Факультет Прикладной Математики МГИЭМ

3-ий семестр. Осень 1999г.
Содержание.

От	студента.	5

I.	Функциональные последовательности и	ряды	6

§1	. Понятие равномерной сходимости................................................. 6

§1	.а. Сходимость функциональных последовательностей и рядов.................... 6

§1	.6. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов........ 8

§2	. Критерий равномерной сходимости в терминах супремума.......................... 12

§3	. Свойства равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов.....21

II.	Степенные ряды	30

§1	. Радиус сходимости степенного ряда............................................. 30

§1	.а. Понятие радиуса сходимости.............................................. 30

§1	.6. Формулы для радиуса сходимости.......................................... 33

§2	.	Свойства степенных рядов...................................................... 36

§2	.а. Равномерная сходимость степенных рядов.................................. 36

§2	.6. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.............37

§3	. Разложение функций в степенной ряд.............................................40

§3.а.	Ряд Тейлора и аналитические функции...................................... 40

§3.6.	Простейшие разложения.....................................................41

§3.в.	Биномиальный ряд......................................................... 42

§3.г.	Некоторые дополнительные разложения.......................................43

§3.д.	Разложение в степенные ряды полных эллиптических интегралов...............44

III.	Ряды Фурье.	46

§1	. Системы ортогональных функций на отрезке.......................................46

§2	. Простейшие свойства рядов Фурье................................................49

§2	.а. Понятие ряда Фурье...................................................... 49

§2	.6. Ряды Фурье чётной и нечётной функции.................................... 51

§2	.в. Комплексная форма ряда Фурье............................................ 52

§2	.г. Ряд Фурье на произвольном отрезке....................................... 54

§3	. Экстремальные свойства коэффициентов Фурье и неравенство Бесселя...............56

§4	. Почленное дифференцирование рядов Фурье....................................... 59

§5	. Почленное интегрирование рядов Фурье, равенство Парсеваля..................... 63

§5	.а. Почленное интегрирование рядов Фурье.................................... 63

§5	.6. Равенство Парсеваля..................................................... 65

§6. Теорема Диришле о локальной сходимости ряда Фурье................................68
IV.	Интегралы, зависящие от параметра.	72

§1	. Основные определения.......................................................... 72

§2	. Дифференцирование и интегрирование интеграла, зависящего от параметра..........75

§3	. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Понятие равномерной сходимости. . 78

§4	. Исследование равномерной сходимости. ......................................... 80

V.	Кратные интегралы.	85

§1	. Двойной интеграл и его свойства............................................... 85

§1.а. Квадрируемые множестваи площадь плоской фигуры............................85

§1.6. Понятие двойного интеграла. ............................................. 86

§1.в. Свойства двойного интеграла.............................................. 88

§1.г. Сведение двойного интеграла к повторному. ............................... 89

§2	. Замена переменной в двойном интеграле..........................................92

§2	.а. Формула для элемента площади в криволинейных кооринатах..................92

§2	.6. Теорема о замене переменных в двойном интеграле..........................93

VI.	Криволинейные и поверхностные интегралы.	96

§1	.	Криволинейный интеграл первого рода............................................96

§1	.а. Основные определения.................................................... 96

§1.6. Основные свойства криволинейного интеграла первого рода...................97

§1	.в. Сведение криволинейного интеграла 1-го рода к определённому интегралу .. 98

§1	.г. Вычисление некоторых криволинейных интегралов 1-го рода ................100

§2	. Криволинейный интеграл второго рода...........................................101

§2.а. Механическое рассмотрение................................................101

§2.6. Понятие криволинейного интеграла второго рода............................101

§2.в. Свойства криволинейного интеграла второго рода. .........................102

§2.г. Сведение криволинейного интеграла 2-го рода к определенному интегралу....103

§2.д. Связь между криволинейными интегралами 2-го и 1-го рода. ................105

§3.	Формула Грина (,открытая Эйлером задолго до	рождения	Грина). .................107

§3.а. Вывод формулы Грина......................................................107

§3.6. Криволинейные интегралы второго рода, не зависящие от пути интегрирования .	. 108

§4.	Площадь поверхности...........................................................112

§4.а. Параметрически заданная поверхность......................................112

§4.6. Координаты вектора поверхности. Касательная плоскость....................113

§4.в. Линейный элемент, длина дуги и первая квадратичная форма поверхности.....114

§4.г. Площадь поверхности. Определения и основные формулы. ....................116

§4.д. Сведение повторного интеграла 1-го рода к двойному интегралу.............117

§5. Поверхностный интеграл второго рода.............................................119

§5.а. Основные определения и свойства. ........................................119

§5.6. Сведение поверхностного интеграла второго рода к двойному интегралу......121

§5.в. Формула Гаусса...........................................................124

§5.г. Связь между поверхностными интегралами первого и второго родов. .........126

§5.д. Векторная запись формулы Гаусса..........................................128

§5.е. Критерий равенства нулю интеграла по замкнутой поверхности второго рода. ... 128

VII.	Приложение 1. Вопросы и задачи к коллоквиуму.	131

§1	. Вопросы к коллоквиуму. Часть 1................................................131
VIII.	Приложение 2. Методичка	для преподавателей,	ведущих семинары.	135

§1	.	Предуведомление.........................................................135

§2	.	Варианты контрольных работ.	.........................................135

IX.	Предметный указатель, список примеров,	выходные данные.	136

§1	.	Предметный указатель ...................................................137

§2	.	Список примеров.........................................................138

§3	.	Выходные данные.........................................................139
От студента.

Это было первого сентября, когда мы только что пришли в институт. На второй паре наш поток из
четырех групп заполнил огромную ступенчатую аудиторию и с нетерпением стал ждать. Ровно в 1015,
со звонком, в аудиторию вбежал невысокий человек в куртке цвета хаки и, не представляясь, начал чи-
тать лекцию. Читал он очень быстро, уверенно, доска была строго распределена, для каждой формулы
находилось свое место... Выходя из аудитории мы были удивлены и несколько напуганы. Именно тогда я
понял, как должен выглядеть настоящий лектор. Позже мы привыкли к странной, казалось пришедшей из
прошлого века, лексике, к быстрой руке, выводившей слабо-понятные, но красивые формулы Математи-
ческого Анализа, и к сосредоточенному на математике преподавателю - Игорю Витальевичу Каменеву.

Нам начали нравиться лекции и семинары - а у некоторых из нас Игорь Витальевич вел и семинарские
занятия - мы стали использовать ” крылатые выражения” Игоря Витальевича. Это неожиданно сплотило
наш поток - у нас был свой специфический и красивый язык, по которому мы всегда отличали ”своих”, у
нас всегда была тема для разговоров - шутки Игоря Витальевича многократно цитировались, попадали
в йбо и 1п1егпе1...

Уже будучи студентом второго курса, заметив группку первокурсников, обращающихся друг к другу:
”Батенька,...”, мы понимали - это тоже ”свои”. К ним можно подойти и сказать ”это доказательство про-
сто вульгарно”, и услышать в ответ что-нибудь о ”толстом Фихтенгольце”. Сегодня я плохо представляю
себе, как мы сможем дальше учиться, если у нас не будет Игоря Витальевича.

Студент ФПМ, Мастер М. А.
ГЛАВА I

Функциональные последовательности и ряды

§1. Понятие равномерной сходимости.

§1.а. Сходимость функциональных последовательностей и рядов.

Рассмотрим функциональную поледовательность

х е Е, п е И

(1-1)

Определение < < 1.1. Функциональная последовательность (1.1) называется сходящейся в точке
хо е Е, если сходится числовая последовательность	если 3 Пт /п(^о)- 1-1. > >

п^оо

Определение < < 1.2. Функциональная последовательность (1.1) называется сходящейся на мно-
жестве Е, если она сходится в каждой точке этого множества, т.е. если 3 /(х) такая, что Vх Е Е
3 Пт /п(х) = /(ж). При этом функция /(х) называется ет предельной функцией данной функциональ-
ной последовательности на множестве . 1.2. > >

Если функциональная последовательность /п(х) сходится в каждой точке множества Е, то говорят,
что у данной функциональной последовательности на множестве Е имеется поточечная сходимость.

Определение < < 1.3. последовательность (1.1 ) называется сходящейся на множестве Е к

предельной функции ф(х), если V'е > О 37У = Е(е,х) Е И такое что из п > Е |/п(ж) — /(гг)| < е (\/х Е

Е). 1.3. > >

Пример ^1.1. Рассмотрим функциональную последовательность ( сокращённо ф.п. ) /п(х) = %п
на множестве Е = (0,1). Для всякого фиксированного х Е Е числовая последовательность /п(х)	0.

п^оо

Например, если х = 5/7, то (5/7)п	0. И так будет для всякой точки х из (0,1).

п^оо

Отсюда мы делаем вывод, что функциональная последовательность /п(х) = хп сходится к 0 для всех
х Е (0; 1), или, другими словами, ф.п. хп сходится на (0; 1) к предельной функции = 0

хе(0;1)
Это можно доказать по опрелению 1.1.3.

\/е>0

3 ТУ = А/'(х,е) =

1П 8

1п |х|

такое что

V п > Е(х, в), п Е И выполнено неравенство

\хп - 0| <8

Действительно, пусть мы задались произвольным 8 > 0 и взяли ТУ (ж, в) =

1П 8

1п |х|

Тогда Мп Е И, п > 7У(а?, е) имеем: п

1п 8

1п |х|

1П 8

1п |х| ’

откуда п1п |х| < 1п 8 (при умножении на отрицательное число 1п |х|, где |ж|
знак неравенства изменился на противоположный)

1

П <1П 8

П<8

Так мы по определению доказали поточечную сходимость функциональной последовательности /п(х) =
хп к своей предельной функции /(х) = 0 на х Е (0; 1).	1.1. ►

Замечание □ 1.1. Забегая вперед, отметим, что если в определении 1.1.3 номер У зависит
только от € и не зависит от х, т.е. годится любой 0, то такая полседовательность называется сходящейся
равномерно на Е. 1.1. □

Рассмотрим

у цп(х) = СШ) + 1Ых) +...
п=1

(1-2)

Определение < < 7.^. Функциональный ряд
он сходится в V точке Е, т.е. если 3 Пт 8п(х) =
п^оо

сумма функционального ряда (1.2 ) 1.4- > >

(1.2 ) называется сходящимся на множестве Е, если
8(х), где 8п(х) = СД(гг); т.е. 8п(х) - частичная

Определение < < 1.5. Функциональный ряд
жестве Е\ , если сходится функциональный ряд

(1.2 ) называется абсолютно сходящимся на мно-

У I г„(ж) I (\/ж е Е-у)
п=1

(1-3)

Определение < < 1.6.

Множество Е такое, что

1)	Функциональный ряд

(1.2 ) сходится Мх Е Е

2)	Функциональный ряд

(1.2 ) расходится Мх Е
называться областью сходимости данного ряда. 1.6. > >

Замечание □ 1.2. В определениях (1.1.6 ) и (1.1.5 ), область сходимости не обязательно является
областью абсолютной сходимости. 1.2. □

Замечание □ 1.3. Если Е± Ф Е то разность Е — Е\ называется областью условной сходимости
функционального ряда (1.2 ).	1.3. □

Замечание □ 1.4. Если /7п(ж) > 0, то Е± = Е. 1.4. □

Примеры ◄1.2.

1)	Е 4; = Е = (1;+Ч-

п=1 пх

ОО (_1\п+1

2)	Е -х ; Е = (0; +00), Е, = (1; +оо).
п=1 п

з)„1УУ:е=<Е“>’е'=(1:+^

1.2. ►

Упражнение < □ 1.1. Найти Е и Е\ для

М7)

б)

у- (-1Г

А, \пх + (- 1)и1а 

п=2 ь х 7 -1

§1.6. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и
рядов.

Рассмотрим функциональную последовательность

/п(ж), х Е Е, п Е И, и пусть /п(х) сходится на Е, т.е. 3 /(х) = Пт /п(х).

(1-4)

Определение < < 1.7. Скажем, что последовательность /п сходится к своей предельной функции
ф(х) равномерно на множестве Е , если

\/е > 0 ЗУ = У (е) Е И, не зависящее от х , такое, что
\/п > А'(е), п е И

I /п(х) - /(ж) |< г (Ух е Е)

1.7. > >

Замечание □ 1.5. Введем обозначения сходимости /п(х)	/(ж) и равномерной сходимости

п^оо

!п(х) =4 /(ж)	1.5. □

П^ОО

Замечание □ 1.6. В определении равномерной сходимости существенны указанные множе-
ства, о которых идет речь, ибо одна и та же функциональная последовательность на одном множестве
сходится равномерно, а на другом - нет. 1.6. □

Замечание □ 1.7. Функциональная последовательность (1.1 ) называется неравномерно сходя-
щейся на множестве Е, если она сходится на множестве Е, но не является равномерно сходящейся на
данном множестве. 1.7. □

Упражнение <□ 1.2. Дать определение неравномерной сходимости в полном смысле. 1.2. □ >

Пример ◄1.3. Пример равномерно сходящейся последовательности. * 1

2 2,	= [1;+оо)

1 + п2х2

Предельной функцией для этой функциональной последовательности будет

пх

/(ж) = Пт 2 2 =0 (Уж € Е~)

1 у П2Х2

(Предел вычисляется при всяком фиксированном х)

Докажем по определению, что имеет место равномерная сходимость. Рассмотрим разность |/п(х) —/(я?)|:

|/п(ж)-/(ж)|= ПЖ2 2

1 + п2х2

Оценим сверху эту функцию величиной, не зависящей от х. Найдём наибольшее значение этой функции
пх	1

на Е для всякого фиксированного п. Для этого заметим, что ----монотонно убывает правее —, в

1 + п2х2	п

чём легко убедиться, взяв производную.

пх \ п • (1 — п2ж2)	— п3(х — 1/п)(х + 1/п)

1 + п2х2 /	(1 -р п2ж2)2	(1 + п2х2)2

Производная меньше нуля и функция

наибольшее значение функция ----ПХ

1 + п2х2

х = 1.

монотонно убывает при х > —, а значит и при х > 1. Значит,
п

принимает на левой границе множества Е = [1;+оо) т.е. при

пх	п 1

шах |/„(ж) - /(ж)| = тах	= /(1) =	< - (Уж 6 Е)	(*!!)

х е Е	хЕЕ 1 + п х	1 + п2 п

Неравенство |/п(ж) — /(#)| < — как раз и доказывает равномерную сходимость функциональной после-
довательности /п(ж).
Действительно, воспользуемся определением 1.1.7. Возьмём IV (^) =

1

- + 1

€

1

и заметим, что - <

8

У (е) и значит

1 _ 1
ад " [1Д +1]

(##*)

Получим

Ув >0 ^(г) =

такое, что \/ п > ТУ(^) и \/х Е Е = [1; Тоо) выполнено неравенство

|ад - /(ж)| < г

Это неравенство верно, поскольку

|/п(ж) - /(ж)| < шах /А

пх

_ 2

П 1	1	(##*)

---- < ~ < ч <	8 При

+ 1 п

п > Ы

Нам удалось выбрать 8 не зависящей от х. =Ф /п(ж) равномерно сходится на множестве Е. 1.3. ►

Пример «41.4. Рассмотрим теперь ту же самую функциональную последовательность, что и в
примере 1.3 , но уже на другом множестве.

ад = ттад’ Е = [°;11

1 + тЕхл

Предельная функция для нашей функциональной последовательности

99 X

/(*) = Пт 2 2 =0 (Уж 6 Е)

П^оо 1 у тЕхл

Опять оценим сверху

99 X

|/п(ж) - /(ж)| =	2 2 приз: € [0; 1]

1	+ тЕхл

Эта функция не превосходит своего максимального значения на [0; 1], а своего максимума она достигает
при х = — = хп (см. (1.5 ) ).

п

|/п(^п) - /(^п)| = /п(^п) = ! + ^2 . (1/п)2 = 2

Таким образом

^тах |/п(х) - /(ж)| = | т4 0 при п оо .

Значит, /п(х) сходится не равномерно на множестве Е, поскольку для всякого п удаётся подобрать такой
х = 1/п, что |/п(х) — /(^)| невозможно сделать сколь угодно малым. Такая последовательность называ-
ется ”последовательностью бегущих горбов”.

Видно, что одна и та же функциональная последовательность на разных множествах сходится по-разному:
на множестве [1;+оо) из примера 1.3 равномерно, а на множестве [0; 1] из этого примера — нет.

1.4.	►
Определение < < 1.8. Рассмотрим функциональный ряд (1.2 ). Пусть он сходится на множестве
Е, т.е.

п

Э8(х) = Пт

к=1

Мы скажем, что функциональный ряд (1.2 ) сходится равномерно на Е, если на этом множестве
равномерно сходится последовательность его частичных сумм:
§2. Необходимое и достаточное условие равномерной сходимости функ-
циональной последовательности в терминах точной верхней грани (супре-
мума) .

Рассмотрим функциональную последовательность

/п(ж) х е Е п е И.

(2-1)

Теорема < 2.1:

О необходимом и достаточном условии равномерной сходимости ф.п. в терминах супремума.

Пусть 3/(х) = Пт /п(х) (\/х Е Е). Для того чтобы последовательность фп(х) сходилась к своей
предельной функции /(х) равномерно на множестве Е, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись
следующие условия:

1)	\/п Е И 3 8пр |/п(ж) - /0)| = дп .
хЕЕ

2)	Пт дп = 0 .

П^ОО

81П( Т1Х)

Пример ◄2.1. Рассмотрим ф.п. /п(х) =------------

-------------- п

Найдём её предельную функцию:

Е = (—оо, +оо).

чт । п х\

\/х Е Е ф(х) = Пт --------= 0	> ф(х) = 0 на Е

п

Применим теорему 1.2.1

1)	При всяком фиксированном п Е И

,	, , , .	,,	8Ш(ПЖ)	1

Лп = вир |/„(х) - /(х)\ = —-—	= -

хее	____1221	71

Х~ 2

2)	Пт с1п = Пт — = 0.

П^ОО	П^ОО П

Следовательно сходимость равномерная.

2.1.	►

Пример ◄2.2. Иссследуем ф.п. /п(х) = зт ( — ); на равномерную сходимость на множестве Е =
------------- \п/

(—оо; +оо).

Найдём предельную функцию для ф.п.

\/х Е Е

Пт 81п
п^оо

= о = Цх).

Проверим выполнение условий теоремы 1.2.1.
1)	Для всякого фиксированного п Е И

(1п = 8Нр 8Ш-------0 = 8Ш ( —

Е । П I I \П

= 1
7Г71
т

2)	с1п 0 при п оо сходимость неравномерная.

2.2.	►

Замечание □ 2.1. Условие существования епр в (1.2.1 ) существенно, ибо имеются такие функ-
циональные последовательности, для которых этот епр
2.1. □

Пример ^2.3. Исследуем ф.п. /п(х) = п\ \ х -\----х/х | на равномерную сходимость на множе-

-------------- \ V п I

стве Е = (0, Тою). Найдём предельную функцию для данной ф.п.

/(х) = Пт /п(х) = Пт п

Преобразуем |/п(х) - /(ж)|:

|/п(ж) -/(х)| = п

сю при (х +0)

При всяком фиксированном п не существует епр

хб(0;+оо)

не сходится равномерно на (0; +оо).	2.3. ►

|/п(^) — и значит, по теореме 1.2.1 наша ф.п.

Замечание □ 2.2. В случае, если множество Е
(1.2.1 ) может быть записан в упрощённой форме:

= [а; Ъ] и /п(ж), /(ж) Е С[а; Ъ] (\/п Е И), то критерий

/пУ) =4 /(ж), (Уже [а.;Ь]) Ит тах |/п(я;) - /(ж)| = 0
п^оо х [а. Щ

2.2. □
Теорема < 2.2:

Критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности.

Рассмотрим функциональную последовательность (1.1 )

Для того,чтобы последовательность /п(х) равномерно сходилась на множестве Е, необходимо и
достаточно, чтобы

V 8 > 0 3 IV = А'(е) е И

такое, что при любом п > И и при любом р Е И выполнено

|/п+р(ж) - /„(я;)| < е Чх е Е (*)

2.2.	>

Замечание □ 2.3. Этот критерий формулируется без участия предельной функции. 2.3. □

Доказательство □ <	1.2.2.

Необходимость.

Дано : функциональная последовательность (1.1 ) сходится равномерно на множестве Е.

Доказать : что выполняется условие (*).

Из равномерной сходимости

1)	3/(ж) = Пт /п(ж) (Ух € Е)

8	8

2)	\/8 > 0 по - найдётся К = А/е) Е И такое, что из п > К	— /(^)| <

Поскольку п + р > К (при п > К ), то |/п+р — /0*0)1 < | С Е

Искусственно преобразуем подмодульное выражение:

|/и+р(ж) - /и(ж)| = |[/и+р - /(ж)] + [/(ж) - /„(х)]|

модуль суммы не превосходит суммы модулей

1/п+р(я;) - /„(х)| + |/„ - /(ж)| < | + | = е

Необходимость доказана.

Достаточность.

Дано : Выполнено условие (*).

Доказать : функциональная последовательность (1.1 ) сходится равномерно на множестве Е.

1)	Из ”дано” следует, что последовательность /п(х) поточечно сходится на множестве Е, то есть

V х Е Е 3 Пт /п(х).
п^оо

Действительно, при всяком фиксированном х = х функциональная последовательность /п(х) становится
числовой последовательностью /п(х). При фиксированном х = х условие (*) есть в точности условие
сходимости числовой (а не функциональной) последовательности /п(х) из критерия Коши для числовых
последовательностей.

Т.е., согласно критерию Коши для числовых последовательностей, при всяком х Е Е ф.п. /п(х) сходится
(как числовая).

Эта поточечная сходимость задаёт предельную функцию: для всякого х Е Е определено число /(х) =
2)	Зададимся каким-нибудь е > 0 и, согласно условию (*), найдём такое А^(е/2) = ^(е), что для
всех п > 1У(^/2), п Е И и для всех р Е И будет выполнено неравенство:

\/п+р(х) - /п(х)\ < е/2

Устремим теперь р к бесконечности. При этом фп^р(х) будет сходиться к предельной функции /(ж) —
/п+р(ж)	/(%)• Перейдя в неравенстве к пределу, получим

р^оо

|/(ж) - /„(ж)| < е/2 < е ,

что и доказывает равномерную сходимость.

Для всякого е > 0 мы можем указать = 1У(^/2), такое что для всех натуральных п > Ж (у)
выполнено неравенство: |/(а?) — /п(^)| < Ч.т.д. 1.2.2 > □.

Следствие 1 из 1.2.2.

(Критерий Коши равномерной сходимости функциональных рядов).

Для того чтобы функциональный ряд (1.2 ) 52 /п(х) равномерно сходился на множестве Е, не-
п=1

обходимо и достаточно, чтобы V е > 0 3 К = К(е) Е И такое, что из п > К и \/р Е И выполнялось
условие (2.2 ):

п+р

| У и/г(ж)|<Е (Ух е Е)	(2.2)

/с = п+1

1 из 1.2.2.

Доказательство □ <	1.

п

зп(х) = ^ик(х)

/г=1

п+р

^/с(^) = ^п+р(^) МЖ)

/с = п+1

Равномерная сходимость функционального ряда (1.2 ) равносильна равномерной сходимости функцио-
нальной последовательности частичных сумм этого ряда зп(х) на Е.

Что равносильно, согласно критерию Коши (1.2.2 ) равномерной сходимости функциональных последо-
вательностей, тому, что \/е > 0 существует К = К(е), зависящее только от € и не зависящее от х, такое
что \/ р Е И и \/п > К п Е И

К+р(я) - 8„(ж)| < Е (Ух&Е).

Последнее неравенство выполнено, поскольку совпадает с неравенством 2.2 из условия доказываемой
теоремы. Ч.т.д. 1 > □.

Следствие 2 из 1.2.2.

(Необходимое условие сходимости функционального ряда).

Для того чтобы функциональный ряд (1.2 ) равномерно сходился на Е необходимо, но отнюдь не
достаточно, чтобы его общий член равномерно сходился к 0.

Равномерная сходимость (1.2)	^п(^)	^п(^) =3 0 (\/ж Е Е)
2 из 1.2.2.

Доказательство □ <	2.

Равномерная сходимость функционального ряда (1.2 ) равносильна тому (согласно критерию Коши
1), что > О ЗУ = IV (^) Е И, такое что \/п > У, п Е И и \/р Е И выполняется неравенство

п+р

У иЦх)

< е (\/х Е Е) .

Поскольку неравенство выполнено при всех р Е И, оно выполнено в частности и при р = 1. Это значит,
что

\/е > О	Е И такое, что из п > Е =Ф

п+1

У К(+1 = «п+1(ж) < г (УхеЕ).
к=п+1

Последние условия и неравенство по определению 1.1.7 в точности означают, что ф.п. ип^(х) равномерно
сходится к нулю:

пп+1(ж) =3 0 (ж Е Е) О ип(х) =3 0 (\/х Е Е).
п^оо	п^оо

Ч.т.д. 2 > □.

Замечание □ 2-4- Условие (***) отнюдь не является достаточным .

Другими словами, из

равномерная сходимость ип(х)

п=1

Исследуем характер сходимости функционального ряда V -----о

п=1 п + X2

на множестве Е = (—сю; +оо).

1) Убедимся в том, что утверждение следствия 2 выполнено — общий член ряда равномерно на (—сю, +сю)

сходится к нулю:

ип(х) = —=3 0 (\/ж Е Е).

П + ХЛ

Эту равномерную сходимость к нулю докажем по теореме 1.2.1 — критерию равномерной сходимости в
терминах супремума. Её условия выполнены:

1)	\/п Е И Эдп = епр |пп(ж) — 0| = епр----5- = — и 2) дп 0 .

хЕЕ	хЕЕ П X П

2)	Но посылка следствия 2 не выполнена. Несмотря на то, что общий член ряда Д 0, сам ряд У2 -----л

п—>сю	п=1 П Е X

расходится при всяком фиксированном х Е (—сю, +сю) на основании, например, интегрального признака.
Таким образом, здесь отсутствует даже обыкновенная, поточечная сходимость, т.е. предельная функция
для последовательности частичных сумм не существует. Значит, равномерной сходимости нет — ряду
просто не к чему сходйться.
Доказать отсутствие равномерной сходимости можно, не прибегая к понятию предельной функции, а
пользуясь лишь критерием Коши — следствием 2 из теоремы 1.2.2.

Убедимся в этом. Сформулируем для удобства критерий Коши неравномерной сходимости функци-
онального ряда. Для этого построим формальное логическое отрицание необходимых и достаточных
условий в критерии Коши равномерной сходимости функциональных рядов, заменяя в этих условиях
кванторы на противоположные. Получим:

Функциональный ряд ^2 ип(%) сходится неравномерно на множестве В, если Зе > 0 такое, что
п=1

У1У(е), А 6 И найдутся такие натуральные п > А'(в) и р (3 п > 1У(8), п Е Ии Эр Е И ), и найдётся такой
х Е Е (Зх Е Е\ что выполнено неравенство

к=п+1

Е

Возьмём е = 1п2 > 0. Теперь, каким бы мы ни выбрали Е И, всегда найдутся п > Е(е) и р = Зп,

а также х = 0 Е (—сю, +оо), такие что

Зп

Е

к=п+1

Зп 1

= 52	= ^2п ~ Нп = 1п Зп + ^Эйлера + ^2п - 1п п - С/дйлера -	=

/с = п+1

= 1п 3 + (73п - 7п) > 1п 2 = 8

(Выбирая п достаточно большим, а не просто большим ТУ (8), можно сделать разность узп — у„ сколь
угодно малой.) Последнее неравенство доказывает отсутствие равномерной сходимости без обращения к
предельной функции. 2.4. □

Следствие 3 из 1.2.2.

При умножении равномерно сходящегося ряда на ограниченную функцию равномерная сходимость
сохраняется.

3	из 1.2.2.

Доказательство □ <	3.

Дано: функциональный ряд (1.2 )

У и„(ж)

п=1



равномерно сходится на множестве Ей |^(х)| < М \/х Е Е

Доказать:	^2 (Е(ГГ) ’ равномерно сходится на Е.

п=1

Из равномерной сходимости (###) следует, что \/8 > 0 по — > 0 можно найти такое Е = ТУ(8) Е И,
что \/п > ТУ и \/р Е И будет выполняться неравенство

п+р

Е ик^

к=п+1

Е

м

п+р	п+р

Е |^(ж)= |^(ж)|- у ик(х)<М-—=е
к=п+1	к=п+1

Е

<М
То есть, согласно следствию 1, имеет место равномерная сходимость (1.2 ) . Ч.т.д. 3 > □.

Теорема < 2.3:

Признак Вейерштрасса.

Рассмотрим функциональный ряд (1.2 ).Если 3 последовательность ап 0 такая, что:

1)	|пп(ж)| < ап \/х е Е, Мп е И.

2)	12 ап сходится,
п=1

то функциональный ряд (1.2 ) сходится равномерно на множестве Е . 2.3. >

Замечание □ 2.5. В этом случае говорят, что числовой ряд 22 ап мажорирует на функциональ-
п=1

ный ряд (1.2 ), или, что числовой ряд ^2 ап является мажорантой функционального ряда ^2 ип{х\
п=1	п=1

2.5. □

Доказательство □ <	1.2.3.

Так как ^2 ап сходится выполнен критерий Коши:
п=1

Уе>0	и Ур е М

п+р

У? ак

к=п+1

Е

Рассмотрим

п-\-р	п+р

У Н^)! < У ак<е^>

к=п-\-1	к=п-\-1

согласно следствию 1 из теоремы 1.2.2 вытекает равномерная сходимость функционального ряда (1.2 ).

Ч.т.д. 1.2.3 > □.

Замечание □ 2.6. Условие признака Вайерштрасса отнюдь не является необходимым, то есть
существуют равномерно сходящиеся функциональные ряды, которые не могут быть промажорированы
сходящимся числовым рядом. 2.6. □

ОО (-1)п+1

Пример ◄2.4. Исследуем сходимость функционального ряда V ---------------5“ на множестве Е =

--------------- п=1 п + X2

(—оо; +оо)

Во-первых, для всякого х Е Е этот ряд сходится по признаку Лейбница, т,е. при всех х определена сумма

ряда.

Далее. Этот ряд равномерно сходится на множестве Е.

Действительно, так как это ряд Лейбницевского типа, то имеет место оценка:

|Ли(я;)| = |з„(гс) - ф)|	К+1 (ж)| =

зир |8„(х) - з(х)| < аир ————~
хЕЕ	хЕЕ пД+х

1

п + 1
выполнены условия теоремы 1.2.1

1)	\/п С И 3 дп = епр |зп(гг) — з(ж)| < ——- ,
хее	п + 1

2)	4	0.

п^оо

ОО (-1)п+1

Следовательно, последовательность частичных сумм зп(х) =4 з(х). Что и означает, что ряд ^2 ------у-

?2—>оо	п=1 П + Ж

сходится равномерно.
ОО /

С другой стороны, признак Вайерштрасса неприменим. В данном случае наш ряд V -----------5“ Для всех

п=1 п + х* 1 2
оо 1

х Е (—оо; +оо) может быть по модулю оценен сверху лишь гармоническим рядом У} который, как
п=1 П

известно, расходится. 2.4. ►

ЕО1111 I I
---------- при

-------------- п=1 Г1а

а > 1 на множестве Е = (—оо; +оо).

Этот ряд равномерно сходится на Е по признаку Вайерштрасса.

К(ж)| =

81п(пж)
па

У2 ап = У2	сходится при а > 1. числовой ряд V-мажорирующий для нашего функци-
ях п=1 па----------------------------------------------п=1 па

опального ряда. равномерная сходимость. 2.5. ►

Замечание □ 2.7. Если 0 < а < 1 признак Вайерштрасса неприменим. Для исследования равно-

мерной сходимости нужны более тонкие признаки.

Напоминание:

Неравенство Абеля: Если

1) ап ап+1 >0 (\/п& К)

2) и |В„| < М \/п 6 К, где Вп =

к=1

ТО

п+р

к=п+1

< 2Мап^\

2.7.	□

Теорема < 2.4'- Признак Дирихле равномерно сходящегося функционального ряда.

Рассмотрим функциональный ряд

^ап(х) Ьп(х)

п=1

(2-3)

Пусть

1)	ап(х) ап+1(х) >0	\/ж Е Е, Уп е И.
2)	ап(х) =4 0.
П^ОО

3)	\Вп(х)| < М \/п е И \/х е Е , где Вп = ^2 Мх) •
к=1

Тогда функциональный ряд (2.3 ) сходится равномерно на множестве Е 2.4- >

Доказательство □ <	1.2.3. Пусть е > 0 любое, тогда по —— >0 3 А = А(^) Е И, такое что из

-------------------------- 2М	к 7

п > ^	К+1 (ж) I <	(Ух&Е),

— сделать ап^ сколь угодно малым можно в силу условия 2).
п+р

Рассмотрим | ^2 ак(х) Ък(#)|• Применим к этой сумме неравенство Абеля. Для этого заметим, что, бла-

/с = п+1

годаря условиям 1). и 3). нашей теоремы, все предположения, в которых неравенство Абеля применимо,
выполнены.

Согласно неравенству Абеля имеем оценку:

п+р

У ак(х)Ък(х)

к=п-\Л

2МК+Ю1 <2М- А? =е-

Согласно критерию Коши равномерной сходимости функциональных рядов ( следствие 1 из т.1.2.2 ), по-

следнее неравенство как раз означает равномерную сходимость нашего функционального ряда ^2 ап(#) Ьп(х).

п=1

Ч.т.д. 1.2.3 > □.

Пример ◄2.6.

Рассмотрим функциональный ряд

ап 81п(пх),
п=1

на множестве

7Г Зл

2’ Т

(2.4)

где ап ап+1 > 0 и ап 0.

Этот ряд сходится равномерно на множестве Е по признаку Диришле — теорема 1.2.4. Первые два
пункта теоремы выполнены по условию задачи. Проверим 3 — ограниченность в совокупности частичных
сумм Вп(х).

2.6. ►

Поскольку

ТО 1 У 8Ш I —
I \2

1

81П —

2

Зл/4

= 8Ш
л/4<Х<Зл/4

> 1

2/	у/2

2
1.3 Свойства равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов.

§3. Свойства равномерной сходимости функциональных последовательно-
стей и рядов.

Теорема < 3.1: О непрерывности суммы равномерно сходящихся функциональных рядов.

Рассмотрим: функциональный ряд (1.2 )	13п(х).

п=1

Пусть

1)	Данный функциональный ряд сходится равномерно на Е.

п

8п(х) =4 8(х) на Е , где 8п(х) =	,

2)	Все функции , п = 1, 2,... непрерывны в точке х$ Е Е .

Тогда 8(х) =	^п(^) непрерывна в точке х$.

Замечание □ 3.1. пункте 2). предполагается, что точка х$ принадлежит множеству Е вместе с
некоторой окрестностью. Если же речь идет об одной из полуокрестностей, то подразумевается одно-
сторонняя непрерывность /7п(х) в условии и 8п(х) в заключении. 3.1. □

Доказательство □ <	1.3.1.

Необходимость.

Дано : Выполнены условия 1) и 2).

Доказать : 8(х) непрерывна на Е. Т.е. для всякой точки х$ Е Е функция 8(х) непрерывна в точке
хо- На языке 8 — 5:

V е > 0 3 5 = 5(е, хо) > 0 такое что V х Е О <5(^0) выполнено неравенство

\8(х) - 8(хо)\ < 8.

(3.1)

Зададимся произвольным 8 > 0 и научимся по нему строить 5(е,жо), такое что при 0 < \х — хо| < 5

выполняется неравенство (3.1 ).

Пусть 8 > 0 - любое, тогда, в силу равномерной сходимости нашего функционального ряда, имеем:

31У = IV

^>0

Е И такое, что из п > Е

п Е И

|5„(а:) - $(ж)| <	| УжеЕ,  О	(3-2)
/е\  Поскольку неравенство верно для всех п >	, то	оно верно и для п = Е + 1 при всех х Е Е:	
|5дг+1(ж) - 5(ж)|	<| (УхеЕ) о	(з.з)

в том числе неравенство верно и для х = хо.

|5м+1(ж0) - 5(ж0)| < |

О
Далее. Поскольку все члены ряда /7п(ж) суть непрерывные функции от х, то и сумма первых Ат +1 членов
^+1

ряда 5^+1 (ж) = ^2 ^к(х) тоже есть непрерывная функция от х во всех точках х Е Е, в том числе и в
/с=1

точке жо-

&

Из непрерывности 8м+х(х) в точке х$ следует, что по - > 0 найдётся 5(е,хф) > 0 такое, что из

\х — я?о| < 5(е, х$) следует

|5дг+1(а:) - 5дг+1(я;о)| < -

О

Из (3.3 ), (3.4 ), (3.5 ) при \х — я?о| < 8

=>|5(яг) - 5(ж0)| = | [5(ж) - 5лг+1(ж)] + [8п-+1(х) ~ -5^-+1(ж0)] + |У+1(я0) - 5(ж0)] | <

<|5(гс) - ^+1(я:)| + |-5'лг+1 (ж) - ^+1(ж0)| + |^+1(ж0) - 5(гс0)| <| + | + |= е

(3-5)

(3.6)

Итак, мы доказали, что для \/е > 0 35 > 0 : из \х — жо| < 8 => |5(я:) — 5(жо)| < €, т.е. 8(х) непрерывна в
точке х$. Ч.т.д. 1.3.1 > □.

Замечание □ 3.2. Условие равномерной сходимости функционального ряда (1.2 ) существенно.

3.2. □

Пример «43.1. Рассмотрим функциональный ряд ^2 (хП ~ я?п+1) на множестве Е = [0; 1].

п=1

Исследуем его на равномерную сходимость.

Нижеследующее рассуждение является типичным.

Предположим что наш функциональный ряд сходится равномерно на Е. Он составлен из непрерывных
на Е функций: /7п(ж) = хп — хп+1 Е С[0;1] • Таким образом, если наше предположение справедливо, то оба
условия теоремы 1.3.1 выполнены. Следовательно, наш функциональный ряд сходится к непрерывной на
Е функции 8(х). Найдём её, как предел частичных сумм.

8п(х) = 52(^ - (Г/с+1) = х - х2 + х2 - х3 + ... + хп - хп+1 = х - хп+1
к=1

8(х) = Пт 8п(х) = Пт (хп — жп+1) =
п^оо	п^оо

х, если 0 < х < 1 ,

0, если х = 1

Видим, что предельная функция разрывна в точке хо = 1, что противоречит заключению теоремы 1.3.1.
Следовательно, условия, при которых теорема верна, не выполнены. Поскольку функции хп — хп+1 очевид-
но непрерывны, второе условие теоремы соблюдено, и значит невыполнено первое: наше предположение о
равномерной сходимости ряда, неверно. Функциональный ряд ^2 хП ~ ^п+1 сходится неравномерно
п=1

на[0;1].	3.1. ►

Следствие 1 из 1.3.1. Если функциональный ряд (1.2 ), состоящий из непрерывных функций
сходится к функции разрывной, то сходимость неравномерная. 1 из 1.3.1.

Замечание □ 3.3. Тем не менее равномерная сходимость функционального ряда (1.2 ) отнюдь не

является необходимой для непрерывности суммы. 3.3. □
1.3 Свойства равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов.

Пример «43.2.

оо	п

Из	непрерывна на Е =/=^	^(х) = 8п(х) =4 8(х) V х Е Е

1	7 1	п^оо

п=1	к=1

Рассмотрим функциональный ряд

на множестве Е = (—оо; Тоо).

Заметим что второе условие теоремы 1.3.1 выполнено

С С*( — оо;+оо)

Найдём сумму ряда как предел последовательности его частичных сумм.

8(х) = Пт 8п(х) = Пт 8т(х) — зт

= 81ПХ

Заключение теоремы тоже выполнено — сумма ряда = 81пх непрерывна.

Однако функциональный ряд сходится неравномерно на (—оо; Тоо) согласно критерию 1.2.1.

2)

\/п Е И 3 дп = еир |5п(ж) — 5(ж)| = 8пр
хЕЕ	хЕ( — оо;+оо)

но Пт дп 0 .

81П

3.2. ►

Упражнение < □

3.1. Сформулировать и доказать теорему, аналогичную теореме (1.3.1 ), для

функциональных последовательностей. 3.1.

= 1

Теорема < 3.2: Теорема о почленном интегрировании функциональных рядов.

Рассмотрим функциональный ряд: (1.2)	^п(^) •

п=1

Пусть:

1)	Цп(х) е С[а.ь]

2)	Функциональный ряд (1.2 ) сходится равномерно на [а;Ъ\

Тогда:

(3-7)

т.е. функциональный ряд (1.2 ) допускает почленное интегрирование на [а;Ъ\. 3.2. >
Доказательство □ <	1.3.2.

Пусть 8(х) = ^2 > тогда 8(х) Е С[а.ъ] — непрерывна на [а; Ъ] согласно теореме (1.3.1 ).	8(х)

п=1

интегрируема на [а; Ь]

Пусть для любого 8 > 0, по --- >0 3 ТУ = ТУ(е) Е И , такое, что из п > ТУ следует

|5„(ж) - 8(х)\ < (Ухе [а;Ь])

(т.к. по условию 8п(х) =4 5(ж) на [а; Ъ] . )

п^оо

Мы доказали, что \/е > 0 ЗТУ = ТУ(е) Е И такое, что из п > ТУ следует неравенство

Это значит, что

сходится

Ч.т.д. 1.3.2 > □.

Упражнение < □ 3.2. формулировать и доказать аналогичную теорему для функциональных по-
следовательностей. 3.2. □ >

Замечание □ 3-4- Условие равномерной сходимости функционального ряда (1.2 ) в теореме (1.3.2
) существенно. 3.4- □

Пример ^3.3. Пример функционального ряда, не допускающего почленного интегрирования.

Рассмотрим функциональный ряд \ пх • е~пх2 — (п — 1)ж • е-(п~Чх2 на множестве Е = [0; 1] .
п=1 I-	-I

Найдём сумму ряда:

8п(х) = У

к=1

кх  е кх2 - (к - 1)ж • е (к

= пх • е пх2

8(х} = Пт пх • е кх = 0 (Ух е [0; 1])

П^ОО
1.3 Свойства равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов.	25

1

Из 8{х) =0 следует / 8(х) с1х = 0.
о

3.3.	►

Замечание □ 3.5. Тем не менее условие равномерной сходимости функционального ряда (1.2 )
отнюдь не является необходимым для его почленной интегрируемости. 3.5. □

Пример ◄ЗЛ.

Функциональный ряд допускает
почленное интегрирование:

Функциональный ряд

У гп(ж)
п=1

сходится равномерно.

г	2 2

Рассмотрим функциональный ряд пх • е~п х

на отрезке Е = [0; 1] .

Найдём его сумму:

{к — 1)ж • е

2 2 1	2

' х 1 = пх•е~пх

к=1

2 2

8(х) = Пт пх • е~п х = 0 (Мт Е [0; 1])

1

о

пх • е
Интеграл от суммы ряда равен нулю. С другой стороны, ряд, составленный из суммы интегралов, тоже
равен нулю. Убедимся в этом.

+о+Е

о	П=2

1	2 2 |1

— е~пх

2п	1о

____1____е-(п-1)1 2ж2 I1

2(п — 1)	1о

при п=1

А . е-п2 + С_________1_____е-(п - I)2 +______1___

2п	2п 2(п — 1)	2(п — 1)

Пт 8п = 5 = 0.

П^ОО	------

Таким образом, данный ряд допускает почленное интегрирование. Тем не менее равномерная сходи-
мость отсутствует. Покажем это. Покажем, что функциональная последовательность частичных сумм
ряда 5п(ж) не сходится равномерно на [0,1]. Используем критерий равномерной сходимости в терминах
супремума — теорему 1.2.1.

1)	УпеП 3 дп = епр |5п(гг) — 5(гг)| = епр пх • е~п х
хб[0;1]	хб[0;1]

Найдём этот супремум

(пт  р-П2Х2\	_	. -П2Ж2 _ 9 3 2 . -П2Х2 _ п	. тах _	1

У	/	п^2

2 2	1

зир |5„(ж) - 5(ж)| = Зп (ж™аж) = пх  е~п х = —==. = йп
же[0;1]	1 у2е

пу/2

2)	Однако дп -/-> 0 при п сю	8п(х)ф 8(х) = 0 на [0; 1]

п^оо

Итак, наш ряд не сходится равномерно. Но почленное интегрирование даёт верный результат. Это и
означает, что равномерная сходимость не является необходимым условием допустимости почленного ин-
тегрирования. 3.4. ►

Замечание □ 3.6. Условие непрерывности 17п(х) в теореме (1.3.2 ) может быть существенно
о с л аб лено.	3.6. □

Теорема < 3.3: Пусть

1) определена и интегрируема на [а;Ъ\ (\/п Е И)

2) Функциональный ряд (1.2 ) сходится равномерно на [а;Ь\
Тогда

8(х) = ^2 интегрируема на [а; Ь]

ъ

« г

ъ

I ип(х)с1х
1.3 Свойства равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов.

3.3. >

Замечание □ 3.7. Пусть выполнены условия теоремы (1.3.2).

Рассмотрим функциональный ряд

(Мт Е [а; Ь\)

Из доказательства теоремы (1.3.2 ) следует, что этот функциональный ряд сходится равномерно на [а; Ь]
к / 3(1) ЛЬ , и, в частности, имеет место равенство

3.7.	□

Теорема < 3.4'- О почленном дифференцировании функционального ряда (1.2 ).

У ип(х) = /71(ж) + г72(ж) + ...	(3.8)

п=1

Пусть

1)	Функциональный ряд (3.8 ) сходится для\/х Е [а; Ь].

2)	17п(х) Е С[а.ъ] ЧпЕ^

3)	Функциональный ряд ^2 п(х) сходится равномерно на [а;Ъ\
п=1

Тогда С(х) = ^2 ^п(х) АдМ и имеет место формула
п=1

/

3 (ж) = ( У г„(я)) =уг п(х) ,
\п=1	/	п=1

т.е. ряд (3.8 ) можно почленно дифференцировать. 3-4- >

Доказательство □ <	1.3.4- Обозначим

т(ж) = уС(ж),

п=1

Т(х) непрерывна на [а; Ь] согласно теореме (1.3.1 ), посольку, по условию 2), ряд составлен из непрывных

функций и, по условию^), ряд сходится равномерно на [а, Ь].
Непрерывную функцию можно интегрировать, и этот интеграл, по теореме Ньютона-Лейбница, будет
дифференцируем, как функция верхнего предела. Ряд в правой части формулы можно интегрировать
почленно от а до х, согласно замечанию 3.7.

У [ ип(х) - ип(а) ] = у Гп(ж) - у ип(а) = 8(х)-8(а)

эти ряды сходятся по условию 3)

8(х) = 8(а) +	Т(з)(18 е С[а.,Ь] Отсюда 8 (ж) = Т(х)

а

т.е.
/

(уГ„(жИ = Угп(ж) \/х е [а;Ь]
\п=1	/	п=1

Ч.тп.д. 1.3.4 > □.

Упражнение < □ 3.3. Сформулировать и доказать теорему, аналогичную теореме (1.3.4 ) для
функциональных последовательностей. У У □ >

Замечание □ 3.8. Условие равномерной сходимости ряда существенно. 3.8. □

Пример ◄З.б.

Рассмотрим функциональный ряд	|  п=1  Найдём его сумму:  8п(х) = х п + 1  $'(я;) = 1 Ух е [0; 1] , уГп п=1 п  Тп(х) = ^Зк(х) = 1-хп  к=1  т(х) = Уи "(а:) = Нт = п=1  /	(   / ГрП	ГрП +  Итак, 8 (х) = 1	(	  47	\	\ п	п +  \п=1 х	3 хп	хп+1 \  	1 ; на множестве Е = [0; 11 у п п + 1/  8(х) = Пт 8п(х) = х  ,(х) =	_ хП)  п=1  г	п\ 1 !, если о < ж < 1  11П1 (1 - хп) = <  1 0, если х = 1.  1	\ \	АУ / ГУ.П	_п+1 \  - )	+ У ( — -	) = т(х)  1)	\ п п + 11  7 /	п=1 х	7
1.3 Свойства равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов.

29

Это объясняется тем, что не выполнено достаточное условие 3) — ряд сходится неравномерно на [0; 1].

3.5. ►

Замечание □ 3.9. Можно показать, что условие равномерной сходимости ряда, состоящего из про-
изводных, отнюдь не является необходимым для почленной дифференцируемости этого ряда. 3.9. □
ГЛАВА II

Степенные ряды

Функциональный ряд вида

сп(х - х0)п = Со + С1(ж - Ж0) + с2(ж - ж0)2 + ...
п=0

(0.1)

называется степенным рядом. Числа сп называются коэффициентами степенного ряда.

Очевидно, что любой степенной ряд сходится по крайней мере в одной точке, а именно в точке х$.

В дальнейшем будем рассматривать степенные ряды вида 52 спхП

п=0

§1	. Радиус сходимости степенного ряда.

§1	.а. Понятие радиуса сходимости.

Без ограничения общности можно рассматривать степенные ряды вида

п=0

(1.1)

Действительно, всякий ряд 52 сп ' (х ~ %о)п заменой х = х — х$ (переносом начала координат в точку хД)
п=0

сводится к ряду 52 Сп%П •

п=0

Теорема < 1.1: Первая теорема Абеля.

Если степенной ряд 1.1 сходится в точке х = х , х 0,

то он сходится, и притом абсолютно, Мх : |ж| < |ж| .

1.1.	>

Доказательство □ <	1.1.

По условию 52 сп %п сходится. Значит, общий член ряда стремится к нулю: спхп 0. Т.е. после-
п=0

довательность спхп бесконечно-малая, а значит ограниченная: \сп хп\ С 31 (\/п 6 И).
ИЛ Радиус сходимости степенного ряда.

Пусть |х| < |х|. Докажем по признаку сравнения, что 22 \сп %п\ сходится. Для этого мажорируем
п=0
этот ряд сходящимся числовым рядом.

О \сп хп\ М  дп , где <7=|^-|,	0 < д < 1;

У2 М • дп сходится как геометрическая прогрессия со знаменателем 0 < д < 1.
п=0

сходится ряд ^2 \спХп\ . Ч.т.д. 1.1 > □.

п=0

Следствие 1 из 1-ой т. Абеля.

Если степенной ряд (1.1 ) расходится при х = х, то он расходится \Аг,

1 из 1-ой т. Абеля.

удовлетворяющих неравенству |х| > |ж | ,.

Доказательство □ < следствия из 1-ой т. Абеля.

От противного:

Допустим, что Зхо : |я?о| >	| и ряд ^2 сп^о сходится О степенной ряд 1.1 сходится (абсолютно)

п=0

Мх : |ж| < |я?о|; |ж | < |жо| О сходится ^2 СДП (•) Ч.т.д. следствия из 1-ой т. Абеля > □.
п=о

Определение < < 1.1. Рассмотрим степенной ряд

^спхп (1.1).
п=0

1)	В случае, если степенной ряд (1.1) сходится только в точке х = О, говорят, что радиус сходимо-
сти этого ряда К = 0.

2)	Пусть степенной ряд (1.1) сходится в х = х 0. Рассмотрим множество

Е = < |х| | х е В, ^2 спХп сходится
I	п=0

Если множество Е неограниченно сверху, то полагают В = оо.

Если множество Е ограниченно сверху, то полагают В = епрЕ.

1.1.	> >

Теорема < 1.2: О радиусе сходимости степенного ряда.

Пусть В > 0 — радиус сходимости степенного ряда

Тогда:
а)	Если К = оо, то степенной ряд (1.1 ) сходится абсолютно Ух

б)	Если 0 < К < оо, то степенной ряд (1.1 ) расходится V х : |ж| > К

1.2.

Доказательство □ <	11.1.2. а) Пусть х-любое, тогда Зх' : |я/| > |ж| : ^2 сп%п сходится (по

п=о

определению К = оо) Отсюда по первой теореме Абеля о степенной ряд (1.1) абсолютно сходится Ух :
|ж| < |я/| О требуемое утверждение.

б)	0 < К < оо

1)	Пусть х : |х| < К. Согласно определению радиуса сходимости это означает, что

сходится (ссылка на второе свойство верхней грани) О (по первой теореме Абеля) степенной ряд
(1.1) абсолютно сходится Ух : |ж| < |я/|

2)	Пусть х : |ж| > К

От противного: допустим, что Зхо : |#о) > Я, ^2 сп%п сходится О |хо| Е Е О |хо| < К (согласно
п=о

первому свойству верхней грани) |ж0| <	< |^о|	|^о| < |^о|

Ч.т.д. 11.1.2 > □.

Определение < < 1.2. Пусть К > о радиус сходимости степенного ряда (1.1). Тогда интервал
называется интервалом сходимости степенного ряда (1.1). 1.2. > >

Замечание □ 1.1. Из основного определения о любой степенной ряд имеет радиус сходимости и
при этом существуют степенные ряды трёх и только трёх видов, а именно:

1)	К = 0

2)	г = оо

3)	0 < К < оо

1.1. □

Замечание □ 1.2. В случае, если К > 0, то интервал сходимости (—1?; К) необязательно совпадает
с областью сходимости степенного ряда (1.1), но, в частности, может с ней и совпадать. 1.2. □

Замечание □ 1.3. Если К = оо, то (—оо; +оо) совпадает с областью сходимости степенного ряда
(1.1).	1.3. □

Замечание □ 1.4. Если 0 < К < оо, то в (..)х ± К степенной ряд (1.1) может как сходиться, так
ирасходиться. При этом в случае его сходимости в этих точках, сходимость может быть, как абсолютной,
ИЛ Радиус сходимости степенного ряда.

так и неабсолютной. 1.^. □

Замечание □ 1.5. Если К > 0 радиус сходимости степенного ряда (*) ^2 сп(х — хо)п, то интер-
п=0

валом сходимости является интервал (хо — К; хо + К) 1.5. □

§1	.6. Формулы для радиуса сходимости

Рассмотрим степенной ряд (1Л). Применим для его исследования на абсолютную сходимость признак
Даламбера.

У М"|

п=0

(1-2)

ап = \спХп\ Нт = Пт
Рассмотрим 3 случая:

\х\ Пт 1^1

п^оо Сп

3 Пт | Сп+1| = 0 Зд = Пт ап+1 = р (\/ж)
п^сю сп	оп

д = 0 < 1 => 1.2

сходится Мх то есть 1.1 сходится абсолютно Мх => К = оо; Пт |^^-| = О О Пт = сю => К =

2)	Пусть х 0 Пт = сю => Пт = Ш Пт = сю => (1.2) расходится(ап -/-> 0) => (1.1)
п^оо Сп	ап	Сп

расходится (Мх / 0) => К = 0. Но Пт |	1 = сю О Пт |	= 0 => К = Пт |	|

3)	Пусть 3 Пт |^±1| = к > 0 Зд = Пт = ШАН1.1 абсолютно сходится приШ <	1.1

расходится при |х|>-^}=>Я=^

Но Пт = к О Пт 1-^1 = | > еслиЗ Пт > 0, то К = Пт 1-^1
п^оо 1 Сп I	П^оо 1 с^+1 1 к	п^оо 1 с^+1 1	п^оо 1 с^+1 1

Из г1 г 2 гЗ => следующая теорема.

Теорема < 1.3:

Формула Даламбера для радиуса сходимости степенного ряда.

Если 3 Пт |-^| (конечный или бесконечный), то К-радиус сходимости равен этому пределу то есть
сп+1

К= Пт 1-^1

1	Сп+1 I

Доказательством служат предшествующие рассуждения.

1.3.	>

Теорема < 1.4:

Формула Коши для радиуса сходимости степенного ряда.

Если 3 Пт —конечный или бесконечный, то Пт —
п^оо у/\сп\	у/\сп\

щие рассуждения.

Доказательством служат предшествую-
1.4.

Примеры <1.1.

00

1)

п=0

Н = Нт I 1 = Ит ^га+,* 1')! = Ит (п + 1) = оо то есть К = оо
п^оо 1 с„+1 ।	п!	7

2)

п=0

О 1- I Сп I г	п!

К = пт |-----1 = пт ------—

п^оо сп+1 п^оо(п+1)!

Пт —-— = О В = О
п^оо п + 1

з)	Е^

п=0

И = Нт = 1 И = (-1; 1)

Рассмотрим поведение ряда на концах промежутка

а)	х = 1; ^2 -лг {сходится,а > 1 расходится^ < 1}
п=1

б)	х = — 1 ^2 {абсолютно сходится а > 1 сходится (неабсолютно) 0 < а < 1 расходится^ < О
п=1

Область сходимости {(—1; 1), а < 0; [—1; 1), 0 < а < 1; [—1; 1], а > 1}

Область абсолютной сходимости (—1; 1), а < 1; [—1; 1], а > 1

1.1.	►

Замечание □ 1.6. Формулы для В, содержащиеся в 11.1.3,11.1.4 устанавливаются в случае суще-
ствования соответствующих пределов (конечных и бесконечных). Однако, указанные там пределы могут
и не существовать. 1.6. □

Пример <1.2.

]Г [2 +

п=1

1 _ 1

2 + -Р

Предел этой последовательности не существует. 1.2. ►

Однако В существует для любого степенного ряда => не всегда В может быть найден по формуле
Даламбера или Коши.

Существует универсальная формула.

Определение < < 1.3. Определение верхнего предела последовательности.

Пусть {хп}-последовательность.

1) Если 3 подпоследовательность хПк : Пт хПк = а, где а-либо число, либо символ ±оо, то а назы-
вается частичным пределом последовательности хп.
ИЛ Радиус сходимости степенного ряда.

2)	Если хп не ограничена сверху, то полагают её верхний предел = ±оо (запись: = Пт = Тоо ).

3)	Если последовательность {хп} ограничена сверху, то её верхним пределом называется величина
= Пт = 8нр{а}; где {а} — множество её конечных частичных пределов, при условии, что оно не
пусто (пусто — когда Пт	= —оо ).

частичный

4)	Если хп такова, что её единственным частичным пределом является —оо ( то-естъ хп	— оо)

то = оиегИпе Пт хп = —оо

1.3. > >

Теорема < 1.5: Формула Коши-Адамара.

Пусть К-радиус сходимости степенного ряда 1.1. Тогда 4 == Пт л/|сп| (При этом предполагается,
что если этот предел = оо; то К = 0, а если предел = 0; то К = оо. 1.5. \>

Пример <1.3.

У{[2 + -1”]}”.^

п=1

УЫ=2 + (-1М =
гС

Кт УЫ = 3 => Я = |.

1.3. ►
§2. Свойства степенных рядов.

§2.а. Равномерная сходимость степенных рядов.

Теорема < 2.1: О равномерной сходимости степенного ряда.

Рассмотрим степенной ряд (1.1 ), пусть К > О, пусть г : 0 < г < К.

Тогда ряд (1.1 ) сходится равномерно на [—г; г].

2.1.	>

Доказательство □ <	11.2.1. Согласно теореме о сходимости (А ЧТО ЭТО ЗА ТЕОРЕМА?) наш

степенной ряд (1.1 ) в точке х = г сходится абсолютно, т.е. сходится ряд 52 |Сп|гп
п=0

\Спхп\ < \Сп\гп = ап (\/х Е [—г; г]) ^2 ап = 12 |Сп|гп сходится, а следовательно степенной ряд (1.1 ),
п=0	п=0

сходится равномерно на [—г; г] Ч.т.д. 11.2.1 > □.

Замечание □ 2.1. Из доказательства теоремы следует, что степенной ряд с ненулевым радиусом
сходимости К > 0 сходится равномерно на любом промежутке [а; Ь] Е (—Д', К). При этом, однако, степен-
ной ряд не обязательно сходится равномерно во всем интервале сходимости. 2.1. □

Пример ◄2.1.

хп, К = 1 сходится неравномерно в
п=0

еир |5„(ж) - 5(ж)| = зир	$

— 1 < Ж < 1	—1<Х<1^-~Х

следовательно ряд сходится не равномерно.

2.1. ►

Замечание □ 2.2. Однако существуют степенный ряды, которые сходятся равномерно не только

в интервале (—Я; К) но и на [—Я; К].	2.2. □

Пример -«2.2. Е й = 1; |;Я < Е =	6 [-1; Х])

п=1

ап = 52 Е2 сходится, следовательно данный степенной ряд сходится равномерно. 2.2. ►
п=1	п=1

Замечание □ 2.3. Дополнительное обобщение - если ряд (1.1 ) сходится абсолютно при х =

К (х = —Я), то он сходится равномерно на [—Я; К] 2.3. □

Пример ◄2.3.	52 \Сп\Дп сходится \Спхп\ < \Сп\Кп = ап (\/х Е [—Я; Я]) следовательно степенной

п=1

ряд (1.1 ) сходится равномерно на [—Я; Я] 2.3. ►

Замечание □ 2.4- Оказывается, что имеет место более сильное утверждение, а именно теорема

Абеля. (Я НЕ НАШЕЛ ЕЕ В ЛЕКЦИЯХ И НЕ СМОГ НА НЕЕ СОСЛАТЬСЯ...)
Пусть степенной ряд (1.1 ) имеет ненулевой радиус сходимости: 0 < К < сю. Пусть также степенной ряд
(1.1 ) сходится в точке х = К хотябы неабсолютно.

Тогда степенной ряд (1.1 ) равномерно сходится на [0; В].

Аналогичное утверждение справедливо и для х = — К	2.4- □

Пример ◄2.4.	52 СпВп сходится 52 ^пхп = 52 (СпВп) * (^)п

ДМИТРИЙ МИХАЙЛОВИЧ, Я НЕ ПОНЯЛ, ЧТО ЗНАЧИТ ЭТО СОКРАЩЕНИЕ:
и исп. пр. р. сх. Абеля. 2.4. ►

Теорема < 2.2: О непрерывности суммы степенного ряда. Рассмотрим степенной ряд (1.1 ).

Пусть он имеет ненулевой радиус сходимости К > 0, тогда сумма ряда непрерывна в интервале [—Я; В].

Пусть 8{х) = 52 СпХп- пусть хо Е (—К; К).

Докажем, что 8(х) непрерывна (ИЛИ НЕПРЕРЫВЕН, СПРОСИТЕ У ИГОРЯ ВИТАЛЬЕВИЧА - ЕМУ
БУДЕТ ПРИЯТНО) в точке х0.

Доказательство.

Пусть г > 0 : |а?о| < г < В. Степенной ряд (1.1 ) сходится равномерно на [—г; г]

Гп(х) = Спхп Е [—г; г] (\/п Е И) следовательно согласно теореме о непрерывности суммы (А КАКОЙ
НОМЕР У ЭТОЙ ТЕОРЕМЫ) ряд сходится равномерно 8(х) Е Су — г; г], х$ Е (—г;г), следовательно
8(х) непрерывна в точке хо 8(х) Е	2.2. >

Замечание □ 2.5. Пусть 0 < В < сю, тогда 8(х) Е	но не является непреывна в точке х =

У-В, Я ЗАБЫЛ ЛЬВОВСКОГО И НЕ ЗНАЮ ЭТОГО СИМВОЛА однако она может быть односторонне
непрерывна в точке Н— В. 2.5. □

Пример ◄2.5.	52 хП — угу (—1; 1) точка х$ является точкой бесконечного разрыва 8{х).

Пример ◄2.6.	52 уу ^[-1;1] этот РЯД равномерно сходится на [—1; 1] т.е. она (КТО ОНА?) в

п=1

точке Т-1 односторонне непрерывна 2.6. ►

Замечание □ 2.6. Пусть 0 < В < сю, если степенной ряд (1.1 ) сходится в точке х = В является

непрерывным слева, т.е.

это следует из 2-ой теоремы Абеля, согласно которой степенной ряд (1.1 ) на [0; В] сходится равномерно,
следовательно 8(х) Е С[о;н] 2.6. □

§2.6. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов.
Теорема < 2.3: О почленном интегрировании степенного ряда.

Степенной ряд с ненулевым радиусом сходимости К > 0 внутри интервала сходимости допускает
почленное интегрирование при этом радиус сходимости полученного ряда равен радиусу сходимости
степенного ряда. (При почленном интегрировании радиус сходимости не изменяется.)

Докзателъство.

Пусть для определенности 0 < х < Я, Сп1п, I Е [0; х\ равномерно сходится на [0; х\ согласно те-
п=0

ореме (11.2.1 ) и, следовательно, допускает почленное интегрирование. 5(^) = 52	/ 3(1)31 =

п=0	О

/ ( 52 Сп31 I 31 = Согласно теореме о почленном интегрировании (КАК МОЖНО СОСЛАТЬСЯ НА

О \п=0	/

ТЕОРЕМУ, КОТОРУЮ ДОКАЗЫВАЕШЬ, ИЛИ Я ОШИБСЯ) = Е { ] СДп<Л] = Е	=

п=0 \0	/	п=0

52 Зпхп, гдеЗп = Сп~1 Пусть П[ - радиус сходимости 52 Зпхп, тогда	= Пт \ 1с»-1| =	=

П=1	п	п=1	211 П^ОО V Г1

ТЙГ= ТЙГГ=Тй~(Ч)7*1 = I В1 =к 2.з. >

// — ос	// — ос \	/	// — ос У21/	21

Замечание □ 2.7. В случае, если наш степенной ряд сходится в точке х = К (хотябы неабсо-

В	/ оо	\	оо	п

лютно), то справедлива формула: / 3(х)3х = / I 52 Спхп I = 52 уут^п+1, Аналогичное замечание
0	\п=0	/	п=0

справедливо для х = — К. 2.7. □

Пример ◄2.7.	— 1 _ х х2 — х3 + ... х Е (—1; 1) Согласно теореме (II.2.3 ) 1п(1 + х) =

х — уг + у—	+ ..., т.е. 1п(1 + х) = 52	—хП ^х (—1,1))- Заметим, что степенной ряд сходится

п=1

в точке х = 1, следовательно его сумма в точке х = 1 являестя непрерывной слева. Переходя к пределу

при х 1 — 0 получим: 1п(2) = 52 ^у—	М1 + х) = 52 ^“у—хП', (Ух (—1; 1))	2.7. ►

п=1	п=1

Теорема < 2.Д О почленном дифференцировании степенного ряда.

Степенной ряд с ненулевым радиусом сходимости К > 0 внутри интервала сходимости допускает по-
членное дифференцирование, при этом радиус сходимости полученного ряда равен радиусу сходимости
исходного ряда.

Пусть (1) 3(х) = 52 &пхП; пусть х Е (—К, К) - произвольная точка; пусть г > 0 : |ж| < г < К.
п=0

Рассмотрим ряд (2), состоящий из производных исходного ряда 52 ^Спхп^[ = 52 ^пхГ\ где Зп =
п=1	п=0

(п у 1)Сп+1

Пусть По - радиус сходимости степенного ряда (2), тогда по формуле Коши -4- = оиегИпе Пт х/\Зп\ =
212	?2—>оо у

тегИпе Пт У (п + 1)|Си+1| = тегИпе Пт У|С„ + 1| = тегИпе Пт ( УУЛ) ” = ± В2 = Л

Интервал сходимости (—К; К) следовательно на [—г; г] степенной ряд (2) сходится равномерно, т.о.
на [—г; г] выполнены все условия теоремы о почленном дифференцировании функционального ряда, сле-
/ оо	\ 1	оо

довательно З1 (х) = ( 52 &пхп ) = 52	(7х Е (—К; К)) 2.4- >

\п=0	/	п=1
Пример ◄2.8.

,2

1

—ттг — 1 + 2х + Зж2 +

1

2.8. ►

Замечание □ 2.8. Из теорем (II.2.3 ) и (II.2.4 ) вытекает, что радиус сходимости не меняется

как при почленном интегрировании, так и при дифференцировании. 2.8. □

Замечание □ 2.9. Т.к. ряд состоит из производных членов данного ряда (1.1 ) есть также ряд с
данным радиусом сходимости, то он (ряд из производных) дополнительно может быть почленно диффе-
ренцирован, тогда из этого следует, что степенной ряд представляет возможность бесконечного диффе-
ренцирования в интервале сходимости. 2.9. □

Замечание □ 2.10. При почленном дифференцировании и интегрировании степенных рядов часто

удается найти суммы этих рядов. 2.10. □

Пример ◄2.9.	= 52	5 <Я0) = 0; Ф1 (9) = 1

п=1

хф1 (ж) = 52 зг	ХФТI + Ф1 = 52 тп-1 = 1 + х + х2 +... =

п=1	п=1

Функция ф(х) является решением задачи Коши хф11 + ф1 = оду: </>(0) = 0; ^(О) = 1

Пусть ф1 = г. тогда хг1 + % =	х^2 =	„ 1П _ 1ПГГ = 1П 1 г = —; % —

т	’	1+х ах	, г	х	с	х	х ,

х	= 1 с1 (ж) =	ОД) = — 1п(1 -ж); г = -1п(1~а:)

ФИ =Е^=~/ (Уж е (-1; 1))	2.9. ►

п=1	0
§3. Разложение функций в степенной ряд.

§3.а. Ряд Тейлора и аналитические функции.

Определение < < 3.1. Пусть /(х) Е С00(0/1(^о)). Тогда степенной ряд

п=0

(3-1)

(о! =	= /) называется рядом Тейлора /(х) в (.)ж0 3.1. > >

Определение < < 3.2. Функция /(х), которая является суммой степенного ряда сП 0,то есть
имеет место

/(ж) = У С„(ж-жо)

(3-2)

\х — а?о| < К, где К > 0-ряд сходится, называется аналитической функцией в (.)жо 3.2. > >

Теорема < 3.1: О ряде Тейлора

Если /(х) является аналитической в (.)^о (то есть имеет место представление 3.2) то необходимо
сп =	, п = 0,1,2,... то есть степенной ряд 3.2 является рядом Тейлора функции /(х), иными

словами, всякий степенной ряд с ненулевым радиусом сходимости является рядом Тейлора своей суммы.
Доказательство:

Из 3.2 => /(х) Е с°°(Он(гго)) причём степенной ряд 3.2 допускает бесконечное почленное дифференциро-
вание

(2°) /(ж) = Со + С1(гс - ж0) + с2(х - Хо)2 + С3(х - Хо)3 Ч-Ь сп(х - х0)п + ...

(21)	/'(ж) = С! + 2с2(х - Хо) + Зс3(ж - ж0)2 Ч-1- псп(х - ж0)"-1 Ч-...

(22)	/"(ж) = 2 • 1с2 Ч- 3 • 2с3(ж - хо) Ч-1- п(п - 1)сп(ж - хо)п~2 Ч-...

(2") /(") = п\сп + (п + 1)п... 2сп+1(ж - ж0) + (п + 2)(п + 1)... Зсп+2(ж - ж0)2 + ...

Подставим в эту систему равенств ж' = жо :

со = Цхо)

С1 = /'(жо)

„„ _ /"(жо)

Итак, мы нашли все коэфффициенты. 3.1. >

Замечание □ 3.1. Из доказанной теоремы следует, что аналитическая функция является беско-
нечно дифференцируемой в некоторой окрестности (.)#о- Естественно возникает вопрос : а верно ли
обратное утверждение?

Заметим, что если функция бесконечно дифференцируема, то она обладает рядом Тейлора. Однако, мо-
жет оказаться, что ряд Тейлора этой функции сходится лишь в одной (.)х = Хо (то есть К = 0), а это
означает, что он не представляет нашу функцию. Более того, если К ряда Тейлора будет больше нуля, это
11.3 Разложение функций в степенной ряд.

вовсе не означает ,что наша функция является аналитической. Иными словами, утверждение обратное

11.3.1	неверно, то есть из бесконечного дифференцирования не следует её аналитичность. 3.1. □

Пример ◄ЗЛ. /(ж) = {е^.х	0 ; 0,х = 0}

/(х) Е С°°(—оо;+оо)

/(”)(о) = ОУп € К /(0) =0} => сп = СгУ = 0,п = 0,1,2,...

8(х) = О\Аг, но /(ж)	0 при ж 0} => /(ж) не является аналитической в (.)#о то есть не существует

окрестности (.)#о в которой наша функция представлялась бы рядом Тейлора. 3.1. ►

Возникает вопрос: при каких условиях бесконечно дифференцируемая функция представляется рядом
Тейлора, то есть является аналитической?

Ответ на этот вопрос получается из формулы Тейлора:

Пусть /(х) е С00(0/г(жо)).. Тогда имеет место формула

/(^) = у

/(7,Жо)(ж - х^к + (Чп € К)

(3.3)

где 1?п-остаточный член

Из этой формулы вытекает лемма:

Лемма < С р 3.1: Пусть ф(х) Е С°°(0/1(хо)). Тогда для того чтобы ф(х) была аналитической в
(.)а?0; необходимо и достаточно, чтобы Пт Пп(х) = ОМг Е О^хф). 3.1 □ >

Теорема < 3.2: Пусть

1)	/(ж) € С~(ОДж0)).

2)	ЭМ > 0 : |/(и)(ж)| < М (\/п е Жж € 0/,(жо))

Тогда является аналитической функцией в (.)жо, то есть является суммой своего ряда Тейлора.
Доказательство:

Рассмотрим остаточный член в форме Лагранжа:

Пп(х) = (п+1)!/(га+1)(жо + ©(ж - ж0))(ж-ж0)и+1, где 0 < © < 1.{\/ж € ОДж) => ж0 + ©(ж - ж0) €
Ол(ж)}|2?„(ж)| < (^1)|М|ж - жо|п+1 < 7^7 = ап (Уп е Жж е Оц(х0))

0 < К(*)| <

Докажем, что Пт ап = 0

Рассмотрим ряд V ап; Пт _ рт _ь_ = 0 < 1 => V ап сходится => ап 0 (п оо) =>
Пт Пп(х) = 06/х Е О^хо) => ф(х) является аналитической в (.)^о« 3.2. >

§3.6. Простейшие разложения.

1

1 — X

1) Яж) =

= ^2 жп; — 1 < ж < 1.

2) /(*) = 1У

= Е (-1)”^"; -1 <ж< 1.

п=0
3)	/(ж) = еж = 2 -оо <Х < +оо
п=0

4)	/(ж) = 8ш(ж) = 22 ((2п-1)! х2п <Х < +°°
п=0

/__1 хп

5)	/(ж) = сое(ж) = "узттут -оо < ж < +<х>

п=0

Разложения 3), 4), 5) получаются с помощью 11.3.2.

6)	/(ж) = 1п(1 + ж) = 22 - УГ~хП - 1 < Ж < 1.

п=0

/'(ж) = т|-Г;-не ограничена, следовательно 11.3.2 формально не применима, но разложение было
получено во втором параграфе другим способом- почленным интегрированием.

7)	/(ж) = агс1§(ж)

/'(ж) = г_^х2 -ограничена, следовательно формально можно по 11.3.2 но мы поступим иначе: /'(ж) =
утЦ- = 52 (—1)п+1^2п-2, —1 < х < 1 => (по теореме о почленном интегрировании) агсЦ^гг) =
п=1

52 2п-1 х2п? ~ 1 < х < 1 Однако этот ряд в (..) ± 1 сходится по признаку Лейбница => согласно
п=1

(??) это равенство можно установить уже на отрезке [—1; 1]

При х = 1 получаем: -у = 52 (—1)п+1я?2п-1 = 1 — | + | — | + ...

п=1

Упражнение < □ 3.1. айти разложение в степенной ряд в окрестности (.)0 функции агс1:ап

3.1. □ >

§3.в. Биномиальный ряд.

Рассмотрим степенной ряд

V" «(а - 1)... (а -/г + 1)^ _	а(а - 1) 2	«(а - 1)(а - 2) 3

х 1 -г схх -г 2!	'	3! х .

п=1

(3-4)

(где а 0, а ф пп Е И так как ряд исчезает при а = Оа = п

Этот ряд называется биномиальным.Найдём К этого ряда.

К = Пт 1-^1 = Пт |^±1| = 1 то есть ряд 3.4 сходится абсолютно при — 1 < х < 1

п—>ОО С?г+1	П—>оо а п

Обозначим ср(х) = 52 а^~1^-^а~п+1^)хп

п=0

(р'(х) = а + а(а — 1)ж + а(а~Г(а~2)х2 _|-(1 х)(р'(х) = а[1 + х + (а — 1)(1 + х) + (а-Г(а-2)х2(1 _р _р

• • • + (а~1)(а2п21)!а~П+1)^~1(1 + Х) + (а-1)(а-2)...^-п+1)(а-п)хП(1	]

Коэффициент при хп в этой формуле есть (а~1)(а^2)-1-(а~п+1) (1 _р	_р

х)(р'(х) = а 52	= тр(х) <р{х) является решением задачи Коши: {(1 Ух)(рг(х) =

п=0

= 1}
11.3 Разложение функций в степенной ряд.

=+ Н14 = а1п(1 + х) = 1п (1 + х)а =+ р(х) = С(1 + х)а =+ р(х) = (1 + х)а.
Тем самым установлено равенство

а+У = Е
п=0

а(а-I)... (а-п + 1)

— 1 < X < 1

(3-5)

Осталось рассмотреть поведение биномиального ряда на концах интервала сходимости. Используем
признак Раабе для исследования правой части 3.5 на абсолютную сходимость, г = Пт (	 — 1) =

П^ОС + 1 I

Пт	= 1 + а

п а

(а > 0) г > 1 => сходимость.

(а < 0) г < 1 => расходимость.

Итак

1)	При а > 0 биномиальный ряд 3.4 сходится абсолютно в (.)х = ±1

2)	При а < 0(ж = — 1)-ряд 3.4 расходится, так как по второй теореме Абеля сумма ряда 3.4 должна
быть непрерывна справа в противном случае, что невозможно, ибо (1 + х)а при а < 0 в (.)ж = -1
имеет точку разрыва второго рода (бесконечный разрыв).

3)	Рассмотрим х = 1, а < — 1 => расходимость,

+Ут 1 К1 ^о.

п—а \ п+1
п+1 — п+1

4)	х = 1, — 1 < а < 0- рассмотреть поведение биномиального ряда.

§3.г. Некоторые дополнительные разложения.

1)	/(+ = 811(а:) = |(еж — е Ж) = |(Е+Г-Е ( ^3") = | Е 1	= Е (С-?)! (-0°; +°°)-

п=0	п=0	п=0	п=1 4

2?г

2)	/(ж) = сЬ(ж) = Е оо; +<х>).
п=0

3)	/(ж) = агсзт(ж) /'(ж) = (1 — ж2) 2-не ограничена в (—1; 1) => 11.3.2 не применима.

(1 - Ж2) 2 = 1 + |ж2 + Д+ Ж4 + 2 ’2,' 2 Ж6 -----= 1 + 52 (22+?Пж2га

П=1

Интегрируя почленно получаем:

ЯТСятМ — Т 4- V (2п~1)!!д;2ЭТ,+1 _ т ।	(2п-1)!!х2гг+1

ахсьпцх; - X -Г 2-п!(2п+1) ““ Х 2_> 2п!!(2п+1)

П=1	П=1

Степенной ряд, стоящий в правой части сходится абсолютно в (..) ± 1

«» = 2п(ы(2п+1) = 22+га(!)"(2п+1) (по формуле Стирлинга) 22,.2ЗД+1) ~ +;а = | > 1 -ряд
Диришле, так как а = | > 1 => ряд сходится. Это разложение справедливо на отрезке с учётом
теоремы Абеля.

7Г — 1 I V (2^-1)!!

2 “г	2^п!(2п+1)
Упражнение < □ 3.2.

/(х) = агсеЬ (ж) = 1п(х + \/1 + х2)

Лх) = (1 + х2)Ч =

1	13	13 5

_ Л2 4- 2 ’ 2 . М - 2 ' 2 ' 2 ^6

2	+ 2!	3!

(—1)”(2п — 1)!! 2п
(2п)!!

(—1)”(2п — 1)!! 2га+1
(2п)!!(2п+1)

Однако это разложение справедливо на отрезке [—1; 1], так как в концевых точках сходится абсолютно
52	сходится (ап 52 Л-)-ряд Диришле. 3.2. □ >

п=1	п—^ос п 2

§3.д. Разложение в степенные ряды полных эллиптических интегралов.

(3-6)

Е(х) = У л/1 — А:2 ат21(11	(3.7)

о

О < к < 1 Будем исходить из следующего разложения:

1	— о -	— 1 4- V (2п~1^)!!тп =4	1	— 1 4- V (2п~х)!! рп • 2п.

х) + (Мн Х	(МН к 81П 1

Этот ряд сходится равномерно по I Е (—сю; +сю) так как он мажорируется сходящимся числовым рядом:

52	^2П ап ~ ~Уп^2П^ 0 < А: < 1 ап- сходится быстрее геометрической прогрессии.

п=1
7Г
2

По теореме о почленном интегрировании равномерно сходящихся функциональных рядов, имеем Г .

д у 1 — к2 8ш2 I

ОО	"2"	"2"	ОО	О

М	=	= Е	А;2”]

п=1	0	0	п=1

\/1 - = (1 - х)2 = 1- 7>х - ^Х2 - ^'^'^х3-----------= 1 - 52 (2п)П(2п-1)хП Действуя как в предыдущем

п=1 У

случае, получаем: |{1 - Е [(2(2п)н!!] (2п-1)} 0 < к < 1

Замечание □ 3.2. При разложении функции в степенные ряды достаточно часто используется
умножение рядов, основанное на теореме Коши.

3.2.	□
Пример ◄З.2.	/(ж) = 1п2(1 — х) разложить в степенной ряд в окрестности (.)а?о = 0. С помощью

формулы Тейлора не получится вывести формулу для общего члена (не говоря уже о том, что производ-
ная не ограничена).

1п2(1-х) = (ж+^-Т^-Н----Ь — + ...	+	-----Ь —+ ...) = V	+	+	----Ь--1) =

V / V 2	3	п /\ 1 2 1 3	п '	V п 2 п— 1 3 п—2	п /

п=1
оо тъ	тъ	тъ	тъ	тъ

12 (52 /с(пД+1) )^п+1 = {52 /с(пД+1) = т+т 52 п-1+1) = т+тК 52 р)=нп + (52 п-1+1)=я«,] = е+1 } =
п=1 к=1 К	к=1 К	к=1	к=1	к=1

52	(-1 < ^ < 1)

п=1

/(х) = 1п2(1 + х) =	-1 < X < 1

Сп =	> 0; Сп 0 (Сп ~	0); Сп+1 < Сп. 3.2. ►

Упражнение < □ 3.3.

?(х) = в окрестности х^ = 0

3.3. □ >
ГЛАВА III

Ряды Фурье.

§1	. Предварительные сведения о системах ортогональных функций на от-
резке.

Определение < < 1.1. Функции ф(х) и ф(х) определены и интегрируемы на \а;Ъ\ называются
ь

ортогональными на этом отрезке (ф ± если / ф(х)ф>(х)дх = 0 1.1. > >
а

Замечание □ 1.1. В этом определении существенным является отрезок, о котором идет речь, ибо

одна и таже пара функций на одном отрезке может быть ортогональной, а на другом - нет. 1.1. □

Пример ◄ !.!. Рассмотрим пару функций ф(х) = 8ш(2х); ф(х) = сой(ж)

1)	[—тг; 7г]; ф ± 'ф

/ 8ш(2х) СО8(гг)(±С = | / (8ш(3ж) + 8т(ж))б/ж = О

2)

[0; 7г]; ф^ ± ф

8ш(2х) со8(гг)<±с = | У $т(3х)дх + | $т(х)дх =

О	0	0

1	х Ч17Г 1	х Х|7Г 1	1	1	1	4

= -- СО8(Зх)|0 - - СО8(х)|0 = 7 + л +	+

о	2	о	о	2	2	3

1.1. ►

Определение < < 1.2. Система функций ф1(х), фъ^х)', ... (конечная или бесконечная), где функ-
ции определены и интегрируемы на отрезке [а; Ь] называется ортогональной системой функций, если
выполнены условия

1)

ь

У Фп(х)фт(х)(1х = 0;
а

при т п;
2)

ъ

У ф1 2(х)с1х > 0; ф(х) =
а

0, если 0 < х < 1,
1, если х = 1.

1.2. > >

Бесконечная система фукций 1, сой(ж), 8ш(ж), сой(2х), 8ш(2ж), ... называ-

Определение < < 1.3.

ется тригонометрической системой функций. 1.3. > >

Лемма < С р 1.1: Тригонометричкская система функций является ортогональной на отрезке

1.1	□ >

Доказательство □ <	Ш.1.1.

1)

2)

3)

/ 1 * 1дх = 2тг > 0

4)

8Ш((П

5)

1

2

0 , если п т
л , если п = т .

6)

0, если п т
тг, если п = т .

Ч. т. д.

Ш.1.1

Замечание □ 1.2. Как уже отмечалось ранее, если некоторая система функций является орто-
гональной на одном множестве, то это не означает, что она ортогональна на другом множестве. Т.е.
ортогональность зависит от множества. Пример тому - тригонометрическая система функций. Она, бу-
дучи ортогональной на [—тг, тг], НЕ является ортогональной на [0; тг].
Проверьте выполнение условий ортогональности и убедитесь. 1.2. □

Пример ◄1.2. Но и для интервала [0,7г] есть ортогональные системы. Рассмотрим две подсисте-
мы тригонометрической системы функций:

А = {1, сой(ж), сое(2х), ...}

В = {й1п(х), 8т(2х), ...}

Каждая из этих подсистем является ортогональной на [0; тг]

1.2	. ►

Определение < < 7.^.

/(ж) =	+ У (Ак СО8(М + вк 81п(Ь:)); (А$ + д2) > 0

к=1

называется тригонометрическим полиномом п-ной степени. 1.4- > >

Определение < < 1.5. Функциональный ряд 4^ + ^2 (Аг сой(пж) + Вп 8ш(пж)); (А^ + В^) > 0

п=1

называется тригонометрическим рядом. 1.5. > >

Замечание □ 1.3. Очевидно, что любой тригонометрический полином представляет собой 2л
периодичную функцию 1.3. □

Замечание □ 7.^. Возникает вопрос: можно ли утверждать, то любая 2л периодичная функция
/(ж) Е	может быть представлена в виде тригонометрического полинома.

Ответ отрицательный. Контрпример:

/(ж) = еМ е	1.4- □
§2. Простейшие свойства рядов Фурье.

§2.а. Понятие ряда Фурье.

Теорема < 2.1: Если тригометрический ряд вида

+ У^(ап СО8 пх + Ъп 81П Пх)

(2-1)

сходится равномерно на [—7г;тг]; то необходимо: его коэффициенты определяются по формулам

«о —

СО8 пхдх

(2.2)

8Ш пхдх

где /(х)-сумма ряда (2.1 ). 2.1. >

Доказательство □ < III.2.1. Из (2.1 )

р/ \ «о .
/(ж) = у +

У2 (аи сов пх + Ьп зт пх) \/х Е [—тг; тг]
п=0

из равномерной сходимости ряда (2.1 ) следует, что он допускает на этом отрезке почленное интегри-
рование:



Умножим обе части равенства (2.1 ) на сое кх



, ао

СО8 кх = — СО8
2

кх + / СО8 ПХ СО8 кх + Ьп 8Ш ПХ СО8 кх)

Ряд сходится равномерно на [—тг; тг] согласно лемме (?? ) (он получается домножением на ограниченную
функцию), следовательно

сое кх =

а^со82кх(1х =

сое 2к)дх = а^тг

—

Умножим на 8Ш кх

Ьк =

8Ш кхдх

Ч.т.д. III.2.1

Замечание □ 2.1.

и Ьп, задаваемые формулой (2.2 ).

Пусть /(х) определена и интегрируема на [—тг; тг]. Тогда определены числа ап

/(^) ^5а(3а5е А	+ ^(«п СО8 ПХ + Ьп 8Ш Пх)

п=1

(2-3)

2.1. □

Определение < < 2.1. Тригонометрический ряд вида (2.3 ) сопоставляемый функции, опре-
делённой и интегрируемой на [—7г;тг]; коэффициенты которого определены по формуле (2.2) называется
рядом Фуръе функции /(х) на [—7г;тг]; а его коэффициенты ап и Ьп

сое пхдх

(2-4)

втпхдх п = 1, 2,...

называются коэффициентами ряда Фуръе функции /(х) на [—тг; тг]. 2.1. > >

Замечание □ 2.2. Из основной теоремы и основного определения следует, что любой равномерно
сходящийся на отрезке [—тг; тг] тригонометрический ряд является рядом Фурье своей суммы на этом
отрезке. 2.2. □

Упражнение <□ 2.1. Привести пример неравномерно сходящегося на [—л; л] тригометрического
ряда, который тоже является рядом Фурье своей суммы. 2.1. □ >
III.2 Простейшие свойства рядов Фурье.

§2.6. Ряды Фурье чётной и нечётной функции.

Лемма < С р 2.1: Пусть /(х) определена и интегрируема на [—а; а] а > 0. Тогда

1)	Если ф(х) нечётна, то / /(х)дх = 0

2)	Если /(х) чётна, то / /(х)дх = 2 / /(х)дх

(доказать.)

2.1	□ >

Теорема < 2.2:

О коэффициентах Фурье чётной и нечётной функции.

Пусть /(х) определена и интегрируема на [—тг; тг].

Пусть ап, Ьп её коэффициенты Фурье.

Тогда

1)	Если ф(х) нечётна, то ап = 0, п = 0,1,... Ъп = / /(х) зт пхдх п = 1, 2,...

77 о

2)	Если ф(х) чётна, то Ъп = 0, п = 1, 2,... ап = //(х) сое пхдх п = 0,1, 2,...

77 о

Доказательство □ < III.2.2.

1)	Пусть /(х) нечётна, тогда /(ж) сое пх-нечётна /(ж) зт пх-чётна. Тогда утверждение 1) следует не-
посредственно из леммы (Ш.2.1).

2)	Пусть /(х) чётна, тогда /(ж) сое пх-чётна /(ж) 8т пх-нечётна. Тогда утверждение 2) следует непо-
средственно из леммы (Ш.2.1).

Ч.т.д.	III.2.2 > □.

Замечание □ 2.3. Если /(х) определена и интегрируема на [0; тг], то можно построить её ряд
Фурье на этом отрезке только по косинусам, если продолжить её на [—рг;О] чётным образом. И только
по синусам, если продолжить на [—тг; 0] нечётным образом.

(Тут два рисунка) 2.3. □
Пример ◄2.1. Предлагается /(х) = ж, 0 < х < тг разложить на [0; тг] в ряд по косинусам.

$тпх =

X 8Ш ПХ

7ГП

тг(2к - 1)

0, если п = 2к;

-4

2-, если п = 2к — 1}

2

2

= —- соя пх
7ГП

2

Итак, нашему ряду сопоставляется:

7Г 4	СО8(2/с—1)х

2 “ Г 2_у	(2/с —I)2

К = 1

х Е [0; тг]. Из дальнейших теорем будет следовать, что имеет место равенство:

II 7Г 4 Х-^ СО8(2/с— 1)х	_ г	1	.	/	\ 7Г 4 Х-^ СО8(2/с— 1)х	_ /	.	\

И = |	> х Е => агссоя(со8ж)| - -	(2\_1)27 , х Е (-оо; +оо)

Положим х = 0:

7Г 4	1

2“^^(2А;-1)2

оо	-1	2

1	7Г1

^(2А;-1)2=Т

О 00	1	_2

3	1	7Г

4	П2	6

п=1

2.1. ►

Упражнение < □ 2.2. Найти:	и	2.2. □ >

п=1	п=1

§2.в. Комплексная форма ряда Фурье.
Пусть /(ж) определена и интегрируема на [—тг;тг]. Тогда ей можно сопоставить ряд Фурье

(2-5)

ап = ± / /(%) сое пхс1х п = 0,1,...

<	" V	(2.6)

Ьп = ± / /(х) 8Ш пхс1х п = 1, 2,...

Перепишем ряд (2.5 ))

^гпх । гпх

&п	Л

ап + гЬп 1пх

2

Обозначим

— Их

2

2

/(ж) - Со + ^спе

гпх

с_пе гпх =

,гпх

спепх

сое пх — г 8Ш пх)с1х =

е~гпх(1х

1

2л

>гпхИх

Таким образом для функции определённой и интегрируемой на [—л; л] можно поставить в соответствие
её комплексный ряд Фурье

ж>~ у; Спепх
п= — оо

где его коэффициенты вычисляются по формуле

(2-7)

/(ж)е гпхс1х, п 6 X

(2-8)

Замечание □ 2.4- Комплексная форма ряда Фурье представляет собой частный случай ряда Ло-
рана ^2 сп^п на % = егх — л < ж < л 2.4- □
54

Глава III. Ряды Фурье.

§2.г. Ряд Фурье на произвольном отрезке.

Определение < < 2.2. Система функций

г КХ . 7ГХ 2тгх . 2ттх	П7ГХ . П7ГХ

{1; сой —; 8Ш —; сой ——; йш ——;... сой —-—; йш —-—

где I-произвольное, I > 0; называется обобщённой тригонометрической системой функций. 2.2. > >

Лемма < С р 2.2: Обобщённая тригонометрическая система функций ортогональна на [—/;/]
(Доказ ать) 2.2 □ >

Определение < < 2.3.

Функция вида

Ао л ктгх . ктгх

-у + > . Ак сой — + Вк йш —

где А) + В) > 0 называется обобщённым тригонометрическим полиномом степени п. 2.3. > >

Определение < < 2-4- Функциональный ряд вида



якх . якх
к сой —-1- Вк йш ——

к=1

называется обобщённым тригонометрическим рядом. При I = тг он превращается в обычный тригоно-
метрический ряд. 2.4. > >

Определение < < 2.5. Пусть /(х) определена и интегрируема на [—к, I] I > 0. Тогда этой функции
можно сопоставить следующий тригонометрический ряд:

Р/ X &0	П7ГХ 7	. П7ГХ

ПХ) ~ у + / . «п СОЙ у— + оп ЙШ у—

коэффициенты которого определяются по формуле

I

ап = у / /(х) сой ^^дх, п = 0,1,...
— I

I

Ьп = у / /(%) 81п ^^дх, п = 1, 2,...

-I

(2-9)

(2.Ю)

Этот ряд называется рядом Фурье /(х) на [—/;/]. Очевидно, что при I = т: он превращается в

обычный ряд Фурье на [—тг; тг]. 2.5. > >

Теорема < 2.3: Всякий сходящийся тригонометрический ряд вида 2.9 является рядом Фурье своей
суммы (доказать). 2.3. >

Упражнение < □ 2.3.
III.2 Простейшие свойства рядов Фурье.

1)	Вывести коэффициенты Фурье функции, определённой и интегрируемой на [—/; I] в случае, когда
а) /(ж) — нечётная.

б) /(ж) — чётная.

2)	Вывести комплексную форму ряда Фурье на [—/; I].

2.3.	□ >
§3. Экстремальные свойства коэффициентов Фурье и неравенство Бессе-

ля.

Определение < < 3.1. Пусть /(х) и д(х) определены и интегрируемы на [а; Ъ], тогда

ъ

-3— /"(/(я) - 5(ж))2 <1х

Ь — а]

а

называется среднеквадратичным отклонением функции д(х) от функции ф(х).

ь

Обозначим через А величину = (Ь — а)д2 =	[/(^) — р(^)]2 дх

а

очевидно, что 5 > 0 и А > 0. 3.1. > >

Пример ◄ЗА. Пусть ф(х) определена и интегрируема на [—тг; тг].

Возьмём в качестве функции произвольный тригонометрический полином степени п\

А п

д(ж) = Тп(ж) =	+ У Ак соз(А:ж) + Вк зт(кх)

к=1

„Произвольность “полинома заключается в произвольности выбора коэффициентов А$, А%, к =
1,2...п.

Вычислим среднеквадратическое отклонение этого произвольного тригонометрического полинома
д(х) от заданной фиксированной функции /(ж).

На основании этого вычисления попытаемся ответить на вопрос: из всех вожможных тригонометри-
ческих полиномов степени п какой менее всех остальных отклоняется от функции /(ж), иначе говоря, для
какого полинома среднеквадратическое отклонение будет наименьшим?

Тригонометрический полином степени п задаётся набором коэффициентов {Ась ^>1,^2, ^>2, • • • , Ап_1, Ап, 1

Поэтому наш вопрос можно переформулировать так: из всех наборов коэффициентов полинома
какой из наборов задаёт такой тригонометрический полином, который меньше остальных отклоняется
от /(ж)?

+При этом исчезнут все интегралы от удвоеных произведений
III.3 Экстремальные свойства коэффициентов Фурье и неравенство Бесселя.

Пусть ап, Ьп - - коэффициенты Фурье функции /(х)?

# = [ /20) - 7гА0а0 - 2л 52 Ак&к — 2тг 52 ВкЬк + ~2~ + 7Г52А^+7Г52В^ =
__	к=1	к=1	к=1	к=1

2	п	п	п	п

= / /2(ж)б!ж+ ^(А0 - Яо)2 - +тгУ(А - Я*)2 - 7(У2аА' +	- М2 -7?У	.

_У.	к=1	к=1	к=1	к=1

к=1

— тождество Бесселя.

Минимизировать получившуюся сумму через коэффициенты Ао,	к = 1,2,... , п мы можем,

обращая в нуль слагаемые в рамочках.

Видно, что среднеквадратичное отклонение будет наименьшим, когда Ао = А1 = «1, В\ = 61, ... ,
Ап = ап- Вп = Ьп. На этом основании можем сформулировать теорему. 3.1. ►

Теорема < 3.1:

Об экстремальном свойстве коэффициентов Фурье.

Среднеквадратичное отклонение функции определённой и интегрируемой на [—л; л], от функции
д(х), заменяемой на тригонометрически полином п-ой степени, является минимальным тогда и только
тогда, когда в качестве коэффициентов тригонометрического полинома д(х) = Тп(х) используются
коффициенты Фурье нашей функции. 3.1. >

Доказательство □ <	(III.3.1 ). Ао = ао, Ау = а&, В у = Ьу в частности из теоремы следует

тождество Бесселя.

/2(ж)б!ж-7г	+ У2(.а1 + ь1)

А тё—л

А0,Ак,В^

Ч.т.д. (Ш.3.1 ) > □.

Следствие 1 из (Ш.3.1 ). Предварительное неравенство Бресселя: Пусть /(ж) определена и
интегрируема на [—тг; 7г]. ап, Ьп - ее коэффициенты Фурье.

Тогда имеет место неравенство:

2 П	7Г

+ Е Н + ^) < - / ?2(х)(1х; (у-п е К) 1 из (Ш.3.1 ).

к = 1	—71

Следствие 2 из (Ш.3.1 ). Пусть /(х) определена и интегрируема на [—тг; тг]. ап, Ъп - ее коэффи-
циенты Фурье.
Тогда ряд, состоящий из квадратов коэффициентов Фурье сходится. 2 из (III.3.1 ).

Доказательство □ <	(2). Непосредственно следует из неравенства (1 ). (Ряд знакоположителен,

его частичные суммы ограничены сверху Я НЕ УВЕРЕН В ТОЧНОСТИ ПОСЛЕДНЕГО, ВОЗМОЖНО
Я ДОПУСТИЛ ОШИБКУ). Ч.т.д. (2 ) > □.

Следствие 3 из (III.3.1 ). Неравенство Бесселя.

Пусть /(х) определена и интегрируема на [—тг; тг]. ап, Ьп - ее коэффициенты Фурье.
Тогда имеет место:

2 ОО	7Г

У + Е У + У < У /2(ж)йя; 3 из (Ш.3.1 ).
П=1	—ТГ

Замечание □ 3.1. В дальнейшем будет показано, что в неравенстве (3 ) имеет место строгое
равенство. 3.1. □

Следствие 4 из (Ш.3.1 ). Лемма Римана.

Пусть /(х) определена и интегрируема на [—тг; тг]. ап, Ьп - ее коэффициенты Фурье.
Пусть также

> 0, Ьп > 0 ,
м—>оо	м—>оо

т.е.

Пт ап = О
7 м—>оо

Пт Ьп = О
(п^оо

4 из (Ш.3.1 ).

Доказательство □ <	(4 ). Доказательство следует из (?? ).

2 СЮ

Из У + Е (а2 + Ь2к) (а?п + Ъ2п)	0.

п=1	п^оо

0 < а2 < Ь2 + а2 0 по т.о ЗхФ (Я НЕ СМОГ РАСШИФРОВАТЬ) а2 0 ап 0;

Аналогично Ьп 0. Ч.т.д. (4 ) > □.

Замечание □ 3.2. Существуют сходящиеся тригонометрические ряды, не являющиеся рядами
Фурье. 3.2. □

Пример ^3.2.	^2 Ззг1п сх°Дится для любого х по (признаку) Диришле. С другой стороны не

существует функции /(х) определенной в [—тг; тг] для которой этот ряд есть ряд фурье.

ап = 0; Ьп = /гас!здг!п ^2 (ап + &п) = 52 п Расх°Дится 3.2. ►
п=1	п=1

Замечание □ 3.3. Была поставлена задача приведения примера неравномерно сходящегося три-
гонометрического ряда, который является рядом Фурье своей суммы. 3.3. □

Пример ◄З.З.	§

п=1

ется рядом Фурье своей суммы.

сходится для любого х неравномерно на [—тг; 7г], но тем не менее явля-

3.3. ►
§4. Почленное дифференцирование рядов Фурье.

Определение < < ^.7.	/(х) определённая на [а;Ъ] называется кусочно-непрерывной на [а; Ъ], если

существует разбиение т = {хг]4=п такое, что

1)	/(х) бС(Жг.М1), г = 0,1,...,п-1

2)	Существует ф(хг + 0) = Пт /(ж); (/(^ — 0) = Пт /(х)г = 1, 2,..., п — 1
Х^Х?;+0	Х—>Хг—0

/(а + 0) = Пт /(ж); /(6 — 0)= Пт /(х) ^.7. >>
х^а+0	х—>Ь—0	-------

Напоминание

Всякая кусочно-непрерывная функция на [а; Ь] интегрируема на нём.

Определение < < 4-2.	/(х) определённая на [а'Ь\ называется кусочно-непрерывно дифференциру-

емой на [а; Ъ], если её производная ф'(х) является кусочно-непрерывной на [а; Ъ]. 4-%- > >

Теорема < ^.7: О почленном дифференцировании ряда Фуръе. Пусть

1)	/(ж) €

2)	/(-тг) = /(тг)

3)	/(х) кусочно-непрерывно дифференцируема на [—тг; тг]

Тогда ряд Фуръе для производной /(х) получается из ряда Фуръе самой функции /(х) его почленным
дифференцированием. Пусть ап, Ьп — коэффициенты Фуръе/(х)

/(я)

ап СО8 ПХ + Ьп 81П пх

(4-1)

/Т)

^2 —П&п 81П ПХ + пЬп СО8 ПХ
п=1

(4-2)

4.1.

Доказательство □ <	(III.4-1 )• Из условия 3) следует /'(х) интегрируема на [—тг; тг]. Обозначим

ап и /Зп коэффициенты Фурье функции /'(х) тогда

а° ।	। п •

— + } ап СО8 ПХ + Рп 8Ш ПХ «о =

созпхдх /Зп =

81ппх<7ж п = 1, 2,...

(4-3)

1)	«о = “ / /'(х)дх = ^[/(тг) — /(—тг)] = 0 согласно второму условию.

7Г	7Г	7Г

2)	ап =	соз пхдх = ап =	/ созпхдф^х) = ^ =	/ зтпхдх = пЬп

— 7Г	—7Г	—7Г
3)	(Зп =	(х) зтпхс1х = ± / 8И1пхД(х) = у = —пап

Итак: ап = 0; ап = Ъп; {Зп = —пап п = 1, 2,...

Подставляя найденные выражения в 4.3, получим 4.2

(Условие 3) значит, что периодическое продолжение функции непрерывно на всей оси). Ч.т.д.	(III.4.1 ) > □.

Следствие 1 из Ш.4.1. (Оценка коэффициентов Фурье) Пусть

1)	/(^) с

2)	/(-тг) = /(7Г)

3)	/(ж) кусочно-непрерывно дифференцируема на [—тг; тг]

Тогда для коэффициентов Фурье функции /(х) ап и Ьп имеют место оценки:

Ы < —; \ьп\ <	(4.4)

п	п

где Е 7,,2 < оо => ап = о(1); Ьп = о(1) 1 из Ш.4.1.

п=1

Доказательство □ <	1. Рассмотрим наряду с коэффициентами Фурье самой функции функции

/(ж). Тогда из доказательства теоремы ((Ш.4.1)) следует ап = Ьп =	=> \ап\ =	\Ьп\ =

Обозначим:	= у/ап2 + /Зп2. Тогда уп2 = (ап2 + @п2) < оо (сходится согласно )

|а«| < V«У + /У = 7«; ш < 7«- ч.т.д. 1 > □.

Следствие 2 из Ш.4.1. (Об абсолютной сходимости ряда из коэффициентов Фурье). Пусть

1)	/(^) с

2)	/(-л) = /(л)

3)	/(ж) кусочно-непрерывно дифференцируема на [—тг; тг]

Тогда числовой ряд, составленный из коэффициентов Фурье функции /(х) абсолютно сходится то
есть 12 (1а™| + 1М) сходится
п=1

2 из Ш.4.1.

Доказательство □ <	2. (следует из оценок)

Ы < — ^ (^ + (7п)2) И 1М < (Л + (7п)2)
п упх	)	п \пЛ	)

(Использовали неравенство 2аЬ < а2 + Ь2)

—\ап\ Т \Ьп\ Т (Тп) 5

= Е^+	1>>3

п=1	п=1	п=1

СХОДИТСЯ

согласно следствию 1
Ч.т.д. 2 > □.

Следствие 3 из Ш.4.1. Пусть

1)	/(^) с

2)	/(-тг) = /(тг)

3)	/(ж) кусочно-непрерывно дифференцируема на [—тг; тг]

Тогда ряд Фурье /(ж) сходится равномерно на всей оси. 3 из Ш.4.1.

Доказательство □ <	3. Рассмотрим ряд Фурье нашей функции

/(я)

ап СО8 пх + Ьп 8Ш пх

(4-5)

\ип(ж)| = \ап совпх + Ьп 8тш?| < \ап11 со8т?| + \Ьп\ \ 8тт?| < \ап\ + \Ьп \ \/х Е (—сю; Тею). (\ап \ + |М)
п=1

сходится (согласно 3 ), следовательно (согласно признаку Вайерштрасса) (4.6) сходится равномерно на
(—оо;+оо). Ч.т.д. 3 > □.

Замечание □ 4-1- Что из себя представляет сумма ряда Фурье /(х), удовлетворяющая условиям
теоремы (Ш.4.1 ) и этим следствиям?

\ По

5\Х) =----1- 2_. ап СО8 ПХ + 0п 81П пх — СЮ < X < Тею

2	п=1

1)	8(х) Е Су-оо.+оо) как сумма непрерывных членов.

2)	5'(ж)(/?7а/?^/13Ъ) = 5(ж) \/х.

3)	В дальнейшем будет доказано (следствие из теоремы Диришле о локальной сходимости ряда Фурье),
что если /(х) удовлетворяет условиям (Ш.4.1) 1о 8(х) = /(ж) \/х Е [—тг; тг].

4.1.	□

Пример <44,1,	/(х) = х1 2 3 —7г<ж<7г

^ппх =?ра3рЫВна в (.)л следовательно ряд сходится неравномерно.

ЗДЕСЬ РИСУНОК. 4.1. ►

Теорема < 4<%: Пусть

1) /(ж) €

2) /Ея) = /(тг)

3) /(х) кусочно-непрерывно дифференцируема на [—л; тг]
Тогда ряд Фуръе /(х) на [—тт; тг] сходится равномерно к /(х).

/(ж)

ап СО8 пх + Ьп 8Ш пх

(4-6)

4.2.	>

Доказательство □ <	III.4.2.

1) Равномерная сходимость следует из следствия 3

2) То, что сходится именно к /(х) следует из теоремы Диришле которая будет доказана в шестом
параграфе.

Ч.т.д.	III.4.2 > □.
III.5 Почленное интегрирование рядов Фурье, равенство Парсеваля.

§5. Почленное интегрирование рядов Фурье, равенство Парсеваля.

§5.а. Почленное интегрирование рядов Фурье.

Теорема < 5.1:

О почленном интегрировании ряда Фурье.

Пусть ф(х) Е	ап, Ъп — коэффициенты ряда Фурье функции ф(х).

+ п сой(пж) + Ьп 8ш(п^))
п=1

(5-1)

Тогда

х	с>о х	оо

+ Е [(ап соз(п^) + 81п(п^)) м =	+ е

I	п=10	п=1

— 81п(пх) + — (1 — СО8(пж))
П	П

(5.2)

5.1.	>

Равенство (5.2 ) имеет место независимо от того, сходится ли ряд (5.1 ) к /(х) и сходится ли он
вообще для любого х из [—тг; тг].

Доказательство □ < (III.5.1 ). Р(х) = / [/(/;) —	51. Утверждается, что Р(х) удовлетворяет

о

всем условиям теоремы (?? ).

Е(х) е (Г (ж) = /(ж) - е Ц-^])

Г(-7Т) = Г(7Г)

Р(л) — Р(—л) = /(/(/;) — ^)5х — / (/(/;) — ^)5х = / (/(/;) — ^)5х = / /(х)5х — ^2тг = лад — <А)7г = О

О	0	— 7Г	—7Г

Рассмотрим ряд Фурье этой функции:

X

/д

[/(<) -	= У + Е(Л" со8(пя;) + Вп 8ш(пгс));	(5.3)

О	п=1

Ап, Вп - коэфициенты ряда Фурье функции Р(х) следовательно при

^ = 00 = ф + Е лА = - Е Ап
п=1	п=1

Р (х) = /(ж) ~ уг 52 (ап СО8(пж) + Ьп 8ш(пх));

п=1

Пусть а = пЬп, тогда согласно теореме (?? ) (5 = — пап, ап = пВп, Ьп = — пАп	Ап = — Вп =

О-тг . Д-0 _ \ л Ьп

П ’	2	П

п=1

Подставим Ап\	Вп и	в (?? ):

/	=	52	52	оо[—	СО8(ш?)^ 8ш(пх)]	= 52 [уу 8т(пх) + ^(1 — СО8(пж))]	т.о. мы пришли

0	п=1	п=1	п=1

к (??).
Ч.т.д. (III.5.1 ) > □.

Замечание □ 5.1. Из доказательства теоремы вытекает 2 ^2 5Г =	= ~ / Е(х)дх = ± / I /[/(1) — ^]д1 I да

П=1	—7Г	—7Г \0	/

М [/	- ^х]с1х = ± / I//^)сИ с1х т.е.

— 7Г 0	—7Г \0	/

5.1. □

Следствие 1 из (III.5.1 ). Полнота тригонометрической системы функций.

Пусть /(х) Е	ап, Ъп - коэффициенты Фурье.

Если ап = 0, п Е И; Ьп = 0, то /(х) = 0 Иными словами это означает, что кроме тождества о не
существовании непрерывной на [—л; тг] ортогональной всем тригонометрическим системам. Это свойство
данной системы функций.

Т.о. данное следствие можно сформулировать так:

тригонометрическая система полна в классе непрерывных функций (для разрывных функций это не так).
1 из (III.5.1 ).

Доказательство □ <	(1 ).

Согласно (III.5.1 ) имеет место равенство:

Ч.т.д.

Упражнение < □

5.1.

х)д1 =

аох \ап	Ьп

-----1- >	—81П(Ш7) Н-----(1 —СО8(Ш7))

2	п 4	7 п	77

ьп = о)

= 0.

Привести пример разрывных функций, для которых это не верно. 5.1.

о

о

Следствие 2 из (III.5.1 ).
Фурье равны между собой.

Пусть /(х), д(х) Е	пусть соответствующие коэффициенты

— [ /(х) СО8(пх)дх = — [ /(х) СО8(пх)дх
к.)	ТГ У

81п(пх)Уж

81п(пх)Уж
III.5 Почленное интегрирование рядов Фурье, равенство Парсеваля.

для п Е И /(х) = д(х) (Ух Е [—тг; тг])
2 из (III.5.1 ).

Доказательство □ <	(2 ). Рассмотрим вспомогательную функцию ф(х) = /(х) — д(х) Е Ц-^], ап =

О, Ьп = 0 ф(х) = 0 (Ух Е [—тг;тг])

Ч.т.д. (2 ) > □.

§5.6. Равенство Парсеваля.

В предыдущем параграфе было доказано (?? ), что если /(х) определена и интегрируема на [—тг; тг]; ап, Ьп
- ее коэффициенты Фурье, то

V (а^ +	) < ТОО

/	\ IV	IV/

п=1

2 ОО	7Г

И + Е («П + &п) < | / /* 1 2 3(ж)йа:

П=1	—7Г

Теорема < 5.2: О равенстве Парсеваля. Пусть /(х) определена и интегрируема на [—тг; тг]; ап, Ьп
- ее коэффициенты Фурье.

Тогда

2	°°	1 Г

у + У («п + Ь2п) = - / /2(ж)йж

2	Л'	7Г /

(5-4)

5.2. >

Доказательство □ < (III.5.2 ).

Для упрощения доказательства теоремы дополниетельно пред-

положим:

1) /(^) с

2) /(тг) = /(-7Г)

3) ф(х) кусочно непрерывна и дифференцируема на [—тг; тг]

/(ж) = у + У(“;
п=1

сой(пж) + Ьп 81п(пх)) (Ух Е [—тг; тг]).

(5-5)

При этом ряд (5.2 ) сходится равномерно к функции ф(х).
п

52и+1(ж) = — + У (ак сов(кх) + Ьк 8'т(кх))
к=1

Я2п+1(х) =4 /(ж) (Ш е [—тг;тг])
п^оо

согласно теореме (?? )

-$2И+1(Ж) =3 /2(ж)(Уж€[-

П^ОО

л; л])

(5-6)

у + У (ак с08(кх) + Ьк 81п(кх)) йх =	+ тг У (а^ +

к=1	_	к=1

(интеграл от удвоенной производной равен 0).

п2 п	1 Г

у + У («2 + ь2к) = - / 3%п+1(х)(1х

Ъ — 1

2	П	7Г

Из (5.6 ) и (5.7 ) следует, что уу + 52 (а& + (п оо)^ 7 $2(х)дх из чего, в свою

/ъ = 1	—7Г

следует (5.4 ). Ч.т.д.	(III.5.2 ) > □.

(5-7)

очередь,

Пример ◄5.1.

^ = 2Ё

п=1

(-1)п+1

П

8ш(пж), (\/х Е [—7Г; 7г])

(5-8)

ап = 0, Ьп = /гас2( —1)п+1п

1	2 } 2 7	2л3	2л2	1 л2 ~ (1)п+1	/д-2

п2 л	Зл 3	п2 6	п2 12

п=1	0	п=1	п=1

(-1Г+1	„	1	1	,11	^/1	\	7Г2	1 7Г

<5 — у ----5-- — 1 — —7^ + —х + ... — 1 + —5- + —5- + ... — 21 —у + ... I — —-«“р

п-	22	З2	22 З2	\ 22	)	6	2 6

п=1	х	7

Проинтегрируем почленно (5.8 ):
III.5 Почленное интегрирование рядов Фурье, равенство Парсеваля.

5.1. ►

Упражнение < □ 5.2. Провести аналогичные рассуждения для

5.2. □ >
§6. Теорема Диришле о локальной сходимости ряда Фурье.

Напоминание: если /(х) определена в О^(хо), то

= Пт /(ж) ~ /(Жо)
хо+0 X — Хо

(при условии, что он существует)

Обобщение понятия:

Определение < < 6.1. Пусть ф(х) определена в О^(хо) = (хо;хо + /ъ; пусть существует /(хо + /ъ) =

Пт /(х)

х^хо+0

Тогда, если существует Пт^	’ то он называется правой предельной производной функции

ф(х) в (.)хо и обозначается ф'+(хо)

Аналогично определяется левая предельная производная ф_ в (.)хд.'

/-И 11Ш №) ~	~0)

х^хо-0 X — Хо

6.1.	> >

Пример ◄6.1.	1(х)=В (.)1 функция не определена и терпит разрыв /^_(1) = 0 /1(1) = 1

6	.1. ►

Лемма < С р 6.1: Об интеграле по периоду от периодической функции.

Пусть /(х) определена и интегрируема на [0; 2л], /(х + 2л) = ф(х)\/х.
а+2тг	2тг

Тогда / ф(х)дх = / /(х)дх (Ух) 6.1 □ >
а	0

Доказательство □ <	(III. 6.1 ).

а+2тг	0 2тг 2тг+о, а а+2тг 2тг+о,	а	а	а 2

/(х)с/х =	У = — У + У И У = [х — 2я = I дх = 61] = ф(1 + 2тг)61 =	ле

а	а, 0 2тг	0	0	2тг	0	0	00

Ч	.т.д. (Ш.6.1 ) > □.

Лемма <1 □ р 6.2: Ядро Диришле.

, 1 \	 зж  х , 5Ж  зж ,	,  (2п + 1)® • (2п- 1) :г:

I / \	1 I	7	81П (п+ Д) X	/V/ \ 7-л / \	1 . 81П ^-81П НйШ ^-81П	---Н81П 1 81П А

*п(ж) = 2 + Е СО&кх = 2 Г (Ух)Вп(х) = 2 + --------------------------------------------------------

Ъ — 1	2	2

Ибо в точках, где зш | = 0 правая часть допускает доопределение по непрерывности. 6.2 □ >

Лемма < С р 6.3: Интеграл Диришле.

Пусть ф(х) определена и интегрируема на [—л; л], ап, Ъп-её коэффициенты Фурье. ф(х)	ап сое пх-\-

п=1

п	7Г	п л

Ьп8тпх, хо Е [—л; л] 55 ае^Т 8 п(хо) =	ак с°8 кхо+Ьк зт кхо =	/ /(х)дх-ё ±[/ (с°8 кх сое кхо+

к=1	—л	к=1 —л
81П кхзт кхо)$(х)(1х\ =	/ /(х)6х +	/ 52 СО8&(гГ — Хо)/(х)с1х =	/ [| + 52 СО8&(гГ — Хо)]/(х)с1х =

— 7Г	—7Г к = 1	—71	к = 1

/ •1П!Х&Г'7и^

— 7Г	2

Оказывается, что для энной частичной суммы ряда функции /(х) в (.)жо справедлива формула:

я„(«) =	в.з □>

— 7Г	2

Замечание □ 6.1. Интеграл, стоящий в правой части этой формулы, называется интегралом Ди-
ришле функции /(х).	6.1. □

Лемма < С р 6Д: Преобразование интеграла Диришле для 2л периодической функции.

Пусть ф(х) определена и интегрируема на [—л; л], /(ж + 2л) = ф(х)Чх.

Рассмотрим 8п(х)- энную частичную сумму ряда Фурье функции ф(х) 8п{хф) = ± / 8т(^п+ 2(^_хХ0^°^> /(х)дх =
— 7Г 81П	2

= [«« = <* = Й| = 1 .?	№«+»)* = 3

-7г+х0	281П	2	-тг 2	Л у 2814^	0	2

(За аПТ 1^ — у

1)(И = -(/ ВШ2(2п«)УЧх0 - У)ду + I /	Итак

7Г	2	-7Г	2

1 Г	81пГ77 -к — Ц

= -	[/(ж0 + I) + /(ж0 - I)]—	р (И

ТГ У	8111

О

Для 2тг-периодичной функции интеграл Диришле приеобразуется к виду (6.1).
64 □ >

(6-1)

Лемма < С р 6.5: Лемма Римана:

Пусть д(х) определена и интегрируема на [0; л]

Тогда существует Пт Г $№ зт(п + -^хдх = 0 6.5 □>

П^ОО д

Упражнение <□ 6.1. Вывести эту лемму Римана из леммы Римана параграфа 3.	6.1. □ >

Замечание □ 6.2. Эта лемма Римана (как и та лемма Римана) являются частными случаями
ъ

общей леммы Римана: Если д(х) определена и интегрируема на [а; Ь],то существует Пт / д(х) зт Ххбх = 0
а

Ъ

и Пт / д(х) сое Ххбх = 0	6.2. □

а

Теорема < 6.1: Теорема Диришле о локальной сходимости ряда Фурье. Пусть

1)	/(х) кусочно-непрерывна на [—л; л]

2)	ф(х + 2л) = /(ж)

3)	3	ф'+{хо), /'(хо)	( хо-произвольная фиксированная точка)

(ЗаПГ Е: Е: 0 ае г Л (ЗуЕЛЕ 7г<Ъ <5	<5 Е
Тогда ряд Фуръе функции ф(х) сходится в точке х$ к значению 7(^о+0)+/(^о °) р> частности, если
/(х) непрерывна, то ряд Фуръе функции /(х) сходится в точке х$ к

6.1.	>

Доказательство □ < (III.6.1 ). Пусть 5п(жо)-энная частичная сумма ряда Фурье. Тогда соглас-
но лемме (III.6.5) 8п(хо) =	/[/(^о+^) + /(^о—^)]	Заметим, что /7?п(х)	/(^о+0)+/(^о-0) _

7 / /($0 + 0) + /(ж0 - 0)812(Х^* рассмотрим разность : 8п(х0) - /(жо+°)+/(жо-°) =	{[/(яг0 + *) + /(х0 -

о	2	о

*)] - [/(^0 + о) + /(х0 - 0)]ГДУ /[/(^0 + Ь - Цхо + о)] 81п(п + |)^)(2зт |)сй + ± /[/(ж0 -I)-
2	о	о

/(жо — 0)] 8т(п + |)^)(2зт Докажем, что каждый из интегралов оо при п оо

Рассмотрим ф(1) =

Существует	= ^Пт^[^^о+^~^^о+°^ 28^па] = /+(^о) => Ф(1) кусочно-непрерывна на [0; тг] =>

7Г	7Г

(дав . Е Е Т О )3 Пт - Г </>(0 8т(п + ^)Ы1 = 0 Аналогично доказывается, что 3 Пт - Г 'ф(1) зт(п +
П^ОО 71 д	П^ОО 77 д

4Н‘ = »«') = ''^аги(з,!п = /'Ы)

Из доказательства вытекает, что 3 Пт Зп(хф) — Лжо+о)+/(х0-о)] _ д рт	= /(^о+0)+/(^о-0)

п^оо	2	п^оо	2

Ч.т.д. (Ш.6.1 ) > □.

Определение < < 6.2. Пусть /(х) определена на [а;а+Т], Т > 0 Т-переодическим продолжением
функции ф(х) называется ф(х) такая, что

1)	/ определена на всей оси.

2)	/(х + Т)=Ж

3)	/(х) = /(ж) \/х е (а; а + Г).

6.2.	> >

Замечание □ 6.3. Из определения следует, что Т-переодическое продолжение функции определя-
ется неоднозначно, а именно оно определяется с точностью до значения на концах интервала.
ЗДЕСЬ РИСУНОК 6.3. □

Следствие 1 из Ш.6.1. Пусть

1)	/(ж) кусочно-непрерывна на [—тг; тг] /(ж) —- 2тг-периодична

2)	З/Що); ЯЫ

Тогда имеет место равенство	ап сое пх$ + Ьп зт пхо = 7(^о+°)+/(^о о) где коэффициенты

п=1

Фурье функции /(х) на [—тг;тг]. 1 из Ш.6.1.

Замечание □ 6.4- В случае, если / непрерывна в (.)а?о то имеет место равенство	ап со8ш?о +

п=1

Ьп 81ППХ0 = /(ж0)	6.4. □
Замечание □ 6.5. Если /(х) Е	и 3/^, /1\/ж то имеет место равенство : уу + 52 ап сое пх+

п=1

Ъп 81П ПХ = /(ж)\/ж	+ 52 ап СО8 пх + 81П ПХ = ?(х)Чх Е [—тг; тг].	6.5. □

п=1

Замечание □ 6.6. Пусть

1)	/(^) с

2)	/(-тг) = /(7Г)

3)	ЕД(ж0); //(жо) \/гсо 6 (-тг; тг)

Тогда имеют место равенства о которых было сказано в замечании (6.5)	6.6. □
ГЛАВА IV

Интегралы, зависящие от параметра.

§1. Основные определения.

Определение <1 <1 1.1. Пусть У(х,у) € С(П), П = {(ж,у)|(ж,у) е К2, а <х <Ь, С <у <д}.
Тогда

ъ

Чу е [с, (1] определена функция Е(у) = ф{х^у)дх

а

Функция Е(у) называется интегрально зависимой от параметра. 1.1. > >

(1-1)

Замечание □ 1.1. Часто приходится рассматривать интегральную зависимость от параметра

более общего вида:

'Ф(Ч)

Г(у) = У Цх,у)дх, где а < ф(уУ ф(у) <Ь (Чу е [с,д])

Ф(у)

(1-2)

ТТ □

Замечание □ 1.2. Задача связанная с (1.1) и (1.3) заключаестся

1)	в исследовании их на непрерывность

2)	в исследовании их на дифференцируемость

3)	в исследовании их на интегрируемость под знаком интеграла (?)

1.2. □

V

Замечание □ 1.3. В качестве вспомогательного объекта будет фигурировать 3(т/, и, и) = //(ж,т/)б/ж, а <
и

щ и <Ь /(х,у) Е Сду Очевидно, что интеграл определен (Дмитрий Михайлович, может имеет смысл
сделать сдесь ссылку, а то не кристально ясно, какой интеграл?..) 3(т/, и, и) определен(а) в И = {(?/,?/, ?;) | (т/,	^) Е

Я3, с <у < с/, а <и <Ь, а < и < Ь} 1.3. □
ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. СЕМЕСТР 3.

73

'Ф(у)

Замечание □ 1.^.	/ /(х,у)дх = 3(у, ф(у),^(у))	1.Д □

Ф(у)

Теорема < 1.1: О непрерывности интеграла, зависящего от параметра.

Пусть /(х,у) е СД);

ь

Тогда Р(у) = / Дх, у)дх € С[с;й] 1.1. >

а

Доказательство □ < (IV-1.1 ). Ш > 0 35 > 0 из \у - у0| < 5	\Р(у) ~ Р(уо)\ < г (у0 & (с; Д)

Так как функция /(х,т/) непрерывна в С(П), а П - компактно, то по теореме Кантора (?? ) функция
/(х,у) равномерно непрерывна в П и \/е > 0 по --

о — а

л I |я;1-ж2| < 5 (Ж1,у1) 6 П

Зд > 0 : <

I т -Ы < (Х2.У2) е п

таким образом |/(ял,7/1) — /(я?2,?/2)| <	, положим Х1 =	= х, и, ВИДИМО, уг = у2 = у тогда из

\у - Уо| < 5 следует \Дх,у) - Дх,у0)\ <

Рассмотрим \Е(у) — Е(у0)\

Ч.т.д. (IV.1.1 ) > □.

ь	ь	ь	е ъ

= \ Дх,у)дх -	/(х,у0)дх\ < / \/(х,у) - /(х,у0)\дх < —— / дх = е

а	а	а	а

Упражнение < □ 1.1. Провести аналогичные рассуждения для уо = с у о = 6, доказав односто-
роннюю непрерывность в этих точках 1.1. □ >

Замечание □ 1.5.

Условие непрерывности функции в теореме (IV. 1.1 ) существенно:

$(х,у) =

у

X2 + у2 1

(0,0) - точка разрыва

1

/удх у х. -I у 1
2 , 2 = - агс1§ - й = - агс1§ -
х2 + у2 у у у у

о

1.5. □

Замечание □ 1.6. Тем не менее условие непрерывности функции в теореме (IV. 1.1 ) отнюдь не

является необходимым:

/(х,у) = здп(х - у)

Для 0<ж<10<7/<1

1

Р(у} = У 5рп(ж - у)йх =

о

у* здп(х — у)Ух + У здпдх =

— У + х\^у — 1 — 2т/ е С[о;1]
1.6.	□

Теорема < 1.2: О непрерывности интеграла, зависящего от Зх параметров.

Пусть

1)	/(х,у) бС(П)

2)	П{(х, т/)|(ж, у) е В2, а < х < Ь, с < у < 3}

Тогда 3(у,и,и) = /ф(х,у)3х Е Ср 1.2. >
и

Упражнение < □ 1.2. Доказательство провести самостоятельно 1.2. □ >

Теорема < 1.3: Обобщенная теорема о непрерывности интеграла, зависящего от параметра(-
ов).

Пусть

1)	Жу)еС'(П)

2)	Функции а < ф(у) <Ъ и а < ф(у) < Ъ (\/у Е [с; 3])

3)	ф(у), -ф(у) е С[с.а]

Тогда

Р(у) = У Цх,у)Нх е С[с;й]	(1.3)

Ф(у)

1.3.	>

Доказательство □ <	(1У.1.3).

р(у)= У =Ш №),№))

<Ку)

1)	3(у,и,г>) е Ср

2)	и = ф(у) и V = ф(у) е С[с;й]

таким образом согласно теореме о непрерывности сложной функции

^(у,ф(у'),'ф(у)') € С[с;й]

Ч.т.д. (1У.1.3 ) > □.
IV.2 Дифференцирование и интегрирование интеграла, зависящего от параметра..

75

§2. Дифференцирование и интегрирование интеграла, зависящего от па-
раметра.

Теорема < 2.1: Правило Лейбница о дифференцировании и интегрировании по параметру.

Пусть /ЫеС(П), ^ЕС(П).

ь

Тогда функция Р (у) = / ф(х,у)дх дифференцируема в (с, с/) при этом

а

дх т.е.

2)

а

<1у

ъ

/ Цх,у)(1х

а

Иными словами наш интеграл зависящий от параметра допускает дифференцирование по параметру
под знаком интеграла. 2.1. >

Доказательство □ < (IV.2.1 ).

а и,,,

У^УО у — Уо

[дц

/ — (х,у0)(1х

] ду

^'>=11

Р дд
! ду

Ш - РЫ ?
у- Уо У

Ц^У) ~ /(ж,2/о)
У - У о

-^-(х,уо)йх =

дЦ	х

^-(ж,0(у-уо)

У — Уо

(1х — / —— (х,уо)дх

ъ

- 7г(ж,Уо) <1х
ду ду

дф

Из условия следует, что р.н. (???) в П
оу

Поучена оценка:

ъ

Г(?/) - ЕЦо)

У~Уо

- уг(х>Уо) Ах
оу ду
I либо уо < С < У
где 1	/ л /

либо у < С < Уо

дф	дф

О < |С — 2/о| < \у ~ 2/оI тж. по условию — Е С(П), то — равномерно непрерывна в П, т.е. \/е
ду	ду

> 0 (по

8

Ь — а

> 0) 35 > 0 : из

|Ж1 - ж2| < 5 (ж1,т/1) Е П
|т/1 -?/2| < 5 (^2,Ы с П

Э/(Х1,7/1) _ д/(х2,т/2)	8

ду	ду Ь — а

Положим, что х\ = х-> = х Е (а; 6); у^ = т/, т/2 = т/о> тогда из 0 < \у — т/о| < будет следовать, что

0 <	- С — Уо <	=	<дф(х,уо)	_ д/(х,у0) _	8	Р(у) - Р(уо') _ ъ дЦх,уо)  1	„	СооС	< 		 Гдх =
		ду	ду	Ь — а	У - Уо	а ду	

8	3

/

Е = Пт

Р(у) - Р(.Уо)

У^УО у -уо

} д-^,У°)(1х Ч.т.д. (IV.2.1 ) > □.
а ЗУ ------------------------'------

Упражнение < □ 2.1. Проведя аналогичные рассуждения для точек с и б/, доказать существова-
дф (х, с)	!	дф (х, б/)

ние односторонних производных Р, (С) = Г — ' с1х и Е_(С) = Г ——-Ух	2.1. □ >

а ду	а ду

Замечание □ 2.1. Рассмотрим интеграл зависящий от трех параметров:

3(т/, и, и

Цх,у)дх

(2-1)

где /(х, у) е С(П),
Ньютона-Лейбница

61 < и, и < 6, тогда существует = —/(?/, т/),
ди

(Г? ), если 11 <Е С(П) то по (ГУ.2.1 ) З^ф^дх
ду	оу

= —ф(щуф Согласно теореме
ди

2.1. □

д У* (х, у\	дЗ	дЗ дЗ

Замечание □ 2.2. Рассмотрим (2.1 ), где ------— Е С(П), а = и. Ь = и. Тогда —— = ——; —— Е

ду	ди	ди ду

где И = {(т/, ?/, г?)|(т/, ?/, и) Е Я3, с < у < б/, а < и, и <Ь}, следовательно 3(т/, и, и) - дифференциру-
ем (а) в И. 2.2. □

Теорема < 2.2: Обобщенное правило Лейбница о дифференцировании по параметру.

'Ф(у)

(2-2)

Ф(у)

Пусть выполнены условия:

1) Г(х,у),	€С(П)

2) а < ф(у), ф{у) < Ь чу € [с; д]

3)	(у), Ф (у) ^У & [с;д]
IV.2 Дифференцирование и интегрирование интеграла, зависящего от параметра..

Тогда справедлива формула:

р (у) = Ж(у),у)'0 (у) - /(Ф(у),У)Ф + У Лх	(2.3)

Ф(у)

2.2.	>

V

Доказательство □ <	(IV.2.2 ). Е(у) = 3(т/, ф(у), ф (?/)), где 3(у,и, и) = / ф(х,у)дх Фынкция Е(у)

и

удовлетворяет всем условиям теоремы о неразрывности (??) сложной функции, согласно которой имеет
место:

' дЗ д(Ь (и} дЗ '

Е (т/) = — Н---—- + —ф (т/) здесь где-то бред?..

оу ои ос

р (у) = У (1х - Ш(у)> у)ф (у) + Ш(у), у)ф

Ф(у)

Что совпадает с (2.3 ). Ч.т.д.	(IV.2.2 ) > □.

Теорема < 2.3: Об интегрировании по параметру под знаком интеграла.

ъ

Р(.У) = У Ях,у)(1х

(2-4)

Пусть /(х,у) Е С(П).

Тогда интеграл (2.4 ) допускает интегрирование по параметру у под знаком интеграла, т.е. имеет
место формула:

(2-5)

2.3.	>

Доказательство □ < (IV. 2.3 ).

(2-6)

формула (2.5 ) получается из формулы (2.6 ) при г = д.
Рассмотрим вспомогательные функции г:

а

а
/

Эти функции определены на [с, д] и дифференцируемы на этом отрезке. При этом д (г) = / ф(х,у)3х.

а

г

У Щ,уАу =

Ъ / г	\	Ъ

Н (г) =	— I У /(ж, у) бу I Зх = У /(ж, Е)3х д (г) = Д(г) + Сопз!, подставим х = с, тогда получим:

а \с	/	а

д(с) = 0; Д(с) =0; % = с	Сопз! = 0 д(Е) = Д(г) \/г Е [с, 3] Формула (2.6 ) установлена, а

формула (2.5 ) получается из (2.6 ) Ч.т.д. (IV.2.3 ) > □.

1

/агс!ап(х) _
-----------Зх - константа Каталана.

о

§3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Понятие равно-
мерной сходимости.

Определение < < 3.1.

Пусть

1) ф(х,у) определена в Б = {(ж, т/)|(ж, у) Е Я* 1 2 3, а < х < Тоо, у Е Е < К}

2) /(х,у) интегрируема по х на [а, А] \А4 > а; \/у Е Е

А

3) 3 Пт Гф(х,у)3х = 3(т/), (Уу Е Е)

А^+оо а

Тогда на Е определена функция:

Ху) = / Цх, у)Нх (\!у € Е)

называемая несобственным интегралом первого рода, зависящим от параметра. 3.1. > >

Замечание □ 3.1. На языке — М” определение (IV.3.1 ) рачшифровывается так: \/е

М(в,т/) > 0 : из А > М

У Цх,уЩ- 3(у)

ЗЛ, □

е Щ е Е)

(3-1)

> о эм =
IV.3 Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Понятие равномерной сходимости. 79

Замечание □ 3.2. В случае, если в определении (IV.3.1 ) М оказалась зависящей тольуо от е,
говорят, что имеет место равномерная сходимость. 3.2. □

А

Замечание □ 3.3. Неравенство | //(ж, у)дх — 3(т/)| < е (\/у Е Е) может быть представленно в виде
а

Тоо

| / /(ж, у)дх\ < е 3.3. □

А

а

Замечание □ 3-4- Аналогично определение для 3(т/) = / /(х,у)с1х	3-4- □

Тоо

Определение < < 3.2. Пусть выполнены условия определения (IV. 3.1 ), тогда (3.1 ) называется

равномерно сходящимся на множестве Е, если: \/е

А

Лх.у)Пт-Уу'1

а

<е (Уу е Е)

> О ЭМ = М(е) (но не зависит от у)

из А >

> 0 :

М

3.2. > >

Замечание □ 3.5. То множество, на котором определен интеграл 3 может не совпадать с множе-
ством, на котором он равномерно сходится, но, в частности, может с ним и совпадать. 3.5. □

Замечание □ 3.6. Из определения (IV.3.2 ) вытекает, что имеет место аналогия между инткгра-
лом первого рода и равномерно сходящейся функциональной последовательностью. 3.6. □

Теорема < 3.1: Критерий Коши равномерной сходимости несобственного интеграла первого ро-
да.

Для того, чтобы (3.1 ) сходился на Е необходимо и достаточно \/е > 0 ЗМ(е) > 0 :

из А > А > М

А

У ?(х,у)дх

А

(V// Е Е)

3.1. >

<

Упражнение < □ 3.1. Доказать теорему (IV.3.1 ) самостоятельно. 3.1. □ >

Теорема < 3.2: Признак Вейрштрасса равномерной сходимости несобственного интеграла пер-
вого рода.

Пусть

О 1/(ж> у)\ < уЕ) ^У &Е-ух е [а; +оо]

Тоо

2) / д(х)дх сходится при > а
«1

Тогда (3.1 ) сходится равномерно на Е. 3.2. >

Упражнение < □ 3.2. Доказать теорему (IV.3.2 ) самостоятельно. 3.2. □ >

В этом случае известно, что интеграл (?? ) мажорирует интеграл (3.1 ) или является мажорантой.
Тоо

Упражнение < □ 3.3. Исследовать на равномерную сходимость 3(у) =	с1х- а, /3 >

о

0; у € (0, +оо) 3.3. □ >
Упражнение < □ 3.4- Сформулировать для интеграла (3.1 ) признаки равномерной сходимости
Диришле и Абеля. 3-4- □ >

Замечание □ 3.7. Условия теоремы (IV.3.2 ) отнюдь не являются необходимыми для равномер-
ной сходимости, ибо сущестует равномерно сходящийся и не мажорируемый несобственный интеграл.
3.7. □

Пример <3.1.

г/т. у Е (0, +оо) сходится равномерно согласно Диришле

---40 и
хУу у

Тоо

/81П( X)

-----у-Зх, у Е (0,+оо) расходится. 3.1. ►
\хУу\

1

§4. Исследование равномерной сходимости.

Лемма < С р 4-1: Пусть интеграл

(3.1 ) сходится равномерно на Е. Рассмотрим наряду с

(3.1)



(4-1)

Тогда (4-1 ) равномерно сходится на Е.

Доказательство □ <	(IV.4Л )•

Из условия вытекает, что \/е > 0 ЗМ(е) >0; А > М

е \/у Е Е. Т.е.Уе > 0 ЗА'(е) > 0 Е И; п

Зп(у) сходится равномерно по определению на Е. Ч.т.д. (^.4.1 ) > □.

Теорема < О непрерывности несобственного интеграл первого рода, зависящего от параме-
тра.

Рассмотрим (3.1 ): пусть

1)	/(х,у) Е С(Т>), V = {(х,у)\(х,у) Е П2а <х< Асю; у Е [с, 3]}

2)	Интеграл (3.1 ) сходится равномерно на [с, 3]

Тогда Ущ) Е С[с.^ 4.1. >

Доказательство □ < (IV.4.1 )• Рассмотрим (4.1). Из условия следует, что /(ж, у) Е С(ПП); Пп =

{(х,у)\(х,у) Е В2', а < х < п,с < у < 3} Зп(х) сходится равномерно к 3(т/) при п сю; у Е [с,3]. Согласно
теореме о непрерывности интеграла, зависящего от параметра (IV. 1.1 ) Зп(у) Е С[с^ Зп =4 3(у). Из
2?-?

всего этого вытекает, что 3(т/), согласно теореме о непрервности предельной функции, есть равномерно
сходящаяся последовательность непрерывных функций. Ч.т.д.	(IV.4.1 ) > □.
Замечание □ 4-1- Условие равномерной сходимости (3.1 ) в теореме (IV.4.1 ) существенно.

4.1Г~о

Пример <44,1,

	Тоо  3(у) = у* у/УеУХ ^х\ х С [0, Тоо] 0  0, у = 0  ^у) = аД  У > о  2 ’ У

4,1, ►

Замечание □ 4<%< Тем не менее условие равномерной сходимости отнюдь не является необходи-
мым. 4-2. □

Пример ◄4.2.	Тоо  = У \/УеУХ ^х’ч	х С (0, Тоо)  0  3(т/) е (0,+оо)

4.2. ►

Пример ◄4.3. ДМИТРИЙ МИХАЙЛОВИЧ, ЛЯМБДА - А - ЗДЕСЬ СМОТРИТСЯ ГОРАЗДО

ЛУЧШЕ... Мастер.	Тоо  3(у) = У у/уе~ух Ух\ у е (0; Тоо); 0 < а < 2 0

Зир модуля ”хвоста” не существует.

Положим: уха = 1, х = У- '	; Ух = ——1сН  у~ СЕ  Тоо  		 [ & ^ПУУ С Суд тоо) С (0,2)  ау~а 1

Но сходится неравномерно, т.к. Зир модуля ”хвоста” не существует. 4.3. ►

Теорема < 4-%:

Интегрирование по параметру несобственного интеграла первого рода, зависящего от параметра.
Тоо

Ху) = У /(.х,у)Нх
а

Пусть
1)	ф(х,у) Е С(Р); Р = {(х,7/)|(ж,у) Е Я2, а < х < Тоо, с < у1ед},

2)	сходится равномерно на [с, д].

Тогда (3.1 ) допускает интегрирование по параметру под знаком интеграла, т.е. имеет место фор-
мула:

а

У ДуМу = У

с |_ а

/(х,у)дх

ду =

/(х,у)(1у

дх

(4-2)

4-2. >

Доказательство □ <	(1У.4-2 ).

ф(х,у)дх Интеграл (4.2 ) существует, т.к. 3(т/) Е С[с^.

а

а

Согласно лемме (ГУ.4.1 ) 3„(у)=^3(у) на[с,й]

а

а

Пт /

а

Пт /

Пт

Согласно теореме (IV.2.3 )

Ч.т.д. (1У.4.2 ) > □.

Тоо

Пример ^4.4-	3(у) = У е“ ~худх, 0 < а < у < Ь интеграл сходится равномерно на 0 < у <

о

Тоо

Ь, 0 < е~ху < е~ау. е~ахдх сходится	сходится равномерно (Согласно Вейерштрассу) 3(т/) =

о

1

- но согласно теореме
У

(ГУ.4.2 ) [ — = 1п -
ЗУ а

е~худу

+ оо	+оо

ах   ^—ох	г ^—ах   ^—ох

----------дх. Итак / --------------дх =

X	3	X

о	о

1п -	4.4. ►

а

Замечание □ 4-3- Данная формула представляет собой частный случай формулы

3 х	а

(4-3)

4.3. □

/(ж) е С(0; + оо), Е (0, Тоо)

сходится.
IV.4 Исследование равномерной сходимости несобственных интегралов.

Замечание □ 44. ДМИТРИЙ МИХАЙЛОВИЧ, БРЕД ЗДЕСЬ КАКОЙ-ТО... Этот прием при
весьма общих условиях может быть распространен на случай, когда по параметру производной в беско-
нечных пределах. Иными словами при весьма общих условиях вправедлива

44- □

Тоо

Пример ◄4.5.	3 = е~х Ух - Интеграл Эйлера-Пуассона -

о

Тоо
/*	_у-2 2

Замена: х = 1у, Ух = у У! даёт 3 = / уе~ у У!
о
Тоо	Тоо	Тоо

Наряду с У уе~* 1 у У! рассмотрим интеграл е~у • уе~1 у У! =	уе~^+1 ^у У1 = 8(у, Тею)

О	0	0

Согласно теореме IV.4.2 последний интеграл можно интегрировать по параметру у. Условия теоремы
IV.4.2 выполнены:

1) /(7,?/) С С(Р); Р = {(7, т/) | (1,у) ^2, 0 < I < Тею, 0 < у < Тею}, Очевидно /(^,?/) = уе~^+ъ2^у2 -
непрерывна на данном множестве.

Тоо	2 2

2) 5(?/,+оо) = / уе~^+* У1 сходится равномерно по у на [с, У] = [0;+оо].
о

Докажем равномерную сходимость: докажем, что

А

8(у,А) = [ уе~^1 ^у У! =4	8(у, +оо) при А +оо

7	?/е[0;Тоо]

Преобразуем 8(у. А) в обратную сторону:

А	А

8(у,А)=е~у • У е~^у>> У(1у) = е~у • е~х Ух
о	о

Итак, нам необходимо показать, что

А
8(у,А)=е~у • / е~х Ух =4	8(у, +оо) при А +оо

7	?/е[0;Тоо]

Оценим сверху модуль разности 8(у, +оо) — 8(у, А) величиной, не зависящей от у и стремящейся к
нулю при А —> Тоо.

| 8(у, +ао)-8(у, А) | =

при А Тоо .

Равномерная сходимость тем самым доказана, и мы имеем право интегрировать по у под знаком
интеграла.

4.5. ►
ГЛАВА V

Кратные интегралы.

§1. Двойной интеграл и его свойства.

§1.а. Квадрируемые множестваи площадь плоской фигуры.

Определение < < 1.1. Мы будем рассматривать ограниченные множества Б С В2 Если Б =
(а; Ь)-прямоугольник со сторонами а и Ъ то существует 8 (Б) = аЪ 1.1. > >

Определение < < 1.2. Пусть Б С Я2; Б = Б^ С Б> С ... Бпгде Б, = Да*; М? = 1, 2,..., п
где Бг и Б% при I к не имеют общих внутренних точек. Могут пересекаться границы. Тогда такое
множество называется ступенчатым (ступенчатой фигурой, ступенчатым телом). В этом случае
п	п

полагаем 8(Б) = ^2 8{Б^ =	1-2. > >

г=1	г=1

Определение < < 1.3. Пусть Б с к2-ограниченное множество. Нижней площадью множества
Б (обозначение 8_(Б)) называется верхняя грань множества площадей всех ступенчатых фигур, содер-
жащихся в множестве Б. То есть 8_(Б) = 8ир{5(В); где Е-ступенчатое множество Е С Б} 1.3. > >

Определение < < 1.4- Пусть Б С К2-ограниченное множество. Верхней площадью множества
Б (обозначение 3(Б)) называется нижняя грань множества ступенчатых фигур, содержащих в себе
множество Б. То есть 8 (Б) = тГ{5(Г); где Е-ступенчатое множество Е Э Б} 1.4. > >

Замечание □ 1.1. Из этих определений следует, что для любого ограниченного множества всегда
существует 8(Б), но не всегда существует 5(Г>).	1.1. □

Определение < < 1.5. Пусть Б С -ограниченное множество. Если 8 (Б) = 5(Д) (в предполо-
жении, что 8[Б) существует), то множество Б называется квадрируемым. 1.5. > >

Определение < < 1.6. Пусть Б С Ж2-квадрируемое множество. Тогда число 8 (Б) = 8 (Б) = 5(Г>)
называется площадью множества Б. 1.6. > >

Замечание □ 1.2. Существуют квадрируемые множества из В2 не являющиеся квадрируемыми.
1.2. □
Замечание □ 1.3. Простейшим примером квадрируемого множества (помимо тривиальных: пря-
моугольник, ступенчатые фигуры) является криволинейная трапеция.

ЗДЕСЬ РИСУНОК!!!

ь

Можно доказать, что определение площади криволинейной трапеции 3(ДУ) = /[/2^) — /1(х)]дх согласу-
а

ется с определением (У.1.6)	1.3. □

Замечание □ 7.^. В этом изложении (определения (М.1.2) — (М.1.6) ) опущены некоторые детали:

1)	Следовало бы доказать, что площадь ступенчатого множества не зависит от способа разбиения на
составляющие прямоугольники.

2)	Следовало бы доказать, что площадь, введённая в определении (М.1.6) обладает всеми теми свойства-
ми площадей, введённых аксиоматически, в частности, что площадь фигуры равна сумме площадей
её составляющих.

14. □

Замечание □ 1.5. Введённое понятие площади может быть распространено на неограниченные
множества следующим образом. Пусть В2-неограниченное множество.

ЗДЕСЬ РИСУНОК!!!

1.5.	□

Рассмотрим множество:

Оа = {(ж,у)|(ж,у) е К2,ж2 + у2 < А2}

ВА = В ПОА

Определение < < 1.7. Если выполнены условия:

1)	ПА-является квадрируемым для любого А> А$

2)	3 Пт 5(ПЛ) = Пт 5(А)
А^оо	А^оо

то значения этого предела принято называть площадью (в несобственном смысле).

8(1У) = лНт 5(_ОЛ) 1.7. > >

ГТ ^11	Г) Е= ТйЬ

Пример ◄1.1.	V : <	+

[у = О

ЗДЕСЬ РИСУНОК!!!

Тоо

ЭД=_/^Т=тг 1.1. ►

§1.6. Понятие двойного интеграла.

Определение < < 1.8. Пусть Е С В2. Диаметром множества ( дгат Е ) Е называется верхняя
грань множества расстояний между любыми двумя точками, принадлежащими Е. То есть дгатЕ =
8цр{р(Р,е);Р,ееЕ}

Если множество ограниченно, то оно имеет диаметр. 1.8. > >

Определение < < 1.9. Пусть И С -квадрируемое множество. Разбиением т = т(/?1,	, Пп)

называется система квадрируемых множеств (7?1,ЬЬ, • • •, Е)п) таких, что
1)	Б = А С Б = П2 С • • • С Бп

2)	При г к Бги Б& не имеют общих точек.

1.9. > >

Определение < < 1.10. Пусть Б С Ж2 -квадрируемое множество, т = т(7?1, Б^ ..., Бп) некоторое
разбиение множества Б. Параметром разбиения А (г) называется максимум диаметра составляющих
его множеств, то есть А(т) = тах^'ашц^,Дг 1.10. > >

Определение < < 1.11. Пусть Б С К2-квадрируемое множество. Пусть т = т{Б\, Б%,..., Бп)
произвольное разбиение множества Б. Пусть М^хру^ произвольная точка из Б^ г = 1,2, ...,п
Пусть функция /(х,у) = /(М) М = М(х,у) -функция, определённая на множестве Б. Тогда сум-
п

ма а = Зт(Мг) = ^2	называется интегральной суммой функции /(М) на множестве Б

1	= 1

соответствующей данному разбиению т и данному выбору точек 1.11. > >

Определение < < 1.12. Пусть Б С Ж2-квадрируемое множество. Пусть т = т{Б\, Б%,..., Бп)
произвольное разбиение множества Б. Пусть М^хр у г) Е Бг произвольная точка из Б^ г = 1, 2,..., п
Пусть функция /(х,у) = /(М) М = М(х,у) -функция, определённая на множестве Б. Пусть сумма
п

а = Зт(Мг) = ^2	интегральная сумма функции /(М) на множестве Б соответствующая

1=1

данному разбиению т и данному выбору точек
п

Тогда, если существует Пт а = Пт ^2 /(М^ЗуТ^) = ? (не зависит от разбиения и выбора точек),
то 3 называется двойным интегралом функции /(М) на множестве Б (по множеству Б) и обознача-
ется

Ц Цх,у)(Ыу = у у ЦМ~)(1М

1.12.	> >

п

Итак, / / ф(М)дМ = Пт ^2 /(М^ЗуТ^) (При условии что этот предел существует).
+оо	А(т)^0г=1

Замечание □ 1.6. Функция /(х, у) называется интегрируемой по множеству Б. 1.6. □

В МОИХ ЛЕКЦИЯХ ПРОПУЩЕНА РАСШИФРОВКА НА ЯЗЫКЕ (е, 5) определения (УЛ.12). ОПРЕ-
ДЕЛЕНИЕ 5-ШТРИХ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНТЕГРИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ ТАКЖЕ ПРОПУЩЕНЫ!!!

Пример ◄1.2. Пусть ^-произвольное квадрируемое множество, /(М) = С УМ Е Б

а = 3Т = Е /Е4)3(ГГ) = Е СЗ^Б^ = С Е 3(7?^) = С3(72). Наша интегральная сумма являет-
1=1 1=1	1 = 1

ся константой, не зависит от разбиения и выбора точек, следовательно существует 3 = / / СдМ =
в

// Сдхду = Пт а = Пт С8(Б) = С8(Б) Отсюда следует, что для любого квадрируемого множе-

р	А(т)^0	А(т)^0

ства Б //Сдхду = С8(Б).

и

В частности отсюда вытекает, что площадь любого квадрируемого множества Б 8 (Б) = // дхду.	1.2. ►

в
§1.в. Свойства двойного интеграла.

Теорема < 1.1: Необходимое условие интегрируемости.

Пусть функция ф(х,у) определена и интегрируема на квадрируемом множестве Б. Тогда /(М) ограни-
чена на Б. Иными словами, для интегрируемости функции ф(х,у) необходимо, но отнюдь не достаточ-
но, чтобы она была ограничена на множестве Б. 1.1. >

Упражнение < □ 1.1. Привести соответствующий пример.

/(ж, у) = I* 1 *’3 * * * Тх' у	ЗДЕСЬ РИСУНОК!!!

к 7	(0, Лх 483 а5е тг^б» 8	3.

1.1.	□ >

Теорема < 1.2: Достаточное условие интегрируемости.

Пусть /(М) Е С (Б), где Б С -квадрируемое множество. Тогда /(М) интегрируема на множестве
Б. 1.2. >

Теорема < 1.3: Линейность.

Пусть функции /(М) и д(М) определены и интегрируемы на квадрируемом множестве Б. Тогда лю-
бая их линейная комбинация интегрируема на Б и при этом: //[а/(М) + (Зд(М)дМ = а // ф(М)дМ +
и	и

(3//д(М)дМ 1.3. >
и

Теорема < 1Д: Аддитивность.

Пусть Б = Е С Р, где

1)	Е и Р квадрирумые множества.

2)	Е и Р не имеют общих внутренних точек.

Пусть /(М) интегрируема на Е и Е. Тогда /(М) интегрируема на Б и при этом (( ф(М)дМ =

Л ЦМ)Ш + ///(ЛЩМ 14. >

Е	Е

Теорема < 1.5: Оценка двойного интеграла.

Пусть функция /(М), М(х, у) определена и интегрируема на квадрируемом множестве Б (следователь-
но она ограничена на Б, то есть существуют А и В такие, что А < /(М) < В \/М Е Б).

Тогда имеет место оценка: АЗ (Б) < // ф(М)дМ < ВЗ(ДУ) 7.5. >

в

Доказательство □ <	У.1.5. Пусть т = т{Б\, Б%,..., Бп) произвольное разбиение множества Б.

Е Б^, I = 1,.. •, ^произвольная точка. Из оценки А < /(М^) < В следует, что АЗ^Б^ < ф(М^З(Б^ <
ВЗ(Б,).

Просуммируем эти неравенства:
п	п	п

Е < Е /(М)5(А) Е В8ЦЕ)

г=1	г=1	г=1

п	п

АЗ (Б) = А ^2	С С В ^2	= ВЗ(ДУ). Эта оценка имеет место для любого т и для любой

1 = 1	1 = 1

точки . Ч.т.д. У.1.5 > □.
Теорема < 1.6: Теорема о среднем для интегрируемой функции.

Пусть функция /(М) определена и интегрируема на квадрируемом множестве Б (следовательно она
ограничена, то есть существуют А и В такие, что имеет место АЗ (Б) < // ф(М)6М < В 8 (ДУ).

в

Тогда существует /л Е [А, В] такая, что // ф(М)6М = //5 (В) 1.6. \>

и

Доказательство □ < V. 1.6. Перепишем неравенство А8ДУ) < // ф(М)6М < В8ДУ) в виде
в

А < утщ // ф(М)6М < В, положим /л =	// ф(М)6М, тогда А /л В, // ф(М)6М = /л8(ДУ)

1	И	1 И	И

Ч.т.д. У.1.6 > □.

Теорема < 1.7: Теорема о среднем для непрерывной функции.

Пусть Б-связный квадрируемый компакт и /(М) Е С(В). Тогда существует Мо Е Б такая, что
///(М)6М = ф(Мо)8(ДУ) 1.7. >
и

Доказательство □ < V. 1.7. Из условия теоремы следует, что существует А = тш /(М) В =
--------------------------- метэ

тах/(М) А < В (согласно теореме Вайерштрасса). Из (У.1.6) существует // Е [А, В] такая, что

// ф(М)6М = /л 8 (ДУ). Согласно теореме Коши о промежуточном значении, что для любого /л Е [А, В] су-
р

ществует Мр Е Б такая, что /(Мм) = /л. В частности для /л из формулы // ф(М)6М = /лЗ(ДУ) существует
в

Мо Е Б такое, что /(Мд) = /л. Подставляя /л туда, получаем доказательство. Ч.т.д.	У.1.7 > □.

В заключении этого паранрафа дадим геометрическую интерпретацию двойного интеграла.

Пусть /(М), М(х,у) определена и интегрируема на квадрируемом множестве Б. Рассмотрим цилиндри-
ческий брус, в основании которого лдежит множество Б. ”Крышей” служит поверхность г = /(х,т/),
образующие параллельны оси г.

Геометрической интерпретацией является объём этого цилиндрического тела, равный ///(х, у)дхду =
в

ЗДЕСЬ РИСУНОК!!!

Замечание □ 1.7. Отметим два обстоятельства:

1)	Это определение согласуется со следующим фактом: если /(М) = 1, то // Хдхду = 8 (ДУ) У(Т) =
8(Б)^= 8(Б)

=1

2)	Это определение объёма тела согласуется с общим определением объёма пространственной фигуры.

1.7.	□

§1	.г. Сведение двойного интеграла к повторному.

Теорема < 1.8: Пусть ф(х,у) Е С(П), где П = {(х,у) | (ж, у) Е В2 а < х < Ь, с < у < д}. Тогда
имеет место формула
(1-1)

Интеграл, стоящий в правой части называется повторным. 1.8. >

Доказательство □ <	У.1.8. Двойной интеграл в левой части существует согласно теореме (V. 1.7).

( П квадрируемый связный компакт, а /(х,т/) непрерывна на нём, следовательно она интегрируема). По-
скольку этот интеграл существует, то он может быть найден при помощи специально выбираемого раз-
биения и выбора точек. Разделим отрезки [а, Ь] и [с, д] на п равных частей. При этом прямоугольник П
разобьётся на п2 прямоугольников П/у
ЗДЕСЬ РИСУНОК!!!

(хг=а+^,	1 = 0,

<	точки деления.

\Уг = У + ^, 7=0,

По = {(ж,у)|(ж,у) € К2, Ж» < Ж < Жг+1, У1 < у < у^ I,] = 0, 1, . . . ,п}

а

Введём в рассмотрение вспомогательную функцию 3(ж) = //(х,у)ду Е С[а^]- На основании теоремы о

непрерывности интеграла, зависящего от параметра следует, что 3(ж) интегрируема на [а, Ь].

Ъ	п— 1	п— 1	п—	1

Рассмотрим интеграл / 3(х,у)дх = 52 I	3(х)дх =	52 ^(€г)^г+1	—	=	52	ГДе С [^г,^г+1]	=

а	г=0	XI	г=0	г=0

0,1,..., п.

Ь	п— 1 Уз+1	п— 1	п— 1

Рассмотрим Ж) = / /(&,у)(1у = Е /	= Е Ж,Ж(%+1 ~ Уз) = Е Ж,Ж^> где

с	.7=0 у5	.7=0	.7=0

V € [%,%+1]-

Подставим найденное выражение в предыдущую формулу:

ъ а	Ь	п—1п—1	п—1п—1

///(х,у)ау = /Мх = Е Е Ж,ЖЕ^Е^	=	Е Е Ж^ЖЖЕ)	=	ЯЛмМ

ас	а	г=0 д=0	г=0 д=0	П

Выражение, стоящее в правой части последней формулы одна из возможных интегральных сумм двой-
ного интеграла // ]\х,у)дхду. Перейдём к пределу при А(т) 0. ЗДЕСЬ РИСУНОК!!!

п

При п^ооА^О. А = \/(6 — а)2 + (б/ — с)2 Ч.т.д. У.1.8 > □.

Замечание □ 1.8. В доказанной формуле переменные х и у входят симметричным образом и мы

приходим к формуле:

Замечание □ 1.9. Из формул (1.1) и (1.2) следует формула

/(ж,у)йу =

/(ж,у)йж

(1-3)
Полностью совпадает с теоремой об интегрировании собственного,зависящего от параметра, инте-
грала по параметру.

1.9.	□

Для того, чтобы полученные результаты распространить на криволинейные трапеции введём опреде-
ление:

Определение < < 1.13.

1)	Множество Б = {(ж, т/)|(гг, у) Е В1 2, а < х < 6, а(Л) < у < /3(х) \/х Е [а, 6], а(х), /3(х) Е Ца,ь]}
называется правильным множеством по отношению к оси ох.

2)	Множество Б = {(ж,т/)|(гг,у) Е В2, с < у < б/, а(т/) < х < /?(?/) \/у Е [с,б/], а(т/), Д(т/) Е Цс,^]}
называется правильным множеством по отношению к оси оу.

ЗДЕСЬ РИСУНОК!!!

1.13.	> >

Теорема < 1.9:

1)	Пусть Б-правильное множество по отношению к оси ох, /(х,у) Е С {Б).
Тогда

/3(х)

(1-4)

2)

Пусть Б-правильное множество по отношению к оси оу, /(х,у) Е С (Б).
Тогда

1.9.	>

Замечание □ 1.10. Эти интегралы существуют, так как всякое правильное множество предста-
вляет собой компакт. 1.10. □

Замечание □ 1.11. Как правило, множество в конкретных примерах, в котором берётся интервал
является правильным как по отношению к оси ох, так и по отношению к оси оу. Поэтому возможна
расстановка пределов и в том, ив другом виде. 1.11. □

Пример <<1.3. ЗДЕСЬ РИСУНОК!!!

1 х3	1	Уу

у = х2 у-\-х3 Множество ограничено кривыми. / Е С (Б) ///(х,у)дхду = / дх / /(х,у)с1у = / ду / /(х,у)с1х

-О	Ох2	0

Пример вычисления двойного интеграла.
Найдём двойной интеграл от произведения степенных функций по двумерному симплексу. В =

ж > О, т/ > О

х + у < 1

1 Г(а)6Г(6)

Ь а + ЬГ(а + 6)

1	1 1	1	1	1 'Г(п}'Г(Ъ -4- Г»

= ух ха-1уЪ-1уу = - / Ха~1уЬ^~ХЛх = / Ха-1 (1— х)ЪЛх = -В(а, Ь+Г) = -----—-

оо	$ о	о	$	$	+ 6 + 1)

ха гуь гЛхЛу =

Г(а)Г(&)
(А + 6)Г(А + 6)

1.3. ►

Замечание □ 1.12. Теорема (У.1.9) гарантирует результат лишь при а и О
0<а<1и0<6<1, этот интеграл понимается как несобственный. 1.12. □

1	. Однако, при

§	2. Замена переменной в двойном интеграле.

Пример ◄2.1. |х|а + \у\а = 1 а > 0
ЗДЕСЬ РИСУНОК!!!

1

3 = 4/ (1—ха)^Лх = [1 = ха х = Лх =

4г+++) 2г+)

“ 1+0)	“ Г(Ц

Пт 3(а) = Пт = 4

а^+оо	а^+оо а

Г(а) ~а_+о 1	2.1. ►

.г4)г4 + 1)
а Г(А + 1 + 1)
\ а а /

§2.а. Формула для элемента площади в криволинейных кооринатах.

ЗДЕСЬ РИСУНОК!!!

1)	Пусть пара функций

х = х(и, и)
у = у (и, и)

(2Д)

осуществляет взаимооднозначное отображение 12 Д, где В С К2^; А С В2, где х(и, и), у (и, и) Е
С^(А)

2)	и при этом якобиан 3(и, и) =

дх дх
ди ди
ду ду
ди ди'

Ф 0 \/(п, и) Е А

о

ЛХУ+1)

Рассмотрим бесконечно малый прямоугольник <2 С Асо сторонами Ли и Ли и с вершинами (и, и); (^(иР
Ли, и); С2з(и4-Ли, и4~Ли); Р4(х(и, и4~Ли); у(и, и+Ли)/ При отображении (2.1) Р Сд. где Р-некоторый
бесконечно малый криволинейный четырёхугольник с вершинами в точках Р\ /х(и^ и); у/а, и/) Ръ/х/а 3
Ли, и/у (и + Ли, г;)) Рз(х(и + Ли, и + Ли/у/и + Ли, и + Ли/) Р4^х(и,и + Ли) ;у(и, и + Ли/). Очевидно, что
5(<Э) = ЛиЛи. Требуется найти 8(Р/
Итак, заменим криволинейный прямоугольник Р на бесконечно близкий к нему Р' с точностью до малых
высшего порядка, по сравнению с Ни и Ну в точках Р[ = А (я, у) х(и + Нщ и) = х(и, и) + §^Ни (получили

при помощи линеаризации).

РХ- +

Р^х+^и+^у+^и+^г)

Р’(х + ^у+^

Отметим, что все эти величины вычисляются в точке (и, у).

Рассмотрим векторы Р[Р^ =	=	= Т3Р4 Р'-параллелограмм,

Р'Р' =

Так как площадь параллелограмма равна векторному произведению двух векторов, то 5(Р') =

дх ду

ди
дх
ди

ди
ду
ди ’

НиНх = [3(щу)\НиНу

Итак, 8(Р') = [3(щу)\НиНи

дх 7
ди
дх 7

ОУ

ду

—— Ни
ди

ду
—- Ну.
ду

5(Р)«|Ж«)1Ж)

(2-2)

С точностью до бесконечно малых высшего порядка по сравнению с Ни и Ну

§2.6. Теорема о замене переменных в двойном интеграле.

Лемма < С р 2.1: Формула для площади квадрируемого множества в криволинейных координатах.

1) Пусть пара функций <	’ осуществляет взаимооднозначное отображение П ш А. где

I У = У\и.у)

И С В2^; А С В2, где х(и^у\ у(щу) Е	С*ДД)		
	дх	дх	
2) и при этом якобиан	=	ди ду	ду ду	Ф 0 \/(п, у) е А
	ди	ду'	

Тогда имеет место формула

эд =

// НхНу =

// | Т(п, у)\НиНу

В	А

(2-3)

2Л □ >

Доказательств □ О ??. ЗДЕСЬ РИСУНОК!!!

Разложим множество Д прямыми, параллельными координатным осям на бесконечно малые прямоуголь-
ники. Тогда И разобьётся на бесконечно малые криволинейные четырёхугольники.

//Шу = 8ЦУ) = Е5(А) « Е |?(Дг;
При этом мы пренебрегаем членами высшего порядка малости при использовании (2.2) и ”неправильны-
ми” элементами у границы множества. Можно доказать, что всё это есть о-малое от основного вклада.
Тогда, в пределе следует формула (2.3) Ч.т.д. 22 > □.

Формула для площади связного квадрируемого компакта.

Пусть выполнены условия 1) и 2) леммы (У.2.1). Пусть также 3) А (автоматически и /?) является связным
компактом.

Применим к правой части формулы (2.3) теорему о среднем для непрерывной функции:

// |Т(п,и)\диди = |Т(п,Т)|5(Д), где (п,Г) Е А =>

△

5(Б>) = |3(?/,Т)|5(А)

(2-4)

где (п, г?) Е А

Теорема < 2.1:

{х = х(щ г?)	.

осуществляет взаимооднозначное отображение между связ-
у = у(и,у)

ными квадрируемыми компактами И и А, где	у(щи) Е С^(А)

2)	|Т(п,г;)|	0 Е А

3)

Тогда имеет место формула:

ф(х,у)дхду =	/(ж(?/, и); у(и^ и) 1Т(п, и)\диди

(2-5)

2.1. >

Доказательство □ <	У.2.1. Так как оба интеграла в формуле (2.5) заведомо существуют (так

как подинтегральные функции непрерывны) то наш двойной интеграл может быть найден с помощью
специально выбранных промежуточных точек.

Пусть т = г(•••, ^п)-произвольное разбиение множества П; М^х^Уг) Е Рассмотрим инте-
гральную сумму СТ =	= 52 /($«, Уг)8(РХ

г=1

В силу формул (2.1) разбиению т соответствует т' = т(Д1, Д2, • • •, Ап)

Из формулы (2.4) следует 5(1Л) = |3(1Г,Ж)|5*(ДД г = 1,2,... (Щ,Т?) Аг

=ф СТ = 52 /(^г,?/г)|^(гГ,^)|5'(Дг) Ч.т.д. У.2.1 > □.

г=1

Пример «42.2. Найти объём тела, ограниченный этой поверхностью.
у2_ = гп

ЗДЕСЬ РИСУНОК!!!

Г(п) = Л	+

И у

Перейдём к обобщённым эллиптическим интегралам
У(оо) = Пт К(п) = аЪс Уп = с// г71 —	+ ^У1хс1у =	/ с1ф / г сое™	1	— гп<Т? =

п^оо	р V а	п о О

2аЪсгч гу

= /сое^-1 ^ет»-1 фЛф = 1В(1,±) =

о	1 (.„)

1 _______ 1 _________________________________________________________ 1

32 = / г \/1 — гс1г = [гп = I г = 1^ (1г =	/	=

=	2.2. ►
ГЛАВА VI

Криволинейные и поверхностные интегралы.

§1. Криволинейный интеграл первого рода.

§1.а. Основные определения.

Преамбула:пусть функции у (В), г(^) 6 и осуществляют взаимооднозначное отображение [а; Ь]

и кривой I/ = АВ С М =	Е В^1 Е [а; 6]; М(а) = А; М(Ь) = В;

Напомним,что длина кривой з(Б) есть:

ъ	ъ

1\М\1)\(И = 1 ЕЕШ + (у)2(*) + (Л2(*И
а	а

Определение < < 1.1. (Разбиение):

Пусть:

1)	т = {^}-=о произвольное разбиение [а; Ъ\;

2)	Мк = М(1к);	____

Тогда: представление В = 11 1Л2 и ••• б Ьп, где Вк = Мк_^Мк называется разбиением кривой
В,соответствующим данному разбиению [а; Ъ\. Это разбиение также обозначается т.

1.1.	> >

Определение < < 1.2.	2:

Пусть т некоторое разбиение кривой В. Тогда число А(т) = тах $(!/&) называется параметром дан-
ного разбиения. 1.2. > >

Определение < < 1.3.	3 (Интегральная сумма):

Пусть:

1)	т- произ вольно ер аз биение В;

2)	Ме Вк, к = 1, 2,..., п-произволъные промежуточныеточки;

3)	функция /(М) = /(ж, т/, г) определена на В.

Тогда сумма

1Т(Мк = ^^Мк)3Щ)
к=1
называется интегральной суммой по кривой Ь, соответствующей данному разбиению г и данному вы-
бору промежуточных точек М^. 1.3. > >

Определение < < 1.4- (Криволинейный интеграл первого рода):

Пусть :

1)	функция = /(ж, т/, г) определена на Е;

2)	г — произвольное разбиение Е;

3)	М = Е Ь к-пр о межуточные точки.

Если

3 Пт 3ТМк = Пт У НАС  зЦк) = 3,
Л(т)^0	А(т)^0Е1

то этот предел называется криволинейным интегралом функции /(М) по кривой Е и обозначается

1	= / /(М)<1з = / Цх,у,х)(18 . 1 А > >
ь	ь

Упражнение < □ 1.1. Сформулировать определение на языке е — 5.	1.1. □ >

§1.6. Основные свойства криволинейного интеграла первого рода.

Пусть функции х(1),у(1), осуществляют взаимнооднозначное отображение [а; Ь] в Ь Е М3 так, что
М = М(1) Е ЕУ1 Е [а; Ь]. М(а) = А; М(Ь) = В. Тогда имеет место теорема:

1.	Если /(М) = /(х,т/, г) определена на А ,интегрируема по Ь в смысле Определения 4,то она ограни-
чена на Ь . Обратное вообще говоря неверно.

Напоминание: Непрерывность по множеству.

а)функция /(М) называется непрерывной в точке Мд Е Ь по кривой Д если V е > 03 д > 0 :

изр(М0М) < 5 , М Е Е. =А |/(М) - /(Мо)| < с

б)/(М),определенная наД называется непрерывной по Е(ф(М) Е если она непрерывна по Е по
каждой ее точке (в смысле определения а)).

2.	Если /(М) Е С{Е\ то /(М) интегрируема по Е в смысле Определения 4.

3.	Если /(М) и д(М) определены и интегрируемы по Е ,то любая их линейная комбинация	+

(Зд(МУ) интегрируема по Е и

У [аЦМ) + рд(М)]<18 = а^ ЩЩз + /3 д(М)<1з
ь	ь	ь

4.	Пусть: 1)Т = АВ=АСССВ ( АС С СВ= С); 2)/(М) определена и интегрируема на АС и СВ.
Тогда:/(М) интегрируема на АВи при этом:

У НМ) <13= У ЦМ)(1з+ У ЦМ)с1з

АВ	АС	СВ
5.	/саз = с$(т) => 5(т) = / аз.
ь	ь

Замечание: Остальные свойства(свойства с оценками и теорема о среднем)автоматически вытекают
из свойств обычного определенного интеграла с учетом теоремы о сведениикратного интеграла второго
рода к определенному интегралу.

§1.в. Сведение криволинейного интеграла 1-го рода к определённому ин-
тегралу

Теорема < 1.1: Теорема о сведении криволинейного интеграла. Пусть:

1)х(1/у(1/ Е С^а.щ осуществляют взаимнооднозначное отображение [а;Ъ\ и Т, при этом М =
М(1) = М(х^),т/^),г^))’е ТУ 1Е [а;Ъ/М(а) = А-,М(Ъ) = В.

2)функция /(М) = /(ж, т/, г) Е С(Т) в смысле определения предыдущего пункта. Тогда имеет место
формула (*):

ъ	ъ

(*) У = У Щ,у,х)(18 = у /(м(г))|м(г)|сй = у /(ж(^), у(<),	+ уТч + ИЦф

Ь	Ь	а	а

Доказательство:

Пусть т- произвольное разбиение;!/ = А) С 1/2, • • • ,СЬП; Т& =	 Мк\ М& Е Ьк,к = 1,2,... , п.

Рассмотрим интегральную сумму для кратного интеграла :

к=1

, т.к. этот интеграл заведомо существует,то мы можем его найти с помощью специального выбора точек
Мк.

^к

Щк) = У \м'(1к)\с11 = [(*)]

^к — 1

м'^ = (х\ь,у'(ь,г^

[(*)] = |М/(^)| •	- ^-1) = \м\оуег1те1к)\- А 1к

,где 1к Е [^-151к\, к = 1,2,... , п Положим Мк = М(1к).Очевидно, что М(1к) Е Ь — к.
Получим:

п

 |м'(^)|. А 1к

к=1
(**)3/г(Л/А;) =	(х'(1к))2 + (у'(1к))2 + (х'(1кУ)281к

к=1

Очевидно,что в правой части стоит одна из возможных интегральных сумм для интеграла, стоящего в
правой части формулы (*).Переходя к пределу в равенстве при А(т) —> 0	(*).

Теорема доказана. 

Замечание □ 1.1. : В случае, если А является плоской (хОу) ,то формула (*) приобретает вид:

ь

У /(ж,у)Й8 = У У(х(1),у(1))  у/(х'(1)У2 + (у'(^))2^	(*')

Ь	а

1.1.	□

Замечание □ 1.2.	: В случае , если кривая А расположена в хОу и задана явным уравнением

у = у(х)- а < х < Ь , то формула (*) принимает вид :

ъ

У	= у /(гг,у(х)) • 0 + (у'{х))2(1х	(*")

Ь	а

1.2.	□

Замечание □ 1.3. : Пусть выполнены условия замечания 2;

у'(х) = 1апа(а:) —> 0 + (у'(х))2 = ----------—-

| сой сЦаЦ|

—> (***) :

ъ

У Ях,у)(18 = У Чх,у(х))

Ь	а

с1х

| СО8«(ж)|

1.3.	□

Следствие 1 из ??.

ь

Длина Ь = / Зз = (при условии , что Ь удовлетворяет условиям замечания 2) = / । СО8^(Ж)|

Ь	а

1 ИЗ ??.

Замечание □ 1.4- - Из определения 4 следует:

У /00 = У /00.

АВ	ВА

Таким образом криволинейный интеграл первого рода не зависит от направления обхода А. 1.4- □
§1.г. Вычисление некоторых криволинейных интегралов 1-го рода

1)

Г г,	(	„2 _ п

\з , где Т

<	’	0 < 1 < л/2  1 у = 8пй;  , получим:  7Г/2  у* соеа 1 • 8Ш^ 1 • \/(— 81п1)2 +	= 1/2 • В	;  0  2)  /	+ У2^3>	гДе Ь = {(я,у): Х‘2+У1'-  Ь	/3 + 1 \	Г СЕ > — 1  2 /’	|у>-1.  = 2ах , а > 0.} .
§2. Криволинейный интеграл второго рода.

§2.а. Механическое рассмотрение.

X = х(б)
< у = у(б)

= г(1).

М = М(х^),т/^),г^))

/ (В, б/г) = / (Рдх + С)ду + Вб/г), дг = (<Тг, ф, б/г)

I

Замечание □ 2.1. :из этого определения следует, что криволинейный интеграл второго рода, в
отличие от интеграла первого рода, который не зависел от направления обхода кривой Т, меняет знак
на противоположный при изменении направления обхода:

(#,йг) = - у (В,г)

ВА	АВ

2± □

§2.6. Понятие криволинейного интеграла второго рода.

Преамбула:Пусть :

1) функции х(В),у(В) Е осуществляют взаимнооднозначное отображение [а; Ь] С и кривая В =

АВ С К2Х у\

2)М = М(1) = М(х(к),у(1)) Е Ш Е [а-,Ь]-,	М(а)=А,М(Ь) = В;

3)т = {^/с}о произвольное разбиение [а; 6]; А(т) = шах

4)М(^) = Мд,, Т/с = М/с-1М/с, к = 1, 2,... , п; Т = А) С 1/2 С • • • С -разбиение кривой Т;

5) М/с Е Т/с;

6)функция /(М) = /(х, у) определена на В.

Определение < < 2.1. (Интегральная сумма):Сумма

п

!!!ж = Зт(М) = У/(Ж)-А^
к=1

, где В х^ = х^ — хь--^ х^ = х(1к), называется интегральной суммой /(М) по кривой В в направлении
оси Ох, соответствующей данному разбиению т и данному выбору промежуточных точек М%.

2.1. > >

Замечание □ 2.2. Аналогично определяется интегральная сумма функции / по кривой В в напра-
влении оси Оу.

п

!!!^ =	= У 4мк)- △ Ук, &Ук=Ук-Ук-1, Ук=у(1к)

к=1
Замечание □ 2.3. :Из этого следует, что сумма меняет знак на противоположный при изменении
направления обхода кривой .	2.3. □

Определение < < 2.2. :Если

3 Пт !!!ж

А(т)^0

Пт Зк(Мк) = Зх
А(г) 1о0

, не зависящий от .....,то /(М) называется интегрируемой по Е в направлении оси Ох, а число

Зх называется криволинейным интегралом второго рода функции /(М) по Е в направлении оси Ох и
обозначается:

Замечание □ 2.4- :Аналогично определяется криволинейный интеграл второго рода функции /(М)
по кривой Е в направлении оси Оу:

= У ЯМ)(1у =	= л(Кто!!!з/

ь	ь

2.4.	□

Замечание □ 2.5. :Пусть на кривой Е определены две функции Р(х,у) и С4(х,у), причем Р(х,у)
интегрируема по Е в направлении оси Ох, а (2(ж, т/) - в направлении оси Оу.Тогда:

— интеграл общего вида.

2.5.	□

Упражнение < □ 2.1. Распространить на 3-х мерный случай.

2.1. □

§	2.в. Свойства криволинейного интеграла второго рода.

Преамбула:(см. предыдущий подпункт...)

Имеют место следующие свойства:

ЕЕсли функция /(М) = /(х,т/) определена и интегрируема по кривой Е в направлении оси Ох (Оу),
то /(М) ограничена на Е.Обратное утверждение вообще говоря неверно.

2.Е	сли ф(х,у) Е С(Е) , то /(ж, у) интегрируема по кривой Е , как в направлении оси Ох, так и в
направлении оси Оу.

3	.Имеет место линейность (самостоятельно).

4	. Ад дитивность(самостоятельно).
5	.

п

!!!!Ц = С • А хк = С(А + ... + А хп) = С • (я?1 - х0 + х2 - хг + х3 - х2 + ... + хп - жп_1) =
к=1

= С • (хп — хо) = С • (х(1п) — ^(А))) = С ’ (^(^) — х{а)) = С • ПржА.

6.Пусть функция /(х, у) определена и интегрируема по кривой А = АВ в направлении оси Ох.Тогда:/(ж, у)
интегрируема по кривой Т = В А в направлении оси Ох и при этом :

/(х,у)<1х = - у /(х,у)(1х

ВА	АВ

У /(х,уЩ = - Вх^у)^х-
-ь	ь

7.Пусть кривая Ь представляет собой вертикальный отрезок, а функция /(х,т/) определена и интегриру-
ема по А. Тог да :

/(ж, у)дх = 0.

ь

Если Ь - горизонтальный отрезок, то :

У= 0.

ь

§2.г. Сведение криволинейного интеграла 2-го рода к определенному ин-
тегралу .

Теорема < 2.1: (о сведении криволинейного интеграла второго рода к определенному интегра-
лу) :Пустъ:

1)х = х(1\у = у(1) Е осуществляют взаимооднозначное отображение А и [а; Ь] ,М = М(1) =
М{х(1),у(1)) ЕЬ^1 Е [а-,Ъ\,М(а) = А,М(Ъ) = В;

2)Кх,у)Е С(А).

Тогда: имеют место формулы :

ь

/(х,у)с1х = У /(ж(г),у(Х)) • х <11	(1)

Ь	а
ъ

У /(ж, у)с1у = У /(ж(^), у(1))  у Л (2).

2.1.	>

Доказательство □ <	VI.2.1.	Докажем формулу (1):

Пусть т-произвольное разбиение г =	= М(^),	М^ = М(х(Д,), тДД,)), Мке

^кч С [^—1,^].

!!!ж = Зт(Мк) = ^/(Мк). Лхк = (*)
к=1

^к /

(△ хк = хк - хк-х = х(1к) - х(1к-С) = / я (г)<Й).

^к—1

(*)

п

= ^/(мк).

х

0)	!!!!ж =	=	/Ы1к),у(1к))-Х(11.

к=1	<к-1	к=ДД.

Интеграл, стоящий в правой части :

3=/	’Х^ = ^2 У

а	к=1

/ \КХ^к)чУ(1к)) - /(ГГ(^), 7/(^))| • \х(1)\(Д	(***)

к=' 1кД

Пусть:

1)	с - любое число больше 0,

2)	М = шах \х (1)\.
[аф]

Тогда: по числу м^_а^ > 0 3 5 > 0 ( из определения равномерной непрерывности т/(^))на[а; Ь] )
такое, что: из А = шах А I < 5 =>
1^/;^п

=> \/(х(1к),у(1к)) -	<

г

М(Ъ - а)

М(Ь - а)

М(И =
п »	п

= т—У2 /	= т~— У	= т— • (& - а) = е => 3 Ит !!!ж = 3:

У	ь~аГ< Ъ-а у	,\км

X 0 4Ф А(т) 0 =>

1) Пт !!!ж = 3

Уно

2)^1ппо!!!ж = //(гс,у)йя;

Из этого следует ( по теореме о единственности предела ):

ъ

?(х,у)(1х = / /(т(3),у(3)) • X (1)М.

Ч.т.д. У1.2.1 > □.

Замечание □ 2.6. : формула (2) доказывается аналогично. 2.6. □

Замечание □ 2.1. : Пусть: Р(х, т/)и(2(х, т/) Е С(1/), тогда справедлива формула (3):

ь

(3)	Р(х,у)<1х + (2(х,у)(1у = У [Р(т(3),у(3)) -х + ^(x(Ъ'),у(^У)  у ]<й;

2.7. □

§2.д. Связь между криволинейными интегралами 2-го и 1-го рода.

Пусть выполнены все условия теорем о сведении криволинейных интегралов первого и второго родов
к определенному интегралу.Тогда имеют место следующие формулы :

ъ

(1)	У /(х,у)(18 = У ^х(1),у(1)) • уУ'(З))2 + (у'(г))2<Й;

ъ	ъ

(2)	/ Ж у)<1х = / Ж(<),уЧ)) (11=	/(Ж уЦУ 	,= • у'(ж (е>У + (у

7	7	7	V \х \Ч) \У \х))

к (I) = . = = =, .	= (соеа,эта) = (соеа,сое/3;)

х/(^)2+(г/ )2	(*))2+(у (<))2

(2 )	.1 /(х,у)<1х =	У(х(1Уу(1))-сова-

Ь	а

У= У /(ж, у) • СО8 абз
ь

у ^(х^у)бх = У /(ж, у) • СОЙСЕб/з.
ь	ь
Аналогично находим (4):

Замечание □ 2.8. : Из формул (3) и (4) => (5):

(5) р(х, у)(1х + (^(х, у)(1у =	[Р(х, у) • СО8 а + С}(х, у) • (3]^8.

ь	ь

2.8. □
VI.3 Формула Грина (,открытая Эйлером задолго до рождения Грина).

§3. Формула Грина (,открытая Эйлером задолго до рождения Грина).

§3.а. Вывод формулы Грина.

Пусть: Р(х,у), дРду,у>) Е С (С) , где С-правильное множество относительно оси Ох:
О = {(х,у)\а < х < Ъ, 7/1 (ж) < т/ < Уз(х)}, где т/1(ж, т/2(ж) Е С[а.ь].)

Рассмотрим: //(-|^)бМ/ =

Ъ У2 (ж)	ъ	ъ	ъ

Лх / ^~^ау= /^Р^х,уКф]^х = / Р{х,у^х))<1х - У р(х,у2(х))(1х

а У1(х)	а	а	а

Р(х,у) дх + Р(х,у) дх + у* Р(х,у)дх + Р{х,у)дх = аддитивность = Р{х,у)дх
АВ	ВС	СБ	БА	ь

, где Ь = АВ и ВС и СБ и БА.

(1)

у)дх

. Аналогично доказывается формула (2).

У[	= / ®(х,у^у

а	ь

, где С-правильное множество относительно оси Оу;	Е С (С).

Теорема < 3.1: (о формуле Грина):

Пусть:

1)0 Е В2-множество, правильное относительное осей Ох, Оу.

^функции Р, о, С (С).

Тогда: имеет место формула (3):

(3)	)) Р(х,у)(1х + С}(х,у)(1у = )У- ^)Нх(1у

ь	а

3.1.	>

Пример:

У (Ж1999 - у)с1х + (х + у2000)(1у = I)(1 + 1)с1хс1у = 28(С) = 2тгаЬ {ь =	= 1}

ь	а

Следствие 1 из VI.3.1.	(Выражение площади при помощи криволинейного интеграла второго

рода.)

Пусть: С - множество, удовлетворяющее условиям Теоремы 1 ;
Ь - граница этого множества, пробегаемая в положительном направлении.

Тогда : 5(0) может быть бесконечным множеством способов записана при помощи криволинейного
интеграла. Для этого достаточно подобрать функции Р, 0. удовлетворяющие условию :

д0_ _ ЭР
дх ду



1 из У1.3.1.

Пример:	+	=

кривой.

х 0,7/	0, (а, 6, п > 0); Рассмотрим эту площадь как 1/4 площади этой

3 = 1/4 • 1/2 у хду — удх = (*)
ь

х = а(сое)

у = 6(8ш)^Л

1/4 • 1/2(/а^ег...)

Замечание □ 3.1. Формула Грина может быть доказана при помощи Теоремы 2.	3.1. □

Теорема < 3.2: Пусть функции Р(х,у),С2(х,у),	), где С = СУЗЬ, где С -

область, ограниченная кусочногладкой жардановой кривой.

Тогда: справедлива формула :

Р<1х±С](1у = Ц^ + ^(1х(1у.
ь	а

§3.6. Криволинейные интегралы второго рода, не зависящие от пути ин-

тегрирования .

Предуведомление: все кривые предполагаются кусочно-гладкими и жордановыми.

Определение < < 3.1. (односвязной области):

Область, границы которой состоят из одной кусочногладкой жардановой кривой называется односвяз-
ной областью.
VI.3 Формула Грина (,открытая Эйлером задолго до рождения Грина).

(х2-\-у2 < 4- односвязная область, 1/4 < х2 -\-у2 < 4-не односвязная, 0 < х2-\-у2 < 4- не односвязная).

3.1.	> >

Теорема < 3.3: (о независимости криволинейного интеграла второго рода от пути интегрирова-
ния) (”Тройная теорема”).

Пусть : функции Р(х,у),С)(х,у) Е С (С), где С -односвязная область.

Тогда : эквивалентны следующие 3 условия :

1.	/ Рдх + С)ду = 0 — для любого замкнутого контура у Е С

у
ъ

2.	/ Рдх + С)ду не зависит от кривой, соединяющей точки а и Ь, а зависит только от положения
а

точек а и Ь.

З.	Рдх + С)ду является полным дифференциалом в С,т.е. 3 17 = 17(х, у), определенная и интегрируемая
в области С и такая, что 317 = Рдх + С)ду.

3.	3. >

Доказательство □ < VI.3.3.	1. => 2. => 3. => 1. (схема доказательства)

1)1. => 2. Дано: / Рдх + С)ду = 0, у С С;

7
Ъ

Доказать : / Рдх + С)ду не зависит от кривой аЪ

Рассмотрим контур у = (АВ)1 С (ВА)2. Тогда: 0 = / Рдх + С)ду =

7

(АВ)!	(ВА)2

(АВ)!	(АВ)2	(АВ)1

Рдх + С)ду =	] Р дх + С) ду

(АВЪ

,т.е. выполнено условие 2.

2)2. => 3. Дано: интеграл не зависит от пути интегрирования => определена однозначная функция

17 = 17(х, у) =	/ Рдх-\-С)ду. Докажем, что :

МДП

1)	И является дифференцируемой в С;

2)	д17 = Рдх + С)ду.

Щх + к, у)

МоМн

Рдх + С)ду — Рдх + С)ду =

МДИ	ММк

Рдх + С^ду =	] Рдх + С^ду =

ММк млн

ШМк

С^ду 0 т.к. [ММк] || Ох >

ММк

Р{х, у) дх =

д! =

= (согласно теореме о среднем для непрерывной функции) Р(х + Ок, у) • к, (0 < 0 < 1)

и(х+ь,у)+и(х,у) = р^х +
Переходя к : Пт Р(х + Ок, у) = Р(х,у) получаем, что 3	= Р(х,у).

Аналогично доказывается существование = С^х,у).

Из непрерывности Ри()=> непрерывность и => дифференцируемость 17(х, у):

1ТТ д17 7 Ш 7

аи = —— • ах + —— • ау = Вах + Ц)ау
ох оу

Лемма: Пусть 17 = 17(х,у) дифференцируема в области С. 317 = Рдх + (^ду
Покажем, что для любых точек А и В, принадлежащим С справедливо равенство:

У Рдх + (^1у = В(В)-В(А)
АВ

{х = х(1)

У = УЧд-

Рассмотрим 4(1) = П(х(1),у(1)); Д(4) =	 х (I) +	 у (I) = (Р =	а < I < Ь, А =

(ж(а),у(а)), В = (ж(&),у(6)) )	= Р(яг^), у(1))  х (I) + (Э(х(1), у(1))  у (*).

Рассмотрим / Рдх + (^ду = (согласно теореме о сведении криволинейного интеграла второго рода
АВ
ъ	,	,	ь ,

к определенному интегралу = /[Р(х(/;), у(1)) • х (к) + ^{x(^),у(^)) • у	/17 (Т) = /7(6) — /7(а) =

Щх(Ь),у(Ь)) - /7(гг(а), т/(а)) = ЩВ) - ЩА)

3)3. => 1. Дано: условие 3. Доказать - первое условие .

Пусть :

1)7 С С - произвольный замкнутый контур,

2)А е у,

3)	В = А;

Тогда:

У Рдх + С^ду = $ РНх + С№у = Ц(В') - и (А) = о
7	АВ

Ч.т.д. У1.3.3 > □.

Теорема < 3.4- (Критерий независимости криволинейного интеграла второго рода от пути ин-
тегрирования.)(”Четвертичная теорема”.)

Пусть: функции Р(х,у),С4(х,у), д®э^У>>, дР0у^ С , где С односвязная область.

Тогда:каждое из условий теоремы 1 эквивалентно условию 4:

дР V, г х

Щ-= Щ- \/т.(ж,7/)еС

ох оу

3.4. >

Доказательство □ < VI.3.4-. Докажем: 1.	2.	3.	4.	1.
VI.3 Формула Грина (,открытая Эйлером задолго до рождения Грина).

1)3. => 4. Дано: 3 дифференцируемая в С функция Г(ж,т/) такая, что : д17 = Рдх + дду =	• дх +

• ф =>
ду &

д^ = Р^У)
^ = <2(х,у).

д21д дР(х,у)

= дГ1 - непрерывна

д2Р д(2(х,у')

д^ =	д^1 - непрерывна.

дхд , э эх — непрерывны => (согласно теореме Шварца о вторых смешанных производных ) => ^х^ =
д2ц ,УдР_ = до_
дудх ду дх '

2)4. => 1.

Пусть у С С- произвольный замкнутый контур.Рассмотрим / Рдх + дду = (*)

7

Пусть В -внутренность контура у:

г г д(^ др

(*) = / / (—---—— )дхду = 0 согласно условию 4

77 ду

и

Ч.т.д. VI.3.4 > □.

Замечание □ 3.2. : Условие односвязности С в теореме! и теореме2 существенно. 3.2. □

Пример:

С = 1/4 < х2 + у2 < 4,
С одной стороны:

-у
х2+у2 ’

— ж2+у2 ,

Р = х2 + у2 = 1Е(3, условие 4 выполнено.

дд

дх
дР
дх

’2 + у2)2

3 _ ^2

(х2 + у2)2'

V т.(х, у) е С

3 _ ^2

2

= соз1

С другой стороны: Рдх+дду = (*) <
ь	[у

Замечание □ 3.3. Тем не менее

мым. 3.3. □

= зипЗ.

о

= 2л 0—условие односвязности существенно.

условие односвязности области С отнюдь не является необходи-

Пример: Область С и Г берем такие же:

р = ________ П = ____________•

(х2+т/2)2’	4	(х2+т/2)2’

Наш критерий выполняется для этих функций, но / Рдх + дду = О
ь
§4. Площадь поверхности.

§4.а. Параметрически заданная поверхность.

Определение < < ^.1.

Пусть функции х(и, и), у (и, и), и) Е С (Б) осуществляют взаимооднозначное отображение (*)/?
5, где Б Т В2и у, 3 С В3 у г
'	СЬ (У '	Ж/ ) у /X

х = х(и, и)
< у = у (и, и)
^х = х(и, и).

Тогда говорят, что поверхность 3 задана уравнениями (*). ^.1. > >

Пример:

х = К сое и 8Ш V

< у = К 8Ш и сов и
х = КАпи.

О < и < 2л

О < и < л/2

Замечание □ ^.1. В дальнейшем будет предполагаться, что функции х(и, и), у (и, и), х(и, и) Е
ТЕ д'

Замечание □	Рассмотрим матрицу Якоби отображения (*):

[3] =	дх ду дх~  ди ди ди дх ду дх  _ ди ди ди _

Из теории неявных функций следует, что дла того, чтобы отображение (*) было взаимнооднозначным
,чтобы ранг матрицы Якоби был равен 2:

гапк[3] = 2 => Б 3

Рассмотрим миноры матрицы Якоби:

А =	ду дх ди ди ду дх ди ди	; в =	дх дх ди ди дх дх ди ди	; С	дх ду ди ди дх ду ди ди

гапк[3] = 2 => (**)А2 + В2 + С2 > 0 \/(п, и) Е Б

В дальнейшем будем предполагать, что (**) выполнено. 4-□

Замечание □	Точка (ио, ио), в которой А = В = С = 0 называется особой точкой поверхности

8. Будем рассматривать поверхности без особых точек.	□

Замечание □ 4-4- Тривиальным частным случаем параметрически заданной поверхности является
явно заданная поверхность % =	^(^,2/) Е

[3] =	Г1 0 Й дх 0 1^- 1	ду

= 1^0

, т.е. любая явно заданная поверхность не содержит особых точек. 4-4- □

§4.6. Координаты вектора поверхности. Касательная плоскость.

Пусть 8 задана уравнениями (*), где функции х(и, ?;), у (и, ?;),	г?) Е	и выполняется условие

(**). Определение < < 4'2- (Радиус-вектор поверхности):

Пусть : М = М(и, и) = М(х(и, и), у(и, и),	и)) Е 3 -произвольная точка.

Тогда: вектор К = К(а, и) = ОМ = (ж(п, и), у (п, и),	и))-называется радиусом-вектор ом поверхно-

сти. 4'2- > >

Определение < <	Линии на поверхности 3, соответствующие (в силу отображения (*)^

прямым и = с,и = с называются координатными линиями поверхности. 4-3 > >

Замечание □ ^.5. Ввиду этого и и V принято называть криволинейными координатами. ^.5. □

Упражнение < □ 4'Р остроить координатные линии сферы. ^.1. □ >

Определение < < 4-4- Прямая называется касательной кЗв данное её точке, если эта прямая
в данной точке касается некоторой кривой, лежащей в 3. 4'4' > >

Пусть:

г + и(Ч

V =



произвольная гладкая кривая, принадлежащая 8.Рассмотрим вектор г = г(1) =	^(^)) =

= (т(-д^), г>(*)), у(и(С), г>(*)), г(д(^), д(^)))
Введем в рассмотрение эти векторы:

с1г   дг с!и  дг с1и .
сП	ди сП ' ди сП ’

дх ду дг
ди‘ ди‘ ди
дх ду дг
дМ дУ ди

Тогда имеет место формула (1):

(1)

ди _ ди
дг = ги'--Угу—-.
д1 д1

Определение < < ^.5. Векторы гигу называются координатными векторами поверхности 3.

Свойства координатных векторов:
1)	ги 0;

2)	Гу ф 0;

3)	Ги^гу.

из условия (**) => 1.,2.,3.

4)	Координатные векторы являются касательными векторами к координат ным линиям нашей поверх-
ности, проходящими через данную точку.

Доказательство □ < . Рассмотрим кривую :

и = С

V = I.

бг
(11

(по формуле (1) ) = гу гу — касательная прямой Г1;

. г I и = I

ги- касательная кривой 1 2 • \

I V = С.

Из свойств 1., 2., 3. => г.и и г.у однозначно определяют некоторую плоскость. Она будет касательной

плоскостью.

Рассмотрим множество всех прямых, касательных к кривым, принадлежащим 8 и прох одящих через
данную точку. Очевидно, что все эти кривые в плоскости, определенной координатами векторов ги и гу.
Это следует из формулы (1), т.к. касательный вектор любой такой кривой представляет собой линейную
комбинацию векторов ги и гу. Ч.т.д.> □.

Определение < < 4-6. (Касательная плоскость)

Плоскость, содержащая все прямые, касательные к данной поверхности в данной точке, называется
касательной плоскостью кЗв данной точке.

Выведем уравнение касательной плоскости:

Пусть : г-радиус-вектор; р-р адиу с-вектор произвольной касательной плоскости; р — г-лежит в ка-
сательной плоскости.

Положим п = \ги,Гу], п ± р — г.

Потребуем : (п, р — г) = 0.

Получаем : ([ги, Гу], р — г) = 0.

Это и есть уравнение касательной плоскости. 4-6- > >

Упражнение < □	оказать, что уравнение касательной плоскости явно заданной поверхности

представляет собой частный случай только что выведенного уравнения.	4-2. □ >

§4	.в. Линейный элемент, длина дуги и первая квадратичная форма поверх-
ности.

Пусть 8 задана уравнениями (*), функции х, у, г имеют непрерывные частные производные и выпол-
нено условие (**).
Если х = х(ф),у = у(б),% = г(^), х,У,% Е С^ пространственная параметрически заданная кривая,
тогда ее длина 8 равна :

^2

8 =	(х'(I))2 + (у' (у))2 + (Х(^))2б^, при этом дифференциал 8 : дз2 = дх2 + ду2 + б/г2.

С одной стороны:

(1г = (дх ду б/г);	б/(г)2 = (дп,дг) = |б/г*|2 = дх2 + ду2 + б/г2;	б/(г)2 = б/з;

С другой стороны :

(1)	=> дгиди + гуди => д(г)2 = (ги)2(1и2 + 2гигудиди + (ту,)2^2;

Получаем (2) :

(2)	дз2 = (ги)2(1и2 + 2гигудиди + (г^)2^2;

/дх ду дг\	/дх ду дг\

Ги уди' ди' ди) ' Гу уди' ди' ди) '

Введем следующие обозначения :

/ гл \ 2	/ гл \ 2	/ гл \ 2	/	гл \ 2	/	гл \ 2	/ гл \ 2	ГЛ	ГЛ	ГЛ	ГЛ	ГЛ ГЛ

/ дх\	( ду\	I дх\	/	дх\	/	ду\	/ дх\	дх	дх	ду	ду	д% д%

уди) +	у ди)	у ди) '	у ди)	у ди)	у ди)	'	ди ди	ди ди	ди ди'

Определение < < ^.7. Введенные величины Е, О, Е называются коэффицентхши Гаусса поверхности

8. С помощью таких коэффицентов формула (2) записывается таким образом :

(2х) дз2 = Еди2 + 2Едиди + Оби2',

4^7. > >

Определение < < ^.5. Выражение для дз2 называется линейным коэффициентом поверхности 8.

4^ > >

Следствие: из формулы (2’) получаем формулу для длины дуги :

(3)

з

+^'^+с
д1 д1

2

61;

Определение < < ^.Р. Выражение, определенное формулой (2’) представляет собой дифференци-
альную квадратичную форму. Эта форма называется первой квадратичной формой 8. 4-^- > >

Лемма: Первая квадритичная форма поверхности является положительно определенной квадратичной
формой.

Доказательство □ < . Рассмотрим ЕС — Е2; Нетрудно доказать, что: ЕС — Е2 = А2 + В2 + С2,
где А, В, С - миноры.

ЕС — Е2 > 0 (в силу условия (**)),Е > О, С > 0; ((**))

Рассмотрим матрицу квадратичной формы (2’):

В1=Е>0

Б2=ЕС-Е2>0

Е Е

Е С

=> кв.форма (2’) > 0 согласно критерию Сильвестра
Ч.т.д.

Пример : Найдем коэффициенты Гаусса явно заданной поверхности. г = г(А,т/), где г(А,т/) Е СЗ^В

X = X	х = и	дх	ду  — = 0	дг	дг
		ди	ди	ди	дх
У = У	о <	у = и	дх	ду 1	дг	дг
г = Цх,у)	^г = г(и, и)	—- = 0 ди	~Л~ = 1 ди	ди	ду

(дг)2
дхду'

§4.г. Площадь поверхности. Определения и основные формулы.

Определение < < 4-10. Пусть :

3 - задана своими параметрическими уравнениями (*); где х(и,и),у(и,и), г(и,и) Е С^(В), где В квадри-
руемое множество : В	и выполнены условия (**)(А, В, С - миноры матрицы Якоби отображения (*));

Разделим В на элементарные прямоугольники ди и ди прямыми, параллельными хОу, при этом 3 разобъ-
ется на элементарные площадки координатными линиями, соответствующими сетке на В. При этом
”неправильными” элементами будем пренебрегать, поскольку они сводятся к бесконечно малым высше-
го порядка. Рассмотрим 8г, заменим на плщадь прямоугольника, построенного на векторах гиЛи, гуЛи.

Площадь прямоугольника :

Иг = |[гпА'д,гг;А'с]|г = I [ги, гу\\гЛиЛщ

Составим сумму :

" = У!!!’ = У |[п<х]
г	г

Примем за определение площади нашей поверхности : 3 = 1пп!!; где X- параметр разбиения, к примеру

X = у/ Ли2 + Аг;2;

\[ги,гу]\диди

(4)

Преобразуем (4): • • •

(5)	5(5) = уу у/ЁС - ЁЧиди => (6)

И

(6)

8(з) = УУ У А2 + В2 + СЁсШъ

, где А, В, С -миноры.


Свойства поверхностного интеграла первого рода.

1)	Если функция /(М) интегрируема по поверхности 8, то /(М) ограничена на 8. Обратное вообще
говоря неверно.

2)	Если функция /(М) Е С(5), то /(М) интегрируема по 8.

3)	Линейность, (самостоятельно)

4)	Аддитивность, (самостоятельно)

5)

У Сдз = С • 5($)(8 - поверхность) => дз.

5

5

§4	.д. Сведение повторного интеграла 1-го рода к двойному интегралу.

Теорема < ^.1: (о сведении повторного интеграла первого рода к двойному интегралу.)

Пусть з задана своими параметрическими уравнениями (*); где х(и, и), у (и, и), г(т/, и) Е	где И Е

В* 2 * * 5 * * 8- квад рируемое множество и гапк[^(х)] = 2

Пусть: ф(М) Е С(з)

Тогда: имеет место формула (1):

(1)	/(ж, т/, г)дз = УУ /(гг(п, и),у(а, и), %(и, и)) • \/ЕС —

5	в

где, Е, С, Г - коэффициенты Гаусса. А также справедлива эквивалентная формула:

(1 ) УУ /(ж, у, Г)дз = УУ ф(х(а, и),у(а, и), %(и, и)) • зуг1А2 + В2 + С2диди',
3	В

где А, В, С - коэффициенты Якоби поверхности з (т.е. миноры матрицы Якоби отображения (*)^

4-1. >

Пример // гдз = (*)

8

х = и СО8 и

О < и < а

О < и < 2л.

з : < у = и 81п и

г = и.

Найдем коэффициенты Гаусса:

дх	ду	.	д%

—— =	СО8Г,	——	= 81ПГ,	——	= О,

ди	ди	ди

дх . ду	дг

—— изти, —=исози, —- = 1;
ди	ди	ди
Е = 1, С = и2 + 1, Г = 0

= тг2 [и • \/«2 + 1 + 1п(м + \/и2 + 1)]

а

= 7г[а • -\/а + 1 + 1п(а + у/ а2 +1)].

о
§5	. Поверхностный интеграл второго рода.

§5	.а. Основные определения и свойства.

а) Предуведомление:

1)	Если рассматривается замкнутая поверхность 8, то через $+ обозначается ее внешняя сторона, а
через 3- - внутренняя.

2)	Если рассматривается явно заданная поверхность г = г(ж,т/), то через з обозначается ее верхняя
сторона, а через з - нижняя.

3)	Во всем дальнейшем разложении все рассматривыемые поверхности предполагаются кусочноглад-
кими кривыми.

б)	Основные определения :

Изложение будем вести для случая поверхности, заданной явно уравнением г = г (ж, у) .

Пусть : поверхность задана явно уравнением г = г(ж,т/), г(ж,т/) Е	где В - проекция 8 на плоскость

хОу - есть квадрируемое множество.

Определение < < 5.1. Пусть:

1)	/(М) = /(ж, т/, г) определена на з

2)	т = т(В1,/?2,... , Вп) - произвольное разбиение Б на части кусочногладкими кривыми.

Тогда :

п

1 = 1

где

!з(Б{), если рассматривается верхняя сторона з
—з(Пг), если рассматривается нижняя сторона.

Е з^ где з^ та
суммой /(М) по 8.

5.1. > >

часть поверхности з, которая проектируется в Пг. !! называется интегральной

Замечание □ 5.1. Фактически в этом определении рассматриваются два выражения:

п

й = 5т(м) = у/(м)5(А)
г=1

п

и = х(м) = -У/(м)5(а)
г=1

5.1. □
Определение < < 5.2.

Если



не зависящий от Х,М1, то

функция /(М) называется интегрируемой по з, а 5 поверхностным инте-

гралом второго рода функции /(М) по з и обозначается:

3 = ф(М)дхду = УУ ф(х,у, г)дхду.

Замечание □ 5.2.

Фактически здесь определены два числа, а именно:

3 = Нт !! = УУ /(ж, у, г)дхду

И

2= Нп1Н = УУ ф(х,у, г)дхду.

8

5.2. □

Замечание □ 5.3.

Из определений 1 и 2 следует, что если существуют 5 и 3 то:

2 = -5

5.3. □

Замечание □ 5.4-

Аналогично определяются // ф(х, у, х)дхдх, ///(х,у, г)дудг.

5.4. □

Замечание □ 5.5.

Мы определили три вида поверхностных интегралов второго рода:

5

5

На самом деле эти три интеграла фигурируют совместно. В результате чего появляется поверхностный
интеграл второго рода общего вида :

Р(х, у, г) ду 3% + (Э(ж, т/, г) дг дх +	т/, г) дх ду,

где функции Р, (^, К определены на поверхности 8.	5.5. □

Замечание □ 5.6. Мы определили поверхностный интеграл второго рода для поверхностей, кото-
рые однозначно проектируются на ту или иную плоскость. Это определение может быть распространено
на случай кусочногладкой поверхности.
5.6.	□

в) Основные свойства :

Свойства излагаются дла случая, когда з : г = г^у)

1)	Если /(х, т/, г) интегрируема по 8, то /(ж, т/, г) ограничена на 8. Обратное неверно.

2)	Если /(х,т/,г) Е С(з), то /(ж,т/, г) интегрируема по 8.

3)	Линейность, (самостоятельно)

4)	Аддитивность, (самостоятельно)

5)

Ц С с1х с1у = С  8(0), Л С(1х(1у = -С-8(р),
5	5

где В - проекция 8 на хОу.

5')

5(В) = бх бу = — УУ бх бу
5	5

6) В случае, если 8 является цилиндрической с образующими параллельными оси Оз, то

УЦх, у, г) бх бу = О,
5

т.к. любая интегральная сумма равна 0, при V /, V т^Мг.

§5.6. Сведение поверхностного интеграла второго рода к двойному инте-
гралу.

Преамбула: Пусть :

1) 8 задана своим уравнением г = г(ж,т/),	г(ж,т/) Е С^’^(В), где В - проекция поверхности 8 на хОу -

квадрируемое множество.

2) /(ж, у, г) € С(з).

Рассмотрим: // /(х, у, г) <1х <1у. Для определенности рассмотрим:
5

Цу, г) Их <1у = Ит1х^озит1^=1/(хг, у1,	= (* *)

5

при этом (гс4,уг,^) € 81, т.е.

п

(*) = 11П1 ^2/(я;4,уй2:(а:4,Уг))8(А) (*)
г=1
<	у

Это и есть одна из возможных интегральных сумм для двойного интеграла

II /(х,У,х(х,уУ) Их ду
И

I
функция непрерывна
, где

/(х,у,х(х,у)) Нх йу

А (г) = тах <Иат

I	Л(т) —> о О л(т)—>о

А (г) = тах (Пат П,

Можем пользоваться любым из этих двух А

Теорема < 5.1: * (*)

( первая теорема о сведении поверхностного интеграла к двойному интегралу):
Пусть выполнены условия 1 и 2.

Тогда: имеют место формулы:

(*) Ц /(х,у,х) Лх Лу = II/(х,у,2(х,у)) Нх Ну,
в	и

- II /(х, у, х(х, у)) Нх д,у

8

Пример:

3 : х2 + у2 + г2 = 1.

3+

82

г

= \/1 - ж2 - т/2

г

= -\/1 - х2 - у2

82

— х2 — у2 дх ду

1 — х2 — у2) дх ду = 2 •

— х2 — у2 дх ду =

- %2дг = 2л(-г2)3//2

1

2/3 = 4/Зтг.

о

Теорема < 5.2: (Вторая теорема о сведении поверхностного интеграла второго рода к двойному):
Пусть:
1) Поверхность в задана своими параметрическими уравнениями (*)

х = х(и, и)
< у = у(и,и)

г = г(и, и),

где х(а,и),у(а,и), г(а,и) Е	где ТсК2 - квадрируемое множество,

 дх

2) гапк[2\ =

ди
дх

ду
ди
ду
ди

дг~
ди
дг
ди-

3) Р(х,у, г),(^(х,у, г),К(х,у, г) Е С(з) — функции непрерывны на поверхности.

Тогда: имеет место формула:

Р(х, у, г) ду дг + С}(х, у, г) дг дх + К(х, у, г) дх ду =

= ± / / [Р(х(а, и), у(и, и), г(и, и)) • А + (^(х(и, и), у(и, и), г(и, и)) • В + В(х(и, и), у(и, и), г(и, и)) • С] ди ди,

где А, В, С - коэффициенты Якоби поверхности з (т.е. миноры матрицы Якоби, взятые в естественном
порядке, при этом выбор знака + или - связан с выбором стороны поверхности з в интеграле, стоящем
в левой части. В случае замкнутой поверхности выбор знака + будет иметь место, когда правой
ориентации на плоскости ии соответствует выбор внешней нормали з.) 5.2. >

Пример:

т = //‘Е = м

х = а сое и сое и

у = Ь 8ш и сое и

г = с 8ш и

< 7г/2, 0 < и < л/2

О < и

ду

Ь сое и сое и	О

&81и?/81П'Г с сов и

= Ьс сов и сов2 и.

Ъс сое и сое2 и

аа сова и сова и

7Г / 2

Л Л ЬС / 1-се
ди ди = — / сое и ди

аа У
о

и ди
= — • *В(1/2,1 - а/2) • *В(1/2,3/2 - а/2) =

( Г1 -а/2 > О

ЦЗ/2-а/2 >0

Ъс Г(1/2) • Г(1 — 1/2)

Г(3/2 —а/2)

Г(1/2) • Г(3/2 - а/2)
Г(3/2 - а/2)

тгЪс Г(1 — 1/2)	тгЪс

’ (1 - 1/2) -Г(1 - 1/2) “ 4а«(1 - 1/2)’

где а < 2.

Упражнение

§5.в. Формула Гаусса.

Теорема < 5.3: (Формула Гаусса):

Пусть:

1)	Цилиндрический брус V ограничен снизу поверхностью 51 : г = %Цх,у), сверху 32 : г = г2(ж,7/);
гдегДх,у) и ^(х^у) Е	такие, что %Цх,у) < ^2(^,7/) V (х,у) Е ТД - прекция бруса на хОу, а

с боков он ограничен цилиндрической поверхностью 33, образующие которой параллельны 0%, а напра-
вляющей служит кусочногладкая замкнутая кривая, ограничивающая В,

2)	функция В(х, у, г), ^(х, у, г) Е С(У), где V : V С з, з : 51 С 82 С 83

Тогда: имеет место формула (1):

(1)

—— дх ду дг
о%

5.3. >

Доказательство □ <	??. Рассмотрим:

л л

/ / / дх ду дг

Согласно первой теореме о замене тройного интеграла к повторному =>:

г2(х,у)
Г

/ дх

г2(х,у)

дх ду =

К(х, у, %2(х, у)) дх ду —	В{(х, у, хЦх, у)) = применим первую теорему о сведении поверхностного

в	в

интеграла второго рода к двойному

УУ К(х, у, г) дх ду + К(х, у, г) дх ду-\-
52	5Т


В(х, у, г) дх ду = (Ц) К(х, у, г) дх ду,
гз	з

О (согл. свойству 6).

Ч.т.д. Г? > □.

Замечание □ 5.7.

Аналогично выводятся формулы (2) и (3):

=	-^(х,у,г) ах ау аг

з+

/// с1х с1у с1г

5.7.	□

В случае если область V удовлетворяет условию, при котором справедливы

Замечание □ 5.8.

формулы (1), (2), (3), то можно записать обобщенную формулу:



дР дС) дК\ 1 1 1

т— + т— + щ- дх ду дг
ох оу ог)

5.8.	□

Замечание □ 5.9. Мы доказали формулу Гаусса для областей специального вида, однако можно
доказать, что эта формула справедлива для произвольной области V, ограниченной замкнутой кусочно-
гладкой поверхностью 8.	5.9. □

Следствие 1 из VI.5.3.	(Выражение для объема тела через поверхностный интеграл) :

Пусть: кубируемое тело V ограничено замкнутой кусочногладкой поверхностью 8.
Тогда: объем этого тела

дх ду дг

V

бесконечным множеством способов может быть записан при помощи поверхностного интеграла по по-
верхности 8. 1 из VI.5.3.

Например:
§5.г. Связь между поверхностными интегралами первого и второго родов.

Пусть:

1)	поверхность а : % = г(ж,т/), где г(ж,т/) Е С(В),где В проекция поверхности в на плоскость хОу
есть квадрируемое множество,

2)	Ям) =

Напомним, что ранее было доказано, что площадь 8 (в) поверхности з вычисляется по формуле

Г Г Нх Ну

8(в) = / / ---

77 СО87

в

где у — угол, образованный нормалью 7? с осью 0%.

3)	г = т($1,52,.. • , вп) - произвольное разбиение 5, И, - проекция Зг на плоскость хОу.

Рассмотрим поверхностный интеграл 2-го рода

[[ Xм)	

Заметим, что он существует т.к. поверхность обладает нужной степенью гладкости => он может быть
вычислен с соответствующим выбором промежуточных точек.

Их Ну

I СО8 7|

I СО87 если М Е 5+

I СО8 7| = <

I СО87 если М Е 5_

теорема о среднем = -----• 5(ВВ

СО8 7г



где 7 - угол образуемый нормалью в некоторой промежуточной точке Е 8, =>	= соеу^ мы

можем:

5(5г) = / / /(М) Нх Ну = Пт Зт(Мг) = спец, выбор = Пт 3Т(Мг) = Пт /(^г) • в(Бг) =

77	А(т)^О	А(т)^О	А(т)^О .

5	г=1

Пт /(А/,) • СОЗ 7 =	/(М) • соз уНв =	/(х, у, г) • соеуб/з => выведена формула (1)

/(х, у, г) • соеуб/з

5
Аналогично устанавливаем формулу (2):

(2)	УУ /(ж, у, г) Ах д,у = Ц Цх, у, г) • созуНз

Из (1) и (2) => теорема:

Теорема < 5.4: (о связи поверхностных интегралов первого и второго родов.)

Пусть: 1)повехностъ в задана своим уравнением в : г = г(х,у), где г(х,у) е	где В - проекция

в на хОу - квадрируемое множество

2)ЦМ) е С(з).

Тогда : справедлива формула (3):

(3)	УУ /(ж, у, г) <1х Ну =	/(х,у,г)'СО5у<1з,

где р - угол, образуемый нормалью поверхности в с осью Ог, а поверхность в в левой части формулы
(3) берется по любой стороне поверхности в. 5.4- >

Замечание □ 5.10. Аналогично доказывается при соответствущих предположениях формула (4):

Iу, г) • сой (Здв

8

а также формула (5):

(5) УУ /(ж, у, г) Ну Аг =

• сой адв

где се,/3,7 углы, образованные нормалью поверхности с осями Ог, Оу, Ох. 5.10. □
Замечание □ 5.11.

($) Р ду дг + О дг дх + К дх ду = (Р • сое а + (^ • сое /3 + К • сое у^дз

Причем формула (6) справедлива для любой кусочногладкой двухсторонней поверхности 8 при условиях,
что Р.С4.В Е С (в),причем се, /3, у углы, образованные нормалью к 8 с осями координат, а поверхности 8 в
левой части формулы (6) берется по любой стороне поверхности 8.	5.11. □

Замечание □ 5.12. Другая запись формулы Гаусса

Рассмотрим:

(Ц) Р • сое а + (^ • сое /3 + К • сое 7 = ( из (6)) = (Ц) Р ду дг + О дг дх + К дх ду = (из формулы Гаусса) =
3	5+

/VГ (дР дб] дП\
111 \дх + ду + дг )

V

(Р • СО8 СЕ + С4 • СО8 (3 Р К' СО8
3

дх ду дг. Получим:

ЭР д0_ дК
дх + ду + дг

в предположение существует область V, ограниченная кусочногладкой замкнутой поверхностью 8.Функции
НС.Л.у.у.у ЕСТ) где Т =	5.12. □
§5.д. Векторная запись формулы Гаусса.

Пусть:

1)	имеется V Е М3 - область, ограниченная кусочногладкой поверхностью 8;

2)	в V задано векторное поле А(т) = А(х,т/,г) = (Ах Ау Аг) где скалярные функции Ах Ау Аг
непрерывны со своими частными производными.

Определение < < 5.3. Выражение

(А, п)дз = ЦП Апдз

(где п = (сое а, сое/3, сое у) - единичный вектор нормали к поверхности) - поток векторного поля А
через поверхность з. 5.3. > >

Определение < < 5.4-

дАх дАу дАг 7. -	_	.	_

—----1— ---1—-— = аги А — дивергенция векторного поля А, скалярная функция,

дх ду дг

5.4- > >

Из определений 1, 2 и формулы (7) =>

(А, п)дз = дйуАдУ — векторная запись формулы Гаусса.

Пример: Найти поток вектора А = (х3у3г3) через поверхность з : х2 + у2 + г2 = 1 из формулы Гаусса.

(А, п)дз = %	(ж2 + У2 + ^2) дх ду дг =

В сферических координатах:

2тт 7г/2	81П<5

7г/2

<2<7г = 6л/5	8Ш5 (2 СО8 = 7г/6 8Ш6 (2

О

7Г / 2

§5.е. Критерий равенства нулю интеграла по замкнутой поверхности вто-
рого рода.

Определение < < 5.5. Область V С М3 называется пространственно односвязной если этой
области вместе с любой замкнутой поверхностью существущей в этой области существует также
внутренность этой поверхности, (область без дыр) 5.5. > >

Теорема < 5.5: Пусть:
1)	V — пространственно-односвязная область;

2)	РМ%,®%еС(У).

Тогда: чтобы интеграл от вектор-функции {Р, В} по любой замкнутой кусочногладкой поверхно-
сти в прнадлежащей нашей области Vравнялся нулю, необходимо и достаточно, чтобы сумма частных
производных функций Р, (д и К равнялась нулю, т.е.:

дх + дх дх + К дх ду = О О —---1- —--1- —— = О

ох оу о%

(Ч8,У, \/(х,у,х) е V)

5.5. >

Доказательство □ <	VI.5.5.

Доказательство необходимости опускаем.

Достаточность. Дано:

ЭР д0_ дК
дх + ду + дх

\/(ж, у.

Р ду дх Р дх дх Р К дх ду =

дР д<2	дК \ 7 7 7

+ щ- + щ- дх ду дх
дх	ду	дх /

О

где В - внутренность поверхности 8 =>( согласно условию односвязности) С V =>= 0 Ч.т.д. VI.5.5 > □.

Пример, показывающий, что условие односвязности области существенно:

9	9	9 Г Г х ди дх + и дх дх + х дх ди . А 9	9	9

з : х2 + у2 + г2 = 1	/ /	У 2 У 2	2--У- V : 1/4 < х2 + у2 + г2 < 4

7 7	(ж2 + ул + г2)3/2

5+

Все условия кроме односвязности выполнены.

х	дР (х2 + у2 + г2)3/2 -р х • 3/2(х2 + у2 + г2)1/2 • 2х

(х2 + у2 + г2)3/2 ’ дх	(х2у2г2)3

х2 + у2 + г2 — За?2 + х2 + у2 + г2 — Зг2
(х2 Ру2 + г2)5/2

дР д(^	дК	х2 Ру2 + г2 — Зж2 + х2 + у2 + г2 — Зу2

дх + ду + д%	(х2 Ру2 Р У2)3/2
С одной стороны сНу = 0.

х с1у (1г + у (1г с1х + г с1х с1у
(х2 + у2 + г2)3/2

X = СО8 и СО8 V

< У = 8Ш и СО8 V
г = етгл

2 ।	2 ।	2	1

з : х + у + г = 1

— 8Ш и СО8 V СО8 и СО8 V 0

— СО8 и 8Ш V — 8Ш и 8Ш V СО8 V

А = СО8 и СО82 27, В = 8Ш и СО82 V, С = 8Ш2 и 8Ш V СО8 V + СО82 и 8Ш V СО8 V = 8Ш V СО8 V

(1г + у (1г с1х + г с1х с1у

? и СО83 V + 8Ш2 и СО83 V + . . . ) =

в

8

в

27Г тг/2

у* с1и у* созийи = 4л ф 0.

о	-7Г/2

Упражнение < □ 5.1.

ется необходимым. 5.1.

оказать, что условие пространственной односвязности в области V не явля-

з : х2 у2 г2 = 1 У = 1/4:<х2-\-у2-\-г2<4:

Г Г у — г 1 1 г — х 1 1 х — у

/ /	2 । 2 । 2	+ 2 । 2 । 2	+ 2 । 2 । 2	^У'

7 7 хл + ул + гл	хл + ул + гл	хл + ул + гл

Зх

Любой из этих вопросов заменяется формулой Гаусса. (4 и 5 пункт §6.)
Приложение 1. Вопросы и задачи к коллоквиуму.

Вопросы к коллоквиуму состоят из трёх частей.

Первые две части действительно образуют вопросы к коллоквиуму.

Третья часть — это вопросы к зачёту.

Все три части, взятые вместе — это вопросы к экзамену.

§1. Вопросы к коллоквиуму. Часть 1.

1)	Доказать критерий Коши равномерной сходимости функциональной последовательности. Вывести
из него критерий Коши равномерной сходимости функционального ряда. Доказать, что если функ-
циональный ряд 52 ип(х) сходится равномерно на множестве В, и если функция <р(х) — ограничена
п=1

на множестве В, т.е. |<^(#)| < М \/х 6 В, то функциональный ряд 52	сходится равно-

п=1

мерно на Е.

2)	Вывести необходимое условие равномерной сходимости функционального ряда.

На примере 52	, т Е В показать, что это условие является не достаточным.

п=1 % П

3)	Вывести признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда.

+оо (_ПП+1

Применим ли этот признак к ряду 52 —5----> хЕ1?

п=1 % П

Покажите, что этот ряд сходится равномерно на множестве Е = В.

4)	Сформулируйте признак Диришле равномерной сходимости функциональных рядов.

ОО ПХ

Докажите, что функциональный ряд 52 ----- сходится равномерно на множестве Е =

п=1 П

Применим ли к этому ряду признак Вейерштрасса на множестве Е7

5)	Докажите теорему о непрерывности предельной функции функциональной последовательности.
Покажите, что условие равномерной сходимости в этой теореме существенно.

Сформулируйте аналогичную теорему для суммы функционального ряда.

6)	Является ли условие равномерной сходимости на множестве Е необходимым для непрерывности
суммы функционального ряда? Рассмотрите пример

52 [пхе~пх — (п —	, Е = [0,1].

п=1

7Г 37Г
2’ Т
7)	Докажите теорему о почленном интегрировани функционального ряда.

00 Г	2	21

На примере ряда 52 \пхе~пх — (п — 1)хе~^п~^х , х Е [0,1] покажите, что условие равномерной
п=1 I-	-I

сходимости в этой теореме является существенным.

8)	Докажите теорему о почленном интегрировани функционального ряда.

На примере функционального ряда 52 \пхе~пх — (п —	, х Е [0,1] покажите, что условие

п=1

равномерной сходимости в этой теореме не является необходимым.

9)	Докажите теорему о почленном дифференцировании функционального ряда.

Сформулируйте аналогичную теорему для последовательностей.

10)	Докажите первую теорему Абеля о степенных рядах.

Дайте определение радиуса сходимости степенного ряда.

11)	Дайте определение радиуса сходимости степенного ряда.

Докажите теорему о радиусе сходимости.

Приведите пример степенного ряда, у которого:

а) К = 0, б) К = сю, в) К = 3.

12)	Выведите формулы для радиуса сходимости степенного ряда 52 Vй •
п=1

а)	сходящегося при х =

б)	расходящегося при х =

в)	сходящегося при х = К и расходящегося при х = —Я;

г)	расходящегося при х = К и сходящегося при х =ц.

13)	Дайте определение верхнего предела последовательности.

Сформулируйте теорему Коши-Адамара.

Рассмотрите пример 52 [2 + (—1)п]п • хп.

п=1

14)	Докажите теоремы о равномерной сходимости степенного ряда и о непрерывности суммы степен-
ного ряда.

Приведите пример степенного ряда:

а)	равномерно сходящегося в (—Я, Я);

б)	неравномерно сходящегося в (—К, К).

15)	Докажите теорему о почленном интегрировании степенного ряда.

Примените её к разложению: а) 1п(1 + ж), б) агс!§ж.

16)	Сформулируйте вторую теорему Абеля о степенных рядах. Используя эту теорему, установите
справедливость разложения:

а)	1п(1 + х) при х Е (—1; 1];

б)	агс1§ж при х Е [—1; 1].

17)	Докажите теорему о почленном дифференцировании степенного ряда.

18)	Дайте определение ряда Тейлора и аналитической функции. Докажите теорему о ряде Тейлора.
19)	Приведите пример бесконечно дифференцируемой функции, не являющейся аналитической.

20)	Докажите теорему о достаточном условии разложения бесконечно дифференцируемой функции в
ряд Тейлора.

21)	Разложите в ряд Тейлора еж, зшж, сое х.

22)	Разложите в ряд Тейлора ей х, ей х.

23)	Разложите в ряд Тейлора (1 + ж)а, а 0, а п С И.

24)	Исследуйте поведение биномиального ряда на концах интервала сходимости.

25)	Разложите в ряд Тейлора агсетх, агсейж.

Исследовать поведение этих степенных рядов на концах интервала сходимости.

26)	Разложите в ряд Тейлора полный эллиптический интеграл 1-го рода

7Г/2

К(к) = [	, 0 < к < 1.

0	\/1 —	81П2 I

27)	Разложите в ряд Тейлора полный эллиптический интеграл 2-го рода

7Г/2

Е(&) =	\/1 — А:2 зт2 I (11 , 0 < к < 1.

о

28)	Дайте определение ортогональной системы функций. Докажите ортогональность тригонометриче-
ской системы функций на [—тг; 7г]. Является ли эта система ортогональной на [0; тг]?

29)	Дайте определение тригонометрического полинома и тригонометрического ряда. Покажите, что не
всякая непрерывная 2тг-периодическая функция может быть представлена в виде тригонометриче-
ского полинома.

30)	Дайте определение ряда Фурье функции, интегрируемой на [—тг; 7г]. Докажите теорему: если три-
гонометрический ряд сходится равномерно на [—тг;тг], то он является рядом Фурье своей суммы.

31)	Выведите формулы для коэффициентов Фурье чётной и нечётной функций.
Разложите /(ж) = х на [0; тг] в ряд по косинусам.

32)	Выведите комплексную форму записи ряда Фурье.

33)	Выведите формулу ряда Фурье на отрезке [—/, I] и соответствующую ей комплексную форму записи.

34)	Выведите подготовительное тождество Бесселя для Ап = А(/;ТП), где /(ж) — интегрируема на
[—тг;тг], а Тп(х) — тригонометрический полином.

35)	Докажите теорему об экстремальном свойстве коэффициентов Фурье и установите тождество Бес-
селя.

36)	Выведите неравенство Бесселя. Докажите что ряд, составленный из квадратов коэффициентов Фу-
рье, сходится.
37)	Докажите лемму Римана. Приведите пример всюду сходящегося тригонометрического ряда, не явля-
ющегося рядом Фурье никакой интегрируемой функции.

38)	Дайте определения кусочно-непрерывной и кусочно непрерывно-дифференцируемой функции. До-
кажите теорему о почленном дифференцировании ряда Фурье.

39)	Выведите оценку коэффициентов Фурье.

40)	Докажите, что если /(х) Е Ц-^], /(—тг) = /(тг), /(ж) — кусочно непрерывно-дифференцируема на
[—тг;тг], то ряды 52 \ап\, 52 \Ьп\ сходятся. (Здесь ап и Ьп — коэффициенты Фурье.)
Выведите признак равномерной сходимости ряда Фурье.

41)	Сформулируйте свойство полноты тригонометрической системы функций. Выведите следствие о
совпадении двух непрерывных функций, имеющих одни и те же коэффициенты Фурье.

42)	Докажите теорему о равномерной сходимости ряда Фурье.

Докажите для функции /(х) = |ж|, что ряд Фурье этой функции сходится равномерно на [—тг; тг] к
этой функции.

Докажите аналогичное утверждение для функции /(х) = х2.

Для этих двух рядов Фурье нарисуйте графики их сумм на всей оси.

43)	Докажите теорему о почленном интегрировании ряда Фурье.

44)	Сформулируйте теорему о почленном интегрировании ряда Фурье. Выведите из этой теоремы свой-
ство полноты тригонометрической системы.

45)	Сформулируйте неравенство Бесселя.

Выведите равенство Парсеваля.

46)	Сформулируйте равенство Парсеваля.

Примените его к /(х) = |ж|, х Е [—тг; тг].

со	оо 1	^4

Вьаелите формулы	= ^. Е

47)	Сформулируйте теорему Диришле о локальной сходимости ряда Фурье.

докажите теорему о равномерной сходимости ряда Фурье.

48)	Дайте определения односторонних предельных производных.

Сформулируйте теорему Диришле о локальной сходимости ряда Фурье.

Приведите пример неравномерно сходящегося ряда Фурье.
Приложение 2. Методичка для преподавателей, ведущих
семинары.

§1	. Предуведомление.

§2	. Варианты контрольных работ.
Предметный указатель, список примеров, выходные данные.
Предметный указатель.

Теорема

Абеля
первая, 29

критерий

сходимости
равномерной,11

определение
сходимости
равномерной, 7
и. в

138

. КАМЕНЕВ

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ. СЕМЕСТР 3.

Глава IX. Предметный указатель, список примеров, выходные данные.
Выходные данные.

А это, батенька, разбойники:

Компьютерный набор в пакете 1М©Х2е :

Бим К.Г. ( КСВпп ©)

Киржнеренко М.А. ( Мае1егМ.А. ©)

Стручков М.А. ( 81.М1с11ае1 ©)

Просто редактор и Т^Х-нический редактор: Арсентьев Д.М. ( БМАг8еп1еу ©)

Мы благодарны Игорю Витальевичу Каменеву, прочитавшему эти стильные лекции.

А если кто-то чего-то не понял, то его надо посадить в машину времени и отправить в 1-ый семестр.

Вот так вот. Вот таким вот образом.

Мы благодарны Ольге Головчанской, Александру Кравченко, Георгию Герману и Дмитрию Голубину,
чьи конспекты были использованы в процессе подготовки этих лекций.

Мы благодарны заведующему кафедрой математического анализа МГИЭМ

Борису Авенировичу Амосову.

Борис Авенирович сделал три добрых дела

1)	предоставил макропакет МйсТеХ

2)	предоставил набор русских рЛэ-шрифтов;

3)	указал на сКч^рсИ-конвертер сМрсИт и научил пользоваться им.

Без него РБЕ-варианта этих лекций не существовало бы.