Для
преподавателей
АЛСКВРА
ПОУРОЧНЫЕ ПЛАНЫ
по учебнику Ш. А. Алимова, Ю. М. Колягина,
Ю. В. Сидорова, Н. Е. Федоровой, М. И. Шабунина
Издательство «Учитель»
АЛГЕБРА
И НАЧАЛА АНАЛИЗА
10 КЛАСС
ПОУРОЧНЫЕ ПЛАНЫ
по учебнику Ш. А. Алимова,
Ю. М. Колягина, Ю. В. Сидорова,
Н. Е. Федоровой, М. И. Шабунина
II полугодие
Автор-составитель Г. И. Григорьева
Волгоград
УДК 371.214.1
ББК 74.262.21
Л45
Автор-составитель Г. И. Григорьева
Алгебра и начала анализа. 10 класс: поурочные планы
Л45 по учебнику 1L1. Л. Алимова и др. II полугодие / авт.-сост.
Г. И. Григорьева. - Волгоград: Учитель, 2008. - 205 с.
ISBN 978-5-7057-1356-1
В пособии представлены поурочные планы по курсу «Л.-пебра и начала анализа»
(10 класс), составленные в соответствии с программой по математике Министерства
образования Р<1> (по учебник) IJI. Л. Алимова для 10-11 классов. - М.: Просвеще-
ние, 2005). Наряду с кратким изложением теоретического материала даются практи-
ческие задания (базовые и повышенного уровня), способствующие лучшему усвое-
нию темы урока. Кроме того, дополнительно предлагаются тесты, диктанты,
тренажеры н нр.
Предназначено учителям-предметникам старших классов общеобразовательных
школ в помощь при подготовке и проведении уроков.
УДК 371.214.1
ББК 74.262.21
ISBN 978-5-7057-1356-1
© Григорьева Г. И., автор-составитель
© Издательство «Учитель»
©Оформление. Издательство «Учитель»
ГЛАВА V. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ
§ 21. РАДИАННАЯ МЕРА УГЛА
Знания и навыки учащихся
Знать, какой угол называется углом в 1 радиан, знать формулы
перевода градусной меры в радианную и наоборот; уметь пользо-
ваться этими формулами, вычислять длину дуги и площадь круго-
вого сектора.
Урок 46
I. Организационный момент.
II. Теоретическая часть.
1.	Центральный угол, опирающийся на дугу, длина которой
равна радиусу окружности, называется углом в 1 радиан.
\. RXd
2.	Если угол содержит а радиан, то его градусная мера равна
Если угол содержит а градусов, то его радианная мера равна
о 71
а0 =-----а рад
180
3.	Таблица наиболее часто встречающихся углов.
Град	0°	30°	45°	60°	90°	180°	270°	360°
Рад	0	л 6	л 4	£ I СП	л	л	Зл т	2л
4.	Длина дуги окружности £ = a R,
где R - радиус окружности,
а - угол в а радиан стягивает дугу длиной £.
R2a
Площадь кругового сектора S = ——, где 0 < a < л.
III.	Практическая часть.
№407(1,3)-на доске по очереди.
№407(5)-под диктовку.
Ответ: 1)	3)	5)	.
3
№408(1,3)-на доске по очереди.
№408 (5)-за доской.
Ответ: 1) 30°; 3) 135°; 5)~175°.
№ 409 -устно.
Ответ: а) 60°; 60°; 60°;—; —; —:
3 3 3
б)	90°: 45°; 45°;£ЛЛ;
2 4 4
в)	90°;^;
г)	120°;
№410-на доске по желанию. Ответ: 0,4м.
№413 -за дос кой. Ответ: 2 рад.
№414-самостоятельно. Ответ:
Градусы	0,5	36	159	108	150	54	143	103
Радианы	л 360	л 5	53 w 60	Зл 5	а	-3-7Г 10	2,5	1,8
IV.	Домашнее задание: № 407 (2,4,6), № 408 (2,4,6), № 411, № 412.
V.	Итог урока.
Ответить на в о п р о с ы:
1.	Какой угол называется углом в 1 радиан?
2.	Сколько градусов содержится в 1 рад?
3.	Запишите формулу перевода градусной меры в радианную.
4.	Запишите формулу перевода радианной меры в градусную.
VI. Дополнительное задание.
На отметку № 415.
Ответ:
Угол, 0	30	36	29	229	115	57
Угол, рад	я 6	л 5	1_ 2	4	2	1
Радиус, см	2	10 я	10	5	5	10
Длина дуги, см	я i	2	5	20	10	10
Площадь сектора	я 3	10 я	25	50	25	50
4
§ 22. ПОВОРОТ ТОЧКИ ВОКРУГ НАЧАЛА КООРДИНАТ
Знания и навыки учащихся
Знать понятия «единичная окружность», «поворот точки вокруг
начала координат»; уметь находить координаты точки единичной
окружности, полученной поворотом точки Р(1; 0) на заданный
угол, находить углы поворота точки Р( 1; 0), чтобы получить точку
с заданными координатами.
Урок 47
I. Организационный момент.
II. Устная работа (работа с сигнальными карточками).
1.	Найдите градусную меру угла, равного
2.	Найдите радианную меру угла, равного 90°, 180°, 45°, 60°, 30°.
3.	Углы треугольника пропорциональны числам 2, 3 и 4. Найти
углы треугольника в градусах и радианах.
4.	Конец минутной стрелки часов движется по окружности ра-
диуса 2 см. Какой путь проходит конец этой стрелки за 20 мин?
Ответ: 1)45°, 90°, 180°, 360°, 18°;
Я _. ТС ТС ТС.
' 2 ’ 4 ’ 3 ’ 6 ’
3)	40°, 60°, 80°; 2* . л 4я.
у	’9’3’9’
4)	у см.
Ш. Теоретическая часть.
1.	Единичная окружность - это окружность в координатной
плоскости радиуса I с центром в начале координат.
2.	Рассмотрим точку Р(1; 0) единичной окружности.
Пусть а > 0. Точка Р, двигаясь по единичной окружности про-
тив часовой стрелки, пройдет путь длиной а и попадет в точку М.
Говорят, что точка М получена из точки Р поворотом вокруг
начала координат на угол а радиан (или градусов).
5
Пусть а < 0. В этом случае поворот на угол а радиан означает,
что движение совершалось по часовой стрелке и точка прошла путь
длиной |а|.
3.	Поворот на 0 радиан означает, что точка остается на месте.
Если а = оо + 2лк, где к - целое число, то при повороте на угол
а получается та же самая точка, что при повороте на угол oq.
IV.	Практическая часть.
1.	Разобрать решение задачи 1 из текста параграфа.
Выполнить под диктовку № 416 (1, 3, 5), № 420 (3, 5, 6),
№421 (1,3), №422 (1,2).
Ответы : № 416 1) (1; 0); 3) (-1; 0); 5)
№ 420 3) (0; 1); 5) (-1; 0); 6) (0; 1);
№421 1)(0;-1);3)(0;-1);
( л/2	л/2
№422 1)(0;-1);2)^-^-;-^- .
2.	На доске по очереди (работа с цветными мелками)
№417-419.
3.	Разобрать решение задачи 2 из текста параграфа.
Выполнить № 423 самостоятельно по вариантам (4 варианта).
Ответ: 1) 2лк; 2) л + 2лк; 3)у + 2лк; 4)--j + 2лк, где к е Z.
4.	Класс делится на три группы - по рядам.
Первый ряд выполняет № 426 (1), 427 (1), 428 (1); второй ряд -
№ 426 (2), 427 (2), 428 (2); третий ряд - № 426 (3), 427 (3), 428 (3).
В процессе решения любой ученик может получить консультацию
учителя или товарища по группе.
6
№427	(0;—1)	(0; 1)	(0; 1)
л	3	2
№ 428	— + 2лк	—л + 2лк	—л + 2лк, где к е Z.
4	4	3
V.	Домашнее задание: № 416 (2, 4, 6), № 420 (2), № 421 (2),
№ 422 (3), № 428 (4), тренажер № 8.
VI.	Итог урока. Задание с самопроверкой. Построить на еди-
ничной окружности точки, полученные из точки Р (1; 0) поворотом
на угол %, 45°, 60°, &, 180°, 270°, 2л, -90°; -л.
6	2
Проверить свое решение, рассмотрев рис. 51 из текста параграфа.
§ 23. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИНУСА,
КОСИНУСА И ТАНГЕНСА УГЛА
Знания и навыки учащихся
Знать определения синуса, косинуса и тангенса угла; уметь на-
ходить значения синуса, косинуса и тангенса по таблицам
В. М. Брадиса, с помощью микрокалькулятора, а также табличные
значения; уметь решать уравнения sin х = 0, sin х = 1, sin х = -1,
cos х = 0, cos х = 1, cos х = -1.
Урок 48
I. Организационный момент.
II. Диктант.
Вариант I	Вариант П
1	2
1. Найдите координаты точки единичной окружности, получен- ной поворотом точки (1; 0) на угол	
£; -Зл; 180°;-360° 2	-я;^с;-90°; 270° 2
2. Запишите все углы, на которые нужно повернуть точку (1; 0), чтобы получить точку	
( Л I"! а)(-1;0);б) -^4 k 2	2 7	Г] а)(0;-1);б) \2	2 7
3. Найдите координаты точки, полученной поворотом точки (1; 0) на угол	
-^ + 2лк,ке Z	л + 2лк, к е Z
7
Окончание табл.
1	2
4. Определите четверть, в которой расположена точка, получен- ная поворотом точки (1; 0) на угол	
; -190° 3	3	— л	; 380° 4	3
Ответы:
Вариант I	Вариант II
1. (0; !);(-!; 0);(-1; 0); (1;0) 2. а) л + 2лк, к е Z; б) -^ + 2лк, к е Z 3.(0; 1) 4. II; I; II	1.	(-1; 0); (0;—1); (0;-1); (0;-1) 2.	а) - у + 2лк, к е Z; б) -у+2лк, к е Z 3.	(-1; 0) 4.	Ill; III; I
Ш. Теоретическая часть.
1. Записать в тетрадь по теории определения, решения про-
стейших тригонометрических уравнений, а также перенести табли-
цу значений тригонометрических функций, которая заполняется в
течение урока.
Синусом угла а называется ордината точки, полученной пово-
ротом точки Р (1; 0) вокруг начала координат на угол а; косину-
сом - абсцисса этой точки. Тангенсом угла а называется отноше-
ние синуса угла а к его косинусу tg а Котангенс угла а
определяется по формуле ctga = c?sa .
Можно предложить учащимся вывести определения самостоя-
тельно. Для этого рассмотрим на рисунке треугольник ОРА.
ДОРА - прямоугольный. Из курса геометрии вспомним определе-
ние синуса острого угла прямоугольного треугольника как отно-
шение противолежащего катета к гипотенузе:
8
Так как АР есть ордината точки Р, ОР - радиус единичной ок-
ружности, то есть OP = 1, то sina = у и т. д.
2. На доске учитель чертит большую окружность или вывеши-
вает плакат:
Рассмотрим точку Ря- она получена поворотом точки Р (1; 0)
6
вокруг начала координат на угол
л,.
6 ’
ее координаты
чит, sin v = 4’» a cos v =	
6	2	6	2
Задания:
1) На окружности отмечены еще 12 точек. Определить угол по-
ворота а для каждой точки, если: а) a > 0; б) a < 0.
Ответ: а) 1.	2.	3. —; 4.	5. к: 6. —; 7. —; 8.
2	3	4	6	’	6	4
4л . q Зл . । q 5л . 11 7л . 1 о 11л
3 ’ ’ 2 ’	3 ’ ’ 4 ’ ’6'
б) 12.	11.	10. -у;9. -^;8. -^;7. -^;6. "yi
S -Я- 4 - 7л • Т	_ 4л . 1 _3л
3. Л, 4.	6 ,4.	4 ,2.	3 , 1.	2 .
9
2) Заполнить таблицу значений sina и cosa для всех 16 точек,
отмеченных на окружности.
рад	0	К I >£>	п 7	n 3	n 2	2л 3	3л 4	5л 6	n	7л 6	5л 4	4л 3	Зл 2	5л 3	7л 4	Ил 6
пад	0	30	45	60	90	120	135	150	180	210	225	240	270	300	315	330
sina	0	2	2	41 2	1	41 2	41 2	1 2	0	2	2	4- 2	-1	2	2	_1 2
cosa	1	£ 2	V2 2	1 2	0	2	_42 2	_ 7з 2	-1	_4 2	_4 2	2	0	1 2	41 2	41 2
tga	0	1 л/з	1	41	-	-41	-1	41	0	1 41	1	41	-	- 41	-1	
ctga	-	41	1	i 41	0	i ~41	-1	-41	-	41	1	1 41	0	_ J. J;	-1	-41
Затем, используя формулы tga = sina и ctga = c?sa , заполним
cosa	sina
значения tga и ctga. По желанию учителя для экономии времени в клас-
се рассматриваются два-три значения угла а (например, -у; 4г ),
6 2	3
остальное заполняется дома с последующей проверкой в классе.
3. Разобрать задачу 3 из параграфа.
Решить уравнение cosx = 0, cosx = 1, sinx = 1 самостоятельно,
затем проверить решение - задачи 4 и 5 из параграфа.
IV. Практическая часть.
№430-у ст но (по таблице).
№ 434 (1, 3)-под диктовку.
Ответ: 1) 1,5; 3) -1.
№ 436 -устно (с рассуждением).
Ответ: 1) да; 2) да; 3) нет; 4) нет.
№438-работа в группах.
Ответ: 1)-|;2) 2|; 3) |; 4) 1^.
10
№439(5)-учитель показывает решение на доске:
sin( + 6л) = 1
+ 6л =77 + 2лк, к е Z
2	2
4 =77- 6л + 2лк, к е Z
2 2
х = л + 2лк, к е Z
О т в е т: л + 2лк, к g Z.
№439 (6)-самостоятельно.
„	4Я 2лк ,	„
Ответ: - -у- + _, к € Z.
V	. Домашнее задание: № 434 (2, 4), № 437 (1,2), № 439 (1,2,3).
V	I. Итог урока.
-	Что нового узнали на уроке?
Если есть время, можно предложить детям поиграть - кто луч-
ше усвоил знания, полученные на уроке, а именно - табличные
значения тригонометрических функций. Таблицу нужно закрыть.
Можно оставить на доске окружность. Ученики встают со своих
мест. Учитель каждому по очереди задает вопросы: «Чему равен
sin у? Чему равен cos-^-?» и т. д. Если ученик отвечает непра-
вильно, он садится. Побеждает тот, кто остается стоять.
§ 24. ЗНАКИ СИНУСА, КОСИНУСА И ТАНГЕНСА
Знания н навыки учащихся
Знать, какие знаки имеют синус, косинус и тангенс в различных
четвертях; уметь определять знак числа sina, cosa и tga при задан-
ном значении а.
Урок 49
I.	Организационный момент.
Собрать тренажер № 8 на проверку.
II.	Проверочная работа (5 мин).
Вычислите:
Вариант I	Вариант П
1) cosO° + 3sin90°	1) cosl 80° + 5sin90°
11
2) sin270° - 2cosl80°
3)1+ ctg270° - 5tg360
4) sin30° + cos60°
5) sin45° + cos45°
О
2)	sin 180° - 3cos0°
3)	sin60° + cos30°
4)	tg360° - 2ctg270° + 3
5)tg45° + ctg30°
твет: В ар иант I: 1) 4; 2) 1; 3) 1; 4) 1; 5) -^2 .
Вариант II: 1)4; 2) -3; 3) «Л; 4) 3; 5) 1 +л/3
III.	Теоретическая часть.
Рассмотрим движение точки Р(1; 0) по единичной окружности
против часовой стрелки.
I четверть. 0 < а <у.
Ординаты и абсциссы точек положительны, значит, sina > 0,
cosa > 0, tga > 0.
II четверть. -^ < a < л.
Ординаты положительны, абсциссы отрицательны, значит,
sina > 0, cosa < 0.
Следовательно, tga < 0.
Ill	четверть, л < а .
Ординаты и абсциссы точек отрицательны, значит, sina < 0,
cosa < 0, tga > 0.
IV	четверть. -=у- < a < 2л.
Ординаты отрицательны, абсциссы положительны, значит,
sina < 0, cosa > 0, tga < 0.
IV.	Практическая часть
№ 442 -устно.
О т в е т: 1) I; 2) II; 3) III; 4) III; 5) II; 6) III; 7) IV; 8) III.
12
№ 443 -устно.
Ответ: 1)1; 2)III; 3) III; 4)11; 5) IV; 6) II.
№ 444, 445, 446 (1, 3, 5) - на доске (на круге) по
очереди.
Ответ: №444 1)-;3)-;5)-
№445 1) -; 3) +; 5) +
№446 1)-;3)-;5)-
№ 450-самостоятельно по вариантам.
Ответ: 1) sina < 0, cosa < 0, tga > 0, ctga > 0.
2)	sina > 0, cosa < 0, tga < 0, ctga < 0.
№ 451 - у с т н о.
№452 (1)-учитель показывает на доске решение:
sin-^> 0, так как Д~ угол II четверти,
sin > 0, так как - угол II четверти,
значит, sin —  sin	> 0.
3	4
№ 452 (2)- под диктовку.
Ответ: созД— cos-y<0-
3	6
V.	Домашнее задание: № 447, № 449, тренажер № 9.
VI.	Итог урока.
VII.	Дополнительное задание.
№454-работа в группах.
Более сильные учащиеся выполняют № 455.
Решение.
1) sin a + cos a = -1,4
так как |sin a| < 1 и |cos a| < 1, следовательно, -1,4 - сумма
отрицательных значений sin а и cos а. Значит, a g III четверти.
2) sin a-cos a= 1,4
sin a = 1,4 + cos a
так как |sin a| < 1 и |cos a| < 1, следовательно, sin a > 0 и cos a < 0.
Значит, a g II четверти.
13
§ 25. ЗАВИСИМОСТЬ МЕЖДУ СИНУСОМ, КОСИНУСОМ
И ТАНГЕНСОМ ОДНОГО И ТОГО ЖЕ УГЛА
Знания и навыки учащихся
Знать основное тригонометрическое тождество, зависимость
между тангенсом и котангенсом, зависимость между тангенсом и
косинусом, зависимость между котангенсом и синусом; уметь при-
менять формулу при решении задач.
Урок 50
I. Организационный момент.
II. Кодированные карточки.
Укажите в таблице соответствующий знак.
Вариант I
а	135°	216°	400°	460°	-16°	-127°
sina						
cosa						
tga						
ctga						
Вариант II
a	116°	208°	367°	-43°	-105°	-200°
sina						
cosa						
tga						
ctga						
Верно ли, что:
1) sin— + cos— > 1;	3) sin-J +sin^> 2;
’	4	4	’	2	4
2)tg-^ + tg-^> 1;	4) 2sin^ + cos-^> 2?
O J	J z
Ответ: 1) да; 2) да; 3) нет; 4) нет.
14
IV.	Теоретическая часть.
1.	Точка М (х; у) - точка единичной окружности, тогда
х2+ у2=1.
Точка М (х; у) получена поворотом точки (1; 0) на угол а, то
есть х = cosa, у = sina.
Следовательно, cos2a + sin2a = 1.
Это равенство выполняется при любых а и называется основ-
ным тригонометрическим тождеством.
2.	По определению tga = sina , ctga = c?sa . Получим,
cosa sina
tga • ctga = 1.
3.	Основное тригонометрическое тождество разделим сначала
2
на cos а и получим 
1 + tg2a =—-—
cos2a
Теперь разделим на sin2a и получим
ctg2a+ 1=—-—
sin2a
V.	Практическая часть.
№456-устно.
Ответ: может принимать значения
0,03;
11.
13’
остальные не
может.
№ 457 (1, 2)-по очереди на доске. Использовать ос-
новное тригонометрическое тождество.
Ответ: 1) нет; 2) да.
№ 458 (1) - учитель показывает на доске реше-
ние:
3
cos а = —
5
и ?< а < л
2
sin а = ±yl -cos2a , так как -^ < a < л, то sin a > 0
19	4
sin a = /1 --z- =—
V 25 5
tg a = s'na ; tga=——
6 cosa 6	5 I 5 J 3
15
1	,(413
ctga =—— ; ctg a = 1: --г- =-^7
6 tga 6 V 3 J	4
№459-самостоятельно по вариантам (8 вариантов)
с последующей проверкой на доске.
19	19	с
Ответ: 1) sin a = -jy, tg a = --у-; ctg а =-уу;
2)	cos a = -0,6, tg a =-у; ctg a =-у;
3)	cos a = -yy, sin a =-jy; ctg a =уу;
1	1
4)	sin a = —r=, cos a = -^=, tg a = - 4-;
7 Vio Vio 6 з’
5)	sin a = 0,6, tg a = y, ctg a = y;
6)	cos a =|y, tg a = -^y, ctg a =-y-;
7)	cos a =--jy, sin a =|y, ctg a =--jy;
8)	sin a =-yy, cos a =-yy, tg a =-y-.
№ 460 (1)-на доске по желанию.
гу ^V13
Ответ: ±-у—.
VI.	Домашнее задание: № 458 (2), № 460 (2, 4), № 462.
VII.	Итог урока.
VIII.	Дополнительное задание.
№ 463 - работа в группах.
Решение.
— + tga ,	2
ctga + tga _ tga _ 1 + tg a
ctga -tga _L_tga l-tg2a
tga
Если tga = 2, тоууу =^y = --|
16
sina cosa
2) sina-cosa _ cosa cosa _ *ёа~ 1
’ sina + cosa sina cosa tga + 1
cosa cosa
Если tg a = 2, to =^
2 sina 1 cosa
2 \ 2sina + 3cosa _ cosa cosa _ 2tga + 3
' 3sina-5cosa 3 sina c cosa 3tga-5
cosa cosa
Еслиtga = 2,to 3.2^5 =y~ = 7-
• 2	2
sin a ! cos a
4^ sin2a + 2cos2a _ cos2a cos2a _ tg a + 2
sin2a - cos2 a sin2a _ cos2a tg2a -1
2	2
cos a cos a
Еслиtga = 2,to ^ + 2 =y = 2.
№ 464 - индивидуально.
Решение.
1) sin a + cos a =y
2	1
(sin a + cos ct) =4
2	2	1
sin a + 2sin a  cos a + cos a =-7
4
1 + 2sin a • cos a =-7
4
„ •	3
2sm a • cos a = —
4
3
sin a • cos a=—
8
2) sin a + cos a =y
(sin a + cos a)3
О
17
sin3a + 3sin2acosa + 3sinacos2a + cos3a =^-
sin3a + cos3a + 3sin a-cos a(sin a + cos a) =
1
8
sin3a + cos3a + 3-|	|-4’ = 4
I 8у 2 8
• з з 0	1
sin a + cos 0.—Г7 =-r
16 8
 з з 1	0
sm a + cos a = -£+-^
8 16
sin3a + cos3a =7-7.
§ 26. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ТОЖДЕСТВА
Знания и навыки учащихся
Знать, какие равенства называются тождествами, какие спосо-
бы используются при доказательстве тождеств; уметь применять
изученные формулы при доказательстве тождеств.
Урок 51
I. Организационный момент.
Собрать тренажер № 9 на проверку.
II. Диктант.
Вариант I [Варианта П]
1.	Чему равна сумма квадратов синуса 73° и косинуса 73°? [На-
пишите выражение, тождественно равное единице, деленной на
синус квадрат 0.]
2.	Напишите выражение тождественно равное единице, делен-
ной на косинус квадрат 0. [Чему равна сумма квадратов косинуса
37° и синуса 37°.]
3.
Вычислите синус острого угла, если его косинус равен
5
13’
17
[Вычислите косинус острого угла, если его синус равен .]
4.	a - угол III [I] четверти, sina = -0,3 [cosa = 0,2]. Чему равен
cosa [sina]?
18
5.	sin a = 0,6, cos a = -0,4 [cos a = 0,4, sin a = -0,6]. Найдите tg a
[ctg a],
]	2
6.	a - угол II [IV] четверти, cosa =-— (cos a = ? ]• Найдите tg a.
7.	a - угол I [II] четверти. Sin a — [sin a =y ]. Чему равен ctg a?
8.	tg a = 7 [ctg a = -3]. Найдите ctg a [tg a].
Ответы:
Вариант I
1)1
2) 1 +tg2p
3) sina =||
4) cosa = -^/0,91
5)tga=-|
6) tga =-V8
7) ctga = V80
8) ctga = у
Вариант II
1)1 +ct/₽
2)1
3)cosa=-jy
4) sina =^/0,96
5) ctga =-1
6)tga=——
7) ctga =-^-
8)tga=-|
III.	Повторение.
1.	Выразите тригонометрические функции угла а через sina.
2
2.	Могут ли одновременно выполняться равенства sina =~ и
cosa =у?
3.	Вычислите sin2cos2 —.
6	3
Ответ: 1) cosa = ±71 -sin2a ; tga = ± . s‘na
•vl-sin2a
•2
ctga = ± I—1-----1 ; 2) нет; 3) 0.
V sin2a
19
IV.	Теоретическая часть.
Тождеством называется равенство, справедливое для всех до-
пустимых значений переменной, то есть таких, при которых левая
и правая части равенства имеют смысл.
Способы доказательства тождеств:
-	преобразование правой части к левой;
-	преобразование левой части к правой;
-	установление того, что разность между левой и правой частя-
ми равна нулю;
-	преобразование левой и правой частей к одному и тому же
выражению.
V.	Практическая часть.
№465 (1, 3, 5)-на доске по очереди.
№466(1, 3)-устно.
Ответ: 1) —sina; 3) 1 - cosa.
№467(1)-под диктовку.
Ответ: -1.
№468(1)-на доске по желанию.
№468 (2)- за доской.
№470-работа в группах (8 групп).
VI.	Домашнее задание: № 465 (2, 4, 6), № 467 (2, 3, 4), № 471.
VII.	Итог урока.
VUI. Дополнительное задание.
№ 474 - индивидуально.
Решение.
1)	2sinx + sin2x + cos2x = 1
2sin x + 1 = 1
2sin x = 0
sin x = 0
X = 7СП, n g Z.
2)	2sin2x + 3cos2x -2 = 0
2(sin2x + cos2x) + cos2x -2 = 0
2 + cos2x -2 = 0
cos2x = 0
cos x = 0
X = 7 + Ж1, П G Z.
2
3)	3cos2x - 2sin x = 3 - 3sin2x
20
3cos2x + 3sin2x = 3 + 2sin x
3 = 3+ 2sin x
2sin x = 0
sin x = 0
x = 7cn, n e Z.
4)	cos2x - sin2x = 2sinx - 1 - 2sin2x
cos2x - sin2x + 2sin2x = 2sin x - 1
cos2x + sin2x = 2sin x - 1
1 = 2sin x - 1
2sin x = 2
sin x = 1
x = -J + 2тсп, n e Z.
2
§ 27.	СИНУС, КОСИНУС И ТАНГЕНС УГЛОВ а И - а
Знания и навыки учащихся
Знать формулы sin(-a) = -sin a, cos(-a) = cos a, tg(-a) = -tg a;
уметь находить значения синуса, косинуса и тангенса для отрица-
тельных углов.
Урок 52
I. Организационный момент.
II. Самостоятельная работа (10-15 мин).
Вариант I	Вариант П
1. Упростите выражение: а) sin2a + cos2a +tg2a; б) tg a • ctg a + 1; sina + tga B) i 1 + cosa	а)	1	; cos2a 6)	tg2actg2a - cos2a; Bx 1 + 2sinacosa sina + cosa
2. Докажите тождество: a) cos a = sin a • ctg a;	a) sin a = cos a • tg a;
1 + tga t 6) 		— =tga; 7 1 + ctga в) tg2a - sin2a = tg2a • sin2a	6)в+1 ‘8° sin2a в) ctg2a - cos2a = ctg2a-cos2a
21
3. Докажите, что при любых допустимых значениях <р значение
выражения не зависит от <р:
_tg2(p
1 + ctgtp + ctg2<p
• 2	2
sin (pcos ф
1 -sin6<p-cos6<p
III.	Теоретическая часть.
Точки М] и М2 единичной окружности получены поворотом
точки Р (1; 0) на углы а и -а соответственно.
AOMiM2 - равнобедренный (OMj = ОМ2)
ОР - биссектриса ZM]OM2, значит, луч ОР - медиана и делит
пополам отрезок MjM2.
Абсциссы точек Mj и М2 совпадают, ординаты отличаются зна-
ками, следовательно
sin(-a) = -sin a
cos(-a) = cos a
tg(-a) =l*nM.=^sina =_ sina = _t a
cos(-a) cosa cosa
tg(-a) = -tga
IV.	Практическая часть.
№475 (1, 3, 5)-по очереди на доске.
Ответ: 1) -1—; 3) ^^;5)-J1.
4	2
№476(1)-под диктовку.
№476(3)-за доской.
Ответ: 1)0; 3)--------
cos a + sin a
№477(1)-на доске по желанию.
Ответ: 4.
№478-самостоятельно по вариантам.
Ответ: l)cosa-sina; 2)-2cosa.
22
№ 479 (1)-учител ь показывает на доске решение:
cos a-sin(6jc - a) • (1 + ctg2(-a)) = ctg(-a)
cos a • (-sin(a - 6л)) • (1 + ctg2a) = -ctg a
-cosa • sina • —-— = -ctga
sin2a
_ cosa _ a BepH0
sina
№480-работа в гpуппаx (6 групп) с последующей про-
веркой на доске.
Ответ: 1) х = --^ + 2як, keZ;
2)х=^+ ^,к € Z;
4	2
3) х = як, к е Z;
4)x=^,keZ;
5) х = --^+ 2як, к g Z;
6) х =~ + як, к е Z;
V	. Домашнее задание: № 475 (2, 4, 6), № 476 (2, 4), № 477 (2),
№ 479 (2), тренажер № 10.
V	I. Итог урока.
-	Запишите или назовите формулы, позволяющие сводить вы-
числение значений синуса, косинуса и тангенса отрицательных уг-
лов к вычислению их значений для положительных углов. Приве-
дите примеры использования этих формул.
§ 28. ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ
Знания и навыки учащихся
Знать формулы сложения cos(a + ₽) = cosa • cosp - sina • sinp и
др., уметь их выводить; уметь применять их на практике.
Урок 53
I. Организационный момент.
23
II. Тест.
Упростите выражение:
Вариант I	Вариант П
1) (1 - sin(-a)) (1 - sina)	1) (1 - cos(-a)) (1 + cos(-a))
2) tg(-a)ctga + sin2(-a)	2) tga ctg(-a) + cos2(-a)
3) cos(-a) + cosatg2(-a)	3) sin(-a) - sinactg2(-a)
.. l + sin(-a) 4	. 4)	/ ' tg(-a) cos(-a)	.. l + cos(-a) t . 4)	• z \ ctg(-a) sin(-a)
.. cos2 (-a) - cos4 (-a) sin2 (-a)	sin2(-a)-sin4(-a) cos2 (-a)
Варианты ответов:
1	2	3	4	5	6	7	8
sin2a	cos2a	-sin2a	-cos2a	1 sina	1 cosa		1_ sina		1 cosa
Ответы: Вариант 1-24662,
Вариант II- 13771.
Ш. Теоретическая часть.
Сформулировать и доказать теорему о косинусе суммы:
для любых аир справедливо равенство
cos(a + Р) = cos a-cos р - sin asin р
Доказательство можно провести по рисунку в виде беседы.
Вопрос: На какой угол нужно повернуть точку Р, чтобы по-
лучить точки Mi, М2, М3?
О т в е т: a, ~р, a + р соответственно.
Вопрос: Какие координаты будут иметь точки Мь Мг, Мз?
24
Ответ: Mucosa; sina), M2(cos(-0); sin(-0)), Мз(соз(а + 0);
sin(a + 0)).
Вопрос: Что вы можете сказать о треугольниках МзОР и
MiOM2?
Ответ: Они равны, так как равнобедренные и углы при вер-
шине равны ZM3OP =	= a + 0.
Вопрос: Можно сделать вывод, что основания этих тре-
угольников равны, то есть М3Р = М|М2. Значит, их квадраты тоже
равны, то есть (М3Р)2 = (MjM2)2. Чему равен квадрат расстояния
между двумя точками?
Ответ: Если даны точки А(хь уО и В(х2; у2), то (АВ)2 =
= (х2-х,)2 + (у2 - у,)2.
Вопрос: Используя эту формулу, перепишите равенство
(М3Р)2 = (М]М2)2, упростите его.
О т в е т: (1 - cos(a + 0))2 + (0 - sin(a + 0))2 = (cos(-0) - cos a)2 +
(sin(-0) - sin a)2.
1 - 2cos(a + 0) + cos2(a + 0) + sin2(a + 0) = (cos 0 -cos a)2 + (-sin 0 -
-sin a)2.
1 -2cos(a + 0)+ 1 =cos20-2cos 0-cosa+cos2a+sin20 + 2sin0-sina +
+ sin2a.
2 - 2cos(a + 0) = (cos20 + sin20) + (cos2a + sin2a) + 2sin 0-sin a -
- 2cos 0-cos a.
2 - 2cos(a + 0) = 2- 2cos a-cos 0 + 2sin a-sin 0
-2cos(a + 0) = -2cos a-cos 0 +2sin a-sin 0
cos(a + 0) = cos a-cos 0 - sin a-sin 0.
Вопрос: Теорема доказана. Выведем следствия из нее. Заме-
ните в полученной формуле угол 0 на угол -0.
Ответ: cos(a + (-0)) = cos a-cos(-0) - sin a-sin(-0).
cos(a - 0) = cos a-cos 0 + sin a-sin 0.
Вопрос: Докажите формулу cos( - a) = sin a самостоятель-
но. Выведите формулу сложения для синуса.
Ответ: cos(y-a) = cos-^cosa + sin-^sina = 0+ l-sina = sina.
Формула сложения для синуса:
sin (a + 0) = cos(-^-(a + 0)) = cos((y-a)- 0) = cos(y- a)cos 0 +
+ sin(-~ a)sin 0 = sin a-cos 0 + cos a-sin 0.
25
Докажем формулу sin(-^- а) = cos а.
sin( - а) = sin 0 = cos( - 0) = cos( - а)) = cos( - J + а) =
л*	L	Ля ля
= cos а.
sin(a - 0) = sin(a + (- 0)) = sin a-cos(-0) + sin(-0)cosa = sin a-cos 0 -
- sin 0-cos a.
IV.	Практическая часть.
№481(1,2)-на доске по очереди.
№481(3)- самостоятельно.
Ответ: 1) -^;2) -1;3)
2	2 ’	2
№ 482 (1)-у чител ь с классом.
№482(3)-под диктовку.
л/3
Ответ: 1)	3) 1.
№483 (1)-на доске по желанию.
„	V2-V3
Ответ: -—
2^3
№ 485 (1) —у ч ител ь с классом.
№485(3)-за доской.
Ответ: 1) 1; 3) 1.
№ 488 (1)-учитель с классом.
Ответ: cos(a + 0)	cos(a-0)=-|^.
85	85
V.	Домашнее задание: № 481 (4), № 482 (2, 4), № 483 (2),
№ 485 (2, 4), № 489.
VI.	Итог урока.
Запишите формулы сложения, изученные на уроке:
cos(a + 0) = ...
cos(a-0)= ...
sin(a + 0) = ...
sin(a- 0) = ...
Подумайте, как легче их запомнить.
VII.	Дополнительное задание.
№ 492(1, 2)-индивидуально.
1)Указание. Использовать формулы сложения для sin(a + 0)
и sin(a - 0); затем каждое слагаемое числителя и знаменателя раз-
26
делить на cos a-sin 0.
2)	Указание. Использовать формулы сложения для cos(a- 0)
и cos(a + 0), затем каждое слагаемое числителя и знаменателя раз-
делить на cos a-cos 0.
Можно преобразовывать правые части тождеств, используя
формулы tg a = sina- и ctga = cosa-, затем приводить к общему зна-
cosa	sina
менателю.
Урок 54
I.	Организационный момент.
Собрать тренажер № 10 на проверку.
II.	Решение заданий.
№484-самостоятельно по вариантам.
Ответ: 1) cos 4a; 2) cos 30; 3) 0; 4)-1.
№486(1)-на доске по очереди.
№ 486 (2)-самостоятельно.
_	.. -4-х/З-3	-V14-2
Ответ: 1) —----; 2) —----.
№ 487(1)-учитель с классом.
№487(3)-на доске по очереди.
Ответ: 1) cos a-sin 0; 3) cos a-sin 0.
№491(1)-под диктовку.
№491 (2)-за доской.
№491(3)-на доске по очереди.
Ответ: 1) 2sin a-sin 0; 2) cos2a; 3) cos a-cos 2a.
№497-в группах.
Ответ: 1) х = л + 2лк, к g Z;
2)	х = -у + лк, к е Z;
4
3)	х = - у + 2лк, к е Z;
4)	х = 4лк, к е Z.
Разобрать задачу 6 из текста параграфа. Выполнить № 490 са-
мостоятельно с последующей устной проверкой.
№493 (1,3)-на доске по очереди.
Ответ: 1) д/З ; 3)-1.
27
№ 496 -устно.
Ответ: 1) sin3а; 2) sin2p.
III.	Домашнее задание: № 487 (2, 4), № 491 (4), № 493 (2, 4).
IV.	Дифференцированное задание.
Вариант I - более простой, вариант VIII - более сложный.
Вариант I
Вычислите с помощью формул сложения:
1) cos 135°; 2) cos-^л; 3) sin 150°; 4) sin у л;
5) cos72°cosl8° - sin72°sinl8°.
Вариант П
Вычислите с помощью формул сложения:
1)	cos-^cos-^ + sin-^sin-^;
’	3	3	3	3
2)	sin33°cos63° - cos33°sin63°;
3)	sin 4гcos+ cos4rsin
7	7	7	7
4)	cosl5°30'cos29°30' - sinl5°30'sin29°30';
5)	sin27°20'cos32°40' + cos27°20'sin32°40'.
Вариант III
Упростите:
1)	cos 2a-cos 3a - sin 2a-sin 3a;
2)	sin a-cos 2a - cos a-sin 2a;
3)	cos a cos 2a - sin(-a)-sin 2a;
4)	sin 2a-cos 3a + cos 2a-sin 3a;
5)	cos 2a-cos 3a + sin 2a-sin 3a.
Вариант IV
1.	Вычислите:
1)	cos^a -	, если sina = 0,8, у < a < я;
2)	sin^-j + a), если cosa = у,	< a < 2л.
2.	Упростите:
1)	cosf + a Icosl 4 - a I - sinl + a Isinf -y - a ;
\4 J\4y ^4 J\4J
2)	sinf у - aVosf a + у) + cos^y- - a^sin^a + у).
28
Г
3.	Докажите формулу cosl + а
= sina.
Вариант V
1.	Вычислите:
1)	cosf a + 4 |, если cos a = -	< a < 2л;
'	< 3J	17 2
2)	sin a-— , если sin a = 0,6, -J< a <it.
L 4/	2
2.	Упростите:
1)	cosf-77- - alsinf+ al_ cosf 4? ~ alcosf 4r + al;
\ 7	) V7	)	<7 J < 7 J
2)	sin(a-p)+sin^-a^sinp.
3.	Докажите формулу cos(jc - a) = -cos a.
Вариант VI
1.	Вычислите:
cos(a + ₽) и cos(a - P), если cos a = jy, yy < a < 2л и sin p =|y,
f<P<*.
2.	Упростите:
cos(a + p)- sin^-y - a^ • sin^-y _ p) •
о тт	COs(a + P) *	4 0	1
3.	Докажите тождество: —H- ctg a-ctg P - I.
sinasinp
Вариант VII
I.	Вычислите:
sin(a - P) и sin(a + P), если sina = -0,75, л < a <yy и sin p = 0,8,
o<p<|.
2.	Упростите:
cosl - a I - cosl a + -?• I.
I 3	) V 3J
3.	Докажите тождество: sin(a - P)sin(a + P) = cos2p - cos2a.
29
Вариант VIII
1.	Зная, что tga=|, tg 0 =у, найдите tg(a - 0).
2.	Вычислите ctgl5O°; tgl20°.
3.	Упростите:
а)
cos(a + 0) - cosacos0
cos(a-0) -sinasin0
C) tefb18f
4.	Докажите тождество:--§in a-= tg4a.
ctg2a - cos2a
Ответы:
Вариант I. 1)	; 2)-; 3) 1; 4)-^-; 5) 0.
Вариант II. 1)|; 2)-l; 3)0; 4)^-; 5)^-.
Вариант III. 1) cos 5a; 2)-sin a; 3) cos a; 4) sin 5a; 5) cos a.
Вариант^. 1) 0,1^2 ; 2)	~2 ; 2. 1)-1; 2)0.
Варианту. 1. 1)	; 2) 0,7^2 ; 2. 1) 1; 2) sin a-cos 0.
ВариантУ!. 1. cos(a + 0) =	; cos(a- 0) = —yy
XX 1	XX 1
2. -sin a-sin 0.
Вариант VII. 1. sin(a - 0) = -0,45 + 0,2-/7 ;
sin(a + 0) = -0,45 - 0,2^7 ; 2. VJsin a - cos a.
Вариант VIII. 1.	2. ctgl50° =--/З ; tgl20° = -VI;
3. a)-tg a • tg 0; 6)
§ 29. СИНУС, КОСИНУС И ТАНГЕНС ДВОЙНОГО УГЛА
Знания и навыки учащихся
Знать формулы синуса и косинуса двойного угла, уметь выво-
дить формулы тангенса и котангенса двойного угла; уметь приме-
нять формулы при решении задач.
30
Урок 55
I. Организационный момент.
II. Изучение нового материала.
Вспомните и запишите формулы сложения sin(a + Р), cos(a + Р),
tg(a + Р) и ctg(a + Р).
Используя эти формулы, выведите формулы двойного угла
sin 2a, cos 2a, tg 2a и ctg 2a, представив угол 2a как a + a.
sin 2a = sin(a + a) = sin a-cos a + sin a-cos a = 2sin a-cos a
cos 2a = cos(a + a) = cos a-cos a - sin a-sin a = cos2a - sin2a
1-tgatga
ctg 2a - ctg(a + a)
ctga + ctga	2ctga
№ 498 -устно.
Ответ: 1) 2sin24°cos24°;
2)	cos282° - sin282°;
3)	2tS46°- ;
l-tg246°
4)	2sin-^cos^-;
3	3
5)	cos2^-sin2^.
о	6
№499(1, 3, 5)-на доске по очереди.
_	Гл	a^	Гл	а А
Ответ:	1) 2sin — + — -cos— + — ;
U	2J	14	2)
3) C°Sl 4-2rSil4 4~2 Р
5) 2sin^cos^.
2	2
№ 500 (1, 3) - п о д диктовку.
Ответ: 1)	3) -4».
№501(2,4)-на доске по очереди.
J2
Ответ: 2)	; 4)-1.
31
Работа в группах (1 - № 503(1), 2-№ 504 (1), 3-№ 505)
с последующей проверкой на доске.
24	7	4
Ответ: № 503 (1)	; № 504 (1) —; № 505 -.
25	25	3
Работа в труп пах на отметку. 8 групп-№ 510 (1-7), №
511. Как только группа справилась с заданием, показывает учителю
свое доказательство. Учитель проверяет наличие выполненного
задания у всех членов группы, может задать вопрос по ходу дока-
зательства любому ученику. Отметка ставится одинаковая всем
членам группы.
III.	Итог урока. Самоанализ работы учащихся на уроке.
IV.	Домашнее задание: № 502, № 503 (2), № 504 (2), № 508 (1,2).
V.	Дополнительное задание.
№512-на доске по желанию.
Решение.
1)	sin 2х- 2cos х = 0
2sin X'cos х - 2cos х = 0
2cos x(sin x - 1) = 0
cos x = 0, x =?• + лк, к g Z или sin х = 1, х =?• + 2лк, к g Z.
2	2
Ответ: -J + 2лк, к g Z.
2
2)	cos 2х + sin2x = 1
cos2x - sin2x + sin2x = 1
cos2x = 1
cos x = 1, x = 2лк, к g Z или cos x = -1, x = л + 2лк, к g Z.
Ответ: л +лк, к g Z.
3)	4cos x = sin 2x
4cos x - 2sin x-cos x = 0
2cos x(2 - sin x) = 0
cos x = 0, x=y +nk,k g Z или sin x = 2, нет решений.
Ответ: & + лк, к g Z.
2
4)	sin2x = - cos 2x
sin2x + cos 2x - 0
sin2x + cos2x - sin2x = 0
cos2x = 0
32
cos x = 0, x =-J + лк, к g Z
2
Ответ: -J + лк, к g Z.
2
5)	sin^-cos^- + 4’= О
’	2	2 2
1	_ . х	х 1 _
— -2sin—cos— ч—= О
2	2	2 2
4-sinx + ^- = 0
2	2
sin х = -1, х —у + 2лк, к g Z.
Ответ: —J+ 2лк, к g Z.
2
6) cos2 — = sin2 —
2	2
COS2 77-sin2-7-= О
2	2
cosx = 0, х =-J + лк, к g Z.
2
Ответ: & + лк, к g Z.
2
§ 30. СИНУС, КОСИНУС И ТАНГЕНС
ПОЛОВИННОГО УГЛА
Знания и навыки учащихся
Знать формулы половинного угла синуса, косинуса и тангенса,
уметь их выводить; знать и уметь выводить формулы, выражающие
sin a, cos а, tg а через tg|-; уметь применять эти формулы на прак-
тике.
Урок 56
I. Организационный момент.
П. Изучение нового материала.
Запишем cos а и основное тригонометрическое тождество, ис-
2 Алгебра. 10 кл.. II пол.
33
пользуя угол у:
1	= cos1 2 + sin2 77
2	2
cos a = cos2 77 - sin2 77
2	2
Складывая равенства, получаем:
1 + cos a = 2cos2 77
2
Вычтем из первого равенства второе:
1	-cosa = 2sin2^-
2
Разделим полученные равенства друг на друга (второе на пер-
вое):
te2 SL = 1 ~ cosa
2	1 + cosa
Разобрать самостоятельно задачу 5 из текста параграфа, выпи-
сать формулы в тетрадь по теории:
2tg^	1-tg2^	2tg^
sin a =---— ; cos a =----—; tg a =---—.
l + tg2|	l + tg2|	l-tg2|
№513-устно.
,	l + cos4-
Ответ: 1) l~cos30 . 2)------—2 . 3)
1 + cosl r - 2a
\2
2
1 - cos -J + 2a
4)—
№514(1,3)-на доске
Ответ: 1)	; 3) 1.
по очереди.
№ 516-учитель с классом.
Решение.
Найдем сначала значение cosa.
34
sin£ /Ь^й§а
2 V 2
ctg7=
2 tg2 3
№518(1)-на доске по желанию.
№518(3)-под диктовку.
№518 (5)- за доской.
Ответ: 1) tg^; 3)tga; 5)2cosa.
Работа в группах на отметку: № 519, № 520 (первая группа вы-
полняет №519(1), вторая - № 519 (2) и т. д.; всего 8 групп).
№ 523 (1, 3, 5)-на доске по очереди.
Решение.
1) 1 -cosx = 2siny
2sin24 = 2sin^-
2	2
2sin^-| sin^-l ] = 0
2l 2 J
sin 77 - 0,	= 701, x = 2тт, n e Z
2	2
ИЛИ sin 37 = 1 , 77 = 77 + 2701, X = It + 4701, П E Z.
2	2 2
Ответ: 2toi; 7t + 4toi, n g Z.
3) 1 + cos^- = 2sin^ -
2cos2 4 = -2cos—
4	4
35
2cos4 cos4 + 1=0
4 k 4	)
cos 4 - 0, 4 = 4 + яп, x = 2л + 4тсп, n g Z
4	4 2
или cos4 - -1, 4 ~ Я + 2701, x = 4л + 8701, n g Z.
4	4
О т в e т: 2л + 4лп; 4л + 8701, n g Z.
5) 2sin2 у + у sin2x = 1
1 - cos x + sin x-cos x = 1
-cos x + sin x-cos x = 0
-cos x(l - sin x) = 0
COS X = О, X = у + ЛП, П G Z
или sin X = 1, X = — + 2701, n G Z.
2
Ответ: 4 + лп, n g Z.
2
III. Домашнее задание: № 514 (2, 4), № 515, № 518 (2, 4, 6),
№ 523 (2, 4, 6).
IV. Дополнительное задание.
№ 522-индивидуально.
Решение.
tg2a _ tg2a _ tg2a-(l-tg22a) _
tg-ta - tg2a ' 2tg2a _ (g2a ' 2tg2o _ tg2o + tg,2a ’
l-tg22a
= tg2a - (1 - tg22a) = tg2a-(l-tg22a) = l-tg22a = 4a
tg2a + tg32a tg2a(l + tg22a) l + tg22a
§ 31. ФОРМУЛЫ ПРИВЕДЕНИЯ
Знания и навыки учащихся
Знать, что значения тригонометрических функций углов, боль-
ших 90°, сводятся к значениям для острых углов; знать правила
записи формул приведения; уметь использовать их при решении
задач.
36
Урок 57
I. Организационный момент.
II. Тест.
1.	Угол 541° находится в А. I Б. II В. III Г. IV координатной
четверти.
2.	Вычислить ctg(-600°)
A. -U Б. —1=
л/З	л/З
В. л/З Г. Не существует.
3.	Определить знак выражения cos(-l) • sin(-2)
А. > О Б. < О В. = О Г. Невозможно определить.
4.	Упростите выражение cos2a - cos 2a и найдите его значение,
А. 4 Б. 4 В. 1 Г. 0.
4	2
5.	Упростите выражение sin(2x + 4л) - 2sin(x + л)-соз(х - л)
A. 2sin 2х Б. sin2 х В. -2sin2x Г. 0.
Ответ: ВББАГ.
III. Изучение нового материала.
В задании 5 теста вы использовали формулы sin(2x + 4л) =
sin2x, sin(x + л) = -sinx, cos(x - л) = -cosx, которые выводились ра-
нее. Эти формулы называются формулами приведения. Формула-
ми приведения являются формулы, которые сводят значения три-
гонометрических функций для углов вида — ± а, л ± а,4т-± а к
2	2
значениям для острых углов а.
Формулы приведения запоминать необязательно. Для того что-
бы записать любую из них, можно руководствоваться правилами,
записанными на с. 157 учебника. Прочитайте их. Дома выпишите
эти правила в тетрадь по теории.
№ 525 (1)-учитель показывает на доске решение:
cos 150° = cos(180° - 30°) = -cos30° =~^
л/З
или cos 150° = cos(90° + 60°) = -sin60° = -
№525(3)-под диктовку.
№525 (5)-за доской.
37
№ 525 (7)- самостоятельно.
Ответ: 3)-1; 5)	7) -^=.
№ 526 (1, 3, 5, 7)-на доске по очереди.
Ответ: 1) 1; 3)	5)7) Л.
№ 527(1)-учитель с классом.
Ответ: 1.
№528(1)-под диктовку.
Ответ: ctga.
№ 529 (1, 3, 5, 7)-на доске по очереди.
Ответ: 1)	3) 1; 5)7)-1.
№530(1)-под диктовку.
Ответ: -1-4.
2
№531(1)-за доской.
Ответ: Л.
Работа в группах на отметку: № 532, № 533 (7 групп).
№ 535 (1, 3, 5)-на доске по очереди.
Решение.
1) cos(y- х) = 1; sin х = 1; х =~ + 2лп, n е Z.
3) cos(x - л) = 0; -cos х = 0; cos х = 0; х =у + лп, n е Z.
5) sin(2x + Зя) sin(3x ) - sun 3x cos 2х = -1
sin 2x-cos Зх - sin Зх-cos 2x = -1
sin(2x - 3x) = -1
sin(-x) = -l; sin x = 1; x =~ + 2лп, neZ.
IV. Домашнее задание: № 525 (2, 4, 6, 8), № 526 (2, 4, 6, 8),
№ 530 (2), № 531 (2), тренажер №11.
V. Итог урока. Можно провести игру, аналогичную игре уро-
ка 48, по формулам приведения.
38
§ 32. СУММА И РАЗНОСТЬ СИНУСОВ.
СУММА И РАЗНОСТЬ КОСИНУСОВ
Знания и навыки учащихся
Знать формулы суммы и разности синусов, косинусов; уметь
применять их на практике.
Урок 58
I. Организационный момент.
Собрать тренажер № 11 на проверку.
II. Диктант.
Вариант I [Вариант П]
1.	В каких четвертях тангенс положителен [косинус отрицателен]?
2.	В каких четвертях синус отрицателен [котангенс положителен]?
3.	Закончите предложение: «sin(7t - а) =...» [«cos(	+ а) =...»].
4.	Закончите предложение: «cos( у - а) =...» [«tg(	+ а) =...»].
5.	Закончите предложение: «tg(y + а) =...» [«sin(y + а) = ...»].
Ответ: Вариант I: 1) I, III; 2) III, IV; 3) sin а; 4) sin а;
5) -ctg а.
Вариант II: 1) II, III; 2) I, III; 3) sin а; 4) -ctg а; 5) cos а.
III.	Теоретическая часть.
а + Р а - р „	_
Обозначим —= х, —- у. Тогда х + у = а, х - у = р, и по-
этому
sin а + sin Р = sin(x + у) + sin(x - у) = sin x-cos у + cos x-sin у +
. а + Р а - Р
+ sin x-cos у - cos x-sin у = 2sin x-cos у = 2sin—2 cos—2 ’
Выведите самостоятельно формулы sin а - sin р, cos а ± cos р.
Решение.
1)	sin а - sin р = sin а + sin(~P) = 2sin а +-£—-cos ~—2 ~ =
. а-Р а+Р
= 2sin ——- cos ——-
2	2
39
2)	cos a + cos р = cos(x + у) + cos(x - у) = cos x-cos у - sin x-sin у +
a+B a-B
+cos x-cos у + sin x-sin у = 2cos x-cos у = 2cos —cos —.
3)	cos a - cos P = cos(x + y) - cos(x - y) = cos x-cos у - sin x-sin у -
_ .	„ . a + p . a-p
- cos x-cos у - sin x-sin у = -2sm x-sin у = -2sin—^-£- sm—^-£-.
IV.	Практическая часть.
№	537 (1) - у ч ите л ь с классом.
№ 537 (3) -на доске по желанию.
Ответ: 1) -Jlcosa; 3) sin2a.
№ 538 (1) - под диктовку.
№ 538 (3) -самостоятельно.
№ 538 (5) - за доской.
Ответ: 1) 0; 3) 0; 5)-1.
№ 541 (1)-учитель-с классом.
Решение.
2(cosa + cos3a) _ 2-2cos2acosa _ 4cos2acosa _
2sin2a + sin4a 2sin2a +2sin2acos2a 2sin2a(l + cos2a)
_ 4cos2a-cosa _ctg2a
2sin2a • 2cos2 a cos a
№543(1)-на доске по желанию.
Решение.
cos22° + cos24° + cos26° + cos28° = (cos22° + cos28°) + (cos24° +
+cos26°)= 2cos25osin3°+2cos25°sinl0 = 2cos25°(sin3° + sinl°)= =
2cos25° • 2sin2°cosl° = 4cos25° • sin2° • cosl0.
№544-работа в парах.
Ответ: 1) 0; 2) 0.
V.	Итог урока.
VI.	Домашнее задание: № 537 (2, 4), № 538 (2,4), № 541 (2).
VII.	Дополнительное задание.
№	545 - индивидуально.
Решение.
1)	1 - cosa + sina = 2sin2^ +2sin-^-cos^ = 2sin-^ sin^ + cos^
’	2	2	2 2l 2	2
40
= 2sin^ sin-^ + sin
2	2 I
. л_a
i uul	—
2	(22
= 2sin у • 2sin cos I у -
= 2^2 • sin-^• cos^ -	.
2)	1 - 2cos a + cos 2a = 1 + cos 2a - 2cos a = 2cos2a - 2cos a =
= 2cos a-(cos a -1) = -2cos a-(l - cos a) = -2cos a -2sin2y =
= -4cos a • sin2 у.
3)	1 + sin a - cos a - tg a = (1 - cos a) + (sin a - tg a) = (1 - cos a) +
+ tg a(cos a - 1) = (1 - cos ayi - tg a)=2sin2 ~(1 - tga).
4)	1 + sin a + cos a + tg a = (1 + cos a) + (sin a + tg a) = (1 + cos a) +
+ tg a(cos a + 1) = (1 + cos a)(l + tg a) =2cos2 & •(] + tga).
У p о к 59. ПОВТОРЕНИЕ И ЗАКРЕПЛЕНИЕ ЗНАНИЙ
ПО ТЕМЕ «ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ»
Математический турнир
Организационный момент.
Класс делится на две команды. Они заранее придумывают на-
звание команды, девиз, выбирают капитана. В жюри можно при-
гласить успевающих учеников, учителей, родителей. После каждо-
го тура жюри зачитывает результат тура и игры, записывает на
табло.
	Команда...	Команда...
Тур!		
Тур II		
		
Ход игры
Typi
Вопросы задают по очереди обеим командам. Бели ответ не-
правильный, может ответить другая команда. Количество баллов -
количество верных ответов.
41
1.	В какой четверти лежит угол а, если выполняется условие
sina > 0, cosa < 0? (Во II.)
2.	Определите знак значения функции cos 150°. (-)
3.	Вычислите sin7n. (0)
4.	В какой четверти лежит угол а, если выполняется условие
sina < 0, tga > 0? (В III.)
5.	Определите знак значения функции tg 200°. (+)
6.	Может ли быть верным равенство sin2a + cos2a = -|-? (Нет.)
7.	Что больше cos л или sin -г ? (sin—.
2	2
)
8.	Вычислите sin2a + tg a • ctg a + cos2a. (2.)
9.	Какие значения может принимать sinx? (От -1 до 1 включи-
тельно.)
10. Если tg a =
3
5 ’
то можно ли утверждать, что sin a = 3,
cos a = 5? (Нет.)
Тур п
В этом туре нужно вывести тригонометрическую формулу. На
доску скотчем прикрепляем листы бумаги (можно вырезать их в
форме цветка, животного, рыбы и т. д.), на обратной стороне кото-
рых записаны тригонометрические формулы. От каждой команды
выходят к доске по одному участнику. Снимают с доски по одному
листочку и выводят заданную формулу. Всего в этом туре участ-
вуют 6 человек (по 3 от каждой команды).
Тур III
Индивидуальное задание.
Каждая команда делится на 3 группы. Первая группа получает
конверт с названием «Найти», вторая - конверт с названием «Вы-
числить», третья - конверт с названием «Упростить». В каждом
конверте лежат листочки с заданием. Каждый ученик берет одно
задание, выполняет его и сдает жюри на проверку. Количество бал-
лов - количество верно выполненных заданий.
Задания	Ответы
1	2
Найти 1	•	л/3	71 1. cos а, если sin a =-х—, a < л 3 2	_J2_ 3
42
Продолжение табл.
1	2
_	J5	Зте 2.	tg а, если cos а =——-, п < а <—L 3.	sin а, если tga =2^/2,0 <а <у 4.	cos а, если ctg а = 72 , я < а < "у1 7з 5.	sin а, если cos а	, sin а > 0 2 72 6.	cos а, если sm а =--у-, cos а < 0 7.	sin а, если cos а + 4 | =4- к 2> 2 8.	cos а, если sin a =-j, cos а > 0 9.	cos а, если sin а , sin а > cos а /3 10.	а, если cos а=--^—, 5я < а < 6я 2 11.	а, если cos а = 0,10 < а < 13 12.	tg а, если cos а = -^-, sin а 13.	tg а, если cos а =—, sin a cos а > 0 3 ? 1 14.	ctga, если cos а = --7, -/—< 1 3 sina Вычислить 1.2sin75°cos75°; sinl5° 2. cos275° - sin275°; sin75° 3. sin-4^;tg-^^;ctg-2-^;cos-^^ 6	4	4	4	2 75 2^/2 3 -я 1 2 72 2 2 272 3 2 16л 3 12,56 73 272 275 5 2’	2 2 ’	2 --;1;-1;-— 2	2
43
Продолжение табл.
1	2
4.	cos-^-^-sin^^ 4	4 5.	sin^--tg^ 6.	3cos3660° + sin(-1560°) 7.	cos(-945°) + tgl035° 8.	sin cos+ sin cossin 165° 8	8	8	8 9.	sin 105°; 2cos2^-l 10.	sin-^-J -2sin2195° Упростить 1.2sin(-a)cos^y - a) - 2cos(-a)sin^y - 2. 3sin(7t - a)cos^y -	+ 3sin2^y - 3.	(1- tg(-a))(l - tg(rc + a))cos2a 4.	(l + tg2(-a)) 	L	 ^l + ctg2(-a) J 5.	cos2(n-a)-cos2^y-a^ cos2 (2л + a)-sin2 (a + 2л) 6.	XX 2cos(a + 2л)соз1 у -a 1 7. 2sin 1 -J - a |cosf - a I I2 J k2 J	0 2 3-^3 2 -1-+ V2 '	2 72 + V3 уз 2	’ 2 aM3~.J3 2	’ 2 -2 3 cos 2a tg2a cos 2a ctg 2a sin 2a
44
Окончание табл.
1	2
2sin(Tt - a)sin^ - a) sin2 “ 2^ ~ s’n2(a ~ я) 9. (1 + tg(-a))( 1 - ctg(-a)) cos(-a) 1Q ctga + tg(-a) ! tg(-a) cosa+sin(-a) sina 11. cos3sin a - sin3a-cos a 12 sina + sin2a 1 + cosa + cos2a 13 cos2a + sin2a cos2a 2sin2a-l (cosa-sina)2 sin2a cos2a - cos2a	tg2a ctga 1 sina 4- sin 4a 4 tga -(1 + sin 2a) 1 cos 2a
Тур IV
Участники команд садятся друг против друга. Каждый ученик
задает вопрос на знание тригонометрических формул сидящему
напротив. Он же и оценивает ответ словами «верно» и «неверно».
За каждый верный ответ начисляется балл. За неправильную оцен-
ку балл снимается, то есть когда ответ был неверным, а спраши-
вающий сказал «верно» или наоборот.
Вопросы	Ответы
1.	Основное тригонометричес- кое тождество 2.	Синус двойного угла 3.	Косинус суммы 4.	Тангенс у плюс а и т. д.	sin2a + cos2a = 1 sin 2a - 2sin a-cos a cos(a +0) = cos a cos 0 - sin a-sin 0 tg^y + a^ =-ctg a
45
Typv
Конкурс капитанов
Карточки с заданиями раскладываются на столе. Капитаны ко-
манд выбирают по одной карточке, готовят решение на доске.
Задания: докажите тождество.
1.	sin2(a + Р) = sin2a + sin2p + 2sin a-sin p-cos(a + P);
2.	sin a + 2sin 3a + sin 5a = 4sin 3a-cos2a;
3	sina + sin3a + sin5a _ t do-
cosa + cos3a + cos5a	’
4.	sin2a + cos -J - a cos ?• + a = 4-;
^3 J ^3	J 4
5.	sin6a + cos6a =4- (5 + 3cos 4a);
8
6.	sin8a + cos8a =^(cos24a + 14cos 4a + 17).
Доказательство:
1. (sin(a + P))2 = sin2a + sin2p + 2sina-sinp-cos(a + P)
(sina-cosp + sinp-cosa)2 = sin2a + sin2p + 2sina-sinp-cos(a + P)
sin2a-cos2p + 2sina-cosp-sinp-cosa + sin2p-cos2a = sin2a + sin2p +
+ 2sina-sinp(cosa-cosp - sina-sinp)
sin2acos2p + 2sinacospsinPcosa + sin2pcos2a = sin2a + sin2p +
+ 2sina-sinp-cosa-cosp - 2sin2a-sin2p
sin2a-cos2p + sin2p-cos2a = sin2a + sin2p - 2sin2a-sin2p
sin2a-(l - sin2p) + sin2p-(l - sin2a) = sin2a + sin2p - 2sin2a-sin2p
sin2a - sin2asin2p + sin2p - sin2p-sin2a = sin2a + sin2p - 2sin2a-sin2p
sin2a + sin2p - 2sin2p-sin2a = sin2a + sin2p - 2sin2a-sin2p верно.
2. sina + sin5a + 2sin3a = 4sin3a-cos2a;
2sin3a-cos2a + 2sin3a = 4sin3a-cos2a
2sin3a-(cos2a + 1) = 4sin3a-cos2a
2sin3a • 2cos2a = 2sin3a-cos2a
4sin3a-cos2a = 4sin3a-cos2a верно.
2 sina + sin5a + sin3a = ^3 a-
cosa + cos5a + cos3a
2sin3acos2a + sin3a „
-----------------— = tg3a
2cos3acos2a + cos3a
sin3a(2cos2a + 1)
cos3a(2cos2a +1)
= tg3a
tg 3a = tg 3a верно.
46
— - 2а + 2а
4. sin2a +4- • 2cos-2—-cos-^—-------=1;
2	2	2	4
sin2a + • (cos + cos2a^ = ;
sin2a+4--	+4-cos2a=4-;
2	2	4
• 2	1	1	2	1-2	1
sm a-”- + ^-cos a-—sm a = -^-;
1-1=1.
2 4 4’
4	= -у верно.
4	4
5	. sin6a + cos6a (5 + 3cos 4a);
(sin2a)3 + (cos2a)3 =~ (5cos22a + 5sin22a + 3cos22a - 3sin22a)
8
(sin2a + cos2a)(sin4a - sin2a-cos2a + cos4a) “ (8cos22a + 2sin22a)
8
sin4a - sin2a-cos2a + cos4a = cos22a + 4- sin22a
4
sin4a - sin2acos2a + cos4a = (cos2a - sin2a)2 +-i- -(2sina-cosa)2
sin4a - sin2a-cos2a + cos4a = cos4a - 2cos2a-sin2a + sin4a +
• 2	2
+ sin a-cos a
• 4	»2	2	4	4	2	• 2	.4
sin a - sin a-cos a + cos a = cos a - cos a-sin a + sin а верно.
6. sin8a + cos8a =^-(cos24a + 14cos4a + 17).
(sin4a - cos4a)2 + 2sin4a-cos4a =^-((cos2a + 14cos4a + 49)- 32)
(sin2a - cos2a)2(sin2a + cos2a)2 + sin2a-sin3a-cos3a =-^(cos4a + 7)2 - 1
(sin2a - cos2a)2 + 4 sin42a =^r(2cos22a + 6)2 - 1
8	32
cos22a + 4 sin42a =^-(cos22a + 3)2 - 1
8	32
47
cos22a + -| (1 - cos22a)2 = 4 (cos22a + 3)2 - 1
8	8
cos22a + (1 - 2cos22a + cos42a) = 4 (cos42a + 6cos22a + 9) - 1
8	8
cos22a +1-4- cos22a + cos42a = cos42a + cos22a +^ -1
8 4	8	8	4	8
cos22a + cos42a = -I cos42a + cos22a + верно.
Пока капитаны готовятся у доски, вниманию учащихся предла-
гаются сведения из истории. Следует заранее подготовить коман-
ды.
Первая команда. О происхождении единиц измерения
углов.
Градусное измерение углов возникло в Древнем Вавилоне за-
долго до новой эры. Жрецы считали, что свой дневной путь Солнце
совершает за 180 «шагов», и, значит, один «шаг» равен раз-
вернутого угла.
Вавилонская система измерения углов оказалась достаточно
удобной, и ее сохранили математики Греции и Рима. Слово «гра-
дус» происходит от латинского gradus (шаг, ступень). В переводе с
латинского minutus означает «уменьшенный». Наконец, secunda
переводится как «вторая». Имеется в виду следующее: деление
градуса на 60 частей, то есть минуты, - это первое деление, деле-
ние минуты на 60 секунд - второе деление градуса. Малоупотреби-
тельное название секунды - терцина, латинское tercina означает
60
«третье».
Принятая сейчас система обозначения величин углов получила
широкое распространение на рубеже XVI и XVII вв.; ею уже поль-
зовались такие известные астрономы, как Н. Коперник и Т. Браге.
Но еще К. Птолемей (И в. н. э.) количество градусов обозначал
кружком, число минут - штрихом, а секунд - двумя штрихами.
Другая единица измерения углов - радиан - введена совсем не-
давно. Первое издание (это были экзаменационные билеты), со-
держащее термин «радиан», появилось в 1873 г. в Англии. Сначала
в обозначениях указывалось, что имеется в виду именно радианная
мера (например, — угол в радиан), но вскоре индекс R стали
48
опускать. Сам термин «радиан» происходит от латинского radius
(спица, луч).
Вторая команда. Об истории тригонометрии.
Слово «тригонометрия» впервые встречается (1505 г.) в загла-
вии книги немецкого теолога и математика Питискуса. Происхож-
дение этого слова греческое; переводится как «наука об измерении
треугольников».
Длительную историю имеет понятия синуса. Фактически раз-
личные отношения отрезков треугольника и окружности (а по су-
ществу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III в.
до н. э. в работах великих математиков Древней Греции - Евклида,
Архимеда, Апполлония Пергского. В IV-V вв. появился уже спе-
циальный термин в трудах по астрономии великого индийского
ученого Ариабхаты (476 - ок. 550), именем которого назван первый
индийский спутник Земли. Отрезок AM он назвал ардхаджива
▲	(ардха - половина, джива - тетива лука,
_______А которую напоминает хорда). Позднее при-
f______вилось более краткое название джива. При
(	/ м\	переводе арабских математических текстов
Г	\ у	в XII в. это слово было заменено латинским
\	'л' синус (sinus - изгиб, кривизна).
А|	Слово косинус намного моложе. Коси-
нус - это сокращенное латинское выраже-
ние complementy sinus, то есть «дополнительный синус» (или иначе
«синус дополнительной дуги»; вспомните, cos а = sin(90° - а)).
Длительное время тригонометрия развивалась как часть гео-
метрии. Пожалуй, наибольшие стимулы к развитию тригонометрии
возникали в связи с решением задач астрономии, что представляло
большой практический интерес (например, для решения задач оп-
ределения местонахождения судна, предсказания затмений и т. д.).
Принципиальное значение имело составление К. Птолемеем пер-
вой таблицы синусов (долгое время она называлась таблицей хорд):
появилось практическое средство решения ряда прикладных задач.
Современный вид тригонометрии придал крупнейший матема-
тик XVIII столетия Леонард Эйлер (1707-1783), швейцарец по про-
исхождению, долгие годы работавший в России и являвшийся чле-
ном Петербургской академии наук. Именно Эйлер первым ввел
известные определения тригонометрических функций, стал рас-
сматривать функции произвольного угла, получил формулы приве-
дения. Все это малая доля того, что за долгую жизнь Эйлер успел
49
сделать в математике: он оставил свыше 800 работ, доказал многие
ставшие классическими теоремы, относящиеся к самым разным
областям математики.
Итог игры подводит жюри.
Домашнее задание: тренажер № 12.
У р о к 60. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Цель: проверка знаний, умений и навыков учащихся по изу-
ченной теме.
Вариант I
1.	Вычислите:
a) sin300°; б) tgf -	; в) 2sin у - cos у.
2.	Найдите sina и tga, если известно, что cos a = -0,6, у
3.	Упростите выражение:
( 1
а)	sin(7t + a) + cosl у л - а
б)	tg^y + aj - ctg(27t - а);
в)	cos 2а + 2sin2(re - а);
ч sina j sina
’ 1 + cosa 1 - cosa ’
4.	Докажите тождество:
cos2a(l + tg2a) - sin2a = cos2a.
5.	Решите уравнение:
a)	sin 2x = 0;
6)	cos x cos 2x - sin x sin 2x = 0;
в)	sin2x = -cox 2x.
Вариант П
1.	Вычислите:
a) cos(-210°); 6) tg^K;e) 2sin-^-tg-Y.
12
2.	Найдите cos a и tg a, если известно, что sin a = - —
3.	Упростите выражение:
f 3	>
a)	sinl ул-al-cos (я + а);
3
2
50
6)	tg(n + а) + ctg^ - а J;
в)	sin 2а + (sin а - cos а)2;
[A cosa cosa
'	1 - sina 1 + sina '
4.	Докажите тождество:
cos a - sin a _ tg a.cos a = cos a
cosa - sina
5.	Решите уравнение:
a)	sin 2x = 1;
6)	cos x-cos 2x + sin x-sin 2x = 0;
в)	cos2x = cox 2x.
Ответы:
Вариант I: 1. а) -&; 6)^/3 ; в)^/3 .
2. sina=y,tga = -y
3. a) -2sin a; 6) 0; в) 1; г) .
sina
5. a) x = neZ; 6) x + neZ; в) x = y + 7m, neZ.
/з	г-
Вариант II: 1. а)	; в) 2-у/З .
2. cos a=—tg a = 2,4.
3. a) 0; 6) 2tg a; в) 1; г) 2tg a.
5. a) x =-^ + 701, neZ; 6) x =-^ + 7m, neZ; в) x = тот, neZ.
ГЛАВА VI. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
§ 33. УРАВНЕНИЕ cos х = а
Знания и навыки учащихся
Знать определение арккосинуса, формулу решения уравнения
cos х - а, частные случаи решения уравнения (cos х = -1, cos х = 1,
cos х = 0); уметь решать простейшие тригонометрические уравнения.
51
Урок 61
I. Организационный момент.
Собрать на проверку тренажер № 12.
Н. Анализ контрольной работы.
Работа над ошибками проводится с привлечением консультан-
тов из числа учащихся, получивших «5» за контрольную работу.
III. Изучение нового материала.
Рассмотрим уравнение cos х = а.
Напомним, что cos х - абсцисса точки единичной окружности,
полученной поворотом точки Р(1; 0) вокруг начала координат на
угол х. Значит, корни уравнения cos х = а - углы поворота точки
Р( 1 ;0) в точку единичной окружности, имеющую абсциссу а.
Отметьте на единичной окружности соответствующие точки,
если 1) cos х = 1,5; 2) cos х= 1; 3) cos х=у.
1) уравнение не имеет решений, так как нет соответствующей
точки на единичной окружности;
2) угол поворота 2яп, neZ, следовательно, корни уравнения
х = 2тт, neZ;
3) две серии решений: х =у + 2лп и х = - у+ 2лп, neZ.
Очевидно, что уравнение cosx = а, где | а | < 1, имеет на отрезке
0 < х < п только один корень. Этот корень называют арккосинусом
числа а.
arccos а = а, если cos а = аи0<а<л, -1 < a < 1.
Итак, запишем в тетрадь по теории:
Уравнение cos х = а:
1)	не имеет решений, если I а I > 1;
2)	если | а | < 1, то х = ±arccosa + 2яп, neZ;
52
3)	частные случаи:
cos х = 0, х =-^ + ял, neZ,
2
cos х = 1, х = 2яп, neZ,
cos х = -1, х = п + 2лп, neZ.
№568-устно по очереди.
Ответ: 1) |; 2) 0; 3) &; 4) |; 5)	; 6)	.
№ 570 -устно (с использованием окружности или табличных
значений).
J3 1
Ответ: 1) arccos-^-<arccos^-;
( ъ I
2) arcosI “ I < arccos(-l);
V2
3) arcos - - > arccos
'	2
_±
2J
№571(1,2)-на доске по очереди.
Ответ: 1) х = ±-у + 2лп, neZ; 2) х = ±^2- + 2лп, neZ.
4	6
№ 572(1, 2)-самостоятел ьно по вариантам.
О
Ответ: l)x = ±arccos-^-+ 2лп, neZ;
2) x = ± arccos(-0,3) + 2тгп, neZ.
№575-под диктовку по очереди.
Ответ: 1) имеет; 2) имеет; 3) не имеет; 4) не имеет; 5) не имеет.
IV. Домашнее задание: № 569, № 571 (3).
V. Итог урока.
1.	При каких значениях а и а имеет смысл равенство arccos а = а?
2.	Что называется арккосинусом числа а? Приведите примеры.
3.	При каких значениях а уравнение cos х = а имеет корни? По
какой формуле их можно найти?
Урок 62
I. Организационный момент.
II. Решение уравнений.
№ 573 (1)-учител ь с классом.
№573 (3) -под диктовку.
53
№ 573 (5) - за доской.
Ответ: l)x=-^,neZ; 3) х = ±3я + 8яп, neZ;
5) х=^ + ял, neZ.
6
№574(1)-на доске по желанию.
Ответ: x=-J + -^, neZ.
8 4
№576(1)-учитель показывает на доске решение
cos22x = 1 + sin22x
cos22x - sin22x = 1
cos 4x = 1
4x = 2яп, neZ
x neZ.
2
№ 576(2, 3)-на доске по очереди.
№ 576(4)-самостоятельно с устной проверкой.
№ 576(5)-учитель с классом.
№ 576(6, 7, 8)-самостоятельно по вариантам.
Ответ: 2) х = ±^+ 2яп, neZ;
6
3)х = ±-7 + лп, neZ;
6
4)	х = ±^ + ял, neZ;
О
5)	х = я + 2яп, neZ;
6)	х = 2яп, neZ;
7)	х = ±-^+ 2яп, х = ±arccos-j + 2яп, neZ;
8)	х = ±у + 2яп, х = ±arccos^-j^ + 2яп, neZ.
№579(1)-на доске по желанию.
Ответ: х= 1,75.
№580-работа в группах.
Ответ: 1)0,2; 2) -|;3) -|;4) |; 5) j;6) |.
Ш. Домашнее задание: № 573 (2, 4, 6), № 574 (2), № 581.
54
IV.	Итог урока.
Самоанализ учащихся «Какие трудности при решении уравне-
ний я испытываю и почему?».
V.	Дополнительное задание.
№ 577, № 578, № 582 - на выбор. Если время позволяет, ре-
шение нужно продемонстрировать на доске.
Решение.
№ 577. cos 2х = --^
2
2х = ±arccos - -J- + 2тт, neZ
I 2)
2х = ±-^ + 2тт, neZ
x = i~ + яп, neZ
Отрезку
если п = -1, то х = --7 - л = -4~ или х = -77;
3	3	3
если п = 0, то х = -7 или х =7;
3	3
если n = 1, то х =77 или х = 4”;
3	3
если п = 2, то х =4^ или х ;
3	3
если п = 3, то х = 2^ илих = 3-^;
3	3
л. 5я
2’ 2
принадлежат корни
,/2
№ 578. cos 4х =^—
2
л/2
4х = ±arccos-^- + 2яп, neZ
4х = ±4 + 2лп, neZ
4
х = ±7^-+-^ neZ
16 2
если п = -1, то х=	= -777 или х =77 -— = -77;
16 2	16	16 2	16
55
если n = 0, то х = -77 или х =77;
16	16
если n = 1, то х--77 +2 = тт или х =77+ -7 = 77.
16 2 16	16 2 16
Условию | х | <& удовлетворяют х = - и х =	.
Ответ:	.
16 16
1	2/2
№ 582. 1) sin arccos-J-+ arccos—7— .
3	3
\	7
Найдем sin(arccosa). Пусть arccos a = а, где | a | < 1 и 0 < a < я
тогда cos a = а, следовательно sin a =д/1 - cos2a
-а2
sin! arccos^
1 / \2
'-I
• I 2,/2
sm arccos *
1-
2V2
3
1
3
COS
cos arccos 7 =7-,
3j 3
2^2} 2^2
arccos 3	= —-—
3
sin arccos j + arccos
х
xcos arccos—j
+ sin arccos
arccosj
_2л/2 2^2 i 1 = 8+1 = 2 = 1
3	3	3 3 9 9 9	’
Ответ: 1.
I 4)4
2) cosl arccosy I = |,
56
I 4	3 I l 4 1
cosl arccosy - arccosy I = cosl arccosy I x
I 3 1-1	4 i • I 3
x cosl arccosy I + sml arccosy I • sin I arccosy
= 4 3 3 4 = 12 12 _24
5 5 5 5 25 25 25 '
Ответ:
§ 34. УРАВНЕНИЕ sin x = a
Знания и навыки учащихся
Знать определение арксинуса числа, формулу решения уравне-
ния sin х = а, частные случаи решения уравнения (sin х = -1, sin х = О,
sin х = 1); уметь решать простейшие тригонометрические уравнения.
Урок 63
I. Организационный момент.
II. Повторение.
Некоторые учащиеся работают по карточкам на отметку. Зада-
ния дифференцированы по уровню сложности (карточка 1 - более
простой уровень, 6 - более сложный).
Карточка 1
( Г~ >
л/3
1. Вычислить arccos —.
2. Решить уравнение:
д/2
a) cos х = --у-; б) cos 2х = 1.
57
Карточка 2
1. Вычислить arccos^-.
2
2. Решить уравнение:
a) cos х =-^-; б) 2cos х = 0,3.
Карточка 3
1. Вычислить cos (arccos 0,6).
2. Решить уравнение:
a) cos х =~2 ; б) cos( х + •£ 1= 0.
Карточка 4
1. Вычислить sin
2. Решить уравнение:
a) cos 2х = -0,4; б) cos x-cos 2х - sin x-sin 2х = -1.
Карточка 5
1. Вычислить tgl arccos1.
2. Решить уравнение:
a) 2cosfx+yl = 1; б) (1 + cos х)(3 - cos х) = 0.
Карточка 6
1. Вычислить sin arccos—
К 4
2. Решить уравнение:
а) д/2со8^х + ) = 1; б) 2cos2x = 3.
Ответы:
№ карт.	1	2а)	26)
1	2	3	4
1	5л 6	±-3^- + 2яп, neZ 4	яп, neZ
2	я 3	±v + 2яп, neZ 4	±arccos0,15+2 яп, neZ
58
Окончание табл.
1	2	3	4
3	0,6	±^ + 2яп, neZ	4 + тт, neZ 4
4	V2 2	±^-arcos(-0,4)+ ют, neZ	тт 2тсп 4+-ЗГ-, neZ 3	3
5	7з	_	+ 2^,. 2яп, neZ	7t + 2тт, neZ
6	715 4	- 4 + 2тт; 2тт, neZ 2	нет решений
Остальные учащиеся работают устно. Задания отпечатаны на
листочках (на каждую парту), либо используется проектор.
1. Из уравнений: cos х = 2, cos х = -1, cos х = 0, cos х +
cos х = 0,1, cos х =-4, cos х + 1 = 2, cosl 2х + 4 I = 0, 2cos х = -3,
3	I 4J
2cos x =^J2 - выберите те, которые: а) не имеют решений; б) име-
ют одну серию решений; в) имеют две различные серии решений.
Найдите эти решения.
Z \
2. Найдите: arccos-^, arccos! - у j, arccos 0, arccosy, arccos-^-,
arecosf-l), arccos , arccos -
/3
2
, arccos-y=-. Какие из этих
выражений не имеют смысла? Почему?
III. Изучение нового материала.
Рассмотрим уравнение sin х = а.
Так как sinx - ордината точки единичной окружности, полу-
ченной поворотом точки Р (1; 0) вокруг начала координат на угол
х, то уравнение sinx = а, где | а | < 1, на отрезке
—-<х <—
2 “ “2
имеет
только один корень.
59
Этот корень называют арксинусом числа а.
arcsin а = а, если sina = а и a <-J
2	2
Уравнение sin х = а:
1)	не имеет решений, если | а | > 1;
2)	если |а|< 1, то х = (-l)karcsin а + лк,
keZ;
3)	частные случаи:
sinx = -l, х = -?-+ 2лп, neZ;
2
sinx = 0, х = лп, neZ;
sinx = 1, х =?• + 2лп, neZ.
2
№586-устно по очереди.
Ответ: 1)0; 2)	3)	4)	5)6)
№ 588 - у с т н о (с использованием окружности или табличных
значений).
Ответ: 1) arcsin 4- > arcsin - 4- ;
4 I 4 J
I 11
2) arcsinl - I > arcsin(-l).
№ 589(1,3)-на доске по очереди.
Ответ: 1) х = (-l)k -у + лк, keZ; 3) х = (-1)к+1--^- + лк, keZ.
№ 590 - самостоятельно по вариантам с устной
проверкой.
Ответ: 1) х = (-1)п • arcsin-y + лп, neZ;
2) х = (-l)n+1 • arcsin-^ + лп, neZ;
„	л/5
3)х = (-1) • arcsin-у-+ лп, neZ.
№ 593 (1, 3) - под диктовку.
№ 593 (5)-за доской.
Ответ: 1) не имеет; 3) не имеет; 5) имеет.
60
IV. Домашнее задание: № 587, № 589 (2), № 593 (2,4, 6).
IV. Итог урока.
1. Что называется арксинусом числа? Приведите примеры.
2. По какой формуле можно найти корни уравнения sin х = а?
Урок 64
I. Организационный момент.
II. Решение уравнений.
№591(1)-учитель с классом.
№591(3)-под диктовку.
№591(5)-за доской.
Ответ: 1) х =& + утт, neZ; 3) х = (-1)п+1	+ Зтт, neZ;
5) х = —	+ 7tn, neZ.
№592(1)-на доске по желанию.
Ответ: l)x=yp-,neZ.
№594(1,2)- на доске по очереди.
№ 594 (3, 4) - самостоятельно по вариантам с
устной проверкой.
Ответ: 1) х = (-1)п	neZ;
2)x = (-l)n+I -^ + ^-,neZ;
6	2
3)	х = (-l)n+I ^arcsin у + 2тт, neZ;
4)	x = (-l)n -yarcsiny+^y^-, neZ.
№ 595 (1)-учитель с классом.
Ответ: x = y + 2тт, neZ.
№596(1)-под диктовку.
Ответ: x = (-l)n • arcsin-у + Tin, neZ, x = (-l)n+1 •7 + 7m, neZ.
4	6
№604(1)-на доске по желанию.
Ответ: 7.
61
№599-работа в группах.
Ответ: 1) 1; 2)-|; 3)|; 4)-|; 5)|; 6)|.
III.	Домашнее задание: № 591 (2, 4, 6), № 592 (2), № 595 (2),
№ 600.
IV.	Итог урока. Самоанализ учащихся.
V.	Дополнительное задание.
№ 597, № 598, № 603 - по выбору.
Решение.
№ 597. sin 2х
2х = (-1)к • arcsin^-+ лк, keZ
2х = (-1)к--7 +як, keZ
6
х=(-1)к‘й+Т’ке2
еслик = -1,то х = -77--7 = —77;
12 2	12
если к = 0, то
если к= 1, то
если к = 2, то
если к = 3, то
если к = 4, то
Отрезку [0; 2л] принадлежат корни х =^-, х =^> х =^2^’
12 ’
v _ л , я .. 5л .
Х 12 + 2 " 12 ’
х=_я +я = 13л.
Х 12 П 12 ’
y - л . Зя _ 17л .
Х 12	2 “ 12 ’
х =— + 2я = 2-т-л .
/3
у = (-1)к • arcsin^- + як, keZ
62
A = (_l)k.| + „k>kez
x = (-l)k-y+2itk,kGZ
Решим неравенство logn(x - 4л) < 1
logn(x - 4л) < 1о&,л, так как функция у = log„t возрастает, то
О < х - 4л < л
4л < х < 5л.
u „	. x V3
Найдем корни уравнения sin у = -у-, удовлетворяющие усло-
вию 4л < x < 5л.
Если k= 1, то x =-Дг + 2л = 11д;
3	3
если к = 2, то х = ^- + 4л = 4^-п;
3	3
если к = 3, то х = -Д^ + 6л = 51л.
3	3
Очевидно, что неравенству logn(x - 4л) < 1 удовлетворяет один
о
корень х= 4ул.
№603. 1) sin arcsin^- = 1
I 3j 3
 I 272
sm arccos—^—
1-
cos arcsin -z-
2j2
3
2J2} 2^/2
1-8=1
9 3 ’
cos
arccos
sin arcsinl + arccos
3
2^/2
3
= sin( arcsinl jcos arccos
2^2
3
3
3
+ sin arccos
63
2)cos[ arcsin4 I = Jl-I-7 I =
I 5) V 15 J V 25 5
I 4 14
cost arccos у I = y
. I .31 3
sinl arcsin у I = у
• I 4
sinl arccosу
1-16 =3
25 5
(-3	41	1-311	4
cost arcsin у + arccos-у I = cosl arcsin у I • cosl arccosy
•i -31-1	.4144 33	16	9	7
sinl arcsin 5 I - sinl arccos J - 5 -y- 5 • 5 - 25 - 25 " 25 ’
§ 35. УРАВНЕНИЕ tg x = a
Знания и навыки учащихся
Знать определение арктангенса числа, формулу решения триго-
нометрического уравнения tg х = а, уметь применять формулу для
решения уравнений.
Урок 65
I. Организационный момент.
П. Повторение.
Некоторые учащиеся работают по карточкам на отметку.
1. Вычислить arcsin
Карточка 1
2 Г
2. Решить уравнение:
ч • V3
a) sm х =-у-
; б) sin 2х = 0; в) sin х +
г) sin Зх • cos х + cos Зх • sin х = -1.
64
Карточка 2
1. Вычислить sin(arcsin 0,3).
2. Решить уравнение:
a)sinx = --^; б) sin -^х = 0,2; в) 4sin| х + -у 1=0;
2	2	у Ь J
г) (1 + sin х)(4 - sin х) = 0.
Карточка 3
1. Вычислить tg^arcsin .
2. Решить уравнение:
д/2
a) sin х = —-~—; б) 3sin х = 0,1; в) (1 -2 cos x)(sin 4х + 1) = 0;
г) 1 - 2 sin x-cos х = 0.
Ответ:
№ карт.	1	2а	26	2в	2г
1	к | 40 1	(-!/• у + як, keZ	ЯП — ,neZ 2	& + 2лп, 6 neZ	я | ЛП 8 2 ’ neZ
2	0,3	(-1)к+1--^ + як, 6 keZ	(-1)к-2агс- sin0,2 + +2лк, keZ	— ~ + яп, 6 neZ	— — + 7СП, 2 neZ
3	1 2^2	(-1)к+1-у + лк, keZ	(-1)к- arcsin-^- + 30 + лк, keZ	±у+2яп; я । яп 8 2 , neZ	7 + яп, 4 neZ
Остальные учащиеся работают с тестовыми заданиями. Задания
разбираются по очереди. Для этого нужно подготовить либо не-
большие плакатики на каждое задание, либо использовать проек-
тор. Работа проводится следующим образом: вниманию учащихся
предлагается одно задание и 4 варианта ответа, дается время на об-
думывание решения. Затем проводится «голосование»: сначала
поднимают руки те учащиеся, у которых получился первый вари-
ант ответа, затем те, у кого второй вариант ответа и т. д. Учитель
3 Алгебра, 10 кл.. II пол.
65
называет верный вариант ответа. Решение комментируется либо
учениками, либо учителем, выявляются ошибки.
2	*2
1.	Решите уравнение cos х - sin х =
±
2 '
1) лт, meZ
3)±-7 + 2лк, keZ
6
1) (~1)п‘^ + лп> neZ
3)±у + 2л1, leZ
2) —+ 2л1, leZ
2
4)±у + лп, neZ
2.	Решите уравнение sin(n - х) - cos^y +	= -/3.
2)(-1)к -7 +лк, keZ
О
4) ±-^+ 2лт, meZ
6
3.	Решите уравнение cos(n + х) = sin
л
2 ’
1)±-^- +лт, meZ
3) л + 2лп, neZ
2) 2л1, IgZ
4) | + лк, keZ
4. Решите уравнение 2sin x-cos х =
1
2’
1)±-^- + лг, reZ
3)(-l)k-f + лк, keZ
О
2)("1)П’Т2 + 2П’Пе2
4)±у + 2л1, leZ
5.	Решите уравнение 3cos х -sin 2х = 0.
1)у + 2лп, neZ	2)2лп, neZ
3)±£+£n,neZ	4)-J + nn,neZ
'22	2
6.	Решите уравнение cos2x = 1 + sin2x.
1)лп, neZ	2)-^ + лп, neZ
3)	77 +2лп, neZ	4)^ + ^,neZ
'2	2 2
66
7.	Решите уравнение 9sin 4х = 0.
1)36 + ЛП’ n£Z	2)yn,neZ
3)у + 2лп, neZ	4)л + яп, neZ
Ответы:
1	2	3	4	5	6	7
4	1	3	2	4	1	2
III. Изучение нового материала.
Решим уравнение tg х = ^3 .
Построим углы, тангенсы которых
равны у/З .
Для этого проведем PM ± РО, причем
РМ = у/З . Из прямоугольного треугольни-
* РМ 73 с
ка ОМР находим tgx, =-= — = V3 .
РО 1
Откуда Xi = у.
Линия РМ называется линией тангенсов.
Точка М| получается из точки Р (1; 0) поворотом вокруг начала
координат на угол у, а также на углы х = у + 2яп, neZ.
Точка Мг диаметрально противоположна точке М|, следователь-
но, углы поворота для обеих точек будут х = + ял, neZ. Итак, кор-
ни уравнения tg х = -Д находятся по формуле х = у + лп, neZ.
Из определения тангенса следует, что тангенс может принимать
любое действительное значение. Действительно, на линии тангенсов
мы можем отложить от точки Р (1; 0) отрезок любой длины. Очевидно,
что на интервале у ;у^ уравнение tgx = а, где а е R, имеет единст-
венный корень. Этот корень называют арктангенсом числа а:
arctg а = а, если tg а = а и -у<а<у,а е R.
Все корни уравнения tg х = а, где а е R выражаются формулой
х = arctg а + лп, neZ.
67
№ 607 -устно.
Ответ: 1)0; 2) -|;3) -|;4)
№ 608 (1)-на доске по желанию.
Ответ: Зя.
№ 609 (1,3)- устно (с использованием окружности и линии
тангенсов).
J3
Ответ: 1) arctg(-l) >arctg -у-
3) arctg(-3) < arctg2.
№610(1,3)-на доске по очереди.
№610 (5)-под диктовку.
Ответ: 1) х = ^- + яп, neZ; 3) х = - — + тт, neZ;
6	3
5) х = arctg4 + тт, neZ. 
IV.	Домашнее задание: № 608 (2,3), № 609 (2,4), № 610 (2,4, 6).
V.	Итог урока.
Историческая справка
Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении
длины тени. Тангенс, а также котангенс, введен в X в. арабским
математиком Абу-л-Вафой, который составил и первые таблицы
для нахождения тангенсов и котангенсов. Однако эти открытия
долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и
тангенсы были заново открыты в XIV в. сначала английским уче-
ным Т. Бравердином, а позднее немецким математиком Региомон-
таном (1467 г.). Само название «тангенс», происходящее от латин-
ского tanger (касаться), появилось лишь в 1583 г.
-	Подумайте, откуда произошло это название. (Линия танген-
сов - это касательная к единичной окружности.)
У р о к 66
I. Организационный момент.
II. Тест.
Задание	A	Б	В	Г
1	2	3	4	5
1. Вычислить . (	( V2^ sin arccos --’т- I VJJ	-^2 2	72 2	Зя 4	1
68
Окончание табл.
1	2	3	4	5
2. Решить уравнения: cos х = -1	л + 2лп	2лп	-я + 2яп	^+2лп, neZ 2
sin 2х = 1	ЯП	2лп	•7 + ЯП 2	~ + лп, neZ 4
tgx=l	т;+2лп 2	Я + ЯП	-7+2лп 4	— + лп, neZ 4
sin x-cos 2x + + cos x-sin 2x = 1	з"	2лп	я . 2лп 6	3	5 +2лп, neZ 2
Ответ: БАГГВ.
III. Решение уравнений.
№611(1,3)-на доске по очереди.
лп
Ответ: 1) х =-^-, neZ; 3) х =-2л + бяп, neZ.
№612-самостоятельно по вариантам.
Ответ: 1)х=у + лп, х = -у + лп, neZ.
2)х=-у+лп, х = у + лп, neZ
3)	х = ±у+ 2лп, х = arctg2 + лп, neZ
4)	х = (-l)n+1--7 + лп, х = arctg4,5 + лп, neZ
6
5)	х = - arctg4 + лп, х =у + 2лп, neZ
6)	х=~^+ блп, х=у + лп, neZ
№614(1)-за доской.
Ответ: •».
№ 615-доказательство - на доске по желанию.
(1, 2)-устно.
(3,4)- под диктовку (воспользоваться формулами приведения).
№ 616-доказательство - на доске по желанию.
(1)-устно.
(2)-под диктовку.
69
№617(1, 3)-на доске по очереди.
Ответ: 1)	3) -у.
3	4
№619-работа в парах.
От в е т: 1) х 1,46 + яп, neZ; 2) х =-1,44 + яп, neZ.
IV.	Домашнее задание: № 611 (2), № 614 (2), № 616 (3, 4),
№617 (2, 4); тренажер № 13.
V.	Итог урока.
Самоанализ учащихся «Что у меня получается хорошо при ре-
шении тригонометрических уравнений? Что получается плохо и
почему?».
VI.	Дополнительное задание.
№613-учитель показывает решение на доске:
3tgx-.j3 = 0
Л
tgx= -у
Л
х = arctg-^ + яп, neZ.
х =-7 + ял, neZ.
6
Рассмотрим несколько значений:
л	5л
Если n = -1, то х = — я =-;
6	6
если п = 0, то х ;
6
если П = 1,ТОХ=-у-1-Я = 1--7Я.
6	6
Наименьший положительный корень х = ^; наибольший отри-
6
“	5л
цательныи корень х = - ^.
6
№618-индивидуально.
Доказательство:
Пусть arctg а = а, где - у < а <у, тогда tga = а.
70
1
Равенство cos(arctga)
1 + а2
перепишем
виде
в
. Так как -?•< а <%, то cos а > 0, значит,
2	2
cos а = , - I---
•Jl + tg2a
л	J	7	1
cos а =-------. Откуда 1 + tg а =—1— . Это известное нам триго-
1 + tg2a	cos2a
неметрическое тождество.
§ 36. РЕШЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Знания и навыки учащихся
Знать некоторые виды тригонометрических уравнений; уметь
решать простейшие тригонометрические уравнения, квадратные
уравнения относительно одной из тригонометрических функций,
однородные и неоднородные уравнения.
Урок 67
I. Организационный момент.
II. Теоретическая часть.
- В тетрадях по теории у вас записаны алгоритмы решения
простейших тригонометрических уравнений sin х = a, cos х = а и
tg х = а. К этим уравнениях сводятся другие тригонометрические
уравнения. Запишем следующий подзаголовок: Уравнения, сво-
дящиеся к квадратным.
1.	Уравнения вида a sin2x + b sin х = с (a cos2x + b cos х = с; atg2x +
+ b tg х = с) являются квадратными относительно sin х (cos х; tg х).
Обозначив sin х = у (cos х = у; tg х = у), получим уравнение
ау2+ by = с.
Пусть yi и уг - его корни, тогда решение исходного уравнения
сводится к решению простейших уравнений sin х = yi и sin х = уг
(соответственно для косинуса и тангенса).
2.	Уравнения вида a cos2x + b sinx = с (a sin2x + b cos х = с) сво-
дятся к квадратным заменой cos2x = 1 - sin2x (sin2x на 1 - cos2x со-
ответственно).
71
3.	Уравнения, содержащие тангенс и котангенс, также сводятся
к квадратным заменой ctg х на -у— и последующим умножением
обеих частей уравнения на tg х.
В качестве примера рассмотрим задание № 622 (2).
tg х = ctg х
Решение.
tgx=-L
tgx
tg2X = 1
l)tgx= 1, x =-y +7ГП, neZ.
4
2)tgx = -l, x=-y+лп, neZ.
Следует обратить внимание на запись ответа в подобных урав-
нениях. Если отметить
на единичной окружности полученные
множества корней уравнения, то ответ
можно записать в другом виде.
Очевидно, что ответ можно записать
так: х=—+ -Jn, neZ .
4 2
Иногда бывает, что две серии корней,
полученных при решении тригономет-
рического уравнения, имеют общую
часть, или одна серия содержится в другой.
III. Практическая часть.
№ 620 (1) - учитель с классом (рассмотреть различные
способы решения: как неполное квадратное и с использованием
формулы sin2x = 1 ~ c°s^a ).
№620(3, 4)-на доске по очереди.
Ответ: 1) х = ±^ + ют, neZ; 3) х = (-l)n	+ 7гп, neZ;
6	6
х = -у + + 2тт, neZ; 4) нет корней.
№621(1)-на доске по очереди.
№621(3)-за доской.
Ответ: 1)х = у + 2тт, neZ;
72
О
3) х = я + 2яп, neZ; х = ±arctg-^+ 2яп, neZ.
№622(1)-под диктовку.
№ 622 (3)-самостоятельно.
3)х=--^ + ял, neZ; х = arctg 4+ ял, neZ.
№646-учитель показывает на доске решение:
4sin2x + 2(а - 3)cos х + За - 4 = О
4(1 - cos2x) + 2(а - 3)cos х + За - 4 = О
4 - 4cos2x + 2(а - 3)cos х + За - 4 = О
4cos2x - 2(а - 3)cos х - За = О
Пусть cos х = у, тогда
4у2 - 2(а - 3) у - За = О
D = (а-3)2-4-(-За) = а2-6а + 9 + 12а = а2 + 6а +9 = (а + З)2.
Чтобы уравнение имело корни, необходимо условие D > 0.
(а + З)2 > 0 верно при любом действительном а.
Найдем корни квадратного уравнения:
a-3 + J(a + 3)2 а-3 + |а + з|
у=--------4------------~4---
а-3-J(a + 3)2 а-3-|а + з|
У2=-------4------=-----4----
а-3+ а + 3
1. cos х =--------
4
Если а > -3, то cos х = ~а ~ * а , cos х = .
Это уравнение будет иметь корни, если у < 1, то есть
“2“
Найдем эти корни: х = ±arccos^yj + 2яп, neZ. Если а < -3, то
cos х = а ~ ~ а ~ -, cos х =- -2-. Это уравнение не имеет корней.
73
a - 3 - a + 3
2. cos x =------->----1
4
Если a > 3, то cos x =-—2__a—3, cos x _ _1д уравнение не
имеет корней.
Если а < 3, то cos х =а~3+а+3, cos х =-|-. Это уравнение бу-
дет иметь корни, если
< 1, то есть -1	1, -2 <а < 2;
2	2
~2~
х = ±arccos4 + 2лп, neZ.
2
Ответ:-2<а<2, х = ±arccos-^ + 2лп, neZ.
2
IV.	Домашнее задание: № 620 (2), № 621 (2,4), № 622 (2, 4).
V.	Итог урока.
VI.	Дополнительное задание.
№ 644-индивидуально.
Решение.
1) 41 cos х | + 3 = 4sin2x
4 cos х + 3-4(1 - cos2x) = 0
4 cos x + 3 - 4 + 4cos2x) = 0
4cos2x + 4 I cos x I - 1 =0
а) Если cos x > 0, to 4cos2x + 4cos x - 1 = 0
Пусть cos x = у, тогда 4y2 + 4y - 1 = 0
D=4+4=8
У| 4	2
-1-72
у2=^-
v	-1 + V2
Уравнение cos х =------- имеет корни, так как
-1 + 72
Условию cos х > 0, а значит и у > 0, удовлетворяет yi =-
-1 + 72
2
T-	1	— 1 + Л/2	_	_
Корни находятся по формуле х = ±arccos-----— + 2лп, neZ.
74
б) Если cos х < 0, то 4cos2x - 4cos х - 1 = 0.
Пусть cos х = у, тогда 4у2 — 4у — 1 = 0
D = 4 + 4 = 8
y.=—
1-J2
y2=—
2
1-J2
Условию cos x < 0 (значит, у < 0) удовлетворяет уг =—
2	2
□	1 - V2
Значит, уравнение cos х =—— имеет корни
1-V2 „
х = ±arccos—— + 2тт, neZ.
2
J2 -1	1 - J2
Ответ: х = iarccos-^—-—+ 2лп, neZ: х = iarccos——+ 2лп,
2	2
neZ.
2) | tg х | +1 =—J—
cos2x
| tg x | +1 = 1+ tg2x
tg2x -1 tg X | = 0
а)	Если tg x > 0, то tg2x - tg x = 0
tg x(tg x — l) = 0
tg x = 0 или tg x - 1 = 0
x = 7tn, neZ tg x = 1
x =4 + neZ.
4
б)	Если tg x < 0, to tg2x + tg x = 0
tg x(tg x + l) = 0
tg x = 0 или tg x + 1 = 0
tg x = -1
x —4 + 7m, neZ.
4
Ответ: x = 7m, neZ; x = ±— + 7m,n6Z.
4
75
Урок 68
I. Организационный момент.
Собрать на проверку тренажер №13.
II. Теоретическая часть.
Запишем в тетрадь по теории подзаголовок: Однородные
уравнения.
1. Уравнения вида a sin х + b cos х = 0 называются однородными
тригонометрическими уравнениями первого порядка;
a sin1 2x + +b sin X'cos х +с со^х = 0- однородными второго порядка.
Такие уравнения делят на cos х (на cos2x соответственно) и полу-
чают уравнения, содержащие тангенс: a-tg х + b = 0 (соответственно
a-tg2x + b-tgx + с = 0), которые решают известными способами.
Но при делении на выражение, содержащее неизвестное, могут
быть потеряны корни. Проверим, не являются ли корни уравнения
cos х = 0 и уравнения cos2x = 0 корнями соответствующих одно-
родных уравнений.
Если cos х = 0, то a sin х + Ь-0 = 0, то есть sin х = 0. (Аналогич-
но, если cos2x = 0, то и sin2x = 0, то есть sin х = 0). Однако, sin х и
cos х не могут одновременно равняться нулю, так как они связаны
равенством sin2x + cos2x = 1. Следовательно, при делении на cos х
(на cos2x) соответствующего однородного уравнения корни его не
теряются.
2. Неоднородные уравнения.
Уравнения вида a-sin х + b-cos х = с, где а * 0, в * 0, с * 0, назы-
ваются неоднородными тригонометрическими уравнениями
первого порядка. Они имеют несколько способов решения. Рас-
смотрим три основных.
1) С помощью формул половинного угла.
Используя формулы
2 у . 2 У
cosx= cos --sin
2	2
sin х = 2cos -$- sin ,
2	2
1 = cos2 -~- + sin2
2	2
76
получаем
_ х • X . I 1 X . 2 XI I 2 X .2^1
a-2cos-T-sin-r- + b cos —-sin — =с- cos — +sin — x
22^	2	2	2 J
x(-b-c)-sin —+ 2a-sin—cos—+ (b-c)-cos — = 0
2	2	2	2
Таким образом, получено однородное уравнение второго по-
рядка, которое вы уже умеете решать.
2)	С помощью формул тангенса половинного угла.
Используя формулы
2tgf
sin х =-----—,
1+tg2y
l-tg2f
cos x=-----—,
1 + tg2 £
5 2
получаем
2tgf	1-tg2*
a------— + b-------— = c
l + tg2|	l + tg2|
2atg у + b - b-tg2 у = c + c-tg2 *
(-b-c)-tg2^ + 2a • tgy + (b-c) = 0.
Таким образом, получается уравнение, сводящееся к квадратному.
3)	С помощью вспомогательного угла.
Так как а 0, b 0, то можно поделить обе части уравнения на
д/а2 + Ь2 , получим
, а   sinx + —г-b	. cosx = —. с
Va2 + b2 Va2 + b2 7а2 + Ь2
Пусть sin ср =-. Ь =, cos ср = ,—-—=. Это возможно,
7а2 +Ь2	7а2 + Ь2
77
так как выполняется равенство sin2<p + cos2<p = 1. Тогда получим уравнение
cos ср • sin х + sin ср • cos х = .—-—=, sin (х + ф) = с =.
Угол ф находится как arcsin-- или arccos-т= &
Va2+b2	Va2 + b2
Уравнения вида a sin2x + b sin x'cos х + c-cos2x = d, где d 0, ре-
шают следующим образом: представляют единицу как sin2x + cos2x и
умножают это выражение на d.
a sin2x + b sin x cos х + c cos2x = d(sin2x + cos2x). После преобра-
зований получим однородное тригонометрическое уравнение вто-
рого порядка.
III.	Практическая часть.
№ 624 (1)-на доске по желанию.
№ 624 (З)-самостоятельно.
Ответ: 1)х=-у+тт, neZ;3)x = arctg2 + лп, neZ.
№ 625 (1)-на доске по желанию тремя способа-
м и. Также можно дописать в тетрадь по теории: если в уравнении
a sin х + b cos х = с коэффициенты | а | = 1 и ] b | = 1, то можно вос-
пользоваться равенствами.
4
sin x - cos x =
4 + XJ'
№ 625 (З)-самостоятельно любым способом.
Ответ: 1) -J + 2лп, neZ; 3) — neZ.
2	'26	3
№636(1,3)-на доске по очереди.
Ответ: 1) х = arctg2 + лп, neZ; х = -arctg+ лп, neZ; 3) нет
корней.
IV.	Домашнее задание: № 624 (2, 4), № 625 (2, 4), № 636 (2, 4).
V.	Итог урока.
Чем отличается однородное тригонометрическое уравнение от
неоднородного?
78
VI.	Дополнительное задание.
№647-учитель с классом.
Решение.
sin2x - sin x-cos х - 2cos2x = a
sin2x - sin x-cos x - 2cos2x = a(sin2x + cos2x)
(1 - a)sin2x - sin x-cos x - (2 + a)cos2x = 0
Делим на cos2x:
(1 - a)tg2x - tg x - (2 + a) = 0
Пусть tg x = у, тогда
(1 -a)y -у-(2 + a) = О
D = 1 + 4 • (1 - a) • (2 + a) = 1 + (4-4aX2 + a) = 1 + 8 + 4a-8a-
- 4a2 = -4a2 - 4a + 9.
Квадратное уравнение не имеет корней, если D < 0.
- 4а2 - 4а + 9 < 0
4а2 + 4а - 9 > 0
Решим неравенство методом интервалов, для этого разложим
левую часть неравенства на множители.
,	-2 + 740
4а2 + 4а - 9 = 0, Д = 4 + 36 = 40, а =-------— или
4а2 + 4а - 9 = 4 а -
4а2 + 4а-9 = (2а + 1 -710) (2а + 1 + 710)
(2а + 1 -710 ) (2а + 1 +710 ) > 0
*- а
-1-V10 -1 + V10
Ответ: уравнение не имеет корней при а <---— или
-1 + 710
а >---—
79
Урок 69
I. Организационный момент.
II. Самостоятельная работа.
Решите уравнение:
Вариант I	Вариант II
1) 4sin2x -1=0	1) 4cos2x -1=0
2) 4sin2x - 4sin х + 1 = 0	2) 4sin2x + 4sin x + 1 = 0
3) 2sin2x + 5cos x + 1 = 0	3) 2sin2x - 5cos x + 1 = 0
4) sin 2x + cos 2x = 0	4) sin 2x - ^/3 cos 2x = 0
5) 1 - 2sin 2x = 6cos2x	5) 1 + 2sin 2x + 2cos2x = 0
Ответы:
Вариант I	Вариант II
1) x = ±7 + 7m, neZ 6	l)x = i~ +7m,neZ
2)x = (-lM +7ck, keZ 6	2)x = (-l)k+l-^ +7ck, keZ 6
3) x = ±-7 + 2?m, neZ 3	3)x = ±-^ +2тт, neZ
4) x = -7 +-71, neZ ’	8	2	4) x =| + 7m, neZ
5) x =-	+ 7m; x = arctg5 + 7m,	5)x = --|- +тт; x = -arctg3 + 701,
neZ	neZ
III.	Теоретическая часть.
Многие тригонометрические уравнения, правая часть которых
равна нулю, решаются разложением их левой части на множители,
используя различные тригонометрические формулы. При дальней-
шем решении нужно помнить, что произведение равно нулю, если
один из множителей равен нулю, а другие множители при этом не
теряют смысла. Полезно рассмотреть задачу 13 из текста параграфа.
IV.	Практическая часть.
№ 626 (1)-у ч ител ь с классом.
№626(3)-на доске по желанию.
Ответ: 1) х =^-, neZ; 3) х =--^ + 2тт, х =	+ neZ.
80
№ 628 - самостоятельно по вариантам с устной
проверкой.
Ответ: 1)х=у +лп, х = (-1)п+|-2л + 12лп, neZ;
2)х = ±л + 8лп, х=--^ + лп, neZ;
6
3)х = (-1)п-у	+ лп, х = -arctg77+лп, neZ;
6 6	2
4)	х =~ + 2лп, х = л + 2лп, х = arctg 3 + лп, neZ.
V.	Домашнее задание: № 626 (2, 4), тренажер № 14. Разобрать
задачи 9-12 из текста параграфа.
VI.	Повторение.
№ 666 -устно.
Ответ: 4-; J3 ; 1.
2 N
№667(1)-на доске по желанию.
№667(2)-за доской.
№ 667 (3, 4)-под диктовку.
Ответ: 1) 0; 2) -i-j 3) — 1; 4) 0.
VII.	Итог урока.
Самооценка знаний учащихся.
VIII.	Дополнительное задание.
№ 683 - индивидуально.
Решение.
7 - 4cosx • cos2x = V7sin2x
у - 4cosx • cos2x = д/7  2sinx  cosx
Найдем область допустимых значений уравнения:
-4cos x-cos2x > 0 и 14sin x-cos х > 0.
Рассмотрим первое неравенство. Так как cos2x > 0, то —4cos х >0,
значит, cos х < 0. Тогда из второго неравенства sin х < 0.
Решаем уравнение, возводя обе части в квадрат.
-4cos3x = 14sin x-cos х
14sin x-cos x + 4cos3x = 0
2cos x(7sin x + 2cos2x) = 0
81
а2 =
1) 2 cos х = 0, cos х = 0, х =у + лп, neZ.
2) 7sin х + 2cos2x = 0
7sin x + 2(1 - sin2x) = 0
7sin x + 2 - 2sin2x = 0
Пусть a = sin x, тогда 7a + 2 - 2a2 = 0
2a2 - 7a - 2 = 0
D = 49 + 16 = 65
7 +765
ai=^r~
7-^65
4
7 + 765 z
—— (нет решении, так как не удовлетворяет усло-
вию sinx < 0).
7-Тб5 /1чк . 7-Тб5	, , ,
sin х =--7—, х = (-1) • arcsin--т—+ лк, keZ. Отметим
4	4
решения на единичной окружности:
sin х =
Точка М2 получается из точки
Р (1; 0) поворотом на угол
. 7-765
х2 = - arcsin ——, а также на углы
-arcsin---7—+ 2лп, neZ. Точка M]
4
получается из точки P (1; 0) поворо-
том на угол xi = -it + arcsin —
a также на углы -it + arcsin——+ 2лп, neZ.
Заметим, что точка Mi находится в III четверти, где cosx < 0, а
точка М2 - в IV четверти, где cosx > 0. Учитывая ОДЗ уравнения,
запишем решение:
7-765
х = -it + arcsin-7— + 2лп, n е Z
4
х = arcsin----— + л(2п - 1), n e Z
82
х = arcsin
7-^65
4
+ ran, meZ.
7__ /65
Ответ:х=у+лп, neZ; x = arcsin—— + ran, meZ.
Урок 70
I. Организационный момент.
II. Решение уравнений.
На этом уроке наиболее активные учащиеся могут получить
отметки. Учитель отмечает в своей тетради активность и правиль-
ность ответов учащихся.
№623 (1,3)-на доске по очереди.
Ответ: 1) х = arctg 4 + лп, х = arctg 2 + лп, neZ;
3) х = arctg 2 + лп, х + 7tn> neZ.
№ 625 (1, 3, 4)-на доске по очереди.
Ответ: 1) х=у + 2лп, neZ; 3) х =у + 2лп, neZ;
4)x=^+2^-,neZ.
№627-работа в группах.
Ответ: 1) х = ^р-, х = (-1)п-~ + лп, neZ;
4	6
2)x=J+^-,x = (-l)n-^+731,n6Z;
3)x=-J+^,n6Z;
4)x=-^+2®-,neZ.
№634(1)-под диктовку.
№634(3)-за доской.
№ 634 (4)- самостоятельно.
Ответ: 1) х =-4-arctg+2Ш-, х =	+ neZ;
7	2	°2	2	8	2
3)х~ + -у-, neZ;
4) х = лп, neZ.
83
№ 629-самостоятельно по вариантам (4 варианта).
Ответ: 1) х =лп, х = у + ли, neZ;
2)х=^ + лп, х = (-1)п~ + яп, neZ;
2	6
3) х=-у-, х = -у arctg2 +уу, neZ;
4)х=у + лп,х = -y+nn,neZ.
III.	Повторение.
№ 655 (1, 3, 5) - п од диктовку.
Ответ: 1) |;3) ^;5)0.
IV.	Домашнее задание: № 623 (2, 4), № 625 (2), № 634 (2),
№ 655 (2, 4, 6).
V.	Итог урока.
Выставляются отметки некоторым учащимся.
VI.	Дополнительное задание.
№ 643-индивидуально на отметку.
Решение.
1. y/5cosx - cos2x = -2sinx
ОДЗ уравнения: sin х < О
5cos х - cos2x = 4sin2x
5cos x - cos2x + sin2x = 4sin2x
5cos x - cos2x - 3sin2x = 0
5cos x - cos2x -3(1 - cos2x) = 0
5cos x - cos2x - 3 + 3cos2x = 0
2cos2x + 5cos x - 3 = 0
Пусть t = cos x, тогда 2t2 + 5t - 3 = 0
D = 25 + 24 = 49
t --5-7_ и
t,-	4	—3
t _-5 + 7_1
t!---4	2
cos x = -3, нет корней
cos x =~, x = ± —+ 2лп, neZ.
2	3
84
Так как sin х < 0, то решения
уравнения х = - у + 2лп, neZ
Ответ: х = -у + 2лп, neZ.
2. 7cosx + cos3x = -^/Icosx
ОДЗ уравнения: cos х < О
cos х + cos Зх = 2cos2x
2cos 2x cos x = 2cos2x
2cos 2x-cos x - 2cos2x = 0
2cos x-(cos 2x - cos x) = 0
-2cos x • 2sin 4^- sin = 0
2	2
1)	cos x = 0, x =— + Ttn, neZ;
2
2)	sin-^=0,	= Ttn, x=—, neZ;
'22	3
3)	sin-J=0, ~ = ли, x = 2лп, neZ.
'22
Отметим решения на единичной окружности.
Так как cosx<0, то решение урав-
нения х =— + ли, neZ или
2
х = ±у^ + 2лп, neZ.
Ответ: -J +ли;±-^+2лп, neZ.
2’3
Урок 71
I.	Организационный момент.
Собрать тренажер № 14 на проверку.
II.	Повторение.
№ 676 (1, 2)- устно.
№ 676 (3, 4)-под диктовку.
85
Ответ: 1) |; 2) -|; 3)	4) -j.
№ 677-самостоятельно с устной проверкой.
Ответ: 1)	2) 2.
III.	Решение уравнений.
№ 630 (1)-у ч ите л ь с классом.
№630(2, 3)-на доске по очереди.
№630 (4)-самостоятельно.
Ответ: 1)х= —+ —,neZ; 2) х =77+ —, neZ;
4 2	16 4
3) х =-^- + лк, х = (-1)к • arcsin + лк, keZ;
4) х =-^- + лп, х = (-1)п~ + лп, neZ.
2	6
№632-в группах.
Ответ: 1)х = л + 2лп, х = ± — + 4лп, neZ;
3
2) х = -—+ лп, х = 2лп, х =-J + 2лп, neZ.
4	2
№635 (1)-на доске по желанию.
№ 635 (З)-учител ь с классом.
Ответ: 1)х =& + neZ; 3)х = лп, х = J + y, neZ.
№ 637 - учитель на доске показывает решение:
4sin Зх + sin 5х -2sin x-cos 2х = 0
Так как 2sin x-cos 2х = sin Зх - sin х, то
4sin Зх + sin 5х - sin Зх + sin х = 0
3sin Зх + sin 5х + sin х = 0
3sin Зх + 2sin Зх-cos 2х = 0
sin 3х(3 + 2cos 2х) = 0
1) sin Зх = 0, Зх = лп, х =^у-, neZ;
2) 3 + 2 cos 2х = 0, cos 2х =- -- нет корней.
Ответ: х= —, neZ.
3
№637(2)-за доской.
Ответ:х = лп, х = ±arccos-j + 2лп, neZ.
86
IV.	Решение систем уравнений.
Разобрать решение задачи 15 из текста параграфа.
№ 645 (1)-учител ь с классом.
Решение.
cos(x + y) = 0,	Гх + у =-^- +яп,
x + y=-J + ли,
2
_х-у = 2як, п, к eZ.
cos(x-y)=l, (х-у = 2як, г
Складывая уравнения, получим
2х =-J + яп + 2як,
2
х=у + -®р-+лк=я|-7 + -^- + к|,п, к gZ.
4 2	14 2
Тогда у = х - 2як = +	+ як - 2лк =^+^~ як =
= я у + ^-к ,n,keZ.
4 2
Ответ: я[-7 + -^- + к|;я|-7 + ^--к
42	/14 2
, п, к eZ.
№ 645 (2)- устно наметить способ решения сис-
темы (способ подстановки: из первого уравнения выразим sinx =
= 1 + siny и подставим во второе уравнение).
V.	Домашнее задание: № 635 (2, 4), № 645 (2), по желанию
№ 685 (2).
VI.	Итог урока.
VII.	Дополнительное задание.
№ 685 (^-индивидуально, консультация учителя.
Решение.
sin 2х + sin 2у = О,
— sin 2у=
2	2
sin 2х + sin 2у = О,
Г sin 2у = 1,
[sin 2х + 1 = О,
87
f sin 2у = 1,
{ sin2x = -l
2у = у + 2яп,
*
2х =	+ 2лп, neZ.
к 2
у = 4 + лп,
4
х = —— + лп, neZ.
4
Ответ: I -4 + лп;4 + яп , neZ.
к 4	4	)
Урок 72
I. Организационный момент.
II. Самостоятельная работа (10 мин).
Вариант I	Вариант II
1. Решите уравнение: a) V^sinx + cosx = ^2 б) (cos х + sin х)2 = cos 2x. 2. Решите систему уравнений: Г х + у = л, 1 sin х + sin у =^/3 .	а)	д/Ззшх - cosx = 72 б)	(cos х - sin х)2 = cos 2х. Jx+y=f, 1 sinx + cosy = -l.
Ответы:
Вариант I	Вариант II
1. а) х = (-1)к-4_4 +лк, keZ 4 6	1.а)х = (-1)к-4 + 4 + лк, keZ 4 6
б) х = лп, х = -4 + лп, neZ 4	б) х = лп, х =4 + лп, neZ 4
2. х = 44“ як, у = -4 + лк, 3	J 3	2. х =^- 2лк, у = -^+ яп,
к= 1,3, 5,	neZ
х =т4 - як, у = 4 + лк, 3	1 3	х =	2яп, у =^+ 2яп,
к = 2, 4, 6, ...	neZ.
88
III.	Решение уравнений.
№ 631 (1)-учитель показывает на доске решение:
2sin 2х - 3(sin х + cos х) + 2 = О
2(sin х + cos х)2 - 2 - 3(sin х + cos х) + 2 = О
2(sin х + cos х)2 - 3(sin х + cos х) = О
(sin х + cos x)(2sin х + 2cos х - 3) = О
1)	sin х + cos х = О
tg х + 1 = О
tg х = -1
х = —~ + ли, neZ.
4
2)	2sin х + 2cos х - 3 = О
2sin х + 2cos х = 3
Q	Q	□	о л/ /
-4^sin x + ~t=cos х=-7=. Заметим, что =
JU	Vs 2
sin(x + <p) =
J2
где <p = arccos-y-
□
нет решений, так как 1 •
Ответ: х = -4 +лп, neZ.
4
№ 631 (2, 3, 4)-работа в парах.
Ответ: 2) х = 2лп, х= — + 2лп, neZ;
2
3)	х = л + 2лп, х = -у + 2лп, neZ;
4)	х = л + 2лп, х = — + 2лп, neZ.
2
№ 638 (1)-учитель с классом.
№638(2)-на доске по желанию.
Решение.
1) sin2x + sin22x = sin23x
sin2x + (sin22x - sin23x) = 0
sin2x + (sin 2x - sin 3x)(sin 2x + sin Зх) = 0
sin2x + 2sinl - -77 cos ~ • 2sin 4^- cos = 0
I 2J 2	22
89
sin2x-2sin-^cos—2sin4^-cos4^= О
2	2	2	2
sin2x - sin x • sin 5x = О
sin x (sin x - sin 5x) = О
sin x • 2sin(-2x)-cos Зх = О
-2sin x • sin 2x • cos3x = О
sin x = О, x = лп, neZ
sin 2x = 0, 2x = 7cn, x = ^p-, neZ
2
cos 3x = 0, 3x =£ + ли, x + neZ.
2	6	3
Очевидно, что первая серия корней содержится во второй.
0твет:х = -®1-,х='7 + —, neZ.
2	6 3
2) sin х-(1 - cos х)2 + cos х-(1 - sin х)2 = 2
sin х-(1 - 2cos х + cos2x) + cos х-(1 - 2sin x + sin2x) = 2
sin x - 2sin x-cos x + sin x-cos2x + cos x - 2sin x-cos x + cos x-sin2x = 2
(sin x + cos x-sin2x) + (cos x + sin x-cos2x) = 2 + 4sin x-cos x
sin x-(l + cos x-sin x) + cos x-(l + cos x-sin x) = 2(1 + 2cos x-sin x)
(1 + cos x-sin x)-(sin x + cos x) = 2(sin x + cos x)2
(1 + cos x-sin x)-(sin x + cos x) - 2(sin x + cos x)2= 0
(sin x + cos x)(l + cos x-sin x - 2sin x - 2cos x) = 0
1. sin x + cos x = 0
tg x + 1 = 0
tgx = -l
x = —y +лп, neZ
4
2. 1 + cos x-sin x - 2sin x - 2cos x = 0
1 + sin -J+x sin x - 2sin x - 2sin -J+x = 0
12 J	{2 J
cos—-cos —+x
I 2 U ,
1
90
sin^-j+x j -Z^/Zsin^+xJ + у = 0
Пусть у = sinl -^+x 1, тогда у2 - 2^/2y + = О
х = --у + (-1 )karcsin + лк, keZ.
4	^2
2 — /З
Ответ: х = -—+ лп, х = -— + (-l)k-arcsin—г=— + лк, keZ.
4	4 v '	72
№639, 640-в группах (число групп кратно четырем).
Решение.
№ 639 (I), sin x-sin 2x-sin Зх =-7sin 4х
4
(cos x-cos Зх) -sin 3x=-^-sin4x
4- --7 (sin 2x + sin 4x)-4--4-sin 6x =4 sin 4x
2 2V	’ 2 2	4
4-sin2x+4-sin4x-4-sin6x-4sin4x= 0
4	4	4	4
-I(sin2x-sin6x)= 0
91
• 2sin(-2x)-cos 4х = О
1. sin 2х = 0, 2х = яп, х neZ.
2
2. cos 4х = 0, 4х + лп, х + ^р-, neZ.
2	8	4
Ответ: х= —, х =— + —, neZ.
2	8	4
№ 639 (2). sin4x + cos4x =-^ sin22x
/	\2	/	\2
1 - cos2x	I 1	+ cos2x I	_j_ • 29
I	I	I	~ I	_ Mil £л.
\ 2 J	\	2 )	2
1 - 2cos2x + cos2 2x +1 + 2cos2x + cos2 2x _ j_ • 2~
_ Mil ZA
4	2
1+cos 2x=lsin22x
2	2
1 + cos22x - sin22x = 0
1 + cos 4x = 0
cos 4x = -1
4x = я + 2лп, neZ.
x=-y + -pp, neZ.
4	2
Ответ: x= •p- + -^p-, neZ.
4	2
№ 640 (1). cos2x + cos22x = cos23x + cos24x
cos2x - cos24x = cos23x - cos22x
(cos x - cos 4xXcos x + cos 4x) = (cos 3x - cos 2xX cos 3x + cos 2x)
2sin 4^ sin •— 2cos	cos -^ = -2sin sin 2cos cos -^7-
22	22	22	22
4sin 3x sin 5x = -4sin x-sin 5x
4sin Зх-sin 5x + 4sin x-sin 5x = 0
4sin 5x-(sin 3x + sin x) = 0
4sin 5x • 2sin 2x-cos x = 0
8sin 5x • sin 2x • cos x = 0
92
1.	sin 5х = О, 5х = лп, х =	, neZ
2.	sin 2х = 0, 2х = яп, х =— neZ
2
3.	cosx = 0, х=^ + яп, neZ.
Ответ: х =^р-, х =-77, neZ.
5	2
№ 640 (2). sin6x + cos6x =!•
(sin2x)3 + (cos2x)3 =-i-
(sin2x + cos2x)(sin4x - sin2xcos2x + cos4x) =-^-
sin4x + cos4x - sin2x-cos2x =-^ (cm. № 639 (2))
1	+ cos2 2x _ 1 - cos2x 1 + cos2x _ J.
2	2'24
2 + cos2 2x - (1 - cos2 2x) _ ]
4	“ 4
2 + 2cos22x - 1 + cos22x = I
3cos22x = 0
cos 2x = 0
2x = -J + яп, x = -7 +	, n e Z.
2	4	2
Ответ: х=7+тр-, neZ.
4 2
V.	Домашнее задание: № 656 (2), № 657 (2), № 659 (2), № 661 (2),
№ 663 (2).
VI.	Итог урока.
Вспомнить основные способы решения простейших тригоно-
метрических уравнений. Разобрать устно схему решения уравнений
1) из номеров с 656 по 665. Пример ответа: № 661 (1): заменим
sin2x на выражение 1 - cos2x, уравнение сводится к квадратному
заменой cos х на t.
93
Урок 73
I.	Организационный момент.
На этом уроке проводится зачет по простейшим тригонометри-
ческим уравнениям. Предлагается 12 вариантов по восемь уравне-
ний в каждом. Система упражнений предназначена для закрепле-
ния навыков решения простейших тригонометрических уравнений,
а также для развития умений работать с получающимися в резуль-
тате решения уравнений сериями корней. В каждом варианте:
-	уравнения 1-3 необходимы для закрепления навыков работы
с усложненным (линейным) аргументом;
-	уравнения 4-6 позволяют научиться исключать из одной се-
рии корней другую - постороннюю;
-	уравнение 7 позволяет отработать навыки объединения двух
серий корней и записывать их в виде одной серии;
-	уравнение 8 позволяет научиться видеть, что одна серия со-
держится в другой, выбирать в этом случае для записи правильного
ответа нужную серию.
II.	Зачет.
Вариант I
Вариант II
„ . (Зх лЛ , п
2. sin — + —+1 = 0
<4 3)
3. 2cos| 2х -—| = 1
I 3 4J
. 2sinx +1
4.--------= = 0
2cosx + V3
$ 2cosx + 1 _
2sinx + 7з
6.^^ = 0
1 - sinx
7. sin —(cosx +1) = 0
3. V2cosf— + — ^ = 1
I 3 4j
. 2sinx + V2 _
4.---------= = ()
2cosx - V2
5	2cosx - 7з _ Q
2sinx +1
6.	----- =0
cosx - 1
7.	(cos2x +1 )| tg| x + — | -11 = 0
8.	(cos3x-l) sin —= 0
94
Вариант III	Вариант IV
, . 2х , 1. sin	= 1 3 2.	tg^4x+|) = -V3 3.	2cos|—77 12 6 J 4	2sinx + 73 _Q 2cosx -1 $ 2cosx -42 2sinx + 42 , l-sin3x o. 	= U 1 + sinx 7. sin x (sin2x +1) = 0 к	4 J 8. sin3x(cox + 1) = 0	L tgy = 0 _	(, л^ л/з 2.	cos 5x + — =	 I 3 J 2 3.	2sinf—1 = 1 <2 6 J , 2sinx - 42 n 4.		7= = 0 2cosx - V2 $ 2cosx-l _0 2sinx - 41 . 1 + cos4x л о. 	= 0 1 - sin2x 7. cosx(cos2x- 1) = 0 8. ^tg^x-^-l^(sinx + l) = O
Вариант V	Вариант VI
. . Зх 42 1.	sin — = — 2	2 2.	tg| 2x--] = -5 A 3 J „ ,	f x лА rr 3.	4cos —+— = V3 <4 6J 2sinx + T3 4.		= 0 2cosx +1 2cosx + 42 2sinx + V2 6.	sin4x .0 cos4x -1 7.	cos^~ - y^sin^x ~ y)+=° 8.	(cos4x +I)(sin2x -1) = 0	. . x 7з 1. sin —=	 5	2 2. tg| 3x + —| + l = 0 I 4 J „ „ fЗх лА 3. 2cos	=-l U 3j , 2sinx -1 4.	j= = 0 2cosx + V3 2cosx + 42 2sinx - 42 6. ^"2.x . .0 cos2x -1 8. (cos3x + l)cos-|- = 0
95
Вариант VII	Вариант VIII		
1 д 1. cos4x = — 2 п . (х 1 2. sin	= — l3 4>	2 4 2sinx-V3 _р 2cosx +1 2cosx + -Уз _ 2sinx -1 6.	-.™3х =0 cos3x -1 7.	(sin2x -1 )cos^x _	= 0 8.	^tg-^--l^(cos2x + l) = 0	, Зх 1. cos	= 4 „ x (X 71 2- 3. 2sin^2x 4 , 2sinx - 4.	 2cosx - > $ 2cosx - \ 2sinx - cos2x 6.		 sin2x 4-1 7.	(14-sinx) 8.	sin4x^sir	+	Д.	II	II 4	' 1 Я °?	°	° t	ьГ] 4-T-' 4	'	tJl J, 11	11	) = 0
Вариант IX	Вариант X		
1. cos — = 0 3 f Зх 2- tg V"7 =1 I 4 4J 3. 2sin| Зх + -| + 7з =0 I 3) . 2sinx +1 4. 	= = 0 2cosx - V3 2cosx-l n 2sinx + 7з 6	_cos3x_ = 0 cos2x +1 7.	(cos4x + l)sin2x = 0 8.	^cos^x +	+	+1) = 0	. . 2x 1 ‘.ШТ = - 2. COS^3x4- „ „ . (X 3. 3sm — <4 x 2sinx - V 4. 	 2cosx 4- yl 5 2cosx 4- 2sinx -V sin3x 4-1 0. 	 2sinx 4-1 7. (cosx-l)( 8. (sinx -1)	' « ' о 11	ч M|| Ml 511 я wlя - 00	и	О	||	..	4	' 4	' к>|х	О О	i	" +	11	II	— 1 a,	°	о + II Ф	
96
Вариант XI	Вариант XII
1.	sm6x = — 2 п	(5х 71	1 2.	cos	=1 1 2 4j 3.	V6tg[j- + -^| = V2 4	2sinx + V2 _Q 2cosx + 42 2cosx + 7з 2sinx +1 , 1 + cos3x „ 0.	= 0 sinx ( . ( x'l 7. sin х — -1 х 1	1	б)	J (	(	л)	n X COS X — +1 =0 I	I	3j	J 8. sin^y--^J(tgx-l) = O	. x 42 1.	cos—=	 8	2 . (Зх д'! -Уз 2. sin — + — = — V 5 3 J 2 3.	-tg|2x-4| = l k V J 4.	2sinx-73 _Q 2cosx -1 5	2cosx - 7з q 2sinx -1 6.	-sin6x =0 1 - cos6x ( . (	л A ) 7.	sin x— -1 x I	V	47	J (	(	H	iK x cos x — +1 =0 I	1	4J	J 8.	(sin3x-l)^tgy + l^ = 0
Ответы:
Вариант I		Вариант II	
l.x =	0 3arcctg^ + лп, neZ	l.x =	-y + 2лп, neZ
2. x =	sZ	2.x =	л яп -77 + —neZ
	9	3		24	4 ’
3.x =	±	лп, neZ 6 8	3.x =	±'V’~'V’+ Злп, neZ 8	8
	x	я + 2%n, neZ	4.-£	5~	х--^+2лп, neZ *	4
5. К	x =-уЧ-2лп, neZ	5. *	х=-у+2лп, neZ
6.^	x= - у+2лп, neZ	6. z	X. х = л + 2лп, neZ
4 Алгебра. 10 кл.. II пол.
97
		
7 A		
х = яп, neZ
		
		
x = яп, neZ
x=-®-, neZ
2
		
		
2лп
x =——, neZ
3
l.x =
2. x =
	
	
	
	
x = 4 + 2701, neZ
4
х = (-1)п-4 + яп, neZ
6
Вариант III
З4 + З701, neZ
4
-^T-z
±^4 + j+4toi, neZ
x= --^ + 2701, neZ
Вариант IV
, 2лп
1. x = ——, neZ
3
2.x=±S_JL + 2i2,nez
0	10	0
3. x = (-l)n-4 + 4 + 2701, neZ
3.x =
	
	
4 06	
	
	
	
v = 7t , Я П
4	2
neZ
V -ЯП
3 ’
neZ
Вариант V
l-x = (-l)n-J + ^,n6Z
О J
2. x= -^-arctg5 + 4 + “^"> neZ
2	6	2
3. x = ± 4arccos-^-——+ 8701
4	3
neZ
	
	
x = -y+ 2toi, neZ
4.
3 3
x= -34 + 2701, neZ
4
7t
x = — + 2701, neZ
3
л ~
x= — + 701, neZ
4
x=4A neZ
2
	/I	Ьк V
A	A A	J x
я
= — +701
2
neZ
Вариант VI
1.х = (-1)п--^- + 5яп,пег
2. x= ~4 + “Ч“’ nGZ
6	3
4я 2я ^я n _
3.x= ±-y + ^ + -^-,neZ
4.
x= y + 2toi, neZ
6
98
x= -^+2яп, neZ
4
neZ
x=-J + 7tn, neZ
2
x = - -7 + лп,
4
neZ
л 2л n
x=v + —v~>
3	3
neZ
Вариант VII
l.x= ±тт- + 4-лп, neZ
24 2
2.x = (-l)n+1	+ ^ + Злп, neZ
	4лп
3. x =	— ,neZ
и	х=у + 2лп, neZ
5 -Й	X- x = - — + 2лп
	У	о neZ
neZ
Вариант VIII
, 8лп „
1. x = —y~, neZ
2	. x= + 5лп, neZ
3	.x = (_l)"+1.J-f + ^-,nGZ
о о Z
4	.x =+ 2лп, neZ
”	6
5	. -XX-	х=-7+2лп,
О	4
neZ
Вариант IX
1.x = ^7 + Злп, neZ
4
„ Од 4лп „
2.	x= ^ + —— ,neZ
3	3
Вариант X
i	3.1 Злп	„
1	• x	~ arctg4- + ——, neZ
2	62	2
„	2л 2лп
2	.x= 77 + ——, neZ
9	3
99
З	.Х = (-1Г-j-|+™,nez
7.
х = -	+ 2лп,
6
neZ
х = — + 2лп, neZ
х =± -у+ лп, neZ
6
лп
х , neZ
4
X = - Я + ЯП,
4
neZ
3.	х=(-1)п+|-4агсзт-| + -^ + 4яп,
neZ
х = -у + 2яп,
4
neZ
х = —	+ 2лп, neZ
3
neZ
Вариант XI
1х = (-1Г' •^ + ^,neZ
о Л 4ЯП т
2.х=- + —,пег
3. х = 2яп, neZ
Вариант XII
1. х = ±6л + 16яп, neZ
2.x = (-l)".^_^ + ^,nGZ
4 J 9	9	3
„	п ЯП
3. Х= -7Гг + ~7Т, n£Z
24	2
х = - —+ 2лп, neZ
4
х= -^ + 2лп, neZ
6
х =± — + 2яп, neZ
3
х =Дг + 2лп, neZ
3
х = --2+2701, neZ
6
neZ
neZ
100
(Автор этой разработки - В. Кривоногое, д. Ковригино Ниже-
городской области.)
Если класс недостаточно сильный, то данную работу можно
провести не в виде зачета, а как самостоятельную работу обучаю-
щего характера (то есть во время работы ученик может прокон-
сультироваться у учителя по тем или иным вопросам).
V.	Домашнее задание: № 662 (2), № 664 (2), № 665 (2, 4).
VI.	Итог урока.
Самооценка учащимися своих знаний и навыков.
§ 37. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ПРОСТЕЙШИХ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ НЕРАВЕНСТВ
Знания и навыки учащихся
Знать алгоритм решения тригонометрических неравенств;
уметь решать простейшие тригонометрические неравенства.
Урок 74
I. Организационный момент.
Результаты зачетной работы. Анализ допущенных ошибок.
Разбор наиболее часто встречающихся ошибок.
II. Теоретическая часть.
1. Неравенства вида cos х > а и cos х < а.
По определению косинуса cos х - это абсцисса точки единич-
ной окружности. Абсциссу, большую а (меньшую а), имеют все
точки дуги единичной окружности, лежащие правее (левее) прямой
cos х = а.
Абсциссу, равную а, где |а| < 1 имеют две точки окружности А
и В. Точка А (лежащая в верхней полуплоскости) получается пово-
ротом точки Р(1; 0) на углы arccosa + 2лп, neZ, точка В - на углы
2л - arccos а + 2лп, neZ (для неравенства cos х < а) или на углы -
arccos а + 2лп, neZ (для неравенства cos х > а). Записываем реше-
101
ние неравенства - точки дуги АВ (то есть от А до В для неравенст-
ва cos х < а), точки дуги ВА (то есть от В до А для неравенства
cos х > а).
Разобрать решение задач 1 и 2 из текста параграфа.
2. Неравенства вида sin х > а и sin х < а.
A: arcsin а + 2лп, neZ
В: л - arcsin а + 2лп, neZ
Решение: дуга АВ.
A:	arcsin а + 2лп, neZ
В:	-^2п + arcsin а) + 2лп, neZ
Решение: дуга ВА.
arctg а + лп < х < — + лп, neZ. — + лп < х < arctg а + лп, neZ.
4. Неравенства вида ctg х > а и ctg х < а.
лп < х < arcctg а + лп, neZ.
ctg х < а
Решение.
arcctg а + лп < х < л + лп, neZ.
102
III. Практическая часть.
Для отработки и закрепления теоретических знаний выполня-
ются небольшие задания - решение простейших тригонометриче-
ских неравенств - по очереди на доске.
№ за- даний	Номер по учебнику	Рисунок			Ответ
1	2	3			4
1.	№ 648 (1)	У‘ ( 0		я 7 1 -х	- — + 2 тт < х	+ 2лп, 4	4 neZ
			£ 21	ЧС 4	
2.	№ 648 (2)	У‘ ( 0		я 7 । ~х	я „	11л — + 2лп < х <	+ 2лп, 6	6 neZ
			£ 2.	11л	
3.	№ 649 (1)	У‘ ( 0	1 х		х - любое число
					
4.	№650(1)	5я у>	я		я Л	5я „ — + 2лп < х <— + 2лп, 6	6 neZ
			2	гх		
		\ 0			
103
Продолжение табл.
104
Окончание табл.
V.	Домашнее задание: № 648 (3,4), № 650 (3, 4), tg х > -1,
ctg х < л/з .
VI.	Итог урока.
В чем состоит алгоритм решения простейших тригонометриче-
ских неравенств?
Урок 75
I. Организационный момент.
II. Решение неравенств.
На этом уроке некоторым учащимся учитель ставит отметки за
работу на уроке.
№ 649 (2)- под диктовку.
№ 649(3, 4)-самостоятельно по вариантам.
О т в е т: 2) нет решений; 3) х = 2лп, neZ; 4) х = п + 2лп, neZ.
№ 651 (1)-устно.
№ 651 (2) - з а доской.
№651(4)-под диктовку.
7С
Ответ: 1)х - любое число; 2) нет решений; 4) х =—+ 2лп,
2
neZ.
105
№ 652 (1)-учител ь с классом.
№652(2,3,4)- на доске по очереди.
Ответ: 1) — + лп<х< — + лп, neZ;
8	8
л	2л п	7л	2л п _
2)----+----<х<-----+-----, neZ;
18	3	8	3
3)	- —+2лп<х< 2лп, neZ;
2
л
4)	2лп < х < у + 2лп, neZ.
№653-работа в парах.
Ответ: 1)-л + блп- 6 <х < л + блп-6, neZ;
2)-Зя + 8лп + 12 < х < —л + 8лп + 12, neZ.
№	654- работа в группах.
Решение.
1) sin2x + 2sinx> О
Пусть у = sin х, тогда у2 + 2у > О у (у + 2) > О
у<-2, у>0
sin х < -2, нет решений,
sin х > О
2лп < х < л + 2лп, neZ.
Ответ: 2лп < х < л + 2 лп, neZ.
2) cos2x - cos х < О
Пусть у = cos х, тогда у2 - у < 0 у(у-1)<0
О <у < 1
О < cos х < 1
Л _
----1- 2лп < х < 2лп и
2
„ л „
2лп < х < — + 2лп, neZ.
2
106
Задания на отметку (решаются на доске):
1.	Решите неравенство V2sin^ + y > 1
„ „	л	. л V3
2.	Решите неравенство cos—cosx - sinxsin — <-
8	8	2
Гл х> г
3.	Решите неравенство 3ctg — + — > - V3
к 6 2J
4.	Решите неравенство 0,5sin 4х < -0,2.
5.	Найдите решения неравенства tg х > -1, принадлежащие
( л л
промежутку I	
Ответ: 1.4лп < х < л + 4лп, neZ;
17л „	25л	„	„
-----+ 2лп < х <---1- 2лп, neZ;
24	24
2.
л
3.	—+ 2лп < х < л + 2лп, neZ;
3
4 л 1	. 2 лп	1	. 2 лп _
4.	+ — arcsin — + — < х < — arcsin — + —, neZ;
4 4	5	2	4	5	2
5	Л Л
’ L 4’4.’
Ш. Домашнее задание: тренажер № 15; подготовиться к семинару.
IV. Итог урока. Выставить отметки.
V. Дополнительное задание.
№ 690- индивидуально.
Решение.
1. 2cos2x + sin х - 1 < 0
2(1 - sin2x) + sin х - 1 <0
2sin2x - sin x - 1 > 0
7	( П
Пусть у = sin х, тогда 2у-у-1>0 2 у + - (у- 1) > О
у< --,у> 1
107
5я „	я	„
----+ 2лп < х <---+ 2лп, neZ.
6	6
2) sin х > 1 нет решений.
5л „	л	„
Ответ:------+ 2яп < х <---+ 2яп, neZ.
6	6
2. 2sin2x - 5cos х + 1 > О
2( 1 - cos2x) - 5cos х + 1 > О
2cos2x + 5cos х - 3 < О
Пусть у = cos х, тогда 2у2 + 5у - 3 < О
2 у_ (у + 3)<0
I 2J
УРОКИ 76-77. ПОВТОРИТЕЛЬНО-ОБОБЩАЮЩИЙ
УРОК-СЕМИНАР ПО ТЕМЕ
«ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ»
На подготовку к семинару отводится неделя. Тогда же вывеши-
вается план семинара. Учащиеся выбирают себе вопрос и готовят
выступление, используя учебник, дополнительную литературу,
консультацию учителя. Учитель следит, чтобы каждый ученик го-
108
товился к семинару и чтобы все вопросы семинара были разобраны
учащимися. На каждый вопрос, кроме первого, учащийся или
группа учащихся готовятся по следующей схеме:
1.	Объяснить решение уравнения (системы, неравенства), мож-
но рассказать алгоритм решения.
2.	Показать решение на примере.
3.	Предложить 1-2 аналогичных задания для решения своим
одноклассникам, оценить их решение.
План работы семинара
1.	История возникновения и развития тригонометрии.
2.	Тригонометрические уравнения:
1)	Простейшие уравнения и уравнения, непосредственно сво-
дящиеся к простейшим.
2)	Уравнения, решаемые с помощью формул преобразования
суммы тригонометрических функций в произведение.
3)	Уравнения, решаемые с помощью замены переменной.
4)	Однородные уравнения.
5)	Уравнения, решаемые с помощью формул понижения степени.
6)	Уравнения, решаемые с помощью преобразования произ-
ведения тригонометрических функций в сумму.
7)	Уравнения, при решении которых используется универ-
сальная тригонометрическая подстановка.
8)	Уравнения, решаемые с помощью введения вспомогатель-
ного угла.
9)	Уравнения, решаемые с помощью умножения на некото-
рую тригонометрическую функцию.
10)	Уравнения, решаемые разложением на множители.
11)	Уравнения, содержащие дополнительные условия.
3.	Системы тригонометрических уравнений:
1)	Системы уравнений, в которых одно уравнение - алгеб-
раическое, а другое содержит тригонометрические функции.
2)	Системы, в которых оба уравнения содержат тригономет-
рические функции.
4.	Тригонометрические неравенства:
1)	Простейшие неравенства.
2)	Решение тригонометрических неравенств заменой пере-
менной.
5.	Посторонние корни.
6.	Потеря решений.
7.	Задачи с параметрами.
109
Перед семинаром собрать на проверку тренажер № 15.
Ход семинара
1. Прослушать сообщение об истории возникновения и разви-
тия тригонометрии.
2. Тригонометрические уравнения.
1) Простейшие уравнения и уравнения, непосредственно сво-
дящиеся к простейшим.
К простейшим тригонометрическим уравнениям относят сле-
дующие: sin х = a, cos х = a, tg х = а. Рассказать алгоритмы их ре-
шения (см. уроки 61, 63, 65).
7С
Пример. Решить уравнение cos---------2х
2
3 ’
Решение. Учитывая четность функции f(x) = cosx, имеем:
| Л „ ]	(	л^
cos---2х = cos 2х-
1з J	I	3J
л ]	1
cos 2х — = -
I 3 J 3
-Л	1
2х-----= larccos— + 2лп, neZ.
3	3
1	1л	„
х =± — arccos— + — + лп, neZ.
2	3 6
Задание: Решить уравнения.
3	л/з
1) sin — х ---;
4	2
4тс 4
Ответы: 1) (-1 )k+1-+ — лк, keZ.
9	3
ОЧ Л 1 Лк Ь 7
2)-----+ —, keZ.
18 3 3
2) Уравнения, решаемые с помощью формул преобразования
суммы тригонометрических функций в произведение.
Напомнить формулы преобразования суммы в произведение:
sin х +sin у = 2sin Х * cos * и т’ д'
ПО
Пример. Решить уравнение.
cos 9х - cos 7х + cos Зх - cos х = О
Решение.
-2sin 8x-sin х - 2sin 2x-sin х = О
2sin x-(sin 8х + sin 2х) = О
4sin x-sin 5x-cos Зх = О
1) sin х - 0, х = лк, keZ.
„ лт „
2) sin 5х = 0, х =-, meZ.
6	3
Так как при m = 5р, peZ, решения первого и второго уравнений
л лп „ лт „
совпадают, то получаем решения х = — +	, neZ, х = ——, meZ.
Задание. Решить уравнения:
1) sin х + sin 5х = sin Зх + sin 7х;
2) 1 + cos х + cos 2х + cos Зх = 0.
_	л лк , „ „л лт „
Ответы : 1) — + —, keZ; лп, neZ; — +-------, meZ;
4	2	8	4
2) — + лк, keZ; — 4--^-, neZ; л + 2лт, meZ.
2	3	3
Указание: заменить 1 + cos 2х на 2cos2x.
3) Уравнения, решаемые с помощью замены переменной.
Это уравнения, сводящиеся к квадратным, например,
sin Зх - 3cos 6х = 2
sin Зх - 3(1 - 2sin23x) -2 = 0
6sin23x + sin Зх - 5 = 0
7	5
Пусть sin Зх = t, тогда 6г +1 - 5 = 0, й = -1, tz =—.
6
. „	, л 2л к , „
sin Зх = -1, х = — +---, keZ
6	3
sin Зх =—, х = (-1)к - — arcsin— + лк, keZ.
6	3	6
Или sin х + cos х + sin x-cos x = 1.
Ill
Решение. Сделаем замену: sin х + cos х = t, тогда sin2x +
11	t2-l
+ 2sin x-cos x + cos x = t, откуда sin x-cos x =—-—. Исходное
I — 1	2
уравнение примет вид: t +----= 1, или t+ 2t — 3 = 0, t, = -3, t2 = 1.
1) sin x + cos x = -3
(	Зл/2
cos x — =-----------
I 4J 2
2) sin x + cos x = 1
I 71
cos x----
I 4j
нет решений
П П -	r,
x = ± — + — + 2nn, neZ
4 4
или
7t „	„
x =— + 2nn, neZ
2
x = 2nn, neZ.
Задание. Решить уравнения:
1) cos 2х + sin2x + sin х = 0,25;
2) sin 2x + 5(sin x + cos x) = 0.
Ответ: 1) (-l)k+1  —+ nk, keZ;
6
2) -—+ nk, keZ.
4
4) Однородные уравнения.
Однородное уравнение первой степени:
5sin Зх = 2cos Зх
5sin3x _ 2cos3x (QgbHCHHTe, почеМу можно делить на cos Зх.)
cos3x cos3x
5tg Зх = 2
„2	1	2 лп
tg Зх = —, x =-arctg — + , neZ.
5	3	5	3
Однородное уравнение второй степени:
7sin2x - 8sin x-cos x - 15cos2x= 0
7tg2x - 8tg x - 15 = 0
,	15
Замена: tg x = t. 7t - 8t - 15 = 0, tj = -1, t2 = —.
112
, л „
tg х = -1, х -----и лп, neZ.
4
tg х = —, х = arctg—+ лк, keZ.
7	7
Неоднородное уравнение второй степени сводится к однород-
ному. Например, 3sin2x + 2sin x-cos х = 2
3sin2x + 2sin x-cos x = 2(sin2x + cos2x)
sin2x + 2sin x-cos x - 2cos2x = 0.
Неоднородное уравнение первой степени сводится к однород-
ному разными способами. Например, 2sin х - 3cos х = 2.
Воспользуемся формулами двойного аргумента:
, . X	X	(	2х	. 2 х^	2х	. 2 х^
4sm — cos---3 cos-----sin — I = 21 cos —+ sin —
2	2	V 2 2J	V 2 2J
Задание. Дорешайте последнее уравнение, а затем решите
его другими способами.
От в ет: л + 2лк, keZ; -2arctg5 + 2лп, neZ.
5) Уравнения, решаемые с помощью формул понижения сте-
пени.
Фп  _________2 _l + cos2a • 2 _ 1-cos2a
о р м у л ы: cos a =-----, sin a -------.
Пример. Решить уравнение sin2x + sin22x + sin23x=
3
2'
Решение
1 -cos2x 1 -cos4x 1 -cos6x _ 3
2	2	2	" 2
cos 4x + (cos 2x + cos 6x) = 0
cos 4x + 2cos 4x cos 2x = 0
2cos4x| cos2x + — = 0
I 2 J
к
l) cos4x = 0, x =£ +-, keZ;
8	4
2) cos2x +^-= 0, cos2x = -7-, x = ±-J + 2лп, neZ.
2	2	3
Задание. Решить уравнение:
cos22x + cos2x + cos23x + cos24x = 2
л лк , „ лп „
Ответ: ——, keZ; —-,neZ.
5	2
ИЗ
6) Уравнения, решаемые с помощью преобразования произведе-
ния тригонометрических функций в сумму.
Формул ы : sin a cos Р =у (sin(a + Р)+ sin(a- Р))
cos a cos Р (cos(a - Р) + cos(a + Р))
sin a sin р =у (cos(a - Р) - cos(a + р)).
Пример. Решить уравнение cos Зх + sin x-sin 2х = 0.
Решение, cos Зх + у (cos x-cos Зх) = 0
cos Зх + cos х = 0
2cos 2x-cos х = 0
1) cos 2х = 0, х =^ + ~2~> пе^;
2) cos х = 0, х =у + лк, keZ.
Ответ: -у + ДД,пе2; ^ + лк, keZ.
4	2	2
Задание. Решить уравнение cos 7x cos Зх = cos 4х.
Л лк , „ я- 2л п
Ответ: —, keZ; ±-J +----, neZ.
7	3	3
7) Уравнения, при решении которых используется универсаль-
ная тригонометрическая подстановка.
_	• о 2tgct
Формул ы: sin 2a =--2— .
1 + tg2a
э 1 ~ tg2a
1 + tg2a
tg2a-^-
1 - tg2a
Пример. Решить уравнение 2sin 2x + 3tg x = 5.
Решение:	+3tg x - 5 = 0
1 + tg2x
3tg3x - 5tg2x + 7tg x - 5 = 0
Замена: tg x = t. 3t3 - 5t2 + 7t - 5 = 0
114
(3t2 - 2t + 5)(t-1) = О
Так как уравнение 3t2 - 2t + 5 = 0 не имеет действительных
корней, то получаем t = 1.
tgx= 1,х=:т- + лп, neZ.
4
Задание. Решить уравнение 1 + cosx + tgy = 0.
7Г
Ответ:------+ 2nk, keZ.
2
8) Уравнения, решаемые с помощью введения вспомогательно-
го угла.
Этим способом мы умеем решать неоднородные уравнения
первой степени. (Вспомнить алгоритм решения.)
Рассмотрим уравнение, которое тоже можно решить этим спо-
собом.
cos Зх - sin 5х = Уз (cos 5х - sin Зх)
cos Зх + Уз -sin Зх = Уз -cos 5х + sin 5х
Разделим на два:
cos—cos3x + sin—sin3x = sin—sin5x + cos—cos5x
3	3	6	6
71	( c	71
k 3J k 6
I	71
cos 3x —
I	3J
- cos 5x —
k	6 7
= 0
n . I	n
- 2sin x + —
I	12
. . 71
sin 4x —
I 4
= 0
Ik • I	7C I zk	7C
1) sin x + — = 0,x =-----+ лп, neZ.
7	I	12J ’	12
2) sin 4x-— =0
I
It ЛП
x =----1----, neZ.
16	4
Задание. Решить уравнение:
sin7x - V2cos5x + У3соз7х - V2sin5x = 0
/к	71 ... г, я 7л лп _
Ответ:----+nk,k6Z, ±------+ —, neZ.
24	12 36	3
115
9)	Уравнения, решаемые с помощью умножения на некоторую
тригонометрическую функцию.
При решении уравнений иногда требуется умножить обе его
части на выражение с переменной (обозначим его f(x)). Ясно, что
такое преобразование не всегда является тождественным. Если
область определения f(x) уже области определения уравнения, то
возможна потеря корней. Если же область определения f(x) шире
области определения уравнения, или они совпадают, то возможно
приобретение посторонних корней за счет корней уравнения f(x)=0.
Пример. Решить уравнение:
4cos х-сох 2x-cos Зх = cos 6х
Решение. Умножим обе части уравнения на sinx.
4cos x-sin х-сох 2x-cos Зх = cos 6x-sin x
2sin 2xcox 2x-cos 3x = cos 6x-sin x
sin 4x-cox 3x = cos 6x-sin x
— (sin 7x + sin x) = — (sin 7x - sin 5x)
2	2
sin x + sin 5x = 0
2sin Зх-cos 2x = 0
1) sin 3x = 0, x=~——keZ.
3
71 ЛП _
2) cos 2x = 0, x =— +-, neZ.
4	2
Так как корни уравнения sin х = 0 не являются корнями исход-
ного уравнения, то из полученных решений необходимо исключить
все числа вида х = лт, meZ.
Л лк ,	„ л лп _
Ответ: —, где к - целое число, не кратное 3, — + —, neZ.
3	4	2
Задание. Решить уравнение:
cos 2х + cos 4х + cos 6х + cos 8х = -0,5.
Указание: умножить обе части уравнения на 2sin х, преобра-
зовать произведение в сумму.
лк
Ответ:	, где к - целое число, не кратное 9.
10) Уравнения, решаемые разложением на множители.
Рассмотрим более сложные уравнения.
Пример. Решить уравнение:
sin х + sin2x + cos3x = 0.
116
Р е ш е н и е. sin x (sin х + 1) + cos2x • cosx = О
sin х (1 + sin х) + (1 - sin2x)-cos х = О
sin х-(1 + sin х) + (1 - sin х) • (1 + sin х) -cos х = О
(1 + sin x)-(sin х + cos х - sin x-cos x) = О
л
1) 1 + sin x = 0, sin x = -l, x =-+ 2лп, neZ.
2
2) sin x + cos x - sin x-cos x = 0.
Пусть sin x + cos x = t, тогда 1 + 2sin x-cos x = t2,
1	2
sin x-cos x = —(t - 1).
2
1	2
Уравнение примет вид t — (t - 1) = 0.
2
t2 - 2t - 1 = 0, откуда tj = 1 + V2 , tz = 1 -V2 .
, Г- . (	7^ 1 + V2
sin x + cos x = 1 + v2 , sin x + — = —7=— нет корней
I	4j	V2
, Г 	(	1-V2
sm x + cos x = 1 -v2 , sin x + — = —?=—,
I	4 J	V2
. , л  1 л/ 2 я	»
x = (-1) • arcsin —7=----+ яп, neZ.
V2 4
Задание. Решить уравнение:
1 + sin x + cos x + sin 2x + cos 2x = 0
Ответ: ± — + 2як, keZ: —+ яп, neZ.
3	4
11) Уравнения, содержащие дополнительные условия.
Пример. Найти наибольший отрицательный корень уравнения.
sin2x + sin22x = sin23x.
„	l-cos2x . l-cos6x _
Решение: ------------+ sin 2x-----------= 0
2	2
cos 6x - cos 2x + 2sin22x = 0
-2sin 2x-sin 4x + 2sin22x = 0
2sin 2x-(sin 2x - sin 4x) = 0
-4sin 2x-sin x-cos 3x = 0
1)	sin 2x = 0, x ’ n£Z;
2)	sin x = 0, x = як, keZ;
117
3)	cos Зх = 0, х	meZ.
Наибольшим отрицательным корнем из множества является
7Г	1	7Г Л ГП
число - —, из множества лк - число -л, из множества	+ —— число
2	6	3
- -у. Наибольшим среди чисел - , -л и - является число - -у.
6	2	6	6
Ответ: --J.
6
Задание. Найти наименьший положительный корень уравне-
ния sin6x - sin4x = 0.
Ответ: .
3.	Системы тригонометрических уравнений.
1)	Системы уравнений, в которых одно уравнение - алгебраиче-
ское, а другое содержит тригонометрические функции.
Пример. Решить систему уравнений.
_'х + у=|,
. sin х + sin у = 1
Решение.
( Х+у=|,
1	2sin^cos^= 1
2	2
'х + у=|,
2	• sin cos Х У = 1
6	2
Г х + у=^,
I cos = 1
2
'х + у=|,
. х-у = 4лк, keZ.
118
Складывая и вычитая первое и второе уравнения системы, по-
лучаем
Г х=у + 2як,
1	у =~ —2лк, keZ.
о
Задание. Решить систему уравнений.
'x + y=J,
sin х + cos у = ^/2 .
О т в е т: х = (-1)к • & + лк, у = (-1 )к+1 • + у - лк, keZ.
2)	Системы, в которых оба уравнения содержат тригономет-
рические функции.
Пример. Решить систему уравнений.
Г sin x-cos у = 0,25,
(.cos x-sin у = 0,75.
Решение.
Г sin x-cos у + cos x-sin у = 1,
1 sin x-cos у - cos x-sin у = -0,5;
Г sin(x + у) = 1,
tsin(x-y) = -0,5;
'х + у=у + 2лк, keZ
x-y = (-i)n+1 .-^ + лп, neZ.
6
Гх + у=£ + 2лк,
x-y = -y + 2тт,
6
[х + у=у + 2лк,
— «
x-y = --~^ + 2лп, keZ, neZ
О
'х=-^ + л(к + п),
J 6
1у= у + л(к-п),
119
Гх = -37 + 7t(k + n),
I	6
I	2л
I у = — + л(к - n), keZ, neZ.
3
Задание. Решить систему уравнений
f .	л/З
sin x-sin у =Jt—,
4
1	л/З
I cos x-cos у =-^- .
Ответ: fx=y + y(n + 2k),
I У =7 + ^(4-2k),
<	о z
I x=^ + ^(n + 2k),
J	6 2
[y=| +1(n-2k), neZ, keZ.
ТЕСТ
Предложите способ решения данного тригонометрического
уравнения:
1	- приведение к квадратному уравнению;
2	- приведение к однородному уравнению;
3	- приведение к уравнению относительно tg-^;
4	- разложение на множители;
5	- по общим свойствам.
Вариант I
Уравнение	Способ решения				
	1	2	3	4	5
3sin2x + cos2x = 1 - sin x-cos x					
3sin x + 5cos x = 2					
sin x + sin 2x + sin 3x = 0					
3sin2x +cos x = 1					
cos2x +cos44x = 2					
120
Вариант II
Уравнение	Способ решения				
	1	2	3	4	5
4cos2x - sin x-cos х - 1 = 0					
6sin х - cos x = 1					
4cos2x - sin x - 1 =0					
sin4x + sin63x = 2					
1 + cos x +cos 2x + cos 3x = 0					
Ответы:
Вариант I						Вариант II				
	+		+				+			
		+						+		
			+			+				
+										+
				+					+	
4. Тригонометрические неравенства.
1) Простейшие неравенства.
Пример, sin х>^-
Ответ:	+	+ keZ.
4 3 3	12 3 3
2) Решение неравенств заменой переменной.
Пример. Решить неравенство:
-5sin х + cos 2х < 3.
Решение. -5sin х + 1 - 2sin2x < 3
2sin2x + 5sin х + 2 > О
Пусть sin х = у, тогда 2у2 + 5у + 2 > О
121
2(y + 2)^y + |j >0
у<-2иу>-^
sin x < -2 нет решений.
sin х> -4", ~-у-+ 2як < х <^-+ 2як, keZ.
2	6	6
Задание. Решить неравенство.
3cos 2х + 2cos х> 5.
Ответ: х = 2як, keZ.
ТЕСТ
Укажите, для каких дуг выполняется данное неравенство.
Дуга	Неравенство				
	•J1	•J1	•Jl cost<-^-	cos2t>	|sint|<^y-
1 2 3 4 5 6 7 8					
Ответ:
+	+		+	+
	+			
	+			
+	+	+	+	+
+	+	+	+	+
+				
+				
+	+		+	+
122
5.	Посторонние корни.
n	1 n	COS2X-COSX_n
Пример 1. Решить уравнение------------= 0.
1-sinx
Решение. cos2x - cos х = 0
cos x-(cos х- 1) = 0
1)	cos х = 0, х =т~ + як, keZ;
2
2)	cos x - 1 - 0, cos x = 1, x = 2яп, neZ.
Область определения уравнения 1 - sin х * 0, sin х * 1, х & +
+2ят, meZ.
Очевидно, что при четных значениях к решения первого урав-
нения не удовлетворяют данному уравнению.
Ответ: х =^г, + 2як, keZ; х = 2яп, neZ.
2
Пример 2. Решить уравнение 5/cos2x • cos х = 0.
Решение, cos х = 0, х =?•+ як, keZ
2
л л	тг 7С П _
или cos 2х = 0, х = — + —, neZ.
Область определения уравнения cos 2х > 0.
Но при х	+ 2як, cos 2х =cos2^y + як^ = соз(я + 2як) = -1< 0.
тг тс п	_
Ответ: х= + ~2~> neZ.
Задание. Решить уравнение Jcosx • sin х = 0.
Ответ:х = тг+як или х = 2як, keZ.
2
6.	Потеря решений.
Пример. Решить уравнение (1 + cos х) = ctgy.
Решение. Воспользуемся формулой ctg-^ = *+ ,cosx , которая
£ sinx
сузит область определения уравнения на множество я + 2як, keZ.
Поэтому следует проверить, являются ли числа из указанного мно-
жества корнями данного уравнения. Проверка покажет, что явля-
ются.
123
72(1+cos x)=btcosx
sinx
•Л
sinx = V
х = (-1)п-^ + лп, neZ.
4
Ответ: я + 2як, keZ; (-1)” •4 + ял. neZ.
4
Задание. Решить уравнение 2( 1 - cos 2x) = tg x.
Ответ: лк; (-l)k	+ keZ.
7.	Задачи с параметрами.
Пример. Определить, при каких значениях параметра а урав-
нение (а1 2 - 4)cos х = а + 2 имеет решение.
Решение.
1)	Если а = 2, то 0 • cos х = 4 решений нет.
2)	Если а = -2, то 0 • cos х = 0, х - любое действительное число.
3)	Если а * ±2, то cos х =—Ц-.
Уравнение имеет решение, если
г—Цг< 1, га-2> 1, га^З,
а-2
1— >-l,L а-2<-1, La<l
а-2
Ответ: а< 1 или а> 3.
Задание (в качестве домашнего):
Определить, при каких значениях параметра а уравнения имеют
решения:
1) sin х = а + 2; 2) (а + 2)tg х = 4; 3) sin х = cos а.
Ответы: 1)-3 < а < -1; 2) а *-2; 3) а-любое число.
Итог семинара.
Обратить внимание на сильные и слабые стороны подготовки и
проведения семинара.
124
У р о к 78. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант I	Вариант П
1.	Решите уравнение
a)	sinх = 0,5^2^	a) cosx = 0,571;
б)	2sin2 х = cosx + 1;	б) 2cos2 х-1 = sinx;
в)	sin2x-2sinxcosx = 3cos2x; в) sin2 х + sinxcosx = 2cos2 х;
г)	3sin2x + 4cos2x = 5.	г) 3sin3x + 5cos3x = 4.
2.	Решите неравенство:
Я
X + у = —
2
a)	tgx^-1;	a)tgx<73;
. ГЗх	я	л/2	fx	П	72
б)	sin V + 77 <’V-	б) COS- + -
k2	12J	2	^2	4)	2
3. Решите систему уравнений:
я
х-У = р
cosx -cosy = -72.
4. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения:
1
sinx + cosx =---------------------------
sinx
cos2x-3cosx = 4cos2 —
2
Ответы:
Вариант I
Вариант II
а)	(-1)” •~ + яп, neZ;
Л
б)	л + 2яп, ± — + 2яп, n е Z;
в)	— + яп, arctg3 + яп, n е Z;
4
.	1	. 4 я . . ~
г)	—arcsin— + — + як, k е Z.
2	5 4
а)	± — + 2яп, n е Z;
4
б)	-+ 2яп,(-1)п ~ + яп,neZ;
в)	— + яп, - arctg2 + яп, n е Z;
4
. /	1	4
г)	(-11 •—arcsin—т=-
3	734
—arcsin-р= + —,keZ
3	734 3
125
2.
. я	я	„
а)-----+ яп < х < — + яп, п 6 Z;
4	2
4я 4як
1 Зя 4як
----4-----
9	3
,keZ
— я + 2яп;—я-2яп LneZ
4	4 J
2я
Т
\ тс	ТС	rj
а)	—4-тсп < х < — + тсп,п е Z;
2	3
б)
Зя 1 , . 5я 1 . , , „
-----+4лк<х<	+4nk,keZ
4 2	2 2
(Зя „ я . А
— + 2яп; — + 2яп LneZ
к 4	4	)
я
~2
ГЛАВА VII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
§ 38. ОБЛАСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И МНОЖЕСТВО
ЗНАЧЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Знания и навыки учащихся
Знать определение области определения и множества значений
функции, в том числе тригонометрических функций; уметь нахо-
дить область определения и область значений тригонометрических
функций.
Урок 79
I. Организационный момент.
II. Анализ контрольной работы и работа над ошибками.
Наиболее типичные ошибки:
1.	а) учащиеся «не увидели», что 0,5л/2 =	, поэтому не вы-
числили arcsin0,5>/2 или arccos0,5>/2 ;
б)	не свели к квадратному заменой sin2 х = 1-cos2 х или
cos2 х — 1 - sin2 х ;
в)	нет объяснения, почему можно делить на cos2 х;
г)	учащиеся решали это неоднородное уравнение любым спо-
собом, но рациональнее было решать методом вспомогательного
угла.
126
2.	а) не учитывается область определения тангенса
f я	я	А	„
----+ яп; — + яп , n 6 Z:
12	2	/
б)	ошибки в решении двойного неравенства.
3.	Второе уравнение системы следовало преобразовать - сумму
функций в произведение.
4.	(Дополнительное задание, не является обязательным.) Ошиб-
ки при решении уравнения, пользовались не теми формулами, не
были выбраны нужные корни из серий решений.
Работа над ошибками выполняется с привлечением консуль-
тантов из числа успевающих учеников.
III.	Изучение нового материала.
Теоретические сведения оформить в виде таблицы и записать в
тетрадь по теории.
Функция	Область определения D(y)	Множество значений Е(у)
у = sinx	R	-1 < у <П
у = cosx	R	-1 < у <Я
y = tgx	. Я	г» х + — + ЯП, п 6 Z 2	R
у = ctgx	X £ ЯП, П G Z	R
№ 691 (1; 2)-устно.
№ 691 (З)-учител ь с классом.
№691(5)-на доске по желанию.
Ответ: 1) xgR; 2) хgR; 3) х #=0; 5) х>0 .
№ 692 (1) —учител ь с классом.
№692(2;3)-на доске по очереди.
№692 (5)-за доской.
Ответ: 1) 0<у^2; 2) 0<у<2; 3) 1<у<5;
5)	-1,5<у<2,5.
№ 694 (1)-на доске по желанию.
№ 694 (3, 5)- работа в парах.
Ответ: 1) xgR;3) - —+ 2яп <х< —+ 2яп,n gZ ;
3	3
5)	2яп < х < я + 2яп, n g Z.
127
IV.	Домашнее задание: № 691 (4,6), № 692 (4,6), № 694 (2,4,6).
V.	Итог урока.
-	Что нового узнали на уроке?
VI. Дополнительное задание.
№ 697- индивидуально.
Решение.
3cos2x-4sin2x = а
3(cos2 х - sin2 х) - 4 • 2 sin xcos х - a(cos2 х + sin2 х)
(3-a)cos2 x-(3 + a)sin2 x-8sinxcosx = 0
(3 - a) - (3 + a)tg2x - 8tgx = 0
Пусть у = tgx, тогда (3 + a)y2 + 8y - (3 - a) = 0
D = 16 + (3 + aX3-a) = 25-a2; уравнение имеет корни, если
D>0.
25-а2 >0
(5 - аХ5 + а) > 0
-5<а<5
Ответ: -5 - наименьшее значение,
5 - наибольшее значение.
Урок 80
I. Организационный момент.
II. Тест
1.	Найдите область определения функции у = Vcosx .
А. х 6 R;	Б. х > 0;
В. 2яп <х<п + 2яп; Г. - — + 2яп <х < — + 2яп, n еZ.
2	2
2.	Найдите множество значений функции у = 3 - 5sin х.
А. [-8; 8]; Б. [-2; 8]; В. [-2; 5]; Г. [-5; 2].
3.	Чему равно наименьшее значение функции у = sin х cos х?
А.-1; Б.-2;	В.- — ; Г. 1.
2
4.	Чему равно наибольшее значение функции у = sin2x - cos2x?
А. 0; Б. 1;	В.-1; Г. 2.
128
5.	Найдите область определения функции у = tg 2х.
Я
A.	xgR;	Б. х#= —+ яп;
2
В.	х^я + 2лп;	Г. х#= — + —,ngZ.
4 2
Ответы: ГБВБГ.
III. Решение заданий.
№693 (1)-под диктовку.
№693 (3)-на доске по очереди.
я	Зя
Ответ: 1) х	+ яп,п g Z; 3) х —+ 3лп,п g Z.
№ 695 (1)-учитель с классом.
№ 695 (3, 4)-самостоятел ьно по вариантам.
Ответ: 1) х#=лп,х#(-1)" • — + 7m,neZ;
6
3)	x^y.neZ;
4)	х + + лп, n g Z.
№ 696(1) —учитель с классом.
№696(2,5)-на доске по очереди.
№696(3)-под диктовку.
Ответ: 1) -1^у<3; 2) -1<у<1; 3) 0,25 < у <2,25;
5)	-1 <у<1.
№698-учитель показывает на доске решение:
sinx-5cosx = a
2sin—cos— - sfcos2 — - sin2 —) = af cos2 — + sin2 —)
2	2 I 2	2 J k 2 2J
/_	\ . 2 X . . X X /-	\	2 X
(5 - a Isin — + 2 sin—cos-(5 + alcos — = 0
v ’	2	2	2	2
(5-a)tg2| + 2tgy-(5 + a)=0
Пусть t = tgy, тогда (5 - a)t2 + 2t - (5 + a)=0
D = 1 + (5 - aX5 + a) = 26 - а2 уравнение имеет корни, если D > О
5 Алгебра. 10 кл., II пол.
129
26 - a2 > О
(л/26-а)(л/26+а)>0
->/26	726
-л/26 <a<V26
Ответ: -л/26 <у <л/26 .
№699-самостоятельно на отметку (первые три ученика).
IV. Домашнее задание: № 693 (2, 4), № 695 (2), № 696 (4, 6),
тренажер № 16.
V. Итог урока. Самоанализ учащимися своих знаний и навыков.
Урок 81
I.	Организационный момент.
II.	Решение заданий.
№ 758(1, 3)-на доске по очереди.
№758(5)-за доской.
Ответ: 1) R; 3) 2яп <х<п + 2яп, n eZ;
5)	х t(-l)n • —+ 7cn,neZ.
6
№ 759 (l)-y ч и тел ь с классом.
№ 759(3)-под диктовку.
№ 759 (5) -самостоятельно.
Ответ: 1) [-1; 1]; 3) [1; 3]; 5) [3; 5].
№765-работа в парах.
Ответ: 1) х^ —+ —,neZ; 2) яп <х < —+ яп, n е Z.
6 2	2
№ 766 (1, 2) - сам остоятел ь но по вариантам.
№766(3)-учитель показывает на доске решение:
- I<sin3x<l
О < |sin Зх| < 1
-2<-2|sin3x|<0
-l^l-2|sin3x|<l
наибольшее значение 1,
наименьшее значение -1.
Ответ: 1) 1;-1; 2)	3) 1;-1.
130
Ш. Домашнее задание: № 758 (2,4,6); № 759 (2,4,6), № 766 (4).
IV. Самостоятельная работа.
Вариант!	Вариант II
1. Найдите область определения функции:
д/16-х2 а)У= х-2 ; б) у = 0,5cosx;	.	7х2-25 а)у= _ ; х + 7 б) у = 3sinx;
\ . ( л А в) y = tgl Х +jj.	в) y = tg Х-- . к 4)
2. Найдите множество значений функции:
у = (cosx-sinx)2 Ответы:	у = (cosx + sinx)2
Вариант I 1. а)	- 4<х<2,2<х<4; б)	xeR; 7t в)	х ф — + лп, п е Z 2. 0<у<2.	Вариант II а)	х < -7 ,-7 < х < -5, х > 5 ; б)	xeR; .	, Зл	„ в)	х Ф — + лп, п е Z. 4 0<у<2
§ 39.	ЧЕТНОСТЬ, НЕЧЕТНОСТЬ, ПЕРИОДИЧНОСТЬ
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Знания и навыки учащихся
Знать определение четности и нечетности функции, периодич-
ности тригонометрических функций; уметь находить период три-
гонометрических функций, исследовать их на четность и нечет-
ность.
Урок 82
I.	Организационный момент.
Собрать на проверку тренажер № 16. Сообщить результаты са-
мостоятельной работы.
II.	Теоретическая часть.
Оформить в виде таблицы в тетради по теории:
131
Функция	Четность	Период
у = sin х	нечетная	2л
у = cos X	четная	2л
y = tgx	нечетная	л
У = ctg х	нечетная	л
В таблице указан наименьший положительный период триго-
нометрических функций.
Рассмотреть на рисунке 84 графики периодических функций.
Разобрать решение задачи 1 из текста параграфа.
III.	Практическая часть.
№ 700 (1)-учитель с классом.
№ 700(3, 5)-на доске по очереди.
Ответ: 1) четная; 3) нечетная; 5) четная.
№ 702 (1)-учитеЛ ь с классом.
№ 702 (3)-устно.
№702(5)-под диктовку.
№704-работа в группах.
Ответ: 1), 2), 5), 6) - четная; 3), 4) - нечетная.
№ 705 (1)-учитель показывает на доске решение:
2
у = cos —х
5
наименьший положительный период косинуса 2л, значит,
у(х) = cos-|x = cos^-|x + 2л j = cos^-|(x + 5л)^ = у(х + 5 л)
у (х) = у (х + 5л).
Следовательно, период Т = 5л.
№ 705 (3)-самостоятельно.
№705 (4)-на доске по желанию.
IV.	Домашнее задание: № 700 (2,4, 6), № 702 (2, 4, 6), № 705 (2),
тренажер № 18.
V.	Итог урока.
-	Какие из тригонометрических функций являются четными?
-	Какие - нечетными? Назовите наименьший положительный
период каждой из тригонометрических функций.
132
Урок 83
I. Организационный момент.
II. Диктант.
Вариант I [Вариант П]
1.	Функция f(x) [g(x)] периодическая с периодом 8 [6].
Запишите вытекающее отсюда равенство.
2.	Каков наименьший положительный период функции у = tg х
[у = cos х]?
3.	Является ли число 3,14... периодом синуса [котангенса]?
4.	Каков наименьший положительный период функции
у - cos— [у = 6 - sin х]?
5.	Каков наименьший положительный период функции у = 5+
+ sin х [у = cos 4х]?
Ответ:
Вариант I	Вариант II
1. f(x) = f (х + 8)	1- g(x) = g (х + 6)
2. л	2. 2л
3. Нет	З-Да
4. 4п	4. 2л
5. 2л	5. - 2
1П. Решение заданий.
№ 701 (1)-устно.
№701(2)-на доске по желанию.
№ 701 (3, 5)-самостоятельно по вариантам.
Ответ: 1) нечетная; 2) ни четная, ни нечетная; 3) четная; 5) ни
четная, ни нечетная.
№ 703 (1)-учител ь с классом.
№703 (3)-под диктовку.
№ 706 (1)-учитель показывает на доске решение:
у = sin х + cos х
г- • (it
у = V2 - sin —+ х
И
/— I It	] /— f It
Период T> 0, т. е. V2 -sin —+ х + Т = V2-sin —+х
14	)	14
133
r~ (ft	1 i—	I я |
Пусть x = О, тогда V2 - sin —+ T = V2 - sin — .
14	J	14J
V2 - sinf — + T I = 1
И J
. (it	1
sin —+ T =—7=
И J 72
—+ T = (-l)k • —+ лк, keZ.
4	7 4
Если к - четное, то T = лк, наименьшее значение Т = 2л.
7t
Если к - нечетное, то Т - — + лк, наименьшее значение Т = 2,5л.
2
О т в е т: 2л.
№706 (2)- самостоятельно.
О т в е т: 2л.
IV.	Домашнее задание: № 701 (4, 6), № 703 (2, 4).
V.	Итог урока.
VI.	Дополнительное задание.
№ 707-индивидуально.
Решение.
1) Введем функцию g (х) = f (х) + f (-х).
Рассмотрим g (-х):
g (—х) = f (—х) + f (—(—х)) = f (—х) + f (х) = g (х) - четная.
2) Введем функцию h (х) = f (х) - f (-х).
Рассмотрим h (-х):
h (-Х) = f (-Х) - f Н-х)) = f (-х) - f (X) = - (f (X) - f (- X)) =
= - h(x) - нечетная.
Так как g (x) = f (x) + f (-x), to f (x) = g (x) - f (-x).
Так как h (x) = f (x) - f (-x), to f (x) = h (x) + f (-x).
2 f (x) = g (x) + h (x)
g(x) + h(x)
Урок 84
I.	Организационный момент.
Собрать на проверку тренажер № 18.
134
II.	Решение заданий.
№760(1)-на доске по желанию.
№760(3)-под диктовку.
Ответ: 1) четная; 3) четная.
№761-на доске по очереди.
2
Ответ: 1) Т = ул; 2) Т= 14л.
№767-работа в группах.
Ответ: 1) нечетная; 2) четная; 3) нечетная.
№768(1)-на доске по желанию.
№768 (2)- самостоятельно.
Ответ: 1) л; 2) 4л.
III.	Домашнее задание: № 760 (2,4), тренажер № 17.
IV.	Тест.
1.	Какая из функций является четной?
А. у = sin х Б. у = tg х В. у = cos х Г. у = ctg х.
2.	Какая из функций является нечетной?
А. у = cos х + 1 Б. у = 2tg (х - 3) В. у = sin2 х Г. у = у sin 2х.
3.	Какая из функций не является четной, не является нечетной?
А. у = sin х + 2 Б. у = cos х sin х В. у = 2sin (я - х) Г. у = |tg х|.
4.	Найдите наименьший положительный период функции:
•	л'!
у = sin 2х— .
I б)
А СП D	5Л
А. л Б. 2 л В.--- Г. —.
6	6
5.	Какая из функций имеет период 2л?
А. у = sin Б. у = tg х В. у = cos (х - у-) Г. у = 2ctg х.
Ответ: В Г А А В.
V. Итог урока.
Проверить тест, провести анализ работы, разобрать ошибки.
135
§ 40. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ у = cos х И ЕЕ ГРАФИК
Знания и навыки учащихся
Знать понятие функции косинуса, схему исследования функции
у = cos х (ее свойства); уметь строить график функции у = cos х,
находить по графику промежутки возрастания и убывания, проме-
жутки постоянных знаков, наибольшее и наименьшее значения
функции.
Урок 85
I. Организационный момент.
II. Изучение нового материала.
График функции построить на двойном листочке в клеточку,
приняв 2 клетки по оси Оу за 1, 3 клетки по оси Ох - —.
Свойства функции у = cos х.
1.	Область определения - множество R.
2.	Множество значений - отрезок [-1; 1].
3.	Функция периодическая с периодом 2л.
4.	Функция четная.
7t
5.	у = 0 при х= — + лп, neZ.
. п	f ТС „ Л _	)	„
6.	у> 0 при х el-у + 2лп;у + 2лп I, neZ.
у < 0 при х el — + 2лп; — + 2лп I, neZ.
7.	Наибольшее значение у = 1 при х = 2лп, n е Z.
Наименьшее значение у = -1 при х = л + 2лп, n е Z.
8.	Функция возрастает при х е [л + 2лп; 2л + 2лп], n е Z;
136
Зл
л\	i \ «ЗТС Л	лч ЗЛ
Ответ: 1)	л;—	и — ;л	; 3)	л;—	и
Ответ: 1) -1>~
убывает при х е [2лп; л + 2лп], n е Z.
№708-устно по графику.
_	л Зл 5л . .	„
Ответ: 1) —;—;—;0;2л;л;Зл.
2 2 2
2)0<х< — и — <х<—.
2	2	2
л	Зл 5л	_
3) — <х<— и —<х<3л.
2	2	2
№709-устно по графику.
Ответ: 1), 4), 6) возрастает; 2), 3), 5) убывает.
№ 710(1)-учитель с классом.
№710(3)-на доске по желанию.
Зл"| г -I
2J-«[o;k].
№ 712 (1)-учител ь с классом.
№ 712 (3)-самостоятельно.
_	л 5л 7л .. Зл 5л Пл
Ответ: 1) —;—; —; 3) —;—; .
3 3 3	4 4	4
№ 715 (1)-учитель с классом.
№715 (2)-на доске по очереди.
_	я я 5л 7л я я 11я 13л 23я 25л
Ответ: 1) —;—;—; —; 2)---;—;—;------;---;---
6 6 6 6	18 18 18 18 18 18
№ 718-работа в парах.
( V2 ->/2^
; 2) -—; — .
2	2
2J \_2
III. Домашнее задание: № 710 (2, 4); № 712 (2; 4).
IV. Итог урока.
Урок 86
I. Организационный момент.
Собрать на проверку тренажер № 17.
П. Повторение.
Некоторые учащиеся работают по карточкам.
137
Карточка 1
1.	Докажите, что функция f(x) = х4 - 2х2 - sin2 Зх является чет-
ной.
2.	Докажите, что функция f(x) = х3 + Зх + sin 2х является нечет-
ной.
3.	Чему равен наименьший положительный период функции:
a) f(x) = sin —; б) f(x) = cos 7х; в) f(x) = tg( — х + —).
3	3	8
Карточка 2
1.	Найдите область определения функции f(x) =---.
2cos3x
2.	Для функции y=ycos2x найдите область определения и
множество значений.
3.	Изобразите схематически график функции у = cos х - 1.
Карточка 3
1.	Исследуйте на четность и нечетность функцию:
Зх2
a) f(x) =----; б) f(x) =2х5 + 3 ctg х.
4cosx
2.	Найдите область определения функции у = 2 - ctg 0,5х.
3.	Изобразите схематически график функции у = cosl х + — I.
Остальные учащиеся работают с графиком функции у = cos х
устно по вопросам:
1)	При каких значениях х, принадлежащих отрезку [-2л; 2л],
функция у = cos х принимает значение, равное 0, 1,-1?
2)	При каких значениях х, принадлежащих отрезку
7л. л
Т’~2 ’
функция у = cos х принимает отрицательные значения?
3)	При каких значениях х, принадлежащих отрезку
Зл
-л;— ,
2
функция у = cos х принимает положительные значения?
4)	Возрастает или убывает функция у = cos х на отрезках [л; 2л],
ТЕ
[-л;0], -2л;-у ; Оу ;[-Зл;-2л];
л
— ;л ;
2
-—;0 ?
2
138
5) Сколько корней, принадлежащих отрезку
Зя 5я
Т’Т
, имеет
V3	1 V2 _
уравнение cos х = -у; cos х =	; cos х = -у !
III.	Решение заданий.
№ 711 (1, 2, 3, 4)-устно.
№ 711 (5, 6)-под диктовку.
Ответ: 1), 5) больше; 2), 3), 4), 6) меньше.
№713(1,3)-на доске по очереди,
it Sir	711
Ответ: 1) 0<х<-; — <х< —.
3 3	3
Зя	5я Ил
3)	— < х < —;--< х < Зя.
4	4	4
№ 714(1)-учител ь с классом.
№714(3, 5)-за доской.
Ответ: 1) больше; 3), 5) меньше.
№ 716-самостоятельНо по вариантам.
л	я	я	я	5я	7я	Зя
Ответ: 1)--<х<---; —<х<—;—<х^ —.
7 2	6	6	6	6	2
IV.	Домашнее задание: № 713 (2, 4), № 714 (2. 4).
V.	Итог урока.
Самооценка знаний и умений учащихся.
VI.	Дополнительное задание.
№ 717-работа в группах.
Графики:
1)
139
Урок 87
I. Организационный момент.
II. Самостоятельная работа.
Вариант I
1.	Изобразите схематически график функции у = 3 cos х. От-
метьте на графике три точки, для которых у = 1,5. Чему равны со-
ответствующие значения х?
2.	Запишите наименьший положительный период функции
Зх
у = cos —.
2
3.	Запишите промежутки возрастания и убывания функции
4.	Для функции у = у cos 2х найдите:
а) область определения; б) множество значений; в) нули функ-
ции.
140
Вариант II
f 7U |
1.	Изобразите схематически график функции у = cosl — + х I.
Отметьте на графике три точки, для которых у = -0,5. Чему равны
соответствующие значения х?
2.	Запишите наименьший положительный период функции
у = 0,5 cos 0,5х.
3.	Найдите, в каких точках функция у = 3 cos х - 2 достигает
своего наибольшего значения.
4.	Начертите график функции у = cos х на отрезке [-л; 2,5л].
Отметьте на этом графике множество точек, для которых выпол-
няются условия: a) cos х = 1; б) cos х > 0,5. Выпишите соответст-
вующие значения х, при которых выполняется каждое из условий.
Ответ:
Вариант!
4л
2.	Т = —; 3. Функция возрастает на [-2л + 4лп; 4лп], убывает
на [4лп; 2л + 4лп], n gZ; 4. a) D(y) = R; б) -0,5 < у < 0,5;
. л лп „
в) х = —+ —, пеZ.
4	2
Вариант II
2.	Т = 4л; 3. х = 2 лп, пе Z; 4. а) х = 0, х = 2л; б) - —< х < —,
3	3
5л	7л
— <х< —.
3	3
III. Повторение.
№762 (1,3)-на доске по очереди.
5л	7л	17л	.. л	7л	13л
Ответ: 1)—,—,-------; 3) —;—;-----.
6	6	6	6	6	6
№763 (1)-за доской.
№ 763 (З)-самостоятельно.
Ответ: 1)-2л<х<; 3)-arctg2<x<-ic.
№ 764 - в п а р а х.
Ответ: 1)Х] ==-0,8; х2«0,8; 2)х==0,5.
№719-работа в группах.
141
IV. Домашнее задание: № 762 (2, 4), № 763 (2, 4).
V. Итог урока.
§ 41. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ у = sin х И ЕЕ ГРАФИК
Знания и навыки учащихся
Знать понятие функции синуса, схему исследования функции
у = sin х (ее свойства); уметь строить график функции у = sin х, на-
ходить по графику промежутки возрастания и убывания, проме-
жутки постоянных знаков, наибольшее и наименьшее значения
функции.
Урок 88
I. Организационный момент.
Анализ самостоятельной работы.
142
II. Изучение нового материала.
График функции у = sin х
Свойства функции у = sin х.
1.	Область определения - множество R.
2.	Множество значений - отрезок [-1; 1].
3.	Функция периодическая с периодом 2л.
4.	Функция нечетная.
5.	у = 0 при х = лп, neZ.
6.	у > 0 при х е (2лп; л + 2лп); neZ.
у < 0 при хе(л + 2лп; 2л + 2лп); neZ.
7U
7.	Наибольшее значение у = 1 при х = — + 2лп; n g Z.
7U
Наименьшее значение у = -1 при х = — + 2лп; n е Z.
8.	Функция возрастает при хе [ — + 2лп; — + 2лп ], n е Z.
„	_	_ л _ Зл _	-. п
Функция убывает при х е [ - + 2лп ; — + 2лп ], n е Z.
2	2
№720-устно по графику.
л	л - л 5л Зл
Ответ: I) 0, л, 2л, Зл; —, —; —.
2 2	2
2) 0 < х < л, 2л < х < Зл.
3) л < х < 2л.
№721-устно по графику.
Ответ: 1), 6) возрастает; 2), 3), 4), 5) убывает.
№ 722 (1)-учитель с классом.
№722(3)-на доске по желанию.
7U
Ответ:!) 0; —
L 2J
143
№ 723 (1,2)- устно.
№ 723 (3, 4)-под диктовку.
Ответ: 1) больше; 2) больше; 3) больше; 4) больше.
№ 726 (1)-учител ь с классом.
№726(3)-за доской.
. 7С 7С . 7С 5?С
Ответ: 1) sin — < cos —; 3) sin — > cos —.
9	9	5	14
№ 729-работа в группах.
144
Ш. Домашнее задание: № 722 (2, 4), № 726 (2,4).
IV. Итог урока.
Изобразить график функции у = sin х на отрезке [-л; л], пере-
числить по графику свойства функции у = sin х.
Урок 89
I. Организационный момент.
П. Решение заданий.
№724(1)-учитель с классом.
№ 724 (3)-самостоятельно.
л	л 2л 7л 8л 5л 7л
Ответ: 1) —,—,—, —; 3) —, —.
3 3 3 3	4 4
№ 725 (1)-учител ь с классом.
№725(3)-на доске по желанию.
13л	17л
~б”<Х<-6~’
л	5л
1) -<х<—;
6	6
3)0<х<-^-; -^<х<3л.
№ 727 - самостоятельно по вариантам,
л 7л 11л
lie'll '
Ответ: 1) -12ZS
12
2)-V’
№728-на доске по очереди.
Ответ: 1) -—
2
13л 5л
12’
Юл 5л л 2л 7л 8л
17л
12 ’
13л	5л	л
----<х<------,----
12	12	12
7л
Пл
---< х <, л;
12
Зл	11л
2)----<х<------,
2	9
2л	7л 8л
— <х< —, —<
9	9	9
№730(1)-под диктовку (пографику).
№ 730 (2)-у стно.
Юл
9
5л
V’
4л л
Т<Х<9 ’
•72 V2
Ответ: 1) [0; 11; 2)	—
2	2
6 Алгебра, 10 кл., II пол.
145
№ 731 (1)-учитель с классом.
№ 732 (1)-на доске по желанию.
III. Проверочная работа.
Задания дифференцированы (вариант I - более простой).
Вариант I
1. Изобразите схематически график функции у = sin х. Отметь-
те на графике три точки, для которых у = 1. Чему равны соответст-
вующие значения х?
2. Запишите промежутки возрастания и убывания функции
1 . Г л 1
у =—sinx на отрезке ;2л .
Вариант II
1.	Запишите наименьший положительный период функции
. х
у =sin—.
3
2.	Найдите наибольшие и наименьшие значения функции
1 •
у =—sinx-1.
3
3.	Сравните числа sin 1 и sin 3.
Вариант III
Для функции у = 2sin Зх найдите:
а)	область определения;
б)	множество значений;
в)	нули функции;
г)	промежутки знакопостоянства;
д)	наибольшее и наименьшее значения;
е)	промежутки возрастания и убывания.
Постройте этот график.
Вариант IV
Начертите график функции у = sin х на отрезке [-л; 2,5л]. От-
метьте на этом графике множество точек, для которых выполняется
условие: a) sin х = 0,5; б) sin х = 1; в) sin х > 0,5. Выпишите соответст-
вующие значения х, при которых выполняется каждое из условий.
146
Вариант V
1. Пользуясь возрастанием (убыванием) функции у = sin х (у =
cos х) на отрезке 0; и неравенством sin х < х при х > 0 докажи-
те, что cos (sin—) > sin (cos у).
2. Изобразите схематически график функции: а) у = |sin 2х|;
б) у = sin |2х|.
IV.	Домашнее задание: № 724 (2, 4), № 725 (2, 4), № 730 (2),
№ 731 (2), № 732 (2) - по желанию; тренажер № 19.
V.	Итог урока.
§ 42. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ у = tg х И ЕЕ ГРАФИК
Знания и навыки учащихся
Знать понятие функции тангенса, схему исследования функции
у = tg х (ее свойства); уметь строить график функции у = tg х, нахо-
дить по графику промежутки возрастания и убывания, промежутки
знакопостоянства, наибольшие и наименьшие значения функции.
Урок 90
I.	Организационный момент.
II.	Изучение нового материала.
График функции у = tg х
147
Свойства функции у = tg х.
7U
1.	Область определения х t — + лп, n g Z.
2.	Множество значений - множество R.
3.	Функция периодическая с периодом л.
4.	Функция нечетная.
5.	у = 0 при х = лп, п gZ
I Я I
6.	у > 0 при xgI лп; —+ лп I, neZ,
л	I л	।	„
у < 0 при х 61 - — + лп; лп I, п g Z.
7.	Функция возрастает на всей области определения.
№ 733 -устно по графику.
Ответ: 1) -л, 0, л,-2л; 2) -л < х < -—, 0 < х < — , л < х < —;
2	2	2
3) — —<х<0, — <х<0, —<х<2л.
2	2	2
№ 734 -устно.
О т в е т: да, является.
№735-устно по графику.
Ответ: 1), 3) больше; 2), 4), 5), 6) меньше.
№ 736 (1)-у читель с классом.
№ 736(3)-на доске по желанию.
_	Зл л 5л л 2л 5л
Ответ: 1)----, —, —; 3) —, —, —.
4 4 4	3 3	3
№ 739(1)-на доске по очереди.
№ 739(2)-самостоятельно.
Ответ: l)arctg3, ап^З+л, arctg3 +2л;
2) л - arctg 2, 2л - arctg 2, Зл - arctg 2.
№ 745-самостоятельно по вариантам.
Ответ: 1) [-1; >/з ]; 2) у > -1; 3) у / 0; 4) у <-1, у > 1.
Прочитать в тексте параграфа материал о гармонических коле-
баниях. Записать в тетрадь по теории: гармонические колебания
описываются функциями
у = A sin (сох + ср), или у = A-cos (сох + ф),
где А - амплитуда колебания,
148
co - частота,
ср - начальная фаза,
2л	_
-----период колебания.
со
Задания выполняются на доске по очереди:
1. Координата движущегося тела (измеренная в сантиметрах)
изменяется по указанному закону. Найдите амплитуду, период,
частоту колебания.
Вычислите координату тела в момент времени t|, если:
а)	х (t) = 3,5 cos 4л1, ti = -у с;
6)	x (t) = 0,5 cos	, t] = 8c.
Ответ: a) A = 3,5, T = y, со = 4л, x(t])=l,75.
7C	1
2) A = 0,5, T = 4, co =y, x(t,)=
2. Найдите амплитуду, период, частоту силы тока, если она из-
меняется по закону (сила тока измерена в амперах, время - в се-
кундах) I (t) = 0,25 sin 50irt.
О т в е т: А = 0,25, Т = —, со = 50л.
25
3. Найдите амплитуду, период и частоту напряжения, если оно
изменяется по закону (напряжение измерено в вольтах, время - в
секундах) U (t) » 220 cos 60л1.
Ответ: А = 220, Т = —, со = 60л.
30
Ш. Домашнее задание: № 736 (2, 4), № 742.
IV. Итог урока.
- Что нового узнали на уроке?
Урок 91
I. Организационный момент.
Собрать на проверку тренажер № 19.
149
II. Диктант.
Вариант I [Вариант П]
1.	Какова область определения [значений] синуса?
2.	Какова область значений [определения] тангенса?
3.	Является ли функция у = cos х [у = tg х] нечетной?
4.	Каков наименьший положительный период функции у = tg х
[у = sin х]?
5.	Укажите нули функции у = sin х [у = tg х].
6.	Укажите промежутки, на которых тангенс положителен [ко-
синус отрицателен].
7.	Выяснить, возрастает или убывает функция у = cos х [у = sin х]
на промежутке
-> 5л
2л;—
2
III. Решение заданий.
№ 737(1)-учитель с классом.
№737(3)-на доске по очереди.
Л	Зл л л л 5л
Ответ: 1)-----<х< —, — < х <—, — <
4	2 4	2 4
л	л л	Зл Зл	7л
3) <х< , — <х<—, —<х< —.
2	4 2	4 2	4
№ 738 (1)-у ч ител ь с классом.
№ 738 (3)-самостоятельно.
л	л
Ответ: 1) — +лп<х<— +лп,пе2;
2	4
_. 7С	7U	—
3) — + лп < х <— + лп, ns Z .
2	6
№740(1)- за доской.
№740(3)-под диктовку.
7U
Ответ: 1)arctg4 + лп<х< — + лп, neZ;
7С
3) — + лп < х < - arctg 4 + лп, пе Z.
№ 741-самостоятельно по вариантам.
. Зл
л + arctg 3 < х < —,
л
Ответ: 1) arctg 3 < х < —
2л + arctg 3 < х <
5л
~2'
150
2) 0 < х < arctg 4, — < х < arctg 4 +it,
< x < arctg 4 + 2л, -^ < x < 3л.
3) — < x < л - arctg 4, — < x < 2л - arctg 4,
— < x < Зл - arctg 4.
л
4)0<x<-
№744(1)- на доске по желанию.
№ 746, 747, 748-работа в группах (8 групп).
Г рафики:
151
№ 746 (3) у = ctg х
у =----; так как---= tg х, то строим график функции у = tg х.
ctgx	ctgx
№ 747 (1) у = ctg x-tg х; так как ctg x tg х = 1, то строим график
функции у = 1.
У|
№ 747 (2) у = sin х- ctg х, так как sin х- ctg х = cos х, то строим
косинусоиду.
№748(l)y = tg
152
так как ctg
№ 748 (2) у = ctg
IV.	Домашнее задание: № 737 (2, 4), № 738 (2, 4), № 740 (2, 4),
№ 744 (2); тренажер № 20.
V.	Итог урока.
Самоанализ и самооценка работы учащихся на уроке.
VI.	Дополнительное задание.
№ 749- на отметку.
Указание: неравенства решаются графически; причем неравен-
ство tg2 х < 1 рассматриваем как -1 <tg х < 1, а неравенство tg2 х > 3 -
как систему неравенств tg х > >/3 и tg х < - >/3 .
Я	я
Ответ: 1) — + лп <х< —+ лп ,n gZ .
4	4
л	л
2) — + лп <х< —+ лп, п 6 Z.
3	2
л	л	„
— + лп < х < — + лп, п g Z.
2	3
Зл
3)лп <х< — + лп , п 6Z .
4
Я
4)лп<х< — + nn,neZ.
б
153
§ 43. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
Знания и навыки учащихся
Знать, какие функции являются обратными тригонометрическими,
иметь представление об их графиках, свойствах; уметь решать задачи
с использованием свойств обратных тригонометрических функций.
Урок 92
I. Организационный момент.
II. Изучение нового материала.
Проводится в форме самостоятельной работы с книгой. Класс де-
лится на три группы. Первая группа читает, разбирает п. 1 § 43 и гото-
вит сообщение по теме «Функция у = arcsin х»; вторая и третья груп-
пы - соответственно по п. 2 и п. 3 параграфа. Время на подготовку -
7-10 минут. Затем заслушиваются сообщения. После чего учитель с
классом устно разбирает задачу 1 из текста параграфа.
№ 750 -устно.
Ответ: 1) меньше; 2) больше.
№ 751 - устно.
Ответ: 1) меньше; 2) больше.
№752(1)-под диктовку.
Ответ: arctg 2 %/з < arctg 3 Л .
Разобрать задачу 2 из текста параграфа.
Выполнить на доске по очереди № 753 (1), 754 (1), 755 (1).
Ответ: № 753 (1): х = |; № 754 (1): х = -1,25; № 755 (1): х =
=1-4V3.
Разобрать задачу 3 из текста параграфа.
Выполнить на д о с к е по очереди №756(1,3).
Ответы : 1) 1 <х< 5; 3)1<х<4.
Ш. Домашнее задание: № 753 (2), № 754 (2), № 755 (2), № 756 (4).
IV. Итог урока.
- Что нового узнали на уроке?
Оценка сообщений своих товарищей: что понравилось, что нет,
что было понятно, что не очень и т. д.
154
Урок 93
УРОК ЗАКРЕПЛЕНИЯ ЗНАНИЙ ПО ТЕМЕ
«ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ»
I. Организационный момент.
Собрать на проверку тренажер № 20.
II. Решение заданий.
№ 769 (1)-учител ь с классом.
№769 (2)-на доске по желанию.
Ответ: 1) Х] = -0,7, хг = 0,7; 2) xi = -0,5; хг = - 1,9.
№770(1)-под диктовку.
№770 (2)-на доске по желанию.
Ответ: 1) 2лп; —+ nn,neZ;
2лп	п _ п _	„
2)---; — + 2лп; — + 2лп,n gZ.
3	4	2
№ 771-учитель с классом.
2 л
Ответ:----+ 2пп<х<— + 2nn,neZ.
3	3
№733-работа в парах.
Решение.
155
Если cos х > 0, то у = 0.
Если cos х < 0, то у = - 2 cos х.
Ответ: 1)-13 <у< 13; 2)-1 <у < —.
4
III. Самопроверка знаний и умений.
Выполнить задания под рубрикой «Проверь себя». Обменяться
тетрадями с соседом по парте, проверить его работу.
156
IV. Домашнее задание: укажите, какие свойства заданной
,	Г л Зл функции выполняются на отрезке —;— . |_4 4.					
Функция	Свойство функции				
	Определена во всех точках от- резка	Сохраняет постоян- ный знак	Возрас- тает	Принимает наименьшее значение на конце отрезка	Принимает наименьшее или наиболь- шее значение внутри отрезка
у = sin х					
у = cosx					
y = tgx					
у = ctgx					
V. Итог урока.
VI. Дополнительное задание.
№ 775 - индивидуал ьно.
Решение.
1)	sin х > cos х
Решим графически, построив графики функций у = sin х и
у = cos х и отметив те участки, где sin х > cos х.
п - 5л _	„
— + 2лп < х < — + 2лп, п 6 Z .
4	4
2)	tg х > sin х
Построим графики функций у = tg х и у = sin х.
Абсциссы точек пересечения:
х	sin х
tgх = sinх, -----= sinx.
cosx
sin x - cos x-sin x = 0, sin x-(l - cos x) = 0.
157
sin х = 0, х = 7tn, neZ, 1 - cos x = 0, cos x = 1, x = 2тсп, n 6 Z.
7ГП < X < — + 7СП, П G Z .
2
У p о к 94. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Вариант I
Вариант П
1. Постройте график функции
у = cos х	у = sin х
на отрезке [—тт; тс] и опишите свойства функции, используя ее
график.
2. Для функции
1 . (2х
—sin —
3 I 3
У =
2 (х п
у = —cos —+ —
5	14 5
найдите: а) наименьший положительный период; б) наибольшее
и наименьшее значения.
3. Сравните числа:
. .	71	ТС a)	sin — и sin — 7	9 . 7С	7С б)	tg - И tg — О	б . 5ТТ	.	5ТТ в)	cos — и sin	 7	7	.	71	71 a)	cos — и cos — 5	6 57С	х	87С б)	tg	у	и	tg	— . .	71	71 в)	Sin	—	И	COS — 7	7
4. Найдите область определения функции:
1 1
у= ----=	У=Т==
Vcosx	Vsinx
158
5. Изобразите схематически график функции:
. . (	л'!	1	( п
у = 4 sin I х —	у = — cos х + —
14;	4^4.
Отметьте на графике две точки, для которых
у = 4	у = -0,25
Чему равны соответствующие значения х?
Ответы:
Вариант II
1) D (у) = [-л; л]
2)Е(у) = [-1; 1]
3) четная функция
„ л л
5)	у > 0 при - — < х <—
Я
у <0 при-л<х<—,
л
— <х < л
2
6)	наибольшее значение: 1
наименьшее значение: -1
7)	возрастает при -Ж х < 0,
убывает при 0 < х < л.
2.	а) Т = Зл
1)	D (у) = [-я; л]
2)Е(у) = [-1; 1]
3)	функция нечетная
4)	у = 0 при х = -л, х = 0, х = л
5)	у > 0 при 0 < х < л
у < 0 при —я< х < 0
6)	наибольшее значение: 1
наименьшнее значение: -1
л л
7)	возрастает при - — < х < —,
убывает при -л< х < - —,
л
— < X < я.
2
_ . . л . л
3.	a) sin — > sin —
7	9
2. а)Т = 8я
2	2
б)
5	5
„ ч л л
3. a) cos — < cos —
159
6) tg £ > tg £
О	о
. 5п 5п
в) cos — < sm —
7	7
. ТС л	ТС л
4. — + 2тсп<х<—+ 2тсп,
2	2
пе Z.
4	5 71	„	*	8л
6)tgy < tgy
. .	п	п
в) sin —	<	cos —
7	7
4. 2яп < х < п + 2яп, пе Z.
(общий вид).
5. у = — cos
4
у = - 0,25, если х = — + 2лп ,
7	4
neZ
(общий вид).
РЕЗЕРВ - 8 часов
Оставшиеся часы отводятся на повторение курса 10 класса по
темам:
1.	Показательная функция. Решение показательных уравнений и
неравенств.
2.	Логарифм. Решение логарифмических уравнений и нера-
венств.
3.	Решение тригонометрических уравнений и неравенств.
4.	Тригонометрические функции.
5.	Решение систем уравнений. Повторение графиков функций.
Повторение каждой темы проводят следующим образом: уча-
щиеся повторяют теорию по данной теме либо дома, либо в классе
160
(учебник, тетрадь по теории). Затем выполняется проверочная ра-
бота. На усмотрение учителя проверочную работу можно дать как
таковую (на два варианта, на отметку), или задания первого вари-
анта прорешиваются в классе, второго варианта даются на дом. В
Приложении 2 предлагаются проверочные работы по всем пяти
темам; в Приложении 3 - обобщающий тест по теме «Тригономет-
рия». Этот тест очень хорошо бы провести с помощью компьютера
(написав соответствующую программу). А также можно разбить
тест на отдельные задания (по вариантам, по темам и т. д.), соста-
вить из них небольшие работы, например, по пять заданий.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Тренажеры выполняются в отдельной тетради, дома, в течение
нескольких дней.
Тренажер 8
Измерение углов
Определите четверть, в которой лежит угол.
1.100°	6. -830°	11. 6	16.-0,8л
2. 80°	7. 1,2л	12.	17. -0,4л
3. 300°	8. 2,3л	13. -4г 3	18. 1
4. 700°	о Зл ’ 4	14. --л 5	19.4
5. -200°	10. 4г 6	15. --л 6	20. л + 1
Тренажер 9 Знаки тригонометрических функций Определите знак выражения.			
1. cos40°	5. cos290°	9. cos(-300°)	13. cos— 3
2. sin70°	6. tg98°	10. tg(-120°)	14. sin^y^
3. cosl13°	7. ctg200°	ll.sinj	15-tg^
4. sin240°	8. sin(-140°)	12. cos^y	16. COsf-y^
161
17. sin(--^nj 18. cosl
19. sin(-2)	20. tg(rt - 1)
Тренажер 10
Значения тригонометрических функций
Вычислите значение выражения.
1. sin 135°	10. sin л	16. tg750°
2. cos 210°	11. cos 3,5л	17. ctg 1110°
3. sin 300°	5л	„ . ( 13 1
4. sin 240°	l2.tgT	18. sm	я I 3 J
5.tg315° 6. sin (-120°)	,, s 13.cos —л -i	у	J	J 19. ctg |—л
7. cos (-150°)	j	I 6 ;
0	2л	M • 10 14. sm —л	(29
8. cos —	3	20.cos 	л
3 _ 5л	15. cos (-960°)	I 4
9- tg —		
13.	sin (21-21л)
14.	cos (л-a) ctg I у-a I
15.	sin (270° - a) - sin (270° + a)
(n A . (a л A
ctg --a sm P--
16-	—Ц—4-7—#
cos(n-p)tg(-a)
i • 2 Г Зя 'I
1 - sm — + a
17.-------/
1-sm (л + а)
18.	ctg x + ctg (180° - x) + tg (90° + x)
sin(n - a)+cos[ я + a | + ctg(n - a
19.
Тренажер 11
Формулы приведения
Преобразуйте данное выражение с помощью формул приведения.
1.	cos | — -1 I
U )
2.	sin (л -1)
_	(Зл
3.	ctg ly + t I
4.	cos (2л -1)
5.	tg (21 + л)
, . ( л^
6.	sin t —
I 2J
7.	tg(270°-t)
8.	cos (t -90°)
9.	sin (720° +1)
10.	cos (t + 3,5л)
11.	tg (15л- 2t)
Г25л >
12.	ctg I— + t
[ Зл
tgl у-a
162
20. 1 + sin (л + a) cos (a + ~
Тренажер 12
Основные формулы тригонометрии
I. Вычислите значение выражения.
1.	sin 2° cos 28° + sin 28°cos 2°
2.	sin 40° cos 10° - sin 10° cos 40°
3.	cos 73° cos 13° + sin 73° sin 13°
4.	cos 49° cos 1Г - sin 49° sin 11°
r it 2л it 2л
5.	cos — cos-----sin — sin —
5	15	5	15
. Зл . 5л 5л . Зл
6.	cos — sin-----cos — sm —
8	24	24	8
_	2	Я	л	Зл
7.	cos	—ь sin	— cos —
8	8	8
8 tgl3° + tg32°	tg65°-tg35°
l-tgl3°tg32° l + tg65°tg35°
10 tglllo + tg24° j j tg67°-ctg83°
' 1 - tgl 11 ° tg24°	’ 1 + tg67° ctg83°
j 2 sin7°cos47o + cos7°sin47o
sinl30cos41° + cosl30sin41°
cos51°cosl20-sin510sinl20
sin 13° cos 14° + cos 13° sin 14°
14. sin 105° sin 75°
15. cos— sin —
24	24
16. cos 135° cos 105°
17. sin 105° +sin 15°
18
13л	5 л
. cos-----cos —
12
12
19. cos 165° + cos 75°
2Q sin 88° - sin 32°
cos 73°-cos 17°
2 sin 56°-sin 4°
cos 56°-cos 4°
22 sin75°-cos75°
cos 15° +sin 15°
163
II. Докажите тождество.
, л . । 7С ]	. л
1.	zsin —a sin а = sinza
U )
2.	sin4a - cos4a = -cos 2a
_ . 4 ,	4	1 +cos2 2a
3.	sin a + cos a =------
2
/	\2
. ( . a	al	.
4.	sin---cos— = l-sina
I 2	2)
2
5.	tga + ctga= .
sin 2a
z 1 1
6.	= tg2a
1 - tga 1 + tga
7.	ctg a - tg a = 2 ctg 2a
8.	2tg<* = sin 2a
l + tg2a
_ l-tg2a
9.	^5— = cos 2a
1 + tg a
10.	—-— + —— — ctg—
sin a tga 2
11.	sin 2a - tg a = cos 2a tg a
. a
sin a + sin —
9 a
-----------— = tg-
1	a ° 2
1 + cosa + cos—
2
, a . a
1 + cos—sin —
9	9 a
------= —ctg—
, a . a 4
1-cos—sin —
2
12.
13.
14.
15.
I „_а
2
. . 4 а
4 sin —
______4
i 2 а
1-cos —
2
2sina-sin2a . 2а
~ 	• л ~ tg "Т"
2sina + sin2a	2

164
cos 2a I 4
18. tgl a + — I - tg a - — I = 2 tg 2a
19. l + sina = 2cos2f—।
U 2J
20. 1 - sina = 2sin2| —- —|
14 2 J
Тренажер 13
Обратные тригонометрические функции
Вычислите значение выражения.
1. arcsin 0	12. arcsin —- + arccos 1
2. arccos 1
„	• V2
3. arcsin—
2
13. cos (arccos 1)
14. sin arcsin
4. arccos 3
5. arcsin (-1)
. I . it
15. arcsin sin —
I 4
6. arccos
.,	I 71
16. arccos cos —
I 4
7. arctg 0
8. arcctg 1
17. cos arcsin -
9. arctg (--\/з)
18. tg arcco:
10. arcctg
11. arcsin — + arccos 1
I 27
I \ 4/
19. sin (arcctg(-2))
20. arcsin cos —
I 9
165
Тренажер 14
Простейшие тригонометрические уравнения
Решите уравнение:
1.	sin t = О
2.	tg t = 1
3.	cost= 1
4.	sin t = -l
5.	ctg t = 0
6.	sin (-t) = 1
7.	cos (-t) = -1
8.	cos t - 2
9.	ctg t - -\/3 = 0
10.	2 sin t + 5 = 0
11.	2 cos t = V2
12.	2 sin t + 1 = 0
13.	cos I 2t + —1 = 0
I 4J
14.	2 sin t + —| = V2
I 5)
15.	tgf---1=-5/3
U 2J
16.	cos2| 2t + — | = —
I	6 J 2
17.	ctg2 ^2t-yJ = 3
18.	tg2 f3t + -1 = i
I 2) 3
19.	3cos2t-5 cost = 0
20.	|sin 3t| =
Тренажер 15
Простейшие тригонометрические неравенства
Решите неравенства:
1.	cos t > 1
2.	sin t> —
2
3.	ctgt< -5/З
4.	sin t < 0,4
c 1
5.	cost> —
4
6.	cos (-t) < -1
7.	2 sin (-2t) < 5/З
8.	cos 3t > —
3
9.	5/Jtg 3t-- <1
\	4 J
10.	2 cos 5t < 5/2
115/З	I
11.	< cos t < —
2	2
72
12.	|cos t| >-^-
13.	|tgt|> 2
14.	3 sin I 2t--|<l
I 4>
166
	Тренажер 16
Область определения тригонометрических функций
Найдите область определения функции:
1. у = ctg X	9-У= tg | + ctg |
2. у = 3 tg x	10. у =	?	 2 +sinx
3. у = tg2x	11.y=—^	 1-cosx
4- У = 2 tg у	12’ y~tg^
5. у = tg x + ctg x	13. y=-j-4-
6. y = ——— sin 2x 7. y=— X cos—	, „	sinx cosx 14. y =	+	 cos x 1 + sin x 1 15. y = tgx +	 ctgx +1
2 sin3x cos3x	16. у = л/sinx
Тренажер 17
Периодичность тригонометрических функций
Для данной функции найдите наименьший положительный пе-
риод:
1	. у = sin 3t 11. у = cosl — + — I
u 6)
2	. y = cos4t 12. y = sin^2t-yj
3	.y = tg5t	13. y = tg(j + -^
.	2	,A , . f t
4	.y = ctg—t 14. y = 3sin — + —
3	12 4J
167
- 3t
5-y = tg—
, Л • t
6.	у = 4 sin —
5
„	1 3t
7.	у = —cos—
2	4
8.	у = sin 2,5 t
9.	у = cos l,3t
10. у = tg 0,7t
15.	у = n + cos 2t
16.	у = 2 - 3 COS 7CX
17.	у = 1 + sin 2x
18.	у = sin —+ cos2x
2
19.	у = sin 3x + 2 cos 5x
20.	у = sin2 x
Тренажер 18
Четность тригонометрических функций
Исследуйте функцию на четность
1. у = cos 2t 2. у = - sin t 3. у = ctg 3t 4.y = tg | 5. у = 1 - tg t 6. у = t - sin t	11.	у = sin t2 12.	у = 2t-cos 2t 13.	у = sin2t + cos t cost 14.	y = ~	— t +sint 15.	у = sin t sin 4t 16.	у = sin 3t-cos3t
7. у = t-sin 2t	(Зтс 17. у = cos	1 I 2 J
8. у = 1 - tg2t	. (Зтс	A 18. у = sin — + t I 2 J
о - sint 9.y- — 10. у = sin (-t)	19. у =	J	 l-2sint 20. у = cos (sin t)
Тренажер 19
Монотонность тригонометрических функций
Вставьте пропущенный знак: <, > или = между значениями три-
гонометрических функций:
1. sin 25° ... sin 75°
2. cos 40° ... cos 80°
3. sin 20° ...sin 166°
4. cos 20° ... cos (-40°)
168
г 5л
7
, .	Зл
6. sm	—-
7
_	.	ЗЛ	.	ом.
7. sin	— ... sin —
7
, 5л ж
5.	cos — ... cos —
7
. 4л
sin—
7
•_ 8л
..... 7-
„л	6л
8.	cos — ... cos—
7	7
9.	sin 150° ... cos 150°
10.	cos 130°... sin 130°
11.	cos (-20°)... sin (-20°)
. 9л	11л
12.	sin— ... cos-
10	10
13.	sin 2 ... cos 2
14.	sin 3,14 ... sin 3
15.	cos 5 ... cos 6
16.	sin (-1)... sin (-2)
8.	у = cos х —
L 3)
о п • (я
9. у = 2sin-------
U 2)
, _	_ . ( л
10. у = 2sin х-----
I 4
Тренажер 20
График тригонометрических функций
Постройте график функции.
1.	у = cos 2х
2.	у = - sin 2х
3.	y = tg2x
4.	у = 0,5cos х
5.	у = 2 sin —
2
6.	у = - 2sin 2х
7.	у = sin х-2
11.	у = 3sin 2| Х-—
14.
12.	у = [cos х|
13.	у = |tg х|
14.	y = cos2x
15.	у = sin |х|
Ответы
Тренажер 8.
I четверть: углы 2, 8, 12, 18;
II четверть: углы 1, 5, 9, 10, 15;
III четверть: углы 6, 7,13, 16, 19, 20;
IV четверть: углы 3, 4,11, 14, 17;
Тренажер 9.
Знак «+»: выражения 1, 2, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 18.
Знак «-»: выражения 3, 4, 6, 8, 12, 16, 17, 19, 20.
Тренажер 10.
2	2	2	2	2	2
8.-|. 9‘-3F' 100‘ 110’ 121’ 13'2’ 14’	15' ~2 ’
169
Тренажер 11.
1. sin t. 2. sin t. 3. -tg t. 4. cos t. 5. tg 2t. 6. -cos t. 7. ctg t. 8. sin t.
9. sin t. 10. sin t. 11. -tg 2t. 12. -tg t. 13. -sin 2t. 14. -sin a. 15. 0.
16. -1. 17. tg2a. 18. -ctg x. 19. -1.20. 1 - sin2a = cos2a.
Тренажер 12.
1.	2. 1. 3. 0,5. 4.	5. 0,5. 6. -1. 7. 1. 8. 1. 9. -L. 10. -1.
2	2	2.2	73
И.7З . 12. 1. 13. 1. 14. ^7^. 15.	. 16.	17.
y	4	4	4	2
Тренажер 13.
1. 0. 2. 0. 3. *. 4. He существует. 5.-*. б.-5*. 7. 0. 8.*.
4 J J 2	6	4
9.-*. 10.^. 11.-2* 12.-*. 13. 1.14.^. 15* 16*. 17.^.
333	6	2443
18.-715.19. ^.20. t?.
v 5	18
Тренажер 14.
1.1 = як, к g Z. 2. t =*+ як, к 6 Z. 3. t = 2лк, к eZ. 4. t = -*+
4	2
+ 2лк, к e Z. 5. t =* + лк, к eZ. 6. t =-*+ 2лк, к eZ. 7. t = л + 2лк,
2	2
к e Z. 8. Решений нет. 9. t =* + лк, к eZ. 10. Решений нет.
6
ll.t = ±* + 2лк, к е Z. 12. t = (-1)к+1*+лк, к eZ. 13. t =*+*£,
4	6	о 2
keZ. 14. t = (-1)к*-* + лк, к е Z. 15. t =*+2лк, к е Z. 16. t=*r +
4 5	3	24
+*f-,k eZ. 17. t =у*+*^-, к gZ. 18.t=-* + ^; -^*+^,k gZ.
*T	1	У J	7 J
19. t =* + лк, к eZ. 20. t = (-l)k^-+^, к gZ; t = (-l)k+17*- + -^,
2	183	183
keZ.
170
Тренажер 15.
1. Нет решений. 2. + 2лк < t < -^ + 2лк, к g Z.
_ 5 Л	.	. .
3.	— + лк t < Л + лк, keZ.
4.	-л - arcsin 0,4 + 2лк < t < arcsin 0,4 + 2як, к g Z.
5.	-(я - arccos—) + 2лк < t < п - arccos— + 2як, к g Z.
4	4
6.	t = n +2лк, к g Z.
7.	- — + 7tk<t< — + 7tk,kGZ.
6
r. 11
3	3
_ Л лк
9.-----+ — <
12 3
10.
20	5
.. 2л _ .
11. — + 2лк
3
к g Z.
12.	- — + лк<1< — + як,keZ.
4	4
2л , , „
3
_	.	«	2лк	1	1	2лк	.	„
8. —arccos—+---<t<—arccos—+-----, keZ.
”	"	3	3	3	3
5л лк ,	„
:t< — + —, keZ.
36 3
7я 2лк , „
<t< — +----, kGZ.
20	5
5л „ , , „7л . , 4л „ ,
< t < — + 2лк , keZ; — + 2як < t < — + 2як
6	6	3
13.	arctg 2 + як < t < лк, keZ; --^ +лк < t < -arctg 2 + як,
kGZ.
.1 .1
~ arcsin-	arcsin-
14.	— ---------- + nk<t< — +------- + лк, keZ.
8	2	8	2
Тренажер 16.
1. хяк, кеZ. 2.	—, кgZ. 3.	- + —, keZ.
2	4 2
4. х я + 2лк, к g Z. 5. х —, к g Z. 6. х —, к g Z.
2	2
7. х#л + 2лк, kGZ.8.x^—,kGZ. 9. х^ як, kGZ.
6
171
10. R. 11. x # 2лк, keZ. 12. x —, keZ. 13. x ± -- + 2лк,
2	2
к gZ. 14. x—+лк, к g Z. 15. x , x -- + лк, keZ.
2	2	4
16. [2лк;л + 2лк], keZ.
Тренажер 17.
2л	л	л	Зл	2	,	. n	_	8	20
1.	— .	2.	—. 3.	—. 4.	—	.5.	—л. 6.	Юл.	7.	—л. 8.	0,8л.	9.	—л.
3	2	5	2	3	3	13
10. — л.	И. 4л.	12.	л.	13.	2л.	14.	4л.	15.	л.	16.	2.	17.	л.	18. 4л.
7
19. 2л. 20. л.
Тренажер 18.
Четные функции: 1, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 18,20.
Нечетные функции: 2, 3, 4, 6, 10, 12, 14, 17.
Тренажер 19.
Знак«<»: 1, 5, 10, 14, 15.
Знак «»>: 2, 3,4, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 16.
Знак «=»: 6.
Тренажер 20.
1. у = cos 2х
172
173
174
1. Проверочная работа по теме «Решение показательных
уравнении н неравенств».
Вариант!	Вариант II
1. Найдите область определения функции:
а)у = >/х2 + 2х-3 + In (5 -х) а)у = л/х2 -2х-15 + log3(-х)
б) у = y]2smx-\	б) 1
Vtgx-1
175
2.	Решите уравнение:
а)	Зх+4-Зх+ = 13
✓	_ \3x-4
б)	| sin—|	= 78
I 6 )
в)	27|х2'21 =81
/ - \2х* 2+Зх-1
От =4-’
а)	2х + 2х + 3= 18
Z \2x-2	_
[	Л J	.7
б)	cos—	= 1 —
I	6j 9
в) 8|х-11 = 16
3. Решите неравенство:
а)
<26
б) 3х2 >98
в) (-1 -31-х+6 <0
б)3|х| + 2<27
в) -2‘’х -8 <0
2. Проверочная работа по теме «Логарифм. Решение лога-
рифмических уравнений и неравенств».
Вариант I
1. Вычислите:
a) log36 84 - log36 14
Ig27 + lgl2
Ig2 + 21g3
2. Сравните числа:
log2 3 и logj-
2 5 *
3. Решите уравнения:
a) log! (х2 - 4х - 1) = -2
2
б) log7 (4х - 6) = log7 (2х - 4)
в) log| х - log х = 6
2	2
ч 1	2
г)-------+-------= 3
3-lgx lgx-1
Вариант II
a) log49 84 - log4912
Ig81 + lg64
21g3 + 31g2
logs 5 и log! -
34
a)	logV2 (x2 -3x)= 4
6)	lg(2x+ l) = 0,5 1g (1-3x)
в)	3 log2 x + 2 log2 x = 5
2
lgx + 1 lgx + 2
176
4.	Решите неравенство:
a)	logs (1 - х) > logs (3 - 2х)
б)	logl (2x + 5) >-3
2
в)	1g2 х + 51gx + 9 > О
a)	log: (2х - 1) > log2 (Зх - 4)
б)	/ -ч->0
lg(x + l)
в)	lg2x - 21g х > 2
3. Проверочная работа по теме «Решение тригонометричес-
ких уравнений».
Вариант!	Вариант II
1.	Найдите значение:
a)	arccos —7= - arcsin 1
V2
б)	cos (2 arccos у)
2.	Решите уравнение:
ч	,	1
a)	arctg 1 - arccos -7=
л/2
б)	cos (2 arcsin )
a) tg х + ctg х = 2
2
а)--------= 2 - ctg х
ctgx + 1
б)	2sin2 х + 5sinx cosx - 7cos2 x = 0 6) 1 - 2sin2x + 2cos2x = 0
3.	Решите неравенство:
n 1
COS 2х >--7=
V2
cos —+ х <-0,5v3
<2	)
4.	Решите графически уравнение:
sin 2х = х2	cos 2х = Зх - 1
5.	Решите уравнение:
2 sin2 х - |sin х| = О	л/2х-л • (sin х-1) = О
4. Проверочная работа по теме «Тригонометрические функции».
Вариант I	Вариант П
1.	Упростите выражение:
(sina + cosa)2 + (sina - cosa)2 -2 (cosa + sina)2 - (cosa - sina)2 +
+ cosa • sina
2.	Докажите равенство:
-	1	1	1	2 (л 2 )	2
1------z—=------5—	----z—+ cos a = ll + tg alcos a
1 + tg a 1 + ctg2a 1 + ctg a
7 Алгебра, 10 кл., II пол.
177
3.	Определите знак произведения:
cos 350°-sin	sin -^•ctg250°
4.	Перечислите основные свойства функции:
у = sin х	у = cos х
Расположите в порядке возрас- Найдите наибольшее и наи-
тания числа sin 2, sin 4, sin 6 меньшее значение функции
у = cos 2х+— -2
I 5j
5.	Найдите наименьший положительный период функции:
a)	f (х) = sin (Зх + ^)	a) f (х) = cos f--—1
7	(2 4J
б)	f (х) = cos 2х - sin 4х	б) f = sjn2 x + tg x
5. Проверочная работа по теме «Решение систем уравнений.
Построение графиков функций».
Вариант I
1.	Решите систему уравнений:
log2(x + y) = 3,
; бк
log15x = l-log15y.
2.	Постройте график функции:
a)	f (х) = cos 2х	б) f (х) = |1п х|.
Вариант П
1.	Решите систему уравнений:
3y+x = 10,
y-log3x = 2.
2COSX ^siny _ 3
в)-
2cosxx4siny =2
a)‘
a)<
log3x + log3y = 2 + log32,
log3(x + y) = 2.
z . \ sin у
4COSX + и	=з
Z . х sin у
4C0SX х —	=2.
I 2 J
в)'
2x+y = 5,
x-log2y = 2.
2.	Постройте график функции:
a)f(x) = sin —x; 6) f (x) = |log j x|.
2	2
178
Ответы
Работа № 1.
Вариант 1	Вариант II
1. а) (-оо; -3] и [1; 5)	1.а)(-оо;-3]
7С - 5л _	_ б) — + 2лп;— + 2лп , neZ |_6	6	J 2. а)х = 0 б) х = — 6 ч [2 [То в)±я;±ут Г)-3,5; 1 3. а) х>-1	_ч 1 Л	Л	]	„ б) — + лп; — + лп Lne Z U	2	) 2. а) х = 4 б) х = -1 в) —; — 3 3 г)-2; -1 3. а) х < 0
б) (- оо; -4) и (4; + оо) в) нет решений Работа № 2. Вариант I 1.а)1;б)2 2. Iog23 < log^ 1	б)-1 <х< 1 в) х > -2 Вариант II 1.а)0,5; 6)2 2. log3 5 > log]
3. а) -1; 5; б) нет решений; 1			3.	а)-1; 4; 6)0; в) 2; -1=; 2v4 г) 10; 0,1 ТОД 4.	а) Г-;з1 <з ) б)(-1;0) и (0; + оо) в) (0;101-7J)u(101+7J; + oo) Вариант II 1.а)0; б)|
в) — ; 4; г) 100; ^10000000. 8 4. а) нет решений б) (-2,5; 1,5) в) (0; + оо) Работа № 3. Вариант I 1.а)	б) -- 4	9	
179
_	. Л	_
2.	a) x = — + лп, n g Z
4
6)	x = - arctg 3,5 + лп,
Л	r,
x= — + itn, n e Z
4
« л _	2л „	„
3.	— + 2лп < x < — + 2лп, n € Z
3	3
4.	xi = 0, x2« 0,8
5.	лп; (- l)k + лк; (- l)k+l -^ + лк,
к e Z
Работа № 4.
Вариант I
1.0
2.
3.	Минус
4.	sin 4, sin 6, sin 2
5.	a) T = y; 6) T = y
Работа № 5.
Вариант I
1.	a) (3; 5), (5; 3)
б) (2лк; лп),
| — + лк;(-1)п — + лпIkeZ,neZ [ +-^ + 2лк;лп 1,n€Z,кeZ
12 v 7 6 J	I 3	)
2.	a) x = —+ лп , n gZ
7	4
6)	x = — + лп ;
4
x = arctg 3 + лп, n g Z
_ Зл	Зл
3.	+ лп < x <— + лп,
8	8
П G Z
4.	x » 0,5
_ л _	_
5.	x = —+ 2лп, n g Z
2
Вариант II
1.	3 cos a sin a= 1,5 sin 2a
2.
3.	Плюс
4.	Наибольшее - 1,
наименьшее - 3.
5.	а)Т = 4л; б)Т = л
Вариант II
1.а)(3;6), (6; 3)
(л , л .	]
б) —+ лк; — + 2лп ,
180
Приложение 3
Программа включает 100 заданий трех уровней. Первый
уровень требует знания определений, формул, теорем и т. д.;
второй уровень - умения применять их на практике; тре-
тий уровень - задания, выходящие за пределы обязательного
обучения. Уровень сложности задания определен цифрой 1, 2 или
3, стоящей в скобках после номера задания.
Для тестирования предлагаются 10 вариантов. Варианты 1-5 со-
ответствуют первому уровню, в который входят, как правило, во-
просы обязательного уровня обучения; варианты 6-10 - второму
уровню, который требует более глубокого знания изучаемого мате-
риала. Для каждого варианта определен входящий номер задания
(Таблица 1). Из трех предложенных ответов нужно выбрать один,
правильный на взгляд ученика, - он же является и номером сле-
дующего задания, которое нужно решить. Таким образом, для ре-
шения одного варианта нужно последовательно решить пять задач.
На выходе варианта учащийся получает трехзначный цифровой
шифр, который в соответствии с таблицей шифров (Таблица 2) и
определяет оценку учащегося:
«5» - если он решил правильно все пять заданий;
«4» - если он допустил одну ошибку;
«3» - если он допустил две ошибки;
«2» - если он допустил три и более ошибок.
1(2). Найти область определения функции у =-?--.
cos2x-l
l)x^y,keZ	...44;
2)x#7tk, keZ	...43;
3)х^± —+ —,keZ	...45.
4 2
2(2). Определить, при каких значениях х функция у =---
sin3x-l
существует.
1)х^—+-----, keZ	...45;
6	6
irk
2)x^y,keZ	...49;
3)х^- + —, keZ	...13.
3	3
181
3(2). Определить, при каких значениях х функция у = tg 4х су-
ществует.
1)X#	— + лк, к g Z 2	...13;
2)x^	лк ,	„ —, keZ 4	...49;
3)x^	л лк , — + —, keZ 8 4	...45.
4(2). Найти область определения функции у =--.
tg2x-l
1)х^—+ —, keZ	...7;
8 2
2)х^- + —,keZ	...20;
4 8
3)х^ — + —, х^ — + —, keZ...49.
4 2	8 2
5(2). Найти нули функции у = 2 sin Зх.
л лк
1) ± —+ —, keZ	...7;
3 3
2)y,keZ	...49;
3) (-l^y + Tck, keZ	...20.
6(2). Записать значения sin (-20°), sin 90°, sin 20° в порядке воз-
растания.
1)	sin 20°; sin (-20°); sin	90°	...44;
2)	sin (-20°); sin 90°; sin	20°	...36;
3)	sin (-20°); sin 20°; sin	90°	...37.
7(2). Записать значения cos cos I —^1» cos ~в порядке
убывания.
л	f л i л
l)cos—; cos — ; cos —	...42;
12	<6/3
2)	cos ||; cos —; cos —	...22;
< 6J 3	12
3)	cos —; cos —; cos ||	...32.
12	3	< 6)
182
3;
2;
1.
8(2). Записать значения tg 100°, tg (-40°), tg 60° в порядке воз-
растания.
1)	tg (-40°); tg 60°; tg 100°
2)	tg 60°; tg (-40°); tg 100°
3)	tg 100; tg (-40°); tg 60°
9(2). Найти область значений функции у = sin 2х.
1)(-оо;+оо)	...4;
2)[-1;+1]	...30;
3)	[-2; +2]	...5.
10(1). Найти область определения функции у = sin 2х.
1)(0;2л)	...5;
2)	- — + 2лк; — + 2лк , keZ ...4;
'L 2	2 J
3)(-оо;+оо)	...2.
11(1). На каком рисунке изображен график функции у = sin х?
12(1). Найдите допустимые значения х для функции у = tg х.
1)	любое действительное число, кроме
—+ лк, к е Z
2
.2;
4
2)	- —+ лк; —+ лк , keZ
2	2
3)	любое действительное число ...5.
4
13(2). Вычислить значение функции у = cos 2х, если sin х = у и
it
2

...32
183
2)-|
3)-^
14(2). Какая из функций является ни четной, ни нечетной?
х4
sin2 х
cos4x-l
X
3) у = X COS X
1)у =
2)у =
...22;
...17.
...103;
...108;
...106.
I	я
15(3). Найти промежутки убывания функции у = cos Зх —
к	6
1)
2)
3)
— + 2лк; — + 2лк , к & Z
.2	2 J
л 2 . л 2 ,1 , „
—+ —лк; —+ —лк , keZ
.6 3	2 3 J
—+ —лк; —+—лк , keZ ...104.
2 3	2 3
...114;
...115;
16(3). Какая из функций является четной?
l)y = xsin2x	...30;
2)y = x2cos2x	...29;
3)у= -=г
х
...47.
12
13
17(2). Вычислить значение функции у = cos 2х, если cos х =
и х находится в I четверти.
D — 169	...103;
2)— 13	...101;
25 3) —	...102.
169
18(1). Найти область значений функции у = cos Зх.
1)(—оо;+со)	...5;
184
2) [-3; 3]	...4;
3)[-1;1]	...30.
19(2). Какая из функций является нечетной?
I)y = x2tgx(cos2x+1)	...37;
2)y = x3tg3x	...36;
3)y = x + sin2x	...46.
20(2). Найти наименьшее значение функции у = 1 - 4 sin Зх.
1)-3	...42;
2)0	...22;
3)-4	...32.
21(2). На каком рисунке изображен график функции у = cos х?
.9.
102;
105;
...101.
3)в
22(1). Каков наименьший положительный период функции
у = cos х?
1) л
2) 2 л
3)i
23(2). Найти наименьшее значение функции у = 2 + tg 2х.
1)2	...102;
2) 1	...101;
3) не существует	...106.
24(2). Найти наибольшее значение функции у = 2 - 3cos х.
1)2	...103;
2) 5	...108;
3)-1	...106.
25 (2). Найти наименьшее значение функции у = 2tg х - 3.
1) не существует;	...6;
2)-1	...30;
3)-5	...3.
185
26(1). Найти область значений функции у = 2 tg х.	
1) [-2; 2]	...5;
2)(0; 1)	...4;
3) любое действительное	число ...28.
27(2). Решить уравнение sin	I X + К» 1 я II
1) —+ 2nk, keZ	...17;
2	
2) 4лк, к е Z	...41;
3) 2лк, к е Z	...23.
28(2). Решить уравнение tg	' л^ -Уз 2х +— = —. б; з
. тс лк . „	...46;
1) —+ —, keZ	
12	2	
2) —+ лк, keZ	...13;
6	
3) — + лк ,к 6Z	...49.
3	
29(2). Решить уравнение sin	U 2)
1) лк, к е Z	...44;
2) л + 2лк, к е Z	...43;
3) —+ 2лк, keZ	...36.
3	
30(2). Решить уравнение 2 cos (~2х) -1=0.	
1) (-1)к-^ + лк, keZ	...13;
2) —+ 2лк, keZ	...49;
3	
3) ± —+ лк, keZ 6	...36.
31(2). На каком рисунке изображен график функции у = tg х?
186
У
1)а	...16;
2)6	...9;
3)в	...18.
32(1). Найти наименьший = sin х.	положительный
of	...102;
2) л	...101;
3)2л 33(1). Вычислить arcsin —.	...105.
5л	...34;
2) — 6	...18;
3)- 3	...26.
34(2). Решить уравнение cos	
1) 2лк, к е Z	...30;
2) —+ лк, keZ 8	...28;
3) —+ 4лк, keZ 2	...19.
период функции
I	ТС I
35(3). Найти промежутки убывания функции у = cos 2х + — .
I	4 J
1)
ТС
лк; — + лк , к g Z
2
...114;
2)
3)
+ лк; —+ лк , keZ
4	4
—+ лк; —+ лк , keZ
4	4
...124;
...107.
187
36(2). Решить уравнение tg
1) — + лк , ке Z 3	...23;
л лк .	„ 2) — + —, keZ 6 2	...14;
л лк , „ 3) ±- + —, keZ 6	2	...17.
37(2). Найти корни уравнения cos	Го	1 Зх— =1 1 з J
1)	—+ —лк , keZ 9 3 2)	—+ 2лк, keZ’ 3 3)	± —+ 2лк, keZ 3	...35; ...14; ...24.
38(2). Найти корни уравнения tg	NJ | X + | Я II
1) 2лк, к е Z 2) — + лк , к е Z 4	...40; ...50;
3)лк, keZ 7з 39(1). Вычислить arccos —.	...28.
of	...48;
2>i	...38;
3)-т	...18.
40(2). Через какую точку проходит график функции у - cos х?
1)(л;2)	...46;
3)(0; 1)	...37.
188
41(2). Через какую точку проходит график функции у = sin 2х?			
1)(0; 0)	...107; ...110;		
2) (0; л)			
3) feO	...111.		функции
<2 )			
42(1). Найти наименьший	положительный	период	
у = tg X. 1)2л 2) л 3) не существует	...102; ...105; ...101.		функции
43(2). Найти наименьший у = sin 2,5х+ 1. 1)2л 2) — 2 3)±Е 5	положительный ...14; ...24; ...15.	период	
44(2). Найти наименьший у = 2 - cos 1,5х. 1)	— 2 4л 2)	— 3 3)	2л	положительный ...17; ...14; ...23.	период	функции
45(2). Найти наименьший положительный у = 2 tg у . Dy	...14! 2) л	...17; 2л 3) —	...23. 3 46(2). Найти минимумы функции у = — sin х -1 1)-1	...17; з 2)	...41; 3) -1	...23.		период	функции
189
47(2). Найти корни уравнения tg	4х-— =7з. з)
1Ч лк 1) —, keZ 4	...13;
л лк , „ 2) - + —, keZ 6	4	...45;
3) —+ лк, keZ 3	...49.
48(1). Каким свойством обладает функция у = 2 sin х?	
1)четная	...4;
2) возрастающая для всех х	...5;
3) нечетная	...50.
49(2). Найти корни уравнения tg	5х-—1 = 0. 8J
,. л лк , 1) — + —, keZ 40 5	...17;
2) — + лк, к е Z 8	...22;
5тг 3) — + 5лк, keZ 8	...32.
50(2). Найти корни уравнения sin	Зх + — =1. к 2J
1) —+ 2лк, keZ 2	...13;
2лк , „ 2)	, keZ 3	...27;
3) 2лк, к е Z	...49.
3 51(2). Найти sm а, если cos а = —	и — < а < л. 2
'>4	...94;
Ч	...93;
з4	...95.
190
52(2). Упростить выражение	2 sin a-sin 2а (l-cosa)cosa
1) sin а	...99;
2)2tga	...95;
3)2 cos а	...63.
53(2). Упростить выражение	(1 - tg2 a) cos2 а.
1) sin2a	...99;
2) sin 2а	...63;
3) cos 2а	...95.
54(2). При каких значениях х значение функции у = cos — равно нулю?	
1) л + 2лк, к е Z	...99;
2) — + лк, к е Z 2	...57;
3) —+ 2лк, keZ 2	...70.
55(2). При каких значениях х значение функции у = sin x-cos х
равно нулю?
1)—, keZ	...99;
2
2)лк, keZ	...57;
3)- + лк,кег	...70.
2
56(2). Найти корни уравнения 2 sin Зх - 1 = 0.
1)	(-1У — + —, keZ ...87;
2)	(-1У—+ лк, keZ ...86;
ТЕ
3)	± — + 2лк,кег	...94.
57(2). При каком значении х выражение cos
равно 1?
ТЕ
1) —+ 4лк, кеZ
6
...72;
191
ТЕ
2)— + nk,keZ	...92;
24
3) — + 2nk,keZ	...82.
12
V2
58(2). Решить неравенство sin х > —.
«\	। 5 тс ~ тс _	।
1)	н2лп; —+ 2лп , neZ ...52;
к 4	4	)
2)	J — + 2лп; — + 2лп	neZ ...51;
И 4	)
3)	| - — + 2лп; — + 2тсп 1, n е Z ...53.
к 4	4	)
59(2). Решить неравенство cos х < —-.
1)
2)
3)
Oir	4it
—+ 2лп; —+ 2лп , neZ
. 3	3	J
2л _ 2л _	_ __
----+ 2лп; — + 2лп ,neZ...55;
3	3 J
4л _ 2л _ 1	„
----+ 2лп;-----+ 2лп , neZ...54.
3	3
80;
60(2). Решить неравенство tg х < л/З .
1)
2)
3)
л
лп; —+ лп
3
п е Z
л	л
— + лп; — + лп
3	2
л	л
-----1-лп; —+ лп
2	3
neZ
П € Z
...55;
...54;
...52.
61(1). Решить уравнение 2 cos х = л/З .
1)±- + 2nk,keZ	...58;
6
2) (-1)к^ + 2лк, keZ ...62;
192
3)- + 2лк, keZ	...60.
’ 6
.	3 л
62(2). Вычислить cos а, если sin а ~ и — < а < л.
1)	...52;
2)	|	...55;
3)	-	...54.
2
3
63(2). Вычислить sin а, если cos а = — и 0< а <
м | я
”4			...82;
2)	4 5		...67;
3)	£ 2		...72.
l-cos2a + sin2a 64(3). Упростить выражение	 l + cos2a + sin 2a			
l)tga 2) 2 ctg a 3) sin 2a			...117; ...120; ...ИЗ.
1	7C | Г“ 65(3). Решить неравенство 2 sin 1 Зх - —1 > <2 .			
1) 2)	1 । 1 >	' c	cl s m g 1	<4 +	+ H | m	H cm |	ем | +	+ H | о H | о 1	1 1	1	9	neZ ...116; neZ ...119;
3)	л 2лп л 2лп — — +	J — + — L з зб з J		, neZ ...117.
66(2). Упростить выражение —.
sin р
1) sin 0	...97;
193
2) 2 tg ₽	...80;
3)2ctgp	...79.
67(2). Упростить выражение cos2 a - cos4 a + sin4 a.
l)cos2a	...109;
2) sin2 a	...121;
3)cos4a	...118.
i x ।
68(2). Решить уравнение sin — = 0.
l)2nk,keZ	...80;
2)nk,keZ	...55;
3)	± — + лк, к g Z 2		...54.
69(3). 1)	Найти область onf 7л	л 	+ лп; — + лп 12	12	«деления функции у = -J1 - 2 sin 2х , п g Z ...87;	
2)	л	5л — + лп; — + лп , .12	12	п G Z	...86;
3)	л	7л L 12	12	, п G Z	...96.
70(2). Решить уравнение cos (-Зх) = 1.
, ч 2лп 1)	, п gZ 3 2) 2лп, п g Z	...92; ...82;
3) - + 2nn,neZ	...72.
2
V2
71(1). Решить уравнение sin x-= 0.
1)	(-l)k~ + лк, keZ
2)	(-1)^ + 2лк, keZ
3)	± — + 2лк , к g Z
...75;
...60;
...59.
194
72(1). Решить уравнение 2 sin х = 1.
1) ±—+2лк, keZ	...109;
2) (-l^ + Ttk, keZ	...112;
3) (-1У^+2як, keZ	...118.
73(2). Решить уравнение tg (2х -	) = 0. 2
1) лк, keZ	...112;
2) у + лк, к е Z	...109;
л лк . 3) - + —, keZ	...122.
4	2	
74(3). Решить уравнение 2 sin2x	- 3 sin х = 
1) (- 1)к — + лк, к е Z 6	...120;
2) — + 2лк; (- 1У — + лк, к е 2	6	Z ...119;
3) ± —+ 2лк; —+ 2лк, keZ 7 6	2	...ИЗ.
75(2). При каких значениях х выражение sin	
1) лк, к е Z	...80;
л лк . 2) - + —, keZ	...56;
6 2	
2 3) — л + 2лк, keZ	...53.
3	
76(2). Решить неравенство sin х	2
1.
К
(2х-у) равно нулю?
1) — + 2лп; — + 2лп , neZ ...78;
L 3	3 J
2)	+ 2лп; — + 2лп , neZ ...55;
'	3	3
195
3) — + 2лп; — + 2лп , neZ
3	3
...54.
_	Г	[ х л
77(3). Найти промежутки убывания функции у = cos I ~~~
1)(~ + 4лк ;-^ + 4nk), keZ ...67;
2)(у + 4лк; ^ + 4лк), keZ ...91;
3)(-у + 4лк; у + 4лк), keZ...73.
78(2). Решить неравенство cos х > — .
1)	( —+ 2лп; —+ 2лп), n ё Z ...99;
4	4
2)	(- —+ 2лп ; —+ 2лп), n еZ ...96;
4	4
. 7л _ л _ ч	_
3)	(--+ 2лп; — + 2лп), nez...63.
4	4
79(3). Найти область определения функции у = ^/cos3x-l .
1) (- —+ 2лк; —+ 2лк), keZ ...94;
6	6
2
2)улк,кег	...93;
3)[-у + 2лк; 2л(к + 1)], keZ...86.
80(2). Решить неравенство tg х > —.
П(-7	+ лк ; — + лк), к е Z 2	...63;
2) [-7	+ лк ; — + лк), к е Z 2	...86;
3)(-?	+ лк ;	+ лк ], к 6 Z	...99.
196
81(1). Решить уравнение cos х- 1 = 0.
1) 2лк, keZ	...66;
2) ± —+ лк, keZ 2	...68;
3) лк, к е Z	...59.
82(1). Решить уравнение sin х - 1	= 0.
1) —+ лк, keZ 2	...118
2) лк , к е Z	...109
3) —+ 2лк, keZ 7 2	...112.
83(1). Решить уравнение 3 tg х =	л/з.
1) —+ лк, keZ 3	...68;
2) — + лк, к е Z 6	...84;
3) ± —+ лк, keZ	...76.
84(2). Найти cos а, если sin а = — и угол а принадлежит II чет-
верти. 1) 13 2)	— ’ 13 3)	- — 7 13	...78; ...80; ...69.
85(3). Решить неравенство 2 cos	f- + -l<l. 1 2 3 J
1)(у + 2лп; у + 2лп), neZ ...119;
2)(4лп; у + 4лп), neZ ...123;
4
3)(“Л + 4лп; 4лп), neZ ...117.
197
86(3). Найти промежутки убывания функции у = sin (-4х).
.. , Зл як 5л лк _	,.
1)( — + —;— + —), keZ ...64;
8	2	8	2
. л лк Зл лк ч	_
2)( — + —;— + — ), keZ ...67;
8 2	8	2
«» , лк л лк > . rf
3)(—; — + —), keZ ...73.
2	4	2
87(3). Решить уравнение sin1 2 х + sin 2х - 3 cos2 х = 0.
1)	- + лк;- + 2лк, keZ ...74;
4	2
2)	± — + лк ; arctg (-3) + лк, к € Z ...64;
4
3)	— + лк ; arctg (-3) + лк, к е Z ...85.
4
4
88(2). Найти cos а, если sin а = — и угол а находится в I четверти.
р-2
з
2) |	...90;
3) -	...100.
5
89(1). Решить уравнение cos х - 0,5 = 0.
1)(-1Гу + лк, keZ	...98;
2) ± — + лк, keZ	...68;
3
3) ± —4-2лк , к е Z	...88.
3
90(3). Найти произведение 4 sincp-coscp- cos2(p.
I)cos4(p	...96;
2) sin 4<p	...87;
3) sin 2<p	...77.
91(3). Решить уравнение 2 tg х - 3 ctg х - 1 = 0.
1) arctg (1,5) +лк; - —+ лк, keZ...H9;
4
198
2) ± — + 7tk,keZ	...113;
4
2я
3) arctg (1,5) + лк; — + лк, keZ ...120.
92(1). Решить уравнение tg х - 1 = 0.
1) ±- + nk,keZ	...109;
4
2)- + nk,keZ	...112;
4
3) - + 2nk,keZ	...118.
4
93(3). Решить уравнение sin х + cos х = 1.
1)-^ + 2лк;2лк, кеZ	...65;
2)~k,keZ	...64;
3)±- + 2Ttk;keZ	...74.
4
94(3). Найти промежутки возрастания функции у = cos I Зх + — I.
l)(y + ^;y(k + l)X keZ ...67;
2)(- + —;- + — ), keZ ...64;
6	3	2	3
л 2лк л 2лк. , „	__
3)( — +-------; — +-----), keZ ...73.
6	3	6	3
I	л
95(3). Найти промежутки возрастания функции у = sin 2х + —
к	4
1)(-^ + лк; л(к+1)), keZ ...64;
Sit
2) ( —+ лк, —+ лк ),keZ	...73;
4	4
3) ( —+ лк , —+ лк), к е Z	...67.
4 4	4
199
96(3). Найти промежутки возрастания функции у - sin
4х----
I 3
. \ z	Л	Лк	Л	лк »	.
1)(---+ —; — + —), keZ ...67;
'	8	2	8	2
, 5л лк 11л лк
2)( — + —;---------+ —), keZ ...91;
24 2	24	2
3)(Ui + 2*;	kGZ ...73.
24	2	6	2
97(2). Решить уравнение 2 sin — = 1.
1) ±- + 2лк, keZ 3	...99;
2) (-1Уу + 2лк, keZ	...95;
3) (-1)“^ + лк, keZ	...83.
98(2). Найти корни уравнения cos	| 4х + — |=0. к 2?
лк , 1) —, keZ 4 лк	...100;
2) —, к е Z 2	...54;
3) —+ лк, keZ 2	...55.
Г X 71 1 99(2). При каком значении х выражение cos 1 —	1 равно 1?	
1) ± — + 2лк, к е Z 7 6	...72;
2) —+ 6лк, keZ 2	...67;
3) 2лк, keZ	...82.
200
л/2
100(2). Решить неравенство sin х < ——
1)(-— + 2лк; — + 2лк), keZ ...63;
4	4
2)(-- + 2лк; — + 2лк), keZ ...99;
'	4	4
3)( —+ 2лк; —+ 2лк), keZ ...77.
4	4
Таблица 1
Входящие номера заданий
Номер варианта	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Номер задания, скоторого начинается вариант	11	21	31	33	39	61	71	81	83	89
Коды оценок
Таблица 2
101 -«2»	109-«2»	117-«4»
102 - «2»	110 — «3»	118 - «2»
103-«3»	111 - «3»	119-«4»
104-«4»	112 - «2»	120-«3»
105 -«2»	113-«3»	121 -«3»
106 — «3»	114-«4»	122-«3»
107-«4»	115-«5»	123-«5»
108-«4»	116-«5»	124-«5»
Таблица 3
Коды правильных ответов
Номер зада- ния	Код ответа	Номер зада- ния	Код ответа	Номер зада- ния	Код ответа	Номер зада- ния	Код ответа
1	2	3	4	5	6	7	8
1	43	26	28	51	93	76	78
2	45	27	41	52	95	77	91
3	45	28	46	53	95	78	96
4	49	29	43	54	99	79	93
201
Окончание табл.
1	2	3	4	5	б	7	8
5	49	30	36	55	99	80	86
6	37	31	16	56	87	81	66
7	42	32	105	57	92	82	112
8	1	33	34	58	51	83	84
9	30	34	19	59	80	84	69
10	2	35	124	60	52	85	123
И	8	36	14	61	58	86	64
12	2	37	35	62	52	87	85
13	17	38	40	63	67	88	90
14	108	39	38	64	117	89	88
15	115	40	37	65	116	90	87
16	29	41	107	66	79	91	119
17	103	42	105	67	121	92	112
18	30	43	15	68	80	93	65
19	37	44	14	69	87	94	64
20	42	45	14	70	92	95	64
21	25	46	41	71	75	96	91
22	105	47	45	72	112	97	95
23	106	48	50	73	122	98	100
24	108	49	17	74	119	99	67
25	6	50	27	75	56	100	77
202
Литература
1.	Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учеб.-метод. пособие /
М. И. Башмаков и др. - М.: Дрофа, 2001.
2.	Ивлев Б. М. и др. Дидактические материалы по алгебре и на-
чалам анализа для 10 класса. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 2000.
3.	Ивлев Б. М. и др. Дидактические материалы по алгебре и на-
чалам анализа для 11 класса. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 2000.
4.	Макарычев Ю. Н. Дидактические материалы по алгебре для
9 класса. - 2-е изд. - М.: Просвещение, 1997.
5.	Математика // Первое сентября. 1997 (№ 7); 1998 (№ 12); 2002
(№ 5, № 6).
6.	Математические диктанты для 5-9 классов: Кн. для учителя /
Е. Б. Арутюнян, М. Б. Волович, Ю. А. Глазков, Т. Т. Левитас. - М.:
Просвещение, 1991.
7.	Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Рабинович Е. М., Якир М. С.
Тригонометрия: Задачник к школьному курсу. - М.: АСТ-ПРЕСС:
Магистр-S, 1998.
203
СОДЕРЖАНИЕ
ГЛАВА V. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФОРМУЛЫ.............................3
§ 21.	Радианная мера угла....................................3
Урок 46..................................................3
§ 22.	Поворот точки вокруг начала координат..................5
Урок 47..................................................5
§ 23.	Определение синуса, косинуса и тангенса угла...........7
Урок 48..................................................7
§ 24.	Знаки синуса, косинуса и тангенса......................11
Урок 49..................................................11
§ 25.	Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того
же угла	14
Урок 50.................................................14
§ 26.	Тригонометрические тождества..........................18
Урок 51.................................................18
§ 27.	Синус, косинус и тангенс углов а и -а.................21
Урок 52.................................................21
§ 28.	Формулы сложения......................................23
Урок 53.................................................23
Урок 54.................................................27
§ 29.	Синус, косинус и тангенс двойного угла................30
Урок 55.................................................31
§ 30.	Синус, косинус и тангенс половинного угла.............33
Урок 56.................................................33
§ 31.	Формулы приведения....................................36
Урок 57.................................................37
§ 32.	Сумма и разность синусов. Сумма и разность косинусов..39
Урок 58.................................................39
Урок 59. Повторение и закрепление знаний по теме «Тригонометри-
ческие формулы»................................................41
Урок 60. Контрольная работа.............................50
ГЛАВА VI. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ.........................51
§ 33.	Уравнение cos х = а...................................51
Урок 61.................................................52
Урок 62.................................................53
§ 34.	Уравнение sin х = а...................................57
Урок 63.................................................57
Урок 64.................................................61
§ 35.	Уравнение tg х = а....................................64
Урок 65.................................................64
Урок 66.................................................68
§ 36.	Решение тригонометрических уравнений..................71
Урок 67.................................................71
Урок 68.................................................76
Урок 69.................................................80
Урок 70.................................................83
Урок 71.................................................85
Урок 72.................................................88
204
Урок 73...................................................94
§ 37.	Примеры решения простейших тригонометрических неравенств.101
Урок 74..................................................101
Урок 75..................................................105
Уроки 76-77. Повторительно-обобщающий урок-семинар по теме «Три-
гонометрические уравнения»......................................108
Урок 78. Контрольная работа..............................125
ГЛАВА VII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ............................126
§ 38.	Область определения и множество значений тригонометрических
функций	126
Урок 79..................................................126
Урок 80................................'.................128
Урок 81..................................................130
§ 39.	Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций.. 131
Урок 82..................................................131
Урок 83..................................................133
Урок 84..................................................134
§ 40.	Свойства функции у = cos х и ее график.................136
У	рок 85...............................................136
У	рок 86...............................................137
У	рок 87...............................................140
§ 41.	Свойства функции у = sin х и ее график.................142
Урок 88..................................................142
Урок 89..................................................145
§ 42.	Свойства функции у = tg х и ее график..................147
Урок 90..................................................147
Урок 91..................................................149
§ 43.	Обратные тригонометрические функции....................154
У	рок 92...............................................154
У	рок 93. Урок закрепления знаний по теме «Тригонометрические функ-
ции»	155
У	рок 94. Контрольная работа...........................158
Приложения ..................................................161
Литература...................................................203
Охраняется законом об авторском праве. Воспроизведение всего пособия или
любой его части, а также реализация тиража запрещаются без письменного
разрешения издателя. Любые попытки нарушения закона будут преследоваться
в судебном порядке.
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
10 класс
Поурочные планы
но учебнику III. А. Алимова, Ю. М. Колятипа,
IO. В. Сидорова, Н. Е. Федоровой, М. II. Шабунина
II полугодие
'С Автор-составитель Галина Ивановна Григорьева, 2003
Ответственные за выпуск
Л. Е. Гринин, А. В. Перепелкина
Редактор А. В. Перепелкина
Технический редактор Л. В. Иванова
Корректор II. М. Болдырева
£ Издательство «Учитель», 2003
400067, Волгоград, н/о 67, а-'я 32
Подписано в печать 06.06.07. Формат 60x90/16.
Бумага газетная. Гарнитура Тип Таймс.
Печать офсетная. Усл. печ.л. 13,0. Доп. тир. 7100 экз. Заказ № 19342.
Отпечатано с оригинал-макета.
ОАО «Саратовский полиграфкомбинат»
410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59.
www.sarpk.ru