Автор: Григорьева Г.И.
Теги: воспитание обучение образование методика преподавания учебных предметов в общеобразовательной школе алгебра пособие для учителей
ISBN: 5-7057-0451-8
Год: 2006
Текст
Издательство «Учитель»
АЛГЕБРА
И НАЧАЛА АНАЛИЗА
11 класс
ПОУРОЧНЫЕ ПЛАНЫ
по учебнику Ш. А. Алимова,
Ю. М. Колягина, Ю. В. Сидорова,
Н. Е. Федоровой, М. И. Шабунина
Часть I
Автор-составитель Г. И. Григорьева
NftTЧАТ
ш
Волгоград
Введение
Настоящее пособие ориентировано на учебник «Алгебра и на-
чало анализа, 10-11» Ш. А. Алимова и др. (М.: Просвещение,
2004).
Главы, параграфы и пункты пособия носят такие же названия,
как и соответствующие главы, параграфы и пункты учебника. В
пособии даются ориентированные требования к знаниям и навыкам
учащихся; раскрывается содержание учебного материала в теоре-
тической части, который следует заносить в тетрадь по теории.
Также в пособии приводится примерное распределение заданий
учебника по урокам с ответами и ссылкой на рекомендуемую фор-
му изучения того или иного задания. На урок предлагается доста-
точно большое количество разнообразных заданий (базового и по-
вышенного уровней), что позволит учителю выбрать тот объем,
который он считает нужным.
Кроме того, по каждой теме разработана серия других форм ра-
боты на уроке: диктант, тест, самостоятельная работа, работа по
карточкам, проверочная работа, устная контрольная работа, лабо-
раторная работа, контрольная работа, тренажеры, исследователь-
ская работа.
3
ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
Глава VIII. Производная и ее геометрический смысл.
§ 44. Производная -2 ч.
§ 45. Производная степенной функции -2 ч.
§ 46. Правила дифференцирования - 3 ч.
§ 47. Производные некоторых элементарных функций - 3 ч.
§ 48. Геометрический смысл производной - 3 ч.
Заключительный урок -2 ч.
Контрольная работа - 1 ч.
Глава IX. Применение производной к исследованию функций.
§ 49. Возрастание и убывание функции - 3 ч.
§ 50. Экстремумы функции - 3 ч.
§ 51. Применение производной к построению графиков функ-
ций - 3 ч.
§ 52. Наибольшее и наименьшее значения функции -4 ч.
§ 53. Выпуклость графика функции, точки перегиба- 1 ч.
Заключительный урок -2 ч.
Контрольная работа - 1 ч.
Глава X. Интеграл.
§ 54. Первообразная -2 ч.
§ 55. Правила нахождения первообразных - 2 ч.
§ 56. Площадь криволинейной трапеции и интеграл - 3 ч.
§ 57. Вычисление интегралов -2 ч.
§ 58. Вычисление площадей с помощью интегралов -4 ч.
§ 59. Применение производной и интеграла к решению практи-
ческих задач - 3 ч.
Заключительный урок -2 ч.
Контрольная работа - 1 ч.
Итоговое повторение курса алгебры и начал анализа.
Глава VIII. ПРОИЗВОДНАЯ
И ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ
Цель: в ходе изучения элементов высшей математики раскрыть
для учащихся политехническое, прикладное значение общих мето-
дов, изучаемых в данном разделе, и подготовить необходимый ап-
парат для изучения разделов физики и геометрии.
4
Изложение темы должно быть ориентировано на содержатель-
ное раскрытие понятий, утверждений и методов, на выявление их
практической значимости. Активно использовать опыт, знания
учащихся.
§ 44. ПРОИЗВОДНАЯ
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать определения производной, формулы производных элемен-
тарных функций, простейшие правила вычисления производных,
графики известных учащимся функций; уметь использовать опре-
деление производной при нахождении производных элементарных
функций, применять понятие при решении физических задач.
Урок 1
I. Организационный момент.
Напомнить учащимся, что необходимо иметь рабочие тетради,
тетрадь для контрольных работ, тетрадь по теории, тетрадь для
тренажеров. Учащиеся выполняют тренажеры (см. Приложение 1)
дома в течение нескольких дней.
На уроках будут рассматриваться задания экзаменов прошлых
лет. Эти задания с решениями следует вывешивать в классе под
рубрикой «Готовимся к экзаменам».
II. Изучение нового материала.
Раздел математики, в котором изучаются производные и их
применения к исследованию функций, называется дифференци-
альным исчислением.
Приращения вида Af, представляющие собой разности, которые
мы будем изучать сегодня на уроке, играют заметную роль при ра-
боте с производными. Естественно поэтому появление латинского
корня differentia (разность) в названии calculis differentialis нового
исчисления разностей; это название появилось уже в конце XVII в.,
то есть при рождении нового метода.
Пусть точка движется вдоль прямой и за время t от начала движе-
ния проходит путь s(t). Рассмотрим промежуток времени от t до t+h,
где h - малое число. За это время точка прошла путь s(t + h) - s(t).
Средняя скорость движения точки
_s(t + h)-s(t)
5
При уменьшении h это отношение приближается к некоторому
числу, которое называется мгновенной скоростью
г s(t + h)-s(t)
о = hm — ——.
h->0 h
Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке, х -
точка этого промежутка и число h * 0 такое, что х + h также принад-
лежит данному промежутку. Тогда предел разностного отношения
f(x + h)-f(x) . Л - j. *, ч
— z-t- при h -> 0 называется производной функции f(x) в
h
точке х (если предел существует).
f(x)=limf(x + h)-f(x).
h->o h
Обозначение lim - сокращение латинского слова limes (межа,
граница); уменьшая, например, h, мы устремляем значения
f(x + h)-f(x)
— —^-^ к «границе» г(х). Термин «предел» ввел Ньютон.
h
Если функция f(x) имеет производную в точке х, то эта функция
называется дифференцируемой в этой точке.
№ 780 (1) - учитель показывает на доске решение:
f(x) = 3x + 2
f(x + h) = 3(x + h) + 2 = 3x + 3h + 2
„f/ ч .. f(x + h)-f(x) .. 3x + 3h + 2-3x-2 v 3h „
ff (x) = hm — —^-^ = hm = hm — = 3 .
h->o h h->o h h->o h
№ 780 (3) - на доске по желанию.
Ответ: f (x) = 6х - 5.
№781 (1,3) -устно.
Ответы: 1) 2; 3) -7.
№ 776 (1) - учитель с классом.
№ 776 (2) - за доской.
Ответы: 1)3; 2)3.
№ 778 - самостоятельно по вариантам.
Ответ: 1)2; 2)-3.
III. Домашнее задание: № 780 (2,4), № 781 (2,4).
IV. Итог урока.
Как связаны между собой средняя и мгновенная скорость дви-
жения? Что называют производной функции и как ее обозначают?
Какая функция называется дифференцируемой в точке?
6
Урок 2
I. Организационный момент.
П. Диктант.
Вариант I.
1. Какова точность приближенного значения числа 2/3, равного
0,67?
2. Значения х приближаются к числу 3. К какому числу прибли-
жаются при этом значения функции у = х2?
3. Запишите: «Предел функции f(x) при х, стремящемся к нулю,
равен 7».
4. Вычислите предел функции у = при х -» 0.
х + 4
5. Найдите с точностью до 0,1 значение
Вариант II.
1. Какова точность приближенного значения числа я, равного
3,14?
2. Значения х приближаются к числу 2. К какому числу прибли-
жаются при этом значения функции у = —.
х
3. Запишите: «Предел функции g(x) при х, стремящемся к еди-
нице, равен 3».
4. Вычислите предел функции у = х - 2, при х -> 0.
5. Найдите с точностью до 0,1 значение V?.
Ответы:
Вариант I Вариант II
1.0,01. 1.0,01.
2.9. 2.1/2.
3. Iimf(x) = 7. 3. limg(x) = 3.
х-»0 х->1
4.1/4. 4.-2.
5. 2,7. 5. 2,2.
III. Теоретическая часть.
Работа с учебником. Прочитать в тексте параграфа материал,
содержащий определение предела функции в точке и определение
функции, непрерывной в точке. Сделать конспект текста, обратив
внимание на определения непрерывности: непрерывность в точке,
непрерывность на промежутке, непрерывность на интервале.
7
IV. Практическая часть.
№ 779 - работа в парах.
Ответ: 1) -; 2) о(4) = 0,25; о(8) = 0,25.
4
№ 782 (1) - на доске по желанию.
Ответ: 3t.
№ 783 (1) - под диктовку.
Ответ: и(5)= 10.
V. Домашнее задание: № 782 (2), № 783 (2).
VI. Итог урока. Самоанализ учащихся своих знаний по теме
«Понятие производной».
VII. Дополнительное задание:
№ 784 - устно. Образец рассуждения:
Найдем среднюю скорость точки на отрезке [0; 1]. За время t = 1
точка прошла путь s = 1,5, следовательно, средняя скорость о = 1,5.
Ответ: на отрезке [0; 1] о = 1,5; на отрезке [1; 2] и = 1; на от-
резке [2; 3] о = 0,5.
№ 786 - самостоятельно с устной проверкой.
Ответ: на отрезке [0; 2] о = 0,5; на отрезке [2; 3] о = 2; на от-
резке [3; 3,5] о = 2.
§ 45. ПРОИЗВОДНАЯ СТЕПЕННОЙ ФУНКЦИИ
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать формулы производных степенной функции у = xn, n e R и
у = (kx + p)n? n e R; уметь находить производные степенной функ-
ции, значения производной функции, если указана задающая ее
формула.
Урок 3
I. Организационный момент.
П. Теоретическая часть.
1. Если класс имеет достаточную математическую подготовку,
то следует рассмотреть определение производной через понятия
«приращение функции» и «приращение аргумента», которого нет в
учебнике Алимова, но часто встречается в других источниках по
математическому анализу.
8
Часто нас интересует не значение какой-либо величины, а ее
изменение. Например, сила упругости пружины пропорциональна
удлинению пружины; работа есть изменение энергии и т. д.
Рассмотрим график функции у = f(x). Зафиксируем точку х0, ее
называют первоначальным значением аргумента. Пусть х - произ-
вольная точка, лежащая в некоторой окрестности точки х0.
y=f(x
Разность х - х0 называется приращением аргумента, а разность
f(x) - f(x0) - приращением функции. Обозначаются Ах и Af соот-
ветственно, читаются «дельта икс» и «дельта эф».
Производной называется предел отношения приращения функ-
ции Af к приращению аргумента Ах при Ах, стремящемся к нулю.
f(x) = lim —
Ах-»о Ах
Задание: найдите приращение аргумента и приращение функ-
ции, если
- ЛЛ«2
a) f(x) = cos x, xo =
2я
х =
371
3 4
6)f(x) = 4x-x2, х0 = 2,5, х = 2,6.
Ответ: а) Ах = —; Af = -; б) Ах = 0,1; Af = -0,11.
12 4
2. Формула производной степенной функции для любого дейст-
вительного показателя:
(хр)' = р • хн
Например:
,2v_
3v_
(х7 = 2х; (x7 = 3xz;
1
2'
(4=
1
2yfx'
Доказать самостоятельно.
((kx + b)p)' = pk(kx + b)H.
III. Решение заданий.
№ 787 - устно.
Ответ: 1) 6х5; 2) 7х6; 3) Их10; 4) 13 х12.
№ 788 - устно.
Ответ: \)-2х3; 2)-Зх'4; 3)-4х'5; 4)-7хЛ
№ 789 (1,3)- на доске по очереди.
Ответ: 1)— х 2:
' 2
3)--х~7
7
790 (1,3,5) - на доске по очереди.
з
Ответ: 1)
,6 '
3)-Х 4 =
1
44/х3
5)--х"з=-
3
Зх?
№ 791 (1) - под диктовку.
№ 791 (3) - за доской.
№ 791 (5) - самостоятельно.
Ответы: 1)8(4х-3); 3) 12(1-2х)"7; 5)24х2.
№ 793 (1) - под диктовку.
№ 793 (2) - за доской.
№ 793 (3) - на доске по желанию.
3 2 1
Ответы: 1)—; 2) 3)—.
16 27 4
№ 797 (1) - учитель с классом.
№ 797 (2) - на доске по желанию.
1 1 8
Ответы: 1)—Т=\—=г\ 2)—.
л/3 >/з 27
№ 794 - самостоятельно, проверка на кодоскопе или на при-
ставной доске (учитель готовит заранее):
4у
у- х
№ 795 - устно (с рассуждением).
Ответ: у = х3.
у'-4х3
10
IV. Домашнее задание: № 789 (2, 4), № 790 (2, 4, 6), № 791
(2,4, 6), № 793 (4).
V. Итог урока.
Записать формулу нахождения производной степенной функ-
ции. Привести пример для натурального показателя, целого показа-
теля, дробного показателя.
Урок 4
I. Организационный момент.
II. Диктант.
Вариант I [Вариант II].
1. Найдите Ах, если хо = 4, х = 3,8
[х0 = 6, х = 5,7].
2. Найдите Af, если f(x0) = 7,2; f(x) = 3,8
[f(x0) = 4,5; f(x)= 10,1].
3. Найдите приращение функции
f(x) = Зх - 1 [g(x) = 2х и- 3], если х0 = 1, х = 1,2.
4. Найдите производную функции у = х"7 [у = х5].
5. Найдите f (х), если f(x) = (Зх - 4)3 [f(x) = (2 - 7х)"2].
Ответы: Вариант I Вариант II
1. Ах = -0,2. 1. Ах = -0,3.
2.Af=^3,4. 2.Af=5,6.
3.Af=0,6. 3.Ag = 0,4.
4.у'=-7хЛ 4.у' = 5х4.
5. f (x) = 9(3x- 4)2. 5. f (x) = 14(2 - 7x)"3.
III. Решение заданий.
№ 792 - самостоятельно по вариантам.
2 3 3 ^
Ответ: 1) . ;2) . ;3)—, ;4)-
3^/(2х + 7)2 ' 4^/(7-Зх)3 ' 4^27х3 ' 3^2?
№ 793 (5) - на доске по желанию.
Ответ: -2.
№ 796 - в группах (число групп кратно шести), по окончании
работы представитель группы записывает на доске свой ответ.
Ответ: 1) г-; 2) г;3)тт===;
(2 + Зх)3 (3-2х)4 V37^2
4 1 4
4)- , ;5)- ' ; 6)
^/(3-14х)5 ' (Зх - 7)V3^7 ' 3(1 - 2x^/(1-2х)2
11
№ 799 (1) - учитель с классом.
№ 799 (2) - на доске по желанию.
2 7
Ответы: 1) Xi = 0,5; Х2 = 2,5; 2)xj = —; х2 =—.
IV. Домашнее задание: № 793 (6), 798, тренажер № 1.
V. Итог урока.
VI. Дополнительное задание:
№ 800, № 801 выполняются индивидуально теми учащимися,
кто уже справился с основной работой на уроке.
№ 800. Ответ: a) f(x) = х2 + 1, f (х) = 2х;
6)f(x)=l-x2, f(x) = -2x.
№801. Решение:
y = V3x-7
(Зх-
V
-4
\
)
= --3(Зх-7) 2 =•
2 2>/Зх-7
V3x-7= 2.
2>/Зх-7
2(3х-7) = 3
6х-14 = 3
= ]1
Х~ 6 '
Ответ: —.
6
§ 46. ПРАВИЛА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать правила нахождения производных суммы, произведения и
частного, производную сложной функции, доказательство правила
вычисления производной суммы; уметь находить производные
суммы, произведения, частного, производную сложной функции,
находить значения производных функций; решать неравенства ме-
тодом интервалов.
Урок 5
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
12
Найти производную функции:
1) х2; 2) х4; 3) -Ь 4) Vx"; 5) Vx"; 6) х7; 7) JL;
х5 Vx3
8) (Зх + 5)3; 9) V2x-8;; 10) —; 11)•
(х-4)5' Mlx + 2'
III. Изучение нового материала.
1. Производная суммы равна сумме производных:
(f(x) + g(x))' = f(x) + g'(x).
2. Постоянный множитель можно вынести за знак произ-
водной:
(cf(x))' = c-f(x).
№ 802 - устно (по очереди).
Ответ: 1) 2х + 1; 2) 2х - 1; 3) 6х; 4) -34х; 5) -12х2;
6)1,5х2;7)26х;8)16х.
№ 803 - под диктовку (по очереди).
Ответ: 1) 6х - 5; 2) 10х + 6; 3) 4х3 + 4х; 4) 5х4 - 6х;
5) Зх2 + 5; 6) -6х2 + 18; 7) 6х2 - 6х + 6; 8) -9х2 + 4х + 1.
№ 805 (1,3). - на доске по очереди.
3 1 1
Ответ: 1) 2х—-;3)
х4' 24у17 2л/х"
3. Производная произведения:
(f(x)g(x))' = f(x)g(x) + f(x)g'(x).
4. Производная частного:
(f(x)V f(x)-g(x)-f(x)-g4x)
U(*)J g2w
№ 818 (1) - учитель с классом.
№ 818 (2) - за доской.
1Ч 2х3+х2-16 -Ч1 2
Ответы: 1) = ; 2) 1 + -гт= -
xz vx
6
№ 819 (1) - на доске по желанию.
л Зх2+4
Ответ: j=-.
2xvx
№ 820 (1,3) - на доске по очереди.
Ответ: 1)2(2х-3)4 • (21х2 + Зх + 2); 3) 3(3х"/)3(51х + 31)
4^(Зх + 2)3
13
5. Производная сложной функции:
(f(g(x))y = f(g(x))-g'(x).
№ 816 (1) - учитель с классом.
№ 816 (2) - самостоятельно с устной проверкой.
3»
Ответ: 1) f(g(x)) = (l-x)2; 2) f(g(x)) = VInx.
IV. Домашнее задание: № 805 (2,4), № 819 (2), № 820 (2,4), прочи-
тать § 46, обратить внимание на доказательство формул (1) и (2).
V. Итог урока.
Перечислите правила дифференцирования, которые вы узнали
сегодня на уроке.
VI. Дополнительное задание:
№ 821 - работа в группах (число групп кратно трем).
п 1Ч 2(х2+2х-2) _ 2(Зх2+Зх + 2)
Ответ: 1) — -—-; 2) — -—-;
(х + 1)2 (2х + 1)2
(2 + х)(5х-4-х2)
2xV^(2-x)2
Если осталось время - провести тест. Вариант А - более про-
стой, Вариант Б - сложнее. Учитель готовит карточки по количест-
ву учащихся.
Задание: укажите пары «функция-график производной этой
функции».
Вариант А
\ч График
>v У'
Функция\
у = Зх - 7
у = 7
2 п
у = х -7
у =-х2+Х
у = 5 - 2х
i
0
^У
X
j
"А
7.
0 х
\
0
'У
N*
1
0
iy
X
i
0
iy
X
14
Вариант Б
\v График
Функция\
у = 2х-х3
у = 4-х3-ь2х
у^хЧг
л 1 2
у- 2х--ух
у = 2х + х4
То
1 х
1
У
0 \
чГ
О
X
v
О
\х
1
п
У
X
+
Ва
+
риант А
+
+
+
Ответы:
+
Вариант Б
+
+
+
+
Урок 6
I. Организационный момент.
Собрать на проверку тренажер № 1.
II. Диктант.
Вариант I Вариант II
1. Запишите правило дифференцирования
суммы частного
2. Запишите правило дифференцирования
произведения степенной функции
3. Запишите правило дифференцирования
частного произведения
Найдите производную функции:
4. у = кх + с
5.у = хп
6.у = х"6
7.у = (6-7хГ
у = с
y = Vx
у = (кх + с)п
у=16 + 8х
15
8. у = х4 + х
У
9. у = --12л/х
10. у =
1
№
у = х - х
y=4Vx-
-4
у = х
Ответы:
Вариант 1.1. (f(x) + g(x))' = f (x) + g'(x).
2. (fix) • g(x)' = f (x) • g(x) + f'(x) • g(x).
3.
'f(*)^
f(x)-g(x)-f(x)-g4x)
.800.
4. у' = к.
5.y' = n-xn_l.
6.y' = -6x-7.
7.y'=-21(6-7x)2.
8.y' = 4x3 + l.
9_
,2
g2(x)
9.У-Л-6
x~ Vx
10. y'=-
$J'
Вариант II. 1.
5x
f(x)l_f(x)-g(x)-f(x)g4x)
gOO,
g2(x)
2.(xn)' = n-xn-\
3. (f(x) • g(x)' = f (x) • g(x) + f'(x) • g(x).
4. y' = 0.
.!_
6.y' = kn(kx + c)n"'.
7. y' = 8.
8. у' = 1 - Зх2.
л -j
9. у'=-
3$J x2'
Ю.у' = -4х-5.
III. Решение заданий.
№ 806 (1) - на доске по желанию.
16
№ 806 (3) - за доской.
Ответы: l)f(0) = -2; f(2) = 2.
3)f(0) = -2; f(2)=10.
№ 807 - самостоятельно по вариантам (4 варианта).
Ответ: l)f'(3) = -—; f(l) = -3.
3)f,(3)=-^4; f(l,=4-5-
4)f(3) = ^; f(l) = 3.
№ 809 (1) - под диктовку.
№ 809 (3,5) - на доске по очереди.
Ответы: 1) - Ж; J|; 3) - 2; 1; 5) -1; 0; 2.
№ 811 - работа в группах.
Ответ: 1)0; 2) 192; 3)-16,5; 4)31,5.
№ 815 (1) - на доске по желанию.
Ответ: 1.
№ 825 (1) - учитель с классом.
№ 825 (3) - на доске по желанию.
Ответы: 1) - V2 < х < 0, х > V2; 3) х> 0.
№ 826 (1) - самостоятельно с устной проверкой.
№ 826 (3) - за доской.
14 19 12 04 J
Ответы: 1) — < х < 1—; 3) х Ф —.
'21 3 2
IV. Домашнее задание: № 806 (2, 4), № 809 (2, 4, 6), № 815 (2),
№ 825 (2,4), № 826 (2,4).
V. Итог урока.
VI. Дополнительное задание:
№ 830 - индивидуально.
Решение:
f(x) = Vx2-5x + 6=V(x-2)(x-3).
Область определения: х < 2 и х > 3.
17
f f(x) = (Vx-2),V)T^I + Vx-2-(Vx^3),=
1 х-З+х-2
г-л/х-З+л/х-2-
2л/х-2 2л/х^1 2Vx-2Vx^3"
2х-5
2л/х2-5х + 6
Урок 7
I. Организационный момент.
II. Повторение.
Задания выполняются на доске по очереди.
1. Найдите производную функции:
2 1
a)f(x) = x5-2V^; 6)f(x) = ^r—-; в) f(x) = (4-3x)100;
х2+1
г) f(х) = Vx2+1.
2. Вычислите производные функции
f(x) = Зх - 4х3 в точках 1; 5.
3. Решите неравенство f (х) > 0, если f(x) = 6x-3x2.
х г~
4. Даны функции f(х) = и g(x) = vx.
х-1
Задайте с помощью формул функции f(g(x)) и g(f(x)).
Ответы:
л 1 4х
1.а)Г(х) = 5х4—=; б)Г(х) =
Vx' (x2+l)2'
B)f(x)=",300(3x-4)99; г) f(x) = -7=^.
VxVl
2. f(l) = -9; f(5) = -297.
З.х<1.
Vx"
4.f(g(x))=-^—; g(f(x))
Vx-Г
III. Решение заданий.
№ 810 (1,2) - под диктовку.
Ответ: 1) 5х4 - 4х3 + Зх2 - 2х.
2) 4Х + 2
зС1'
18
№ 813 - за доской.
Ответ: 3; -0,4; 1—.
И
№ 814 - самостоятельно по вариантам.
1Ч 4х5+5х4+2х3+Зх2+1 „ч2л/х(х2-2х-1)-х-1
Ответ: 1) г ;2) ^ v ^ ^ .
(х + 1)2 2Vx(x-l)2
№ 827 - учитель с классом.
Ответ: 3,5 рад/с.
№ 829 - работа в парах.
Ответ: 1)15 г/см; 2) 103 г/см.
IV. Проверочная работа.
Задания дифференцированы по вариантам (вариант I - более
простой уровень).
Вариант I.
1. Найдите производную функции:
a) f(х) = 2х7 + 4>/х; б) f(х) = Х +1
х2-3"
2. Вычислите производную функции f(x) = 2х2 + х3 в точках 2; 4.
3. Решите неравенство f (х) < 0, если f(x) = 4x + 2x2.
Вариант П.
1. Найдите производную функции:
a) f(x) = (3 - 2х)160; б) g(x)= VT^2".
2. Решите уравнение f (х) = 0 и неравенство f (х) > 0 для функ-
2х-3
ции f(x) =
х + 2
х + 1
Х + 1 Г~"
3. Даны функции f(x) = и g(x)= Vx.
х + 2
Задайте с помощью формул функции f(g(x)) и g(f(x)).
Вариант III.
1. Найдите производную функции:
a)f(x) = x9-3x5 —4-+ 2; б) f(x) = ^—^-.
х4 3 + 2х
2. Вычислите производную функции
f(x) = (x + l)Vx в точках 2; 4.
19
3. Дана функция f(x) - х + 4. Найдите такую функцию g, чтобы
выполнялось равенство f(g(x)) = х.
Вариант IV.
1. Найдите производную функции:
a) f(х) = х7 - Зх5 + 4- - 2; б) g(x) = (х + 5)Vx.
л/х
2. Вычислите производную функции
f(x) = в точках -4, х2 - 5.
х + 5
3. Решите неравенство f (х) > 0, если f(x) = х +—.
х
Вариант V.
1. Найдите производную функции
y = 100(Vx)10-10(V7)100 в точке 1.
2. Решите уравнение f (х) = 0 и неравенство f (х) > 0 для функ-
„ ч х2-12
ции f(x) = —.
X """* л*
3. Даны функции f(x) = х3 + 2х и g(x) = sinx. Задайте с помощью
формул функции f(g(x)) и g(f(x)).
Ответы:
Вариант I.
1.а)14х6+А; б) г^Ц-
Vx (x2-3)2
2. f (2) = 20; f (4) = 64.
3.х<-1.
Вариант П.
1. а)320(2х-3),3!';б)-
Vx-
Вариант III.
Vi^2""
2. нет корней; (-оо; -2) и (-2; +оо).
„ Ух+1 , /х + 1
+ 2' Vx + 2'
4 ,- _5 ,v 2x2+6x + 8
1.а)9х8-15х4+12х_э; б)-
(3 + 2х)"
20
2. f(2) = ^-; f(4) = 3±
4 4
3.g(x) = x-4.
Вариант IV.
l.a)7xe-15x4-4*; б)^±*.
xvx 2vx
2.f(-4) = _i3; f(x2-5) = --4.
x
3.(-<x>;-l]u[l;+co).
Вариант V.
1.0
2. нет корней; (-оо; 2) u (2; +00).
3. sin3x + 2sinx; sin(x3 + 2x).
V. Домашнее задание: № 810 (3), № 828, тренажер № 2.
VI. Итог урока.
Самооценка учащихся своих знаний и умений по текущей теме.
§ 47. ПРОИЗВОДНЫЕ НЕКОТОРЫХ
ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать определение элементарных функций, формулы производ-
ных показательной, логарифмической, тригонометрических функ-
ций; уметь применять правила дифференцирования и формулы
элементарных функций при решении задач.
Урок 8
I. Организационный момент.
П. Изучение нового материала.
1. Дать понятие элементарных функций (степенная, показатель-
ная, логарифмическая, тригонометрическая).
2. Формулы производной показательной функции:
(ех)' = ех (без вывода),
(ах)' = ах • 1па (с выводом).
3. Формулы производной логарифмической функции:
(In х)'= —, х > 0 (без вывода),
X
21
(logax)'= —— (с выводом),
xlna
4. Пользуясь первым замечательным пределом lim = 1, вы-
h->0 X
вести формулу производной синуса (sinx)' = cosx. Предложить
учащимся самостоятельно вывести формулы:
(cosx)' = -sinx; (tgx)' = —г— ; (ctgx)' = — •
cos x sin x
5. Записать в тетрадь по теории сводную таблицу правил диф-
ференцирования и формул для производных (см. текст параграфа).
В эту таблицу можно добавить:
c' = 0,(kx + b)' = k,(tgx)'=—J_,(dgx) = -_1- .
cos х sin x
№ 831 - устно по очереди.
Ответ: 1) ех; 2) ех + 2х; 3) 2е2х - -^; 4) - Зе"3х + -Ц=г
х 2vx
№ 832 (1,3,5) - на доске по очереди.
Ответ: 1) 2е2х+1 + 6х2; 3) 0,3е°'3х+2 ^; 5) 2хех2.
2xVx
№ 833 - самостоятельно по вариантам.
Ответ: 1) 2х1п2 + ех; 2) Зх1пЗ + 2х3; 3) 2е2х- 1;
4)Зе3х + 4х;5)2хЗх2+21пЗ.
№ 834 (1) - под диктовку.
№ 834 (3) - за доской.
Зх. тч Л2-х . 1
33Vx2
Ответы: 1)0,5х1п0,5 + 3езх; 3)-е2_х +
№ 835 (1,3,5) - на доске по очереди.
Ответ: 1) ~ + Зх 1пЗ;3)— L;5) 2,Х""2 .
х xln2 2х2 х2-2х
№ 836 - устно по очереди.
Ответ: 1) cosx + 2х; 2) -sinx; 3) -sinx + ех; 4) cosx - 2xln2.
№ 837 - устно по очереди.
Ответ: 1) 2cos(2x - 1); 2) -sin(x + 2); 3) -cos(3 - х); 4) -3x2sinx3.
№ 838 (1) - учитель с классом.
№ 838 (3) - за доской.
22
Ответы: 1) —sin 1 + 3е3х; 3)-12sin4x +—г-.
2 U ) 2х2
№ 839 (1) - на доске по желанию.
№ 839 (3) - самостоятельно с устной проверкой.
^ 1Ч sinx + cosx ~4cos3x -, . ^
Ответы: 1) ; 3) 31nxsin3x.
ех х
№ 840 - работа в группах.
Ответ: 1)3; 2)0; 3) 21п2——; 4) — 31пЗ.
In 2 In 0,5
III. Домашнее задание: № 832 (2, 4), № 834 (2, 4), № 835 (2),
№ 838 (2), № 839 (2,4), тренажер № 3.
IV. Итог урока.
- Что нового узнали на этом уроке? Чему научились?
Урок 9
I. Организационный момент.
II. Тест.
2 3 7
1. Найти производную функции у = — х - 2х .
А. -х3 -2х6. Б. 2х3 - 14х7. В. -х4 --х8. Г. 2х2- 14х6.
3 6 4
2. Формула нахождения производной произведения двух функций:
A. (и • v)' = и' • v'.
Б. (и • v)' = и' • v + и • v'.
B. (и • v)' = и' • v' + и • v.
Г. (и • v)' = и' • v - и • v'.
3. Для какой из функций производная задается формулой
у' = 2cosx - 5sinx?
A. у = 2sinx - 5cosx.
Б. у = 2sinx + 5cosx.
B. у = -2sinx + 5cosx.
Г. у = 2cosx + 5sinx.
4. Вычислить значение производной функции у = 2х в точке хо = 2.
А. 4. Б. 1п2. В. 21п2. Г. 41п2.
5. При каких значениях х производная функции у = log0,3X при-
нимает положительные значения?
А. х>0. Б.х*0 В.х<0 Г. Ни при каких.
Ответ: ГББГГ.
23
III. Решение заданий.
№ 841 (1) - учитель с классом.
№ 841 (3,5) - на доске по очереди.
Я
Ответы:!)— + 2nn,nez; 3)-l; 5)2. .
№ 842 - самостоятельно по вариантам.
Ответ: 1) х > 0; 2) х < 0; 3) х < -2, х >0; 4) х > 0.
№ 843 (1) - учитель показывает на доске решение:
f 12х"1 2х + 31 ( /2Х-П ( 2х + зУ = 2 1
V 3 +П 5 J=[V 3 )ЛП 5 JV/2^ +
2 1^1 2
+ 5 2х+3 ~~ Уб?ГТ + 2х+3'
5
№ 843 (3) - на доске по желанию.
2 l-f 3 . 1-х
Ответ: —е J +—sin .
3 2 2
№ 844 (1) - учитель с классом.
УЗ . х-2
Ответ: _. + sin .
3(2-х$/2-х 3
№ 852 - учащиеся, сидящие на первом варианте, выполняют 1),
на втором - 2). Допускаются консультации учащихся друг с дру-
гом. Решившие раньше других записывают ответ на доске.
^ 1Ч я яп я яп „
Ответ: 1)— +—; — +—; neZ.
16 2 8 3
2) 2яп; - + 2яп; 2arctg(-5 ± л/Й) + 2яп, n e Z.
№ 846 (1) - за доской.
№ 846 (3) - под диктовку.
Ответ: 1) ; 3)-tgx.
' 2(х-1)
№ 847 (1,3,4) - на доске по очереди.
^ . 1 /^cosx+i ~ч sinvx + 2 ,ч cos(lnx)
Ответ: -sinx-ln2-2C0SX+1; 3) ====; 4) —- -.
33V(x + 2)2 x
№ 848 (3) - самостоятельно с устной проверкой.
24
№ 848 (4) - за доской.
Ответы: 3) . ; 4) •
4>/cos3 х ' 2-In 2-x^log2 х
IV. Домашнее задание: № 843 (2, 4), № 844 (2), № 841 (2, 4, 6),
№ 846 (2, 4), № 847 (2), № 848 (1, 2).
V. Итог урока.
Урок 10
I. Организационный момент.
II. Подготовка к экзаменам.
Двое учеников работают у доски, выполняя следующие задания:
1. Найдите производную функции
a) f(x) = ех(х2 + 1); б) f(x) = ех • cosx; в) f(x) = х21пх.
2. Найдите значение производной функции в точке:
к I—
a) f(x) = tgx- 2sinx, x = —; б) f(x) = Зх + vx, x = 16;
4
в) f(x) = x3lnx, х = 4.
Остальные учащиеся работают устно.
Найдите производную функции:
l)f(x) = 2x2 + lnx; 2)f(x) = tgx; 3) f(x) = 2х2 + sinx;
€ 4) s(t) = 12t - 3t2; 5) s(t) = 1 + 4t -12; 6) s(t) = 0,5t2 + 3t + 2.
Найдите какую-нибудь функцию, которая имеет производную:
1) f(х) = х + 5; 2) f(х) = х2 - 4х.
III. Решение заданий.
№ 845 - самостоятельно по вариантам (с устной проверкой).
5е"х
Ответ: 1) 0,5х(1п0,5 • cos2x - 2sin2x); 2) —=г(1-2х);
2Vx
3) 2е3'2х (sin(3 - 2х) - cos (3 - 2х)).
№ 849 (1,3)- на доске по очереди.
Ответ: 1) - *+ °°S Х; 3) е0>5х (0,5 cos 2x + 2 sin 2x - 2,5).
sin х
№ 850 (1) - за доской.
(ех +е""х)х-ех +е"х
Ответ:
х2
№ 853 (1) - учитель с классом.
Ответ: 2е2.
№ 855 - работа в группах.
25
Ответ:
1) f (x) = 0 при х = 1 2) f (х) = 0 при х = е"1
f (х) > 0 при х > 1 f (х) > О при х > е"1
f (х) < 0 при 0 < х < 1. f (х) < О при О < х < е*1.
I
3) f (х) = О при х = е 2 4) f (х) = О при х = 1
_]_
f (х) > О при х > е 2 f (х) > О при х > 1
f (х) <ОприО<х<е 2. f (х) < О при О < х < 1.
IV. Проверочная работа.
Вариант I.
Найдите производную функции:
a) f(x) = sin2x - cos3x;
6)f(x) = tgx-ctg(x+~).
4
Вариант II.
Найдите производную функции:
a)f(x) = tg(| + 10);
6)f(x) = cos(3-2x);
в) f(x) = tgx • sin(2x + 5).
Вариант III.
2n
1) Найдите ff( ), если f(x) = 3cos2x.
2) Решите уравнение g'(x) = 0, если g(x) = sinx + 0,5sin2x.
Ответы:
Вариант I.
a)2cos2x + 3sin3x;
6) — +
cosx sin2x+*
Вариант II
a) 7 T; 6) 2sin(3-2x);
3cos2
*+io
.3 j
,~ sin(2x + 5)
в) 2tgxcos(2x + 5) + —^—-
COS X
26
Вариант III.
1)-Зл/3; 2)я + 2як; — + 2як, к е Z.
V. Домашнее задание: № 849 (2,4), № 850 (2), № 853 (2).
VI. Итог урока.
§ 48. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать, что называют угловым коэффициентом прямой, углом
между прямой и осью Ох; в чем состоит геометрический смысл
производной, уравнение касательной к графику функции; способ
построения касательной к параболе; уметь применять теоретиче-
ские знания на практике.
Урок И
I. Организационный момент.
Собрать на проверку тренажер № 3.
П. Сообщение на тему «Причины появления математиче-
ского анализа». (Может быть подготовлено как учителем, так и
учащимися.)
Общее направление развития науки в конечном счете обуслов-
лено требованиями практики человеческой деятельности. Это вер-
но для любой науки, это остается справедливым и для математики.
Существование древних государств со сложной иерархической
системой управления было бы невозможно без достаточного разви-
тия арифметики и алгебры, ибо сбор податей, организация снабже-
ния армии, строительство дворцов и пирамид, создание ороситель-
ных систем требовали выполнения сложных расчетов.
В эпоху Возрождения расширяются связи между различными
частями средневекового мира, развиваются торговля и ремесла.
Начинается быстрый подъем технического уровня производства,
промышленное применение получают новые источники энергии, не
связанные с мускульным усилием человека или животных. В XI—XII
столетии в Европе распространяются ветряные и водяные мельницы.
В XIII веке сила падающей воды используется для создания тяги
при выплавке металла. В XIV столетии появляются сукновальные и
ткацкие станки, а в середине XV столетия - печатный станок.
Ускоренное развитие производства в рассматриваемый период
во многом стимулировало интенсивные астрономические и физи-
ческие исследования.
27
В связи с потребностью в быстром развитии общественного
производства в этот период изменяется сущность естественных на-
ук, носивших со времен древности описательный характер. Целью
естествознания становится углубленное изучение естественных
процессов, а не предметов.
Описательному естествознанию древности соответствовала ма-
тематика, оперировавшая постоянными величинами. Необходимо
было создать математический аппарат, который давал бы описание
не результата процесса, а характера его течения и свойственных
ему закономерностей. В итоге, к концу XVII столетия, Ньютон в
Англии и Лейбниц в Германии завершили первый этап создания
математического анализа.
Что же такое «математический анализ»? Как можно охарактери-
зовать, предсказать особенности протекания любого процесса? Ис-
пользовать эти особенности? Глубже проникать в сущность того
или иного явления?
III. Изучение нового материала.
Пойдем по пути Ньютона и Лейбница и посмотрим, каким спо-
собом можно анализировать процесс, рассматривая его как функ-
цию времени.
Введем несколько понятий, которые помогут нам в дальнейшем.
Графиком линейной функции у = kx + b является прямая, число
к называют угловым коэффициентом прямой, k = tga, где a -
угол наклона прямой, то есть угол между этой прямой и осью ох
(ее положительным направлением).
у = kx + b
71
так как 0<а< —, то
2
tg а > 0, т. е. к > О,
функция возрастает
у = kx + b
так как — <ос<я, то
2
tg a < 0, т. е. к < О,
функция убывает
28
Рассмотрим график функции у = f(x). Проведем секущую через
любые две точки, например, секущую AM.
У=Дх)
М,
Хо X X
Угловой коэффициент секущей k = tga. В прямоугольном тре-
угольнике АМС ZMAC = а (объясните почему). Тогда
МС f(x)-f(x0) ,
^ёа=Т*т;=""^—1-^., что с точки зрения физики есть величина
АС
Х-Хл
У=«х)
средней скорости протекания любого процесса на данном промежутке
времени, например, скорости изменения расстояния в механике.
Сам термин «скорость» настолько вошел в нашу жизнь, что мы
не задумываемся над его смыслом, воспринимаем его как нечто
естественное, но как правило, применяемое только при движении.
На самом же деле скорость характеризует зависимость изменения
одной величины от изменения другой, и последняя необязательно
должна быть временем.
Итак, тангенс угла наклона секущей tga = —.
Ах
Мы описываем сам про-
цесс, значит, нас интересует
зависимость изменения ве-
личин в более точном опи-
сании, то есть в гораздо бо-
лее короткий промежуток
времени. Устремим прира-
щение аргумента к нулю
(Дх -> 0). Тогда правая
часть формулы - производ-
ная функции в точке А
(объясните почему). Что же
в левой части формулы? Если Ах -> 0, то точка М движется по гра-
фику к точке А, значит, прямая AM приближается к некоторой
29
прямой АВ, которая является касательной к графику функции у
= f(x) в точке А,
Угол наклона секущей стремится к углу наклона касательной.
Геометрический смысл производной состоит в том, что зна-
чение производной в точке равно угловому коэффициенту каса-
тельной к графику функции в этой точке.
Механический смысл производной.
Тангенс угла наклона касательной есть величина, показывающая
мгновенную скорость изменения функции в данной точке, то есть
новая характеристика изучаемого процесса. Эту величину Лейбниц
назвал производной, а Ньютон говорил, что производной называ-
ется сама мгновенная скорость.
IV. Решение заданий.
№ 858 (1) - учитель показывает на доске решение:
угловой коэффициент касательной к кривой f(x) = х3 в точке хо = 1
есть значение производной этой функции при х = 1. f (х) = Зх2; f (1) = 3.
Ответ: 3.
№ 858 - под диктовку.
Ответ: 1.
№ 859 (1) - на доске по желанию.
№ 859 (3) - самостоятельно с устной проверкой.
№ 859 (5) - за доской.
Ответы: 1) —; 3) —; 5) arctg — ve .
V. Лабораторная работа.
Цель: отработка понятия «механический смысл производной».
Приложения производной к механике.
Задан закон прямолинейного движения точки х = x(t), t e [0; 10].
Найдите:
1) среднюю скорость движения на указанном отрезке времени;
2) скорость и ускорение в момент времени to;
3) моменты остановки; продолжает ли точка после момента ос-
тановки двигаться в том же направлении или начинает двигаться в
противоположном направлении;
4) наибольшую скорость движения на указанном отрезке времени.
Работа выполняется по 12 вариантам, задания дифференцирова-
ны по уровню сложности (первый вариант - наименьший уровень
сложности).
30
1. x(t) = t2 - 3t, to = 4.
2. x(t) = t3 + 2t,to=l.
3.x(t) = 2t3-t*,to = 2.
4. x(t) = t3-2t2+l,t0 = 2.
5.x(t) = t4--t2 + 2,t0 = 0,5.
6. x(t) = 2t3 - 2,5^ + 3t +1, to = 1.
7.x(t) = (3-t)(t-t2),t0 = 2.
8. x(t) = (t + 2) (t2 -t + 5), to = 4.
9.x(t) = (t-l)3,to = 3.
10.x(t) = t4 + t3 + t2 + 4t,t0 = 0,5.
t4 t3 3t2
11. x(t) = —+ —+ —+ 2t, t0=l.
4 3 2 °
Перед началом работы беседа по вопросам:
1) Каков физический смысл производной перемещения? (Ско-
рость.)
2) Можно ли найти производную скорости? Используется ли эта
величина в физике? Как она называется? (Ускорение.)
3) Мгновенная скорость равна нулю. Что можно сказать о дви-
жении тела в этот момент? (Это момент остановки.)
4) Каков физический смысл следующих высказываний: произ-
водная движения равна нулю в точке to; при переходе через точку t0
производная меняет знак? (Тело останавливается; меняется на-
правление движения на противоположное.)
Образец выполнения работы учащимся.
Вариант IV. x(t) = t3 - 2t2 + 1, to = 2.
1) средняя скорость движения точки uCD = —
F At
Ax = x(l0)-x(0)=l000-2-l00+l-l = l200.
At=lO-0=lO
cp Ю
2) о = x'(t) = 3t2 -4t; u(2) = 3-4-4-2= 12-8 = 4
a = u'(t) = 6t-4; a(2) = 6-2-4=12-4 = 8.
3)o(t) = 0, 3t2-4t = 0, t(3t-4) = 0
31
.,-0,,,--
в противоположном направлении.
4) начертим схематично график скорости.
Очевидно, что наибольшая скорость
достигается в точке t =10.
о(10) = 3- 102-4- 10 = 300-40 = 260.
Ответы:
±
3
10
1)
|2)
3)
4)
1
7
5; 2
1,5
17
2
102
5; 6
нет
302
3
190
20; 22
ч
580
4
80
4; 8
ч
260
5
995
0;2
i"
3990
6
178
4; 7
нет
553
7
63
-1;4
4±V7
3
223
8
113
59; 26
нет
323
9
73
12; 12
1
243
10
1114
25-8
Т'8
нет
4324
11
300-
3
7; 8
нет
1132
12
6
31
з. jj
8' Т^
нет
6
VI. Домашнее задание: № 858 (2, 4), № 859 (2, 4, 6).
VII. Итог урока.
1) В чем состоит геометрический и механический смысл произ-
водной? 2) Сделайте вывод о своей работе.
Урок 12
I. Организационный момент.
II. В классах с достаточной математической подготовкой перед
изучением нового материала (вывод уравнения касательной) про-
водится тест.
1. Какое из следующих утверждений является верным:
A. Из непрерывности функции в точке следует ее дифференци-
руемость в этой точке;
Б. Из дифференцируемости функции в точке следует ее непре-
рывность в этой точке;
B. Ни одно из перечисленных утверждений не верно.
2. Пусть f(x) = I х-11. Тогда верно утверждение:
32
A. f(x) дифференцируема всюду, кроме хо = 1;
Б. f(x) дифференцируема всюду;
B. f(x) дифференцируема всюду, кроме Хо = -1;
Г. Иной ответ.
3. Пусть функция f(x) = (х - 1) • I х-11. Тогда верно утверждение:
A. f(x) нигде не дифференцируема;
Б. f(x) дифференцируема всюду, кроме хо = 1;
B. f(x) дифференцируема всюду;
Г. Иной ответ.
4. Пусть f(x) = 2х3 - 8х2 + Зх + 2. Тогда производная функции
равна:
А. 2х2-8х + 3;
Б.6х2-16х + 3;
В.Зх2-2х+1;
Г. Иной ответ.
5. Угловой коэффициент касательной к параболе f(x) = х2 - 4х + 2
в точке хо = 3 равен:
А. 2; Б.-1; В. 0; Г. Иной ответ.
Ответ: БАВБА.
III. Теоретическая часть.
Вывод уравнения касательной к графику дифференцируемой
функции у = f(x) в точке (х0; f(xo)).
Уравнение прямой у = кх + Ь, так как k = tga = f (x0), то получим
у = f (х0) • х + Ь.
Касательная проходит через точку (х0; f(x0)), значит, координаты
точки удовлетворяют уравнению у = f (х0) • х + Ь:
f(x0) = f(xo)-xo + b.
Отсюда b = f(x0) - f (хо) ■ Хо.
Итак, уравнение касательной:
2 Григорьева, 11 кл., ч. 1 33
y = f(xo)-x + f(xo)-f(xo)xo
или у = f(x0) + f (хо) • (x - Xo).
Разобрать задачу 1 из текста параграфа.
IV. Решение заданий.
№ 863 (1) - учитель с классом.
№ 863 (2) - за доской.
№ 863 (3) - на доске по желанию.
Ответы: 1) —; 2) —; 3) —.
2 2 J4
№ 860 (1) - учитель с классом.
№ 860 (3,5) - на доске по очереди.
№ 860 (7) - под диктовку.
12 V2 VJ >/2я
Ответы: 1)у = Зх; 3)у= —х + — ; 5)у = —х + ;
9 3 2 2 8
7)у = х-1.
№ 865 - в группах.
Ответ: 1) у = 0; 2) у = 0; 3) у = 2х + 3; 4) у = 2х.
№ 861 (рис. 118а) - устно.
V. Домашнее задание: № 860 (2, 4, 6, 8), № 861 (рис. 118, б),
тренажер № 4.
VI. Итог урока.
1. Запишите алгоритм нахождения уравнения касательной к
графику функции у = f(x) в точке х0.
Дано: у = f(x), x0.
1) Найти f(x).
2) Вычислить f (хо).
3) Вычислить f(x0).
4) Подставить в уравнение касательной у = f(xn) + ££xq) (х -хо)
числовые значения (вместо подчеркнутых переменных), упростить
полученное выражение.
2. Выполнить по алгоритму задание: написать уравнение каса-
тельной к графику функции у = 2х2 - 1, в точке с абсциссой х0 = 3.
Решение:
1)у' = 4х
2)у'(3) = 4-3 = 12
3)у(3) = 2-32-1 = 17
4)у=17+12(х-3)
у=12х-19
34
Урок 13
I. Организационный момент.
П. Тест.
1. Запишите уравнение касательной к графику дифференцируе-
мой функции у = f(x) в точке (х0; f(xo)).
A.y = f(xo) + f(xo)-(x-Xo).
B.y = f(xo) + f(xo)-(x-xo).
B.y = f(xo)-f(x0)-(x.+ x0).
r.y = f(x0) + f(xo)-(x-x0).
2. Какой угол образует с положительным направлением оси абс-
цисс касательная к графику функции у = х3 - 5х + 2х - 1 в точке с
абсциссой О?
A. Тупой.
Б. Прямой.
B. Острый.
Г. Развернутый.
3. Для функции у = х2 + 4 найти точки, в которых угловой коэф-
фициент касательной равен 4.
А. (0; 4); Б. (2; 8); В. (2; 4); Г. Невозможно определить.
4. Для функции у = f(x), заданной графически, найдите график
ее производной.
4 у
А.
♦ у
о
5. Задан закон прямолинейного движения точки x(t) = t2 - 3t.
Найдите скорость и ускорение в момент времени to = 4.
А. 4 и 5; Б. 13 и 8; В.4и1; Г. 5 и 2.
Ответ: АВББГ.
35
III. Решение заданий.
№ 862 (1) - на доске по желанию.
Ответ: у = 1.
№ 864 (1) - учитель с классом.
№ 864 (3) - за доской.
Ответы: 1) — ;3)—.
2 2
№ 866 (1) - учитель показывает на доске решение:
f(x) = ex + e"x
f(x) = ex-ex,
3
так как f (х) = к. то ех - е"х = —.
2
13
Пусть а = е , тогда а — = —
а 2
2а2-2 = 3а
1
aj =2;a2=—.
ех = 2, х = 1п2 или ех = —, нет корней.
f(ln2) = e,n2 + e-,n2 = 2+ -=2,5.
Ответ: (1п2; 2,5).
№ 866 (2,3,4) - работа в группах.
Ответы: 2) (1; 2); 3) (яп; 0), n e Z; 4) (п + 2тт; к + 2тт), n e Z.
№ 867 - учитель с классом.
Ответ:(4;3),(0;-\).
№ 868 - на доске по желанию.
Решение:
Пусть у = kix + bj - уравнение касательной к графику функции
f(x), у = к2х + Ъг - уравнение касательной к графику функции g(x).
Так как касательные параллельны, то ki = k2.
k, = f(x); k2 = g'(x)
f (x) = 3x2 - 1
g'(x) = 6x-4
3x2-
3x2-
3(x2
3(x-
x=l
■1 =6x-4
6x + 3 = 0
-2x+l) = 0
-1)2 = 0
36
f( 1) = -1 (1; -1). Точки, в которых касательные к кривым
g(l) = 0 (1; 0). f(x) и g(x) параллельны.
Напишем уравнение касательной к кривой f(x)B точке х = 1.
f(l) = 3-l =2
y = f(l) + f(l)-(x-l)
у = -1+2(х-1)
у = 2х-3.
Уравнение касательной к кривой g(x) в точке х = 1.
g'(l) = 6-4 = 2
y = g(l) + g'(l)-(x-l)
у = 0 + 2-(х-1)
у = 2х - 2.
Ответ: (1;-1), у = 2х-3; (1; 0),у = 2х-2.
IV. Домашнее задание: № 862 (2), № 864 (2,4).
V. Итог урока.
VI. Дополнительное задание:
№ 891 - на доске по желанию.
Решение:
4
Запишем уравнение касательной к графику функции у = — в
х
точке (1; 4).
у(1) = 4
У'(х) = ~
У'(1) = -4
у = 4-4(х-1)
у = 8-4х.
Прямая у = 8 - 4х пересекает оси координат в точках (0; 8) и (2; 0).
Получается прямоугольный
треугольник с катетами 2 и 8.
SA = — 2- 8 = 8 (кв. ед.)
Ответ: 8.
37
№ 893 - учитель с классом.
Решение:
у = х3-рх, Хо= 1.
Напишем уравнение касательной к графику функции у = х3 - рх
в точке с абсциссой 1.
у'(х) = Зх2 - р
У'(х) = 3-р
У(1)=1-Р
у = (1-р) + (3-р)(х-1)
у=1-р + 3х-3-рх + р
у = (3-р)-х-2.
Так как касательная проходит через точку М (2; 3), то верно ра-
венство
3 =
3 =
2р
Р =
:(3-
6-
= 1
1
' 2'
-Р)'
2р-
•2-
-2
-2
Ответ: при р = —.
№ 896 - самостоятельно.
Решение:
Напишем уравнение касательной к графику функции у = 1 + 1пх
в точке с абсциссой хо, то есть общий вид касательной:
у'(х)=-
X
У'(хо)= —
х0
у(х0) = 1 + 1пх0
у = 1 + 1пх0 + — (х -
х0
у=1 + 1пхо+—-1
х0
у = 1пх0 + —.
Хп
-Хо)
Так как прямая у = ах - 2 касается графика функции у = 1 + 1пх,
38
то верны равенства: — = а и lnxo = -2. Из второго равенства най-
*о
дем х0 = е 2, затем из первого равенства найдем параметр
1 1 2
а=— = —= е .
*о е 1
Ответ: а = е2.
Урок 14
I. Организационный момент.
Собрать на проверку тренажер № 4.
II. Повторение.
№869(1)-устно.
№ 869 (3) - за доской.
№869 (5) -устно.
№ 869 (7) - под диктовку.
Ответы: 1) 8х3 - Зх2 + 3; 3) 2 2
V? *3'
5)16-(2х + 3)7;7) '
3V(3x-2)2
№870 (1,2,4)-устно.
№ 870 (3,5,6) - на доске по очереди.
Ответы: 1) ех - cosx; 2) -sinx ; 4) 24х3 - 9ех;
х
3)cosx- -1 5) -4 + 4ех; 6) -4 + Т"'
З^ х2 х4 2х
№ 871 (1,3) - самостоятельно по вариантам.
2
Ответ: 1) 5cos5x - 2sin(2x - 3); 3) cos(x - 3) +
1-2х
III. Работа с сигнальными карточками.
У каждого ученика есть сигнальная карточка - это может быть
флажок, одна сторона которого выкрашена в зеленый цвет, другая -
в красный. Если ученик согласен с ответом своего товарища, то по-
казывает учителю зеленую сторону карточки, если не согласен -
красную.
1. Вопрос: По какому правилу находится производная произве-
дения?
39
Учитель опрашивает одного или несколько учащихся, пока не
получит верного ответа.
2. Класс делится на 4 варианта и выполняет № 872: первый ва-
риант - 1), второй вариант - 2) и т. д. Время - 2-3 минуты. Затем
учитель просит ученика первого варианта прочитать получившийся
ответ, ученики первого варианта работают с сигнальными карточками.
Учитель отмечает верный ответ. Так же - с другими вариантами.
Ответ: 1) 2xcosx - x2sinx
2)x2(31nx+l)
3)5ех(1+х)
4) sin2x + 2xcos2x.
3. Вопрос: По какому правилу находится производная частного?
4. № 873.
Ответ: 1)
2)
3)
4)
(х2+1)2
2х-х4 ,
(х3+1)2'
cosx(x + l)-sinx
(х + 1)2 '
1-x + xlnx
х(х-1)2
5. Вопрос: Как находится производная сложной функции?
6. № 874.
Ответ: 1) 3sin2xcosx; 2)-sinx-8C0SX-1п8;
3)-4cos3xsinx; 4) —.
х
7. Вопрос: В чем состоит геометрический смысл производной?
8. № 877.
Ответ: 1)у = 4х-9; 2)у = 30х-54; 3)у = — х + 6"^3я ;
лл л/3 , З + л/Зя
4) у = х + .
J 2 6
9. Вопрос: В чем состоит механический смысл производной?
10. № 878 - весь класс выполняет самостоятельно.
Ответ: s(4) = 22 м, о(4) = 7 м/с.
IV. Домашнее задание: № 869 (2, 4, 6, 8), № 870 (2, 4, 6), № 871
(2, 4), №872 (5,6).
40
V. Итог урока.
Самооценка учащихся своих знаний, умений по текущей теме,
работы на уроке.
VI. Дополнительное задание:
№ 882 - устно (рассуждение).
Ответ: у = е"х соответствует г);
у = 1п(-х) - а); у = sin2x - в); у = 2cosx - б).
№ 884 - на доске по желанию.
Решение:
f(x) = х3 + Зх2 + ах.
f(x) = 3x2 + 6x + a.
Зх2 + 6х + а > 0 для всех действительных х, если график функ-
ции у = Зх2 + 6х + а лежит в верхней полуплоскости. Графиком яв-
ляется парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем коорди-
наты ее вершины: х = -1; у = -3 + а. Так как вершина параболы
должна находиться на оси Ох либо выше нее, то должно выпол-
няться условие -3 + а > О, откуда а > 3.
Ответ: а>3.
Урок 15
L Организационный момент.
II. Самостоятельная работа (20-25 минут).
Даны две функции у = f(x) и у = g(x).
1. Вычислите производные следующих функций:
ч <у л *ч f(x) ч t Г\ \ f(x)'g(x)
a)y = f(x);6) y = -^; B)y = g(Vx);r) y= /&v .
х 2
2. Вычислите угловой коэффициент касательной, проведенной к
графику функции у = f(x) в точке с абсциссой х = а.
3. Найдите абсциссы точек графика функции у = f(x), в которых
касательные, проведенные к нему, параллельны прямой у = /(х).
Вариант А1
f(x) = 2x"-x+l
g(x) = 4х
а=1
1(х) = о
Вариант А2
f(x) = x2-3x + 2
g(x) = 2x
а = 2
1(х) = 3 1
41
Окончание табл.
Вариант Б1
Вариант Б2
f(x) = 2xJ-— + -
3 2
g(x)
-?х3-
х + 5
f(x) =
g(x) =
2х-4
х2-3х
а = -1
1(х) = 2х
а= —
4
1(х) =
1-8х
Ответы:
А1. 1)а)4х-1;б)2--Ь в) -|=; г)12х2-4х + 2.
х л/х
2)к = 3.
„.-■!.
А2. 1) а) 2х -3; б) 1 —^-; в) -J=; г) Зх2 - 6х + 2.
х Vx
2) к= 1.
Б1. l)a)6x2--;6)4x--V;B)—U; г)2х3+ — х2 --х-—
2х"
4Vx"
24
2)к-1«.
3
3)х =
1 1
з; з"
Б2. 1)а)2хЦ;б) Ц- _
3 2 3xz 2 4Vx
4.1 .3
■;в)--
ч 3 5 15 4 х2 5 ,
г) —х х + -х-1.
4 18 2 3
2)к--«1.
96
3)х = -1.
42
IIL Домашнее задание: решить задание под рубрикой «Проверь
себя»; индивидуально (по желанию) - № 885, № 890.
IV. Дополнительное задание:
для тех учащихся, кто справился с работой раньше времени:
№ 879 (1), № 880 (1), № 881 (1), № 883 (5).
Ответы:
№879(l)-3sin6x;
№880(1) 4gin2x -
(l + cos2x)2
Зх2 -2х
№881(1) Зх ^ ;
1п2(х3-х2+1)
№883(5К(х) = 0прих=16.
Г(х)>0при0<х<16.
Г(х)<0прих> 16.
V. Анализ решения самостоятельной работы.
Учащиеся сдают листочки (тетради) с решением, но текст само-
стоятельной работы оставляют у себя. Учитель открывает доску,
где заранее записано решение варианта А1 и ответы к другим ва-
риантам (можно воспользоваться проектором).
Учащиеся отмечают неясные для себя места, разбирают ошибки
и т. д., то есть проводят полный анализ решения.
Урок 16
Контрольная работа
Цель: проверка знаний, умений и навыков по текущей теме.
Вариант I.
1. Найдите производную функции:
a)f(x)=-x3-x2-7x;
б)ф(х)=—Т- + 7;
2х3
ч • ч ъ ,( ЗЯ
в) g(x) = ztgx и вычислите g
V 4,
4х + 1
г) h(x) = и вычислите h'(-2).
х + 3
43
2. Решите уравнение f (х) • g'(x) = 0, если f(x) = х - 6х ,
g(x)= yVx.
3. Точка движется прямолинейно по закону x(t) = 3t3 + 2t + 1.
Найдите ее ускорение в момент времени t = 2 (координата x(t) из-
меряется в сантиметрах, время t - в секундах).
4. Найдите угол наклона касательной к графику функции
л/3
f(x)= 1 в точке его с абсциссой х0 = -1.
X
5. Напишите уравнение касательной к графику функции
f(x) = x2-2x в точке его с абсциссой х0 = 2. Выполните рисунок.
Вариант II.
1. Найдите производную функции:
a)f(x) = --x3+4x2+2x;
б)ф(х)=4~10'
х
в) g(x) = 4ctgx и вычислите g'
Зх + 4
г) h(x) = и вычислите h'(4).
х-3
2. Решите уравнение f(x) • g'(x) = 0, если f(x) = х3 - Зх2,
g(x)=-Vx.
3. Точка движется прямолинейно по закону x(t) = 2t3 + 3t + 1.
Найдите ее ускорение в момент времени t = 3 (координата x(t) из-
меряется в сантиметрах, время t - в секундах).
4. Найдите угол наклона касательной к графику функции
s
f(x)= 2 в точке его с абсциссой Хо = 1.
х
5. Напишите уравнение касательной к графику функции
f(x) = х2 + 2х в точке его с абсциссой х0 = -2. Выполните рисунок.
Ответы:
Вариант I.
1.л)2х2-2х-7;6)~; в)ё'(х)=^-, g'f-Hl = 4;
2х4 coszx V 4 ;
44
r)h'(x)=—!L_ h'(-2)=ll.
(x + 3)2
2.4.
3. 36 см/с2.
4.*.
3
5. у = 2x - 4.
Вариант II.
*2 + 8х + 2;б)-4-; B)g'(x)=-i-5 g'L^L-sI;
xJ sur x \ Ъ ) 3
r)h'(x) = -—^-y,h'(4) = -13.
(x-3)2
2.2.
3. 36 см/с2.
4.*.
3
5. у = -2x - 4.
Глава IX. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ
§ 49. ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать достаточный признак убывания (возрастания) функции,
теорему Лагранжа, понятия «промежутки монотонности функции»,
уметь применять производную к нахождению промежутков возрас-
тания и убывания функции.
Урок 17
I. Организационный момент.
Раздать тетради с проверенной контрольной работой.
II. Анализ решения контрольной работы.
При проверке ученических работ учитель делает сводную таб-
лицу допущенных ошибок, например:
45
Ошибка
1. В вычислении производной сте-
пенной функции
2. В применении правила - вычис-
ления производной частного
3. В составлении уравнения
f(x)g'(x) = 0
4. В решении иррационального
уравнения
Количество
и т. д.
Эта таблица поможет учителю быстро и качественно провести
анализ ученических работ.
III. Работа над ошибками (15-20 минут).
Определив задания, при решении которых было допущено наи-
большее количество ошибок, учитель записывает на доске полное
решение этих заданий. Учащиеся сверяют решение, записанное на
доске, со своим решением, исправляют ошибки. По остальным за-
даниям проводится индивидуальная работа учителя с учеником. К
этой работе можно привлечь консультантов из числа учащихся,
получивших «5».
Закончив эту работу, ученик сдает учителю тетрадь для кон-
трольных работ и решает в рабочей тетради карточку № 4 (если он
получил «5») или карточку № 1 (если он получил другую отметку).
После решения карточки № 1 можно взять карточку № 2 и т. д.
Карточка № 1.
Найдите производную функции:
l)f(x) = --x3+2x2-x + 4;
4
2)ф(х) = —+ х;
xz
3)р(х) = (7-Зх)(Зх + 7);
3 + 2х
4) h(x) = и вычислите h'(l);
х —~ z*
5) f(x) = 2sin5x и вычислите f'
Карточка № 2.
Решите уравнение:
1) g'(x) = 0, если g(x) = sinx + 0,5sin2x;
%
46
2) f (x) = 0, если f(x) = cosx - 0,25cos2x;
3) f (x) • g'(x) = 0, если f(x) = x3 - 3x2,
g(x) = j Vx.
Карточка № 3.
1. Найдите тангенс угла наклона касательной к графику функции
f(x) = х3 - 27 в точке пересечения этого графика с осью абсцисс.
2. Напишите уравнение касательной к графику функции f(x) = 2 - х2
в точке с абсциссой х = -3.
Карточка № 4.
1. Записать уравнение касательной к графику у = у(х), проходя-
щей через точку А:
a)y(x)=V^6, А(-2;-1);
б)у(х)=^, А (6; 13).
х-1
2.* Основания трапеции образованы прямой у(х) = 4 - 2х и каса-
тельной к графику функции у(х) = 12-х2; боковые стороны трапе-
ции образованы осями координат. Найти площадь трапеции.
Ответы:
Карточка №1.1) -2х2 + 4х - 1;
2) -4+1;
X
3)-18х.
4)h'(x) = —^-; h'(l) = -7;
2
(х-2)
5)f(x)=10cos5x; f
:i-
Я
Карточка № 2. 1) я + 2як; ± — + 2як, к е Z;
2) яп, n e Z;
3)2.
Карточка №3. 1)27;
2)у = 6х+11.
Карточка№4. 1)а) у = —х—;
47
*ч л 11 36 109
б) у = 4х- 11, у = —х + ;
J J 25 25
153
2)* S = —.
4
IV. Актуализация опорных знаний.
Тестовое задание с самопроверкой. Ответы, записанные на дос-
ке, открываются по окончании работы.
Вариант I.
! №
1
2
3
Дано
f(x) = (3+4x)(4x-3)
, . 4-Зх
g(x) =
X
x(t) = 3t3 + 2t+l;t = 2
Найти
f(-D
g'(-0
о
A
-32
-2
36
Б
32
4
57
В
-50
-4
54
Г
50
2
38
Вариант II.
№
1
2
3
Дано
f(x) = (2 - 5х)(5х + 2)
g(x) =
X
x(t) = 2t3+3t+l;t = 3
Найти
f(-D
g'(-l)
u
A
-32
-2
36
Б
32
4
57
В
-50
-4
54
Г
50
2
38
15
y'(t)= 15-10t
Ответы: Вариант I. АВГ. Вариант II. ГАБ.
Во время этой работы один ученик готовит на доске задачу на
применение производной в физике.
Задача. Помните рассказ о
бароне Мюнхгаузене? Пушка
стреляет под углом к горизон-
ту. На ядре сидит барон Мюнх-
гаузен. Определите характер
движения ядра, если и0у = 15
м/с, gw 10 м/с2, уо = 0.
Постройте графики движе-
ния и скорости.
Решение: Имеет место
равноускоренное движение по
закону y(t) = у0 + u0yt - Щ-~.
y(t)=15t-5t2.
>513
y(t)= 15t-10t2
48
Движение совершается по параболе. Найдем скорость о.
o = y'(t)=15-10t.
Построим графики в одной системе координат.
V. Постановка проблемной ситуации.
Мы знаем, что производная является скоростью изменения
функции, она определяет поведение функции.
Вопрос. Как связаны производная и функция (рассмотрите точ-
ку с абсциссой t = 1,5)? Как бы вы это сформулировали?
Исследование.
1. Для функции у = y(t):
t = 1,5 — точка максимума,
t < 1,5 - функция возрастает,
t > 1,5 - функция убывает.
2. Для функции у = u(t):
t = 1,5 — нуль функции,
t < 1,5 - функция больше нуля,
t > 1,5 - функция меньше нуля.
Таблица.
t
t = 1,5
t < 1,5
t>l,5
y'(t)
y' = 0
y'>0
y'<0
поведение функции y(t)
точка максимума
функция у возрастает
функция у убывает
VI. Итог урока.
1. Повторили правила вычисления производных.
2. Рассмотрели применение производной к решению уравнений
в физике.
3. Приступили к изучению основного применения производной -
исследованию функции с помощью производной и построению гра-
фика функции. Этой теме будут посвящены последующие уроки.
VII. Домашнее задание. № 889, № 888 (1), по желанию - № 897.
Урок 18
I. Организационный момент.
II. Теоретическая часть.
1. Если f (х) > 0 на промежутке, то функция f(x) возрастает на
этом промежутке.
А
49
Так как f (х) > 0, то угловой коэффи-
циент касательной k = tga к графику
этой функции в каждой точке данного
промежутка положителен. Это означа-
ет, что угол наклона а острый и каса-
тельная направлена вверх, поэтому
функция f(x) возрастает.
2. Если f (х) < 0 на промежут-
ке, то функция f(x) убывает на
этом промежутке.
Объясните самостоятельно.
3. Теорема Лагранжа, геометрический смысл формулы, форму-
лировка и доказательство теоремы о достаточном условии возрас-
тания функции - в виде доклада ученика, подготовленного дома.
4. Промежутки возрастания и убывания часто называют проме-
жутками монотонности.
III. Практическая часть.
№ 899 - учитель с классом.
№ 900 (1,2) - на доске по очереди.
№ 900 (3) - под диктовку.
№ 900 (5) - за доской.
№ 900 (7) - самостоятельно с устной проверкой.
Ответы: 1) возрастает при х > —, убывает при х < —.
2) возрастает при х > 0,3, убывает при х < 0,3.
3) возрастает при х > -1, убывает при х < -1.
5) возрастает при х < -1 и х > 1, убывает при -1 < х < 1.
7) возрастает при х < -2 и х > 3, убывает при -2 < х < 3.
№ 901 (1) - на доске по желанию.
50
Ответ:
к
У
1 .
3
0
я
5
; х
№ 908 - учитель показывает на доске решение:
у = х3 - 2х2 + ах.
у' = Зх2 - 4х + а.
у'>0,3х2-4х + а > 0 для всех х, значит, график функции лежит
выше оси Ох. Графиком функции у = Зх2 - 4х + а является парабо-
ла, ветви которой направлены вверх. Необходимо, чтобы вершина
параболы лежала выше оси абсцисс, то есть ордината вершины
должна быть больше нуля.
4 2
Абсцисса вершины х = — = —;
1 4 Л 2 4 8 4
ордината вершины у = 3 • —4* — + а = + а = — + а.
4
—+ а>0
3
4
а>—.
3
IV. Домашнее задание: № 900 (4, 6, 8), № 901 (2), № 909; тре-
нажер № 5.
V. Итог урока.
Самоанализ работы на уроке (что вызывало затруднения, что
было интересно и т. д.).
VI. Дополнительное задание.
№ 907 - индивидуально.
Решение:
1)У
= х3-
■ах
y' = 3xz-a
2) у = ах - sinx
у' = а - cosx
51
у' > 0 у' > 0, а - cosx > О
Зх2 - а > 0 cosx < a
x2>i
3
неравенство верно неравенство верно
при а > 0. при а > 1.
Ответ: а > 0. Ответ: а > 1.
Урок 19
I. Организационный момент.
П. Решение заданий.
№ 902 (1,3) - на доске по очереди.
Ответ: 1) убывает при х * -2;
3) убывает при х > 3.
№ 903 (1) - самостоятельно.
№ 903 (3) - за доской.
Ответ: 1) возрастает при xgR;
3) возрастает при х > —,
2
убывает при х< —.
№ 904 (1) - на доске по желанию.
Ответ: убывает при х < -1,5,
возрастает при х > -1,5.
№ 905 - работа в парах.
Ответ: 1) возрастает при — + яп < х < — + яп, neZ;
6 6
<Z П П гу
убывает при — + яп < х < — + яп, n e Z.
6 6
In 2яп п 2яп
2) возрастает при + < х < — + , n € Z;
F F 18 3 18 3
~ п 2яп 5я 2яп „
убывает при + <х< — + , neZ.
18 3 18 3
III. Практическая работа.
№ 906 - учитель с классом.
52
Ответ:
Работа по карточкам.
1 №
кар-
точки
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11"
12
13
Область
опреде-
ления
2
И;3]
[-2; 5]
Н;1]
Н;8]
[-2; 5]
Н;3]
Н;6]
[-3; 5]
[-5; 3]
Н;3]
[-3; 4]
И; 2]
[-2; 4]
Множест-
во значе-
ний
3
И; 2]
[-5; 3]
[-2; 4]
И; 2]
[-4; 4]
И; 3]
И; 4]
[-3; 4]
И; 2]
И; 4]
[-3; 3]
[-2; 5]
И; 4]
Производ-
ная поло-
жительна
4
И;0
(2; 5)
ИМ)
И; 1)
Н;3)
(5; 8)
(-2; 0)
(3;5)
(-U2)
(-1; О
(i;3)
(-3;-i)
Н;3)
(0;3)
Н;1)
(-3; 0)
(-5; -3)
Н;2)
(-2; 0)
(3;4)
Производ-
ная отри-
цательна
5
(1;3)
(-2;-1)
(-U2)
Н;-1)
(3;5)
(0;3)
И; -1)
(2;3)
(3;б)
(3;5)
(-5; -3)
(-3; 0)
И; -О
0;3)
(0;2)
(2; 4)
(-3;-1)
(0;3)
Нули
функ-
ции
6
-2 и 2
ОиЗ
-4и0
Зи7
0и4
-2 и 2
0и5
-1
-3
-1 и 2
-1и2
-4 и-1
-1 и 2
Касательная
7
53
Окончание табл.
1 1
14
15
16
17
18
19
20
2
[-5; 4]
[-2; 5]
Н;3]
[-3;4]
И; 6]
[-2; 5]
И; 6]
3
И; 5]
И; 2]
[-2; 4]
И; 4]
И; 4]
[-2; 4]
И; 4]
4
(-i;2)
(3;5)
(-i;i)
(0;2)
(-1; 1)
(3;6)
(-2; О
(3;5)
(1;3)
1 5
(-5;-1)
(2; 4)
(-2;0)
(0;3)
И;-1)
(1;3)
(-3;0)
(2; 4)
(1;3)
(1;3)
(-1; О
(3;6)
6
-1иЗ
0и4
7
единственная
касательная
параллельна
оси ОХ
единственная
касательная
параллельна
оси ОХ
Прямые, па-
раллельные
оси ОХ, каса-
ются графика
в точках (1; 4)
и(ЗН)
прямые, па-
раллельные
оси абсцисс,
касаются гра-
фика в точках
(1;4)и(3;1)
прямые, па- 1
раллельные
оси абсцисс,
касаются гра-
фика в точках
(1;-1)и(3;2)|
Ответы
1)
55
56
57
IV. Домашнее задание: № 902 (2, 4), № 903 (2, 4), № 904 (2),
№ 906 (2).
V. Итог урока.
Расскажите о применении производной для исследования функ-
ции, для построения схематического графика.
§ 50. ЭКСТРЕМУМЫ ФУНКЦИИ
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать определения точек максимума и минимума, необходимый
признак экстремума (теорему Ферма) и достаточный признак мак-
симума и минимума, знать определения стационарных и критиче-
ских точек функции; уметь находить экстремумы функции, точки
экстремума, определять их по графику.
Урок 20
I. Организационный момент.
Собрать на проверку тренажер № 5.
П. Работа с учебником.
Прочитать текст § 50. Найти, зачитать и выписать в тетрадь по
теории следующие определения:
1) окрестность точки;
2) точка минимума;
3) точка максимума;
4) точка экстремума;
5) стационарная точка;
6) критическая точка.
III. Отработка определений.
1. Найти по графику точки, с определениями которых только
что познакомились.
Xj -точка минимума;
Х2 - стационарная точка;
х3 - точка максимума;
Х4 - точка минимума,
критическая точка.
Точки экстремума: хь х3, Х4.
58
Стационарные точки (точки, в которых производная равна ну-
лю): хь х2, х3.
Критические точки (точки, в которых функция имеет производ-
ную, равную нулю, или недифференцируема): хь х2, хз, Х4.
2. Функция у = f(x) задана своим графиком.
Укажите:
1) в каких точках графика касательные к нему параллельны оси
абсцисс (х\, х2, х3, х5);
2) чему равна производная в этих точках (нулю);
3) как называются такие точки (стационарные);
4) чему равна производная в точке зд (в точке х± функция не-
дифференцируема, следовательно, производной не имеет);
5) как называется такая точка (критическая);
6) какие точки можно назвать точками экстремума (х\ - точка
максимума, х4 - точка максимума, х$ - точка минимума, хз - точ-
ка минимума).
IV. Работа с сигнальными карточками.
Если утверждение верное, то ученик показывает учителю зеле-
ную сторону карточки, если неверное - красную.
1) Точка Xi - критическая точка (верно)
- стационарная точка (верно)
59
- точка экстремума (верно)
- точка максимума (верно).
2) Точка х2 - критическая точка (верно)
- стационарная точка (верно)
- точка экстремума (неверно)
- точка перегиба (верно).
3) Точка х3 - критическая точка (верно)
- стационарная точка (неверно)
- точка экстремума (верно)
- точка минимума (верно).
4) Всякая критическая точка является точкой экстремума (не-
верно).
5) Всякая точка экстремума является критической точкой (верно).
6) Всякая стационарная точка является точкой экстремума (не-
верно).
V. Изучение теорем.
1) Для того чтобы точка хо была точкой экстремума функции f(x),
необходимо, чтобы хо была критической точкой функции;
достаточно, чтобы при переходе через критическую точку х0
производная функции меняла знак.
2) Выписать в тетрадь по теории теорему Ферма - необходимый
признак экстремума. Рассмотреть геометрический смысл теоремы
(по рис. 126).
3) Выписать в тетрадь по теории теорему о достаточных услови-
ях экстремума. Доказать ее самостоятельно (можно устно), пользу-
ясь теоремой Лагранжа и рисунками 128 и 129 из текста параграфа.
VI. Решение заданий.
№ 912 (1) - учитель с классом.
№ 912 (3) - на доске по желанию.
Ответы: 1)-4; 4; 3)0.
№ 913 (1,3) - на доске по очереди.
Ответ: 1) ±^ 3)0.
№ 914 (1) - за доской.
№ 914 (3) - самостоятельно. х
Ответы: 1) х = 5 - точка минимума.
3) х = -5 - точка максимума.
х = 5 - точка минимума.
VII. Домашнее задание: № 912 (2, 4), № 913 (2, 4), № 914 (2, 4).
60
VIII. Итог урока.
Расскажите алгоритм нахождения точек экстремума функции.
1. Найдем производную функции.
2. Решив уравнение f (х) = 0, найдем стационарные точки функции.
3. Методом интервалов устанавливаем промежутки знакопосто-
янства производной.
4. Если при переходе через точку Хо:
- производная не меняет знак, то хо - точка перегиба;
- производная меняет знак с «+» на «-», то Хо - точка максимума.
- производная меняет знак с «-» на «+», то х0 - точка минимума.
Урок 21
I. Организационный момент.
II. Решение заданий.
№ 910 - устно.
№911 -устно.
№ 915 (1) - под диктовку.
№915(3)-за доской.
Ответы: 1) х = 0 - точка максимума, у(0) = 0
х = 2 - точка минимума, у(2) = -4.
3) точек экстремума нет.
№ 920 - работа в группах.
3
Ответ: 1) х = 5 - точка максимума, у(5) = -6—.
2) х = -1 - точка максимума, у(-1) = —.
х = 0 - точка минимума, у(0) = 0.
2
х = 4 - точка минимума, у(4) =10 — .
2 (2Л е2
3) х = точка минимума, у — = .
71
4) х = — + 2ттп, n e Z - точки максимума,
61
х = — + 2тсп, п е Z - точки минимума,
Зл/З
— + 2яп =•
3 J 4
5) х = 0 - точка минимума, у(0) = ev .
6) х = 0 - точка минимума, у(0)= 1.
№ 917 (1) - самостоятельно, проверка или на проекторе, или на
плакате, который учитель готовит заранее.
Ответ:
№921 (1) - на доске по желанию.
Ответ: один из вариантов решения.
III. Тест. Связь свойств
■ Свойство функции
Производная " —*-—^
функции и производной
Возрас-
тает
Имеет
максимум
Имеет
минимум
Посто-
янна
Убы-
вает
Вариант I.
Укажите, какому свойству удовлетворяет функция у(х/ на от-
резке [1; 3], если задана ее производная.
62
у'=-5
у' = 2-х
у' = 1 + 2х
у' = 0
у' = 5
Вариант II.
Укажите, какому свойству удовлетворяет функция у(х) на от-
резке [-2; 0], если задана ее производная.
у'=-з
у' = -Зх + 5
у' = Зх + 5
у' = 0
у' = Зх2 + 5
Ответы:
Вариант! Вариант II
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
IV. Домашнее задание: № 915 (2, 4), № 917 (2), № 921 (2); тре-
нажер № 6.
V. Итог урока.
Самоанализ учащихся своих знаний и умений. Результаты теста,
коррекция знаний, анализ ошибок.
VI. Дополнительное задание.
№ 922 - индивидуально.
Решение:
y = (x+l)n-e"\ raeneN.
Функция определена и дифференцируема на множестве дейст-
вительных чисел R.
у' = п • (х+ I)""1 • ех + (х+ 1)п• (-е'х) = (х+ If1 • ех • (п-х- 1)
Решим уравнение у' = 0:
63
(x+l)n-1-e"x-(n-x~l) = 0
x + 1 = О или n - х - 1 = О
X = -1 ИЛИ X = П - 1
Рассмотрим знак производной.
Так как е"х > 0 при х е R, то множитель е"х не влияет на знак
производной.
Если п - четное число, то п - 1 - нечетное
и(х+1)п-1>0прих>-1,
(х+1)п"1<0прих<-1.
При х > п - 1, (например, х = п + 2), выражение п - х - 1 меньше
нуля; при х < п - 1, (например, х = п - 3) выражение п - х - 1 боль-
ше нуля.
-1 п-1
Отметим, что точка п - 1 находится правее -1, так как п -нату-
ральное число, то есть п > 0.
х = -1 - точка минимума,
х = п - 1 - точка максимума.
Если п - нечетное число, то п - 1 - четное и (х + I)""1 > 0 для
любого х е R.
п-1
х = п - 1 - точка максимума.
Урок 22
I. Организационный момент.
II. Решение заданий.
№ 916 (1) - устно.
№ 916 (3) - под диктовку.
Ответы: 1) не имеет; 3) не имеет.
№ 918 (1,3) - работа в парах, проверка на доске.
Ответы: 1)0; + J-; 3)1.
№ 919 (1,3) - на доске по очереди.
3
Ответы: 1) х = 2 точка максимума;
я
3) х = — + 7tn, neZ- точки минимума,
6
64
х = — + 7in, n e Z ~ точки максимума.
III. Самостоятельная работа.
Работа дана в 10 вариантах. Первые два из них несколько легче
остальных вариантов. Последние два варианта содержат задания
повышенной сложности. Они могут быть использованы для работы
с учащимися, проявляющими повышенный интерес к математике.
Эти задания могут быть даны таким ученикам после выполнения
ими основной работы наравне со всеми учащимися класса в остав-
шееся время или использованы в качестве необязательных заданий
для домашней работы.
1) Найдите промежутки возрастания и убывания функции
y = f(x).
2) Исследуйте функцию у = f(x) на максимум и минимум.
В1
В2
ВЗ
В4
В5
В6
В7
В8
В9
В10
1)
f(x) = x+-
X
f(x) = x+-
X
a)f(x) = x2 + 3x + 6
6)f(x) = x3 + 2x-l
e)f(x) = x3-3x2 + 5
a)f(x) = -x2 + 4x-3
6)f(x) = x3 + 4x-7
B)f(x) = 2x3-3x2+l
f(x) = 2x3-3x2-12x
f(x) = 2x3 + 3x2-12x
f(x) = 3x3-x2-7x
f(x) = x3 + 3x-8
f(x) = 3x3-2x2 + 3x-2
f(x) = x3-3x2 + 2x-7
2)
y = x3 + 6x2-15x-3
y = x3-6x2-15x + 7
a)f(x) = x4-8x2
6)f(x)=2L + -
4 x
a)f(x) = 2x4-4x2+l
6)f(x)=^ + -
4 x
6)f(x)=2>/x-x
6)f(x)=2x-Vx
x2 4
6)f(x)=^- + -
У X
x2 9
4 x2
6)f(x) = tg3x-tgx-3
6) f(x) = 8sin2x + 2cos2x + 2
3 Григорьева, 11 кл., ч. 1
65
Ответы:
1 B1
В2
вз
В4
В5
В6
В7
В8
В9
возрастает при х < -3 и
х>3;
убывает при -3 < х < 0 и
0<х<3
возрастает при х < -2 и
х>2;
убывает при -2 < х < 0 и
0<х<2
а) возрастает при х < -1,5 и
х>-1,5;
б) возрастает на R.
в) возрастает при х < 0 и
х > 2, убывает при 0 < х < 2
а) возрастает при х < 2,
убывает при х > 2;
б) возрастает на R.
в) возрастает при х < 0 и
х > 1, убывает при 0 < х < 1
возрастает при х < -1 и х ^
2, убывает при -1 < х < 2
возрастает при х < -2 и х >
1, убывает при -2 < х < 1
^ 7
возрастает при х < — и
7
х > 1, убывает при — < х < 1
возрастает на R
возрастает на R
х = -5 - точка максимума
х = 1 - точка минимума
х = -1 - точка максимума 1
х = 5 - точка минимума
а) х = -2 и х = 2 - точки!
минимума,
х = 0 - точка максимума.
б) х = -4 -точка максиму-
ма, х = 4 - точка минимума
а) х = -1 и х = 1 - точки!
минимума,
х = 0 - точка максимума.
б) х = -6 - точка максимума,
х = 6 - точка минимума
а) х = 1 - точка максимума 1
а) х = точка минимума
а) х = ±л/6 - точки миниму-
ма
а) х = ±л/6- точки миниму-
ма
х = — + як,keZ - точки
6
максимума;
х = — + як, keZ - точки
6
минимума _^ч J
66
Окончание табл.
BIO
возрастает при
3-л/з ^ 3 + л/з
х<
их>
убывает при
з-VJ ^з+л/з"
<х<
х = яп, n g Z - точки мини-
мума;
х = — + яп, n e Z - точки мак-
1 2
симума
IV. Домашнее задание: № 916 (2,4), № 918 (2,4), № 919 (2,4).
V. Итог урока.
Обсуждение решения самостоятельной работы, выяснение всех
«непонятных» мест.
§ 51. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
К ПОСТРОЕНИЮ ГРАФИКОВ ФУНКЦИЙ
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать общую схему исследования функции, метод построения
графика четной (нечетной) функции; уметь проводить исследова-
ние функции и строить ее график.
Урок 23
I. Организационный момент.
П. Актуализация опорных знаний.
Тест. Исследование функции по графику производной
(Задания дифференцированы по вариантам.)
На рисунке изображен график производной некоторой функ-
ции. Укажите в таблице интервалы, на которых функция обладает
указанным свойством.
Вариант I.
67
Свойство функции
Возрастает
Убывает
Имеет максимум
Имеет минимум
(-2;0)
(-i;0)
интервал
(-1; О
0;2)
(2;3)
Вариант П.
Свойство функции
Возрастает
Убывает
Имеет максимум
Имеет минимум
Интервал
(-3;-1)
(-2;0)
0;3)
(0;2)
(2;3) j
Ответы:
+
Вариант I
+
+
+
+
+
Ва|
+
эиант II
+
+
+
+
III. Работа с учебником.
Прочитать текст §51. Найти в тексте параграфа, зачитать и вы-
писать в тетрадь по теории схему исследования функции. Разо-
брать вместе с учителем решение задачи 1 из текста параграфа.
Рассмотреть метод построения графика четной (нечетной)
функции на примере задачи 3.
Указать схематично в тетради по теории:
68
у = f(x) - четная функция
Ау
'~"\
0
г
^ч
X
IV. Решение заданий.
№ 923 - устно.
№ 925 - на доске по желанию.
Ответ:
№ 926 (1) учитель с классом.
Ответ:
V. Домашнее задание: № 926 (2,3,4).
VI. Итог урока.
Урок 24
I. Организационный момент.
II. Тест. Применение производной к исследованию функции.
1. Функция у = f(x) задана графиком
у = f(x) - нечетная функция
♦ У
69
Укажите, при каких значениях х f (х) = 0.
A. х = -4 их = 5.
Б. х = -4их = -2.
B. х = -4, х = -2, х = 5.
Г.х = -2их = 5.
2. Укажите, на каком рисунке изображен график непрерывной
функции у = f(x), если известно, что:
а) на промежутке (0; 2) f (х) < 0
i
Б. В. II Г.
б) на промежутках (-3; 0) и (2; 4) f (х) > 0
А. |
^ 0 \ ' /' '
<г\
Б.
-з/"
А
0
Y 4
3. Укажите точки минимума функции у = f(x), если о ее произ-
водной известно следующее:
х
f(x)
(ч»;7)
+
-7
0
(-7;3)
-
3
0
(3;4)
+
4
0
(4;+со) 1
- '
А. х = -7 Б. х = 3 В. х = 4 Г. Таких точек нет.
4. Какие из данных функций возрастают на всей области опре-
деления?
А.у = -Зх+1.
Б. у—Зх2.
70
В.у = х2+ 1.
Г.у = 6х.
Ответ: БВАБГ.
III. Решение заданий.
№ 927 (1,3) - на доске по очереди.
Ответ: . у
1)
№ 928 (1) - учитель с классом.
Ответ:
№ 930 - работа в группах
Ответ:
1)
4 t
71
IV. Домашнее задание: № 927 (2, 4), № 928 (2).
V. Итог урока. Результаты теста.
Урок 25
I. Организационный момент.
Собрать на проверку тренажер № 6.
П. Решение заданий.
№ 931 (1), № 932 (1), № 933 (1) - на доске по очереди.
Ответы:
№931(1)
у А
,V7
I °
3
ЛГ
№933(1)
О
4 х
III. Лабораторная работа.
Оборудование: миллиметровая бумага, карточки с заданием,
цветные карандаши, линейки, таблицы для вычисления арктангенса.
Задания
I. Для функции у = f(x) найдите:
1) область определения;
2) производную;
3) критические точки;
4) промежутки монотонности и экстремумы. По результатам ис-
следования составьте таблицу.
72
II. Постройте график функции у = f (х) в одной системе коорди-
нат (используя цветные карандаши).
III. Напишите уравнение касательной к графику, проходящей
через точку xq. Вычислите угол наклона этой касательной.
| Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
Функция у = f(x)
f(x) = 6x 2x3+l
f(x) = x3-12x-l
f(x) = х4 - 4х2 + 2
f(x) = х4 - 6х" + 3
f(x) = (x+l)'(2-x)
f(x)=4Z7
xz + 5
f(x) = xVl-2x
f(x) = ^f\
x -4
Xo
2
0
3
2
0
0
0
4
y = -18x + 33
a = 93°
y = -12x-l
a = 95°
73
4)
6)
у = 84х-205
а = 89°
у=16х-37
а = 86°
5)
\
\ 4
\ С
А£
Г1
1
1
1
1
[У
(\ \
o\i \
\ \
\ N
\
\
р$
X
у = Зх + 2
а = 72°
5 ч х
74
8)
1
1
\
1
1 1
1» \
"2A
'У
1
1
^ v_
> Л О - — _ W
4 '
\
V
\
1
1
/
/
|l
1
1 29
у = —x + —
9 18
a =174°
IV. Домашнее задание: № 931 (2), № 932 (2), № 933 (2).
V. Дополнительное задание.
№ 935 - индивидуально для тех учащихся, кто раньше справил-
ся с работой.
Решение:
х3-4
У"(х-03 •
Область определения х * 1.
, _ Зх2(х-1)3 -3(х-1)2 -(х3 -4) = (х-1)2(3х3 -Зх2 -Зх3 +12)
У (х-1)6 " (х-1)6
,_ 12-Зх3
У " (х-1)4
(х-1)4
12-Зх2 = 0
х2 = 4
xi = 2; х2 = -2.
у = х
a = 45°
75
х<-2 |-2| -2 <х< 1 I 1 <х<2
х>2
О
Найдем точки пересечения с осями координат:
с осью Ох: у = 0;
с осью Оу: х = 0;
(Зл/4;0)и(0;4).
^4 = 0;х>-4 =
(х-1)3
у = 4
Рассмотрим, как ведет себя функция
= 0;х
прих
= Щ;
>2и
при х <
-2
27-4 23 7
1)Еслих>2,тоу(3)= —— = — = 2-
8 8 8
у(4)=Мг1=«« = 2о=22
27 27 9 9
у(10) =
103-4
«1,4
у(20)=^-^*1,16.
193
Чем большие значения принимает х, тем ближе к 1 приближает-
ся значение функции.
2) Если х < -2, то у(-3) = ~27"4 * 0,5
(-4)
Чем меньшие значения принимает х, тем ближе к 1 приближает-
ся значение функции.
Рассмотрим, сколько действительных корней имеет уравнение
\
j = c при различных с.
х3-4
(х-1)
4
1) с < —. Уравнение имеет один корень.
4
2) с = —. Уравнение имеет два корня.
4
3) — < с < 1. Уравнение имеет три корня.
4) с = 1. Уравнение имеет два корня.
5) 1 < с < 4. Уравнение имеет три корня.
6) с = 4 . Уравнение имеет два корня.
7) с > 4. Уравнение имеет один корень.
Ответ:
4
уравнение имеет 1 корень при с < —, с > 4;
4
уравнение имеет 2 корня при с=—, с=1,с = 4;
4
уравнение имеет 3 корня при — <с < 1, 1 < с < 4.
§ 52. НАИБОЛЬШЕЕ И НАИМЕНЬШЕЕ ЗНАЧЕНИЯ
ФУНКЦИИ
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значе-
ний функции на отрезке [а; Ь] и на интервале; уметь применять
правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функ-
ции на отрезке (на интервале).
Урок 26
I. Организационный момент.
II. Готовимся к экзаменам.
Задания решаются на доске по очереди.
1. Найдите значение производной функции у = sin 4х— в
п
точке Хл =—.
12 2
2. Составьте уравнение касательной к графику функции у = х - Зх
в точке с абсциссой хо = 2.
77
3. В какой точке касательная к графику функции у = х2 - 5х па-
раллельна прямой у = -х?
4. Укажите промежутки возрастания и убывания функции
у = -х4 + 4х2-3.
5. Найдите экстремумы функции у = х3 - Зх2 - 9х - 4.
Ответы: 1) 2д/з ; 2) у = -11х + 12; 3) (2; -6);
4) возрастает при х < -V2 и 0 < х < V2,
убывает при - V2 < х < О и х > V2;
5) х = -1 - точка максимума, у(-1) = 1;
х = 3 - точка минимума, у(3) = -31.
III. Работа с учебником.
Прочитать пункт 1 § 52. Найти в тексте, прочитать и записать в
тетрадь по теории алгоритм нахождения наибольшего и наимень-
шего значений на отрезке [а; Ь].
IV. Решение заданий.
№ 936 - устно.
Ответ: а) х = -3 - точка минимума,
х = 0 - точка максимума,
наибольшее значение 2,
наименьшее значение -3;
б) х = -3 - точка минимума,
х = 0 - точка максимума,
наибольшее значение 3,
наименьшее значение -3;
в) х = -2 - точка максимума,
х = 2 - точка минимума,
наибольшее значение 3,
наименьшее значение -3;
г) х = -2 - точка минимума,
х = 1 - точка максимума,
наибольшее значение 4,
наименьшее значение -2.
№ 937 (1) - учитель с классом.
№ 937 (2) - на доске по желанию.
Ответы: 1) 78 - наиболыиее,-44 - наименьшее значения;
2) 68 - наибольшее, 31 - наименьшее значения.
№938(1) -за доской.
№ 938 (3) - под диктовку.
Ответы: 1)14- наибольшее, -11 - наименьшее значения;
3) -1 - наибольшее, -V2 - наименьшее значения.
78
№ 944 - самостоятельно по вариантам.
Ответ: 1) -1 - наибольшее, 1пЗ — 3 — наименьшее значения;
2) 2 + е"2 - наибольшее, 1 - наименьшее значения.
3) 1,5 - наибольшее, -3 - наименьшее значения.
V. Домашнее задание: № 938 (2), тренажер № 7.
VI. Итог урока.
1. Верно ли, что на отрезке наименьшее значение функция при-
нимает в точке минимума?
2. Приведите пример функции (изобразите на графике), имею-
щей на отрезке [а; Ь] максимум и принимающий наибольшее зна-
чение на конце отреза.
3. Как найти наименьшее и наибольшее значения непрерывной на
отрезке функции, если она имеет несколько критических точек на
этом отрезке? Если она не имеет критических точек на этом отрезке?
Урок 27
I. Организационный момент.
П. Готовимся к экзаменам.
Несколько учеников работают по карточкам на отметку. (Зада-
ния дифференцированы.)
Карточка № 1.
1. Найдите значение производной функции у = 1п(2 - х) в точке
Хо = -1.
2. Составьте уравнение касательной к графику функции
у = 2 х в точке пересечения его с осью координат.
3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = 2х3 - Зх2 - 12х + 1 на отрезке [4; 5].
Карточка № 2.
1. Выясните, является ли прямая у = 12х - 10 касательной к гра-
фику функции у = 4х3.
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = 2х3 - 15х2 + 24х + 3 на отрезке [2; 3].
Карточка № 3.
1. Составьте уравнение касательной к графику функции у = х3 в
точке с абсциссой Хо = 1. Найдите координаты всех точек графика
этой функции, касательные в которых параллельны найденной ка-
сательной.
79
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = 2х3 + Зх2 - 12х - 1 на отрезке [-1; 2].
Карточка № 4.
1. В какой точке касательная к графику функции у парал-
лельна прямой у = х?
2. Укажите промежутки возрастания и убывания функции
у = cosx + 2х.
3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = -х3 - Зх2 + 9х - 2 на отрезке [-2; 2].
Карточка № 5.
1. Найдите координаты точек, в которых касательные к графику
х + 1
функции у = , имеющие угловой коэффициент -1, пересекают
х-3
ось абсцисс.
2. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
у = V2x2 + 5х - 7 на отрезке [3; 4].
Карточка № 6*.
1. Найти а, при которых минимум функции у = ех"а - х равен 5.
2. Найти а, при которых функция у = х3 - ах2 + 5 достигает на
промежутке [0; 2] своего наименьшего значения на правом конце
этого промежутка.
Ответы: Карточка № 1. 1) —; 2) у = -0,5х + 2; 3) 33 - наи-
меньшее, 116 - наибольшее значения.
Карточка № 2. 1) не является; 2) -6 - наименьшее,
7 - наибольшее значения.
Карточка № 3. 1) у = Зх - 2; (-1; -1); 2) -8 - наи-
меньшее, 12-наибольшее значения.
Карточка № 4. 1) (0,25; 0,5); 2) возрастает на R;
3) -24 - наименьшее, 3 - наибольшее значения.
Карточка № 5. 1) (0; 0), (8; 0); 2) V26 - наименьшее,
- наибольшее значения.
Карточка № 6*. 1) а = -4; 2) а > 3.
Остальные учащиеся выполняют следующее задание:
Дана функция у = 2х3 + Зх2 + 2. 1
80
1 1. Напишите уравнение касательной к
графику этой функции, проходящей через
точку с абсциссой -2
1 2. Найдите абсциссы точек графика, каса-
тельные в которых пересекают ось Ох под
углом 45°
1 3. Постройте график данной функции
4. Найдите наибольшее и наименьшее
значения функции на отрезке [-2; 1]
5) Найдите экстремумы функции
, Ответ:
у=12х + 22
-3±VT5
х=
6
i
"I"1
■7*
0 1 *х
-2
-2 - наименьшее, 1
7 - наибольшее зна-
чения
х = -1 - точка мак- 1
симума,у(-1) = 3
х = 0 - точка мини-
мума, у(0) = 2 1
III. Работа с учебником.
Прочитать пункт 2 параграфа 52. Разобрать решение задачи 3.
IV. Решение заданий.
№ 939 (1) - учитель с классом.
Ответ: f(2) = 8 - наименьшее значение.
№ 940 - учитель показывает на доске решение:
Пусть х - первое число, тогда 50 - х - второе число. Сумма ку-
бов этих чисел равна х3 + (50 - х)3. Найдем такое значение х при
котором функция f(x) = х3 + (50 - х)3 принимает наименьшее зна-
чение.
81
f(x) = 300x-7500
f (x) = 0; 300x - 7500 = 0, x = 25 - стационарная точка.
При переходе через точку х = 25 производная меняет знак с «-»
на «+», значит, х = 25 - точка минимума.
О/шет:50 = 25 + 25.
№ 945 (1) - на доске по желанию.
Ответе *Р 2/
№ 946 (1) - самостоятельно, с проверкой на доске.
Ответ: ф L
№ 947 - работа в группах.
щ
Ответ: 1)4; 2)3; 3) —; 4) 1.
V. Домашнее задание: № 939 (2), № 941, № 945 (2), № 946 (2).
VI. Итог урока.
Урок 28
I. Организационный момент.
II. Тест.
1. Функция задана своим графиком. Укажите наибольшее и
наименьшее значения функции.
А У
т4
А. 4 и-2.
Б.Зи-2.
В.4и-1.
Г.2и-4.
2. Найдите наибольшее значение функции f(x) = 5 - х2 на отрез-
ке [-4; 1].
А.-11 Б.8 В.4 Г.5
3. Найдите наименьшее значение функции f(x) = 3sinx на отрез-
я Зя
2;Т
А. 0 Б. -3 В. -1 Г. - такого значения нет.
4. Какая из функций имеет максимум?
А.у = х3. Б.у=--. B.y=Vx\ Г.у = 2х-х2.
ке
82
5. Тело движется по прямой так, что расстояние s до него от не-
которой точки А этой прямой изменяется по закону s = 0,5t2 ~ 3t + 8
(м), где t - время движения в секундах. Найдите минимальное рас-
стояние, на которое тело приблизится к точке А.
А. О м. Б. 3,5 м. В. 4 м. Г. Такого значения нет.
Ответ: АГБГБ.
III. Решение заданий.
№ 942 (1) - учитель с классом.
Ответ: квадрат со стороной —.
4
№ 948 - на доске по желанию.
Ответ: —.
6
№ 949 - учитель с классом.
Ответ: а.
№ 951 - на доске по желанию.
Решение:
Пусть точка В (х; у) лежит на параболе у = х2. Найдем расстоя-
ние между точками А (2; 0,5) и В (х; у):
|AB| = V(x-2)2+(y-0,5)2.
Так как у = х2, то |АВ| = д/(х-2)2+(х2-0,5)2.
Расстояние |АВ| должно быть наименьшим, то есть найдем
наименьшее значение функции f(x) = (х - 2)2 + (х2 - 0,5)2.
f(x) = x4^4x + 4,25.
f (x) = 4x3-4.
f (х) = 0; 4х3 - 4 = 0; х = 1 - стационарная точка.
При переходе через точку х = 1 производная меняет знак с «-»
на «+», значит, х = 1 - точка минимума.
Ответ: (1; 1).
№ 952 - учитель показывает на доске решение:
АВ + ВС + CD = a,
пусть ZABC = х, тогда
ZA=180°-x.
ААКВ - прямоугольный, то-
гда KB =а • sin (180°-х)=
= а • sin х, АК = а • cos(180° -
- х) = -а • cosx.
83
Так как трапеция равнобедренная, то AD = ВС + 2 • АК; AD = а +
+ 2 (-а • cosx) = а - 2а • cosx.
_ с AD + BC^
Площадь трапеции S = ВК.
с a-2a-cosx + a , ч . 2 - п \
S = a sin х = (а - a-cos x)a sin х = a sin х(1 - cos x).
Задача свелась к нахождению такого значения х, при котором
функция S(x) принимает наибольшее значение на интервале 0 < х < п.
S'(x) = a2cosx - a2cos2x'+ a2sin2x
S'(x) = 0; a2(cosx - cos2x + sin2x) = 0
1 - 2cos2x + cosx = 0.
Пусть t = cosx, тогда 1 - 2t2 +1 = 0
D = 9
b-\; t2-i
cosx = —, x = ±— + 2тсп, neZ интервалу (0; ri) принадле-
2я
жит точка х = — :
3
cosx =1, х = 2яп, neZ.
Ни одна точка не принадлежит интервалу (0; я).
При переходе через точку х = — производная S' меняет знак с
2я
«+» на «-», значит, точка х = точка максимума.
2я
Ответ: х = —.
3
IV. Домашнее задание: № 943, № 950.
V. Итог урока.
Самоанализ учащихся своих знаний и умений по текущей теме.
Урок 29
I. Организационный момент.
Собрать на проверку тренажер № 7.
II. Готовимся к экзаменам.
Задания решаются на доске по очереди.
1. Найдите точки экстремума функции у = х3 - 6х2+ 9х + 3 на
84
J
( 6.
промежутке —;2
(Ответ: х = 1 - точка максимума.)
2. Найдите точки экстремума функции у = sinx - cosx на проме-
жутке [0; я].
(Ответ: х = точка максимума.)
3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
3
у = . = на отрезке [-1; 3].
/3 + x-ix2
(Ответ: -j= -наибольшее, 1,5-наименьшее значения.)
V7
4. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллеле-
пипеды, основания которых являются квадратами, а каждая из бо-
ковых граней имеет периметр 6 см. Найдите среди них параллеле-
пипед с наибольшим объемом и вычислите этот объем.
(Ответ: 4 см3.)
5.* Выбирается участок земли в форме прямоугольника задан-
ной площади S; три стороны этого прямоугольника являются забо-
ром, четвертая сторона - берег моря, на котором забор не строится.
Определить t - отношение стороны прямоугольника, расположен-
ной вдоль моря, к стороне, перпендикулярно берегу, при котором
длина забора будет наименьшей.
(Ответ: t = 2.)
III. Самостоятельная работа.
Вариант I. 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функ-
ции у = 8х на отрезке [-1; 2].
2. Разбейте число 10 на два неотрицательных слагаемых так,
чтобы сумма квадратов этих слагаемых была наименьшей.
Вариант II. 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения
функции у = 2х4 - 8х на отрезке [-2; 1].
2. Разбейте число 18 на два неотрицательных слагаемых так,
чтобы произведение квадрата первого слагаемого и второго сла-
гаемого было бы наибольшим.
Вариант Ш. 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения
функции f(x) = -cosx - х на отрезке [-1,5я; 2,5я].
85
2. Число 15 представьте в виде суммы двух неотрицательных
слагаемых так, чтобы произведение квадрата одного из них на дру-
гое было наибольшим.
Вариант IV. 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения
функции f(x) = х3 - 2х2 + 8х - 2 на отрезке [-4; 2].
2. В прямоугольный треугольник с гипотенузой 16 см и углом
60° вписан прямоугольник, основание которого лежит на гипотену-
зе. Каковы должны быть размеры прямоугольника, чтобы его пло-
щадь была наибольшей?
Вариант V. 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функ-
ции f(x) = —— на всей числовой прямой.
х2+1
2. В треугольник с основанием 4 м и высотой 3 м вписан прямо-
угольник наибольшей площади. Найдите площадь этого прямо-
угольника (одна из сторон прямоугольника лежит на основании
треугольника).
Вариант VI. 1. Найдите наибольшее и наименьшее значения
функции f(x) = V2 - х - х2 на всей области определения.
2. Найдите большее основание трапеции наибольшей площади,
если боковые стороны и меньшее основание трапеции равны 20 см.
Ответы:
Вариант I. 1. f(0) = 0 - наибольшее, f(2) = -28 - наименьшее зна-
чения.
2.5 + 5.
Вариант П. 1. f(-2) = 48 - наибольшее, f(l) = -6 - наименьшее
значения.
2. 12 + 6.
Вариант III. 1. f(-l,5rc) = 1,5я - наибольшее, f(2,5rc) = -2,5л; -
наименьшее значения.
2.5 + 10.
Вариант IV. 1. f(2) = 14 - наибольшее, f(-4) = -130 - наимень-
шее значения.
2. 8 см, 2>/з см.
Вариант V. 1. f(l) = 1 - наибольшее, f(-l) = -1 - наименьшее зна-
чения.
2. 3 м2.
Вариант VI. 1. f(-0,5) = 1,5 - наибольшее, f(-2) = f(l) = 0 - наи-
меньшее значения на области определения [-2; 1].
2. 40 см. Указание. Обозначим большее основание через 2х.
ТогдаЬ= д/202-(10-х)2 = д/з00 + 2х-х2;
86
S(x) = 2x + 2° h = (x +10)-л/з00 + 2х-х2;
400 + 20x-2x2
S'(x) = , — и S'(x) = 0 при x = 20.
V300 + 20x-x2
Далее, D(S) = [10; 30], S(20) = 300>/3 > S(10) = 400, S(30) = 0.
IV. Домашнее задание: № 962 (1), № 964, № 972, № 976.
§ 53. ВЫПУКЛОСТЬ ГРАФИКА ФУНКЦИИ,
ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать понятие производной высших порядков (второго, третьего
и т. д.), определения выпуклости (выпуклость вверх, выпуклость
вниз), точки перегиба, уметь определять свойства функции, кото-
рые устанавливаются с помощью второй производной.
Материал данного параграфа не является обязательным для изу-
чения, это дополнительный более сложный материал. Поэтому на
усмотрение учителя урок 30 можно заменить уроком повторения
(упражнения к главе IX).
Урок 30
I. Организационный момент.
П. Теоретическая часть.
1. Пусть функция f(x) дифференцируема на некотором интерва-
ле несколько раз. Производная n-го порядка:
f(n)(x) = (f(n",)(x)y.
Например, дана функция f(x) = х5 + Зх3 - 4х2.
Производная первого порядка или первая производная:
fI(x) = 5x4 + 0x2-8x.
Производная второго порядка или вторая производная:
fn(x) = 20x3+18x-8.
Производная третьего порядка или третья производная:
fm(x) = 60x2+18.
Производная четвертого порядка или четвертая производная:
fIV(x)=120x.
Производная пятого порядка или пятая производная:
f v(x) = 120.
Производная шестого и далее порядка:
fVI(x) = 0.
87
2. Если f'(х) < 0 на некото-
ром интервале, то функция на-
зывается выпуклой вверх на
этом интервале.
Если f'(х) > 0 на некотором
интервале, то функция называ-
ется выпуклой вниз на этом
интервале.
♦ у
♦ у
О
3. В точке перегиба хо дифференцируемая функция меняет на-
правление выпуклости.
Пусть функция f(x) имеет на
интервале (а; Ь) вторую произ-
водную. Тогда если f' (x) меняет
знак при переходе через хо, где
Хо е (а; Ь), то хо - точка перегиба
функции f(x).
III. Практическая часть.
№ 953 (1,3)- на доске по очереди.
Ответ: 1) f'(х) = (2 - х2) cosx - 4xsinx.
2)f'(x) = 20x3+12x-2.
№ 954 (1) - учитель с классом.
№ 954 (3) - на доске по желанию.
№ 954 (2) - за доской.
Ответы: 1) выпукла вниз при х Ф -1.
3) выпукла вниз при х < -1 и х > О,
выпукла вверх при -1 < х < 0.
2) выпукла вниз при х < -1 и х > 1,
выпукла вверх при -1 < х < 1.
№ 955 (1) - учитель с классом.
88
№ 955 (2,3) - самостоятельно по вариантам.
Ответы: 1) --; -; 2) 2; 3) -.
IV. Домашнее задание: № 953 (2; 4), № 954 (4), № 955 (4).
V. Дополнительное задание (если осталось время).
Если кривая какой-либо своей частью неограниченно удаляется
от начала координат, то эта часть (бесконечная ветвь кривой) мо-
жет иметь асимптоту - прямую, к которой кривая неограниченно
приближается или с одной стороны,
или пересекая ее.
Если кривая задана уравнением у = f(x) и существует число а та-
кое, что у -> оо при х -> а + 0 или х -> а - 0, то прямая х = а - вер-
тикальная асимптота.
|у
х = 2 - вертикальная асимптота;
у = 0 - горизонтальная асимптота.
Для определения горизонтальных и наклонных асимптот
у = kx + b при х -» оо вычисляются пределы.
f(x)
к= lim -^, b= lim (f(x)-kx), если они существуют (ана-
х->+оо х х-н-оо
ЛОГИЧНО ДЛЯ X -> оо).
Алгоритм исследования функций можно дополнить:
6) промежутки выпуклости, точки перегиба;
7) асимптоты;
89
8) поведение функции на бесконечности.
Исследуем функцию у = и построим ее график.
х-4
l)D(y):x*4.
_ч , х2-8х + 2
2)У'= =-.
(х-4)2
3) х = 4 - V14 и х = 4 + V14 - стационарные точки.
+ - - +
4) 1 1 1 ►
4-VT4 4 4 + VT4
возрастает при х < 4-Vl4,x>4+ Vl4;
убывает при 4 - yf\4 <x<4,4<x<4+ Vl4~.
5) х = 4 - V14 - точка максимума, у(4 - V14) = 9 - 2V14
X = 4 + Vl4 - точка минимума, у(4 + Vl4) = 9 + 2Vl4.
^ .,,._ 28 - +
6) У = 7 1 ►
х-4 ^ ^
выпукла вверх при х < 4, вниз при х > 4.
Точек перегиба нет.
х = 4 - точка разрыва.
7) lim f(x) = +oo; lim f(x) = -a>
x->4+0 x->4-0
x = 4 - вертикальная асимптота.
2 x-6 ,. x2+x-6
- = lim
k.ltaf^.taiLt:
x-X»^ x J • x->oo x(x-
. -4) x->oo x2-4x
= |imX2-4x + 5x-6= ИтГ1 + 4^6_| = 1
x->oo x2-4x x-**\ x2-4x
b= lim(f(x)-kx) = lim I x
Х-ЮО X->oo
Л , „ a „2
V X~4 J
f. x2 + x-6-x2+4x f. 5x-6 .. (c 14
= hm = hm = lim 5 +
х-юо Х-4 х~>оо Х-4 x-*»^ X-4
у = x + 5 - наклонная асимптота.
8) lim f(x) = +oo; lim f(x) = -oo
x->+oo x->-oo
90
= 5
9) Найдем нули функции.
х +х-6
= 0
х-4
х2 + х-6 = 0
Д=1+24 = 25
х(=-3,х2 = 2
Исследуйте функцию
1
У"х2-х-6
и постройте ее график,
Ответ:
Уроки 31-32
Урок-смотр знаний
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
Во время этой работы учащиеся используют сигнальные кар-
точки (зеленый цвет - учащийся согласен с ответом, красный - не
согласен).
91
1. На доску по очереди вывешиваются плакаты с рисунком и ва-
риантами ответов
У i
0
i
A. f (х) = 0;
Б. Г(х)<0;
B. Г(х)>0
Вопрос: Какое значение прини-
мает производная функ-
ции у = f(x) в точке А.
Ответ: В.
В4
У-
0
i
A. Г(х) = 0;
Б. Г(х)<0;
B. Г(х)>0
X
A. 0<х<4
Б. 0 < х < 2
B. х>2
Вопрос: Какое значение прини-
мает производная функ-
ции у = f(x) в точке В.
Ответ: В.
Вопрос: Назовите промежуток
убывания функции.
Ответ: Б.
у,
о
Г
1
А. х '
\ 1
J .
X
<0
Б. х>0
В.(-оо;4-оо)
Вопрос: Назовите промежуток
возрастания функции.
Ответ: В.
92
5)
У i
о
/
{
/Т\/
1 1 ^х
3
A. 1; !
Б. 0; 1
B. 0;у;1
Вопрос: Назовите точки, в кото-
рых производная функ-
ции равна нулю.
Ответ: А.
2. Учащийся показывает зеленую сторону сигнальной карточки,
если согласен с утверждением, красную - если не согласен.
В точке возрастания функции ее производная больше нуля.
(Верно.)
- Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то
в этой точке имеется экстремум! (Неверно.)
- Производная произведения равна произведению производных.
(Неверно.)
- Наибольшее и наименьшее значения функции на некотором
отрезке наблюдаются или в стационарных точках, или на концах
отрезка. (Верно.)
- Любая точка экстремума является критической точкой. (Верно.)
III. Работа по карточкам.
Учащиеся делятся на группы по 4 человека. Каждая группа по-
лучает карточку. Через некоторое время каждая группа по очереди
отвечает у доски.
Карточка № 1.
1. Расскажите о геометрическом смысле производной. Выведите
уравнение касательной к графику функции.
2. Докажите, что функция f(x) = 6х + 5cosx возрастает на множе-
стве действительных чисел.
* 3. Число 15 представьте в виде суммы двух положительных сла-
гаемых так, чтобы сумма куба первого и утроенного второго сла-
гаемого была наименьшей.
4. Исследуйте функцию и постройте ее график: f(x) = х4 - 8х2.
Карточка № 2.
1. Расскажите о применении производной к вычислению скоро-
сти и ускорения прямолинейного движения.
2. Напишите уравнение касательной к графику функции
f(x) = -sinx в точке его с абсциссой х0 = 0.
93
3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) = -х3 + 2х2 - 8х + 1 на отрезке [-2; 1].
1 з
4. Исследуйте функцию f(x) = — х -Зх и постройте ее график.
Карточка № 3.
1. Расскажите достаточные признаки возрастания и убывания
функции.
2. Точка движется прямолинейно по закону s(t) = 6t3 + 5t + 2
(S - путь в метрах, t - время в секундах). Найдите скорость и уско-
рение движения в момент времени t = 2.
3. Найдите угол наклона к оси абсцисс касательной, проведен-
ной к графику функции f(x) = -0,5х2 + 6 в точке его с абсциссой 1.
4. Рассматривается множество прямоугольников, вписанных в
криволинейную трапецию, ограниченную графиком функции
f(x) = -0,5х2 + 6 и осью абсцисс. Две вершины прямоугольников
лежат на параболе, а две другие на оси абсцисс. Какой из этих пря-
моугольников имеет наибольшую площадь?
Карточка № 4.
1. Расскажите о применении производной к нахождению крити-
ческих точек функции, ее максимумов и минимумов.
2. Напишите уравнение касательной к графику функции
f(x) = -0,5х2 + 2х в точке его с абсциссой х0 = 0.
3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
к 1%
4. Исследуйте функцию f (х) = 2x^/3 - х и постройте ее график.
Карточка № 5.
1. Приведите общую схему исследования функции и построения
ее графика. Расскажите об исследовании квадратичной функции
при помощи производной.
2. Найдите абсциссы точек графика функции f(x) = 2sinx - х, в
которых касательная параллельна прямой у = 3.
3. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
1 з
f (х) = - х - 9х +10 на промежутке [0; 6].
х-2
4. Исследуйте функцию f(x) = 1(Ъ-г и постройте ее график.
х2+ 5
94
f(x) = -7х - 6sinx на промежутке
Карточка № 6.
1. Расскажите план нахождения наибольшего и наименьшего
значения функции на отрезке.
2. Найдите промежутки возрастания и убывания функции
f(x) = 0,2x5-x3-4x+l.
3. Забором длиной 24 требуется огородить с трех сторон прямо-
угольный палисадник наибольшей площади. Найдите размеры па-
лисадника.
4х — 8х
4. Исследуйте функцию f (х) = —г и постройте ее график.
4х2-8х + 5
IV. Историческая справка.
Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем
сравнительно недавно, в конце XVII столетия. Тем более порази-
тельно, что задолго до этого Архимед не только решил задачу на
построение касательной к такой сложной кривой, как спираль, но и
сумел найти максимум функции f(x) = х2(а -х).
В XVII в. на основе учения Г. Галилея о движении активно раз-
вилась кинематическая концепция производной. Различные вари-
анты изложения, примененные к разным задачам, встречаются уже
у Р. Декарта, французского математика Роберваля (1602-1675),
английского ученого Д. Грегори (1638-1675), в работе И. Барроу
(1630-1677).
Систематическое учение о производных развито Лейбницем и Нью-
тоном, который сформулировал и две основные проблемы анализа:
«1. Длина проходимого пути постоянно дана; требуется найти
скорость движения в предложенное время.
2. Скорость движения постоянно дана; требуется найти длину
пройденного в предложенное время пути».
Первая проблема задает программу развития дифференциально-
го исчисления.
Вторая относится к интегральному исчислению.
V. Домашнее задание: (дифференцировано по уровню сложности):
1) задания под рубрикой «Проверь себя!»;
2) № 956 (3, 4), № 959 (2); № 963;
3)№ 968, №970(1), №973;
4) № 975, № 980, № 981 (2,4).
VI. Итог урока.
95
Урок 33
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
Цель: проверка знаний, умений и навыков по текущей теме.
Вариант I.
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
9
у = 4х + •— на отрезке [0,5; 4].
х
1 о
2. Исследуйте функцию f(x) = -х - 4х -3 и постройте ее график.
3. Число 8 представьте в виде суммы двух неотрицательных сла-
гаемых так, чтобы произведение куба одного из них на другое сла-
гаемое было наибольшим.
4.* Используя результаты задания 2, определите число корней
уравнения f(x) = с, где с - действительное число.
Вариант П.
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
4
у = х + — на отрезке [1; 4].
х
1 о
2. Исследуйте функцию f(x) = —х+4х + 3 и постройте ее
график.
3. Число 12 представьте в виде суммы двух неотрицательных
слагаемых так, чтобы произведение куба одного из них на удвоен-
ное другое слагаемое было наибольшим.
4.* Используя результаты задания 2, определите число корней
уравнения f(x) = m, где m - действительное число.
Ответы:
Вариант I.
1.12- наименьшее, 20 - наибольшее значения.
96
3.8 = 6 + 2.
1
1
4.* Уравнение имеет 1 корень, если с> 2—, с < -8—; два корня,
если с = 2— или с = -8—; три корня, если - 8— < с < 2—.
3 3 F F 3 3
Вариант П.
1.4- наименьшее, 5 - наибольшее значения.
2.
X
f (X)
f(x)
х<-2
-
^^
-2
0
-г!
3
-2<х<2
+
^
2
0
81
3
х>2
-
^
4 Григорьева, 11 кл., ч. 1
97
3. 12 = 9 + 3.
4.* Уравнение имеет 1 корень, если m < -2—, m > 8—; два кор-
ня, если m = -2— или m = 8—; три корня, если - 2— < т< 8—.
ГлаваХ. ИНТЕГРАЛ
§ 54. ПЕРВООБРАЗНАЯ
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать определение первообразной, основное свойство первооб-
разной; уметь проверять, является ли данная функция F первооб-
разной для другой заданной функции f на данном промежутке,
уметь находить первообразную, график которой проходит через
данную точку.
Урок 34
I. Организационный момент.
Раздать тетради с проверенной контрольной работой.
II. Анализ решения контрольной работы и работа над ошиб-
ками-см. урок 17.
Карточка № 1.
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) = — , на отрезке [-1; 0,5].
х2+1
2. Исследуйте функцию у = 4х - х4 и постройте ее график.
Карточка № 2.
1. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
2х
f(x) = — , на отрезке [-2; 0,5].
х1 + 1
2. Исследуйте функцию у = 8х и постройте ее график.
4
Карточка № 3.
1. Рассматриваются всевозможные прямоугольные параллеле-
пипеды, у которых одна из боевых граней является квадратом, а
периметр нижнего основания равен 12 см. Найдите среди них па-
раллелепипед с наибольшим объемом и вычислите этот объем.
98
2. Найдите наименьшее значения функции у = 1 + 4sinx - 2x на
отрезке [0; я].
Карточка № 4.
Клиент арендует у транспортной фирмы автомобиль для пере-
возки груза на дальнее расстояние. Повременная плата за аренду
равна 20t дукатов, где t - время аренды в часах. Кроме того, клиент
оплачивает стоимость израсходованного горючего, которая равна
о
320
дукатов за километр, где о - скорость движения. Предполага-
ется, что перевозка осуществляется с постоянной скоростью. Опре-
делить скорость и, при которой расходы владельца груза на его пе-
ревозку будут наименьшими.
Ответы:
Карточка № 1.
l.minf=f(-l) = 0,5;
И; 0,5];
maxf=f(0)=l;
Н;0,5].
2.
Карточка № 2.
l.minf=f(-l) = -l;
[-2; 0,5];
maxf=f(0,5) = 0,8;
[-2; 0,5].
Карточка № 3.
1.V = 32cm3.
2. 1-2тс.
Карточка № 4.
Пусть S - путь. Тогда время t = —.
99
Расходы владельца Р = 20— + S, где S - постоянная величина.
V 320
P'(S) =
( 2\
6400S + SU =2So-320u~320(6400S + So2) =
320о
= 640SO2 - 320 • 6400S - 320So2 = 320Su2 - 320 • 6400S
320So2-320-6400S = 0
320Su2 = 320 • 6400S
о2 = 6400
о = 80
(о = -80 не удовлетворяет условию задачи).
При переходе через точку о = 80 производная меняет знак с «-»
на «+», следовательно, это точка минимума.
Ответ: 80 км/ч.
III. Теоретическая часть.
Вспомним две основные проблемы анализа, сформулированные
Ньютоном (см. урок 32). Первая относится к дифференциальному
исчислению, так как скорость является производной пути. Вторая
проблема - это задача, обратная первой, то есть по заданной скоро-
сти определить путь. Необходимо найти такую функцию s(t), про-
изводная которой равна o(t). Такую функцию s(t), что s'(t) = u(t),
называют первообразной функции u(t). Сам процесс нахождения
первообразной называется интегрированием.
Определение. Функция F(x) называется первообразной функ-
ции f(x) на некотором промежутке, если для всех х из этого
промежутка F'(x) =f(x).
Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на не-
котором промежутке, то все первообразные функции f(x) записы-
ваются в виде F(x) + С, где С - произвольная постоянная.
IV. Практическая часть.
№ 983 (1) - учитель с классом.
№ 985 (1) - под диктовку.
№ 985 (3) - за доской.
х5 1
Ответы: 1) — + с; 3) + с .
5 2х2
V. Домашнее задание: № 983 (2), № 984 (2, 4).
VI. Итог урока.
1. Дайте определение первообразной функции.
100
2. Как показать, что функция F(x) является первообразной
функции f(x) на некотором промежутке?
3. Верно ли, что для заданной функции ее первообразная опре-
деляется неоднозначно? Из чего это следует?
Урок 35
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
1. Задание записано на доске.
Определите, какая функция должна быть в скобках, чтобы вы-
полнялось равенство:
( )' = 4;( )' = sinx;( )' = cosx;( )' = 3x2;
( )' = 0;( )' = ех;( )'=!;( )' = 18х;
х
( )' = х + 5;( )'=Д=;( )' = cos3x.
2Vx
Учитель записывает функцию в скобки по устным ответам уча-
щихся. Обратить внимание на неоднозначность ответа.
2. Для какой из функций
f(x) = 3(х2 - 2), g(x) = Зх(х2 - 2) и q(x) = Зх2 - 6х + 1 функция
F(x) = х3 - Зх2 + 1 является первообразной?
3. Среди трех данных функций укажите такую, что две другие
являются соответственно производной и первообразной для нее:
a) f(x) = 3 - 2sinx; g(x) = Зх + 2cosx; h(x) = -cosx;
6)f(x)=-i-,g(x) = -l,h(x) = -4'
III. Решение заданий.
№ 984 (1) - самостоятельно.
№ 986 (1) - учитель с классом.
х2 1
Ответ: F(x) = — + 2—.
v ' 2 2
№ 987 (1) - на доске по желанию.
IV. Самостоятельная работа.
Самостоятельная работы рассчитана на 8-15 минут, возможно
последующее обсуждение результатов на этом же уроке. Работа
дана в 10 вариантах.
Первые два легче остальных, последние два, задания повышен-
ной сложности, используются как дополнительное задание.
101
Bl
B2
1. Докажите, что функция
F(x) есть первообразная для
функции f(x) на R
a)F(x) = xJ-2x+l,
f(x) = 3x2-2;
б) F(x) = 2sin2x - 2,
f(x) = 4cos2x
a)F(x) = x4-3x2 + 7,
f(x) = 4x3-6x;
6)F(x) = cos(2x-4)+l,
f(x) = -2sin(2x-4)
2. Найдите одну из первооб-
разных для данной функции
HaR
a)f(x) = x';
б)<р(х) = -3,5
a)fl[x) = -x4;
6)f(x) = 4,6
Докажите, что функция F есть
первообразная для функции
на указанном промежутке
Является ли функция F пер
Авообразной для функции f на
указанном промежутке?
ВЗ
- + 1,
a)F(x) =
f(x) =
X"
6)F(x)=6x_1'5'Vx,
= —г>х<°;
а) F(x) = 2х + tgx,
f(x)=2 + _,_-<х<-;
COS X 1 *
йл с/ л 10 ег л 10
б) F(x) = —, f (x) = —-,
х х2
-3 < х < 3
f(x) =
2-'Х>0
х2
В4
a)F(x) =
f(x) =
6)F(x)
f(x) =
4-з.
X
= —г,х<0;
x
= 4x-1'5Virr,
=-4»x>°
X
a) F(x) = 3x - ctgx,
f(x)=3 +
1
sin2x
, 0 < x < л;
6)F(x)=-,f(x) = -4
x x2
-4<x<4
B5
a)F(x):
f(x) =
6)F(x)
f(x) =
1
2^\
= sin2x+l,
sin2x, x < 0
,x<0;
a) F(x) = 3x2 + cosx + 3,
f(x) = 6x - sinx, xeR;
6)F(x)=-4,f(x) = -,
x2 x
xeR
102
a) F(x) = xz + sinx + 5,
f(x) = 2x + cosx, xeR;
6)F(x)=-4,f(x) =-I-,
xJ x
xeR
B6
a)F(x)=Vx+7x^-2,
f(x) = —j= + —Jk, x > 0;
2Vx 2
6)F(x) = 3-cos2x,
f(x) = sin2x, x>0
B7 | a) F(x) = 2 - sinzx + coszx,
f(x) = -2sin2x, 0 < x < 2;
6)F(x) = (x-l)4
f(x) = 4x3-12x2+12x-l,
xe R
a)F(x)= Vx^T + 2,
1
f(x) =
2л/х~-
,х>1;
6)F(x)=3x2-l,
f(x) = x3 - x, x e R
a) F(x) = 2sinzx • cos^x,
f(x) = sin4x, -3 < x < 0;
6)F(x) = (x + 2)4
B8
a)F(x) = 2VlTx" + l,
1
i
f(x) = 4xJ + 24x' + 48x+32,
XE R
f(x) =
VTTx
,x>-l;
1
6)F(x)=x" —=,
Vx
f(x) = 4x3-2Vx,x>0
B9
F(x) = x|x|,
f(x) = 2|x|,
xeR
a)F(x)= V4x7-l+5,
f(x)
14xe
4
4x7-l
,3<x<4;
6)F(x) =
x3-3!
f(x)=-
вх1
(x3-3)2'
1 <x<2
BIO I F = xJ|x|,
f(x) = 4x2|x|,
xeR
a)F(x)= V4x5-3x2+7,
« ч 10x4~3x , ^ ^o
f(x) = , _ =, 1 < x < 2;
6)F(x) =
V4x5-3x2
1
(x3+3)2
ir л 6x
f(x)= = =-,
(x3+3)3
-2 < x < -1
103
Bl
B2
ВЗ
В4
Ответы:
х6
2. а)— + С; б)-3,5х + С
х5
2. а) - —+ С; б)4,6х + С
2. а) да; б) нет.
2. а) да; б) нет.
В5
В6
В7
В8
В9
В10
2. а) да; б) нет.
2. а) да; б) нет.
2. а) да; б) нет.
2. а) да; б) нет.
2. а) да; б) нет.
2. а) да; б) нет.
V. Домашнее задание: № 984 (2), № 986 (2), № 987 (2).
VI. Итог урока.
§ 55. ПРАВИЛА НАХОЖДЕНИЯ ПЕРВООБРАЗНЫХ
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать таблицу первообразных, правила интегрирования; уметь
находить первообразные функций в случаях, непосредственно сво-
дящихся к применению таблицы первообразных и правил интегри-
рования.
Урок 36
I. Организационный момент.
П. Тест.
1. Функция F(x) = х3 - Зх + 1 является первообразной функции:
A.f(x)=-x4--x2+x;
4? 2
B.f(x) = 3(x2-1);
В. f(x) = Зх3 - 3;
Г. f(x) = 3x2-3+x.
2. Найдите все первообразные функции у = 2х3 - 6х2 + х - 1.
A.F(x) = 6x2-12x + C;
Б. F(x) = -х2(х2 +1)-2х(х2 +1) + С;
В. F(x)= -х2(х2 +1)-2х3 -х + С;
r.F(x)=-x3-3x2+x + C.
3 2
3.'Найдите первообразную функции f(x) = 4 - х , график кото-
рой проходит через точку (-3; 10).
х3 1
A. F(x)=4x- —+ 290-;
3 3
Б. F(x) = -2х + 4;
104
B.F(x) = 4x- — +31;
x3
I\F(x)=- — + 4x + 13.
3
4. Найдите функции, производной которых является функция
= 2х + х*.
у = 2х
A.f(x)=-x3 + x2+C;
3
Б. f(x) = 2х + 2 + С;
B.f(x) = x2 + x3 + C;
Г. f(x) = 2х2 + х3 + С.
5. Найдите какую-нибудь первообразную функции f(x) = 2х3 + х2 +3,
которая принимает положительное значение при х = -1.
A.F(x) = 6x2 + 2x+4;
х4 х3
B.F(x)=—+—+Зх-1;
' 2 3
B.f(x)=—+—+Зх + 2-;
2 3 6
/ х4 х3
T.f(x)=—+—+ 3х + 3;
w 2 3
Ответ: БВГАГ.
III. Изучение нового материала.
1. Рассмотреть таблицу первообразных в тексте параграфа. До-
полнить ее:
Функция
к
1
ах
1
COS X
1
sin x
Первообразная
кх + С
2л/х+С
я"
—+ С
In a
tgx + C
-ctgx + С
2. С помощью правил дифференцирования получите правило
интегрирования суммы двух функций и правило интегрирования
произведения функции на постоянную. Записать на доске.
105
Если F - первообразная для f, a G - первообразная для g, то:
- F ± G первообразная для f ± g;
- kF первообразная для kF, где к - некоторая постоянная.
3.№ 988(1)-устно.
№ 988 (3) - за доской.
№ 988 (5) - под диктовку.
6 ^
Ответы: 1) -—х3;3)21пх--;5) 2х3-2х2 + 3х.
3 г х
№ 989 (1,3,5,7) - по очереди на доске.
Ответы: 1) 3sinx + 4cosx; 3) ех - 2sinx;
9 /—
5) 5х + е'х + 3sinx; 7) -xvx -21nx + 3ex .
№ 990 - самостоятельно по вариантам с последующей провер-
кой на доске.
Ответ: 1) £±!L; 2) (*~2) ; 3) Wx^2; 4) ^/(х + 3)2;
5) 1п(х -1) + 4sin(x + 2), где х > 1;
6) 31п(х - 3) + 2cos(x- 1), где х > 3.
№ 993 (1) - учитель с классом.
№ 993 (3) - на доске по желанию.
№ 993 (2,4) - самостоятельно с устной проверкой.
№ 993 (5) - за доской.
№ 993 (6) - учитель с классом.
1 2х 1 X 5 2х+-
Ответы: 1) — е —sin3x;3)-10cos е 3.
' 2 3 5 2
1 1 х 2 зх-i
2) 4е4 —cos2x;4)21sin — + -е 2.
2 7 3
5)~xJ~~cos(4x + 2);6)~V3x + l-^ln(2x-5),
где х> 2,5. >
IV. До^шнее задание: № 988 (2, 4, 6), № 989 (2, 4, 6, 8), тре-
нажер № 8.
V. Итог урока.
1. Какую операцию называют дифференцированием? Какую -
интегрированием?
2. Назовите известные вам правила интегрирования.
106
VI. Дополнительное задание.
№ 997 - индивидуально.
Решение:
y = 2sin5x + 3cos—
2 х
F(x) = —cos5x + 6sin— + С
5 2
'^
13
2 5я . . n _ 1 „ ^ Л4 „
= —cos— + 6sm —+ C = — + 3 + C = 2- + C
5 3 6 5 5
2- + C = 0;
5
C=-2±.
5
2 x 4
Ответ: F(x) = —cos5x + 6sin—2—.
5 2 5
Урок 37
I. Организационный момент.
П. Повторение.
Программированный контроль.
1 Задание
1 Вариант I
Вариант II
1 Для функции f(x) найдите первообразную F(x), если:
i)f(X)=4;
X
F(l)=l |
i)f(X)=-y;
X
F(l)=l I
1 Найдите общий вид первообразных для функций:
2) f(x) = 2sin3x; I
Ъ\ f(v\ — 1 4-
cos 4x |
2) f(x) = 3cos2x;
1"» f(x~\ — 1 +
J) T[X) 1 "I" 2
sin 4x
Ответ |
1
-x^-2
2
—cos3x + C
3
x—ctg4x + C
4 &
2
-x2 + 2
2
—cos3x + C
3
x + -tg4x + C
4 &
1 3
-2x' + 3
3
—sin2x + C
2
x—tg4x + C
1 4 б
4 1
2x' - 1
3
-sin2x + C
2
x + —ctg4x + C
4 б 1
Ответ: Вариант 1-212; Вариант П - 341.
107
III. Решение заданий.
№991(1) -устно.
№ 991 (3) - под диктовку.
№ 991 (5) - на доске по желанию.
№ 991 (7) - за доской.
Ответы: 1) —cos(2x + 3) + C; 3)2sin[ —-1 J + C;
х+1
1
5) 2e 2 +C; 7)-ln2x + C, x>0.
№ 992 (1) - учитель с классом.
№ 992 (3) - под диктовку.
2 I
Ответы: 1)х +Зх-2; 3)—cos2x + 4,5.
1
№ 994 (1,2,3) - на доске по очереди
Ответы: 1) —
3
2\
2 5 4 х
~XJ -X +
5 2
|;2)5
3 4 3 2 »
-х4—xz+2x
2 2
3)1х3-1х2-3х.
3 ■ 2
x3Vx";
№ 995 - самостоятельно по вариантам.
(А 2\ #— (9 3^
Ответ: 1) —х + — xvx; 2) —х —
w Ъ) \1 2)
3)V?(-x + 6|; 4)2V^(-x-3j.
№ 996 - работа в парах.
Ответ: 1) —cos2x; 2)—cos2x.
' 4 ' '2
№ 998 (1) - учитель показывает на доске решение:
с, ч х х-3 + 3 л 3
f(x) = - = — = 1 + г
х-3 х-3 х-3
F(x) = х + 31п(х - 3), где х > 3.
№ 998 (3) - на доске по желанию.
Ответ: — х + — sin2x.
2 4
IV. Домашнее задание: № 991 (2,4,6,8), № 992 (2,4), № 994 (4).
108
V. Итог урока.
Самоанализ учащихся знаний и умений по текущей теме.
VI. Дополнительное задание:
№ 998 (2,4) - индивидуально.
Решение:
2)f(x) = -
х-1
х-1
1
+ х-3 (х-1)(х + 2) х + 2
F(x) = ln(x + 2), где х > -2, х * 1.
4) f(x) = sin3xcos5x = — (sin8x-sin2x)
F(x) = 4 -~cos8x + —cos2x = —cos2x cos8x.
1\ 8 2 J 4 16
§ 56. ПЛОЩАДЬ КРИВОЛИНЕЙНОЙ ТРАПЕЦИИ
И ИНТЕГРАЛ
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать, какую фигуру называют криволинейной трапецией, фор-
мулу вычисления площади криволинейной трапеции, определение
интеграла, формулу Ньютона-Лейбница; уметь изображать криво-
линейную трапецию, ограниченную заданными кривыми, находить
площадь криволинейной трапеции.
Урок 38
I. Организационный момент.
Собрать на проверку тренажер № 8.
П. Изучение нового материала.
1. Ввести понятие криволинейной трапеции.
№ 999 (1) - учитель с классом.
№ 999 (3) - на доске по желанию.
Ответ: yi
о
1
109
2. Вывести формулу вычисления площади криволинейной тра-
пеции S = F(b) - F(a).
№ 1000 (1) - учитель с классом.
№ 1000 (3) - под диктовку.
№ 1000 (5,6) - на доске по очереди.
Ответы: 1) 60; 3) 6; 5) 1; 6) -.
3. Дать определение интеграла, записать формулу Ньютона-
Лейбница. Разобрать решение задач 1 и 2 в тексте параграфа.
4. Ввести понятие интегральной суммы функции на отрезке. С
помощью рисунка 156 разобрать подробно разбиение криволиней-
ной трапеции, нахождение ее площади.
III. Домашнее задание: № 999 (2, 4), № 1000 (2, 4).
IV. Итог урока.
1. Какая фигура называется криволинейной трапецией?
2. Какие из фигур являются криволинейными трапециями?
А
3. Как найти площадь криволинейной трапеции?
4. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
+ 4х
5. Докажите, что площа-
ди криволинейных трапе-
ций, заштрихованных на
рисунке, равны.
ПО
Урок 39
I. Организационный момент.
П. Устная работа. У А
Учитель заранее готовит на
доске задание или использует
кодоскоп.
Задание: укажите форму- ГТ ;
лу для вычисления интеграла
через площади фигур Si, S2,
S3 и S4.
Интеграл
ь
Jf (x)dx
а
lb
Jg(x)dx
a
b
J(f(x)-g(x))dx
a
J(g(x)-f(x))dx
a
b
J(g(x)-f(x))dx
с
Площадь
Si — S3 — S4
Sj + S2 ~~ S4
-s,
S3 + S4
S2 + S3
Ответ:
+
+
+
+
+
III. Решение заданий.
№ 1001 (1) - за доской.
№ 1001 (3) - на доске по желанию.
2 1
Ответы: 1) 10 —; 3) 1 —.
111
№ 1002 - работа в парах.
Ответ: 1) 11 — ; 2) 12 — .
' 4 ' 3
№ 1003 (1) - учитель показы-
вает на доске решение:
Ду
5х — х~
S=J(5x-x2)dx =
'5х2 х3^
125 125 20 8 ^ 1Л „с
+ - = 23—10 = 13,5
2 3 2 3 2
№ 1003 (3) - на доске по желанию.
Ответ: е - 2.
IV. Тест.
1. На каком рисунке изображена фигура, не являющаяся криво-
линейной трапецией?
\г
/
\
0
1У
10
Б
а
X
2. С помощью формулы Ньютона-Лейбница вычисляют:
A. Первообразную функции;
Б. Площадь криволинейной трапеции;
B. Интеграл;
Г. Производную.
3. Найдите площадь заштрихованной фигуры.
А.О. Б.-2. В. 1. Г. 2.
4. Найдите площадь фигуры, ограниченной осью Ох и парабо-
лой у = 9 - х2.
А. 18. Б. 36. В. 72. Г. Нельзя вычислить.
112
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной графиком функции
у = sinx, прямыми х = 0их = 2л;и осью абсцисс.
А. 0. Б. 2. В. 4. Г. Нельзя вычислить.
Ответ: БВГБВ.
V. Домашнее задание: № 1001 (2), № 1003 (2,4).
VI. Итог урока.
Площадь криволинейной трапеции находится с помощью инте-
грала. Интеграл вычисляется с помощью формулы Ньютона-
Лейбница (если удастся найти первообразную) или с помощью ин-
тегральных сумм (если не удается найти первообразную). Дома
еще раз прочитать в тексте параграфа материал, относящийся к вы-
числению интегральных сумм.
Урок 40
Лабораторно-графическая работа по теме
«Вычисление площадей геометрических фигур,
ограниченных криволинейным контуром»
Цель: закрепить навыки применения определенного интеграла к
вычислению площадей криволинейных трапеций.
Оборудование: карточки с заданием, масштабные линейки, лека-
2 1 1
ла (шаблоны параболы у = ах + Ьх + с при а = 1; -;—, гипербол),
миллиметровая бумага, таблицы логарифмов, микрокалькулятор.
Задания:
I. Постройте геометрическую фигуру, ограниченную графиком
функций у = f(x), у = g(x), прямыми х = а, х = Ь, осью абсцисс.
II. Найдите площадь фигуры двумя способами:
1) с помощью интеграла;
2) приближенно, разбивая соответствующую фигуру на п криво-
линейных трапеций и заменяя каждую из них соответствующей
прямолинейной трапецией, то есть по формуле:
о Ь-а(1 1 ^
Si =—*I ~Уо +У1 +У2 +- + Уп-1 + 2Уп\
III. Сравните полученные результаты.
Найдите абсолютную погрешность
AS =| S — S, I
113
и относительную погрешность
р = —100%.
F S
ОБРАЗЕЦ ОФОРМЛЕНИЯ РАБОТЫ
Карточка № 1.
f(x) = 0,5х2 + 2х + 3; п = 5
g(x) = 3-x
х = -3
х = 2.
I. Строив параболу f(x) = 0,5х2 + 2х + 3.
Ветви параболы направлены вверх.
Вершина находится в точке (-2; 1).
Точка пересечения с осью ординат (0; 3).
Чертим параболу с помощью лекала (шаблона) параболы
у = 0,5х2.
Прямую g(x) = 3 - х строим по двум точкам (0; 3) и (2; 1).
0 2
II. S = Jf(x)dx + Jg(x)dx = J(0,5x2 + 2x + 3)dx + J(3 - x)dx
-3 0-3. 0
( 3
— + x2+3x
K6
\
J
1°
+
|-3
r
3x-
4
2^1
X
~\\
'
= --9 + 9 + 6-2 = 8,5
2
о
Xj
yi
-3
1,5
-2
1
-1
1,5
0
3
1
2
2П
1
s, =
2-(-3)
-•l,5 + l + l,5 + 3 + 2 + --l =8,75
v2 2 )
AS = |S-S, | = 0,75
p = — • 100 % = -^ • 100 % * 9 %.
F S 8,5
114
2
Карточка №2. f(x) = x + 5; g(x) = x -4x + 5; a = -3, b = 3; n = 6
Карточка № 3. f(x) = x + 5; g(x) = -; a = -2, b = 6; n = 8.
x
о 4
Карточка № 4. f(x) = x2 + 3; g(x) = -; a = -2; b = 4; n = 6.
x
Карточка № 5. f(x) = 2X; g(x) = 6 - x; a = -1, b = 5; n = 6.
Карточка№6. f(x) = --x2 + 6;g(x) = 12-3x;a = -3,b = 4;n = 7.
Карточка № 7. f(x) = Vx; g(x) = 6 - x; a = 0, b = 6; n = 6.
КарточкаЛ»8. f(x)=-x2 + 6x;g(x) = x2-2x + 6;a = 0,b = 6;n = 6.
Ответы:
2.
S= 16,5
Si = 17
AS = 0,5;
p = 3 %.
S=13,5 + 61n6
Si = 24,7
AS = ll,2-61n6*0,45
p = 2 %.
S=12 + 41n4
S, = 18,5
AS = 6,5 -41n64* 0,9548
p = 5 %.
115
S = 7,5 +
Si = 12,75
AS = 5,25
p=l,5%.
2ln2
21n2
«0
S = 28,5
S, =31 —
AS = 2- p = 9%.
3 У
S = 7-
3
S,=7
AS=i
3
p = 4 %.
S = 30-
3
S, =33
AS = 2!
3
p = 7 %.
Дополнительно (для тех, кто справился с работой).
Увеличить число п в два раза, вычислить Si для нового значения
п, оценить погрешность. Сделать выводы.
§ 57. ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать простейшие правила интегрирования (интегрирование
суммы, интегрирование произведения постоянной на функцию,
интегрирование степени), таблицу первообразных; уметь вычис-
лять интегралы в случаях, непосредственно сводящихся к приме-
нению таблицы первообразных, правил интегрирования.
Урок 41
I. Организационный момент.
II. Актуализация опорных знаний.
1. Трое учеников работают по карточкам на доске.
Карточка № 1.
Найдите общий вид первообразных для функции:
л — /4Y Y Y Y
a)f(x)= , ; 6)f(x) = cosxcos— cos— sin—.
л/8^7Т + 2 2 4 4
Карточка № 2.
Найдите любую первообразную для функции:
2 х
a) f(x) = cos(l - 1,5х) + VxTT; б) g(x)=-
5sin2(2-x) 3
Карточка № 3.
Найдите первообразную для функции g(x) = xsinx + V2x-1,
пользуясь формулой для производной функции f(x) = xcosx.
Ответы: Карточка № 1. а) 2х (8х + 1)л/8х + 1 + С;
б) cos2x + C.
16
Карточка № 2. -sin(l,5x -1) + -(х + l)Vx + l;
6)|ctg(2-x)-^.
j о
Карточка № 3. sinx - xcosx + — у (2х -1) + С.
117
2. Остальные учащиеся работают устно, используя сигнальные
карточки:
1) Найдите первообразную для функции:
а) f(x) = 2sinx + 3cosx;
3 о
б) f(x) = -= 4- х2 на (0; +оо);
Vx
B)f(x) = 4x3-6x;
r)f(x) = 7;
COS X \ Z Z
е) f(x) = V7x + 1;
ж) f(x) = sin3x -
2 5
COS X
ч<у ч 1 . X 1 X
3) f(x) = —sin cos—.
W 2 2 3 3
2) Точка движется по прямой так, что ее скорость в момент вре-
мени t равна o(t) = 2t. Найдите путь, пройденный точкой за время
от 3 до 7 с, если скорость измеряется в метрах в секунду.
х3
Ответы: 1. a) -2cosx + 3sinx; б) 6 vx + —; в) х4 - Зх2;
2 I
r)7x;fl)x + tgx;e)— (7x + l)2;
ч 1 <5 ч X . X
ж) —cos3x-tgx; з) -cos—sin—.
3 ь 2 3
2. 40 м.
III. Изучение нового материала.
Если первообразная функции известна, то интеграл вычисляется
по формуле Ньютона-Лейбница:
ь
Jf(x)dx = F(x)
а
|=F(b)-F(a).
la
№ 1004 (1,2) - на доске по очереди.
№ 1004 (3,4) - под диктовку.
№ 1004 (5,6) - за доской.
№ 1004 (7,8) - самостоятельно с устной проверкой.
Ответы: 1) I; 2) 9; 3) 9; 4) 5; 5) 1; 6) |; 7) А 8) 2.
2 о о J
118
№ 1005 (1,3) - на доске по очереди.
№ 1005 (5) - учитель с классом.
Ответы: 1) 1; 3)0; 5)0.
№ 1006 (1,3,5) - работа в парах.
Ответ: 1)-20; 3)-6; 5) 1.
№ 1007 (1,3) - на доске по очереди.
Ответ: 1)-8; 3) -е6--.
' 3 3
IV. Домашняя работа: № 1005 (2,4,6), № 1006 (2, 4, 6), № 1007
(2,4).
V. Итог урока.
Что нового узнали на этом уроке? Какие правила интегрирова-
ния вы использовали при решении заданий?
Урок 42
I. Организационный момент.
II. Тест.
1. Закончите предложение: «Если F - первообразная для f на
[а; Ь], то...»
b Ь
A. Jf(x)dx = F(x) + C; В Jf (x)dx = F(a) - F(b);
a a
b b
Б. jf(x)dx = F(a) + F(b); Г. ff (x)dx = F(b) - F(a).
a a
2. Укажите неверное равенство:
b b b b
A. Jf (x)dx = - f f (x)dx; B. J(-f (x))dx = - Jf (x)dx;
a a a a
b a b a
Б. Jf(x)dx = -Jf(x)dx; Г. J(-f (x))dx = Jf (x)dx.
a b a b
3. Вычислите интеграл:
о
a) J5x4dx;
-l
A. 1. Б.Ч. В.-5. Г.5.
119
б) Jsinxdx;
-а
А. 2а. Б. 2cosa. В. 0. Г. 2.
1
в) J3e3xdx;
о
А.3е3-3. Б.е3-1. В.З + Зе3. Г. 1-е3.
Ответ: ГААВБ.
III. Решение заданий.
№ 1008 (1,3) - по очереди на доске.
Указание: представить подынтегральную функцию в виде
многочлена.
Ответ: 1)12; 3)1-.
' 6
№ 1009 (1) - учитель показывает на доске решение:
-(зх^?-3^|*-[з^?(х-1)]
= 3V4 • 1-3VT • 0 = 3V4.
№ 1009 (3) - на доске по желанию.
Ответ: 8.
№ 1010 - работа в группах.
Ответ: 1) -1пЗ; 2) -1п2,5; 3) -.
JL j /L
№ 1011 (1,2,3,4) - наметить устно решение:
преобразовать подынтегральную функцию с помощью тригоно-
метрических формул, например,
2 1
1) sin х = — (1 -cos2x);
2) sinx • cosx = — sin2x:
2
3) cos2x - sin2x = cos2x;
4) sin4x+cos4x= -cos4x—cos2x+- + -cos4x+—cos2x+-
U 2 8J \% 2 8
№ 1011 (4) - решить на доске.
120
№ 1011 (5) - учитель показывает на доске решение:
3 3 3
Jx2 VxTTdx = J((x +1)-1)2 • V^TTdx = JV^TT • ((x +1)2 -
J
-2(x + l) + l)dx=|
П
(x + l)2-2(x + l)2+(x + l)2
Hx =
2 i 1Л
2(x + l)2 4(x + l)2 2(x + l)2
7 5 + 3
^2(x + l)2 4(x + l) 2*
7 5 +3
= (x + l)2
= (x + l)2-
2(15x2-12x + 8)
105
_8 2(159-12-3 + 8) 2-8 = 16-107 16 = 16106 16
105 105 ~ 105 105 105 ~ 105*
№ 1011 (6) - самостоятельно.
Указание: преобразовать подынтегральную функцию
х2-4х + 5 (х-2)2 1 . 1
= - — + = х-2 + .
х-2 х-2 х-2 х-2
IV. Домашнее задание: № 1008 (2,4), № 1009 (2), № 1011 (1,2, 3),
тренажер № 9.
V. Итог урока.
VI. Дополнительное задание:
№ 1012 - индивидуально.
Решение:
ь
Вычислим интеграл f(b-4x)dx.
1
J(b-4x)dx = (bx-2x2)
= b2-2b2-b + 2 = -b2-b + 2.
Составим и решим неравенство:
-b2-b + 2£6-5b
-b2 + 4b-4>0
b2-4b + 4<0
(b-2)2<0.
Неравенство имеет единственное решение b = 2.
Ответ: b = 2.
121
§ 58. ВЬРШСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ
С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛОВ
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать формулы нахождения площади фигуры
ь ь
S= J(f2(x)~f1(x))dxH S = J(-f(x))dx, знать, в каких случаях
а а
они применяются; уметь находить площади фигур, ограниченных
графиками различных функций.
Урок 43
I. Организационный момент.
II. Теоретическая часть.
Учитель готовит таблицу заранее, учащиеся переносят ее в тет-
ради по теории. По мере заполнения таблицы учитель дает необхо-
димые пояснения.
Вычисление площадей фигур с помощью интегралов
№
п.п.
1
1
2
3
Рисунок
2
^Ш
а
VI
к
X"
/
|У y = f(x)
1 b х
У 1
/у = Дх)
с Ь^ х
Ау
К a b „
1 y = f(x)
Решение
3
ь
S = Jf (x)dx
а
с b
S= Jf(x)dx + jg(x)dx
а с
b
S=J(-f(x))dx
a
122
Окончание табл.
г~г~
4
2
/ а
1у
1 1
1 {
У^/|(х)
V '™ ■"•*
Э \ X
y-f2(x)
3
ь
S=J(f2(x)-f,(x))dx
а
III. Решение заданий.
№ 1013 (а) - учитель с классом.
№ 1013 (б, в) - на доске по очереди.
Ответы: а) 8 —; б) 1 —: в) 21п4.
3 ' 3
№ 1014 (1) - на доске по желанию.
№ 1014 (3) - самостоятельно с устной проверкой.
Ответ: 1) —; 3) 6—.
6 6
IV. Программированный контроль.
1 Задание
1 Вариант I | ВариантП
Вычислите:
л
Jcosxdx; J—
0 Iх
Jsinxdx; J-|
Я 1 X
3 1
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями: 1
у = х',у = 0,х = 2 |у = хл,у = 0,х = 2
1 Ответ I
1
V3
2
15
8
4
2
2
11
64
8
3
1
2
15
16
г1-
3
4 1
V2
7
24
2
Ответ: Вариант I - 243; Вариант П - 321.
123
V. Домашнее задание: № 1014 (2,4), № 1034 (1,3,6), № 1035 (1,2).
VI. Итог урока.
1. Как вычисляется площадь криволинейной трапеции?
2. Какие из заштрихованных фигур (см. таблицу в тетрадях по
теории) являются криволинейными трапециями?
3. Почему другие фигуры нельзя назвать криволинейными тра-
пециями? Как находится их площадь?
Урок 44
I. Организационный момент.
II. Повторение.
Вычисление интегралов. Несколько учащихся работают по кар-
точкам, затем сдают работы на проверку.
Карточка № 1.
Вычислите:
9-4х . „ V. . Л _. „А 8
1) Pfrdx; 2) f(x2+8x + 16)dx; 3) [—-—dx;
,х1,5 _5 *sin22x
1
Зтс
4) f(3-4x)4dx; 5) J ^ ^dx.
0 %sjn2 *_*
V2 4
Карточка № 2.
Вычислите:
4 О 3 0
1) J—dx; 2) fsinxdx; 3) J(x5-3x2)dx;
1X n -2
3
°/(4х + 1) V
4) J - + cos7cx dx.
Карточка № 3.
Вычислите:
я я
1) j5Vxdx; 2) J-^|-; 3) Jcos2xdx.
i о
COS X
124
Карточка № 4.
Вычислите:
1) J-4-dx; 2) f-%-; 3) fsin2xdx.
! xvx я sin x 0
Карточка № 5.
Вычислите:
1) J|cos2 x + —|-sin2
2)iNb
я
x + —
3
dx;
4VJ
Ответы: Карточка № 1 - 1) 16; 2) 42; 3) -1—; 4) 12,2; 5) 8.
Карточка № 2 - 1) 2; 2) 1; 3)-—; 4) -13.
Карточка№3-1) 86-; 2) >/3;3) - + -.
Карточка № 4- 1) 6; 2) 1 - -^; 4) --—.
V3 6 8
Карточка № 5 - 1) -—; 2) -(З9 - 0,59).
Остальные учащиеся работают с сигнальными карточками. За-
дание:
1. Вычислите (устно):
я
5 2 1 2я
1) J4dx; 2) Jsinxdx; 3) J(x + l)5dx; 4) Jcos-dx;
2 0 0 7i 6
5) J2dx; 6) Jcosxdx; 7) f(l-x)4dx; 8) Jsin ---
2 6
dx.
125
2. Вычислите (самостоятельно с устной проверкой):
%
4с /Г 4 б 6
1) pLiLdx; 2) f(x2-6x + 9)dx; 3) f—^—dx;
I x * j^cos^x
4) f(l-2x)4dx; 5) f ^ Tdx
4 0™2fX 7C^
'COS ,
2 3
Все решения комментируются учащимися.
Ответы: 1. 1) 12; 2) 1; 3) 10,5; 4) 3>/з -3; 5) 4; 6) 1; 7) 6,2; 8) 1.
2. 1) 10; 2) 3; 3) 6>/з ; 4) 24,2; 5) 8л/3.
III. Решение заданий.
№ 1015 - учитель с классом.
Ответ: 1.
№ 1016 (1) - на доске по желанию.
Ответ: 4,5.
№ 1017 (1,3) - работа в парах.
Ответ: 1)4,5; 3) —.
6
IV. Домашнее задание: № 1015 (2), № 1016 (2) № 1017 (2).
V. Итог урока.
Самоанализ учащихся своей работы на уроке, а также знаний и
умений по текущей теме.
VI. Дополнительное задание.
№ 1024 - индивидуально.
Решение:
Запишем уравнение касательной к графику функции у = х2 + 1 в
точке с абсциссой х<>.
y(xo)=xg+l
у'(х) = 2х;у'(хо) = 2хо
У = У(хо) + у'(хо),(х-х0)
у = Xq + 1 + 2х0 • (х - хо)
у = 1 + 2х0 • х - Xq .
Итак, уравнение касательной:
126
у = 2хо • х + 1 - Xq
Изобразим заданную фигуру:
у = х2+1
\ 4
\ 3
\ 2
>
-2 ,''А 0
X
*
^У
с
А х0
1
1 +*4fe
/у
D
12 3 х
х=1
ABCD - заданная фигура. Касательная отсекает от фигуры тра-
пецию ABiCiD. Найдем координаты точек Bi и С\. Абсцисса точки
Bi равна 0, значит, ее ордината равна 1 - Xq . Абсцисса точки Ci
равна 1, значит, ее ордината равна 2хо + 1 - Xq .
Площадь трапеции ABjCiD найдем по формуле
AB,+DCi
S = -
AD.
S =
l-xn+2xn+l-x2
4-1=1
+ xr
Итак, площадь трапеции ABiCiD - это функция
S(Xo)= 1 +Х0- Xq.
Найдем ее наибольшее значение.
S'(x0)=l-2x0.
S'(x0) = 0 при х0 = —. При переходе через точку хо = — произ-
водная S'(xo) меняет знак с «+» на «-», значит, в этой точке функ-
ция S(x0) достигает своего наибольшего значения.
я1Ь+1-!.|1.
2 J 2 4 4
Еслихо= —,тоуо =
(\_
U
4
Ответ:
2 4
Урок 45
I. Организационный момент.
Собрать на проверку тренажер № 9.
127
П. Готовимся к экзаменам.
Задания решаются на доске с помощью учителя.
№ 1. При каких значениях а площадь фигуры, ограниченной ли-
ниями у = х2, у = 0, х = а, равна 9?
Решение:
a VJ
S=Jx2dx = —
о 3
а = а_
о 3
— = 9, а3 = 27,а = 3.
3
Ответ: а = 3.
№ 2. Изобразите фигуру, площадь которой равна данному вы-
ражению. Вычислите ее площадь.
1 1
1) J(2-x2)dx-Jx2dx
о о
Решение:
S= J(2-x2)dx-Jx2dx= J(2-x2 -x2)dx =
?
x =J(2-2x2)dx =
о
2x-
2xJ
1 2 1
= 2-- = l-.
о 3 3
2) Выполнить самостоятельно.
l l
f(l-x2)dx-J(l-x)dx.
о о
Решение:
128
S = J(l-x2)dx- J(l -x)dx = J(l -x2 -1 + x)dx =
= J(x-x2)dx =
0 '
X
T
з^
2
6'
III. Решение заданий.
№ 1018 (1) - учитель с классом.
Ответ: 6 — .
3
№ 1019 (1) - на доске по желанию.
Ответ: — + 1.
4
№ 1020 - самостоятельно по вариантам.
Ответ: 1)4,5; 2) 4,5.
№ 1022 (1) - учитель с классом..
№ 1022 (3) - на доске по желанию.
1 2
Ответы: 1) —; 3)2—.
6 3
IV. Домашнее задание: № 1018 (2), № 1019 (2), № 1022 (2,4).
V. Итог урока.
Урок 46
I. Организационный момент.
II. Решение заданий.
№ 1021 (1) - за доской.
Ответ: 4,5.
№ 1023 (1) - учитель показывает
на доске решение.
- Запишем уравнения касатель-
ных, проведенных к параболе
у = х2 + 10 из точки (0; 1).
у' = 2х
У(х) = У(а) + у'(а)-(х-а)
у(х) = а2+10 + 2а(х-а)
у(х)=10 + 2ах-а*
1 = 10-а2
а2 = 9
ai=-3;a2 = 3.
Уравнения касательных: у = 6х + 1
иу = -6х+1.
5 Григорьева, 11 кл., ч. 1
129
Полученная фигура (см. на с. 129) симметрична относительно
оси Оу.
ABC - криволинейная трапеция.
3 3
sabc = j(x2+10-6x-l)lx=j(x2-6x + 9)lx =
° N °
з
Зх2+9х
3
= 9-27 + 27 = 9.
о
S = 2 • Sabc = 2 • 9 =
>авс-^ ' у- 18.
№ 1023 (2) - на доске по желанию.
Решение:
1
Запишем уравнение касательной к кривой у = — в точке с абс-
х
циссой х = 2.
,._4.
X
у'(2) = -1;у(2)=!
У(х)=---(х-2) = --х + 1
2 4 4
S= (f —+ —x-l|dx = f
/U 4 ) |
= ln2 + --2-lnl-- + l = ln2 + --l = ln2--.
2 8 8 8
III. Самостоятельная работа.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
Вариант I
Вариант II
Вариант III
Вариант IV
а) у = 2х2, у = 2х
б)у = sinx,у = cosx,у = 0, 0 < х < —
а) у = 0,5xz, у = х
б) у = sinx, у = cosx, х = 0, 0<х< —
2я 1
а) у = 3sinx, у = -2sinx, 0 < х < —
б)у = -х2 + 2,у = -х
Я ' ^ Я 1
а) у = cosx, у = -2cosx, — < х < —
б)у = -х2 + 3,у = 2_х 1
130
Окончание табл.
Вариант V
Вариант VI
Вариант VII
Вариант VIII
а) у - 2 - х2, у - х, х - 0, х > 0
1 я
cos х 2
а) у - х, у - 2 - х2, у - 0, х £ 0
1 71
V) у ~"' — - 9 У ~" OWJbAj у ■" Uj A U, U Ь: Л i
cos x 2
а) у = xz, у = 4х - 3
я
б) у = cos2x, у = sinx, у = 0, 0<х< —
а) у = 2xz, у = х + 1
б) у = cos2x, у = sinx, х = 0, х > 0
Ответы:
Вариант I.
Вариант II.
Вариант III.
Вариант IV.
Вариант V.
Вариант VI.
Вариант VII.
Вариант VIII.
а) 1; 6)2- л/2.
а)|;б)л/2-1.
а) 7,5; б) 4,5.
а) 4,5; б) 10-.
a)l~;6)3>/3.
о
а)
1
6
4>/2 j 1
6-3>/з
-1-;б)8-Зл/з.
3 6
1
а) 1-; б)
' 3 4
ч 9 «ч 3^ ,
а) -; б) 1
' 8 ' А
IV. Домашнее задание: № 1021 (2), № 1035 (3), тренажер № 10.
V. Итог урока.
§ 59. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ И ИНТЕГРАЛА
К РЕШЕНИЮ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ
ЗНАНИЯ И НАВЫКИ УЧАЩИХСЯ
Знать определение дифференциального уравнения, уравнение
гармонического колебания, применение первообразной и интеграла
131
при решении задач по физике, химии, биологии, геометрии; уметь
решать простейшие дифференциальные уравнения.
Урок 47
I. Организационный момент.
II. Изучение нового материала.
1. Уравнение, содержащее производную неизвестной функции,
называется дифференциальным уравнением
y' = f(x).
Решение дифференциального уравнения определяется неодно-
значно, с точностью до постоянной.
y = F(x) + C,
где F(x) - первообразная f(x), С - постоянная. Обычно к дифферен-
циальному уравнению добавляется условие, из которого эта посто-
янная находится.
2. Решение многих физических, биологических, технических за-
дач сводится к решению дифференциального уравнения
у' = к • у,
где к - заданное число. Решениями этого уравнения являются
функции у = С • екх.
Пример 1. Скорость размножения бактерий.
Скорость m'(t) размножения бактерий связана с массой m(t) бак-
терий в момент времени t уравнением
m'(t) = k • m(t).
Решения этого уравнения m(t) = С • ekt. Если в момент времени t = 0 из-
вестная масса бактерий т0, то решения запишем в виде m(t) = m0 • ekt.
Пример 2. Радиоактивный распад вещества.
Если m'(t) скорость радиоактивного распада в момент времени t, то
m'(t) = -k-m(t).
Решения этого уравнения m(t) = С • e"kt. Если при t = 0 m(t) = m0, то
m(t) = m0 • e"kt.
Пусть Т - период полураспада радиоактивного вещества, тогда
_i_
решение запишем в виде m(t) = mp • 2 т .
3. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний
уп = ~о)2у
описывает периодически повторяющиеся процессы, например, свя-
занные с переменным электрическим током, магнитным полем, ко-
лебательными движениями маятника.
Решениями этого уравнения являются функции
у(х) = Cj • sin(cox + С2).
132
Пример. Если y(t) - отклонение точки свободно колеблющейся
струны от положения равновесия в момент времени t, то
y(t) = А • sin(cot + ср),
где А - амплитуда колебания, со - частота, ср - начальная фаза.
Графиком гармонического колебания является синусоида.
4. Запишите дифференциальное уравнение гармонического ко-
лебания
a) x(t) = 3cos
б) x(t) = 0,7cos
U-?
0,5t + -
8
Ответ: а) х" = -4х; б) х" = -0,25 х.
5. Найдите решение дифференциального уравнения у11 = -Зу,
удовлетворяющие условиям у(0) = 2, у'(0) = 6. Укажите амплитуду,
циклическую частоту и начальную фазу этого колебания.
Решение:
у11 = -Зу, то есть со2 = 3, со = V3.
Решениями этого уравнения являются функции у(х) = С\ • sin(cox + C2).
Так как со = , то у(х) = С] • sin(V3 • х + С2). Навдем первую производ-
ную/(х):
у'(х) = V3C! • cos(V3x + C2).
Учитывая условия У(0) = 2 и у'(0) = 6, получим:
f2 = Ci/sinC2,
\б = л/з-С, -cosC2;
fc,-sinC2 +V3-Ci cosC2 =8,
1 л/з-Ci -cosC^-C^sinC^ = 4;
о
sinC2 +>/3 -cosC2 = —>
С,
V3-cosC2 -sinC2 =—;
sinc2 +V3cosC2 =2(V3-cosC2 -sinC2)
sinC2 + V3-cosC2 =2*v3-cosC2 -2sinC2
3sinC2 -V3-cosC2 =0
133
. п /г я 8
sin —+ V3-COS—= —
6 6 С,
2 + 2~С,
2 = f; с, =4.
ч
Г г- И
Решение: y(x) = 4sin V3-X + —.
v 6;
6. № 1025 (1) - на доске по желанию.
Ответ: 68 м.
)
III. Домашнее задание: № 1025 (2), № 1026.
IV. Итог урока.
1. Какие уравнения называются дифференциальными?
2. Приведите примеры применения уравнения у' = ку.
3. Запишите дифференциальное уравнение гармонических коле-
баний и его решение (общий вид).
Урок 48 (урок-семинар)
I. Организационный момент.
ПЛАН
(Вывешивается заранее.)
1. Применение первообразной и интеграла в геометрии.
2. Применение первообразной и интеграла в физике.
3. Примеры решения дифференциальных уравнений.
Учащиеся готовят сообщения по каждой теме. Практическая
часть каждой темы состоит из теста или заданий из учебника. Зада-
ния выполняются с самопроверкой (учитель сообщает ответы после
выполнения заданий).
Ход семинара
1. Применение интеграла в геометрии.
Теоретическая часть.
Указание:обратить внимание на применение интеграла при
ь
вычислении объемов тел. Рассмотреть формулы V = jS(x)dx, где
134
b
S(x) - площадь сечения тела плоскостью, и V = frcf2(x)dx, где
а
f(x) - функция, график которой ограничивает криволинейную тра-
пецию. Тело получается при вращении этой криволинейной трапе-
ции вокруг оси Ох. Рассмотреть случай, когда криволинейная тра-
пеция вращается вокруг оси Оу.
Можно рассмотреть решение задачи 3 из текста параграфа.
Тест
Найдите в таблице формулу для вычисления следующих гео-
метрических величин:
1. Объем тела, получаемого вращением параболы у = х2, х е [0; 1],
вокруг оси Ох;
2. Площадь подграфика функции у = х4, х е [0; 1];
3. Объем тела, получаемого вращением параболы у = х2,хе [0; 1],
вокруг оси Оу;
4. Объем тела, площадь переменного сечения которого плоско-
стью, перпендикулярной оси Ох, меняется по закону S = х2, х е [0; 1];
5. Объем прямого кругового конуса высоты 1 и радиусом осно-
вания 1.
Геометрическая
величина
1
| 2
3
| 4
5
Jx4dx
0
1
7tjx4dx
0
1
7i|xdx
0
1
7ijx2dx
0
1
Jx2dx
0
+
+
+
+
4-
2. Применение первообразной и интеграла в физике.
Теоретическая часть.
Указание: рассмотреть связь величин сила - работа, путь -
скорость, скорость - ускорение, заряд - сила тока, масса - плот-
ность.
Рассмотреть решение задачи 4 из текста параграфа.
135
Тест
Укажите, какие физические величины выражаются приведен-
ными в таблице формулами (I(t) - сила тока, р(х) - плотность,
F(x) - сила, u(t) - скорость, a(t) - ускорение, х - координата точки,
t - время).
Физическая
величина
Работа А
riyrbS
Скорость о
Заряд q
Масса m
Jl(t)dt
ti
*2
jp(x)dx
*1
*2
jF(x)dx
*1
Ju(t)dt
tl
Ja(t)dt
ti
Ответ:
+
+
+
+
+
3. Примеры решения дифференциальных уравнений.
Указание: рассмотреть решения задачи 1 и задачи 2 из тек-
ста параграфа.
Выполнить № 1027 (1, 3, 5).
Ответ: 1)у = Зх-2х2 + С; 3)у = -е2х +С;
5) у = -3cosx + С.
Выполнить № 1028 (1, 3, 5).
Ответ: 1) у = -cosx + 1; 3) у = х3 + 2xz - х - 4;
5)у = ех+1-е.
г — ч,3 .
Итог семинара. При подведении итогов семинара можно неко-
торым учащимся выставить отметку за работу на уроке.
IV. Домашнее задание: № 1027 (2,4,6), № 1028 (2,4, 6).
Урок 49
I. Организационный момент.
Собрать на проверку тренажер № 10.
II. Решение заданий.
1. Докажите, что функция у = Зе"2х удовлетворяет дифференци-
136
альному уравнению у' = -2у.
Решение: у = 3е*2х
у'=-6е"2х
-6е"2х = -2-Зе"2хверно.
2. Является ли функция у = 2х решением дифференциального
уравнения у' = у • 1п2?
Ответ: является.
3*. Запишите решение дифференциального уравнения
ЗуУ = у\
Ответ: у = С • е3 .
№ 1029 - учитель с классом.
№ 1030 - на доске по желанию.
Решение:
Если m'(t) - скорость радиоактивного распада в момент времени t,
то m'(t) = -k • m(t), где к - постоянная, зависящая от радиоактивности
вещества.
Если в момент времени t масса равна m0, to m(t) = m0 • e"kt.
По условию задачи т0 = 1 г, t = 10 лет, m(t) = 0,999 г.
0,999 = 1 • е*10к
-10к = 1п0,999
In 0,999
к= .
10
Функцию m(t) запишем в виде:
In 0,999
m(t) = m0e~ 10 ,
так как т0 = 1 г, m(t) = 0,5 г, то
In 0,999
0,5 = 1-е 10
10
In 0,999
Ответ:» 6927 лет.
№ 1031 - самостоятельно.
Решение:
По закону Гука F = кх.
Так как при х = 1 см = 0,01 м сила F = 2Н, то
F 2
к=- = —= 200.
х 0,01
137
F(x)= 200x.
ь
Работа: А = JF(x)dx
a
a = 0, b = 3 см = 0,03 м.
0,03
A= J200xdx = 100x
о
Ответ: 0,09 Дж.
0,03
= 0,09(Дж)
о
III. Проверочная работа.
Вариант I.
1. Докажите, что функция у = 5е"3х удовлетворяет дифференци-
альному уравнению у' = -Зу.
2. Период полураспада радиоактивного вещества равен 3 ч. Че-
рез какой промежуток времени от 8 кг этого радиоактивного веще-
ства останется 0,25 кг?
Вариант II.
1. Докажите, что функция у = Зе"4х удовлетворяет дифференци-
альному уравнению у' = ~4у.
2. Период полураспада радиоактивного вещества равен 2,5 ч.
Через какой промежуток времени от 4 кг этого радиоактивного ве-
щества останется 0,5 кг?
Ответ: Вариант I -2.15ч;
Вариант II - 2. 7,5 ч.
IV. Домашнее задание: № 1032; подготовиться к зачету по теме
«Первообразная и интеграл».
Урок 50
Зачет по теме «Первообразная и интеграл»
I. Организационный момент.
II. Карточки-задания для проведения зачета.
Карточка № 1.
1. Сформулируйте определение первообразной. Приведите при-
меры.
2. Для функции f(x) = sinx + 2cosx найдите первообразную, гра-
фик которой проходит через точку А — ;:0
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)у= Vx,y= l,x = 4;
138
б)у = -х2 + 2,у = -х.
Карточка № 2.
1. Запишите основное свойство первообразной.
2. Найдите общий вид первообразных для функции
1 х
f(x) = 4sin2x cos— +1.
2 2
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)у = х3,у = 8,х=1;
2я
б) у = 3sinx, у = -sinx, 0 < х < —.
Карточка № 3.
1. Запишите правила нахождения первообразных.
2. Вычислите:
я
9 6х 2
a) f-prdx; б) f(sinx + cosx)2dx.
2
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)у = х2,у= Vx;
б)у = -|х| + 2,у = х2.
Карточка № 4.
1. Пусть криволинейная трапеция ограничена графиком непрерыв-
ной функции f(x) > 0, прямыми х = 0, х = b и отрезком [а, Ь] оси абс-
цисс; S - площадь трапеции. Разъясните смысл равенства S'(x) = f(x).
2. Вычислите:
тс
a) J(x-2)2dx; б) J—^—dx.
j 0COS 2х
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = х2+ 1,у = х + 3;
б) у = 2cos2—+1, у = 0, х = 0, х = п.
Карточка № 5.
1. Пусть криволинейная трапеция ограничена графиком непре-
рывной функции f(x) > 0, прямыми х = 0, х = b и отрезком [а; Ь] оси
абсцисс; S - площадь трапеции. Разъясните смысл равенства
S(x) = F(x) - F(a) и S = F(b) - F(a).
139
2. Докажите, что F(x) = xvx -sin2x + 3 есть первообразная для
функции f(x) = —vx -2cos2x на промежутке (0; +оо).
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у = cosx, у = 0, -0,5я < х < 0,5я;
б)у = -х2 + 3,у = 2х.
Карточка № 6.
1. Запишите формулу Ньютона-Лейбница. Разъясните ее смысл.
2. Для функции f(x) = 6sin4x найдите первообразную, график
которой проходит через точку В
>
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а)у = -х2 + 2х + 3,у/=0;
б) y = 2sin2 —+ 2, y = 0, х = 0, х= —.
Ответы:
Карточка № 1.
1. Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на некото-
ром промежутке, если для всех х из этого промежутка F(x) = f(x).
2. F(x) = -cosx + 2sinx - 2.
3.a)l|; 6)4,5.
Карточка № 2.
1. Если функция F(x) является первообразной функции f(x) на
некотором промежутке, то все первообразные функции f(x) запи-
сываются в виде F(x) + С, где С - произвольная постоянная.
2. F(x) = -2cos2x - sin — + х + С.
2
За)4^;б)6.
4 '
Карточка № 3.
1. Пусть F(x) и G(x) - первообразные соответственно функций
f(x) и g(x) на некотором промежутке, тогда:
1) функция F(x) ± G(x) является первообразной функции f(x) ±
±g(x);
2) функция aF(x) является первообразной функции af(x).
2.а)104;б)1,5я-1.
140
З.а)-;б)2-.
' 3 3
Карточка № 4.
1. Обозначим S(x) площадь криволинейной трапеции с основа-
нием [а, х], где х - любая точка отрезка [a; b]. S(x) является перво-
образной функции f(x), то есть S'(x) = f(x).
2. а) 3; б) 2л/з.
З.а)4,5;б)2я.
Карточка № 5.
1. S(x) является первообразной функции f(x). Любая другая пер-
вообразная F(x) функции f(x) отличается от S(x) на постоянную, то
есть F(x) = S(x) + С.
Из этого равенства при х = а получаем F(a) = S(a) + С. Так как
S(a) = 0, то F(a) = С и F(x) = S(x) + F(a), то есть S(x) = F(x) - F(a).
Отсюда при х = b получаем S(b) = F(b) - F(a).
2.F'(x)=-Vx-2cos2x.
3
3. a) 2; б) 10-.
3
Карточка № 6.
ь
1. ff (x)dx = F(b) - F(a), где F(x) - первообразная функции f(x),
a
непрерывной на отрезке [a; b].
2.F(x) = -l,5cos4x-~.
4
2 9tc
3.a)10±; 6)—+ 1.
' 3 ' 2
IIL Дополнительное задание.
Для тех, кто выполнил задания-карточки раньше других.
№ Ю42.
Решение:
У параболы у = х2 + рх при любом значении р BetBH направлены
вверх. Поэтому фигура будет ограничена сверху прямой у = кх + 1
и снизу параболой у = х2 + рх (при любых значениях к и р таких,
что прямая пересекает параболу). Значит, площадь фигуры, огра-
141
ничейной параболой и прямой, равна
b b
S= J(kx + l-x2-px)dx= J(-x2+(k-p)x + l)dx =
ь b3 (k-p)b2 . a3
= + -——— + b +
a a
( x3 (k-p)x2 *
— + - —— + x
» 3 2
(k-p>a2 b3-a3 (k-p)/,2 24 ,u ч
v V) a = + - —-(b -az) + (b-a),
3
2 3 2
где а и b - абсциссы точек пересечения.
Найдем значение а и b:
х2 + рх = kx + 1
x2 + (p-k)x-l=0
D = (p-k)2 + 4
_-(p-k) + JP. , _-(p-k)-VD
X] — , Xo —
1 2 2 2
3—г,.-^1'^-'^!, ь,"-"-^"-1"44
2 2
Ь-а=-д/(р-к)2+4
b2 - a2 = -(k-p)V(p-k)2+4
b3-a3=-((k-p)2+l)V(p-k)2+4
Тогда s(k)=((k-p)2+1)^-k)2-±i
,(k-p)
• (-(k-p)V(k-p)2+4)-V(k-p)2+4.
S(k) = ~[V(k-p)2+4(k - p)2 + V(k-p)2+4J.
S4k) = -i(k-p)V(k-p)2+'4.
S'(k) = 0 при k - p = 0, то есть k = p.
При переходе через точку k = р производная S'(k) меняет знак с
«-» на «+», значит, это точка минимума.
Ответ: к = р.
Урок 51
I. Организационный момент.
Сообщить результаты зачета.
142
II. Анализ работы и работа над ошибками.
Учитель определяет наиболее часто встречающиеся ошибки,
выполняет анализ таких ошибок со всем классом. Далее предпола-
гается индивидуальная работа учителя с учащимися.
III. Повторение.
№ 1033 (1,3,5) - на доске по очереди.
Ответ: 1) F(x) = sinx + 2; 3) F(x) = 2Vx +1; 5) F(x) = x3 + x + 4.
№ 1036 - работа в группах.
Ответ: 1)-1; 2) 0; 3) 0; 4)-3; 5) 4-; 6) 8-.
№ 1037 (1) -на доске по желанию.
№1037(3)-за доской.
Ответ: 1) ; 3) 0,
' 2 4 '
№ 1040 (1) - учитель с классом.
Ответ: —.
3
IV. Домашнее задание: № 1033 (2,4, 6), № 1037 (2,4), № 1040 (2).
V. Итог урока: анализ учащимися своих знаний и умений по
теме «Первообразная и интеграл».
Урок 52
Контрольная работа
Цель: проверка знаний, умений и навыков по текущей теме.
Вариант I. [Вариант II]
1. Для функции f(x) найдите первообразную, график которой
проходит через точку А:
f(x) = 2x2 + x f(x) = 3x2-5
А(1;1). А(-1;3).
2. Вычислите интеграл:
1 1
a) J(2x2 + 3)dx; a) J(3x2 - x)dx;
о о
б) jsin2xdx. б) J cos—dx.
143
3. Точка движется прямолинейно по закону
x(t) = 2t3 + -t2 -t. x(t) = -t3 -3t2 + 2t.
w 2 W 3
а) Вычислите скорость и ускорение движения точки при t = 1.
б) При каких значениях t точка останавливается?
4*. Дана функция
f(x) = x3-3x. f(x) = 3x2-x3
Найдите площадь фигуры, расположенной
во II четверти в I четверти
и ограниченной графиком функции f(x), касательной к графику
функции
в точке хо = -1 j в точке хо = 2.
и осью ординат.
Ответы:
2 -х х2 1
ВариантI. l.F(x)= —х + ;
2.а)з|;б)1;
3.а)о(1) = 6,а(1)=13;
6)t1=~;t2=-.
1 2 2 3
3
4* ~
' 4'
Вариант П. 1. F(x) = х3 - 5х - 1;
2.а)1;б)4;
З.а)и(1) = 0,а(1) = 2;
6)t1=i;t2=l;.
4*. 4.
144
ПРИЛОЖЕНИЯ*
Приложение 1
Тренажер № 1
Вычисление приращения функции
1. Вычислите приращение функции у = f(x) на промежутке [а; Ь]:
l)f(x) = 4x + 3,a = 0,b = 0,2;
2)f(x) = x2-3x,a = 2,b = 3;
3)дх)=-Ц-,а=1,Ь=1,5;
х + 1
4)f(x)=^L-,a = 2,b = 2,5;
х -1
5)f(x)=VxT8,a = -l,b = -8.
2. Вычислите приращение функции у=фс) на промежутке [х; х+Ах]:
1) f(x) = 2х + 3, х = 1,5, Ах = 2,5;
2) f(x) = Зх2 - х + 1, х = 0, Ах = 2;
3)f(x) = x3-2x2 + x,x = -l,Ax=l;
4)f(x)=^±|,x = 2,Ax = 5;
2х + 1
5)f(x)= X +2x,x = -2,Ax=l.
2х-1
3. Вычислите среднюю скорость роста функции у = f(x) на двух
данных промежутках и на промежутке [х; х + Ах]:
l)f(x) = 2x+l,[0;l],[0;0,2];
2)f(x)=-Ix + 3, [1;4],[0;|];
3)f(x) = 2x2-l,[l;9],[-0,l;0];
4)tXx) = 2x2-x-l,[-3;4],[l;l,2];
5) f(x) = x3 - Зх2 - x, [1; 2], [-3,2; -3].
Тренажер № 2
Производная степенной функции
Найдите производную функции.
l.f(x) = 2x^.
* Приложение 2 см. в части 2 пособия.
145
2.h(x)=-.
x
3.3(x) = x4-4x3-8x2+13.
4.u(h) = -- + 3h.
h
5.f(x)=—+ 3x2.
3x
6.f(x)=^—lL_ + 4x3-x-10.
W 7 10
7.f(x)=_iL+2x__x2+x+ 5
5 3 x2
8.f(x):
2x5+x4-3x2+5x + 6
) 3x2
9.g(x) = --lT + -L-^-.
2t t 4t
10. s(r) = 2яг2 + 4л1г + к.
ll.y(t)=^ + ^.
12.f(x) = x3(5x-l)(l-2x).
13. o(a) = (3a - 5)2(2a - l)(2a + 1).
t2-l
14.y(t)=^—.
r+1
15.u(h) =
hz-2h + 2
,, /rt t3-3t + l
16. g(t)= .
Г + 2
17.g(t) = (t + 4)Vt.
I8.f(u) = (2u-Vu)2.
Vx"
19.f(x) =
20. f(x) =
4 + x
2 + Vx
2-Vx"
H7
2\.Щх)-Ц—^+х!К+9.
5 Ух
146
22. f(x) =27^xi
xvx
24.y(t)-Vt(Vt+2t).
25.«.<1 + "2)<2x+3)
Mf
Тренажер № 3
Производная сложной функции (линейная замена)
Найдите производную функции:
l.f(x) = (2x + 3)4.
2.g(u) = (-3u + 7)3.
3.f(x) = (2x+l)4-(3x-l)6.
4.g(t) = (7t + 3)5-^^-.
5.F(1) = (21+1)4(21-1)3.
6.fl[x)=a|-+b
7.F(/) = 2n(4-/)2-n(4-302.
8.f(x)=——.
3x-l
9.g(x)= —j.
(2 + 3x)3
2 1
10.f(x) =
3x + 2 3(6x-l)
ll.P(a)=—^-j Ц-.
(a-4)2 (a + 3)3
12.y(x)= V6x-3.
13.f(x) = 3^/(4x-5)5 .
14.y(t)= ^/(l-2t)2-V5t + 2.
15.f(x)=V3x-4-(2-3x)3.
147
Тренажер № 4
Уравнение касательной
Дана функция у = f(x). Найдите:
1) угловой коэффициент касательной к графику этой функции в
точке с абсциссой хо;
2) точки, в которых угловой коэффициент касательной равен к;
3) напишите уравнение касательной к графику функции в точке
с абсциссой хо:
l.y = x2 + 4,x0=l,k = 4.
2.y = 2x2 + x,xo = 2,k = -l.
3. у = Зх2 - 6х + 1, хо= 0, k = 6.
х2
4.у= --—4х + 3, Хо = -1Д = 0.
з 1 8
5. у = х - Зх + 2, Хо = -, к = -.
j ' 3 3
6. у = х + —, Хо = 1, к = —.
х 2
7.у = 2х4-х3+1,х0 = 0,к = 0.
8.у = (х-2)2(х+1),х0=1,к = 6.
9.у= , х0=1,к = 0.
1 + х2
Ю. у =1^., хо = -3,к = -7.
х + 4
П.у = х + 2>/х, Хо= 1,к = 2.
12. у = (х + 1) Vx, хо = 4, к = 2.
Тренажер № 5
Промежутки монотонности
Найдите промежутки монотонности функции:
1.у = х2-Зх + 2. 10.у = х4+1х2-2.
j j 3
2.у = (2х-1)2. П.у = х5-20х3+1.
3.у = 6х-х2 + 5.
4.у = 2х3 + 6х2-1.
2х3 Зх2 с
5.у= + 5х.
J 3 2
12. у =
13.у =
14. у =
1 + 2х2
X
х + 2
х3 '
х + 2
х2-Г
148
:~1„з
9х'
6.у = 2хл + Зх-4
7.у=-—4xz+180.
8.у = х5-5х3 + 20х-3.
xz-x-l
9. у
_ х(х-З)3
16.
17.
18.
У
У =
У =
л/х
х2
х2-х-2
Vx"(x-3).
>/5-2х.
-4'
5.у = 2х3 + Зх2-12х + 5.
6.у = (х + 2)2(Зх-1).
7.у = х4-4х3 + 4х2.
8.у = 2х(1-3х)3.
9.у =
х2+1
-«2 ,
1.у = х^ +
1
Тренажер № 6
Экстремум функции
Найдите точки экстремума функции:
1.у = х2+1.
2. у = Зх2 - 4х.
З.у = х3 + 3х2.
4.у = 2х3-24х + 5.
2.у= Vx^.
З.у = х+А
Vx
л 2х
х2+9
6(х-1)
6.у =
х^+3
х2-2х + 2
х-1
7.y = (x-l)Vx".
8.y = 2x2-Vx.
9.y=VxT-l.
10.у =
х3+4
20. у = х2 Vl-2x .
Тренажер № 7
Исследование функции на отрезке
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции у = f(x)
на заданных промежутках:
1.у = х3-12х + 4. а)[0;3] б) [-3; 4]
„з
2.у=1+3х-
а)[-9;-4] б) [-2; 7]
149
3.y = x3-5x2 + 3x-ll.
4.у = х4-8х+3.
5.у = х4-4х3-8х2+13.
, 1
6.у= х + —.
X
2 1
7.у= х —.
X
8.у= xz+ —.
х
9. у = x-vx .
Ю.у = (х + 2)3(х-1).
11.у- Vx+-=.
Ух
12.y=Vx(10-x).
а) [-1; 1]
а)[-2;-1]
а)[-2;3]
1
б)[0;4]
б)[-1;0]
б) [0; 5]
1
а) [-2;--] б)[-;2]
а)[1;2]
а) [2; 4]
а)ф2]
а)[-3;1]
a)[bl]
а)[0;2]
б)[-1;--]
б)[-3;-1]
б)[1;4]
б)[2;3]
б) [4; 9]
б)[1;6]
Тренажер № 8
Вычисление первообразных
Вычислите первообразную функции:
1.у = х3+1.
5. у = ^-2х5+3.
VX
2. у = 2х2 -
1
З.у = (1-3х)2
4.У-Л-
6. у =
7. у =
х3-2
2х2-Зх + 5
V5T
9. у =
10.y = Vx1±-3Vx~ .
11. у =
x + 5-Vx" + Vx
8. y = Vx-3Vx-V2. 12. у = (1 + х)^хГ.
Тренажер № 9
Площадь и интеграл
Запишите площадь заштрихованной фигуры с помощью интеграла.
Тренажер № 10
Вычисление площадей
Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиками функций.
1. у = х3, у = 0, х= 1,х = 3.
2. у = х2, у = 2х.
3. у = х, у = 0, х = 3, х= 1.
4. у = х2 - 2х + 3, у = 0, х = 0, х = 2.
5.у= Vx\y = x.
и Л Я ЗЯ
6. у = sinx, у = 0, х = —, х = —.
7. у = sinx, у = О, х = я, х = —.
8.у = 2х+1,у = х2.
9. у = х2 + 2х +2, у = 0, х = -1, х = 2.
10.у=1,у = х2.
11. у = 2х, у = 5х, х = 1.
12.у = х2-1,у = 0.
13. у = 2-х2, у = Vx,x = 0.
14. у = -х,у = -х3(у2>0).
151
15. у = -,у = х,х = 2.
х
16. у = 2-х%у = х,у = 0.
Ответы:
Тренажер № 1
1. 1)0,8; 2)2; 3)0,2; 4)-|; 5)-V7.
2. 1)5; 2) 10; 3)4; 4)-0,2; 5)1.
3.1)2;2;2;2)-i;-i;-i;3)20;-j;4x + 2Ax;
4)1;3,4;4х-1+2Дх;
5) -3; 46,44; Зх2 - 6х - 1 + ЗхДх - ЗДх + Дх2.
Тренажер № 2
I. 6х2. 2. -—. 3.4х3 - 12х2- 16х.
х2
4. -V + 3.5. —^- + 6х.6.2х6--х4 + 12х2-1.
h2 Зх2 2
7.-х4 + 2х2-2х+1--^-.
8.2ХЧ2Х-Л-4Х
3 Зх2 х3
9. 4"-т-+Дг- Ю.4яг + 4п1.
t5 t3 4t2
II. -Vt^ + ^U 12.28x3-50x4-3x2.
3 4tfi
13.144a3 - 360a2 + 182a + 30.
14. «« ,5 6"6h
(t2+l)2' '(h2-2h + 2)2"
., 6t3+3t2-6 ,_ 4 t + 1
16. z т—. 17. —• ,—
(t3+2)2 3 $T
18. 8u+l-6>/u.l9. J*~X , .
2Vx(4 + x)2
152
20.
3 2
21. —r= + -
Vx(2-Vx)2 * 20^/x 3xVx 5
4*/x".
™ 27 4
22. -— + -7=-
x Vx
23.
30x-5xVx
24.
■3>/t. 25.
4x3+3x2+6x2Vx+6xVx+2Vx-3
(u^J
Тосняжсо *Ns 3
1. 8(2x + 3)3.~2. -9(-3u + if. 3. 8(2x + 1)" - 18(3x - 1)э.
4. 35(7t + 3)4-2l(7t-4)8. 5. 2(2/- 1)2(2/+ l)3 (14/- 1).
v4
Л
6. 5
9. -
- + b . 7.2я(ЗН-7/-8).8. —^
va ) (3x-l)2
9 _ 6 2
11. -
14. -
(2 + 3x)4
2a
-. 10. -
(3x + 2)2 (6x-l)2*
3b
(a-4)3 (a + 3)4
4 5
12.
15.
V6x-3
13.20^/(4x-5)2
З^Ь^ 2>/5tT2
Тренажер № 4
1.1)2; 2) (2; 8)
2
3.1)-6; 2)(2;1);
4. l)-3; 2) (-4; 11);
3(2-3x)2-(26-21x)
2>/3x-4
2.1)9;
2)
0
3)y = 2x + 3.
3)y = 9x-8.
3)y = -6x+l.
3)y—3x + 3,5.
8
5Л)--;2)
8 52
3)y= —x + —.
3 27
27
+2
2^;_M+Vi7+:
6.1)0;
7.1)0;
8. l)-3;
^;ilUi4
2)
2)(0;1);
'3 202 О
V2J
27
3)У = 2.
3)y=l.
,8 2048/
2)(1 + V3;2),(1-V3;2); 3)y = -3x + 5.
153
9.1)-1;
10.1)-7;
11.1)2;
12.1)^;
4
2)(0;1);
2)(-3;6);(-5;-8);
2)(1;3);
2)(l;2),|i; —I-
Гз7з7
Тренажер № 5
Тренажер № 6
3)у = -х+1,5.
3)у=-7х-15.
3)у = 2х+1.
чл 13 т
3)У=—х-3.
4
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
убывает
х<1,5
х<0,5
х>3
-2 < х < 0
—
1 ,
— <х<1
2
х < -2, 0 < х < 2
-
х < 0,75
х<-0,25
-2>/з<х<2л/3
х < 0, 0 < х < 1
-3 < х < 0, х > 0
х<-1,-1<х<2- VJ,
х>2+ 7з
0,5 < х < 2, х > 2
0<х< 1
х<2,5
л , 2л/б
х>2+ —L-
3
возрастает
х>1,5
х > 0,5
х<3
х<-2,х>0
R
1
х< -, х> 1
2
-2 < х < 0, х > 2
R
х > 0,75
х > -0,25
х < -2-Уз, х > 2л/3
х>1
х<-3
2-7з<х<1,
1<х<2+>/з
х<-1,-1<х<0,5
х>1
-
3<х<2+^
3 I
1
2
3
4
5
точка минимума
х = 0
2
х= —
3
х = 0
х = 2
х=1
точка максимума
-
-
х = -2
х = -2
х = -2
154
Окончание табл.
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
4
х= —
9
х - 0, х - 2
-
х=1
х = 2
х--1,х- 1
-
х=1
х = -3
х = -1
х = 2
1
х= -
3
1
х= —
4
х = 0
х = 0
х = -2
х=1
1
х= —
6
х = -1
-
-
-
-
х = 3
х = 3
х = 0
-
-
- |
2
х= —
5 |
Тренажер № 7
1
2
3
...._._
5
6
7
8
а)
наибольшее
4
55
-ioil
27
35
29
-2
3,5
17
наименьшее
-12
35_
9
-20
12
-86
-2,5
0
8
б)
наибольшее
20
7
-ioil
27
12
13
2,5
9
4
17
наименьшее
-12
145
9
-20
3
-115
2
3
8
155
Окончание табл.
9
10
11
[ 12
2->/2
4
121
4
4
1-V2
2
З7
44
4
0
2
250
4
2>/б
0
64
3,5
3
Тренажер №8
х4
I. —+ Х + С.
4
З.х-Зх2 + Зх3 + С.
2 7
7. -x2Vx-2xVx + 10Vx+C.
II. -xVx + 10Vx-x + -a/xT + C.
3 5
12.-±xtf7 + -ix2V? + G
7 11
Тренажер № 9
ь
1. J(g(x)-f(x))dx.
a
b с
2. J(g(x) - f(x))dx + J(f(x) - g(x))dx.
a b
b
3. J(f(x)-g(x))dx.
a
,2xJ 1 _
2. + —+ C.
3 x
4. -- + C.
x
x2 1
6. iL+2-l+c.
2 x
8. -xVx"--xVx-V2x + C.
3 4
fi 11
10. 4>/x-—x6 +C.
11
156
b с
4. J(g(x) - f(x))dx + J(f(x) - g(x))dx.
a b
b с
5. f(x~f(x))dx+J(g(x)-f(x))dx.
a b
d с
6. Jf(x)dx-fg(x)dx.
a b
Тренажер
1.20.
6Л.
2
11.1,5.
15.2-
2
In 2
№10
2.1.
3
7. 1.
12.1.
3
1 Л Л 14
3. 4. 4. —
3
8. -V2. 9. 12.
3
13.1. 14.-
4
.6. М.1.
3 6
157
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 3
Тематическое планирование 4
Глава VIII. ПРОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ
СМЫСЛ 4
§44. Производная 5
Урок1 5
Урок 2 7
§ 45. Производная степенной функции 8
УрокЗ 8
Урок 4 11
§ 46. Правила дифференцирования 12
Урок 5 12
Урок 6 15
Урок 7 18
§ 47. Производные некоторых элементарных функций 21
Урок 8 21
Урок 9 23
Урок 10 25
§ 48. Геометрический смысл производной 27
Урок 11 27
Урок 12 32
Урок 13 35
Урок 14 39
Урок 15 41
Урок 16 43
Глава IX. ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ 45
§ 49. Возрастание и убывание функции 45
Урок 17 45
Урок 18 49
Урок 19 52
§ 50. Экстремумы функции 58
Урок 20 58
Урок 21 61
Урок 22 64
§ 51. Применение производной к построению графиков функций 67
Урок 23 67
Урок 24 69
Урок 25 72
§ 52. Наибольшее и наименьшее значения функции 77
158
Урок 26 77
Урок 27 79
Урок 28 82
Урок 29 84
§ 53. Выпуклость графика функции, точки перегиба 87
Урок 30 87
Уроки 31-32 91
Урок 33 96
Глава X. ИНТЕГРАЛ 98
§ 54. Первообразная 98
Урок 34 98
Урок 35 101
§ 55. Правила нахождения первообразных 104
Урок 36 104
Урок 37 107
§ 56. Площадь криволинейной трапеции и интеграл 109
Урок 38 109
Урок 39 111
Урок 40 113
§ 57. Вычисление интегралов 117
Урок 41 117
Урок 42 119
§ 58. Вычисление площадей с помощью интегралов 122
Урок 43 122
Урок 44 124
Урок 45 127
Урок 46 129
§ 59. Применение производной и интефала к решению прак-
тических задач 131
Урок 47 132
Урок 48 134
Урок 49 136
Урок 50 138
Урок 51 142
Урок 52 143
Приложения 145
159
АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА
11 класс
Поурочные планы
по учебнику Ш. А. Алимова,
Ю. М. Калягина, Ю. В. Сидорова,
Н. Е. Федоровой, М. И. Шабунина
Часть I
© Автор-составитель Григорьева Галина Ивановна, 2004
Ответственные за выпуск
Л. Е. Гринин, А. В. Перепелкина
Редактор А. В. Перепелкина
Технический редактор Л. В. Иванова
© Издательство «Учитель», 2004
400067, г. Волгоград, п/о 67, а/я 32
Если Вы напишете по адресу: 400067, г. Волгоград, п/о 67, а/я 32, издательство «Учитель»
или позвоните по телефону: код (84421 42-24-79. 42-20-63. Вам будет выслан полный каталог
пособий и книг издательства «Учитель». Адрес электронной почты (E-mail): uchite)(ft)avtlg.ru
По вопросам оптовых поставок обращаться по тел.: 42-39-51,42-57-92,42-11-58,44-85-53.
Подписано в печать 27.09.05. Формат 60x90/16.
Бумага газетная. Гарнитура Тип Тайме.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 10,0. Доп. тираж 10000 экз. Заказ № 1S449.
Диапозитивы предоставлены издательством.
Отпечатано в ОАО «Саратовский полиграфический комбинат».
410004, г. Саратов, ул. Чернышевского, 59.
УДК 371.214.1
ББК 74.262.21
А45 чдг\*г
tthtf
Автор-составитель Г. И. Григорьева
Алгебра и начала анализа. 11 класс: поурочные планы
А45 по учебнику Ш. А. Алимова и др. - Ч. I/ авт.-сост.
Г. И. Григорьева. - Волгоград: Учитель, 2006. -159 с.
ISBN 5-7057-0451-8
В пособии представлены поурочные планы по курсу «Алгебра и начала анализа»
(11 класс), составленные в соответствии с программой по математике (по учебнику:
Алимов Ш. А. и др. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. М: Просвещение,
2004). Наряду с кратким изложением теоретического материала даются практиче-
ские задания (базовые и повышенного уровня), способствующие лучшему усвоению
темы урока. Кроме того, по каждой теме подобран дидактический материал.
Предназначено учителям-предметникам старших классов общеобразовательных
школ в помощь при подготовке и проведении уроков.
УДК 371.214.1
ББК 74.262.21
ISBN 5-7057-0451-8 © Григорьева Г. И., автор-составитель
© Издательство «Учитель»
© Оформление. Издательство «Учитель»