Текст
С. Л. СОБОЛЕВ
УРАВНЕНИЯ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ФИЗИКИ
ИЗДАНИЕ ТРЕТЬЕ
Допущено Министерством высшего
образования СССР в качестве учебника
для студентов механико-математических
и физико-математических факультетов
государственных университетов
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ИЗДАТЕЛЬСТВО
ТЕХНИКО-ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
МОСКВА 1954
11-5-2
С. Л. Соболев. Уравнения математической физики.
Редактор В. С. Рябенький.
Техн, редактор С. С. Гаврилов. Корректоры Л. О. Сечейко и И. Л. Едская.
Сдано в набор 29/IV 1954 г. Подписано к печати 27/VII 1954 г. Бумага’ 60х92/i«.
Эйз. печ. л. 27.75. Условп. печ. л. 27,75. Уч.-изд. л. 28,29. Тираж 15 000 эка.
Т-04888. Цена книги 10 руб. Заказ № 282.
Государственное издательство технико-теоретичрской литературы.
Москва, Б. Калужская, 15. • ‘
16-я типография Главпол'играфпрома Министерства культуры СССР.
МоскБа< Трёхпрудный пер., 9.
I
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию.................................. 7
Предисловие к первому изданию............'...................... 8
Лекция I. Вывод основных уравнений ............................. S
§ 1. Формула Остроградского................................ Э
§ 2. Уравнение колебаний струны......................< 1S
§ 3. Уравнение колебаний мембраны.......*................. 14
§ 4. Уравнение неразрывности при движении жидкости и урав-
нение Лапласа .......................................... 16
§ 5. Уравнение передачи тепла............................ 19?
§ 6. Звуковые волны....................................... 23
Лекция II. Постановка задач математической физики. Пример
Адамара....................................................... 2S
§ 1. Начальные и краевые условия.............. 2$
§ 2. Зависимость решения от предельных условий. Пример
Адамара............................................... 32
Лекция III. Классификация линейных уравнений 2-го порядка- 3$
§ 1. Линейные уравнения и квадратичные формы. Канониче-
ский вид уравнения............................... -
§ 2. Канонический вид уравнений с двумя независимыми пере-
менными ................................................ 44
§ 3. Второй канонический вид гиперболических уравнений
с двумя независимыми переменными................... 47
§ 4. Характеристики...................................... 48
Лекция IV. Уравнение колебаний струны и его решение мето-
дом Даламбера.......................................... 52
§ 1. Формула Даламбера. Неограниченная струпа ........ 52
§ 2. Струна с двумя закреплёнными концами......... . - 55
§ 3. Решение задачи для неоднородного уравнения и для
более общих граничных условий........................... 51
Лекция V. Метод Римана............. ..............,. .....- О
§ 1. Первая краевая задача для гиперболических уравнений - О
§ 2. Сопряжённые дифференциальные операторы.............- (S7
§ 3. Метод Римана.......................................- ТО
§ 4. Функция Римана для сопряжённого уравнения ........... 74
§ 5. Некоторые качественные следствия формулы Римана * - ТО
Лекция VI. Кратные интегралы............................ - 78
§ 1. Замкнутые и открытые множества точек................. 7$
§ 2. Интегралы по открытым множествам от непрерывных
функций . ... < . । . . ......................... . . . . М
' ' '• ....... ' ''" '
4
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3. Интегралы по ограниченным замкнутым множествам от
непрерывных функций.............................. 90
§ 4. Суммируемые функции......................... 96
§ 5. Неопределённый интеграл от функции’одной переменной.
Примеры............................................ 103
§ 6. Измеримые множества. Теорема Егорова....... 106
§ 7. Сходимость в среднем суммируемых функций ....... 114
§ 8. Теорема Лебега-Фубини....................... 124
Лекция VII. Интегралы, зависящие от параметра................. 128
§ 1. Интегралы, равномерно сходящиеся при данном значении
параметра.............................................• 128
§ 2. Производная по параметру от несобственных интегралов . 132
Лекция VIII. У равнение распространения тепла ...... . 136
§ 1. Фундаментальное решение............................. 136
§ 2. Решение задачи Коши..................................142
Лекция IX. Уравнения Лапласа и Пуассона....................... 149
§ 1. Теорема максимума.................................. 149
§ 2. Фундаментальное решение. Формула Грива.............. 151
§ 3. Потенциалы объёма, простого слоя и двойного слоя . . . 153
Лекция X. Некоторые общие следствия из формулы Грина . . 159
§ 1. Теорема о среднем арифметическом ... *.............. 159
§ 2. Поведение гармонической функции вблизи особой точки . 163
§ 3. Поведение гармонической функции на бесконечности.
Взаимносопряжёипые точки................................ 167
Лекция XI. Уравнение Пуассона в неограниченной среде. Нью-
тонов потенциал .................................. *......... 171
Лекция XII. Решение задачи Дирихле для шара................... 176
Л е к ц и я XIII. Задачи Дирихле и Неймана для полупространства 185
Лекция XIV. Волновое уравнение и запаздывающие потен-
циалы ....................................................... 193
§ 1. Характеристики волнового уравнения............... . 193
§ 2. Метод Кирхгофа для решения задачи Коши.............. 194
Лекция XV. Свойства потенциалов простого и двойного слоя . 208
§ * 1. Общие замечания................................... 208
§ 2. Свойства потенциала двойного слоя.................. 209
§ 3. Свойства потенциала простого слоя................... 216
§ 4. Правильная нормальная производная................... 224
§ 5. Нормальная производная потенциала двойного слоя . . . 225
§ 6. Поведение потенциалов па бесконечности.............. 227
Лекция XVI. Сведение задач Дирихле и Неймана к интеграль-
ным уравнениям.............................................. 229
§. 1, Постановка задач и единственность их решений....... 229
§ 2. Интегральные уравнения для поставленных задач .... 232
ОГЛАВЛЕНИЕ
5
Лекция XVII. Уравнения Лапласа и Пуассона на плоскости . . 235
§ 1. Фундаментальное решение............................ 235
§ 2. Основные задачи.................................... 237
§ 3. Логарифмический потенциал....................• • • 241
Лекция XVIII. Теория интегральных уравнений.................. 244
§ 1. Общие замечания.................................... 244
§ 2. Метод последовательных приближений................. 245
§ 3. Уравнение Вольтерра................................ 249
§ 4. Уравнения с вырожденным ядром...................... 251
§ 5. Ядро специального вида. Теоремы Фредгольма......... 256
§ 6. Обобщение результатов.............................. 261
§ 7. Уравнения с неограниченными ядрами специального вида 264
Лекция XIX. Применение теории Фредгольма к решению задач
Дирихле и Неймана............................................ 267
§ 1. Вывод свойств интегральных уравнений............... 267
§ 2. Исследование уравнений............................. 269
Лекция XX. Функция Грина................................. 274
§ 1. Дифференциальные операторы с одной независимой пере-
менной ................................................. 274
§ 2. Сопряжённые операторы и сопряжённые семейства . . . 278
§ 3. Основная лемма об интегралах сопряжённых уравнений . 281
§ 4. Функция влияния.................................... 285
§ 5. Определение и построение функции Грина............. 287
§ 6. Обобщённая функция Грина для линейного уравнения
2-го порядка............................................ 291
§ 7. Примеры............................................ 296
Лекция XXI. Функция Грина для оператора Лапласа.............. 301
§ 1. Функция Грина для задачи Дирихле................... 301
§ 2. Понятие о функции Грина для задачи Неймана........ 306
Лекция XXII. Корректность постановки краевых задач мате-
матической физики . ......................................... 311
§ 1. Уравнение теплопроводности.......................... 311
§ 2. Понятие обобщённого решения......................... 314
§ 3. Волновое уравнение.................................. 318
§ 4. Обобщённые решения волнового уравнения.............. 322
§ 5. Свойство обобщённых решений однородных уравнений . . 329
§ 6. Неравенства Буияковского и Минковского.............. 334
§ 7. Теорема Рисса-Фишера................................ 335
Лекция XXIII. Метод Фурье..................................... 338
§ 1. Разделение переменных............................... 338
§ 2. Аналогия между задачей о колебании непрерывной среды
и колебаниями механических систем с конечным числом
степеней свободы........................................ 345
§ 3. Неоднородное уравнение.............................. 347
§ 4. Продольные колебания стержня со свободными концами 351
ОГЛАВЛЕНИЙ
6
Лекция XXIV. Интегральные уравнения с вещественным сим-
метрическим ядром........................... 354
§ 1. Простейшие свойства. Вполне непрерывные операторы . . 354
§ 2. Доказательство существования собственного значения . . 366
Лекция XXV. Билинейная формула и теорема Гильберта-
Шмидта ......................................................... 370
§ 1. Билинейная формула........................... 370
§ 2. Теорема Гильберта-Шмидта............................ 378
§ 3. Обоснование метода Фурье для решения краевых задач
математической физики.................................. • 381
§ 4. Применение теории интегральных уравнений с симметри-
ческим ядром........................................ . 390
Лекция XXVI. Неоднородное интегральное уравнение с сим-
метрическим ядром...................................... 391
§ 1. Разложение резольвенты.......................... ‘391
§ 2. Представление решения при помощи аналитических
функций.............................................. 393
Лекция XXVII. Колебания прямоугольного параллелепипеда . . 397
Лекция XXVIII. Уравнение Лапласа в криволинейных коорди-
натах. Примеры применения метода Фурье . . 403
§ 1. Уравнение Лапласа в криволинейных координатах .... 403
§ 2. Функции Бесселя....................................... 409
§ 3. Полное разделение переменных в уравнении Ди —0 в по-
. лярных координатах.............................• • •
Лекция XXIX. Гармонические полиномы и сферические функ-
ции ........................................................... 417
§ 1. Определение сферических функций....................... 417
§ 2. Приближение при помощи сферических функций............ 421
§ 3. Задача Дирихле для шара............................... 424
§ 4. Дифференциальные уравнения для сферических функций . 425
Лекция XXX. Некоторые простейшие свойства сферических
, функций.............................................. 431
§ 1. Представление полиномов Лежандра...................... 431
§ 2. Производящая функция.................................. 432
§ 3. Формула Лапласа....................................... 435
Алфавитный указатель............................................ 438
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ.
Третье издание курса «Уравнения математической физики»
мало отличается от второго, подвергшегося серьёзной переработке.
Уже при втором издании была исключена лекция, посвящённая
методу Ритца, как стоящая несколько особняком от остального
курса. Некоторые упрощения были внесены в теорию кратных
интегралов Лебега и в теорию интегральных уравнений. Более
точно было проведено обоснование метода Фурье.
Как во втором, так и в третьем издании были произве-
дены отдельные улучшения стиля, исправлены неудачные фор-
мулировки.
Кроме того, редактором книги В. С. Рябеньким в третьем
издании более подробно развита лекция о зависимости решений
уравнений математической физики от дополнительных условий.
Автор выражает свою благодарность за ценные замечания,
сделанные ему при втором и третьем издании различными лицами.
Особенно ценные замечания были сделаны акад. В. И. Смирно-
вым и редактором третьего издания В. С. Рябеньким.
С, Соболев
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ.
Эта книга составлена в результате переработки курса лекций,
читанного автором в Московском государственном университете
имени М. В. Ломоносова. Поэтому автор сохранил за отдельными
лекциями их название. Этим объясняется и подбор материала,
который был ограничен в объёме количеством лекционных часов.
Автор выражает свою глубокую благодарность акад. В. И. Смир-
нову, прочитавшему книгу в рукописи, за ряд весьма ценных
замечаний, а также проф. В. В. Степанову за полезные указания.
С:. Соболев
Л Е К Ц И Я I.
ВЫВОД ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ.
Предмет теории уравнений математической физики составляет
изучение дифференциальных, интегральных и функциональных
уравнений, описывающих различные явления природы. Точные рам-
ки этой дисциплины, как это обычно бывает, определить довольно
трудно. Кроме того, большое разнообразие вопросов, относящихся
к уравнениям математической физики, не позволяет охватить их
сколько-нибудь полно в университетском курсе. Содержание настоя-
щей книги составляет лишь часть обширной теории уравнений ма-
тематической физики. В нее вошло только то, чтоказалосьпамнаи-
более важным для первоначального ознакомления с этой теорией.
Наш курс будет посвящён по преимуществу изучению урав-
нений в частных производных 2-го порядка с одной неизвестной
функцией, в частности волнового уравнения, уравнения Лапласа
и уравнения теплопередачи, обычно называемых классическими
уравнениями математической физики.
f Попутно мы разовьём необходимую теорию смежных вопросов.
§ 1. Формула Остроградского.
Прежде чем переходить к выводу тех уравнений математи-
ческой физики, которыми мы будем в дальнейшем заниматься,
напомним одну формулу интегрального исчисления, касающуюся
преобразования поверхностных интегралов в объёмные.
Пусть Р (х, у, z), Q (х, у, z) и R (х, у, z) — три функции пере-
менных х, уу z, заданные в некоторой области D и имеющие
в ней непрерывные производные первого порядка по х, у п z.
Рассмотрим в D некоторую замкнутую поверхность S, которая
состоит из конечного числа кусков с непрерывно меняющейся
на них касательной плоскостью.
Такую поверхность называют кусочно гладкой. Мы будем,
кроме того, предполагать, что прямые, параллельные координат-
ным осям, встречают её либо в конечном числе точек, либо имеют
общим целый отрезок.
10 ВЫВОДЫ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ [Л. I
Рассмотрим интеграл
[Р cos (п,х) + (?cos (п,у) + Reos(n,z)]dS, (1.1)
s
где через cos (п,х), cos (га,?/) и cos (га,z) обозначены косинусы углов,
-составленных внутренней нормалью к поверхности 6" с осями
координат, a dS — положительный элемент поверхности. Пользуясь
векторными обозначениями, мы можем считать Р, Q, R компо-
нентами некоторого вектора, который обозначим одной буквой Т1).
Тогда
Р cos (га,а;) + Q cos (п,у) + R cos (ra,z) = Тп,
где Тп — проекция вектора Т на направление внутренней нормали.
Классическая теорема интегрального исчисления позволяет
перейти от поверхностного интеграла (1.1) к объёмному, распро-
странённому на область D, ограниченную поверхностью S, удовле-
творяющей перечисленным выше ограничениям. Мы будем иметь:
[Р cos (га,а;) + Q cos (га,у) 4- R cos (ra,z)] dS =
=- I
D
или в векторных обозначениях
TndS = - dixTdv, (1.2)
8 J D ’ f
где dv обозначает дифференциал объёма, а
diTг_^+^+", (1.3)
Эх оу 02
(знак div читается «расходимость»).
Приведённая нами формула справедлива в более общих пред-
положениях относительно 8. В частности, формула (1.2) имеет
место для любой кусочно гладкой поверхности 8, ограничивающей
некоторую область D.
В дальнейшем, если не будет сделано оговорок, под словом
«поверхность» мы будем понимать кусочно гладкую поверхность.
Из формулы (1.2) вытекает важное следствие.
Лемма 1. Пусть F-—непрерывная функция, заданная в неко- *
торой области трёхмерного евклидова пространства. Для того
чтобы для любой замкнутой поверхности S, проведённой внутри
х) Относительно Р, Q, В предполагается, что они непрерывны вплоть до
границы и имеют непрерывные первые производные внутри области D.
§ 2] УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ 11
области задания векторной функции Т и ограничивающей
область 2, имело место равенство
^TndS^^Fdv^Q, (1.4)
s J й
необходимо и достаточно, чтобы
divT+^ = O.
Применяя формулу (1.2), равенство (1.4) можно привести к виду
(divT+^)<Zr = 0.
Й
После этого достаточность условия леммы становится очевидной.
Установим его необходимость. В самом деле, если бы в некоторой
точке А, а тем самым в силу непрерывности и в её окрестности,
функция divl’ + Z' была бы отлична от нуля, например поло-
жительна, то интеграл
S (divT4-/’)di>,
О)
распространённый по малой области <о вокруг А, был бы не равен
нулю и левая часть (1.4) была бы также отлична от нуля. Следо-
вательно, наше предположение противоречит условию. Необходи-
мость равенства
divT + ^ = 0
доказана.
Точно таким же образом может быть доказана аналогичная
лемма для двумерной области, лежащей на плоскости.
§ 2. Уравнение колебаний струны.
Рассмотрим струну, натянутую между двумя точками. Струной
называют твёрдое тело, в котором длина значительно превосходит
остальные размеры. Сила натяжения, действующая на это тело,
предполагается значительной. Поэтому его сопротивлением при
изгибании можно пренебречь по сравнению с натяжением.
Пусть направление этой струны совпадает в состоянии покоя
с направлением оси Ох. Под влиянием поперечных сил она примет
другую форму, вообще говоря, непрямо линейную.
Если мы в некоторой точке х разрежем струну на две части,
то влияние правой части на левую выразится в виде силы Т(х),
направленной по касательной к линии струны (черт. 1). Допустим,
для простоты рассуждений, что движение струны происходит
в одной плоскости, и обозначим через и отклонение струны от
положения равновесия. Пусть уравнение изогнутой линии струны
12
ВЫВОДЫ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
[Л. 1
в плоскости хОи будет и = и(х, t). Обозначим через р (х) погонную
плотность струны, т. е. предел отношения массы малого участка
струны к его длине.
Рассмотрим сначала струну, находящуюся в равновесии.
Допустим, что струна находится под действием поперечно
действующей нагрузки р(.г). Иными словами, если мы выделим
участок её хг^х^х2, то прило-
женная к этому участку сила на7
правлена по оси и и величина
*2
её равна р (х) dx. Обозначим
через а (я) угол, образованный
направлением касательной к
струне с осью Ох\ тогда проек-
ция на ось и силы натяжения,
действующей в точке х2У будет
| Т(х2) | sin а (ж2) = Т (х2) sin а (х>),
где Т (х) — абсолютная величина (длина) вектора Т(х), а проекция
натяжения на ось и в точке хх будет: . '
— \Т (х^ | sin а (х±) = —Т (Ху) sin а (rrj.
Заметим, что
ди
Считая величину малой и пренебрегая её квадратом, получим
условие равновесия участка струны в виде
Х2
7,йи-7’?Х.,+ а-*)
Очевидно,
Х2
XI
Условие (1.5) переходит при этом в условие:
Ш(7'£)+'’(1>]‘гг'=0- <Ь6)
XI
Подинтегральная функция в (1.6) должна, очевидно, обратиться
в нуль тождественно (иначе нашлись бы такие xlt х2, для которых
§ 2]
УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ
13
интеграл (1.6) не обратился бы в нуль), и уравнение (1.6) пере-
пишется в виде
Уравнение (1.7) и есть уравнение равновесия струны при попе-
речной нагрузке р(х).
Если мы теперь перейдём от статического случая к динами-
ческому, т. е. рассмотрим колебания струны, то, пользуясь прин-
ципом Даламбера, нужно будет в уравнение равновесия включить
ещё и силы инерции струны, которые имеют вид
Х2
тогда условие равновесия примет вид
$ [i(7’£)~p(a;)S+/,(:r)]^=0’
Xj
и уравнение колебаний струны будет
fc(2'£>-pW£+''(i)=u- (,Х)
Будем считать колебания струны поперечными. Тогда состав-
ляющая по оси Ох суммы всех сил, приложенных к каждому участку
струны, должна быть равна нулю. Так как нагрузка р(х) также
предполагается поперечной, то это позволяет написать равенство
Т COS (X |х=х2 7^ COS ОС О»
где хг и гг2 —два произвольных значения.
Отсюда, пренебрегая величинами порядка а2, получим:
“ Т |х—Х2 ?
или Т не зависит от х. Следовательно, в равенстве (1.8) Т можно
вынести из-под знака производной по х. Если, кроме того, пред-
положить, что натяжение Т не зависит от времени, т. е. посто-
янно, и что плотность р также постоянна, а нагрузка р(х) равна
нулю, то уравнение (1.8) примет вид:
где
2 Т
6Г = — = const.
р
Уравнение (1.9) рассматривали ещё в XVIII в. Даниил
Бернулли, Даламбер и Эйлер.
14
ВЫВОДЫ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
[Л I
§ 3. Уравнение колебаний мембраны.
Рассмотрим плёнку, т. е. очень тонкое твёрдое тело, натянутое
равномерно по всем направлениям. Пусть в спокойном состоянии
она расположена в плоскости хОу. Будем предполагать, что эта
плёнка столь тонка, что не сопротивляется изгибу. Такую плёнку
мы будем называть мембраной-
Пусть в изогнутом состоянии уравнение её будет
u = u(t, х, у).
Какой бы участок S этой мембраны мы ни выделили, будем
считать, что со стороны остальной части мембраны на этот участок
Черт. 2.
действует направленное по норма-
ли к контуру равномерно распреде-
лённое натяжение Т, лежащее в
касательной плоскости к мембране
(черт. 2).
Составим уравнение равновесия
участка мембраны S, ограничен-
ного кривой 5 и находящегося под
действием поперечных сил.. Состав-
ляющая натяжения на ось. и запи-
шется в виде интеграла
Т cos (?, и) ds, (1.10)
где Т - длина вектора натяжения
Т, а через I обозначен какой-
либо вектор, имеющий направле-
ние действия натяжения. Вычислим
cos (Z, и).
Направление I по условию есть направление общего перпенди-
куляра к контуру $ и к вектору V, направленному по внутренней
нормали v к поверхности и = и (t, х, у). В свою очередь, всякий
вектор s, направленный по касательной к контуру s, перпенди-
кулярен к вектору v и к единичному вектору п, направленному
по внутренней нормали к проекции контура 5 на плоскость хОу,
ибо касательная s и касательная к проекции s на плоскость хОу
лежат в касательной плоскости проектирующего цилиндра.
За вектор 8 можно принять векторное произведение
П X V.
Рассмотрим вектор определённый формулой
?1 = (nXv)Xv.
§33
УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ МЕМБРАНЫ
15
По формулам аналитической геометрии мы имеем:
11== — nv2 + v(nv).
Принимая во внимание, что вектор п имеет составляющие
cos(n, ж), cos (и, у), 0, а вектор v — составляющие —
получим, отбрасывая малые величины 2-го порядка, содержащие
f ди\% f ди\2 ди ди 7
\дх ) 9 \ду) дх ду 9 для составля1°Щих К выражения:
— COS (72, X), — COS (Т2, 2/), ~ COS (п> х) C0S (П> У)'
и и
Длина вектора 119 с точностью до малых величин высших
порядков, равна единице. Поэтому, не уменьшая точности, можно-
считать равным единичному вектору I, направленному по линии
действия натяжения.
Подставляя это выражение в уравнение равновесия мембраны^
которое в данном случае имеет вид
р (х*, у) dx dy + 71 cos (Z, и) ds = 0,
o> s
где через p (x, у) обозначена величина поперечно действующей
нагрузки, отнесённой к единице площади, а через о) — проекция
на плоскость хОу, получим:
5 5 р(х, y)dxdy— cos (п, X) + ws(n,y)^Tds = О,
1.0 S
или, в силу леммы 1,
<L11>
Уравнение колебаний мембраны напишется в виде
(/'(•'> у) - P^^dxdy-^T (^ cos (П,«)+^ cos (n,y)) ds=O,.
(O s
где p — p (x, у) — плотность мембраны па единицу поверхности,
или, по лемме 1:
д Г гг, ди \ . д / ди \ , ч z ч д2и п
-cte i1 >+р(х’ у}~р{х’ =
Из (1.12) при постоянных Т и р получим:
Сумму
д2и
^с2 ду2
71 ( + Р У)
\ дх2 ду2 J 1 г и'
д2и
Pdt2 ‘
или, в трёхмерном пространстве,
д2и
дх2
^2и -L. д2и
ду2 ’ dz2
(1-13)
16
ВЫВОДЫ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
[Л. I
часто называют оператором Лапласа и обозначают символом Ди.
При этом уравнение (1.13) можно записать в виде
^ = а2Ди+Я^> (1.14)
где
2 Т
а~ =— = const.
Р
§ 4. Уравнение неразрывности при движении жидкости
и уравнение Лапласа.
Прежде чем приступить к выводу уравнения, называемого
уравнением неразрывности, выведем одну важную формулу мате-
матического анализа. Рассмотрим некоторую замкнутую кусочно
гладкую поверхность S (t), зависящую от параметра t и ограни-
чивающую переменный объём 2(z). Пусть р (.т, у, z, t) есть неко-
торая функция координат и времени t. Рассмотрим интеграл
(Z) = р dx dy dz
2(0
и зададимся целью вычислить производную по времени от этого
выражения.
Рассмотрим сначала частный случай, когда объём 2 (I) огра-
ничен цилиндрической поверхностью с образующими, параллель-
ными оси z, и поверхностями z=0 и z = <р(ж, у, /), причём
z~ ф (х, у, t) есть уравнение кусочно гладкой поверхности S (£); про-
I дер I ,
взводная ограничена: ~ i
В этом случае имеем:
z, t) dz j dx dy.
42
м
21 0
где плоская область есть часть границы объёма 2, которая
лежит в плоскости хОу.
Составим разностное отношение для вычисления :
<? (х, у, z,
= д4§ [ 5 р(х, у, z, t + &t)dz]drdy +
21 Ф (х, У, z, О
Ф (х, У, z, 0
+ д7^{ S [р(ж> У> z> t + р(х, у, z,
21 0
(p-f-Д? <р
Ф 21 0
/)] dz | dx dy =
<Р
' р(^ + Д0-р(О
I AZ
21
§ 4] УРАВНЕНИЕ НЕРАЗРЫВНОСТИ ПРИ ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ <7
Переходя к пределу при Дг—>0, получим:
lim = И р (х, у, <р) dx dy + dxdydz,
ИЛИ
= S 5\^dxdydz + $ \?d£d*dy =
С Z=p
==\\\jidxdydz~W9^tC0?’ ^п’ dS'
2 S
где n— направление внутренней нормали к поверхности S.
Выражение ~ называют кажущейся скоростью движения по-
верхности S (I) по направлению оси z. Оно допускает очень на-
до
глядную интерпретацию: — — это скорость движения по прямой
х — const., ?/ = const. точки пересечения поверхности z = ср с этой
прямой;
Запишем выражение кажущейся скорости в другом виде. Для
этого представим семейство поверхностей 5 (t) в виде, разрешён-
ном относительно t:
t ~S(x, yf z).
Тогда
dz__ _i_
dt dt
dz
Но есть составляющая по оси z вектора grad t, направленного
по нормали к поверхности S и имеющего следующие компоненты:
dt / . dt , ч dt z ч
H-COS (n, X)t COS (n, V), -H-COS (П, Z).
dn 4 n dn 4 ’dn 4 '
Отсюда
dcp__________________dz__ 1 1
Выражение называется кажущейся скоростью движения по-
dn
верхности по нормали. Мы обозначим его через vn. Для кажу-
щейся скорости движения поверхности S по направлению оси z
(эту величину мы обозначим через vz) имеем:
D Vn
z dt cos (n, z)
2 С. Л. Соболев
18
ВЫВОДЫ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
[Л. I
Если поверхность S состоит из материальных частиц, движу-
щихся со скоростью v, то скорость в направлении нормали будет
Vn = vx COS ж) + Vy C0S (W> У) + Vz cos (n> z)>
и мы можем записать нашу формулу в виде
\?dxdydz=^ \ ^-fadxdy dz—-^pvndS. (1.15)
s(/) 2(0J *S(0
В общем случае, когда поверхность S (Z) имеет произвольную
форму, получим ту же формулу, так как поверхность S (Z) всегда
может быть разбита на конечное число кусков таким образом,
что для точек каждого из этих кусков какая-нибудь одна про-
странственная координата является однозначной функцией двух
других.
Полезно дать наглядную физическую иллюстрацию форму-
ле (1.15). В некоторый момент времени Z выделим на поверхно-
сти S некоторый элементарный участок dS и проведём траекто-
рии всех точек, принадлежащих dS, на отрезке времени (Z, Z-p Д/).
Этот участок заполнит объём, приближённо совпадающий с косым
цилиндром, образующие которого имеют вид vdt, где v есть
вектор скорости движения поверхности. Объём этого цилиндра
равен произведению площади основания на высоту, т. е. vn dt dS.
Всё приращение интеграла \ Р вызванное перемещением по-
верхности 5, приблизительно равняется интегралу
S
Деля это выражение на dt и вычисляя отдельно приращение Q,
обусловленное изменением р, получим формулу (1.15).
Формула (1.15) позволяет получить уравнение, выражающее
неизменность количества жидкости или газа при движении.
Пусть в некоторой части пространства происходит движение
жидкости, причём составляющие скорости vx(x, у, z, t), vy(x, у, z, t)
и vz(x,y,zft) суть заданные функции координат и времени.
Представим себе материальную поверхность S (t), состоящую из
одних и тех же движущихся частиц и ограничивающую некото-
рый переменный объём 2 (Z). Количество жидкости, заключённой
в объёме 2 (Z), равно
Q = р (х, у, z, Z) dx dy dz,
где p(rr, у, z, t) — плотность жидкости.
Так как жидкость не поступает извне и не исчезает, то коли-
чество её в таком объёме должно оставаться постоянным. Диф-
§ 5]
УРАВНЕНИЕ ПЕРЕДАЧИ ТЕПЛА
19
ференцируя по Z, получим:
2 (О 8(/)
Это равенство должно иметь место для любой поверхности S
и любого момента времени /. Применяя лемму 1, получим:
g + div(Pr) = O, (1.16)
или в раскрытом виде
^7 +~- (рг?ж) + — (ри ) 4- (рг?) = 0.
dt dx х/ иу v У' dzw ZJ
Это и есть так называемое уравнение неразрывности. Пока-
жем одно применение этого уравнения для случая движения не-
сжимаемой однородной жидкости, т. е. для случая, когда плот-
ность жидкости постоянна. Задача о потенциальном движении не-
сжимаемой . жидкости есть задача об отыскании неизвестной
функции V такой, что
, т, dV dV dV
v = grad V или у = — г? = —, vz = — .
° х dx 1 У dy z uz
Подставляя выражения для скоростей в уравнение неразрывно-
сти, получим:
fd2V , d2V , WA n
P Va:2 + dy* + <9z2 J “ °’
или
AF = O, (1.17),
52 d2 d2
где Д обозначает введённый выше оператор Лапласа ^2 + + •
Уравнение (1.17) называется уравнением Лапласа. В дальнейшем,
когда мы выпишем полную систему уравнений движения жидко-
сти, мы проверим, что любая функция V, удовлетворяющая урав-
нению (1.17), действительно описывает некоторое возможное дви-
жение жидкости. Таким образом, для решения этой задачи
достаточно уметь находить нужные решения уравнения (1.17).
Иногда скорость г?, а следовательно, и функция У, не зависят
от времени. Такое движение называют установившимся.
§ 5. Уравнение передачи тепла.
Как известно из курсов физики, теплота представляет собой ре-
зультат беспорядочного движения частиц вещества. Степень на-
гретости тела определяется его температурой. Между энергией :
теплового движения какого-либо тела и температурой существует .
2*
20
ВЫВОДЫ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
(Л. I
простая зависимость:
(? — срТ dv,
' Ь‘
где D — объём, занимаемый этим телом, Q — энергия теплового
движения, или, что то же самое, количество тепла в калориях,
р —плотность вещества, У —абсолютная температура, с— теплоём-
кость.
Передача тепла от одного тела к другому или от одного
участка среды к другому происходит различными путями. Не при-
нимая во внимание лучеиспускание, химические процессы и т. п.,
мы будем здесь рассматривать лишь перенос тепла непосредствен-
ной передачей кинетической энергии от частицы к частице.
Выделим мысленно участок некоторой гладкой поверхности 5,
лежащий внутри изучаемой среды, и пусть п —единичный вектор,
направленный по нормали к 61. Тепловая энергия движения частиц,
расположенных по обе стороны этого участка, с течением времени
может изменяться за счёт столкновений их между собою или за
счёт перехода частиц через поверхность.
Частица, центр тяжести которой находился по одну сторону,
поверхности и которая имела некоторую энергию, может пе-
редать эту энергию либо при переходе па другую сторону поверх-
ности, либо при столкновении с частицей, центр тяжести которой
находился с другой стороны поверхности. Обозначим через &sQ
количество энергии, отнесённое к единице времени, которое пере-
даётся в момент времени / через поверхность S частицам, нахо-
дящимся с той стороны поверхности, куда направлена нормаль,
от частиц, находящихся с другой стороны S.
Сделаем допущение, что величину &sQ можно представить
в виде
Д8<? = t)ds>
где
X.(S, t) = / (ж, у, z- п; t).
Эти формулы равносильны предположению, что количество теп-
ловой энергии, проходящей через элементарную площадку, зави-
сит только от положения центра площадки и направления век-
тора п; при этом переход тепла считается положительным в на-
правлении вектора п. Будем ещё предполагать, что /, р, с и
Т — непрерывно дифференцируемые функции своих аргументов.
Изучая распространение тепла в некотором теле, мы будем
для общности предполагать, что внутри этого тела непрерывно
распределены источники тепла с интенсивностью д(я, у, z, Z).
§ 5]
УРАВНЕНИЕ ПЕРЕДАЧИ ТЕПЛА
21
Записывая баланс тепла для объёма Z), получим:
D D
= —^^/(я, у, z; п\ 0^+555 (Ы8)
*8
где вектор п направлен по внешней нормали.
Объём D является совершенно произвольным. Применим эту
формулу, взяв за D тетраэдр 2, одна из вершин которого ле-
жит в точке A (xG, z0), а три
грани, пересекающиеся в этой
точке, параллельны коор-
динатным плоскостям (черт. 3).
Обозначим грани этого те-
траэдра, перпендикулярные
соответственно к осям х, у, z,
через SX1 Sy, Sz, а наклонную
грань — через 50. Обозначим
площадь грани 50 через о0,
а площади остальных граней
соответственно через ах, оу,
az. Для ау и получим:
^х^О C°S (пОуХ),
cos (п0,г/),
<^ = <*0 COS (nQ ,z),
Черт. 3.
где cos (n0, x), cos (n0, y), cos (n0, z) — направляющие косинусы внеш-
ней нормали к грани 50.
Применим формулу (L18) к тетраэдру 2. Мы получим:
2 У
= 5 (®, у, z; i; t) dax + ^f(x,y, z;J;t)day +
Sx Sy
+ 55 /(ж> У> z> Ъ t) + 5 5 / У, z; — n0-, t) dc0,
S2 '80‘
где i, /, к обозначают единичные векторы, параллельные коорди-
натным осям ху у у z. Если объём 2 равен со, то теорема о сред-
нем даёт:
W (СР^)1с₽ ~ °x^x|cp + + ^z|cp + °о/ У» wo» 0 1ср>
22
ВЫВОДЫ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
[Л. I
где положено в целях сокращения
vx = / У, К = / (*, У, z; у, Z), vz = f (х, у, z, к; I).
Знаком |ср обозначено некоторое среднее значение функции.
Разделим обе части на а0 и перейдём к пределу при а()—>0, учи-
тывая, что направление при зтом остаётся постоянным. Пре-
дел левой части будет, очевидно, равен нулю. Принимая во вни-
мание, что
/•(ж, у, z; — п; t) = — /(х, yt z't п\ t),
получим:
Ж- ?/о> zo! м; =
= cos (п, х) + Vy cos (и, у) I- vz cos («, z)]!(xowo) = yn|(Wo),
где n — направление внешней нормали к границе S тетраэдра D,
совпадающее на гранях Sx, Syt Sz, SQ соответственно с направ-
лениями — i, — j, —к, »0.
Мы видим, таким образом, что функция / (.г, у, z\п\ t) предста-
вляет собой проекцию на направление п некоторого вектора V.
Имеем:
5 $ $ Д(рс7)dv = _ 5 5Vnds + и 5 qdv
D *S D J
при произвольном объёме D. Эта формула напоминает формулу (1.15).
Вектор V, аналогичный вектору скорости течения жидкости,
мы будем называть потоком тепла.
Поток тепла, существующий в среде, связан с распределением
температуры в ней. В естественных условиях тепло всегда течёт
от частей с более высокой температурой- к тем частям, темпера-
тура которых ниже. Выделим некоторую малую площадку dS
в нашей среде и будем исследовать, как меняется температура
в точках, близких к этой площадке.
Рост температуры характеризуется величиной
~ == п grad Т.
дп °
Допустим, что наша среда является изотропной, т. е. свойства её
во всех направлениях одинаковы. Естественно предположить, что
если температура возрастает в направлении нормали, то поток
тепла через площадку 6* отрицателен. Иными словами, величины
п grad Т—grad^Z и vndS
должны иметь противоположные знаки. Это должно быть верно
при любом направлении п. Следовательно, проекции векторов
gradZ и v на любое направление должны быть обратны по зна-
§6]
ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ
23
ку, что возможно только при условии, что эти векторы противо-
положно направлены, сначит,
v = — к grad 7,
где к — некоторая положительная скалярная величина, которая
может зависеть от свойств среды, от температуры, от характера
изменения температуры и т. и. В случае, когда температура
меняется не очень сильно, в первом приближении можно считать к
функцией только от точки среды. Это предположение хорошо
согласуется с опытом.
Подставляя полученное выражение для v в последнюю фор-
мулу для баланса тепла, получим:
D S D
Применяя лемму из § 1 и учитывая, что при замене направ-
ления внешней нормали направлениехМ внутренней нормали про-
дТ
взводная — = (grad7’)n меняет знак, получим:
д ! гг\ д f , дТ\ , д / , дТ\ . д / , дТ\ , ,т ,пч
хг (pcjT) — ( к —а— ( к ) -р » к а. (1.19)
dt х ' дх \ дх J 1 ду \ ду J ' dz \ dz J 1 * v '
Предполагая р, с и к постоянными, получим:
^=а2Д?+911 (1.20)
где
о к . q
а* = — — const., q. = — .
pc 7 pc
Уравнения (1.19) или (1.20) носят название уравнений пере-
дачи тепла, или уравнений теплопроводности.
§ 6. Звуковые волны.
В качестве последнего примера рассмотрим уравнение рас-
пространения звука.
Пусть какая-либо сжимаемая жидкость или газ движется
со скоростью v, проекции которой на оси координат обозначим:
vx(t,x,y,z), vy(t,x,y,z), vz(t,x,y,z).
Траектория каждой материальной точки этой жидкости будет
определяться уравнениями
dx dy, dz
di=v*’ di=^'
24
ВЫВОДЫ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
(Л. I
Легко подсчитать её ускорение. Мы будем иметь:
__ dvx . dvx dx ( dvx dy f dvx dz_
dt2 dt dx dt' dy dt ‘ dz dt
- । 7, J- 7, dV^ I ?? ^X
dt * x dx ' У dy ’ z dz *
dt2 dt r xfar У dy z dz '
d2z dvz । dvz , dvz , dvz
d^=-dF + v^ + vv^ + v^-
Напишем уравнение движения жидкости, на которую в каж-
дой точке действует сила с объёмной плотностью F; проекции
этой силы на координатные оси обозначим через X, У, Z. Если
давление в каждой точке будет р (/, х, у, z), то на некоторую
поверхность *У, ограничивающую объём 2, будет действовать сила,
проекция которой на ось х равна:
р (t, х, у, z) cos (тг, х} dS.
s
Прибавляя к этому проекции объёмных сил и сил инерции на
ту же ось, получим:
р cos(n, х) dS + ^Xdv-
S 2
J J J Ч х dx 1 У dy 1 z dz J
2
где dv — элемент объёма.
На основании леммы 1 уравнение движения будет:
+ + -Х = о. (1.22)
г \ dt 1 х dx 1 У dy ‘ z dz J ’ dx ' f
Аналогично пишутся два других уравнения для составляющих на
оси у и z:
n(dvV Л. „ dvv I „ dvv J_ ,, t dP Y — Ci
P < HF + + VV ~dj + ~dz ) + Гу - Y ~ °’
Cdvz , dvz , dvz , dvz \ . dp r, ex
-^7 +'vx-^ + ) + X = 0.
dt x dx ' У dy z dz J ' dz
Написанные выше три уравнения содержат пять неизвестных
функций: г?х, г?^, г?2, р и р. Для того чтобы система стала опреде-
лённой, необходимо добавить ещё два уравнения. Одно уравне-
ние, связывающее эти величины, мы уже вывели — уравнение
неразрывности.
ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ
25
§ 6]
В общем случае нам нужно было бы отыскать ещё одно
уравнение. Однако, предполагая жидкость несжимаемой и одно-
родной, мы можем положить
р = const.
и получить сразу достаточное число уравнений.
Мы можем теперь проверить, что полученное нами выше реше-
ние задачи о потенциальном движении несжимаемой жидкости:
v = grad V,
ДУ = 0,
действительно удовлетворяет полной системе уравнений движения
жидкости, если определить соответствующим образом функцию
и если, кроме того,
v dU v ди ди
A = __ / SSS — £j — ——-
дх 1 ду 1 dz 1
т. е. если внешние силы имеют потенциал. Достаточно убедиться,
что уравнения (L22) позволяют построить функцию р, если считать
dV dV dV
V =----. V =---- . V = —
х дх 9 У ду 9 z dz 9
Подставим в уравнения (1.22) вместо vx, vyt vz приведённые
выше их значения. Тогда из этих уравнений мы получим явные
выражения для
др др др
дх 9 ду 9 dz ‘
Из теории уравнений в частных производных 1-го порядка
известно, что система будет совместной в том случае, если вто-
рые смешанные производные
д2р д2р д2р
дх ду 9 dxdz 9 ду dz 9
определённые из различных уравнений, получаются одними и те-
ми же. Проверить это мы предоставляем читателю.
В общем случае сжимаемой жидкости из физики известно,
что давление и плотность всякой жидкости или газа связаны так
называемым уравнением состояния, в которое входит ещё абсолют-
ная температура Т. Для идеального газа это уравнение имеет вид
__ р
Р~ RT ’
где R есть так называемая газовая постоянная. Это уравнение
вводит ещё одну неизвестную функцию — Т. В некоторых случаях
к приведённым уравнениям приходится добавлять ещё одно урав-
нение, называемое уравнением притока тепла.
26
ВЫВОДЫ ОСНОВНЫХ УРАВНЕНИЙ
гл. I
Однако в ряде случаев можно предположить, что давление
и плотность связаны между собой прямой функциональной зави-
симостью:
Р = /(/>), (1.23)
где / — заданная функция.
Это обстоятельство имеет место, например, при рассмотрении
процессов, протекающих столь быстро, что тепло не успевает
передаваться от одной частицы к другой. Такие процессы назы-
ваются адиабатическими.
Для того чтобы из общих уравнений (1.16), (1.22), (1.23) полу-
чить нужные нам уравнения распространения звука, мы сделаем
несколько упрощающих предположений. Будем считать, что дви-
жение рассматриваемого газа представляет собой малые колеба-
ния вокруг положения равновесия. В этом состоянии равновесия
давление pQ и плотность р0 постоянны. Отклонения р — и р— р0,
равно как и скорости, мы будем предполагать малыми и, в част-
ности, будем считать, что членами тила(^гх^^, ... и т. д.
в уравнениях (1.22) можно пренебречь. Мы получим:
dvx др v dvy , др v dvz .др „
гл » др др др
С точностью до выражении вида vx, ~ vy, vz, которые
мы предполагаем малыми, эти уравнения могут быть записаны
в виде
5-(р^) + + tt = z-
dt u x/ дх dt У' ду dt z/ ‘ dz
Дифференцируя эти уравнения соответственно по х, у и z
и складывая, получим: .
д ГД* / \1 f д2р д2р | д2р дХ дУ dZ /т о/\
[div (pt^)] + ~F 2 — “F "з——п— • (1*24)
dt 1 \Г /J I ^2 I ^у2 • dz2 дх 1 ду * dz ' '
Левая часть уравнения (1.24), в силу уравнения неразрыв-
ности, может быть записана в виде
_|_ 92р = д1Р + + д^Р _ f (Р) ^р _ f (р) ( ЁрЛ \
дх2 ду2 * dz2 dt2 дх2 ‘ ду2 ’ dz2 dt2 ' \ dt J
Наконец, принимая j' (р) в малом промежутке изменения р за
постоянную: /'(/>) = /(А,), и обозначая правую часть (1.24),
дх , ду , dz
то-есть j через Ф, будем иметь:
Й + Й + Й-АЙ-*. (1.25)
дх2 ‘ ду2 1 dz2 а2 д*2 х '
§ 6]
ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ
27
где а —постоянная, определяемая по формуле
Используя символическое обозначение, имеем:
р аг сН2
Можно получить уравнения распространения звука и иным
путём, взяв, например, за неизвестную функцию не давление р,
а плотность р. Оказывается, что при этом для р получается урав-
нение в частных производных того же самого вида, что и урав-
нение (1.25).
Выведенные нами уравнения достаточно характерны. Мы могли
бы привести ещё много других примеров, однако вывод уравне-
ний математической физики не входит в нашу задачу, так как
нашей основной целью является исследование и решение таких
уравнений.
Поэтому ограничимся указанными примерами и перейдём к изу-
чению различных задач для этих уравнений.
ЛЕКЦИЯ II
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.
ПРИМЕР АДАМАРА.
§ 1. Начальные и краевые условия.
Из курса обыкновенных дифференциальных уравнений известно»
что решение этих уравнений не определяется однозначно.
Решение уравнения
F (х, у, у', • • •, У(п)) = О (ИЛ)
зависит, вообще говоря, от п произвольных постоянных
= clt с2, ...,cn). (П-2)
Часто можно взять в качестве этих постоянных начальные
значения неизвестной функции и её производных:
у|ж=0 = 2/0’ У'|х=о = ?/(о1)’ •••>?/(п_1)1«=о = г/(оп~1). (П.3>
Решение вида (II.2) называется общим тогда, когда можно
удовлетворить условиям (II.3) с любыми ?/0, .. ., выбрав
соответствующие значения для постоянных сг, ..., сл; для этого
бывает нужно решить некоторую систему конечных (недифферен-
циальных) уравнений. В частности, если уравнение (II.1) является
линейным однородным, то общий интеграл (II.2) имеет весьма
простой вид
У = ^1 + ^2 + ••• + СпУп>
где функции уг, ?/2, ..., уп являются системой линейно незави-
симых частных решений.
Подобно этому для уравнений в частных производных также
нет единственности решения. Решение уравнения в частных
производных зависит, вообще говоря, от некоторых произволь-
ных функций. Например, общим решением уравнения
^ = 0
ду
НАЧАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ
29
$ п
с двумя независимыми переменными х и у будет
« = /О),
где / (х) —- произвольная функция.
Для того чтобы сделать решение определённым, обычно нужно
задать некоторые дополнительные условия, например потребовать,
чтобы неизвестная функция, а также часто ещё некоторые её
производные или некоторые комбинации функции и её производ-
ных принимали заданные значения на различных многообразиях.
Мыслима, вообще говоря, и постановка задачи об отыскании
•общего вида решений для уравнения в частных производных,
аналогичная соответствующей задаче для уравнений вида (II.1).
Однако, хотя такие общие решения и существуют, знание их,
за редким исключением, ничего не даёт нам для решения важных
частных задач, ибо вместо системы конечных уравнений для
нахождения сх, с2, . .., с.п, как это имело место для обыкновенных
уравнений, мы получим при решении этих частных задач систему
столь сложных функциональных соотношений для произвольных
функций, что их отыскание практически невозможно.
Каждая задача математической физики ставится как задача
решения некоторого уравнения, например (1.9), (1.14), (1.17), (1.19)
или (1.25) при определённых дополнительых условиях, ко-
торые в большинстве случаев диктуются её физической по-
становкой.
Укажем некоторые из возможных постановок задач для урав-
нений, выведенных нами выше.
В задаче о колебании струны естественно, например, рассма-
тривать участок струны закреплённый по обоим концам.
'Следовательно, нужно искать решения уравнения (1.9), удовле-
творяющие условиям
и|х=о = О и w|x=i = O. (П.4)
Если концы не закреплены, а сами приводятся в движение
по определённому закону, то условия (II.4) заменяются условиями
[и|х=о = /1(0 и и|х=г = /2(г). (П.5)
Возможно* задание также и других условий на концах.
Всех типов подобных заданий мы разбирать не будем.
Задания поведения струны на концах недостаточно для реше-
ния задачи. Необходимо ещё знать, например, значение функции и
ди
и ее скорости в начальный момент времени, т. е.
и |г=0 = 'ро (ж) и S Lo = (ж)- (IL6)
Условия (II.5) и (II.6) совместно полностью определяют реше-
ние уравнения (1.9). Мы в дальнейшем установим, что при условии
30
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
[Л. II
некоторой гладкости функций /п /2, <р0, <рх такое решение всегда
существует и, следовательно, среди этих условий нет лишних.
Задача о колебании мембраны ставится совершенно аналогично.
Для того чтобы определить её движение, достаточно, например,
задать
и |/=о = ?о (ж> У\
(П.7)
и значение функции и на границе S
u\s = f(S,t), (П.8)
где функция f(S, Z) зависит от точки на поверхности S и вре-
мени Z.
Вместо значения и на границе иногда задаётся линейная
комбинация:
= ,(П.9>
Условия (П.7) и (II.9) делают, как мы установим далее,
задачу вполне определённой. Решение, удовлетворяющее им, всегда
существует, и поэтому среди условий (II.7) и (II.9) нет лишних.
Задача о распространении звука в области пространства у,
ограниченной поверхностью S, становится вполне определённой
и имеет единственное решение, если наряду с уравнением (1.25)
рассмотреть начальные условия
и краевое условие
p|s = 7(M), (П.8')
где <р0, и / — заданные функции.
Для решения задачи о распространении тепла в некотором
теле [см. (1.19)] достаточно знать его начальную температуру
П=0 = <р(я,?/,2), (11.10)
а также условия на границе тела
Ч+р£1в“/(5)' (П11>
где / (5) обозначает заданную функцию точки на поверхности.
Во всех рассмотренных уравнениях — уравнении колебаний
мембраны и струны, уравнении теплопроводности — вовсе не обя-
зательно рассматривать ограниченное тело. Мы можем рассма-
тривать наряду с этим и неограниченно простирающуюся прямую,
(II.12)
Особый
= 0 или
(11.13)
§ 1] НАЧАЛЬНЫЕ И КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ 3J
плоскость или пространство; тогда условия (II.4), (II.5), (П-8),
(II.9) и (11.11), которые обычно называют краевыми, или гранич-
ными, условиями, отпадают. Задача без таких условий носит
название задачи Коши*, условия (II.6), (П.7) и (11.10) называ-
ются начальными условиями или данными Коши.
Мы можем рассматривать тело, внутри которого в результате
продолжительного действия различных постоянных влияний на
границе установилась некоторая температура, постоянная в каждой
точке, но меняющаяся от одной точки к другой.
При этом в теле образуется установившееся тепловое состояние.
дТ
Из уравнения (1.20), полагая =0, получим:
_____q_
дх2 * ду2 dz2 к
Уравнение (11.12) можно решать при условии (11.11).
интерес представляют два простейших случая, когда а
р = 0. Задача решения уравнения (11.12) при условии
F|S = /(S)
называется задачей Дирихле. Эту же задачу можно ставить и ре-
шать и для уравнения с двумя независимыми переменными; тогда
уравнение (11.12) запишется так:
д2Т^ д2т g
дх2 * ду2 к
При q = 0 задача может рассматриваться одновременно и как
задача о равновесии мембраны.
В самом деле, если мы в уравнении колебаний мембраны (1.14)
ди д2и г.
положим = О и, следовательно, = 0, то получим опять урав-
нение вида (11.14).
Интересно отметить, что одно и то же уравнение, как мы
видим, описывает совершенно различные физические процессы или
состояния.
Математические уравнения оказываются, таким образом, обла-
дающими высокой степенью общности, полученной благодаря
отвлечению от конкретных физических свойств того или иного
явления.
Другая задача об отыскании решений уравнения (11.12) при
условии
£=/(^) (ПЛ5>
называется задачей Неймана*, её также, можно рассматривать
и для двух независимых переменных. К той же задаче Нейма-
на приводит и задача о потенциальном движении несжимаемой
жидкости (1.17). Желая найти скорости жидкости внутри некоторой
32
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
[Л. II
области, естественно задать на границе этой области величину
нормальной составляющей скорости vn, которая характеризует
поток жидкости через каждую точку поверхности. Если, например,
поверхность S является неподвижной непроницаемой стенкой, мы
должны поставить условие, что поток жидкости через эту стенку
равен нулю. Если стенка движется, то нормальная составляющая
скорости стенки должна совпадать с нормальной составляющей
скорости жидкости. Но vn = , откуда видно, что поставленная
нами задача сводится к задаче Неймана.
Для уравнения (11.12), как и для предыдущих, вовсе не обя-
зательно заниматься лишь решением его в конечной области.
Очень часто бывает важно решить его для области неограниченной.
Это бывает, например, тогда, когда размеры рассматриваемой
области очень велики по сравнению с масштабом изучаемого явле-
ния. Естественно, например, при изучении явления теплоотдачи
некоторого длинного трубопровода, заложенного в земле, считать,
что земля является не шаром, а неограниченным полупространством,
и решать уравнение (II.12) в полупространстве с вырезанным
цилиндром и т. д.
При рассмотрении бесконечных областей далеко не безразлично,
как ведёт себя решение в далёких точках изучаемой области;
во многих случаях только при известных предположениях об этом
поведении задача становится определённой. Йапример, если решать
уравнение (П.12) в бесконечном пространстве с шаровым вырезом
(т. е. решать его для внешности некоторого шара), приходится
накладывать на решение то дополнительное ограничение, что оно
должно обращаться в нуль на бесконечности. Иначе решение
остаётся неопределённым.
Важную роль играет ещё одно дополнительное соображение.
§ 2. Зависимость решения от предельных условий.
Пример Адамара.
Постановка задач математической физики содержит, как мы
видели, некоторые функции, входящие в предельные (начальные
или граничные) условия, и решение, вообще говоря, зависит от этих
функций. Эти функции определяются обычно из опыта и поэтому
не могут быть найдены абсолютно точно.
Всегда неизбежна некоторая погрешность в начальных или
граничных условиях. Эта погрешность будет сказываться и на ре-
шении, и не всегда погрешность в решении окажется, в свою
очередь, малой.
Мы рассмотрим простые примеры задач, где малая ошибка
в данных может повлечь за собой очень большую ошибку в резуль-
тате. Исследуя уравнения математической физики, мы всегда
ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЯ ОТ ПРЕДЕЛЬНЫХ УСЛОВИЙ
33
§ 2)
должны особо рассматривать вопрос о зависимости решения от пре-
дельных условий.
Пусть рассматриваемая нами задача математической физики
свелась к отысканию некоторой функции и (х, у, zf t) четырёх пере-
менных в какой-то области 2 изменения этих переменных, удо-
влетворяющей в этой области уравнению
г / да ди ди ди д2и дти\ /тт .
(и-16)
В примерах, разобранных выше, такой областью служила
область 2 независимых переменных х, у, z и какой-то промежуток
времени 0<Z<7.
Пусть искомое решение подчинено дополнительным условиям вида
=?>№)’ (п-17)
3 \ дх 9 ду dz ’ dtrJ |Е| tj \ г/> \ /
i = 1, 2, ..., Z; /= 1, 2, ..., р,
где 5. — некоторое многообразие в пространстве х, р, z, t, число
измерений которого меньше четырёх, а <р. (6\) — заданная функция,
определённая на многообразии б^1).
Эти условия были поставлены нами выше, например на много-
образиях t = 0 и на некоторой поверхности 8 пространства (х, у, z)
для всех значений t.
Ниже мы определим понятие непрерывной зависимости реше-
ния и от предельных данных {сру (б^)}. Для того чтобы это можно
было сделать, необходимо предварительно ввести понятие расстоя-
ния между любыми двумя системами предельных функций {<ру (6\)}3
и {<ру (6\)}2, а также между любыми двумя функциями иг и и2.
Рассмотрим подробнее известную задачу об измерении расстояния
между точками какого-нибудь множества, лежащего на плоскости.
Пусть, например, это множество состоит из населённых пунктов како-
го-либо района. Каждым двум населённым пунктам Л и В можно
поставить в соответствие число р(Л, В) — расстояние между ними.
При этом за расстояние р (А, В) в различных условиях естественно
принимать различные числа* Так, для лётчика расстоянием будет
длина отрезка АВ; для шофёра — кратчайшее расстояние между
пунктами А и В по дорогам. Шофёр может также считать расстоя-
нием наименьшее количество времени, необходимое для проезда
из А в В, не принимая во внимание километры («пункт В нахо-
дится в двух часах езды от пункта Л»). При таком понимании
расстояния шоссе, идущее в объезд, может оказаться короче, чем
просёлочная дорога, совпадающая с прямолинейным отрезком АВ.
Рассмотрим ещё, например, множество перекрёстков улиц
некоторого города. Будем считать, что каждая улица параллельна
г) лежат внутри или на границе области 2.
3 С. Л. Соболев
34
ПОСТАНОВИЛ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
[Л п
одной из осей прямоугольных координат х и у. За расстояние
р(А, В) между двумя перекрёстками A (хА, ул) и В(хв, ув) можно
принять длину отрезка АВ
р(А, В) = У(хв — хА)2 -t- (ув — у^-
для пешехода естественно считать за расстояние наименьший
путь, который он должен проделать, чтобы попасть с перекрёстка А
на перекрёсток В:
р (Л, В) = I хв - хА I + \ув — уА
Может оказаться удобным определить расстояние формулой
Р И, В) = max (|хв—ХА |, \ув — уА |).
Возьмём теперь некоторый класс Ф систем функций
определённых на многообразиях *5., и некоторый класс U функций
и (х, у, z, Z), определённых в Q. Обобщая понятие расстояния,
рассмотренное выше, поставим в соответствие разности каждых
двух систем функций {<р>(^г)} и {ср* (Аг)} по некоторой формуле
неотрицательное число рФ, которое будем считать расстоянием
между этими системами функций:
Рф = Рф{<Р; (Л) -?;№)}
Аналогичным образом введём расстояние в классе функций U:
Ри = Ри(и*-и).
Пусть для некоторой системы функций {<р;- (А.)} из Ф задача (11.16),
(П.17) имеет единственное решение и из U. Изменим теперь пра-
вые части (11.17), подставив вместо системы функций {^(AJ)
другую систему функций {<р*(А*)} из Ф:
(11.18)
Предположим, что для всякой системы функций {<pj} достаточно
близкой к системе {<ру (AJ}, задача имеет единственное решение,
которое обозначим w*:
и*=и + и. (11.19)
Допустим, далее, что для всякого е > 0 можно указать такое
о > 0, что величина отклонения решения р^ (и) меньше е:
Ри (О < е,
как только величина отклонения предельных функций рФ ({<р/ (А\)})
меньше 8:
Рф (& №)}) <8-
В этом случае мы будем говорить, что в области Q решение
и непрерывно зависит от предельных данных.
ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЯ ОТ ПРЕДЕЛЬНЫХ УСЛОВИЙ
35
§ 2)
Такое определение непрерывной зависимости является, очевидно,
непосредственным обобщением известного из анализа понятия
непрерывной зависимости функции от своего аргумента.
Для того чтобы понятие непрерывной зависимости решения от
предельных функций приобрело определённый смысл, необходимо
выбрать классы Ф и 17, а также формулы для вычисления рф и р^.
Приведём для примера два возможных определения понятия непре-
рывной зависимости/естественность которых будет выяснена ниже.
Определение первое. Класс Ф определим как класс
систем функций непрерывных вместе со своими частными
производными до некоторого порядка к включительно1); класс U
определим как класс функций и, непрерывных вместе со своими
частными производными до порядка р включительно. За рассто-
яние рф между двумя системами функций примем верхнюю грань
абсолютных величин разностей этих функций и их производных
до порядка «А» включительно на многообразиях за рассто-
яние между двумя функциями и и zz* примем верхнюю грань
абсолютной величины разности этих функций и их производных
до порядка р включительно в области Q.
Если в указанном смысле имеет место непрерывная зависимость
решения от предельных данных, то будем говорить, что решение
зависит от предельных данных непрерывно пдрядка (р, к) в 2;
если, наоборот, для некоторого е0 > 0 и для любого о > 0 суще-
ствует отклонение системы предельных функций {ср;- (6\)} такое, что
Рф[Й>;.)]<8,
но
Pfj(w) > £0’
то решение и в области 2 зависит от предельных условий раз-
рывным, образом порядка (р, к).
Определение второе (непрерывная зависимость
в среднем). Относительно систем функций (%(^)}, образующих
класс Ф, предположим, что функции (S.) и их частные произ-
водные до некоторого порядка к включительно обладают интегри-
руемыми на S- квадратами; относительно функций и, образующих
класс U, будем предполагать, что эти функции и их частные
производные до некоторого порядка р включительно обладают
интегрируемыми по области 2 квадратами.
Квадрат расстояния рф между двумя системами фун-
кций {<Ру(^\)} и {<?*(^i)} определим как сумму интегралов от
квадратов функций сру (б’.) = <р* — <ру и <сех их производных
до порядка р включительно по многообразиям Квадрат
т) Мы имеем в виду, что дифференцирование производится по каким-
нибудь параметрам на многообразиях Si>
3*
36
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
(Л. II
расстояния между функциями и* и и определим как сумму
интегралов по области 2 от квадратов функции и*— и и всех её
производных до порядка р включительно.
Если решение и задачи (11.16), (11.17) непрерывно зависит
от предельных условий в смысле этого определения, то будем
говорить, что решете зависит от предельных условий непрерывно
в среднем порядка (/?, к).
Заметим, что непрерывная зависимость порядка (0, 0) допу-
скает простую физическую интерпретацию. Так, в задаче (11.12),
(11.13), где роль и играет /’ — температура тела, роль ^(S^ —
функция /(aV) —температура на границе, непрерывная зависимость
порядка (0, 0) означает, что малое изменение температуры
в каждой точке границы вызывает малое изменение температуры
в каждой точке внутри тела.
Так же просто можно истолковать непрерывную зависимость
в среднем. В задаче о распространении звука (L25), (II.7'), (П-8'),
как можно показать, имеет место непрерывная в среднем t зави-
симость решения от функций <р0 и соответственно порядка (1,1)
и (0,1). Это свойство, как можно установить, является матема-
тическим отражением того факта, что малое изменение энергии
колеблющегося воздуха в начальный момент вызывает малое
изменение энергии впоследствии.
В математической физике обычно пользуются понятием непре-
рывной зависимости порядка (/>, к), либо непрерывной в среднем
зависимости порядка (р, к). Существуют естественные определения
непрерывной зависимости, отличающиеся от двух приведённых
выше, ио мы их не будем касаться.
Заметим, что может иметь место непрерывная зависимость .
в смысле одного определения, в то время как в смысле другого
определения её может не быть.
Если для любой системы функций {еру (6\)} из Ф можно
указать такую область 2', содержащую многообразия *5”-, что
решение и задачи (11.16), (11.17) зависит в этой области от пре-
дельных условий непрерывно порядка {р, к) или непрерывно
в среднем порядка (р, А), где р и к какие-нибудь натуральные
числа, то мы будем говорить, что задача (11.16), (11.17) поставлена
корректно. В противном случае задача поставлена некорректно.
Иногда рассматривают не любую, а какую-нибудь фиксированную
систему функций (*5\)}, и соответственно говорят о корректности
постановки задачи для этой системы функций. Для нелинейных
задач подобное понимание корректности может оказаться суще-
ственно более широким, чем сформулированное выше.
Для обыкновенных дифференциальных уравнений задача об
интегрировании уравнения
, , д dmu_ du dm-4i \
dxm ~~ ' V’ U> dx’ • ?’ dxm^ )
§ 2]
ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЯ ОТ ПРЕДЕЛЬНЫХ УСЛОВИЙ
37
_ dm~ru
~U1’ • • dxm~1
U
-1
с начальными условиями
_ du I
“ U°’ dx |х=0
при ограничениях, налагаемых на функцию / теоремой существо-
вания и единственности, как известно, всегда поставлена корректно.
То же самое относится к уравнениям в частных производных
1-го порядка
ди , / ди ди ди X
Л? — / ( t, X, у, Z, з-, -тг- , -тг ) .
dt 7 < J dx 1 ду ’ dz J
Задача Коши, т. е. задача решения уравнения при начальных
данных и |/—о = (х, у, z), для этого уравнения поставлена кор-
ректно, так как и зависит от непрерывно до порядка (1.1).
Это обстоятельство для уравнений в частных производных
более высокого порядка уже не всегда будет иметь место; поэтому
ставить для них ту же задачу Коши не всегда имеет смысл.
Разберём следующий пример, принадлежащий
А д а м а р у. Найдём решение уравнения
<92 * * Su d2u_q
д^ + = и
(11.20)
в полуполосе у > 0; —--9-удовлетворяющее условиям
ди
и « = и = и |„=о = 0; = e-V~n cos (и, а:),
(11.21)
2
где п нечётное число.
Нетрудно видеть, что это решение будет иметь вид
и = п cos (п, я)-ch (п, у).
(11.22)
Можно доказать, что решение поставленной задачи единственно.
Легко видеть, что когда п стремится к бесконечности, функция
e-/n cos равномерно стремится к пулю и притом не только
сама, ио и все её производные. Однако решение (11.22) при
любом у, отличном от нуля, имеет вид косинусоиды со сколь
угодно большой амплитудой.
Ясно, что в этом случае ни в какой области х, у, примыка-
ющей к оси у — 0, не имеет места непрерывная зависимость
в смысле первого определения.
Покажем, что нет непрерывной зависимости и в смысле вто-
рого определения. Легко видеть, что интеграл
тс
V 2 2
S S e ^cos(nf ch (/г, у)^ dx dy
О _71
2
38
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
ГЛ. II
при п > со стремится к бесконечности, сколь бы мало ни было
значение у > 0, откуда и следует справедливость нашего утвер-
ждения.
Итак, рассмотренная задача для уравнения Лапласа постав-
лена некорректно.
Если рассматривать вопрос о непрерывной зависимости в беско-
нечной области, то даже для обыкновенных дифференциальных
уравнений этот вопрос перестаёт быть столь простым. Непре-
рывная зависимость от начальных данных там носит название
«устойчивости по Ляпунову».
Аналогичные вопросы теории уравнений в частных производ-
ных также естественно называть теорией устойчивости. Эти вопросы
пока ещё мало разработаны и трудны для элементарного курса,
и мы заниматься ими не будем.
Решение задачи, некорректно поставленной, в большинстве
случаев не имеет практической ценности.
Разбирая решения всех задач, входящих в курс, мы будем
каждый раз останавливаться на корректности их постановки.
В следующей лекции мы займёмся более детальным изучением
различий между всеми теми уравнениями, которые мы до сих
пор изучали.
ЛЕКЦИЯ III.
КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2-го ПОРЯДКА.
§ 1. Линейные уравнения и квадратичные формы.
Канонический вид уравнения.
Все рассмотренные нами до сих пор уравнения представляли
собой линейные уравнения 2-го порядка с вещественными коэффи-
циентами, т. е. уравнения вида
У V A^J^+yB^+Cu^F, (Ш.1)
ZJ и cjx\dxj 1 дх} v '
i—1 j=i i=l
где С и F представляют собой заданные функции от rrx,
х2, хп. Для того чтобы изучить свойства этих уравнений
более детально, мы займёмся исследованием некоторых свойств
их коэффициентов. Посмотрим прежде всего, по какому закону
преобразуются коэффициенты уравнения (II 1.1) при произволь-
,ной замене независимых переменных, или, что то же самое, при
каком-либо геометрическом преобразовании пространства перемен-
ных х19 х2, ..., хп.
Введём вместо xl t х2, .. ., хп новые переменные
У» ->Уп-
Допустим, что функции уг(х17 ..., хп), ..., уп{х^ ..., xj
обладают непрерывными вторыми производными.
Тогда
= (Ш.2)
dxt ду дх. 1 х '
1 1
п п п Л2
д2и _ V V d2u dyi дуь j ди f ТТТ 3)
dxi dxi dx.j Zj d dyk dxt dxj 1 ду охг dx ' '
7 7 x k=i 1=1 yi 1=1 1 3
40 КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА [Л. Ш
Подставляя выражения (III.2) и (IIL3) в уравнение (III.1),
мы получим:
п п п п
V V дгм Л V V 4 [
Zj Zj dyk ZJ Zj л1> dzt dxjJ +
fe=1 1=1 1 i=l j=l
+ 2 (2 2 Л, +2«.£)+=f. (in.4)
i=l "4 i=i J=:l г=1
Если обозначить через Akl новые коэффициенты при вторых
д2и
производных 38 уравнении (IIL4), то, очевидно,
а,= 2 2Х*£- (ш.5)
»rW J и CAl/j
г=1 ;=1
Фиксируем определённую точку пространства, и пусть в этой
точке
Формулы преобразования
4.-S 2Лал,-
г—1 у=1
совпадают с формулами преобразования коэффициентов квадратич-
ной формы
S S (Ш.8)
i —1
если сделать в ней замену переменных:
Л = 2айЛ> (III.9)
k=i
переводящую её в форму
S S 4iMi. (ШЛО)
k=l 1=1
Для того чтобы формулы (III.9) давали взаимнооднозначную
замену переменных, необходимо, разумеется, потребовать, чтобы
определитель | ccfei | был отличен от нуля.
Если мы хотим, чтобы замена переменных помогла нам как-
либо упростить уравнение (III. 1), мы можем вместо этой задачи
рассмотреть другую задачу об упрощении вида квадратичной
формы (III.8) при помощи замены переменных (III.9) с вещест-
венными afei.
5 1] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 4f
Такая задача встречается в курсе аналитической геометрии
при упрощении уравнений поверхностей 2-го порядка. Здесь эта
задача будет ещё легче, так как мы не связаны ортогональ-
ностью преобразований, и нам нет надобности требовать, чтобы
в пространстве р19 р2, ..., рп направления осей qr, q2, . .., qn были
ортогональны.
В курсе линейной алгебры доказывается, что всегда можно
выбрать коэффициенты преобразования таким образом, чтобы
квадратичная форма (IIL8) приняла вид
2 = 2Ш (in.н)
г=1 ;=1 1=1
где ^—некоторые числа, положительные или отрицательные.
Справедлива следующая
Теорема 1. (Закон инерции квадратичных форм).
Число положительных, а также число отрицательных чисел среди
коэффициентов k±,k2, . .., кпне зависит от того, как выбрана
замена переменных (IIL9) с определителем | aki |, отличным от
нуля, приводящая квадратичную форму (III.8) к виду (III. 11).
Отсюда, между прочим, следует, что число коэффициентов кп,
не равных нулю, также одинаково при всех представлениях (III. 11).
Теорема эта также доказывается в курсах линейной алгебры,
но мы изложим здесь её доказательство.
Приведя нашу форму двумя способами к сумме квадратов, мы
получим равенство
(III.12)
1=1 1 s=l
где т& и ^ — координаты в пространстве, выбранные в обоих слу-
чаях, связаны между собой линейными соотношениями
™s = S p8lgt.
1=1
Допустим, например, что число положительных kL больше, чем
число положительных ps. ПриравняеАм нулю все те qL, коэффи-
циенты при квадратах которых неположительны, а также все
те ms, коэффициенты при квадратах которых положительны.
Если считать, что
то положим
Qr+1 ’ (1п
т1 = 1П2 = . . . > — — 0.
•42
КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА [Л. Ш
Те из выписанных выше соотношений между ms и qL, левые
части которых оказались равными нулю, можно рассматривать
как систему однородных линейных уравнений для определения
дг, q2, ,..., qr, а остальные—как равенства, определяющие зна-
чения mt+i, , тп. Ввиду того, что число этих уравнений
меньше, чем число неизвестных, мы можем всегда найти решение
этой системы, в котором не все q19 q2, .. ., qr обращаются в пуль.
Подставляя эти значения q19 q2, ..., qr в равенство (III. 12), мы
видим, что левая часть его будет положительна, а правая непо-
ложительна, следовательно, равенство (Ш.12) не имеет места,
и наше предположение неверно.
Теорема доказана.
Эта теорема позволяет получить классификацию уравнений
в частных производных 2-го порядка.
В каждой точке пространства переменных (хи х2 ..., мы
можем соверхпить замену независимых переменных pi таким обра-
зом, чтобы в этой точке форма
п п
2; 3 АцРгР,
1=1 J=1
превратилась в сумму квадратов с некоторыми коэффициентами:
S М-
i=l
Далее, простая замена
/1 ki I ri
превращает нашу форму в выражение
г т
2 "t (HI.13)
г=1 i=r+1
где г —число положительных коэффициентов ki9 а т — общее
число коэффициентов, не равных нулю.
Допустим теперь, что подстановка (Ш.9), приводящая основ-
ную форму (Ш.8) к виду (III. 13), найдена и записывается фор-
мулами
п
Рг=
h=l гп
Введём линейную замену независимых переменных х19 х2, . . ., хп
в нашем пространстве с помощью формул
п
г=1
§ 1] ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 43
При этом в формуле (Ш.6) и, следовательно, в рас-
сматриваемом точке пространства все Aki при i фк будут равны
нулю, а Л^-~либо± 1, либо нулю. Совокупность членов урав-
нения, содержащих вторые производные, примет вид
г т
2д2и ул д2и
dyf 2j dyl *
г~1 ?—
Если уравнение (III. 1) имеет постоянные коэффициенты, то
линейная замена переменных переведёт его снова в уравнение
с постоянными коэффициентами. Следовательно, мы сумеем в этом
случае во всём пространстве привести уравнение к такому виду,
когда в новых координатах все коэффициенты при смешанных
производных 2-го порядка обратятся в нуль, а коэффициенты при тех
и
производных-^2, которые не обратятся в нуль, будут равны ±1.
Этот вид мы будем называть каноническим.
Как мы увидим в дальнейшем, характер уравнения 2-го
порядка полностью определится числом г положительных и чис-
лом 5 отрицательных коэффициентов после такого преобразования.
Если мы будем рассматривать уравнения с переменными коэффи-
циентами, то такое приведение к каноническому виду сразу во
всём пространстве становится невозможным, и мы вынуждены
будем ограничиться приведением к каноническому виду в каждой
точке пространства отдельно. При этом в различных точках мы
будем получать, возможно, разные значения чисел г и 5. Бывает
удобно, разбив пространство на части, где г и 5 постоянны,
исследовать уравнение порознь в каждой части.
Введём теперь понятие о типе уравнения в частных произ-
водных 2-го порядка. В области, где г и $ сохраняют постоянные
значения, мы будем говорить, что уравнение принадлежит к типу
(г, ^); очевидно, что типы (г, 5) и ($, г) по существу совладают,
так как перемена знаков у всех коэффициентов меняет г и s
местами. Уравнение колебаний струны имеет тип (1, 1) при п — 2.
Уравнение колебаний мембраны относится к типу (2, 1) прии = 3.
Уравнение передачи тепла принадлежит к типу (3,0) при п = 4,
уравнение Лапласа-—к типу (3,0) при п = 3.
Мы будем называть тип (п, 0) эллиптическим типом, типы
(г, 5), где r-\ s = n, s > 0, г > 0, гиперболическими. Из них тип
{п — 1, 1) мы будем называть нормально-гиперболическим. Типы
(г, s), где г - f-s < п, будут называться параболическими.
Нормально-параболическим назовём тип (п —1,0). Параболи-
ческие типы, где 5 = 0, будут называться эллиптико-параболиче-
скими, а типы, где г>0 и s > 0, —гиперболо-параболическими.
Уравнения колебаний струны и мембраны (1.9) и (1.13) при-
надлежат, очевидно, к нормально-гиперболическому типу, уран-
44 КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА (Л. Ш
пение теплопроводности (1.19) — к нормально-параболическому,
а уравнение Лапласа— к эллиптическому.
В нашем курсе мы ограничимся лишь изучением нормально-
гиперболического, нормально-параболического и эллиптического
типов. Все уравнения, рассмотренные нами в лекции I, имели
канонический вид и относились именно к этим типам. Мы видиму
таким образом, что эти уравнения не сводимы одно к другому
вещественными преобразованиями координат и что каждое из них
является в некотором роде типичным.
Замечание. Координатная система, в которой уравнение
принимает канонический вид, не является единственной.
Уравнение Лапласа 4- ^2+ • • • +§^2 остаётся инва-
риантным при любом переносе начала координат и ортогональ-
ном преобразовании координат.
В самом деле, коэффициенты Akl после такого поворота будут
иметь вид
п
Aki =S
1—"1
где
и, так как в силу условий ортогональности
” ( 1 (к = 1), _ ( 1 (к — 1),
aihaH - J 0 т0 Ам = | о (к Ф I),
что и требовалось доказать.
Преобразования независимых
новое уравнение инвариантным,
Лоренца. Они играют важную
переменных, оставляющие вол-
носят название преобразований
роль в теории относительности.
§ 2. Канонический вид уравнений с двумя независимыми
переменными.
Как мы видели, уравнение с переменными коэффициентами
всегда может быть приведено к каноническому виду в отдель-
ной точке пространства. Если число независимых переменных
больше двух, то привести уравнение к каноническому виду во
всей области задания уравнения можно лишь в исключительных
случаях. Однако уравнение с двумя независимыми переменными
всегда может быть приведено к каноническому виду во всей
области изменения новых независимых переменных.
Рассмотрим этот вопрос подробнее. В случае двух переменных
сумма членов, содержащих вторые производные, может быть
§ 2) КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД УРАВНЕНИЙ С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ 45
записана в виде
Lu = А 4- 2В + С .
дх2 1 дхду ‘ ду2
Мы будем называть эту сумму главным членом оператора 2~го
порядка.
Оператор Lu после перехода к новым переменным Е = у),
iq = т] (х, у) примет вид
Л(д/-У + 2В^ + С(^у]^ +
\^дх J дхду \Jty J J dq2
4-2 [ Af-p + B ( +
' L дх дх \ дх ду 1 дх ду J ду ду J д^ <9т]
+ Г А ( Q У + 2 В ду- 4- С Г У ] Д 4- + 7- =
L \ дх J 1 дх ду 1 V ду J ] дч2 1 ' дт)
г . ди чГ ди Т
= Лг1 U ~4“ L$ “f~ Ъ’~~ L^ '
1 1 д$ - 1 ду
Относительно функций $ (х, у) и т; (х, у) помимо гладкости мы
будем предполагать, что линии £ (я, у)== const, и т] (ж, у) = const,
некасательны в точках их пересечения. Через Lju здесь обозначен
главный член оператора в новых переменных.
Для того чтобы после преобразования координат уравнение
имело канонический вид, необходимо, во-первых, чтобы обратился
в нуль коэффициент при смешанной производной
1 дх дх ~ ду ’ дх ду J ! ду ду
и, во-вторых, чтобы имело место равенство
А = ± СЛ,
если уравнение принадлежит к эллиптическому или гиперболиче-
скому типу, и
Лх = О или Сг = О,
если уравнение параболического типа.
Из курса аналитической геометрии известно, что канониче-
ский вид формы
Ар2 + 2Bpq + Cq2,
коэффициенты которой преобразуются так же, как коэффициенты
оператора Lu, определяется знаком её дискриминанта
k~B2 — АС,
а именно:
если Д < 0, форма эллиптическая и приводится к виду +
если Д > 0, форма гиперболическая и приводится к виду г*— г2-,
если Д = 0, форма параболическая и приводится к виду
В последнем случае мы исключим возможность полного
вырождения формы (А=В = С = 0). Рассмотрим сначала парабо-
46 КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА [Л. 111
лический случай. Если Д — О, то В2 = АС и, значит, по крайней
мере один из коэффициентов Л и С неравен нулю. Пусть Л #= 0.
Положим
к==^==£_
к А В *
(Если В = О, то и С — 0 и, значит, уравнение уже имеет канони-
ческий вид.) Имеем:
Д = А
в — rtf' 4-С-—
1 дх дх ' \ дх ду дхду J ' ду ду
Для того чтобы обратились в нуль коэффициенты ВА и
одновременно, достаточно положить
f> + &j9 = 0. (III. 14>
дх ду \ л
Уравнение (III. 14) есть уравнение 1-го порядка для неизвест-
ной функции тДгг, ?/). Любое из решений этого уравнения мы
примем за новое независимое переменное тр В новых переменных
Е, tq главный член уравнения примет вид
. д2и
A1W ’
Коэффициент Д нигде не может обращаться в нуль, так как
ни Л, ни || в нуль не обращаются. В самом деле, Л ^=0
по условию, а выражение + могло бы обратиться в нуль
лишь в тех точках, где линии £ — const, и iq = const, касательны,.
а таких точек быть не может. Разделив уравнение на Д, при-
д2и т-р
ведем главный член к виду . Полезно отметить, что уравне-
ние (III. 14) определяет лишь семейство линий ?] = const., причём
остаётся некоторый произвол для выбора функции 5 (^, ?/).
- В случае, если уравнение 2-го порядка в частных производных
принадлежит к эллиптическому или гиперболическому типу, легко
добиться обращения в нуль коэффициента Вг. Полное приведение
к каноническому виду уравнения эллиптического типа является
сложной задачей, на которой мы не будем останавливаться.
Уравнение гиперболического типа, как мы сейчас покажем, всегда
легко преобразовать к каноническому виду.
§ 3]
ВТОРОЙ КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД
47
Разберём вначале случай, когда линейное уравнение второго
порядка с двумя независимыми переменными не принадлежит
к параболическому типу и коэффициент А не обращается в нуль
(случай С ф О, А = 0 рассматривается аналогично; случай А == С = О
мы выделим особо). Итак, пусть А # 0. Положим:
Тогда ~ = 0, 1, и условие обращения коэффициента В*
в нуль примет вид
Ад^ + Вд^ = 0. (III. 15)
Принимая опять за любое решение уравнения (III. 15),
получим систему координат, в которой уравнение имеет требуемый
вид.
Этот вид не будет каноническим, так как в этой форме коэф-
фициенты при вторых производных, вообще говоря, не равны
положительной или отрицательной единице.
Если А — С = 0, то уравнение имеет главный член вида
д2и
дх ду
и является гиперболическим. Легко видеть, что в этом случае оно
приводится подстановкой
t = x + y, V = x — У
к каноническому виду
д2и д2и (
д^2 дц2 '
Из этого видно, что приведение гиперболического уравнения
к виду
дхду *
решило бы полностью пашу задачу. Кроме того, во многих
вопросах именно этот вид является наиболее удобным, поэтому
мы посвятим ему особый параграф.
§ 3. Второй канонический вид гиперболических уравнений
с двумя независимыми переменными.
Вторым каноническим видом для уравнений в частных произ-
водных 2-го порядка гиперболического типа с двумя независимыми
переменными называется такая форма уравнения, при которой
д2и д2и
оно не содержит производных и .
48
КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА [Л. П1
Из формул предыдущего параграфа вытекает, что для при-
ведения уравнения к этому виду нужно найти функции В(х, у)
и т] (.г, у), удовлетворяющие уравнениям
^ЧЙ)’+2ВЙй+сШ=°-
Оба уравнения, по сути дела, совпадают, поэтому нам нужно
найти два независимых решения одного уравнения. Это уравнение
может быть написано в виде
/дХ\2
А ~ | +2£^ + С = 0, (III.16)
\ду / ду
где через х обозначена одна из функций тр Вдоль линии
/ = const. мы имеем:
?Х
ду дх
дх ду ’
ду
поэтому уравнение (III. 16) переписывается в виде
Ау'2 — 2Ву' + С = 0.
В таком виде оно представляет собой квадратное уравнение
относительно у'. Условие В2 — АС >0 обеспечивает существование
двух различных вещественных корней
, _В + УВ*--АС ]
Уг А ’ I
, В—УВ^ — АС |
=----з-----.
(III. 17)
Взяв интегральные кривые первого и второго из уравне-
ний (111.17) соответственно за линии $ = const. и tj== const., мы
получим решение нашей задачи.
§ 4. Характеристики.
Введение соответственно подобранных переменных В и изба-
вило нас в уравнении гиперболического типа с двумя переменными
д2и д2и
от членов, содержащих и
В общем случае п переменных мы также могли бы, выбрав
координаты у19 у2, ..., уп, добиться, например, того, чтобы
§ 4] .
ХАРАКТЕРИСТИКИ
49
в уравнение не вошёл член, содержащий ^-2-, Мы видели, что
коэффициент при этой производной выражается формулой
п п
~ S Ajaii а1/
i=l j=l
n n
2V Л
& dx[ dxj ’
i=l j=i
(III.18)
Относительно функции у±(х19 x2, ..., хп) будем предполагать,
что на поверхности у1 = 0 и в некоторой её окрестности справед-
ливо неравенство
2 (ЭУ
>0,
которое обеспечивает отсутствие особых точек на поверхностях
У1 (^i> х2> ..., хп) = const. Это условие может быть выполнено
всегда, если поверхность у1 = 0 достаточно гладкая и семейство
поверхностей уг = С, при переменном С, заполняет некоторую
часть пространства, примыкающую к поверхности уг = 0. Любая
гладкая поверхность с уравнением <р (ях, х2, яп) = 0 может
быть принята за поверхность у± = 0.
Рассмотрим условие обращения в нуль кооэффициента А1г на
поверхности уг = 0. Из курса дифференциального исчисления
известны формулы
дУх
cos (п, ж;) = —-= = ==,
V 2 ш
где cos обозначает косинус угла между нормалью к поверх-
ности ^ = 0и осью хг Уравнение Лп==-0 переписывается таким
образом в виде
п п
3 3 cos («, cos (», xi) = 0-
i=l з’=1
Это уравнение показывает, что обращение Аи в нуль на
поверхности уг = 0 есть индивидуальное свойство этой поверхности,
совершенно не зависящее от выбора переменных у2, у3, .. ., уп.
Определение. Поверхность
УЛ%1’ .....яп) = с0
называется характеристикой уравнения (III. 1), если при замене
переменных х±, х2У ,..^хп на переменные у1У y2t ..., уп1 где
С. Л. Соболев
50 КЛАССИФИКАЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2-ГО ПОРЯДКА (Л. Ш
у2, • • ’ > Уп ~~ произвольные функции от х±, х2, . . ., хп, непрерыв-
ные с производными первого порядка, и с неравным нулю якобиа-
ном вблизи рассматриваемой поверхности, коэффициент Лп при
д2и
обращается на этой поверхности в нуль.
Нетрудно проверить, что уравнения эллиптического типа не
имеют вещественных характеристик, ибо Ап представляет собою .
положительно определённую квадратичную форму относительно ап
и не может обратиться в нуль.
Если для уравнения
п п
+ yiBip- + Cu = F
13 dxi dxj г dxi
i=i
поверхность — O есть характеристика, т. е. Ли |Х1_о = 0, то это
II. 5 уравнение,
ди I т-.
•^г|х__0- В самом деле, мы можем пере-
уравнение представляет собою дифференциальное
связывающее и |Х1==0 и
писать его при хг = 0 в виде
п п п
I д*
|х1=0 dxi dxj "Ь
1=2
1x1=0 Oxi
i=2 j=2
+ В± |xi=0
д
1^°^
№
+ С|Х1==о(гг|х1=о) = /’|х1=о. (П1.19)
виде назы-
удовлетво-
>8
приводит,
скорости
Задачей Коши для уравнения 2-го порядка в общем
вают задачу о нахождении решения этого уравнения,
ряющего на некоторой поверхности S условиям*.
ди I
Мы видели выше на примерах, что к этой задаче
в частности, рассмотрение колебаний струны или мембраны, когда
в начальный момент времени задаются положения и
частиц колеблющегося тела.
Полезно заметить, что, вообще говоря, нет надобности
ди I
именно нормальную производную К В самом деле,
задавать
задание
самой неизвестной функции на S позволяет определить все её
производные в касательной плоскости, а знание нормальной про-
изводной позволяет найти значение градиента функции на поверх-
ности S. Производная же от функции по любому направлению
есть проекция её градиента на это направление. Этой же цели
§ 4} ХАРАКТЕРИСТИКИ 51
мы достигнем, если нам будет известна в каждой точке поверх-
ности производная от и по любому некасательному направлению.
Из равенства (III.19) ёледует, что в случае, когда поверхность
г\ । ди |
= 0 есть характеристика, и |Х1==о и „0 ие являются независи-
мыми функциями переменных гг2, гг3, . .., хп, и задачу Коши для
этой поверхности х± = 0 ставить нельзя, ибо, задавая произвольно
а |Х1=0 и мы придём к противоречию с уравнением (IIL19).
Предыдущие рассуждения показывают, что на характеристи-
ческих поверхностях нельзя задавать произвольно функцию
и какую-либо составляющую градиента, не лежащую в касатель-
ной плоскости.
4*
ЛЕКЦИЯ IV.
УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ И ЕГО РЕШЕНИЕ
МЕТОДОМ ДАЛАМБЕРА.
§ 1. Формула Да ламбера. Неограниченная струна.
Приводя ко второму каноническому виду уравнение свободных
колебаний струны, т. е. уравнение колебаний в отсутствии внеш-
них поперечных сил
д2и 1 д2и______Z4
^с2"'а2 ’ dl2
где а
мы положим
у = х 4- at.
Тогда уравнение (IV. 1) перейдёт в уравнение:
д2и ____
д(\
(IV. 1)
(IV.2)
(IV.3)
Решение уравнения (IV.3) легко получается в общем виде,
причём это общее решение, в противоположность тому общему
положению, о котором мы говорили в лекции II, позволяет так-
же легко получать решения различных конкретных задач.
Из (IV.3) имеем:
_____п
дч\ ’
откуда
(1V.4)
где фо (^) — произвольная функция.
Из (IV.4) находим:
м = ф2 (71) + Ф1 (£),
ФОРМУЛА ДАЛАМБЕРА. НЕОГРАНИЧЕННАЯ СТРУНА
53
§1]
где фх (£) —произвольная функция. Возвращаясь к переменным х,
получаем:
и = фх (х — at) + ф2 (х + at). (IV. 5)
Полученное решение зависит от двух произвольных функ-
ций ф1 и ф2. .Оно называется решением Даламбера.
Для того чтобы решить ту или иную задачу о свободных ко-
лебаниях струны, мы должны лишь в каждом конкретном слу-
чае определить фх и ф2.
Рассмотрим прежде всего задачу Коши для неограниченной стру-
ны, т. е, задачу отыскания решения, удовлетворяющего условиям:
и |<=0 = <?0 (я-), 1
Подставляя формулу (IV.5) в (IV.6), будем иметь:
<Р1 И + <Р2 (z) = fo (ж)>
— (ж) + (а) = <Pi (ж),
откуда
X
— аф2 (х) + аф2 (х) == <рх (х) dx 4- аС,
б
где С •— произвольная постоянная, или
X . ;
<Р1 (х) = у [ <р0(ж)- Г ^(x)dx-C j ,
б
X
ф2 («) = у + (x)dx + C ].
О
При этом
ха/
==-2 <ж — «О — 4" 5 ^^У^аУ~С +
oJ
х+а/
+ <р0(ж + аг) + 4 \ fl W) dv + С ] >
б
и окончательно получаем формулу
x-\-ai
и==~2 [?о(ж — at) + ^o^ + at) +4 \ fi (^) dy ] • (IV-7)
X—at
Очевидно, что полученное решение удовлетворяет уравненик^
(IV.1), а также начальным условиям. Способ вывода (IV.7) дока-
54
УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ
(Л. IV
зываот единственность решения поставленной задачи. Несомнен-
на, далее, корректность постановки задачи. Для каждого е > О
мы можем указать такое что если мы заменим ср0(я) и <рх (х)
на (х) и так, что
I ?о («) - I <7|- ! I <
то разность между новым решением и первоначальным будет по
абсолютной величине меньше е на любом заранее заданном конеч-
ном отрезке времени. Таким образом, решение задачи зависит
от начальных данных непрерывно порядка (0, 0). Полезно рас-
смотреть несколько подробнее качественную картину колебания
неограниченной струны. Разберём несколько простейших случаев.
Случай 1. Функция <рх (х) тождественно равна 0, функция
<р0(я) отлична от нуля лишь в конечном промежутке —к^х^к.
Решение (IV.7) выражается при этом формулой
1
и = [?о (х — at) + ?о
слагаемое -у <р0 (ж ес/гь постоянное по форме возмущение,
передвигающееся со скоростью а в положительном направлении
.. по оси х. Это ясно из
I того, что, поместив нача-
ло подвижной системы
координат £ в точке
x~at, т. е. полагая
-к-at k-at
К~х —at, мы будем ви-
деть в этой подвижной
системе координат воз-
мущение постоянным.
Аналогично, слагаемое
Черт. 4. у?о(а: + ^) W'TI> такое
же по форме возмуще-
ние, идущее в другую сторону. Возмущения эти называются вол-
нами. Первое —прямая волна, а второе —обратная волна. Вначале
волны налегают одна на другую, а затем расходятся и потом всё
больше разбегаются в разные стороны друг от друга.
В каждом место струны после прохождения обеих волн (а для
точек, лежащих вне области начального возмущения, после про-
хождения только одной) воцаряется покой. Схематически вид
возмущённой струны изображён на черт. 4.
Случай 2. Функция <?с(я) тождественно равна нулю, а
уг(х) отлична от нуля лишь в конечном промежутке —к^х^к.
В таком случае говорят иногда, что струна не имеет начального
возмущения, а имеет лишь начальный импульс.
§ 2] .
СТРУНА С ДВУМЯ ЗАКРЕПЛЁННЫМИ КОНЦАМИ
55
Рассмотрим функцию Ф^Дя), первообразную для фх (.т), равную
нулю при значениях х в промежутке — оо<ж<— к. При х^к
она будет равна некоторой постоянной, значение которой, вообще
говоря, отлично от нуля. Очевидно, эта постоянная равна
h
<рг (х) dx.
-k
Формула (IV.7) даёт:
1
,t = _ [фг (ж 4- at) — ф1 (Ж - а/)].
В этом случае по струне опять бегут две волны— одна пря-
мая и одна обратная. Волны эти будут отличаться лишь знаком
одна от другой.
Там, где обе водТны—и прямая, и обратная—уже прошли,
струна придёт в состояние покоя, но не вернётся, вообще говоря,
к исходному положению, так
как для достаточно больших
значений времени х 4 at > к и
Фх (х 4- at) будет при этом рав-
на постоянной, а х — at < — к
и Фх(ж — at) равна нулю.
В струпе останется так
называемое остаточное смеще-
ние. Форма отклонения стру-
ны в этом случае изображена
на черт. 5.
Легко убедиться в том,
что -можно было бы так за-
дать начальное возмущение и начальную скорость струны, чтобы
получить волну, идущую в одном направлении. Для этого нужно
лишь, чтобы обратные волны, вызванные начальным смещением
и начальным импульсом, отличались одна от другой только знаком.
§ 2. Струна с двумя закреплёнными концами.
Рассмотрим теперь струну с закреплёнными концами и будем
искать решение при условиях (IV.6) и условиях
= и и\х==1 =0.
Функции <р0 (х) и (х) в этом случае, очевидно, будут зада-
ны только в промежутке
Возвращаясь к формуле (IV.5), мы видим, что нужно опре-'
делить фДя) в промежутке от —оо до Z, а ф2(я) в промежут-
56
УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ
[Л. IV
ке от 0 до Н-оо. Подставляя в решение (IV.5) х = 0 и .r = Z,
получим:
<]>1(-<й)4-ф2(а0=0, |
(Z —aZ) + <р2 (Z-|-а£)=0 /
ИЛИ
<рх(-ж) + ф2(ж) = 0,
Ф1( — Ж) + Ф2 {х + 21) = 0,
X
0<
X
со;
оо.
(IV.8')
Всякие две функции фх (х) и ф2(я), удовлетворяющие (IV.8'),
дают решение поставленной задачи.
Первое из условий (IV.8') позволяет выразить функцию ф2 (х)
при положительных значениях аргумента через фх (х) при отри-
цательных значениях аргумента. Подставляя значение функции
ф2 (ж), определяемое из первого условия, во второе, получим:
Фх ( —^) — фх ( —» —2Z) = С\;
(IV.9)
Эта формула говорит о том,, что функция фх (х) должна быть пе-
риодической с периодом 21 во всей области, где она нас интересует.
Рассматривая систему (IV.8') как систему уравнений с двумя
неизвестными функциями, мы видим, что первое из этих уравне-
ний можно рассматривать как определение ф2 (х). Очевидно, что
эта система полностью эквивалентна уравнению (IV.9), удовлетво-
рение которого обеспечивает удовлетворение обоих уравнений
(IV.8). Формулируем полученный результат.
Нами доказано, что всякое решение уравнения (IV. 1) при
условиях (IV.8) выражается через произвольную периодическую
функцию фх (х) с периодом 2Z, заданную в промежутке — оо <rr < Z,
по формуле
и = фх(я — at) — фх (— х — at). (IV. 10)
Если фх (х) продолжить с периодом 2Z на всю прямую — со <
< х < оо, то функция (IV. 10) но изменится для значений 0<£<Z,
которые нас интересуют в рассматриваемой задаче. В то же время
функция (IV. 10) в этом случае станет решением некоторой зада-
чи о колебании неограниченной струны.
Полагая в (IV. 10) Z = 0, видим, что
« |(=0 = (ж)-Ф1(-«),
Й|<=о= (-*)]•
Но фх(гг) —- Ф1 (— #) есть, как легко видеть, нечётная функ-
ция, имеющая, по доказанному, период 2Z. Такую функцию лег-
ко построить полностью по её значениям на отрезке 0^х^1>
где имеем равенство
Ф1 (^) —( — х) = (?о(х)^ 0<2<Z.
§ 3]
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ
57
Аналогично, исходя из равенства
— а ф' (ж) -4- а (— а;) = <Pi (х) при 0 < I,
легко построим —а[ф'(ж) —ф'( —ж)] всюду как нечётную периоди-
ческую функцию. Это равносильно продолжению функций ср0 (.т)
и cpj (х) на всю прямую нечётным периодическим образом.
После того как функции ф0 (х) и (х) построены на всей
прямой, tpi (х) можно без труда найти таким же образом, как мы
это делали в случае неограниченной струны.
Отсюда следует, что решение нашей задачи выражается той
же формулой (IV.7), если в ней считать у0(х) и (х) нечётными
периодическими функциями. Формула (IV. 7) действительно даёт
искомое решение, так как из нечётности начальных условий сле-
дует, что и |х=о = 0; нечётная функция периода 21 является, оче-
видно, нечётной и относительно точек вида х = kl (к — Q, 1, — 1,
2, —2, .. .). Поэтому точно также u\x==i = 0.
Необходимо сделать одно важное замечание. Строго говоря,
функция, даваемая формулой (IV.5), будет удовлетворять урав-
нению в том случае, если ф^’) и ф2(я) непрерывны вместе со
своими производными до 2-го порядка.
Возникает вопрос, будет ли полученное нами решение обла-
дать этим свойством.
Очевидно, это можно гарантировать, если <р0(я) и <рх(^) после
своего продолжения будут удовлетворять этому условию. Чита-
тель может сам проверить, что для этого необходимо иметь
?о(/)=?"о(о=?о(0)=?;(0)=о,
<p1(o=?;(o='Pi(O)=<?;(O)=o.
Однако можно рассматривать и функции, не удовлетворяющие
всем этим условиям. Тогда приходится соответствующим образом
обобщить класс рассматриваемых решений уравнения (IV. 1).
Этот вопрос мы рассмотрим позднее.
§ 3. Решение задачи для неоднородного уравнения
и для более общих граничных условий.
Рассмотрим теперь более общую задачу. Пусть требуется най-
ти решение уравнения
д2и
~д^2
1 д2и
’a2~di2
р (*, о
(IV.11)
при условиях
“ |„»+4: L=/*(') 1
t“L+s£U J
(IV. 12)
58
УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ
(Л. IV
И
и |/=0 = <р0 (х), 1
4=о = ?1(ж)- J
Отметим, что решение ищется в области, определяемой
ствами 0 < х < I и 0 < t.
(IV. 13)
неравен-
правда, усло-
(IV.14)
Прежде всего заметим, что легко построить некоторое частное
решение уравнения (IV.11), не удовлетворяющее,
виям (IV.12) и (IV.13).
Вводя переменные £ и ij, при помощи формул
К = х — at, j
т] = х-\ at, ]
преобразуем уравнение (IV. 11) к виду
4^ =<?(£, 7j).
dz ОТ] V \ > м
Область изменения переменных £ и т; будет:
т; — В > О,
О < $4-т) < 2Z;
(IV.15)
(IV.16)
(IV.17)
на чертеже это будет полуполоса (черт. 6). Продолжим функ-
цию Q (£, •»]) совершенно произвольным образом за обе прямые
н-^=о,
H“T] = 2Z,
$ 3] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ
59
определив её во всей полуплоскости (IV. 16). Если мы найдём
решение уравнения (IV. 15) во всей полуплоскости, то оно, оче-
видно, будет удовлетворять нашему уравнению и в полосе, опре-
деляемой неравенствами (IV.16) и (IV.17). Будем искать частное
решение v1 уравнения (IV. 15). Полагая
(IV.18)
•из (IV. 15) получим:
g=4?(^); (IV.19)
частное решение уравнения (IV. 19) имеет вид
8
ч
Далее, частное решение (IV. 18) будет:
(IV.21)
или, сопоставляя (IV.20) и (IV.21), имеем частное решение урав-
нения (IV. 15) в виде
7] 8 8 8
^ = 15 [^(а’ [^(а,₽)йа]й₽. (IV.22)
£ ₽ ч ₽
Интеграл (IV.22) взят по области
£ < Р < a < т},.
которая представляет собой треугольник АВС (см. черт. 6), где
координаты точки А будут Е и т}.
Иначе
»i = — Q (a, Р) da. d$.
ДАВС
Заметим теперь, что этот интеграл разбивается на сумму трёх
других:
^ = — 4 *?(a>Р)~т <?(а>₽)—
ACEG Д’DBF
-i РММ
ADFGE
(обозначения понятны сами собой).
60
УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ
[Л. IV
Треугольник С EG зависит только от координаты £ точки Л,
а треугольник DBF — только от координаты т] этой точки. Точ-
ка А берётся внутри полу пол осы.
Следовательно,
- Т $ 5 <?(“>₽) = W1 (£),
ACEG
”"Т P)^a^P==U,2(7))’
ADBF
Если функция .г?! удовлетворяет уравнению (IV.15), то и функ-
ция
(IV.23)
ADFGE
будет удовлетворять тому же уравнению.
Если преобразовать в интеграле (IV.23) переменные, вернув-
шись к х и /, мы получим:
Д«р). |1 — «I о_
D (х, /)~|1 а\ а’
откуда
v =—~ \ р(х, t)dxdt, (IV.24)
ADFGE
где ADFGE имеет вид, изображённый на черт. 7.
Решение поставленной задачи мы будем искать в виде частного
решения неоднородного уравнения и решения однородного урав-
нения, удовлетворяющего предельным уело-
‘ А виям. Для этого введём вместо и новую
2\ искомую функцию по формуле
£< ^\. w~u — v. (IV.25)
Тогда функция w будет удовлетворять
однородному уравнению колебаний струны
и условиям того же типа, что (IV. 12) и
(IV.13).
___,, X Рассматривая задачу, мы можем с са-
G F мого начала считать, что р (х, t) = 0, а
условия (IV. 12) и (IV. 13) считать уже
„ 7 преобразованными по формуле (IV.25).
'Р * * Наша замена не нарушает единствен-
ности и существования решения. Если за-
дача в первоначальной постановке была корректной, то она
остаётся такой же и после замены. В самом деле, решение w непре-
рывно зависит от начальных условий. Новые условия для w будут
непрерывно связаны с v и, следовательно, с функцией р(х, t).
Поэтому малые отклонения в р (х, t), flt f2 будут давать малые
отклонения в решении н. . ..
§ 3] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ НЕОДНОРОДНОГО УРАВНЕНИЯ 61
Решение уравнения
д2и 1 д2и р
можно искать опять в прежней форме:
и = ^(гг — aZ) + <p2(a; + a/). (IV.5)
Начальные условия (IV. 13) позволяют, как и в первой задаче,
определить функции (х) и ф2 (х) в промежутке
(IV.1)
Функция и определяется при этом в треугольнике, лежащем
в полосе и опирающемся на ось абсцисс (£>0)(черт. 8).
Посмотрим, можно ли удовлетворить условиям (IV. 12), выби-
рая нужным образом продолжение фх(£) и ф2(/) на всго область,
которая нас интересует.
Подставляя выражение (IV.5) в (IV. 12), получим:
а^(-аг)+И;(-аО + аф2(а0 + ₽Ф2(«О = Л(О, I
ТфД/ —aZ) + o<p;(Z-aZ) + ^2(Z + aO + 80 + a*) = /2(0- J
В плоскости (ж, t) можно провести два ряда полос, парал-
лельных прямым х — at = Q н х at = О, в которых удовлетворяются
неравенства
— 1к < х — at < — I (к — 1), [к]
ml < х + at < (т +1) l\ {т}
каждую такую полосу мы будем обозначать номером соответ-
ственно в квадратных или фигурных скобках (черт. 8).
62
УРАВНЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ
{Л. IV
Первое условие (IV.26) позволяет определить значение фг
в полосе [ш], если известно значение ф2 в полосе {m— 1}, авто-
рое позволяет определить значение ф2 в полосе {к}, если изве-
стно фх в полосе [к—1]ъ при помощи решения обыкновенного-
дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Для этого достаточно, например, обозначить в первом из урав-
нений (IV.26) — at через £, после чего оно получит вид
(?) ч- (?) = -аф2 (- ?) - рф; (- ?)+д ( -1), (iv.27>
а во втором из уравнений (IV.26) положить Z—aZ—£, преобра-
зуя его к виду
TM?) + *K(?) = -7ф2(2/-?)-8ф;(2/-?) + /2(^1). (IV.28)
Зная ф2 в {0} и решая уравнение (IV.27) относительно ф1г
мы получим значения в [1], а затем, решая (IV.28) относи-
тельно ф2, мы определим ф2 в {2} и т. д. Произвольную посто-
янную мы определим из условия непрерывности и ф2.
Точно так же, исходя из значений в [0] и решая уравнение
(IV.28), получим значения ф2 в {!}, а затем, решая (IV.27) отно-
сительно фх, найдём значение фг в [2] и т. д.
Ясно, что таким образом можно удовлетворить всем поста-
вленным условиям.
При этом не вызывает сомнений ни вопрос о существовании
и единственности решения задачи, ни вопрос о её корректности.
Не ясно только, будут ли построенные нами функции фх и ф2
допускать непрерывные производные 2-го порядка.
Мы предоставим читателю вывести необходимые и достаточ-
ные условия для этого и ограничимся замечанием, что, расши-
ряя класс решений уравнения (IV. 1), можно отбросить требова-
ние непрерывности вторых производных функций фх и ф2.
Уравнение струны и аналогичные ему уравнения гиперболи-
ческого типа с двумя независимыми переменными часто встре-
чаются в разнообразных вопросах математической физики.
ЛЕКЦИЯ V.
МЕТОД РИМАНА.
§ 1. Первая краевая задача для гиперболических уравнений.
Для построения решения уравнения колебаний струны мы
воспользовались основным свойством характеристик этого урав-
нения, позволившим сразу проинтегрировать уравнение (IV.3).
Это свойство состоит в том, что уравнение (IV.3) на харак-
теристической линии ij — const, превратилось в обыкновенное
дифференциальное уравнение относительно функции — с незави-
симой переменной £. Поэтому функцию и нам удалось найти
при помощи квадратур. Это же свойство характеристик — нали-
чие уравнений с меньшим числом переменных, связывающих
значения неизвестной функции и её производных, лежит в ос-
нове нескольких важных методов интегрирования уравнений
в частных производных гиперболического типа.
Рассмотрим уравнение вида
?/)£+ ^(^, у) £- + с(ж, y)u = F(x, у); (V.1)
к такому виду, как мы видели, приводится любое линейное
гиперболическое уравнение с двумя независимыми переменными.
Рассмотрим следующую вспомогательную задачу.
Пусть дано значение и на двух пересекающихся прямых,
параллельных координатным осям (т. е. на характеристиках):
и|х=х0 = ?1(?/); у0<у<ъ,
ч Iv~vo ~ (а') ’ ж0 ж а,
(V.2)
причём <р1(г/о) = 'р2(жо).
Функции <рх(?/) и <р2(ж) предположим имеющими непрерывные
производные 1-го порядка.
64
МЕТОД РИМАНА
[Л. V
Мы докажем, что уравнение (V.I) имеет в прямоугольнике
xQ^,x^a,
Уо<У<Ъ
единственное решение, удовлетворяющее условиям (V.2).
Положим:
ди ди
дх ду
Уравнение (V.1) можно переписать в виде
^ = ^ = 7?(а:> y}v-b(x, y)w-c(x, у) и.
Отсюда сразу следует, что
y) = v(xly0)+ -|
v
+ (.т, у) — а (х, y)v — b (х, y)w — c (я, у) и\ dy,
"о
w(x, y) = w(xOt у) +
х
+ [ jF (х, y) — a(x,y)v — b (х, y)w — c (х, у) и] dx,
*о
V
и (х, у) = и (х, у0) + (х, у) dy
yG )
и, в силу (V.2),
г’(^%) = Й|^1/о = ?2(^
Из (V.4) и (V.5) следует:
г; (ж, y) = <f'2(x) +
V
+ [^(ж, у)-а(х, y)v — b(x, y)w-c(x, y)u]dy,
у0
W (ж, у) = <Р1 (?/) 4-
с
\ (ж, у) — а (х, y)v — Ь (ж, у) w — с [х, у) и] dx,
х0
У
и(х, y) — z>2(x)+\)ti)dy.
?/‘о J
(V.3)
(V.4)
(V.5)
§ 1] ПЕРВАЯ КРИВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 65
Обратно, всякое решение системы (V.6) удовлетворяет, очевидно,
системе уравнений (V.4) и второму из уравнений (V.3). Кроме того,
у
ди , , X , С dw ,
уо
У
— ?2 00 + § (х? У) ~~ а 0е, У) v ~ b y)w — c (х, у) и] du = v,
Уо
Следовательно, удовлетворяется и первое уравнение (V.3). Далее
из (V.6) следует:
и b=y0 = <?2 (Х)’
У У
и L =(?2 (жо) + \ = <?2 (жо) + \ (2/) dy =
У<у »о
= ?2 (жо) + ?! (у) — <Р1 (Уо) = ?! (2/)-
Итак, всякое решение системы (V.6) есть решение поставлен-
ной задачи. Из всего сказанного выше следует, что система (V.6)
эквивалентна уравнению (V.1) при условиях (V.2). Решение
системы (V.6) мы будем искать методом последовательных при-
ближений. Пусть
^0 = ?2 (Ж)> ^0 = <h(^), И0=<р2(«).
Положим, далее,
vn = ?2 (ж) +
У
+ у (х, у) —а (х, у) vn-i — Ъ (х, у) Wn-t — С (х, у) un -i] dy,
у»
wn=(у)+
X
+ и (х, у) —
а (х, у) vn_!
— b (ж, y)wn~i — с (х, у) iin-i] dx,
> (V.7)
ч
Ип = ?2(ж)+ Wn-ldy
Уо
(п = 1,2,...).
Докажем сходимость последовательностей ип, vn и wn. Для
этого мы предположим, что все функции
5 С. Л. Соболев
66
МЕТОД РИМАНА
[Л. V
F (ж, у), а (х, у), Ь (х9 у) и с (х, у) ограничены в прямоугольнике (V.2).
Имеем:
С
vn±i — vn= — } [а(х, у) (уп — гп„1) +
УО
+ ь (х, у) (wn — Wn-1) + С (х, у) (ип — un_i)] dy,
X
te»„+1 — wn = — pa (ж, у) (vn — rn_j) -f-
x0
+ b (x, y) (wn — Wn-i) + С (ж, у) (Un — lin-1)] dx,
У
Un+1—Un= (wn — Wn-ijdy.
У0
(V.8)
Докажем, что |a„ —an_i|, |r„ — vn~i\, |a'n —удовлетво-
ряют неравенствам:
Щ — 1/1
|</Гл£+»=»•-*>"- , I
Щ JJl J
la и < I <Kn~l А (Х + У-Хо-Уо)п~1
I un Un—1 j ? j
(V.9)
где К > | a (x, y) 14- | b (x, у) | + | с (x, у) | и A — некоторые числа,
не зависящие от п.
При п=1 справедливость (V.9) очевидна, если выбрать
постоянную А достаточно большой. Покажем, что эти неравенства
останутся справедливыми при замене п на /г + 1. Из (V.8) имеем,
например:
У О
< АК- \ ЦУ^-Уо)”-1 dy =
J (лг —1)! J
Уо
= АКп [ (ж+?/-~ ^о — 2/о)п _ (ж —x0)n 1 (^+j/—^0 —?/о)п
L п\ п\ J 7/1
Так же оцениваются и остальные разности (V.9).
Из оценок (V.9) следует абсолютная и равномерная сходимость
рядов:
со оо оо
мо+ 2 (ми —Мп-1), а0+ 3 (»п —^п-1), ®о+ 2 (®п — йУп-1),
П—1 П—1 п—1
§ 2]
СОПРЯЖЁННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
67
члены которых по абсолютной величине меньше членов равно-
мерно сходящегося ряда
-п-1 (# +т/ —#0 —ур)”"1
(п-1)!
представляющего, как извесгно, функцию
Л + Аек (х+у~хо-уо\
Следовательно, ип, vn и wn в прямоугольнике
Уъ^Су ^Ь} равномерно стремятся к определённым пределам. Пере-
ходя к пределу в формулах (V.7), видим, что предельные функ-
ции гг, v и w удовлетворяют (V.6), и наша задача решена. Заме-
тим, что мы с тем же успехом могли рассмотреть и случай,
когда х < .т0, у < у0. Все рассуждения от этого не изменились бы.
Нетрудно установить единственность решения рассматриваемой
задачи. Для этого достаточно проверить, что в том случае, когда
/" = 0, (у) = ср2 (х) = 0, система (V.6) не имеет других ограни-
ченных решений, кроме = r = 0, w = 0. Допустим, что
существует какое-то решение, удовлетворяющее условиям |н| < Л,
| v | < Л, | w | < Л. Функции и, v, w удовлетворяют неравенствам:
I и | <кп_ 1 А
(х + у—ЖО —2/о)п-1
(п-1)!
(д + ?/ —ж0 —Уо)^-1
(п-1)! ’ /
(х + у— ^о — До)”-1 I
(n-lj! • J
(V.9')
Эти неравенства получаются тем же способом, каким были полу-
чены неравенства (V.9), то-есть ‘последовательными оценками.
Отсюда непосредственно вытекает единственность решения
поставленной задачи, так как единственной системой функций,
удовлетворяющей неравенствам (V.9') при любом п, является
и = v == w= 0.
§ 2. Сопряжённые дифференциальные операторы.
Рассмотрим линейный дифференциальный оператор 2-го по-
рядка
(v.io)
г=1 ;=1 3 i=i
где Ai}-, и С являются дважды дифференцируемыми функциями
X£, Х'2 у • • • , X’ti • Не уменьшая общности можно считать, что Л= A-v
Для этого достаточно обозначить через полусумму коэффици-
5*
68
МЕТОД РИМАНА
[Л. V
д^и д2и
ентов при и -—— . Назовёт оператор
(/'Ку (/Xj
<vii>
PltimKr С/«л>^ <wrfrwH C/tZ/£
i=l j=l i=l
сопряжённым с оператором Lu.
Легко установить непосредственным вычислением, что понятие
сопряжённости обладает свойством взаимности: сопряжённым опе-
ратором для сопряжённого оператора М будет первоначальный
оператор L.
Если оператор L совпадает с ему сопряжённым М, то такой
оператор называют самосопряжённым.
Имеет место формула
vLu — uMv — { У Г и "I 4-В щЛ . (V.12)
ZJ dxi ( ZJ L г; дх- Ox; J г J v 7
i=l f=l
Иными словами, выражение vLu — uMv представляет собой сумму
частных производных по xi от некоторых выражений Pv т. е. (
п
дх^
i=i
где
' “ ' / -<v.i3)
3=1
Формула (V.12) проверяется с помощью непосредственного
дифференцирования. Мы имеем:
п п п п
у^ = [ Е +
XJ dxi [ г] dxj dx-L 1 дх^ J
i—1 1=1 з=1 1=1
-[S 2 2“Та+с“’] +
i=l 7=1 1 i=l
+ У У Г — - — дц| - А
XJ 2J \^dxj дх} dx-L dxj / ’
i=l j=l
Последняя сумма обращается в пуль, и мы получаем:
п
У = vLu — uMv, (V. 14)
i=l
что и требовалось доказать.
§ 2] СОПРЯЖЁННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ
69
Рассмотрим теперь некоторый /з-мерный объём 2, ограничен-
ный кусочно гладкой поверхностью 51).
(В случае, если п = 2 или 1, слова «объём» и «поверхность»
заменяются соответственно словами «область» и «линия»; «отрезок»
и «концы отрезка».)
На основании формулы, аналогичной формуле (1.2), будем
иметь:
(у Lu — uMv) dxr.. . dxn =
2
(V.15)
s i=l
.где cosnXjL, cosnx2, ... —направляющие косинусы внутренней
нормали к
Формула (V.15) носит название формулы Грина.
Рассмотрим два примера.
Пример 1. Формула Грина для оператора Лап-
ласа. Пусть Lu = Lu. При этом
л/Г л ди ди п ди ди
Mv = hv, Р ------U , Pv = V~z-----
7 х дх дх у ду ду
гу ди ди
А = V -----U
z dz dz
Формула Грина примет вид
(vAu —- кДг?) dx dy di == — ^QcosraH-
. f ди ди\ . f ди ди\ Тле
+ < ду~~и ду ) cos пУ + \ ^д1~~и dz)cos nz J
-Ц(»£(V16)
где, как обычно, через обозначена нормальная производная
функции v. Она равна проекции вектора grad?; с составляющими
на направление внутренней нормали. Формулу (V.1C)
также называют формулой Грина для оператора Лапласа.
Пример 2. Рассмотрим уравнение (V.1).
*) Предполагаем, что все условия непрерывности функций и их произ-
водных, о которых говорилось при установлении формулы (1.2), выполнены.
70
МЕТОД РИМАНА
[Л. V
Для оператора Lu, стоящего в левой части этого уравнения,
сопряжённый оператор Mv и функции Рг и Р% будут иметь вид:
Mv = d2v д (av) i дх ду дх 5 (^) 1 -4-^! + CV ду
1 / ди dv Vi v л 2 \ ду ду + auv,
л= 1 / ди dv ' и ~^ 2 V дх дх j + buv.
При этом формула Грина даёт (нормаль внутренняя):
(уLu — uMv) dx dy = ~ \ {[т(4?“и^)+амг’]со8м+-
2 S
§ 3. Метод Римана.
Риманом был предложен важный метод нахождения различных
решений уравнения (V.1), основанный на использовании формулы
Грина (V.17). Займёмся решением задачи Коши для уравнения
(V.1). Пусть нам даны значения и и па кривой
у = р- (ж)>
причём предполагается, что
[i'(x)<0, (V.18)
и 13/-—Р- (х) = ?о (^) > (N• 19)
=?1(«) (V.20)
ду 1ха=Р- (х) ‘1 х ' ' '
(производная в формуле (V.20) берётся частная, а не вдоль кри-
вой у = р (ж)).
Дифференцируя формулу (V.19), имеем:
ди | , ди I , , ч ,. .
дх l?/—и (х) + ду |г/==р. (х)
откуда
ё и = (ж) ~ ?1 (ж) (ж)- <v-21)
Преобразуем формулу (V.17) к несколько более удобному виду.
Считая, что обход области совершается против часовой стрелки,
§ 3]
МЕТОД РИМАНА
71
так что обходимая площадь остаётся слева, будем иметь:
dx = cos (п,г/) dS,
dy= —vGs(n,x)dS,
если считать dS всегда положительным.
Пользуясь этими соотношениями, мы
(V.17):
(vLu — uMv) dx dy —
получим из формулы
dv
и -----V
дх
Черт. 9.
v^')-auv]dy- (v-22)
S
Через точку М (х0, у0) проведём две
прямые, параллельные координатным
осям, до пересечения в точках Р и Q
с кривой у — (черт. 9).
Применяя формулу (V.17) к треугольнику MPQ, имеем:
Q
p
2
1 / dv
( u-------v
2 dx
M
-[i^-v^)-auv]dy} + \ [i(v^-u^+auv]dy+
Q
м
+ \l^^-u^+buv]dx-
Преобразуем два последних интеграла:
м м
Q Q
M
= TmHq + i + (V-24)
Q
7г} + buv \ dx = -^uv
J L 2 \ dx dxj 1 J 2
p
M
p+^“(-£+te)*-(v-25)
p
72
МЕТОД РИМАНА
[Л. V
Эти формулы позволяют легко решить нашу задачу. Пусть
г (г, г/; xQ, yQ) — некоторая функция, удовлетворяющая условиям:
Mv = О,
У х
§ а (хо, у) dy § b (х, ?/о) dx
V |ж=х0 = ёио ,v |у=уо = еж«
При этом
Уо\ хо> ?/о)= !>
У
j a (xq, ?/) dy
= a^’ у')еуо = а v L v»
оу |Х=Хо |х—Хо
X
J Ъ (х, Уо) dx
= b(x,yo)exo =
°Х ll/=У О IV—У О
Существование такой функции нами уже установлено в § 2 в ре-
зультате решения первой краевой задачи. Функция v, удовлетво-
ряющая этим условиям, называется функцией Римана.
Так как на прямой РМ имеем у = у^ а на прямой QМ имеем
я = гг0, то последние члены в формулах (V.24) и (V.25) обращаются
в нуль, и мы получим:
м у
Г Г 1 < ди dv\ . I , 1 \М
м у (V.26)
р ' J
Вернёмся теперь к формуле (V.23), которая после подстановки
в неё (V.26) даёт:
§ y)da;dy = a|M—|-(«»)|р—4(иг,)|0 + ф, (V.27)
где через Ф обозначено первое слагаемое правой части фор-
мулы (V.23), которое полностью выражается через v и из-
вестные функции, ибо на кривой PQ в силу (V.19), (V.20) и (V.21)
ди ди
известны и, -тг-, тг-.
7 дх ду
При этом (V.27) даёт так называемую формулу Римана
и (жо- Уо) = у (^) |р + т(мг?) |Q — ф + 5 $ vFу)dx dy- (v-28)
МЕТОД РИМАНА
73
§ 3]
Как мы видим, формула (V.28) позволяет в явном виде на-
писать решение интересующей нас задачи, так как М (xQ, у0) —
произвольная точка.
Из самого способа получения формулы Римана следует, что
поставленная задача может иметь лишь единственное решение,
так как мы получили для неизвестной функции и явное и одно-
значно определённое выражение, не делая никаких предположений
о ней, кроме её существования. Для того чтобы закончить иссле-
дование, нам остаётся показать, что решение рассматриваемой
задачи Коши действительно существует.
Заметим, что достаточно установить существование решения
уравнения (V.1) при условиях, когда на кривой у = ^(х) функ-
ция и вместе с производными 1-го порядка обращается в нуль.
В самом деле, мы могли бы вместо функции и ввести новую не-
известную функцию
W = и - <р0 (ж) - [у - р, (х)] ?1 (х).
Функция w будет удовлетворять уравнению
£^ + а(ж> У)^ + Ь(х> у'}-^ + с(ж> = у),
где
Л у) =
= F (х, у) - т! (ж) - а (х, у) {<р' (х) + [у - р (ж)] & (ж) - р' (х) (х)} —
- ъ (ж> У) ?i (я) - с (ж> У) {<Ро (*) + [У - Н «i <Р1 С*)} - (V-29>
и однородным условиям
= =0.
Оу |1/=Р- (х)
Уравнение (V.29) имеет тот же вид, что и (V.1), но отли-
чается от него свободным членом. Если мы докажехМ существова-
ние решения повой задачи, поставленной для функции ш, то из
этого будет следовать существование решения первоначальной
задачи. Действительно, при этом и — w + <р0 (х) 4: [у — Iх (^)] <рх (я)
будет решением уравнения. В том случае, когда функции о0 и <рг
равны нулю, формула Римана дает:
и (х’о, у0) — vF (х, у) dxdy. (V.30),
Нам достаточно показать, что функция u(xQ, ?/0), определяемая
формулой (V.30), удовлетворяет уравнению (V.1) и обращает-
ся в нуль вместе с производными 1-го порядка при £/0 “ Iх (^о)-
W
74
МЕТОД РИМАНА
[Л. V
Проверим сначала последнее. При область 2 исчезает
и, следовательно, и | (Хо) =0.
Далее, па основании указанного выше правила дифферен-
цирования интегралов по переменной области имеем:
м
vF(x0, y)dy + ~^F(X> yjdxdy,
0 Q °
^=5 vF(?c’ yo)dx+ 5 5 FkF('X’ y^dxdy-
P Q °
(V.31)
В обеих формулах интегралы, стояхцие в правых частях, обра-
щаются в нуль при ?/0== р (х0). Остаётся убедиться в том, что
^(^0, Уо) удовлетворяет уравнению (V.1). Мы проверим это
несколько позднее.
§ 4. Функция Римана для сопряжённого уравнения.
В § 1 мы нашли решение первой краевой задачи при помощи
последовательных приближений. Метод Римана позволяет найти
её решение в более удобном виде. Пусть, как и в первом пара-
графе настоящей лекции, требуется найти решение и уравнения
(V.1) при условиях (V.2). Проведём на плоскости (х, у) прямые
x — xQ и y = yQi которые обозначим соответственно SP и SQ, где
точка S имеет координаты (^0, ?/0). Из точки М с координатами
уу) проведём прямые МР и MQ, параллельные координатным
осям. Применим формулу (V.22) к прямоугольнику MPSQ, взяв
в качестве и неизвестное пока решение, а в качестве у — функцию
Римана г? (гг, ?/; х19 у±). Мы будем иметь:
(у Lu — uMv) dxdy— vF dx dy —
2 *2
м м
=5 [Kr-£-“£)+Нdx+Ш (? w)+am]dy-
P Q
Q P
- Ш0-“5)+buv]dx-Ш~u€)+auv\dy-
s s
Преобразуя, как прежде, интегралы по отрезкам РМ и QM
и замечая, что на отрезках SQ и SP выражения, стоящие под
§ 4] ФУНКЦИЯ РИМАНА ДЛЯ СОПРЯЖЁННОГО УРАВНЕНИЯ 75
знаком интеграла, составлены из известных функций, получим:
vF (^, у) dx dy =
2
Q
s
p
” \ [4(^_£<p0+az?tpi] <v-32>
s
Удобно избавиться в этой формуле от производных функции v.
С этой целью проинтегрируем по частям оба интеграла в правой
части формулы (V.32). Оставляя и\м в левой части уравнения
и перенося в правую часть остальные члены, получим:
I 1 I . 1 I 1 IQ 1 р ,
и\ — -—uv\ 4- — uv\ —re uv\ —tfUv\ +
|М 2 |р 2 |q 2 Is 2 |S
Q P
+ \ v + ty2) dx + V (<f>; + a?1) dy + vF (x, y) dx dy.
S S 2
Итак,
q ’ p
u\M = uv |s+ ^2) dx + + dy+ vF(x, y)dxdy.
S S 2
(V.33)
Из формулы (V.33) вытекает важное следствие. Пусть функ-
ция и является функцией Римана для сопряжённого уравнения
то-есть представляет собой функцию, удовлетворяющую однород-
ному уравнению Lu = 0 и условиям
X у
~^b(x,yo)dx ~^a(xQty)dy
|?/=2/0 0 XQ , U |х_хо = в W
При этом предположении все слагаемые правой части (V.33) обра-
тятся в нуль, и мы получим, пользуясь равенством и |g= 1,
и \м = » |s, или и (хг, уг; х0, у0) = v (х0, yQ\ xlf yx).
Это соотношение называется теоремой о симметрии функции
Римана. Словесно оно выражается следующим образом:
Если в функции Римана рассматривать переменные xQ1 у0 как
текущие координаты, а хг, уг как координаты вершины, то по-
лучится функция Римана для сопряжённого уравнения.
76
МЕТОД РИМАНА
[Л. V
Следствие. Функция Римана v(x, у\ х0, ?/0), определённая
выше, удовлетворяет уравнению
~д^ + а (Жо, Уо)~+Ь(х0, У0)-^ + с (х0, у0) v = 0. (V.34)
Пользуясь этим фактом, можно легко проверить, что функция
к(#0> 2/0), которая определяется формулой (V.30), действительно
удовлетворяет уравнению (V.l)n, следовательно, является решением
задачи Коши. Дифференцируя первую из формул (V.31) по yQ,
получим:
м
— = v I F (xG, у0) -J- \ F (xG, у) dy +
d^dyQ |(х0, уо) v °’ ^0/ 1 .) дУо V 0 J
Q
M
+ <\~WF dx + 5 5 ~dS^ F C'- y) dx dy-
P 2
Отсюда
+ a (жо> У о) + Ъ (жо> Уо) + с (а:о> Уо) и (*о> Уо) =
м
= F(xo> Уо)+ \ [•^ + <г(жо> Уо)^] F (хо’ У)йу +
Q
м
+ 5 [ ^ + Ь(-Хо> Уо)г] F(x’ Уо)ах +
р
+ 5 5 [ Wo + а ^°’ У^ ~dW + 1> +
+ с (ж0> Уо)v ] F (ж> у)dx dy-
Из последней формулы непосредственно получаем
Lu = F,
что и требовалось доказать.
§ 5. Некоторые качественные следствия формулы Римана.
Из формулы Римана вытекают некоторые следствия, пред-
ставляющие общий интерес. Остановимся на них несколько
подробнее.
Будем изучать поведение решения задачи Коши для уравнения
(V.1) в зависимости от изменения начальных условий. Легко видеть,
что значение этого решения в некоторой точке (xG, yG) вовсе не
§ 5] НЕКОТОРЫЕ КАЧЕСТВЕННЫЕ СЛЕДСТВИЯ ФОРМУЛЫ РИМАНА 77
зависит от данных Коши вне криволинейного треугольника MPQ,
образованного двумя характеристиками, проведёнными через эту
точку, и кривой, несущей начальные данные. Если мы будем
менять данные вне этого треугольника, то решение будет меняться
лишь вне этого треугольника. Таким образом, каждая характери-
стика будет отделять область, где решение осталось неизменным,
от той области, где оно изменилось. Мы приходим к следующему
выводу: к данному решению задача, зафиксированному внутри
треугольника MPQ, можно присоединять вдоль характеристики,
вообще говоря, различные решения, являющиеся его продолжением.
Таким образом, характеристики суть линии, вдоль которых
можно разрезать область существования решения, если мы хотим
в некоторых частях этой области заменить одно решение другим
так, чтобы при этом снова получить решение уравнения во всей
области. Это важное свойство характеристик тесно связано с тем,
что при произвольных начальных данных, заданных на характе-
ристиках, задача Коши, вообще говоря, неразрешима. Для всякой
другой линии, зная решение по одну сторону линии, мы могли бы
найти значения решения и его производных на этой линии и ре-
шить задачу Коши по другую сторону линии. Таким образом, за
всякую нехарактеристическую линию решение уравнения продол-
жается однозначно.
ЛЕКЦИЯ VI.
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.
В курсе математического анализа изучают главным образом непрерыв-
ные функции одного или многих независимых переменных. Одпако такие
функции оказываются недостаточными в вопросах математической физики,
где существенное значение приобретают разрывные и неограниченные функ-
ции. Наиболее важным понятием, применение которого для разрывных
функций необходимо в вопросах математической физики, является понятие
интеграла. Поэтому мы специально остановимся на теории интегрирования
разрывных и неограниченных функций. Мы построим для таких функций
теорию интеграла Лебега, следуя в основном идеям русской математической,
школы, и докажем для этого интеграла все основные теоремы, излагаемые
обычно в курсах интегрального исчисления для интегралов от непрерывных
функций.
Нс следует думать, что целью нашего изложения является просто жела-
ние достичь наибольшей общности в теории интегрирования разрывных
функций. Обобщение понятия интеграла придаёт теории интегрирования
внутреннюю законченность и позволяет благодаря этому получить целый
ряд важных теорем, не имеющих места для обычных интегралов от непре-
рывных фу акци й.
В дальнейшем мы будем пользоваться следующими тремя важными
результатами.
1. Признак допустимости предельного перехода под знаком интеграла.
2. Теорема о возможности перемены порядка интегрирования в кратных
интегралах (теорема Лебега—Фубини).
3. Признак сходимости в среднем последовательности функций.
Интегрирование разрывных и неограниченных функций мы будем рас-
сматривать, пользуясь главпьш образом идеей, которую можно назвать
идеей исключения особенностей.
Если функция / многих переменных alf я2> ..., заданная в некото-
рой области 2, разрывна в этой области, но после исключения из 2 не-
которой частичной сколь угодно малой области о становится непрерывной
в оставшейся области 2', то естественный путь к нахождению интеграла
от этой функции состоит в том, чтобы рассмотреть сначала интеграл по 2',
а затем перейти к пределу, устремляя 2' к 2. Этот способ всегда исполь-
зуют в элементарной теории несобственных интегралов.
Теорию интегралов Лебега мы будем излагать, пользуясь тем же приёмом
и лишь несколько обобщив его. Основное значение для нас будет иметь
понятие функции, непрерывной па замкнутом множестве. Свойства замкну-
тых множеств, то-есть множеств, содержащих все свои предельные точки,
мы изучим несколько позднее. Сейчас отметим, что функция, непрерывная
па замкнутом множестве точек, обладает рядом весьма важных свойств,
которые позволяют, в частности, построить интеграл от неё.
Наряду с замкнутыми множествами мы будем изучать открытые мно-
жества, то-есть такие, которые не содержат ни одной точки своей.
§ 1] ЗАМКНУТЫЕ И ОТКРЫТЫЕ МНОЖЕСТВА ТОЧЕК 79'
границы. Вначале определим понятие интеграла для функций, непрерывных
на открытом множестве. Пользуясь этим понятием, мы разовьём далее
теорию интегрирования непрерывных функций на замкнутых множествах
и исследуем поведение интеграла при изменении области интегрирования.
В общем случае интеграл Лебега от разрывной функции строится сле-
дующим способом. Из области Q, где задана функция /, исключается мно-
жество о так, чтобы осталось замкнутое множество £', на котором функция
непрерывна. Далее вычисляется интеграл от / по замкнутому множеству Q'.
Переходя к пределу, когда Q' стремится к S2, получаем интеграл от функ-
ции / по множеству Q.
В построенной таким образом теории интегрирования мы, естественно,
стремимся сохранить ряд основных свойств обычного интеграла, как, на-
пример, возможность почленного интегрирования суммы нескольких функ-
ций. Это заставляет уже на первых шагах несколько ограничить класс
функций, подлежащих нашему рассмотрению. Таким путём мы приходим,
к понятиям суммируемой функции. Именно для суммируемых функций
и ведётся дальнейшее исследование; для них остаются справедливыми все
важнейшие свойства обычного интеграла.
В настоящей лекции мы затронем также упомянутые выше вопросы
теории суммируемых функций.
§ 1. Замкнутые и открытые множества точек.
Прежде чем приступить к изложению теории интеграла Лебега, мы
должны остановиться на некоторых свойствах точечных множеств в п-мерном
пространстве.
Рассмотрим тг-мерпое пространство с координатами х1} гг2> •••> хп- От-
крытым множеством в этом пространстве мы будем называть такое
множество точек М, каждая точка которого является внутренней для
этого множества, то-естъ может быть окружена шаром с центром
в этой точке, целиком принадлежащим множеству М.
Открытое множество может быть связным, то-есть состоять из одного
куска, но может быть и несвязным, будучи образованным отдельными
кусками в конечном пли бесконечном числе. Связное открытое множество
принято называть областью.
П р и м ер 1. Множество всех внутренних точек некоторого прямоуголь-
ного параллелепипеда, определённое неравенствами
О < xi < а{ (z == 1, 2, ..., п),
есть открытое множество. (Знак < нельзя заменить знаком <3 Параллеле-
пипед с границей не является открытым множеством.)
Пример 2. Множество всех внутренних точек некоторого шара, опре-
п
делённых неравенством xi < R2, является открытым.
г—1
Если исключить из этого множества начало координат, рассматривая
только точки, для которых
О < 2 < R*.
i—1
то мы опять получим открытое множество.
Будем называть суммой нескольких множеств, или их объединением,
множество всех точек, принадлежащих хотя бы одному из них. Сумму Е
множеств Ех и Е2 будем обозначать Ег + Е2 и записывать Е=Е1-]- Е2.
Сумма конечного или бесконечного числа открытых множеств есть-
снова открытое множество.
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[Л. VI
SO
В самом деле, каждая точка такой суммы является внутренней по
крайней мере для одного из открытых множеств и, следовательно, будет
внутренней точкой для суммы.
Кроме открытых множеств, большую роль играют ещё замкнутые мно-
жества, т. е. такие множества, которые содержат все свои предельные
точки.
Приведём примеры замкнутых множеств.
Пример 3. Множество всех точек шара
<я2
г=1
есть замкнутое множество (знак здесь нельзя заменить знаком <).
Пример 4. Множество всех точек некоторого параллелепипеда
(* = 1, 2, ..., п) есть замкнутое множество. о
Пример 5. Множество, состоящее из одной точки х, = а^ (i ~ 1, 2, ..., п),
является замкнутым. В самом деле, это множество вообще не имеет пре-
дельных точек.
Сумма конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое мно-
жество. (Для бесконечного числа множеств это утверждение уже не имеет
места.) Доказательство не представляет большого труда, и мы оставляем
его читателю.
Условимся множество, не содержащее ни одной точки, называть пустым
множеством. Это соглашение позволит упростить формулировки ряда даль-
нейших теорем. Пустое множество будем считать одновременно и открытым
и замкнутым.
Пусть Et, Е2, ..., Е^, ...—некоторые множества в конечном или
бесконечном числе. Будем называть их пересечением множество Е всех
точек, каждая из которых принадлежит всем этим множествам.
Иногда это пересечение будет пустым множеством. Будем обозначать пере-
сечение Е множеств Er, Е2, ..., Ek, ... следующим образом:
Е — E1E2Ez ...Ek или
k
Пересечение F конечного или бесконечного числа замкнутых множеств
F^, F2, ..., Fkr •.. есть замкнутое множество. (В частности, оно может
быть пустым.) В самом деле, предельная точка множества F является
предельной точкой каждого из множеств F^, F2, ..., Fk, ... и, следователь-
но, принадлежит им всем и должна содержаться в пх пересечении F.
Если все точки некоторого множества Et принадлежат множеству Е2,
то мы будем говорить, что Ег содержится в Е2 или заключено в Е2. Это
свойство мы будем выражать символически следующим образом:
Е2^Е1 или E1QE2.
Замечание. Ограниченное бесконечное множество в п-мерном про-
странстве всегда имеет хотя бы одну предельную точку.
Справедливость этого замечания устанавливается так же, как и в случае
одного независимого переменного. В самом деле, пусть координаты точки
(г==1, 2, ...), принадлежащей множеству будут (гс^\ • ••> хп^-
Рассмотрим множество чисел представляющих собой первые коорди-
наты точек Р(’>. Это множество, будучи бесконечным и ограниченным,
имеет по крайней мере одну предельную точку (в частности, если какое-
либо число 4°> повторяется в пашей последовательности бесконечно много
раз, то оно может быть принято за такую предельную точку).
ЗАМКНУТЫЕ И ОТКРЫТЫЕ МНОЖЕСТВА ТОЧЕК
81
§ и
Выберем из последовательности Р^ подпоследовательность Р^ такую,
что для неё последовательность х^ имеет предел. Повторяя это рассужде-
ние, выберем из Р[^ подпоследовательность Р^, у которой будут иметь
пределы уже последовательности двух первых координат, затем построим по-
следовательность Р^ и т. д. После п шагов придём к последовательности
Р^\ у которой все координаты сходятся и которая, следовательно, имеет
предельную точку, что и требовалось доказать.
Теорема 1. Если последовательность ограниченных замкнутых мно-
жеств является суживаюгцейся, т. е.
и ни одно из множеств Е^ не пусто, то и их пересечение Е не пусто.
В самом деле, рассмотрим последовательность точек Р3, Р2, • • - , Р/г, . -.,
причём Р^ С Е^. Множество точек этой последовательности, будучи ограни-
ченным, должно иметь по крайней мере одну предельную точку. Эта точка,
являясь предельной для каждого Е^, принадлежит всем Е^ и, следователь-
но, войдёт в их пересечение, которое уже поэтому не может быть пустым,
что и требовалось доказать.
Полезно заметить, что пересечение конечного числа открытых множеств
£2 = 2^ ... Qk
представляет собой открытое множество.
В самом деле, любая точка Й есть внутренняя точка для каждого из
множеств йг, Й2, ..., Й^ и в каждом из них является центром некоторого
внутреннего шара. Наименьший из этих шаров будет внутренним шаром в Й.
Пусть Ех и Е2—два множества. Удалим из Ех все точки, принадлежа-
щие пересечению ЕГЕ2. Оставшееся множество мы будем называть разностью
и обозначать E = EV — Е2. С помощью операции образования разности мы
можем построить ещё несколько примеров замкнутых и открытых множеств.
Пусть 12 — открытое множество, а Е—замкнутое множество. Тогда
Q0 = Q-F
есть открытое множество.
В самом деле, если бы й0 принадлежала точка, по окружённая внутрен-
ним по отношению к й0 шаром, то в любой её окрестности имелись бы
точки, выброшенные из й, т. е. принадлежащие Е. Будучи, таким образом,
предельной точкой для множества Е, сама эта точка должна была бы при-
надлежать Е и, следовательно, не могла бы принадлежать й0 —Й— Е.
Полученное противоречие доказывает наше утверждение.
Далее, Е0~~Е — й есть замкнутое множество.
Точка Р, предельная для множества Ро, являясь точкой из Е, могла
бы быть исключена из последнего только в том случае, если бы опа при-
надлежала й. Но точки й не могут быть предельными для Ро, так как
они принадлежат й вместе с некоторыми окрестностями, которые в силу
этого не могут содержать точек из FQ. Значит, пи одна точка Р, предельная
для Ро, не может быть выброшена из Е при вычитании й и, следовательно,
Eq содержит все свои предельные точки. Таким образом, Ро замкнуто.
Замыкание Е любого множества Е, то-есть множество, получаемое
присоединением к Е всех его предельных точек, представляет собой замкну-
тое множество.
В самом деле, пусть точка Ро является продельной для некоторой
последовательности Р3, Р2, ..., Р/г, ... точек из Е. Покажем, что точка PQ
является предельной точкой не только для Ё, но и для Е и, следовательно,
входит в Е. Отсюда будет вытекать, что множество Е содержит все свои
6 с. Л. Соболев
82
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[Л. VI
предельные точки и является замкнутым. Внутри каждого шара описан-
1
ного вокруг Ph радиусом -^-, найдётся хотя бы одна точка Qh, принад-
лежащая Е. Последовательность Qh сходится, очевидно, снова к PG и, сле-
довательно, Ро есть предельная точка множества Е, что и требовалось до-
казать.
Граница С открытого множества 2, т. е. множество предельных
точек этого открытого множества, не являющихся внутренними точками^
представляет собой замкнутое множество.
В самом деле, по определению множества С имеем
С = 2—2,
где 2 есть замыкание множества 2. По доказанному выше, множество С
замкнуто.
При помощи рассмотренных операций над множествами из замкнутых
и открытых множеств простого строения могут быть получены замкнутые
множества довольно сложной структуры, как показывают следующие два
примера.
Пример 6. Множество F* всех точек замкнутого отрезка [0, 1], коор-
дината которых может быть записана по десятичной системе без применения
цифры 5, есть замкнутое множество. При этом допускается запись числа
при помощи бесконечного ряда девяток, например: 0,5 = 0,4999... Поэтому,
если десятичная дробь, выражающая координату какой-то точки, конечная
и содержит только одну пятёрку в последнем разряде, то эта точка войдёт
в множество F*.
Замкнутость этого множества проще всего установить, если заметить,
что оно представляет собой разность
[0,
где [0, 1] — замкнутый отрезок, а 2* — открытое множество, состоящее из
всех точек, принадлежащих открытым промежуткам 2j, которые задаются
неравенствами вида
0,5 < х < 0,6; 0,15 < х < 0,16; 0,25 < х < 0,26; ...;
Действительно, каждая точка, координата которой не может быть запи-
сана без помощи пятёрки, принадлежит одному из промежутков 2;- Все 2^
суть открытые множества, поэтому множество 2# также открытое и, значит,
F* — замкнутое множество.
Множество точек Е, для которого в любом открытом множестве 2j
найдётся открытое подмножество 22, не содержащее ни одной точки Е,
называется нигде не плотным.
Рассмотренное выше множество F*, как мы видим, является примером
замкнутого нигде не плотного множества.
Пример 7. Рассмотрим в некотором открытом множестве непрерыв-
ную функцию /. Множества Е (f > а) и E(j<a), где а — любое число,
являются открытыми.
Докажем это, например, для Е (f > а). В самом деле, если в некоторой
точке Р значение непрерывной функции / больше а, то и в достаточно малом
шаре вокруг Р имеет место неравенство / > а. Следовательно, множество
Е (f > а) состоит только из внутренних точек и является открытым.
П р и м е р 8. Пусть теперь функция / непрерывна в замыкании 2 от-
крытого множества 2:
2 = 2 + С,
где С—граница множества 2. Множества E(j^a) и E(f^a) при любом
а являются замкнутыми множествами.
§ 1] ЗАМКНУТЫЕ И ОТКРЫТЫЕ МНОЖЕСТВА ТОЧЕК 83
Проведём доказательство для Е(/^>а). Действительно, если для неко-
торой последовательности точек Р2> •••> стремящейся к Ро,
имеет место неравенство / (Рр) >а, то и Ит / но по непрерывности
k—>оо
Ит ^/ (Рр) = / (Pq) и, следовательно, точка PQ принадлежит множеству
k~+CO
E(f^ а). Это и означает замкнутость множества Е а).
В курсе математического анализа рассматриваются функции, заданные,
как правило, в открытой или замкнутой области. Нам придётся в даль-
нейшем изучать и функции, заданные на множествах более общей природы.
Функция, заданная на некотором множестве Е, называется напрерывнэй
в точке Ро (принадлежащей Е) по множеству Е, если для произвольного
положительного числа е найдётся столь малая окрестность точки 7%, что
для любой точки Р из множества Е, принадлежащей этой окрестности,
имеет место неравенство
I f(P0)-f(P) I < е-
Из этого определения, в частности, следует, что в изолированных точках Е
любая функция непрерывна. Функция, непрерывная во всех точках некото-
рого множества, называется непрерывной на этом множестве.
Пусть
Q = -р ^2 + • • • 4“ • • -
есть сумма конечного или бесконечного числа открытых множеств. Если
функция /, заданная па £, непрерывна на каждом множестве Qp, то она
непрерывна и на Q.
В самом деле, любая точка Q вместе с некоторой окрестностью входит
в одно из множеств Qp и является в нём точкой непрерывности/.
Мы остановимся подробнее па функциях, которые заданы и непрерывны
на замкнутых множествах. Докажем прежде всего две важные теоремы.
Теорема 2. (В е й е р ш т р а с с а.) Функция /, непрерывная на огра-
ниченном замкнутом множестве F, ограничена на этом множестве и
принимает там своё наибольшее и наименьшее значение.
Докажем сначала ограниченность функции / на множестве F. Допустив
противное, мы получим последовательность точек, принадлежащих F,
в которых значения неограниченно возрастают. Эта последовательность
будет иметь по крайней мере одну предельную точку, принадлежащую
множеству F, ввиду его ограниченности и замкнутости. Обозначим эту
предельную точку Ро. В любой окрестности Ро должны содержаться точки,
в которых функция / принимает сколь угодно большие по абсолютной
величине значения, по это противоречит непрерывности / в точке Ро, так
как, по определению непрерывности, для достаточно близких к Ро точек Р,
принадлежащих Ft должно выполняться неравенство
при любом £ > 0.
Таким образом, ограниченность функции / на F доказана. Множество
значений, принимаемых функцией па F, будучи ограниченным, имеет верх-
нюю грань М и нижнюю грань т. Мы докажем теперь, что функция при-
нимает значения М и т в некоторых точках множества F. Согласно опре-
делению верхней грани, для любого е > 0 должна существовать такая
точка Ре из F, что М — / (Рг) < е. Полагая е ——получим последова-
тельность точек Рп такую, что / (Рп) М при п со. В силу замкнутости
и ограниченности F эта последовательность имеет в F но крайней мере
одну предельную точку Ро. Ввиду непрерывности /, в точке Ро имеет место
равенство f(PQ) = M, что и требовалось доказать.
Точно так же доказывается, что / принимает наименьшее значение в
некоторой точке из F.
6*
84
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[Л. VI
Т о о р о м а 3. (Вейерштрасс а.) Функция f, непрерывная на ограни-
ченном замкнутом множестве F, равномерно непрерывна на нём] иными
словами, каково бы ни было положительное число е, можно указать такое
число o = 3(s), что для любые двух точек Р, Q множества F, расстояние
между которыми меньше 8, имеет место неравенство
l/(P)-/(Q)|<e.
Если, как обычно, назвать колебанием функции па некотором замкнутом
множество разность между наибольшим и наименьшим значениями её на
этом множестве, то теорему Вейерштрасса можно перефразировать так: для
всякого г > 0 существует такое число Ъ (е), что колебание функции f
не превосходит г на пересечении F с любым шаром радиуса 6 (е).
Доказательство этом теоремы будем вести от противного. Предположим,
что функция f не является равномерно непрерывной н < F. Тогда найдётся
такое положительное число е0, что при любом 3 > 0 найдутся две точки ./<
и такие, что расстояние между ними меньше 3, а разность значений / в
1
этих точках по абсолютной величине больше е0. Полагая 3 = —- и выбирая из
последовательности Рп подпоследовательность РПк, сходящуюся к некото-
рой точке Ро, принадлежащей F (очевидно, к этой же точке будет сходить-
ся соответствующая подпоследовательность точек Qn^)’ придём’ к выводу,
что в любой окрестности точки PQ колебание / не меньше е0, а это противо-
речит предположению теоремы о непрерывности / па F. Теорема доказана.
Отметим одно применение доказанных теорем. Пусть F — замкнутое
множество и Ро—некоторая фиксированная точка. Расстояние г (Р, PG) от
переменной точки Р замкнутого множества F до точки PQ представляет
непрерывную функцию точки Р при заданной точке PG. По первой теореме
Вейерштрасса эта функция достигает своего наименьшего значения.
Положим
3 (Ро) = min г (Р, Ро).
р
Число 8 (Ро) называется расстоянием точки Ро до замкнутого множества F.
Если Ро не принадлежит F, то это расстояние отлично от нуля.
§ 2. Интегралы по открытым множествам
от непрерывных функций.
Как уже указывалось выше, при построении общего понятия интеграла
мы будем шаг за шагом расширять класс множеств, для которых оно опре-
деляется. Начнём с интегрирования по открытым множествам.
Пусть функция f (хА, ..., хп) задана, непрерывна и неотрицательна
на некотором открытом множестве. (Разумеется, она может быть неогра-
ниченной и неравномерно непрерывной, как, например, функция
I___________1_______
г -/4 + ^+... + ^
в области 0 < г < 1, полученной удалением начала координат из открытого
шара 0 <> < 1.)
Разобьём всё пространство на кубические ячейки Fk^^, со сто-
роной А, определённые неравенствами
кф Xj (ki -j- 1) h (i = l, 2, n),
где к^ — целые числа. Такое подразделение назовём сеткой.
§ 2]
ИНТЕГРАЛЫ ПО ОТКРЫТЫМ МНОЖЕСТВАМ
85
Составим теперь из конечного числа кубиков сетки какое-либо
множество Фд, лежащее целиком внутри 2. Такое множество мы назовём
внутренним сеточным множеством. Будем уменьшать А, подразделяя каж-
дый кубик сетки на целое число более мелких кубиков, и снова строить
внутренние сеточные множества. Систему внутренних сеточпых множеств
мы назовём исчерпывающей для области 2, если выполнены два условия:
а) последовательность Фд расширяется, т. с.
б) каждая точка области 2 попадает строго внутрь всех множеств Ф^у.
начииая с некоторого к.
Отметим, что для любого открытого множества существует хотя бы одна
исчерпывающая система внутренних сеточных множеств. В самом деле,
строя внутреннее сеточное множество, мы можем включить в него все кубики
сетки, которые вместе с границей лежат внутри 2. Полученная таким путём
система внутренних сеточных множеств будет исчерпывающей. Действи-
тельно, любая точка Ро из множества 2 может быть окружена малым
шаром о, принадлежащим 2. Следовательно, при достаточно мелкой сетке,
когда наибольшая диагональ кубика с ребром h станет меньше половины
радиуса шара о, один из кубиков вместе с точкой Ро и вес граничащие
с ним кубики войдут в Фд, что и требовалось доказать.
Положим
... / (ж1, ж2, ...» хп) dx± dx2 ... dxn,
где %
образуют исчерпывающую систему сеточпых множеств. Ввиду
неотрицательности функции / величина с возрастанием к не убывает.
Если при А -> оо последовательность остаётся ограниченной, то, очевидно,
она стремится к некоторому пределу. При этом функцию / назовём интег-
рируемой по области 2, а предел последовательности J\—интегралом от
функции f(xY, ..., хп) по области 2:
Этот предел, как мы докажем, не зависит от того, каким способом
выбрана исчерпывающая система и как расположены координатные оси
в пространстве.
Интеграл
... f (х^ х^у • •», x^ij dxy dx2 ... dx^
s
мы будем более кратко записывать в виде
/ dv или / dxY dx2 ... dxn.
Ы 2
Если последовательность расширяющихся множеств не является исчер-
пывающей, то
Urn \ f dv у f dv.
ф. и
86
КРАТНЫ Е ИНТЕГРАЛЫ
[Л. VI
Замечание 1. Функция /, неотрицательная, ограниченная и непре-
рывная в ограниченном открытом множестве 2, интегрируема в этом мно-
жестве. В самом деле, интегралы по исчерпывающей системе сеточных мно-
жеств ограничены в совокупности и, следовательно, стремятся к опре-
делённому пределу.
Лемма 1. Рассмотрим расширяющуюся систему открытых множеств
2XCZ22CZ ... C2ftc ...,
и пусть 2 — 2Х + 22 + ... -|- -hi + • • • Тогда любое замкнутое ограниченнее
множество F, лежащее целиком внутри 2, попадёт внутрь всех
начиная с некоторого к.
В самом деле, допустим, что утверждение леммы не имеет места. Тогда
для любого к можно указать точку принадлежащую F, но по принад-
лежащую 2Й. Множество точек J\ имеет по крайней мере одну предельную
точку Ро, принадлежащую, очевидно, F. Легко видеть, что Ро по принад-
лежит пи одному 2Ь ибо в любой его окрестности имеются точки Р^
со сколь угодно большими номерами к. Это, однако, невозможно, так как
множество F принадлежит сумме 2 и, следовательно, каждая его точка
должна принадлежать одному из слагаемых суммы 2. Полученное противо-
речие доказывает лемму.
Покажем теперь, что интеграл по открытому множеству не зависит ни
от направления координатных осей в пространстве, ни от способа составле-
ния исчерпывающей системы внутренних сеточных множеств.
Рассмотрим открытые множества 2fe, состоящие из всех внутренних точек
множеств Фл . Сумма этих открытых множеств есть открытое множество 2 и,
значит, любое ограниченное замкнутое множество F, лежащее внутри 2, будет
содержаться во всех сеточных множествах Ф^ , начиная с некоторого к.
— две исчерпывающие системы сеточных множеств, не обя-
Пусть Ф„
зательно заданные в одной и той же системе координат. В силу леммы 1
при надлежащем выборе Л2 = &2(ЛХ) и ^з“^з(^г) и любом kt будем иметь:
Следовательно,
Ф.
hh
hk
з
откуда видно, что пределы по системам Ф/г и равны. Независимость инте-
грала от выбора исчерпывающей системы сеточных множеств и направления
осей координат доказана.
Каждая неотрицательная функция, интегрируемая на открытом мно-
жестве 2, интегрируема на любом открытом подмножестве 2Х. В самом деле,
интегралы по исчерпывающей системе сеточных множеств для 2Х будут
мажорироваться интегралами по соответствующим сеточным множествам,
построенным для 2, поэтому они образуют ограниченную и, следовательно,
сходящу юс я последовательность.
Замечание 2. Если 22с121 и функция f неотрицательна, то
/ dv / dv.
а2 21
Действительно, исчерпывающие множества для 22 можно брать так., чтобы
они входили в исчерпывающие множества для 2Х.
§ 2]
ИНТЕГРАЛЫ ПО ОТКРЫТЫМ МНОЖЕСТВАМ
87
Замечание 3. Если Д и /2— какие-либо две неотрицательные функ-
ции, непрерывные и интегрируемые в 2, то и их сумма /г + /2 интегрируема
в 2, причём
(А + A) dv=p Л dv+ f2dv.
У 2 2
Доказательство этого утверждения не представляет труда. Оно полу-
чается предельным переходом из очевидного равенства
(А + А)^ = A dv+ f2dv.
фн ф71 ф71
Замечание 4. Если / неотрицательна, непрерывна и интегрируема
в 2, то и af при а 0 обладает этими свойствами, причём
afdv — a / dv.
2 2
Доказательство этого утверждения также не представляет труда.
Теорема 4. Пусть 2Х и 22— два открытых множества, которые
могут пересекаться друг с другом, и пусть f — непрерывная неотрица-
тельная функция в множестве 2j-{-22j интегрируемая по этому мно-
жеству. Тогда справедливо соотношение
fdv + fdv = fdv + f dv. (VI.1)
2i 22 21 + ^2 &1Я2
Построим в 2t и 22 исчерпывающие сеточные множества и Ф^2\
Очевидно,
fdv+ f dv — fdv-\- f dv. (VI.2)
Ч’> Ч2> 4‘М2’ 4‘Н2>
Легко видеть, что множества Ф^4-Ф^2^ образуют исчерпывающую си-
стему для множества 2г + 22, ибо каждая точка этого множества рано или
поздно попадёт в какое-либо множество Ф^ или Ф,г2\ а Ф^Фд^ образуют
исчерпывающую систему для 2l22> ибо каждая точка этого множества рано
или поздно попадёт в оба сеточных множества ф}г^ и Ф^2\ Поэтому, пере-
ходя к пределу в (VI.2), получим (VI.1). Теорема доказана.
Следствие. Интеграл по сумме конечного числа открытых мно-
жеств от неотрицательной функции не превосходит суммы интегралов,
взятых по всем этим множествам:
/ dv f dv+ / dv-\- • • • + / dv.
2 2i 22
Отсюда следует, что если все интегралы по открытым множествам 2Й су-
ществуют, то и интеграл по 2 существует.
Теорема 5. Пусть дана расширяющаяся последовательность откры-
тых множеств
21С 22С1 ••• CJ
88
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[Л. VI
Обозначим через £20 их сумму
, + С2 + ... + Q/г + • • •
Пусть f—какая-либо неотрицательная9 непрерывная и интегрируемая
функция в £20. Тогда
\ f dv~~ lim \ f dv.
fc->co J
20 27c
До ка зато л ь с т в о.
Очевидно, f dv^y f dv, поэтому
"0
f dv^> lim
(*)
Построим систему исчерпывающих сеточных множеств для открытого
множества Qo. Па основании леммы 1 каждое такое сеточное множество
будет целиком заключено в некотором £2П.
Мы будем иметь, следовательно,
\ f dv \ f dv^ lim \ f dv
J J /i->co J
Ф?. Qn Qk
is, переходя к пределу при h -> 0, получим:
\ j dv lim \ / dv.
7t-»oo J
20 &k
Сопоставляя это неравенство с (*), имеем
что и требовалось доказать.
Следствие. Пусть дана последовательность открытых множеств
2г, й2, ..., Qj,, ... (не обязательно расширяющаяся) и f — некоторая
неотрицательная непрерывная функция. Если суммы
N
2 (Л=1,2, ...)
h=l aft
ограничены в совокупности, то существует интеграл по сумме
множеств и справедливо неравенство
j dv — lim
1 k—>со
Йо
2l+22 + ... + ^Zc
f dv^ lim
/i->oo
Замечание 5. Пусть Q — открытое множество, Ф^о—сеточное множе-
ство, содержащееся в нём, а /—неотрицательная функция, непрерывная и
интегрируемая в £2. Тогда
fdv-\- f dv= \ f dv.
§ 2]
ИНТЕГРАЛЫ ПО ОТКРЫТЫМ МНОЖЕСТВАМ
89
Для доказательства заключим Ф, строго внутрь сеточного множества
Фде так, чтобы
/ dv < / dv г.
ф/г£ */t0
Множества Ф/^ + Ф’д, где Т/г— исчерпывающая система внутренних се-
точных: множеств для У— Ф/10, будут исчерпывающими для Q и, следова-
тельно,
j dv =- lim 1 f dv lim
Zx—>0 J Zi-hO
Ф/ге+1ГЛ
t dv-\- j f dv j < j dv-\- fdv + e,
% 'к/< фЛо “~ф/1о
откуда и вытекает наше утверждение.
Теорема 6. Пусть дана сужающаяся последовательность открытых
множеств ZD --о ~~4 • • • и пусть пересечение их также пред-
ставляет собой открытое множество (в частности, оно может быть пустым)
20=2Д Пусть f—непрерывная, неотрицательная и интегри-
руемая на функция. Тогда
2о
lim. \
h-*oo J
(если Qo— пустое множество, предел этот равен нулю).
Доказательство. Приведём каждому множеству в соответствие
внутреннее сеточное множество так, чтобы имело место неравенство
/ dv— f dv < .
Ф(^)
Составим открытые множества Qk — ^k— Ф^+1^. Нетрудно видеть, что
открытое множество совпадает с суммой Q0 + ^i+ ••• +^ь+... Па
основании следствия из теоремы 5 <
f dv^\^ f dv-\- f d v 4- ... + f dv + ...
2i 2o Qfk
Но, в силу выбора Ф^+1> и замечания 5,
^fdv~^fdv— f dv f dv— +
ф^-Ь1) 2,1+1
и, значит,
+ fdv— + + Q fdv— fdv-Y^^ + ...=
SJq Sj £?2 S*2 ^3
— / dv-}- lim f dv— / dv^ +~ f
20 Й1
90
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[Л. VI
откуда
lim \ / \ / dv + 4-.
k~>со J .)
Утверждение теоремы следует теперь из того, что, очевидно,
В этом параграфе рассматривались только неотрицательные функции.
В § 4 мы покажем, что интегрирование знакопеременных функций сводится
к интегрированию неотрицательных функций. Это будет доказано для
интеграла, понимаемого в более общем смысле, а именно, для интеграла
Лебега, частными случаями которого являются интегралы от непрерывной
функции на открытом (§ 2) и замкнутом (§ 3) множествах.
§ 3. Интегралы по ограниченным замкнутым множествам
от непрерывных функций.
Перейдём теперь к определению понятия интеграла от непрерывной
функции по ограниченному замкнутому множеству. Естественно сделать
это следующим образом. Пусть функция f определена на некотором огра-
ниченном замкнутом множестве F и непрерывна на нём. Заключим F в не-
которое открытое множество. Пусть нам удалось непрерывным образом
продолжить функцию / на открытое множество 2 и / оказалась интегри-
руема в этом множестве. Образуем ещё открытое множество 2 — F. Тогда,
по определению, положим:
fdv — fdv — / dv.
F 2 Q-р
Однако в этом определении остаётся ещё много невыясненного. Не ясно,
во-первых, всегда ли можно непрерывно продолжить функцию / и полу-
чить при этом интегрируемую функцию и, во-вторых, неизвестно, приводит ли
подобное определение интеграла к однозначному результату.
Для того чтобы выяснить корректность нашего определения, мы дока-
жем сейчас несколько вспомогательных предложений.
Пусть /—какая-нибудь неотрицательная функция, непрерывная и ин-
тегрируемая в открытом множестве 2V Далее, пусть 2 содержится в 2Ъ
a F — замкнутое множество, заключённое в 2. Мы будем иметь:
2 + (21 —^)^2г, ! Отсюда, на основании теоремы 4, / dv-]- / dv = 2 21—F и, значит, fdv — f dv — 2 2—F Q(Q1__ji) = 2 — F. = / dv + f dv 2X 2—F f dv— fdV. 2i Qi—F
§ 3] ИНТЕГРАЛЫ ПО ОГРАНИЧЕННЫМ ЗАМКНУТЫМ МНОЖЕСТВАМ 91
Пусть / неотрицательна, непрерывна и интегрируема в открытых мно-
жествах и 22, а Положим 2 = 2Х22. По доказанному
с/г— f dv =
Q—F
f dv— f dv = f dv-- f dv.
Si Sj-F S2 22-F
Мы получили важный результат:
Разность
у f dv— у f dv
2 2—f
не зависит от выбора открытого множества 2.
Лемма 2. Пусть непрерывная функция f обращается в нуль в точ-
ках некоторого ограниченного замкнутого множества F, лежащего внутри
открытого множества 2; тогда
\^fdv— \ fdv.
2 2—f
Предположим сначала, что множество 2 ограничено.
В силу сказанного выше (см. стр. 86, Замечание 2)
f dv^
dv.
(**)
Q—F
Рассмотрим открытое множество 2g тех точек, в которых / < е, где
е—малое положительное число. Пользуясь ограниченностью множества 2
и, значит, всех 2S, мы видим, что
lim f dv = 0.
е-->0 J
На основании следствия из теоремы 4
/ dv / dv 4- fldv
2 2—F 2е
и, значит,
/ dv / dv.
2—F 2
Сопоставляя это с (**), получим доказываемое
В общем случае представим множество 2 как
ограниченных открытых множеств 2fe. Переходя
в равенстве
утверждение.
сумму расширяющихся
к пределу при к —> оо
fdv = f dv,
Qk~F
получим утверждение леммы.
92
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[Л. VI
Если две функции /г и /2 совпадают во всех точках замкнутого мно-
жества F, то для них имеет место равенство
fYdV— f2clv— j2dv.
2 2—j? 2 2—F
В самом деле, из леммы 2 следует равносильное равенство
2 2—F
Доказанное утверждение означает, что определённый выше интеграл
от функции /, непрерывной на замкнутом множестве F. по этому множе-
ству не зависит от способа продолжения / вне F. Пам остаётся ещё уста-
новить возможность такого продолжения.
Лемма 3. Рассмотрим открытое множество Q с границей С. Пусть
F — замкнутое множество, лежащее в множестве Q-f-C. Пусть на F
задана некоторая непрерывная неотрицательная функция /. Тогда в
можно построить непрерывную неотрицательную функцию ср, совпадаю-
щую с f в точках F. 11ри этом наибольшее и наименьшее значения ср
равны соответственно наибольшему и наименьшему значению f.
Как было показано на стр. 84, каждая точка Р области У, не прина-
длежащая F, находится на конечном положительном расстоянии о (Р)
от множества F. Построим шар радиуса В с центром в данной точке Р
и рассмотрим максимальное значение функции / в этом шаре.
Пусть
max / = Мр (В).
R
Если точек F внутри этого шара нет, то будем считать Мр (В) — 0_
Мр (В)— монотонно возрастающая и, следовательно, интегрируемая в обыч-
ном смысле слова функция переменного В1).
За функцию ср можно взять, например,
26(Р)
= \ Mp(R'>dR-
' 6(Р)
В точках множества F положим ср(Р) — /(р).
Докажем, что при таком определении ср (Р) будет непрерывной. В самом
деле, в точке Р1? отстоящей на расстоянии & > 0 от какой-нибудь точки РОл
множества F, значение этой функции заключено между
min / (Р) и max / (Р),
г' < 38 г Зо
причём шар радиуса Зо берётся с центром в точке Ро, и, следовательно,
/ (Р2) стремится к / (Ро) при & —> 0 в силу непрерывности /.
Для двух точек Рг и Р2, не являющихся точками F, отстоящих одна<
от другой на величину h, имеем:
МР2 (В) < МР1 (В р /г) и о (Р2) < S (PJ + h.
г) См., например, В. И. Смирнов, Курс высшей математики, т. 1,а
стр. 282. Изд. 11-е. Л. — М. 1948.
3 3] ИНТЕГРАЛЫ ПО ОГРАНИЧЕННЫМ ЗАМКНУТЫМ МНОЖЕСТВАМ 93
7 • 1ЧЛ) ЧЛЛ
Будем считать h < mm j-Ay2- ; —J » Т0ГДа
26 (Pi) 26 (^2)
5 MPi{R)clR-r^-} 5 MP1^dR<
8 (Pi) s (р2)
28 (Pl) 2о(Р1)-2Л
<s(A) \ 5 MPl(R-*)J«=
6 (Pl) S(^l)+/1
26 (Pj)—3/i 26 (Pt)
PV) \ Mp,Wdll+^ \ MPi(B)dR-
‘ 8 (Pi) 1 26 (Pi)—ЗЛ
28 (Pi)-3?i 28 (Pi)-3h
Ч/у-и \ Mpi dyz==z (pj [d (pj+/г] мР1(Я)б/лч-
5 (PX) 6 (Pi)
26 (Pi) 26 (Pi)
+ г~(Р7) Mpi dR^ ТМЛР" MPi(R)dB +
26 (Pi)—3h 6 (Pl)
26 (Pi)
1 C khM
28 (Pi)-3/i
где M = max f > Mp (R).
При достаточно малом h эта величина сколь угодно мала и, значит,
при любом заданном е > 0 для достаточно малых Л имеем ср (Pi) — ср(Р2) < е-
Но точки Pi и Р2 равноправны, поэтому справедливо также неравенство
ср (Р2) — ср (Рг) < г. Отсюда следует непрерывность ср (Р), и лемма доказана.
Заметим, что случай, когда функция / принимает значения разных
знаков, легко свести к предыдущему, рассматривая вместо / функцию/ +с,
где с—положительное достаточно большое постоянное число.
Понятие интеграла по замкнутому множеству нами, таким образом,
обосновано. Мы доказали одновременно, что всякая неотрицательная функ-
ция /, непрерывная на ограниченном замкнутом множестве F, интегри-
руема на этом множестве,
В самом деле, если воспользоваться, на основании теоремы Вейерштрасса,
ограниченностью функции /, то прямое применение леммы 3 устанавливает
интегрируемость /. Для таких замкнутых множеств, как параллелепипеды или
сеточные множества, паше определение интеграла, очевидно, полностью сов-
падает с обычным определением интеграла Римана для непрерывных функций.
Справедлива следующая
Теорема 7. Пусть F} и F2 — ограниченные замкнутые множества
и f—неотрицательная, непрерывная на каждом из них функция. Тогда
fdv-р fdv — fdv+ fdv.
Fi Е’2 F1+F2 F1F2
Эта теорема легко сводится к теореме 4, если заключить ^i + ^2 в
область Q и обозначить 2 — Fi = 2i, 2—F2 — 22. Принимая во внимание, что
Q1 + 22 = Q-Ft^2, 2iQ2 = Q-(Fi + F2),
94
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[Л. VI
получим:
f dv — / dv— f dv;
Fl 2 21
/ dv— f dv— f dv;
Г]++2 2 SjQg
fdv=^fdv— f dv;
F% 2 22
/cfa—f dv— / dv.
F1F2 2 21+22
(VI.3)
Из формул (VI.I) и (VI.3) и следует наша теорема.
Теорема 8. Пусть —сужающаяся последо-
вательность ограниченных замкнутых множеств. Обозначим через FG
их пересечение: FG — FAF2 ... F^ ... Пусть f—некоторая неотрицательная
непрерывная функция на FA. Тогда
Доказательство этой теоремы сводится к теореме 5 из предыдущего
параграфа, если продолжить / па открытое множество Q, содержащее
и положить 2^ — 2—Ffr. Тогда, полагая ещё
Qo = ^-4 ^2 + • • • ~Ь &k 4“ • • •,
мы будем иметь:
f dv — f dv — f dv (Л=1, 2, ...).
Fk Q Qk
Пользуясь теоремой 5 из § 2 и переходя к пределу, докажем наше
предложение.
Теорема 9. Если пересечение сужаюгцейся последовательности
открытых множеств й3 ^Q2 5 ••• 2 &k — ••• есть замкнутое множество F:
и если /—некоторая неотрицательная непрерывная функция, интегрируемая
на L!3, то
\ j dv — \m \ f dv.
В самом дело, пусть
Q' = Qf F,
а « 7
тогда
/ dv= / dv— / dv.
2 г О '
/с 2/г
Переходя к пределу в обеих частях равенства и замечая, что
lim \
fc-»oo J
sk
§ 3] ИНТЕГРАЛЫ ПО ОГРАНИЧЕННЫМ ЗАМКНУТЫМ МНОЖЕСТВАМ 95
в силу теоремы 6, ибо пересечение Qk пусто, получим
k->co J
sk
что и требовалось доказать.
Заметим, что любое замкнутое множество F всегда можно представить
как пересечение вложенных друг в друга открытых множеств dlh. В самом
деле, за 2 можно взять множество точек, расстояние которых до замкну-
того множества F меньше, чем где е^-^0 при к~>сс. Очевидно, что пере-
сечение таких множеств 2^ будет содержать только точки, расстояние
которых до F равно нулю, и, следовательно, будет совпадать с замкнутым
множеством F.
Теорема 10. Пусть Fy ^F2S~ ••• с F^C....—расширяющаяся по-
следовательность замкнутых множеств и пусть сумма их Е ограничена и
является замкнутым или открытым множеством. Пусть /—неотрицатель-
ная функция, непрерывная на всех F^ и Е, интегрируемая на Е1). Тогда
Г С
\ j dv— lim \ / dv.
•) h->oo J
E Fh
Теорема сводится к предыдущей в случае: открытого множества E—Q,
если перейти к рассмотрению открытых множеств — F^, и к тео-
реме 6, если множество E — F замкнуто.
Рассмотрим теперь частный случай / = 1.
Будем называть интегралы
dv и dv
a F
соответственно лебеговой мерой открытого множества Q или замкнутого мно-
жества F. Меру открытого множества £2 или замкнутого множества F мы
будем обозначать соответственно
тО. или mF.
Все доказанные выше теоремы об интегралах, будучи применены к слу-
чаю / = 1, сразу дают аналогичные теоремы о мере открытых или замк-
нутых множеств. Мера является естественным обобщением объёма. К свой-
ствам меры мы ещё вернёмся.
Для применений важное значение имеет следующая
Теорема И. (О среднем значении.) Пусть Е—открытое
или ограниченное замкнутое множество, на котором функция f непрерывна.
В случае, когда Е—открытое множество, будем егцё предполагать, что
Е имеет конечную меру и f на Е интегрируема. Пусть всюду на Е выпол-
нены неравенства
M^f<M2,
где Mlf М2—постоянные. Тогда
МртЕ <1 f dv М2тЕ.
Е
Доказательство этой теоремы совершенно очевидно: оно получается
из того, что
(f-MJdvX), (M2—f)dv>0.
Е Е
х) Требование интегрируемости функции / не является дополнительным
ограничением, если Е—замкнутое множество.
'Об
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[Л. VI
§ 4. Суммируемые функции.
Переходим к рассмотрению общей теории интеграла Лебега.
Пусть / — произвольная неотрицательная функция, заданная в ограни-
ченном открытом множестве £2. Рассмотрим все замкнутые множества F,
на которых / непрерывна, и определим верхнюю грань интегралов от /,
взятых по множествам F:
Будем называть эту верхнюю грань, если опа существует и конечна, вну-
тренним интегралом по множеству У от функции / и обозначать
(вп) /(d®).
2
Понятие внутреннего интеграла приобретает особое значение в тех
случаях, когда функция / измерима.
Функция j, заданная в некотором ограниченном открытом множе-
стве У, называется измеримой на множестве У, если сугцествуют замкну-
тые множества F^ с мерой, сколь угодно близкой к мере У, на которых у
непрерывна'. mQ— пгЕ'^^Ъ, где о— любое положительное число.
Если неотрицательная измеримая функция / в открытом множестве У
имеет внутренний интеграл, то опа называется интегрируемой, или сум-
мируемой, в смысле Лебега по области У, а внутренний интеграл от неё
называют просто интегралом или интегралом Лебега. В этом случае мы
будем пользоваться обычным обозначением интеграла.
Замечание. Если функция / измерима на ограниченном открытом
множестве У, то она измерима и на всяком открытом множестве У', це-
ликом содержащемся в У.
Для доказательства достаточно взять за множества F'e пересечения
множества Fe с внутренним сеточным множеством Ф', принадлежащим
исчерпывающей системе для У'.
Следствие. Если функция / суммируема по ограниченному откры-
тому множеству У, то она суммируема и по открытому сё подмножеству У.
Замечание. Легко доказать, что сумма и произведение двух изме-
римых функций измеримы.
Как мы докажем далее, интеграл Лебега обладает рядом весьма важ-
ных свойств, чрезвычайно упрощающих пользование им. Следующий про-
стой пример показывает, что для неизмеримых функций внутренний инте-
грал даже тогда, когда он существует, не обладает важнейшими свойствами
обычного интеграла.
Рассмотрим функцию /, положительную в открытом множестве У
и имеющую там внутренний интеграл, ио не измеримую. (Можно доказать,
что такие функции существуют.)
Ввиду неизмеримости функции / замкнутые множества, где / непре-
рывна, имеют меру, существенно меньшую, чем mQ, т. е. sup mF = а < mQ.
Очевидно, замкнутые множества непрерывности для / и /4-1 будут одни
и те же. Для любого из них имеем: (/4-1)^—fdv~mF (см. Заме-
F F
чапие 3 па стр. 87).
Отсюда
\ (/4-1) dv = \ fdv-VmF <sup \ fdv + a
J J Fi J
F F Fi
§ 4]
СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
97
и
(вн) (/ 4-1) dv (ви) j fdv-\-a.
2 2
Следовательно,
(вн) (/4-1) dv =#(вн) / dv 4- (вн) 1 dv,
2 2 2
так как (вн) ldv = mQ > а.
2
Последнее неравенство означает, что для внутреннего интеграла от
неизмеримых функций не выполнено, вообще говоря, свойство аддитивности.
Лемма 4. Пусть f—-измеримая неотрицательная функция в огра-
ниченном открытом множестве Q и пусть F& — некоторая система замк-
нутых множеств, на которых f непрерывна, таких, что
mQ — mF* < в.
Если существует конечный предел
lim \ fdv,
е~>0 J
F
е
то функция / суммируема, и этот предел равен fdv.
2
Если хотя бы одно из этих утверждений оказалось неверным, то имело
бы место неравенство
lim \ f dv < sup \ fdv,
е~>0 3 f J
F6 F
так как, но определению, либо sup\ f dv = co, либо sup \ f dv= \ fdv.
F .) F •’ J
F F 2
Мы могли бы, следовательно, указать такое замкнутое множество Fo,
чтобы при любом е > 0 имело место неравенство
/ dv — / dv > > О,
Fq Fz
причём / непрерывна на Fo, а т] не зависит от е. Положим F^ = F0F&. Уси-
ливая предыдущее неравенство, получим:
/ dv — / dv т] > 0.
Fo pf
Л 8
7 с. Л. Соболев
98
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[Л. VI
Функция / па Fo ограничена. Пусть При этом
fdv— fdv=-[ (/—М) dv— (f-M)dv^+M(mF0-mF[).
ро Р'е Ро
Но выражение в фигурных скобках, очевидно, неположительно и, следова-
тельно,
Но в силу теоремы 7
mFQ — m^'=m(F0 + ^e)— mFe < е,
и мы получаем:
2
Следовательно, наше предположение неправильно. Лемма доказана.
Следствие. Пусть в ограниченном открытом множестве 2 задана
расширяющаяся система замкнутых множеств
,
причём mFfo^mQ — где > О при к—> 0. Пусть /—неотрицатель-
ная измеримая функция, непрерывная на всех F^. Если интегралы
fdv
Fh
ограничены одним и тем же числом А, то функция f суммируема в 2
и интеграл от неё выражается формулой
f dv = lim \ / dv.
Jl->co J
Fk .
Это следствие непосредственно вытекает из леммы, если принять во вни-
мание, что неубывающая ограниченная последовательность величин
f dv
Fk
имеет предел.
Теорема 12. Пусть f суммируема и неотрицательна в ограничен-
ном открытом множестве 2. Тогда для всякого е > 0 существует такое й(е),
что коль скоро 2gC2 и mQ§ < Б, имеет место неравенство
/ dv е •
2§
Предположим обратное. Тогда найдутся такое число £0 > 0 и открытые
множества со сколь угодно малой мерой
?n2g < В,
для которых
/ dv^ s0- (VI.4)
§ 4]
СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
99.
С помощью открытых множеств Й5 можно построить сужающуюся пос-
ледовательность открытых множеств й^, для которых mQk < —> (р
при к —> со и выполнено неравенство (VI.4). Для этого достаточно, напри-
мер, выбрать из й5 какую-то последовательность множеств Й8 так, чтобы»
mQs < KTTf- и положить Qk--~ 2 ^s- П° следствию теоремы 5 получим
&* ’ s=k
1 1
mQk < 2^, так что можно считать Пусть Fk—расширяющаяся
система исчерпывающих множеств для f в й, причём m(Q— Fk) < Тогда
замкнутые множества Fk = Fk— Qk обладают тем свойством, что
mFk mQ— 2^.
Это следует из того, что
й- Г^С(Й — Fh) + Qk
и, значит,
т (й -Fk) « т (й- Ff{) + mQk < 28fe.
На основании следствия из леммы 4
При этом для достаточно большого к
/ dv > / dv—.
F* S
h
С другой стороны, внутри множества Qk можно найти такое замкнутое
множество Fk*, на котором f непрерывна и для которого
По построению Fk не* имеет общих точек с Fk . Тогда функция / непрерывна
на замкнутом множестве F^-J-Fk , причем
fdv> dv+~- .
F*+F** 2
Это, однако, невозможно, так как
F
F
/ dv. Полученное противо-
речие доказывает теорему.
Доказанное нами свойство, имеющее основное значение, называют абсо-
лютной непрерывностью интеграла Лебега. Оно полностью характеризует
зависимость интеграла Лебега от множества, по которому происходит интегри-
рование. Впоследствии мы неоднократно будем пользоваться этим свойством.
х) Систему замкнутых множеств Fs, лежащих в Й, будем называть
исчерпывающей для / в й, если функция / непрерывна па каждом Fg и
если для всякого о>0 найдётся такое Fs, что т(й—Fs)<b. Термин
«исчерпывающая (интеграл)» оправдан доказываемой теоремой.
7*
too
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[Л. VI
Займёмся теперь более подробным выяснением зависимости интеграла
Лебега от иод интегральной функции.
Лемма 5. Если функция f2 измерима и неотрицательна, a сумми-
руема, причём
то и функция j2 также суммируема и, кроме того, имеет место нера-
венство
f2dv^ Д dv.
У 2
В самом деле, рассмотрим расширяющуюся систему замкнутых мно-
жеств на которых непрерывна функция Д и мера которых удовлет-
воряет неравенствам
mQ— е,
а также аналогичную систему для функции Д. Мера множеств
= как вытекает из теоремы 7, будет стремиться к mQ:
mF^ mQ— 2е.
Мы имеем
Д Л dv Д dv.
FW) F(3) 2
е е
Последовательность
i-idv
J
7?(3)
Е
не убывает, ограничена и, следовательно, имеет предел. На основании
леммы 4 функция /2 суммируема. Переходя к пределу, убеждаемся в спра-
ведливости написанного выше неравенства для интегралов от Д и Д.
Теорема 13. Если Д и /2 неотрицательны и суммируемы в Q, то
и их сумма суммируема, причём
/1 dv+ \^dv. (*)
а а а
Построим F^ и F^ так же, как в предыдущей лемме. Функ-
ция Д + Д будет, очевидно, непрерывна на F^ и, кроме того,
</i+/2)rf®= 5fidv+ 5(vL-,)
р(3) р(3) /?(3)
е ее
Правая часть имеет пределом Д«/г + f2dv. Следовательно, левая
у 2
часть имеет предел.
Применяя лемму 4, убеждаемся в интегрируемости Д 4- Д и справедли-
вости формулы (*).
До сих пор мы рассматривали лишь интегралы от неотрицательных
•функций, непрерывных по открытым и замкнутым множествам, а также из-
меримых по ограниченным открытым множествам. Перейдём теперь к ин-
СУММИРУЕМЫЕ ФУНКЦИИ
101
§ 41
тегрированию знакопеременных функций. Пусть / — функция, могущая
принимать как положительные, так и отрицательные значения. Положим
г=41|/|+/ь
/-=уЧ/|_Л-
Функции /* и — называются соответственно положительной и отрица-
тельной частями функции f. Функция /* совпадает с функцией / в тех
точках, где / положительна или нуль, и равна нулю там, где / отрица-
тельна. Напротив, равна пулю в тех точках, где / положительна, и
равна — / в точках, где f отрицательна или пуль. Очевидно,
/=л-/-
Если функция / непрерывна на замкнутом множестве F, то обе функции
и также будут непрерывны на этом множестве. В самом деле, если точка Р
принадлежит F и в ней / положительна, то / будет положительна во всех
точках множества F, достаточно близких к Р. При этом в окрестности
точки Р функция /+ будет совпадать с / и, следовательно, будет непрерыв-
на. Точно так же доказывается непрерывность f~ в точках, где / отрица-
тельна. В точках, где /=0, обе функции и также будут непрерывны,
так как, например, значения при стремлении точек Р^ к Р по F будут
либо совпадать со значениями / в этих же точках, либо будут равны
нулю, но, во всяком случае, будут стремиться к предельному значению,
равному пулю. Отсюда следует
Замечание. Если функция / измерима в открытом множестве 12, то
обе функции /+, также измеримы в 12.
Интеграл от функции / по открытому или замкнутому множеству Е мы
определим формулой
f dv — f* dv— f~ dv.
E E E
Функция f называется суммируемой, если суммируемы f* и f~. Из этого
определения следует
Теорема 14. Если функция f суммируема в ограниченном открытом
множестве 12, то какова бы ни была система ограниченных замкнутых
множеств F%, на которых / непрерывна и таких, что
mF§ > mQ — о, о —> 0,
имеет место равенство
\ j dto = lim \ / dv.
Для доказательства достаточно заметить, что
f dv-- /* dv— /“ dvt
Гб F<>
и перейти к пределу.
Докажем теперь ещё одну лемму.
Лемма 6. Пусть функция f, измеримая в открытом множестве
представлена двумя различными способами в виде разности не отрицатель-
102 КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ [Л. VI
ных суммируемых функций’.
и /=/з—fi-
Тогда имеет место равенство
Л dv— /2 dv= /3 dv— /4 dv,
2222
В самом деле, равенство, которое требуется доказать, равносильно
соотношению
/1^+^ f±dv=^ fzdv+^ f3dv,
2 2 2 2
которое немедленно следует из теоремы 13, если принять во внимание, что
/1 +/4“/2 + /з-
Лемма доказана. Из этой леммы следует, между прочим, что, каким бы .
способом мы ни представили / в виде разности двух неотрицательных
суммируемых функций, имеет место равенство
/1 dv— /2 dv~ /+ dv-^ f~ dv,
2 2 2 2
Для измеримой функции суммируемость и существование интеграла
от абсолютной величины функции равносильны.
Действительно, если существует интеграл от |/|=/++/~, то по лемме
5 будут суммируемы каждая из функций /+ и Обратно, если сумми-
руемы и то по теореме 13 суммируема и функция |/|.
Замечание. Пусть с—произвольная постоянная, /— суммируемая
в открытом множестве Q функция. Тогда
cfdv = c / dv.
2 2
Справедливость этого замечания почти очевидна. Чтобы убедится в этом,
надо воспользоваться аналогичным свойством интегралов от знакопостоян-
ных функций.
Из предыдущего замечания вытекает следующее важное общее свойство
интеграла Лебега.
Пусть f2, ..., Д— суммируемые функции, а а±, a2t ..., а^ — произ-
вольные постоянные. Тогда
(«1/1 +«2/2 + ••• dv^ar /3 dv^a2 f2dv + ... + ak fk dv.
2 2 2 2
Эта формула доказывается полной индукцией.
Отметим ещё одно свойство интеграла Лебега.
Теорема 15. Пусть функция / суммируема, а функция измерима
и ограничена, причем
Тогда произведение f<? будет суммируемо и
I \ fydv\<M \f\dv.
2 2
§ 5] НЕОПРЕД. ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ ЮЗ
В самом деле, | /ср | М | f |. Функция М | / | суммируема, значит, и | /<? |
суммируема, причём
I С I С г
| /<р dv j | /<р | dv М | / | dv.
2 2 2
§ 5. Неопределённый интеграл от функции одной
переменной. Примеры.
Если f (х) — суммируемая функция в промежутке 0 < х < 1, то она, оче-
видно, будет суммируема и в любом промежутке 0 < х < у, где
Интеграл
v
F (у) = ^ / (я) dx
О
называется неопределённым интегралом.
По самому определению меры изолированная точка имеет меру нуль.
Поэтому интеграл по открытому промежутку 0 < х < у равен интегралу,
взятому по любому из следующих полуоткрытых и замкнутых промежутков:
0<^ж<т/, 0<ж<??/, Q^x^y.
Это оправдывает обозначение
у
/ (х) dx
О
и позволяет утверждать справедливость равенства
Ъ с с
/ (ж) dx Ч- / (ж) dx = / (x}dx
а Ь а
для любой суммируемой функции / (ж).
Докажем теорему.
Теорема 16. Производная от неопределённого интеграла равна
подинтегралъной функции во всех точках непрерывности этой функции.
В самом деле,
у+ъ,
У
Обозначим через mjt и Mjt соответственно нижнюю и верхнюю грани
функции /(ж) в промежутке у О <; у 4-7г при &>0 и в промежутке
У 4- h х у при h < 0.
Тогда
и, следовательно,
UmWA>-'LM=/(!,).
h->0 h
что н требовалось доказать.
104
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[Л. VI
Измеримая функция может не быть суммируемой.
Рассмотрим некоторые примеры.
Пример 8. Функция / = —, где R =
измери-
ма в шаре R < 1. В самом деле, если исключить из этого шара внутренность
малого шарика, R Я 1 то в оставшейся части / будет непрерывна. Эта функция
будет суммируема в случае а > 0. Для того, чтобы доказать это, заметим, что
k~ 1
С С dx1...dxri^
) ’ J Rn~~а ' т ’
• 'Ti==0
2к
где
Сделаем в замену переменных (i = i, ..., п). При этом
гд«
откуда
что и требовалось доказать.
Пример 9. Функция /=—— , где г= (xt — • • • + (^™
измерима в 2п-мерной области 0 < ^ < 1; 0 < у\ < 1 (i = l, ..., п). Она
будет суммируемой при а > 1.
В самом деле, если исключить из этого куба множество г е, то /
в оставшейся части будет непрерывна. Объём исключённой области, как
легко видеть, есть малая величина порядка гп. Суммируемость / при а > I
устанавливается, как в примере 8.
Пример 10. Функция / в кубе vG, — 1 < х^ < 1 (г = 1, ..., п), прини-
мающая значение единица в точках, все координаты которых рациональны,
и пуль во всех остальных, суммируема.
Все рациональные точки могут быть перенумерованы числами натураль-
ного ряда.
Действительно, пусть координаты какой-либо положительной рациональ-
ной точки выражаются дробями
Ра Ръ Рп
<71 ’ 02 ’ ’ “ ’ ’
Выпишем подряд 2п целых чисел р19 р2, .. рп, qlf q2l ..., qn- Каждой
рациональной точке отвечает много таких комбинаций целых чисел, так как
НЕОПРЕД. ИНТЕГРАЛ ОТ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Ю5
одно и то же рациональное число можно представить в виде различных
сократимых дробей. Однако каждой комбинации 2п целых чисел отвечает
только одна вполне определённая рациональная точка. Все такие комбинации
можно перенумеровать подряд при помощи последовательности нечётных
чисел. Для этого выпишем сначала целочисленные комбинации, сумма эле-
ментов которых равна нулю (их, очевидно, будет конечное число), затем
единице, двум и так далее. Таким образом, все положительные рациональные
точки будут занумерованы, причём каждой из них будет отвечать бесчисленное
множество различных номеров. Для того чтобы сделать нумерацию взаимно
однозначной, надо при последовательной нумерации точек выбрасывать уже
занумерованные. Что касается отрицательных рациональных точек, то мы
их включим в нумерацию при помощи последовательности чётных чисел.
Каждую из рациональных точек
Р2, ..., Pk, ...
можно заключить внутрь некоторого шара с центром в данной точке
1
так, что mS/X ’
Сумма = Qj + Qfe + ... будет открытым множеством с мерой
и поэтому сколь угодно малой. Исключим из куба г>0 те точки, кото-
1
рые отстоят от границы менее чем на Обозначим оставшееся замкнутое
множество через v^. Замкнутое множество Ft — vt— 2^ имеет меру, сколь
угодно близкую к мере г0. На нём / непрерывна и равна пулю. Следовательно,
^ ... ^ /</« = 0.
— 1
Нам часто придётся рассматривать функции, заданные в неограниченной
области 2.
Рассмотрим систему шаров R < 7V, и пусть 2^ обозначает часть откры-
того множества 2, лежащую внутри этого шара. Неотрицательную функ-
цию f мы будем называть измеримой в 2, если она измерима в любом 2П,
и суммируемой в 2, если интегралы
fdv
SjV
ограничены в совокупности. Тогда по определению
\ fdv = lim \ fdv.
J 7V->co J
2 2дг
Интегралы от знакопеременных функций определены на стр. 101. Для
таких интегралов справедливы все обычные свойства, которые мы перечислим:
1. (/1 + /2) dv^ /1 cfo-J- /2 dv;
2 2 2
2. af dv = a fdv:,
2 2
3. j <?/ dv j <1 max | <p | | f | dv,
2 2
106
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[Л. VI
•причём из существования правых частей этих соотношений вытекает и суще-
ствование левых частей. Доказательство этих свойств получается очевидным
образом путём предельного перехода.
1
Пример 11. Пусть f =-----—-, R —
R1 -t-a
xf в области R > 1. Функ-
i— 1
1Ция /, очевидно, измерима в 2. Она будет суммируемой в 2 при а > 0.
В самом деле,
•где
Положим
тогда
или
что и требовалось доказать.
Из примеров 8 и И следует, между
С С dxA... dxn
\ ... \ —1----— и
J *J
прочим, что интегралы
dxi.. .dxn
стремятся к нулю при Б —> 0.
§ 6. Измеримые множества. Теорема Егорова.
Имея в виду дальнейшее изучение свойств суммируемых функций, введём
теперь понятие измеримого множества. Пусть 2— ограниченное открытое
множество, а Е—какое-нибудь заключённое в нём точечное множество. По-
строим характеристическую функцию ЧЕ(Р) для множества Е, т. е. функ-
цию, равную единице в точках Е и нулю вне Е.
Если функция %Е (Р) измерима (и, следовательно, суммируема ввиду огра-
ниченности (Р) и 2), то множество Е называется измеримым, а интеграл
tE(P) dv
называется мерой Е и обозначается тЕ.
ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА. ТЕОРЕМА ЕГОРОВА
107
§ 6]
Нетрудно проверить, что в случаях, когда Е—открытое или замкнутое
множество, новое определение меры совпадает с рапсе данным (см. стр. 95),
ибо тЕ в этих случаях строится точно так же, как и раньше.
Если множество Е измеримо, то и множество 2— Е измеримо. В самом
деле, если измерима функция %Е (Р), то будет измеримой и функция
1 —(Р) = %q_e (Р). При этом
т (2 — Е) — [1 — %Е (Р)] dv — mQ— тЕ.
2
Для любых двух измеримых множеств справедлива формула
+ Ч (Р)^^1+Е2 (^) + Ч^2 (р)- <VL6)
Далее, %Е1Е2 — ’ Очевидно, £E1E9JP) измерима и, следовательно, изме-
рима + Мы видим, что сумма и пересечение двух измеримых мно-
жеств всегда измеримы.
Теорема 17. Для того чтобы множество Е, лежащее в открытом
множестве 2, было измеримым, необходимо и достаточно, чтобы суще-
ствовала последовательность замкнутых множеств Fk, заключённых в Е,
и открытых множеств 2/,, содержащих Е, таких, что
m (2/г— Р^)—>0 при >оо.
Доказательство. Предположим, что функция %Е (Р) измерима.
Тогда можно указать замкнутые множества Ек с мерой, сколь угодно
близкой к m2, на которых %Е (Р) непрерывна. Каждое такое множество Ек
распадается на два подмножества без общих точек:
где F^1 = FhE> F^ = F]l — E. На F^ функция (Р) равна 1, а на Ffp
она равна нулю.
Каждое из множеств, как легко видеть, будет замкнутым. В самом
деле, предельная точка для последовательности точек Рп из Е^ есть точка
множества Fk и, следовательно, принадлежит одному из множеств Е^ или
Е<£\ Однако она не может принадлежать Е^\ так как в этой точке функ-
ция £е(Р) была бы разрывна па Р/г, что противоречит выбору Р/г. Таким
же образом доказывается замкнутость Е^.
Мы имеем по условию
тЕк~тЕ^ > mQ— Ък,
где Ok —» 0. Отсюда
mP^4-m2—т (2— Е(^) > mQ— Ък
или
т (Q-E^)-mE^ < Ък.
Множества Е^ и (2 — Е^) и суть то множества, существование кото-
рых утверждает теорема.
Обратно, пусть существуют множества Ек и Qk, обладающие указанным
в теореме свойством. Мы можем всегда заменить множества Qk на миоже-
108
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(Л. \1
ства 2/** такие, что множества 2— 2^* будут замкнутыми. Для этого при-
соединим к множеству 2& множество 2*, состоящее из тех точек множе-
И
1
ства 2, расстояние которых от границы С множества 2 меньше у . Оче-
видно, m2* —> 0 при >оо и поэтому, если положить 2k* = 2^4-2*, то
к k
разность т2ь —будет попрежнему сколь угодно мала при достаточно
большом к. Множество 2—2/<* будет замкнутым как разность между зам
кнутым множеством 2 — 2* п открытым множеством 2^4-21.
k h
Легко убеждаемся, что функция %Е(Р) непрерывна па Fh и на 2- 2j£*.
Следовательно, она непрерывна на множестве Р\Н-(2— 2k*), так как функ-
ция, непрерывная па двух замкнутых множествах, непрерывна на сумме этих
множеств. Оценим меру этого множества, обозначив его Ф^. Очевидно,
Фл = Fh + (Й - йГ)« Q - (2;Г—Fk)
Далее,
mQ=m [<>fc4-2fe* — Fk]^m&k + m (2k*- по-
следовательно,
mOft > m2— Sfc, где > 0 при 7с —> оо.
Таким образом, Ее (Р) непрерывна на замкнутых множествах Ф/, с мерой,
сколь угодно близкой к мере 2, и, следовательно, измерима, что и требо-
валось доказать.
Нетрудно доказать, что если множество Е измеримо, то
тЕ " sup mF = inf m2,
F й
где F—замкнутые множества, содержащиеся в /?, а 2—открытые множества,
содержащие Е.
Пусть Е—измеримое множество, а /—суммируемая функция в 2. Опре-
делим интеграл от / по множеству Е формулой
tE(P)f(P)dv.
Е S
Легко видеть, что это определение не зависит от выбора открытого мно-
жества 2, содержащего множество Е. Если множество Е заключить в какое-
нибудь другое открытое множество, величина интеграла останется прежней.
Это определение равносильно прежнему для тех случаев, когда E=F
есть замкнутое множество, на котором функция непрерывна, и когда Е = 2
есть открытое множество, где функция непрерывна. В самом деле, пусть
—замкнутые множества без общих точек, на которых Е^ (Р) не-
прерывна и принимает соответственно значения единица или нуль, причём
mF^ + mF^ > m2 — В, о —> 0.
Существование таких множеств установлено при доказательстве тео-
ремы 17. Если E--F— замкнутое множество и / непрерывна на Ft то за
ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА. ТЕОРЕМА ЕГОРОВА
109
§ 6]
множество F^ можно взять само множество F. Тогда па основании теоремы 14
[ %Е(Р) f (Р) dv — lun. f (Р) f (Р) dv = / dv.
J 8—>0 J J
s F(O,F(2) F
6 6
Если E=Qq— открытое множество и Фг— система исчерпывающих мно-
жеств для / в Йо, то множества F^ можно заменить на Фе, ибо
[а - (Ф6 + F <2>)] С [2 - (F<‘) + /if’)] + (у0- Ф8)
и, значит,
т [Й -(Фг + /Н2>)] < т [Й - (FtV + ^(2))] + т (Qo_ (1>g) < 26.
Таким образом, ‘1’г + будет исчерпывающей системой для функ-
пии %Е(Р) f (Р). Отсюда
U(P)/(P)^ = lim tE(P)f(P)dv=
J о->0 J
“ *г+И2)
— НтД ^Е (Р) f (Р) (/v = lim / (Р) dv — \ f dv,
8->0 .) " 8->0 J J
Ф§ &?о
что и требовалось доказать.
В силу формулы (VI.6) имеем:
/ dv-V fdv — }dv-\- fdv.
Ei Е‘2 /S14-JE2 Е±Е%
В частности, для / = 1 получим равенство
тЕ14- тЕ2 = т (ЕТ 4- Е2) 4- (PiP2) •
Если для некоторого множества Е существуют такие содержащие его
открытые множества 2fe, что infm2^-=0, то согласно сказанному выше
тЕ = 0. Обратно, всякое множество меры нуль может быть заключено
в открытое множество сколь угодно малой меры.
Теорема 18. Если функция f отлична от нуля лишь на множестве Е
меры нуль, то интеграл этой функции по открытому множеству 2 ра-
вен нулю.
В самом деле, пусть F^—исчерпывающая система замкнутых мно-
жеств для /, а 2&—система открытых множеств с мерой, стремящейся
к пулю, содержащих Е. Мера замкнутых множеств ФЙ==Р^— 2^ будет стре-
миться к мере 2, так как 2 — Ф^ = (2— Р^)4-2^; отсюда m(Q — Ф^) •<
т (2—4-/n2ft —> 0. Таким образом, система замкнутых множеств Ф&
будет исчерпывающей. Утверждение теоремы следует из того, что для этой
системы все интегралы
fdv
Ч
равны нулю.
Следствие. Если две суммируемые функции Д и /2 отличаются одна
от другой лишь на множестве точек меры нуль, то
\ Л dv== \ /2 dv.
2
2
110
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[Л. VI
В самом деле,
| Л /2 dv j = | (А — /2) dv <
2 2 2 2
| /1-/2 1^ = 0.
Мы будем говорить, что некоторое утверждение имеет место почти
всюду, если оно имеет место для всех точек, кроме, быть может, точек не-
которого множества Е меры нуль. Как было показано выше, если две функ-
ции совпадают почти всюду, то интегралы от них равны и равен нулю
интеграл от модуля их разности. Такие функции мы будем называть
эквивалентными.
Рассмотрим ещё один вопрос, важный для дальнейшего. Пусть Е—не-
которое измеримое ограниченное множество, и пусть —расширяющаяся
система замкнутых множеств, принадлежащих множеству Е:
F(i1} с F^ с F^} с ... с F^ с ...
Систему F^\ состоящую из множеств
F^ С F^} С F^ С ... С ...,
мы назовём внутренней по отношению к F^\ если
для любого F^
можно*
что F^CF^
п — пк
указать такое множество
Условимся при этом писать:
F^<^F{i} или FW^>F^\
(Соотношение не исключает F^<^F^.) Из F^^>F^ и F^^>F^
следует F^^F^.
Лемма 7. Пусть дана последовательность расширяющихся систем
замкнутых множеств на множестве Е:
рв) Т?(2) р(3) ^ ...
и таких, что
lim(mZ?—mF^)=0, S=l, 2, ...
k—>eo
Тогда существует система F^\ внутренняя по отношению ко всем
F^ и такая, что опять lim (тЕ--mF^) ~ 0.
/г-» со
Докажем эту лемму. В каждой системе F^ выберем такое множества
Р^ = Е^*9 что
тРЕ > пгЕ-E .
Пусть
— p(h)* . р(т)*
Очевидно, что
F^ С F^ С ... с F^ С ...
Множества F^ суть замкнутые множества.
Нетрудно видеть, что система F^ является внутренней по отношению’
к любой из систем F^s\ Это следует из того, чтодля любого-
§ 6]
ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА. ТЕОРЕМА ЕГОРОВА
111
Остаётся показать, что lim mF^=mE. Имеем
/г->оо
mF — mF^p ^т(Е — Гт*) + т (E—F(k+1>*) + ... + т (Е—F<’l+m>*') +•••<
<1+.А_+ = _1_
^2k 2fe41 2k-1 ’
множества
откуда и следует наше утверждение. Лемма доказана.
Следствием этой важной леммы является
Теорема 19. Последователъностъ функции fx, f2, • ••» непре-
рывных на замкнутом множестве F, сходящаяся всюду на F, сходится-
равномерно на каждом множестве из некоторой системы замкнутых мно-
жеств F§, таких, что
lim mF % = mF.
О—>0
Для доказательства этой теоремы рассмотрим замкнутые
F^ (£)> обладающие тем свойством, что на них
\ !т,у I £
для любых т± > к и т2 > к.
Каково бы ни было е, каждая точка F принадлежит хотя
^(е). Следовательно,
Кроме того,
Л (£)CF2 (s)C,..(ZA\ (е)С...
Применяя теорему 10, будем иметь:
lim mF;, (е) = mF.
k—>со
Рассмотрим последовательность систем F^, состоящих из
бы одному
...
Применяя лемму 7, убеждаемся в существовании системы F (со), внутрен-
ней по отношению ко всем F^. На любом множестве F^ последователь-
ность /1, /2, ••• сходится равномерно.
В самом деле, F^ лежит внутри некоторого F^ для любого (£) и,
значит, мы получим:
I fm. 1 < ПРИ W1 > т2 > nS'
Теорема доказала.
. Из этой теоремы непосредственно следует основной факт теории изме-
римых функций.
Теорема Егорова. Сходящаяся почти всюду последовательность
измеримых в ограниченном открытом множестве 2 функций /х, /2, ..., /&, ...
имеет своим пределом измеримую функцию.
Действительно, выделим замкнутые множества F^_, на которых Д непре-
рывна, так, чтобы иметь
В
mQ—mEft< •
112
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
(Л. VI
На множестве
F0 = F,F2 ...Fk...
все функции /1? /2, ... непрерывны.
Подсчитаем меру FG. Мы имеем:
mF0 — lim. F]lf
k—>co
mF[ — mFtF2 — m (F} -f- F2) — mF 2 mQ - mF2 ,
mE\F2 — m FrF2F3 — m (F1F2 4- F s) — m F3 C mQ — mF3 <1 и т. д.,
откуда
rnFxF2 ... Fk mF 1 - • ~ = mQ — (mQ - mF J > mQ - --
и, следовательно,
g
mF0 mQ —.
Из сходимости последовательности Д, ..., Д, ... почти всюду следует
существование замкнутых множеств Fz таких, что mF* > mQ— ~ , на кото-
рых она сходится. Тогда F* = F0Fs обладает свойством
mFs mQ — о.
На основании теоремы 19 последовательность Д, ..., Д, ... сходится
равномерно па множестве FgCFs, таком, что
mFt—mFs < Ъ.
Отсюда mFs>mQ— 2о и, следовательно, функция
/о = КтД
/г—>оо
непрерывна на множестве F§ с мерой, сколь угодно близкой к mQ, т. е. являет-
ся измеримой, что и требовалось доказать.
Пользуясь теоремой 19, можно доказать следующую важную лемму.
Лемма 8. Если неубывающая последовательность суммируемых функ-
ций flt f2, ..., fh, ... в ограниченной области Q обладает тем свойством, что
fk dv < А,
2
m. е. если интегралы от её членов остаются ограниченными, то после-
довательность f2, ..., Д, ... сходится, почти всюду и имеет своим
пределом суммируемую функцию
Ит А = /о
It->оо
и, кроме того,
lim \ fk dv== \ fQ dv.
h->oo J J
2 2
§6]
ИЗМЕРИМЫЕ МНОЖЕСТВА. ТЕОРЕМА ЕГОРОВА
ИЗ
Лемма будет доказана, если мы установим существование таких замкну-
тых множеств Ft, па которых все Д непрерывны, последовательность ftl
равномерно сходится, и притом т (Q — F*) < 8, где 8 — любое положитель-
ное число.
В самом деле, при этом предельная функция /0 будет непрерывна на
всех множествах F^ и будет выполнено неравенство
fodv^A.
4
На основании леммы 4, /0 будет измеримой и суммируемой на Q
функцией. Замкнутые множества F*~ образуют исчерпывающую систему
для /0 и поэтому
\ /0 dv = lim \ /0 dv^ А.
J о-*0 J
Наконец, каково бы ни было с > 0, при достаточно большом к будем
иметь
\ dv < /0 dv < fk dv + s,
Ft Ft F't
и, следовательно,
fhdv^ /0^< fkdvAz.
2 2 2
Значит,
\ fQdv~ lim \ fa.dv,
J /t—>oo J
a a
что и требовалось доказать.
Докажем существование множеств, обладающих указанным свойством.
Рассмотрим сначала случай, когда Д 0.
Введём в рассмотрение функции
<pfe = arctg/fe.
Очевидно, <pjt будет неубывающей ограниченной последовательностью. По-
этому ф/j сходится всюду на 2.
Обозначим
к—^со
Из рассуждений, приведённых при доказательстве теоремы Егорова, мы
видим, что существуют замкнутые множества F^
т<.1—mF§ < о,
на которых сходимость равномерная и ф0 непрерывна.
Пусть F'- — замкнутое множество тех точек Fs, для которых
фо= На Ft функция ф& равномерно стремится к и, значит, /& — tg ф&
равномерно стремится к оо. Следовательно,
т^б = 0,
8 с. л. Соболев
114
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[Л. VI
иначе мы имели бы
А^—>ОО,
что, очевидно, невозможно.
Заключив Fs в область 2§, такую, что
mQg <
положим
Очевидно,
mF* > — т^б > — 2S.
На множествах F* последовательность равномерно сходится к предел},
7С
отличному от —, и, значит, Д равномерно сходится к конечному пределу.
Лемма доказала.
Если Д—знакопеременная функция, то достаточно рассмотреть по-
следовательность
fh fn
и доказательство сводится к предыдущему.
§ 7. Сходимость в среднем суммируемых функций.
В качестве примеров применения доказанных выше теорем приведём
несколько предложений о свойствах меры.
Теорема 20. Пусть на ограниченном открытом множестве Q
задана последовательность измеримых множеств Elf Е2, ..., Е^, ....не
имеющих попарно общих точек. Тогда сумма этих множеств
^0 = + ^2 + • • • + P'k + • • •
измерима и
со
tyiEq^ 2 тЕ\.
i l
Действительно, пусть (Р) есть характеристическая функция множе-
ства Ei. Положим
3 ii (Р).
г=1
Каждая из функций ф8 суммируема по теореме 13, как сумма конечного
числа суммируемых функций. Последовательность ф8 является неубывающей
последовательностью, которая сходится к характеристической функции
множества Ео, т. е. к Кроме того, так как множества
не имеют общих точек и, следовательно, не может быть двух функций
(Р), отличных от нуля в какой-либо точке. На основании только что
доказанной леммы функция £0 (?) = Ит ф8 суммируема и
S~*oo
S со
So (?) dv~ Ит 5(2 мл)^=2 5ih(P}dv-
2 S >О° 2 k=l Q
§ 7] СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ Ц5
Отсюда и следует наша теорема.
Следствие 1. Если Ех, Е2, • Е^ ...—произвольная последова-
тельность измеримых множеств, лежащих в ограниченной области Q, и
Eq=Ex + Е2 + — + Е^ + • • • 1
то Ео измеримо и
со
тЕ0^. тЕ^.
h=l
Действительно, множество Ео можно представить в виде
Е, + (Е2 - EJ + [Е3 - (Е\ + Я2)] + ... + [Ek - (Ег + Е2 + ... + Z^)] + ...
Каждое из слагаемых, очевидно, измеримо, все они попарно не имеют общих
точек и
т [Ek (Е± + Е2 + ... + пгЕ^.
Отсюда и вытекает паше утверждение.
Следствие 2. Сумма последовательности множеств меры нуль
Eq = Е1 -J- Е2 4~ ... -|- Еь mEfa — О,
является также множеством меры нуль.
Следствие 2 непосредственно вытекает из следствия 1.
Мы доказали выше, что если функция / обращается в нуль почти
всюду, то интеграл от неё равен нулю. Сейчас мы докажем теорему, в не-
котором смысле обратную для этого утверждения.
Теорема 21. Если интеграл от неотрицательной суммируемой
функции f по ограниченному открытому множеству равен нулю, то
функция f равна нулю всюду, кроме, быть может, некоторого множе-
ства точек Е меры нуль.
Для доказательства рассмотрим расширяющуюся систему замкнутых
1
множеств Fk, на которых функция / непрерывна, причём т (Q — F^) < »
Множество точек Eq, принадлежащих открытому множеству S2, которые
не войдут ни в одно из множеств Fh, имеет меру нуль, так как оно может
быть заключено в семейство открытых множеств Q — F^, мера которых
стремится к нулю при к-^оо.
Множество Ф^ тех точек множества Е\, где есть» очевидно,
замкнутое множество. По условию теоремы
/ dv — 0,
сю
откуда следует тФ^ = 0, Положим E^—EqF 2 Множества Ф?г образуют
k=i
расширяющуюся последовательность. Всякая точка, в которой / > О, должна
войти или в Ео, или в одно из множеств Ф^, т. е. будет принадлежать
множеству Е. По доказанному выше тЕ = 0, что и требовалось доказать.
Теорема 22. Если функция f суммируема в открытом множе-
стве Q и если при любой непрерывной в Q функции ф имеет место
равенство
/ф dv — О,
Д16
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[Л. VI
то функция f удовлетворяет условию
^ | / | dv=^ О
2
и, следовательно, равна нулю почти всюду.
Докажем эту теорему приведением к нелепости. Если бы интеграл
| /1 dv был отличен от нуля, то по крайней мере один из интегралов
Q
/* dv, dv,
Q 2
сумма которых равна I /1 был бы отличен от нуля. Разность этих
а
интегралов равна нулю, ибо она равна интегралу от /. Следовательно, оба
интеграла должны быть отличны от нуля. Тогда существует замкнутое
множество F', на котором > 0 и, следовательно, причём для
этого множества
/* dv= / dv — h > 0.
Fr f'
Этот интеграл может быть записан в виде
f(P)tF,(P)dv,
а
где tF,(P)— характеристическая функция множества F'. По лемме 3 и по
определению измеримой функции (см. стр. 96) существует непрерывная
функция Xfc (Р)> значения которой заключены между нулём и единицей:
0 < Xfc (Р) <1, 0 < хь (P)-h' (р) < [>
И которая может отличаться от (Р) только на множестве сколь угодно
малой меры. При этом
$ / (Р) t~F, (Р) dv= р (Р) lh [Р) dv+^f (Р) [6F, (P)-Xfc (^)l dv.
Q Q Q
Но по условию теоремы первый интеграл в правой части равен нулю ввиду
непрерывности Xk(^)- Пользуясь ещё теоремой 15, получим:
I $ / (Л (P)-Xft (P)J dv | < I j (P) 1 dv.
В силу абсолютной непрерывности интеграла от | / (Р) | последний интеграл
становится сколь угодно малым вместе с мерой && и, следовательно,
не может равняться постоянному числу h > 0. Получилась нелепость,
опровергающая паше предположение. Теорема доказана.
Лемма 9. Любая непрерывная в открытом множестве Q функция
ф (Р), отличная от нуля лишь в открытом множестве Йф, лежащем
внутри Q вместе с границей, может быть со сколь угодно большой
точностью равномерно на Q приближена с помощью функции ф^ (Р),
§ 7]
СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
117
имеющей непрерывные производные любого порядка и отличной от нуля лишь
в открытом множестве Йд, состоящем из точек, расстояние которых до
меньше h. Здесь h—достаточно малое положительное число, зависящее
от желаемой степени точности приближения и от конфигурации Q и
Построим функцию ^h(P} по формуле
с
\ е’’2-'12 <|> (/>') dP'
(Р} = —----—-----------
cI'2-fl2 dP'
r<zh
где
Г = /(^1 —«о2 + (х2 —а;^)2+ ... +(ЖП—О2.
Функция фп(Р) неограниченно дифференцируема. В самом деле
обозначим:
7’2
er2~h2dP^=l(h)
и определим функцию о> (Р, Р') соотношениями
(Р, Р')=
Г2
1 ^2—Д2
. * W
Функция ф/t (Р) может быть записана в виде
фъ(Р) = Ф(Р')<*(Р, Pr) dPr,
2
В таком виде к ней применима теорема о дифференцировании по пара-
метру под знаком интеграла.
В самом деле, функция <» (Р, Р') имеет непрерывные производные"
любого порядка по координатам точки Р. Производные любого порядка
от w (Р, Р'), очевидно, существуют при г < h и г > h. Их предельные зна-
чения при г > h и г —> h будут все равны пулю. Нам нужно установить,
что и предельные значения всех производных от <о при г < /г, г ~> h тоже
будут равны нулю. Это следует из того, что любая производная от
порядка s будет иметь вид:
д5^ er%—№ f
дха^ ...дхап*~ (r*-h*Y Q(X1’ .....*«),
, г2
где Q- многочлен от своих аргументов. Но er2~h2 стремится к нулю бьР»
1
стрее, чем ———— стремится к бесконечности, и, значит,
1 • ^S<D Л
lim------------=0.
* r-*h дх®1 ... дхпп
118
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[Л. VI
Для разности <рд(Р)— «р (Р) имеем:
__г2
5 е’^=й[ф(р')-ф(р)]а?р'
фл (Р) -ф (Р)=-------------------------.
eri~h2dP'
r<^h
При достаточно малом h
|ф(Р')-ф(Р)| <е,
откуда по теореме о среднем
|^(Р)-ф(Р)|<е.
Лемма доказана.
Эта лемма позволяет пользоваться интегральным признаком обращения
функции в нуль в несколько ослабленной форме (см. теорему 22).
Пусть / суммируема в Q. Положим, что
/(Р)ф (P)dP = 0 (VI.7)
12
для всех функций ty(P), имеющих непрерывные производные любого
порядка и отличных от нуля каждая только в некоторой внутренней под-
области 2ф области 2.
Этого достаточно для того, чтобы утверждать, что
|/(P)|dP=0.
Й
В самом деле, если условие (VI.7) выполнено для всех неограниченно
дифференцируемых функций, то оно выполнено и для всех непрерывных
функций. Предположим противное. Тогда существует функция ф0 (Р), такая,
что
/(Р)Фо(Р)ЙР>е-
2
В силу леммы существуют функции фд(Р), сколь угодно близкие к Фо и
дифференцируемые неограниченно. Имеем:
5 /(Р)Фо(Р) dP=\f(P) фл (P)dP+^f(P)[^(P)-^h(P)]dP.
2 2 2
По условию первое слагаемое равно нулю. С другой стороны,
I \ / (Р) [фо (Р)-Фл (P)l dP | < max | ф0 (Р)-фл (Р) | | / (Р) | dP < е,
2 2
где е — произвольное положительное число. Мы пришли к противоречию,
доказывающему наше утверждение.
Для доказательства важной теоремы 23 нам потребуется следующая
Лемма о наибольшем и наименьшем пределах после-
довательности. Пусть xlf ж2, ..., яь, ... есть какая-нибудь ограни-
ченная последовательность вещественных чисел. Наибольшим пределом
СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
119
§ 7]
паследователъности {х^} называется такое число Y, что при любом s > О
среди чисел {^} найдётся лишь конечное множество таких, для которых
выполнено неравенство
хь> Y-j-e,
и бесконечное множество таких, для которых
xk > У—г.
Наименьшим пределом последовательности называется такое число у,
чго неравенство
< У — е
выполняется лишь для конечного множества чисел а неравенство
Xk < У + ^
имеет место для бесконечного множества чисел Если наибольший
и наименьший пределы совпадают, то, очевидно, последовательность
сходится и имеет только одну предельную точку. Принято обозначать
У — lim.Tk, • г/= lim aft-
Справедливы следующие формулы
lima?k — lim J lim max (а^, , (VL8)
>co t S->oo J
lim Xk = lim / lim min (xp .. (VI.9)
y~>oo t S-»oo J
В правых частях (VI.8) и (VI.9) оба предела имеют смысл. В самом
деле, при возрастании $ величины
= max (хр Xj+1, ..., x3+s)
не убывают, оставаясь ограниченными, и, следовательно, стремятся к неко-
торым пределам, которые мы обозначим z$. Величины z^ ограничены снизу
и не возрастают с увеличением /, так как z^ и, следовательно,
zff = lim z^ lim z^~~^
S—»OO s ->OO
Отсюда вытекает существование предела limz^.
J—>ОО
Докажем теперь справедливость формулы (VI.8). Каково бы ни было
е > 0, бесконечное множество чисел z^ будет удовлетворять условию
> lim^k — е
и, следовательно,
zff lim Xk>
С другой стороны, при достаточно большом / все z^ будут удовл< тво-
рять неравенству
z^ < lim Xk Ч-е.
Значит,
z^ ^limajft,
120
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[Л. VI
откуда и вытекает справедливость формулы (VI.8). Аналогично может быть
доказана формула (У1.9) для нижнего предела, которая, впрочем, сводится
к формуле (VI.8) заменой х^ на —х^.
Пусть дапа последовательность суммируемых в открытом множестве Q
функций /2, • • •» /ь • • • Исли для всякого е > 0 существует такое нату-
ральное число АГ —АГ(е), что при m, п > АГ (s). имеет место неравенство
I fm ' in | dv < s,
2
то последовательность {Д} называется сходящейся в себе. Справедлива
Теорема 23. Для всякой сходящейся в себе последовательности
/1, /2, fk* существует суммируемая функция /0, называемая обоб-
щенным пределом последовательности {//J и обладающая свойством’.
I/ft—при СО.
2
Доказательству этой теоремы мы предпошлём небольшое замечание.
Пусть /15 /2 — суммируемые функции. Тогда функция
/3 = тах(/1, /2)
также является суммируемой. В самом деле,
шах (Л, /2) = Л + (/2—Л) + -.
По из суммируемости /2 и /г следует суммируемость их разности /2— /х п
положительной части этой разности. Очевидно, что функция
шах (Л, /2, ..., /т),
где /2, ..., fm — суммируемые функции, также является суммируемой.
Докажем теперь теорему 23. Рассмотрим подпоследовательность ),
I k I
выбранную из последовательности {Д} таким образом, что
С 1
\ \dV<2h ПрИ *' > к'
2 1
Обозначим через Докажем, что последовательность почти всюду
сходится к некоторой суммируемой функции /0. С этой целью изучим Итф/,
и Нт Пусть
у</> = тах(фу, ф,+1,
Зафиксируем пока / и рассмотрим последовательность
v(>) -у О') VO)
Xi ’ Л2 » • • •’ Xs > • • •
Она является неубывающей последовательностью суммируемых функций.
С другой стороны,
'Р;<ХзЛ<^+1'1'Л1--'Р;1 + 1'Рл2-->Рл11 +•••+ |ф,+5—Ф/.s-il,
и, значит,
;+s ;+s—1
о< y'-pdv-^ | 2 I'k-'h-il} ,/i:< 3
2 2 2 7t=y+l k=j
§ 7J СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ
121
Следовательно, на основании леммы 8 последовательность {у^} имеет
почти всюду своим пределом некоторую суммируемую функцию у^\ при-
чём у^ фу и
° < Хо* dv-$ Ф? dv < •
2 2
Рассмотрим теперь последовательность у^\ у^2\ у^\ ... Она будет
невозрастающей, ибо у^ <у^'”откуда у^ ^Уо”1 2^- Интегралы от фу равно-
мерно ограничены снизу, так как
оо
i>j dv > фо dv— I Фй — Фй-1 I dv > ф0 dv— 2 фо’йС —1.
2 2 k=d 2 2 h=l 2
Следовательно, ограничены снизу интегралы от у(Д. В силу той же
леммы 8 последовательность у (У) почти всюду сходится к некоторой пре-
дельной функции /о и при этом
lim \ Хр‘> dv— \ /о <z®=lim \ I lSf>—fo I dv— J.
>оо J u J j-±co J u
J 2 2 2
Согласно лемме о наибольшем и наименьшем пределе последовательности
имеем
/0 = Итфд.
Покажем теперь, что /0 удовлетворяет требованию пашей теоремы. Мы
имеем
I ф/—/о I I ф;—I dv+ — \'dv.
2 2 2
Оба слагаемых в правой части последнего неравенства сколь угодно малы
при достаточно большом /. Отсюда
I Ф> — /о | dv < е при / > J (г).
2
Повторяя дословно те же рассуждения для функции
/о~Нт фь
получим:
I Ф/~/о I dv < е
2
и, значит,
I /о-/? I dv < | фу-/0 I dv+ I Фу-/* < 2s.
2 2 2
Следовательно,
|/о—/о |й« = 0,
2
122
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[Л. VI
и функции /0, fl совпадают почти всюду. Отсюда следует, что последова-
тельность имеет предел почти всюду.
Наконец, для любой функции первоначальной последовательности Д
будем иметь
I fk — fo I dv < | fh — ^j I dv+ I — /о | dv.
2 Й 2
Следовательно, каково бы ни было s > 0, можно указать натуральное число
7V (е) таким образом, чтобы при к > N (з) имело место неравенство
I fk~fo \dv < е,
2
что и требовалось доказать.
Ряд
оо
2 uk(P) (VI.10)
k=l
мы будем называть сходящимся в смысле Лебега, если существует сумми-
руемая функция и, обладающая тем свойством, что
N
lim \ \и—V Uh\dv = 0.
А->со J I I
2 k=t
Сходимость в смысле .Лебега влечёт, очевидно, возможность предельного
перехода под знаком интеграла. Ряд (VI. 10) мы будем называть сходящимся
в себе в смысле Лебега, если
m-f-p
2 uk f dv< г при т > N (г).
2 k=m
Теорема 23 может быть переформулирована для рядов следующим образом:
ряд, сходягцийся в себе в смысле Лебега, сходится в смысле Лебега к неко-
торой предельной функции.
Сходящийся в себе ряд можно умножить почленно на любую измери-
мую ограниченную функцию, и при этом его сходимость, очевидно, со-
хранится.
Т с о р е м а 24. Члены сходягцейся в себе последовательности f t, /2, ...,
fk, ... имеют равностепенно абсолютно непрерывные интегралы Лебега.
Иными словами, каково бы ни было £ > 0, можно указать такое число Ъ (е),
что как только мера открытого множества меньше Ъ, то для всех
функций fk будет справедливо неравенство
I fk ctol < е-
аг
Докажем эту теорему. Пусть дано положительное число е. Выберем N
таким образом, чтобы при к > N, т^> JV имело место неравенство
I fk—fm | dv < -®- .
2
§ 7] СХОДИМОСТЬ В СРЕДНЕМ СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ 123
Для любой Д из функций /2, •••» fy в силу абсолютной непрерыв-
ности интеграла Лебега мы можем указать такое Zk, что
I fk I dv < у ,
21
как только mQj < Ь/г. Возьмём в качество & (е) наименьшее из чисел оь &2, • • •
..., Вуу. Тогда при к N утверждение теоремы, будет выполнено в силу
выбора Ь (е), а для к > N выполнение его доказывается следующей
оценкой:
I fk dv | < | fk—fN | <Й>+ | fN I dv < у +y =s,
2i 2i
что и требовалось доказать.
Теорема 25. Для того чтобы последовательность {f^} была сходя-
щейся в себе в смысле Лебега в открытом множестве и, следовательно,
имела предел в смысле Лебега, достаточно, чтобы выполнялись два
условия'.
1. Последовательность {Д} сходится почти всюду к некоторой пре-
дельной функции f0.
2. Последовательность {//г} обладает равностепенно абсолютно не-
прерывными интегралами.
Доказательство. В силу леммы к теореме Егорова существуют
замкнутые множества F5 с мерой, сколь угодно близкой к мере Q, на кото-
рых сходимость равномерная. Выберем Б > 0 столь малым, чтобы иметь
I fk I dv < у,
»i
как только mQi < Ь. Далее, найдём такое N, что па множестве будет
иметь место неравенство
\fk-fm\ <3^Q>
как только к, т > N. Тогда при к > N и т > N будем иметь
l/fc—fm\dV= |/fe — fm\dv+ I/ft—/m|cfo<
2 2—F§ F§
< + —fm | dv < -y + -3 +-g- = e.
2—Fg 2—Fg F§
Значит, последовательность {Д} сходится в себе, что и требовалось до-
казать.
Следствие. Если последовательность суммируемых функций f%, ...
..., Д, ••• сходится почти всюду в открытом множестве Q к предельной
функции fQ и если функции fk по абсолютной величине не превосходят
некоторую суммируемую функцию ф, то существует интеграл
fo dv
2
124
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[Л. VI
и имеет место равенство
/0 dv — lim
к-»оо
fk dv.
(VI.ll)
В самом деле, из неравенства | Д | < ф вытекает равностепенная абсолют-
ная непрерывность, интегралов последовательности {//J и, значит, её сходи-
мость в смысле Лебега. Очевидно, предел её в смысле Лебега должен почти
всюду совпадать с /0. Возможность перехода к пределу под знаком инте-
грала, как мы уже отмечали, есть следствие сходимости в смысле Лебега.
§ 8. Теорема Лебега-Фу бини.
'Г е о р е м а Л с б е г а - Ф у б и н и. Пусть в кубе 20 (0<^<1, 0<yj< 1),
i — t, 2, ..., n; j = 1, 2, ..., m, задана суммируемая функция f (хг, x2i ...,
хл, У\-> •••, Ут) огп п-[-т независимых переменных. Рассмотрим некоторое
измеримое множество Е из 20 и пусть Е (уг, ..., ут) будет сечение
этого множества многообразием,
ух = const., ?/2 = const., •••♦ ym = const.,
m, о. множество точек, имеющих me же координаты
’ • * • > ХП у
что и точки (хх, ..., ха, ух, ..., ут) из Е при фиксированных уг, ..., ут.
Пусть Еу будет проекция Е на многообразие ух, ..., ут, т. е. множе-
ство всех то'чек, координаты уг, . .., ут которых таковы же, как у каких-
либо точек из Е.
Определим в кубе 0 < уу < 1 функцию
(уI, Ут) —
О вне Еу,
/ dxx ... dxri в Еу.
Е(у}, ут)
(VI.12)
Тогда:
а) Интегралы в правой части (VI. 12) существуют почти для всех
значений у19 ..., ут (т. с. для всех, кроме, быть может, точек некото-
рого множества меры пуль).
б) Функция (у1У ..., ут) есть суммируемая функция от перемен-
ных yt, ут.
в) yfdxl ... dxndyt ... dym = Ф(К) (Ук ,ym)dy1 ... dym.
E 0<у,<1
(VI. 13)
Без ограничения общности можно считать / положительной. Докажем
эту теорему сначала для случая, когда Е есть открытое множество 2,
а функция / непрерывна в 2. Построим систему сеточных множеств,
исчерпывающих 2. Очевидна формула:
f dxL ... dxndyt ... dym— ф(ф,,) {ylt .. •, ym} Луг ... dym. (VI.14)
8] ТЕОРЕМА ЛЕБЕГА-ФУБИНИ 125
Последовательность ф(ф?г) (ylt ..., ут) есть неубывающая при Л -> О по-
следовательность измеримых функций, таких, что
(?/1, • • •, Ут) dyA ... dym < ( j dxx ... dxn dyx ... dym.
O<^<1 . 2
На основании леммы 8 эта последовательность имеет почти всюду пре-
дел ф' (у19 ..., ут), так, что
lim ф(ф,1) (i/j, ..^т)=ф' (у,, ут)
h-+0
И
lim \ ф(Ф,,) (уг, ..ут) dyt ... dym= \ ф' (ylt ут) dyL ... dym.
h->0 J J
0<Vj<1 0<Уу<1
Но (yx, ..., ym) образуют исчерпывающую систему многогранников
для 2 (у19 ут)Т ибо любая точка О (ух, ..., ут) попадёт в один из
Ф/l (y'i, ..Ут), следовательно,
Ф (У1> 2/т)~ф^ ) (У1> •••> Ут)-
Переходя к пределу в (VI. 14), получим наше утверждение.
Замечание. Пусть мы рассматриваем систему областей й, 2Э Н2 Z) ...
.. - ZD Z) ... таких, что
lim m2/, =-0.
/1->СО
Тогда почти для всех ух, ..., ут будем иметь: m&k (ух, ..., ут) —>0 при &•—->со.
В самом деле, по доказанному:
mQk = mQk (ух, ..., ут) dyx ... dym.
0<Vj<i
Последовательность функций (ух, ..., ут)~^к (Vi> - *> Ут) моно-
тонна и ограничена; следовательно, она имеет предел во всех точках
Нт фь = фо(3/1> Ут)-
к—>со
На основании леммы 8 мы можем перейти к пределу под знаком интеграла:
lim \ dyx ... dym^ \ ф0 dyx ... dym= Ит
k~>co J J h~»oo
0<Vy<l 0<i/y<l
Следовательно, фо = 0 почти всюду. Наше утверждение доказано.
Рассмотрим теперь случай, когда Е есть замкнутое множество F, на
котором / непрерывна. Этот случай приводится к предыдущему, если
распространить f на весь куб Qo и рассмотреть открытое множество
<2 = —F. Очевидно,
/ dxx ... dxn dyx ... dym =
F
_ / dxL ... dxn dyx ... dym— f dxx ... dxndyx ... dym- (VI.15)
20 S
126
КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
[Л. VI
С другой стороны,
ф^ + ф^ф^о)
и, значит,
ф(7?) dy i ... dym =
0<Vj<i
= ^So) dyt ... dym- ^dy, ... dym. (VI.16>
0<Ду<1 0<?/y<l
Подставляя в правую часть (VI. 15) представление (т -{- тг)-кратных
интегралов через функции ф(2°) и ф(2) и пользуясь формулой (VI. 16), полу-
чим нашу теорему для этого случая.
Рассмотрим, наконец, случай, когда Е есть открытое множество 2,
а / — произвольная суммируемая функция. Общий случай измеримого мно-
жества Е можно легко свести к этому случаю.
Построим исчерпывающую систему замкнутых множеств для функ-
ции /. По доказанному
f с1ху ... dxndy1 ... dym = ф(Г/г) dy{ ... dym. (VI.17)
0<ду<1
Последовательность ф^Г^ есть возрастающая последовательность изме-
римых функций, таких, что
ф(Г/г) dyx ... dym < / dxx ... dxn dyx ... dym.
На основании леммы 8 она имеет почти всюду конечный предел ф', такой, -
что
11шф(Р^ = ф', lim \ ф(Г^ dyt ... dym = \ ф' dyx ... dym,
/г—>со J J
о<г/у<1 о<уу<1
Докажем, что
ф' = ф<с>.
С этой целью установим, что Е% (ylt у2, ут) образуют исчерпываю-
щую систему для Q (уг, у2, ..., ут) почти для всех уХ1 ..., ?/т.
В самом деле, мера 2 — сколь угодно мала при достаточно боль-
шом к. Следовательно, в силу замечания на стр. 125 почти для всех ух, ..., ут
lim т [2 (ylt у2, ..., ym)—Fh (ylt у2, ..., ?/т)] = 0.
к—>оо
Значит Fk(ylt у2, ..., ут) действительно образуют исчерпывающую систему
для 2(?/j, у2, ут) почти для всех ух, ..., ут и, значит, ф'= ф<2\
Предельный переход в формуле (VI. 17) доказывает теорему Лебега-
Фу бини.
Заме ч а и и е. Если функция
/ (а?!, ..., хп, ylt ..., ут)
измерима, 0 и если, кроме того, функция ф® существует и суммируема,
т. е. утверждение а) теоремы Лебега-Фубини выполняется и правая часть
§8]
ТЕОРЕМА ЛЕБЕГА-ФУБИНИ
127
формулы (VI. 13) имеет смысл, то функция / будет суммируемой и, следо-
вательно, теорема Лебега-Фубини справедлива в полном объёме. Тогда
имеет смысл и левая часть формулы (VI. 13), которая равна правой.
Это почти очевидно. В самом деле, если бы оказалось, что функция /
не суммируема, то интегралы
/ dxt ... dxn ttyt ... dym,
F
взятые по замкнутым множествам, на которых она непрерывна, могли бы
быть сделаны как угодно большими. Пусть интеграл, стоящий к пра-
вой части (VI. 13), равен А. Выберем замкнутое множество F так, чтобы
иметь
/ dxt ... dxn dy{ ... dym > A 4-1.
F
Построим функцию
fi = t(P)f(P),
где E,— характеристическая функция множества F. Тогда существует
и суммируема, причём
dy2 ... dym > Д + 1.
0<1/у<1
С другой стороны, очевидно,
^К)<ф(Е),
и, значит,
Ф1Е) dyr dy2 ... dym < ф(Е) dy) dy2 ... dym — A.
Получившееся противоречие говорит о том, что наше предположение ие
верно.
Из теоремы Лебега-Фубини вытекает ещё одно очевидное следствие,,
заслуживающее быть отмеченным: в повторном интеграле от суммируе-
мой функции можно менять порядок интегрирования.
ЛЕКЦИЯ VII.
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.
§ 1. Интегралы, равномерно сходящиеся при данном значении
параметра.
Пусть в замкнутой области D переменных , . .., хп задана
функция F (хх, ..., хп, X), зависящая от параметра л, значения
которого изменяются в промежутке
а < X < b.
Рассмотрим интеграл
ф(Х) = ^ .. . F (х17 .. ., хп, Х)б/ж1.. . dxn. (VII. 1)
Этот интеграл будем считать существующим в смысле Лебега.
Иными словами, мы предполагаем, что функция F (х±, ..., хп, X)
как функция точки . . ., хп) в /г-мериом пространстве станет
непрерывной, если мы исключим из замкнутой области неко-
торое открытое множество точек а сколь угодно малой меры
[в приложениях мы по большей части будем рассматривать случай,
когда F (хг, ..., хп, X) разрывна в точках, принадлежащих неко-
торым многообразиям меньшего числа измерений: в изолирован-
ных точках, на конечном числе поверхностей, линий и т. п.] и что
F (х19 . . ., хп, X) dxx... dxn ==
— lim F (ях, .. ., хп, X) dxj . . . dxn
по какому бы способу ни уменьшалось открытое множество а,
лишь бы мера его стремилась к нулю.
Мы будем говорить, что интеграл (VII. 1) сходится равномерно
при X = Хо, если для любого е > 0 можно указать такое число h (s)
и такую часть с (е) области Р, что
§ 1] ИНТЕГРАЛЫ, РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИЕСЯ 12<)
1. Функция F (х±, ..., жп, X) непрерывна по х19 х2, ..., хп, X
на замкнутом множестве D — а(е) при | X — Хо| < h (е).
2. Интеграл
• § И (ж1, х2> • • , хп> х) I dxi dx2... dxn
° (е)
меньше е для всех значений X из промежутка Хо — h (s) << X С Хо -|-
4~Л(е).
3. Область D — о (s) ограничена (это условие не нужно, если
область D ограничена).
Лемма 1. Равномерно сходящийся при Х = Х0 интеграл есть
функция от X, непрерывная в этой точке.
В самом деле,
I \ ’ ’ * ’ dx^. . . dxn
D
~ V Л ’Хп> х°)dx± dx,\
D
Хп, \)-F(xlt ...,хп, . cten| +
J D-a
,, ..., хп, XJ dxx ... dx^ +
H | P (xi, , xn> xo) dxi-. . dxn | <
G
< | P (Xl> > Xn> \)-P(Xl, • • • > xn> \>) I dxi • • • dxn +
J D-a
+ ^ • • • I P (Xl’ > xn> ^1) I dx!‘ • • dxn +
3
+ 5 5 Xn’ Xo)lrfa:l- • • dxn-
Выбрав а (з) и Л(е) такими, чтобы второе и третье слагаемые
каждое порознь были меньше у, а затем, взяв | Хх — Хо | столь
малым, чтобы для всех хг, . .., хп, принадлежащих области D —о,
имело место неравенство1)
| Л • • • > ^ч1) (^1» * • > *^n> ^о) I з (j) JJ" >
х) Это возможно, так как непрерывная на ограниченном замкнутом
множестве функция равномерно непрерывна.
9 С. л. Соболев
130
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
(Л. VII
где D — g означает меру (объём) области D — а, мы получим:
| к ... F (х19 ..., хп1 XJ dx±... dxn —
D
— к.. F {х19 ..., X) dxT... dxn | < s
D
Лемма доказана.
Интеграл (VII. 1), равномерно сходящийся при любом X из
некоторого промежутка, будет непрерывной функцией от X в этом
промежутке.
Если во всём этом промежутке можно указать одно и то же
а (е), не зависящее от X, то интеграл будет равномерно сходящим-
ся во всём промежутке в том смысле, как это обычно определяют
в анализе.
В некоторых случаях удобно соответственным образом обобщить
понятие о равномерной сходимости интеграла при данном значении
параметра на случай, когда параметром служит какая-нибудь точка
Р с координатами (а^, #2, ..., хп) в пространстве п-измерений.
Рассмотрим интеграл:
^ ... ^ F (xlf ..., xnJ P)dx19.. dxn. (VI 1.2)
D
Мы будем говорить, что этот интеграл равномерно сходится
в точке Ро, если для каждого е > 0 можно указать такую окрест-
ность h (е) точки Ро и такую часть а (е) области D, что:
1. Функция F непрерывна, когда Р находится в окрестности
/г(е) точки Ро, а точка Q с координатами (х19 ...,яп)—-на зам-
кнутом множестве D — a (s).
2. Интеграл | F , хп, Р) | dxt... dxn меньше е для
а
всех Р из h (е).
3. Область D —о ограничена.
Для этого случая также имеет место
Лемма 2. Равномерно сходящийся при Р = Р^интеграл есть
функция от Р, непрерывная в точке Р$.
Доказательство является повторением рассуждений предыдущей
леммы.
Часто применим следующий достаточный признак равномерной
сходимости. Пусть функция F (х19 х2, . .., хп, Р), заданная в огра-
ниченной области Z), удовлетворяет условию
\F{xl,...,xn,P)\<-^,
где а > 0 и А — некоторая постоянная. Через г обозначено рас-
стояние от точки Р (х19 x2i ...,хп) до точки Q с координата
§ 13
ИНТЕГРАЛЫ, РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИЕСЯ
1В
ми (х19 ..хп). Предполагается, что везде, кроме точек, где Р сов»
падает с Qy F непрерывно зависит от гг2, ..., хп, х13 .г2,... , жп.
Легко установить равномерную сходимость интеграла
F , хп, Р) dxt... dxn
D
я любой точке PQ, лежащей внутри D. Для этого достаточно взять
за а шар такого радиуса р, описанный вокруг Ро (черт. 10), чтобы
—dx.... dxn < е
».п—ос *
г<^2р
а за Л (е) — шар радиуса
Pi<p.
В самом деле, при этом
IV * ’ ’ Хп* &Х1 ‘ 5 ’ ’ ’ । &х** ‘ <
а а
< V A - dxn<el).
г< 2р Г
Очевидно, что в D — а и на её границе для точек Р из окрест-
ности h (е) функция F будет непрерывной функцией своих
аргументов. .
*) Очевидно, что шар радиуса г<2р с центром в точке Р будет содер-
жать шар а с центром (черт. 10), если точка Р отслоит от точки, Рр.-Ж
более чем на р, < р. ' л''V'A v ‘
132
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
[Л. VII
§ 2. Производная по параметру от несобственных
интегралов.
Пусть мы имеем интеграл
ф (X) = F (жх, ж2, ..., хп, X) dxt dx2. . . dxn
D
по области D, не зависящей от параметра X. В анализе часто
приводится формула
V ’' ’ Хп' dX1 ^Х“' ‘ ’ ^Хп
D
= ^dxidx2‘ ^n = ?(k),
D
справедливая в том случае, когда интеграл в правой части —
собственный. Нам полезно будет избавиться от этого предполо-
жения. Справедлива
Теорема. Пусть
а) Функция F (х^. . ., хп, есть первообразная по X функция
для f(xr, . .., a;n, X) в области I) переменных х^ х2, . . хп при
а^\^Ь, т. е.
я
Л’ (х1г xn,\) — F (®v я) = \ / (ж1; , .., хп, k) di.
а
при всех х1У х%,..., хп из D, кроме, быть может, некото-
рого множества меры нуль, (По большей части это множе-
ство будет состоять из отдельных точек, линий или поверх-
ностей.)
б) Функция j — суммируемая функция (п -f-1) переменного
(хг, ..., хп, X), т. е. (nJ- ^-мерный интеграл
ь
’ Хп' ' * * ^хп
i a D
существует при а^\^Ь.
! в) Функция
<р(к) = J /(жх, х2, .. ., хп, к)dx±... dxn
D
непрерывна при Х=Х0.
§ 2] ПРОИЗВОДНАЯ ПО ПАРАМЕТРУ ОТ НЕСОБСТВЕН. ИНТЕГРАЛОВ 133
Тогда справедлива формула
I = У С - Д Р xn,\)dx1... dx | =
Ок |л=Яо d\ J J ' 1 n 1 1 nU=^n
D
“ • • • у 4)• • • dxn.
D
Доказательство этой теоремы не представляет труда. По опре-
делению
Эк I л=Яо “
- lim ~ L . Л [F (xlf ..., хп,\ + h)—F (хг, .. .,хп, Хо)] с1хЛ... dx*.
h-o h J d J
Интеграл, стоящий в правой части, равен на основании
теоремы Лебега-Фубини (лекция VI) об изменении порядка
интегрирования (п-\- 1)-мерному интегралу
/ dx^ dx2. .. dxn d'K,
D
а этот последний интеграл представляется в виде
Ло+h
С V ’ ’ 5 ^Xi
Ао D
Пользуясь свойством неопределённых интегралов Лебега в
точке непрерывности подинтегральной функции (см. лекция VI,
теорема 16), имеем:
что и требовалось доказать.
Нам часто придётся пользоваться этой теоремой для тех или
иных интегралов. Мы дадим несколько простейших признаков
выполнения основного условия (б) этой теоремы.
Условие (а) обычно проверяется без труда.
Признак 1. Условия (б) и (в) теоремы 1 (VII) выполнены,
если интеграл
/ (жх, х2, ..хп,\) dx± dx2... dxn
D
равномерно сходится в замкнутом промежутке
и << X < Ь.
t34 ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА (Л. VII
Доказательства этого признака мы не приводим. Читатели
легко проведут его сами.
Признак '2. Если функция j (хХ1 . х2, ..., хп,к)(п>2)
непрерывна по всем своим аргументам везде, за исключением
гладкой непрерывной по X линии:
xi = ai (х)> ж2 == а2 (X), ..., жп = ап (X), (VII.3)
« <Х.<6,
и в окрестности этой линии удовлетворяет неравенству
| / (жп ж2, ..., хп, X) I < 4р-"+8,
где
Р== min 1/ S[^t —аДХ)]2, е > О,
У г=1
и если область D ограничена, то условие (б) выполнено.
Выделим из (п-|- 1)-мерной области
/ D
Iа<Х<6
линию (VII.3) с помощью области а0, в точках которой р < р0,
где р0 —постоянная. Интеграл
| / (х19 х29 ..., хп9 X) | dxt... dxn dk (VIL4)
D
a^A^b
будет сходящимся, если существует предел интеграла
^...^ \ f (х19 х29 ... 9xn9k)\dx1.., dxndk при р0 —>0.
Зтот предел существует, если при р0 —>0 интеграл
| / (жх, х29 ..., хп9 X) | dx-L... dxn dk
°о
стремится к нулю равномерно относительно X.
Мы имеем:
| f ^*2> • * • > | ^*^2 • • •
Ъ
< Ap~n*&dxt.. .dxn. '
а 0><р^рп
s 2J ПРОИЗВОДНАЯ ПО ПАРАМЕТРУ ОТ НЕСОБСТВЕН. ИНТЕГРАЛОВ 135
Но
V ' S р-П+Е dX1 ••dxr>== CnPo;
0<Р^РО
отсюда ясна сходимость исследуемого интеграла, а также равно-
мерная по параметру к сходимость интеграла
• Д / (Ж1» • • • > хп> Х) dxi • • • dxn-
D
Признак 3. Если область D не ограничена то, кроме
особенности, рассмотренной в признаке 2, нужно оценить поведе-
ние функции на бесконечности.
Сходимость интеграла (VII.4) обеспечена, если
IF (яп х2, ...» хп, X) | < Аг~п~е,
где __________________
е > О и г = + ж2 + • • • +
Читатель легко докажет справедливость этого признака.
ЛЕКЦИЯ VIII.
УРАВНЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА.
§ 1. Фундаментальное решение.
После того как мы рассмотрели некоторые задачи для уравне-
ний с двумя независимыми переменными, мы переходим к урав-
нениям со многими независимыми переменными.
Рассмотрим прежде всего уравнение
+ J + Ж У, Z, О, (VIII.1)
дх2 ду2 dz2 a2 di ' х ' v 1
определяющее температуру в точках некоторого однородного изо-
тропного тела.
Замена переменного I по формуле
t± = а2/
позволяет избавиться от коэффициента а2. Поэтому мы будем при
дальнейшем изложении считать а2, равным единице. Обозначая,
как и прежде, сумму вторых частных производных через Дм,
запишем уравнение распространения тепла в виде
= + (VIII.Г)
Это уравнение мы и будем решать.
Мы рассмотрим здесь задачу о распространении тепла в не-
ограниченной среде.
Будем решать для уравнения (VIII. 1') задачу Коши, т. е.
задачу об интегрировании уравнения (VIII. 1') при начальном
условии
и |f=o = ? (я, У, z). (VIII.2)
Это условие, как мы указывали в лекции II, означает, что
в начальный момент времени распределение температур в теле
известно.
§ 1]
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ
137
При этом существенную роль будет играть одно
шение однородного уравнения теплопроводности,
фундаментальным.
Рассмотрим функцию
Г2
частное ре-
называемое
где
(VITI.3)
8тс2 («о—О2
г = )/ (^о ~ х)2 + (Уо ~ У)2 + (zo - z)2-
Докажем несколько лемм относительно этой функции.
Лемма 1. Функция v удовлетворяет уравнениям
' v-£=0’ д»+1=°-
/о а с' d2V . d2v d2v Л
( Здесь Дог> обозначает-т + -^- + —2-. )
< дХд дуц 9zq 7
В самом деле, дифференцирование даёт
^!L _ ___________1_е~4 («о-о _|-С*»—*)*. е~4 «о-О
дх2 2 ® 2 1
0 16я2Оо—О2 32л2(г0—г)2
и аналогичные выражения для производных по у0 и z0, откуда
у2
, Q г2 ч---------
Д Т) — (__________*_I__-___\ е 4 (*о-О
(Г | 3 5 ‘ 3 7 е ’
\ 16тс2 (t0 — t)2 32k2(£0 — t)2/
и далее
\ 16тс2(го—02 32k2(z0— t)2'
что доказывает выполнение первого из уравнений (VIIL4). Вто-
рое получается из первого, если заметить, что функция зависит
только от разностей (xQ — x), (у0 —2/), (z0 —я), (^0 —Z), и, значит,.
d2v д2Т) dv dv
dx2 dx2 J dt0 dt
Лемма 2. При t0^>t имеет место равенство
v dx dy dz = 1.
138
УРАВНЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА
[Л. VIII
В самом деле, вводя полярные координаты г, 0 и <р, пользуясь
симметрией v и интегрируя по частям, получим:
4-оо 4-со 4-оо оо 2-гс тс
v dx dy dz = г2 dr v sin G dy =
—GO —CO —oo 0 0 0
oo r2 oo r2
= ----з e 4 (Zo-z) dr = -j--—rd (e 4 Wo-0) =
0 2n2(Z0—Z)2 7t2(ZQ—z)2 0
00 r2 +°o r2 +«>
= -j— ----z e 4 (zo~z> dr = —r- ( e 4 <zo~z> d--—T ——4= ( e-l2z/z.
11.) 1 ' 1 у ТС J
e2(^O”02 ° 7Г2"”00 2 (zo—02 ~°®
На основании хороню известной формулы имеем:
(VIIL5)
откуда и вытекает наша лемма1).
Лемма 3. Рассмотрим интеграл, взятый по какой-либо ко-
нечной области Й:
/ (^о жо» У о» 2о) —
\vdxdydz.
При tQ—1—>0 этот интеграл стремится к единице, если
точка (#0, ?/0, z0) лежит внутри области Й, и к нулю, если
точка (xQ, у0, z0) лежит вне этой области.
Сделаем замену независимых переменных, полагая
Ж Xq — tQ t Х±, У Уц — У1> 20 ^0 %1*
1) Доказательство формулы (VIII.5) можно, например, провести так:
4-оо 4-оо 4-оо 4-со 4-оо
e~'z2cZz^2= e~x2dx e~y2dy=^ e-(x24-i/2) dxdy =
—оо —оо — оо — оо —оо
оо 2п оо во
= t re~r2 dr dO = тс e~r2 d (г2) = — тсе~г2 = тс.
О 0 0 О’,
Следовательно,
-}-оо
e~z2 dz = ]f к.
— ио
?S i]
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ
139
При этом
/ (t0 - t, Хо, zo) = А 5 5 5 е" “14~ dxi dz!’
8л2 81
«где область интегрирования 2г в переменных х1, уи zr получается
из области 2 переменных х, у, z преобразованием подобия с коэф-
•фициентом подобия -у== из вершины (х0, yQ, z0) с последую-
V to—t
щим переносом начала координат в точку (xQ, yQ, zQ). При стремле-
нии — t к нулю эта область будет неограниченно расширяться.
Если точка (#0, г/0, z0) лежит внутри области 2, то область 2*
•будет расширяться во все стороны, в пределе охватывая всё про-
странство. На основании предыдущей леммы заключаем, что
в этом случае предел интеграла /(^0 —А #0, Уо> zo) будет равен
•единице.
Если, наоборот, точка (^о»^о»ио) лежит вне области 2, то
область 2Х при t0 — £—>0 будет расширяться, удаляясь при этом
ют начала координат так, что расстояние от неё до начала коор-
динат в системе х19 у19 z± будет возрастать неограниченно. В силу
сходимости интеграла от v по бесконечному пространству, установ-
ленной в предыдущей лемме, предел интеграла — я?0, Ум £о)
в этом случае равен нулю. Лемма доказана.
Лемма 4. Пусть F(x,y,z)— произвольная непрерывная и
ограниченная в некоторой области 2 функция (в частности, 2
.может совпадать со всем пространством). Тогда
е 44 F(x, у, z) dx dy dz = F (х0, yQ, z0), (VIII.6)
если точка (xb, y0, zQ) принадлежит области 2. В формуле (VIII.6)
стремление к пределу равномерное по отношению к (ж0, т/0, z0)
во всякой конечной области 2П лежащей внутри 2 вместе со
своей границей. Здесь предполагается, что $ стремится к нулю,
-оставаясь положительным.
Для доказательства составим разность
Г2
е F (х, у, z) dx dy dz —
fcV 8
r2
- F (жо. £/o, zo) -3-3 555 e~4'dx dy dz =
8Л2 8
=“415 Й e~Vi F (‘x> y'“ F ^°’ y°’ z°^dxdydz- (vin • 7>
8n2£2 a
140
УРАВНЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА
[Л. УШ
Второй член этой разности стремится к F (rr0, yG, zG) в силу лем-
мы 3 и притом равномерно. Для того чтобы доказать лемму 4Г
достаточно показать, что эта разность во всякой области
Уо> £о) равномерно стремится к нулю при £—>0.
Выделим точку (xG, yG, zG) шаром малого радиуса В. Пусть &
достаточно мало, так что при
I Iх, у, z) - F.(x0, у0, z0) I < ,
причём это неравенство выполняется равномерно для всех точек
(я0, ?/.>> zo) области 2V
Оценим разность (VIII.7), разбив интеграл в правой части
на два слагаемых, соответственно распространённых на шар
и на его внешность. Мы получим:
5 v [ F y> z) - F (ж0- Уо> zo).ldx dy dz =
= 5 v [С <ж> У’ Z) — F(xo> Уо> zo)]dx dy dz +
г <15
+ \ V [F (x, y, z) — F (ж0, y0, zo)] dx dy dz. (VIII.8)
Оценим первый из интегралов, входящих в (VIIL8):
у v dx dy dz = у .
Далее, в силу ограниченности F существует такая постоянная М
что
| F\
и, следовательно,
1 С С С
—з”з \ \ \ е У* z) — F (х0, yGt 20)] dx dy dz
r2
2M C С Г -Ь- , , .
—Уз \ \ \ е dx dy dz.
ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ
141
Заменяя переменные в последнем интеграле, полагаем
у = j/Eуи z = тогда г! = -у , и мы имеем:
Г? СО г2
2М С С С —у , , , м с 2 .
—з \ \ \ е 4 ахг dyr dzt = —== \ г{е 4 di\.
При достаточно малом $ этот интеграл меньше, чем ™, в си-
лау сходимости интеграла
со г2
r\e тdi\.
о
Отсюда и следует наша лемма.
Замечание. Вместо интеграла (VIII.6) можно рассмотреть
<юлее общий интеграл:
_Г2
е F (ж, у, z, В) dx dy dz, (VIII.9)
Ут zqj ?)
8^¥ 2
® котором подинтегральная функция F (х, у, z, В) зависит от па-
раметра £, непрерывна и ограничена при положительных зна-
чениях %:
| F (х, у, z, В) |<М.
Пусть
lim F (х, у, z, %) = F (х, у, z),
с-Н-0
(VIII.10)
причём F (х, у, z, $) стремится к F(x,y,z) равномерно в любой
ограниченной области 2Х, лежащей вместе с границей внутри 2.
Тогда
ПтФ (х0, у0, z0, е) = /’(ж0, у0, z„)
5ч-+0
«о всякой внутренней точке (х0, у0, zG).
В самом деле, рассмотрим разность
ФХЖО> Уо> го> 0---Тз V 45 F У' dx аУ dz =
8п252 Й
= -jj § е 4i [F (х, у, z, $) - F(x, у, z)]dx dy dz.
142
УРАВНЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА
(Л.
Разбивая этот интеграл на две части—на интеграл по шару
(^ —a?0)2-f-(y —t/0)24-(z —z0)2<3, который мы обозначим через
и интеграл по внешности этого тара, получим при достаточна
малом
-уз 5 5 5 е 45 У' z’ У' z^dx dy dz **
8nV ’
1*2
—Гз 5 s 5 e 44 dx dy dz<&
&uV °
где e —любое наперёд заданное положительное число.
Далее,
1
_з з
8я2£2
Г2
5 5 6 4 (х*’ & (х’ У’
а~0
2~а
Последнее выражение стремится к нулю (см. оценку в лемме 4)~
Следовательно,
lim Ф(^о,2/о,2оД)= lim
с->Ц-0 Е-^4-0
1
3 3
8гс2£2
Г2
е F (х, у, z) dx dy dz I ;
s J
но последний предел в силу леммы 4 равен F (я0, г/0, z0). Наше»
замечание доказано.
§ 2. Решение задачи Коши.
Перейдём к решению уравнения (VIII.Г). Пусть при t > 0 зада-
на некоторая функция и, имеющая непрерывные производные
до 2-го порядка включительно по пространственным координатам
и производную 1-го порядка по времени. Пусть как zz, так и её
первые производные ограничены во всём пространстве.
Применим формулу Грина (V.16) к функциям и, v для зна-
чений t из полуинтервала 0<7</0, причём за область интегри-
рования возьмём шар 2, ограниченный сферой S. Мы получим:
Щ(НДг>-г,ДМ)й2=^ (VIII.11)
§ 2]
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ
143
Далее, формула
to
о о О
как легко проверить, справедлива для любых функций и и
обладающих тем свойством, что интегралы
Й &
есть непрерывные функции t в промежутке 0 < I < Zo.
Сопоставляя эту формулу с (VIII.11), получим:
to
о а
to
О 0 8
Подставляя в тождество (VIIL12), справедливое при любых
и и г?, вместо и искомое решение уравнения (VIII. 1') и считая,
что v есть частное решение уравнения теплопроводности, опреде-
лённое формулой (VIIL3), мы в силу (VIII.2) и (VIIL4) будем
иметь:
to
OS 2
to
= - 5 5 vi (ж> У> z> 0 dQ } dt< (VIII.13)
о 2
tg 4-со Ч-оо 4-со
Отметим, что интеграл вида: \ \ vF (я, у, z, t) dQ j dt
0 —co —co —co
абсолютно сходится, если F (x, y9 z, t) —- непрерывная ограничен-
ная функция. В самом деле,
to
у>z> 016/2}
О 2
{555 max IF (x’y’z'
2
t) | Реш!
dl < max | F (x, y, z, t) [ z0..
144
УРАВНЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА
(Л. VIII
Мы будем пока предполагать, что / (х, у, 2, Z) и ср (х, у, z) —
непрерывные ограниченные функции.
Предположим ещё, что решение и (х, у, z, I) при t—>/0 стре-
мится к своим начальным значениям равномерно во всякой огра-
ниченной области.
Перейдём к пределу в формуле (VIII. 13), устремляя радиус
шара 2 к бесконечности. Интеграл по поверхности S при этом
обратится в нуль, так как по предположению решение и таково,
ди
что как и, так и ограничены, а е £ стремится к нулю бы-
стрее любой степени т при г—» со.
Мы получим, очевидно:
/о-0
+0
to 4-оо 4-оо 4-оо
dt.
В силу замечания к лемме 4
lim
непрерывность этого интеграла при Z — 0 очевидна; поэтому
4-оо 4-оо 4-со
и(ж0> Уо’ zo> U = \ ?(ж> У> z)v^=Qdxdydz —
--оо — со —оо
to 4-00 4-00 4-00
vf (х, у, z, t) dx dy dz} dt. (VIII.14)
0 —OO —00—00
Формула (VIII.14) даёт выражение для решения нашей задачи.
При выводе этой формулы мы предполагали, что решение задачи
существует. Поэтому нам необходимо проверить, будет ли функ-
ция и, определяемая формулой (VIII.14), в самом деле удовле
творять уравнению (VIII.2) и начальному условию.
Полезно заметить, что уравнение (VII 1.2), решённое нами для
t > 0, при начальном условии, заданном для t = 0, может совсем
не иметь решения для t < 0. Во всяком случае решение (VIII. 14),
вообще говоря, при этом перестанет иметь смысл.
Переходя к доказательству, установим сначала, что функция и,
заданная формулой (VIII. 14), имеет непрерывные производные до
§ 2] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ 145
некоторого определённого порядка. В самом деле, заменяя пере-
менные интегрирования:
— xQ, Ц = у — у0, £ = z — z0, = —
формулу (VIII. 14) можно переписать так:
(^о> Уо> ^о)
4-оо 4-со 4-со
= § «’(S, 'I, с, Zo) <р (я0 + £, Уо + 'Г], Zo Н) didt]d(,—
— ОО —оо —оо
to 4-00 4-00 4-00
— § \ V (?, 7], Ц т) / (^о + 5, Уо + V, Zo + C, Zo —т) di\ dt, dx,
О —oo —oo —oo
где
. 62+7)2 + ^
z7 (S, TQ, C, x) = —y-y-e ,
8^ 2
Эту формулу, как доказывается в курсах анализа, можно
дифференцировать по параметрам по крайней мере столько же
раз, сколько ограниченных производных имеют функции / и ср,
ибо интегралы от производных подинтегральной функции сходятся
равномерно. Мы будем предполагать, что функции / и ср обла-
дают необходимым числом непрерывных, ограниченных произ-
водных.
При / (х, у, 2, Zo) =0 формула (VIII.14) даёт:
С^О’ Уо> %0> ^о) ==
4-оо 4-со 4-со Г2
— \ е (х, у, z) dxdydz, (VIII.15)
2 2 —oo —-oo —oo
(
где через ux обозначено решение уравнения
л (А
удовлетворяющее условию
I £о=о “ Т (З'о» Уо) ^о)*
Из леммы 4 следует, что правая часть есть функция, кото-
рая равномерно во всякой ограниченной области стремится
к ?(^o>^o»zo) ПРИ Кроме того, нетрудно убедиться, что
интеграл этот можно сколько угодно раз дифференцировать
10 С. Л. Соболев
146
УРАВНЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА
(Л. VIII
по переменным у0, z0, t0, если только /0 > 0. Получим:
4-оо 4-оо 4-оо
= \ (V'- У’ z)dxdydz. (VIIL16)
—•©о —оо — ео
На основании леммы 1 из л. VIII видим, что иг (xG1 yQ, z0, tG) удовле-
творяет уравнению (VIII.Г) при / (х0, yQ1 z0, /о) = О, что и требо-
валось доказать. Единственность ограниченного гладкого решения,
т. е. решения, обладающего нужным числом непрерывных про-
изводных, вытекает прямо из тех рассуждений, которые привели
нас к формуле (VIII.14). Так, формула (VIII. 14) при / = 0 даёт
решение задачи.
Остаётся показать, что второе слагаемое в формуле (VIII. 14).
то-есть функция
to 4-оо 4-00 4-оо
О —оо —оо —со
удовлетворяет уравнению (VII 1.1) и условию и2 |;(F=o = 0. Отсюда
будет следовать, что функция и удовлетворяет уравнению (VII 1.1)
и начальному условию (VIII.2).
Введём вспомогательную функцию w, определив её при > г
равенством
4-со -J-оо 4’0°
w(х0, у0, z0, t0, t) = — \ \ \ vf(x, у, z, t)dxdydz. (VIIL17)
—оо —оо —©о
Функция w(xG, yG, zQt t) удовлетворяет уравнению
(VIIL18)
и условию
t<y(f9=«= — f{x0, yozo, t).
Функция u2 (xQ9 yQ, zQ. Zo) может быть выражена через w соот-
ношением
to
^2 (^0, Уо^ *0» ^о) = ^(^0» Уо? ^0? ^0> 0
б
По построению очевидно, что
W2 (^0> Уо> Z0>
§2]
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ
147
Составим выражение
Д0«2-^°. (VIII.19)
Дифференцируя и2 под знаком интеграла по я0, z0, получим:
«о
^0^2“ (#0, Уо> Z0> ^0» ^)dl.
b
Далее,
to
S^-WУа, v 01,_„ + $ ^^y'0’0 *
o
откуда
Мз = y> z> о>
что и требовалось доказать.
Вопрос о корректности постановки рассмотренной задачи Коши
сразу решается анализом формулы (VIII. 14).
Очевидно, что малые изменения ср или / мало влияют на решение.
Имеет место непрерывная зависимость порядка (0,0) (см. лек-
цию II, §2).
Пока что отметим одно важное обстоятельство.
Если свободный член уравнения (VII 1.1) равен нулю (это озна-
чает отсутствие источников тепла), то решение задачи Коши,
рассмотренное нами, есть функция, непрерывно дифференцируемая
сколько угодно раз по х0, у0, z0, вне зависимости от того, будет ли
иметь производные функция ср или нет.
Эта гладкость решений существенно отличает уравнение рас-
пространения тепла, например, от уравнения колебаний струны,
а значит, и от волнового уравнения.
В самом деле, уже решение Даламбера
и = ср (х — at)
уравнения колебаний струны может быть не дифференцируемо
более двух раз по х и Z. Эта же функция является решением
и волнового уравнения с двумя и тремя независимыми переменными,
д2и
|-^==0. Следовательно, решения этот
так как, очевидно,
уравнений также не более гладки, чем начальные условия.
Мы разобрали решение уравнения (VIII.Г) в пространстве
трёх измерений. Совершенно аналогично можно было бы рас-
смотреть уравнение
Й + = Й + Ж У, о (VIII.20)
W’
148
УРАВНЕНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА
[Л. VIII
ИЛИ
S = (VIII.21)
Не останавливаясь на рассуждениях, которые в этих случаях
полностью совпадают с рассуждениями для трёхмерного случая,
мы приведём окончательные результаты.
Для уравнения (VIII.20) основное (фундаментальное) решение
будет иметь вид:
» = (V1II.22)
где г2 = (х — гг0)2 + (у — Уо)2, и решение уравнения (VIIL20) при
условии
И |fe=o = <? («, у)
имеет вид:
4-со H-оо г2
“(Жо> Уо, zo) = ^ 5 е ^4^y)dxdy —
—оо —оо
f0 4-00 4-00 Г2
-А П \ _J_e“4ao=o zjdxdy] dt. (VIII.23)
J I J J f0 —f J
О —co —oo
Точно так же для уравнения (VIII.21) основное решение
будет иметь вид:
Л (Х-ХО)2
v =—4 (*о—О
2 у тс у t0— t
а решение уравнения (VIII.21) при условии и |<=о = <р (х) будет
иметь вид:
j (эс—ко)2
“(ж0. zo) = \ е 4/0
2 у тс у t0 J
—оо
<0 4~ оэ
----1 / \ / (ж, Z) dx \ dt. (VIII.24)
У 2тс J у tQ — t I j
Проверить справедливость всех этих формул мы предоставляем
читателю*
ЛЕКЦИЯ IX.
УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА.
§ 1. Теорема максимума.
Мы видели, что целый ряд вопросов математической физики
сводится к решению тех или иных уравнений эллиптического
типа. Мы займёмся сейчас простейшими такими уравнениями:
уравнением Лапласа
Lu(x, у, z) = 0 (IX. 1)
и уравнением Пуассона
Ди (х, у, = — 4-гср (я?, у, z). (IX.2)
Всякая функция, имеющая непрерывные вторые производные и
удовлетворяющая в некоторой области уравнению Лапласа, назы-
вается гармонической функцией в этой области.
Прежде чем переходить к решению задач, связанных с этими
уравнениями, мы изучим некоторые общие свойства, которыми
обладают решения этих уравнений.
Справедлива следующая лемма.
Лемма 1. Если функция ^(x,y,z) положительна в точке
(.г0, zo)> лежащей внутри области, где определено уравне-
ние (IX.2), то решение этого уравнения не может достигать
минимума в этой точке.
В самом деле, если бы в этой точке функция и (х, у, z), удовле-
творяющая уравнению (IX.2), достигала бы минимума, то и (х, у, z)
достигала бы минимума в этой точке по каждому переменному
в отдельности.
Но тогда все первые производные от и должны были бы быть
равными нулю в этой точке, а вторые производные по каждому
переменному — неотрицательными. Следовательно, сумма вторых
производных должна была бы быть также неотрицательной, что
противоречит условию
Р (*о> Уо’ zo) > °-
Лемма доказана.
150
УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА
[Л. IX
Следствие. Если р (х, у, z) отрицательна в точке (ж0, ?/0, z0),
то и (х, г/, z) в этой точке не может достигать максимума.
Доказывается переменой знака р и и.
Теорема 1. Га рмоническая функция, заданная в некоторой
области О и непрерывная вплоть до границы S, нигде внутри Q
не может принимать значений больших, чем наибольшее её зна-
чение на границе, или меньших, чем наименьшее её значение на
границе.
В самом деле, пусть
м(жо> Уо> zo) >us+e,
где us есть значение и в произвольной точке границы области.
Тогда функция
v = и + 7]Г2,
где г2 = (х — х0)2 + {у — ^0)2 + (z — z0)2, а ^ — некоторая положи-
тельная постоянная, будет при достаточно малом т] принимать
в точке (.г0, у^, z0) значение всё ещё большее, чем maxrg.
В самом деле, v (xQ, у0, z0) — и (х0, у0, z0) и по предположению
и (^о> Уо> zo) > us + ^ = vs -Н s — V’2- Выбрав настолько малым,
чтобы иметь во всей области й
о . е
мы получим:
V&0, У О, z0)>vs + ~ .
Следовательно,
области. Но
v будет достигать максимума где-то внутри
Дг? = 6тр
Это противоречит лемме 1. >
Вторая часть теоремы доказывается заменой и на —и.
Позднее мы убедимся, что гармоническая функция, принимаю-
щая внутри области значение, равное её максимальному или мини-
мальному значению на границе, есть постоянная.
Следствие 1. Гармоническая функция, равная нулю на
границе некоторой конечной области, тождественно равна нулю
во всей области.
Отсюда вытекает, что две гармонические функции, принимаю-
щие одинаковые значения в точках границы области, совпадают
и всюду внутри области. В самом деле, их разность есть гармо-
ническая функция, равная нулю на границе и, следовательно,
тождественно равная нулю во всей области.
Следствие 2. Если последовательность функций ип, гармо-
нических в области й и непрерывных вплоть до границы, сходится
§ 2] ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ. ФОРМУЛА ГРИНА 151
равномерно на границе S этой области, то она сходится равно-
мерно во всей замкнутой области.
Это вытекает из того, что разность
|ищ — «П2|, где nt>N и п2>М,
будучи сколь угодно малой на границе (при достаточно большом 7V),
будет малой и внутри. Признак Коши даёт нам равномерную сходи-
мость ип во всей замкнутой области, что и требовалось доказать.
§ 2. Фундаментальное решение. Формула Грина.
Для того чтобы исследовать более глубоко свойства гармони-
ческих функций, докажем ещё несколько вспомогательных лемм.
Лемма 2. Функция
_____________________________1__________
. r V3/о)2+(2~2о)2
удовлетворяет уравнению Лапласа
дА=° (ix.3)
везде, кроме точки х = .т0, г/ = у0, z = z0, где — обрагцается в бес-
конечность.
В самом деле,
£2 А
г 1 3(Ж-^
дх2 г3 ’ г6 9
д* —
г_______1 , 3(у-?/0)^
Оу* г3 “г
£2 А
г 1 , 3(z-~zor
dz* г3 ‘ г3 »
откуда и вытекает (IX.3).
Лемма 3. Если функция и непрерывна, имеет непрерывные
производные 1-го и 2-го порядков везде в области 2, причём первые
производные непрерывны вплоть до границы, а вторые производ-
ные непрерывны внутри области, то имеет место формула'.
—±-^dS-4mi(x0, у9, z0). (IX.4)
Здесь — , как обычно, обозначает производную по внутренней
нормали к поверхности S. Граница <£ области 2 удовлетворяет
152
УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА и ПУАССОНА
[Л. IX
условиям § 1 лекции I, то-есть является кусочно-гладкой и пере-
секается с любой прямой, параллельной какой-либо из осей коор-
динат, или в конечном числе точек или по конечному числу
целых отрезков.
Будем сначала предполагать, что и всюду, вплоть до границы Л’
области 2, имеет непрерывные производные 2-го порядка. Для
доказательства вырежем из области 2 шар о) радиуса е с центром
в точке (х0, у0, zG) и применим к оставшейся области формулу
Грина. Тогда
-~&udQ — lim —ДкйЙ —lim Дй —йД — ^с?2 —
И Е О е Й—(1)
( д~ \ ( д— \
= И(и---—-J-M.S’+lim И (IX.5)
J J \ dn r dn / e_>0 J J \ dn r dn ) ' >
S a
где a — поверхность шара co.
Нетрудно видеть, что на поверхности a
dn dr г2 s2 ’
и, следовательно,
\\u~idS^ ~^\\udS==
о a
“ ~2 U ^о) Ё2
о a
где т] равномерно в со стремится к нулю при s—>0:
HI < 8(e), причём 8(e)—-»0, еслие—>0;
55“ (^0> Уо, zo) dS = 4,:S?M (^0, Уо, zo); I 55 71 I < S 4таа‘
a a
ди I ди I 7
В силу ограниченности имеем < /с, и, следовательно,
a g
И
(з- \
й 5 5.5 \-^г u-7-^)ds== у»’ zo)-
$ 3] ПОТЕНЦИАЛЫ ОБЪЁМА, ПРОСТОГО СЛОЯ И ДВОЙНОГО СЛОЯ 153
Подставляя это выражение в (IX.5), получим требуемую фор-
мулу (IX.4).
Для того чтобы избавиться от предположения о том, что вторые
производные от и непрерывны вплоть до границы, заменим область 2
областью 21? лежащей вместе с границей внутри 2. Применяя
сначала формулу (IX.4) к области 2Х и переходя затем к пределу
при 21 —>2, получим требуемый результат. Формула (IX.4)
выведена в предположении, что точка (х0, ?/0, z0) принадлежит
области 2. Если же точка (я0, у0, z0) лежит вне 2, то формула (IX.4)
записывается так:
(IX.6)
В этом легко убедиться, повторив весь вывод и заметив, что при
этом не придётся вводить интеграл по области о. Название фор-
мулы Грина часто относят к формулам (IX.4) и (IX.6).
Весь вывод, проведённый нами, без труда переносится и на
случай, когда в области имеется конечное число точек разрыва
производных, удовлетворяющих условиям теоремы.
Легко заметить аналогию между формулой Грина (IX.4) и
сходной формулой (VIII. 14), выведенной нами для уравнения
теплопроводности. Роль рассмотренного там фундаментального
решения уравнения теплопередачи играет здесь функция кото-
рую называют фундаментальным решением уравнения Лапласа,
§ 3. Потенциалы объёма, простого слоя и двойного слоя.
Если бы нам были известны, из каких-либо соображений,
значения и, Аи и , входящие в формулу Грина (IX.4):
Ди= — 4тср, и I = Л, ^-1 —/2,
то формула Грина дала бы нам явное представление для неиз-
вестной функции и\
и (я0, У& *о) =
д —
= \ 5 5 Т+ i 5 5 ^ftds. (IX.7)
2 8 8
Однако мы’не можем задать произвольно /х и /2, и поэтому фор-
мула (IX.7) не даёт возможности строить решение уравнения
(IX.2) по произвольным предельным значениям на границе его
самого и его. нормальной производной, подобно тому, как мы де-
154
УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА
(Л. IX
лали это при решении задачи о колебании струны. Мы дадим
особые названия интегралам, стоящим в правой части этой формулы.
Интеграл — dx dy dz мы будем называть ньютоновым по-
тенциалом, а функциюр — плотностью этого потенциала. Аналогично
-~dS мы назовём потенциалом простого слоя с плотностью /2,
s
с с
а \ \ /г^“ dS — потенциалом двойного слоя с плотностью Д.
S
Ньютонов потенциал имеет очень простой физический смысл.
Представим себе некоторую массу, распределённую в .объёме 2
с плотностью р. Подсчитаем притяжение этой массой материальной
точки. По закону Ньютона масса т, расположенная в точке (х, у, z),
притягивает единичную массу, расположенную в точке (xQ, yOf z0)
с силой А, направленной к точке (х,у, z) и равной — . Иначе говоря,.
F = grad0 U, где U = — = .Л:.-.. : , ===--•: >
Г УХ* — Ло)2+(у— ?/о)2+(2 — Z0)2
Функция U, градиент которой равен притягивающей силе,
называется потенциалом силы тяжести. Поэтому ~ можно наз-
вать ньютоновым потенциалом материальной точки (х, у, z)
с массой т.
Разбивая весь объём 2 на малые элементы и захменяя влияние
массы рД2, сосредоточенной в каждом таком объёме, влиянием
равной массы, сосредоточенной в некоторой средней точке, мы
получим выражение для силы F, действующей на единичную массу,
сосредоточенную в точке (х0, у0, z0), в виде
/г=2^гас1о^’рД2’
1 1
где grad0 — является значением grad0 — в некоторой средней
г
точке объёма Д2.
Переходя к пределу, получим:
F=^pgradold2,
й Q
Пусть p (x, y, z) — непрерывная функция. Величины Fx, Fy, F2
представляются равномерно сходящимися интегралами и в силу
$ 3] ПОТЕНЦИАЛЫ ОБЪЕМА, ПРОСТОГО СЛОЯ И ДВОЙНОГО СЛОЯ 155
теоремы § 2 (VII) суть производные соответственно но xQ, у0, z0 от
функции
и, следовательно,
F = grad0Z7.
Таким образом, U оказывается потенциалом тяготения массы,
распределённой с плотностью р в объёме Q.
Ту же интерпретацию допускает и потенциал простого слоя.
Это есть потенциал тяготения масс, распределённых на поверх-
ности 6", создаваемый в точках вне поверхности. Если р — плотность
этих масс, то, заменяя действие каждого куска Д5 поверхности
1 1
и точке (Хц, у0, z0) через grad0 — f2 &S, где grad0 — обозначает
1
значение grad0 у в некоторой средней точке, суммируя по всем ДД
и переходя к пределу, получим для силы тяготения в точке
(ж0, Уо> 2о) выражение jP = grad0(7, U = ydS, что и требова-
лось доказать.
Мы считали р и /2 плотностью масс, тяготеющих по за-
кону Ньютона, но так же можно было бы провести вывод вы-
ражения для электрического потенциала, создаваемого заряда-
ми, притягивающимися по закону Кулона, или магнитного
потенциала.
Перейдём к выяснению геометрического смысла потенциала
двойного слоя, для чего представим этот интеграл в несколько
иной форме. Рассмотрим некоторую, вообще говоря, незамкнутую
поверхность S. Возьмём некоторую точку О и построим вокруг
этой точки сферу С радиуса 1.
Допустим, что поверхность Д двусторонняя, и назовём одну
из её сторон внутренней, а другую внешней и тем самым опре-
делим направление внутренней нормали во всех точках поверх-
ности .
Пусть эта поверхность разбита на конечное число кусков
таким образом, чтобы каждый кусок или встречался с радиус-
векторами, проведёнными из точки О, не больше, чем в одной
точке, или же являлся куском конической поверхности с вершиной
в точке О.
Для каждого такого куска знак косинуса угла между внут-
ренней нормалью и радиус-вектором, проведённым из О, будет
постоянным. Пусть эти куски будут Д2, ..., Про-
ведём радиус-векторы в каждую точку куска Эти радиу-
сы в пересечении со сферой С образуют на ней область
(черт. 11).
Площадь этой области мы будем называть телесным углом,
под которым внутренняя поверхность куска видна из
156
УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА
[Л. IX
точки О, и обозначать a>Sr Мы будем считать этот телес-
ный угол положительным, если радиус-векторы, направленные
из О в точку SL, пересекаются с внутренней нормалью под ту-
пым углом, т. е. если наблюдатель, стоящий в точке О, дей-
ствительно видит внутреннюю поверхность, и будем считать, что
этот угол отрицателен, если наблюдатель видит внешнюю поверх-
ность, и угол между радиус-вектором из точки О и внутренней
нормалью SL — острый.
Для кусков конических поверхностей с вершиной в точке О
телесный угол примем равным нулю.
Телесный угол для куска SL будет, очевидно, в полярных
координатах с вершиной в точке О записываться так:
^Si = — \ \ sign [cos (г, n)] sin 6 d9 dy, (IX.8)
А
где sign [cos (r, n)] обозначает знак косинуса угла между радиус-
вектором г и внутренней нормалью п.
Для всей поверхности S мы определим телесный угол со, под
которым видна её внутренняя сторона из начала, как сумму
соответственных телесных углов для всех кусков St.
Этот угол будет выражаться интегралом
u>s = — sign [cos (г, /г)] sin 0 d® dy.
's
Мы можем теперь сформулировать нашу лемму.
Лемма 4. Имеет место формула
д~
(IX.9)
*8
Для доказательства4 заметим, что u>s зависит только от коцтура^
граничивающего поверхность S, и не меняется при любых дефрр^
&1 ПОТЕНЦИАЛЫ ОБЪЁМА, ПРОСТОГО СЛОЯ И ДВОЙНОГО СЛОЯ 157
мациях поверхности б1, лишь бы контур I оставался неизменным и
поверхность S в процессе её деформации не проходила через
точку О.
Интеграл (IX.9) также не зависит от поверхности S при
указанных деформациях. В самом деле, разность интегралов
Si S2
где и 52 имеют общий контур, есть интеграл по замкнутой
поверхности 6*.
Так как, по предположению, точка О находится вне области,
ограниченной поверхностью 5, по формуле Грина (IX.6), полагая
и~1, имеем:
д—
S
Чтобы убедиться теперь в справедливости (IX.9), достаточно
показать совпадение «s и интеграла (IX.9) для какого нибудь
одного типа поверхности S, ограниченной контуром I.
Возьмём например, поверхность, состоящую из куска сферы С
и куска L конической поверхности, составленной радиус-векто-
рами, проходящими через начало и контур Z. Для обоих этих
кусков справедливость (IX.9) очевидна, ибо на L имеет место
равенство = 0 вместе с равенством нулю телесного угла, а на С
1 1
д~ d~
+ IT sign fcos sign fcos
м поэтому
d~
-2- dS= — sign [cos (r, n)] sin OdO dy.
Можно было бы установить справедливость (IX.9) и просто
непосредственной выкладкой.
На основании совпадения интегралов (IX.8) и (IX.9) по любой
поверхности легко заключаем, что
д'7
— sign [cos (г, n)] sin 0 dft dy = dS.
158 УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА [Л. I»
Мы будем обозначать иногда выражение
д-
-^dS (1ХЛ0>
через Jo) и называть элементом телесного угла.
С помощью обозначения (IX. 10) потенциалу двойного слоя мож-
но дать представление
(IX. И)
8
Отсюда следует что если плотность Д потенциала двойного
слоя равна единице, то этот потенциал выражает телесный угол,»
под которым видна поверхность S из точки (я0, z0).
ЛЕКЦИЯ X.
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ ФОРМУЛЫ ГРИНА.
§ 1. Теорема о среднем арифметическом.
Формула Грипа (IX.4) в случае, когда и —гармоническая
функция, принимает вид:
Уо> 55 СИ
S
Эта формула, как мы видели, справедлива всегда, если функция о
имеет производные первого порядка, непрерывные вплоть до гра-
ницы, и производные второго порядка, непрерывные внутри
области.
Правая часть формулы (Х.1) представляет собой сумму потен-
циалов простого и двойного слоя.
Их свойства будут подробно исследованы в дальнейшем. Пока-
жем сейчас, что каждый из них есть гармоническая функция
везде вне поверхности S.
В самом деле, если точка (rr0, у0, z0) не лежит на этой поверх-
ности, то потенциалы простого и двойного слоя можно дифферен-
цировать, и притом сколько угодно раз, по переменным ^0, ?/0, z(,
т-г 1 X
под знаком интеграла. Поскольку у есть гармоническая функция
этих переменных, ибо, как мы видели, — то и потенциал
простого слоя и потенциал двойного слоя будут гармоническими
функциями вне S. Покажем, что они будут аналитическими
функциями. Функцию у вблизи некоторой точки .т*, у*, Z* можно
разложить в ряд по степеням — у0 — у*, z0-~z*, равномерно
сходящийся при достаточно малых по абсолютной величине значе-
ниях этих разностей.
160
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ ФОРМУЛЫ ГРИНА [Л. X
В самом деле,
L - 1=
____________________________1___________________________ _
“ /[(я-я*) - (х0 - W+ [(1/ - у?) ) - (^о-4)¥ ~
= { [(я - 4)2 + (у - у*)* + (z- ^)2] X
Г 4 __ 9 (^-~^о)(^о —^о) + (.V — Уо)й/о~ |о) + (z — z*}) (ze—z*0) ,
XL (*-^o)2 + (?/-^)2-r(^-“4)2
I (^q —^o)2 + (Уо~"?/*)2 + fa"~^o)21
Г (^-^)2+(^-^)2 + (^-^2 J/
Разлагая это выражение в ряд по формуле бинома Ньютона,
легко убедиться в том, что этот ряд будет равномерно сходиться
при значениях (ж0 — х*)2 + (у0 —у*)2~\- (z0 “ £о)2> достаточно малых
по сравнению с минимумом выражения
(«*)24 (y-y*y + (z-z*y,
когда точка (х, у, z) пробегает поверхность S.
Интегрируя этот ряд почленно, убеждаемся, что функции
“ Тл 4" и w “ 4^Г 11 Д°пускают такое разло-
s s
жение и, следовательно, являются аналитическими функциями
х*, у*, z* везде, кроме поверхности S.
Пусть и — гармоническая функция в шаре, непрерывная с пер-
выми производными вплоть до границы.
Применим формулу Грина (Х.1) к шару радиуса /г, описан-
ному вокруг точки (.г0, т/0, г0), поверхность которого мы также
обозначим буквой Мы получим:
w(^o,%>zo)= 4^ 5 § (/?M~ Хд7г)бЛУ-
8
Но при любой замкнутой поверхности
) dS = &У dz ™ 0,
'Si J 21 J
где 2^ — объём, ограниченный поверхностью , а функция и гар-
монична внутри Q-l и имеет непрерывные производные вплоть
до границы.
Первое равенство следует из (1.2), так как = (gradи)пt
a Azz = div( grad и); второе очевидно.
§ 1] ТЕОРЕМА О СРЕДНЕМ АРИФМЕТИЧЕСКОМ 161
Следовательно,
к 2тс
н(ж0, у0, z0)=4^2 5 udS = h\ db 5 M(7?> ?)sin&tZ<p, (X.2)
S 0 0
где & и ср — сферические координаты.
Отсюда следует
Теорема 1. Значение гармонической функции в центре
некоторого шара равно среднему арифметическому её значений
на поверхности этого шара.
Свойство гармонических функций, даказаиное нами, вполне
характеризует этот класс функций. Справедлива следующая
Теорема 2. Если функция u(x,y,z), непрерывная в обла-
сти 2, обладает тем свойством, что её значение в центре лю-
бого шара, лежащего целиком внутри 2, равно среднему ариф-
метическому её значений на поверхности шара, то эта функция
имеет непрерывные производные 2-го порядка и
Azz = 0,
т. е. u(x,y,z) есть гармоническая функция.
Доказательство этой теоремы мы проведём позднее. Пока
укажем некоторые свойства функций, удовлетворяющих условию
теоремы 2.
Лемма 1. Непрерывная функция и (х, у, z), обладающая
тем свойством, что её значения в центре любого шара, заклю-
чённого е области её определения, равны среднему арифметиче-
скому её значений на поверхности шара, не может иметь внутри
области ни минимума, ни максимума, если она не сводится
к постоянной.
В самом деле, если бы в какой-либо точке Ро внутри области 2
функция и принимала максимальное значение, то среднее ариф-
метическое её значений на поверхности любой достаточно малой
сферы о с центром в точке Ро могло равняться u(Pq) только в
том случае, если бы везде на поверхности с функция и равнялась
своему максимальному значению. Это означало бы, что функция и
постоянна на шаре о. Но если функция и постоянна па любом
шаре, окружающем какую-нибудь точку, где она принимает
максимальное значение, то она, как легко видеть, должна быть
постоянной всюду в области 2. Действительно, соединим точку PQ
с произвольной внутренней точкой Р при помощи какой-либо
гладкой кривой I, лежащей целиком внутри 2. При этом мини-
мум расстояния от произвольной точки линии I до точек границы
области, существующий в силу теоремы Вейерштрасса, будет
положительным. Следовательно, существует такое положительное
число Т[, что шар радиуса описанный вокруг любой точки
И С. Л. Соболев
162
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ ФОРМУЛЫ ГРИНА
[Л. X
линии Z, будет лежать целиком внутри 2. На линии I можно
указать конечное число точек Ро, Р1? Р2, ..., Рп = Р, обладающих
тем свойством, что каждая последующая лежит внутри шара
радиуса т], описанного вокруг предыдущей. Пользуясь доказан-
ным свойством постоянства и на любой внутренней сфере, окру-
жающей всякую точку, где и принимает максимальное значение,
и переходя последовательно от одной вершины ломаной к другой,
получим:
М(Р)=М(РО).
Лемма 2. Если функция u(x,y,z), удовлетворяющая ус-
ловию предыдущей леммы, обращается в нуль на границе не-
которой области 2, то она тождественно равна нулю в этой
области.
В самом деле, если бы функция и принимала в области 2
значения, отличные от нуля, то она принимала бы наибольшее
или наименьшее значение внутри области, не будучи постоянной,
что невозможно в силу леммы 1.
Лемма 3. Если функция u(x,y,z), удовлетворяющая усло-
виям леммы 1, на какой-нибудь замкнутой поверхности S совпа-
дает с гармонической функцией и0, то она совпадает с этой гар-
монической функцией всюду внутри области, ограниченной S, и,
значит, сама является гармонической.
Действительно, разность и — и0 будет в свою очередь удовле-
творять условиям леммы 1, так как ему удовлетворяют порознь
и и uQ. С другой стороны, эта разность обращается в нуль^на 5.
По предыдущей лемме и — йо = О везде в области 2.
В дальнейшем мы покажем, что какова бы ни была непре-
рывная функция f(S), заданная на поверхности шара, суще-
ствует гармоническая функция и, непрерывная в замкнутом шаре
и равная f(S) в точках границы. Отсюда будет непосредственно
следовать теорема 2. В самом деле, для всякой внутренней сферы с
в области 2 существует функция и0, гармоническая внутри сферы с
и принимающая на ней такие же значения, что и и. В силу
леммы 3 и совпадает с и0. Значит, и гармонична во всяком
внутреннем шаре и, тем самым, во всякой внутренней точке 2,
что и требовалось доказать.
Из формулы (Х.2) вытекает следующая теорема:
Теорема 3. Если последовательность {vn} функций, гармо-
нических в области 2, сходится равномерно в этой области
к предельной функции v, то этот предел есть в свою очередь
гармоническая функция.
В самом деле, если каждая из функций г?п удовлетворяет
равенству
(Ж0> Уо> Zo) = 5 S Vn dS’
§ 2] ПОВЕДЕНИЕ ГАРМОНИИ. ФУНКЦИИ ВБЛИЗИ ОСОБОЙ ТОЧКИ 163
где S — сфера радиуса г = —ж0)2 + (у — У0)2+(z~-zo)2 = то
этому же равенству удовлетворяет и предельная функция. Сле-
довательно, v — гармоническая функция в 2, что и требовалось
доказать. Отсюда следует, между прочим, что если гармониче-
ская функция v (х, у, z, X) непрерывно зависит от параметра к
на конечном отрезке а<Х<й, то и интеграл от v по пара-
метру X, взятый по этому отрезку, также представляет собой
гармоническую в области 2 функцию.
§ 2. Поведение гармонической функции вблизи особой точки.
Пусть функция и имеет особую точку в области 2, но в ок-
рестности этой особой точки является гармонической. Исследуем
её поведение вблизи такой особой точки. Для простоты предпо-
ложим, что этой точкой служит начало координат. Преобразуем
функцию и к полярным координатам, тогда и = и (R, ft, ср).
Лемма 4. Если функция u(x,y,z) удовлетворяет неравен-
ствам'
। \ А | ди I А
гОе А —постоянная, а 7? = |/ж24-?/2-|-22, и является гармонике-
ской функцией в 2 всюду за исключением начала координат, т®
функция и (х, у, z) в 2 допускает представление
4
п— 1
Уо>2о)= 2 2 X i п Д п &
" дхп dyJn dzn
m==0 i+j+k^m о jo о
+ (X.3>
где и* — функция, гармоническая во всей области 2, включая точ-
ку (0, 0, 0).
(В случае п — 0 первое слагаемое в правой части (Х.З) отсут-
ствует.)
Доказательство этого факта следует непосредственно из фор-
мулы Грина (Х.1). Окружив точку (0, 0, 0) настолько малой
сферой а с центром в начале, что точка (xQ, у0, z0) лежит вне
её, получим:
. X ICC (д~г 1 ди I JO . ICC ld«] ге
и(жо> Уо, Zo) —4п J J \ дп 11 "г дп/ 4n J } \ дп U rdnJ
S с
Вблизи точки х — 0, у = 0, z = 0 функцию по формуле Май?
лорена можно представить в виде
4
П—1 от___
---------;гу. X* У^ 2^ - • ~ T~Q~k
г Во ‘ ZJ d/Ш J dxldyJdztl
тп—t
4 Rtt,
о
11»
<64
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ ФОРМУЛЫ ГРИНА
[Л. X
где значения производных берутся в точке х = у ~ z = О,
RQ == ]/^у% 4- z£ в | Rn | < CRn; С — постоянная. Пользуясь тем,
что
получим:
1
дт —
г
д.с' ду) dz!l
__/_____ |\тп _______
О дх^ dy{ dz\{ ’
п—1 1 z дт-~-
1_±+ у Г Ro т=1 x W —,—Д-у- 4- 7? . dxgdyldzo (Х.4)
Аналогично также представляется линейной комбинацией
производных от по х0, у0, z0 до порядка п—1с коэффициен-
те
тами, не зависящими от ж0, ?/0, z0, и остатком R'n, для которого
справедливо неравенство | R'n | < С±Вп"1. Это следует из того, что
1
производные от — по х, у, z отличаются лишь знаком от произ-
водных по xQ, yQ, z0,
дение очевидно. Но
а для этих производных искомое представ-
_ — cos(n, х) w-4-cos(n, cos (n, z) ,
dn ' ’ ' dx 1 v ’ V! dy K ' dz’
где cos (n, x), cos (n, y), cos (n, z) не зависят от x0, y0, z0 и ограничены.
Отсюда получим:
/.JL
/ Ч 1 V f r 1
s
dS-{~-
д0
4
n— i
где atjk — некоторые числа.
Перейдём к пределу, когда а стягивается в точку х = у = z = 0.
Предел интеграла, взятого по о, будет в силу условий леммы
равен нулю, а первое слагаемое правой части есть гармониче-
ская функция от rc0, ?/0, z0, не зависящая от о (сумма потенциалов
Простого и двойного слоя).
Отсюда следует, что и сумма
14
V2 2 «SW»?
тп=1 г+;+/г=ш о о
§ 2] ПОВЕДЕНИЕ ГАРМОНИЯ. ФУНКЦИИ ВБЛИЗИ ОСОБОЙ ТОЧКИ 165
должна стремиться к некоторому пределу Ф (xQ, у0, z0) = Ф (PQ).
Докажем, что этот предел должен выражаться в виде
£+2
m—1
1
дт7Г
ljhdxl dyl ^4
Для этого достаточно доказать следующую лемму:
Лемма 5. Пусть (рх, <р2, ..., <pft — некоторые функции от
хг, х2, ..., хп (к — конечное число). Если линейная комбинация
этих функций с переменными коэффициентами, не зависящими от
?«п) = 2 J/lm> (xv ..., хп),
сходится при т —>0, то её предел есть снова линейная комл
бинация тех эхе функций <рР
В самом деле, функция не может, очевидно, принимать
независимые произвольные значения во всём пространстве, так
как, приписывая ей какое-либо значение в некоторой точке
мы получим некоторое линейное уравнение, которому должны
удовлетворять числа у№.
Число таких линейно независимых уравнений не больше, чем fc;
поэтому можно указать N таких точек Ро \ , Ро^ (2V<&)>
что значение функции в любой точке Р определяется вполне
через эти значения:
(Х.5)
где (Р) — линейные комбинации с числовыми коэффициентами.
Обратно, всякая функция, удовлетворяющая уравнению (Х.5),
представима в виде линейной комбинации
Отсюда следует лемма. Если перейти к пределу в равенстве
(Х.5), то мы видим, что <р<0) должна удовлетворять уравнению
?<0)Р)= 3 WW).
и, значит, <р<0) есть линейная комбинация (Р), что и требова-
лось доказать.
Лемма 5, а вместе с тем и лемма 4 доказаны.
Теорема 4. Представление (Х.З) имеет место, если удо
влетворено неравенство
Ж
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ ФОРМУЛЫ ГРИНА
[Л. X
Введём вместо и (R, ft, ср) вспомогательную функцию
R
= 5 (Х.6)
о
интеграл в правой части сходится. Его можно представить в виде
г> (Я, », <?) = 7Дт 5 и /ГГ d =
о
1 1
= и (jk, а, т) гя- = и(&, iy, гdt
о о
Как легко убедиться непосредственным дифференцированием,
цодинтегральное выражение в последнем интеграле является
гармонической функцией переменных (х, у, z)\ отсюда следует,
согласно теореме 3 из § 1, что и v является гармонической функ-
цией.
Очевидно,
R
(/?, ft, <р) Л + 1 С /Г) О к Г)П Т Г) , U (-К, ft, Ср) / V
~~я^\ ft, ср)7?1 йТ?! • (Х.7)
о
Из формул (Х.6) п (Х.7) следует:
R
AdR^^,
о
I &v I n + 1 С A dP -1 А — л (п + 2)
I дЯ I jRn+2 } 1 d Z?n+l лп+1
о
Следовательно, функция v удовлетворяет всем
леммы 4, и v представима в виде
1
п—1 0т _______
v = 7Г - Ь 2 aiik +w ?)>
условиям
где w — гармоническая в окрестности начала координат функция.
Функция и может быть получена из v с помощью простых
выкладок:
«(R,?)=i й Iлп+1 v (R> ?)]=
= (n+i)v(R, &,?) + a;g + 2/g+2g.
§ 3] ПОВЕДЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ 167
1
ат_
Принимая во внимание, что есть однородная
функция измерения —(//г-] 1), следовательно, по теореме Эйлера
об однородных функциях
х~дГ~Уу~дГ + *~д1-----
dw , dw , dw
и замечая, что выражение х -^. + У + при гармонической
функции w является гармонической функцией (это легко прове-
рить непосредственным дифференцированием), убеждаемся в спра-
ведливости нашей теоремы.
Следствие. Если в окрестности начала координат функция
u(x,y,z) ограничена и является гармонической везде, кроме, быть
может, начала, то её можно превратить в гармоническую, вы-
брав соответственным образом и (0, 0, 0).
Функция и в окрестности начала совпадает с гармонической
функцией w. Следовательно, она может не быть гармонической
лишь потому, что и(0, 0, 0) не равно w (0, 0, 0); отсюда и выте-
кает паше утверждение. Очевидно, что роль начала координат
может играть любая точка.
§ 3. Поведение гармонической функции на бесконечности.
Взаимносопряжённые точки.
j
Функция — может быть преобразована к некоторому виду,
весьма удобному в дальнейшем. Займёмся этим преобразованием:
_£ =___________________________1________________
Г У х2-\- ?/2+I2 — 2 (xxQ 4- УУо + ZZQ) + reg + ^2 zi
1_____________1__________
RRo 1Л 1 УУоЛ-zzq 1
V R2 R2R2 + Н2
где
& = х* + у2Л n^xl + yl + z^.
Отсюда
£ __ 1____________________1_______________
r KRo _________JLoVi/J'___Л____________
У \R2 RlJ +М?2 R2) ^\R2 R2J
Обозначим:
Я2 R2 ь R2
хо____t Уо__~ zo__г
/?2 X)» R2 Ч0> &<> -О’
По Ло
168
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ ФОРМУЛЫ ГРИНА
[Л. X
Точку (£, т), Q мы будем называть сопряжённой с точкой (х, у, z)
относительно единичной сферы. Нетрудно видеть, что
Р2 = РЧ т124-С2 = -~,
6 7) С
р*2 > У 'р2 > % - ~р2 ’
Таким образом, свойство сопряжённости является взаимным: если
точка (£, т], Q является сопряжённой для точки (х, у, z), то, об-
ратно, точка (х, у, z) является сопряжённой для точки (Ё, т), С).
Точка, сопряжённая с данной, лежит на луче, проходящем
через начало и данную точку, на расстоянии от начала, обрат-
ном расстоянию данной.
Обозначая
Р = У(5 - и2 + 01 - V Р (с— Со)2,
получим:
/ £2 + -»12 + С2 = Р,
Я? W+Qj = p0,
1 — 1 J _ 1ро
г “ Rli0 р “ р
(Х.8)
Из этой формулы вытекает важная для применений
Теорема 5. Если функция и (R, г>, ср) — гармоническая в не-
которой области 2 переменных R, &, ср, то и функция
?)
также гармоническая в соответствующей области 2Х переменных
Р, &, ср, получаемой из области 2 заменой Р — -g . Иными словами,
~и (j5 ’ есть гармоническая функция от Ё, у, С.
В самом деле, по формуле Грина (Х.1) всякая гармоническая
функция и (х, у, z) представляется суммой потенциалов простого
и двойного слоя
д~
и (7?0, »0, фо) = И fl dS + J V1 dS ,
S S
где
11 1 ди I
U = у-и , а V = — 7— .
1 4тг g ’ 4л дп js
§ 3] ПОВЕДЕНИЕ ГАРМОНИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ 169
Следовательно,
(Х.9).
s
но ~ есть гаРмоиическая функция £0, 7j0, Со, а значит, ин-
тегралы (Х.9) —также гармонические функции этих переменныхг
что и требовалось доказать.
Следствие 1. Если гармоническая вне некоторого шара
функция удовлетворяет неравенству
|я| < АН*1'1, (Х.10>
то эта функция представима в виде
1
п~1 ~
и = а0 -f- У) aijkR2m+i 1-w*, (X.ll>
m=l
г j -\~k — m,
где и* ~ гармоническая функция, стремящаяся к нулю на беско-
нечности.
В самом деле, если для и имеет место неравенство (Х.10), то
для функции v (Р, &, <р) = ~и , &, имеет место оценка
Но по доказанной ранее теореме 4 из лекции X
4
п— 1 дт—-
»(Г,».?)-?+ 2 ж^+’,<1>>’’
(Х.12)
Функция
dz I Orf
есть однородная функция измерения — (т + 1)
от z, у, С Следовательно,
1
р?п+1______1___
есть однородная функция пулевого измерения от В, т], С и зави-
сит только от отношений этих величин. Но т}, С пропорцио-
170 НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ ФОРМУЛЫ ГРИН4 [Л. X
нальны х, у, z; следовательно,
1 1
рт4-1 __ ___ Трп+1 ____£*._
д& дч\) dtfi дх' ду) dzh 9
откуда
1 1
лт __ Лт.
Р /72771 + 2 К
д& дт]) dtfi дх* dyf dzk ’
(Х.13)
Подставляя (Х.13) в (Х.12) и пользуясь тем, что и = ^м, полу-
чим (Х.11). Наше утверждение доказано.
Из формулы (Х.11) вытекает одно важное следствие.
Следствие 2. Функция u(x,y,z), гармоническая вне шара
и ограниченная там, стремится на бесконечности к определён-
ному пределу.
ЛЕКЦИЯ XL
УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ.
НЬЮТОНОВ ПОТЕНЦИАЛ.
Переходим к исследованию уравнения Пуассона в -неограни-
ченной среде.
Лемма 1. Функция, гармоническая во всём пространстве
и стремящаяся к нулю на бесконечности, есть тождественный нуль.
В самом деле, применяя теорему 1 лекции IX к сколь угодно
большому шару, видим, что в любой точке пространства значение
нашей гармонической функции сколь угодно мало. Отсюда и выте-
кает справедливость леммы.
Следствие 1. Решение уравнения Пуассона
&v= — 4гср(#, у, z) (XI. 1)
в неограниченном пространстве, стремящееся к нулю на беско-
нечности, единственно.
В самом деле, если vr и v2 — два таких решения, то их разность
^1-^2
есть гармоническая функция, стремящаяся к нулю на бесконеч-
ности. По предыдущему она — тождественный нуль.
Следствие 2. (Теорема Лиувилля.) Гармоническая функция,
ограниченная во всём пространстве, равна постоянной.
В самом деле, по следствию 2 теоремы 5 предыдущей лекции
эта функция на бесконечности стремится к некоторому пределу с.
Разность и —с, являясь гармонической функцией, будет стремиться
на бесконечности к нулю и, следовательно, будет равна нулю
везде, т. е. и = с всюду, что и требовалось доказать.
Переходим теперь к решению уравнения Пуассона (XL 1) в не-
ограниченном пространстве.
Пусть функция р (х, у, z) интегрируема и удовлетворяет нера-
венствам
I р (х, у, z) I < 9 если 7? > 1,
И 1 у " яа+а (XI.2)
IР (ж> У> z) I < *4, если /? < 1,
172
УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ
[Л. XI
где
/? = ]/ж24- У2, + z2 и а > 0.
Без ограничения общности можно считать а < 1, ибо в противном
случае замена а на ах < а только ослабит неравенство (XI.2).
При выполнении условий (XL2) решение уравнения (XL 1)
легко построить с помощью формулы Грина (IX.4). Пусть
и(хо’Уо> 20) —решение (XL 1), стремящееся к нулю на бесконеч-
ности. Взяв произвольный объём 2, ограниченный поверхно-
стью б7, мы имеем на основании этой формулы:
и Уо> zo) = - V ~ dx dy dz +
2
+ г Ц -^-udS — ^- И A =
J j дп j J г дп
S S
= Ш 5 <XL3>
2 S S
где г, как обычно, — расстояние между точкой (х, у, z) и точкой
(^о? ?/(р
Возьмём за объём 2 шар радиуса j?? с центром в начале коор-
динат и устремим R к бесконечности. При этом первое слагаемое
правой части (XI.3) будет стремиться к определённому пределу,
так как в силу условий (XI.2) объёмный интеграл сходится.
Сумма двух других слагаемых представляет некоторую гармони-
ческую функцию. Мы покажем далее, что предел первого сла-
гаемого даёт решение поставленной задачи. В силу доказанной
единственности решения отсюда будет следовать, что сумма вто-
рого и третьего слагаемых стремится к нулю.
Докажем, что функция
+ ОО -f-СО -j-OO
и Ро> Уо’ 2о) = 5 \ 5 ^dxdydz, (XI.4)
где тройной интеграл распространён на всё пространство, действи-
тельно удовлетворяет уравнению (XL 1) и поставленным условиям.
Функция (XI.4) называется ньютоновым потенциалом,
а р (х, у. z) —его плотностью, как это было уже определено
в§3(1Х).
Прежде всего займёмся исследованием условия на бесконеч-
ности. Оценивая (XI.4), будем иметь:
4- со -(- со +оо
Iи ('Ар Уо> zo) I< А \ \ \ -^-dxdydz.
J J Г11.
Л. XI] УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ
173
Переходя к оценке последнего интеграла, заметим, что вели-
чина его зависит только от Ro = ]/#о + Уо + 2<р и если положить
xQ = 7?(), yQ = О, z0 = 0, то она не изменится. В самом деле, оче-
видно, этот интеграл не меняется при повороте координатных
осей, и можно выбрать эти координатные оси так, чтобы ось ОХ
проходила через точку (х0, у0, zQ). Делая теперь замену пере-
менных
x = у = Воу, z=B£,
приведём его к виду
4-со 4-оо 4-со 4-00 4-со 4-оо
С С С Др di dy d/j _ А С Г С <76 dy <К.
J J J 7?з+а р2+° Рх ~ jR* J J J PjP2+a
-оо — оо —со и —со —оо —оо
где Р = ]А2 + т}2-|-С2, Pi — У(£~-1)2~М2 + С2. Последний интеграл
сходится, ибо: 1) при Р —> со подинтегральное выражение убы-
1 1
вает, как -уу ; 2) вблизи Р — 0 особенность порядка -yjT инте~
1
грируема; 3) вблизи Р^О особенность порядка -у интегрируема.
Обозначая
cZE df] dC
Ргр2+а
Л,
получим:
I и (х0, у„, z0) | ,
0
что и доказывает стремление к нулю функции и на бесконечно-
сти. Докажем, что и имеет непрерывные производные, которые
получаются дифференцированием под знаком интеграла. Например,
4-со 4-оо 4-оо _
5 $ 5 ?-dkdxdydz-
—оо —оо —оо
Дифференцирование под знаком интеграла, очевидно, выпол-
нимо, так как полученный интеграл равномерно по сходится.
В самом деле,
г х—
--=---—- и
OXq га
а1-
Г
дх$
откуда и следует сходимость (см. признак 2 из л. VII). Одновре-
менно доказано существование непрерывных первых производ-
ных у ньютоновского потенциала. Для того чтобы доказать
174
УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ [Л. XI
существование и непрерывность вторых производных, необходимо
наложить некоторые новые ограничения на функцию р(х, у, z).
Именно, мы положим, что эта функция имеет непрерывные про-
изводные 1-го порядка. Это ограничение не является существен-
ным, но замена его другим, более слабым, потребовала бы боль-
ших усилий.
Функцию р всегда можно разбить на два слагаемых рх, р2
так, чтобы в окрестности данной точки (rr0, у0, z0) функция р2 была
бы тождественно равна нулю, а функция Pj была бы равна
тождественно нулю в некоторой окрестности бесконечности, т. е.
везде вне некоторой области D. При этом можно добиться того,
что рг и р2 в свою очередь будут иметь непрерывные производ-
ные 1-го порядка. Тогда
4-оо 4-оо 4-оо 4 со 4-00 4-со
и (Xq, yG, z0) = ~~dxdydz-\ —^dxdydz.
* —со —оо —оо —оо —оо —со
Ввиду того, что р2 = 0 в окрестности точки (х0, ?/0, z0), мы
можем из второго интеграла исключить эту окрестность и тогда
дифференцировать его по параметру 2 раза, получая равномерно
сходящиеся интегралы. Займёмся первым интегралом. Мы будем
иметь, например:
4-оо 4-со 4 оо -}-оо 4-со 4-со
\ -Ц-dxdydz— { \ \ рх - -хЛ° dxdydz.
—co —co —oo —co —co —oo
Вводя новые переменные x — rr0-|-£, у = Уъ 2 = я0 + С, мы
получим:
4~оо 4-оо 4-оо 4-со 4-со 4-00
/Д \ f ^dxdydz= \
дх0 J .1 J Г J J J J -1/(« + у,2 + Г2)3
—со —оо —оо —со —оо —оо
и очевидно, что по параметрам xQ9 yQ, z0 этот последний интеграл
дифференцировать можно. Это следует из того, что интегралы от
производных будут сходиться равномерно.
Нам остаётся доказать, что ньютонов потенциал удовлетво-
ряет уравнению Пуассона.
Возьмём функцию ф (xQ9 у0, z0), равную нулю везде, кроме
некоторого шара С с центром в точке (xG, у0, z0), и имеющую
непрерывные производные нескольких порядков. Тогда по формуле
Грина (IX.4), замечая, что вне шара С функции Ф и равны
нулю, получим:
4-00 4-со 4-со
Ф(я0, Уо> z0) = dxdydz.
—00 —со —оо
Л. XI] УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ
175
Умножая обе части на р(х0, ?/0, zQ) и интегрируя по х0, yG, z0,
будем иметь:
^O>
Уп, z0) Р (х„, у0, z9) dx0 dy0 dzn =
4-оо
1 С
4л j
.'). Р. dx dy dz dx0 dyG dzQ =
6 раз
1
4k
у dx^ dyG dz0 \dxdydz~
4" \ и{х, у, z) Дф(.т, у, z)dxdydz.
(XI.5)
Последний интеграл можно преобразовать, используя то, что
при достаточно большой области D
w Дф rf?/ б/z ~ ф kudxdy dz.
D
Сопоставляя последнее равенство с (XI.5), приходим к заклю-
чению, что
Ф (z, y, z) [Aw + 4кр] dx dy dz = 0,
J J j ‘
Из произвольности ф (.г, у, z) вытекает
Ди — — 4кр,
что и требовалось доказать.
ЛЕКЦИЯ XII.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ШАРА.
Задача Дирихле для уравнения Лапласа, с которой мы позна-
комились в лекции II, есть задача об определении гармониче-
ской функции внутри области, если известны её значения на
границе. Можно ставить задачу Дирихле не только для уравне-
ния Лапласа, но и для других уравнений эллиптического типа,
понимая тогда под задачей Дирихле задачу об отыскании
решения данного уравнения в данной области, принима-
ющего заданные значения на границе области. В настоящей
лекции мы будем заниматься решением задачи Дирихле для
шара, поставленной для уравнения Пуассона Ди = р.
Рассмотрим внутри области 2, ограниченной поверхностью S,
точку (rr0, yQ, z0). Как мы видели, функция у, где
Г = /(« — ж0)2 + (?/ - у0)2 + (Z - Z0)2,
есть решение уравнения Лапласа.
1
Применяя формулу Грина (IX.4) к — и некоторому решению и
уравнения Пуассона Д?г = р, получим:
И (*о> У О’ zo) =
=я 5 \ 5 5 5 (ХП”
Если бы мы построили такую гармоническую всюду в 2 функ-
цшо g (х, у, z; х0, у0, z0), что gjs=-7|g, то, применяя формулу
Грина к и и g, имели бы
(^Дгг~ukg)dxdydz-=^ gpdxdydz =
а
<Х1Г2>
‘s
Л. XII]
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ШАРА
177
Складывая (XII. 1) и второе равенство (XIL2) и учитывая значе-
ния g на S, получим:
Уо, z0)= - y^(^-^pdxdydz +
Й
<XIL3>
s
Обозначая
= г/, z;.r0, y0, z0), (X1I.4)
имеем:
У0’ zo) = — 5 55 l^udS-
й S
Функция G называется функцией Грана} таким образом, в пред-
положении, что решение поставленной задачи Дирихле суще-
ствует, формула
«(*0> Уо> zo) = - 5 Gp dQ + (5) dS (XIL5)
й S
даёт это решение в явном виде, если известна функция Грина.
Функция Грина принимает на границе Q значение нуль и пред-
ставляет сумму функции ™ и гармонической всюду в области
функции g. Очевидно, что она определяется однозначно.
Перейдём теперь к решению задачи Дирихле для шара. В этом
случае можно построить функцию Грина в явном виде.
Положим
ri = U2+(у—W2+(z - Q2 х) •
Если точка (х, у, z) лежит на сфере радиуса единица, то х = %,
у = 2 = С. В силу (Х.8) на сфере = 1 будем иметь:
1 |
/Vi |н=1 г
/к 1
Функция — есть,
/10Г1
очевидно,
гармоническая но переменным
х, у, z функция внутри шара R
Отсюда
1
1. Следовательно, g =
1 1
4лг 4л/?0г1 ’
J) Координаты 6, т], С введены на стр. 167.
12 с. Л. Соболев
178
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ШАРА
[Л. XII
где'
R0 = V жо+?/о+2о > r = V(x- Яо)2 4- (У - у о)2 + (Z — z0)2
= / Я2/?2-2 (хх0 + уу0 + zz0) 4-1 •
Следовательно,
G(x, у. z; х0,
___________1___________
V R2Rl~ 2 (хх0 н- yyQ + zz0) +1
Как мы видим, функция G оказалась симметрической функ-
цией относительно аргументов (х, у, z) и (xQ, у0, z0). Следова-
тельно, как функция xQ1 у0, z0 она также является гармониче-
ской, если г =£ 0.
Проверим теперь, что формула (XIТ.5) действительно даёт
решение задачи Дирихле для шара. Наше доказательство будет
состоять из двух частей. Мы докажем отдельно, что первое
слагаемое правой части формулы (XI 1.5) представляет собой
решение уравнения Пуассона, равное нулю на границе 5 обла-
сти 2, а второе слагаемое — решение уравнения Лапласа, при-
нимающее на 5 заданные значения /(5). Начнём с доказатель-
ства первого утверждения.
Докажем, что функция
«1 (Яо> У& zo) = - 5 5 $ Gp dx dy dz
2
(XII.6)
обращается в нуль на границе и удовлетворяет уравнению
Пуассона. Для этого нужно оценить величину функции Грина
G(x, уу z\ х0, у0, zQ). Покажем, что имеет место неравенство
0 < G < -1 .
г
(XII.7)
Установим прежде всего, что G > 0. Окружим внутреннюю точку
(^0, 2о) малой сферой о и будем рассматривать функцию G
в области С', заключённой между сферой о и сферой S. В этой
области G — гармоническая функция. Если сфера о достаточно
мала, то на ней G будет положительна, так как первое слагаемое
сколь угодно велико, а второе—-ограничено. На сфере S функ-
ция G по определению равна нулю. Следовательно, G неотрица-
тельна везде на границе С', а па части границы Q' положи-
тельна. По принципу минимума она положительна всюду в 2'.
Для доказательства второго неравенства (XI 1.7) достаточно
убедиться в том, что функция g. положительна. Это следует из
Л. XII]
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ШАРА
179
того, что она принимает на границе Q положительные значения
и гармонична в 2.
Из неравенства (XII.7) следует, что интеграл сходится равно-
мерно в точке (х0, yQ) zQ) по признаку 2 лекции VII; следова-
тельно, он представляет собой непрерывную функцию. Значение
её, если (х0, у0, z0) является точкой границы, есть нуль, следо-
вательно, интеграл (XIL6) стремится к нулю, если (xQ, yQ, z0)
стремится к точке границы.
Пусть точка (х0, у0, z0) лежит внутри шара; запишем инте-
грал (XI 1.6) в виде
Уо> $ \ydxdydz+^ gpdxdydz.
Q J Q
Первое слагаемое есть ньютоновский потенциал и, следовательно,
применение к нему оператора Лапласа даёт р. Второе слагаемое
есть гармоническая функция, так как
Д° [i 5 55 ^dxdydz^ = ± PAogdxdydz = O.
S S
(Мы обозначили здесь оператор Лапласа через До, чтобы под-
черкнуть, что производные берутся по аргументам х0, у0, z0.)
Следовательно, формула (XII.6) даёт нужное нам решение урав-
нения Пуассона.
Переходя ко второй части доказательства, полезно преобразо-
вать формулу (XII.5). Обозначим через у угол, составленный
радиус-векторами точек (xQ, у0, z0) и (х, у, z). Тогда расстояние г,
как сторона треугольника, противолежащая углу у, выразится
в виде
г = V /?2 + ^o:-2/?/?0cosT;
аналогично т\ выразится при этом в виде
- ]//?2 + 2 cos 7»
а функция Грина будет иметь вид
G==l Г_________1 ___________________1________1
L V в* + ^0—2BBo cos 1 Vв*во — 2ВВо cos 7 +1J ’
dG[ _ ___ dG_\ _
dn |jr=1 ~~ OJR |h=1
_ 1 Г______H—cos 7______ ______—До cos 7 1
“ H (B2 + 2?g—2B7?0cos7)3/a ” (^2Bg—2RR0 cos 7 + l)3/a J я==1
_______1 —Bg____
~ 4k(1 —27?9COS7 + Bg)3/2 '
12*
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ШАРА
[Л. XII
Для исследования второго слагаемого, стоящего в правой части
(XI 1.5), рассмотрим формулу (ХП.5) в случае уравнения Лапласа
(р~0). Первое слагаемое при этом обратится в нуль. Решение
задачи Дирихле, если оно существует, запишется в виде
w2(«0, Уо> zo)=7~ \--------------ЗГ f(S)dS, (XII.8)
2\ О, JO, О/ 4я yj (1_2Д cos-r + 7?2)s/2/v '
S
где / (5) — заданные значения и(х0, zQ) на единичной сфере.
Эта формула носит название формулы Пуассона,
Мы получили в явном виде решение задачи Дирихле для
шара единичного радиуса. Формула (XII.8) даёт возможность
легко получить решение и для шара произвольного радиуса Р.
Введём функцию
(^о> То) ~ и (~р~ ’ =
=i \ \ Т—
V [1-2^CoS7 + (^) ]
Заменяя Psinftrf&cZcp через dS, окончательно получим:
» е0, У» zo) = А И------------------37— / («S’) dS. (XI1.9)
' 0 Jo ° 4лР J J (P2__2PR0cosi + Hl) P 4 7 '
s
Нам надо доказать, что функция & (х0, у0, z0) принимает на
границе значения f(S) и является гармонической функцией.
Формула (XI 1.9), как это следует из самого способа её получе-
ния, справедлива в частном случае, когда /(Л’) = 1 и когда ре-
шение задачи Дирихле, очевидно, существует (оно тождественно
равно 1). Таким образом, имеет место равенство
1 f V dS = 1
У J Р (Р*—2РН0 cos 7 + i?g)3/2
s
Пусть 6*0 — некоторая точка сферы *S. Составим разность
v(«o, Уо> zo)-/(‘S’o) =
ICC P1 2 * * s — R% У/СМ^С
4п \ \ plpz “>РР m I D2\s/2 №
J J Р (P* — 2PRq cos у + Rf}) 1 z
s
Мы покажем, что эта разность стремится к нулю, когда
точка (х0, yQf z0) стремится к <У0. Это доказательство почти совпа-
дает с тем, которое мы уже проводили, рассматривая уравнение
теплопроводности.
Окружим точку 50 малым шаром радиуса nq, причём выберем т|
столь малым, чтобы на всех тех точках поверхности, которые
Л. XII] РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ШАРА 181
попадут внутрь этого шара, в силу непрерывности /, имело место
неравенство
т-ж)| <
где s — заданное положительное число. Обозначим через а часть
поверхности заключённую внутри шара радиуса с центром
в So. Написанная выше разность может быть представлена в виде
v (Хо, у0, z0) - / (50) =
= Р (Р2-2РЛ0 cos 7 + 7?2)3/2 dS +
+5 s , vi "=л+
О
Будучи непрерывной, функция / (5) ограничена на S, т. е»
| / (б1) ( < , где М — некоторое число. Последнее слагаемое, обо-
значенное нами через /2, оценивается очевидным образом:
I '«I “С IS5 <5> -1 <5">1dSI<
А. ± И р2-д3 dS <
2 Р(р2_2рдоС08 7 + 7?2)3/2
< А И р2-до2 ds=-.
2 ’ Ал J ) р (pz—2PR0 ms-i + Rly'12 2 ‘
8
Первое слагаемое 1\ допускает следующую оценку:
। А।<2M'А[5
= А И (р-д0) (р+я0) dS
2к j J р [(P-.Ro)2 + 2РР« (1 -COS 7)]3/2
*5—а
Таким образом, 11± | может быть сколь угодно малым, если точку
(ж0, yQ, z0) взять достаточно близкой к 50. В самом деле, при
этом 1 —cosy везде вне а будет больше некоторого положитель-
ного числа. Значит, знаменатель подинтегральной функции огра-
ничен снизу, а числитель может быть сделан сколь угодно малым*
Следовательно, | Л | < у и | v (ж0, ?/0, z0) — / (50) | < е, что и тре-
бовалось доказать. Гармоничность функции v (.rd, ?/0, zQ) следует
0G
из того,, что при Во < Р функция G, а значит и является
гармонической функцией переменных ж0,л/0, z0.. . .
182
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ШАРА
[Л. XII
Поставим теперь ещё одну задачу, так называемую внешнюю
задачу Дирихле для шара; требуется определить функцию и, удо-
влетворяющую вне шара уравнению Ди = р, принимающую на
сфере S заданные значения и стремящуюся к нулю на бесконеч-
ности. Решение такой задачи, очевидно, единственно.
Пусть г, как прежде, обозначает расстояние от точки (ж, ?/, z)
до точки (#0, y0, z0), лежащей вне шара, и пусть Гд — расстояние
до сопряжённой точки.
Тогда гармоническая функция g вне шара, принимающая на
шаре значения — , будет аналогично прежнему иметь вид
1
7?ori
предположить сначала, что на бесконечности функция и
1
как —, где
R0,
вторые — как
a > 0, первые её производные убывают как
1
•^+2, то нетрудно получить, аналогично
Если
убывает,
1
л«+1’ а
прежнему, формулу
И (я0, Уо> zo) = — § § jj G? dx dydz+^~udS,
Q J S
где
G== J________1__
4кг 4тсЯ0Гд ’
В написанной формуле производная функции под знаком ин-
теграла взята по внешней нормали по отношению к шару. Она
является внутренней нормалью по отношению к области, в кото-
рой рассматривается задача.
Снова ограничиваясь, прежде всего, случаем, когда n|s~0,
видим, что решение уравнения Ди = р с однородными условиями
имеет вид
к = -\WG?dxdydz- (ХИЛО)
а
Мы будем иметь, проводя опять замену переменных:
G==J_ Г________1__________________1
4“ L /+ cos 7 VWR^2RR0 cos -j + 1
dG | = 0G I e 1______
dn |s~ дИ |й=1 (Rl—2R0 cos 7 +1)3'2
Мы проверим, что формула (XIL10) дает решение поставлен-
ной задачи, если р обращается в нуль тождественно вне неко-
Л. ХП]
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ШАРА
183
торой ограниченной области. Читателю предоставляется анализ
общего случая, когда, например, | р | " А
Л2+а *
Переходим к доказательству. Как и прежде, формула, выра-
жающая значение и(х0, у0, z0), распадается на два слагаемых, из
которых первое представляет собой решение уравнения Пуассона
с условием обращения решения в нуль на границе области, а второе
является решением уравнения Лапласа, принимающим на границе
заданные для и значения. Мы проверим справедливость этого
утверждения только для первого слагаемого, так как для вто-
рого слагаемого проверка ничем не отличается от предыдущего
случая.
Но это утверждение очевидно. В самом деле, при достаточно
большом 7?0 имеем оценки:
I М
М I I Л/ |
Ro ’ | дп Во ' I
д dG
dxQ дп
(XIL11)
Первое из этих неравенств и даёт оценку для и:
, М , с , max | р | М
тах|Р|-^ = 4^-.
2
Выполнение уравнения Ди = р доказывается, как прежде; так же
доказывается и обращение в нуль и на границе.
Из тех же оценок (XII. 11) немедленно вытекает ещё одно
следствие.
Если гармоническая вне шара радиуса 1 функция стремится
к нулю на бесконечности, то можно указать такую постоянную
М, что
. I М I ди I . М I ди 1 . М \ ди \ М /VTT
I |'г»Г|<яГ (ХПЛ2)
В самом деле, такая функция должна по теореме единствен-
ности совпадать с функцией
8
которая, как мы видели выше, есть гармоническая функция,
равная нулю на бесконечности и принимающая на 6' те же зна-
чения, что и и. Значит:
184
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ШАРА
[Л. XII
Наше утверждение доказано. Легко заменить в теореме, до-
казанной нами, единичный шар шаром произвольного радиуса
при помощи преобразования переменных. Тогда мы получим сле-
дующую теорему:
Теорема 1. Для всякой функции и, гармонической в окрестно-
сти бесконечно удалённой точки и стремящейся к нулю при R—>co,
существует такое число М., что имеют место неравенства
(XIL12).
ЛЕКЦИЯ XIII.
ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА.
Мы встретились уже с постановкой двух основных задач тео-
рии уравнения Лапласа, а именно, с задачами Дирихле и Ней-
мана.
Напомним, что задача Дирихле для уравнения Лапласа со-
стоит в определении функции v в области 2 с границей S, удо-
влетворяющей уравнению
Дгг = О (XIII.1)
и граничным условиям
и |s- Д (А)> (XIII.2)
Задача Неймана состоит в отыскании решения (XIII. 1), удо-
влетворяющего условию
Щ-W)- (ХШ.З)
Функции /ДА) и /2(А) мы предположим непрерывными.
Примем за 2 область z > 0; поверхностью S будет служить
плоскость XOY. Докажем, что в такой области решение задачи
Дирихле, ограниченное всюду, единственно, а решение задачи
Неймана определяется с точностью до произвольной постоянной.
Для того чтобы решение задачи Неймана также было един-
ственным, достаточно потребовать ещё, например, чтобы и (х, у, z)
стремилось к нулю, когда точка (х, у, z) стремится к бесконеч-
ности, т. е. | и(х, у, z) | < е, если ж2 -|-у2 -|-z2 > R (г).
Пусть, например, задача Дирихле имеет какие-нибудь два
решения и± и и2. При этом разность v~ur — и2 будет гармони-
ческой функцией, обращающейся в нуль при z=Q. Определим
v для отрицательных значений z нечётным образом:
v (х, у, z) = — к (х, у, — z).
Докажем, что эта функция будет теперь гармонической во;
всём пространстве, включая и плоскость z = 0.
Построим сферу о произвольного радиуса с центром на пло-
скости z — 0 и определим функцию v19 гармоническую внутри
186 ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА [Л. ХШ
шара, ограниченного этой сферой, и принимающую на поверхности
сферы значения
(XIII.4)
Легко видеть, что vt будет равна нулю при z = 0. В самом
деле, функция
(*, У, z) =4 1Г1 У’ + vi У' ~ Z)1
будет гармонической и принимает на сфере а значения нуль;
следовательно, wt (х, у, 0) = 0. Но
W1 (*, У> °) = V1 (*> У> 0).
Плоскость z = 0 рассечёт наш шар на два полу шара. Функ-
ция на границе каждого из них совпадает с v; на поверх-
ности а это следует из (XII 1.4), а на части плоскости z — О обе
эти функции равны нулю. Следовательно, v = vr и, значит,,
финкция v имеет все производные всюду внутри шара с и гар-
монична в нём. Так как положение центра шара а произвольно,
то v будет гармонической во всём пространстве.
Поскольку по условию v ограничена во всём пространстве,
то в силу теоремы Лиувилля (лекция XI) она тождественно
равна некоторой постоянной. Эта постоянная может быть только
нулём, так как г = 0 при z = 0.
Докажем единственность решения второй из рассматриваемых
задач.
Пусть и и2 — два решения задачи Неймана для полупро-
странства. Тогда функция г; = г^ — и2 удовлетворяет условиям: •
1) Дг? = 0 при 2 > 0,
2) ?1 =0.
' dz |z—0
Кроме того, функция v ограничена во всём верхнем полупро-
странстве ввиду ограниченности их и н2.
Определим для отрицательных z функцию v с помощью фор-
мулы
v (х9 у, z) = v (ж, у, — z).
Докажем, что определённая таким образом функция v будет
гармонической всюду, включая плоскость z = 0.
Рассмотрим производную
dv , \
= У’ z)-
Л. ХШ] ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА 187
Это будет функция, гармоническая в верхнем и в нижнем полу-
пространстве, удовлетворяющая условиям:
w (х, у, z) = ~w (ж, у, — z)f w (х, у, 0) == О,
и, следовательно, как мы только что доказали, гармоническая
во всём пространстве.
При этом функция
z-bl
0) (х, у, z) = jL dz — v (х^ у, Z 1) — z; (%, y, z)
z
также будет гармонической во всём пространстве. Это легко про-
верить непосредственным дифференцированием.
Отсюда следует, что функция v (х, у, z) — также гармоническая
во всём пространстве. В самом деле, она могла бы не быть гар-
монической только на плоскости z = 0. Но
v(x, у, z) = v(x, у, z-J-l) — ы(х, у, z). (XIII.5)
Правая часть (XIII.5) гармонична на этой плоскости, следо-
вательно, гармонична и левая.
Ввиду ограниченности v во всём пространстве по теореме
Лиувилля имеем:
V = const.
Следовательно, решение задачи Неймана единственно с точ-
ностью до постоянного слагаемого, что и требовалось доказать.
Переходим к явному решению задач Дирихле и Неймана.
Предположим, что рассматриваемая нами гармоническая функ-
ция удовлетворяет уловиям:
I I Н* . I И j ди | Д I ди I Р
U ’ I I " ’ I ду I R1 I dz I Ri+a ’
где R = У я2 -|- г/2 z2, а > 0, а ^ — постоянная.
После того как явное решение задач будет нами получено,
надобность в этом предположении отпадёт.
Применим к функции и формулу Грина (IX.4), выбрав за
объём 2 полушар с центром в начале координат
7?<Л, z>0.
Так как Дв = 0, то
м(жо> Уо> го)=Гп 5 — ~r~d^}dS’
S
где
Г = У(х - жо)2 4- (у — у„У +- (Z — z0)2.
188 ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА [Л. ХШ
Поверхность S состоит из куска плоскости z = 0 и из по-
верхности S2 полусферы R = A. Устремляя А к бесконечности,
видим, что
lim
02
1 ди
г дп
dS = G.
В самом деле,
1
М-Яо)2
где
Поэтому
, х V 1
и (•%, ?/о> zo) = lun 47
А—>оо
} J
z—О
4тс|±Л2
(Л-Л0)2И“
4тирьЛ
(Л-Во) Л7’
^O = >^o + ?/o + zo-
/ . 1
' С I г 1 ди
J J \ дп г дп
Si
& г 1 ди
дп г дп
dS =
dS.
1
(XIII.6)
Рассмотрим вместе с (х0, у0, z0) ещё точку (x0J у0, — z0) и пусть
гА = jA(x — .т0)2 (у — у0)2 + (z + *о)2- верхней полуплоскости
-----гармоническая функция, так же, как и и. Поэтому
7’1
5 5 С = О’
2
и, следовательно,
( д—
J J \ on J
S1+S2
Переходя к пределу, когда А стремится к бесконечности, и поль-
зуясь теми же оценками, что и при выводе формулы (XIII.6)^
получим:
( д —
—-f-]dS = Q.
J J \ дп. rt дп)
z—О
Л. ХШ] ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА 189
Заметим теперь, что на плоскости 2 = 0 имеют место равенства
1 1
д — <Э~
гг = г и - (радиус-векторы г± и г симметричны относи-
тельно плоскости 2 = 0), откуда
/ д— \
$ S \u^ + yd£/dlS==Q- (XIIL7)
z=0
Складывая (XIIL6) и (XIII.7), получаем:
1 1
О д
V.. = 5 \ (XIU.8)
2=0 2=0
Вычитая (XIII.7) из (XIII.6), будем иметь:
«(*„ У» *o) = ^f^S)dS. (ХШ.9)
2=0 2=0
Проверим теперь, что формулы (XIII.8) и (XIII.9) действительно
дают решения задач Дирихле и Неймана.
Мы будем предполагать, что (S) = Д (ж, у) и /2 (5) = /2 (гг, у) —
непрерывные функции, удовлетворяющие неравенствам:
\ fAx,y)\<^-, (XIII.10)
где р = Ух2 + у2, а > 0, а М — постоянная. Без ограничения
общности можно считать а< 1.
Убедимся сначала, что интегралы, стоящие в правых частях
этих равенств, действительно удовлетворяют уравнению Лапласа;
это вытекает из того, что везде при 20 > 0 их можно дифферен-
цировать по xQ, у0, 20 под знаком интеграла. Так, например:
А. ) $ -^/AS)dS= ^/,(6')£ [д.(1)]л?=0;
2=0 2—0
так же точно доказываем, что правая часть (XIII.9) удовлетво-
ряет уравнению. Оценим поведение правой части (XIII.8) и
(XIII .9) при 7?0 = ]/ ж* + у20 + z20 —> оо.
Начнём с оценки интеграла (XIII.8). Покажем, что этот
интеграл является ограниченным. В самом деле, имеем:
4
4-со 4-00 Q 4-со 4-оо
§ \ -^fi^x^y)dxdy= — \ y)dxcly-
190 ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА (Л. МП
Сходимость интеграла в правой части при условии (XIII. 10)
очевидна. Имеем, далее:
4-со 4-со 4*оо 4-со
|- ^ § р y)dxdy\ ^dxdy =
—со —оо —со —оо
4
4-00 4-00 q л_
~М -~^-dxdy.
—оо —оо
Но последний интеграл равен телесному углу, под которым пло-
скость z = 0 видна из точки (гг0, т/0, z0) и, следовательно, равен 2тс.
Таким образом получаем оценку
1
4-со 4-со q___
5 5 ('х> dx dy
—оо - со
<2ltM.
Следовательно, интеграл (XIIL8) представляет co6oii ограничен-
ную функцию переменных xQ, у0, zQ.
Переходя к оценке функции и (.т0, у(), z0), определяемой фор-
мулой (XIIL9), докажем сначала следующую лемму.
Лемма. Если 0 < 8 <. 1, то справедливо неравенство
ж2-2»«+1>-| (ж-1)2.
В самом деле,
2&ж<2# при я>0, 28ж<0 при ж<0.
Следовательно,
2$х < х +1 х |
и
х2 — 2Ъх + 1 > х2 — х-\~1 —-1 х |.
1 х2 /
Но 1ж|<у + у ( эт0 следует из
значит,
, , . а2 . 62 \
неравенства |аоКу-|-у ) и,
a;2-2to + l>y-^ + | = A(^-l)2.
Для того чтобы оценить интеграл (XIII.9) в точке х0=р0,
у0 = 0, z0 (оценка в этой точке благодаря симметрии даст всё,
что нужно), мы положим:
KPo + zo" ^о» Rq Ro "П. д0 е-
Л. ХШ] ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА
191
При этом
/а У) dx dy
4-00 4-со
С С 1 м . .
% \ .................- ___—.............dv —
-io Ло Х*~ 2x90 + y2 + zo + ?oV (ж2 + 3/2)1+о
4-оо 4-со
м С V — 1 ._ 1 ...
Д Д /£2-2еО+ 1 + 7]2 |/ (£2 + ^jl+a
Благодаря лемме имеем:
1______ 1______________ /2
J<£2—250 + 1+т)21 / (5— I)2 , г)3 ~ /(5—1)2 + т)2 ’
V 2 '+ 2
откуда
у/г^, y)dxdy <
. 4-оо 4-оо
Му 2 С Г
7?а J J
. ...... А— 1 ....... С^дЬ).
1<(S—1)2 + 7)2 /(524-т12)1+о
Последний интеграл абсолютно сходится около всех/грех осо-
бенностей: 1) 5 = 1, 71 = 0; 2) 5 = 0, т] = 0 и 3) £ = оо, ц — ас..
Обозначая его через N, имеем:
—со —оо
I MNY2
/2 (ж> У) dx dy J <
Следовательно, функция zz(^0, у0, z0) обращается в нуль на бес-
конечности, что и требовалось доказать.
Для того чтобы убедиться в том, что мы получили решения
задач Дирихле и Неймана, нам остаётся проверить, что условия
при z = 0 также выполнены. Для этого достаточно установить, что
4-со 4-оо
lim Л ( V z±- j, (х, у) dx dy = /. (х0, у0) (г = 1, 2),
2e-.0Z3t •’ J Г
—оо —оо
ибо так выражаются и предельное значение решения задачи
Дирихле и предельные значения нормальной производной реше-
ния задачи Неймана.
1’92
ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА ДЛЯ ПОЛУПРОСТРАНСТВА [Л. XIII
Окружим точку (Х'о, у о) кружком с так, что внутри С
1А(^ у)~А(жо> Уо)1 <^;
оставшуюся после выделения с часть плоскости х, у обозначим с'.
Так как функции /- (х, у) ограничены, то пусть
А. (ж, у) I < L-
Возьмём настолько малым, чтобы телесный угол шс, под
которым виден круг с из точки (#0, т/0, z0), был бы больше, чем
—
е
3£ ’
t £
а следовательно, угол, под которым видно с , меньше, чем —
(сумма этих углов есть 2 тс). Тогда
4
4-со 4-со 4-со -|-оо
5 5 <(х’ y)dxdy= 5 5 y')dxdy =
—со —оо —оо —со
4-со 4-со
J 5 А <Х у) dui =
—оо —оо
= 55^^°’Уо)dtu~^°’г/°^dw~| 55^уУ>dia'’
с с с'
12*А (ж0, Уо) - J 5 (,г°’ у°)I < IА ^0’ ~ 4 з5; )| < J;
с
15 5 (а ^х’ _ (1ш Iс 5 5 iб/<о;
с с
155^ 5 dm <; —,
с' с'
откуда
4~оо +оо
5 y}dxdy--^fi^ Уо)| <г,
что и требовалось доказать.
ЛЕКЦИЯ XIV.
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ И ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ
ПОТЕНЦИАЛЫ.
§ 1. Характеристики волнового уравнения.
Рассмотрим волновое уравнение с четырьмя переменными
д2и д2и д2и 1 д2и п ч
'дх2^~'ду2'^ ~д^2 '"а2д12~~Г(х> У, z> (XIV. 1)
и займёмся прежде всего его характеристиками.
Уравнение поверхностей характеристик будет иметь вид
(Й)2+(|)+С5)г-ЯЮ2=°' <XIV-2>
ИЛИ
Рассмотрим в четырёхмерном пространстве переменных
(х, у, 2, Z) поверхность, определяемую уравнением
(х -хоу + (у - у0)2 + (z - zoy -a2(t- toy = 0. (XIV.3)
Поверхность (XIV.3) называется характеристическим коноидом.
Легко проверить непосредственно, что неявная функция, опре-
деляемая равенством (XIV.3), удовлетворяет уравнению (XIV.2').
Точка (xQ, у0, z0, Zo) является особой для поверхности (XIV.3).
В этой точке поверхность не имеет касательной плоскости, так
как в ней отношение cos (тг, х): cos (тг, у): cos (п, z): cos (/г, f) ста-
новится неопределённым. По аналогии с поверхностями в трёх-
мерном пространстве эту точку называют конической.
Для случая уравнения колебаний мембраны уравнение такой
характеристической поверхности имеет вид
(ж — х0)2 + {у -- у0)2 — a2 (t —t0)2 = 0.
Это есть уравнение конуса с вершиной в точке (х0, yQ, z0) в трёх-
мерном пространстве х, у, t.
13 С. Л. Соболев
194 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ И ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ [Л. XIV
Представим уравнение (XIV.3) в виде
(XIV.4)
где
Г = V (л:-Жо)2-| (y~?/0)2i- (z- zo)2’
В зависимости от выбора знака в (XIV.4), мы получим урав-
нение верхней или нижней половин коноида. Мы используем
нижнюю половину, т. е. часть, определённую уравнением
§ 2. Метод Кирхгофа для решения задачи Коши.
Идея метода Кирхгофа решения задачи Коши для волнового
уравнения такова же, как и идея приведённого выше решения
первой краевой задачи для гиперболических уравнений (V, § 1)
по методу последовательных приближений. Строится характе-
ристический коноид с вершиной в данной точке (ж0, ?/0, z0). Как
было выяснено в лекции III, значения функции и и её произ-
водных на этом коноиде связаны некоторым уравнением в частных
производных, зависящим уже от трёх переменных и вытекающим
из (XIV.2) в силу волнового уравнения. После подробного рас-
смотрения оказывается, что это обстоятельство позволяет просто
выразить значение неизвестной функции в вершине коноида
через известные данные, подобно тому как в лекции IV значе-
ние функции ~ в некоторой точке на характеристике ? = const,
было нами выражено через значение её в любой другой точке
той же характеристики при помощи квадратуры.
Приступим к изучению метода. Для того чтобы получить
искомое соотношение на характеристическом коноиде, мы поступим
таким же образом, как это было сделано в лекции III, § 4.
Преобразуем уравнение (XIV. 1) к новым независимым переменным:
= Уг^у,
Обозначим ещё
и(^х1> У1> zi- + = У1> zi> h)
аналогично и для других функций.
§2]
МЕТОД КИРХГОФА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
195
При этом
ди__диг { ди^ хг— xQ
дх дх± dtY га ’
ди__диг
dt dl± ’
d2u_d2ux
dt2 dtf 1
d2u d2u} ] n xi— xo । d2Uj (#j — я0)2 , < 1 (ат — rr0)2 \ dui
dx2 dx2 dx1dt1 та ‘ dt\ r2a2 * r'*a )
и наше уравнение переходит в уравнение
^2иг । ^1д d2z4 . 2 d / duA Л ( 2 dux
dx‘f dy, ' &zi ** а dr \ dtx ) 1 та dtx 1
+[(^У+С^У+С^У-i'] *•
d „
где через ооозначено выражение
^1—^0 д ! Уг — Уо d z1 — Zq d
г dxY 1 г dyr ' г dzt *
Оператор -- обозначает производную, взятую по направлению
радиуса г, проведённого из точки (х0, yQ, z0) в данную точку
(.т1 у±, гх). 13 самом деле,
= cos (х, г), -- == cos (у, г), —= cos (z, г).
Так как У1^~~ у + f —*^ = 0, то наше
уравнение запишется в виде
2 d г durf г / х
йи1~^агдг[Гд^ J “ Л(ж1> У1> zi> Zi)’
или
у + [?^г] (г1’ У1' (XIV.5)
Равенство (XIV.5) позволяет сразу построить некоторое част-
ное решение волнового уравнения, имеющее важное значение.
Пусть Fj —0. При этом функция = где Фх — произволь-
ная, дважды дифференцируемая функция, даёт нам решение
уравнения (XIV.5) в силу того, что |у = у Ф'(^i) 11 °^а сла"
х) Очевидно, при нашей замене rY — rt и далее мы всюду пишем г.
13*
196 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ И ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ [Л. XIV
гаемых левой части (XIV.5) обращаются в нуль. Подставляя
вместо tx его выражение через х, у, z и Z, получим:
“ = 7- ф(/--Л+ у) •
В данном случае параметр tQ является несущественным, и мы
можем взять решение в виде
. “=>.(?+£)•
Легко проверить, что
будет также решением волнового уравнения, так как волновое
уравнение не меняется при замене t на —/. Положив
Ф3 Q — t -|- = Ф2 (j, — , получим, складывая оба частных
решения:
“ = 7 [ф.0 + т) + ф°(г~£) ] <XIV-e)
Формула (XIV.6) по своему внешнему виду напоминает фор-
мулу Даламбера для решения уравнения колебании струны.
Решения, даваемые этой функцией, носят название сферических
*волн. Первое слагаемое представляет собой волну постоянной
формы, сходящуюся к точке г —0. По мере приближения этой
волны к своему центру амплитуда её растёт.
Второе слагаемое представляет co6oii волну постоянной формы,
распространяющуюся от точки. г = 0 на бесконечность. Эта волна
' также отличается от рассмотренных волн в струне тем, что её
г' < 1
амплитуда убывает на бесконечности, как
Если Фх и Ф2 отличны от нуля лишь на конечном промежут-
ке изменения своего аргумента, то в каждой точке пространства
до вступления сферических волн и после их прохождения функ-
ция и становится равной нулю, т. е. воцаряется покой.
Как мы далее увидим, роль этих решений для волнового
Y 1
уравнения сходна с той ролью, которую играет функция у для
уравнения Лапласа.
Проинтегрируем обе части уравнения (XIV.5) по некоторой,
области 2 пространства х„ у1У zv содержащей внутри себя точку
£о)* Границу области 2 обозначим Для удобства вы-
делим из этой области точку (х0, ?/0, £0) при помощи малой
сферы о радиуса е, а впоследствии перейдём к пределу при
е—>0. Шаровой объём, ограниченный сферой а, обозначим
буквой т.
§ 2]
МЕТОД КИРХГОФА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
197
Мы получим:
йЩ [т-Дк1 + «(гЙг)] dx' dy*dz'1 =
= J 5 $ ~7F1 У1’ Z1’ dX1 dyi dZl~ (XIV-7)
&
Прежде чем переходить к пределу в левой части, мы несколько
преобразуем её.
На основании формулы Грина (IX.4) имеем:
lim £ —- Дгг1 dxr dyx dz1 = ( — Д^х dxA dyr dz± =
-о JfiAJ r J iH r
= -4^0,y0, (XIV'8)
sJ
так как tt при ^х = ж0, ?/1 = ^0, z1 = z0 равняется t—tQ.
Далее, вводя полярные координаты:
dx± dy± dzx = r2 sin 8 dy dr,
будем иметь:
/o”S I/ dx*dyi dzi =
= — ( Гг^11 sin & <Z& (Z<p dr =
a J .) J <*r L J *
Q—т
= ~ £ r ~ [ — sign cos (r, n)] sin 8 d$ dy = — r tZo),
d j JI C/Zj d .) J ul-^
S+<J S+o
где через ф обозначен телесный угол [см. (IX.8)]. Продолжая
преобразования, получим:
/•=- И r^i^dS= --{1-^^dS.
а j J dti а J J г дп
S-f-a S-|-a
п С С 1 dr дил у с
Предел \ \ Y~dn~dt очевидно, равен нулю, если огра-
о
и дг
ничено. В самом деле, ограничено, и интеграл меньше, чем
dS = ^zM,
198 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ И ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ [Л. XIV
где М — некоторая, постоянная; следовательно,
lim 70 — — --
е->0 а
1 дг дих
г дпд1х
(XIV.9)
Формулы (XIV.7), (XIV.8) и (XIV.9) дают:
I д- \
— ^их (.т0, у0, z0, t — Zo) 4Д И их ------- “ — ~~ 1 dS
i\ о> о/ 1 J J \ 1 дп г дп radndtx
S
~ \
2
Положим теперь ^ = 0, тогда t = — если, кроме того,
У1 = Уо> zi = zo> то поэтому
wi(^o> zo> 0)==u(x09 yQ9 z09 Zo),
Л(ж1> Уп zi> 0) = /’^, у, z, Zo-0
и наша формула запишется так:
д~
Уо, zo, zo)-4jt \ } Г Ini ТадкдЦ ) |/1=о dS ~
S
5 (xiv.io)
Формула (XIV.IO) называется формулой Кирхгофа] как мы
сейчас увидим, она позволяет найти решение задачи Коши для
волнового уравнения.
Эта формула весьма напоминает по своему внешнему виду
формулу Грина, выведенную нами ранее. Если считать и19 ,
~ заданными на поверхности 5, то правая часть (XIV.10) будет
представлять собой известную функцию. В правой части этой
формулы находятся интегралы, которые принято называть запазды-
вающими потенциалами. Поясним это название на примере
последнего интеграла
У’ Z’ to--^')dxdydz- (XIV. 11)
2
В таком виде этот интеграл отличается от ньютонова потенциала
только тем, что функция F входит не с аргументом Zo, а с «за-
паздывающим» аргументом Zo — - .
§ 2]
МЕТОД КИРХГОФА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
199
Переходим к решению задачи Коши, т. е. к решению уравне-
ния (XIV. 1) при условиях:
и|г=о=?о(ж, 3/. z), )
ди\ , . > (XIV. 12)
Д=о = Ь(*> J
За поверхность 5 примем поверхность tQ — ~ = 0; тогда на ней
I = 0 при = 0.
Область, ограниченная S, есть шар радиуса at0 вокруг точки
(.т0, у0, z0) и, следовательно, к ней применима формула (XIV. 10).
При /~0 условия (XIV. 12) определяют все производные первого
порядка от и и, следовательно, от иг. Мы будем иметь:
ди I дил I z ч
aU-sfb-’-'1'у-2);
= (д±___cosin «14-
\ дх a dt дх J ' ’ ' \_ ду a dt ду ) ( >У)т
. / ди 1 ди дг\ ( х ди 1 ди дг
+ bfc-7«JC0S =
и, следовательно,
=^о_1ф (Х у z\<!l
дп )|=о дп а ' дп ’
и окончательно
/ di \
/ / \ 1 С С I r dcpo 1 dr I 7 0
“(Жо> Уо> zo> Q —4я \ \ I — Т^дп^ агдп^1 I dS
r~ato ' '
— ~F (х, у, z, t0-F^dxdydz. (XIV.13)
г^а/о
Формула (XIV. 13) даёт явное выражение для значения неиз-
вестной функции в любой точке у0, z0) в произвольный момент
времени t0 > 0. Тем самым доказывается единственность решения
задачи Коши для волнового уравнения, если только такое реше-
ние существует. Мы покажем, далее, что полученная нами функ-
ция удовлетворяет уравнению и начальным условиям, а также
проверим корректность постановки задачи Коши.
Формуле (XIV. 13) для случая 7^ = 0 можно дать ещё одно
выражение, которое называется формулой Пуассона и часто
встречается в литературе.
200 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ И ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ (Л. XIV
Обозначим через Т? {ф} среднее арифметическое значений функ-
ции ф на сфере радиуса р, описанной вокруг точки (х0, yQ, z0):
1 C C
V(P’
о 0
где p, ft, <p суть полярные координаты с началом в точке (rr0, yQ9 z0),
связанные с декартовыми прямоугольными координатами посред-
ством формул
х = xQ + Р sin & cos ф;
7/ = 7/0 + psinftsin<p;
z = z0 -г pcosft;
0< <р <2тс;
Пользуясь этим обозначением, можно переписать формулу
(XIV. 13) в следующем виде (формула Пуассона):
и (^о> У О’ Z0’ ^о) = {?1) + [tomato {?©}]•
Проверим это. В самом деле, на поверхности р = а£0 мы имеем:
др = __^Р= _ 4
дп др ’
dS = g2Zq sin & <20 d<p9
и, следовательно,
S Tp^dS==t£ \
p=ato P=aZo
Далее,
d~
dcp0 __ P _ 1 dp _1_
dn dp 7 dn p2 dp a2t^ 9
откуда после несложных выкладок получим:
4я J j дп р дп J
P=afo
= 4^ ?oSin&<Z&d<p + Z°^oi 5 5
p=aZo p==aZo
что и требовалось доказать.
Отметим некоторые важные следствия из формулы (XIV. 13).
Представим себе, что внешних возмущающих сил нет, т. е. 2^ = 0,
а начальное возмущение при Z = 0 сосредоточено в некоторой
§2]
МЕТОД КИРХГОФА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ
201
ограниченной области о. Будем исследовать поведение решения
в некоторой точке (х07 yQ, z0), лежащей вне области с». Пусть рас-
стояние от области со до точки (xG, у0, zQ) равно В. При t0 < ~
сфера S, уравнение которой r = at0, будет лежать вся вне <о,
и поэтому результат подстановки такого значения tQ в правую
часть (XIV. 13) даёт нуль. При tQ = ~ функция и начнёт изме-
няться до тех пор, пока S пересекает область ш. Затем при
£0 = , где D — наибольшее удаление точки области <о от точки
Черт. 12.
(ж0, У о, z0), и станет опять равным нулю и таким и останется.
Чем дальше точка (х0, yG, z0) от области <о, тем позднее дойдёт
туда возмущение и тем позднее оно пройдёт мимо этой точки.
В каждый данный момент t0 мы можем построить поверхность Slt
отделяющую точки, до которых возмущение ещё не дошло, от
тех, куда это возмущение уже докатилось. Эту поверхность на-
зывают передним фронтом волны.
Другая поверхность, S2, отделяет точки, в которых возму-
щение ещё имеется, от тех, в которых колебание прекратилось.
Эта поверхность называется задним фронтом волны.
Наличием заднего фронта волны объясняется тот факт, что
звук, издаваемый каким-либо источником, не затухает постепенно
в данной точке пространства, а прекращается сразу после про-
хождения волны. Если бы это обстоятельство не имело места,
звуки сливались бы друг с другом, как звуки рояля, на котором
нажата и не отпущена педаль.
На черт. 12 изображены передний и задний фронты волны^
возникшей из возмущения в ограниченной области ю.
202 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ И ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ [Л. XIV
Переходим к доказательству корректности постановки задачи
Коши.
Если вместо функций ср0 и срх мы подставим в формулу (XIV. 13)
другие ср* и ср*, такие, что
I то -то I ’ I дх I ’ | ду ду I ’ I dz dz | " ’
I Ti - I <£.
то решение м* задачи Коши, как это вытекает ир формулы (XIV. 13),
для новых начальных данных будет мало отличаться от решения
для старых, ибо
| II* — и | =
4тс I J j L хт° то/ дп г \ дп дп J аг дп T1/J |
г=а<о
где М — некоторая постоянная, зависящая только от Zo.
Следовательно, решение и зависит от функции ср0 непрерыв-
но порядка (1, 0) и от функции непрерывно порядка (0, 0)
в смысле лекции II.
Докажем теперь, что полученное нами решение действительно
удовлетворяет уравнению.
Прежде всего заметим, что доказательство достаточно провести
для того случая, когда ср0 и срг тождественно равны нулю, так
как мы сможем тогда установить существование решения для
любых дважды непрерывно дифференцируемых функций ср0 и срх.
В самом деле, если мы докажем, что решение при нулевых
.начальных условиях существует, то мы установим тем самым су-
ществование решения уравнения
А 1 d2w р А । 1 d2v
Ш a2 dt2 ‘ a2 dt2
-при условиях
I \ л
w |t=o ~ dt |z—0 “ ’
тдо v — произвольная функция.
Если v удовлетворяет условиям
| dv I
|/=0 то dt [/—0 11
.а такие функции, очевидно, существуют, например ^ = cp0 + ^Pi> то
отсюда следует существование функции u = удовлетворя-
ющей условиям Коши и волновому уравнению (XIV. 1) Если же
решение этой последней задачи существует, то оно выражается
формулой (XIV. 13).
§ 2] МЕТОД КИРХГОФА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ 203
Полагая в формуле (XIV. 13) получим:
«(*#. Уо> 2о> *о) =
= —F (х, у, z, t0~-^dxdydz. (XIV.14)
r<atQ
Покажем, что функция и (xQ, у0, zQ, t0), даваемая формулой (XIV. 14),
действительно удовлетворяет уравнению. Непосредственная про-
верка этого обстоятельства потребовала бы громоздких выкладок,
и мы предпочтём избрать другой путь.
Мы докажем одно важное интегральное тождество, равносиль-
ное в некотором смысле волновому уравнению для функции и,
определяемой формулой (XIV. 14).
Рассмотрим произвольную функцию ф (^0, у0, z0, Zo), обращаю-
щуюся в нуль везде, кроме некоторого шара с в четырёхмерном
пространстве с центром в точке (.т0, у0, z0, Zo) и имеющую везде
несколько непрерывных производных.
Эта функция удовлетворяет некоторому уравнению:
Аф~(XIV.15)
где Ф вычисляется непосредственным дифференцированием.
Согласно нашему предположению
fi “О. “0
т \t=T dt \t—Т
при достаточно большом Т. При этом функция ф, как решение
задачи Коши для уравнения (XIV. 15), представляется для t <Т
формулой
Ф (^0> Z0> ^о) =
= “4S S S S У' z' + dxdydz. (XIV.16)
r<a‘(T-/c)
(Этой формулы мы не выводили, но она сразу получается, если
заменить сначала в уравнении t на Т — Z* и, преобразовав дан-
ные, написать решение уравнения, а потом вернуться от перемен-
ного к переменному t.)
В формуле (XIV. 16) мы могли бы и не ставить пределов инте-
грирования, так как при г > а (7’ — Zo) функция Ф х, у, z, t0 + ~ ,
очевидно, обращается в нуль, ибо
204 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ И ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ [Л. XIV
Пусть F (я0, у0, z0, tQ) = 0 при t0 < 0.
Умножим функцию ф (хо> У оу zo> zo) на F (х0, у0, zQ, t0) и про-
интегрируем по всему пространству. Мы будем иметь:
4-оо 4-оо 4-со 4-со
—оо —оо —оо —со
^о) F (*^0? У ОУ Zoy ^o) dX0 $Уо dzQ ^0 —
4-со -f-со 4-оо 4-оо
~ 4тс S F (Х0у Уоу ZQy Zo)
—со —оо —оо —оо
4-со 4-оо 4-°о
X
х, У у z> dx &У dz | dxQ dy0 dz0 dt0.
Последний интеграл можно записать в виде
4-со 4-оо 4-со 4-со -f-oo 4-00 4-00
"sH 5 И И |-Ф(Ж)у)2,г0+^)х
—оо —оо —со —оо —со —оо —со
X F (х0, у0, z0, Zo) dx dy dz dx0 dyQ dz0 dtQ.
В самом деле, подинтегральная функция отлична от нуля в ограни-
ченной области своих независимых переменных. Если — или /0
л
достаточно велико, то также будет большим, так как £0>0.
Заменим переменные, полагая ^0 + “ = ^
Тогда справедлива формула
4-со 4-00 4-со 4-00
5 Ф(жо-?/()> z°> z°) 7,1 (^0, 2/°> zo> zo)^° ^0^0*0 =
—оо —оо —со —оо
4-со 4“°° +°° +°°
= -^ 5 5 \®(x,y,z,t)x
—со —оо —оо —оо
4-со 4-со 4-со
Х-Ц у F (х0, у0, z0, t — ^dxodyQdzo^ dxdydzdt.
—со —00 —00
В самом деле, внутренний интеграл имеет смысл, ибо подинте-
гральная функция при фиксированных х, у, z, t отлична от нуля
§ 2] МЕТОД КИРХГОФА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ 205
лишь в ограниченной области. Отсюда
S \ ty(x9y,z9t)F(x9y,z,t)dxdydzdt~
«2 "ОО У’ tydxdy dzdt,
(XIV. 17)
где
4-оо 4-со 4-оо
и(х, у, z, t)= -F (^x0,y0,z0,t — ^dx^dy0dz0.
—оо —оо —оо
Тождество (XIV. 17) и есть то основное интегральное тождество,
которому удовлетворяет функция и. Мы покажем, что если и
имеет непрерывные производные 2-го порядка, то она удовлетворяет
уравнению (XIV. 1). В самом деле, оператор
Л a2 dt* ’
как нетрудно видеть, является самосопряжённым [см. § 2 (V)].
Поэтому интеграл
И И [м C^-^3')-^^ii-^S')]dxdydzdt==
2
С С С С fdPx , ЭРу I dPz , 7 7 7 ,
= \ \ \ \ ( “а”5 "—+ "V Ч—иг ’ dx dy dz dt
J J J J 4 dx dy dz [ dt /
2
преобразуется в интеграл, взятый на поверхности ограничи-
вающей объём Q ['см. (V.15)].
Если взять объём 2 достаточно большим, так чтобы на поверх-
ности S функция ф и все её первые производные равнялись нулю,
то правая часть последнего равенства обратится в пуль, и мы
получим:
^—-^d^')dxdydzdt==
а
= J ^--^^xtlytlzcii,
2
отсюда на основании (XIV. 17)
5 S dxdy dzdl = O,
206 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ И ЗАПАЗДЫВАЮЩИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ [Л. XIV
Последний интеграл обращается в нуль при любых ф, откуда
Тем самым доказано, что функция и удовлетворяет уравнению.
Нам остаётся доказать, что и = 0, ~ = 0 при /о = 0. Обраще-
ние в нуль и есть непосредственное следствие формулы (XIV. 14).
Для того чтобы доказать, что = 0 при Zo = 0, заменим пере-
менные в интеграле, стоящем в правой части (XIV. 14), полагая
x = ~at£, y = y^vat^, z = z0~'rat&
тогда
Г = - х0)2 -[ (у - у0)2 н- (z-Zo)2 = aQ,
где
В новых переменных
г? (х0, у0, z0, Zc) =
= at^’ У°Л' zo + at*?’
p^l
Правую часть можно дифференцировать по t0 под знаком инте-
грала. После того, положив го = О, имеем:
J-I =0.
ж о Но=О
Предполагая ограниченность производных 1-го порядка от F,
обоснование законности дифференцирования под знаком интеграла
см. в § 2 лекции VII.
Мы намеренно не останавливались здесь на вопросе о том,,
сколько непрерывных производных необходимо иметь в начальных
данных для того, чтобы наши формулы дали решение задачи,
обладающее нужным числом непрерывных производных. Как мы
увидим далее, этот вопрос не имеет существенного значения,
если воспользоваться понятием обобщённого решения волнового
уравнения, которое будет дано нами ниже.
Сделаем ещё одно важное замечание.
Как мы видели, решение уравнения колебаний струны было
столь же гладким, как и начальные условия, т. е. допускало
столько же непрерывных производных, сколько их было у функций, .
стоящих в начальных условиях.
Решение уравнения теплопроводности оказывалось более *
гладким, чем начальные условия.
§ 2] МЕТОД КИРХГОФА ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ 207
Решение волнового уравнения в этом смысле отличается
от рассмотренных задач. Оно является, вообще говоря, менее
гладким, чем начальные условия. Это видно хотя бы из того,
что значение функции и выражается в формуле Кирхгофа через
„ ди I
интеграл от нормальной производной _ •
Значение производной порядка к, удовлетворяющей тому же
уравнению, связано, таким образом, с начальными значениями
производных порядка к 4-1 от начальных данных.
Мы разобрали в этой лекции только задачу Коши в случае,
когда начальные данные относятся к поверхности t = 0. Однако
тот же самый метод позволяет строить решение задачи Коши и
в общем случае, когда начальные данные заданы на гиперповерх-
ности / = у, z), а также решение задачи, аналогичной первой
краевой задаче для гиперболических уравнений на плоскости.
Подробный разбор этих задач мы предоставляем читателю.
ЛЕКЦИЯ XV.
СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛОВ ПРОСТОГО И ДВОЙНОГО слоя.
§ 1. Общие замечания.
Для того чтобы рассмотреть задачи Дирихле и Неймана кроме
шара и полупространства ещё и для других областей, мы должны
будем изучить в отдельности поведение интегралов
0 (ХУЛ>
s
которые встречались нам уже неоднократно. Как мы упоминали
выше, интеграл 12 называется потенциалом простого слоя,
а функция Д (5) — его плотностью. Интеграл называется
потенциалом двойного слоя, а Д (5)—его плотностью. Функции
Д (5) и Д (5) будем предполагать непрерывными.
Мы будем называть поверхность А гладкой в смысле Ляпунова,
или просто поверхностью Ляпунова^ если будут выполнены сле-
дующие условия:
а) Поверхность А имеет везде касательную плоскость.
б) Вокруг каждой точки PQ поверхности можно описать такой
шар радиуса Л, не зависящего от Р$, внутрь которого попадёт
лишь участок S поверхности S, встречающий прямые, парал-
лельные нормали н0 в точке 7%, не более чем один раз.
в) Если Р^ и Р2 — две точки поверхности, а щ и п2 — еди-
ничные векторы, направленные по внешней нормали к поверх-
ности б1 в этих точках, то вектор — п2 удовлетворяет нера-
венству
1П1 — П2|
где А м 8 — постоянные числа; 0 < 8<; 1, а г обозначает расстояние
между точками Д и Р2.
г) Телесный угол под которым любая часть а поверхности <5*
видна из произвольной точки PQ9 ограничен:
§2]
СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛА ДВОЙНОГО СЛОЯ
209
(Если прямые, выходящие из Ро, встречают поверхность S неод-
нократно, то, взяв за о множество таких кусков 5, которые
видны с положительной стороны, мы можем получить со0 > и
вообще сколь угодно большое число. Поэтому такое ограничение
существенно.) в
Мы рассмотрим сначала случай, когда 6' — конечная, гладкая
в смысле Ляпунова, замкнутая поверхность. Пусть Q —область,
заключённая внутри 5.
Займёмся более детальным исследованием характера интегра-
лов, входящих в выражения потенциалов простого и двойного слоя.
Исследуем поведение этих интегралов вблизи некоторой точки
поверхности Р. Для удобства выберем систему координат таким
образом, чтобы исследуемая точка поверхности Р попала в на-
чало, касательная плоскость в этой точке совпала с плоско-
стью XOY, а ось OZ — с направлением внутренней нормали.
Пусть локальное уравнение поверхности 61 будет
z = C(x, у),
тогда
С(о,о) = «М = «М = о.
х 7 дх ду
§ 2. Свойства потенциала двойного слоя.
Рассмотрим прежде всего потенциал двойного слоя:
W {х0, Уо, z0) = $$ /г (XV.2)
S
Выражение , очевидно, представляет собой функцию двух
переменных точек: точки (xQ, у0, z0), занимающей произвольное
положение в пространстве, и точки (х, у, z), расположенной на
поверхности S. Производная берётся по направлению внутренней
нормали к поверхности Л* в точке (х, у, z).
Докажем несколько простых предложений, касающихся этого
потенциала.
Лемма 1. Обозначим через ср угол, составленный направле-
нием нормали в произвольной точке поверхности S, с радиус-
вектором, проведённым из этой точки в точку (#0, у$, z0). Тогда
потенциал двойного слоя может быть представлен в виде
W (^0> У»’ zo) = dS ’
s
(XV.3)
14 с. Л. Соболев
210 СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛОВ ПРОСТОГО И ДВОЙНОГО СЛОЯ [Л. XV
Докажем формулу (XV.3). Очевидно, косинусы углов, состав-
ленных радиус-вектором, проведённым из точки (х, у, z) в точку
(.г0, у0, z0) с осями координат, будут соответственно равны
х^ — х У у— У Zq — z
г 9 • г 7 г
Следовательно,
cos ср == —-— cos (/г, х) -r —— cos (/г, у) 4 cos (лг, z) = — .
Лемма доказана.
Лемма 2. Потенциал двойного слоя сохраняет смысл, если
точка Pq(x0, у0, zG) совпадает с точкой Qq, лежащей на поверх-
ности.
Для доказательства этого утверждения мы подставим в фор-
мулу (XV.3) ®0 = ?/0 = z0 = 0.
Выделим из поверхности S участок 6’1, содержащий начало,
так чтобы z на 6^ была однозначной функцией от х и у. Остав-
шаяся часть S2 не влияет на сходимость интеграла.
Интеграл при этом будет иметь вид
^ = ^10')^^=
‘S1
= - fi О') 0 cos (л, a;)4-JLcos(n, у) bpcos (n, z)^ dS.,
sL
Оцепим величину
---^x = 73cos(«> ж) + 75 cos (n, y) 4 -^cos(n, z).
Мы имеем:
cos (/г, x) ~ iii, cos (n, y) = nj, cos (n, z) == nk,
где i, j, k суть единичные векторы, направленные по коорди-
натным осям. Далее п0 —к, и поэтому
cos (п, х) = ni = (и — n0) i,
cos (и, у) — nj — (n—n0) j,
cos (n, z) — nk — (n — n0) k + nok = 1 -j (n — n0) k,
откуда, используя условия гладкости Ляпунова, имеем:
| cos (п, х) | < Аг\
| cos (п, у) | < Ar\ (XV.4)
| cos (п, z) | > 1 — Аг\
Оценим ещё величину z.
§ 2]
СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛА ДВОЙНОГО СЛОЯ
211
По теореме о конечных приращениях
Z (Х, у) = X + у з- ,
где (£, т]) — некоторая точка, лежащая на отрезке, соединяющем
начало координат с точкой (х, у) на плоскости хОу.
Но, как известно из курса дифференциальной геометрии,
dz cos (n, х)
дх cos (п, z) ’
откуда
1^1
I М 1—Л? ’
Принимая во внимание, что |
получим для точек поверхно-
сти, лежащих внутри или на
границе шара С3, определяе-
мого неравенством Лг8 < , не-
О
равенства
1у |<4 Лг8;
I дх | 2
I dz | 3 л й
Ь- ЬС-у-Лг8.
\ду I 2
Покажем, что для точек по-
верхности S, попавших внутрь
указанного шара, выполнено
неравенство
| z |< ЗЛр,г8 <р. (XV.5)
dz cos (п, у)
ду cos (п, z) 9
1^1 -/|,,г
1—л/'
жI <Р, IУI<Р, где р = + у2,
Обозначим луч, начинающийся в начале координат и проходящий
через точку Р(х, у) плоскости хОу, через ОР. Проведём плоскость
через ось z и прямую ОР. Пересечение её с шаром Лг8<С-|- есть
круг, пересечение с поверхностью — некоторая линия (см. чертеж 13)
Самую левую1) из тех точек на луче ОР, которые являются
проекциями точек пересечения поверхности 6* со сферой Лг8 = у ,
обозначим Q.
Если точка (х, у) лежит на отрезке OQ, то точка т] также
лежит на этом отрезке, и точка (£, т], z (£, tq)) лежит внутри или
на границе рассматриваемого шара. Поэтому в этой точке спра-
х) Самая левая точка существует, так как рассматриваемое множество
замкнуто; очевидно, она не совпадает с О.
14*
212 СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛОВ ПРОСТОГО И ДВОЙНОГО СЛОЯ [Л. XV
I dz I I dz
ведливы неравенства для | и
сте с тем и неравенство (XV. 5).
Если точка Р(х, у) лежит вне отрезка OQ, но соответству-
ющая точка поверхности лежит внутри рассматриваемого шара,
то неравенство (XV.5) и подавно выполнено:
|Z(P)|<|Z(0|<£C<W = P.
Неравенство (XV.5) доказано.
Для точек поверхности, лежащих внутри указанного шара
Лгв < у , справедливы неравенства
р<г<2р.
, выписанные выше, а вме-
Левая часть очевидна, а правая следует из того, что
г = ]/р2 4 z2 4 ]/*2р2 4 2р.
Это позволяет уточнить неравенства (XV.4) и (XV.5). Имеем:
| cos (и, х) | < 28Лрб < 2Лр5,
| cos (п, у) | < 2Лр8, / (XV.о )
I cos (/г, z) |> 1 — 2Лр8 > у - J
Подставляя эти оценки в выражение для получим:
| | < 2Лр~2+5 4 2Лр~2+8 4- 6Лр“2+5 < *2Л5 • (XV.6)
Интеграл по той части S' поверхности S, которая попала
внутрь шара Лгб < у , можно записать в виде
5 5 А (6')»dS - J \ Л ) •“! 1- - dy,
S' а'
где а' —проекция S' на плоскость хОу.
В силу (XV.5') и (XV.6)
где М = тах/(6'), откуда следует существование первого инте-
грала в правой части равенства
$$ А(5)U (Л) $ Я А dS-
S S' S~S'
§2]
СВОЙСТВО ПОТЕНЦИАЛА ДВОЙНОГО СЛОЯ
213
Поскольку существование второго интеграла не вызывает сомне-
нии, лемма доказана.
Замечание 1. Потенциал двойного слоя является непре-
рывной функцией точки Ро, Pq = Q0, когда <?0(^0, у0, z0) дви-
жется по поверхности.
Для доказательства от интегрирования по S' перейдём к инте-
грированию по а' и заметим, что оценка (^.), быть может, с боль-
шим постоянным множителем в правой части, будет справедлива
не только для точки Qo, совпадающей с началом координат, но
и для всех достаточно близких к началу точек, причём в этом
случае р = фА(л; — ^о)2 + (?/ — ^о)2- Таким образом, применим при-
знак равномерной сходимости интеграла (§1 л. VTI), и из
леммы 2 лекции VII следует справедливость доказываемого за-
мечания.
Как мы сейчас установим, w есть разрывная функция, кото-
рая претерпевает разрыв непрерывности при переходе через по-
верхность S. Обозначим через w0 величину потенциала двойного
слоя, если вместо я0, у0, z0 в формулу (XV.3) подставлена точка
поверхности 5; есть функция точки поверхности.
Теорема 1. Функция w имеет пределы при стремлении
(.г0, т/0, з0) к поверхности S извне и изнутри, причём эти пределы
различны. Если предел значений w извне обозначить через wev
а предел значений w изнутри — через wi7 то имеют место формулы
Ше= — 2^/1 (^)Н Wo,
(S) + &y0.
HXV.7)
Для доказательства формул (XV. 7) рассмотрим w. Мы будем
иметь:
д — г г д~
^Р) = 5 5LACO -мл,)] -^dS-\ \ 5 /1TO-^ =
s
s
= ^(Z>) + ^2(P), (XV.8)
где через Ро обозначена какая-нибудь фиксированная точка по-
верхности 6’. Первое слагаемое в формуле (XV.8), обозначенное
через w1{P), есть непрерывная функция в точке Р^. Это следует
из равномерной сходимости интеграла в этой точке [см. § 1 (VII)],
которую легко установить. В самом доле,. окружим точку Р%
областью о(е), столь малой, чтобы иметь
где S — точка, принадлежащая области а (г).
214 СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛОВ ПРОСТОГО И ДВОЙНОГО СЛОЯ (Л. XV
Тогда для любой точки Р, лежащей в некоторой окрестности
h (е) точки Ро, будем иметь:
d5|
.1
б/о) —
точкой Р, принадлежащей окрест-
W,
С
причём г —расстояние между
ности Л(е) точки Ро, и точкой 6* на поверхности с; через обо-
значена часть о, которая видна из точки Р под положительными
телесным углом, а через о2 —та часть а, которая видна из Р
под отрицательным телесным углом. При достаточной гладкости
поверхности S и во всяком случае для поверхности Ляпунова
в силу условия г) оба интеграла
и И*
°1 С2
будут ограничены3). Этого достаточно для непрерывности
в точке PQ. Второе слагаемое формулы (XV.8) легко вычисляется:
д~
[ $ /, (Ро) dS = /х (Ро) dv = /г (Ро) о>у (Р),
8 S
где <о^ (Р) — величина телесного угла, под которым видна поверх-
ность S из точки Р.
Пусть ш2е, w0 обозначают соответственно пределы w2
извне и изнутри и значение w при подстановке вместо точки Р
точки Ро поверхностчЕ б*. Чтобы разобраться в этих величинах,
нам остаётся изучить поведение (Р) при переходе через поверх-
ность S в точке Ро.
Пусть точка Ро пересекает поверхность S, двигаясь изнутри
наружу. Пока Р^ находится внутри области, ограниченной по-
верхностью S, (PQ) = Как только Ро пересекла поверх- -
ность S и оказалась вне её, w? (Ро) = 0. Следовательно, функция
(Ро) терпит разрыв непрерывности при переходе через поверх-
ность S. Остаётся определить значение (Ро), когда Ро есть
х) В более подробных курсах теории потенциала, например Гюнтер,
Теория потенциала и её применение к основным задачам математической
физики, Гостехиздат, 1953, выясняются те условия для поверхности, при
Л
которых ограниченность \ \
JsJ
дп
dS им зет mjcto.
§ 2] СВОЙСТВО ПОТЕНЦИАЛА ДВОЙНОГО СЛОЯ 215
точка поверхности С этой целью окружим точку Ро малой
сферой о радиуса т] и рассмотрим линию Z, по которой сфера о
пересекается с поверхностью 8. Линия I разделяет поверхность
сферы на две части —внутреннюю по отношению к 8, и
<з2 —внешнюю. Эта же линия делит поверхность 5 на две части —
внешнюю по отношению к о часть 6^ и внутреннюю S2. Внеш-
няя часть вместе с ах образует замкнутую поверхность, вне
которой находится точка PG. Следовательно, телесный угол, под
которым видна поверхность из точки Ро, равен углу, под ко-
торым видна из PQ часть сферы ах.
Для того чтобы вычислить телесный угол, под которым видна
из точки Ро поверхность 8, достаточно определить угол, под
которым видна поверхность 819 и перейти к пределу, устремляя
радиус т] сферы о к нулю. По предыдущему, это равносильно
нахождению предела угла, под которым видна из Ро часть ох
сферы с. Нетрудно доказать, что этот предел равен 2тс. Пере-
сечём сферу о плоскостью, касательной к Л" в точке Ро. По до-
казанному выше, расстояние от точек линии I до касательной
плоскости не превосходит 6Лт]1+6. Таким образом, линия I цели-
ком находится внутри сферического пояса на сфере о, определён-
ного неравенством | z | < 6тЦ1+5.
Построим на о географическую систему координат, взяв за
полярную ось нормаль к 8 в точке Ро. В этих координатах
пояс, внутри которого заведомо заключена линия Z, ограничен
параллелями а0 южной широты и а0 северной широты, где
. 5Л^1+6 . д . й
а0 — arcsin ~— = arcsin .
Угол а0, очевидно, стремится к нулю. Следовательно, сх стре-
мится к поверхности полусферы и, значит, телесный угол, под
которым Oj видна из Ро, стремится к 2тс. Итак, (Ро) = 2 тс, если
PQ лежит на поверхности 5.
Отсюда
Ме = — 2я + (WJo, («)Д = --I (<05)0.
При этом для w2 будем иметь:
= - 2к /. (Ро)4 (te»2)0; ay2i = 2я /х (Ро) 4 (ш2)0.
Из непрерывности wx и формулы (XV.8) сразу следует (XV. 7).
Так как /^ — произвольная точка поверхности 8, то наша тео-
рема доказана.
Замечание 2. Из непрерывности ^Х(Р) и того, что w2(P)
при фиксированном jP0 есть постоянная внутри и вне Q функция,
следует, что потенциал двойного слоя можно непрерывно по
совокупности переменных продолжить из 2 на 5, а также извне
2 на 8.
216 СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛОВ ПРОСТОГО И ДВОЙНОГО СЛОЯ [Л. XV
§ 3. Свойства потенциала простого слоя.
Подобно предыдущему исследуем потенциал простого слоя
*’(А>) = 55 (XV.9)
S -
Заметим, что при непрерывной функции /2 (5) функция v (Р^
непрерывна всюду, включая поверхность S. Чтобы убедиться
в этом, опишем около произвольной точки 7J0 сферу радиуса tj,
выбранного так же, как для оценки (XV.6). Часть поверхно-
сти 5, попавшую внутрь сферы, обозначим 6".
Разобьём интеграл (XV.9) на два, по поверхности S' и по
поверхности S — S'. Непрерывная зависимость от параметра Ро
второго интеграла очевидна; покажем непрерывность первого
интеграла.
Проведём касательную плоскость в какой-либо точке поверх-
ности S' в примем сё за плоскость хОу. Тогда
$5~ЛОТdS_ 1 3^7) *dy-
S' а'
j
Во всех точках S' имеем cos (и, z) > у , откуда
11д (Л) * I < “ < - ----------------.
I г 2 v S * 7 cos (n, z) I /(Ж—ж0)2 + (у— ?/о)2
В силу признака равномерной сходимости и леммы 2 из § 1 лек-
ции VII, -непрерывность гДР0) доказана.
Отметим, что первая производная потенциала простого слоя
по любому направлению v непрерывно зависит от PQ в каждой
точке Р, не лежащей на поверхности Действительно, фор-
мально дифференцируя равенство (XV.9), получим:
S
Правая часть этого равенства непрерывна, так как подинтеграль-
ная функция ограничена и непрерывно зависит от PQ в окрест-
ности точки Р. По этой же причине законно дифференцирование
под знаком интеграла.
Перейдём к исследованию поведения производных потенциала
простого слоя вблизи поверхности S. Выберем произвольную
точку Qo на поверхности 6* и обозначим направление внутренней
нормали в этой точке через п*. Производная по этому направле-
§ 3] СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛА ПРОСТОГО СЛОЯ 217'
нию в точке PQ, не лежащей на поверхности, будет
<•>
S
Но
д / 1 \ 1 dr 1 ,
TV ( — ) =---2 W =-----2 COS Фо»
дп* \ г J г дп* г* ‘и
где ф0 — угол между радиусом-вектором г, проведённым из Р
в Ро, и направлением п* нормали в точке Qo. В самом деле,
введём систему координат, начало которой поместим в точке Q^„
а ось z направим по п*. Тогда
Это позволяет написать
= - 5 5л (5) ds- (XV-10>
8
Докажем два утверждения.
Лемма 3. Интеграл
- 55
стоящий в правой части формулы (XV. 10), сохраняет смысл
также в том случае, если точка Р{) тождественно совпадает
с точкой Qq на поверхности, и является непрерывной функцией
точки Qq на этой поверхности.
Действительно, для точек поверхности Р, расположенных до-
статочно близко к точке Pq = Qq (0, 0, 0), имеем в силу (XV.5')
I cos Фо I __ I z I 6Л
|“ги •
Это неравенство аналогично (XV.6) и позволяет доказать лемму 3
точно так же, как было доказано замечание 1 к лемме 2 в пре-
дыдущем параграфе.
Будем обозначать интеграл, о котором говорится в лемме 3 и ко-
торый вычислен для точки Pq^=Qq, лежащей па поверхности S,
dv
че₽ез :
д-
^- = fAS)dS.
дп0 J J дп* 12 ' '
8
/ дъ (Ро) dv (Ро)
Обозначим через и - соответственно предельные зна-
О 71 j Ofl(>
чения нормальной производной при приближении точки Р к точке
поверхности Ро по нормали изнутри 5 и извне S.
218
СВОЙСТВО ПОТЕНЦИАЛОВ ПРОСТОГО И ДВОЙНОГО СЛОЯ [Л. XV
(XV. 11)
Теорема 2. При непрерывной функции имеют место сле-
дующие формулы*.
£=2Г.МР,) + ^, |
*=-2*МР.)+£.. I
1Т <91? w
Для доказательства мы сравним — с потенциалом w двойного
слоя с плотностью —/2(5).
Составим
<91?
sJ
(XV. 12)
эта разность непрерывна по х0 в точке
Мы докажем, что
(О, 0, 0).
В самом деле,
=COS (», СО» („, г,)-1=Й [COS (»,»)- 1[.
Пусть точка х0, у^ zQ движется по нормали к поверхности,
е- •% = ?/<> = °-
При этом
cosy —cos % = _ xcos(n, ж) у cos (п, у) z — z0 , z) — 11
Пользуясь оценками (XV.5'), имеем:
cos (ft, ж)|< Л2р1+6; | г/cos (ft, у) j - ^р14Л,
11 — cos (ft, z) | -41p6,
где Лг—постоянная.
Замечая ещё, что
I Z - Zo | < г = ]/.т2 + у2 + (z—z0)2,
мы получаем:
I cos ср —cos ф0 I 2Лгр1+° A ps ЗА
г2 гз ' „2^ 02—5
1 * • г
Окружим точку Ро = Qo сферой а малого радиуса и часть поверх-
ности, попавшую внутрь о, обозначим 5'. Разобьём интеграл (XV. 12)
на сумму интегралов по поверхностям S' и 5 — 6". Перейдём
в первом интеграле к интегрированию по области а' плоскости
х, у, на которую проектируется 5'. В силу приведённой оценки
и признака равномерной сходимости из § 1 лекции VII, интеграл
по а' равномерно сходится относительно параметра z0 и является
непрерывной функцией от z0 в точке х0 = у0 = zo = O. Отсюда
§ 3]
СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛА ПРОСТОГО СЛОЯ 219
следует, что интеграл (XV. 12) также непрерывен по z0 в этой
точке.
Следовательно,
/ dv \ / dv \ / dv \
( ъ----W ) = - п--W ) = { Ъ-----
\dz0 Л0:=+0 < дз0 /z^-О \dz0
Пользуясь теоремой 1 настоящей лекции, отсюда сразу получаем
формулы (XV .11).
Замечание 3. Отметим ещё одно важное обстоятельство.
cos ф—cos фо
Оценка величины ---—----— является равномерной по отношению
к точке поверхности S. Поэтому производная
du
dT0
будет стремить-
ся к своему предельному значению равномерно по всей поверх-
ности S.
Теорема 3. Для любой ограниченной функции функ-
dv
ция непреры вна.
Достаточно заметить, что при доказательство леммы 3, как
и замечания к лемме 2, была использована лишь ограниченность
функции /2(5).
Теорема 4. Пусть плотность простого слоя удовлетворяет
условию
(XV. 13)
где К и 0—некоторые постоянные, Рг и Р2—две произволь-
ные точки на поверхности и г3—расстояние между Рг и Р2.
Фиксируем какую-нибудь точку QG на поверхности и проведём
касательную плоскость и нормаль в этой точке.
При сделанных предположениях потенциал имеет производ-
ную первого порядка во всех точках нормали, кроме, быть может,
самой точки Qo, по любому направлению, параллельному касатель-
ной плоскости. Эта производная непрерывно изменяется вдоль
нормали всюду, кроме, быть может, точки QG, где она имеет
устранимый разрыв.
Попрежнему выберем начало координат в точке QG, за пло-
скость хОу примем касательную плоскость и ось х направим по
тому направлению, вдоль которого вычисляется исследуемая про-
изводная.
Вычислим эту производную ~~ в некоторой точке Ро (0, 0, zG),
z0 Ф 0, лежащей на нормали. Она записывается в виде интеграла
S
и непрерывна в точке Ро.
220
СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛОВ ПРОСТОГО И ДВОЙНОГО СЛОЯ [Л. XV
Для доказательства теоремы достаточно показать, что этот
интеграл, зависящий от параметра z0, сходится равномерно при
zo = 0, если подходящим образом определить его значение при
z = z0, когда он может не существовать.
Построим вокруг оси z цилиндр радиуса и высоты h такой,
что в точках куска 5* поверхности 5, попавшего внутрь этого
цилиндра в окрестности Qqj нормаль к S образует угол с осью z,
не превосходящий ~ .
Выбрав h настолько малым, чтобы цилиндр попал внутрь
шара С3 (см. стр. 211), будем иметь
|z| < р.
Пусть г* = у х2 + у2, + z2. Рассмотрим интеграл
А (Со) (n,z)dS.
' s*
Этот интеграл, очевидно, равен нулю для всех значений z0, кро-
ме z0 = 0, для которого он не сходится, ибо его можно переписать
в виде
А (Со) $$
где под интегралом стоит нечётная функция от х. При z0 = 0
можно также доопределить его нулём.
Очевидно, задача свелась к доказательству того, что интеграл
или
Л«?о) cospi, z)\
г*3 J
(XV. 14)
равномерно сходится при zo = O. Это легко доказать. В самом
деле, имеем:
++/t ((?о) 2) (1 у
рб | рЛ 1 J Z \ V у/ \ f J \ ро J
Оценим порознь каждое из слагаемых правой части этой формулы.
§3]
СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛА ПРОСТОГО СЛОЯ
221
Мы имеем: г = ]/ж2 + у2 -р (z — z0)2> р; г* > р;
г3 = Ух2 + у2 + z2 < ]/2р,
|/2 кл
I Г3 I 7-3 р3-61 ’
Из (XV.4) следует:
|MQo)t1-cgg.<Ml| < |/2(<?0)Мр- < •
| 713 I I / \VU/ I г3 —о
I 1 г
Далее,
Разность векторов г и г* представляет собой отрезок длины z.
Поэтому в силу (XV. 5)
|г —r*| = |z[ < /Гр1^.
Пользуясь этим, имеем:
Возвращаясь к интегралу (XV. 14), мы видим, что он может
быть переписан в виде
\\ А№,)”("';>)“у-
x2-|-j/2<Ch2
Подинтегральная функция в этом интеграле не превосходит
т/2~ /4-^2Ч--1СА ___ К5
Г Р \ P3~s / ” P2-S ’
независимо от z0 (а также от направления х). Следовательно, по
признаку 2 из лекции VII интеграл сходится равномерно отно-
сительно zQ в точке zQ = 0 и является поэтому непрерывной функ-
цией при zo = O. Теорема доказана.
Рассмотрим градиент функции v в точке Ро ф Qo, лежащей
на нормали. Представим его в виде суммы двух векторов, один
из которых направлен по нормали, а другой параллелен каса-
тельной плоскости в точке Qq:
grad v (А) = ^^-~k + (grad v)x,
где через к обозначен единичный вектор в направлении внут-
ренней нормали.
222
СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛОВ ПРОСТОГО И ДВОЙНОГО СЛОЯ £Л. XV
Замечание 4. Из доказательства теоремы 4 следует, что
вектор (gradr)-: стремится к определённому пределу
г‘х S 5
S
когда Ро стремится к Qo по нормали изнутри или извне обла-
сти 2, и что стремление это имеет место равномерно относительно
точки Qq на поверхности.
Теорема 5. В предположениях теоремы 4 вектор grad??
имеет непрерывные предельные значения (gradz?)^ и (grad??)e на,
поверхности S, к которым стремится равномерно, когда точка Р
стремится к соответственно изнутри или извне области 2.
Рассмотрим для определённости случай, когда точка Р стре-
мится к Qo изнутри области 2.
Действительно, из теорем 3 и 4 следует, что при стремлении
точки Ро по нормали к точке Qq, лежащей на поверхности В,
вектор grad г? стремится к некоторому предельному значению,
которое мы обозначим (gradi;^. По отношению к точке Qq эта
сходимость имеет место равномерно. Отсюда в силу того, что
поверхность Ляпунова имеет непрерывно меняющуюся касатель-
ную плоскость и в силу условия б) (стр. 208) следует, что век-
торная функция (gradz^ есть непрерывная функция точки
Покажем, что и при стремлении точки Р к точке Qq по
любому пути изнутри области 2 предел grad v будет суще-
ствовать и будет равен (gradz;)^ причём стремление к, этому
пределу будет равномерным.
Значение grad?? в некоторой точке Ро, лежащей внутри шара
радиуса с центром в точке Qqj будет мало отличаться от зна-
чения (grady)i в какой-либо точке Q±, находящейся на поверх-
ности 5 и ближайшей к Ро (очевидно, что Ро лежит на нормали
в точке Qj), а значение (grad??)i в точке Q1 в свою очередь
будет мало отличаться от значения (grad в точке Qq ввиду
непрерывности функции (gradz>). на поверхности S.
Дословно так же доказывается утверждение теоремы о пре-
дельном значении векторной функции grad г при стремлении
точки Ро к точке Qo извне области 2:
Следствие. Функция v имеет непрерывные первые произ-
водные первого порядка вплоть до границы всюду внутри,
а также всюду вне области 2.
Достаточно заметить, что частная производная первого порядка
по какому-либо направлению равна проекции вектора grad г? на
это направление.
Теорема 6. Если плотность v(0 потенциала, простого
слоя есть непрерывная функция точки поверхности Q, то значе-
§ 3]
СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛА ПРОСТОГО СЛОЯ
223
ния дп как ФУнкЧия точки поверхности удовлетворяют условию
(XV. 13) теоремы 4.
Для доказательства рассмотрим разность
8
где гх и г2 — векторы, соединяющие точку Q с Qt и Q2, а в
единичный вектор внутренней нормали в точке Q. Окружим
1
точку шаром радиуса 7]==[г(^х, (?2)р. Точки и Q2 мы
предположим настолько близкими, чтобы т] была меньше k
радиуса шара Ляпунова (см. стр. 208, б).
Пусть а —часть поверхности 5, попавшая внутрь шара С,.
Разобьём интеграл Д на два слагаемых:
^2) = Л+^а,
где
МV(0(n' Is-’~S5’<«(”• #-£)
g S—a
Пусть Q' — переменная точка на 5, а г' — вектор, соединяю-
щий Q и Q'. Вектор в области 5 — а представляет собой
непрерывно дифференцируемый вектор. Производные от его ком-
понентов не превосходят . Поэтому • — >— может быть оце-
г тд г2
нено по формуле конечных приращений:
|4*2г|<ДД'-(<21, <?2).
Таким образом, для интеграла 7^_с получим:
|/в_0|<О-(С1,С2) $$
n>r (Qi, Q2)2
= C1r(Q1,Q.)[A+ >f]’
b>n>r(Qi, Q2)2
где C7 Ct и A — постоянные, h — радиус сферы Ляпунова.
Но внутри сферы Ляпунова <С2р~2 dy (см. стр. 212).
ri
I Тоэтому
Q2) Гр-Ц£ х + Л | Q2f.
А» ’ р.
224
СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛОВ ПРОСТОГО И ДВОЙНОГО СЛОЯ [Л. XV
Далее,
0^ri^r(Qi, Q2)2 0^т2^2г (Qi, Q2)2
На основании прежних оценок (стр. 212) получим:
1
[2r(QbQ2)]2 о
|Л|<^ р-1+^р<^(^,^2Р,
о
что и доказывает наше утверждение.
§ 4. Правильная нормальная производная.
В дальнейшем нам придётся применять формулу Грина к гармо-
ническим функциям, представленным в виде потенциалов простого
или двойного слоя. Для того чтобы иметь возможность это делать,
мы должны наложить дополнительные ограничения на поверх-
ность S.
Сделаем прежде всего одно важное замечание. Формула
Грина (V.16) была получена нами в предположении непрерывности
первых производных от функций и и v вплоть до границы и ин-
тегрируемости Да и Ду внутри области.
Допустим, что наша поверхность Д' такова, что функции, кото-
рыми она задана в параметрическом представлении:
х = х (X, р),
?/ = ?/(Х, р), (XV. 16)
z = z(X, р),
допускают непрерывные производные по параметрам до второго
порядка включительно.
В каждой точке этой поверхности построим нормаль п и отло-
жим на этой нормали отрезок постоянной длины С. Геометрическое
место концов этих отрезков описывается уравнениями
хг — х + С cos пх,
У1—У+^ cos пУ>
z± = z + С cos nz.
Это множество точек образует некоторую поверхность
которую можно назвать поверхностью, параллельной поверхности S.
Легко убедиться в том, что поверхность имеет непрерывно
меняющуюся касательную плоскость. Для этого рассмотрим урав-
нение поверхности S в параметрической форме (XV. 16). Соста-
вляющие вектора нормали* пх (X, »i), пу(Х, р.), /гДХ, р,) непрерывно
§ 5] НОРМАЛЬНАЯ ПРОИЗВОДНАЯ ПОТЕНЦИАЛА ДВОЙНОГО СЛОЯ 225
дифференцируемы один раз по X и р. Подставляя эти выражения
в уравнения для хг, ylt z19 получим параметрическое представле-
ние для которое, очевидно, будет допускать непрерывные
производные первого порядка по X и р. и, значит, поверх-
ность будет иметь непрерывно изменяющуюся касательную
плоскость.
Предположим, что функции и и г? таковы, что функции Дгг
и Дг? непрерывны внутри области 2. Пусть и и v имеют непре-
рывную нормальную производную на любой поверхности 3^,
«параллельной» S и лежащей внутри неё.
•j-»- .. ди I dv I
Предположим еще, что нормальные производные-^-^ и
определённые на поверхности 3^, равномерно стремятся к непре-
рывным предельным функциям ^(Д’) и <р2(3'). Эти функции мы
будем называть нормальными производными от и и v на поверх-
ности S и обозначать через и f.
г дп |s дп |s
Мы будем говорить в этом случае, что функции и и v обла-
дают правильными нормальными производными.
Теорема 7. Если и и и —две гармонические в области 2
функции, допускающие правильные нормальные производные, то
для них имеет место формула Грина
S
Доказательство этой теоремы очевидно. Достаточно приме-
нить формулу Грина к поверхности 3^, «параллельной» данной
поверхности S, и затем перейти к пределу при стремле-
нии 3\ к 5.
Из теоремы 2, леммы 3 и замечания 3 настоящей лекции
вытекает, что при непрерывной плотности f2(S) потенциал про-
стого слоя обладает правильной нормальной производной.
§ 5. Нормальная производная потенциала двойного слоя.
Для потенциала двойного слоя мы получим условие суще-
ствования правильной нормальной производной в виде следую-
щей теоремы:
Теорема Ляпунова. Для того чтобы решение уравне-
ния Лапласа
&и = О
в области 2, ограниченной поверхностью S, удовлетворяющее
условию
»|в=/(<4
15 с. Л. Соболев
226
СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛОВ ПРОСТОГО И ДВОЙНОГО СЛОЯ [Л. XV
{решение задачи Дирихле), допускало правильную нормальную
производную, необходимо и достаточно, чтобы потенциал двой-
ного слоя И7, образованный с помощью функции f (8)\
г=АН fd-/-dS,
4л J J J дп
S
имел правильную нормальную производную как извне, так и из-
нутри и чтобы эти нормальные производные совпадали.
Докажем эту теорему. Рассмотрим функцию w{PQ):
(и — W, если Ро внутри 2;
( — W, если*Р0 вне 2.
Функция w(PQ) будет гармонической как внутри области 2, так
и вне её. Можно доказать, что она непрерывна во всём про-
странстве, кроме поверхности S, где она имеет устранимый раз-
рыв. Это следует из замечания 1 этой лекции и того, что скачок
функции ш(Р0) при переходе через поверхность S, как легко
видеть, равняется
M(7>o)|s-/(6’) = O.
Если функция и(Р0) допускает правильную нормальную про-
изводную , то функция w (Ро) будет совпадать с потенциалом
простого слоя
S
Действительно, при этом в силу формул Грина (IX.4) и (IX.6)
имеем:
1
1 с с Л j_ г с если Р° внутри 2>
4Я Н 7 И г | 0, если Ро вне S,
S S 0
откуда
и(Р0) + ^ lg- dS, если Ро внутри 2;
4л j j дп | 1 С С 1 д и п
s I — 7~ \ \ — ^~dS, если Р(} вне 2.
I 4л J J г дп 1 и
I S
Таким образом, потенциал двойного слоя W представляется
в виде суммы двух функций, обладающих правильной нормаль-
§ 6]
ПОВЕДЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛОВ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ >
227
ной производной с обеих сторон поверхности S и, следователь-
но, сам обладает с обеих сторон правильной нормальной
производной. Скачок этой производной, как следует / из тео-
рем ы 2 настоящей лекции, равен нулю. Следовательно, пре
дельные значения нормальной производной извне и изнутри сов-
падают.
Мы доказали необходимость условия теоремы. Покажем теперь
достаточность этого условия. Прежде всего заметим, что ес-
ли будет существовать непрерывная правильная внешняя нор-
мальная производная от функции W, то функцию w можно
рассматривать вне 2 как решение задачи Неймана с задан-
ными непрерывными значениями внешней нормальной произ-
водной:
dw
дп
I = —I
Is дп |s ’
Но решение такой задачи, как будет показано в лекции XIX
независимо от доказываемого утверждения, представимо в виде
потенциала простого слоя F* с непреры вной плотностью v (5).
Такой потенциал будет совпадать везде с функцией ибо
их разность V* (Ро) — w (Ро) является гармонической в 2 функ-
цией, непрерывна во всём пространстве и тождественно равна
нулю вне 2.
Значит, изнутри будет существовать правильная нормальная
производная ~. Но внутри области 2 имеем:
ди___dW dw
дп ~~ дп ' дп
Из существования правильных нормальных производных от w
и W следует, что существует правильная нормальная производ-
ная от и, что и требовалось доказать.
»
§ 6. Поведение потенциалов на бесконечности.
Последнее важное свойство потенциалов простого и двойного
слоёв, которое мы сейчас разберём, — это их поведение на бес-
конечности.
Мы докажем, что если поверхность S ограничена, потенциал
простого слоя убывает на бесконечности, по крайней мере как ,
а потенциал двойного слоя, по крайней мере как где
___________ -“о
= |/ «о + Уо + %.
15»
228 СВОЙСТВА ПОТЕНЦИАЛОВ ПРОСТОГО И ДВОЙНОГО СЛОЯ [Л. XV
В самом деле, очевидно, что при достаточно большом Во получим:
г = - ^о)2 + (У - Уо)2 + (z - Zo)2 =
= / («О + Уо + *о) ~ 2 (жжо + УУо + zzo) + № + У2 + Z2) =
— 1/ «г2 ! „2 I —2 1А 2 (жж0 + з/1/о + zz0) — (ж2 + I/2 + Z2)
- Г *0 Н- Уо + Z0 у 1 (Ж2 + 2/2 + Z2) >
р 2Д7?о-Я2 1 р
|/ 1------Д2---->^Я0-
Значит,
м=| $
S S
1^1=1 И
S ° S
что и требовалось доказать.
ЛЕКЦИЯ XVI.
СВЕДЕНИЕ ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА
К ИНТЕГРАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ.
§ 1. Постановка задач и единственность их решений.
Пусть А— замкнутая, достаточно гладкая поверхность. Обо-
значим через объём, ограниченный этой поверхностью, а через
Q2 — бесконечную область, внешнюю по отношению к А, также
ограниченную поверхностью А.
Рассмотрим четыре задачи:
1. Внутренняя задача Дирихле. Найти функцию и9
гармоническую в при условии
и Is = fl (S').
2. Внешняя задача Дирихле. Найти функцию и, гар-
моническую в 22, при условиях:
. a) u\s—fi(S),
б) lim и = 0.
jR->co
3. Внутренняя задача Неймана. Найти функцию и,
гармоническую в Q2, при условии
4. Внешняя задача Неймана. Найти функцию й, гар-
моническую в S2, при условиях:
“)
б) lim й=0.
К-» со
Прежде чем намечать пути решения этих задач, займёмся их
исследованием.
Теорема 1. Решение задачи Дирихле, внутренней или внеш-
ней, единственно.
Доказательство совершенно очевидно. Оно вытекает из прин-
ципа максимума. Разность двух решений в случае внутренней
230 СВЕДЕНИЕ К ИНТЕГРАЛЕН. УРАВНЕНИЯМ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ [Л. XVI
задачи будет гармонической функцией, равной нулю на 5; в слу-
чае внешней задачи разность двух решений будет равна нулю
на 5 и на бесконечности. Следовательно, разность решений не
может принимать внутри области ни положительных, ни отри-
цательных значений, ибо иначе она достигла бы там своего
положительного максимума или своего отрицательного миниму-
ма, что невозможно. Значит, в обоих случаях разность решений
равна нулю.
Теорема 2. Решение внешней задачи Неймана, имеющее
непрерывные вплоть до границы производные 1-го порядка, един-
ственно, , решение внутренней задачи определено с точностью до
произвольной постоянной.
Относительно поверхности S достаточно предполагать, что
она удовлетворяет условиям Ляпунова. Рассмотрим сначала вну-
треннюю задачу. С помощью формулы Грина, которая приме-
нима при сделанных предположениях, преобразуем интеграл:
S
Если теперь v — гармоническая функция и обращается в нуль
на контуре, то
и, значит,
дг? ___ __ о
дх ду dz
Отсюда следует, что v — постоянная.
Пусть теперь и±, и2 —два решения внутренней задачи Ней-
мана. Их разность v является гармонической функцией, нор-
мальная производная которой на границе области равна нулю.
По доказанному такая функция есть постоянная. Теорема дока-
зана для случая внутренней задачи.
Внутренняя задача Неймана разрешима не всегда. Необходи-
мым и достаточным условием её разрешимости является равенство
^/г(5)^ = 0.
§ 1]
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ И ЕДИНСТВЕННОСТЬ ИХ РЕШЕНИИ
231
Необходимость этого условия очевидным образом вытекает из
формулы Грина (V.16), если положить г = 1. Достаточность мы
установим в лекции XIX.
Для рассмотрения внешней задачи возьмём сферу Е радиуса А,
где Л —достаточно большое число, и пусть 23 —объём, заклю-
чённый между S и 5. По предыдущему
X S
Й3
Если v — гармоническая функция, стремящаяся к нулю на бес-
конечности, и притом такая, что = U, то левая часть по-
следнего равенства сколь угодно мала. В самом деле, в силу те-
оремы 1 лекции XII на Е имеем:
. । М \dv \ М
и
£ £
Значит,
23
при любом е > 0, что возможно лишь при условии
dv dv dv
dx dy dz
Значит, v есть постоянная. Но эта постоянная может быть только
нулём, так как иначе она не стремилась бы к нулю на беско-
нечности. Разность двух решений внешней задачи Неймана есть
поэтому нуль, и решение задачи Неймана единственно.
Замечание. Утверждение теоремы 2 останется справед-
ливым, если ослабить ограничения на первые производные от
функции v, но зато усилить ограничения на поверхность 5, а
именно, предположить, что поверхность удовлетворяет условиям
параграфа 4 л. XV и что решение имеет правильную нормаль-
ную производную.
Действительно, при доказательстве теоремы 2 м.ы пользова-
лись лишь применимостью формулы Грина, но она применима и
при сделанных в замечании предположениях.
Можно было бы показать, что единственность решения задачи
Неймана имеет место и в более широких предположениях.
232 СВЕДЕНИЕ К ИНТЕГРАЛЫ!. УРАВНЕНИЯМ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ [Л. XVI
§ 2. Интегральные уравнения для поставленных задач.
Полученные нами в предыдущей лекции свойства потенциа-
лов позволяют решать задачи Дирихле и ЬТеймана для любых
областей, ограниченных достаточно гладкими поверхностями, при-
ведением их к интегральным уравнениям.
В самом деле, пусть мы хотим найти, например, решение
внутренней задачи Дирихле. Будем предполагать, что искомая
функция и есть потенциал двойного слоя w с неизвестной пока
плотностью рь(б’):
s
Как известно, потенциал двойного слоя есть гармоническая функ-
ция. Мы должны подчинить w тому условию, чтобы её предель-
ное значение изнутри равнялось /1(5):
Из равенств (XV. 7) имеем:
Wi = 2кр (S) + w0 = 2^х («S’) l е ^г08-- dSlt
S
где г —расстояние между двумя точками S и нашей поверх-
ности. Таким образом, для р(б’) получим уравнение
= J ^.)cos? dSi (XVI.l)
s
'I
Если для сокращения письма обозначить А (*?) через Рг(3),
1 COS Ф тг / ci с* \ /
а —'Через К (о, oj (это последнее выражение есть, оче-
видно, функция двух точек, S и *5^, на поверхности), то мы
придём к уравнению
(X(S) = К(S, |Х(5JdSx. (XVI.2)
Интегральные уравнения такого вида называются интеграль-
ными уравнениями типа Фредгольма 2-го рода. К изучению
таких уравнений мы вскоре перейдём.
Так же точно можно свести и задачу Дирихле для внешней
области, ограниченной поверхностью S, т. е. для бесконечной
области, границей которой служит S, опять к уравнению Фред-
гольма 2-го рода.
В самом доле, отыскивая решение снова в виде потенциала
двойного слоя из условия ^е = /1(^), получим, аналогично преж-
§ 2] ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПОСТАВЛЕННЫХ ЗАДАЧ 233
нему, для неизвестной плотности рь(б’)
we~ —2r^(S) + w0t
откуда
и (5) = -4Р 4- ЛИ dS;
г 4 ' 2ти 1 2те J ,) г2
S
/ (ЗУ
обозначая через Фх^), получим:
Zj7C
(^+5^(5, SJ^SJdS.
(XVI.3)
s
Это уравнение есть уравнение того же типа и рода, что и пре-
дыдущее.
К интегральным уравнениям приводятся также внутренняя
и внешняя задачи Неймана.
Будем искать решение внутренней задачи Неймана в вщщ
потенциала простого слоя;
8
Аналогично прежнему
-2™ (6’) + ^ = /2(1У),
дп i 4 7 1 дп0 724 п
откуда
V (<$) = - + i- 55 Ч‘?,);°Ио dsr. (XVI.4)*
s
Угол ф0 получается из угла ср заменой положения точки 5* на 5г.
f (S)
Поэтому, полагая ~--А—< = Р2 (S), получим для v(5) уравнение
> (5) = F, (5) + 5 5 К (6\, 61) V (5J dSx.
(XVI.5)
S
Наконец, если искать решение внешней задачи Неймана в виде
потенциала простого слоя г?, будем иметь:
= 2™ (5) +55^ (5Х) dS. = /2 (S)
*s
или
__ /2 (S)______£ С С V (6\) cos фо dSr
2тс 2тс j j г2
8
234 СВЕДЕНИЕ К ИНТЕГРАЛЕН. УРАВНЕНИЯМ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ [Л. XVI
Полагая
получим для
^ = Ф2^).
v(5) уравнение
V(S) = Ф8 (5) - $ 5 К(5п £) V (6\)dS..
удастся найти функции [л и v, удовлетворяющие
~ , то соответ-
Если нам 1
уравнениям (XVI.2), (XVI.3)/ (XVL5) или (XVL6),
ствующие задачи математической физики будут решены.
(XVL6)
ЛЕКЦИЯ XVII.
УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА НА ПЛОСКОСТИ.
§ 1. Фундаментальное решение.
Мы разобрали довольно подробно уравнения Лапласа и Пуас-
сона в пространстве. На практике часто бывает, что функция и
не зависит от одного из переменных, например z; тогда
ди _ д2и _
dz dz2
При этом уравнения переходят в уравнения с двумя незави-
симыми переменными. Те же самые задачи, которые мы ставили
для пространства, мы можем теперь ставить на плоскости XOY
для уравнения
. д2и , д2и . .
= Р (#> У)
дх2 ду2 г v *7/
где р(я, у) может иногда равняться нулю тождественно.
Рассмотрим некоторые свойства таких двумерных задач, от-
личающие их от трёхмерного случая.
Совершенно так же, как и в пространстве, легко доказать,
что функция, гармоническая в некоторой области D плоскости
XOY, достигает своего максимального и минимального значений
на контуре этой области. Отсюда следует, в силу прежних рас-
суждений, единственность решения задачи Дирихле для любой
ограниченной области. Однако, как мы увидим далее, задача
Дирихле для неограниченной области в прежней постановке
смысла не имеет. Ставить вопрос об отыскании гармонической
функции, равной нулю на бесконечности, здесь не имеет
смысла. Дело в том, что решения, обращающегося в нуль на
бесконечности, вобще говоря, не существует, и вопрос о единст-
венности такого решения лишён содержания.
Аналогично леммам, доказанным нами в лекции IX, мы имеем
здесь две другие леммы.
Лемма 1. Функция In ~ = — In г, где г — ]/(х—+ (у—у0)2,
есть гармоническая функция переменных х и у.
236
УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА НА ПЛОСКОСТИ [Л. XVII
В самом деле,
д21пг __________________ 1 2 (х—Xq)2
дх2 г2 * ^4 >
У In Г 1 . 2(у-Уо)«
ду2 г2 ’ г4 ’
откуда
A In — = 0.
Г
Лемма 2. Для любой непрерывной со своими производными
2-го порядка функции имеет место формула
и(жо, «/#) = — 2V 5 5 1п~^-Awtfccfy +
D
1 Г ( д ln ~ 1 ди
+ v~\ --(XVII. 1>
' 2тс J \ дп г дп / ’ v '
8
где D — некоторая область, содержащая внутри себя точку
(#0, У о), а s —контур этой области. Здесь черезобозначена
производная по направлению внутренней нормали к контуру 5.
Если точка (х0, у0) лежит вне области Л, то формула (XVII. 1}
заменяется другой:
/ 1 \
л г /> л . _ / (7 Hi — . |
- 2, \ + <XVIL2>
D s
Доказательство этой леммы вполне аналогично доказательству
леммы 3 из лекции IX, и мы не будем его приводить.
Так же, как и раньше, можно доказать, что если функция и
имеет начало координат особой точкой и в окрестности начала
является гармонической, причём удовлетворяет неравенству
где R = yrx2-[-y2, то её можно представить в виде
п дт1п-^
-S3 <XVII-3>
тп=0 г+у=т
где и* — гармоническая функция во всей области, включая начало -
координат.
§ 2] ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ 237
Справедливы теоремы:
Теорема 1. Если u(R, ^ — гармоническая функция, то и
v (R, Ь) ^и(^& , гармонична, (Здесь R и В — полярные коор-
динаты на плоскости.)
Теорема 2. Если u(R ,&) гармонична при больших значе-
ниях R и удовлетворяет неравенству
| и | < ARn,
то её можно представить в виде
п дт In -i-
и = У У
ZJ ZJ и дхг д )
т=1
где и* ограничена.
§ 2. Основные задачи.
Задача о нахождении решения уравнения Пуассона
Ди = р (х, у)
на всей плоскости, обращающегося в нуль на бесконечности, для
уравнения с двумя переменными, вообще говоря, неразрешима,
4-со 4-со
С С 1
и мы не будем её касаться. Заметим, что интеграл \ \ р In — dx dy,
—оо —со
распространённый по всей плоскости (если р отлично от нуля
лишь в конечной области, то область будет фактически конеч-
ной), есть всё же частное решение уравнения Пуассона, но,
вообще говоря, неограниченно растущее на бесконечности. Этот
интеграл называется лагарифмическим потенциалом распреде-
лённых масс.
Задача Дирихле для полуплоскости при некоторых ограниче-
ниях на граничную функцию, имеет решение в классе функций,
обращающихся в нуль на бесконечности. Пусть функция Д(я)
удовлетворяет неравенству
I л (ж) I < 4-» гяе а > °-
X
Решение уравнения
Дн = О
при условии
и к=о — А (#),
238
УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА НА ПЛОСКОСТИ [Л. XVII
обращающееся в нуль на бесконечности, имеет вид
t +OTainy
«(*о> Уо)=2^ \ ~d^-fAx)dx =
£ С f1(x)dw(x-, х0,у0),
где ср угол, образуемый радиус-вектором, проведённым из точки
(х, 0) в точку (х0, у0) с направлением нормали к границе области
в точке (х, 0).
Доказательство читатель легко проведёт сам.
Задача Неймана для полуплоскости не только равных нулю
на бесконечности, но даже и просто ограниченных решений не имеет.
Если записать решение этой задачи формально в виде инте-
грала, который можно считать потенциалом1) простого слоя на
плоскости [ср. (XIII. 9)],
+со
—со
то этот интеграл будет неограниченно возрастать при удалении
точки (х0, yQ) на бесконечность.
Мы не будем рассматривать эту задачу.
Задача Дирихле для круга решается приёмом, аналогичным
прежнему.
Если точка уг) — сопряжённая по отношению к точке
(*0> «/0)> т. е.
х = *° - v
1 ^1 + Уо ’ У1 Хо + Уо ’
то на круге радиуса 1 попрежнему г = Ног1, где
г = /(ж-^о)2+(?/-2/о)2>
= ’К(а;-а;1)2 + (у-у1)2>
а 7?0 — радиус-вектор точки (я0, у0).
Пусть (х(), у0) — внутренняя точка круга 2? <1. Применяя фор-
мулу Грина к решению уравнения Ди = р, будем иметь:
«(^0, Уо)= $ $ pln7 dxdy +
/ 1 \
/ din— |
+-S <xvn-4>
В=1
х) Об этом потенциале, называемом логарифмическим, см. § 3 этой лекции.
§ 2]
ОСНОВНЫЕ ЗАДАЧИ
239
j
Ввиду того, что (х±, лежит вне круга, функция In ----------
гармоническая везде внутри, и в силу замечания, сделанного
о формуле (XVI 1.2), мы получим:
. „ / д In ~ . I
+ L С L-------1^ = 0. (XVIL5)
1 2ти У \ дп дп R{ir1 ) \ /
П—1
Вычитая равенство (XVIL5) из (XVII.4) и обозначая
у, х0, Уо)==2^^пр^г~~'2^^п~ ’
получим формулу
«(я0, Уо)= Рс(ж> У> жо> y0)dxdy — u^ds- (XVII.6)
В51 R=i
Функция Грина G — симметрическая функция точек (х, у) и
(я0, У о)] следовательно, она гармоническая по х0, yQ. Очевидно,
что она обращается в тождественный нуль по х, у, если (xQ, у0)
лежит на контуре.
Если задача отыскания решения уравнения Пуассона, удо-
влетворяющего условию
и |s = Л (5), (XVII.7)
разрешима, то решение должно иметь вид (XVII.6). В частном
случае, когда
и |s = 0,
решение задачи даётся формулой
И (хо, y0)^\\pGdxdy- (XVII .8>
Легко проверить, что функция и, выражаемая формулой (XVII.8),.
действительно является решением задачи.
В самом деле,
J pGdxdy = - А р In dxdy+± р In ^dxdy.
К<1 Л<1
Можно показать, что первое слагаемое, являясь логарифмическим
потенциалом распределённых масс, удовлетворяет уравнению
Дг? = р,
а второе — гармоническая функция.
240
УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА НА ПЛОСКОСТИ [Л. XVII
Следовательно, формула (XVIL8) даёт решение уравнения
Пуассона. Непосредственно видно, что это решение удовлетворяет
условию и |s = 0.
Преобразуем формулу (XVIL6), подставив в неё явное выра-
жение функции G. В полярных координатах, заменяя х, у через
R и ft, а гг0, г/0 —через /?0, ft0, получим для координат точки уг
выражения -р~, ft0.
При этом
In - = A In [-R2 + - 27?/?o cos (& - ’%)] >
Г Zi
in jA- = - 4 in - 2RH0 cos (» - »0) +1].
Тогда функция Грина запишется в виде
G = А {1п [/?2 + Я2 - 2КВ0 cos (& - &0)] -
- in [7Ж2 - 27?7?О cos (» -А) +1])
И
0G [
дп |д=1 “
_ 1 Г — 7?4-J?o cos (ft —ft0) — MB + #oCos(&-- »0) 1
~ 2те 1_-Я2 + Я|__2jRjR0 cos (ft—ft0) jR2K2—2#y?0cos(ft—ft0)4-l J в=1 ~
1 1— Rl
““ 2л jR2 —2Rq cos (ft—ад +1 ’
Решение задачи Дирихле для круга даётся при этом формулой
+те
И &о) = оМ Р2 Ч \ , 4 /1 Р) <№-
4 °’ 0/ 2л J Л2 — 2A0cos(ft—ft0) + l 1 v '
—те
Эта формула называется формулой Пуассона.
Так же, как и в пространственном случае, проверяется, что
эта формула действительно даёт решение поставленной задачи.
Аналогично решается задача Дирихле для внешности круга.
Эта задача ставится как задача отыскания функции и, гармо-
нической вне круга R = 1, удовлетворяющей условию и |s = Д (5)
и ограниченной на бесконечности. Это последнее условие суще-
ственно отличает задачу Дирихле для плоскости от задачи Ди-
рихле в пространстве. Мы не будем останавливаться на решении
этой задачи.
Формула, дающая решение этой задачи, будет иметь вид
-f- те
4 Г 1?2_л
“ (А> ао) = 2^- 2?2_2доС°д (9_»о) + 1 /1 (а)
§ 3]
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
241
Из формулы Пуассона для гармонических функций внутри
и вне круга следуют, почти без изменения в способе доказа-
тельства, все те же следствия, что и для пространственной задачи.
§ 3. Логарифмический потенциал.
На функции двух переменных можно перенести также понятие
о потенциалах.
Интеграл вида
С 1
v = \ In — [1 (5) ds
называется логарифмическим потенциалом простого слоя. Это —
гармоническая функция вне и внутри области D, ограниченной
контуром s. Функция эта непрерывна при переходе через s, а её
нормальная производная терпит разрыв непрерывности.
Если составить интеграл
51п —
где производные взяты при изменении х0 и ?/0, то он оказывается
имеющим смысл в случае, если точка (xQ, ?/G) лежит на границе.
Обозначая его величину через -ч— , получим:
dv
дп
dv
дп
Величину I можно представить в виде
где ф0 есть угол, составленный радиус-вектором, проведённым из
точки;, (х, у) в точку (ж0, г/0), с направлением нормали в этой по-
следней точке. Функция с°^ есть ограниченная функция, если
только линия 5 достаточно гладкая.
Логарифмический потенциал простого слоя, вообще говоря, не
ограничен на бесконечности.
Интеграл вида
16 С. Л. Соболев
242
УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА И ПУАССОНА НА ПЛОСКОСТИ
[Л. ХУЦ
где ср —угол, составленный радиус-вектором, проведённым из точ-
ки (х, у) в точку (х0, у0), с направлением нормали в точке (х, у),
называется логарифмическим потенциалом двойного слоя. Это —
гармоническая функция как внутри, так и вне области D, огра-
ниченной контуром $. На контуре 5 эта функция терпит разрыв*
непрер ывности.
Если (я0, у$) лежит на контуре, который мы предполагаем
COS Ср Y
достаточно гладким, то — ограниченная функция, и интеграл
w имеет смысл. Обозначая при этом его величину через до0, будем
иметь
^е== —
Логарифмический потенциал двойного слоя равен нулю на
бесконечности.
Аналогично пространственному случаю можно поставить зада-
чи Дирихле и Неймана также и для плоскости. При этом, однако,
будут некоторые особенности во внешних задачах.
Во внешней задаче Дирихле вместо обращения и в нуль на
бесконечности нужно требовать ограниченности этой функции
в окрестности бесконечно удалённой точки. При этом задача
Дирихле получает определённое и‘единственное решение.
Во внешней задаче Неймана нужно попрежнему искать реше-
ние, равное нулю на бесконечности, но в отличие от прежнего
эта задача уже не будет, вообще говоря, иметь решения.
Необходимое и достаточное условие существования такого
решения будет:
f2(s)ds = 0,
где /2 (s) — значения нормальной производной на контуре.
В этом смысле плоские задачи, внутренние и внешние, более
сходны между собой, чем пространственные. Читателю будет по-
лезно доказать эти утверждения самостоятельно.
Можно аналогично прежнему свести задачи Дирихле и Ней-
мана к интегральным уравнениям. Мы также предоставляем сде-
лать это читателю.
Для плоской задачи интегрирования уравнения Лапласа су-
ществует ещё один чрезвычайно мощный метод, основанный на
применении теории функций комплексного переменного. Мы ука-
жем лишь сущность этого метода, не останавливаясь на нём
подробно.
Рассмотрим какую-либо аналитическую функцию w (z) = и 4- iv
комплексного переменного z — x^-iy. Считая независимыми пере-
ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ
243
менными х и у и применяя оператор Лапласа к w, получим:
Дау = = w" (z) +i2w" (z) =
dx2 dy2 \ > \ /
Отсюда следует, что функция w (z) является гармонической функ-
цией переменных х, у. Следовательно, её действительная и мнимая
части и (х, у) и г? (х, у) порознь будут гармоническими в области
аналитичности w(z).
Введём новое независимое комплексное переменное C = £ + hp
положив
(XVII.9)
где ф — какая-нибудь аналитическая функция. Тогда
Ж = Ж($, 7]), у = у$, 7]).
При этом аналитическая функция w (z) перейдёт в аналитическую
функцию переменного С:
w* (С) = ш(ф (0).
Следовательно, функции
и*(^, 7j) = w(a;(S, 71), г/G, 7])), ]
V* (£, 71) = Я (Ж(£, 7]), y(i„ 7])) f
будут снова гармоническими функциями переменных £, тр
Как доказывается в курсах теории функций комплексного пере-
менного, формулы (XVIL9) осуществляют конформное отображе-
ние плоскости х, у на плоскость £, тр причём любое конформное
отображение может быть получено таким образом. Из наших
рассуждений следует вывод: гармоническая функция переменных
х, у в некоторой области остаётся гармонической, если эту область
подвергнуть конформному преобразованию.
Для любой односвязной области 2 плоскости х, у мы получаем
следующий метод решения задачи Дирихле. Найдём конформной
отображение
я = ^), У = У$, ^),
переводящее область Й в круг. В теории функций комплексного
переменного доказывается, что такое отображение существует.
Фуцкция zz* (£, т]) должна быть гармонической в круге функцией,
принимающей на границе заданные значения. Такую функцию
можно построить при помощи формулы Пуассона. Возвращаясь
к переменным х, у, получим решение нашей задачи.
16*
ЛЕКЦИЯ XVIII.
ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ.
§ 1. Общие замечания.
Мы уже видели в прошлых лекциях, что решение некоторых
задач математической физики приводится к решению уравнений
вида
?(Р)= 5 W, р1)?(Р1)^р1 + /(Р), (XVIII. 1)
D
где D — некоторая область изменения точки Р и точки Рг. Функ-
ция К (Р, Рг) двух переменных точек из этой области называется
ядром, а ср(Р) является неизвестной функцией.
Область D предполагается лежащей в n-мерном пространстве,
и пусть координаты точки Р в этом пространстве будут
(х19 х2, ..., хп), а точки Рг будут (х'19 х29 ...,. х'п)-9 тогда ядро
К (Р, PJ есть функция 2н переменных (х19 х2, ..., хп9 х’19 х2, ... х'п)9
а функции <р (Р) и / (Р) являются функциями п переменных:
ср (х19 х2, ..., хп) и / (х19 х29 .. ., хп), причём эти переменные изме-
няются так, что точки Р (х19 х2, .. ., хп) и Рг (ж', х2, . .., х'п) не
выходят из области D.
В частности, если область D является одномерной и связной,
тогда положение точки Р определяется одной координатой х,
и интегральное уравнение примет вид
ь
ф (х) = К (х9 х') (ж') dx' + / (х).
а
К систематическому изучению уравнений вида (XVIII. 1), назы-
ваемых обычно интегральными уравнениями Фредгольма 2-го рода,
мы сейчас и приступим.
Функции К и / мы будем считать вещественными. Другие
ограничения, как-то: ограниченность, непрерывность и тому подоб-
ное, будем вводить по мере надобности.
Мы будем встречаться далее с уравнениями, могущими иметь
не одно, а несколько решений. При этом во всём дальнейшем
МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ
245
§ 2]
мы не будем считать различными функции, которые являются
эквивалентными, то-есть принимают различные значения лишь
на множестве меры нуль.
Так же, как и для всяких линейных уравнений, для инте-
гральных уравнений типа Фредгольма имеет место
Теорема 1. Обгцее решение уравнения (XVIII. 1) имеет вид’.
?(Р)=?ОР)+<?*(/>),
где есть некоторое частное решение уравнения (XVIII. 1),
а ср* (Р) представляет собою общее решение уравнения
^h \K (Р, Л) ? (Л) dPt. (XVIIL2)
ь
Уравнение (XVIII.2) мы будем называть соответствующим одно-
родным уравнением для уравнения (XVIII. 1).
Отсюда ясно, что если соответствующее однородное уравнение
не имеет других решений, кроме тривиального ср* (Р) = 0, то
уравнение (XVIII. 1) не может иметь более одного решения.
§ 2. Метод последовательных приближений.
Прежде всего изучим несколько простейших частных случаев,
которые позволят нам перейти к более общей трактовке вопроса.
Вместо уравнения (XVIII. 1) мы будем рассматривать уравне-
ние более общего вида:
ср (Р) = х J К (Р, PJ <? (Л) dP. + / (Р), (XVIII.3)
ь
так называемое уравнение с параметром. Допустим, что область D
изменения точки Р ограничена; объём этой области будем обо-
значать также буквой D. Допустим, кроме того, что ядро К (Р, Р^
представляет собою суммируемую функцию переменной пары
точек (иР, Рг) в пространстве 2п переменных, причём справедливо
ещё неравенство
|Z<(P, P^dP^M,
D
где постоянная М не зависит от положения точки Р.
В тех приложениях, которыми мы будем заниматься, функция
К (Р, PJ будет иметь лишь конечное число таких многообразий
меньшего числа измерений (точек, линий, поверхностей и т. д.),
на которых она терпит разрыв. Если исключить эти многообразия
вместе с окружающим их сколь угодно малым объёмом, то функ-
ция К (Р, Р^) будет непрерывна в оставшейся части области.
246
ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
[Л. ХУШ
Допустим, что / (Р) представляет собой ограниченную изме-
римую функцию:
sup I / (Р) I — L <Z co.
Это условие будет выполнено, если, например, / ограничена в D
и непрерывна всюду, за исключением, быть может, конечного
числа многообразий низшей размерности. Функцию ср (£>) мы будем
также считать ограниченной и измеримой.
При малых X естественно возникает мысль искать решение
уравнения (XVIII.3) в виде степенного ряда
оо
<? (Р) = ?0 (Р) + 2 (Р). (XVIII.4)
Подставляя это выражение в (XVIII.3), получим:
?оР) + S ^W) =
k=l
со
= X X (Р, PJ [ То (PJ + 2 (PJ ] dP. + / (Р),
D h—1
откуда, сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях
справа и слева, получаем:
?о(Р) = /(/’),
Т1(Р)=^(Р, PMPjdP!,
D
<?h(P)^K(P, PJ^JPJ^Pv
D
(XVIII.5)
Соотношения (XVIII.5) позволяют шаг за шагом вычислить
все функции yk(P). Действительно, все интегралы в правых
частях (XVIII.5) имеют смысл, так как подинтегральные выра-
жения представляют собой произведения ограниченных функций
на функции суммируемые. Оценивая последовательно правые части
этих уравнений, будем иметь:
|¥o(P)|<L; |?1(Р)| < $\К(Р, P^LdP^LM
d
и вообще
|?ft(P)|<L7l/ft.
Измеримость функций (Р) следует из теоремы Лебега-Фубини
лекция VI).
§ 2] МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИИ 247
Для краткости условимся обозначать функцию
Ф(Р)=Д 2ЦР, Л)/(ЛИЛ
D
символом Af.
Как мы убедились, справедливо неравенство
| Af\ sup| /|.
Будем называть Af оператором над функцией /. Введём в рас-
смотрение степени оператора А:
A(Af) — A2f, A(A2f) = Asf, A(Am'1f) = Amf.
Справедлива следующая очевидная формула:
Ap+qf = Ap (AQf).
Формулы (XVIII.5) в этих обозначениях примут вид
%(7>) = ЛЙ/. (XVIII.6)
При этом, как мы видели, имеет место оценка
| Лй/| <7l/fesup|/|. (XVIII.7)
Отметим одно важное свойство оператора А.
Теорема 2. Если некоторая последовательность ограничен-
ных измеримых функций fk равномерно сходится к предельной
функции /0:
/0=Ит4,
й->со
то
Л/0 = Ит Afk,
h->oo
причём последовательность Afk также сходится равномерно.
В самом деле,
I Afh-л/0| = | л (4-/0)|<^SUp|/ft-/0|.
Следствие. Если ряд
5 uk(P)-u(P)
k=i
сходится равномерно, то
Аи(Р) = § Auk(P).
/1=1
В наших новых обозначениях уравнение (XVIIL3) примет вид
ср — \Ау = /,
248
ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
[Л. XVIII
или, полагая ещё Еу = у, где Е — тождественный или единичный
оператор, запишем его в виде
(E — \A)q> — f.
Подставляя в (XVIII.4) выражение для cpft из (XVIII.6), мы
получим, пока ещё формально, равенство
?(Р) = /Ч-ХЛ/ + ХМ2/ + ... +k\4fe/+ ... (XVIII.8)
Члены ряда в правой части (XVIII.8), как это вытекает из оце-
нок (XVIII.7), при | \М | < 1 будут по абсолютной величине
меньше членов сходящегося числового ряда с положительными
членами:
2 | >• \hMksup | /1 = sup\f | •
k=0
Следовательно, при фиксированном X, удовлетворяющем усло-
вию ряд в (XVIII.8) сходится равномерно, и формула
(XVIII.8) в самом деле определяет некоторую измеримую функ-
цию При этом
/г=0
Проверим теперь, что полученная нами функция <р (Р) является
решением уравнения (XVIII.3). Подставляя выражение для ср
из (XVIII.8) в левую часть уравнения (XVIII.3), получим:
оо
(^__ХЛ)[/+ 2 ХЙАЙ/].
Если мы покажем, что это выражение тождественно равно /,
наше утверждение будет доказано. Ряд, стоящий в квадратных
скобках, сходится равномерно. На основании теоремы 2 имеем:
(7? —ХА) [/+ § Xй А*/] =
/г=1
= /+ 2 ХЙАЙ/-ХА/- § Х'4'1 Ай+1 / =/. (XVIII.9)
/:=1 /1=1
Таким образом^ мы доказали, что функция ср (Р), выражаемая
формулой (XVIII.8), есть решение интегрального уравнения
(XVII 1.3). Легко доказать единственность ограниченного решения
при условии |Х|7И< 1. Для этого, предполагая интегральное
§ 3]
УРАВНЕНИЕ ВОЛЬТЕРРА
249
уравнение (XVIII.3) выполненным, применим к обеим частям
этого уравнения оператор
£+2 хМ\
к~ 1 •
понимаемый в следующем смысле:
(* + 2 хМ';)/==/ + 2 хМ'г/.
/г=1 /г=1
Мы получим:
со оо
(£ + 3 [(Я - м?] = (-# + 2 /.
k= 1 k=l
Раскрывая скобки в левой части, получим:
со
(Е+ 2 ХМ,г) (Я-Х4)<р =
/1=1
=?+ 2 хму-хл?- 2 х'ч-1^1 <?=<₽. (xviii.ю)
/1=1 /1=1
Отсюда
? = (£ ь 2 Л4*)/.
к=1
Следовательно, решение должно выражаться формулой (XVIII.8)
и является единственным. Если ввести обозначение
B = E-XA,
то оператор
£+2 хМ'1
/1=1
естественно обозначить символом В"1. При этом равенства (XVIII.9)
и (XVIII. 10) примут вид
BB~1f = f, (XVIII. 11)
= (XVIII.12)
где / — любая измеримая ограниченная функция.
Эти формулы оправдывают нашу символику.
§ 3. Уравнение Вольтерра.
В некоторых частных случаях ряд (XVIII.8) может оказаться
сходящимся на всей плоскости комплексного переменного X. Рас-
смотрим соответствующий пример. Пусть область D одного пере-
250
ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
[Л. XVIII
менного представляет собой полупрямую х > 0,
со
? (ж) = х у) <Р (у) dy+ / (ж),
о
и пусть ядро К (х, у} обладает свойством:
К (х, у) = 0 при у > х,
и ограничено
\К(х, у)\<М.
Тогда уравнение примет вид
X
<р (ж) = X 2Г (ж, у) <Р (г/) dy+f (х).
о
Уравнения этого типа называются уравнениями Вольтерра.
Предполагая попрежнему, что функция / ограничена постоян-
ной L и измерима, оценим величину Ahf. Мы имеем;
X х
I-4/1 = 1 \к(х, y)f(y)dy\^LMdy = L^,
о о
|Л7| = |^(ж, y)(Af)dy\^ML^-dy = L*^-,
о о
I Asf I = I 5 К У) (А2П (1У I < $ ML dy = L ,
о о
Следовательно, все члены ряда (XVII1.8)
/4 ХЛ/4ХМ2/ Ж . . +ХМ7+ . ..
по абсолютной величине не превосходят соответствующих членов
ряда
Т . т ХМх . т . т ^Mkxk .
А + + +---+Ь—£1—+..
сходящегося на всей плоскости X. Отсюда следует, что ряд (XVIIL8)
при любом фиксированном х равномерно сходится в каждом
конечном круге плоскости X и представляет собою целую анали-
§ 4] УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ 251
тическую функцию X. При фиксированном X он равномерно схо-
дится на всяком конечном интервале значений х, а значит, по
предыдущему, представляет собой единственное решение рассма-
триваемого интегрального уравнения.
§ 4. Уравнения с вырожденным ядром.
Рассмотрим ещё один частный класс интегральных уравнений,
теорию которого легко построить. Полученные при этом резуль-
таты окажутся справедливыми и в более общем случае.
Изучим интегральное уравнение (XVIII.3) в предположении,
что его ядро имеет специальный вид:
К(Р, Л) = S ъ (Р)ф/ (Л)- (XVIII. 13)
1=1
Ядра вида (XVIII. 13) называются вырожденными.
В соответствии с тем, что было сказано выше, условимся гово-
рить, что система функций ср! (Р), ср2(Р), ..., <?n(P) линейно неза-
висима, если не существует таких постоянных ах, а2, ..., aN, не
равных одновременно нулю, для которых линейная комбинация
а1?1 (Р) + а2?2 (Р) + • • • + a2V?iV (Р)
эквивалентна нулю. Систему функций ^(Р), ср2(.Р), • • •, (Р),
а также систему ф-ДР), ty2(P), • ••, $n(P) мы можем считать
линейно независимыми системами в области Z), ибо в противном
случае можно выразить одну или несколько функций через
линейную комбинацию остальных, и мы придём к ядру такого же
вида, но с меньшим числом слагаемых.
В дальнейшем, пока не сделано специальной оговорки, мы будем
считать функции
• • •» Ф1» • • • > флт
ограниченными и имеющими лишь изолированные разрывы на
конечном числе гладких поверхностей.
Уравнение (XVIII.3) с вырожденным ядром имеет вид:
7V
<Р (^) = * 2 Ъ (Л (Л) ? dPi + f (XVIII. 14)
1=1 D
и, следовательно, разность ср (Р) — / (Р) должна быть линейной
комбинацией функций cpt (Р), I = 1, 2, .. ., 7V, с постоянными коэф-
N
фициентами. Полагая ср (Р) — / (Р) = X 2 (Р) и подставляя это
k=i
252
ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
[Л. XVIII
выражение в уравнение (XVIII. 14), получим:
N N
2 ад, (Р) = X 2 ъ (?) 5 2 ал (р1) (Л) dP. +
к=1 Z=1 Ь h=l
N
(^ыл)/(лил-
1=1 D
Так как функции cpl (Р) линейно независимы, то коэффициен-
ты при одинаковых функциях должны быть одинаковыми в обеих
частях уравнения, и мы получим систему уравнений
N
акты = (1=1, 2, (XV1II.15)
h=l
где
™М = <?h (Л) (PJ dPlt (XVIII. 16>
b
(XVIIL17)
D
Система (XVII1.15) равносильна интегральному уравнению-
(XVIII.14). Обозначим матрицу системы (XVIII.15) через 21/(X):
1 — т1±К —т12\ ... — mi/vX
м (Х) = “ ^21Х 1 ~ т^к • • • “ ^2NX
— WjviX — WfyV2X • • - 1 —
Разрешимость нашей системы зависит от определителя Д (X) =
= | М (X) | этой матрицы.
Очевидно, при этом могут представиться два случая:
I. Д(Х) #=0,
II. Д(Х) = О.
В случае I имеем следующую теорему:
Теорема 3. Система (XVIII.15) при значениях для ко-
торых Д (X) 0, однозначно разрешима при любых fL, и уравне-
ние (XVIII.14) разрешимо при любой функции /.
В частности, уравнение
? (Р) = X К (Р, Рх) <р (Р2) dPlf (XVIII. 18)
b
которое мы назвали соответствующим однородным уравнением
для (XVII 1.3), имеет при этом только тривиальное решение.
Первое утверждение теоремы доказывается в курсах алгебры;
второе непосредственно следует из первого.
§4]
УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ
253
В случае II при значениях, для которых Д (к) = 0, система
(XVIII. 15) разрешима не при всяких а следовательно, урав-
нение (XVIIL3) —не при всяких /.
При этом однородная система
ту
а/~^2™/А==0 (Z=l, 2, ..., N) (XVIII.19)
имеет N — q линейно независимых решений, где q — ранг матри-
цы 7И(Х).
Пусть эти решения будут
оф5), оф), .. ., оф) (s = 1, 2, . .., N — q).
Уравнение (XVIII. 18) будет, очевидно, также иметь ровно
JV — q линейно независимых решений.
Известно, что в том случае, когда определитель системы ра-
вен нулю, неоднородная система может не иметь ни одного ре-
шения. Мы напомним некоторое необходимое и достаточное усло-
вие для разрешимости системы (XVIII. 15).
В силу условия Д (К) ~ 0 левые части (XVIII. 15) зависимы и,
следовательно, можно составить линейные комбинации этих ле-
вых частей, обращающиеся в нуль тождественно. В самом деле,
умножая уравнения (XVII 1.15) соответственно на и склады-
вая, получим:
N N N N N N
2 а/Р/ “ 3 2 = 2 2 2 mhlah$l~
-1 1=1 k=l k=l 1=1
ANN
— 2 2 “ 2 /fil-
ial i=i i=i
Можно подобрать так, что
Р.-Х 2 (й-1, 2, ..., /V). (XVIII.20)
i=i
Определитель системы (XVIII.20) равен Д(Х) = О. Как дока-
зывается в курсах алгебры, число линейно независимых реше-
ний (XVIII.20) равно опять N — q. Пусть эти решения будут:
₽<*>, ₽<s)> ₽$; S=l>2, ...,(N~q).
Для разрешимости (XVIII. 15) необходимо выполнение ра-
венств
N
X /#)-0 (s=l, 2, (XVIII.21)
i=i
В курсах алгебры доказывается, что эти условия являются так-
же и достаточными. Подобно тому как система (XVIII. 15) соот-
254
ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
[Л. XVIII
ветствовала уравнению (XVIIL3), а система (XVIII. 19)— уравне-
нию (XVIII. 18), можно установить соответствие между системой
(XVIII.20) и уравнением
ф (A) = X (А А) Ф (A dP, (XVIII.22)
D
которое мы будем называть однородным уравнением, союзным
с уравнением (XVIII. 18). Подставляя вместо К{Р, Рг) его выра-
жение и повторяя дословно предыдущие рассуждения, мы убеж-
даемся, что решение уравнения (XVIII.22) должно иметь вид:
N
Ф(в) (Л) = S ₽((s)<h (Л)> (XVIII.23)
1=1
где —числа, удовлетворяющие (XMII.20). Отсюда получаем
теорему.
Теорема 4. Однородное уравнение (XVIII. 18) и союзное с
ним уравнение (XVIII.22) имеют одинаковое число решений, ли-
нейно независимых между собой. Это число равняется r — N — q,
где q — ранг матрицы 7И(Х), a N— число слагаемых в вырожден-
ном ядре (XVIII.13).
Подчеркнём, что однородные уравнения (XVIII. 18) и (XVIII.22)
имеют нетривиальные решения только для тех значений X, для
которых детерминант матрицы М (X) обращается в нуль. Эти зна-
чения X называются собственными значениями или характери-
стическими числами нашего уравнения, а число линейно незави-
симых решений г = N — q, соответствующее данному характери-
стическому числу, называется его рангом.
Подставим в уравнения (XVIII.21) вместо /г их выражения.
Мы будем иметь:
/V
/ (Р) 2 ₽|8) ф( (Р) dP = 0, (XVIII.24)
D 1=1
ИЛИ
f(P)^(P)dP==0, s=l,2, ...,N-q. (XVIII.25)
D
Очевидно, что (XVIII.21) и (XVIII.25) равносильны.
Будем называть две функции ортогональными, если интеграл
от, их произведения по области D равен нулю. Таким образом
мы доказали следующую теорему:
Теорема 5. Необходимым и достаточным условием разре-
шимости уравнения (XVIII. 14) в случае II, т. е. при Д(Х) = О,
является ортогональность его свободного члена / ко всем реше-
ниям союзного однородного уравнения.
§ 4] УРАВНЕНИЯ С ВЫРОЖДЕННЫМ ЯДРОМ 255*
Очевидно, что при этом общее решение уравнения (XVIII. 14)
имеет вид
N-q
? (Р) = ?(0) (/>) + 2 Cs^ (/>), (XVIII.26>
8=1
где <р<°> (Р) — некоторое частное решение, a cp(s> (Р), 5=1,2, ...
.. ., (N — q) — частные решения однородного уравнения (XVIII. 18).
Отметим, что условия (XVIII.25) независимы друг от друга:
для любых чисел можно указать такую функцию f(P), чтобы
выполнялись равенства
/(Р)<р)(Р)б?Р = а5, 5 = 1,2, ...,N-q. (XVIII.25')
D
Чтобы показать это, заметим предварительно, что для любой за-
данной системы чисел /{ можно указать такую функцию / (Р)?
для которой выполняются равенства (XVIII.17).
Действительно, будем искать функцию / (Р) в виде
N
т= S -ШР)-
1=1
Помножим это равенство на ф; и проинтегрируем по обла-
сти 2). Получим систему уравнений для
N
Л = 3 тДМРШР)ЛР, 1 = 1,2,
1=1
которая разрешима, так как сё определитель есть определитель
Грама для системы линейно независимых функций ф* п потому
положителен. Таким образом, разрешимость системы (XVIII.25')
будет доказана, если мы докажем разрешимость системы:
N
S/z-₽p) = as, s = l,2, ...,N — q. (XVHI.21').
1=1
Последняя разрешима, так как благодаря линейной независимо-
сти систем чисел ..., (5=1,2, ..., N — q) ранг
матрицы ||р^|| системы уравнений (XVIII.21') равен N — q, т. е.
числу уравнений и, следовательно, ранг основной матрицы си-
стемы равен рангу расширенной матрицы.
Замечание. Теорема 3 по существу следует из четвёр-
той и пятой. В самом деле, если число линейно независимых
решений у союзного уравнения и у соответствующего одно-
родного уравнения равно нулю (решений у этих уравнений
всегда одинаковое число), то условия ортогональности пропа-
дают, и неоднородное уравнение будет однозначно разрешимо.
256
ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
[Л. XVIII
До сих пор мы рассматривали уравнения с вырожденным
ядром, предполагая, что функции cpz (Р) и ф^ (Р) не содержат пара-
метра X.
Пусть теперь функции vL (Р) и ф/ (Р) зависят ещё от комп-
лексного параметра X и аналитичны в некоторой области 2 изме-
нения этого переменного.
Тогда определитель A (X) будет функцией от X, также анали-
тической в этой области. Допустим, что он не обращается в нуль
тождественно. Тогда внутри 2 второй случай (т. е. А(Х) = О)
может иметь место только в изолированных точках, ибо А(Х),
как функция аналитическая, может иметь только изолированные
нули. Полученный результат сформулируем в виде теоремы.
Теорема 6. Если в уравнении с вырожденным ядром функ-
ции, из которых составлено это ядро, суть аналитические функ-
ции параметра X в некоторой области 2 плоскости X и есЛи
хотя бы для одного значения X уравнение однозначно разрешимо
при любой правой части, то второй случай (т. е. А (X) — 0)
может иметь место только для изолированных точек области Q.
Теоремы 3, 4, 5 и 6, как мы увидим, остаются справедливыми
не только для уравнений с вырожденным ядром, но и для более
общих уравнений. Для более общего случая они называются со-
ответственно 1-й, 2-й, 3-й, 4-й теоремами Фредгольма.
§ 5. Ядро специального вида. Теоремы Фредгольма.
Разобрав решение интегральных уравнений в круге | X j < — ,
а также уравнений с вырожденным ядром, переходим к анализу
более общего случая. Пусть ядро уравнения (XVIIL3) имеет вид
К (Р, Л) = J х; (Р) \ (J\) + /ч (Р, РЭ, (XVIII.27)
где
§ рТДР, P1)\dP1^M, (XVI.If.28)
D
[K^P, P1)\dP<M. (XV1IL29)
и
Уравнение (XVII 1.3) примет при этом вид
? (Р)-1
I)
N
+ (XVIIL3J)
1=1 D
§ 5] ЯДРО СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА 257
Будем рассматривать уравнение (XVIII.27) при значениях к,
удовлетворяющих условию | < — (71/ имеет теперь иной смысл,
чем в § 2). Введём опять символические обозначения
<Р (Р) - к (Р, PJ ? (PJ dP, = (^ - кЛх)
D
оо
X (Р)+ 2 ^k7=B-^.
k^i
Воспользуемся также соответствующими обозначениями для союз-
ного уравнения
ф (PJ - Ц (Р, Л) ? Р) dP = (E- кЛ/) ф = В*ф.
D
Легко проверить, что если положить
оо
2?*-1$(Л)=?(Л)+ 2 *Ч*кЧЛ),
k= 1
то аналогично (XVIII.11) и (XVIII.12) получим:
ву^-ц (Л)=t (Л), в*-*в*л (Л)=ф (Л).
Проверим ещё две формулы, которыми мы будем пользоваться
далее:
IA? (р)] Ф (р)dP = \ <? (^) [^Ф (/J)1 dP> (XVIII.31)
D Ь
$ О t CP) dP = 5 X (^) (^)l dP. (XVIII.32)
D D
В самом деле,
\ Ф (P) [Л1? (P)] dP = 5 Ф (P) [ 5 Кг (P, PJ T (PJ dP, ] dP =
b b D
= 5 ? (PJ [ к, (P, PJ ф (P) dP ] dPr = ? (Л) [Л/Ф (Px)] dP^
D D Ь
Отсюда непосредственно получаем:
ф (JP) {[jE - kJJ ?} dP = <p (P) {[£ - ХЛ*] ф} dP.
D D
Так же доказывается и формула (XVIII.32).
17 С. Л. Соболев
258
ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
[Л. XVIII
Уравнение (XVIII.30) запишется при этом в виде
(Р) 5 (XVIII.33)
D
Введём новую неизвестную функцию, полагая (Р) = / (Р), от-
куда ср (Р) ~В~(Р). Подставляя в уравнение (XVIII.30) это
выражение и пользуясь равенством (XVIII.32), получим:
x(/W2x« (^) $ МЛ) [л~‘х(Л)] <*Л+/(Л =
D
= \2 Ъ (Р) 5 X (Л) dP1 + f(P). (XVIII.34)
D
Таким образом, уравнение (XVIII.30) перешло в уравнение
с вырожденным ядром (XXIII. 34) для новой неизвестной функ-
ции х (Р) с тем же свободным членом, а решение ср (Р) уравне-
ния (XVIII.20)—в решение х(Р) уравнения (XVIII.34). Обратно,
если х(Р) есть решение уравнения (XVIII.34), то функция
ср (Р) = В^хх (Р) будет решением уравнения (XVIII.30). Для того
чтобы убедиться в этом, достаточно подставить в (XVIIL34) вме-
сто х (Р) его выражение: х (Р) = Рх<р (Р)•
Покажем, что из теорем 3, 4, 5 и 6, справедливых по дока-
занному для нового интегрального уравнения относительно х (Р),
вытекает справедливость этих же теорем для первоначального
уравнения (XVIII.30) при | X | < .
Составим союзное однородное уравнение для уравнения
(XVIII.34)
Ф (Л) - * 2 B*~lh (Л) 5 х( (Р) Ф (Р) dP = о. (XVIII.35)
D
Обозначим левую часть этого уравнения через о)(Р1). Функ-
ция (о (Рх) обращается в нуль тогда и только тогда, когда
^(Pj^O. (XVIII.36)
Это значит, что уравнение (XVIII.35) имеет все те же реше-
ния, что и уравнение (XVIII.36). Но
в> (Pi)=лф (Л) - * 2 в*в*-% (Рх) 5 х« (Р) ф (Л dp=
D
= ЛФ (Pl) - * 2 (р1) 5 Xz (Р) ф (Р) dP,
D
и, следовательно, уравнение (XVIII.36) есть союзное однородное
уравнение для (XVIII.30). Таким образом, союзное однородное
§ 5] ЯДРО СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА 259
уравнение для (XVIII.34) и союзное однородное уравнение для
(XVI11.30) равносильны.
Пользуясь развитой нами теорией, мы можем установить все
теоремы Фредгольма для исходного уравнения.
2-я теорема Фредгольма. Число q линейно независимых
решений соответствующего однородного уравнения для уравнения
(XVIII.30) и союзного с ним (XVIII.36) совпадает.
Достаточно установить совпадение числа линейно независимых
решений у однородного уравнения, соответствующего уравне1
ниям (XVIII.34) и (XVIII.36), эквивалентных рассматриваемым.
Но число таких решений однородного уравнения, соответствующего
(XVIII.34) и (XVlII.35), одинаково в силу теоремы 4, доказанной
нами для уравнения с вырожденным ядром. Теорема доказана.
3-я теорема Фредгольма. Необходимое и достаточное
условие разрешимости уравнения (XVIII.30) состоит в том, чтобы
свободный член его был ортогонален ко всем решениям союзного
однородного уравнения (XVIII.36):
/(Р)фД/))^ = О (/ = 1,2, ..., q). (XVIII.37)
D
Заметим, что решения ф^ (Р) уравнения (XVIII.36) суть реше-
ния уравнения (XVIII.35), а свободный член (XVIII.30) и
(XVIII.34) один и тот же. Поэтому условия (XVIII.37) выражают
собою, как следует из теоремы 5, установленной для уравнений
с вырожденным ядром, необходимые и достаточные .условия раз-
решимости (XVIII. 34).
Благодаря тому, что уравнения (XVIII.34) и (XVIII.30) раз-
решимы одновременно, условия (XVIII.37) будут необходимы-
ми и достаточными условиями разрешимости (XVIII.30). Теоре-
ма доказана.
1-я теорема Фредгольма. Если уравнение (XVIII.30)
разрешимо при любой функции / (Р) в правой части, то решение
его единственно, и значит, соответствующее однородное уравне-
ние имеет только тривиальное решение. Наоборот, если однород-
ное уравнение имеет только тривиальное решение, то уравнение
разрешимо при любой функции / (Р).
Эта теорема, как отмечено выше, есть следствие 2-й и 3-й
теорем Фредгольма.
В нашем случае теорема 6 имеет особенно простую форму-
лировку:
4-я теорема Фредгольма. Характеристические значе-
ния X не имеют предельных точек внутри круга | X | < ~ .
Доказательство вытекает из того, что X = 0 не будет характе-
ристическим числом для (XVIII.30), так как иных решений, кроме
^ (/>) = /(/>), при этом значении X не будет.
17*
260
ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
[Л. XVIII
В силу теоремы 6 для вырожденных ядер, характеристические
числа уравнения (XVIII.34), а значит, и уравнения (XVIII.30),
не могут иметь предельных точек внутри круга | X | < , где
регулярны функции, из которых составлено ядро. Теорема
доказана.
Мы доказали четыре теоремы Фредгольма для тех интеграль-
ных уравнений, ядро которых представимо в виде (XVIII.27).
В приложениях часто встречаются ядра такого типа, что они
допускают апроксимацию суммами вида
N
1
с любой степенью точности в том смысле, что число М, равное
верхней грани интегралов
51^1 (Л лшл,
D
\\KAP, PJdP,
b
mwmqt быть как угодно мало.
Для ядер такого типа все теоремы Фредгольма справедливы
в круге сколь угодно большого радиуса, и единственной предель-
ной точкой для характеристических значений X может служить оо.
Докажем, что это обстоятельство будет иметь место, например,
если выполнены следующие условия, очень часто встречающиеся
в приложениях:
1) Область D представляет собой некоторое n-мерное много-
образие в некотором fc-мерном кубе Йх: 0<ж2^1, ...
...., (или может быть взаимно однозначно и взаимно
непрерывно отображена на такое многообразие).
2) Ядро К (Р, Рг) есть функция, непрерывная в 2/г-мериом
многообразии, и может быть непрерывно продолжена на 2/с-мер-
ный куб 22:
0<^<1 (i= 1, 2, ..., к),
(i = 1» 2, ...,*),
где через xi обозначены координаты точки Р в кубе а через
^ — координаты точки Q в том же кубе.
Очевидно, что рба эти условия будут выполнены, например,
если область D есть поверхность в трёхмерном пространстве
и функция К(Р, Р.Л непрерывна при изменении Р и А вдоль
этой поверхности.
Переходим к доказательству нашего утверждения.
§ 6] ОБОБЩЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ 261
Согласно известной теореме Вейерштрасса о приближений
непрерывных функций многочленами, функцию К(Р, Р^, непре-
рывную в замкнутом 2А-мерном кубе, всегда можно представить-
приближённо с помощью многочленов от 2k переменных с любой
наперёд заданной точностью. Но многочлен от xi9 i=l, 2, ...
..., к, и уi = 1, 2, ..., к, всегда может быть представлех^
в виде суммы произведений функций, зависящих только от
х19 ..., xk, на функции, зависящие только от у±, ..., yk, что
и требовалось доказать.
Из самого построения решения уравнения Фредгольма в нашем
случае очевидно, что это решение будет аналитической функцией
параметра X на всей плоскости, за исключением особых точек,
являющихся характеристическими значениями X и лежащих изо-
лированно.
§ 6. Обобщение результатов.
Для того чтобы получить результаты, изложенные в § 5 настоя-
щей лекции, нет надобности требовать, чтобы ядро Кг (Р, Рг)
удовлетворяло обоим условиям (XVIII.28) и (XVIII.29). Достаточ-
но потребовать, чтобы было выполнено одно из них, например пер-
вое. Мы предположим, что выполнено условие (XVIII.28) и не
будем делать никаких предположений относительно интеграла
p1)\dp.
D
Положим
X (PJ = я*ф J к. (Р, Л) Ф (Р) dP.
» ь
Докажем следующее основное свойство оператора А*; если
функция ф(Р) суммируема, то и функция / (Р3) суммируема,
и при этом
|/(Л)|dPt^M |ф(Р)|</Р. (XVIII.38)
Ь D
Для доказательства рассмотрим функцию^/г переменных
К^р, р,)ф(Р).
Эта функция измерима как произведение двух измеримых функ-
ций. Кроме того, опа суммируема как функция 2п переменных.
В самом деле, справедливо очевидное неравенство
| ф (Р) I | I Кг (Р, PJ I rfP-J dP^M | ф (Р) I dP.
D O D
262
ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
ГЛ. XVIII
Повторный интеграл в левой части, очевидно, существует. На
основании добавления к теореме Лебега-Фубини (лекция VI, § 7,
стр. 124) существует двойной интеграл
5 ^\^(P)K(p,p1)\dPdP1
D D
и, следовательно, существует также двойной интеграл
W^K^P, Pt)dPdPv
D D
причём возможно изменение порядка интегрирования. Это озна-
чает, что имеют смысл обе части неравенства
D Ь
D 1 D
и неравенство справедливо. Но
5 {5\К. (Р, PJ^P^dPjdP^
b Г)
D D
что вместе с (XVIII.28) непосредственно даёт (XVIII.38).
Теорема 6. Если последовательность сходится в среднем
к функции <р0, т, е. стремится к нулю интеграл
51 Фо—Фй ।
D
то последовательность сходится в среднем к А*ф0.
В самом деле,
J |Л*ф0- А*фJdP = J| л* (ф0-фй)\dP<М $ [<р0-фйIdP,
D Ь D
откуда и следует наше утверждение,
оо
В частности, если ряд v = J] uk сходится в среднем, то
/г=1
оо
A*v= 2
fe=i
где ряд справа сходится в среднем.
§ 6] ОБОБЩЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ 263
Рассмотрим интегральное уравнение
В*ф = (£ __ кА*) ф = х, (XVIIL39)
союзное для уравнения (XVII 1.3). Подобно тому как было найдено
решение уравнения (XVIII.3), мы можем получить решение этого
уравнения в виде ряда
ф = Я*'1/ = х + + ^*2Х + • - - + ХМ*^х + • • • (XVIII.40)
Докажем, что формула (XVIIL40) действительно даёт реше-
ние уравнения (XVIII.39) в круге
Установим, прежде всего, сходимость ряда в правой части
(XVIII.40). Применяя последовательно неравенство (XVIIL38),
получим:
| A*^\dP<M |х|йД J | A*\\dP<M2 |х|йД ...
D Ь D D
..., ^ \A*\\dP<Mh |х1^Л ...
D D
Из]полученных оценок непосредственно следует неравенство
т+р т+р
| 2 IdP < {2 I I} dP =
£) ^hz=m D k=m
т+р т+р
k—m D k~m D
В круге | X | < имеем:
m+P
D k=m D
При достаточно большом m правая часть неравенства будет меньше
любого наперёд заданного числа. Следовательно, на основании
теоремы о сходимости в среднем (лекция VI, теорема 23) ряд
(XVIII.40) сходится в среднем, и сумма его, обозначенная сим-
волом В*'1/, представляет собой суммируемую функцию перемен-
ной точки Рг.
264
ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
[Л. XVIII
Докажем теперь тождества
В*В*-Ч = %, (XVIII.41)
В*ЧВ*ф = ф. (XVIII.42)
Мы имеем:
В^В*^ = (ф - ХА*ф) 4 ХА* (ф -XА*ф) ИХ2А*2 (ф -ХА*ф) + ...
... + ХМ*Ь (ф — ХЛ*ф)+... = ф.
Далее, пользуясь теоремой 6 и сходимостью в среднем ряда
получим:
(Е - ХА*) (5 + ХА Ч + Х2А*2$ + ... + ^lA*ht +...) = ^
откуда В^В^~Ч = ^. Последнее тождество выражает тот факт,
что функция В*”1/ является решением уравнения (XVIII.39).
Тождество (XVIII.42) показывает, что В*-1/ есть единственное
решение, так как из уравнения (XVIII.39), применяя к обеим
частям оператор В*"1, получим ф^В*"1/.
Все остальные рассуждения для уравнений, ядра которых
удовлетворяют лишь условию (XVIII.28), дословно совпадают
с теми, которые были проведены в § 5.
§ 7. Уравнения с неограниченными ядрами специального вида.
Рассмотрим ядро К (Р, Р1), где точки Р, Рг принадлежат огра-
ниченной области D. Обозначим через г расстояние 'между точ-
ками Р и Рг. Предположим, что ядро К (Р, Рг) непрерывно всюду
по совокупности переменных точек Р, Рг при г #= 0, а при г —> О
может стремиться к бесконечности, удовлетворяя во всей обла-
сти D неравенству
\к(р, л)1<4>
г
где 0 < а < п, п — размерность пространства.
Покажем, что для ядер такого типа все наши условия выпол-
нены и что ядро К (В, Рх) в этом случае представимо в виде
(XVIII.27) при сколь угодно малой постоянной М в неравен-
ствах (XVIII.28) и (XVIII.29).
Рассмотрим функцию
где 8 —заданное положительное число.
7]
УРАВНЕНИЯ С НЕОГРАНИЧЕННЫМИ ЯДРАМИ
265-
Оценим интеграл
D
Разность К(Р7 Pj) — К* (JP, Рг) может быть отлична от нуля
лишь в области г
о, ибо во всех остальных точках К (Р, Рг)<С
А
и, значит, К* (Р, PJ - К (Р, PJ. Функция К (Р, PJ - К* (Р, Рх)
всюду неотрицательна и при удовлетворяет неравенству
О
< К (Р, Л) - К* (Р,
\ г о /
Отсюда получаем:
$ I к (р; PJ- к* (Р, PJ \dP1=[ [К (Р, рх) - к* (Р, рх)] dP, <
b ь
А r« dPl 2 ’
г^8
если только о достаточно мало, при произвольном положительном
числе е.
Функция К * (Р, Рг) как минимум двух непрерывных функций
непрерывна при г 0. В окрестности поверхности г = 0 она по-
стоянна,
образом,
равняясь — ,
эта функция
и, следовательно, также непрерывна. Таким
на основании § 5 представима в виде
N
К* (Р, Л) = 2 (Р) (PJ+К2 (Р, Л),
где
^(P.PJI^P^A.
D
Следовательно,
К (Р, Л) = 2 ?i (Р) (Рх)+К2 (Р, PJ+[К (Р, PJ - к- (Р, рх)],
i=l
Полагая
к. (Р, рх) = к2 (Р, р.) + [К (Р; PJ-к^ (Р, Л)],
266
ТЕОРИЯ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
[Л. XVIII
будем иметь:
\\КЛР,
D
< J | К2 (Р, Л) I dP, + 5 | К (Р, PJ - К\(Р, Л) I dP, < 1+1 = г.
О D
Таким образом, для ядер рассматриваемого типа теоремы
Фредгольма справедливы на всей плоскости комплексного пара-
метра К, так же как и для непрерывных ядер, что и требовалось
доказать.
Замечание. Из проделанных оценок следует, что опера-
торы рассматриваемого в этом параграфе вида переводят всякую
ограниченную суммируемую функцию в некоторую непрерывную
функцию.
ЛЕКЦИЯ XIX.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ФРЕДГОЛЬМА К РЕШЕНИЮ
ЗАДАЧ ДИРИХЛЕ И НЕЙМАНА.
§ 1. Вывод свойств интегральных уравнений.
Развитая нами теория уравнений Фредгольма позволяет перей-
ти к непосредственному решению задач Дирихле и Неймана,
которые были нами ранее сведены к задаче отыскания решений
некоторых интегральных уравнений.
Мы начнём с некоторых вспомогательных предложений.
Везде в дальнейшем мы будем рассматривать поверхности 8,
гладкие в смысле Ляпунова, или такие, как в § 4 лекции XV.
Лемма 1. Пусть поверхность S удовлетворяет условиям
§ 4 лекции XV, v (5) — непрерывная функция и потенциал просто-
го слоя
(XIX. 1)
S
п I л
имеет внешнюю нормальную производную , тождественно рав-
ную нулю на 8. Тогда плотность v (5) равна нулю тождественно.
Доказательство. Рассматриваемый потенциал вне поверх-
ности 8 есть гармоническая функция, обращающаяся в нуль на
бесконечности, как -- . Ее нормальная производная извне равна
нулю на S. Согласно определению из § 4 лекции XV и замеча-
нию 3 из § 3 той же лекции, в условиях леммы эта нормальная
производная является правильной.
В силу замечания к теореме единственности решения задачи
Неймана (л. XVI, § 1, теорема 2), рассматриваемый потенциал
вне области, ограниченной поверхностью 5, совпадает с тривиаль-
ным решением внешней задачи Неймана, т. е. тождественно
равен нулю.
Потенциал простого слоя есть функция, непрерывная во всём
пространстве. Следовательно, его предельное значение изнутри
тоже нуль.
268
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ФРЕДГОЛЬМА
[Л. XIX
Применим теперь теорему единственности для внутренней
задачи Дирихле. Рассматриваемый потенциал есть гармоническая
функция внутри 5*. Её предельное значение на поверхности есть
нуль. Следовательно, она тождественно равна нулю.
При этом предельное значение её нормальной производной
изнутри есть также нуль.
Пользуясь тем, что
^-1-^1 = 4™ (5), (XIX.2)
дп |е дп [£ 4 7 х 7
и замечая, что нормальная производная v имеет пределом нуль
и изнутри и извне, видим, что плотность есть нуль, что и тре-
бовалось доказать.
Если предельное значение на S равно нулю, то в силу
теоремы единственности для задачи Неймана функция v есть
постоянная внутри S.
Лемма 2. Если в тех же предположениях относительно
di) I г •
v (jl?) имеем ~ 0 и vi — 0, то плотность тождественно^ равна
нулю.
Доказательство этой леммы почти совпадает с доказательством
предыдущей.
Потенциал v есть функция непрерывная, значит ve~ 0. Из
единственности решения внешней задачи Дирихле следует, что
v — тождественный нуль также и вне S. Но тогда формула (XIX.2)
даёт
v (S) = 0,
что и требовалось доказать.
Замечание. При доказательстве лемм Ги 2 мы опирались
на замечание к теореме единственности (л. XVI, § 1, теорема 2).
Можно было бы ослабить требования на S, считая её поверх-
ностью Ляпунова, воспользовавшись теоремой 6 лекции XV,
тождеством /2=0, равенством (XVI. 4), следствием из теоремы 5
лекции XV и теоремой 2 лекции XVI.
Леммы 1 и 2 позволяют непосредственно перейти к исследова-
нию интегральных уравнений Фредгольма для задач Дирихле и
Неймана, выведенных нами в лекции XVI.
Мы получили уравнения:
для внутренней задачи Дирихле —
(Л (50) + №. S) Р (S) dS = ? (50);
для внешней задачи Неймана —
V №) + 5 \к (S, So) V (5) dS = ф (50);
(XIX.3)
(XIX.4)
ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
269
для внешней задачи Дирихле —
f! (So) - К [Л (5) dS = т (So);
для внутренней задачи Неймана —
v(50)- S0)^S)dS = 6{S).
s
Ядро К (6*0, S) имеет вид
K(S0,
В силу (XV.6) имеем неравенство
|7Г(50) 5)|.
(XIX.5)
(XIX.6)
г2
„2-6 ’
(XIX.7)
П.
Следовательно, ядро К (50, 5) принадлежит к числу неограни-
ченных ядер специального типа, рассмотренных в лекции XVIII,
ибо в нашем случае, пользуясь обозначениями предыдущей
лекции (см. § 7, лекция XVIII), имеем:
п — 2, а = 2 —о
Таким образом, для этих уравнений имеют место все теоремы
Фредгольма.
Результаты главы XVIII получены для интегральных уравне-
ний, в которых область интегрирования D была плоской. Тем
не менее полученные результаты применимы и в данном случае,
так как поверхность Ляпунова можно разбить на конечное число
кусков и перейти от интегрирования по куску поверхности к
интегрированию по той области на касательной плоскости к этому
куску в какой-либо точке Q, на которую этот кусок проекти-
руется. При этом в силу третьего неравенства (XV.5') можно
считать, что подинтегральная функция умножится на величину
о < —-----< 2,
COS Hq п
hq — внутренняя нормаль в точке Q, а п — направление нор-
мали в подвижной точке интегрирования.
§ 2. Исследование уравнений
Теорема 1. Уравнения (XIX.3) и (XIX.4) всегда имеют
единственные решения.
Докажем это. Допустим, что интегральное уравнение
v№)+ 5 5 K^S’ So)HS)dS = O (XIX.8)
s
270
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ФРЕДГОЛЬМА
[Л. XIX
имеет ограниченное решение v (S). Благодаря свойству интеграль-
ного оператора с ядром K(S, отмеченному в конце § 7
лекции XVIII, второе слагаемое в (XIX.8) непрерывно, следо-
вательно, непрерывно и первое слагаемое. Потенциал простого*
слоя
r= С
J г
S
с непрерывной плотностью у(^) имеет, как мы видели в § 4
лекции XV, правильную нормальную производную.
Предельные значения нормальной производной этого потен-
циала выражаются, как мы видели (теорема 2 из лекции XV)
через плотность в следующем виде
2к v
S0)y(S)dS^
и в силу уравнения (XIX.8) равны нулю. Согласно лемме 1 из
предыдущего параграфа v(j5)^0 и, таким образом, однородное
уравнение, соответствующее (XIX.4), не имеет нетривиальных
решений.
При этом 1-я теорема Фредгольма даёт нам, что союзное
однородное уравнение, совпадающее с (XIX.3) при ср = 0, тоже
не имеет нетривиальных решений. Далее, из той же теоремы
Фредгольма следует существование определённого единственного
ограниченного решения у (XIX.3) и (XIX.4) при произвольных
ограниченных правых частях.
Следовательно, мы можем получить решение этих уравнений?
а одновременно и решение внутренней задачи Дирихле и внешней
задачи Неймана.
Из доказанного, между прочим, вытекает доказательство вто-
рой половины теоремы Ляпунова из лекции XV, стр. 227.
Переходя к решению внешней задачи Дирихле и внутренней
задачи Неймана, докажем следующую теорему.
Теорема 2. Каждое из уравнений
Ч^80)-^К(80, S)v.(S)dS = 0,
v(3'0)- J К (8, 8o)v(S)dS = O
(XIX. 9)
имеет одну и только одну фундаментальную функцию.
Прежде всего, заметим, что уравнения (XIX.9) союзны (сопря-
жены), и, следовательно, число линейно независимых решений
у них одно и то же.
§ 2] ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ 271
Для первого из уравнений (XIX.9) такой фундаментальной
функцией служит единица. В самом деле, потенциал двойного-
слоя
ее <
МЫ'1'6'»'*'5
8
при jx = 1 даёт величину телесного угла, под которым видна по-
верхность S, и, следовательно, его значения извне есть нуль.
Но левая часть первого из уравнений (XIX.9) есть как раз пре-
дельное значение потенциала двойного слоя извне, и поэтому
~ 1 должно обращать эту левую часть в нуль. Следовательног
число фундаментальных функций каждого из уравнений (XIX. 9)
не меньше одной.
Покажем, что каждое из уравнений (XIX.9) не может иметь
двух линейно независимых решений.
Повторяя в точности рассуждение, приведённое для доказа-
тельства непрерывности функции v(5) в теореме 1 и воспользо-
вавшись теоремой 6 лекции XV, убеждаемся, что все решения
второго из уравнений (XIX.9) удовлетворяют условию (XV.13).
Если бы существовали две фундаментальные функции (б’)
и v2(^)> то °ба потенциала
и
8 8
были бы гармоническими функциями внутри области, ограничен-
ной S, и имели бы в этой области первые производные, непре-
рывные вплоть до границы. При этом предельные значения
и У °беих функций были бы равны нулю; на основании
теоремы единственности решения задачи Неймана обе эти функ-
ции представляли бы собой не что иное, как постоянные.
Заменяя \, г = 1, 2, на а^., где ai? Z — 1, 2,—постоянные мно-
жители, мы можем добиться того, чтобы оба потенциала v± и v2
были бы равны единице внутри области. Предположим, что это
сделано. При этом потенциал
v=v1-v2=^^^1(S)-^(S))ds
с плотностью v-l (£) — v2 (61) будет равен нулю внутри.
Тогда предельное значение гл будет также равно нулю..
По лемме 2 плотность (У) — v2 (5) должна равняться нулюг
что и доказывает нашу теорему.
^2 ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ФРЕДГОЛЬМА [Л. XIX
Нами доказано существование собственной функции v0 (5)
второго уравнения (XIX.9). Можно считать, что величина потен-
циала v0 = V V°^— dS внутри области 2, ограниченной поверх-
дтостыо S, равна единице. Функция v0 (3*) даёт соответствующее
распределение электрических зарядов на поверхности проводника,
заполняющего область 2, ограниченную поверхностью 3’. Задача
о нахождении потенциала заряженного проводника носит назва-
ние задачи Робэна, а сам потенциал называется потенциалом
Робэна.
Внутренняя задача Неймана заключалась в отыскании гармо-
нической функции, такой, что
d£\=f^- (XIX.10)
Теорема 3. Для существования решения внутренней зада-
чи Неймана необходимо и достаточно, чтобы правая часть
{XIX. 10), т. е. функция /2(5), удовлетворяла условию
= (XIX.11)
Необходимость этого условия вытекает из того, что если при-
менить формулу Грина (V.16) к и и 1 (обе эти функции гармо-
нические), то мы получим:
S 8
Достаточность следует при этом из того, что единица есть
единственное решение первого уравнения (XIX. 9), союзного
с (XIX.6). Поэтому, если свободный член ф (З1) уравнения
(XIX.6) ортогонален к единице, то это уравнение по теореме
Фредгольма разрешимо. Но ф (J?) отличается лишь множителем
от /2(^)> и, следовательно, условие (XIX. 11) необходимо и доста-
точно для решения уравнения (XIX.6), а с ним и задачи Неймана.
Перейдём теперь к решению внешней задачи Дирихле.
Как мы видели, интегральное уравнение (XIX.5) может и не
иметь решения, так как соответствующее однородное уравнение
имеет нетривиальное решение. Этого можно было ожидать с са-
мого начала. Искомая гармоническая функция и, удовлетворя-
ющая условию
и|е=т (xix.12)
как мы видели, единственна. Она будет стремиться к нулю на
бесконечности, вообще говоря, как (см. теорему 1 лекции XII),
ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ
273
§ 2]
как, например, гармоническая функция , равная единице на
единичной сфере.
Мы же пытаемся представить функцию в виде потенциала
А
двойного слоя, который убывает, как ~2- . Разумеется, такое пред-
ставление может оказаться невозможным. Попробуем теперь в
соответствии с этим искать решение внешней задачи Дирихле в
виде
где а — неопределённая постоянная, г0 — расстояние точки (ж, у, z)
до начала координат, которое мы будем считать выбранным вну-
три S, а иг — потенциал двойного слоя
S
Значения и1 на поверхности S будут:
Уравнение’(XIX.5) превратится при этом в уравнение
!л(50)-^7<(Х0, S)p(S)dS = <t>(S 0)-\ -£1| (XIX.13)
8
Потребуем, чтобы свободный член этого уравнения был орто-
гонален к v0 (5') — собственной функции второго уравнения (XIX.9).
Мы получим*
5 5 ? О’о) №) dS0 + £ dS0 = 0.
s \s 0
Интеграл во втором слагаемой! равен единице по предположе-
нию, и мы получим:
а =- 2 Д 0 №) ’'о №) dlSo-
S
Определив, таким образом, постоянную а, мы получим из (XIX. 13)
разрешимое уравнение. Решая его, получим тем самым решение
внешней задачи Дирихле.
18 С. Л. Соболев
ЛЕКЦИЯ XX.
ФУНКЦИЯ ГРИНА.
<
§ 1. Диффере шцшльшле операторы с одной независимой
переменной.
Во многих задачах математической физики, с которыми мы
встречались, неизвестная функция определялась, помимо дифферен-
циального уравнения, ещё условиями па границах области задания
неизвестной функции.
Таковы были в своём большинстве задачи, связанные с реше-
нием уравнений эллиптического типа. Несколько позднее мы будем
иметь случай убедиться в том, что и при решении краевых задач
для уравнений других типов умение решать такую задачу с усло-
виями на границе области приносит существенную пользу. Для
того чтобы детальнее исследовать важнейшие свойства решений
этих краевых задач, мы зададимся целью дать в явном виде
.представление таких решений.
Начнём с простейшего случая. Будем искать решение обыкно-
венного дифференциального уравнения 2-го порядка
Ly == р (х) у"-h q (х) у' -1 г (я) у = / (а:) (XX. 1)
в промежутке удовлетворяющее некоторым * условиям
на границах х = 0 и х — 1.
Мы предположим, что функция р (х) непрерывна с производными
до 2-го порядка и не обращается в пуль в промежутке
Второе условие мы впоследствии снимем в некоторых примерах.
Функцию q (х) мы предположим непрерывной с производной 1-го
порядка, а функцию г(х) непрерывной в том же промежутке.
Хотя эта задача относится, формально говоря, к теории обык-
новенных дифференциальных уравнений, тем не менее мы раз-
берём её подробно. Нам придётся сделать несколько важных
предварительных замечаний.
Составим оператор, сопряжённый с оператором Ly (см. § 2 л. V).
Этот сопряжённый оператор будет иметь вид
Mz = (р (х) z)" — (q (х) z)f |- г (х) z. (XX.2)
§ 1] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 27Й
Операторы М и L связаны между собой соотношением
zLy уМz=?-(pzd^-y -• qyz Л .
Формула Грина для отрезка [О, 1J для этих операторов имеет
вид
{/W^o - ZWi 4 Оо - Ро) 2/ozo) - IPi?/izi - Р1УА + (<7i - X) УЛ\ г
1
+ (zLy — yMz) dx = О, (XX.3)
b
где индексы 0 и I указывают, что берутся значения функций
соответственно при х = 0 и при х=1, например:
7>о = Р(°)> ?/о = ?/(О), ^=z'(l).
Если функции у и z выбраны так, что фигурные скобки
в формуле (XX.3) обращаются в нуль, то эта формула упро-
щается, и мы получим:
(zLy — уМz) dx 0.
о
(XX.4)
Может случиться, что формула (XX.4) справедлива для лю*
бой пары функций у и z, принадлежащих некоторым двум се-
мействам {у} и {z}. Такие два семейства мы будем называть
соп ряженными.
Разберём несколько примеров сопряжённых семейств функций
для оператора (XX. 1).
Будем изучать семейства функций у/, удовлетворяющие
на границах одному из двух линейных условий:
I) %=0,
II) роу'п-\ Ро?/о=0
(XX. 5)
па конце х — 0, и аналогично
I) 2/1 = 0,
II) aX + ₽i2/i = °
на конце х = 1, где Ро и — некоторые числа.
Представим первую фигурную скобку формулы (ХХ.З)ввиде
-?/о[А)<+(7’о-<7о4 ₽o)zoHzo MH Po?/ol-
18*
276
ФУНКЦИЯ ГРИНА
(Л. XX
Подобным образом представим и вторую скобку. Тогда формула
(XX.3) перепишется так:
- Уо l(PZ)' + (₽0 - <?) z]a:=0 4- Zo \ру’ + РоУ]Х=0 4~
1
4~ jj (zLy - yMz) dx-]-У1 [(pz)’ + (Рх — q) z]x=1 —
О
~zi [py' -\-^y]x=l=Q. (XX. 7)
Из этого представления вытекает несколько простых следствий.
Если семейство {г/} удовлетворяет на конце х = 0 первому усло-
вию, то для того чтобы обращался в пуль только внеинтеграль-
ный член при х = 0, в качестве семейства {z} можно взять любое
семейство функций, удовлетворяющих при х=---0 условию
!•) zo = 0.
Если семейство {у} удовлетворяет второму условию на конце
х — 0, то семейство {z} достаточно подчинить условию
Па) Ро'4 I” (Р« — Ро + Ро) zo = °-
Для семейства {у}, подчинённого обоим условиям, т. е. у кото-
рого = у0 — 0, можно • функции {z} никаким условиям при х — О
не подчинять. Обратно, если ио накладывать ограничений
на семейство {у}, то функции {z} нужно подчинить условиям
= 0. Совершенно так же можно исследовать конец х = 1,
где условия, разбираемые нами, будут иметь вид:
I) У1 = и,
П) 7VA4-₽j?/i = ^
1а) 2х = 0,
Па) Р14 + (Pi ~ <714- Pi) zx = 0.
Условия 1а или IIа, поставленные па обоих концах промежутка,
являются достаточными для того, чтобы семейство {z} было
сопряжённым с семейством {?/}, если для последнего выполняются
условия I или И. Эти условия будут и необходимы, если
в качестве семейства {?/} взять множество всех функций, удов-
летворяющих условиям I или II на обоих концах промежутка
И имеющих непрерывные производные до второго порядка вклю-
чительно. В дальнейшем мы будем определять семейства {2/} и {z}
именно таким образом.
Условия (XX.5), для краткости, можно записать в виде
одного условия
1аоРУ' 4- Ро7/]х=о = 0,
(XX.5')
§ 1] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 277
а условия (XX.6) в виде
[а1РУ' + ₽1?/]х=1 = О, (ХХ.6')
где а0, ах, р0, ^ — некоторые числа; нс ограничивая общности,
можно считать, что а0 и 04 могут быть равны только нулю или
единице.
Сопряжённые условия 1а и Па на конце х = 0 примут вид
aoPoZO 4" (.аоРо ао7о 4~ Ро) Z0 = (XX.5 )
Соответственно на конце х=1 они запишутся в виде
«1P1Z1 + (а1Х а1$1 + Pi) zi = °-
Можно рассматривать и более общий тип условии, накла-
дываемых па семейство {у\. Эти условия общего типа могут
связывать значения у и у' па обоих концах. Мы не будем
заниматься перечислением или классификацией таких условий,
укажем лишь на способ их получения.
Билинейная форма
ф <2/о» У1> z0, z', zu z() =
ss РпУ% - РоУ<& H (7o - P«) yozo - PPJA + PiQiZl - (7i - р{) У&
двух четвёрок переменных уничтожается для произвольных зна-
чений одной четвёрки тогда и только тогда, когда значения всех
переменных другой четвёрки суть пули. Если между переменными
одной четвёрки, например у0, y’Q, у±, у'19 существуют линейные
связи, то, выражая некоторые из переменных через остальные,
мы превратим эту форму в другую форму, линейную относительно у,
но зависящую от меньшего числа переменных. Условием уничто-
жения этой формы будет обращение в нуль коэффициентов при
этих оставшихся переменных. Таким образом, сумма числа
условий, наложенных на {?/} и па {z}, равна четырём.
Рассмотрим, например, уравнение
Ly==y" н k*y = Q.
При этом p= i, q = г = к\ и пусть условия, наложенные
на семейство {у}, будут:
% = Ун
У» = У[-
Согласно пашей теории форма Ф примет вид
ф = У о (z0 - zi) + У 0 (zo — zi) = о.
278
ФУНКЦИЯ ГРИНА
[Л. XX
Следовательно, сопряжённые условия будут:
"О ~ ^1’
z:=<-
§ 2. Сопряжённые операторы и сопряжённые семейства.
Понятие о сопряжённых семействах или сопряжённых условиях
относится не только к обыкновенным уравнениям 2-го порядка.
Его легко перенести па случай, когда оператор L есть линейный
дифференциальный оператор с частными производными любого
порядка. Выше мы определили понятие оператора 71/, сопряжён-
ного с данным дифференциальным оператором L. Интегральную
формулу, справедливость которой для двух сопряжённых опера-
торов была выше доказана, мы можем теперь принять за опре-
деление сопряжённых операторов.
Определение. Оператор Mv мы будем называть сопряжён-
ным с оператором Lu и два семейства функций {и} и {v}, задан-
ных в области 2, мы будем называть сопряжёнными относительно
L и М в этой области, если
vLu й2 = uMv dQ (XX.8)
й Й
для любых функций и и г; из соответствующих семейств.
Условия, которыми определяются два сопряжённых относи-
тельно операторов L и М семейства, носят название сопряжённых.
Определение. Оператор L называется самосопряжённым,
если ему сопряжённый совпадает с ним самим, т. е.
Mu = Lu.
Аналогично для любого самосопряжённого оператора семейство
функций, совпадающее со своим сопряжённым, называется само-
сопряжённ ым семей ством.
Мы рассмотрим ещё несколько простейших примеров.
Пример 1.
Ly = РоУ(п) + Р1У{п~1}~\ . • . Ч рпу.
Семейство функций {?/} на отрезке выберем так,
чтобы иметь:
Уо = У'о=.-. =г/о<”-1) = 0. (ХХ..9)
Легко видеть, что сопряжённый оператор будет:
= (-1)" Ь • •. \-PnZ.
§2]
СОПРЯЖЁННЫЕ ОПЕРАТОРЫ И СОПРЯЖЁННЫЕ СЕМЕЙСТВА 279
Заметив, что
I ( 4\m ! f/m<P
( 1) Ф ~dxm
(I Г (7т-1ф d<p dm~2 *ty । d2y dm~^
dx[_^ dxm~i dx dxnl~2 1 dx2 dxtn~^
легко взять в конечном виде неопределённый интеграл
(zLy — yMzj dx.
Не вычисляя его до конца, мы видим, что он выразится как
билинейная форма относительно производных
у, у', ..., z, z', Z(n~d\
коэффициенты которой суть функции переменной х.
В силу условий (XX.9) значение этой билинейной формы при
х — 0 есть нуль. Для того чтобы её значение при х=1 также
было нулём, достаточно положить:
Z1 = Z; =... =z\n~l) = o. (хх.Ю)
(Это же условие и необходимо, если ио накладывать ни-
каких ограничений па значения функции у и её производ-
ных при х = 1.)
При этом
1
(zLy — у Mz) dx = Q.
о
Таким образом, условия (XX. 10) — сопряжённые с (XX.9). *
Пример 2. Рассмотрим оператор
Lu^ee^u (XX. 11)
и пусть изучается семейство функций {к} в области 2 двух пере-
менных х, у, ограниченной контуром 5, удовлетворяющих условию
Г^-| 0^1 =0, (ХХ.12)
L дп 1 ‘ ds J s
ди
I до —- производная: по внутренней нормали в точке контура?
ди
^—производная но касательной, соответствую!цен положитель-
ному обходу контура. Формула Грина даёт:
2 s
Г f f ди . , q du \ dv f , Q du \ | j
~ \ < v ( — - - au I- В — ) — и — v ( an -j p ) 4 s ds.
JI dn 1 1 1 ds J dn \ 1 ds J j
s
280
ФУНКЦИЯ ГРИНА
[Л. XX
Интегрируя по частям член
ds
J ds
s
и замечая, что внеинтегральные члены пропадут благодаря
периодичности на контуре функций р, v и и, будем иметь:
(и Дг — v &и) dQ =
с f \ди Q ди ~| Г <Эу . д(Вг) "1 ] 7
S
Естественно назвать выражение
L дп 1 \ d s J r d s J s
сопряжённым с (XX. 12) относительно оператора Д.
Сопряжённые относительно оператора Д семейства будут —
семейство {и}, удовлетворяющее условию
[ди , . п ди!
—- т (-В — = О,
дп 11 d s J s
и семейство {г}, удовлетворяющее условию
[Й f / о dv! г.
. .. ( Г —8 =о.
L дп 1 d s J ‘ d s J s
Для двух таких семейств получим:
v \и dQ ~ и Дг dQ>.
й "й
Пример 3. Если семейство {и} есть семейство функций,
не подчинённых никаким требованиям, то сопряжённое семейство
в области 2 относительно оператора Лапласа будет удовлетворять
двум условиям:
J =0, ~| = 0.
|8 дп |s
Это следует из того, что только при указанных условиях интеграл
(и Дг — г Ди) <72
й‘
обращается в нуль при произвольном выборе функции и, что и
является условием сопряжённости.
На этих примерах нами достаточно пояснено понятие о сопря-
жённых семействах и сопряжённых операторах. Переходим теперь
к более детальному исследованию задачи.
§ 3] ОСНОВНАЯ ЛЕММА ОБ ИНТЕГРАЛАХ СОПРЯЖ. УРАВНЕНИЙ 281
§ 3. Основная лемма об интегралах сопряжённых уравнений.
Поставим следующую задачу: найти решение уравнения (ХХ.1)У
удовлетворяющее условиям
[аоР?/ ~h Ро?/]х=о —йо> ] zvv г 1 а 1 ( (AA.lo) Кру + ₽1?/]ж=1 = «1 J
или условиям [аор/ + ₽оЯх=о = О, | zvv-rn [w' + №=i = o. f ( )
Задачи подобного рода встречаются, например, если нам нуж-
но найти форму равновесия струны переменной плотности и
переменного натяжения, на концах которой задано некоторое
соотношение между отклонением и составляющей на ось у
натяжения струны. Переменное натяжение может зависеть
от того, что струна не горизонтальна. При этом вес каждого
её участка будет влиять на величину натяжения выше этого
участка.
Лемма 1. Пусть Ly = ру" qyf -j- гу и Mz=(pz)" — (qz)' +
-\~rz— два сопряжённых оператора с коэффициентами р(х),
q (х), г (х), непрерывными на отрезке причём р(х) обла-
дает двумя непрерывными производными, a q(x)— одной непре-
рывной производной на том же отрезке.
Кроме того, предполагается, что р (х) нигде на нашем отрезке
не обранлается в нуль. Тогда, если у1(х) удовлетворяет уравнению
(XX. 14)
и условию
К>РУ’ -г ₽о?/]х=0 = о,
то функция
х
V — dx
Z1 (ж) = & р
есть решение сопряжённого уравнения
Mz — 0,
удовлетворяющее условию
[(ао7>г) 4 (Ро ао?) 2]х=о= 0>
(XX. 15)
(XX. 16)
(XX. 17)
(XX. 18)
сопряжённому с условием (XX. 15) [ср. (XX.5') и (XX.5")].
282
ФУНКЦИЯ ГРИНА
[Л. XX
Доказательство этой леммы можно выполнить простой про-
веркой. Имеем:
X X
V ~~ dx f -L ([х
(Pzi)' = y^p \-У1±е^ р ,
-yh = 1(/>24)' - 9Z11' 4- тч = ^v р Ipy'i 4 qy[ 4 гУ1] = О.
Таким образом, функция (XX. 16) есть действительно реше-
ние (XX. 17). Проверим теперь выполнение условия (XX. 18):
[(ао/?2’1) I" (Ро а0#) z’i]x=--0 —
О
Г 1 i* ^rdx
= [- (^РУг + Po?/1) J х==0 ес Р .= 0.
Лемма доказана.
Аналогично, если у2
творяющее условию
есть решение уравнения (XX. 14), удовле-
(XX. 19)
то
^2 = ~
Р
\ — dx
J р
ес
(ХХ.20)
будет решением уравнения (XX. 17), удовлетворяющим условию:
[(aiP^) + (Pi ai#) о.
(XX.21)
сопряжённому с (XX. 19). Формулам (XX. 16) и (ХХ.20) можно
придать несколько другую форму в случае, если уг и у2 линейно
независимы. Пользуясь известным выражением определителя
Вронского
—5 ~dx
= e с Р > (XX.22)
мы будем иметь, фиксируя должным образом постоянный произ-
§ 3] ОСНОВНАЯ ЛЕММА ОБ ИНТЕГРАЛАХ СОПРЯЖ. УРАВНЕНИЙ 283
вольный множитель:
Z = ?л ......... 1
1 Р[У1Уг — УзУЯ ’ I .vv
z = I ( }
2 Р1У1У2. — У2У1} '
Замечание. Очевидно, что наша лемма взаимна и может
быть формулирована так:
Если z± и ^ — решения уравнения Mz —0, удовлетворяющие
соответственно условиям (XX. 18) и (XX.21), то
V dx — f X dx
У1 = ^ e'c P = cPhe c P >
f 2p'—q , f q _
\ —---dx — \ - dx
p ZT p
y2 = -~ec = Cpz2e c ,
грр С — некоторое постоянное, являются решениями уравнения
Ly = 0, удовлетворяющими соответственно условиям (XX. 15)
и’(XX. 19).
Из формул (XX.23) следует = т. е.
21 22 y L у2 7
ИЛИ
21 22 —____ У1У2 У2У1 _ _1_ ______
"" 2^7 ”* У]У2 pyXZ2 py2ZA 7
откуда имеем:
1 Р (Z1Z2--Z2Z1) ’ (XX °3')
z2
Р (Z1Z2 — Z2Zl)
Полезно ещё заметить формулы
УА = ЧУ^
, , , г 1
У^2 У2*1 = ^1У2 - У 1*2 у »
проверяемые непосредственно.
Следствие. Если уравнение (XX. 14) имеет нетривиальное
решение, удовлетворяющее условиям (XX.15) и (XX. 19), то уравне-
ние (XX. 17) имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее усло-
виям (XX. 18) и (ХХ.21), и наоборот. При этом количество линейно
независимых решений для обоих уравнений одно и то же.
284
ФУНКЦИЯ ГРИНА
[Л. XX
При дальнейшем исследовании нам важно будет различать два
случая'.
1. Уравнение (XX. 14) не имеет нетривиальных решений,
удовлетворяющих условиям (XX. 15) и (XX.19).
2. Уравнение (XX. 14) имеет такое решение.
Мы докажем далее, что в первом случае уравнение (XX. 1)
всегда имеет определённое единственное решение, удовлетворяющее
условиям (XX. 13). Во втором случае это будет не так.
Задачу о нахождении решения (XX. 14) при условиях (XX. 15)
п (XX. 19) мы будем называть однородной задачей.
Пусть уг ость решение однородной задачи. Нетрудно видеть,
что такое решение может быть только одно с точностью до постоян-
ного множителя. Действительно, если уг и у2 — два линейно неза-
висимых решения уравнения (XX. 14), то их определитель Врон-
ского не равен нулю; следовательно, отношения
и
У1 У2 '
не равны между собой, и поэтому пи ?/2, и никакая линейная
комбинация
^1У1 ^2?/2>
где С2 Ф 0, не удовлетворяют условиям на границе.
По следствию из леммы I
\ л-dx
7 Л V
"1 - - и
1 Р
есть единственное решение сопряжённой задачи. Докажем теперь
для разбираемого второго случая теорему, которую сформулируем
в предположении, что а0 = 04 — 1.
Теорема 1. Для того чтобы уравнение (XX. 1) имело реше-
ние, удовлетворяющее (XX. 13), необходимо соблюдение
1
1
условия
= 0.
однородной
и условиям
|Х=о • \
о
Пусть функция г/1 (.г) — нетривиальное решение
задачи, т. е. удовлетворяет уравнению (XX. 14)
(XX.15) и (XX.19); тогда функция z1(x), определяемая по фор-
муле (XX. 16), будет удовлетворять сопряжённому уравнению
и сопряжённым краевым условиям (XX. 18) и (ХХ.21).
Применяя формулу (XX.7) к функции у(х), являющейся
решением (XX. 1) при условиях (XX.13), п %(.т), мы непосред-
ственно получим (XX.24).
Сформулировать и доказать аналогичные теоремы в случаях,
если а0, или а1? или % 1104 равны нулю, мы предоставляем читателю.
$ 4]
ФУНКЦИЯ влияния
285
§ 4. Функция влияния.
Займёмся подробным разбором первого случая.
Пусть х0 — произвольная точка отрезка 1), и пусть
функция zs удовлетворяет уравнению
О при \х — х0 | > 8,
2? при \х —
тогда
1 х0 + е
С 1С
\ yMzzdx = ?-- \ у dx.
О Хо—£
Пользуясь теоремой о среднем и переходя в полученном
равенстве к пределу при е —> О, получим:
1
lim \ yMzz dx = у (х0).
е->° J
Если zz п у принадлежат сопряжённым семействам, т. е. удовле-
творяют условиям (XX.15), (XX. 19), (XX.18) и (XX.21), то
формула (XX.7) даст:
1 1 1
у (;г0) = Пт \ у Mzz dx = lim \ zz Ly dx = lim \ zzf (rr) dx.
6-.0 J B_o J e-0 j
В дальнейшем будем для определённости полагать, что
числа а0 и а3, входящие в условия (XX. 13), оба равны единице
(остальные три возможные случая: ао = О, ах = 1; а0= 1, аг — 0;
ао = ах = О, мы предоставляем разобрать читателю).
Тогда при тех же zz и произвольной функции у по фор-
муле (XX. 7) получим:
У (Л’о) = lim Г ze (0) (ру' + $оу)х=(, 4-
е-»0 L
1
4ZfLydx-?e(l)(p?/'-i-₽1?/)x=i] • (XX.25)
о
Если бы при этом оказалось, что функция zz при е —> 0
равномерно стремится к предельной функции
z+c (х, х0) —limz£,
£->0
зависящей, конечно, от параметра гг0, то в формулах, выражаю-
щих у(х^> можно было бы перейти к пределу. Решение уравис-
286
ФУНКЦИЯ ГРИНА
[Л. XX
ния (XX.1), удовлетворяющее условиям (XX.13), представлялось
бы в виде
1
У (b) = z+o (°> жо) • «о + § z+o (х> хо) f (ж)dx ~ z+o (i > жо) «1- (XX.26)
О
Заметим, что рассмотренное в начале параграфа уравнение отно-
сительно z£ можно рассматривать как уравнение равновесия
струны, которая удовлетворяет условиям закрепления, сопряжён-
ным с условиями (XX. 13'), и находится под действием попереч-
ном силы, величина которой равна 1 и которая распределена
но отрезку струны длины 2е с серединой в точке т’о. zz(x, х’о)
в этом случае можно истолковать как величину отклонения
(‘трупы в точке х под действием единичной силы, действующей
в г-окрестности точки х0. Функция z+o (х, х0), таким образом,
равна тому отклонению (влиянию), которое вызывает единичная
сила, сосредоточенная в точке xQ. Из дальнейшего будет ясно,
что функцию z^(x, х^), где х считается параметром, а х0 аргу-
ментом, можно считать также функцией влияния для струны
с другой плотностью и натяжением, отклонение которой у(х^
иод действием силы /(х0) удовлетворяет уравнению (XX. 1). Это
позволяет физически интерпретировать формулу (XX.26): интеграл
означает суммарное влияние в точке хЛ}, вызванное распределён-
ной силом /(х).
Не вычисляя zz, выясним непосредственно, какими свойствами
должна была бы обладать функция z+o (х, х0).
С в о й с т в о I. Зная свойства zz, естественно ожидать,
что z+o как функция х должна удовлетворять всюду, кроме
точки х0, уравнению Mz— 0 и краевым условиям, сопряжённым
с (XX.13').
Выясним ещё одно свойство z+o. Интегрируя Mzz в промежутке
(х0 -В, т0-| В), где о > г, получим:
Х()+6
Mzz dx = 1.
Xq—G
С. другой стороны,
Х() + б
г* л 1 1 / х / I x=xq
\ Mzzdx = (pzzy \
J |Х—Xq— -о
х0—5
[(?zs)' — rze] dx,
Xq—O
откуда
/ \ / I**'—xo + 5
= W L-xn-S
[(qzsy — rze]dx.
§ 5]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
287
Предполагая ze и zz равномерно ограниченными и переходя к пре-
делу при г —> 0, получаем:
По функция р (.т) непрерывна вместе с производной, и поэтому,
считая z+o непрерывной, получим:
(Жо) |Х=Х().~О =/Ф'о) 2 'о
1х=хо+0
|х=х0—О
откуда следует
Свойство II
*4-0
L=xo-O ~ р (ж0) ’
Наводящие соображения, которыми мы воспользовались, делаю i
естественным следующее предположение: если удастся построить
функцию G (.т, х0), обладающую свойствами 1 и 11, которыми
должна была обладать функция z+o, то для функции G(x7 х0)
и любой функции у(х) будет справедливо равенство, аналогич-
ное равенству (XX.25):
У (4 = (О, хо) [РУ1 + Ро?Л=О
+ \ G (ж, а;0) Ly dx - G (1, хп) \ру’(XX.25').
и что, следовательно, решение поставленной задачи, если оно
существует, записывается в виде
у (х0) = G (0, 3%) а0 -j- \ G (х, .т0) / (ж) ch> -G (1, ;с0) ах. (XX.26')
§ 5. Определение и построение функции Грина.
Переходим к строгому определению и построению функции
G(x, х0) и к обоснованию формул (XX.25') и (XX.26'). При опре-
делении и построении функции G (х, х0) мы будем иметь в виду
общий случай краевых условий; формулы же (XX.25') и (XX.26')
справедливы лишь в случае, если а0 —0^=1.
Определение. Назовём функцией Грина для оператора Ly
и краевых условий (XX. 13) функцию G(x, xQ), удовлетворяющую
следующим условиям:
288
ФУНКЦИЯ ГРИНА
[Л. XX
1. Как функция переменного х при любом х0 она удовле-
творяет условиям (XX.18) и (XX.21), сопряжённым с усло-
виями (XX. 13') для оператора Ly, т. е.
KvQi+(Ро — зд) 6'Ь=о = °>
[(ai/>G)x -|- (Pi ai<?) ^]х=1 = 0.
2. В промежутках функция G(x, х0)
непрерывна вместе с производными до второго порядка и удовле-
творяет уравнению, сопряжённому с уравнением Ly~Q, т. е.
Mz = - ЛЩШ + г (х) Z = 0.
dx2 dx 1 \ /
3. В точке функция G(x, xG) как функция х сама
непрерывна, а её первая производная имеет скачок, причём
xo)-G;(^-O, О = (хх-27)
Функцию Грина, введённую нами, нетрудно построить фактиче-
ски. Очевидно, что она должна иметь следующий вид:
G (х, х0) = a (xG) z± (х), 0< х < ж0
G (х, х0) = b (^0) z2 (ж). х0 <’ х< 1.
Построенная при помощи этих равенств функция G при любых
а и b обладает первыми двумя свойствами, сформулированными
в определении.
Подберём теперь а и b так, чтобы удовлетворить и третьему
требованию, т. е. чтобы выполнялись равенства
« (Ж0) Z1 Со) - Ь (Жо) Z2 (Хо) = °>
а (жо) А (жп) - ь (ж0)х.' (ж0) = ~ •
Получим:
а (жо) — р (Жо) [Z2 z' (ж0)—г' (ж0) zt (ж0)] ’
Ь (X (*^о)
' °' р (х0) [z2 (xQ) 4 (х0) — гЬ (х0) zx (я0)] •
Стоящий в знаменателе определитель Вронского не равен нулю,
так как z±(x) и z2(x) линейно независимые решения.
Сравнивая эти выражения с формулами (XX.23'), мы видим,
что
а(ж0) = ?/2(ж()); Ь(ХО) = У1^),
где уг (ж0) и у2 [х) есть некоторые решения уравнения Ly = 0,
удовлетворяющие соответственно условиям (XX. 15) и (XX. 19).
§ 5]
ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПОСТРОЕНИЕ ФУНКЦИИ ГРИНА
289
Таким образом, мы доказали существование функции Грина
и получили для неё следующее явное выражение:
У2 С*'о) Z1 (*^) >
У1 W 22
(ХХ.28)
^0 < .т <_ 1.
Из формулы (XX.28) следует
Теорема. Функция Грина G (х, xG), как функция аргу-
мента xG, служит функцией Грина для оператора Mz при усло-
виях (XX. 18) и (ХХ.21). Другими словами, при замене задачи
на сопряжённую аргументы функции Грина лишь меняются
местами.
Используя (XX .28), установим другие свойства функции
Грина.
Свойство 1. Функция Грина G(.r, .г0) непрерывна в квад-
рате 0<д?0<1 на плоскости .xOxG по совокупности
переменных.
Свойство 2. Первые производные функции Грина непре-
рывны внутри и на катетах обоих треугольников, па которые
главная диагональ х = х0 разбивает квадрат 0 < х < 1; 0 < х0 <_ 1.
При этом первые производные можно непрерывно продолжить
из каждого треугольника на главную диагональ. Ввиду этого,
в частности,
a) GXg(xg~] 0, .%) и GXq(xg- 0, xg) есть непрерывные функции
от х0;
о) GX() (-^0 о, ^о) = Т 0)?
(^'о ~Г 0, Хо) = GXo (xG, xg 0).
Свойство 3. Производная GXg на главной диагонали удо-
j j j гетворяет ус лот t ю
, 1
(;Z 0’ ^0 ('^(Р 0) “ / \ •
11ервые два свойства очевидны. Для доказательства третьего
вспомним, что функция G (х, х0) как функция .т() есть функция
Грина для оператора MGz, в выражении которого коэффициент
ври z" (х^ есть р(х0). Доказываемое равенство выполняется по
определению функции Грина [см. (ХХ.27)|.
Докажем, что для любой функции у(х), имеющей непрерыв-
ные производные до второго порядка включительно, выполняется
равенство (XX. 25'). Напишем равенство (XX. 7), подставляя
вместо z(x) функцию G (х, х0) отдельно для отрезков х0 — 0
и х0 па каждом из этих отрезков формула справедлива,
гак как G (х, х0) внутри каждого из них имеет непрерывные
вторые производные и непрерывные первые производные всюду,
включая концы. Учитывая первые два пункта определения функ-
19 С. Л. Соболев
290
ФУНКЦИЯ ГРИНА
(Л. XX
ции Грина, получим для обоих отрезков соответственно формулы
хо
G (0, -г0) [ру' + р0^]ж=о + G (х, х0) Lydx-^
о
4 У (ж0) • Р (Хо) G'x (ж0 - 0, х0) у (ж0) р' (х0) G (х0, х0) -
— У (жо) <7(а:о)G (жо> жо) G (жо> жо) Р (хо) У' (жо) = °
И
— У (Ао) Р (жо) G'x (ж0 + о, х0) - у (х0)р' (х0) G (х0, х„) +
1
+ ^о> хо) Р (хо)У'(хо)+У(хо)У(хо)° (z0, х0) + G(x, x0)Lydx-
О
- G (1, Хо) (ру' + ₽!?/)«=:{ = 0.
Складывая оба равенства и учитывая (XX.27), мы и получим
доказательство (XX.25').
Из справедливости формулы (XX.25') непосредственно следует,
что если решение существует, то оно выражается формулой
(XX.26') и, следовательно, единственно. Покажем, что решение
существует. Так как задачу всегда можно свести к задаче
с однородными краевыми условиями (XX. 13'), то достаточно
установить, что функция
1
г/(гг0)= G(x, x0)f(x)dx
о
(ХХ.29)
удовлетворяет уравнению (XX. 1) и условиям (XX. 13').
Продифференцируем по х0 полученное выражение. Мы имеем:
хо 1
у (rr0) = G (х, х0) j (х) dx-Y G (х, xG) j (х) dx,
[0 х0
Хо 1
у' = \^f^dx dx+
0 Xq
(Xq, ^о) f (з?о) " G (хо, Xq) j (^о),
х0 1
/ / \ С dG j / \ 7 1 Г &G г, < ,
У J ~d^^X^dx ^ J ~d^^X^dXt
0 х0
(ХХ.ЗО)
§ 6] ОБОБЩЁННАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА 291
Далее, воспользовавшись свойствами 2, а) и б), можно написать
х0 1
У"(*в) = \ -£1/ (ж)dx + $ / (ж) dx +
О хо
4 f |х=хо-о “ f ~0^ |х=хо+0 =
= $ -S f (ж) dx ! 7 (Жо) 7W ‘ (ХХ‘3|)
о
Пользуясь этим, получим:
1
Р (-'о) У" (жо) 4 У (жо) у' (жо) Ч г (хо) У (хо) = / (хо) '-\LoG (а'> ;Го) /(х)dx'
о
Но G (х, ^0) как функция своего второго аргумента .т0 удовле-
творяет уравнению LQG — 0, отсюда
Р (хс) У" Ю4 q W у' («о) Ч- г (х0) у (х0) = / (х„).
Выполнение условий (XX. 13') следует из первого пункта опре-
деления функции Грина.
Нами изучена задача в первом случае. Мы установили, что
при этом всегда существует определённое решение уравне-
ния (XX.1), удовлетворяющее условиям (XX.13) или (XX. 13')
и представимое в виде (XX. 26'), где G(x, х0) — определённая
нами функция Грина.
§ 6. Обобщённая функция Грина для линейного
уравнения 2-го порядка.
Разберём более подробно второй случай.
Функция Грина в этом случае не существует, ибо единствен-
ная функция, удовлетворяющая двум первым требованиям опре-
деления функции Грина и. условию непрерывности, есть с точ-
ностью до постоянного множителя z(x), ио для этой функции
не выполняется условие (XX.27).
Лемма 2. Если у0(х) и zQ(x) являются решениями уравне-
ний Ly = Q и Mz~Q) соответственно удовлетворяющими одно-
родным условиям (XX.15), (XX.19) и (ХХ.18), (XX.21), то
1
5 2/о (^) z0 (х)dx °- (ХХ.32)
о
19*
292 ФУНКЦИЯ ГРИНА [Л. XX
Это замечание, вытекает из того, что
X
i 1 9 f -dx
С С Уо с Р
\ У о (х) "о (х) dx = c \ — е dx.
о о
Так как иодинтогральное выражение постоянно по знаку, то инте-
грал не может равняться пулю.
Лем м а 3. Уравнение
Mz = z0
не может иметь решения, удовлетворяющего одновременно ус-
ловиям (XX. 18) п (XX.21), а уравнение Ly = yQ не может
иметь решения, удовлетворяющего одновременно условиям, (XX.15)
И (ХХ.19).
В самом деле, если бы это было не так, то, применяя фор-
мулу (XX.7) и подставляя в неё вместо у решение у{}, мы полу-
чили бы:
1 1
?/0 Мz dx = z()?/n dx ~ О,
о о
что противоречит лемме 2. Точно так же доказывается и вторая
половина утверждения.
Определение. Обобщённой функцией Грина для оператора
Гу и краевых условий (XX.13) назовём функцию Gr (х, xG), удо-
рлетворяющую следую! цим условиям:
1. Как функция переменного х при .любом .г0 функция С'1 (х, z0)
удовлетворяет условиям, сопряжённым с условиями (XX. 13')
V/)^Uo = O, |
[(«,/> (я) GJ' a/7) 6,^=0. j
2. В промежутках 0<.т<<го, ^<я<1 функция G1(x, ,т0)
непрерывна вместе с производными до второго порядка и удо-
влетворяет у ра впению
Mz = а (х0) z0 (х);
функцию a (j‘o) мы определим позднее.
3. В точке х = х0 функция 6\(.т, .т0) как функция
непрерывна, а производные её разрывны, причём
dGi (^о + 0, #0) —0, rc0) __ 1
дх дх р (xG)
1
4. 6\ (х, х0) у0 (х)dx = 0.
о
(ХХ.34)
х сама
(XX. 35)
(ХХ.36)
§6] ОБОБЩЁННАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА 293
Условие (XX.35) позволяет определить множитель л(ж0).
Переходим к явному построению функции Сг.
Обозначим через и у^ частные решения уравнения
Ly-У.. (XX.37)
удовлетворявяi(мо условиям:
?/(D|fc0 = уМ [х==о==О?
|х=1=0,
и аналогично zX1) и z<2) частные решения уравнения
Mz — z(], (ХХ.38)
уд о влет воря ю i1 jm е условиям:
s<2*|x~i===^2>' U1-0.
Очевидно, что разность у^ уШ = уг есть частное решение
уравнения (XX. 14), линейно независимое с ?/0. В самом деле,
если бы у^ — — а?/0, то обо функции у<1> п ?/2> должны былй
бы удовлетворять на концах условиям (XX. 15) и (XX. 19), что
невозможно в силу леммы 3.
Задание ?/0 определяет функции у&\ и т/3. Положим
z _______У*______ z =________У1______
° Р (у'.Уг - У'1 У.) ’ 1 Р (у'о У г — ?/{ У.) ’
Непосредственно проверяется, что функции у^ и 1/2> могут
быть выражены через ?/0 и в виде
Хо хо
?/(,) (а;о) = ?/о (а;о) \ ?/о (•') zi (•*) dx - У1 (жв) (а;) zo (а;) dx>
о о
?/<2) (л) = ?/о (жо) \ У О (^) Z1 llx - - У1 (жо) Уо (a;) zo (ж) dx-
. 1 ’ 1
В самом деле, равенства г/(1)(0) = ?/<2)(1) = 0,очевидны. Далее,. (
yw‘ (0) [Уо (О)]2 z! (0) - уг (0) у0 (0) % (0) = 0,
(1) = [?/о (I)]2 Ч О - У1 (1).% (1) го (1) = о.
294
ФУНКЦИЯ ГРИНА
(Л. XX
Кроме того,
хо хо
yw = у'ь (хо) \ у„ (ж) zx (ж) dx - у\ (ж0) jj у0 (ж) z0 (ж) dx,
о о
хо XQ
у^" = у" (ж0) у0 (ж) гг (ж) dx у\ (ж0) у0 (ж) z0 (ж) dx
О о
+ I У о Ы Z1 (*о) - У1 (жо) zo (^o)l Уо W -
откуда LyW ==у0(х), что и требовалось доказать.
Так же доказывается и формула для ?/(2). Составляя разность
У1Ы = У™ (жо) — } (жо) =
1 1
= - Уо (жо) § У о (х) zi (х) dx | уг (ж0) у„ (х) z0 (ж) dx,
О о
видим, что
1
yQ (х) zt (х) dx = О,
б
1
§ У о (х) zo Иdx = с
О
т. е.
1 1
yQ (х) z(1> (х) dx= ?/0 (ж) z<2> (х) dx=^C.
б б
Покажем, что функция
G I У о (^о) 2(0 (^) + У{2) (*то) -о (*') ~-^Уо (^о) (я), X < Жо,
1 У о (^о) *(2) (^) 4 У( 1} Ы ^0 (^) ” Су о Ы ^0 (^) ? х > ^0
удовлетворяет всем указанным выше четырём условиям.
1. Выполнение условий (XX.33) очевидно, так как этим усло-
виям удовлетворяет z0 (х), а также соответственно при £—0
и 2<2) при X = 1.
2. Уравнение (XX.34) удовлетворяется в силу (XX.38). Очевидно,
MGr — yG (х0) Zq (х) .
3. Непрерывность Gx очевидна. Для скачка её производных
имеем:
Gix (*^o 4“ 0, х^)' G}X (<т0 0, Xq) —
= У о (жо) iz<2)' Ы - z(2V (жо)] + [2/( 1 > (х-о) - ?/(2) (Жо)] Zo (хо) =
= У о (жо) z'i (жо) ~ У1 (жо) zo (^о) = •
ОБОБЩЕННАЯ ФУНКЦИЯ ГРИНА
295
§ 61
Наконец,
1 1
4. Gj (х, х0) у0 (х) dx= — Су0 (х0) -|- у0 (ж0) у0 (я) z<2> (х) dx
О о
хо
4 Уо (*о) \ [2(1) (х) - z(2) (ж)] у0 (ж) dx I-
О
хо
4 [?/(2) (»0) уМ (ж0)] J z0 (ж) у0 (x)dx-\
о
1
4 У11 > (ж0) $ У о (х) zo ('с) dx =
О
= -Су0 (ж0) + Су0 (ж0) + ?/<1 > (ж0) - 7/(0 (х0) = 0.
Очевидно, что обобщённая функция Грина Gx (х, т0) как
функция от переменного ж0 служит в свою очередь обобщённой
функцией Грина для сопряжённого оператора Mz и граничных
условий (XX.18) и (XX.21). С её помощью можно представить
решение уравнения (XX.1), удовлетворяющее условиям (XX.13')-
в виде
1
У (жо) = § Gi dx 1 С1Уо ’ <ХХ ,39'
О
если только / (ж) удовлетворяет условию
1
f(x)zo(x)dx = O. (ХХ.40)
О
Из доказательства, между прочим, вытекает, что условие (ХХ.40)
не только необходимо, но и достаточно для разрешимости уравне-
ния (XX. 1) при условии (XX. 13').
Доказательство всех этих утверждений мы проводить не будем,
так как оно совершенно совпадает с тем, которое было нами
проведено для самой функции Грина.
Для уравнения 2-го порядка при рассмотренных условиях
однородная задача могла иметь лишь одно нетривиальное решение.
Для уравнений высших порядков может встретиться случай,
когда соответствующая однородная задача имеет несколько линей-
но независимых решений ух (ж), у2(х), ..., уп(х)- Тогда обобщён-
ная функция Грина должна соответственно удовлетворять уравне-
нию
MG = S У1 (z0) z4 (х),
296
ФУНКЦИЯ ГРИНА
[Л. XX
и вместо одного условия (XX.36) мы будем иметь несколько по-
добных условий. Подробный разбор этих случаев мы проводить
не будем.
Переходим к рассмотрению некоторых примеров.
И р им ер 1.
§ 7. Примеры.
Ищем решение уравнения
Ly=y" = / (ж)
(ХХ.41)
при условиях
.7 х^=0 — Щ)? 1
Vl 1-а (ХХ-/,2)
У |х=1 — J
решение уравнения у" = 0 при условии у jx==0 =
пуль.
Согласно общей теории, изложенной выше, существует функ-
ция Грина
Единственное
/L и = 0 есть
_ J х (жо
1 ~’ I Х0 («
Решение задачи будет:
1),
о?
о-
(ХХ.43)
1хп '
хо
1
-; (ж0 — 1) / (ж) X dx
-\)dx. (XX/14)
° \
б ХО
Пример 2. Ищем решение (XX.41) при условиях
у' |х=о = «о, у’ |х=1 = ал. (ХХ.45)
В этом случае уравнение у" —О имеет нетривиальное реше-
ние, удовлетворяющее условиям
|х~0 —
(XX.46)
а именно,
г/ = 1.
Следовательно, функция Грина в этом случае не существует,
и нам нужно будет построить обобщённую функцию Грина. Мы
имеем:
?/о ~
уг = х, z± = х.
Далее,
= 4 (1-ж)2.
§ 7]
ПРИМЕРЫ
297
(ХХ.47)
в проме
Тогда
?/* > -1 ^2, =4(1- *г, с=4.
Функция 6\ будет при этом иметь вид
j 1 о г I /л \9 1
I X- г у(1 -xQy, х0^х,
“ I 1 4 4
14^ Ц(1 -af -1, х>х0.
Пример 3. Рассмотрим то же уравнение (XX.41)
жутке 0<.г<2тс и будем считать х длиной дуги окружности
единичного радиуса, отсчитанной от некоторой начальной точки.
Точки, координаты которых отличаются на число, кратное 2тг,
тождественны.
При этом, очевидно, искомая функция у должна быть периоди-
ческой функцией с периодом 2тс.
Мы получим для неё условия:
У jx=-2тс ~ У [х—0> У \х—2л1~У |х=0- (XX.48)
Эти условия выражают собою то обстоятельство, что функция
у непрерывна со своей первой производной на окружности. Тот
факт, что точка х — 0 играет в этих условиях особую роль, связан
лишь с выбором начала отсчёта.
Теория такого рода задач не была нами развита в общем
виде, но, ввиду её полного сходства с уже изложенной, мы огра-
ничимся разбором этого примера.
Нетрудно убедиться, что однородное уравпеяие
У" = о
имеет, как и в предыдущей задаче, нетривиальное решение г/ ===== 1,
удовлетворяющее условиям (XX.48). Следовательно, мы должны
будем построить обобщённую функцию Грина.
Построение это выполняется проще всего, если воспользовать-
ся периодичностью искомой функции, а также тем, что все точки
нашей окружности эквивалентны, и поэтому функция Грина
зависит только от разности х — х0.
Положим в виду этого сначала .т0 = тс.
Уравнение для функции Грина имеет вид
^=0
dxli
и решение его, очевидно, будет представлять собой квадратичный
трёхчлен
G1(x, тс) = 4с2ж-|с3, — тс<ж<тс.
298
ФУНКЦИЯ ГРИНА
€Л. XX
Из условия непрерывности имеем:
СДтс —О, тс) — Gr (тс 4 0, tc) = G1(tc, тс) —G1( —тс, тс) = 2тсс2,
откуда
с2=,0.
Далее, выражая условие для скачка производной, получим:
6" (тс Н 0, тс) G' (тс - 0, тс) - - 4тссх = 1,
откуда
1
ci = — г •
Кроме того, функция Грина должна быть ортогональна к
постоянной, откуда
* тс
x2dx 4 2тсс3 = О,
—к
ИЛИ
тс
сз = 12‘
Окончательно, имеем:
Gi (х, тс) = — Д х2 4-
1 4 ’ ' 4jc 1 12 ’
4 'к-
В силу периодичности G1(x, t:) = G1{x, (27с-j 1)тс) и в общем
случае: Г Gr (х х0 4 тс, тс) — (ж х0 4 тс)2 [ ^2 ! TTK1IT /г *)ггг *Y *Y
G, (х, х0) = Р 0 " °’ (XX.49)
-7t)= ~-(х-х0 . при .гоСа;<4То4 2тс.
Построенная нами функция Грина симметрична относительно х
и xQ и обладает всеми теми свойствами, которые были установле-
ны выше для обобщённой функции Грина.
В практических задачах приходится сталкиваться со случаями,
когда в уравнении (XX.1) /?(0) = 0 или />(!) —О, а иногда оба
конца промежутка служат корнями функции р(х). При этих
условиях мы можем иногда всё же строить функцию Грина, сде-
лав, однако, некоторые добавочные ограничения. Ограничимся раз-
бором одного примера, который будет полезен нам в дальнейшем.
Пример. Рассмотрим уравнение
Ly=xtf + y'-~y = f(x), (ХХ.50)
S 7]
ПРИМЕРЫ
299
где т — целое число, и будем искать решение этой задачи, удов-
летворяющее условию
3/|^1 =о. (XX.51)
Интегралы однородного уравнения
Лг/ = О
суть, как нетрудно видеть,
Один из них не ограничен в начале промежутка. Поэтому
для того чтобы одна из постоянных, входящих в общее решение
однородного уравнения, была определена полностью, достаточно
потребовать
I У I жт~1 *
Другая постоянная определится условием (XX.51). Сопряжён-
ный оператор в данном случае совпадает с исходным:
Lz = Mz.
Естественно заменить в определении функции Грина условие
при x = G требованием ограниченности. При этом функция Грина
для нашей задачи представляется в виде
__ /у^ / /у^ _ /у>-ТПД /у 'f
\Ло Л
(XX.52)
__ yy.Wt / __ /у— 771 \ /у» «ч, уу,
ул - л ),
Допустим, что /(.г) удовлетворяет неравенству
Применяя формулу (ХХ.26) к искомому решению, будем иметь:
Х0 1
У W w dx+£ $ f № dx-
о хо
Это решение нетрудно оценить:
х0 1 1
I у (Х ) I < С xml! Adx + ^\ х-™-* A dx I- ( Ахт'к dx <
I и \ о/1 2т J 1 2/п J * zm J
0 х0 О
—^+1 гт \
_____________|_______________________________|__ ]
2т (т—к+ 1) ‘ 2т (т-\-к—1) ' 2т (т—к-\-1)/ ’
зоо
ФУНКЦИЯ ГРИНА
[Л, XX
или
I у (жо) | < jXt
l/;0
Следовательно, решение будет удовлетворять поставленным усло-
виям, так как к^т.
Если т = 0, то решениями однородного уравнения будут:
У1 = 1> ?/2 = 111а-
При этом для ограниченных f (х) можно искать ограниченное
решение.
Для уравнений высшего порядка также возможно построение
функции Грина.
Ограничимся опять одним примером.
Рассмотрим решение уравнения из примера 1 § 2 при
условиях (XX. 9).
Функция Грина G (.т, .г0) определится при этом формулами:
С(.Т, = Х‘>.Г(),
MG — 0, x < xn,
и удовлетворяет условиям:
р \ _I ___________________ _/’(«“ 2) I __ /Л
|х~XQ -V ;Х—XQ ^хх |х—-Хо • • • ^хх...х |х=Хо U
!) । __ 1
Чхх..,х|х^хо-О- />о(Гор
(3 помощью этой функции Грина решение задачи получается
в виде
1
У (,Т()) G (.г, ж0) / (х) dx,
о
Читатели могут сами проверить это непосредственно. Функция
Грина, определённая этими условиями, как и прежде, отличается
лишь перестановкой аргументов от функции Грина для сопря-
жённой задачи.
ЛЕКЦИЯ XXL
ФУНКЦИЯ ГРИНА ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА.
§ 1. Функция Грина для задачи Дирихле.
Разобрав важнейшие случаи построения функции Грина для
обыкновенных дифференциальных уравнений, мы перейдём: к изу-
чению функции Грина для различных задач, связанных с урав-
нением Пуассона.
Рассмотрим в пространстве с координатами х, ?/, z некоторую
область ограниченную достаточно гладкой поверхностью А.
Будем искать функцию и, удовлетворяющую в этой области
уравнению
= /(/>) (XXL1)
и одному из следующих условий: и 4 = ^0 О') (XXI.2)
или дп |S 1 х / (XXI.3)
Такая задача встречается, например, при отыскании потен-
диала электрического поля с заданным распределением зарядов.
К задаче этого типа приводится вопрос о форме равновесия
мембраны при заданной поперечной силе и т. п.
Оператор Лапласа, как мы знаем, является самосопряжённым.
То же самое относится и к однородным условиям
I м ди I
zz ч = О или тг- = О,
* “ дп |s
соответствующим условиям (XXI.2) или (XXI.3), как это ясно
из классической формулы Грина
$ О Ди ~ м д0 5 С“</,V‘ (ХХ1-4)
302
ФУНКЦИЯ ГРИНА ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА
[Л. XXI
Рассуждения, которые мы будем проводить, можно без труда
перенести и на случай более общих условий, но мы не будем
затрагивать этого вопроса.
Опре д е л е н и е. Назовём функцией Грина для уравнения
(XXL 1) при условии (XX 1.2), или функцией Грина для задачи
Дирихле, функцию G (Р, Ро) двух переменных точек Р и Р(),
удовлетворяющую следующим условиям:
1. Функция G(P,PQ) есть гармоническая функция точки Р
во всей области 2, исключая точку Ро.
2. Функция G (Р, Ро) как функция точки Р удовлетворяет
условию
G(P,Po)\s = 0.
3. В области 2 функция G (Р, Ро) допускает представление
G(P, P0)~± + g(P, Рв),
где г есть расстояние между Р и ZJ0, a g (Р, Ро) — регулярная
гармоническая функция.
Функция G (Р, Ро) полностью аналогична построенной нами
ранее для обыкновенного линейного уравнения функции Грина.
Мы могли бы вместо приведённого определения этой функции
определить её как функцию влияния, подобно предыдущему
(см. § 2 лекции XX). Однако мы не будем останавливаться на
этом подробнее.
Установим существование функции Грина для задачи Дирихле.
По свойству 3
G(P,P0)-^ = g(P,P0)
есть гармоническая функция точки Р во всей области 2:
4g = 0. (XXI.5)
Её предельные значения на S будут
S(F, Р.) Is = ~Д- <XXL6)
Функция g(P,P^ по условиям (XXI.5) и (XXI.6) строится
ври помощи решения соответствующей задачи Дирихле.
Изучим ещё одно важное свойство функции Грина. Предва-
рительно докажем лемму.
Лемма Ляпунова. Рассмотрим область 2, ограничен-
ную дважды непрерывно дифференцируемой поверхностью S, Про-
ведём две поверхности Sx и Л’2 на расстоянии h с обеих сторон
от S, причём h < d, где d есть наименьший радиус кривизны
плоских нормальных сечений поверхности S.
§ 1]
ФУНКЦИЯ ГРИНА ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
303
Пусть функция F (х, у, z) непрерывна вместе с производными
1-го порядка в полосе, заключённой между 8\ и 82, а вторые
производные непрерывны всюду в этой полосе, кроме самой поверх-
ности 8, причём выражение &F ограничено.
Тогда гармоническая внутри 2 функция, совпадающая с F на
поверхности 8, обладает правильной нормальной производной на S.
Для доказательства этой леммы применим формулу Грина
раздельно к двум слоям, заключённым, с одной стороны, между
и 8, ас другой стороны, между *У2 и S. Для точки />0?
лежащей во внутреннем слое 21? мы будем иметь:
Р {Ро) = .1. U ( F - А dS - А V И А ДР dQ
4 07 4л ) У \ дп г дп J 4л J J J г
S+S1 Щ
или
1 1
Р(Р ) = ± С С F-~dS Д-,— V F-^d8-
4 07 J J дп '4л J J дп
S Si
1 С С 1 dF J с и f f 1 А
4л У У г дп 4л J У j г
S+Si Si
Стоящие справа интегралы
Д Щ ’лаж, Д Д f
4тс J J J г 4л ,) J г дп 4л у у дп
S-f-Si Si
имеют правильные нормальные производные. Это следует из
теоремы 2 лекции XV. Левая часть имеет непрерывные произ-
водные 1-го порядка вблизи
Следовательно, интеграл
4т; у J дп
S
также имеет непрерывную правильную нормальную производную.
Аналогично для точки /30, лежащей вне поверхности 8, имеем:
0 = А ССЛ \ 1 &FdQ,
4тс У У V дп г дп J 4л J У J г
S+S2 Й1
откуда такими же рассуждениями убеждаемся, что интеграл
4л У У дп
S
304
ФУНКЦИЯ ГРИНА ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА
[Л. XX
имеет правильную нормальную производную также и вне об-
ласти 2.
Иа основании теоремы Ляпунова (лекция XV) мы видим,
что гармоническая в 2 функция, принимающая на S значения,
равные значениям функции /?, имеет правильную нормальную
производную, что и требовалось доказать.
Мы можем теперь установить ещё одно важное свойство функ-
ции Грина.
Теорема 1. Если поверхность S такова, что она удовле-
творяет условиям леммы Ляпунова, то функция Грина как функ-
ция точки Р обладает правильной нормальной производной, когда
точка Ро лежит внутри 2.
Доказательство этой теоремы непосредственно следует из леммы
Ляпунова. Действительно, имеем
Функция имеет, очевидно, правильную нормальную производ-
ную. Функция g принимает на поверхности S те же значения,
что и функция , которая является дважды непрерывно диф-
ференцируемой в полосе близ
По лемме Ляпунова g обладает правильной нормальной про-
изводной, что и требовалось доказать.
Теорема 2. Решение уравнения (XXL1) при условиях (XXI.2)
(если оно существует) представляется в виде:
11 = F°sds - 5 G (P’ Pn) 7(?) dp- (XXL7)
S S J
Для доказательства применим формулу Грина к области 2',
полученной из 2 вырезыванием малого шара с поверхностью о
радиуса 8 вокруг точки Р^1). За функции и и v возьмём неиз-
вестное решение и уравнения (XXI.1) и функцию Грина G.
В указанной области как и, так и G будут непрерывны вместе
с первыми производными. Мы получим:
W *8'
где 6" —полная поверхность 2'.
На поверхности а направление нормали, внутренней по отно-
шению к области 2', обозначим через п'. Пусть п направле-
ние нормали, идущей к центру шара о. Принимая во внимание,
г) Формула Грина применима, так как G имеет правильную нормальную
производную.
§ 1]
ФУНКЦИЯ ГРИНА ДЛЯ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ
305
что на S функция С обращается в нуль, получим:
р0)/(рир =
=\ >;". ('> f <«’ - м \ (- 7 - ’ н s с» ?- - s *
J 3 0 4 J J \ дп г дп / J J ч дп, ° дпJ
S с о
Знак минус перед последними слагаемыми поставлен потому, что
при интегрировании по о направление нормали п противоположно
направлению внутренней нормали п'
Предел последнего интеграла при о —> 0 есть нуль в силу
ограниченности и и g и их производных.
Далее,
lim-ДД^ —~В~) da = Нт,-^- \ и da — lim-—3 da.
3 J \ дп г дп/ 6->0 4тс6 3 3 В->0/17гО 3 J
ст а а
Предел первого слагаемого есть предел среднего значения и
на сфере о и равен и(Р0). Предел второго слагаемого есть, оче-
видно, нуль. Пользуясь этим, сразу получим искомую формулу
(XXI. 7).
Теорема 3. Функция С(Р>Р^ есть симметрическая функ-
ция своих аргументов.
Для доказательства применим формулу Грина к функциям
G (Р, Рг) и G (Р, Р2) в области 2", полученной вырезыванием из 2
обеих точек Рг и Р2 малыми шарами. Обозначая через S" гра-
ницу области 2", мы будем иметь:
Ц (G(Р, PJ-G(P, PJ )dS" = 0.
'в"
Интеграл по поверхности S равен нулю, так как там обращаются
в нуль обе функции G(P, Рх) и G(P, Р2).
Предел интеграла по сфере вокруг будет, очевидно, равен
G (Рп Р2), а предел интеграла по сфере вокруг Р2 равен — G (Р2, PJ,
откуда
G(PVP2) = G(P2, Л),
что и требовалось доказать.
Теорема 4. Функция и (Р^), определённая формулой (XXL7),
даёт решение поставленной задачи.
Для доказательства достаточно установить существование
решения, так как в силу теоремы 2 решение должно выражать-
ся формулой (XXL7), если оно существует. Пусть ф есть цью-
20 с. Л- Соболев
306
ФУНКЦИЯ ГРИНА ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА
[Л. XXI
тонов потенциал области 2 с плотностью / (Р):
2
Функция ф удовлетворяет уравнению Пуассона *)
Дф = /.
Положим v = и — ф. Если мы найдём гармоническую функцию г,
удовлетворяющую условиям
= ф|8,
то и = v |- ф будет решением задачи. Но существование такой
функции v следует из проведённого ранее исследования задачи
Дирихле. Теорема 3 доказана.
Заслуживает внимания ещё одно обстоятельство. Функция
Грина удовлетворяет неравенству
с(л /’„ХА.
' 7 0/ 4ur
Это ясно из того, что функция g отрицательна на контуре и,
следовательно, отрицательна везде.
Подобно тому, как мы построили функцию Грина для задачи
Дирихле в пространстве, мы могли бы построить такую же функ-
цию на плоскости. Нам пришлось бы при этом вместо члена
1 1 1
— выделить слагаемое тг~ In — .
4тсг 2тс г
Решение, очевидно, выразилось бы формулой (XXI.7), где
под 2 надо, разумеется, понимать плоскую область, а под
Д’ — ограничивающую её кривую.
§ 2. Понятие о функции Грина для задачи Неймана*
При решении задачи Неймана как в пространстве, так и на
плоскости мы встретились бы с тем затруднением, что функции
Грина в том смысле, как мы хотели-её построить, не существует,
так как соответствующая однородная задача имеет нетривиаль-
ное решение, равное постоянной. Нам пришлось бы искать обоб-
щённую функцию Грина, т. е. потребовать, чтобы опа удовле-
творяла не уравнению Лапласа, а уравнению
AG(P, Р0) = С. (XXI.8)
1) Ср. стр. 172.
ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА
307
Разберём этот вопрос подробнее. Покажем, что существует реше-
ние уравнения (XXI.8), имеющее вид
= i l-g, (XXI.9)
где ^-1 — О, а g —регулярная в области функция. Для этого
Un |S
достаточно показать, что при соответственно подобранной посто-
янной С существует функция, удовлетворяющая уравнению (XXI.8)
и условию
I
(S
л! 1
4ти дп
S '
Будем искать g в виде g=a/?2 bg3. где Л2 = х2-{ ?/2-J-z2,
a g3—гармоническая функция. Для функции g3 получим гранич-
ное условие
дп.
[S
dw I
а дп Is
4тг дп s ’
(XXI. 10)
Мы установим, что при соответствующем выборе
имеет место равенство
постоянной а
(XXI.11)
Отсюда будет следовать существование гармонической функции,
удовлетворяющей условию (XXI. 10). При этом
Ag = 6а = С\
Следовательно, отсюда будет вытекать существование функции 6’3,
удовлетворяющей (XXI.8) и (XXL10). Эту функцию мы будем
называть функцией Грина для задачи Неймана. Мы имеем:
dS = а J Д (7?2) dS = 6аот2,
S 2-
где m2 —объём области 2. Далее,
Условие (XXI. 11) выполняется, если положить а —
*
20*
308
ФУНКЦИЯ ГРИНА ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА
[Л. XXI
С помощью функции Грина G± можно построить решение сле-
дующей задачи: найти функцию и, удовлетворяющую уравнению
Lu = f{P}
при условии
Необходимое и достаточное условие разрешимости этой задачи
состоит в том, что
Если это условие выполнено, то
^Xo')=\<\\G(P,Po)f(P)dv.
Проверить это утверждение мы предоставляем читателям.
Рассмотрим один пример.
Пример. Построим функцию Грина для задачи Неймана,
поставленной для шара R < 1, где R = ]/ x2 + y2 + z2.
По определению
G==^+g’
где
ДС = const = — Л’т~
дп дп й—1
Для удобства предположим, что полюс функции Грина находится
в точке с координатами 0, 0, zQ. Тогда г = ]/х2 + у2 н~ (z — z0)2,
.1
X COS (п, х) + у cos (n, y)-V(z—Zo) cos (n, z)
дп
r3
Но на поверхности
cos (n,z) = —z.
Отсюда
R=1 имеем cos (n,x)= — x, cos (n,y) = — y,
dn
R=i
1 — ZqZ
r3
R=l
(XXI. 12)
Введём ещё
Очевидно
число z'=-^~ и функцию rx— z2 + y2 + (z~~z'o)2.
zo
R=1
§ 2]
ПОНЯТИЕ О ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА
309
Полагая в формуле (Х.12) _/?0 = 20, р = R = 1, имеем:
г |н— 1 •= |R—1 .
Пользуясь этим, получим:
1
откуда
дп
П=1
О Xjf)- Z
zo~yr-
П=1 ’
.1 г — 2zz0 ~p Zq
дп z0 дп 7‘3 4 fcl r R=i *
(XXI. 13)
Для того чтобы закончить предварительные подсчёты, рассмот-
рим ошё функцию
W = lg (z'— z+rj.
Докажем, что w—гармоническая функция. В самом деле,
dw х dw у
дх z + rj) ’ ду ~/я (zo—~ + z’1) ’
dw___ г, __ 1
dz Zq — z~{-r1 Г] ’
d2w __ (zj — z) (rl — x2) + rl—-2rlx2 d2w _ (z'Q—z)(rj -y2) + rj —2r}?/2
dx2 “ rf % — z-H’j.)2 ’ dy2 ~ r'i (z^ — z + r^)2
d2w z—Zp d2w d2w z'q — z
dz2 r‘| ' dx2 dy2 r\
Отсюда следует Дш = 0.
Вычислим ещё выражение для Мы будем иметь:
dw I _ х cos (п,х} + у cos (и,у)— Оо — 2 4-r,) c°s (n,z)l
дп |R=i ~ rY Оо~2 + zi) |н=1 ~
_ __ [^l—Оо-"^)2] —^(^1 +^0 —I Г,— |
>тО^~~-+п) гг |я=1
= -1 + ^-1 =-1 + —I .(XXI 14)
Пользуясь (XXI. 12), (XXI. 13) и (XXI. 14), легко проверить, что
функция Грина должна иметь вид
Г— 1 J 1 1 w R2 I г
4кг ‘ z0 4кгх 4к 8к ' ’
где С—некоторая постоянная, определяемая из условия
5 Ис dx dy dz — 0.
310 ФУНКЦИЯ ГРИНА ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА [Л. XXI
Подсчёт, который мы не будем здесь проводить подробнее, даёт:
(7 — — — - A Inz
° ~ 4- 1П °'
В связи с этим получим окончательно:
r __ J__i_ AA___^L_ Ai
4лг ' г0 4кг 4тс~ 8к 8к 4к
Возвращаясь к обозначениям лекции XIX, получим отсюда:
С==А{___________1________.__________А___________
4к |У > — 2КВ0 cos ч + Я2 Я2/?2 — 2RR0 cos 7 +1
— lg (1 — RR0 cos у + }Z.R2/?q — 2RRq cos 7 + 1) — A — у 1 .
ЛЕКЦИЯ XXII.
КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ.
§ 1. Уравнение теплопроводности.
В тех задачах, которые мы до сих пор рассматривали, самый
метод решения в большинстве случаев давал ответ па вопрос
о корректности постановки той или иной задачи. Однако в неко-
торых других задачах удобнее прежде установить корректность
непосредственно.
Рассмотрим уравнение распространения тепла в ограниченной
области 2 пространства переменных (х, у, z) с граничной поверх-
ностью 3 при наличии внутренних источников тепла с плотно-
стью F (х, у, z). Пусть и(х, yt z, Z)—температура в точке (х, у, z)
в момент времени t, Функция и удовлетворяет уравнению
Ди = d£-F(x, у, z). (XXII.1)
Считая приток тепла везде неотрицательным, мы будем иметь:
у, z) = F(P)>Q. (XXII.2)
Пусть, кроме того, заданы следующие граничные и начальные
условия:
u\t=0 = y(P), (XXII.3)
где функции / и ср непрерывны, причём значения / при I — 0 на
границе А совпадают со значениями ср, где Q—точка на поверх-
ности S, а Р—точка области 2. Докажем следующую теорему.
Теорема 1. Во все моменты времени из любого конечного
отрезка O^to^.T внутри области 2 справедливо неравенство
u(P0,tQ)> inf min [/((?, Z), ср (Z>)]. (XXII.4)
PCS; QCS,
312
КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[Л. XXII
Иными словами, наименьшее значение достигается функцией и или
при t = 0, или на границе области 2.
Доказательство. Предположим противное. Пусть в точ-
ке Ро в момент времени tG функция и принимает значение, мень-
шее по сравнению со всеми остальными её значениями в области 2
при Z —0 или на поверхности S за промежуток времени 0</</().
Тогда
inf min [/((>, t), <р(Р)]=
pea. CCS,
Составим функцию
v (x, у, z, t) —и (x, y, Z, t)—^ .
Функция v попрежнему обладает тем свойством, что своё мини-
мальное значение при 0 < t < tG опа пе принимает ни при t = 0,
ни на границе области 2. Это следует уже из того, что её зна-
чение в точке (Ро, £0) по крайней мере на ~ меньше минимума .
значений v (х, у, z, I) на границе 2 и при t = 0, ибо
v (A., to) = “ (А» zo)> ^|s>u|s—У’ *>k=0=w|i=0-y •
Функция v должна принимать наименьшее значение где-то внутри
четырёхмерпой области {2,0<.^<Z0} или при t = t0. Теперь уже
легко убедиться, что сделанное нами допущение приводит к про-
тиворечию. Если бы минимум v лежал внутри 2 при t < tG, то
в этой точке обращались бы в пуль первые производные от v по
пространственным координатам и времени, а вторые производные
d2v d2v d2v
’ dip7 dz2
были бы неотрицательны. Следовательно, выражение
А d2V , d2v , d2v
dx2^ dy2 ' dz2
было бы также неотрицательно. С другой стороны,
Ду = &и,
dv_du t s0
dt dt ‘ 2?0 7
Дг?_^ = ди_^_^<0.
dt dt 2t '
Таким образом, неотрицательное число оказывается равным отри-
цательному. Полученное противоречие указывает на неправиль-
ность нашего предположения.
УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
313
§ 1]
Остаётся рассмотреть случай, когда v достигает минимума при
t = tQ, Производная в точке минимума, очевидно, не может
быть положительной, ибо инцче при меньших значениях в той
же точке функция v принимала бы меньшие значения и мы не
имели бы минимума. С другой стороны, как и выше, в этой точке
имеет место неравенство
Дг?>0.
Повторяя прежние рассуждения, приходим к абсурдному выводу,
что неотрицательное выражение
должно быть меньше нуля. Значит, этот случай также невозможен.
Теорема доказана.
Меняя знак у функций и, /, ср и F, получим
Следствие 1. Если в уравнении (XXII. 1) функция F удовле-
творяет неравенству
F (х, у, z) <0,
то функция и достигает своего максимального значения либо
при t = 0, либо на границе S области 2.
Следствие 2. Функция и(х,у, z, /), удовлетворяющая в об-
ласти 2 при 0<Z<77 однородному уравнению теплопроводности,
принимает как своё максимальное, так и минимальное значение
при 1 = 0 или на границе S области 2.
Из приведённых рассуждений вытекает единственность реше-
ния уравнения теплопроводности при условиях (XXII.3) и непре-
рывная зависимость порядка (0, 0) этого решения от правых
частей граничных и начальных условий, т. е. корректность по-
становки нашей краевой задачи.
Б самом деле, если бы мы имели два каких-либо решения
задачи, то их разность, удовлетворяя однородному уравнению,
обращалась бы в нуль как при t = 0, так и на поверхности 5.
Но тогда по доказанной теореме и максимум и минимум этой
разности были бы равны нулю. Следовательно, и сама эта раз-
ность равнялась бы нулю. Значит, двух разных решений наша
задача иметь не может.
Подобным образом устанавливается и корректность. Если раз-
ность функций, задающих начальные и краевые условия, по абсо-
лютной величине не превосходит некоторое положительное число е,
то и разность соответствующих решений, как решение однородного
уравнения теплопроводности с малыми краевыми значениями,
также будет по абсолютной величине не превосходить е.
Теорема 2. Решение уравнения (XXII.1) непрерывно зависит
не т!олъко от условий (XXII.3), но и от свободного члена уравне-
314
КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[Л. ххп
пая (XXII. 1). Более точно', если при O<Z<Zo значения функций f
и ср меньше -- , а функция F удовлетворяет неравенству
то при 0<Z<eo региение уравнения (XXII. 1) удовлетворяет не-
равенству
и < %.
Доказательство. Допустим, что в точке (7^, Zo) решение
нашей} задачи принимает значение, превосходящее е0. Составим
функцию
Эта функция должна иметь максимум внутри 2 при 0 < Z < /0.
Однако, составляя для неё опять выражение
—
dv
~d l 9
убеждаемся в том, что оно положительно везде в области 2 при
О < t < Zo, что противоречит условию существования максимума.
Следствие 1 Меняя на обратный знак неравенств, отно-
сящихся к ср, /, F, т. е. предполагая выполненными условия
£0 / _ £0 \ £0
2 ’ 7 2 ’ 2г0 9
получим для функции и неравенство
Таким образом, окончательно имеем:
Следствие 2. 77ри условиях
£0
I/’
g0
2 ’
. ^0
в промежутке 0 < Z < Zo для всех Р CZ 2 имеет место неравенство
I И I < ^0-
§ 2. Понятие обобщённого решения*
Во многих задачах математической физики, с которыми мы
встретимся, существование решения устанавливается лишь при
значительных ограничениях на краевые условия. Мы введём
одно понятие, которое позволит нам не заниматься далее этими
вопросами.
Пусть мы имеем три последовательности непрерывных функций:
<?п /п»
§2]
ПОНЯТИЕ ОБОБЩЁННОГО РЕШЕНИЯ
315
равномерно сходящиеся соответственно к непрерывным функциям
X ? и /, и пусть уравнение
при условиях
И |/=0 = ^\s — /п’
имеет решение ип (по доказанному такое решение единственно).
Разность
на основании теоремы 2 этой лекции, по абсолютной величине сколь
угодно мала, если т и п достаточно велики. Значит, последо-
вательность ип равномерно сходится к функции и, удовлетворяю-
щей нашим предельным условиям.
О сходимости производных от и мы ничего не знаем, и по-
этому мы не можем утверждать, что предельная функция удовле-
творяет уравнению
\U-^ = F. (XXII.5)
Будем называть функцию и обобщённым решением уравнения
(XXII.5) при заданных начальных и краевых условиях.
Такое обобщённое решение единственно, ибо не может суще-
ствовать двух таких последовательностей ип и и^\ у которых функ-
ции /пи/п\ стремились бы соответственно к
одному пределу, а сами последовательности—к различным пре-
делам, потому что при этом последовательность
z/i1*, 112, U^9 ..., ип, lln\ ...
расходилась бы, что невозможно.
Вместо того, чтобы ставить задачу об отыскании истинного
решения, практически достаточно решать задачу об отыскании
обобщённого решения. Действительно, в физических задачах нам
неизвестны точные величины /, ср и F. Те их значения, которые
мы берём, не являются точными, а лишь мало отличаются от
точных. Поэтому обобщённое решение, даже если оно не является
истинным, мало будет отличаться от последнего.
Мы говорили сейчас об обобщённом решении уравнения тепло-
проводности. То же самое относится, однако, и к уравнению
Пуассона, рассмотренному выше.
Так же, как и в случае уравнения теплопроводности, мы можем
определить обобщённое решение уравнения
Дй = р
316
КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [Л, XXII
при условиях
w Is = ?
или
du I
dn |s ~~
как предел решений уравнений Azz = рп при условиях
W|s = <pn
или
du I
dn |S ~~
если pn—>p, <pn—>cp, причём сходимость равномерная.
Приведём пример существования такого обобщённого решения.
Пример 1. Пусть
5 1
Ini? (In/?)2
(XXII.6)
где
R = yx2 + y2~+z2.
j
Докажем, что при функция
Z70 = (х2 — у2) In | In R I
будет обобщённым решением уравнения (XXII.6) при граничном
условии
и
_1 — ^0
~2
В самом деле, положим:
"/-(•'“Г) 1п|1п7?л|,
где Hk = р/?28fe, —> 4-0 при к —->со . Вычисляя Awft, получим:
= 2 In | In Rk | + 4
№ ' h1 Ri In Rk
4-(ж2 — ?/2) Г ..
V 7 L Rk In Rk
iy2
1
2ж2
.2
Bk In Bk Bk (In Bh)2
= -21n 11п7?й |- ---------------
ду2 । «I .Rhln-Kfe
4 (ж2 — г/2) Г
2?/2
dz2
Rk In Rh Rk In Rk Rk (In Rhy
1 2z2 z2 -|
R*h In ~Rh “ Rl lii/7P Rh (In R^ | ’
Г 2
1
7/2
§ 2]
ПОНЯТИЕ ОБОБЩЕННОГО РЕШЕНИЯ
317
отсюда
д ж2 — у2 Г 5 1 1
Последовательность uk, очевидно, равномерно сходится к функ-
ции. м0 при/—»оо. Вместе с тем при и последователь-
ность &ик равномерно сходится к правой части уравнения (XXII.6).
Действительно, при R < г и достаточно малом положительном о/г
как Дм, так и функция
ж2 — у2 Г 5 1 1
Я2 L ЬьЙ“(ТпЯ)2 J
будут сколь угодно малы, если г достаточно мало, а при г < R < у
равномерная сходимость очевидна.
Следовательно, м0 есть обобщённое решение уравнения (XXII.6).
Однако в точке (0, 0, 0) вторые производные от м0 не имеют
смысла.
Решения уравнения (XXII.6) с граничными условиями
L 1 — uo I 1
Г2 1^=2
не существует.
Заметим предварительно, что м0 удовлетворяет уравнению
(XXII.6) в обычном смысле всюду в рассматриваемом круге,
кроме точки (0, 0, 0).
Если бы и было решением поставленной задачи, то разность
u — должна была бы быть функцией, гармонической везде,
кроме, быть может, начала координат, везде непрерывной и на
границе области должна была бы равняться нулю. Однако мы
видели ранее, что непрерывная функция, гармоническая всюду,
кроме, быть может, одной точки, есть гармоническая функция
и в этой точке.
В силу этой теоремы разность u — uQ есть гармоническая функ-
ция, равная нулю на поверхности шара, т. е. нуль. Значит, един-
ственным возможным решением нашей задачи является функция iz0.
Так как опа не удовлетворяет уравнению (XXII.6) в начале
координат, то наша задача вообще не имеет решения.
Взяв теперь уравнение теплопроводности с той же правой
частью, что (XXI 1.6):
ди_х^-у^Г 5 2 1
“ Л2 LlnjR (InЯ)2J ’
и опять решая его при условиях
1г>_ ~ ^0 11Э— 1 ’ |?=о ~
Г“2 Г-2
мы не сможем найти решения этого уравнения.
318
КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[Л. XXII
Обобщённым решением будет при этом служить опять функ-
ция н0.
Можно доказать, что непрерывная функция, удовлетворяющая
однородному уравнению теплопроводности везде, кроме одной
точки (rr0, yQ, z0), при всех значениях времени, будет удовлетворять
этому уравнению повсюду, включая эту точку. Пользуясь этим
и повторяя рассуждения, проведённые нами при исследовании
уравнения Пуассона, убеждаемся, что задача решения не имеет.
§ 3. Волновое уравнение.
Займёмся теперь изучением волнового уравнения
Л 2 у
= F (ХХП.7)
п будем рассматривать его решение в области 2, ограниченной
поверхностью S при начальных условиях:
U |(=0 = <? (Р),
5-|;=0 = Ч-(^) (XXII.8)
и при условиях на границе:
£|s = /(-S'). (ХХ11.9)
Без всяких изменений наше рассуждение переносится и на тот
случай, когда вместо (XXII.9) на границе задана сама неизвест-
ная функция.
Относительно функции и мы будем предполагать, что внутри 2
она имеет непрерывные производные до 2-го порядка включи-
тельно, причём первые производные непрерывны в замкнутой
области 2 .
Без ограничения общности можно всегда считать, что
ср = 0, ф — 0, / = 0.
Если бы это было не так, то, взяв вместо и новую неизвест-
ную функцию v но формуле
V = и — W,
где w какая-нибудь функция, удовлетворяющая условиям (XXII.8)
и (XXI 1.9), мы сразу получили бы однородные условия для v.
Рассмотрим интеграл
2
§ 3]
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
319
Вычисляя мы получим, используя уравнение (XXIL7)
dKy
dt
2
ди д2и . ди д2и , ди д2и , ди д2и 1 7 , 7
+ ~хг + “5~ 4- ~^г dxay dz =
дх дх dt ’ ду ду dt dz dz dt dt dl~ J
= 2
s
ди д2и . ди д2и
дх dxdt dt дх2
du d2u du d2u
dy dy dt * dt dy2
du d2u . du d2u
dz dz dt dt dz2
j dx dy dz =
-2
du du
dt dx
LX
_ .Д f du du
S
& ^dxdy dz.
2
В силу
du I м
того, что по нашему предположению I = О, получим:
dKt
dt
F ~~ dx dy dz.
2
(XXI 1.10)
Пользуясь очевидным неравенством
перепишем (XXII. 10) в виде
F2dxdydz J )2dxdydz
2 2
пли, ещё усиливая неравенство,
F2dxdydz -I-/4.
2
Если положить
F2dxdydz^ А (£),
2
то
(/),
d(e^KA
dt
<elA (/).
(XXI 1.11)
320
КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[Л. ХХП
Следовательно,
e'tK1 (Z) < К± (0) + е-^А. (Zx) dt±, |
° }> (XXII. 12)
XJ/Xe'KJO)-)- $ e^A^dt,. I
0 J
Отсюда сразу следует, что если только Кх (0) = 0, то на любом
фиксированном конечном промежутке изменения t величина К± (Z)
сколь угодно мала, коль скоро функция A(t) достаточно мала.
Заметим ещё, что, положив
7<0(Z) = и2 dxdy dz,
Й
будем иметь:
= ^u^-dxdydz^KQ{t')-\-K1(t'),
Й
т. е.
(XXII.13)
Из этого неравенства, так же как и выше, следует:
t
Ко (Z) <ЛГ0 (0) + et~^K1 (ZJ dtr. (XXII.14)
о
При KG (0) = Кг (0) = 0 вместе с Кг (Z) будет малой также1 KG (Z).
Из полученных оценок (XXII. 12) и (XXII. 14) можно вывести
ряд следствий.
Теорема 3. Пусть последовательность функций ип удовле-
творяет уравнениям
А г» -р
и условиям
Un 1'=о-^г|/==о = 0’ (XXII.15)
=0, дп |s (XXII. 16)
и пусть функции Fn удовлетворяют условию
lim
П~>ОО
Т
( F^dxdydz^
b o
tfc = 0.
§ 3]
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
321
Тогда для всех значений t, таких, что
0<t<T,
имеют место равенства
lim KQ (t) = О,
n->co
lim Кг (/) = 0.
n->oo
Доказательство. Усиливая неравенства (XXII.12)
и (XXII. 14), мы получим:
т
К± (t)^eT A (IJ dtlt (XXII. 17)
б
т т
KQ(t)<eT K^Qdt^e2'1 Т ^.Attjdt^ (XXIL18)
о о
из (XXII. 17) и (XXII. 18) сразу следует наша теорема.
Из доказанной теоремы следует непрерывная зависимость реше-
ния от правой части уравнения в среднем порядка (0, 1)
(ср. стр. 36). Если мы будем сравнивать между собою два реше-
ния уравнений
= Л и Д«2--£2 = ^ (XXII.19)
при однородных условиях (XXII. 15) и (XXII. 16), для которых
разность F^ — F2 достаточно мала в среднем, т. е. интеграл
S F2)2 dxdy dz достаточно мал при всех Z, то хотя мы
и не можем утверждать, что эти решения везде мало отличаются
одно от другого, тем не менее разность иг — и2 со своими произ-
водными 1-го порядка будет для любых моментов времени сколь
угодно мала в среднем, т. е.
\ ~~ U^2 dz < £>
2
2
Пусть требуется сравнить между собой решения двух уравнений
= ^2-^ = ^ (XXII.20)
21 с. Л. Соболев
322
КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[Л. XXII
с условиями
1/=0 “
диг |
dt о”^1’
ди1 I у .
дп
U2 \t~о ~~ ?2»
ди2 1 .
М=о=(ь
ди2| ,
дп g “‘ ' 2?
причём ф1? <р2 имеют непрерывные производные до 2-го порядка,
а ф2, Д, /2 — непрерывные производные 1-го порядка. Допустим,
что эти функции близки между собой в том смысле, что имеют
место следующие неравенства:
ф-срКЙ |. g2?i _ I < 8
‘1 12 * ' ’ I dxi дх-ъ | 7 I dx-t dxj dx^ dxj |
(x± = x, x2 = y, x3 = z).
Легко видеть, что, приводя эти задачи к задачам с однород-
ными условиями, мы получим опять два уравнения вида (XXII.20)
с близкими правыми частями и, следовательно, решения их будут
близки в среднем для любых значений t из конечного промежутка.
Так же как и для уравнения теплопроводности, легко доказать
единственность решения уравнения (XXII.7) с произвольными
начальными условиями (XXII.8). В самом деле, для этого доста-
точно доказать, что однородное уравнение с однородными усло-
виями имеет только тривиальное решение, тождественно равное
нулю. Последнее вытекает из того, что, как мы видели, интеграл
квадрата такого решения равен нулю.
Наконец, так же как и в прошлых задачах, вопрос о суще-
ствовании решения представляет значительные трудности, которые,
как можно показать, даже отчасти превосходят соответствующие
трудности в уравнении Лапласа и уравнении теплопроводности.
Избежать этих трудностей можно, введя понятие об обобщённых
решениях.
§ 4. Обобщённые решения волнового уравнения.
Сделаем предварительно некоторые замечания. Рассмотрим
функцию и (х, у, z, t) четырёх независимых переменных — трёх
координат произвольной точки из некоторой области 2 и Z, инте-
грируемую с квадратом по х, у, z для любого значения t из не-
которого промежутка. Мы будем говорить, что функция и (х, yf z, t)
§ 4]
ОБОБЩЁННЫЕ РЕШЕНИЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
'323
непрерывна в среднем по переменному t в точке Zo, если величина
{5 Vй у> z’ z°+h>>
2
— и (.Т, У, Z,
l)]2dxdydzj- /2
может быть сделана сколь угодно малой при достаточно малом ) h |.
Функцию, непрерывную в среднем в каждой точке промежутка
а <. t < р, мы будем называть непрерывной в среднем на этом про-
межутке. Введём одно сокращённое обозначение. Для всякой
функции переменных х, у, z, заданной в области 2 и имеющей
интегрируемый квадрат, величину
[ 5 w2 (х, у, z) dx dy dz j /2
2
мы будем называть нормой функции и и обозначать ||zz||.
На основании неравенства Минковского (см; ниже, § 6)
| « + ||<||гг 114-Цг>||.
Если || и || = 0, то функция и, как показано в § 7 лекции VI,
почти всюду в 2 обращается в нуль. Для любой постоянной а
имеет место очевидное равенство
|| || = | а 11| и ||.
Эти свойства нормы будут нужны нам в дальнейшем. Поль-
зуясь новым обозначением, определение непрерывности в среднем
можно переформулировать следующим образом: функция и (х, у, z, t)
называется непрерывной в среднем в точке £0, если каково бы
ни было положительное число s, можно указать такое положи-
тельное число т] (е), что
|| гг (Z + Л) — и (Z) || < е
как только | h | < т] (е) (аргументы х, у, z у функции и опущены
для краткости).
Последовательность функций
ип(х, у, z, t) (п = 1, 2, ...)
Х/2
< е
мы будем называть равномерно сходящейся в среднем к функции
и0 (%, У, %•> если неравенство
l|»n-«oll= {555 У' Z’ 0-ко(ж> ?/> Z,
2
справедливо для всех t из заданного промежутка, как только
n>7V(e). ।
21*
,324 КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ [Л. XXII
Имеет место следующая
Теорема 4. Предел равномерно сходящейся в среднем после-
довательности функций ип(х, у, z, t), п=1, 2, каждая из
которых непрерывна в среднем, есть также непрерывная в сред-
нем функция.
Мы докажем эту теорему точно таким же образом, каким она
доказывается для обычных непрерывных функций в математическом
анализе. Пусть задано положительное число s. Выберем N столь
большим, чтобы имело место неравенство
||«„(0-«oWH<y (XXII.21)
при всех t из заданного промежутка, как только п ^N. Функция
ип (х, у, z, t) по условию теоремы непрерывна в среднем в любой
точке t0. Следовательно, при | h | <
(I (* + *) - ип (Z) || < | . (XXII.22)
Из (XXII.21) и (XXII.22), пользуясь неравенством Минковского,
получим:
, ||wo(i + A)-wo(0||<||Wo(z + ^)-Mn(H-A)|l + ||«o(z) — ttn(0|| +
+1| ип (t + h) — ип (Z) || < "з + у = е-
Следовательно, при указанном выборе h
II “о в Vh) — u0(t) || < е.
Теорема доказана.
Будем говорить, что функция и, интегрируемая со своим
квадратом в некоторой области 2, есть предел в среднем для
последовательности ип, если
lim \ \ \ (ип ~ tt)2 dx dy dz = 0.
rl-хоо
Мы будем называть обобщённым решением уравнения (XXII.7) при
условиях (XXII.15) и (XXII. 16) функцию и, являющуюся пределом
в среднем для последовательности функций ип, удовлетворяющих
уравнениям
и условиям (XXII. 15) и (XXII. 16), где последовательность Fn
сходится в среднем к F.
Из оценок теоремы 3 следует важный результат: если после-
довательность Fn (х, у, z, Z) сходится в среднем равномерно по Z,
то и последовательность решений ип (х, у, z, t) сходится в среднем
равномерно по t.
§ 4J
ОБОБЩЁННЫЕ РЕШЕНИЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
325
Подобно тому, как мы делали это выше (см., например, лек-
цию XVIII), будем считать две функции и^ и эквивалент-
ными, если
— и№)2 dxdy dz — О1).
Обобщённое решение единственно, ибо последовательность ип
не может иметь двух пределов в среднем, иначе мы имели бы
для этих разных пределов и и^ неравенство
— u^ydxdydz
Q
< [(W(1) — ип) + («П — и(2))]2 dx dy dz<
J Й
<2 (z^1) — u^2 dxdy dz-\-2 (w<2>
*2 Й
— un)2 dx dy dz < 4e
и и и® совпали бы.
Существование обобщённого решения можно установить, поль-
зуясь одной теоремой из теории функций вещественного пере-
менного, которая носит название теоремы Фишера-Рисса.
Эта теорема гласит:
Если последовательность и19 и2, .. ., zzn, ... функций, инте-
гралы от квадратов которых существуют, обладает тем свой-
ством, что для всех достаточно больших тип
\ 5 ^Um ~~ йЦ dz < е’
J a
то существует предел в среднем этой последовательности, т. е.
такая функция и, что !
lim
п->оо
(Кп и)2 3х ~ 0.
а
Доказательство этой теоремы мы приведём в конце лекции.
Покажем, каким образом можно применить теорему Фишера-
Рисса для доказательства существования обобщённых решений
волнового уравнения. Пусть ип(х, у, z, Z) — решение уравнения^
(XXII.7), удовлетворяющее условиям (XXII.15) и (XXII.16).
Рассмотрим выражение
|| ит (0 ип (0 II*
1) Как мы видели выше (теорема 21 лекции VI), при этом они могут,
отличаться друг от друга лишь на множестве меры нуль.
326
КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[Л. XXII
Функция п = um (t) — un (Z) представляет собой решение урав-
нения
— m' п — F — F
п эр — 1 т гп-
В силу равномерной сходимости в среднем Fn к функции F мы
будем иметь || Fm (Z) — Fn (Z) || < т] при достаточно больших т и п
и любом т] > 0. Как мы видели, отсюда следует, что ||г?т, п|| < е,
где е —любое положительное число. По теореме Фишера-Рисса
последовательность ип(х, у, z, t) сходится в среднем равномерно
к некоторой предельной функции, которая в силу теоремы 4 будет
непрерывна в среднем, что и требовалось доказать.
В примерах, которые мы рассматривали в прошлых параграфах,
оказывалось, что обобщённые решения уравнений Лапласа, Пуас-
сона и уравнения теплопроводности имеют непрерывные первые
производные. Мы вскоре убедимся, что это обстоятельство не яв-
ляется случайным.
В противоположность этим задачам обобщённые решения волно-
вого уравнения могут уже не быть непрерывны с первыми произ-
водными. Выяснение обстоятельств, при которых это имеет место,
заняло бы слишком много времени, и мы не будем этим заниматься.
В заключение этого параграфа приведём один простой пример.
Пример 2. Возьмём за область 2 шар радиуса 1. Пусть
ф (£) —некоторая функция, заданная в промежутке— оо<£< + оо.
Рассмотрим функцию
__ ф(« + г)—Ф(г-г)
ио г
(XXII.23)
где г есть расстояние от переменной точки до начала координат.
При г #= 0 функция w0 имеет столько же производных, как и функ-
ция ф. При г = 0 число производных, которыми обладает zz0, на
единицу меньше числа производных у ф. Это нетрудно установить
дифференцированием для производных по пространственным коор-
динатам х, у, z, а для производных по времени это обстоятельство
непосредственно очевидно. В самом деле,
Эта функция имеет определённый смысл при г = 0 только в том
случае, если существует
lim - (t + r)- (Z - r)] = (z).
r->0 r
Следовательно, для существования непрерывной при г = 0 про-
д^и
изводной необходимо (и достаточно), чтобы существовала не-
§ 4] ОБОБЩЁННЫЕ РЕШЕНИЯ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 327
прерывная производная ф<ь+1). Дифференцированием легко убе-
диться, что zz0 есть решение уравнения
A«o-S = 0,
и ^2 7
если ф имеет непрерывные третьи производные. Пусть теперь функ-
ция ф из формулы (XXIL23) дифференцируема один раз или не
имеет вовсе производной. При этом можно установить, что и0 всё
же останется обобщённым решением.
К этой функции будет сходиться последовательность решений
„ „Фтг^+О — Фп^— О
ип г >
если последовательность трижды непрерывно дифференцируемых
функций фп сходится к ф.
Если в некоторой точке £ = t0 функция ф (£) не имеет произ-
водной, то и0 будет терпеть разрыв в точке г = 0, t = Zo. Функция и,
удовлетворяющая условиям
I । । I ди I duQ I
—w0|s, и |/=0 — u0 |z==0, ^|f==0— dt |^0
и уравнению
при этом вообще не существует.
Действительно, если бы такое решение существовало, то по
свойству непрерывной зависимости решения от начальных данных
к нему должна была бы стремиться последовательность ип, а это
невозможно, так как последовательность сходится к функции zz0.
Существует ещё другой подход к обобщённым решениям, позво-
ляющий определить их непосредственно, не прибегая к помощи
предельного перехода.
Если ип есть некоторое решение уравнения
а ф —- совершенно прозвольная функция, имеющая непрерывные
производные до 2-го порядка и отличная от нуля лишь в неко-
торой внутренней части о области 2, то
^(ф^ЛФ)^-
Внеинтегральные члены пропадают в силу того, что ф и её
производные обращаются в нуль вне о.
В дальнейшем нам потребуется одно важное неравенство, кото-
рое носит название неравенства Бундовского. Пусть и ср2 — две
328
КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[Л.ХХП
функции п переменных х^ х2, . .., хп, заданные в открытом мно-
жестве Q. Если интегралы
dv
<&dv
существуют, то существует и интеграл
2
причём справедливо неравенство
?1?2 dv
2 2
Это неравенство мы докажем позднее. Пользуясь неравенст-
вами Минковского и Буняковского, для любого обобщённого
решения уравнения (XXII.7) и любого е > 0 при достаточно боль-
ших п получим:
| Щ (<и - иМ^ dQ | = | [ф (F - Fn) - (и - ип) Мф] dQ I <
2 2
< 1/
г 2 2
+ 1/Ш 5
* *2 2
Значит, для любого обобщённого решения при любом ф спра-
ведливо интегральное равенство
ф^б/2.
2 2
(XXII.24)
Этим равенством можно полностью заменить дифференциальное
уравнение и называть обобщённым решением уравнения
Lu = F
любую функцию, удовлетворяющую интегральному соотношению
(XXII.24) при любой функции ф, имеющей непрерывные производ-
ные до 2-го порядка и отличной от нуля только в некоторой вну-
тренней части а области 2.
Если мы вспомним доказательство существования решения, для
получения которого мы пользовались методом Кирхгофа, то убе-
димся, что формула (XXII.24) была у нас важным звеном в дока-
зательстве. Мы доказывали, таким образом, лишь существование
§5] СВОЙСТВО ОБОБЩЁННЫХ РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ 329
обобщённого решения. Уже из (XXII.24), предполагая, что и
имеет производные, и интегрируя по частям, мы выводим следую-
щую формулу:
J <]>(Lu-/’)dS = 0,
Q
(XXIL25V
и заключаем отсюда, что и есть решение уравнения Lu = F. Этот
последний этап можно провести лишь, если и есть решение задачи,,
понимаемое в классическом смысле слова.
§ 5. Свойство обобщённых решений однородных уравнений.
Справедлива следующая общая теорема.
Теорема 5. Для уравнения Лапласа, уравнения = O и одно-
родного уравнения теплопроводности всякое обобщённое решение в смысле
интегрального соотношения (XXII.24) обязательно дифференцируемо сколько
угодно раз и является решением в обычном смысле.
Этим свойством уравнения эллиптического и параболического типов
резко отличаются от уравнений гиперболического типа, для которых это
обстоятельство не имеет места.
Доказательство этой теоремы мы проведём сначала для уравнения
теплопроводности.
Займёмся сперва построением некоторых вспомогательных функций.
Определим функцию Ф (i) с помощью формулы
Функция ЧГ (£) обладает некоторыми очевидными свойствами:
а) Она непрерывна в промежутке О оо- В самом деле, дробь
-s+4 t
- ------------- имеет своим пределом +оо при £ —> у + 0 и —оо при
О -4 >-£)
£ —> 1 —0. Следовательно,
0-4) d-е)
Iim в =0,
откуда и следует непрерывность '‘Г.
б) Функция W (£) имеет непрерывные производные всех порядков.
Для того чтобы установить это, достаточно убедиться в том, что прсдель-
330
КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[Л. XXII
ные значения производных любого порядка от W (£) при £ —-> или £ —> 1
суть нули. Мы получим:
Выражение
стремится к бесконечности при £
1
быстрее
Е 2
i стремится
1 также быстрее любой рациональной функции
любой рациональной функции от £, а выражение е
к бесконечности при £ —> 1
•от £. Следовательно,
Ф'Г1- + (Л=0; —0) = 0.
(XXII.26)
Любая производная (£) будет допускать представление:
(XXII.27)
где Rm q (£) суть некоторые рациональные функции.
Эта формула сразу доказывается методом полной индукции. Из фор-
мулы (ХХП.27) вытекает:
W<“) ^1+0^)=0, 0) = 0, (XXII.28)
что и требовалось доказать.
§ 5] СВОЙСТВО ОБОБЩЁННЫХ РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ 331
Введём теперь в рассмотрение функцию
Wn(x—хо> у — Уо, Z — ZO) t0—t) =
О, г0<£,
„1 __________
где г= ^(ж—я0)2 + (?/— г/о)2 + (2—го)2> О О < +°°-
Отметим несколько свойств функции wn.
а) Очевидно, что
wn(x—xQi y—yG, z—z0, tQ — t) =
= n2wl[n(x—x0), n(y — y0), n(z—z0), n2 (t0 — t)], (XXII.29)
б) Составим выражение
Д^п + -^-=Фп(ж — xOf y—y0, z — z0,t0 — t).
Тогда из формулы (XXII.29) следует:
Фп(я—я0, у — 2/о, z—z0, tQ — t) =
= п5Ф1 [п(х—х0), n(y—yQ), n(z—z0), n2(z0—-£)].
в) Функция Фп отлична от нуля лишь в области Dn:
1 1
7-v<^24 ^o-K’T’ * < to,
4/?“ п2
которая стягивается к точке х0, ?/0, zQ при п—>оо. В самом деле, в области,
1
где ЧТ [п2 (г2 + tQ— i)] обращается в единицу, т. е. при г2Ч~(г0 — 0^^ >
Л , dv л
мы имеем шп=—V, где v ость частное решение уравнения =0
(см. лекцию VIII). Значит,
~0’ г2-^° t^'~n2 *
(XXII.30)
1
Обращение Ф^ f? нуль при r-H0—г очевидно.
г) Справедлива формула
«о +°°
5 Ф™ ~
•On
Фп dx dy dz
(XXII.31)
tQ n2
В самом деле, на основании формулы Грина (XXI.4) имеем:
«о +°° *о +°°
^ndxdydz1Л= Г (Ди,п+“йг4
dt —
<0 п2
-ШМ
I j dxdy dz-
|/o—2
n
j dx dy dz^
l*='o—2
332
КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[Л. XXII
где v есть фундаментальное решение уравнения теплопроводности, опре-
делённое в лекции VIII. Последний интеграл, как показано в лемме 2
упомянутой лекции, равен единице, что и доказывает (XXII.31).
д) Пусть f (х, y,z< t) — произвольная непрерывная функция в области Q
четырёх переменных ж, у, z, t.
Выберем область значений xQ, у0, zOf t0 так, чтобы для точек
х0, Уb, zo, го из область Dn лежала целиком внутри Q.
Построим в функцию
fn{xoi Уо> 2о, *о)—
( \ \ фп (ж—xoi У~Уо> z—zo> t— Vi zi t)dxdydzdt.
9
Тогда последовательность fn (xOt у0, z0, t0) сходится к функции
/ (xQt у0, z0, i0), причём сходимость будет равномерной во всякой внутренней
по отношению к Q области.
Представим функцию / в виде
/(х, у, z, t) = f(x0, уо, z0, г0) + т].
Очевидно, что в области Dn при достаточно большом п мы будем иметь
в силу непрерывности /
hl < е-
Обозначим
/о
^\®i\dxdy dz"^ dt — M.
—co —co
В силу формулы (XXII.30)
Мы будем иметь:
in («о, Уо, z0, Zo) =А фп/ dx dy dz dt =
e J
\ Ф„/ (®0> Уо, Zo, to) dx dy dz dt +
й a
— / (хо> Уoi zo,
Dn
откуда
I fn (®o, Уо, z0, to) — / (^o, Уо, Zo, t0) I < e.M,
что и требовалось доказать.
е) Функция /п, которую мы построили, будет дифференцируема неогра-
ниченно. Это свойство вытекает из неограниченной дифференцируемости Фп.
После этих замечаний можно уже доказать нашу теорему.
Пусть и — некоторое обобщённое решение уравнения теплопроводности.
Составим un(xQt yQt zOt t0).
§ 5] СВОЙСТВО ОБОБЩЁННЫХ РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИЙ 333
Тогда все ип (ж0, yOi zQ, t0) при любом' п равны
сят от п.
В самом деле,
между собой и не зави-
Un {Xqj yQt ZOt Zq)-иП+р(ХО> Уо> z0t ^o) “
и (xt y, z, t) (Фп— Фп+Р) dx dy dz dt =
2
A (&П —^n+p) + (^n- wn+p)
dx dy dz dt.
Ho wn—отлична от пуля только в области
1
4(п + р)2
r2 + «0-t<A ,
ибо при г2 + г0—ФУНК1ШЯ wn совпадает с wn+p.
Функция ф удовлетворяет всем условиям для применимости формулы
(XXI 1.24). Очевидно, при этом
Т Л д
L^~dt
откуда, заметив, что наше уравнение имеет вид: £и = 0, т. е. F — 0, имеем:
ип — ип+р
dz dt = O.
2
Отсюда следует, что и = ип, но ип имеет неограниченное число производных.
Следовательно, и также дифференцируемо сколько угодно^ раз. Теорема
доказана.
Пусть теперь функция удовлетворяет уравнению:
Ди4-Хн = 0.
Положим:
v = e~ltu.
Тогда
Д|2 — е~/Л Ди= —\e~xtu.
Следовательно,
Функция v на основании только что доказанного будет дифференцируема
сколько угодно раз. Следовательно, тем же свойством будет обладать
и функция н, что и требовалось доказать.
Можно доказать, что все решения уравнения Дн + \и = 0 будут даже
аналитическими во всей области Й в отличие от решений уравнения тепло-
проводности, для которого это утверждение но имеет места.
334
КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[Л. ХХП
§ 6. Неравенства Буняковского и Минковского.
Пусть р (Р) —- неотрицательная функция, которую мы назовём
весом.
Пусть две функции ср (Р) и ф (Р), заданные в области
интегрируемы с квадратом модуля с весом р(Р), т. е.
|ср(Р)|2р(Р)б/Р< оо,
а
| ф (Р) |2р (Р) dP < оо.
а
Тогда справедливо следующее неравенство:
15 ^(P)^(p)p(p)dp\\
а а
(ХХП. 32)
(XXIL33X
Очевидно, для доказательства достаточно ограничиться случаем,
когда ф (Р) и ср (Р) — вещественные неотрицательные функции, ибо
| $ т (Р) ф (Р)р (Р) dP | < 5 | т (Р) 11 ф (Р) | р (Р) dP. (XXII.34)
а а
Каковы бы ни были неотрицательные функции ср и ф, для них
имеет место неравенство
. - 1 О . 1.0
?Ф<у <?2 + уф2-
Следовательно, интеграл
$<Р(Р)Ф(Р)Р(Р)</Р
а
имеет смысл.
Рассмотрим также имеющий смысл интеграл
(<р-Хф)2р(/Р= ?2p(ZP + 2k^ (рфрогР + Х2^ ф2рс/Р =
а а а а
= аХ2 —26Х + с. (XXIL35),
Парабола
у = ак2 — 2Ъ\ + с
в плоскости переменных у и X не может иметь ни одной точки?,
ниже оси X, так как величина (XXIL35) больше или равна нулю...
Значит, уравнение
а\2-2Ь'к + с = 0
ТЕОРЕМА РИССА-ФИШЕРА
335
§ 7]
не может иметь различных вещественных корней, а один кратный
корень может существовать у этого уравнения лишь тогда, когда
существует Хо, такое, что
(ср — Х0ф)2 р dP = О,
т. е. когда выражение (ср — Хоф) р эквивалентно нулю, т. е. отлично
от нуля лишь на множестве меры нуль. В случае, если весовая
функция р (Р) обращается в пуль разве лишь на множестве нуле-
вой меры, это означает, что выражение ср — лоф эквивалентно нулю.
Следовательно,
Ь2 < ас,
причём знак равенства может иметь место лишь в том случае,
если ср и ф пропорциональны. Тем самым неравенство Буняков-
ского (XXII.33) доказано.
Из неравенства Буияковского очевидным образом следует для
любых ср и ф, интегрируемых вместе с их квадратами с весом р,
неравенство
I (ср2 п 2срф ф2) р dP j <
2
< J 1?|2р^ г'5 I'H2p^+2i/\ |ф|2р^ =
Г Й 2
= 1<р|2р^+1/«•
или
|//|p? + ^pdP|<|// ^Pp^ + j/4 $Ы2Р^- (XXII.36)
Неравенство (XXII.36), доказанное нами, носит название
неравенства Минковского.
Так же как это имело место при доказательстве неравенства
Буияковского, левая часть имеет смысл, если имеет смысл пра-
вая часть.
§ 7. Теорема Рисса-Фишера.
Теорема Рисса-Фишера. Пусть имеется последователь-
ность функций
интегрируемых с квадратом в ограниченной области Й. Пусть
для любого е можно указать такое N (е), что
“4s)2 dv < е, если k>N(e), s>N(e). (XXII.37)
2
336
КОРРЕКТНОСТЬ ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ
[Л. ххп
Тогда существует такая функция <р0, интегрируемая с квадра-
том в 2, что
lim $ (?fe-?o)a^ = O. (XXII.38)
h—>оо
Очевидно, что такая функция единственна с точностью до экви-
валентности, ибо, предположив существование двух таких пре-
дельных функций <р0 и ср*, будем иметь на основании неравенства
Минковского
при произвольно малом е > 0, откуда следует:
(?О - 9.1:)2 dv = °-
2
Мы будем говорить, что <р0 есть предел в среднем квадратич-
ном для последовательности <р/г Докажем эту теорему.
Установим прежде всего, что последовательность срк сходится
в среднем, т. е. существует суммируемая функция <р0, такая, что
lim \ | ср0 — | = 0.
С этой целью заметим, что в силу неравенства [Буняковского
имеем:
и, следовательно,
1?т — < 71,
2
если только т > N (tj), р > N (tj). Применяя теорему 23 лекции VI,
убеждаемся в существовании суммируемой функции ср0 — предела
в среднем последовательности cph.
При этом из способа доказательства вытекает, что существует
подпоследовательность ср^, последовательности ср^, которая сходится
к ср0 почти всюду и притом равномерно на замкнутых множествах
на которых все функции непрерывны. Множества могут быть
взяты сколь угодно близкими по мере к 2. Мы имеем:
\ ср* dv ~ lim \ ср£ dv < А < ос,
i->oo J 1
1'6
ТЕОРЕМА РИССА-ФИП1ЕРА
337
откуда вытекает
ср2 dv^A,
2
причём интеграл в левой части существует. Нетрудно видеть, что
величина
(?о-?^)2б/а
2
может быть сделана сколь угодно малой при достаточно большом i,
«Обозначим для краткости <Jb=<pfe. Каково бы ни было замкнутое
множество и заданное положительное число г, при достаточно
большом Z, зависящем, вообще говоря, от Fg, получим;
('Р0-фг)2</2= КФ/-ф4)4 (?О-^)]2^а<
/г Р$
< 2 (ф, - ф{)2dQ4 2 (% - <р()2dQ <2 (ф( - Ф,.)2 dQ 4 г.
FS FS SJ
В силу условия теоремы при достаточно больших I и i незави-
симо от Fg
$(ф(-ф;)2&’<г.
Й
Отсюда
\ (?о -<h)2</2<3e
и, следовательно,
(?о 3s.
Докажем теперь, что <р0 является пределом в среднем квадра-
тичном и для первоначальной последовательности <р/г
При s, ki > N (е) имеем:
(?0-?s)2^2<2 \ (<₽0 — Фг)3 И 2 ('Pi.-?J2^Q<<>s+2e = 8s.
2 Й й
Теорема доказана.
22 с. Л. Соболев
ЛЕКЦИЯ XXIII.
МЕТОД ФУРЬЕ.
§ 1. Разделение переменных.
Краевые задачи математической физики для уравнений пара-
болического и гиперболического типов удобно решать приёмом,
который предложен Фурье и который мы будем называть разде-
лением пе р еменн ых.
Сущность этого приёма мы разберём на частных примерах.
Читателю нетрудно будет, руководствуясь соображениями, изло-
женными в предыдущих лекциях, сразу сообразить, как и в каких
случаях метод Фурье позволяет отыскивать решение задачи.
Пусть разыскивается решение уравнения
(XXIII.1)
в области 2 пространства х, у, z, ограниченной поверхностью S,
и для /, удовлетворяющего неравенству при условиях:
и |s - О, (XXIIL2)
4=о = ?(*, У, 2). (XXIII.3)
Отвлечёмся пока от условия (XXIII. 3) и будем искать частные
решения уравнения (XXIII.1), удовлетворяющие условию (XXIII.2).
Эти решения удобно искать в виде произведения двух функций:
u = U(x, у, z)T(t). (XXIII.4)
Подставляя (XXIII.4) в (XXIIL1) и деля обе части на и, будем
иметь: ,(а:’. (XXIII.5) U (х, у, z) а Т (t) ' 7
Переменные .г, у, z и t в уравнении (XXIII.5) разделены, левая
часть не зависит от t, а правая от х, у, z. Равенство (XXI 11.5)
возможно лишь при условии, если и правая и левая части равны
§ и
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
339
одной и той же постоянной — X, откуда
<XXIILti>
ИЛИ
&U + IU = O, (XXIII.7)
Т (t) == Ce~xat. (XXIII.8)
Для того чтобы наше решение удовлетворяло условию (XXIII.2),
нужно, чтобы этому условию удовлетворяла функция U (х, у, z).
Значения X, при которых уравнение (XXIII.7) имеет решение,
удовлетворяющее граничному условию (XXIII.2), называются
собственными значениями краевой задачи для этого уравнения
при условии (XXIII.2). Далеко не всякое значение X является
собственным. В самом деле, перенося в уравнении (XXIII.7) член,
содержащий ХС7, в правую часть и рассматривая его как свободный
член, получим, применяя формулу (XXI.7):
и =^WG(P’PO)U (/)) dp’ <ххш-9)
2
где G (Р, PQ) — функция Грина для оператора Лапласа в области Q.
Уравнение (XXIII.9) есть линейное однородное интегральное
уравнение 2-го рода типа Фредгольма с ядром, удовлетворяющим
требованию § 7 лекции XVIII. Согласно четвёртой теореме Фред-
гольма, оно может иметь решения, отличные от нуля, лишь для
некоторых дискретных значений X. Пусть эти значения X будут:
Х1, Х2, . .., Хп, ... , и пусть
и^и,, .... ип, ...
— соответствующие решения уравнения (XXIII.9), которые
называются собственными функциями. Тогда мы получим целый
набор частных решений уравнения (XXIП.1) отыскиваемого
типа:
u. = u^at.
Заметим, что ядро интегрального уравнения (XXI.9) является
симметрической функцией координат точек Р и PQ.
Мы докажем немного спустя, в теории интегральных уравне-
ний с симметрическим ядром, что таких решений бесконечно много
и что при любой функции <р, интегрируемой с квадратом, можно
построить ряд
и = 2 , (XXIII. 10)
г=1
который будет удовлетворять условиям (ХХШ.2) и (XXIII.3)
и в среднем представлять собой обобщённое решение уравнения
(XXIII. 1). Из теоремы 5 лекции XXII следует, что всякое . обой-
22*
340
МЕТОД ФУРЬЕ
[Л. XXIII
щённое решение уравнения (ХХП 1.1) есть решение в обычном
смысле слова. Укажем, пока без доказательства, пять важных
свойств системы функций СЛ (,г, у, z) и чисел к.:
1. Чисел X. бесконечно много, все они вещественны и поло-
жительны. (В некоторых других задачах это условие заменяется -
тем, что среди них лишь конечное число отрицательных.)
2. Все функции 1Ц можно считать ортогональными и норми-
рованными, то-есть
С С с f U i =
j э j Z^ C^Z ~ [ 0 i / /
3. Функции образуют так называемую полную систему,
т. с. любая непрерывная функция ср (,т, у, z) представима рядом
<р(х, У, z)= S aiUAx, У, z), (XXIII. 11)
сходящимся в среднем, где числа а- — это так называемые коэф-
фициенты Фурье функции ср. Если, кроме того, ср удовлетворяет
условию
?ls = 0
и имеет непрерывные, включая границу, производные 2-го
порядка, то ряд (XXIII. 11) сходится равномерно.
4. Кроме условия ортонормальности, написанного выше, имеет
место ещё система равенств
Г С С fdU^Uj dUi dUj dUi dUjy f X i = f-
\ \ \( -4—h —ъ— dxay dz = {
J ' J X dx dx dy dy dz dz J J | q у. у
5. Если дважды непрерывно дифференцируемая функция ср
удовлетворяет граничному условию (XXIII.2), то ряд (XXIII.11)
не только сходится к ср равномерно, но и ряд, полученный
из него почленным дифференцированием, сходится в среднем
к соответствующей производной функции ср. Иными словами,
если положить
N
г—1
то интеграл
S
стремится к нулю.
Поставим себе задачу отыскания коэффициентов Фурье функ-
ции ср (х, у, z). Умножая обе части (XXIII.11) на U- и интегрируя
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕНIIЫX
341
§ 1]
по области 2, получим с помощью почленного интегрирования
ряда:,
Uj (.г, у, z) ф (.г, у, z) dxdy dz —
s
= 2 a\y, z)Uj(x, y, z)dxdydz = a,j. (XXIII. 12)
i=l й
Формула (XXIII. 12) п даёт нам ay.
Для того чтобы функция, представленная рядом (ХХИ1.10),.
удовлетворяла условию (XXII 1.3), естественно потребовать выпол-
нения равенства (XXIII.11). Если сумма ряда (XXIII.10) непрерывна
при £>0, то условия (XXIII.2) и (XXIII.3) будут выполнены
при а>, являющихся коэффициентами Фурье функции ср.
Нетрудно установить, что ряд (XXIII. 10) равномерно сходится и
даёт обобщённое решение уравнения (XXIII.11). В самом деле,
пусть
фдг — 2 Ос z)-
Очевидно, что
N
«№=Z ®А(.Г, у, 2.)^
г=1
даёт нам решение уравнения (XXII 1.1) при условиях (XXII 1.2) и
|z==0 =
Но в прошлой лекции мы показали, что при этих условиях
из сходимости последовательности вытекает, что последователь-
ность uN сходится равномерно во всяком конечном промежутке
изменения времени к обобщённому решению н, что и требовалось
доказать.
Совершенно таким же образом можно методом разделения пере-
менных решить задачу интегрирования волнового уравнения.
Пусть требуется найти решение уравнения
A«-g = ° (XXIII.13)
при начальных условиях:
11 1<=0 = То (*, У’ ZY У, z) (XXIII. 14)
и граничных условиях, например, вида
=0, (XXIII. 15)
дп |S ’ '
342
МЕТОД ФУРЬЕ
[Л. XXIII
ограничивающая объём 2 в пространстве
где S — поверхность,
переменных .г, у, z.
Частные решения
(XXIII. 15), можно попрежнему искать в виде
и = U (х, у, z) Т (/).
Подставляя (XXIII. 16) в (XXIII. 13), получим:
Т (0 ш (х, у, z) = и (х, у, z) Т" (/),
этого уравнения, удовлетворяющие условиям
(XXIII. 16)
или
Т" (0 _ ДГ (z, у, z) 2
Т (t) U (х, у, z)
откуда
Т” 4 Х2Р = О,
Д(7 4-W-0.
(XXIII.17)
(XXIII. 18)
Решение уравнения (XXIII.18) при условиях (XXIII.15) ищется
опять при помощи функции Грина. Функция Gx (Р, Ро) в этом
случае удовлетворяет не уравнению Лапласа, а уравнению
^=-Б’
где Л —объём области Q. Постоянная — ~
решением сопряжённой однородной задачи,
служит в этом случае
т. е.
О,
д(-ЛП^о,
\ D J дп
и подобрана так, чтобы обеспечить существование функции Грина.
Это вытекает из проведённого выше исследования задачи Неймана
[см. § 2 лекции XXI]. Сг будет, таким образом, обобщённой'
функцией Грина.
Будем искать то решение U уравнения
= -\2U,
которое ортогонально к постоянной по нашей области:
2
Будем решать уравнение (XXIII.18), считая Х2С7 свободным членом.
При этом то его решение, которое само ортогонально к постоян-
ной, должно на основании результатов прошлых лекций иметь вид:
и (Ро) = хЦ \ и (Р) dP. (XXIIL19)
У
§ 1]
РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
343
Мы снова получили для собственных функций задачи интеграль-
ное уравнение с симметрическим ядром.
Для этого интегрального уравнения справедливы все высказан-
ные нами ранее утверждения, кроме 3, которое видоизменяется
при этом так.
За. Всякая функция ср (Р), имеющая непрерывные производные
2-го порядка вплоть до границы области Q, ортогональная к по-
стоянной:
5 5 y^(P)dP = O,
У
и удовлетворяющая граничным условиям, разлагается в рав-
номерно сходящийся ряд по собственным функциям уравне-
ния (XXIII.19).
Уравнение (XXIII.17) имеет два линейно независимых решения:
Тт = cos U,
Т2 = sin \t.
Если U- (х, у, z) = U- (Р) — собственная функция уравнения
(XXIII.19), а X. — его собственное значение, то искомые частные
решения уравнения (XXIII. 13) будут:
Ц\(х, у, z)cosX.£, Ui (х, у, 2)sinX;Z.
Решение и интересующей нас задачи мы будем искать в виде
ряда
3 (х, у, z) cos kt 4- У biUi (х, у, z) sinX4 + с0+ cxt. (XXIIL20)
i=l ' , г=1 '
Если ряд (XXIII.20) равномерно сходится в среднем вместе
« ди
с производной по времени, то и и -- будут непрерывны-
ми в среднем функциями времени. Это было доказано в
лекции XXII, теорема 4. Скоро мы убедимся, что условие равно-
мерной сходимости в среднем вместе с производной по времени
выполнено.
Потребуем, чтобы ряд (XXIII.20) удовлетворял начальным
условиям:
°° )
гг|(=о= 2 агиЛх, У> z) + co, |
} (XXIII.21)
344
МЕТОД ФУРЬЕ
[Л. XXIII
Если выбрать коэффип,иенты аг и Ь. так, чтобы иметь:
X аlUi (х> У, z) = ?0 (х, У’ Z) — Со,
X \,Kui (ж> У’z) = ?i («, У’z) - cv
Ь=1
то начальные условия (XXIII. 14) будут выполнены в среднем.
Предполагая опять систему функций Ui ортогональной и норми-
рованной
можем снова определить все коэффициенты рядов (XXIII. 21),
подобрав сначала постоянные с0 и с{ так, чтобы ф0 — с0 и — q
были ортогональны к постоянной. Повторяя прежние расссуле-
денил, получим:
ai
W^U.dP,
Cf^ dP.
Q
Переходим к доказательству сходимости в среднем ряда (XXIII.20).
Подобно предыдущему, убеждаемся сначала, что
г=1 i=l
есть решение задачи с приближёнными начальными условиями.
Рассмотрим два конечных отрезка ряда (XXIII.20) ип и ит,
причём пусть тг > т. Разность этих двух отрезков
п п
v -и = У a.U. cos к-1 + У fe-Cf. sink.Z
fbliL lb liL r, 7Z i ...* i f l
i~m+1
удовлетво ряет уравпению
_Л
Д?7
^^птп
краевым условиям (XXIII. 15) и начальным условиям
п
^птп |/=0 | i-
i=m+l
^пт I
dt 1^0
2 wr,-
iz=zm+1
§ 2] КОЛЕБАНИЯ НЕПРЕРЫВНОЙ СРЕДЫ И МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ 345“
Очевидно,
£
{ 5 v"m |'==0 dQ }2 < е’
2
2
если только п и т достаточно велики.
Если теперь воспользоваться свойством 5 системы собственных
функций, то в обозначениях предыдущей лекции имеем:
/<0 (0) < е2, Кг (0) < s2, A (Z) = 0.
Из неравенств (XXIII. 12) и (XXIII. 14) вытекает при этих условиях,
что К0 (/) и Кх (Z) также будут сколько угодно малы в любом
конечном промежутке по /. Таким образом, последовательности
vnm и -~ удовлетворяют условию теоремы Фишера-Рисса и, зна-
чит, сходятся в среднем равномерно относительно / во всяком
конечном промежутке а <7 <6. Следовательно, ряд (XXIII.20)
в среднем сходится к некоторому обобщённому решению. Мы не
будем более подробно исследовать, при каких обстоятельствах это
решение будет решением в обычном смысле слова.
Как мы видим, каждый член ряда (XXIII.20) представля-
ет собой так называемое гармоническое колебание, причём час-
тоты \ колебаний расположены дискретно.
§ 2. Аналогия между задачей о колебании непрерывной
среды и колебаниями механических систем
с конечным числом степеней свободы.
Легко проследить аналогию между рассмотренной задачей для
уравнения (ХХШ.13) и задачей о свободных малых колебаниях
механических систем с конечным числом степеней свободы.
Эта последняя задача формулируется как задача об лнтегри-
jювапии систем ы уравнений:
при условиях:
у
"dt2 &
л=1
ajhqil (/=1, 2, ..., т) (XXIII.22)
Qj |<=о = (?,)о,
= и-)..
dt \t=Q
причём предполагается, что —
В такой системе вместо функции и (Р, I), зависящей от t и
от переменной точки пространства, мы имеем величину, завися-
щую от t и от дискретного номера /. Если бы мы построили в
346
МЕТОД ФУРЬЕ
[Л. XXIII
в области 2 сетку из конечного числа точек Р19 Р2, Рт и
заменили бы рассмотрение функции и (Р, t) рассмотрением вели-
чин q^—u{Pj, Г) в конечном числе, то мы могли бы, заменив
в уравнении (XXIII.13) производные по координатам конечными
разностями, получить систему, аналогичную (XXIII.22).
Решение системы (XXIII.22), как мы знаем из курса обыкно-
венных дифференциальных уравнений, имеет вид
т
ч, — 2 (с/гcos М+djrsin М)>
Г—1
где 'кг — частоты колебаний, определяемые из так называемого ве-
кового уравнения:
tt12 • • • а1т
а21 а22 • • • а2т __0
^'гл2 • • • ^тт
Разница между нашей задачей и задачей отыскания реше-
ния системы (XXIII. 22) состоит лишь в том, что система (XXIII.22)
имеет конечное число собственных частот колебаний, в то вре-
мя как задача об интегрировании волнового уравнения име-
ет их бесконечно много. Рассматриваемая аналогия идет ещё
глубже.
Если мы будем трактовать совокупность чисел qti q2, qm
как некоторую точку в m-мерном пространстве или, точнее, как
вектор д, соединяющий начало с некоторой точкой этого простран-
ства, то система уравнений (XXIII.22) запишется в виде
= (XXIII.23)
где Л —линейная подстановка над вектором д. Из теории обык-
новенных дифференциальных уравнений известно, что интегриро-
вание (XXIII.23) сводится фактически к такой ортогональной за-
мене переменных (преобразованию координат в пространстве q}, *
чтобы матрица подстановки А была приведена к диагональной
форме. Если эти новые координаты обозначить через г1? г2, ..., rw,
то после замены
т
(XXIII.24) у
S—1
ИЛИ
§ 3] НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ 347
мы будем иметь систему
т
d^rj y -
dt2 - 1
/?=1
где
- f “^5 / = &>
йу,г = |0; /А Л.
Рассмотрение в случае волнового уравнения собственных функций
1\, и2, ...,ит
совершенно аналогично такому новому выбору координат. Вместо
значений какой-нибудь функции / (Р, /) во всевозможных точках Р
мы будем считать эту функцию заданной своими коэффициен-
тами /. (/) разложения в ряд
оо
/ (А 0 = S А (О А. (А- (ХХШ.25)
1=1
Формула (ХХШ.25) вместе с формулой
А (0=5 5 (XXIIL26)
аналогична (XXIII.24), только значок i в формулах (ХХШ.25)
и (ХХШ.26), соответствующий значку s в формулах (XXIII.24),
меняется не от 1 до т, а от 1 до бесконечности, а роль значка /
из формул (XXIIL24), менявшегося от 1 до т, играет точка Р,
меняющаяся в области 2.
Эта точка зрения даёт новый взгляд на самый метод Фурье
для решения задачи об интегрировании волнового уравне-
ния (XXIII. 13) с предельными и начальными условиями.
Совпадение, отмеченное нами, разумеется, не является случай-
ным. По существу, как одна, так и другая задачи представляют
собой частные случаи некоторой обшей задачи, формулируемой
в терминах абстрактной теории уравнений в функциональных
пространствах.
§ 3. Неоднородное уравнение.
Не углубляя вопроса, мы будем пользоваться существующей
аналогией, указанной в § 2, расширяя ее далее. Мы проиллюстри-
руем эту аналогию на задаче об интегрировании волнового урав-
нения со свободным членом и нулевыми начальными данными.
К этой задаче, как мы видели, сводится самый общий случай.
Рассмотрим уравнение
348
МЕТОД ФУРЬЕ
[Л. ХХШ
и попытаемся найти его решение, удовлетворяющее условиям
Отыскивая и в виде ряда
со
(ХХШ.27)
г=1
(всякая дважды дифференцируемая функция а, удовлетворяющая
условию 0, в такой ряд разлагается) и представляя F в виде
такого же ряда1), получим:
со оо со
со (о н а ( 2 ,! (о ) - £ ( 2 " (о иг} = 2 ' (о 1+F° о-
i--1 i—1 г=1
Произведём дифференцирование под знаком суммы. Это диф-
ференцирование законно, если допустить, что ряды из производ-
ных равномерно сходятся. Тогда мы будем иметь:
«о (О - С> (0 + 2 и, [ - - Ца, (Z) - a" (I) - F, (/)] = 0.
i==l
Умножая обе части последнего равенства па интегрируя
и замечая, что при этом все члены, кроме того, который имел
номер /, пропадут, получим для определения (t) дифференциаль-
ное уравнение
a'j (0 + Щ (0 -I- Fj (0 = 0. (XXIIL28)
Мы также получим:
с5(О-/-’о(О = о.
2) Функция F, вообще говоря, по удовлетворяет краевым условиям.
Однако опа, очевидно, может быть заменена функцией F', удовлетворяющей
этим условиям, итакой, что (F' — F)2 dxdу dz < е. На основании рас-
2
суждений предыдущей лекции такого рода замена повлечёт за собой сколь
угодно малую ошибку в решении.
§ 3] НЕОДНОРОДНОЕ УРАВНЕНИЕ 349
Пользуясь известной формулой для решения обыкновенных урав-
нений, имеем:
t
а1 (J) = 77 sin Bi С - *1)] G1) ^1,
б
со (О “ ^1) о (Ч) •
о
При таких а. (I) формула (XXIII.27) даст нам искомое реше-
ние, если только ряд (XXIII.27) окажется равномерно сходящимся
со своими производными до 2-го порядка. Чтобы избежать иссле-
дования сходимости, мы можем опять заменить свободный член Р
функцией -отрезком ряда Фурье. Переходя затем к пределу,
мы получим, пользуясь теоремой Рисса-Фишера, если не решение
в обычном смысле слова, то обобщенное решение.
Наша подстановка (ХХШ.27) есть аналог замены переменных
в системе (XXIII. 23), приводившей эту последнюю к канониче-
скому виду. Так же как и для (ХХШ.23), она быстро решает
задачу.
Очень легко указать также путь к решению задачи об инте-
грировании уравнения теплопроводности с правой частью и неодно-
родными условиями на границе:
u\8 = f(S, /),
Достаточно заметить, что эта задача может быть сведена
к задаче интегрирования того же уравнения при условиях
n|s = O,
и |J=o = 0.
Разложим свободный член в ряд вида
Р(Р, 0= 2 Ui (P)F- (t). (ХХШ.29)
i=l
Такое разложение возможно, так как при фиксированном значе-
нии t функция F(P, t) разложима в ряд вида (ХХШ.29). Коэф-
фициенты этого ряда, вообще говоря, зависят от t:
и^Р)Р(Р, t)dP.
(ХХШ.ЗО)
350
МЕТОД ФУРЬЕ
[Л. ХХШ
F- (t) суть непрерывные дифференцируемые функции, если частная
производная по t функции F (Р, t) непрерывна, как это видно из
формулы (XXII1.30).
Отыскивая решение уравнения
д N
(XXIIL31)
в виде
г—1
получим:
N
2 и, (Z>) { F, (I) + А (t) + (Z)} = 0,
г—1
откуда, умножая на U] и интегрируя, видим, что коэффициенты
ai (t) должны удовлетворять уравнению
A a'i (Z) + \а, (Z) + F- (Z) = 0. (XXIII.32)
Взяв за ai (t) то решение (XXIII.32), которое обращается в нуль
при t = 0, т. е.
t
а. = ^ dt,
о
мы увидим, что Un (Z) будет удовлетворять как уравнению (XXIIL31),
так и поставленным начальным и граничным условиям.
Переходя затем к пределу при N —> оо и замечая, что правая
часть (XXII 1.31) стремится к функции F, получим, рассуждая
подобно прежнему, обобщённое решение, которое при достаточ-
ной гладкости F будет решением в обычном смысле слова
(см. § 2 лекции XXII).
В практических задачах часто наибольший интерес при реше-
нии волнового уравнения представляет как раз отыскание всех
частот \ или, как говорят, спектра собственных частот колебаний.
Знание такого спектра позволяет избежать неприятного явления
резонанса.
Резонанс возникает большей частью тогда, когда внешняя
сила изменяется по синусоидальному закону и частота её совпа-
дает с собственной частотой колебаний.
Пусть, например, в формуле (XXIIL28)
F.(Z) = sinX.Z;
§ 4] ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ СО СВОБОДНЫМИ КОНЦАМИ 351
тогда
t
1 с
ai (О — х? \ sin К *i) 8*п “
b
t
= 2X? \ [cos \ (2^1 — 0 —* cos M] dt± = — cos к./ -j- -^2 sin\t.
' Ь 1 i
Как видно, a- (t), а вместе с тем и амплитуда колебаний неогра-
ниченно растут вместо с t.
§ 4. Продольные колебания стержня со свободными концами.
Кроме разобранных нами случаев применения метода Фурье,
мы могли бы указать ещё много других. Естественно, например,
изучать таким образом уравнение
Р^^+яМ ^4 г(ж)и = р(ж)~-\-F(x, t),
или
Р (*)S + Q (••») £ -I г (ж) и = Р (х) ~ + F (ж, /'),
при условиях для и в момент t = t0 и на концах промежутка
()•<£< 1, и ряд других.
Не вдаваясь в детали, рассмотрим один простейший пример
применения изложенной теории.
Изучим решение уравнения
д2и д2и________________________
дх2 dt2
при условиях
и |t=0 = ?0(х)> 2|z=o=?i^’ (XXIII.33)
=() ди] =0 (ХХШ.34)
дх |х=0 дх |x=i
Эта задача возникает, например, при изучении продольных
колебаний стержня, свободного по обоим концам.
Согласно изложенному методу, решение следует искать в виде
ряда
оо
U = 2 (ajcos sin \ 0 j (^) Н со Н ci^
где (х) суть решения дифференциального уравнения
^4^ = 0- (XXIII.35)
352
МЕТОД ФУРЬЕ
[Л. XXIII
В нашем случае пет надобности прибегать к помощи инте-
грального уравнения для отыскания решения уравнения (ХХШ.35),
удовлетворяющего граничным условиям:
^1\ =0 и = 0.
dx |х=0 dx |х—1
Общее решение уравнения (ХХШ.35) будет:
U. — Су cos \-х -j d- sin Xy.r,
если Ху > 0, и .ли
[J. — Су ch ikjX -j rfy S.li /Ху.т,
если Ху < 0.
В указанных случаях
с~- = (— с- sin \;Х~- d4 cos Х;х),
dx J х J j 1 з )
(Cy sh i\x H dj ch ikjX).
Первое из граничных условий заставляет считать rf; — 0 в обоих
случаях, а второе условие приводит к заключению, что мнимые
значения Ху (т. е. отрицательные для XJ) невозможны.
Таким образом,
[7 = сcos X #, — — X .с, sin X-х.
J J J dx J J •'
Пользуясь вторым граничным условием, заключаем, что
sin Ху — О,
откуда
Ху - /тг
и
Z7y = sin jizx. t
Известны формулы:
\ Ц, j = k-
\ cos j-x cos ккх dx — 4 z
о 0, / 54= Л.
Если выбрать теперь c; — 2, то мы получим искомую систему
ортогональных нормированных функций U • в виде
С7у = ]/2 cos j-x.
§ 4] ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ СО СВОБОДНЫМИ КОНЦАМИ 353
Коэффициенты и bj получим в виде
1
а. = ]/2 <р0 (ж) cos fax dx,
о
bj = <рх (х) cos fax dx,
о
и окончательный ответ в виде ряда
со
cos fax 4- Ь^ sin fax 4~ c0 4- c^,
r=i
где
i i
co “ ?o (^) ci “ Ti (a)
о 0
Как мы видим, частоты собственных колебаний такого стержня
будут иметь вид
тс/, / = 1, 2, . . ., п, ...
Для того чтобы закончить изложение метода Фурье, мы сделаем
ещё несколько замечаний общего характера. В наших рассужде-
ниях существенную роль играло то обстоятельство, что числа
не сгущались нигде. Поэтому в формулах (ХХШ.25) и (XXIII.26),
которые мы рассматривали как аналог линейных преобразований
п чисел, одно из переменных — значок i — принимал лишь счётное
множество значений. Как выясняется при детальном исследовании,
это обстоятельство тесно связано с фактом ограниченности
области 2. Те свойства интегральных уравнений с симметрическим
ядром, на которые мы опирались, могут потеряться, если область
будет неограниченной.
При этом может случиться, например, что таких ортогональ-
ных нормированных собственных функций не существует. Они
заменяются при этом целым множеством функций U (Р, £), зави-
сящим от непрерывно меняющегося параметра £. Если задача
песамосопряжённая, то собственные значения X могут быть не
только вещественными, ио и комплексными.
23 с. Л. Соболев
ЛЕКЦИЯ XXTV.
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ВЕЩЕСТВЕННЫМ
СИММЕТРИЧЕСКИМ ЯДРОМ.
§ 1. Простейшие свойства. Вполне непрерывные операторы.
Мы видели выше, что задача об отыскании собственных зна-
чений и собственных функций для многих задач математической
физики приводится при помощи функции Грина к задаче о соб-
ственных значениях и собственных функциях некоторого инте-
грального уравнения типа Фредгольма 2-го рода с вещественным
симметрическим ядром, т. е. таким ядром, что
К(Р, Рй) = К(Р0, Р).
Мы будем изучать несколько более общее интегральное урав-
нение, а именно:
<? Ро) = / Ро) + X Ро, Р) ? Р) Р (Р) dP, (XXIV. 1)
2
и соответствующее однородное уравнение
<Р (Ро) = X (Ро, Р) <Р (Р) Р (Р) dP, (XXIV.2)
2
где К (Ро, Р) — симметрическая функция координат точек PQ и Р,
а р (Р) — неотрицательная измеримая функция, называемая весом
(или нагрузкой).
В случае р = 1 получаем интегральные уравнения с симметри-
ческим ядром.
Для рассматриваемых интегральных уравнений и, в частности,
для интегральных уравнений с симметрическим ядром имеет ме-
сто целый ряд важных предложений, к изучению которых мы и
перейдём.
Будем говорить, что уравнение (XXIV. 1) имеет нагруженное
симметрическое ядро или симметрическое ядро с нагрузкой р(Р).
§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 355
Для того чтобы не затруднять изложения, рассмотрим лишь
тот случай, когда функция р(Р) ограничена.
Предположим, кроме того, что функция р (Р) обращается
в нуль только на множестве меры нуль.
Лемма 1. Пусть ср (Р) и ф (Р$) — две произвольные функции,
вещественные или комплексные1), интегрируемые с квадратом
модуля с весом р(Р) в ограниченной области 2, т. е.
I ? (Р) Р Р (Р) dP < СО, 5 | ф (Р„) |2 р (Ро) dl\ < СО.
Я 2
Далее, пусть вещест,венное ядро2) К(Р,Р^) удовлетворяет
неравенству
где г — расстояние между точками Р и Ро, а а < п. Тогда интеграл
55 I к (Р, Ро) <р (Р) ф (Ро) IР (Р) Р (Ро) dP dP0 (XXIV.3)
я я
сходится.
Оценивая интеграл (XXIV.3) при помощи неравенства Буня-
ковского, получим:
55 IК(р’ ро) <Р (Р) Ф (Л>) IР Р) Р (Л) dP dP0<
Я я
< У 51 *(Р) >2 р (Р) dPV Ш(Л р*} *(/>о) 1 р 12р (Р) dP •
я я я
Если мы установим существование интеграла
5 Ж Л>)Ф(Л>)1р(Л))^о
я
для почти всех Р, а также сходимость интеграла
5 {51 к (р, р0) ф (р0) । р (р0) dpo}2 р (Р) dp,
я я
то отсюда будет вытекать наша лемма.
(*)
(XXIV.4)
х) Под комплексной функцией вещественного аргумента (или веществен-
ных аргументов) (Р) мы понимаем функцию, представимую так:
= (Р)-Н<р2(Р),
где (Р) и ?2 (Р)—вещественные функции.
2) Ядро К (Р, Ро) не предполагается симметричным.
23*
356 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С СИММЕТРИЧЕСКИМ ЯДРОМ [Л. XXIV
Имеем:
5 \К(Р, PMP0)\p(P0)dP0<
2
< 5 ^1ФРо)1рРоИЛ» = л $44|ФРо)1рР«)<*Л.<
2 2 ^2 j.2
<4j/\^dP9 У ^|фРо)|арР0ИЛ>,
2 2
НО
у| 2 С Р (^о)^о < д/г j**
J г« V
2
где М — некоторая постоянная.
Следовательно, интеграл (*) существует для всех тех точек Р,
для которых существует интеграл
$ ^1 ФРо) 12рРо)<Рг (XXIV.5)
2
Таким образом,
ЩI z< (Р, р0) ф (Ро) I р (Ро) dP0 ] 2р (Р) dP <
2 2
<М 5 [ 5 ^1ФР0)|2рР0)^0] p(P)dP.
2 2
Мы установим одновременно и существование почти везде
интеграла (XXIV.5) и сходимость интеграла в правой части по-
следнего неравенства, пользуясь теоремой Лебега-Фубини.
Докажем сходимость 2тг-мерного интеграла
\ \^1ФРо)12рРо)рР)<Р,^-
• *' г
2 2
(XXIV.6)
Отсюда будет следовать, что кратный интеграл
[^|ФРо)1арРоИЛ>]рР)<^
2 2
будет иметь смысл и будет сходящимся, так же как и интеграл
(XXIV.4).
Чтобы установить сходимость интеграла (XXIV.6), будем со-
вершать интегрирование в другом порядке:
$ Г | Ф Ро) I2 Р Ро) Р Р) dP 1 dP0. (XXIV. 7)
2 2
§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 357
В силу (**) подинтегральная функция меньше, чем
^|ф(Р0)|2р(Р0),
где В — постоянная; следовательно, интеграл (XXIV.7) меньше, чем
который сходится по условию леммы; значит, сходится и интеграл
(XXIV.6); лемма доказана.
Следствие. Справедливо равенство
WCPoWoW} р(Л^ =
2 2
= $ ф(Р0) { 5 К(Р, P0)^(P)p(P)dP]p(P0)dP0.
2 2
Доказательство следует из добавления к теореме Лебега-Фубини
(см. лекцию VI).
Введём следующие обозначения:
К (Ро, Р) ср (Р) р (Р) dP = Аср, (XXIV .8)
2
К (Ро, Р) ф (Ро) Р (Ро) dP0 = Л*ф. (XXIV.9)
2
Из доказанного выше следует, что существуют интегралы
I л<р I2 Р (Р) dP, [ Л*ф I2 <Р (Р) dP.
2 2
Заметим, что в случае симметричности функции К (Ро, Р) опера-
тор А совпадает с оператором Л*. Пусть также
(<Р, ф) = <Р(Р)ф(Р)Р(Р)dP. (XXIV. 10)
2
где ф обозначает комплексно сопряжённую функцию с ф. При
этом очевидно (ср, ф) = <р(Р)ф(Р)р(Р)с?Р.
2
Будем называть выражение (ср, ф) скалярным произведением
функции ср и ф.
Отметим некоторые свойства этих символов:
1. А(а1Ф1 + а2<р2) = + а2А<?2.
2. + ф) =fli(<Pv Ф)+£2(?2> Ф)-
3. (<р, Ml + Ма) = а1 (?, Ф1) + Д2 (<р, ф2).
4. (<р, ф) = (ф, ?)•
5. Для любой интегрируемой с квадратом функции <р
(ср, ср) > 0,
358 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С СИММЕТРИЧЕСКИМ ЯДРОМ [Л. XXIV
причём знак равенства имеет место в том и только в том случае,
если функция ср эквивалентна нулю.
Множители и в равенствах 1, 2, 3 — некоторые постоян-
ные. Справедливость всех наших равенств устанавливается непо-
средственной проверкой.
Наше следствие может быть записано в форме
(ср, ЛЛр) = (Лер, ф). (XXIV.11)
Для случая вещественной и симметрической функции К (Р, Ро) и
вещественных ср и ф будем иметь (ср, Лф) = (Лср, ф).
Переходим к изучению интегральных уравнений. Изучим
прежде всего однородные уравнения.
Условимся в дальнейшем рассматривать только такие соб-
ственные функции, у которых квадрат модуля интегрируем с весом р.
Теорема 1. Если \ и Х2 суть два различных характери-
стических числа уравнений
ср = Хх Л<р
и
ф = Х2Л*ф,
то собственные функции этих уравнений ср и ф удовлетворяют
соотношению
(<Р, ф) = о. (XXIV. 12)
В самом деле,
(ср, Л*ф) =(<р, -1ф) = -1(?, ф),
(Лер, ф) = (1<р, ф^ = 1(ср, ф);
из (XXIV. 11) следует при этом
Ф)=М?> Ф)>
что возможно лишь, если (ср, ф) = 0, что и требовалось доказать.
Функции ср и ф, удовлетворяющие (XXIV. 12), мы будем на-
зывать ортогональными с весом р (Р) или, когда это не поведёт
к недоразумениям, ортогональными.
Следствие. Фундаментальные функции интегрального урав-
нения с нагруженным симметрическим ядром, соответствующие
разным характеристическим числам, ортогональны.
В самом деле, для симметрического ядра с нагрузкой все фун-
даментальные функции уравнения ф = ХЛ*ф просто превращаются
в фундаментальные функции уравнения ср = ХЛср, ибо Л = Л*.
Теорема 2. Вещественное нагруженное симметрическое ядро
не может иметь комплексных характеристических чисел.
§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 359
Доказательство. Пусть наше уравнение имеет характе-
ристическое число Хо и фундаментальную функцию <р0, т. е.
<?о = М?о-
Взяв сопряжённые комплексные величины от обеих частей
нашего уравнения и обращая внимание на то, что для веще-
ственного ядра К (Р, Ро)
Аср == Ау,
получим:
?о = М'Ро-
Отсюда следует, что Хо и ср0 суть также характеристическое число
и фундаментальная функция нашего уравнения.
Поскольку Хо=# Хо, на основании следствия из теоремы 1 ви-
дим, что <р0 и <р0 должны быть ортогональны с весом р, т. е.
(?о. ?о) = 5 ?о (р) ъЛР) р (р)dP = $ I То С?) I2 Р (^)dP = 0;
Й Й
значит, <р0 = 0, что и противоречит предположению о том, что <р0
есть нетривиальное решение уравнения
ср = ХЛср.
Теорема 3. Все фундаментальные функции вещественного
симметрического ядра сами вещественны (точнее говоря, могут
быть выбраны вещественными).
Пусть
?о (Р) = а (Р) + ф(Р)
— фундаментальная функция. Подставляя её в уравнение, получим:
<р0 = а + ф = ХЛ<р0 = X Ла 4- гХЛР;
разделяя вещественную и мнимую части, получим:
а == ХЛа, р = ХЛр.
Следовательно, аир суть сами фундаментальные функции, и
вместо ср0 можно рассматривать именно обе эти функции; линей-
ной комбинацией их будет наша функция <р0.
Лемма 2. Все фундаментальные функции нагруженного сим-
метрического ядра можно считать ортогональными с весом р.
Заметим, что для уравнения с симметрическим ядром описан-
ного вида вся теория Фредгольма, очевидно, справедлива, ибо
интегралы
\\К(Р, P0)|P(P0)dP0, \К(Р, Ро)| P(P0)dP
U о
360 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С СИММЕТРИЧЕСКИМ ЯДРОМ [Л. XXIV
ограничены. В частности, каждому собственному значению X
отвечает лишь конечное число линейно независимых функций.
Перейдём к доказательству леммы. В самом деле, неортого-
нальными могли бы быть лишь фундаментальные функции, соот-
ветствующие одному и тому же характеристическому числу X.
Пусть эти функции будут, например, ср2, . . . , cpQ. Вместо них
мы рассмотрим их линейные комбинации:
= <Pv
Ф2 = ?2
(Ф1, ?г)
(Ф1. Ф1)
фз=<Рз_«^ф1_
(Ф1.Ф1) (Ф2. WT2
...
(Ф1.-Ю (Ф2.Ф2) (fe-n^-г)
Методом полной индукции легко доказать, что каждая^функ-
ция ортогональна ко всем предыдущим, так как
(ФзЛ()=(?зЛ()--^44(ф1Л/)- (ф8_п*,)
(ФъФ1) (фз-!, <Ь-1)
В правой части все слагаемые нули по предположению индук-
ции, ибо t < 5, кроме (cps, <k) и —(Фо фД которые взаим-
(фьф/)
но уничтожаются. Очевидно, ф/г являются решениями однород-
ного уравнения, что и требовалось доказать.
Определение. Мы будем говорить, что последователг-
ностъ |<рп| функций с интегрируемым квадратом модуля схо-
дится в среднем с весом р к функции ср с интегрируемым квадра-
том модуля, если справедливо соотношение
lim I?»-<? 12Р^=0-
n->oo .) 1 тп т 1 г
Заметим, что если последовательность {<рп} функции с интегри-
руемым квадратом равномерно сходится к ср, то эта последова-
тельность сходится в среднем к ср. Однако обратное предложение,
очевидно, не имеет места. Если отказаться от требования равно-
мерной сходимости, то можно построить примеры всюду сходя-
щихся последовательностей, которые в среднем не сходятся.
В лекции XXII, § 7 мы встречались уже с понятием сходи-
мости в среднем и доказали, что одна последовательность не
может сходиться в среднем к двум различным функциям. Здесь
мы напомним ещё раз, что если предполагать интегрируемость
§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 361
в смысле Лебега, то в упомянутом предложении следует считать
различными только функции, значения которых различны на
множестве положительной меры.
Определение. Назовём некоторое множество функций ком-
пактным, если из любой его бесконечной части можно выбрать
сходящуюся последовательность.
При разных требованиях, наложенных на сходимость, которая
может быть сходимостью в среднем или равномерной сходимостью
и т. п., мы получим и разные условия компактности.
Компактные множества функций по своему определению весьма
близко напоминают ограниченные множества точек. Ясно, что
любая бесконечная часть ограниченного множества точек сама
есть ограниченное бесконечное множество и поэтому имеет хоть
одну предельную точку, а значит, и последовательность, сходя-
щуюся к этой точке.
В курсе математического анализа вводится понятие равно-
степенной непрерывности множества функций. Напомним опреде-
ление этого понятия.
Множество функций {ср} называется равностепенно непрерыв-
ным, если для любого положительного е можно указать такое
число что неравенство
I ? (-Р) — ? (Л) I <6
имеет место, как только расстояние между точками Р и Рх
меньше т](е), одновременно для всех функций, принадлежащих
множеству {ср}.
Одним из важнейших применений понятия равностепенной
непрерывности является так называемая теорема Арцела1). Эта
теорема гласит: если некоторое множество функций {ср} равномерно
ограничено и равностепенно непрерывно, то из него можно выде-
лить равномерно сходящуюся последовательность. (Равномерно
ограниченным называется множество функций, удовлетворяющих
неравенству | ср | < А, где А не зависит от ср.)
Пользуясь понятием компактности, мы можем сформулировать
этот результат так:
Множество, состоящее из равномерно ограниченных равно-
степенно непрерывных функций, будет компактным, если рас-
сматривается равномерная сходимость или, тем более, сходимость
в среднем.
В самом деле, по теореме Арцела любое такое бесконечное
множество имеет хоть одну предельную функцию, т. е. содержит
равномерно сходящуюся последовательность. Разумеется, при этом»
Э См. Степанов В. В., Курс дифференциальных уравнений, 4-е изд.г
глава II, § 2, стр. 64, или Петровский И. Г., Лекции по теории обык-
новенных дифференциальных уравнений, § И.
362 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С СИММЕТРИЧЕСКИМ ЯДРОМ [Л. XXIV
сходимость в среднем также имеет место, если область задания
функций ограничена, что мы и будем предполагать. Очевидно, что
множество функций, компактное для равномерной сходимости,
компактно и для сходимости в среднем.
Будем называть множество функций {ср} ограниченным в сред-
нем, с весом р (^Р), если оно удовлетворяет условию
|ср |2pdP< А.
2
Определение. Назовём вполне непрерывным оператором
такой оператор Лер, который, будучи применён ко всем функциям
некоторого ограниченного в среднем множества {ср}, превращает
ого в компактное множество в смысле сходимости в среднем.
Если множество Лер будет компактным в смысле равномерной
сходимости, то оператор Л мы будем называть усиленно вполне
непрерывным.
Теорема 4. Интегральный оператор
Ач=\К(Р0, P)<f(P)p(P)dP,
Q
где функция K(PQ, Р) непрерывна, а р(Р)-~-интегрируемая функ-
ция, есть усиленно вполне непрерывный оператор.
Пусть {ср} — множество функций, ограниченное в среднем
|ср|2р^< Л.
2
Пользуясь неравенством Буияковского, легко видеть, что семей-
ство функций {Лер} является равномерно ограниченным. Пусть
О) = Лер.
Тогда
|и)|2< Ы2рб£Р I K(PQ, Р) \*p(P)dP^AM2B,
2 2
если
|/ЦР0, ^)1<^ В = С ?(P)dP.
2
Докажем, что семейство {<*)} равностепенно непрерывно.
Составим разность
ш (PJ - ш (Р2) = 5 [Я (Р, Р,) - К (Р, Ра)] ф (Р) р (Р) dP.
2
§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 363
Имеем:
I О) (PJ - (1) (Р2) |2 < | ср (Р) |2 р (Р) dP 5 I К (Р, Л) -
Й Й
-K(P,Pz)\*p(P)dP.
Выберем точку Р2 столь близко к Р19 чтобы иметь
|Щ PJ-KIP, Р2)|<е.
Это возможно, так как ядро К (Р9 Ро) непрерывно в замкнутой
области изменения переменных Р, Ро и по известной теореме
будет там равномерно непрерывно. При этом
| ш (PJ - О) (Р2) I2 < А е2р (Р) dP = г2 АВ,
Q
где
В= \P(P)dP.
Q
Мы видим, таким образом, что разность | ш (PJ — о (Р2) | может
быть сделана меньше любого наперёд заданного числа при 7\,
достаточно близком к Р2, одновременно для всех (о = Лер, так как
в нашу оценку не вошли индивидуальные свойства функции <р.
Следовательно, семейство {Лер} равностепенно непрерывно. Отсюда
следует компактность этого семейства в смысле равномерной
«сходимости и, тем более, в смысле сходимости в среднем.
Предположим теперь, что ядро К (Ро, Р) вещественно и непре-
рывно всюду в области 2 х 2 по обоим переменным, за исклю-
чением множества {Р = Р0} и везде в области 2x2 удовлетворяет
неравенству
|^(Р0,Р)|<Л-> “>°- (xxiv.13)
г2-“
Такие ядра мы будем называть почти регулярными. Справедлива
Теорема 5. Интегральный оператор Л:
где ядро К (Ро, Р) почти регулярно, а функция р (Р) ограничена,
представляет собою усиленно вполне непрерывный оператор.
Доказательство этой теоремы весьма близко к доказательству
предыдущей теоремы.
Пусть {ср} — семейство функций, равномерно ограниченное
в среднем. Докажем, что семейство {Лер} равномерно ограничено
и равностепенно непрерывно.
364 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С СИММЕТРИЧЕСКИМ ЯДРОМ [Л. XXI
Как и прежде, равномерная ограниченность следует из нера-
венства Буияковского. В самом деле, если
2
то
2
<[$|/ЦР0, P)|2P(P)dp] [$|<p(P)|W)^]
2 2
В силу условия (XXIV. 13) имеем:
$ [tf (Ро, Р)]* Р (Р) dP < -Д, р (Р) dP < С,
2 2
где С —некоторая постоянная. Пользуясь этим, получим:
[$/ЦР0, P)?(P)p(P)dP]2<7VC.
U 2
Ограниченность семейства {Лер} доказана.
Пусть теперь со = Лер. Составим разность
ш (PJ - о> (Р2) = $ [Я (Pv Р) - К (Р2. Р)] ? (Р) р (Р) dP.
2
Имеем:
[ш (РО - <0 (Р2)]* < 51 ? (Р) I2 p(P)dP \\K{PltP)- K(PZ,P) I2 p(P)d <
2 2
< M IК (P1( P) - К(P2, P) I2 P (P) dP=MI,
2
где через I обозначен интеграл
\ |#(Л, P)-K(P2, P)\*p(P)dP. (XXIV. 14)
2
Оценим этот последний интеграл. Функция | К (Р19 Р} — К (Р29 Р) |2
представляет собой функцию Зп координат точек Р, Р19 Р29 не-
прерывную в области Q х Q X всюду, кроме множества то-
чек {Р = РГ и Р — Р2\. Пусть гг — расстояние от точки Р до точ-
ки Р19 а г2 — расстояние от Р до Р2. В пространстве Зп пере-
менных исключим из области 2x^x2 открытые множества то-
чек, удовлетворяющих условиям гг < т] и r2 < ij, где — любое
наперёд заданное положительное число. В оставшемся замкнутом
множестве функция Р) — К (Р29 Р)|2 будет, по теореме
§ 1] ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 365
Вейерштрасса, равномерно непрерывной. При Рг — Р2 она обра-
щается в нуль. Следовательно, при любом е > 0 можно указать
такое положительное число о (е, tj), что коль скоро расстояние
между точками Рг и Р27 которое мы обозначим через г*, будет
меньше о, то будет иметь место неравенство
Р') — К(Р2, Р)\*<е.
Воспользуемся этим замечанием для оценки интересующего нас
интеграла. Пусть задано некоторое положительное число е. Окру-
жая в области изменения Р обе особые точки Р19 Р2 малыми
шарами радиуса т] и разбивая интеграл (XXIV. 14) на две части,
положим:
Ь== $ \ К (Plt Р) — К (Р2, P)\*p(P)dP-,
ri<v
r2<T]
Z2= ( \К(Рг, P)-K(P2, P)\*p(P)dP.
ri>Tj
ИЛИ
Т2>Ъ
Тогда I = Zx + Z2. Нетрудно видеть, что (e) всегда можно взять
столь малым, чтобы иметь
Действительно,
Р) — К(Р2, Р)]2<
<[K(Plt Р) — К(Рг, PW + K^, P)-iK(P2, 7>)]2 =
= 2[К(Р1, Р)]2 + 2[К(Р2, Р)]2
и, следовательно,
/,<2 [7Ц/>1; 7>)]2р(7>)^ + 2 [К (Р2, Р)]2р(7^)^.
Г!<7] г/сТ
Г2<Ъ Г2<Ъ
Отсюда, применяя оценку (XXIV. 13) для К(Рг, Р), К(Р2, Р),
получаем:
Выбрав величину тДе), мы можем далее найти В (г) таким обра-
зом, чтобы везде под знаком интеграла /2 имело место неравен-
ство
Р)-К (Р2, Р)]2<к------о ,
i \ / 4 2’ 2 sup р (Р) т!2
где m2 —объём области 2, как только г* < В.
366 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С СИММЕТРИЧЕСКИМ ЯДРОМ [Л. XXIV
При этом будем иметь:
2^2/л£2 j sup р 2
2
Отсюда
Z £«
Мы видим, что величина 8 (г) оказалась зависящей только от
расстояния между точками Рг и Р2 и не зависит от функции ср.
Следовательно, множество функций {Лер} равностепенно непре-
рывно. Выше было доказано, что оно равномерно ограничено.
В силу теоремы Арцела множество {Лер} является компактным
в смысле равномерной сходимости. Таким образом, оператор А
является усиленно вполне непрерывным, что и требовалось
доказать.
Мы выясним далее, что свойство оператора быть вполне непре-
рывным есть чрезвычайно важное свойство, ибо именно из него
будут следовать основные теоремы для уравнений с нагруженным
симметрическим ядром.
Можно доказать, что вся качественная сторона теории Фред-
гольма для несимметрических ядер, т. е. альтернатива Фредгольма,
условия разрешимости уравнений и т. д., целиком переносится на
уравнения
с вполне непрерывным оператором Л. Однако мы не будем оста-
навливаться на этом вопросе. В дальнейшем для того чтобы уста-
новить полную непрерывность оператора Л, мы будем убеждатьсят
что он является усиленно вполне непрерывным.
§ 2. Доказательство существования собственного значения.
Теорема 6. Интегралъное уравнение
<р = ХЛ<р (XXIV. 15)
с вещественным симметрическим ядром, если А —вполне непре-
рывный оператор, имеет по крайней мере одно собственное зна-
чение.
Доказательство. Заметим прежде всего, что для наших
целей достаточно установить существование хотя бы одного ха-
рактеристического числа и фундаментальной функции у уравнения
<р = рЛ2ср.
В самом деле, перепишем это последнее уравнение в виде
— р Л2<р = О,
§ 2] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СУЩЕСТВОВАНИЯ СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ 367
и пусть — его собственное значение, а <р0 — соответствующая,
собственная функция. Полагая = имеем:
(Я-10Л)[(Я + Х0Л)<Р0] = 0,
в обозначениях лекции XVIII.
Левая часть последнего уравнения может обратиться в нуль
лишь в том случае, если функция
Фо = (£'+М) ?0
является решением уравнения
(7? — ХЛ) ф = О при X = Хо.
Следовательно, либо ф0 = 0, либо уравнение (Е — Х0Л) ф0 — О’
имеет нетривиальное решение. В первом случае имеем:
(2?+Хо4)То = 0,
и, значит, ср0 есть собственная функция уравнения (XXIV. 15),
отвечающая собственному значению Х= — Хо. Во втором случае
также получаем существование собственного значения X — Хо
у уравнения (XXIV. 15).
Рассмотрим выражение
(Лер, Л<р)_____(ср, Л2у)
.?) ~ (?> ?)
для всевозможных функций <р, вещественных и интегрируемых
с квадратом и не эквивалентных нулю. Это отношение не может
равняться нулю для всех ср, ибо иначе Лер было бы тождественным
нулём. Очевидно, что оно не отрицательно. Оно не может, кроме
того, принимать неограниченно больших значений. Действительно,
это отношение не меняется от умножения функции на любую
постоянную. Поэтому достаточно установить ограниченность этого
отношения для функций, равномерно ограниченных в среднем,
а это очевидным образом вытекает из доказанного ранее. Следо-
которую мы обозначим через
При этом, очевидно,
(Л2ср, А^) (Л2ср, Л2ср) (Лер, Лер) 2
(ср, ср) (Лер, Лер) (ср, ср) V
Пусть <рп — последовательность функций, таких, что
(?П> ?п) = Ь
Иш (Л<рп, = XV
(XXIV. 16)
(XXIV.17)
(XXIV. 18)
п-»оо
368 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С СИММЕТРИЧЕСКИМ ЯДРОМ (Л. XXIV
Такую последовательность всегда можно построить. По свойству
верхней границы существует последовательность такая, что
1’тп Лсрп)
11111 / *
п->со \$>п, <?п)
= X
Полагая затем
V(?n, <f>n)
•получим искомую последовательность.
Рассмотрим последовательность
Фп = я/1?п-Л2?п-
Докажем, что
iim (<рп, <р„) = 0.
(XXIV. 19)
В самом деле,
(Фп> Фп) = *1 (?п> ?п) - 2х1 (?П. Л2?/.) +’ (Л2?п> Л2?п)-
В силу (XXIV. 16) имеем:
(Фп, Фп) < 2'4 - 2х1 (?п> Л2?п) = 2ут('Х1 - (Л?П. Л?п))-
Пользуясь (XXIV.18), убеждаемся в справедливости (XXIV.19).
Таким образом, последовательность функций - А2уп стре
мится к нулю в среднем. Благодаря полной непрерывности опера-
тора А2 из последовательности А2срп можно выбрать цодпоследо-
вательиость A2ynk, сходящуюся в среднем к некоторой непре-
рывной функции.
Но
lim^^lim^, (XXIV.20)
где предел справа понимается в среднем. Значит, последователь-
ность <pnfe также имеет своим пределом в среднем некоторую
функцию, которую мы обозначим через <р0. Переходя к пределу
в соотношении (XXIV.20), получим:
VPo — Л2?о==°-
Или, полагая
имеем:
?0 = мч = °-
§ 2] ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СУЩЕСТВОВАНИЯ СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ 369
Следовательно, уравнение (XXIV. 15) имеет собственное зна-
чение что и требовалось доказать.
Сопоставляя теоремы 4, 5 и 6, мы видим, что доказано суще-
ствование по крайней мере одной собственной функции и од-
ного собственного значения для интегральных уравнений с на-
груженными вещественными симметричными ядрами в двух слу-
чаях—для непрерывных ядер и для почти регулярных ядер.
Важно отметить, что собственная функция, существование
которой мы доказали, всегда непрерывна. Это следует из усилен-
ной полной непрерывности оператора А.
24 с. . Соболев
ЛЕКЦИЯ XXV.
БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМУЛА И ТЕОРЕМА
ГИЛЬБЕРТА-ШМИДТА.
§ 1. Билинейная формула.
Рассматривая интегральное уравнение с симметрическим нагру-
женным ядром
?(XXV Л)
мы доказали в предыдущей лекции, что уравнение это всегда име-
ет фундаментальную функцию <р3 и характеристическое число
Умножая эту функцию на постоянную, добьёмся того, чтобы иметь
Q
Введём теперь новый интегральный оператор Bxcp, определя-
емый условиями:
ф(7>0) = 2?1?=1<Р1(Р0) $ ^(P)<?(P)p(P)dP.
У
Очевидно, ядром операции Bt служит
L(P, Ро) = .
Уравнение
<р-ХВ1? (XXV.2)
имеет, очевидно, одно собственное значение \ и одну фундамен-
тальную функцию cpv В самом деле, функция отличается
лишь множителем от функции «р1. Следовательно, при любом к
решением уравнения (XXV.2), с точностью до постоянного мно-
жителя, может служить только функция <pv Подставляя ср = ср3
в (XXV.2), получим:
откуда
§ П
БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМУЛА
371
Лемма. Все фундаментальные функции интегрального
уравнения
(XXV.3)
с ядром
K — L — K(P, Ро) - (XXV.4)
являются фундаментальными функциями уравнения (XXV. 1) при
тех же самых значениях Обратно, все фундаментальные функ-
ции уравнения (XXV.1), ортогональные к срх, служат фундамен-
тальными функциями уравнения (XXV.3) при тех же значениях^.
Доказательство. Пусть (k 1) есть некоторое реше-
ние уравнения (XXV. 1), соответствующее собственному значению Xfr.
Тогда
, = 0
в силу того, что все фундаментальные функции уравнения (XXV. 1)
ортогональны. Значит,
(Л-В1)% = Л<Рй = А%>
т. е.
Далее,
И-4-^)ъ = 0.
Следовательно, все решения уравнения (XXV.1), кроме <рх, удо-
влетворяют уравнению (XXV.3) и притом с теми же собствен-
ными значениями.
Докажем теперь, что всякая собственная функция уравнения
(XXV.3) удовлетворяет уравнению (XXV.1).
Установим прежде всего, что все решения (XXV. 3) при любом X
ортогональны к срх. В самом деле, из (XXV.3) имеем:
(?> ?1) = X [(Л — <р, cpj = X (<J>, (Л — <рх) = 0.
Пусть теперь —какое угодно решение (XXV.3), соответ-
ствующее Х = Х*. В силу того, что ортогонально к <рх, имеем:
зд = о.
Таким образом,
и, следовательно,
ср^ = Х*(Л —-B1)<FI = X*^<Pg,
что и требовалось доказать.
Обозначим для краткости
А-В^А^
24*
372 БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМУЛА И ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА-ШМИДТА [Л. XXV
Оператор Ai есть опять симметрический интегральный оператор.
Могут представиться две возможности: или его ядро — тождествен-
ный нуль, или он имеет ещё по крайней мере одну фундамен-
тальную функцию ср2 (Р), соответствующую собственному значению
Х2(Л2 может иногда быть равным XJ. Но тогда мы сможем соста-
вить операцию В2 с ядром
(Р) ?2(Ро)
Х2
и, повторяя прежние рассуждения, притти к оператору
A2 = At— J?i — В2,
для которого интегральное уравнение
ср = ХЛ2ср
рудет иметь все те же и только те фундаментальные функции,
что и (XXV.1), кроме <рх и ср2.
Будем продолжать этот процесс.
Если ядро оператора А имеет лишь т собственных функций,
то оператор
Ат = А - Вг - В2 - ... - Вт (XXV.5)
окажется не имеющим ни одной фундаментальной функции, т. е.
тождественно равным нулю.
Отсюда мы имеем теорему.
Теорема 1. Симметрическое нагруженное ядро, имеющее
конечное число фундаментальных функций, представляется в виде
т
К (Р, Ро) = У (XXV.6)
А;
1=1
и, следовательно, является вырожденным.
Если ядро К (Р, PG) имеет бесконечное множество собствен-
ных функций, то мы можем, расположив все Хт в порядке воз-
растания абсолютной величины, получить операторы
А^А-В^В,-...-Вт, т= 1,2,3...
все собственные значения которых при достаточно больших т
сколь угодно велики по абсолютной величине, так как на осно-
вании 4-й теоремы Фредгольма последовательность {Х,т}, если она
бесконечна, должна быть неограниченной. Пусть
_X
хт — 7 2 •
Тогда для всех ср, таких, что (ср, ср) = 1,
§ 1]
БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМУЛА
J73
В самом деле, если бы (Л^ср, Лтср) могло принимать значения,
большие, чем хт, уравнение
<?=х4п?
имело бы собственное значение Xw+1, причём
I \n-H I < I |>
что невозможно.
Мы имеем, таким образом,
lim (Лт?, 4^) = О (XXV.7)
тм—>со
и притом равномерно для всех <р, равномерно ограниченных
в среднем.
В известном смысле равенство (XXV.7) говорит о том, что
т
Лп.<р стремится к пулю; следовательно, ядро оператора Л — 2
г=1
стремится к нулю. Поэтому ряд
VI ?г (Р) (Ро)
г=1
в каком-то смысле представляет ядро К(Р, Ро),
Если бы оказалось, что ряд 2 равномерно схо-
оо
дится, то ядро оператора А — 2 В. оказалось бы ядром, пе име-
г=1
ющим собственных значений, т. е. равнялось бы нулю.
Таким образом, нами получена
Теорема 2. (Билинейная формула.) Если ряд
у yijmtw (xxv.8)
г—-1
сходится равномерно по двум переменным, то сумма его равна
ядру К (Р, Ро):
ОО
к (р, р0)=2 ~ (/>\?| ~
i=l
Однако равномерной сходимости ряда (XXV.8) может вообще
и не быть. При этом представляет интерес ещё один вопрос.
Назовём функцию f(PQ), имеющую вид
/ P0)==^K(P,P.)h(P)p(P)dP,
9
374 БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМУЛА И ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА-ШМИДТА [Л. XXV
где функция h интегрируема с квадратом, истокообразно пред-
ставленной через h с помощью ядра К.
Подставив вместо К (Р, PQ) его предполагаемое представление
(XXV.8), мы получили бы для / формулу
оо оо
/ Ро) = 2 Ро) 5 = 2 £ К (Ро), (XXV.'9)
»=1 У »=1
где
^=^P)?i (P)p(P)dP.
Докажем теорему.
Теорема 3. Если /(Ро) — функция, представимая истоко-
образно через h, причём интеграл
/г2 (P)p(P)dP
сходится, то ряд
оо
(XXV.10)
г=1
сходится в среднем и сумма его равна /(Ро), Иными словами,
N
lim U/Po)-2T-<?iPo)]2PPO)^o = O. (XXV.11)
Эта теорема есть очевидное следствие формулы (XXV.7).
В самом деле,
N N
f Ро) - 2 тг Vi Ро) = 5 - 2 вёу Р) р Р)dP=A»h>
i=l 1 й г=1
откуда, применяя формулу (XXV.7), сразу получим нашу теорему.
В свете доказанных теорем нам легко будет в дальнейшем
уяснить смысл рассуждения, с помощью которого мы устанавли-
ваем существование собственных значений. Докажем сначала
лемму.
Лемма 2. (Неравенство Бесселя.) Пусть фх, <р2,...
..., ... —конечная или бесконечная последовательность веще-
ственных, ортогональных и нормированных с весом р функций'.
Up)?;P)Pp)dp=| l.Z!’-
5 * 1 1'
§ И
БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМУЛА
375
и пусть f — некоторая функция с интегрируемым квадратом
Назовём числа
fi=\fwdp
Q
со
коэффициентами Фурье для функции f. Тогда ряд 2 fl сходится
г=1
и сумма его не превосходит А:
со
(XXV. 12)
i—i
Если для некоторой функции неравенство (XXV. 12) превра-
щается в равенство, то говорят, что система функций замкнута
по отношению к /. Система функций, замкнутая по отношению
ко всем функциям с интегрируемым квадратом, называется про-
сто замкнутой.
Неравенство (XXV. 12) носит название неравенства Бесселя.
Для доказательства леммы установим сначала, что
откуда при N —> со сразу получим доказательство нашей леммы.
Имеем:
N
°< 3'?tA)2prf/)==:
Q г=1
N
N
= \fzpdP-2^ifi^f<?ipdP+^1/t^tpdP^
У г=1 2 г=1
Лемма доказана.
Замкнутость системы {cpj по отношению к / имеет следующий
смысл. Если
N
lim 2 fl = Д
N~>oo г=1
ТО
N
lim [Л-2 /?] = 0
N-*co г=1
376 БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМУЛА И ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА-ШМИДТА [Л. XXV
и, значит,
Г N
lim } (/-2 <Pi/i)spdP = O,
7V-*oo 2 г—1
со
т. е. функция f(P) представима рядом 2 Л?г С^)> сходящимся
t=i
в среднем.
Теорема 3 устанавливает, таким образом, замкнутость системы
фундаментальных функций по отношению к любой истокообразно
представленной функции.
Лемма 3. Пусть
иЛрУ ..-,uN(P)
какая-то система ортогональных нормированных функций, а
f(P)— произвольная функция с интегрируемым квадратом. Будем
исследовать минимум интеграла
N
IN=^[f(P)-^aiUi(P)rdP
а г=1
при всевозможных а{.
Этот минимум достигается при ai = fi, где
^f(P)ui(P)dP
s
и равен
N
[[HPWdP-'Zft.
S i=.z=l
В самом деле, пусть
/ (Р)=S /л (Л+(Р)-, (XXV.13)
1=1
умножая обе части (XXVt13) па и.(Р) и интегрируя, получим:
HN(P)ih(P)dP^0 (i=l, 2,
2
При этом
N
a i=1
N
а ' =1
БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМУЛА
377'
Очевидно, что это выражение будет иметь минимум при
Тогда:
ZV N
$ (Р) dP=\[f (Р) - 2 /Л О2 dP = J /2 (Р) dP-^fi,
у a i—l а г=1
что и требовалось доказать.
Сделаем ещё два небольших замечания.
Теорема 4. Для любой функции ф с интегрируемым ква-
дратом справедливо равенство
ф?
г=1
(XXV. 14 >
где ф{ обозначают коэффициенты Фуръе функции ф, т. е.
7П
Заметим, что Лтф — Лф — 2 , следовательно,
г=1
m тп 2
(♦, л»-2(Ф, Л)-2 = .
г=1 г=1
По
1(Ф> 4j)l=^4^pdP|<
У
<1/^ Ф2ГУР ^(ДпФГРС^ ^ф2Р«^1*т •
Так как гт—>0 при т—»со, то и величина (ф, Л^ф) стремится
к нулю.
Мы имеем:
lim
7П—>СО
что и требовалось’^доказать.
Следствие. Если все собственные значения положитель-
ны, то и (ф, Лф)>0 для любых ф. и обратно, если (ф, Лф)
никогда не принимает отрицательных значений, то все \ поло-
жительны.
Ядра, имеющие только положительные собственные значения,,
называются положительно определёнными.
378 БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМУЛА И ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА-ШМИДТА [Л. XXV
Теорема 5. Наименьшее собственное значение положитель-
но определённого ядра определяется равенством
1
. р — sup (ф, Лф). (XXV. 15)
- ло (ф, ф)=1
В самом деле, (ф, Лф) = при ф = <р0 С другой стороны,
где Хо — наименьшее положительное из из так как (ф, ф) = 1,
то в силу (XXV. 12)
i=i
что и требовалось доказать.
Напомним, что именно путём определения верхней грани
выражения (ф, Лф) при условии (ф, ф) = 1 и было установлено
существование собственного значения у ядра К2 оператора Л2.
§ 2. Теорема Гильберта-Шмидта.
Чтобы закончить наше исследование, мы докажем ещё, что
при известных условиях сходимость ряда (XXV.10) будет равно-
мерной.
Теорема 6. (Гильберта-Шмидта.) Если вещественное симме-
тричное ядро К (Ро, Р) интегрируемо с квадратом по каждому
переменному, причём интеграл квадрата равномерно относитель-
но другого переменного ограничен, т. е.
$ |2ГСР0, Р)|2Р(P)dP = А(Ро)<A, (XXV.16)
то ряд (XXV. 10) сходится равномерно к функции f(P0).
В самом деле, в силу неравенства Ьесселя, ряд схо-
i= 1 1
дится, причём имеет место неравенство
(XXV. 17)
i=l г ’
§ 2]
ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА-ШМИДТА
379
Это вытекает из того, что служат коэффициентами Фурье
для функции f~K(PQ, Р):
=^К (Ро, Р) ср. (Р) Р (Р) dP. (XXV.18)
У
Кроме того, сходится и ряд с постоянными членами
S hl (XXV.19)
1=1
опять в силу неравенства Бесселя.
Из сходимости ряда (XXV. 19) следует, что
т + р
2 hl < ет>
г=т
где ет—»0 при т—>оо.
Оценим сумму
7П+Р
2 |/г,'У°' | • (XXV.20)
i=m
Неравенство Буняковского даёт нам
т+р т±р т+р „
i=m i—m i=m
следовательно, сумма (XXV.20) сколь угодно мала вместе с т
и, значит, ряд (XXV. 10) сходится равномерно.
Обозначим
7 (₽.) = Ё 4F’
1=1
Переходя в формуле (XXV. 11) к пределу, получим:
—р2рс?Ро = О.
У
Следовательно,
оо
/ (/’о) = I (Л») = 2 • (XXV.21)
г=1
Теорема Гильберта-Шмидта доказана.
Следствие. (Билинейный ряд для повторного ядра.) Если
ядро К (PQ, Р) удовлетворяет условию теоремы, то для повторного
380 БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМУЛА И ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА-ШМИДТА [Л. ХХ52
ja-7. Действительно,
ядра билинейный ряд сходится и притом равномерно относи-
тельно Р при фиксированном Ро.
Коэффициентами Фурье для повторного ядра будут служить
функции
5 к2(р0,
2
(P)?(P)dP =
= $ к (Ро, Л) [ 5 к (Л, Р) ?i (Р) р (Р) dP ] р (PJ dP. =
а а
= Л'; $ к <р°> р^ Р dP> = И к
2 1
Значит,
Х2(Ро,
(XXV.22)
сходимость имеет место для ядер К.т, где
очевидно, имеет место формула
Тем
этих
кт(р0,
i=l *
Можно показать, хотя мы не будем этого делать, что сходимость
билинейного ряда (XXV.22) равномерна по обеим переменным.
Теорема Гильберта-Шмидта, очевидно, справедлива для непре-
рывных ядер при любом ограниченном измеримом весе. Нетрудна
убедиться в том, что она справедлива и для всех почти регу-
лярных ядер. В самом деле, для таких ядер
5 {К (Ро, Р)Р р (Р) dP< 5 р (Р) dP < м,
2 2 Г
что и требуется в предположениях теоремы Гильберта-Шмидта.
Теорема Гильберта-Шмидта непосредственно распространяется
на все ядра типа функции Грина для двух или трёх независимых
переменных. В самом деле, такие ядра, имеющие особенность
ill
1g у или ~~, очевидно, являются почти регулярными.
Рассмотрим интеграл
У1 (Р) чч (Pi)
Xi
2
р(Пр(Р1)^рйл.
N
Я Я 4=1
3]
ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ
381
Простые преобразования дают
\к (р, Л)Г р (Р) р (Л) dP dP,-
ьг у
2V
-2 2 5 5 К {Р’ Л) — р (р) Р (Р1) dP dP1 +
i=l а а
, С С V Vi (Р) ,jy. ,„wp,p
+ 3 \ Zj-----X?----P(P) P(P1) dP dP1 =
a a 1
N N
Ш <p? (P) cp? (P) -i
k( p, л)г p (pj dA-2 2 -yr-+2 Л?- j p <p) dP=
a a i=i 1 ?~1 г
N
= U/r2(p, p)-2^P-]p(p)<zp.
а г=1 г
00 чЦР)
Очевидно, > 0. По доказанному выше ряд — сходится к
г=1 *
функции К2 (Р, Р).
На основании леммы 7 из лекции VI мы можем утверждать, что неубы-
вающая последовательность функции —, имея ограниченный инте-
грал, стремится почти везде к предельной функции, причём возможен пре-
дельный переход под знаком интеграла. Эта продельная функция не может
быть иной, чем К2 (Р, Р), откуда следует, что limrZjy —0.
Полученный результат даёт важную теорему.
Теорема 7. Билинейный ряд для непрерывного ядра сходится к этому
ядру в среднем по двум переменным.
Существует теорема, принадлежащая Мерсеру, которая гласит:
Билинейный ряд для. любого непрерывного положительно определённого
ядра, т. е. ядра, имеющего лишь положительные собственные значения,
сходится равномерно.
Эту теорему, из которой следует равномерная по обеим переменным
сходимость (XXV.22), мы также не будем доказывать.
§ 3. Обоснование
метода Фурье для решения краевых задач
математической физики.
Теперь мы можем возвратиться к утверждениям, оставленным
нами без доказательства при изложении метода Фурье в лекции
ХХШ. Мы докажем пять основных свойств системы собственных
функций, сформулированных в лекции ХХШ на стр. 340.
Как мы видели, собственные функции краевых задач для
уравнения (ХХШ.7) представляют собой решения интегрального
уравнения (ХХШ.9) с вещественным симметрическим и почти
регулярным ядром.
382 БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМУЛА И ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА-ШМИДТА (Л. XXV
Отсюда следует, что собственные значения X. будут веществен-
ными. Несколько позже мы докажем, что собственных значений
бесконечно много и что среди них нет отрицательных чисел.
Далее, собственные функции, по доказанному выше, можно
считать ортогональными и нормированными, то-есть имеет место
свойство 2.
Некоторые свойства собственных функций нам полезно будет
исследовать порознь для различных краевых задач. Рассмотрим
сначала первую краевую задачу.
Мы показали, что функции Ui — решения уравнения
+ = (XXV.23)
удовлетворяющие условиям
иг |s = О, (XXV.24)
суть решения интегрального уравнения
и,(Р0) = \Д^Си^Р. (XXV.25)
2
Докажем теперь обратное утверждение: всякое решение интег-
рального уравнения (XXV.25) имеет непрерывные производные
до второго порядка включительно внутри области, непрерывно
вплоть до границы, удовлетворяет дифференциальному уравне-
нию (XXV.23) и граничному условию (XXV.24).
Предварительно установим, что Ui имеют непрерывные произ-
водные первого порядка. Ввиду усиленной вполне непрерывно-
сти интегрального оператора с почти регулярным ядром (XXV.25).
функция U. ограничена (она равномерно непрерывна в ограни-
ченной области). Функция Грина G записывается в виде
G(P, Л>) = ^ + ?(Л Ро),
где g —регулярная в области 2 по любому своему аргументу
функция, когда другой аргумент имеет фиксированное значение^
лежащее внутри области 2. Поэтому
и, (Ро) = ^^^Ui(P)dP+^gUi(P)dP.
Q Q
Оба слагаемых в правой части этого равенства имеют непрерыв-
ные производные первого порядка в каждой внутренней точке
PQ из области 2, так как дифференцирование по параметру под
знаком интеграла даёт равномерно сходящиеся в точке Ро интегра-
лы. Непрерывная дифференцируемость U- доказана.
Переходим к доказательству сформулированного выше утверж-
дения.
§ 3) ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ 383
Рассмотрим уравнение Пуассона
= (XXV.26)
где в правой части стоит решение интегрального уравнения
(XXV.25). Будем искать решение этого уравнения, удовлетворя-
ющее условию
и |s = 0. (XXV.27)
Такое решение можно построить в два приёма. Рассмотрим
прежде всего ньютонов потенциал с непрерывно дифференцируе-
KUi
мои плотностью -у-2:
= (XXV.28)
Несущественно изменяя доказательство, приведённое в лекции
XI, можно показать, что потенциал Q ^Ро) есть решение уравне-
ния (XXV.26). Функция и, удовлетворяющая уравнению (XXV.26)
и условию (XXV.27), будет представлять собой сумму
u(P0) = Q(P0) + w(P0),
где w (Ро) — гармоническая в области Q функция, принимающая
значения — Q(S) на границе S. Такая функция существует. По
лемме Ляпунова (см. лекцию XXI, стр. 302) она имеет правильную
нормальную производную.
Следовательно, существует решение и уравнения (XXV.26)
при условии (XXV.27), обладающее правильной нормальной
производной.
Но такое решение, как было доказано в лекции XXI, пред-
ставимо в виде:
u (7>о)=Xi Ш G (Л” Р) Ui (Р) dP- (XXV-29)
Q
В силу уравнения (XXV.25) правая часть последнего равенства
есть Ui (PQ). Значит, функция (Ро) совпадает с функцией и (Ро),
откуда непосредственно следует справедливость доказываемого
утверждения.
Перейдём теперь к исследованию собственных функций второй
краевой задачи. Мы доказали, что всякая функция V., ограни-
ченная, удовлетворяющая уравнению
Д7.+Х.у.=0 (XXV.30)
и граничному условию
Ф|з=°- <XXV-31>
384 БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМУЛА И ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА-ШМИДТА [Л. XXV
причём производная понимается как правильная нормальн ая
шроизводпая, будет решением интегрального уравнения
Vi (/>о) = Xi Ш G* (р°’ р) Vi (Р) dP> (XXV.32)
где 6*(Р0, Р) — обобщённая функция Грина для задачи Неймана.
Докажем обратное утверждение.
Будем искать ’решение уравнения
= (XXV.33)
при условии
-£|s=°- <xxv-34>
Такое решение существует, так как функция Vi ортогональна
к постоянной, то-есть к решению однородной задачи Неймана.
Для того чтобы отыскать* нужное решение, мы составим сначала
ньютонов потенциал
R И $ V"dQ- (XXV.35)
2
Этот потенциал, в силу ограниченности V., будет иметь всюду
непрерывные производные первого порядка, удовлетворяющие
условию теоремы 4 из лекции XV (условию Ляпунова).
Далее, функция v будет представима в виде
?;(Pe) = 7?(/>0) + s(Z>0), (XXV.36)
где s (PJ) — гармоническая функция, удовлетворяющая условию
dvl __ dR I
дп |s дп |s *
it ^1? I л о
Но есть непрерывная функция на поверхности о, удо-
влетворяющая условию Ляпунова. Согласно лекции XVI, § 2 функ-
ция 5 будет представляться в виде потенциала простого слоя, плот-
ность которого, в силу (XVI.4) и теоремы 6 из лекции XV, в свою
очередь будет удовлетворять условию Ляпунова. Как следует из
теоремы 4 лекции XVI, функция 5 обладает правильной нормаль-
ной производной.
В лекции XXI было доказано1), что решение уравнения (XXV.33)
-с условиями (XXV.34) может быть представлено в виде
v И 5G*(Л”Р) Vi (Р) dP- <xxv-37)
2
х) См. теорему 2 из лекции XXI.
ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ
385
§ 3]
Следовательно, функция v (Р^ совпадает с функцией
В силу этого V\ обладает правильной нормальной производной,
обращающейся в нуль на границе, и удовлетворяет уравнению
(XXV.30).
Докажем свойство 1. Нам остаётся показать, что среди
собственных чисел \ ядра, представляющего функцию Грина,
нет отрицательных.
Пользуясь уравнением (XXIII.7), будем иметь:
иi ЫЦ dxdy dz=-\ ut dxdydz= - X.. (XXV.38)
Й 2
С другой стороны, по формуле Грина, пользуясь ограниченно-
стью U- и правильностью нормальных производных, получим:
Ui kUi dx dy dz =
2
+ \\u^ds- (xxv-39)
s
Но если t7»|s = 0 или -^-^ = 0. то последнее слагаемое, содер-
жащее поверхностный интеграл, обращается в нуль, и мы
получим:
2
что и требовалось доказать.
Докажем третье свойство системы собственных функций—-её
полноту. Пусть © — произвольная функция, удовлетворяющая
на границе области условию <р |s = 0 или ~ = 0 и всюду имею-
щая непрерывные производные 2-го порядка. Тогда, если
положить
Дер = 4кф,
то ф — непрерывная функция в замкнутой области Q. По свойству
функции Грина
5 5G(P0’ P)^(P)dP.
2
Таким образом, функция ср истокообразно представлена через ф
с помощью ядра G и, следовательно, разлагается в равномерно
сходящийся ряд по собственным функциям. Таким образом,
система собственных функций является полной по отношению
25 с. Л. Соболев
386 БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМУЛА И ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА-ШМИДТА [Л. XXV
к любой функции ср, дважды непрерывно дифференцируемой
и удовлетворяющей граничным условиям. Но при помощи таких
функций можно, очевидно, представить приближённо в среднем
любую функцию, интегрируемую с квадратом по области.
Как мы доказали выше (см. лемму 3 на стр. 376), наилучшим
приближением в среднем к данной функции служат отрезки ряда
Фурье. Поэтому отрезки ряда Фурье тоже позволяют приблизить
в среднем любую функцию, интегрируемую с квадратом по обла-
сти 2. Значит, каждая функция /, интегрируемая с квадратом
по области 2, разлагается в ряд Фурье по собственным функ-
циям, сходящийся в среднем. Свойство 3 доказано. Отсюда, между
прочим, вытекает, что собственных функций (C7J бесконечно
много, ибо иначе они не могли бы составлять полную систему.
Докажем теперь свойство 4. Пусть Ui9 Uj — две собственные
функции. Интегрируя по частям и пользуясь граничными усло-
виями, имеем:
С С Г С С dUj
= -\ \ U^Ujdxdy dz+ \ \Ui-sd-dS =
J 2 8
= ХЛ uiuidxdydz> (XXV.41)
2
откуда и вытекает доказываемое свойство.
Осталось установить ещё свойство 5. С этой целью рассмотрим
интеграл
+ [ i ]2} dx dv (xxv.42)
А
где yN = 2 а величины ai суть коэффициенты Фурье функ-
г—1
ции ф по системе {СЛ}. Раскрывая скобки и интегрируя, подобно
тому, как мы поступали при выводе неравенства Бесселя, получим,
если воспользоваться ещё свойством 4:
Si
N N
-2 2«. Ш 3м.
i=l 2 1=1
(XXV.43)
§ 3]
ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ
38$
Легко доказать равенство
Г С С fг , ду дие\ л у .
\ \ \ ( ~} dxdydz==K.a.
j j j \ dx dx ' dy dy dz dz у 'J ' г
й
В самом деле, интегрируя по частям, получим:
j ' J \ dx dx ' dy dy dz dz J d
2
= — <p &U• dx dy dz = X£ yU\ dx dy dz = \ai9
2 2
Таким образом, из (XXV.43) имеем:
+ dXd,jdz=\ \ [(-2-)!+(4f)'+
2 i
TV
+ dydz — 2
i=l
Левая часть последнего равенства неотрицательна, и мы получаем
неравенство, аналогичное неравенству Бесселя:
Это неравенство показывает, что ряд
сходится. Ио отсюда следует сходимость в среднем рядов
ОО ОО оо
2а^> 2^^-
ZJ 1 dx d-d г dy ddd г Qz
i=l ' г=1 i±=l i
Действительно, рассмотрим интеграл
П+Р п+р п+р
\ 5 [C2^y+(S “*»s+(3 d^y^dyd,.
2 iz=zn г~п i=n
Если мы установим, что этот интеграл будет сйоль угодно май’
при достаточно большом п и любом р, то отсюда и будёт сле-
довать интересующая, нас сходимость. Мы можем вычислить атот
25*
388 БИЛИНЕЙНАЯ ФОРМУЛА И ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА-ШМИДТА [Л. XXV
интеграл непосредственно, пользуясь свойством 4. Это вычисле-
ние даёт:
п+р п+р п-\-р
2 i=_n 1=тП £=п
п+р
Й г=п
‘ rrr/^i^j dUtdUj dUidUj\ п+р
+ - 2 aia> J J J ~dz~dz\)dxdydz== 2 M*-
г, jz=.n 2 i—n
3
co
Из сходимости ряда 2 по признаку Коши, вытекает
i=i
произвольная малость последней суммы при достаточно большом п.
Мы доказали, что ряды, получаемые почленным дифференциро-
ванием по х, у и z ряда
со
S aiUi (?, У, Z),
г—1
сходятся в среднем.
Для того чтобы закончить доказательство свойства 5, нам
остаётся установить ещё одну теорему.
со
Теорема 8. Если ряд ^=2^1 с непрерывно дифференци-
i=l
руемыми в области 2 членами сходится равномерно, сумма ряда
имеет непрерывную частную производную по х, а ряд, получен-
ный почленным дифференцированием,
со
SdVj
дх *
i=l
оо
сходится в среднем, то ряд 2 vi можно почленно дифференци-
ровать, т. е.
-1-^- (XXV.44)
г=1
где сходимость, очевидно, понимается как сходимость в среднем.
Доказательство. Пусть ф — произвольная непрерывно
дифференцируемая функция переменных х, у, z, отличная от нуля
ОБОСНОВАНИЕ МЕТОДА ФУРЬЕ
389>
§ 3]
только в некоторой области лежащей целиком внутри обла-
сти Q. Тогда справедлива формула интегрирования по частям:
5 5 $ 0^T^dxdydz^. (XXV .45)
где / — произвольная функция, обладающая непрерывной про-
... ду
взводной . (
В частности,
$ \\^^^^)dxdydz=^ <xxv-46>
2
Подставим теперь в формулу (XXV.45) вместо функции / функ-
2V
цию yN = 2 vi- Мы будем иметь:
г=1
2
В этой формуле возможен переход к пределу при N —> оо. Обозна-
чим через ср' сумму ряда
со
2 0Vj \
дх ‘
г=1
По предположению теоремы, эта сумма существует. Мы получим:
5 5 S ('5хР'+'Р ^)dxdydz = Q.
2
Вычитая это равенство из (XXV.46), будем иметь:
Последнее равенство должно иметь место при любой функции^
подчинённой только указанным выше требованиям. Отсюда
д? _ Z _ у dVj
дх * дх 9
i—1
что и требовалось доказать.
^90 билинейная ФОРМУЛА И ТЕОРЕМА ГИЛЬБЕРТА-ШМИДТА [Л. XXV
§ 4. Применение теории интегральных уравнений
• с симметрическим ядром.
Одним из важнейших применений теории интегральных урав-
нений с симметрическим ядром служит теория так называемых
уравнений Штурма-Лиувилля, т. е. обыкновенных дифференци-
альных уравнений:
{py’Y + ry+\^x)y = Q, (XXV.47)
зависящих от параметра X с некоторыми граничными условиями.
Будем искать решение такого уравнения, удовлетворяющее
однородным условиям:
' [^'+аг/]х=о = О)
1РУ' + №=1 = 0.
(XXV.48)
Предположив, что при X = 0 однородная задача имеет лишь тривиаль-
ные решения, и применяя формулу Грина, будем иметь:
1
У (хо) = — (х> хо) У (х) Р (х) ^х-
о
(XXV.49)
Ядро G (х, х0) будет симметрическим в силу того, что оператор
Ly и граничные условия самосопряжённые.
Следовательно, собственные функции задачи Штурма-Лиувил-
ля, т. е. функции, удовлетворяющие (XXV.47) и (XXV.48), бу-
дут служить собственными функциями интегрального уравнения
(XXV.49) с нагруженным симметрическим ядром и будут обладать
всеми свойствами собственных функций таких уравнений. Легко
установить и обратное: всякое решение уравнения (XXV.49) будет
удовлетворять дифференциальному уравнению (XXV.47) и гранич-
ным условиям (XXV.48). Проверить это мы предоставим читателям.
В качестве примера более общего уравнения с особенностью
рассмотрим уравнение вида
{хуУ у Л ^у = о,
или
хУ" + у' + х(^-^>)У = ^-
Функция Грина для этого уравнения была построена выше
[см. (XX.52)]. По отношению к этому уравнению, называемому
уравнением Бесселя, справедлива вся изложенная теория.
ЛЕКЦИЯ XXVI.
НЕОДНОРОДНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
С СИММЕТРИЧЕСКИМ ЯДРОМ.
§ 1. Разложение резольвенты.
В предыдущих лекциях нами было подробно изучено одно-
родное интегральное уравнение типа Фредгольма с симметриче-
ским ядром. В настоящей лекции мы изучим неоднородное урав-
нение с точки зрения развитой выше теории.
Мы выяснили выше, каким образом можно выразить ядро
симметрического интегрального уравнения, зная его собственные
значения и собственные функции. Аналогичным образом можно
дать представление решения неоднородного уравнения через те
же собственные значения и функции.
В самом деле, применим к неоднородному интегральному
уравнению с симметрическим ядром теорему Гильберта-Шмидта.
Мы имеем:
и (Р) = / (Р)+X к (Р, Л) fx (Pj dP.
2
(для простоты считаем р = 1).
Пусть X не есть собственное значение. Тогда решение уравне-
ния существует. Найдём выражение этого решения через собствен-
ные функции.
Очевидно, что функция р (Р) — / (Р) представима истокообраз-
но через ядро. Следовательно,
(л(Р)-/(Р) = х2
г=1
(XXVI.l)
где
J Iх 'Pi
2
392
НЕОДНОРОДНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
(Л. XXV
С другой стороны, умножая обе части (XXVI.1) на (Р)
и интегрируя, получим:
откуда
A „
Следовательно, функция если она существует, представ-
ляется в виде
оо
КА = / (Р) +х 2 Х~Д (р)- (XXVI.2)
г=1
Если теперь ввести выражение для /. через фундаментальные
функции и заменить ряд пределом его частичной суммы, то по-
лучим:
N
?(P) = f (Р) + X lim ( / (А) 2 dP,.
N~>co J t лг л
2 г=1
Покажем, что полученная формула действительно даёт решение
задачи. Для этого удобно ввести новую функцию
Г (А р1г X),
называемую резольвентой рассматриваемого интегрального урав-
ения по формуле
Г (А А, X) = 2 - (XXVI.3)
г=1
Легко доказать сходимость в среднем написанного ряда для
всевозможных Л, не совпадающих ни с одним из Для этого
заметим, что написанный выше ряд для резольвенты можно
представить ещё в иной форме. Имеем:
со
!</>, л, ч-2 [Д (ДД)] -
г=1
<?i (Р) (А)
х»
V Vj (A Vi (А)
(Х;-Х) ’
i=l
§ 2] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ АНАЛИТ. ФУНКЦИЙ 393
ИЛИ
со
г р', к)=к (р, р’)+к 2
г=1 1 1
?г(Р) <Рг (Pf)
V (р)
Zj м^—х)
i=l
(XXVI.4)
где ряд во втором слагаемом сходится равномерно.
Необходимым и достаточным условием равномерной сходимости
ряда (XXVI.3) является, очевидно, равномерная сходимость би-
линейного ряда для ядра.
Примечание. Как мы видим, резольвента интегрального
уравнения с симметрическим ядром является мероморфиой функ-
цией во всей комплексной плоскости параметра X. Все полю-
сы этой функции — простые и являются собственными значе-
ниями ядра.
Пользуясь доказанной сходимостью ряда для Г (Р, Р19 X), мож-
но переменить порядок суммирования и интегрирования в фор-
муле
(л (Р)=/ (Р)+к 5 г (А ч / (Л) dpx,
ы
имеющей, по доказанному, смысл. Применяя к обеим частям ин-
тегральную операцию с ядром К(Р^ Р), можно убедиться в том,
что р-(Р) действительно удовлетворяет интегральному уравнению
fx (Р) = / (Р)+Ц к ( р, Л) (PJ dPt.
2
§ 2. Представление решения при помощи аналитических
функций.
Разложение в ряд Фурье, которое мы рассматривали в предыдущих
лекциях (лекция XXIII, § 2), было у нас интерпретировано чисто геометри-
ческим образом, как представление некоторой функции, рассматриваемой
в функциональном пространстве, в котором за оси координат приняты соб-
ственные направления линейного оператора.
Пользуясь резольвентой, мы можем подойти к этому вопросу ещё
с другой стороны.
Рассмотрим интеграл
оо
Х(М)=Д Г (Р, Р1( к) / (PJ dP1 = _ 2 (Р •
* J *»»»•" Л £ —— д
2 г=1
Этот интеграл представляет собой мероморфную функцию параметра X
с простыми полюсами в точках X;. Вычеты в этих полюсах равны (Р)
:394
НЕОДНОРОДНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
[Л. XXVI
и представляют собой последовательные члены ряда Фурье. Ряд Фурье функ-
ции / представляет собой сумму вычетов, а отрезок этого ряда — сумму вы-
четов, относящихся к некоторой части полюсов.
Поэтому можно представить такой отрезок в виде
Av(o=2^
см
где См—контур в плоскости комплексного переменного X, захватывающий
7V первых особых точек резольвенты.
Удобно опять перейти к символической записи.
Из формулы (XXVI.2) функцию х (Р, X) можно выразить в виде
Х(Р, =
А
где р (Р) — решение уравнения
PJ^PJdP^ffP),
т. е. уравнения
(E—\A)p = f.
Как мы уже видели ранее, это решение для малых значений X можно вы-
писать в виде ряда
р = (ЕЧ-ХЛ + ХМ2+...+Х^Лш+ ...) /;
•с. другой стороны,
(х = (£-М)~7,
откуда, пользуясь той же символической записью,
Х=_^ = _(£_ХЛ)-1Л/.
При этом
<XXVL5>
Cjy
Мы видели выше аналогию между некоторыми символическими форму-
лами, содержащими многочлены или степенные ряды от оператора А, и со-
ответствующими формулами обычной алгебры и анализа.
Полученная нами интегральная формула (XX VI. 5) также является ана-
логом соответствующей формулы из теории функций. В самом деле, пусть
а и /—какие-нибудь числа. Рассмотрим интеграл
^,= ‘ f ® /д=_ ‘ С (XXVI.6)
т 2ni J 1—-Ха 7 2т J 1 . 4 '
с С
1
Очевидно, ф = /, если контур С содержит внутри себя точку Хо = — ,
и ф —О, если это не так.
Формула (XXVI.5) обобщает формулу (XXVI.6).
§ 2] ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЯ ПРИ ПОМОЩИ АНАЛИТ. ФУНКЦИИ 395
Число Хо удовлетворяет соотношению
(XX VI.7)
где уь—какое-нибудь число, не равное нулю.
Уравнение (XXVI.7) переходит в уравнение (XXV. 1) для определения
если заменить в нём число а оператором А.
Используем формулу (XXVI.5) для того, чтобы получить решения за-
дач математической физики, выраженные в виде определённых интегралов.
Не вдаваясь подробно в теорию этого вопроса, мы разберём пример за-
дачи о распределении тепла, т. е. задачи об интегрировании уравнения
^. = 0 (XXVI.8)
при условии
u |g — О,
“lf=0 = Mo(p)-
Повторим вкратце рассуждения, обычные в методе Фурье.
Применяя к уравнению формулу Грина, будем иметь:
u=-^G(P,
2
или символически
, л ди ~
и -Г А — 0.
Частные решения этого уравнения будут:
u~e~~*btUi (Р),
где
ui — )<iAui = 0.
Сумма частных решений, соответствующих различным собственным зна-
чениям Х|, т. е. решение в форме ряда Фурье, будет иметь вид:
и = 2 (XXVI.9)
г=1
Из условия
и L=0“wo
следует, что и-\, (Р) суть члены ряда Фурье функции и0, а это значит, что
функции ui являются вычетами в полюсах резольвенты от функции:
- 5 5 5 г (р’Р1’Х) “°(Р1) dI>1'
Q
При этом е~л^и1 (Р) суть вычеты в тех же полюсах функции
-е"л/ 5 5 5 Г (Л Р1’ Х) “° (Р1) dP1’
Li
395
НЕОДНОРОДНОЕ ИНТЕГРАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ
[Л. XXVI
и отрезок ряда (XXV 1.9) представляется в виде интеграла
М"=~2^ 5 e~U (55 $ Г(Л Р1’ (XXVI.10)
Сдг Q
дающего, таким образом, полное решение задачи.
Символически можно записать решение нашей задачи в виде
м = _ А { в-« л и d\. (xxvi.ну
2т J E—кА
CN
Сравним полученное нами решение с решением обыкновенного уравне-
ния я —+ и~0, где а — постоянное число.
Очевидно,
и = е аи0. (XXVI.12)
На основании теоремы о вычетах
2г./ ) 1 — ка
с
вычету в точке Хо = — , если Хо лежит внутри Ст
контура.
Этот интеграл равен своему
и нулю, если Хо—вне этого
На этом основании удобно обозначить символически
с
t
через е Af0.
Решение уравнения (XXVI.8) записывается при этом в виде
и = е Аи0. (XXVI.13}
Общая теория функций от операторов, развивать которую мы здесь He-
имеем возможности, позволяет вывести ряд обобщений этой формулы на
значительно более широкий класс задач математической физики. Развитие
этой теории даёт возможность применять аналогичные методы решения
задач математической физики в ряде случаев, когда особенности резольвенты
не являются изолированными точками в плоскости переменного X.
Эти идеи, в частности, позволяют изучать решение задач математиче-
ской физики в неограниченных областях или такие задачи, где рассматри-
ваемые уравнения имеют особенности в изучаемой области. Часто появле-
ние таких особенностей связано с изменением аналитического характера
резольвенты, приводя в свою очередь к особенностям резольвенты, не яв-
ляющимся просто полюсами.
В следующих главах мы не будем углублять этот вопрос, а займёмся
конкретным применением метода Фурье в частных задачах математической
физики. Примеры, которые мы будем рассматривать, весьма поучительны,
так как именно с них начиналось развитие вопроса.
ЛЕКЦИЯ XXVII.
КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА.
В качестве примера применения метода Фурье рассмотрим
прежде всего колебания прямоугольного параллелепипеда.
Поставим эту задачу следующим образом.
Будем искать решение уравнения
Ди_^ = 0 (XXVII. 1)
dt2 4 '
в области
0
при граничных условиях
|х=0 “ |х=а ~ 11/=0 “ = w [г=0 = u |z=c = О (XXVII.2)
и начальных условиях
w I <=о = (х, у, z), |<=о = (ж, у, z). (XXVII.3)
По общей теории [см. § 1 лекции ХХШ] решение будет
иметь вид:
и = 2 U. (х, у, z) (a, cos V+ b. sin X/), (XXVII.4)
где Ui — решения уравнения
^ + ^=0, (XXVIL5)
удовлетворяющие условиям (XXVII.2). В данном случае эти ре-
шения можно выразить в конечном виде через элементарные
функции, если воснользоваться приёмом, который называется
полным разделением переменных. С этой целью решения урав-
нения (XXVII.5) мы будем искать в виде
СЛ (ж, у, z) = Xi(x)Vi(y, z),
где Х£ зависит только от х, а Г. от х не зависит. Для определе-
ния функций Xi и мы получим:
ЦХ', + Xi ( = о,
г 1 г ду2 OZ2 / 1 г г
398
КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА [Л. XXVII
ИЛИ
d2Vj d2Vj
Xi . ду2 dz2 . .2
x? + + M
Очевидно, что
d27i d2Vj
dy2 dz2
Vi =
где хг и ^ — постоянные, связанные соотношением
Уравнение
Х" + ^Х, = 0 (XXVII.6>
имеет при условиях (XXVIL2) собственными значениями числа
X. = —
г а
где ki — целые числа.
Функция
. kiitx
sin
а
удовлетворяет уравнению (XXVIL6), граничным условиям при
.г —0 и при х — а. Система решений {XJ является ортогональ-
ной нормированной системой функций.
Рассматривая уравнение
&Vi , d2Vj 2
ду? dz? 1 ~ °’
опять ищем его решение в виде
где У; зависит только от у, a Z- — только от z. Мы будем иметь:
у" 7"
п+1г + ^ = 0,
откуда следует, что
К _ _ 2 Zi _ 2
l’ Zi ~
где а. и (1.—постоянные, удовлетворяющие соотношению
Ci+Pi=T?.
Уравнение
У<- + а?П = 0
Л. XXVII] КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА
39&
имеет собственные значения
где —целые числа, и собственные функции
а уравнение
= о
имеет собственные значения
где mt—целые числа, и собственные функции
1У 2 • ^ПЦ
zi= У -sin-^z.
Окончательно получим множество собственных функций колеба-
ния параллелепипеда вида
6i= 7бсй1П^81П^Г51П“^- (XXVII.7)
Эти собственные функции отвечают следующим собственным зна-
чениям уравнения (XXVII.5) при граничных условиях (XXVII.2):
/,2 72 2\
X! = , (XXVII.8)
где кг, 1-, mi пробегают ^всевозможные тройки целых чисел.
Заметим, что числа X. могут повторяться, т. е. может оказатьсяг
что
\ — М+1 “ ... — М+&*
Число равных между собой собственных чисел \ равно чис-
лу решений в целых числах уравнения (XXVII.8) относитель-
но к., 1-, т-.
Можно доказать, что других собственных значений или соб-
ственных функций уравнение (XXVI 1.5) при условиях (XXVII.2)
не имеет.
Для этого установим следующую лемму.
Лемма 1. Всякая функция ср (ж, у, z), удовлетворяющая ус-
ловиям (XXVII.2) и имеющая непрерывные вторые производные1),
г) Вторые производные мы здесь требуем лишь потому, что ссылаемся1
на теорему, о разложении по собственным функциям.
400
КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА [Л. XXVII
представима сходягцимся рядом',
<Р (ж, у, Z) =
__ СО ОО ОО
= /iS •»"? 2 Л-™”)] (XXVII.9)
k=l 1=1 m=i
причём ряды
оо
l(Z) = /| <Pfc, I, т Sin — ,
771=1
СО
<М?А z) = V ?ft>i(z)sin
1=1
оо
? (х, у, Z) = 2 <?к (У, z)sin“
т=1
сходятся равномерно по аргументам, стоящим под знаком синуса.
Здесь
<fht 1,т~
= |р^|-5 S^nS^ns^n (XXVII. 10)
boo
Будем сначала рассматривать (х, у, z) как функцию перемен-
ного х с параметрами у и z. В силу того что для уравне-
ния (XXVI 1.6) и данных краевых условий построена функция
Грина (см. § 3 лекции XX), пользуясь теоремой Гильберта-Шмидта,
можно функцию ср (х, у, z) представить в виде равномерно сходя-
щегося ряда относительно х по собственным функциям уравне-
ния (XXVII.6), т. е.
._ОО
<р(^ У, z) = j/4s
k=l
где
<?ь(У> z) = ]/~ ?(Ж1; г/, z)sin^p-^v (XXVII.il)
о
Из формулы (XXVIL11) видно, что <pft (у, z) есть непрерывная
дважды дифференцируемая функция у, z, удовлетворяющая по
этим переменным условиям (XXVII.2). Следовательно, срй(^, z)
Л. XXVII] КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА 401
представима равномерно сходящимся рядом относительно у:
______________________________оо
<?к (У, 2) = У у 2 ‘ (Z) Sin ? ’
где
ъ
п, I (z) = ]/ 4 5 (У1’ z) sin JT d&i-
о
Наконец, i (z) может быть разложена в равномерно сходя-
щийся ряд по переменному z:
__ оо
Tfe. i(z)=y 4 з '•т sin >
тн=1
где
с
“в / 2 С / х • iunzA у
4h,i,™ = |/ V J
о
Сопоставляя формулы ДЛЯ % (у, z), <р&, i(z), ряды для
ср (х, у, z), cpft (у, z) и <р/г> ц т, сразу получим утверждения леммы.
Пусть теперь UG—какая-нибудь собственная функция уравне-
ния (XXVII.5) при условиях (XXVII.2), отличающаяся от всех
функций (XXVII.7). По доказанному в лекции XXIV, её можно
считать ортогональной ко всем функциям (XXVI 1.7). Согласно
лемме её можно разложить в ряд (XXVI 1.9). Из формулы
(XXVII. 10) следует, что все коэффициенты такого разложения
будут равны нулю. Формула (XXVII.9) даёт при этом
и0=о.
Следовательно, никаких собственных функций, отличных от
(XXVII.7), наша задача иметь не может.
Точно так же, как мы рассмотрели условие (XXVII.2), мы
могли бы рассмотреть условия другого типа, например,
С’Й+Р“)|8 = 0' (XXVII.12)
где а и р принимают постоянные значения на каждой из граней.
На основании общей теории, изложенной выше, мы заклю-
чаем, что поставленная задача полностью решается методом Фурье,
так что мы можем удовлетворить всем начальным и граничным
условиям, подбирая соответственно коэффициенты разложения
решения в ряд по собственным функциям (XXVII.7).
Колебания прямоугольной мембраны изучаются тем же спосо-
бом, как и колебания параллелепипеда.
26 С. Л. Соболев
402 КОЛЕБАНИЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО ПАРАЛЛЕЛЕПИПЕДА [Л. XXVII
Полезно обратить внимание на следующее обстоятельство.
Пусть в формуле (XXVII. 12) коэффициенты а и [3 непостоянные.
Тогда разложение собственных функций U- в произведение XiYiZi,
вообще говоря, может и не иметь места. Возникает вопрос: мо-
жет быть возможно сделать какую-либо замену независимых
переменных, введя вместо у, z новые координаты t2, ts так,
чтобы подобное представление оказалось возможным? Коорди-
наты, в которых для данной задачи математической физики воз-
можно провести разделение переменных, называются иногда нор-
мальными координатами. Мы можем поставить вопрос: существуют
ли нормальные координаты для данной задачи и если существуют,
то как их найти?
Для некоторых специальных задач математической физики мы
укажем в следующей лекции такие нормальные координаты. Как
доказал В. В. Степанов, нормальные координаты существуют
в очень ограниченном классе задач.
ЛЕКЦИЯ XXVIII.
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА В КРИВОЛИНЕЙНЫХ
КООРДИНАТАХ.
ПРИМЕРЫ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ФУРЬЕ.
§ 1. Уравнение Лапласа в криволинейных координатах.
В математической физике часто рассматриваются различные
криволинейные координаты: полярные, цилиндрические и т. в.
Рассмотрим, как будет выглядеть в таких переменных уравнение
Лапласа.
Пусть t3 будут эти криволинейные координаты, связан-
ные с х, у, z формулами:
«, = (ж, г/, z), t2 = Z2(х, у, z), t3 = t3(x, у, z),
x = x(t^, t2, Zg), ^2> ^з)> z — z(t^, t3, tg)-
Рассмотрим две какие-либо кривые
ydsi), zi(5i);
Ж2 (5г)> У2 (5г)> Z2 (ft)>
проходящие через одну и ту же точку; 5—длина дуги. Косинус
угла между этими кривыми, как известно из дифференциальной
геометрии, определяется по формуле
dx, dx« , dy, dy« , dz, dz3
COS<f —-—-7^+ + .
* uSj ds2 dsr ds2 ds± ds2
В новых координатах эта формула примет вид
cos?=2 =
т ZJ ZJ \ dttdtj dtLdtj otidtjj ds^ ds2
i=l j=l
Jj zLl и ds± ds2 ’
i=l j—!
2Cf*
404 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ [Л. XXVIII
ИЛИ
3 3
cos <р ds± ds2 = 2 2 «о (XXVIII. 1)
г=1 j=l
где dti^ и dt^—дифференциалы, взятые соответственно вдоль
каждой из рассматриваемых линий.
Заметим, что
____________________________дх дх ду ду . dz dz
aij aji $t. г •
Если обе линии совпадают, то формула (XXVIII. 1) примет вид
з з
ds2 = dt.dt^ (XXVII 1.2)
г=1 /=1
Для вывода уравнения Лапласа, как и во многих других
вопросах, связанных с криволинейными координатами, удобно
представить все формулы через коэффициенты а.у.
Если система координат Z2, tz ортогональная, т. е. если
координатные линии образуют между собой прямые углы, то все
а.у==0 при i^]\ В самом деле, фиксируем произвольно выбран-
ные значения i = z0 и / = /0, i0 /0. На одной координатной линии
лишь d^ ¥=О, на другой—лишь d^ 0. Для этих координат-
ных линий левая часть формулы (XXVIII. 1) обратится в нуль,
так как угол <р==~, а правая часть будет равна
откуда ctio;o = O. Ограничиваясь случаем ортогональности, поло-
жим:
(hl, i = ],
а.. = <
г) 10, i #= f.
При этом
ds2 = hl dtl + hl dt2. + h23 dt23.
Примеры.
1. Для полярных координат в пространстве
х = г cos 0 cos <р, ?/ = г sin ft sin ср, z = г cos ft,
откуда
ds2 — dx? + dy2 + dz2 = dr2 + r2rfft2 + r2 sin2 ft dy2.
2. Для цилиндрических координат получим:
x = r*cosy, у = г -sin ср, z—zt
ds2 = dx2 + dy2 + dz2 — dr2 4- r2dy2 + dz2.
§ 1] УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ . 405
Полезно вычислить определитель преобразования у ’ f? -К через
А? г2> *з/
те же величины h2 и Л3. Для этого мы введём ещё одну про-
межуточную прямоугольную систему координат xlf у±, zly которая
отличается только направлением осей от х, у, z, Направления ж1У
у19 z± мы выберем таким образом, чтобы в данной точке х, у, z
они совпадали соответственно с направлениями tv t2J ta. При этом
в рассматриваемой точке имеем:
д (х, у, z) д (х, у, z) д (xlf ylf zj
t2, t3) dfx^y^Zi) d (tlr t2> t3)
ибо в этой точке -x-f — :
d(^i, У1> z±)
в зависимости от ориентации
Отсюда
3 («а, У1, 21)
& («1, «2> tS) ’
= ± 1, причём знак определяется
системы координат (х19 yv z^).
д(х, у, z)
5 (^1> ^2> ^з)
дхх дх1 дхт
dt± dt2 dl3
дУ1 дУ1 дУ1
dt± dt2 dt3
dzx dzL dzx
dt± dt2 dt3
±
Но в определителе ;/ а у
О' (ч , *2»
стоят на главной диагонали, равны нулю и, значит,
д (a?i, у1У zx) __________________дхА дул dzx
д (^1, ^2> ^з) Ot2 dt3
Далее, на оси хг и на всякой кривой, касательной к хг в нашей
точке, имеем:
все члены, кроме тех, которые
dx^ — ds2 — h\ dtl
на оси ух и на кривой, касательной к ней, аналогично:
^У1 = ds? = ^2 ^2>
и, наконец, на оси zr и на кривых, касательных к оси
dz\ = ds2 = h2a dt2
X о о*
откуда
дх± — ’ ^ = о, дх-^ ^3 л. дх! '
?1=0> 9У1 ^2 _ , 1 ^2 ’ ^3 л. U’ (XXVIIJ.3)'
^1 = 0, J-2 =0, dz^ . 1 ha
406 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ [Л. XXVIII
дхг dtr — дх2 <9/2 = o, dx3 dts = 0;
dtt = 0, ду2 i h2, дУз = 0;
dzt = 0, dz2 dt2 = o, dz3 <^3 — ± h3;
~Ь ^i^2^3’
окончательно получим:
Уи *1)
(^1, ^з)
причём знак определяется ориентацией систем координат (ж1? уг, z2)
й (^1> ^2> ^з)*
Мы видели выше, что если операторы L и М взаимно сопря-
жены, то справедливо интегральное соотношение
(uLv — vMu) с?2 = [иР (г) — vQ (w)j dS,
й J s
где 2—некоторый объём, ограниченный гладкой поверхностью S,
a P(v), Q(u)—линейные комбинации производных от функций г,
и с коэффициентами, не зависящими от v и и.
Если одна из функций, например v, обращается в нуль вне
некоторой области 2V, целиком вместе со своей границей, лежа-
щей внутри области 2, то в этом тождестве поверхностный инте-
грал исчезнет и мы получим:
, 5 ~~ у Ми) dQ = 0.
Й
Это последнее соотношение можно принять за определение
оператора Ми, если потребовать, чтобы оно выполнялось при
произвольной функции и и любой функции V, отличной от нуля
лишь в некоторой внутренней области 2^,.
Прежде чем вычислить выражение для оператора Лапласа
в криволинейных координатах, докажем лемму.
Лемма 1. Если некоторый оператор 2-го порядка является
самосопряжённым, то он обязательно представляется в виде
Л“=2 2^(Л‘А)+“’ (XXVIII.4)
i=2j=l
причём А^ = А?Ч.
Заметим, что оператор вида (XXVIII.4) является самосопря-
жённым. Это сразу следует из определения самосопряжённости
оператора (см. § 2 лекции V).
§ 1] УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ 407
Докажем теперь обратное утверждение, выраженное в лемме.
Убедимся сначала, что сопряжённый оператор к данному
может быть лишь один. В самом деле, пусть Мг и М2—два опе-
ратора, сопряжённых оператору L, и пусть v—функция, везде
равная нулю, кроме области внутренней по отношению к 2;
тогда
(uLv — vM^u) dQ = 0
2
и
(uLv — vM2u) dQ = 0
для любой функции и. Вычитая, мы получим:
v(M1-M2)udQ = G.
2
Но функция v — произвольная в области 2V. Поэтому (7И1—ТИ2) zz=O,
и, следовательно, операторы М± и М2 тождественны.
Если L имеет вид
то сопряжённый с ним будет оператор вида
п п п
г=1
и они могут быть равны только, если Bi = 0 и AiJ- = Aji. Лемма
доказана.
В переменных tlf t2, оператор Лапласа А не будет само-
сопряжённым. Однако его легко выразить через такой оператор.
В самом деле, для любой пары функций и и v, выбранных так
же, как при доказательстве леммы, имеем:
(ц Дг? — v Дгг) dx dydz = 0,
2
или, переходя к новым переменным:
(aAv — v ^и) hji^d^d^dt^ — 0,
2
д (х. у. z)
так как, по доказанному выше, якобиан лишь знаком
о VI, ?2, h)
может отличаться от величины
408 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА в КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ [Л.ХХУШ
Значит, оператор
Lu = h]h2h2 &и
будет уже самосопряжённым.
Если
з з
1=1 /=1
(очевидно, что слагаемое с и не может войти ни в Д ни в £), то
з з
Л“ =h^hs S dii С S •
i=l j=l
(XXVIII.5)
Коэффициенты при вторых производных в выражении
.5) будут, как легко видеть, равны .
С другой стороны, можно определить непосредственно.
Заменим сначала переменные на при этом вид опера-
тора Дп не изменится, так как оператор Лапласа инвариантен
относительно линейного ортогонального преобразования перемен-
ных1). Теперь, пользуясь формулами (XXVIII.3), получим:
Во
dti dtj . dti dtj dti dtj
dx1dx1'dy1dyi dz±dz]
i = j,
i ¥= /•
Отсюда имеем:
h\h2h3 .__ .
hl ’ l-]'
<o, i =r= /,
т. е.
Ди
1
^1^2^3
d / h2h3 du\ . Z hxh3 du\ d / hxh2 du\ 1
hi dtx)^~ ^2 h3 dis) J
(XXVIII.6)
В полярных координатах, где hx = 1, h2 = r, h3 — r sin ft,
получим:
л I Г d Z 2 . Q. du> . d f . JhiX . d f 1 du \ 1
Ди = . o - if ( r sm В — ) 4- -d- ( sin Я --(r ) 4- — ( -7—;7 — ) =
r2 sin v L &r к dr J dB- \ дЪ J ' dy\ sin 0 dy J J
\ d ( <> du"\ . 1 d ( . ~du"\ . 1 d^u 7TTT
— r2 dr\J“d^ У r2 sinOcX) V r2 sin2 0 d^- ' (XXVIII.7)
г) Это можно проверить непосредственно.
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
409‘
§ 2]
В цилиндрических координатах будем иметь:
hx = 1, h2 = r, h3 = 1;
* 1 Г d Z du\ . д f 1 du\ d ( ди\ "|
Дк “ У dz V У 9J~
= -yCrv') + ^T^ + ?r • (XXVIII.8)-
r dr \ dr J 1 r“ dy? d& ' '
§ 2. Функции Бесселя.
Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение
У"+^У'+(1 - S) У = °- (XXVIII.9)
Это уравнение носит название уравнения Бесселя. В курсах ана-
литической теории дифференциальных уравнений и в курсах теории
специальных функций устанавливается ряд важных свойств реше-
ний этого уравнения, которые мы дадим без доказательства.
Желающие могут познакомиться с доказательством этих свойств
хотя бы по книге В. И. Смирнова «Курс высшей математики»,
т. III, ч. 2 или Р. О. Кузьмина «Бесселевы функции». Подроб-
ное изложение теории бесселевых функций см. в книге Ватсона
«Теория бесселевых функций».
Мы рассмотрим уравнение (XXVIII.9) отдельно для целых
и нецелых значений v.
Справедливы следующие утверждения:
1. Для нецелых значений v уравнение (XXVIII.9) имеет два
линейно независимых интеграла:
Jу, (х) и .7^ (я),
разложимых в равномерно сходящиеся на всей плоскости ком-
плексного переменного х ряды:
z х \ v+2s
°°
(ж) = 2 г (s- +1) Г (v + s+ 1) ’
s=0
Z х \ —v+2s
(ж) = 2 r(s + l)r(—v + s + 1) •
s=0
Иными словами, x~(x) и xvJ~N (x) суть целые функции от х.
Функции Jv (х) и J_v (х) называются соответственно бесселевыми
функциями порядка у и — v; их линейная комбинация
носит название функции Неймана.
410 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ [Л. XXVIII
2. Для целых значений v = m определённые выше функции
Бесселя порядка т и порядка — т уже не будут независимыми:
J^(x)=(-l)mJm(x).
При этом за линейно независимые решения уравнения (XXVIII.7)
можно взять две функции:
~ (-4)sCiy+2s
г(.. + 1)Г(1+ . + <)-• (XXVIH.10)
s=0
л; / \ Т t . (л х 1 Vi (т — s — 1)! / х \-m+2s
(ж) “ (х) 1п 2 С ) 47 ZJ Г (5 + 1)" < 2 )
s^Q
1 V Г ( — l)s < х \2s+m
71 Zj |_г (5+1) Г (m+ $ + !)< 2 ) Х
S=1
х (m+’s + s j + • • • + 1 + ‘ У 1 j] ’
где (7 = 0,577215... — эйлерова постоянная.
Как видно из формул (XXVIII. 10), функция Бесселя Jm(x)
есть целая функция своего аргумента вместе с x~mJm(x). Функция
же Nm (х), называемая функцией Неймана и являющаяся пределом
для функции Nn(x) при V—>т, имеет в начале координат особен-
ность в виде точки ветвления, соединённой с полюсом.
3. Для чисто мнимых значений аргумента (x = it) функция
i-mJm(x)^i-mJm(it) = Im(t),
являющаяся решением уравнения Бесселя относительно перемен-
ного х, будет вещественной.
Другое решение уравнения (XXVIII.9), вещественное для
мнимых значений х, имеет вид
Г™ [ Nm (х) - 5 Jm(х) ] = i-m [ Nm (it) -% Jm (it) ] .
4. Линейные комбинации
(я) = Д (х) 4 iNy (х),
М2) (X) = JV (x)-iNv (х)
носят название функций Гаккеля 1-го или 2-го рода. Эти функции,
являющиеся, очевидно, решениями уравнения Бесселя (хотя и ком-
плексными при вещественных значениях х), имеют следующие
5 2]
ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ
411
асимптотические выражения для больших вещественных значе-
ний х, годные как для целых, так и для дробных у:
И™ (I) = У I- [1 + О (х‘‘)].
(XXVHI.il)
(Равенство / (х) = О (ср (х)) означает, что отношение остаётся
ограниченным при х со.)
Для (х) это представление’ годится для больших х, удовле-
творяющих условию
| arg х —
а для Я^2\ж)“Для больших значений х, удовлетворяющих
условию
Зтс
~2 ’
arg.r-L_|
Зтс
т •
Из формул (XXVIII. 11) получаются следующие асимптоти-
ческие выражения для функций Бесселя и Неймана:
= +О(ж 2),
2Vv(«) = j/^-sin(«-^-^-^ + O(a: 2).
(XXVIII.12)
Формулы (XXVIII.12) показывают, как ведут себя функции
Бесселя и Неймана при возрастании аргумента. Это —колеблю-
щиеся функции, бесчисленное множество раз проходящие через
нуль. Амплитуда их колебаний постепенно затухает. Корни
функций Бесселя и Неймана с одинаковым значком перемежаются.
Функция In (z) для вещественных больших значений z имеет
представление:
In{Z)^ У2^{1+0Сг )} •
Элементарно можно получить уравнение, которому удовле-
творяет функция 7n(z):
d2In (z) 1_ dln (z) __
dz2 ‘ z dz
(l+S)7n(^) = 0.
Эта функция часто встречается в приложениях.
412 УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ [Л. XXVIII
Обычно в таблицах даются только значения функций JQ(z)
и (z). Между функциями Jn (z) для разных п существуют со-
отношения, позволяющие выразить при целом п любую функ-
цию Jn(z) и её производную через эти две основные функции:
4-1 (z) + 4+1 (z) ~ (2)> 4-1 (z) ^п+1 (z) — п (^).
§ 3. Полное разделение переменных в уравнении Дгг = О
в полярных координатах.
Рассмотрим волновое уравнение на плоскости:
д2и д2и д2и р
Пусть мы изучаем колебания круглой мембраны г < 1 с гранич-
ным условием
4=1 = 0 (XXVIII.13)
и начальными условиями
f I
и |z-o Uq\ |^__Q = иг.
Переходя к переменным г и ср по формулам х = г cos сру
y = преобразуем это уравнение к виду
= 0 (XXVIIL14)
г dr \ dr J * г2 дер2 д1? ' '
[см. (XXVIII.8)].
Решение (XXVIIL14) будем искать в виде
СО
где vi есть решение уравнения
Т i (Г S9 4 5? + = °- (XXVIII.15)
Покажем, что г и ср являются нормальными координатами нашей
задачи.
Ищем решение v- опять в виде произведения
^ = Фг(?)ад. (XXVIIL16}
Как мы установим позднее, такие решения существуют. Под-
ставляя (XXVIII.16) в уравнение (XXVIIL15), получим:
- # (< +4 ?.*+=о
г dr < dr J г2 г dep2 1 г г г
§ 3]
ПОЛНОЕ РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ
413
или, деля на R^i и умножая на г2:
dr J , <Zcp« , 12„2_O
Ri -u>
T. e.
dr\ dr J ! 2
Ф1 ~ Bi -|~/ l’
Приравнивая обе части постоянной m2, имеем два уравнения:
Ф? + -О, (XXVIII.17)
г (гЩу - (т? - г%2) Я. - 0. (XXVIII.18)
Решение уравнения (XXVIII. 17) должно обладать периодом 2тс
для того, чтобы иметь определённый физический смысл. При этом,
очевидно, mi должно быть вещественным и целым. Тогда
Ф?} = cos m-cp, Ф*2) = sin т^.
Уравнение (XXVIII. 18) преобразуем к самосопряжённому виду:
(г7?()' - ( v ~ X*?r) Bi = °- (XXVIII. 19)
В таком виде уравнение для R- есть самосопряжённое урав-
нение 2-го порядка. Мы будем искать то его решение, которое
обращается в нуль при г = 1 и остаётся ограниченным при г = 0.
По общей теории (лекция XX и лекция XXV, § 4) такое решение
существует для некоторого множества значений X2.
Лемма 1. Фундаментальные функции уравнения (XXVIIL19),
удовлетворяющие указанным граничным условиям, ортогональны
с весом г1):
с ( 0, i 7,
\Ri(r)Rj(r)rdr=\ ’ /7’
В самом деле, пусть
LR. = Ri = -
тогда
1 1
f [RjLR, - R.LR^ dr = (kJ - X?) rR^R, dr.
о о
J) Лемма следует из общей теории, однако её доказательство приводится
вторично. Лемма имеет место для более общего условия при г = 1, а именно
414 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ [Л. XXVIII
Но интеграл в левой части тождества равен нулю, значит^
и интеграл справа равен нулю, что и требовалось доказать.
Сделаем подстановку:
V=p,
тогда
d _у d
dr 1 dp ’
и уравнение (XXVIII. 19) переписывается так:
xi 4 (р - ( — - xiP?) = °’
г dp Vг dp J к Р /
или
й(р'^‘Ъ(7~(')/г‘ = 0' (XXVIII.20)
Обозначая R- через у, имеем:
г К г У
Мы видим, что задача свелась к уравнению Бесселя, о котором
шла речь выше.
Естественно, что следует взять за R регулярное решение урав-
нения (XXVIIL20), т. е.
Значение \ получится из граничного условия (XXVIII. 13).
Имеем:
R, (1) = (\) = о. (XXVIII.21)
Как и следовало ожидать, это уравнение имеет бесконечное
множество решений, что с очевидностью следует из асимптоти-
ческого представления для бесселевой функции (XXVIIL12).
Мы получаем, таким образом, систему решений нашей краевой
задачи в виде
CiCOS^J^^r), ^sin(mi?)JWi(\r) (XXVIII.22)
с собственными значениями kf, где с?. и с/-— некоторые постоян-
ные, определяемые из условия нормировки. Все эти решения
ортогональны между собою. Легко доказать, как и в случае колеба-
ний прямоугольного параллелепипеда, что функции (XXVIII.22),
в которых пары чисел т. и \ суть всевозможные пары, удовле-
творяющие уравнению (XXVIII.21), дают все собственные функ-
ции задачи. Для доказательства установим сначала лемму.
§ 3] ПОЛНОЕ РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ 415
Лемма 2. Произвольная функция ш(г, ср), имеющая непре-
рывные производные до второго порядка включительно, удовле-
творяющая граничному условию (XXVIII. 13), может быть пред-
ставлена сходящимся рядом вида
со оо
«> (г> ?) = 2 2 O-mh cos тЧ + Pmfc sin mcp) Jm (XXVIII.23)
m=0 R=1
где
i
amh = -7 $ \ <0 (r> ?)cos mcfjm (k^m)r) rdrdy,
b b
2tz 1
=4 5 5w sin mcpJm rdr<H-
b b
Прежде всего w (г, ср) как периодическая функция представима
в виде
О) (г, (р) = 2 [^т (r) C0S W + (Г) sin m?L (XXVIII.24}
тп=0
где
2tt 2р
ат (r) = V “ ('Г’ C°S т<? d(?’ Ьт = Sin Ш<Р dtf'
b b
Коэффициенты ат (г) имеют непрерывные вторые производные,
удовлетворяют краевому условию (XXVIII. 13) и должны оста-
ваться ограниченными при г = 0, поэтому могут быть разложены
в равномерно сходящиеся ряды по собственным функциям само-
сопряжённого уравнения (XXVIII.20), т. е. по функциям
со
ат (И = 2 (XXVIII.25)
k=l
где
1
ат (г) Jm г dr
= -Ц---------------г • (XXVIII.26)
Ц [/т(4'"М12'-^}2
о
Аналогично
со
ьт (Г) = s (ХГг), (XXVIII.27)
/1=1
416 УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА В КРИВОЛИНЕЙНЫХ КООРДИНАТАХ [Л. XXVIII
где
1
J Ьт (r)Jm^r)rdr
I ____________________
mk 1 1 *
{j [Лп (4mMi2'
О
(XXVIII.28)
Сопоставляя (XXVIIL25), (XXVIII.26), (XXVIII.27) и
(XXVIII.28), получим утверждение леммы, причём ряд (XXVIII.24)
равномерно сходится относительно ср, а ряды (XXVIIL25)
и (XXVIII.27) равномерно сходятся относительно г.
Из леммы 2 сразу следует, что других собственных функций,
кроме найденных, наша задача иметь не может, ибо каждая такая
собственная функция представлялась бы рядом (XXVIIL23) с коэф-
фшциентами, равными нулю, и должна, следовательно, равняться
нулю.
Задача о колебании мембраны решена том самым до конца.
ЛЕКЦИЯ XXIX.
ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ И СФЕРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ.
§ 1. Определение сферических функций.
Прежде чем переходить к дальнейшим приложениям метода
Фурье, мы займёмся ещё одним важным вопросом. Рассмотрим
уравнение Лапласа с тремя переменными:
д2и . д2и д2и ~
дх2 ду2 ' dz2
и поставим себе целью найти те решения этого уравнения, кото-
рые имеют вид однородных многочленов степени п относительно
X, у И Z.
В плоском случае такие однородные решения уравнения Ла-
пласа имеют, как легко проверить, вид
(х— iy)n.
Будем искать решение задачи в виде
п—т
v = (х 4- iy)m 2 a = (х-| iy)m / (р2, z)3)
(m-0, 1, 2, ..., и), (XXIX.1)
где
р = У^2 + ^2 •
х) Суммирование ведётся от /== 0 до / = Е
, где Е
есть
п—т
целая часть числа —~—
27 с. л. Соболев
418 ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ И СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [Л. XXIX
Вычисляя оператор Лапласа от v, получим:
= т (т - 1) (х 4- iy)m~2 / (р2, z) + 4m (ж г»™-1 х Ч
+ 2 (х + iy)m (х + iy)m ;
= - т (т - 1) (х + гг/)т-2 / (Р2, z) + &niy (ж 4- iy^-1 ~^z} +
+ 2(x+iyrd-^^ + ^(x+iyr ,
откуда
Лу = (ж + г»'" [?-
~(*+w{S
(Р2) J f ‘
I 4 (m -1- i)^p2’ z) + 4p2^.-(p-’ z)
&2 । I l) 3(p2) Г ХР ,Э(р2)2
4 d
(p2W(p2)
Подставляя значение /(p2, z), получим:
Дг; = (x + iy)m [ 2 m — 2/) (n — m — 2/ — 1) a p27zn-m"27"2 +
;=0
(n—m):2
+ 2 7 (/ + m) a^~2zn~ m 27] .
/_______Л J
Заменяя во второй сумме j через /-(-1, получим:
Дг; = (х iy)m { 2 [(zz — т — 2/) (п — т — 2j — 1)«; Ч
;=--0
•+ (/ + 1) (/ + m + 1) ау+1] p2>z—
Приравнивая нулю коэффициенты при p27zn~m-2;_2, мы
чим систему уравнений, из которой все а- один за другим
жаются через какой-нибудь один из них. Мы получим:
_ _ / л\(п—т^(п — т-‘^п
(w + lj °’
_ , л\2^п — т) (п — т—1) (п — т — 2) (п—т—3)
й2 — ~ 6»4-1Wm-l-2i й0’
полу-
выра-
(m+ 1) (т-р 2)
_,л V+1 (n —m) (гг —m—1) ... (n —m —2/ + 1)
“Я1 \ 4 (/+1)| (zw + l)(m + 2) ...("» + / + !) °‘
Если a0 вещественно и положительно, то все azj будут поло-
жительны, а все a2j+1 отрицательны. Пусть для определённости
п — (»г-'»)!
0 2тт1 (п—т)1
§ 1] ОПРЕДЕЛЕНИЕ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 419
Нами установлено, таким образом, существование одного и, с точ-
ностью до постоянного множителя, только одного гармонического
полинома вида
для каждого п и т — 0, 1, . . ., п.
Присоединяя к ним ещё п полиномов вида
(х - iy)™ fn, т (р2, z) (т = 1, . . ., и), (XXIX.2)
мы получим систему 2п 1 гармонических полиномов.
Нетрудно убедиться в том, что эти полиномы линейно незави-
симы. Принимая за новые независимые переменные ^ = х \-iy
и = x — iy, мы получим в каждом из этих полиномов такой
старший относительно или С2 член, который не может встре-
титься ни в одной линейной комбинации многочленов с меньшими
значениями индекса т.
Покажем, что других однородных гармонических многочленов
степени п, независимых от данных, не существует.
Любой однородный многочлен Rn(x, у, z), если ввести в него
новые независимые переменные z, — х -f- iy, С2 = х — iy, будет
многочленом относительно z, и С2, а значит, может быть един-
ственным образом представлен в виде:
п
Ип = <Р„. О (V2, Z) + S [Cj^pn, т (V2I Z) + т GA, z)]. (XXIX.3)
т=1
Для этого нужно в полном выражении этого полинома сгруп-
пировать вместе те члены вида где j — k^^m.
Отсюда следует, что любой однородный многочлен степени п
единственным образом представляется в виде суммы многочленов
по формуле (XXIX.3).
Применив к многочлену Rn оператор Лапласа, мы получим
однородный многочлен степени (тг —2), также представляемый
единственным образом в виде суммы многочленов по формуле
(XXIX.3) с заменой п на (п — 2). Если Rn —- гармонический поли-
ном, то все слагаемые в таком разложении должны, следо-
вательно, обратиться в пуль (из единственности следует, что дру-
гих способов разложить его, кроме того, при котором все члены
равны нулю, не существует). С другой стороны, применяя опе-
ратор Лапласа к формуле (XXIX.3) и замечая, что применение
оператора Лапласа к многочлену вида (XXIX. 1) и (XXIX.2) даёт
многочлен того же вида, но с соответственным уменьшением п
на две единицы, мы видим, что оператор Лапласа от каждого
слагаемого суммы (XXIX.3) порознь равен нулю и, значит,
<рП} т=: cfn, т, что и требовалось доказать.
27*
420 ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ И СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [Л. XXIX
Продолжая действовать по аналогии с плоским случаем, заме-
ним координаты х, у, z полярными, полагая
х = г sin & cos ср,
у = Г sin г} sin ср,
Z = г cos 8,
где
г — ]/Д2 4- у2 4- z2 .
При этом любой гармонический полином рассмотренного нами
типа примет вид
rne^im^fnt т (sin2 8, cos 8) sinm 8. (XXIX.4)
Пусть
fn, m (sin2 8, cos 8) = m (cos 8);
нетрудно видеть, что фп> m(cos8) есть многочлен от cos 8, степень
которого в точности равна (п — т).
Действительно, каждый член вида
а^п-т-2;р2;
заменяется многочленом вида
(cos 8)n~m—27 sin27 8 = (1 — cos2 8)7 (cos 8)n~~27,
в котором знак при членах, содержащих
(cos 8)n“m~27,
равен ( —1)\ В сумме таких многочленов ни одно слагаемое
сократиться не может. При этом, очевидно,
Ф ж = а = <W+TO>!.-
rn.wk1; ао т\2{П(п — т)\ *
Полагая
sinm&K т (cos &) = Р™ (cos &), (XXIX.5)
мы можем, пользуясь выражением (XXIX. 4)^ выписать полную
систему однородных гармонических полиномов от х, у, z степени п
в виде
гпУ0) (cos 8), rn sin срРп) (cos 8), rn sin 2срУ2) (cos 8), ...
. .., rn sin п^Р{п} (cos &); (XXIX 6)
/•"coscpPn^cosS), rncos2tp/J^2>(cos&), ... |
. . . , Гп COS WfPn^ (cos &). J
§ 2] ПРИБЛИЖЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 421
Функции (XXIX.6) служат пространственным аналогом функций
pnCOSnep, pnsin пу,
являющихся решениями плоской задачи о гармонических поли-
номах, а функции
sin туР^ (cos 8),
cos туР^ (cos ft)
(XXIX. 7)
— аналогом тригонометрических функций кратного аргумента,
•т. е. cos пер и sin пер. Эти функции или их линейные комбинации
принято называть сферическими гармониками порядка п,
§ 2. Приближение при помощи сферических функций.
Теорема 1. Линейной комбинацией функций (XXIX.7) поряд-
ков 0, 1, ...,7V можно с любой точностью, в смысле равномер-
ной сходимости, представить произвольную непрерывную функцию
на сфере радиуса 1, если N достаточно велико.
Для того чтобы доказать эту теорему, установим сначала
несколько вспомогательных предложений.
Лемма 1. Произвольная функция F(b, ср) на поверхности
сферы радиуса 1, непрерывная на ней, может быть представлена
со сколь угодно большой точностью в виде многочлена:
N N N
Q(x,y,z)='Z S 2 ahlmxkylzm.
1=1 т=1
Доказательство. Составим выражение:
2тс тс
Qn = 5 (1+COSJ у р sin
О о
где cosy обозначает косинус угла между вектором
и вектором
X = sin 8- COS ер,
у~ sin 8 sin ср,
z = cos 8
хг = sin 8Х cos epn
yr = sin 8X sin cpv
z1 = cos81.
Имеем:
cos 7 = ^ + yy^ zzx.
422 ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ И СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [Л. XXIX
Легко установить, что Qn есть полином степени N от х, у, z.
Докажем, с другой стороны, что
Qn-F = s(N)
равномерно стремится к нулю при N, стремящемся к бесконеч-
ности.
Рассмотрим интеграл
2тХ ТС
7V4-1 С С /1 4-cosy\N у-,/q \ • a 7q ?
ТтГ } } <—~ ) F & sm =
о о
2тс тс
= ? (», ?) 5 У sin d^.
О б
Пусть 5 — -поверхность шара радиуса 1. Величина
2тс ТС
мм?1. у+'
об S
не зависит от точки (6, ср). Следовательно, вычисляя её, можно
положить ср = 0 При этом cos у = cos ^х, и интеграл запишется
так:
7V + 1 С С /l + cosSr'xN . Q jo ,
“1л“ } \
О о
TV-j-l, Г ( 1 + cos (й 7 / 1 + cos \ / 1 + cos h _ 4
= —4. —2— ;= - <—з- j |о = ъ
о
Значит,
Л^+1 ^l±cosJy7?(a;Cp)sin = F(%, ср),
б б
Далее,
2tz тс
б б
Разобьём последний интеграл на два слагаемых, выделив вокруг
точки (0, ср) область на сфере у < В, так, чтобы иметь
|/ф, cp)-/’(»v?1)l< Т
для точек (&х, <рх), принадлежащих области у < о.
§ 2] ПРИБЛИЖЕНИЕ ПРИ ПОМОЩИ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 423
Функция ср), в силу своей непрерывности, ограничена,
значит,
И (В, ср)|<М.
Возьмём теперь N настолько большим, чтобы удовлетворить
неравенству
(ЛЧ1)С^±ГУ<й.
При этом, очевидно,
/ 1\Г 1 4 \ ( 1 + cos 7 V £ S'
(7V-I 1)Q—у-! ) для Т>8.
Для таких N
< УУ Ц (1+jpy I F (&, ?) - F (&v ?1) | sin d\ +
+ И (УIF О- <?) - F Ox- Тх) I sin »х d\ d^ <
Т<8
Т>6 ' Т<8
<а-2Л/+1="-
Наша лемма доказана.
Лемма 2. Пусть Qh (rr, у, z) — совершенно произвольный много-
член от переменных х, у, z степени к. Тогда существует гармо-
нический полином Рк (х, у, z) степени не выше к, принимающий
на сфере я2 Д-?/2z2 — 1 те же значения, что и Qk(x, y,z).
Доказательство. По доказанному выше многочлен
Qh (х, у, z) может быть представлен в виде
Qk = % (р2, z) н X [(ж I- iy)m qlt т (р2, z) + (ж - iy)m q2i т (р2, z)]
т=1
[см. (XXIX.3)].
Значит, на сфере х2-|-?/2Н z2 = l будем иметь:
<?fe = To (cos а)4-
k
-у 2 sinm 0 [cos т^х1> т (cos ft) + sin тсрт2> т (cos В)], (XXIX.8)
где т0 (cos В) — многочлен степени не выше к от cos В, а много-
члены ть т и т2> т суть многочлены степени не выше к — т от cos &.
424 ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ И СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [Л. XXIX
Но величина т0 (cos ft) может, очивидно, быть представлена
в виде
k
т0 (cos ft) = V c.P^ (cos &), (XXIX.9)
7=0
а каждая из величин sinmftxbm и sinmftT2} m может быть представ-
лена в виде
к 1
sin"1 m (cos &) = X Cn^mP^ (cos &), |
"=“ } (XXIX. 10)
sinm ik2, m (cos ft) = X (cos &). I
, n=m J
Коэффициенты этих разложений могут быть найдены один за
другим, начиная со старшого, ибо степень каждого (£) воз-
растает на единицу вместе с номером п.
Подставляя (XXIX.9) и (XXIX.10) в (XXIX.8), мы сразу до-
казываем пашу лемму. Из лемм 1 и 2 немедленно следует теорема 1.
В самом деле, произвольная непрерывная функция с любой точ-
ностью может быть на сфере заменена многочленом по лемме 1.
По лемме 2 этот многочлен заменяется сразу гармоническим
многочленом.
§ 3. Задача Дирихле для шара.
Доказанная теорема даёт нам новый способ решения задачи
Дирихле для шара. Мы знаем из предыдущих лекций, что эта
задача всегда имеет непрерывное решение и что если мы заменим
предельные значения функции
и |s = ?
приближёнными ф', так что
|<р—<pz I <S-
то решение уравнения
при условии
w|s==?'
отличается не больше, чем на е, от решения этого же уравнения
при условии и |s = ср.
Взяв за ср' линейную комбинацию сферических функций, мы
сразу найдём решение задачи в виде суммы соответствующих мно-
гочленов. Это и будет приближённым решением задачи Дирихле.
В конце лекции мы дадим явное выражение точного решения че-
рез сферические функции.
§ 4] ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ!. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 425
§ 4. Дифференциальные уравнения для сферических функций.
Пусть Уп(&, ср) —какая-то сферическая гармоника порядка п.
Произведение
гпУп(Ъ, <р)
есть гармонический полипом. Следовательно,
ДгпУп(^, ср) = О.
Пользуясь выражением для оператора Лапласа в полярных коор-
динатах [см. (XXVIII.7)], получим:
те [r’ ъ <»?»]+ Ляй [si"8»(“ т» ] +
1 д2
откуда
Лж[8“8^]+!Л'5’+"(в + 1)у“=0' <ХХ1ХЛ1>
Уравнение (XXIX.11) получается пз уравнения
з-1гЛ0“81) + яЙ^ + ХГ = ° (XXIX.12)
при
k=n(n + l). (XXIX.13)
Обозначим оператор
1 д . . <9 1 д2
sin $ <9& Sin ‘ sin2 В- <9ср21
действующий на функцию / (&, ср), определённую на поверхности
единичной сферы, через Z). Уравнение (XXIX. 12) запишется при
этом в виде
ЯУ + ХУ-0. (XXIX. 14)
Оператор D па первый взгляд зависит от того, как выбран
полюс сферы. Однако на самом деле он остаётся неизменным при
всевозможном выборе координат 8 и ср на этой сфере. Действи-
тельно, пусть функция у (8-, ср) задана как-нибудь на сфере. Будем
считать её заданной во всём пространстве г, 8, ср и не зависящей
от г. Тогда
я (/ (О, ?)) = г2 ДХ-
Оператор Лапласа, стоящий в правой части, не зависит от
выбора координатных осей, значит, и оператор D не будет зави-
сеть от этого выбора, что и требовалось доказать.
426 ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ И СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [Л. XXIX
Длина дуги некоторой линии на сфере ds выражается с по-
мощью соотношения
ds = rfft2 + sin2 ft tZcp2,
или
ds2, = h* б/ft2 + h\d^, где Лг = 1, &2 = sinft.
Оператор D выражается через h1 и Л2 формулой
n 1 д h* dy, 1 <9 Лг di
h1h2 <90 hr <9ft hxh2 dy h2 <9cp
по аналогии с формулой (XXVIII.6), выражающей оператор Ла-
пласа в криволинейных координатах. Выражение D% называют
поэтому оператором Лапласа на поверхности сферы.
Уравнение (XXIX. 12) может иметь нетривиальное решение,
непрерывное на всей поверхности сферы, не при всяком значе-
нии к. Задача об отыскании таких значений X и самих этих ре-
шений аналогична задаче об отыскании решений уравнения
У" + = О,
непрерывных на окружности. Эта последняя задача была рас-
смотрена нами в лекции XX. Поставленная нами сейчас задача
может быть приведена к теории интегральных уравнений при
помощи функции Грина. Остановимся подробнее на этом вопросе.
Будем искать решение уравнения
£^ = ф(&, ?) (XXIX. 15)
на сфере. Заметим, что соответствующее однородное уравнение
Du = Q (XXIX. 16)
имеет нетривиальное решение и=1. Поэтому задача об отыскании
решения (XXIX. 15) разрешима не всегда.
Назовём функцией Грина для уравнения (XXIX. 15) функцию
двух переменных точек сферы:
G = тг~1и sin
где через 7 обозначено угловое расстояние между рассматриваемыми
точками. Из сферической тригонометрии известно выражение
для cos 7:
cos 7 = cos ft3 cos ft2 — sin ftх sinft2 cos (cpx — <p2),
где ftj, cpj — координаты одной из точек, a ft2, ср2 — координаты
другой точки. Докажем, что если функция ф удовлетворяет условию
tydS = ( <psin&(M& = 0, (XXIX.17)
8 0 О
§ 4] ДИФФЕРЕНЦИАЛЕН. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 427
то решение уравнения (XXIX. 15), удовлетворяющее тому же
условию
^\sinftd?^ = 0, (XXIX.17')
о о
даётся формулой
» (8о> То) =
= G (&, <р, »0, <р0) (&, ?) sin & с?<р d& = Сф dS, (XXIX. 18)
0 0 S
где через dS обозначен элемент поверхности сферы. Этим будет
оправдано данное нами функции G название.
Пусть решение уравнения (XXIX. 15) существует. Выберем за
точку &0, <р0 полюс сферы. Мы будем иметь:
Сф dS = GDv sin & с?<р GDv d^ sin & =
о b bo
yrc 2т; 2к
= 5ln sin4Usin4 [4Л
о bo
b о sm "2
2 тс
+ [sin & i (44r sin I] о =
b
sin &
2т; 2т;
[Mr</<p] db~ (cos24 i $vd^) Io •
0 0
В силу условия (XXIX.17) получим:
(XXIX. 19)
Из соображений симметрии отсюда следует справедливость фор-
мулы (XXIX. 18) для любой точки сферы. Можно доказать также,
что если ф — произвольная функция, удовлетворяющая условию
(XXIX. 17), то функция v ($0, ср0), определяемая равенством
(XXIX. 18), даёт нам решение уравнения
Dv = ф.
428 ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ И СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ [Л. XXIX
Доказательство этого предложения аналогично тому, которое
мы проводили неоднократно, и мы его опускаем. Функция Грина,
построенная нами, является симметрической функцией, и поэтому
к уравнению
и = X Gu dS,
эквивалентному (XXIX. 14), применима вся теория интегральных
уравнений с симметрическим ядром.
Если мы поставим себе задачу— найти все регулярные реше-
ния уравнения (XXIX. 12) на сфере, то из сказанного вытекает,
что значения (XXIX. 13) будут собственными значениями.
Каждое собственное значение имеет (2лг4-1) собственных функ-
ций. Мы получили выше, в формуле (XXIX. 7), набор решений
уравнения (XXIX. 12). Из общей теории интегральных уравнений
вытекает, что те из функций (XXIX.7), которые отвечают различ-
ным значениям п, ортогональны. Решения (XXIX.7) с одинаковы-
ми значениями п ортогональны в силу того, что в промежутке
О < ср < 2тс ортогональны все синусы и косинусы кратных дуг. Отсюда
следует ортогональность всех функций (XXIX. 7).
Теорема 2. Функции (XXIX.7) исчерпывают всё множество
собственных функций уравнения (XXIX. 12).
Доказательство. Пусть У* (ft, ср) есть какая-то собствен-
ная функция (XXIX. 12), отличная от (XXIX.7), и пусть и{ (ft, ср)
есть множество функций (XXIX.7), каким-то образом перенуме-
рованное. По теореме 1 функция У* (ft, ср) может быть представлена
в виде
N
Y* (&, <р) = 2 ciN) и. (&, (?) + T)N,
г=1
где сколь угодно мало.
Значит,
\ [F* (», <?) ~ Ui (&> ?)F dS = \ dS < е (^)-
s г~1 " sJ
Пусть
У1 = И У* (ft, ср) и. (ft, ср) dS.
Тогда
N
5 5 (у* (&, <р)- 2 уЛ (ft, <р)) >ds <
S
N
< (у*(&> ?) Ui (&> ?) УdS
§ 4] ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ!. УРАВНЕНИЯ ДЛЯ СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 429
Принимая во внимание ортогональность У* (&, ср) со всеми
и. Ch ?), которая следует из общей теории интегральных уравне-
ний, и вытекающее из этого равенство
Уг = 0,
получим:
[У*(&, ср)]2 dS < 8
при произвольном е > 0. Значит, У* (&, ср) = 0, что и требовалось
доказать.
Из теоремы 2 сразу следует возможность представления любой
функции ср (J?) с интегрируемым квадратом по сфере, т. е.
всякой функции, удовлетворяющей условию
?г (5) dS < оо,
в виде сходящегося в среднем ряда
где
<р.=
Сходимость ряда будет равномерной, в силу теоремы Гильберта-
Шмидта, если ср имеет непрерывные вторые производные.
Подставим в уравнение (XXIV. 12) функцию (XXIX.7). Поль-
зуясь тем, что
[sin mcpPnW) (cos &)] = — m2 sin myP^ (cos ft),
мы будем иметь:
1 д Г л (cos ft)!
—sin&----------------- +
sm V L J
+ [n (n + 1) -^] (cos &) = 0. (XXIX.20)
Уравнение (XXIX.20) есть дифференциальное уравнение для функ-
ций Р^ (cos &). Обозначим:
cos& = p.
Тогда
д . а д
“ Sln & дц ’
430 ГАРМОНИЧЕСКИЕ ПОЛИНОМЫ И СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ (Л. XXIX
и уравнение (XXIX.20) переписывается так:
~ Г sin2 a )(- 1 + [ п(га-М)—1 G0 = 0,
Ф L Ф J L sm2 в J n vr/ ’
или
[(l-H2)
d
dp
+ n (n 4- 1)
P<m)((x) = o. (XXIX.21)
Ф J
Полученное дифференциальное уравнение есть линейное урав-
нение 2-го порядка. Оно получается из уравнения
при Х1 = п(п-Ь 1) и Х2 = т2.
Если мы поставим задачу найти такие X* и Х2, при которых
решение этого последнего уравнения ограничено, то можно утвер-
ждать, что при Х2 — т2 никаких других собственных значений,
кроме Xj = n(7z4-1), оно не будет допускать. Это вытекает из
того, что мы имели бы в противном случае собственную функцию
у* уравнения (XXIX.21) и соответственно собственную функцию
для (XXIX. 12) в виде Р*( cos ) sin тер, отличную от всех функ-
ций (XXIX.7), что, по доказанному, невозможно.
Полученные нами соотношения позволяют поставить вопрос
о решении уравнения Лапласа для шара по методу разделения
переменных. Более того, мы фактически уже провели этот метод,
исходя из других предпосылок.
Разделяя переменные в уравнении Лапласа
А 1 д / % ди\ . 1 д ( . q ди > . 1 д2и п
Д“ ~ ~дг V ~дР ) + г2 sin » XT J'1’/'2 sin2 » ~д^ ~
получим после простых выкладок, которые мы предоставляем
читателю:
и = rnP^ (cos Bj cos ту sin ту],
т^п
d2^
где cos тер и sin тер суть решения уравнения -^2" + т2Ф = 0,
/>^0 — решение уравнения (XXIX.20) или (XXIX.21), а гп — реше-
ние уравнения (г2— п (п + 1) R = 0.
ЛЕКЦИЯ XXX.
НЕКОТОРЫЕ ПРОСТЕЙШИЕ СВОЙСТВА СФЕРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ.
§ 1. Представление полиномов Лежандра.
Разберём некоторые свойства сферических функций.
Теорема 1. Решением уравнения
1 + ?/=о
ф. Lv г 1 Ф J Ч 4 7 1 — р J
служит функция
(XXX.1)
Доказательство. Пусть (1 — р.2)п = Ф. Непосредственно
легко проверить формулу
(1-Н2)^4 2(п-1)и^+2пФ = 0.
Дифференцируя её т-\~п раз поре помощью известного прави-
ла Лейбница, получим:
.. лтт + 2ф ^т+п*1ф
) tZ|i,H+n+2 2(т-^ 1) Р ^т*п*1 Н“
лп+тпф
+ (п-т) (п + »г+ 1) =0,
^т+пф
или, полагая = Ф>
(1 — р.2)ф" — 2 (т-]- 1)р>4' + (п — т) (п-^ т-\-1) ф = 0.
Далее, пусть
^т,([х) = С(1-РНф,
432
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [Л. XXX
m2 1 р<™)_
—
откуда прямой подстановкой получаем:
/?2р(т) dP^ г
----[»(»+!)-
= С (1 — р2)2 [(1 — р2) ф" —2 (m-}- 1) рф' + (и —m) (n + m + 1)ф] = 0>
что и требовалось доказать.
Формула (XXX. 1) даёт нам ,очевидно, новое явное выражение
для /^(cosfr), ибо rn sin т^Р^ есть гармонический полином, а
двух полиномов такого вида быть не может.
Из этой формулы можно получить ряд удобных рекуррентных
формул для вычисления функций РпШ) (cos В).
Многочлены
носят особое название полиномов Лежандра. Среди других сфери-
ческих функций они играют особую роль.
Строго говоря, мы не имеем пока права обозначать через
Pnm)(p.) Функцию (XXX. 1), которая может отличаться от введён-
ной нами ранее функции Р^\ф) постоянным множителем. Одна-
ко легко установить, что множитель этот есть единица. Из формулы
(XXX. 1) следует, что
В самом деле, положим p — l=z; тогда
(1 _ = (_ ^nzn = l)n (2nzn +...),
откуда сразу и вытекает (ХХХ.2).
Если
(ХХХ.2)
^m)(cos») __
sinw&
то аналогично
что и доказывает
т V ) 2™т! (п —т)\ ’
наше утверждение.
§ 2. Производящая функция
Т е о р е м а 2. Разложение функции
1 ________________________1_____
z’i —2г cos $ +г2 .
по степеням г имеет вид
оо
^-= E^nfcOS»).
1 п=0
(XXX. 3)
§ 2] ПРОИЗВОДЯЩАЯ ФУНКЦИЯ 433
Функция — называется поэтому производящей функцией полино-
ri
мов Лежандра.
Эту теорему можно было бы доказать непосредственно, под-
считывая коэффициенты разложения, ио можно установить её и
другим путём.
Рассматривая функцию-^- в некоторой сфере гмы
можем разложить её в ряд по степеням г, причём коэффициенты,
очевидно, будут многочленами от cos&, т. е.
оо
7-= 2 rnQn (cos &).
1 n=0
В самом деле,
1 - 2r cos & + г2 = (1 - re™) (1 - re ^)9 (XXX.4)
откуда сразу следует, что наше разложение будет иметь радиус
сходимости, равный единице. Значит, при г —р
оо
7- = 2pn<2n(cos0). (ХХХ.5)
п=0
По доказанному в прошлой лекции, гармоническую функцию,
принимающую на поверхности г = р заданные значения (ХХХ.5),
можно разложить в равномерно сходящийся ряд:
со
-^-= 2 «п^п(С°8&).
п=0
Из единственности разложения производящей функции в степен-
ной ряд по г вытекает, что
Cn(cos&) = anPn(cos&).
Для того чтобы определить величину ап9 заметим, что при
cos & = 1 имеем:
(1 — 2r cos & + г2)$—о = (1 — г)2
и
со
1 = у г"
П 1—Г Zj
п=0
оо
1 ч
Сравнивая это с выражением — = гпапРп(Д), имеем::
1 п—О
Дп= 1.
Теорема 2 доказана.
28 с. Л. Соболев
434
НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [Л. XXX
Следствие 1. Имеют место равенства
со
2-тДгЛг(со8&), г <7?;
1 п=0
у R^2Rr cos&H-r2 _ (XXX.6)
2 7S-Л. (cos В), г > R.
V п—О
В самом деле,
________________1_________ 1 ________1 __
V R*—2Rr cos ft-|-r2 Rl/\____________а.Р?
V 1_2_со8&+^
_____________1_________
~ г 1 Г. Tr . , / л\2 ’
(/ l-2-cosB + Q-J
откуда и следует (XXX.6).
Следствие 2. Справедливо соотношение
оо
V^=S^ - - 2 <“ +') /-Л- < р- (ХХХ.7)
п=0
Заметим ещё, что сходимость рядов (XXX.6) и (XXX. 7) будет
равномерной относительно переменного ft, если соответственно
R — г >е, г — R > е или р — г > е, при фиксированном R.
Для того чтобы доказать это утверждение, рассмотрим ряд
с положительными членами
4 4 1
_= 1 + _г+г.2+ . . . (ХХХ>8)
Все члены этого ряда по абсолютной величине равны соответст-
вующим членам рядов
-7=^=== У.апгп, Vfl/. (ХХХ.9)
1 п—0 п=0
Следовательно, члены ряда
который можно получить почленным умножением ряда (XXX.8)
на самого себя, по абсолютной величине будут не меньше соот-
ветствующих членов ряда
Л Л Л 00
1 1 1
V1 —2г cos »4-г2 ~ 1/1—rei# ' 1/1— re-»*1 = 2j Г (C0S
п=0
получаемого почленным умножением рядов (ХХХ.9) друг на друга.
§ 3J
ФОРМУЛА ЛАПЛАСА
435
Таким образом, мы получаем неравенство
.Pn(cos ft)< 1,
причём знак равенства может иметь место лишь при ft ~ О, т. е.
при cos ft = l, как легко видеть из доказательства. Отсюда и вы-
текает наше утверждение о равномерной сходимости.
§ 3. Формула Лапласа.
Пусть теперь гпУп (ft, <р) —некоторый гармонический полином.
Применяя к нему формулу Грина, получаем:
(XXX. 10)
где
гх = f/"г2 — 2гр cos 7 р2,
a dS1 обозначает элемент поверхности сферы в координатах &1, срг;
гх < р есть расстояние между точками М (гх, ft, ср) и М (р, ftn cpj,
а у есть угол между вектором, проведённым в точку М* и векто-
ром, проведённым в точку Мг из начала координат
Очевидно,
гр cos 7 =
= гр sin ft cos ср sin ftxcos срг +rP sin ft sin cp sin ft1sin <px rp cos ft cos ftx =
= rp (cos ft cos ftx + sin ft sin ftx cos (cp — cpj).
Подставляя в формулу (XXX. 10) вместо
их выражения (XXX.6) и (XXX.7), будем иметь:
rnYn (М) = i Yn Ov <h) [ P” (« + 1) 2 (cos 7) +
+«р”-12 жг pk (cos i) ]sin &i dc?i=
= i 5 Yn <&1’ ^2n + ^ [ 2 rhpk (cos 7) ] sin ai
28*
436 НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА СФЕРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ [Л. XXX
Очевидно, что функция (cos у) при ортогональна к функ-
ции Уп(&, ср), так как они будут гармониками разных порядков.
Интегрируя ряд почленно, что возможно благодаря его сходимо- J
сти в среднем, и замечая, что в нём пропадают все слагаемые,
кроме одного, получим:
2тс тс
fnYn (&, <р) = rnYn (»u ?1) Рп (cos у) sin ft, с?Ях с??1,
О о
т. е.
2тс -те
Yn (&, ?) = $ $ Yn (&v ?1) Рп (cos 7) d^. (XXX.l1)
I о о
i
Формула (XXX. 11) позволяет сразу получать коэффициенты
разложения данной функции F (&, ср) по сферическим гармоникам.
Пусть
оо J
F(M)= Eyn(M)- (XXX. 12)
п=0 *
Умножая обе части формулы (XXX. 12) на Z\(cost) и интегри^-
руя по сфере, получим:
2тс ТС 1
\ $ F (&n ?1) Ph (cos 7) sin --= Yh (9, ?). (ХХХ.13)
о о
Формула (ХХХ.13) носит название формулы Лапласа.
Формула Лапласа даёт возможность явно написать решение
задачи Дирихле в шаре в виде ряда по гармоническим полино-
мам. В самом деле, умножая каждую гармонику порядка к на |
гк и складывая, мы можем получить гармоническую функцию,
принимающую на границе шара заданные значения 7^(&, ср). Мы
получаем решение в следующем виде:
со 2тс Л
И {г, <р) = 2 (2/с + 1) J F (»lt ?1) Ph (cos 7) sin d^ d<?^
h=0 0 0
Заканчивая изложение теории сферических функций, приведём
ез доказательства ещё несколько формул, которые часто могут
ФОРМУЛА ЛАПЛАСА
437
§ 3]
быть полезными:
5 1^(Ю12Ф = 2^ТТ, (ХХХ.14)
-1
-1
4-1 4-1
$ Рп (fl) Рп. (fl) с?[а = О, $ Р<Г° (и) Р%?> (fl) ф = О,
-1 -1
п Ф п’.
Формулы (XXX. 12) позволяют непосредственно вычислить коэф-
фициенты разложения функции в ряд по сферическим функциям
вида (XXIX.7).
Отметим, наконец, асимптотическое представление для полино-
мов Лежандра при больших значениях п\
Рп (cos &) = [cos [ ( п + 4 ) & —J- ] + ej >
где en —> 0 при п —> оо равномерно относительно $ при е < $ < тс — е.
Мы заканчиваем на этом первоначальный курс, посвящённый
выяснению основных качественных свойств уравнений математиче-
ской физики и классическим методам их решения.
Современное содержание математической физики, конечно,
далеко не исчерпывается этим. Так, вне рамок нашего курса остались
ещё следующие важнейшие вопросы, которые могут составить ма-
териал по крайней мере для такой же книги:
1. Задачи математической физики для неограниченных сред
и применение интегрального преобразования Фурье.
2. Специальные задачи для сред полу ограниченных, диффрак-
ция волн и т. п.
3. Вариационные методы в математической физике.
4. Приближённое решение задач математической физики
методом конечных разностей.
К числу важнейших вопросов следует отнести также тео-
рию нелинейных уравнений.
Рамки нашего курса не позволили нам остановиться на перечис-
ленных вопросах. Однако внимательный читатель, познакомившись
в этих лекциях с основными идеями теории уравнений математи-
ческой физики, сумеет, мы надеемся, самостоятельно проникнуть в
современные книги и журналные статьи, посвящённые указанным
вопросам.
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Адамара пример 37
Адиабатический процесс 26
Арцела теорема 361
Бернулли Д. 13
Бесселя неравенство 374
— уравнение 380, 409
— функции 409
Билинейная формула 370
Билинейный ряд для непрерывного
ядра, свойство 381
------- повторного ядра 379
Буияковского неравенство 328, 334
Ватсон 409
Вейерштрасса теоремы 82, 83
Вековое уравнение 346
Весовая функция 334
Вещественное симметрическое ядро
354
Взаимносопряжённые точки 168
Влияния функция 286
Внешняя задача Дирихле 229
--------дЛЯ шара 182
-----Неймана 229
--------t единственность решения
269
Внутренняя задача Дирихле 229
—-------для шара, рашение 176, 180
— ------, единственность решения
269
— — Неймана 229
—-------, существование решения
272
Волна прямая, обратная 54
Волнового уравнения обобщённое ре-
шение 324
Волновое уравнение 193, 318
— — , единственность решения за-
дачи Коши 199
-----? корректность постановки за-
дачи Коши 202
-----,------краевых задач 321
— — на плоскости 412
Волновое уравнение, решение за-
дачи Коши методом Кирхгофа
194
Волны сферические 196
Вольтерра уравнение 250
Вполне непрерывный оператор 362
Вырожденное ядро 251
Газовая постоянная 25
Гаикеля функция 1-го рода 410
-----2-го рода 410
Гармоники сферические 421
Гармоническая функция 149
-----, поведение вблизи особой
точки 163
— — , — на бесконечности 169, 170
Гармонические полиномы, система
419
Гильберта-Шмидта теорема 378
Гиперболического типа уравнение,
приведение к каноническому ‘виду
46, 47
Главный член оператора 2-го поряд-
ка 45
Граница открытого множества 82
Грина формула 69, 151, 153
-----для оператора Лапласа 69
— функции полюс 308
— — построение 288
----- свойства 289
— — существование 289
— функция 177
— — для задачи Дирихле 302
—-------— — , симметричность
305
----------Неймана 307
— — — обыкновенного дифферен-
циального оператора 287
-----обобщённая 272, 292
Даламбер 13
Даламбера решение уравнения коле-
бания струны 53
Движение установившееся 19
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
439
Дирихле задача 31
----— внешняя 229
—------для шара 182
—------у сведение к интегрально-
му уравнению 232
----внутренняя 229
-------дЛЯ шара, решение 176,
180
— — — , сведение к интегрально-
му уравнению 232
----для круга 238
- -----полуплоскости 237
— — — полупространства 185
—------шара 424
----, единственность решения 229
Дифференциальные уравнения для
сферических функций 425
— операторы сопряжённые 67, 274,
278
Дифференциальный оператор 274
— — самосопряжённый 68
Дифференцирование несобственного
интеграла по параметру 132
Дифференцируемость обобщённого
решения уравнения Лапласа 329
—---------теплопроводности 329
-Егорова теорема 111
Единственность решения внешней
задачи Неймана 269
----внутренней задачи Дирихле
269
— задачи Дирихле 229
—------Коши для волнового урав-
нения 199
—-------- Неймана для полупростран-
ства 186
----интегрального уравнения 249
Задача см. соответствующее назва-
ние задачи
— , поставленная корректно 36
— f — некорректно 36
Закон инерции квадратичных форм
41
Запаздывающие потенциалы 198
Измеримая функция 96, 104,
105
Измеримость множества 106
— — , необходимое и достаточное
условие 107
Интеграл внутренний от функции
по множеству 96
— , зависящий от параметра, при-
знак равномерной сходимости 130
— Лебега, свойства 102
Интеграл от разрывной функции 79,
96, 99, 102
— несобственный, производная по
параметру 132, 133
— от знакопеременной функции по
множеству 101, 102, 105
— — непрерывной функции по огра-
ниченному замкнутому множеству
90, 92, 93
— — — — — открытому множе-
ству 84
— — функции по измеримому мно-
жеству 108
— — области 85
— по открытому множеству 86
— , равномерно сходящийся при
данном значении параметра 128,
129, 130
Интегральное уравнение для внеш-
ней задачи Дирихле 269
—------------Неймана 268
--------внутренней задачи Дирих-
ле 268
-------------Неймана 269
-----, единственность решения 249
— — , метод последовательных при-
ближений решения 246
-----, общее решение 245
-----, решение в виде степенного
ряда 246
-----с вещественным симметриче-
ским ядром 354
-----Фредгольма 2-го рода 232,
244
— — —--------f соответствующее
однородное уравнение 245
—---------— с параметром 245,
-----, частное решение 245
Интегральные уравнения с неогра-
ниченными ядрами 264
Интегральный признак обраще-
ния функции в нуль 115, 116,
118
Интегрирование знакопеременных
функций 101, 105
Интегрируемая по области функция
85
— —------в смысле Лебега 96,
102
— со своим квадратом функция 324
Истокообразно представленная функ-
ция 378
Канонический вид уравнения в част-
ных производных 43
Кирхгофа метод решения задачи
Коши для волнового уравнения 194
440
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Кирхгофа формула 198
Колебание круглой мембраны 412
— мембраны, задача 14, <30
— прямоугольного параллелепипеда
397 \
— струны, задача 11, 12, 29 |
— функции 84
Колебаний мембраны уравнение 15,
30, 43
— струны уравнение 13, 29, 43
Колебания прямоугольной мембра-
ны 401
Компактное множество функций 361
-----— в смысле равномерной схо-
димости 362
—------------сходимости в сред-
нем 362
Коноид характеристический 193
Координаты нормальные 402
Корректность постановки задачи 36
— — — Коши для волнового урав-
нения 202
-----краевых задач для волнового
уравнения 321
-------------уравнения теплопро-
водности 313
Коши задача 31, 37, 50, 53, 77
-----для неограниченной струны
53
-------струны с закреплёнными
концами 56
-------уравнения 2-го порядка
в общем виде 50
-------— гиперболического ти-
па, решение методом Римана 70,
73
Коэффициенты Фурье 340
Краевая задача первая для гипер-
болических уравнений 63, 65,
67, 74
Краевые (граничные) условия 31
Кузьмин Р. О. 409
Кусочно-гладкая поверхность 9
Лапласа оператор 16
-----на поверхности сферы 426
— уравнение 19, 38, 43, 44, 149,
417
— — в криволинейных координатах
408
— — — нормальных координатах
408
— цилиндрических координа-
тах 409
— уравнения, фундаментальное ре-
шение 153 (
— формула 436
Лебега интеграл 79, 96, 99> 100
Лебега-Фубини теорема 124, 126„
127
Лебегова мора множества 95
Лежандра полиномы 432
Лиувилля теорема 171
Лиувилля-Штурма уравнение 390
Логарифмический потенциал двой-
ного слоя 242
---простого слоя 241
•--распределённых масс 237
Лоренца преобразования 44
Ляпунова лемма 302
— поверхность 208
Максимума гармонической функцию
теорема 150
Мембрана 14
Мембраны круглой колебание 412
— прямоугольной колебание 401
Мера множества 95, 103, 106
Мерсера теорема 381
Метод Кирхгофа решения зада-
чи Коши для волнового уравне-
ния 194
— последовательных приближений
решения интегрального уравнения
246
— Фурье, обоснование 381
---, приложение к интегриро-
ванию неоднородного волнового
уравнения 347
— — , применение к решению за-
дачи о колебании прямоугольного
параллелепипеда 397
Минковского неравенство 323, 335
Множество внутреннее сеточное 85
— замкнутое 80, 82
— измеримое 106
— нигде не плотное 82
— меры нуль 109
— открытое 79
— пустое 80
— функций компактное 361
--------в смысле равномерной схо-
димости 362
----------— сходимости в сред-
нем 362
— — , ограниченное в среднем
362
---, равностепенная непрерыв-
ность 361
Нагруженное симметрическое ядро
354
Начальные условия (данные Коши>
ч
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
441
Оеймана задача 31
— — внешняя 229
— — — , сведение к интегрально-
му уравнению 233
— — внутренняя 229
—. t необходимые и доста-
точные условия разрешимости
----— f сведение к интегрально-
му уравнению 233
-----для полуплоскости 238
— — — полупространства 185
-----, единственность решения 230
— функция 409
Неопределённый интеграл от функ-
ции одной переменной 103
Непрерывная зависимость в среднем
порядка (р. к) 35, 36
-----порядка (р, к) 35, 36
<----решения от предельных дан-
ных 34, 35
— в точке по множеству функция
83
— на множестве функция 83
Непрерывность абсолютная интегра-
ла Лебега 99
— в среднем 323
-т- собственной функции 369
Неравенство Бесселя 374
— Буияковского 328, 334
— Минковского 323, 335
Неразрывности уравнение 16, 19
Норма функции 323
Нормальные координаты 402
Ньютонов потенциал 154, 172
— — , физический смысл 154
Область 79
Обобщённая функция Грина 292
Обобщённое решение волнового урав-
нения 324
-----уравнения Лапласа, дифферен-
цируемость 329
--------теплопроводности 315
----------t дифференцируемость
329
Обоснование метода Фурье 381
Общее решение интегрального урав-
нения 245
Объединение множеств, см. Сумма
множеств
Однородная задача 284
О наибольшем и наименьшем преде-
лах последовательности лемма 118,
119
Оператор вполне непрерывный 362
— дифференциальный 274
Оператор Лапласа 16
— — на поверхности сферы 426
— самосопряжённый 278
— усиленно вполне непрерывный
362
Ортогональные с весом р (Р) функ-
ции 358
— функции 254
Основная лемма об интегралах со-
пряжённых уравнений 281
О среднем значении теорема 95
Остроградского формула 10
Отрицательная часть функции 101
Параболического типа уравнение,
приведение к каноническому виду
47, 48
Передачи тепла уравнение 23
Пересечение множеств 80
— ограниченны замкнутых мно-
жеств, свойство 81
Петровский И. Г. 361
Плотность ныотонового потенциала
154, 172
Поверхности характеристик 193
Поверхность кусочно-гладкая 9
— Л япунова 208
Полиномы Лежандра 432
Положительная часть функции
101
Полное разделение переменных в
уравнении Ди~0 412
Полюс функции Грина 308
Последовательность сходящаяся 119
— — в себе 120
— функций, равномерная сходи-
мость в среднем 323
Постоянная Эйлера 410
Построение функции Грина 288
Потенциал двойного слоя 153,
154
— — — , геометрический смысл
155, 158
— — — логарифмический 242
--------7 поведение в бесконеч-
ности 227
— — — t свойства 209, 210, 213
— простого слоя 153, 154
— — — ? логарифмический 241
— — — , поведение в бесконечно-
сти 227
— — .— ? свойства 216
.— ----f физический смысл 155
— распределённых масс логарифми-
ческий 237
— Робэна 272
Потенциалы запаздывающие 198
442
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Поток тепла 22
Правильная нормальная производ-
ная 225
— — — потенциала двойного слоя
226
Предел последовательности 119
-----в смысле Лебега, достаточные
условия существования 123
-----наибольший 119
-----наименьший 119
-----обобщённый 120
Предельные условия 33
Преобразования Лоренца 44
Приближение функции с помощью
сферических функций 421
Притока тепла уравнение 25, 30
Продольные колебания стержня со
свободными концами 351
Производная от неопределённого ин-
теграла 103
Производящая функция полиномов
Лежандра 433
Прямоугольного параллелепипеда
колебание 397
Прямоугольной мембраны колеба-
ния 401
Пуассона уравнение 149
— — в неограниченном простран-
стве 171
— формула 180, 240
-----для волнового уравнения 199
Равновесие мембраны, уравнение 15
— струны при поперечной нагрузке,
уравнение 13
Равномерная сходимость в сред-
нем, последовательности функ-
ций 323
Равномерно непрерывная на множе-
стве функция 84
Равностепенная непрерывность мно-
жества функций 361
Равностепенно абсолютно непрерыв-
ное семейство интегралов Лебега
122
Разделение переменных 338
Разложение резольвенты 392
Разность множеств 81
Распространение звука, уравнение
23, 26, 27, 30
— тепла в неограниченной среде,
задача 136, 142
----- , задача 22, 30
—‘ , уравнение 136
— — f t корректность постанов-
ки задачи Коши 147
Распространение тепла, уравнение,,
решение задачи Коши 142, 144,
146, 147
— — ? , частное решение 137
Расстояние между двумя система-
ми предельных функций 33, 34,
35
— точки до замкнутого множества 84
Резольвента 392
Резольвенты разложение 392
Решение интегрального уравнения
в виде степенного ряда 246
— уравнения Лапласа для ша-
ра методом разделения перемен-
ных 430
Римана метод решения уравнений
гиперболического типа 70, 73
— формула 72
— функция 72, 74, 76
-----дЛЯ сопряжённого уравнения
\ 75, 76
Рисса-Фишера теорема 325, 335
Робэиа задача 272
— потенциал 272
Ряд билинейный для непрерывного*
ядра, свойство 381
-------повторного ядра 379
— сходящийся в себе в смысле
Лебега 122
-----в смысле Лебега 122
Самосопряжённое семейство функ-
ций 278
Самосопряжённый оператор 278
Свободных колебаний струны урав-
нение, решение Да ламбер а 52,
53
Свойства собственных значений 340
----- функций 340
— скалярного произведения двух
функций 357
— функции Грина 289
Семейства функций сопряжённые 275,
278
Семейство функций самосопряжённое
278
Сетка 85
Симметрическая функция 354
Симметрическое ядро вещественное
354
— — нагруженное 354
Симметричность функции Грина для
задачи Дирихле 305
Симметрия функции Римана 75
Система гармонических полиномов
419
— множеств внутренняя 110
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
443
Система множеств исчерпывающая
(интеграл) 99
—-------(область) 85
Скалярное произведение двух функ-
ций 357
—. — — — , свойства 357
Смирнов В. И. 409
Собственная функция 272, 339
-----, непрерывность 369
— — , существование 366
Собственное значение, существова-
ние 366
Собственные функции, свойства 340
— значения 339
— — , доказательство свойств 381—
389
-----однофазного интегрального
уравнения 254
— — , свойства 340
— функции, доказательство свойств
381—389
Соответствующее однородное урав-
нение для интегрального урав-
нения Фредгольма 2-го рода
245
Сопряжённость дифференциальных
операторов 67, 68
Сопряжённые семейства функций
275, 278
Сопряжённый дифференциальный
оператор 274, 278
Состояния газов уравнение 25
Союзное интегральное уравнение
254
Спектр собственных частот колеба-
ний 350
Среднее арифметическое для гармо-
нической функции, теорема
161
Стержень со свободными концами,
продольные колебания 351
Степанов В. В. 361, 402
Струна И
Сумма множеств 79
Суммируемая функция 79, 96, 102,
104, 105
— на измеримом множестве функция
108
— по области функция в смыс-
ле Лебега 96, 101, 102, 104,
105
Существование решения внутренней
задачи Неймана 272
— собственного значения 366
— собственной функции 366
— функции Грина 289
Сферические волны 196
Сферические гармоники 421
— функции 421
Сходимость в среднем последователь-
ности функций с интегрируемым
квадратом модуля 360
• — последовательности 119
— — почти всюду 110, 111
— равномерная интеграла при дан-
ном значении параметра 128,
129, 130
Теорема см. соответствующее на-
звание
Теория устойчивости 38
Теплопроводности уравнение 23, 30,
43, 44, 311
-----, корректность постановки
краевых задач 313
Тип уравнения в частных производ-
ных 43
Типы уравнений: эллиптический, ги-
перболический, параболический,
нормально-гиперболический, нор-
мально-параболический, эллипти-
ко-параболический, гиперболо-па-
раболический 43
Точки взаимносопряжённые 168
Уравнение см. соответствующее на-
звание уравнения
Усиленно вполне непрерывный опе-
ратор 362
Условия сопряжённости двух се-
мейств функций 276
Устойчивость по Ляпунову 38
Фишера-Рисса теорема 325, 335
Фредгольма теорема 256, 259
Формула см. соответствующее на-
звание формулы
Фубини-Лебега теорема 124, 126,
127
Фундаментальная функция 270
Фундаментальное решение уравне-
ния Лапласа 153
— — — распространения тепла 137,
148
Фундаментальные функции вещест-
венного симметрического ядра,
свойства 359
Фурье метод, обоснование 381
— метод, приложение к интегриро-
ванию неоднородного волнового
уравнения 347
-----, применение к решению за-
дачи о колебании прямоугольного
параллелепипеда 397
444
АЛФАВИТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Функция см. соответствующее на-
звание
Характеристика 49, 51, 63, 77
Характеристики волнового уравне-
ния 193
Характеристическая функция 106
— — множества 106
Характеристические числа одно-
родного интегрального уравне-,
ния 254
Характеристический коноид 193
Частное решение интегрального
уравнения 245
Шмидта-Гильберта теорема 378
Штурма-Лиувилля уравнение 390
Эйлер Л. 13
Эйлерова постоянная 410
Эквивалентные функции 110, 325
Эллиптического типа уравнение, при-
ведение к каноническому виду
46, 47
Ядро 244
— вырожденное 251
— положительно определённое 377
— почти регулярное 363
— симметрическое вещественное 354
---нагруженное 354