РЕШЕНИЕ

ЗАДАЧ

МЕТОЛОМ

Ф А.ОРЕХОВ
г

СОСТАВЛЕНИЯ

УРАВНЕНИЙ
Ф. А. ОРЕХОВ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
МЕТОДОМ
СОСТАВЛЕНИЯ
УРАВНЕНИЙ

ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
ВОСЬМИЛЕТНЕЙ ШКОЛЫ

Издательство „Просвещение"
Москва 1971
ОТ АВТОРА

Цель настоящего пособия — помочь начина-
ющим учителям в выборе методов обучения по
решению задач.

Пособие написано на основе долголетней
работы автора в школах, изучения опыта луч-
ших учителей города Магнитогорска и ана-
лиза методической литературы по этому во-
просу.

Естественно, что рекомендации автора сле-
дует рассматривать как один из возможных
вариантов обучения детей решению задач.
Каждый учитель, используя эти рекоменда-
ции, может сам внести в методику решения
задач много нового и полезного, сочетая при-
веденные рекомендации с другими приемами.

Применение новых для учителя приемов
окажется положительным в том случае, если
учитель глубоко осмыслит новое, вложит в не-
го долю своего творческого труда. ’Формаль-
ное же отношение к использованию чужого
опыта нередко приводит к печальным резуль-
татам. Новым надо овладеть, сделать его
собственным достоянием, и тогда можно поль-
зоваться им как хорошим средством.

Многие задачи включены в пособие по
просьбе учителей, участвовавших в семинаре
по решению задач, на котором разбирались
основные положения данного пособия.

Автор будет рад, если учителя в своей
практике используют полностью или частично
рекомендации из предлагаемого пособия, и за-
ранее благодарит всех за доброжелательную
и принципиальную критику этой книги, за по-
лезные советы и указания, которые автор
с удовольствием примет для собственного со-
. вершенствования.

Пользуясь случаем, выражаю искреннюю
благодарность К. П. Сикорскому, П, М. Эрд-
ниеву, П. В, Стратилатову за их ценные указа-
ния и советы. Автор выражает благодарность
старшему преподавателю Магнитогорского пе-
дагогического института Т. М. Щукиной, кан-
дидату педагогических наук В. Г. Захаровой
и учителю математики школы № 41 города
Магнитогорска И. М. Мустафину за их добрые
советы и замечания/ которые помогли улуч-
шить пособие, а также учителям города Маг-
нитогорска Е. И. Чернышевой й А. А. Клочко-
вой, проводившим эксперимент при обучении
решению задач в V классе.
ВВЕДЕНИЕ

•.. Составление уравнения
данной задачи есть основной
прием, посредством которого
м атематика	применяется

к естествознанию и технике.
Без уравнения нет математи-
ки как средства познания при-
роды.

П. С. Александров

В методической литературе, в официальных
указаниях Министерства просвещения, в прак-
тике лучших учителей большое внимание уде-
ляется воспитательной задаче обучения мате-
матике, формированию и развитию мышления
детей, выработке рациональных качеств мьйн-
ления (порядка, точности, сжатости, схемати-
зации).

Особое значение при этом приобретает вы-
работка общих и специальных методов реше-
ния задач, формирование умений и навыков
математической обработки различных фактов
из реальной жизни.

Наука и жизнь требуют от школы не только
сообщения определенных познавательных фак-
тов своим воспитанникам, но и систематиче-
ского ознакомления их с идеями и методами
науки, передачи им интеллектуального опыта
человечества,

В книге «Алгоритмизация в обучении»
Л. Н. Ланда справедливо замечает, что учени-
ки. «при изучении математики имеют знания
о содержании учебного материала — знают
теоремы и правила, но не знают общих мето-
дов решения задач, не владеют необходимыми
в данном случае приемами рассуждений...
Учителя специально этим приемом часто не
обучают учащихся- Это и неудивительно, по-
скольку многие из этих приемов не выявлены
и не сформулированы в самой науке» ([32],
стр» 27).

Важно не только сообщить учащимся све-
дения об этих приемах и методах, но и добить-
ся того, чтобы приобретенные знания о мето-
дах ученики фиксировали. Это диктуется еще
и тем, что в существующих учебниках и сбор-
никах для учащихся недостаточно указаний,
касающихся общелогических й специальных
методов познания, применяемых при изучении
математики в школе. Мало таких указаний
и по решению задач методом составления
уравнений.

Разрозненные указания учителей, как пра-
вило, учащимися не записываются и не систе-
матизируются. Поэтому все эти указания, рас-
считанные только на память, быстро забыва-
ются учениками, и решение каждой новой за-
дачи они начинают как бы «без руля и без
ветрил».

Хотя в учебниках по алгебре имеются об-
разцы решения задач и некоторые указания
к составлению уравнений, эти разъяснения
не дают ученику достаточно прочной основы
к овладению решением задач.

Есть и другие причины неудовлетворитель-
ного решения учащимися задач методом урав-
нений.

Учителя мало внимания уделяют конструи-
рованию составных задач из основных, а так-
же анализу задач. В школьных учебниках ма-
ло внимания уделяется системе конструктив-
ных упражнений по составлению задач.

‘Необходимо отметить еще и то, что в прак-
тике многих учителей преобладает прием
длинного словесного объяснения решения за-
дачи методом составления уравнений.

К причинам неудовлетворительного реше-
ния задач следует отнести слабые навыки уча-
щихся в схематической и символической запи*.
си условия, способствующей анализу и син-
тезу задачи, более яркому выражению зависи-
мостей между величинами, входящими в за-
дачу.

Многие учащиеся слабо представляют себе
функциональную зависимость между величи-
нами, входящими в задачу, не умеют выра-
жать эту зависимость в символах и потому
плохо переводят словесные тексты на абст-
рактный язык математики.

Некоторые учащиеся не понимают, что зна-
чит решить задачу, и потому дают неполное
решение задачи, пишут в ответе корень урав-
нения, не являющийся решением задачи.
1Идеи и принципы содержания
 и методики решения вадач.

Понятие функциональной
зависимости должно стать не
только одним из важнейших^
понятий школьного курса ма-
тематики, но и основным стер-
жнем, проходящим от элемен-
тарной арифметики до высших
разделов алгебры, геометрии
и тригонометрии, вокруг кото-
рого группируется все мате-
матическое преподавание.

Л. /7. Хинчин

Обучение учащихся решению, задач содержит в себе
две важные составные части: выполнение подготови-
тельных упражнений и решение текстовых задач.

В процессе обучения решению задач ученики должны
в известной мере овладевать основными идеями школь-
ной математики, а именно:

функциональной зависимости;

равенства, неравенства;

тождественных преобразований;

соответствия, порядка, расположения;
непрерывности;

доказуемости заключений относительно свойств про-
странственных форм и количественных соотношений в них;

применимости числа и меры к явлениям окружающего
мира.

. Система работ по формированию у школьников уме-
ний и навыков выполнения подготовительных упражне-
ний и решения задач должна строиться на определенных
принципах. В данной работе к таким общим и методико-
математическим принципам относятся:

1.	Гносеологический принцип познания — единство
анализа и синтеза.

2.	Методико-математические принципы:

Идейно-теоретическая направленность в обучении,
особенно использование идей функциональной зависи-
мости «
Овладение общелогическими и специальными мето-
дами познания, применяемыми при изучении математики
в школе, особенно методами исследования различных
процессов на основе учета всех возможных разновидно-
стей данной ситуации, всех возможных соотношений меж-
ду величинами, входящими в задачу.

Конструктивный подход к решению задач.

Ретроспективный и перспективный подход к решению
задач, принцип обратной связи.

Повторяемость упражнений по спирали с постепен-
ным усложнением, включением новых знаний в систему
ранее приобретенных^

Самостоятельность выполнения упражнений каждым
учеником, внедрение элементов индивидуализации обу-
чения детей в коллективе.

Самообучение и взаимное обучение.

Все задачи школьной математики сводятся к неболь-
шому числу зависимостей, которые приводят к несколь-
ким типам уравнений. Ряд авторов, в том числе Н. Ост-
ровский и А. Н. Барсуков, указывают следующие виды
уравнений, к которым сводится решение задач методом
составления уравнений первой степени.

1-й тип задач. Задачи, приводящие к уравнениям ви-
да f(x)^ct Например, ах+Ь = с.

Задачи этого типа тесно связаны с арифметическими
задачами на зависимость между компонентами и резуль-
татами действий. Сюда относятся и задачи на деление
с остатком.

2-й тип задач. Задачи, приводящие к уравнению вида:
/(л) = <р(л). Например, ах + b = сх + d.

Эти задачи алгебраического характера.

3-й тип задач. Задачи, приводящие к разностному
и краткому сравнению величин путем сопоставления зна-
чений двух алгебраических выражений однородных вели-
чин. Решение таких задач приводит к уравнениям вида:

a)	f(x) «= <р(л 4- т). Например, ax^b==(cx-[-d)-]-tn;

б)	/(л) = k <р(л). Например, ах-\-с = k(cx-\-d).

В некоторых пособиях третий тип задач рассматри-
вают как варианты второго типа.
Задачи школьной математики, приводящие к квадрат-
ным уравнениям, в своей основе содержат комбинации
двух линейных функций и их произведений, а также со-
отношения между функциями второй степени, аналогич-
ные соотношениям, приведенным в трех типах задач для
уравнений первой степени-.

Функциональный подход к решению задач будет со-
действовать формированию у учащихся умений и навы-
ков в исследовании процессов' реальной жизни; развитию
их функционального мышления, способностей в анализе
и синтезе, в индукции и дедукции. Без функционального
подхода мы волей-неволей будем учить лишь решению
отдельных задач; в итоге учащиеся» из-за этих задач не
увидят математики, ее идей и методам

Особое значение в развитии функционального мышле-
ния имеет составление таблиц, схем, графиков^ диа-
грамм и формул.
2 Организация процесса учения
 детей при решении задач

Я готов думать, что если уче-
ние математике, столь свой-
ственное уму человеческому,
остается для многих безуспеш-
ным, то это по справедливос-
ти должно приписать недо-
статком в искусстве и способе
преподавания.

Н. И. Л обачевский [14]

ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЕ УПРАЖНЕНИЯ

Рассматривая содержание и методику подготовитель-
ных упражнений, мы должны ответить на следующие
вопросы:

1.	Какие упражнения следует выполнять?

2.	Зачем их выполнять?

3.	Когда их выполнять?

4.	Как при этом будут работать дети, какие качества
при этом у них будут воспитываться?

Что и зачем выполнять? Подготовительные упражне-
ния можно разбить на две группы:

1.	Система упражнений, не связанных с изучением
текущего материала. Цель таких упражнений—система-
тическое повторение основных фактов и теоретических
положений, уяснение логики и структуры изучаемой дис-
циплины.

2.	Система упражнений, преследующих подготовку
учащихся к решению составных задач, с которыми уче-
ники ранее не встречались.

Эти два положения отвечают на первые два вопроса:
что выполнять и зачем выполнять.

Важное значение для составления уравнений по усло-
вию задач имеют навыки в записи алгебраических выра-
жений, равенств, неравенств с целью уяснения «основных
понятий и соотношений: равно, больше на столько-то,
больше во столько-то раз, процент, отношение и др.
Для отработки этих понятий и соотношений между
ними необходимы систематические упражнения в записи
алгебраических выражений во всех классах восьмилетней
школы. Существенно важно, чтобы упражнения носили
не только абстрактный характер, но и характер практи-
чески целесообразных задач.

Полезно, чтобы каждый ученик приобрел умения
и навыки в записи под диктовку учителя алгебраических
выражений, соответствующих сущности основных поня-
тий, зависимостей и соотношений. Большое значение
имеет запись формул, выражающих функциональную
зависимость между величинами. Упражнения такого
рода важны для уяснения учащимися сущности функ-
циональной зависимости, аналитического выражения
этой зависимости, развития функционального мышления.

Приведем упражнения, которые целесообразно да-
вать систематически, повторяя их время от времени.

1.	Скорость равномерного движения тела v, время движения t,
путь з. Запишите формулы для определения s, v и t.

2.	Цена товара К, количество товара tn, стоимость с. Запищите
формулы зависимости между с, К и т.

3.	Производительность труда л, время работы t, объем выполнен-
ной работы А. Выразите зависимость формулами для 4, п и t.

4.	Приняв объем- работы за 1, запишите формулу зависимости
между производительностью л, временем, необходимым для выпол-
нения этой работы, t и объемом работы 1.

5.	Мощность двигателя w, время работы Л работа А. Выразите
зависимость формулами для A, w и t.

л

6.	Расход горючего на 1км пути составляет п пробег машины
з км, объем израсходованного горючего v л . Выразите зависимость
формулами для vf s и п.

7.	Длина окружности колеса С, число оборотов, сделанных ко-
лесом л, пройденный путь з. Выразите зависимость формулами для
Ct s и п,.	'

8.	Два шкива соединены ременной передачей. Выразить форму-
лой зависимость между длинами их окружностей С\ и С2 и числом
оборотов «1 и n2, которые делают шкивы в единицу времени. Выра-
зите каждую из четырех величин через остальные три.

9.	Выразите формулой количественное состояние величины, если
ее начальное состояние Я, происшедшее изменение М, конечное со-
стояние К. (Возможны случаи: Н+М—К,\ Н-М.—К; Н:М=К.)

10.	Резервуар объемом V наполняется трубой за t ч, производи-
тельность трубы л л в час. Выразите зависимость между величинами
формулой V> п и t.

11.	Приняв объем резервуара за I, выразите зависимость между
производительностью п трубы, наполняющей резервуар, временем на-
полнения t и объемом 1.
12.	Вкладчик внес в кассу а руб. по 3% годовых. Выразите его
капитал через год формулой, обозначив этот капитал буквой А.

13.	Вкладчик внес в сберкассу а руб. по р°/о годовых. Выразите
его капитал через год, обозначив этот капитал буквой К.

14.	Выразите формулой зависимость между массой т, объемом
v и плотностью d. Запишите выражения для каждой величины.

15.	При делении 20 на 6 в частном получается Зив остатке 2.
Свяжите все эти числа формулой. Выразите каждое число через
другие.

16.	Выразите формулой зависимость между делимым а, делите-
лем Ь, частным q и остатком г. Выразите каждое число через ос-
тальные. 4

17.	Составьте эскизы известных фигур и запишите формулы для
вычисления их площадей, обозначив стороны основания буквами а
и bt высоту буквой й, радиус г, площадь 5 с соответствующими ин-
дексами, например площадь треугольника S3.

18.	Запишите формулы для вычисления объемов известных вам
тел, составив предварительно эскизы и обозначив необходимые эле-
менты.

ц

19.	Урожай с одного гектард а —> площадь S га, вес урожая
Р ц. Выразить зависимость между a, 5 и Р формулой.

20.	Собственная скорость катера рс, скорость течения воды vB,
скорость против течения vn, скорость по течению ят.' Разность меж-
ду скоростями по течению и скоростью против течения (vT— vn).
Составьте различные формулы, содержащие эти величины.

В отдельных упражнениях целесообразно указывать
размерность величин.

Подготовительные упражнения полезно выполнять во
всех разделах школьной математики в сочетании с изу-
чением текущего материала.

Перед решением сложных задач полезны постепенно
усложняющиеся упражнения, приводящие в конечном
итоге к рассматриваемому типу задач. Главным в этих
упражнениях следует считать выявление закономер-
ностей, установление функциональной зависимости, вы-
ражение этой зависимости формулой.

Рассмотрим несколько задач, при решении которых
выявление закономерностей приводит к необходимому
уравнению.

Задача. При выпечке ржаного хлеба припек состав-
ляет 0,3 массы взятой муки. Сколько муки нужно взять,
чтобы получить 26 кг печеного хлеба?

В задаче очень важно установить функциональную
зависимость между весом муки, весом печеного хлеба
и припеком.
В этих целях полезно составить следующую таблицу,
отражающую своеобразный эксперимент по составлению
задач.

Масса муки (Рм кг)	Припек (в частях)	Припек (в кг)	Масса хлеба (Рх кг)  •  — —
1  2  3	0,3	1-0,3=0,3	14-0,3=1,3  1,3-2  1,3-3

Во втором и последующих случаях результаты запи-
сываются на основании пропорциональности веса хлеба
и веса муки.

В итоге проведенного исследования получается общая
формула для решения прямой и обратной задачи.

р = 1 3 . р • Р = $на же ^ает возможность
х > м» м 1з J определить коэффициент
пропорциональности и про-
цент припека /( из формулы
Р* = КРМ.

Сам процесс решения таких задач способствует тому,
чтобы учащиеся овладевали идеей функциональной зави-
симости между величинами, входящими в задачу, мето-
дами и техникой расчетов.

Можно высказать одно общее пожелание учителям:
прежде чем приступить с учениками к решению составной
задачи, целесообразно на уроке составить вместе с ни-
ми аналогичную задачу из основных простых, комбини-
руя и усложняя последние. Тот, кто научился хорошо
строить, будет хорошо разбирать построенное без лиш-
них потерь времени и сил. Пример таких задач дан на
странице 83—84.

Когда выполнять подготовительные упражнения?
Упражнения, не связанные с изучением текущего мате-
риала, направленные на усвоение основных фактов, идей
и методов, целесообразно выполнять систематически
с определенной повторяемостью, по спирали, обогащая
известное новыми фактами. В практике работы лучших
учителей Магнитогорска установилось правило: каждый
вид основных упражнений повторять ежемесячно. Не сле-
дует стремиться к тому, чтобы подобные упражнения вы-
поднялись на каждом уроке, однако нецелесообразно де-
лать чрезмерно длительные перерывы в их выполнении.

В зависимости от содержания урока упражнениям от-
водится различное время. Если урок посвящен изучению
нового материала, то повторительные упражнения целе-
сообразно отнести на конец урока. На тренировочных
уроках такие упражнения можно давать в начале урока.
В некоторых случаях подобные упражнения можно вклю-
чать небольшими порциями в изложение материала
урока.

Как выполнять упражнения? Как при этом будут ра-
ботать дети? Существуют различные способы и приемы
активизации выполнения упражнений каждым учеником

Если учитель диктует условие и предлагает ученикам
кратко в символической форме записать его, то при этом
почти не бывает неработающих детей. Для учащихся
фиксирование условия является своеобразным включени-
ем в работу. В этот период каждый из них мобилизует
свои чувства и мышление на дальнейшую активную ра-
боту.

Например, учитель диктует: Найти число, -у кото-
рого равны 12,6. После слов учителя «Найти число» де-
2

ти пишут в своих тетрадях: х; после слов « -у которого»
они пишут: х» -у; наконец, записывают:	=12,6.

Таким образом, некоторая часть работы уже выполнена
самостоятельно, остается ее продолжить. Хорошо извест-
на истина — трудно начало дела. Когда начало положено,
то дальнейшая работа уже совершается с определенным
интересом. Поэтому после записи условия пример ре-
шают все ученики.

Вместо диктанта полезно во многих случаях записы-
вать условие задачи на переносной доске в словесной
форме. Учащиеся записывают его в символах в своих
тетрадях и затем выполняют действия.

Во многих случаях условие может быть изображено
учащимися с помощью чертежей и других иллюстраций.
Например, пусть решается задача: Определить сторону
квадрата, если с увеличением одной из его сторон на 2 см,
а другой на 3 см площадь полученного прямоуголь-
ника будет на 21 см2 больше, чем площадь квадрата.
После слов «определить сторону квадрата» учащиеся ри-
суют квадрат и пишут на его сторонах: х. После слов
«с увеличением одной стороны на 2 см, а другой на 3 см*
учащиеся чертя? прямоугольник, на сторонах которого
пишут: «(х+2) и (х+3)». Затем внутри фигур пишется
формула для вычисления площади, и затем задача ре-
шается. Такой порядок решения задачи дает возмож-
ность учащимся ощутить и образно представить величи-
ны, входящие в задачу, и зависимость между этими вели-
чинами<

После записи условия в краткой форме учащиеся вы-
полняют задание устно, а в необходимых случаях пись-
менно.

Таким образом, можно наметить следующую схему
выполнения упражнений: сообщение текста учителем,
символическая запись учащимися условий, устное или
полуписьменное решение, запись ответа, проверка реше-
ния учителем, или взаимная проверка решения учащими-
ся, или самостоятельная проверка решения. При любом
способе выполнения упражнения оно должно быть про-
верено самим учеником по контрольным ответам, запи-
санным на доске, или учителем. Если упражнения даются
с целью повторения и воспроизведения знаний, то полез-
но организовать взаимную проверку; если же учитель хо-
чет выставить оценки за упражнения, то проверять дол-
жен сам.

ЛОГИКО-ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ ЭТАПЫ
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ.

ПРАВИЛО РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
(Рекомендации для учащихся.)

Надежность деятельности ученика при решении зада-
чи обуславливается его умением выбора нужных опера-
ций, приводимых к получению желаемого результата.
Выбор операций определяется структурой задачи, а так-
же сформированностью приемов умственной учебной дея-
тельности учащихся. Из этого вытекает необходимость
расчленения задачи на составные элементы, отбор и со-
единение этих элементов в ином плане, обеспечивающем
активную работу учащихся. Из этого также вытекает не-
обходимость расчленения хода решения задачи на от-
дельные логико-психологические этапы, каждый из кото-
рых представляет собой определенную законченную часть
решения задачи, дающую возможность осуществить опе-
рации следующего этапа.

В логико-психологическом плане такие этапы, содер-
жащие определенные рекомендации, представляют собой
программу деятельности учащихся, вызывающую соот-
ветствующие операции на уровне познавательных процес-
сов — восприятия и мышления.

Без конкретной программы деятельности для учащих-
ся, без алгоритмов или общих указаний по поиску реше-
ния задач, по всей видимости, трудно организовать про-
цесс учения детей, ибо этот процесс имеет своими со-
ставными частями подражание и последующее творче-
ство.

В каждой задаче имеются явные и неявные данные
и зависимости между величинами. Явные данные и за-
висимости психологически представляют собой сильные
раздражители. Неявные данные, и особенно неявно вы-
раженные зависимости, являются слабыми раздражите-
лями, и потому дети в процессе решения задач часто не
учитывают их, пропускают и как итог не справляются
с решением задач.

Одна из важных задач учителя как раз и заключается
в том, чтобы научить детей делать неявное явным, слабые
раздражители сильными, научить детей выявлять и учи-
тывать все данные и зависимости условия задачи.

Процессы реальной жизни характеризуются величи-
нами, между которыми существуют определенные’зависи-
мости. Поэтому целесообразно научить детей начинать
решение всякой задачи с установления процессов, опи-
сываемых в задаче, затем выявлять величины, характе-
ризующие каждый процесс, уяснять функциональную за-
висимость между величинами. Все это представляет ана-
лиз задачи на функциональной основе, своеобразную тео-
рию решения задачи.

Установление процессов, выявление величин и уясне-
ние функциональной зависимости между величинами,
входящими в задачу, поможет учащимся неявно
выраженные данные и зависимости сделать явно выра-
женными, подготовить базу для решения задачи.

Автором и группой учителей магнитогорских школ
практически проверена следующая схема и основанные
на ней рекомендации к решению задач.

I этап. Анализ и собственная запись условия задачи*
Анализ чертежа, если он необходим и построен. Сюда ot-
носятся:

а)	установление объекта наблюдения (исследова-
ния);

б)	выделение процессов, подлежащих рассмотрению^

в)	выявление величин, входящих в каждый про-
цесс;

г)	уяснение функциональной зависимости между ве-
личинами и составление формул этой зависимости;

д)	схематическая запись условия задачи с обозначе-
нием неизвестных величин.

II	этап. Выявление основания для составления урав-
нения или системы уравнений.

III	этап. Составление уравнений или системы урав-
нений.

IV	этап. Решение уравнения (системы).

V этап. Исследование корней уравнения (системы)
с целью установления решений задачи. Смысловой ана-
лиз решения задачи. Проверка расчетов и обоснований.

VI этап. Запись ответа.

VII этап. Анализ решения задачи. Комментирование
решения задачи. Возвращение к решению задачи (ретро-
спективный подход) с целью уяснения и уточнения идей
и методов решения задачи, упрощение расчетов. Рассмот-
рение всех вариантов данной ситуации.. Выяснение воз-
можности обобщения. Установление общих правил для
решения подобных задач. Поиск более рациональных
приемов решения задачи.

Рассмотрим подробно каждый этап и рекомендации
для учащихся при решении следующей задачи, которая
предлагалась на выпускных экзаменах восьмых классов
в 1965 году: Автобус проходит расстояние АВ, равное
120 км, равномерно за определенное время. Однажды, че-
рез час после отправления из А, автобус был задержан
у шлагбаума на 10 мин и, чтобы прибыть в В по распи-
санию, должен был увеличить скорость на 6 км!ч. Най-*
та первоначальную скорость.
I э т а п. Анализ и собственная запись условия задачи.

Математическое описание процесса заключается
В установлении величин, характеризующих этот процесс,
в выявлении закономерных связей между величинами,
В записи формул, уравнений, или вычерчивании графи-
ков, отражающих эти зависимости, в определении неиз-
вестных различными способами.

Необходимым условием установления зависимостей
является ясное представление текста задачи. Каждое
слово задачи должно быть понято учеником. Если смысл
к>кого-либо термина, понятия неясен, ученик должен об-
ратиться за разъяснением к справочнику, учителю и дру-
гим источникам.

Следующим шагом должно быть осознание структуры
Задачи, выявление неявных данных и зависимостей меж-
ду величинами. Целесообразно, чтобы задача при этом
была расчленена на составные части и записана каждым
из учеников по-своему, но так, чтобы ничего не было
упущено из ее условия. Важно, чтобы при решении зада-
чи явные и неявные ее данные были приведены во вза-
имодействие, чтобы ученики могли провести эксперимент
с целью получения частных соотношений, на основе кото-
рых устанавливаются общие зависимости, закономер-
ности, а затем различными способами выразить один
и тот же факт.

Настойчивость, стремление к труду — залог успеха
в учении. Об этом хорошо сказано у В. И. Ленина: «...в но-
вом, необыкновенном, трудном деле надо уметь начинать
с начала несколько раз: начали, уперлись в тупик — на-
чинай снова,— и так десять раз переделывай, но добей-
ся своего». Хорошо, если эта мысль станет правилом
учения.

, По первому этапу целесообразно, чтобы ученикам
были даны следующие рекомендации:

1.	Уясните смысл текста задачи и значение каждого
слова. Вспомните или прочитайте определения понятий,
вошедших в условие задачи.

2,	Установите объект исследования (наблюдения).

3,	Выявите процессы, описываемые в задаче. Заметьте'
сколько их, сколько раз придется вести наблюдение,
сколько раз придется вести записи.
4.	Укажите величины, характеризующие каждый про-
цесс, обозначьте их и проставьте единицы измерения
(размерность), уясните зависимость между величинами
и запишите ее формулой. Если трудно написать формулу
сразу в общем виде, запишите ее на частных примерах,
а затем в общем виде.

5.	Запишите условие задачи в понятной и доступной
вам форме, для чего: выберите одну из неизвестных ве-
личин и обозначьте ее буквой, составьте для каждого
процесса задачи алгебраические выражения, включаю-
щие данные и неизвестные. Не забудьте о выбранных
единицах измерения, упростите все выражения.

Примечание. Если трудно сразу написать алгебраические вы-
ражения, то поставьте вместо неизвестного какое-либо правоподоб-
ное число и составьте все выражения на числах. Поняв структуру вы-
ражений, запишите их с буквой (х, у).

6.	Расположите записанные алгебраические выраже-
ния в порядке, удобном для расчетов и сравнений, ис-
пользуйте при этом таблицу, график, рисунок или тексто-
вое пояснение.

При решений приведенной выше задачи целесообраз-
но составить графическую иллюстрацию условия задачи,
на которую по мере анализа задачи следует нанести дан-
ные и неизвестные.

В тетрадях ученики пишут:

1. У с л овие«

-120км

хкм

120-Xкм
 — 

А

в

Остановка to мин

fl — 1 ч.

X

®2=(* + 6)

КМ
ч

s2 = (120 — х) км

Si — X км

. _ 120 — х
2~" х + 6

К
Иллюстрация и дополнительные подрисовки (стрел-
ки, знаки, символы и т. д.) содействуют более отчетливо-
му представлению отношений между частями задачи,
с&язей между величинами, порядком этих связей и неред-
ко приводят непосредственно к желаемому результату.

В данном случае иллюстрация может служить и за-
писью условия, так как в ней отражены все процессы
и величины, входящие в задачу, а также составлены не-
обходимые алгебраические выражения.

После иллюстрации и записи условия учащиеся пи-
шут в своих тетрадях:

Рассмотрим: 1) движение автобуса от А до В с на-
меченной скоростью; 2) движение автобуса от А до С
с намеченной скоростью; 3) движение автобуса от С до В
с првышенной скоростью. (Такая запись процессов была
сделана большинством учащихся школ города Магнито-
горска на экзаменах, поэтому мы их и рассматриваем
вначале, хотя есть и более рациональный выбор про-
’цеюсрв.)

'Величины, характеризующие каждый вид движения
(процесс): скорость время /• ч, путь $ км. Форму-
лы зависимости: s—v-t (учащимся со слабой успевае-
мостью целесообразно предложить записывать и произ-
водные формулы

Движение равно-
мерное

1. От А до В

2. от А до С

3. от С до В

Время (ч)

120_

1 ч

120—х
х 4-6

Примечания. 1) Процессы можно записать кратко, так как
они записаны полностью и пронумерованы.

2) После каждого выражения целесообразно сразу ставить знак
равенства, с тем чтобы потом записать числовые значения выражений.
Постановка знака равенства — важный психологический факт, напо-
минающий учащимся о необходимости последующей работы.
Запись формул, выражающих функциональную зави-
симость между величинами, представляет собой своеоб-
разную теоретическую основу решения задачи.

После установления основных объектов исследования»
процессов, описываемых в задаче, величин, входящих
в задачу, и формул, связывающих эти величины, есте-
ственной частью решения является перевод словесной
записи условия на язык математики.

Запись с помощью символов является своеобразным
приближением текста, структуры задачи к характеру
мышления ученика, с тем чтобы сделать символическую
запись условия задачи его собственным творчеством в вы-
явлении отношений между данными задачи.'Эта запись
должна соответствовать современному математическому
языку и речи учащихся.

Во всем, что -было сделано до сих -пор при ранении за-
дачи, преобладал анализ. Далее начинает преобладать
синтез на ином качественной основе — составление всех
необходимых соотношений между величинами, входящи-
ми в задачу. С этой целью ученики, выбрав одну из неиз-
вестных величин, входящих в задачу, и обозначив ее
буквой, составляют возможные «соотношения между ве-
личинами и записывают эти соотношения в определенном
порядке. Очень полезно при этом жтюльзовать таблич-
ную форму записи.

Отметим психо лого-педагогическую ценность таблиц.
Когда решающий не знает метода решения всей задачи,
то часто он начинает решать частные, более простые за-
дачи в надежде, что придет мысль о решении данной слож-
ной задачи. При этом табличная запись облегчает отбор
из ряда частных задач тех, которые нужны для решения
данной задачи.

Расчленение задачи есть основа анализа. Если рас-
члененные части будут логически закончены и вместе
с тем будет ясна их взаимосвязь, то структура задачи бу-
дет отчетливо отражена в сознании ученика, будет при-
ближена к особенностям его мышления, а это обеспечит
определенный успех в решении задачи.

Ученики младших классов средней школы лучше
справляются с задачами, если ее логические составные
части не очень велики и если числю тисковых путей
ограничено. При решении задач, как и в жизни, большое
число дорог и развилок затрудняет продвижение. Поэто-
му важно начать решать задачу одним каким-либо спо-
собом. Он либо приведет к решению, либо поставит ре-
шающего перед необходимостью искать другие пути.
В том и другом случае у решающего появится потреб-
ность в более глубоком анализе задачи. В. частности, этот
анализ даст возможность выявить рациональный путь
решения, ибо рациональность пути видна лишь тогда,
$огда мы этот путь совершим, лишь тогда мы увидим
другие возможные варианты пути.

Таблицд есть средство, орудие мышления при расчле-
нении задачи, на существенно важные составные части,
а также, и при синтезе этих частей, необходимом для со-
ставления уравнения. Каждая графа или строка табли-
цы по* своему содержанию есть логическая цельная- часть
задачи (например,, выражение скорости на данном уча-
стке). По своему психологическому действию часть таб-
лицы есть сигнал для мышления, указывающий на то,
что- определенная часть работы выполнена, этап пройден,
и можно подумать о том, что сделано и что следует де-
лать дальше. В закоичеынам ваде таблица дает возмож-
ность охватить одним взором: соотношения между' эле-
ментами всей задачи, обозреть задачу с целью поиска ее
решения.

Таблица, схема значительно проще и легче для детей,
чем текстовое объяснение хода решения задачи. Хорошее
текстовое объяснение можно составить только тогда, ко-
гда отчетливо видны все соотношения между частями за-
дачи и величинами, входящими в нее. Видеть же эти соот-
ношения можно только после решения задачи. Это опре-
деляет порядок ознакомления детей со способами объяс-
нения решения задачи: сперва табличная, схематическая
запись, затем текстовая.

Установление объектов исследования, выделение про-
цессов, подлежащих рассмотрению, и величин, входящих
в задачу, наличие формул зависимости способствуют
правильной и экономной записи условия задачи. Уча-
щимся при этом понятно, что есть явление и его частные
случаи, что существует зависимость между величинами
и эту зависимость желательно выразить формулой.
В процессе указанной работы учащиеся психологически
сближают математическую структуру задачи с ходом
собственного мышления.
II этап. Основания для составления уравнения.

Рекомендация 7« Выберите данное, которое не
вошло в схематическую запись условия задачи. Оно и бу*
дет служить основанием для составления уравнения. Со-
ставьте для него соответствующее алгебраическое выра-
жение с неизвестной величиной.

Если все данные вошли в схематическую запись усло-
вия, то основание для уравнения выражено словесно.
В этом случае поможет анализ фразы, указывающей на
сравнительную характеристику алгебраических выраже-
ний, например, их равенство, составляет половину, вдвое
меньше и т. д. Выбрав такую величину, для которой име-
ются два различных алгебраических выражения, следует
сравнить их числовые значения, что и послужит'основа-
нием для уравнения.

Возможны различные варианты для выбора алгеб-
раических выражений, поэтому целесообразно подобрать
такие, которые дают наиболее простые равенства.

В рассматриваемой задаче в схематическую запись
условия не вошло число-g-ч — разность между време-
нем первого процесса и суммой времени во втором
и третьем процессах. Оно и будет служить основанием
для составления уравнений. Ученики пишут в тетрадях:
«Основание для уравнения:

120

больше

III эта п. Составление уравнения.

Рекомендация 8. Удобно алгебраические выра-
жения, отражающие основание для составления уравне-
ний, записать на одной строке, так чтобы между ними
можно было поставить знаки действий или знак равен-
ства. Затем сравнить их числовые значения и установить,
какое из них больше, на сколько единиц или во сколько
раз. Это сравнение укажет, как надо изменить (умень-
шить, увеличить) одно из значений, чтобы можно было
поставить знак равенства.
В решаемой задаче на одной строке записываем вы-
ражения, оставляя место для знаков

120	120 —je	1

х	х + 6	6

Зная, что числовое значение первого выражения боль-
1

ше суммы значении второго и третьего на , расстав-
ляем знаки следующим образом:

120-х

120-х
х + 6

IV этап. Анализ уравнения и его решение.

Анализируя уравнение, целесообразно рассмотреть
наиболее рациональные способы преобразований. При
решении одной из задач получили следующее уравнение:

67,5	67,5	9,

х	2,5 х

Ученик VH класса, решая это уравнение, предложил
считать общим знаменателем 2,5 х, все остальные числа
рассматривал как целые. Другие ученики предложили
все члены уравнения умножить на 100. Предложение пер-
вого ученика в данном случае следует считать более ра-
циональным.

Рекомендация 9. При решении уравнения пер-
вой степени следует применить общепринятый алгоритм:

1.	Освободить уравнение от знаменателя. Для этого
необходимо умножить каждый член уравнения, на общий
множитель, равный наименьшему общему кратному
для всех знаменателей, и произвести сокращение.

2.	Раскрыть скобки* Это даст возможность отделить
известные от неизвестных.

3.	Перенести все известные в одну часть, а неизвест-
ные в другую часть уравнения.

4.	Привести подобные члены в обеих частях урав-
нения.

5.	Разделить обе части уравнения на коэффициент
при неизвестном, если этот коэффициент не нуль.

При решении уравнения второй степени выполняют
все необходимые тождественные преобразования, упро-
щают уравнение, приведя его к одному из видов
(х+а) (х+6) =0; ал24- Ьх 4- с = 0;

х2 + рх 4- q — 0; ах2 4- Ьх = 0; ах2 4- с = 0; ах2 == 0.

При выполнении вычислений рекомендуется прове-
рять их повторным выполнением или обратным действи-
ем, при этом, где можно, следует пользоваться таблица-
ми, счетной линейкой, справочниками или. применять
приближенные расчеты.

В данной задаче ученики пишут:

120 _ 120—х . 7

х х 4- 6	’ 6

После преобразования и решения получаются корни
уравнения:

Л! = 48; л2 = ~ 80.

V этап. Исследование корней уравнения для уста-
новления их соответствия условию задачи. Смысловой
анализ решения задачи. Проверка расчетов и обо-
снований.

Исследование решений задач с числовыми данными
сводится к выявлению решений задачи с помощью кор-
ней уравнения, к установлению соответствия значений
искомой величины смыслу задачи, к установлению обла-
сти допустимых значений искомой величины, к проверке
правильности решения. При этом необходимо учитывать
следующее. Уравнения могут иметь вполне определен-
ные решения, удовлетворяться любыми числами и не
иметь решений..В уравнениях первого вида корни могут
быть положительными, равняться нулю и быть отрица-
тельными. Не всякое положительное число может быть
решением задачи.

Отрицательные значения искомой величины могут
служить решениями задачи только в том случае, если
исследуемая величина может изменяться в двух направ-
лениях. Если же искомая величина не допускает толко-
вания в противоположном смысле, а ее значения полу-
чились отрицательными, то задача не имеет решения.
В некоторых случаях корень уравнения, равный нулю,
может удовлетворять условию задачи,
26
uНеопределенность уравнения связана с недостаточно-
стью условий для получения ограниченного числа кор-
ней. Алгебраические выражения,, составленные по усло-
вию задачи, нередко приводят в таких случаях к тожде-
ству, а не к уравнению. В отдельных случаях неопреде-
ленные решения задачи имеют смысл.

Для того чтобы учащиеся ясно себе представляли не-
обходимость и ценность исследования решений, их смыс-
лового анализа, полезно рассмотреть ряд целесообраз-
ных задач, в которых отражаются различные частные
случаи решений, требующих смыслового истолкования.

Рассмотрим конкретные примеры.

Задача. Некоторую работу 16 рабочих, работая
по 7 ч ежедневно, могут выполнить за определенное чис-
ло дней. Сколько часов в день должны работать чет-
веро рабочих, чтобы выполнить эту же работу в тот же
срок?

Обозначив искомое число через х, получим урав-
нение;

16	. х

4 “ 7 ‘

Из решения уравнения находим, что х=2&

Уравнение имеет вполне определенное решение, а за-
дача решений не имеет, так как число часов в сутки огра-
ничено 24 ч.

Важно показать ученикам, что не всякое положитель-
ное значение искомой величины является решением за-
дачи, что всякое решение задачи должно быть истолко-
вано на основе условия задачи, с точки зрения здравого
смысла.

Задача. Отцу 36 лет, сыну Гб лет. Через сколько
лет отец будет старше сына в 3 раза?

Приняв искомое число лет за х, получим уравнение!
364-х = 3(16+л).

Решение уравнения дает нам значение х=—6.

Уравнение имеет корень, а задача? Может показать-
ся, что задача не имеет решения. Однако это не так. Вре-
мя может быть истолковано с помощью нулевого, поло,-
жительных и отрицательных значений. Настоящее время
можно выразить числом 0, будущее — положительными
числами, прошедшее — отрицательными числами. При-
нимая это, можно истолковать полученный корень
уравнения следующим образом: отец был старше сына
6 лет назад,

Можно говорить о формулировке вопроса этой зада-
чи, его следовало бы сформулировать иначе, но, очевид-
но, и такая формулировка правомочна.

Задача. В портфеле было в два раза больше тет-
радей, чем в сумке. Если из сумки переложить 7 тетра-
дей в портфель, то в сумке окажется тетрадей в два раза
больше, чем в портфеле. Сколько тетрадей было в порт-
феле и в сумке?

Обозначив число тетрадей в сумке буквой х, получим
следующее уравнение: х—7=2(2х+7). Из решения на-
ходим х=—7. Уравнение имеет вполне определенное ре-
шение, а задача решений не имеет, так как число тетра-
дей не может быть отрицательным.

Что задача не имеет решения, учащимся видно и без
решения уравнений, многие об этом сразу заявляют учи-
телю. В таких случаях учитель может сказать: «Посмот-
рим, как несуразность задачи отразится на ее решении.
Что скажет математика?» Большинство детей и особенно
дети с пытливым умом с интересом начинают решать за-
дачу и сами ищут в решении противоречия.

Задача. Участок земли имеет форму квадрата. Если
сторону увеличить на 10 м, то площадь увеличится на
20 м2. Определить сторону квадрата до увеличения.

Приняв искомую длину за х, получим уравнение:

х2 + 20 х + Ю0	+ 20.

Решив уравнение, получим х=—4. Уравнение имеет
вполне определенный корень, а задача решений не имеет.

В этой задаче сразу не видно, что она не имеет реше-
ния. Поэтому в сочетании с предыдущей задачей она по-
могает учащимся уяснить сущность истолкования отри-
цательного ответа.

Отрицательный корень в уравнении к этой задаче го-
ворит о том, что условия задачи не могут удовлетворять
той ситуации, которая в ней описана. Можно сделать об-
щий вывод об истолковании отрицательных решений
уравнений. Если уравнение имеет отрицательные корни,
выражающие значения искомой величины, то эти корни
могут быть решением задачи в том случае, если искомая
величина может принимать противоположные значения,
28
в противном случае отрицательный ответ указывает на
противоречие в условиях задачи, а значит, и на то, что
задача не имеет решений. Полезно составить с ученика-
ми задачи с несовместимыми условиями.

Задача на истолкование нулевых реше-
ний. Отцу 36 лет, сыну 12. Через сколько лет отец будет
старше сына в три раза?

Решение ^очевидно, и многие ученики заявляют, что
здесь нечего решать. Однако полезно посмотреть, как ма-
тематика покажет этот ответ. Ученики в процессе самого
решения ищут ответ на вопрос.

Приняв искомое число лет за х, получим уравнение:

36 + х = 3 (12 + л).

Решение полезно записать в таком виде^

1)	36 + л = 3б + 3х;

2)	36-~36==3х — х;

3) 0 = 2х;

4) х = 0.

Здесь особо важно третье выражение. Оно ясно пока-
зывает, какое число надо умножить на два, чтобы полу-
чить нуль.

С настоящего момента прошло 0 лет,- т. е. отец стар-
ше сына в настоящее время.

Дети убедились, что математические расчеты пра-
вильно отражают процессы реального мира. Истолкова-
ние решений способствует воспитанию учащихся в мате-
риалистическом духе.

Задача. Сторона квадрата увеличивается на 4 см,
а площадь при этом увеличивается на 16 с;и2. Какова дли-
на стороны квадрата до увеличения?

Обозначив искомую длину через х, получим урав-
нение:

х2 + 8х + 16 = х2+16.

Решив уравнение, найдем х=0. Уравнение имеет
вполне определенный корень, а задача решений не имеет,
так как сторона квадрата не может равняться нулю
(в таком случае не будет квадрата}.

Можно сделать вывод: нулевые решения возможны
в тех случаях, когда искомая величина может принимать
нулевые значения.
Задачи не имеют решений. В левом кармане
денег в 3 раза больше, чем в правом. Если из левого
взять столько денег, сколько их в правом, а & правый
добавить 2 копейки, то в правом окажется их в два'раза
меньше, чем в левом. Сколько копеек было в каждом
кармане?

Обозначив число копеек в правом кармане полу-
чим уравнение:

2(л + 2) = Зл — х.

Преобразования:

2х 4- 4 = 2х;

2х — 2х — 4;	(2 — 2)х = 4

приводят к выражению О’Л=4. Откуда видно, что нет
такого числа, которое, будучи умноженным на нуль, да-
ло бы нам 4. Следовательно, уравнение решений не
имеет, а это значит, что и задача не имеет решений. Уче-
ники отчетливо понимают, что если математика дала вы-
ражение 0-х=ат где а — число, отличное от нуля, то это
означает, что числа х не существует, а, значит, задача*
приведшая к такому уравнению, не имеет решения.

Второй пример задачи, не имеющей решения. Если от
неизвестного числа вычесть 3 и к неизвестному же при-
бавить 7, то сумма квадратов вновь полученных чисел
равна 40. Найти неизвестное число.

Обозначив неизвестное число буквой х9 получим
уравнение

(л - З)2 + (л + 7)2 = 40.

После преобразования будем иметь:

х2 + 4x4-9 = 0. Откуда х, 2 = —2±рЛ4—9 =

= -2±К-5.

Корни уравнения не приводят к известным нам чис-
лам, а потому мы должны решение уравнения истолко-
вать следующим образом: среди известных нам чисел не
существует такого числа, которое удовлетворяло бы
условиям задачи. Задача не имеет решений в области тех
чисел, которые нам известны.
Задачи, приводящие к уравнению 0-х=0.
На тарелке орехов в 3 раза меньше, чем в вазе. Если на
тарелку положить еще столько же орехов, взяв их из
вазы, то и на тарелке и в вазе орехов будет поровну.
Сколько орехов в тарелке и в вазе?

Зх — х — х 4- х; Зх — Зх = 0;	х(3 — 3) = 0.

Получим: 0-х=0. Последнее показывает, что данному
уравнению удовлетворяет любое число, т. е. уравнение
неопределенное и имеет бесчисленное множество реше-
ний, А .задача? Решение задачи может иметь смысл,.
Пример этому — данная задача. Для получения ограни-
ченного числа решений в ряде задач необходимы допол-
нительные условия.

Исследование решений задач с буквенными данными
в восьмилетней школе довольно ограниченно. В кружках
и на факультативных занятиях объем такой работы мо-
жет быть значительно расширен.

Для проверки расчетов необходимо найти числовые
значения всех алгебраических выражении, записанных
в условии задачи, сравнить значения выражений, входя-
щих в уравнение. В процессе такой проверки происходит
переосмысливание задачи на основе числовых значений
данных величин. Ученик более отчетливо воспринимает
соотношение между величинами и тем самым закрепляет
навыки анализа задачи.

Рекомендация 10. Для установления истинных
решений задачи необходимо провести исследование кор-
ней уравнения, смысловой их анализ.

В тех случаях, когда искомое в задаче и неизвестное
в уравнении совпадают, необходимо учитывать сле-
дующее:

Если исследуемая величина ограничена и корень
уравнения выходит за пределы границ, то этот корень не
может служить решением задачи. Например, корень
уравнения — дробное число, а он по условию задачи мо-
жет быть только целым числом.

Отрицательные корни уравнения могут служить ре-
шением задачи в том случае, если исследуемая величина
может измениться в двух направлениях.

Нулевые решения уравнения могут быть решениями
задачи в том случае, если искомая величина может при-
нимать нулевые значения.
Если уравнение не имеет корней» то и задача не имеет
решений.

Тогда же» когда искомое задачи получается* в резуль-
тате выполнения некоторых операций с корнями уравне-
ния, аналогичные выводы должны быть сделаны относи-
тельно значений искомой величины.

Рекомендация 11. Проверить обоснование каж-
дого шага, всех операций.

В целях проверки расчетов полезно подставить в схе-
матическую запись условия задачи найденные допусти-
мые значения неизвестного и найти числовые значения
всех алгебраических выражений, записанных при состав-
лении уравнения. Сравните числовые значения правой
и левой частей.

В задаче, решение которой мы рассматривали, второй
корень отрицательный, скорость же в задаче нельзя ис-
толковать в двух противоположных смыслах, а пцтрму
второй корень следует отбросить.

Для проверки первого корня подставляем его значе-
ние в таблицу и получаем:

Процессы
(равномерное
движение)

1.	От Адо В

2.	от А до С

3.	от С до В

Скорость
/ км \

120

48 =22

1

120— х 72 4

х4-6 "54“ 3

Время (t ч)

120

х =48

120— х =72

В таблице все числовые значения соответствуют тек-
сту задачи. Разность времени 2 и2-у 11+-$-)

1 п	п 1 о 1	1

составляют ч. Пишем: 2-^--------2"^ —что соответ-

о	2 о о

ствует условию.

VI эта п. Запись ответа.

Важно приучить учеников давать ответы не по запи-
сям решений уравнений, а по тексту задачи. В этих це-
лях нужно обращать их внимание на то, что в таблице
мы получили много чисел, часть из них является ответом
на главный вопрос задачи. Поэтому ответ писать надо по
тексту задачи.

Рекомендация 12. Прочитать, что в задаче спра-
шивается, выбрать числа, соответствующие вопросу за-
дачи, и записать их в качестве ответа. Если таких чисел
нет, то ответ следует получить путем выполнения допол-
нительных действий над числами таблицы. Если ответ
состоит из нескольких чисел, то их записывают в том по-
рядке, в котором о них спрашивается в задаче.

В данной задаче спрашивается первоначальная ско-
рость автобуса. Пишем ответ: 48 км!ч,

VII этап. Анализ решения задачи.

Так как перед обучением ставится цель не только
сообщить ученикам определенную сумму знаний, но
и выработать у них умения и навыки самостоятельно ре-
шать задачи, а кроме того, овладеть идеями и методами
изучаемой дисциплины, то ответ на вопрос задачи не яв-
ляется конечным этапом решения. С этих позиций реше-
ние задачи выступает как стимул развития. К. Д. Ушин-
ский писал: «Пустая ни на чем не основанная теория ока-
зывается такой же никуда негодной вещью, как и факт
или опыт, из которого нельзя вывести никакой мысли, ко-
торому не предшествует и за которым не следует идея»*.

Седьмой этап можно назвать стадией идейного по-
знания, этапом осмысливания идей и методов решения
данной задачи и подобных ей, разработки правил для их
решения. Без этого решение задачи будет неполноцен-
ным, неоконченным.

Это важный этап рациональной организации умствен-
ного труда учащихся, предусматривающий анализ сде-
ланного, устранение ненужных операций, упрощение ре-
шения, поиск более рациональных приемов решения за-
дачи.

Одной из важных целей обучения школьников являет-
ся воспитание у них правильного мышления: фиксация
в памяти учащихся мыслительных операций, формирова-

* К. <Д. Ушинский. О пользе педагогической литературы.
В сб. «Избранные произведения». Приложение к журналу «Совет-
ская педагогика», 1946, вып. 3, стр. 9.
кие и развитие умственных действий. Возвращение к ре-
шению задачи как раз и преследует эту важную цель.
После решения задачи создаются 'благоприятные усло-
вия для рассмотрения с учащимися на конкретной осно-
ве последовательного хода мысли при решении задачи,
т. е. выяснение вопросов: как искали решение, как рас-
членили задачу, как рассуждали, как записывали, что
было сделано правильно, что требует улучшения, чему
научились, решая задачу, что дало решение для новых
расчетов, доказательств. Разбор этих вопросов очень ва-
жен как для обучения, так и для воспитания школь-
ников.

Установить рациональность пути к цели наиболее
просто после того, как этот путь хотя бы один раз проде-
лан. Поэтому для накопления опыта важно предложить
ученикам оглянуться назад, посмотреть, все ли сделано
хорошо, нельзя ли что-то улучшить. Это значит, что после
решения задачи целесообразно еще раз посмотреть, что
требовалось найти, какова идея задачи, какими метода-
ми мы обрабатывали факты, нельзя ли упростить рас-
четы, улучшить технику вычисления, решить задачу
иным способом, упростить запись решения.

После решения задачи очень важна постановка во-
проса о возможности проверки решения*

В процессе повторного просмотра решения и его ло-
гического анализа иногда совершенно неожиданно полу-
чаются новые результаты. Здесь происходит то же самое,
что и при повторном чтении книги, когда мы вдруг от-
крываем что-то новое, что при первом чтении не было за-
мечено. Для установления закономерностей в науке один
и тот же опыт проделывают несколько раз, т. е. повторно
рассматривают факты.

С практической точки зрения седьмой этап — этап
окончательной отработки решения, окончательной его от-
делки.

Рекомендация 13. Уяснить идею и метод реше-
ния задачи, особенности этого решения* Указать, что но-
вого в приемах решения.

Проверить, все ли различные случаи данной ситуации
рассмотрены, нельзя ли сделать ка’ких-либо обобщений.

Выяснить, нельзя ли рассмотреть другие процессы
для того, чтобы упростить решение задачи, сделать его
более рациональным. Попробуйте в этих целях по-иному

34

х.
записать зависимость между величинами, входящими
в задачу, и на основе этого составить качественно новое
уравнение. Например, вместо зависимости, выраженной
формулой s = v-t, при решении задач на движение мож-
но рассмотреть обратно пропорциональную зависимость
между скоростью и временем движения, выраженную
формулой Viti = v2t2 при одном и том же расстоянии, и по-
получить при этом иное, более простое уравнение.

Проследить, нельзя ли упростить расчеты.

Составить, если можно, для себя рекомендации, пра-
вило для решения подобных задач.

В рассматриваемой задаче можно было выбрать иные
процессы: 1) движение автобуса до шлагбаума с наме-
ченной скоростью; 2) движение после шлагбаума с наме-
ченной скоростью; 3) движение после шлагбаума с повы-
шенной скоростью. Такой выбор обусловливается тем,
что потеря времени восполняется только на перегоне от
С до В. Табличная запись условия и уравнение при этом
выглядят следующим образом:

Движение автобуса равномерное	Скорость / км\ 1 V— 1  X 4 /	Время (/«0	Путь (s км)
До шлагбаума  После шлагбаума с намеченной скоро-1 стью  После шлагбаума с повышенной скоро- стью	X S=X  X  X4-6=ss	1  120--*- х	120- х*=  120—л =

Соответствующее уравнение:

Как видно, это уравнение проще первого. Этот выбор
при тщательном анализе условия задачи можно было
сделать сразу. Если же этого не случилось^ то возвраще-
ние к решению задачи поможет найти второй способ ре-
шения задачи. Ценность этого этапа состоит еще в том,
что ученики учатся критически относиться к своим де-
лам, приучаются искать и устранять недостатки в своей
работе, приобретают умения более красиво работать, по-
знают красоту математики, красоту ее форм и количе-
ственных соотношений.

Рассмотрим из сборника задач по алгебре П. А. Ла-
ричева еще одну задачу, при решении которой особенно
ярко выступает важность использования различных за-
висимостей между величинами задачи. (Как и в предыду-
щей задаче, рассмотрим вначале менее рациональный
прием, который, кстати говоря, учащиеся чаще всего ис-
пользуют при самостоятельном решении задач. Мы же
это сделаем для возможности сравнения.)

Задача № 1711. Из двух пунктов А и В, расстояние
между которыми равно 24 км, отправлены в одно и то
же время два автомобиля навстречу друг другу. После
встречи автомобиль, вышедший из А, приходит в В через
16 мин, а другой автомобиль приходит в А через 4 мин.,
Определить скорость каждого автомобиля.

При решении задачи полезно составить графическую
иллюстрацию.

Анализ. В задаче рассматривается движение двух
автомобилей, назовем их I и II. Движение каждого авто-
мобиля разбивается на две части, на два процесса, до
встречи в Р и после встречи. Поэтому в задаче необхо-
димо рассмотреть четыре процесса:

1.	Движение I от Р до В.

2.	Движение II от Р до А.

Эти два процесса совершаются с различным вре-
менем:

3.	Движение I от Л до Р.

4.	Движение II от В до Р.

Эти два процесса совершаются в одно и то-же время.

IdbmoMQ&i/ib-*- встреча	-^Пайтрмобиль

* »

Графическая иллюстрация движения.
1 Каждый процесс характеризуется тремя величинами:

скоростью V-—, временем Ми путем s ot. Эти величины

*

связаны между собой следующей зависимостью: s = tbt
I. Условие: примем путь от Р до В за х км =
Тогда путь от А до Р будет (24—х) км—

Запишем для каждого процесса выражения для пути,
скорости, и времени.

Первый процесс, движение I от Р до В,

Si = х км =

= 16

мин =

15х

Vi — X: 15 —	4



Второй процесс, движение II от Р до А.

$п = (24 — х) км =

£п=4 мин =

1

15



®п= (24 - х) :±- = (24-х)  15р£-

Третий процесс, движение t от А до Р.

15х км
-------*=

4 ч

Si = (24 — х) км =

h = (24-*);-^ = -^~*> («)

^Четвертый процесс, движение II от В до Р.

^11= (24 —х) • 15

км
ч

$па=л км*=*

(24— х)15
IL Основание для уравнения: до встречи
автомобили были в пути одно и то же время ЛнаАР'^^йнавА.

III. Уравнение:

4(24 — х)	х

15х	” (24 - х) • 15 •

IV.	Решение уравнения: 4(24 — х)2 =°х2 дает
Xj 16; х2 = 48.

V.	Исследование корней уравнения! Про-»
верка расчетов.

Второй корень Х2—48 км не удовлетворяет уеловию
задачи, так как весь путь равен 24 км. Первый корень
в пределах условия задачи. Проверим его.

Поставим значение х во все выражения и найдем чис-
ловые значения выражений. Сравним время.

VI.	Ответ: ^ = 60-^,	т>8=120-^-.

Второе решение задачи. Можно рассмотреть
иные процессы. Так, последние два можно заменить дву-
мя другими процессами, а именно движением каждого
автомобиля на всем пути от А до В.

Однако можно рассмотреть зависимости между ве-
личинами в ином плане. Если мы этого плана вначале не
усмотрели, то к этому нас приводит анализ уравнения

4(24 — х) __ х

15х	(24—х) • 15 ’

В структуре уравнения проявляются соотношения об-
ратно пропорциональной зависимости. Эта зависимость
станет более отчетливой, если записать уравнение в та-
ком виде:

2(24 — х)
х

(24 — х) - 2

Появляется естественное стремление попытаться ис-
пользовать при решении обратно пропорциональную за-
висимость между величинами,, входящими в задачу.. Та-
кими величинами являются скорость и время движения
обоих автомобилей на одном и том же участке пути,
В этом направлении и начинает работать наша мысль.
L Условие: примем за х время движения автомо-
билей до встречи.

24 км



А

Встреча

После встречи

время движения
1 автомобиля

время движения
II автомобиля

На каждом участке движения для каждого автомо-
биля скорость движения обратно пропорциональна вре-
мени движения.

^2^2»

Рассмотрим четыре процесса.

Движение автомобилей на участке от А до Р.

1-й процесс — движение первого автомобиля!
ti = х ч,
тч ti = Sap-

2-й процесс —• движение второго автомобиля:

*П“"ЙГ ч,

= Sap.

Зависимость между t\\ vr, tn и Vnt

: vlt

Движение автомобилей на участке от Р до В.
3-й процесс — движение первого автомобиля:

~ "15

4>i ti = Spa.
4-й процесс — движение второго автомобиля:

®Il6l = SpB.

Зависимость между 6; ®i; tfn и Uni
4
vi : vn=x : -jy.

II.	Основание для уравнения:
скоростей на обоих участках одно и то же.

отношение

III.	Уравнение:
1	10

• 15 ‘

Это уравнение значительно проще того, какое мы име-
ли на стр, 38,

IV.	Решение: 1) х2 = Получаем х = Д-.
zzo	J	10

Далее решение идет арифметическим путем.

2)	-rg-+-г?- = -g- («) — время движения первого авто-
мобиля на всем пути АВ.

3)	— 24: -g- = 60 I J — скорость первого авто-

мобиля.

12	1

4)	ТГ + "is"= вРемя Движения второго авто-
мобиля на всем пути.

5)	*4i==24:--L-== 120	— скорость второго авто-

мобиля.

Проверка при повторном решении может отсутство-
вать, так как первое решение можно считать контроль-
ным. После записи ответа полезно сопоставить оба ре-
шения.

Имеются задачи, в которых необходимо учитывать
все возможные разновидности данной ситуации. Если
этого не сделать, то решение задачи будет неполным.
Приведем пример такой задачи: От пристани отошел
речной катер, и одновременно от нее отправился по бе-
регу пешеход. Пройдя 24 км, катер повернул обратно
и через некоторое время снова оказался с пешеходом
в одном пункте, именно в 8 км от пристани. Определить
собственную скорость катера, если скорость пешехода
равна скорости течения реки и составляет 4 км!ч.

При решении этой задачи большинство решающих
рассматривают только случай первоначального движе-
ния катера в одном направлении по течению реки, неко-
торые добавляют разбор й второго случая — движение
катера и пешехода в одном направлении против течения.
Третий случай, когда катер начинает движение по тече-
нию, а пешеход против течения, и четвертый — когда ка-
тер начинает движение против течения, а пешеход по
течению, как правило, не рассматривают. Приведенный
пример показывает, как важно вернуть учащихся к рас-
смотрению решения задачи для выявления всех случаев
данной в условии ситуации.

В этой задаче следует рассмотреть четыре указанных
случая. Если их рассмотрение не намечено сразу в на-
чале решения задачи, то оно непременно появится в ре-
зультате возвращения к решению задачи.

Принимая собственную скорость катера за х км!ч, за-
пишем уравнения, соответствующие каждому случаю:

П24	।	16	ла км

-------------= 2. Ответ: х = 20-------.

*4-4	1	4	ч

2)——Л—I------= 2. Ответ: х = 21,5—.

7 х — 4	1	* 4- 4	уч

3)	х + 4 +	4' = 2- Ответ: л = 29,1

. ч 24 1 32 q	i

4)	х-~4 -+ х + 4 =2.	Ответ: х = 28-

Отметим некоторые выводы о значении введения ло-
гико-психологических этапов решения задач. Знание
этих этапов помогает учащимся думать над задачей, спо-
собствует организации умственной деятельности, расчле-
нению мыслительной деятельности на логически закон-
ченные составные элементы, помогает оперировать со-
ставными элементами, содействует формированию и вос-
питанию у детей рационального мышления. Этапы
и рекомендации дисциплинируют ум учащихся, дают
возможность учителю направлять мышление учащихся,
а самим ученикам самостоятельно управлять ходом
своих мыслей. В этом заключается психолого-педагогиче*
ская ценность этапов и рекомендаций.

Психологической основой предлагаемого приема яв-
ляется теория поэтапного формирования умственных дей-
ствий, разработанная П. Я. Гальпериным.

В редких случаях человек может сделать сразу пра-
вильный выбор действия без специальных рекомендаций
или без подражания. Даже опытные и интеллектуально
развитые люди испытывают значительные затруднения
перед выбором чего-то нового, не имея специальных ука-
заний. Сказанное наводит на мысль о необходимости ру-
ководства самостоятельной работой учащихся, о тща-
тельном их инструктировании, о порядке и методах вы-
полнения работы, об использовании собственного опыта.

При решении задачи на доске, когда один ученик ре-
шает, а другие должны участвовать в решении или са-
мостоятельно решать задачу, определенная часть уче-
ников по окончании решения остается в неведении отно-
сительно того, как решалась задача, или имеет смутное
представление о решении.

В целях выяснения понимания решения задачи очень
полезно проводить с отдельными учащимися после уро-
ков беседы, на которых спрашивать, как они понимают
решение задачи, могут ли они объяснить решение, ре-
шить задачу вновь, не пользуясь имеющимися записями.
Нередко отдельные ученики просто переписывают с до-
ски решение, не пытаясь его понять, они. не проводят са-
мостоятельного повторного решения задачи. Дополни-
тельным разъяснением метода решения задачи можно
привлечь таких учеников к активному участию в анализе
решения задач и заинтересовать их этой работой.

Для проверки предположения о непонимании реше-
ния задачи учащимися после ее решения в классе и выяв-
ления числа учащихся, не понимающих решение, мы про-
водили много раз следующий эксперимент. Сразу после
совместного решения задачи в классе предлагали учени-
кам убрать все со стола, взять чистый лист бумаги и ре-
шить задачу вновь. При этом были случаи, когда около
трети учащихся не справлялось с повторным решением
задачи в отведенное время, несколько учеников совсем
не смогли решить задачу. После же анализа решения за-
дачи число таких учеников значительно уменьшалось,
а в других случаях их вовсе не было, После рассмотре-
ния идеи и метода решения задачи большая часть учени-
ков по-настоящему стала понимать сущность метода, Это
можно объяснить, видимо, тем, что овладение методом
решения основано на понимании его сущности.

Подобные эксперименты каждый учитель может про-
вести в своих классах для самоконтроля, для выяснения
того, как его ученики понимают материал.

Возвращение к рассмотрению задачи, повторное вос-
произведение ее решения, анализ решения представляют
активное осмысливание метода решения на уже знако-
мом и потому конкретном материале, выявление и осмыс-
ливание ранее не замеченных логических связей, элемен-
тов метода и идеи решения задачи. Такая работа содей-
ствует более полному и глубокому пониманию теории ре-
шения задачи.

Выяснение логической функциональной структуры за-
дачи совершенствует качество знаний, умений и навыков,
развивает умственные способности учащихся. В обучении
важно увлечь ученика сразу, с первых минут занятий,,
а затем постепенно вести его к цели так, чтобы он чуть-
чуть чувствовал руку учителя, а в основном «двигался»
сам. Важно приучить детей с охотой размышлять, рас-
суждать, искать, думать и еще раз думать, думать до тех
пор, пока все станет ясным.

Каждому учителю приходится встречаться с ученика-
ми, относящимися безразлично к решению задач. При-
меры они решают, а задачи нет. Пассивное отношение та-
ких учеников к решению задач во многом объясняется их
незнанием общих правил и отсутствием должных указа-
ний, недостаточными умениями и навыками. Определен-
ная часть даже не пытается приступить к решению зада-
чи потому, что дети не знают, с чего начать. Такое их
отношение является следствием неправильного обучения
и воспитания, своеобразным закономерным протестом
против непосильной для них работы. Дети этой группы
ожидают указаний типа: делай то, затем то, после этого
выполни такую работу и т. д. Расчлененность материала,
последовательность его выполнения помогают созданию
условий для плодотворной работы учащихся, являются
средством, упорядочивающим работу мозга.

В школах ученики обычно решают задачи путем проб
и ошибок. Некоторые методисты и многие учителя счи-
тают, что этот прием хорош, так как он учит самостоя-
тельности, содействует выработке собственных правил
решения задач. Против этого трудно возразить. Однако
следует отметить, что такой процесс приобретения соб-
ственного опыта слишком медлителен, не соответствует
современному темпу жизни. Нужны ускорители приобре-
тения собственного опыта. К этим ускорителям относятся
рекомендации по организации умственного труда, разра-
ботка алгоритмов и общих правил.

Применение общих правил и алгоритмов не исклю-
чает проб, однако в таком случае пробы совершаются
в определенном плане, целенаправленно и потому более
рационально.

Общие правила дают возможность логически связать
большое число отдельных фактов, относящихся к реше-
нию различных задач, в стройную систему. Все мелкие
факты при этом как бы классифицируются по «разря-
дам»— этапам, и это облегчает решение задачи, подобно
тому, как классификация чисел облегчает счет. Разнооб-
разие ситуаций и фактов различных видов сводится к от-
носительно небольшому числу этапов. В этом одна из ме-
тодических ценностей логико-психологических этапов ре-
шения задачи.	*

Проф. В. М. Брадис в статье «Математические за-
дачи в школе» указывает следующие требования к реше-
нию задач: «Задачу можно считать решенной тогда
и только тогда, когда найденное решение: 1) безошибоч-
ное, 2) обосновано, 3) имеет исчерпывающий характер*
Эти три требования являются совершенно категориче-
скими; при невыполнении хотя бы одного из них решение
или вовсе непригодно (если оно неверно), или неполно-
ценно (если оно верно, но не обосновано или верно и обо-
сновано, но неполно). Кроме этих трех обязательных
требований, можно указать еще следующие три необяза-
тельных, но желательных: 4) решение задачи должно
быть по возможности простым, 5) оно должно быть над-
лежащим образом оформлено (запись решения), 6) же-
лательно, чтобы был ясен путь, приводящий к решению».

Нам представляется целесообразным требования 4, 5,
6 также считать обязательными. Требования 4 и 6 входят
составной частью в указанный выше седьмой этап реше-
ния задачи (усвоение идеи и метода решения). Пятое
требование способствует развитию у школьников мате-
матической речи, выработке навыков схематизации»
Рассмотренные методологические логико-педагогиче-
ские этапы отражают три стадии изучения процессов
внешнего мира, описываемых в задаче. На первой стадии,
включающей первые три этапа, происходит дифференци-
рование специфических и нейтральных раздражений, со-
держащихся в тексте и в различных справочных руко-
водствах, затем идет отбор и суммирование этих раздра-
жений с опорой на особенности мышления каждого
ученика, его опыта, знаний и умений (адаптация раздра-
жений). На этой стадии сложные процессы расчленяются
на составные части, происходит отвлечение от несущест-
венного для математики; описываемые в задаче величины
и соотношения между ними выражаются с помощью ма-
тематических символов, весь текст задачи переводится на
язык алгебры, осуществляется переход от конкретного
к абстрактному. На этой стадии учащиеся отбирают
факты, отыскивают связи и закономерности, осмысли-
вают их.

На второй стадии, включающей четвертый — шестой
этапы, происходит чисто математическая обработка фак-
тов, изучение абстрактных величин и процессов, описы-
ваемых в задаче, истолкование полученных результатов.

На третьей стадии на основе условнорефлекторных
реакций происходит идейное осмысливание методов ре-
шения на новой более высокой теоретической основе (при
этом происходит развитие фантазии и воображения уча-
щихся, без которых не может быть крупного продвиже-
ния учащихся вперед) и обеспечиваются последующие
действия. Седьмой, заключительный этап как бы гово-
рит: «Все, что мы знаем, станет более значительным, до-
бытое большим трудом станет почти очевидным, если
посмотрим на это вот с такой стороны». В нем утвержда-
ется, что нельзя ограничиваться знанием изучаемых по-
ложений в том виде, в каком мы встретили их при первом
знакомстве, что нужно рассматривать эти положения
с различных сторон, с различных точек зрения, при рас-
смотрении различных познавательных и практических
вопросов.

В итоге учащиеся ощущают, что математика зароди-
лась из практики и развивается для практики, явилась
из жизни и для жизни.

В целом этапы и рекомендации отражают в извест-
ной мере элементы научной организации труда учащихся
при решении задач, вытекающие из четырех основных
идей HQT:

1)	Идеи анализа. Анализ задачи, расчленение ее
на составные части, каждая из которых представляет ло-
гически целое.

2)	Идеи синтеза. Синтез этих частей в ином плане,
удобном для обработки, устранение всего того, что не
имеет существенного значения при решении задачи.

3)	Идеи методов. Отбор оптимально необходи-
мого числа операций • для обработки частей задачи
с целью получения ответа на главный вопрос задачи.

4)	Идеи обучения. Осмысливание приемов реше-
ния с целью выявления лучших из них.

Итак, мы рассмотрели все семь этапов и тем самым
определили одну из конечных целей, к которой мы долж-
ны стремиться на протяжении обучения учащихся в вось-
милетней школе. Ниже будет показано, как эту*цель
можно реализовать от класса к классу, от пятого до вось-
мого.
3	Метод уравнений в курсе геомет-

 рии при решении задач на вы-
числение.

Найти безотказно действую-
щие правила для решения всех
возможных задач — это ста-
рая мечта, которая навсегда
останется только мечЫой. Но.
можно изучить типичные при-
емы, полезные при решении за-
дач ... Собрание таких при-
емов, расположенных в четкой
последовательности, вещь по-
лезная.

Д. Пой я*

Укажем некоторые особенности решения геометриче-
ских задач на вычисление.

В первом и втором этапах целесообразно обратить
внимание учащихся на ясное представление понятий, на
символическую запись признаков, на анализ чертежа
и запись различных соотношений между его элементами.
Помимо этого, во втором этапе полезно сосредоточить
внимание на анализе теорем, с которыми связана искомая
величина.

В третьем и четвертом этапах следует обратить вни-
мание учащихся на то, что каждая формула может пред-
ставлять собой уравнение относительно входящих в него
букв. Важно также указать на целесообразность после-
довательного составления формул. Основная формула —
уравнение, затем формула для определения величин, вхо-
дящих в первое уравнение, затем формула, дающая воз-
можность выразить величины, входящие во вторую фор-
мулу, и т. д.

В пятом и шестом этапах целесообразно указать на
возможность проверки решения по чертежу.

В седьмом этапе полезно научить составлять логиче-
скую схему решения задачи, указывать последователь-

* Цитируется по книге: И. Д е п м а н. Рассказы о решении за-
дач, «Детская литература», 1964, стр. 37—33.
ность операций, например A>B^C->D (буквами А, В,
С, D обозначены элементы решения задачи, стрелки
показывают порядок следования). На этом же этапе це-
лесообразно составлять общую формулу решения (если
она не составлена ранее) и проводить ее анализ, уста-
навливать значение искомой величины в зависимости от
изменения других величин. Особый интерес у учащихся
вызывают оригинальные значения искомой величины
в процессе ее изменения. В отдельных случаях полезно
предлагать составлять задачи путем изменения величин
и соотношений между ними.

Особенно ценна работа по составлению общей фор-
мулы решения задачи. Эта ценность увеличивается в тех
случаях, когда общая формула для определения искомой
величины может быть использована при решении других
задач. Так, при определении радиуса окружности, впи-
санной в равнобедренный треугольник, полезно вывести
общую формулу г= ~ > где г — радиус, а — ос-
нование, h — высота, b — боковая сторона, или для опи-
санной окружности /?= Аналогично при решении
задач можно вывести формулу определения элементов
других геометрических фигур.

Общую формулу для определения неизвестной вели-
чины можно получить в начале решения задачи, а затем
в нее подставить числовые значения величин, входящих
в нее. Этот прием для многих учеников труден. Опреде-
ленная часть учащихся, как правило, стремится поскорее
получить число, оно для них более ощутимо, чем общее
выражение. Это частично объясняется тем, что при обу-
чении детей мало внимания уделялось функциональной
трактовке изучаемых^ школе зависимостей.

Составление общих формул после решения задачи
в числах имеет свои положительные стороны. Общая
формула в таких случаях выступает как обобщенное вы-
ражение конкретных данных. Учащиеся при этом еще
раз проследят ход решения задачи с более общих логи-
ческих позиций.

Обобщенные формулы психологически помогают уст-
ранить известную боязнь учащихся больших и сложных
выражений. Только после ряда упражнений, нацеленных
на уяснение и важность общих формул, такая боязнь
у учеников проходит.

Термины «доказать» и «решить» психологически вы-
зывают различную реакцию у учащихся. Многие ученики
предпочитают решать, а не доказывать. После показа то-
го, что общие формулы представляют собой доказатель-
ство определенных положений, что они служат целям
исследования, учащиеся начинают отдавать должное ува-
жение доказательствам.

Главная трудность в решении задач для многих уча-
щихся состоит в том, что они не умеют рассматривать
геометрические формулы с позиций функциональной за-
висимости, не знают, какую формулу, какую теорему, ка-
кую зависимость надо применить при решении задач, не-
смотря на то что соответствующий материал им знаком.
Объяснить это можно тем, что все эти зависимости в тек-
сте задачи представляют собой скрытые данные. Поэто-
му полезно на первых порах предлагать ученикам выпи-
сывать все известные соотношения <на основе построен-
ного ими чертежа и тем самым обнажить нужные им
зависимости.

Записав все возможные соотношения между элемен-
тами чертежа, ученики начнут рассуждать более конкрет-
но о том, что из записанного и как можно использовать
для решения задачи, чего им не хватает.

Такая запись помогает учащимся сделать анализ чер-
тежа, повторить связанный с данной’задачей ранее изу-
ченный материал на основе функциональной зависимости.

Естественно, что в первое время записанных выраже-
ний может оказаться больше, чем их необходимо для ре-
шения задачи. С накоплением учащимися опыта число та-
ких записей будет уменьшаться. Впоследствии ученики
будут записывать сразу только необходимые выражения.

Не следует забывать, что при решении задач по гео-
метрии проводится анализ условия задачи, затем анализ
..чертежа и, наконец, анализ формулы-уравнения. Эти три
различных анализа следует всегда выделять и учить уча-
щихся анализировать и условие, и чертеж, и уравнение.

Необходимо отметить, что решение задач с использо-
ванием уравнений тесно связано с аналитико-синтетиче-
ским методом решения задач. Однако это не означает
полного отказа от синтетического метода решения гео-
метрических задач, Обучение будет полноценным лишь
в том случае, когда методы решения задачи подбирают
в зависимости от ее содержания. В восьмилетней школе
должны найти себе место все методы: синтетический,
аналитический и особенно аналитико-синтетический. Нам
представляется целесообразным сообщать учащимся
о возможности применения различных методов при реше-
нии задач.

Примеры решения задач с геометрическим содержанием.

Задача. Длина прямоугольника вдвое больше его
ширины. Если ширину прямоугольника увеличить на 5 м,
а длину на 4 м, то площадь увеличится на 111 м2. Найти
длину и ширину прямоугольника.

L Анализ у с л о’вия задачи. Положений два:
площадь прямоугольника до изменения сторон и его пло-
щадь после изменения сторон. Величины: длина а м, ши-
рина b м, площадь S м2, формула зависимости: S = a-b.

Далее можно начертить прямоугольники и прямо
на чертежах ввести соответствующие обозначения, на-
пример:

Если задачу сопровождают чертежами, то их целесо-
образно строить столько, сколько различных положений
или процессов описано в задаче, по крайней мере это
необходимо делать в начале решения задач.

Можно составить таблицу:

Прямоугольники  . X	Длина (а м)	Ширина (Ь м)	Площадь (S м2)
До изменения сторон  После измене- ния сторон	2х  2х+4	(%+5)	2 х2  (2х +4) (х +5)
II.	Основание для уравнения; (2 x-|-4)-(x + 5)
больше 2х на 111 м2.

III.	Уравнение: (2х + 4)(х 4-5) — 2х2 = 111.

IV.	Решение дает х — 6,5 м.

N, Заполнение таблицы и проверка р ас-
нет о в.

VI. Ответ: 13 м\ 6,5 м (записывается в том порядке,
В котором длина и ширина входит в задачу)*

VII. Возвращение к решению задачи: эта
задача проста по-своему геометрическому содержанию.
Она более ценна не геометрическим содержанием, а ха-
рактером зависимостей между величинами. На этом этапе
можно предложить учащимся прокомментировать задачу
И подумать о другом решении. В частности, предложить
рассмотреть только прирост площади, а именно фигуру
ABMKOPCD п на ее основе составить уравнение 10 х+,
L+20 + 4х=111. Это уравнение значительно проще пер-
вого.

Можно предложить такой вопрос: как изменится пло-
щадь прямоугольника, если его стороны увеличить в два
раза?

Ответ целесообразно проверить.

Пример задачи без дополнительных построений.

Задача. Угол при вершине равнобедренного тре*
ущдьника равен 30°. На боковую сторону опущена вы*
рота, Найти угол между этой высотой и основанием.

I. Условие:

Дано: 1) дАВС, АВ = ВС\

2)	AD_L.BC;

3)	^В — 30°._____

<^ВАС = х.

IL Основание для уравнения:

^ВАС+ ^С+ ^В= 180°;

^DAC+^C = 90°;
^ВАС^С.

(1)

(2)

(3) /4
III. Уравнение: x -J-

^C = 90° из (2).

(4)

IV.	Решение. 1) Находим угол С из (1) и (3):

^С+^СЧ-30° = 180°;

2 •	= 180° — 30° = 150°;

2)

Находим х из (4):
х = 90° — ^С-,

х = 90° — 75° = 15°.

V.	Проверка расчетов и обоснование ре-
шения: проверяются расчеты повторно. Треугольник
с углами в 15^ 90° и 75° реален. Обоснования указаны
в решении.

VI.	Ответ: '/_DAC=\b°.

VII.	Возвращение к решению з а д а ч и: полу-
чение общей формулы, ее анализ.

18Q° - 30°

= 90-_

180° - 180° + В

2

После комментирования решения задачи полезно
предложить учащимся ряд вопросов о функциональной
зависимости угла х от угла В. Например, как будет рас-
полагаться AD с увеличением угла В? Может ли угол В
равняться 90е? Как при этом расположится AD? Может
ли угол В быть тупым? В каких, по вашему мнению, пре-
делах может измениться угол х? На основе общего ре-
шения можно предложить учащимся сформулировать
задачу на доказательство и показать возможность ис-
пользования метода уравнений для ее решения.

Учащимся, интересующимся конструированием, мож-
но предложить изготовить подвижную модель, отража-
ющую сущность зависимости угла х от угла В. Если кон-
тур данного треугольника представить резиновым шну-
ром; закрепить вершину В и изменять положение вер-
шин А и С так, чтобы треугольник ЛВС оставался равно-
бедренным, то можно убедительно показать различные
случаи расположения AD. Для этого необходимо прило-
жить к ВС чертежный треугольник одним из его катетов
так, чтобы вершина А располагалась на втором катете.
Можно предложить решить обратную задачу, напри-
мер, каким должен быть угол В, чтобы угол х был бы
равен 45°?

Пример задач с дополнительными построениями.

Задача. В равнобедренной трапеции большее осно-
вание 2,7 м, боковая сторона равна 1 м, угол между ними
60°. Определить меньшее основание.

Решая задачи, допускающие различные дополнитель-
ные построения, целесообразно провести по возможности
полный анализ различных конструкций чертежа и соот-
ношений между его элементами.

В данной задаче два наиболее вероятных дополни-
тельных построения. Целесообразно в начале решения
задачи построить два чертежа и сделать их анализ.

- Анализ чертежей приводит к выводу о целесообраз-
ности выбора в качестве основы для решения задачи чер-
тежа j расположенного слева.

Пример решения задачи с помощью системы урав-
нений.

Задача. Площадь параллелограмма равна 480 см2.
Его периметр 112 см. Расстояние между большими сто-
ронами 12 см. Определить расстояние между меньшими

сторонами.

Задача. Площадь
параллелограмма рав-
на 480 см2. Его пери-
метр 112 см. Расстоя-
ние между большими
сторонами 12 см. Опре-
делить расстояние меж-
ду меньшими сторо-
нами.
I. Условие.

Дано: 1)

3)

ABCD — паралеллограмм;

BK±AD; ВМ .LCD;

ВК*= 12 см;

Р = 112 см;

S = 480 см1.

ВМ~х.

II. О сн о в а.ние д л я у р а в н е н и я и его реше-
ние:

S=BK-AD*=BM'CD.

$.D=BC=a, AB—DC^b.
2a-}-2b = li2.

12 а = 480.

Площадь параллелограм-
ма неизменна при любом
способе вычисления. (1)
Вводим обозначение. (2)
Дано.	(3)

Дано.	(4)

Здесь, как видим, система зависимостей,

Ш. Системаг

12 а *=xb,
2а + 2д = 112,
12 а = 480.

ИЗ (1), (3), (4)j

IV. Решение: Xs==-^a из (1).

1)	Находим а из (4):

2)	Находим b из (3) и (6):

а«480Н2
cl + b *=56;

40 b 56 j
b »= 16.

- 40; (6)

(7)

12 • 40

16

= 30.

V	- Проверка расчетов и обоснование ре-
шения.

У1	, Ответ: ВЛ4=30 см.

V1L	Возвращение к решению задачи^ по-
мимо комментирования задачи, полезно рассмотреть пре-
имущества аналитического метода при решении задач на
вычисление площадей фигур. Написав формулу для пло-
щади искомой фигуры, анализируем ее, определяем,
что в этой формуле нам известно. Для каждой неизвест-
ной, входящей в формулу, составляем свою формулу
и поступаем с ней так же, как и с основной формулой,
и так до тех пор, пока неизвестные не будут выражены
через известные. Полезно предложить решить задачу
в общем виде. Дано S — площадь, 2р — периметр, hi —
высота. Найти h2— вторую высоту.

Интересна и обратная задача: высоты параллело-
грамма hi и Аг, периметр 2р. Определить его площадь.
Метод уравнений при решении
 задач с физическим и техни-
ческим содержанием

Для ребят идея неотделима
от личности. То, что говорит
любимый учитель, воспринима-
ется совсем по-другому, чем
то, что говорит ... чуждый
им человек.

Н. К. Кру пская*

На одном из уроков физики в VI классе мне приш-
лось убедиться, что ученики не смогли выразить время из
формулы S = V-/, в то время как на предыдущем уроке
математики они справлялись с нахождением неизвестных
компонентов при умножении. На вопрос учителя о при-
чинах такого положения один из учеников заявил: «Так
то было на уроках математики и там было множимое,
множитель и произведение, а здесь — время, путь и ско-
рость». Изучение этого явления привело к оригинально-
му выводу: определенная часть школьников психологи-,
чески связывает изучаемый материал не только с пред-
метом, в котором этот материал изучается, но и с учите-
лем, который преподает данную дисциплину.

Если уроки математики ведет один учитель, а физи-
ки — другой, то, что говорит учитель математики на своих
уроках, для некоторых учеников является в значительной
степени обособленным от применения этого материала
на уроках физики. Учителя физики нередко сетуют на
своих коллег — учителей математики, что они не научили
учеников находить неизвестные компоненты действий.
Нами было предложено одному из таких учителей фи-

* Н. К- Крупская. Воспитательная роль учителя. Сборник
«Н. К. Крупская об учителе», изд-во АПН РСФСР, 1960, стр. 143—144.
зики потратить десять минут и рассказать ученикам об
этих зависимостях самому, связать математическую тер-
минологию с физической, математические символы с фи-
зическими. Учитель выполнил рекомендации и заявил,
что теперь ученики почти не делают ошибок. В чем же
причина? Не мог же учитель физики за 20—30 минут
устранить все недостатки в знаниях учеников по матема-
тике? Видимо, он помог им преодолеть психологический
барьер, возникающий при использовании математиче-
ских знаний в другой школьной дисциплине.

Из сказанного напрашивается вывод: учителям, поль-
зующимся математическими расчетами, целесообразно
на своих уроках самим разъяснять ученикам особенности
применения математического аппарата в данной дисцип-
лине, связывая математические термины и символы
с терминами и символами другой дисциплины, а учите-
лям математики в свою очередь необходимо давать ма-
тематическое толкование символов из других дисциплин.

Учителя математики в ряде случаев с успехом могут
использовать решение задач с физическим содержанием
как конкретный материал для изучения теоретических
вопросов математики. Естественно, что подход к реше-
нию задач на уроках физики будет несколько иным, чем на
уроках математики. Учителя физики будет интересовать
•больше физическая сущность задачи, а учителя матема-
тики — математическое освещение физических процессов.
Для пользы дела учителю математики целесообразно си-
стематически рассматривать функциональную зависи-
мость между физическими величинами, а учителю фи-
зики использовать математический аппарат для осмыс-
ливания и исследования физических процессов и явлений.

Изучая квадратные уравнения, учитель/Математики
может использовать из физики, например, такую фор-
мулу: “2—Ь	s =0, и СОО^Ш'ИТЬ учащимся, что квад-

ратное уравнение может представлять собой выражение
йекоторого процесса, в частности физической задачи на
равномерно ускоренное движение. Учитель физики, по-
лучая формулы, содержащие те или иные величины во
второй степени, может указать учащимся, что данная
формула представляет собой квадратное уравнение и по-
тому решается и исследуется так же, как решается и ис-
i следуется в математике квадратное уравнение.
Всякую формулу *’в физике следует толковать как
уравнение, в котором в качестве неизвестной можно
взять любую из букв, кроме тех, которые выражают
константы или постоянные величины в данном про-
цессе.

Весьма целесообразно на уроках математики при ре-
шении задач с физическим содержанием чаще пользо-
ваться формой записи, которая применяется учителем
физики.

Приведенные семь логико-психологических этапов ре-
шения задач используются почти без изменения и при
решении задач с физическим и техническим содержа-
нием. Причем полезно дать учащимся дополнитель-
ные разъяснения и рекомендации. Приведем некоторые
из них.

На первом и втором этапах, помимо общепринятых
рекомендаций, целесообразно порекомендовать учащим-
ся четко представить себе смысл понятий и закономер-
ностей, отражающих сущность данных, и соотношений
между ними, при необходимости выполнить чертежи, за-
писать ряд соотношений, включающих искомую величи-
ну, выписать из справочников скрытые данные, необхо-
димые для решения задачи. На основе анализа всего
этого выбрать одну из формул, которая бы давала воз-
можность рационально решить задачу.

Во втором и третьем этапах целесообразно указать
на необходимость применения аналитико-синтетического
метода, на выбор и преобразование тех формул, которые
отвечали бы основным требованиям условия.

В пятом и шестом этапах целесообразно обратить
внимание учащихся на смысловой анализ полученных
результатов.

В седьмом этапе, как всегда, проводится анализ реше-
ния задачи.

Опыт показывает, что ученики нередко не умеют ре-
шать задач потому, что «не вчитываются» в условия за-
дачи, не знают, как читать задачу, как ее разбирать. Вто-
рой причиной плохого решения задач с физическим со-
держанием является то, что ученики не умеют выявлять
в содержании задачи те зависимости, которые описыва-
ются в тексте, те закономерности, которым подчиняются
описываемые в тексте процессы или явления, и выбирать
соответствующие формулы, т. е. не умеют выделять ма-
тематическую основу для решения задачи. Иногда фор-
мулы, необходимые для решения задачи, не усвоены уча-
щимися, а иногда ученики знают их, но не понимают
необходимости использования их в данной задаче. Исхо-
дя из этого, важно направить усилия учащихся при ре-
шении задач на путь математического истолкования фи-
зических терминов, на запись всех формул, связанных
с процессами, описываемыми в задаче. Со временем та-
кой подход научит учеников выбирать соответствующую
формулу для решения задачи с меньшей затратой сил
и времени. Важно, чтобы перед учениками всегда стояли
вопросы о том, каковы физические закономерности, опи-
сываемые в задаче, какими формулами эти закономер-
ности выражаются.

Неумение учащихся рассматривать физические фор-
мулы с позиций функциональной зависимости и прово-
дить смысловой анализ полученных результатов также
является одной из причин неудовлетворительного реше-
ния задач с физическим содержанием. Поэтому важно
систематически вырабатывать у учащихся умение и на-
выки в проведении смыслового анализа решения задачи,
смыслового анализа формул, направленного на установ-
ление допустимых значений величин, входящих в фор-
мулу, на возможные оригинальные значения этих ве-
личин.

Приведем решение нескольких задач с методически-
ми замечаниями к этим решениям. Значительная часть
задач из школьного учебника физики решается пу-
тем подстановки в формулу значений данных и вычис-
лений.

Записывать условие задачи из школьного задачника
целесообразно в краткой символической форме. Если за-
дача берется из другого источника и она достаточно
сложна, то ее текст лучше записать полностью. Задачи
из других сборников с простым содержанием можно за-
писать в символах, но после записи целесообразно вос-
произвести ее текст. Например, решается згдача: Опре-
делить массу медного провода длиной 1 км с сопротив-
лением 0,6 ом.

Краткая запись условия:

Дано: медный провод
/=1 км;
R = 0,6 ом;

P = 0,018——

d = 8,9 A-

’ CM3

AT = ?

По этой записи один из уче-
ников воспроизводит текст
задачи и затем решает. ч

При решении задачи с физическим содержанием мо-
гут быть два подхода в отношении действий с именован-
ными числами. В одном случае в формулы подставляют
только значения величин, а наименование ставят только
в ответе. В другом случае в формулы вместе с число-
выми значениями величин записывают и их размерность.
Нам представляется, что пользоваться следует тем и дру-
гим приемом. В младших классах целесообразнее чаще
применять первый прием, не оставляя без внимания и вто-
рой, особенно в задачах с небольшим числом величин,
входящих в одну и ту же формулу. В старших классах
предпочтение следует отдать второму приему, не забы-
вая и первый.

В школьных сборниках по математике мало Задач
с физическим содержанием. Поэтому учителю матема-
тики придется пользоваться другими источниками, среди
которых особое предпочтение следует отдать сборнику
по физике.

Задачи на движение и на работу, которые имеются
в Школьных задачниках по математике, важны главным
образом не физическим, а математическим содержанием.
Поэтому мы их здесь рассматривать не будем, ограни-
чимся тем, что было о них сказано ранее.

При решении составных задач полезны подготови-
тельные упражнения. Целесообразно систематически
упражнять учащихся в чтении и записи математических
выражений, содержащих физические величины. Приве-
дем несколько примеров таких упражнений в дополнение
к имеющимся на страницах 12—13.

1.	Записать формулу пути равномерного движе-
ния, прочитать ее на основе функциональной зависимости
и выразить каждую величину, входящую в нее, через
другие.

2.	Записать формулу равномерно ускоренного движе-
ния и прочитать ее на основе функциональной зависи-
мости между величинами, входящими в нее. Выразить
каждую величину через другие.

Аналогичные упражнения можно составить для всех
физических формул, изучаемых в физике.

Примеры решения задач.

Задача. На рычаг, находящийся в равновесии, дей-
ствуют силы в 8 ньютонов и 10 ньютонов. Расстояние
между точками приложения сил равно 90 см. Найти дли-
ну плеч рычага, если направление сил одинаково.

1.	Анализ и запись условия: исследуется рав-
новесие рычага. Процессов два: действие первой силы
и действие второй силы. Величины: первая сила Pj, со-
ответствующее ей плечо /1, вторая сила Р2, соответству-
ющее ей плечо /2-

Формула зависимости = Р% • /2

Графическая иллюстрациям

30 СМ

1(—ХСМ

1^90-ХСМ

II.	Основание для уравнения: условие равно-
весия рычагов.

Ш. Уравнение: 8-х = 10(90 — х).

IV.	Решение уравнения: л = 50 см\ 90—х=
₽= 40 (см). .

V.	Смысловой анализ решен и я: проверяем
решение по условию равновесия рычагов.

8-50=10-40.

VI.	Ответ: /1 = 50 см\ 1^ = 4$ см.

VII.	Возвращение к ре ш е н и ю задачи: здесь,
как и при решении других задач, полезно комментирова-
ние решения. Можно предложить качественные вопросы.
Например, как будет меняться положение точки М при
изменении сил Pi и Р2 (Ръ увеличивается, a Pi остается
без изменения, Pi увеличивается при неизменной Р2
нт. п.).

В других задачах условие целесообразно записать
в виде краткой таблицы. Нам кажется, что нет необхо-
димости в таких задачах вести многословные записи.
Чертеж с символическими обозначениями — лучшее сред-
ство показа того, что задача понята правильно.

Задача. Смешав горячую воду с температурой 76°
и холодную воду с температурой 12°, получили 96 л во-
ды с температурой 40°. Сколько было взято горячей
воды?

L У сл о в ие: процессов три — количество тепла в го-
рячей воде, в холодной и в смеси. Величины: коли-
чество тепла Q кал, масса воды m а, температура Г
и удельная теплоемкость с=1. Формула зависимости
Q=cmt.

Пусть горячей воды было х г.

Тогда холодной воды было (96 — х).
Количество тёпла в горячей воде Qr=c-x-76° =
Количество тепла в холодной воде QK=f (96—х)-12°=
Количество тепла в смеси Qc=c- 96-40° =

IL Основание для уравнения: Qc==Qr+Qx-

IIL Уравнение: 76х + 12(96 — х) = 96-40.

IV.	Решение: 76х—12х=96-40 —96-12;

96(40 -12)

64

= 42.

V.	Проверка: заполнение таблицы. Устанавли-
ваем, что найденное значение удовлетворяет условию
задачи.

VI.	Ответ: /пг = 42 г.

VII.	Комментирование решения задачи:
решение ее в общем виде.

_ mctc Л1Х*Х

4^	•
Сопоставление решения с решением задач на смешение,
например различных сортов товаров. Установление общ-
ности решения задач. Постановка нескольких качествен’
них вопросов, связанных с изменением температуры
и количества воды, компонентов и смеси.

Рассмотрим пример решения задачи, в которой осно-
вание для уравнения или системы уравнений получается
из рассмотрения геометрического чертежа. На наклон-
ной плоскости длиной 2,5 м и высотой 1,5 м лежит груз
75 ньютонов. Определить силу, необходимую для удер-
жания этого груза, и силу давления. Трения не учи-
тывать,

I.	Условие Дано: АВ= 7 = 2,5 щ
= м-

Р = 75 н.

II.	Основание для системы уравнения:

△АВСсл /\EDO^ /\ОЕМ,

Так как ^A=^DEO—^EOM, ^B=-^DOE—.^OEM.

АВ ВС АС	Из подобия треуголь-

ОЕ = OD — DE •	ников АВС и ODE.

III.	Система уравнений.

h д V/8—

(2)

(3)
IV.	Решение:

2) Из (3) Р,—р-
/с	1,0

4

V.	Проверка расчетов: осмысливание резуль-
татов. Расчеты произведены правильно. Результаты
удовлетворяют условию задачи.

VI.	Ответ: Р=45 ньютон, Рп=60 ньютон.

VII.	Возвращение к решению задачи: рас-
смотрение качественных вопросов на основе анализа
формул. Например, как будет изменяться сила при раз-
личных (указать каких) изменениях высоты h и длины I
наклонной плоскости? Каково отношение F к Р? Чем
определяется это отношение?,
Решение задач методом урав*
 нений в курсе арифметики чет-
вертого и пятого классов

... Следует критически пере-
смотреть традиционное отно-
шение к арифметическим ме-
тодам решения задач.

А. И. Марку шее ич,*

В последние годы ведется разговор о пересмотре от-
ношения к решению задач в арифметике и особенно
к решению так называемых типовых, а по сути дела ал-
гебраических задач. В результате обсуждения выяви-
лось стремление открыть более широкий путь введения
алгебры в арифметику, к органическому соединению ал-
гебраических и арифметических приемов решения за-
дач. В связи с этим появилась потребность более ранне-
го введения аналитического выражения функциональ-
ной зависимости между величинами и выделения поня-
тия уравнения с приложением его к решению задач.

При этом не идет речь об упразднении арифметиче-
ских способов решения задач, а о разумном сочетании
их с алгебраическими методами. Там, где задача легко
решается арифметически, нет смысла прибегать к алгеб-
раическому решению. Там же, где арифметические ре-
шения требуют искусственных приемов, основанных по
сути дела на алгебраических преобразованиях, целесо-
образнее применить алгебраические методы.

, В новой программе по математике сказано: «Ран-
нее введение уравнений позволяет по-новому органи-
зовать обучение решению текстовых задач. На доста-
точно убедительных примерах раскрываются преимуще-

♦ А. И. М а р к у ш е в и ч. Об очередных задачах преподавания
математики в школе. «Математика в школе», 1962, № 2, стр. 11.
ства алгебраического способа перед арифметическими,
В остальных случаях учащемуся самому представляет-
ся право выбора метода решения задачи *.

Опыт лучших учителей и проведенные в ряде школ
за последние годы эксперименты дают основание сде-
лать вывод о том, что •метод уравнений доступен уча-
щимся IV—V классов. Дети с интересом его применяют.
Им нравится более быстрый темп решения задачи, при»
меняемая при решении символика, схематизация ре-
шения.

Особенностью применения метода в IV—V классах
является постепенное введение и усложнение формаль*
кого аппарата на основе широкого использования раз-
личных иллюстративно-наглядных средств. Важно по-
мнить, что иллюстрация, записи, вопросы, объяснение,
символика — все это средства для решения задач, а не
самоцель.

Для решения задач методом составления уравнений
важное значение имеет отработка быстрой записи соот-
ношений, вытекающих из сущности действий над числа-
ми. Поэтому целесообразно систематически проводить
математические диктанты следующего содержания.

При изучении сложения. Записать сумму чисел а и Ьк

Записать число, на b большее числа а.

Записать число, если известно, что число а меньше
его на число Ь.

При изучении вычитания. Записать выражение для
второго слагаемого, если сумма ш, а первое слагаемое п.

Записать число, на п меньшее числа т.

Записать число, если известно, что число m больше
его на число п.

Записать выражение, показывающее, на сколько чис-
ло m больше числа п.

Записать, на сколько число п меньше числа т.

При изучении умножения. Записать сумму а слагае-
мых, каждое из которых равно Ь.

Записать число, в а раз большее числа Ь.

Записать число, если известно, что число Ь меньше
его в а раз.

* «Сборник программ средней школы». (Пособие для руководи-
телей органов народного образования и школ), ч. I, «Просвещение»,
1968, стр. 290.
При изучении деления. Записать один из сомножите-
лей, если произведение есть число а, а другой сомножш
Фель число Ь.

Записать результат деления числа а на Ь равных
цавтей.

Записать выражение, показывающее, сколько раз
пиело b содержится в числе а.

Записать число, в b раз меньшее числа а.

Записать число, если известно, что число а больше
его в Ь раз.

Записать число, показывающее, во сколько раз число
а больше числа Ь.

Записать число, показывающее, во сколько раз чис-
Ь меньше числа а.

Полезны и обратные задачи на истолкование выра-
жений:

х = а-\-Ь‘, х — а — Ь\ х — а,-Ь- х = а:Ь.

Анализ условия задачи целесообразно начинать с вы-
деления составных частей условия, затем производить
запись выражений, соответствующих каждой части
условия. Пусть к примеру решается задача: Длина ло-
маной линии 3 дм 5 см. Первое звено на 7 см меньше
второго и на 5 см больше третьего. Найти длину каждо-
го звена.

В этой задаче три части условия (три условия):

. 1-е условие: первое звено на 7 см меньше второго.
2-е условие: первое звено на 5 см больше третьего.
3-е условие: сумма трех звеньев 35 см.

Какие-то условия будут служить целям записи выра-
жений, а одно из них — основанием для составления
уравнения.

Решая эту задачу, учащиеся выделяют и проговари-
вают без записи все три условия. После выделения усло-
вий необходимо записать выражения для составления
уравнения:

I звено	х.

П звено	х+7	(1-е	условие).

И звено	х—5	(2-е	условие).

Уравнение *+(л+7) + (х — 5) =35 (3-е условие).
Все условия и все данные использованы.

Некоторые методисты предлагают начинать решение
задач с установления величин, значения которых будут
3»авниваться между собой при составлении уравнения,
наче они предлагают вначале устанавливать структу-
ру уравнения и только потом* составлять соответствую-
щие этой структуре выражения.

Нам представляется, что этот путь более труден для
учащихся младших классов средней школы. При таком
подходе ученики должны совершить синтез несуще-
ствующих пока выражений. Это трудно сделать боль-
шинству учеников. Под силу будет, пожалуй, ученикам
с хорошей математической подготовкой. Ученики млад-
ших классов легче синтезируют то, что ими создано, бо-
лее конкретное.

Мы предлагаем следующий прием обучения состав-
лению уравнения в младших классах; выделение усло-
вий, запись выражений, соответствующих выделенным
условиям, выбор тех условий, которые послужат осно-
ванием для составления уравнений. В заключительном
этапе полезно повести разговор о структуре уравнения,
о возможном предвидении этой структуры. Этот разго-
вор будет полезен всем ученикам и особенно хорошо
успевающим. Им можно будет предложить иной путь
составления уравнения—начинать с определения струк-
туры уравнения.

Ёажно показать учащимся, что возможны различные
варианты выбора оснований для уравнения и что всегда
следует выбирать такое основание, чтобы уравнение бы-
ло наиболе простым. Пусть решается задача: Сумма
двух чисел 342, их разность 48. Найти эти числа,

1-е условие: сумма двух чисел 342,

I число х

II число 342 — х

2-е условие: их
записи:

разность 48. Возможны два варианта

тогда х — (342 — х) = 48;
тогда 342 — х — х = 48.

Целесообразно рассмотреть оба варианта и сделать
необходимый вывод. Затем полезно взять за основание
для уравнения сумму двух чисел, а их разность исполь-
зовать для записи выражений, необходимых для состав-
ления уравнений.

I число

II число

Совместное рассмотрение первого и второго путей
решения этой задачи приведет к необходимости анализа
структуры уравнения.

В ряде задач арифметический и алгебраический спо-
собы решения хорошо сочетаются. Например, пусть ре-
шается следующая задача: Длина садового участка
30 м, ширина 20 м. На участке фруктовые деревья зани-
мают площадь, в 5 раз большую, чем площадь под ку*
старниками. Определить каждую площадь.

Решение: L Площадь всего участка 30 • 20=
= 600 (л<2).

2, Площадь, занятая кустарниками,
X м2.

Площадь, занятая фруктовыми деревья-
ми, 5 х м2.

Уравнение х+5х=600, х=100.

Площадь под кустарниками 100 м2.

Площадь под деревьями 500 м2.

Полезно сопоставлять арифметический и алгебраиче-
ский способы решения одной и той же задачи с целью
показа универсальности последнего. Однако не следует
отказываться от поиска оригинальных решений задач
арифметическим способом. Нередко алгебраическое ре-
шение задачи подсказывает возможные пути ее ариф-
метического решения. Общеизвестно, что учащиеся стар-
ших классов, желая помочь своим братьям и сестрам
решить задачу арифметическим способом, решают эту
задачу алгебраически, а затем подбирают вопросы для
арифметического решения.

Рассмотрим для примера задачу, в которой отчет-
ливо видна польза алгебраического начала решения за-
дачи для постановки необходимых вопросов. У двух
братьев Петра и Василия были овцы. Василий гово-
рит Петру: «Дай мне одну овцу и у нас их будет по-
ровну». Петр отвечает: «Нет. дай ты мне одну овцу
и у меня овец будет вдвое больше, чем у тебя». Сколь-
ко овец было у каждого?
Обычно ученики начинают решать эту задачу мето-
дом подбора. Причем числа берутся наугад. Вопросы
придумать сразу очень трудно. Алгебраический способ
решения подсказывает вопросы. В самом деле, составим
таблицу.

Овцы Петра Овцы Василия*

Вначале х	у

1-е у с л о в и е: х — 1	У + 1

X— 1=у + 1;

х — у — 2

Анализ этого выражения наводит на мысль, что
у Петра вначале было на две овцы больше. Отсюда
и первый вопрос: на сколько овец у Петра было вна-
чале больше чем У Василия? Далее задача решает-
ся уже легче. Можно поставить и второй вопрос: на
сколько у Петра овец станет больше, если Василий от-
даст ему одну овцу? Вначале было на две овцы больше^
Затем у Василия число овец уменьшится на одну,
а у Петра увеличится на одну, следовательно, всего
будет больше на четыре овцы. Отсюда вытекает и реше-
ние. Вдвое и одновременно на четыре больше означает,
что у Василия стало 4 овцы, а у Петра 8. Было вначале
соответственно 5 и 7.

Так анализ задачи с использованием алгебры при-
вел к постановке вопросов при арифметическом способе
решения.

Рассмотрим вторую задачу, при анализе которой с ис-
пользованием алгебры можно усмотреть необходимые
вопросы для арифметического решения. Портфель и кни-
ги стоят 14 руб. Книги дороже портфеля на 8 руб.
Сколько стоит портфель? Алгебраическое решение при-
водит к уравнению: 2х + 8=14, где х — стоимость порт-
феля. Структура уравнения подсказывает, что надо
вначале найти двойную стоимость портфеля, а затем
и его стоимость.

В заключительном этапе решения задач полезно
время от времени рассматривать изменение результатов
(ответа) в зависимости от изменения допустимых зна-
чений данных задачи. В нем же полезна творческая
обобщающая работа по задачам: составление общих
формул решения задач, составление задач по общим
формулам, различные преобразования в задачах (изме-
нение данных, изменение соотношений между данными
и искомым, постановка новых вопросов), схематизация
условия задач, составление задач по схемам и т. п,

МЕТОД УРАВНЕНИЙ В ТЕМЕ

«НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА»

На одном из уроков арифметики в IV классе очень
важно показать детям значение математики для быстро-
ты расчетов, для предвидения окончательных результа-
тов, для выражения зависимостей между величинами,
для выявления общих свойств, показать важные и до-
ступные учащимся особенности математики.

Опишу одно из возможных начал такого урока. Пе-
ред детьми ставятся конкретные вопросы, например:
почему наши ракеты, запущенные в район Тихого океа-
на, попадают точно в цель, почему спутники летят по
маршруту, какой им выбрал человек? И тут же отве-
тить, что все это получается потому, что математика во
многих случаях дает возможность предвидеть, заранее
рассчитать и знать результат, даже в сложных процес-
сах, Чтобы сделать это утверждение ощутимым для де-
тей, им предлагается выполнить ряд операций над заду-
манными ими числами и указывается при этом, что
у них получится у всех один и тот же ответ, например 15.

Учитель: задумайте каждый какое-либо число,
тайно от меня можете его записать. Сейчас я буду гово-
рить, какие надо произвести над ними действия. В итоге
выполнения действий у вас получится 15. Итак, заду-
майте число.

Прибавьте к нему 12.

Помножьте все на 2.

Вычтите задуманное число.

Прибавьте к результату 6.

Вычтите ещё раз задуманное число.

Разделите все на 2.

У вас у всех получилось 15.

Как видите, математика дала возможность предви-
деть конечный результат ваших вычислений. Иногда это
предвидение дается сравнительно легко, а чаще всего
требуются большие знания и огромный труд.
Знать, что будет впереди, нужно человеку любой
профессии, кем 'бы он ни был, где бькон ни работал. Ум
и знания помогают осуществить эту задачу.

Далее ученики по предложению учителя выполняют
еще одно-два «загадочных» вычисления. После этого
учитель раскрывает секрет решения таких задач. Пер-
вая задача решается с учениками еще раз.

Учитель. Запишем решение задачи вместе со мной#
Пусть кто-либо назовет мне число. Называется число 9,
У всех остальных числа разные и неизвестные мне. В ма-
тематике такие числа можно обозначить какой-либо бук-
вой, например а. Итак, имеем конкретное число 9, обоб-
щенное а.

Я вам сказал, что к задуманному числу следует при-
бавить число 12. Сделаем это. Будем записывать в два
столбика: один столбик с конкретным числом, другой
с обобщенным:

9+12;

а+12.

Далее вам предлагалось умножить все на 2# Это
значит, что на 2 надо умножить й 9 и 12, а в общем виде
и а и 12. Получим:

18 + 24; 2а+ 24.

Выражение 2а легко объясняется: два метра — 2 м, две
тонны — 2 т. Вычтем задуманное число из 18, а 24 оста-
вим нетронутым, получим:

18 + 24 — 9 = 9 + 24;	2а+24 — а = а + 24.

После этого мы должны были прибавить к резуль-
тату 6. Прибавим 6 к 24.

9 + 24 + 6 = 9 + 30;	а+24 + 6 = а + 30.

Еще раз вычитаем задуманное число:

9 + 30 — 9 = 30;

а + 30 — а = 30.

Наконец делим 30 на 2 и получаем в ответе 15.

Можно предложить рассмотреть и такой пример,
когда у каждого вычислителя получится столько, сколь-
ко он задумал. Запись полезно произвести так же в два
столбика: с конкретным числом и обобщенным числом.

Примерный текст подобной задачи: Задумайте чис-
ло, удвойте его, прибавьте к результату 10, разделите
^сгна 2, вычтите 5. Запишите ответ на маленьком лист-
ве бумаги и подайте мне, и я вам скажу, какое число
Вы задумали. Можно составить формулу решения этой
Задачи.

Затем полезно рассмотреть задачу, приводящую
к уравнению. Хороша для этого задача о стае гусей.
«Здравствуйте, сто гусей»,— сказал гусь встретившейся
стае. «Нас не сто. Если бы нас было столько, да еще
столько, да еще полстолъко, да еще четверть столько,
да ты с нами, то нас было бы сто». Сколько летело
гусей?

Для этой задачи можно составить уравнение, доступ-?
ное ученикам IV класса.

Учитель. Пусть гусей было х, тогда можно запи-
сать все то, что ответил вожак, так:

гусей х,

еще столько х,

полстолько х:2,

четверть столько х : 4,

еще один гусь 1.

Если все сложим, то получим 100. Итак?

^4-х + х:2 + х:4 + 1 — 100.

Учитель сообщает, что подобные равенства в мате-
матике называются уравнениями. В них всегда есть не-
известное число, которое надо найти. .

Решить это уравнение целесообразно подбором, с ис-
следованием. Для этого предложим ученикам подста-
вить вместо х число, делящееся на 4, например 8, тогда
. получим:

Должно же быть 99. Предварительный результат
примерно в 4 раза меньше того, что должен быть. Ис-
пользуя функциональный подход, увеличиваем 8 в 4 ра-
за, берем 32 и вновь считаем, получим 88 да 1 всего 89,
Мало. Дальше увеличиваем значение х каждый раз на
единицу, подставляем числа 33, 34, 35, 36. Получаем,
что удовлетворяет нашему условию число 36. Можно
указать детям на то, что числа 33, 34, 35 не следует под-
ставлять, так как они не делятся на 4, а сразу подста-
вить 36.
На следующем уроке учитель ведет краткую беседу
о роли букв в математике. На прошлом уроке мы бук-
вой а обозначали обобщенное число, число которое за-
думал каждый. Это число может быть любым. Буквами
в математике обозначают любые числа.

Далее записываем ряд знакомых детям из началь-
ной школы выражений, содержащих неизвестное х. Учи-
тель сообщает, что такие равенства будем называть
уравнениями.

Записываем уравнения и решаем их устно,

х 4-20 = 50;	2x4-16 = 38;

х — 10=18;	5х — 8 = 32;

20—	х=12;	30 —4х=18;

х • 22 = 66; Зх • 8 = 72;

х I 3= 13; 7х : 4 = 28;

15:х= 3;	70:2х= 5.

В каждом из них имеется неизвестное число х, ко-
торое надо найти. Постепенно с течением времени
целесообразно расширять представления учащихся об
уравнении, формируя научное понятие. Очень хо-
рошо разъяснена сущность уравнения К. И. Пешковым
в его книге «Система изложения курса арифметики
в V классе».

Решению задач методом уравнений должны предше-
ствовать подготовительные уравнения, раскрывающие
основную сущность изучаемых зависимостей. Выполнять
их целесообразно с применением символики и различ-
ных иллюстраций.

Приведем возможные варианты подготовительных
упражнений и примеры решения задач в различных те-
мах курса арифметики.

Натуральные числа.

Нижеприведенное задание выполняется под диктов
ку учителя.

1.	Учитель. Запишите натуральный ряд чисел.

Ученики. 1, 2, 3, 4,..., п, ...

2.	Учитель. Удвойте в этом ряду каждое число.

У ч е н и к и. 2, 4, 8, ..., 2n, itt *
Учитель. Новый ряд называется рядом четных чи-
сел, а — 2п есть формула четного числа. Подставляя
вместо п числа натурального ряда, мы получим различ-
ные четные числа. Сделаем это.

2-1 = 2;	2-2 = 4;	2-3 = 6;	2 • 4 = 8 и т. д.

3.	Учитель. Прибавьте к каждому четному числу
единицу. Получаем:

24-1=3;	44-1 = 5;	6+1 = 7;	...;(2п+1).

Учитель. Этот ряд чисел называется рядом нечет-
ных чисел, а=2п-|-1— формула нечетного числа. Под-
ставляя вместо п числа натурального ряда, мы получим
различные нечетные числа. Сделаем это:

21 + 1 =3;	2-2+1=5;	2-3+1 = 7.

Далее учитель сообщает, что каждое число в своем
ряду имеет определенный порядковый номер. Полезно
переписать ряд и пронумеровать его члены:

Четные числа: 2, 4, 6, 8, 10, ... , 2п.

Их номера 1, 2, 3, 4, 5,

Можно предложить определить, какое число стоит на
23 месте. Можно решить и обратную задачу, определить
порядковый номер числа 48. Эту задачу можно решить
методом составления уравнения. Учитель говорит: «Обо-
значим порядковый номер числа через и, тогда 2м = 48.
Отсюда находим и».

Аналогичные задачи полезно решить и с нечетными
числами.

В дальнейшем важно использовать прием составле-
ния уравнения при решении задач везде, где составле-
ние уравнения не вызовет значительной затраты вре-
мени и вместе с тем поможет уяснению функциональной
зависимости между величинами, входящими в задачу.
Например, при решении задачи Сколько сотен в тысяче?
полезно предложить учащимся составить уравнение
100-х=1000. Помимо уяснения функциональной зависи-
мости, такая запись даст возможность учителю трениро-
вать учащихся в составлении уравнения на конкретном
и хорошо понятном им материале, поможет уяснить сущ-
ность схематической записи условия задачи.
Психологически ценность таких упражнений обосно-
вывается установлением своеобразных циклических свя-
зей между словесным содержанием задачи, формаль-
ным выражением содержания и мыслительными процес-
сами учащихся, более прочной системой связи мысли,
вызывающей более высокую устойчивость знаний, Схо*
матически эти связи можно представить так:

Словесное содержаний
задачи

 I» ——

Формальное выражения
содержания задачи



| Мыслительные процессы

Словесное содержание задачи вызывает определен-
ные мыслительные процессы у учащихся. У отдельных
учеников эти процессы совершаются быстро и без за-
труднений, у других — с затруднениями. Преодолению
затруднений помогают различные приемы, к которым
относится и формальная запись условия. Эта запись по-
могает лучшему отображению условия задачи в созна-
нии учащихся, расчищая путь к уяснению зависимости
между величинами, усиливает и корректирует мысли-
тельные процессы.

Важно и то, что учитель таким путем систематически
подготавливает почву к обобщению, к уяснению учащи-
мися структуры задач, объединяющихся законом
а-х = &.

Упражнения на состав чисел

Диктант учителя.

1.	Запишите число 27 в виде
суммы десятков и единиц.

2.	Считая 27 делимым, 10 де-
лителем, 2 частным и 7 ос-
татком, выразите остаток
через все остальные числа
формулы 27=10-2+7-

Запись учащих*
ся в тетради

27=10-2+7.

7=27-10-2.
3.	Выразите из формулы
27=10-2+7 частное 2 через
все остальные числа.

4.	Напишите число, содержа-
щее а десятков (а =#0).

5.	Напишите число, содержа-
щее а десятков и b еди-
ниц (я>0).

6.	Запишите в виде суммы
сотен и Десятков число 320.

7.	Запишите в виде суммы со-
тен, десятков и единиц чис-
ло 325.

8.	Напишите число, содержа-
щее а сотен, b десятков и
с единиц.

Умение записывать подобные
лезно в дальнейшем при решении
ления уравнений.

2=(27—7):10.

10-а.

10-а+А.

320=100-3+2-10.

325==100-3-[-10Х
Х2+5.

100-а-+10-& + с.
выражения будет по-»
задач методом состав-

Упражнения на применение понятий: «сумма»,
«разность», «произведение», «частное».

Чтобы учащиеся восьмилетней школы хорошо овла-
дели понятиями суммы, разности, произведения, част-
ного, целесообразно систематически предлагать выпол-
нять упражнения в записи суммы, разности, произведе-
ния и частного чисел.

Примерные упражнения на применение указанных
понятий. Упражнения выполняются под диктовку учи-
теля.

Диктант учителя.	Запись

учащихся.

Записать сумму	чисел	5	и	3.	5-J-3.

Записать сумму	чисел	а	и	3.	а+3.

Записать сумму	чисел	а	и	6.	« + &.

Записать разность чисел	10	и 7.	10—7.

Записать'разность чисел 10 и А	10—А.
Записать разность чисел b и с.

Записать произведение чисел 2 и 6.

Записать удвоенное число а.
Записать частное от деления а на с.

Записать половину числа Ь.

Записать частное от деления сум-
мы чисел а и b на число с.

Записать частное от деления чис-
ла 48 на произведение чисел 2 и 3.

Записать частное от деления чис-
ла а на произведение чисел 2 и 3.

Ь — с.
2-6.

2а.

а:с.

Ь:2.

(а + 6):с.

48:(2-3)

а:(2-3).

В последующих классах эти упражнения будут, есте-
ственно, усложняться.

Упражнения на изменение компонентов и результа-
тов действий.

Покажем решение примера.

Как изменится сумма, если:

1)	Одно слагаемое увеличить на 8 единиц?

2)	Одно слагаемое уменьшить на 5 единиц?

3)	Первое слагаемое увеличить на 9 единиц, а вто-
рое увеличить на 7 единиц?

Запись в тетрадях учащихся:

Условие: 1-е слагаемое

2-е слагаемое Сумма

Решен ие:

а

1)	а4-8
а

2)	а —5

3)	а —9

и т. д.

Задачу Какое число нужно прибавить к числу 50 879,
чтобы получить 80000? и подобные ей во всех разделах
арифметики целесообразно решать двумя способами:
арифметически и методом составления уравнения. В по-
следующем выбор метода целесообразно представить
учащимся.
Примерная запись в тетрадях учащихся:

1.	Уравнение:	50879+ х =80000.

2.	Решение:	х =80 000—50 879=29101.

3.	Ответ:	29101.

Упражнения на применение понятий «больше на
«больше во...», «неравенство», «равенство».

Запись соотношений, отражающих понятие «больше
на ...», «больше во ...», в виде равенств — один из важ-
нейших элементов решения задач методом составления
уравнений, и потому таким упражнениям целесообразно
уделить должное внимание. Эти упражнения можно вы-
полнять под диктовку учителя. Есть и другая интересная
форма сообщения содержания таких упражнений: учи-
тель до урока записывает на переносной доске формулу
словами, учащиеся записывают в строку все числа, вхо-
дящие в содержание примера, оставляя место для запи-
си знаков, и затем расставляют между числами знаки.

На переносной доске

В тетрадях учащихся

Вначале

После
расстанов-

ки знаков

1.	Семь больше трех
на четыре.

2.	Семь меньше деся-
ти на три.

3.	Икс меньше восьми
на четыре.

4.	Шесть больше трех
в два раза.

5.	а больше пяти в три
раза.

6.	у меньше х в два
раза.

7.	х больше у на 5.

8.	х меньше у в 7 раз.

1)	7 3 4

2)	7 10 4

3)	х 8 4

4)	6 3 2

5)	а 5 3

6)	у л 2

7)	х у 5

8)	х у 7

7-3=4

7=10-3

х=8—4

6=3-2

й=5-3
Полезно сделать учащимся следующие указания
о выполнении таких упражнений; записать три выраже-
ния на одной строке сначала без знаков в том порядке,
в котором они читаются или записаны в тексте, затем
расставить знаки действий и знак равенства так, чтобу
они соответствовали тексту.

Задачи на разностное и кратное сравнение.

Задачи на кратное и разностное сравнение двух чи-
сел целесообразнее решать методом уравнений с ис-
пользованием различных иллюстративных средств. При
решении задач полезно приучить детей выделять в зада-
чах число условий (процессов) и для каждого условия
составлять необходимые выражения. Например, при
решении задачи:. Одно число больше другого на 113,
а их сумма равна 337. Найти эти числа, важно выделить
два условия: первое то, что одно число больше дру-
гого на 113, второе то, что сумма чисел равна 337, На
основе выделения условий ученики записывают в тет-
радях.

I. 1-е условие: первое число больше второго на
113;

2-е условиегсумма чисел равна 337,
II. Основание для уравнения:
III. Уравнение:	х+113+х=337,

IV.	Ре ш е н и е:

1)	2x4-113=337;

2)	2х=337—113=224;

3)	х=224:2=112;

4)	х+113=112+113 = 225.

V.	Проверка: 225+112 = 337.

VI,	Ответ: 228 и 112,

2-е условие.
VII. Возвращение к решению задачи. На
этом этапе полезно выяснить ход процесса мышления
при решении задачи, на основе предыдущих этапов: что
мы кладем в основу рассуждений при решении задачи?
какова логика рассуждений? как расчленять задачу на
отдельные условия? как вести записи и располагать их
в тетрадях? и другие вопросы, относящиеся к организа-
ции умственного труда. Затем полезно рассмотреть ре-
шение задачи при условии, что за х будет принято пер-
вое число, и сравнить приемы решения.

Пример решения задачи на нахождение двух чисел
по их сумме и кратному отношению, В двух пачках
270 тетрадей. Сколько тетрадей в каждой пачке, если
известно, что в одной из них в 4 раза больше, чем
в другой?

Записи в тетрадях учащихся.

I* 1-е у с л о в и е: в двух пачках 270 тетрадей.

В I пачке

Bo II пачке

270 тетрадей.

2-е условие: в I пачке в 4 раза больше, чем во II,
К записи первого условия добавляется иллюстрация.

В итоге получается:

В I пачке:

Во II пачке:

II.	Основание для уравнения: первое усло-
вие — в двух пачках 270 тетрадей.

III.	Уравнение: 4х+х=270.

IV.	Решение: 1) 5х = 270;

2) x=270:5=54j

3) 4х=4-54=216,

V.	Проверка: 216+54 = 270.

VI.	Ответ: 216 тетрадей и 54 тетради,

VII.	Можно положить, что вторая стопка тетрадей
будет больше первой. Решение задачи будет аналогич-
ным. Вновь осмысливается метод решения задачи, Уча-
щиеся вместо иллюстрации могут воспользоваться
записью: в I пачке 4 х; во II х тетрадей.

Пример решения более сложной задачи: Один кусок
проволоки на 54 м длиннее другого. После того, как от
каждого куска отрезали по 12 м, второй кусок оказал-
ся в 4 раза короче первого. Найти длину каждого куска
проволоки.

Записи в тетрадях учащихся.

I.	1-е условие: I кусок больше II на 54 м<

С 12м К X О

54м

I — больший кусок?

II —меньший кусок.

2-е условие: отрезаем от каждогЪ куска по 12 м
(АМ и СЛ).

3-е условие: оставшаяся часть первого куска
в 4 раза больше оставшейся части второго куска.

На чертеже помечаем остаток от второго куска
остаток от первого куска 4х.

II.	Основание для уравнения: отрезок МВ
больше отрезка KD на 54 м.

III.	Уравнение: 4х —х==54.

IV.	Решение: 1) Зх = 54;

2)	х = 54:3 = 18;

3)	4х = 4-18 = 72;

, 4) х + 12 = 18+12=30 (м во II куске);

5) 4х+12 = 72+12 = 84 (м в I куске).

V.	Проверка: 84 —30 ==54.

VI.	Ответ: 84 м; 30 м.

VII.	Комментирование решения одним
из учащихся. Полезно предложить желающим уча-
щимся самостоятельно подумать и поискать другие ре-
шения.

Очень важно научить учащихся расчленять условие
задачи, выделять части общего условия задачи и гра-
фически иллюстрировать их.
Покажем один из возможных вариантов обучения
этой работе. Пусть решается задача: В двух складах на-
ходится 42 т муки. В первом складе муки в два раза
больше, чем во втором. Сколько муки в каждом складе?

Учитель сообщает детям, что он будет диктовать за-
дачу, а они должны выделить два условия и схематиче-
ски их представить.

Учитель диктует: «В двух складах 42 т муки».

Ученики пишут:

«В I складе 1
во II складе J

1-е условие
42 т».

Учитель. В первом складе муки в два раза боль-
ше, чем во втором.

Ученики дополняют схему и получают:

1-е условие

X

В I складе

Во II складе

2 е условие

42Г

Учитель. Сколько тони муки в каждом складе?

Ученики вводят х и заканчивают запись условия.

В итоге у них получится следующая запись:

в I складе

во II складе

2-е условие	1-е условие

х + х + х = 42.

Подобные упражнения целесообразно проводить
систематически и особенно при рассмотрении новых ти-
пов задач.

Полезны упражнения на составление задач по чер-
тежам. Например, даются два отрезка АВ и CD и пред-
лагается записать соотношения между элементами чер-
тежа, выразить каждый элемент через другие и соста-
Д	N	В вить на основе этого ряд

111 »—»»— 1 задач. Нетрудно видеть, что
q	ft	рассмотрение всех возмож-

ных соотношений между эле-
ментами чертежа будет
способствовать расширению
кругозора учащихся, их математическому развитию.

Особенно полезны такие упражнения перед решени-
ем задач на движение. Приведем пример упражнений
на встречное движение. Учитель вывешивает заранее за-
готовленные иллюстрации к составлению задач. В данном
примере таких иллюстраций пять. На первой иллюстра-
ции второй пешеход движется в сторону первого в тече-
ние 4 ч со скоростью 6 км!ч. Нужно составить задачу
и ее решить. На последующих иллюстрациях отражены
изменения и дополнения условий движения. Учащиеся,
как и в первом случае, должны составить и решить за-
дачу. Возможны различные варианты задач и различ-
ные главные вопросы, на которые следует ответить.

Если в таких упражнениях данные даются в варьи-
рованном плане, то учащиеся приучаются вести иссле-
дование с учетом всевозможных разновидностей данной
ситуации.

Движется

4 ч,

и Движется А
1^ = 4-^

КМ
__ е

ч

Встречное
движение

Встречное движение

км

В
4v

о Встречное движение
j	км

ч vb больше va на 2——

р

40км

***-' у-

4v

ft Встречное движение
i vb больше va на 2 —~

Решение таких задач целесообразно производить
устно. Если же появится необходимость произвести за-
пись решения, то следует применить символику. На-
пример, для первой задачи запись решения может быть
такой:

1.	Вопрос:	?

2.	Решение: Sab = г/-^ = 6- 4 = 24 (км).

После выполнения таких упражнений решаются ана-
логичные задачи.

При решении задач арифметическими способами по-
лезно формулы решения задач записывать с примене-
нием символов. Такая работа будет готовить детей
к обобщениям.

Пример решения задачи методом составления урав-
нений с использованием символов.

Задача. Из Москвы и Калинина по одному и тому
же шоссе выехали в Ленинград одновременно две маши-
ны: из Москвы легковая, а из Калинина грузовая. Гру-
зовая двигалась со средней скоростью 40 км!ч. Опреде-
лить скорость легковой машины, если она догнала грузо-
вую через 8 ч, а расстояние от Москвы до Калинина
168 км.

I.	Условие.

1-е условие — движение автомобиля из Калинина.
Р — место сближения.

т>г = 40

км

С = 8 ч -.

sT =40-8 = 320 (км).
2-е условие — движение автомобиля из Москвы*

= 8

= X  8.

II.	Основание для уравнения: легковая ма*
шина прошла на 168 км больше грузовой машины.

Ill.	Уравнение: 8*— 320=168, или 8х —168=320.

IV.	Решение: 8х= 168 + 320;	8х=488.

*=488:8 = 61

168 км

JJ

V.	Проверка: повторно пересчитать все результа-
ты, сравнить пути движения.

VI.	Ответ: 61 км/ч.

VII.	Комментирование решения з а д а ч из
иное решение.

Уравнение можно составить по-другому, а именноз

(*-40) ’8=168,

или предложить ученикам составить обратную задачу,
в которой надо найти скорость грузовой машины, и ре-
шить эту задачу.

Очень важно научить детей каждое условие (про-
цесс) выражать математическим языком, затем с этими
выражениями оперировать. Такое расчленение сложной
по структуре задачи на элементарные способствуют луч-
шему отражению смысла задачи в сознании учащихся.

При решении задач на движение по реке полезны
устные упражнения, отражающие основные соотношения
между собственной скоростью ис, скоростью течения —
гв, скоростью по течению ут, скоростью против тече-
ния— ип, разностью между этими скоростями vT—Vn-
Примеры таких упражнений. На переносной доске
учитель пишет:

	VB	VT	Vn	vT—vn	
12	3				1
12		15			
12			9		
12				6	
	3	15			
	3  s'		10		
		18			

Ученики записывают эту таблицу и заполняют само-
стоятельно пропущенные числа.

После выполнения задание проверяется.

Решение составных задач требует значительной под-
готовительной работы, направленной на выяснение функ-
циональной зависимости между величинами. Покажем
это на примере решения следующей задачи: Для турист-
ского похода 46 школьников были приготовлены шести-
местные и четырехместные лодки. Сколько было тех
и других лодок, если все туристы разместились в 10 лод-
ках и свободных мест не осталось?

Перед решением этой задачи учитель предлагает де-
тям выполнить ряд подготовительных упражнений, но-
сящих исследовательский характер.

1.	В лодку вмещается 4 человека. Сколько можно вме-
стить людей в 2, 3, 4 лодках? Заполнить таблицу, запи-
сать формулу для определения числа перевезенных лю-
дей, обозначить это число через у.

Число лодок	1	2	3	4	
Число людей	4				
2.	В двух лодках можно разместить 10 человек. Выра-
зить число людей в каждой лодке. Заполнить таблицу.

В 1-й лодке человек	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	X
Во 2-й лодке человек	9										•

3.	Имеются х четырехместных лодок и 2 шестимест-
ных. Записать число людей, которых можно в них раз-
местить. Обозначьте это число через у.

4.	Имеется 10 четырехместных и шестиместных ло-
док. Сколько можно перевезти в них людей, заняв все
места? Заполните таблицу.

Г-"	  ( Число 4-местных лодок t -	1	2	3	4	X
Число 6-местных лодок  —	9	8	7	6	
Число людей в лодках  	V	....	58				

(4-1 + 6*9=58)

Такого рода упражнения' важны не менее самих за-
дач, к которым они составлены. Они учат исследовать,
анализировать.

После такой подготовки учитель сообщает, что будем
решать задачу, условие которой прочитывает сам, а затем
предлагает повторить 2—3 ученикам. В анализе условия
следует установить, что в задаче имеется два условия,
два процесса: перевоз людей в четырехместных лодках
и перевоз людей в шестиместных лодках, что для под-
счета числа всех людей, перевезенных в лодках, надо
знать число людей, помещающихся в одной лодке. Чтобы
подсчитать число перевезенных людей на шестиместных
лодках, надо б умножить на число лодок, а чтобы под-
считать число людей, перевезенных на четырехмест-
ных лодках, надо 4 умножить на число лодок. Общее
число перевезенных людей будет равно сумме, состоя-
щей из чисел перевезенных людей на каждой группе
лодок.

Все эти рассуждения целесообразно вести без запи-
сей. Затем ученики записывают условие и решение за-
дачи в тетрадях. Условие можно записать в следующем
виде:

I.	1-е условие — перевоз людей на больших лод-
ках.

Число людей в одной лодке 6.

Число лодок х=

Число перевезенных людей 6*х=

2-е условие — перевоз людей на малых лодках<

Число людей в одной лодке 4.

Число лодок 10—~х =

Число перевезенных людей 4(10—х) =40—4х=

II.	Общее число перевезенных людей 46.

Можно после этого предложить ученикам располо-
жить записи в виде такой таблицы:

Вид лодок	.Число людей в 1-й лодке	Число лодок	Число перевезенных людей
Большие	6		6х
Малые	4	10-х=	4-(10—л)=40-4л

III* Основание для уравнения: общее число
перевезенных людей 46.

IV.	Уравнение: 6х + 40—4х = 4б.

V.	Решение: 1) 2х = 46 — 40, 2х = 6;

2)	х = 6:2 = 3;

3)	10 —х= 10 — 3 = 7.

VL Заполнение таблицы, подстановка вместо х
числового значения и .сверка результатов.

VII.	Ответ: шестиместных лодок 3;
четырехместных 7.

VIII.	Комментирование решения задачи
учащимися: рассматривается весь ход решения зада-
чи с целью уяснения сущности метода решения. Можно
предложить ученикам принять за х число 4-местных ло-
док и снова решить эту задачу.
ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ

В разделе «Делимость чисел» везде» где только пред-
ставится возможность, целесообразно вводить символику
и рассматривать функциональную зависимость между
величинами. Так, при выполнении упражнений следу-
ющего типа: Написать по три числа, кратных 3, 8, 11,
можно ввести обозначения числа краткого а в виде
делителя числа а в виде Л (а). Тогда решение этого при-
мера целесообразно записать так: К(3)=3; 6; 9; 12;
.Зп с указанием общего закона получения всех чисел.
К (8) = 8; 1.6; ..8m. И т. д.

Хороша задача № 183 (3). Будет ли любое число со-
тен делиться на 8? * Задача помечена звездочкой пото-
му, что считается трудной. Ее трудность заключается
в том, что в школе обычно не рассматривают таких за-
дач, в которых надо отобрать все решения из ряда возмож-
ных. Рассмотрим эту задачу. Обозначив через х число
сотен, а через у результат от деления сотен на 8, полу-
чим уравнение с двумя неизвестными:

100 х=8 у — неопределенное уравнение.

Составим таблицу возможных значений х и соответ-
ствующих им чисел целых сотен — значений у.

	1	2	3	4	5	6		8
100%	100	200	300	400	500	600	700	800

Очевидно, что на 8 делится то число сотен, которое
получается при х = 2, 4, 6, 8 и т. д., и не делится то число
сотен, которое получается при х=1, 3, 5, 7 и т. д. Дока-
зательство этого утверждения можно рассмотреть с же-
лающими во внеурочное время.

Получение решений задачи из ряда возможных путем
отбора имеет немаловажное значение в различных иссле-
дованиях. Поэтому важно во всех случаях, когда пред-
ставится возможность, учить детей отбирать нужные ре-
шения задачи. В практике нашей массовой школы до

* С. А. Пономарев, Н. И. Сырнев. Сборник задач и уп-
ражнений по арифметике для 5 и 6 классов, изд. 17. М., «Просве-
щение», 1970, стр. 41.
сих пор решения задач и примеров получаются либо од-
нозначно (при решении арифметических примеров
и уравнений первой степени), либо двузначно (при реше-
нии квадратных уравнений). Задачи с большим числом
решений, за исключением тригонометрических уравне-
ний, почти не рассматриваются. Поэтому когда перед
учениками возникают задачи, где число решений боль-
ше Двух и эти решения надо отобрать из всех возмож-
ных, то, как правило, они не справляются с заданием.
Этим в значительной части и объясняется неспособность
учащихся средних школ справиться на олимпиадах и кон-
курсных экзаменах с задачами, предусматривающими
отбор всех решений задачи.

Естественно, что нужна систематическая работа для
развития этой способности у детей с первых дней обуче-
ния в школе. Если учитель не будет увлекаться однотип-
ными примерами и задачами, а будет стремиться К их
разнообразию на основе учета всех возможных разновид-
ностей изучаемых ситуаций, то на решение задач с от-
бором решения дополнительного времени не потребуется.
Вместо шести — восьми однотипных примеров можно рас-
смотреть один с различными вариациями его компонен-
тов и сделать необходимые обобщения. Примером это-
му служит только что рассмотренная задача. Однако
приведенное утверждение не следует понимать как от-
рицание тренировочных упражнений.

В этом разделе полезны повторительные упражнения
на запись чисел в виде суммы разрядных единиц, фор-
мул деления с остатком и выражения остатка, делителя
и частного через все остальные компоненты. Пример та-
ких упражнений: Записать равенство, выражающее ре-
зультат деления 27 на 10 с остатком. Выразить из этой
формулы остаток 7 через остальные числа, входящие
в формулу, выразить также частное 2, делитель 10. Вслед
за этой задачей можно предложить обобщенную задачу:
Составить формулу, отражающую, что число а при де-
лении на число b дает в частном q и в остатке г, выра-
зить из этой формулы каждое число через остальные
числа, входящие в формулу.

Действия с обыкновенными и десятичными дробями
дают возможность широко использовать метод составле-
ния уравнений.
В этих темах целесообразно использовать метод
уравнений для решения задач, в которых ищутся неиз-
вестные компоненты действий. К таким задачам относят-
ся № 359, 360, 658, 659 и другие * .

Весьма благоприятное влияние метод уравнений ока-
зывает на усвоение учащимися решений задач на нахож-
дение дроби числа и числа по его дроби.

При введении понятия нахождения дроби числа уче-
никам полезно выполнить ряд подготовительных упраж-
нений примерно такого содержания — записать с по-
мощью знаков действий условие:

1)	~	от	7;	4)	от	х;

2)	от	12;	5)	от	а;

3)	-2-	от	18;	6)	от	у и	т.	д.

О	17

Учитель диктует примеры, дети записывают сразу
соответствующие действия. Ответы могут быть записаны
двояко: в соответствии с определением, например 7-4^
или на основе переместительного закона для умножения
-у- -7, который естественно должен быть рассмотрен
вместе с введением понятия нахождения дроби числа.
Полезно систематически возвращаться к обоснованию
той и другой формы записи, для того чтобы учащиеся не
забыли их сущность.

После введения понятия нахождения числа по его
дроби и деления на дробь полезно приучить детей запи-
сывать в символах, в виде уравнений упражнения сле^
з

дующего характера: Найти число, -g- которого равны 12*
Учитель диктует: «Найти число». Дети пишут: «х», учи-
3

тель продолжает: «-у которого», дети дополняют за-
з

пись «x--g-», учитель сообщает: «равны 12», ученики

3 |О
заканчивают равенство: «х- -^- = 12»,

* См. сноску на стр. 90.
Ученикам в соответствии с предыдущим ясно, что х —
з

все число, -g--его дробь, а 12 — величина дроби. Они

знают, что дробь числа находится умножением числа на
эту дробь.

Опыт показал, что при таком подходе учащиеся ос-
мысленно и со значительно меньшим числом ошибок ре-
шают задачи на нахождение дроби числа и числа по его
дроби. Общность метода создает благоприятные условия
для ясности понимания операции деления или умноже-
ния. Учащиеся не по памяти, а осмысленно переводят
текст задачи на язык уравнений и затем решают. Уст-
раняется вечно существующая у них путаница между
этими двумя типами задач. Ученикам надо хорошо за-
помнить только одно правило, как записывать решение
задач на нахождение дроби числа. Тогда решение задач
на нахождение числа по его дроби сводится к уже из-
вестному и не требует дополнительных запоминаний.

Задачи типа Сколько километров от Москвы до Ле-
з

нинграда, если^ этого расстояния составляют 150 км?
целесообразно решать с применением уравнений и с ис-
пользованием графических иллюстраций. При использо-
вании графических иллюстраций полезно сообщить уче-
никам, что на каждой части чертежа необходимо поме-
тить и дробь и величину дроби, что задача будет решена
только в том случае, если против какого-либо отрезка
графической иллюстрации будет стоять и дробь и вели-
чина дроби. Эта главная методическая идея решения
задач подобного рода должна подчеркиваться неодно-
кратно, пока ученики ее не уяснят. В дальнейшем уче-
ники, решая подобные задачи, должны ссылаться на
эту идею.

Рассмотрим решение проведенной задачи.

Примерная запись решения в тетрадях учащихся!!

V3
I.	У с л о в и er

з

II.	Уравнение: х-= 150.

10

III.	Решение: х = 150:«650.

IV.	Ответ: 650 км.

Полезно время от времени выполнять один вслед за
другим семь примеров следующего содержания — за-
писать и затем вычислить:

Диктант учителя

Найти от 18.

Найти 0,35 от 42.

Найти 19 % от 60.

2

Найти число,которо-
го равны 18.

Найти число, 0,35 ко-
торого' равны 10,5.

Найти число, 19 % ко-
торого составляет 3,8.

Найти процентное от-
ношение 3,2 к 4,8.

Запись учащихся
18 или -| *18.
42-0,35, или 0,35-42.
60-0,19, или 0,19-60=-
х-|=18; х=18:-|

л-0,35=10,5;

х=10,5:0,35=

19 % =0,19;

0,19 -jc=3,8;

л=3,8:0,19=

100 % или 100% =
ж,О	л,о

Решаются примеры 5—7 минут. Проверяются быстро.
Такого рода примеры позволяют повторить основные
понятия, освоить символическую запись выражений, со-
держащих эти понятия, получить навык в различных вы-
числениях с обыкновенными и десятичными дробями.

Благотворное влияние на детей оказывает взаимная
проверка решения примеров и задач учащимися. Осо-
бенно хорошо ученики относятся к работе, если им пред-
лагается не смотреть, как решает сосед, а провести вза-
имную проверку с последующим разбором ошибок.
В такие минуты в классе создается атмосфера подлин-
ного соревнования.
В дальнейшем время от времени целесообразно пред-
лагать ученикам выполнять упражнения на применение
понятия дроби от целого. Не следует забывать эту ра-
боту и в 6—7 классах. Вот несколько примерных упраж-
нений такого рода.

Диктант учителя

Записать с помощью
знака действия одну треть
от шести.

Записать с помощью
знака действия одну треть
от а.

Запись учащихся

п 1	1 р

6-т, или т-6.

о	о

1 1
а-х-, или

Записать символически,
что одна третья от во-
семнадцати равна шести.

Записать символически,
что одна треть от а сос-
тавляет Ь.

Записать символически,
что две третьих от а сос-
тавляют три четверти от Ь.

Записать символически,
2

что -5 неизвестного числа
о

о

составляют 8g-. Найти это
число.

18-^-=6, или 1~-18 = 6.
о	о

или \-а=Ь,
О

2 • 3	2	3 •

-3=^-4-, ИЛИ 3'^

Аналогичные упражнения целесообразно выполнять
и в теме «Десятичные дроби».

Задачи, в которых сочетается нахождение дроби чис-
ла и числа по его дроби, целесообразно решать, комбини-
руя арифметические приемы с методом уравнений.

2

Рассмотрим примеры. Столб, врытый в землю на jg-
своей длины, возвышается над землей на 5 -у м. Опре-
делить длину столба. При решении такого рода задач
важно осуществить методическую идею — одна и та же
часть должна быть выражена дробью и величиной этой
дроби.
A

I. Условие: начертим эскиз
столба, увидим, что величина АВ
есть, а дроби, соответствующей этой
величине, нет.

Находим дробь АВ.

П. Решение:

1) 1 —|- = -Ц- (дробь АВ).
О	10

Теперь есть и дробь и ее величи-
на, можно составить уравнение.

III. Уравнение: -т^-

с 1 . 11	11 • 13 _с 1 г.л

Х — 5 2 * 13 ~ 2-11	2

IV.	Проверка:

2	2 С 1 i /.А

13 ’ х — 13 ' 6 2 —' М’

V.	Ответ: АС = бД-.и.
£

Возвращение к решению задачи. Комментирование
решения одним из учеников.

Пример более сложной задачи. Три отряда школьни-
ков производили посадку деревьев по озеленению села.

7	5

Первый отряд посадил веек деревьев, второй -д-
оставшихся деревьев, а третий остальные 195 деревьев.
Сколько всего деревьев посадили три отряда?

I. Условие: изображаем графически — линейной
схемой ABCD. Вверху будем писать дроби, внизу их вели-
чины.

1 отряд

2 отряд

их oewuHbi

3 отряд

ядереВьеб

] * 195дере6ьеВ
Основная идея: для 195 надо определить соответст-
вующую дробь.

7	13

П. Решение: 1) 1 —	(дробь, выражаю-

kSv

щая BD)',

2)	’ "Г = (дробь, выражаю-

щая ВС)-

3)	1 -	= W <дР°бь> ВЫР0’

жающая CD).

Имеем для CD и дробь и величину, можем составить
уравнение.

III.	У равнение: -^--х=195;

х = 195:	= 800.

7	7

IV.	Проверка: ' х = -^г  800~280 (деревьев);
кД/	mV

4s- • х = 4i-. 800 = 325 (деревьев);

280 4- 325 + 195 = 800 (деревьев).

V. Ответ: 800 деревьев.

Возвращение к решению задачи. Комментирование
задачи одним.из учеников.

ОТНОШЕНИЕ ДВУХ ЧИСЕЛ. МАСШТАБ

Нахождение неизвестных членов отношения ученики
производят на основе зависимости между компонентами
действий. Примеры типа: Найти последующий член от-
ношения, если предыдущий член равен 4,5 а отношение
0,9— целесообразно решать методом уравнений.

Ученики пишут в тетрадях: Уравнение: ~ 0,9.

Решение: х = 4,5: 0,9 = 5."

Ответ: 5.

В процессе составления подобных уравнений учащие-
ся осмысливают термины, правильно отображают в сво-
ем сознании зависимости и поэтому меньше делают оши-
бок.

4 244

9Т
При введении масштаба важно показать учащимся,
что между расстоянием на местности, расстоянием на
карте и масштабом существует зависимость, которая да-
ет возможность решать три типа задач. Если обозначить
расстояние на местности через D, расстояние на плане
(карте) через d, масштаб через М, то зависимость будет
выражена формулой =М, которая дает возможность
определить любой из членов отношения, входящих в фор-
мулу, а именно:

D =	d = М • D.

Для решения любой задачи из этого раздела следует
хорошо знать только определение масштаба и формулу
зависимости, основанную на этом определении.

Полезны упражнения типа: записать вместо вопроси-
тельного знака соответствующее число:

d	[у	м
	20 м	1  200
2 см	?	1  200
5 см	100 км	?

В них ярко выступает функциональная зависимость
между членами отношения.

Применение метода уравнений и при решении задач
из раздела отношения показывает школьникам обобщен-
ный характер этого метода. Общность метода уравнений
будет неоднократно проявляться и в дальнейшем.

ПРОЦЕНТЫ

В задачах на проценты можно полностью реализо-
вать те рекомендации, которые были даны в разделе на-
хождения дроби числа и числа по его дроби.

Важно, чтобы учащиеся понимали, что выражение
«найти 15% от числа а» записывается в символах,
так: 15% =0,15, 0,15*а, или а*0,15. После этого за-
дачи типа: Найти число, 15% которого равны 7,5 — бу-
дут легко переводить на язык уравнений, а именно:
можно будет записать 15% =0,15, 0,15«х=7,5, откуда
х находится по уже известному ученикам правилу.

0,15 • х — 7,5;

х = 7,5: 0,15 = 750: 15 = 30.

Полезны систематически проводимые подготовитель-
ные упражнения, содержащие примеры на проценты
и на нахождение дроби числа, а также числа по его дро-
би. Примеры приведены на странице 94, 95.

Трудно переоценить значение иллюстраций к тексто-
вым задачам на проценты. Покажем пример решения
задачи с использованием графической иллюстрации:
Бригада перевыполнила задание на 10% и заготовила
при этом 880 ж3. Определить задание. Многие ученики
при решении подобных задач не умеют установить, что
принимать за 100%, и потому неправильно решают за-
дачи. Важно всегда обращать внимание на то, чтобы
они при решении подобных задач прежде всего опреде-
лили и изобразили значение той величины, которая при-
нята за 100%. Затем с помощью иллюстраций показали
другие данные условия.

В этих целях полезно предлагать учащимся по ходу
чтения задачи выражать зависимости между величина-
ми, входящими в задачу. Учитель читает: «Бригада пе-
ревыполнила план на 10%». Ученики чертят у себя в тет-
радях:



план100%1 - ,	,

Т В	/?

Далее учитель читает: «и заготовили при этом
880 куб. метров». Ученики дополняют чертеж,

план 100%*	

В



&0н3
Учитель продолжает: «Определить план». Ученики
обозначают искомый план через х. Затем задача ре-
шается,	,

Уравнение и его решение»

1)	110% = 1,1;

2)	1,1-х = 880;

3)	х = 880:1,1 = 8800: И =800; х = 800.

Проверка: 0,1-800 = 80 (л«3); 800-|-80 = 880 (м3).

Ответ: 880 м3.

Комментирование решения.задачи.

ЗАДАЧИ НА ПРИМЕНЕНИЕ ПОНЯТИЙ: «ОТНОШЕНИЕ»,
«ПРОПОРЦИЯ», «ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ»
И «ПРОПОРЦИОНАЛЬНОЕ ДЕЛЕНИЕ».

Как и в других разделах, здесь также важны подго-
товительные упражнения, направленные на. выяснение
в выражение функциональной зависимости между вели-
чинами.

Приведем для примера несколько таких упраж-
нений.

1.	Записать различными способами, что число а больше 6 в два
раза. [1) а=26; 2) а:2=Ь; 3) а:6=2; 4) а:6=2:1; 5) 6=0,5а.]

2.	Записать различными способами, что число а составляет 0,75
числа Ь.

3.	Как можно истолковать выражение: а) а: 6=0,5; б) а : с=3?

4.	Записать формулой, что число а имеет 5 частей, а число b
имеет 7 таких же частей.

5.	Истолковать выражение а : 6=5 : 9.

6	Изобразить графически, что число а больше числа 6 в три pa-
ss. Записать формулой (аналитически) эту зависимость известными
вам способами.

7.	Число а относится к числу 6 как 7 к 9. Записать, зависимость
$ежду этими величинами формулой (аналитически) различными спо-
собами.

8.	Из пропорций а: 6=2:5 выразить числа а и 6, приняв за об-,
щую меру $ *,

9.	Известно, что а: 6=4: И. Ввести второе условие и определить
величину а,

* Понятие общей меры объясняется на основе житейского опьь
та учеников.
При решении текстовых задач этих разделов важно
научить учеников выявлять закономерности, устанав-
ливать функциональные зависимости и выражать эти
зависимости формулами.

Примеры на нахождение неизвестного члена отноше-
ния и пропорций целесообразно решать методом урав-
нений. Этим же методом лучше решать и задачи с при-
менением масштаба. Примеры их решения были уже
рассмотрены (стр. 98).

Некоторые задачи на зависимость между величина-
ми полезно дополнить еще одним требованием — запи-
сать формулу зависимости между величинами, входя-
щими в задачу.

Задачи на пропорциональную зависимость между
величинами можно решить и арифметически, и методом
уравнений. Приведем решение следующей задачи. За
: 6 ч плот проплыл по реке 20,4 км. За сколько часов плот
проплывет 25,5 км?

Условие:

6 ч*= 20,4 км

Если существует прямо пропорциональная зависи-
мость величин, то стрелки направлены в одну сторону —
они указывают одинаковый характер изменения вели-
чин. Если же зависимость обратно пропорциональная,
то стрелки будут направлены в противоположные сто-
роны. Отношение между величинами записывают в на-
правлении стрелок.

Л 6	20,4

Уравнение: — «

Л	6-25,5	6-255	_ -

Решение, х — 2о,4 ~~ 204 ~

Ответ: 7,5 ч.

Задачи на пропорциональное деление целесообразно
решать методом уравнений. После введения нужных
обозначений и записи пропорций следует выразить каж-
дый член пропорции через общую меру, обозначенную
какой-либо буквой. Приведем пример решения задачи:
Число 2400 разделить на части, пропорциональные чис-
лам 2, 3, 8, 11,
Записи в тетрадях учащихся: «Обозначим через I, II,
III, IV части числа. 1-е условие: I: II: III: IV =*
-2:3:8:11.

Принимаем за общую меру х.

2-е условие: I = 2х,

II = Зх, все число
111= 8х,	2400.

IV = Их.

Уравнение и его решение:

I)	2х + Зх + 8х + 11х = 2400;

2)	24х = 2400;

3)	х= 2400: 24 = 100.

Проверка. Подставим вместо х число 100, найдем
значение выражений для I, II, III, IV частей. Склады*
заем полученные результаты:

Ответ:

2х= 200,
Зх = 300,
8х = 800,
Их=1100.

200; 300; 800; 1100.

2400.

Затем следует рассмотреть решение задачи еще раз
с целью более глубокого уяснения метода и идеи ее ре-
шения или предложить одному из учащихся прокоммен-
тировать решение.

В сложных задачах метод уравнений иногда удобно
сочетать с арифметическими приемами. Одна часть за-
дачи может быть решена методом уравнений, другая
арифметически. Рассмотрим решение задачи: Карто-
фель, засыпанный в три овощехранилища, находится
в отношении 1,3 : 2 -i-: 1 ~ , причем, во втором овоще-
хранилище оказалось картофеля на 43,2 т больше, чем
в первом. За месяц израсходовали: из первого 40%, из
второго 30% и из третьего 25% имевшегося там карто-
феля. Сколько всего картофеля израсходовали за месяц?

Возможное решение и его оформление в тетрадях
учащихся^
I часть. Определяем массу картофеля в каждом
овощехранилище. 1-е условие; примем общую меру
за х.

В 1-м овощехранилище 1,3х=46,8 (т).

Во 2-м овощехранилище 2,5х = 90 (т).

В 3-м овощехранилище 1,2х = 43,2 (т).

2-е условие: 2,5 х больше 1,3 х на 43,2 т — основа-
ние для уравнения.

Уравнение и его решение:
1) 2,5х — 1,3х= 43,2;

2)	1,2х = 43,2;

3)	х=43,2: 1,2 = 36.

Подставляем значение х в таблицу первого условия,
получаем массу картофеля в каждом овощехранилище.

II часть. Определяем расход картофеля за месяц.
Из первого овощехранилища 46,8-0,4=18,72 (т).

Из второго овощехранилища 90-0,3 = 27 (т).

Из третьего овощехранилища 43,2-0,25=10,8 (т).

Всего 18,72+27+10,8 = 56,52 (г).

Ответ: 56,52т.

Возвращение к решению задачи. Коммен-
тирование решения одним учеником.

Применение метода уравнений в арифметике носит
пропедевтический характер. Поэтому не всегда и не во
всех задачах следует выделять каждый этап, В отдель-
ных задачах этапы могут объединяться.
6.

Решение задач в курсе алгебры
в—8 классов

Функциональный подход поз-
воляет нам объединить то, кто
с иной тонки зрения кажется
несхожим.

Грей Уолтер*

Если при изучении арифметики ведется пропедевти-
ческое ознакомление учащихся с методом уравнений, то
€ переходом к алгебре начинается систематическое изу-
чение и применение этого метода при решении различ-
ных задач.

Работа над задачей начинается с вдумчивого озна-
комления с ее содержанием, с идеей и с определения
метода решения. Только такая работа даст желанные
плоды в развитии учащихся. Поэтому учитель не может
экономить время при анализе условия задачи и анализе
ее решения. Анализ условия дает возможность ученику
«приоткрыть дверь» в математику и «войти» во внутрен-
нее содержание задачи, вникнуть в ее сущность, «осво-
ить» задачу и определить средства, с помощью которых
можно наиболее рационально выразить основные зави-
симости и соотношения задачи.

Поясним, что значит «войти» в содержание задачи
и «освоить» ее. Психология утверждает, что во всяком
деле имеется период вхождения в работу. Есть внешняя
часть этого периода, а есть и внутренняя, касающаяся
сущности тех процессов, из которых состоит работа,
а в нашем случае решение задачи. «Войти» в содержа-
ние задачи и «освоить» задачу означает понять мысль
автора, представить в своем воображении описываемые

* Грей Уолтер. Живой мозг. М., «Мир», 1966, стр. 40—41.
в задаче процессы» стать на место автора задачи и по-
своему рассказать о ней. Например, если в задаче речь
идет о движении двух тел, то ученик должен в своем
воображении представить эти движения так, как будто
он сам их запроектировал, и в соответствии с этими
представлениями рассмотреть сущность движений, при-
веденных в задаче, их особенности и закономерности,
«Освоение» задачи обычно начинается с чтения ее
текста и идет одновременно в различных направлениях
как в сознательной, так и в подсознательной областях.
Если чтение будет целенаправленно, т. е. будет иметь
цель установить процессы, выявить величины, уяснить
функциональные зависимости, то у учеников более ин-
тенсивно возникают конкретные образы, они начинают
видеть в содержании то, что видел автор, у них возни-
кают мысли, появление которых запланировал автор за-
дачи. В итоге складывается сознательная и глубокая
работа ученика над текстом задачи, направленная на
раскрытие сущности задуманных автором процессов
и зависимостей, на постижение мысли автора, на уясне-
ние конструкции задачи. Все это определяет действен-
ность мысли ученика. У него при этом создаются опре-
деленные впечатления и соответствующее рабочее на-
строение. Ученик начинает представлять себе место
действия, процессы, фиксирует в своем сознании этапы
действия, начинает делать предложения, фантазировать,
догадываться о ходе решения, стремится наметить ход
решения, иначе уходит с головой в сущность задачи,
увлекается ее решением. В таких случаях можно ска-
зать, что задача стала ученику интересной, стала пред-
метом его творчества.

Если решение задачи ученику не дается, то он, на-
верное, что-то не совсем ясно себе представляет. В та-
ких случаях помогают различные иллюстрации содер-
жания задачи: чертежи, схемы, рисунки и т. п. Хорошо
если учитель будет систематически учить детей схема-
тически с использованием символов отображать сущ-
ности процессов, описываемых в задаче. Рисуя, подрисо-
вывая, проставляя различные знаки и указатели, делая
различные пометки, ученик постепенно будет прибли-
жать структуру задачи к складу своего ума.

Первый ' логико-психологический этап «освоения»
учеником задачи приведет его к уяснению математиче-
ской сущности зависимостей между величинами во всех
процессах, к ясному пониманию расчленения задачи на
составные части, к переводу словесного текста на язык
алгебры.

Важно учитывать, что процесс «освоения» задачи
воздействует не только на сознание ученика, но и на
его чувства. У ученика при этом воспитываются вообра-
жение и функциональное мышление, волевые качества,
основанные на стремлении довести дело до конца.
«Освоение» задачи опирается на широкое использова-
ние личного опыта ученика, вызывает творческое отно-
шение его к решению задачи.

Поняв и «освоив» задачу, ученик не остановится на
этом. Ясное понимание сущности задачи и хода ее реше-
ния будут стимулировать его к получению конкретного
результата своего труда.

Детальный анализ этапов решения, раскрытие внут-
ренних связей и взаимозависимостей между ними при-
водит к тому, что ученик постигает логику, идею метода
решения задачи. В дальнейшем на основе проделанной
работы он в состоянии самостоятельно определить для
чего, где и как можно использовать приобретенные зна-
ния, умения и навыки. В этом заключается один из глав-
ных итогов обучения решению задач.

Все сказанное выше говорит о том, что логико-психо-
логические этапы обеспечивают последовательность хо-
да рассуждений учащихся. Они важны также для воспи-
тания математического «видения» тех образов, действий
и зависимостей, которые описываются в задаче. Умение
видеть, умение воображать — важные качества, необхо-
димые людям самых различных профессий.

Логико-психологические этапы важны также для
привития навыков в чтении и понимании'<£екста матема-
тической литературы, особенностей изложения матема-
тических истин, понимания символики в математике.
Время обучения в VI—VIII классах — наиболее, подхо-
дящий период для начала и постепенного совершенство-
вания навыков в этой важной области обучения.

В VI—VIII классах логико-психологические этапы
решения задач должны развиваться и совершенство-
ваться в сторону усиления анализа функциональной за-
висимости между величинами, развития схематизации
решения задач, большего использования символики,
овладения идеями и методами школьного курса мате-
матики.

В начале решения задачи нового для учеников типа
целесообразно рассмотреть функциональную зависи-
мость между величинами, которая существует в зада-
чах данного типа; записать формулы зависимости; вы-
разить значения одних величин через другие; составить
из простых задач сложную и только потом приступить
к решению текстовых задач из задачника. Важно при
этом широко использовать символику той науки, из об-
ласти которой взят сюжет задачи. В частности, следует
широко пользоваться символикой физики, химии и дру-
гих школьных дисциплин.

Помимо указаний, имеющихся в схеме, полезны до-
полнительные разъяснения и указания, касающиеся
анализа: условия задачи, уравнения для ее решения
и процесса решения, а также установления зависимостей
между величинами. Таких советов может набраться
много. Хорошо, если они будут вырабатываться вместе
с учащимися и фиксироваться ими.

Приведем некоторые из таких советов.

Полезно подсказать учащимся, что для отчетливого
представления условия задачи нужно рисовать, чертить,
изображать все, что написано в условии.

Если ученик затрудняется при решении домашней
задачи, а задача имеет ответ, то ему можно предложить
подставить вместо искомого значения ответ и провести
арифметические вычисления. В процессе этого ученик
уяснит сущность зависимостей между величинами, вхо-
дящими в задачу, запишет все необходимые соотноше-
ния между числовыми значениями величин и таким об-
разом осознает все, что относится к сущности задачи.
Затем ученик, ^должен заменить в этих соотношениях
искомое значение какой-либо буквой, например, иксом,
и таким образом получить всевозможные алгебраиче-
ские выражения, отражающие условие задачи. Часть из
этих выражений войдет затем в уравнение.

Поясним это примером. Пусть надо решить зада-
чу 1184*: Знаменатель дроби на 5 больше ее числителя.

* Здесь и в дальнейшем во всех случаях, в которых нет спе-
циальных оговорок, задачи взяты из сборника задач по алгебре
П. А. Л а р и ч е в а.
Если к числителю прибавить 14, а от знаменателя от-
нять 1, то получится дробь, обратная данной. Найти
дробь.

Примерная запись учащихся.

Числитель

Знаменатель

Дробь

Измененный

числитель

Измененный
знаменатель

Измененная
дробь

Числовые дан-
ные и выраже-
ния

4

44-5=9

£
9

44-14=18

9-1=8

18_9
8 4

Алгебраиче-
ские выраже-
ния

%4~5

л+14

х+5—1=л+4

х+14

Основание для составления уравнения: вторая дробь,
обратная данной.

Уравнение:	7Тб~= УТЙ •

Вначале, используя ответ к задаче, заполняется стол-
бик с числами, затем столбик, содержащий алгебраиче-
ские выражения. Однако возможно и параллельное за-
полнение обоих столбиков.

Нетрудно видеть, что получение всех возможных чис-
ловых значений помогает учащимся разобраться в зада-
че самим. составить все алгебраические выражения и за-
тем выбрать из них необходимые для составления урав-
нения.

Если ответа нет, то можно посоветовать учащимся
попробовать подставить вместо искомого произвольное
число, близкое, по их мнению, к ответу, найти все чис-
ловые значения величин, сравнить те из них, которые
служат основанием для составления уравнения. Есте-
ственно, что у учащихся не получится необходимого ра-
венства, но зато получится выражение, в котором вме-
сто произвольно взятого числа можно подставить х и по-
лучить таким образом уравнение. Проиллюстрируем это
на примере решения задачи № 1218: Бригада косцов
в первый день скосила половину луга и еще 2 га, а во
второй день 25% оставшейся части луга и последние
6 га. Найти площадь луга.

Примерная запись учащихся*

Предполага-
емые числа

Алгебраиче-
ские выраже-
ния

Площадь
луга

Половина
луга

' Скошено
в первый день

Осталось

25% от ос-
татка

Остаток

40 га

40: 2=20

40:2+2=22

40—22=40—

-(40:2+2) = 18

0,25-18=4,5

40-22-4,5=6

х га

Как и в предыдущем примере, столбики заполняются
либо поочередно, вначале с числовыми, а потом с бук-
венными выражениями, или параллельно.

Дети замечают, что (40—22—4,5) не равно 6, и вме-
сте с тем им ясно, что если вместо 40, 22 и 4,5 подста-
вить соответствующие алгебраические выражения, то
мы получим уравнение, в котором х будет искомое не-
известное.

Необходимо заметить^ что метод проб, связанный
е исследованием, представляет интерес почти для всех
учащихся.

В развитии навыков исследования и получения ана-
логий большое значение имеет самостоятельное состав-
ление учащимися задач, подобных тем, что есть в учеб-
нике, вернее, по тому же тексту, что и в учебнике, но
с заменой всех данных задачи своими данными.

Пусть, например, решается задача № 1199: Бригада
коммунистического труда должна была выполнить за-
каз за 10 дней. Ежедневно перевыполняя норму
на 27 деталей, бригада за 7 дней работы не только выпол-
нила задание, но еще изготовила сверх плана 54 де-
тали. Сколько деталей в день должна изготавливать
бригада?

Если ученик затрудняется решить задачу, то можно
предложить ему подобрать числа, соответствующие тек-
сту задачи, составить формулу из этих чисел и уже по-
том приступить к решению данной задачи.

Техника работы примерно следующая: ученик читает
текст задачи и по мере чтения для каждого условия за-
писывает свои данные.

В данном случае у ученика должна примерно полу-
чаться следующая запись:

Норма в день
Плановое время
Плановое задание
Перевыполнение нормы

12 деталей.

10 дней.

12-10=120 (деталей).

на 4 детали в день.

Фактическое выполне-
ние за день

Фактическое время ра-
боты

Фактическое выполне-
ние плана

Общее перевыполне-
ние

(12+4) деталей.

8 дней.

(12+4)-8=128 (деталей).

128—120=8 (деталей).

Во время этой работы ученик осмысливает термины,
данные и зависимости между ними, операции между
данными и искомыми величинами, скрытое для него де-
лается явным.

Затем он составляет текст: Бригада коммунистиче-
ского труда при норме в 12 деталей должна выполнить
заказ за 10 дней. Ежедневно перевыполняя норму на
: 4 детали, бригада за 6 дней работы не только, выпол-
; нила задание, но еще изготовила сверх плана 8 де-
' талей.

После этой записи составляется числовая формула,
связывающая все данные и позволяющая проверить их
соответствие тексту:

(12 + 4) -8—12- 10-8.

Далее можно составить ряд задач, заменяя одно из
данных неизвестной. В частности, можно получить за-
дачу, аналогичную данной, если вместо 12 подставить х.
Уравнение для такой задачи будет:

(х + 4) .8-х- 10-8.

Приведенные примеры должны показать учащимся,
что при затруднениях они не должны бросать работу,
а начинать исследовать, составлять аналогии и в конеч-
ном итоге уяснить сущность операций над элементами
задачи. В процессе этого они вырабатывают свой стиль,
свой подход к рассмотрению трудных вопросов, форми-
руют свои приемы рассуждений.

После решения задачи целесообразно уделить доста-
точное внимание составлению задач. Вначале можно
предложить учащимся составить задачу, аналогичную
той, что дана в задачнике, не делая при этом никаких
ограничений.

Составляя задачи, ученики более осознанно поймут
существование зависимости между величинами, почув-
ствуют, что числа берутся не произвольно: некоторые из
них можно задать, а другие при этом получаются на
основе выбранных значений величин.

Затем можно предложить ученикам составить и ре-
шить аналогичную задачу с некоторыми данными (недо-
стающие данные они подбирают сами) или можно ука-
зать часть данных и ответ. Следующим этапом является
составление и решение обратных задач.

При составлении задач полезно изменять не только
данные, но и зависимости между ними, основные соотно-
шения.

Ученикам, интересующимся математикой, полезно
предлагать составлять задачи с постепенным их услож-
нением, а также новые задачи на основе имеющихся
и только что приобретенных знаний.

Полезно, предлагая составить задачу, указать на-
правление работы, дать практические рекомендации по
самоконтролю, по оформлению задачи.

На седьмом этапе также полезно предложить уча-
щимся качественные вопросы-задачи, связанные с со-
держанием решенной задачи. В таких вопросах можно
спросить о допустимых значениях величин, входящих
в задачу, об изменении результата при варьировании
данных, о различных способах выражения величин, вхо-
дящих в задачу. Примеры этому будут приведены при
решении конкретных задач.

При решении задач у детей возникают самые раз-
личные соображения. Они должны представлять особый
интерес для учителя, ибо дадут возможность изучить
разнообразие процессов мышления учащихся. Полезно
всякий раз спрашивать детей, какие им пришли мысли
яри решении задач, и советовать им не оставлять ни
одну из них без рассмотрения, все проверить, все испы-
тать. Изучение процесса мышления детей —путь учи-
теля к уму и сердцу детей.

Особенности мышления детей — это тот краеугольный
камень, грани которого учителям следует шлифовать по-
стоянно.

Несколько слов об оформлении решения задач,

Прщ отработке определенной формы, конечно, сле-
дует требовать такой записи, которую учитель рекомен-
дует. Если же ученик пишет итоговую контрольную или
экзаменационную работу, то требовать от него какой-то
определенной формы записи решения было бы по мень-
шей мере не разумно. Выполняя этот вид работы, уче-
ник должен записывать решение задачи так, как ему ка-
жется проще и понятнее, в такой форме, которая ему
наиболее всего знакома. Важно, чтобы оформление бы-
ло математически грамотно, ясно, точно, обоснованно
и чтобы математическая сущность задачи не заслоня-
лась словесной шелухой.

Несколько позже будут рассмотрены примеры реше-
ния задач, которые в той или иной степени будут иллю-
стрировать приведенные общие положения и рекомен-
дации,
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В ШЕСТОМ КЛАССЕ

Решение математической за-
дачи, как правило, предполага-
ет изобретение специально ве-
дущего к поставленной цели
рассуждения и тем самым ста-
новится — пусть весьма скром-
ным — творческим актом.
Именно этот творческий иссле-
довательский характер мате-
матических заданий более чем
что-либо другое, влечет к себе
молодые силы растущего и
крепнущего интеллекта уча-
щихся.

А. Я- Хинчин*

В начале изучения алгебры целесообразно уделить
внимание составлению формул, отражающих зависи-
мость между величинами и истолкованию их с позиций
функциональной зависимости. Так, решая задачу № 6
(Поезд проходит в час 40 км. Сколько километров он
пройдет за 2 часа; за 5 часов; за 2,5 часа; за 4,5 часа; за
t часов?), полезно записать общую формулу зависи-
мости s = V't и истолковать ее как уравнение относи-
тельно величин, входящих в нее, выразив каждую вели-
чину через другие. Подобную работу целесообразно вы-
полнять и в других аналогичных по своему функцио-
нальному содержанию задачах. К ним относятся многие
задачи первой главы учебника П. А. Ларичева «Сбор-
ник задач по алгебре», ч. I.

При решении простейших задач в шестых классах
нет смысла подробно записывать все этапы. Так, решая
задачу № 32 (Произведение двух чисел равно 24, один
из сомножителей k. Найти другой сомножитель, обозна-
чив его буквой х), полезнее сразу записать:

Уравнение: х-А = 24; /г#=0;

Решение: х = 24: k.

* А. Я. Хинчин. Педагогические статьи. М., Изд-во АПН
РСФСР, 1963, стр. 153.
Такое решение не исключает записи решения сразу
в виде

х = 24 : k.

В начале изучения алгебры целесообразно решить
методом составления уравнений ряд задач, аналогичных
тем, которые решались в курсе арифметики и геометрии.

Приступив к изучению уравнений, большинство за-
дач решают методом составления уравнений, в том чис-
ле и задачи с геометрическим и физическим содержа-
нием. (Последние можно подобрать вместе с учителем
физики.)

Рассмотрим решение задачи № 200. Кофе при жаре-
нии теряет 12% своей массы. Сколько свежего кофе надо
взять, чтобы получить 4,4 кг жареного кофе?

Проведем анализ задачи, в процессе которого уста-
навливаем функциональную зависимость между сырым
и жареным кофе.

Составляем таблицу зависимости.

Масса све-	Потеря

жего ко- (в частях)
фе Рс кг

1	0,12

Потеря	Масса жарено-

(в кг)	го кофе (Ржкг)

1-0,12=0,12

1—0,12=0,88

2 на основании пропорциональ-
ности пишем	0,88-2

3 на основании пропорциональ-
ности пишем	0,88-3

Рж=0,88-Рс

В итоге получается формула зависимости, дающая
возможность решать прямую и обратную задачи:

Рж = 0,88Рс;

рс = Рж : 0,88.

Указанный прием не исключает иного решения за-
дачи. Например, можно решить задачу и так.

I. Условие: примем массу свежего кофе за х кг.
Тогда потеря составит (12% = 0,12) 0,12 х=

Масса жареного кофе будет 0,88
П. Уравнение: 0,88-х=4,4.

IIL Решение: л=4,4:0,88=5,
IV.	Проверка: нахождение числового значения
всех записанных в условии выражений и сопоставление
их: 0,12 х = 0,12-5 = 0,6; 0,64-4,4 = 5 (кг).

V.	О т в е т: 5 кг.

Возвращение к решению задач. На этом эта-
нецелесообразно получить общую формулу зависимости

= Р с ’ k % •

Первое решение задачи дает возможность просле-
дить ход мысли при рассмотрении подобных процессов,
учит школьников мыслить.

Аналогично решается задача № 192. Обобщая реше-
ние ряда подобных задач, можно записать общую фор-
мулу прямо пропорциональной зависимости и показать
общность подхода к решению задач, построенных на
основе этой зависимости.

При решении задач с геометрическим содержанием
в шестых классах особое значение имеют чертежи
и запись различных соотношений между элементами чер-
тежа. Дело в том, что некоторые ученики только при
многократных упражнениях в состоянии овладеть
записью алгебраических выражений, отражающих свой-
ства геометрических фигур. Многие из них бойко фор-
мулируют свойства фигур, однако не каждый может
выразить эти свойства в символах, с помощью формул
и истолковать формулы как выражения определенных
свойств фигур.

Выполняя эскизы к задачам, полезно приучить уча-
щихся в известной мере соблюдать соотношения между
элементами чертежа. Так, к задаче № 193, где сказано,
что длина прямоугольника вдвое больше его ширины, по-
лезно начертить прямоугольник, у которого ширина была
бы в два раза меньше длины.

Во многих случаях чертеж будет отражать сущность
условия задачи. Задачу № 209 (1) (Из двух смежных
углов один в 5 раз больше. другого. Найти величину
каждое угла) можно решить следующим образом:

I.	Условие: /1=5х=

/2=х =
II.	Основание для уравнения: /1 + Z2=
= 180°.

III.	Уравнение: 5х+х= 180°.

IV.	Решение: 6х=180°; х=30°.

V.	Проверка: 150°+30°-180°.

VI.	Ответ: /1 = 150°; /2=30°.

VII.	Комментирование решения задачи.
Ученик рассказывает о замысле и ходе решения задачи.

Решение задач из других тем курса шестого класса.
Задача № 257. Для приготовления замазки для де-
ревьев берут известь, ржаную муку и масляный лак
в отношении 3:2:2. Сколько каждого материала надо
взять в отдельности для получения 2,8 кг замазки?

I.	Условие: одна величина разбивается на три
части. Общая мера х=

Тогда: извести Зх=

ржаной муки 2х=
масляного лака 2х=

II.	Основание для уравнения. Вес замаз-
ки 2,8 кг.

III.	Уравнение: 3 х+ 2 х+ 2 х=2,8.

IV.	Решение: 7х=2,8; х=0,4; Зх=1,2; 2х=0,8.

V.	Проверка: 1,2+0,84-0,8=2,8.

VI.	Ответ: 1,2 кг\ 0,8 кг\ 0,8 кг.

VII.	Комментирование решения.

Задача № 290. Вес поезда, состоящего из паро-
воза, тендера и 28 вагонов, равен 608 т. Тендер весит
вдвое меньше паровоза и на 11,5 г меньше вагона. Най-
ти вес паровоза, тендера и вагона.

I.	Условие: одна величина разбивается на нерав-
ные части, в сумме составляющие 608 т.

Примем вес вагона за х т= 18,5 т.

Тогда: вес 28 вагонов будет (28 х) т,
вес тендера (х+11,5) т,
вес паровоза 2(х+11,5) т.

II.	Основание для уравнения: общий вес
поезда 608 т.

III.	Уравнение: 28х+(х+11,5)+2(х+11,5) =608.

IV.	Решение: х=18,5; 28 х = 518; (х + Н,5) =30$
2(х+11,5) =60.

V.	Проверка: 518+30 + 60 = 608.

VI.	Ответ: 60 т, 30 т,’18,5 т.

VII.	Комментирование решения.
Задача № 346. В равнобед-
ренном треугольнике боковая сто-
рона на 8 см больше основания.
Периметр треугольника равен
31 см.

Найти длину основания.

I.	Условие: треугольник
АВС равнобедренный:

АВ = ВС;

АС~х\ ЛВ=х+8; ВС=х + 8;

Р=31 см. Формула периметра
Р=АВ + ВС+АС.

II.	Основание для уравнения: Р=31 см.

III.	Уравнение: х+ (х+8) + (х+8) =31.

IV.	Решение: Зх+16=31; Зх=15; х=5; х+8=13.

V.	Проверка: 5 + 13+13 = 31.

VI.	Ответ: 5 см.

VII.	Комментирование решения: иное реше-
ние задачи. Примем за х боковую сторону, тогда
основание будет х— 8. Уравнение будет выглядеть
следующим образом: х+х+х—8=31. Решение можно
предложить провести учащимся самостоятельно.

Более сложные задачи на процентные расчеты. Как
было указано в подготовительных упражнениях, целе-
сообразно систематически повторять с учащимися основ-

ные соотношения на процентные расчеты, тренировать
их в записи выражений определенного числа процентов
от какого-либо числа, процентов от процентов, нахож-
дения числа по его процентам и составления процент-
ного отношения. Например, записать 15% от а, 22% от
суммы чисел а и Ь, 12% от восьмидесяти процентов
числа а, записать равенство, выражающее, что 23% от
неизвестного числа составляют 6, записать процентное
отношение числа а к числу Ъ и т. п.

Текстовые задачи осознаннее решаются учащимися,
если их решению предпослать ряд задач на числах с по-
степенным обобщением решения и постановкой каче-
ственных вопросов, ответы на которые проверяются рас-
четами. Рассмотрим несколько подобных задач. Букини-
стический магазин приобрел книгу стоимостью в 100 ко-
пеек со скидкой 10% стоимости» а продал ее по номи-
нальной стоимости. Сколько процентов прибыли он по-
лучил? Многие ученики сразу говорят, что 10%. После-
дующая проверка убеждает их в ошибочности такого
решения.

Примерная запись решения:

Номинальная цена ,
Скидка в процентах
Скидка в копейках
Покупная цена
Продажная цена
Прибыль в копейках

Прибыль в процентах

100 коп.

Ю%=0,1.

0,1-100 = 10 (коп.).

100—10=90 (коп.).

100 коп.

10 коп.

^•100=11%.

После решения задачи предлагается заменить
100 коп. обобщенной ценой а и задать вопрос, изменится
ли при этом процент прибыли. Учащиеся убеждаются,
что цена при данных условиях не играет роли.

Затем изменяется процент скидки и предлагается ре-
шить задачу уже без подробной записи решения. На-
пример, купили книгу со скидкой 20%, а продали по но-
минальной цене. Какой процент прибыли получил мага-
зин? При решении полезно спросить учеников, будет ли
этот процент больше 20% или меньше и почему. Этот
качественный вопрос поможет учащимся более глубоко
осознать зависимости в задачах подобного рода. Не-
безынтересно рассмотреть задачи такого содержания:
Магазин купил книгу со скидкой 10% к номиналу, а про-
дал с наценкой 10% я закупочной цене—и поставить
к ней ряд вопросов, ответы на которые можно прове-
рить. Например, будет ли продажная цена больше но-
минала или меньше номинала? На сколько? Какой про-
цент продажная цена составит от номинала?'Как изме-
нятся ответы на такие вопросы, если скидка была на
20% к номиналу, а наценка 20% к закупочной цене?

Полезно предложить в этой серии и такую з а-
дачу: Книгу купили со скидкой 10% к номиналу.
Больше или меньше 10% должна быть наценка к закупоч-
ной цене, чтобы книга продавалась по номиналу?

После рассмотрения ряда подобных задач можно
предложить для решения текстовые задачи из задач-
ника.
Задача. Букинистический магазин при продаже
книги по номиналу запланировал определенный процент
прибыли. Продал же книгу со скидкой 10% с номиналь-
ной цены и получил при этом 8% прибыли. Сколько про-
центов прибыли первоначально предполагал получить
магазин?

I. Условие: процессов следует рассмотреть два —
Запланированную и фактическую продажу книги. Вели-
чины: номинальная цена, процент скидки (наценки),
продажная цена, процент к закупочной цене. В тех слу-
чаях, когда функциональную зависимость трудно сразу
выразить формулой, полезно приучить учащихся состав-
лять таблицу, отражающую соотношения, описываемые
в задаче.

	Номи- нал (цена)	Скидка (в про- центах)	Скидка (В руб.)	Продаж- ная цена	Процент к заку- почной цене
Запланирован- ная продажа  Фактическая продажа		10%	0,1 С	0,9 С	V 0/  X /о  108 %

II. Основание для уравнения: С; 0,9 С; % %

и

108 %, пропорциональные числа

Ш. Уравнение:

0,9 С 108%
С х% '

v QZ I
Л /о I
108 %|

IV.	Решение: х — Сха8г%- —120 %.

Предполагаемая прибыль 120% —100% =20%.

V.	Проверка расчетов: вычисляем:С;0,1 С;0,9С.
Устанавливаем, что результат соответствует тексту за-
дачи.

VI.	Ответ: 20 %.

VII.	Возвращение к решению задачи. По-
мимо комментирования решения, полезно рассмотреть
целесообразность введения вспомогательных неизвест-
ных при решении задач. В приведенной задаче введена
номинальная цена С, которая, облегчив решение, в ходе
решения «сократилась». Можно предложить ряд каче-
ственных вопросов. Например, магазин, продав книгу со
скидкой в 10%, не получил прибыли и не понес убытка;
какую скидку он сделал при покупке книги: больше или
меньше 10%. Или магазин, продав книгу со скидкой
10%, получил убыток 4%; какую скидку он сделал при
покупке?

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В СЕДЬМОМ КЛАССЕ

Простейшие математичес-
кие знания могут применять-
ся умело с пользой лишь в том
случае, если они усвоены твор-
чески, так, что учащийся ви-
дит сам, как можно было бы
прийти к ним самостоятельно.

А. Н. Колмогоров*.

В седьмом классе метод уравнений получает свое
дальнейшее развитие и совершенствование, В этом клас-
се целесообразно каждую задачу решать с максималь-
ным использованием символики.

Задача № 758. В одном элеваторе было зерна
в 2 раза больше, чем в другом. Из первого элеватора
вывезли 750 т зерна, а во второй элеватор добавили
350 т, после чего в обоих элеваторах зерна стало поров-
ну. Сколько тонн зерна было первоначально в каждом
элеваторе?

I.	Анализ и запись условия з а д а ч и. Объ-
екты исследования — количество зерна в элеваторах.

Процессов два: изменение запасов зерна в одном
и другом элеваторах.

* А. Н. Колмогоров. О профессии математика, Изд-во МГУ,
1959, стр. 3.
Величины, подлежащие . рассмотрению: начальное
количество зерна Н тонн, изменение количества зерна
И тонн, конечное количество зерна К тонн, эти величи-
ны связаны формулой Н+И^К.

Элеваторы	Зерна в на- чале — Нт	Изменения — Ит	Зерна в конце — Кт
Первый	2х —	-750	2х -750=
. Второй	X	+350	х +350=

II.	Основание для уравнения. После изме-
нения зерна в обоих элеваторах стало поровну/

III.	У р а в н е н и е: 2х —750=х+350.

IV.	Решение: 2х — х=350^-750; х= 1100.

V.	Заполнение таблицы, смысловой ана-
лиз решения уравнения: проверка расчетов.
После заполнения таблицы устанавливаем, что найден-
ное значение х удовлетворяет условию задачи..

VI.	Ответ: 2200 т> 1100 т.

VII.	Возвращение к решению задачи.
Анализ решения задачи. Одному из учеников целесооб-
разно предложить прокомментировать решение. Полез-
но провести краткую беседу о том, что если за х при-
нять начальное количество зерна в первом элеваторе,
то составление уравнения не вызовет затруднений, зато
само уравнение будет сложнее, у него появятся дробные
числовые коэффициенты. Целесообразно остановиться
на основании для составления уравнения. Все данные
задачи вошли в табличную запись условия. Основание
для уравнения в таких случаях выражается словесно.
В этой задаче оно выражено словом «поровну».

Полезно проанализировать выражения х=350+ 750.
Видно, что количество зерна во втором элеваторе выра-
жается суммой данных чисел 750 и 350. Интересно выяс-
нить, как выразить начальное количество зерна в каж-
дом элеваторе, если поменять местами числа 350 и 750,
т. е. если из первого вывезти 350 т, а во второй добавить
750 т, оставив остальную часть условия без изменения.
Затем спросить, а как выразятся те же количества, если,
сохранив текст условия, из первого элеватора вывезти
800 г, а во второй добавить 500 т, Развивая мысль, по-
лезно предложить решить задачу в общем виде, пред-
положив, что из первого элеватора вывезли а г, а во
второй добавили b т, оставив остальную часть условия
без изменения. В этом случае ученики должны записать
выражения для начального количества зерна в элевато-
рах без вычислений, на основе ранее сделанного общего
вывода. Анализ общего решения раскроет перед учени-
ками секрет получения частных решений.

Интересны будут вопросы и такого порядка: пусть
в первом элеваторе было вначале зерна в три (четыре
и т. д.) раз больше, чем во втором, как в таком случае
запишется решение задачи, если остальная часть усло-
вия будет неизменной.

Эти и подобные им вопросы будут способствовать
более глубокому осознанию функциональной зависи-
мости между величинами, входящими в задачу.

Задача № 772. За семичасовой рабочий день то-
карь должен был по норме обточить некоторое количе-
ство деталей. Применив новый резец, токарь стал в каж-
дый час обтачивать на 4 детали больше, чем полага-
лось в 1 ч по норме, а потому за 6 ч работы выполнил
1,2 дневных нормы. Сколько деталей в час стал обтачи-
вать токарь, применяя новый резец?

I.	Условие: процессов два — плановая и фактиче-
ская работа. Величины п — норма изготовления деталей
в час, t ч — время работы, А деталей — объем выполнен-
ной работы. Формула зависимости A = n-t.

Процессы	п деталей в час	t ч	А деталей
По плану  Фактичес- ки	%+4 =	7  6	7х =  6(х+4) =

II.	Основание для уравнения: 6(х+4)
больше 7х в 1,2 раза.

III.	Уравнение: 6(х4-4) = 7х-1,2.

IV.	Р е ш е н и е: х= 10.

V.	Проверка: 7х=70; x-j-4 = I4; 6(х + 4) = 84.
84:70=1,2.
VI.	Ответ: 14 деталей.

-VII. Комментирование решения задачи.

Задача № 778. Сумма цифр двузначного числа
равна 12. Если цифры этого числа переставить местами,
то получится число больше искомого на 18. Найти эти
числа.

I.	Условие: объекты исследования — два двузнач-
ных числа. Процессов — два: изменение величин перво-
го и второго числа. Величины — число десятков а и чис-
ло единиц Ь.

Формула двузначного числа Х=10 а + Ь.

Число	Число де- сятков (а)	Число еди- ниц (Ь)	Выражение числа
Меньшее  Большее	Jo  1	*  И	II  II.	12-х~	10х-Ь(12—х) =  10(12—х)+х-

II.	Основание для уравнения: V2 больше
на 18.

III.	Уравнение:	10(12—х) +х= 10%+ (12—х) +

+ 18.

IV.	Решение: х —5; 12—х=7.

V.	Проверка расчетов: 5 десятков и 7 единиц
удовлетворяют условию задачи (75—57—18).

VI.	Ответ: 57.

VII.	Возвращение к решению задачи: ком-

ментирование решения.

3 а д а*ч а. Из точки вне прямой проведены к этой
прямой две наклонные и перпендикуляр. Сумма наклон-
ных— 56 дм, а их проекции равны соответственно 8 дм
и 36 дм. Чему равна длина перпендикуляра?

1.	Условие: чертеж треугольника. В нем BD.LAC,
AD = 3£> дм, DC=S дм, АВ + ВС = 5& дм.

Основание. Соотно-
шения между элемен-
тами чертежа:

BD2+AD2^AB2;

BD2 + DC2 = ВС2.

Примем АВ = х, тог-
да ВС=56“Х.
II.	Основание для уравнения: выразим BD
из Л ABD и Л BDC и приравняем: А.В2 — AD2 — ВС2 —
- DC2.

III.	Уравнение: х2 — 362= (56—х2) —82.

IV.	Решение: допустим, что ученик не воспользо-
вался формулами сокращенного умножения. Тогда ре-
шение будет выглядеть так:

х2 —1296 = 3136 - 112х + х2 - 64;

112л = 3136 - 64+ 1296;

112% = 4368; х = 39.

ВС = 56-л = 17; BD = F172 - 82 = 15.

V.	Проверка: находим BD из другого треуголь-
ника и сравниваем: 15=15. Найденное значение удов-
летворит условию задачи.

VI.	Ответ: BD=15 дм.

VII.	Возвращение к решению задачи: по-
мимо комментирования полезно повести разговор о ре-
шении с применением формул сокращенного умно-
жения.

Задача № 1205. Чтобы переписать рукопись
в 71 страницу, две машинистки работали вместе 4 ч
и, кроме того, вторая машинистка работала еще одна
1	3

2 -л- ч. Если бы обе машинистки работали вместе 4-т- чу
то, чтобы закончить работу, второй машинистке при-
шлось бы одной работать еще 45 мин. Сколько страниц
в час переписывает каждая машинистка отдельно?

I. Условие; объекты исследования — работа ма-
шинисток. Процессов — четыре. Первые два — фактиче-
ская работа каждой машинистки, третий и четвертый—•
предположительная работа каждой машинистки.

Величины, входящие в задачу: производительность
п с-р-, время t ч, объем выполненной работы А стр. Эти
ч

(А
Работа машинисток	Производитель- / стр. \ ность! п	1  X 4 /	Время (t ч)	Объем работы (Л стр.)
Фактическая работа			
. Первая маши-	71 -6,5 х	4 -<			71—6,5 х=*
нистка	4		t
Вторая маши- нистка  ‘ Предположи- ; тельная рабо-  £• та	X =	>	6,5	>	6,5 х	► |  1  1
I Первая маши-	71 -5,5 х	4,75 <		71 — 5,5 х —
нистка  	4,75		
^ Вторая маши- /нистка		5,5	>	5,5 х=->

• IL Основание для уравнения: производи-
йгельность первой машинистки постоянна.

71 — 6,5х	71 - - 5,5х

b III. Уравнение: -------4---=—475—

£ IV. Решение: после решения уравнения получим:
gx = 6.	'

V. Заполнение таблицы: проверка расчетов.
^Смысловой анализ решения.

f VI. Ответ: 8 стр., 6 стр.

;>• VII. К о м м е н т и р о в а н и е решения задачи.
^Возвращение к решению задачи. После составления
^таблиц можно попытаться решить задачу в ином плане.
&Набор алгебраических выражений, повторения некото-
рых из них дают возможность сократить .число записей.
йИз 12 алгебраически^ выражений можно выбрать мень-
|шее число и записать решение более компактно. А имен-

g * Стрелкой показан порядок записи на основе последователь-
ного хода рассуждений.

fc	125
но: примем производительность первой машинистки за
х страниц в час. Тогда за 6,5 ч она печатает 6,5 х стра-
ниц. На долю первой машинистки останется (71—6,5 х)

~ .	71 — 6,5 х

страниц. За 1 ч первая машинистка напечатает ---------

л __	/	19 ч (7Г— 6,5 х)-19

страницы, а за 4,75 ч (за ч) —--------jg—----страниц.

Вторая машинистка должна при этом проработать 5 4- ч

с 1 И

и за это время напечатать 5 — х = х страниц.

В итоге получается следующее уравнение:

(71 — 6,5х) • 19

16

+ -^-* = 71, откуда х = 6.
Лл

Это уравнение проще предыдущего. Но оно возможно
стало после тщательного анализа всех возможных соот-
ношений между данными задачами и искомыми значе-
ниями величин. Последняя запись решения подтверж-
дает ранее высказанную мысль о том, что повествова-
тельное объяснение решения во многих случаях легче
дается после составления таблицы.

Полезны упражнения по составлению и решению за-
дач с дополнением данных самими учащимися. Пока-
жем это на примере решения следующей задачи: В сбер-
кассу положили 200 руб., на которые начисляются 3%
годовых. Сформулировать главный вопрос и решить за-
дачу. Одна группа учащихся предлагает узнать, сколь-
ко денег будет в конце первого года, другая предлагает
найти капитал в конце второго года.

Решаем первую задачу. Решение полезно провести
сразу на числах и в общем виде. Составляется таблица.

Начальный капитал
Процент прироста
Прирост в рублях

Конечный капитал

2,00 руб.

3%

200 - 0,03
200+200-0,03=
=200.(1+0,03)

а руб.

Р %
а-Р
100
В итоге получается формула зависимости:

дающая возможность решать три типа задач на денеж-
ные расчеты: на определение а, р и k.

Например, пусть известен конечный капитал и про-
цент прироста, требуется найти начальный капитал.
Формулируем задачу и решаем ее. Сберкасса начисляет
вкладчикам 3% годовых. Сколько было положено денег
в сберкассу, если к концу года их оказалось 206 рублей?

Решение. Начальный капитал х руб.

Процент прироста 3%.

Прирост в рублях 0,03-х.

Капитал к концу года х( 1+0,03) =206.

Из решения уравнения получаем х=200 руб.

Последнее уравнение можно было получить из об-
щей формулы, полученной в предыдущей задаче.

Пусть деньги лежат в сберкассе два года и их стало
212,18 руб. Условия сбережения те же. Требуется опре-
делить начальный капитал.

Решение. Начальный капитал
Процент прироста
Прирост в рублях
Капитал к концу
первого года
Процент прироста
за второй год
Прирост в рублях
за второй год
Капитал к концу
второго года

X руб.

' 0,03 %

0,03 • х.

x4-0,03x = x(H
+ 0,03).

3 %.

0,03 • (х + 0,03л).

х-)-0,03 (х +0,03х)=«
= 212,18.

Из решения уравнения получаем 200 руб.

Этот разбор поможет в решении задач № 1217, 1221*

В задачах на растворы, сплавы и смеси установле-
ние зависимостей также позволяет составить уравнение
для решения прямых и обратных задач. В большинстве
случаев задачи этого характера вызывают затруднение
только потому, что учащиеся не умеют выразить функ-
циональную зависимость, например, между массой ра-
створяемого вещества, массой смеси и концентрацией
(крепостью) раствора.

Крепостью раствора называют число, показываю-
щее, сколько процентов от всей смеси составляет рас-
творимое вещество. Если масса смеси т кг, масса рас-
творенного вещества а кг, крепость р%, то между этими
величинами существует следующая зависимость:

р а

100" ~~ ~т~'

АООа^тр; 100/п = -у-.

Пример методической обработки задач с понятием
крепости.	»

Масса	Масса раствори-

смеси	мого вещества	Крепость

т кг	а кг	Р %

ю	1	-^ = ю%

5	2	Л- = 0,4 = 40%

4	0,5	0,5:4=0,125=12,5%

тв __ is

тв	щс —%

После получения этой формулы задачи на растворы
будут осознанно решаться учащимися на основе соот-
ношения:

тв = Л7пс; mQ = тв: К\
К = т3: тс.

В задаче на сплавы драгоценных металлов необходи-
мо, чтобы учащиеся хорошо понимали понятие пробы.
Проба — число, показывающее, сколько граммов чистого
драгоценного металла содержится в одном килограмме
(в тысяче граммов) сплава. Так, золото 875 пробы имеет
в своем составе 875 г золота и 125 г примесей.
Устанавливаем функциональную зависимость между
массой сплава а кг, массой чистого металла, напри-
мер, золото т кг и пробой 875, обозначим ее буквой р.

1 кг смеси содержит

2 кг смеси содержат
№

* • ♦

Я* Кг if	jf

Итак, получается формула
/н = 0,875 ♦ а;

0,875 кг золота
0,875-2 кг золота

• • •

0,875 • а кг золота
зависимости:

т~р • а ,

которая дает возможность решать три типа задач на
определение каждой величины по двум другим.

Сам процесс решения задач подобного типа способ-
ствует тому, чтобы учащиеся овладевали функциональ-
ной зависимостью между величинами, входящими в за-
дачу, методами и техникой расчетов. При решении та-
;ких задач полезно выяснять качественные вопросы на
соотношения между величинами, входящими в задачу.
Рассмотрение этой зависимости облегчит решение за-
дачи № 1211.

Рассмотрим более сложную задачу и на ее примере
покажем постановку качественных вопросов.

Задача. (Из сборника В. С. Соломник и П. Н. Ми-
лов.) Один раствор содержит 30% по объему азотной
.кислоты, а второй — 55% азотной кислоты. Сколько
^нужно взять первого и второго раствора, чтобы полу-
чить 100 л 50-процентного раствора азотной кислоты?

I.	Условие: в условии указаны два раствора и их
смесь. Величины, входящие в задачу: объем раствора
л, крепость К %, объем кислоты л. Формула зави-
симости: 1/к=0р'К %.

Растворы	Объем рас- твора (вл)	Крепость (в про- центах)	Объем кислоты (в л)
Первый раствор  Второй раствор  Смесь	100 —х =  100 л	30% = 0,3  55% = 0,55 50% =0,5	х • 0,3 =  (100-х)-0,55=  100 • 0,5 =
II.	Основание для уравнения: объем кисло-
ты смеси равен сумме объемов кислоты в растворах.

Щ. Уравнение: 0,3%+ 0,55(100 — х) = 50.

IV.	Решение: х = 20 (л).

V.	Заполнение таблицы. Проверка: 6+44=50.

VI.	Ответ: ^ = 20 л\ —80 л.

VII. В заключение целесообразно рассмотреть вари-
ации данных, качественные вопросы на соображение, от-
веты на которые можно получить устно или письменно.
Можно предложить решить обратную задачу. К данной
задаче можно предложить ученикам следующие вопро-
сы: Какой максимальной концентрации можно получить
смесь из 20 л первого раствора и 80 л второго раствора?
Можно ли из данных объемов получить 90 л смеси
52-процентной крепости? Сколько из данного количе-
ства растворов можно получить кислоты 40-процентной
крепости? Какой крепости можно получить смесь, если
взять растворы одинаковых объемов? Эти и подобные
им вопросы дадут возможность расширить кругозор уча-
щихся, связанный с зависимостью между рассматривае-
мыми величинами и наметить перспективу в решении за-
дач подобного рода.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА СОСТАВЛЕНИЕ СИСТЕМЫ
УРАВНЕНИЙ ПЕРВОЙ СТЕПЕНИ

Отличительной особенностью применения метода
уравнений к составлению системы двух уравнений по
сравнению с решением задач на составление одного
уравнения является то, что вводятся два неизвестных*
Методика и техника обработки материала задачи остает-
ся прежней.

Во многих задачах существенное значение приобре-
тает выделение числа условий, которые складываются
из описываемых в задаче процессов.

Полезно время от времени предлагать учащимся ре-
шать одну и ту же задачу и с помощью составления си-
стемы двух уравнений с двумя неизвестными и с по-
мощью составления одного уравнения с одним неизве-
стным и затем сравнивать приемы решения.
Задача № 1391, Два мастера получили за работу
117 руб. Первый работал 15 дней, а второй 14 дней.
Сколько получал в день каждый из них, если известно,
что первый мастер за 4 дня получил «а 11 рублей боль-
ше, чем второй за 3 дня?

I.	Условие: в условии две части. Первая часть ха-
рактеризуется общим заработком в 117 руб., в ней два
процесса — оплата за работу первого и второго рабо-
чего’. Вторая часть характеризуется тем, что первый по-
лучил больше на 11 руб., в ней то?ке два процесса: опла-
та за работу первого и второго рабочего.

Величины: расценка в день с руб., рабочее время
t дней, заработок k руб. Зависимость: k — c-t.

Процессы	Дневная расценка (с руб.)	Число рабочих (t дней)	Зарабо- ток (fe руб.)
Работа первого (первая часть условия)		15	15х =
Работа второго (первая часть условия)	у =з	14	14у =
Работа первого (вторая часть условия)	№	4	4х =
Работа второго (вторая часть условия)	у==	3	Зу =

II.	Основание для составления уравне-
ний. Для первого уравнения: общий заработок равен
117 руб.

Для второго уравнения: заработок первого на 11руб.
больше заработка второго.

Ш. Система уравнений:/15x-j-14у=117,

I 4х — Зу —И.

IV.	Решение: х = 5; у = 3.

V.	Заполнение таблицы и проверка:

15х = 75;

14у = 42;
75 + 42=117;

20— 9=11.

VI.	Ответ: 5 руб. и 3 руб.

VII.	Возвращение к решению задачи. По-
мимо комментирования решения, предложить ученикам
решить задачу путем составления уравнения с одним
неизвестным и сопоставить решения. Такое возвраще-
ние к решению задач полезно время от времени проде-
лывать.

Задачу № 1205, решенную составлением одного
уравнения с одним неизвестным (см. стр. 124—125), по-
лезно решить составлением системы уравнений с двумя
неизвестными.

Опустим анализ и приведем только таблицу и со-
ставление системы.

Работа машинисток	Производи- тельность  \ * /	Время (* ч)	Объем ра- боты (Л)
Фактическая ра- бота			
Первая машинист- ка		4	4х =
Вторая машинист- ка		6.5	6,5 у =
Предположитель- ная работа			
Первая машинист- ка		4,75	4,75 х =
Вторая машинист- ка	У =	5,5	5,5 у =

II.	Основание для системы уравнений.

В первом и втором случае перепечатана 71 страница*

III.	Система уравнений:! 4х + 6,5у = 71,
(4,75х + 5,5у = 71.
IV.	Решение. Выразив х из обоих уравнений и при-
равняв эти выражения, получим:

71 —6,5у _ 71— 5,5у

4	~	4,75

Это уравнение аналогично тому, что мы получили
при первом* решении задачи. Можно сопоставить эти два
решения и указать преимущества каждого;

Задача № 1396. В школьном зале поставлены ска-
мейки. Если на каждую скамью посадить по 5 учеников,
то не хватит 8 скамеек; если же на каждую скамью
посадить по 6 учеников, то 2 скамьи останутся свобод-
ными. Сколько скамеек было в зале и сколько было уче-
ников?

I.	Условие: процессов три — размещение учеников
при фактическом числе скамеек, при недостающем числе
скамеек и в случае лишних скамеек. Величины: у — число
учеников, х—число скамеек и k — число учеников, поса-
женных на каждую скамейку. Формула зависимости
y=kx.

Процессы. Размещение учеников	Число уче- ников	Число ска- меек	Число уче- ников на каждой скамейке k
При фактическом числе скамеек	У		У_
При недостаю- щем числе скамеек	5(х+8)	х +8	5
При излишних скамейках	6(х —2)	х —2	6

II.	Основания для системы уравнений:
число учеников остается неизменным во всех трех про-
цессах.

III.	Система: 1 у = 5(% + 8),
I у = 6(х-2).

IV.	Решение: х = 52, у = 300.
V.	Заполнение таблицы и сверка зна-
чений.

VI.	Ответ: 52 скамьи и 300 учеников.

VII.	Возвращение к решению задачи:
анализ основания для составления уравнения самой си-
стемы уравнений наводит на мысль о целесообразности
решения задачи методом составления одного уравнения
с одним неизвестным.

Задача № 1398. Пошивочная мастерская имела
сукно двух сортов: по 6 руб, и по 5 руб. за метр, всего на
сумму 1600 руб. Для пошивки пальто мастерская упот-
ребила' 25% запаса сукна первого сорта и 20% запаса
сукна второго сорта, всего на сумму 350 руб. Сколько
метров сукна каждого сорта имела мастерская?

I. Условие: процессов четыре — Два первых на рас-
чет всего сукна двух сортов, два последующих на расчет
израсходованного сукна обоих сортов. Величины: стои-
мость К руб., цена С руб. за метр, количество сукна
М м. Формула зависимости: К=С-М. Вторая зависи-
мость, выражающая процент от числа: Л4 — количество
сукна, Р % — процент израсходованного сукна, Л4-Р%—
количество израсходованного сукна.

Процессы	Цена (С руб.)	Количество сукна (М м)	Стоимость (Л’ руб.)
Расчет стоимости всего сукна «			♦
1-й сорт	6		6х =
2-й сорт  Расчет стоимости	5	У =	5у =
израсходованного сукна			
1-й сорт	6	0,25 х =	1,5л —
2-й сорт	5	0,2 у =	У ’-=

П. Основание для первого уравнения:
стоимость всего сукна 1600 руб., для второго уравне-
ния — стоимость израсходованного сукна 350 руб;
III.	Система: ( 6x 4- 5y = 1600,
I 1,5x + у == 350.

IV.	P e ш e н и e: x = 100 м, у = 200 м.

V.	Проверка. Заполнение таблицы и сверка зна-
чений.

VI.	Ответ: 100 м, 200 м.

VII.	Комментирование решения задачи.

Задача № 1404. Велосипедист прибыл из пункта А
в пункт В в назначенное время, двигаясь с определенной
скоростью. Если бы он увеличил эту скорость на 3 км/ч,
то прибыл бы на место на час раньше срока, а если бы
он проезжал в час на 2 км меньше, чем в действитель-
ности, то он опоздал бы на 1 ч. Определить расстоя-
ние между пунктами А и В, скорость велосипедиста
и время его движения.

I.	Условие. Процессов три: 1) запланированное
движение; 2) движение с увеличенной скоростью; 3) дви-
жение с замедленной скоростью. Величины: путь $ км,
скорость v км[ч, время t ч. Формула зависимости:
s=v*t.

Процессы

Скорость,

Время, (t ч)

Путь (s км)

1-е движение

2-е движение

3-е движение

ху =
(х+3).(у-1) =
(х-2)-(у+1) =

II.	Основание для уравнений: путь во всех
случаях один и тот же.

III.	Система: ( ху == (х 4- 3) • (у — 1),
(хув=(х — 2)-(у 4-1).

IV.	Решение: у = 5; х=12.

V.	Заполнение таблицы, сверка соответствия
значений условию задачи.

VI.	Ответ: выбираем из таблицы значения величин,
которые требуется найти в задаче: $=60 км; и=12——;
/= 5 ч.
VII.	Комментирование решения задачи.
Рассмотрение возможности решения задачи составле-
нием одного уравнения с одним неизвестным.

Задача № 1410. Два трактора различной мощности
при совместной работе вспахали за 15 ч всего по-
ля. Если бы первый трактор работал один 12 ч, а вто-
рой трактор 20 ч, то они вспахали бы 20% всего поля.
За сколько времени может вспахать все поле каждый
трактор отдельно?

I.	Условие: процессов четыре: 1) работа первого
трактора в течение 15 ч\ 2) работа второго трактора
в течение 15 ч; 3) работа первого трактора в течение
12 ч\ 4) работа второго трактора в течение 20 ч.

Величины: объем работы А единиц, норма в день
л, время работы t ч.

Формула зависимости: A=n-t.

Процессы	Объем всей работы	Время для вспашки	всего поля ч.)	Производи- тельность («—i \ 4 /	Фактиче-	ское время работы  (t ц)	Фактически выполнен- ный объем работ
Первый	"1		—	1 —  X		15	15 _ х
Второй	1	У	— " 	У ~		15	15 _  У~~
Третий	1		—	1 _  X		12	12_ х
Четвертый	1	У		у —		20	20 _  У ~

II.	Основание для первого уравнения:
выполнена -g- часть работы. Основание для вто-
рого уравнения: выполнено 20%= -g- часть ра-

боты.

ИГ Система у р а в н е н и й: 15 । 15 _ 1
IV. Реш е н и е: введем вспомогательные неизвест-

1	1	тт

ные: -—==«,—= г). Получим новую систему:

•*	у

( 15й4-15,у = -|-,
I 1	6

I 12# + 2(к> «==

Решив эту систему, найдем х = 360, у = 120.

"V. Заполнение таблицы, установление соот-
ветствия значений условию задачи: складываем выпол-
ненную работу в первых двух процессах, получаем -у,
складываем выполненную работу в третьем и четвертом
процессах, получаек -у.

VL	Ответ: 360 ч и 120 ч.

VII	. Возвращение к решению задачи. По-
мимо комментирования решения задачи, полезно обра-
тить внимание на упрощение записи решения. Таблица
показывает, что все записи, касающиеся первого тракто-
ра, можно расположить на одной строке, а записи, ка-
сающиеся второго трактора,— на второй строке. Для
этого потребуется четыре дополнительных столбца, вза-
мен двух последних строк.

Работа	Объем всей ра- боты	Произво- дитель- ность^	Время в 1 и 2 про- цессах	Объем работы в них	Время в 3 и 4 про- цессах^	Объем ра- боты в них
1-го трактора  2-го трактора	1  1	У	15  15	15х  15 у	12  20	12х  20 у

-При таком подходе система будет выглядеть так:

|15х + 15у = -у,
12х + 20 у = -А--

Время, необходимое для выполнения всей работы,
находится в этом случае путем дополнительных вычис-
лений.

Небесполезна будет запись решения в форме пове-
ствовательного объяснения.
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ В ВОСЬМОМ КЛАССЕ

»

... Делить каждую из рас-
сматриваемых трудностей на
столько частей, на сколько
потребуется, чтобы лучше их
разрешить.

... руководить ходом сво-
их мыслей, начиная с предме-
тов простейших и легко по-
знаваемых, и восходить мало-
помалу, как по ступенькам, до
познания наиболее сложных,
допуская существование поряд-
ка даже среди тех, которые
в естественном порядке вещей
не предшествуют друг другу.

Декарт*.

Основными задачами курса восьмого класса являют-
ся задачи на составление квадратных уравнений. Полез-
но систематически повторять решение задач составле-
нием одного линейного уравнения с одним неизвестным
и системы уравнений с несколькими неизвестными.

При решении задачи во всех случаях, где предста-
вится возможность, целесообразно дополнять анализ
условия установлением допустимых значений для неиз-
вестных, которые находятся в знаменателе или под зна-
ком корня.

Довольно часто при решении задачи может появить-
ся необходимость наложения ограничений на значение
неизвестного; пусть решается задача: Из города А в го-
род В отправляется пешеход. Расстояние АВ равно
10 км. Через 30 мин после него из города А в город В
отправился велосипедист, скорость которого на 6 км
больше скорости пешехода. Велосипедист, обогнав пе-
шехода и дойдя до города В, возвратился обратно в А
и приходит туда в тот момент, когда пешеход приходит
в город В. Определить скорость пешехода.

* Цитируется по книге: Б. Б. Кудрявцев. Биография ве-
ликана, «Молодая гвардия», 1967, стр. 146——147.
Если за х принять скорость велосипедиста, то полу-
чим уравнение:

10	20 _ 1 .

х —6	X 2 ’

• • если же за х принять скорость пешехода, то уравне-
ние будет иметь вид:

10 20	= J_

х х 4- 6	2

В первом случае появляется необходимость наложе-
ния ограничения на значение х, т. е.; х>6; во втором —
этого можно не делать, если учесть, что по условию за-
дачи х не может равняться нулю.

Важно приучить учащихся всегда, когда неизвестное
появляется в знаменателе или под знаком корня, опре-
делять допустимые значения для неизвестного.

Задача № 1687. С аэродрома вылетают одновре-
менно в пункт, отстоящий от него на расстоянии 1600 км,
два самолета. Скорость одного из них на 80 км!ч боль-
ше скорости другого, а потому он прилетает к месту на-
значения на 1 ч раньше. Найти скорость каждого само-
лета.

I.	Условие	Иллюстрация

1600км

Ц больше У? на 80 км/ч

Первое положение само
летов

Второе положение само-
летов

Первый самолет (1с)
Второй самолет (Пс)

Первый самолет приле-
тает на 1 ч раньше,
чем второй.

Процессов два: движение первого самолета и движе-
ние второго самолета. Величины: путь — з км, скорость
v , время t ч. Формула зависимости: s = v-t.

II.	Основание- для составления уравне-
ния: время движения Пс на 1 ч больше времени движе-
ния Ic: tz больше t\ на 1 ч.

III. Уравнение:

1600

л-80

1600
Процессы	Путь (SKM)
Движение 1с  Движение Пе	1600  1600

Скорость  / км\  1 V 	1  \ 4 /	Время (f %)
X —  х—80 =	,	1600  г<=	=  1	X  , __ 1600  Г2 — х—80

IV.	Решение: 1600 х — 1600х + 1600*80 = х2—80х.

Далее большинство учащихся перемножают 1600
на 80 и получают:

х2 —80х— 128000 = 0;
хь 2 = 40 ± ]Л1600+ 128000;
х1? 2 —40 + 360;

xt = 400; х2 = — 320.

V.	Проверка: второй корень не удовлетворяет
условию задачи, скорость, выраженная отрицательным
числом, не может быть истолкована с точки зрения здра-
вого смысла. Подставляем значение первого корня в таб-
лицу, сравниваем 5—4=1.

VI.	Ответ: скорость первого самолета 400	•»

скорость второго 320	.

VII.	Возвращение к решению задачи:
анализируя уравнение и его решение, учитель обращает
внимание учащихся на то, что под корнем получается
1600+1600*80, на возможность преобразований подко-
ренного выражения путем вынесения общего множителя
1600 за скобки и затем извлечения из этого множителя
квадратного корня. В результате получаем:

Х1.2 = 40 ± 1ЛббО-(1 +80);

jti,2 = 40 ±У 1600-81.
Как видно, расчеты при этом значительно упрощают-
ся* Всем учителям известен тот факт, что учащиеся стар-
ших классов теряют навыки в вычислениях, особенно
в применении различных комбинаций при вычислениях*
Из этого вытекает важность анализа решения уравне-
ний с точки зрения упрощения расчетов.

После этого учитель предлагает проанализировать
составление таблицы. В этих целях он в процессе бесе-
ды с учащимися составляет новую таблицу, приняв за х
скорость второго самолета. Составив уравнение, обра-
щает внимание учащихся на то, что упрощений не про-
изошло.

Затем составляется таблица в случае, когда за х при-
нимается время движения первого самолета. Уравнение
при этом будет иметь следующий вид:

1600	'1600	Qn

----------гт= Ом.

х	х 4-1

После упрощения получается: х2+х—20=0.

Это уравнение значительно проще того, что было по-
лучено при первом решении задачи. Оно решается устно
на основе теоремы Виета.

Хочется еще раз напомнить, что цели решения зада-
чи в школе состоят не только в том, чтобы получить от-
вет, важно его получить наиболее рационально, важно
научить учащихся вести маленькие исследования, посте-
пенно их усложняя. Для расчетов ответ является кон-
цом работы, для целей обучения получение ответа не
может считаться завершением решения задачи. Получе-
ние ответа является началом исследования.

Задача № 1690. Теплоход прошел по течению реки
48 км и столько же против течения и употребил на весь
путь 5 ч.

Определить скорость теплохода в стоячей воде, если
. км
считать скорость течения реки 4 —— .

I.	Условие. Процессов два: движение теплохода
по течению и движение против течения. Величины: путь
5 км, время t ч, скорость v Формула зависимости:
Собственная скорость парохода в стоячей воде ис,
скорость течения V*, скорость по течению ит и скорость
против течения уп связаны следующими зависимостями:

f т = ®с +	= 'Vc — ®В;	— Vn = 2vB.

КЛ1

Примем собственную скорость теплохода за х ——

Процессы	Путь (s км)	Скорость / км\	Время(£ ч)
Движение по течению  Движение против течения	48  48	*4-4 =  * —4 =	48  48 х—-4 =

II.	Основание для уравнения: время, по-
траченное на движение туда и обратно равно 5 ч.

III. Уравнение:

48

= 5.

IV. Р е ш е н и е: 48* — 48 • 4 + 48* 4- 48 • 4 = 5*2 — 80;

5*г — 96* — 80 = О;

* — 20; * = — 4.

V.Проверка: второй корень не удовлетворяет
условию задачи, проверяем первый корень * = 20. Под-
ставляем в таблицу и сверяем: 23 = 5.

VI	.Ответ: 20 —
ч .

VII	. Возвращение к решению задачи: по-
лезно обратить внимание на то, что в задачах иногда
необходимо устанавливать несколько зависимостей. Да-
лее, можно рассмотреть различные случаи составления
таблицы в зависимости от того, что мы будем прини-
мать за *. В этой задаче полезно комментирование ре-
шения,
Задача. Моторная лодка проходит расстояние АВ,
равное 28 км, в оба конца за 5 ч 50 мин. Однажды, вый-
дя из В в пункт А, находящийся выше по течению реки,
лодка через 2 ч встретила плот, отправившийся из А за
4 ч до выхода лодки из В. Найти скорость течения реки
и собственную скорость моторной лодки.

L Условие: графическая иллюстрация.

Течение

за 4ч

2$км
за 2 ч

за 2 ч

В

Плот

1 положение

Плот

2 положение

-----

Плот и лодка
3 положение

хкм

Лодка
Положение
2 положение

Процессов — четыре: движение лодки по течению от
Д до В, движение лодки против течения от В до А, дви-
жение плота от А до Р (места встречи} и движение лод-
ки от В до Р.

Каждый процесс характеризуется величинами, ско-
ростью vвременем t4, путем s км. Формула зави-
симости: s = v-t. Скорость течения реки собственная
скорость лодки Ус» скорость движения лодки по течению
от, скорость движения лодки против течения иП связаны
следующими формулами:

f =	+ 'Уп = 'Ус — tjb; ^ — ^ = 2^.

Примем расстояние от В до Р за х км.

Техника составления таблицы: вначале заполняется
столбец с наименованием процессов, затем читается
условие задачи, и по мере чтения заполняются другие
столбцы, в третьем столбце проставляется 28, 28, х,
(28—х), затем смотрим, что еще можно записать.

II. Основание для уравнения:

время движе-

ния лодки в оба конца равно 5

5

-7Г Ч
Процессы	Скорость / км\ г ч	Время (£ «)	Путь (5 км)
Движение лодки от А до В  Движение лодки от В до А  Движение плота от А до Р  Движение лодки от В до Р	£ , 2(28-х)  $ +	6	“  х+56 — 6 =  у =  28—х _  6 —  X	28: О  = 168  28:-^= —  2 х  6  2	28  28  28- х-  Х=а

56	35

x 6*

nt ХГ	„	168

III. Уравнение:  , cc-

X“tOu

IV.	P e ш e н и e: после упрощения
ние: 5xa + 88x — 2688 = 0;

получим уравне*

xY == 16; x2 ’== — -g* (отрицательный корень).

V.	Исследование и проверка корней.
Второй корень уравнения не удовлетворяет условию за-
дачи, расстояние в этой задаче нельзя истолковать
в противоположном смысле. Первый корень проверяем
подстановкой его значения в таблицу.

VI.	Ответ: скорость течения реки получается из
таблицы t/B = 2-^—- , собственную скорость лодки необхо-
димо вычислить по формуле:

= 8 + 2 = 10

VII.	После комментирования целесообразно
обратить внимание учащихся на упрощение стоящих
в таблице алгебраических выражений для времени
и скорости, с тем чтобы в уравнение вошли наиболее
простые выражения.

(км
ч
Задача № 1699. Две бригады комсомольцев, рабо-
тая совместно, закончили посадку деревьев на учебно-
опытном участке за 4 дня. Сколько дней потребовалось
бы на выполнение этой работы каждой бригаде отдель-
но, если одна из бригад могла бы закончить посадку де-
ревьев на 6 дней скорее другой?

I.	Условие. Процессов — три: работа I бригады,
работа II бригады, совместная работа обеих бригад. Ве-
личины: весь объем работы А = 1, время t дней, произво-
дительность п в Формула зависимости! А —п-/;
1 t.

Процессы	Весь объем работы (Л=1)	Время G дней)	Производи- тельность / 1 \ \ дн7
Работа I бригады  Работа II бригады  Совместная работа обеих бригад	1  1  1	х =  х-|-6 =  4	_^ =  • X  	1  х+6 в  1  4

II.	Основание для уравнения: сумма про-
изводительностей бригад равна

III.	У равнение:	4—-Д 6 =4р

IV.	Решение: после преобразования получим:
х2 — 2х — 24 = 0. Решаем на основании теоремы Виета:
*1 = 6, х2 = — 4.

V.	Проверка корней уравненияй второй
корень не удовлетворяет условию задачи, отрицатель-
ное значение для скорости нельзя истолковать с точки
зрения здравого смысла.

VI.	Ответ: 6 и 12 дней.

VII.	Комментирование решения задачи:
эта задача является простейшей из данного типа*
Задача № 1702. Две молотилки обмолачивают со-
бранную пшеницу за 4 дня. Если бы одна из них обмо-
лотила половину всей пшеницы, а затем вторая осталь-
ную часть, то вся работа была бы окончена за 9 дней.
За сколько дней каждая молотилка в отдельности мог*
ла бы обмолотить всю пшеницу?

L Условие. Процессов — три: работа первой мо-
лотилки, работа второй молотилки и их совместная ра-
бота. Величины: объем работы А = 1, время t дней, про-
изводительность п -jjj-. Формула зависимости
l=n-1.

Таблица. Составим ее так, как обычно составляют
ученики с первого раза. А затем покажем возможные ва-
рианты.

Процессы	Объем всей ра- боты	Производитель- 1 1 \ ность п —) \ ДН7
1-я моло- тилка  2-я моло- тилка  1 Вместе  1-я и 2-я	1  1  1	1  2х  1
		2(9—х)  4

Время для вы- полнения всей работы (t дней)	Фактическое время работы (t дней)	Фактический объем работы  (Л)
2х =  2(9 -х) =  4	9 — х —	1  2  1  2  1

II.	Основание для уравнения: сумма произ-
1
водительности двух молотилок равна

III.	Уравнение: -^- +

IV. Решение: сокращаем на получаем:

х2 —9х + 18 = 0;

Xj -т— 8; x^ 3.
V.	Проверка: оба значения для х возможны. Под-
ставляем их в таблицу. Получаем: время работы для
одной молотилки будет 12 дней, второй — 6.

VL	Отв е т: 12 и 6 дней.

VII.	Возвр ащение к решению задачи:
анализ таблицы показывает, что ее можно упростить.
Так как каждая молотилка выполняет половину рабо-
ты, то можно за единицу принять не весь объем работы,
а его половину. Тогда, обозначив через х время, необ-
ходимое для выполнения половины работы первой моло-
тилки, получим уравнение:

Полезно этот случай рассмотреть с учащимися.
Запись решения в этом случае целесообразнее провести
без таблицы.

Аналогично решается задача № 1703.

Задача № 1704. Два сварщика, из которых второй
начинает работу 1 днями позже первого, могут
выполнить работу за 7 дней. За сколько дней каждый из
них отдельно мог бы выполнить эту работу, если изве-
стно, что, второй сварщик может выполнить эту работу
на 3 дня скорее, чем первый?

Примерное рассуждение учащегося до записи усло-
вия: в задаче рассматривается "работа двух сварщиков.
Процессов, подлежащих рассмотрению, три: работа пер-
вого сварщика, работа второго и их совместная работа.
В каждом процессе надо рассмотреть производитель-
ность п, время работы t и объем выполненной работы А.
Они связаны формулой A=n-t.

I.	Условие: процессов четыре. Выполнение первым
всей работы и ее части, выполнение вторым всей работы
и ее частей. Величины: объем всей работы А = 1, произ-
водительность п , время t дней. Формула зависи-
мости A—n*t\ \=n-t.

II.	Основание для уравнения. Фактически
выполненный объем работы обоими сварщиками ра-
вен 1.
Ш. Уравнение: -^-4—-5,5Q- = 1,
X	х — о

условия).

где х > 3 (из

7	5 5

IV.	Решение уравнения: — +

7х — 21 + 5,5х = х2 — Зх;

2х2 —31x4-42 = 0;
хх=14; х2==1,5.

V.	Смысловой анализ исследования ре-
ш е н и й у р а в н е н и я. Проверка расчетов: второй ко-
рень уравнения не удовлетворяет условию задачи, так
как х должно быть больше 3. Проверяем первый корень
уравнения, для этого подставляем значение х в таблицу
и находим все числовые значения выражений, записан-
ных в таблице. Складываем фактически выполненную
работу, получим: -g-+ "4" = Ь Значение х==14 удов-

летворяет условию задачи.

VI.	Ответ: 14 дней, 11 дней.

VII.	Возвр а щение к решению задачи: по-
мимо анализа решения, его комментирования и поиска
другого решения в задачах на совместную работу по-
лезно рассмотреть особенности составления таблицы.
Для каждой величины в таблице может потребоваться
по два и более столбца, ибо каждый процесс здесь может
разбиваться на подпроцессы.
Задача. Турист проехал 160 км, причем 62,5% это-
го пути он ехал на автомашине, а остальную часть —
на катере. Скорость катера на 20 меньше скорости
автомашины. На автомашине турист ехал на 15 мин
больше времени, чем на катере. Чему равна скорость
автомашины и скорость катера?

Рассуждения до записи условия: в задаче рассмат-
ривается движение туриста. Это движение состоит из
двух процессов: движение на автомашине и движение
на катере. В каждом процессе должны быть рассмотре-
ны скорость, время, путь.

При табличной записи нужно заполнить две строки
(по одной для каждого процесса) и четыре столбца:
один для наименования движения, второй для скорости,
третий для времени и четвертый для пути.

Запись в тетрадях:

I.	Условие: объект исследования — движение ту-
риста. Процессов — два: движение на автомашине, дви-
жение на катере. Величины: скорость время t ч,
путь s км. Формула зависимости: s = v-t.

Процессы	Скорость { км\  V	Время («*)	Путь (s км)
Дви- жение на автомаши- не  Дви- жение на катере	у д_ 90	/*1 + 20 =  * + 20 — |х2_|_20 =  (*1 =  *= 1 V (^2 Ei”	100 _ х+20  60  X	62,5% =0,625 0,625-160 =  160-100=60

II.	Основание для уравнения: у^боль-
60	1

ше ---на -г-.

х	4

пг	100	60	1	л

I1L Уравнение:  у20----— = ^-, ГАе х>0.
IV. Решение уравнения:

100	60	1 .

х + 20	х ~~ 4 ’

400х—240х — 4800 = х2 + 20х;

х2 — 140x 4-4800 = 0;

Xi, 2 = 70 ± F 4900 — 4800; ’

Х1 = 70 -Ь 10 = 80; х2 = 70 —10 = 60.

V. Смысловой анализ решения уравне-
ния (исследование корней уравнения): проверка рас-
четов. Оба корня возможны. Находим числовые значе-
ния всех выражений, записанных в таблице, и сравни-
ваем время движения на катере и на автомашине.

Получаем: fa, — &, = 1 — 0,75 = 0,25 (ч);

- tK2 = 1— 1 = 0.25 (ч).

Оба решения уравнения удовлетворяют условию за-
дачи.

VI. Ответ:

100 —
ч

г»к = 80

км

^a=80^J

= 60 —.

Л	и

а

ч

VII. JI оги чес кий анализ решения зада-
ч и: прокомментировав решение, полезно осмыслить при-
чину появления двух решений. В задачах с двумя реше-
ниями целесообразно всегда рассматривать основу двух
решений. Может случиться, что эти решения получились
в результате недостаточной определенности условия за-
дачи, а может быть задача допускает два решения.
В данном случае задача допускает два решения. Усло-
вию задачи удовлетворяют либо одна пара скоростей,
либо другая, т. е. ехать и плыть можно в двух различ-
ных режимах скоростей.

Рассмотрим пример, где условие задачи недостаточ-
но определено. Решение задачи приведено в книге
К. С. Богушевского и К- П; Сикорского «Методические
указания к преподаванию алгебры и геометрии в VIII.
классе», Учпедгиз, 1958, стр. 35.

Паровоз, пройдя первый перегон в 24 км, был задер-
жан некоторое время, а потому следующий перегон про-
ходил со скоростью, большей прежней на 4 км/ч. Не-
смотря на то, что второй перегон был длиннее первого
на 15 км, паровоз прошел его за время только на
20 мин больше, чем потребовалось на прохождение пер-
вого перегона. Определить первоначальную скорость па-
ровоза.

Обозначив через х искомую скорость, получим урав-
нение: х2 — 41х+288 = 0. Его корни: х=32; х=9. Про-
верка корней показывает, что числовые значения всех
величин задачи балансируются, однако в задачнике
дается только один ответ. Авторы указанного пособия
пишут: «Если считать, что движение на перегоне проис-
ходило в условиях обычного режима, то второе решение
х=9 не удовлетворяет смыслу задачи». Этим замечани-
ем авторы пособия дополнили условие задачи.

Задача. В треугольник, основание которого на 7 дм
больше его высоты, вписан квадрат тЬк, что две его вер-
шины находятся на боковых сторонах треугольника,
а две другие — на его основании. Найти площдаь тре-
угольника, если сторона вписанного квадрата равна
12 дм.

I. Условие: чертеж.

Дано:	=

= МР=\2дм\
BD — x\
АС = х-}-7.

Найти: Sabc = ?

П. Формула-
уравцение:

Sabc ~ -тт'х • (х 7).

ЛА

III—IV, Основание для уравнения и урав-
нение: рассматриваем чертеж и уясняем все возмож-
ные соотношения между элементами чертежа. Стороны
квадрата отсекли от треугольника другие треугольники,
подобные данному. Выбираем такой из этих треуголь-
ников, который был бы связан с данными нам элемен-
тами:

&АВС<л &NBK. откуда
Выразим элементы пропорции через данные задачи
и введенное неизвестное: BD=x, ВО=х—12, VK=12,
АС=х+7.

Подставим эти выражения в пропорцию и преобра-
зуем, получим уравнение

х2—17х —84 = 0.

Откуда

второй корень отрицательный, условию задачи не удов-
летворяет.

Подставляем значение х в формулу-уравнение, по-
лучим:

5 = 294 дм2.

V. Проверка-: повторный расчет всех элементов.
VI. Ответ: 294 дм2.

VII. Комментирование решения.

Покажем важность анализа уравнения и нового реше-
ния на основе этого анализа на следующей задаче из
«Сборника вопросов и задач по математике» В. С. Солом-
инка и П. Н. Милова («Высшая школа», 1966).

Задача. Цена 1 м ткани стоимостью в 16 руб. была
снижена на несколько процентов. Спустя некоторое
время цена 1 м ткани была вновь снижена на столько же
процентов и стала стоить 9 руб. На сколько процентов
снижалась цена ткани каждый раз?

Ее решение в сборнике выглядит следующим обра-
зом. Допустим, что цена 1 м ткань снизилась на х%, что
16 X

составляет .до (руб.). После первого снижения 1 м
ткани стал стоить (16-—^до-)руб. или 16-(1—wxf) руб.=
= 16-(1—0,01 х), Во второй раз новая цена была сни-
жена на х%, что составляет

16 .,	(руб.) и стала равна

16 • (1—0,01 х)-1б-(1 —0,01х)х Вынесем за скоб-

ку 16 - (1 — 0,01х).

16 • (1 —0,01 х) • (1 —	— 16 • (1 — 0,01х) х

X (1 - 0,01х) = 16(1 — 0,01х)а.
По условию задачи новая цена 1 м ткани составляет
9 руб., поэтому имеем уравнение 16-(1—0,01х)2=9.

Далее идет решение уравнения. Получается х = 25%*
Если мы не уловили сразу математического выраже-
ния зависимости между старой ценой, ценой после пер-
вого снижения и новой ценой, то анализ полученного
уравнения поможет нам это сделать. В самом деле, урав-
9
некие (1—0,01х)2 —	можно истолковать как выра-

жение того, что (1—0,01х) есть среднее пропорциональ-
9	9

ное между 1 и . Так как -jg- —это часть цены пос-
ле второго снижения, то, приняв за 1 цену до снижения,
мы можем (1—0,01х) истолковать как часть цены после
первого снижения. Обозначив 1—0,01х=у, получим:

1	0ТКУда

Следовательно, цена на ткань снижалась на 25%.

Далее можно рассуждать так: раз существует- про-
порциональность между долевыми выражениями цены,
то существует такая же пропорциональность и между
абсолютными значениями цены. Обозначим через и це-
ну после первого снижения, можем записать пропорцию:
16:u=u:9, откуда u=I2. Процент снижения опреде-
ляется из расчетов 12:16=9:12 — 0,75; 0,75 = 75%;
100%—75% =25%.

Главный смысл заключительного анализа решения
заключается в том, что он заставляет учеников из факта
решения задачи получать новые мысли, нацеливает их
на непременный анализ всего сделанного.

Задача. Сплав меди с цинком, содержащий 5 кг
цинка, сплавлен с 15 кг цинка. В результате содержание
меди в сплаве понизилось по сравнению с первоначаль-
ным на 30%. Найти первоначальную массу сплава.

I.	Условие. Процессов — два: первоначальный
сплав, второй сплав, с добавлением 15 кг цинка. Вели-
чины: масса сплава пгс кг, масса меди тм кг, процент
содержания меди а%. Формула зависимости

а тм а
т* = т<  loo-;

Примем за х массу первоначального сплава. Тогда
масса меди вначале будет выражаться (х— 5), процент
х__tj

содержания меди--------*100%. После прибавления 15 кг

ЭС

цинка масса сплава стала (х+15) кг, масса меди оста-
х—5 ..
лась та же, процентное содержание меди стало X

ХЮ0%.

х ' 5

II.	Основание для уравнения: —-—-100%

•А»
больше * Я • 100% на 30%.

X “I 1Э

III.	Уравнение:	« 100-х- 100=30(все

выражено в процентах).

IV.	Решение: после преобразований получим:
х2— 35x4-250 = 0, откуда хг = 25; х2=10.

л

V.	Проверка: подставляем значение х во все со-
ставленные алгебраические выражения и убеждаемся,
что оба значения удовлетворяют условию задачи. Эти
же значения не противоречат здравому смыслу и техни-
ческим условиям.

VI.	О т в е т: 25 кг или 10 кг.

VII.	Комментирование решения задачи:
задача для решения в кружке (задача предлагалась на
вступительных экзаменах в 1967 году в ЮМШ при МГУ
имени Ломоносова). Найти правильную дробь, которая
увеличивается в 3 раза, если ее числитель возвести
в куб, а к знаменателю прибавить 3.

I. Условие: числитель а; знаменатель Ь\ дробь

-j-<L Измененная дробь .

П. Основание для у р а в н е н и я: вторая дробь
больше первой в три раза.

III.	Уравнение: - .	— 3 •	(1)

*	о -f- о	о	'

где а н Ь — целые и положительные числа.

IV.	Решение: имеем одно уравнение с двумя неиз-
вестными и к нему неравенство < 1 (2). В таких слу-
чаях целесообразнее работать с неравенствами. Путем
изменения одной из частей уравнения получаем из него
второе неравенство.
Приведем первое уравнение к общему знаменателю,
получим:

а3 = За + 9 •

(3)

Зная, что а<6, подставим вместо 9--^- число 9,
этим самым мы усилим правую часть и сделаем ее боль-
ше левой. В итоге получим неравенство с одним неиз-
вестным:

а3 < (За + 9).

(4)

Будем испытывать все возможные значения для а,
применим метод проб.

При а—1 получим: 1< 12; 1 —возможное значение для а.
При а=2 получим: 8< 15; 2 — возможное значение для а.
При а=3 получим: 27 < 18; 3 — не является возможным
значением для а.

При дальнейшем увеличении значений а левая часть
будет больше правой, что не удовлетворяет неравенству
(4). Получили два возможных значения дл^ а: 1 и 2.

Находим возможные значения для Ь. Подставляем
возможные значения для а в уравнение (1). Получим:

2

при а—1,Ь =—4-$-. Это значение для 6 не удовлетворяет
условию задачи — знаменатель должен быть целым по-
ложительным числом; при й=2 получаем 6 = 9. Итак,
2

нашли а=2, 6 = 9, дробь	.

23	2

V	* Проверка: 93 = 3 • а = 2 и 6 = 9 удо-
влетворяют условию задачи.

V	I. Ответ:

V	II. Логический анализ решения задачи. Здесь есть
о чем поговорить с учащимися. Прежде всего о совме-
стном рассмотрении равенств и неравенств, о методе
исчерпывающих проб, о всех возможных разновидно-
стях данной ситуации.

Подобные задачи должны найти место в школьных
задачниках, и их следует предлагать решать же-
лающим.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.	В. И. Ленин. Собрание сочинений, изд. 4, т. 33г<стр. 247.

2.	А. Н. Барсуков. Уравнения первой степени в школе. М.,
Учпедгиз, 1947, стр. 128.	—

3.	К. С. Богушевский и К. П. Сикорский. Методические
указания к преподаванию алгебры и геометрии в VIII классе. М.
Учпедгиз, 1958.

4.	К. С. Барыбин. Методика преподавания алгебры. М. «Про-
свещение», 1965.

5.	П. Я. Гальперин. Психология мышления я учение о поэтап-
ном формировании умственных действий. В сб. «Исследования мыш-
ления в советской психологии». М. «Наука», 1966.

6.	П. С. Александров. Математика как наука, «Известия
АПН РСФСР», вып 92, 1958.

7.	И. А. Г и б ш. «О составлении уравнений по условию задач».
В сб. «Решение задач в средней школе», Изд-во АПН РСФСР, 1952,
стр. 99.

8.	М. Ф. Добрынина. Мыслительные процессы при составле-
нии уравнений. В сб. «Решение задач в средней школе». М. Изд-во
АПН РСФСР, 1962, стр. 125.

9.	В. Г. Захарова. Психологические корни логических ошибок
учащихся при изучении алгебры в VI—VII классах. Автореферат
диссертации на соискание ученой степени кандидата педагогических
наук. Казанский педагогический институт, 1964.

10.	Е. Н. Коб ан о в а-М ел лер. Формирование приемов умст-
венной деятельности и умственного развития учащихся. М. «Просве-
щение», 1968.

11.	К. М. Косторский. Решение задач на составление уравне-
ний первой степени с помощью табличной записи. В сб. «Из опыта
работы учителя математики». М, Изд-во АПН РСФСР, 1954, стр. 23.

12.	К. И. Нешков. Система изложения курса арифметики
в V кл. М., Изд-во АПН РСФСР, 1963.

13.	Л. Н. Ланда. Алгоритмизация в обучении. М., «Просвеще*
ние», 1966.
14.	Н. И. Лобачевский. Полное собрание сочинений, т. IV.
М—Л, Гостехиздат, 1948.

15.	К. Ф. Лебединцев. Концентрическое руководство алгеб-
ры. Петербург — Киев, «Сотрудник», 1913.

16.	«Методика преподавания математики в восьмилетней школе»
под редакцией С. Е. Ляпина. М., «Просвещение», 1965.

17.	Н. Н. Николаева. Уравнение первой степени с одним неиз-
вестным. М., Изд-во АПН РСФСР, 1955.

18.	Д. Пойа. Как решать задачу. М., Учпедгиз, 1959.

19.	И. Г. Польский. Составление уравнений по условию задач.
В сб. «Решение задач в средней школе». М., Изд-во АПН РСФСР,
1952, стр. ПО.

20.	А. А. Попов. Устные знания по математике в 5—8 классах.
Киров, Обл. институт усовершенствования учителей, 1964.

21.	В. В. Репьев. Решение задач с помощью уравнений. Горь-
кий, 1941.

22.	М. Симон. Дидактика и методика математики, 1922.

23.	Статьи в журнале «Математика в школе», 1937—1967 гг.

24.	У. У. Сойер. Прелюдия к математике. М., «Просвещение»,
1965:

25.	П. В. С т р а т и л а т о в. Решение арифметических задач. М.,
«Просвещение», 1963.

26.	Л. Н. Толстой. Педагогические сочинения. М., Учпедгиз,
1953.

27.	А. Т а ж м а г а м б е т о в. Применение задач по физике при
обучении математике. Сб. «Вопросы преподавания математики в сред-
ней школе». М», Учпедгиз, 1960.

28.	R. Д. Ушинский. Избранные педагогические сочинения,
т. 2. М., Учпедгиз, 1961.

29.	А. Я. Хинчи н. Основные понятия математики в средней
школе. Сборник* «Вопросы преподавания математики в средней шко-
ле». М., Учпедгиз, 1961.

30.	П. А. Ш е в а р е в. Обобщенные ассоциации в учебной работе
школьника. М., Изд-во АПН РСФСР, 1959.

31.	П. М. Эр дни ев. Методика упражнений по арифметике
и алгебре. М., «Просвещение», 1965.

32.	Формирование знаний и умений на основе теории поэтапного
усвоения умственных действий. Под редакцией П. Я. Гальперина
и Н. Ф. Талызиной. Изд-во МГУ4 1968.
СОДЕРЖАНИЕ

От автора ...............	. .	3

Введение ...........................*.............е	5

1.	Идеи и принципы содержания и методики решения задач .	8

2.	Организация процесса учения детей при решении задач , .	11

Логико-психологические этапы решения задачи. Правило
решения задач. (Рекомендации для учащихся.) , . > . .	16

3.	Метод уравнений в курсе геометрии при решении задач на
вычисление ....................................... ri 47

4.	Метод уравнений при решении задач с физическим и тех-
ническим содержанием......................? г d ri s .	56

5.	Решение задач методом уравнений в курсе арифметики чет-
вертого и пятого классов .................................65

Метод уравнений в теме «Натуральные	числа»	.	,	.	•	71

Обыкновенные дроби ...................................  90

Отношение двух чисел. Масштаб ...................  •	.	97

Проценты.................................... .	.	t	ri	98

6.	Решение задач в курсе алгебры 6—8 классов	в	.	.	.	.	104

Решение задач в шестом классе.................... •	.	113

Решение задач в седьмом классе . ..................	.	120

Решение задач на составление системы уравнений первой
степени............................................... 130

Решение задач в восьмом классе.........................138

Список литературы	i	156
Федор Андреевич Орехов

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

МЕТОДОМ СОСТАВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

Редактор А. А. Свечников

Художественный редактор F. Н. Карасик
Технический редактор М. И, Смирнова
Корректор Р. Б. Штутман
Сдано в набор 3/III 1970 г. Подписано к печати
5/1II 1971 г. 84Х1081/»> Бумага типографская № 3.
Печ. л. 5. Усл. п. л. 8,40. Уч.^изд, л. 7,15. Тираж
100 000 экз. (Пл. 1971 г. № 107-70-403). А 08532.

Издательство жПросвещеняе» Комитета по печати
при Совете Министров РСФСР. Москва, 3-й проезд
Марьиной рощи, 41.

Сортавальская книжная типография Управления по
печати при Совете Министров К АССР, г. Сортавала,
Карельская, 42. Заказ № 244.

Цена 19 коп.
Школьные учебники (((Р

SHEBA.SPB.&U/SHKOLA