Автор: Григорьева Г.И.
Теги: воспитание обучение образование методика преподавания учебных предметов в общеобразовательной школе алгебра пособие для учителей
ISBN: 5-7057-0492-5
Год: 2006
Текст
Издательство «Учитель»
АЛГЕБРА
И НАЧАЛА АНАЛИЗА
11 класс
ПОУРОЧНЫЕ ПЛАНЫ
по учебнику Ш. А. Алимова,
Ю. М. Колягина, Ю. В. Сидорова,
Н. Е. Федоровой, М. И. Шабунина
Часть II
Автор-составитель Г. И. Григорьева
Волгоград
Итоговое повторение курса алгебры
и начал анализа
Повторение курса разбито на 3 блока: «Выражения и преобразо-
вания», «Уравнения и неравенства», «Функции» - и проводится по
следующей схеме:
- повторение теоретического материала (в виде обзорной лек-
ции);
- решение заданий из учебника;
- решение тренировочных заданий для подготовки к Единому
государственному экзамену (ЕГЭ);
- решение заданий письменного экзамена за курс средней школы
(прошлых лет), а также вступительных экзаменов в вузы страны.
Выражения и преобразования
Учащиеся должны уметь выполнять тождественные преобразо-
вания степенных выражений, иррациональных выражений, лога-
рифмических выражений и находить их значения, тригонометриче-
ские выражения и находить их значение.
Урок 53
I. Организационный момент.
II. Обзорная лекция.
1. Корень n-й степени.
Определение. Арифметический корень n-й степени из числа
а (обозначается va,n>2, a>0)- неотрицательное число, n-я сте-
пень которого равна а.
Свойства:
если а > О, Ь>0ип, т- натуральные числа, причем п > 2, m > 2, то
1) Vab=^a-Vb 3)(fi)m=rfz™
4) ^л/а = п^Уа
5) если п - четное число, то есть п = 2к, то у а. =|а|, где к -
натуральное число.
2. Степень.
2.1. Степень числа а с натуральным показателем п, большим
1, - произведение п множителей, равных а, то есть
3
an = aa-...a
n раз
В записи а" число а - основание степени, п - показатель степени.
Первая степень числа - само число.
Свойства:
если n, m - натуральные числа, большие 1, то
l)an-am = an+m 3) (an)m = anm
2)an:am = an"m 4) (a- b)n = a" • bn
2.2. Степень с рациональным показателем.
Степень с целым отрицательным показателем определяется
1
равенством а = —, где а Ф О, п - натуральное число,
а"
Степень с нулевым показателем определяется а0 = 1, где а Ф 0.
Степень с рациональным показателем г определяется для лю-
бого положительного основания а равенством
m
аг = а п = vam, где m - целое, п - натуральное число.
Все свойства степени с натуральным показателем верны для
степени с любым рациональным показателем и положительным
основанием.
3. Логарифм.
Определение. Логарифм положительного числа х по основа-
нию а, а > 0, а Ф 1 (обозначается logax) - показатель степени, в ко-
торую надо возвести число а, чтобы получить х, то есть a ogaX = х.
Свойства. Если а > 0, а * 1, х > 0, х\ > 0, х2 > 0, р е R, то
1) l0ga(x, • Х2) = l0gaX, + logaX2.
2) loga-J- = logax1-logax2.
х2
3) l0gaXP = p • l0gaX.
4) log px = --logax.
a p
Формула перехода от одного основания логарифма к другому:
, Iogb х
logb a
Десятичный логарифм logiox = lg x,
4
натуральный логарифм lo&x = In x,
где е - иррациональное число, е « 2,718.
III. Решение заданий.
№ 1060 - на доске по желанию.
Ответ: 1083.
№1061 (1,3)-устно.
Ответ: 1)2, 3)~6.
№1063(1)-устно.
Ответ: 4.
№ 1064 (1) - под диктовку.
№ 1064 (2) - за доской.
Ответ: 1) 2-; 2)160.
IV. Домашнее задание: № 1061 (2), № 1062, № 1063 (2), № 1067.
V. Итог урока. Самоанализ учащихся своих знаний и умений по
текущей теме. На что обратить внимание при выполнении домаш-
него задания? Что следует еще раз повторить?
Урок 54
I. Организационный момент.
II. Решение тренировочных заданий.
Задания с выбором ответа.
Решите самостоятельно предложенные задания. Найдите полу-
ченный ответ среди ответов, приведенных к заданию, и если найде-
те, запишите его номер. Если не найдете, постарайтесь найти
ошибку в своем решении. Сравните свои результаты с номерами
правильных ответов.
j^
1. Упростите выражение: V125-52 -л/216.
1) 25VJ-16; 2) 25-4^4; 3) 19; 4) 5л/5-4^4.
2
2. Упростите выражение: V32 :23 -Vl2T.
1)4^2-11; 2)3/4-11; 3)-73/4; 4)-9.
4
3. Вычислите: З3 3/2-3/48.
1) 33/6-6; 2) 43/6; 3) 0; 4) Щ.
5
4. Вычислите: 0,3 • VU) • у/б ■ VT? - 0,1.
1)9,1; 2)2,9 3)89,9; 4)8,9.
г——- г—— 1 П
5. Вычислите: 0,1 • V20 :V45-2—.
30
1)-2,5; 2)-51,5; 3)-10; 4)0.
6. Вычислите: ?=•.
0,4,Д2
1)100; 2)91; 3)8,9; 4)4.
V3~24
7. Вычислите:
-4
1)0; 2)1б|; 3)-10; 4) |.
8
j 27
8. Найдите значение выражения: '
3-3^ + ^25
2,5
1)1; 2)0; 3)2,5; 4)4.
V22-V2 I—
9. Вычислите: —^= VI1.
VII —11
1) VTT-2; 2) -л/ГТ; 3) И; 4) -V2.
10. Упростите выражение: 2log2 3 + log7 2 - log714.
1)7; 2)2 + 21og72; 3)2; 4)3-61og72.
11. Упростите выражение: log53 - log515 + log35.
l)-l+log35; 2)-2; 3)0; 4) log5^.
12. Вычислите: log250 - 21og25.
1)20; 2)1; 3) log230; 4)81og25.
13. Укажите значение выражения: logs75 + logs(25) '.
1)1; 2)log53; 3) —l—; 4)0.
log53
log2-+log3 5
14. Упростите выражение: 3 4
1)^15; 2)|; 3) 5'°824; 4) 51og2I.
!og92+log5TT
15. Вычислите: 9 z:>.
1)0,25; 2)-; 3)-4; 4)4.
16. Упростите выражение: 2|ов27- log3 —.
0-3,5; 2)14; 3)-14; 4)3,5.
17. Упростите выражение: 7 °87 : log3 —.
1)1; 2)-|; 3)|; 4)-1.
Номера верных ответов:
Номер задания
Номер ответа
Номер задания
| Номер ответа
1
3
10
3
2
4
11
1
3
4
12
2
4
4
13
2
5
1
14
2
6
1
15
2
7
4
16
3
8
1
17
4
~9~1
4
Задания с кратким ответом.
Найдите значение числового выражения:
1. 716-7зТл/л/зТ+16.
.V1
' ■ -I 1
Л 2-492-164
/" 1 V
U25.
3. 123""'08'22.
5. log^4cos|J + log^sin|J.
6. 25^.
1 3
7. (0,00l)~J + 27~ з+(б°)5-2-3"4-8Г2-27.
-1-
8.64 6 - (0,125)" J - 32 • 2~4 • 16 2+(3°)4-4.
Номер задания
Ответ
1
15
2
1.
11
3
864
4
30
5
1
6
16
7
12
8
2
7
Задания с развернутым ответом.
1. Найдите наибольшее значение параметра а, при котором
уравнение х3 + 5х2 + ах + b = 0 с целыми коэффициентами имеет
три различных корня, один из которых равен -2.
Решение: Подставив х = -2 в левую часть уравнения, полу-
чим 12 - 2а + b = 0, а значит, b = 2а - 12.
Так как число -2 является корнем, то можно вынести общий
множитель х + 2;
х3 + 5х2 + ах + b = х3 + 2х2 + Зх2 + ах + (2а - 12) =
= х2(х + 2) + Зх(х + 2) - 6х + ах + (2а - 12) =
= х2(х + 2) + Зх(х + 2) + (а-6)(х + 2)-2(а-6) + (2а-12) =
= х2(х + 2) + Зх(х + 2) + (а-6)(х + 2-2 + 2) =
= (х + 2)(х2 + 3х + а-6).
По условию имеются еще два корня уравнения. Значит, дискри-
минант второго множителя положителен.
0 = (-ЗГ-4-(а-6) = 33-4а
33 - 4а > 0, то есть а < 8,25.
Казалось бы, что ответом будет а = 8. Но при подстановке числа
8 в исходное уравнение получаем:
х3 + 5х2 + ах + b = х3 + 5х2 + 8х +4 = (х + 2) (х2 + Зх + 2) =
= (х + 1) (х + 2)2, то есть уравнение имеет только два различных
корня. А вот при а = 7 действительно получается три различных
корня.
Ответ: 7.
2. Многочлен Ах3 + Вх2 + Сх + 84, А # 0, с целыми коэффициен-
тами имеет ровно два корня х = -2 и х = 3. Найдите С.
Решение:
1) Пусть Ах3 + Вх2 + Сх + 84 = А(х + 2) (х - З)2.
А(х + 2)(х-3)2 = А(х + 2)(х2-6х + 9) =
= А(х3-6х2 + 9х + 2х2-12х+18) = А(х3-4х2-Зх+18) =
= Ах3-4Ах2-ЗАх+18А.
18А = 84,тоестьА = 84: 18
А-4
3
Это значение не удовлетворяет условию, что коэффициенты -
целые.
2) Пусть Ах3 + Вх2 + Сх + 84 = А(х + 2)2 (х - 3).
А(х + 2)2 (х-3) = А(х2 + 4х + 4) (х-3) =
= А(х3 + 4х2 + 4х - Зх2 - 12х - 12) =
= А(х3 + х2 - 8х -12) = Ах3 + Ах2 - 8Ах - 12А -
- 12А = 84, то есть А = -7.
8
С = -8А, то есть С = -8(-7) = 56.
Ответ: 56.
III. Домашнее задание: № 1069, № 1070, № 1095.
IV. Итог урока.
Урок 55
I. Организационный момент.
II. Тест.
Вариант I
1. Найдите значение выражения д/37 • 45 д/35 • 4.
1)24; 2)36; 3)6; 4) 4>/з.
2. Вычислите
Vo,c
3"V0,09 TIT
1)1,96; 2)1,6; 3)1,52; 4)0,04.
3. Укажите значение выражения:
21og23 + log2j.
l)log23; 2)21og23; 3)0; 4)-2.
4. Вычислите значение выражения: 50g5 -log28.
1)1; 2)0,375; 3)24; 4)9.
Л _2 _2
5. Вычислите: 9 2 +10- (40)5-(0,25) 2-9 2-27-3~5.
Вариант II
1. Упростите выражение: (>/320 -3^24)-(V45 -2Щ\).
1)^3+5>/5; 2)5л/5; 3) -123/3+5V?; 4)3^3.
2. Укажите значение выражения:
log210-2 log2 5 + log2 40.
1)0; 2)2; 3)3; 4)4.
3. Вычислите: (V2)l0g^5+1°8381.
1)25; 2)10; 3)20; 4)625.
4. Вычислите значение выражения: 6 og6 -log5 0,2.
1)—15; 2)-3; 3)3; 4)15.
_5 I 2
5. Вычислите: 16 4-(0,01) 2 + 12-(70)3 -16-2-5 -64~3.
Ответы: вариант I: 2; 4; 1; 4; 2;
вариант II: 2; 4; 3; 1; 2.
9
III. Решение заданий (выполняется на доске по очереди).
№ 1092 (1).
а + 2
а-2
^2а2-а-3.2а-3
а2+5а + 6 а-2 J
а + 2
а-2
Г2а2-а-3 а-2^
[а2+5а + 6 2а-3
_ а + 2(2а-3)(а + 1) а-2 _ а + 1
~а-2 (а + 2)(а + 3) 2а-3~а + 3'
№ 1096 (1).
( 1
1 + х2
1
1-Х2 X2 -X
1 + х2
1-х2
Л
1-х2
х-1
1 + х:
1-х2
х-1
1-х
= -1.
№ 1099.
a-'b^-a'V \Л a'V2(a-b)
a 3b_2-b За-2
a-V2|a3-b3
( i iY 2 ii
з_ьз
_ V
2^
1 1
-a3b3 =
a3 +a3b3 +b3
/
a3-b3
№ 1101.
f \4 /
9a-25a-1 a+ 7 +10a"1
2 2
-a3b3=a3+b3.
l
l
l
i
Ua2 -5a 2 a2 +2a 2
,J ,4 (a2+7a + 10)
За2 +5а 2 --1 i
i V
a(a + 2)
10
/
ЗаЬ5а^-(аН:5)(а + 2)
1
V
a2(a + 2) )
( \4
За + 5 a + 5
a2 j
( \4
2a
_1_
K&2 J
№ 1102.
(
( Л4
2a2
ч j
= \6&\
з^ь
Vb.
( 33Vb + Vb
-2
-(b2+18b + 8lf5 =
-MfF-
Vb(b-9) b-9
Щ'2 _(b+«.f-t».
b-9 J U + VbJ
V
-b-9 =
= (>/Ь-з)2~Ь-9 = Ь-6л/Ь+9-Ь~9 = ~6л/К
IV. Домашнее задание: № 1092 (2), № 1096 (2), № 1100.
V. Итог урока.
Урок 56
I. Организационный момент.
II. Решение экзаменационных заданий.
1. Найдите значение выражения:
3^gjlog96_ylog79
Ответ: 3.
2. Упростите выражение:
а2+1 + аУа2+1 5
а + л/а2 +1 Va2 +1
Ответ: 5.
3. Вычислите
Ответ: 3.
11
4. Упростите выражение:
2х + 1 2ху + у
(
х + у ^х + у y2-x2J
Ответ: 0.
5. Упростите выражение:
i + Va2-4 a-va2-4
2х + 1
х-у
-1.
l - л/а2 - 4 a + Va2-4
iVa2-4
J
1 1 1
Ответ: 4.
6. Вычислите 0,2 V5 4 8 16 ,
Ответ: 4.
7. Упростите выражение:
f8aVa + bVb rrV4Va+2VbV
—т= j=- - V ab • ,
^4va+2Vb Д 4а -b J
Ответ: 2.
i l l
8. Вычислите 81,og53 +27,og63 +9,og?3
Ответ: 890.
III. Тест.
Вариант I
1. Найдите значение выражения:
a-b
r-(Va+Vbj при а = 4, b = 9.
a + b + 2Vab
1)1; 2)5; 3)-1; 4)-5.
2. Найдите значение выражения:
х-у
I I I
/2±v2 v2
при х = 9, у = 49.
yz + xz х
1)-6; 2)2; 3)43; 4)23,5.
( 1V
3. Выполните действия:
Ь6
v j
■%\
12 ii 23
l)b4; 2)b8; 3) Ь; 4) b 6.
12
4. Упростите выражение:
1 + а
1-3л£ + 3л/а2
-2а6.
1)
i\
1-а«
; 2)1-2а6-а3; 3)1-2а2; 4)
3Vb
1 + ас
5*. Известно, что logbc-T=- лежит между 8 и 13, a logt>cb прини-
Vc
мает целые значения. Найдите количество всех этих значений.
з/Ь
Указание. Обозначьте logbcb = а, выразите logbc -^ через а и вы-
Vc
ясните, при каких значениях а это выражение лежит в интервале (8; 13).
Вариант II
1. Найдите значение выражения:
a va
V
a +ab
Va + b
la + l
при а = 4, Ь = 5.
1)-; 2)2; 3)0; 4)2^5.
2. Найдите значение выражения:
I
X — V V2 — V
—:—=Lr + i—г-^,еслих= 16, у = 25.
xz -yz у*
1)5; 2)-5; 3)-16; 4)-15.
3. Выполните действия:
9 '
( 1^2
У1
\ J
1 _1 -i
1) у3; 2) у 6; 3)у 4; 4) у*.
2
X4 +1
4. Упростите выражение:
-2х8.
( 1
1)
х2-х4+1
V , ( i ^2
■1 ; 2) 1-2х8; 3) 1-х8; 4) | х8 -1
13
^
5*. Известно, что log . 2 — > -1,5.
ав jj
Найдите наименьшее целое значение logaba, большее двух.
Ответы: вариант I: 3; 1; 1; 1; 6;
вариант II: 3; 1; 3; 4; 7.
IV. Решение заданий.
1. Сравните числа: ^3^10 и ^^99.
Решение: ^Ш = VЗ/зЧо = 1^2Т0
Так как 270 > 99, то 1^270 > '^99 , то есть
^3W>$/99.
2. Сократите дробь: •) Ь-.
(4П-1-4"-2)3
Решение:
(23»-6 +2Зп-9^ ^ (23п-9(23 +1у _ 26п-18 , д2 _
(22"-2 _22п-4)3 " (22n-4(22 _j| " 26п"12 • З3 ~
26п-18 .34 з 3
26 64"
V. Задания для самостоятельного решения (на дом).
1) Найдите значения числовых выражений:
а) $54+Ц1б):!/2; б) У32+1ГИ-$/й.
2) Сравните числа:
а) 4^2 H2V5; б) 1 + 3^2 и12 + 2$/з~.
3) Определите знак разности:
a) VlO-3/20; 6)2- З/КЙ); в) ^Й-л/ГТ; г) ^6-^5.
4) Расположите числа в порядке возрастания:
а) у/гЦз, tfsjl и $/19;
б) VWf, $/27ил1Ш;
в) VVVT2T и ^/л/Зл/И.
14
5) Сократите дроби:
27s+274 167-166 (27" -3-27""' f
а)98+97+9б; \ю+*9+#''*' (9п+1-9п)3 '
Ответы:
1) а)5;б)-2; 2) а) 4^2 >2^/5; б) 1 + 3^2 < 12 + 2^3;
3) а)3/ГО-3/20>0; б) 2-^/i00<0; в) Vi4-ViT<0;
r)V6-V5<0;
4) a)^i9;V2W;3V5V2; б) V27; $V4; V2W;
5) а)1; б)—; в)—.
73 648
Урок 57
I. Организационный момент.
П. Теоретическая часть.
4. Тригонометрические выражения.
Соотношения между тригонометрическими функциями одного
аргумента.
1) sin2oc-
2)tgct =
3) ctgot =
f- cos2a = 1
sin a
cos a
cos a
sin a
Формулы сложения:
1) sin (a
4) tga • ctga
5)l+tg2a =
4) 1 + ctg2a =
± P) = sina cosp ± cosa sinP
2) cos(oc ± Р) = cosct cosp
3)tg(a±
tga±tgp
1 + tga-tgP
Формулы двойного угла:
1) sin2a:
2) cos2a
3)tg2a =
= 2sina cosa
= cos2a - sin2a =
2tga
1-tgV
T sina sinP
•
= 1
1
cos2 a
1
sin2 a
2cos2a -1 = 1- 2sin2a
15
Формулы суммы и разности:
, • о о - <*±р <* + Р
l)sina±sinp= 2 sin --cos -
2 2
о * a + B a-p
2) cosa + cosp = 2 cos - • cos -
H 2 2
3) cosa-cosp = -2 sin --sin -
H 2 2
,w , ,. Q sin(a±p)
4)tga±tgP= i ^-
cosa -cosp
5) cosa ± sina= V2sin — ±a = v2cos —+ a
И У И
_ cos(a - p)
6)tga + ctgP =
cos a sin P
Формулы, связывающие sina, cosa и tga с tg—:
2tg« l-tg2° 2tg«
l)sina = —; 2)cosa = —; 3)tga = —
1 x 2 Ct i * 2 « 1.2^
i+tg2- i+tg^- i-tg2Y
5. Арифметическая и геометрическая прогрессии.
I) Арифметическая прогрессия.
аЬ а2> а3э •••> ап> •••
Разность d = a„+i - ап
Формула п-го члена ап = aj + d • (п - 1).
ai +ап
Сумма п первых членов Sn = — °- • п ;
_2ai+d(n-l)
оп — ■ • П
2
2) Геометрическая прогрессия.
ЬьЬ2,Ьз, ... bn
^пэ
Знаменатель q = • -п+-
ь„
Формула п-го члена bn = bi • qn".
Сумма п первых членов Sn = " ; Sn = —— .
q-1 q-1
16
Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии (ес-
ли |q| <1)S = -^-.
i-q
III. Практическая часть.
№ 1083 - на доске по очереди.
3 4
Ответ: 1) sina = 0,6; tga = —; ctga = —;
ол 12 ^ 5 ^ 12
2) cosa = —; tga = —; ctga = —;
^ . 12 5 4 5
3) sina = —; cosa = —; ctga = —;
,ч . 24 7 + 24
4) sina = —; cosa = —; tga = —.
25 25 6 7
№ 1088 (1,3,5) - под диктовку.
Ответ:!)--; 3) --; 5)0.
4 6
Домашнее задание: № 1088 (2,4), № 1090, № 1084, № 1086.
Урок 58
I. Организационный момент.
II. Решение заданий.
Задания выполняются на доске по очереди.
№1105(1).
Решение: sin2 (a + 8я) + cos2 (a + 10я) = sin2a + cos2a = 1.
№ 1106.
Решение:
sin 2a sinacosfa-a) sin 2a sinacosa
■ + - -
2(1-2cos a) l-2sin a 2(sin a-cos a) cos a-sin a
sin 2a sin 2a 2 sin 2a
2(cos2a-sin2a) 2(cos2a-sin2a) 2cos2a
№1112(1).
Решение:
f
r \ .sin
cosa + sin a (n ) cosa + sina
: tg - + a = :
cosa-sina ^4 J cosa-sina n
cos —+ a
4
= -tg2a.
n
—+ a
V
17
__ cosa + sin a
cosa-sina
№1113(1).
Решение:
2
(sina + cosa)
= 0.
(cosa-sina)
tga + tgp = tga + tgp ^tga + tgP
tgp + tga
ctga + ctgP 1 _1_
tga tgp
№ ШЗ (3).
Решение:
tga • tgp = tga • tgP.
sin
+ a
- cos| — + a
S
V2.
sin
n
4
2sina
v
+ a + cos
71
—+ a
4
(sin a + cos a) (cosa - sin a)
2 V ' 2 V 1
л/2 л/2
—(sin a + cos a) +—(cos a - sin a)
2 '2
= tga.
2 cos a
№1116(3).
Решение:
sin a + sin 3a + sin 5a
(sin a + sin 5a) + sin 3a
= tg3a.
cos a + cos 3a + cos 5a (cos a + cos 5a) + cos 3a
2sin3a-cos2a + sin3a _ sin3a(2cos2a + l)
2cos3a • cos 2a + cos3a cos3a(2cos2a +1)
№1117(1).
Решение:
sin2a + cos2a + 2sin a sin2a + cos a-sin a + 2sin a
sin(-a) - sin(2,57T + a)
sin 2a +1 (sin a + cosa)2
-sina-cosa
№1119.
Решение:
(sina + cosa)
- sin a - sin(0,57c + a)
=-(sina + cosa).
5cosx-3sinx sin2x-8sin2x 3cosx-3sinx + 2cosx
sin
-x +sin(-x)
cos2x
cos x- sin x
18
sin2x-8sin x
2 • 2
cos x-sin x
= 3 + -
2cosx
sin2x-8sin2x
= 3 +
cosx - sin x (cosx - sin x)(cosx + sin x)
2cos2 x+2cosxsinx-sin2x + 8sin2 x _
cos2 x-sin2 x
„ 2cos2x + 2sin2x + 6sin2x „ 2 + 6sin2x
= 3 + г г = 3 + -
cos2 x-sin2 x
cos2x
3 cos2x + 2 + 6sin2 x _ 3 cos2 x - 3sin2 x + 6sin2 x + 2
cos2x cos2x
3cos2x + 3sin2x + 2 5
cos2x
cos2x
№ Ц21 (1).
Решение:
cos2(a + 2P) + sin2(a - 2p) - 1 = cos2(a + 2p) + sin2 (a - 2P) -
- cos2(a + 2P) - sin2(a + 2P) = sin2(a - 2P) - sin2(a + 2p) =
= (sin(a - 2(3) - sin(a + 2P))(sin(a - 2P) + sin(a + 2P) =
= 2sin(-2P)cosa • 2sina • cos(-2P) = -2cosa • sina • 2sin2p • cos2p =
= -sin2a • sin4p.
№1124(1).
Решение:
S-
VII
cos x - sin x
1 —=cos x —=sin x
л/2 л/2
sin x - cos x
-V2c
71
COS X 4- —
V2I
2 • 2 1 1 •
cos x + sm x —?=cos x —;=sin x
S VT
-V2
COS X + —
cosx
cosx-
V
V2.
/
+ sm x
smx-
v
V2
J _
COS X + ■
19
Я . . .Я
cosxl cosx-cos— + sinx sin х-sin —
COS
x + —
V 4
2 Я . 2 • • 71
cos x-cosx-cos—+ sin x-sinx -sin —
COS
x + -
V
я
4j
1-
я .я
cosx • cos— + sin x • sin —
4 4
/
1-cos
x--
COS X +
я
COS
я
x + —
4
я
COS I X
-1
4
cos I x + —
№ 1125.
Решение:
sina-coscc
1 .
sin 2a
_ - _ 1 sin2a _ 1
sin2 a-cos2 a -(cos2 a-sin2 a) 2 cos2a 2
1 2tga tga
tg2a =
2 l-tg2a tg2a-l
4
3
4 7 12
c , 3 + 4 tga
Если^а= 7,T0tga= - и — -- ——--.--—.
4 3 tg2a-l £5. _j 3 9 7
9
Домашнее задание: № 1105 (2), № 1112 (2), № 1113 (2, 4),
№ 1116 (4), № 1117 (2), № 1121 (2).
Урок 59
I. Организационный момент.
20
II. Тест.
Вариант I
1. Вычислите: cos к - sin + tg2 —.
I 2) 3
1) л/3; 2)3; 3) >/з-2; 4)1.
cos2 22,5°-sin2 22,5°
2. Вычислите:
cos 25° cos 20° - sin 25° sin 20°
V2 „4 V2
1)-1; 2) ^; 3>-y-i 4>L
Зтг
+ x
3. Упростите выражение: l + ctg|
2 J
1) sin2x; 2) 1 + sin2x; 3) cos2x; 4) 1 + cos2x.
a a
sin —+ cos—
2 2
4. Упростите: ч
sin x • cos x .
1 + sina
14 t оч 1 + cosa _ 1 „ч , , .
1)1; 2) ; 3) ; 4)l+sina.
1 + sina 1 + sina
5. Вычислите: sin(-330°).
,) 1; 2) £; 3) Л 4) -I.
2 2 2 2
Вариант II
, _ 6 sin 15° cos 15°
1. Вычислите: = .
2cos215°-l
1) Зл/3; 2)3; 3)1,5^2; 4) fi.
2. Вычислите: V2 sin22,5°-cos22,5°.
1)1; 2) V2; 3) ^-; 4)1.
3. Найдите значение выражения: sin(a + p) - 2cosasinP, если a
p = 28°.
1)1; 2)^; 3)^; 4)1.
' 2 2 2
. ,r , sin2asina
4. Упростите: 1 .
2 cos a
l)2cos3a; 2)sin2a 3)cosa; 4)cos2a.
21
I 1
5. Упростите: cos2(rc - a) + cos2 a
1)1; 2)2cos2a; 3)2sin2a; 4)0.
Ответы: вариант I - 2; 4; 3; 1; 1;
вариант II - 4; 4; 2; 4; 1.
III. Решение заданий.
1. Найдите значение выражений:
, .г.*) .{ ^
а) arcsin sin— + arcsin
б)#
4 ,
в) f tg|
V 3,
( ( ^
arccoa —
l Л 4
■Гъ
ч 2У
V
г) logJ arccoi
r
я-arcsini —
^~J-arctg(~V3)j;
д)5л/2
sin
— arctg —
2 \ 1
Ответ: a) 0; 6) 15; в) 1; г) 1; д) 7.
2. Найдите количество функций f(x) = atgx + b • ctgx с натураль-
ными коэффициентами а, Ь, наименьшее значение которых при
х е 0; — является целым числом, лежащим между п и я2.
Решение: Пусть t = tgx, где t >0. Тогда
f(x) = at + - = (Vat)2 + J- +2Vab-2Vab =
( \—^^ I ( \—\^
(Vat)2-2>/ab+ J- +2^Л= Vat-J- + 2л/а£
\УХ) ) V 't)
(
Так как
равно 2Vab.
Vat-
Ч
Л2
> 0, то наименьшее значение функции f(x)
22
По условию задачи это выражение целое, то есть vab - целое,
отсюда ab = 1; 4; 9; 16; 25; 36 и т. д.
Также по условию задачи п < 2л/аЬ < я2, то есть — < ab < —
4 4
или 2,46 < ab < 24,3. Значит, ab = 4 или ab = 9 или ab = 16.
Учитывая, что числа а и b - натуральные, найдем все а и Ь:
ab = 4, значит, а = 1, b = 4;
a = 2,b = 2;
a = 4,b=l;
ab = 9, значит, а = 1, b = 9;
a = 3,b = 3;
a = 9,b=l;
ab = 16, значит, a = 1, b = 16;
a = 2,b = 8;
a = 4,b = 4;
a = 8,b = 2;
a=16,b=l.
Всего таких наборов 11.
Ответ: 11.
3. При каких значениях а значение выражения 2 + cosx (5cosx +
+ а • sinx) будет равно 1 хотя бы при одном значении х?
Решение: Это произойдет тогда, когда значение выражения
1 + cosx (5cosx + а • sinx) будет равно нулю хотя бы при одном х.
5 а
1 + cos x(5 cos х + а • sin х) = 1 + — (1 + cos 2x) + —sin 2x =
2 2
= 3,5 +
a-sin2x + 5-cos2x
где since = -
2
5
= -( 7 - л/25 + а2 • sin(ot + 2х) 1
V25
+ а
Выражение a -sin(a + 2x) принимает все значения от
->/25 + а2 до + а2 . Значит, выражение 1 + cosx (5cosx +
+ а • sinx) обратится в нуль, только если число 7 лежит в найденном
отрезке.
7<л/25 + а2 о 49<25 + а2 о |а|>2л/б.
Ответ: (-оо; - 2у[б ] и [2л/б; + оо) .
23
4. При каких значениях а сумма loga (cos2x + 1) и loga (cos2x + 5)
будет равна единице хотя бы при одном значении х?
Решение: Оба выражения определены при всех х. Их сумма
равна loga (cos2x + 1) (cos2x + 5).
loga (COS2X + 1) (C0S2X + 5) = 1
(cos2x + 1) (cos2x + 5) = a.
Пусть t = cos2x, где 0 < t < 1, тогда (t + 1) (t + 5) = a,
t2 + 6t + (5-a) = 0.
Значит, надо найти все те а, при которых значение квадратичной
функции у = t2 + 6t + (5 - а) хотя бы в одной точке, принадлежащей
отрезку [0; 1], обращается в нуль. Эта парабола симметрична отно-
сительно прямой t = -3. Потому, если найдется значение аргумента
из [0; 1], при котором функция принимает нулевое значение, то
оно единственно.
Если при t = 0 значение функции равно 0, то а = 5. При таком а
есть второе значение t = -6 (симметрия), при котором значение
функции равно нулю. При возрастании а вершина параболы опуска-
ется вниз и меньшее значение аргумента становится меньше -6, а
большее - больше 0. Большее значение равно 1, если 1 + 6 + (5 - а) = 0,
то есть если а = 12. При дальнейшем увеличении а большее значе-
ние аргумента будет лежать вне отрезка [0; 1].
Ответ: [5; 12].
5. Докажите тождество:
V2 ( *
. :cos х +
2 3 V 4
1 + CtgX + Ctg X + Ctg X = ~ г-
cos —х
Решение: Так как V2 cos[ x + —
4;
= cos x + sin x
cos — x = sin x, то после приведения к общему знаменателю
получаем равенство, эквивалентное исходному:
sin3x + sin2x • cosx + sinx • cos2x + cos3x = cosx + sinx;
sin2x • cosx + sinx • cos2x = cosx (1 - cos2x) + sinx (1 - sin2x);
sin2x • cosx + sinx • cos2x = sin2x • cosx + cos2x • sinx.
Домашнее задание: № 1107, № 1104, № 1127, № 1133.
24
Урок 60
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Упростите выражение:
1-cosoc
1# —
sin a
1 1 1
1) ctg^a - ctga; 2) ; 3) ; 4) 1 + cosa.
1 + cosa cosa
1-sina
2
cos a
l)tg2a-tga; 2)1+sina; 3) \ ; 4) —?—.
1 + sina cosa
3 tg2a
l + tg2a
1) tg4a; 2) tg2a + 1; 3) sin2a; 4) cos2a.
4 bfctg^a
ctg2a
1)—r—; 2)cos2a; 3)tg2a; 4)sin2a.
cos a
5. (sina + cosa)2 + (sina - cosa)2
l)-2sin2a; 2)2; 3)2sin2a; 4)4.
, sin4 a + sin2 a-cos2 a
6' 2
cos a
l)tg2a; 2)ctg2a; 3)—^—; 4)sin2a.
cos a
7. ~sin2a - cos2a - tg2a
1) -sin2a; 2) ~cos2a - tg2a; 3) r—; 4) -cos2a.
cos a
8. 1 - sin2a • ctg2a
l)~ctg2a; 2)sin2a; 3)tg2a; 4)cos2a.
cosa • tga
sin2 a
l)sina; 2)tg2a; 3)ctg2a; 4) .
sina
25
10. sin4a + 2sin2a • cos2a + cos4a
i4i лчл ~4 sin2 2a .4 2^
1)1; 2)2: 3) ; 4)cos22a.
Ответ:
1
2
2
3
3
3
4
1
5
2
6
1
7
3
8
2
9
4
~io1
l
III. Решение заданий.
В арифметической прогрессии а3 = 6, а5 = 16. Найдите сумму а4 и а8.
Решение: а3 = ai + 2d = 6;
а5 = ai +4d= 16.
аз + а5 = 2aj + 6d = 22 или ai + 3d = 11, то есть дц = 11.
d = а4-а3= И -6 = 5.
a8 = a5 + 3d=16+15 = 31.
а4 + а8 = 11 +31=42.
Ответ: 42.
2. В арифметической прогрессии а2 + аю = 14, аз + а7 = 6. Найди-
те разность этой прогрессии.
Решение: а2 + а10 = (а, + d) + (а, + 9d) = 2а] + 10d= 14;
а3 + а7 = (а, + 2d) + (а, + 6d) = 2а! + 8d = 6.
2d = 8
d = 4.
Ответ: 4.
3. Найдите сумму первых 9 членов арифметической прогрессии,
если сумма первых 5 членов равна (-5), а сумма членов с 4 по 9
включительно равна 36.
Решение: s 2ai+4d.s = 5а , 10d = __5
5 2 ]
>4-9
= Sn-s, = *M±*L9_
2а, +2d
3 = 6а,+33d = 36
a, + 2d = -l,
2а, + lid = 12;
-2а,-4d = 2,
2а, + lid = 12.
7d=14
d = 2;ai =-5.
S0 =
2-(-5) + 2-8
•9 = 27.
Ответ: 27.
26
4. Знаменатель геометрической прогрессии (bn) равен (-2), a Ss = 11.
Найдите Ь7.
Решение: S5 = Mtfcl) =,,
5 (-2)-1
M^zi)=11; br(-33)—33; Ь.-1.
b7 = brq6=l-(-2)6 = 64.
Ответ: 64:
IV. Проверочная работа.
Вариант I
, v (l + ctg2^,
1. Упростите выражение: 2 tga.
^tga + ctgaj
2. Найдите значение выражения:
sina-tga п
sin atga г-2— при a = —.
cos a 3
8-sin 5°-cos 5°cos 10°cos 20°
3. Вычислите:
sin 40°
4. Найдите значение выражения:
f /l-COSX A X . 2 I
J ctg—sin x
I Vl + cosx 2 I
57t
при x = —.
5. В арифметической прогрессии (ап):
аб = -8; ai6 = 32. Найдите первый положительный член этой про-
грессии.
Вариант II
1. Упростите выражение:
((1 - tga)2 + (1 + tga)2) • cos2a.
2. Найдите значение выражения:
1-sin4 a -cos4 a
cos4 a
3. Вычислите:
при a = —.
8-sin 10°cos 10°-cos 20°-cos 40°
sin 80°
4. Найдите значение выражения:
/l + COSX X 2
J -tg—cos x
V 1-cosx 2
Л
при x - •
2я
27
5. В арифметической прогрессии (ап): а5 = 35; а2о== 29. Найдите
сумму неотрицательных членов этой прогрессии.
Ответы: вариант I: 1. 1; 2. -3; 3. 1; 4. 2д/3; 5. 4.
вариант И: 1. 2; 2. 6; 3. 1; 4. 2л/3; 5. 1692,8.
V. Решение экзаменационных заданий.
(можно в качестве домашнего задания).
1. Сравните значения выражений:
1 + cos 40° + cos 80° cos 105°cos 5° + sin 105°sin 5°
и .
sin 80° + sin 40° sin 95°-cos5° + cos95°sin 5°
2. Укажите наименьшее положительное число х, при котором
sinx° = sin215° - 2sinl5°cosl5° + cos215°.
3. Вычислите: cos286° + cos234° - cos264° + 3,5.
Ответы: 1. значение первого выражения больше.
2.30.
3.4.
Домашнее задание: № 1120, № 1126, № 1131.
Уравнения и неравенства
Учащиеся должны владеть определением понятия корня урав-
нения (решения неравенства), уметь решать простейшие уравнения
(тригонометрические, показательные и логарифмические) и про-
стейшие неравенства; знать общие приемы решения уравнений
(разложение на множители; замена переменной; использование
свойств функций; использование графиков), использовать несколь-
ко приемов при решении уравнений; уметь решать комбинирован-
ные уравнения (например, показательно-тригонометрические),
уравнения, содержащие переменную под знаком модуля; уравнения
с параметрами.
Урок 61
I. Организационный момент.
II. Обзорная лекция.
1. Показательные уравнения - уравнения, в которых неиз-
вестное содержится в показателе степени.
1) Неизвестное содержится только в показателях степеней вы-
ражений, над которыми не производится операций сложения и вы-
28
читания. Тогда логарифмирование общего уравнения (с произволь-
ным основанием) приводит к цели.
Пример: 3Х = 4Х'2-2Х
log2(3x) = log2(4x-2.2x);
х log23 = (x - 2) log24 + xlog22;
x-Iog23 = 2x-4 + x
x • log23-3x = -4
x(Iog23-3) = -4
-4
Iog23-3
2) Неизвестное входит только в показатели степени выражений,
основания которых являются целыми степенями одного и того же
числа а. Тогда заменой неизвестного t = ах можно получить уравне-
ние, алгебраическое относительно t.
Пример:2х_1 = 8х-2-4х-2
Пусть t = 2х, тогда
t3-4t2-32t = 0
tl = 8,t2 = -4,t3 = 0
При t2 = -4 и t3 = 0 действительных корней нет;
npnt = 8,2x = 8,x = 3.
2. Логарифмические уравнения.
При решении логарифмических уравнений часто получаются
уравнения - следствия исходного уравнения, поэтому необходима
проверка корней.
1) Уравнение содержит логарифмы от одного и того же выраже-
ния (основания логарифмов также равны). Заменой переменного
получим алгебраическое выражение.
Пример:4- Igl ~xj = 3Jlgf-х
Пусть у = /Ig -х , тогда
4~у2 = Зу,у1 = 1,у2 = -4.
Jig — х = 1 => — х = 10, то есть х = 4
Решение у2 = -4 - постороннее.
2) Неизвестное входит только в аргумент логарифмов одного и
того же основания а, и все уравнение есть линейная комбинация
29
выражений. Тогда уравнение можно привести к виду logaf(x) = b,
или, потенцируя, к алгебраическому уравнению.
Пример. 21og5(3x - 1) - log5(12x + 1) = О,
. (Зх-1)2 Л
,Оё51277Г=0
%4 = 1, х, = 0, х2 = 2.
12х + 1
Проверка показывает, что х = 0 - посторонний корень.
3) Неизвестное входит в аргумент логарифма, и уравнение со-
держит только логарифмы с одним и тем же аргументом, но с раз-
личными основаниями. Уравнение можно решить после использо-
вания свойств логарифмов.
Пример. log2(x- 1) + log3(x- 1) + log4(x- 1) = 3 + log34.
log4(x-l) log4(x~l) . i4 . t
I о + i о +>og4(x-l) = 3 + log34
log4 2 log4 3
log4(x -1) • (log24 + log34 + 1) = 3 + log34
log4(x-l)-(3 + log34) = 3 + log34
log4(x-l)=l
x = 5.
3. Тригонометрические уравнения.
Простейшие тригонометрические уравнения:
l)sinx = a.
Если |а| > 1, уравнение не имеет решений.
Если |а| < 1, то х = (-1)к • arcsina + як, к е Z
я
sinx = -l, x = — + 2яп, neZ
2
sinx = 0, х = яп, n g Z
Я
sin x= 1, x = — + 2яп, neZ.
2
2) cosx = a.
Если |a| > 1, уравнение не имеет решений.
Если |а| < 1, то х = ±arccosa + 2яп, n е Z
cosx = -l, х = я + 2яп, neZ
я
COSX = 0, X = — + ЯП, П G Z
2
30
cos x = 1, x = 2яп, n e Z.
3)tgx = a.
x = arctga + Ttn, n e Z.
К этим уравнениям сводятся другие тригонометрические урав-
нения. Для решения большинства таких уравнений требуется при-
менение различных формул и преобразований тригонометрических
выражений.
Домашнее задание: повторить решение однородных и неодно-
родных тригонометрических уравнений первой и второй степени;
№ 1136 (1), № 1139 (1), № 1142, № 1143.
Урок 62
I. Организационный момент.
Записать на доске решение домашнего задания. Отметить ра-
циональный способ решения.
II. Решение заданий.
№ 1144 (1) - на доске по желанию.
Ответ: х = 0.
№ 1145 - самостоятельно по вариантам.
Ответ: 1) х = -1; 2) нет корней.
№1148(1)-за доской.
Ответ: ±VJ; ±>/б.
№ 1149 (1) - под диктовку.
Ответ: нет корней.
Следующие задания решаются на доске по очереди:
№ 1158 (1; 3).
Ответ: 1) х= И; 3)xi=-l; хг = 3.
№1159(1).
Ответ: —.
5
№1160(1).
Решение: 52х+5-73х+,=35^(5Х+6)
1,
log35(52x+5-73x+,)=log35
( 1 "\
' -Ч5х+6) '
352
V
31
(2х + 5)-log35 5 + (Зх + l)-Iog35 7 = -(5х + 6)
2xlog35 5 + 3x-log35 7--x = 3-51og35 5 - log35 7
x(21og355 + 31og357 - 2,5) = 3 - 41og355 - (log355 + log357)
x(2(log355 + log357) + log357 - 2,5) = 2 - 41og355
x(log357-0,5) = 2-41og355
2-41og355
log357-0,5
№ 1161 (3).
Решение:
V8:
2
2 2
-И*
№ 1162 (1).
Решение:
2"2 =24x
4x = -l,5
3
x= —.
8
4Y727Y1 2
-^2x-3x+3
2,2x,3y)x-3 2
2
3
^2>3-x
x = 3
2
3
III. Домашнее задание: № 1158 (2), № 1159 (2), № 1160 (2),
№1161 (2), № 1162(2).
IV. Итог урока.
Урок 63
I. Организационный момент.
32
II. Решение заданий с выбором ответа.
^1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравне-
ния 253~х=-.
5
1)(0;1); 2)(1;2); 3)(2;3); 4)(3;4).
Ответ: так как х = 3,5, то верным является ответ № 4.
/2. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравне-
ния 2х"' + 2Х+1 = 20.
1)(4;5); 2)[3;4]; 3) (2; 3); 4)[1;2].
Р е ш е н и е: 2х"1 + 2х+| = 20; 2Х_1(1 + 22) = 20;
2Х_| • 5 = 20; 2х"1 = 4; 2x_t = 22;
х-1=2; х = 3; х е [3; 4].
Ответ: 2.
у
V 3. Найдите произведение корней уравнения 3 х _1 = 243.
1)-6; 2)-4; 3)4; 4)6.
Решение: 3х2"1 =243; З^1 =35 ;х2-1 =5; х2 = 6;
х = ±V6; xi • х2 = -6
Ответ: 1.
Решите самостоятельно.
1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравне-
ния:
а)3Х"2-Зх+1=1
l)[-4;-2J; 2)(-2;-l); 3)[-1;0]; 4)(1;2).
1)(-4;-2); 2) (1; 2); 3) [2; 4]; 4) (4; 6).
B)4x+i_22x = 24
1)(2;4); 2) [1; 2]; 3)(0;1); 4) [4; 6].
г) Зх+2 + 33+1 +3Х = 39
1)[-2;0]; 2) [2; 4]; 3)(4;9]; 4)(0;2).
2. Найдите сумму корней уравнения:
а)49-72х-50-7х+1=0
1)1; 2)2; 3)-2; 4)50.
б)6х2"2х=1
1)-2; 2)0; 3)1; 4)2.
2 Григорьева 33
la
з
16
3
1в
2
1г
4
2а
3
26
4
Ответы:
III. Решение заданий с кратким ответом.
^1. Решите уравнение: 135**1
72х-2 _
л п2\-2 = 1 ^Зх+1
,Зх+1
Решение: 13 • 17 =13 . Разделим обе части уравнения
на 13
13х+1
1 о2х-2 # 1 r^2x-2 = 1
(13 17)2x~2=l
2х-2 = 0
х=1.
Ответ: 1.
v2. Решите уравнение: 9х + 6х = 21
Решение:9х + 6х = 22х+1
9х + 6х = 4х • 2. Разделим обе части уравнения на 6х.
■>2х+1
/2>х
+ 1 = 2- -
13.
3 Г 2
Пусть | — = t, тогда t + 1 = —
^+1-2=0
t,=-2; t2 = l
— | = -2 нет решений
-j -1,ж-а
Ответ: 0.
IV. Домашнее задание: № 1147, № 1163, № 1164.
V. Итог урока.
Урок 64
I. Организационный момент.
II. Тест.
Вариант I
1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения:
/ ! \0,5х-1
а)
27.
= 9.
34
1)[-2;-1); 2)[-1;1); 3) [3; 3); 4) [3; 5).
б)Зх+2-Зх = 216.
1)(-»;-3]; 2)[-2;0); 3)[0;2]; 4)[3;6].
в)4х-2х+1=48.
1)[1о&6;3); 2) [0; 1); 3) [3; 4); 4) [4; 5).
2. Решите уравнение:
а)—!—= —•
3х+2 Зх+1'
б)152х+4 = 33х-54хЛ
Вариант П
1. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения:
Л,25х-2
а)
36
= 6.
1)(-3;-2]; 2)(-2;0); 3) [2; 5); 4) [0; 2).
б)5х+2 +11 -5х =180.
1)(-1;0]; 2)(2;log536]; 3)(0;2]; 4)(3;5].
в)52х-4-5х-5 = 0.
1)[1;2); 2)[0;log54); 3) [-1; 0); 4)[10ё54;1).
2. Решите уравнение:
а) 7-5х-5х"2 =174;
125
б)5х+— = 30.
5х
Ответы:
1а
2
4
16
4
3
1в
3
1
2а
0
2
26
4
1;2
1в.
II в.
III. Решение заданий.
1. Найдите произведение корней уравнения:
yi)112(log5x)J_12.11(logsx)2+11 = ();
2) 72('°8зх)2 -$.j(l0&3*f +7 = 0.
Решение:
1) Пусть t = 1 l(log5x)2, где t > 0, тогда t2 - 12t + 11 = 0,
D = 36-ll=25,t, = l,t2=ll.
ll(log5x)2=l, (log5x)2 = 0, log5x = 0, x=l.
35
ll(log5x)2 =11, (bg5x)2=l, log5x=l или log5x = -l,
- 1
x=5 x=—
5
Произведение корней 1 • 5 • — = 1.
Ответ: 1.
2) Пусть t = 7(log3 x) , где t > 0, тогда t2 - 8t + 7 = 0
ti = l,t2 = 7.
7dog3 X)2 = j ; (,ogjX)2 = 0> |{)g3X = Q x = ,
7(Iog-lX)2=7, (log3x)2=l, log3x=l или log3x = -l
- 1
x = 3 x= —
3
l-3-i-l.
3
Ответ: 1.
2. Найдите сумму корней уравнения:
xlog3x-3 = J_
9'
Решение: Так как выражение х og3 х~ > 0, то
log3(x,083-3) = log3i
(log3x-3)-log3x = -2
log32x-31og3x + 2 = 0
Пусть t = log3x, тогда t2 - 3t + 2 = 0,
t, = l,t2 = 2.
log3x= 1, x = 3,
log3x = 2, x = 9,
Сумма корней равна 12.
Ответ: 12.
3. Укажите целый корень уравнения: (х + 5) og7^x+ ' = 7.
Решение:
log7((x + 5)log7(x+5))=log77
log72(x + 5)=l
log7(x + 5) = 1 или log7(x + 5) = -1
х+5=7 х+5=-
7
36
х,= 2
7
,х+3 3Зх+1 . 625х+2 = 600:
,х+7
Ответ: 2.
4. Решите уравнение: 32х
Решение. Так как 32 = 2\ 625 = 5\ 600 = 2" • 3 • 52, то
^5х+15 я ^Зх+1 , с4х+8 = ^Зх+21 # ^х+7 # г2х+14
Разделим на выражение 23х+15 • Зх+| • 52х+8:
ч2х -j2x c2x _
гоа
5" = 2^-36-56
302х = 306, 2х = 6, х = 3.
Ответ: 3.
5. Решите уравнение 21og2
1--
13
Решение:
2 log;
2х-6
2х + 7
= 31og-
2х + 7
х-3
2х + 7
+ 12
= 31og:
2 + '
13
х-3
+ 12.
2[log2 2 + log2 (х-3) - log2 (2x + 7)] =
= 3[log2(2x + 7)-log2(x-3)]+12
2 + 21og2(x - 3) - 2log2(2x + 7) - 31og2(2x + 7) + 31og2(x - 3) - 12 = 0
5log2(x - 3) - 51og2(2x + 7) - 10 = 0
log2(x-3)-log2(2x + 7)-2 = 0
log
x-3
2x + 7
2x + 7
= 4;
= 2
x-3-8x-28
2x + 7
= 0; -7x-31 = 0; x = -—.
7
Ответ: -
31
Домашнее задание:
1) Найдите произведение корней уравнения:
a)52(,ogl3X)2-6-5(lo^x)2+5 = 0;
б) з2(|08!|х)2 _4-3(,og|lX)2 +3 = 0.
2) Найдите сумму корней уравнения: х
3) Решите уравнение:
а)316+х.44+Х.5Зх = 5408-Х.
log5 х-3 _]_
25
37
б)29х+9-37х+3-5бх = 720х+3;
в) 31оёбГз--^—l = 41og6f2+ l
г) 4log2 2 +
д)41оёб(з-
2х + 3
6
2х-5
3
2х + 3
-8 = 31og2
х + 1
2 —
+ 3;
^ = 51og6f2+ l
х + 1
+ 4.
[Ответы: 1. а) 1; б) 1; 2.30; З.а)2; 6)0,6; в)-2; г) 4; д)-2].
Урок 65
I. Организационный момент.
П. Устная работа.
1. Укажите промежуток, которому принадлежит больший ко-
рень уравнения 1п(х - 5)2 = 0.
1)(-7;-5); 2)(-5;-3); 3)(2;4); 4) (5; 7).
2. Найдите произведение корней уравнения 1- lg(x2 +1) = 0.
1)-99; 2)-9; 3)33; 4)-33.
3. Укажите промежуток, которому принадлежат корни уравне-
ния logo,5(x - 9) = 1 + logo,55.
1)СИ; 13); 2)(9;11); 3)(-12;-10); 4)[-10;-9].
4. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравне-
ния log4(x - 5) = log255.
1)(-4;-2); 2) (6; 8); 3)(3;6); 4) (-8; -6).
Ответы:
1
4
2
2
3
1
4
2
III. Решение заданий (выполняется на доске по очереди).
Jfe 1165(1). Ответ: 2; 4.
№ 1166. Решение:
1)1п2-1п(х+1) = 1п(х + 2)
1п2 = 1п(х + 2) + 1п(х+1)
In2 = ln((x + 2)(x+l))
2 = (х + 2)(х+1)
х2 + Зх = 0
X) =0, Хг = -3.
х = -3 - посторонний корень.
Ответ: 0.
38
^ч , /Зх-6 ,
2)10^—-1
V х-3
^^ = 9; Зх-6 = 9х-27; 6х = 21; х = 3,5.
х-3
Ответ: 3,5.
№1167(1).Решение:
lg[l+x] + lgx = lgi
lg(lx + x2) = lgl
-x + x2=i; x2+-x-- = 0; 2x2+x-l = 0;
2 2 2 2
. 1
xi=-l; x2=-.
x = -1 - посторонний корень.
Ответ: —.
2
№1170.Решение:
l)xlgx=10
lg(xlgx) = lglO; lg2x=l; lgx =1 или lgx = -1
x=10 x = 0,l.
Ответ: 0,1; 10.
3)xlgx-l = 10(l-x-|gx)
Пусть а = х'8", тогда a - 1 = 10(1 - a"1);
a-1 = 10- —; a2-a-10a+10 = 0;a2-lla+10 = 0,
a
ai = l,a2 = 10.
x,gx=l; lg2x = lgl; lg2x = 0; lgx = 0; x=l.
xlgx=10, х = 0,1илих=10.
Ответ: 0,1; 1; 10.
№1173(1,3). Решение:
l)xl+lgx=10x.
lg(xl+lgx) = IglOx; (1 + lgx)lgx = lglO + Igx;
lg2x + lgx = 1 + lgx; lg2x=l;
39
lgx = 1 или lgx = -1
x=10 x = 0,l.
Ответ: 0,1; 10.
3)log2(17-2x) + log2(2x+15) = 8
log2((17-2x)(2x+15)) = log2256
17 • 2x + 255 -22x- 15 • 2X = 256
-22x + 2-2x-l=0
22x_2-2x+l=0
(2X-1)2 = 0
2x=l,x = 0.
Ответ: О.
IV. Домашнее задание: № 1167 (2), № 1170 (2, 4), № 1173 (2,4).
V. Итог урока.
Урок 66
1. Организационный момент.
П. Самостоятельная работа.
Вариант I
Решите уравнения:
l.log3(x + 4) = log3(2x-l);
2. log5(2x + 1) + log5(16x- 7) = 3;
3. log2(2x- 1) + log2(x + 5) = log213;
4.log3(20-x) = log3(2(x+l)2).
5. Укажите целый корень уравнения:
log3X-log3x-2=1
log3x + l
6. Укажите наибольший корень уравнения:
log2 х + log^j x + logx 2 = 6,5.
7. Укажите наименьший корень уравнения:
8. Решите уравнение:
Вариант II
Решите уравнения:
1. log5(x2 - 2х + 4) = log5(2x2 + 5х + 10);
40
2.lg(x-l) + lg(x-2,5)=l;
3. log4(2x + 3) + log4(x - 1) = log43;
4.1gx=lg2-lg(2x-3).
5. Укажите целый корень уравнения:
xlog2x+4=32.
6. Решите уравнение: х og3X = 81х и укажите произведение
его корней.
7. Укажите наименьший корень уравнения:
logx2_4(2x2-5x-10) = l.
8. Решите уравнение:
log,
х + 3
х-1
= 1.
Ответы:
Вариант I
Вариант II
авнения№
1
5
-6;-1
8
2
2
5
3
нет
корней
нет
корней
4
2
2
5
27
2
6
4
3
7
-л/3
6
81
0;1
3
(x2-5x + 3)lgf3-X
= Щ
Вариант I
( 3
(*
•5х + 3
и
3-х
3
3-х
= -lg
13-х
3-х
(x2-5x + 3).g^) + Ig(^) = 0
lg^)(x2-5x + 4)=0
1)^1^1=0; igf^Mgi; V1^; 3"х=3; х = 0-
з ; л з .
2)x2-5x + 4 = 0; xt = 1; x2 = 4.
x = 4 - посторонний корень.
Ответ: 0; 1.
Вариант II
, х+3 , . х+3 . х+3
logx—T = l; logx —т = logxx; г = х;
х-1
х-1
х-1
41
х + 3 = х2-х; х2-2х-3 = 0, Xi = 3, х2 = -1.
х = -1 - посторонний корень.
Ответ: 3.
III. Решение экзаменационных заданий.
1. Решите уравнение: logx+i (х2 + х - б)2 = 4.
Решение: 21ogx+1 х2 +х-6 =4,
•ogx+i
log
х+1
x2+x-6
x2 +x-6
x2+x-6
= 2,
= Iogx+1(x + l)2,
= Iogx+I(x2+2x + l).
Пусть x + 1 > 0, x + 1 * 1, тогда |х2 + х- 6| = x2 + 2x + 1.
1) Если x2 + x-6 > 0,тоx2 + x-6 = x2 + 2x + 1; x = -7.
x = -7 не удовлетворяет условию x + 1 > 0.
2) Если х2 + x -6 < 0, то -( х2 + х - 6) = х2 + 2х + 1;
2х2 + Зх- 5 = 0, X] = 1, х2 = -2,5.
х = -2,5 не удовлетворяет условию х + 1 > 0.
Ответ: 1.
2. Решите уравнение: log3(3x - 8) = 2 - х.
Решение: log3(3x- 8) = log332"x;
Зх-8 = 32"х; 3х-8=—,
3х
пусть t = 3х, где t > 0, тогда
t-8=~; t2-8t-9 = 0, t,=-l; t2 = 9.
(tj = -1 не удовлетворяет условию t > 0)
Зх = 9, х = 2.
Ответ: 2.
3. Решите уравнение: |log2X - 1| = (4 - 8х) (log2x - 1).
Решение:
1) Если log2x - 1 > 0, то есть log2x > 1, х > 2, то
l0g2X-l=(4-8x)(k>g2X-l)
(log2x-l)(l~4 + 8x) = 0
(log2x-l)(8x-3) = 0
log2x -1=0 или 8х - 3 = 0
x = 2
x = — не удовлетворяет условию х > 2.
42
2) Если log2X - 1 < 0, то есть log2X < 1, 0 < х < 2, то
-(log2x-l)==(4-8x)(log2x-l)
(log2x-l)(5-8x) = 0
log2x -1=0 или 5 -8х = 0
5
х = 2 х = -.
8
Ответ: —:2.
8
4. Найдите, при каких значениях а уравнение log3(9x + 9а3) = х
имеет ровно два корня.
Решение :log3(9x + 9а3) = log33x
[9х+9а3>0,
|9х+9а3=Зх
Пусть t = 3х, где t > 0, тогда t2 -1 + 9а3 = 0.
Чтобы исходное уравнение имело ровно два корня, полученное
уравнение должно иметь два положительных корня. Это возможно,
когда D > 0, ti • t2 > 0, ti +12 > 0.
trt2 = 9a3; t, +t2=l;D=l-36a3.
9a3>0;l>0;l-36a3>0.
a>0; a<3/—.
V36
Ответ: 0 < a < \\—.
V36
Домашнее задание.
1. Решите уравнение: logx.3(x2 - 4х)2 = 4.
2. Решите уравнение: |log2x - 1|=(2х + 5) (log2x - 1).
3. Найдите, при каких значениях а уравнение log2(4x + а3) - х = 0
имеет ровно два корня.
{Ответы: 1. х, = 4,5; х2 = *±2L; 2. 2; 3. 0 < а < з/1.)
Урок 67
I. Организационный момент.
II. Решение заданий с выбором ответа.
1. Найдите сумму корней уравнения 3sinx - sin2x = 0 на проме-
жутке (-5я; Зя).
43
1)-4я; 2)-5я; 3)-9я; 4)-7я.
Решение: 3sinx - sin2x = 0; 3sinx - 2sinxcosx = 0; sinx(3 -
-2cosx)= 0;
sinx = 0 или 3 - 2cosx = 0
х = яп, п е z cosx= 1,5
нет корней.
Промежутку (~5я; Зя) принадлежат корни -4я; -Зя; -2я; -я; 0;
я; 2я, их сумма равна -7я.
Ответ: 4.
2. Найдите число корней уравнения tg2x + 3 = 2л/3-— - на
cosx
промежутке [-я; —].
4
1)1; 2)2; 3)3; 4)4.
Ответ: 2.
3. Решите уравнение: 2sin2x - sin2x = cos2x.
1) (-l)m-- + -m, meZ; 2) (-1)*1-—+-n, neZ;
6 2 12 2
3)-—+ -k, keZ; 4) (-1)'-— + nl, /eZ.
■ 12 2 12
Ответ: 2.
4. Укажите наименьший положительный корень уравнения:
V2
sin(35° + x) = —.
2
1)5°; 2)110°; 3)15°; 4)10°.
Ответ: 4.
5. Решите уравнение: sin(n - х) - cos — + х = ыЪ.
1)(-1)п-- + лп, neZ; 2) (-l)k-- + nk, keZ;
3 6
3)±- + 2я/, /eZ; 4) ±- + 2ят, meZ.
3 7 6
Ответ: 1.
6. Найдите сумму корней уравнения cos2x - 2cosx = 3 на проме-
жутке (-5л; 8л).
1)12л; 2)9я; 3)4л; 4) 21л.
Ответ: 1.
44
7. Вычислите сумму большего и меньшего корней уравнения
2sinx + tgx • ctgx = 0 на промежутке (-я; я).
1)я; 2)0; 3)-2я; 4)-я.
Ответ: 4.
III. Решение заданий с кратким ответом.
1. Найдите число корней уравнения tg2x - tgx = 0 на промежутке
(-Н
Ответ: 2.
2. Решите уравнение: 7tgx + cos2x + 3 sin2x = 1.
Решение:
7tgx + 3sin2x = 1 - cos2x
7tgx + 3sin2x = sin2x
1) Если sinx = 0, то обе части последнего уравнения равны нулю.
Значит, sinx = 0 дает решение: х = яп, n e Z.
2) Если sinx * 0, то обе части уравнения можно сократить на
sinx:
+ 6 cos x = sin x;
cosx
7 + 6cos2x = sinx • cosx;
7 + 3(1 + cos2x) = 0,5sin2x;
10 + 3cos2x = 0,5sin2x;
20 + 6cos2x = sin2x;
20 = sin2x - 6cos2x, так как и sin2x, и cos2x по модулю не пре-
вышают единицу, то правая часть уравнения не больше семи. Зна-
чит, это уравнение не имеет корней.
Ответ: яп, n e Z.
3. При каких значениях а значение выражения 2 + cosx(3cosx +
+ а • sinx) не равно нулю ни при каких значениях х?
Ответ: (~2л/Г0; 2л/Г0).
Домашнее задание: № 1178, № 1179, № 1180.
Урок 68
I. Организационный момент.
II. Решение заданий (по очереди на доске).
тгп 9
№ 1181 (1). Ответ: —; ±arccos—ч-2яп, neZ.
45
1 1 ТГ*1
№ 1182 (3). Ответ: -arctg~ + —, neZ.
№ 1183 (1,3). Ответ: 1) я + 2яп; ± — + 2яп, n
3) —; 2яп, neZ.
' 2
№П84(1).Решение:
2cosx + sinx = 0; 2 + tgx = 0; tgx = -2;
x = -arctg2 + яп, n € Z.
№ 1186 (1). Решение (один из способов):
sin2x-cos2x = >/3
л/3 . „ 1 „ л/3
sin 2x — • cos2x = —
2 2 2
S
Sin| 2X—r 1=
H)-
2х-- = (-1)к-- + як, keZ
6 v 3
2х = (-1)к-- + - + як, keZ
3 6
, ,чк я я як . _
х = (-1)К •—+ — +—, keZ.
v ' 6 12 2
№1188(1).Решение:
sinx + sin2x = cosx + 2cos2x
sinx(l + 2cosx) = cosx (1 + 2cosx)
(1 + 2cosx) (sinx - cosx) = 0
1 2я
l)l+2cosx = 0, cosx = —, x=± — + 2яп, n
2 3
я
2) sinx - cosx = 0, tgx = 1; x = ± — + яп, neZ.
4
№1189.Решение:
cos2x
= cos x + sin x
l-sin2x
cos2 x~ sin2 x
= cosx + sinx
(cosx-sinx)
46
cosx + sinx
= COS X 4- Sin X
cosx-sinx
(cosx + sinx) (1 - cosx + sinx) = 0.
и
1) cosx + sinx = 0, 1 + tgx = 0, tgx = -1, x = — + яп, n e Z.
4
2) 1 - cosx + sinx - 0, cosx - sinx = 1, - V2 sin x — =1,
sm| x —
4
Я \ 1 Я / 1чк+1 Я i
= --7=, х-- = (-1)к+1-- + як,
V2 4 4
х = (_1)к+>.* + * + 71к> keZ
4 4
к - четное, х = як; к - нечетное, х = — + як;
/'-я
x = 27in, neZ х = — + 27сп. neZ.
2
Ответ:— + яп; 2яп; — + 2я, neZ.
4 2
III. Домашнее задание: № 1181 (4), № 1182 (2), №. 1183 (2, 4),
№ 1184 (2), № 1186 (2), № 1188 (2).
IV. Итог урока.
Урок 69
I. Организационный момент.
II. Тест.
Вариант I
1. Укажите наименьший положительный корень уравнения
tg(3x + 45°) = j=.
1)5°; 2)55°; 3)165°; 4)45°.
я
2. Решите уравнение: сов(я + х) = sin—.
1)±- + ят, meZ; 2)2я/, / е Z;
4
3) я + 2яп, n e Z; 4) — + як, к б Z.
47
3. Решите уравнение: 3cosx - sin2x = 0.
1) — + 2яп, neZ;
2
3) ± —+—n, neZ;
2 2
4. Решите уравнение: cos2x - sin2x = 0,5.
2) 2яп, n e Z;
Я *
4) — + 2яп, neZ.
я
1) ± —+ яп, n gZ;
3
я
3) + —+ яп, neZ:
6
5.* Решите уравнение: 2sin2x + cos2x = 1 + 9tgx.
2)±- + 2яп, neZ;
3
4)±- + 2яп, neZ.
6
Вариант II
1. Укажите наименьший положительный корень уравнения
tg(3x + 30°) = V3.
1)5°; 2)30°; 3)75°; 4)10°.
2. Решите уравнение: 2 sin xcos x = cos—.
я
1) ± — + яг, reZ;
4
3)(-l)k4 + *k, keZ;
о
2)(-l)n-— + -n, neZ;
12 2
4)±- + 2я/, /eZ.
3
3. Решите уравнение: 4sinx + sin2x = 0.
1) корней нет; 2) 2rtn, nsZ;
я
3) яп, n € Z; 4) — + яп, n e Z.
4. Решите уравнение: cos2x - sin2x = 1.
1) яп, neZ;
я
2) — + яп, neZ.
2
,, я я _
4)- + -n, n^Z.
5.* Решите уравнение: sin2x + 1 = sin2x + 6ctgx.
3) —+ 2яп, neZ;
2
Ответы:
Вариант I
Вариант II
1
2
4
2
3
2
3
4.
3
4
3
1
5
ЯП,
я
—+ ЯП,
2
neZ.
n e Z.
48
III. Решение заданий (на доске по очереди).
№ 1190 (1). Решение: sin3x + cos3 x = 0,
(sinx + cosx) (sin2x - sinx • cosx + cos2x) = 0,
(sinx + cosx)
1—sin2x 1 = 0
2
я
1) sinx + cosx = 0, tgx +1=0, tgx = -1, x = — + яп, n e Z
4
2) 1—sin2x = 0, sin2x = 2, нет решений.
Ответ: — + яп, neZ.
4
№ 1191 (1). Решение: sin4x - cos4x + 2cos2x = cos2x,
(sin2x + cos2x) (sin2x - cos2x) + 2cos2x = cos2x,
sin2x - cos2x + 2cos2x = cos2x,
sin2x + cos2x = cos2x,
cos2x = 1, 2x = 2яп, x = яп, neZ,
Ответ: яп, neZ,
№ 1192 (1). Решение: sin3x • cosx + cos3x • sinx = cos2x,
sinx • cosx (sin2x + cos2x) = cos2x,
—sin2x = cos2x, sin2x = 2cos2x,
2
1 1ГП
tg2x = 2, 2x = arctg2 + яп, x = —arctg2 +—, n € Z.
^ l ^ яп ^
Ответ: — arctg2 + —, neZ.
2 5 2
№ 1193 (1). Решение: 4sin2x - 8sinx • cosx + 10cos2x = 3,
4sin2x - 8sinx • cosx + 10cos2x = 3sin2x + 3cos2x,
sin2x - 8sinx • cosx + 7cos2x = 0,
tg2x-8tgx + 7 = 0
Пустьt = tgx, тогдаt2~8t + 7 = 0, ti = l,t2 = 7.
я
tgx = 1, x = — + яп, neZ.
tgx = 7, x = arctg7 + яп, n e Z.
я
Ответ: — + яп, arctg7 + яп, n e Z.
4
№ 1194 (1). Решение: sin5x = sin3x, sin5x - sin3x = 0,
49
2sinx • cos4x = 0
1) sinx = 0, x = яп, n 6 Z.
2)cos4x = 0, 4x = — + яп, x = — + —, neZ.
2 8 4
Ответ: яп; — + —, n e Z.
8 4
№ 1195 (1). Решение: sinx + sin5x = sin3x,
2sin3x • cos2x - sin3x = 0, sin3x (2cos2x - 1) = 0
1) sin3x = 0, Зх = яп, x=—, neZ,
1 я
2) 2cos2x -1=0, cos2x = —, 2x = ± — + 2яп,
2 3
я
x = ±—+ яп, n gZ.
6
Ответ: —: ± — + яп, n e Z.
3 6
№ 1196 (1). Решение: cosx • sin9x = cos3x • sin7x,
sin 1 Ox + sin8x = sin 1 Ox + sin4x,
sin8x = sin4x, 2sin4x • cos4x - sin4x = 0,
sin4x (2cos4x - 1) = 0,
1) sin4x = 0, 4x = яп, x = —, n e Z;
4
1 я
2) 2cos4x -1=0, cos4x = —, 4x = ±— + 2яп,
2 3
x = ±— + —, n e Z.
12 2
,л яп я яп _
Ответ: —, ± — +—, neZ.
4 12 2
Домашнее задание: № 1190 (2), № 1191 (2), № 1192 (2), № 1193 (2),
№ 1194 (2), № 1195 (2), № 1196 (2). ^
Урок 70
I. Организационный момент.
II. Решение заданий (на доске по очереди).
№ 1197 (1). Решение:5 + sin2x = 5(sinx + cosx),
4 + (cos2x + sin2x + sin2x) = 5 (sinx + cosx),
50
4 + (cosx + sinx)2 - 5 (sinx + cosx) = 0
Пусть t = cosx + sinx, тогда t2 - 5t + 4 = 0, tj = 4, t2 = 1.
1) cosx + sinx = 4, V2 cos x — = 4, нет решений,
2) cosx + sinx = 1, V2 cos x — =1, cos x — = —,
x — = ±—+2яп, x =—+2яп илих = 2яп, n e Z.
4 4 2
Я
Ответ: — + 2яп ; 2яп, п е Z.
2
№ 1198 (1). Решение: sinx + sin2x + sin3x + sin4x = 0,
(sinx + sin4x) + (sin2x + sin3x) = 0,
- . 5x 3x - . 5x x л
2 sin—cos— + 2 sin—cos— = 0,
2 2 2 2
^ . 5x( Зх х^\ л
2sm— cos— + cos— =0,
2 ^ 2 2J
* . 5x - x л
2 sin — • 2cosx-cos— = 0.
2 2
14 . 5x 5x 2яп -
1) sin— = 0, — = яп, x = , neZ;
' 2 2 5
я
2)cosx = 0, x = —+ яп, neZ;
3) cos— = 0, x = я + 2яп, neZ.
2тсп и
Ответ: ; — + яп; я + 2яп, п е Z.
5 2
№ 1199 (1). Р е ш е н и е: tg23x - 4sin23x = 0,
tg23x(l-4cos23x) = 0
l)tg23x = 0, tg3x = 0, 3x = 7tn, x =—, n e Z;
2) 1 -4cos23x = 0, 4cos23x=l, 2(cos6x+1)= 1,
2cos6x + 2 = 1, 2cos6x = -1, cos6x = —,
2
/■ . 2л _ , it яп „
6x = ± — + 2яп, x = ±— +—, neZ.
3 9 3
51
~ ЯП , Я ЯП „
Ответ:—; ± —+—, n e Z.
3 9 3
№ 1200 (1). Решение: tg2x = 3tgx, —Щ- = 3tgx,
l-tg2x
2tgx = 3tgx - 3tg3x, tgx - 3tg3x = 0,
tgx(l-3tg2x) = 0
1) tgx = 0, х = яп, n € Z;
2)l-3tg2x = 0, tg2x=i tgx = ±-^L-
x = ± — + яп, n e Z.
6
Я
Ответ: яп: ± — + яп, n e Z.
6
III. Решение экзаменационных заданий.
1 n .Я . Я l
1. Решить уравнение: sinx-cos—+ cosx-sin — = —.
8 8 2
В ответе указать количество корней уравнения, удовлетворяю-
щих неравенству < х < я.
Ответ: 3.
2. Найти в градусах наименьшее положительное решение урав-
нения sin2x + 3cos2x - 2sin2x = 0.
Ответ: 45°.
3. Найдите наименьший положительный корень уравнения:
sinx - 1 = 0,5 ■ sin2x - cosx.
Ответ: —.
2
4. Найдите в градусах сумму корней уравнения tgx + tg2x - tg3x = 0,
удовлетворяющих неравенству 0° < х < 180°.
Ответ: 360°. ^
5. Решите уравнение: | sinx | = sinx + 2cosx.
Решение:
1) sin > 0.
я
sinx = sinx + 2cosx, 2cosx = 0, cosx = 0, x = — + яп, neZ.
2
52
sinx * О
x = — + 2яп, n g Z
2
2) sinx < 0.
-sinx = sinx + 2cosx, 2cosx = -2sinx, cosx = -sinx,
я _
tgx = -l, x= — + яп, n e Z
4
♦ у
x = — + 2яп, n g Z
4
0 / x
sinx < 0
Ответ: — + 2яп; — + 2тсп, nGZ.
2 4
6. Решить уравнение:
cos
Решение:
VIXIIIIU T L/UUIIVllIlVl
2 х + s i n 2 x + s i n x = - Ul -1) л/2 +1 + -= + — + ...
л/2 +1 + -= + — + ...- сумма геометрической прогрессии,
t>i = л/2, b2 = 1. Знаменатель q = -— = -j=, так как | q | < 1, то
прогрессия бесконечно убывающая. S =
b, л/2'
b, _ V2
t-я i__L V2-1'
VI
Тогда cos2x + sin2x + sinx= — U/2 -1)• -==—;
8V ' V2-1
53
cos2x - sin2x + sin2x + sinx = —;
4
2 1 2 3
1 - sin x + sinx = —: sin x - sinx = 0,
4 4
4sin2x - 4sinx -3 = 0. Пусть t = sinx, тогда
4t2-4t-3 = 0, t,=-i t2=|.
2 2
sinx = --, х = (-1)к+1-- + як, keZ.
2 6
3
sin x = — нет решении.
Ответ: (-l)k+' • -+як, к е Z.
6
7. Решить уравнение:
l+tgx + tg2x + tg3x+... = ^^0.
Vl-tg2x
Решение: Левая часть уравнения - сумма геометрической
прогрессии, в которой Ь\ = 1, b2 = tgx, q = tgx.
Чтобы правая часть уравнения имела смысл, подкоренное вы-
ражение должно быть положительным:
1 -tg2x>0, tg2x< 1, | tgx I <1.
Тогда знаменатель геометрической прогрессии q = tgx < 1, зна-
чит, прогрессия является бесконечно убывающей.
s.-Sl- '
1-q 1-tgx
Исходное уравнение примет вид:
1 _ cos(-5rc/3)
===, 1-tgx = 2Vl-tg2x,
1-№ 2yj\-tg2x
1 - 2tgx + tg2x = 4(1 - tg2x),
5tg2x - 2tgx -3 = 0. Пусть t = tgx, где 111 < 1, тогда
5t2-2t-3 = 0, t, = l, t2 = --.
ti = 1 не удовлетворяет условию 111 < 1.
54
tgx = —, x = -arctg— + як, к € Z.
Ответ: -arctg— + як, к е Z.
IV. Домашнее задание: № 1197 (2), № Ц98 (2), № Ц99 (2),
№1200(2).
V. Итог урока.
Урок 71
I. Организационный момент.
П. Самостоятельная работа.
1 Вариант I | Вариант II
1 Решите уравнение:
1. cos
\2 1)
2
2. ctg3x = -l
3. sin —+ х + 3cosx = 0
U )
|4. Найдите tgt, где t - сумма кор-
ней уравнения 4cos2x + cos2x = 5
из промежутка [0; 2я]
5. Найдите (VJ + l)tgt, где t -
наименьшее решение уравнения
3sin2x + 2sinx • cosx = 2 из I чет-
верти
1 2Х 1
1. COS — = —
4 2
2. (2sinx-V3J-(cosx + l) = 0
3. cos2x - sin2x = cosn 1
4. Найдите 2sint, где t - сумма!
корней уравнения
cos7x • cos 1 Ox = cos2x • cosl5x
из промежутка [0; я]
5. Найдите 2cost, где t - наи-|
большее отрицательное реше-
ние уравнения
y3sinx-cosx = -l
Ответы:
1. ± —+ — + 4яп, neZ
3 7
L Я ЯП
2. — +—, neZ
4 3
3. 2яп, neZ
4.0
5.2
1. я + 2яп, neZ
2. —, nGZ
3
3.- + 2яп, neZ
2
4.-2
5.-1
55
III. Решение заданий с развернутыми ответами.
1. Найдите 2sint, где t - наименьшее положительное общее ре-
л/3
шение уравнений cos3x = 0 и tgx = —.
Решение:
l)cos3x = 0, Зх = —+ яп, х = —+—, neZ.
' 2 6 3
я я 5я 7я
Положительные решения: —; —; —; — и т. д.
6 2 6 6
7з я
2) tgx = —, х = — + яп, п 6 Z.
3 6
„ я 7я 13я
Положительные решения: —; —; и т. д.
3) Наименьшее положительное общее решение обоих уравне-
~ я
нии: —.
6
4) 2sin—= 1.
6
Ответ: 1.
{Примечание. Это задание можно решить в начале урока до вы-
полнения самостоятельной работы).
2. Найдите наименьшее значение а, при котором уравнение
2cos7x = 5а + 9 имеет решение.
5а + 9 ЛГ
Решение: cos/x = . Уравнение имеет решение, если
5а + 9
<1.
-\<^1<1 -2<5а + 9<2, -11<5а<-7, -2,2<а<-1,4.
Наименьшее значение а равно -2,2.
Ответ: -2,2. ~^
3. Найдите since, где а - сумма двух меньших положительных
1
корней уравнения 251~cos6x = 5С'83* .
i
Решение:(52)1-С08бх=5с,83х
56
2 - 2cos6x = , 2(1 - cos6x) - tg3x,
ctg3x
2 • 2sin23x - tg3x = 0, tg3x (4sin3x • cos3x - 1) = 0,
tg3x(2sin6x-l) = 0.
l)tg3x = 0, x=—, neZ,
„ Я 271
Положительные корни: —;—;я и т. д.
2) 2sin6x -1=0, sin6x = -, 6х = (-l)k •- + як,
2 б
, 1ч к я як , _
х = (-1)К-— +—, keZ.
' 36 6
_ я 5я 13я 17я
Положительные корни: —: —; ; и т. д.
36 36 36 36
я 5я 6я я
а~36 + 36~3б"~б"'
. я 1
since = sin—= —.
6 2
Ответ: —.
2
IV. Домашнее задание: № 1190 (3), № 1194 (3), № 1199 (3),
№1200(3).
Дополнительно. Найдите наибольшее значение Ь, при ко-
тором данное уравнение 3sin7x = 7b - 4 имеет решение.
{Ответ: 1.)
V. Итог урока.
Урок 72
I. Организационный момент.
II. Теоретическая часть.
4. Иррациональные уравнения.
1) Если в уравнение входят корни нечетной степени, то его
нужно решать, просто уединяя радикалы и возводя все в степень,
равную показателю корня.
2) Если имеется выражение вида ^/f(x), то оно определено
57
только при f(x) > 0. Забывание этого обстоятельства приводит к
приобретению лишних корней.
3) Эквивалентность для освобождения от радикалов:
Vfw=e(*)o{23=e2(x)
III. Решение заданий с выбором ответа.
Решите уравнение и укажите промежуток, которому принадле-
жит больший корень.
l.x + 3 = V9x + 13
1)[2;6); 2)[-1;0); 3) (5; 8); 4) (-4; -2).
2. 5х-7= V8x-7
1)(0;2); 2)[2;3], 3) (2; 3); 4)(-3;0).
3. Vl4-5x=x + 2
1)(-12;10); 2) [-10;-4]; 3) (2; 3); 4)(-3;0).
4. V2x2+8x + l =х + 3
1)[-4;0]; 2)(-4;0); 3)(1;2); 4)(1;2].
5. Vl3-x2 =x + l
1)[-4;-3]; 2)[1;2); 3)(-4;-3); 4)(1;2].
Ответы: 1. 1; 2. 2; 3. 3; 4. 4; 5. 4.
IV. Решение заданий с кратким ответом.
Укажите наибольший корень уравнения.
1. Vx2-x + 16-Vx2-x-4=2.
Ответ: 5.
2. (x + l)Vx2 + x-6=0.
Ответ: 2.
3. V2x2-x + l+V2x2-x + 10=9.
Ответ: 3.
4. Vx2-3x + 12=2 + Vx2-3x.
Решение: Пусть t = х2 - Зх, тогда Vt + 12 = 2 + Vt,
t + 12 = 4 + 4Vt + t, 4>/t=8, Vt=2, t = 4
58
x2-3x = 4, x2-3x-4 = 0,D-9+16 = 25,x,=-l,x2 = 4.
Ответ: 4.
1 1 1
5. -== +
л/х+2 Vx-f-5 Vx+1
Ответ: 1.
6. V* + 8 + 2Vx"+7 ~Vx + 19-4Vx + 7 =1.
Решение:
V(Vx + 7f +2Vx + 7 + l-Vx + 19-4VxtT = l
^{jx + 7+lf ~Vx + 19-4VxT7 =1
Vx + 7+l-Vx + 19-4Vx+T = l
Vx + 7 = л/х + 19~4л/хТ7Г; х + 7 = х + 19-4>/х + 7;
4Vx + 7=12; Vx + 7=3; x + 7 = 9; x = 2.
Ответ: 2.
V. Решение заданий с развернутым ответом.
1. Решите уравнение: 2 + >/25х|х-1| + 4=5х.
Решение: ^25x|x-l| + 4 = 5х-2,
Если 5х - 2 > 0, то 25х | х - 11 + 4 = 25х2 - 20х + 4,
25х|х- 11 -25х2 + 20х = 0,
1) Если х 2:1, то 25х (х - 1) - 25х2 + 20х = О,
25х2-25х-25х2 + 20х = 0,
-5х = 0, х = 0 не удовлетворяет условию х ^ 1.
2) Если х < 1, то -25х (х - 1) - 25х2 + 20х = О,
-25х2 + 25х-25х2 + 20х = 0,
-50х2 + 45х = О,
-5х(10х-9) = 0,
xi = 0, х2 = 0,9
х = 0 не удовлетворяет условию 5х - 2 £ 0.
Ответ: 0,9.
2. При каком целом положительном х значение выражения
?ГТ l + (x-l)Vx2-2x-3-x2
I
x + 1 x2-(x + 3)Vx2-2x-3-9
ближе всего к 0,66?
59
Решение:
-I
4
х-З 1 + (х-1)л/х2-2х-3-х2
x + 1 х2-(х + 3)л/х2-2х-3-9
= FT (x-l)V(x + l)(x-3)-(x2-l)_
х + 1 (x2-9)-(x + 3)V(x + l)(x-3)
х-З (x-l)Vx+TVx~T-(x-l)(x + l) _
х + 1 (x-3)(x + 3)-(x + 3)VxTT-Vx-3 ~
= Ух^З-(х - 1)-УхТГ-(л/х^1 - УхП)) = х -1
Vx + l-(x + 3)Vx-3-(Vx-3-Vx + l) х + 3'
х-1
Решим уравнение = 0,66
х + 3
298
х-1=0,66х+1,98; 0,34х = 2,98; х=—; х
34
Прих = 8 -^ = — «0,636;
F х + 3 11
0 х-1 8 2 ....
при х = 9 = — = — » 0,666;
х + 3 12 3
Ответ: 9.
Домашнее задание: № 1153, № 1154, № 1157.
Урок 73
I. Организационный момент.
II. Решение заданий.
1. Сколько корней имеет уравнение
а) (cos х - sin2 xj- vl - x =0;
б) (x2-9)-(V3-2x-x)=0?
Ответ: а) 4; 6) 2.
2. Укажите наибольший корень уравнения
Vx2-5x + 6-log2(2x-4) = 0.
Ответ: 3.
3. Решите уравнение: 27^ = л/9х+|.
Ответ: 2; 5.
60
4. Решите уравнение: log7(log5(yx + 5 + Vx J) = 0.
Решение: log7(log5(Vx + 5 + Vxj) = log7 1.
log5(Vx + 5+Vx)=l
log5 (Vx + 5 + Vx) = log5 5
Vx + 5 + Vx = 5
x + 5 + 2Vx(x + 5) + x = 25
2Vx(x + 5)=20-2x
Vx(x + 5)=10-x
x2 + 5x=100-20x + x2
25x=100
x = 4.
Ответ: 4.
5. Решите уравнение: cos(rcVx - 4 Jcos^ttVx J = 1.
Решение:
Так как наибольшее значение cosa равно единице, то уравнение име-
ет решение, когда каждый множитель левой части уравнения равен 1.
1) cos(7iVx-4j = 1, rcVx-4 = 2яп, neZ,
Vx-4 = 2n, n e Z
x - 4 = 4n2, n e Z
x = 4n2 + 4, n g Z
x = 4; 8; 20 и т. д.
2) cos^Vx j= 1, я Vx = 2тсп, n e Z,
Vx=2n, neZ
x = 4n2, n g Z
x = 0; 4; 16; 36 и т. д.
Очевидно, что х = 4 - корень уравнения.
Ответ: 4.
6. Решите уравнение: 4 - lgx = Зд/lgx.
Решение: (4 - lgx)2 = 91gx, 16-81gx+ lg2x = 91gx,
lg2x-17lgx+16 = 0
Пусть t = lgx, тогда t2 - 17t + 16 = 0,
^ ™Л ,л ^r 17-15 , 17 + 15 лг
D = 289 - 64 = 225, t. = = 1, t2 = = 16.
61
При lgx = 16 левая часть исходного уравнения меньше нуля,
значит, уравнение не имеет смысла.
lgx=l, x=10.
Ответ: 10.
7. Решите уравнение:
'9Y f 27V~X = lg!2S
8 J " Jg25 '
V
\2х /~\3-3х
3
\2j
Решение: — ,
/~\2x+3-3x
= log25125,
3-х
| =|; 3-x = l; ..2.
Ответ: 2.
8. Найдите сумму решений уравнения:
Vx2-9-(log6(3 + x)-2) = 0.
Ответ: 36.
9. Решите уравнение: 3 log 2 (sin x) + log2 (1 - cos 2x) = 2.
Решение: 3log^sinx) + log2(2sin2 x) = 2,
3 log2 (sin x) + log2 2 + log2 (sin x)2 = 2,
3 log2 (sin x) + 2 log2 (sin x) +1 - 2 = 0,
3 log2 (sin x) + 2 log2 (sin x) -1 = 0.
Пусть у = log2 (sinx), тогда Зу2 + 2y - 1 = 0,
D=l+3=4, yi=-l, y2 =
1
1) log2(sinx) = -1, log2(sinx) = log2-,
1
sinx = —.
2
sin x > 0,
х = (-1)к-- + як, keZ.
6
sinx >0.
2) log2(sinx) = ~, log2(sinx) = log2V2,
sm
x=m
нет решении.
Ответ: (-1Г • — + як, к е Z.
6
62
10. Решите уравнение: log9(sin2x) = log3
Решение: log 2 (sin 2x) = log3
-log3(sin2x) = log3
/sinx |
sin2x>0,
sinx
sin2x =
sinx
Iog3Vsin2x =log3 J-
f2sinxcosx>0,
sinx>0,
5sin2x = sinx;
sinx
/sinx
cosx>0,
sin x > 0,
5sin2x = sinx.
Найдем решения уравнения 5sin2x = sinx, принадлежащие I чет-
верти.
1 Osinx cosx - sinx = 0, sinx (1 Ocosx - 1) = 0,
sinx = 0 (не подходит, так как sinx > 0),
lOcosx -1=0, cosx = 0,1, x = arccos 0,1 + 2тт, neZ,
Ответ: arccos 0,1 + 2яп, n e Z.
Домашнее задание: № 1194 (4), № 1199 (4), № 1200 (4).
Решите уравнение:
1) (x2-4j>/x+T==0;
2) Vx + l-l = Vx-Vx + 8;
3)3-4x-710x + 2-25x = 0;
л\ 9x+3 _^x +2x-6 =^x2+2x-5 _oX.
5)log5((x-8)2) = 2 + 21og5(x-2)!
6)1оё2(4х + 2х) = х + 10ё2(2х+,-3);
7)x'og^(2x)=4.
Урок 74
I. Организационный момент.
II. Зачет по теме: «Решение уравнений».
63
Обязательная часть
Карточка 1.
Решите уравнение:
1. cos5x = cos3x;
2.tg2x-3tgx + 2 = 0;
3.1og2(2x-3) = log2(3x-5);
4. 32x+1- 10-3x + 3 = 0;
5. Vx + 13-VxTT = 2.
Карточка 2.
Решите уравнение:
1. sin7x = sin3x;
2. tgx + 3ctgx = 4;
3.1g(2x-3) = lg(3x-2);
4.22x+1-5-2x + 2 = 0;
5. Vx + 17-Vx+T = 2.
Карточка 3.
Решите уравнение:
1.2- cosx = 2sin2x;
2. 2 cos
~ + V^| + l = 0;
3.1og2(22x+16x) = 21og4l2;
4. 4Iog2X~°'5=18;
5. V(3x + 4)(x-5)+5 = x.
Карточка 4.
Решите уравнение:
1. sin6x + sin2x = sin4x;
2. 3sin2x + cos2x = 2sin2x;
3. log2(2x- 1) + log2(x + 5) = log213;
4 3loglx-log2x (J_ J 2x.
5. log3(2x-5)^=Vx^I.
64
Карточка 5.
Решите уравнение:
1. cos3x • tgx = 0;
2. 3sinx + cos2x = -1;
3. log2(x2 + 8) - log2(x- 1)= logo,5^;
4.52x-3-2-5x"2 = 3;
. x+3 rz r
5. . = V3x + l.
Карточка б.
Решите уравнение:
1. sin3x • ctgx = 0;
2. sin4x - sin2x = sinx;
3.1g2(2x-l) = lg(x-0,5) + lg2;
4.2X+1+0,5X"1 = 5;
5. л/Зх + 4+л/х-4=2л/х.
Карточка 7.
Решите уравнение:
cos2x-sin4x
sin2x-l
2. V3sin2x~6cos2x = -3;
3. logx2 + log2x = 3-;
4.5х -0,2х"1 =4;
5. л/хТТ + л/4х + 13 = л/Зх + 12.
Ответы:
Карточка 1.
ЯП Я
1. —, п € Z; 2. — + яп; arctg2 + яп, n € Z;
4 4
3. 2; 4.-1; 1; 5.3.
Карточка 2.
л ЯП Я ЯП _ - Я х->. г,
1.—; — +—, n e Z; 2. — + яп; arctg3 + яп, n e Z;
2 10 5 4
3 Григорьева
65
3. нетрешений; 4.-1; 1; 5.8.
Карточка 3.
1. - + як; ±- + 2як, keZ;
2 3
2. Г| + 2яп1 ,te + 27rn1 ,neZ;
3.1og43; 4.6; 5.5.
Карточка 4.
, Tin , я „
1. —; ± — + яп, n g Z;
4 6
я
2. — + яп; arcctg3 + яп, n e Z;
4
3. 1,5; 4. 1; 16; 5.4.
Карточка 5.
1. ±- + яп; яп,пег; 2. (-1)к+1-- + як, к е Z;
6 6
3.4; 4.2; 5.5.
Карточка 6.
1 , я я гж ^ , я 2яп ^
1. ± — + яп; — + яп,п е Z; 2. яп; ± — + , п е Z;
3 2 9 3
3. I; 5,5; 4. —I; I; 5.4.
Карточка 7.
1 Зя , 1чП я яп _
I.— + яп; (-1) •— +—, п е Z;
4 V ' 12 2
2. *+ZE)neZ; 3.^2; 8; 4.1; 5.-1.
6 2
Дополнительное задание
(Каждый учащийся выполняет в том объеме, в каком сможет.)
Решите уравнение:
l)log2(4x+l) = x + log2(2x+3-6).
2)81sin2x+81cos2x=30.
3) tg4x + ctg4x + tg2x + ctg2x = 4.
66
4) log9x27 - log3X3 + log9243 = 0.
5) 8Vl2 + 16x-16x2 +4x-4x2 =33.
s\ .log0 5(sin2x+5sinx • cosx+5j _ _1_
~9"
7)l + Vl + xVx2-24 =x.
8) Vl-4x+2 = -y/(2x + l)2-8x.
9) sin3x + cos3x = sin4x - cos4x.
10)1о&(Зх-8) = 2-х.
ll)cos2(j} + 2sin3(|} = l.
^.n2x2/3
П =4"x-8-4.
12) u,
13)sinx + cosx= Vl-2cos2x.
■«sin x -ill
cos2x
+ як, к е Z;
14)9imx-3-- =6.
Ответы:
l.x = 0; 2. ±- + як; ±-+як; keZ;
6 3
3. ± - + як, к е Z; 4.xj = 3-3; x2 = 3-0'8;
4
5. x= —; 6. —+яп; -arctg—+ яп, n e Z;
2 4 63
7.x = 7; 8.x = -2; 9.-- + як; |l + (-l)k--|
4 V A)
10.x = 2; П.Зяп; (-1)п-+3яп, п € Z; 12. x, =-2, x2 = 3;
13. —+ 27m; — + 7m:neZ: 14. —+ 7in; n e Z.
2 4 2
III. Итог урока.
Урок 75
I. Организационный момент.
67
II. Обзорная лекция.
5. Иррациональные неравенства.
ff(x)Sg2(X)5
I g(x) > 0,
(f(x)>0,
[g(x)<0.
l)VfOO^g(x)
2)Vf00^g(x)
3)7?00^7ё00
f(x)<;g2(x),
ojf(x)>0,
|g(x)>0.
ff(x)>g(x),
ojf(x)>0,
[g(x)>0.
6. Показательные неравенства.
,/f(x)>l,
1. f (x)g(x) > f (x)h(x) о
4g«
2. f(x)gw<f(x)nwo
h(x)
g(x)£h(x),
0 < f (x) < 1,
g(x)^h(x).
ff(x)>l,
[g(x)<h(x),
[0<f(x)<l,
lg(x)>h(x).
7. Логарифмические неравенства.
fg(x)£h(x),
h(x)>0,
I f (x) > 1,
h(x)>g(x),
g(x)>0,
0<f(x)<l.
1 • logf(x) g(x) > logf(x) h(x) о
if
2- 'ogf(x) g(x) ^ logf(x) h(x) о
3. Если а> 0, a^ 1,то
g(x)<h(x),
g(x)>0,
f(x)>l,
h(x)^g(x),
h(x)>0,
0<f(x)<l.
68
1оЕаГ(х)>Ьо{^х^аЬ'есьлиа>1'
ба [0<f(x)<ab,earoO<a<l.
4. Если а> О, &* 1,то
1оёа^х)<Ьс>|0<^аЬ'еслиа>1'
6а |/(х)>аь,еслиО<а<1.
8. Тригонометрические неравенства.
(Повторение теории данного пункта дать в качестве домашнего
задания.)
III. Решение заданий.
№ 1202 (1) устно.
Ответ: х>-1.
№ 1204 - самостоятельно по вариантам (4 варианта) с устной
проверкой.
5 4 1
Ответ: 1)х<—; х>—; 2)-3-<х<40;
7 5 3
3) -2<х<1-; 4)-2<х<8.
№ 1211 - на доске по желанию.
Ответ: m = 2.
№ 1213 - на доске по желанию.
Ответ: х = 6.
IV. Домашнее задание: № 1203, № 1212, № 1214.
V. Итог урока.
Урок 76
I. Организационный момент.
II. Решение заданий с выбором ответа.
1. Решите неравенство 4х >—.
1) (-<*>;-0,5]; 2) [0,5+*>); 3)[-0,5;+«>) 4)(-«);0,5].
Ответ: 3.
2. Найдите число целых отрицательных решений неравенства
v5y
<125.
1)6;, 2)2; 3)5; 4)4.
Ответ: 4.
69
3. Найдите число целых решений неравенства logo,s(x - 2) > -2.
1)4; 2)5; 3) бесконечно много; 4) ни одного.
Ответ: 1.
4. Решите неравенство: 1п(х - 1) < 1п(3х + 2).
1) (-1,5;+00); 2)f-|;+oo\ 3)(l;+oo); 4)(-оо;1).
Ответ: 3.
5. Решите неравенство: log3(4 - 2х) > 1.
1)Н>;0,5]; 2) Но; 2]; 3) [2; +оо); 4) [0,5;+со).
Ответ: 1.
6. Решите неравенство: log„(3x + 2) < log^x - 1).
4Н 2)Ьт
3)
-U;-f
4) нет решений.
Ответ: 4.
7. Найдите число целых отрицательных решений неравенства
lg(x + 5)<2-lg2.
1)5; 2) 4; 3) 10; 4) ни одного.
Ответ: 2.
Следующее задание учащиеся выполняют самостоятельно по
вариантам с устной проверкой.
Вариант I
1. Решите неравенство: log х (6 - 0,3х) > -1.
9
1)(-10;+о>); 2) (-«о;-10); 3) (-10; 20); 4) (-0,1; 20).
2. Решите неравенство: log10 (1 - 1,4х) < -1.
Т
1) (1,4; 2); 2) (-со; 0,5); 3) Г0,5; |\ 4) (0,5; +«)).
(Ответ: 3,3.)
Вариант II
1. Решите неравенство: log0 8 (0,25 - 0,1х) > -1.
1) (2,5;+00); 2)(-10;+оо); 3) (-чх>; 2,5); 4) (-10; 2,5).
2. Решите неравенство: logj 2s (0,8x + 0,4) < -1.
1) (-0,5; 0,5]; 2) Но; 0,5]; 3)(-0,5;+со) 4)(-2;2].
(Ответ: 4,1.)
70
III. Решение заданий.
№ 1217 - на доске по желанию.
Решение:
1)2-х+5<1; 2"х+5<2""2; -х + 5<-2; -х<-7; х>7.
4
jji 1-Ч<з.
-3<х-2<3; -1<х<5.
№ 1224 - на доске по желанию.
Решение:
i)Vig^<|; o<igx<i; igi<igx<igVior 1<х<УГо.
2) log, x<log, (2x + 6) + 2;
1 2
1_
14'
2
1 34 13
-x + —); x>—x +—;
2 T 2 2
log { x < logi (2x + 6) + log j T;
logj x<log, (-X + -); x>-x + -;
1 3 *
—x>—; x >3.
2 2
IV. Домашнее задание: № 1216, № 1223, № 1225, № 1226.
V. Итог урока.
Урок 77
I. Организационный момент.
II. Тест.
Вариант I
1. Решите неравенство: О^2*"1^ 0,16.
1) [1,5; +оо); 2) [-0,5; +оо); 3) (-«о; 1,5]; 4) (-оо; -0,5].
2. Решите неравенство: log0,2( 1 - 2,4х) > -2.
1)(-10;+оо); 2)Но;-10); 3) (-0,1;^\ 4) [-Ю;^
3. Решите неравенство: logo s(0,2x + 6) > -3.
1) [10; +оо); 2) (-30; +оо); ' 3) (-со; 10]; 4) (-30; 10].
4. Решите неравенство: log ' (0,25х + 2) < -1.
"з
71
1) (-со; -5]; 2) (-8; -sj; 3) [-5; +о>); 4) (-8; +со).
5. Решите неравенство: log3(3 - 0,2х) < 2.
1) (-30; -to); 2) (-30; 15); 3) (-со; 15); 4) (-со; -30).
Вариант II
1. Решите неравенство: (уЗ) <—.
1)(-со;-6]; 2) (-со;-12]; 3)[-6;+«>); 4) (-со; -1,5].
2. Решите неравенство: log {(7 - 0,5х) > -3.
з
1) (-40; +оо); 2) (-40; 14); 3) (-со; -АО); 4) (14; +оо).
3. Решите неравенство: log2(2,5x + 1) <-2.
1) (-0,4;-0,3]; 2) (-со;-0,3]; 3) [-0,3;+со); 4) (-0,4; +оо].
4. Решите неравенство: log (1,8х - 3) < -1.
Т
1)[2;+оо); 2) (-со; 2]; 3)
Л
У2
«) I f ;■*»
5. Решите неравенство: log2(0,5x - 3,25) < -3.
1) [6,75;+00); 2) (6,5;+оо); 3) (-оо; 6,75]; 4) (6,5; 6,75).
Ответы: вариант I: 3,4,4, 2,2;
вариант II: 1,2,1,3,4.
Ш. Решение заданий (на доске по очереди).
№ 1218 (1). Ответ: -3 < х < 0.
№ 1219 (1). Ответ: х£-.
9
№ 1220. Решение:
2
l)22x-4x-'+83V4>52,
4*_4х-! + 4х- — >52,
4 16
4xfl-i + -Ll>52, 4х- —>52,
(, 4 16J 16
4Х>64, 4Х>43, х>3.
2) 2Х+2 - 2Х+3 + 5х"2 > 5хТГ+~2х+4,
гух+2 __ ^х+3 __ /^х+4 ^ гх+1 __ гх-2
2х(4-8-16)>5х
5
25
72
2х • (-20) > 5х -4—,
V 25
2х 24
— < -4—: 20 нет решений, так как выражение в левой
части неравенства принимает положительные значения при любом х.
№ 1221 (3,5). Р е ш е н и е:
х-З
3)8,4х2+6х+и <1,
х-З
х^+6х + 11
< 0, х - 3 < 0 (так как х + 6х + 11 > 0 при
+ 6>0.
любом значении х), х<3.
/ ч2-3х
5)34"3х-35- -I
Пусть t = 32'3х, где t > 0, тогда
9t_35.I + 6>0, 9t2-f + 640,
г Х {< + %--
9t+6t-35±o, I 3А з/>0
t t
Решим неравенство методом интервалов.
2
з
Учитывая t > 0, получим решение: t > —.
32-3х>5
3
33"3х^5;
,3-3х
^3">835.
3-3x>log35; -3x>log35-3; x^l—log35.
№1227(1). Решение: log
•og,
3x + l
I x-1
2
<o,
log
log,
3x + l
\
I x-1
4 2
£log,l,
73
•og. ->0,
I x-1
log, r*l;
I x-1
2
. 3x + l . 3x + l
log, —— > 1, log ->log 1,
I x-1 i x-1 I
3x + l
x-1
3x + l
L x-1
>0,
si;
3x + l
x-1
2x + 2
x-1
>0,
^0;
Решение системы:
-1
T\ Г
1
-\йх<--,
3
-1 _1
л/3 л/3
№ 1230 (1). Решение: cos(-3x) > —; cos3x £ —;
cost>
7з
— + 2яп<1<-- + 2яп, neZ
6 6
я я
— + 2яп<3х< — + 2яп, neZ
6 6
я 2яп я 2яп _
+ <х<— + , neZ.
18 3 18 3
№1231(1,3). Ответ:
1) -я-arcsin—+ 2яп <x<arcsin—+ 2яп, neZ;
4 4
я
2) — + яп < х < arctg3 + яп, n e Z.
IV, Домашнее задание: № 1218 (2), № 1219 (2), № 1221 (4),
№ 1227 (2), № 1230 (2), № 1231 (2,4).
V. Итог урока.
Урок 78
I. Организационный момент.
74
II. Решение экзаменационных заданий.
1. Решите неравенство: logi 2 i (4х + 4) < 1.
Решение: logi 2 i(4x + 4)<logi 2 i
Ix2-
1)ЕслиО< |x2-l| <1,то4х + 4> | х2 — 11.
Раскроем модули. О < | х2 - 11 < 1,
|-1<х2-1<1,
1х2-1*0;
0<х2<2, I
х2<2,
х*0;
х*±1;
-V2 <x<yf2,
х*0;
х*±1.
х*±1;
4х + 4>х2-1, х2-4х-5<0, (х+1)(х-5)<0.
-1
Решение:
СГ—•) }
-V2 -1 0 1 V2
-1<х<0, 0<х<1, 1<х<>/2.
2) Если | х2- 11 > 1, то 0 < 4х + 4 < | х2- 11.
х2-1
= ]х -1,еслих2 >1,
-х2 +1,еслих2 <1.
5 *
Если х2 > 1, то х2 - 1 > 1, х2 > 2, то есть х < -V2, х > V2.
Если х2 < 1, то ~х2 + 1 > 1, -х2 > 0, х2 < 0 нет таких значений х.
0<4х + 4< |x2-l|
4х + 4>0, |4х>-4, Гх>-1,
4х + 4<х2-1; \х2-4х-5>0; \(х + 1)(х - 5) > 0.
\—г^,
Решение:
-1
J_£
х>5. -V2 V2 5 Х
Ответ: -1 <х<0, 0<х<1, 1<х<л/2, х>5.
75
2. Решите неравенство: cosx < 1 + | х |.
Решение: Левая часть неравенства принимает наибольшее
значение, равное 1 (-1 < cosx < 1), а правая часть неравенства при-
нимает наименьшее значение, равное 1 (| х | > О, 1 + | х | > 1), зна-
чит, неравенство верно для любого х.
Ответ: xgR,
3. Решите неравенство: cosx > 1 + 2х.
Решение: 1) -1 < cosx < 1.
2)2Х>0, 1+2х>1.
Значит, данное неравенство решений не имеет.
Ответ: 0.
4. Решите неравенство: cosx > х2+ 1.
Решение: 1)-1 < cosx < 1.
2)х2>0,х2+1>1.
Значит, данное неравенство можно переписать в
виде cosx = х2 + 1, где обе части равны 1. Единст-
венным решением будет х = 0.
Ответ: 0.
5. Решите неравенство: (2х-3)л/3х2 -5х-2 >0.
Решение: Так как \3х -5х -2 > 0, то 2х- 3 > 0.
3
|2х-3>0,
Зх2-5х-2>0;
х>
3(х-2)
х + -
1
>0;
Ответ: х > 2.
V^
-Зх+3
>2
у[?
-2х+5
6. Решите неравенство: 2
Решение: Так как функция у = 2' возрастает, то
Л
•Зх + 3
>л/х^
2х + 5.
76
J x2 - Зх + 3 > x2 - 2x + 5, Г- х > 2,
[x2-2x + 5£0; \х-люб
любое число;
х<-2.
Ответ: х<-2.
7. Решите неравенство: | —
Решение: Так как функция у =
У \ Vx+4 / - ^Vx2+3x+4
убывает, то
Vx + 4 <Vx2+3x + 4.
x + 4<x2+3x + 4, fx2+2x>0, fx(x + 2)>0,
x + 4^0; lx>-4; \x>-4.
-4-2 0 x
Ответ: -4 <,x<-2, x>0.
(1 Vx+3
8. Решите неравенство: 21+2х -21ч —
Решение: 21+2х-—•(-! + 22:0.
+ 2^0.
4 12
_ л!+2х
21 1
Пусть t = 2 , где t > 0, тогда t + 2 > 0.
4 t
4t2+8t-21^Q 4(t + 3,5Xt-l,5)
4t ' 4t
(t + 3,5)(t-l,5)^0
t ' -3,5 0
Учитывая, что t > 0, получим решение t £ 1,5.
21+2х>1,5, 21+2х>Д 21+2х>210822,
1,5
l + 2x>log2-, l + 2x£log23-l, 2x£log23-2,
77
x£-log23-l.
Ответ: x^—log23-l.
9. Решите неравенство: log j (3X+2 — 9х j>: —6.
12
Решение: log , (зх+2 -9x)>log , 8,
0<Зх+2-9х<8.
1)3x+2_9x>0) 9.3x_9x>05 з"(9_з")>о,
таккакЗх>0,то9-Зх>0, 3х < 9, 3х <32, х<2.
2)3x+2-9x^8, 9x-9-3x+8;>0.
Пусть t = 3х, где t > 0, тогда t2 - 9t + 8 £ 0
(t-l)(t-8)a0 "T^N^^^V^7";
1 8 t
Учитывая, что t > 0, получим решение 0 < t < 1, t > 8.
3x<l,x<0
3X£8, x£log38.
Решение исходного неравенства:
1
X
о
log38
_► х < 0, log38 <, х < 2.
Ответ: х < 0, log38 <, х < 2.
10. Решите неравенство: logx < 0.
6(х-1)
Решение: log„ < log„ l.
х6(х-1) бх
4х + 1
1) Пусть 0 < х < 1, тогда — 77 > Ь
6(х-1)
4х + 1 , -2х + 7 Л
>1, — ->0
6х-6
6х-6
3,5 х
*• нет решении.
78
^ч i-т 1 4x + l , 4x + l ,
2) Пусть х> I, тогда — —< Ь ~ 7< Ь
6(x-l)
6х-6
-2х + 7
<0
6х-6
Ответ: х > 3,5.
Домашнее задание.
Решите неравенство:
1 Г
х>3,5
3,5
1) (4x-x2-3)V5x-8<;0; 2)
1з
№
+Зх-10
3)3
4-Зх
■35.|'
2-Зх
+ 6^0; 4)log) (5х+1-25х)^-2;
IS
2х + -
5)logx-—^>0.
5(1-х)
8 1
(Ответы: 1) х = —; х > 3; 2) х > 2; 3) х < 1 —log3 5;
4)log52<x^log53; 5)0<x<g.)
Урок 79
I. Организационный момент.
II. Самостоятельная работа.
Вариант I Вариант II
1. Найдите
наибольшее наименьшее
целое число, удовлетворяющее неравенству
2Х + 23"Х<9 Зх + 32~х<10
Решите неравенство:
2.3х-2-6х>0
2. 10х-8-5х>0
2х-1
' 212
4.^1<0
О у-1
2 >0
log5x
4. >0
log^x
4
Зх+2
<0
79
5. log^x2*х-3)<-2
з
6. log2(x-l) + log2x<l
7. log3 —>i
5. log2(x2-x-2)>2
6. log3(x + 2) + log3x>l
*, i 6 + X _
7. log2 r<2
x + 2 x-3
8. log2 (2 - 3x) > 4x + 1 8. log2 (2+x) > 1 - x.
(графически) (графически)
Ответы: вариант I: 1. 2; 2, х^З; 3.х<-1; 4. 1<х<3;
5.х<-4,х>3; 6. 1 <х<2;
7.-2<х<-; 8.х<0.
2
вариант И: 1. 1; 2.х<-1; З.х<0; 4. —<х<1;
5.х<2,х>3; 6.х>1;
7.х<-6,х>6; 8.х>0.
III. Решение заданий.
1 х~"!
№ 1222(1).Решение: 3 х+2<3"2; log2 —-<-2;
Л. "г А*
log2 — <log2-;
х-1 1
4х-4-х-2
4(х + 2)
<0;
х + 2 4
4(х + 2) 4(х + 2)
Учитывая, что > 0
х + 2
получим решение:
-2 1 2
1 <х<2.
№ 1228 (1). Ответ: К х < 2.
№ 1229 (1). Р е ш е н и е: х1+'8" < 0,1'2;
x,+lgx<100; lg(x,+lgx)<lg100;
(1 + lgx) • lgx<2; lg2x + lgx-2<0
80
Пусть t = lgx, тогда t2 +1 - 2 < О,
(t-l)(t + 2)<0
-2 < lgx < 1; lg0,01 < lgx < lglO;
0,01 <x<10.
№ 1232 (1,3). Ответ: 1) -Зя<х< ; <x<—;
6 6 6
n
— < x < я;
6
„ч 5я ^ In Зя ^ 4я
3) <x< ; <x< ;
2 3 2 3
7C 71 ТС ^ 2ТС
— <x<—: — <x<—.
2 3 2 3
IV. Домашнее задание: № 1222 (2), № 1228 (2), № 1229 (2),
№1232(2,4).
V. Итог урока.
Урок 80
I. Организационный момент.
II. Решение систем уравнений.
№ 1236 (1) - решить двумя способами - способом сложения и
способом подстановки.
Ответ: х = 2, у = 1.
№ 1237 (1). Ответ: х = -1200, у = 500.
№ 1239(1). Решение: Iх2-У2=13' |<*7^ + У) = 13'
[х-у = 1; [х-у = 1,
fx + y = 13, |2х = 14, Гх = 7,
[х-у = 1; |х-у = 1; \у = 6.
х у _ 3
у х 2'
х2+у2=20.
х 1 3
Пусть t = —, тогда первое уравнение системы запишем t - - = —,
У t 2
2t2-3t-2 = 0, t,=2; t2= --.
2
№1240(1,3).Решение. 1)
4 Григорьева
81
Так как t = —, то х = t • у, подставим во второе уравнение t2y2 +
У
+ у2= 20.
1) Если t = 2, то 5у2 = 20, у2 = 4, у, = -2 и у2 = 2.
- = 2, у = -2, х = -4; у = 2, х = 4.
У
,2 _
2)Если1=-^,то^у2+у2=20, ^-у2 =20, у'= 16,
У) = 4 и у2 = -4.
х 1 1
- = --, х = --у, у = 4, х = -2;
у 2 2
у = -4, х = 2.
Ответ: (-4; -2), (4; 2), (-2; 4), (2; -4).
Зч |х2=13х + 4у,
[у2=4х + 13у
Вычтем из первого уравнения второе:
х2-у2 = 9х-9у, (х-у)(х + у) = 9(х-у),
Очевидно, что х + у = 9. Тогда у = 9 - х.
Подставим в первое уравнение:
х2 = 13х + 4(9 - х), xf= 13х + 36 - 4х,
х2-9х-36 = 0, D = 225, х,=-3,х2=12.
Если х = -3, то у = 9 + 3 = 12; если х = 12, то у = 9 - 12 = -3.
Ответ: (-3; 12), (12;-3).
№ 1241 - самостоятельно по вариантам, с проверкой на доске.
Решение:
,х+у
1)
= 32, (х + у = 5, [4у = 8,
33у_х=27; |3у-х = 3; [х + у = 6,
Ответ: (4; 2).
(Г
2)
Зх-22у=77,
X
32_2у=7;
3 -2у
3 +2>
[У = 2,
х = 4.
= 77,
■2у=7;
32+2у=11, I
X
32-2у=7;
2-32 =18,
X
32-2у=7;
З2 =9,
9-2у =7;
82
х = 10,
у = 1000.
2У=2, 1У
Ответ: (4; 1).
3Лзх-2у=576, ЬХ-2У=576, Ьх-24+х=576,
' \log^/j(y-x) = 4; \у-х = 4; \у = 4 + х;
Гбх 16 = 576, /бх=36, fx = 2,
[у = 4 + х; \у = 4 + х; \у = 6.
Ответ: (2; 6).
flgx + lgy = 4, flgx + lgy = 4,
4J\x,8y=1000; \lgx-lgy = 3;
Пусть а = lgx, b = Igy, тогда \ *^_ у '
решив эту систему методом подстановки, получим решение aj = 3,
b| = l,a2=l,b2 = 3.
nflgx = 3, fx = 1000, ,vflgx = l,
Ответ: (1000; 10), (10; 1000).
№1242(1).Решение:
log4x-log2y = 0,
х2-5у2+4 = 0;
1) logix = log2y, log4X = 21og4y,
log4X = log4y2, X = y2.
2) x2 - 5x + 4 = 0, x > 0.
D = 25-16 = 9, x,= —= 1; x2= — = 4.
2 2 2
3)x = y2, y>0,
если x = 1, то у = 1; если х = 4, то у = 2.
Ответ: (1; 1), (4; 2).
III. Домашнее задание: № 1237 (2), № 1240 (2, 4), № 1242 (2),
№ 1247.
IV. Итог урока.
Урок 81
I. Организационный момент.
83
II. Решение заданий с выбором ответа.
1. Найдите решение (хо; уо) системы уравнений
|2у-х + 4 = 0,
рх~у+ =125 и вычислите значение произведения х0у0.
1)6; 2)3; 3)-6; 4)-2.
Ответ: 1.
2. Найдите решение (х0; уо) системы уравнений
1п(у-х) = 1п4,
log2 — = 3-log2у и вычислите значение частного—.
4 Уо
1)0,5; 2)2; 3)4; 4)0,25.
Ответ: 1.
3. Найдите решение (х0; уо) системы уравнений
5х+2у=1,
lg(x-3) = lg(2y + 5) и вычислите значение разности х0-у0.
1)0; 2)2; 3)-2; 4)6.
Ответ: 4.
4. Найдите решение (х0; уо) системы уравнений
JV^-2Vy=l
[2л/х+Л/у=7 и вычислите значение суммы х0+у0.
1)4; 2)5; 3)7; 4)10.
Ответ: 4.
III. Решение заданий с кратким ответом.
1. Пусть (хо; уо) - решение системы. Найдите сумму х0 + уо.
[|х-3|-у = 2.
Решение:
1) Если х > 3, то х - 3 - у = 2, х = у + 5.
Vy + 2" = y,y + 2 = y2,y2-y-2 = 0, y,=-l,y2 = 2.
Тогда Xi =4, Х2 = 7.
2) Если х < 3, то -х + 3 - у = 2, х = 1 - у.
yf^y -2=y,-y-2 = y2 нет решений.
Проверка показывает, что пара чисел (4; -1) не является решением.
(7; 2) - решение системы.
7 + 2 = 9.
Ответ: 9.
84
в) у-х'-1
[y-log2(4-x) = -l.
Решение:
у = 1 + х3,
y = log2(4-x)-l.
Решим систему графически:
Решение (0; 1) единствен-
ное, так как функция
у = 1 + х3
монотонно возрастает, а функ-
ция у = log2(4 - х) - 1 мо-
нотонно убывает.
Ответ: 1.
fy-3 = |x-2|,
[y = 2x+1.
Решение:
У 4
ylog2(4-x)-l
/у = 1+х3
в)
1)Еслих>2, тоу-3 = х-2, у = х+1;
если х < 2, то у - 3 = -х + 2, у = 5 - х.
2) Построим графики данных функций
Решение системы (1; 4).
1+4 = 5.
Ответ: 5.
2. Пусть (хо; уо) - решение системы
fy + Vl6-x2=0,
[у +1 = |х + 5|.
Найдите разность у0 - Хо.
Решение:
Область допустимых значений 16 - х2 > 0, х2 < 16, -4 < х < 4. То-
гда 1 < | х + 5 | < 9, а значит, 1 < у + 1 < 9, 0 < у < 8.
Итак, оба слагаемых в левой части первого уравнения неотрица-
тельны, следовательно, их сумма может быть равна нулю тогда и
85
только тогда, когда каждое из них равно нулю, то есть у = 0, х = ±4.
Подстановкой во второе уравнение системы выясняем, что реше-
нием является только пара (-4; 0).
Следовательно, уо - х0 = 0 - (-4) = 4.
Ответ: 4.
IV. Домашнее задание: № 1243, № 1244.
Дополнительно:
Пусть (х0; уо) решение системы \ 7 7^ о
Найдите частное х0: уо.
(Ответ: 4.)
V. Итог урока.
Урок 82
I. Организационный момент.
II. Проверочная работа.
Вариант I
1. Пусть (хо; уо) - решение системы < ^.х ~ i ~ ^'_,
Найдите произведение х0 • уо.
2. Пусть (х0; уо) - решение системы \ 7 "Ir^ ~
Найдите сумму х0 + уо.
3. Пусть (х0; уо) - решение системы i У + V1 о - х =0,
[у + 1=|х + 5|.
Найдите разность уо - Хо.
4. Решите систему уравнений < х Ту ^
I J Т* D "—1 Z*m
L _ =362
5. Решите систему уравнений \ х У з'
[log5x + log5y = 3.
Вариант II
1. Пусть (хо; уо) - решение системы \ 7 "L^ 1
Найдите разность х0 - уо.
86
2. Пусть (х0; у0) - решение системы \ \ У л _ 9
Найдите произведение х0 • уо.
Гу + 4 = |х-3|,
3. Пусть (х0; уо) - решение системы < г-1 f
[y = V25-x2.
Найдите сумму уо + Хо.
4. Решите систему уравнений < * \ __ 9 '
,р Г7х-2у = 1,
5. Решите систему уравнении <
\log2(3x + 7) = log2(3y + l).
Ответы: вариант I: 1.4; 2.5; 3.4; 4.(2; 1); 5. [15; 8-1;
вариант И: 1.3; 2.8; 3.1; 4. (4; 3); 5.(1;3).
III. Решение экзаменационных заданий.
t D f|x-l| + |y-5| = l,
1. Решить систему у J W
Решение: Подставим в первое уравнение вместо у выражение
из второго уравнения системы.
|x-l| + |5 + |x-l|-5|=l, |x-l| + |x-l|=l,
2 | х— 1 | = 1, | x — 11 = 0,5, xi=0,5, x2=l,5.
Тогда у, = 5 + 0,5 = 5,5, y2 = 5,5.
Ответ: (0,5; 5,5), (1,5; 5,5).
2. Решите систему \ Х9У, + \у9 12'
[xzy -х У =4-
Решение: Прибавляя к первому уравнению второе и отнимая
от первого уравнения второе, получим:
fx2y3=8,
[х3у2=4.
Разделив первое уравнение полученной системы на второе, по-
лучим — = 2, то есть у = 2х. Тогда х2у3 = 8, 8х5 =8, х5 = 1,
х
х=1, у = 2- 1=2.
Ответ: (1; 2).
87
3. Решите систему
[logx(3x + 2y) = 2,
|Iogv(2x + 3y) = 2.
Зх + 2у = х2,
Решение: <|2х + 3у = у2,
х > 0, х Ф1,
[У>0,у*1.
х2-у2 = х-у, (х-у)(х + у) = х-у, (х-у)(х + у-1) = 0,
х - у = О или х + у - 1 = О.
1) х - у = О, то есть х = у.
Зу + 2у = у2, 5у-у2 = 0, у(5-у) = 0,У1=0,у2 = 5.
(5; 5) - решение системы.
2) х + у - 1 = 0, то есть х = 1 - у.
2(1-у) + Зу = у2, 2 + у = у2, у2-у-2 = 0,
У1=~1,У2 = 2.
у = -1 не является корнем (так как у > 0).
Если у = 2, то х = -1 не удовлетворяет условию х > 0.
Ответ: (5; 5).
4. Решите систему
V-1-х-д/гу-х =1,
Vl-2y+V2y-x=4-
1
Решение: ОДЗ системы х < -1, у < —, 2у - х £ 0.
Пусть V-1-x = а, д/2у~х = Ь. Тогда 1 - 2у = а2 - Ь2 + 2 и сис-
тему можно переписать в виде
ja-b = l,
[Va2-b2+2 + b = 4.
Подставим вместо а выражение b + 1 во второе уравнение:
д/(Ь + 1)2-Ь2+2 + Ь = 4 <=> V2b + 3=4-b <=>
<=> (?t3=n(4~b)2> «b = 5-Vl2.
[4 - b > 0
Отсюда а = 6 - VT2 ; тогда х = -49 + 12 Vl2 и у = -6 + VT2 .
Ответ: (-49 + 12 Vl2 ; -6 + Vl2 ).
5. Решите систему
Цх2 + ljy + (у2 + ljx = 4ху.
88
Решение: Согласно ОДЗ нашей системы обе переменные не
могут принимать нулевые значения. Поэтому второе уравнение
можно поделить на ху.
х2+1 у2+1 . 11.
Тогда + - = 4 <=> х + — + у + — = 4.
Пустьа= Jx + -, b = Jy + -,
а + Ь = 2^2, ^ а = Ь = Л/2.
х
тогда
az+b
Следовательно
х + — = 2,
у + - = 2;
х
ху + 1
У
ху + 1
= 2,
= 2.
2у = ху + 1,
2х = ху +1; х = у.
1
\2 = i
х+- = 2, х'-2х+1=0, (х-1Г = 0, х=1.
X
Тогда у = 1.
Ответ: (1; 1).
Домашнее задание.
Решите систему:
'27х =9У,
1)
3)
[81х=Зу+1;
х-у-7 = 0,
log3 = 2;
П
f2x + 7y = l,
2Х+У =4Х_У+2-
(JxT3y + 6_=2,
'U2x-y + 2=l;
сч /ху = 16,
^lxlog2y=8;.
7Лз|х + 1| + 2|у-2| = 20,
'|х + 2у = 4.
6) Ny Vx 2'
(Ответы: 1)
2 I
5;5
х + у + ху = 9;.
12 9
; 2)|-1—;^j|; 3)(8;1);
89
4)
5_ _2
5) (2; 8); (8; 2); 6) (4; 1),
7>'«Н К^
Урок 83
I. Организационный момент.
II. Решение заданий.
[sin x +cos у = 1,
№1245(1).Решение:
sin x + 2sinxcosy = —.
cosy = 1 - sinx;
2 3
sin x + 2sinx (1 - sinx) = —,
2 2 3
sin x + 2sinx - 2sin x =0,
3
-sin2x + 2sinx =0,
4
4sin2 - 8sinx + 3 = 0.
Пусть t = sinx, тогда 4t2 - 8t + 3 = 0,
1 3
ti = -, t2=~.
2 2
1 1 1
1) Если sinx = —, то cos =1 = —.
2 2 2
x = (-l)k- —н-Tck, у=±- + 2як, keZ.
6 J 3
2) Если sinx = —, то нет решений.
Ответ: (-1)к -—н-7ск;± —+ 2як L к е Z.
V 6 ъ )
№1246(1).Решение:
1
Ismx -cosy = —,
I tgx • ctgy = 1.
90
sinx cosy t
tgx-ctgy=l, • —— = 1,
cosx sin у
sinx • cosy = cosx • siny,
1) sinx • cosy - cosx • siny = 0,
sin(x - y) = 0,
X - у = ЯП, П € Z.
2) Так как sinx • cosy = cosx • siny = —,
то sinx • cosy + cosx • siny = -1,
sin(x + y) = -l,
я
x + y = — + як, keZ.
J 2
3)
x - у = яп, n € Z,
я
x + y = — + 2як, keZ.
' 2
*s Я /-i i Я ЯП . f _
2x=— + яп + 2як,х =— +— + як, n, keZ.
2 4 2
^ я ^ , я t яп i rr
2y = —+ 2як-яп ,y= — + як , n, к € Z.
J 2 У 4 2
л , Я ЯП , Я - ЯП
Ответ: — + — + як; — + як
4 2 4 2
, п, ке Z.
) ■
III. Решение заданий с параметрами.
1. Найти значения параметра а, при котором уравнение
2"х + а • 2х = 5 имеет единственное решение.
1 2
Решение: Пусть t = 2х, тогда - + a-t = 5, at - 5t +1 = 0. Что-
бы исходное уравнение имело единственное решение, уравнение
at2 - 5t + 1 = 0 должно иметь один положительный корень.
1)D = 0; D = 25-4a, 25-4a = 0, а = 6-.
4
Найдем корень t = — = ——• = — = — (t > 0).
2а ~._ 25 5
4
25
2)D>0; D = 25-4a, 25-4a>0, -4а>-25, а<—.
91
u - ♦ 5 + Vd f 5-Vd
Найдем корни: t{ = ; t2 = .
za za
Для определенности tj > 0, t2 < 0.
> 0, так как 5 + V25 - 4a > 0, то и 2а > 0,
2a
то есть а > О;
5-V25-4a 25 nrz—— Л
- <0,если0<а<—,то 5-V25-4a >0,
2a 4
25
значит, неравенство выполняется только при а = —.
Рассмотрим, когда t] < 0, t2 > 0.
————-<0,так как5 + л/25-4а >0, то2а<0, а<0.
2а
5 - V25 - 4а л л г——— л
> 0, если а < 0, то 5 - V25 - 4а < 0, значит, нера-
Za
венство верно при а < 0.
3) При а = 0 уравнение примет вид -5t +1=0, t = — (t > 0).
Ответ: а = 6—; а<0.
4
2. Определить а, при которых уравнение х + 2ахд/а -3+4 = 0
имеет равные корни.
Решение:
D= Гал/а2-з1 -4 = а2(а2-з)-4 = а4-За2-4.
D = 0, а4-За2-4 = 0 при а = ±2.
Ответ: а = 2, а = -2.
3. Найдите сумму параметров а и Ь, при которых система
gX ~ ^ Г и ' имеет бесчисленное множество решений.
Решение: Умножим первое уравнение системы на -3 и сло-
жим со вторым, получится у(12 - а) = b - 36.
Это линейное уравнение имеет бесчисленное множество реше-
ний, если 12-а = 0 и Ь-36 = 0. То есть а = 12, Ь = 36.
а + Ь=12 + 36 = 48.
Ответ: 48.
4. При каких значениях а число корней уравнения
| х2 - 8 | х | +71 = а равно а?
92
Решение:
Построим график функции у = | х2 - 8 | х | +7 |
1) Если х > 0, то у = | х2 - 8 х +71.
при х £0.
у ^\г -8х + 7
2) Если х < 0, то у = | х2 + 8х +7
у - х2-ь 8х + 7
93
Итак, график функции у = | х2 - 81 х | +71
Рассмотрим, какое количество корней будет иметь уравнение
I х2 - 8 I х I +71 = а при различных значениях а (а > 0).
а = 0 4 корня, 7 < а < 9 6 корней,
0 < а < 7 8 корней, а = 9 4 корня,
а = 7 7 корней, а > 0 2 корня.
Ответ: 7.
5. При каких значениях а выражение (sinx)8^s,nx^~a больше
выражения iologloo^"cos x)+1°S7a при всех допустимых значениях х?
Решение:
/sjnxyg(sinx)-a2 > jQlog100(l-cos2x)+log7a ^
1) В правой части неравенства выражение всегда положительно
(так как у = 10* - показательная функция), значит, левая часть нера-
венства тоже больше нуля. Поэтому можно прологарифмировать
неравенство по основанию 10. Так как функция у = lgt возрастает,
то знак неравенства сохранится.
lgf(sinx),g(sinxba2>| > lgri0logl00(1-cos2x)+log7a
lg((sinx)-a2 )• lg(sinx) > lgVl -cos2 x + log7 a,
(VI - cos2 x = |sin x|, учитывая ОДЗ sin > 0, значит, |sin x| = sin x.)
lg2(sinx) - a2 • lg(sinx) > lg(sinx) + log7a.
94
2) Пусть t = lg(sinx), тогда
t2 - a2 • t > t + log7a
t2-(a2+ l)t-log7a>0.
График функции, стоящей в левой части, - парабола, ветви на-
правлены вверх. Найдем наименьшее значение этой функции; оно
t a2+l (a2+lf (a^lf ,
достигается при t = и равно ■* L—-* L— log7 a.
3) Найдем, при каких значениях а полученное наименьшее зна-
чение положительно.
кЛ кЛ , .
1 *- - -* *- - log7 a > О,
4 2 67
-2(a2+l)2-41og7a>0,
2(a2+l)2<-41og7a,
(a2+l)2<-21og7a,
так как выражение (а2 + 1 )2 > 0 при любых а, то неравенство будет
верным, если log7a < 0, log7a < log7l, 0 < а < 1.
Ответ: 0 < а < 1.
IV. Домашнее задание: № 1245 (2), № 1246 (2), № 1248.
V. Итог урока.
Урок 84
I. Организационный момент.
И. Самостоятельная работа.
Вариант I
Ггх =19^У
1. Решите систему уравнений: у _ >
2. Укажите номер верного ответа в задании. Найдите сумму
х0 + уо, где (х0; у0) решение системы < ^ * ~= о~ g У +
1)1; 2)8; 3)32; 4)12.
3. Решите систему уравнений:
jV^+7 + x = 2,
[з/8(х + у)-4 = х.
4. Решите систему уравнений:
|Vlg(x + у) 4- sin 2 у = О,
[2х + cosy = 2.
95
5. Пусть (хо; уо) - решение системы уравнений
Пх -1| - у -1 = О,
[2х-у-1 = 0.
Найдите значение выражения хо - уо - 2.
Вариант II
1. Решите систему уравнений: {^$*+'у + 47) = 2.
2. Укажите номер верного ответа в задании. Найдите сумму
(сХ . СУ =1
хо + уо, где (хо; уо) решение системы у J _ !>
1)6; 2)0; 3)1; 4)-1.
3. Решите систему уравнений:
[х2 + ^/х + у = 8,
<
[х-х4 +у = 0.
4. Решите систему уравнений:
iosin2x лло„,
2 =cosy,
sin4x-cos43y = -l.
5. Пусть (х0; уо) - целочисленное решение системы
{2x + Vy2-2y + ,=10>
|х + у = 8.
Найдите произведение х0 • уо-
Ответы ирешение:
Вариант I: 1. (6; 2); 2. 4; 3.(0; 8).
4. Решение: Так как ^/lg(x +1) > 0 и sin2y > 0 для х > -1 и лю-
бых у, то первое уравнение системы имеет решение при
Vlg(x + 1) = 0 и sin2y = 0.
Vlg(x + 1)=0, lg(x+l) = 0, х+1 = 1, х = 0.
sin2y = 0, siny = 0, у = яп, ne Z.
Подставим х = 0 во второе уравнение
1 + cosy = 2, cosy = 1, у = 2яп, ne Z.
Ответ: (0; 27cn), ne Z.
< р /|х-1| = у + 1,
5. Решение: Vx ' 1 , . -
[2х =у + 1; |х-1| = 2х.
96
Решим это уравнение графически:
х = 0 - единственный корень уравнения
2° = у+1; 1 = у+1; у = 0.
хо-уо -2 = 0-0-2 = -2.
Ответ: -2.
Вариант II: 1. (-1; 5); 2. 2; 3. (-2; 18) и (2; 16).
4. Решение: Перепишем второе уравнение в виде cos43y =
= sin4x + 1. Так как 0 < cos43y < 1 и 0 < sin4x < 1, то уравнение будет
иметь решение, если sin4x = 0, cos43y = 1.
sin4x = 0, sinx = 0, х = яп, n g Z.
4o 1 о . 1 Я ЯП ^
cos3y=l, cos3y = ±l, y=— + —, n g Z.
Подставим x = яп, n g Z в первое уравнение:
2sin27cn = cosy, 2° = cosy, cosy = l, у = 2яп, n e Z.
Ответ: (яп; 2яп), п g Z.
5.Решение: Ьх + д/у2 ~2у + 1 =Ю,
[x + y = 8;
f2x + |y-l| = 10,
[y = 8-x.
2x+ |7-x| =10, 17 —x | =10-2x.
1)Еслих<7, то 7-x= 10-2x, x = 3.
2) Если x > 7, то x - 7 = 10 - 2x, 3 x = 17, x = 5— (не удовлетво-
ряет условию х > 7).
y = 8-3 = 5.
х0-уо = 3 • 5 = 15.
Ответ: 15.
Домашнее задание: вспомнить методы решения задач на части
и проценты, на сплавы и смеси, на работу и на равномерное движе-
ние по прямой.
Урок 85
I. Организационный момент.
II. Решение задач на части и проценты.
1) Основное понятие - часть числа.
97
Если задана величина а, то ее к-я часть равна к • а, где к > 0.
2) 1 % = 0,01 сотая часть числа.
а • к
Если задана величина а, то к % от нее составляет
100
%.
Га ^
3) Если заданы величины а и Ь, то а составляет от b — • 100
Vb J
1. Третья часть числа равна 17. Найдите — части этого числа.
17
1 2
Решение: —-а = 17 <=> а = 51; — 51 = 6.
3 17
Ответ: 6.
2. Число а больше числа b на 20 %. Какую часть от а составляет Ь?
Решение: 20 % от числа b равны = 0,2Ь. Тогда а = b +
100
+ 0,2b = 1,2b.
b b 1 10 5
Отсюда — = = — = — = —.
a 1,2b 1,2 12 6
Ответ: —.
6
3. Из 40 т железной руды выплавляют 20 т стали, которая со-
держит 6 % примесей. Каков процент примесей в руде?
Решение: Пусть в 40 тоннах руды содержится х тонн приме-
сей, тогда «чистой» стали (40 - х) тонн, которая целиком содер-
жится и в 20 тоннах выплавленной стали. Отсюда в 20 т стали со-
держится 20 - (40 - х) = х - 20 (т) примесей, что по условию задачи
составляет 6 % от 20 т. Получим уравнение:
х-20=^-^;х-20=1,2; х = 21,2.
100
Нужно найти, каков процент примесей в руде, то есть — • 100.
40
Подставим найденное значение х:
212 2120
±h±.m = ^^L = 53(%)
40 40
Ответ: 53 %.
III. Решение задач на сплавы и смеси.
1) Если два сплава (раствора) соединяют в один сплав (раствор),
то сохраняется объем (V = Vi + V2) и масса (т = mi + m2). При этом
не учитываются химические взаимодействия их частей.
98
2) Объемная или массовая концентрация есть число, показы-
вающее, какую долю всего объема или массы составляет данная
компонента.
Например, если имеется 40 %-й раствор соли, то в этом растворе
0,4 объема (массы) занимает «чистая» соль.
Если сплав содержит свинец и медь в отношении 4 : 7, то в этом
4
сплаве — частей от массы всего сплава составляет масса свинца, а
И
7
масса меди.
11
1. Сплав меди и алюминия массой 10 кг содержит 35 % меди.
Сколько килограммов в этом сплаве составляет алюминий?
Решение: Меди содержится 35 %, то есть 0,35 массы сплава,
отсюда
10-0,35 = 3,5 (кг).
Тогда алюминия 10 - 3,5 = 6,5 (кг).
Ответ: 6,5 кг.
2. Имеется два кислотных раствора: один 20 %, другой 30 %.
Взяли 0,5 л первого и 1,5 л второго раствора и образовали новый
раствор. Какова концентрация кислоты в новом растворе?
Решение: 0,5 л первого, 20 %-го раствора, содержит 0,5 • 0,2 =
= 0,1 л кислоты. Аналогично, 1,5 л второго 30 %-го раствора со-
держат 1,5 • 0,3 = 0,45 л кислоты. В новом растворе 0,1 + 0,45 = 0,55
кислоты, а объем самого раствора 0,5 + 1,5 л = 2 л. Найдем концен-
трацию кислоты —— • 100 = — = 27,5 (%).
Ответ: 27,5 %.
3. Из сосуда, наполненного 96 % раствором кислоты, отлили 2,5 л
и долили сосуд 80 %-м раствором той же кислоты. Затем еще раз
отлили 2,5 л и снова долили 80 %-м раствором. После этого в сосуде
получили 89 %-й раствор кислоты. Определите вместимость сосуда.
Решение: Пусть х (л) вместимость сосуда. Тогда, после того
как из сосуда отлили 2,5 л раствора, в нем осталось (х - 2,5) • 0,96 л
кислоты. А добавили 2,5 • 0,8 л кислоты.
1) (х - 2,5) • 0,96 + 2,5 • 0,8 = 0,96х - 2,4 + 2 = 0,96х - 0,4 (л) ки-
слоты стало в сосуде.
0 96 - 0 4 96х - 40
2) — —-100 = (%) содержания кислоты в полу-
X X
ченном растворе.
99
,, . „гч 96х-40 „_ ло 96х2-80х+ 00, .
3) (х - 2,5) + 2,5 • 0,8 = (л) кислоты
ЮОх ЮОх
стало в сосуде после повторного «отлития-долития».
„ 96х2-80х + 100 1ЛЛ 96х2-80х + 100/о/ч
4) г 100 = г (%) содержания ки-
ЮОх2 х2
слоты в «окончательном» растворе, что по условию задачи равно 89 %.
96х2-80х + 100=89. 96х2_80х+100 = 89х2.
X
7х2-80х+100 = 0, х, =—, х2=10.
Значение х = — не подходит по условию задачи, так как — < 2,5.
7 7
Ответ: 10 л.
IV. Домашнее задание: № 1253, № 1256, № 1262.
V. Итог урока.
Урок 86
I. Организационный момент.
II. Решение задач на работу.
1) Обычно объем работы принимают за 1. В задачах с бассейна-
ми и трубами объем бассейна принимают за 1. Но можно также
обозначить любой буквой (произвольной постоянной).
2) Производительность работы - это количество работы, выпол-
ненной за единицу времени.
Например, если одна труба наполняет бассейн за 5 часов, то за
1 час она наполнит — бассейна. Если токарь выполняет задание за
12 дней, то за 1 день он выполнит — часть задания.
12
1. Две трубы, работая совместно, наполняют бассейн за 6 ч. За
какое время наполняет бассейн каждая труба, если известно, что в
течение часа из первой трубы вытекает на 50 % больше воды, чем
из второй?
Решение: Пусть х л воды в час вытекает из первой трубы, у л
воды в час вытекает из второй трубы, тогда за 1 час обе трубы на-
100
полнят (х + у) л или — бассейна.
V J 6
х + у= —.
6
В течение часа из первой трубы вытекает на 50 % больше воды,
чем из второй, то есть х = у + 0,5у, х = 1,5 у.
li. 1 „г 1 1 ,г 1 1
Тогдах + у=7;1,5у + у=7;2,5у=7;у=—;х=1,5- — = —.
6 6 6 15 15 10
Таким образом, за 1 час первая труба наполняет — бассейна, а
вторая — бассейна. То есть первая труба наполнит весь бассейн за
10 часов, а вторая - за 15 часов.
Ответ: 10 ч, 15 ч.
2. Машинистка начала перепечатывать рукопись книги, через
4 ч к ней присоединилась вторая машинистка.
Проработав 8 ч, они закончили перепечатку всей рукописи. За
сколько часов каждая машинистка может перепечатать всю руко-
пись, если первой на это требуется на 8 ч больше, чем второй?
Решение: Пусть первая машинистка может перепечатать всю
рукопись за х часов, а вторая - за у часов. Тогда за 1 час первая
1 ] п
машинистка печатает — часть рукописи, а вторая часть. Пер-
х у
12
вая машинистка работала 4 + 8 = 12 часов и напечатала — часть
х
о
рукописи, а вторая работала 8 часов и напечатала — часть рукопи-
У
си, вместе они напечатала всю рукопись, то есть 1.
Составим систему уравнений и решим ее
12 8 ,
х у
у = х-8;
—+ -£- = 1; 12х-96 + 8х = х(х-8);
х х-8
х2 - 28х + 96 = 0, х, = 4, х2 = 24.
Если х = 4, то у = -4 (не подходит по условию задачи).
Если х = 24, то у = 24 -8 = 16.
Ответ: 24 ч, 16 ч.
101
III. Решение задач на движение.
1. Из пункта А в пункт В, расположенный в 24 км от А, одно-
временно отправились велосипедист и пешеход. Велосипедист
прибыл в пункт В на 4 ч раньше пешехода. Известно, что если бы
велосипедист ехал со скоростью, меньшей на 4 км/ч, то на путь из
А в В он затратил бы вдвое меньше времени, чем пешеход. Найди-
те скорость пешехода.
Решение: Пусть х ч - время велосипедиста, тогда (х + 4) ч -
время пешехода.
24 .
— км/ч - скорость велосипедиста.
X
Если скорость велосипедиста будет меньше на 4 км/ч, то есть
24 24-4х 24 24х
4 = , то времени он затратит ——-— = часов
х
24-4х 24-4х
или в два раза меньше, чем (х + 4).
Л 24х А 24х
■ = х + 4; = х + 4;
24-4х 12-2х
24х=12х + 48-2х2-8х; 2х2 + 20х - 48 = 0;
х2 + 10х-24 = 0, D = 25 + 24 = 49, xi ==-5 - 7 = -12
(не подходит по условию задачи), Х2 = -5 + 7 = 2.
24 24 24
Найдем скорость пешехода = = — = 4 (км/ч).
х+4 2+4 6
Ответ: 4 км/ч.
2. Из пункта А вниз по реке отправился плот. Одновременно на-
встречу ему из пункта В вышел катер. Через 2 ч они встретились.
Прибыв в пункт А, катер сразу же отправился обратно. Сможет ли
плот прибыть в пункт В раньше катера, если скорость течения рав-
на 3 км/ч, а расстояние АВ равно 16 км?
Решение: Скорость течения, а значит, и скорость плота 3 км/ч.
За 2 часа плот проплыл 6 км, а катер 16 - 6 = 10 км. Скорость катера
против течения реки 10:2 = 5 (км/ч), тогда его собственная ско-
рость 5 + 3 = 8 (км/ч), а скорость по течению 8 + 3 = 11 (км/ч).
Вычислим, сколько времени ti потребуется катеру проплыть от
места встречи до пункта А и затем от пункта А до пункта В. А так-
же сколько времени t2 потребуется плоту доплыть до пункта В. Ес-
ли t2 окажется меньше ti, то плот прибудет в пункт В раньше кате-
ра. Время tj равно сумме времени, затраченного катером на путь от
102
6
места встречи до пункта А, то есть — ч, и времени, затраченного на
путь из п. А в п. В, то есть —ч.
J 11
. 6 16 146 036 ,
Итак, t, = — + — = = 2— (часа).
1 5 11 55 55
* 10 J / л
t2=y = 3j (часа).
Так как t2 > tb то плот не сможет прибыть в пункт В раньше ка-
тера.
Ответ: нет.
IV. Домашнее задание: № 1250, 1252, № 1259.
V. Итог урока.
Урок 87
I. Организационный момент.
Предлагаемые на этот урок задачи следует отпечатать на от-
дельных листах по количеству учащихся или хотя бы по одному
экземпляру на парту. Некоторые учащиеся по желанию работают
самостоятельно, затем сдают свои работы на проверку. Остальные
работают вместе с учителем, решение разбирается на доске.
II. Решение задач.
1. Найдите двузначное число, если количество единиц в нем на 4
больше количества десятков, а произведение искомого числа на
сумму его цифр равно 90.
2. В контейнере находятся коробки и ящики общим числом бо-
лее 16. Если вдвое увеличить количество коробок и на 20 количе-
ство ящиков, то ящиков будет больше, чем коробок. Если же, не
меняя количество коробок, удвоить количество ящиков, то их бу-
дет все-таки меньше, чем коробок. Сколько коробок было в кон-
тейнере?
3. Из трех труб, открытых одновременно, бассейн наполняется
за 3 ч 45 мин. Одна первая труба наполняет бассейн в 2,6 раза бы-
стрее, чем вторая труба, а та наполняет бассейн на 3 ч медленнее,
чем третья. За сколько часов наполняет бассейн третья труба?
4. В течение года завод дважды увеличивал выпуск продукции
на одно и то же число процентов. Найдите это число, если извест-
но, что в начале года завод ежемесячно выпускал 600 изделий, а в
103
конце года - 726 изделий.
5. Если смешать 8 кг и 2 кг растворов серной кислоты разной
концентрации, то получим 12-ти процентный раствор кислоты. При
смешивании двух одинаковых масс тех же растворов получим 15-
ти процентный раствор. Определите первоначальную концентра-
цию каждого раствора.
6. Имеются два слитка золота и серебра. В первом отношение
золота и серебра равно 1 : 2, во втором 2:3. Если сплавить — пер-
воначального слитка и — второго, то в полученном слитке будет
6
столько золота, сколько в первом было серебра. Если же — первого
слитка сплавить с половиной второго, то в получившемся слитке
серебра будет на 1 кг больше, чем было золота во втором слитке.
Сколько золота в каждом слитке?
7. В арифметической прогрессии разность тридцать первого и
десятого членов составляет 42, а сумма первых пятнадцати членов
равна -150. С какого номера начинаются положительные члены
этой прогрессии?
8. Произведение второго и четвертого членов геометрической
прогрессии равно 81, а сумма трех ее первых членов равна 13. С
какого номера все члены этой прогрессии будут больше 729?
9. Для погрузки вагона были выделены две бригады грузчиков.
Если ко времени, за которое может самостоятельно загрузить вагон
первая бригада, прибавить время, за которое может самостоятельно
загрузить вагон вторая бригада, то получится 12 ч. Определите эти
времена, если их разность составляет 45 % времени, за которое обе
бригады могут загрузить вагон, работая совместно.
10. Имеются два раствора серной кислоты в воде, первый -
40 %-й, второй - 60 %-й. Эти растворы смешали, после чего доба-
вили 5 кг чистой воды и получили 20 %-й раствор кислоты. Если
бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 80 %-го раствора, то получили
бы 70 %-й раствор. Определите количество 40 %-го и 60 %-го рас-
творов.
Решение:
1. 1 Ох + у - двузначное число.
х + 4 = у, fy = x + 4, Гу = 5,
(10х + у)-(х + у) = 90; |(Цх + 4)-(2х + 4) = 90; \х = 1.
Ответ: 15.
104
2. Пусть х - коробок, у - ящиков, тогда
у + х>16,
у + 20>2х,
2у<х.
Решим графически.
Решением системы будет область треугольника ABC, не вклю-
чая границ. (12; 5) - единственная точка этой области, имеющая
целочисленные координаты.
Значит, х= 12, у = 5.
Ответ: 12 коробок.
3. Пусть первая труба наполняет бассейн за х часов, тогда вто-
рая - за 2,6х часов, а третья - за (2,6х - 3) часов.
За 1 час первая труба наполнит — часть бассейна, вторая -
1
часть бассейна, а третья - -
1
2,6х 2,6х-3
Вместе они за 1 час наполнят
часть бассейна.
1
— + ■
1
1
6,76х - 7,8 + 2,6х - 3 + 2,6х 11,96х -10,8
х 2,6х 2,6х-3
часть бассейна.
2,6х-(2,6х-3)
6,76х2-7,8х
х - - 6,76х2-7,8х
Значит, весь бассейн три трубы наполнят за тт~г часов
11,96х-10,8
или 3 ч 45 минут.
3
3 ч 45 мин = 3 — ч = 3,75 ч.
4
105
^^ ^ = 3,75; 6,76х2 - 7,8х = 44,85х - 40,5;
11,96х-10,8
6,76х2 - 52,65х + 40,5 = 0
D = 52,652 - 4 • 6,76 • 40,5 = 1676,9025.
(Здесь уместно показать учащимся (или напомнить) способ из-
влечения квадратного корня:
Vj^025 = p769025 53-34-72;132=5-9-7-13
v V юооо v ю4 loo
52,65 + 40,95 93,6 4680 2340 1170 90
X|
x2:
2-6,76 2-6,76 676 338 169 13
52,65-40,95 _ 11,7 _ 1170 45
2-6,76 ~ 2-6,76 ~ 2-676 " 52'
* 90 o< i 1390 i к 45
Если x = —, то 2,6x - 3 = 3 = 15; если x = —, то
13 5 13 52
13 45
2,6x-3 = 3 = 2,25-3 = -0,75 (не удовлетворяет условию
задачи).
Ответ: 15 часов.
4. Пусть выпуск продукции увеличивали на х %, тогда после
первого повышения стало 600 (1 + 0,01х) изделий, а после второго
повышения 600 (1 + 0,01 х)2 изделий или 726 по условию задачи.
600(1 +0,01х)2 = 726
(1 + 0,01х)2= —
100
1 +0,01х= — или 1 +0,01х= - —
10 10
1+0,01х=1,1 1+0,01х = -1,1
0,01х = 0,1 0,01х = -2,1
х=10 х = —210 (не удовлетворяет
условию задачи)
Ответ: 10%.
5. Пусть концентрация 1-го раствора а %, а 2-го раствора b %.
Тогда в 8 кг первого раствора кг кислоты, а в 2 кг второго
106
2b Q 1Л 8а 2b
раствора кг кислоты. Значит, в 10 кг смеси + кг ки-
100 100 100
4а+ b 4a+ b 1ЛЛП/ 1/>п/
слоты, или кг; • 100 % = 12 %.
50 50-10
Возьмем для определенности по 1 кг каждого раствора. Тогда в
1 кг первого будет кг кислоты, а в 1 кг второго будет кг
_ а + Ь а + b ,ЛЛЛУ ле.«,
кислоты; в 2 кг смеси будет ^ кг кислоты; • 100 % = 15 %
4а + Ь=12>
la + b °
= 15;
Ответ: 10%, 20%.
6.
1-й слиток
2-й слиток
100
4а + b = 60,
a + b = 30;
За = 30,
a + b = 30;
а = 10,
b = 20.
Золото
хкг
2у кг
1
100-2
Серебро
2хкг
Зу кг
Золота в сплаве будет —х + — • 2у кг, столько же серебра в 1-м
чЗ 6 )
слитке, то есть 2х кг.
1 5 „ „
-х + --2у = 2х.
3 3 J
(2 1
Серебра в другом сплаве будет — • 2х + — • Зу
v j ^
кг, это на 1 кг
больше, чем золота во 2-м слитке, то есть (2у + 1) кг.
4 3.,
-х + —у = 2у + 1.
3 2
1 5
—х + — у = 2х, г г , с
3 3 lx + 5y = 6x, Jx = y,
1хДу = 2у + 1; 18* + 9У = 12У + 6; |5у = 6.
107
у=1,2;х=1,2.
В 1-м слитке было 1,2 кг золота, во 2-м слитке было 2 • 1,2 = 2,4
кг золота.
Ответ: 1,2 кг; 2,4 кг.
7. 1) a3i - а]0 = 42; (а] + 30d) - (aj + 9d) = 42;
21d = 42; d = 2.
ЛЧ _ .-л 2ai+14d ,. ,_л
2)S,5 = -150; —l- -15 = -150;
2ai +28 1Г , _л
—* • 15 = —150; ai=-24.
2
3)an>0; a,+(n-l)d>0; -24 + 2n-2>0.
2n>26, n> 13.
Ответ: с 14.
8)l)b2-b4 = 81, b,-qb,-q3 = 81, b!2-q4 = 81,
,2x2
2-,
.2_
(b, • qz) = 81, bi • q' = 9 или b, • qz = -9
2)b,+b2 + b3=13, b, (l+q + q2)=13
9 О 0
Если bj = —, то 9 (1 + q + q2) = 13q2;
q2
4q2-9q-q = 0, q, = -|; q2 = 3.
4
Если bi = -At, to -9 (1 + q + q2) = 13q2;
22q + 9q + 9 = 0 нет решений.
3 9 9
3)Ecimq= --, то b,=-T = —- = 16.
4 q jL
16
9 9
Если q = 3, то bi = -— = — = 1.
q2 9
4)bn>729, b,-qn-'>36.
3
Если q = —, bi = 16, то 16 •
f 2Л"~Х
>3*
У ">)
f-l)\J
нет решении.
E^Hq = 3, Ь, = 1,то1 -3n-l>36, 3n>37, n > 7.
Ответ: с 8.
108
9. Время Производительность
1
I бригада х ч
II бригада у ч
XV
Вместе —— ч
х + у
х + у = 12, . 10
X
1
0,45 ■—*- = х -у; \0,45ху = 12(х - у);
х + у
0,45 (12 - у) у =12 (12 -2у),
-0,45у2 + 29,4у-144 = 0,
Зу2-196у + 960 = 0
D = 9604 - 2880 = 6724
у, = 60,у2= 5-.
Если у = 60, то х = 12 - 60 = -48 (не удовлетворяет условию задачи).
Если у = 5—,то х= 12- 5—= 6—.
7 3 3 3
1 2
5— ч = 5 ч 20 мин; 6— ч = 6 ч 40 мин.
3 3
Ответ: 5 ч 20 мин; 6 ч 40 мин.
10. Вес раствора Вес кислоты
I х кг 0,4х кг
II у кг 0,6у кг
смесь с водой (20 %) (х + у + 5) кг (0,4х + 0,6у) кг
смесь с раствором (70 %) (х + у + 5)кг (0,4х + 0,6у + 5 • 0,8) кг
0,4х + 0,6у=02
х + у + 5 J0,4x + 0,6y = 0,2x + 0,2y + l,
0,4х + 0,6у + 4 [0,4х + 0,6у + 4 = 0,7х + 0,7у + 3,5;
— и, /,
х + у + 5
Гх + 2у = 5, Гх = 1,
[Зх + у = 5; [у = 2.
Ответ: 1 кг, 2 кг.
Домашнее задание: № 1249, № 1254, № 1261; № 1264
109
ФУНКЦИИ
Урок 88
I. Организационный момент.
II. Теоретическая часть.
Функции и их свойства.
Повторение теории проходит в виде беседы с классом по в о -
просам:
1) Область определения функции.
2) Множество значений функции.
3) Четные, нечетные функции.
4) Возрастание, убывание функции.
5) Максимум, минимум функции.
6) Нули функции.
7) Промежутки знакопостоянства.
III. Решение заданий с выбором ответа.
1. Найдите область определения функции:
1)Н>;3); 2)Но;3)и(3;-Юо); 3)(-оо;-2);
4) (-«;-2) и (-2; •*»).
Ответ: 4.
6)y = logo,5(3-2x)
1) Но; 1,5); 2) Но;-1,5); 3)(1,5;+со); 4)(-оо;1,5].
Ответ: 1.
в) f(х) = V23x+1-16.
1)(1;+оо); 2)Н>;-1]; 3)Н»;-1); 4) [1 ;-*»).
Ответ: 4.
X
г) g(x) = 221*"
l)H>;2)u(2;+co); 2)Н»;2); 3)(2;+оо); 4)(0;2).
Ответ: 1.
д)Е(х)=1п(>5-0>3х-^]
1)(10;-юо); 2)(-оо;10); 3)(0;10]; 4)(-«>;0).
Ответ: 2.
2. Найдите множество значений функции:
ПО
с%\ тУллЧ ~ —5cosx
1)[-1;1]; 2)[1;5]; 3) [-5; 1]; 4) [-5; 5].
Ответ: 4.
б) g(x) = 2sinx - 1.
1)[-2;0]; 2) [-2; 1]; 3) [-3; 1]; 4) [-2; 2].
Ответ: 3.
в) h(x) = 3 + Igx.
1)[3;+сю); 2) (-<*>;+<*>); 3)Н>;3); 4)(3;+к>).
Ответ: 2.
. sin2x
г)У=-^—•
1)[-1;1]; 2) [-2; 2]; 3) [-0,5; 1,5]; 4) [-0,5; 0,5].
Ответ: 4.
IV. Домашнее задание: № 1299-1304 в каждом номере выпол-
нить задание 1).
V. Итог урока.
Урок 89
I. Организационный момент.
II. Решение заданий с выбором ответа.
1. Укажите четную функцию
1) у = cosx; 2) у = log5x; 3) у= Vx; 4) у = 5х.
Ответ: 3.
2. Укажите, на каком из данных множеств является четной
функция у = -j—г?
х
1)(-х);+сю); 2)(0;+а>); 3) (-*>; 0) и (0; +оо); 4) [0; +оо).
Ответ: 3.
3. Какая из данных функций убывает на всей области определения?
l)y = sinx; 2)y = lnx; 3)у=|х|; 4)у = тс"х.
Ответ: 4.
4. Укажите промежуток возрастания функции у = f(x), заданной
графиком на отрезке [-1; 4].
1)[0;1];
2)[1;2];
3)Н;2];
4)(-1;0).
Ответ: 2.
111
L- X,3
5. Найдите точки максимума функции f(x) = х - Зх
1)0; 2)2; 3)-2;
4
Ответ: 1.
6. Найдите нули функции у = log2 (2х - 3).
1)1,5; 2)2; 3)2,5; 4)0.
Ответ: 2.
7. Найдите все значения аргумента, при которых функция
у = logo,5 (6х - 1) принимает положительные значения.
I; 3)fi; + ool; 4)'1 1
D|-;iЬ 2) -со;!
6 3
Ответ: 4.
III. Тест.
Вариант I Вариант II
1. Найдите область определения функции
2)[14;+оо)
3) (14; +оо)
4) (-оо; 14].
2. Найдите множество значений функции
у = 4cos2x у = -0,2sin5x
1)Н;4]; 1) [-0,2; 0,2];
2) [-8; 8]; 2)[-1;1];
3)[-5;-3]; 3) [-5; 5];
4)[3;5]. 4) [-1,2; 0,8].
3. Укажите, какая из данных функций не является ни четной, ни
нечетной
l)y = sinx; l)y = cosx;
2) у = lnx; 2) у = logo,2x;
112
3)y=Vx";
4)у=|х|+1.
3)у= V^T;
4)у=|х|.
4. Найдите точку
максимума функции минимума функции
у = 4х - х4 у = х2 - 1
1)0;2)-1;3)1;4)-2. 1) 0; 2)-1; 3) 1; 4)0,5.
5. Найдите все значения аргумента, при которых функция
у= хЗ/16-х
принимает положительные значения.
у = 0,42х-'-0,16
1)[1,5;+«>)
2) [-0,5; +«э)
3) (-оо; 1,5]
4)(^»;-0,5].
1в.
II в.
1
2
3
2
1
1
3
2
2
4
3
1
5
2
1
1)(0;+со)
2)(0: 16)
3)(Р;2)
4)(-^>;16).
Ответы:
IV. Домашнее задание: № 1285 (1, 3), № 1287 (2, 4), № 1320 (1),
№ 1321 (1).
V. Итог урока.
Урок 90
I. Организационный момент.
П. Решение заданий.
1. Функция у = f(x) задана
графиком на отрезке [-4; 3].
Укажите область ее значений.
1)(0;2); 2)[-5;0];
3) (-2; 0); 4) [-4-3].
Ответ: 2.
2. Укажите рисунок, на котором изображен график четной функции.
О 4у 2) .у
О 1
5 Григорьева
113
Ответ: 1.
3. Какая из функций, заданных графиком, возрастает на проме-
жутке [а; Ь]?
О А у 2)
Ответ: 3.
4. На рисунке изображен график
производной у = f (х). Найдите точ-
ку максимума функции у = f(x).
1)-3; 2)-1; 3)2; 4)1.
Ответ: 4.
5. По графику функции у = f(x), изображенному на рисунке,
найдите все нули функции.
1)-2и4;
2) -2 и 0;
3)-1и4;
4)-2и-1.
Ответ: 1.
III. Решение заданий с кратким ответом.
1. Укажите количество промежутков убывания на отрезке [0; 2я]
функции f(x) = 2cos2x + sin2x.
Решение:
11 3 1
f(x) = 2cos2x + cos2x = —cos 2x + —.
ty 22 2 2
Ответ: 2.
2. Найдите множество значений функции
у = -1-7 + 2' ', еслих>-2.
1Х1
Решение:
D(y): х ф 0
Если х >0, то у = 3 + 2х.
Если х<0,тоу = -3+— .
Если х > -2, то множество значений
(-2; 1] и (4;+<*>).
3. Найдите значение функции
f/ \ _ Jlcos х~~ %если М ^ 1,
1 sin(-x), если |х < 1.
п
При Х = —;
Решение:
Ответ: 3.
= — > 1, значит, f — | =
71
п
|cos| —
2
-3
= 1-з| = з.
4. Найдите наименьшее значение функции g(x) = log3 (16 - х ) на
промежутке [0; V7].
115
Решение: На промежутке [0; V7 ] функция у = 16-х2 убыва-
ет, то есть у(0) > у(л/7 ), а функция g(x) является возрастающей,
значит, g(0)> g(V7). Следовательно, наименьшее значение g(v7 ) =
= log3(16-7) = log39 = 2.
Ответ: 2.
5. Найдите наименьшее положительное значение аргумента, при
котором график функции g(x) = 2sinx • ctgx проходит через точку,
лежащую на оси абсцисс.
COS X
Решение: g(x) = 2sinx • ctgx = 2sinx • = 2cosx.
sinx
Наименьшее положительное значение аргумента, при котором
g(x) = 0,x=-|.
Ответ: —.
2
IV. Домашнее задание: № 1292, № 1293 (1), № 1295.
V. Итог урока.
Урок 91
I. Организационный момент.
П. Решение заданий с выбором ответа.
Производная и первообразная функции.
1. Найти тангенс угла наклона касательной, проведенной к гра-
фику функции у = -0,5х2 в его точке с абсциссой х0 = -3.
1)-3; 2)-4,5; 3)3; 4)0.
Ответ: 3.
2. Найдите значение производной функции у = х2 + sinx в точке
х0 = я.
1) тг2 — 1; 2)2я+1; 3)2я-1; 4)2я.
Ответ: 3.
3. Найдите f (х), если f(x) = lnx - 2cosx.
1)1; 2)-2cosl; 3)l+2sin; 4)0.
Ответ: З.
4. Найдите f (1), если f(x) = — + 4ex
x
1)9; 2)-5+4e; 3)5; 4)5 + 4e.
Ответ: 2.
5. Решите уравнение f (x) = 0, если
116
f(x) = (3x2+l)(3x2-l).
1)±4=; 2)2; 3)±л/3; 4)0.
V3
Ответ: 4.
6. Укажите первообразную функции:
а) f(x) = х + cosx.
х2 х2
l)F(x)=— + sinx; 2)F(x) = sinx;
3) F(x) = x2 + cosx; 4) F(x) = 2 - cosx.
Ответ: 1.
б) f(x) = 2x + — на промежутке (0; +oo).
x
l)F(x)=2-^-; 2)F(x)=x2--y;
хг xz
3) F(x) = x2 + lnx; 4) F(x) = 2x + lnx.
Ответ: 3.
B)f(x) = ex+12.
l)F(x) = ex; 2)F(x) = ex+12x;
3)F(x) = ex_1; 4)F(x) = ex+12.
Ответ: 2.
III. Решение заданий (по очереди на доске).
№ 1358 (1,2). Ответ: 1)1; 2) 1.
я 1
№ 1359 (1,3). Ответ: 1) х = ± - + 7tn, n e Z; 2) х = -.
6 2
№ 1360.
№ 1361. Ответ: -2 < х < 3.
№ 1362. Решение: V0 = 360
h = 360t-4,9t2
u(t) = 360-9,8t
u(10) = 360-9,8- 10 = 262.
u(t) = 0, 360-9,8t = 0, t=—«37.
9,8
Ответ: 262 м/с, 37 c.
IV. Домашнее задание: № 1358 (3,4), № 1359 (2,4), № 1363.
V. Итог урока.
117
Урок 92
I. Организационный момент.
П. Решение заданий (по очереди на доске).
№ 1364 (1). Ответ:
2х5-2х2+2х-9
х4
№ 1365 (1). Ответ.
(х + 1)
3(x2+2x-l)
-ы)2 '
20х2-4х-7
№ 1372 (1). Ответ: F(x) = In
№ 1366 (1,3). Ответ: 1) . ,
2Vx-l
3) 2cos2xcos3x - 3sin3x • sin2x.
№ 1368 (1). Ответ: меньше нуля.
№ 1369. Ответ: f (0) = 4; f f-) = —?-?=.
[б) 7-4>/з
х + 1
х-Г
№ 1373 (1,3). Ответ: 1) 48л/2~3; 3) 5,5 + 71п2.
4
№ 1374 (1,3,5).Ответ: 1)1; 3) 9; 5) 2 -.
III. Домашнее задание: № 1364 (2), № 1365 (2), № 1366 (2, 4),
№ 1368 (2), № 1372 (2), № 1373 (2,4), № 1374 (2,4, 6).
IV. Итог урока.
Уроки 93-102
РЕЗЕРВ
Оставшиеся уроки можно использовать для решения заданий,
предлагавшихся на выпускных экзаменах (№ 1375-1380), а также
заданий для подготовки к Единому государственному экзамену
(см. Приложение 2).
118
Приложение 2*
Образцы вариантов
единого государственного экзамена
по математике 2002 г.
Инструкция по выполнению работы
На выполнение экзаменационной работы по математике дается
3,5 ч (210 мин). В работе 25 заданий. Они расположены по нарас-
танию трудности и распределены на 3 части.
Часть 1 содержит 13 заданий обязательного уровня (А1-А13) по
материалу курса «Алгебра и начала анализа» 10-11 классов. К каждо-
му из них даны 4 варианта ответа, из которых только один верный.
Часть 2 содержит 9 более сложных заданий (В1-В9) по мате-
риалу курса «Алгебра и начала анализа» 10-11 классов, а также
различных разделов курсов алгебры и геометрии девятилетней и
средней школы. При их выполнении требуется записать только по-
лученный ответ.
Часть 3 содержит 3 наиболее сложных задания (С1-СЗ), при вы-
полнении которых требуется записать полное решение.
Советуем выполнять задания в том порядке, в котором они да-
ны. Для экономии времени пропускайте задание, которое не удает-
ся выполнить сразу, и переходите к следующему. Если после вы-
полнения всей работы у вас останется время, то можно вернуться к
пропущенным заданиям.
Для получения отметки «3» достаточно выполнить верно любые
7 заданий из всей работы.
Для получения отметки «4» необходимо выполнить задания из
Частей 1 и 2. Даже верного решения всех 13 заданий Части 1 не-
достаточно для выставления отметки «4».
Для получения отметки «5» необходимо выполнить задания из
Частей 1, 2 и 3, при этом не требуется решить все задания работы,
но среди верно выполненных Вами заданий должно быть хотя бы
одно из Части 3.
За выполнение различных по сложности заданий дается один
или более баллов. Баллы, полученные Вами за все выполненные
задания, суммируются. Постарайтесь выполнить как можно больше
заданий и набрать наибольшее количество баллов.
* Приложение 1 см. в Ч. I пособия.
119
Вариант 1
Часть 1
При выполнении заданий этой части укажите в бланке отве-
тов цифру, которая обозначает выбранный Вами ответ, поста-
вив знак «х» в соответствующей клеточке бланка для каэюдого
задания (А1-А13).
А1. Упростите выражение —?=—?= + —f=—?=■•
л/5+л/з л/5-л/3
1)8; 2)5; 3) л/5 + л/3; A)4s-4b.
ILL L L
a2-b2 a2-3a4b4
A2. Найдите значение выражения
a4+b4
если
a = 81,b=16.
0-2; 2)-8;
A3. Укажите значение выражения
i)i;
*-h
3)-27; 4)4.
log798-log714
7 '
1
3)-l;
4)
A4. Упростите выражение tg2 (270° + a) • sin2 (180° + a).
1) -sin a;
2) cos a;
3) sin a; 4) -cos a.
A5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень урав-
- \0,4х-2
нения
125.
,25,
1)(-4;-2]; 2)(-2;0];
3)(2;4]; 4)(0;2].
А6. Решите неравенство Iog0,4 (1,9х - 1,3) > -1.
1)1^2
1 19
3) [2; +оо);
2) (-«о; 2];
4)
12 13
U9 19J
А7. Найдите область определения функции у = Ji
7х+3 1
120
1)
;+«>; 2)
--;+оо|; 3)
-оо;-7|; 4)
f
\
4
— •
7
\
Ч-оо
)
А8. Найдите область значений функции у = -
cos0,2x
1) [-0,1; 0,1]; 2) [-0,5; 0,5];
3)[-2;2]; 4) [0,5; 0].
А9. Укажите график функции, которая не является ни четной,
ни нечетной.
*у
2)
3)
Ду
4)
УА
о
А10. На рисунке изобра-
жен график функции у = f(x)
и касательная к нему в точ-
ке с абсциссой х0. Найдите
значение производной в
точке х0.
1)0; 2)2;
3)3; 4)-6.
АН. Найдите значение производной функции f(x) = 2х7 + 4cosx
в точке Хо = 0.
1)-4; 2)0; 3)6; 4)4.
А12. Укажите первообразную функции f(x) = ех - 2х.
l)F(x) = ex-2; 2) F(x) = ех - х^;
з) f(x) = г
4)F(x)=ex -xz.
А13. Решите уравнение Зх + 2-32-15 = 0.
1)1; 2)2; 3)-5; 4) log35.
121
Часть 2
Ответом на каждое задание этой части будет некоторое чис-
ло. Это число надо записать в бланк ответов рядом с номером
задания (В1-В9), начиная с первой клеточки. Каждую цифру пи-
шите в отдельной клеточке. При записи отрицательного числа в
первой клеточке надо записать знак «минус». Единицы измерений
писать не нужно. Если ответ получился в виде дроби, то ее надо
округлить до ближайшего целого числа.
х3 х2 1
В1. Найдите максимум функции у = + — + 6х - 4—.
В2. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
у = 3>/х и у =
= 3vx и у = — х + 2—.
2 2
83. Сколько корней имеет уравнение
l-2sin2-]log2(4-x2) = 0?
84. При каком наибольшем целом значении m функция
f (х) = -х +—тх - 5х + 2 убывает на всей числовой прямой?
85. Пусть (хо; уо) - решение системы J У + V 25 - х = О,.
[у + 5 = |х - 6|.
Найдите сумму хо + уо.
В6. Найдите значение выражения 5 sin
U . ( 3^
— + arcsin
2
V
87. Найдите наименьшее значение функции g(x) = log x (9 - х2).
з
88. В равнобедренном треугольнике боковая сторона делится
точкой касания со вписанной окружностью в отношении 8 : 5, счи-
тая от вершины, лежащей против основания. Найдите основание
треугольника, если радиус вписанной окружности равен 10.
89. В основании пирамиды лежит равносторонний треугольник
со стороной, равной 2. Одна из боковых граней также равносто-
ронний треугольник и перпендикулярна основанию. Найдите объ-
ем пирамиды.
Часть 3
Для ответов на задания этой части (С1-СЗ) используйте спе-
циальный бланк. Запишите сначала номер задания (С1 и т. д.), а
затем запишите полное решение.
122
С1. Решите уравнение 25*"1 • 34x+I • 73х+3 = 504х"2.
С2. Найдите множество значений функции у = sin2x, если
5 5п
arccos—; —
13 12.
СЗ. При каких значениях а сумма loga
1 + х2
'Oga
5 + 4х^
1 + х2
, будет больше единицы при всех х?
Вариант 2
Часть 1
При выполнении заданий этой части укаэюите в бланке отве-
тов цифру, которая обозначает выбранный Вами ответ, поста-
вив знак «х» в соответствующей клеточке бланка для каждого
задания (А1-А13).
At n f^ + 1 J*-^
А1. Вычислите значение выражения
Vx-1 Vx+1
1
л
при
х = 3.
1)0;
2)2; 3)-Ь 4)VJ.
1 1
А2. Найдите значение выражения
а
2-b2 b2-5a4b4
a4+b4
b4
если а = 81, b= 16.
1) —10; 2)12; 3)-27; 4)-12.
A3. Укажите значение выражения logs250 - 21ogsl0.
l)5 + 81og52; 2)2; 3)l-log52; 4)0.
A4. Упростите выражение sin3ocsin5a + cos3acos5a - sin (6я + 2a).
1) cos2a - sin2a; 2) sin8a - sin2a;
3) cos2a + sin2a; 4) cos8a - sin2a.
A5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень урав-
\hSx-l
= 16.
нения | —
.8
1)Н;0];
3)(1;2];
2)(0;1];
4)(2;3].
123
А6. Решите неравенство log! (l,6x + 36,8) >—2.
6
1) Но;-0,5]; 2) (-23;-0,5];
3) [-0,5;+оо); 4)(-23;+оо).
А7. Найдите область определения функции у = л/3
1)Н»;-0,5]; 2)(-0,5;+ос);
3) [-2; +оо); 4) [-0,5; +оо).
А8. Найдите область значений функции у = 3 + cosx.
1)[0;3]; 2) [-4; 2];
3)[-4;0]; 4) [2; 4].
А9. Укажите график четной функции.
-1.
1) i
0
1У
г.
X
3)
4)
А10. На рисунке изображен
график функции у = f(x) и каса-
тельная к нему в точке с абсцис-
сой хо. Найдите значение произ-
водной в точке Хо.
1)1;
2)2;
3)3;
4)-1.
АН. Найдите значение производной функции f(x) = Зх2 - 61 пх в
точке х0 = 1.
1)6; 2)0; 3)3; 4)-3.
А12. Укажите первообразную функции f(x) = 2х—- на про-
х
межутке (0; +а>).
124
l)F(x)=x2-!; 2)F(x)=2x-i;
X X
1 1 1
3)F(x)= xz+-; 4)F(x) = 2-
x 2x
A13. Найдите сумму корней уравнения 2 log26 x - log16 x -1 = 0.
1)4-5-; 2>8; 3),67' 4>4'
16 4
Часть 2
Ответом на каждое задание этой части будет некоторое чис-
ло. Это число надо записать в бланк ответов рядом с номером
задания (В1-В9), начиная с первой клеточки. Каждую цифру пи-
шите в отдельной клеточке. При записи отрицательного числа в
первой клеточке надо записать знак «минус». Единицы измерений
писать не нужно. Если ответ получился в виде дроби, то ее надо
округлить до ближайшего целого числа.
х3 х2 2
81. Найдите максимум функции у = + — + 12х - 29—.
82. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями
2
ВЗ. Сколько корней имеет уравнение
у = 3Vx -1 и у = — х + 2.
2
(sinх + cosx) л/х -х =0?
В4. При каком наименьшем целом значении а функция
f(x) = е2х • х2 + ае2х + 3 возрастает на всей числовой прямой?
(у = у/2 - х
I Lr-
y + V(x~3)2 =3.
Найдите отношение —.
Уо
86. Найдите значение выражения 10cos(arctgv3 j
87. Найдите наименьшее значение функции g(x) = log l (27 - х2).
з
88. Окружность с центром О, вписанная в равнобедренный тре-
угольник ABC с основанием АС, касается стороны ВС в точке К,
причем СК : ВК = 5 : 8. Найдите площадь треугольника, если его
периметр равен 72.
125
В9. Боковое ребро МС пирамиды МАВС перпендикулярно
плоскости основания ABC и равно 4. Плоскость, параллельная ос-
нованию, проходит через середину высоты пирамиды и пересекает
боковые ребра в точках Аь Bi и С\. Найдите площадь боковой по-
верхности пирамиды MAjBiCi, если АС = ВС = 5, а высота СК тре-
угольника ABC равна 3.
Часть 3
Для ответов на задания этой части (С1-СЗ) используйте спе-
циальный бланк. Запишите сначала номер задания (С1 и т. д.), а
затем запишите полное решение.
С1. Решите уравнение J49 + 9xjx + 4| - 2х = 7.
С2. Найдите множество значений функции
(
13 + log5(l25 + x4)J'
СЗ. При каких значениях а выражение 1 + sinx (3sinx + acosx) не
равно нулю ни при каких значениях х?
y = l°g0,2
Тесты для подготовки к ЕГЭ - 2003 г.
Вариант 1
А1. Найдите значение выражения
3sin23a-2sin(7t-a) + 3cos23oc при ос = —.
1)2; 2)3-л/3; 3)4; 4)3+7з.
li i
. _ .. 3m 2m2
А2. Упростите выражение —.
l)3m2; 2) 3m, 3)3m3; 4)3.
у — x
A3. Сократите дробь , -=—
1)^L 2)1-
3)-i; 4) 1
А4. Найдите log5(25c), если log5c = 3.
1)2 + с; 2)2-с; 3)5; 4)25с.
126
А5. Решите уравнение ctg — х = -j=. .
5 я
1) — 7i +яп, neZ; 2)—+ яп, neZ;
6 6
3) —я +яп, п eZ;
3
4) —+ яп, neZ.
3
А6. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения
log3(3-3x) = log3(3x).
3>(w
1)
1
2)
(\_ 2
2;7
4)Но;1).
А7. Решите неравенство
0-»;-у
3)(-4-fHf+-)
2-Зх
-1<0.
2)
4)
-оо;-
х(х-З)
А8. Решите неравенство — < 0.
5-х
1)[0;3]и{5;+со); 2) [0; 3] и (5; + со);
3)(0;3]и[5;+оо); 4) (0; 3) и [5; + оо).
А9. Укажите промежуток, которому принадлежат нули функции
f(x) = V5-4x2 -х.
1)[-1;0]; 2)Н;1); 3) [-3; 1]; 4) [-3; 1).
А10. Функция у = f(x) задана на промежутке [-7; 6] (рис. 1). Ука-
жите промежуток, которому принадлежат все точки экстремума.
1)[-5;0]; 2)[-7;0]; 3) [-7; -3]; 4) [-5; 3].
Ау
Рис. 1
127
All. Найдите область определения функции у = logo г (х3 - х4).
1)[0;1]; 2)(0;1]; 3)[0;1); 4)(0; 1).
А12. Найдите множество значений у = cos2x + 2.
1)[0;1]; 2)[1;3]; 3)[1;2]; 4) [2; 3].
А13. Укажите график функции, заданной формулой
у = log2x (рис. 2).
1)
3)
2)
4)
х =
Рис.2
А14. Найдите значение производной функции у = х • sinx в точке
п
б"'
2 '
2)
>/з-я
12
2 12
2 12
А15. Для функции у = 2sinx найти первообразную, график кото-
рой проходит через точку М (0, 0).
1) Y = -2cosx + 2; 2) Y = 2cosx - 2;
3) Y = 2cosx ~ 2; 4) Y = -2cosx - 2.
A16. При движении тела по прямой скорость V (в м/с) от на-
чальной точки изменяется по закону V(t) = t2 - 3t + 1 (t - время в
секундах). Найти ускорение (м/с2) тела через 6 секунд после начала
движения.
1)19; 2)29; 3)15; 4)9.
В1. Пусть (х0; уо) - решение системы
|V4x2+4x + l-3y = -8, Найдите ^-.
[у-2х-5 = 0. х0
128
В2. Функция у = f(x) задана на отрезке [а; Ь]. На рисунке 3 изо-
бражен график ее производной у = f (х). Исследуйте на монотон-
ность функцию у = f(x). В ответе укажите количество промежутков,
на которых функция возрастает.
Рис.3
ВЗ. Найдите значение выражения log 2
а2Ь3
если
log з b = log з — = 1 •
е е а
84. Найдите наибольшее значение функции
у = Vsinx + cosx-v2 + 1.
85. Пусть х0 - наименьший положительный корень уравнения
2cos2x - 2sin2x +1=0. Найдите ctgx0.
f J V3x2+tx-l
B6. При каком значении t функция у = — имеет мини-
мум при х = — ?
87. Владелец магазина дважды за год повышал цены на товары
в среднем на 10 %. На сколько процентов повысилась цена на това-
ры за год? Знак % в ответе не пишите.
88. Разность арифметической прогрессии отлична от нуля. Чис-
ла, равные произведениям первого члена этой прогрессии на вто-
рой, второго члена на третий и третьего на первый, в указанном
порядке составляют геометрическую прогрессию. Найти ее знаме-
натель.
89. Дана пирамида SABCD, в основании которой лежит квадрат.
Боковое ребро SD перпендикулярно плоскости основания, а ребро
SC наклонено к плоскости основания под углом в 60°. Найдите
длину стороны основания пирамиды, если площадь сечения пира-
129
миды плоскостью, проходящей через ее вершину и середины сто-
рон AD и CD, равна —.
В10. Найдите площадь треугольника ABC, если АС = 20, ВС =
= 2V97, а медиана ВМ равна 12.
С1. Решите уравнение:
31оё2(х"*2""^з) = ,0ё^
1
3(х-1) 3(х-4)
+ 5.
С2. При каких значениях параметра m уравнение
тх~2 + 2 = Зт - 2х~2 не имеет корней?
СЗ. В правильной треугольной пирамиде SABC плоскость а,
параллельная плоскости основания пирамиды, пересекает высоту
SO пирамиды в точке Р так, что SP : РО = 3 : 2. В образовавшуюся
усеченную пирамиду вписан цилиндр, ось которого лежит на высо-
те пирамиды, а верхнее основание вписано в сечение пирамиды
плоскостью а. Найдите объем пирамиды, если объем цилиндра ра-
вен б71л/3.
С4. Найдите все положительные значения параметра а, при ко-
торых в области определения функции
J x2+6 х2+2а|х|-5
у = Va -а ' '
есть не более 3 однозначных натуральных и не более 9 трехзнач-
ных натуральных чисел.
Вариант 2
А1. Найдите значение выражения
sin
1)2;
К
а —
+ 2cos — + а
U .
+ COS
А
а —
4)
2) 1 - V3 ; 3)1 + л/3;
при а = —.
4)0.
А2. Упростите выражение
1)8к7; 2)8к8;
A3. Сократите дробь
8k3k 2
k 2
5.
3) 8к5;
Vx-Vy
4) 8к2.
130
"i
x+tyy
2)Vx"+Vy; 3)
A4. Найдите 2log2c, если с = 25.
1)5;
2)32; 3)c-';
4)
*M/y"!
1
4)(x-y).
A5. Решите уравнение sin| — x = —.
1) ± — + 2тсп, neZ;
3
3)(-1)п+17 + яп, neZ;
6
2)±-я + 2яп, neZ;
4) (-1)
n+l Я
+ ЯП, П € Z.
A6. Укажите промежуток, содержащий корень уравнения
log22JX+l =
1
1)(1;+оо); 2) (-2;-юс); 3) [2; 0]; 4)
12
А7. Решите неравенство 3-1^0.
1)
-<»;■
2) !-«>;-
3)
5
-; + оо
4)|j;+cc
(2 - х)х
А8. Решите неравенство — > 0.
х-3
1) (-со; 0] u (3; +со); 2) (-со; 0] и [2; 3);
3)[0;2]и(3;+со); 4) (-со; 0] и [3; + со).
А9. Укажите промежуток, которому принадлежат нули функции
f(x) = V4-x2-3x.
1) [-0,4; 0,4]; 2) (-0,6; 0,6);
А10. Функция у = f(x) за-
дана на промежутке [-6; 5]
(рис. 4). Укажите промежу-
ток, которому принадлежат
все точки экстремума.
1)[-2;5]; 2) [-2; 4];
3)[-5;2]; 4) [-6; 0]. Рис 4 ^
АН. Найдите область определения функции у = 2 2
1)(-оо;+со); 2)[0;1); 3) (0; 1); 4)<0; 1].
3) (-0,7; 0,7);
д /
4) И; 0,6].
\ / 5 х
131
А12. Найдите множество значений у = л/cos х + 1.
1)[0;1]; 2)[1;2]; 3) [0; 2]; 4)(1;2].
А13. Укажите график функции, заданной формулой
у = logo>5x (рис. 5).
Рис.5
А14. Найдите значение производной функции у = х2 • ех в точке
х=1.
1)2е; 2)3е; 3)2е + 2; 4)2.
А15. Для функции у = — cosx найти первообразную, график ко-
торой проходит через точку М —; — .
\2 2)
l)Y = 2sinx+l;
3)Y=-sinx-l:
2
2)Y=-Uinx + 1;
2
4)Y = 2sinx-l.
A16. При движении тела по прямой скорость V (в м/с) от на-
чальной точки изменяется по закону V(t) = 3t2 - 2t + 1 (t - время
движения в секундах). Найти ускорение (м/с2) тела через 3 секунды
после начала движения.
1)20; 2)16; 3)22; 4)39.
В1. Пусть (хо; уо) - решение системы
J Vl-6x + 9x2 + 4у = -7, найдите хо + у0.
\у-5х + 13 = 0. 3
132
В2. Функция у = f(x) задана на отрезке [а; Ь]. На рисунке 6 изо-
бражен график ее производной у = f (x). Исследуйте на монотон-
ность функцию у = f(x). В ответе укажите количество промежутков,
на которых функция возрастает.
Рис.6
83. Найдите значение выражения log 3 ., Л, если
п' а3Ь2
log 2 — = log ^ — = 1 -
п а п Ь
84. Найдите наименьшее значение функции
у = л — cosx +—sin х + 2.
J V2 2
85. Пусть х0 - наибольший отрицательный корень уравнения
cos2x + 5sinx • cosx + 5cos x = 0. Найдите ctgx0.
В6. При каком значении m функция у =
1
-x2 + mx-(m2+l)
имеет минимум при х = -1?
87. Цены на компьютерную технику в среднем понижались за
год дважды на 10 %. На сколько процентов понизились цены на
компьютерную технику за год? Знак % в ответе не пишите.
88. За установку самого нижнего железобетонного кольца колодца
заплатили 2600 руб., а за каждое следующее кольцо платили на 200 руб.
меньше, чем за предыдущее. Кроме того, по окончании работы было
уплачено еще 4000 руб. Средняя стоимость установки одного кольца
4
оказалась равной 2244 — руб. Сколько колец было установлено?
89. В пирамиде SABCD, основанием которой является квадрат,
сечение плоскостью, проходящей через точку S и середины отрезков
AD и CD, перпендикулярно плоскости основания. Площадь этого
133
сечения равна Vs. Найти медиану SM треугольника ASD, если гра-
ни SCD и SAD составляют с плоскостью основания равные углы, а
ребро SB наклонено к плоскости основания под углом в 30°.
В10. В треугольнике ABC сторона АВ равна 10, а угол А - ту-
пой. Найдите медиану ВМ, если АС = 20, а площадь треугольника
ABC равна 96.
С1. Решите уравнение:
С2. При каких значениях параметра t уравнение
4t - 21+л/* = t • Т^ + 4 не имеет корней?
СЗ. Основание пирамиды SABCD - ромб с острым углом 60°.
Все боковые грани пирамиды составляют с плоскостью основания
равные углы. В пирамиду вписан конус так, что его ось совпадает с
высотой пирамиды, а вершина лежит в основании пирамиды. Ос-
нование конуса вписано в сечение пирамиды плоскостью, парал-
лельной основанию пирамиды. Центр основания конуса делит вы-
соту пирамиды в отношении 3 : 5, считая от вершины пирамиды.
Найдите объем конуса, если объем пирамиды равен —т=г.
Ял/3
С4. Найдите все положительные значения параметра а, при ко-
торых в области определения функции
, ( х2 х2+а|хкЛ
y = logalax -а м I
есть трехзначные натуральные числа, но нет ни одного двузнач-
ного натурального числа.
ЕДИНЫЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ЭКЗАМЕН ПО МАТЕМАТИКЕ
Демонстрационный вариант 2003 г.
Часть 1
А1. Найдите значение выражения
2sin22ct + 2cos
('«
* „1. г,ъ„ , „_л
— а +2 cos 2а при а = —.
2 F 6
1)0; 2)2+л/3; 3)3; 4)2- 7з.
134
А2. Упростите выражение
9m2 •
з!
m
m
-з
l)9m7; 2) 9m;
A3. Сократите дробь
1) V^-Vy; 2)
3)9; 4) —.
m
i
3)
1
3/х-л/у Х_У
A4. Найдите log3(9b), если log3b = 5.
l)-8; 2)10; 3)7; 4)25.
A5. Решите уравнение cos — + x = —.
4) x + y.
1 )(-l)n-'. 1 + nn, neZ;
6
3)(-l)n"' -y + *n, neZ;
2)±- + 2яп, neZ;
3
4) (-!)"•- +im, neZ.
A6. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения
log2(x+l) = iog2(3x).
1)(-<»;-1); 2)(-1;0); 3)[-1;0]; 4)(0;+оо).
А7. Решите неравенство 52_3х -1^0.
, /
1)\
\
?Л
-оо;-
1)
; 2)
Г 21
-оо;-
l 3J
(
; 3)
V
у;+°П
4)
|;+°°l-
А8. Решите неравенство —г ^ 0.
2-х
1) Но;-3] и (2;-Но); 2) [-3; 2);
3)Но;-3)и[0;2); 4) Но; -3] и [0; 2).
А9. Укажите промежуток, которому принадлежат нули функции
f(x)= V4-3x2 -x.
1)[-1;1); 2)[1;V2]; 3)
■|;l\ 4)(V2;2].
A10. Функция у = f(x) задана на промежутке [-6; 4]. Укажите
промежуток, которому принадлежат все точки экстремума.
135
У = f(x)
1)[-6;0]; 2)[0;4]; 3) [-2; 3]; 4) [-3; 1].
All. Найдите область определения функции у = log0 3(х - х ).
1)[0;1]; 2)(0;1); 3)Но;0)и(1;+со); 4)(-co;0]u[l;-hx>).
А12. Найдите множество значений у = sinx + 2.
1)[-1;1]; 2)[0;2]; 3) [1; 3]; 4)[2;3].
А13. Укажите график функции, заданной формулой у = 0,5х.
А14. Найдите значение производной функции у = х • ех в точке
Хо=\1.
1)2е; 2)е; 3)1+е; 4) 2 +е.
А15. Для функции у = 2cosx найти первообразную, график ко-
торой проходит через точку М
f;«i.
1) Y = 2sin?t + 24; 2) Y= 2sinx + 22;
3)Y=-2sinx + 26; 4) Y = 2cosx + 22.
136
А16. При движении тела по прямой расстояние S (в метрах) от на-
t3
чальной точки движения изменяется по закону S(t) = t2+t-l
(t - время движения в секундах). Найдите скорость (м/с) тела через
4 секунды после начала движения.
1)1,75; 2)7,5; 3)3; 4)9.
Часть 2
Ответом на каждое задание этой части будет некоторое чис-
ло. Это число надо записать в бланк ответов рядом с номером
задания (В1-В10), начиная с первой клеточки. Каждую цифру пи-
шите в отдельной клеточке. При записи отрицательного числа в
первой клеточке надо записать знак «минус». Единицы измерений
писать не нужно. Если ответ получился в виде дроби, то ее надо
округлить до ближайшего целого числа.
81. Пусть (хо; уо) - решение системы
{V25 - 10х + х + у = 4, Найдите произведение хо * уо-
у ~3х-ь11 = 0.
82. Функция у = f(x) задана на отрезке [а; Ь]. На рисунке изо-
бражен график ее производной у = f (х). Исследуйте на монетой*
ность функцию у = f(x).
В ответе укажите количество промежутков, на которых функция
возрастает.
4 У
ВЗ. Найдите значение выражения log
если log^ va = 3 ,
lognb = 5.
84. Найдите наименьшее значение функции
у = >/sin 2xcosx + cos2xsin x - 7.
85. Пусть х0 - наименьший положительный корень уравнения
cos2x - 5sinx • cosx + 2 = 0. Найдите tgxo.
137
2 ах+7
86. При каком значении а функция у = — имеет максимум
2х
при х = 4?
87. Владелец дискотеки имел стабильный доход. В погоне за
увеличением прибыли он повысил цену на билеты на 25 %. Коли-
чество посетителей резко уменьшилось, и он стал нести убытки.
Тогда он вернулся к первоначальной цене билетов. На сколько
процентов владелец дискотеки снизил новую цену билетов, чтобы
она стала равной первоначальной? (Знак % в ответе не пишите.)
88. Студенческая бригада подрядилась выложить керамической
плиткой пол в зале молодежного клуба площадью 288 м2. Приобре-
тая опыт, студенты в каждый последующий день, начиная со вто-
рого, выкладывали на 2 м2 больше, чем в предыдущий, и запасов
плитки им хватило ровно на 11 дней работы. Планируя, что произ-
водительность труда будет увеличиваться таким же образом, бри-
гадир определил, что для завершения работы понадобится еще 5
дней. Сколько коробок с плитками ему надо заказать, если 1 короб-
ки хватает на 1,2 м2 пола, а для замены некачественных плиток по-
надобится 3 коробки?
89. Дана призма ABCDAiBiCiDi, в основании которой лежит
квадрат, а боковые ребра наклонены к плоскости основания под
углом в 60°. Отрезок D]A перпендикулярен плоскости основания.
Найдите длину этого отрезка, если площадь боковой поверхности
призмы равна б(>/3+2).
В10. Площадь треугольника ABC равна 20л/з. Найдите АС, ес-
ли сторона АВ равна 8 и она больше половины стороны АС, а ме-
диана ВМ равна 5.
Часть 3
Для записи ответов на задания этой части (С1-С4) используй-
те специальный бланк. Запишите сначала номер задания (С1 и
т. д.), а затем запишите полное решение.
С1. Решите уравнение
( в Л г * п Л
21og12 х + г =logi2
ч
х-5
х-2 х-3
+ 3.
С2. При каких значениях параметра р уравнение
15 • 10х - 20 = р - р • 10Х+1 не имеет корней?
138
СЗ. Основание пирамиды MABCD - ромб ABCD, в котором
ZA = 60°. Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды
равны. Плоскость а, параллельная плоскости основания пирамиды,
пересекает высоту МО пирамиды в точке Р так, что MP : РО = 2 : 3.
В образовавшуюся усеченную пирамиду вписан цилиндр, ось кото-
рого лежит на высоте пирамиды, а верхнее основание вписано в
сечение пирамиды плоскостью а. Найдите объем пирамиды, если
объем цилиндра равен 9лл/з.
С4. Найдите все положительные значения параметра а, при ко-
торых в области определения функции у = (ах-аах+2)-°-5 есть дву-
значные натуральные числа, но нет ни одного трехзначного нату-
рального числа.
Ответы
Образцы вариантов ЕГЭ по математике 2002 г.
Часть 1
Вариант
1
2
Задание
А1
1
2
А2
4
4
A3
4
3
А4
2
1
А5
4
1
А6
1
2
А7
2
4
А8
2
4
А9
3
1
А10
1
1
АН
2
2
А12
2
3
А13
2
3 1
Часть 2
Вариант
1
2
Задание
В1
9
5
В2
32
32
вз
4
2
B4
7
1
B5
1
, ,:'1
B6
4
-8
B7
-2
-3
В8
30
240
B9
1
10
Часть 3
Вариант
1
2
Задание
С1
-2,5
"f«
С2
"л с 12°"
И;+«)
СЗ
(!;»]
И; 4)
139
Тесты для подготовки к ЕГЭ - 2003 г.
Часть 1
Вариант
1
2
Задание
А1
1
2
А2
3
2
A3
3
3
А4
3
2
А5
2
2
А6
4
2
А7
2
2
А8
2
2
А9
3
3
А10
4
3
АН
4
3
А12
4
2
А13
1
2
А14
4
2
А15
1
2
А16
4
2 |
Часть 2
Вариант
1
2
Задание
В1
-3
-1
В2
2
2
ВЗ
1
6
В4
1
1
В5
1
-1
В6
3
-2
В7
21
19
В8
-2
9
В9
1
2
В10
96
16
Часть 3
Вариант
1
2
Задание
С1
2; 5
2; 7
С2
И]
[-2; 2)
СЗ
125
45
С4
(*поМтН
M--J-1
U33'33_
ЕГЭ по математике
Демонстрационный вариант 2003 г.
Часть 1
НаГ
3
А2
1
A3
2
А4
3
А5
3
А6
4
А7
2
А8
4
А9
2
А10
4
АН
2
А12
3
А13
4
А14
1
А15
2
А16
4
Часть 2
В1
20
В2
2
ВЗ
7
В4
-2
В5
1
В6
8
В7
20
В8
124
В9
3
В10
14
Часть 3
"с! '
in
С2
[-20;-1,5]
СЗ
250
С4
(0,8; 0,98]
140
Литература
1. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учеб.-метод. пособие /
М. И. Башмаков, Т. А. Братусь, Н. А. Жарковская и др. - М.: Дро-
фа, 2001.
2. Бунимович Е. А., Пигарев Б. П. Задачи письменного экзамена
по математике за курс средней школы: условия и решения. (Биб-
лиотека журнала «Математика в школе».)
3. Газета «Математика» издательского дома «Первое сентября»,
№ 18/97, № 22/97, № 12/98, № 17/98, № 19/98, № 2/02, № 19/02.
4. Готовимся к Единому государственному экзамену. Математи-
ка / Л. О. Денищева, Е. М. Бойченко, Ю. А. Глазков и др. - М.:
Дрофа, 2003.
5. Дидактические материалы по алгебре и начале анализа для 11
класса / Б. М. Ивлев, С. М. Саакян, С. И. Шварцбурд. - 4-е изд. -
М.: Просвещение, 2000. - 192 с.
6. Дорофеев Г, В., Муравин Г. К., Седова Е. А. Сборник заданий
для подготовки и проведения письменного экзамена оп математике
(курс А) и алгебре и началом анализа (курс В) за курс средней
школы. 11 класс: Эксперимент, пособие. - 5-е изд., стереотип. - М.:
Дрофа, 2002.-160 с.
7. Единый государственный экзамен 2002: Контрольные изме-
рительные материалы: Математика / Л. О. Денищева, Е. М. Бой-
ченко, Ю. А. Глазков и др. - М.: Просвещение, 2002.
8. Журнал «Математика в школе». № 6/94, № 2/95.
9. Лысенко Ф. Ф., Калашников В. Ю., Клово А. Г., Давыдов Б. Е.
Единый государственный экзамен. Математика: Учебно-трениро-
вочные тесты - 2003. Ростов-на-Дону: Приазовскш Край, 2003.
10. Ткачук В. В. Математика - абитуриенту. - 8-е изд., исправ-
ленное и дополненное. М.: МЦНМО, 2001.
11. Тырымов А. А. 468 конкурсных задач. - Волгоград, 1994.
12. Учебно-тренировочные материалы для подготовки к Единому
государственному экзамену: Математика / Д. О. Денищева, Ю. А. Глаз-
ков и др. - М.: Интеллект-Центр, 2003.
141
СОДЕРЖАНИЕ
ИТОГОВОЕ ПОВТОРЕНИЕ КУРСА АЛГЕБРЫ
И НАЧАЛ АНАЛИЗА 3
Выражения и преобразования 3
Урок 53 3
Урок 54 5
Урок 55 9
Урок 56 11
Урок 57 15
Урок 58 17
Урок 59 20
Урок 60 25
Уравнения и неравенства 28
Урок 61 28
Урок 62 31
Урок 63 32
Урок 64 34
Урок 65 38
Урок 66 40
Урок 67 43
Урок 68 45
Урок 69 47
Урок 70 50
Урок 71 55
Урок 72 57
Урок 73 60
Урок 74 63
Урок 75 67
Урок 76 69
Урок 77 71
Урок 78 74
Урок 79 79
Урок 80 81
Урок 81 83
Урок 82 86
Урок 83 90
Урок 84 95
Урок 85 97
Урок 86 100
Урок 87 ЮЗ
142
Функции 110
Урок 88 110
Урок 89 111
Урок 90 113
Урок 91 116
Урок 92 118
Уроки 93-102 118
Приложение 2 119
Литература 141
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
11 класс
Поурочные планы
по учебнику Ш. А. Алимова,
Ю. М. Колягина, Ю. В. Сидорова,
Н. Е. Федоровой, М. И. Шабунина
Часть II
© Автор-составитель Григорьева Галина Ивановна, 2004
Ответственные за выпуск
Л. Е. Гринин, А. В. Перепелкина
Редактор А. В. Перепелкина
Технический редактор Л. В. Иванова
Корректор Н. М. Болдырева
Верстка М. И. Куха ревой
© Издательство «Учитель», 2004
400067, г. Волгоград, п/о 67, а/я 32
Если Вы напишете по адресу: 400067, г. Волгоград, п/о 67, а/я 32, издательство «Учитель»
или позвоните по телефону: код (8442) 42-24-79. 42-20-63. Вам будет выслан полный каталог
пособий и книг издательства «Учитель». Адрес электронной почты (E-mail): uchitcl(fl)avtlg.ni
По вопросам оптовых поставок обращаться по тел.: 42-39-51,42-57-92,42-11-58,44-85-53.
Подписано в печать 27.09.05. Формат 60x90/16.
Бумага газетная. Гарнитура Тип Тайме.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 9,0. Доп. тираж 10 000 экз. Заказ № 15450.
Диапозитивы предоставлены издательством.
Отпечатано в ОАО «Саратовский полиграфический комбинат».
410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59.
УДК 371.214.1
ББК 74.262.21
А45
Автор-составитель Г. И. Григорьева
Алгебра и начала анализа. 11 класс: поурочные планы по
А45 учебнику Ш. А. Алимова и др. - Ч. II / авт.-сост. Г. И. Гри-
горьева. - Волгоград: Учитель, 2006. -143 с.
ISBN 5-7057-0492-5
В пособии представлены поурочные планы по курсу «Алгебра и начала анализа»
(11 класс), составленные в соответствии с программой по математике (по учебнику:
Алимов Ш. А. и др. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. М.: Просвещение,
2004). Наряду с кратким изложением теоретического материала даются практиче-
ские задания (базовые и повышенного уровня), способствующие лучшему усвоению
темы урока. Кроме того, по каждой теме подобран дидактический материал.
Предназначено учителям-предметникам старших классов общеобразовательных
школ в помощь при подготовке и проведении уроков.
УДК 371.214.1
ББК 74.262.21
ISBN 5-7057-0492-5 © Григорьева Г. И., автор-составитель
© Издательство «Учитель»
© Оформление. Издательство «Учитель»
ШШ