f(x) — решение уравнения = M(D)f(x). Оператором, обратным к оператору дифференцирования, будет оператор вычисления первообразной, поэтому j^f(x)=\...\f(x)(dx)m. D) Справедливы также следующие свойства обратного оператора: fc\fi(x) + Мх)] = jfahix) + jjfaMx), F) Ах = е M(Df =ЩХУ у если -2_ cosax = _^_, если М(_а2) При действии обратного оператора M~1(D) на квазимногочлен возникает необходимость вычисления результата действия этого опе- оператора на обычный многочлен (см. формулу A0)). Пусть надо найти — результат действия оператора М 1(D) на многочлен Рр(х) степе- степени р. Представим оператор , , в виде 1 =р ,гл ¦ R(D) M(D) Ц где Qp(D) — многочлен степени р.
176 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 Для этого делим формально 1 (единицу) по правилу деления мно- многочлена на многочлен M(D) = ап + an_xD + ... + сцБ71'1 + Dn (an ф 0), расположенный по возрастающим степеням D, пока в частном не по- получится многочлен Qp(D) степени р. Соответствующий остаток будет иметь вид многочлена R(D), содержащего степени D от р + 1 до р-\-п включительно. Пусть оператор —-—^ действует на многочлен Рз(х). Представляя этот оператор в виде A2), находим Этот пример показывает возможность отсутствия некоторых слагае- слагаемых в многочленах Qp(D) и R(D). В данном случае равен нулю коэффициент при D3 в Q^(D), а также коэффициент при D5 в R(D). Перепишем тождество A2) в виде 1 A3) и подействуем его левой и правой частями на многочлен Рр(х). Имеем [M(D)QP(D) + R(D)]Pp(x) = Рр(х) ИЛИ M(D)[Qp(D)Pp(x)] = Pp(x), A4) так как R(D)Pp(x) = 0 в силу того, что оператор R{D) содержит сте- степени D (порядки дифференцирования) отр+1 дор+n (превышающие степень многочлена Рр(х)). Равенство A4) означает, что многочлен Qp(D)Pp(x) является ре- решением уравнения M(D)y = Рр{х). Итак, результат действия обратного оператора M~1(D) на много- многочлен Рр(х) = Сохр + ... + Сп-\х + Сп имеет вид ^Рр(х) = QP(D)Pp(x), A5) где QP(D) — неполное частное степени р от деления 1 на многочлен M(D) по правилу деления многочленов (многочлен M(D) располага- располагается по возрастающим степеням D). Замечание 1. При делении 1 на многочлен M(D) существенно использовалось условие ап^0в многочлене M(D). ? Если многочлен M(D) имеет вид M(D) = akDk + ak-xDk+1 + ... + а^ + Dn,
§ 7] Операторный метод Хевисайда 177 то M~1(D) можно представить в виде произведения двух операторов M(D) Dk ' (ак + ak-xD + ... + cuD71'1*-1 + Dn~k) ~ Dk В операторе , , выполнено условие а^ ф О, следовательно, этот оператор действует на многочлен Рр(х) по предыдущей схеме. За- Затем полученный результат подвергается /г-кратному интегрированию ( действию оператора -^ j. Обратим теперь внимание на то, что операторный многочлен M(D)=Dn + a1Dn-1 + ... + an-1D + an A6) в уравнении M(D)y = f(x) совпадает по структуре с характери- характеристическим многочленом М(Х). Поэтому одновременно с отысканием корней характеристического уравнения М(А) = 0 решается проблема разложения многочлена A6) на неприводимые множители (линейные или квадратичные), например, M(D)y = (D2 + D + 2){D2 + 4){D + 3J(D - 2)Dy = f(x). Следовательно, задача отыскания частного решения в виде у = I f(X) = I f(X) у M(D)jy J (D2+ D + 2)(D2+ 4)(D + 3J(D2)DJK J сводится к последовательному действию на функцию простейших операторов вида JL 1 1 ?Г ?>-2' '"' D2 + D + 2' Для оператора вида вЫ или д'+рд + g ^2-4«<°)' действующих на хр, многочлен Qp{D) в формуле A2) удобно нахо- находить, пользуясь биномиальным разложением вида а\ \ — 1 1 i 2 3 | /1 iy\ -j- а) ^1 — 0^ + 0^—0^+... l-'-'J Например, ~г -1A_d,(dY D- f) =K'-f+(f) -(* 1 = 1 D2 + 2D + 2 2 \-1 _ ) ~
178 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 При этом, если оператор действует на хр, то для получения мно- многочлена Qp(D) нужно в этих разложениях удержать члены до Dp включительно. Результат действия на хр степеней ?)р+1, ?)р+2,... оператора диф- дифференцирования D равен нулю. 2. Примеры решения задач Цифры, стоящие в скобках над знаками равенств, будут обозна- обозначать номера используемых свойств оператора т , , рассмотренных выше. Напомним, что действие оператора т . на любую функцию определяется с точностью до слагаемых, являющихся решениями со- соответствующего однородного уравнения (поэтому в квадратурах мож- можно не подставлять постоянный нижний предел). 1. Найти частное решение уравнения у' = f(x). Его операторный вид Dy = f(x). А Отыскание частного решения этого операторного уравнения со- состоит в применении формулы B) и указанных цифрами в скобках нужных свойств обратного оператора: х у = ?/(*) = [ ДО #• п 2. Найти частное решение уравнения у' — 2у = f(x). Его опера- операторный вид (D — 2)у = f(x). Л Отыскание частного решения этого операторного уравнения со- состоит в применении формулы B) и указанных цифрами в скобках нужных свойств обратного оператора: (-} е2х 1 е~2х f(x) ~ (L> + 2J Jyx)- D-2 (=} e2x J e-*/@ d? = J e2(* Последовательное применение результатов примеров 2 и 1 позво- позволяет свести к квадратурам отыскание функции у, удовлетворяющей уравнению У = (D - X1)(D - Л2)... (D - \n)f№>
§ 7] Операторный метод Хевисайда 179 если известны корни А& характеристического уравнения М(А) = 0. Видно, что для оператора n x (A& — один из характеристических показателей) функцию f{x) нужно умножить и разделить на еЛ/гЖ, чтобы после применения формулы A4) получился оператор интегри- интегрирования уг. Окончательный вид результата примера 2 выражает по известной формуле частное решение через правую часть f(x) и функцию Коши Таким образом, последовательное применение операторов (D — А/.) и вычисление промежуточных квадратур может быть использовано и для построения функции Коши исследуемого уравнения. ? Для функций f(x) специального вида, входящих в состав ква- квазимногочленов, результат получается быстрее с применением других свойств оператора ( л (там, где это возможно!). 3. Найти частное решение уравнения у' — Зу = е2х. Его оператор- операторный вид (D — 3)у = е2х. Л Отыскание частного решения этого операторного уравнения со- состоит в применении формулы B) и указанных цифрами в скобках нужных свойств обратного оператора: у ~ г е2х - -J— е2х - -е2х ? у ~ D-S ~ 2-Зе ~ е ' ы 4. Найти частное решение уравнения у'" + by" — 3yf + 7y = е2х. Его операторный вид (D3 + 5L>2 - 3D + 7)j/ = e2x. Л Отыскание частного решения этого операторного уравнения со- состоит в применении формулы B) и указанных цифрами в скобках нужных свойств обратного оператора: 12* Ш 1е2х = ^ У = е Ш 1 е = ^ У D3 + 5D2 - 3D + 7 23 + 5 • 22 - 3 • 2 + 7 29 ' Согласно правилу G) действие оператора т- , на экспоненту в "нерезонансном" случае, когда М(А) т^ 0 (в данном случае А = 2), приводит к появлению лишь числового множителя ~; , , который, конечно, мож:ет быть найден без разлож:ения многочлена M(D) на множители. ?
180 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 5. Найти частное решение уравнения у' — 2у = е2х. Его оператор- операторный вид (D - 2)у = е2х. А Отыскание частного решения этого операторного уравнения со- состоит в применении формулы B) и указанных цифрами в скобках нужных свойств обратного оператора: В данном "резонансном" случае М(А)|д=2 = 0, формула G) непри- неприменима и нужно воспользоваться формулой A0), приводящей к опе- оператору интегрирования уг. П 6. Найти частное решение уравнения у" — by' + 6 = е2х. Его операторный вид (D — 2)(D — 3)у = е2х. Л Отыскание частного решения этого операторного уравнения со- состоит в применении формулы B) и указанных цифрами в скобках нужных свойств обратного оператора: y (D-2)(D-3) D-2 D-3 D - 2 (-1) TT » 11 Изменим порядок действия операторов -^—~ и -=:—~: 1 о_ A1) 1 1 о_ A0) 1 о_ 1 D) D-3 D-3 3)-3 _ Зх± = е3х \-е~х = е3а: [ е"^ d? = е3х \-е~хх - е"ж] = -е2хх + е2х. Обратим внимание на то, что изменение порядка действия опера- операторов приводит к внешне различным результатам. Принципиального различия в них нет, так как они отличаются слагаемым е2ж, являю- являющимся решением однородного уравнения. Видно, что быстрее приводит к ответу первый вариант порядка операторов, когда первым действует на е2х "нерезонансный" оператор (D — З), приводящий к появлению числового множителя.
§ 7] Операторный метод Хевисайда 181 Во втором случае дважды возникает оператор интегрирования D, усложняющий промежуточный результат, требующий, в заклю- заключение, интегрирования по частям и приводящий к появлению лишнего и несущественного слагаемого е2х. ? 7. Найти частное решение уравнения у" — 2у' = f(x). Его опера- операторный вид D(D — 2)у = f(x). Л Отыскание частного решения этого операторного уравнения со- состоит в применении формулы B) и указанных цифрами в скобках нужных свойств обратного оператора: D D< Опять поменяем порядок действия операторов: а = ete ie- J /(О de (=} е2ж J е« df j /( В зависимости от порядка действия операторов D~x vl(D—2), мы приходим к различным по внешнему виду промежуточным результа- результатам, имеющим форму повторных интегралов. После интегрирования по частям в обоих случаях получается обычный вид частного реше- решения, выражающегося через функцию Коши.
182 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 Предпочтительнее первый вариант, когда действие оператора ин- интегрирования Z) завершает вычисления. В обоих случаях полезно обозначать переменные интегрирования другими буквами по срав- сравнению с верхним пределом интегралов, чтобы избежать случайного сокращения показателей экспоненты. ? 8. Найти частное решение уравнения у1— 2у = х. Его операторный вид (D - 2)у = х. А Отыскание частного решения этого операторного уравнения со- состоит в применении формулы B) и указанных цифрами в скобках нужных свойств обратного оператора: Степень многочлена QP(D) в этом примере равна 1, так как опе- оператор (D — 2) действует на х1. Поэтому в разложении (D — 2) по степеням D/2 нужно удержать члены до D1 включительно. Результат действия на ж1 более высоких степеней оператора диф- дифференцирования D равен нулю. ? 9. Найти частное решение уравнения у" + 6т/ + 9у = е Зж. Его операторный вид (D + ЗJ = е~3х. А Отыскание частного решения этого операторного уравнения со- состоит в применении формулы B) и указанных цифрами в скобках нужных свойств обратного оператора: _ 1 г-3х т -Зх 1 . -, _ -За J_ . 1 (!) е-3х . ?_ У- (D + зJ6  [(?-3) + 3]2 D2 "~6 2" п 10. Найти частное решение уравнения у" + 6yf + 9у = х2е2х. Его операторный вид (D + 3Jг/ = ж2е2ж. А Отыскание частного решения этого операторного уравнения со- состоит в применении формулы B) и указанных цифрами в скобках
§ 7] Операторный метод Хевисайда 183 нужных свойств обратного оператора: _ 1 х2с2х ^—^ е2х - х2 — с2х х х2 — (D + 3J ~~ [(L> + 2) + 3]2 ~~ (D + 5J ~~ Степень многочлена QP(D) в этом примере равна 2, так как опе- оператор (D + 5)~2 действует на ж2. Поэтому в разложении (D + 5)~2 по степеням D/5 нужно удержать члены до D2 включительно. ? 11. Найти частное решение уравнения у' — 2у = sin2x. Его опе- операторный вид {D — 2)у = sin2x. А Отыскание частного решения этого операторного уравнения со- состоит в применении формулы B) и указанных цифрами в скобках нужных свойств обратного оператора: У = ~п—о snl %х = Im т^—^е гх = Im tS—к = / ) — A I J — А АЪ — А П 12. Найти частное решение уравнения у" + 4г/ = sin3x. Его операторный вид (D2 + 4)т/ = sin3x. Л Отыскание частного решения этого операторного уравнения со- состоит в применении формулы B) и указанных цифрами в скобках нужных свойств обратного оператора: 1 (?) sin3x _ sin3x г-. - (_3J+4-- 5 • U 13. Найти частное решение уравнения у" + 4т/ = sin2x. Его операторный вид (?J + 4)у = sin2x. А Отыскание частного решения этого операторного уравнения со- состоит в применении формулы B) и указанных цифрами в скобках
184 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 нужных свойств обратного оператора: у - 1 sin2ar (-} Im -^ X—e2ix (-} Im 1 ^ ^ e Im +4 D-2i D + 2ie ~ 1Ш D-2i2i + 2i т e2ix I -. т e2ix I i D) т e2ix • ж = Im V" ттг—^-—— • 1 = Im ^р- • ^г • 1 = Im е ,. х 4г (D + 2г) - 2г 4г D 4г _ Ttyi i(cos2x + zsin2x)^ _ х cos 2ж — пи ^ х — 4 ' Задание: самостоятельно рассмотреть случай другого порядка дей- действия операторов (D — 2г)~1 и (D + 2г)~1. Сравнить результаты, как в примере 6. ? 14. Найти частное решение уравнения у" + 4у = х2 cos 2x. Его операторный вид (D2 + 4)?/ = ж2 cos2x. Л Отыскание частного решения этого операторного уравнения со- состоит в применении формулы B) и указанных цифрами в скобках нужных свойств обратного оператора: у = —:Л—х2 cos 2х = Re —Л—е2гхх2 = у D2 + 4 D2+4 = *****,„ , 0^2 , У=^е**±\-ъ±—х2]. A8) Вычислим отдельно результат действия оператора в квадратных скобках: 1 Х2 = Хи + В-У^Х2 = -fl- -+ (^J - ...)х2 = 4г 16^ ~ 4i\X 4г ^ 16 Степень многочлена QP(D) в этом примере равна 2, так как опе- оператор (D -\-4i)~1 действует на х2. Поэтому в разложении по степеням 44 нужно ограничиться членами до D2 включительно. Подставляя A9) в A8), применяя к результату A9) оператор ин- интегрирования D~x и выделяя действительную часть, имеем: -р _ е2гх (х3 х2 х \ _ х2 cos 2х _¦_ sin2x (х3 х \ г-1 Ке 4г \, 3 4г SJ ~ 16 + 4 ^ 3 SJ' U
§ 7] Операторный метод Хевисайда 185 15. Найти частное решение уравнения у" + у' + 2у = х3. Его операторный вид (D2 -\- D -\- 2)у = х3. А Отыскание частного решения этого операторного уравнения со- состоит в применении формулы B) и указанных цифрами в скобках нужных свойств обратного оператора: A5) 1Л D + D2 D2 2D3 ^l 2 + 4 + 4 _ 1Л.З Зж2 6ж , 6 А _ 1Л.З Зж2 Зж ~ 2\Х 2 4 + 27 - 2^Ж 2 2 В этом примере знаменатель оператора не разложим на множи- множители с вещественными коэффициентами, поэтому в биномиальном разложении типа A7) мы имеем дело уже с более громоздкой кон- конструкцией в роли а. Степеь многочлена QP(D) теперь равна 3, следо- следовательно, в разложении по степеням —^ нужно удержать члены до D3 включительно. Действие оператора, отвечающего кратным комплексным харак- характеристическим показателям, рассматривается аналогично примерам 7 или 11. ? Замечание 2. Изучение в предыдущих примерах действия опе- оператора 7" v только на хр не уменьшает общности по сравнению с произвольным многочленом степени р, так как вид оператора Qp(D) определяется именно старшей степенью многочлена. ? 3. Задачи для самостоятельного решения Найти операторным методом частные решения следующих неод- неоднородных уравнений. 3.7.1. г/" + Зг/ + 2г/ = е5ж. 3.7.2. у" - Юг/ + 2Ъу = х2еЪх. 3.7.3. у'" - у = ех. 3.7.4. у" + 4у 3.7.5. 2/<4) -у
186 Линейные дифференциальные уравнения [Гл. 3 3.7.6. у" - 2у' + у = е-< 3.7.7. 2/// + 2// + 2/ 3.7.8. 2/W + 2?/" + 3.7.9. г/" + 2г/ + 2 3.7.10. (Г>-1N(Г Ответы 3.7.1. у = ^. 3.7.2. у = 4f • 3.7.3. t/ = ^f. 3.7.4. у = *Ш 3.7.5. 2/ = -ж5+Зж2-12Ож-2. 3.7.6. у = ех J Je-x2-x(da;J (в элемен- элеменф ) 377 378 J J() ( тарных функциях не интегрируется). 3.7.7. у — — cos ж. 3.7.8. у — — *_ з.7.9. у = е~х{х2 - 2). 3.7.10. у = ^^.
Глава 4 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ § 1. Линейные однородные системы 1. Основные понятия и теоремы 1°. Общие свойства. Системой линейных однородных диффе- дифференциальных уравнений называется система вида п г = 1,п, A) к=1 где функции <iik(i) непрерывны на интервале Т (Т может быть как конечным, так и бесконечным). Линейные системы допускают более простую и короткую форму записи в векторно-матричных обозначениях. Упорядоченную совокупность дифференцируемых функций yi(t), ..., yn(t) удобно рассматривать как координаты вектора-столбца (го- (говорят и о матрице-столбце) в n-мерном линейном пространстве. Вве- Введем обозначения: A(t)=( Будем называть y(t) вектор-функцией (иногда — вектором, ино- иногда — функцией). Тогда систему A) молено записать в виде векторного уравнения У' = A(t)y. B) Замечание 1. Для нумерации различных столбцов (например, линейно-независимых решений системы A)) будем использовать ниж- нижний индекс, а в обозначениях координат столбцов, как обычно, второй индекс будет номером столбца. ? Решением системы B) называется непрерывно дифференцируе- дифференцируемая вектор-функция у(?), которая при подстановке в систему обра- обращает все уравнения в тождества.
188 Системы линейных дифференциальных уравнений [Гл. 4 Если вектор-функции уi(?),... ,ут(?)— решения системы B), то любая линейная комбинация Y^ILi ^гУг(?), где С±,..., Сш — произ- произвольные постоянные, снова есть решение системы B). 2°. Задача Коши. Если требуется найти решение системы B), удовлетворяющее условию у (to) = Уо> то говорят, что для системы B) поставлена начальная задача или задача Коши и записывают ее в виде: У' = A(t)y, C) У(*о) = Уо. Теорема 15. Если функции aik(t) {элементы матрицы A(i)) непрерывны на интервале Т, то решение начальной задачи C) су- существует и единственно всюду на Т. 3°. Определитель Вронского. Вектор-функции yi(i),..., yn{i) называются линейно-независимыми на интервале Т, если тождество Ciyi(t) + ... + Cnyn(i) = 0 выполняется только тогда, когда все коэффициенты d равны нулю. Пусть вектор-функции <pi(t),..., <pn(i) непрерывны на интерва- интервале Т. Функциональный определитель D) ... <Pln{t) <Pnl(t) ... (Pnn(t) где (pik(i) — координаты вектора <Pk(i), называется определителем Вронского (вронскианом) вектор-функций <pi(t),..., <pn(t). Теорема 16. Определитель Вронского решений yi(i),... ,yn{t) системы B): либо тождественно равен нулю на интервале Т и тогда эти решения линейно зависимы на Т; либо не равен нулю ни в одной точке интервала Т и тогда эти решения линейно-независимы на Т. Замечание 2. В теореме 16 говорится о свойствах определителя Вронского для решений системы B). Если <fi(t),..., <pn(t) — произ- произвольные векторы, то из равенства нулю их определителя Вронского, вообще говоря, не следует их линейная зависимость. Рассмотрим два вектора
§ 1 ] Линейные однородные системы 189 Они линейно-независимы, например, на отрезке [—1;1], так как условие Ci(pi(t) + C2(p2{t) = 0 дает С\ = 0 и С2 = 0. Несмотря на это, определитель Вронского векторов E) имеет ну- нулевую строку и поэтому тождественно равен нулю. Предположив, что эти векторы являются решениями какой-то системы второго порядка, мы приходим к противоречию с результатом теоремы 16. ? Часто бывает полезен другой критерий линейной независимости произвольных векторов. Для того, чтобы произвольные векторы были линейно-независимы на [а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы определитель Грама этих векторов был отличен от нуля, т. е. чтобы выполнялось условие (<Pn,<P2) ••• где hj = 4°. Фундаментальная матрица. Фундаментальной систе- системой решений yi(^),..., yn(t) системы B) называются любые п линей- линейно независимых решений системы B). Матрица W(t), столбцами которой являются координаты векто- векторов, образующих фундаментальную систему решений, называется фундаментальной матрицей системы B). Ее определитель — это определитель Вронского системы п линейно-независимых решений системы B). По теореме 16 он не равен нулю, значит, матрица W(t) имеет обратную матрицу W~1(i). Пусть каждая из вектор-функций уi(?),••• ,уп(?) есть решение системы A) или, что тоже самое, решение векторного уравнения B). Эту совокупность п векторных уравнений кратко записывают в виде W'(t) = A(t)W(t), F) где столбцами матрицы W являются координаты векторов () ...,yn(t). Равенство F) понимается так, что каждый столбец мат- матрицы W'(t) равняется произведению матрицы A(t) на одноименный столбец матрицы W(i). Уравнение F) называется матричным урав- уравнением, сопоставленным векторному уравнению B). Очевидно, что фундаментальная матрица W(t) есть решение мат- матричного уравнения F). Теорема 17. Линейная однородная система всегда имеет фун- фундаментальную систему решений, а значит, и фундаментальную матрицу.
190 Системы линейных дифференциальных уравнений [Гл. 4 Обратно, по заданной системе п линейно-независимых векторов yi(?),..., уп(?) молено найти единственную систему B), для которой эти векторы образуют фундаментальную систему решений. Пусть матрица W(t), столбцами которой являются координаты этих векто- векторов, удовлетворяет системе F). Матрицу A(t) требуется найти. Умно- Умножая тождество F) справа на обратную матрицу W~1(i), получаем W'tyW^it) = A^W^W'1^) = A(t), где A(t) — матрица искомой системы уравнений. Множество решений линейной однородной системы образует ли- линейное пространство. Любая фундаментальная система решений яв- является базисом этого пространства. Существует бесконечно много фундаментальных систем решений однородной системы, переходящих одна в другую с помощью невырожденного линейного преобразова- преобразования. Если вектор u(t) +iv(t) (где u(t) и w(t) — вещественные векторы) есть решение системы B) с вещественными коэффициентами, то век- векторы u(i) и w(i) также являются решениями системы B). Если вектор u(t) + iv(t) (где u(t) и w(t) — вещественные векторы) есть решение системы B) с вещественными коэффициентами, то век- вектор u(t) — iv(t) также является решением системы B). Если векторы wi = ui(t) + ivi(t), ..., wn = un(t) + ivn(t), (?) Wi = Ui(t) - ZVi(t), . . . , Wn = Un(t) - lVn(t) (где Ui (t) и wi (t) — вещественные векторы) линейно-независимы на Т, то векторы Ui(t)=Rewi, Wi(t)=lmwu г = 1,п, (8) такж:е линейно независимы на Т. Таким образом, если уравнение B) имеет вещественные коэффици- коэффициенты, то от фундаментальной системы комплексных решений вида G) можно перейти к вещественной фундаментальной системе (8). Общее решение линейной однородной системы B) имеет вид У = W(t)C, (9) где W(i) — фундаментальная матрица, а С — произвольный посто- постоянный вектор. Правую часть (9) удобно представлять как скалярное произведение строки (уi(?),... ,уп(^)) векторов, столбцы координат которых образуют матрицу W(t), на столбец С:
§ 1 ] Линейные однородные системы 191 Получается линейная комбинация векторов фундаментальной систе- системы, коэффициентами которой служат координаты вектора С (полная аналогия с общим решением линейного однородного уравнения п-го порядка). 5°. Матрицант, матрица Коши. Если фундаментальная матрица W(t) удовлетворяет условию W(to) = Е {Е — единичная матрица), т. е. если вектор-функции фундаментальной системы имеют единичную матрицу начальных значений, то фундаментальная матри- матрица W(i) называется матрицантом системы B) (аналог нормальной фундаментальной системы решений линейного однородного уравне- уравнения п-го порядка). Пусть W(t) — произвольная фундаментальная матрица. Тогда матрица o) = W(t)W-1(to), A0) зависящая от двух аргументов t и to, является матрицантом систе- системы A0). В самом деле, матрица A0) удовлетворяет системе B), так как K'(t,t0) = () = A{t)W{t)W-\t0) = A(t)K(t,t0), а при t = to выполняется начальное условие для матрицанта: K(to,to) = E. Другое название матрицы, определяемой формулой A0), — мат- матрица Коши системы B). Замечание 3. Матрица Коши определяется по формуле A0) единственным образом, несмотря на то, что матрица W(i) — любая фундаментальная матрица. Это следует из того, что матричное урав- уравнение B) с единичной матрицей начальных значений имеет единствен- единственное решение. ? Если известна матрица Коши, то решение задачи Коши C) имеет вид у = 1Г(Мо)Уо. (И) Формулу A1) бывает удобно представлять как скалярное произ- произведение строки векторов, столбцы координат которых образуют мат- матрицу Коши, на столбец начальных условий (аналог формулы A0) из § 1 гл. III, выражающей решение задачи Коши для линейного одно- однородного уравнения n-го порядка через нормальную фундаментальную систему решений). Обратно, если для произвольного вектора начальных значений Уо решению задачи Коши C) может быть придана форма A1), то входящая в нее матрица есть матрица Коши.
192 Системы линейных дифференциальных уравнений [Гл. 4 2. Примеры решения задач Даны две вектор-функции У«)={0) и y2(*)=^e_tj. A2) Рассмотрим для функций A2) следующую серию задач. 1. Проверим линейную независимость функций A2). Определи- Определитель Вронского D) функций A2) О е следовательно, функции A2) линейно-независимы на всей прямой t. 2. Так как функции A2) линейно-независимы, они образуют фундаментальную систему решений некоторой линейной однородной системы дифференциальных уравнений с двумя неизвестными. Найдем эту систему уравнений. Образуем матрицу W(t) — фунда- фундаментальную матрицу искомой системы, столбцами которой являются данные функции A2): О е-)' A3) Матрица A3) есть решение матричного уравнения F) W'(t) = A(t)W(t), A4) где A(t) — матрица искомой системы уравнений У' = A(t)y. Из равенства A4) следует, что для определения матрицы A(t) доста- достаточно умножить A4) справа на матрицу W~1(t), которая существует, так как фундаментальная матрица W(i) — невырожденная. Итак, A(t) = Wf{t)W-\t). Для матрицы A4) имеем —el v J V 0 e о -l
§ 1 ] Линейные однородные системы 193 следовательно, векторы A2) образуют фундаментальную систему ре- решений однородной системы уравнений х' = х — 2у, A5) У = -У- (в A5) x(t) и y(t) — координаты вектор-функции у). 3. Общее решение A5) согласно (9) имеет вид у = W(t)C, где С — произвольный постоянный вектор. Для системы A5) имеем е"' или в координатах вектора у: х = С\е1 + С2е f, у = С2е 1. 4. Найдем частное решение системы A5) — решение задачи Коши Подставляя общий вид A6) решения в начальные условия, получаем алгебраическую систему для определения С\ и C<i deto +C2e-to =2, C2e-to = 3, откуда d = -e"to, C2 = 3eto. Следовательно, решение задачи Коши A7) имеет вид х = -с1'10 +3e-(t-to), или в векторной форме 7 А. Б. Васильева, Г. Н. Медведев
194 Системы линейных дифференциальных уравнений [Гл. 4 5. Найдем матрицу Коши или матрицант системы A5). Согласно формуле A0), матрица Коши имеет вид —10 _|_ g— (t —1 е-(*-*о) 3-(t-t0) Видно, что К (to, to) = Е (единичная матрица). 6. Найдем решение задачи Коши A7) с помощью матрицы Ко- Коши A9). Согласно A1) решение задачи A9) имеет вид у = K(t,to)yo = ( q -(*-*о) что совпадает с видом A8). 3. Задачи для самостоятельного решения Для указанных пар вектор-функций решить задачи: а) доказать линейную независимость функций yi и У2; б) найти однородную систему уравнений, для которой эти функции образуют фундаментальную систему решений; в) для найденной системы уравнений построить функцию Коши () ) г) для найденной системы уравнений решить задачу Коши с ука- указанным начальным условием у (to). 4.1.1. *¦<"=¦.-«¦ 4.1.2. 4.1.3. /sin A , ч /1
§ 2 ] Линейные неоднородные системы 195 Ответы 4.1.1. б) х' = 2х + у; у' = Зх + 4у. г) решением задачи Коши является первый столбец матрицы Коши. 4.1.2. б) х' = -х + 8?/, у' = х + у; /2ез(*-*о) + 4е-3(*-*о) bJ K{t,t0) - б у e3(t-t0) _ e-3(t-t0) г) решением задачи Коши является второй столбец матрицы Коши. 4.1.3. б) ж' = у,у' = -х; _sin(t_to) cos(t-t0))> г) решением задачи Коши является первый столбец матрицы Коши. § 2. Линейные неоднородные системы 1. Основные понятия и теоремы 1°. Общие свойства. Системой линейных неоднородных диф- дифференциальных уравнений называется система вида 52 ), i = T~n, A) k=i где функции dik (i) и fi (t) непрерывны на интервале Т (Т может быть как конечным, так и бесконечным). Линейные системы допускают более простую и короткую форму записи в векторно-матричных обозначениях. Упорядоченную совокупность дифференцируемых функций yi(t), ..., yn(i) удобно рассматривать как координаты вектор-столбца (гово- (говорят и о матрице-столбце) в n-мерном линейном пространстве. Анало- Аналогично задается вектор-столбец правых частей уравнения A). Введем обозначения: /au(t) ... а1пЩ A{t)=[ , f(t)= V«m(i) ... ann(t)J Будем называть y(t) и f (t) вектор-функциями (иногда — вектора- векторами, иногда — функциями). Тогда систему A) молено записать в виде векторного уравнения f. B)
196 Системы линейных дифференциальных уравнений [Гл. 4 Замечание 1. Для нумерации различных столбцов (например, линейно независимых решений системы A)) будем использовать ниж- нижний индекс, а в обозначениях координат столбцов, как обычно, второй индекс будет номером столбца. ? Решением системы B) называется непрерывно дифференцируе- дифференцируемая вектор-функция y(t), которая при подстановке в систему обра- обращает все уравнения в тождества. Теорема 18 (принцип суперпозиции). Пусть в системе B) правая часть f (t) является линейной комбинацией вектор-функций fi(t), г = 1,7тг, т.е. f(t) = Y^iLi ai^i(t), г^е аг ~ постоянные числа, и пусть yi(t), г = 1,га, являются решениями систем fi, i=T^i. C) Тогда линейная комбинация вектор-функций yi(t) с теми же ко- коэффициентами oti, т.е. вектор-функция y(t) = Y^™=i оцуi(t) будет решением системы B). Следствие 1. Разность двух решений неоднородной системы удо- удовлетворяет однородной системе. Следствие 2. Пусть u(t) и v(t) удовлетворяют системам C) (г = = 1,2) с вещественными коэффициентами a^(t), i,k = l,n, и ве- вещественными правыми частями fi(t) и f2(t) соответственно. Тогда вектор-функция w(t) = u(t) + iv(t) удовлетворяет системе Обратно: пусть вектор-функция w(?) = u(t) + iv(t) удовлетворяет системе B) с вещественными коэффициентами a^(t), г, /с = 1, п, и пра- правой частью f(?) = fi(?) Ч- «fb(t) (u(t), v(t), fi(t), f2(^)~ вещественные). Тогда u(t) и v(t) удовлетворяют соответственно системам C) (г = = 1,2). Если у 1 (?),... ,уп(?) ~~ фундаментальная система решений одно- однородной системы у' = A(t)y, а y(t) — некоторое частное решение неоднородной системы B), то общее решение системы B) имеет вид У(*) = Ciyi(t) + ... + Cnyn(t) + y(t), где Ci,..., Сп — произвольные постоянные. Иначе: общее решение неоднородной системы есть сумма общего решения однородной системы и любого частного решения неоднород- неоднородной системы. 2°. Задача Коши. Если требуется найти решение системы B), удовлетворяющее условию у (to) = уо, то говорят, что для системы B)
§ 2 ] Линейные неоднородные системы 197 поставлена начальная задача или задача Коши и записывают ее в виде уОо) = Уо- Теорема 19. Если функции aik{t), i,k = l,n, и вектор-функция f(t) непрерывны на интервале Т, то решение начальной задачи D) существует и единственно всюду на Т. Пусть K(t,to) — матрицант (матрица Коши) однородной системы, соответствующей B). Тогда решение задачи Коши D) может быть представлено в виде где y(t) — частное решение уравнения B), удовлетворяющее нулевым начальным условиям (аналог формулы E) § 2 гл. III). Если известна фундаментальная матрица однородной системы, то построение частного решения неоднородной системы сводится к квад- квадратурам, т. е. к интегрированию известных функций. Общими методами построения решения системы B) на базе фун- фундаментальной матрицы являются метод вариации постоянных и метод Коши (полная аналогия с линейным неоднородным уравнением п-го порядка). 3°. Метод вариации постоянных (метод Лагранснса). Пусть известна фундаментальная матрица W(t) однородной системы у' = A(t)y, а значит, и общее решение однородной системы в виде y = W(t)C, где С — постоянный вектор. Решение неоднородной системы B) ищем в виде y(t) = W(t)C(t), E) где С(?) — вектор-функция переменной ?, подлежащая определению. Подставляя искомый вид E) решения в систему B), получаем для функции C(i) уравнение W(t)C'(t) = f(i). Решая эту алгебраическую относительно координат вектора C'(i) систему и интегрируя полученные выражения, находим вектор С(?). Подставляя С(?) в искомый вид решения E), получаем некоторое частное решение неоднородной системы B).
198 Системы линейных дифференциальных уравнений [Гл. 4 4°. Метод Коши. В векторном виде результат отыскания C(t) при интегрировании С'(?) от to Д° t будет следующим: С(*) = = J W(t)W- где С — произвольный постоянный вектор. Подстановка C(t) в E) дает общее решение системы B): y = W(t)C+ WtyW^irW^dr. F) to Выбирая в F) С = 0, получаем частное решение системы B), обращающееся в нуль при t = to'- t У = to Итак, если известна любая фундаментальная матрица W(t) од- однородной системы, то частное решение неоднородной системы B) находится по формуле, называемой формулой Коши: t у = [ K(^,r)f(r)dr, G) to где K(t,r) = W(t)W~1(r) — матрица Коши. Часто для вычислений оказывается более удобным вариант пре- предыдущей формулы: t у = W(t) [ VT(r)f(r)dr, to в котором матрица W(t), не зависящая от переменной интегрирова- интегрирования г, не вносится под знак интеграла. Замечание 2. В последнем выражении ясно видно, что подста- подстановка в интеграл нижнего предела to дает некоторый постоянный вектор, на который умножается фундаментальная матрица. Иначе говоря, подстановка нижнего предела дает некоторое решение одно- однородной системы. ? Поэтому, если нужно найти какое-нибудь частное решение неод- неоднородной системы B), не обязательно удовлетворяющее нулевому
§ 2 ] Линейные неоднородные системы 199 начальному условию, достаточно в формуле G) ограничиться подста- подстановкой верхнего предела t (ср. замечание 2 на стр. 96 § 2 гл. III). Матрица Коши K(t,r) при каждом значении параметра г удовлет- удовлетворяет по переменной t матричному уравнению dK(t,r) dt = A(t)K(t, г и начальному условию К (г, г) = Е (Е — единичная матрица). Матрицу Коши называют также импульсной матрицей (аналог функции Коши для линейного уравнения n-го порядка). Рассмотрим неоднородную систему с "сосредоточенной" правой частью 1), где Ш = О, гф к (S(t — ti) — функция Дирака) с нулевыми начальными условиями. Решение системы B) по формуле G) имеет вид y(Mi)= ^K(t,r)f(r)dr = Kk(t,t1), to<h <t, to где Kk(t,ti) — к-й столбец матрицы Коши. Следовательно, каждый столбец Kk(t,ti), к = 1,п, матрицы Ко- Коши имеет смысл вектор-функции, описывающей влияние на точку t мгновенного единичного воздействия, происшедшего в точке t\ и за- затронувшего только к-ю координату вектора f(t). Влияние на точку t воздействий, распределенных по интервалу (to,i) с плотностью f(t), дается интегралом G). Метод вариации постоянных и метод Коши являются общими ме- методами построения частного решения неоднородной системы на базе фундаментальной матрицы соответствующей однородной системы. Отметим, что линейные системы являются частным случаем си- систем в нормальной форме. Поэтому к линейным системам применимы и такие способы решения, как приведение к одному уравнению п- го порядка (или нескольким уравнениям порядка меньшего, чем п), и метод интегрируемых комбинаций. Понятно, что в этих случаях в большей мере проявляются специфические свойства конкретного уравнения. В ряде частных случаев, например, в линейных системах с по- постоянными коэффициентами и специальными правыми частями ши- широко применяется также подбор частного решения системы методом неопределенных коэффициентов. Х) ( )Т — знак транспонирования вектор-строки для удобной записи вектор-столбца f.
200 Системы линейных дифференциальных уравнений [Гл. 4 2. Примеры решения задач 1. Решить систему f ИЛИ У' = Ay + f, где Д Найдем решение этой системы различными способами. Способ 1. Метод вариации постоянных. Фундаментальную систему решений однородной системы, соответствующей (8), образуют, напри- например, вектор-функции (см. пример 2 § 1). Фундаментальная матрица W(t) имеет вид Согласно E) общее реп1ение неоднородной системы (8) ищем в виде где C(i) = м — неизвестная вектор-функция, подлеж:ащая определению. Подставляя искомый вид (9) в систему (8), получаем W'C(t) + WC'(t) = AWC(t) + f(t). A0) Так как матрица W(t) есть решение матричного уравнения W = AW, то в A0) (W - AW)C(t) = 0. и из A0) мы находим уравнение для С(?) WC'{t) = f(t),
§ 2] Линейные неоднородные системы 201 т. е. систему откуда C'Ai) = 1 1° — е , Со е"Л /< е 7 V (t) = е1 C[(t)\ и - (е* ~ V1 где Ci и С^2 — произвольные постоянные. Подставляя A1) в искомый вид решения (9), получаем общее ре- решение неоднородной системы (8) в виде е-Л ft+e-ЧСЛ т. е. в виде суммы общего решения однородной системы и частного решения неоднородной. Полагая С\ = С2 = 0, находим частное решение неоднородной системы в векторном виде /fpt _|_ О у = ( 1 или в координатах вектора у: г — fpt 4- 2 ?/ — 1 A21 Способ 2. Метод Коши. Если известна фундаментальная матрица однородной системы, то частное решение неоднородной системы (8) находится по формуле G), где K(t,r) — матрица Коши. Для системы (8) K(t,r)= Частное решение системы (8), удовлетворяющее нулевым услови- условиям при t = to, согласно формуле G) имеет вид *"т -2 sh(* - т)\ /еЛ л г /е* - 2 sh(* - г) to х ' ч ' *о et{t-tQ)+2-2ch(t-t0) l_e-(t-t0) ) ~ I i_e-(t-t0) +1-!:h-t",:,oiv w
202 Системы линейных дифференциальных уравнений [Гл. 4 Решение A3) состоит из двух слагаемых. Первое слагаемое об- обращается при t = to в вектор с координатами х = 2, у = 1, как и решение A2) при t = 0. Второе слагаемое A3) есть частное решение однородной системы, добавление которого позволяет получившемуся решению неоднородной системы удовлетворить нулевым начальным условиям. Способ 3. Приведем систему (8) к уравнению второго порядка. Продифференцируем первое из уравнений (8): х" = х' -2у' + еК A4) Выражая х' и у' в правой части A4) в силу (8), получаем уравне- уравнение, определяющее x(i): х" - х = 2ег - 2, A5) после чего из первого уравнения (8) находим у= 1(_я' + я + е*). A6) Частным решением неоднородной системы (8) в силу A5) и A6) будет, например, x = te* + 2, 2/ = 1, что совпадает с A2). Способ А. Используя конкретные свойства данной системы, молено найти у из второго уравнения (8), например, в виде у = 1. Подставляя найденный вид у в первое уравнение (8), получаем уравнение для определения х х' = х + е* - 2, частным решением которого можно взять х = tel + 2 для совпадения результата с A2). ? Напомним, что частное решение неоднородной системы определя- определяется с точностью до произвольного слагаемого, являющегося частным решением однородной системы. В заключение отметим, что последние два способа, учитывающие конкретные свойства системы (8), естественно, быстрее приводили к результату, чем общие "пробивные" способы 1 и 2.
§ 3 ] Однородные системы с постоянными коэффициентами 203 3. Задачи для самостоятельного решения В следующих неоднородных системах известны фундаментальные системы yi и у2 решений однородных систем (см. задачи 1-3 § 1). Найти частные решения неоднородных систем: а) методом вариации постоянных, б) методом сведения к уравнению второго порядка. 4.2.1. х = 2х + у + e~t у1 = Зх + 4у. Фундаментальную систему решений однородной системы образу- образуют вектор-функции задачи 1 § 1. 4 2 2 т' — — т 4- Я?/ Фундаментальную систему решений однородной системы образу- образуют вектор-функции задачи 2 § 1. 4.2.3. х = y + s'mt, у' = -х. Фундаментальную систему решений однородной системы образу- образуют вектор-функции задачи 3 § 1. Ответы /-Ле"*\ /-7Г\ /fsin^-icosf 4.2.1. у= 12 . 4.2.2. у= П. 4.2.3. у='2 4 Напомним, что частное решение неоднородной системы определяется с точностью до некоторого решения однородной системы. § 3. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами 1. Основные понятия и теоремы 1°. Построение общего решения. Системой линейных одно- однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициен- коэффициентами называется система п У{ = ^2^кУк, г = 1,га, A) к=1 или в векторном виде у' = Лу, y = (yi,...,yn)T B)
204 Системы линейных дифференциальных уравнений [Гл. 4 «11 - «21 «nl Л «12 «22 - «n2 Л ... «In «2n апп- X где сц/с, г, к = 1,п, — постоянные (вообще говоря, комплексные). Уравнение п-й степени = о, (з) или det(^4 — ХЕ) = 0, называется характеристическим уравнением. Напомним, что его корни (характеристические числа) называются также собственными значениями матрицы А. Вид общего решения системы A) определяется количеством кор- корней характеристического уравнения, их кратностью, а также тем, какое количество собственных векторов матрицы А соответствует кратным корням уравнения C). Рассмотрим возможные случаи. 1. Каждому простому корню Л (вещественному или комплексно- комплексному) уравнения C) отвечает частное решение aext, где а = («1,..., ап)Т — числовой вектор-столбец, являющийся соб- собственным вектором матрицы А, отвечающим простому собственному значению Л. Таким образом, найдя простое собственное значение Л, надо затем решить однородную алгебраическую систему (А - \E)ol = 0. D) Ее определитель det(^4 — ХЕ) = 0 равен нулю, поэтому существует ненулевое решение системы D) — собственный вектор а. Замечание 1. Если коэффициенты а^ системы A) веществен- вещественные, то комплексно- сопряженным собственным значениям Аи А отве- отвечают комплексно-сопряженные собственные векторы а и а. Поэтому, найдя комплексный собственный вектор а, отвечающий комплексно- комплексному корню Л, можно сразу получить пару вещественных собственных векторов матрицы А в виде ai=Rea, a2=Ima, так как ai = i(a + a), a2 = ^(a - a). a Перейдем к случаю кратного корня характеристического уравне- уравнения C). 2. Пусть: 1) Л — корень кратности т > 1 уравнения C);
§ 3 ] Однородные системы с постоянными коэффициентами 205 2) этому корню соответствуют ровно т собственных векторов мат- матрицы А. Тогда корню Л отвечают т частных решений системы B) вида aieAt,a2eAt,...,ameAt. Замечание 2. В общем случае количество собственных векторов матрицы А, отвечающих Л, равно п — г, где п — порядок матрицы А, а г — ранг матрицы А — ХЕ. ? 3. Пусть: 1) Л — корень кратности т > 1 уравнения C); 2) этому корню соответствуют / < т [т.е. меньше кратности корня) собственных векторов матрицы А (см. предыдущее замечание). Тогда частное решение системы B), отвечающее Л, можно искать в виде вектор-столбца у = (?/i,..., уп)Т, где E) Уп = (Р + qt + ... + stm-l)ext или в векторном виде у = Pm~/(^)eAt. Координаты вектора ~pm~l — многочлены степени га — / с неопре- неопределенными коэффициентами. Всего (га — / + 1) х п неопределенных коэффициентов. Замечание 3. Обратим внимание на то, что верхним индексом отмечается степень многочлена. Нижний индекс используется для нумерации векторов или их координат. ? Чтобы найти все координаты вектора рт~'? надо подставить иско- искомый вид решения E) в систему B). Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получаем систему линейных алгебраических уравнений для коэффициентов координат вектора у. При этом остается ровно га независимых коэффициентов (количе- (количество, равное кратности корня). Остальные коэффициенты через них линейно выражаются. Обозначая независимые коэффициенты в координатах вектора ¦prn-i через d,..., Cm и группируя слагаемые в правых частях фор- формул E), получаем вид частного решения системы B): У = (Cipi(i) + • • • + CmPm(t))eAt, F) где Pi(i), г = 1,га, — столбцы, у которых каждая координата уже конкретный многочлен степени ^ га — /, аС^, i = 1, ш, — произвольные постоянные.
206 Системы линейных дифференциальных уравнений [Гл. 4 Векторы pi(t),..., pm(t) линейно независимы. Таким образом, и в этом случае корню Л кратности т отвечают т линейно независимых решений Замечание 4. В конкретных задачах молено не исследовать ранг матрицы А — ХЕ, ограничившись рассуждением, что собственному значению Л соответствует, по крайней мере, один собственный вектор матрицы А. Тогда в формулах E) надо положить / = 1, т. е. рассмот- рассмотреть максимально возможную степень т — 1 многочленов-координат вектора Р™. ? Итак, характеристическое уравнение п-й степени имеет / ^ п различных корней А& кратностей rrik соответственно. Каждому корню А/- соответствуют ровно rrik линейно независимых частных решений системы B). Всего этих решений rai + rri2 + ... + га/ = п и их со- совокупность образует фундаментальную систему решений однородной системы B). Линейная комбинация всех этих частных решений с произвольны- произвольными коэффициентами дает общее решение системы B). 2°. Присоединенные векторы. Конструкция F) (или эквива- эквивалентная ей) решения системы B), отвечающего кратному корню А, может быть получена и из других соображений. Из линейной алгебры известно, что в случае, когда корню А крат- кратности т отвечают I < m собственных векторов матрицы А, то недо- недостающие т — I векторов могут быть построены как так называемые присоединенные векторы. Пусть о. — один из собственных векторов матрицы А, отвечающий собственному значению А. Если (!) система алгебраических уравнений (А - XE)fi! = a G) имеет решение, то вектор /3i называется присоединенным вектором матрицы А, порожденным собственным вектором а. Следующие присоединенные векторы, порожденные вектором а:, строятся как решения систем {A-\E)j3i+1=j3u г = 1,2,... Выбранный собственный вектор а может не иметь присоединен- присоединенных векторов или иметь их конечное количество. В совокупности же общее количество собственных и присоединенных векторов, отвечаю- отвечающих собственному значению А, равно его кратности га. Если собственный вектор о. имеет присоединенные векторы /3i,/?2, • • • ,/5g, то им отвечают линейно независимые решения
§ 3 ] Однородные системы с постоянными коэффициентами 207 системы B) следующего вида: У2= ( ) (8) yq = Линейная комбинация всех решений вида (8) и всех решений вида aeAt, отвечающих собственным векторам, образует общее решение системы B). 2°. Задача Коши. Решение задачи Коши для системы B) удо- удовлетворяет системе у' = Ау и начальному условию у(*)|*-*о=о = Уо- (9) Отметим одно полезное свойство решения задачи Коши для од- однородной системы с постоянными коэффициентами: решение задачи Коши для системы B) с начальным условием (9) в точке t = to имеет вид y(t,to) = z(t — to), т.е. зависит только от разности своих аргументов. Действительно, переходя в B) и (9) к новым переменным г и z(r) по формулам t-to = r, у (г + t0) = z(r) (t0 - параметр), получаем для z(r) в силу постоянства коэффициентов а^ ту же самую систему zf = Az с начальным условием г(т)|т=о = уо, (Ю) заданным в точке г = 0. Будем называть такую задачу задачей Коши с условием в нуле. Решение исходной задачи Коши для системы у' = Ау с начальным условием (9) имеет вид y(i) = z(r) = z(t - t0). Таким образом, для получения решения задачи Коши для систе- системы B) с постоянными коэффициентами и начальным условием (9) в точке t = to можно сначала решить задачу Коши с условием в ну- нуле A0), что приводит к более простым уравнениям для определения коэффициентов в общем решении, а затем в найденном решении z(r) положить г = t — to-
208 Системы линейных дифференциальных уравнений [Гл.4 3°. Матрица Коши. Матрица Коши K(t,to) для системы B) с постоянными коэффициентами также имеет вид т. е. зависит только от разности своих аргументов. Действительно, матрица Коши для системы B) удовлетворяет матричному уравнению и начальному условию dK(t,t0) K(to,to) = E. (П) A2) Значит, задача A1), A2) эквивалентна п задачам Коши для столбцов Yi(t,to) матрицы К: 'М = Ayi(t), /0\ \0/ г-я строка. A3) Для решения Уг(?,?о) каждой из задач A3) согласно сказанному выше, справедливо Уг(?,?о) = zi{t ~ ^о)> ГДе 2г(г) ~~ решение задачи Коши с условием в нуле: /0\ = Ащ(г), щ@) = г-я строка. Таким образом, для получения матрицы Копей системы B) с посто- постоянными коэффициентами удобнее сначала найти матрицу Kq(t) — решение матричной задачи с условием в нуле = АК0{т), A4) что обычно проще, а затем заменить г на t — to. Матрица Коши — решение системы A1) с начальным условием A2) будет иметь вид K(t,to) = Ko(t — to). Если известна какая-либо фундаментальная матрица W(t) систе- системы B), то матрица Коши может быть найдена по формуле A5) (см. формулу A0) §1).
§ 3 ] Однородные системы с постоянными коэффициентами 209 Для системы B) с постоянными коэффициентами удобнее, зная матрицу W(t), получить сначала решение задачи A4) в виде К0(т) = W^W-'iO), который проще, чем A5), а затем, заменив г на t — to, получить матрицу Коши K(t, t0) = Ko{t - to) = W{t - ^o)^^)- 4°. Операционный метод. К линейным однородным системам с постоянными коэффициентами A) применим также операционный метод Лапласа (см. § 5 гл. 3) Например, для решения задачи Коши у' = Ау, у@) = уо :а переходят от фуню кую систему уравнен] (рЕ - A)Y(p) = уо, A6) преобразованием Лапласа переходят от функции у к ее изображению Y, получая алгебраическую систему уравнений Е — единичная матрица. Решая A6), находим изображение Y(p) = (РЕ - A)-Vo, после чего по формулам Меллина или таблицам соответствия ориги- оригиналов и изображений восстанавливаем оригинал 2. Примеры решения задач 1. Решить систему х' = х + у, У = 2У- Л Способ 1. Характеристическое уравнение системы A7) имеет вид -А + 1 1 det(A - ХЕ) = 0 -А+ 2 -2) = 0, корни его (собственные числа матрицы А) различны: Ai = 1, А2 = 2. Собственный вектор, отвечающий Ai = 1, удовлетворяет системе ОСИ»)-
210 Системы линейных дифференциальных уравнений [Гл. 4 откуда, в частности, а = С, b = 0. Полагая, например, G = 1, имеем Собственный вектор, отвечающий Л2 = 2, удовлетворяет системе откуда а — Ъ = 0. Полагая, например, а = 1, получаем Ъ = 1 и ^2t Векторы yi и у2 образуют фундаментальную систему решений системы A7). Общее решение системы A7) имеет вид Способ 2. Попытаемся свести систему A7) к уравнению второго порядка. Дифференцируя первое из уравнений A7) и заменяя образующие- образующиеся производные в силу A7), получаем систему х' = х + у, A9) х" = х + у = (х + 2/) + 2j/ = ж + 3?/. Исключая г/ из первого уравнения A9), приводим систему A7) к виду х" - Зхг + 2х = 0, B0) 2/ = ж -ж, откуда ? = С1в*+ С2е2\ B1) г/ = Cie* + 2C2e2t - de* - C2e2t = C2e2t. Формулы B1) в векторной форме совпадают с A8). ? 2. Решить задачу Коши xr = x + y, x(t0) = 2, г/ = 2г/, г/(*о) = 3. Л Решим сначала задачу Коши с заданными начальными услови- условиями в точке t = 0.
§ 3] Однородные системы с постоянными коэффициентами 211 Подставляя общее решение системы, полученное в примере 1 (см. формулу A8)), в начальные условия ж@) = 2, у@) = 3, получаем систему для определения С\ и С2'- d + С2 = 2, откуда С\ = —1, С2 = 3. Вектор-функция z(r) = (x(t),y(t)) — решение задачи Коши с условиями в нуле — имеет вид Полагая г = t — to, находим функцию y(i) — решение исходной задачи: = z(t - to) = - Qe'"*» + 3Qe2<*-4 D 3. Найти матрицу Коши для системы х = х + г/, B2) 2/' = 2у. А Фундаментальная система решений системы B2) найдена в при- примере 1. Она состоит из собственных векторов образующих фундаментальную матрицу Функция Коши Kq(t) — решение задачи A4) с условиями в нуле имеет вид Полагая г = t — to, находим матрицу Коши П
212 Системы линейных дифференциальных уравнений [Гл. 4 4. Решить систему х1 = 2/, B3) У = -х. Л Способ 1. Характеристическое уравнение системы B3): -ХЕ) = -А 1 -1 -А = У + 1 = О, его корни Ai = i, A2 = — i. Собственный вектор, отвечающий Ai = г, удовлетворяет системе :)¦©• откуда — а г + 6 = 0. Полагая, например, а = 1, получаем 6 = г и 1\ -, / cost + г sin A / cos A /sin A е = = + г г/ \— suit + г cost J \-smtJ \costj Собственный вектор, отвечающий А2 = —г, удовлетворяет системе откуда аг + 6 = 0. Полагая, например, а = 1, получаем Ъ = —г и 1 \ _it / cos A /sint \—г) \-smt) \cost Фундаментальную систему решений системы B3) образуют векто- векторы yi, у2 или их линейные комбинации ~ У1+У2 ( cos A yi-y2 /sin Используя, например, B4), получаем общее решение B3) в виде У=(Х)=С1( COSt)+C2(S[nt\ B5) \yj \-smtJ \cos tj Найдя вектор у, молено было сразу взять его действительную и мни- мнимую части в качестве пары собственных векторов, дающих B5). Способ 2. Дифференцируя первое из уравнений B3) и исключая у, получаем систему уравнений, эквивалентную B3): х" + х = 0, B6)
§3] Однородные системы с постоянными коэффициентами 213 решением которой будет х = С\ cos t -\- C2 sin t, у = —Сi sin ? + С2 cos ?, что в векторной форме равносильно B5). 5. Решить систему у' = у- А Характеристическое уравнение для B8) имеет вид B7) ? B8) det(A - ХЕ) = -А + 1 О О -А + 1 = (А - IJ = О, откуда Л = 1, кратность га = 2. Собственные векторы, отвечающие Л = 1, удовлетворяют системе О О О О Видно, что собственные векторы образуют двумерное простран- пространство: а = Ci, Ъ = Сг- Положив, например, ai = 1, 61 = 0 и а2 = О, &2 = 1, получим фундаментальную систему решений У1 = и общее рептение системы B8): Отметим, что к уравнению второго порядка система B8) не сво- сводится. ? 6. Решить систему х' = х-у, у1 = х + 32/, *; = 2*. А Характеристическое уравнение для B9) имеет вид B9) det(A - ЛЯ) = -Л + 1 -1 -Л + 3 О О -Л+ 2 = (Л-2K = 0, откуда Л = 2, 777, = 3.
214 Системы линейных дифференциальных уравнений [Гл. 4 Способ 1. Собственные векторы, отвечающие Л = 2, удовлетворяют системе /-1 -1 0\ /а\ /0\ (А-ХЕ\Х=2) = 1 1 0 6 = 0, V 0 0 0/ \с) \0/ откуда а + 6 = 0. Полагая, например, а\ = 0, &i = 0, с\ = 1 и а2 = 1, &2 = — 1, С2 = 0, находим У1=0е2*, у2 = f-l) e2*. C0) Значит, в данном случае количество собственных векторов, отвечаю- отвечающих Л = 2, есть 1 = 2. Согласно формуле E) при т = 3, / = 2 решение, отвечающее Л = = 2, ищем в виде (х\ (сц + ht\ [у] = U2 + M e2t. C1) V^y \a3 + Ь3 V Подставляя C1) в B9) и сокращая на e2t, получаем систему для определения ai, аг, аз, &i, &25 ^з: bi + 2(ai + bit) = (ai - a2) + (bi - b2)*, 2(a2 + 62^) = (ai + 3a2) + F1 + 3b2)t, C2) Решая C2) "снизу вверх", находим 6з = 0, аз = Сз (произвольная постоянная), ai + a2 = 62? 61 + 62 = 0, ai + a2 = —bi, bi + b2 = 0. Полагая b2 = C2, «i = Ci (Ci и С2 — произвольные постоянные), получаем Ь\ = — Сг, а2 = С2 — Ci л общее решение системы C2) ( Сг- C2t \ у = -d + С2 + C2t e2t = V с3 ) 1\ / ~t \ /ON О е 2? \ о/ V о / V1/J C3) (при С\ и Сз видим собственные векторы C0)). Способ 2. Получив для Л = 2 лишь два собственных вектора матрицы А, найдем один присоединенный вектор. Выберем собственный вектор -=(-D •
§ 3] Однородные системы с постоянными коэффициентами 215 Присоединенный вектор /Зг находится из уравнения G) (А - \Е\Х=2)E2 - а2 = откуда —а — Ъ = 1, с — произвольно. Полагая а = — 1, с = 0, находим Ъ = 0. Таким образом, присоединенный вектор /32 и отвечающее ему решение уз имеют вид e2t=[ -t \e2t. V 0 ) Полезно убедиться, что второй собственный вектор не имеет при- присоединенных векторов. Линейная комбинация решений yi, y2 (см. C0)) и уз дает общее решение системы B9): У = о2? C4) Замечание 5. Вид решения C3) отличается от C4). Это связано с тем, что частное решение уз, связанное с присоединенным вектором /32, во-первых, определяется с точностью до постоянного множителя, а во-вторых, к нему можно прибавить соответствующий ему соб- собственный вектор а2 также с произвольным множителем. Поэтому для совпадения решений C3) и C4) достаточно убедиться, что при некотором выборе коэффициентов В\ и В2 справедливо равенство C5) Из C5) находим -t= B1-B2+B2t, откуда следует, что для совпадения решений C3) и C4) достаточно выбрать В2 = — 1, В\ = — 1и положить в C4) С2 = —(?2, поле чего C4) переходит в C3). ? Способ 3. Если после определения Л = 2 и его кратности т = 3 не исследовать вопрос о количестве собственных векторов, отвечающих
216 Системы линейных дифференциальных уравнений [Гл. 4 Л = 2, то соответствующее этому собственному значению решение надо искать в максимально общем виде F), полагая в формулах E) 1 = 1 /а± + b±t + c±t2\ у = a2 + b2t + c2t2 e2t. C6) \а3 + b3t + c3t2j Читателю рекомендуется подставить C6) в систему B9), получить алгебраическую систему, аналогичную C2), решить ее и найти резуль- результат решения способом 1. Способ 4. Заметим, что первые два уравнения не содержат z, и попытаемся свести их к уравнению второго порядка. Дифференцируя первое уравнение B9) и заменяя производные в силу уравнений си- системы B9), получаем следующую систему х = х - у, C7) х" = х' - у' = (х - у) - (х + Зу) = -42/. Исключая у из второго уравнения, приводим C7) к виду х" - Axf + 4 = О, C8) у = х — х . Общее решение C8) есть х = Cxe2t + C2te2t, у = de2t + C2te2t - 2Cie2t - C2(l + 2t)e2t = (-Ci - C2 - C2t)e2t. Третье уравнение интегрируется независимо от двух первых: z = C3e2t. Таким образом, общее решение системы B9) имеет вид у= ly\ = [-Cx-C2 e2t. C9) Вид решения C9) отличается от C3) и C4). Чтобы привести C9) к виду C3), достаточно взять С2 с противоположным знаком (общие рассуждения см. в замечании к способу 2). ?
§3] Однородные системы с постоянными коэффициентами 217 7. Решить систему х =х-у, У = У~ z, zf = z. D0) Л Способ 1. Уравнения для определения Л и собственного вектора а имеют вид det(A - ХЕ) = 1-А -1 0 1-А -1 0 1-А = A - АK = 0, (А - ХЕ\Х=1) Ш = 10 0 -1 j Ш = Ш , откуда а = @ J . Других собственных векторов нет. Найдем поэтому два присоеди- присоединенных вектора из уравнений (A-\E\x=i)Pi=a, (A-XE\x=1)/32=f31. Решая D1) и D2), находим, например, D1) D2) А-(-!). А-0. Векторам ее, /3i, /З2 соответствуют линейно-независимые решения системы D0) У1=ае*= у2 = Уз= \1/ ¦ on Оу S позволяющие построить общее решение У = О) +С2 [-1 ) +С3 I 4 D3)
218 Системы линейных дифференциальных уравнений [Гл. 4 Читателю рекомендуется получить решение другим способом по формулам E). Способ 2. В отличие от системы B9) здесь "зацеплены" все уравне- уравнения. Поэтому попытаемся свести систему D0) к уравнению третьего порядка. Дифференцируя дважды первое из уравнений D0) и заменяя производные в силу D0), имеем х = х - у, х" = х' - у' = (х - у) - (у - z) = х - 2у + z, D5) х'" = х' - 2у' + z1 = {х - у) - 2B/ - z) + z = х - Зу + 3z. Рассмотрим первые два уравнения D5) х' = х-у, D6) х = х - 2у + z. Решая систему D6) относительно у и z и подставляя результаты в третье из уравнений D5), приводим исходную систему к виду х'" - Зх" + Зх - х = 0, y = x-xf, D7) z = х" - 2х' + х. Решая D7), находим х = Cie* + C2ie* + C3t2e\ у = (-С2 - 2C3t)e\ z = 2C2 + 2C3 или в векторной форме i 2 3 у = -С2- 2C3t e* = 2С 3 о) +С2 (-1) +2С3 е*. () Видно, что D8) отличается от D4) выбором С$. ? 8. Применяя операционное исчисление, решить задачу Коши х' = -х + у, х@) = 3, 2/' = х-у, 2/@) = 1. D9) Л Обозначим через Х(р) и Y(p) изображения x(t) и y(t). По пра- правилу дифференцирования оригиналов, учитывая начальные условия,
§ 3] Однородные системы с постоянными коэффициентами 219 находим х' =рХ(р)-х@) = рХ-3, E0) y'=pY(p)-y(Q) =pY-l. Подставляя E0) в систему D9), получаем алгебраическую систему для определения изображений: рХ - 3 = -X + У, (р + 1)Х - Y = 3, pY-l= X - У, или X - (р + 1)У = -1, решая которую, находим =2 L_ 2) Р Р + 2 ' Переходя к оригиналам, получаем искомое решение 2t = 2 - et. ? 9. Рассмотрим систему из двух пружин и двух грузов. Верхний конец первой пружины закреплен. К нижнему концу первой пружины подвешен груз массы т\. К грузу массы т\ прикреплена вторая пружина, на нижнем конце которой подвешен груз массы ТП2- Най- Найти собственные колебания грузов (для краткости будем сами грузы обозначать через тп\ и m<i). А Пусть х и у — смещения грузов mi и гаг, отсчитываемые от положения равновесия каждого из грузов, к\ и &2 — коэффициенты упругости верхней и нижней пружин. На груз mi действует упругая сила F\ = к-\_х, на груз m<i — упругая сила F<i = k<i{y — x) (растяжение нижней пружины равно разности смещений ее концов). При х > 0 на груз mi действует сила — Fi, направленная вверх, и при у > х — сила F2, направленная вниз. При у > х на груз 777,2 действует сила — i7^, направленная вверх. Уравнения движения грузов по второму закону Ньютона имеют вид mix = -F1 + F2, m2y = -F2 или с учетом вида сил F\ и F2 Обозначая
220 Системы линейных дифференциальных уравнений [Гл. 4 получаем однородную систему уравнений х + ах + Ру = 0, у + jx + 6у = 0. E1) Дифференцируя дважды второе из этих уравнений и исключая ж, находим уравнение колебаний груза т^'. ( /7J/ = 0. Характеристическое уравнение имеет положительный дискриминант D = (а + /ЗJ - 4(а? - /97) = (а - ?J + 4/37 > 0, а также а + 5>0, а6-^ откуда по теореме Виета А2 < 0 и А| < 0. Обозначая А2 = — uj\ и А2 = — cj25 находим чисто мнимые корни характеристического уравнения \\^ — =bzo;i и Аз,4 = ±^2- Числа o;i и CJ2 — собственные частоты изучаемой системы. Таким образом, общее решение уравнения колебаний нижнего гру- груза т2 имеет вид y(t) = Ах sin(o;it + вг) + Л2 sin(cj2^ + в2), E2) где t4i, ^2 (амплитуды), #i, ^2 (начальные фазы) являются произ- произвольными постоянными. Из второго уравнения E1) имеем х = -7jFy + y), откуда, учитывая E2), получаем закон движения груза т\: X(t) = M^bil MuJlt + 9l) + MAzR s[n{uj2t + o2). E3) Конкретный вид колебаний определяется после определения по- постоянных Ai, A2, 0\ и ^2 из четырех начальных условий задачи Коши (напомним, что в систему входят два уравнения второго порядка). Из формул E2) и E3) следует, что движения каждого груза со- состоят из двух гармонических колебаний с частотами uj\ и UJ2, причем колебания одинаковой частоты имеют одну и ту же фазу для обоих грузов. Отношение амплитуд одинаковых гармоник в колебаниях од- одного и другого груза есть постоянная величина. Таким образом, колебания каждого груза, вообще говоря, будут негармоническими. Если частоты ио\ и ио2 близки друг к другу, то колебания носят характер биений. Это значит, что колебания похожи на гармонические, у которых амплитуда изменяется периодически, колебания то нарастают, то затухают. ?
§ 3] Однородные системы с постоянными коэффициентами 221 3. Задачи для самостоятельного решения Задачи 1 и 2 решить двумя способами аналогично способу 1 и способу 2 примеров 1 и 2. 4.3.1. х' = х — у, у' = -4ж + у. 4.3.2. ж' = х - 2у, у' = х - у. Задачу 3 решить двумя способами аналогично способу 1 и спосо- способу 2 примера 4. 4.3.3. х' = 2х - у - z, у' = 2х-у- 2z, zf = 2z - х + 2/. Реп1ить системы уравнений (для систем с тремя неизвестными приведены корни характеристического уравнения). 4.3.4. х' + х- 8у = О, у' -х- у = 0. 4.3.5. ж' = ж + ?/, у' = 3у- 2х. 4.3.6. ж' + ж + б?/ = 0, у -х- у = 0. 4.3.7. ж' = 2ж + г/, у' = 4у- х. 4.3.8. а/ = Зж - 2/, 2/ = 4ж - 2/. 4.3.9. х1 = 2у- Зж, у' = у - 2ж. 4.3.10. ж; = ж+ 2/-^, 2,'= X + 2/-Z, (Ai = l,A2 = 2,A3 = -l). ^ = 2ж - ?/, 4.3.11. ж; = х-2у- z, у' = у - х + z, (Ai = 0, А2 = 2, А3 = -1). 4.3.12. ж; = 2ж-2/ + г, 2/; = 2яг + 2j/ - z, (Ai = 1, А2 = 2, А3 = 3). z* = x-y + 2z, 4.3.13. ж; = Зж-2/ + г, 2/;= ж + y + z, (Ai = 1, А2 = 2, А3 = 5). ^; = 4ж - 2/ + 4г, 4.3.14. ж; = 2ж + 2^-?/, ^ = x + 2z (Ai = l, А2,3 = ±г). z = 2/ - 2х - z, 4.3.15. ж' = 4ж-2/-г, 2/; = х + 2j/ - z (Ai = 2, А2 = А3 = 3). z1 = х - у + 2z,
222 Системы линейных дифференциальных уравнений [Гл. 4 4.3.16. х' = 2х-у- z, у' = Зх - 2у - 3z (Ai = О, А2 = А3 = 1). zf = 2z-x-y, 4.3.17. х' = у - 2х - 2z, у' = х - 2у + 2z (Ai = 3, А2 = А3 = -1). z1 = Зх - Зу + 5z, 4.3.18. ж' = 2ж + г/, 2/' = 2у + 4z (Ai = А2 = О, А3 = 3). z' = Ж — 2, 4.3.19. х' = z-y, yf = 3z-x-2y (Ai = -1, А2 = 0, A3 = l). z' = 2z - ж - 2/, 4.3.20. х' = y + z, yf = 2y + z-x (Ai = 0, A2 = A3 = 1). y z' = -2 Ответы 4.3.1. х = Cie-* + С2е3*, у = 2Cie"* - 2C2e3*. 4.3.2. x = 2C± cost + + 2C2sin?, y = (Сг - C2) cost + (Ci + C2) sint. 4.3.3. x = (d + C3f)e*, 2, = (C2+2C3*)e*, z = (Ci-C2-C3-C3*)e*. 4.3.4. ж = 2Cie3*-4C2e-3*, у = Cie3* + C2e-3t. 4.3.5. x = e2t(dcost + C2sin*), 2/ = e2*[(d + 4.3.8. x = (Сг + C2t)e*, 2/ = B^i - ^2 + 2C2t)ef. 4.3.9. ж = (Ci + + 2C2t)e"*, 2/ = (Ci + C2 + 2C2t)e-*. 4.3.10. ж = Cie* + C2e2t + С3е"*, у = Cie* - ЗС3е"*, z = Cie* + C2e2* - 5C3e-*. 4.3.11. x = d + 3C2e2*, 2, = -2C2e2* + C3e-*, z = d + C2e2* - 2C3e-*. 4.3.12. я = C2e2* + + C3e3*, у = Cie* + C2e2*, z = Cie* + C2e2* + C3e3*. 4.3.13. x = Cie* + 4.3.14. x = C2cost + (C2 + 2C3)sint, у = 2Cie* + C2cos^ + (C2 + + 2C3)sint, z = Cie* + C3cost - (C2 + C3)sint. 4.3.15. x = Cie2* + + (C2 + C3)e3*, у = Cie2* + C2e3*, z = Cie2* + C3e3*. 4.3.16. x = = d + C2e*, у = 3Ci + C3e*, z = -Ci + (C2 - C3)e*. 4.3.17. x = = Cie3* + C2e-*, у = -Cie3* + (C2 + 2C3)e-*, z = -3Cie3* + C3e-*. 4.3.18. x = d + C2^ + 4C3e3*, у = C2 - 2Сг - 2C2t + - - C2 + C2t + C3e3*. 4.3.19. I у J = Ci f 1) e* + C2 I 1
§ 4] Неоднородные системы с постоянными коэффициентами 223 § 4. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами 1. Основные понятия и теоремы 1°. Метод вариации постоянных и метод Коши. Систе- Системой линейных неоднородных дифференциальных уравнений с посто- постоянными коэффициентами называется система г = 1,га, A) к=1 или в векторном виде y; = ^y + f, B) у = (уи ..., уп)Т, f = (/ь ..., /n)T, где a,ik, i>k = l,n, — постоянные, f — непрерывная на интервале Т функция. Так как фундаментальная система решений линейной однородной системы у' = Ау, соответствующей B), всегда может быть построена (для этого надо найти корни характеристического уравнения), то для интегрирования системы B) достаточно найти ее частное решение. Общими методами построения частного решения системы B) (как и в случае линейной системы с переменными коэффициентами) явля- являются метод вариации постоянных (метод Лагранжа) и метод Коши (см. §2). Напомним (см. § 3) одно полезное свойство матрицы Коши си- системы B) с постоянными коэффициентами, позволяющее строить ее проще, чем в общем случае, когда коэффициенты системы перемен- переменные: матрица Коши для системы B) с постоянными коэффициентами имеет вид т. е. зависит только от разности t — т своих аргументов. Частное решение системы B), удовлетворяющее в точке t = to нулевому начальному условию, находится по формуле t y(t)= \K(t-r)f(r)dr. C) to Напомним, что, если нужно найти произвольное частное решение системы B), достаточно в формуле C) ограничиться подстановкой верхнего предела.
224 Системы линейных дифференциальных уравнений [Гл. 4 Символически можно для такой цели записать формулу C) в виде: t r)f(T)dT D) либо просто использовать знак неопределенного интеграла для обо- обозначения какой-нибудь первообразной. Отметим, что полученное таким образом частное решение мо- может не удовлетворять нулевому начальному условию, как полученное по формуле C). Подстановка в C) нижнего предела г = to дает некоторое решение однородной системы. Так как матрица Коши по любой фундаментальной матрице W(t) однородной системы у' = Ау определяется единственным образом в виде то частное решение y(t) системы B) может быть также найдено по формуле to где матрица W(t), не зависящая от переменной интегрирования т, вынесена за знак интеграла. 2°. Метод неопределенных коэффициентов. Для специаль- специального, но важного для приложений, вида функции f (t) используется также подбор частного решения системы A) методом неопределенных коэффициентов (метод Эйлера). Рассмотрим возможные случаи. 1. Пусть: 1) правые части системы A) имеют специальный вид Л(*) = Р?Ч*К*> i = T^> E) где а — параметр, вообще говоря, комплексный; Pfz(t) — многочлен степени qi (такую функцию fi(i) называют квазимногочленом); 2) Ai,..., Л/ — корни характеристического уравнения det(A-XE) = = 0 кратностей mi,..., m/ соответственно (mi + ... + m/ = п). Тогда частное решение у = (yi,..., уп)Т системы A) с правыми частями E) ищется в виде yi(t)=A?+a(t)e<'t, г = М, где: а) s = 0, если & ф \k (k = 1,1), т.е. параметр а не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения det(^ — ХЕ) = 0; б) s = mk, если а = А&, тк — кратность корня А&.
§ 4] Неоднородные системы с постоянными коэффициентами 225 Здесь A^s(t) — многочлены степени q + s (q = max^ g^), конкрет- конкретный вид которых находится методом неопределенных коэффициентов. Искомая форма многочленов A^s (t) должна содержать все степени t от 1 до q + s. Замечание 1. Если правые части A) имеют вид /• (t) = Pf (t) cos pt + QrC (t) sin pt, F) то по формулам Эйлера молено перейти от F) к виду E), содержащему экспоненты с комплексными показателями. ? 2. Пусть: 1) коэффициенты а^, i,k = 1,п, системы A) вещественные и U {€) = eat [if (t) cos fit + Qri (t) sin fit], G) где а и /3 — вещественные постоянные; Pfz(t) и Q^if) — многочлены степеней qi и Г{ соответственно (такую функцию fi (t) также называют квазимногочленом); 2) Ai,..., Л/ — корни характеристического уравнения det(A-XE) = = 0 кратностей mi,..., m/ соответственно (mi + ... + m/ = п). Тогда частное решение системы A) с правыми частями G) можно искать без перехода к комплексным функциям в виде Vi (t) = eat [Ap^s (t) cos pt + B»+a (t) sin pt\, (8) где: а) s = 0, если а = а + г/3 т^ А& (/с = 1,/), т. е. комплексный параметр а = а + г/3 не совпадает ни с одним из корней характеристического уравнения det(A - А.Б) = 0; б) s = rrik, если сг = а + г/3 = А&, т^ — кратность корня А&. Здесь ^+s(t) и 5f+s(t) — многочлены степени р + s, p = = maxi{gi5ri}5 конкретный вид которых находится методом не- неопределенных коэффициентов. Искомая форма многочленов A?+S(t) и BpJrS(t) долж:на содержать все степени t от 1 до р + s. 3°. Операционный метод. К линейным неоднородным систе- системам с постоянными коэффициентами A) применим также операцион- операционный метод Лапласа (см. § 5 гл. 3). Например, для решения задачи Коши y@)=yo преобразованием Лапласа переходят от функций у и f к их изобра- изображениям Y(p) и F(p) соответственно, получая алгебраическую систему уравнений (pE-A)Y(P)=y0 + F(P), (9) Е — единичная матрица. 8 А. Б. Васильева, Г. Н. Медведев
226 Системы линейных дифференциальных уравнений [Гл. 4 Решая (9), находим изображение после чего по формуле Меллина или по таблицам соответствия ори- оригиналов и изображений восстанавливаем оригинал у. 2. Примеры решения задач 1. Найти общее решение неоднородной системы (Ю) х' = у, у' = - Л Характеристическое уравнение det(A - \Е) = -А 1 -1 -Л = 0 имеет корни Ai2 = =Ьг. Общее решение однородной системы, соответ- соответствующей A0), имеет вид М / совЛ /ашЛ \yj \-smtJ VC0SV (см. пример 2 § 3). Частное решение у неоднородной системы A0) найдем двумя спо- способами — методом вариации постоянных и методом Коши. Отметим, что правые части A0) не имеют вида квазимногочлена, что исключает подбор частного решения методом неопределенных коэффициентов. Способ 1 (метод вариации постоянных). Зная общее решение A1) однородной системы, соответствующей A0), ищем у в виде Подставляя A2) в исходную систему A0), получаем алгебраиче- алгебраическую систему для С[ (t) и С2 (t) С[(t) cost + С'2(t) s'mt =0, -C[(t) slut+ C'2(t) cost =^, откуда Ci(t) = -l,C?(t) = ^ и d(t) = -t + Cu C2(t) = In | sin?| + C2. A3)
§4] Неоднородные системы с постоянными коэффициентами 227 Подставляя A3) в A2), находим общее решение A0): cos A /sin A /—tcost + sint • In | sint \ I H~ ^2 I I H~ I ii)# (l4) K—smtJ \costj \ tsint + cost • In | sint|/ Третье слагаемое в A4) есть некоторое частное решение системы A0). Способ 2 (метод Коши). Частное решение неоднородной систе- системы A0) может быть найдено по формуле C). Для построения матрицы Коши K{t — г) надо решить матричную задачу Коши с условиями в нуле К@) = Е, т. е. две векторные задачи для вектора у = (х,у)т xf= у, () , 2/@) = 0 xf= у, () 2/@) = и в полученных решениях yi и у2 заменить t на t — r. Векторы yi(t — r) и Y2(t — т) образуют столбцы матрицы K(t — г). В данной задаче можно, правда, заметить, что фундаментальная матрица cos t sin t \ cost) ' A5) образованная решениями, входящими в A1), уже обладает нужным свойством матрицы Коши, т. е. при t = 0 переходит в единичную матрицу. Поэтому, заменяя в A5) t на t — г, получаем матрицу Коши Л 16 I I ( ) ( ) — sm(t — г) cos(t — т > Частное решение у системы A0) имеет вид: v = = f ( cos^ ~ ^ J V — sin(t - г) sin^ [ ^9^ J sinr cos(t - г) dr 'sin(t-r)y cos(t — r) to t cost [ Q J si to sinr to I dr to / sin t In sin r \ cos tin sinr *. — (t — to) cost — to) sint, (i6)
228 Системы линейных дифференциальных уравнений [Гл. 4 Решение A6) удовлетворяет нулевым начальным условиям при t = = to, поэтому не совпадает с третьим слагаемым в A4). Для вычисления интеграла может оказаться удобнее вид матрицы Коши, задаваемый формулой K(t-r) = Для системы A0) имеем 7-W, ч / cost sin A /cost —sin r \ K(t-T)=\ _z_j. __j. )(„:„_ I — sin t cos t1 \ sin r cos r / 4 / \ / ^ Г ТуГ(, \n/ \ j ( cost sin A f /cost — si y= K(t-r)f(r)dr= ( sin^ Л j f sinr C t V 7 t V to В таком виде подынтегральное выражение не содержит перемен- переменной t. ? 2. Решить задачу Коши х' = x-4 () 2/A) = Л Способ 1. Найдем общее решение системы A7) и подстановкой в начальные условия определим произвольные постоянные. Характеристические показатели системы A7) Ai = — 1, Л2 = 3. Общее решение соответствующей однородной системы Правые части A7) имеют вид квазимногочлена P(t)eAt, где P(i) — многочлен нулевой степени, а Л = 2 не совпадает с характеристиче- характеристическими показателями. Поэтому частное решение можно искать в виде Подставляя A8) в A7), получаем систему 2а = а - 4Ъ + 3, 2Ъ = -а + 6, откуда а = — 1, 5 = 1 и
§ 4] Неоднородные системы с постоянными коэффициентами 229 Таким образом, общее решение системы A7) есть Подставляя A9) в начальные условия, получаем систему 2С1е~1 - 2С2е3 - е2 = х0, Cie-1+ С2ез + е2 = 2/0, B0) решая которую, находим С\ = |(ж0 + 2у0 - е2), -3 2 Решение задачи A7) имеет вид /—2\ /-1\ B1) Способ 2. Найдем решение задачи Коши A7) в виде суммы ре- решения однородной системы, удовлетворяющего заданным начальным условиям, и частного решения неоднородной системы с нулевыми начальными условиями. Воспользуемся тем обстоятельством, что решение задачи Коши для однородной системы с начальными условиями в точке t = to является функцией разности своих аргументов t — to. Поэтому для отыскания решения однородной системы, удовлетво- удовлетворяющей заданным начальным условиям в точке t = 1, решим сначала задачу Коши для однородной системы с условиями в нуле х1 = х — 4г/, ж@) = жо, Подставляя общее решение A9) в начальные условия в нуле, полу- получаем систему для С\ и C<i 2Ci - 2С2 = яго, B3) Ci + C2= 2/о, откуда d = \{хо + 22/0), С2 = -\(х0 - 2у0). Система B3) проще системы B0), так как не содержит е, е2. Решение z(r) задачи Коши B2) с условиями в нуле имеет вид z(r) = \{х0 + 2у0)
230 Системы линейных дифференциальных уравнений [Гл. 4 откуда, заменяя г на t — 1, находим решение однородной системы с заданными начальными условиями в точке t = 1: у = \{х0 + 2у0) Qe-C) - \(х0 - 2у0) ("^е3^1', B4) что соответствует части решения B1), содержащей xq и т/о- Зная фундаментальную матрицу однородной системы, соответ- соответствующей A7), найдем матрицу Коши K(t — г) по формуле K(t-r) = W(t)W-1(r), которая для A7) дает , 1 (Чет* -2е3*\ r) = y j Решение у находим по формуле C): у = fiir(t-r)f(r)dr = W(t) \w-1( г"* -2е3Л г / ет 2ет 4 \ е"* е37 J ^-е-3т 2ет 1 /2е-' -2е3Л / е3* - е3 4 1 в"' е37 V3e-*-3e 1 2е"*+3 - бе3* е-*+3 + Зе3* Складывая решения B4) и B5), получаем вид решения, совпадающий с B1). Следующая серия задач иллюстрирует метод подбора частного решения в случае, когда правые части системы с постоянными ко- коэффициентами имеют вид квазимногочлена P(t)eXt. ?
§ 4] Неоднородные системы с постоянными коэффициентами 231 3. Найти частное решение системы х1 = у' = -х + у, B6) *' = 3z. Л Найдем прежде всего характеристические показатели соответ- соответствующей B6) однородной системы. Характеристическое уравнение det(A - ХЕ) = 1-Х -4 О -1 1-Л О О 0 3-А = (А2-2А-3)C-А) =0 имеет корни Ai = — 1 кратности mi = 1 (простой корень) и А2 = 3 кратности гп2 = 2 (кратный). Правые части системы имеют вид квазимногочлена P(t)eXt, где степень многочлена P(t) равна нулю, а параметр а = 2. Значение А = = 2 не совпадает ни с одним из характеристических. Значит, частное решение системы B6) надо искать в виде B7) Подставляя B7) в B6), получаем а-\-4Ь = 3, а-\-Ь = 0, с = 0, откуда а = — 1, 5= 1 и частное решение имеет вид ? 4. Найти частное решение системы х' = х - 4у + e2t + 6 sin t, У =-x + y + te2t, B8) z' = 3z + 10 cost. А Однородная система, соответствующая B8), та же, что и в пре- предыдущем примере, и имеет характеристические показатели Ai = —1, 777-1 = 1 И А2 = 3, 7772 = 2.
232 Системы линейных дифференциальных уравнений [Гл. 4 Правые части B8) имеют вид суммы двух квазимногочленов (име- (имеем в виду координаты векторных функций) = f1+f2= '0\ /6\ " О cost + 0 sint JO/ VO/ = Pi(t)e2* + [P2(t) cost + Q2(t) sint], где координаты вектора Pi(t) — многочлены первой степени, а коор- координаты векторов Рг(^) и Q2(t) — многочлены нулевой степени (сте- (степень векторного многочлена определяется по старшей степени всех координат). Согласно принципу суперпозиции будем искать решение у в виде суммы двух решений yi + у2, отвечающих соответственно правым частям fi и f2- Решение ух будет решением системы х' = х — Ay + e2t, 2/ = -x + 2/ + ?e2t, B9) z' = 3z. Так как коэффициенты при e2t не выше первой степени, а значение а = 2 (показатель экспоненты) не совпадает с характеристическими, решение ух ищем в виде /ах + Ъг t\ У1= а2 + М е2*. C0) \«з + bsV Подставляя C0) в B9), получаем систему = -ах - bit + а2 + b2t + t, = За3 откуда, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, на- находим Ъ% = 0, аз = 0, а2 = 0, Ъ2 = 0, ах = 0, &х = 1? следовательно, частное решение системы B9) имеет вид =@л
4 ] Неоднородные системы с постоянными коэффициентами 233 Решение у 2 будет решением системы х = х — 4у + 6sin?, 2/; = -ж + 2/, C1) Правые части C1) отвечают квазимногочлену со значением пара- параметра <т = г, не совпадающим с характеристическими, и коэффициен- коэффициентами нулевой степени t. Поэтому частное решение надо искать в виде /аЛ /а2\ у2 = [Ь1\ sint+ Ь2 cost. C2) \cij \c2j Подставляя C2) в C1) и приравнивая коэффициенты при sint и cos?, находим &i = —1, Ъ\ = 0, ci = 1, а2 = —5, &2 = —1? С3 = —3, следовательно, У2 = 0 sint — 1 cost, V i/ \з/ а частное решение исходной системы B8) имеет вид У = У1+У2 = [О ) e2t+ ( 0 Isint- [ 1 Icost. D 5. Найти частное решение системы ж' = ж — 4у, у1 = -х + у + 4е"*, C3) А Характеристические показатели системы C3) найдены в приме- примере 3: Ai = -1, mi = 1, Л2 = 3, m2 = 2. Правые части C3) имеют вид суммы двух квазимногочленов: f = f 1 + f2 = f 4j e"*+ f 0) e3t = P1(t)e-t + P2(t)e3t, где Pi(t) и P2(t) — многочлены нулевой степени (имеем в виду коор- координаты векторов).
234 Системы линейных дифференциальных уравнений [Гл. 4 Согласно принципу суперпозиции будем искать решение систе- системы C3) в виде суммы двух решений yi и у2, отвечающих правым частям fi и $2- Решение у\ будет решением системы х' = х — 4?/, у1 = -х + у + 4е~\ C4) z1 = 3z. Так как коэффициенты при е~* — многочлены нулевой степени, а параметр а = — 1 в правой части (в показателе экспоненты) совпа- совпадает с характеристическим показателем Ai = — 1 кратности тп\ = 1, решение yi ищем в виде У1 = «2 + Ы е"*. C5) \«з + Ы) Подставляя C5) в систему C4) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, находим а3 = 0, Ь3 = 0, h =4, Ь2 = 2, ах - 2а2 = 2, откуда, если а,2 = С, то а\ = 2С + 2, т. е. частное решение у\ определяется с точностью до одного произвольного параметра в виде /2С + 2 + 4А /2\ B + 4А yi= C + 2t е"* = С7 1 е"*+ 2* е~*. C6) V 0 ) \0) V 0 ) Нетрудно проверить, что первое слагаемое в C6) есть решение однородной системы, найдя собственный вектор матрицы А, отвечаю- отвечающий Ai = — 1. Таким образом, в качестве частного решения систе- системы C4) достаточно взять второе слагаемое в C6) Решение у2 будет решением системы х' = х — 4?/, у' = -х + у, C7) z' = 3z + e3t. Так как коэффициенты при e3t — многочлены нулевой степени, а параметр а = 3 (в показателе экспоненты) совпадает с характери- характеристическим показателем А2 = 3 кратности rri2 = 2, решение у2 ищем
§ 4 ] Неоднородные системы с постоянными коэффициентами 235 в виде у2 = a2 + b2t + c2t2 еш. C8) 2j Подставляя C8) в систему C7) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях ?, находим, что Ъ% = 1, а остальные коэффици- коэффициенты содержат произвольные постоянные, которые молено положить равными нулю. Таким образом, То обстоятельство, что вектор при e3t не содержит ?2, связано с независимостью последнего неоднородного уравнения от других переменных. Фактически параметр а = 3 квазимногочлена e3t совпал с характеристическим показателем кратности 1 для последнего урав- уравнения. Искомый вид C8) в данном случае оказался чересчур общим. Итак, частное решение исходной системы C3) имеет вид /2 + 4А У = У1+У2= 2* е-*+@)е3*. ? 6. Применяя операционное исчисление, решить задачу Коши х' = -ж + у + е*, х@) = 3, У1 = ж-2/ + е*, ?/@) = 1. Л Обозначим через Х(р) и У(р) изображения x(t) и 2/(t). По пра- правилу дифференцирования оригиналов, учитывая начальные условия, находим х' =рХ(р)-х@)=рХ-3, D0) y'=pY(P)-y@)=pY-l. Подставляя D0) в систему C9) и учитывая, что et = =-, полу- получаем алгебраическую систему для определения изображений: pY-l= X-Y
236 Системы линейных дифференциальных уравнений [Гл. 4 решая которую, находим Зр2 + 2р - 2 1 j j + 2^ p-V JL , JL Y(v) - Р+ Переходя к оригиналам, получаем искомое решение x(t) = \ + e~2t + e\ y(t) = l-e~2t + е*. ? 7. Рассмотрим колебания двух грузов на пружинах (см. задачу 9 § 3) под воздействием внешней периодической силы. Пусть опять груз 777-1 подвешен к нижнему концу первой пружины, верхний конец которой закреплен. К грузу mi прикреплена вторая пружина, на нижнем конце которой подвешен груз массы т2 (как и в задаче 9 § 3, через mi и 7772 обозначаем как сами грузы, так и их массы), к\ и к2 — коэффициенты упругости верхней и нижней пружин. К грузу 777i приложена периодическая внешняя сила f(t) = = Fo sin i/t. Найти закон движения груза т\ под действием силы f(t) при про- произвольных начальных условиях. Исследовать возможность подбора нижней пружины и груза 7772 для гашения колебаний груза 7771 на частоте v внешней силы. Л В задаче 9 § 3 были получены уравнения, описывающие собствен- собственные колебания грузов tt7i и 7772 в отсутствие внешних сил. Добавляя внешнюю силу f(t) в уравнение движения груза 777i (с амплитудой ж), имеем mix = f(t) - Fi + F2, m2y = -F2 или, с учетом вида сил Fi, F2 и / 7771Ж = —к\х + к2(у — х) + Fo sinz/?, т2у = -к2(у - х). Обозначая, как и в задаче 9, ki + k2 _ _k^_o _^2__ _^2_-А Ш1 ~~ "' 7711 ~ ^' 7712 ~ '' Ш2 ~ ' получаем на этот раз неоднородную систему уравнений х + ах + /Зу = Fo sin i/t, у + jx + 5у = 0. D1) Дифференцируя дважды второе уравнение D1) и исключая ж, находим уравнение колебаний груза 7772 г/D) + (а + ?)# + (ш5 - ^т)У = ~7^о sin i/t. D2)
§ 4 ] Неоднородные системы с постоянными коэффициентами 237 В решении задачи 9 § 3 были найдены корни характеристического уравнения Ai52 = =bzo;i, Лз,4 = ±^2 и получен режим свободных колебаний груза т^'. yo(t) = Ax sm{uxt + вх) + ^2 sin^t + 02). D3) Будем искать частное решение y(t) неоднородного уравнения D2), полагая, что частота внешней силы отлична от собственных частот: v т^ cji , v т^ Ш2. При этом предположении частное решение D2) нужно искать в виде A smut + В cos ut. Ясно, что В = 0, так как уравне- уравнение D2) содержит лишь четные производные и smut. Подставляя y(t) = A smut в уравнение D2), получаем А = - где Я = [И - (а + 5)и2 + (а* - D4) Подставляя общее решение у = Уо + У уравнения D2), найденное по формулам D3) и D4) в уравнение х = -j{$y + у) (второе из уравнений D1)), получаем закон движения груза m<i'. x(t) = E - u2)F0Esmut+ - sm^it + их) H у sin(o;2c + 02)- D5J Колебания груза тх на частоте v внешней силы определяется первым слагаемым в D5). Видно, что амплитуда этих вынужден- вынужденных колебаний обращается в нуль, если и2 = 5. Это условие можно обеспечить выбором коэффициента упругости &2 нижней пружины и массы rri2 нижнего груза: Величина у ^ — это частота собственных колебаний груза на отдельной, закрепленной на верхнем конце, пружине с коэффициен- коэффициентом упругости &2- Если эта частота совпадает с частотой v внешней силы /(?), то в движении груза т\ отсутствуют колебания на частоте внешней силы. ?
238 Системы линейных дифференциальных уравнений [Гл. 4 3. Задачи для самостоятельного решения Задачи 4.4.1-4.4.3 решить двумя способами: а) методом вариации постоянных; б) методом Коти. 4.4.1. х' = у, 4.4.2. х' + 2х-у = -e2t, 2 4.4.3. х' = у + yf = tgt -2г/ = 6е2*. tg2t - 1, — х. Решить следующие системы. 4.4.4. х' = у — у' = 2х- 4.4.5. х' = Зх - yf = х + 4.4.6. х' = 4ж - у' = у- АЛ.7. х1 = 2у - у1 = 3у- 4.4.8. х' = Ъх - у' = х + 4.4.9. х1 = 2х- у' = у- 4.4.10. ж' = 2х у1 = Зж 4.4.11. х' = 2х 4.4.12. ж' = 2х 4.4.13. ж; = ж- г/' = Ъх 4.4.14. ж; = 2х у' = -^ 4.4.15. ж' + яН Z/' + Z/^ 5 cost, 1-2/. Ь2г/ + 4е5*, 22/. f. у - e2t, 2ж. _ о^ _i_ 1 -2ж. - 3?/ + 2e3t, 2/ + 5е"*. ' - у, 2х + Ш. + 42/ - 8, + 62/. ~Vi - У + 8*, -2/- + ?/-2z + 2- -22/ = 2e-t, -i = 2,@) = z@) = 1.
4 ] Неоднородные системы с постоянными коэффициентами 239 Ответы 4.4.1. х = С\ cos? +C2 sin? +cost • In | cost| +tsint, 2/ = — + C2cost - s'mt • In | cost| + tcost. 4.4.2. ж = |e2t + 2Cie* + C2e~*, 2/ = ^e2t + 3Cie* + C2e"*. 4.4.3. x = dcost + C2smt + tgt, г/ = = -Cisint + C2cos? + 2. 4.4.4. x = de2t + С2е"* - 2 sin ? - cost, 2/ = 2С1е2*-С2е-* + 8ш? + Зсо8?. 4.4.5. x = Cxel + 2C2e4t + 3e5t, 2/ = = -Cie*+C2e4* + e5*. 4.4.6. ж = C1e2t^C2e34{t^l)e2t, у = -2Cxe2t- - C2e3t - 2te2t. 4.4.7. x = (d + 2C2t)e* - 3, 2/ = (Ci + C2 + 2C2t)e* - 2. 4.4.8. x = Cie2t + 3C2e4t - e"* - 4e3t, j/ = Cie2t + C2e4t - 2e"* - 2e3t. 4.4.9. x = de3t + 3?2 + 2^ + C2, у = ~de3t + 6^2 - 2? + 2C2 - 2. 4.4.10. ж = 2Cie8t - 2C2 - 6t + 1, 2/ = 3Cie8t + C2 + 3t. 4.4.11. ж = 2t - ?2)е*, 2/ = [Ci - d + (C2 + 2)t - ^2]е*. 4.4.12. ж = Cie* + te* - e4t, 2/ = ~de* + С2е3* - (t + l)e* - 2e4t. 4.4.13. ж = 2sin2?+2?+2, y = (Ci+2C2) cos2t+BCi-C2) sin2t+10t. 4.4.14. ж = Cie* + C2 sint + C3 cost, 2/ = — Cie* + C2 cost — C3 sint +1, z = C2sint + C3cos? + 1. 4.4.15. x = e-t, 2/ = e-t, z = 1.
Глава 5 КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА Краевой задачей называется такая задача, в которой требуется найти решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее до- дополнительным условиям, заданным на разных концах интервала ин- интегрирования. § 1. Неоднородная краевая задача 1. Основные понятия и теоремы Рассмотрим следующую краевую задачу: (рои" + piur + р2и = /, а < х <Ъ, , . \alUf(a) + рги(а) = Аъ а2и'(Ъ) + /32и(Ь) = А2. U Здесь ро5 Pi> Р25 / — непрерывные функции переменной х\ и(х) — искомое решение; а\^ч /^i,25 ^.1,2 — заданные параметры, некоторые из которых могут быть равны нулю, но а\ +/3^ ф 0 и а| +/^| 7^ 0- Если Q]^ = а2 = 0, то граничные условия называются условиями I рода. Если /31 = /32 = 0, то — условиями II рода. Если а±^2 ф 0 и /3^2 ^ О, то — граничными условиями III рода. Если А\ = А2 = 0, то граничные условия называются однородны- однородными; в ином случае — неоднородными. Заметим, что заменой искомой функции граничные условия всегда можно привести к однородным. А именно, будем искать и(х) в виде и(х) = у(х)-\-д(х), где д(х) — любая дважды непрерывно дифференцируемая функция, удовлетворяющая граничным условиям задачи A). Например, -- о Тогда для функции у (ж) получаем задачу с однородными граничными условиями = 0, a22/;(b) + р2У(Ь) =0,
§ 1 ] Неоднородная краевая задача 241 где F = / — род" — р\д' — р^д — новый свободный член уравнения. Таким образом, не умаляя общности, можно исследовать краевую задачу с однородными граничными условиями. Рассмотрим вопрос единственности решения задачи A). Пусть существуют два решения и\{х) и и^(х). Тогда для функции z(x) = = ui(x) — U2(x) из A) получаем: poz" + p1zf + p2z = 0, , . ouz'ia) + Piz(a) = 0, a2z'(b) + p2z(b) = 0. ( } В зависимости от выбора pi (x) и величины интервала интегрирования задача C) может иметь или не иметь нетривиальное решение. Ес- Если C) имеет лишь тривиальное решение, то решение A) единственно. Если C) имеет нетривиальное решение, то решение A) (если оно существует) является неединственным. 1°. Рассмотрим случай, когда задача C) имеет только тривиаль- тривиальное решение. Теорема 20. Пусть функции pi(x) (г = 0,1, 2) и F(x) непрерывны при а ^ х ^Ъ, ро(х) ф 0. Тогда существует функция (?(ж, ?), называ- называемая функцией Грина, удовлетворяющая следующим требованиям: 1. G(x,?) как функция х, при любом ? ? [а, Ь] удовлетворяет однородному уравнению B) при ж/^. 2. G(x,?) как функция переменной х, удовлетворяет граничным условиям задачи B). 3. G(x,?) непрерывна при х = ?. 4. Первая производная G(x, ?) имеет при х = ? разрыв с величиной скачка предельных значений Решение краевой задачи B) представимо в виде ъ i. D) Функция Грина в явном виде определяется выражением
242 Краевая задача для линейного уравнения второго порядка [Гл. 5 где v\{x) — произвольное нетривиальное решение однородного урав- уравнения задачи B), удовлетворяющее условию aiv[(a) + 0iVi(a) = = 0; V2(x) — решение того же уравнения, удовлетворяющее условию a2Vf2(b) + Р2Щ{Ь) = 0; w(x) — определитель Вронского этих двух решений. Замечание 1. Функция Грина G(x,?) является обобщенным ре- решением [4] задачи 2 = S(x - ?), \а1У'(а) + 01У(а) = 0, а2у'(Ь) + 02у(Ъ) = 0, где 5 — дельта-функция Дирака. ? Замечание 2. Физический смысл функции Грина следующий. Если задача B) описывает "поведение" у(х) некоторой физической системы при воздействии внешней силы F(x), то G(x, ?) есть "отклик" системы в точке х на единичное по мощности воздействие, сосредо- сосредоточенное в точке ?. Смысл формулы D) при этом состоит в том, что в физической системе, описываемой линейным уравнением, для получения решения у(х) в точке х нужно просуммировать "отклики" в этой точке на воздействия F, оказываемые на систему в различных точках ?. ? Замечание 3. Если в задаче A) функция f(x) задана явным аналитическим выражением, то часто бывает проще не строить функ- функцию Грина, а найти общее решение неоднородного уравнения, после чего искать значения неопределенных коэффициентов в этом общем решении из граничных условий. В то же время представление решения в форме D) важно при ис- исследовании общих свойств решения краевой задачи, когда вид функ- функции F(x) не конкретизирован. Кроме того, представление D) является конструктивным методом решения задачи в случае сложного вида функции F(x). Если функция ро(х) дифференцируема, то уравнение A), после умножения на функцию ^{х) = ехр< — (?\ ^ \ ПРИВОДИТСЯ а к виду (р(х)у'У - q(x)y = F, где р = рО75 F = /7> Q= Теорема 21. Функция Грина краевой задачи Иру'У-чу-f, \al2/'(a) + C1У(а) = 0, а2у'{Ъ) + р2у(Ъ) = О { ' симметрична, т. е. G(x, ?) = G(?, x) для всех х и ?7 принадлежащих
§ 1 ] Неоднородная краевая задача 243 Выше мы предположили, что решение A) единственно. Укажем некоторые достаточные условия единственности решения задачи A). Теорема 22. Пусть q(x) и F(x) непрерывные, а р(х) — непре- непрерывно дифференцируемая функции; р{х) > 0, q{x) ^ 0. Тогда решение задачи F) единственно. 2°. Обратимся теперь к случаю, когда существует нетривиаль- нетривиальное решение задачи C). Таких нетривиальных линейно независимых решений может быть не более двух, поскольку уравнение задачи C) второго порядка. Теорема 23. Необходимым условием разрешимости задачи B) является ортогональность функции F нетривиальным решениям задачи C). Из результатов настоящего параграфа следует альтернатива: либо неоднородная задача B) имеет единственное решение, либо однород- однородная задача B) имеет нетривиальное решение. 2. Примеры решения задач 1. Решить краевую задачу: \У" + У' = 1{х), 0<х<1 Ь@) = 0, 2/A) = 1. Л Приводим граничные условия к однородным. Для этого ищем решение у(х) в виде у(х) = z(x) + g(x), где g(x) — произвольная функция, удовлетворяющая неоднородным граничным условиям рас- рассматриваемой задачи. Выберем д(х) = х. Тогда у = z(x) + x. Для функции z получаем s" + z' = /(ж) = f{x) - 1, s@)=0, z(l) =0. Построим функцию Грина для последней задачи. Общее решение однородного уравнения будет z = С\е~х + C<i- Отсюда решением, удовлетворяющим однородному граничному условию z@) =0 будет z\(x) = е~х — 1; граничному условию z(l) = 0 — функция ^(ж) = = е — е~х. Определитель Вронского этих решений W(x) = e - e~x
244 Краевая задача для линейного уравнения второго порядка [Гл. 5 Согласно F), функция Грина имеет вид _g _г " " При X ^ ?, . _{ при х ^ ?. Решение z(x) определяется формулой D): 1 х z{x) = о Обратим внимание, что под интегралом от 0 до ж стоит та часть выражения для функции Грина, которая соответствует случаю х ^ ? (вторая строчка в D)). Соответственно под интегралом от ж до 1 — часть выражения D), соответствующая х ^ ?. Решение исходной задачи будет г/ = г(ж) + х. ? 2. Решить краевую задачу 0<ж<2, Г(ж + 1)У'-2(ж + 1У+ 2j/ = l, V@) = 1, 2/B) = 4. А В этой задаче строить решение с помощью функции Грина — слишком сложный путь. Проще найти общее решение уравнения и определить константы из граничных условий. Независимыми ре- решениями однородного уравнения являются у\(х) = х + 1 и г/20*0 = = (ж + IJ. Частное решение неоднородного уравнения у = —Ц. По- Поэтому общее решение неоднородного уравнения у{х) = С\{х + 1) + + С2(ж + IJ — §. Значения С\ и С2 определяем, подставляя решение в найденном виде в граничные условия. Имеем yf@) = С\ + 2С2 — i = = 1, 2/B) = Ci • 3 + С29 - 1 = 4. Отсюда Ci = |, С2 = | и решение задачи 2/(x) = |(x+l) + i(x + lJ-f = 1(Ж2+6х + 8). ? 3. Пусть на струну, закрепленную на концах, действует в по- поперечном направлении сила Ф(х) sin ujt. Требуется найти профиль установившихся малых поперечных колебаний струны под действием этой силы, считая, что воздействие силы не является резонансным.
§ 1 ] Неоднородная краевая задача 245 Л Малые поперечные колебания струны описываются [19] соотно- соотношениями: @,t) = 0, u(l,t) = 0, где t — время, х — продольная координата, u(x,t) — поперечное смеще- смещение точки струны, f(x) = Ф(х)/ро, ро — линейная плотность струны, 0 и / — координаты граничных точек струны. Ищем установившиеся колебания в виде u(x,i) = v(x) sincjt. Подставляя такой вид решения в уравнение и граничные условия, сокращая все слагаемые на получаем Общее решение однородного уравнения A2v" + uj2v = 0 будет v = C\ sin Чх + С2 cos Чх. Это решение удовлетворяет граничным условиям, если v@) = С2 = 0, v(l) = d sin ^x + С2 cos ^ж = 0. Рептение будет нетривиальным, если С\ + С| 7^ 0^ чт0 возмолсно липеь при условии sin jrl = 0. Таким образом, однородная краевая задача A2v" -\-uj2v = 0, v@) = = ^(/) = 0 имеет нетривиальное решение v = sin ^гх в случае о; = _ ттЛ ^п _ 12,...). Частоты cj = 1гпА являются собственны- собственными частотами колебаний струны. При этих частотах, как видно из вышеприведенных соотношений, существует нетривиальное решение u{x,i) = С sin Щ^хбшсог при отсутствии внешней силы / = 0. Рассмотрим случай, когда внешнее воздействие имеет нерезонанс- нерезонансный характер, т.е. случай ш ф 7Г47г. Обозначим Ч = к. Построим функцию Грина задачи G). Решение однородного уравнения этой задачи, удовлетворяющее левому граничному условию, будет у\(х) = = sin/еж; правому граничному условию — 2/2 (#) = sinfc(Z — х). Опреде- Определитель Вронского будет равен W{x) = sinkx smk(l — x) kcoskx — к cos k(l — x) = —к sin kl. Функция Грина, согласно E), имеет вид GO, О = sinb;sin/c(Z-0 А2к sink! ' k^smk(lx) Л2 1 • 7 7 ' S A ksmkl
246 Краевая задача для линейного уравнения второго порядка [Гл. 5 Установившиеся колебания струны будут описываться уравнением u(x,t) = х I tl fe^Z ~ ^ J Sil1 fe€" -^^ d^H-sin fea; J sin fe(Z — 0 - /@ ^}- В резонансном случае со = ^ установившиеся колебания могут существовать лишь при специальном выборе внешней силы, а именно, I при выполнении условия /(ж) sin ^y = 0. ? 4. Решить задачу (х2у" + xyf -у = / ЬA)=2, у'(оо) = 1 < х < ос, Л Задача поставлена на полу бесконечном участке. От этого путь решения не меняется. Вначале приводим граничные условия к одно- однородным. Для этого ищем решение в виде у(х) = 2 + z(x). Для функции z(x) получим (x2z" + xzf - z = f(x) - 2, \гA) = 0, z'(oo) = 0. Общее решение однородного уравнения будет z = С\х -\- Счх~х. Вы- Выбираем решения, удовлетворяющие левому граничному условию — Z\{x) = х — — и правому граничному условию — z<i{x) = ^. Опре- Определитель Вронского этих решений будет :;; Д)= \ х х ' Функция Грина имеет вид «¦И) ж ^ оо.
§ 1 ] Неоднородная краевая задача 247 Решение задачи будет Решение задачи существует не при любой функции F(x), а лишь для такой, при которой последний интеграл в ответе сходится. ? 3. Задачи для самостоятельного решения 5.1.1. Решить задачи: а) у" = f(x) @ < х < 1), 2/@) = 0, t/(l) = 0. б) у" + У = f(x) @<х< §), 2/'@) = 0, 2/'(|) = 1. 1ху" + у' = ш* а<*<е) вI ш* ] \у(\) = 0, у'(е) = 0. г) Г У" - У' = f{x) @ < х < оо), \у'@) = — 1, у ограничено при х —> оо. 5.1.2. Построить функции Грина для следующих задач: у" -у' = sinx @ < х < 1), У@) = 0, 2/A) = 0. f-ч fx2y" -ху' -Зу = 61пх @<ж<1), 6j \2/@) = 0, 2/A) = 0. Г(Ж+1)У-22/ = /0г) @<ж<1), BJ \2/@) = 0, 2/A) = 0. Г2/" + 42/' + 32/ = /(ж) @<ж<оо), т> \у(р) = 0,2/(ж) = О(е~2х) при ж ->• оо. Ответы ж 1 5.1.1. а) у(х) = (х — 1) ?/(?) d^ + ж (? — 1)/(?) d?. 6) у = — cos ж + О ж ж 2" Г Г + sin ж cos? • f(?)d? + cos ж sin^ • f(?)d?. в) у = In ж (In In ж — 1). О ж ж оо г) ?/ = е~ж + е~х sh? • /(^) d? -\- shx e */(?) <i^. 5.I.2. а) С(ж, ^) =
248 Краевая задача для линейного уравнения второго порядка [Гл. 5 ( (Л _|_ p4xUq 4A-?) _ 1 ^ П < т* < ? К^т Л = Не-4^ - 1НЗе4 + е4ж) f < х < 1. В^ G^'^^ = l9^ + lKfx + lV = j2(e-_»L-e-)' ^ ^ ' 2. Краевая задача на собственные значения (задача Штурма—Лиувилля) 1. Основные понятия и теоремы Для функции и(х) на участке а ^ х ^ Ъ рассмотрим задачу: (Lu + Хр(х)и = 0, \a) + /3iiz(a) = 0, a2^(&) + ^гг(Ь) = 0. Здесь Л — параметр, Lu = ^ (р(ж) j ) ~ q{x)u, а а и /3 — заданные константы (некоторые из них могут быть равны нулю, но а\ + ^ ф О и«2+^2 /0)- Функция р(ж) предполагается непрерывно дифферен- дифференцируемой на [а, Ь], функции д(ж), р(ж) — непрерывными. Кроме того, будем считать р(ж) > 0, р{х) > 0. Определение. Значения параметра Л, при которых существует нетривиальное решение задачи A), называются собственными значе- значениями задачи Штурма-Лиувилля, а сами нетривиальные решения называются собственными функциями задачи Штурма-Лиувилля. Теорема 24. Задача Штурма-Лиувилля A) имеет бесконечное (счетное) число собственных значений. Теорема 25. Каждому собственному значению задачи A) со- соответствует единственная (определенная с точностью до произ- произвольного множителя) собственная функция. Иными словами, ранг каждого собственного значения задачи A) равен 1. Теорема 26. Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля A), отвечающие различным собственным значениям, ортогональны
§ 2 ] Задача на собственные значения (задача Штурма-Лиувилля) 249 с весом р(х), т. е. ъ Ui(x)uj(x)p(x) dx = 0, если \ ф Xj. а Собственные функции щ(х) могут быть нормированы с весом р(х), т. е. для них будет выполнено (x) dx = 1. Теорема 27. В случае а.\&\ ^ 0, а2^2 ^ 0 и q(x) ^ 0 все собственные значения задачи A) неотрицательны: Хп ^ 0. В случае граничных условий вида и (а) = и(Ь) = 0 и q ^ 0 все Хп положительны: Хп > 0. Теорема 28 (Стеклова). Пусть f(x) — дважды непрерывно дифференцируема, причем f(a) = f(b) = 0. Тогда f(x) может быть разложена в абсолютно и равномерно сходящийся на [а, Ъ] ряд по соб- собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля A): n=l где ь fn = j f{x)un(x)p(x)dx. 2. Примеры решения задач 1. Определить собственные значения и собственные функции за- задачи: у" + Ху = 0, у@) = 0, з/@ = 0. А Согласно изложенным выше свойствам решений задачи Штур- Штурма—Л иу вил ля собственные значения Л положительны. Проверим это непосредственно. Допустим, что Л = —/i2 < 0. Тогда общее решение уравнения будет у(х) = Ае^х -\-Ве~^х. Подставляя это решение в гра- граничные условия, получаем у@) = А + В = 0, у{1) = Ае^1 + Ве~^1 = 0. Из первого условия В = — А, при этом из второго условия А(е^1 — — е~^1) = 0. Отсюда А = 0, поскольку выражение в скобках отлично от нуля. Получаем, что при Л < 0 имеется только тривиальное решение.
250 Краевая задача для линейного уравнения второго порядка [Гл. 5 В случае Л = 0 общее решение уравнения имеет вид у = А + + Вх. Из граничных условий следует, что А = В = 0. Таким образом, существует лишь тривиальное решение задачи. Рассмотрим случай Л > 0. В этом случае общее решение уравнения имеет вид у{х) = Антл/Хх + Всо8л/\х. Используя граничные усло- условия, имеем ?/@) = В = 0, у{1) = Asm\/\l + Bcosy/~\l = 0. Отсюда Б = 0 и sinyXl = 0. Последнее равенство возможно, если у\1 = = тгп, где п = 1, 2, 3,... При п = 0 функция г/(ж) = 0 и не является собственной функцией. Таким образом, получаем ответ: \ _ 7 где п = 1,2,3,... произвольная константа. ? 2. Найти собственные функции и собственные значения задачи: V@) = 0, (/5 > 0). Л Согласно изложенному в теоретической части настоящей главы собственные значения рассматриваемой задачи неотрицательны: Л ^ ^ 0. При этом общее решение уравнения будет у{х) = Антл/Хх + + i? cos л/А ж. Используя граничные условия в точке х = 0, имеем Рис. 29. 2/@) =5 = 0. Отсюда у = A sin л/Л ж и Л = 0 не является собственным значением, поскольку при этом у = 0. Граничные условия при х = I дают yf{l)+f3y{l) = A(V\ cos V\l + PsinV\l) = 0.
§ 2] Задача на собственные значения (задача Штурма-Лиувилля) 251 Отсюда для определения получаем трансцендентное уравнение ^—C = tg^/Xl. На рис. 29 изображена правая и левая части последнего соотношения как функции аргумента л/Л. Видно, что существует бесконечное счетное число корней трансцендентного уравнения. Ответ: собственные значения рассматриваемой задачи Штурма— Лиувилля являются положительными корнями уравнения пП = = tg-v/A^Z. Соответствующие собственные функции имеют вид уп = = A sin л/Х^х. ? 3. Рассмотрим задачу о малых продольных колебаниях стержня. Пусть у стержня длины / один конец закреплен, а другой свободен. Пусть плотность стержня равна рсь а коэффициент упругости —к^. Будем описывать колебания с помощью функции u(x,t), где t — время, х — продольная координата материальной точки на стержне в состоянии равновесия. Будем считать х = 0 на закрепленном конце, а х = / — на свободном. Тогда для функции u(x,t) выполнено [19]: п2 _ ко dt2 ~ дх2 Процесс колебаний зависит от начального (при t = 0) смещения и начальной скорости частиц стержня. Рассмотрим случай следующих начальных условий: и(х, 0) = sin Щх, g(ж, 0) = sin ftx. C) Соотношения B) и C) образуют полную математическую задачу, описывающую процесс колебаний стержня. Решим задачу B), C). Л Ищем решение задачи методом разделения переменных (по фи- физическому смыслу — в виде суммы стоячих волн): и(х, t) = ^2п ип(х, i), где un(x,i) = Xn(x)Tn(i). Потребуем, чтобы все ип по отдельности удовлетворяли условиям B). Подставляем ип в искомом виде в B). Получаем \хп@)Тп@) = 0, X'n{l)Tn{t) = 0. Поскольку нас интересует Тп ф 0, то из граничных условий получаем Хп@) = Х'п{1) = 0. В уравнении, разделяя переменные, получаем = a2Tn{t) Xn(x)'
252 Краевая задача для линейного уравнения второго порядка [Гл. 5 Левая и правая части последнего равенства зависят от разных ар- аргументов. Равенство может сохраняться при любых х и t только в случае, когда каждая из частей постоянна, т. е. 1п — ±±л_ — _А Ш а 1п лп где Ап — неизвестная пока константа (знак "—" выбран для удобства дальнейшей записи). Таким образом, для функции Хп получаем задачу: Хп + \пХп = 0, , ч Х„@)=0, X'n(l) = 0. W Это задача Штурма-Лиувилля на собственные функции и собствен- собственные значения. Решаем ее. Из свойств задачи Штурма-Лиувилля имеем все собственные значения An ^ 0. При этом общее решение уравнения будет Хп(х) = Ап sin у An x + Вп cos у An x. Используя граничные условия при х = 0, имеем Хп@) = 0 = = Вп. После этого граничное условие при х = I дает Xfn(l) = 0 = = Апл/Х^ со8л/Х^1. Отсюда \f\^l = ^ +тгп (п = 0,1,2,...). Получаем собственные значения и собственные функции (Собственные функции определены с точностью до множителя. Для простоты коэффициент перед синусом выбран равным 1.) Возвращаемся к D). Значения Ап уже найдены при решении E). Для Тп получаем уравнение ТЦ + а2ХпТп = 0. Отсюда Тп(х) = Сп sin ал/Хп t + Dn cosayA^t. Итак, начав поиск решения методом разделения переменных, мы при- приходим к соотношению sin л/\^х(Сп sin л/\^1 + Рп cos \fXgt). F) n=0 n=0 Используем условия C) и форму решения F). Имеем сю sin Щ-х = и(х, 0) = }2Dn sin f Ц n=0 sin j^x = ди(х,0) 2Г - dt n=0
§ 2 ] Задача на собственные значения (задача Штурма-Лиувилля) 253 Приравнивая в этих соотношениях справа и слева коэффициенты при синусах одинакового аргумента, имеем D\ = 1, Dn = 0 при п ф 1; С°2/ = lj Cn = 0 при п т^О. Отсюда получаем ответ: м(ж, ?) = ^ sin |р • sin |^ + sin Щ-х • cos ^t. В процессе решения задачи B), C) мы пришли к необходимости определения собственных функций и собственных значений задачи Штурма—Лиувилля E). Это типичная ситуация при использовании метода разделения переменных, широко применяемого для решения задач математической физики. ? 3. Задачи для самостоятельного решения 5.2.1. Определить собственные функции и собственные значения. а) у" + Ху = 0,у'@) = 0,у'A) = 0, б) у" + \у = 0,у'@) = 0,уA)=0, в) (ху')' + \% = 0,уA)=0,у'B)=0, г) (ху'У + А| = 0, уA) = 0, уB) = 0. 5.2.2. Решить методом разделения переменных. а) б) Ответы 5.2.1. а) А„ = (^fJ, j/n = Ccos ?fx, n = 0,1,2,... 6) An = f (l) j/n = Ccos^Q+nJ, n = 0,1,2,... в) An = [ 2b2 ] ' Уп = = Csin^hi), n = 0,1,2,... г) А„ = (^)\ Уп = п- 1,2,3, ...5.2.2. а)ы = 1+созЗж-е"9°2*, б) и - 4 sin
Глава 6 ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ § 1. Устойчивость по Ляпунову 1. Основные понятия и теоремы Рассмотрим систему уравнений (у = {yi,..., уп} — вектор- функция) J = f(t,y), О 0, A) и ее решение, определенное при t = 0 условием У = Уо- B) Определение 1. Решение у(?, уо) задачи A), B) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого г > 0 ^S(s) такое, что при ||Ауо|| < 5(е) для всех t ^ 0 справедливо неравенство Здесь ||у|| = yjy\ + ... + 2/2, где у{ (г = 1,...,п) — координаты вектор-функции у. Смысл понятия устойчивости рептения у(?, уо) заключается в том, что при всех t ^ 0 все интегральные кривые равномерно близки к ин- интегральной кривой L, отвечающей решению у(?,уо), если их началь- начальные точки находятся на достаточно малом расстоянии от начальной точки кривой L. Иными словами, решение непрерывно зависит от начального значения у о равномерно относительно t ^ 0. В § 5 главы 1 была приведена теорема 4 о непрерывной зависимости решения от параметра, в частности, от начального значения, равно- равномерной относительно t на некотором конечном отрезке изменения t: \t — to\ ^ Н (см. замечание 2 к теореме 4). Теорема была сформулиро- сформулирована для одного уравнения, но аналогичное утверждение имеет место и для системы уравнений. Там же, в § 5, приводились примеры (раздел 2), показывающие, что если t изменяется не на конечном отрезке, а на полуоси t ^ 0 (to = = 0), то в одних случаях теорема остается справедливой, а в других случаях теряет силу.
§1] Устойчивость по Ляпунову 255 Введенное понятие устойчивости решения выделяет тот класс ре- решений, для которых имеет место непрерывная зависимость от началь- начальных данных, равномерная относительно t на всей полуоси t ^ 0. Определение 2. Решение у(?, уо) задачи A), B) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и если найдется такое достаточно малое 5, что при ||Ауо|| < 5 имеет место предельный переход y(t, у0 + Ау0) - У(?, Уо) -+ 0 при ? ->> оо. Смысл определения заключается в том, что кривые, близкие при t = 0 к кривой L, не только остаются близкими к ней, но бесконечно сближаются с ней при t —> оо. Исследование на устойчивость решения у (?, уо) молено свести к ис- исследованию на устойчивость тривиального решения. Достаточно в A), B) сделать замену х = у — у(?, уо) и тогда мы приходим к новой системе J = F(i,x), x|t=0 = 0, C) где F(?, 0) = 0. Определение устойчивости принимает вид: Определение 3. Тривиальное решение задачи C) называется устойчивым по Ляпунову, если для Me > 0 35(е) такое, что при ||хо|| < < 5(е) для всех t ^ 0 справедливо неравенство ||х(?,xq)|| < e. Тривиальное решение называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и если найдется такое достаточно малое 5, что при ||хо|| < 5 имеет место предельный переход x(?,xq) —>• 0 при t —> оо. Замечание 1. Существует и другая форма записи того лее опре- определения, без указания зависимости х от xq: тривиальное решение называется устойчивым, если для \/е > 0 35(е) такое, что при ||х@)|| < < 5 для всех t ^ 0 справедливо неравенство ||х(?)|| < е. Асимпто- Асимптотическая устойчивость заключается в этой записи в дополнительном требовании х(?) ^0 при t —Ь оо. ? Решение, не обладающее свойством устойчивости, называется неустойчи- неустойчивым. Устойчивость тривиального реше- решения допускает геометрическую интер- интерпретацию в так называемом фазовом пространстве, т. е. пространстве пере- переменных х\,..., хп. Тривиальное реше- решение в этом пространстве изображает- изображается точкой — началом координат, а вся- всякое решение типа х = х(?) ф 0 — некоторой кривой, которая называет- называется фазовой траекторией или просто траекторией. Для случая п = 2 фазовое Рис. 30.
256 Теория устойчивости [Гл. 6 пространство становится фазовой плоскостью, и интерпретация носит вполне наглядный характер: тривиальное решение устойчиво, если любая траектория, начинающаяся в ?-окрестности начала координат (заметим, что ^-окрестность есть круг ш$ радиуса 5), не выходит при t ^ 0 из ^-окрестности начала координат (т. е. круга ujs радиуса е) (рис. 30). 2. Примеры решения задач 1. Можно ли определение устойчивости, эквивалентное опреде- определению 1, сформулировать так: решение у = у(?,у0) задачи A), B) называется устойчивым по Ляпунову, если для любого е > 0 35 (е) такое, что при \Ау®\ < 5 (г = 1, 2,..., п) для всех t ^ 0 справедливо неравенство |уг(?,у° + Ау°) - yi(t,y°)\ < el А Молено. Пусть решение устойчиво в смысле определения 1. Пусть задано е > 0. Выберем 5i(e) = -7= и пусть \Ау%\ < Si (г = 1,..., га). у 71 Тогда ||Ау°|| < 5 и, следовательно, ||у(*,у° + Ау°) - у(*,У°)|| < e. А отсюда следует, что \yi{t,y° + Ау°) - yi(t,y°)\ < е (г = 1,...,п). Итак, \yi(t,y° + Ау°) - yi(t,y°)\ < е при |А?/г0| < 5г(е), т.е. решение устойчиво в смысле определения, сформулированного в задаче. Предлагается самостоятельно убедиться в обратном, т. е. что если решение устойчиво в смысле определения, данного в задаче, то оно устойчиво в смысле определения 1. ? 2. Сформулировать в положительном смысле, т. е. без употребле- употребления отрицания "не", определение неустойчивого решения. Л Решение у = у(?,у0) задачи A), B) называется неустойчивым, если З^о > 0 такое, что каково бы ни было 5 > 0 и каково бы ни было Т > 0, найдутся такие Ау° (при этом ||Ау°|| < 5), и найдутся такие значения Г > Г, при которых ||у(Г,у° + Ау°) - у(Г,у°)|| > е0. ? 3. Доказать, что тривиальное решение системы у' = z, zr = —у устойчиво. Л Общее решение системы: у = ^cos? + .Bsin^, z = — Acost + + Bsint, где А = y@), В = z@). Тогда, очевидно, \у\ < \y@)\ + + |*@)| < e, \z\ < |2/@)| + |^@)| < e, если \y@)\ < | = S(e), \z@)\ < < i = 5(e), что и доказывает устойчивость. В рассуж:дениях мы воспользовались формой записи устойчивости тривиального решения, данным в замечании 1. ? 4. Доказать, что тривиальное решение системы у = z, z = v, v = = w, w = —2v — у неустойчиво.
§1] Устойчивость по Ляпунову 257 Л Если для доказательства устойчивости надо для \/е > 0 про- проверить выполнение неравенства ||ж(?)|| < ? для всех траекторий, начинающихся достаточно близко к @,0), то для доказательства неустойчивости достаточно указать хотя бы одно ?q и хотя бы одну траекторию, начинающуюся как угодно близко к @,0), для которой выполняется неравенство ||ж(?*)|| > во, хотя бы для некоторой беско- бесконечно возрастающей последовательности значений t*. Выберем частное решение (его вид следует из выражения для общего решения) у = Sit cost, z = — Sitsint + Si cost, v = — 6 it cost — () |()| () — 2Si sint, w = Sitsint — = 0, \w@)\ = . Тогда y@) = 0, = Su v@) = и ^y2@) + z2@) + v2@) + w2@) = y/S\ + 9S2 < S при Si = S/2y/lO. При этом, если t* = 2/стг, то y(t*) = Sit* cos2k7r = = 5i2kn > 1 при к > 2 К . Таким образом, как бы ни было мало 5 (а с ним и Si), найдется бесконечно возрастающая последовательность значений ?* = 2&тг, где к — целые положительные числа, начиная от fci > 2 . , при которых |2/(?*)| = 1 > 2 = ?° и' следовательно, вость тривиального рептения. что и доказывает неустойчи- П 5. Устойчивы ли решения следующих задач: а) у = t - у, у{0) = 1? б) 3(* - 1)у = у, у{2) = 0? А а) Имеем y(t,y°) = (l + y^e^+t-1, y(t, 1) = 2e"* + t-l. Отсюда |2/(t, 1 + Ay0) - y(t, 1)| = \Ау°\е~* < e при t ^ 0, если |Аг/°| < e = J(e). Таким образом, решение y(t,l) устойчиво. б) Имеем y(t,y°) = у0 \/t — 1, 2/(t, 0) = 0, y(t,Ay°) = A?/0 \/? — 1, y(t,Ay°) — y(t,O) = A?/0 v^t — 1. Очевидно, каково бы ни было 8 > 0, при \Ау°\ = т? < 5 имеем y(t, Ay°)—y(t, 0) = ^ \/t — 1 —>- ос при t —>- ос. Таким образом, решение y(t,O) неустойчиво. П 6. Пусть семейство траекто- траекторий системы C) (п = 2) состо- состоит из прямых Х2 = const в чет- четвертом квадранте, а в остальных квадрантах описывается уравнени- уравнением р = р((р,С), где р монотонно О убывает при изменении (р от §тг до 0 (рис. 31). Стрелками обозначе- обозначено направление возрастания t. При t —>• оо все траектории стремятся к точке @,0). Исследовать триви- тривиальное решение на устойчивость. Рис. 31. 9 А. Б. Васильева, Г. Н. Медведев
258 Теория устойчивости [Гл. 6 Л Тривиальное решение устойчиво, так как всякая траектория, на- начинающаяся внутри круга uj? радиуса е, будет с ростом t продолжать оставаться в этом круге: здесь 5(е) = е. П 7. Исследовать на устойчивость и асимптотическую устойчивость тривиальное решение системы, общее решение которой имеет вид х\ = С\ cos2 t - С2е~*, х2 = — 2Ci cost sin t + C2e~l' - А Имеем xi = [хг@) + x2@)] cos2 t - x2{0)e~t, x2 = -2[x1@)+x2@)]+x2@)e-t. Следовательно, |ari(t)| < |ffi@)| + 2|ar2@)| < e, \x2(t)\ < 2|ari@)| + + 3|ж2@)| < e при |#i@)| < | = J(e), |^2@)| < | = S(e), а это означает, что тривиальное решение устойчиво. Асимптотической устойчивости нет, так как х\ -/^ 0, х2 -/^ 0 при t —>- ос ни при каких отличных от нуля начальных значениях. ? 3. Задачи для самостоятельного решения 6.1.1. Довести до конца решение задачи раздела 1, т.е. доказать, что если решение устойчиво в смысле определения, данного в задаче, то оно устойчиво в смысле основного определения 1. 6.1.2. Устойчивы ли тривиальные решения следующих систем: а) у = z, z = v, v = w, w = —у — z — у? б) у = z, z = v, v = w, w = yl 6.1.3. Исследовать на устойчивость решения следующих задач: а) х = Ах - t2x, х@) = О, б) 2tx = х-х3, х@) = 0. 6.1.4. Исследовать на устойчивость и асимптотическую устойчи- устойчивость тривиальное решение системы, общее решение которой имеет вид х = Cisin2^ - С2е~*, -* + 2С2.
§ 2 ] Методы исследования на устойчивость 259 Ответы 6.1.2. а) Устойчиво, б) Неустойчиво. 6.1.3. а) Решение устойчиво. б) Решение неустойчиво. 6.1.4. Решение устойчиво, но не асимптоти- асимптотически. § 2. Методы исследования на устойчивость 1. Основные понятия и теоремы В предыдущем параграфе мы исследовали на устойчивость ре- решения некоторых систем, непосредственно пользуясь определением устойчивости. Обратим внимание на то, что во всех этих случаях было известно общее решение системы, и поэтому задача исследования на устойчивость сводилась по существу к задаче анализа — задаче иссле- исследования непрерывной зависимости решения от начального значения, равномерной при t ^ 0. Однако получить общее решение в виде явной формулы удается лишь в исключительных случаях. В такой ситуа- ситуации важно располагать методами, дающими возможность исследовать устойчивость по самому исходному уравнению (или системе), не зная его общего решения. 1°. Исследование на устойчивость по первому приближе- приближению (первый метод Ляпунова). Пусть задана автономная система уравнений f=F(x), A) т. е. такая, правая часть которой не содержит t явно. Пусть эта система имеет тривиальное решение х = 0. Тогда F@) = 0 и разложение Ма- клорена каждой компоненты Fi вектор-функции F будет начинаться с линейного члена X]&=i я~~К^)ж^> который является линейным (или первым) приближением для Fi и в малой окрестности х = 0 играет основную роль. Поэтому свойство устойчивости или неустойчивости тривиального решения х = 0 определяется (за исключением некото- BF рых особых случаев) свойствами матрицы а с элементами а^ = я~~Ч0) (г, ft = 1,...,п). Теорема 29. Пусть в некоторой сфере Q с центром в точке х = = 0 функции Fi непрерывны вместе с производными по xi,...,xn до второго порядка включительно. Пусть F@) = 0, а корни А^ характеристического уравнения det{aik - X5ik} = 0, B)
260 Теория устойчивости [Гл. 6 Я/71. где dik = ^—L(O), удовлетворяют условию ReA^ < 0 для всех г = = 1,...,п. Тогда тривиальное решение системы A) устойчиво и, притом, асимптотически. Если же хотя бы для одного г выполнено неравенство Re А^ > 0, то тривиальное решение системы A) неустойчиво. Замечание 1. Теорема не дает ответа на вопрос об устойчивости, если среди Л^ имеются такие, для которых Re А^ = 0. ? Замечание 2. Теорема естественно обобщается на случай неавто- неавтономной системы вида g=^x + r(x,i), C) где А — постоянная матрица, а г@, ?) = 0 и ||г(ж, ?)|| < С||ж||1+7, С,7 = = const > 0. Для устойчивости тривиального решения такой системы достаточно, чтобы характеристические числа матрицы а удовлетворя- удовлетворяли неравенству Re А^ < 0 для всех г = 1,..., п, а для неустойчивости достаточно выполнения неравенства ReA^ > 0 хотя бы для одного г (см. раздел 2, пример 2). Пусть уравнение F(x) = 0 имеет решения х = х (/ = 1,... ,р). Это означает, что дифференциальное уравнение A) имеет р постоянных @ решений х = х. Такие решения, очевидно, описывают состояния, не меняющиеся со временем, иными словами, состояния покоя или состояния равновесия, а в фазовом пространстве они изобразятся точками, которые называются точками покоя системы A). Молено ставить вопрос об исследовании на устойчивость решений вида х = х или, что то лее самое, об исследовании на устойчивость точек покоя х = х. Эта, задача известной уже из §1 заменой переменных сводится к исследованию на устойчивость тривиального решения, и молено BF пользоваться теоремой 29, в которой в выражении F и ^—^- вместо к @ ,_. равного нулю аргумента следует взять х. ? 2°. Исследование на устойчивость при помощи функ- функции Ляпунова (второй метод Ляпунова). Метод, изложенный в разделе 1, не всегда дает ответ на вопрос об устойчивости решения, например, в случае, когда корни характеристического уравнения B) чисто мнимые. Возникающие трудности иногда удается преодолеть, если использовать так называемую функцию Ляпунова.
§2] Методы исследования на устойчивость 261 Определение 1. Функция V(xi,...,xn) (или, короче, V(x)) на- называется положительно определенной в сфере ?7, если V(x) ^ 0 в ?7, причем V(x) = 0 тогда и только тогда, когда х = 0. Теорема 30 (об устойчивости). Пусть в Q существует непре- непрерывная вместе с частными производными первого порядка положи- положительно определенная функция V(x) такая, что функция W(x, i) = = (gradV, F(?,x)O где F(?,x) — правая часть системы §=F(i,x) D) удовлетворяет неравенству W(x.,t) ^ 0 для t ^ 0; x ? ft. Тогда тривиальное решение системы D) устойчиво. Функция V(x) называется функцией Ляпунова. Теорема 31 (об асимптотической устойчивости). Пусть дополнительно к условиям теоремы 30 выполняется неравенство W(x, t) ^ W(~x), где W(x) — положительно определенная в Q функция. Тогда тривиальное решение системы D) асимптотически устойчиво. Недостатком второго метода Ляпунова является то, что не су- существует конструктивного способа нахождения функции Ляпунова, пригодного в любых случаях. Для отдельных примеров функцию Ляпунова удается подобрать, пользуясь какими-либо специфическими свойствами системы. Можно указать также некоторые специальные классы дифференциальных уравнений, для которых функция Ляпу- Ляпунова известна, например, для системы линейных уравнений с посто- постоянными коэффициентами (см. раздел 2, пример 8). 2. Примеры решения задач 1. Исследовать на устойчивость тривиальное решение следующих автономных систем уравнений: а) х = ех+у - 1 + 2жг/, у = б) ж = 1пDг/ + е-3ж), у = 2у - 1+ fyl - 6х, E) в) х = Ъх + у + ху — ж3, у = х + by — х2 — у3 (Ь — действительный параметр). А а) Для исследования воспользуемся теоремой 29. В нашем случае xi = ж, х2 = г/, Fi = ех+у — 1 + 2ху, F2 = 2sinx + у2. Функции Fi
262 Теория устойчивости [Гл. 6 и F<i бесконечно дифференцируемы и i^@, 0) = 0. Вычислим элементы матрицы А: _ dF1 _vv,... _ . ..... = ^р = 2, а22 = Ц± =0. у=о Характеристическое уравнение -L л 9 л г» rv л = Л— Л — 2 = 0 имеет корни Ai = — 1, Л2 = 2. Так как ReA2 > 0, то тривиальное решение системы неустойчиво. б) Очевидно, правая часть удовлетворяет требованиям теоремы 29 в достаточно малой окрестности Q точки х = 0. Матрица А имеет л (-3 Л / вид: А = I 0 0 , а ее характеристические числа (корни харак- \Z ZJ ч Л —1 dz г>/7 теристического уравнения) Ai2 = 9—— имеют отрицательные действительные части. Следовательно, тривиальное решение системы асимптотически устойчиво. в) Матрица А имеет вид: А = ( -< , . Ее характеристические числа Ai?2 = Ь ± 1. По теореме 29 тривиальное решение асимпто- асимптотически устойчиво при Ъ < — 1 и неустойчиво при 6 > — 1. При 6 = — 1 исследовать тривиальное решение на устойчивость теорема 29 не позволяет. ? 2. Доказать, что тривиальное решение системы C) устойчиво и притом асимптотически, если Re А^ < 0 для всех г = 1,..., п. А Доказательство проводится полностью по схеме, описанной в [18], гл. 5, §2. Вместо уравнения Бернулли E.27) в [18] следует рассмотреть уравнение Бернулли ^ = az -\- Сz1+1, решение которого обладает свойствами, аналогичными свойствам 1)-3), указанным в [18]. Параметр а имеет тот лее смысл, что в E.27). ? 3. Исследовать на устойчивость решение х = —t2, у = t системы х = у2 - 2ty - 2у - ж, у = 2х + 2t2 + e2t~2y. F) Л Сведем эту задачу к задаче исследования на устойчивость три- тривиального решения, полагая х = х — t2, у = у -\-t (см. § 1). Имеем х = у —2у — х, у = 2х-\-е~ у — 1.
§ 2 ] Методы исследования на устойчивость 263 Это автономная система типа A). Матрица, о которой говорится on л (-1 -А в теореме 29 имеет вид Л = I о о 1 и ее характеристические числа Ai?2 = y*-—• Таким образом, решение х = — t2, г/ = t системы F) асимптотически устойчиво. ? 4. Исследовать на устойчивость решение х = cost, у = 2sint системы ж = In (ж+ 2 sin2 |) - |, 2/ = D - ж2) cost - 2xsin2t - cos3 t. G) Л Полагаем х = ж + cost, у = у + 2sint и для ж, у получаем неавтономную систему X = 1пA + Х) — 7}У, у = — 2х — X COSt. ( 1 -^ Это — система типа C), где 7 = 1>аа=( о R)- ^та матрица имеет характеристические числа Ai = —^— < О, А2 = —т^— > 0. Поэтому решение х = cost, у = 2sint системы G) неустойчиво. ? 5. Найти все положения равновесия следующей системы и иссле- исследовать их на устойчивость: х = у, у = sin(x + 2/). Л Найдем положения равновесия (точки покоя) данной системы, т. е. решения системы уравнений: у = 0, sin(x + у) =0. Получим х = = тгп, у = 0, n ? Z. Матрица А имеет элементы «и = ^Мтгп, 0) = 0, а12 = ^(тгп, 0) = 1, <*21 = 1М™,0) = (-1)", а22 = ff (™,0) = (-I)"- „ . (-l)±v/l + 4(-l) Характеристические числа матрицы Ai2 = ^ име- имеют отрицательные действительные части при нечетных п = 2/с + 1, /с G Z, а при четных п = 2/с, /с ? Z, одно из характеристических чисел положительно. Таким образом, положения равновесия Bfc + + 1,0) являются устойчивыми и притом асимптотически, а положения равновесия Bfc, 0) неустойчивыми. ?
264 Теория устойчивости [Гл. 6 6. Исследовать на устойчивость тривиальные решения следую- следующих систем: а) х = у — х + ху — ж3, у = х — у — х2 — у3, б) х = —xt — у3, у = х — 2уе~1:. Л а) Эта система уже встречалась (см. пример 1в) и представляет собой систему E) при Ъ = — 1. Теорема 29 не давала возможность отве- ответить на вопрос об устойчивости ее тривиального решения. Применим второй метод Ляпунова. Рассмотрим в качестве функции Ляпунова положительно определенную функцию V(x,y) = \{х2 -\-у2)- При этом W(x,y,t) = (gradV,F) = -(х4 + у4 + (х -уJ) < -(х4 + у4) = W(x,y), где х4 + у4 — положительно определенная функция. Следовательно, по теореме 31 тривиальное решение асимптотически устойчиво. б) Выберем V(x, у) = 2х2 + у4. Тогда W(x, у, t) = -ttx2 - Sy4e~f ^ ^ 0 для t ^ 0 и любых х,у. Таким образом, по теореме 30 тривиальное решение является устойчивым. ? 7. Исследовать на устойчивость тривиальное решение системы х = ф{у)ф'{у), у = -(f{x)(pf(x), где ф{х) обращается в нуль при у = 0 и только при у = 0, (f(x) обращается в нуль при х = 0 и только при х = 0. Л Выберем У(ж,г/) = <^2(ж) + ф2{у). Тогда W(ar,2/,t) ^фф '(pip1 = 0. По теореме 30 тривиальное решение устойчиво. ? 8. Пусть корни характеристического уравнения системы х = ах, (8) где А — постоянная матрица, удовлетворяют условию Re Л^ < 0 (г = 1,... ,п). Построить функцию Ляпунова и, пользуясь ею, дока- доказать асимптотическую устойчивость тривиального решения данной системы. Л Следуя [15], рассмотрим фундаментальную матрицу W(t) систе- системы (8) такую, что W|t=o = ^> гДе Е — единичная матрица. Каждый (*) столбец ift(t) этой матрицы является решением системы (8) с равной единице в начальной точке г-й компонентой, в то время как остальные (г) равны нулю при t = 0. Тогда i/)(t,?) = ^2^=1 ?,i Ф {t) есть решение системы (8), удовлетворяющее начальному условию V?|t=o = ? (? — столбец с элементами ^). сю Полож:им V(^) = ||V?(r5 ^)||2 dr. Интеграл сходится в силу экспо- 0 (г) ненциального убывания компонент ф при г —>- ос. Заметим, что
§ 2 ] Методы исследования на устойчивость 265 является квадратичной формой по ?: (О (i) Функция V(?) является положительно определенной, так как если ? т^ 7^ 0, то и ф(г,?) т^ 0 и, следовательно, V(?) > 0. Найдем теперь (gradV, F) = (gradV, х) = -^У(х(?)), где х = j^)? x|t=o = ?• Для этого представим V(x) в виде: V(x) = V(*l>(t,?)) = J = f Это преобразование основано на тождестве, справедливом для ав- автономных систем, к которым принадлежит и система (8) (сравните с рассуждениями, приведенными в §2 главы 5, [18]): ф(т,ф(г,?)) = = i/>(t + г, ?). Действительно, /0(r5 VK^ ?)) и ^(^ + г^ О как функции г удовлетворяют одной и той же системе, так как автономная система инвариантна относительно сдвига независимого переменного. Кроме того при г = 0 имеем ф(т,ф(Ь,?))\т=0 = i/>(t,?) и ф{Ъ + т,?)|т=0 = @ @ Отсюда, пользуясь единственностью решения задачи Коши (см. теорему 1 гл. 1), получим требуемое тождество. Из (9) найдем |^(x(i)) = -||t/>(i,?)l|2 = НИ2 = Г(х)' гДе' оче" видно, — W = ||х||2 — положительно определенная функция. Поэтому согласно теореме 31 получаем то, что и требуется доказать. ? 9. Доказать, что для системы, описывающей движение матери- материальной точки в потенциальном поле, положение равновесия, которому отвечает минимум потенциальной энергии, является устойчивым. А Система уравнений имеет вид miWi = -^-, Xi=Ui, Vi=Vi, Zi=Wi, A0) где U — потенциальная энергия. Положение равновесия (или точка покоя М) системы A0) определяется уравнениями Ф^- = 0, §р- = 0, ОХ% Оуг Щ = 0, щ = Vi = Wi = 0. При этом координаты ж?, j/J, z\,..., х^, у%, z°
266 Теория устойчивости [Гл. 6 положения равновесия находятся из первых Зп уравнений, а осталь- остальные уравнения определяют равную нулю скорость. В качестве функции Ляпунова V(xi,... ,wn) возьмем сумму V = = U(xu ...,zn)- U{x\,..., z°n) +T, где Г = \ ??=1 гщ{и\ + vf +wf) - кинетическая энергия. В окрестности точки М(х\,..., z^, 0,..., 0) функция У, очевидно, является положительно определенной, если при Х\ = х\,..., zn = z^ функция U имеет строгий минимум. При этом г=1 ^dU_\ i дТ_( 1Ш i дТ_( [di\ ГГЦ dXi ) ^ 0Vi\ ГГЦ dVi ) ^ dw\ ГГЦ г=1 = о. Отсюда, согласно теореме 30, делаем заключение об устойчивости точки покоя М. ? 3. Задачи для самостоятельного решения 6.2.1. Исследовать на устойчивость тривиальное решение следую- следующих автономных систем уравнений: а) х = ех+2у - cos Зх, у = у/А + 8х - 2еу, б) х = tg(z -у) + 2х,у = л/9 + 12я - Зеу, z = -Зу, в) х = by + ln(l + dx), у = tgbx (b ф 0, d — действительные параметры), г) х = 2е~х — у/4 + аг/, ?/ = 1пA + ж + ау) (а — действительный параметр). 6.2.2. Найти все положения равновесия (точки покоя) следующих систем и исследовать их на устойчивость: а) х = 1пA - х2 - у2), у = х-у-1, б) х = еу - еж, у = а/Зж + у2 - 2. 6.2.3. Пользуясь функцией Ляпунова, исследовать на устойчивость тривиальные решения следующих систем а) х = 2у3 -х5,у = -х-у3 + у5, б) х = у-2х-A + t2)xs, у = 6х - Ау.
§ 3 ] Фазовая плоскость 267 6.2.4. Исследовать на устойчивость тривиальное решение системы в задаче 1в при 6 = 0. Ответы 6.2.1. а) Тривиальное решение неустойчиво, б) Тривиальное реше- решение устойчиво и притом асимптотически, в) Тривиальное решение неустойчиво при любых Ъ ф 0 и d. г) Тривиальное решение устойчиво и притом асимптотически при 0 < а < 2, неустойчиво при а < 0 или а > 2. При а = 0 и а = 2 теорема 29 не дает ответа. 6.2.2. а) Точка покоя @, —1) устойчива и притом асимптотически; точка покоя C,2) неустойчива, б) Точка покоя (—4,-4) устойчива и притом асимпто- асимптотически; точка покоя A,1) неустойчива. 6.2.3. а) Тривиальное реше- решение асимптотически устойчиво, б) Тривиальное решение устойчиво. 6.2.4. Решение устойчиво при d ^ 0 и неустойчиво при d > 0. Указание: система распадается на два отдельных уравнения для х и для у. При d ф 0 нужно для х воспользоваться теоремой 29, а для у — видом общего решения у = С (как в § 1); при б( = 0и для ж, и для у воспользоваться видом общего решения. § 3. Фазовая плоскость 1. Основные понятия и теоремы 1°. Понятие фазовой плоскости было дано в § 1. Пусть автономная система имеет точки покоя Х{ = х\. В § 2 был изложен метод исследования точек покоя на устойчивость для системы любого числа уравнений. Но на практике бывает нужно не только уметь находить точки покоя и исследовать их на устойчивость, но и знать расположение всего множества траекторий на фазовой плоскости. Чертеж:, изображаю- изображающий расположение траекторий на фазовой плоскости, часто называют фазовым портретом системы. 2°. Пусть система является линейной —ТГ = ацХ\ + B12^2, Ш=Ах или , B)
268 Теория устойчивости [Гл.6 В этом случае можно получить расположение траекторий в целом, на всей фазовой плоскости. Пусть det А ф 0. Система B) имеет единственную точку покоя х\ = x<i = 0. В случае неоднородной системы точка покоя отлична от начала координат, но очевидной заменой переменных этот случай можно свести к B). Имеет место следующая классификация расположения траекторий системы B). По типу расположения траекторий дается название точки покоя. Характер расположения траекторий определяется корнями ха- характеристического уравнения (характеристическими числами матри- матрицы А). C) 1*. Ai и Л2 действительны, различны и одного знака. Точка покоя называется узлом (рис. 32а). Рис. 32. 2*. Ai и А2 действительны и имеют разные знаки. Точка покоя называется седлом (рис. 326). 3*. Ai и А2 комплексны с отличной от нуля вещественной частью ReAi = ReA2 ф 0 Точка покоя называется фокусом (рис. 32в). 4*. Ai и А2 чисто мнимые. Точка покоя называется центром (рис. 32г). 5*. Ai = A2 = А ф 0 и матрица А не диагональна. Точка покоя называется вырожденным узлом (рис. 32д). 6*. Ai =А2 = А ^ 0 и матрица А диагональна: А = [ п л \ и л покоя называется дикритическим узлом (рис. 32е). . Точка
§3] Фазовая плоскость 269 Замечание 1. Если Ai = 0 (или Л2 = 0) или Ai = Л2 = О, то det A = 0, и точка покоя уже не является единственной, и, более того, точки покоя не изолированы (см. ниже, раздел 2). ? Узел 1* характеризуется тем, что все траектории, кроме одной II, имеют в точке @,0) общую касательную I, которая сама является траекторией. Прямые I и II направлены вдоль собственных векторов матрицы А, соответствующих Ai и А2, причем прямая I отвечает меньшему по модулю из Ai и А2. В случае узла 5* все траектории касаются одной прямой, направленной вдоль единственного собствен- собственного вектора, отвечающего А. При Ai < 0, А2 < 0 узел (как 1*, так и 5*) является устойчивой точкой покоя. На рис. За,д стрелками показано направление движе- движения вдоль траектории при возрастании t в случае устойчивого узла. Если Ai > 0, А2 > 0, то узел неустойчив и стрелки заменяются на противоположные. Седло 2* характеризуется наличием двух траекторий I и II, прохо- проходящих через @,0) также в направлении собственных векторов. Пря- Прямая I является асимптотой для остальных траекторий при t —>> ос, а II является асимптотой при t —>• — 00. Прямолинейная траектория I расположена по направлению собственного вектора, отвечающего положительному А, а прямолинейная траектория II по направлению собственного вектора, отвечающего отрицательному А. Прямые I и II называются сепаратрисами седла. Седло является неустойчивой точ- точкой покоя. На рис. 326 стрелками показано направление движения вдоль траектории при возрастании t. Сепаратриса II является един- единственной траекторией, которой отвечает решение, стремящееся к 0 при t —>> 00. Только две траектории I и II являются прямолинейными. Остальные траектории криволинейны и с возрастанием t идут из оо в оо. Сепаратрисы I и II разделяют фазовую плоскость на 4 области, в которых лежат криволинейные траектории. Фокус 3* в зависимости от знака Re А тоже может быть устойчи- устойчивым и неустойчивым. На рис. 32в стрелками показано направление движения при возрастании t в случае устойчивого (Re Ai = Re A2 < 0) фокуса. Замечание 2. В случае фокуса траектории могут быть закруче- закручены вокруг @,0) в разных направлениях (рис. 33). Чтобы определить направление закручивания, достаточно вычислить вектор (#i,#2) в какой-либо точке, например, в @,1). Рис. 33.
270 Теория устойчивости [Гл.6 Аналогично исследуется направление движения в случае центра 4* и узла 5* (рис. 33). Центр 4* является устойчивой, но не асимптоти- асимптотически устойчивой точкой покоя. Дикритический узел 6* может быть устойчивым (Л < 0) и неустойчивым (Л > 0). ? 3°. Если система нелинейна, то расположение траекторий в окрестности точки покоя (ж?, ж*]) "в малом" можно исследовать как и в линейном случае по корням характеристического уравнения C), в котором матрица А имеет элементы а^ = -^^(х^х®). Однако это можно делать только в случае, как принято говорить, грубой системы, т.е. когда ReA^ Ф 0 и Ai ф А2 (случаи 1°-3°). Если же ReA2 = 0 или Ai = A2, то даже "в малом" матрица линейного приближения не дает ответа относительно расположения траекторий: оно определяется членами более высокого порядка в разложении Д и /2 в окрестности точки (ж?, ж^). В случае нелинейной системы может быть несколько и даже бес- бесконечно много изолированных точек покоя. При этом глобальное расположение траекторий удается исследовать лишь для некоторых отдельных классов уравнений (см. ниже, раздел 2, примеры 4,5). Для изучения фазового портрета важно исследовать не только точки покоя. Нередко встречаются замкнутые траектории (они отве- отвечают периодическому решению), обладающие свойством изолированности (т. е. в окрестности таких траекторий нет других замкнутых траек- траекторий) , а все остальные траектории как бы "на- "наматываются" на эту единственную траекторию, которая называется предельным циклом, или, наоборот, "разматываются" с нее. Предельный рис 24 цикл может быть подобно точке покоя устой- устойчивым и неустойчивым. На рис. 34 изображен устойчивый предельный цикл. С примерами предельных циклов мы познакомимся в задаче 12 раздела 2, задаче 7 раздела 3; см. также задачу 10а раздела 2 § 3 гл. 7. 2. Примеры решения задач 1. Исследовать расположение траекторий на фазовой плоскости и установить тип точки покоя: а) х\ = Ъх\ + 4ж, Х2 = 2^1 + Ж2- б) Х\ = 2Ж]_, Х2 = Х\ + Х2- в) х\ = х\ — 2^2, Х2 = 4жх — 3^2-
§3] Фазовая плоскость 271 А 1. а) Из характеристического уравнения 3-А 2 4 1-А = А2- —4А—5 = 0 находим Ai = 5, А2 = — 1. Следовательно, точка покоя @, 0) является седлом. Находим собственный вектор, отвечающий Ai = 5. Координаты этого вектора связаны соотношением C — \\)х\ + 4^2 = = 0, т. е. —2х\ + 4^2 = 0. Следовательно, уравнение асимптоты I Х2 = = 7^1. Аналогично находим асимптоту II, отвечающую А2 = — 1. Ее уравнение Х2 = —х\ (рис. 35). Рис. 35. Рис. 36. Рис. 37. б) Решая характеристическое уравнение, находим Ai = 1, А2 = 2. Точка покоя, таким образом, представляет собой устойчивый узел. Находим прямую I, отвечающую Ai = 1 — наименьшему по модулю собственному значению. Получаем х\ = 0. Находим прямую II, отве- отвечающую А2 = 2. Получаем x<i = х\ (рис. 36). в) Находим Ai52 = — 1 ± 2г, и, следовательно, точка покоя является устойчивым фокусом. Направление закручивания определим по век- вектору {хъх2}^1=о = {-2,-3} (рис. 37). ? 2. Исследовать расположение тра- траекторий на фазовой плоскости для си- системы х\ = Х2. Л Здесь detA = 0 и точки покоя заполняют прямую L: х2 = —Х\. Вы- Вычитая одно уравнение из другого, на- находим х\ — х2 = 0, х\ — х2 = С и, следовательно, семейство траекторий имеет вид х2 = х\—С. Исследуем закон Рис. 38.
272 Теория устойчивости [Гл. 6 движения вдоль каждой из траекторий. Имеем Х2 = х\ — С = —-^ + De2t. Параметр G фиксирует траекторию, параметр D фиксирует началь- начальную точку на траектории. Из выражений для х\ и Х2 получим, что при t —>> +оо: если D > 0, то х\ —>> +оо, ^2 —>- +оо, а если D < О, то a?i —>• —оо, ^2 —>• —оо. Если ж:е t —>• —оо то a?i —>• ^, ^2 —>• ~у? а ( %"? ~%") — эт0 точка, лежащая на прямой L. На рис. 38 стрелками обозначено направление возрастания t. Видно, что точки покоя, из которых состоит прямая L, неустойчивы. ? 3. Найти точки покоя следующей нелинейной системы ^ = 2Х1х2 - 4ж2 - 8, ^f = ~х\ + 4х\ D) и исследовать расположение траекторий в окрестности каждой точки покоя ("в малом"). Л Точки покоя находятся из системы алгебраических уравнений 2xi^2 — 4^2 —8 = 0, — х\ + 4ж| = 0. Отсюда имеем х\ = ±2^2, и, следовательно, ±4x1 - 4ж2 - 8 = 0. Далее: а) 4^2 — 4^2 — 8 = 0. Следовательно Х2 = 2, Х2 = — 1, а тогда A) , B) хх = 4, хх = -2. б) 4ж| + 4^2 + 8 = 0. Это уравнение действительных решений не имеет. Итак, система D) имеет две точки покоя: .4D,2) и В{—2,— 1). Далее, матрица с элементами -^- имеет вид ( _о 2 q ) и ха~ рактеристическое уравнение для точки А: 4-А 4 -8 16-А = 0 дает Ai = 12, А2 = 8, т. е. точка А является неустойчивым узлом, для которого прямая I имеет уравнение Х2 — 2 = х± — 4, а прямая II — -2-А -I уравнение х^ — 2 = 2(#i — 4). Для точки В имеем -8-А = 0. Отсюда Ai?2 = — 5±гл/23, т. е. точка В является устойчивым фокусом. Траектории закручены так же, как на рис. 37, так как {i?i, Ж2}ж1=-2 = = {-8,-4} (рис. 39). ^ ° П
§3] Фазовая плоскость 273 \Р(У) Рис. 39. Рис. 40. 4. Нарисовать фазовый портрет уравнения второго порядка У = Р(у), E) для которого график F(y) представлен на рис. 40 а. Л Уравнение E) эквивалентно системе у = z, z = F(y). F) Согласно графику 40а система F) имеет три точки покоя (<?i,0), (992,0), (993,0), первая и третья из которых являются седлами (про- (проверьте самостоятельно, учитывая, что знак производной ^- положи- положителен при у = (fi и у = (рз). Точке (^2,0) отвечают чисто мнимые корни характеристического уравнения и окончательных выводов о типе точки покоя делать нельзя. В целях изучения расположений траекторий на плоскости найдем первый интеграл системы F) — он и дает семейство траекторий: G) F(y)dy. Пусть (как это изображено на рис. 40 а) F(y)dy = S1>S= \F{y)dy. В У этом случае график функции Ф(у) = F(y) dy имеет вид, изоб- раж:енный на рис. 40 б. На рис. 41а изображено семейство, представ- представленное правой частью G). Наконец, на рис. 416 изображены сами
274 Теория устойчивости [Гл.6 траектории = ± Л 2(С+ \F(y)dy). Сепаратрисы седел (<?>i,0) и (<?>з,0), представляющие собой "в ма- малом" пару прямых I и II (найдите эти прямые самостоятельно по образцу предыдущих задач), на самом деле являются кривыми, представленными на рисунке 416 жирной линией), а прямые I Рис. 41. и II являются касательными к этим кривым в точках (<^i,0) и (993,0). Точка покоя ((^2,0), как оказывается, является точкой типа центра. ? 5. Начертить расположение траекторий для случая Si = S2. Л В этом случае Ф(^1) = Ф(<?з) и вместо рис. 41 имеем рис. 42. Сепаратрисы образуют так называемую ячейку. ? 6. Найти в явном виде сепаратрисы для уравнения у = у(у2 - 1). (8) А В этом случае имеются три точки покоя: (—1,0), @,0) и A,0). о о Кроме того Si = (у3 — у) dy = (г/3 — у) dy = S2, т.е. мы имеем
§3] Фазовая плоскость 275 Рис. 42. ячейку. Семейство G) имеет вид V 2 О Сепаратрисы должны пройти через точки (—1,0) и A,0). Отсюда С = = ^. Тогда z2 = 7^A — у2J и, следовательно, ? 7. Исследовать расположение фазовых траекторий для уравнения Найти сепаратрисы в явном виде. Л Имеются две точки покоя: (—1,0) (седло) и @,0). Первый инте- 2 Г грал имеет вид Щу — С + \{~У2 ~ у) dy- Исследование, аналогичное о проведенному в задаче 4, дает фазовый портрет, изображенный на рис. 43. Условие прохождения сепаратрисы через точку (—1,0) дает С = ^ и, следовательно z2 = -~A-\-уJA — 2у). Окончательно получаем следующее представление для сепаратрис: ? 8. Найти решения уравнения (8), отвечающие сепаратрисам.
276 Теория устойчивости [Гл.6 Рис. 43. А При решении этой задачи надо учесть, что формула z = ±^^A — v2 — у2), полученная в результате решения задачи 6, дает линию, обо- обозначенную на рис. 44 цифрами 4, 2, 6, и 1, 5, 3 соответственно. Исследуя каждое из седел "в малом", расставим стрелки, показываю- показывающие направление возрастания t. Тогда становится ясно: траектории, изображенной на рис. 44, отвечают 6 решений соответственно шести участкам, указанным цифрами 1,..., 6. Найдем, например, решение, отвечающее участку 2. Для этого участка z = -4=A — у2), и, следовательно л/2 Интегрируя это уравнение, получим у = ^ - 1 : + 1 , где С зависит от выбранного на траектории значения у, отвечающего t = 0: С = = У-j^r @ < С < 1). Из формулы видно, что у —>• — 1 при t —>• —оо и у —>• 1 при t —>• +оо. П 9. Начертить фазовый портрет для уравнения движения матема- математического маятника [10] 1ф + д sin <р = 0 (9) (здесь (р — угол отклонения от положения покоя, / — длина нити, на которой подвешен маятник, д — ускорение силы тяжести). Дать физическую интерпретацию траекториям различных типов. Л Фазовый портрет строится так же, как в задаче 4, и содержит бесконечную цепочку ячеек (рис. 45). Семейство траекторий имеет вид Ф = (90 При С = д отсюда получаются сепаратрисы, уравнения которых ф = ¦ Ч> = у f cos -е-. Сепаратрисы обозначены на чертеже буквой с.
§3] Фазовая плоскость 277 Рис. 45. Замкнутые кривые (обозначены буквой а) внутри ячеек, образованных сепаратрисами, отвечают колеба- колебательному движению маятника около положений рав- равновесия ip = 0, ±2тг, ±4тг,.... Для этих кривых точки if = ±тг, ±3тг,... являются седлами. Это тоже поло- положения равновесия, но неустойчивые. Физически они соответствуют вертикальному положению маятника выше точки подвеса (рис. 46). Траектории, расположенные вне ячеек (обозначе- (обозначены буквой S), отвечают вращательному движению ма- маятника. Например, если при (р = — тг задать положи- положительную скорость ф > 0, то маятник, сделав полный оборот, придет к положению (р = тг с той же скоро- скоростью, и движение будет продолжаться бесконечно (по причине отсутствия трения, не учтенного в уравне- уравнении (9)). ? 10. Найти период колебательного движения маятника. Л Период выражается формулой (из уравнения (9')) т = у/д cos (p + С' A0) где (ро = arccos (%) • Для колебательного движения —д<С<д и (ро, таким образом, меняется от 0 до тг. Каждой траектории типа а отвечает свое значение периода Т, причем Т —> оо когда (ро —>• тг. ? 11. Система кинетических уравнений, отвечающая химической реакции [5] а\ + a<i -Л 2а2, a<i + аз —>• 2аз, ai + аз —>• 2ai, имеет вид (и) к2и2и3
278 Теория устойчивости [Гл.6 (принцип написания кинетических уравнений объясняется в главе 1 (см. §2, задача 26). система имеет первый интеграл, выражающий закон сохранения вещества: и\ + и^ + и% = С = ^i(O) + 2/2@) + гхз(О) (проверьте, что это действительно так). Тогда молено исключить одну из переменных, например, щ, и получить U2=U^Z\U\—k2(C — U\—U2f[. A2) — U\ — ^2)], U2=U^Z\U\—k2(C — U\—U Начертить точки покоя и сепаратрисы на плоскости (u\,u<i). Л Система A1) имеет еще один первый интеграл (проверьте): и11и22и33 = D. Пользуясь двумя интегралами, находим семейство фазовых траекторий системы A2) (D — параметр семейства). При D = 0 имеем решения вида и\ = 0, и^ = О, U\-\-U2 = С(прямые). Точки покоя t4i@,0), ^-2@, С) и Лз(С, 0) системы A2) являются седлами, а прямые и\ = 0, u<i = 0, 2/1 + u<i = С являются сепаратрисами седел. Мы имеем, таким образом, ячейку из трех седел (рис. 47). Внутри A^i^2^-3 имеется еще одна точка покоя (определяемая приравни- приравниванием нулю выражений, входящих в A2) в квадратных скобках): ( \ к3С Из соотношения и\ + 112 + ^3 = С в силУ того, что г^ ^ 0, следует, что и\ + 1^2 ^ С. Таким образом, физический смысл имеют только траектории, находящиеся внутри треугольника, образованного сепаратрисами. ? \ с О Рис. 47. Рис. 48. 12 имеет . Убедиться, предельный что система = — Хо ( Л V \ цикл х\ /Г2 1 + ^2 = 2 2 2 2 2 а . •)- (а > 0), A3)
§ 3 ] Фазовая плоскость 279 Л Перейдем к полярным координатам: х\ = pcostp, x<i = р sin ip, в которых система A3) примет вид & = -р(р-а), J = l. Интегрируя уравнение относительно р, имеем: р = а _ ., где G = 1 — Се = . v—. Если р@) > а (траектория начинается вне окружности радиуса а), то С > 0, а если р@) < а (траектория начинается внутри окружности радиуса а), то С < 0. В первом случае р убывает при возрастании ?, а во втором случае возрастает. В обоих случаях р —>• а при ? —>> оо. Окружность р = а сама является траекторией. Таким образом, окружность х\ + х\ = а2 является предельным циклом, что и требовалось (рис. 48). Стрелками указано направление возраста- возрастания t. Это направление можно определить так, как это делалось выше в задаче 1. ? 3. Задачи для самостоятельного решения 6.3.1. Исследовать расположение траекторий на фазовой плоскости и установить тип точки покоя: а) х = 2х — у, у = х. б) х = х + 3?/, у = —6ж - бу. в) ж = — 2х — Бу, у = 2х + 22/. 6.3.2. Как изменится чертеж: к задаче 1в из раздела 2, если систему в задаче 1в из раздела 2 заменить системой &1 = Х1 + 2^2, ^2 = —4^1 — 3^2- 6.3.3. Найти точки покоя системы ж = ж2 - ?/, у = х2 - (у -2J и исследовать "в малом" расположение траекторий в окрестности каждой из точек покоя. 6.3.4. Нарисовать фазовый портрет уравнения E). 6.3.5. При описании малых колебаний маятника пользуются урав- уравнением 1ф + gip = 0. Для этого уравнения период колебаний для всех траекторий одинаков и равен То = 2тгл/^. Убедиться, что при малых (ро это значение То получается из формулы A0). 6.3.6. Определить тип точки покоя @, 0) из системы A3) и допол- дополнить на основании полученных результатов фазовый портрет рис. 48.
280 Теория устойчивости [Гл.6 6.3.7. Найти предельные циклы и исследовать их на устойчивость для системы х\- ±)(Jx{ +х\- 2)] - Ответы 6.3.1. а) Вырожденный узел (неустойчивый), б) Фокус (устойчи- (устойчивый), в) Центр. 6.3.2. Точка покоя остается устойчивым фокусом, но траектории будут закручены по часовой стрелке. Чертеж: бу- будет представлять собой зеркальное отображение рис. 37 относитель- относительно оси Х2- 6.3.3. (—2,4) — узел; A,1) — фокус; B,4) — седло; (—1,1) — седло. 6.3.4. Траектории расположены как указано на рис. 48. 6.3.6. Неустойчивый фокус. 6.3.7. Окружность радиуса 2 — неустойчивый предельный цикл, окружность радиуса 1 — устойчивый предельный цикл.
Глава 7 АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 1. Асимптотика решения дифференциального уравнения по независимому переменному 1. Основные понятия и теоремы 1°. Асимптотическая формула. Асимптотика. Пусть функция f(x) (например, решение дифференциального уравнения) в некоторой окрестности х = xq может быть представлена в форме f(x) = F(x) + г (ж), где вид F(x) известен, а про г(х) известно только то, что г(х) —>• 0 при х —>• xq. Тогда говорят, что выражение F(x) + r(x) является асимптотической формулой (или асимптотическим представлением) для f(x) в окрестности х = х$. Например, пусть fix) = cos x2. Тогда в окрестности х = 0 можно 1 + х написать f(x) = cos ж + г(х) (здесь F(x) = cos ж, r(x) = cosx2 - 2 — cos ж = cos ж—-—2 —> О ПРИ х —> 0). Мож:но для функции f{x) в окрестности х = 0 написать и другую асимптотическую формулу: /(ж) = —L_^ + п(ж). Здесь ri(x) = cosх ~ Такж:е стремится к нулю 1 + х 1 + х при х —>• 0. Таким образом, асимптотические представления могут быть разнообразными. Асимптотическая формула приобретает особенно важное значение, если f(x) неизвестна (например, решение не интегрируемого в эле- элементарных функциях дифференциального (или другого) уравнения), a F(x), отличающуюся от f(x) на малую величину, оказывается найти достаточно просто, тем самым легко находимое F(x) может служить приближенным выражением для неизвестной f(x) (или, как говорят, асимптотическим приближением) в окрестности xq. Надо иметь в виду, что если само F(x) —>- 0 при х —>- хо, то асимптотическая формула имеет смысл с точки зрения построения приближенного значения /(ж), только если стремление г(х) к нулю при х —>• Xq более высокого порядка, чем стремление F{x). Вместо выражений "асимптотическая формула", "асимптотическое представление", "асимптотическое приближение" употребляется более короткий термин — "асимптотика". F{x) называется главным членом асимптотики, а г(х) — остаточным членом.
;2 2" ' 282 Асимптотические методы [Гл. 7 Важно подчеркнуть, что нельзя говорить об асимптотике f(x) вообще, но молено говорить об асимптотике в окрестности некоторой точки: при х —>• Хо или х —>• оо и т. д. Например, для /(ж) = —- 1 + х в окрестности ж = хо = 0 молено взять Fix) = 1 (тогда г (ж) = —- 1 + X — 1 —>• О при х —>> 0), а при ж —>> ос значение F{x) = 1 уже не годится, и можно взять Fix) = Л-. (Тогда rix) = —^г - \ = ^т^—^г ^ 0 ж 1 +ж ж ж A +ж ) при х —>• сю. При этом -Р(ж) = —g-, а г(х) = О ( —^ ), так что выполнено Ж \ Ж / указанное выше требование на соотношение порядков малости .Р(ж) и г(ж).) 2°. Асимптотика при х —>- жо- В § 5 гл. 3 было построено решение ?/(ж) дифференциального уравнения в форме сходящегося степенного ряда — ряда Тейлора. Однако на практике не всегда удается вычислить все коэффициенты ряда, а например, по причине ограниченной гладкости у(х) — только N коэффициентов. Тогда фор- формула Тейлора дает k(x-x0)k+ г(х), ак=У ^ . A) к=1 Используя разные виды остаточного члена г(х) формулы Тейлора, можно получить в зависимости от ситуации, что r(x) = o(xN) (форма Пеано), т.е. мы получаем асимптотическую формулу для у(х) при х —>• хо. Точно так же мы получаем асимптотическую формулу для сле- следующего случая (см. A2) из § 5 гл. 3), где хо = 0: N ) N) j) = o(xN). B) к=0 Располагая информацией о непрерывности ?/ЛГ+1) в окрестности Хо, можно получить для г{х) более точную оценку, например г{х) = = 0{xN+1) (форма Лагранжа). Обратим внимание на один существенный момент. Стремление к нулю остаточного члена в формуле Тейлора при фиксированном х и п —>- ос доказывает сходимость степенного разложения к у(х). При этом, очевидно, необходимо существование у у(х) производных любого порядка п. Стремление к нулю того же остаточного члена при фиксированном п и х —>• Хо дает асимптотическую формулу. Еще раз подчеркнем, что если функция допускает дифференцирование только до некоторого порядка, то говорить о сходимости ряда нельзя, а о построении асимптотики возможно.
§ 1] Асимптотика решения по независимому переменному 283 3°. Асимптотика при х —>• оо. Мы рассмотрим этот вопрос для линейного уравнения второго порядка. 1). Пусть задано уравнение =0, где R(t) чОи порядок малости не ниже -^^ (а > 0). Тогда уравнение обладает фундаментальной системой решений вида и = е±н + r(t), r(t) = o(l) (т.е. r(t) —> 0 при t —> оо). Главный член этой асимптотики дает фундаментальную систему решений для уравнения с постоянными коэффициентами и + и = 0. Молено дать более точную оценку r(i), а именно: г = О( -^zrr ), если R = О ( ту j. 2). Пусть задано уравнение C) Q{x) > 0 при ж ^ а. Замена переменных t = Q(?) ^?? 2/ = —ь^ ПРИВОДИТ уравнение к виду J Q 1 Q/r я Q'2 Если выраж:ение R = ^ ^~з + 1 ^х как Функция t удовлетворяет тре- Q Q бованию пункта 1), то существует фундаментальная система решений для уравнения A) следующего вида: -Л Q(x)dx ИЛИ V2 = —172 [sin 3). Для уравнения у" - Q2{x)y = 0, Q(x) > 0 при х ^ а
284 Асимптотические методы [Гл. 7 существует фундаментальная система решений вида ± fg(a;)da; 1 "* (Л I (Л\\ (Г\ У = —Г72"е а \ * °\ ))' \У) Можно дать более точную оценку остаточного члена оA) в форму- формулах E) и F). Согласно замечанию в конце 1°, величина оA) имеет порядок О ( ^гт ), если R = О (-k- \. Эти оценки нетрудно пересчитать и выразить через переменное х. 2. Примеры решения задач 1. Написать асимптотические формулы при х -Л оо для фунда- фундаментальной системы решений следующих уравнений: а) у" + х4у = О, б) у" + е2ху = О, в) ху" + 2у' + у = 0, г) {х2 + 1)у" - у = 0. Л а) Здесь Q2 = х4, Q = х2. Согласно E) имеем (полагая а = 0) X X I ±г х2 dx ±г х2 dx- ( ±г \ х2 dx ) n,2 = h[e * +оA)] = I [e Jo V Jo 4o(l)] 1 expf±z x2 dx) дает постоянный множитель. Поэтому при нахожде- о нии фундаментальной системы решений интеграл можно брать от 0. Итак, 2,12 = 1Ге±*Т+0AI. Уточним порядок оA). Имеем Q = ж2, Q' = О(х), Q" = 0A), t = Q4
1] Асимптотика решения по независимому переменному 285 б) Имеем Q2 = е2х, Q = ех, Q' = ех, Q" = ex,t = 0(ex); Q3 е3х е2*' Q4 е4х е Таким образом, 2/1 = e~2[Cosex +оA)], 2/2 =e[sine' +o(l)], где в) Здесь сначала заменой переменной у = аи избавимся от первой производной. Имеем у' = а'и + агг;, 2//; = a"iz + 2a;iz; + аи", ха"и + 2ха'и' = ага" + Bжа' + 2а)гг; + (ха" + 2а; + а)гг = 0. Выберем а из уравнения 2ха' + 2а = 0, которое дает a = ^. Тогда относительно ?х получим уравнение и" + 1« = 0. Итак, Q2 = I О = -1=, t = Q4 3±2*1/2*+0A)]5 а тогда
286 Асимптотические методы [Гл. 7 г) Здесь °2(ж) = ?тт' Q{x) = тФп = 0(ж)' Поэтому в формуле D) R = 0A), т.е. не мало, и пользоваться формулой F) нельзя. Попробуем сделать замену ? = —. Тогда поиск асимптотики при х —>> ос равносилен поиску асимптотики при ? —>> 0. После указанной замены уравнение примет вид ей+2Цй - ^р=о. Для этого уравнения молено воспользоваться формулой B), где Л — корень определяющего уравнения Л2 + (по — 1)А + bo = 0 (см. гл. 3). В данном случае а0 = 2, Ьо = —1, т. е. Л2 + Л - 1 = 0. Отсюда Л = -1±>/5 Таким образом, 1/1,2 =Г^A +0@) или 2/i,2=a?~2-(l + 0(|)). П 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы 7.1.1. Написать асимптотические формулы при х —>• оо для фун- фундаментальной системы решений следующих уравнений: а) у" - х2у = О, б) у" + X2?/ = О, в) 2//; - ху = О, г) у" - 2(ж - 1J/' + ж2?/ = 0. Ответы 7.1.1. а) 2/1>2 = агЬ±я;3/2[1 + О(ж-2)], б) г/i = x"^cos^ + O(ar"f), 2,2 = х~2 sin ^ + О(я;-2), в) 2/i,2 = яе±зх*/2A + О(я?-3/2)), г) 2/1,2 = (ж-1J 1 BжK/2 ^^[±г^^ О(
§ 2] Асимптотика по параметру. Регулярные возмущения 287 § 2. Асимптотика по параметру. Регулярные возмущения 1. Основные понятия и теоремы Мы видели выше, что решение дифференциального уравнения может быть функцией не только ж, но и параметров: /(x,/i). Поэтому можно говорить об асимптотике по параметру в том же смысле, как только что говорилось об асимптотике по х. Только теперь уже и F, и г являются функциями х и \i. Помимо вопроса о стремлении г(х, /л) к нулю (например, при \i —>• 0) и вопроса о порядке этого стремления возникает новый вопрос о равномерности или неравномерности этого стремления относительно х. 1°. Асимптотика нулевого порядка. В § 4 главы 1 была приведена теорема о непрерывной зависимости решения y{t,ii) начальной задачи § = /(*, г/, м), A) y\t=t0 = У° B) от параметра fi. Независимую переменную будем обозначать не че- через ж, как в § 1, а через t, как в § 4 гл. 1. Пусть /iQ = 0 и параметр /i меняется в малой окрестности нуля, т. е. как говорят, является малым параметром 1). Тогда из теоремы следует, что в этой окрестности для решения y(t, fi) справедлива фор- формула: r(t,/i), C) где yo(i) есть решение задачи ^ = Ж 2/о,0), yo\t=to=y°, D) a r(t, //) => 0 при II -> 0, когда \t - to\ ^ Н. Повышая требования к /(?, у, //), можно оценить порядок стремле- стремления r(t,/i) к нулю и выразить это следующей теоремой: Теорема 32. Пусть в области G функция /(^,y,/i) обладает непрерывными частными производными по у и /i. Тогда r(t, ji) = O(/i) (здесь и в дальнейшем символом O(fia), где fi —>- 0, будем обозначать ) fi может меняться в окрестности любого значения /io; тогда заменой v = ц — цъ этот случай сводится к изучению зависимости от малого параметра v.
288 Асимптотические методы [Гл. 7 любую величину, модуль которой не превосходит С//а, где С — не зависящая от \± постоянная). Формула C) представляет собой асимптотическую формулу (или асимптотическое представление) для y(t, fi) при fi —>> 0. Говорят также: формула C) дает решение с асимптотической точностью О(//). Выражение yo(t) является главным членом, а г(?, //) — остаточным членом асимптотики функции y(t,/i). Остаточный член r(t,/i) —>> 0. Теорема 32 уточняет: г (?,//) = O(fx). Построенная асимптотика назы- называется асимптотикой нулевого порядка. Практический смысл полученного заключается в том, что yo(t) при малых \i может служить приближенной формулой для y{t, \i) и, в то же время, yo(i), как правило, легче эффективно построить или так или иначе исследовать потому, что задача D), как правило, проще исходной задачи A), B). 2°. Асимптотики высших порядков. Если наложить на f(t,y,fi) более сильные требования гладкости, то можно получить асимптотики с остаточными членами более высо- высокого порядка малости. Определим величины yi{t) путем следующего алгоритма. Подста- Подставим в A), B) выражение для у в виде формального ряда у = yo(t) + f^yi(t) + ... E) (термин формальный ряд означает, что, не интересуясь его сходимо- сходимостью, мы считаем, что с ним можно проделывать все указанные в A) действия. Фактически это просто удобная формулировка алгоритма определения yi). Приравнивая после подстановки члены с одинаковы- одинаковыми степенями /i в левой и правой частях уравнения, а также в началь- начальных условиях, получим: -|г = Ж 2/0,0), 2/о(*о) =У°, -j!f = *?(*> 2/о, 0J/1 + -J-(t, 2/o,0), 2/1 (*о) =0, F) (It Оу Of! Замечание 1. Начиная с г = 1, уравнения для у{ являются линейными. Уравнения для уп мы детально не выписываем, отметим, однако, что они имеют вид где неоднородность Фп зависит только от yi предшествующих номе- номеров (г < п). ?
§ 2] Асимптотика по параметру. Регулярные возмущения 289 Замечание 2. Ряд E) с коэффициентами, определенными по указанному алгоритму, является рядом Маклорена по параметру /л для y(t,ii), т.е. Vi{t) = jj^—y(t,ti) . ? 11 и/Л ц=0 Теорема 33. Пусть в области G функция f(t,y,fi) обладает непрерывными частными производными по у и \i до п + 1 порядка включительно. Тогда при \t — to\ ^ Н y(t, /i) = 2/o(t) + //2/i(t) + ... + finyn{t) + O(/in+1). G) Формула G) называется асимптотической формулой для y(t,/i) порядка п или асимптотикой порядка п. Ряд E), частичная сумма которого согласно G) отличается от y(t,/л) величиной O(/in+1), называется асимптотическим рядом для y(t,fi). Вообще говоря, ряд E) может и не быть сходящимся. Чтобы утверждать сходимость ряда E) к у(х,/л), нужно исследовать разность между y(t,/i) и частичной суммой ряда, как функцию п, при фиксированном /i и п —>- оо. Оценка для этой разности, которая дается теоремой 33, предполагает фиксированное пи/i^O. Согласно теореме 33 эта разность не превышает C/in+1, но С, вообще говоря, зависит от п, поэтому теорема 33 информации о сходимости не несет. Замечание 3. Теоремы, аналогичные приведенным выше, спра- справедливы и для случая, когда у является вектором (в частности, для уравнения второго порядка). ? Замечание 4. Вместо терминов "асимптотическая формула" ("асимптотическое представление") и "асимптотический ряд" ("асим- ("асимптотическое разложение") часто употребляется краткое название "асимптотика". ? Поясним термин "регулярные возмущения", входящий в заглавие данного параграфа. Имеющиеся в уравнении малые члены часто называются возму- возмущениями. В связи с этим уравнение A) называется возмущенным уравнением, а уравнение D) — невозмущенным уравнением. В представленном в данном параграфе случае f(t,y,/j,) являет- является достаточно гладкой функцией по всем аргументам, в том числе и по параметру /л, а решение рассматривается на конечном отрезке изменения t. По этой причине асимптотика решения имеет степенной по /л (регулярный) характер, и рассматриваемое в данном параграфе возмущение называется регулярным. В следующем параграфе мы увидим, что если не выполнено тре- требование гладкости правой части при малых /л или независимое пе- переменное меняется на большом (например, порядка 1//л) отрезке, то 10 А. Б. Васильева, Г. Н. Медведев
290 Асимптотические методы [Гл. 7 зависимость решения от \± будет совершенно иной. Возмущения, не являющиеся регулярными, принято назвать сингулярными. 2. Примеры решения задач 1. Как изменится алгоритм F), если начальное значение у0 тоже зависит от \i (регулярно): у0 = ?/0(/х)? Л Нужно ?/0(/i) представить также в виде формального ряда по степеням \i\ г/°(//) = у%+цу\ + ... Дифференциальные уравнения в F), определяющие у^ останутся теми же, но изменятся начальные условия для них, а именно: Формула G) и в этом случае остается справедливой. ? 2. Получить справедливую на отрезке [0,Т] асимптотическую формулу с остаточным членом O(/i2) для решения y(t,fi) задачи А Это уравнение Риккати, решение которого эффективно получить не удается. Функции же yo(t) и y±(t) в F) строятся квадратурами, а именно: и, следовательно, г }a(t)dt yo()^() dr. о Далее, dt и, следовательно, Г о }a(t)dt y±(t) = J c(rJ/0(r)e- dr. 0 Согласно G) имеем y(t,/i) = yo(t) + fiyi(t) + O(/i ). П 3. Задана начальная задача х = j — j;, x(l) = 1, жA) = 6. Найти
§ 2] Асимптотика по параметру. Регулярные возмущения 291 Л Согласно замечанию 3 это то же самое, что найти у\ = х\ в F) (в нашем случае у = ж, /i = Ъ — 1). Положим х = х$ + х\(Ъ — \) + ... Подставляя в уравнение и дополнительные условия, имеем 'хо + x\(b- 1) 2 _ 2 — t жоA) + i?i(l)(b - 1) + • • • = Ь = 1 + {Ъ - 1). Отсюда хо = j — -?-, жоA) = 1, жоA) = 1 и^ следовательно, жо = = t (это получено простым подбором). Далее, х± = -^-жь xi(l) = О, i?i(l) = 1, т.е. уравнение является уравнением Эйлера t2x\ — 2х\ = = 0, общее решение которого имеет вид х\ = At2 + Bj. Удовлетворяя дополнительным условиям, получим А = — В = тт и, следовательно, Ж1 = i(?2 - |). Итак, дх дЪ ? В виде G) можно искать не только решение начальной задачи, но и задач с другими дополнительными условиями, например, крае- краевых: в частности, задач о нахождении периодических решений. При построении асимптотического ряда для периодического решения его члены определяются теми же уравнениями F), но в качестве дополни- дополнительных условий для каждого члена берется условие периодичности. Действительно, если y{t,ii) — периодическая функция, то ее любая производная по \i будет периодической функцией. Такое рассуждение справедливо, если известно, что периодическое решение существует. Однако, пользуясь асимптотикой, можно доказать существование пе- периодического решения ?/(t,/i), но это выходит за рамки нашего курса (см., например, [13]). 4. Найти 2тг-периодическое решение уравнения х + Зх = 2 sin t + fix2 с точностью O(fi3) (в предположении его существования). Л Положим х = хо + fixi + /12Х2 + • • • Для получения остаточного члена О(/13) нужно найти три члена разложения: жо, жх, Ж2- Имеем хо + Зжо = 2sin?. ю*
292 Асимптотические методы [Гл. 7 Общее решение имеет вид жо(О) = sin? + С\ё^1 + Съе>~ - Из условия 2тг-периодичности: xq = ЖоBтг), #о@) = ЖоBтг) находим С\ = = G2 = 0 и, следовательно, жо = sin?. Далее, х\ + 3^1 = ж2, = cos2 ?. Отсюда, пользуясь условием 2тг-периодичности для х±, получим х\ = — \~\ cos2t. Наконец, Х2 + 3^2 = 2^q^i = 2 cost sin 2?. Отсюда #2 = = A sint — A sin3t. z о Итак, 5. Уравнение, описывающее изменение силы тока в цепи, куда включено сопротивление R, катушка самоиндукции L и конденса- конденсатор С, под действием 2тг/с<;-периодической ЭДС имеет вид (см., на- например, [11]) LS +R% + bI = Ecosujt (8) Найти ^-периодическое решение / с точностью 0{R2) в случае малого сопротивления R *). Какова должна быть частота ш выну- вынуждающей силы, чтобы можно было применить метод, которым реше- решена задача 4? Л Ищем / = /q + RI\ + ..., ограничиваясь двумя членами. Тогда LIq + -kl$ = ??оС08^- Отсюда /о = ^coso;? + C\ cos(t/VLC) + + Сг sm(t/y/LC). Здесь ^cosa;^ есть частное решение неоднородного уравнения, и его можно искать в таком виде, если ои ф , . Условие периодичности с периодом 2тг/о; дает С\ = С2 = О, А = Е/1 -к — Lou2) и, следовательно, /о = \Е/( -к — Lou2) cos out. Далее, LI\ + -kli = Г if 1 o\l = 74a;sina;t и, следовательно, /i = LAa;/( A — La; j smut. Итак, j _ E cos cjt 1 Условие применимости метода: ои ф 1/y/LC. П 6. Найти точное выраж:ение для периодического решения уравне- уравнения (8) с периодом 2тг/о; и убедиться, что полученное в предыдущей задаче выражение /о + RI\ действительно отличается от точного на х) Считается, что уравнение приведено к безразмерной форме и, таким образом, все входящие в него параметры безразмерны.
§ 2] Асимптотика по параметру. Регулярные возмущения 293 величину 0(R2) при малых R, если со ф 1/л/ЬС. Как ведет себя решение при малых R, если со = l/\/LC? А Уравнение (8) является линейным с постоянными коэффициен- коэффициентами. Корни характеристического уравнения равны _ -R ± у'Я2 - 4L/C Al'2 - 2L * Очевидно, при Д ^ 0 имеем Ai?2 ^ =Ьго; и решение периода 2tt/uj молено искать в виде / = A cos cot-\-В sin cot. Подстановкой в уравнение находим ^ E~U L) EujR Л= \C ) в= AJ' и2R2 Отсюда непосредственно видно, что если со ф 1/vLC\ то / = Iq Если лее о; = 1/y/LC, то / = ^^ sino;^ и является неограниченным при Д —>> 0 (явление резонанса). П Замечание 5. Возникает вопрос, почему в задаче с условиями периодичности для написания представления D) требуется еще неко- некоторое дополнительное условие по сравнению с начальной задачей. Это связано с тем, что задача о периодическом решении относится к кра- краевым задачам, а, как известно, для существования решения краевой задачи нужно специальное условие, заключающееся в отсутствии у однородного уравнения нетривиальных решений, удовлетворяющих тем лее краевым условиям. ? 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы 7.2.1. у' = 4/ix — г/2, г/A) = 1. Найти выражение для y(x,/i) с точностью О(/13). 7.2.2. у' = еу~х + fiy, г/@) = — fi. Найти выражение для y(x,fi) с точностью О(//3). 7.2.3. у' = 2х + аи/2, 2/@) = /i - 1. Найти |^|м=о- 7.2.4. Для системы = х0, 2/A) = 2/о дх дуо1 найти -t— |Жо=з, Уо=2-
294 Асимптотические методы [Гл. 7 7.2.5. х + х2 = 1 + fisint. Найти два 2тг-периодических решения с точностью О([12). 7.2.6. Найти 2тг/с<;-периодическое решение уравнения (8) с точно- точностью О (-^2 j в случае большого С. При каких ии применим метод? Ответы 7.2.1. р= 1+(i») AY <?Z <?6 о / 7.2.2. у = х - и(х + 1) + ^(ех - х2 - 2х - 1) + 0(и3). 7.2.3. 1. 7.2.4. |^ Жо=з = ?2 In t + 2t2 — 2t. Указание: найти yo точное решение второго уравнения и результат подставить в первое. 7.2.5. Указание: решение ищем в виде х = xq + /ixi + /i2^2 + O(/i3), где Жо + ^о = 1. Это уравнение, очевидно, имеет два 2тг-периодических решения хо = 1 и жо = — 1. Для каждого из этих двух значений находим следующие члены разложения: х = 1 + /ismt — ^f (I + + cos2^) + O(/i3), (ж = -1 - ^sin^ + 3e(l - 5 cos2 22 —2T2" snl<^ + О ( -^2 ). Метод применим при любых со. Cuj{uj2L2 + R2 3. Асимптотика по параметру. Сингулярные возмущения 1. Основные понятия и теоремы 1°. Метод пограничных функций. Подробное изложение это- этого метода можно найти в [1], [2]. Рассмотрим систему уравнений %,z), %=f(t,y,z), A) где fi > 0 является малым параметром. Поставим начальную задачу z(to,fi) = z°, y(to,fi) = y°. B) Правые части F и / будем предполагать непрерывными вместе с част- частными производными по у и z до п +1 порядка включительно в области Я = {(t,y) eD = {t°^t^T,\y\^ b}, \z\ < d}.
§ 3] Асимптотика по параметру. Сингулярные возмущения 295 Система A) согласно сказанному в конце раздела 1 предыдущего параграфа не принадлежит к регулярно возмущенным, так как, если первое уравнение из A) записать в разрешенном относительно Щ. ви_ де, то в полученном уравнении в правой части окажется Ff/л, и, таким образом, эта правая часть при /л —} О имеет разрыв с обращением в сю. Система A) является сингулярно возмущенной системой. В этом случае асимптотическое разложение решения z(t, /л), y(t, /л) нельзя искать в виде E) из § 2, а нужно искать в виде суммы двух рядов z = z(t, /л) + П(т, /i), у = y(t, /л) + Q(t, /л), C) где z(t^) = zo(t)+vz1(t) + ... D) — ряд типа D), так называемый регулярный ряд, а П(т, /л) — тоже степенное разложение по /л, но с коэффициентами, зависящими от г = = (t-to)/fi: П(т,//) = П0(т)+/Я11(т) + ...; E) этот ряд называется пограничным рядом, а члены его — пограничными функциями. Точно такую же форму имеют y(t, /л) и Q(r, /л), но только Q начинается с Qi(r), a Qo(r) = 0. Необходимость введения таких дополнительных по сравнению с регулярным случаем рядов объяс- объясняется тем, что при помощи одного только регулярного ряда нельзя удовлетворить обоим начальным условиям B). Так, согласно описан- описанному в § 2 алгоритму построения регулярного ряда, мы получим для г = 0 0 = F(t,yo,zo), zo(to) = z°, Поскольку первое из написанных уравнений не является дифференци- дифференциальным, то удовлетворить выписанному начальному условию для го, вообще говоря, не удается. Мы здесь не будем описывать подробно алгоритм построения всех членов разложений C) и отсылаем к [1]. Опишем, как строятся глав- главные члены этих разложений, а именно, zo, у о и По- Члены z"o, у о находятся из системы F), причем надо сохранить начальное условие только для ^/-компоненты: O = F(t,yo,zo), ^ = f(t,yo,zo), уо(*о)=У°. G) Чтобы найти отсюда го, Уо, надо сначала разрешить уравнение F(t, у о, го) относительно z$. Так как уравнение нелинейно, то решений может быть несколько. Как же выбрать из них то, которое нужно? Предположим, что уравнение F(t,y,z) = 0 имеет несколько решений (корней) z = (p(t,y), которые можно занумеровать: (fi(t, у), <?>2(^ у)ч Будем считать, что в области D эти решения изолированы. Геомет- Геометрически они изобразятся непересекающимися поверхностями в про-
296 Асимптотические методы [Гл.7 странстве (t, у, z) (рис. 49). Будем считать, что функция F меняет знак при переходе через каждую такую поверхность. Эти знаки указаны на рисунке. Тогда на "соседних" поверхностях ipi знаки производной ^—(t,y,(pi(t,y)) будут различны. Отберем те <^, для которых Это условие будем называть условием устойчивости корня. На рис. 49 устойчивыми являются корни (fi(t,y) и (f4{t,y). Окончатель- Окончательный отбор делается по положению начальной точки Мо(?о> У°> z°)- Пусть точка Mq лежит в области (t,y) Е D, (ps(t,y) < z < Рис. 49. (на рис. 49 эта область заштрихована). Эта область называется об- областью влияния устойчивого корня (pi(t,y). У каждого устойчивого корня (fi(t, у) есть своя область влияния. Так, если выше поверхности (f4{t,y) имеется (pe(t,y) (неустойчивый корень), то областью влияния устойчивого корня (f4{t,y) является область (t,y) ? D, где (f2(t,y) < < z < (pe(t,y); если же выше (f4{t,y) корней нет, то областью влияния (f4(t,y) является неограниченная область. Итак, чтобы найти (fo(t) и ^о(^) наложим требование МПФ (требо- (требование метода пограничных функций): пусть некоторый корень z = = (f(t,y) уравнения F(t,y,z) = 0 является устойчивым, т. е. для него выполнено требование (8), и начальная точка Mo(to,y°, z°) лежит в его области влияния. Тогда выбираем именно этот корень z = (p(t, у). Далее подставляем z = ip(t, у) во второе уравнение G) и, пользуясь начальным условием У о (to) = У°, определяем его решение yo(t) (пусть оно существует на всем сегменте t° ^ t ^ Т). Определив yo(t), найдем z~o(t) = (p(t,yo(t)).
§3] Асимптотика по параметру. Сингулярные возмущения 297 Пограничная функция По (г) строится следующим образом. Реша- Решаем начальную задачу dz _ dr ~ , У 0 ~\ z) z\T=o = О = z (9) Это уравнение получается из первого уравнения A), если в нем по- положить слева t = to -\- /it, а справа t = to, у = у0. Тогда По (г) определяется формулой По (г) = г(т) — zo(to)- Заметим, что z = ^о(^о) = у{^о,У°) является точкой покоя урав- уравнения (8), а условие устойчивости обеспечивает экспоненциальное стремление к нулю разности z(r) — ^о(^о)? иными словами, |По(т)| < < Се~*т = Се~*(г~г°^^, где С > 0, к > 0 — некоторые постоянные. Пограничная функция По (г) очень быстро затухает по мере удале- удаления t от начального значения to- Роль По (г) заключается в том, чтобы обеспечить выполнение начального условия z(to,/J>) = z° комбинацией ;го(?)+ГЕо(т) (как было видно выше, одно ^о(^) не мож:ет удовлетворить этому условию). Теорема 34. Если в области Н функции F(t,y,z) и f(t,y,z) непрерывны вместе с частными производными первого порядка по у и z и удовлетворяется требование МПФ, то при достаточно малых /1 > 0 на сегменте 0 ^ t ^ Т существует семейство решений z(t,/i), y(t, fi) задачи A), B), и для него справедливо следующее асимптоти- асимптотическое представление: z(t,fi) = zo(t) +П0(т) где \ri(t,fji)\ < С ii {или (Ю) Рис. 50.
298 Асимптотические методы [Гл. 7 Замечание 1. При to < t\ ^ t ^ T в (9) можно отбросить По (г) и написать z(t,fi) = z~o(t) + ?i(?,/i), причем ?i(?,/i) имеет та- такую лее оценку, как ri(?,/i). Таким образом, По (г) играет роль лишь в малой окрестности t = to, которая называется пограничным слоем. В качественном отношении поведение z(t, /i) характеризуется тем, что в пограничном слое z(t, /i) быстро изменяется от значения z° до значения, близкого к z~o(to), а далее уже относительно медленно меняется в окрестности z~o(t). Примерный вид интегральной кривой, начинающейся в точке Мо, изображен на рис. 50. ? Замечание 2. Подчеркнем важность условия \± > 0. Если \± < < 0, то теорема справедлива на некотором сегменте [Т, to] левее точки t = to- В этом случае можно рассматривать задачу и при t ^ to. Но тогда при построении асимптотики корень z = <p(t,y) выбирается из условия устойчивости, отличающегося от (8) тем, что знак нера- неравенства изменен на противоположный. Условие устойчивости также изменит знак на противоположный, если \i > 0, но решение рассмат- рассматривается при t ^ to- ? 2°. Метод ВБК. 1). Рассмотрим уравнение вида li2y" + Q2(x)y = 0. A1) Метод, описанный в пункте 1, здесь не применим. Действительно, записав A1) в виде системы типа A), а именно в виде //V = -Q2(x)y, yf = z замечаем, что в этом случае F(x, у, z) = —Q{x)y не зависит от z и тем самым из уравнения F = 0 нельзя выразить z в виде z = (p(x,y). Если решение системы A) характеризуется наличием пограничного слоя, то качественный характер решения уравнения A1) иной: решение носит колебательный характер с частотой l//i, что можно продемонстри- продемонстрировать на простейшем примере fi2y" + у = 0: любое решение этого уравнения является линейной комбинацией cos ^ и sin д. Так как уравнение A1) — линейное, то достаточно построить асимптотику его фундаментальной системы решений. Теорема 35. Пусть функция Q(x) > 0 и трижды непрерывно дифференцируема на [а, Ь]. Тогда на [а, Ь] существует фундаменталь- х) По именам ученых Вентцеля, Бриллюэна и Крамерса. Говорят также ВКБ-метод.
§ 3] Асимптотика по параметру. Сингулярные возмущения 299 нал система решений уравнения A1) вида 2/1 = [ У2 = причем 6i(x,fi) = Замечание 3. Формулы A2) дают пример асимптотики более сложного вида, чем сумма главного и остаточного члена, как было в рассмотренных выше случаях. ? Замечание 4. Для уравнения ц2у" — Q2(x)y = 0 справедливы формулы, аналогичные A2) и отличающиеся от A2) тем, что г надо заменить на 1. ? 3°. Метод усреднения. Рассмотрим другой класс сингуляр- сингулярно возмущенных задач, к которому относятся многие задачи теории нелинейных колебаний. Решения этих задач изучаются на промежутках времени, больших по сравнению с периодом колебаний. Например, на промежутках по- порядка 1. При этом оказывается, что несмотря на регулярную зависимость правых частей системы уравнений от параметра, метод § 1, пригодный (и в этих задачах тоже) для конечного отрезка [0;Т], становится неприменимым для большого промежутка [0; ^]. Поэтому такие задачи также относят к сингулярно возмущенным. Весьма общим примером такой задачи является следующая: хг = и, х@) = uf = -x + f() соответствующая уравнению колебаний с малыми возмущениями. В основе метода усреднения лежит разделение движений на мед- медленные и быстрые. При \i = 0 система A3) имеет периодическое решение х = у\ cos(t + 2/2M и = —у\ sin(t + 2/2M 2/ъ Vе! — const. При fi ф 0 полагают х = y±(t) cos(t + 2/2(^))? и — ~Vi(t) sin(t Ч- 2/2(^)) и для у = {г/i, у2} получают задачу вида &=»Y(t,y), 2/@) = 2/°, A4) в которой Y(t,y) периодически зависит от аргумента t. Переменные 2/i (t) и 2/2 {t) оказываются медленными, так как у[ ~ /i, yf2 ~ /i. Таким
300 Асимптотические методы [Гл. 7 образом, у\ играет роль медленной амплитуды, а у2 — роль медленной фазовой добавки к быстрому времени t (i = 1). Задаче A3) сопоставляют так называемую усредненную задачу % v°, A4') где Y(rj) — среднее значение Y(t,rj) по явно входящему времени t: т Y(r])= lim I \Y(t,r])dt A5) О [т] при интегрировании считается параметром). Если Y(t, rj) периодич- периодична по t, то Y(rj) — нулевая гармоника Фурье. Следующая теорема содержит условия, при которых решения за- задачи A3) и соответствующей усредненной задачи A4) оказываются близкими на промежутке 0; ^ . Сформулируем ее в простейшем скалярном варианте. Теорема 36. Пусть: 1) в области \у\ ^ Ъ, t ^ 0 функция Y(t, у) непрерывна и ограничена вместе с йг~, ду ' 2) существует среднее значение A5), 3) среднее значение производной ^?f- равняется производной от среднего значения Y, т. е. о 4) предельные переходы в A5) и A6) имеют место равномерно относительно rj, где \г)\ ^ Ъ, 5) на сегменте 0 ^ t ^ ^ существует решение rj(t, /i) усредненной задачи A4), причем —Ъ + 5^ rj(t, fi) ^ Ъ — 5. Тогда на сегменте 0; ^ существует решение y(t,/i) задачи A3) и y(t,iJ,) = r/(t,ц) + r(t,/i); г^е r(t,/i) —>• 0 при /i —>• 0 равномерно относительно t G 0; ^ . 2. Примеры решения задач 1. Пусть задана начальная задача
§3] Асимптотика по параметру. Сингулярные возмущения 301 Построить плоский аналог картины, изображенной на рис. 50. По- Построить поле направлений при малых \i > 0. Сделать набросок инте- интегральной кривой, выходящей из точки Мо, принадлежащей области влияния одного из устойчивых корней. Л Поле направлений представлено на рис. 51. Стрелками обозначе- обозначено направление возрастания t. Когда \i мало, то касательные к инте- интегральным кривым почти вертикальны всюду за исключением малых окрестностей кривых z = (fi(i). На самих этих кривых касательные горизонтальны, так как F(t, (pi(i)) =0. ? 2. Построить с точностью O(fi) (т.е. с остаточным членом O(fi)) асимптотику решения z(t, fi) следующей начальной задачи на отрезке 1 ^ t ^ 2: Л Система не содержит переменного у, и вместо пространствен- пространственной картины (рис. 50) будем иметь плоскую картину на плоскости t, z (рис. 51). % Мп t \ 1 \ ft \ \ / \ \ / \ + \ * -^-" ——--*¦ + / / \ ¦ \ <» - — вш 1 1/2 1 Рис. 53. Рис. 51.
302 Асимптотические методы [Гл. 7 Из уравнения F = z2 — t2 = 0 имеем ipi = —t, (f2 = t (рис. 52). При этом ^-\z=_t = 2z|^=_t = —2? < 0, т.е. корень (р± устойчив, a (f2 условию устойчивости не удовлетворяет. Таким образом, zo(i) = —t. Далее, имеем § = ?-!, r = (t-l)/n, 1@) =0. Отсюда z = е 2М— > — 1 и, следовательно, Итак, График соответствующей интегральной кривой изображен на рис. 52. ? 3. Построить с остаточным членом O(fi) асимптотику решения z(t,fi) той же задачи A7) на отрезке 2; 1 • Л Согласно замечанию 2 к теореме 34 условие устойчивости из- изменит знак на противоположный и устойчивым корнем будет (f2 = = t. Проведя выкладки, подобные тем, что в предыдущем примере, получим, что на i; 1 График изображ:ен на рис. 53. П Замечание 5. Из соображений качественного порядка график должен пересечь прямую z = t. В точке пересечения касательная горизонтальна, так как F = 0. В этом состоит отличие от случая, разобранного в задаче 2. Построенная асимптотика указанной особен- особенности не дает. Для изучения этой особенности надо построить z\{t). ? 4. Рассмотреть начальную задачу для линейного уравнения Z\t=t0 — z 5 где a(t), b(t) непрерывны вместе с производными и a(t) < 0. Построить описанными методами асимптотическое представление с остаточным
§ 3] Асимптотика по параметру. Сингулярные возмущения 303 членом O(jii). Написать точное выражение для решения и получить из него асимптотическое представление для решения с остаточным членом O(/i). Сравнить с представлением A0). А Точное решение имеет вид I \a(n)dn z(t,fi) = z°e *o + to Интегрируя по частям, находим l * l * . . — | a(ri) dri ) a(t) a(t0) |(|) < dC. A8) В силу a(t) < 0 последнее слагаемое есть O(/i), т. е. искомое представ- представление получено. Формула же A0) дает Разница с A0) заключается в различии экспонент. ? Замечание 6. Различие представлений A8) и A9) не содержит противоречия, так как разность <»' имеет порядок O(/i). ? 4а. Доказать, что А = O([i), где А определено формулой B0). А Непосредственная проверка этого факта связана с некоторыми вычислениями. В силу условия a(t) < 0 имеем inf a(i) = -a < 0. [*о,Т] Выберем ?i = ?о — ^/iln/i. Тогда при t ^ t± обе экспоненты в B0) не превосходят е-?(-Ь*1п")=е1П/'=^ и, следовательно, А = O(/i).
304 Асимптотические методы [Гл. 7 Пусть теперь t ^ t\. Имеем Здесь a(to)\ I \[a{ri)-a{to)]d-n = е @) так как -—~—— модулю. А тогда , т.е. показатель экспоненты мал по 1 t - J[a(r/)-a(to)]dr/ - 1 <с± где С — не зависящая от \х постоянная. Поэтому (все не зависящие от \i постоянные обозначаем одной буквой С, как это сделано в [18], стр. 135). Нетрудно установить, что правая часть этого неравенства есть О (/л). Действительно, найдем ее максимальное значение известными методами анализа. Имеем tmax — to = -^-, и, следовательно, максимальное значение правой части есть Итак, и для t Се v i, и для t а (л t\ имеем А = O(/i), что и требуется. ? 5. Материальная точка массы т движется в направлении оси х под действием упругой силы и силы трения. Написать приближенное (в асимптотическом смысле) выражение для закона движения в слу- случае малой массы. При t = 0 известно положение точки и ее скорость. Л Уравнение имеет вид [10] тх + ах + кх = 0, t=o = xf\t=o = х1. B1) Это сингулярно возмущенное уравнение второго порядка. Перепишем его в виде системы типа A) mz = — olz — X —
§ 3] Асимптотика по параметру. Сингулярные возмущения 305 Применим формулу A0). Имеем 0 = -az0 - kx0, z0 = -^хо, ^0 = ~^о- Здесь го = —^хо — единственный корень, и притом устойчивый, так как а > 0. Получим х0 = х°е <** Далее, 4^ = — olz — kx°, z|r=o = ж1, г = Отсюда z = (ж1 + ^ж°)е~ гп — ^х° и, следовательно, По = Таким образом, B2) ¦0(т). ? 6. Рассмотрим химическую реакцию разложения вещества Y под действием катализатора Z, причем одновременно происходят два про- процесса: первый состоит в соединении вещества Y с катализатором Z и образовании промежуточного продукта М и вещества JVi, которое выделяется (улетучивается или выпадает в осадок): Y + Z —>• М + N\. Второй процесс состоит в том, что вещество М, будучи неустойчивым, распадается, восстанавливая катализатор Z и образуя вещество N2, которое выделяется: М —>• Z + iV2- Обозначая через 2/(?), ^@j 77г(^M ni(^M ^2(^) концентрации соответ- соответствующих веществ, приходим к системе дифференциальных уравне- уравнений (принцип написания такого рода уравнений указан в задаче II, 25 из § 2 главы 1). -^ = -kyz, ^ = -kyz + ш, dt at B3) dm = kyz - am. Заданы начальные условия у@) = г/°, z@) = z°, ттг(О) = m° = 0. Величина /i = z°/y° является малым параметром. Свести задачу к одному сингулярно возмущенному уравнению с малым параметром /i.
306 Асимптотические методы [Гл. 7 Л Воспользуемся первым интегралом z-\-m = z° + m° системы B3). Тогда 4^ = 1 — 9г z ?/T Z - Введя безразмерные переменные С = Л-, г] = у = ^7, ПОЛУЧИМ У //^ = 1-Л^, Л=-^. B4) ^^ CV ky° v ; Задано значение C|r?=i = 1 и решение строится при rj < 1 (так как ?/ убывает с ростом t). Приближенное выражение для ((г],{х) (или z(y,fx)), подставив его в первое уравнение системы B3), можно ис- использовать для нахождения приближенного решения y(t,fi). ? 7. Построить асимптотику решения задачи B4). Л Воспользуемся формулой CG7^/i) = Со + По + O(fi). Здесь ?о определяется уравнением Л . = 1 и, следовательно, Со = > *_ . Далее d( л Л 1 — С 7i 1 77 — 1 ^ = 1-А-^ С|о = 1 ^ = п^ Интегрируя, получим следующее уравнение относительно (^ из кото- которого С определяется неявно, как функция г: A + Л)т = С + ^ Ь[СA + Л) - Л] - 1. Проверим условие устойчивости: F^\ \ = ^ Л 2 > 0, что и нуж- но, так как г] < 1. Итак, п 8. Известно, что задача Штурма-Лиувшшя (см. [3]) -fp(x)^- - q(x)y + Лр(жJ/ = 0, dx^v Jdx чу JU ИУ JU ' /25) 2/(а) = 0, у{Ъ) = 0 (р(ж) > 0, q(x) > 0, р(ж) > 0 и непрерывны на [а, Ъ] вместе с про- производными) имеет бесконечное число положительных собственных значений Лп, причем Лп —>• оо при п —>• оо. Найти асимптотическое представление собственных значений и собственных функций зада- задачи B5) при больших п.
§ 3] Асимптотика по параметру. Сингулярные возмущения 307 Л Заменой переменных у = и/у/р(х) приведем уравнение B5) к виду [? ] =0, B6) где s(x) — некоторая функция, зависящая от р, g, p и их производных. Полагая \i = 1/л/Л, приведем уравнение B6) к виду A1) [] u(a) = 0, и{Ъ) = О. B7) Здесь Q2 = ^-\-fi2s. По сравнению с A1) величина зависит не только от ж, но содержит регулярную по \± добавку \j?s. Однако наличие добавки не скажется на формулах A2), которые останутся справедливыми и для этого случая (убедиться, что это действительно так, можно, повторяя рассуждения, приведенные в [18], гл. 7, § 2) при выводе формул A2)). Итак, воспользуемся фундаментальной системой решений Собственную функцию и задачи B7) будем искать в виде и = C\U\ -\- + C2U2. Из краевых условий для и получим B8) Для построения нетривиального решения приравняем нулю опреде- определитель ъ о Отсюда имеем -^ J ^ d^ = тгп + O(fi), т. е. а Ъ
308 Асимптотические методы [Гл. 7 Таким образом, мы получили асимптотику собственного значения Лп задачи B5) при больших п: @A) = О(е°) означает некоторую ограниченную величину). Далее, из первого уравнения B8) имеем С2 = Ci{l + O(p)). Отсюда Постоянную С\ определим из условия нормировки +0A) х Вводя новое переменное t = */ ^ d^ будем иметь откуда d = \/f+ Таким образом, окончательно, где/= D 9. Построить на [0, to] асимптотику решения задачи методом, описанным в пункте 1, и методом усреднения, описанным в пункте 3.
§ 3] Асимптотика по параметру. Сингулярные возмущения 309 at Л 1) Решение по методу 1. Введем z = е ^ . Тогда получим систему уравнений -Jj:=ay + z, fi&L =-az, y\t=o = y°, z\t=o = 1. Отсюда y(t,fi) = y°eat + O(/x). 2) Решение по методу 2. Положив -^ = т, приходим к задаче Имеем т л7 v If/ i -ат\ 1 dn I О У = lim Tff i^^7 тб ) «т = а?7, -j— = iiclti, tj r=o ^ 2/ • i J rfr о Отсюда 7/(г, /i) = г/°е°^г, что совпадает с главным членом асимптоти- асимптотики, полученным по методу 1. ? 10. Методом усреднения приближенно решить уравнение Ван дер Поля, описывающий ламповый генератор на триоде с колебательным контуром в анодной цепи [18], гл. 7, § 2. Это одно из классических нелинейных уравнений теории колебаний: х + х = /лA — х2)х, x\t=o = 2, x\t=o = 0. C0) Л Перепишем C0) в виде системы х = и, и = /i(l — ж2)?х — ж, x\t=o = 2, г/|^=о = 0. Введем новые переменные yi, У2- % = Vi cos(t + 2/2M и = —yi sin(t-\-У2)- Получим систему вида A4): ?/1 = [хух sin2(t + 2/2)[1 - 2/1 cos2(t + 2/2)], 2/i|t=o = 2, Соответствующая система для ^ (усредненная система) имеет вид: ~ Т и ее решение г\\ = 2, 772 = 0. Следовательно, окончательно x(t, 11) = [2 + n(t, //)] cos[t + r2(t, //)], где ri =4 0, Г2 =4 0 при /i —>> 0. Главный член полученной асимптотики дает на фазовой плоскости (ж, гх) уравнение окружности х2 + г^2 = 4 — так называемый предель- предельный цикл, описывающий режим автоколебаний в генераторе Ван-дер- Поля. Понятие предельного цикла было введено в гл. 6, § 3. ?
310 Асимптотические методы [Гл.7 Замечание 7. Главный член построенной асимптотики можно получить методом § 2, но метод § 2 не гарантирует равномерного стремления Т{ к 0 на сегменте [O,to/fi]. ? 10а. Решить то же уравнение C0) при произвольном начальном условии для х: x\t=0 = ж0, х° ф 2. А Для 7/1 будем иметь то же уравнение, как и в задаче 10, но с условием 7/i|t=o = x°. Уравнение интегрируется в квадратурах и его решение имеет вид „ _ 2хр xl + D - Тогда Рис. 54. х = Главный член асимптотики в этом случае дает на фазовой плос- плоскости (ж, и) спирали, приближающиеся снаружи (если xq > 2) или изнутри (если хо < 2) к предельному циклу х2 + и2 = 4 (см. рис. 54). Непосредственно видна асимптотическая устойчивость предельно- предельного цикла, притягивающего все остальные фазовые траектории. ? Замечание 8. В этом случае метод § 2 дает х = хо cost + O(/i) и главные члены обеих асимптотик различны. Различие величин JL и хо будет порядка O(/i) на конечном отрезке, но не на [O,?o//i], T-e- на конечном отрезке методы дают одинаковый результат, а на [0, to//л] метод § 2, вообще говоря, не применим. ? 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы 7.3.1. Для задачи A7) разобрать случаи: а) /л < 0, 1 ^ t ^ 2, б) /i < 0, 1/2 ^ t ^ 1. Разобрать решение уравнения A7) при /л > 0 и начальном условии z(l) = 2 для в) 1/2 ^ ? ^ 1, гI^?^2. Построить графики. 7.3.2. Исследовать методом, описанным в п. 1 § 3 решение задачи Ijlz' = az + b, z@) = 0, а = const > 0, b = const < 0. C1) Разобрать случаи: а) /л > 0, ? > 0, 6) /i < 0, t > 0, в) /л > 0, ? < 0, г) /i < 0, t < 0. Построить графики.
§ 3] Асимптотика по параметру. Сингулярные возмущения 311 7.3.3. Написать точное решение задачи C1) и проверить полу- полученные в предыдущей задаче выводы. Из выражения для точного решения выяснить, как ведет себя z(t,/ji), если /л —> 0 произвольным образом (без сохранения знака). 7.3.4. Получить асимптотические формулы B2) из точного реше- решения задачи B1). 7.3.5. Найти приближенное (в асимптотическом смысле) решение уравнения движения маятника [10] с учетом силы трения [кр + аф + sin if = 0, где /л = -^-j — малый параметр (d — расстояние от точки подвеса до центра тяжести, / — момент инерции, т — масса). Заданы начальный угол отклонения ^о < тг и начальная скорость ф$. 7.3.6. Во что переходят главные члены формул A2) при Q(x) = = const? (главный член асимптотики получается из асимптотической формулы, если остаточный член положить равным нулю). 7.3.7. Задана краевая задача /iV -Q2{x)y = f{x), г/|ж=0 = 0, у\х=1=0 (Q > 0). Доказать справедливость следующей асимптотической формулы для ее решения у(х,/л): 7.3.8. Методом усреднения решить приближенно задачу х + х — /i(x — х3) = О, x\t=o = х°, x\t=o = 0. Ответы 7.3.1. Качественный характер решения представлен на рис. 55. В слу- случаях а), б), в) можно написать для z(?,/i) формулы, аналогичные по- полученным в задачах 2, 3 раздела 2. В случае г) ордината интегральной кривой бесконечно возрастает при \i —>• 0, о чем нетрудно заключить, исследуя поле направлений (см. задачу 1 раздела 2). Для случая а) и б) представления легко получить, пользуясь соображениями симметрии, из формул, приведенных в задачах 2, 3 раздела 2, а именно: a) z(t,/i) = В 1 + е х + еГ в) аналогичное представление следует получить заново по той же
312 Асимптотические методы [Гл.7 л Z — t Рис. 55. Рис. 56. схеме, как оно получено в задаче 2 из раздела 2: в) z(t, fi) = t + Н 2—г + О (/л). 7.3.2. Качественный характер решений пред- 3е ставлен на рис. 56. 7.3.3. В данном случае точное решение совпадает с выраж:ением zq + По (r(t,/i) = 0). При произвольном стремлении fi к нулю решение предела не имеет. 7.3.5. (p(t,fi) = = <po(t) ^Г)a + °(^)- 7-3-6- ПРИ Q = const главные члены асимптотики A1) дают точное выражение для фундаментальной си- системы решений. 7.3.7. Указание: следует: 1) убедиться, что главный член асимптотики C2) удовлетворяет уравнению и краевым условиям с невязкой O(jii). Тогда задача для остаточного члена А имеет вид li2А" - Q2(x)A = O(/i), А|ж=0 = O(/i), А|ж=1 = О(/х); 2) постро- ить решение задачи для остаточного члена, пользуясь асимптотикой фундаментальной системы решений A2) (с учетом замечания). Реко- Рекомендуется представить А в виде А = Ai + A2, где Ai — решение однородной задачи с краевыми условиями Ai |ж=о = O(fi), Ai|a;=i = = O(/i), a A2 — решение неоднородной задачи с нулевыми краевыми условиями. Для исследования А2 нужно построить функцию Грина и доказать, что она имеет следующую оценку: |G(#, ?,//)| < ^-е у- х , в = )• 7.3.8. х= Указание: воспользоваться способом решения задачи 10 а раздела 2.
Глава 8 УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Уравнением в частных производных первого порядка называется уравнение вида i,^^xn,u,dxi,...,dxnj -и. Здесь xi, ..., хп — независимые переменные, u(xi,...,xn) — искомая функция, F — заданная функция своих переменных. Линейным уравнением в частных производных первого порядка называется уравнение вида Здесь Ai, В и / — заданные функции, и — искомое решение. Ai и В называются коэффициентами уравнения, они не зависят от w 1) . Квазилинейным уравнением называется уравнение Ах{хъ ..., хп, и)-^ + ... + Ап{хъ ..., хп, u)J^r — линейное относительно производных Ф^-. В квазилинейном уравне- UXi нии коэффициенты А{ могут зависеть от самой функции и, но не от ее производных. § 1. Линейные уравнения 1. Основные понятия и теоремы Рассмотрим линейное уравнение в частных производных. Ал(тл т \ ®и I -U А (гл т \ ®и — ^±\уХ\^ . . . , Хп) q ~Г ... ~Г У1П^Х1, . . . , Хп) q — = В(хг,..., хп)и + f(xu ..., хп). A) ) Иногда [18], [22] линейным уравнением называют уравнение A) с правой частью, равной нулю. Полное уравнение A) при этом рассматривают как частный случай квазилинейного уравнения. (См. раздел 2.)
314 Уравнения в частных производных первого порядка [Гл. 8 Пусть это уравнение задано в области D переменных #i,..., хп. Пусть Aj, 5 и / непрерывно дифференцируемы в этой области и JT А\ ф 0 Ух е D. i=i Сопоставим уравнению A) систему обыкновенных дифференци- дифференциальных уравнений, называемую уравнениями характеристик: dx\ _ dx2 _ _ dxn /q\ Ai(#i,...,?n) A2(xi,...,xn) '" An(xi,...,xn)' Уравнения B) определяют кривые в пространстве a?i,..., xn. Они проходят через любую точку области Z), нигде не пересекаясь. Эти кривые называются характеристиками уравнения A). Характеристи- Характеристики замечательны тем, что выражение в левой части уравнения A) представляет собой (с точностью до множителя) производную Щ- функции и по направлению / вдоль характеристики. Это позволяет, перейдя к новой переменной, представить A) как обыкновенное диф- дифференциальное уравнение, описывающее изменение и вдоль характе- характеристики. Такой переход основывается на следующих соображениях. Напомним, что первым интегралом системы B) называется функ- функция ф(х1,..., хп), сохраняющая постоянное значение на решении си- системы B). Существует (п — 1) независимых первых интегралов систе- системы B), т. е. ф1(х1,...,хп) = d, ^n_i0i,...,?n) = Сп-г, где #i, ..., хп — решение системы B), a Ci, ..., Cn_i — произвольные постоянные. Иногда сами соотношения ^(жъ • • • •> хп) — Сг называют первыми интегралами системы B). Функции i/ji(xi,..., хп) во многих случаях удается определить из системы B). Каждой характеристике соответствует свой набор значений (па- (параметров) Ci, ..., Сп-\ (например, набор начальных значений этой характеристики). Для дальнейшего удобно рассматривать параметрическое задание характеристики как решения системы -ril^Xl, . . . , Xn) Лп \X\ , . . . , Xn) представляя, что изменение переменной г перемещает точку с ко- координатами xi, ..., хп по характеристике. Решение системы C) — характеристика, определяемая параметрами Ci, ..., Cn_i, имеет тогда
§1] Линейные уравнения 315 вид хп =хп(т,С1,...,Сп-1). Введем следующие функции переменной г и параметров С\,..., Сп-1- v (t, d,..., Сп-г) = и(хг,..., Жп)^.^.^,...^.!), F(r, d,..., Cn-i) = /(жь ..., жп)|ж.=ж.(г5Сь...5Сгг_1), i = ТТгг- Дифференцируя первое из этих тождеств и учитывая C), имеем dv _ du dr dr дх\ dr ''' дхп dr A Видно, что уравнение A) может теперь быть записано в виде & = C(т, d,..., Cn-i)v + F(t, Ci, ..., Cn-i). D) Это уравнение описывает изменение v как функции г при любом фиксированном наборе параметров Ci, • • •? Cn-ъ т.е. на любой ха- характеристике. Его решение, найденное методом вариации постоянной, имеет вид v = Функции ft и F зависят от Ci, • • •? Cn-i как от параметров. Поэтому постоянная в такж:е есть произвольная функция параметров: в = К исходным переменным х-\_, ..., хп, и возвращаемся, учитывая, что v = и(х-\_,..., жп), Ci = ijji(xi,..., жп), г = 1, п, и выражая г через #1, ..., жп с помощью уравнений C). Таким образом, общее решение уравнения A) оказывается опреде- определенным с точностью до О = #[^iOi,..., хп),..., ^n-iOi, • • •, хп)] — произвольной функции от п — 1 первых интегралов системы B). В частном случае В = 0, / = 0, т. е. для уравнения
316 Уравнения в частных производных первого порядка [Гл. 8 получаем соотношение D) в виде Ц^ ~ „ = ^- = 0. Это соотно- шение выражает закон постоянства решения и вдоль характеристики. Отсюда общее решение уравнения E): и(хъ ..., хп) = 0(ф1(хъ ..., хп),..., i/in-ifa,..., хп)), F) где в — произвольная функция своих аргументов. Значение и зависит лишь от того, на какой характеристике лежит точка х = {х\,..., хп}. Решение уравнения E) так лее, как и уравнения A), определено с точностью до произвольной функции (п — 1) первых интегралов системы B). Задача Когии. Если требуется найти решение уравнения A) в обла- области D изменения переменных х-\_, ..., хп при дополнительном условии u\s = Ф(#ъ • • •, жп), то говорят, что для уравнения A) задана задача Коши и записывают ее в виде u\s = Здесь S — гладкая поверхность, лежащая в D, заданная уравнением ip(xi,...,xn) = 0; Ai, В, / и Ф - непрерывно дифференцируемые п функции; J2 А? ^ 0. Теорема 37. Пусть поверхность S удовлетворяет следующему условию: любая характеристика, лежащая в D, пересекает S один и только один раз, причем в точке пересечения характеристика не является касательной к S. Тогда решение задачи G) существует и единственно. Рассмотрим схему доказательства. Через точку х = {х±,... ,хп}, в которой мы хотим найти решение, проходит и притом единствен- единственная характеристика Г уравнения A). Эта характеристика пересекает поверхность S в некоторой однозначно определенной точке ж* = = {х\,..., ж* }. Получаем на Г: %=pv + F, у\Т=Т0=Ф(х1,...,х*п), (8) где го — значение переменной г в точке пересечения характеристики Г с поверхностью S. Решая задачу (8), находим v, а следовательно, и и на всей кривой Г, в том числе в точке х. При наложенных на функции А^ В и / условиях функция и будет иметь непрерывные частные производные, фигурирующие в уравне- уравнении задачи G), и удовлетворять этому уравнению. Замечание 1. Если поверхность S такова, что она не пересекает какую-либо характеристику, принадлежащую области D, то на этой характеристике решение задачи G) не определено. ?
§1] Линейные уравнения 317 Замечание 2. Если какая-либо характеристика имеет более одной общей точки с поверхностью 5, то задача может оказаться переопре- переопределенной и не иметь решения. ? Процедура решения задачи G) сводится к следующим операци- операциям. Из уравнений характеристик B) находим п — 1 независимый первый интеграл ф\, ..., фп-1- Фиксируем произвольную точку х = = {xi,..., жп}, в которой ищется решение. Фиксируем значения функ- функций фг в точке х: ^(#i,... ,жп) = С{ (г = 1,...,п — 1). В точ- точке ж* = {#!,...,#*} имеем те же значения первых интегралов: ^(#1,..., ж^) = С{. Кроме того, ж* принадлежит поверхности S. Отсюда получаем п уравнений для определения п координат точки ж*: {,..., ж*) = г!л(хъ ..., хп), г = 1,..., п - 1, Из (9) находим точку ж*, тем самым определяя дополнительное усло- условие в задаче (8). Решая ее, определяем функцию v. Возвращаясь от Ci, ..., Cn_i, т к исходным переменным х±, ..., жп, находим искомое решение u(xi,..., жп). 2. Примеры решения задач 1. Найти общее решение уравнения Л Составляем уравнение характеристик Щ- = -|. Находим его первый интеграл е~х — ^ = С. Вводим параметр г вдоль характе- характеристики с помощью C). Имеем dr = —%. Отсюда у = ———, где У то т то — произвольная константа. Из выражения для первого интеграла находим: е~х = C+f; = C + tq — т, уе~х = — , ^. Получаем ^ 2/ и 'у то — г то — т -\- С J уравнение D) в виде
318 Уравнения в частных производных первого порядка [Гл. 8 где F — произвольная функция. Возвращаясь к исходным перемен- переменным, получаем ответ: и(х, у) = —i— In F(e~x - I/у) = f' , + F(e~x - v /yj e~x-l/y v П 2. Найти общее решение уравнения А Уравнение характеристик имеет вид х = у' Отсюда находим интеграл ^ = С. Вводим параметр т, используя соотношение dr = ^. Получаем ж = ег~г°, ж?/ = ^х2 = Се2(г~г°). Уравнение D) имеет вид ^ = v + Се2^г"Го\ Отсюда ?; = F(C)er + Се2^г"г°\ Переходим к исходным переменным. Получаем ответ: ?х(ж, г/) = F(y/x)x + жг/. П 3. Реп1ить задачу Коши гх(ж, 0) = у?(ж) в области —ос < ж < ос, t > 0. Здесь и = г/(ж, ?), /^о — константа, <р(ж) — заданная функция. А Уравнение характеристик B) для задачи A0) имеет вид dt dx (ЛЛ\ 1 ко' ^ ' Интегрируя A1), находим первый интеграл уравнения характеристик х — kot = С. Функция ф(х, t) = х — kot сохраняет постоянное значение, если х и t связаны уравнением A1). Общее решение уравнения A0) согласно F) будет u(x,t) = F(t/>(x,t)) = F(x — kot), где F — произ- произвольная функция. По своему смыслу выражение F(x — kot) описывает движение со скоростью ко фиксированного профиля F{x) в сторону больших значений х. Поэтому уравнение A0) (так же, как и E)) называется уравнением переноса. При t = 0 имеем и(х,0) = F(x). С другой стороны, из начальных условий и(х,0) = р(х). Следовательно, F(x) = (f(x). Получаем ответ: u(x,t) = (р(х — kot). ?
§1] Линейные уравнения 319 4. Решить задачу Коши х2 + ^ ж>0, -ос<г/<ос, =0 = sin?/. Л Составляем уравнение характеристик dx = х . Представляем это уравнение в форме -Л- = у + ех. Отсюда у = хех + С и пер- первый интеграл уравнения характеристик будет С = у — хех. Введем переменную г вдоль характеристики из условий с/т = ^р, т|ж=о = = 0. Получаем г = х. Пересечение характеристики, проходящей через точку (ж, г/), с прямой (х = 0), на которой заданы начальные значения, определяется условиями (9): у — хех = 2/* —х*ех , ж* = 0. Отсюда 2/* = = у — хех. Получаем задачу (8): ^(G, г) = v + т2, ^|т=о = sin 2/*. з Решая ее, находим v = smy*eT + -^-. Возвращаясь к исходным пере- з менным, получаем ответ: и = sin (г/ — хех)ех + %-• П 5. Реп1ить задачу Коши в области ж > 0, у > 0. А Уравнение характеристик имеет вид # = -f. Отсюда ^ = = С — его первый интеграл. Замечаем, что дополнительные условия заданы на характеристике ху = 1. Вводим параметр г, пользуясь соотношением dr = ^г. Отсюда ж = А(С)ет. Получаем задачу для функции v(C,r) = u(x,t): \vA,t) = 1. Ее решение: v(C,r) = A(C)er + В (С), где -А(С) и -В (С) — произволь- произвольные функции, удовлетворяющие ограничениям ЛA) = 0, ?>A) = 1. Возвращаемся к старым переменным. Ответ: при ху = 1, где В — произвольная функция. ?
320 Уравнения в частных производных первого порядка [Гл. 8 6. Решить задачу Коши и\хвУ=2 = У в области х > 0, у > 0. Л Уравнение характеристик имеет вид —^§- = -|. Его первый у интеграл хеу = С. Дополнительные условия в задаче заданы на характеристике хеу = 2. Вводим на характеристике переменную т, используя соотношение dr = —|. Отсюда у = Т _ Т- Для v(C,т) полу- чаем соотношения 4^(С,г) = v(C,r), vB,r) = _ т< Уравнение дает v = т4(С)ег, что противоречит виду г>B,т). Следовательно, задача не имеет решения. ? 7. Решить задачу Коши в полупространстве ж Л Составляем уравнения характеристик ^р = -^ = — ^. Их первые интегралы будут 2х — у = Ci, геж = С2- Вводим параметр вдоль характеристики, пользуясь соотношениями dr = ^р, г|ж=1 = 0. Получаем г = ж — 1. Выражаем исходные переменные через г, Ci, C2: ж = г + 1, г/ = 2г — С\ + 2, z = С2в~т~1. Для функции v(Ci,C2,r) = = u(x,y,z) получаем задачу ^х ду dz ' Решая ее, находим v = B — Ci)C2e4r 1. Возвращаясь к исходным переменным, получаем ответ: и(х, у, z) = B + у — 2x)ze5x~5. П 8. В 1915 году под городом Ипр немецкие войска впервые при- применили боевые отравляющие вещества (ОВ) против французской ар- армии. Рассмотрим следующую задачу. Пусть линия фронта проходит с севера на юг (немецкая армия расположена к востоку от линии фронта). Дует юго-восточный ветер со скоростью v$. Вдоль линии фронта создается концентрация ОВ, равная ip(x,i), где ось х на- направлена с юга на север, a t — время. Отравляющие газы тяжелее
§1] Линейные уравнения 321 воздуха — они, не смешиваясь с верхними слоями воздуха, стелются по земле и переносятся ветром. Требуется рассчитать концентрацию ОВ в расположении французской армии. А Направим ось у на запад. Концентрацию ОВ, считая движе- движение плоским, будем обозначать u{x,y,i). Получим уравнение, описы- описывающее процесс переноса газов, предполагая, что и — непрерывная функция, имеющая непрерывные частные производные. Рассмотрим малый прямоугольный элемент поверхности (ж, х + Ах, у,у -\- Ау). Обозначим угол между направлением ветра и осью х как а. Тогда баланс вещества за время At в рассматриваемом прямоугольнике с точностью до малых высшего порядка имеет вид: [и(х, у, t + At) - и{х, у, t)]Ax Ay = = I v0 cos a[u(x, y, t) - u{x + Ax, y, i)]Ay+ + г;о sin a[u(x, y, t) — u(x, у + Ay, t)]Ax >At. В этом соотношении слева стоит изменение количества вещества в прямоугольнике, а справа — сумма входящих и выходящих потоков вещества за время от t до t + At через стороны прямоугольника. Деля соотношение баланса на хАу, At и переходя к пределу при Ах —>- О, Ау —>- О, А^ —>- 0, получаем уравнение ^ + ^о cos ag + ^o sin ag = 0. A2) Будем отсчитывать время от начала газовой атаки, а у — от линии фронта. Тогда при у > 0, t > 0 выполнено уравнение A2) и заданы дополнительные условия при у = 0 и t = 0: u(x,y,0) = 0, u(x,O,t) = <p(x,t). A3) Соотношения A2), A3) образуют задачу Коши, к решению которой мы и переходим. Составим уравнения характеристик B): dt _ dx _ Находим два независимых первых интеграла уравнения характери- характеристик * =СЬ ^fc = Cf2- A5) Общее решение уравнения A2) будет 11 А. Б. Васильева, Г. Н. Медведев
322 Уравнения в частных производных первого порядка [Гл. 8 Дополнительные условия дадут Из этих соотношений трудно усмотреть явный вид функции F, поэто- поэтому придется действовать согласно общему алгоритму, изложенному ранее. Фиксируем точку (ж, т/, ?). Пусть (ж*, у*, t*) — точка пересечения характеристики Г, проходящей через (x,y,t), с поверхностью 5, на которой заданы дополнительные условия A3). Поверхность S соглас- согласно A3) состоит из двух полуплоскостей (t = 0, г/ > 0,—ос < х < ос) и (t > 0, у = 0, —ос < х < ос). Соответственно соотношения (9) нужно рассматривать в двух случаях у. X — /* Ж vo cos a ~ vo cos a ' vo sin a vo sin a ' t* =0, 2/* > 0. л. X_ .z* X vo cos a ~ ~ vo cos a' -?— = <*- "* I =t — vo sin a vo sin a' Г > 0, j/* = 0. Первый случай реализуется, если t < —К—. При этом ж* = х — —tvo cos a, у* = y—tvo sin a и и(х, у, t) = гх(ж*,у*,0) =0. Второй случай возможен, если t > —Ч—. При этом ж* = x — yvo ctga, t* = tЧ Q 0 и u(x,y,t) = u(x*,0,t*) = <f(x*,t*) = <p(x-yctga,t- Щ^па)- Таким образом, получаем ответ задачи: . ^ ж — vctga, t *r—) при t> —^—, a(r a t\ — < V vo sinewy ^ vosma' (ЛРЛ I 0 при t < yo Vo Sin CK Обратим внимание на то, что первые интегралы уравнения харак- характеристик A4) определяются неоднозначно. Например, можно было выбрать другую пару независимых интегралов x-yctga = C1, tJ В этом случае общее решение уравнения A2) согласно F) запишется в виде u(x,y,t) = Fix — yctga, t Ч—). A7) где F — произвольная функция. Используя условия A3), при t = 0 и любых х, у > 0 имеем и(х,у,0) = F[x — г/ctga, Ч—) = 0. Следовательно, F = 0, если у Vo sin си. у второй аргумент функции F отрицательный.
§ 1 ] Линейные уравнения 323 При t > О, у = О имеем u(x,O,t) = F(x,t) = (p(x,t). Последнее соотношение определяет явный вид функции F в случае, когда второй аргумент у F положительный. В результате, из A7) получаем ответ задачи A2), A3) в виде A6). ? 9. Для разделения веществ при химическом анализе часто при- применяется метод хроматографии, впервые предложенный русским уче- ученым Цветом. Суть метода в следующем. Имеется длинная и тонкая колонка, заполненная пористым сорбентом. Через эту колонку со скоростью Vq пропускается поток некоторого вещества, переносяще- переносящего интересующие нас химические компоненты (будем рассматривать случай двух таких компонентов). Введем обозначения: х — координата вдоль колонки, отсчитанная от ее начала; / — длина колонки; t — вре- время; C\{x,i) и C2(x,i) — концентрации разделяемых химических ком- компонентов в пбровом пространстве между частицами сорбента; ai(x,t) и a,2(x,i) — количество сортированного компонента на поверхности частиц сорбента; ж — порозность, т. е. объем пор на единицу общего объема. В простейшем случае (например, при малых концентрациях) количество сорбированного компонента сц связано с концентрацией d линейной зависимостью (закон Генри) a-i{x,t) =j1C1(x,t), a2(x,t) =j2C2(x,t), A8) где 7i и 72 — известные физические константы. Пусть на вход подается в течение времени to смесь двух компонен- компонентов. Спрашивается, какова должна быть длина колонки /, чтобы на выходе компоненты разделились. А Выведем уравнение переноса компонентов. Для этого рассмат- рассматриваем участок колонки от х до х + Ах. За время At изменение количества компонента на этом участке будет -a,i(x,t)\Ax = = [Ci{x,t-\-At)-Ci{x,t)](^-\-ji), г = 1,2. Изменение произошло за счет разности входящего и выходящего потоков вещества [Ci(x,t)vo — Ci(x + Ax,t)vo]At. Приравниваем эти выражения, деля на Ах At; переходя к пределу при Ах —>- 0 и Д? —>> О, получаем уравнения переноса компонентов: (* + 7<)^ + «(>7&=0, г = 1,2. A9) Из постановки физической задачи следует, что начальные и гранич- граничные условия будут: Ci(x,0) = 0, d(O,t) = ^> °о<<^*°' B0) 11*
324 Уравнения в частных производных первого порядка [Гл. 8 где С® — заданная концентрация компонентов на входе в колонку. Процесс описывается задачей A9), B0). Требуется определить реше- решение при х = / и найти условия, при которых компоненты разделяются. Решаем задачу A9), B0) для первого компонента. Уравнение ха- характеристик будет —цт— = ^р. Первый интеграл этого уравнения имеет вид t ^~^х = cons^- Находим общее решение Ci(x,t) = = F(t ^j^-x). Используя начальные условия B0), имеем f( - \ to<t. Следовательно, функция F задается соотношением о, - [о, Обозначим —щР~1 — *i- На выходе из колонки, при х — I получаем ( = F[t- Аналогично находим О, 0<t<t2, t2<t<t2 + t0, rAet2 t2+t0<t, Компоненты разделятся на выходе из колонки, если интервалы (ti,to + t\) и (^2,^0 + ^2) не имеют общего участка. Пусть для определенности 71 > 72 ? т-е- первый компонент лучше сорбируется. Тогда t\ > t2. Условия разделения веществ имеют вид t\ ^ t§ + t2 или 4 4 I > ^й_. П 10. Пусть по реке вместе с водой переносятся сброшенные в ре- реку отходы химического производства. Пренебрегая шириной реки по сравнению с длиной, будем считать движение воды одномерным. Направим ось х вдоль реки. Пусть q(x) — поток воды, проходящей через сечение с координатой х. Река вбирает притоки, поэтому q(x), вообще говоря, меняется с ростом х. Пусть в момент времени t = = 0 вода была чистая, а при t > 0 в сечении х = Xq сливаются сбросы в количестве f(i). Эти сбросы переносятся течением и ча- частично оседают на дно реки. Пусть в единицу времени на единицу длины реки количество осаждающегося вещества равно а • и(х, ?), где
§ 1 ] Линейные уравнения 325 а — коэффициент, aw(x,t)- количество взвешенного загрязняющего вещества на единицу длины реки. Требуется рассчитать количество загрязнений u(x,i) в реке при t > 0, х > xq. Л Выведем уравнения переноса вещества, считая, что функция и непрерывна и имеет непрерывные частные производные. Для этого рассмотрим баланс вещества в слое от х до х + Ах за время от t до t + At. Он описывается, с точностью до малых высшего порядка, соотношением [и(х, t + At) - и(х, t)]Ax = = [q(x)u(x, t) - q(x + Ax)u(x + Аж, ?)] Д? - ст(ж, ?) Ах At. Первое слагаемое в правой части учитывает потоки вещества: q(x)u(x,t) — входящий в слой и q(x + Ах)и(х + Ax,t) — выходящий из слоя. Последнее слагаемое в правой части — количество осаждающегося на дно вещества. Разделив соотношение баланса на Ах At, переходя к пределу при Ах —>• 0 и At —>• 0, получаем: ^ = —-TT-(qu) — аи. Отсюда приходим к уравнению вида A): где Ъ(х) = -тг-(х) + а. При ж = жо в реку поступает сброс /(?), а вниз по течению уходит поток q(xo)u(xo,t). Отсюда имеем условие u(xo,t) = = . Итак, процесс описывается задачей Решим задачу B1). Для этого составляем уравнение характеристик ^t = -т^т- Находим первый интеграл этого уравнения Вводим переменную т, пользуясь условием C): полагая г = 0 при х = = хо, находим х _ Г d? J я@' г по своему физическому смыслу — это время запаздывания прихода загрязнения в точку х из точки xq. Соотношение B3) определяет х как
326 Уравнения в частных производных первого порядка [Гл.8 некоторую функцию т: х = 0(т). Согласно изложенной выше теории, получаем уравнение для функции v(C,r) = u(x,i): dv i B4) где /3(r) = b(x) = Ь(в(т)). Из B2), B3) следует, что область изменения х ^ хо, t ^ О соот- соответствует области т ^ О, С ^ —г. Дополнительные условия в B1) заданы при х = xq и ? = 0. Согласно B2), B3) при ж = xq значение т = 0, С = ? > 0, а при ? = 0, х > 0 имеем G = —т < 0. Получаем дополнительные условия для функции v в виде v(C, 0) = при С > 0, v(C, -С) = 0 при С < 0. B5) Таким образом, задача Коши (8) для функции v получилась в фор- форме B4), B5). Решая линейное обыкновенное дифференциальное уравнение B4) с дополнительными условиями B5) при различных значениях пара- параметра G, находим /3(т) dr С>0, с <о. B6) Используем равенство X Подставляя явное выраж:ение Ь(х) = q'(x) + а и переходя к старым переменным ж, t в B6), находим решение поставленной задачи B1): u(x,t) = xo —e J О, В частном случае при q = const имеем ж J q@' О, x - xo^ q > X — жс Я. -ос t > + ^ X X -xo q — Xq
§1] Линейные уравнения 327 Решение в точке х "повторяет" функцию f(t) с запаздыванием на Т = х ~ х° — время хода от iq до х, и с ослаблением в е~аТ раз, вызванным осаждением загрязнения на дно реки. ? 3. Задачи для самостоятельной работы 8.1.1. Найти общее решение следующих уравнений: * - 3„ а) *3§ -х*у ху Z ' J дх г х-. 8.1.2. Решить задачи б) ®х ^У ^у2 + 1 ки(х, 1) = cos х, f ди /еу _ х\ _^_ ди _ _^_ и(х,0) = ех - 1, —оо < ж < оо, —оо < х < оо, ^0,1) =Ых- i, u(l,y) = Ответы 8.1.1. a) ^ = |, §), в) u = f(-J) . 8.1.2. а) и = у/у2 +
328 Уравнения в частных производных первого порядка [Гл. 8 § 2. Квазилинейные уравнения 1. Основные понятия и теоремы Рассмотрим квазилинейное уравнение § ^ ..., хп, и), A) где Ai и R являются непрерывно дифференцируемыми функциями своих аргументов, когда х\, ..., жп, г/ принадлежит (п + 1)-мерной области G. Пусть решение уравнения A) и = u(xi,... ,хп) в неявном виде определяется уравнением v(x1,...,xn,u) = 0. dv B) Считая Ф^- ф 0, выраж:ая из B) производные ^^ = —^-, подставляя их в A), получаем ^w ^i#^ + • • • + Апр- + Д|^ = 0. C) Уравнение C) является линейным уравнением относительно функции v(xi,..., хп, и), поскольку Ai и R от v не зависят. Решая уравнение C) с помощью методов, изложенных в § 1, находим v. Если Ф^- ф 0 всюду в рассматриваемой области G, то из B) определяем г/(ж1,..., хп). Слу- Случай обращения производной Ф^- в нуль будет рассмотрен в разделе 3. ои Задача Коши. Если требуется найти решение уравнения A) в об- области G изменения переменных xi, ..., жп, и при дополнительном условии u\s = Ф(жх,..., жп), то говорят, что для уравнения A) задана задача Коши и записывают ее в виде AiOi,..., хп, и)-^ + ... + Ап(жь ...,хп,и)^-= R(xu ...,xn, и), u\s = Ф(хи...,хп). D) Здесь *S — гладкая поверхность в области изменения переменных, заданная уравнением (р{х±,..., хп) = 0; Ai, R и Ф — непрерывно дифференцируемые функции. Теорема 38. Рассмотрим задачу Коши D). Пусть: 1) для функции v, определяемой условием C), выполнено Ф^- ф 0, 2) поверхность S такова, что проекция любой, принадлежащей G, характеристики уравнения C) на плоскость переменных
§ 2 ] Квазилинейные уравнения 329 xi,...,xn имеет с S одну и только одну точку пересечения. Кроме того, в точке пересечения проекция характеристики не является касательной к G. Тогда решение задачи Коши D) существует и единственно. Рассмотрим схему доказательства. Вводим функцию г>, связанную с и соотношением B). Для v в случае ^- ф 0 получаем уравнение C) и дополнительное условие у{хъ ... ,хп,Ф{хъ ... ,xn))\s = 0. Составляем уравнения характеристик для уравнения C): dxi _ _ dxn _ du /r\ Аг -'••- An ~ R' [b) Характеристики представляют собой кривые в (п + 1)-мерном про- пространстве переменных х±, ..., хп, и. Из E) находим п независимых первых интегралов i/>i(x1,...,xn,u) = Ci, г = 1,...,п. F) Фиксируем произвольную точку ж* = {ж?,...,ж*} Е S. Обозначим и* = и(х*) = Ф(х*). Рассмотрим характеристику Г, проходящую через точку (х*,и*). Поскольку C) является уравнением вида E) из разде- раздела 1, то значение v сохраняется во всех точках Г: v(x, и) = v(x*, и*) = = 0. Выразим значение координаты и в произвольной точке Г через значения остальных координат х±, ..., хп в этой точке. Получим функ- функцию u(xi,..., жп), удовлетворяющую уравнению v(xi,..., жп, и) = 0, т.е. B). Проделав подобную операцию для характеристик, соответ- соответствующих всем точкам ж* ? S, находим решение в области G. В геометрически наглядном случае двух независимых перемен- переменных S представляет собой кривую на плоскости (х±, Ж2),а условие D) определяет кривую в пространстве (xi,X2,u). При этом интеграль- интегральная поверхность задачи A), D) — это поверхность в трехмерном пространстве. Она проходит через кривую D) и "сшита" из харак- характеристик (решений уравнения E)) в том смысле, что через каждую точку интегральной поверхности проходит характеристика, целиком принадлежащая этой поверхности. Замечание 3. Случай обращения Ф^- в нуль рассмотрен в раз- разделе 3. ? Замечание 4. Если не выполнено условие 2) теоремы, то как и для линейного уравнения, рассмотренного в разделе 1, задача Ко- Коши может оказаться в области недоопределенной или переопределен- переопределенной. ? Из приведенных рассуждений получаем следующий алгоритм ре- решения задачи. Выбираем точку. Имеем (п + 1) неизвестное, связанное
330 Уравнения в частных производных первого порядка [Гл. 8 с этой точкой. Это п координат х\, ..., ж*, определяющих характери- характеристику, и (п + 1)-е неизвестное — значение и в точке х. Для определения этих неизвестных имеются (п + 1) условие. Это п соотношений, выра- выражающих сохранение значений интегралов F) вдоль характеристики и условие принадлежности точки х поверхности S: ...,Xn,u)= i/>i(xl, . . . , Ж* , Ф(>1, . . . , <)), Z = 1, . . . , П, Из G) находим гх как функцию переменных х±, ..., хп, т.е. решение задачи Коши A), D). 2. Примеры решения задач 1. Найти общее решение уравнения ди , х2 + у2 ди , 2 Л Ищем решение и из неявного соотношения v(x,y,u) = 0, где v удовлетворяет уравнению C): 2^ ди дх 2 ду ди Уравнения характеристик E) имеют вид dx 2 dy du Используем известное свойство пропорций: если ^ = ^, то тЧ~§ = 1- -п- о d(x + у) d(y — х) du Получаем из уравнении характеристик: —^ -^ = —^ -^ = —-^. (ж + 2/J (у- хJ 2w2 Отсюда находим первые интегралы —^^ = Ci, ж + 2/~о~ = Сг- Общее решение уравнения для v будет v(x,y,u) = F(C±, С2) = i7"! „ _ Ol, x + Vх i/ + г/ — ~^~\ Из соотношения v(x,y,z) = F(Ci,C2) = 0 находим С2 = = Ф(С1), где Ф — произвольная функция. Отсюда следует ; 2. Решить задачу 2 из раздела 1 методом, описанным в настоящем параграфе, рассматривая линейное уравнение х^- +2/?) = ху-\-и как частный случай квазилинейного уравнения.
§2] Квазилинейные уравнения 331 Л Ищем и из соотношения v(x,y,u) = 0, где v удовлетворяет уравнению Уравнения характеристик будут: -^ = -У- = —Ц-—. Один из первых х у ху ~г и интегралов легко находится из левого равенства уравнений характе- характеристик: х/у = С\. После этого правое равенство дает -У- = Отсюда Щ^ = j: + С\у. Решая это линейное уравнение, находим: и = ау У = С\у2 -\-C2y- Получаем еще один интеграл уравнений характеристик: ^~i U — С Л У 7/ =¦= С2 = = f — х. Функция и определяется соотношением У У v(x,y,u) = F(d,C2) = f(z,±-x) = 0. Отсюда f -x = ф(|), где Ф - произвольная функция. Находим и = ху + г/Ф(^). Чтобы привести ответ к виду, полученному в § 1, обозначим f(a) = ^ . Тогда иу + Ф(ж/и) + х = ху -\- xf(x/y). Ответ: и = ху -\- xf(x/y). ? 3. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению и проходящую через кривую жг/ = 4, z = 2. А Ищем z как неявную функцию из соотношения v(x,y,z) = 0. Для v получаем уравнение C) в виде Уравнения характеристик будут || = -| = -||. Отсюда у/ж = Ci, Ci^2 + z2 = С2- Решение находим из условия v(x, у, z) = F(C\, С2) = = F(y/x, yx-\-z ) = 0. Отсюда общий вид решения уравнения: yx-\-z = = Ф(г//х), где Ф — пока произвольная функция. Поверхность должна проходить через заданную кривую. Подставляя у = 4/ж, z = 2 в общий вид решения, получаем 8 = ФD/ж2) при любых х. Следовательно, Ф = = const = 8. Ответ: ух + z2 = 8. ? 4. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению гхУ и условию z = х2 при ж2у2 = 4.
332 Уравнения в частных производных первого порядка [Гл. 8 Л Уравнения характеристик E) имеют вид: ^ = — -щ = ^-. Находим первые интегралы х2 — z = Ci, y2z = С2. Замечаем, что дополнительные условия в задаче заданы на характеристике х — z = = 0, y2z = 4, на которой С\ = О, С^ = 4. Общее решение уравнения будет F(Ci,C2) = 0 или Ci = Ф(С2). Используя дополнительные условия, получаем ФD) = 0. При значениях аргумента, отличном от 4, функция Ф — произвольная. Следовательно, поверхность определена неоднозначно. Таким образом, поверхность z = z(x, у) неявно определяется урав- уравнением х2 = z + <&{y2z), где Ф — произвольная функция, удовлетво- удовлетворяющая условию ФD) = 0. ? 5. Рассмотрим задачу о протекании воды сквозь песок. Пусть z — вертикальная координата, t — время, u(z, i) — влажность песка, q — скорость стекания воды под действием силы тяжести. Скорость q зависит от влажности. Пусть q = ^и, где к — коэффициент, а и меняется от нуля до wmax, определяемого пористостью песка. Баланс воды в слое от z до z + Az за время от t до t + At имеет вид z+Az (8) t+At J k Делим (8) на AzAt. Считая и непрерывно дифференцируемой функ- функцией znt, переходим к пределу при Az—)>0иД?—)>0. Учитывая вид функции q(u), получаем ^ + ~^~{кЦу) = 0. Отсюда имеем квазили- квазилинейное уравнение ж + Нй = °- (9) Рассмотрим для простоты задачу на бесконечном участке — оо < z < < оо. Пусть в начальный момент времени при z ^ 1, при 0 ^ z ^ 1, A0) при 0 ^ z. Требуется найти решение задачи (9), A0) при 0 < t < 1/к. (Такой выбор интервала будет разъяснен в задаче 1 из § 3.) Л Составим уравнение E) для рассматриваемого случая. Имеем dt _ dz _ du 1 ки 0 '
§ 2 ] Квазилинейные уравнения 333 Последнее соотношение нужно понимать в том смысле, что du = 0. Отсюда получаем два первых интеграла A1): и = С\ и kC\t — z = С2- Соотношения G) приобретают вид ku{z,t)t - z = k<b{z*)t* - z*, A2) Учитывая A0), рассматриваем три случая: а) z* ^ 1. Тогда из A2), выражая Ф(г*) с помощью A0), имеем u(z,t) = 1, z* = z - fa. Отсюда находим: u(z, t) = 1 при z ^ kt -\- 1. б) z* ^ 0. Из A2) и A0) при этом следует u(z,t) = 2, z* =z-2kt. Отсюда u(z, t) = 2 при z ^ 2to. в) 0 ^ z* ^ 1. Получаем u(z,t) = 2-z*, ktB-z*)-z = -z*. Г) Отсюда u(z,t) = т^—т- при 2Ы ^ z ^ Ы + 1. Таким образом, решение найдено при любых z G (—00, 00) и ? ? @,1/fc). П 6. Пусть через слой 0 ^ х ^ / пористого сорбента в направлении оси х проходит поток воздуха со скоростью д, переносящий газообраз- газообразное химическое вещество. Пусть C(x,t) — концентрация вещества в порах, a(x,t) — на поверхности сорбента. Эти концентрации связаны соотношением а = /(С). Функция / называется изотермой сорбции. Ее вид зависит от свойств сорбента. Рассмотрим такую задачу. Пусть при t = 0 сорбент чистый, а при t > 0 на вход подается концентрация С@,?) = at. Пусть /(С) = fcln(l + C). Требуется определить C(l,t) — концентрацию вещества на выходе из слоя сорбента. Задачу будем рассматривать в предположении, что / ^ т^-. Л С точностью до малых высшего порядка баланс вещества в слое (ж, х + Ах) за время от t до t + At записывается в виде [С(х, t+At)+a(x, t+At)-C(x, t)-a(x, t)]Ax = q[C(x, t)-C{x+Ax, t)]A. Отсюда следует, что процесс сорбции описывается уравнением jk{C + а) + q^~ = 0. Используя явный вид зависимости а от С,
334 Уравнения в частных производных первого порядка [Гл. 8 начальные и граничные условия, получаем задачу 0' « = *b(i + o, =0, C(O,t) = at. Уравнение принимает более простой вид, если перейти к локальному времени г = t — ^. Итак, введем новые переменные г = t — ^, ? = ж. Тогда -U- = ^t ~ q^~-> jL — 7Г~-В новых переменных для функции г) получаем задачу A4) ,-§)=0, С@,т)=ат, т^-f. Подставляя а в первое уравнение, имеем Это квазилинейное уравнение. Для его решения составляем уравнение характеристик E): dr =d? = dC_ C) Я. 0 ' Первые интегралы уравнения характеристик будут Ят — 1 i п = const, С = const. Множество 5, на котором заданы дополнительные условия, состоит из двух лучей (г > 0,? = 0) и (г < 0,? = -дт). Обозначим г*, ?* координаты пересечения проекции характеристики, проходящей через точку (т, ?, С(т, ?)), с множеством 5. Учитывая граничные условия в задаче A4), получаем соотношения G) в виде Либо г* ^ 0, ?* = 0, либо г* ^ 0, f* = -gr*, аг*, если г* ^ 0, ?* =0, 0, если г* ^0, ?* = —qr*. Рассмотрим первый случай, когда г* ^ 0. Тогда из A5) имеем Из A6) проекция характеристики на плоскость ?, г определяется соотношением -р = ^A + аг*) и представляет собой прямую линию.
§2] Квазилинейные уравнения 335 Эти линии при различных значениях т* изображены на рис 57. Для определения значения т*, соответствующего точке (?, т), имеем квад- квадратное уравнение A6). Решая его, находим Из A7) видно, что при г ^ ?^ существует единственный положи- положительный корень г* ^ 0. Если Г<?§^^^^5ТО °ба корня A7) отрицательны. Рассмотрим второй случай в A5), когда г* < 0. Тогда из A5) имеем qr -?k = qr* - ?*к, A8) -р- = Из A8) наклон проекций характеристик -р- = ^. Они представляют собой параллельные линии, расположенные ниже линии ( = |г на рис. 57. Таким образом, найдено решение при всех значениях т*. Рис. 57. Возвращаясь к исходным переменным, получаем C(x,t) = / — ^^ - 14- \\ia.it- при * при t П
336 Уравнения в частных производных первого порядка [Гл.; 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы 8.2.1. Найти общее решение следующих уравнений: = х + z, г) Х2§2* + §2* у дх ду 8.2.2. Найти решение задачи в указанной области: Uy=-2 = "о", — oo < x < oo. 8.2.3. Найти поверхность, удовлетворяющую уравнению и прохо- проходящую через заданную кривую: б) (х2 + 1)^ + cos2x^ = z3, z| =тг = (arctgx - в) 2z§p + (Зх + 6z2)§p + 1 = 0, г = 2/1/3 при х = г) 2?/^ + Зх2тг- = z2. z = —- при ж3 = у2 + 4. у * G.Т G7У ж ^ Ответы 8.2.1. а) -М- — arcsin?j = F(y/x), F — произвольная функция; б) л/и2 + 1 — и — ^F(x2 + г/2), F — произвольная функция; в) -—^—- = F(y(z — х), y(z — и)), F — произвольная функция; У г) —1 ^— = Ff 2/ + ^, —т: \- у), F — произвольная функция. 8.2.2. а) гг = —z~r; б) гг = A + 2а;?/ - Зж - у). 8.2.3. а) г = tg(| + 1 , , v \ ^ / ч_9 ч (x + z2f/2 4z3 + А + # In | _ j; о) ^ = (arctgж + tgу) ; в) ^— = xz -\ ^—, r) i + ^ = Ф(ж3 — у2), где ФD) =0, а в остальном Ф — произвольная функция.
§ 3 ] Разрывные решения 337 § 3. Разрывные решения 1. Основные понятия и теоремы Метод решения квазилинейных уравнений, изложенный в § 2, пра- правомерен, если выполнено условие Ф^- ф 0. Это условие будет выпол- выполнено, например, для решения задачи Коши D) § 2 в случае, когда S — гладкая поверхность, а Ф — гладкая функция, в некоторой окрестности поверхности S (или, как говорят, в "малом"). Однако если рассматривать решение в достаточно большой области изменения переменных ("в большом"), то для широкого круга квазилинейных уравнений характерно нарушение условия Ф^- ф 0. Рассмотрим для наглядности случай п = 2. Квазилинейное урав- уравнение имеет вид: М(х\, Х2, u)gk- + Л2(Х1,х2, и)^= R(x1,x2, и). A) Будем искать решение A) методом § 2, т. е. из соотношения v(xi, Ж2, и) = 0, где v — решение уравнения Функция v сохраняет постоянное значение на характеристиках. Рас- Рассмотрим семейство характеристик, на которых v = 0. Характеристи- Характеристики — это кривые в пространстве переменных х±, ^2, и. Будем рассмат- рассматривать и как "высоту", на которой расположена точка на характери- характеристике над плоскостью a?i, Х2- Из уравнений характеристик следует, Aхл что значения х\ и Х2 на характеристике связаны соотношением -г-- = Ai(xi,X2,u) ~ „ „ г л = -т—j г. Отсюда одной и той ж:е точке х = j^i, X2\ и разным и -Г12 \Х\ , Х2 1 Uj будут соответствовать в общем случае разные значения -т-^. Следо- Следовательно, хотя характеристики не пересекаются, но они могут пройти друг под другом над некоторой точкой (ж 1,2:2) на разных "высотах" и\ и U2- Тогда получаем v(xi,X2,u\) = 0 и v(x\,X2,U2) = 0. Это противоречит условию Ф^- ф 0. Дадим следующую физическую трактовку уравнению A). Пусть х\ — время, Х2 — пространственная координата. Тогда A) описывает волну переноса (с изменением профиля) величины и вдоль оси Х2- По своему физическому смыслу условие Ф^- = 0 означает возникновение разрыва и и образование ударной волны. Таким образом, решая задачу Коши (состоящую из уравнения A) и дополнительного условия u\s = Ф(х1,Х2)), можно действовать ме- методом, изложенным в § 2, в тех областях, в которых проекции на
338 Уравнения в частных производных первого порядка [Гл. 8 плоскость #i, X2 характеристик, на которых v = 0, не пересекают- пересекаются. Если лее область такова, что проекции указанных характеристик пересекаются, то нужно рассматривать так называемое обобщенное решение. Обобщенное решение представляет собой классические решения, т. е. решения, определяемые в § 2, "сшитые" по определенному правилу вдоль некоторой кривой разрыва решения ж 2 = r](xi). На этой кривой пересекаются проекции характеристик на плоскость х-\_, x<i- Решение с двух сторон линии разрыва ищется как классическое решение. Кри- Кривая Х2 = Tf(xi) задается уравнением ^ = F(x1,x2, u1(x1,x2),u2(x1,x2)), B) где U\ и U2 предельные (не равные, вообще говоря, друг другу) значе- значения классических решений на разных берегах разрыва, а функция F определяется законом сохранения, на базе которого получено уравне- уравнение A). Рассмотрим последний вопрос подробнее. Обычно уравнение A) получают из уравнения сохранения вида , х2))] d?+ х2+Ах2 [Bi(xi + Axi,r, u(xi + Axi,t)) - Bi(xi,t,u(xi,t))] dr = x2+Ax2 | T, C) где Bi, B2 и Вз — некоторые известные гладкие функции своих аргументов (см., например, задачу 1 в § 2). Совершая в C) предельный переход при Ах\ чОи Д^2 —>• 0, считая u(xi,x2) гладкой функцией, обозначая Аг = ^, А2 = ^, R = В3 - §^ - |^, из C) ди ' z ди ' аж1 дх2 v y получаем A). На линии разрыва и переход от C) к A) неправомерен, поскольку не существует производных -Ф^- и Ф^- В то лее время из C) молено получить условие B). А именно, пусть точки (#i, #3) и (Ж1 + Д#ъ ^2 + + Д^2) принадлежат линии разрыва ^2 = г)(х{) (см. рис. 58). Обозна- Обозначим область выше линии разрыва через gi, ниже — ^2 5 ги>\(х\,х2) — классическое решение уравнения A) в области gi, a u2(xi,x2) — в области д2\ и\ и и2 — непрерывные функции. Устремим Ах\ и
§3] Разрывные решения 339 9\ (xl+Axhx2+Ax2) Рис. 58. к нулю. Учитывая, что в левой части C) точки (?, Х2 + Ах2) и ? #1, а (?, х2) и (жх + Джх, т) ? #2, из C) имеем [Б2(ж1,Ж2,^1(ж1,ж2) - B2(xi,x2,u2(x i, т) Е Отсюда _ ^2 (Si, Правая часть D) определяет функцию F, фигурирующую в B). 2. Примеры решения задач 1. Вернемся к задаче 5 в § 2. Ее непрерывное решение могло быть найдено лишь на участке 0 < t < 1/к. Теперь рассмотрим решение задачи Коши (9), A0) § 2 при любых t > 0. А На рис. 59 изображены проекции характеристик (решений урав- уравнения A1) §2 на плоскость z, t. При t < 1/к они не пересекаются. В соответствии с этим значение u(z,t) однозначно определяется до- дополнительными условиями A0) §2 в любой точке (z,i). Решение при t < 1/к указано в задаче 5 в § 2. При t = 1/к ъ точке х = 2 происходит пересечение проекций характеристик. Согласно сказанному ранее в настоящем параграфе, при t > 1/к следует искать обобщенное решение. Оно состоит из двух классических решений, примыкающих к линии разрыва z = rj(t). Как видно из рис. 59, к линии разрыва снизу сходятся характеристики,
340 Уравнения в частных производных первого порядка [Гл. ч Щ=2 «2=1 Рис. 59. на которых и = 1, сверху те, на которых и = 2. Сравнивая (8) из § 2 и C), находим В\ = гх, В<± = §гх. Следовательно, линия разрыва начинается в точке t = 1/k, x = 2 и определяется условием D), которое в рассматриваемом случае имеет вид Q2, гь j Z • tti — гь/ Z1LL2 fc / \ где г/1 = 2 — решение выше линии разрыва, a U2 = 1 — ниже разрыва. Отсюда ^ = ik u линия разрыва — прямая линия. ? 2. Решить задачу Коши E) = 0. А Составляем уравнения характеристик: dt 1 dx ku du 0 ' Отсюда находим первые интегралы: ktu — х = С\, гх =
§3] Разрывные решения 341 Множество 5, на котором заданы дополнительные условия, состо- состоит из двух полупрямых (х = 0,? > 0) и (ж > 0, ? = 0). В соответствии с этим получаем G) § 2 в виде -х*, F) Г>0 'Ыи - х = G) Г=0. Рассмотрим соотношения F) при 0 < t* ^ t\. Используя E), из F) получаем 'ktat* -x = kt*at* -х*, и — схъ , * = О, Г > 0. Отсюда при 0 < t* < t\ выполнено Г2 - tt* + у- = 0. Решая это квадратное уравнение, получаем t* = i + у V — у- (знак перед корнем выбран так, чтобы t* —> t при х —>- 0). Корень t* будет действительным, если t > 2Jу-. Условие t* < t\ дает: t < t\ + тг~. ^ * ft ГР ^\ Следовательно, и = at = ot\7y -\- \ ^— тг^) ПРИ \^ V 4 KOL J (в области B) на рис. 60). r- < t < t± + -Я- Рис. 60.
342 Уравнения в частных производных первого порядка [Гл. 8 При t* > t\ из E) и F) имеем 'Ыи — х = kt*ui, и = Отсюда получаем: и = Ui при ? > t\ + тр- (в области 1 на рис. 60). Наконец, из G) следует, что и = 0 на характеристиках, определяемых соотношением х = ж* > 0 (в области 3 на рис. 60). Как видно из рисунка, линия разрыва начинается сразу от грани- границы из точки @,0). В соотношении D) в данном случае В\ = г/, B<i = = йи. Кроме того, и = 0 в области 3. Получаем, что линия разрыва определяется условием ^т — %Щ где в качестве и нужно выбирать значение этой функции на характеристиках, подходящих к разрыву из областей 1 и 2. Отсюда линия разрыва, разделяющая области 2 и 3, определяется уравнением Нетрудно видеть, что решением этого уравнения, удовлетворяющим условию х@) = 0, является х = а g . Точка (#2,^2) ~~ точка пересечения кривой разрыва х = «-^— с линией t = t\-\-^—. Отсюда о KU\ При t > ?2 линия разрыва разделяет области 1 и 3 и определяется уравнением ^ = ^щ. Следовательно, х = Х2 + ^ Ответ: 0 < х < х2, где <2 = ^g-(l - yi - ^), Ж2 = *;Ul(t2 - h). D
Глава 9 ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ § 1. Понятие функционала 1. Основные понятия и теоремы 1°. Примеры функционалов. Если каждой функции у(х) из некоторого множества поставлено в соответствие некоторое число У, то говорят, что на этом множестве задан функционал и пишут У[г/(ж)]. Приведем примеры функционалов. 1. Длина плоской кривой, заданной уравнением у = у(х), а ^ х ^ Ъ: 2. Вообще, любой определенный интеграл ъ и(х) dx. 3. Стоимость проезда по дорогам, имеющим вид кривых, соеди- соединяющих пункты А в. В. Основная задача вариационного исчисления — исследование функ- функционалов на экстремум и отыскание тех функций, на которых этот экстремум достигается. Приведем примеры таких задач. 1. Из всех кривых на плоскости, соединяющих точки А и В, найти ту, которая имеет наименьшую длину. Ответ очевиден: отрезок прямой, соединяющей точки А л В. 2. Из различных дорог, соединяющих пункты А и В, выбрать ту, по которой стоимость проезда из А в В минимальна. Здесь ответ уже не столь очевиден. Прямолинейный путь из А в В может оказаться труднопроходимым и дорогим, а более длинный путь может оказаться более выгодным. Большую роль в развитии вариационного исчисления сыграли сле- следующие классические задачи. 1. Задача о брахистохроне — линии, по которой материальная точка быстрее всего соскальзывает под действием силы тяжести из
344 Вариационное исчисление [Гл. 9 точки А в точку В (А и В не лежат на одной вертикали) (Иоганн Бернулли). 2. Задача о геодезической линии — линии наименьшей длины, расположенной на заданной поверхности и соединяющей две данные точки (Якоб Бернулли). 3. Задача Дидоны — легендарной карфагенской царевны, которой понадобилось ремешком данной длины ограничить участок земли наибольшей площади (Леонард Эйлер). 2°. Функционалы в линейных нормированных простран- пространствах. Функционал является обобщением понятия функции. Функ- Функция одной переменной ставит в соответствие одному числу х другое число у. Функция нескольких переменных ставит в соответствие ко- конечной совокупности чисел х-\_, ..., хп число у. Функционал ставит в соответствие функции у = у(х) (бесконечному числу ее значений) число V. Множество функций у(х), на котором определен функционал V[y], называется областью определения функционала, а число V — значе- значением функционала. Часто аргумент функционала — функцию у(х) — как элемент некоторого функционального пространства называют также "точкой". Для изучения таких понятий, как приращение функционала, непрерывность функционала, экстремум функционала и многих других, существенно понятие "расстояния" между аргументами функционала — элементами различных линейных нормированных функциональных пространств. Такими пространствами являются, например: С [а, Ъ] — пространство функций, непрерывных на сегменте [а, Ь], Ck[a,b] — пространство функций, к раз непрерывно дифференци- дифференцируемых на сегменте [а, Ь]. Расстояние в пространстве С [а, Ь] между двумя непрерывными функциями 2/i (х) и 2/2 (ж) (а ^ х ^ Ь) можно ввести следующим образом РсB/ь 2/2)= тах\у1(х)-у2(х)\. Формулу или правило, устанавливающие расстояние между эле- элементами нормированного пространства, называют метрикой этого пространства. е-окрестностью в метрике пространства С [а, Ь] или сильной окрестностью кривой у = у{х) называется множество всех непрерывных кривых у = у(х), таких, что Рс{у,у)= max \y(x) -у(х)\ <е. Кривые ужу называют в этом случае близкими в метрике С [а, Ь] (рис. 61). Говорят также, что между у и у имеет место близость нулевого порядка.
§1] Понятие функционала 345 Рис. 61. Рис. 62. Расстоянием в пространстве С1 [а, Ь] между двумя непрерывно дифференцируемыми функциями у\{х) и 2/2 (#) (а ^ х ^ Ь) называется число РсЛУ1,У2)= max |ух(х) - у2О)| + тзх\у[(х) - уг2(х)\. а^.х^.0 а^.х^.0 ^-окрестностью в метрике пространства С1 [а, Ь] или слабой окрест- окрестностью кривой у = у{х) называется множество всех непрерывно дифференцируемых кривых у = у(х), таких, что \у(х) -у(х)\ max Кривые у к у называют в этом случае близкими в метрике С1 [а, Ь] (рис. 62). Близость между у и у называют тогда близостью первого порядка. Аналогично вводятся также понятия расстояния, окрестности и близости произвольного k-ro порядка в пространствах Ck[a, b] функ- функций, имеющих непрерывные производные к-ro порядка. Функционал V[y] непрерывен при у = у(х) в сильной окрестности кривой у = у(х), если Уе > 0 35 > 0 такое, что \V[y]-V[y]\<e, если Рс{у,у)= max \у(х) - у(х)\ < 6. <<о Функционал V[y] непрерывен при у = у{х) в слабой окрестности кривой у = у(х), если \/е > 0 36 > 0 такое, что если \V[y]-V[y]\<e, (У', У) = max \у(х) - у(х)\ + max - у1 (х)\ < 5. Ясно, что у заданной кривой у сильная окрестность содержит "больше" кривых, чем слабая, так как в слабую окрестность у не попадут кривые, близкие к у по ординатам, но сильно отличающи- отличающиеся по производным (рис. 61 и 62). Поэтому, если функционал на
346 Вариационное исчисление [Гл. 9 кривой у обладает некоторым свойством по отношению к кривым из ее сильной окрестности, то этим лее свойством он будет обладать и по отношению к кривым из ее слабой окрестности. Например, из непрерывности функционала на кривой у в ее сильной окрестности следует его непрерывность на этой кривой в ее слабой окрестности. Функционал V [?/(#)] называется линейным, если он удовлетворяет условиям 1) L 2) L су(х)\ = cL[y(x)], с — произвольная постоянная, У1(х) + У2(х)] = ЦУ1(х)] + L[y2(x)]. 2. Примеры решения задач 1. Определить порядок близости кривых yn(x) = cosnx и з,(я.) = о, xe[0,2w]. п А Зададим е > 0. В сильную ^-окрестность кривой у = 0 или в окрестность нулевого порядка попадут те из кривых уп(х), для которых / / \ гЛ I COSUX — 01 I /1Ч Рс(Уп(х),0) = max -2 l- = -± < е. A) [U,Z7rJ ll 11 Неравенство A) выполняется для п > -^=. Vs Таким образом, кривые уп(х) и у(х) близки в метрике простран- пространства С[0,2тг]. Выясним наличие близости более высоких порядков. В ^-окрестность первого порядка кривой у = 0 попадут те из кривых уп{х), для которых B) Неравенство B) выполняется для п > —. Таким образом, меж:ду кривыми уп(х) и у{х) есть близость и пер- первого порядка. Близости более высоких порядков между уп(х) и у{х) улсе нет. Действительно, расстояние в пространстве С2[0;2тг] меж:ду уп(х) и у(х) имеет вид Рс*(Уп(х),0) = max \уп(х) - 0| + max |^(ж) - 0| + max \у"(х) - 0| = [0,2ttJ [0,2ttJ [0,2ttJ [0,2тг] = _1_ + cosnx п2 1 < 2 п ^ п -О + max [0,2тг] sinnx п2 0 cosnx sinra = max J 5—L + max J—-—L + max [0,2тг] П [0,2тг] П [0,2тг] cosnx
§ 1 ] Понятие функционала 347 Значит, в е-окрестность в С2 [а, Ь] кривой у = 0 (например, при е = i) не попадает ни одной кривой уп(х). ? 2. Исследовать на непрерывность функционал 1 V[y(x)]=j\y'(x)\dx, у GC1 [0,1], C) 0 на прямой у = 0 а) в ее сильной окрестности, б) в ее слабой окрестности. Л а) Зададим е = ^ и выберем в качестве кривых сравнения функции уп(х) = ^f^, тогда 1 = о 1 _ 1 sin2n о _ s'mnx 0 Итак, с одной стороны, кривые уп(х) = sir^na; в смысле близости нулевого порядка стремятся к у = 0: smnx п -0 0, п -^ ос, но в то же время F[2/n(#)] 7^ ^[0], п -> ею. Следовательно, функционал C) разрывен на у = 0 в ее сильной окрестности. б) рассмотрим любую последовательность функций уп(х) G ? С1^; 1], стремящуюся к у = 0 при п —>• оо в ее слабой окрестности. Это означает, что Pci(Vn(x),ti) =тах|2/п(ж)| +тах|г/^(ж)| -^ 0, n ^ ос. D) Из D) следует, что max |2/^(ж)| —>- 0, п —>- 0, значит, и Следовательно, функционал C) непрерывен на у = 0 в ее слабой окрестности. ?
348 Вариационное исчисление [Гл. 9 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы Установить порядок близости кривых: 9.1.1. уп(х) = ш?*, у(х)=0,хе[0,п]. 9.1.2. уп(х) = ™, у(х) =0,хе [0, ж]. 9.1.3. уп(х) = ^Ж, у(х) =0,хе [0,2тг]. 9.1.4. уп(х) = *%?, у(х) = 0,хе [0, тг]. 9.1.5. уп(х) = sin §, у(х) = 0,хе [0,1]. Найти расстояния нулевого порядка между указанными кривыми на заданных интервалах: 9.1.6. У1{х)=хе-Х, у2{х)=0,хе [0,2]. 9.1.7. у\ (х) = sin2x, У2{%) = sin ж, х ? [0, 5]. 9.1.8. у\(х) = ж, 2/2C?) = 1пж, ж G [е^]. 9.1.9. 2/i(я) = ж2, j/a(ж) = ж, ж G [0,1]. 9.1.10. ?/1 (ж) = -2^гт, 2/2(ж) = 0, ж G (-оо, +оо). Ж т 1 Исследовать на непрерывность функционалы. 9.1.11. V[y] = у2 dx на прямой г/ = 0: о а) в ее сильной окрестности, б) в ее слабой окрестности. 2 9.1.12. V[y] = \\yf\ dx на прямой у = 0: 1 а) в ее сильной окрестности, б) в ее слабой окрестности. 9.1.13. У[2/] = [ л/YTy^dx на прямой г/ = 0: о а) в ее сильной окрестности, в) в ее слабой окрестности. 9.1.14. V[y] = [A + 2у12) dx на прямой у = 0: о а) в ее сильной окрестности, б) в ее слабой окрестности. Ответы 9.1.1. Нулевой. 9.1.2. Первый. 9.1.3. Первый. 9.1.4. Близость лю- любого порядка. 9.1.5. Близость любого порядка. 9.1.6. р = е~1. 9.1.7. р = 1. 9.1.8. р = е - 1. 9.1.9. р = 1/4. 9.1.10. р = 1.
§ 2 ] Вариация функционала 349 9.1.11. а) Разрывен, б) непрерывен. 9.1.12. а) Разрывен, б) непре- непрерывен. 9.1.13. а) Разрывен, б) непрерывен. 9.1.14. а) Разрывен, б) непрерывен. 2. Вариация функционала 1. Основные понятия 1°. Определение вариации. Рассмотрим функционал Зафиксируем функцию уо(х) из области определения функционала V[y]. Тогда любую другую функцию у{х) из этой области молено представить в виде у(х) = уо(х) + 5у(х). Изменение аргумента функционала V[y] — функцию 5у(х) назы- называют вариацией аргумента уо{х). Приращением функционала V[y] в точке уо(х), отвечающим вари- вариации аргумента 5у, называется величина AV = AV[yo(x)} = V[yo(x) + 5у] - V[yo(x)}. Выражение AV является функционалом от 5у(х). Дадим два определения вариации функционала. Первое из них аналогично определению дифференциала функции, а второе более удобно с технической точки зрения. Если приращение функционала AV = V[y(x) + 5у] - V[y(x)} можно представить в виде AV = L[y(x),5y] + 0(y(x),6y) • max \6y\, где Ь[у(х), 5у] — линейный по отношению к 5у функционал, max \5y\ — максимальное значение \5у\ и /3(у(х),5у) —>• 0 при тах|??/| —>• 0, то линейная по отношению к 5у часть приращения функционала, т. е. L[y(x),6y], называется вариацией функционала и обозначается 5V. Зафиксируем теперь аргумент у{х) функционала У[г/(ж)], зададим и тож:е зафиксируем некоторую вариацию 5у аргумента у(х) и рас- рассмотрим семейство кривых у(х, а) = у(х)-\-а5у, где а — произвольный параметр. На кривых у(х,а) функционал V[y] превращается в функ- цию V{a) параметра а. Пусть существует производная , Вариацией SV функционала V[y] при у = у(х) называется произ- производная С } при а = 0:
350 Вариационное исчисление [Гл. 9 Замечание 1. Понятие вариации функционала в смысле второго определения также аналогично определению дифференциала функ- функции. Действительно, дифференциал функции f(x) в точке х можно найти по правилу вычисления вариации: df = -r-f(x + аАх) I = /'О + аАх) Ах\а=0 = f'(x)Ax. act \а=о ? Замечание 2. Второе определение вариации функционала не- несколько шире первого, так как существуют функционалы, из прираще- приращения которых нельзя выделить главную линейную часть, но вариация в смысле второго определения существует. ? 2. Примеры решения задач ь L. Найти вариацию функционала V[y] = y2{x)dx. а Ъ Способ 1. Рассмотрим приращение AV = V[y -\-5у] — V[y] = \(у + Л и и и + 5уJ dx — \y2dx = 2 ySydx + (<fyJ сЬ. Видно, что приращение а а а AV состоит из двух слагаемых, первое из которых при фиксиро- фиксированном у(х) представляет собой линейный функционал относительно вариации 5у аргумента функционала. Второе слагаемое — квадратич- квадратичный относительно 5у функционал. Таким образом, вариацией данного функционала является ь SV = 2\y5ydx. а Способ 2. В соответствии со вторым определением вариации функ- функционала ъ ъ ъ 5V = -j- \{у + а5уJ dx = 2 \(у + а8у) • 5у dx = 2 у5у dx. D а а а 2. Найти вариацию функционала ь = ^F(x,y,yf)dx. A)
§ 2] Вариация функционала 351 Л Согласно второму определению вариации ь SV = -,— F\X) у -\- аду, ?/ -|- аду ) (ix a Здесь 5yf — вариация производной у'{х) аргумента у(х). Вычисляя производную V[y] по параметру а, получаем ъ п (пг it —I— cvnii it —I— cvnii \nii —I— п i (пг it —I— cvnii ii —I— cvnii ) л?/ /j'T* i / ) J. ¦y I Jb •) у \^ ULU у •) у \^ LXU у IUу \^ J. у1 \*JU , у \^ LXU у ^ у \^ LXU у I U у I \AiJb . V / Полагая а = 0, находим вариацию функционала A): ь x. C) В дальнейших задачах результат C) данного общего примера мо- может использоваться как готовая полезная формула. Замечание 3. Если допустимые кривые сравнения для функцио- функционала A) подчинены еще дополнительным условиям у (а) = А, у{Ъ) = В (задача с закрепленными границами), то 8у{а) = 5у(Ь) =0. ? Интегрируя по частям второе слагаемое в C), находим ъ ъ ъ sv = Окончательно имеем ъ a - J ?Fy, ? 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы Найти вариации функционалов. ъ 9.2.1. 9.2.2.
352 Вариационное исчисление [Гл. 9 Ь 9.2.3. V[y\ = \{y2-y'2)dx. а 1 9.2.4. V[y] = у2{0) + J(a?2/ + г/'2) da:. 9.2.5. V[y] = h/'si о Ответы b b 9.2.1. SV = Uy'Sy + y5y')dx. 9.2.2. SV = [ Jydx. 9.2.3. SV = a a Ь 1 = 2 (yJy ~ y'8y')dx. 9.2.4. SV = 2г/@Mг/@) + \{xSy + 2y'Sy')dx. а О 9.2.5. JT^ = B/ cos 7/ c?2/ ~h sin у • 5yf) dx. 0 § 3. Экстремум функционала. Необходимое условие экстремума 1. Основные понятия и теоремы 1°. Экстремум функционала. Говорят, что функционал V[y] достигает локального минимума (максимума) на кривой у = у(х) в рассматриваемом линейном нормированном пространстве Е (напри- (например, в С или в С1), если в этом пространстве существует такая е- окрестность кривой у = у(х), что для любой кривой у = у{х) из этой окрестности справедливо неравенство V[y(x)] - V[y(x)] 2 0 « 0). Кривые у = у{х) из ^-окрестности у называют кривыми сравнения. В случае строгого неравенства говорят о строгом минимуме (мак- (максимуме). Если нет ограничений на размер ^-окрестности кривой у в определении минимума (максимума), то говорят, что на кривой у достигается абсолютный минимум (максимум) функционала. Замечание 1. В соответствии с различными типами окрестно- окрестностей кривой в различных пространствах (например, в С или в С1) определяются различные типы экстремумов функционала (см. § 6). П
§ 3 ] Экстремум функционала. Необходимое условие экстремума 353 Замечание 2. Если функционал имеет на кривой у значение, например, меньшее, чем на любой другой кривой сравнения из е- окрестности, то это значение будет наименьшим и среди значений на некотором подмножестве кривых сравнения. Обычно это бывают функции, удовлетворяющие каким-то дополнительным условиям, на- например, закрепленные на концах сегмента. ? 2°. Необходимое условие экстремума функционала. Пусть на кривой у = у(х) ? Е достигается локальный экстремум функцио- функционала и пусть на у существует вариация SV[y,Sy]. Тогда выполняется условие SV[y,Sy]=O Замечание 3. Утверждение, обратное замечанию 2, вообще гово- говоря, неверно. Если функционал имеет на кривой у значение, например, меньшее, чем на некотором подмножестве кривых сравнения, то из этого не следует, что на у будет локальный минимум и будет выпол- выполняться условие SV = 0. Такая картина для обычных функций f(x) может иметь место на концах сегмента, где значение функции может быть, например, наименьшим в полуокрестности граничной точки, но локального минимума и нулевого дифференциала (необходимое усло- условие экстремума) может не быть. Пример: у = жна сегменте [0; 1]. ? 1 Аналогичным примером функционала может быть V[y] = у (х) dx о при у ^ 0. На таком множестве функций V[y] ^ V[y], где у = 0. Но локального минимума при у = 0 нет, так как в окрестности у = 0 существуют не только положительные, но и отрицательные функции. 1 Вариация этого функционала на у = 0 имеет вид SV = \ 5у dx и вовсе о не равна нулю при произвольных 5у. 2. Примеры решения задач 1. Исследовать на экстремум функционал 1 V[y]= j(y-\x\Jdx. -1 12 А. Б. Васильева, Г. Н. Медведев
354 Вариационное исчисление [Гл. 9 Л Воспользуемся определением экстремума. Для приращения функционала на кривой у = \х\ имеем AV = V[y] - V[\x\] = | (у - \х\J dx > 0, -1 причем знак равенства достигается только при у = |ж|. Итак, среди непрерывных кривых в пространстве С[—1; 1] на кривой у = \х\ достигается абсолютный минимум рассматриваемого функционала. Если искать экстремум в пространстве С1[—1; 1] среди непрерыв- непрерывно дифференцируемых кривых, то, очевидно, такой кривой, реали- реализующей экстремум, не найдется. На непрерывно дифференцируемых кривых сравнения V > О, а значение V = 0 является точной нижней гранью, недостижимой для функционала V на кривых из С1 [—1; 1]. Таким образом, наличие или отсутствие экстремума может зави- зависеть от пространства, в котором функционал исследуется на экстре- экстремум. Проверим выполнение необходимого условия экстремума. Соглас- Согласно второму определению, вариация функционала имеет вид 5V = dV(a) da j. = f 2(y-\x\Mydx. a=0 J -1 Видно, что на кривой у = \х\, реализующей минимум функционала, вариация этого функционала обращается в нуль. Выделяя в приращении 1 1 AV = J (у + 5у - \х\J dx- J (у - \х\J dx -1 -1 согласно первому определению вариации линейную относительно 5у часть, приходим к тому же виду вариации функционала. П 2. Исследовать на экстремум функционал 1 V[y] = { (у 1 j — х2) dx -i при дополнительных условиях: а) у(-1) = 1, 2/A) = 1, б) 2/(-1) = 0, 2/A) = 0. А Обратимся вновь к определению экстремума. Рассмотрим при- приращение AV функционала на кривой у = х2. Для любой непрерывной
§4] Простейшая задача вариационного исчисления 355 кривой сравнения у(х) имеем 1 AV = V[y] - V[x2} = \(У- х2) dx > 0. -i Знак равенства достигается только на кривой у = х2. Если гра- граничные условия имеют вид у(—1) = 1, уA) = 1, то на кривой у = х достигается абсолютный минимум в пространстве С[—1; 1], так как на размер е-окрестности кривой у = х2 ограничений нет (рис. 63). Рис. 63. Рис. 64. Если лее граничные условия имеют вид у(—1) = 0, у{1) = 0, т.е. кривая у = х2 не проходит через закрепленные на концах сегмента точки кривых сравнения у(х), то непрерывной кривой, доставляю- доставляющей минимум функционалу и удовлетворяющей граничным условиям у(—1) = 0, 2/A) = 0, не существует. В этом случае минимум функционала на сегменте [—1; 1] реализует разрывная кривая, состоящая из отрезка параболы у = х2 и двух точек (—1;0) и A;0) и, стало быть, минимума функционала в про- пространстве С[—1; 1] не существует (рис. 64). ? § 4. Простейшая задача вариационного исчисления. Уравнение Эйлера 1. Основные понятия и теоремы 1°. Простейшая задача вариационного исчисления. Рас- Рассмотрим функционал A) где F(x,y,yf) — дважды непрерывно дифференцируемая функция. 12*
356 Вариационное исчисление [Гл. 9 Граничные точки допустимых кривых будем считать закреплен- закрепленными: у(а)=А, у(Ъ) = В. B) Простейшая задача вариационного исчисления ставится так: сре- среди всех функций у (ж), имеющих непрерывную производную (у(х) ? ? С1 [а, Ь]) и удовлетворяющих условиям B), найти ту, которая достав- доставляет экстремум функционалу A). Эту задачу называют также задачей с закрепленными границами (рис. 65). 2°. Уравнение Эйлера. Уси- лим требования к гладкости кривых, на которых рассматривается функ- функционал A). Пусть кривая у = у(х) реализующая экстремум функцио- (а,А) t^0^000"^ у ' нала A), имеет вторую непрерывную производную, т.е. у(х) ? С2 [а, Ь]. Для того, чтобы функционал A), определенный на множестве кри- вых у(х) ? С2 [а, Ь], удовлетворяю- удовлетворяющих граничным условиям B), дости- Рис. 65. гал экстремума на кривой у(х) ? ? С2 [а, Ь], необходимо, чтобы эта кривая удовлетворяла уравнению Эйлера Fy ~ ?Fy, = 0. C) Решения (интегральные кривые) уравнения Эйлера будем назы- называть экстремалями (иногда экстремалью называют только у{х)). Учитывая граничные условия B), приходим к граничной задаче, которой должна удовлетворять функция у(х), доставляющая экстре- экстремум функционалу A) с граничными условиями B): { D) у(а) = А, у{Ъ)=В. Уравнение Эйлера является при Fy/y/ ф 0 уравнением второго порядка, которое в развернутом виде выглядит так: y"Fy,y,+y'Fyy,+Fxy,-Fy = 0. Как известно, краевая задача D) для уравнения второго порядка может иметь единственное решение, может иметь множество решений, а может не иметь ни одного. Решения задачи D) аналогичны стационарным точкам в задаче исследования на экстремум функции одной или нескольких перемен- переменных.
§ 4 ] Простейшая задача вариационного исчисления 357 Дальнейшее исследование того, действительно ли на решениях задачи D) достигается экстремум, проводится с использованием до- достаточных условий экстремума. 3°. Частные случаи уравнения Эйлера. 1. F не зависит от у': F = F(x, у). Уравнение Эйлера C) в этом случае принимает вид Fy(x,y) = 0. E) Уравнение E) является алгебраическим, а не дифференциальным. Оно определяет одну или конечное число кривых, которые могут и не удовлетворять граничным условиям. Граничные точки (а, А) и F, В) могут попасть на них в исключительных "удачных" случаях. 2. Функция F зависит от у' линейно, т. е. F(x, у, у) = МО, у) + N(x, y)y . В этом случае уравнение Эйлера имеет вид дМ(х,у) dN(x,y) ду дх = о- F) Уравнение F) снова является алгебраическим, а не дифференци- дифференциальным уравнением, а его решения, вообще говоря, не удовлетворяют граничным условиям B) за исключением "удачных" случаев. В частном варианте возможно выполнение тождества дМ ON _ п ду дх -и< Тогда выражение F = М(ж, у) dx + N(x, у) dy является полным дифференциалом и функционал ь (ь,в) V = ^F(x,y,yf)dx= J M(x,y)dx + N(x,y)dy а (а,А) не зависит от выбора кривой, соединяющей точки (а, А) и F,5), принимая на всех кривых постоянное значение. 3. F зависит лишь от у1: F = F(yr). Уравнение Эйлера C) в этом случае принимает вид y"Fy.y.=0 (Fy.y.?0), G) откуда следует, что у" = 0 и экстремалями оказывается семейство прямых линий у = где С\ и С2 — произвольные постоянные, определяемые затем из граничных условий B).
358 Вариационное исчисление [Гл. 9 4. F не зависит от у: F = F(x, у'). Уравнение Эйлера C) в этом случае принимает вид -Й-F ,(т 7Л — п dx у ^ ' У ' ~ ' следовательно, имеет первый интеграл ^A,^)=^!, (8) где Ci — произвольная постоянная. Уравнение (8) интегрируется пу- путем разрептения его относительно у' или по правилам для уравнений, не разрешенных относительно производной (введением параметра и др.). 5. F не зависит явно от х: F = F(y, у'). Уравнение Эйлера C) в этом случае принимает вид Fv - Fyy, ¦ у' - Fyly, ¦ у" = 0. (9) После умножения обеих частей (9) на у' получаем в левой части полную производную по х: откуда следует существование первого интеграла уравнения (9): F - y'Fy, = Си где С\ — произвольная постоянная. Это уравнение уже имеет первый порядок и интегрируется или путем разрешения относительно у'', или по правилам для уравнений, не разрешенных относительно производ- производной (введением параметра и др.). 2. Примеры решения задач Рассмотрим несколько классических вариационных задач, имею- имеющих полезный геометрический смысл. 1. Найти кривую наименьшей длины, соединяющую точки (а, А) и(Ъ,В). А Ответ задачи очевиден — это прямая, соединяющая указанные точки. Получим ее как минимизирующее решение вариационной за- задачи: ъ Здесь 1[у] — длина кривой, соединяющей данные точки. Функция F = = ^/l + у'2 зависит лишь от у'.
§ 4 ] Простейшая задача вариационного исчисления 359 Экстремалями оказываются прямые у = С\Х + С 2- Подставляя полученный вид у(х) в граничные условия, находим т.е. уравнение прямой, проходящей через точки (а, А) и (Ь,В). Наличие экстремума на единственной полученной экстремали и его тип (минимум) ясны из геометрических соображений без всяких достаточных признаков. ? 2. Отрезок кривой у = у{х) с концами в точках (а, А) и (Ь,В) вращается вокруг оси Ох. Какой должна быть эта кривая, чтобы площадь получившейся поверхности была наименьшей? А Ответ этой задачи уже не столь очевиден, как в предыдущей. Ясно, что поверхность должна быть "вогнутой", но уравнение обра- образующей не очевидно. Эта образующая будет минимизирующим решением вариационной задачи ъ а)=\ у(Ь)=В. Здесь S[y] — площадь поверхности вращения кривой с концами в точ- точках (а, А) и F, В). Функция F = у у/1 + у'2 не зависит явно от ж. В этом случае уравнение Эйлера имеет первый интеграл F — у''Fy/ = Ci, т. е. у2 После преобразований уравнения A0) получаем (и) /1 + уП Введем в A1) параметр, полагая у1 = sht, тогда у = С\ cht, a dx = = -j- = 1 ,— = Gi аг, откуда х = Git + 02. Исключая параметр ?, получаем семейство так называемых цепных линий (их форму принимает тяжелая нить) от вращения которых получаются поверхности, называемые катенои- катеноидами. Постоянные С\ и С2 определяются из граничных условий. В зависимости от координат А и В может быть одно, два и ни одного решения. ?
360 Вариационное исчисление [Гл.9 3. Задача о брахистохроне — кривой быстрейшего скатывания (лучше — соскальзывания) тяжелой материальной точки из одной точки плоскости в другую (понятно, что рассматриваются точки, не лежащие на одной вертикали). Л Эта кривая будет минимизирующим решением вариационной задачи A2) Здесь у = у(х) — кривая, соединяющая точки ^4@,0) и B(xi,yi). При этом считаем ось Ох горизонтальной, а ось Оу — направленной вниз, t[y] — время на перемещение точки из А в В. Формула A2) получается из соотношений: ^ = у/2ду — скорость движения точки, dl = л/l + у'2 dx — элемент длины дуги, откуда л/1 + у12 dt = dx. Функция F = л/l + у121'у/у не зависит явно от ж, поэтому уравне- уравнение Эйлера имеет вид (9) и обладает первым интегралом F—y'Fyi = G, т. е. У = с. После преобразований уравнения A3) получаем 2/A + у'2) = С\. Введем в A4) параметр t, полагая у' = ctg^, тогда у = Вычисляя dy = 2C\ sin t cos tdt, имеем =Щ = d{l-cos2t)dt, A3) A4) A5) A6) х=
§ 4] Простейшая задача вариационного исчисления 361 Полагая для упрощения в A5) и A6) 2t = ti, получаем в парамет- параметрическом виде уравнения семейства циклоид х = У = -^ где -^ — радиус круга, качением которого по оси Ох получается циклоида. Он определяется из условия прохождения циклоиды через точку B(xi,yi). Итак, брахистохроной является циклоида. ? 4. Рассмотрим задачу геометрической оптики в плоскости хОу. Согласно принципу Ферма луч света, идущий из точки А (а, А) в точ- точку 5F,5), минимизирует время прохождения этого пути. А Пусть вдоль кривой у = у(х) скорость света в точке (ж, у) есть % = С(х,у), где dl = л/l + у'2 dx — дифференциал длины дуги, откуда dt = „, —г. Самый быстрый путь из точки А в точку В будет ^ \%-> У) минимизирующим решением вариационной задачи С(х,у) 1~" A7) ,у(а) = А, у(Ъ) = В. Здесь t[y] — время пути из А в В по кривой у = у(х), в каждой точке которой скорость движения равна С(х,у). Предполагая далее, что скорость С(х,у) не зависит от ж, получаем так называемую стратифицированную в направлении оси Оу среду, в которой С = С (у). Если выбрать конкретную зависимость С (у) = у, то в такой эк- экзотической среде "лучами" света окажутся не прямые, а окружности. Свойства таких "прямых" приводят к модели геометрии Лобачевского, называемой моделью Пуанкаре. Найдем "лучи" света — экстремали задачи A7) при С = С (у) = у. Функция F = л/l + у'2/у не зависит явно от ж, поэтому уравнение Эйлера имеет вид (9) и обладает первым интегралом откуда ' ~ --А- A8)
362 Вариационное исчисление [Гл.9 Интегрируя A8), получаем семейство окружностей (х + С2J 2 = С\ A9) с центрами на оси Ох. Через заданные две точки (а, А) и (Ъ, В) проходит единственная окружность с центром на оси Ох, следовательно, из двух граничных условий определяются постоянные С2 и С\. Итак, экстремалью функционала A7), удовлетворяющей гранич- граничным условиям, будет одна из окружностей A9). Это и будет "луч" света в данной среде. Обратимся теперь к модели Пуанкаре геометрии Лобачевского. Отметим, что в обычном евклидовом пространстве с постоян- постоянной скоростью распространения света его лучи суть прямые линии, имеющие бесконечную длину. В рассмотренном выше пространстве со скоростью света С = С (у) = у свет распространяется по дугам окружностей. Аналогом обычной длины кривой удобно выбрать так называемую оптическую длину кривой — время, за которое свет проходит эту кри- кривую. Вдоль каждой полуокружности с концами на оси Ох свет идет бесконечно долго (при у —>> 0 интеграл t[y] расходится). Поэтому мож- можно считать такие полуокружности прямыми (бесконечными лучами), оптические длины их дуг — их длинами, углы между касательными в точке пересечения прямых — углами между прямыми. Ось Ох называют абсолютом, ее точки — бесконечно удаленные точки прямых (они исключаются из полуокружностей). Такие новые объекты образуют некоторую геометрию, в которой они сохраняют многие привычные евклидовы свойства, но, вместе с тем, приобретают некоторые новые. CD x Рис. 66. В самом деле, как и в евклидовой геометрии, через две точки А и В можно провести только одну прямую (рис. 66) (полуокружность с центром на оси Ох). Две прямые, имеющие общую точку в беско- бесконечности (полуокружности, касающиеся друг друга в точке С оси Ох) естественно назвать параллельными. Вместе с тем в новой геометрии через точку В вне данной прямой можно провести две прямые, параллельные данной. Действительно, через точку В вне данной полуокружности CD можно провести две
§ 4 ] Простейшая задача вариационного исчисления 363 полуокружности, касающиеся данной в ее концах С и D на оси Ох (рис. Ш). П Замечание. К новым объектам такой геометрии относятся и рас- расходящиеся прямые — полуокружности с центрами на оси Ох, не имеющие общих точек. ? 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы Найти экстремали вариационной задачи, з 9.4.1. V[y] = JCz - y)ydx, y@) = 1, О 9.4.2. V[y] = J (у'2 - у2) dx, у@) = 1, уBтг) = 1. О о 9.4.3. V[y] = | A2ху - у12) dx, у(-1) = 1, у@) = 0. -1 2 9.4.4. V[y] = |B/'2 + 2г/2/' + у2) dx, уA) = 1, уB) = 0. 1 1 9.4.5. V[y] = \yy'2dx, y{0) = 1, 2/A) = ^4. о 9.4.6. У[г/] = JD2/cosx + г/2 - г/2) dar, 2/@) = 0, у (к) = 0. о 1 9.4.7. V[y] = \{у12 -у2- у)е2х dx, у@) = 0, у{\) = е. О 1 9.4.8. V[y] = J (?//2 - 2ху) dx, 2/(-1) = -1, 2/A) = 1. -1 о 9.4.9. V[y] = | (у12 - 2ху) dx, у(-1) = 0, 2/@) = 2. -1 е 9.4.10. F[2/] = |(Ж2/'2 + да') <te, 2/A) = 0, у(е) = 1. 1 ь 9.4.11. У[2/] = |[2я?2/ + (х2 + evJ/;] <te, 2/(a) = ^, 2/(Ь) = В.
364 Вариационное исчисление [Гл. 9 1 9.4.12. V[y] = JV + ху') dx, 2/@) = О, у{1) = а. о тг/4 9.4.13. V[y] = J (у* - у2) dx, у(О) = 1, 2/(|) = о 9.4.14. У[2/] = JB/'2 - у2) dx, у(О) = 1, 2/(тг) = -1. J о 1 9.4.15. У[г/] = |(ж + у12) dx, у{0) = 1, 2/A) = 2. 9.4.16. F[y] = |(t/2 + у12) dx, 2/@) = 0, = 1. 9.4.17. У[г/] = JO/2 + V) <fa, 2/@) = е2, 2/A) = о 1 9.4.18. V[y] = \{2еУ - у2) dx, y(Q) = 1, 2/A) = е. О ъ 9.4.19. Ответы 9.4.1. Нет решений. 9.4.2. Множество решений у = cos ж + С sin x, С — произвольная постоянная. 9.4.3. у = —х3. 9.4.4. у = —^г—j—-. 9.4.5. 2/i = ^/(ж + 1J, у = ^/(Зх-1J. 9.4.6. 2/ = (С + ж) sin ж, G — произвольная постоянная. 9.4.7. у = \\е~х + A + е)хе~х — 1]. 9.4.8. 2/ = |я - g^3- 9.4.9. г/ = ^^ - |ж3 + 2. 9.4.10. у = \пх. 9.4.11. Интеграл не зависит от пути интегрирования. 9.4.12. у = = 0 при а = 0, при а ^ 0 гладкой экстремали не существу- существует. 9.4.13. 2/ = cos х. 9.4.14. у = cos x + С sin ж, С — произволь- произвольная постоянная. 9.4.15. у = ж + 1. 9.4.16. у = игу- 9.4.17. у = _ е2A-ж) 9.4.18. Уравнение Эйлера не определяет ни одной кривой. 9.4.19. у = d + С2ж - ^р 9.4.20. Экстремалей нет.
§ 5 ] Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления 365 § 5. Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления 1. Основные понятия и теоремы 1°. Функционалы, зависящие от производных высших порядков. Рассмотрим функционал (x,y(x),y'(x),...,y^(x))dx A) с граничными условиями у (а) = уо, у'(а)=у'о,..., у^ (а) = у^, B) у(Ь)=У1, у'(Ь)=у'1,...,у1п-1'>(Ь)=у[п-1). Функция F п -\- 1 раз непрерывно дифференцируема. Экстремалями функционала A), имеющими производную порядка 2п, являются решения уравнения Эйлера—Пуассона Общее репгение C) зависит от 2п произвольных постоянных, кото- которые определяются из условий B). 2°. Функционалы, зависящие от нескольких функций. Рассмотрим функционал ъ ,2/1,... ,2/m,2/i>- • ->yrm)dx с граничными условиями yk{a) = Ak, Ук{Ъ) = Вк, fc = l,...,m. D) Функция F дваж:ды непрерывно дифференцируема. Экстремалями функционала, имеющими непрерывные производ- производные второго порядка, являются решения системы уравнений Эйлера F»*-?F»i=0' к = 1,...,т. E) Общее решение системы т уравнений второго порядка E) зависит от 2т произвольных постоянных, определяемых из условий D).
366 Вариационное исчисление [Гл. 9 3°. Функционалы, зависящие от функций нескольких пе- переменных. Рассмотрим вариационную задачу (^^) F) D z(x,y)\r = <p(x,y). G) Функция F дважды непрерывно дифференцируема, D — область на плоскости хОу, Г — граница области D. Если на поверхности z = z(x,y), имеющей непрерывные част- частные производные второго порядка, достигается экстремум функцио- функционала F), то функция z = z(x,y) удовлетворяет уравнению Эйлера- Остроградского где _д_(Т?\-Т? 17? & -L 7? ®Р-±Т? ®1 дх 1 р) ~ рх "*" pz дх ^ рр дх ^ pq дх' — полные частные производные по ж и |/, р = ^, д= Ф-. Из общего решения уравнения в частных производных второго порядка (8) выделяется частное решение z = z(x,y), принимающее на границе Г заданные значения G). 4°. Инвариантность уравнения Эйлера. Если функционал ъ F(x,y,y')dx (9) преобразуется путем замены переменных, то экстремали функциона- функционала (9) по-прежнему находятся из уравнения Эйлера, но уже для преоб- преобразованного функционала. В полученных экстремалях возвращаются к исходным переменным: Ъ d F{x,y,yr) dx => \<&{u,v,v')du => а с => фи-^У=0 => v = v(u). В ряде задач использование свойства инвариантности облегчает интегрирование уравнения Эйлера.
§ 5 ] Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления 367 2. Примеры решения задач 1. Найти экстремали вариационной задачи 1 V[y(x)]=\ydx, о [W) 2/@)= 0, 2/'@) = 1, 2/A) = 1, !/'(!) = 1- Л Уравнение Эйлера-Пуассона имеет вид -?iBy")=0 или 2/D)=0, его общее решение г/ = С±х3 -\- С2Х2 -\- С$х -\- С4- Из граничных условий находим: С\ = 0, С2 = 0, Сз = 1, С4 = 0. Следовательно, экстремум функционала A0) может достигаться только на прямой у = х. ? 2. Найти экстремали вариационной задачи 1 V[y(x),z(x)] = \(y'2 + z'2)dx, A1) о = 0, 2/A) = 1, ^@) = 1, ^A) =0. Л Система уравнений Эйлера имеет вид 2у" = 0, A2) 2z" = 0. Решая систему A2), находим ее общее решение Из граничных условий имеем С\ = 1, С2 = 0, Сз = — 1, С4 = = 1. Следовательно, экстремум функционала A1) может достигаться только на прямой г = 1-х. 3. Найти поверхность z = z(x,y), (x,y) Е D, на которой может достигаться экстремум функционала D причем z(x,y)\r = (р(х,у), Г — граница области D.
368 Вариационное исчисление [Гл. 9 Л Уравнение Остроградского имеет вид gf + gf=O или Д* = 0. A4) Уравнение A4) называется уравнением Лапласа. Краевая задача для уравнения Лапласа \ [z\r = <p{x,y) называется задачей Дирихле для функции z(x,y) в области D с гра- границей Г. На поверхности z(x,y) (решении задачи A5)) может достигаться экстремум функционала A4). Очевидно, например, что если z\r = С = const, то решением задачи A5) будет z = С. На этой функции z = С функционал A3) принимает минимальное значение, равное нулю. П 4. Найти экстремали функционала ъ V[y(x)] = J у/у2 + У'2 dx. A6) Л Уравнение Эйлера имеет вид У d = 0. A7) Vv2 + У12 d Интегрирование уравнения A7) затруднительно, но можно заме- заметить, что функционал A6) упрощается после замены переменных и = = у cos ж, v = у sin ж, в результате которой получаем d V[v{u)} = J y/l + v'2(u)du. A8) с В силу свойства инвариантности уравнения Эйлера при замене пе- переменных экстремали исходного функционала A6) можно получить из экстремалей преобразованного функционала A8), вернувшись в них к старым переменным х и у. Уравнение Эйлера для функционала A8) имеет уже более простой вид v"(и) = 0, откуда v = С\и + С2- Следовательно, экстремалями исходного функционала A6) будут кривые у sin х = С\у cos x + С2- ? 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы Найти экстремали функционалов, зависящих от производных выс- высших порядков.
5 ] Обобщения простейшей задачи вариационного исчисления 369 9.5.1. V[y] = JV + 2у'2 + y)dx, у@) = 0, 2/A) = 0, у'@) = 1, y'(l) = -shl. о ') 9.5.2. V[y] = | B40у - у') dx, у(-1) = 1, 2/@) = 0, у'(-1) = -4,5, 2/@) = 0, 2/"(-1) = 16, 2/"@) = 0. ь 9.5.3. У[2/] = J(y+ »")<&> У(а) = у0, у(Ь) = уъ у'(а) = у'о, у'(Ь) = у[. Ъ 9.5.4. V[y] = \{у12 + yy")dx, у(а) = Аъ у'{а) = А2, у{Ъ) = Въ 1 9.5.5. V[y] = \{yl2+y)dx, y@) = 0, уA) = shl, у'@) = 1, у'A) = о = сЫ. Найти экстремали функционалов, зависящих от нескольких функ- функции. тг/4 9.5.6. V[y,z] = J Bz - V + у12 - z'2)dx, 2,@) = 0, г/(|) = 1, 1 ( '2 9.5.7. F[j/, г] = | B^2/ - У'2 + ^-) dx, 2/A) = 0, у(-1) = 2, z(l) = 1, -1) = -1. тг/2 9.5.8. V[у, z] = | (у12 + z12 - 2yz) dx, 2/@) = 0, 2/(f) = 1, z@) = О, 9.5.9. V[y,z] = |B/'2 + z'2 + 2y)dx, 2/@) = 1, 2/A) = f, z@) = 0, о *A) = 1. 1 9.5.10. V[y,z]= J (yf2-2xyz')dx,y(?) = 2, z(i) = 15, 2/A) = 1, 1/2 *A) = I-
370 Вариационное исчисление [Гл. 9 Написать уравнения Эйлера-Остроградского для следующих функционалов. 9.5.11. V[z(x,y)] = | J[(§§L + (ЦL + 12zf(x,y)] dxdy. D D 9.5.13. V[z(x,y)] = [ [[(ffJ + (gJ + 2z<p(x,yj\ dxdy. Найти экстремали функционалов, воспользовавшись инвариантно- инвариантностью уравнения Эйлера. In 2 9.5.14. V[y] = [ {e~xyf2 - exy2)dx о (в уравнении Эйлера положить х = Ыи, у = v, v = v(u)) . 9.5.15. V[y] = r simp л/г2 + rf2 dip (в уравнении Эйлера перейти от полярных координат к декартовым). ъ 9.5.16. V[y] = [ а/ж2 + ?/2 а/1 + у12 dx. а Ответы 9.5.1. у = A-х) shx. 9.5.2. у = ^-(х3 + 6ж + 1). 9.5.3. Экстремали нет. 9.5.4. Функционал на всех кривых принимает постоянное зна- значение: под знаком интеграла стоит полный дифференциал. 9.5.5. у = = shx. 9.5.6. < 2 32+тг2 9*5-7- V/ ч ^W-~ 2 + 8тг Х' yz{X)- 9.5.8. /»(*)=™*. 9.5.9. /»(*) = ? + !. 9.5.10. 9.5.11. fl^V^f + f#J^f = fix,у). 9.5.12. ^f - ^| = \ ox J ox V ^2/ / Oy Ox Oy = 0. 9.5.13. |^f + |^| = ^(ж,2/). 9.5.14. у = Cxcosex + ox oy ". 9.5.15. rcos<?> + C2 = Ciln|rsin<?> + у r2 sin ip — C(\. 9.5.16. x2 COSC2 — y2 cosG2 — 2жт/sin C2 = Ci.
§ 6 ] Достаточные условия экстремума функционала 371 § 6. Достаточные условия экстремума функционала 1. Основные понятия и теоремы 1°. Различные типы экстремума функционала. Говорят, что функционал V[y] достигает сильного локального минимума (мак- (максимума) на кривой у = у(х), если существует такая ^-окрестность или сильная окрестность в метрике пространства С кривой у = у(х), что для любой кривой у = у{х) из этой окрестности справедливо неравенство V[y(x)]-V[y(x)}>0 (О). Говорят, что функционал V[y] достигает слабого локального ми- минимума (максимума) на кривой у = у(х), если существует такая ^-окрестность или слабая окрестность в метрике пространстве С1 кривой у = у(х), что для любой кривой у = у(х) из этой окрестности справедливо неравенство V[y(x)]-V[y(x)]>0 (<0). Так как сильная окрестность функции у{х) "богаче" функциями сравнения, чем слабая, то если экстремум достигается на у(х) в ее сильной окрестности, то тем более он будет достигаться на у{х) в ее слабой окрестности. Обратное вообще говоря, неверно. Итак, всякий сильный экстремум является в то лее время и слабым экстремумом, но не наоборот. Перейдем к формулировке достаточных условий экстремума. 2°. Поле экстремалей. Предположим, что краевая задача для уравнения Эйлера Fy ~ ?Fy, = 0, A) у(а) = А, у(Ъ) = В, B) определила экстремаль у = уо(х) (рис. 67) (далее — изучаемая или исследуемая экстремаль), на которой может достигаться экстремум вариационной задачи с закрепленными границами: {x,y,y')^ C) у(а) = А, у{Ь) = В. D) Одним из требований, входящих в наиболее распространенные до- достаточные условия экстремума вариационной задачи C), D), является возможность включения исследуемой экстремали в поле экстремалей.
372 Вариационное исчисление [Гл.9 Общее решение уравнения Эйлера (уравнения, как правило, вто- второго порядка) зависит от двух произвольных постоянных, например у = С\Х + С2- Если в этом множестве прямых оставить зависимость от одного параметра, то можно получить различные семейства, напри- например, У = С*2, у = х + С2, у = С\х и т. п. (М) (М) (Ь,В) Рис. 67. Рис. 68. (Ь,В) (М) Если на плоскости ж О у через каждую точку области G проходит одна и только одна кривая семейства у = у(х,С), то это семейство называют собственным полем в области G (рис. 68). Если все кривые семейства у = = у{х,С) проходят через некоторую точку (жо?2/о) ? G (центр пучка), покрывают всю область G и нигде, кроме центра пучка, больше не пе- пересекаются, то говорят, что это се- семейство образует центральное поле в области G (рис. 69). В обоих полях выбором любой точки области (кроме центра пуч- пучка в центральном поле) задается единственная экстремаль, проходя- проходящая через эту точку. В ряде случаев изучаемую экстремаль можно включить как в соб- собственное, так и в центральное поле. В дальнейших рассуждениях важную роль будет играть так назы- называемый наклон поля экстремалей — производная экстремали в каж- каждой точке. Так как в поле экстремалей через каждую точку проходит един- единственная экстремаль, то наклон поля экстремалей в данной точке яв- является вполне определенной функцией этой точки. Будем обозначать эту функцию р = р(х, у). Рис. 69.
Достаточные условия экстремума функционала 373 3°. Достаточные условия Вейерштрасса. Будем считать, что экстремаль у = уо(х) на сегменте [а, Ь] включена в поле экстрема- экстремалей (собственное или центральное). Функцией Вейерштрасса E(x,y,p,yf) называется функция Е(х, у,р, у') = F(x, у, у') - F(x, у,р) - (yf - p)Fp(x, у,р). Функция Е рассматривается на кривых сравнения у = у(х), удо- удовлетворяющих тем лее граничным условиям, что и экстремаль у = уо{х), у{х) е С^а.Ь]. В любой точке М(х,у) через у'(х) в аргументах функции Е(х,у,р,у') обозначается производная кривой сравнения у{х) в точке М, а через р = р(х,у) — наклон поля экстремалей в этой точке (рис. 70). (Ь,В) (а,А) кривая сравнения экстремаль из поля tga=p(x,y) Через функцию Вейерштрасса следующим образом выражается приращение функционала V[y]: AV = V[y(x)]-V[yo(x)] = Здесь уо(х) — исследуемая экстремаль, а у(х) — кривая сравнения. Поэтому достаточным условием достижения функционалом V экс- экстремума на экстремали уо(х) будет знакоопределенность функции Е в окрестности экстремали уо(х). Экстремум будет слабым или сильным в зависимости от того, в слабой или сильной окрестности экстремали уо{х) сохраняет знак функция Вейерштрасса Е. Достаточные условия слабого экстремума (функция Вейер- Вейерштрасса исследуется в слабой окрестности экстремали уо(х)). Кривая у = уо{х) доставляет слабый экстремум функционалу C), если:
374 Вариационное исчисление [Гл. 9 1) кривая у = 2/о (#) является экстремалью функционала C), удо- удовлетворяющей граничным условиям D), т. е. является решением урав- уравнения Эйлера для функционала A), удовлетворяющим граничным условиям B); 2) экстремаль у = уо(х) может быть включена в поле экстремалей на отрезке [а, 6]; 3) функция Вейерштрасса сохраняет знак во всех точках слабой окрестности экстремали у = уо(х), т.е. в точках (ж, 2/), близких к экстремали у = уо(х), и для значений у', близких к р(х, у). Если Е ^ 0, то функционал V[y] имеет на уо(х) слабый минимум, если Е ^ 0, то функционал V[y] имеет на уо(х) слабый максимум. Достаточные условия сильного экстремума (функция Вейер- Вейерштрасса исследуется в сильной окрестности экстремали уо(х)). Кривая у = т/о (х) доставляет сильный экстремум функционалу C), если: 1) кривая у = 2/о (#) является экстремалью функционала C), удо- удовлетворяющей граничным условиям D), 2) экстремаль у = уо(х) может быть включена в поле экстремалей на отрезке [а, 6], 3) функция Вейерштрасса сохраняет знак во всех точках сильной окрестности экстремали у = 2/о(ж)? т-е- в точках (ж, у), близких к экстремали у = уо(х), и для произвольных значений у'. Если Е ^ 0, то функционал V[y] имеет на уо(х) сильный минимум, если Е ^ 0, то функционал V[y] имеет на уо(х) сильный максимум. Достаточное условие отсутствия экстремума. Если в точках экстремали у = уо(х) при некоторых значениях у' функция Е имеет противоположные знаки, то сильный экстремум на уо{х) не достигается. Если в точках экстремали у = уо(х) при значениях у' сколь угодно близких к р(х,у), функция Е имеет противоположные знаки, то на Уо(х) не достигается и слабый экстремум. 4°. Достаточные условия Лежандра. Пусть функция F(x,y,yf) имеет непрерывную вторую производ- производную Fy'y'(x,y,yf) и пусть экстремаль у = уо(х) включена в поле экстремалей. Достаточные условия слабого экстремума (Fyryr исследуется на самой экстремали у = уо(х)). Если на экстремали у = уо(х) Fytyt > 0, то функционал V[y] имеет на уо(х) слабый минимум; если на экстремали у = уо(х) Fy>y> < 0, то функционал V[y] имеет на уо(х) слабый максимум. Достаточные условия сильного экстремума (Fytyt исследуется в сильной окрестности экстремали у = уо(х)). Если Fy/y/ ) 0 в точках (х,у), близких к экстремали у = уо(х), и для произвольных значений т/, то V[y] имеет на экстремали уо(х) сильный минимум.
Достаточные условия экстремума функционала 375 Если Fy/yf ^ 0 в точках (х,у), близких к экстремали у = уо(х), и для произвольных значений yf, то V[y] имеет на экстремали уо(х) сильный максимум. 2. Примеры решения задач 1. Исследовать на экстремум функционал при граничных условиях 1) 2/@) = 0, t/(l) = 2 2) 2/@) = 1, 2/A) = 1, 3J/@)= 0, 2/A) = -1. E) F) G) (8) А 1) Семейство экстремалей данного функционала определяется формулой у = С\х + Сг- Граничным условиям F) удовлетворяет экстремаль у = 2х. Эта экстремаль может быть включена в центральное поле у = или в собственное поле г/ = 2х + С2 (рис. 71). = Сгх Рис. 71. Функция Вейерштрасса для функционала E) имеет вид Е(х,у,р,у')=у'3-Р3 - (у' -рKр2 = (у' -рJ(у' + 2р). Видно, что близость точек (х,у), через которые проходят кривые сравнения у = у(х), к экстремали у = 2х в данном случае не сущест- существенна: отжиу функция Е не зависит. Рассмотрим поведение Е в зависимости от у'. Видно, что функция Е может менять знак (за счет скобки у' + 2р) на экстремали у = 2х (с наклоном р = 2), если г/ переходит через значение г/ = — 2р = 4,
376 Вариационное исчисление [Гл.9 т. е. если кривая сравнения у = у(х) по своей производной достаточно сильно отличается от экстремали у = 2х (рис. 72). Значит, сильного экстремума нет согласно достаточному условию его отсутствия. Рис. 72. Рис. 73. Вместе с тем, функция Вейерштрасса сохраняет знак (Е ^ 0), если yf+2p = у'+4 ^ 0, т. е. если кривая сравнения у = у(х) по производной ?/ близка к наклону р = 2 собственного поля экстремалей ?/ = 2х + С2 (для всех значений ?/, таких, что ?/ ^ —4) (рис. 73). Значит, на экстремали у = 2ж, согласно достаточному условию Вейерштрасса достигается слабый минимум. Выясним теперь, что дает применение достаточных условий Ле- жандра. Для функционала E) Fytyt = 6yf. На самой экстремали у = 2х Fyfyf = 12 > 0, следовательно, функционал E) имеет на этой экстре- экстремали слабый минимум. Условие лее Fyiyi ^ 0 на кривых, близких к экстремали (видно, что в данном случае близость по координатам не существенна),, и при этом независимо от значений у1 не выполняется F?/ знакопеременна, см. рис. 72). Но из этого не следует отсутствие сильного экстремума, так как условие Лежандра достаточное. Таким образом, если ограничиться только проверкой достаточного условия Лежандра для выяснения существования сильного экстре- экстремума, то вопрос остается открытым. Выше нам удалось выяснить отсутствие сильного экстремума лишь с помощью свойств функции Вейерштрасса. 2) Граничным условиям G) удовлетворяет экстремаль у = 1. Эта экстремаль может быть включена в центральное поле у = С\Х-\-1 или в собственное поле у = С2 (рис. 74). Функция Вейерштрасса для функционала E) в предыдущем пунк- пункте была приведена к виду
Достаточные условия экстремума функционала 377 Она не зависит от х и у и целиком определяется взаимоотношениями между у1 и наклоном р поля экстремалей. Рис. 74. Рис. 75. На экстремали у = 1 (и на экстремалях собственного поля у = C<i) функция Е принимает вид Е = у'3 (так как р = 0), т.е. является знакопеременной в зависимости от у', причем смена знака достигается при у' как угодно близких к р = 0 (рис. 75). Следовательно, по достаточному условию отсутствия экстремума на экстремали у = 1 не достигается даже слабый экстремум. Обратимся теперь к условию Лежандра. На прямой у = 1 Fyryr = = Qyf = 0, т. е. достаточное условие Лежандра в этом случае не работает. 3) Граничным условиям (8) удовлетворяет экстремаль у = —х. Эта экстремаль может быть включена в центральное поле у = С\х или собственное поле у = —х + С2 (рис. 76). -1- Рис. 76. Рис. 77. Функция Вейерштрасса Е = {у' — pJ(yf -\-2р) на экстремали у = —х (и на всех экстремалях собственного поля у = — x + C<i) принимает вид Е = {у + 1J{у' - 2) (так как р = -1).
378 Вариационное исчисление [Гл.9 О -!¦¦ В данном случае ее поведение аналогично случаю 1, но с другим типом экстремума. Во-первых, функция Е знакопеременна и меняет знак при смене знака разности у' — 2, т. е. когда производная у' кривой сравнения достаточно сильно отличается от наклона р = 2 поля экстремалей (видно, что собственное поле у = — х + С2 удобнее для этих рассужде- рассуждений) (рис. 77). Значит, сильного экстремума нет согласно достаточному признаку его отсутствия. Вместе с тем, функция Вейерштрасса сохра- сохраняет знак {Е ^ 0), если у' + 2р = у' — 2 ^ 0, т. е. если кривая сравнения у(х) по производной у' близка к наклону р = — 1 собственного поля экстремалей у = — х + С2 (для всех значений у' Рис 78 таких, что у1 ^ 2) (рис. 78). Значит, на экстремали у = — ж, согласно до- достаточному условию Вейерштрасса достигается слабый максимум. Обратимся к достаточным условиям Лежандра. Для функциона- функционала E) Fyiyi = 6yf. На экстремали у = —х Fyiy> = —6 < 0, следователь- следовательно, функционал E) имеет на этой экстремали слабый максимум. Условие же Fy/y/ ^ 0 на кривых из сильной окрестности экстрема- экстремали у = —ж, т. е. независимо от у'', не выполняется Fт/ знакопеременна, см. рис. 77). Но условие Лежандра достаточное, поэтому из его нару- нарушения не вытекает отсутствие сильного экстремума. Как и в случае 1 вопрос об отсутствии сильного экстремума решен с помощью свойств функции Вейерштрасса. ? 2. Исследовать на экстремум функционал = yf4 dx о с граничными условиями: 1) 2/@) = 0, 2/A) = 2, 2) 2/@) = 1, 2/A) = 1, 3) 2/@) = 1, 2/A) = -1. (9) A0) (И) A2) А Как и в примере 1 семейство экстремалей функционала (9) опре- определяется формулой у = С\х -\- С2- Экстремали, удовлетворяющие условиям A0)—A2) и включенные в соответствующие поля, те же, что и в примере 1 (см. рис. 71—78). Условиям A0) удовлетворяет экстремаль у = 2ж, условиям A1) — у = = 1, условиям A2) — у = —х.
§ 6 ] Достаточные условия экстремума функционала 379 Функция Вейерштрасса для функционала (9) имеет более сложный вид, чем в примере 1: Е(х, у,р, у') = у'4 -р4- (у' - рLр3. Исследование ее знакоопределенности требует некоторых усилий. Обратимся поэтому сразу к достаточному условию Лежандра. Для функционала (9) Fv.v. = 12у12. Выясним сначала поведение Fyryr на экстремалях, проходящих через точки A0), A1), A2). На экстремали у = 2ж, проходящей через точки A0), Fyiyi = 12 • • 4 = 48 > 0, следовательно, функционал (9) имеет на этой экстремали слабый минимум. На экстремали у = 1, проходящей через точки A1), Fy/y/ = 0. Вопрос о слабом экстремуме остается открытым. На экстремали у = — ж, проходящей через точки A2), Fy/y/ = 12-1 > > 0, следовательно, функционал (9) имеет на этой экстремали слабый минимум. Теперь рассмотрим поведение Fy/y/ в сильной окрестности иссле- исследуемых экстремалей (то есть, независимо от у'). Видно, что в сильных окрестностях каждой из экстремалей у = 2х, у = 1, у = —х для Fytyt имеем Fy,y> = 12yf2 ^ 0. Поэтому на экстремалях всех трех задач для функционала (9) он имеет сильный минимум (что не противоречит установленному выше наличию слабого минимума на прямых у = 2х и у = — х). Вернемся к функции Вейерштрасса. Преобразуем ее к виду, облег- облегчающему исследование знакоопределенности: Е(х,у,р,у') = (у'-рJ[2р2 + (у'+рJ} 2 0. A3) Неравенство A3) выполняется в сильных окрестностях (независи- (независимо от у') всех трех исследуемых экстремалей (наклоны р(х, у) полей экстремалей также не влияют на результат A3)). Следовательно, согласно достаточному условию Вейерштрасса сильного экстремума, получаем для функционала (9) сильный минимум на каждой из экстремалей, определяемых условиями A0)— A2). ? 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы Выяснить, образуют ли поле (собственное или центральное) ука- указанные семейства кривых в заданных областях. f f f 9.6.1. y = C-tgx; O^x^f, -f ^2/^f. 9.6.2. у = С • cos ж, если: а) \х\ < ^, б) ^ ^ х ^ тг, в) 9.6.3. у = С{х2-2х), если: а) 0 ^ х ^ 1, б) -1 ^ х ^ 3, в) 1 ^ х ^ § тг. 2'
380 Вариационное исчисление [Гл. 9 9.6.4. у = С • sin(x — ?), если а) тг/4 ^ х ^ тг/2, б) тг/3 ^ ж ^ тг, в) тг/8 ^ х ^ 2тг. Показать, что экстремали следующих простейших вариационных задач можно включить в поле экстремалей (собственное или цен- центральное) . 1 9.6.5. V[y] = \{у'2 - 2ху) dx, у{0) = уA) = 0. 9.6.6. V[y] = \{2еху + у12) dx, у@) = 1, j/(l) = e. о а 9.6.7. V[y] = J(?/2 - у12) dx{a>0,a^ тгк), у{0) = 0, у (а) = 0. о 9.6.8. V[y] = \(y'2 + x2) dx, 2/@) = 1, 2/B) = 3. О Исследовать на экстремум функционалы. 1 9.6.9. V[y] = J ех (у2 + \у12) dx, 2/@) = 1, 2/A) = е. о 1 9.6.10. V[y] = \eyyl2dx, 2/@) = 0, уA) =1п4. о 2 9.6.11. V[y] = -^2" dx, 2/A) = 1, 2/B) = 4. J 2/ i а 9.6.12. У[2/] = f #, 2/@) = 0, 2/(«) = Ь, а > О, Ъ > 0. 9.6.13. У[2/] = J(l + x)y12 dx, 2/@) = 0, 2/A) = 1. о тг/2 9.6.14. У[у] = | (у2 - у12) dx, 2/@) = 1, г/(тг/2) = 1. 9.6.15. У[2/] = J у'{1 + яг22/;) dar, г/(-1) = 1, 2/B) = 4. -1 1 9.6.16. F[j/] = | B//3 + 2/'2) dx, у(-1) = -1, 2/A) = 3. -1 а 9.6.17. V[y] = J %, 2/@) = 0, у(а) = Ъ, а > О, Ъ > 0.
§ 6] Достаточные условия экстремума функционала 381 з 9.6.18. V[y] = |A2хг/ + yf2) dx, уA) = О, 2/C) = 26. 1 Используя условие Лежандра, исследовать на экстремум функци- функционалы. 1 9.6.19. V[y] = JO/'2 + x2) dx, 2/@) = -1, 2/A) = 1. о 3 9.6.20. V[y] = \4dx, t/B) = 4, t/C) = 9. 2 9.6.21. V[y] = |(жг/'4 - 2yy'3) dx, 2/A) = 0, уB) = 1. 1 a 9.6.22. У [2/] = [A - e~y'2) dx, y@) = 0, у (а) = Ъ, а > 0. о l 9.6.23. V[y] = J 2/2//2 da, 2/@) = P > 0, 2/A) = g > 0. о Ответы 9.6.1. Центральное поле. 9.6.2. а) собственное поле, б) центральное поле, в) не образуют поля. 9.6.3. а) центральное поле, б) не образуют поля, в) собственное поле. 9.6.4. а) центральное поле, б) собственное поле, в) не образуют поля. 9.6.5. Экстремаль у = ?A — х2) принад- принадлежит центральному полю экстремалей у = С\Х — %- с центром в точ- точке @;0). 9.6.6. Экстремаль у = ех можно включить в собственное поле экстремалей у = ех + С. 9.6.7. Если а < тг, то экстремаль у = 0 принадлежит центральному полю экстремалей у = С sin x. При a > тг семейство кривых у = С sin ж поля не образует. 9.6.8. Экстремаль у = х + 1 принадлежит собственному полю 2/ = х + С. 9.6.9. На кривой у = ех достигается сильный минимум. 9.6.10. На кривой у = = 21п(ж + 1) достигается сильный минимум. 9.6.11. На кривой у = х2 достигается слабый минимум. 9.6.12. На прямой у = ^х достигается слабый минимум. 9.6.13. На кривой у = —\—^—- достигается силь- сильный минимум. 9.6.14. На кривой у = cos ж+sin х достигается сильный максимум. 9.6.15. На непрерывных кривых экстремум не достига- достигается. 9.6.16. На прямой у = 2х + 1 достигается слабый минимум. 9.6.17. На прямой у = ^х достигается слабый минимум. 9.6.18. На кривой у = ж3 — 1 достигается сильный максимум. 9.6.19. На кривой у = 2х — 1 достигается сильный минимум. 9.6.20. На кривой у = = х достигается сильный минимум. 9.6.21. На прямой у = х — — 1 достигается слабый минимум. 9.6.22. При \Ь\ < -^= на прямой л/2
382 Вариационное исчисление [Гл.9 у = ?х достигается слабый минимум, а при \Ь\ > -%= — слабый л/2 максимум. При \Ь\ = -^= экстремума нет. 9.6.23. На кривой у = у2 = -\/[(д3/2 — р3/2)х + р3/2]2 при р ф q достигается слабый минимум, при р = g на прямой у = р достигается слабый минимум. § 7. Задача с подвижными границами 1. Основные понятия и теоремы 1°. Постановка задачи. Рассмотрим функционал V[y]= J F(x,y,y')dx (i) х0 на кривых у(х) Е С1^, Ь], граничные точки которых А(хо,уо) и (i) B свою очередь леж:ат на заданных гладких кривых у = <р(х), у = ф(х), B) точек А и В заранее не фиксиро- фиксиротак что 2/о = <р(яо), 2/1 = Отметим, что абсциссы жо h ваны и подлежат определению. Задача с подвижными границами ставится так: среди всех функ- функций у{х) ? С1 [а, Ь], графики которых соединяют точки двух данных кривых у = у (ж) и г/ = ф(х), найти ту, которая доставляет экстремум функционалу V[y] (рис. 79). у. Уг Jo "^\ Xq X] у = ф(х) = <р(х) X Рис. 79. 2°. Необходимые условия экстремума. Для того, чтобы функция у = 2/(ж) доставляла экстремум функционалу A) среди всех кривых у(х) G С1 [а, Ь], соединяющих точки двух заданных линий у = = (р(х), у = ф(х), необходимо, чтобы:
§ 7] Задача с подвижными границами 383 1) кривая у = у(х) была решением уравнения Эйлера для функ- функционала A) (являлась экстремалью), 2) в точках т4(жо,2/оM -^(#i>2/i) пересечения экстремали у = у(х) с кривыми у = (р(х) и у = ^(ж) выполнялись условия трансверсально- трансверсальности [F + Ы - y')Fy,\x=X0 = О, C) [F + (ф' - y')Fy,]x=Xl = 0. Условия C) устанавливают связь между угловыми коэффициента- коэффициентами у' и <??', а также ^ и фг в граничных точках А ж В. Замечание 1. Условия C), которых недостаточно для опреде- определения четырех параметров Ci, C<i (из общего решения уравнения Эйлера), хо, х±, нужно дополнить двумя естественными условиями у(х0) = <р(х0), у(х±) = ф(хг). D) П Замечание 2. Если граничная точка (например, точка В) может перемещаться только по вертикальной прямой х = х\ (ф' = ос) условие трансверсальности принимает вид -Ту' Х = Х± — U. п Замечание 3. Если граничная точка (пусть точка А) может пе- перемещаться только по горизонтальной прямой у = 2/о (ф' — 0), то условие трансверсальности принимает вид [F - y'Fy/]x=XQ = 0. П 2. Примеры решения задач 1. Найти расстояние между параболой у = х2 и прямой у = х — 5. А Решением задачи будет кривая у(х), доставляющая минимум функционалу '\ + у'2 dx, E) Xq вырастающему длину кривой у = у{х). При этом левый конец экстре- экстремали перемещается по параболе у = <р(х) = х , правый — по прямой 2/ = ф(х) = х — Б.
384 Вариационное исчисление [Гл.9 Общее решение у = С1Х + С2 уравнения Эйлера у" = 0 необходимо подставить в условия трансверсальности C) 1 + уп1х=х0 = 0, {У' = F) и условия D) пересечения экстремали с кривыми у = хиу = х — 5 п Л ClXl + С2 = х1-Ь. G) Четыре уравнения F), G) определяют параметры d, С2, xq, x\\ о Итак, экстремалью является прямая у = — х + |, а расстояние между данными параболой и прямой равно 28/3 П 1/2 2. Найти вид условия трансверсальности для функционалов вида V[y}= (8) Х0 (к этому виду относится и длина кривой из предыдущего примера). А Условие трансверсальности F + (у?; — yf)Fyr = 0 (на примере левого конца экстремали, лежащего на кривой у = (р(х)) в данном случае имеет вид ' А(" вЛв1 =0 или л/1 + 2//2 откуда при условии А (ж, у) т^ 0 находим (9)
§ 7] Задача с подвижными границами 385 или у'<рГ\х=х0 = Это означает, что для функционала (8) условие трансверсальности переходит в условие ортогональности у' = —^-. Используем более простой вид условия (9) и аналогичного условия 1 + у'1фг\х=х1 = 0 на правом конце для отыскания экстремали преды- предыдущего примера 1, в котором функционал E) имел вид (8). Для определения коэффициентов Ci, С2 в общем решении у = = Сix + С2 уравнения Эйлера, а также точек xq и х±, имеем систему /VU=*0 = l + ^i -2ж0 =0, /Vlx^! =l+Cl-l=0, A0) CiXi + C2 = x\ — 5, откуда снова, но гораздо быстрее, находим d = -1 ж0 = - С2 = - а?1 = — Таким образом, учет конкретного вида функционала (8) позволил получить для определения коэффициентов Ci, C25 хо, Х\ систему A0), более простую, чем система общего вида C), D). ? 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы 9.7.1. Найти кратчайшее расстояние от точки АA,0) до эллипса 4ж2 + 9у2 = 36. 9.7.2. Найти кратчайшее расстояние от точки А(—1, 5) до параболы х = у2. 9.7.3. Найти кратчайшее расстояние между окружностью х2-\-у2 = = 1 и прямой х + у = 4. 9.7.4. Найти кратчайшее расстояние от точки А(—1,3) до прямой у = 1-Зх. 9.7.5. Найти функцию, реализующую экстремум функционала тг/4 V[y]= \ (y2-yf2)dx, y@) = 0, о если другая граничная точка может скользить по прямой х = ?. Ответы 9.7.1. ^.9.7.2. л/20. 9.7.3. 2л/2 - 1. 9.7.4. ^. 9.7.5. г/= 0. V5 1и 13 А. Б. Васильева, Г. Н. Медведев
386 Вариационное исчисление [Гл. 9 § 8. Условный экстремум 1. Основные понятия и теоремы 1°. Постановка задачи. В вариационных задачах на условный экстремум функции, на которых исследуется функционал, подчиня- подчиняются дополнительным условиям связи. Рассмотрим функционал с граничными условиями A) у(а) = уо, у{Ь)=уг, (t>, z(a) = z0, z(b) = z1. W Требуется найти экстремум функционала на множестве всех кри- кривых у(х), z(x) Е С1^, &], удовлетворяющих условиям B), а также условию связи Ф(х,у,г,у',г') = 0. C) Связи типа Ф(ж, ?/, z) = 0 (т.е. не зависящие от производных) в механике называются голономными, а связи вида C) (зависящие от производных) называются неголономными. 2°. Необходимые условия экстремума. Теорема 39. Пусть 1) функции у{х), z{x) реализуют экстремум функционала A) на множестве пар функций, удовлетворяющих условиям B), C), 2) функции F, Ф трижды дифференцируемы, 3) у(х) и z(x) дважды дифференцируемы и Тогда существует дифференцируемая функция \{х) такая, что функции у(х), z(x) удовлетворяют системе уравнений Эйлера для функционала где Н = F + А(ж)Ф (конструкция, аналогичная функции Лагранжа в условном экстремуме функций нескольких переменных). Замечание 1. В случае голономных связей (не зависящих от производных) условие 3 теоремы отсутствует. ?
§ 8 ] Условный экстремум 387 Замечание 2. Естественно, что приведенное в функционале A) количество функций — две, является минимально необходимым для постановки задачи об условном экстремуме. ? 3°. Изопериметрическая задача. Условия связи не всегда имеют вид C). Часто они налагаются на некоторые дополнительные функционалы. Важнейшим примером таких задач является так называемая изо- периметрическая задача, которая ставится следующим образом. Среди всех функций у(х) ? С1 [а, Ъ] найти ту, которая доставляет экстремум функционалу л{х у у I dx D1 у (а) = y0, у{Ь) = ух E) при условии связи ъ J[y\ = \ G(x> у> у') dx =1- F) а Задача D)—F) сводится к A)—C) введением функции х z(x) = \G(x,y,yf)dx. а Очевидно, z(a) = 0, z(b) = /, z' = G(x,y,yf). Таким образом, задача D), E), F) сводится к виду A), B), C): V[y] = У (а) = 2/0, у{Ь) = 2/1, z(a) = 0, z(b) = I, Ф{х, у, z, у', z1) = -z' + G{x, у, у') = О (в данном случае функция z входит только в условие связи). Пусть 1) на функции у(х) достигается экстремум функционала D) при условиях E), F), 2) функция F трижды дифференцируема, 3) у(х) дважды дифференцируема и не является экстремалью функционала F). 13*
388 Вариационное исчисление [Гл. 9 Тогда существует такая постоянная Л, что у(х) удовлетворяет уравнению Эйлера для функционала и \н(х,у,у')Aх, где Замечание 3. Если у(х) — экстремаль функционала F), то Су ~ ИСу' = ° ъ и уравнение Эйлера для функционала Н dx обращается в обычное а уравнение Эйлера у dx у " для функционала V[y]. D 2. Примеры решения задач 1. Классическим примером задачи на условный экстремум (с го- лономной связью) является задача определения геодезических линий на поверхности. Л Геодезической линией называется линия наименьшей длины, расположенная на данной поверхности и соединяющая две данные точки. Например, на сфере геодезической линией будет отрезок ду- дуги большого круга — сечения сферы плоскостью, проходящей через центр и две заданные на сфере точки. Пусть (p(x,y,z) = 0 — гладкая поверхность в трехмерном евкли- евклидовом пространстве, А(хо, уо, zo) и B(xi,yi,zi) — две точки на этой поверхности, x = x(t), y = y(t), z = z(t) G) — уравнения искомой геодезической линии, соединяющей точки А и Б. Геодезическая линия поверхности (p(x,y,z) = 0 является экстре- экстремалью функционала (длина кривой) ь V[x(t), y(t),z(t)] = J V±2+2/2 + i2*, (8) a x(a)=x0, y(a) = y0, z(a) = z0, (9) yu z(b) = 2i,
§ 8 ] Условный экстремум 389 удовлетворяющей условию связи <p(x,y,z) = 0 A0) (кривая расположена на поверхности). В силу теоремы 39 с учетом замечания 1 к ней искомая кривая будет экстремалью функционала i^ + \ф, у, *)) dt. (п) Уравнения Эйлера для функционала A1) имеют вид \,J _ А. X _ А Для получения искомой экстремали к системе A2) надо присоеди- присоединить уравнение связи A0) и граничные условия (9). Если в качестве параметра t на кривой G) выбрать длину дуги этой кривой, то х2 + у2 + z2 = 1 A3) и уравнения A2) принимают вид х-\<р'х=0, y-\<p'y = O, z-\ip'x=Q. A4) Итак, геодезическая линия на поверхности A0), параметром кото- которой служит длина дуги, является решением системы уравнений A0), A3), A4) с граничными условиями (9). Найдем геодезические линии на сфере х2 + у2 + z2 = R2. Для нее система (8), A3), A4) имеет вид xi+yi + z2=R2, A5) x2 + y2 + z2 = l, A6) ж-2Лж = 0, у-2\у = 0, z-2Xz = 0. A7) Дифференцируя дваж:ды A5) и используя A6), находим хх-\-уу-\- + zz = — 1, откуда в силу A7) и A5) получаем Л = ^ < 0. С учетом 1R
390 Вариационное исчисление [Гл. 9 найденного вида Л решаем уравнения A2): х = а\ cos -^ + b\ sin -^, у = а2 cos -^ + 62 sin -|, A8) z = a3cos-^ + 63 sin-^. Подставляем A8) в A5) и приравниваем постоянное слагаемое R2, а коэффициенты при cos 2-^ и sin 2-^ — нулю. Из получившейся алге- алгебраической системы следует, что ^2 | 2 | 2 р2 т_2 _, т_2 _, 7 2 г?2 О.^ -|- 0-2 ~г О^з — -^ 5 ^1 ~г ^2 ~1~ 3 — ' O-l&i + 0-2^2 ~Ь ^з^З == О ИЛИ а| = Д, |Ь| = Я, (аЬ) = 0, A9) где а = {аъа2, a3}, b = {Ь1,Ъ2, Ъ3}. Уравнения A8) эквивалентны одному векторному уравнению Уравнение B0) с учетом A9) задает в пространстве окружность радиуса Д, лежащую в плоскости, проходящей через начало коорди- координат параллельно векторам а и Ь. Следовательно, геодезические линии на сфере — окружности, яв- являющиеся сечениями сферы плоскостями, проходящими через центр сферы. ? 2. Принцип наименьшего действия. Основным вариационным принципом механики является принцип наименьшего (точнее — стационарного!) действия, утверждающий, что среди возможных, т. е. совместимых со связями, движений мате- материальной точки в действительности осуществляется движение, даю- дающее стационарное значение функционалу S= I Ldt, B1) где L = Т — U — функция Лагранжа,
§8] Условный экстремум 391 — кинетическая энергия точки, движущейся по траектории x = x(t), y = y{t), z = z(t), U = U(t,x,y,z) — потенциальная энергия точки. Функционал S называется действием. Сила, действующая на точку в потенциальном силовом поле, имеет координаты jp _ _<Ю_ т? _ _dU_ jp _ 8U *х~ дх, *у~ ду, *z~ dz- Л Согласно принципу наименьшего действия траектория движе- движения материальной точки является экстремалью функционала B1) — функционала действия. Пусть, кроме того, движение точки осуществляется по заданной поверхности <p(x,y,z) = 0. B2) Получаем вариационную задачу на условный экстремум с голо- номной (не зависящей от производной) связью B2). Искомая траектория точки будет экстремалью функционала [ (L + \<р) dt. B3) Уравнения Эйлера для функционала B3) имеют вид dz ^z dt\ozj Покажем, что если движение точки по поверхности B2) происхо- происходит по инерции (U = 0), то траекторией движения будет геодезиче- геодезическая линия поверхности B2). Итак, в B4) L = T-U, T= f(x2 + у2 + i2), U = 0. Уравнения B4) принимают вид Вдоль траектории х2 + у2 + z2 = Vq = const,
392 Вариационное исчисление [Гл. 9 так как в силу B5) и B2) у2 + i2) = 2(жж + уу (при движении точки по поверхности (p(x(i),y(t),z(i)) = 0). Любое решение системы B2), B5) удовлетворяет уравнениям B4), где Л нужно заменить на ^^-. Итак, траектория движения материальной точки по поверхно- поверхности B2) является геодезической линией этой поверхности. Замечание. При отсутствии связей ((р = 0) уравнения B4) при- принимают вид QL _ А(дЬ\ _п дх dt\dx) ~U' ду dt\dy)-^ QL _ d_(dL\ _n dz dt\dz) U' dz dt\dzj или B6) так как ? Уравнения B6) определяют свободное (без связей) движение мате- материальной точки в потенциальном силовом поле с потенциалом U под действием силы F = — grad U. ? 3. Задача Дидоны. По преданию финикийской царевне Дидоне пришлось в трудную минуту жизни решать задачу, как "охватить" имеющимся у нее ремешком кусок берега наибольшей площади. Л Эта задача стала классическим примером изопериметрических задач, в дословном переводе как раз и означающих сохранение пери- периметра фигуры максимально возможной площади. Справедливости ради надо отметить, что смекалка Дидоны про- проявилась вовсе не в решении изопериметрической задачи, носящей ее
Условный экстремум 393 имя. Поначалу никакого ремешка в ее руках не было, а нумидийский король Ярб насмешливо разрешил ей завладеть клочком земли, ко- который молено охватить бычьей шкурой. Хитрость царевны состояла в том, что из бычьей шкуры она вырезала очень длинный тонкий ремешок (например, по спирали) и уже им "охватила" изрядную тер- территорию. На этом месте впоследствии возник город Карфаген. Со временем изопериметрическими стали вообще называть ва- вариационные задачи, в которых условия связи состоят в сохранении значений некоторых дополнительных функционалов. Рис. 80. Итак, задача Дидоны состоит в том, чтобы среди кривых длины / (/ > 2а) (рис. 80) найти кривую у(х), которая вместе с отрезком [—а, а] ограничивала бы наибольшую площадь. Кривая у(х) должна доставлять максимум функционалу и, S[y] = \ У( х) dx B7) и удовлетворять условиям у(-а) = у{а) = 0, B8) B9) Согласно теореме 39 кривая у(х), реализующая экстремум функ- функционала B7) при условиях B8) и B9), является экстремалью функ- функционала (у + \у/\ + J/'2) dx. C0) Подынтегральная функция в C0) не зависит явно от ж, поэтому уравнение Эйлера для C0) имеет первый интеграл F - y'Fy, = Ci
394 Вариационное исчисление [Гл. 9 откуда У-Сг= ~Л Полагая у' = tg?, получаем у- Сх = -Лcost, C1) dy _ff d dy_ _ Asintdt _ \гоя/л/ dx ~ g ' M~tgt~ tgt -^cosrar, x-C2 = Asint. C2) Исключая t из параметрических уравнений экстремалей C1), C2), находим (у - С,J + {х- С2J = Л2 — семейство окружностей. Постоянные Ci, C25 Л определяются из условий а у(-а) = 0, у (а) = 0, f л/l + у'2 dx = l. D — а 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы Найти экстремали в изопериметрических задачах. 1 1 9.8.1. V[y] = \yf2dx, 2/@) = 1, 2/A) = 6 при условии \y(x)dx = 3. о о 1 9.8.2. V[y] = \{x2 +yf2)dx, 2/@) = 0, у{1) = 0 при условии 9.8.3. У[j/] = JV2 dar, 2/@) = 0, у{1) = \ при условии \{у - у'2) dx = 1 12" Ответы 9.8.1. 2/ = Зж2 + 2х + 1. 9.8.2. 2/ = ±2sin7rnx, n G Z. 9.8.3. 2/ = = \Bх-х2).
Глава 10 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Интегральным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную функцию под знаком интеграла. Мы будем рассматри- рассматривать только линейные уравнения. Интегральным уравнением Фредгольма II рода называется урав- уравнение вида ъ у(х) = A J K(x, s)y(s) ds + f(x). A) а Интегральное уравнение Фредгольма I рода — это уравнение ъ ^K(x,s)y(s)ds = f(x). а Интегральным уравнением Вольтерра II рода называется уравнение X у(х) = J K(x, s)y(s) ds + f(x). а Уравнение Вольтерра I рода имеет вид K(x,s)y(s)ds = /О). В приведенных уравнениях у{х) — искомое решение, К и / — за- заданные функции, Л — параметр. Функция K(x,s) называется ядром интегрального уравнения, f(x) — свободным членом. Если / = 0, то уравнения называются однородными, если / ф 0, то — неоднородными. Функции г/, К и / могут быть вещественными, а могут быть и ком- плекснозначными функциями вещественной переменной. Интегрирование в интегральном уравнении может производиться как по отрезку прямой, так и по некоторой области большей размерно- размерности. От этого приведенная выше классификация не меняется. Пусть, например, задана область Q в трехмерном пространстве и функции К(М, Р), /(М), определенные при М ? Q и Р ? Q. Тогда соотношение у(М) = J K(M, Р)у(Р) daP + f(M),
396 Интегральные уравнения [Гл. 10 где dap — элемент области ?7, содержащий точку Р, представляет собой неоднородное уравнение Фредгольма второго рода. Основные свойства решений в одномерном случае и в многомерном одинаковы. Все сформулированные ниже для одномерного случая утверждения и методы решения уравнений остаются справедливыми и в многомер- многомерном случае. Уравнение и z(x) = А* [ K*(s, x)z(s) ds + д(х) (где Л*, К* — комплексно сопряженные к Л, К величины) называется уравнением, союзным к уравнению A). Если K(x,s) = K*(s,x), то ядро называется эрмитовым. Если ядро вещественно и K(x,s) = K(s,x), то ядро называется симмет- симметричным. Легко видеть, что симметричное ядро — это частный случай эрмитова. Ядро называется полярным, если оно представимо в виде где Ф(ж, s) — непрерывная функция, а а — число, меньшее размер- размерности п пространства переменных х. Например, в одномерном случае а < 1, а в трехмерном (когда х есть совокупность координат точки в трехмерном пространстве) а < 3. Под \х — s\ в последнем случае следует понимать расстояние между точками х и s. Если ядро имеет вид B) и а < Ц, то оно называется слабополяр- слабополярным. Ядро, представимое в виде конечной суммы г=1 называется вырожденным. § 1. Однородное уравнение Фредгольма II рода 1. Основные понятия и теоремы Рассмотрим уравнение ь y(x) = \^K(x,s)y(s)ds. A)
§ 1 ] Однородное уравнение Фредгольма II рода 397 Определение 1. Значение параметра А ^ 0 и соответствующая функция у(х) ф О, удовлетворяющая уравнению A), называются собственным (или характеристическим) значением и собственной функцией этого интегрального уравнения. Эти Л и у(х) называются также собственным значением и собственной функцией ядра К(х, s). Теорема 40. Пусть ядро K(x,s) определено при х Е [a,b], s Е Е [а, Ь] и удовлетворяет следующим условиям: 1. K(x,s) =?0, 2. K(x,s) — непрерывное или полярное ядро. 3. К(х, s) — эрмитово ядро (в случае вещественных ядер — симметричное). B) Тогда существует по крайней мере одно собственное значение и соб- собственная функция уравнения A). Собственных значений может быть конечное или счетное число. Если ядро неэрмитово, то оно может вовсе не иметь собственных значений. Одному собственному значению могут соответствовать несколько собственных функций. Определение 2. Рангом собственного значения называется число линейно-независимых собственных функций, соответствующих этому собственному значению. Теорема 41. Ранг любого собственного значения конечен. Теорема 42. Пусть ядро K(x,s) эрмитово. Тогда различным соб- собственным значениям ядра соответствуют ортогональные между собой собственные функции. Система всех собственных функций yi (ж) может быть приведена к ортонормированному виду, т. е. при г ф j. а Теорема 43. Вырожденное ядро (как эрмитово, так и неэрми- неэрмитово) имеет не более конечного числа собственных функций. Если ядро эрмитово и имеет конечное число линейно-незави- линейно-независимых собственных функций, то оно вырожденное. Решение уравнения A) в случае вырожденного ядра может быть сведено к решению алгебраической системы уравнений. А именно, п подставляя ядро K(x,s) = J^ Cti(x)uJi(s) в уравнение A), находим п У\Х) — / ^^г^Н^Х), [6)
398 Интегральные уравнения [Гл. 10 где Ci удовлетворяют системе уравнений п С — А \^ С (А) ъ otij = \uji{s)uj(s)ds. E) а Нетривиальное решение системы D) существует, если det{5ij — Xaij} = 0, F) где (l, при г = j, 13 ~ \0, при г ф j. Таким образом, задача определения собственных значений ядра K(x,s) сводится к решению алгебраического уравнения F). После этого, подставляя найденные собственные значения Л в D), из D) и C) находим соответствующие собственные функции. Теорема 44. Если ядро эрмитово (в вещественном случае — симметрично), то собственные значения ядра вещественны. Замечание. Нахождение всех собственных функций веществен- вещественного симметричного ядра сводится к нахождению вещественных соб- собственных функций в том смысле, что вещественная и мнимая части комплексной собственной функции по отдельности удовлетворяют уравнению. ? 2. Примеры решения задач 1. Найти собственные функции и собственные значения следую- следующих интегральных уравнений а) у{х) = A sinxsins?/(s) ds, о б) у{х) = Л A + cos(x — s))y(s) ds , е в) у(х) = Л J K(x, s)y(s) ds, X где К(х, s) = " ^ s<X<?.
§ 1 ] Однородное уравнение Фредгольма II рода 399 Л а). В этом уравнении ядро К(х, s) = sinхsins — вырожденное и симметричное. Тождественно преобразуем исходное уравнение к виду у(х) = С sin ж, G) где С = A \sms-y(s)ds. (8) о Подставляя G) в (8), получаем С = \\sms-Csmsds= *fC. о Нетривиальное решение этого уравнения (С ф 0) существует лишь при Л = 2/тг. Таким образом получаем собственную функцию у\[х) = = С sin х, соответствующую собственному значению Ai = 2/тг (С — произвольная постоянная). б). Как и в предыдущем примере, тождественно преобразуем ис- исходное уравнение: у(х) = Ci + C2 cos х + Сз sin ж, (9) Ci = A y(s)ds, С2 = A coss • y(s)ds, — 7Т —7Т A0) Сз = A sin s • 2/(s) ds. Подставляем (9) в A0) и получаем систему трех алгебраических урав- уравнений для Ci, C25 С3: Ci = А [ (Ci + C2 cos s + Сз sin s) (is = 2AttCi, — 7Г G2 = A cos s(Ci + C2 cos s + C3 sin s) (is = АтгС2, — 7Г Сз = A sin s(C\ + C2 cos s + C3 sin s) ds = АтгСз.
400 Интегральные уравнения [Гл. 10 Ее нетривиальное решение существует, если определитель 1 - Л2тг 0 0 О 1 - Л2тг О О 0 1 - Л2тг = 0. Отсюда Ai = 1/2тг, А2 = Аз = 1/тг. Соответствующие собственные функции 2/1B?) = Ci, 2/2B?) = C^cosa?, уз(х) = Cssmx. Собственные функции молено нормировать, выбрав Ci (г = 1,2,3) из условия J y?(x)dx = l. в). Запишем исходное уравнение в виде X I у(х) = A J ? X)y(s) ds + A J ^y^2/(s) ds A1) О х и продифференцируем его дважды: X У \х) — л\ 1 У\х) ~ 1У\Ь)аь ] ~ л\ 1 У\х)\ \ i j i у \ 1 х I = "A J f 2/(s) ds + A J l-^y(s) ds, X у"(Ж) = -^у(Ж)-^^2/(Ж) = -Лу(Ж). A2) Полученное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка A2) дополним краевыми условиями при х = 0 и х = ? Из равенства A1) следует: у@) = 0, у(?) = 0. Таким образом, функция у(х) является решением краевой задачи на собственные функции и собственные значения (задачей Штурма- Лиувилля) у"(х) + Ху{х)=0, Решение этой задачи рассмотрено в примере 1 главы 5, § 2. Там получен ответ: уп(х) = As'm^x, Хп = (^jpJ, п = 1,2,3,..., А — произвольная константа. ? 2. Пусть вещественное ядро K(x,s) удовлетворяет следующим условиям: ядро зависит лишь от разности аргументов (т. е. K(x,s) =
§ 1 ] Однородное уравнение Фредгольма II рода 401 = К(х — s)); K(t) — непрерывная кусочно-гладкая четная 2тг- периодическая функция. Пусть 2тг 2тг 1 Г 1 Г J J о о Доказать, что уравнение о имеет собственные значения Ао = ^-, Ап = ^— и соответствую- соответствующие собственные функции уо(х) = Со, уп{х) = Cn sinпх, уп = = Cn cosnx. Л Покалсем, например, что Ап = ^— и уп(х) = Cn sin пж яв- являются собственными значениями и собственными функциями инте- интегрального уравнения A3). Учитывая четность функции K(i), имеем 2тг ,1Ч ж-2тг О = -^ J K(t)smn(x-t)dt = 7A) GA) Г Г7A) Г = тга^" K(t) sinnxcosnt<it - ^g^- K(t) cosnx • sinntdt = ж-2тг ж-2тг = C^1^ sinnx. Аналогично устанавливается, что уо(х) и уп (ж) являются собствен- собственными функциями интегрального уравнения A3), соответствующие собственным значениям Ао и An. D 3. Доказать, что если комплексное ядро K(x^s) является ко- сосимметричным, т.е. K(x,s) = —K*(s,x), то все его собственные значения — чисто мнимые числа. Л Пусть А и у(х) — собственное значение и собственная функция ядра К(х, s); А*, у*(х) и К*(х, s) комплексно сопряженные величины. Они удовлетворяют уравнениям ь ь у(х) = А [ К(х, s)y(s) ds и у*(х) = А* [ К*(ж, s)y*(s) ds.
402 Интегральные уравнения [Гл. 10 Ь Вычислим |т/(ж)|2 dx двумя способами с учетом свойств ядра: а Ъ Ъ Ъ Ъ \у{х)\2 dx = у{х)у*{х) dx = Л* у{х) dx К*(ж, s)y*{s) ds = b b = Л* \K*(x,s)y(x)y*(s)dxds, a a и и и и \у(х)\2 dx = у(х)у*(х) dx = Л у*(х) dx K(x, s)y(s) ds = b b и Сравнивая полученные выражения и учитывая, что \у(х)\2 dx ф 0, а получаем Л* = —Л. Последнее равенство выполняется лишь для чисто мнимых величин. ? 4. Методом Келлога [3] найти собственную функцию и собствен- собственное значение следующего интегрального уравнения 2 у(х) = Л xsy(s) ds. 1 А Выбираем начальное приближение у°(х) = 1. Из рекуррентного 2 соотношения у^п+1\х) = \xsy^n\s) ds определяем последующие при- ближения: 2 [х] 1 = xsds = Йж, 2Г (ж) = a:sesds = 4 • i • ж, ..., Находим |А| = lim , 'J = ё. Строим нормированные функции
§ 1 ] Однородное уравнение Фредгольма II рода 403 ip(x) = lim ip2n(x) = У^х = li Таким образом, Ai = 3/7 и 2/i(#) = Сж являются собственным значением и собственной функцией исходного интегрального уравне- уравнения. ? 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы Определить собственные функции и собственные значения следую- следующих интегральных уравнений. 1 10.1.1. у{х) = A (xs + x2s2)y{s) ds. -i 2тг 10.1.2. у{х) = А [ sin(x + s)y(s) ds. 10.1.3. у(х) = A sinxcossy(s) ds. о 1 10.1.4. у{х) = A 2тг 10.1.5. у{х) = A sin(x — s)y(s) ds. о i 10.1.6. y(s) = А [ (A + г)ж + A - i)s)?/(s) ds. -i 10.1.7. 2/(я:) = A ]K(x,s)y(s)ds, о г^. ч fsinxcoss, 0 ^ х ^ s, где If (ж, *) = i . 10.1.8. 2/(х) = А|^(Ж,8)»(в)й8, где 10.1.9. 2/(ж) = A о 2 10.1.10. г/(ж) = —A y/xsy(s)ds.
404 Интегральные уравнения [Гл. 10 Ответы 10.1.1. Ai = |, А2 = §, У1{х) = Сгх, у2{х) = С2х2. 10.1.2. Ai = = -1, А2 = 1, 2/i(ж) = Ci(smx - cosx), г/2(^) = C2(sinx + + cosx). 10.1.3. При любых А уравнение имеет тривиальное решение. 10.1.4. Ai = -е/2, 2/i(ж) = СсЬж. 10.1.5. Ах = -г/тг, А2 = г/тг, У1(х) = Cxe-ix, 2/2(ж) = С2е*ж. 10.1.6. Ах = -^|, А2 = уД, 2/i(a?) = 2/2W = С2(х+^). 10.1.7. An = — 1, yn(x) = Csin(n + 1/2)ж, n = 0, ±1, ±2,..., G — произвольная постоянная. 10.1.8. An = —тг2п2, 2/n(#) = CsinTrnx, n = 1,2,..., С - произвольная постоянная. 10.1.9. Ai = 2e2(e2 — I), yi(x) = Ce~x. 10.1.10. Ai = -2/3, 2/i (я) = У^ § 2. Неоднородное уравнение Фредгольма II рода 1. Основные понятия и теоремы Рассмотрим уравнение у(х) = Х^К(х, s)y(s) ds + f(x), A) где K(x, s) — непрерывное или полярное ядро, a f(x) — непрерывная функция. Определение 1. Ядра Kn(x,s), определяемые из рекуррентного соотношения о Ki(x,s) = K(x,s), Kn+i(x,s) = \K(x,t)Kn(t,s)dt, n = 1,2,..., a называются повторными ядрами. Обозначим b b b г г г T) — 411T) J\ (if e I ле Ji — J\ (if Я)\ AHP A 4 ^ ^ a \ a a Теорема 45. Пусть К(х, s) — непрерывное ядро. Тогда решение уравнения A) существует и единственно при |А| < 1/В. Репгение мож:ет быть найдено как предел равномерно сходящейся последовательности приближений (рп(х), определяемых рекуррент- рекуррентным соотношением о ?n+i(x) = AJK(x, s)<pn(s) ds + /(ж), B) а где (ро(х) — произвольная функция.
§ 2 ] Неоднородное уравнение Фредгольма II рода 405 Решение также может быть получено по формуле ъ у{х) = f(x) + Л J R(x, 8, X)f{s) ds, C) а где R(x, s, А) — резольвента ядра К(х, s), определяемая при |А| < 1/В как сумма ряда D) ?тг=1 Теорема 46. Пусть K(x,s) — полярное ядро. Тогда утверждения предыдущей теоремы остаются в силе при |Л| < 1/Р. Замечание 1. В случае, когда ядро непрерывно, часто удобно пользоваться более грубым, но легко проверяемым критерием "ма- "малости" Л. Обозначим М = sup \K(x,s)\. Поскольку В ^ М(Ъ — — а), то теорема остается тем более в силе при |Л| < ,, г. Часто под "малым" Л понимают значение Л, удовлетворяющее последнему неравенству. П Рассмотрим теперь уравнение A) и союзное ему уравнение ъ z(x) = Л* [ K*(s, x)z(s) ds + g(x) E) a при произвольном Л. Теорема 47. Если Л — собственное значение ядра К(х, s), то Л* является собственным значением союзного ядра K*(s,x). Справедливы также следующие три теоремы Фредгольма. Теорема 48. Если Л не совпадает с собственным значением ядра К(х, s), то решение уравнения A) и союзного к нему E) существует и единственно при любых непрерывных функциях f(x) и д(х). Теорема 49. Если Л — собственное значение ядра K(x,s), то однородные уравнения A) и E) имеют равное число линейно-незави- линейно-независимых решений. Теорема 50. Если Л — собственное значение ядра К(х, s), то для существования решения уравнения A) необходимо и достаточно, чтобы функция f(x) была ортогональна всем решениям союзного однородного уравнения, соответствующим этому Л. (Ортогональ- ь ность f{x) и z{x) понимается как условие f(x)z*(x) dx = 0.) а Если ядро уравнения A) вырожденное, то процесс решения A) сводится к решению системы алгебраических уравнений. А именно,
406 Интегральные уравнения [Гл. 10 п пусть ядро имеет вид К(х, s) = J^ Q,i(x)u)i(s). Тогда из уравнения A) г=1 следует, что п ^) = ^п^ + /A), F) ъ где Ci = Л uji(s)y(s) ds. Подставляя F) в последнее равенство, полу- а чаем систему уравнений для определения d: п ь ь где aij = a^(s)f^(s) ds, a, fa = \ f(s)uji(s) ds. а а Собственные значения ядра K(x,s) находятся из уравнения F) § 1. Если Л не совпадает ни с одним собственным значением, то решение системы G) единственно. Определив Ci из G), из F) находим функ- функцию у(х). Если Л совпадает с некоторым собственным значением ядра К, то для существования решения системы G), а следовательно, и ре- решения A), необходимо и достаточно, чтобы вектор значений /3 был ортогонален всем решениям d^ однородной системы G) с транспо- транспонированной матрицей, т. е. i=i 3=1 Здесь индекс s показывает номер решения: s = 1,..., Rang Л. В случае, когда ядро K(x^s) эрмитово, решение A) может быть представлено в виде разложения по собственным функциям ядра. Сформулируем теорему для случая вещественного ядра. Теорема 51. Пусть ядро K(x,s) вещественно, непрерывно или слабополярно, симметрично. Пусть yi(x)j ..., Уп{х), ... — собственные функции ядра, приве- приведенные к ортонормированному виду, а Xi, ..., Хп, ... — соответ- соответствующие собственные значения. Тогда: а) если Л не совпадает ни с одним собственным значением Xi, то решение уравнения A) существует, единственно и определяется выражением
§ 2 ] Неоднородное уравнение Фредгольма II рода 407 где суммирование производится по всем собственным функциям яд- ъ pa, f% = \f(x)yi(x)dx. а Иначе решение может быть представлено в виде ъ у{х) = /О) + Л J R(x, s, X)f(s) ds, a где R(x, s, Л) = K(x, s) + Л ^^ f! ! (8) — резольвента ядра К(х, s); б) если X = Хп, где Хп — некоторое собственное значение ядра K(x,s), и функция f(x) ортогональна всем собственным функциям уП1, ..., уПт, соответствующим собственному значению Хп ран- ранга т, то решение уравнения существует, не является единствен- единственным и представимо в виде где Ci произвольные коэффициенты; в) если X = Хп, a f(x) не ортогональна хотя бы одной собственной функции, соответствующей Хп, то решение не существует. Замечание 2. Резольвента R(x, s, Л) была определена дважды: при "малых" Л в D) и для случая симметричного ядра в (8). Если ядро симметрично и Л "малое", то D) и (8) определяют одну и ту лее функцию [3]. ? 2. Примеры решения задач 1. Построить резольвенту для уравнения и у(х) = Л J K(x, s)y(s) ds + f(x) в следующих случаях: а) К(х, s) = sin x cos sex+s, a = 0, b = тг, б) if (ж, s) = sin(x + s), a = 0, 6 = 2тг.
408 Интегральные уравнения [Гл. 10 Л а) Имеем: K2(x,s) = sinxcostex+t sint cos set+s dt = = i sin x • cos s • ex+s f sin 2te2t dt = о e = 1 sin x cos se*+s • Im f e2^+t) dt = l ~ge sin ж cos sex+s, о Тогда R(x,s,X) = sin x cos sex^ „=i 8 ^ 8 + A(e2--l)' б) Имеем: 2тг ^2 (#, s) = sin(x + t) sin(t + s) dt = о 2тг = i (cos(x — s) — cos(x + s + 2t)) dt = ttcos(x - s), 0 2тг Ks(x, s) = sm(x + tOrcos(t — s) dt = тг2 sin(x + s). Очевидно, K2m(x, s) = 7r2m г cos(x - s), K2m+i{x, s) = 7r2m sin(x + s), m = 1, 2,... Тогда R(x,8,X) = OO m=l s) + ^ (Л^-Ч^-1 cos(x - s) + A 2m7r2m _ sin(x + s) + Attcos(x — s) ~ 1-Л27Г ' где |Л| < 1/тг. П
§ 2 ] Неоднородное уравнение Фредгольма II рода 409 2. Ядра K(x,s) и N(x,s) называются ортогональными на отрезке [а, Ь], если выполняются условия ъ ъ [ К(х, t)N(t, s) dt = O, [ N(x, t)K(t, s) dt = 0. а а Доказать, что ряд для резольвенты ядра, ортогонального самому себе на отрезке [а, Ь], сходится при любых А. Л По определению ядро ортогонально само себе, если ъ \K(x,t)K(t,s)dt = O. а Для такого ядра, очевидно, K2{x,s) = ... = Kn(x,s) = 0. Поэтому резольвента ортогонального ядра совпадает с ним самим при любых А. ? 3. Построить резольвенту для уравнения 2тг у(х) = A sin(x + s)y(s)ds + f(x) о в виде разложения по собственным функциям ядра. А Однородное уравнение имеет собственные функции у\(х) = = Ci{smx — cos x) и 2/2(#) = C^sina; + cos ж), соответствующие собственным значениям Ai = — 1/тг и А2 = 1/тг (см. пример 2 для самостоятельного решения из § 1). Постоянные С{ (г = 1,2) выберем 2тт из условия Vi(x) dx = 1 равными j_. Тогда 0 , s, A) = si (sin ж — cos ж) (sin s — cos s) 1 , . ч 1 , • (sin x + cos x) (sin s + cos s) s) + Attcos(x — s) Отметим, что полученное выражение для резольвенты совпадает с ра- ранее найденным его значением через повторные ядра (см. пример 16 настоящего параграфа). ?
410 Интегральные уравнения [Гл. 10 4. Решить следующие интегральные уравнения TV у(х) = Л A-\-cos(х — s))у(s) ds-\-asmх-\-bcosх-\-dcos2х — ТХ при различных значениях параметров Л, а, 6, d. Л Воспользуемся найденными в примере 1а из § 1 выражениями для собственных функций и собственных значений соответствующего однородного интегрального уравнения: у\{х) = Ci, 2/2(ж) — C^cosx, г/з (ж) = С'з sin ж, Ai = 1/2тт, Л2 = Аз = 1/тг. Отметим, что эти собствен- собственные функции совпадают с собственными функциями союзного ядра, так как K*(s, х) = 1 + cos(x — s) = if (ж, s). При А т^ А^ (г = 1,2,3) согласно теоремам Фредгольма уравнение имеет единственное решение, которое, очевидно, молено искать в виде у(х) = А + В cos x + D sin x + d cos 2x. Подставляем y(x) в такой форме в уравнение: А-\- В cos х + D sin ж + с/ cos 2x = = А A + cos ж coss + sin ж sins) (Л + Bcoss + Dsins + dcos2s) ds+ — 7Г + a sin ж + 6 cos x + d cos 2ж и, сравнивая коэффициенты, стоящие при одинаковых функциях в ле- левой и правой частях уравнения, получаем А = Х2тгА, В = ХтгВ + 6, D = Атг?> + а. Откуда А = 0, В = 6/A - Атг), L> = a/(l - Атг) и 2/(ж) = т;—^т— cos ж + -z—Qlt— sin ж + d cos 2ж. 4 ' 1 — Атг 1 — Атг Напомним, что при А ф А^, г = 1,2,3, решение уравнения может быть также найдено через резольвенту ядра. Действительно, подставляя в G) приведенные выше А^ и 2/г(#)> получаем R(x,s,\) = 1 _ о \ ~^~ , cos(x - s) ~ Н ^ т-^. Отсюда 2/(ж) =a sin х -\-Ъ cos ж + d cos 2x-\- + А f -z—\—j- H i"^—т-^-) (asins + bcoss + с^cos2s) c^s = ^ cos ж + tj—^Ц— sin ж + c/cos2x. 1 Атг tjЦ cos ж + tjЦ 1 — Атг 1 — Атг
§ 2] Неоднородное уравнение Фредгольма II рода 411 При Л = Ai = y~ согласно теореме 47 (Фредгольма) решение существует лишь при выполнении условия f(x)yi(x) dx = (a sin ж + bcosx + dcos2x)Ci dx = О, — 7Г —7Г т. е. при любых значениях параметров a, bud. В этом случае г/(х) = = 26 cos х + 2а sin ж + с/ cos 2ж + С4, где С4 — произвольная постоянная. При Л = Л2 = Аз = ^ решение существует при выполнении условий (a sinх + Ъcos х + dcos 2x)C2 cos x dx = О TV (а sin ж + 6 cos x + d cos 2ж)Сз sin x dx = 0 — 7Г т. е. при 6 = a = 0. Тогда г/(ж) = d cos 2ж + C$ cos ж + Сб sin ж, где С*> и Сб — произвольные постоянные. П 5. Решить следующее интегральное уравнение при различных значениях параметров: 1 у(х) = А Bх — s)y(s) ds + ax. о Л Найдем собственные значения и собственные функции союзного однородного уравнения 1 2(ж) = A \{2s-x)z{s)ds. о Имеем Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в левой и пра- правой частях уравнения, получаем систему двух уравнений нетривиальное решение которой существует, если определитель 1+Л Л =о. -§А 1-А
412 Интегральные уравнения [Гл. 10 Отсюда Ai = ^ — ^-^—, ^2 = ^ +i^Y~• Соответствующие собственные функции Zl{x) = d(x + di), z2(x) = d(x + d2), di = |3, ** zv 15 — 1 2 3 + гл/Тб ^ = — # ^^=, Gi — произвольная постоянная. 3 1 + ^15 d2 = При Л = Л^, г = 1,2, решение исходного уравнения ищем в виде у(х) = Ах + 5. Подставляем у(х) в такой форме в уравнение и, как в предыдущем примере, для А, В получаем систему алгебраических уравнений: А = \{А + 2Б) + а, Б = -Л (| + f). F + ЗЛ)а _2Ла / ч F + ЗЛ)х - 2Л А=л2-зл + б'д=л2-зл + би^) = а л2-зл + б 'а~ любое. 1 При Л = Ai решение существует при условии ахС\{х + d\) dx = о = 0, т. е. при а = 0. Тогда г/(ж) = С%(х + di), где Сз — произвольная постоянная. При Л = Л2 решение также существует лишь при а = 0 и у (ж) = = С±(х -\- d,2), где С^4 — произвольная постоянная. ? 6. Решить следующее уравнение: у(х) = Л sin(x — 2s)y(s) ds + a cos ж + bx. о А Неслож:но показать, что соответствующее союзное однородное уравнение 2тг z(x) = A sin(s — 2x)z(s) ds имеет только тривиальное решение. Поэтому исходное интегральное уравнение разрешимо единственным образом при любых значениях параметров Л, а, Ь. Найдем это решение, используя его представление через резоль- резольвенту R(x,s,X) ядра K(x,s) = sm(x — 2s). Очевидно, ядро K(x,s) ортогонально самому себе на отрезке [0,2тг]. Поэтому R(x,s,X) = = sm(x — 2s). Тогда 2тг у(х) = a cos х + bx + Л sm(x — 2s) (a cos s + 6s) ds = о = (a + nXb) cos ж + bx. ?
§ 2] Неоднородное уравнение Фредгольма II рода 413 7. Решить следующее интегральное уравнение 1 1 и(х,у) = Х (ху + ?ri)u(€,ri)d€dri + f(x,y). А Найдем собственные значения и собственные функции соответ- соответствующего однородного уравнения. Имеем Г Г и(х,у) = С\Ху + С2 = A (^2/ + ^7/)(Ci^7/ + C2 = 4АС2жг/ + ^; Отсюда Ai = -|, A2 = |, ^iO,?/) = C2(l - Зжу), и2(х,у) = Ci(l + + 3xy)/3, Ci, C2 — произвольные постоянные. При А ф A^, i = 1,2, решение исходного уравнения ищем в виде и(х, у) = Аху + В + /(ж, у). Подставляем и в такой форме в уравнение и получаем для А л В систему алгебраических уравнений 1 1 Л = } f(Z,v)d?dv, f2 = -1 -1 Отсюда [(Л х-1т При А = Ai = — | решение существует при выполнении условия Л - З/г = 0 и и(х,у) = -^xyfi + f(x,y) + С3Cж?/ - 1), где С3 — произвольная постоянная. При А = А2 = 4 решение существует при выполнении условия /i + З/2 = 0 и и(х,у) = |#2//i + f(x,y) + C/^xy + 1), где G4 — произвольная постоянная. ? 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы 10.2.1 Построить резольвенту для уравнения A) в случаях: а) К(х, з) = xes, а = 0, Ъ = 1, |А| < 1, б) К(х, s) = е-^2^2\ а = 0, Ъ = ос, |А| < л/f,
414 Интегральные уравнения [Гл. 10 в) К (ж, s) = х + sins, a = —тг, 6 = тг, |А| < J^, г) if (ж, s) = cos2(x — <s), а = —тг, 6 = тг, д) if (ж, s) = xs2 + x2s, а = -1, 6 = 1, 10.2.2. Решить следующие уравнения при различных значениях параметров: 1 а) у{х) = А \ (х + s)y(s) ds + ах + b, r-\ / \ л Г / 9 9\ / \ 7 т Ч \\ I 7/1 /Т* I — /^ I I о^ с I /у» Q 17/1 С ] /| Q I /7 'Т* I Г)/Т* J -1 о в) у{х) = A f A + ж)A - s)y(s) ds + аеж + 6, -1 г) г/(ж) = A sinBx — s)y(s) ds + a(sin ж — sin3 x) + b cos ж, о l д) г/(ж) = А ((г + l)x + A — i)s)y(s) ds + аегж + 6, -l l l е) u(x,y) = А [(ж2 + 2/2)(^2 + ту2)]1/2^(^,ту)^^ + f{x,y), о о ill ж) u(x,y,z) = A J J -l -l -l Ответы 10.2.1. a) R(x,8,X) = f^j. б) Д(а:,в,А) = ^"^Jl^. в) Д(а:,в,А) = х + sin ж + 27rA(xsina: + 1) \ т>( \\ Атт/2 2 cos2 (ж — s) — Атг/2 х / 1 л / 2 Л ^ 7Г ' Л Г1 п ¦ - BтгЛJ • Г) НУХ>8>Х> = Г^Л^+ р/ „ Хч _ A5 - 8Л2/3)(^2 + x2s) A / ±^. e) i?(s,e,A) = j^^ + 1У_^'- Ю.2.2. а) Если А Ф ±^-, то у(ж) = b 2ж + > а> ь 3 — 4А 3 — 4А А = -^-, то уравнение разрешимо лишь в случае а + уЗ^ — 0. При этом у(х) = 6 + С\{х + л/3/3), Ci — произвольная постоянная. Если
§ 2] Неоднородное уравнение Фредгольма II рода 415 Л = — л/3/2, то уравнение разрешимо лишь в случае а — л/ЗЬ = 0. При этом у(х) = Ъ + С2(х — л/3/2), С^ — произвольная постоянная. х\ -с л / /ТЕ/о / \ 2ЛEа + 36) 2 , 4Л2Eа + 36) , , , 2 б) Если Л / л/15/2, то 2/(ж) = 15 4д2 ж + + аж + Ьж _ 4д2 ж + 5A5 - 4Л2) + аж + Ьж ' а, Ь — любые. Если Л = ^—, то уравнение разрешимо лишь в случае Ъа + 36 = 0. При этом ?/(» = а(ж - §ж3) + d (х + ^^2), Ci - произвольная постоянная. Если Л = — л/15/2, то уравнение разрешимо лишь в случае Ба-\-ЗЬ = 0. При этом у(х) = а(х—^х3)-\-С2 (х—^—х2 j, С2 — произвольная постоянная, в) Если Л ф 4, то г/(ж) = аех -\- b -\- , ЗЛ(Dе-6)а + ЗеЬ,1 , ч . * - л 3 Н ( —^ут A + ж), а, о — любые. Если Л = #, то уравнение имеет решение только при Dе — 6) + ЗеЬ = 0. Это решение: у(х) = = а(ех -\ ^—-) + С(ж — 1), G — произвольная постоянная, г) При любом Л уравнение имеет решение у(х) = a(sinx — sin x) + 6 cos ж + + 7rAFsin2x - |cos2x). д) Если Л ф ±^/зJS, то у{х) = aeix + 6 + + 2ЛA + i)(d + 6 + asinl)x + d, d = A - |A2)- + 2Aa(l + г)(sin 1 — cos 1) L а и b — любые. При А = —^3/8 уравнение имеет решение только в случае m(sin 1 — cos 1) т^(а sm I + Ь) = 0. V6 Это решение у(х) = аегх — a sin 1 + С\ (х ^ j, С\ — произвольная постоянная. При А = уЗ/8 уравнение имеет решение только в случае ia(sinl — cos 1) -\ ^(asinl + b) =0. Это решение у{х) = еагх — V6 — a sin 1 + С2 (х -\ :jJL j, С2 — произвольная постоянная, е) Если А ф ф 3/2, то и(х,у) = AjJv^T^/(^7y)dgd7y^tjf2 +/(аг,у). При 0 0 3 1 1 А = 3/2 уравнение разрешимо, если <\/аР~+~у^ f (х, у) dx dy = 0. о о Решение имеет вид и(х, у) = /(ж, у), ж) Если А ^ 27/8, то ?х(ж, г/, z) = 111 ~ W) \ \ \ ^xf(^V,x)d^dvdx- При А = 27/8 уравнение -1 -1 -1 ill разрешимо только в случае xyzf(x,y,z)dxdydz = 0. При -1 -1 -1 этом u(x,y,z) = f(x,y,z).
416 Интегральные уравнения [Гл. 10 § 3. Интегральные уравнения Вольтерра II рода 1. Основные понятия и теоремы Рассмотрим уравнение (x,s)y(s)ds + f(x) (а^х^Ь), A) где K(X)S) — непрерывное или полярное ядро, a f(x) — непрерывная функция. Теорема 52. Уравнение A) имеет единственное непрерывное решение при любом значении X. Это решение может быть найдено: а) как предел равномерно сходящейся последовательности, опре- определяемой рекуррентным соотношением X <Pn+i(x) = A J К(х, s)(pn(s) ds + f(x), B) а где (fo(x) — любая непрерывная функция (т. е. методом последова- последовательных приближении); б) из равенства X у(х) = /О) + Л [ R(x, s, A)/O) ds, C) где резольвента R(x,s,X) = ^ An 1Kn(x,s), а повторные ядра п=1 Kn(x,s) определяются из рекуррентного соотношения X Ki(x,s) = K(x,s), Kn+i(x,s) = \K(x,t)Kn(t,s)dt (га = 1,2,...). s D) В силу сформулированной выше теоремы единственности реше- решения A) однородное уравнение имеет лишь тривиальное решение. Следовательно, однородное уравнение Вольтерра II рода не имеет собственных значений. Поскольку собственных значений не существует, то множитель Л в записи уравнения Вольтерра обычно опускают. Уравнение Вольтерра I рода (x,8)y(s)d8 = f(x) E)
§ 3] Интегральные уравнения Волътерра II рода 417 в некоторых случаях может быть сведено к уравнению Вольтерра II рода. Пусть K(x,s) и f(x) дифференцируемые по х функции и К(х,х) -ф 0. Тогда дифференцируя E) по х и деля на К(х,х), получаем ]'Mv(=)d3- Г{Х) y[S)aS К(х,х)УК J K(x,x) а — уравнение Вольтерра II рода. 2. Примеры решения задач 1. Решить уравнение X О Л Дифференцируем уравнение по х. Получаем s —^v(s) ds. G) Последнее слагаемое в G) с помощью соотношения F) можно выра- выразить через у (х). А именно, я Г 2s+ 1 / ч , _ 4 .2 Г 2s + 1 _ 4 / _ г) 8J Bx + iry{S)dS-2x + l 2J Ba;+l)a -2x + l^ ^- Теперь из G) имеем При ж = 0 из F) следует г/@) = 1. Таким образом, решение уравнения F) сводится к решению сле- следующей дифференциальной задачи: ( + J/ + 2/ , Ь@) = 1. Решая эту задачу, находим ответ: у(х) = ^ ~\_ -. . П 2. Построить резольвенту и решить уравнение ж »(*)= \\^4y(s)ds + l + x2. о 14 А. Б. Васильева, Г. Н. Медведев
418 Интегральные уравнения [Гл. 10 Л Строим повторные ядра К*(х s) - f 1 + х2 l 31 ' j"J 1 + t2 1 2! Находим резольвенту лЛлХ S А)^ 7 А 1\. \Х S)^ 7 п=1 п=1 Учитывая, что А = 1, получаем решение интегрального уравнения X О Ответ: R(X, S, Л) = ^±^!еА(Ж-вM у^ = ех^ + ^2^ В рассмотренном примере решение проще найти, сделав очевидную замену z{x) = 2 и продифференцировав уравнение. П -L "т" X 3. При помощи последовательных приближений найти решение уравнения Л Будем искать решение с помощью последовательных приближе- приближений, определенных рекуррентным соотношением B). Выберем г/о = = ех. Тогда 2/1 X (х) = 3 J ex~ses ds + ex = ех{1 + Зх),
§ 3] Интегральные уравнения Вольтерра II рода 419 с) = 3\ex-ses(l + 3s)ds + ex = ex (l + Зх + ^-), ж 2/2 (Ж) О Отсюда у (ж) = lim уп(х) = еже3ж. Ответ: у = е4ж. П п—)-оо 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы 10.3.1. Решить, сведя задачу к дифференциальному уравнению: X а) у(х) =х-\ ex~sy(s) ds, о X б) у(х) + J (ж - sJ/(s) ^ = 1, о ж в) у(х) = A + ж — s)y(s) ds + ж2. о 10.3.2. Построить резольвенту и решить ж а) у(х) = a2 J (ж - sJ/(s) ds + /(ж), о х б) 2/(ж) + [ ex2~s2y(s) ds = l- 2x. о 10.3.3. Решить методом последовательных приближений: х d ^ а) у(х) + J 2/(s) о х б) 2/(ж) + [(ж - Ответы 10.3.1. а) у = х - ^-. б) у = cosx. в) у = 2A z V3 3-V5 + 7^Яе^Ж - О' 10'3-2- а) д = 4^пл/Л(ж - s), 2/ = f(x) + 3 + v 5 / V А ж + a[sha(> - s)f(s)ds. 6) R = ex2~s2ех(<х~8\ у = ех2~х - 2ж. о 10.3.3. а) у = ж. б) у = cos ж. 14*
420 Интегральные уравнения [Гл. 10 § 4. Интегральные уравнения с ядром, зависящим от разности аргументов 1. Основные понятия и теоремы 1°. Рассмотрим уравнение Фредгольма с ядром, зависящим от разности аргументов: сю у(х) = X [ K(x-s)y(s)ds + f(x) (-00 < х < оо). A) — оо Пусть у(х), К(х) и f(x) таковы, что над ними может быть произведено преобразование Фурье [7]: сю сю у(и) = [ eiujy(x) dx, K{uj) = [ eiujxK(x) dx, — сю Тогда подвергнем преобразованию Фурье соотношение A). Используя то, что изображение интеграла, стоящего в A), равно произведению изображений К и у, получим у(ш) = ХК(ш)у(ш) + /(о;). B) Отсюда выражаем y(uS) и делаем обратное преобразование Фурье. Имеем сю ~ у(х)= 1 [ e-i«* /И dco. C) У ' 27Г J 1-ХК(ш) V У — сю Если интеграл C) существует и определяет кусочно-гладкую абсолют- абсолютно интегрируемую функцию у(х), то г/(ж) является решением уравне- уравнения A). Построим резольвенту для уравнения A). Замечаем, что из B) следует y = f + XfR, D) где R = — ~ . Совершив в D) обратное преобразование Фурье, 1 — ХК получаем сю y(x) = f(x) + \ J R(x-s,\)f(s)ds,
§ 4] Уравнения с ядром, зависящим от разности аргументов 421 где резольвента R(z,X) определяется выражением R(z,X) =-ft- e IUJZ \J-—duo. E) 27Г J I-XK(oj) 2. Рассмотрим уравнение Вольтерра с ядром, зависящим от разно- разности аргументов х у(х) = J К(х - s)y(s) ds + /0) @ ^ х < ос). F) о Пусть у, К и / — функции, допускающие преобразование Лапласа оо оо оо Y(p) = [ e~pxy(x)dx, L(p) = [ e~pxK(x)dx, F(p) = [ e~pxf{x)dx. 0 0 0 Подвергнем преобразованию Лапласа соотношение F). Учитывая, что изображением свертки является произведение изображений, получаем Y(p) = L(p)Y(p) + F(p). G) Определяя отсюда Y(p) и совершая обратное преобразование Мелли- на, находим а+гоо у(х) —-L. Г еРх f\p) d fo\ У^Х) ~ 2тгг J e 1 - L(p) P' [ } a — ioo Если выраж:ение (8) определяет функцию у(х), допускающую пре- преобразование Лапласа (кусочно-непрерывную функцию ограниченной степени роста), то у(х) является решением уравнения F). Построим резольвенту для уравнения F). Из G) имеем где Сделав преобразование Меллина, находим где а+гоо
422 Интегральные уравнения [Гл. 10 3. Рассмотрим уравнение Вольтерра I рода с ядром вида K(x,s) = — 7— \« ? т-е- интегральное уравнение \х ~ s) У^8\а ds = fix). A0) (При а = 1/2 это уравнение называется уравнением Абеля.) Пусть f(x) дифференцируемая функция. Специальный вид ядра позволяет получить решение в явном виде (см. [3]): J frj 2. Примеры решения задач 1. Исследовать решение уравнения сю у(х) = Л е~а'ж~5'?/E) ds + Ае~ъ\х\ (а > 0, 6 > 0) — сю при различных Ani. Построить резольвенту ядра. Л Произведем преобразование Фурье ядра и свободного члена в уравнении сю if (а;) = [ е™ха~а\х\ dx = 2 2а 2, J ft + CJ — сю сю /И = f e^Ae-6!*! dx = — сю Соотношение C) получаем в виде а). При Л < а/2 последний интеграл сходится абсолютно, рав- равномерно по ж и определяет непрерывную функцию у(х). Вычисляем интеграл при помощи вычетов, используя лемму Жордана [23]. При х > 0 замыкаем контур интегрирования дугой в полуплоскости Im uj < < 0, при х < 0 дугой в полуплоскости Imo; > 0.
§ 4 ] Уравнения с ядром, зависящим от разности аргументов 423 Получаем /а2 — 2Ха б). Пусть Л ^ а/2, a A = 0. Тогда имеем однородное уравнение Рассмотрим соотношение 1 — \K(uS) = 1 — Л 2 2 = 0. Из него находим o;i = \/2аЛ — а2. Нетрудно проверить, что у(х) = Се~гШ1Х, где G — произвольная константа, является решением однородного интегрального уравнения. Действительно, подставляем у = Се~гШ1Х в уравнение, делим соотношение на е~гШ1Х и переносим слагаемые в одну часть. Имеем С - XeiuJlX J L J — сю —сю = С[\ - ХК(Ш1)] = 0, что и требовалось проверить. в). Пусть Л ^ ?| и А ф 0. Тогда решение в классе непрерывных абсолютно интегрируемых функций не существует. Действительно, допустим противное. Рассмотрим несобственный интеграл сю 5гшху(х) dx. Подынтегральная функция непрерывна, а сам интеграл сходится рав- равномерно по х в силу признака Вейерштрасса: \егшху(х)\ ^ |2/(ж)|5 сю \у(х)\ dx — сходится. Отсюда, по известной теореме анализа, Y{uj) — сю является непрерывной функцией при любых си. С другой стороны, при сделанных предположениях интегральное уравнение молено подвергнуть преобразованию Фурье. Имеем При uj —>• uj\ = л/2аЛ — а2 значение Y(uj) —> oo. Получаем противоре- противоречие с условием непрерывности Y(cj).
424 Интегральные уравнения [Гл. 10 Обратимся к построению резольвенты. Согласно E) имеем д(^ Л)= 1 [ e-i«z K^J dou = ±- \ e~^z-2 Ц duo. V ' J 2тг J ! _ хк(ш) 27Г J a2 + cj2 - 2Aa При X < а/2 интеграл сходится и вычисляется с помощью вычетов. (По стечению обстоятельств, он отличается от A1) только множите- множителем.) Получаем v у Ъ{Ъ2 -а2 + 2Ла) lv у V«2 - 2Ла J 2. Решить уравнение X у(х) = J sin(x - sJ/(s) (is + e~x о и построить резольвенту ядра. А Подвергнем преобразованию Лапласа ядро и свободный член интегрального уравнения. Имеем оо оо F(p) = е~рхе~х dx = ]_ л , L(p) = e~px sinxdx = -^—. J p-h I J p +1 о о Соотношение (8) будет иметь вид a+гоо а+гоо / \ 1 [ рх F(p) , 1 Г юж Р + 1 7 2ттг J 1 — L(jp) 2ттг J p2(p+l) Подынтегральная функция имеет полюс первого порядка при р = — 1 и полюс второго порядка в нуле. Поэтому в качестве а молено выбрать любое положительное число. Замыкаем контур интегрирования дугой полуокружности, лежащей слева от прямой (а — гоо, а + гоо). Исполь- Используем лемму Жордана. Получаем решение у(х) = Res|> P;1 , -ll + Resfe^^-bl О] = 2е~х L р (р + 1) J L р (р + lj J х - Для определения резольвенты рассмотрим соотношение (9), которое для данного случая имеет вид a+гоо a+гоо r(x)--L- Г cvx LW> dv- 1 { ерх^-
§ 4 ] Уравнения с ядром, зависящим от разности аргументов 425 Вычисляя интеграл, находим R{x) = Res[epxp~2,0] = x. Ответ: у{х) = 2е~х + х — 1, R{x) = x. ? 3. Пусть частица массы т совершает колебания в поле с потен- потенциальной энергией и(х). Зависимость и(х) заранее неизвестна, однако предполагается, что и(х) — четная функция и и@) = 0. Период колебаний частицы зависит от ее энергии. Пусть известна зависимость периода колебаний частицы в поле от энергии колебаний Т(Е) = кЕ. Требуется определить функцию и(х). (л \2 Л В силу закона сохранения энергии Щ- • (%) + и(х) = Е. Интегрируем это уравнение, разделяя переменные. Имеем Щ; = = \/?г(Е -и(х)). Отсюда t= х Щ- \ , dx = + const. Считая и@) = v V z J yJE — u(x) = 0, получаем следующее выражение для периода колебаний Т{Е) = _хо(Е) = , где xq(E) — корень уравнения и(х) = Е. z J о Переходя под интегралом к переменной du, используя заданный вид зависимости Т(Е), получаем интегральное уравнение для определе- определения функции Ф(и) = ф-(и): A2) v J PeniHM это уравнение. Обозначим = С. Умножим A2) на 1/у/Ео — Е и проинтегрируем по Е от 0 до Eq. Получим Eq Eq E Eq Eq Г IT1 ЛЕГ1 Г ЛЕГ1 Г Ф(чпНи Г Г ЛЕГ1 С f = ajC/ v y = $(u)du 0°0°0 0 w° A3) В правой части A3) делаем замену переменной ^ ~^и = ^. Имеем dE о '-^ J УГ^ = тг. Из A3) получаем
426 Интегральные уравнения [Гл. 10 Сделав в левой части последнего равенства замену переменной Е = = Eq • ?, имеем 1 ° С^з/2 f tjdtj _ 3/2 АС _ 1° ф(и) du о о Дифференцируя полученное соотношение по Eq , заменяя обозначение q на и, получаем Ф(и) = Ci^1/2, где С\ = ^^ . Интегрируя соотношение Ф(гх) = 4^ = Ci^1/2, находим ж = Ci4^3/2- /о / \2/3 Ответ: тх(х) = (^y/fxj . П 3. Задачи и упражнения для самостоятельной работы 10.4.1. Исследовать решение уравнения при различных Л и В y(s) Ап , В 10.4.2. Решить 10.4.3. Решить, используя преобразование Лапласа, и построить резольвенту: а) у(х) = 2cj coscj(x - s)y(s) ds + о б) 2/(ж) = ио smoj(x — s)y(s) ds + о ж в) у{х) = 2a; sina;(x — s)y(s) ds + i si о 10.4.4. Решить, используя преобразование Лапласа: ж а) г/(ж) + \(х — s) cos(x — s)y(s) ds = cos ж, о ж б) з/(ж) + [[1 + (х - s)]y(s) ds + ж2. о 10.4.5. Решить задачу 3 в случае, когда период колебаний не зави- зависит от энергии колебаний.
§ 4 ] Уравнения с ядром, зависящим от разности аргументов 427 Ответы 10.4.1. При |Л| < 1/тг и любом В решение дается выражением у(х) = оо = Ц- е~гшх duj При |Л|>1/тги.В = 0 имеем решение одно- — оо родного уравнения у{х) = CielxlnX7V + G2е~гж1пЛ7Г, где С\ и С2 — про- произвольные константы. При \\\ ^ 1/тг и В ^ 0 непрерывного решения оо ~ _. не существует. 10.4.2. у(х) = —i ^^ 2 do;. 10.4.3. а) 2/(ж) = J 1 + е ш ' — оо = ешхA + о;ж), Д(ж) = 2o;ewa:(l + о;ж). б) г/(ж) = 1, R(x) = х. в) у(х) = = shx, R(x) = 2cjsincjx. 10.4.4. а) у(х) = |Bсо8л/3ж + 1). б) г/(ж) =
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. — М.: Высшая школа, 1990. 2. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. — М.: Наука, 1973. 3. Васильева А. Б., Тихонов П. А. Интегральные уравнения. — 2-е изд. - М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2004. 4. Владимиров В. С. Уравнения математической физики: Учеб. для студентов физ.-техн. спец. вузов. — 5-е изд., доп. — М.: Наука, 1988. 5. Вольперт А. И., Худяев С. И. Анализ в классах разрывных функций и уравнения математической физики. — М.: Наука, 1975. 6. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Ч. I. - 7-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 7. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа. Ч. П. - 7-е изд. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 8. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Вариационное исчисление: Учеб. пособие для втузов. — М.: Наука, 1973. 9. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Интегральные уравнения: учеб. пособие для втузов. — 2-е изд. — М.: Наука, 1976. 10. Матвеев А. Н. Механика и теория относительности: Учеб. посо- пособие для физ. спец. вузов. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 1986. 11. Матвеев А. Н. Молекулярная физика: Учеб. для студентов физ. спец. вузов. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 1987. 12. Матвеев А. Н. Электричество и магнетизм: Учеб. пособие для физ. спец. вузов. — М.: Высшая школа, 1983. 13. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. — М.: Наука, 1969. 14. Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных дифферен- дифференциальных уравнений. — 7-е изд., — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1984. 15. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. 5-е изд. — М.: Наука, 1983. 16. Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк П. А. Диффе- Дифференциальные уравнения: Примеры и задачи. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 1989.
Список литературы 429 17. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. — 8-е изд. — М.: Гостехиздат, 1959. 18. Тихонов А. Н., Васильева А. В., Свешников А. Г. Дифференци- Дифференциальные уравнения: Учебник для вузов. — 5-е изд. — М.: ФИЗ- МАТЛИТ, 2005. 19. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — 5-е изд., — М.: Наука, 1977. 20. Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравне- уравнениям: Учеб. пособие для студентов вузов. — 7-е изд. — М.: Наука, 1992. 21. Цлаф Л. Я. Вариационное исчисление и интегральные уравне- уравнения. — М.: Наука, 1970. 22. Элъсголъц Л. Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. — 2-е изд. — М.: Наука, 1969. 23. Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — 5-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1999. 24. Федорюк М. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука, 1980. 25. Новожилов И. В. Фракционный анализ. — М.: Изд-во Моск. ун- унта, 1991. 26. Карташев А. П., Рождественский Б. Л. Обыкновенные диффе- дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. — М.: Наука, 1980 27. Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И. Сборник задач по обыкновенным дифференциальным уравнениям: Учеб. пособие для втузов. — 3-е изд. — М.: Высшая школа, 1978. 28. Краснов М. Л., Киселев А. И, Макаренко Г. И. Функции ком- комплексного переменного. Операционное исчисление. Теория устой- устойчивости: Учеб. пособие для втузов. — 2-е изд. — М.: Наука, 1981.
Учебное издание ВАСИЛЬЕВА Аделаида Борисовна МЕДВЕДЕВ Герман Николаевич ТИХОНОВ Николай Андреевич УРАЗГИЛЬДИНА Татьяна Анатольевна ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ПРИМЕРАХ И ЗАДАЧАХ Редактор И.Л. Легостаева Оригинал-макет: Л.И. Панкратьева Оформление переплета: А.Ю. Алехина ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 23.06.05. Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Усл. печ. л. 27. Уч.-изд. л. 29,7. Заказ № Издательская фирма «Физико-математическая литература» МАИК «Наука/Интерпериодика» 117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90 E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru; http://www.fml.ru Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография «Наука» 121099, г. Москва, Шубинский пер., 6 ISBN 5-9221-0628-7 9 785922' 106283