/
Автор: Макарычев Ю.Н. Миндюк Н.Г. Нешков К.И. Феоктистов И.Е.
Теги: общее школьное образование общеобразовательная школа алгебра математика задачи по математике учебник для учащuхся общеобразователыных учреждений мнемозина
ISBN: 978-5-346-00961-0
Год: 2008
Текст
Ю. Н. Макарычев
Н. [. Миндюк
К. И. Нешков
И. Е. Феоктистов
.
Учебник
...
у
rРАФИК 4
ЛИНЕЙНОЙ
ФУНКЦИИ
3
4
х
2
3
a-
«j. 4
><
СР
1 О
1
2
3
4
СТЕПЕНИ
ЧИСЕЛ 2 и 3
п 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 n 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024
з'" 3 9 27 81 243 729 2187 6561 19683 59049
ОСНОВНЫЕ
ФОРМУЛЫ
(а + ь)2== а 2 + 2аЬ + ь 2
(а ь)2== а 2 2аЬ + ь 2
(а + Ь + с)2 == а 2 + ь 2 + с 2 + 2аЬ + 2ас + 2Ьс
(а+Ь)3 == а 3 + 3а 2 ь + 3аь 2 + Ь 3
(а Ь)3 == а 3 3а 2 Ь + 3аь 2 Ь 3
а 2 ь 2 == (а Ь)(а + Ь)
a3 Ь 3 == (а Ь)(а 2 + аЬ + ь 2 )
а 3 + Ь 3 == (а + Ь)( а 2 аЬ + ь 2 )
а п Ь п == (а Ь )(aп 1 + an 2ь + 000 + aьп 2 + ьп l)
(zде n EN)
Ю. Н. Макарычев
Н. [ Миндюк
К. И. Нешков
И. Е. Феоктистов
7
-1i1y. t>-
, ::;, .
. .....
MocJBa to I:t,. J .'
, rrr! н '-\.11"\
АЛrЕБРА
у чебнuк
для учащuхся общеобразователыttхx
учреждений
8 e издание,
стереотипное
Рекомендовано
Министерством образования и науки
Российской Федерации
>
I-: ,\ t
J\H" i I
, "iI.. "'*.: ,,:; . .
. ". .-.............
УДК 373.167.1:512
ВВК 22.141я721 +22.14я721.6
М15
На учебник получены положительные заключения
Российской академии наук (N!! 1010б 5215/9 от 31.10.2007)
и Российской академии образования (N!! 01 656/5/7д от 29.10.2007)
Макарычев Ю. Н.
М15 Алrебра. 7 класс: учеб. для учащихся общеобразоват.
учреждений I Ю. Н. Макарычев, Н. r. Миндюк, к. И. Неш
ков, И. Е. Феоктистов. 8 e изд., стер. М. : Мнемозина,
2008. 335 с. : ил.
ISBN 978 5 346 00961 o
Данный учебник предназначен для Уl'лубленноrо изучения аЛl'еб
ры в 7 классе и входит в комплект из трех книr: «Алl'ебра 7», «Ал
l'ебра 8. и «АЛl'ебра 9». EI'O содержание полностью соответствует co
временным образовательным стандартам, а особенностями являются
расширение и уrлубление традиционных учебных 'reM за счет теорети
ко множественной, вероятностно статистической и историко культур
ной линий. Учебник содержит большое количество тренировочных уп
ражнений и нестандартных заданий творческоl'О характера.
I'лавы 1, 5, 7 написаны Ю. Н. Макарычевым; rлавы 2, 3, 4
Н. 1'. Миндюк; I'лавы 6, 8 К. И. Нешковым.
УДК 373.167.1:512
БВК 22.141я721+22.14я721.6
ISBN 978-5-346 00961-0
@ «Мнемозина», 2000
@ «Мнемозина», 2008
@ Оформление.
«Мнемозина», 2008
Все права защищены
Предисловие для учащихся
Дороrие семиклассники! Вы приступаете к изуче
нию HOBoro для вас школьноrо предмета алrебры.
Этот раздел математики появился MHoro векОВ назад
как наука о решении уравнений. Первым сочинени
ем, посвященным вопросам алrебры, считают книrу
среднеазиатскоrо ученоrо Мухаммеда ибн Мусы
ал Хорезми «Китаб аль джебр валь мукабала» (830 r.).
В переводе с арабскоrо название этоrо трактата зву
чит так: «Книrа о восстановлении и противопостав
лении». Действительно, Мухаммед из Хорезма, пере
нося члены уравнения из одной части в друrую,
«уничтожал» их в одной части и «восстанавливал»
в друrой с противоположным знаком. «Восстановле
ние» по арабски «аль джебр». От этоrо слова и
произошло название алzебра.
На уроках алrебры вы будете заниматься не толь
ко решением уравнений. Вам предстоит познакомить
ся с буквенными выражениями, тождествами, функ
циями, множествами, научиться решать системы
уравнений и неравенств, и MHoroe, MHoroe друrое.
Друrими словами, сначала вы познакомитесь с OCHO
вами алrебры, с ее специфическим языком. И лишь
позже сможете решать сложные задачи по алrебре,
комбинаторике, математическому анализу, триrоно
метрии и т. п.
Это не значит, что в учебнике будут встречаться
только леrкие упражнения. Напротив, книrа, KOTO
рую вы держите в руках, предназначена для учащих
ся, проявляющих не только интерес к математике,
но и сообразительность, упорство в достижении цели.
В ней содержатся вместе с большим количеством
тренировочных упражнений и сложные задания TBOp
ческоrо характера.
Для успешноrо овладения «алrебраическим язы
ком!) вам необходимо внимательно знакомиться с
объяснительными текстами учебника. После изуче
4
Предисловие
ния каждоrо параrрафа учебника полезно проверять
себя, отвечая на контрольные вопросы и решая за
дания контрольных работ.
Авторы выражают надежду, что новый школьный
предмет ПОЗВОЛИТ вам не только научиться решать
различные задачи, но и откроет для вас алrебру как
часть общечеловеческой культуры, как возможность
развития и проявления своих способностей.
co
ВЫРАЖЕНИЕ
И МНОЖЕСТВО
ErO ЗНАЧЕНИЙ
в жизни часто приходится встречаться с различными совокуп
ностями объектов, объединенными в одно целое по некоторому
признаку . Для обозначения этих совокупностей используются раз
личные слова. Например, rоворят: «стадо коров», «букет цветов»,
«команда футболистов» и т. д.
В математике в целях единообразия для обозначения совокуп
ностей. употребляется единый термин множество. Например,
rоворят: множество четных чисел, множество двузначных чисел,
множество правильных дробей со знаменателем 5.
Термин «множество» употребляется и тоrда, коrда речь идет
о нечисловых множествах. Например, rоворят о множестве диа
rоналей мноrоуrольника, о множестве точек координатной пло
скости, о множестве прямых, проходящих через данную точку.
Объекты или предметы, составляющие множество, называют
элементами множества. Например, число 89 элемент множе
ства двузначных чисел; точка В (рис. 1) элемент множества Bep
шин мноrоуrольника ABCDE.
Множества бывают конечные и бесконечные. Например, множе
ство двузначных чисел конечное множество (оно содержит
90 элементов), а множество четных чисел бесконечное множество.
Конечное множество может содержать миллиард элементов,
2 элемента, 1 элемент или даже не содержать ни одноrо элемента.
Рассмотрим множество простых чисел, заключенных между
натуральными числами т и п. Если
т 10 и п 20, то между ними заключе
но 4 простых числа. Это числа 11, 13, 17
и 19. Если т 20 и n 25, то между
ними заключено только одно простое чис
ло число 23. Если т 32 и п 37, то
между ними нет ни одноrо простоrо чис
ла. В этом случае rОБОрЯТ, что множество
простых чисел, заключенных между чис
лами 32 и 37, пустое множество.
I
1. МНОЖЕСТВА
1. Множество.
Элемент множества
А
D
Е
Рис. 1
б
r л а в а 1. Выражение и множество ero значений
Вообще так называют множество, не содержащее ни одноrо
элемента. Для обозначения пустоrо множества ввели специаль
ный знак 0.
Конечные множества обычно записывают с помощью фиrур
ных скобок. Например, множество вершин пятиуrольникаАВСDЕ
(см. рис. 1) можно записать так:
{А, В, С, D, Е},
а множество двузначных чисел, кратных 15, так:
{15, 30, 45, 60, 75, 90}.
В таких случаях rоворят, что множество задано перечисление:м
ezo элементов.
Множества принято обозначать большими буквами латинскоrо
алфавита. Например, рассмотренные выше множества вершин пя
тиуrольника и двузначных чисел, кратных 15, можно обозначить
соответственно буквами К и L и записать так:
К {А, В, С, D, Е};
L {15, 30, 45, 60, 75, 90}.
Для основных числовых множеств введены специальные обо
значения: множество натуральных чисел обозначают буквой N
(от латинскоrо слова пatural «естественный>}), множество цe
лых чисел буквой Z (от немецкоrо слова zahl «число>}), MHO
жество рациональных чисел буквой Q (от латинскоrо слова
quotieпt «отношение>}).
Число 8 является элементом множества Z. Иначе rоворят, что
число 8 принадлежит множеству Z. Это предложение записыва
ют короче: 8 Е Z. Число 0,17 не принадлежит множеству N
(не является элементом множества N). ДЛЯ выражения этоrо фак
та принята следующая запись: 0,17 N. Вообще если а эле
мент множества А, то пишут а Е А, если же Ь не принадлежит
множеству А, то записывают: Ь А.
В тех случаях, коrда задание множества перечислением элемен
тов невозможно (как для бесконечноrо множества) или rромоздко
(как для конечноrо множества с большим числом элементов), MHO
жество задают описанием, указав ero характеристическое свойство,
т. е. свойство, которым обладают все элементы этоrо множества и
не обладают никакие друrие объекты.
Зададим с помощью описания некоторые множества.
Пусть А {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14}. Зада
дим это множество описанием, используя понятие характеристи
ческоrо свойства. Множество А можно охарактеризовать как
«множество всех натуральных чисел от 1 до 14 включительно>},
или как
«множество всех натуральных чисел, меньших 15>},
!? 1. Множества
7
или, используя знаки Е, < И букву х для произвольноrо эле
мента множества А, как
«множество значений х, rде х Е N их < 15».
Тот факт, что множество А состоит из элементов х, удовлет
воряющих этим условиям, будем записывать так:
А {х I х Е N, х < 15}.
В фиrурных скобках сначала пишется буква х (или какая
либо друrая буква) обозначение произвольноrо элемента MHO
жества, затем после вертикальной черты описывается условие,
которому должны удовлетворять значения х.
Пусть В множество натуральных чисел, кратных 5. MHO
жество В является бесконечным. Запишем первые ero элементы в
порядке возрастания: 5, 10, 15, 20, 25, ... .
Множество В с помощью ero характеристическоrо свойства
можно задать так:
В {х I х 5п, п Е N}.
Рассмотрим множества С {у I у 2х, х Е N, х < 7} и D {2,
4, 6, 8, 10, 12}. Эти множества состоят из одних и тех же эле
ментов. В таких случаях rоворят, что множестваравНbl, и пишут
c п.
Заметим, что порядок элементов в записи множеств не имеет
значения. Например, множества {3, 4, 5, 6, 7} и {5, 3, 7. 4, 6}
равны, хотя элементы в этих множествах записаны в различном
порядке.
1. Запишите с помощью перечисления элементов, используя
фиrурные скобки, множество:
а) двузначных чисел, начинающихся цифрой 6;
б) двузначных чисел, оканчивающихся цифрой 7;
в) натуральных чисел, заключенных между числами 63 и 67;
r) натуральных чисел, заключенных между числами 31 и 33.
2. Пусть А множество двузначных чисел, В множество
трехзначных чисел. Запишите, используя знак Е, какое из чисел
48, 732, 29 принадлежит множеству А, а какое множеству В.
3. Прочитайте запись:
1
а) 276 Е N; в) 3,7 е z; д) "2 Е Q;
б) 8 е N; r) О е N; е) 243 Е Q.
4. Запишите, используя знаки Е или е, следующее высказывание:
а) число 15 принадлежит множеству N;
б) число 283 натуральное;
в) число 41 не является натуральным;
r) число 579 целое;
д) число 0,125 не является целым.
8
r л а в а 1. Выражение и множество ero значений
5. Запишите с помощью перечисления элементов:
а) множество однозначных чисел;
б) множество целых чисел, модуль которых меньше 4;
в) множество натуральных чисел, кратных 3 и меньших 20;
r) множество правильных дробей со знаменателем 5.
6. Запишите с помощью перечисления элементов:
а) множество М сторон пятиуrОЛЬНИка ABCDE (см. рис. 1);
б) множество L букв, которые использовались для записи
слова «коробка>}.
7. Определите, по какому признаку составлено множество
чисел:
а) А {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30};
б) В {17, 34, 51, 68, 85};
в) С {17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97};
r) D {13, 23, 43, 53, 73, 83}.
8. Известно, что А множество двузначных чисел, цифры дe
сятков и единиц которых одинакоВЫ, В множество натураль
ных чисел, заключенных между числами 19 и 30, С множество
натуральных чисел, меньших 100 и кратных 11, D множество
двузначных чисел, в которых цифра десятков равна 2. Выделите
из этих множеств равные множества.
9. Запишите с помощью перечисления элементов множество:
а) Х {х I х Е N, х < 8};
б) У {х I х Е N, х > 17 и х < 25};
в) К {х I х Е Z, Х > 5 и х < 3};
r) L {х I х Е z, Ixl < 5}.
10. Задайте множество характеристическим свойством, обо
значив произвольный элемент множества буквой х:
а) А {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
б) В == { 4, 3, 2, 1, О, 1, 2, 3, 4};
в) С множество натуральных чисел, больших 100.
11. Назовите какие нибудь 5 элементов множества Х, если:
а) Х {х I х Е N, х 2 > 40}; б) Х == {х I х Е N, х кратно 3}.
12. Задайте множество перечислением элементов, если:
а) М множество обыкновенных несократимых дробей с
1 1
однозначным знаменателем, заключенных между числами 9 и 2 ;
б) L множество десятичных дробей с одним знаком после
1
запятой, больших 4 и меньших 1.
!} 1. Множества
9
13. Составьте множество двузначных чисел, в записи которых
используются лишь цифры:
а) 1 и 5; б) 1, 5 и 7; в) 1, 5 и О.
14. Составьте множество трехзначных чисел, в записи KOTO
рых используются лишь цифры:
а) 2 и 7; б) 2, 7 и О.
15. В трехзначном числе цифру сотен обозначили буквой а, циф
ру десятков буквой Ь, цифру единиц буквой с. Пусть К
множество трехзначных чисел таких, что а Ь 2 и Ь + с 7.
Принадлежит ли множеству К число:
а) 752;
б) 316;
в) 681;
r) 970?
t) Упражнения для повторения
16. Найдите 1% числа 360. Найдите 10%, 90%, 120% Toro
же числа.
17. Найдите:
а) 5% числа 400;
б) 20% числа 75;
в) 50% числа 16;
r) 75% числа 40;
д) 150% числа 240;
е) 7% числа 35.
18. В маrазин привезли 5 т картофеля. В первый день прода
ли 30% Bcero картофеля, а во второй 40% остатка. Сколько
тонн картофеля осталось после двух дней торrовли?
19. Вкладчик положил в банк 1500 р. Какую сумму он полу-
чит через rод, если банк выплачивает вкладчику доход из расчета
16% rодовых?
2. Подмножество
Рассмотрим множество А == {2, 5, 7, 8, 12, 35, 48}. Выделим
из этоrо множества те элементы, которые являются двузначными
числами. Обозначив эту часть множества А буквой В, получим:
В {12, 35, 48}.
Каждый элемент множества В является элементом множе
ства А. Множество В называется подмяожеством множества А.
О п р е Д е л е н и е. Множество В называется подмножеством
множества А, если каждый элемент множества В является эле-
ментом множества А.
Символически это записывают так: В с А (читают: «В есть под
множество А. или «множество В содержится в множестве А»).
10
r л а в а 1. Выражение и множество ero значений
При м е р 1. Множество трехзначных чисел есть подмноже
ство множества N натуральных чисел.
При м е р 2. Множество чисел, кратных 4, является под
множеством множества четных чисел (каждое число, кратное 4,
делится на 2, т. е. является четным числом).
При м е р 3. Множество точек отрезка СМ (рис. 2) является
подмножеством множества точек отрезка CD. (Каждая точка, при
надлежащая отрезку СМ, принадлежит также отрезку CD.)
с
.
Рис. 2
м
D
.
.
Рис. 3
Для иллюстрации соотношения между множествами пользу
ются схемами, называемыми круеами Эйлера. На рисунке 3 изоб
ражены множество А (большой Kpyr) и множество В (малый Kpyr,
заключенный внутри большоrо). Эта схема означает, что В
подмножество множества А.
Подмножество данноrо множества может совпадать с самим
множеством. Это вытекает из определения. Поясним на примере.
. :, ;::" :"i;4
[ :; , '" . "'" j
r- ·
._ ' /r
'" ,,-: /. "..t
(:;' '1'
Леонард Эйлер (1707 178З),
математик, механик, физик и aCTpo
ном, по происхождению швейцарец;
работал в России и rермании; автор
свыше 800 работ по математическо
му анализу, теории чисел, диффе
ренциальной rеометрии, математи
ческой физике, небесной механике
и др.; оказал значительное влияние
на развитие науки.
!j 1. Множества
11
Пусть А множество двузначных чисел, оканчивающихся HY
лем, т. е. А {10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90}, а В множе
ство двузначных чисел, кратных 10. Тоrда В представляет собой
подмножество множества А, так как каждое двузначное число,
кратное 10, оканчивается нулем. Значит, каждый элемент MHO
жества В является элементом множества А. В то же время MHO
жество А есть подмножество множества В, поскольку каждое ДBY
значное число, оканчивающееся нулем, кратно 10.
Итак, В с А и А с В. Из этоrо следует, что А В.
Если множество В представляет собой подмножество множе
ства А, причем В * 0 и В * А, то В называют собственным пoд
множеством множества А. Заметим, что если А произвольное
множество, то пустое множество является подмножеством множе
ства А, т. е. всеrда 0 сА.
20. Докажите, что каждое из множеств А {1, 5}, В {2, 3, 7},
С {4, 5,8, 9} является подмножеством множества однозначных
чисел.
21. Пусть L множество однозначных натуральных чисел.
Составьте с помощью перечисления элементов подмножество MHO
жества L, в котором все элементы:
а) простые числа; в) нечетные числа;
б) четные числа; r) числа, кратные 9.
22. Пусть В множество натуральных чисел, кратных 5. Co
ставьте с помощью перечисления элементов такое подмножество
множества В, которое состоит из:
а) чисел, меньших 55;
б) четных чисел, меньших 55;
в) нечетных чисел, меньших 55;
r) чисел, кратных 26 и меньших 55.
23. Прочитайте запись:
а) N с z; б) N с Q; в) Z с Q.
Изобразите каждое из этих соотношений между множествами
с помощью KpyroB Эйлера.
24. Пусть С множество обыкновенных дробей с числителем,
равным 1. Запишите с помощью перечисления элементов подмно
жество множества С дробей:
в) больших 1
а) со знаменателями 7, 6и 5; 10 '
1 1 r) больших 2
б) больших и меньших 5 .
16 9 '
12
r л а в а 1. Выражение и множество ero значений
25. Из множества двузначных чисел выделите подмножество
чисел, у которых:
а) сумма цифр равна 9;
б) разность между числом десятков и числом единиц равна 8;
в) произведение числа десятков и числа единиц равно 6;
r) произведение числа десятков и числа единиц равно
сумме числа десятков и числа единиц.
26. Даны множества:
А {х I х 2п, п Е N},
В {х I х 4п, п Е N},
С {х I х 6п, п Е N}.
Какое из этих множеств является подмножеством друrоrо MHO
жества? Сделайте соответствующие записи, используя знак с.
27. Из HeKoToporo множества Р составили все ero подмножества:
0, {а}, {Ь}, {с}, {а, Ь}, {а, с}, {Ь, с}, {а, Ь, с}.
Запишите множество Р.
28. Составьте все подмножества множества А, если:
а) А {1, 5}; б) А {8}; в) А {2, 3, 4}.
.) Упражнения для повторения
29. Пусть А множество чисел, кратных 2; В множество
чисел, кратных 5; С {135, 253, 374, 470, 586, 721}. Выпишите
все элементы множества С, которые:
а) принадлежат множеству А;
б) принадлежат множеству В;
в) принадлежат множествам А и В;
r) не принадлежат ни множеству А, ни множеству В.
30. На склад привезли 3,6 т caxapHoro песка, затем 75% этоrо
количества отправили в маrазин и палатку, причем в маrазин
отправили на 0,9 т больше, чем в палатку. Сколько caxapHoro
песка отправили в палатку?
31. Найдите число, если известно, что:
а) 2% этоrо числа равны 3,5;
б) 70% этоrо числа равны 29,4;
в) 140% этоrо числа равны 112.
!i 2. Числовые выражения и выражения с переменными
13
.) Контрольные вопросы и задания
1. Приведите примеры числовоrо и нечисловоrо множеств.
2. Укажите признак, по которому составлено множество
А { 3, 2, 1, О, 1, 2, 3}.
3. Что называется подмножеством данноrо множества? При
ведите пример.
4. Запишите с помощью перечисления элементов множество
{х I х Е Z, Х > 2 и х 5}.
ЧИСЛОВЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ
2. . И ВЫРАЖЕНИЯ С ПЕРЕМЕННЫМИ
3. Числовые выражения
Вам уже неоднократно приходилось встречаться с числовыми
выражениями. Простейшими из них являются выражения, COCTaB
ленные из двух чисел и одноrо знака действия. Примерами таких
выражений являются сумма 2,7+ 3,42, разность % , произ
ведение 18. ( 0,25), частное 1224: 48.
Более сложными являются числовые выражения, составлен
ные из нескОЛЬКИХ чисел с помощью двух или более знаков дей
ствий, а также скобок. Приведем примеры таких выражений:
18 2,5.0,6; 0,6. 1,7 + 10,2. 13,2; 3,4 : (1,6 + 5,2).
Соrласно известным правилам порядка выполнения действий,
первое из этих выражений можно рассматривать как разность чис
ла 18 и произведения 2,5.0,6, второе как сумму произведений
0,6 . 1,7 и 10,2. 13,2, третье как частное числа 3,4 и суммы
чисел 1,6 и 5,2.
Заметим, что в качестве знака деления в числовых выраже
ниях часто используют черту дроби. Например, выражение
3,4
3,4 : (1,6 + 5,2) можно записать так: 1,6 + 5,2
В результате выполнения действий в числовом выражении по
лучается число, которое называют значением выражения.
Например, значение выражения 8,6 + 2, 7( ) равно 9,5.
Выражение 3: (52 4.13) значения не имеет, так как не все
указанные действия можно выполнить (значение выражения в
скобках равно нулю, а делить на нуль нельзя).
О таких выражениях rоворят, что они не имеют смысла.
14
r л а в а 1. Выражение и множество ero значений
При решении мноrих задач приходится сравнивать значения
ЧИСЛОВЫХ выражений. Результат сравнения записывают в виде
BepHoro числовоrо равенства или неравенства.
Сравним, например, значения выражений 12.4 и 144: 3. Так
как 12. 4 48 и 144 : 3 48, то верно равенство 12. 4 144: 3.
Сравним теперь значения выражений 3,5.2 и 8,4 3,2. Так
как 3,5. 2 7, а 8,4 3,2 5,2, и при этом 7 больше 5,2, то
верно неравенство: 3,5 . 2 > 8,4 3,2.
Не выполняя вычислений, можно определить, что значение
выражения 0,8.0,12 больше нуля и меньше 1. Это можно запи
сать в виде ДВУХ неравенств 0,8.0,12 > О и 0,8.0,12 < 1 или в
виде одноrо двоuноzо неравенства: О < 0,8.0,12 < 1 (читают:
«ноль меньше произведения 0,8.0,12 и 0,8.0,12 меньше единицы»
или так: (<произведение 0,8 и 0,12 больше нуля, но меньше еди
ницы» ).
Два неравенства 84 > 35 и 35 > 17 можно записать в виде
двойноrо неравенства: 84 > 35 > 17 (читают: «84 больше 35 и 35
больше 17»).
32. Запишите в виде выражения:
а) сумму числа 25 и произведения чисел 16 и 74;
б) разность произведения чисел 37 и 6 и произведения
чисел 29 и 5;
в) произведение разности чисел 86 и 17 и ИХ суммы;
r) частное числа 98 и суммы чисел 9 и 5.
33. Выясните, какие числовые выражения не имеют смысла:
(2,5 5,5 : 2,2): (4,8 0,3 . 1,3),
(2,5 5,5 : 1,1) : ( 4,8 0,4 . 1k}
5,5 : 2,2 2,5
(2,8 5,5 : 2,2) . (4,8 + 0,3 . ( 1,6», 4,8 0,3 .1,3 .
34. Выполните действия:
а) ( 3 7 1 5 ) : 18 1 .
30 12 16'
б ) ( 11 + 22 ) . 12.
2 3' 3'
в) ( 11 1 7 1. ( 21 + 7 ) .
18 12 J 6 30'
r) ( 3 2 5 ) . ( 31 + 7 ) .
5 48 24
35. Найдите значение выражения:
а) (22,5 : 0,45) . (5,27 + 1,93);
б) (7,6 8,5) : (0,23 + 2,92);
в) 35,4 . (62,4 49,9) 12,5 . 15,4;
r) 12,48 : (1,23 + 1,17) 14,7 : 0,49.
36. Вычислите:
2. Числовые выражения и выражения с переменными
15
а) 1 + 1 .
1+ '
1+3
в) 2
б ) 1 1 .
2 '
1
1+3
r) 2
2+
37. Проверьте, верно ли равенство:
1
2 1
2 ......!......
2 1
1
1
2 ......!......
2+1
.
а ) + + ( .! .! ) + ( .! .! ) + ( .! .! ) .
6.7 7.8 8.9 6 7 7 8 8 9'
б) 5 \ + 9 .\3 + 13 17 ( i ) + ( i 1 ) + ( 1 117 );
в) + + ( 1 .! ) + ( .! .! ) + ( .! .! ) .
3 15 35 3 3 5 5 7
38. Используя прием представления дробей в виде разности,
вычислите:
а ) + + + ;
3.4 4.5 5.6 6.7
+ + + ...+ + .
б) 10. 11 11 . 12 12 . 13 18 . 19 19 . 20 '
1 1 1 1
в) "2 + '6 + 12 + 20 ;
1 1 1 1 1
r) + + + + .
3 15 35 63 99
39. Приведите пример двух правиль
ных дробей, разность и произведение
которых равны.
5 3
40. Представьте дроби '6 и "4 в виде
суммы аликвоmных, (от латинскоrо сло
ва aliquot «несколько>}) дробей, т. е.
дробей, числители которых равны 1 (та-
кие дроби встречаются в одном из са
мых древних письменных свидетельств
математических знаний в папирусе
Райнда, потому иноrда такие дроби на-
зывают еrипетскими).
:3/,. A J....б !1\...:::2 И
р,. л 1" u tfl"':"\4f4.L1.
!.3J!t47...... у
=' #.,........ .
'......# , ;.
:':'.11 &1 z. ' r
"' '3111. i: ....te::3l.
"I\ :8. Л'\ ..'о;1 J'
IJ. .../-::." .. \:::J ,
,.,. 1\....., \j
4 :iI IJЛ
.
I/.O'Z.... 11. ,..1..1z....,............,. ..$1
,... \.1z,..""2<''':.-lJ, .НJl\. 11
"'чщ!mt.? 1.:.L1t.r."I'\.i'Ai
;; 'I1'-'.dJ,'2 1ЗNZ а л t"i::'Ш
.М.' 1';J".:"). '1t"1101i1..
/ l ......
\ 1. 1i l: /!:_ w
Фраrмент дpeBHe
еrипетскоrо папируса,
около 2000 r. до н. э.
16
r л а в а 1. Выражение и множество ero значений
41. В результате перестановки цифр двузначноrо числа это
число увеличилось на 9. Найдите все такие двузначные числа.
42. Найдите разность между наименьшим четырехзначным и
наибольшим трехзначным числами.
43. Найдите произведение наибольшеrо двузначноrо числа и
наибольшей правильной дроби со знаменателем 11.
44. Найдите все несократимые дроби со знаменателем 12,
1 3
которые заключены между числами "3 и "4'
45. Найдите две какие нибудь правильные дроби с равными
знаменателями:
5
а) сумма которых равна 7;
1
б) разность которых равна 9;
6
в) произведение которых равно 25'
3
r) частное которых равно "5'
46. Вместо знака * поставьте один из знаков действия так,
чтобы получилось верное равенство:
1 1 2 3 7 1
а) * . в) * 6'
6 2 з' 4 12
б) 191 5 1 1
2 * 1 ' r) 1 *7 .
3 14 2' 6 3 4
47. Решите задачу, составив числовое выражение.
а) Периметр треуrольника 20 см. Две ero стороны равны
между собой, а третья, меньшая, сторона равна 4 см. Какова дли
на равных сторон?
б) Из rорода А в rород В выехали одновременно мотоцик
лист и автомобилист. Скорость мотоцикла равна 80 км/ч, а CKO
рость автомобиля 60 км/ч. Какое расстояние будет между ними
через 2 ч?
48. Найдите наибольшую правильную дробь:
а) со знаменателем 17; б) с числителем 1.
49. Сравните дроби:
1 1
а) "2 и 3;
5 7
б) 11 и 11 '
1 2 '. :" 'f ''2: .'З" ,
в) "2 и,з ,.r .5 и 7
.. 1>
,.
. ............
!} 2. Числовые выражения и выражения с переменными
17
50. Сравните значения выражений:
а) 8,7. 1,5 и 9,2. 1,4;
1 1 2 1
в) 3 +"5 и 3 + 7;
1 1 2 7
r) + и + .
5 6 15 30
б) 3,8. 1,2 и 2,4 . 1,9;
51. Сравните значения выражений:
а) 0,99.0,44 и 0,99 + 0,44;
1 1 1 1 1.1.
r) 2+3+6 и 2'З'6'
5 2 3 5 2 3
д) 6 3+4 и 6: з'4;
e)l ! и 1 : :!.
8 4 3 8 4 3
б) 0,32 : 0,2 и 0,32 0,2;
в) 1,8.2,25 и 1,8 + 2,25;
37 31
52. Расположите числа 500 ' 0,7 и 41 в порядке убывания
их модулей.
53. Найдите пять чисел, каждое из которых больше 0,4, но
5
меньше й'
54. Сравните значения выражений, не производя вычислений:
а) 1,45.0,9 и 1,45 : 0,9;
б) 3,06.1,7 и 3,06 : 1,7;
в) 24,3. ( 0,3) и 24,3 : ( 0,3);
r) 2,25 . ( 1,5) и 2,25 : ( 1,5).
55. Прочитайте двойное неравенство:
а) 5 < 8 < 12; б) 37 < 52 < 100.
56. Запишите в виде двойноrо неравенства высказывание:
а) 5,4 . 0,3 больше 1 и меньше 2;
1
б) 5, 72 . 4 больше 2 и меньше О.
57. Задайте путем перечисления элементов множество:
а) {х I х Е N, 2 < х < 10}; б) {х I х Е Z, 5 < х < 3}.
+) Упражнения для повторения
58 ,Ш.Ш). B составляет:
-.: r ' 1 ,... "WI:" 1.
'н чИсло 'lZ'm'"чи ла 48; в) число 38 от числа 475;
' )..чи :л . tJ:-2"t>т. чrсла 54; r) число 94,9 от числа 731
.., rtc.M __
18
r л а в а 1. Вblражение и множество ero значений
59. Девочки составляют 54% всех учащихся школы. Сколько
девочек учатся в этой школе, если в школе учатся 552 мальчика?
60. Составьте множество двузначных чисел, в которых:
а) цифра десятков в 2 раза меньше цифры единиц;
б) цифра десятков на 2 меньше цифры единиц.
4. Статистические характеристики
Для изучения, обработки и анализа количественных данных
различных массовых социально экономических процессов и явле
ний проводят статистические (от латинскоrо слова status
«состояние, положение вещей») исследования. Уже в древних
rосударствах вели учет населения, способноrо платить налоrи.
С развитием общества потребовались научные методы обработки
и анализа самых разнообразных сведений. Так, в XIX в. появи
лась биолоrическая статистика, названная биометрикой и изучаю
щая численные характеристики отдельных биолоrических особей
и их популяций. Можно назвать еще более десятка различных
статистик: экономическая, финансовая, налоrовая, демоrрафи
ческая, медицинская, метеоролоrическая и т. д.
Каждое статистическое исследование состоит из сбора и обра
ботки информации. На основе полученных данных составляются
различные проrнозы, оценивается их достоверность и т. д. Важ
ной задачей, без которой статистические данные теряют всякий
смысл, является обработка полученных данных.
Рассмотрим пример. Учащимся двух седьмых классов был
предложен тест по математике, состоящий из 10 заданий. При
проверке работ отмечали количество заданий, верно выполненных
учащимися. Получили два ряда чисел:
7 «А» класс: 8; 7; 2; 5; 10; 9; 8; 7; 7; 10; 9; 6; 5; 8; 8; 10; 9;
9; 10; 7; 9; 10; 7; 9; 6;
7 «Б» класс: 8; 7; 8; 6; 9; 9; 7; 8; 7; 9; 9; 6; 5; 8; 7; 10; 9;
10; 10; 7; 8; 9; 7; 9; 9.
Ряд данных, полученных в результате статистическоrо иссле
дования, называют выборкой, а каждое число этоrо ряда вapи
антой выборки. Количество чисел в ряду называют об7Jемом BЫ
борки. В нашем примере объемом выборки является количество
учащихся каждоrо класса, участвовавших в тестировании. В каж
дом случае объем выборки равен 25.
Имея приведенные выше два ряда данных, трудно сравнить
результаты выполнения теста учащимися двух классов. А если
рассматривать результаты, которые показали все семиклассники
rорода или целоrо реrиона, то информация будет столь rромозд
кой, что окажется бесполезной. Потому для статистической об
9 2. Числовые выражения и выражения с переменными
19
работки данных рассматривают различные статистические xapaK
теристики.
Одной из характеристик, широко применяемых в статисти
ческИХ исследованиях, является среднее арифметическое.
О п р е Д е л е н и е. Средним арифметическим ряда данных
называется частное суммы всех вариант ряда и количества
вариант.
Поскольку количество вариант это объем выборки, то cpeд
нее арифметическое выборки есть частное суммы всех вариант
и об-оема выборки.
Найдем, например, средний балл, который получили учащиеся
7 «А» класса при выполнении теста:
8 + 7 + 2 + 5 + 10 + 9 + 8 + 7 + 7 + 10 + 9 + 6 + 5 + 8 + 8 + 10 + 9 +
25
+ 9 + 10 + 7 + 9 + 10 + 7 + 9 + 6 7 8
25 ' .
Такой подсчет среднеrо арифметическоrо выборки не очень
удобен. Можно поступать иначе.
Перепишем выборку для 7 «А» класса, расположив ее вари
анты так, чтобы каждая следующая была не меньше предыдущей.
Получим: 2; 5; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 9; 9; 9;
10; 10; 10; 10; 10.
Такую запись выборки называют упорядоченным рядом дaH
ных (или вариационным рядом). Теперь леrко видеть, что 2 бал
ла получил один ученик, 5 баллов два ученика, 6 баллов
два ученика, 7 баллов пять учеников и т. д. Количество появ
лений одной и той же варианты в выборке называют частотой
этой варианты. Так, например, частота варианты 7 равна 5, час
тота варианты 10 равна 5. Составим таблицу частот вариант для
учащихся 7 «А» класса. В первой строке запишем все возможные
количества баллов, которые моrли получить учащиеся при выпол
нении теста, т. е. числа от О до 10. Во второй строке запишем co
ответствующие частоты, т. е. число учащихся, получивших YKa
занное количество баллов.
Баллы О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Число О О 1 О О 2 2 5 4 6 5
учащихся
Проверим, не ошиблись ли мы при подсчете частот: сумма
частот должна быть равна объему выборки. Действительно,
О + О + 1 + О + о + 2 + 2 + 5 + 4 + 6 + 5 25 (естественно, нули
можно не писать). Теперь можно вычислить среднее арифметическое
20
r л а в а 1. Выражение и множество ero значений
2 . 1 + 5 . 2 + 6 . 2 + 7 . 5 + 8 . 4 + 9 . 6 + 10 . 5
выборки проще: 1 + 2 + 2 + 5 + 4 + 6 + 5
195 7,8. Заметим, что среднее арифметическое упорядоченно
25
ro ряда данных и среднее арифметическое выборки одно и то
же число.
Составим таблицу частот выборки для 7 «Б класса.
Баллы О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Число О О О О О 1 2 6 5 8 3
учащихся
Заметим, что обычно в таблицу частот не включают вариан
ты, частоты которых равны нулю. В этом случае таблица частот
для 7 «Б» класса будет такой:
Варианта (балл) 5 6 7 8 9 10
Частота (число учащихся) 1 2 6 5 8 3
Найдем объем выборки: 1 + 2 + 6 + 5 + 8 + 3 25. Теперь найдем
5 . 1 + 6 . 2 + 7 . 6 + 8 . 5 + 9 . 8 + 10 . 3
среднее арифметическое: 25
201 8 04.
25 '
Зная средние баллы учащихся 7 «А» и 7 «Б» классов, можно
сделать вывод, что учащиеся 7 «Б» в целом выполнили тест луч
ше, поскольку 8,04 > 7,8.
Составленные таблицы частот позволяют сделать и друrие
полезные выводы по итоrам проведенноrо тестирования. Напри
мер, для первой выборки (результаты учащихся 7 «А» класса)
наименьший полученный балл равен 2, наибольший 10. Pe
зультаты всех учащихся класса располаrаются между этими чис
лами. Для второй выборки наименьшая варианта равна 5, наи
большая 10. Это может означать, что 7 «Б» класс по своей
математической подrотовке является более однородным, чем
7 «A .
Еще одним показателем, который используется при анализе
статистических данных, является размах ряда.
О п р е Д е л е н и е. Разность наибольшей и наименьшей вари
ант выборки называют размахом ряда.
В рассмотренном ранее примере размах первой выборки (или
упорядоченноrо ряда данных) равен 10 2 8, а второй 10 5 5.
Размах выборки находят в том случае, коrда существенной Для
исследования является величина разброса данных в ряду. К при
2. Числовые выражения и выражения с переменными
21
меру, в метеоролоrии важна не ТОлькО среднесуточная температу
ра, но и численная характеристика колебания температуры воз
духа в течение суток, т. е. размах выборки.
Заметим, что не всеrда подсчет среднеrо арифметическоrо бы
вает полезен для исследования. Так, не имеет смысла находить
средний размер обуви, проданной в маrазине. Важнее знать раз
мер наиболее покупаемой обуви так называемую моду выборки.
О п р е Д е л е н и е. Варианта выборки, имеющая наибольшую
частоту, называется модой выборки.
В рассмотренном примере с изучением результатов тестирова
ния, проведенноrо в двух седьмых классах, модой и первоrо, и
BToporo ряда является число 9, которое и в первой, и во второй
выборке встречается чаще друrих.
Моду ряда находят тоrда, коrда нужно выявить типичный для
данной выборки показатель. Например, из 250 опрошенных ce
мей в 23 семьях нет детей, в 117 семьях один ребенок, в 97
семьях двое детей, в 13 трое. Модой данной выборки явля
ется число 1, иными словами, типичной является семья с одним
ребенком.
Если в выборке два числа встречаются с одинаковой частотой,
превосходящей частоты, с которыми встречаются друrие числа, то
обе эти варианты являются модой для данноrо ряда. Так, в ряду
2; 3; 3; 3; 5; 5; 6; 6; 6; 7; 8; 8 две моды это числа 3 и 6. Mo
жет случиться, что в выборке будет более двух мод или не будет
моды совсем. Например, ряд 2; 2; 3; 3; 4; 4; 5; 5 не имеет моды.
Еще одной характеристикой, используемой в статистике, яв
ляется медиана ряда. Рассмотрим пример. Сотрудники лаборато
рии приобрели акции одноrо предприятия. Количество акций,
приобретенных сотрудниками, оказалось таким: 2; 3; 5; 6; 8; 9;
51. Нужно оценить среднее количество приобретенных акций.
Данный ряд не имеет моды. Найдем среднее арифметическое
ряда: 2 + 5 + 9. + 37 + 8 + 6 + 51 874 12.
Найденное число не отражает реальной ситуации с распреде
лением акций между сотрудниками лаборатории, поскольку оно
больше шести из семи вариант ряда. Для оценки средней величи
ны поступим иначе. Составим из полученных данных упорядочен
ный ряд и найдем варианту, записанную в середине ряда.
2; 3; 5; 6; 8; 9; 51.
Эту варианту называют медианой ряда. Она равна 6. ECTe
ственно, найденное значение лишь приближенно характеризует
средний показатель ряда, однако эта характеристика ближе к дей
ствительности.
Если ряд имеет четное число вариант, то в качестве медианы
рассматривают среднее арифметическое двух средних элементов.
22
r л а в а 1. Выражение и множество ero значений
Например, медианой ряда 3; 3; 4; 5; 5: 6 ; 6; 7; 7; 40 является
среднее арифметическое чисел 5 и 6, т. е. 5 + 6 5,5.
2
О п Р е Д е л е н и е. Если в упорядоченном ряду данных нечет
ное число вариант, то средняя по счету варианта называется
медианой. Если в упорядоченном ряду четное число вариант, то
среднее арифметическое двух средних по счету вариант называ
ется медианой.
Медианой произвольной выборки является медиана COOTBeT
ствующеrо упорядоченноrо ряда. Заметим, что если упорядочен
ный ряд данных содержит 2п 1 вариант (п натуральное чис
ло), то медианой является п я варианта, а если упорядоченный
ряд данных содержит 2п чисел, то медианой является среднее
арифметическое n ro и п + 1 ro чисел.
При м е р. Во время соревнований по стрельбе спортсмен Ha
брал следующее количество очков: 9; 9; 8; 10; 8; 7; 9; 10; 8; 7.
Найдем: а) объем выборки; б) среднее арифметическое выборки;
в) размах; r) моду ряда; д) медиану выборки.
Для решения задачи запишем упорядоченный ряд данных:
7; 7; 8; 8; 8; 9; 9; 9; 10; 10.
а) Спортсмен сделал 10 выстрелов, значит, объем выборки
равен 10.
б) Найдем среднее арифметическое выборки
7 . 2 + 8 . 3 + 9 . 3 + 10 . 2 8 5.
10 '
в) Размах ряда равен 10 7 3.
r) у данноro ряда две моды: 8 и 9.
д) Найдем медиану выборки. Данный ряд содержит четное
число вариант. Найдем среднее арифметическое двух чисел, запи
санных в середине ряда: 8 + 9 8,5. Медианой выборки является
2
число 8,5.
61. Найдите объем, среднее арифметическое, размах, моду и
медиану выборки:
а) 13; 12; 10; 12; 10; 14; 13; 10;
б) о; 1; 1; 1; 1; о; 1; о;
в) 5; 7; 3; 1; о; 2; 1; 3;
r) 117; 121; 121; 121; 121.
62. Пшеницей засеяно три поля, площади которых равны
10 ra, 12 ra и 4 ra. Средняя урожайность на первом поле COCTaB
ляет 18 ц с 1 ra, на втором 18,5 ц с 1 ra, на третьем 23,5 ц
с 1 ra. Какова средняя урожайность пшеницы, собранной с трех
полей? Какая из статистических характеристик найдена?
!} 2. Числовые выражения и выражения с переменными
23
63. Как изменятся размах, мода и среднее арифметическое BЫ
борки, если:
а) к ней добавить наименьшую варианту;
б) к ней добавить наибольшую варианту;
в) вычеркнуть из нее наименьшую варианту;
r) вычеркнуть из нее наибольшую варианту?
64. Среднее арифметическое выборки из десяти элементов paB
но 22. К выборке приписали число 11. Чему равно среднее ариф
метическое новой выборки?
65. Среднее арифметическое выборки из 16 чисел равно 218.
Из выборки вычеркнули варианту 338. Чему равно среднее ариф
метическое получившейся выборки?
66. Среднее арифметическое выборки из 12 элементов равно 15.
В эту выборку добавили еще одно число, после чеrо среднее арифме
тическое стало равно 14. Какое число добавили?
67. у троих друзей семиклассников: Андрея, Бориса и Васи
лия к концу первой четверти по алrебре оказались следующие
отметки:
Андрей: 5; 4; 4; 3; 5; 4; 5; 5; 4; 3; 5; 5;
Борис: 3; 3; 2; 3; 4; 4; 4; 3; 3; 2; 4; 4;
Василий: 5; 5; 5; 4; 5; 5; 5; 4; 4; 5; 5; 5.
а) Запишите ряд данных для каждоrо ученика.
б) Какой средний балл имеет к концу четверти каждый
ученик?
в) Какова наиболее типичная, характерная отметка каждо
ro из них?
r) Какова средняя варианта (медиана) каждоrо ряда? Какую
отметку, вероятнее Bcero, получит каждый из друзей за
четверть?
68. В выборке 12; 14; 15; 17; 17; 18 одна варианта пропуще
на. Найдите ее, если известно, что:
а) среднее арифметическое выборки равно 15;
б) размах ряда данных равен 8;
в) размах ряда равен 7, а среднее арифметическое выража
ется целым числом.
69. Учащиеся 7 класса провели 20 экспериментов по подбра
сыванию иrральной кости. Отмечая число выпавших очков, они
получили следующие данные:
3; 4; 1; 6; 6; 2; 1; 2; 4; 5; 6; 2; 3; 6; 4; 4; 1; 2; 5; 3.
Составьте упорядоченный ряд данных и представьте ero в виде
таблицы частот. Найдите среднее арифметическое, размах, моду
и медиану упорядоченноrо ряда данных.
24
r л а в а 1. Выражение и множество ero значений
70. Результаты статистическоrо исследования были записаны
в виде таблицы частот, но одна из вариант была утрачена.
Варианта
Частота
8
4
11
6
4
Восстановите пропущенное в таблице число, если известно, что
среднее арифметическое выборки равно 10. Каковы объем, мода,
размах и медиана этой выборки?
71. Про верка скорости чтения семиклассников (количество
слов в минуту) дала результаты, занесенные в таблицу частот (CKO
рость чтения ученика окруrлялась до десятков).
Скорость чтения 100 110 120 130 140
Число учащихся 3 6 7 5 4
По таблице найдите: а) число учащихся в классе; б) типич
ную для учащихся класса скорость чтения; в) величину разброса
результатов; r) среднюю скорость чтения. Какие статистические
характеристики использовались для ответа на вопросы?
t) Упражнения для повторения
72. Найдите значение выражения:
(7 6,35) : 6,5 + 9,9 .
а)
( 1,2 : 36 + 1,2 : 0,25 1 ) : 7..!...'
16 24
( о 5 : 1 25 + 1. : 11 1 . 3
' , 5 7 111
б)
( 1 5 + 1 ) : 181
, 4 3
73. Расстояние между машинами, движущимися по шоссе,
равно 100 км. Скорости машин равны 75 км/ч и 90 км/ч. Чему
может быть равно расстояние между ними через 1,2 часа?
74. Сравните числа:
1 7
а) "3 и 0,5; б) o, 7 и 11 .
11 2. Числовые выражения и выражения с переменными
25
5. t Выражения с переменными
Рассмотрим две задачи.
Задача 1. Завод ежедневно перерабатывает 5 т молока. Сколь
ко тонн молока переработает завод за р дней?
Задача 2. Ширина прямоуrольника равна 5 см, а длина р см.
Какова площадь этоrо прямоуrольника?
Решение каждой их этих задач приводит к одному И тому же
выражению 5р, значение KOToporo зависит от значений р. Если
р 1, то 5р 5; если р 2, то 5р 10 и т. д. С изменением зна
чений р изменяется и значение выражения 5р.
Букву Р в этом выражении называют переменной, а само BЫ
ражение 5р выражением с переменной.
В первой задаче переменная может принимать лишь натураль
ные значения, во второй любые положительные, в том числе и
дробные.
Если же мы будем рассматривать выражение 5р, никак не свя
занное с конкретной задачей, то в этом случае переменная р может
принимать любые значения (целые и дробные, положительные
и отрицательные).
Для записи значений выражения при различных значениях
переменной часто используют таблицы. Так, значения выражения
5р при всех натуральных р, не превышающих 6, будут записаны
в таблице
р
5р
1: 1:01'3512:1:51з:1
Подобные таблицы ИСПОЛЬЗ0вались еще в Древнем Вавилоне:
на rлиняных табличках, относящихся к XVIII в. до н. э., приво
дятся таблицы для вычисления значения выражений п 2 , п 3 , 1.
n
и др.
Мы рассмотрели случай, коrда выражение содержало одну пе
ременную. Выражение может содержать две, три и более перемен
ных. Например, выражение х 5у содержит две переменные: х и у.
Ero значение зависит как от значений переменной х, так и от
значений переменной у. Если х 8 и у 1, то х 5у 3, если
1
х О и у "5' то х 5у 1 и т. д.
Для записи значений выражения с двумя переменными исполь
зуют таблицу с двумя входами. Например, значения выражения
2х Зу, rде х и у принимают значения 1, 2, 3 и 4, можно запи
сать в таблицу
26
r л а в а 1. Выражение и множество ero значений
1 2 3 4
1 1 4 7 10
2 1 2 5 8
3 3 О 3 6
4 5 2 1 4
Таблицей с двумя входами является таблица квадратов HaTY
ральных чисел, приведенная на форзаце в конце учебника.
а
Рассмотрим выражение 5 ' При любом а;/;5 оно принимает
a
определенное значение. При а 5 оно теряет смысл, так как мы
5
получаем числовое выражение ()' в котором делитель равен нулю.
а
Поэтому rоворят, что при а 5 выражение 5 не имеет смысла,
a
а при любом а;/;5 оно имеет смысл. Множество всех чисел,
при которых выражение с переменной имеет смысл, называют
множеством допустимых значений переменной или областью
допустимых значений переменной.
Выражения с переменными применяются для записи чисел
определенноrо вида. Приведем примеры.
Любое четное натуральное число можно представить выраже
нием вида 2п, rде п Е N. Действительно, если мы будем вместо п
последовательно подставлять числа 1, 2, 3 и т. д., то получим
последовательность четных чисел: 2, 4, 6, ... .
Всякое натуральное число, дающее при делении на 3 в OCTaT
ке 2, можно записать так: 3п + 2, rде п целое неотрицатель
ное число.
Всякое двузначное число можно записать в виде 10а + Ь, rде
а цифра десятков, а Ь цифра единиц. В этом случае значени
ями переменных а и Ь являются однозначные натуральные чис
ла, причем а 7= О. Двузначное число, состоящее из а десятков и Ь
} T -; = ' :;;:' ' fiM"i;
. \' '. .3 "
! .
;.+ "'".
; ' 'c
" --:.
I .' ''';i.'' '
'/.1', ., .'--
" ' j.\ " \,,:,
1/ 1..1 1t'
f .-
"\;\ \ 1"
Франсуа Виет(1540 1603), француз
ский математик, по профессии юрист;
ввел в алrебру буквенную символику, что
позволило рассматривать общие MeTO
ды решения уравнений.
2. Числовые выражения и выражения с переменными
27
единиц записывают так: аЬ (черта сверху rоворит о том, что дaH
ное выражение не является произведением переменных а и Ь).
Аналоrично, используя переменные а, Ь и с, можно записать
трехзначное число в виде аЬс 100а + 10Ь + с, rде а +:- О.
Выражения с переменными используются также для записи
равенств и неравенств, содержащих переменные. Например, пред
ложение «Сумма двух чисел равна 50 можно записать в виде pa
венства х + у 50, в котором буквой х обозначено первое число,
а буквой у второе. Предложение «В автобусе едет не более 20
человек,) можно, обозначив число пассажиров буквой х, записать
в виде неравенства х 20 (читают: «икс меньше или равно 20 ).
Эта запись означает, что х < 20 или х 20.
Неравенства, составленные с помощью знаков < и >, называ
ются cmpozUMU, а неравенства, составленные с помощью знаков
и :>, HecmpozUMU.
С помощью выражений с переменными и неравенств запишем
определение модуля числа:
1 :: :: : ::: или ЕО(Х)че: I а I
a, если а < О
75. Запишите в виде выражения:
а) сумму удвоенноrо произведения чисел а и Ь и числа 1;
б) разность YTpoeHHoro произведения чисел Ь и с и числа 5;
в) произведение суммы чисел а и х и их разности;
r) частное числа х и суммы чисел а и Ь.
I al
f а, если а :> о,
l a, если а < О.
76. Пользуясь терминами «сумма,), «разность , «произведе
ние и «частное , прочитайте выражение:
а+Ь
а) ху + 8; в) ; д) (т 5) . (т + 5);
с
р с
б) (х + 10)у; r) 2а 3Ь; е) + .
q d
77. Запишите в виде равенства предложение:
а) сумма чисел х и 15 равна 36;
б) разность числа х и числа 27 равна 19;
в) число х больше 9 на 7;
r) число х меньше 18 на 3.
78. Запишите в виде равенства предложение:
а) произведение чисел 25 и у равно 400;
б) число у больше числа 8 на 14;
в) число у больше числа 9 в 5 раз;
r) число у меньше числа 375 в 3 раза.
28
r л а в а 1. Выражение и множество ero значений
79. Найдите значение выражения:
а) (2а + 5)(2а 5) при а 1,5; 2,5; 4;
б) Ь 2 6Ь + 9 при Ь 2; о; 6;
в) I х 1 + I х 21 при х 0,5; 1; 1,5; 2;
r) I у 3 I + 1 у + 3 1 при у 6; 5; 5; 6.
80. Найдите множество значений выражения:
а) 4х 3, если х Е { 2, 1, о, 1, 2};
б) 3 4х, если х Е { 2, 1, о, 1, 2}.
Какими числами являются соответственные значения выраже
ний 4х 3 и 3 4х (т. е. значения, принимаемые при одинако
вых значениях х)?
81. Заполните таблицу, вычислив значения выражений 15 3а
и 3а 15 дл я указанных в верхней строке значений а:
а 3 2 1 О 1 2 3 4 5
15 3а .
3а 15
Какими числами являются соответственные значения этих
выражений?
82. Найдите множество значений выражения:
а) а I а 1, rде а Е Z и 1 а I 3;
б) r:l + а, rде а Е Z, а f= О и 3 а 5.
а
83. Пусть у Е { 5; 2; 2,5}. Сравните соответственные значе
ния выражений:
а) 20 5у и 20 + 5у;
2 .
и у2 у '
у(у 1)
в) 2
25 2у 5
б) y2 2у и у(у 2); r) 2y 5 и 25
84. Площадь картофельноrо поля составляет а ra. В первый
день картофель собрали с 15% площади поля. С какой площади
ero предстоит убрать?
85. В маrазине было Ь Kr оrypцов. Сколько килоrраммов oryp
цов осталось в маrазине после Toro, как продали 20% всех оrурцов?
86. Тетрадь стоит х р., а авторучка у р. Купили 15 тетрадей и
2 авторучки. Составьте выражение, определяющее общую стоимость
покупки.
87. Сын моложе мамы на Ь лет и старше сестры на 3 rода. На
СКолько лет мама старше дочери?
9 2. Числовые выражения и выражения с переменными
29
88. Найдите значение выражения 0,5а + 0,6Ь, если:
1 1
б) а "2' Ь 1"3.
а) а 0,4, Ь 0,25;
89. Вычислите:
а) (3х 5)у, если х 1,5, у 0,9;
1 1
б ) У 2 3х у если х У .
, 4' 2'
в) ах + 4у, если а 5, х 2, у 10;
1 1 1
r ) Ьс ас если а , Ь , с .
, 362
90. Составьте и заполните таблицу с двумя входами, вычис
лив значения выражения:
а) а 2 2аЬ + Ь 2 при всех целых а и Ь, удовлетворяющих
неравенствам I а I < 4 и I Ь 1 < 4;
б) (а + Ь)2 при всех целых а и Ь, удовлетворяющих Hepa
венствам I а 1..;; 3 и I Ь 1..;; 3.
91. По таблице квадратов натуральных чисел, приведенной на
форзаце в конце учебника, найдите значение выражения п 2 при
п 37; 39; 4,3; 8,1.
92. Известно, что при некоторых значениях а и Ь значение BЫ
ражения а Ь равно 1,2. Какое значение принимает при тех же
значениях а и Ь выражение:
а) 3(а Ь);
б) Ь а;
12 .
в) а ь '
6
r) ?
b a
93. Известно, что при некоторых значениях переменных т и п
т
значение выражения равно 1,2. Какое
n
значение при тех же значениях перемен
ных т и п принимает выражение:
Ь
Ь
а) !!:..... в) 3 + 2п ;
,
т т
б) 5т . r) 3т 2п?
3п , 2т + n
Ij
1.0
О
Ij
94. На рисунке 4 изображена фиrура,
для которой указана длина отрезков
(в сантиметрах). Составьте выражение
для вычисления ее площади (в KBaдpaT
ных сантиметрах).
а
Рис. 4
30
r л а в а 1. Выражение и множество ero значений
95. Найдите значение выражения 10а + Ь, если:
а) а 1, Ь 3; в) а 4, Ь 1;
б) а 2, Ь 7; r) а 5, Ь о.
96. Представьте в виде суммы выражение:
а) xyz;
б) аОЬ;
в) abcd.
97. Найдите все двузначные числа аЬ, зная, что:
а) аЬ Ьа 36;
б) аЬ + Ьа 22.
98. Найдите общий вид выражения для записи натуральноrо
числа, которое:
а) кратно 3;
б) кратно 5;
в) кратно 11;
r) дает при делении на 4 остаток 2;
д) дает при делении на 5 остаток 4;
е) является нечетным.
99. Укажите множество натуральных значений переменной п,
при которых значение выражения 14 п является:
а) нечетным числом;
б) четным числом;
в) простым числом;
r) натуральным числом, кратным 5.
100. Запишите последовательность чисел данноrо вида, pac
положив числа в порядке возрастания:
а) 2п + 1, rде п Е {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};
б) 3п 1, rде п Е N и п < 10;
в) 10п + 5, rде п Е N и п < 7;
r) 17п 3, rде п Е N и п < 6.
101. По какому признаку составлена последовательность чисел
(подметьте правило и напишите два следующих члена последова
тельности):
а) 5, 11, 17, 23, 29, 35, ... ;
б) 9, 19, 29, 39, 49, 59, ... ;
в) 17, 14, 11, 8, 5, 2, 1, ...
r) 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, ... ?
102. Верно ли неравенство:
а) 5х + 2 < 10х при х 8; о; 2;
б) 3х 5 > х при х 1; о; 4?
103. Запишите в виде неравенства предложение:
а) а положительное число;
б) Ь отрицательное число;
в) х неотрицательное число;
r) у неположительное число.
!} 2. Числовые выражения и выражения с переменными
31
104. Запишите в виде двойноrо неравенства предложение:
а) а положительное число, меньшее 10;
б) Ь отрицательное число, большее 5;
в) с неотрицательное число, меньшее 1;
r) d неположительное число, большее 7.
105. Найдите множество целых значений х, при которых верно
неравенство:
а) 4 < х < 6;
б) 2 .;;; х.;;; 2;
в) 3 < х .;;; 2;
r) 4 .;;; х < О.
106. Найдите значения переменной, при которых не имеет
смысла выражение:
а) 2х2 3х + 1 . в) 2х х 2 . д) 55 ;
24 , х+7 , 21xl 5
б) 2х + 1 . 1 x х 2 1
3х , r) . е) х2 + 1 .
'х' + 1,5'
107. При каких значениях переменной имеет смысл выражение:
б) 3 ;
х
) 9х.
r х + 6 '
2х .
д) Iхl з'
х + 1 ?
е) I х I + 2 .
а) 8х + 9;
) 2 .
в х 10 '
108. Найдите область допустимых значений переменной в
выражении:
а) x + 21. в) 2х + х 2 . 51 3х .
2 , х 0,01 ' д) I х I 17 '
б) 1:1. r) 2х 3 . е) 3х
2x , 12хl + 3 , 3х 2 + 13
.) Упражнения для повторения
109. Найдите значение выражения:
а) 9,18: 4,5 + 3,1' 1,6; в) ( ) . 3,6 + 1,01;
б) (8,16 7,48): 0,017; r) 3' 0,125 ( ). 7 .
110. Расположите в порядке возрастания числа:
О 38 3 . 5. 4. 3
, ; "8' 13 ' 11 ' "7
32
r л а в а 1. Выражение и множество ero значений
111. Турист шел 2 ч со скоростью 4,5 км/ч и lч со CKOpO
стью 3 км/ч. Какова средняя скорость туриста на всем участке
пути?
112. Какой по счету вариантой будет медиана, если упорядо
ченный ряд данных состоит из 2п + 1 вариант?
.) Контрольные вопросы и задания
1. Приведите пример числовоrо выражения, составленноrо с
помощью двух знаков действий, значение KOToporo равно 10.
2. Что называют средним арифметическим, размахом, модой
и медианой ряда данных?
3. Сравните значения выражений а + 6 и 6а при а 2;
а 1,2; а 4.
4. Запишите в виде выражения произведение суммы чисел х и
у и их разности.
5. Найдите общий вид выражения для числа:
а) KpaTHoro 7;
б) которое при делении на 3 дает в остатке 1.
6. Что называют областью допустимых значений переменной
в выражении с переменной? Найдите область допустимых значе
х 2 +4
нии в выражении х 4
.) Дополнительные упражнения
к rлаве 1
К параrpафу 1
113. Запишите с помощью перечисления элементов множество
натуральных чисел, меньших 30, которые:
а) кратны 2 и кратны 3; в) кратны 2 или кратны 3;
б) кратны 2 и кратны 5; r) кратны 2 или кратны 5.
114. Какие из множеств
А {х I х Е Z, 5 < х < 5},
В {х I х Е Z, Х > 4 и х < 4},
С {х I х Е Z, I х I < 5},
D {х I х Е Z, х 2 < 16}
являются равными?
115. В трехзначном числе а цифра сотен, Ь цифра десят
ков, с цифра единиц. Запишите с помощью переЧисления эле
ментов множество трехзначных чисел, у которых:
а) а + Ь + с 5; б) аЬс 6.
Дополнительные упражнения к rлаве 1
33
116. Найдите множество дробей вида
а) n < 10;
б) 5 < n < 11;
в) n < 16 и n нечетное число.
n
п+1 ' rде n Е N, если:
117. Пусть Р множество натуральных чисел, больших 1,
но меньших 20, которые не кратны числам 2 и 3. Задайте это MHO
жество перечислением элементов.
.
118. Задайте перечислением элементов множество десятичных
цробей, меньших 1, в записи которых используются лишь цифры
3 и 7, причем:
а) цифра 3 используется два раза, а цифра 7 один раз;
б) цифра 3 используется три раза, а цифра 7 два раза.
119. Пусть В множество правильных обыкновенных дpo
бей со знаменателем 13. Найдите подмножество множества В,
в котором каждый элемент является числом:
1
а) меньшим ;
2
2
б) большим 3;
в) меньшим 0,1;
r) большим 0,8.
120. Из множества трехзначных чисел выделите подмножество
чисел:
а) кратных 111;
б) кратных 37 и оканчивающихся цифрой 8;
в) кратных 37 и оканчивающихся нулем;
r) оканчивающихся цифрой 2, причем сумма их цифр
равна 17; .
д) начинающихся с цифры 7, причем сумма их цифр paB
на 21;
е) первые две цифры которых образуют число, кратное 23,
а две последние цифры образуют число, являющееся
квадратом натуральноrо числа.
121. По какому признаку из множества двузначных чисел BЫ
делено ero подмножество:
а) {11, 13, 17, 19, 23, 29};
б) {16, 25, 34, 43, 52, 61, 70};
в) {50, 61, 72, 83, 94};
r) {21, 42, 63, 84}?
2 Ллrебра, 7 кл.
34
r л а в а 1. Выражение и множество ero значений
122. По какому признаку из множества дробей выделено ero
подмножество:
{ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 }
а) з' 5' 7' 9' 11 ' 13 ' 15 ' 17 ' 19 ;
{ 1 2 3 4 5 6 7 }
б) 8' 7' 6' 5' 4' 3' 2 ;
{ 1 3 5 7 1 1 1 3 5 }
в) 3' 5' 7' 9' 5' 7' 9' 7' 9 ;
{ 1 3 7 }
r '?
) 21' 7' 3 .
к параrрафу 2
123. Вычислите:
2 1 4 3
а) 5 . 1 4 . 1 '
5 9 7 4'
в) 2 :(2 17 :13}
( 3 7 ) 3
r) 3 . 1 3 : .
8 9 5
1 2 8 9
б) 7 : 1 + 4 . .
3 9 9 11'
124. Найдите значение выражения:
а) 2 : 1.:!. + 55 : ( 43 23 ) .
3 9 84 63 36'
5 8 8 ( 43 11 )
б) 5"7 : 21 + 1 13 ' 56 24 .
125. Найдите число, противоположное:
а) сумме чисел 3, 76 и 2,16;
1
б) разности чисел 1 5 и 1,8;
1
в) произведению чисел 4 и 7;
1
r) частному чисел 22,5 и 1 .
2
126. Найдите число, обратное значению выражения:
а ) ( 2 +175 ) '16' б ) ( ) : 2..
8' , , 3 18 12
127. Пусть а некоторое число. Найдите число:
а) которое на 6 больше числа, ему противоположноrо;
б) которое в 4 раза больше числа, ему обратноrо.
Дополнительные упражнения к rлаве 1
35
128. Уменьшаемое в 3 раза больше разности. Во сколько раз
вычитаемое больше разности?
129. Данное число увеличили в 1,5 раза. На сколько процен
тов увеличилось данное число?
130. Данное число уменьшили в 5 раз. На сколько процентов
уменьшилось данное число?
131. Во сколько раз увеличится двузначное число, если к нему
приписать справа те же цифры и в том же порядке?
132. Найдите сумму всех целых чисел от 105 до 106.
133. Найдите произведение всех целых чисел от 15 до 16.
134. Найдите значение выражения:
а) 777...7 + 222...2;
100 раз 100 раз
б) 555...5 + 888...8.
100 раз 100 раз
135. Найдите значение выражения:
а) + + +...+ + ;
5 . 6 6 . 7 7 . 8 18 . 19 19 . 20
б) + + + ... + ........!...... + ........!.......
9 . 11 11 . 13 13 . 15 21 . 23 23 . 25
136. Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:
а) 1,48.1,7 и 1,47: 1,7;
б) 3,876.0,34 и 3,876: 0,34;
в) 0,835 . ( 2,3) и 0,835 : ( 2,3);
r) 7,ll8. 2,37 и 7,ll8: 2,37.
137. Среди учащихся 7 класса провели опрос: сколько BpeMe
ни (в часах) ежедневно (в среднем) они тратят на выполнение дo
машних заданий? Были получены следующие данные: 2,5; 2,5;
3; 3; 3; 1,5; 2; 4; 2,5; 3; 3; 3; 3,5; 2; 3,5; 1,5; 4; 4; 3; 3; 3; 1,5;
3; 3,5; 2; 2,5; 4; 2; 4; 1,5; 3,5; 2. Составьте ряд данных опроса
семиклассников. Постройте таблицу частот. Найдите размах, cpeд
нее арифметическое, моду и медиану ряда данных.
138. Найдите среднее арифметическое, размах, моду и медиа
ну выборки:
а) 77; 79; 81; 83, 77; 80;
б) 13; ll; 5; 5; 9; ll; 9; 12; 4.
36
r л а в а 1. Выражение и множество ero значений
139. Результаты измерений записаны в таблицу частот, но
одно из данных неизвестно.
Варианта
Частота
8
10
3
11
5
Восстановите пропущенное в таблице число, если известно, что
среднее арифметическое выборки равно 9,4. Найдите объем, моду,
размах и медиану этой выборки.
4х 15
140. Найдите значение выражения при:
а) х 1,5; б) х 3,6; в) х 1,2; r) х 0,03.
141. При каких п Е N верно высказывание:
а) 19 п натуральное число, кратное 3;
б) 9п + 1 число, кратное 11;
в) (п 1)(п + 3) простое число;
r) п + 7 < 17;
д) 15 п> 9;
е) п(п + 1)(п + 2) 120;
n 7
ж) n + 7 < 9;
з) (п 4)?
142. Запишите последовательность чисел вида:
1
а) 2п ' rде п Е N и п 8;
1
б) п(п + 1) , rде п Е N и п 6;
2n 1
в) 2п + 1 ' rде п Е N и п < 7;
п 2
r) 1 ' rде п Е N и п < 4.
n +
143. По какому признаку составлена последовательность:
! ! ! . 1, !, !, !, !;
а) 3' 6' 9' 12' 15' r) 3 5 7 9
11111. 1357911
б) 5' 8' 11 ' 14 ' 17 ' д) з' 5' 7' 9' 11 ' 13 ;
1111 222222
в) 1, 3' 5' 7' 9; е) 3' 5' 7' 9' 11 ' 13 ?
Напишите два следующих числа каЖДОЙ последовательности.
Дополнительные упражнения к rлаве 1
37
6
6
10
144. В школе древнеrреческоrо ученоrо Пифаrора CaMoccKoro
(VI в. до н. э.) числа представляли в виде камешков, разложен
ных на песке. (Именно от пифаrорейцев к римлянам перешла
любовь к счету такИМ способом. На латинском языке камешек
это calculus, отсюда и наши слова «калькулятор», «калькуля
ция».) Блаrодаря такому представлению чисел появились «фиzур
ные числа»: «треуrольные», «квадратные», «пятиуrольные»
и т. д. На рисунке изображены треуrольные числа 3,6 и 10. Изоб
разите следующее треуrольное число и найдите, чему оно равно.
Изобразите первые три квадратных числа. Чему они равны?
145. Найдите множество чисел вида аЬс, если:
а) а Ь 5, с 2; в) а 3, Ь с 6;
б) а + Ь 4, с 7; r) аЬ 6, Ьс 3.
146. Найдите все двузначные числа аЬ, зная, что:
а) аЬ + Ьа 77;
б) аЬ + Ьа 121.
Пифаrор Самосекий (около 570
около 500 rr. до н. э.), основатель
научно философской школы, в KOTO
рой обязательными были занятия
rеометрией, арифметикой, aCTpOHO
мией и музыкой.
...:' " .
I :I :;" Э . .
. ';: "". "":' . '" , p..
". l ik t .' "":
[: :;:: .. ,: ' {
,. ... fJ,"
j",: .,,'+ .. '. " .: .'.-..
. .' . ."
-:.
.1
.t
'
)ч-
....""",:;, .!
i : i ii})/ / ' ,
,...
j. "'. .
38
r л а в а 1. Выражение и множество ero значений
147. Найдите область допустимых
выражении:
) t+1. б) t l . ) 2t+7.
а t l ' 4 t' B '
значений переменной в
3t 2 7
r) Itl t .
148. Известно, что а отрицательное число. Какие числа яв
1
ляются положительными: 2а; а 1; а 2 ; ?
а
149. Известно, что р нечетное число. Какие числа являются
четными: р + 1; Р + 2; р2; 2р; р2 + р?
1
150. Составьте выражение для вычисления суммы 1. 2 +
1 1
+ + ... + п(п + 1)' используя представление каждоrо из сла
rаемых в виде разности двух дробей.
151. Периметр прямоуrольника равен 12 см, а одна из ero CTO
рон равна а см. Какова площадь прямоуrольника?
152. Сумма трех последовательных нечетных чисел равна т.
Чему равна сумма трех последовательных чисел, следующих за
наибольшим из трех данных, если эти числа:
а) нечетные; б) четные?
153. Из rородов А и В, расстояние между которыми 230 км,
одновременно навстречу друr друry выехали два автомобиля. CKO
рость одноrо из них и 1 кмjч, скорость друrоrо и 2 кмjч. Через
сколько часов они встретятся?
154. Автобус и автомобиль движутся в одном направлении.
Автобус впереди автомобиля на 30 км. Скорость автобуса и 1 кмjч,
а автомобиля и 2 кмjч, причем и 1 < и 2 . Через какое время aBTO
мобиль доrонит автобус?
155. Альбом стоил а р., а набор цветных карандашей Ь р. После
повышения цен стоимость альбома возросла на 5%, а цветных
карандашей на 3%. В какую сумму обойдется покупка двух
альбомов и одноrо набора цветных карандашей после повышения
цен?
156. Банк ежеrодно выплачивает вкладчикам n % от вложен
ной суммы. Какая сумма будет у вкладчика, положившеrо в банк
1000 р.:
а) через rод; б) через два rода?
"'ДI
ОДНОЧЛЕНЫ
.
СТЕПЕНЬ С НАТУРАЛЬНЫМ
ПОКАЗАТЕЛЕМ
Определение степени
с натуральным показателем
Произведение 7 . 7 . 7 . 7 . 7 записывают короче: 75. Выражение
вида 75 называют пятой степенью числа 7 (читают: «семь в пя
той степени.). В записи 75 число 7, которое означает повторяю
щийся множитель, называют основанием степени, а число 5, по
казывающее, сколько раз этот множитель повторяется, называют
показателем степени.
Умножим 75 на 73:
3.
б.
75 . 73 (7 . 7 . 7 . 7 . 7) . (7 . 7 . 7) 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 . 7 78.
Показатель степени увеличился на 3.
Умножим теперь 75 на 7:
75. 7 (7.7.7.7.7). 7 7.7.7.7.7. 7 76.
В этом случае показатель степени увеличился на 1. Поэтому
естественно считать, что 7 71. Вообще считают, что первой CTe
пенью числа является само число. Например, 181 18, 1041 104.
О п р е Д е л е н и е. Степенью числа а с натуральным показа
телем п, большим 1, называют выражение аЛ, равное произведе
нию п множителей, каждый из которых равен а.
Степенью числа а с показателем 1 называют выражение а 1 ,
равное а.
По определению
аЛ а . а . ... . а, rде п Е N.
n раз
В выражении аЛ число а называют основанием степени, а
число п показателем степени.
сQ.":кnзатщ
а п степень
основание
Запись аЛ читается так: «а В степени п. или «п я степень
числа а..
40
r л а в а 2. Одночлены
Для второй и третьей степеней числа используют специальные
названия: вторую степень числа называют квадратом, а третью
степень кубом.
Нахождение п й степени числа а называют возведением в п ю
степень.
При м е р 1. Возведем число 3 в четвертую и пятую степени:
( 3)4 == ( 3) . ( 3) . ( 3) . ( 3) == 81;
( 3)5 == ( 3) . ( 3) . ( 3) . ( 3) . ( 3) 243.
Из свойств умножения следует, что:
при возведении нуля в любую степень получается нуль;
при возведении положительноzо числа в любую степень пo
лучается положительное число;
при возведении отрицательною числа в степень с четным пo
казателем получается положительное число, а при возведении
отрицательноzо числа в степень снечетным пон:азателем oт
рицательное число.
При м е р 2. Возведем число 6,1 в седьмую степень, восполь
зовавшись калькулятором.
Для этоl'о надо выполнить умножение:
6,1 . 6,1 . 6,1 . 6,1 . 6,1 . 6,1 . 6,1.
Калькулятор позволяет выполнять возведение в степень про
ще, не повторяя основание степени и знак умножения. Для TOI'O
чтобы возвести число 6,1 в седьмую степень, достаточно ввести
число 6,1, нажать клавишу и шесть раз нажать клавишу В.
Получим, что 6,Р 314274,28.
При вычислении значений числовых выражений, не содержа
щих скобки, принят следующий порядок действий: сначала BЫ
полняют возведение в степень, затем умножение и деление, далее
сложение и вычитание.
При м е р 3. Найдем значение выражения
62 + 64 : ( 2)5.
Последовательно находим:
1) 62 == 36; 3) 64 : ( 32) 2;
2) ( 2)5 == 32; 4) 36 + ( 2) 38.
При м е р 4. Найдем множество значений выражения
5 . ( 1)n+1 + 2, I'де п Е N.
Если п нечетное число, то ( 1)n+1 1; ТОl'да
5 . ( 1)n+1 + 2 5' 1 + 2 7.
Если n четное число, то ( 1)n+1 == 1; ТОl'да
5' ( 1)n+1+2 == 5' ( 1) + 2 == 5 + 2 == 3.
Множество значений данноl'О выражения: { 3; 7}.
!} 3. Степень с натуральным показателем
41
в рассмотренном примере было указано, что n Е N. Условимся
в дальнейшем такое указание опускать и считать, что если пока
затель степени содержит переменную, то значениями этой пере
менной .являются натуральные числа.
157. Представьте произведение в виде степени:
а) 5. 5. 5 . 5; r) (9у) . (9у) . (9у) . (9у) . (9у);
б) ( ). ( )- ( );
д) (2а 3Ь) . (2а 3Ь);
в) 3.3. ....3;
100 раз
е) c). ( c ,,,,. ( c) .
nраз
158. Укажите основание и показатель степени и представьте
степень в виде произведения:
а) 2014; в) (3а)3;
б) ( 0,1)5; r) ( b6)2;
д) (а + 2Ь)5;
е) (х 3у 1)3.
159. Выполните возведение в степень:
а) 34; в) 2,72; д) ( 0,2)4; ж) ( 1)2n;
б) ( 2)5; r) ( J; е) (2 J; з) ( 1)4n+3.
160. Возведите в степень с помощью калькулятора (ответ
окруrлите до 0,01):
а) 7,562; б) 41,33; в) 4,224; r) 8,024.
161. Расположите в порядке возрастания числа:
22, 2, 222, 22, 2222.
162. Вычислите значение выражения:
а) 0,5 . 33; r) 1,5 . ( 6)2;
б) 1,2 . 42; д) 1,009 + ( 0,2)4;
в) 0,03 . 24; е) 2,007 + ( 0,1)3.
163. Выполните действия:
а) 0,75 . ( 1)14 + ( 1)75; в) 0,23 3,002 . ( 1)8;
( 1 ) 4 2
б) 8,1. 3 1,05; r) ( ,6. ) + 2. ( 0,1)3.
164. Вычислите с помощью калькулятора (ответ окруrлите
до 0,01):
а) 1,45 . 7,3; в) 47,33 : 62;
б) 3,113 . 16,7; r) 3,275 60,083.
165. Какой цифрой оканчивается значение выражения:
а) 3814; в) 755 214; д) 272 + 316 + 754;
б) 15465; r) 616 + 307; е) 563 442 + 98 2 ?
42
r л а в а 2. Одночлены
166. Какой цифрой оканчивается:
а) сумма кубов чисел 381 и 516;
б) разность пятых степеней чисел 1715 и 671;
в) четвертая степень суммы чисел 18004 и 17687;
r) седьмая степень разности чисел 12 778 и 10 513?
167. Сравните с нулем значение выражения:
а) ( 0,3)100. ( 5)4; r) ( 0,8)5 + ( 0,3)7;
б) 28. ( 3)ll; д) 74 + ( 4)5;
в) ( 4)9. 610; е) ( 1,2)6 ( 3)1l.
168. Сравните значения выражений:
а) 7,115 и 7,116; в) 8,43 И 8,44;
( 2 ) 11 " ( 2 ) 11 .
б) "3 и "3 '
( 4 ) 10 ( 4 ) 11
r) ;; и ;; .
169. Найдите значение выражения:
а) a4 + 2а 2 1 при а 3; о; 2;
б) 2b4 + Ь 3 0,5Ь при Ь 1; о; 4;
в) x3 + 0,1х 2 Х при х 1; о; 5;
r) 0,5 у 3 0,2 у 2 + 0,4 при у 2; о; 1.
170. Вычислите значение выражения:
а) 0,3 . 2 п 0,5 . 2 п + 1 15,6 при п 5;
б) 0,8 . 3 п +1 (0,2 . 3)n 1 2 . 3 п при п 3;
в) 0,7 . 2 п +1 + (0,5 . 2)2п+9 0,4 . 2 2п +1 при п 2.
171. Составьте формулу для вычисления площади поверхно
сти S куба, ребро KOToporo равно а. Пользуясь этой формулой,
найдите S, если а равно:
а) 6 см; б) 1,5 дм.
t:j
..,.
,," I
" I
,," I
).
"
"
"
"
"
а
Рис. 5
.Q
172. Брус составлен из пяти
одинаковых кубов, ребро каждоrо
из которых равно а см. Запишите
формулы для вычисления объема
V (см 3 ) И площади поверхности
S (см 2 ) бруса. Пользуясь этими
формулами, найдите V и S, если:
а) а 4; б) а 12.
173. Основанием прямоуrоль
Horo параллелепипеда (рис. 5)
служит квадрат, сторона KOTO
poro равна а см. Высота паралле
лепипеда равна Ь см (Ь > а). От
этоrо параллелепипеда отрезали
куб, ребро KOToporo равно а см.
з. Степень с натуральным показателем
43
Составьте формулу для вычисления объема V (см 3 ) оставшейся
части. Найдите V, если а 2, Ь 4,6.
174. Найдите значение выражения:
а) a2 Ь 2 при а 0,1, Ь 0,5;
б) (a + Ь)2 при а 0,7, Ь O,9;
в) a2 Ь 2 + (а Ь)3 при а 6, Ь 2;
r) (a + Ь)2 + ( a)3 Ь 4 при а 7, Ь 9;
д) x3 + ху у2 при Х 4, у 3;
е) 4x4 + у2 (х + у)2 при Х 2, у 6.
175. Найдите значение выражения:
а) ( 1)n 2 + ( 1)n l + ( 1)n + ( 1)n+1, rде п > 2;
б) ( 1Y l . ( 1)n . ( 1)n+1 . ( 1)n+2 . ( 1)n+3 . ( 1)n+4, rде
п> 1.
176. Даны выражения:
( 1,6)n, 8,4 n , ( 3)2n, ( 5)n+2, ( 1,8)4n, ( 3)n+1.
Выберите те из них, которые при любом n принимают поло
жительные значения.
177. Найдите множество значений выражения:
а) ( 1)n; в) 2. ( lY; д) ( 1)n + Р;
б) ОП; r) 5. ( 1)n; е) ( lY + ( 1)n+1.
178. Из данных выражений выберите те, которые при любом
значении переменной а принимают положительные значения:
а 2 , а 2 +1, 3+6а 2 , (а + 6)2, а 4 +8, а б +а 2 .
179. Из данных выражений выберите те, которые при любом
значении переменной Ь принимают отрицательные значения:
b2, ( b)2, b2 5, (b + 1)2, 8 3Ь 2 , 2b2 1.
180. Представьте:
а) в виде степени с основанием 2 числа 16; 32; 256;
1 111
б) в виде степени с основанием 3" числа 27 ; 243 ; 81 ;
в) в виде степени с основанием 0,1 числа 0,01; 0,001;
0,0001.
181. Найдите показатель р, зная, что:
а) ( 0,3)P 0,027; в) ( 0,2)P 0,0016;
( ' I ) Р 7 ( l ) Р 29
б) 13" 19; r) 27 4 49 '
182. При каком значении переменной п верно равенство:
( 1 ) 2n
в) 0,125;
2
( 3 ) Зn
r) 3 ?
2 8
а) 4 n 64;
б) ( 5Y 125;
44
r л а в а 2. Одночлены
183. Найдите основание степени а, зная, что:
а) а О 32; в) а 2 1,21; д) а б 64;
б) а 3 343; r) а 4 0,0081; е) аЗ 729.
184. Зная, что 94 6561, найдите:
а) ( 9)4; б) 94; в) 90; r) ( 9)0.
.) Упражнения для повторения
185. Задайте с помощью перечисления элементов множество
простых двузначных чисел, оканчивающихся цифрой 7.
186. Сравните значения выражений:
а) 5,6 . 4,2 и 6,6 . 3,2; б) 2,7 . ( 0,2) и 2,7 : ( O,2).
187. Известно, что при некоторых значениях Ь и с значение
выражения Ь с равно 1,5. Чему равно при тех же значениях Ь
и с значение выражения:
а) с Ь;
б) (Ь с)2;
) 1 .
в Ь с '
1 ?
r) (с Ь)2 .
188. Вычислите:
а) 0,16 . (0,45 0,87); б) 1 (5,16 + 4,12). .
7. Умножение и деление степеней
Представим произведение степеней а О и а 2 в виде степени:
а О . а 2 (а . а . а . а . а) . (а . а) а . а . а . а . а . а . а а 7 .
Мы получили степень с тем же основанием и показателем,
равным сумме показателей множителей. Подмеченное свойство
выполняется для произведения любых двух степеней с одинако
выми основаниями.
Если а nрОUЗ60льпое число, т и n любые натуральные
числа, то
а т . а n == а т + n .
Докажем это.
Из определения степени и свойств умножения следует, что
т n ( ) ( ) т+n т п т+п
а .а аа...а' аа...а aa...a a ,т.е.а'а =а .
mраз nраз т+nраз
Доказанное свойство называется основным свойством степени.
Оно распространяется на произведение трех и более степеней. Это
нетрудно показать с помощью таких же рассуждений.
!} з. Степень с натуральным показателем
45
Из OCHoBHoro свойства степени следует правило:
. чтобы пере множить степени с одинаковыми основаниями,
надо основание оставить тем же, а nоказатели степеней сло
жить.
Представим теперь в виде степени частное степеней а 8 и аЗ, rде
а -:1= О. Так как а 3 . а 5 а 8 , то по определению частноrо а 8 : аЗ а 5 .
Мы получили степень с тем же основанием и показателем,
равным разности показателей делимоrо и делителя. Такое свой
ство выполняется для частноrо любых степеней с одинаковыми
основаниями, не равными нулю, у которых показатель делимоrо
больше показателя делителя.
Если а произвольное число, не равное нулю, т и n
любые натуральные числа, причем т > n, то
а т : а П aт n.
Докажем это.
Умножим а т n на а П , используя основное свойство степени:
aт n . а П a(т n)+n aт n+n а т .
Значит, по определению частноrо, а т : а П aт n, rде а -:1= О, т> п.
Из доказанноrо свойства следует правило:
. чтобы выполнить деление степеней с одинаковыми OCHO
ваниями, надо основание оставить тем же, а из nоказателя
делимоzо вычесть nоказатель делителя.
Мы рассматривали степени с натуральными показателями.
Введем теперь понятие степени с нулевым показателем.
Если бы свойство деления а т на а П распространялось на тот
случай, коrда т п, то мы получили бы, что
а т : а т aт т а О , rде a-:l=О.
С друrой стороны, если а -:1= О, то
а т : а т 1.
Поэтому считают, что а О 1, rде а -:1= О.
Оп р е Д е л е н и е. Степенью числа а, rде а -:1= О, с нулевым
показателем называется выражение а О , равное 1.
Например, 50 1, ( 6,3)0 1.
Выражение 00 не имеет смысла.
Доказанные свойства степени распространяются и на степень
с нулевым показателем, т. е. а т . а П а т + п и а т : а П aт n, если
а -:1= О, т и п целые неотрицательные числа, причем для послед
Hero свойства т;;;;' n.
189. Представьте в виде степени:
а) а 3 . а 7 ; в) ( a)5 . ( a)7;
б) ylO . у; r) (3х)7 . (3х)2;
д) у9 . у . уН;
е) х б . х 2 . х 3 .
46
r л а в а 2. ОдночлеНbI
190. Представьте произведение в виде степени:
а) а n а 2 ; в) хх n ; д) хх 4 х n ;
б) Ь 7 Ь n ; r) у3 у n+2; е) а 2 а 3 а n +1.
191. Представьте, если возможно, выражение в виде степени:
а) y3 . ( у)б; в) (а Ь)3 . (Ь а)2;
б) Ь 6 . ( b)lO; r) (х 2у)4 . (у 2х)б.
192. Выражение а 8 представьте тремя различными способами
в виде произведения двух степеней с основанием а.
193. Сравните значения выражений:
а) ( 1,5)10 . ( 1,5)13 И ( 1,5)8. ( 1,5)19;
б) ( o, 75)14 . 0,752 И ( o, 75)11 . ( o, 75)6.
194. Замените р степенью с основанием а так, чтобы получен
ное равенство было верно при любом значении а:
а) ра 7 а 9 ; в) ар а 18 ;
б) а 2О р а 24 ; r) ра а 11 .
195. Представьте в виде степени с основанием 2 выражение:
а) 28. 212; в) 211. 32; д) 2 n +4. 64;
б) 4. 2 б ; r) 64.8; е) 8. 2 n . 1 .
196. Представьте в виде степени выражение:
а) 76 . 343; в) 729 . 27; д) з n + б . 81;
б) 216 . ( 6)4; r) 625 . ( 25); е) 216 . 6 n + 2 .
197. Представьте частное в виде степени:
а) а 1б : а б ; в) а 4 : а; д) а n : а 7 , rде n > 7;
б) а 16 : а 9 ; r) а 12 : а 11 ; е) а 9 : а т , rде О < т < 9.
198. При каких значениях переменной верно равенство:
а) 2 х . 2 2х 64; в) 51' 1;
б) З N . 9 81; r) 3" ;:"+1 1?
199. Найдите значение выражения:
а) 1034 : 1031; r) 1,24 : ( 1,2)2;
б) 4I1б : 4113; д) ( o, 7)11 : 0,710;
в) 1,357 : 1,356; е) 8,627 : 8,6 2б .
200. Верно ли неравенство:
а) 17,19 : 17,16> 17,12;
б) 0,211 : 0,2 б > 0,24;
201. Вычислите значение дроби:
з lб . з4 611 710 . 79
a) ; б) 6 8 .6 2 ; B) ;
в) ( 1,6)8 : 1,6 б < 1,64;
r) ( 0,3)lб : ( 0,3)8 < 0,09?
r)
511 . 125
512
з. Степень с натуральным показателем
47
202. Найдите значение выражения:
а) 5х О при х 16; в) 5а О аЗ при а 2;
б) 3xO при х 2; r) 4а 3 2а О при а 3.
203. Сравните значения выражений:
а) 1,46 и 1,40; в) 2,753 И 2,750;
б) 0,64 и 0,60; r) ( 1,6)7 и ( 1,6)0.
*н+ .) Упражнения для повторения
204. Задайте с помощью перечисления элементов множество Х,
если
х {х I х Е Z, 4 х 4}.
205. Найдите значение выражения:
а) x3 + 3х 2 у при Х 5, у о;
б) (x + 4у)2 при Х 4, у 4,5.
8
206. Известно, что значение выражения t равно 1,5. Найдите
значение выражения при тех же значениях переменных s и t:
2
а ) 2t + l' б ) ( t 2,5 ) + 8 t; В ) 2t 38 ;
38 ' 3t + 28
207. Составьте выражение по условию задачи:
а) Купили 1 Kr 300 r товара по цене а р. за килоrрамм. Какова
стоимость покупки?
б) Туристы шли со скоростью 75 м/мин. Сколько километров
они прошли за а ч?
в) Муха летит со скоростью 200 м/мин, а ласточка со CKO
ростью 60 км/ч. Кто из них пролетит за а мин большее расстоя
ние? На сколько оно больше?
Itl 8
r) 11 .
t + 8
*н+ .) Контрольные вопросы и задания
1. Сформулируйте определение степени с натуральным пока
зателем. Найдите значение выражения 34. Как в выражении 34
называется: число 3; число 4?
2. Каким числом (нулем, положительным или отрицательным)
является значение выражения а n , rде n Е N, если: а) а равно нулю;
б) а положительное число; в) а отрицательное число и n
четное число; r) а отрицательное число и n нечетное число?
3. В каком порядке в случае отсутствия скобок выполня
ются действия при вычислении значения числовоrо выраже
ния, содержащеrо степени?
Вычислите значение выражения 5' ( 2)З ( 1)1l.
48
r л а в а 2. Одночлены
4. Сформулируйте и докажите основное свойство степени.
Представьте в виде степени произведение х 7 . х 3 .
5. Сформулируйте правило деления степеней с одинаковыми
основаниями. Найдите значение частноrо 27: 25.
6. Сформулируйте определение степени с нулевым показателем.
4.
8.
ОДНОЧЛЕН
и ErO СТАНДАРТНЫЙ ВИД
Одночлен.
Умножение одночленов
Выражения 15а 2 Ь, 3ху . 2у, 3c7 представляют собой произве
дения чисел, переменных и их степеней. Такие выражения назы
вают одночленами. Числа, переменные и их степени также
считаются одночленами. Например, выражения 11, а, а б
одночлены.
Одночлен 5а 2 Ь . 2аЬ 3 можно упростить, если воспользоваться
свойствами умножения и правилом умножения степеней с одина
ковыми основаниями. Тоrда получим:
5а 2 Ь . 2аЬ3 5 . 2а 2 . а . Ь . Ь3 10а 3 Ь 4 .
Мы представили данный одночлен в виде произведения число
Boro множителя, записанноrо на первом месте, и степеней различ
ных переменных. Такой вид одночлена называют стандартным
видом. Числа, переменные, их степени также считаются одночле
нами стандартноrо вида.
Любой одночлен можно преобразовать так, чтобы получился
одночлен стандартноrо вида. Если одночлен записан в CTaHдapT
ном виде, то числовой множитель называют коэффициентом oд
ночлена. Например, в одночлене 10а 2 Ь 4 коэффициент равен 10.
Если коэффициент одночлена равен 1 или 1, то ero обычно не
пишут. Например, вместо lа З Ь пишут а 3 Ь, вместо lх 2 у б пишут
х2уб.
При умножении одночленов снова получается одночлен, KOTO
рый обычно записывают в стандартном виде, используя для
этоrо свойства умножения и правило умножения степеней с оди
наковыми основаниями.
Пример. Умножим одночлен 12а Б Ь 4 на одночлен 2аЗЬ.
Для этоrо составим произведение одночленов и преобразуем
ero в одночлен стандартноrо вида:
12а Б Ь4 . ( 2аЗЬ) 12 . ( 2) . (а б . аЗ) . (Ь 4 . Ь) 24a9b5.
Введем теперь понятие степени одночлена.
Степенью одночлена стандартноrо вида называют сумму по
казателей степеней входящих в Hero переменных. Если одночлен
9 4. Одночлен и ero стандартный вид
49
представляет собой число, отличное от нуля, то ero степень счи
тается равной нулю.
Например, степень одночлена 12х 2 у3 равна 5, степень одночле
на 6ab равна 2. Выражение 2,32 является одночленом нулевой
степени.
Число нуль это одночлен, степень KOToporo не определена.
208. Из данных выражений выберите одночлены:
а) 5а 3 Ь; r) 2(а + Ь); ж) (а Ь)3;
б) 2aab; д) Ь; з) 8,6хх П ;
в) (тп2)3; е) y; и) 7,5.
209. Найдите значение одночлена:
1
а) 18ху при х 7, у 9;
б) lOa 3 при а 1,5;
1
в) x при х 2100;
3
r) ;х4у2 при Х 1, у ,5.
210. Найдите значение одночлена:
а) 0,03a4 Ь 5 , если а 1, а + Ь 3;
б) 4,5xy6, если х 12, ху 12;
в) аЬ 2 с 3 , если а 7, Ь 5, а + Ь + с 8.
211. Найдите с помощью калькулятора значение одночлена:
а) 0,7х 2 у, если х 1,29, у 4,14;
б) 3a3b2, если а 1,9, Ь 1,8.
212. Представьте одночлен в стандартном виде и укажите ero
коэффициент:
1
а) 12х 3 х 3х 2 ; r) "7 х 8 у . ( 4,9xy);
б) 0,3а 2 . 0,2а 4 ; д) 3a3b . ( 9b7);
в) 16ЬЗ . ( b): е) 3xy8xy9.
213. Представьте в стандартном виде одночлен:
а) 3aabb( 4aт); в) О,Оlх п +1 у . 501 ху П;
б) 0,8хутх2уП; r) a3baaт . ( 0,1)a3.
214. Выполните умножение одночленов:
1
а) хПу4 И 0,3xy;
3
в) 32а 3 Ь п
1
r) xy8
12
и O,2anb4;
б) O,2a2b3cn+2 и O,4a3cn+2;
215. Перемножьте одночлены:
и 240xn+1y.
1
а) 12х 2п у И x6y7;
3
1
б ) а2ПЬ3 и аЬ'
7 '
в) 5ху, x2n И xy3;
.
r) 8а 3 , а2ьзт и а 6 Ь 4 .
50
r л а в а 2. Одночлены
216. Упростите выражение:
а) 3р2 . ( 2p);
б) ab( 2ab);
1
в) 0,7х 2 . 49 Х ; е) 9а 2 Ь '( b) '( 0,3ab).
217. Подберите показатель т так, чтобы данное равенство
было верно при любом значении переменной а:
а) О,3а т . ба 1,8а l1 ; в) 1,2а т + 2 . а 3 == 1,2а lO ;
б) 2,6а 4 . 2а т 5,2а 1б ; r) 2,6а т +1 . 3а 8 7,8a 12 .
218. Замените Р одночленом так, чтобы полученное равенство
было верно при всех значениях переменных:
а) Р . ( 3a2b) 12а 2 Ь 4 ;
3
б) x2y . Р -вх 8у8 ;
в) ( 0,3a4b) . Р 0,9а Б Ь . 2Ь 5 ;
) 1 4р 3513
r 7 Х у. == 14 Х . r;XY .
219. Представьте одночлен 15х 3 у9 в виде произведения двух
множителей, один из которых равен:
а) зх з ; б) 5xy; в) 15х2;
r) тп . 3т 4 п 8 ;
д) 2bc . ( 0,03Ьсб);
r) 3xy2.
220. Представьте, если возможно, данный одночлен в виде
произведения двух множителей, одним из которых является 3аЬ:
а) ба 2 Ь; в) 24а8Ьб; д) 2а Б Ь 4 ;
б) 21а 5 Ь 2 ; r) 9Ь 2 ; е) ab.
221. Ширина земельноrо участка прямоуrольной формы paB
на а м, а длина в 3,5 раза больше. Найдите площадь участка.
222. Длина аквариума, имеющеrо форму прямоуrольноrо па
1
раллелепипеда, в 1,2 раза больше ширины, а высота равна "3 дли
ны. Уровень воды, наполняющей аквариум, составляет 80% ero
высоты. Найдите объем воды, если ширина аквариума равна а см.
223. Определите степень одночлена:
а) 5а З Ь 9 ; в) а 4 ы1 ; ; д) зх m у;
б) XY; r) ( 0,1)2c3y; е) ХПуП;
ж) о;
з) ( 3)5.
224. Составьте два каких либо одночлена пятой степени с
двумя переменными а и Ь.
22:). Укажите значение т, при котором:
а) одночлен 6а т Ь 4 является одночленом седьмой степени;
б) одночлен abтc3 является одночленом десятой степени.
4. Одночлен и ero стандартный вид
51
.) Упражнения для повторения
226. Найдите значение выражения:
( 3)5 + ( 3)4 + ( 3)З + ( 3)2 + ( 3)1 + ( 3)O + 3 + 32 + 33 + 34 + 35.
227. Задайте с помощью перечисления элементов множество
натуральных делителей числа 30. Выделите из Hero подмножество
простых чисел, являющихся делителями 30.
228. Составьте выражение по условию задачи:
а) Туристы 2ч 20 мин ехали на автобусе со скоростью а км/ч,
а затем еще 30 мин шли пешком со скоростью Ь км/ч. Какова
длина маршрута?
б) Купили 2 Kr капусты по цене а р. за килоrpамм и 400 r лука
по цене Ь р. за килоrрамм. Какова стоимость покупки?
9. Возведение одночлена в степень
Рассмотрим сначала правила возведения в степень произведе
ния и степени.
Преобразуем четвертую степень произведения аЬ:
(аЬ)4 (аЬ)(аЬ)(аЬ)(аЬ) (аааа)(ЬЬЬЬ) а 4 Ь 4 , т. е. (аЬ)4 а 4 Ь 4 .
Четвертая степень произведения равна произведению четвер
тых степеней множителей.
Аналоrичным свойством обладает любая натуральная степень
произведения двух множителей.
Если а и Ь nроизвольные числа и n любое натураль
ное число, то
(аЬ)" аnЬ n .
Докажем это, воспользовавшись определением степени и свой
ствами умножения:
(аЬ)" (аЬ)(аь)...(аЬ) (аа...а)(ЬЬ...Ь) аnЬп, Т.е. (ab)n аnЬ n .
. . '
праз праз праз
Доказанное свойство распространяется на произведение трех
и более множителей. Например,
(аЬс)" аnЬnс n , (abcd)n anbncnd n .
Отсюда следует правило:
. чтобы возвести в стеnеnь nроизведеnие. nужно возвести в
эту стеnеnь каждый множитель и результаты перемножить.
Рассмотрим теперь, как можно возвести степень в степень.
Преобразуем, например, выражение (а 5 )4:
(а 5 )4 а 5 . а 5 . а 5 . а 5 а 5 т5+5+5 а 2О , т. е. (а 5 )4 а 5 ' 4 .
52
r л а в а 2. ОдночлеНbI
Аналоrичное свойство выполняется для произвольных степе
ней с натуральными показателями.
Если а произвольное число, т и n любые натураль
ные числа, то
(ат)n == а тn .
Докажем это, воспользовавшись основным свойством степени
и определением произведения натуральных чисел:
( а т )n
nраз
ата т ... а т а т+т+...+т а тn .
nраз
Следовательно,
(ат)n == а тn .
Из доказанноrо свойства следует правило:
. чтобы возвести степень в степень, нужnо осnование ocтa
вить тем же, а nоказатели степеней nеремnожить.
Аналоrично тому, как было доказано свойство степени про
изведения, можно доказать свойство степени дроби: (% J
!!..!!.. а
Ь Ь Ь
nраз
а"
Ь"
Следовательно, ( )"
а"
Ь" ' rде Ь =1- О.
Из этоrо свойства следует правило:
. чтобы возвести в стеnеnь дробь, nужnо возвести в эту
степень числитель и зnамеnатель, первое выражение записать
в числитель, а второе в знаменатель.
Правила возведения в степень произведения и степени исполь
зуются при возведении одночленов в степень.
При м е р 1. Возведем одночлен 3a3b2 в шестую степень:
( 3a3b2)6 == ( 3)6 . (а 3 )6 . (Ь 2 )6 729a 18 b 12 .
При м е р 2. Возведем одночлен x4y3z в третью степень:
( x4y3Z)3 == ( 1)3' (х 4 )3. (у3)3. Z3 == x12y9Z3.
Заметим, что свойства степеней, выраженные формулами
(аЬ)n аnЬ n и (ат)n == а тn , распространяются и на степени с нуле
вым показателем (если основания степеней отличны от нуля).
229. Возведите в степень произведение:
а) (Ьх)6; в) (аЬс)5; д) ( ab J; ж) (...О,lаЬс)3;
б) ( 3x)4; r) (2а)5; е) ( xy J; з) ( 0,3bcd)4.
!I 4. Одночлен и ero стандартный вид
53
230. Выполните возведение в степень:
а) (cd)6; r) ( 3ab)4; ж) ( O,3xyc)n;
б) ( XYZ)9; д) (0,2аЬ)3; з) (О,3тпр)n.
в) ( 6a)3; е) ( xy J;
231. Упростите выражение:
а) ( 3abc) . ( bC J . (12аЬ)2;
б) ( xy J . ( 49axy)2 . ( 2ay)6;
в) ( 0,lbc)4 . (0,2ас)2 . ( 10abc)3;
r) (1 axy J . ( ay J . ( 2ax)5.
232. Как изменятся поверхность и объем куба, если ero ребро
увеличить в 2 раза; в 3 раза; в п раз?
233. На покраску шара затратили 47 r краски. Хватит ли
100 r краски, чтобы покрасить шар, радиус KOToporo в полтора
раза больше? (Площадь поверхности S шара вычисляется по
формуле S 4nR2, rде R радиус шара.)
234. Найдите значения выражения:
а) 0,26.56; в) 1,252.802;
4 5
д) 2 . 5 ;
( 3 ) 10 ( 1 ) 10.
r ) . 1
43'
235. Найдите значение выражения:
а) а 7 Ь 7 ; б) 8а 4 Ь 4 ; в) 0,01а 5 Ь 5 3, если аЬ 3.
б) 0,258. 48;
е) 0,253' 44.
236. Выполните возведение в степень:
а) (а 6 )2;
б) (Ь 4 )5;
в) (х 3 )4;
r) (Ь 6 )6;
д) (а n )3;
е) (а 7 )n;
ж) (а 5 )2n;
з) (а 2 )3n.
237. Представьте, если возможно, выражение в виде степени
с основанием 2:
а) (43)6;
б) ( 42)8;
в) ( 8)2 . 64.
238. Представьте, если возможно, выражение в виде степени
с основанием 3:
а) 96;
б) 275;
в) 814;
r) 7292.
54
r л а в а 2. Одночлены
239. Представьте, если возможно, выражение в виде степени
с основанием у:
а) ( y7)2n; б) ( yn)4; в) ( yn)8; r) ( y2n)5.
240. Замените знак * степенью числар так, чтобы получилось
равенство, верное при любых значениях р:
а) (*)5 == р20; в) (*)8 р7 р4 р27;
б) (*)4 . р3 == р19; r) р . р4 . (*)10 р35.
241. Зная, что а 4 == т, найдите:
а) а 25 . а ll ; б) ( а3)б . ( a2)3;
242. Представьте степень в виде частноrо:
а) l % J ;
б) ( )3;
в) ( ; J;
r) ( ; J\
д) ( a " J ;
е) ( :: у.
в) 3( a)12 . ( a3)4.
243. Представьте выражение в виде степени:
k 3 32а 1О 16х 8
а) т 12 ; б) t;5""; в) 625 у 4 ;
244. Найдите значение выражения:
2843
а ) , .
1,423 '
( 7,56)7
б ) .
15,127 '
214.
в) 492 '
сп
r) """2,;'"'
n
( 11)6
r) .
( 5,5)5
245. Известно, что !!:.. == 2. Чему равно значение выражения:
Ь
w
а) Ь4"; б) 2lJ5 ; в) ; r) а2 + Ь 2 ?
246. Вычислите значение выражения:
1 710 . 1 75 ( 322 ) 2 . 45
а ) ' ' . В ) .
(1,74)4 ' ( 16)8 '
б) ( 3,1)4 . (3,13)3 .
( 3,12)6 '
( 313 ) 256
r) 513 . 274 ;
д) 36 .27 .
363 ,
е) 215
93 .74
247. При каком значении х, rде х Е N, выполняется равенство:
3 2% 3 %+1 . 9 %
а) 2,25; в) 3'
4% 27'
23% 1 . 16
б) 64;
4%
5 % . 25 %
r) 5% 1?
125%
4. Одночлен и ero стандартный вид
55
248. Пользуясь таблицей квадратов двузначных чисел, най
дите значение выражения:
а) 94; в) 86;
б) 74; r) 38;
д) 64 + 54;
е) 84 34;
ж) 6 . 74;
з) 9 . 46.
249. "Упростите выражение:
a) (а 3 )2а; в) а 8 : (а 2 )3;
б) (х 4 )3 : х; r) у . (у5)2;
д) (а 2 )4(а 3 )2;
е) (а 8 )2 : (а 4 )4.
250. Верно ли при любом значении х равенство:
а) ( x3)2 . (х 5 )4 (x7)3( x2)2x;
б) ( x2)3 . ( x6)2 ( x5)3x2;
в) ( x4)4 . (х 2 )2 ( x6)2( x5)2?
251. "Укажите все пары натуральных значений переменных а
и п, при которых верно равенство:
а) а n (22)2; б) а n (32)2; в) а n (22)3.
252. Возведите одночлен в степень:
а) (1,2а 3 Ь)2; б) ( ab5c1l)6; в) ( 1,1xny8)2; r) ( O,3a6yn)4.
253. Представьте выражение в виде квадрата одночлена:
1
а) 16х 8 ; б) a4b2. в) 0 ,01х 8 у 16; r) 1,21а 4 Ь 6 с 2 .
81 '
254. Представьте выражение в виде куба одночлена:
а) 8х 6 ;
б) 125c 9 d 6 ;
1
в) 27 х9у12;
r) 0,216а 3 с 6 .
255. Представьте выражения:
7
а) 0,01х 12 у 4; х 8 у8; 1"9 а 16 с 18 в виде квадрата одночлена;
64
б) 0,001а 3 Ь 9 ; т3п6; 343 p3q9 в виде куба одночлена.
256. Замените показатели т и п числами так, чтобы получи
лось равенство, верное при всех значениях переменных а и Ь:
а) (а т Ь 4 )6 (а9Ь n )2;
б) (а 12 Ь n )6 (а т Ь 3 )4.
257. "Упростите выражение:
а) 12а 3 . (3а 4 )2; r) 12а 6 Ь 4 . ( 5ab2)3;
1 1
б) 16 Ь 8 ., ( 2b3)4; д) 27 ху. ( 3x4y)4;
в) 0,09c8(10c4)3; е) ( 6a2b3)2. ( 3a3b).
56
r л а в а 2. ОдночлеНbI
258. Преобразуйте выражение в одночлен стандартноrо вида
и определите степень этоrо одночлена:
а) ( ab)4. (2аЬ)5; д) ( abc)3' (0,lс 2 )4;
б) ( xy)5. (0,lх 3 у2)3; е) (0,lт 3 п)2. ( 10тп2)3;
в) ( a2b4 J . ( 3ab)3; ж) ( тп J . ( 3т)4;
r) (0,2аЬс 2 )3. (аЬ)4; з) (i X2y J . ( 7x4)3.
259. Упростите выражение:
а) (ab)2a3b;
б) ( ab)4( ab2)3;
в) ( y2)5 . ( 2y5)2;
r) ( a6b)4 . ( 9ab4)2;
д) (0,lx2y)3 . (10х8у2)2;
е) ( 0,2т3п)2 . (4т 3 п)3;
ж) ( 8pq2)2 . ( p2q J;
з) ( тп2)2 . ( т2п3)3.
.) Упражнения для повторения
260. Найдите область допустимых значений переменной в BЫ
ражении:
a 4.
a)g'
27 .
б) а + 16 '
За .
в) a2 4 '
24
r) I а I 5 '
261. Определите степень одночлена:
а) 3a8b9; б) aтb8c; в) 1,2а т ь n с Зn .
262. Сравните значения выражений:
а) ( 3a4)99 и (3а 4 )99; б) ( 12a6)8 и (12а 6 )8.
263. На покраску всех rраней куба потребовалось 54 r Kpac
ки. Сколько краски потребуется, чтобы покрасить все rрани куба,
ребро KOToporo втрое больше?
264. Чтобы заполнить сосуд, имеющий форму куба, потребо
валось 230 r жидкости. СКОЛЬкО жидкости вмещает сосуд, имею
щий форму куба, ребро KOToporo вдвое больше?
1 О. Тождества
Рассмотрим равенства a 12 . а 3 а 7 . а 8 и a 12 : а 3 а 2 . а 7 .
Первое равенство верно при любых значениях переменной а, а
второе при любых значениях а, кроме нуля. Областью допу
стимых значений переменной а первоrо равенства является MHO
жество всех чисел. Областью допустимых значений правой части
9 4. Одночлен и ero стандартный вид
57
BToporo равенства также является множество всех чисел, а левой
множество всех чисел, кроме нуля.
О каждом из этих равенств можно сказать, что оно верно при
любых допустимых значениях переменных а. Такие равенства
называют тождествами.
Оп р е Д е л е н и е. Тождеством называется равенство, верное
при любых допустимых значениях переменных.
Верные числовые равенства также считают тождествами.
С примерами тождеств вы уже встречались. Так, тождествами
являются равенства, выражающие свойства действий над числами:
а + Ь Ь + а, а + (Ь + с) (а + Ь) + с,
аЬ Ьа, а(Ьс) (аЬ)с, а(Ь + с) аЬ + ас,
а + о а, а' О О, а' 1 а, а' ( 1) a.
Выражения, соответственные значения которых равны при
любых допустимых значениях переменных, называются тожде
ственно равными.
Например, тождественно равными являются выражения
х 3 . х 8
(а 2 )4 и а 8 , аЬ . ( a2b) и a3b2, и x lO .
Х
Замену одноrо выражения друrим, тождественно равным ему,
называют тождественны'м преобразование'м. С тождественными
преобразованиями вы встречались, например, при умножении oд
ночленов, возведении одночленов в степень.
265. Является ли тождеством равенство:
а) а + 5 5 + а; в) 3а . 3Ь 9аЬ;
б) a( b) ab; r) а Ь Ь а?
266. Из данных равенств выберите те, которые являются тож
дествами:
12аЬ 3a( 4b),
Ь 8 8 Ь,
х 15 . Х х 1б ,
(а 4)2 (4 а)2,
х 8 : х 4 х 2 ,
( a)2 . а ( a)3.
267. Составьте KaKoe либо тождество, содержащее:
а) одну переменную;
б) две переменные;
в) три переменные.
268. Замените букву т таким числом, чтобы полученное
равенство было тождеством:
а) хт. (х 3 )2 х 1б ; в) (ху)т у 8 х т у l0;
б) (а 2 )та 8 а 2О ; r) (а 2 Ь)4. Ь т а 8 Ь 1б .
269. Являются ли тождественно равными выражения:
а) 2а + 13 и 13 + 2а; в) ( x) . ( y) и xy;
б) 3х 11 и 11 3х; r) (х у)3 И (у х)3?
58
r л а в а 2. Одночлены
270. Укажите, если возможно, значение п, при котором тож
дественно равны выражения:
а) х 4 . Х N И х 2О ; в) (а 2 )2: а n и аЗ;
б) х n : х З и х 17 ; r) (аб)n. а и а Н .
271. Из данных выражений выберите те, которые тождествен
но равны одночлену а 12 Ь 8 :
( ab)8. а4, (%аь J. 32а 7 ь з , (аЬ)8. ( аБЬ2),
( a4b J. 3а 2 Ь 3 , ( ab)5 . ( а2Ь)З.
272. Какие из данных выражений тождественно равны OДHO
члену 2х 2 у:
XY' 8х, ( xy). ( 2x),
xy . ( 2xy),
10х . ( ].
x2 . ( 6y),
12x2 . !у?
6
.) Упражнения для повторения
273. Ученик показал друзьям арифметический фокус. «3aдy
майте двузначное число; прибавьте к нему это же число, но запи
санное в обратном порядке; полученный результат разделите на
сумму цифр задуманноrо числа. У вас получилось 11». Как уче
ник узнал результат?
274. Из пунктов А и в; расстояние между которыми равно
s км, выехали одновременно навстречу друr друrу два aBTOMO
биля. Скорость одноrо из них равна 60 кмjч, а друrоrо 80 кмjч.
Какое расстояние будет между автомобилями через 2 часа, если
известно, что:
а) встреча еще не произошла;
б) встреча уже произошла и автомобили продолжили
движение?
275. Найдите значение выражения 2
а
a
а
при:
a+
а
a
2
а) а 1; б) а 2; в) а 3.
Не вычисляя, ответьте на вопрос: чему будет равно значение
этоro выражения при а 4? Проверьте вашу rипотезу подстановкой.
о 4. Одночлен и ero стандартный вид
59
276. Имеются два разных сплава серебра: первый, массой
25 Kr, содержит 84% серебра, второй, массой 12,5 Kr, содержит
72% серебра. Какой процент серебра получится, если сплавить эти
два сплава?
+t+fr .) Контрольные вопросы и задания
1. Что называется степенью одночлена стандартноrо вида?
Приведите пример одночлена стандартноrо вида и укажите ero
степень.
2. Какие свойства используются при умножении одночленов?
Умножьте одночлен 2х 6 у4 на одночлен 3xy5.
3. Сформулируйте правило возведения произведения в степень.
Возведите выражение 2аЬ в пятую степень.
4. Сформулируйте правило возведения степени в степень. Воз
ведите выражение а 5 в четвертую степень.
5. Сформулируйте правило возведения частноrо в степень.
Представьте в виде частноrо степень ( ;: J.
6. Сформулируйте определение тождества. Приведите пример.
7. Какие выражения называются тождественно равными? При
ведите пример выражения, тождественно paBHoro выражению а 6 .
.) Дополнительные упражнения
к rлаве 2
К параrрафу 3
277. Верно ли равенство:
а) 32 + 42 + 52 62;
б) 13 + 63 + 83 93;
в) (1 + 2 + 3 + 4)2 13+ 23 + 33 + 43;
r) 33 + 103 + 183 193?
278. Найдите:
а) значение выражения 16 26 + 36;
б) сумму квадратов первых семи простых чисел;
в) сумму первых 36 натуральных чисел.
279. Найдите все целые значения Ь, при которых:
а) 1 < Ь 2 < 20; б) 40 < Ь 2 < 70.
60
rлава 2. Одночлены
280. Составьте таблицу значений:
а) степеней числа 2 с показателем пот 1 до 10 включительно;
б) степеней числа 3 с показателем пот 1 до 10 включительно.
281. Выпишите первые шесть последовательных значений BЫ
ражения 1,5 . ( 2)" при n 1, 2, 3, ... .
282. Найдите множество значений выражения:
а) 12 . ( 1)" + 6' ( 1)2n;
( 1)" + ( 1)n+l
б) 12
283. Путь, пройденный телом при свободном падении, вычис
ляется по формуле s 4,9t 2 , rде t время падения (в секундах),
s пройденный путь (в метрах). Найдите в, если t 1,5; 2; 3,5.
4
284. Объем шара вычисляется по формуле V 1iR3, rде R
3
радиус шара, 1i "" 3,14. Вычислите с помощью калькулятора зна
чение V, если радиус шара равен 6,5 см; 12,6 см (ответ окруrлите
до сотых).
285. Какой цифрой оканчивается четвертая степень числа а,
если:
а) а 71;
б) а 105;
в) а 49;
r) а 94?
286. Сравните:
а) 52n И ( 5)2n;
б) 74n+1 И ( 7)4n+l;.
в) 23 4n + 2 И ( 23)4n+2;
r) 154n И ( 15)4n.
287. Зная, что а > О и Ь < О, сравните с нулем значение BЫ
ражения:
а) (а Ь)3; б) (Ь а)5; в) 6anЬ2n+1; r) а" Ь4n+З.
288. Найдите значение суммы
( 1) + ( 1)2 + ... + ( 1 )99 + ( 1 )100 .
289. Представьте, если это возможно, в виде степени с OCHO
ванием x выражение:
а) x4;
б) х 6 ;
в) х 7 ;
r) х 4 ;
д) x3;
е) x6;
ж) х4n+2;
з) х 4n +1.
290. Подметьте какое либо правило, по которому составлена
последовательность, и напишите три следующих ее члена:
а) 1, 4, 9, ... ; r) 3, 9, 27, ... ;
б) 2, 5, 10, ... ; д) 2, 4, 8, ... ;
в) 3, 12, 27, ... ; е) 1, 1, 1, ... .
Дополнительные упражнения к rлаве 2 б 1
291. Докажите, что при любом п Е N кратно 9 значение BЫ
ражения:
а) 10 n 1; в) 100 n + 17;
б) 10 n + 8; r) 1О0 n 1.
292. Докажите, что при любом п Е N значение данноrо Bыpa
жения является целым числом:
!ОП + 7199
а) 9
10 n + 317
б) 3
в)
10 n + 305
15
r)
10 n + 428
6
293. Сравните а 2 и а 3 , если:
а) а 3, 7; б) а о;
в) а 0,5;
r) а 1,5.
294. Упростите выражение:
а) ( a)10. а 3 . ( a)6; в) a( a)4. а n ;
б) a4a2( a )6; r) a2. а 6 . ( a )2n.
295. Представьте 312 всеми возможными способами в виде про
изведения двух степеней числа 3.
296. Представьте в виде произведения двух множителей, один
из которых равен х 3 , выражение:
а) х 17 ; б) x8; в) х n + 3 ; r) х 3 + 2n .
297. Найдите х, если:
а) 62. Х 63;
б) х.4 25 427;
в) х.2 6 .2 9 217;
r) 3 Н .3 5 .х 318.
298. Замените с степенью с основанием а так, чтобы получен
ное равенство было верно при всех значениях а:
а) с' а 8 аН; в) с(а 5 а 8 ) а 17 ;
б) а 13 . с а 16 ; r) (аа I4 )с а 2О .
299. Найдите значение выражения:
з16 . 214
а) з15. 210 ;
57 . 311
б) 56 . 312 ;
5 n + 2
в) 5n+1 .54 ;
26 . ( 2)3
r) 32
300. Зная, что 2 n 1024, найдите значение выражения:
а)2n+l; б)2n l; в)2 n + 2 ; r)2n 3.
301. Упростите выражение:
( I)n+1 х З
а) ( 1Y .х 2 ;
( 1)n+2 х 8
б) ( 1)nx6
62
r л а в а 2. Одночлены
302. Вычислите:
а) (1,7 3,4)0.6,12 3.23;
( 1 1 ) 0 1 ( 1 ) 4
б) 1 +2 .2 12. .
71 32 9 3
303. Найдите значение выражения:
а) a2 а 3 при а 7;
1
б) bO + 8Ь 5 при Ь ;
2
в) a2b + Ь О при а 0,2, а + Ь 5;
r) 4a2 Ь 3 при а 1,5, а + Ь 6,5.
304. Расположите в порядке возрастания:
( 3, 7)5, ( 3, 7)4, ( 3, 7)0, ( 3, 7)6.
к параrрафу 4
305. Определите степень одночлена:
а) 5a2b7c; в) 0,5 2 а т Ь 2 ;
б) llаЬс; r) 1, 72а т ь т с;
д) 123;
е) 252.
306. В выражении 4,57а т ь n замените показатели т и n HaTY
ральными числами так, чтобы получился одночлен шестой CTe
пени. Укажите все возможные способы.
307. Преобразуйте в одночлен стандартноrо вида произведение
одночленов:
а ) 2 a7b 1 3а 5 Ь и 10a 1 oы 1 .
13 ' , ,
б) 1 127 х з у 2 z, 5,lxyz и 0,lx2y2z3;
в) 12,5 р 7 с 3, 8p3c И О,2 р 9 с 4;
r) 6,2a3b4c8, 0,3abc и 5ab4c4.
308. Представьте каким либо способом одночлен 45х 6 у8 в виде:
а) произведения двух одночленов с переменными х и у;
б) произведения трех одночленов с переменными х и у;
в) произведения двух одночленов, один из которых не
содержит х, а друrой не содержит у.
309. Представьте выражение в виде а n или an:
а) (а 3 )2; б) ( a3)2; в) ( a2)3; r) (a2)3.
Дополнительные упражнения к rлаве 2
63
310. Представьте 218 всеми возможными способами в виде CTe
пени с показателем, отличным от 1.
311. Зная, что Ь 4 6561, найдите:
а) b4; б) ( b)4; в) Ь 8 ; r) ( b)8;
д) b8.
312. Какой цифрой может оканчиваться:
а) квадрат натуральноrо числа;
б) четвертая степень натуральноrо числа;
в) восьмая степень натуральноrо числа?
313. Какой цифрой оканчивается произведение:
а) 314 . 756; в) 156 . 98; д) 615 . 312;
б) 612 . 34; r) 316 . 518; е) 98 . 15 5 ?
314. Выполните возведение в степень:
а) (а n )3; в) ( x3)n; д) (bn)5;
б) ( a3)2n; r) ( xn)4; е) ( b4)n.
315. Представьте:
а) 416 в виде степени с основанием 2;
б) 224 в виде степени с основанием 8;
в) 8111 В виде степени с основанием 9;
r) 515 в виде степени с основанием 125.
316. Сравните:
а) 96 и 273;
в) 254 И 1252;
б) 89 И 414;
r) ( J и ( J.
317. Выражения 216, 48 и 162 представьте:
а) в виде степеней с одинаковыми основаниями;
б) в виде степеней с одинаковыми показателями.
318. Сравните:
а) 520 и 1510;
б) 840 И 7220.
319. Преобразуйте выражение в одночлен стандартноrо вида
и укажите степень одночлена:
а) 1,2ab.( 0,5a2b6);
б) 0,75х 6 у. ( 1 XY3 ):
в) bc6 .( 0,36bc);
3
r) 0,6xy2 . (5ху6)2;
1
д) x2y2 .( 7x6y6)3;
49
) 4 3 ( О 3 8 8 ) 2
е pq . , р q .
9
64
r л а в а 2. Одночлены
320. Упростите выражение:
а) (3аЬ)4. ( 5a2)3;
б) ( 4хЗу)2. ( xy)6;
в) (3xy)3. ( x2y2 J;
r) (0,5ac2)2. ( a2c3)5;
321. Упростите выражение:
а) зх m у . ( 2x2y)4;
б) xy(xy)т;
в) aтcт. ( 4a2c)3;
1
r) 7XY( 0, 7 х"у)2;
д) (pq2)5. ( 2p3q)4;
е) ( xy2 J . (3х 2 у)4;
ж) ( тn3)2. ( т3n)3;
з) ( ac3 J. ( 12a2c4)2.
д) ( 5xтy2)3. 4х 4 у;
е) (3ab2)3. (а n )5;
ж) ( ac3n)4. ( anb)5;
з) (25ах 2 )2. ( a"xт J.
322. Из данных выражений выберите те, которые тождествен
но равны одночлену 32а 8 ы l :
( 2ab)4. 2а 4 Ь 7 ,
( ab)8. ( 32ab),
(2аЬ)5. (аЬ 2 )3,
( 2а 2Ь 2 )3 . а 3 Ь 5 .
323. Учитель предложил учащимся следующее задание: запи
шите любое трехзначное число; умножьте ero сначала на 7, по
том на 13, после чеrо на 11. В полученном числе зачеркните
последние три цифры, и вы снова получите задуманное вами чис
ло. В чем состоит разrадка фокуса?
III*
мноrОЧЛЕНЫ
t
5. . мноrОЧЛЕН и ErO СТАНДАРТНЫЙ вид
11. Мноrочлен. Вычисление
значений мноrочленов
Выражение 5а 2 Ь 3аЬ 4а 3 + 7 представляет собой сумму
одночленов 5а 2 ь, 3ab, 4a3 и 7. Такие выражения называют
мноrочленами.
О п р е Д е л е н и е. Мноrочленом называется сумма OДHO
членов.
Одночлены, из которых составлен мноrочлен, называют
членами мноrочлена.
Например, членами мноrочлена х 3 у 4х 2 + 9 являются
одночлены х 3 у, 4x2 и 9.
Мноrочлен, состоящий из двух членов, называется двучле
ном, а мноrочлен, состоящий из трех членов, трехчленом.
Одночлен считают мноrочленом, состоящим из одноrо члена.
Мноrочлены иноrда называют полиномами, а двучлены
биномами (от rреческих слов «поли» «MHoro.), «номос»
«член, часть» и латинскоrо «би» «два, дважды»).
Зная значения переменных, входящих в мноrочлен, можно
вычислить значение мноrочлена.
При м е р. Найдем значение мноrочлена 0,зх2у х 3 + 7у
при х 0,2, У 1.
Имеем:
0,3x2y x3+7y == 0,3. ( 0,2)2. ( 1) ( 0,2)3+7. ( 1)==
== 0,012 + 0,008 7 == 6,98.
324. Назовите члены мноrочлена и укажите степень каж
Доrо из них:
а) x3 + 5х 2 у у4; б) 7а 8 с 5а 3 + зс 2 11.
325. Расположите мноrочлен по убывающим степеням пе
ременной:
а) 2х 6 +5 4х 8 +х 4 х; б) 15 у 9 уl0 6 у 3 11.
з Aqre6pa. 7 кл.
66
rлава 3. Мноrочлены
326. Расположите мноrочлен 12а 5 + аЬ а 1О ь 8 3а 12 Ь 6 + ы о
по возрастающим степеням:
а) переменной а; б) переменной Ь.
327. Представьте в виде мноrочлена число:
а) xyz; б) аЬ; в) abcd; r) mnefk ; д) abcdef.
328. Найдите значение мноrочлена:
а) х 6 10х 4 + llх 3 х+ 14 при х 2;
б) а 3 Ь 14а 3 6аь 2 + Ь + 2 при а 1, Ь 0,5;
в) 5х 4 х 3 + 7х 2 llх + 4 при х 3;
r) 15а 2 Ь 5аь 2 + 7аЬ 21 при а 0,2, Ь 1,2.
329. Составьте таблицу значений мноrочлена 2х 3 3х + 1
при всех целых значениях переменной, удовлетворяющих
условию 2 ,;;;; х ,;;;; 3. При каком из этих значений перемен
ной значение мноrочлена равно нулю?
330. Найдите значения мноrочлена а 3 3а 2 Ь + 3аь 2 Ь 3
для всех целых значений переменных, расположенных между
числами 3 и 3.
331. Найдутся ли такие целые значения х, при которых
значение мноrочлена 5х 6 + 15х 3 + 25х + 7 является числом:
а) четным; б) нечетным; в) кратным 5?
332. Докажите, что не может быть отрицательным чис
лом значение мноrочлена:
а) х 2 + у2 + 4;
б) а 4 + 3а 2 ь 2 + Ь 4 + Ь 2 + 1;
в) а 6 + Ь 6 + а 6 Ь 6 + а 12 Ь 16 .
..
""-- ,:;.: Ч , ,
"' .: ", '., . .:..
'.. . ."':ii
""""
, :. ',' ';'J!", . \,
..' \.
,: '"..;;.
\.
,
... ;
,
.....
\.
Исаак Ньютон (164З 1727), aHr
лийский физик и математик; создал
теоретические основы механики и
астрономии, разработал (наряду с
немецким ученым В. r. Лейбницем)
дифференциальное и интеrральное
исчисление; автор важнейших экс
периментальных работ по оптике;
внес существенный вклад в теорию
мноrочленов.
9 5. Мноrочлен и ero стандартный вид
67
333. Из мноrочленов х 2 + у2, а 2 + Ь 2 + 4, 4а 2 ь 2 , Ь 8 + зь 4 + 6,
1 + Ь 12 выберите те, которые при любых значениях перемен
ных принимают положительные значения.
334. Замените показатели т и п какими либо натураль
ными числами так, чтобы при любых значениях перемен
ных х И у мноrочлен:
а) х 8 у6 + 6х 4 у2 + хтуn + 1 принимал положительные
значения;
б) x16y4 18х 2 у2 5х 2т у n 6 принимал отрицатель
ные значения.
335. Верно ли, что при любом натуральном значении п
мноrочлен:
а) а 4n + 2 + а 2n + 16 принимает положительные значения;
б) a4n 5а 2n принимает отрицательные значения?
336. С помощью калькулятора найдите значение MHO
rочлена:
а) х 3 + 12,6 при х 2,9;
б) а 4 3,444 при а 1,4;
В) а 2 Ь 3,26 при а 2,17, Ь 3,14;
r) 3х 3 у4 при х 1,76, у 1,4.
337. Используя калькулятор, найдите значение выражения:
а) х 4 +у3 при х 7,1, у 8,4;
б) т 2 + п 2 + 1 при т 1,36, п 0,24;
в) 5а 2 Ь + а 4 при а 1,8, Ь 1,7;
r) а 5 зь 4 + 16 при а 1,5, Ь 1,8.
.) Упражнения для повторения
338. Преобразуйте в одночлен стандартноrо вида:
а) ( 2a2b)3 . (аЬ); б) ( 3ab)5 . ( 2a2b3)2.
339. Вычислите рациональным способом значение Bыpa
жения:
а) 17,95 . 3,81 + 17,95 . 6,19;
б) 64 . 27 1:. 271:. . 34.
3 3
340. Из множества двузначных чисел выделите подмно
жество чисел, кратных 19.
68
r л а в а 3. Мноrочлены
12. t Стандартный вид мноrочлена
в мноrочлене 1зх 2 у + 4 + 8ху 6х 2 у 9 первый и четвер
тый члены имеют одинаковую буквенную часть. Члены MHoro
члена, имеющие одинаковую буквенную часть, называются
подобны-ми члена-ми. Подобными членами считаются и сла
rаемые, не имеющие буквенной части.
Сумму подобных членов мноrочлена можно заменить oд
ночленом. Такое тождественное преобразование называют
приведение-м подобных членов или приведение-м подобных сла
2ае-мых. Приведение подобных членов основано на перемести
тельном и сочетательном свойствах сложения и распредели
тельном свойстве умножения.
При м е р 1. Приведем подобные члены мноrочлена
13х 2 у + 4 + 8ху 6х 2 у 9.
Имеем:
1зх 2 у + 4 + 8ху 6х 2 у 9
(1зх 2 у 6х 2 у) + 8ху + (4 9)
(13 6)х 2 у + 8ху 5 7 х 2 у + 8ху 5.
В мноrочлене 7 х 2 у + 8ху 5 каждый член является OДHO
членом стандартноrо вида, причем среди них нет подобных
членов. Такие мноrочлены называются НО20члена-ми cтaH
дартНО20 вида.
Рассмотрим мноrочлен стандартноrо вида 3а З 5а З ь 2 + 7.
Ero членами являются одночлены третьей, пятой и нулевой
степени. Наибольшую из этих степеней называют степенью
мноrочлена. Таким образом, этот мноrочлен является MHoro
членом пятой степени.
Степенью НО20члена стандартноrо вида называют наи
большую из степеней входящих в Hero одночленов. Степенью
произвольноrо мноrочлена называют степень тождественно
paBHoro ему мноrочлена стандартноrо вида.
При м е р 2. Определим степень мноrочлена
а 6 + 2а 2 ь а 6 + 1.
Для этоrо при ведем мноrочлен к стандартному виду:
а 6 + 2а 2 ь а 6 + 1 2а 2 ь + 1.
Степень полученноrо мноrочлена равна трем. Значит, и
степень заданноrо мноrочлена равна трем.
9 5. Мноrочлен и ero стандартный вид
69
Если мноrочлен является числом, отличным от нуля, то
степень TaKoro мноrочлена равна О. Число нуль называют
нуль мноzочленом. Ero степень считается не определенной.
Среди мноrочленов выделяют мноrочлены с одной пере
м:енной. Мноrочлен п й степени с одной переменной в CTaH
дартном виде записывается так: аохn + alxn 1 + a2xn 2 + ... +
+ an 2x2 + an lX + а n , rде х переменная, а о , ар а 2 , ... , an 1'
а n произвольные числа, п Е N или п О. Коэффициент
при х n называют старшим коэффициентом (в нашем случае
это а о ). Слаrаемое, не содержащее переменной Х, называют
свободным членом мноrочлена (в нашем случае это а n ). Ha
пример, старший коэффициент мноrочлена х 4 + 2х 3 х 2 + 3х
равен 1, а свободный член равен нулю.
Заметим, что значение мноrочлена с переменной х при
х О равно свободному члену этоrо мноrочлена, а при х 1
сумме ero коэффициентов.
341. В каком случае мноrочлен записан в стандартном
виде:
а) 12а аЬа + 2аЬ 2 13аЬ + Ь 2 ;
б) a2Ь + аЬ 2 13аЬ + Ь 2 + 12а + аЬ 2 ;
в) a2Ь + 2аЬ 2 13аЬ + 12а + Ь 2 ;
r) 3а 3 Ь аЬ 3 + 4аЬ 3 аЬ + Ь;
д) 5а 4 Ь а 3 Ь 2 + 3аЬ 3 + аЬ 1;
е) 3a5b + 2а 2 Ь 2 аЬ + 6а + Ь?
342. Приведите подобные члены мноrочлена:
а) 0,зх 2 х 2 + 0,9х 2 + зх 2 ;
1 1
б) у3 g у3 + g у3 + 4у3;
в) xy2 ху2 О,8ху 2 + 1,9ху2;
1 1
r) зХУ + ху ХУ + 3ХУ.
343. Приведите подобные члены мноrочлена:
а) p3 + 4р2 12 р 3 + 14 р 3 ll р 2 6р;
б) 1 4т 6 + 2 т 6 т 5 + 12т 5 ;
в) 4,4х2у 40ху 2 + з,6ху2 1,4х2у 26;
r) 0,12а 3 Ь 1,1аЬ 3 0,6аЬ 3 + 0,08а 3 Ь 2а 3 Ь.
70
r л а в а 3. Мноrочлены
344. Найдите значение мноrочлена:
а) 1,2х 4 + х 2 + 0,lх 4 8 1,3х 4 + 0,2х 2 при Х 14;
б) 1. у5 + ..!.. 1. у5 у4 1. у4 при У 2.
8 12 8 3
345. Может ли быть отрицательным числом значение MHoro
члена:
а) 0,зх 6 о, 7х 5 8,6х 4 х 6 + х 5 0,зх 5 + 1;
б) 12 a4 + 5 a3 121.а 4 3 a3 1 1 a 3 + 6?
6 8 3 4 8
346. Замените М одночленом так, чтобы после приведения
подобных членов получался мноrочлен, не содержащий Ь 3 :
а) М + О,IЬ 0,47ь 2 + 0,8Ь 3 1,89ь 2 1,16Ь 3 ;
б) М .!b2 +.!Ь 4 b3 b4 +з 1 ь з +1.
3 7 12 6
347. Представьте в стандартном виде мноrочлен:
а) 23х 3 14хху + 6х 3 2х2 . 8у + 4;
б) 2у . у3 3у2 . 4у2 + 6 у 4 8 у 4 11;
в) 5х . ( 4x4) 2х2 . 3х 3 + 27х 5 х 6 ;
r) 16a( a2b) + 18а 3 Ь 12ааЬ + 14а 2 ь.
348. Упростите выражение:
а) 12х . х 3 6х 2 . х 2 16х 4 + 4х 2 х 2 ;
б) 0,3а . 4ь 2 1,2аЬ . Ь + 4,8аЬ 3 6а . 0,8Ь 3 ;
в) 5х 2 . 2у 10ху . 4х 14х 2 у + 18х 2 у;
r) о,8уnу2 О,Оlу . 12 y n+l 1,6уn+2 1;
д) 3,2х 2 х n х 3,4х n +1 . 2х2 4,8хn+2 . О,lх + х n + 3 .
349. Дан мноrочлен от одной переменной 4х 3 зх 2 + 2х 1.
Укажите: а) старший коэффициент; б) свободный член.
350. Чему равно значение мноrочлена
х 5 2х 4 + 3х 3 4х 2 + 5х 6:
а) при а о; б) при х 1; в) при х 1?
351. Найдите при х 1 значение мноrочлена:
а) 4х 3 + зх 2 + 2х +1;
б) 4х 5 + 3х 4 + 2х 3 + х 2 + 5х + 6;
в) х 4 + 2х 3 + х + 1.
352. СкОЛЬко членов может иметь мноrочлен стандартноrо
вида от одной переменной, если ero степень равна:
а) 52; б) 200; в) т?
9 5. Мноrочлен и ero стандартный вид
71
353. Запишите множество, состоящее из коэффициентов
м:ноrочлена:
а) зх2 2х + 1; в) х 1ОО 1;
б) х 4 х 2 + 2х 2; r) 3.
354. Найдите коэффициенты мноrочлена kx 3 2kx + 3k,
rде х переменная, а k некоторое число, если ero значение:
а) при х О равно 6; в) при х 1 равно 4;
б) при х 1 равно 6; r) при х 2 равно 7.
355. Известно, что значения мноrочленов х 3 2ах 2 + 3ах + 2
и 2х 4 4х 3 ах 3а, rде х переменная, а некоторое
число, при х 1 равны. Найдите а.
356. Длина прямоуrольника равна а м, а ширина Ь м. На
сколько квадратных метров увеличится ero площадь, если
длину увеличить на 10%, а ширину увеличить на 15%?
357. На прямоуrольный лист картона, длина KOToporo
равна х см, а ширина у см, наклеили открытку. Длина OT
крытки составляет 80% длины листа, а ширина 70% шири
ны листа. Чему равна площадь оставшейся части картона?
358. Какова степень мноrочлена:
а) зх 8 х 3 х 8 + 6х 2х 8 1;
б) ху + 12х 5 у 10х 5 у 6 2х 5 у;
в) 4х 3 2х2 + 3 4х 3 + 2х 2 ;
r) 2х 2 ху 2 + 2у х у + 2 ху 2 + 3;
д) х 2 у ху2 х 2 у + ху2;
е) xnyт + xn 1yт+1 xп 2yт+2 + 5ху 5, rде п, т Е N
и п > 2, т > 2?
359. Составьте мноrочлен с переменными а и Ь, степень
KOToporo равна:
а) 5; б) 4; в) 2; r) 1.
360. Подберите какие либо значения т и п, при которых
степень мноrочлена хтуn 14 ху 2 ху3 + ху 1 равна:
а) 8; б) 5; в) 4; r) 3.
361. Даны мноrочлены:
3а 2 4Ь а 2 + 1 7Ь 12Ь;
1,2а 2 Ь + 0,8а 2 1,6Ь + 3,6Ь;
3,2Ь + 0,5а 2 а 2 1,5а 2 + 2,8Ь 5Ь;
b 7,5Ь + а 2 4а 2 + 5а 2 + 9,5Ь.
Выберите из них те, которые тождественно равны MHoro
члену 2а 2 + Ь.
72
r л а в а 3. Мноrочлены
362. При каком значении параметра а данные мноrочлены
тождественно равны:
а) 2х 3 + 3х 2 х + 1 и ах 3 + 3х 2 Х + 1;
б) х 3 + 3х 2 х + а и ах 3 + 3х 2 х + 1;
в) (2а 1)х 2 (2а + l)х + 1 и ах 2 (4а l)х + 1;
r) х 2 а 2 . х + 2а и х 2 + ах 2а?
+) Упражнения для повторения
363. Автомобиль движется со скоростью а км/ч. Выразите
ero скорость в метрах в секунду.
364. Бак кубической формы заполняется водой за 20 мин.
Сколько потребуется времени, чтобы заполнить водой бак,
имеющий форму куба с ребром, вдвое большим?
365. На покраску куба израсходовали 75 r краски. Сколько
краски потребуется, чтобы покрасить куб, ребро KOToporo в
четыре раза больше?
+) КОНТРОЛЬНblе BonpOCbI
и задания
1. Сформулируйте определение мноrочлена. Приведите
пример мноrочлена и назовите ero члены.
2. Какие члены мноrочлена называются подобными?
3. Приведите пример мноrочлена с одной переменной и
назовите ero старший коэффициент, свободный член. Чему
равно значение мноrочлена с одной переменной, если значе
ние переменной:
а) равно о; б) равно 1?
4. На примере мноrочлена 2а 2 х . ( 3ax) 4а 3 х 2 + х 4
объясните, как привести мноrочлен к стандартному виду.
5. Что называется степенью мноrочлена? Определите CTe
пень мноrочлена:
а) х 2 у ху + 1; б) х 3 + 5х 2 х 3 + х 2.
{1 6. Сумма, разность и про изведение мноrочленов
73
СУММА, РАЗНОСТЬ И ПРОИЗВЕДЕНИЕ
6. мноrОЧЛЕНОВ
13. .W Сложение и вычитание
мноrочленов
Пусть требуется сложить мноrочлены аЗ 7 а 2 1 и 3а З
а 2 + 6.
Составим их сумму:
(аЗ 7а 2 1) + (3а З а 2 + 6).
Из сочетательноrо свойства сложения следует: для Toro
чтобы прибавить сумму, надо прибавить каждое слаrаемое,
входящее в эту сумму. Отсюда получается правило paCKpы
тия скобок, перед которыми стоит знак ('плюс!}:
. если перед с"об"ами стоит зпак «(ПЛЮС), то с"об"и
можпо опустить, сохрапив зпа" "аждоzо слаzаемоzо, за
"лючеппоzо в с"об"и.
Воспользовавшись этим правилом, раскроем скобки в co
ставленной сумме и приведем подобные члены полученноrо
мноrочлена:
(аЗ 7а 2 1) + (3а З а 2 + 6)
аЗ 7 а 2 1 + 3а З а 2 + 6 4а З 8а 2 + 5.
Вычтем теперь из мноrочлена 5ь 2 Ь + 1 мноrочлен
8ь 2 + 3Ь 6.
Составим разность этих мноrочленов:
(5Ь 2 Ь + 1) (8Ь 2 + 3Ь 6).
Из свойств действий с числами следует: для Toro чтобы
вычесть сумму, надо вычесть каждое слаrаемое, входящее в
эту сумму. Так как вычитание HeKoToporo числа можно за
менить прибавлением числа, ему противоположноrо, то BЫ
читание суммы можно заменить прибавлением чисел, проти
воположных слаrаемым. Отсюда получается правило
раскрытия скобок, перед которыми стоит знак «минус»:
. если перед с"об"ами стоит зпа" «(мипус), то с"обки
можно опустить, измепив зпа" каждоzо слаzаемоzо па
nротивоnоложпый.
Пользуясь этим правилом, раскроем скобки в составлен
Ной разности и приведем подобные члены полученноrо MHO
rочлена:
(5ь 2 ь + 1) (8ь 2 + 3Ь 6)
5ь 2 Ь + 1 8ь 2 3Ь + 6 зь 2 4Ь + 7.
74
r л а в а 3. Мноrочлены
в рассмотренных примерах сумму и разность мноrочле
нов мы представили в виде мноrочленов. Вообще сумму или
разность любых мноrочленов можно представить в виде мноrочле
на. При этом степень получившеrося мноrочлена будет не больше
степени мноrочленов слаrаемых.
Иноrда требуется решить обратную задачу предста
вить мноrочлен в виде суммы или разности мноrочленов.
При этом пользуются следующими правилами:
. если перед скобками ставится зnак «(плюс»), то члены,
заключаемые в скобки, записываются с теми же знаками;
. если перед скобками ставится знак «(миnус»), то у
всех членов, заключаемых в скобки, нужно изменить зnак
па противоположный.
Представим, например, мноrочлен 5х Зу + 1 в виде суммы
двух слаrаемых, одно из которых равно 5х:
5х Зу + 1 5х + ( Зу + 1).
Представим теперь тот же мноrочлен в виде разности, в
которой уменьшаемое равно 5х:
5x Зу + 1 5x (Зу 1).
366. Преобразуйте в мноrочлен стандартноrо вида сумму
и разность мноrочленов:
а) зх 2 х + 1 и х 3 + х; б) 2а аЬ и ЗаЬ + а.
367. Преобразуйте в мноrочлен стандартноrо вида:
а) 15а 3 + (а 4 За 3 );
б) 12ь 6 (ь 6 + l1Ь 5 );
в) 5,2аЬ (аЬ + 1,4);
r) ab (а 2 + аЬ) + (2аЬ а 2 );
д) 0,6х 2 + (о,4х 2 х) (х 2 + х);
121
е) a (Ь a) + (Ь a).
3 3 6
368. Коллекция марок расклеена в четыре альбома. В пер
вом альбоме содержится а марок, во втором втрое больше,
чем в первом, и на 7 больше, чем в третьем, а в четвертом
альбоме на 11 марок меньше, чем в третьем. СКолько марок в
коллекции?
369. Докажите, что сумма скорости движения парохода
по течению реки и скорости против течения рекИ равна yд
военной скорости движения парохода в стоячей воде, а их
разность равна удвоенной скорости течения.
11 б. Сумма, разность и произведение мноrочленов
75
370. Лыжники в первый день прошли а КМ, а в каждый
из последующих дней проходили на 2 км больше, чем в пре
дыдущий. Какое расстояние прошли лыжники за пять дней?
371. Артель изrотовила в январе а изделий, в феврале на
5% больше, а в марте на 8 изделий меньше, чем в первые
два месяца вместе. Сколько изделий изrотовила артель в
первом квартале?
372. С одноrо участка собрали а Kr картофеля, со BToporo
на 15% меньше, а с TpeTbero на 40 Kr меньше, чем с первых
двух. Сколько картофеля собрали с трех участков?
373. Преобразуйте в мноrочлен стандартноrо вида:
а) (2с+ 1) (4 с) + (12 5с);
б) (x2 + х 4) (3х + 4) + (х 2 1);
в) (y2 + у) + (4у + у2) 16у;
r) (12аЬ а 2 ) (l1аЬ + а 2 ) + (аЬ 6,2а 2 ).
374. Замените М таким мноrочленом, чтобы полученное
равенство было тождеством:
а) M+(x2 у) 2x2+3y 1;
б) м (Ь 2 + 3Ьс) 2ь 2 + с;
в) (a2 ab+b2) М 2а 2 +2ь 2 .
375. Упростите выражение:
а) 5х 2 (3х 2 (х 2 + х) + (2х 1»;
б) 4х ( (2x 1) + (х 4» + 1;
в) 1 (4аЬ 2 (2а 2 Ь аЬ) + (аЬ 2 + 2а 2 Ь) + аЬ).
376. Пусть А х 2 2ху + у2, В 2х2 у2, С х 2 3ху.
Упростите выражение:
а) А + В с; б) А В + с; в) A + В С.
377. Докажите, что тождественно равны выражения:
а) (а 2 + Ь 2 + с 2 ) + (а 2 Ь 2 + с 2 ) (а 2 + Ь 2 с 2 ) И
а 2 Ь 2 + зс 2 ;
б) (аЗ Ь 2 с) (3а З 2ь 2 + с) + (2а З Ь 2 + 2с) и О.
378. Какой мноrочлен надо прибавить к мноrочлену
х 2 2х + 9, чтобы получить:
а) 9; б) х 2 ; в) х 2 х; r) х 2 2х 11?
76
r л а в а 3. Мноrочлены
379. Упростите выражение и найдите ero значение:
а) 6х 2 (7х 2 х) при х 0,1;
б) (12x 1) + (9х + 4) при х 11,2;
в) (а 2 а) (3а + а 2 ) при а 9,21;
r) (c3 1) + (с 3 + с 1) при с 12,718.
380. Упростите выражение:
а) (3а 2 аЬ Ь 2 ) ( a2 + Ь 2 4аЬ) + (4а 2 3аЬ + 2Ь 2 );
б) (x2 Х + х 3 ) (2х 3 зх 2 + 4х) + (3х 3 5х 2 х);
в) (xy 1) + (12ху + х 2 4) (ху + х 2 2);
r) (а 2 0,5а 1) (1,5а 2 + а + 2) + (0,5а 2 + 3).
381. Найдите значение выражения
(5а 2 2аЬ + ь 2 ) (а 2 + ь 2 ) (4а 2 5аЬ + 1),
если:
а) а 1,2, а + Ь 6,2;
1
б) а , а + Ь 1.
3
382. Найдите значение выражения
(x2 ху 7) + (2х 2 + 2ху 2) (х 2 11),
если:
а) х 1,7, х + у 0,7;
б) х 1,5, х + у 0,5.
383. Докажите, что значение выражения не зависит от
значения переменной:
а) (x2 + 8х 1) + (4х 2 х) (3х 2 9х + 16);
б) (а 2 24а + 8) + (12а а 2 ) (11 12а).
384. Значения каких переменных надо знать, чтобы най
ти значение выражения:
а) (12а 2 + 4аЬ + 1) (3а 2 + аЬ 2) + (11а 2 3аЬ + 2);
б) (15с 3 с 2 + Ь) (10с 3 + с 2 ) + (12Ь 3 5с 2 )?
385. Найдите трехчлен стандартноrо вида, который надо
прибавить к сумме мноrочленов
1,7 а 2 Ь + аЬ Ь 3 + 4а и 6Ь 3 + 8а 2 Ь 2аЬ 5а,
чтобы получить выражение, значение KOToporo не зависит от Ь.
386. Докажите, что
а) сумма пяти последовательных нечетных чисел
делится на 5;
б) сумма шести последовательных четных чисел
не делится на 12.
б. Сумма, разность и произведение мноrочленов
77
387. При каких целых значениях а, удовлетворяющих
условию I а I < 20, значение выражения
(13п 2 + 5п + 4) (п 2 + ап 1) + (2п 2 5п + 2)
кратно 7 при любом целом п?
388. Представьте в виде мноrочлена сумму чисел:
а) аЬ и cd; б) аЬс, Ьса и саЬ.
389. Представьте мноrочлен 12а 3 а 2 + 6а 1:
а) в виде суммы двух двучленов, один из которых
12а 3 + 6а;
б) в виде разности двух двучленов, в которой YMeHЬ
шаемое равно 12а 3 1.
390. Представьте мноrочлен 15х 2 ху + 16 у 2 6 в виде
разности двух мноrочленов, один из которых не содержит у.
391. Представьте двумя способами мноrочлен
а 3 5а 2 + 7 а 1:
а) в виде суммы двух двучленов;
б) в виде разности одночлена и трехчлена.
392. Известно, что каждое из целых чисел а и Ь не дe
лится на 7, а их сумма делится на 7. Делится ли на 7 число:
а) 2а + Ь; б) а Ь?
+t++ t) Упражнения для повторения
393. Задайте перечислением элементов множество А ДBY
значных натуральных чисел, оканчивающихся цифрой 3.
Выделите из множества А:
а) подмножество В простых чисел;
б) подмножество С чисел, кратных 3;
в) подмножество К чисел, дающих при делении на 3
остаток 1.
394. Для школьной библиотеки купили 64 учебника, из
них 34 учебника по алrебре, а остальные по rеометрии.
Учебник по алrебре стоит а р., а учебник по rеометрии на
Ь р. дороже. Сколько денеr уплатили за покупку?
395. Из мноrочленов 1 + х 2 + х 4 , 5х 6 х 3 1, х 8 + х 2 , х 12 1,
2х х 4 выберите те, значения которых не изменяются при
замене значения х на противоположное.
78 rлава 3. Мноrочлены
396. Выполните умножение одночленов:
а) 3а 2 Ь . ( a4b5) . 1,5а 1О ь 2 ; в) 3х n + 2 . 0,2х 5 ;
б) xy( *x3y ) . 9х 4 у5; r) 2an + 1 . О,Оlа.
14. Умножение одночлена на
мноrочлен
Пусть требуется умножить одночлен 2а 3 на мноrочлен
3а 4 4а 2 + а.
Составим произведение 2а 3 (3а 4 4а 2 + а).
Из распределительноrо свойства умножения следует: для
Toro чтобы число умножить на сумму, надо умножить ero на
каждое слаrаемое и результаты сложить. Воспользовавшись
распределительным свойством умножения, преобразуем co
ставленное произведение:
2а 3 (3а 4 4а 2 + а) 2а 3 . 3а 4 2а 3 . 4а 2 + 2а 3 . а
6а 7 8а 5 + 2а 4 .
При умножении одночлена на мноrочлен пользуются сле
дующим правилом:
. чтобы умножить одпочлен на мноzочлеп. па до YMпo
жить этот одночлеп па каждый члеп мноzочлепа и nОЛУ
чепные nроизведепия сложить.
Распределительный закон умножения относительно сло
жения, на котором основано правило умножения одночлена
на мноrочлен, древнеrреческий математик Евклид в 111 в.
до н. Э. доказывал на языке «rеометрической алrебры»: если
одна из сторон прямоуrольника является суммой несколь
ких отрезков, то площадь Bcero прямоуrольника можно найти
как сумму площадей ero частей. Например, если а а 1 + а 2 +
+ а з одна сторона прямоуrольника, Ь ero вторая CTOpO
на, то площадь прямоуrольника равна аЬ (а 1 + а 2 + а з )Ь
а 1 Ь + а 2 Ь + а з Ь. Если считать а а 1 + а 2 + а з мноrочленом,
а Ь одночленом, то мы получим правило умножения MHO
rочлена на одночлен.
В рассмотренном примере мы представили произведение
одночлена и мноrочлена в виде мноrочлена. Вообще произве
дение одночлена и мноrочлена всеrда можно представить в
виде мноrочлена. Причем степень произведения будет равна
.сумме степеней одночлена и данноrо мноrочлена.
9 6. Сумма, разность и произведение мноrочленов
79
При м е р 1. Умножим одночлен 3xy на мноrочлен
2х2у + 4 ху 2 1.
Имеем:
3xy . (2х2у + 4 ху 2 1) 3xy . 2х2у + ( 3xy) 4 ху 2 +
+ ( 3xy) . ( 1) 6x3y2 12х 2 у3 + 3ху.
Запись можно вести короче, не выписывая промежуточ
ные результаты:
3xy . (2х 2 у + 4 ху 2 1) 6x3y2 12х 2 у3 + 3ху.
При м е р 2. Упростим выражение
4а(2а + 5) + 2а(3а 1) 1,5а(2а 4).
Каждое из произведений преобразуем в мноrочлен и сло
жим полученные мноrочлены:
4а(2а + 5) + 2а(3а 1) 1,5а(2а 4)
8а 2 + 20а + 6а 2 2а 3а 2 + 6а llа 2 + 24а.
397. Упростите выражение:
а) 5(2 а) 4(3а + 1);
б) 18(Ь 3) + 6(3Ь + 1);
в) 1,1(1 х) + 1,2(1 + х);
r) 6р 2(р + 1) + 4(р 8);
д) 2 + 3(3с 2) 2(с 1);
е) 1,6у 0,3(у + 4) + О,4(2у 1).
398. Упростите выражение и найдите ero значение:
а) 3(5х 1) 14(х+8) при х 172;
б) 15а 3(2а 1) + 2(а 2) при а 3;
в) l1b + 5(2Ь 1) 6(Ь + 2) при Ь 4;
r) 12(3с 1) 35с + 4(с + 6) при с 0,2.
"
1 )politio .1
fucrit liпа i t(g OIUI!\1.1Uud qii €1 t:l1К1U t"n"liп't in
lcipfa fir rquu Cfltbw q €1 tJU(tu til1ti.iC i "isfulЮ L?t's,
(i S!I litICII.a.b.Oiuifa ill.II.C. .c.d.'l.d.b.OitO g:> '1tud q6 fil С); OU
· Cnl ro1inM.b.inf,q13 fir.II.'.b.f.cquii cft biвqlJ(fipPI фрfll 101
131" \1lanIqD5q Iжrоrum рОllllПП q15 раlllт Ptr<bit.OUCIie.c.g.c.d.b.cqoidi/
f1QЩст.II.(. .Ь.f.(il!bt(rfIJlШIIUf.l;.riil!S.II.Ь.crirCj) R p;ani!fllm Ф fir Ct 0111 Ir
au.k.ir1 tOlom. a.b.cq\JIi '1 qii tir с,. ouml.l;;.in 011'11'" CI;_fl.b... G1 c;t.k.I.II.b.
rQllrU tir qllаппl С);.II.Ь.т fc.'lC);.k.inomnro r.rw.a.b..qu5ri1 С);.I1.Ь. UIOllln&:9
(1rооdnf&..t>PШ1dq1.k.'l.а.Ь.l'iilсqus1ФРi1rС( vq:с!Т'Р1ОР оf "ruю.
r,; r " юроliпо +
. fu1:r[r 'inса 111 ЮПQtJ RtCB oil1lli1 illud qб ficr q t!uau 10
r nusliIlllrcrutrii P\1nC equjj спсыв q С): t:luCIU eiuk!cpт'
<'WJ ! ri6inlClDli1m1i11rcriusmillrrnl11.
11
Фраrмент страницы из 11 книrи «Начал» Евклида с rеометрическим дo
казательством распределительноrо закона умножения относительно сложе-
ния, 111 в. до н. э., издание 1482 r.
80
r л а в а 3. Мноrочлены
"1j
399. Составьте два выражения
для вычисления площади фиrу
ры, изображенной на рисунке 6,
и докажите, что они тождествен
но равны.
400. В однокомнатной кварти
ре длина комнаты на 1,6 м боль
ше ширины, а площадь осталь
ных помещений составляет 75%
площади комнаты. Какова общая
площадь квартиры, если длина
комнаты равна а м?
а
..t:>
с
Рис. 6
401. Велосипедист ехал в ropy со скоростью 12 км/ч, под
ropy со скоростью 18 км/ч, а по ровной местности со
скоростью 15 км/ч. На путь в ropy он затратил Ь ч, на путь
под ropy на 1 ч 20 мин больше, чем в ropy, а на путь по
ровной местности в 1,2 раза больше, чем на путь в ropy и
под ropy вместе. Найдите длину маршрута велосипедиста.
402. Представьте в виде мноrочлена:
а) 3аЬ(а + Ь); r) (аЬ + а Ь) . 3а 2 ь;
б) a2 (а 2 ь 2 ); д) 0,5x2y2 (2х + 2у 1);
в) (х 2 + 2ху) . ( xy); е) ( a2 6аЬ + Ь 2 ). ( iab )-
403. Выполните умножение:
а) 2а 5 ( 3a + 4Ь);
б) O,5xy (х 2 + у2);
в) (8с 6Ь) . ( O,5bc);
r) ( 2a2b + 3аЬ 7а) . ( ab);
д) x (х 5 х 4 + 1);
е) (3 у 3 + у2 6у) . ( i у2 )-
404. Выполните умножение:
а) 0,2x(x4 1,6х 3 + 2,3х)х 2 ;
б ) ?- аЬ ( О 3а2 1 2аЬ + l ) а 3 '
3 ' , ,
1
в) 9 (0,5а 2 ь 2 аЬ + O,9)( ab);
1
r) b3( 0,3a2b О,4аЬ + 1) . 6а2Ь2.
9 6. Сумма. разность и произведение мноrочленов
81
405. Представьте выражение в виде мноrочлена:
а) 0,2x(x4 х(1,6х 2 2,3»х 2 ;
б) ab( 0,3а 2 1,2( аЬ ) )а з ;
в) .!a(0,5ab(ab 2) + 0,9)( b);
9
r) b3( 0,1ab(3a 4) + 1) . .!а 2 Ь 2 .
6
406. Представьте в виде мноrочлена:
а) 4х П у(3х 2 у П); B)(14anb 7abn+l){ abn )
б) ( !anb !abn ) ( 18ab)' r) 144a2nb3n ( !anbn !ab ) .
3 9' 6 2
407. 3амените знак * одночленом так, чтобы полученное
равенство было тождеством:
а) * . (а 2 + 2аЬ) 1,7а 3 + 3,4а 2 ь;
б) (0,3ах 0,1а 2 х + а) . * 0,6а 2 х2 0,2а 3 х 2 + *;
в) * . (10а 4 + 15а 3 + 20а 2 ) * + * + 200а 8 ;
r) (0,3ах + а 2 х + а 3 ) . * 0,3а 5 х 6 + * + *.
408. Упростите выражение, если п > 1:
а ) ( О 3аn+l an О 2an 1 ) . 24а n
, 12 '
6а n ( 1 an 1 а n + О 3аn+1 ) .
6 "
б) ( 1 bn 1 + Ь n + 6Ь 3 ) . О, 9Ь n + 1
о 8Ь n ( 7 Ьn Ьn+1 1 1 Ь4 ) .
, 8 8
409. Упростите выражение:
а) 12 р 2 + 5р(1 1р);
б) 3а 3 2а(1 + 2а 2 );
в) 15 у 3 3у(1 5 у 2);
r) 6т(т 3 п 3 ) 1,2т 4 ;
д) 6а(а 1) 2а 2 (3 а);
е) 6р(5р2 + р) + 15 р 2(2 р);
ж) 3т(т + п 2 ) + т(3т п 2 );
3) 2у(у2 х) 2х(х 2 у).
82
r л а в а 3. Мноrочлены
410. Упростите выражение:
а) 9т 2 2т(т 3) + 7т(1 т);
б) 5а 4 8а 3 (а 3) + (а 2 + 5а) . 5а 2 ;
в) 2x3(3 + 16х 2 ) (х 2 + 4) . 3х 3 + (7х 1) . 5х 4 ;
r) 12,5у + ( y3 + 2 у 2 5) . ( 2,5y) 2,5у . у3.
411. При каких значениях переменной верно равенство:
а) 3х(1 2х) + 2х(3х 1) 4;
б) 4х(3х + 2) 3х(4х + 3) 12;
в) 2х 2 (2 3х 2 ) 3х 2 (4 2х2) 8;
r) 3x(3 2х 4х 2 ) + 4х(2,25 х 3х 2 ) 3?
412. Вычислите значение выражения:
а) 5(0,16х 2 0,9х + 2,4) 4(0,2х 2 + 1,5х 1)
при х 42;
б) 3(1,6а 2 0,5а + 1,4) 4(1,2а 2 + 0,6а + 0,3)
при а 80.
413. Найдите значение выражения:
а) ( a + *Ь) . 6аЬ 12аЬ( *а + ib )
при а 1,8; Ь 0,3;
б) 4xy ( ху 1) + 8х 2 ( у2 2 )
1
при х "4; у 2.
414. Из данных выражений выберите те, значения KOTO
рых не зависят от а:
12а(а + 4) 3а(4а 1) 50(а + 2) а;
9а(4Ь + 1) 12аЬ(3 а) 3а(4аЬ + 3) + ь 2 ;
a(6x2 + а) + 2а(а + зх 2 ) а(а + 1) (2 а);
8а(а х) 2а(4а + х) 6а(а х) + 3х.
415. Докажите, что данное равенство является тожде
ством:
а) 3(2а Ь) 4(а 3Ь) (а + 3Ь) а + 6Ь;
б) 5a (3а 1) + 6а(а + 1) а(l 9а) 10а.
11 6. Сумма. разность и произведение мноrочленов 83
416. Не выполняя умножения, найдите степень MHoro
члена и ero старший коэффициент:
а) 3x2 (4х 8 2х 5 + 3х);
б) 5х 1ОО (12х 2О 15х 1О 18х + 1);
в) ( x2n 2хn + 3) . 4xk;
r) «т + 3) . х т + 3) . (тх т + (т 1)х т 1 + ... +
+ 2х2 + х), rде т Е N, т > 4.
417. При каких значениях параметра k коэффициент:
а) при х 2 в стандартном виде мноrочлена, тождествен
но paBHoro выражению (k + 1)х 2 . (3х 2 4kx 2), равен 4;
б) при х 3 в стандартном виде мноrочлена, тожде
ственно paBHoro выражению kx 2 . (2х 2 kx + 3), равен 4?
418. При каком значении параметра а мноrочлен 2х 3 +
+ 3ах 2 ах 1 при х == 1 и х == 1 принимает одинаковые
значения?
419. При каком значении k, rде k Е N, сумма коэффициен
тов мноrочлена, тождественно paBHoro выражению
х 2 (х 2 + kx + 1) 3х(х 2), равна:
а) о; б) 5; в) 4k?
420. Замените п каким либо натуральным числом так,
чтобы при любом х Е N значение выражения:
а) 3х(х 3 5х 2 1) llх 2 (х 2 Х + 8) 5(х 1) + п
делилось на 4;
б) х 6 (х 1) х 5 (х 2 Х 2) + 10(х 5 + 1) + п при деле
нии на 6 давало остаток 1.
+) Упражнения для повторения
421. В выборке 4; 4; 5; 6; 6; 6; 7; 7; 8 одна варианта про
пущена. Найдите ее, если:
а) среднее арифметическое выборки равно 5,8;
б) размах выборки равен 5;
в) выборка имеет две моды и ее среднее арифмети
чес кое выражается целым числом.
422. Вычислите:
а)72 . ( .1... .! ) + 84
, 12 6 ' ;
5 1
б) "6' 0,36 "7 . 0,14.
84
r л а в а 3. Мноrочлены
423. Для школьной столовой купили 105 тарелок, из них
35 rлубоких, а остальные мелкие. rлубокая тарелка стоит
а р., а мелкая на 20% дешевле. Сколько денеr уплатили за
покупку?
424. Найдите значение выражения:
53.74
а) ;
353
б) ;
43.117
Зз5
в)
93.1212
425. Упростите выражение:
1
а) 9 а 2 Ь 6 . ( 3a3b)4;
1
б) 8 х 7 у6 . ( 2xy3)5.
426. Каждый из одночленов 6а 3 Ь, 12a2b2, 3аЬ пред
ставьте в виде произведения двух множителей, один из KOTO
рых равен 3аЬ.
15. Умножение мноrочлена на
мноrочлен
Пусть требуется умножить мноrочлен а + Ь на мноrочлен
с + d. Составим произведение этих мноrочленов:
(а + Ь)(с + d).
Обозначим двучлен а + Ь буквой х и воспользуемся прави
лом умножения одночлена на мноrочлен:
(a+b)(c+d) x(c+d) xc+xd.
В выражение хс + xd подставим вместо х мноrочлен а + Ь
и снова воспользуемся правилом умножения одночлена на
мноrочлен:
хс + xd (а + Ь)с + (а + b)d ас + Ьс + ad + bd.
Итак,
(а + Ь)( с + d) ас + Ьс + ad + bd.
Этот же результат для положи
d тельных а, Ь, с, d можно увидеть
на рисунке 7, интерпретируя, вслед
за Евклидом, произведение двучле
нов как площадь прямоуrольника.
Произведение (а + Ь)(с + d) мы
представили в виде мноrочлена ас +
+ Ьс + ad + bd. Этот мноrочлен яв
ляется суммой всех одночленов,
ad
bd
ас
Ьс
с
а
Ь
Рис. 7
9 6. Сумма, разность и произведение мноrочленов
85
которые получаются при умножении каждоrо члена MHoro
члена а + Ь на каждый член мноrочлена с + d.
Мы пришли к следующему правилу:
. чтобы умножить мноzочлен на мноzочлен. надо каж
дый член OaHOZO мноzочлена умножить на каждый член
apyzozo мноzочлена и полученные произведения сложить.
При умножении мноrочлена а + Ь на мноrочлен с + d мы
снова получили мноrочлен. Вообще произведение двух лю
бых мноrочленов можно представить в виде мноrочлена. При
этом если мноrочлен, содержащий т членов, умножается на
мноrочлен, содержащий n членов, то в произведении получа
ется мноrочлен, состоящий из тn членов (до при ведения по
добных членов). Этим удобно пользоваться для самоконтроля.
При м е р 1. Умножим 3а 2 4аЬ + Ь 2 на мноrочлен 2а Ь.
Составим произведение этих мноrочленов и преобразуем
ero в мноrочлен, умножая каждый член первоrо мноrочлена
на каждый член BToporo. Получим:
(3а 2 4аЬ + Ь 2 ). (2а Ь)
3а 2 . 2а 4аЬ. 2а + ь 2 . 2а + 3а 2 . ( b) + ( 4ab) ( b) + ь 2 . ( b)
баЗ 8а 2 Ь + 2аь 2 3а 2 Ь + 4аь 2 Ь З
баЗ llа 2 Ь + баь 2 Ь З .
Обычно используют более краткую запись:
(3а 2 4аЬ + ь 2 ). (2а Ь) баЗ 8а 2 Ь + 2аь 2 3а 2 Ь + 4аь 2 Ь З
баЗ llа 2 Ь + баь 2 Ь З .
Умножение мноrочленов можно выполнять в столбик.
Евклид (около 365 около 300 IT.
ДО н. э.), древнеrреческий математик,
автор caMoro известноrо математи
ческоrо сочинения «Начала». С rpa
Вюры XVII в.
i'
,
t fij ...{
:.... ,. "".. 'Т'..} ..
.," .
! H' " :\t"
"'/ 1. ,
86
r л а в а 3. Мноrочлены
Например,
3а 2 4аЬ + Ь 2
Х
2а ь
3a2b + 4аь 2 Ь 3
+
6а 3 8а 2 Ь + 2аь 2
6а 3 llа 2 Ь + 6аь 2 Ь 3
Из приведенноrо примера можно сделать полезный BЫ
вод: степень произведения мноrочленов равна сумме степе
ней мноrочленов множителей. Действительно, первый MHO
житель мноrочлен степени 2, второй двучлен степени 1,
а их про изведение мноrочлен степени 2 + 1 3.
Рассмотрим пример умножения двух мноrочленов с oд
ной переменной.
При м е р 2. Представим в виде мноrочлена CTaHдapT
Horo вида произведение мноrочленов 2х2 3х + 1 и 5х + 4.
(2х2 3х + 1)(5х + 4) 10х 3 + 8х 2 15х 2 12х + 5х + 4
10х 3 7 х 2 7 х + 4.
Старшие коэффициенты мноrочленов множителей равны
2 и 5, а старший коэффициент про изведения равен 10. CBO
бодные члены мноrочленов множителей равны 1 и 4, а свобод
ный член про изведения мноrочленов равен 4. Леrко видеть,
что старший коэффициент про изведения мноrочленов равен
про изведению старших коэффициентов множителей. Анало
rично, свободный член произведения мноrочленов равен про
изведению свободных членов мноrочл нов множителей.
При м е р 3. Упростим выражение
(3х 4)(2х + 1) (х 2)(6х + 3).
Умножим мноrочлен 3х 4 на мноrочлен 2х + 1, а MHoro
член х 2 на мноrочлен 6х + 3 и вычтем из первоrо произ
ведения второе:
(3х 4)(2х + 1) (х 2)(6х + 3)
"= (6х 2 8х + 3х 4) (6х 2 + 3х 12х 6)
6х 2 8х + 3х 4 6х 2 3х + 12х + 6 4х + 2.
Запись можно вести короче, сразу раскрывая скобки:
(3х 4)(2х + 1) (х 2)(6х + 3)
6x2 8x+3x 4 6x2 3х+12х+6 4х+2.
При м е р 4. Докажем, что при любом п Е N значение
выражения (п + 8)(п 4) (п + 2)(п 16) делится на 18.
б. Сумма, разность и произведение мноrочленов
87
Преобразуем данное выражение:
(п + 8)(п 4) (п + 2)(п 16)
п 2 + 8п 4п 32 п 2 2п + 16п + 32 18п.
При любом п Е N произведение 18п делится на 18, а сле
довательно, делится на 18 и значение заданноrо выражения.
При м е р 5. Докажем тождество:
(а 3 + Ь 3 + с 3 + 8аЬс)(а 3 + Ь 3 + с 3 7аЬс)
(а 3 + Ь 3 + с 3 )(а 3 + Ь 3 + с 3 + аЬс) 56a2b2c2.
Для доказательства тождества надо преобразовать ero
левую часть. Преобразования можно существенно упростить,
если заметить, что в ней переменные а, Ь и с встречаются
только в выражениях а 3 + Ь 3 + с 3 и аЬс. Введем новые пере
менные х а 3 + Ь 3 + с 3 , у аЬс и упростим получившееся Bыpa
жение:
(х + 8у)(х 7у) х(х + у)
х 2 + 8ху 7ху 56у2 х 2 ху 56y2.
Так как у аЬс, то 56y2 56a2b2c2. Тождество доказано.
427. Определите степень, старший коэффициент и свобод
ный член мноrочлена, тождественно paBHoro произведению:
а) ( 2x3 3х 2 + х 1)(3х 2 Х 2);
б) (х 5 5)( 2x6 х 3 + 3);
в) (2х n зхn 1 + ... + 2х + з)( хn + х n 1 х n 2 + ... +
+ х + 1).
428. Выполните умножение:
а) (х + 4)(х + 2); r) (2у 2)(4 у);
б) (а l)(а + 3); д) (2а + 1)(3а 2);
в) ( 3 х)(х + 1); е) (5а Ь)(4а + Ь).
429. Представьте в виде мноrочлена:
а) (a + 4)(а 2); в) (3a + Ь)(а Ь);
б) (2x + 8)(х + 1); r) (x 2у)(х 3у).
430. Преобразуйте в мноrочлен:
а) (х 3 + у)(х 2 у2); r) (х 2 3у)(х + 2 у 2);
б) (а 3 2Ь)(а 4ь 2 ); д) (a 4Ь)(а 3 Ь 3 );
в) (3а 2 1)(6а 2 + 2); е) (3a2 2Ь 2 )(2Ь 2 + 3а 2 ).
431. Выполните умножение:
а) (х n + з)(х n 3);
б) (а n + Ьn)(а n ь n );
в) (an 1 + аn)(а 1), rде п > 1;
r) (xn 2 х n )(х 2 + 1), rде п > 2.
88 rлава 3. Мноrочлены
432. Выполните умножение мноrочлена в столбик:
а) (х 2 + х + 2)(х 5); r) (2р 1)(р2 2р + 1);
б) (а 2 а + 1)(а 2); д) (х 2 + 2ху у2)(х + у);
в) (Ь 4)(ь 2 Ь + 1); е) (2а Ь)(а 2 3аЬ Ь 2 ).
433. Выполните умножение и найдите сумму коэффициен
тов мноrочлена, тождественно paBHoro произведению:
а) (а 2 а + 1)(а + 1);
б) (х 2)(х 2 + 2х + 4);
в) (а 1)(а 3 + а 2 + а + 1);
r) (х 5 х 4 + х 3 х 2 + х 1)(х + 1).
434. Преобразуйте в мноrочлен:
а) (а 2 а + 2)(а 2 + 2а 1); б) (3 х + х 2 )(х 2 3х + 2).
435. Представьте в виде мноrочлена:
а) (x + 2)(3х 2 х + 1); в) 2а(а 2)(а 2 3а + 1);
б) (6a2 а + 2)(а 2); r) b(b + 4)(Ь 2 4Ь + 16).
436. Преобразуйте в мноrочлен:
а) (а + 1)(а 2)(а + 3); б) (х 2)(х 3)(х + 4).
437. Замените степень произведением и преобразуйте это
произведение в мноrочлен:
а) (Ь + 4)2; б) (а + 3)3; в) (х 1)4.
438. Упростите выражение:
а) (2а 4)(3а + 1) 6а 2 ;
б) (6х + 5)(6х + 8) 78х;
в) 12а 2 (3а + 1)(4а 2);
r) 17аЬ (а + 2Ь)(Ь + 8а);
д) (х 3у)(х + у) + 3у2;
е) 6Ь 3 (Зь 2 + 1)(2Ь 1).
439. Преобразуйте в мноrочлен:
а) (5х 1)(2х + 2) 10(х 2 4);
б) 12а(а 2) (3а + 1)(4а 1);
в) 6а(а + 6) (2а + 3)(а + 1);
r) 7(2y 1) + (3у + 2)(у + 4).
440. Найдите, при каких значениях переменной х значе
ние выражения:
а) (4х 1)(2 3х) 2х(5 6х) равно 2;
б) 5х(3х + 4) (5х + 2)(3х 4) равно 2;
в) (3 х)(2 3х) (х + 2)(3х 4) равно 1;
r) (5х + 1)(2х 3) (3х + 1)(3х 2) х(х + 1) равно О.
! 6. Сумма, разность и произведение мноrочленов
89
441. Упростите выражение:
а) 2,4(х 2 1) (О,6х 1)(4х + 1);
б) 0,12а(а 2) (0,3а + 1)(О,4а 1);
в) ia(a + 6) ( a + 3 )( 1а 1 ):
1
r) 3 (9 у 2 1) + (3у + 6)(у 1).
442. Упростите выражение:
а) 24(х 2 1) (6х 1)(4х + 1);
б) (6а + 2)(2Ь 1) 2(1 + 6аЬ);
в) 3(a 6) + (3а 1)(а + 4);
r) (4а 1)(6Ь + 1) 3а(8Ь + 2).
443. Найдите значение выражения:
а) 12х2 (3х + 4)(4х 1) при х 0,02;
1
б) 14a+(4a 1)(3 2а) при а "4
444. Преобразуйте в мноrочлен:
а) (3 2n + 3 n 1)(3 n 1) + 2(3 n 1);
б) (5 n + 1)(5 2n 5 n + 1) 5 3n ;
в) (7n 1)(7 4n + 7 3n + 7 2n + 7 n + 1) + 1;
r) (2 3n + 4 n + 2 n + 1)(2 n 1) + 1.
445. Докажите, что значение выражения не зависит от а:
а) (а 6)(а + 9) (а 4)(а + 7);
б) а 4 (а 2 + 8)(а 2 8).
446. Даны выражения:
(а + 2)(а + 18) + (а 12)(а 8),
(а 2)(а 4) + а(а + 6),
(а 5)(а + 6) (а 10)(а + 11),
(а 2 + 5)(а 2 4) + 2а (а 4 + 1).
Выберите те из них, которые при любых значениях а
принимают положительные значения.
447. Докажите, что при любом п Е N:
а) значение выражения (п 1)(п + 12) (п 3) х
Х (п + 4) кратно 10;
б) значение выражения (п + 5)(п 6) (п 2) Х
Х (п + 15) кратно 14.
90
r л а в а 3. Мноrочлены
448. Докажите, что при любых целых т и п делится на 8
значение выражения:
а) (т + 2п 1)(т + 2п + 9) (т 2п + 1)(т 2п 9);
б) (2т + п 3)(2т + п + 1) (2т п + 3)(2т п 1).
449. Замените т, если возможно, каким либо целым чис
лом так, чтобы значение выражения
(3а 1)(5а 3) 4(3а + 1)(а 1) + т:
а) делилось на 3 при любом целом а;
б) не делилось на 3 ни при каком целом а;
в) делилось на 3 только при некоторых целых а.
450. Одно из двух натуральных чисел при делении на 7 дает
остаток 2, а друrое остаток 5. Какой остаток получится
при делении на 7 удвоенноrо произведения этих чисел?
451. Одно из двух натуральных чисел при делении на 5
дает остаток 4, а друrое остаток 3. Какой остаток получит
ся при делении на 5 произведения суммы и разности этих
чисел?
452. Упростите выражение, используя введение новых пе
ременных:
а) (а 2 + Ь 2 5аЬ)(а 2 + Ь 2 аЬ) (а 2 + Ь 2 )(а 2 + Ь 2 6аЬ);
б) (х 2 + у2 + р2 4рху)(х 2 + у2 + р2 + 3рху)
(х 2 + у2 + р2)(х2 + у2 + р2 рху).
453. Докажите тождество:
а) (х 4 + у4)(х 4 + у4 2ху) (х 4 + у4 6ху)(х4 + у4 +
+ 4ху) == 24х 2 у2;
б) (а 3 + аЬ + 1)(3а 3 + 2аЬ) (3а 3 аЬ + 1)(а 3 + 2аЬ) ==
== 2а 3 + 4а 2 Ь 2 .
t) Упражнения для повторения
454. Вычислите:
а) ( 4,16 . 5,04) . 20,5;
б) (3,18 . i 4,16) + 10,3.
455. Книrа сначала подорожала на 15%, а затем подеше
вела на 15%. Как изменилась цена книrи?
Из данных ответов выберите верный: осталась той же;
уменьшилась; увеличилась.
9 6. Сумма, разность и произведение мноrочленов
91
456. Пользуясь таблицей квадратов двузначных чисел,
вычислите значение выражения:
а) 3 . 74; б) 2 . 94; в) 84 1076; r) 64 2з2.
457. Пред ставьте выражение в виде куба одночлена:
а) 64а 6 Ь 9 ; б) 0,008a12b3;
1
В ) а 3n Ь 15 .
27 '
r) a3nb6n.
458. Представьте каждый из одночленов 4х 3 у6, 12 ху 2,
6x2y, 2xy в виде произведения одночленов, один из KOTO
рых равен 2ху.
4+ .) Контрольные вопросы
и задания
1. Сформулируйте правило раскрытия скобок:
а) перед которыми стоит знак «плюс');
б) перед которыми стоит знак « минус » .
Упростите выражение (2а + Ь) + (а Ь) (3а Ь).
2. Сформулируйте правило заключения в скобки. В MHoro
члене а 4 + 3а 2 2а + 3 заключите два последних члена в скобки,
поставив перед скобками: а) знак «плюс»; б) знак «минус».
3. Сформулируйте правило умножения одночлена на
мноrочлен. Умножьте одночлен 2а 2 Ь на мноrочлен а 2 аЬ + Ь.
4. Сформулируйте правило умножения мноrочленов.
Выполните умножение мноrочлена 2х2 + 3х 1 на двучлен
4х 3. Чему равны степень, старший коэффициент и свобод
ный член произведения этих мноrочленов?
4+ .) Дополнительные упражнения
к rлаве 3
к параrрафу 5
459. Найдите значение мноrочлена а 3 6аЬ + 9ь 2 при:
1
а) а 3, Ь "3 ;
б) а 0,9, Ь 0,1.
92
rл а в а 3. Мноrочлены
460. С помощью калькулятора вычислите значение MHoro
члена:
а) 1зх 4 27х 2 + 2,67 при х 2,4;
б) 1,2х 3 1,1х 2 + 0,8х 1,51 при х 1,7.
461. Сумму Sn последовательных натуральных чисел от 1
до п включительно можно вычислить по формуле
S .!п 2 + .!п. Используя эту формулу, найдите сумму всех
п 2 2
натуральных чисел:
а) от 1 до 50 включительно;
б) от 51 до 150 включительно;
в) от 201 до 400 включительно.
462. Расположите мноrочлен
5а 5 х 4 2а 2 х 3 6ах 2 4 а 6 х:
а) по убывающим степеням пере мен ной а;
б) по возрастающим степеням переменной х.
463. Даны мноrочлены:
х 4 + 3 у 4 + х 2 у2 + 8, а 6 + Ь 6 + 18,
3а 4 + 4, х 2 у2 + ху + 1,
х 8 + х 6 + х 4 + х 2 , а 4 + 4ь 2 .
Выберите из них те, которые принимают положительные
значения при всех значениях переменных.
464. Приведите мноrочлен к стандартному виду и най
дите ero значение при а 2, Ь 11:
а ) .! ааЬ + а 3 Ь + а 2 Ь 1 а 3 Ь а 2 ь,
3 3 2 '
1 3 1
б ) а 4 Ь 4 О 3аЬ аа 3 Ь 4 + а 4 Ь 4 + 2 3аЬ
4 ' 4 2 ,.
465. В мноrочлене 5х 4 + х 3 х 2 + 3х 1 замените хна:
а) 3х; б) x; в) а; r) 2a.
Приведите полученный мноrочлен к стандартному виду.
466. Приведите к стандартному виду мноrочлен:
а ) 5аП О 2а П .!a n + 1 а П .!a n + 1 .
, 3 6'
б) .!xn+2 .!Х П + ..!..ХП+2 .!Х П + х П .
7 3 14 9
ополнительные упражнения к rлаве 3
93
467. Даны мноrочлены:
12х2у ху 8х 2 у х 2 у + ху у,
6х 2 у 4у х 3 у 3х 2 у + х 3 у + 3у,
3х 4 у зх 2 у х 4 у + у 2у 2х 4 у,
х 2 у + 5х 2 у ху2 + 4 ху 2 у 3х 2 у 3 ху 2.
Выберите из них те, которые тождественно равны ДBY
члену 3х 2 у у.
468. Даны выражения:
1
5а 3 Ь 2 . а 2 Ь 3 + 2
5 '
1
(3а 2 Ь 2 )2 . "9 аЬ + 2,
2 + ( 2ab)3 . ( iab ).
Какие из них тождественно
2 + ( 2ab)2 . ( ab)3.
равны двучлену а 5 Ь 5 + 2?
469. Какова степень мноrочлена:
а) х 2 3х 5 у3 + у6 + 3х 5 у3 4х 2 ;
б) а 6 Ь 2ь 6 1,5а 6 ь + 0,5а 6 ь а 6 ;
в) 7х 2 у3 2х 3 у2 х 5 у6 + х 5 у6 3ху;
r) 12ьс 2 2ь 2 с 3 + с 4 Ь 4 + 2Ь 3 с 3 ?
470. Замените знак * каким либо одночленом так, чтобы
получился мноrочлен четвертой степени:
а) * + 4х 4 + 3х 3 х 2 106;
б) 5х 5 * + 12х 4 х 3 + х;
в) х + * + х 4 х 5 зх 2 1;
r) 1зх 2 + * 2х 5 х 4 + 4х + 21.
471. В мноrочлене хтуn ху3 + х 2 у3 ху + 1 замените пока
затели т и n натуральными числами так, чтобы получился
мноrочлен:
а) шестой степени;
б) пятой степени;
в) седьмой степени.
472. Подберите, если возможно, какие либо значения т и
n, при которых степень мноrочлена 3а т ь n а 4 Ь + 2а 3 Ь аЬ + 1
равна:
а) 6;
б) 5;
в) 7;
r) 8.
94
r л а в а 3. Мноrочreны
К параrрафу 6
473. Найдите сумму и разность мноrочленов:
а) 5х 5 х 4 + зх 2 + х и х 4 + зх 2 2х + 1;
б) 12а 2 6Ь 7 с + d и 3а 2 + 2Ь + 4с d.
474. Выражение М А (В + С) представьте в виде мН(rо
члена, если
А 0,5x2y3 + 1,5х 3 у2 28,
В о,4х 2 у3 о,3х 3 у2 24,
С з,1х2 у 3 2,2х 3 у2 35.
.
475. Выражение Р (А В) + (С D) представьте в вще
мноrочлена, если
А 3,5а 2 2,4ь 2 + 1,
В 0,6a2 + 2,зь 2 2,6,
С а 2 0,4ь 2 4,8,
D 3а 2 + О,6ь 2 + 8 .
476. Замените М мноrочленом так, чтобы полученное pa
венство было тождеством:
а) М+(2х 2 +х) зх2 х+ 1;
б) (3а 4 а) + М 5а 4 6а;
в) М (х 3 + х 2 ) зх 2 + 1;
r) M (3a4 а) 5а 4 +6а+ 1;
д) (а 6 + а) м 2а 6 а + 9;
е) (2х 4 3x3) М х 4 +х 3 .
477. Какой мноrочлен надо прибавить к мноrочлrn:у
3х 3 + 2х2 х + 6, чтобы получить:
а) 3х 3 ; б) х 2 ; в) Х + 6; r) 3х 3 + 2х2?
478. Какой мноrочлен надо вычесть из мноrочлrn:а
5х 3 6х 2 + х 1, чтобы получить:
а) 5х 3 ; б) 5х 3 + х; в) 3х; r) 6?
479. Представьте мноrочлен в виде суммы или разноcrи
двучленов с положительными коэффициентами:
а) 6х 3 6х 2 Х + 1; в) x5 + х 4 х 3 + х 2 ;
б) х 4 + х 3 + зх 2 + 8; r) зх 8 х 6 + х 4 5х 2 .
480. Представьте трехчлен в виде суммы двучленtВ,
каждый из которых содержит член вида ах, rде а HeKoro
рое число:
а) х 2 +8х+1;
б) х 2 6х 8;
в) х 2 + 5х 11;
r) х 2 + х 31.
Дополнительные упражнения к rлаве 3
95
481. Если из двузначноrо числа вычесть двузначное число,
записанное теми же цифрами, взятыми в обратном порядке,
то разность будет равна 72. Найдите это двузначное число.
482. Представьте числа в виде мноrочленов и упростите
полученное выражение:
а) аОЬ + ЬОа;
б) 5ху ху;
в) 8аЬ аЬ8;
r) аЬОс сЬОа.
483. Преобразуйте в мноrочлен:
а) а n Ь n (а 8 Ь 4 а 9 Ь 3);
б) 2xny ( x6y6 + ху5 ху);
в) (Зь 6 + 15ь 5 с + с 4 ). ( O,1bnc);
r) (у7 xy6 + xy4 + х ) . ( 15xпy2).
484. В январе бриrада изrотовляла ежедневно а изделий,
в феврале на 20% больше, чем в январе, и на Ь изделий
меньше, чем в марте. Сколько изделий изrотовила бриrада
за первый квартал, если в январе было 19 рабочих дней, в
феврале 20 рабочих дней, а в марте 25?
485. Маrазин в первый месяц продал 35 курток, а во BTO
рой на 15 курток больше. Найдите выручку маrазина за
два месяца, если известно, что в первый месяц куртки про
давали по цене а р., а во второй месяц цена возросла на 10%.
486. Замените выражение тождественно равным MHO
rочленом:
а) 18 7(2 т) + 3(1 2т);
б) 5р(р + 1) р2(5 + р) + р3;
в) 0,6x(x + 0,3) (0,4х + 1). ( x);
r) 7(ь 2 + 3Ь 1) + (Ь + 4) . ( 7b).
487. Упростите выражение:
а) (2х2)2 х 3 (1 х);
б) ( b2 J + Ь( 2 1 7 Ь5 1}
в) (0,2х 3 )2 0,1х 2 (0,зх 4 1);
r) ( ia2 J
....L a (a 3 + 256).
. 128
96
r л а в а 3. Мноrочлены
488. Упростите выражение:
а) x (1 (1 (1 ... (1 х)...))), ['де единица напи
сана 10 раз;
б) x (1 (1 (1 ... (1 х)...))), rде единица напи
сана 101 раз.
489. Объясните суть числовоrо фо:куса: если двузначное
число умножить на себя, вычесть из Hero 81, полученный
результат разделить на задуманное число, увеличенное на 9,
а к частному прибавить 9, то получится задуманное число.
490. Докажите, что при всех а и Ь значение выражения
3а 2 + а(а 4Ь) 2а(6 2Ь) + 12а + 1 является положительным
числом.
491. Пред ставьте в виде мноrочлена:
а) (а + 3)(а + 4)(а + 5); в) (у + 2)(у 2)(у + 4);
б) (х 1)(х 8)(х + 6); [') (р 5)(р + 1)(р + 2).
492. Пусть т сумма :коэффициентов при четных степе
нях, n сумма коэффициентов при нечетных степенях MHoro
члена, тождественно paBHoro произведению
(х 2 2х 3)( 2x2 + 3х 1).
H т+п т n
аидите """'"""2 и """'"""2 .
493. Замените степень произведением и преобразуйте
ero в мноrочлен стандартноrо вида:
а) (х + 1)2; б) (а 6)2; в) (х + у)3; [') (а 5)4.
494. Докажите, что каждое из выражений
(а + Ь)(а 3 а 2 Ь + аь 2 Ь 3 ) и (а Ь)(а 3 + а 2 Ь + аь 2 + Ь 3 )
тождественно равно а 4 ь 4 .
495. Докажите, что при любом значении Ь:
а) выражение (Ь 4)(2Ь + 1) + 7(Ь + 1) принимает по
ложительное значение;
б) выражение 5Ь(2 Ь) (Ь + 1)(Ь + 9) принимает OT
рицательное значение.
496. Докажите, что не зависит от а значение выражения
(7,5а 2Ь)(2а + 4Ь) 15а(а + 2Ь) + 4аЬ.
497. Найдите значение выражения
(9а 2 15а + 25)(3а + 5) 9а 2 (3а 1) при а , о; 1i.
Дополнительные упражнения к rлаве 3
97
498. Упростите выражение:
а) (а + 2)(а + 2)(а + 4) а(а 2 + 20);
б) (х + 3)(х + 4)(х 4) х(х 2 + х 16);
в) х 2 (2 х) + (х + 1)(х + 1)(х 4);
r) а(а 2 7) (а + 1)(а + 2)(а 3).
499. Зависит ли от а значение выражения:
а) (а 2 ба + 4)(2а + 3) (2а 2 а 10)(а 3);
б) (а 1)(а 2 + а + 1) (а + 1)(а 2 а + 1);
в) (а + 1)(а 1)(а 2) а(а 2 2а 1);
r) (а + 2)(а 2)(а + 1) (а 2 + 1)(а 4)?
500. Докажите, что являются тождественно равными Bыpa
жения:
а) (х + а)(х Ь)(х с) и х 3 + (а Ь с)х 2 +
+ ( ab ас + Ьс)х + аЬс;
б) (а + Ь + х)(а Ь х) и (а Ь)(а + Ь) х(2Ь + х);
в) (а+х+у)(а+ x у) + у2 и (а+ х)2.
4 Алrебра, 7 кл.
a3
II
УРАВНЕНИЯ
1*
J
7. УРАВНЕНИЕ С ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
16. Уравнение и ero корни
Рассмотрим старинную задачу:
Летела стая rусей, а навстречу им летит rycb. «3дpaB
ствуйте, сто rусей!.} rоворит rycb. «Нас не сто, отвеча
ют ему rуси. Если бы нас было СТОЛЬКО, сколько теперь,
да еще столько, да полстолька, да четверть столька, да еще и
ты, rycb, то тоrда нас было бы сто!}. Сколько rусей в стае?
Обозначим буквой х число rусей в стае. По условию задачи
1 1
х + х + 2 х + 4 х + 1 100.
Чтобы найти неизвестное число rусей, мы составили pa
венство, содержащее переменную. Такие равенства называют
уравнениями с одной переменной или уравнениями с одним
неизвестным. Впервые уравнения в явном виде появились в
труде «Арифметика.} древнеrреческоrо математика Диофанта.
,g {t i ;1&:. i.:t ' A ...,
: цч.. : ,!. оС J;...... '1': '/ .".
' ':".' : ., ' .!lf " ' ,
,',." (,
:t «
..... . .....
, .",.
t"I.::. .
:' {1/,
,.
,
.r.
f
.1 ..\
.../iiI.J,
:(t'. ., ,',:)
'<...../ ", .'"""V",.. ',;ftI.
.-",
:.';-.j
. .
Диофант Александрийский
(111 в.), древнеrреческий математик,
автор первоrо изложения основ
алrебры, которое можно найти во
введении к сочинению «Арифме
тика»; здесь впервые для обозна
чения неизвестных вводится бук
венная символика, рассматрива
ются уравнения и правила их
преобразований, названные позже
ал Хорезми «аль джебр» и «аль
мукабала» .
! 7. Уравнение с одной пере мен ной
99
Нам надо найти значение х, при котором уравнение обра
щается в верное числовое равенство. Такое число называют
корнем уравнения.
Оп р е Д е л е н и е. Корнем уравнения (решением ypaB
Jlения) называется значение переменной, при котором ypaB
пение обращается в верное равенство.
Решить уравнение значит найти множество ею корней.
Иначе rоворя, решить уравнение значит найти все ero корни
или доказать, что их нет.
Множество корней уравнения может состоять из одноrо,
двух, трех и т. д. элементов, оно может быть пустым множе
ством или бесконечным множеством.
Приведем примеры.
1. Уравнение х + 1 6 имеет один корень число 5.
2. Уравнение (х l)(х 5)(х 8) О имеет три корня: 1,
5 и 8. Каждое из этих значений х обращает произведение
(х 1)(х 5)(х 8) в нуль, а при любых друrих значениях х
ни один из множителей не равен нулю, а значит, не равно
нулю их произведение.
3. Уравнение х х + 4 не имеет корней, так как значе
иие ero левой части меньше значения правой части при
любом значении х.
4. Уравнение 3(х + 5) 3х + 15 имеет бесконечно MHoro
корней, так как в силу распределительноrо свойства YMHO
жения значение ero левой части равно значению правой части
при любом значении х.
В уравнении 1 7 3х 2х 2 обе ero части имеют смысл
15 x
при любом значении х, а в уравнении . 2 х + 9 обе ero
x
части имеют смысл только тоrда, коrда х =1= 2. rоворят, что
областью определения первоrо уравнения (или областью дo
пустимых значений переменной в первом уравнении) явля
ется множество всех чисел, а областью определения BToporo
уравнения множество всех чисел кроме 2.
О п р е Д е л е н и е. Областью определения уравнения
(областью допустимых значений переменной в уравнении)
называется множество значений переменной, при которых
обе части уравнения имеют смысл.
Введем теперь понятие равносильности уравнений.
100
r л а в а 4. Уравнения
Уравнения х 2 36 и (х + 6)(х 6) О имеют одни и
те же корни: 6 и 6. Такие уравнения называют равносиль
ны.ми.
Оп р е Д е л е н и е. Уравнения называются равносиль
ными, если множества их корней совпадают.
Иначе rоворя, уравнения равносильны, если они имеют
одни и те же корни или не имеют корней.
В процессе решения уравнений стремятся данное ypaBHe
ние заменить более простым уравнением, равносильным
ему. При этом используются следующие свойства:
из данноzо уравнения получается равносильное ему
уравнение,
1) если перенести слаzаемое из одной части уравнения
в друzую. изменив ezo знак;
2) если обе части уравнения умножить или разделить
на одно и то же отличное от нуля число;
3) если в какой либо части или в обеих частях уравнения
выполнить тождественное nреобразование. не меняющее
области определения уравнения.
Первые два свойства можно доказать, используя свойства
верных числовых равенств: если к обеим частям BepHoro
равенства прибавить одно и то же число, то получится верное
равенство; если обе части BepHoro равенства умножить или
разделить на одно I:f то же отличное от нуля число, то полу
чится верное равенство.
Третье свойство вытекает из Toro, что в результате тожде
cTBeHHoro преобразования получается выражение, значение
KOToporo совпадает со значением исходноrо выражения при
любых допустимых значениях переменной.
Заметим, что требование сохранения области определения
уравнения является существенным. Так, если в уравнении
1 1
х + 2 + 2х
x 2 x 2
1 1
заменить нулем разность x 2 x 2 ' то получится уравнение
х + 2 2х,
не равносильное данному. Действительно, число 2 является
корнем BToporo уравнения, но не является корнем первоrо,
так как при х 2 левая часть первоrо уравнения не имеет
смысла.
.t 7. Уравнение с одной переменной
101
Вернемся к задаче, рассмотренной в начале пункта.
Решим составленное по условию задачи уравнение
1 1
х+х+ 2Х+ "4Х+ 1 100.
Перенесем слаrаемое 1 в правую часть, изменив ero знак
на противоположный и приведем подобные слаrаемые:
1 1
x+x+ x+ x 100 1
24'
3
Разделим обе части уравнения на 2"4:
х 36.
Заменяя последовательно одно уравнение друrим, ему
равносильным, мы нашли, что число 36 является корнем
уравнения, составленноrо по условию задачи.
Теперь мы можем ответить на вопрос задачи в стае
было 36 rусей.
3
24x 99.
501. Является ли число 7 корнем уравнения:
а) x4 5х 3 + 17х 2 + х 15;
б) (17х 119)(х 4 + 11) о?
502. Из множества Х { 3, 2, 1, о, 1, 2, 3} выделите
подмножество чисел, являющихся корнями уравнения
х 4 1зх 2 + 36 о.
503. Из данных уравнений выберите те, для которых чис
ло 12 является корнем:
6х + 72 о,
(х 4)(х + 12) о,
зх 2 + х 132,
2х2 Х 276,
(х 12)х о,
I х I + х о.
504. Сколько корней имеет уравнение:
а) х + 8 11; r) 3х 21 16 + 3х;
б) (х 6)(х + 4) о; д) х 4 + х 2 + 1 о;
в) 5(х + 9) 5х + 45; е) х 2 + (х 5)2 о?
505. Приведи те пример уравнения, множество корней
KOToporo:
а) состоит из одноrо числа;
б) является бесконечным;
в) является пустым.
506. Найдите множество корней уравнения:
а) ( x)4 х 4 ; б) х 7 ( x)7; в) ( x)2 . ( x)4 Х . х 5 .
102
r л а в а 4. Уравнения
507. Имеет ли:
а) уравнение 5х 5 + зх 4 + х 3 + 1 == О положительные
корни;
б) уравнение 2х 5 х 4 + 6х 1 == О отрицательные
корни?
508. Укажите область определения уравнения:
а) 5(х 1,8) == 3х + 6;
1
б) х + 1 + О.
4х '
д) 2х 1 == 2х2 .1..;
3 х + 1 3х
е) 3х 2 2х 3 2х ;
Ixl 1 Ixl 1
ж) 3х 2 2х 3 2х .
I x l+l Ixl+l
В ) х2 + 18 4 == 5'
х 1 '
6
r ) 5 О.
х 2 + 1 '
509. Решите уравнение:
а) I х I == 18; r) I х I == х;
б) I х I == о; д) I х I == x;
в) I х I 15; е) I х 5 1 == x5;
ж) 1 x 14 == х 4 ;
з) I x 17 == х 7 .
510. Какие свойства уравнений позволяют утверждать,
что равносильны уравнения:
а) 6х 1 == 11 и 6х == 11 + 1;
б) 15(2 х) == 30 и 2 х == 2?
511. Проверьте, равносильны ли уравнения 2х 3 == 1 х и:
2х 3 1 х .
а) 3 2х == х 1; в) """""3'
б) 3(2х 3) == 3(1 х); r) 2х х == 1 3.
Объясните, на основании каких свойств можно сделать
выводы о равносильности или неравносильности уравнений.
512. Равносильны ли уравнения:
а) 12х 2 == 7х + 1 и 12х 7х == 1 + 2;
б) 15(6 0,2х) == (2 х) и 90 3х == 2 х;
в) О,Оlх 0,2 == О и х 20 о;
2 2
r) 3х + == х + 2 и 3х == х + 2?
х х
513. При каких значениях m равносильны уравнения:
а) 7х + 2 == 16 и 7х + 2 + m == 16 + т;
б) 7х + 2 == 16 и (7х + 2)т == 16т?
11 7. Уравнение с одной переменной 103
514. Решите уравнение ху 2k, rде k =1= о, относительно
переменной: а) х; б) у.
.) Упражнения для повторения
515. Упростите выражение:
а) 2, 7(а 18) 0,8(2а + 50) 1,7;
б) (Ь 1)(6Ь + 4) (2Ь + 3)(3Ь 2) + (6,4Ь 2).
516. Сравните значения выражений:
а) 6 . ( 2)11 И 6 . 211;
б) 7 . ( 3)10 И 7 . 310;
в) (1, 7 0,8)6 И (0,8 1,7)6;
r) (0,9 0,2)5 и (0,2 0,9)5.
17. t Линейное уравнение
с одной переменной
В Московском музее изобразительных искусств имени
А. С. Пушкина хранится древнееrипетский папирус, co
зданный около 2000 r. до н. э. Он получил название Moc
KOBcKoro папируса. Одна из ero задач сводится к уравнению
1 4
х "5 х 20, равносильному уравнению "5 х 20. Такие ypaB
нения решали в Вавилоне, Древней Индии и в Древнем Ки
тае за две тысячи лет до нашей эры. Уравнение х 20
имеет вид ах Ь. Уравнения TaKoro вида называют линейны
ми уравнениями с одной переменной.
Оп р е Д е л е н и е. Уравнение вида ах == Ь, rде х пе
ременная, а и Ь некоторые числа, называется линейным
уравнением с одной переменной.
Примерами линейных уравнений MorYT служить уравнения:
0,5х 2, 7х о; x 4.
В первом из них а 0,5, Ь 2, во втором а 7, Ь о, в
третьем а 1, Ь 4.
В уравнении ах Ь число а называют коэффициентом, а
число Ь свободным членом.
Выясним, сколько корней может иметь уравнение ах Ь.
Рассмотрим случаи, коrда а =f о и Ь любое число; коrда
а О и Ь =t= о; коrда а О и Ь О.
104
r л а в а 4. Уравнения
Если а 1= О, то, разделив на а обе части уравнения ах Ь,
ь
найдем, что х , т. е. в этом случае уравнение имеет един
а
Ь
ственный корень, равный .
а
Если а О и Ь 1= О, то уравнение ах Ь не имеет корней,
так как при этих условиях равенство Ох Ь ни при каком х
не является верным.
Если а О и Ь О, то любое число является корнем ypaB
нения, так как равенство Ох О верно при любом х.
Итак, множество корней линейноrо уравнения может co
стоять из одноrо элемента, быть пустым множеством, быть
бесконечным множеством.
517. Даны уравнения:
1 1
12х О, Ох 12, x 3' Ох о, 7 х О,
Какие из них:
а) u.меют единственный корень;
б) не имеют корней;
в) имеют бесконечно MHoro корней?
518.
Найдите корень
а) 9х 108;
б) x 1;
в) 100x 7;
уравнения:
r) 13х 2;
д) 7 х 3;
е) x 11;
519. Решите уравнение:
1
а) 0,6х 1,5; r) 7х
7
1
б) 0,05х 1; д) 7X 3;
5
в) 0,81х о; е) 0,2х 7;
1
Ох 7'
ж) 18х о;
з) l1х 17;
и) x О.
1
ж) БХ 0,1;
2
з) 0,7х 3;
7
и) 8X 0,3.
520. При каких значениях х значение выражения 7 Х равно:
1
а) 343; б) 1; в) 7; r) о; д) 0,1?
521. Составьте какое либо линейное уравнение, которое:
а) имеет единственный корень, равный 3;
б) не имеет корней;
в) имеет бесконечно MHoro корней.
9 7. Уравнение с ОДНОЙ переменной
105
522.
Решите уравнение:
а) 17х I 14;
б) I 0,8x I 1;
в) I 0,5х I о;
r) I 2,5x I 5.
523. В уравнении ах 15 найдите коэффициент а, зная,
что корень уравнения равен:
1 1
а) 3; б) 3; в) 15 ; r) 0,02.
524. Найдите все целые значения коэффициента а, при
которых корень уравнения ах 8 является целым числом.
525. При каких значениях k уравнение kx k 2 4k имеет
единственный корень; не имеет корней; имеет бесконечно
MHoro корней?
526. При каких значениях т уравнение тх т 2 5т + 6
имеет единственный корень; не имеет корней; имеет беско
нечно MHoro корней?
527. Не решая уравнение, составьте какое либо уравнение
с целыми коэффициентами, ему равносильное:
а) 3,17x 2,1;
5
б ) x 2 5'
6 ' ,
1
в) l x 2.
3
528. Зная, что переменные принимают положительные
значения, выразите:
а) из формулы s аЬ переменную а через s и Ь;
б) из формулы s vt переменную v через s и t;
в) из формулы р тп каждую из переменных т и п
через две друrие.
+t++ t) Упражнения для повторения
529. Упростите выражение и найдите ero значение:
а) 5х(х + 3) (5х + 1)(х + 2) при х 1,3;
б) (ба Ь)(а 2Ь) (2а + Ь)(3а + 2Ь)
при а 1,5, Ь 2.
530. Найдите значение выражения:
313 . 92 153
а) 275 ; б) .
531. Задайте с помощью перечисления элементов MHO
жество трехзначных чисел, у которых цифра десятков в 4 раза
больше цифры сотен и на 2 больше цифры единиц.
106
r л а в а 4. Уравнения
.) Контрольные вопросы
и задания
1. Что называется корнем уравнения? Является ли число 2
корнем уравнения x3 х 6?
2. Что значит решить уравнение?
3. Какие уравнения называются равносильными? Сфор
мулируйте условия перехода от данноrо уравнения к paBHO
сильному уравнению. Приведите пример двух равносильных
уравнений.
4. Какое уравнение называется линейным уравнением с
одной переменной?
5. Сколько корней может иметь линейное уравнение с
одной переменной? Приведите примеры.
РЕШЕНИЕ УРАВНЕН Й И ЗАДАЧ
Решение уравнении,
сводящихся к линейным
Выполняя тождественные преобразования выражений и
используя свойства уравнений, мы можем иноrда решение
заданноrо уравнения с одной пере мен ной свести к решению
равносильноrо ему линейноrо уравнения.
Рассмотрим примеры.
8.
18.
При м е р 1. Решим уравнение
(2х + 1)(3х 2) 6х(х + 4) 67 2х.
Умножим в левой части уравнения мноrочлен на MHoro
член и одночлен на мноrочлен, а затем раскроем скобки:
(6х 2 + 3х 4х 2) (6х 2 + 24х) 67 2х,
6х 2 + 3х 4х 2 6х 2 24х 67 2х.
Перенесем слаrаемые, содержащие х, в левую часть и
свободные члены в правую, изменяя при этом их знаки:
6х 2 + 3х 4х 6х 2 24х + 2х 67 + 2.
При ведем подобные слаrаемые:
23x 69.
Разделим обе части уравнения на 23:
х 3.
Мы последовательно заменяли одно уравнение друrим, ему
равносильным. Значит, заданное нам уравнение равносильнО
уравнению 23х 69 и имеет единственный корень число 3.
о 8. Решение уравнений и задач
107
При м е р 2. Решим уравнение
х + 2 3х 1 2.
3 4
х+2
В левой части этоrо уравнения содер атся дроби 3 и
3х 1
4
Умно ив обе части уравнения на наименьший общий
знаменатель дробей, т. е. на 12, получим
( х + 2 3х 1 )
з------ . 12 2 . 12.
Раскроем скобки:
х + 2 . 12 3х 1 . 12 24
34'
Умно им ка дую дробь на 12 и выполним сокращение:
(х + 2) . 12 (3х 1) . 12 24
3 4 '
(х + 2) . 4 (3х 1). 3 24.
Далее имеем:
4х + 8 9х + 3 24,
4x 9х 24 8 3,
5x 35,
х 7.
Заменяя шаr за шаrом одно уравнение друrим, ему paB
носильным, мы получили линейное уравнение 5x 35,
равносильное данному. Значит, данное линейное уравнение
имеет единственный корень число 7.
В рассмотренных при мерах решение исходноrо ypaBHe
ния сводилось к решению равносильноrо ему линейноrо
уравнения ах Ь, в котором коэффициент а не равен нулю.
Однако Mo eT случиться так, что, заменяя последовательно
одно уравнение друrим, ему равносильным, мы в результате
получим линейное уравнение либо вида О. х Ь, rде Ь =1= О,
либо вида О. х О. в первом случае MO HO сделать вывод,
что исходное уравнение не имеет корней, во втором что
оно имеет бесконечно MHoro корней, причем любое число
.является ero корнем.
108
r л а в а 4. Уравнения
При м ер 3. Решим уравнение
2х 7 4х 1 О
24'
Имеем:
( 2х 7 4х 1 ) . 4 О . 4
2 4 '
2х 7 . 4 4х 1 . 4 О
2 4 '
(2х 7). 2 (4х 1) о,
4х 14 4х + 1 О,
4x 4х 14 1,
Ох 13.
Уравнение Ох 13 не имеет корней. Значит, и paBHO
сильное ему исходное уравнение не имеет корней.
При м е р 4. Решим уравнение
(5x 1) 2(3x 6) 11 х.
Имеем:
5х 1 6х + 12 11 х,
5х 6х + х 11 + 1 12,
Ох О.
Уравнение Ох О, а значит, и равносильное ему исходное
уравнение имеет бесконечно MHoro корней, причем любое
число является ero корнем.
532. Найдите корень уравнения:
а) 6х + 1 43; е) 12х + 2 о;
б) x 4 11; ж) 1 27х о;
1
в) 1,5 + х о; з) О 16 "3 х;
1
r) 2 13 + 0,5х; и) 6 х + 2 О.
д) 5x 8 1,5;
2
533. При каких а значение выражения 1 3" а равно:
а) 7;
б) о;
в) 2;
r) 0,2?
534. Найдите корень уравнения:
а) 3,5 3х 2,3 + х; в) 4x + 0,1 4,5x 1;
1 1 1 1
б) 3" х 6 + 2х; r) х + "3 х 4 2" х.
8. Решение уравнений и задач
109
535. Решите уравнения из древнееrипетских папирусов:
а) ( 1 + )х + 4 = 10;
б) ( х + x ) (x + x ) = 10;
В ) х + + = 10'
24'
r ) х + x + .!Х + .!Х = 37'
3 2 7 '
д) 3х + + .! . + .! х = l'
3 3 3 9 '
е) (( х + x ) + . ( х + x ) J- = 10
Уравнение а) из MOCKoBcKoro папируса, 2000 1'. до н. э.,
уравнения б) е) из папируса Ахмеса, около 1700 r. до н. э.
536. При какИХ значениях а:
а) значение выражения 2 3а равно удвоенному
значению выражения 3 + 5а;
б) значение выражения 7 1,2а на 7 меньше значе
ния выражения 1 1,lа?
537. Решите уравнение:
а) 1 х 4 1 8;
б) 11,1 х 1 1,2;
в) 1 0,3х 11 о;
r) 11,2 + 0,4х I 1;
д) 12,5 1 х + 211 2,5 1,5;
е) 12,5 1 х + 211 + 1,5 2,5.
538. Найдите, ПрИ каких значениях а корнем уравнения:
а) а 12х 11 4 5 является число 7;
б) 3а 16х 411 + 3 14 является число 5;
в) 2 . 13х 2а 1 + 3 х 1 является число 3;
1') 1 х а 1 + 3 х а + 3 является число 1.
539. Решите относительно х уравнение:
а) 6х 3у 1; в) x + 3а + Ь о;
б) x + 2у 5; r) 6 kx + 4а 5Ь (k "/:. О).
>40. При какИХ значениях переменной верно равенство:
а) 2 2х + 3 4 . 8 Х ; в) 7 2х 3 1;
б) 9 Х + 2 З Х . 27 Х ; r) з зх 3?
110 rл а в а 4. Уравнения
541. Решите уравнение:
а) (12 х) (3х + 4) x 1;
б) 15+(6x x+2) 5х;
в) (2 + х) + (18 4х) (6x 2);
r) (0,5x + 0,2) х (1,5х + 0,1);
д) 2х + (1,5 3х) 1 (х + 0,7);
е) 8 (х + ) (2X + 7 ).
542. Найдите корни уравнения:
а) (6 х) + (12 + х) (3 2х) 15;
б) (1,5х 1) (0,2х 1) о;
в) 8,2х (5,8х + 4) (0,6x 1);
r) О ( х) (х + ) + (2Х );
д) 5х 8х (3 + 2х) (х + 3);
е) (1,6 + х) + (2,4 2х) + (х + 7) О.
543. Решите уравнение:
а) 9 (х 3) (6 (2 3х» x 1;
б) 1,2 (2х (х 2» (х 0,8) 2x;
в) 4 + (2х (4х 1» + х 5 х;
r) x ( 2x (3x 1» + 4 3 + 4х.
544. Существует ли значение у, при котором значения
выражений (12 + у) (1 2у) и 15 3у:
а) равны;
б) являются противоположными числами?
545. При какОМ значении а равносильны уравнения:
а) 4(3х а) ах 15 27 и 0,5(х 4) + 8х 15;
б) 6(2а х) 3ах + 4 25 и 0,9х 0,3(2х 1) 6?
546. При каком значении Ь корни уравнений
5Ьх 2(4х + Ь) х 16Ь и 1,6(2 + х) 3,2(3х + 4) О
являются противоположными числами?
547. Найдите корень уравнения:
а) 12 (1 6х)х 3х(2х 1) + 2х;
б) (18 + 4х)х 76 2х(2х 1);
в) 11 (18 6х)' 4 (3х + 1) . 5;
r) (6x + 1) 4(2 3х) 3(2х 3).
!? 8. Решение уравнений и задач
111
548. Решите уравнение:
а) 8(2х 1) 5 (3х + 0,8) х 4;
б) 1,2(3 х) 0,3(4х + 1) 0,1 0,8(3х 4);
в) 1,5 0,2(2х 1) 3 + (0,6х 1,3);
r) (3,2 х) 6(0,3 х) (3х 5).
549. Найдите множество значений а, при которых произ
ведения (6а 1)(2а + 4) и (3а 5)(4а + 6) принимают равные
значения.
550. Решите уравнение:
а) (7х + 1)(3х 1) 21х2 3;
б) (1 4х)(1 3х) 6х(2х 1);
в) (3 х)(4 8х) х(1 + 8х);
r) (1 у)(4 6у) (2у 1)(3у + 1) 3.
551. Решите уравнение:
а) 7х 2 1 (2х + 1)(3х 2) х 2 ;
б) 4х(2х + 2) (8х 1)(х + 6) 3;
в) (5 2х)(4 х) 2х(х + 6) 1 х;
r) 5х(х 8) (5х 2)(х + 1) 6х.
552. Найдите натуральные значения а, при которых явля
ется натуральным числом корень уравнения:
а) а(3х 2) + 2(3 + а) 18;
б) 3х(а 1) 2а(х + 4) 4(1 2а).
3 1,2p
553. При каких значениях р значение дроби равно:
а) о;
б) 1;
1
в) 12;
r) 0,7?
554. При какИХ значениях х равны значения дробей:
а) 0,6 2х 1,2 4x. в) 1 2x 3 4x
и , и ;
3 6 0,4 0,8
б) 6 О,lх и 3 0,05x. r) 1 + 0,2х и 0,6х+l ?
, .
4 2 0,02 0,06
555. При каких значениях х являются протИВОПОЛожными
числами значения дробей:
3 2x 3х
а) 2 и 5 ;
б) х +0,8 и 0,2+х ?
2 4'
112
556. Решите уравнение:
r л а в а 4. Уравнения
а) i == 3;
б) !!... == у 1;
4
В ) 1 3у == О.
5 '
r) y == о;
д) 3р Р == 5;
4
е ) 5х 3х == 1 9.
2 5 '
557. Найдите корень уравнения:
) З х х.
а
2 5'
б) == х 6 ;
558. Решите уравнение:
а ) 1 5 == 2х 1 . 5'
, 4 '
б ) 1 == 3х 1 . 2'
4 '
x 8 2 x.
в) '
r ) 2х 1 ==
4 з'
В ) О 5. 2х + 6 == х l'
, 5 '
r) 0,3. 10х 1 == 3 х.
2
559. Решите уравнение:
а ) о 3х 4 О,lх == 0,3х + 1 .
, 3 2'
б ) 1 + х + 1 х == О 5х + l'
6 4 ' ,
в) 5: х + 1 == (3 х);
r) 3 !(5 2х) == .
5 2
560. Решите уравнение:
а ) 1 5 ( + 1 2Х ) == 2'
, 4 6 '
б) (6X 1) ( 0,5 ) == о;
в) (5X 1) ( 2 + ) == о;
r) 3(х 1) (2x + 1) == 4.
2 3
11 8. Решение уравнений и задач
113
561. В таблице частот HeKoToporo статистическоrо иссле
дования две частоты неизвестны и отличаются на 1. Найдите
их, если среднее арифметическое данной выборки равно 6.
Варианта
Частота
4
3
5
2
6
7
2
8
562. При каких значениях Ь сумма дробей
0,7+0,4Ь
3
и
0,7 О,IЬ
2
а) равна их утроенной разности;
б) составляет 0,2 от их разности?
563. Решите уравнение:
а) 3 ( Х ; 1 + 3 Х ) == о;
б) 1 + 2\+ 1 == 3(Х 1);
В ) x 1 == 3Х 2 Х 1 .
4 2 з'
r) 2 .!.(2Х + 1) == 3х + 0,5 .
3 5
564. Решите уравнение:
а ) 5х 4 2х + 1 == .!. ( x 29 ) '
2 3 5 '
б ) 3 + 2х ( х + 1 1 х ) == l'
3 5 6 '
В ) 2х + 1 3 + 4х + О 5 == Х'
2 9 ' ,
r) 3х 1 1 2х == х .!.(1 3х).
5 2 4
565. При каком значении у:
а) произведение (у 0,25)(у + 1,5) на 1 больше дроби
(2у + 0,5) (у + 1) .
2 '
б) произведение (у + 0,2)(у 0,4) на 0,2 меньше
дроби (5у l)(у + 0,2) ?
5 .
114
r л а в а 4. Уравнения
566. Решите уравнение:
а) (2х + 1)(2х 3) = х2 1;
4
б ) х2 (2х 1) . х = 2'
2 '
) (1 х)(1 + 5х) 2 1
в +х = ;
5
r) 3х2 (3х + 1)(4х 1) = 1.
4
3 а+Ь h
567. ная, что в формуле s = . переменные при
нимают только положительные значения, выразите перемен
ную а через остальные.
568. Решите относительно х уравнение, в котором бук
вой а обозначено не равное нулю число:
а) ах + 15 = 6 а; в) 3ax 1 а.
4 12 6'
б) 5 ах = а l' r) 6ах 1 1
.
8 ' 2 8
.) Упражнения для повторения
569. Найдите значение выражения:
а) 100a2b3 при а 1 и Ь 0,2;
б) 4a2b + 3,04 при а 0,1 и Ь 50.
570. Автомобиль двиrался 1 ч 20 мин со скоростью а км/ч
и 45 мин со скоростью Ь км/ч. Какой путь проехал aBTOMO
биль?
571. Докажите, что значение выражения
(2а 1)(3а + 4) 6(а 2 2) 5а
не зависит от а.
19. Решение задач с помощью уравнений
Применение уравнений позволяет решать различные за
дачи. При решении задач с помощью уравнений поступают
следующим образом:
!} 8. Решение уравнений и задач
115
обозначают неизвестное число буквой и составляют ypaB
нение, используя условие задачи;
решают уравнение;
истолковывают результат в соответствии со смыслом за
дачи.
Задача 1. В равнобедренном треуrольнике одна из сторон
в 3 раза больше друrой. Какова длина сторон треуrольника,
если известно, что ero пери метр равен 119 см?
Пусть одна из сторон треуrольника равна х см, тоrда BTO
рая сторона равна 3х см. Выразим через х длину третьей CTO
роны. Так как треуrольник равнобедренный, то она равна
либо х см, либо 3х см. Однако третья сторона не может быть
равна х см, так как в этом случае сторона треуrольника OKa
залась бы больше суммы двух друrих сторон. Значит, третья
сторона треуrольника равна 3х см. По условию задачи пери
метр треуrольника равен 119 см. Следовательно,
х+3х+3х 119.
Решим составленное уравнение:
7х 119;
х 17.
3х 3 . 17 51.
О т в е т: стороны треуrольника равны 17 см, 51 см и 51 см.
Задача 2. Требуется найти трехзначное число, удовлетво
ряющее следующему условию: если к нему приписать спра
ва цифру 5 и из полученноrо четырехзначноrо числа вычесть
3012, то разность будет в 6 раз больше трехзначноrо числа.
Чему равно это число?
Пусть х искомое трехзначное число. Тоrда, приписав к
нему справа цифру 5, получим четырехзначное число, paB
ное 10х + 5. По условию задачи разность (10х + 5) 3012
в 6 раз больше числа х. Следовательно,
(10х + 5) 3012 6х.
Решим составленное уравнение:
10х+ 5 3012 6х,
10х 6х 3012 5,
4х 3007,
3
х 7514 .
116
r л а в а 4. Уравнения
По смыслу задачи х натуральное число, а корнем ypaB
нения является дробное число. Значит, не существует Tpex
значноrо числа, которое удовлетворяло бы данному условию.
О т в е т: TaKoro трехзначноrо числа не существует.
572. Фирма арендует два помещения общей площадью
258 м 2 . Найдите площадь каждоrо помещения, если известно,
что площадь одноrо из них на 18 м 2 больше площади друrоrо.
573. За две упаковки конфет заплатили 30 р. 50 к. Сколько
стоит каждая упаковка, если известно, что одна из них на
1 р. 50 к. дороже друrой?
574. Одна сторона треуrольника вдвое больше друrой и
на 3 см меньше третьей. Найдите стороны треуrольника,
если известно, что ero пери метр равен 38 см.
575. Имеющиеся 175 книr решили разместить на трех
полках так, чтобы на нижней полке было вдвое меньше
книr, чем на средней, и на 25 меньше, чем на верхней.
Сколько книr .надо поставить на нижнюю полку?
576. Доску длиной 2 м распилили на три части. Длина
одноrо куска вдвое больше длины друrоrо и на 30 см меньше
длины TpeTbero Куска. Найдите длину каждоrо куска.
577. Три фирмы получили от завода производителя
236 компьютеров. Вторая фирма получила на 10% больше
компьютеров, чем первая, а третья на 100 компьютеров
меньше, чем первые две вместе. Сколько компьютеров полу
чила каждая фирма?
578. Туристы прошли намеченный маршрут за три дня.
В первый день они прошли 35% намеченноrо маршрута, во
второй на 3 км больше, чем в первый, а в третий OCTaB
шиеся 21 км. Какова длина маршрута?
579. В rруппе учащихся, посещающих плавательный
б 2 П
ассеин, "3 учащихся умеют плавать. . осле Toro, как еще
два ученика научились плавать, оказалось, что число уча
щихся, не умеющих плавать, составляет 35% числа учащихся,
умеющих плавать. Сколько учащихся в rруппе?
580. Если к некоторому натуральному числу припи
сать справа цифру 1, то оно увеличится на 235. Найдите это
число.
118
r л а в а 4. Уравнения
589. Длина прямоуrольноrо листа железа на 4 см больше
ширины. От этоrо прямоуrольника отрезали две полосы так,
что остался прямоуrольник, длина KOToporo на 3 см меньше
длины листа, а ширина на 2 см меньше ширины листа. Най
дите размеры листа, если известно, что ero площадь на
102 см 2 больше площади оставшейся части.
590. Длина прямоуrольника на 5 см больше стороны
квадрата, а ero ширина на 2 см меньше стороны квадрата.
Найдите площадь квадрата, если известно, что она на 32 см 2
меньше площади прямоуrольника.
591. В зрительном зале кинотеатра число мест в ряду
было на 3 больше числа рядов. После реконструкции число
мест в ряду и число рядов увеличили на 2. В результате об
щее число мест в зале возросло на 110. Сколько рядов и
сколько мест в ряду было в зале первоначально?
592. Чтобы перепечатать рукопись к определенному сроку,
машинистка должна была печатать ежедневно по 60 CTpa
ниц. Однако она печатала в день на 20 страниц больше и
потому закончила перепечатку рукописи на 4 дня раныпе
срока. СКОЛЬко страниц в рукописи?
593. Мастерская должна была сшить определенное коли
чество спортивных курток за 24 дня. Однако она шила еже
дневно на 6 курток больше, чем планировала первоначально,
и потому выполнила заказ на 4 дня раньше срока. Сколько
спортивных КУРТОк должна была изrотовить мастерская?
594. Чтобы выполнить задание в срок, Токарь должен
был изrотовлять ежедневно по 50 изделий. "у совершенство
вав резец, он увеличил ежедневную выработку на 20% и
потому выполнил задание на 2 дня раньше срока. СКОЛЬко
Bcero изделий должен был изrотовить Токарь "1
595. Мотоциклист рассчитал, что если он будет ехать из по
сеЛка до станции со скоростью 32 кмjч, то приедет на станцию
за 30 мин до отхода поезда. Однако из за ненастной поrоды он
ехал со скоростью на 7 кмjч меньшей и потому опоздал к поезду
на 12 мин. Чему равно расстояние от поселка до станции?
596. Из пункта А в пункт В выехал автобус со скоростью
45 кмjч. Спустя час вслед за ним из пункта А выехал aBTOMO
биль со скоростью 60 кмjч, который обоrнал автобус и прибыл
в В на 30 мин раньше. Чему равно расстояние от А до В?
9 8. Решение уравнений и задач
119
597. Из деревни в {'ород выехал велосипедист со скоростью
16 км/ч. Спустя 30 мин навстречу ему из {'орода отправился
мотоциклист со скоростью 38 км/ч. Сколько времени Haxo
дился в пути мотоциклист до встречи с велосипедистом, если
известно, что расстояние от деревни до {'орода равно 80 км?
598. Из пункта А отправился автомобиль «Москвич» со CKO
РОСТЫ0 70 км/ч. Спустя 45 мин из пункта В, удаленноrо от А
на 17,5 км, вслед за ним выехали «Жиrулю) со скоростью на
20% большей. Сколько времени потребуется «Жиrулям»,
чтобы доrнать «Москвич»?
599. rруппа туристов отправилась в 8 ч утра на проrулку
на моторной лодке по течению рекИ. О'.rплыв от пристани на
некоторое расстояние, туристы сделали на береrу привал на
2 ч и вернулись обратно в 16 ч 15 мин. На какое расстояние
отплыли туристы, если известно, что скорость лодки в стоячей
воде равна 15 км/ч, а скорость течения реки равна 3 км/ч?
600. Из пункта А в пункт В, удаленный от А на расстоя
ние 130 км, выехали одновременно автомобиль и автобус.
Автомобиль, прибыв в пункт В, сразу повернул обратно и
встретился с автобусом через 2 ч после cBoero выхода из А.
На каком расстоянии от пункта В произошла встреча, если
известно, что скорость автомобиля на 20 км/ч больше CKOpO
сти автобуса?
601. Из поселка на станцию, удаленную от Hero на paCCTO
яние 27 км, отправились одновременно пешеход и велосипе
дист, причем скорость пешехода была на 10 км/ч меньше
скорости велосипедиста. Прибыв на станцию, велосипедист
сразу повернул обратно и встретил пешехода через 2 ч 24 мин
после ero выхода из поселка. На каком расстоянии от посел
ка произошла встреча?
602. rруппу туристов можно рассадить в 40 MeCTHыe aB
тобусы так, что в автобусах свободных мест не останется. В
связи с тем, что вместо 40 MeCTHЫX были поданы 34 MeCTHыe
автобусы, пришлось заказать на 2 автобуса больше. При этом
в одном из автобусов 14 мест оказались свободными. СКолько
туристов было в rруппе?
120
Уравнения
603. Если купленные для класса тетради сложить в пачки
по 45 штук, то останется одна лишняя тетрадь, а если сло
жить в пачки по 50 штук, ТО в одной пачке будет HeДOCTa
вать четырех тетрадей. Сколько тетрадей куплено для класса,
если известно, что в первом случае получится на одну пачку
больше, чем во втором?
604. (Старинная задача). У Пифаrора однажды спросили,
сколько у Hero учеников. «Половина моих учеников изучает
прекрасную математику, четверть исследует тайны природы,
седьмая часть упражняет силу духа. Добавьте еще к ним
трех юношей, из коих Теон самый способный,>. Сколько
было учеников у Пифаrора?
605. Задача о Диофанте Алекс:;tндРИЙСКоМ (111 в. н. э.).
Прах Диофанта rробница покоит: дивись ей и камень
Мудрым искусством ero скажет усопшеrо век.
Волей боrов шестую часть жизни он прожил ребенком
И половину шестой встретил с пушком на щеках.
Только минула седьмая, с подруrою он обручился.
С нею пять лет проведя, сына дождался мудрец.
Только полжизни отцовской возлюбленный сын ero прожил,
Отнят он был у отца ранней моrилой своей.
Дважды два rода родитель оплакивал ТЯЖкое rope.
Тут и увидел предел жизни печальной своей.
Сколько лет прожил Диофант?
606. Имеются два СЛИТка, содержащие медь. Масса BTO
poro СЛИТка на 3 Kr больше, чем масса первоrо СЛИТка. Co
держание меди в первом слитке 10%, а во втором 40%.
Эти слитки сплавили, и из них получился слиток, содержа
ние меди в котором 30%. Определите массу полученноrо
слитка.
607. Имеются два сосуда с раствором соли, причем во
втором сосуде раствора на 2 л больше, чем в первом сосуде. В
первом сосуде содержание соли в растворе составляет 20%, а
во втором 50%. При 'tливании растворов из обоих сосудов
вместе получился раствор, содержание соли в котором равно
40%. Определите количество раствора, которое было во BTO
ром сосуде.
Дополнительные упражнения к rлаве 4
121
.) Упражнения для повторения
608. Упростите выражение и найдите ero значение:
а) x(x + 6) + (2х l)(х + 3) + 3 при х 0,1;
б) (3а Ь)(а 2 + Ь) + а 2 (ь 3а) при а 0,2; Ь 1.
609. Докажите, что при любых а и Ь значение выражения
12а(5а Ь) (6а Ь)(10а + Ь) Ь(Ь 8а)
равно нулю.
610. Сравните с нулем значение выражения:
а) ( з,15)3 . 1,95; в) 3,2 5,62;
б) ( 2,4)5 . ( 1,4)6; r) 3,16 + ( 4,12)2.
.) Контрольные вопросы
и задания
1. На примере уравнения 2(3х 5) 3(х + 6) 12 + 5х
объясните, как решают уравнения с одной переменной, CBO
дящиеся к линейным. Докажите, что полученное линейное
уравнение с одной переменной равносильнq данному.
3х 1 х + 2
2. Решите уравнение 1. Докажите, что в
ходе решения получено линейное уравнение с одной пере
менной, равносильное данному.
3. Какие этапы можно выделить при решении задач с
помощью уравнений?
.) Дополнительные упражнения
к rлаве 4
:к параrрафу 7
611. Имеет ли уравнение
х 6 + зх 5 + х 3 + х 2 + 6 О
положительные корни?
612. Ученик решал задачу: «Из чисел 2, 1, О, 1, 2,
3, 4 выбрать те, которые являются корнями уравнения
2х 5 + 3х 3 + Х + 90 О». Некоторые из данных чисел он ис
ключил сразу, не выполняя вычисления. Какие именно?
Найдите корни уравнения среди оставшихся чисел.
122 Уравнения
613. Используя свойство делимости суммы, докажите,
что число 11 не является корнем уравнения
х 5 6х 4 + 2х 3 х + 102 О.
614. Даны уравнения:
x4+6x3 8x2 6х+7 о,
х 5 + 4х 3 + 5х 1 7 о,
х 4 llх 3 + 6х 101 О,
x3+4x2 19х+ 14 О,
x4 50х 2 +49 О.
Выберите из них те, для которых число 7 является KOp
нем. Какие из этих уравнений можно исключить сразу, не
выполняя вычислений?
615. Докажите, что данное уравнение не имеет целых
корней:
а) 6х 5 12х 4 + 18х 171;
б) 5х 4 15х 3 + 45х 2 201 о.
а
616. Докажите, что несократимая дробь ь' ['де а Е Z, Ь Е N,
Ь '* 1, не может быть корнем уравнения
7x3 10х 2 + 12x 1 о.
617. Имеет ли корни уравнение:
а) х 6 + 2 о;
б) I х I + 5 о?
х+3 x 7 х+ll
618. Докажите, что уравнения + и
Illx 11 + 21 11 + 2 О равносильны.
619. При какИХ значениях а уравнение:
а) I х I а; б) I х I а 2 ; в) I х I а 2 + 1
имеет один корень; имеет два корня; не имеет корней?
620. Решите уравнение:
а) х 2 ( x)2; в) х 3 ( x)3;
б) х 2 x2; r) х 3 x3.
621. Укажите три каких либо значения Ь, при которых'
корнем уравнения Ьх является целое число.
3
Дополнительные упражнения к rлаве 4
123
622. При каких значениях а уравнение ах 2а 1:
а) имеет единственный корень;
б) имеет бесконечно MHoro корней;
в) не имеет корней?
623. При каких значениях Ь уравнение (Ь 2)х Ь 2 4:
а) имеет единственный корень;
б) имеет бесконечно MHoro корней;
в) не имеет корней?
:к параrрафу 8
624. Решите уравнение:
а) 0,3(2х 1) 0,4(х + 8) 1,2х 1;
б) 1,6 0,8(6х 1) 3,2(х + 2) + 1;
в) 6(2 0,2х) + 11 4(3 0,3х) 1;
r) (1,5x 1) 0,5(х + 4) о.
625. Найдите корень уравнения:
а) (2х 1)(3х + 7) (1 + 6х)(х + 2) 4;
б) (x2 х) + (х + 1, )(x 1,2) 0,8;
в) 12х(х 5) (6х + 1)(2х 3) 47;
r) 4х(1 9х) + (1 12х)(1 3х) + 1 О.
626. Решите уравнение:
a ) x+l +x х+8 .
7 14 '
б ) 2х + 1 + 3х + О, 5 1 2'
3 5 ' ,
В ) х2 + х 5х 2 Х 1 l'
5 '
) 2 2 (2х + 1)(х 1) О
r х + .
2
627. Решите относительно х уравнение, рассмотрев случаи,
коrда а ;f. О и коrда а о:
а ) а(х 4) а + 1 l'
2 3 '
б) а(2 х) 2х 3 2
12 8 8
124
Уравнения
628. Составьте KaKoe либо уравнение вида ах + с
Ьх + d с переменной х, которое:
а) имеет корень, равный 7;
б) не имеет корней;
в) имеет бесконечно MHoro корней.
629. Найдите значение а, при котором уравнение ах 3
2х 1:
а) имеет корень, равный 4;
б) не имеет корней;
в) имеет бесконечно MHoro корней.
630. Существует ли такое значение k, при котором MHO
жество корней уравнения является пустым:
а) (k 2) х k 2 3k + 1;
б) (k + 4) х k 2 + k 12?
631. При каком значении а уравнение имеет бесконечно
MHoro корней:
а) (а + 2) х 6а + 12;
б) (а 3)х 2а 4;
в) ах 4х а 2 16;
r) 5ах 2х (2 5а)?
632. Для уравнения ах + 2 3(4 х) найдите значение а,
при котором уравнение не имеет корней.
633. Существует ли значение а, при котором множество
корней уравнения ах 2х а 2 + а 6:
а) состоит из одноrо элемента;
б) является пустым;
в) является бесконечным?
634. Для малярных работ бриrада закупила нескоЛЬко
банок краски. В первый день израсходовали половину куп
ленных банок и еще одну банку, а во второй 'l'oro, что
было израсходовано в первый. Сколько банок краски было
куплено, если известно, что две банки остались неизрасходо
ванными?
635. Сколько картофеля завезли в маrазин, если известно,
что в первый день продали 33% картофеля, во второй день в
1
1 3 раза больше, чем в первый, а в третий оставшиеся 9,2 т?
Дополнительные упражнения к rлаве 4
125
636. Найдите путь, пройденный туристами в первый
день, если известно, что в каждый последующий день они
проходили на 2 км меньше, чем в предыдущий, а длина Bcero
маршрута, пройденноrо ими за пять дней, равна 130 км.
637. Диаrональ разбивает четырехуrольник на два paBHO
бедренных треуrольника с общим основанием. Периметр одноrо
из этих треуrольников на 16 см больше периметра друrоrо.
Найдите стороны четырехуrольника, если известно, что ero
периметр равен 44 см.
638. В двузначном числе цифра единиц втрое меньше
цифры десятков. Если это число разделить на 3 и к результату
прибавить 8, то получится двузначное число, записанное
теми же цифрами, взятыми в обратном порядке. Найдите за
данное двузначное число.
639. Если в двузначном числе поставить цифру 4 между
цифрами десятков и единиц, то получится трехзначное число,
которое на 220 больше двузначноrо. Найдите это двузначное
число.
640. Туристы шли пешком со скоростью 4,5 км/ч, а за
тем ехали на автобусе со скоростью в 10 раз большей. Pac
стояние, которое они проехали на автобусе, было в 6 раз
больше, . чем расстояние, пройденное пешком. Найдите длину
маршрута туристов, если известно, что весь маршрут занял
3 ч 12 мин.
641. Пешеход, идущий к поезду, пройдя за первый час
3,5 км, рассчитал, что если он будет двиrаться с той же CKO
ростью, то опоздает на 1 ч. Поэтому остальное расстояние он
шел со скоростью 5 км/ч и пришел на станцию за 30 мин до
отхода поезда. Какое расстояние прошел пешеход?
642. Из пунктов А и В, расстояние между которыми
300 км, выехали одновременно навстречу друr друrу два
автомобиля, скорость одноrо из которых была на 10 км/ч
больше скорости друr.оrо. Спустя 3 ч оказалось, что aBTOMO
били встретились и, продолжая движение, находятся на pac
стоянии 90 км друr от друrа. С какой скоростью ехал каж
дый автомобиль?
126
Уравнения
643. Смесь, состоящая из двух веществ, есила 0,72 Kr.
После Toro каК из нее выделили 40% первоrо вещества и
25% BToporo, первоrо вещества оказалось в смеси на 270 r
болыuе, чем BToporo. Сколько весило первоночально каждое
вещество, входящее в смесь?
644. Из бутыли вместимостью 20 л, наполненной доверху
СПИРтом, отлили часть спирта и долили бутыль водой. В резуль
тате в бутыли оказался 60% й раствор спирта. Сколько спирта
отлили из бутыли?
645. Четыре последовательных натуральных числа таковы,
что произведение наименьшеrо и наибольшеrо из них на 2
меныпe произведения двух остальных. Найдите наименьшее
из этих чисел.
646. Найдите четыре последовательных натуральных числа
Таких, что произведение наименьшеrо из них и следующеrо
за ним на 30 меньше про изведения двух остальных.
647. Школьная спортивная площадка прямоуrольной
фоРмы имеет длину на 14 м большую, чем ширину. Окайм
ЛЯЮЩая ее дорожка имеет ширину 1,5 м. Найдите размеры
ПЛОЩадки, если известно, что площадь, занимаемая дорож
Кой, равна 219 м 2 .
РАЗЛОЖЕНИЕ
мноrОЧЛЕНОВ
НА МНОЖИТЕЛИ
t
СПОСОБЫ РАЗЛОЖЕНИЯ
9. мноrОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ
20. · Вынесение обще.-о множителя
за скобки
При решении уравнений и неравенств и в ряде друrих
случаев бывает удобно данный мноrочлен представить в виде
произведения двух или более мноrочленов, среди которых
MorYT быть и одночлены.
Например, для нахождения значения мноrочлена аЬ + Ьс
при а 5,2, Ь 19,7 и с == 4,8 удобно, используя распредели
тельное свойство умножения, представить этот мноrочлен в
виде Ь(а + с).
Теперь леrко найти значение мноrочлена аЬ + Ьс при YKa
занных значениях переменных а, Ь и с.
аЬ + Ьс == Ь(а + с) == 19,7 . (5,2 + 4,8) == 19,7 . 10 == 197.
Представление мноrочлена в виде произведения двух или
нескольких мноrочленов называют разложением мноzочлена
на множители.
Рассмотрим мноrочлен 14аЬ 6зь 2 . Попытаемся разло
жить ero на множители.
Каждый ero член заменим произведением двух одночле-
нов, один из которых равен 7Ь, и применим распределитель
ное свойство умножения:
14аЬ 6зь 2 7Ь . 2а 7Ь . 9Ь 7Ь(2а 9Ь).
Мы разложили мноrочлен на множители, представив ero
в виде про из ведения одночлена 7Ь и мноrочлена 2а 9Ь. Ta
кой способ разложения мноrочлена на множители называют
вынесением общеzо множителя за скобки.
Рассмотрим примеры разложения мноrочлена на множи
тели с помощью вынесения общеrо множителя за скобкИ.
При м е р 1. Разложим на множители мноrочлен
18а 4 х 2 30а 3 х 3 + 54а 2 х 4 .
128
r л а в а 5. Разложение мноrочленов на множители
3а скобки можно вынести Р азличные одночлены: а, З ,
2ах и друrие. Например, если мы вынесем за скобки OДHb
член 2о.х, то получим такое разложение:
18а 4 х 2 ЗОа 3 х 3 + 54а 2 х 4 2ах(9а 3 х 15а 2 х 2 + 27о.х 3 ).
Это разложение можно еще продолжить, вынеся за скобки
одночлен Зах.
Обычно за скобки выносят такой одночлен, чтобы после
ero вынесения в скобках остался мноrочлен, у KOToporo коэф
фициенты взаимно простые числа и ero члены не содержат
общеrо буквенноrо множителя. В данном случае таким «наи
большим» одночленом является одночлен 6а 2 х 2 . Имеем:
18а 4 х 2 30а 3 х 3 + 54а 2 х 4 6а 2 х 2 (30.2 5ах + 9х 2 ).
Чтобы про верить правильность выполненноrо разложе
ния на множители, достаточно умножить одночлен 6а 2 х 2 на
мноrочлен в скобках и сравнить полученное про изведение с
исходным мноrочленом.
При м е р 2. Разложим на множители выражение
5х(а 8) + у(а 8).
Данное выражение сумма двух слаrаемых, каждое из
которых содержит общий множитель а 8. Вынесем этот
множитель за скобки. Получим:
5х(а 8) + у(а 8) (а 8)(5х + у).
При м е р 3. Разложим на множители сумму
2х(а Ь) + у(Ь а).
Слаrаемые в этой сумме содержат множители а Ь и Ь а,
которые являются противоположными выражениями. Их значе
ния отличаются лишь знаками. Если в произведении у(Ь а)
у каждоrо множителя поменять знаки на противоположные, то
получим выражение у(а Ь), тождественно равное у(Ь а).
Учитывая это, запись преобразований можно вести так:
2х(о. Ь) + у(Ь а)
2х(а Ь) у(а Ь) (а Ь)(2х у).
648. Вынесите за скобкИ общий множитель:
а) 3а + 6Ь; r) 7п 14; ж)8а + 24Ь 12;
б) 2х 8у; д) 18а + 9; з) 49y 14у 63;
в) 3т + 12; е) 10х 25у; и) 36р 24q + 54.
649. Разложите на множители:
а) 5аЬ + 5Ьс; r) х 2 ху 2х;
б) 4ах 12Ьх; д) 160.2 42аЬ + 64ь 2 ;
в) 7су2 + 49с 2 у; е) т2п + 5тп 2 6т 2 п 2 .
!I 9. Способы разложения мноrочлена на множители
129
650. Вынесите общий множитель за скобки:
а) х 3 х; r) 7с 4 9с 2 ;
б) у4 + у; д) 18т 14 27т 7 ;
в) Ь 4 ь 5 ; е) 72п5 27п lО .
651. Разложите выражение на множители (п HaTY
ральное число):
а) хn+2 х n ;
б) у2n 2уn;
в) Z2n 2 + Zп l;
r) а n Ь 3n а n Ь 2n ;
д) p5n+lq p3n lq;
е) а 2 хn+3 + an+1xn 1.
652. Докажите, что при п Е N значение выражения:
а) 2 n + 2 n +1 + 2n+3 кратно 11;
б) з n +4 з n +1 3 n кратно 77;
в) 125 . 25 n 5 2n + 1 имеет три простых делителя;
r) 7 2n . 7 + 49 n : 7 имеет три простых делителя.
653. Найдите значение выражения:
а) 45а + 45Ь при а 9,7, Ь 11,3;
б) 58х 29у при х 4,175, у 7,85;
в) ас а 2 при а == 4, 73, с 5,27;
r) b 2 d Ь 3 при Ь == 1,2, d == 3,8.
654. Разложите на множители:
а) 2а 3 10а 2 + 14а; д) а 2 ь аь 2 + а 2 Ь 2 ;
б) 6ь 2 + 9Ь 3 12ь 4 ; е) х 4 у2 + х 3 у3 х 2 у4;
в) х 5 х 3 + х 2 ; ж) 1,2 p 2 q 1,8 pq 2 3 pq 3;
2 1
r) y3 + у5 у7; з) 1"5 т 3 п 2 + 4'5 т2п2 8,4тп 2 .
655. Найдите значение выражения:
а) 35а 3 Ь 4а 2 Ь 2 + 20а 3 ь 2 при а == 2, Ь == 5;
б) 40х 2 у 80 ху 2 160х 2 у2 при Х 0.5, У == 1,25.
656. Вынесите общий множитель за скобки:
а) а(Ь с) + 10(Ь с); д) (а ь)2 + 3(а Ь);
б) 7(а + х) Ь(а + х); е) (х 1)2 + 7(х 1);
в) с(а + Ь) + (а + Ь); ж) (Ь + 5)2 Ь(Ь + 5);
r) а(х у) (х у); з) 2a(a + 4) + (а + 4)2.
657. Разложите на множители:
а) х(а х) + у(х а);
б) Ь(с Ь) d(b с);
в) 2х(3х 5) + 17(5 3х);
r) (а ь)2 а(Ь а)2;
д) (х у)2 + Ь(у х);
е) а(х 5)2 Ь(5 х).
5 Алrебра, 7 1Ul.
130
r л а в а 5. Разложение мноrочленов на множители
658. Пред ставьте выражение в виде произведения трех
множителей:
а) '2х2(у 1) х(у 1);
б) а(Ь + 2) + а 2 (ь + 2);
в) 3у(х 7) + у2(7 х);
r) а 2 (а Ь) а(Ь а);
д) 36ах(2х а) + 9(а 2х);
е) 15а(х 2)2 3а(х 2).
659. Разложите на множители:
а) 5а(а 5Ь) + (а + 3Ь)(а 5Ь);
б) (3х 4у)(2х 5у) 3у(4у 3х);
в) (а + 9х)(а 2 4ах) 5ах(а + 9х);
r) (р 10q)(Pq + 25) + 5(50q 5р).
.) Упражнения для повторения
660. Решите уравнение:
, 1 1 1 )
а) 0,5х(х 2 1,2х + 1) зх( 6" х 2 "5 х + 4" 1;
б) 5х + 2х(2 3х) 3х(5 2х) 12.
661. Найдите корень уравнения:
а ) !30у 25 10у 5 2'
2 3 '
б) 8у 4 7 9у 5+ 2 2.
662. Дороrа из rорода А в rород В, длина которой 260 км,
идет сначала в ropy, а затем под ropy. На подъеме автобус
ехал со скоростью 30 км/ч, а на спуске со скоростью 50 км/ч,
затратив на спуск на 2 ч больше, чем на подъем. Какое время
затратил автобус на весь путь?
663. Упростите выражение:
а) (х з)(х 4 + 3х 3 + 9х 2 + 27 х + 81);
б) (у2 + 8у 6)(у2 5у + 7) (у2 2у + 4)(у2 + 5у 33).
!} 9. Способы разложения мноrочлена на множители
131
21. Способ rруппировки
Вы познакомились с разложением мноrочлена на множи
тели способом вынесения общеrо множителя за скобки. Pac
смотрим друrой способ, который позволяет разложить MHO
rочлен на множители с помощью rруппировки ero членов.
Будем рассуждать так. Пусть произведение (а + с)(Ь 5)
было получено в результате разложения на множители HeKO
Toporo мноrочлена. Представим выражение (а + с)(Ь 5) в
виде мноrочлена, выполнив преобразование:
(а + с)(Ь 5) а(Ь 5) + с(Ь 5) аЬ 5а + Ьс 5с.
Теперь это преобразование запишем в обратном порядке:
аЬ 5а + Ьс 5с а(Ь 5) + с(Ь 5) (а + с)(Ь 5).
Промежуточное выражение, т. е. сумму а(Ь 5) + с(Ь 5),
можно получить из МНОl'очлена аЬ 5а + Ьс 5с, если сrруп
пировать отдельно первый и второй, а также третий и чет
вертый ero члены, заключив их в скобкИ. Иначе rоворя, пре
образование можно выполнить так:
aЬ 5a+Ьc 5с (aЬ 5a)+(Ьc 5с)
а(Ь 5) + с(Ь 5) (Ь 5)(а + с).
Такой способ разложения мноrочлена на множители Ha
зывают способом zpyппup06KU.
Рассмотрим примеры применения этоrо способа.
При м е р 1. Разложим на множители МНОl'очлен
6ху + аЬ 2Ьх Зау.
rруппировка первоrо со вторым членом и TpeTbero с чет
вертым ничеrо не дает, так как эти rруппы не содержат об
щеl'О множителя.
Сl'руппируем первый член с третьим и второй с четвер
тым. Получим
6ху + аЬ 2Ьх Зау (6ху 2Ьх) + (аЬ Зау).
В первой rруппе вынесем за скобки множитель 2х, а во
второй множитель а:
(6ху 2Ьх) + (аЬ Зау) 2х(Зу Ь) + а(Ь Зу).
Слаrаемые полученной суммы содержат множители Зу Ь
и Ь Зу, которые являются противоположными выражениями
(их значения отличаются лишь знаками). Вынесем за скобки
множитель Зу Ь, изменив знак у множителя а на противо
положный:
2х (Зу Ь) + а(Ь Зу) (Зу Ь)(2х а).
132
r л а в а 5. Разложение мноrочленов на множители
Итак,
6ху + аЬ 2Ьх 3ау (3у Ь)(2х а).
3аметим, что rруппировку членов этоrо мноrочлена для
ero разложения на множители можно было провести иначе:
6ху + аЬ 2Ьх 3ау (6ху 3ау) + (аЬ 2Ьх)
3у(2х а) + Ь(а 2х) 3у(2х а) Ь(2х а)
(2х а)(3у Ь).
При м е р 2. Разложим на множители мноrочлен
х 2 3ху + xz + 2х 6у + 2z.
Этот мноrочлен можно разложить на множители, пред
ставив ero в виде суммы двух трехчленов или в виде суммы
трех двучленов.
В первом случае имеем:
х 2 3ху + xz + 2х 6у + 2z
(х 2 3ху + xz) + (2х 6у + 2z)
х(х 3у + z) + 2(х 3у + z) (х 3у + z)(x + 2).
Во втором случае имеем:
х 2 3ху + xz + 2х 6у + 2z
(х 2 + 2х) (3ху + 6у) + (xz + 2z)
х(х + 2) 3у(х + 2) + z(x + 2) (х + 2)(х 3у + z).
Разумеется, rруппировку нужно производить так, чтобы
в каждой rруппе оказался общий множитель, кроме Toro,
после вынесения общеrо множителя за скобки в каждой
rруппе, полученные выражения также должны иметь общий
множитель.
При м е р 3. Разложим на множители трехчлен
х 2 8х + 15.
Если вам удастся разложить этот трехчлен на множители,
то произведение будет иметь вид
(х + а)(х + Ь), rде а и Ь неизвестные нам числа.
Представим произведение (х + а)(х + Ь) в виде мноrочлена:
(х+а)(х+Ь) х 2 +ах+Ьх+аЬ
х 2 +(а+Ь)х+аЬ.
Трехчлен х 2 + (а + Ь)х + аЬ должен быть тождественно равен
данному трехчлену х 2 8х + 15. Это возможно, если а + Ь 8
и аЬ 15. Подбором находим неизвестные числа а 3,
Ь 5.
Следовательно, х 2 8х + 15 (х 3)(х 5).
Полученный результат подсказывает и друrой путь.
Представим 8x в виде суммы 3x 5х. Тоrда:
9 9. Способы разложения мноroчлена на множители
133
х 2 8х + 15 х 2 3х 5х + 15
(x2 3x) (5x 15) x(x 3) 5(x 3)
(х 3)(х 5).
Заметим, что не всякий мноrочлен можно представить
в виде произведения двух мноrочленов ненулевой степени.
Такими примерами MorYT служить двучлен х 2 + 1, трехчлен
x2 х+ 1.
664. Разложите на множители выражение:
а) Ь(а + с) + 2а + 2с; в) х у + а(х у);
б) с(а Ь) + 3а 3Ь; r) у(Ь х) + х Ь.
665. Разложите на множители мноrочлен:
а) па + пЬ + 5а + 5Ь;
б) 7х 7у + Ьх Ьу;
в) 10а Ьу + 10Ь ау;
r) pq х рх + q;
д) Ь а аЬ + 1;
е) 2cx cy 6х+3у;
ж) 15ах 14Ьу + 10Ьх 21ау;
з) 56pq 1 7q+8p.
666. Представьте в виде произведения мноrочлен:
а) а 2 + 3аЬ 2а 6Ь; д) х 4 + 3х 3 х 3;
б) 7ху х 2 Х + 7у; е) у5 у3 + у2 1;
в) а 3 + а 2 а 1; ж) а 7 + а 5 а 2 1;
r) b3 b2+b 1; з) b8+3b5 2b3 6.
667. Разложите на множители мноrочлен:
а) ху2 Ьу2 ах + аЬ + у2 а;
б) ас 2 ad ьс 2 + cd + bd с 3 ;
в) х 4 х 2 у2 + ау2 ах 2 х 2 + а;
r) ь 3 у2 сЬ 3 + Ьу2 + у2 Ьс с.
668. Представьте в виде произведения трех множителей
мноrочлен:
а) х 2 у ьх 2 аху + аЬх;
б) т 3 п 2т3 + тп 2т;
в) 6а 2 ь + 14аь 2 9а 2 с 21аЬс;
r) 15х 2 у2 24 ху 3 10x 2 z + 16xyz.
669. Разложите на множители:
а) х n + 1 + 2хn х 2; в) ах n 1 + 2хn 2х а;
б) 3х n + 2 Х N зх 2 + 1; r) а 2 . Х N + 1 ах n + ах 1.
134 r л а в а 5. Разложение мноrочленов на множители
670. Разложите на множители трехчлен:
а) х 2 5х + 6; в) х 2 + х 12;
б) х 2 + llх + 24; r) х 2 х 30.
671. Найдите значение выражения:
2 3
а) 12аЬ 18а 20Ь + 30 при а 3' Ь 4'
5 2
б) 72а 2 + 42аЬ 6ас 12а 7Ь + с при а "6' Ь 7'
с 1.
t) Упражнения для повторения
672. Разложите на множители:
а) 2х 3 14х 2 + 18х; в) а(х 2у) аЬ(х 2у);
б) у6 2 у 4 + 3у2; r) х(а 2 аЬ) + у(аЬ а 2 ).
673. Докажите, что значение выражения не зависит от
значения переменной х:
а) (х 12)(х + 7) (х + 5)(х 10);
б) x3 (х+ 1)(x2 х+ 1).
674. Из двух rородов А и В, расстояние между которыми
110 км, одновременно навстречу друr друrу выехали два MOTO
циклиста. Через полчаса после начала движения им осталось
до встречи пройти 25 км. Найдите скорости мотоциклистов,
если скорость одноrо из них на 10 кмjч больше скорости
друrоrо.
.)
Контрольные вопросы и задания
1. Какое преобразование называют разложением MHoro
члена на множители?
2. На примере мноrочлена 10а 2 5аЬ объясните, как BЫ
полняется разложение на множители вынесением общеrо
множителя за скобки.
3. На примере мноrочлена ху 3у + 8х 24 объясните,
как выполняется разложение на множители способом rруп
пировки.
1} 10. Применение разложения мноrочлена на множители
135
ПРИМЕНЕНИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ
10. . мноrОЧЛЕНА НА МНОЖИТЕЛИ
22. Вычисления.
Доказательство тождеств
Разложение мноrочлена на множители позволяет в ряде
случаев более рационально производить вычисления, решать
задачи на делимость, доказывать тождества.
При м е р 1. Пусть требуется найти значение суммы
2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 + 27 + 28 + 29.
Вынесем число 2 за скобки. Получим
2 + 22 + 23 + ... + 29 2(1 + 2 + 22 +... + 28).
Обозначим сумму 2 + 22 + ... + 28 буквой х. Тоrда преды
дущее равенство перепишется в виде
х + 29 2(1 + х).
Решим это уравнение:
х + 29 2 + 2х,
х 29 2,
х 510.
Отсюда находим значение данной суммы:
510 + 29 510 + 512 1022.
При м е р 2. Найдем значение выражения
38,42 61,6 . 29,5 + 61,6 . 38,4 29,5 . 38,4.
Попытаемся разложить это выражение на множители
способом rруппировки:
38,42 61,6 . 29,5 + 61,6 . 38,4 29,5 . 38,4 == ,
(38,42 29,5 . 38,4) + (61,6 . 38,4 61,6 . 29,5)
38,4(38,4 29,5) + 61,6(38,4 29,5)
(38,4 29,5)(38,4 + 61,6) 8,9 . 100 890.
При м е р 3. Докажем, что значение выражения
814 97 + 312
кратно 73.
Представим каждое слаrаемое в виде степени с OCHOBa
нием 3, а затем выполним разложение на множители:
814 97 + 312 (34)4 (32)7 + 312 з16 з14 + 312
312 (34 32 + 1) 312 (81 9 + 1) 312 . 73.
Так как в произведении 312 . 73 один из множителей
делится на 73, а второй целое число, то произведение
делится на 73.
Разложение на множители находит применение при
доказательстве тождеств.
136
r л а в а 5. Разложение мноrочленов на множители
При м ер 4. Докажем тождество:
(а 2 + 3а)2 + 2(а 2 + 3а) а(а + 1)(а + 2)(а + 3).
Для доказательства тождества А В используют три раз
личных приема: 1) преобразуют выражение А, приводя ero к
выражению В; 2) преобразуют выражение В, приводя ero к А;
3) преобразуют оба выражения, А и В, приводя их К одному и
тому же выражению С.
Мы пойдем по первому пути, выполнив следующее пре
образование:
(а 2 + 3а)2 + 2(а 2 + 3а) (а 2 + 3а)(а 2 + 3а + 2)
(а 2 + 3а)(а 2 + 2а + а + 2) (а 2 + 3а)«а 2 + 2а) + (а + 2»
а (а + 3)(а (а + 2) + (а + 2» а (а + 3)(а + 2)(а + 1)
а (а + 1)(а + 2)(а + 3).
В процесс е этоrо преобразования мы сначала применили
способ вынесения общеrо множителя за скобки, а затем спо
соб rруппировки (предварительно разбив средний член 3а
'l'рехчлена а 2 + 3а + 2 на два слаrаемых 2а и а).
Если идти по второму пути, то преобразование целесооб
разно выполнить так:
а(а + 1)(а + 2)(а + 3) (а(а + 3»«а + 1)(а + 2»
(а 2 + 3а)(а 2 + 3а + 2).
Выражение а 2 + 3а удобно обозначить какой нибудь бук
вой, например х. Тоrда получим
(а 2 + 3а)(а 2 + 3а + 2) х(х + 2) х 2 + 2х.
Произведя обратную замену х на а 2 + 3а, имеем
х 2 + 2х (а 2 + 3а)2 + 2(а 2 + 3а).
Доказательство тождества третьим способом проделайте
самостоятельно.
При м е р 5. Докажем, что значение выражения
(х у)(х + у) 2х(х у)
при любых неравных между собой значениях х и у является
отрицательным числом.
Выполним разложение на множители:
(х у)(х + у) 2х(х у) (х у)(х + у 2х)
(х у)(у х) (х y)( (x у» (x у)2.
Значение выражения (х у)2 при неравных между собой
значениях х и у положительное число. Следовательно,
значение противоположноrо ему выражения, т. е. (x у)2,
является отрицательным числом.
9 10. Применение разложения мноrочлена на множители
137
675. Найдите значение выражения:
а) 37,2 . 22,8 + 37,22;
б) 43,7 . 56,3 + 43,72;
в) 45,2 . 1,38 + 1,38 . 17,3 + 37,5 . 1,38;
r) 2,9 . 7,83 + 5,07 . 2,9 2,92.
676. Вычислите:
а) 4,2 . 13,5 8,3 . 5,8 4,2 . 8,3 + 13,5 . 5,8;
1 1 1 1
б) . 17 + 47 . + 17 . + . 47
3 663'
677. Найдите значение дроби:
17 . 13 5 . 13 17 . 3 + 5 . 3
3.4 + 5 . 4 + 42 + 6 . 3 + 6 . 4 + 6 . 5 .
678. Найдите значение суммы:
а) 3 + 32 + з3 + з4 + з5 + 36; б) 5 + 52 + 53 + 54 + 55.
679. Докажите, что значение выражения:
а) 710 79 78 кратно 41;
б) 58 + 57 + 56 кратно 31;
в) 364 + 67 кратно 7;
r) 275 96 кратно 26.
610 69 68
680. Докажите, что значение дроби 311 + з9 з8 целое
число.
681. Докажите тождество:
а) а(Ь с) a(c Ь);
б) (а х)(Ь + у) + (а х)(Ь у) 2Ь(а х);
в) а(Ь с + d) a(c Ь d);
r) (a b)(c d) (b a)(d с);
д) (a b)(b c)+(b a)(b с) о;
е) 2а(а Ь) + 4аЬ 2а(а + Ь).
682. Докажите тождество:
а) х 2 5х + 6 (х 2)(х 3);
б) х 2 2х 15 (х 5)(х + 3);
в) х 2 + х 6480 (х 80)(х + 81);
r) (а + ь)2 7(а + Ь) + 12 (а + Ь 3)(а + Ь 4);
д) (а + ь)2 2(а + Ь) 35 (а + Ь 7)(а + Ь + 5);
е) (а ь)2 6(а Ь) 16 (а Ь 8)(а Ь + 2).
138 r л а в а 5. Разложение мноrочленов на множители
683. Является ли тождеством равенство:
а) (х 15)(х + 8) + 132 (х 3)(х 4);
б) (х 8)(х 10) х 2 + 80;
в) (у 2)(у2 + 5) уЗ 10;
r) (у 1)(у2 + 1) уЗ у2 + у 1?
684. Докажите тождество:
а) (а + ь)2 2(а + Ь 1) 1 (а + Ь 1)2;
б) аЗ а 2 + а 1 (а 1)(а 2 + 1);
в) аЗ а 2 а + 1 (а 1)2(а + 1);
r) аЗ + а 2 а 1 (а 2 l)(а + 1).
685. Докажите, что значение выражения
(а 2Ь)(а + 2Ь) + 4Ь(а + 2Ь)
при любых а и Ь является неотрицательным числом.
686. Докажите, что значение выражения
3у(х 3у) + х(3у х)
при любых х и у не является положительным числом.
687. Докажите, что площадь фиrуры (рис. 8) равна YДBoeH
ной площади квадрата со стороной т.
I
+
т
т
Рис. 8
688. Докажите, что разность 111111 222 является KBaд
ратом натуральноrо числа.
689. Найдите ошибку в рассуждениях. Пусть а ;f:. Ь и
а Ь с. "Умножим обе части равенства на а Ь, получим
(а Ь)(а Ь) с(а Ь). Раскроем скобки и получим: а 2 2аЬ +
+ ь 2 ас Ьс, или а 2 аЬ ас аЬ Ь 2 Ьс. Разложим пра
вую и левую часть равенства на множители: а(а Ь с)
Ь(а Ь с). Сократив обе части равенства на множитель
(а Ь с), получим а Ь. Итак, любые два различных числа
равны.
9 10. Применение разложения мноrочлена на множители
139
.) Упражнения для повторения
690. Разложите на множители:
а) 7 х 3 42х 2 + 63х;
б) (у х)2 8(х у);
в) 7 а + 3а 2 ь 14Ь 6аь 2 ;
r) ах 2 + 2ьх 2 3а 9с + зсх 2 6Ь.
691. Упростите выражение:
а) а(5Ь с) Ь(6с а) + с(а + 7Ь);
б) у3(х 3 + х 2 + 1) х 3 (у3 + у2 + 1) + х 2 у2(х у).
692. Сторона квадрата на 6 см меньше одной из сторон
прямоуrольника и на 5 см больше друrой ero стороны. Какова
длина стороны квадрата, если ero площадь на 14 см 2 меньше
площади прямоуrольника?
23. Решение уравнений с помощью
разложения на множители
Рассмотрим примеры решения уравнений, в которых ис
пользуется разложение мноrочлена на множители. При этом
будем использовать следующее правило:
. произведение равно нулю тоzда и толы,о тоzда. коzда
один из множителей равен нулю. а друzие при этом не
теряют смысл.
При м е р 1. Решим уравнение 5х 2 15х О.
Разложив левую часть уравнения на множители, получим
5x(x 3) О.
Это уравнение равносильно данному, так как ero левую
часть, т. е. выражение 5х 2 15х, мы заменили тождественно
равным ему выражением 5х(х 3).
Произведение 5х(х 3) равно нулю тоrда и только тоrда,
коrда равен нулю хотя бы один из множителей.
В данном случае произведение 5х(х 3) равно нулю, коrда
5х О или х 3 О.
Таким образом, данное уравнение равносильно совокупно
сти двух уравнений, т. е. корнями уравнения 5х 2 15х О
являются как корень уравнения 5х О, так и корень ypaBHe
ния х 3 О. Первое уравнение имеет корень, равный О,
второе уравнение корень, равный 3.
140
rлава 5. Разложение мноrочnенов на множители
Запись решения уравнения можно вести так:
5x2 15х о,
5х(х 3) о,
5х О или х 3 о,
х О или х 3.
о т в е т: о; 3.
При м е р 2. Решим уравнение х 3 8х 2 + 3х 24 О.
Разложим на множители левую часть уравнения спосо
бом rруппировки. Имеем:
(х 3 8х 2 ) + (3х 24) о,
х 2 (х 8) + 3(х 8) о,
(x 8)(х 2 + 3) о,
(х 8) О или (х 2 + 3) О,
х 8.
Второе уравнение не имеет корней, так как при любом х
значение выражения х 2 + 3 положительное число.
О т в е т: 8.
При м е р 3. Решим уравнение
(2x 5)(х+3) 7х+21.
Перенесем выражение 7 х + 21 в левую часть уравнения
(изменив ero знак) и разложим полученное выражение на
множители. Имеем:
(2х 5)(х + 3) (7х + 21) о,
(2х 5)(х + 3) 7(х + 3) О,
(х + 3)(2х 5 7) О,
(х + 3)(2х 12) о,
х + 3 О или 2х 12 о,
х 3 или х 6.
о т в е т: 3; 6.
При м е р 4. Решим уравнение
(у2 5у)2 30у 6 у 2.
Имеем:
(у2 5у)2 (30у 6у2) О,
(у2 5у)2 + 6(у2 5у) о,
(у2 5у)(у2 5у + 6) о,
(у2 5у) О или (у2 5у + 6) О.
Решим первое уравнение:
у(у 5) О,
У О или у 5,
Уl о, У2 5.
9 10. Применение разложения мноrочлена на множители
141
Решим второе уравнение:
у2 2у 3у + 6 о,
(у2 2у) (3у 6) о,
у(у 2) 3(у 2) о,
(у 2)(у 3) о,
у 2 О или у 3 о.
уз 2, У4 3.
о т в е т: о; 2; 3; 5.
693. Решите уравнение:
а) х(х 10) о;
б) 2х(х + 5) о;
в) (5х + 1)(х 9) о;
r) (х 8)(40х + 8) о;
д) x(x 2)(x 3) о;
е) (х + 2)(х + 4)(х 6) о.
694. Найдите корни уравнения:
а) x2 7х о; д) зх2 1,8х о;
б) х 2 + х о; е) 0,5х 2 + 4х о;
1
в) 2х2 3х о; ж) з- х 2 Х о;
1 2
r) 5х2+2х о; з) 4х2+ З-Х о.
695. Найдите множество корней уравнения:
а) у(у 5) 7(у 5) о;
б) у(у 2) + 4(2 у) о;
в) 2y2 50у 75 3у;
r) 15 у 2 + 6у 5у + 2;
д) уЗ 2 у 2 + у 2 о;
е) уЗ+6у2 y 6 о;
ж) уЗ + 3у 8у2 + 24;
з) уЗ 12 3у2 4у.
696. Отметьте на координатной прямой числа, являю
щиеся корнями уравнения:
а) (х + 2)2 + 1;
б) ( 2 J 4 х;
в) (1 х I 3)2 + 3 1 х 1;
r) 31xl + 6 (2 + Ixl)2.
142
r л а в а 5. Разложение мноrочленов на множители
697. Сравните больший корень первоrо уравнения с
меньшим корнем BToporo:
а) 2lxl+l 4 и (3х 2)2 6х + 4 о;
б) 15х з1 1 и 2(х 1)2 + 1 х.
698. Докажите, что уравнение:
а) х(х + 2)(х + 5) 4х(х + 2) О не имеет положи
тельных корней;
б) (х + 17)(х 8) 21(х 8) не имеет отрицательных
корней.
699. Решите уравнение:
а) х 2 15х + 56 о;
б) х 2 + 10х + 21 о;
в) х 2 + х 72 о;
r) x2 3x 18 О.
700. Решите уравнение:
а) (х 2 7х)2 + 10(х 2 7х) о;
б) (х 2 х)2 12(х 2 х) о.
701. Произведение двух последовательных натуральных
четных чисел в 1,5 раза больше квадрата меньшеrо из них.
Найдите эти числа.
702. Если в трехзначном числе зачеркнуть последнюю
цифру 6, то число уменьшится на 366. Найдите это Tpex
значное число.
703. Трехзначное число оканчивается цифрой 7. Если
эту цифру перенести на первое место, то полученное число
будет на 17 меньше YTpoeHHoro первоначальноrо числа. Най
дите данное трехзначное число.
Упражнения для повторения
704. Докажите, что значение выражения:
а) 95 94 + 93 кратно 73;
б) 28 + 26 24 22 кратно 75;
в) 106 204 кратно 84;
r) 125 184 кратно 37.
705. Докажите тождество:
а) а(Ь а)(с + а) + а(а Ь)(а + с) о;
б) (х 2)(х з)(х 2 5х + 6) (х 2)2(х з)2.
Дополнительные упражнения к rлаве 5
143
706. Прочитайте выражение:
а) (2а Ь)(2а + Ь); в) а 2 ь 2 ;
б) (3а + 1)(3а 1); r) (а ь)2.
707. Запишите выражение:
а) произведение суммы и разности выражений 3т и п;
б) произведение разности и суммы выражений х и 4у;
в) квадрат разности выражений 2х и т;
r) разность квадратов выражений 2х и т.
708. Периметр прямоуrольника равен 28 см. Если ero
длину уменьшить на 3 см, а ширину увеличить на 2 см, то
ero площадь уменьшится на 8 см 2 . Какова площадь прямо
уrольника?
.) Контрольные вопросы и задания
1. Объясните, как наиболее рационально найти значе
ние выражения 3,62 3,6 . 1,2 + 2,42, используя разложение
на множители.
2. Объясните, как используется разложение на множи
тели при решении уравнения, взяв в качестве примера ypaB
нение х 3 5х 2 + 7 х 35 О.
.) Дополнительные упражнения
к .-лаве 5
К параrрафу 9
709. Разложите на множители мноrочлен:
а) х 5 + х 4 + х 3 ;
б) у7 у5 + у3 у2;
в) а 2О + а 15 + а 1О + а 5 ;
r) ь 6О ь 4О + ь 2О 1;
д) 2х 5 + 4х 4 + 10х + 20;
е) 3 у 7 9 у 6 7у + 21;
ж) 7 а lО 35а 7 2а 4 + 10а;
з) зь 15 27ь 1О 2ь 6 + 18Ь.
144
r л а в а 5. Разложение мноrочленов на множители
710. Разложите на множители выражение:
а) (2а + Ь)(5а Ь) 3а(2а + Ь);
б) (2х + 7у)(2х у) 7у(2х у);
в) 2 у 2(у + 3) 4у(у + 3);
r) 27х 3 (а 4х) 18х 2 (4х а);
д) (а + Ь)(с + d) + с(с + d);
е) (а ь)2 + с(а Ь);
ж) (а ь)2 + а 2 (ь а);
з) (а Ь)3 с(Ь а)2.
711. Разложите на множители:
а) х 2 у у3 + x 2 z y2z;
б) аЬ 3 + а 3 Ь + a 2 cd + b 2 cd;
в) 7a20 a15 7а 1О +а 5 ;
r} 2а 15 6а 5 а 12 + 3а 2 .
712. Представьте мноrочлен в виде про изведения ДBY
члена и трехчлена:
а) аЬх аЬу асу + асх + Ьсх Ьсу;
б) а 2 х аЬ + а 2 Ь ас + а 2 с ах;
в) 30а 2 х 2 15ь 2 х 2 12а 2 + 6ь 2 + 5с 2 х 2 2с 2 ;
r) х 4 + 2х2у2 10а 2 у2 + 3X 2 z 2 5а 2 х 2 15a 2 z 2 .
713. Разложите на множители:
а} а 2 + 13а + 30;
б) а 2 + 7a 30;
в) a2 7a 30;
r} Ь 4 + llь 2 + 10;
д) Ь 4 9ь 2 10;
е) Ь 4 + 9ь 2 10.
714. Вынесите за скобкИ числовой множитель:
а) (2х 4)2;
б) (3у + 9)2;
в) ( 5a + 10ь)2;
r) ( 2c 6)2;
д) (0,5х + 1)2;
( 1 2 ) 2
е) 3 у 3 .
к параl'рафу 10
715. Вычислите:
а) 1,7 . 3,2 + 3,22 + 4,9 . 6,8;
б) 0,382 + 1,42 . 0,38 + 1,8 . 9,62;
в) 0,732 + 0,27 . 0,73 + 0,27;
r) 1,62 + 0,8 . 1,6 2,4 . 2,6.
Дополнительные упражнения к rлаве 5
145
716. Найдите значение суммы:
а) 4+42+43+44+45;
1 1 1 1 1 1
б) "2 + 22 + 23 + 24 + 25 + 26 .
717. Докажите, что:
а) 257 512 кратно 120;
б) 817 279 913 кратно 45;
в) 1012 + 1011 + 1010 кратно 555;
r) з20 + з18 з16 кратно 267.
718. Докажите, что при любом натуральном а значение
выражения а 3 + 3а 2 + 2а кратно 6.
719. Докажите, что произведение двух последователь
ных четных чисел кратно 8.
720. Пусть аЬ двузначное число, в котором сумма цифр
а + Ь < 10. Докажите, что число асЬ, rде с а + Ь, кратно 11.
721. Докажите тождество:
а) (х+а)(х+Ь) х 2 +(а+Ь)х+аЬ;
б) (х+а)(х+Ь)(х+с) х 3 +(а+Ь+с)х 2 +
+ (аЬ + Ьс + са)х + аЬс;
в) (х 2 +-ху + у2)(х 2 ху + у2) х 4 + х 2 у2 + у4;
r) х 4 + 6х 3 + 1lх 2 + 6х х(х + l)(х + 2)(х + 3).
722. Докажите, что
(10а + Ь)(10а + с) 100а(а + 1) + Ьс,
если Ь + с 10. Пользуясь ЭТОЙ формулой, вычислите:
а) 32 . 38;
б) 43 . 47;
в) 66 . 64;
r) 81 . 89.
723. Докажите, что если а + Ь + с о, то
(а + Ь)(Ь + с)(с + а) abc.
724. Решите уравнение:
а) (2х 1)(3х 1)(4х 1) о;
б) (2х + 1)(зх 2 + 1)(4х + 1) о;
в) (х 8)(х 2 7х 8) х 3 8х 2 ;
r) (2х + 7)(х 2 + 12х 30) 5х 2 2х 2 (х + 1).
146
r л а в а 5. Разложение мноrочленов на множители
725. Решите уравнение:
1
а) (2х 1)2 Х 2";
б) (3х + 1)2 5 (х + );
в) (х + % )2 2х + 1;
r) (х )2 3 (7 х 1);
д) х + х 2 х 3 + х 4 ;
е) х х 2 х 3 х 4 ;
ж) х 3 + х 2 + х + 1 о;
з) х 3 х 2 + х 1 о.
726. Первая цифра трехзначноrо числа равна 9. Эту цифру
переставили на последнее место и получившееся трехзначное
число вычли из данноrо. В результате получили 576. Найдите
данное трехзначное число.
727. Первая цифра трехзначноrо числа равна 7, а цифра
единиц кратна 3. После Toro как цифры сотен и десятков
этоrо трехзначноrо числа переставили, получившееся новое
трехзначное число оказалось меньше данноrо на 270. Найдите
все трехзначные числа, удовлетворяющие этому условию.
@
ФОРМУЛЫ .
СОКРАЩЕН Н 0....0
УМНОЖЕНИЯ
.
11. . РАЗНОСТЬ КВАДРАТОВ
24. Умножение разности двух
выражений на их сумму
в некоторых часто встречающихся на практике случаях
умножение мноrочлена на мноrочлен выполняют короче: по
формулам сокращеННО20 умножения.
Умножим разность а и Ь на их сумму. Применяя правило
умножения мноrочлена на мноrочлен, получим:
(а Ь)(а + Ь) а 2 + аЬ аЬ Ь 2 а 2 Ь 2 .
Значит,
(а Ь)(а + Ь) а 2 Ь 2 .
(1)
Это тождество является одной из формул сокращенноrо
умножения.
Произведение разности двух выражений и их суммы
равно разности к,вадратов этих выражений.
При м е р 1. Найдем произведение разности 8и 5и и
суммы 8и + 5и.
Применяя формулу сокращенноrо умножения (1), полу
чим:
(8и 5и)(8u + 5и) (8u)2 (5V)2 64u 2 25и 2 .
При мер 2. Умножим разность x2 2 у 3 на сумму х 2 +2у3.
По формуле (1) находим:
(х 2 2у3)(х 2 + 2у3) (х 2 )2 (2у3)2 х 4 4 у 6.
При м е р 3. Представим в виде мноrочлена выражение
3,5т2 (1,5п 2т)(1,5п + 2т).
Используя формулу (1), получим:
3,5т2 (1,5п 2т)(1,5п + 2т)
3,5т2 (2,25п 2 4т 2 )
3,5т2 2,25п 2 + 4т 2 0,5т 2 2,25п 2 .
148
r л а в а б. Формулы сокращенноrо умножения
728. Выполните умножение:
а) (Ь с)(Ь + с); д) (2х 1)(2х + 1);
б) (а х)(х + а); е) (т 5k)(5k + т);
в) (у + 4)(у 4); ж) (1 + 3р)(3р 1);
r) (1 + р)(р 1); з) (4у + т)(т 4у).
729. Примените формулу сокращенноrо умножения:
а) (2т 0,5)(0,5 + 2т); в) (1,1х 0,9)(1,1х + 0,9);
б) ( + 4р ) . ( 4р ); r) ( y + 2,5 ) . ( у 2,5 ]-
730. Представьте в виде мноrочлена произведение:
а) (3т 2k)(3m + 2k);
б) (6р + 5q)(6p 5q);
в) (10а 3Ь)(3Ь + 10а);
r) (4х 5у)(5у + 4х);
д) (2а + 9Ь)(2а 9Ь);
е) (3р + 8k)(8k 3р).
731. Выполните умножение:
а) (а 2 3)(а 2 + 3); r) (1,2с 2 + d)(d 1,2с 2 );
б) (х 2 + т)(т х 2 ); д) (5х 2 0,4 у 2)(0,4 у 2 + 5х 2 );
в) (т 2 р3)(т 2 + р3); е) (2,5а 3 3Ь 4 )(2,5а 3 + 3Ь 4 ).
732. Примените формулу сокращенноrо умножения:
а) (2х2 + 3y)( 2x2 + 3у);
б) ( 5п + 3 р 2)(5п + 3 р 2);
в) ( 2x3 + 5a2)( 5a2 2х 3 );
r) ( 4т4 3п2)( 4т4 + 3п 2 ).
733. Найдите значение выражения:
а) (20 3)(20 + 3); r) 8,6 . 7,4;
б) (10 + ). ( 10 ); д) 4 . 5 ;
в) 102 . 98; е) 2,7 . 3,3.
734. Представьте в виде мноrочлена выражение:
а) (2а 2 Ь 3ху2)(2а 2 Ь + 3 ху 2);
б) ( !mп з +!р2 ) . ( !р2 !mпз ) '
2 3 3 2 '
в) (0,6 p 2 q 1,1тп 2 )(1,1тп 2 + 0,6 p 2 q );
r) ( ахз + 0,8Ь 2У ) . ( 0,8Ь 2 у ax3 ]-
9 11. Разность квадратов
149
735. Выполните умножение:
а) (х n уn)(х n + уn);
б) (2 k + 3 k )(3 k 2 k );
в) (т 3n pk)(Pk + т 3n );
r) (5 2k 4 зт )(4 зт + 5 2k ).
736. Примените формулу сокращенноrо умножения:
а) (x k +1 yk l)(Xk+1 + уН);
б) (a2n 3 + b2т+1)(a2n 3 Ь 2т +1);
в) (2х 4n + 5 5y4n 5)(2x4n+5 + 5y4n 5);
r) (з р зт 2 + 2q2n з)(зрзm 2 2q2n 3).
737. Выполните умножение:
а) 3(4 т)(4 + т);
б) 5(x + у)(у х);
в) 2т(3а 5)(3а + 5);
r) 10у(2у + 3z)(3z 2у);
д) 0,5Ь(4а 6Ь 2 )(6Ь 2 + 4а);
е) 10х(0,8у + 0,5х 2 )(0,5х 2 0,8у).
738. Представьте в виде мноrочлена:
а) 4р(р с)(с + р);
б) 3c(2k + 3с)(3с 2k);
в) 0,2т(4т k 2 )(k 2 + 4т);
1
r) з(зх3 + у)(у 3х 3 ).
739. Выполните умножение:
а) (х у)(х + у)(х 2 + у2);
б) (а + 3)(3 а)(9 + а 2 );
в) (5 + т)(т 2 + 25)(т 5);
r) (1 + 4 р 2)(2р + 1)(1 2р).
740. Пред ставьте в виде мноrочлена выражение:
а) (2т + 5)(5 2т) + 3т 2 ;
б) 10 (4р + 1)(4р 1);
в) 3т 2 (2 5т)(5т + 2);
r) (2 + 3х)(3х 2) 9х 2 ;
д) (5 4а)(5 + 4а) 25;
е) 10а 4 + (3а 2 2Ь)(2Ь + 3а 2 ).
150 r л а в а 6. Формулы сокращенноrо умножения
741. Упростите выражение:
а) (т + 3)(т 3) т(т + 1);
б) 4п(п + 4) (4 п)(4 + п);
в) (5а + Ь)(Ь 5а) + 25а(а Ь);
r) 2x(2x т) + (2х 3т)(2х + 3т).
742. Выполните действия:
а) 10х 2 (4х 1)(1 + 4х);
б) (7a+2)(2 7а)+4;
в) (3т k)(3m + k) 2т(5т k);
1') 5d(4c + 5d) (2с + 5d)(5d 2с).
743. Представьте в виде МНОl'очлена:
а) (10х + 3у)(3у 10х) (7х 8у)(7х + 8у);
б) (9т 10k)(10k + 9т) + (9k + 8m)(9k 8т).
744. Решите уравнение:
а) (2у 1)(2у + 1) у(4у + 3) + 5у о;
б) 9т + 8т(5 2т) 9т 2 (5т + 7)(5т 7);
в) 4х(х 1) 8 (1 + 2х)(2х 1) 6х;
1') 5y + (3у + 4)(3у 4) (4у 3)(3 + 4у) 7 у 2.
.) Упражнения для повторения
745. Запишите выражение:
а) произведение суммы выражений 2х и у и их раз
ности;
б) произведение разности выражений а и 5Ь и их
.,.
суммы;
в) квадрат разности 3т и п;
1') разность квадратов 3т и п.
746. Прочитайте выражение:
а) (5х т)(5х + т); в) т 2 п 2 ;
б) (1 + 3k)(1 3k); 1') (т п)2.
747. Найдите корни уравнения:
а) 3т 2 11т о; в) 2(x + 5) 7х 2 10;
б) 6р 7p2; 1') 4(п 2 9) 3(п 12).
748. Пред ставьте в виде квадрата одночлена выражение:
а) 4а 2 ; б) i-x2; в) 0,25 у 4; r) 1 : т б .
11. Разность квадратов
151
749. Докажите тождество:
а) т(х + у) + у(х т) х(т + у);
б) (а Ь)(а + Ь) а(а Ь) Ь(а Ь).
750. Решите уравнение:
3х + 1 5х
а) х 3 2;
4у 2
б) . 1,5 2у 2,6.
751. Двиrаясь со скоростью 15 км/ч, велосипедист при
ехал на станцию за 10 мин до отправления автобуса. Если бы
он ехал со скоростью 12 км/ч, то опоздал бы к этому автобусу
на 5 мин. Какое расстояние проехал велосипедист?
25. Разложение на множители
разности квадратов
В тождестве (а Ь)( а + Ь) а 2 Ь 2 поменяем местами левую
и правую части. Получим тождество
a2 Ь 2 (a Ь)(а+Ь),
(1)
которое называется формулой разности квадратов.
Тождество (1) применяют для разложения на множители
разности квадратов двух выражений.
Разность квадратов двух выражеnий равна nроизведе
пию разности этих выражений и их суммы.
При м ер 1. Разложим на множители выражение х 2 25.
Представим выражение х 2 25 в виде разности квадратов
и воспользуемся формулой (1). Получим:
х 2 25 х 2 52 (х 5)(х + 5).
При м е р 2. Разложим на множители мноrочлен
64т 2 9п 2 .
Представим выражение 64т 2 9п 2 в виде разности KBaд
ратов и затем применим формулу (1). Будем иметь:
64т 2 9п 2 (8т)2 (3п)2 (8т 3п)(8т + 3п).
752. Разложите на множители мноrочлен:
а) т 2 п 2 ; в) 900 р2; д) х 2 1,21;
б) а 2 4; r) k 2 625; е) 1 JL п 2 .
16
152
а+Ь
r л а в а 6. Формулы сокращенноrо умножения
!j
Ь
Ь
Ь
а
Рис. 9
а) х 2 9у2;
б) 49т 2 п 2 ;
в) 0,64 4k 2 ;
1
r) 24 р2 х 2 ;
,Q
I
!j
753. На рисунке 9 изображен
квадрат со стороной а, из KOToporo
вырезан квадрат со стороной Ь. Ис
пользуя этот рисунок, разъясните
rеометрический смысл формулы
а 2 Ь 2 (а Ь)(а + Ь) при а > о,
Ь > О и а > Ь.
754. Представьте в виде произ
ведения мноrочлен:
д) 25х 2 49у2;
е) 0,36т 2 25п 2 ;
ж) 0,81х 2 1,21 у 2;
з) ..!L р2 1..!L k 2 .
16 16
755. Разложите на множители:
а) х 2 у2 16;
б) 36 а 2 Ь 2 ;
в) т 2 п 2 0,09;
r ) 16 k2 p 2.
25 '
756. Найдите значение
а) 612 392;
б) 452 552;
в) 13,62 3,62;
д) 0,81 р 2 4а 2 Ь 2 ;
е) 9т 2 п 2 0,01 р 2;
ж) 0,04k 2 0,09а 2 п 2 ;
з) .!а 2 Ь 2 2J..m2p2.
9 9
выражения:
r) 5,82 94,22;
д) (l J ( J;
е) (3% J ( 1 J .
757. Найдите значение дроби:
242 122
а) 182 62 ;
758. Решите уравнение:
а) х 2 25 о;
б) 36 т 2 о;
1
в) 2 + п 2 о;
4
322 172
б) 702 352 ;
7,42 2,62
в) 11,22 8,82 .
r) 0,36 0,81т 2 о;
д) 6,25х 2 100 о;
1 1
е) 1l x2 О.
9 4
11 . Разность квадратов
153
759. Разложите На множители мноrочлен:
а) т 4 4; ж) 36а 4 Ь б ;
б) 16 рб; з) 16т 4 121п 4 ;
в) а б Ь 4 ; и) 0,01т 2 25п 8 ;
r) х 1О у8; к) 100х 4 9 у l0;
д) 49т 4 25; л) 9а 2 Ь 2 4х 4 ;
е) 4 81 р б; м) 36т б 49k 4 n 2 .
760. Представьте в виде произведения:
а) х б 1,44; в) 1,21 р 2 а б ; д) 0,04а б 0,25Ь 4 ;
1
б ) т2 п 4 .
4 '
1
r) "9 у6 4а 4 ;
1
e)2 т4 64n 4 k 2 .
4
761. Представьте в виде произведения:
а) х 2n y4k; r) y4 2k хбт 2;
б) 54.? 3 2n ; д) 4х2n б 9у2n+6;
в) а бn + 4 Ь 4n + 2 ; е) 0,49аб 2р 0,81Ь 4р + 2 .
762. Разложите на множители:
а) (х + у)2 Z2;
б) (х у)2 Z2;
в) т 2 (п + k)2;
r) т 2 (п k)2;
д) (а + 4)2 16;
е) 100 (10 п)2;
ж) (3а + 1)2 4;
з) 9 (2 5Ь)2;
и) 4х 2 (1 3х)2;
к) (2т + 3)2 9т 2 ;
л) 16а 2 (3а 1)2;
м) 25т 2 (2х + 3т)2.
763. Представьте в виде произведения:
а) 81 4(р + 3)2; r) 4у2 9(5у 1)2;
б) 9(4 х)2 16; д) 9а 2 16(4а 3)2;
\
в) 16(2х + 1)2 i; е) 25(5т + п)2 4п 2 .
9
764. Найдите корни уравнения:
а) (2х 1)2 32 о;
б) (х + 2)2 25 о;
в) (2 3х)2 1 о;
r) 16 (х 3)2 о.
765. Разложите на множители:
а) (х + у)2 (х у)2;
б) (2т п)2 (т + 2п)2;
в) (3п + 2р)2 (5р 2п)2;
r) 4(3х 2у)2 9(4х + 3у)2;
д) 100(6а + 3Ь)2 81(3а + 2Ь)2;
е) 49(5х 2 + 8)2 36(4х 2 1)2.
154
r л а в а 6. Формулы сокращенноrо умножения
766. Что можно сказать о числах т и п, если т 2 п 2 ?
767. Решите уравнение:
а) (х + 1)2 (2х 1)2 о;
б) (4х + 3)2 (3х 1)2 о;
в) (2 х)2 4(3х + 1)2 о;
r) (5 2х)2 9(х + 1)2 О.
768. Докажите, что при любом натуральном значении п
значение выражения:
а) (3п 4)2 п 2 кратно 8;
б) (п + 9)2 (п 7)2 кратно 32.
769. Докажите, что разность квадратов двух последова
тельных нечетных чисел кратна 8.
770. Докажите, что при любом натуральном значении п
значение выражения (п + 1)2 п 2 есть нечетное число.
В школе Пифаrора (VI в. до н. э.) эту задачу решали «на
камушках» с помощью «квадратных» чисел. Это решение
леrко увидеть на рисунке 10.
772. Найдите ошибку в рассуж
дениях, приводящих к выводу: лю
бое число равно своему удвоенному
значению. Пусть дано произволь
ное число п. Запишем для Hero Bep
ное равенство п 2 п 2 п 2 п 2 . Bы
несем в левой части за скобку
множитель п, а правую часть разложим на множители по
формуле разности квадратов, получим равенство п(п п)
(п п)(п + п). Сократив обе части равенства на одинако
вый множитель (п п), получим п п + п, то есть п 2п.
0000 о
0000 о
0000 о
0000 о
0000 о
Рис. 10
771.Сторона одноrо квадрата на
2 см меньше стороны друrоrо KBaд
рата, а разность площадей этих KBaд
ратов равна 24 см 2 . Найдите CTOpO
ну большеrо квадрата.
11. Разность квадратов
155
.) Упражнения для повторения
773. Пред ставьте в виде квадрата одночлена выражение:
а) 9т 2 ; в) 0,81а 2 ; д) 49 р 6; ж) а 2 Ь 4 ;
б) 25п 4 ; r) 0,16Ь 4 ; е) 0,64т 6 ; з) 16а 4 Ь 6 .
774. Представьте в виде мноrочлена выражение:
а) 4х 2 (2х + 1)(1 2х);
б) (7 3а)(3а + 7) + 10а 2 ;
в) 3т 2 + (4т 3р)(4т + 3р);
r) (2а + 5Ь)(5Ь 2а) 20Ь 2 .
775. Докажите тождество:
а) а 2 Ь 2 (а + Ь)2 2b(a + Ь);
б) (а Ь)2 (а 2 Ь 2 ) 2b(a Ь).
776. Разложите на множители мноrочлен:
а) т 3 + 3т 2 п 2тп 6п 2 ;
б) 2a3 + 4а 2 Ь 2 + аЬ 2Ь 3 .
777. Решите уравнение:
2z + 32+ 1 .
а) 9 6 4 '
В ) 2x 1 х+l .
2 6 4 '
1 5т т
б) 2 3 3т 2;
5k+3 k 2
r) W 15 13.
778. Два поезда двиrались навстречу друr друrу. Через
0,5 ч после встречи расстояние между ними стало равным
60 км. Найдите скорости поездов, если у одноrо из них CKO
рость на 20 км/ч больше.
.) Контрольные вопросы и задания
1. Чему равно произведение разности двух выражений
и их суммы? 3апишите ответ в виде формулы и докажите ее.
2. Чему равна разность квадратов двух выражений? При
ведите пример.
156
r л а в а 6. Формулы сокращенноrо умножения
12.
26.
КВАДРАТ СУММЫ
. И КВАДРАТ РАЗНОСТИ
Возведение в квадрат
суммы и разности
Представим в виде мноrочлена квадрат суммы а и Ь. ДЛЯ
этоrо степень (а + Ь)2 запишем в виде произведения и приме
ним правило умножения мноrочлена на мноrочлен:
(а + Ь)2 (а + Ь)(а + Ь) а 2 + аЬ + аЬ + Ь 2 а 2 + 2аЬ + Ь 2 .
3начит,
(а + Ь)2 а 2 + 2аЬ + Ь 2 . (1)
Полученное тождество является еще одной формулой co
кращенноrо умножения. Ее называют формулой квадрата
суммы двух выражений.
Квадрат суммы двух выражений равен квадрату nep
Gozo выражения, плюс удвоенное nроиаведение nepGozo и
Gmopozo выражений, плюс квадрат Gmopozo выражения.
При м е р 1. Представим выражение (5 + 3х)2 в виде
мноrочлена. Применяя формулу (1), получим:
(5 + 3х)2 52 + 2 . 5 . 3х + (3х)2 25 + 30х + 9х 2 .
При М е р 2. Возведем в квадрат сумму 2a + 1.
Выражение ( 2a + 1)2 является квадратом' суммы выраже
ний 2a и 1. Используя формулу (1), найдем:
( 2a + 1)2 ( 2a)2 + 2 . ( 2a) . 1 + 12 4а 2 4а + 1.
Возведем в квадрат разность а и Ь. Представив степень
(а Ь)2 в виде произведения и выполнив умножение, получим:
(а Ь)2 (а Ь)(а Ь) а 2 аЬ аЬ + Ь 2 а 2 2аЬ + Ь 2 .
lP:,:>po1t110 .4.
;:1 fucnr IIП ill "пав \111:>3 "inifз ,IIodq6 C):t",;n IOI1"j
ICtpfj ftl:cquu" Ью'; С): I)ucro"mulq; \1fis i l(lpl31 IIItc f
,," i IIllcrli ble.l!O Ьос mЗllifc1h1 с '1' i oi qdrlll" ouc 10(1
б(iCtlquзsоiЗlllcrcr f((1I1 \1 mсdiб fоп! III1\Ьсqозdrз!с.
(1611 hlldl.. .Ь. l>IU,fQ lu. О .С.1. Ь .с, 01(0'.1' quadnllUn' fОriщ!
о.Ь. cquum dI ou\Jbu. qu:&dш", ооаruml".c<lnЯn .0.(.1.1>.,. оор!о а1ltl q!I
(,\ q.OIIau ......COF О) .1ю-.1II:t1<faibOmqu:&dШUU\8Irа1u& рап;а!,"т firqз
с.d.Ь.,.qu.:&dr.t\п I,псс.с.ь.an .dlПug ПI6I1On'OI'С [cWdй ou",j ollcmoii hn«
o aiu. Сс;...,. q6 r."an. ьо< 010."1 quod'8ro oo'riplO p:orrob.m olall1<mi .
b.d.tQ punао...сducа'lIpapcndiшlomn fUl!luJ(ilm.a.b .qutfll...k.qu.i...1<
. оi1ll1<Пй.Ь.d.,pdщan,.rq; quO,Ocun;;ll11 PD11C1o-f.'Qpuпао.r. р:..т
i.b.cqo;diftOllfibIKC .u.b,qu.iJ.b.c.b.c.pIOducom .rq;quo conmrтil i рпао
5-tp2Odш;;.с.d. .fqз ad b...c.d. >fq;ad.k.fl qlllo ороlаlcr..d.ц.с. b.rrion
jjull.d.c.b.r""r cquol,.:crUlpcr.$.PMn 000 "lSull.c.d.b.c.c.b.d.cqulllcs:<q.
Фраrмент страницы из 11 книrи «Начал» Евклида с rеометриче
ским доказательством тождеств квадрата суммы и квадрата разности,
111 в. до н. э.
12. Квадрат суммы и квадрат разности
Значит,
157
(a Ь)2 a2 2aЬ+Ь2. (2)
Полученное тождество позволяет быстрее возводить в
квадрат разность двух выражений. Ero называют формулой
квадрата разности двух выражений.
Квадрат разности двух выражений равен квадрату
nepBozo выражения. минус удвоенное про изведение nepBozo
и Bmopozo выражений. плюс квадрат Bmopozo выражения.
Формулу (2) можно получить из формулы (1), представив
разность а и Ь в виде суммы а и Ь:
(а Ь)2 (а + ( Ь»2 а 2 + 2а . ( Ь) + ( Ь)2 а 2 2аЬ + Ь 2 .
При М е р 3. Возведем в квадрат разность 4т 3.
Применяя формулу (2) к степени (4т 3)2, получим:
(4т 3)2 (4т)2 2 . 4т . 3 + 32 16т 2 24т + 9.
При м е р 4. Представим в виде мноrочлена выраже
ние 4х(х у) (2х у)2.
Выполнив указанные действия, получим:
4х(х у) (2х у)2 4х 2 4ху (4х 2 4ху + у2)
4x2 4xy 4x2+4xy у2 y2.
779. Формулы квадрата суммы и квадрата разности дo
казаны во 11 книrе «Начал» Евклида. Используя рисунки 11
и 12, разъясните rеометрический смысл формулы:
а) (а + Ь)2 а 2 +2аЬ+Ь 2 , rде а > О, Ь> о;
б) (а Ь)2 а 2 2аЬ + Ь 2 , rде а > Ь > о.
а
Ь
Рис. 11
с::!
а
Ь
Рис. 12
158
r л а в а 6. Формулы сокращенноrо умножения
780. Представьте в виде мноrочлена:
а) (3 + р)2; в) (0,4 + d)2; д) ( x + у)2;
2 2 2
б) (с 2) ; r) (k 0,5) ; е) ( т п) .
781. Какие из выражений ( т п)2, ( т + п)2, (п т)2 и
( п т)2 тождественно равны выражению:
а) (т п)2; б) (т + п)2?
782. Используя формулу квадрата суммы
разности, найдите значение выражения:
а) (40 + 1)2; в) 1012; д) 482;
б) (30 1)2; r) 992; е) 522;
или квадрата
ж) 3,52;
з) 10,12.
783. Найдите значение выражения:
а) 232; в) 812; д) 1,32; ж) ( 3i J ;
б) 192; r) 492; е) 1,92; з) ( 4 Y.
784. Сравните с единицей число:
792 + 852
а) (79 + 85)2 ;
1942 + 1032
б) (194 103)2 .
785. Представьте в виде мноrочлена:
а) (3у + 2)2; д) (3х 2у)2;
б) (3 2у)2; е) (5а + 4Ь)2;
в) (6т 5)2; ж) (6т + 5k)2;
r) (4k + 3)2; з) (3p 4с)2.
786. Преобразуйте в мноrочлен:
а) (2а + 7Ь)2; r) (2х 0,2у)2;
б) (3a 5Ь)2; д) ( т 3п J;
в) ( X + 2у J ; е) ( 4т l п J
787. Преобразуйте в мноrочлен:
а) (4т 2 + 5п)2; r) (7 у 3 3р2)2;
б) (3с 2р3)2; д) ( X2 4 у 3 J ;
в) (2х 2 + 5у2)2; е) ( a4 + a3 J
11 12. Квадрат суммы и квадрат разности
159
788. Представьте в виде мноrочлена:
а) (3 + 5х)2 9; r) ( 7k + 1)2 + 14k;
б) 25 (4т 5)2; д) 40с 2 (1 6с)2 + 1;
в) 9р2 (4 + 3р)2; е) (8 + 7у)2 49у2 60.
789. Выполните действия:
в) 0,5( 2р + J р;
2 1 ( 3 ) 2
б) 24k "3 (3k + 4)2; r) 3с + "3 "4С 2 .
790. Докажите, что разность между квадратом числа, KOTo
рое не делится на 3, и единицей делится на 3.
1
а) i (10т 1)2 20т;
791. Раскройте скобки:
а) (2х n + yk)2;
б) ( a2п+l 2b2п 1 J.
792. Упростите выражение:
а) 4(т 1) (2т + 1)2;
б) (1 3с)2 + 3(2с + 1);
в) k(2 5k) (2 3k)2;
r) (7х + 4)2 4х(5 2х);
д) (р + 6)(6 р) + (р + 2)2;
е) (с 4)2 (с 10)(с + 10);
ж) (х + 3)(х 3) (х + 5)2;
з) (1 2у)2 (2у 3)(2у + 3).
793. Докажите тождество
х(у + Z)2 + y(z + х)2 + z(x + у)2 4xyz ==
== (х + у)(у + z)(z + х).
794. Найдите значение выражения:
а) (2х 3)(2х + 3) (2х 1)2 при Х == 2,25;
б) (3а 4)2 + (3 + 4а)2 при а == 7;
в) 2у(8у + 1) (4у 1)2 при У 1,8;
r) (3а + 2)2 + 6(3 2а) при а == 3;
д) (4х + 3)(4х 3) (4х + 5)2 при Х == O,5;
е) (5р 2)2 + (3р 2)(3р + 2) при Р == 0,1.
160
r л а в а 6. Формулы сокращенноrо умножения
795. Решите уравнение:
а) (7 х)2 (х + 8)(х 8) 43;
б) (3т + 4)(3т 4) (3т + 5)2 11;
в) (6х + 1)2 (6х 1)2 о;
r) (4 5р)2 (3 5р)2 3;
д) 4х(4х 8) (4х + 7)2 39;
е) (6 5т)2 10т(2,5т + 1) 8;
ж) (2а 5)2 (2а + 3)2 80;
з) 32 + (2k + 1)2 (2k 3)2.
796. Докажите, что если х и у не кратны 3, то разность
х 2 у2 кратна 3.
797. При каком значении т:
а) квадрат суммы выражений т и 1 на 32 меньше
квадрата их разности;
20 см
б) квадрат суммы т + 5 на 8
больше квадрата разности т 3?
798. Отрезок длиной 20 см
разделен на две части, и на каж
дой из них построен квадрат
(рис. 13). Найдите стороны KBaд
ратов, если разность их площа
дей равна 40 см 2 .
799. Если сторону квадрата
увеличить на 4 см, то ero пло
щадь увеличится на 32 см 2 . Ka
кова сторона квадрата?
Рис. 13
800. Докажите тождество:
а) (а + Ь)2 + (а Ь)2 2(а 2 + Ь 2 );
б) (а + Ь)2 (а Ь)2 4аЬ.
801. Представьте в виде мноrочлена:
а) 5(2 3у2)2 15у4; в) 4 пр 3 + 2р(п 2р2)2;
б) 4x(1 + 2х 3 )2 + 15х 4 ; r) 40z 2 (3 + 5Z2)2 + 10.
802. Преобразуйте в мноrочлен:
а) (х у)2(х + у); 1') (2а + 4)2(2а 4);
б) (х у)(х + у)2; д) (с 3т)2(3т + с)2;
в) (1 5п)(4т + 3)2; е) (а + 2Ь)2(2а Ь)2.
12. Квадрат суммы и квадрат разности
161
803. Пред ставьте в виде мноrочлена выражение:
а) (а + Ь 2)(а + Ь + 2); в) (а + с 5)(а с + 5);
б) (х у 3)(х у + 3); r) (х а + 8)(х + а 8).
804. Докажите, что при любом натуральном значении п:
а) значение выражения (3п 1)2 1 кратно 3;
б) значение выражения (п + 5)2 п 2 кратно 5.
t) Упражнения для повторения
805. Разложите на множители:
а) 16т 2 25п 4 ; в) (2а + 3)2 4;
б) 0,09а 4 9Ь 2 ; r) 36 (1 5х)2.
806. Представьте в виде мноrочлена:
а) (3х + 1lу)(1lу 3х); в) (5а 2 + 1)(5а 2 + 2);
б) (6х 1)(1 6х); r) (4х 2 3)(4х 2 + 3).
807.
Решите уравнение:
) (2а + 1)2 (3а 2)2
а
4 9
1;
б)(х + 5)2 + 1 (6х 1)2
36
808. Две машинистки должны напечатать отчет объемом
60 страниц. Через 1 ч 15 мин совместной работы они напеча
2
тали 3" отчета. Сколько страниц в час печатала первая Ma
шинистка, если известно, что вторая печатала за час на
2 страницы больше (производительность труда машинисток
считаем постоянной)?
809. Два слесаря за 2 ч совместной работы выточили 46 дe
талей. Какова производительность труда каждоrо рабочеrо,
если первый вытачивает на 1 деталь в час больше?
27. t Разложение на множители
с помощью формул квадрата суммы и
квадрата разности
Возьмем формулы квадрата суммы и квадрата разности.
В каждой из них поменяем местами левую и правую части.
Получим новые формулы:
а 2 + 2аЬ + Ь 2 (а + Ь)2;
a2 2аь+Ь 2 (a Ь)2.
6 Аqrебр". 7 кл.
162
r л а в а 6. Формулы сокращенноrо умножения
Они показывают, как трехчлены вида а 2 + 2аЬ + Ь 2 и
а 2 2аЬ + Ь 2 представить в виде квадратов двучленов, т. е.
разложить на два одинаковых множителя.
При м е р 1. Разложим на множители мноrочлен
х 2 + 6х + 9.
Первое слаrаемое является квадратом х, третье квадра-
том числа 3, второе удвоенным произведением х и 3, так как
х 2 + 6х + 9 х 2 + 2 . х . 3 + 32.
Поэтому:
х 2 +6х+9 (х+3)2.
При м е р 2. Разложим на множители мноrочлен
25т2 40т + 16.
Первое слаrаемое представляет собой квадрат выражения
5т, третье квадрат числа 4, а второе удвоенное произ-
ведение 5т и 4 со знаком «минус». Следовательно,
25т2 40т + 16 (5т)2 2 . 5т . 4 + 42 (5т 4)2.
810. Представьте в виде квадрата двучлена трехчлен:
а) с 2 + 10с + 25; r) 36 12а + а 2 ;
б) т 2 16т + 64; д) р2 + 36 12р;
в) 4 4х + х 2 ; е) 81 + т 2 + 18т.
811. Разложите на множители мноrочлен:
а) 100т2 100т + 25;
б) 16 + 24х + 9х 2 ;
в) 1 12р + 36р2;
r) 49а 2 + 42аЬ + 9Ь 2 ;
д) 16х 2 + 81 у 2 72ху;
е) 44Ьс + 121Ь 2 + 4с 2 ;
ж) 4х 2 + 12ху + 9у2;
з) 25а 2 20аЬ + 4Ь 2 .
812. Найдите значения выражений:
а) х 2 + 4х + 4 при х 12; 98; 1,8;
3
б) у2 10у + 25 при у 15; 15; 4"4;
2
в) 9т2 6т + 1 при m 3; 7; "3;
r) 40с + 16 + 25с 2 при С 0,6; 1,2; 1,2.
813. Докажите, что при любом значении х верно нера-
венство:
а) x2 22х+ 121 о; б) 1 +4x 4х 2 о.
9 12. Квадрат суммы и квадрат разности
163
814. Подставьте вместо переменных х и у такие OДHO
члены, чтобы получилось тождество:
а) (2а х)2 4а 2 у + 9Ь 2 ;
б) У 10аЬ + 25Ь 2 (а + х)2.
815. Измените один из коэффициентов квадраТноrо
трехчлена 4х 2 6х + 9 так, чтобы ero можно было представить
в виде квадрата двучлена. Сколько решений имеет задача?
816. Решите уравнение:
а) 4х 2 + 4х + 1 о;
б) 9у2 12у + 4 о;
1
В ) т 2 + т + 2 О.
8 '
r) 0,5п 2 3п + 4,5 о;
д) 25х 2 20х + 4 о;
1
е)зр2+2р+3 0.
817. Найдите множество корней уравнения:
а) 4х 2 4х + 1 х 2 + 6х + 9;
б) 9х 2 + 6х + 1 х 2 4х + 4;
в) 4х 2 + 4х + 1 9х 2 12х + 4;
r) 4 4х + х 2 25х 2 + 10х + 1.
818. Представьте в виде квадрата двучлена выражение:
1 1
а) т2 4т+36' в) 9р2 2р + "9 ;
9 '
1 4
б) х 2 + 4х + 16' r) 36 + 8k + "9 k 2 .
4 '
а) 4х 4 12х2 + 9;
819. Разложите на множители выражениr:
б) 49а 2 + 28аЬ 2 + 4Ь 4 ;
в) 16 8аЬ + а 2 Ь 2 ;
r) т 4 + 2т 2 п 3 + п 6 ;
д) 1 6с 2 + 9с 4 ;
3 1
е ) 9х6 + х 3 + .
2 16'
ж) 9 + 6а 2 Ь + а 4 Ь 2 ;
з) х 2 6 аху 2 + 9а 2 у4.
820. Докажите, что если х + у 5, то значение выраже
иия х 2 + 2ху + у2 3х 3у 9 равно 1.
821. Докажите, что если а + Ь о, то значение MHoro
члена а 2 + 6аЬ + 5Ь 2 + 1 равно 1.
822. Докажите, что уравнение х 4 3х 3 2х 2 5х + 1 О
ие имеет отрицательных корней.
164
r л а в а 6. Формулы сокращенноrо умножения
823. Найдите ошибку в рассуждениях. Рассмотрим верное
равенство 1 3 4 6. Прибавив к обеим частям равенства
999
число 4"' получим 1 3 + 4" 4 6 + 4"' Леrко видеть, что
правая и левая части являются полными квадратами, то есть
( 1 J ( 2 J . Следовательно, (1 ) ( 2 ) и 1 2.
824. Длина прямоуrольника равна 12 см. Ero площадь на
36 см 2 больше площади квадрата со стороной, равной ширине
прямоуrольника. Найдите сторону квадрата.
t) Упражнения для повторения
825. Представьте в виде мноrочлена выражение:
а) (10р 7)2;
б) (6 + 5k)2;
в) (2т llk)2;
r) (3с + 4d)2.
826. Решите уравнение:
а) (2х 9)2 (2х 3)(2х + 3);
б) (5у 2)2 (5у + 3)2 5.
827. Упростите выражение:
а) (12т 1)(3т + 2) (6т + 1)2;
б) (4а + 3)2 + (3а + 2)(4а + 1).
828. Найдите значение выражения:
а) (5x 7y)2 (7x 5у)2 при Х 2 и у 1;
б) (4х + 3у)2 (3х + 4у)2 при Х 3,5 и у 1,5.
829. Разложите на множители:
а) 100т 4 п 2 ;
б) 81х 2 4 у б;
в) а 4 Ь 4 ;
r) 4а 4 9Ь 4 .
830. Расстояние между поездами, идущими навстречу
дpyr друrу, равно 300 км. Через 1,5 ч оно сократилось до 90 км.
Найдите скорости поездов, если у одноrо из них скорость
1
в 1"3 раза больше.
!j 12. Квадрат суммы и квадрат разности
165
28. Квадратный трехчлен
Каждый из мноrочленов 5х 2 3х+ 7, 2x2 + 6х 1 и 4х 2 3
является мноrочленом второй степени вида ах 2 + Ьх + с, rде х
переменная, а, Ь и с числа. В первом из них а 5, Ь 3
и с 7, во втором а 2, Ь 6 и с 1, в третьем а 4, Ь О
и с 3. Такие мноrочлены называют квадратными тpex
членами.
Оп р е Д е л е н и е. Квадратным трехчленом называется
мноrочлен вида ах 2 + Ьх + с, I'де х переменная, а, Ь и с
числа, причем а =!= О.
Числа а, Ь, с называются коэффициентами квадратноrо
трехчлена, при этом коэффициент а перед х 2 называется
старшим коэффициентом, а число с свободным членом
квадратноrо трехчлена. Заметим, что а =1= О, а друrие коэф
фициенты MorYT быть равны нулю. Так, выражение 3х 2 + 2х,
содержащее только два слаrаемых, является квадратным
трехчленом, поскольку ero можно записать в виде 3х 2 + 2х + О.
С квадратными трехчленами мы встречались при разложе
нии мноrочленов на множители по формулам сокращенноrо
умножения. Так, при разложении на множители квадратноrо
трехчлена х 2 + 6х + 9 получается квадрат суммы х и 3:
х 2 + 6х + 9 х 2 + 2 . х . 3 + 32 (х + 3)2.
Не всякий квадратный трехчлен можно представить в
виде квадрата суммы или квадрата разности. Однако любой
квадратный трехчлен ах 2 + Ьх + с, в котором а 1, можно за
писать в виде суммы квадрата двучлена и HeKoToporo числа
или, как rоворят, выделить из TaKoro квадратноrо трехчлена
квадрат двучлена.
При м е р 1. Из KBaдpaTHoro трехчлена х 2 8х + 19 Bыдe
лим квадрат разности двух выражений.
Слаrаемое х 2 будем считать квадратом первоrо выраже
ния х. Слаrаемое 8x представим в виде удвоенноrо произве
дения первоrо и BToporo выражений со знаком «минус», т. е.
2x . 4. Прибавим и вычтем квадрат BToporo выражения 4 и
перепишем третье слаrаемое. Получим
x2 8х+ 19 x2 2х . 4+42 42+ 19
(х 4)2 42 + 19 (х 4)2 + 3.
1бб
r л а в а б. Формулы сокращенноrо умножения
ТакиМ образом, из квадратноrо трехчлена х 2 8х + 19
выделили квадрат разности (х 4)2.
При м е р 2. Из квадратноrо трехчлена х 2 + 3х 1 Bыдe
лим квадрат суммы двух выражений.
Слаrаемое х 2 будем считать квадратом nepBoro выраже
ния х. Слаrаемое 3х представим в виде удвоенноrо произве
дения nepBoro и BToporo выражений, т. е. 2х . . Прибавим
и вычтем квадрат BToporo выражения и перепишем третье
слаrаемое. Получим:
з99
х 2 + 3х 1 х 2 + 2х . + 1
244
( 3 ) 2 9 ( 1 ) 2 1
x+ 1 x+1 3
2 4 2 4 .
Выделение квадрата двучлена из квадратноrо трехчлена
применяется при разложении квадратных трехчленов на
множители и при решении некоторых друrих задач.
При м е р 3. Разложим на множители квадратный
трехчлен х 2 + 4х + 3.
Выделим из квадратноrо трехчлена х 2 + 4х + 3 квадрат
двучлена и применим формулу разности квадратов. Получим:
х 2 + 4х + 3 х 2 + 2х . 2 + 4 4 + 3
(х + 2)2 1 (х + 2 l)(х + 2 + 1)
(х + l)(х + 3).
При м е р 4. Разложим на множители квадратный
трехчлен 3х 2 + х 2.
Вынесем за скобки множитель 3 и из полученноrо в скоб
ках квадратноrо трехчлена выделим квадрат двучлена:
3х 2 + х 2 3 ( х 2 + х )
3 ( х 2 + 2х . i + ( i У ( i У )
3 ( ( х + i )2 : ) 3 ( х + i )( х + i + )
3 (х )(Х + 1) (3х 2)(х + 1).
!} 12. Квадрат суммы и квадрат разности
167
При м е р 5. Докажем, что из всех прямоуrольников
с периметром 16 см наибольшую площадь имеет квадрат
со стороной 4 см.
Пусть одна из сторон прямоуrольника равна х см, тоrда
смежная с ней сторона равна (8 х) см. Площадь прямоуrоль
ника равна х(8 х) см 2 . Раскрыв скобки в выражении х(8 х),
получим квадратный трехчлен x2 + 8х. Преобразуем ero:
x2 + 8х (x2 8х) (x2 2х . 4 + 16 16)
«x 4)2 16) (x 4)2 + 16.
Значение выражения (x 4)2 + 16 зависит от слаrаемоrо
(x 4)2, которое принимает отрицательные значения или
равно нулю. Площадь прямоуrольника имеет наибольшее
значение, коrда выражение (x 4)2 равно нулю. Это воз
можно лишь при х 4. Если одна из смежных сторон прямо
уrольника с периметром 16 см равна 4 см, то и друrая сторона
равна 4 см. Значит, прямоуrольником, имеющим наибольшую
площадь, является квадрат.
831. Укажите коэффициенты квадратноrо трехчлена:
а) 4х + 3х 2 + 1; в) х 2 4 + 2х;
б) 1 х 2х 2 ; r) x2 5х.
832. Выделите квадрат суммы или разности из KBaдpaT
Horo трехчлена:
а) х 2 + 10х 20; в) х 2 5х 4;
б) х 2 6х + 15; r) х 2 + х + 1.
833. Выделите квадрат двучлена из неполноrо KBaдpaT
Horo трехчлена:
а) х 2 + 4х;
б) х 2 6х;
в) х 2 + 7х;
r) х 2 х.
834. Разложите на множители квадратный трехчлен:
а) х 2 х 6; в) х 2 8х + 15;
б) х 2 + 3х 4; r) х 2 + 8х + 12.
835. Представьте в виде произведения:
а) 3х 2 + 9х + 6; r) 6х 2 1lх 30;
б) x2 5х + 14; д) х 2 3 х + 3;
1 2
е) 3" х 2 + 23" х 16.
в) 4х 2 16х + 7;
168
r л а в а 6. Формулы сокращенноrо умножения
836. Докажите, что при любых значениях х:
а) квадратный трехчлен х 2 14х + 50 принимает
лишь положительные значения;
б) квадратный трехчлен x2 + 6х 11 принимает
лишь отрицательные значения;
в) квадратный трехчлен i х 2 + 2х 9 не принимает
положительных значений;
r) квадратный трехчлен 2х2 8х + 9 не принимает
отрицательных значений.
837. При каком значении х квадратный трехчлен х 2 +
+ 10х + 32 принимает наименьшее значение? Найдите это зна
чение.
838. Найдите наибольшее значение квадратноrо Tpex
члена x2 2х + 7. Какому х соответствует это значение?
839. При каком значении х квадратный трехчлен:
а) х 2 + 6х + 5 принимает наименьшее значение;
б) x2 + 4х + 1 принимает наибольшее значение?
840. Найдите наибольшее или наименьшее значение
квадратноrо трехчлена:
а) x2 х 2;
б) х 2 0,6х + 2;
1 1
В ) х 2 Х + 1 .
2 2 '
r) 3x2 6х + 1.
841. Забором длиной 64 м нужно оrородить прямоуrоль
ный участок наибольшей площади. КаковЫ должны быть раз
меры участка?
842. Прямоуrольный участок земли одной стороной BЫXO
дИТ на пруд. Вдоль трех друrих сторон требуется поставить
забор длиной 60 м. Какие размеры должны быть у этоrо участ
ка, чтобы ero площадь была наибольшей? Вычислите площадь.
t) Упражнения для повторения
843. Верно ли, что при любом значении х принимает
ложительное значение выражение:
а) (х 7)2; в) (х 9У + 3;
б) (8 + х)2; r) 4 (х + 2)2;
по
д) 5(1 х)2 + 1;
е) (х + 10)2 1?
9 12. Квадрат суммы и квадрат разности
169
844. Какие из выражений 5x2; (x + 2)2; 1 (х + 3)2;
2(x + 1)2 3; (3x + 5)2 + 8 принимают отрицательные значе
ния при любых значениях х?
845. Расстояние между двумя автомобилями, движущи
1
мися навстречу друr друrу, равно 300 км. Через 1 ч оно co
4
кратилось до 100 км. Найдите скорости автомобилей, если у
одноrо из них скорость больше на 20 км/ч.
846. Два автомобиля двиrались навстречу друr друrу.
Через 2 ч после встречи расстояние между ними стало paB
ным 280 км. Найдите скорости автомобилей, если у одноrо
из них скорость меньше на 10 км/ч.
29. Квадрат суммы нескольких
слаrаемых
Возведем в квадрат сумму а + Ь + с. Для этоrо предста
вим степень (а + Ь + с)2 в виде произведения и применим
правило умножения мноrочленов. Получим:
(а + Ь + с)2 (а + Ь + с)(а + Ь + с)
а 2 + аЬ + ас + аЬ + Ь 2 + Ьс +ас + Ьс + с 2
а 2 + Ь 2 + с 2 + 2аЬ + 2ас + 2Ьс.
3начит,
(а + Ь + с)2 а 2 + Ь 2 + с 2 + 2аЬ + 2ас + 2Ьс. (1)
Используя формулу (1), можно быстрее возводить в KBaд
рат любой трехчлен.
Квадрат суммы трех выражеnий равеn сумме Kвaдpa
тов этих выражеnий, сложеnnой со всеми удвоеnными
произведениями выражений, взятых по два.
При м е р 1. Возведем в квадрат трехчлен 2а + m + 3k.
Используя формулу (1), получим:
(2а + m + 3k)2 (2а)2 + т 2 + (3k)2 + 2 . 2а . т + 2 . 2а . 3k +
+ 2 . m . 3k 4а 2 + т 2 + 9т2 + 4ат + 12ak + 6mk.
При м е р 2. Возведем в квадрат трехчлен 3т 5п 2k.
Выражение 3т 5п 2k представляет сумму 3т, 5п и
2k. Применяя к квадрату этой суммы формулу (1), получим:
(3т 5п 2k)2 9т2 + 25п 2 + 4k 2 30тп 12mk + 20nk.
9 1 з. Куб суммы и куб разности. Сумма и разность кубов
173
13. .
30.
КУБ СУММЫ И КУБ РАЗНОСТИ.
СУММА И РАЗНОСТЬ КУБОВ
Возведение в куб суммы
и разности
Представим в виде lV!ноrочлена куб суммы а и Ь. ДЛЯ
этоrо можно записать степень (а + Ь)3 в виде произведения
(а + Ь)(а + Ь)(а + Ь) и применить правило умножения MHoro
члена на мноrочлен. Однако проще представить эту степень
в виде про изведения (а + Ь)2(а + Ь) и применить сначала фор
мулу квадрата суммы, а затем правило умножения MHoro
членов. Получим:
(а + Ь)3 (а + Ь)2(а + Ь) (а 2 + 2аЬ + Ь 2 )(а + Ь)
а 3 + 2а 2 Ь + аЬ 2 + а 2 Ь + 2аЬ 2 + Ь 3 а 3 + 3а 2 Ь + 3аЬ 2 + Ь 3 .
Значит,
(а + Ь)3 а 3 + 3а 2 Ь + 3аь 2 + Ь 3 . (1)
Полученное тождество называют формулой куба суммы.
Куб суммы двух выражений равен кубу nервоzо выpa
жения. плюс утроенное nроиаведение квадрата nервоzо
выражения и второzо, плюс утроенное nроиаведение nep
Bozo выражения и квадрата второzо. плюс куб второzо
выражения.
При м е р 1. Представим выражение (3х + 2)3 в виде
мноrочлена.
Применяя формулу (1), получим:
(3х + 2)3 (3х)3 + 3(3х)2 . 2 + 3 . 3х . 22 + 23
27х 3 + 54х 2 + 36х + 8.
При м е р 2. Возведем в куб двучлен 2a + 1.
Выражение ( 2a + 1)3 является кубом суммы выражений
2a и 1. Используя формулу (1), находим:
( 2a + 1)3 ( 2a)3 + 3( 2a)2 . 1 + 3 ( 2a) . 12 + 1 3
8a3+ 12a2 6а+ 1.
Возведем в куб разность а и Ь. Представим выражение
(а Ь)3 в виде произведения (а Ь)2(а Ь) и применим CHa
чала формулу квадрата разности, а затем правило умноже
ния мноrочленов. Получим:
(а Ь)3 (а Ь)2(а Ь) (а 2 2аЬ + Ь 2 )(а Ь)
а 3 2а 2 Ь + аЬ 2 а 2 Ь + 2аЬ 2 Ь 3 а 3 3а 2 Ь + 3аЬ 2 Ь 3 .
176 r л а в а 6. Формулы сокращенноrо умножения
869. При каких значениях х и у верно равенство:
а) (х у)3 (у х)3;
б) (х у)3 х 3 у3;
в) (х у)2 (у х)2?
870. Решите уравнение:
а) (2х + 1)3 4х 2 (2х + 3); б) 27х 2 (1 х) (1 3х)3.
.) Упражнения для повторения
871. Решите уравнение:
х 2х
а) 3 5" 1;
3т 5т
б) 2 2 4 1 о;
5х+l 2x 1
в) 4 з'
8 3т 5т 5
r) 2 6 16 .
872. Двузначное число содержит в первом слева разряде
на 3 единицы больше, чем во втором. Если сумму цифр этоrо
числа разделить на 5, то в остатке получится 2, а в частном
на 1 меньше, чем единиц в первом справа разряде. Найдите
это двузначное число.
873. В координатной плоскости постройте ломаную
ABCDE с вершинами в точках A( 3; 1), В(1; 3), С(3; 3),
D(4; О), Е(О; 4) и укажите координаты общих точек лома
ной и: а) оси ординат; б) оси абсцисс.
874. Запишите в виде выражения:
а) квадрат разности 2х и 5у;
б) разность квадратов 3т и 2п;
в) куб суммы х и 2у;
r) сумму кубов 2а и Ь;
д) куб разности 5р и 8;
е) разность кубов 3р и 4.
31. t Разложение на множители
суммы и разности кубов
Формулы куба суммы и куба разности двух выражений
являются формулами сокращенноrо умножения. PaCCMOT
рим еще две формулы сокращенноrо умножения.
180
r л а в а б. Формулы сокращенноrо умножения
885. Разложите на множители:
а) 1 т 3 п 3 ; в) 8 + т 3 п 3 ;
б) а 3 х 3 + 1; r) p3q3 27;
д) т 3 п 6 а 3 ;
е) p6q3 + а 3 .
886. Докажите, что значение выражения:
а) 6383 + 6123 кратно 625;
б) 183 93 кратно 7.
t) Упражнения для повторения
887. Представьте в виде мноrочлена:
а) (2х 5)3 2х(2х 1)(2х + 1);
б) 27а 2 (а + Ь) (3а + Ь)3.
888. Решите уравнение:
1 3 3 2 3
а) "8 х 4" х + "2 х 1 о;
б) 8х 3 + 12х2 + 6х + 1 о.
889. В трех кусках 75 м ткани. В первом куске в 1,5 раза
больше ткани, чем во втором и третьем вместе. СКОЛЬко ткани
в каждом куске, если во втором на 10 м больше, чем в третьем?
32. t Разложение на множители
разности n x степеней
Мы вывели формулы для разложения на множители раз
ности а n Ь n при п 2 и п == 3:
а 2 Ь 2 == (а Ь)(а + Ь),
а 3 Ь 3 (а Ь)(а 2 + аЬ + Ь 2 ).
Аналоrичную формулу можно получить для п 4:
а 4 Ь 4 == (а 2 Ь 2 )(а 2 + Ь 2 ) == (а Ь)(а + Ь)(а 2 + Ь 2 ) ==
(а Ь)(а 3 + а 2 Ь + аЬ 2 + Ь 3 ).
Итак,
а 4 Ь 4 == (а Ь)(а 3 + а 2 Ь + аЬ 2 + Ь 3 ).
В каждом из рассмотренных случаев мы представляли
разность а n Ь n в виде произведения разности а Ь и HeKOTO
poro мноrочлена. В структуре этоrо мноrочлена хорошо про
сматривается определенная закономерность: мноrочлен co
стоит из п членов и расположен по убывающим степеням
9 13. Куб суммы и куб разности. Сумма и разность кубов
181
буквы а, степень каждоrо члена равна п 1, коэффициент
каждоrо члена равен единице.
Можно предположить, что для п 5 справедлива формула:
а 5 Ь 5 (а Ь)(а 4 + а 3 Ь + а 2 Ь 2 + аЬ 3 + Ь 4 ).
Действительно,
(а Ь)(а 4 + а 3 Ь + а 2 Ь 2 + аЬ 3 + Ь 4 ) а 5 + а 4 Ь + а 3 Ь 2 +
+ а 2 Ь 3 + аЬ 4 а 4 Ь а 3 Ь 2 а 2 Ь 3 аЬ 4 Ь 5 а 5 Ь 5 .
Вообще, при любом п Е N
а П ь п == (а Ь)(а П 1 + а П 2Ь + ... + аЬ П 2 + ЬП 1).
Чтобы убедиться в этом, пере множим мноrочлены в пра
вой части равенства:
(а Ь)(а П 1 + а П 2Ь + ... + аЬ П 2 + ЬП 1)
а П + а П lЬ + + а 2 Ь П 2 + аЬ П 1 а П lЬ
а П 2Ь 2 ... аЬ П 1 Ь П а П ЬП.
Из формулы разности п x степеней нетрудно получить
формулу суммы п x степеней снечетным показателем п.
При нечетном натуральном показателе п сумму а П + Ь П
можно представить в виде разности а П ( b)n. При меняя к
этой разности п x степеней выведенную формулу и заменяя в
ней Ь на b, получим формулу суммы п x степеней с нечет
ным показателем:
а П + Ь П == (а + Ь)(а П 1 а П 2Ь + ... аЬ П 2 + ЬП 1).
Частным случаем этой формулы является известная вам
формула суммы кубов:
а 3 + Ь 3 (а + Ь)(а 2 аЬ + Ь 2 ).
Заметим, что сумму а П + Ь П при четном п нельзя предста
вить в виде произведения двух множителей, один из которых
двучлен а + Ь, а друrой мноrочлен.
Допустим, что а П + Ь П (а + Ь) . Р, rде п Е N и п четное
число, а Р некоторый мноrочлен.
Это равенство не является тождеством, так как, например,
при а 1 и Ь 1 ero левая часть будет равна Р + ( 1)n == 2,
а правая равна О.
890. Разложите на множители разность а 7 Ь 7 и выпол
ните проверку с помощью умножения.
891.
Разложите
а) а 6 Ь 6 ;
б) х 7 1;
на множители:
в) 1 р5;
r) а 7 128;
д) 16а 4 Ь 4 ;
е) 32х 5 у5.
182 r л а в а б. Формулы сокращенноrо умножения
892. Докажите, что значение выражения:
а) 815 310 кратно 6; r) 1216 212 кратно 9;
б) 138 44 кратно 11; д) 910 + 195 кратно 100;
в) 1712 496 кратно 10; е) 10112 642 кратно 99.
893.
Разложите
а) а 5 + Ь 5 ;
б) х 7 + у7;
на множители:
в) Ь 7 + 1;
r) р5 + 243;
д) 128 + х 7 ;
е) 32т 5 + 1.
894. Докажите, что при любом n Е N значение выражения:
а) 2. 4 n + 5 2n + 1 кратно 7;
б) 7 2n + 1 + 3 . 9 n кратно 10.
.) Упражнения для повторения
1 2
895. Докажите, что выражение "4 х 2х + 4 не прини
мает отрицательных значений.
896. Решите уравнение:
а) (2х 1)3 4х 2 (2х 3) 1,1;
б) (3х + 2)3 27х 2 (х + 2) 12.
897. В координатной плоскости отметьте все точки с KO
ординатами (х о ; Уо)' rде хо корень уравнения х 3 + 6х 2 4х
24 О, уо корень уравнения (у + 3)2 + 2(у + 3)(у 2) +
+ (у 2)2 О. Сколько таких точек?
33. t Применение различных способов
разложения мноrочленов
на множители
Мы рассмотрели три способа разложения мноrочленов на
множители: вынесение общеrо множителя за скобки, rруп
пировка членов мноrочлена, применение формул сокращен
Horo умножения. Рассмотрим примеры, в которых потребу
ется применять не один из этих способов, а несколько. В
таких случаях следует попытаться вынести за скобки общий
множитель.
При м е р 1. Разложим на множители мноrочлен
3х 3 3 ху 2.
Вынесем за скобки общий множитель 3х. Имеем:
3х 3 3 ху 2 3х (х 2 у2).
9 13. Куб суммы и куб разности. Сумма и разность кубов
183
В полученном произведении 3х(х 2 у2) множитель х 2 у2
можно разложить по формуле разности квадратов. Значит,
3х З 3 ху 2 3х(х 2 у2) 3х(х у)(х + у).
При м е р 2. Разложим на множители мноrочлен
18т2 48т + 32.
Вынесем за скобки общий множитель 2. Получим:
18т2 48т + 32 2(9т 2 24т + 16).
Мноrочлен 9т2 24т + 16 можно представить в виде
квадрата разности 3т 4. Значит,
18т2 48т + 32 2(9т 2 24т + 16) 2(3т 4)2.
При м е р 3. Разложим на множители мноrочлен
х 2 + 2ху + у2 z2.
Представим сумму трех первых членов в виде квадрата
суммы х и у:
х 2 + 2ху + у2 Z2 (х + у)2 z2.
Применив формулу разности квадратов, получим:
х 2 + 2ху + у2 Z2 (х + у)2 Z2
(х + у z)(x + у + Z).
При м е р 4. Разложим на множители мноrочлен
уЗ 3у2 + 6у 8.
Сrруппируем первый член с последним, а второй член с
третьим и выполним разложение на множители:
уЗ 3у2 + 6у 8 (уЗ 8) (3 у 2 6у)
(у 2)(у2 + 2у + 4) 3у(у 2)
(у 2)(у2 + 2у + 4 3у)
(у 2)(у2 У + 4).
При м е р 5. Разложим на множители мноrочлен
2а 4 + 30а З + 150а 2 + 250а.
Сначала вынесем общий множитель за скобки, а затем
применим формулу куба суммы. Имеем:
2а 4 + 30а З + 150а 2 + 250а
2а (аЗ + 15а 2 + 75а + 125) 2а(а + 5)3.
184 r л а в а б. Формулы сокращенноrо умножения
898. Разложите на множители мноrочлен:
а) 6т 2 6п 2 ; ж) 12а 2 27Ь 2 ;
б) 3а 2 + 3Ь 2 ; з) 50т 2 8п 2 ;
в) ху2 xz 2 ; и) 5х 3 45х;
r) 4ат 2 4ап 2 ; к) 64у 4у3;
д) 5х 2 45; л) 8а 3 2аЬ 2 ;
е) 81 9р2; м) 63тп2 + 28т 3 .
899. Выполните разложение на множители:
а) т т 3 ; r) 3а 3 3а; ж) 8х 3 2х;
б) р4 р2; д) 4п 4 4п 6 ; з) 9х 3 25х;
в) y3 + у5; е) 7x2 + 7х 4 ; и) 18т 2 32т 4 .
900. Докажите, что разность между кубом натуральноrо
числа и самим числом кратна 6.
901. Разложите на множители:
а) 7р2 7q2; е) т2 + т 4 ;
б) ат 2 ап 2 ; ж) 6п 2 6п 4 ;
в) 32 50у2; з) 50х 3 18х;
r) 27х 2 12у2; и) 48a4 + 27а 2 Ь 2 .
д) а 3 а;
902. Представьте в виде произведения:
а) х 4 у4; в) а а 5 ; д) 2а 4 Ь 2Ь 5 ;
б) 81 т 4 ; r) 3х 5 3х; е) 3а 5 Ь 3аЬ 5 .
903. Докажите тождество
х 8 у8 (х у)(х + у)(х 2 + у2)(х 4 + у4).
904. Решите уравнение:
а) х r о; в) х 4 х 2 о;
б) 4y3 У о; r) 9y2 4 у 4 о.
905. Разложите на множители:
а) 5т 2 10тп + 5п 2 ; r) 12а 2 + 36аЬ + 27Ь 2 ;
б) 20р 50 2р2; д) 36х 2 48ху + 16у2;
в) 9х 2 6х 1; е) 8а 3 + 8а 2 Ь + 2аЬ 2 .
906. Выполните разложение на множители:
а) 7х 2 42х + 63; в) 28х 2 84ху + 63у2;
б) 80 + 40а + 5а 2 ; r) 2а 3 20а 2 ь + 50аЬ 2 .
13. Куб суммы и куб разности. Сумма и разность кубов
185
907. Решите уравнение:
а) llх2 + 88х + 1 76 о;
908. Разложите на множители:
а) 15а + 10Ь 5аЬ 30;
б) 75 + 15п 12тп 60т;
в) 30k + 30 10р + 10kp;
r) 12х2 + 12у 16х 9ху;
д) 15a2 60аЬ + 48Ь + 12а;
е) 24т2 24п 16т 36тп.
б) 2 у 2 6у + 4.! о.
2
909. Выполните разложение на множители:
а) т 2 + т 2 п тп тЗ; в) 6х 2 у + 3х 2 6х З 3ху;
б) р3 p2q + р2 pq; r) 2k p 2 4k 2 + 4k 2 p 2kp.
910. Представьте в виде произведения мноrочлен:
а) т 2 х 2 2ху у2; в) 4 х 2 + 2ху у2;
б) а 2 + Ь 2 с 2 2аЬ; r) 9а 2 Ь 2 24а + 16.
911. Выполните разложение на множители:
а) х 2 у2 + 3х 3у; r) 4х 2 4у2 + 3х + 3у;
б) 4а + 4Ь а 2 + Ь 2 ; д) 6а 2 6Ь 2 + 5а 5Ь;
в) т 2 5т п 2 + 5п; е) 3т 3п + 9т 2 9п 2 .
912. Разложите на множители:
а) х З х 2 у Х + у;
б) 4а аЬ 2 + 4Ь Ь 3 ;
в) р3 pk 2 3k 2 + 3р2;
r) Ьс 2 2с 2 Ь 3 + 2Ь 2 .
913. Разложите на множители:
а) х З + 3х 2 + 3х + 2;
б) уЗ 5у2 + 5у 1;
в) 7 аЗ + а 2 + а + 7;
r) 8Ь З + 3Ь 2 3Ь 8.
914. Выполните разложение на множители:
а) х 5 х 3 у2 х 2 у З + у5; в) а 5 4а З 8а 2 + 32;
б) т 5 + т З п 2 + т 2 п З + п 5 ; r) 27 27 р 2 + рЗ р5.
915. Представьте в виде произведения:
а) 4х4. x; в) х 6 + 2х З у З + у6;
б) i y + 3у4.; r) а 6 16а З + 64.
916. Разложите на множители:
а) 16т4. + 2т; в) а 6 а4.Ь 2 + а 3 Ь З аЬ 5 ;
б) 3k 81k4.; r) а 5 Ь аЗЬ З а 2 Ь4. + Ь 6 .
186
r л а в а 6. Формулы сокращенноrо умножения
917. Разложите на множители:
а) (х 2 + у2)2 4х 2 у2; б) 4а 2 Ь 2 (а 2 + Ь 2 )2.
918. Докажите, что при любом натуральном п значение
выражения:
а) (п + 21)3 (п + 4)3 кратно 17;
б) (п + 48)3 (п + 7)3 кратно 41;
в) (п + 3)3 (п 3)3 кратно 18.
919. Докажите, что значение выражения:
а) 5 . 712 5 кратно 30;
б) 7 . 311 + 7 кратно 28.
t) Упражнения для повторения
920. Докажите, что выражение принимает лишь поло
жительные значения:
а) 4 + 2z + Z2; б) х 2 4х + 5; в) 2х2 6х + 5.
921. По упорядоченному ряду данных
2; 2; ...; 2; 3; 3; ...; 3; 4; 4; ...; 4; 100, rде п Е N,
n n+l п+2
определите ero объем, размах, среднее арифметическое и
медиану, если:
а) п 3; б) п 8; в) п 20.
Что происходит с каждой из характеристик при увеличе
нии значения п?
922. Найдите значение выражения:
а) (8т 3)(8т + 3) (4т + 3)(16т 3)
при т 10; 1,5;
б) (5х + 7)(3х + 7) (4х + 7)2 при Х 9; 0,7.
923. От дома до станции фермер доехал за 30 мин. На об
ратном пути он увеличил скорость на 25 км/ч и поэтому за
тратил на 10 мин меньше. С какой скоростью ехал фермер от
дома до станции?
t) Контрольные вопросы и задания
1. Чему равен куб суммы двух выражений?
2. Чему равен куб разности двух выражений?
Дополнительные упражнения к rлаве б
187
3. Чему равно про изведение разности двух выражений и
неполноrо квадрата их суммы?
4. Чему равно про изведение суммы двух выражений и
неполноrо квадрата их разности?
5. Чему равна разность кубов двух выражений? Напишите
формулу.
6. Чему равна сумма кубов двух выражений? Напишите
формулу.
.) Дополнительные упражнения
к rлаве 6
К параrрафу 11
924. Представьте в виде мноrочлена:
а) (13 2а)(2а + 13); д) ( 2a5 + 3)(2а 5 + 3);
б) (3х 2 + 5)(5 3х 2 ); е) (5е 3 4)(4 + 5е З );
в) (4т 4 1)(4т 4 + 1); ж) (2а 2 + 3Ь 2 )(3Ь 2 2а 2 );
r) (7х З + 2)(7х 3 2); з) ( 6p 5 q 5)(6p 5q5).
925. Найдите значение выражения:
а) 206 . 194;
3 1
б ) 19 . 20 .
4 4 '
в) 9,3 . 10,7;
r) 30,2 . 29,8;
2 3
д) 30 . 29 .
5 5 '
4 3
е) 497" . 50"7 .
926. Преобразуйте в мноrочлен:
а) 2ху(х у)(х + у);
б) 3a2b(a + Ь)(а Ь);
в) 5т(т 2 + 4)(4 т 2 );
r) 4a2(1 2а 2 )(2а 2 + 1);
д) (х 5)(х + 5)(х 2 + 25);
е) (2 а 2 )(2 + а 2 )(4 + а 4 );
ж) (т 6 + 1)(т З + 1)(т З 1);
з) (3 2р2)(4 р 4 + 9)(2 р 2 + 3).
927. Упростите выражение:
а) (2т 1)(2т + 1) т(4т + 5);
б) 8(2х 2 3) (1 + 4х)(4х 1);
в) (3а + 5)(3а 5) + (а + 6)(4 9а);
r) (10т 7)(10т 3) + (10т + 3)(3 10т);
д) (2у + 1)(2у 1) (2у + 5)(2у 5);
е) (6а 7)(7 + 6а) + (7 8а)(8а + 7).
188
r л а в а б. Формулы сокращенноrо умножениSl
а) 0,04х 4 0,25 у 2;
928. Разложите на множители:
б) 0,81а 4 0,49Ь 4 ;
4 2 9 4
в) 9 т 16 п ;
16 4 49 4
r) 25 р 100 q ;
9 1
д) 1 a4 2 c6.
16 4'
7
е) 2,25т 6 19 п 2 .
929. Найдите значение выражения:
522 372 392 362
а) +
572 322 452 302
412 172
б)
372 212
392 272
452 212
а) 16х 4 81у4;
930. Разложите на множители:
б) 48а 4 3Ь 4 ;
В ) 1 тВ l'
81 '
r) 32 1 т 6 .
2
931. Пред ставьте в виде произведения:
а) (2х 3)2 9; д) (5х + 4)2 (4х 5)2;
б) 16 (5 6а)2; е) (7 3р)2 (8р + 1)2;
в) (4х + 7)2 25х 2 ; ж) (9а + 4)2 (3 + 8а)2;
r) 49т 2 (3т + 4)2; з) (10k 11)2 (4k 6)2.
932. Разложите на множители:
а) 4(2а + 1)2 9а 2 ;
б) 25х 2 16(3х 5)2;
в) 36т 2 9(10т + 3)2;
r) 16(5k 11)2 100k 2 ;
д) 81(2k + 1)2 (k 3)2;
е) (8р 5)2 9(3р + 2)2;
ж) 4(2х + 9)2 4(х 7)2;
з) 64(2 5а)2 25(6а 5)2.
933. Найдите значение выражения:
а) (2х 3)2 (3х 2)2 при Х 11;
б) (4а + 5Ь)2 (3а + 4Ь)2 при а 9 и Ь 8.
Цополнительные упражнения к rлаве б
189
934. Докажите, что при любом натуральном п значение
выражения:
а) (3п + 2)2 (3п + 1)2 кратно 3;
б) (5п + 1)2 (5п 1)2 кратно 20;
в) (п + 2)2 (п 1)2 не кратно 6;
r) (1 п + 3)2 (1 п + 2 у не кратно 3.
935. Упростите выражение
(а + 1)(а 2 + 1)(а 4 + 1)(а 8 + 1)(а 1б + 1)(а 32 + 1).
936. Какой цифрой оканчивается раз
ность квадратов двух двузначных чисел, из
которых одно оканчивается цифрой 3, а дpy
roe цифрой 7?
937. Длина прямоуrольника на 5 см боль
ше ero ширины. На двух смежных сторонах
этоrо прямоуrольника построены квадраты,
разность площадей которых равна 85 см 2 .
Найдите площадь прямоуrольника.
938. Из квадратноrо листа жести сделали
коробку, вырезав по уrлам квадраты со CTO
роной 6 см и заrнув получившиеся края
(рис. 16). Найдите размеры листа и объем
коробки, если площадь ее дна на 456 см 2
меньше площади листа жести.
939.
К параrрафу 12
в
Рис. 16
Пред ставьте в виде мноrочлена выражение:
( 1 2 ) 2
а) 2 т + 3 ;
( 1 1 ) 2
б) 1 3 2 k ;
B)(2X+ YY;
r) ( p 4q)2;
д) (0,5а 4аЬ)2;
е) (0,6cd + 5d)2;
ж) (3т 2 0,2тп)2;
з) (6ху + 0,3х 2 )2;
( 2 1 ) 2
и) 3 а 2 Ь 2 1 2 Ь 2 ;
( 1 3 ) 2
к) 1 3 у3 + 4 х 2 у2 ;
( 4 1 ) 2
л) 5 х 2 у3 2 2 х 3 у2 ;
( 1 1 ) 2
м) 3"3 т 4 п 2 + 12" т 2 п .
190
r л а в а 6. Формулы сокращенно..-о умножения
940. Найдите одночлен, при подстановке KOToporo вместо т
в равенство получается TOjКдeCTBo:
а) (3х + т)2 9х 2 30ху + 25у2;
б) (т 2а)2 49Ь 2 28аЬ + 4а 2 ;
в) (т + 4у)2 х 2 8ху + 16у2;
r) (3р 2т)2 9р2 + 24pk + 16k 2 ;
д) (2а + Ь У 4а 2 + аЬ + т 2 ;
е) ( .! х .! У ) 2 т 2 .! ху + ! у2
2 3 3 9'
941. MOjКeT ли при каких либо значениях
быть верным равенство:
а) (2х + 5)2 4х 2 + 25;
б) (3k 7)2 9k 2 49;
переменной
в) (4т + 5)2 16т 2 + 29;
r) (7а 3)2 49а 2 + 40а?
942. Упростите выраjКение:
а) (2х + 3у)2 (2х 3у)2;
б) (2х + 3у)2 + (2х 3у)2;
в) (3а 4Ь)2 + (2а + 6Ь)2;
r) (5т 2п)2 (4т + п)2.
943. Найдите значение выраjКения:
а) (2х2 у2)2 + (х 2 + 2у2)2 при Х 2, у 2;
1
б) (3a2 b)2 (3а 2 +Ь)2 при а 2' Ь 1,5.
944. ДокаjКите TOjКдeCTBO Диофанта Александрийскоrо
(а 2 + Ь 2 )(с 2 + d 2 ) (ас + bd)2 + (ad Ьс)2.
945. В работах Леонарда Эйлера используется TOjКдeCTBO
(р2 + cq2)( r + cs 2 ) (pr + cqs)2 + с (ps qr)2.
ДокаjКите это TOjКдeCTBo.
946. ДокаjКите, что квадрат числа, являющеrося суммой
квадратов двух различных целых чисел, MOjКHO представить в
виде суммы двух квадратов целых чисел.
947. ДокаjКите, что при любом значении х сумма KBaдpa
тов двучленов х + 3 и х 3 на 36 больше их удвоенноrо произ
ведения.
948. ДокаjКите, что при любом значении х выраjКение
(3х 2 + 4)2 3(3х 2 + 5)(х 2 + 1) принимает одно и то jКe значение.
Дополнительные упражнения к rлаве 6
191
949. Докажите тождество
(10п + 5)2 100п(п + 1) + 25.
Сформулируйте правило возведения в квадрат натураль
Horo числа, оканчивающеrося цифрой 5. Найдите по этому
правилу значение степеней: 152, 352, 552, 852, 1052.
950. Разложите на множители:
а) х 4 + 10х 2 + 25;
б) 4а 4 12а 2 + 9;
в) т 4 20т 2 п + 100п 2 ;
r) 16 р 2 + 8pk 3 + k 6 ;
д) 4х 4 12х2у2 + 9у4;
1 1 1
е) 9 а 6 + 3" а 3 Ь 2 + "4 Ь 4 .
951. Представьте в виде произведения:
а) 28a + 4а 2 + 49;
б) 36т2 + 60т 25;
в) 20а 2 Ь 25Ь 2 4а 4 ;
r) 24х 2 у2 9х 4 16 у 4.
952. Докажите, что мноrочлен не принимает отрицатель
ных значений:
а) т 2 2тп + п 2 + р2;
б) 2а 2 + Ь 2 2Ь + 1;
в) 9x2+y2 6х+1;
r) x2 2xy+2y2 2у+1;
д) 1 4аЬ + а 2 ь 2 + а 2 + Ь 2 ;
е) т 2 + п 2 + 6т 4п + 13.
953. Может ли принимать отрицательные значения MHoro
член:
а) х 2 16х + 65;
б) т 2 10т + 24;
в) а 2 2аЬ Ь 2 ;
r) а 2 + 2аЬ + 2ь 2 ?
к параrрафу 13
954. Представьте в виде мноrочлена выражение:
a)( т2 п)3; B)( тп п2)3;
б) ( т2+ п)3; r) ( т3+7т2п)3.
955. Используя формулу куба суммы или куба разности,
найдите значение степени:
а) 113;
б) 213;
в) 193;
r)(3 )3.
192 r л а в а б. Формулы сокращенно..-о умножения
956. Упростите выражение:
а) (3р 4)3 + (l1р 8)2;
б) (2k + 3)3 (6k + 5)2;
в) 2у(х + 2у)2 + (х 2у)3;
r) 2х(2х у)2 (2х + у)3.
957. Найдите значение выражения:
а) 125х 3 + 150х 2 + 60х + 8 при х O,6;
2
б) 64 144т + 108т2 27т3 при т з'
958. Представьте в виде мноrочлена:
а) (х + у)4;
б) (х у)4.
959. Используя тождества, полученные в упр. 968, пред
ставьте в виде мноrочлена выражение:
а) (т + 1)4; б) (т 1)4; в) (2а + Ь)4; r) (а 2Ь)4.
960. Представьте в виде мноrочлена:
а) (3х 2у)(9х 2 + 6ху + 4 у 2);
б) (5т + 3п)(25т 2 15тп + 9п 2 );
в) ( a 5Ь)( 215 а 2 + аЬ + 25Ь 2 );
r) (О,25т 2 + 4п) ( i т 4 т 2 п + 16п 2 ).
961. Найдите значение выражения:
1 1
а) (2x 3у)(4х 2 +6ху+9х 2 ) при х 2 i и у 1з;
б) ( х + у) ( х 2 ху + у2) при Х и
1
У 12'
962. Представьте в виде произведения:
а) 1 О,125т 3 ; д) 64х 6 у6;
1
б) О,ОО8а 3 + 1; е) р6 + 64 k 6 ;
в) 8х 3 0,001 у 3; ж) т 9 п 9 ;
r) 0,027 р 3 27k 3 ; з) т 9 + п 9 .
Дополнительные упражнения к rлаве 6
193
963. Разложите на множители:
а) 250х 3 300х 2 у + 120 ху 2 16у3;
2 8
б) 5а 3 + 6а 2 Ь + 25 аЬ 2 + 25 Ь 3 .
964. Докажите, что значение выражения:
а) 293 + 463 кратно 25; в) 123 + 133 кратно 157;
б) 1143 333 кратно 81; r) 313 193 кратно 1911.
965. Разложите на множители:
а) (2х + у)3 х 3 ;
б) (т 3п)3 т 3 ;
в) 8 р 3 (р + 1)3;
r) 27k3+(2k 3)3.
966. Найдите значение выражения:
1
а) "3 (8,573 5,573) 3 . 8,57 . 5,57;
1
б) "9 (2,763 + 6,243) + 3 . 2,76 . 6,24.
967. Докажите тождество:
а) (а Ь)«а + Ь)2 аЬ) а 3 Ь 3 ;
б) (а + Ь)«а Ь)2 + аЬ) а 3 + Ь 3 ;
в) (а + Ь)((а + Ь)2 3аЬ) а 3 + Ь 3 ;
r) (а Ь)«а Ь)2 + 3аЬ) а 3 Ь З .
968. Докажите, что при любом п Е N:
а) 6 n . 2 2n 1 кратно 23; б) 5 n . 6 n 3 2n кратно 21.
969. Разложите на множители:
а) 3,4х 2 3,4 у 2;
б) О,16а 2 + О,16Ь 2 ;
в) 3х 4 3у4;
r) 0,25т 2 0,25п 2 ;
д) 2,5 р 4 2,5k 4 ;
е) 16а 8 16Ь 8 .
970. Представьте в виде мноrочлена выражение:
а) (2х + у + 3z)2; в) (5т 4п + 3)2;
б) (4а 3Ь + 2с)2; r) (7р 2k 6)2.
971. Представьте в виде произведения мноrочлен:
а) 2,5х 2 + 30ху + 90у2;
б ) 3т2 4т + 1 ! .
3 '
7 Ллrебр.. 7 J<JI.
1
В ) 8а2 4аЬ + Ь 2 .
2 '
1
r) 6k 2 + 2k + 6" .
194 r л а в а б. Формулы сокращенно..-о умножения
972. Преобразуйте в произведение:
а) 90х 4 240х 2 + 160;
б) 72a2 27 48а 4 ;
в) 8т 3 п + 24т 2 п 2 + 18тп 3 ;
r) 75x5y2 + 120х 3 у3 48 ху 4.
973. Разложите на множители мноrочлен:
а) 12т2 6тп 9п + 18т;
б) 4р + 24kp 8k 12р2;
в) 120а 3 + 48а 2 100а 2 Ь 40аЬ;
r) 9c 2 d 2 6c 2 d 36cd 3 + 24cd 2 ;
д) т 3 + 3т2 m 3;
е) 2а 3 3а 2 50а + 75;
ж) х 3 + 9 9х х 2 ;
з) 18 9т + 8т2 + 4т3.
974. Решите уравнение:
а) т 3 + 6т2 m 6 о;
б) x3 5x2 16х+80 о;
1 1 1 2 3
в) 8" "4 р "2 р + р о;
r) 27т 90 3т3 10т2;
д) 9х 3 16х 27х 2 48;
е) 8а 3 + 12а 2 18а 27.
975. Разложите на множители:
а) 3т 3п + т 2 п 2 ;
б) а 2 + 5а Ь 2 + 5Ь;
в) 9х 2 а 2 + 9х 3а;
r) р2 + 5р 4q2 + 10q;
д) 16х 2 9у2 20х + 15у;
е) 100т2 30т 49п 2 21п;
ж) 24а + 20с 36а 2 + 25с 2 ;
з) 70т 49т2 30п + 9п 2 .
976. Представьте в виде произведения мноrочлен:
а) 4а 2 4аЬ + Ь 2 4;
б) 9 25х 2 + зоху 9у2;
Дополнительные упражнения к rлаве 6
195
в) 36х 2 25 + 60ху + 25у2;
r) 16 24аЬ 16а 2 9Ь 2 ;
д) 9п 2 16т 2 + 40т 25;
е) 25а 2 20а + 4 4Ь 2 ;
ж) 16с 2 9т 2 42т 49;
з) 70х + 25 36у2 + 49х 2 .
977. Преобразуйте в произведение мноrочлен:
а) 20х 2 45у2 + 30у 5;
б) 27с 2 + 60аЬ 12а 2 75Ь 2 ;
в) 18а 2 + 24а + 8 200т 2 ;
r) 48р2 + 72pk + 27k 2 2782.
978. Представьте в виде произведения мноrочленов Bыpa
жение:
а) х 4 + х 2 + 1;
б) х 4 + 4.
y
14.
34.
"'iМ
функции
.
. функции и их rРАФИКИ
Что такое функция
Рассмотрим два множества: множество Х двузначных чисел
и множество У натуральных чисел, меньших 10000. Каждому
элементу множества Х поставим в соответствие тот элемент
множества У, который является квадратом этоrо двузначноrо
числа. Например, числу 12 соответствует число 144, числу
37 число 1369. При этом любому элементу множества Х
соответствует единственный элемент множества У. Такие
соответствия называют функциями (от латинскоrо слова
functio совершение, исполнение).
Оп р е Д е л е н и е. Функцией называется соответствие
между двумя множествами, при котором каждому элементу
одноrо множества соответствует единственный элемент дpy
roro множества.
В рассмотренном примере соответствие между множе
ством Х и множеством У было задано описанием. Функции
часто задают аналитически, т. е. с помощью формул.
Пусть х переменная, множеством значений которой
является множество двузначных чисел, т. е. множество Х, а
у переменная, множеством значений которой являются
их квадраты, т. е. подмножество множества У. Тоrда COOTBeTCT
вие между множествами Х и У можно задать формулой:
у х 2 .
Значения переменной у зависят от значений х. Перемен
ную у называют зависимой переменной или функцией, а
переменную х независимой переменной или ареументом
(от латинскоrо слова arguтentuт).
В рассмотренном при мере все двузначные числа являются
значениями ареумента, а соответствующие им квадраты
значениями функции.
{l14. Функции и их rрафики
197
Рассмотрим формулы Ь а 2 + а 12 и у .....2:........ Этими
x 2
формулами задаются функции. Действительно, каждому
значению переменной а соответствует единственное значе
ние переменной Ь. Например, если а 2, то Ь 10; если
а О, то Ь 12; если а 5, то Ь 18. Каждому значению
переменной х, отличному от 2, соответствует единственное
значение переменной у. Например, если х О, то у о; если
1
х 4, то У 2; если х 1, то у 3"'
rоворят, что функция Ь а 2 + а 12 определена на MHO
жестве всех значений переменной а или что область oпpeдe
ления этой функции есть множество всех чисел. Функция
у .....2:........ определена на множестве всех чисел, отличных от 2,
x 2
т. Е:!. областью определения этой функции является множе
ство всех чисел кроме числа 2.
Вообще областью определения функции называют MHO
жество значений aprYMeHTa.
Если переменная у является функцией от переменной х,
то используется запись у {(х) (читается: «у равен f от х»).
Если функция задана выражением с переменной х, то симво
лом [(х) обозначается выражение, которым задается функция.
Например, вместо записи у I х I можно записать ((х) I х 1.
Пусть, например, требуется найти значение функции
у [(х) при х 2, rде {(х) х 2 2х. Тоrда {( 2) значение
данной функции при х 2, т. е. {( 2) ( 2)2 2 . ( 2)
4 + 4 8. Аналоrично, ((1) Р 2 . 1 1 2 1.
Буква f это имя данной функции, правило COOTBeT
ствия. Для обозначения функций используются и друrие
буквы латинскоrо или rреческоrо алфавита: g, h, «), \jf и т. д.
х
Например, h(x) х 2 + х 12, «)(х) 2 ' Для обозначения
x
apryMeHTa функции чаще Bcero используется буква х, но при
меняются и друrие буквы: а, t, r и т. д.
Все значения, которые принимает функция, образуют
множество, которое называют областью значений функции.
Например, функция у I х I принимает неотрицательные
значения, т. е. ее областью значений является множество
всех неотрицательных чисел.
Не ВСЯкое соответствие между множествами является
функцией. Например, соответствие, при котором каждому
198
rлава 7. ФУНКЦИИ
натуральному числу ставится в соответствие ero простой
делитель, не является функцией. Действительно, существуют
натуральные числа, которым соответствует более одноrо про
cToro делителя. Например, числу 6 соответствуют число 2 и
число 3.
Мы рассмотрели при меры функций, в которых значения
aprYMeHTa и значения функций представляют собой числа.
Такие функции называют числовыми фуюсциями.
Заметим, что в математике рассматриваются и нечисло
вые функции. Например, каждому рациональному числу co
ответствует единственная точка на координатной прямой.
Это соответствие явлется функцией.
В курсе алrебры мы, rлавным образом, будем заниматься
изучением числовых функций. С такими функциями вы
уже неоднократно встречались. При ведем примеры.
При м е р 1. Пусть автомобиль движется со скоростью
70 км/ч в течение 4 ч, s пройденный им путь (в километ
рах), а t время ero движения (в часах).
Переменная s является функцией от t. Эту функцию
можно задать формулой:
s 70t, rде О t 4.
При м ер 2. Пусть р периметр квадрата (в сантимет
рах), а х длина ero стороны (в сантиметрах).
Переменная р является функцией от х, которую можно
задать формулой:
р 4х, rде х > О.
При м е р 3. Каждому натуральному числу п поставлено
в соответствие число т, которое при делении на 3 в частном
дает п и в остатке 1.
Переменная т является функцией от п. Эту функцию
можно задать формулой:
т 3п + 1, rде п Е N.
При м е р 4. Первую часть пути от озера до станции
турист прошел за 3 ч со скоростью 4 км/ч. Затем 1 ч OTДЫ
хал, а после отдыха оставшуюся часть пути до станции TY
рист прошел за 2 ч со скоростью 5 км/ч.
Расстояние s (в километрах) от озера до места нахожде
ния туриста является функцией времени t (в часах).
(j 14. Функции и их rрафики
199
Эту функцию можно задать тремя формулами. Коrда
время t изменяется от О до 3 ч, расстояние от озера до места
нахождения туриста равно 4t км, т. е. S 4t, если О < t 3.
В период от 3 до 4 ч расстояние остается неизменным, paB
ным 12 км, т. е. S 12, если 3 < t 4. Коrда время t изменя
ется от 4 до 6 ч, расстояние равно 12 + 5(t 4) км, т. е.
s 12 + 5(t 4), если 4 < t 6.
Это можно записать короче:
{ лиО<t<&
s == 12, если 3 < t < 4;
12 + 5(t 4), если 4 < t < 6
или
{ 4t, если О < t < 3;
s(t) == 12, если 3 < t < 4;
5t 8, если 4 < t < 6.
Областью определения этой функции служат все числа,
удовлетворяющие двойному неравенству О < t 6. Если функ
ция У f(x) задана формулой и ее область определения не
указана, то областью определения функции f является MHO
жество допустимых значений переменной х в выражении f(x).
4x 3
Например, область определения функции f(x) 2х 2
область допустимых значений переменной х в выражении
4x 3
2х 2 ' т. е. множество всех чисел кроме 1.
Добавим, что, помимо описания и формул, функции можно
задавать таблицей. Так, еще в Древнем Вавилоне в XVIII в.
до н. э. были составлены таблицы, в которых натуральному
1
числу п ставились в соответствие числа п 2 , п 3 , и п 2 + п 3 . Фак
п
тически с помощью этих таблиц были заданы функции, хотя
определение функции было дано лишь через две тысячи лет,
а сам термин появился в работах r. В. Лейбница в XVH в.
На каждом железнодорожном вокзале есть таблица стои
мости проезда на приrородных электропоездах в зависимо
сти от зоны, В которой находится пункт назначения. Это TaK
же при мер табличноrо задания функции.
200
rл а в а 7. Функции
,'';" ':;":: ; , r: , :, ; ;j' . : , ; . : , .:t . , ;; . 'I f ' .
!;!J\;'}"t' '".' . ,' С. ", '.
",'О: 3 ,. ," -..','....'
'" "' ...., .
,
rотфрид 8ильrельм Лейбниц
(1646 1716), немецкий философ,
математик, физик; один из созда
телей дифференциальноrо и инте
rральноrо исчисления.
!.:'
У, ' ,' ,",
. j ...:. ':- ./.: ;.
, " '. л-.. 1
"
. ,1 '
"
979. Пусть множество Х состоит из всех целых чисел, а
множество У из трех чисел: 1, О и 1. Поставим в COOT
ветствие каждому отрицательному числу множества Х число 1,
нулю О, а каждому положительному числу число 1. Это
соответствие является функцией (объясните почему). Обо
значим эту функцию буквой <р.
а) Найдите: <p( 40), <p( 1), <р(0), <р(25).
б) Укажите область определения и область значений функ
ции <р.
980. Даны соответствия между элементами некоторых
множеств:
а) каждому ученику школы поставлено в соответствие
четырехзначное число, соответствующее rоду ero рождения;
б) каждому дню в rоду поставлен в соответствие ученик
школы, родившийся в этот день;
в) каждому натуральному числу поставлен в соответствие
остаток от деления этоrо числа на 7;
r) каждому положительному числу поставлена в COOTBeTCT
вие точка на координатной прямой, расстояние от которой
до начала отсчета равно этому числу.
Какие из этих соответствий являются функциями? Почему?
981. Функция задана таблицей:
а)
б)
11 14. Функции и их .-рафики
201
в)
r)
х 1 2 3 4 5 6 7 8 9
У 12 6 4 3 2,4 2 1 1,5 11.
7 3
Подберите формулу, которой можно задать эту функцию.
982. Функция, область определения которой множе
ство { 3, 2, 1, о, 1, 2, 3}, задана формулой у == х 2 3.
Задайте эту функцию таблицей.
983. Функция задана формулой у (х 1)(х + 5). В таб
лице указаны значения aprYMeHTa х с шаrом 0,5 (каждое
следующее значение х больше предыдущеrо на 0,5). Запол
ните таблицу, вычислив соответствующие значения функции:
х 2 1,5 1 0,5 О 0,5 1 1,5 2
у
1
984. Функция задана формулой у == 1 ' rде 3 .;;;; х.;;;; 3.
х +
Составьте таблицу с шаrом 1 и заполните ее, вычислив COOT
ветствующее значение функции.
985. Функция задана формулой у == 2х 3.
а) Найдите значения функции для значений apry
мента, равных 1,5; о; 2; 3,5.
б) При какОМ значении aprYMeHTa значение функ
ции равно 5; 1; о; 7?
5х 10
986. Функция задана формулои у == 3 . Найдите:
1
а) значение у, если х == 7; 5; 2,2; 3"3;
2
б) значение х, если у == 3; 10; "3; о.
987. Функция задана формулой {(х) == 3 2х. Найдите:
а) {( 3); {(о); {(2,5);
б) значение aprYMeHTa х, при котором {(х) == 17;
{(х) == о; {(х) == 117.
988. Дана функция q>(t) == 3 12t + 11. Найдите:
а) <p( 2) + <p( 1) + <р(0) + <р(1) + <р(2);
б) значение aprYMeHTa, при котором q>(t) о;
q>(t) == 3; q>(t) == 5.
202
rлава 7. Функции
{ 3 2х, еслих 1,5
989. Найдите значение функции у
2х 3, если х > 1,5
при х 1; при х 2.
990. Даны функции g(x) == 2х2 + 3х 5 и h(x) == х 2 5.
Найдите значения aprYMeHTa, при которых g(x) h(x).
991. Найдите область определения функции:
4
r) у == х(х 3) ;
1
а) у == 10x 3;
1
б) у == ;
x 5
д)у== x2 1'
1
е) У ==
х 2 +1 .
в) у х 2 8х + 2;
992. При каких значениях Ь областью определения функ
ции является множество всех чисел, если:
а) у == 2 .
х 2 + 2х + Ь '
б) у 2х ?
Ix 11 b
993. Найдите все значения Ь, при которых областью опре
деления функции являются все числа кроме х 1, если:
а) {(х) х 2 2 ;
х 2 2х + Ь
х 2 + I x l
б) h(x) .
Ix ll b
994. Докажите, что областью значений функции являются
только положительные числа, если:
а) у == 2х2 6х + 5 ;
x 2 +l x l+l
x2 + 5х 7
б) у I I .
х 1
995. Календарь за май месяц текущеrо rода ставит в co
ответствие каждому числу месяца определенный день недели.
Это соответствие является функцией (почему?).
а) Укажите область определения этой функции.
б) Найдите значение функции для значений apry-
мента, равных 3; 11; 20; 28.
в) Найдите значения aprYMeHTa, для которых зна
чением функции является вторник; пятница.
996. Функция задана описанием: каждому натураль
ному числу х, rде 10 х 20, поставлен в соответствие остаток
от деления этоrо числа на 5. Задайте эту функцию таблицей.
9 14. ФУНКЦИИ И ИХ .-рафики
203
997. Функция, область определения которой множество
В, rде В {х I х Е N, 1 < х < 20}, задана описанием: каждому
числу х соответствует число у ero натуральных делителей.
Задайте эту функцию таблицей.
998. Задайте таблицей функцию:
{ 2Х, если х Е { 3, 2, 1, О};
y
2х 1, если х Е {1, 2, 3}.
999. Первый час пути велосипедист ехал со скоростью
12 кмjч, а второй час со скоростью 15 кмjч. Расстояние s
(в километрах), пройденное велосипедистом с начала движе
ния, есть функция времени ero движения t (в часах). Задайте
функцию s от t двумя выражениями.
1000. В парке была высажена сосна высотой 1 м. За каж
дый rод в течение первых 5 лет ее высота увеличивалась на
0,3 м, а за каждый следующий rод на 0,4 м. Как изменя
лась высота сосны h (в метрах) в зависимости от времени х
(в rодах) в течение первых 10 лет? Задайте функцию h от х
двумя формулами.
1001. Докажите, что формулами у (х + 5)2 (х 5)2 И
У 20х задана одна и та же функция.
1002. Задайте более простой формулой функцию:
а) у (х 2)(х + 2) + 5;
б) у х(х 8) + 4(2х 1);
(х + 1)2 + (х 1)2 .
в) у 2 '
(х 2)2 (х 4)2
r) у
4
1003. При каком значении а формулы
у х 3 (х + а)(х 2 2х + 1) и у 1,5х 2 0,5
задают одну и ту же функцию?
204
rлава 7. Функции
+) Упражнения для повторения
1004. Представьте в виде квадрата двучлена:
1 1 1
а) 4 12а 2 Ь 2 + 9а 4 Ь 4 ; б) g-x 2 зху + "4 у2 .
1005. Представьте в виде мноrочлена:
а) (а + 5)2 (а 3)2; б) (х 7)(х + 7) (х 4)2.
1006. Разложите на множители:
а) х 5 х; б) 81а 4 (3а 2)2.
1007. Решите уравнение:
а) х 4 16 о; б) х 3 + 5х 2 9х 45 о.
1008. В координатной плоскости постройте окружность с
центром в точке М(3; 4) и радиусом 5 единиц. "Укажите KO
ординаты точек пересечения окружности с осями координат.
1009. Упорядоченный ряд данных состоит из целых чисел.
Может ли быть дробью:
а) размах ряда;
б) среднее арифметическое ряда;
в) мода;
r) медиана?
35.
'tr rрафик функции
Рассмотрим функцию, заданную формулой у Х(4; х) на
множестве Х, rде Х {х I 2 ..; х ..; 6}. Составим таблицу COOT
ветственных значений aprYMeHTa и функции для целых значе
ний х:
х 2 1 О 1 2 3 4 5 6
у 6 2.! О 1 1 2 1 1 О 21 6
2 2 2 2
Отметим на координатной плоскости все точки, коорди
натами которых служат соответственные значения перемен
ных х и у (рис. 17). Эти точки намечают некоторую линию.
Для Toro чтобы иметь более точное представление об этой
линии, нужно к точкам, построенным на рисунке 17, доба
вить некоторые промежуточные точки с нецелыми абсцисса
ми, удовлетворяющими двойному неравенству 2 ..; х ..; 6. Все
такие точки мы построить не можем, так как их бесконеч
9 14. Функции и их rрафики
205
ное множество. Но мы можем построить часть из них, COCTa
вив более «плотную,) таблицу, например с шаrом 0,5:
х 2 1,5 1 O,5 О 0,5 1 1,5
6 4.! 2.! 1 7 1.! 12.
у 1 О
8 2 8 8 2 8
х 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6
2 12. 1.! 7 о 1.! 2.! 4.! 6
у 8 2 8 8 2 8
Отметим на координатной плоскости все точки с коорди
натами, взятыми из таблицы (рис. 18).
l::r . ; . : I IP r
з, t : . ; ; j . [. . ч
; : . I . J I i
:_;++-- - 1 : [п ; - - -
b-+ '- jt! t-1 T . n j
-H ..i I -" ! - I
I j' J [; , , I ._... , 'Х'
! ' I . I I
- 2+1 - q-1---"----2+з- 4 5 .L6 ,
L_l.T' 1 tlt1th + .LJ
I l t J _l __+- - 1....l_ l+ J
6gj t - fft.. r l f ;,шt l ;
i---H- --, ш. -4 !' : +-- i: ; t
,t! . 1.j!if I I ',. ::;1
! ' T j+ 5+-] 1 t . ...t 1 ;;----, IT-I
' =tf . ;-ш _l }-!- i ,- -+--.+ - . -1 '---1
f-, +-- #-r ;.+i
[-1 - 1:' I ' l t !
-
t T : I T
. l'
Рис. 17
Рис. 18
Мы видим, что отмеченные на рисунке 18 точки ДOCTa
точно ясно намечают кривую линию. Соединив эти точки
плавной непрерывной линией, получим rрафик функции у
х(4 х)
, rде 2 .;;; х .;;; 6 (рис. 19).
2
О п Р е Д е л е н и е. rрафиком функции называется
множество точек координатной плоскости, абсциссы KOTO
рых равны значениям aprYMeHTa, а ординаты COOTBeT
ствующим значениям функции.
Ранее мы рассмотрели способы задания функции форму
лой, таблицей, описанием. Функцию можно задавать и rpa
фИКОМ. Так, кардиоrрамма rрафический способ описания
206
rлава 7. Функции
! Ч'
t ; t t ti
! -f
tX"!
6-LJ
H
+ I
+
l
,JJ
T
1 '
!
Рис. 19
работы сердца, сейсмоrрамма rрафическое описание коле
баний почвы в зависимости от времени и т. д.
На рисунке 20 изображен rрафик изменения температу
ры воздуха в течение суток.
Рис. 20
Этим rрафиком задана функция Т от t, rде О t 24. По
rрафику мы можем найти значение функции Т для указан
Horo значения aprYMeHTa t (т. е. значение температуры для
определенноrо момента времени).
Найдем, например, значение Т для t 8 (установим, Ka
кая температура была в 8 ч). Для этоrо проведем перпенди
{I 14. Функции и их .-рафики
207
куляр К оси t через ТОЧку оси t с абсциссой, равной 8. Точка
пересечения этоrо перпендикуляра с rрафиком функции
имеет ординату, равную 1. 3начит, при t 8 значение функ
ции равно 1 (в 8 ч температура воздуха была равна 1 ОС).
По этому rрафику можно найти также, в какое время
температура воздуха была равна нулю, была выше нуля или
ниже нуля, коrда она возрастала или убывала, была наиболь
шей или наименьшей.
Функция принимает значение, равное нулю, в тех точках,
в которых rрафик функции пересекает ось абсцисс. В дaH
ном случае Т О при t 7.
Функция принимает положительные значения на множе
стве тех значений aprYMeHTa, которым соответствуют части
rрафика, расположенные выше оси абсцисс, т. е. Т > О при
7 < t .;;; 24.
Функция принимает отрицательные значения на множе
стве тех значений aprYMeHTa, которым соответствуют части
rрафика, расположенные ниже оси абсцисс, т. е. Т < О при
О.;;; t < 7.
Функция принимает наибольшее значение, равное 3, при
t 13,5, и наименьшее значение, равное 2, при t 3, т. е.
наибольшей в течение суток была температура Т 3 ОС, а
наименьшей Т 2 ОС.
Отметим важную особенность rрафика функции. Если
точка м(х о ; уо) принадлежит rрафику функции у {(х), то
ее координаты при подстановке обращают формулу, задаю
щую функцию, в верное числовое равенство, т. е. {(х о ) Уо'
И обратно, если координаты точки м(х о ; Уо) при подстановке
в формулу обращают ее в верное чис
ловое равенство, то эта точка при
надлежит rрафику данной функции
(rоворят, что rрафик функции про
ходит через данную точку).
3аметим, что не всякая линия
(или вообще множество точек) MO
жет служить rрафиком функции.
Например, rрафиком функции не
может быть окружность (рис. 21),
так как найдется прямая, перпенди
кулярная оси абсцисс, которая пере
секает окружность в двух точках.
.....L у
Рис. 21
208
rлава 7. Функции
Значит, в этом случае нарушается условие однозначности,
соrласно которому каждому значению aprYMeHTa COOTBeT
ствует единственное значение функции.
1010. Какая из кривых (рис. 22) может служить rрафи
ком функции?
j } r l i , ' : 1 T ; T '
. t., . ; 1. j , i c , i :. C
Ш H L L ! ; J
ir r if: ' J
j +I ' . T;!r i: 1
Jj } ij . [ c 1 ;
( ; i I 1, : 1 t I ' O 1 i' t+t+++i t J
+-t Н:тl i I 1+:+ +.1 , j1 rHI t+H+ !
:. : := ; ; :::tf IJ I Т i1 ::!:l::
I . =: ! ..! l. ... ..l L j . j _ : CJ jj
Рис. 22
1011. Функция задана формулой у х 2 5, rде 3 х 3.
а) Заполните таблицу и постройте rрафик функции.
б) Запишите с помощью двойноrо неравенства об
ласть значений данной функции.
х
O,5 Ej 0,5 ffi 3 I
у
1012. Постройте rрафик функции, заданной формулой:
1
а) у '2 х + 1, rде 4 х 6;
6
б) У .. rде 2 х 3.
х + 3'
1013. rрафиком функции у {(х), rде 3 х 5, служит
кривая (рис. 23). Найдите по rрафику:
а) значение функции у, если х 1; 2; 5;
б) значение aprYMeHTa х, если у 1; о; 2;
в) область значений функции;
r) наибольшее значение функции;
д) наименьшее значение функции.
11 14. Функции и их rрафики
209
Рис. 23
1014. Функция у g(x), rде 3 ..;; х ..;; 6, задана rрафиком
(рис. 24). Найдите:
а) значение функции, соответствующее значению
aprYMeHTa, равному 2; о; 2; 3,5;
б) значения aprYMeHTa, которым соответствует зна
чение функции, равное 2; 1; о;
в) два каких нибудь значения aprYMeHTa, которым
соответствуют положительные значения функции;
r) три каких нибудь значения aprYMeHTa, которым
соответствуют отрицательные значения функции;
д) значение aprYMeHTa, которому соответствует наи
меньшее значение функции;
е) значение aprYMeHTa, которому соответствует наи
большее значение функции.
Рис. 24
210
rлава 7. Функции
1015. rрафиком функции служит отрезок, координатами
концов KOToporo являются точки ( 3; 1) и (7; 4). Начертите
rрафик и найдите по rрафику значения:
а) функции у, если х 1; 1; 3; 5;
б) aprYMeHTa х, если у 1; 2; 4.
1016. Постройте rрафик функции, заданной следующим
описанием:
а) каждому числу множества {х I о < х < 5} COOTBeT
ствует противоположное ему число;
б) каждому числу множества {х 11 < х < 6} COOTBeT
ствует обратное ему число.
1017. Функция задана описанием: каждому числу, при
надлежащему множеству {О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11},
соответствует остаток от деления этоrо числа на 4. Постройте
rрафик этой функции. Запишите множество ее значений.
1018. Вода в баке имеет температуру 15 ОС. При HarpeBa
нии воды ее температура изменяется в зависимости от Bpe
мени наrревания. Составили таблицу (х в минутах, у в rpa
дусах Цельсия):
х О 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
у 15 30 45 60 70 80 90 95 98 100 100 100 100
Почему зависимость у от х является функцией?
Постройте rрафик этой функции (выберите масштаб: еди
нице по оси х соответствует 1 мин, единице по оси у 10 ОС).
Используя rрафик, выясните:
а) какую температуру имела вода через 3 мин; че
рез 4,5 мин; через 9,5 мин после начала наrревания;
б) через сколько минут после начала наrревания
температура стала равной 65 ОС; 85 ОС; 100 ОС?
1019. Функция задана формулой у 4х 5. Принадле
жит ли rрафику этой функции точка:
а) А(2; 3); б) В( 1; 9); в) С(3; 10); r) D(O; 5)?
1020. Известно, что точка А(2; 1) принадлежит rрафику
функции у {(х). Найдите k, если:
а) {(х) kx + 1; в) {(х) 2kx2 + 1;
б) {(х) 2х + k; r) {(х) I х з1 + 2k.
1021. На рисунке 25 изображен rрафик изменения TeM
пера туры воздуха в течение суток. Используя rрафик, OT
ветьте на вопросы:
9 14. Функции и их .-рафики
211
а) в котором часу температура воздуха была равна О ос;
в какие промежутки времени она была выше О ос; ниже О ос;
б) в какие промежутки времени температура пони
жалась; повышалась; коrда она была самой Высокой; самой
низкой?
1022. На рисунке 26 изображен rрафик зависимости массы
канистры с бензином от объема бензина. Найдите по rрафику:
а) массу пустой канистры;
б) массу канистры с одним литром бензина;
в) массу одноrо литра бензина;
r) объем бензина в канистре, коrда она наполнена
бензином полностью.
;т, r
I !
!
: ,1
. j I
; 16
: 1k I ,
1
i
+ )
i
T12
[ ' 10
]
I
j
:8
;6
. 4 i
1 ' 2 . '{ lJ=:,
T - --Т
r
,O 2 t 4 : 6+8 1Р '1 14 16\ 18; 20 1 V;'Л1
j .",," . I J [.. j, "
Рис. 26
212
rлава 7. Функции
1023. На рисунке 27 изображен rрафик зависимости
тормозноrо пути автомобиля на мокром асфальте от скорости
ero движения. Ответьте на вопросы:
а) чему равен ТОРМОЗНОЙ путь автомобиля при CKO
рости 50 км/ч;
б) какую скорость не должен превышать aBTOMO
биль в дождь, чтобы ero ТОРМОЗНОЙ путь был не больше 40 м?
S,M
200 !
1. ,.
160 ; . ,
120
,
'80
i 14 O
. I . ,
-, " + + ' I I
. ; , 1 :v, K,:;j ,
о 20.40 60 80 '100.120 1
Рис. 27
1024. На рисунке 28 изображен rрафик движения туриста,
кОТОРЫЙ отправился от станции до озера, а затем возвратился
на станцию. Пользуясь rрафиком, ответьте на вопросы:
а) в котором часу отправился турист от станции;
коrда он прибыл на озеро; сколько часов он провел на озере;
коrда возвратился на станцию;
б) с какой скоростью шел турист до озера;
в) какОЙ была скорость туриста на различных участ
ках пути, коrда он шел от озера до станции?
r
- t' T !
.S, КМ.
.. 7
,
i; 6
1+1-
ц,,5
С., .1
i : 4
-+ .
I i :3
F
. .
о
5 -- 6 1 7+ 8+ 9/ 10 I 1:1
........l J_ J '. .. j L......L. L......
Рис. 28
!} 14. Функции и их .-рафики
213
Упражнения для повторения
1025. Функция задана формулой у х 2 8х + 9. Найдите:
а) значение функции при значении aprYMeHTa, paB
ном 5; 2;
б) значения aprYMeHTa, которым соответствует зна
чение функции, равное 2.
1026. Функция, область определения которой множе
ство однозначных чисел, задана описанием: каждому четно
х
му числу х соответствует "2' а каждому нечетному числу х
соответствует . Задайте эту функцию таблицей.
1027. Число посетителей кинотеатра в различные дни He
дели приведено в таблице.
поне вторник среда четверr пятница суббота воскресенье
дельник
326 403 381 459 639 727 685
Найдите среднее арифметическое и медиану ряда дaH
ных (результаты окруrлите до целых).
1028. От пункта А до пункта В велосипедист ехал со CKO
ростью 18 кмjч, а обратно он ехал со скоростью 12 кмjч и
затратил на путь из В в А на 1 ч больше, чем на путь из А в В.
Найдите расстояние от А дО В.
1029. Решите уравнение:
а) 25х 3 9х о;
б) х 5 8lx о.
36. t rрафическое представление
статистических данных
Для наrлядноrо представления статистических данных
используются их различные rрафические изображения. Oд
ним из видов таких наrлядных представлений являются KPYZO
вые auazpaMMbt. Рассмотрим пример.
Изучив распределение времени в течение суток женщи
нами, работающими на фабрике, составили таблицу.
214
rлава 7. Функции
Рабочее Сон Домашнее Отдых Дороrа на работу
время хозяйство и обратно
8ч 7ч 4,5 ч 3ч 1,5 ч
Для построения по этим данным круrовой диаrраммы
нужно найти центральные уrлы, соответствующие данным
таблицы. Полный оборот радиуса BOKpyr центра Kpyra co
ставляет 3600, что соответствует 24 часам. Тоrда 8 часам бу
3600
дет соответствовать уrол . 8 = 1200. Аналоrично найдем
24
3600 3600 3600
остальные уrлы: . 7 = 1050; . 4,5 = 67,50; . 3 =
24 24 24
3600
= 450; . 1,5 = 22,50. Построив эти уrлы в Kpyre, получим
24
круrовую диаrрамму распределения времени женщинами,
работающими на фабрике (рис. 29).
Иноrда круrовые диаrраммы бывают неудобными для
чтения, особенно если данных MHoro и они близки по значе
нию. Тоrда для наrлядноrо представления данных использу
ют столбчатые auazpaMMbl. На рисунке 30 показана столб
чатая диаrрамма для paccMoTpeHHoro выше примера.
Для наrлядноrо изображе
ния динамики изменения CTa
тистических данных применя 10
ют еще один вид rрафическоrо 9
представления данных поли
ZOH. ДЛЯ ero иллюстрации pac
смотрим пример.
8
7
6
5
4
3
2
1
Рис. 29
о 'b-:+ 'ь-
о'" C еР c""
о'" ...- 'b'
Рис. 30
{} 14. Функции и их rрафики
215
В первом полуrодии 2003 rода завод получил прибыль
в 10 млн рублей. Распределение прибыли по месяцам пока
зано в таблице.
Месяц Январь Февраль Март Апрель Май Июнь
Прибыль 1,4 1,3 1,5 2,1 2,0 1,7
(млн р.)
В координатной плоскости на оси абсцисс будем отмечать
номер месяца (январь 1, февраль 2 и т. д.), взяв В каче
стве единичноrо отрезка отрезок длиной 5 клеток. На оси
ординат будем отмечать прибыль завода (в млн рублей), взяв
в качестве единичноrо отрезка отрезок длиной 10 клеток.
Отметим точки (1; 1,4), (2; 1,3), (3; 1,5), (4; 2,1), (5; 2), (6; 1,7)
и соединим их последовательно отрезками (рис. 31). Полу
ченная ломаная и есть полиrон, показывающий распределе
ние прибыли завода по месяцам.
Вообще, если данные представлены в виде таблицы час
тот, то для построения полиrона в координатной плоскости
отмечают точки, абсциссами которых служат статистиче
ские данные, а ординатами их частоты. Соединив последо
вательно эти точки отрезками, получают полиrон распреде
ления данных.
t-j
!O t 5
I \
ij
4[\
Рис. 31
216
rлава 7. ФУНКЦИИ
1030. Составьте таблицу частот, круrовую диаrрамму,
столбчатую диаrрамму и полиrон ряда данных:
а) 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5;
б) 2; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5.
Найдите для каждоrо ряда данных объем, размах, cpeд
нее арифметическое, моду и медиану.
Рис. 32
1031. На рисунке 32 приведена
круrовая диаrрамма отметок Пети по
биолоrии, полученных в течение чет
верти. Мама считает, что за четверть
Петя получит двойку, папа полаrает,
что у сына в четверти будет «три , а
сам Петя уверен, что ero четвертная
отметка «четыре . Исходя из дaH
ных круrовой диаrраммы, составьте
упорядоченный ряд данных и найдите
все средние характеристики этоrо ряда.
КакиМИ из них пользовались мама,
папа и Петя для обоснования своих
выводов?
1032. На рисунке 33 приведена столбчатая диаrрамма
распределения количества рабочих строительной бриrады,
имеющих различные квалификационные разряды. С помо
щью столбчатой диаrраммы ответьте на вопросы.
а) СКОЛЬкО рабочих имеют высший 5 й разряд?
б) Сколько рабочих имеют 1 й разряд?
в) Каковы размах, объем и мода данноrо ряда?
r) Составьте таблицу частот упорядоченноrо ряда
данных.
д) Найдите среднее арифметическое и медиану
данноrо ряда.
1033. На рисунке 34 приведен полиrон частот HeKoToporo
ряда данных. Составьте упорядоченный ряд данных и най
дите:
а) объем;
б) размах;
в) среднее арифметическое;
r) моду;
д) медиану.
218
fлава 7. Функции
1034. Мальчики 7 «А.> класса посчитали, сколько раз
за четверть их вызвали к доске. Получилась таблица:
Андреев 6 Елисеев 4
Борисов 8 Жуков 11
Васильев 5 Иванов 7
rрачев 2 Крылов 3
Дятлов 12 Лебедев 10
Какое из rрафических представлений упорядоченноrо
ряда данных целесообразно использовать для сравнительноrо
анализа результатов?
1035. Посчитайте длину слов (количество букв) в приве
денных ниже отрывках стихотворений А. С. Пушкина «И
дале мы пошли и страх обнял меня...'> (1832) и «Я памят
ник себе воздвиr нерукотворный...'> (1836). Постройте поли
rоны для полученных рядов данных.
* * *
и дале мы пошли и страх обнял меня.
Бесенок, под себя поджав свое копыто,
Крутил ростовщика у адскоrо оrня.
rорячий капал жир в копченое корыто,
И лопал на orHe печеный ростовщик.
А я: «Поведай мне: в сей казни что COKpЫTO?
Вирrилий мне: «Мой сын, сей казни смысл велик:
Одно стяжание имев всеrда в предмете,
Жир должников своих сосал сей злой старик
И их безжалостно крутил на вашем свете...
* * *
я памятник себе воздвиr нерукотворный,
К нему не зарастет народная тропа,
Вознесся выше он rлавою непокорной
Александрийскоrо столпа.
Нет, весь я не умру душа в заветной лире
Мой прах переживет и тленья убежит
И славен буду я, доколь в подлунном мире
Жив будет хоть один пиит...
! 15. Линейная функция
219
t) Упражнения для повторения
1036. Дана функция {(х) 4 х 2 . Найдите {( 3), {( 2),
{(О) и {(1).
1037. Одно из двух натуральных чисел при делении на 5
дает остаток 4, а друrое остаток 3. Какой остаток получит
ся при делении на 5 произведения суммы и разности этих
чисел?
1038. Разложите на множители:
а) 2а 2 + аЬ 6Ь 2 ; б) 4а 2 4аЬ 3Ь 2 .
Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определение функции. Приведите пример функ
ции, заданной формулой. Укажите независимую и зависи
мую переменные.
2. Какова область определения функции, заданной фор
мулой:
а) у х 2 8;
7
б) у . . ?
2х 6
3. Что называется rрафиком функции?
4. Начертите rрафик какой нибудь функции и покажи
те, как найти по rрафику:
а) значение функции, соответствующее заданному значе
нию aprYMeHTa;
б) значения apl'YMeHTa для указанноl'О значения функции.
5. Как узнать, что точка А(х о , Уо) принадлежит rрафику
функции, заданной формулой у {(х)?
6. Какие виды rрафическоl'О представления данных ис
пользуются в статистике?
15. ЛИНЕЙНАЯ ФУНКЦИЯ
37. Прямая пропорциональность
В предыдущем параl'рафе мы познакомились с примера
ми функций, которые были заданы таблицей, формулой,
описанием, I'рафиком. В этом параrрафе мы начинаем зна
комиться с функциями, задаваемыми формулами, в которых
правая часть выражение определенноl'О вида. Простейшей
220
fлава 7. Функции
из них является функция, задаваемая формулой, в правой
части которой одночлен первой степени с одной перемен
ной. Для Этой функции ввели специальное название пря
мая пропорцuональность.
О п р е Д е л е н и е. Прямой пропорционалъностъю Ha
зыаетсяя функция, которую можно задать формулой вида
у == kx, rде х независимая переменная, а k не равное
нулю число.
Функции, задаваемые формулами вида у kx, rде k =1= О,
находят широкое практическое применение. Приведем при
меры.
При м е р 1. Пери метр р квадрата является функцией
длины ero стороны а. Функция, заданная формулой р 4а
(р и а выбираются в одинаковых линейных единицах),
прямая пропорциональность.
Из формулы р 4а следует, что отношение J!... постоянно
а
и равно 4 для любых пар соответственных значений пере-
менных а и р. Например, если а 5, то р 20; если а 8, то
20 32
Р 32. Отсюда можно получить пропорцию 5 8' Этим и
объясняется название функции. rоворят, что пери метр KBaд
рата р прямо проnорционален длине а стороны квадрата.
При м е р 2. Путь s км, пройденный автомобилем за
t часов с постоянной скоростью 80 км/ч, вычисляется по
формуле s 80t, rде t > О, т. е. путь s прямо пропорционален
времени движения t.
При м е р 3. Стоимость р товара в рублях по цене" 10 р.
за килоrрамм вычисляется по формуле р 10х, rде х Mac
са товара (в килоrраммах). Значит, зависимость р от х явля
ется прямой пропорциональностью.
Число k в формуле у kx называется lCоэффuцuентом
пропорцuональностu.
Выясним, что представляет собой rрафик прямой пропор
циональности.
Рассмотрим, например, функцию у 0,5х и построим ее
rрафик.
Область определения функции у 0,5х множество
всех чисел. Составим таблицу соответственных значений пе
ременных х и у для некоторых значений aprYMeHTa х:
9 15. Линейная функция
221
х О 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
У О 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2
х 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4
у 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,5 1,75 2
Отметим на координатной плоскости точки, координаты
которых указаны в таблице (рис. 35). Можно заметить, что
отмеченные точки принадлежат не которой прямой, проходя
щей через начало координат. Проведем эту прямую. Полу
чим rрафик функции у О,5х (рис. 36).
i' lj rlТ ' l ;IТ'" I l TI" 1 "'1
,. . .. +. . " . tt. .\..; у +. I+... .. j......,.. Tl
t ::=; l ri.i: t:.; : < i f h
, l t:1J;. L. .+.-.;. ; : .LI ;'. Ij
i= i t .: . . j ; + . :: ; :; .
I' TI t'II, 1.' .',1ji 'IJ
:с j l+;, + r ";" .. . .t.i . " 1 1; 'Х]
t ' + 5+4 .З+2 . о, 1i..2,3+'4. 5+6t +
. J . 1. 1.' '
. i ., t l i ! -L - шL :.M '
' ++ . i+- ...... 1 ... j....:. 21++Ц.--i--+--- j ' ;""' ШJ'\ t--
1." ;.+ i -1.. ...L. + i ")"'1"'1
i.ir i L' j .c .i. j
Рис. 35
i .
[Т I
+ j ..
Рис. 36
Аналоrично можно построить rрафик прямой пропорцио
нальности с друrим коэффициентом k.
222
rлава 7. ФУНКЦИИ
Рис. 37
На рисунке 37 изображен rрафик функции у 2х. Этот
rрафик так же, как и rрафик функции у 0,5х, является
прямой и проходит через начало координат.
Вообще zрафиком прямой nроnорциональности явля
ется прямая, проходящая через начало координат.
Чтобы построить rрафик функции у kx, достаточно OTMe
тить каКУЮ !fибудь точку rрафика, отличную от начала KOOP
динат, и провести через эту точку и через начало координат
прямую.
1
Построим, например, rрафик функции у 3 х.
Эта функция прямая пропорциональность. Найдем KO
ординаты какой нибудь точки rрафика, отличной от О (о; О).
1
Пусть х 6, тоrда у "3 . 6 2. Отметим точку К (6; 2) и
15. Линейная функция
223
,... I
- -- + ]
I з
11 2 I
з,-=J---=1
1 х
О 1 2 -"3
1 ...
JI 12 IV
I
f-------- з
I
лроведем через нее и начало коорди
пат прямую (рис. 38). Эта прямая
1
rрафик функции у "3 Х.
Заметим, что областью определе
пия и областью значений прямой
лропорциональпости является MHO
1Кество всех чисел.
Оси координат делят координат
пую плоскость на четыре KoopдиHaт
ные четверти. Если хо > О, Уо > О, Рис. 39
то точка (Х о ; Уо) принадлежит первой
координатной четверти, если ХО < О, Уо> О, то точка (Х о ; Уо)
принадлежит второй четверти, при Хо < О и Уо < О точка (х о ; Уо)
ле1КИТ в третьей четверти, при ХО > О и Уо < О точка (х о ; Уо)
расположена в четвертой четверти (рис. 39). Если хотя бы
одна из координат точки равна нулю, то точка не лежит ни в
одной из четвертей.
Расположение rрафика функции у kx в координатной
плоскости зависит от коэффициента k. Если х 1, то у k.
Значит, rрафик функции у kx проходит через точку (1; k).
При k > О эта точка находится в первой координатной чет
верти, а при k < О в четвертой. Отсюда следует, что при
k > О rрафик функции у kx расположен в первой и третьей
Рис. 40
224
rлава 7. ФУНКЦИ И
координатных четвертях, а при k < О во второй и четвер
той. На рисунке 40 построены rрафики прямой пропорцио
нальности при различных значениях k.
1039. Является ли прямой пропорциональностью фун}{
ция, заданная формулой:
а) у 3x; в) у 4 д) У х 2 ;
. ,
х ,
б) у 1 r) у х e)y x+1?
2 Х ; 3 '
1040. Запишите формулу для вычисления массы т (в rpaM
мах) медноrо стержня длиной х м, зная, что масса одноrо
метра этоrо стержня равна 890 r. Задает ли эта формула пря
мую пропорциональность?
1041. Почтовый rолубь пролетел s }{м со с}{оростью 65 кмjч,
затратив на весь путь t ч. Почему фун}{ция s от t является
прямой пропорциональностью?
1042. Постройте rрафи}{ функции, заданной формулой:
1
а) у "4 х; б) у x; в) у х; r) у 0,5x.
1
1043. Постройте rрафик функции у 3 х. Найдите по
rрафику:
а) значение функции, соответствующее значению
aprYMeHTa, равному 3; 1; 1; 3;
б) значение aprYMeHTa, которому соответствует зна
чение функции, равное 2; о; 1,5.
1044. Какие из точе}{ К(5; 12,5), L(0,4; 0,16), М(О; О)
принадлежат rрафику фун}{ции:
а) у 2,5х; б) у 0,4x?
1045. При ка}{ом значении Ь точка А(Ь + 1; 2 Ь) принад
лежит rрафику прямой пропорционалыIсти::
2
а) у 2x; б) у "3 х; в) у x; r) у х?
1046. Какой координатной четверти принадлежит точка:
а) A( l; 100); r) D(100; 1);
б) В( 1; 100); д) М(т; 1 т) при т > 1;
в) С(100; 1); е) N(n 2; п) при п < 2?
9 15. Линейная функция
225
1047. В каких координатных четвертях расположен rpa
фик функции У kx, если:
1
а) k 20; б) k 7; в) k 1000; r) k 0,001?
1048. Постройте rрафик функции:
{ 2Х, если х < О, 1
а) у б) у Ixl; в) у Ixl.
0,5x, если х ;;;, о; 2
1049. Известно, что rрафик прямой пропорциональности про
ходит через точку А(5; 223). Проходит ли этот rрафик через точку:
4
B( 7; 315); С("7; 25,68); п(1,24; 55,8)?
1050. Является ли прямой пропорциональностью функ
ция, если известно, что ее rрафиком является прямая, про
ходящая через точки:
а) А(2,5; 3,75) и В( 4,2; 6,3);
б) C( 6,3; 2,1) и п(12,6; 4,5)?
1051. Постройте rрафик функции у 100х, выбрав Mac
штаб: по оси х в 1 см одна единица, по оси у в 1 см
50 единиц.
1052. Постройте rрафик функции, выбрав соответствую
щий масштаб:
а) у 60х;
1
б) у "5 х.
1053. Мотоциклист в течение 4 часов 30 минут ехал со
скоростью 48 км/ч. Постройте rрафик движения мотоцикли
ста, выбрав соответствующий масштаб.
1054. "Улитка ползет по стволу дерева в течение получаса со
скоростью 0,25 м/мин. Постройте rрафик движения улитки.
1055. Постройте rрафик функции у 0,5х, если областью
определения функции является множество:
а) {х I 4 х 4}; б) {х I х ;;;, 2}; в) {х I х 2}.
1056. Найдите область определения функции и постройте
ее rрафик:
а) у
2х2 4х .
х 2 '
2х2 + 2х .
х + 1 '
в) у
2х 6х 2 .
3х 1 '
2х 4х 2
2х 1
б) у
r) у
8 Алrебра, 7 кл.
226
rлава 7. ФУНКЦИИ
1057. Велосипедист двиrался полчаса со скоростью
0,2 кмjмин. Постройте rрафик движения велосипедиста.
Используя rрафик, ответьте на вопросы:
а) сколько километров проехал велосипедист за
10 мин; за 15 мин; за пол аса;
б) какое время потребовалось велосипедисту, чтобы
проехать 4 км; 5 км?
1058. На рисунке 41 изображены rрафики движения
двух пешеходов.
Используя rрафик, ответьте на вопросы:
а) какое время в пути был первый пешеход; второй
пешеход;
б) какОЙ путь прошел первый пешеход; второй пе
шеход;
в) с какОЙ скоростью шел первый пешеход; второй
пешеход;
r) каким стало расстояние между пешеходами че
рез 30 мин; 1,5 часа;
д) через сколько минут расстояние между пешехо
дами стало равным 2 км?
1059. На рисунке 42 изображены rрафики прямой про
порциональности. Для каждоrо rрафика найдите коэффи
циент пропорциональности.
!;- -6-
.;
I
[--"
! :
y
4
з
[+_
ЗОr4О; yot 60 70
..:rt-:'I_ ul 1-
Рис. 41
15. Линейная функция
227
Рис. 42
Упражнения для повторения
1060. rрафиком функции служит ломаная ABCD, rде
A( 3; 1), в(о; 2), С(3; 1), D(6; 2). Постройте rрафик этой
функции. Найдите по rрафику значения aprYMeHTa, KOTO
рым соответствует значение функции, равное:
а) о;
б) 1;
В) 1,5;
1
r) .
2
Какое наибольшее значение принимает данная функция?
Какое наименьшее значение принимает функция? Каковы
область определения и область значений функции?
1061. Постройте rрафик функции
у , rде х Е {х I 2 х 3}.
х+3
Почему эта функция не принимает отрицательных значе
Ний и не обращается в нуль?
1062. Решите уравнение:
a)x3 16x 0;
б) (х 2 Х 2) (х + 2) О.
228
rлава 7. ФУНКЦИИ
t Линейная функция
и ее ....рафиК
Рассмотрим примеры функций, задаваемых формулой
вида у kx + Ь.
При м е р 1. Автомобиль, выехавший из rорода А, в Ha
стоящий момент находится в поселке В, удаленном от А на
расстояние 30 км. Двиrаясь со скоростью 60 кмjч, aBTOMO
биль за t ч пройдет путь, равный 60t км, и будет находиться
от rорода А на расстоянии, равном 60t -т 30 км. Обозначив
выражение 60 + 30 буквой в, получим формулу s 60t + 30,
rде t О, которой задается функция.
При м ер 2. Масса пустоrо бидона вместимостью 45 л
равна 5 Kr, а масса одноrо литра жидкости равна 0,9 Kr. Тоrда
масса т (в килоrраммах) бидона, в котором содержится р л
жидкости, равна 0,9р + 5 Kr.
Формулой т 0,9р + 5, rде О ;;:;; р ;;:;; 45, задана функция.
В каждом из этих примеров мы имели дело с функция
ми, задаваемыми формулой, в правой части которой MHO
rочлен первой степени с одной переменной. Если независи
мую переменную обозначить буквой х, а зависимую
буквой у, то формулу можно записать в виде у kx + Ь, rде
k и Ь некоторые числа коэффициенты двучлена. Такие
функции называют линейными.
О п р е Д е л е н и е. Линейной называется функция, KO
торую можно задать формулой вида у == kx + Ь, rде х He
зависимая переменная, k и Ь любые числа.
Частным случаем линейной функции является прямая
пропорциональность. Действительно, при Ь О и k i= О фор
мула у kx + Ь принимает вид у kx, а этой формулой зада
ется прямая пропорциональность.
:Какой вид имеет rрафик линейной функции? Чтобы BЫ
яснить это, рассмотрим линейную функцию у 0,5х + 3 и
при построении ее rрафика воспользуемся rрафиком функ
ции у 0,5х.
Сравним соответственные значения функций у 0,5х и
у 0,5х + 3 при одинаковых значениях переменной х.
Из таблицы
38.
х 2 О 2 4 6
О,5х 1 О 1 2 3
О,5х + 3 2 3 4 5 6
9 15. Линейная функция
229
и формул у == 0,5х и у == 0,5х + 3 видно, что для любоrо зна
чения aprYMeHTa х значение функции у == 0,5х + 3 больше
соответствующеrо значения функции у 0,5х на 3 единицы.
Поэтому каждой точке rрафика функции у == 0,5х COOTBeT
ствует точка rрафика функции у == 0,5х + 3 с той же абсцис
сой и ординатой на 3 единицы большей. Причем на rрафике
функции у == 0,5х + 3 друrих «лишних-> точек нет. Это можно
доказать методом от противноrо.
3начит, rрафик функции у == 0,5х + 3 может быть полу
чен из rрафика функции у 0,5х сдвиrом каждой ero точки
на 3 единицы вверх, т. е. в положительном направлении оси у.
Следовательно, rрафик функции у == 0,5х + 3 есть прямая,
параллельная прямой у == 0,5х и проходящая через точку (О; 3)
(рис. 43).
t !
I
i
I ,
I-! .
Ц, ,.
- ,j..
Ц.
t --t
l _
t.t ii! ,
'''Т+ н
Рис. 43
.I....j
+._..
Рис. 44
230
rлава 7. Функции
Аналоrично можно показать, что rрафик функции у 2х 1
есть прямая, параллельная прямой у 2х и проходящая
через точку (о; 1), т. е. сдвинутая на единицу вниз (в Ha
правлении, противоположном положительному направлению
оси у) (рис. 44).
Вообще rрафик функции у kx + Ь, rде k =/= О, есть пря
мая, параллельная прямой у kx.
Если k О, то формула у kx + Ь принимает вид
у Ох + Ь, т. е. у Ь. Значит, линейная функция у kx + Ь
при k О принимает при любом х одно и то же значение.
Построим, например, rрафик функции у 3.
Множество точек вида (х; 3) есть прямая, параллельная
оси х и про ходящая через ТОЧКУ (о; 3) на оси у (рис. 45).
Рис. 45
Таким образом, zрафиком линейной функции является
прямая.
Заметим, что областью определения линейной функции
у kx + Ь является множество всех чисел, а областью значе
ний либо множество всех чисел, либо число Ь (при k О).
Чтобы построить rрафик линейной функции, достаточно
найти координаты двух точек rрафика, отметить эти точки и
провести через них прямую.
При м е р 3. Построим rрафик функции у 2х 3.
Функция У 2х 3 является линейной. Значит, ее rpa
фик прямая.
Возьмем два про из вольных значения aprYMeHTa х, напри
мер х О и х 4, и вычислим соответствующие им значения
функции:
если х О, то у 2 . О 3 3;
если х 4, то у 2 . 4 3 5.
9 15. Линейная функция 231
Отметим точки А (о; 3) и В (4; 5) на координатной пло
скости и проведем через них прямую (рис. 46).
Прямая АВ rрафии фУНКЦИИ у 2х 3.
При м е р 4. Построим rрафик фУНкЦИИ у x + 2, rде
3 " х " 5.
!'рафик линейной функции, заданной формулой у x + 2,
это прямая. rрафик данной фУНКЦИИ часть прямой, orpa
ниченная точками С и D с абсциссами 3 и 5.
Вычислим ординаты точек С и D:
если х 3, то у ( 3)+2 5;
если х 5, то у 5 + 2 3.
Отметим в координатной плосиости точии С ( 3; 5) и
D (5; 3) и соединим их отрезком прямой. Получим rрафик
функции у x + 2, rде 3 " х " 5 (рис. 47).
, I
1- " __
Рис. 46
Рис. 47
Заметим, что областью определения ФУНИЦИИ у 2х 3,
рассмотренной в примере 3, является множество всех чисел,
а областью определения ФУНИЦИИ у x + 2, рассмотренной
в примере 4, промежуток 3 " х " 5. ПОЭТОМУ rрафиком
первой фУНКЦИИ является прямая (точки А и В лежат на
этой прямой), а rрафииом второй отрезои (точии С и D
rраничные ТОЧкИ отрезка). ТакИМ образом, для построения rpa
фика функции важно знать, какова ее область определения.
При построении rрафика линейной фУНКЦИИ, как и любой
друrой функции, важно знать ТОЧкИ пересечения rрафика с
осями координат.
232
rлава 7. ФУНКЦИИ
При м е р 5. Найдем ТОЧRИ пересечения rрафика фУНR
ции У 2x + 4 с осями Rоординат и построим rрафИR.
Абсцисса любой ТОЧRИ, лежащей на оси ординат, равна
нулю, следовательно, для Toro чтобы найти точку пересече
ния rрафика функции У 2x + 4 с осью У, нужно подста
вить вместо х число о:
У 2 . О + 4 4.
Ордината любой ТОЧRИ,
лежащей на оси абсцисс,
равна нулю, следовательно,
для Toro чтобы найти точку
пересечения rрафика фУНR
ции У 2x + 4 с осью Х,
нужно подставить У о:
О 2x + 4,
2х 4,
х 2.
Рис. 48
ИтаR, точки пересечения
с осями: с осью х М(2; о),
с осью У N(O; 4). Отметим
эти точки в координатной
плоскости и про ведем через
них прямую (рис. 48). Пря
мая MN rрафИR фУНRЦИИ
У 2x + 4.
1063. Является ли линейной фУНRЦИЯ, заданная форму
лой:
а) У 10х+8;
б) У 0,1 0,3х;
х
в) У 3" + 2;
3
r) У + 1;
х
д) у 2х2 + 4;
17х 25
e)Y i ?
1064. Линейная функция задана формулой У 10х + 1.
Найдите:
а) значение фУНRЦИИ, соответствующее значению
aprYMeHTa, равному 2; 3,5; 1,8; о;
б) значение aprYMeHTa, которому соответствует зна
чение функции, равное 46; 4; о; 1.
!? 15. Линейная функция
233
1065. Постройте rрафик линейной функции:
а) у 0,5х 2; r) у 2x 1;
1
б) у 0,5х + 3; д) у "3 х 1;
1
в) У 2x + 3; е) у 1"3 х + 1.
1066. Постройте rрафик линейной функции:
а) у х 2; r) у 0,5x 1;
б) у х + 3; д) у 3х 4;
1
в) У 0,5x + 2; е) у "4 х + 5.
1067. Постройте rрафик функции:
а) у 0,5х + 1, rде 4 :::;; х :::;; 4;
б) у 0,5х + 1, rде х о;
в) у 0,5х + 1, rде х :::;; 2;
r) у 0,5х + 1, rде х Е { 4; 2; о; 2; 4}.
1068. Найдите область определения и область значений и
постройте rрафик функции у {(х), если:
) {( ) х2 3х . В ) {( х ) == 25 4х 2 .
а х х ' 2х + 5 '
б ) {( х ) == 9 х 2 4 .
2 3х '
25 + 20х + 4х 2
r) {(х) == 2х + 5
1069. Не выполняя построения rрафика функции у 1,5х +
+ 10, выясните, проходит ли этот rрафик через точку:
А (10; 25); С (4; 4); Е ( 100; 1490);
В ( 2; 7); D (100; 160); F (о; 10).
1070. При каких значениях а точка А(а; 2а 1) принад
лежит rрафику функции:
а) у 2x + 3;
б) у x + 5;
в) {(х) == 3х 1;
1 2
r) {(х) x ?
3 3
1071. rрафик линейной функции проходит через точку
B( I; 0,5). Найдите число k, если функция имеет вид:
а) у == kx 3;
б) {(х) == kx + 1.
234
rлава 7. ФУНКЦИИ
1072. Найдите координаты
функции с осями координат:
а) у 1,2x 6;
1
б) у 4x+2;
в) у 2,7х+3;
точек пересечения rраФика
r) у 0,01x 1;
2 1
Д)У 7Х З;
е) у 87;5x 5.
1073. Постройте rрафик функции:
а) у 2; б) у 1; в) у 2,5; r) у 1,5.
1074. Постройте rрафик фушщии:
j X если х < 2;
{ 1,5х, если х;;:'2; 1 , 2 / / 2
а) у = б) у = , если ""'х"'" ;
1,5х, если х :;;;;; 1;
х, если х > 2.
1075. Постройте rрафик функции у 50х 100, выбрав
следующий масштаб: по оси х 1 см соответствует 1 ед., по
оси у 1 см соответствует 100 ед. Найдите по rрафику:
а) значение у, если х 1,5; 0,5; 3,5;
б) значение х, при котором у 100; 150; 250.
1076. Железный стержень при температуре t О ос имеет
длину 1 10 м. При изменении температуры ero длина Me
няется по закоНУ 1 10 (1 + 0,000012t), rде 100 < t < 200.
Выясните:
а) какую длину имеет стержень при t О ос; 50 ос;
50 ос;
б) на сколько миллиметров удлинится стержень, если
ero температура повысится от 20 ос до 80 ос.
Упражнения для повторения
1077. Упростите выражение:
а) (2 (3 х)2)2 (2 + (х 3)2)2;
б) (3 (2 а)2)2 (3 + (а 2)2)2.
1078. В каких координатных четвертях проходит rрафик
прямой пропорциональности, если этому rрафику принадле
жит точка:
а) A( 1; 4); б) в( ; *); в) С(1,25; 1,25)?
Чему равен коэффициент пропорциональности во всех
случаях?
9 15. Линейная функция 235
1079. Известно, что размах ряда равен 1, а ero медиана
равна 2. Может ли ero мода быть равна:
а) 2; б) 4; в) 1?
1080. В 7 M классе Федя отлично знает французский
язык, Нина и Наташа немецкий язык, Аня, Андрей и
Алексей анrлийский язык. На олимпиаду по иностран
ным языкам нужно отправить команду из трех человек, в
составе которой должны быть учащиеся, знающие француз
ский, немецкий и анrлийский языки. Сколькими способами
можно составить такую команду учащихся?
39. t Взаимное расположение rрафиков
линейных функций
Расположение rрафика функции у kx + Ь на координат
ной плоскости зависит от значения коэффициентов k и Ь.
Как зависит расположение rрафика от коэффициента Ь? Если
х О, то у Ь. Значит, rрафик линейной функции у kx + Ь (при
любых значениях k и Ь) проходит через точку (о; Ь).
От коэффициента k зависит уrол, который образует пря
мая у kx + Ь с осью х. Например, прямая у kx + Ь при k 1
наклонена к оси х под уrлом, равным 450 (рис. 49). Это
следует из Toro, что прямая у х совпадает с биссектрисами
первоrо и TpeTbero координатных уrлов. Если k > О, то уrол
наклона прямой у kx + Ь к оси х острый; если k < О, то
этот уrол тупой (рис. 50). Поэтому коэффициент k назы
вают уzловы;м коэффициентом прямой rрафика функции
у kx + Ь.
r П ff f
.. It l ( ... i ;1
,. L.rJ j ... . . '
i ++ 1= ' H...I
I . . ,
:+r+ "1...
i . [: ТТ ' f
,+ . I .,
'1 ! I
;. .т + :.i I i
. .!
Рис. 49
Рис. 50
236
rлава 7. ФУНКЦИИ
Выясним, каково взаимное расположение rрафиков двух
линейных функций у k 1 x + Ь 1 и У k 2 x + Ь 2 на координат
ной плоскости. rрафики этих функций прямые. Они мо-
rYT пересекаться, т. е. иметь только одну общую точку, или
быть параллельными, т. е. не иметь общих точек.
Если k 1 =1= k 2 , то прямые пересекаются, так как первая из
них параллельна rрафику прямой процорциональности у k 1 x,
а вторая rрафику прямой пропорциональности у k 2 x, а
этими rрафиками являются две пересекающиеся прямые.
Если k 1 k 2 , то прямые параллельны, так как каждая из них
параллельна rрафику прямой пропорциональности у kx,
rде k k 1 k 2 .
Заметим, что случай, коrда k 1 k 2 И Ь 1 Ь 2 , мы не рас-
сматриваем, так как речь идет о rрафиках двух различных
функций, а при этом условии прямые у k 1 x + Ь 1 и У k 2 x + Ь 2
совпадают.
Итак, для любых двух линейных функций справедливо
утверждение:
если уzловые коэффuцuеnты прямых, являющuхся
zрафикамu лunейных фУНКЦUЙ, различnы, то прямые ne
ресекаются, еслu же уzловые коэффициенты прямых oди
наковы, то прямые параллельны.
На рисунке 51 изображены rрафики линейных функций
с различными уrловыми коэффициентами и одинаковым зна
чением Ь, равным 2. Эти rрафики пересекаются в точке (о; 2).
'
t 1.--1
!
Рис. 51
11 15. Линейная функция
237
1, '1" 1 ". 1 .'! "; . ' ' 1. '. i i
. + +....t... ...j.. ... ,. ,
З . ffi I .tJ.H ,J 1
у' ntT4 '4 j
I q$ тl - t- 1 ,
.1 "з r+j.i j 1
..). t....... ,'+ . . .1
: 1', I x
Рис. 52
На рисунке 52 изображены rрафики линейных функций
с одинаковыми yr ловыми коэффициентами и различными
значениями Ь. Эти прямые параллельны друr друrу.
При м е р 1. Найдем координаты точки пересечения
rрафиков функций у 3x + 1 и У х 3.
Будем рассуждать так: пусть точка м(х о ; Уо) искомая
точка пересечения rрафиков данных функций. Тоrда ее KO
ординаты удовлетворяют как первому, так и второму ypaBHe
нию. Значит, Уо 3Xo + 1 и Уо хо 3 верные числовые
равенства. Отсюда получаем: 3Xo + 1 хо 3.
'., :. ' " ',,:. .,. ':'.:,., >? .....;':: 3i ,,' ::
_,_' - f{" :"' '. . .... ' r ..,' . "" .
,,' \C.' '., ,1'/ , :"./t"H;
'i "..
...t .
I ;' _ >.-
/"",
.--: .. 1\,
I
('
j'
,
, .....
;;. . \
I ,
r.
Пьер Ферма (1601 1665),
французский математик, занимался
теорией чисел, rеометрией, алrеб
рой, математическим анализом, Teo
рией вероятностей; параллельно с
Р. Декартом разрабатывал основы
аналитической rеометрии.
,'r
1 .' /
!
. ........
.}.
k/
l'
11
238
rлава 7. ФУНКЦИИ
Тоrда 4xo 4 и ХО 1.
Подставив найденное значение Хо 1 в равенство Уо 3Xo +
+ 1 или в равенство Уо Хо 3, получим Уо 2. Таким образом,
точка пересечения rрафиков данных функций имеет коорди
. наты (1; 2).
3аметим, что часто неизвестные координаты не обозначают
друrими символами. В этом случае решение выrлядит так:
3x + l' х 3,
4x 4,
х 1,
У 1 3 2 (или у 3 . 1 + 1 2).
Ответ: (1; 2).
Линейная функция часто используется в статистике.
Рассмотрим пример.
Автомобиль проехал за 10 часов расстояние, равное 800 км.
Каждый час фиксировалось расстояние от пункта отправле
ния до автомобиля. После этоrо полученные данные отмети
ли в координатной плоскости (рис." 53).
Полученные данные достаточно разбросаны, отмеченные
точки не лежат на одной прямой, поскольку на разных участ
ках дороrи автомобиль двиrался с разной скоростью. Однако
все отмеченные точки rруппируются около так называемой
аппРО1ссимuрующей прямой (от латинскоrо слова proxiтa
«приближение>) ).
S,KM
800
I
700
I
600
I
5,00
400
I
300
i
200
I
100
о
.
!
,.
I
t. ч
2
45678
10 11
Рис. 53
!} 15. Линейная функция
239
r. l ] . .... . ' T l
KM
'
, r i / !
18 J OO V
r: 7 j OO ./
[600 1/
500
4:00 /'
I / [
i /
ЗjОО .-/. i
r 2,o0 /
i '
11100 .
V 1 t, ч
I 1° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
i
Рис. 54
Чтобы ее построить, можно приложить К чертежу линейку
и провести наиболее подходящую прямую, содержащую
вблизи себя все отмеченные точки (рис. 54). Проведенная
прямая позволяет проrнозировать, rде может оказаться aBTOMO
биль через 11, 12 и т. д. часов после начала cBoero движения.
Заметим, что в статистике существуют специальные Me
тоды расчетов аппроксимирующих прямых, но и paCCMOT
ренный метод дает вполне разумное приближение.
1081. Постройте в одной и той же системе координат rpa
фики функций:
а) у х + 4, у 0,5х + 4, у 4;
б) у 0,5х + 2, у 0,5х, у 0,5х 1.
1082. Даны функции:
у 0,8х + 2,
у 15 1,5х,
3
Y x+6
2 '
4
У 5Х 19, у 1,5х 15.
Назовите те из них, rрафики которых:
а) параллельны; б) пересекаются.
1083. Дана функция у х + 9. Задайте формулой
какую нибудь линейную функцию, rрафик которой:
а) параллелен rрафику данной функции;
б) пересекает rрафик данной функции.
240
rлава 7. Функции
1084. В какИХ координатных четвертях расположен rpa
фик функции:
а) у 29x + 21;
б) у 29x 21;
1085. Линейная функция
Докажите, что I'рафик этой
функции:
2
а) у 5 х + 83;
б) у 0,4х + 3;
в) {(х) 29х + 21;
r) h(x) 29х 21?
Ф u 2 7
задана ормулои у 5 х .
функции параллелен rрафику
2х
в) у 5'
4х 1
r) у
10
1086. Задайте формулой прямую пропорциональность,
rрафик которой параллелен rрафику функции:
а) у 3x + 2;
б) у 4х + 17;
17 7
в) {(х) 18 Х 8;
1') g(x) 0,4x 0,05.
1087. Докажите, что rрафик функции у 4,5х 7 пере
секает rрафик функции:
а) у 6х 1;
б) у 11 2,5х;
6х
в) у 5 '
8 12х
1') У
3
Найдите координаты точки пересечения.
1088. Найдите координаты точки пересечения I'рафиков
функций:
а) у 5х 7 и у 3х + 1;
б) у 3x + 2 и у 8х 9;
в) у O,4x 5 и у O,lx 3;
r) у 23х 6 и у 2x + 9;
д) у 98х и у 102х 3;
е) у 3 и у 36х + 1.
1089. На рисунке 55 изображены rрафики линейных
функций у kx + Ь. ДЛЯ каждоrо rрафика определите:
а) значение Ь; б) значение k.
1090. На рисунке 56 построены rрафики линейных функ
ций. Задайте каждую из этих функций формулой.
1} 15. Линейная функция
241
Рис. 55
Рис. 56
1091. Задайте формулой линейную функцию, если ее rpa
фик не пересекает прямую у 2x + 1 и проходит через точку:
а) А(О; 3); б) в(о; 2).
1092. Отметьте в координатной плоскости данные статис
тичеСкоrо исследования, результаты KOToporo приведены в
таблице, и проведите аппроксимирующую прямую для pe
зультатов данноrо исследования.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13
4,5 4,9 5,2 5,5 5,9 5,8 6,7 6,9 7,4 7,9 8,0 8,8 9,6
1093. При каком значении k rрафик функции у kx + 8
проходит через точку:
а) А(l; 12); б) В( 2; О); в) с(о; 8)?
7х+ Ь
1094. При каком значении Ь rрафик функции у
проходит через точку:
а) K( l; 1); б) L(9; О); в) м(о; 25)?
Упражнения для повторения
1095. Разложите на множители мноrочлен:
а) а 12 а 6 + аЗ 1; б) Ь 6 + Ь 4 с 2 Ь 2 с 2 .
242
rлава 7. ФУНКЦИИ
1096. Найдите значение выражения:
(2 + 5) + (22 + 52) + (23 + 53) + (24 + 54).
1097. Докажите тождество:
а) а 2 (а + 3Ь) + Ь 2 (Ь + 3а) == (а + Ь)3;
б) (а + Ь)3 3аЬ (а + Ь) == а 3 + Ь 3 .
1098. Докажите, что произведение четырех последова
тельных натуральных чисел кратно 8.
Контрольные вопросы и задания
1. Какая функция называется прямой пропорционально
стью? Приведите пример.
2. Что представляет собой rрафик прямой пропорцио
нальности?
3. Какая функция называется линейной и каков ее rpa
фик?
4. При каком условии rрафики двух линейных функций
пересекаются; параллельны?
5. Под каким уrлом (острым или тупым) наклонена пря
мая (rрафик функции у == kx + Ь) к оси х, если:
а) k > о; б) k < о?
16.
40.
СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ
С НАТУРАЛЬНЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ
Функция У = х 2 . Степенная
функция с четным показателем
При нахождении площади S квадрата со стороной а мы
пользуемся формулой
S == а 2 , rде а > О,
а при отыскании объема V куба с ребром а формулой
V == а 3 , rде а > О
(значения а выбирают в линейных единицах, а значения S и V
соответственно в квадратных и кубических единицах).
Этими формулами задаются функции S от а и V от а.
Функции, задаваемые формулами у == х, у == х 2 , У == х 3 ,
У == х 4 , У == х 5 и т. д., называются степенными функциями.
11 16. Степенная функция с натуральным показателем
243
Каждую из них можно получить из формулы У х n , если
вместо п подставлять натуральные числа. Поэтому степен
ной функцией с натуральным показателем называют функ
цию, которую можно задать формулой вида У х n , rде х
независимая переменная, а п определенное натуральное
число.
Выражение х n , rде п натуральное число, имеет смысл
при любом х. Поэтому область определения степенной функ
ции с натуральным показателем есть множество всех чисел.
Рассмотрим теперь функцию У х 2 . Сначала выясним He
которые свойства этой функции, а затем построим ее rрафик.
1) При значении apZYMeHma, равном нулю, значение
фУНКlfии также равно нулю.
Действительно, если х О, то У 02 О.
Значит, точка (о; О) принадлежит rрафику функции, т. е.
rрафик проходит через начало координат.
2) При любом значении apZYMeHma, отличном от
пуЛЯ, фУНКlfия принимает положительное значение.
Покажем это. Квадрат всякоrо не paBHoro нулю числа по
ложителен: если х =/= о, то х 2 > О, т. е. У > О.
Из этоrо свойства следует, что все точки rрафика, кроме
точки (о; О), расположены выше оси х.
3) Любым противоположным значениям apZYMeHma
соответствует одно и то же значение функции.
Действительно, при любом х значения х и x являются
противоположными числами, но в то же время х 2 ( x)2.
Отсюда следует, что точки rрафика функции, имеющие
противоположные абсциссы, симметричны относительно оси У
(они лежат на одном перпендикуляре к оси у, по разные CTO
роны от этой оси и на равном от нее расстоянии).
Теперь построим rрафик функции.
Учитывая, что rрафик функции У х 2 проходит через Ha
чало координат и что противоположным значениям х COOT
ветствует одно и то же число, составим таблицу лишь для по
ложительных значений aprYMeHTa:
х 0,5 1 1,5 2 2,5 3
у 0,25 1 2,25 4 6,25 9
Отметим на координатной плоскости точку (о; О), точки,
координаты которых указаны в таблице, и точки с отрица
244
rл а ва 7. ФУНКЦИИ
тельными абсциссами, противоположными положительным
(занесенным в таблицу) (рис. 57).
Чтобы точнее построить rрафик вблизи начала коорди
нат, вычислим еще несколько значений функции:
х 0,1 0,2 0,3 0,4
У 0,01 0,04 0,09 0,16
Из этой таблицы видно, что при О х 0,3 rрафик почти
сливается с осью х.
Через отмеченные точки проведем плавную непрерыв
ную линию. Получим rрафик функции у х 2 (рис. 58).
Ясно, что построенная на рисунке кривая неоrраниченно
продолжается вверх (как справа от оси у, так и слева от нее).
rрафик функции у х 2 называют параболой.
Рис. 57
Рис. 58
Заметим, что функция у х 4 (и вообще функция у х П ,
rде п четное число) обладает такими же свойствами, как и
функция у х 2 . rрафик функции у х 4 имеет такОЙ же вид,
как и rрафик функции у х 2 (рис. 59). Ero отличие от rpa
фика функции у х 2 проявляется лишь в том, что при дo
статочно малых по модулю значениях х кривая более плотно,
11 16. Степенная функция с натуральным показателем
245
Рис. 59
чем rрафик функции у х 2 , прилеrает к оси Х. При х > 1
rрафик функции у х 4 более круто поднимается вверх (в этом
случае кривая расположена выше rрафика функции у х 2 ).
1099. Пользуясь rрафиком функции у х 2 , изображен
ным на рисунке 58, найдите,
а) значение у, соответствующее значению х, paB
ному 0,7; 1,3; 2,2; 3,1; o, 7; 1,3; 2,2;
б) значения х, которым соответствует у 0,5; 2,5;
6,5; 8,5;
в) множество значений х, при которых значения
функции меньше 1; меньше 4; больше 1; больше 4.
1100. Постройте rрафик функции:
у { Х 2 , ,если х;;;.о,
2x, если х < О.
1101. Докажите, что rрафику функции у х 2 принадле
жит точка:
а) А (12; 144);
б) В ( 102; 10 404);
в) С (2025; 4 100625).
246
rлава 7. Функции
1102. Постройте rрафик функции S а 2 , rде а длина
стороны квадрата (в сантиметрах), а S площадь квадрата
(в квадратных сантиметрах). Чем этот rрафик отличается от
rрафика функции у х 2 ?
1103. Как изменится площадь квадрата, если ero сторону:
а) увеличить в 2 раза; в 5 раз; в 10 раз; в п раз, rде
п> 1;
б) уменьшить в 3 раза; в 6 раз; в 15 раз; в т раз, rде
т> 1?
1104. Как надо изменить сторону квадрата, чтобы ero
площадь:
а) уменьшилась в 25 раз; в 100 раз;
б) увеличилась в 9 раз; в 64 раза?
1105. Сравните значения степеней, не выполняя вычис
лений:
а) 0,62 и 0,72;
б) 1,22 и 1,122;
в) ( 0,8)2 И ( 0,9)2;
r) ( 2,35)2 и ( 2,41)2.
1106. Используя rрафик функции у х 2 , решите ypaBHe
ние:
а) х 2 4;
б) х 2 5;
B)x2 0,7;
r) х 2 7.
1107. Принадлежит ли rрафику функции у х 2 точка:
а) К(0,103; 0,010609); в) М (1 ; 2 429 );
б) L( 0,103; 0,0169); r) Р ( 2 ; 7 6 )1
1108. Используя rрафик функции у х 4 (см. рис. 59), pe
шите уравнение:
а) х4 5;
б) х 4 3;
в) х 4 х;
r) х 4 x.
1109. Сколько корней имеет уравнение:
а) х4 х + 4;
б) х 4 Х 2?
1110. Известно, что точка А(а; Ь) принадлежит rрафику
функции у х 6 . Принадлежит ли этому rрафику точка:
В ( a; Ь); С (а; b); D ( a; b)?
16. Степенная функция с натуральным показателем
247
1111. Пересекает ли rрафик функции у х 2 отрезок АВ,
если:
а) A( 1,12; 4); В(0,98; 1);
б) A( 2,02; 4), В(0,92; 1);
в) A( 9, 72; 100), В(10,02; 100)?
Упражнения для повторения
1112. Пересекаются ли rрафики функций:
а) у 12х 7 и у 3х + 11;
б) у 32x + 17 и у 16(3 2х);
в) у 12x+3(4x 1) и у 9х;
1
r) у 2(7х+4) и у 3,5x?
1113. Найдите наименьшее значение функции:
а) p(t) t 2 2t + 1;
б) s(t) t 2 + 2t + 2;
в) у(х) 2х2 + 8х + 11.
1114. Докажите, что значения мноrочлена х 4 + 2х 3 х 2 2х
при целых значениях х кратны числу 24.
1115. С овощной базы в первый день было вывезено OBO
u 2 б u u 3
щеи на т ольше, чем во второи, а в третии день "5 Toro, что
вывезли за первые два дня. Сколько тонн овощей было BЫBe
зено в каждый дe ь, если Bcero за три дня вывезено 32 т?
41. t Функция у = ХЗ. Степенная функция
снечетным показателем
Вы познакомились со свойствами и rрафиком функции
у х 2 . Теперь выясним, какими свойствами обладает степен
ная функция у х 3 , а затем построим ее rрафик.
1) При зпачепии apZYMeuma, равном пулю, значепие
функции mакже равпо пулю.
Это следует из Toro, что если х о, то у о.
Значит, точка (о; о) принадлежит rрафику функции,
иными словами, rрафик проходит через начало координат.
248
rлава 7. ФУНКЦии
2) При любом положительном значении apZYMeHma
функция принимает положительное значение, при лю
бом отрицательном значении apZYMeHma oтpицa
тельное значение.
Действительно, если х > о, то х З > О, т. е. у > о. Если х < о,
то х З < о, так как нечетная степень отрицательноrо числа OT
рицательна.
Из этоrо свойства следует, что все точки rрафика с поло
жительными абсциссами расположены выше оси х, а точки
с отрицательными абсциссами ниже оси х.
3) Любым противоположным значениям apZYMeHma
соответствуют противоположные значения функции.
Например, если х 2, то У 23 8; если х 2, то
У ( 2)3 8. Вообще пусть а произвольное положитель
ное число. Если х а , то у аЗ, rде а 3 > о; если х a, то
у ( а)З a3, rде аЗ < О.
Значит, точки rрафика, имеющие противоположные абс
циссы, расположены симметрично относительно начала KO
ординат (они лежат на одной прямой, проходящей через нача
ло координат, по разные стороны от точки (о; о) и на равном
расстоянии от нее; иными словами, симметричными относи
тельно начала координат являются точки (а; Ь) и ( a; b».
Построим rрафик функции у х 3 .
Составим таблицу для положительных значений aprYMeH
та, окруrляя (там, rде это необходимо) значения функции до
сотых:
х
0,5
1
1
1,5
3,38
2
8
у
0,13
Отметим на координатной плоскости ТОЧКУ (о; О), точки,
координаты которых указаны в таблице, и точки с абсцисса
ми и ординатами, противоположными тем, которые записа
ны в таблице (рис. 60).
Заметим, что точки, расположенные вблизи начала KOOP
динат, еще плотнее приближены к оси х, чем точки rрафика
функции у х 2 . Это ВИДНО из таблицы:
х 0,1 0,2 0,3 0,4
У 0,001 0,008 0,027 0,064
Через отмеченные точки про ведем плавную линию. По
лучим rрафик функции у х 3 (рис. 61). Ясно, что построен
!? 16. Степенная функция с натуральным показателем
249
t ' l li' J
10 ,..
'1 "
I : llJ
tt I!
1 I
6 I I
I !
5
4
. з , ,
I I 1':
i 2 1 T l l
j t ,' I I '
I . 1 Xt
А f З 2 1. 0 1 LИ 4 :
. i i 111
I 21
m ! 1. H I I !
: 5
6 I !;
+ . 7 f i
Ы 1= 1 t: r c ttj
: 10 I I i i
J J LU
rf j Y
!
,
,
I
+
х
Рис. 60
Рис. 61
ная кривая неоrраниченно продолжается вверх (справа от
оси у) и вниз (слева от оси у).
rрафик функции у х 3 называют кубической параболой.
Функция у "" х 5 (и вообще функция у == х n , rде n нечет
ное число, большее 1) обладает такими же свойствами, как и
функция у х 3 .
Аналоrично выrлядит и rрафик функции у х 5 (рис. 62).
При О < х < 1 он расположен ниже rрафика функции у == х 3 ,
а при х > 1 выше Hero.
1116. Пользуясь rрафиком функции у х 3 , изображен
ным на рисунке 61, найдите:
а) значение у, соответствующее значению х, paBHO
му: 0,8; 0,8; 1,3; 1,3; 1,6; 1,6; 1,9;
б) значение х, которому соответствует у 3,5; 3,5;
0,9; 0,9;
в) множество значений х, при которых значение
функции меньше 1; больше 3; больше 1, но меньше 3.
250
rлава 7. ФУНКЦИИ
у
1d i
9
8 I
7 y x; I
I
6
.-- .... 5
4 I
з
2 i
11
I I Х!
4 з 2 9t 2 3 4
! ,
I 2
,
l . з . .
1 -4
,
5
1 6 I
f r 7 . ч
. J 8 ' Н
1 I !
Е 9
10 I
Т
Рис. 62
1117. Докажите, что rрафИRу
функции у х 3 принадлежит точка:
K( 6; 216);
L (1,1; 1,331);
М(203; 8 365 427).
1118. Постройте rрафик ФУНк
ции v а 3 , rде а ребро куба (в caн
тиметрах), а V объем куба (В KY
бичеСRИХ сантиметрах). Чем этот rpa
фик отличается от rрафика фУНRЦИИ
у х 3 ?
1119. Как изменится объем
куба, если ero ребро:
а) увеличить в 2 раза; в 5 раз;
В 10 раз; в n раз, rде n > 1;
б) уменьшить в 1,5 раза; в
3 раза; в 12 раз; в т раз, rде т> 1?
1120.Как надо изменить ребро
Rуба, чтобы ero объем:
а) уменьшился В 8 раз;
В 512 раз;
б) увеличился в 1000 раз;
в 216 раз?
1121. Сравните значения степеней, не выполняя вычис
лений:
а) (0,2)3 и (0,3)3;
б) (1,3)3 И ( 1,3)3;
в) ( 0,2)3 И ( 0,4)3;
r) ( 1,2)3 и ( 1,4)3;
д) ( 0,01)3 и (0,01)3;
е) ( 1,1)3 и ( 1,01)3.
1122. Используя rрафик функции у х 3 , решите ypaBHe
ние:
а) х 3 8;
б) х 3 8;
в) х 3 5;
r) х 3 5.
1123. Принадлежит ли rрафику функции у х 3 точка:
В) С (1 ; 2 );
а) А (5; 125);
б ) B ( !. J. ) .
, з' 27'
r) D ( 13; 2198)?
{j 16. Степенная функция с натуральным показателем 251
1124. Используя rрафические представления, сравните
значения степеней:
а) 0,35 и 0,55; в) ( 0,2)5 И ( 0,3)5;
б) 1,85 И 1,75; r) ( 4,6)5 и ( 4,5)5.
1125. Используя rрафик функции у х 5 (см. рис. 62), pe
тите уравнение:
а) х 5 2; б) х 5 2; в) х 5 х; r) х 5 x.
1126. Сколько корней имеет уравнение:
а) х 5 Х + 4; б) х 5 x 3?
1127. Известно, что точка А (а; Ь) принадлежит rрафику
функции у х 7 . Принадлежит ли этому rрафику точка:
а) В( a; Ь); б) C( a; b); в) D(a; b)?
[ У 2 rJ I I I ': ::\ I I
: ::t ! I I 1 1 ' ; Jr ' I
1 18; '! I !Т;:,
. i I ! I I I1 If I
t. J I
С !1.6 + , : I L ц ! , 1 I l / +
I I
14 I '!! I i ! J /i I
[ . ' I i = iШ: i ! / !
i!! i/ i '
'1 2, " I I /i l'
I I I , 1 L I I
t . . .. i I r I I ' I + I
1:' , I . i!
: i 1+ +r1 i 1: I '
,O,8 ! ' / и I .
I !, i '/. '1 1: I I !
О 6 ++ ; . . . . _. t
, I i /! /, .' I i .
I Н / ' 11 " I! I
O.4 t I I ; I :
I VI .J I
O.2 L - . t
T 1 I + +- t t xj
,О I . J. ' _ q,8 1 J 1;,2 J 11. J\?=1
Рис. 63
252
rлава 7. ФУНКЦИИ
1128. На рисунке 63 построены rрафики функций у Х,
у х 2 , У х 3 , область определения которых есть множество
{х I х > О}. Пользуясь rрафиком, сравните:
а) а и а 2 , если О < а < 1; r) а и а 2 , если а > 1;
б) а и а 3 , если О < а < 1; д) а и а 3 , если а > 1;
в) а 2 и а 3 , если О < а < 1; е) а 2 и а 3 , если а > 1.
1129. Запишите числа 0,208; 0,2082; 0,2083; 1,453;
1,4532; 1,4533 в порядке возрастания.
*+ 'Упражнения для повторения
1130. Принадлежит ли rрафику функции у х 2 точка:
а) А ( 3,2; 10,24); б) В (1 ; : ); в) С (1 ; 2i)?
1131. Найдите координаты точек пересечения rрафиков
функций у х 2 И У 7x 12.
1132. Из rорода А в rород В автомобиль ехал со скоростью
80 кмjч, а обратно со скоростью 90 кмjч. В результате на
путь из В в А он затратил на 1 ч меньше, чем на путь из А в В.
Найдите расстояние между rородами А и В.
1133. Докажите тождество:
(а + Ь)4 (а Ь)4 8аЬ (а 2 + Ь 2 ).
*+ Контрольные вопросы и задания
1. Какая функция называется степенной функцией с на
туральным показателем?
2. Приведите примеры степенной функции с четным по
казателем и снечетным показателем п > 1.
3. Сформулируйте свойства функции у х 2 И свойства ее
rрафика.
4. Сформулируйте свойства функции у х 3 И свойства ее
rрафика.
Дополнительные упражнения к rлаве 7
253
Дополнительные упражнения
к rлаве 7
к параrрафу 14
1134. Функция задана таблицей:
а)
б)
х I 1 I 2 3 4 5 6
у 2 4 6 8 10 12
I х I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I 6
у 12 10 8 6 4 2
I х I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I 6
у 2 2! 3! 4! 5! 6!
2 3 4 5 6
в)
Задайте каждую из этих функций формулой.
1135. Пусть Х {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
множество значений aprYMeHTa х, а У {1; 1,1; 1,2; 1,3; 1,4;
1,5; 1,6; 1,7; 1,8; 1,9; 2} множество значений функции у.
Задайте формулой функцию у от х, зная, что:
а) значению х 10 соответствует у 1;
б) значению х 10 соответствует у 2.
1136. Функция задана формулой у (х 1) (х 2) (х 3).
Найдите:
'а) значение функции, если значение aprYMeHTa
равно 1; о; 5;
б) значение aprYMeHTa, если значение функции
равно О.
1137. Функция задана формулой у х 2 8х + 7. Найдите:
а) значение функции, если значение aprYMeHTa
равно о; 1; 2;
б) значение aprYMeHTa, если значение функции
равно 7; О.
1138. Дана функция {(х) 3 . Найдите {( 2), {(О),
х+l
{(1). Существует ли значение aprYMeHTa, при котором значе
ние функции равно 3?
254
rлава 7. ФУНКЦИИ
1139. Найдите область определения функции:
6 х
а) у (х + 1)(х + 5) ; r) у х 2 + 4 ;
9 10
б) у х 2 9 ; д) у I х I 1 ;
х 2 4 18
B)Y 4 e)y 'x 21 '
1140. Каждому прямоуrольнику соответствует единствен
ное положительное число, выражающее площадь этоrо пря
моуrольника (в квадратных сантиметрах). Это соответствие
является функцией. Приведите пример, подтверждающий,
что обратное утверждение «каждому положительному числу
соответствует единственный прямоуrольник, площадь KOTOpO
ro (в квадратных сантиметрах) равна этому числу» неверно.
1141. Каждому числу т из множества {10, 11, 12, 13 14,
15, 16, 17, 18, 19, 20} поставили в соответствие остаток r от
деления этоrо числа на 7. Задайте функцию r от т таблицей.
1142. Постройте rрафик функции:
{ 2 х,
Y
х 2,
если 1 х < 2,
если 2 х 4.
1143. Дана функция
{ Х 2 , если х О,
Y
x2, если х > О.
Найдите значение функции, соответствующее значению
aprYMeHTa, равному:
а) 3; б) 1; в) о; r) 1; д) 2; е) 3.
1144. Постройте rрафик функции:
6
а) у 2 ' rде 1 х 2;
х+
x 2
б) У , rде 1 х 4;
в) у х 2 1, rде 2 х 2;
r) у х 2 3х, rде 1 х 4.
Дополнительные упражнения к rлаве 7
255
Рис. 64
1145. Кривая АВ (рис. 64) rрафик первой функции,
кривая CD rрафик второй функции. Укажите множество
значений aprYMeHTa, при которых:
а) значения первой и второй функций равны;
б) значения первой функции больше, чем значения
второй функции;
в) значения первой функции меньше, чем значения
второй функции.
1146. На рисунке 65 изображены rрафики изменения
температуры воздуха в Новrороде (кривая KL) и в ApxaH
rельске (кривая MN) в течение суток. Ответьте на вопросы.
1) В какие промежутки времени температура воз
духа в Новrороде и в Арханrельске:
а) была ниже оос; б) была равна оос; в) была
выше оос; r) повышалась; д) понижалась?
256
rлава 7. ФУНКЦИ И
2) В какое время суток температура воздуха:
а) была одинакова в обоих rородах; б) была в HOB
rороде выше, чем в Арханrельске; в) была в Новrороде НИЖе,
чем в Арханrельске?
3) На сколько rрадусов выше (или ниже) была TeM
пература воздуха в Новrороде, чем в Арханrельске:
а) в 6 ч; б) в 12 ч; в) в 18 ч?
к параrрафу 15
1147. Докажите, что функция, заданная формулой
у (х 8)2 (х + 8)2, является прямой пропорциональностью.
1148. Постройте rрафик функции:
1
а) у 2х (х 5) "4 х (8х 38);
1
б) у х 2 (х 1,5) (х 0,5)3 8'
1149. rрафик прямой пропорциональности прямая,
параллельная rрафику линейной функции, про ходящему че
рез точки А (!; 25) и В ( ; о). 3адайте эту прямую пропор
циональность формулой.
1150. В цистерне содержится 30 т бензина. Насос BЫKa
чивает из нее за каждую минуту 0,25 т.
Обозначьте буквой т массу (в тоннах) оставшеrося в цис
терне бензина после t мин работы насоса.
3адайте формулой функцию т от t и постройте ее rpa
фик, выбрав следующий масштаб: по оси t 1 см COOTBeT
ствует 20 мин, по оси т 1 см соответствует 5 т.
Ответьте на вопросы:
а) сколько бензина останется в цистерне через
20 мин; через 1 ч; через 1 ч 40 мин;
б) через сколько минут после начала выкачивания
в цистерне ос'rанется 20 т; 10 т бензина;
в) через какое время после начала работы насоса
весь бензин будет выкачан из цистерны?
Дополнительные упражнения к rлаве 7
257
1151. На рисуш\е 66 изображен
rрафик движения автомобиля из
пункта А в пункт В. Задайте функ
цию s от t тремя формулами.
При каких значениях t эта
функция является прямой пропор
циональностью?
1152. Известно, что точка
В(т; 1,5) принадлежит rрафику
функции у 4,5x. Найдите зна
чение т.
rs. км r - r J
I ' + 1-'- -- I I
Ob ! I!i.'
[240 . 1.; I
, r ) .
=:;80 r :' . т
[." I 1 ,1 Ir..J j.
i':; : НЩ ,
i i ' ' O: 1: . 2 З, 4 I 5 . . I .
l 1: I I . I
J..! i j t+T::'i :=J
I
.. r
Рис. .66
1153. Постройте rрафик функции:
{ 0,5X, если х < о, { 2Х, если х < о,
а) у б) у
0,5х, если х ;;. о; 2x, если х ;;. о.
1154. Докажите, что функция, заданная формулой
у (х 3)2 х(х 8), является линейной.
1155. Является ли линейной функция, заданная формулой:
7 х 12
а) у
10
20х 9
б) У
х
в) у х 2 х(х + 1);
r) у (х + 5)2 (х 5)2;
д) у (х 1)2 + 3(х 3);
е) у (х + 2)3 х(х + 3)2?
1156. Задайте линейную функцию формулой, если из
вестно, что при х 5 У 46, а при х О У 6.
1157. Множество Х {х 11 ,,;;; х ,,;;; 5} является областью
определения некоторой линейной функции, а множество
у {у 12 ,,;;; У ,,;;; 6} множеством значений, принимаемых
функцией. Подберите две различные формулы, которыми
можно задать эти функции.
1158. Постройте rрафик функции, заданной формулой:
а) у (х 0,5)2 (х + 0,5)2;
б) у (х + 0,5)3 х 2 (х + 1,5).
1159. Функция т от п задана описанием: каждому HaTY
ральному числу п соответствует число т, которое при деле
нии на 2 дает в частном п и в остатке 1. Задайте эту функцию
формулой. Что представляет собой rрафик этой функции?
9 Ал rеБР I. 7 кл.
258
rлава 7. ФуНКЦии
1160. Постройте rрафик функции:
а) у {
: + 6,
если О х < 3,
если 3 х 6;
! 2' если х < 2,
б) у х, если 2 < х <2,
2, если х > 2.
1161. Дана функция:
{ X 2, если х < О,
y
х 2, если х ;;;. О.
Заполните таблицу
х
I 3 I 2 I 1 I о I 1 I 2 I 3 I
у
и постройте rрафик функции.
1162. Дана линейная функция у kx 3. При каком зна
чении коэффициента k rрафик этой функции:
а) параллелен rрафику прямой пропорциональности
у 4x;
б) не пересекает rрафик линейной функции у
O,lx + 4;
в) не пересекает ось абсцисс;
r) проходит через точку M( l; 1);
д) пересекает ось абсцисс в точке с абсциссой 1;
е) проходит через точку пересечения rрафиков
функций у 2 х и у х + 1;
ж) пересекает ось абсцисс в точке с положительной
абсциссой;
з) проходит через точку, абсцисса и ордината KOTO
рой равны?
1163. rрафик линейной функции проходит через точки
с(о; 2) и D(6; О). Задайте формулой прямую пропорциональ
ность, если известно, что ее rрафик параллелен rрафику
данной линейной функции.
ополнительные упражнения к rлаве 7
259
1164. rрафики линейных функций
у 2x + 1, у 0,5х + 4, у 2x + 9, у 0,5х 1
lIересекаются в точках А, В, С и D. Постройте четырехуrоль
ник ABCD.
1165. В результате пересечения прямых, являющихся
1
rрафиками линейных функций у "3 х 1, у 2x 1 и
1
У 4 х + 4,25, образовался треуrольник. Постройте ero.
1166. Выясните, лежат ли точки А ( 4; 6), В (4; 4) и
С (12; 2) на одной прямой.
1167. Найдите уrол наклона прямой (rрафика линейной
функции) к оси х, если уrловой коэффициент этой прямой
равен:
а) 1; б) 1.
1168. Докажите, что треуrольник, оrраниченный прямыми
у x + 1, у х + 1 и осью Х, прямоуrольный.
1169. Какую фиrуру образует множество точек, оrрани
ченное прямыми у х + 4, у х 4, у x + 4, у x 4?
к параrрафу 16
1170. Точка А(а; 2,25) принадлежит rрафику функции
у х 2 . Найдите абсциссу ТОЧкИ А.
1171. Точка В(9; Ь) принадлежит rpафику функции у х 2 .
Найдите ординату точки В.
1172. Точка С(а; Ь) принадлежит rрафику функции у х 2
И rрафику функции у х 3 . Найдите координаты точки С.
Сколько такИХ точек?
1173. Постройте rрафик функции у x2 И опишите ero
свойства.
1174. Постройте rрафик функции у x3 И опишите ero
свойства.
1175. Принадлежит ли rрафику функции у х 4 точка:
а) А(3; 81);
б) В( 1,1; 1,4641);
в) С(28; 614657)?
260
rлава 7. ФУНКЦ
1176. Принадлежит ли rрафику функции у х 5 точка:
а) K( 5; 3125);
б) L(49; 720576032);
в) М(7; 16807)?
1177. Постройте rрафик функции:
{ Х, если х .;;; о,
а) у
х 2 , если х > о;
{ х 3 , если х < о,
б) у
x, если х о;
{ 1, если х .;;; 1 или х 1,
в) у
х 2 ,если 1 < х < 1;
j 1' если х < 1,
r) у х 3 , если 1 < х < 1,
1, если х > 1.
1178. Используя rрафик функции у х 2 (см. рис. 58) и
линейку, решите уравнение:
а) х 2 Х + 6; в) х 2 2x + 3;
б) х 2 Х + 2; r) х 2 3,5x + 2.
х 3 (см. рис. 61) и
1179. Используя rрафик функции у
линейку, решите уравнение:
а) х 3 х;
б) х 3 0,5х + 0,5;
в) х 3 8;
r) х 3 2,25х.
1180. Используя rрафики функций у х 2 И У х 3 , наЙ
дите (приближенно) корни уравнения:
а) х 2 2; в) х 3 2;
1
б ) х2 .
2 '
1
r) х 3 "2'
1181, Воспользовавшись rрафиками функций у х 2 и:
У х 3 , укажите множество значений х, для которых выпоЛ
няется неравенство:
а) х 2 < 2; б) х 3 < 2.
J.l,ополнительные упражнения к rлаве 7
261
1182. Используя rрафи:ки ФУНКЦИЙ у х 2 И У
жите, что:
а) х 3 < х 2 , если х < 1;
б) х 3 > х 2 , если х > 1.
х 3 , ДOKa
1183. Расположите в поряд:ке возрастания числа а, а 2 , а 3 ,
а 4 , а 5 , если известно, что:
а) О < а < 1;
б) а > 1;
в) 1 < а < о;
r) а < 1.
1184. Сколь:ко корней имеет уравнение:
а) х 4 3; б) х4 2; в) х 5 2;
r) х 5 3?
ш
СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ
УРАВНЕНИЙ
.
17.
42.
ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ДВУМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
. Уравнения с двумя переменными
Рассмотрим равенство
х 2 + 2у 6. (1)
Оно содержит две переменные х и у. Такие равенства на
зывают уравнениями с двумя переменными.
Если в уравнение х 2 + 2у 6 вместо х подставить число 2,
а вместо у число 1, то получится верное равенство
22 + 2 . 1 6.
Пару чисел 2 и 1 называют решением уравнения (1).
Оп р е Д е л е н и е. Решением уравнения с двумя пере
менными называется пара значений переменных, обращаю
щая это уравнение в верное равенство.
Пара чисел 1 и 2, rде 1 значение х, а 2 значение у,
не является решением уравнения (1), так как равенство
12 + 2 . 2 6 неверно.
Пару значений двух переменных обычно записывают с
помощью круrлых скобок. Рассмотренные пары чисел 1 и 2,
2 и 1 можно записать так: (1; 2), (2; 1). При такОЙ записи
надо условиться, какое из значений двух переменных пи
шется на первом месте и какое на втором. Для переменных
х и у обычно на первом месте пишут значение переменной х.
Найдем еще несколько решений уравнения (1). Для это
ro подставим в это уравнение вместо переменной х какое ни
будь ее значение, например число 4. Получим уравнение с
одной переменной 42 + 2у 6. Решив это уравнение, найдем
у 5.
Пара чисел (4; 5) является еще одним решением ypaBHe
ния (1), так как равенство 42 + 2 . ( 5) 6 верно.
Линейные уравнения с двумя переменными
263
При нахождении друrих решений уравнения (1) придет
ся снова подставлять вместо переменной х какое нибудь ее
значение и решать уравнение с одной переменной. Эту рабо
ту можно несколько упростить, если сначала решить ypaBHe
ние (1) относительно переменной у, т. е. выразить перемен
ную у через переменную х. Для этоrо перенесем слаrаемое х 2
из левой части в правую, изменив ero знак, а затем разделим
на 2 обе части уравнения. Будем иметь:
х 2 + 2у 6,
2у 6 х 2 ,
1
y 3 2х2. (2)
Уравнения (1) и (2) имеют одно и то же множество реше
ний.
Уравнения с двумя переменными, имеющие одно и то же
множество решений, называются равносильными.
При получении уравнения (2) из уравнения (1) были ис
пользованы свойства уравнения с двумя nеременными. Они
формулируются так же, как и свойства уравнения с одной
переменной:
1) если в уравнении перенести слаzаемое из одной части
в друzую, изменив ezo знак, то получится уравнение, paвHO
сильное данному;
2) если обе части уравнения умножить или разделить на
одно и то же отличное от нуля число, то получится ypaв
нение, равносильное данному;
3) если в ка1(ой либо части или в обеих частях уравнения
($ыnолнить тождественное nреобразование, не меняющее
области определения уравнения, то получится уравнение,
равносильное данному.
Теперь, чтобы найти какое нибудь решение уравнения
(1), достаточно IIодставить в равносильное ему уравнение (2)
вместо х одно из ero значений и найти соответствующее ему
значение у. Например, если х 2, то у 1; если х о, то
1
У 3; если х 1, то у 22: и т. д.
Уравнение с двумя переменными обычно имеет беско
нечное множество решений. Однако можно указать уравнение
с двумя переменными, имеющее одно решение или не имею
щее решений. Так, уравнение х 2 + у2 О имеет лишь одно
решение (о; о), а уравнение х 2 + у2 1 не имеет решений.
264
r л а в а 8. Системы линейных уравнений
1185. Какие И3 пар (о; 5), (5; о), (13; 12), (5; 5), ( 3; 4),
(3; 4), (4; 3) являются решениями уравнения:
а) х 2 + у2 25; б) х 2 у2 25?
1186. Является ли пара чисел ( 6; 1) решением ypaBHe
ния:
а) 2х + 3у 9;
б) 3y 2х 10?
1187. Пары значений переменных и и v указаны в таблице:
u
3
5
2
1
1
3
о
2
1
3
2
О
3
4
v
Какие из них являются решениями уравнения:
а) и 2 v 4 о; б) 3и 5и 11 ?
1188. Напишите какое нибудь уравнение с переменными
у и z, решением KOToporo является пара чисел:
а) у 5 и z 2; б) у 3,5 и z 4.
1189. Найдите два каких нибудь решения уравнения:
а) х 3у2 5; б) 2х2 У 4.
1190. Выразите переменную у через переменную х, ис
пользуя уравнение:
а) 3 + 3у 2х2 о; б) 7 х + 5у == 3.
1191. С помощью уравнения v 2и 10 выразите:
а) v через и; б) u через и.
1192. Решите относительно переменной у уравнение:
а) 4х 5у о; б) 4у х 2 4; в) 2х 2 У 4.
1193. Выразите из уравнения:
а) т 2 п == 5 переменную п через переменную т;
б) 2х + 3у 6 переменную у через переменную х;
в) 2х 3у == 6 переменную х через переменную у;
r) 4h 2t == 1 переменную t через переменную h.
1194. Найдите три каких нибудь решения уравнения:
а) 3х + 4у == 12; в) 2х 5у2 == 5;
б) 9x 2у 18; r) 3х 2 2у 1.
1195. Выразив переменную х через переменную у, най
дите два каких нибудь решения уравнения:
а) 7y х 2; б) 4x 3у 15.
9 17. Линейные уравнения с двумя переменными
265
1196. Среди решений уравнения у 3х 6 найдите такое
решение, в котором значения переменных:
а) равны; б) противоположны; в) отличаются на 1.
1097. При каком значении а пара (а + 1; 2а 1) является
решением уравнения:
а) 2х + у 5; б) х 2у 1; в) х 2 у2 3?
Упражнения для повторения
1098. Разложите на множители:
а) x3+x2 x 1; б) 16 4a+a3 а 4 .
1099. Докажите тождество
(х + у)3 (х у)2 Х (х 2 у2)2 + у (х2 у2)2.
1200. Представьте в виде мноrочлена:
а) (р + k 4) (р + k + 4); в) (х у 6)(х + у + 6);
б) (а Ь + 5)(а + Ь + 5); r) (т п + 2) (т + п 2).
43. Линейное уравнение с двумя
переменными и ero rрафик
Каждое решение уравнения с двумя переменными можно
изобразить точкой в координатной плоскости. Множество Ta
ких точек называют zрафиком уравнения с двумя пepeMeH
ными.
Оп р е Д е л е н и е. rрафиком уравнения с двумя пере
менными называется множество точек координатной пло
скости, координаты которых являются решениями этоrо
уравнения.
Из попытки заменить линии их уравнениями и наоборот
в XVH в. зародилась аналитическая rеометрия. У ее истоков
стояли два французских математика: П. Ферма и Р. Декарт.
На рисунке 67 изображены rрафики уравнений х 2 + у2 9
и у х 2 4. Первый из них показывает, что соответствие,
задаваемое уравнением х 2 + у2 9, не является функцией,
так как, например, значению х, равному нулю, COOTBeTCTBY
ет не одно, а два значения у числа 3 и 3. Второй является
rрафиком функции, так как каждому значению х COOTBeT
ствует одно значение у.
266
r л а в а 8. Системы линейных уравнений
РИС. 67
Каждое из уравнений 4х + 3у 8, 5х 6у О, 2x + у
2 имеет вид ах + Ьу С. ДЛЯ первоrо уравнения а 4,
Ь 3 и с 8, для BToporo а 5, Ь 6 и с О, для TpeTbero
а 2, Ь 1 и с 2. Уравнения TaKoro вида называют линей
ными уравнениями с двумя переменными.
Оп р е Д е л е н и е. Линейным уравнением с двумя пе
ременными называется уравнение вида ах + Ьу с, rде х и
у переменные, а, Ь и с некоторые числа.
Число с в линейном уравнении называют свободным чле
ном.
Рассмотрим rрафик линейноrо уравнения. Возьмем в Ka
честве примера уравнение 2x + у 3. Решим это уравнение
относительно у.
r
.........."."
о
; : :J ...
: '1' ". ,-""
" '-:
"""": ',",
-", ,
..... ___'
Рене Декарт (1596 1650), фран
цузский философ, математик, физик
и физиолоr; заложил основы анали
тической rеометрии, дал понятие
переменной величины и функции,
ввел мноrие алrебраические обо
значения.
i',r- "/
...........
"
.t17. Линейные уравнения с двумя переменными
Получим:
267
у 2х + 3.
Формулой у 2х + 3 задается линейная функция. Ее rpa
фиком является прямая (рис. 68). Так как равносильные
уравнения у 2х + 3 и 2x + у 3 имеют одно и то же MHO
жество решений и, следовательно, один и тот же rрафик, то
rрафиком уравнения . 2x + у 3 является прямая, изобра
женная на рисунке 68.
Вообще rрафиком любоrо линейноrо уравнения с двумя
переменными х и у, которое можно решить относительно у,
является прямая. Решить линейное уравнение относительно у
можно тоrда, коrда коэффициент при у не равен нулю. Если
же коэффициент при у равен нулю, то следует рассмотреть
два случая: 1) коэффициент при х не равен нулю, 2) коэффи
циент при х равен нулю.
Возьмем, например, уравнение 3х + Оу 6, в котором KO
эффициент при у равен нулю, а коэффициент при х не равен
нулю. Ero решениями являются все пары чисел (х; у), в KO
торых Х 2, а у любое число. Следова
тельно, rрафик этоrо уравнения будет co
стоять из всех точек координатной
плоскости, имеющих абсциссу 2. Эти точ
ки образуют прямую (рис. 69), параллель
ную оси у И проходящую через точку (2; О).
Рассмотрим, наконец, уравнение вида
Ох + Оу С, в котором коэффициенты при
у и при х равны нулю. Если при этом с =1= О,
то уравнение не имеет ни одноrо реше
ния. Значит, ero rрафик пустое MHO Рис. 68
жество. Если же с О, то любая пара чи
сел служит ero решением. В этом случае
rрафиком уравнения является вся пло
скость.
rрафиком лиnейnоzо уравnеnия с
двумя nеремеnnыми, в котором хотя
бы один из коэффициеnтов при nepe
меnnых не равеn пулю, является nря
мая.
Если в лиnейном уравnении коэффи
циенты при nеременnых равnы нулю,
y J, i
I 11
::..,
2 q
+
1 ><
(")
i Х
°,1
':1
+ [
I I
I I
Рис. 69
268
r л а в а 8. Системы линейных уравнений
а свободный член не равен нулю, то ezo zрафик пустое
множество. Если же коэффициенты при nеременных и
свободный член равны нулю, то zрафиком линейпоzо
уравнения является плоскость.
Рассмотрим на при мерах построение rрафиков линейных
уравнений, в которых хотя бы один из коэффициентов при
переменных отличен от нуля.
При м е р 1. Построим rрафик уравнения 2х 3у 6.
Это уравнение линейное, так как оно имеет вид ах + Ьу с,
rде а 2, Ь 3 и с 6. Коэффициенты при переменных
отличны от нуля. Поэтому ero rрафиком является прямая.
Так как прямая определяется двумя ее точками, то достаточно
найти координаты двух каких либо точек этой прямой:
если х О, то у 2;
если х 3, то у о.
Отметим в координатной плоскости точки (о; 2) и (3; О)
и про ведем через них прямую (рис. 70). Эта прямая является
rрафиком уравнения 2х 3у 6.
При м е р 2. Построим rрафик уравнения 1,5y 3.
Данное уравнение можно рассматривать как линейное
уравнение Ох 1,5у 3 с двумя переменными, так как оно
имеет вид ах + Ьу с, rде а О, Ь 1,5 и с 3. Коэффи
циент при у отличен от нуля, значит, rрафиком уравнения
является прямая. Она параллельна оси х (рис. 71), поскольку
каждому значению х соответствует значение у 2. Эта
прямая проходит через точку (о; 2).
у
Рис. 70
Рис. 71
L}' I I I I
I з 1
I "1
l 11
2 ......
I
11 I ' j
I Х;
9 1+2 r4+1
' 1 :-- ' t
Н: +
, 2 I i '
I I I
i I I I I
Рис. 72
9 17. Линейные уравнения с двумя переменными
269
1
При м е р 3. Построим rрафик уравнения 3 х 1.
Это уравнение можно рассматривать как линейное ypaB
1
нение 3 х + Оу 1 с двумя переменными, так оно имеет вид
1
ах + Ьу с, rде а 3' ь О и с 1. rрафиком этоrо ypaBHe
ния является прямая, проходящая через точку (3; о). Она па
раллельна оси у (рис. 72), поскольку значению х 3 COOTBeT
ствует любое значение у.
1201. Какие из уравнений x + 6у 5, х 2 + у 7,
х
2у 4х 9 и 12 являются линейными уравнениями
у
с двумя переменными?
1202. Проходит ли через начало координат rрафик ypaB
нения:
а) у 0,8x; в) х 2 2ху + у2 о;
б) у 4 5х 3; r) (х + 3)2 (у 3)2?
1203. Какие из точек A( 1; 2), В(4; 2), С(0,4; О) и D(10; 1)
принадлежат rрафику уравнения:
х
б) 2х 10?
у
точку М (0,1; 0,1) rрафик
а) 10x 7у 4;
1204. Проходит ли через
уравнения:
а) 2х 10у 0,8;
б) 5x + 3у 1;
в) х 2 + у2 0,02;
r) х 2 у2 о?
1205. При каком значении т точка Р(т; 1 т) принадле
жит rрафику уравнения:
а) 2х + у 7; в) х 2 у2 14;
б) 2х у 5; r) х 2 + у2 1?
1206. Постройте rрафик уравнения:
а) у 3х 4; r) 4у 3х 8;
1 1
д) у + х 1;
2 3
е) 0,5у 0,2х 0,3.
б) 2у+х 3;
B)3y+4x 12;
1207. Начертите rрафик уравнения:
а) 3х 2у + 1; r) 5у 2,5x;
б) 3y 2х + 6; д) 0,6х 3;
в) 5х 2,5у; е) 0,5y 1,5.
270
r л а в а 8. Системы линейных уравнений
1208. Постройте rрафик уравнения:
а) у х 3,5; 1') 5у 2х 10;
б) у+х 4; д) 0,2x 1;
в) 1,5х + 1,5у 3; е) 0,3у 1,5.
1209. Начертите rрафик уравнения:
а) х + у + 1 о; в) 0,8(х у) 5 2у;
б) х + 3 2у; r) (2х у) + (2х + у) 12.
1210. На I'рафике уравнения 16х 15у 80 взята точка А.
Найдите:
а) ординату точки А, если ее абсцисса 10;
б) абсциссу точки А, если ее ордината 4.
1211. Точка М принадлежит rрафику уравнения
24х + 25у 600.
Найдите:
а) абсциссу точки М, если ее ордината 24;
б) ординату точки М, если ее абсцисса 25.
1212. Найдите координаты точек пересечения с осями
координат rрафика уравнения:
а) 12х 15у 180; б) 30х + 20у 6.
1213. Найдите координаты точки пересечения I'рафиков
уравнений 1,2х 3 и 2у 5.
Упражнения для повторения
1214. Найдите два каких либо решения уравнения:
а) 10у 5х 20; б) 4х 2 + 3у 8.
1215. Упростите выражение:
а) (2х 7у)2 + (3х + 4у)2 (3х + у) (3х у);
б) 5(а 4Ь) (4Ь + а) + (а 4Ь) ( 4b + а) + (а + 4Ь)2.
917. Линейные уравнения с двумя переменными
271
44.
t Решение линейных уравнений
с двумя переменными в целых числах
Пары чисел ( ; i). ( 5; 9), (1; 1), (4; 6) являются pe
шениями линейноrо уравнения 5х Зу 2 с двумя перемен
ными. Три последние пары отличаются тем, что значения х
и у в них числа целые. Такие решения называют целочис
ленными решениями. Если требуется найти все целочислен
ные решения, то rоворят о решении уравнения в целых чис
лах.
Именно таким решениям уравнений был посвящен труд
Диофанта Александрийскоrо (111 в.) «Арифметика».
1
Уравнение 4х + Зу 2" не имеет целочисленных реше
ний, так как при целых значениях х и у значение левой ча
сти есть целое число, тоrда как значение правой части
число дробное.
Уравнение 7 х у 1 имеет сколько уrодно целочислен
ных решений. Если решим это уравнение относительно у, то
получим равносильное ему уравнение
у == 1 + 7х.
При подстановке вместо х любоrо целоrо числа п в pe
зультате вычислений получим соответствующее значение у,
которое также будет целым числом. Таким образом можно
найти скОЛЬко уrодно целочисленных решений уравнения
7 х у == 1. Все целочисленные решения этоrо уравнения
выражаются формулами х == п и у == 1 + 7п, rде п == о; :Н;
:1:2; ... .
Найдем по этим формулам несколько целочисленных pe
шений уравнения 7 х у == 1:
если п О, то х == О и у == 1;
если п 1, то х == 1 и У == 8;
если п 1, то х == 1 и у == 6;
если п == 2, то х == 2 и у == 15;
если п == 2, то х == 2 и у == 1З.
1
Уравнение 4х + Зу == 2" имеет вид ах + Ьу == С, в котором
а и Ь взаимно простые числа. Любое линейное уравнение с
рациональными числами а, Ь и с можно привести к такому
272
r л а в а 8. Системы линейных уравнений
виду. По этому виду можно узнать о наличии в нем целочис
ленных решений: если свободный член уравнения дробное
число, то уравнение не имеет целочисленных решений.
Уравнение 7х у 1 имеет вид ах + Ьу С, в котором а
или Ь равно 1 или 1, а с число целое. К такому же виду с
помощью введения вспомоrательных переменных можно
привести любое линейное уравнение с двумя переменными,
в котором коэффициенты при переменных (или их модули)
взаимно простые числа, а свободный член целое число.
Возьмем уравнение 20х + 3у 10. Ero коэффициенты
при переменных взаимно простые числа и свободный член
целое число. Коэффициент при х больше коэффициента при у.
Представим ero в виде суммы двух натуральных слаrаемых
так, чтобы первое слаrаемое было наибольшим числом, KpaT
ным числу 3 (коэффициенту при у). Получим:
20х + 3у 10,
(18 + 2)х + 3у 10.
Раскроем скобки, сrруппируем первое и третье слаrае
мые и вынесем за скобки общий множитель 3:
18х + 2х + 3у 10,
3(6х + у) + 2х 10.
Обозначим выражение 6х + у буквой k:
6х + у k.
(1)
Получим уравнение с переменными k и х:
3k + 2х 10.
Проведем аналоrичные преобразования с полученным
уравнением:
(2 + 1)k + 2х 10,
2k + k + 2х 10,
2(k + х) + k 10.
Обозначим выражение k + х буквой п:
k + х п.
(2)
Получим уравнение с двумя переменными k и п:
2п + k 10.
9 17. ЛинеЙНblе уравнения с двумя перемеННblМИ 273
в этом уравнении коэффициент при k равен 1. Решив
уравнение относительно k, получим:
k == 10 2п.
Подставим в равенство (2) вместо k выражение 10 2п:
10 2п + х п.
Решим получившееся уравнение относительно х:
х == 10 + Зп.
Мы получищr одну из формул решений уравнения 20х +
+ Зу == 10. Чтобы получить вторую формулу, подставим в pa
венство (1) вместо х выражение 10 + 3п, а вместо k выраже
ние 10 2п:
6( 10 + 3п) + у 10 2п.
Решим полученное уравнение относительно у:
у 70 20п.
Формулы х == 10 + 3п и у == 70 20п при п == о; ::!::1; :t2;
дают все целочисленные решения уравнения 20х + Зу == 10.
Например, если п == 3, то х == 1 и у 10; если п == о, то
х == 10 и у== 70.
Решение некоторых задач сводится к нахождению OДHO
ro или нескоЛЬКИХ целочисленных решений линейноrо
уравнения с двумя переменными.
3 а д а ч а. Купили несколько книr по 70 р. и несколько
по 80 р. Вся покупка обошлась в 500 р. Сколько купили
книr?
Реш е н и е. Пусть купили х книr по 70 р. и у книr по
80 р. Тоrда все книrи стоили 70х + 80у рублей. По условию
задачи за них заплатили 500 р. 3начит,
70х + 80у == 500.
Разделим каждую часть уравнения на 10:
7х + 8у == 50.
Числа 7 и 8 взаимно простые, а число 50 целое. Поэто
му уравнение имеет сколько уrодно целочисленных реше
ний. Найдем их формулы:
7х + 8у 50,
7х + (7 + l)у == 50,
7х + 7у + у == 50,
10 Ллrебра, 7 кл.
274
r л а в а 8. Системы линейных уравнений
7(х + у) + у 50,
х + у п,
7п + у 50,
у 50 7п,
х + 50 7п п,
х 50 + 8п.
3начит, х 50 + 8п и у 50 7п, rде п о; Н; :t2; ...
3начение х будет положительным при п > 6, а значение у
будет положительным при п < 8. Обоим условиям удовлетво
ряет п 7. При п 7, х 6 и у 1.
Ответ: 7.
1216. Имеет ли целочисленные решения уравнение:
1 3
B)1 x+ y 1;
2 5
4 1 20
r) ;; х 1 З у il?
а) 12х + 18у 30;
б) 25х 15у 2;
1217. Решите уравнение в целых числах:
а) 4х + 3у 2; в) 7х + 5у 10;
б) 2х 5у 1; r) 3х Ну 4.
1218. Найдите три целочисленных решения уравнения:
а) 5х 2у 3; в) 7х + 4у о;
1 1 5 1 1
б)2 Х + зу 6; r) 1 2 х 1 з у 1.
1219. Найдите все пары
а) натуральных чисел, которые являются решениями
уравнения х + у 6;
б) простых чисел, которые являются решениями
уравнения х + у 42.
1220. Имеются детали массой 8 Kr и 3 Kr. Сколько необхо
димо взять тех и друrих деталей, чтобы получить rруз 32 Kr?
1221. rруппу, состоящую из 45 туристов, решили pacce
лить на теплоходе в четырехместные и трехместные каюты
так, чтобы в каютах не оставалось свободных мест. Сколько
четырехместных и сколько трехместных кают следует зака
зать?
9 17. Линейные уравнения с двумя переменными
275
1222. Хозяйка купила rлубокие и мелкие тарелки, затра
тив на покупку 80 р. rлубокая тарелка стоит 8 р., а мелкая
6 р. СКОлькО rлубоких и СRОЛЫЮ меЛRИХ тареЛОR Rупила xo
ЗЯЙRа?
1223. Каждым выстрелом по мишени спортсмен выбивал
или 8, или 9 очков. Сделав более 10 выстрелов, он выбил 90
очков. СКОЛЬRО раз спортсмен выбил 8 и 9 очков?
1224. Вы должны уплатить за Rупленный в маrазине товар
19 р. У вас одни лишь пятирублевые монеты, а у кассира
ТОЛЬRО двухрублевые. Как расплатиться с кассиром?
1225. Решите в целых числах уравнение ху х + у.
1226. Докажите, что уравнение х 2 у2 1982 не имеет
решений в целых числах.
Упражнения для повторения
1227. Постройте rрафик уравнения:
а) 4у 1 2 (у + х 1);
б) 2 (у 1) + 3 3 (2х + 1).
1228. Как расположена ТОЧRа (1; 1) по отношению R rpa
1
фИRУ уравнения у 2" х 2: выше rрафика или ниже rрафИRa?
1229. Найдите ошибку в рассуждениях. Пусть а про
извольное число, отличное от нуля. Рассмотрим уравнение
х =о а. Умножив обе ero части на 4a, получим 4ax 4a2.
Прибавим к обеим частям уравнения слаrаемое х 2 и перене
сем слаrаемое 4a2 в левую часть, получим х 2 4ах + 4а 2 =о х 2 ,
или (х 2а)2 х 2 , ОТЕуда х 2а х. Но по условию х а,
откуда после подстаНОВRИ будем иметь а 2а а и a а.
Следовательно, а + а О, и сумма любых двух равных чисел
равна нулю.
Контрольные вопросы и задания
1. Сформулируйте определение решения уравнения с
двумя переменными. Приведите пример.
276
r л а в а 8. Системы линейных уравнений
2. Дайте определение линейноrо уравнения с двумя пере
менными. Приведите примеры.
3. Что является rрафиком линейноrо уравнения с двумя
переменными? Рассмотрите различные случаи.
4. Приведите пример решения линейноrо уравнения с
двумя переменными в целых числах.
18.
45.
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
И СПОСОБЫ ИХ РЕШЕНИЯ
Система линейных уравнений.
rрафическое решение системы
3 а Д а ч а 1.
числа?
Реш е н и е.
число буквой у,
Сумма двух чисел равна 2. Чему равны эти
Обозначив первое число буквой х, а второе
составим уравнение:
х + у 2.
Это линейное уравнение с двумя переменными имеет
сколько уrодно решений, напрlимер (1; 1), ( 5; 7), (3; 1)
и т. д.
Чтобы задача имела определенный ответ, необходимо BBe
сти дополнительное условие, например указать разность тех
же чисел. Пусть она равна 4. Получили новую задачу.
3 а Д а ч а 2. Сумма двух чисел равна 2, а их разность
равна 4. Чему равны эти числа?
Реш е н и е. По условию задачи можно составить два
уравнения с двумя переменными:
х + у 2 и х у 4.
Теперь требуется найти все такие значения переменных,
которые обращают оба уравнения в верные равенства, т. е.
найти все общие решения этих уравнений. В такИХ случаях
rоворят, что надо решить систему уравнении х + у 2 и
х у 4. Систему уравнений обычно записывают с помощью
фиrурной скобки:
{: : :
(1)
9 18. Системы линейных уравнений и способы их решения
277
Общее решение уравнений, составляющих систему, Ha
зывают решение'м систе'мЫ.
Оп р е Д е л е н и е. Решением системы уравнений с ДBY
мя переменными называется пара значений переменных,
обращающая каждое уравнение системы в верное paBeH
ство.
Решением системы (1) является пара чисел (3; 1), так
как верны равенства
3 + ( 1) 2 и 3 ( 1) 4.
Никакая друrая пара чисел решением системы (1) не яв
ляется. Чтобы убедиться в этом, достаточно построить rpa
фики уравнений системы.
rрафиком первоrо уравнения является прямая MN, а rpa
фиком BToporo уравнения прямая РК (рис. 73). Эти пря
мые имеют лишь одну общую точ
ку, а значит, и система (1) имеет
лишь одно решение. Задача 2 имеет
также один ответ числа 3 и 1.
Приближенное значение решения
системы (1) можно было бы найти
по рисунку, прочитав координаты
точки пересечения rрафиков. Ta
кой способ решения системы назы
вается zрафически'м способо'м.
Чтобы решить систему ypaBHe
ний rрафическим способом, надо
построить rрафики уравнений этой
системы и определить координаты
каждой общей точки этих rрафиков.
rрафики уравнений системы
линейных уравнений с двумя пере
менными позволяют ответить на вопрос о числе решений си
стемы. Рассмотрим это подробнее, оrраничившись тем слу
чаем, коrда в каждом уравнении системы хотя бы один из
коэффициентов при переменных отличен от нуля. Тоrда rpa
фиками уравнений являются прямые. Если эти прямые пе
ресекаются, то система имеет одно решение; если прямые
параллельны, то система не имеет решений; если прямые
совпадают, то решений бесконечно MHoro.
, .-----------т---.
' H ft JJ
, : I ,
I
Рис. 73
278
r л а в а 8. Системы линейных уравнений
При м е р 1. Выясним, сколько решений имеет система
{ 35X + 10у 78,
21х + 5у 46.
Решим каждое из уравнений системы относительно у.
Получим уравнения
у 3,5х + 7,8 и у 4,2x + 9,2.
Уравнения у 3,5х + 7,8 и у 4,2x + 9,2 равносильны
соответственно первому и второму уравнениям системы. По
этому их rрафики те же, что и rрафики уравнений системы.
Этими уравнениями задаются линейные функции, rрафики
которых представляют собой прямые с различными уrловы
ми коэффициентами. Значит, эти прямые пересекаются и
система имеет единственное решение.
При м е р 2. Выясним, СКОЛЬКО решений имеет система
{ 4Х 2у 3,
8х 4у 1.
Решим уравнения Ifистемы относительно у. Получим
уравнения у 2х 1,5 и у 2х 0,25, которыми задаются
линейные функции. Прямые, являющиеся rрафиками этих
функций, параллельны (так как уrловые коэффициенты
прямых равны) и пересекают ось у в различных точках. Сле
довательно, система уравнений не имеет решений.
При м е р 3. Выясним, сколько решений имеет система
{ зх 2у 4,
4,5x + 3у 6.
Решив уравнения системы относительно у, получим одно
и то же уравнение у 1,5х 2. Это означает, что прямые, яв
ляющиеся rрафиками уравнений системы, совпадают. Сле
довательно, система имеет бесконечно MHoro решений.
1230. Найдется ли среди пар чисел (2; 3), ( 1; 8) и (4; 4)
решение системы:
а) { 10Х 3у 29,
8x + у 19;
б) { 6X + 2у 22,
15х + 3у 9?
1) 18. Системы линейных уравнений и способы их решения
279
1231. Является ли пара ( 2,5; 1,5) решением системы:
а) { 2Х + 4у 1,
3х 2у 10,5;
б) { 4X 5у 2,5,
6х + 10у 0,5?
1232. Составьте систему двух линейных уравнений с двумя
переменными, решением которой служит пара ( 1; 2).
1233. Сколько решений имеет система:
а) { 4Х + 5у 9,
3x + 6у 5;
б) { 1,2Х 2,4у 8,
3х 6у 20;
в) { 0,6Х 0,8у 2,
3х + 4у 10;
r) { 5Х 6у 0,8,
х 1,2у 0,4;
д) { 2Х 3у + 6 о,
3х 5 2у;
е) { 4 У 2х 1,2,
7х 5у + 1,4?
1234. Найдите какие либо три решения системы:
а) { о,зх 0,6у = 0,9:
0,2х 0,4у 0,6,
б) { 1,5Х + о, 75у 0,75,
2,4х + 1,2у 1,2.
1235. Решите rрафическим способом систему:
а) { Х + у 2,
3x y 2;
б) { Х у 4,
2х + 5у 6;
в) { Х + 3у о, .
0,5х у 2,5;
r) { зх + 2у 7,
х у о.
1236. Найдите rрафическим способом решение системы:
а) { з(х + у) 2х 4 + 2у,
х 3(у + 1) х;
б) { Х + у 2 y 1,
3(y х) 3 + х.
Упражнения для повторения
1237. Представьте в виде мноrочлена:
а) (2т + 3)2 3(т , 4) (т + 4) 56;
б) 5(3 2а) (2а + 3) 2(а 5)2 + 5.
280
r л а в а 8. Системы линейных уравнений
1238. Разложите на множители мноrочлен:
а) 9х 2 + 6ху + у2 Z2; б) 16а 16Ь а 3 + а 2 Ь.
1239. Решите уравнение:
4х 1
а) 3 . 2х 1;
2 + 7у
в) 2 . 3 8у 12;
r) 6р 3 . 5 + 2р 21.
5
2 т
б) 5т + 2 . 2 11;
1240. Решите в целых числах уравнение:
а) 2х 3у 5; б) 2х + 3у 5.
1241. Спортсмен получил на некоторую сумму денеr Ta
лоны достоинством в 15 р. и в 20 р., причем двадцатирубле
вых было больше, чем пятнадцатирублевых. Пятую часть
всех денеr он истратил, отдав 2 талона за билет в кино. По
ловину оставшихся денеr отдал за ужин, оплатив ero тремя
талонами. Сколько талонов каждоrо достоинства было вначале
у спортсмена?
46. Способ подстановки
rрафический способ дает возможность решать системы
уравнений лишь приближенно. Однако существуют друrие
способы, позволяющие находить точные решения систем ли
нейных уравнений с двумя переменными. Рассмотрим один
из них, называемый способом подстановки.
Пусть дана система
{ зх + 2у 4,
х 4у 6.
Решим второе уравнение относительно х:
х 4у + 6.
Подставив в первое уравнение вместо переменной х Bыpa
жение 4у + 6, получим систему
(1)
{ 3( 4у + 6) + 2у 4,
х 4у + 6.
Системы (1) (2) равносильны, т. е.
множество решений. Иными словами,
(2)
имеют одно и то же
всякое решение си
!} 18. Системы линейных уравнений и способы их решеНIIЯ
281
стемы (1) является решением системы (2) и всякое решение
системы (2) является решением системы (1).
Действительно, пусть пара чисел а и Ь решение систе
мы (1). Это означает, что верны равенства
3а + 2Ь 4,
а 4Ь 6.
Так как уравнения х 4у 6 и х 4у + 6 равносильны,
то пара (а; Ь) является решением уравнения х 4у + 6, и по
этому верно равенство
а 4Ь + 6.
Заменим в верном равенстве 3а + 2Ь 4 число а равным
ему числом 4Ь + 6, получим верное равенствО
3( 4Ь + 6) + 2Ь 4.
Следовательно, пара (а; Ь) обращает оба уравнения систе
мы (2) в верные равенства. Поэтому она является решением
системы (2).
ТакИМ же образом можно доказать, что каждое решение
системы (2) является решением системы (1).
Первое уравнение системы (2) представляет собой ypaBHe
ние с одной переменной. Решим ero:
12у + 18 + 2у 4,
14у 14,
у 1.
Подставив во второе уравнение системы (2) вместо пере
менной у ее значение 1, получим:
х 4 . ( 1) + 6,
х 2.
Пара (2; 1) является единственным решением системы (2),
а следовательно, и единственным решением системы (1).
Подведем итоrи. При решении системы двух ЛинейНЫХ
уравнений с двумя переменными способом подстановки:
1) решают одно из уравнений относительно какой либо
переменной;
2) подставляют в друrое уравнение вместО ЭТОй перемен
ной найденное выражение;
3) решают полученное уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение друrой переменной.
282
r л а в а 8. Системы линейных уравнений
При м е р 1. Решим систему:
{ 5Х 2у = 16,
10х 3у = 27.
Решим первое уравнение относительно у:
2y 16 5х,
2у 16 + 5х,
5х 16
У 2
Подставив во второе уравнение вместо у выражение
5х 16
получим систему
j 5х 16
:0: 3 ".х ; 16
= 27.
Решим второе уравнение этой системы:
10х . 2 3 (5х 16) 2 . 27,
20x 15х+48 54,
5х 6,
х 1,2.
, 5х 16
Под ставим в уравнение у вместо х число 1,2 и
найдем соответствующее ему значение у:
5 . 1,2 16
У 2
У 5.
о т в е т: (1,2; 5).
При м е р 2. Решим систему
j ЗХ 5у = 1,
2 1
x + y = 3.
3 2
Упростим второе уравнение, умножив ero левую и пра
вую части на 6. Получим
{ ЗХ 5у = 1,
4х + 3у = 18.
{1 18. Системы линейных уравнений и способы их решения
283
Решим первое уравнение относительно х и подставим по
лученное выражение во второе уравнение:
{ 5у 1
X= ,
3
5у 1
4 . + 3у = 18.
Решим уравнение с одной переменной:
4 (5у 1) + 9у 54,
20у 4 + 9у 54,
29у 58,
у 2.
Найдем соответствующее значение х:
5. 2 1
х =: ,
х 3.
о т в е т: (3; 2).
1242. Решите систему уравнений:
а) { зх + у = 7,
9х 2у = 1;
б) { 2Х 3у = 1,
х 5у = 3;
в) { 4Х у = 10,
х = 2у 1;
r) { У = 3 2х,
6х + у = 9;
д) { Х у = 1,
2х + 4у = 11;
е) { Х + 4у = 1,
х + у = 5.
1243. Найдите решение системы:
а) { 4Х 3у = 11,
10х + 5у = 35;
б) { 5Х 2у = 16,
8х 7у = 1;
в) { 7Х + 6у = 10,
3х + 5у = 3;
r) { 2X + 3у = 10,
4х 9у = 20;
д) { l1Х + 2у = 2,
5x + 6у = 6;
е) { 9Х 2у = 35,
3х 4у = 5.
284
r л а в а 8. Системы линейных уравнений
1244. Найдите решение системы:
а) { 1,2т 3п = О,
2т + 1,5п = 13;
в) { 0,1Х : 0,2у : 0,3
0,6х 0,5у 0,1,
j 1 1 1
б ) a + b =
2 3 6'
1 1 3
a b = .
4 2 4'
j 2 3
r) -з р "5 q = 1,
5 7
Р + q = 6.
6 10
1245. Каковы координаты точки пересечения rрафиков
уравнений:
а) 7х+6у 2 и 10х+9у 2;
б) 16x 25у 5 и 8x 15у 41?
1246. Найдите координаты точки пересечения rрафиков
уравнений:
а) 6x 5у 10 и 9x 10у == 25;
б) 4х 15у 21 и 6х + 25у 22.
1247. Найдите решение системы:
а) { 5Х + 20 = 6y,
9у 25 = 2x;
б) { 14 3Ь = 4а,
25 + 3Ь = 5а;
в) { 2k 3 = 2 9р,
3k 13 = 5р + 13;
r) { 50 4т = 5 5п,
21 6п = 26 + 5т.
1248. Решите систему:
а) { 2(Х 5) + 6 = 3(2 у) 1,
3(у + 2) 10 '= 3(1 х) + 8;
б) { 4(3 Ь) 6 = 5(2а + 1) + 5,
2(3Ь 4) + 7 = 7(1 а) 10.
1249. Найдите решение системы:
а) { 4(3Х 4у) + 14 '= 3(5х + 2у),
2(x 6у) = 5(3х 4у) 1;
б) { 1 2(х + 2у) '= 5х + 12у,
6(х 4у) = 5(3х + 4у) 13.
9 18. Системы линейных уравнений и способы их решения
285
1250. Найдите решение
а) j :т +n = =7
2 '
j a Ь 1
б) "3 + "2 = "2'
!!: + Ь = !.
6 2'
1251. Решите систему
j X у 1
а) "2 + "3 = 6'
+ JL = .
3 2 з'
1252. Используя
rрафики уравнений,
изображенные на ри
сунке 74, объясните
rрафический смысл
равносильности сис
тем уравнений:
! 1
У x = 5,
2х +2 Зу = 1
и
системы:
в) j 5X 2: = 1,
3х JL !.
2 3 2'
r ) j 3P 2k = 1
4 3 '
Р k
+ = 3.
2 3
уравнений:
б) j % = ,
!!: 2Ь = .
3 3
1 =+ ;x5 5) = 1.
Упражнения для повторения
1253. Постройте rрафик уравнения:
1 1
а) "2 х "3 у 1; в) 0,1x + 0,5у 0,4;
б) 0,2х + 2у 2; r) 2,5х 5 7,5у.
Рис. 74
286
r л а в а 8. Системы линейных уравнений
1254. Упростите выражение:
а) (3а Ь)2 (3а + Ь)2;
б) (3х + 4у)2 + (3х 4у)2;
в) 16( 3; У J (3х + 4у)2;
( а Ь ) 2 ( а Ь ) 2
r) 81 9 + 3 + 16 2" 4.
1255. Разложите на множители:
а) 4т 5 12т 3 п 3 + 9тп 6 ;
1 2 4
б) х 6 у2 + х 3 у3 + у4.
12 3 3'
в) (i p k J р2 + k 2 ;
r) p2 k2 (i p + k J.
1256. Докажите, что ни одна точка rрафика функции
1 '
У 4x2 3х+9 не лежит ниже оси х.
47. t' Способ сложения
Рассмотрим еще один способ решения систем уравнений,
называемый способом сложения.
Пусть дана система
{ зх 2у = 17,
5х + 2у = 7.
(1)
Коэффициенты при у в уравнениях системы противо
положные числа. Поэтому при сложении отдельно левых час
тей уравнений и их правых частей, или, как rоворят, при по
членном сложении уравнений, получится уравнение с одной
переменной:
(3x 2у)+(5х+2у) 17+ 7,
8х 24.
Составим новую систему, состоящую из уравнения 8х 24
и одноrо из уравнений системы (1):
918. Системы линейных уравнений и.способы их решения
287
{ 8Х = 24, (2)
5х + 2у = 7.
Системы (1) и (2) равносильны.
В самом деле, пусть пара чисел (а; Ь) решение системы (1).
Тоrда верны равенства
3а 2Ь 17,
5а + 2Ь 7.
При почленном сложении верных равенств получается
верное равенство
(3а 2Ь) + (5а + 2Ь) 17 + 7.
Отсюда следует, что пара (а; Ь) является решением ypaB
нения (3х 2у) + (5х + 2у) 17 + 7, а значит, и решением
системы (2).
Можно так же доказать, что любое решение системы (2)
является решением системы (1).
Таким образом, системы (1) и (2) равносильны.
Из первоrо уравнения системы (2) получим:
х 3.
Найдем соответствующее значение у, используя при этом
второе уравнение:
5 . 3 + 2у 7,
2у 8,
у 4.
Пара (3; 4) является единственным решением системы (2),
а следовательно, и единственным решением системы (1).
В тех случаях, коrда в системе нет переменной, при KO
торой коэффициенты являются противоположными числа
ми, можно получить такие коэффициенты, умножив левые и
правы е части уравнений на некоторые числа.
Подведем итоrи. При решении системы двух уравнений
с двумя переменными способом сложения:
1) умножают левую и правую части одноrо или обоих
уравнений на некоторое число так, чтобы коэффициенты
при одной из переменных в разных уравнениях стали проти
воположными числами;
2) складывают почленно полученные уравнения;
3) решают полученное уравнение с одной переменной;
4) находят соответствующее значение второй переменной.
288
r л а в а 8. Системы линейных уравнений
При м е р 1. Решим систему
{ 2Х 3у = 11,
3х + 7у = 5.
Умножим левую и правую части первоl'О уравнения на 3,
а BTOpOI'O на 2:
{ 6X + 9у = 33,
6х + 14у = 10.
Сложив почленно уравнения, получим уравнение с одной
переменной:
23у 23.
Решив ero, находим:
у 1.
Подставим в первое уравнение данной системы вместо
переменной у ее значение 1 и найдем соответствующее зна
чение х:
2х + 3 11,
х 4.
Ответ: (4; 1).
При м е р 2. Решим систему
{ зх + 10у 19,
4x + 5у = 7.
В этом случае достаточно умножить на 2 левую и пра
вую части лишь одноrо BTOpOI'O уравнения:
{ зх + 10у = 19,
8х 10у = 14.
Сложим почленно уравнения, получим уравнение с одной
переменной:
llх 33.
Решив el'O, найдем:
х 3.
Из BToporo уравнения данной системы найдем COOTBeT
ствующее значение у:
4 . 3 + 5у 7,
5у 5,
у 1.
о т в е т: (3; 1).
18. Системы линейных уравнений и способы их решения
289
1257. Решите систему:
а) { 5Х 4у == 22,
7 х + 4у == 2;
б) { 6X + у == 21,
6х Ну == 51;
1258. Найдите решение
а) { 5Х 9у == 38,
3х + 2у == 8;
б) { 11Х + 4у == 18,
13х 6у == 32;
в) { 10Х + 7у == 1,
15х + 8у == 6;
системы:
1259. Найдите решение системы:
а) { 4т 3п == 32,
0,8т + 2,5п == 6;
б) { 2,5 Р + 1,5k == 13,
2р 5k == 2;
в) { 10Х 3у == 5,
6x 3у == 27;
r) { 5Х + 4у == 22,
5х 2у == 4.
r) { 21а З0Ь == 6,
23а 40Ь == 28;
д) { 6и + 5и == 10,
5u 6и == 49;
е) { Зm 4п == 3,
8т + 7п == 3.
в) { 0,5Х 0,3у == 1,
1,5х + 0,4у == 10;
r) { 0,2а + 0,1Ь == 1,
1,2а + О,зь == о.
1260. Задайте линейную функцию формулой вида у ах + ь,
если ее rрафик проходит через точки:
а) K( 2; 1) и Р(3; 2);
б) C( 3; 3) и D(4; 4);
в) А(6; о) и В(О; 4);
r) М(О; 5) и N( 3; о).
1261. Напишите линейное уравнение с переменными х и у,
rрафиком KOToporo является прямая, проходящая через точки
с координатами:
а) (2; 2) и ( 1; 1);
б) (6; 5) и ( 3; 4).
1262. rрафик линейной функции пересекает ось х в точ
ке с абсциссой 5, а ось у в точке с ординатой 4. Задайте
эту функцию формулой.
1263. Отметьте в координатной плоскости две какие
нибудь точки. Проведите через них прямую. Напишите ypaB
нение этой прямой.
290
r л а в а 8. Системы линейных уравнений
1264. Решите систему:
а) { 3(2Х у) + 5 = 2(x + 3у) + 4,
6(у + 1) 1 = 5(2х 1) + 8;
б) { 4(а 3Ь) 2а = 3(Ь + 4) 11,
3(b 2а) 12 = 2(а 5) + Ь;
В) { 0,5 3т = 2,5(т 3п) 3,
19 + 9п = 3(т + 6п) + 4;
r) { 5и 2и + 1 = 4(2и и),
О,2(4и + и) + 0,5 = 0,5(2и + 1).
1265. Найдите решение системы:
а) { 2(Х 3у) = 3х 4у 1,
5(2у + х) 4 = 3(2х 1) + 4;
б) { 4 Р 3k 1 = 3(3р 2k),
1,5k + 2р = 2(2p 0,5k) + 7.
1266. Решите систему:
а) j U 1 v = 1,
и + и = 3'
3 '
j 3 1
б) 4и + ;и = 3,
3и и = 5'
3 '
1 2 3
в) з- х 5 У = О,
2х 1,7у = 1;
1 1 2
r) 4 т + з-п = 3,
0,3т + 0,2п = О.
1267. Найдите решение системы:
j m п
а) 2 + "2 = 1,
3т
п = 12'
4 '
б ) j iE 5k = 2
5 6 '
7р 2k = 11'
3 '
j U V
в) "2 6 = О,
3и + = 7'
4 3 '
j 2х 4у
r) 3 + 5 = 8,
5х 4у = 9
6 15 .
18. Системы линейных уравнений и способы их решения
291
1268. Решите систему:
I Х у
а) "4 3" = 2,
3х 2у = 6;
б) 1 4т + ?п = 2
54'
4т 3п = 16.
1269. Сколько решений имеет система:
1 х у
а) 3 + 2" = 1,
2х 3у = 6;
б) I зх + 2у = 2,
+ JL = !?
2 3 2'
1270. Используя rрафики уравнений, изображенные на
рисунке 75, объясните rрафический смысл равносильности
систем
{ 2Х у = 5, и
х+у=1
{ (2Х у) + (х + у) = 5 + 1,
х + у = 1.
1271. С помощью rрафиков уравнений, изображенных на
рисунке 76, объясните rрафический смысл равносильности
систем уравнений
I Х 2у = 3,
1 и
2х + "2 У = 1
' r r ' 1j O,
r . . 1
.I.+t +
r """+' 2
I ! t . , '.
: L з
T + i
m t ,
' 1 .
r """' 1 1
, I 11
,. f.. ,j;\
[ .....+ +.:\-
.;. .] .1
Рис. 75
J (х 2у) + ( 2х + у ) = 3 1,
lx 2у = 3.
Рис. 76
292
r л а в а 8. Системы линейных уравнений
Упражнения для повторения
1272. Решите двумя способами (способом подстановки и
способом сложения) систему:
а) { У 13х = 113,
40х 3у = 350;
б) { 7 х 3у
5х + 6у
34,
8.
1273. Представьте в виде мноrочлена выражение:
а) (4т + 7)(7 4т) (4т 7)2;
б) (5а + 2)2 (3 + 5а) (5а 3).
1274. Разложите на множители мноrочлен:
а) 8x4 + 8у4;
б) 16т 4 16п 4 ;
в) 75а 2 + 12Ь 2 + 60аЬ;
r) 84х 2 у 63х 4 28 у 2.
1275. Для вычисления кубов чисел, близких к единице,
можно пользоваться приближенной формулой (1 +а)3 :::: 1 + 3а.
Найдите по этой формуле приближенное значение 1,13 и
0,93. На сколько оно отличается от точноrо значения?
48. t Решение задач с помощью систем
уравнений
(1
\
До сих пор при решении задач с помощью уравнений мы
составляли одно уравнение с одной переменной. Но часто
бывает проще составить два уравнения с двумя переменны
ми и решить задачу с помощью системы уравнений. При
этом поступают следующим образом: обозначают некоторые
неизвестные числа буквами; составляют систему уравнений,
используя условие задачи; решают эту систему; истолковы
вают результат в соответствии с условием задачи.
Приведем примеры решения задач с помощью системы
уравнений.
3 а Д а ч а 1. 3адуманы два числа. Если к первому числу
прибавить удвоенное второе, то получится 30. Если из перво
ro числа вычесть утроенное второе, то получится 5. Какие
числа задуманы?
11 18. Системы линейных уравнений и способы их решения
293
Реш е н и е. Пусть задуманы числа х и у. По условию
задачи сумма х и 2у равна 30, а разность х и 3у равна 5.
Для ответа на вопрос задачи надо найти такие значения х
и у, которые удовлетворяют уравнениям х + 2у 30 и х 3у 5,
т. е. удовлетворяют системе
{ Х + 2у = 30,
х 3у = 5.
Решив систему, найдем:
х 20 и у 5.
о т в е т: 20 и 5.
3 а Д а ч а 2. Существуют ли два таких натуральных
числа, что сумма первоrо числа и YTpoeHHoro BToporo равна 10,
а разность первоrо и YTpoeHHoro BToporo равна 2?
Реш е н и е. Пусть первое число есть х, а второе у. По yc
ловию задачи сумма х и 3у равна 10, а разность х и 3у равна 2:
{ Х + 3у = 10,
х 3у = 2.
Решив систему, найдем:
1
х 6иу 1"3.
П 6 1 1
ара чисел и "3 удовлетворяет системе уравнении,
но
не удовлетворяет условию задачи, так как число 1.! не явля
3
ется натуральным.
О т в е т: таких чисел не существует.
1276. Разность двух чисел равна 20, а их сумма равна 4.
Найдите эти числа.
1277. Ремонтом дома занято 18 маляров и штукатуров.
Сколько маляров занято ремонтом, если их на 4 меньше, чем
штукатуров?
1278. 3а некоторое время через перекресток прошло 35 aB
томобилей. Из них леrкОВЫХ было на 5 больше, чем rрузо
вых. Сколько леrковых и сколько rрузовых автомобилей про
шло через перекресток за это время?
294
r л а в а 8. Системы линейных уравнений
1279. В мастерской по заказу изrотовлено 65 курток и
спортивных костюмов. Сколько изrотовлено курток и сколь
ко спортивных костюмов, если КУРТОк изrотовлено в 1,6 раза
больше, чем спортивных костюмов?
1280. Было продано 42 л яблочноrо и апельсиновоrо co
ка. Яблочноrо Сока было продано в 2,5 раза меньше, чем
апельсиновоrо. Сколько литров апельсиновоrо сока было про
дано?
1281. В одном из классов rимназии мальчиков в 1,2 раза
больше, чем девочек. Сколько девочек в этом классе, если их
на две меньше, чем мальчиков?
1282. Периметр равнобедренноrо треуrольника равен 19 см.
Ero боковая сторона на 1 см меньше основания. Найдите CTO
роны треуrольника.
1283. Боковая сторона равнобедренноrо треуrольника
в 4 раза больше ero основания. Найдите основание, если оно
меньше боковой стороны на 6 см.
1284. Периметр прямоуrольника равен 66 см. Ero длина
в 10 раз больше ширины. Найдите стороны прямоуrольника.
1285. Масса 2 см 3 меди и 4 см 3 серебра равна 59 r. Плот
ность меди меньше плотности серебра на 2 r / см 3 . Найдите
плотность меди и плотность серебра.
1286. Дачник проделал путь длиной 46 км. Он шел 2 ч
пешком и 3 ч ехал на велосипеде. На велосипеде он двиrался
в 2,4 раза быстрее, чем пешком. С какой скоростью дачник
шел и с какОЙ скоростью он ехал на велосипеде?
1287. За 4 мин через первую трубу поступило воды на 1 rл
меньше, чем за 3 мин через вторую трубу. Если первую трубу
открыть на 5 мин, а вторую на 1 мин, то поступит 32 rл
воды. Сколько rектолитров воды поступает за 1 мин через
каждую трубу?
1288. Теплоход проходит за 4 ч по течению такое же pac
стояние, какое за 5 ч против течения. Найдите скорость Te
чения, если она меньше собственной скорости теплохода на
40 км/ч.
1} 18. Системы линейных уравнений и способы их решения
295
1289. Двиrаясь 2 ч против течения и 4 ч по течению,
теплоход прошел 260 км. Тот же теплоход за 8 ч по течению
пройдет столько же, сколько он пройдет за 9 ч против тече
ния. Найдите скорость теплохода по течению и ero скорость
против течения.
1290. Собственная скорость моторной лодки больше CKO
рости течения в 4 раза. Найдите скорость лодки по течению,
1 1
если за ч против течения и 3" ч по течению лодка проидет
14 кМ.
1291. Двиrаясь 3 ч по течению и 4 ч против течения, Ka
тер прошел 120 км. Тот же катер за 2 ч против течения
пройдет на 30 км меньше, чем за 3 ч по течению. Найдите
скорость катера по течению и ero скорость против течения.
1292. Из двух пунктов, расстояние между которыми 120 км,
выезжают одновременно велосипедист и автомобилист. Если
они будут двиrаться навстречу друr друrу, то встреча про
изойдет через 1 ч. Если же автомобилист будет двиrаться
вслед за велосипедистом, то он доrонит ero через 3 ч. Найдите
скорость, с которой двиrаются велосипедист и автомобилист.
1293. Из двух усадеб, расстояние между которыми 44 км,
выехали одновременно два всадника и встретились через 2 ч.
Найдите скорость каждоrо всаДника, если один из них про
ехал до встречи на 4 км больше друrоrо.
1294. Два пешехода вышли одновременно из двух ПУНк
тов, расстояние между которыми 25 км, и встретились через
2,5 ч. Найдите скорость каждоrо из них, если один прошел
до встречи расстояние в 1,5 раза больше, чем друrой.
3
1295. Сумма "4 первоrо
3
Найдите эти числа, если "5
5
6 первоrо.
числа
2
и "5 BToporo
BToporo числа на 1 меньше, чем
равна
15.
9
1296. Найдите два числа, если 10 первоrо на 4 больше,
7 3 7
чем 15 BToporo, а 5 первоrо на 9 меньше, чем 10 BToporo.
296
r л а в а 8. Системы линейных уравнений
1297. в прошлом rоду пшеницей было засеяно на 30 ra
больше, чем рожью. Теперь посевы пшеницы сократились
на 25%, а ржи на 20%, и площадь под ними составила 100 ra.
Сколько reKTapoB засеяли в прошлом rоду пшеницей и
сколько рожью?
1298. В двух табунах было 120 лошадей. Коrда число лоша
дей в первом табуне увеличилось на 40%, а во втором YMeHЬ
шилось на 10%, в первом табуне стало на 30 лошадей больше,
чем во втором. Сколько лошадей было в каждом табуне?
1299. В десяти лодках может разместиться 44 человека.
Часть этих лодок пятиместные, а остальные трехместные.
Сколько пятиместных лодок?
1300. От лаrеря до почты турист ехал на велосипеде со
скоростью 18 км/ч. На обратном пути ero скорость была на
3 км/ч меньше. На весь путь он затратил 2 ч. Найдите pac
стояние от лаrеря до почты.
1301. Пенсию в 650 р. бабушка получила десятирублевы
ми и пятидесятирублевыми купюрами. Bcero была 21 купю
ра. Сколько было пятидесятирублевых купюр?
1302. Расстояние между двумя пристанями лодка про
плывает по реке в одном направлении за 4 ч, а в противопо
ложном направлении за 8 ч. Скорость течения воды 5 км/ч.
Каково расстояние между пристанями?
1303. Первый рабочий изrотовил за 4 ч на 10 деталей
больше, чем второй за 5 ч. Второй изrотовлял в час на 1 дe
таль меньше, чем первый. Сколько деталей изrотовил пер
вый рабочий?
1304. Из двух пунктов, расстояние между которыми 60 км,
должны выехать навстречу друr друrу два велосипедиста.
Если первый выедет на 1 ч раньше BToporo, то он встретит
ero через 3 ч после cBoero выезда. Если второй выедет на 2 ч
1
раньше первоrо, то они встретятся через 3 5 ч после выезда
BToporo. Найдите скорости велосипедистов.
1305. Через первую трубу бассейн может наполниться
на 10 ч быстрее, чем через вторую. За сколько часов может
наполни'I'ЬСЯ этот бассейн через каждую трубу, если обе трубы
вместе MorYT наполнить через 24 ч два таких бассейна?
18. Системы линейных уравнений и способы их решения
297
1306. Решите задачу двумя способами (один раз с помо
щью уравнения с одной переменной, а друrой раз с помощью
системы двух уравнений с двумя переменными): «3адумано
два числа. Если к первому числу прибавить удвоенное BTO
рое, то получится 27. Если из YTpoeHHoro первоrо вычесть
второе, то получится 11. Найдите эти числа.).
Упражнения для повторения
1307. Разложите на множители:
а) 24а 4 х 6Ь 2 х 12а 4 у + 3Ь 2 у;
б) 36п 2т З + 18т 4т 2 п.
1308. Упростите выражение:
а) 9(4 3x)2 4(2х+l)2;
б) 3 (3 4а)(4а + 3) + 2 (2а + 3)2.
1309. Докажите тождество
(аЗ Ь З )2 + 2а З Ь З == (а 2 + Ь 2 ) (а 4 + Ь 4 а 2 Ь 2 ).
49. t Система линейных уравнений
с тремя переменными
Уравнение вида ах + Ьу + cz == d, rде х, у и z перемен
ные, а, Ь, с, d некоторые числа, называется линейным
уравнением с тремя переменными.
Тройка значений переменных, обращающая уравнение с
тремя переменными в верное равенство, называется решением
уравнения.
Будем рассматривать системы трех линейных уравнений
с тремя переменными. Общее решение этих уравнений яв
ляется решением системы. Решить систему значит найти
множество общих решений входящих в нее уравнений.
При решении системы линейных уравнений с 'l'ремя пе
ременными, так же как при решении систем линейныХ
уравнений с двумя переменными, используют способ подста
новки и способ сложения.
Решим систему
j зх + 5у + 2z :::: 19,
4x y 3z::::8,
2х 2у 3z :::: 1.
298
r л а в а 8. СистеМbI линеЙНblХ уравнений
ИСКЛЮЧИМ одну из переменных, воспользовавшись спосо
бом подстановки.
Выразим из BToporo уравнения переменную у через х и z:
у 4х 3z 8.
Под ставив в первое и третье уравнения вместо у выраже
ние 4х 3z 8, получим систему двух уравнений с двумя
переменными:
{ ЗХ + 5(4х 3z 8) + 2z == 19,
2х 2(4х 3z 8) 3z == 1.
Отсюда:
{ 23Х 13z == 59,
6x + 3z == 15.
"Упростим второе уравнение, разделив обе ero части на 3.
Получим:
{ 23Х 13z == 59,
2х z == 5.
Решив эту систему, найдем, что
х 2, z 1.
Соответствующее значение у найдем из уравнения
у 4х 3z 8:
у 4 . 2 3 . ( 1) 8, у 3.
Значит, решением системы является тройка чисел: х 2,
у 3, z 1.
Заметим, .что исключить одну из переменных в paCCMa
триваемой системе трех уравнений с тремя переменными
мы моrли бы иначе, используя способ сложения.
Аналоrично решаются системы четырех уравнений с че
тырьмя переменными, пяти уравнений с пятью переменными
и т. д.
1310. Решите систему уравнений:
а) j X у == 8,
у + Z == 7,
x z==l;
б) j X 2у == О,
У z == 7,
х + z == 1.
18. Системы линейных уравнений и способы их решения
299
1311. Найдите решение
а) j X + у = 8,
у + z = 5,
x+z=3;
системы:
б) j X 2у = 6,
4у + z = 27,
х + z = 1l.
1312. Решите систему уравнений:
а) j 10X 5у 3z = 9,
6х + 4у 5z = 1,
3х 4у 6z = 23;
б) j 2X 3у + 4z = 10,
4х 2у 3z = 27,
5x + 4у + 2z = 28. .
1313. Найдите решение системы:
а) j 9X 8у + z + 12 = о, б) j зх 4у 5z 20 = о,
4x + 2у 3z + 9 = о, 2х 3у 4z + 5 = о,
2х 5у + 2z 3 = о; 2х + 3у 4z + 45 = О.
1314. Решите систему уравнений
х + у + z + v = 10,
У + z + v + и = 14,
z + v + и + х = 13,
v + и + х + у = 12,
и + х + у + z = 11.
1315. Решите относительно х, у и z систему
j а з + а 2 х + ау + z = О,
ь 3 + ь 2 Х + Ьу + Z = О,
с 3 + с 2 Х + су + z = О,
если а "* Ь, Ь "* с и с "* а.
1316. В трех сосудах 48 л воды. Если из первоrо сосуда
перелить во второй 3 л, то воды в этих двух сосудах будет по
ровну, а если из TpeTbero сосуда перелить во второй 3 л, то
в третьем воды окажется в 7 раз меньше, чем во втором.
Сколько воды в каждом сосуде?
1317. Периметр треуrольника равен 3 дм. Наибольшая из
сторон на 4 см больше наименьшей; а удвоенная третья CTO
рона равна сумме двух друrих сторон. Найдите стороны Tpe
уrольника.
300
r л а в а 8. Системы линейных уравнений
Упражнения для повторения
1318. Упростите выражение:
а) (а Ь)3 + 4 (а + Ь)3;
б) (х + у)3 (х у)3.
1319. Разложите на множители:
а) х 3 8 у 3 6х 2 у + 12ху2;
б) 8х 6 + у3 + 12х4у + 6х 2 у2.
Контрольные вопросы и задания
1. Сформулируйте определение решения системы ypaBHe
ний с двумя переменными. Приведите пример.
2. Как решить систему двух уравнений с двумя перемен
ными способом подстановки?
3. Как решить систему двух уравнений с двумя перемен
ными способом сложения?
Дополнительные упражнения
к rлаве 8
к параrрафу 17
1320. Какие пары
уравнения:
а) тп 8;
целых чисел являются решениями
б) тп 8;
в) тп О?
1321. Найдите все пары простых чисел, являющихся pe
шениями уравнения:
а) p+q 22; б) pq 15.
1322. Докажите, что никакая пара целых чисел не может
быть решением уравнения:
а) 2х+4у 35; б) 15x 10у 22.
1323. При каком значении k пара чисел ( 2; 5) является
решением уравнения:
а) kx + 3у 9; б) 2х ky 1?
1324. Купили несколько коробок с карандашами. В HeKO
торых из них было по 6 карандашей, а в остальных по 8.
Дополнительные упражнения к rлаве 8
301
Во всех коробках было 34 карандаша. Сколько купили KOPO
бок, в которых было по 6 карандашей?
1325. Три рыбака вечером наловили рыбы и леrли спать.
Первый, проснувшись утром, решил не будить остальных.
Он разделил рыбу из садка пор овну , но одна рыба осталась
лишней; он выбросил ее в воду, забрал третью часть улова и
уехал домой. Через час встал второй. Думая, что он проснул
ся первым, и не желая будить остальных, проделал то же
самое, что и первый: выкинул в воду лишнюю рыбу, взял
третью часть от оставшеrося улова и уехал. Еще через час все
это повторил третий рыбак, тоже считая, что он встал пер
вым. Каков был улов?
1326. В каких точках rрафик уравнения х 2 у
секает:
4 пере
а) ось х;
б) ось у?
1327. Проходит ли rрафик уравнения (х + 5)(х 5)
(у + 6)(у 6) 11 через начало координат?
1328. Имеются ли на rрафике уравнения 4х + ху О точ
ки, У которых:
а) абсцисса равна ординате;
б) абсцисса и ордината противоположные числа?
1329. rрафику уравнения 5х + 2у 3 не принадлежит ни
одной точки, обе координаты которых отрицательные
числа. Докажите это утверждение и объясните ero rеометри
ческий смысл.
1330. Докажите, что rрафику уравнения 2х2 4у 11 не
принадлежит ни одной точки с целочисленными координа
тами.
1331. Дана точка А (0,1; 10). При каком значении k через
эту точку проходит rрафик уравнения:
а) 20x 1,5у k; б) y kx 5?
1332. Постройте rрафик уравнения:
а) 10(0,2х 0,3у) 0,5(6х 8у) 7;
б) 5(0,6х + 0,4у) 0,2(10х + 20у) 4;
в) 4(1,5х 2,5) + 5(1,2у + 0,8) 3;
r) 0,6(0,5х + 1) + 0,4(1,5у 2) 0,7.
302
r л а в а 8. Системы линейных уравнений
1333. Начертите rрафик уравнения:
а) х (у 3) о; в) (х 2)(у + 2) о;
б) (х 4)(у 1) о; r) (х + 5)(у + 3) о.
1334. Постройте rрафик уравнения:
а) х + I у I о; в) х I у I о;
б) I х I + у о; r) I х I у о.
1335. Что является rрафиком уравнения:
а) I х I + I у I о; б) I х I I у I о?
1336. При какОМ значении с прямые 4х + 3у с и
2х 3у 8 пересекаются в точке, принадлежащей:
а) оси х; б) оси у?
к параrрафу 18
1337. При каких значениях т и Ь пара (т; 3) является pe
шением системы:
{ зх + у = 9,
2х Ьу = 10?
1338. При каких значениях т и п пара (3; 2) является
решением системы:
а) { 5X + 2у = т, б) { тх 3у = 9,
3х 4у = п; 6х + пу = 22?
1339. СКолько решений имеет система:
а) { зх 6у = 5, в) { 0,5Х + 2у = 0,8,
2х + 3у = 7; 2,5х + 10у = 6;
б) 1 4Х 3у = 12, r) { 2Х 0,3у = 1,
1 1 1 . 4х + 0 ,6 у = 1?
-з х "4 У ,
1340. Найдите rрафическим способом приближенное pe
шение системы
{ 5(0,2Х 0,4) 4(0,5 + 1) = 3,
2(1,5х + 1) + 1,5(2у 4) = 4.
1341. Укажите какие либо значения а, Ь и с, при KOTO
рых имеет единственное решение система
{ 8X + 9у = 10,
ах + Ьу = с.
Дополнительные упражнения к rлаве 8
303
1342. При какОМ значении с система
{ 5Х 2у = 3,
10х 4у = с:
а) имеет бесконечное множество решений;
б) не имеет решений?
1343. Решите систему:
а) { 10Х 43у = 27,
4х + 3у = 31;
б) { 12X + 15у = 150,
6х 7у = 72;
в) { На 5Ь = 1,
14а + 2Ь = 74;
r) { 21т + 20п = 123,
42т 30п = 36;
д) { 8 Р 25q = 65,
6р + 27q = 3;
е) { 1за 14Ь = 54,
На 7Ь = 36.
1344. При какОМ значении а прямая ах + 5у 9 проходит
через точку пересечения прямых 5х + 4у 6 и 3х у 7?
1345. Докажите, что прямая 4х 5у 18 проходит через
точку пересечения прямых 3x+2y 10 и 7х+6у 2.
1346. Докажите, что прямые 2x + 9у 3, 2х 5у 1
и 3х 4у 5 пересекаются в одной точке. Каковы коорди
наты этой точки?
1347. Решите систему:
а) { 3(2Х + у 1) = 5х + 4у + 2,
4(х 2у + 1) = 2х 5у + 16;
б) { 4Х 2(3х 5) = 3(х у) + 30,
4у 2(3у 5) = 3(у х) 18;
в) { 5(1,2Х 2у) + 40 = 2(у 2х) 4,
2(1,5 + 3х) 30 = 5(х 3у) + 4;
r) j 6X 3(4х + 1) 7 = 4у 5(у + 3) + 7,
1 1
3у (x 4) 19 = 2х + (x + 3у) 4.
2 3
304
r л а в а 8. Системы линейных уравнений
1348. Найдите решение системы:
а) 1 ; = 1,
т + 9'
2 '
б ) 1 + 4
10 5 '
ь 13'
5 '
1349. Решите систему:
а) { 1,2Х 2,5у 4,
1,4х + 1,5у 1;
б) { 3,5а + 2,4Ь : 5,8, .
0,5а + 3,2Ь 0,6,
В ) 1 3х 1 4у 1
'
5х 8у + 3;
r) 1 2Х 9у 6,
5у 12 5х 3 .
6 9
в) { 0,4т = 0,9п : o, ,
0,6т 0,3п 0,2,
r) { 1,2Х: 1,5у : 1,
1,5х 0,5у 1,3.
1350. Решите уравнение:
а) х 2 + (у 2)2 о;
б) 4х 2 + 4х + 1 + (у 3)2 о;
в) (х у + 1)2 + (2х у 1)2 о;
r) (2х + у)2 + (х 2у 5)2 о.
1351. Напишите линейное уравнение вида:
а) ах + Ьу 1, rрафик KOToporo проходит через точки
А(2; 3) и В(5; 6);
б) 2х + Ьу С, rрафик KOToporo проходит через точки
M( 1; 4) и N(4; 2);
в) ах 6у С, rрафик KOToporo проходит через точки
Р(5; о) и K( 3; 3);
r) у kx + Ь, rрафик KOToporo проходит через точки
C( 4; 2) и D(2; 4).
1352. Задайте формулой линейную функцию, rрафик KOTO
рой проходит через точки:
а) ( 1; 3) и (2; 2);
б) (4; 1) и ( 3; 1);
в) (о; 5) и (4; о);
r) ( 3; о) и (о; 6).
1353. rрафик какОЙ линейной функции проходит точку
( 2; 5) и точку пересечения прямых
3х 2у 16 и 4х + 3у 7?
Дополнительные упражнения к rлаве 8
305
1354. Пери метр paBHocTopoHHero пятиуrольника на 1 см
больше периметра paBHocTopoHHero шестиуrольника. Сумма
длины трех сторон этоrо шестиуrольника на 2 см больше
суммы длины двух сторон пятиуrольника. Найдите пери метр
пятиуrольника.
1355. Масса трех чайных ложек и двух вилок равна 360 {'.
Найдите массу чайной ложки, если масса трех вилок MeHЬ
ше массы пяти чайных ложек на 30 {'.
1 1
1356. Фермер вспахал "5 часть первоrо участка и "3 BTOpO
{'о, что составило 9 {'а. Найдите площадь каждоrо участка,
если половина оставшейся части BToporo участка на 5 {'а
меньше половины первоrо участка.
1357. На митинrе присутствовали мужчины и женщины.
После Toro как к ним присоединилось еще 1,8 тыс. мужчин,
мужчин на митинrе стало на 800 больше, чем женщин.
Сколько мужчин было на митинrе вначале, если половина
1
их числа составляла СТОЛЬкО же, сколько составляла "3 числа
женщин?
1358. Открыли два крана: первый на 5 мин, второй на
4 мин. За это время в бак поступило 120 л воды. Если бы че
рез первый кран вливалось воды вдвое меньше, а через BTO
рой втрое меньше, то за это же время в бак поступило бы
лишь 50 л воды. Сколько воды вливалось через первый кран
за 1 мин?
1359. Если увеличить ширину прямоуrольника на 10%,
а длину на 20%, то ero периметр увеличится на 16 см. Если
же уменьшить ширину на 20%, а длину на 10%, то пери
Me'l'p уменьшится на 14 см. Найдите длину и ширину пря
моуrольника.
1360. Два подрядчика в январе заrотовили 900 м 3 леса.
В феврале первый ПОДРЯДЧИк уменьшил заrотовку на 15%,
второй на 20%. В этом месяце первый заrотовил на 60 м 3
меньше, чем второй. Сколько леса заrотовил каждый из них
в феврале?
1] Ллrебl1", 7 к,.
30б
r л а в а 8. Системы линейных уравнений
1361. В этом rоду с 20 ra площади, засеянной пшеницей,
и 30 ra площади, засеянной рожью, собрали 1200 ц зерна.
В следующем rоду при увеличении урожайности пшеницы
на 10% и ржи на 5% с тех же площадей должны собрать зерна
на 90 ц больше. Сколько пшеницы и сколько ржи должны
собрать в следующем rоду с каждоrо reKTapa?
1362. 3адумали два числа. Если первое число увеличить
на 40%, а второе на 30%, то их сумма увеличится на 170.
Если полученные при увеличении числа уменьшить COOTBeT
ственно на 40% и 30%, то их сумма уменьшится на 229.
Найдите задуманные числа.
1363. (3адача Л. Н. Толстоrо.) Артели косцов предстояло
скосить два луrа, из которых один был вдвое больше друrо
ro. Полдня вся артель косила большой луr, а на вторую поло
вину дня артель разделилась пополам, и одна половина OCTa
лась докашивать большой луr, а друrая стала косить малый
луr. R вечеру большой луr был скошен, а от малоrо остался
участок, который был скошен на друrой день одним косцом,
работавшим весь день. Сколько было косцов в артели?
t Задачи повышенной трудности
1364. Докажите, что если к трехзначному числу припи
сать справа то же число, то полученное шестизначное число
будет кратно 7, 11 и 13.
1365. Написали двузначное число. 3атем приписали к
нему слева и справа цифру 2. Получилось число, которое в
32 раза больше написанноrо двузначноrо числа. Найдите это
двузначное число.
1366. Четырехзначное число оканчивается цифрой 4.
Если эту цифру переставить в начало числа, то число YMeHЬ
шится на 1107. Найдите такое четырехзначное число.
1367. Докажите, что значение выражения 9110 + 4210
8510 кратно 10.
1368. Найдите двузначное число аЬ, которое при деле
нии на Ь в частном дает Ь, а в остатке а.
Задачи повышенной трудности
307
1369. Докажите, что если любое двузначное число напи
сать три раза подряд, то получится шестизначное число,
кратное 7.
1370. Докажите, что число 111...1 кратно 81.
81 раз
1371. Докажите, что всякое простое число, большее 3,
имеет вид 6k + 1 или 6k + 5, rде k О или k Е N.
1372. Докажите, что если сумма трех последовательных
натуральных чисел нечетна, то их произведение кратно 24.
1373. Известно, что четырехзначное число вида аЬЬа яв
ляется кубом натуральноrо числа. Найдите это четырехзнач
ное число.
1374. Найдите натуральное число, квадрат KOToporo имеет
вид:
а) аЬЬЬ;
б) ааЬЬ.
1375. Найдите множество трехзначных чисел, первые две
цифры которых образуют число, являющееся квадратом, а
последние две кубом натуральноrо числа.
1376. Найдите множество чисел вида аЬс, для которых
выполняется равенство аЬ Ьс 5.
1377. Трехзначное число аЬс таково, что аЬ кратно 18,
а Ьс простое число. Найдите множество всех такИХ чисел.
1378. Докажите, что если п Е N, то:
5 n 1
а) 4 Е N;
g2п 1
б ) Е N.
10
1379. Докажите, что число вида аЬЬЬ а делится на 37.
1
1380. Найдите правильную дробь, большую 3"' при увели
чении числителя которой на некоторое число и умножении
знаменателя на то же число значение дроби не изменяется.
308
r л а в а 8. Системы линейных уравнений
1381. Цены ПОВЫСИЛИСЬ на 25%. На СкОЛЬКО процентов
меньше товаров можно купить на ту же зарплату? Какой pe
зультат получится при понижении цен на 25%?
1382. Как изменится площадь прямоуrольника, если ero
длину увеличить на 25%, а ширину уменьшить на 25%?
Сделайте rеометрическую иллюстрацию.
1383. Взяли 100 Kr вещества, в котором содержится 99%
воды. Сколько воды испарится при подсушивании этоrо Be
щества, если ero влажность снизится до 98%?
1384. Найдите все целые значения т, при которых KO
рень уравнения тх + 5х 20 является натуральным числом.
1385. Разложите на множители мноrочлен:
а) х 3 5х + 2; б) у8 + у4 + 1.
1386. При какОМ натуральном п значение выражения
п 4 + 4 является простым числом?
1387. Найдите какое нибудь натуральное значение п,
5п + 6
при котором дробь 8п + 7 сократима.
1388. Разложите на множители мноrочлен:
".
а) у3 4у2 + 4у 1; б) у4 2 у 3 + 2 у 2 6у 3.
'.
1389. Представьте мноrочлен х 4 2х 3 + 3х 2 2х + 1 в
виде квадрата мноrочлена.
1390. Докажите, что если а не делится на 5, то а 4 1 дe
лится на 5.
1391. Докажите, что если квадрат натуральноrо числа,
не KpaTHoro 3, уменьшить на 1, то в результате получится
число, кратное 3.
1392. Найдите натуральные числа, разность квадратов
которых равна 455.
1393. Докажите, что при любом натуральном п значение
выражения 5п 2 + 10 не может быть квадратом натуральноrо
числа.
Задачи повышенной трудности
309
1394. Докажите, что при любом целом значении т значе
т т 2 тЗ
ние выражения 3 + 2 + 6 является целым числом.
1395. Найдите уравнение прямой ах + Ьу + с о, если эта
прямая проходит через все точки ВИДа (п; п 1), rде п Е Z.
1396. Постройте rрафик уравнения:
а) (х у)(х + у) о;
б) (х 2)(у + 2) о;
в) (x 1)2 + (y 2)2 о;
r) х 2 9 о;
д) у2 1 о;
е) (x 2)(y2 9) О.
1397. Постройте rрафик уравнения:
а) у I х 1 + х;
б) у х 1 х 1;
в) Ixl х Iyl у.
1398. Постройте rрафик уравнения:
а) (х 2 9)(у2 9) о, rде 3 х 3, 3 у 3;
б) ху2 + у3 4х 4у о, rде 2 х 2.
1399. Постройте rрафик функции:
а) у I х 51 + I х + 51;
б) у I х 11 I х + 2 1;
в) у I х + 21 2, если 4 х 2;
r) у I х 61 2, если 2 х 8.
1400. Известно, что сумма коэффициентов уравнения
ах + Ьу + с о равна нулю. Докажите, что rрафик этоrо ypaB
нения проходит через точку (1; 1).
1401. Решите уравнение ху 3 (х + у) 5, rде х и у
целые числа.
1402. Докажите, что уравнение х 2 у2 12 имеет реше
ние в целых числах, а уравнение х 2 у2 18 не имеет.
1403. Решите уравнение:
а) 12х з1 11;
б) 16 1,5х I 3.
310
r л а в а 8. Системы линейных уравнений
1404. Даны пары чисел х и у: (3; 5), (107; 192), (211; 379),
(314; 565), (419; 753). Из всех перечисленных пар одна и
только одна не является решением уравнения 187х 104у 41.
Какая именно пара?
1405. Решите систему:
{ I х + 11 + I у 11 = 5,
I х + 11 = 4у 4.
1406. Решите систему:
а) I Х у : 1,
у z 9,
z+x=2;
б) 1 ::: = ,
z + х = 6.
1407. Всадник и пешеход одновременно отправились из
пункта А в пункт В. Всадник прибыл в В на 1,5 ч раньше
пешехода и тут же возвратился в А. Весь путь у Hero занял 3 ч.
На обратном пути он встретил пешехода в 5 км от В. Найди
те скорость всадника и скорость пешехода, а также расстоя
ние от А до В.
1408. Два брата ходят из школы домой с одинаковой CKO
ростью. Однажды через 15 мин после выхода из школы пер
вый побежал обратно в школу и, добежав до нее, немедленно
бросился доrонять BToporo. Оставшись один, второй продол
жал идти домой в 2 раза медленнее. Коrда первый брат дo
rнал BToporo, они пошли с первоначальной скоростью и при
шли домой на 6 мин позже обычноrо. Во сколько раз
скорость беrа первоrо брата больше скорости ходьбы братьев?
1409. Два парома курсируют между двумя береrами реки
с постоянными скоростями. Достиrнув береrа, каждый из
них тут же отправляется обратно. Паромы отчалили от проти
воположных береrов одновременно и первый раз встретились
в 700 м от одноrо из береrов, поплыли дальше каждый к COOT
ветствующему береrу, затем повернули назад и вновь встрети
лись в 400 м от друrоrо береrа. Найдите ширину реки.
1410. Если человек идет пешком на работу, а обратно воз
вращается на транспорте, то Bcero он затрачивает на дороrу
полтора часа. Если же в оба конца он едет на транспорте, то
весь путь занимает у Hero полчаса. Какое время затратит
этот человек на дороrу, если и на работу, и обратно он пой
дет пешком?
i> ОТВЕТЫ
rлава 1
7. а) А множество натуральных чисел, кратных 3 и не больших
30; б) В множество двузначных чисел, кратных 17; в) С множе
ство двузначных чисел, оканчивающихся цифрой 7; r) D MHO
жество простых двузначных чисел, оканчивающихся цифрой 3.
12. а) { .i.!. .!. . .!.!. .!.! } . 13. б ) { 11' 15' 17' 51; 55'
9'9'8'8'7'7'7'6'5'5'4'З ' " ,
57; 71; 75; 77}; в) {10; 11; 15; 50; 51; 55}. 14. а) {222; 227; 272; 277;
722; 727; 772; 777}; б) {200; 202; 207; 220; 222; 227; 270; 272; 277; 700;
702; 707; 720; 722; 727; 770; 772; 777}. 18.2,1 т. 19. 1740 р. 25. а) {18; 27;
36; 45; 54; 63; 72; 81; 90}; б) {91; 80}; в) {16; 23; 32; 61}; r) {22}.
1 2
30.0,9 т. 34. а) 0,1; б) 2,5; в) 2з; r) 1,5. 35. а) 360; б) 7; в) 250; r) 24,8.
36.a)1 ; б) 1;в)1;r)1 1 .38.а) ; б) ;0 ; B)0,8;r) 151 '39.iи .
511311 5
40. == + , == + . 41. 12, 23, 34, 45, 56, 67, 78, 89. 44. 12 и
6 2 3 4 2 4
7 2 13 . 5 2
12 ' 45. а) Например, 21 и 21' б) например, 27 и 27; в) например,
2 3 3 5 31 37
5 и 5 ; r) например, 7 и 7 ' 52. ; о, 7; . 53. Например,
41 500
о. о
110' 110' 100' 110' 110' 58. б) 30 Уо, r) 130 Уо. 61. Объем, среднее
арифметическое, размах, мода, медиана выборки: а) 8; 11,75; 4; 10;
12; б) 8; 0,375; 2; 1; 0,5; в) 8; 1,25; 10; моды нет; 0,5; r) 5; 120,2; 4;
1
121; 121. 62. 19 13 центнера с 1 ra; cpeДH арифметическое. 64. 21. 65. 210.
66. 30. 68. а) 12; б) 10 или 20; в) не существует. 69. Среднее арифметиче
ское 3,5; размах 5; моды: 2, 4 и 6; медиана 3,5. 70. Пропущенная Ba
рианта равна 10,5. 71. а) 25; б) 120 слов в минуту; в) 40 слов в минуту;
r) 120 слов в минуту. 72. а) 20; б) 32. 73.82, 98, 118 или 298 км. 79.
а) 16; о; 39; в) 2; 2; 2; 2; r) 12; 10; 10; 12. 84. 0,85а ra. 85. 0,8Ь Kr. 88.
а) 0,35; б) 0,55. 89. а) 8,55; б) i; в) 30; r) 1 ' 92. r) 5. 93. а) %;
2. 8
б) 2; в) 4з, r) 17' 96. б) 100а + Ь. 97. а) 51; 62; 73; 84; 95; б) 11.
98. r) 4п + 2, rде n целое неотрицательное число; д) 5т + 4, rде т
целое неотрицательное число; е) 2п 1, rде n Е N. 101. а) Последова
тельность задается формулой 6п 1, rде n Е N; в) 20 3п, rде n Е N.
106. а) Таких значений нет; б) о; в) 7; r) таких значений нет; д) 2,5
312
Ответы
и 2,5; е) 0. 111. 4 кмjч. 112. n + 1 я варианта. 119. б) { ; 10 ; .!!; 12 } ;
13 13 13 13
в) { } ; r) { 11 ; 12 } . 120. б) {148; 518; 888}; r) {962; 872; 782; 692};
13 13 13
е) {236; 464; 925}. 121. а) Простые числа, меньшие 30; б) сумма цифр
числа равна 7; в) разность между числом десятков и числом единиц
равна 5; r) числа, кратные 21. 122. а) Правильные несократимые дpo
би с числителем 2 и большие 0,1; б) дроби, у которых сумма числителя
и знаменателя равна 9; в) правильные несократимые дроби, у которых
числитель и знаменатель однозначные нечетные числа; r) дроби,
у которых произведение числителя и знаменателя равно 21. 124. а) 16,5;
8
б) 15,5. 134. а) ; б) 1 3. 135. а) 0,15; б) 225 ' 137. Размах
100 раз 99
2,5, среднее арифметическое ,325, мода и медиана 3. 138. Среднее
7
арифметическое, размах, мода, медиана: а) 79,5; 6; 77; 79,5; б) 89;
9; три моды: 11, 9 и 5; 9. 139. Пропущенное число 7; объем 15;
мода 8; размах 3; медиана 10. 141. б) n Е {6; 17; 28; 39; ...}; в) n 2;
1
д) n Е {1; 2; 3; 4; 5}; е) n 4; ж) n < 25; з) n 4,75. 143. а) 3n' rде n Е N
1 1
и n.;:;; 5; б) , rде n Е N и n .;:;; 5; в) , rде n Е N и n .;:;; 5;
3п + 2 2п 1
r) 2п 1 l ' rде n Е N и n .;:;; 5; д) : , rде n Е N и n .;:;; 6; е) 2п 2+ l '
rде n Е N и n .;:;; 6. 145. а) {942, 832, 722, 612, 502}; r) {231, 613}.
146. а) 16; 25; 34; 43; 52; 61; б) 29; 38; 47; 56; 65; 83; 92. 147. а) t *- 1;
1
б) t *- 4; в) t *- о; r) t < О. 148. а 2 и . 149. р + 1, 2р и р2 + р. 150. 1
а
1 230
1 ' 151. 6а а 2 см 2 . 152. а) т + 18; б) т + 15. 153. ч.
п+ +
154. ч. 155. 2,lа + + 1,03Ь р. 156. а) 1000 + 10п р.; б) 1000 +
V2 V1
+ 20п + О,1п 2 р.
rлава 2
162. д) 1,0106; е) 2,008. 163. а) 0,25; б) 0,95; в) 3,01; r) 0,088.
169. а) 64; 1; 9; б) 2,5; о; 450; в) 2,1; о; 127,5; r) 4,4; 0,4; 0,7.
170. а) 38; б) 10,44; в) 6,2. 171. а) 216 см 3 ; б) 13,5 дм 3 . 172. а) 352 см 2 ;
320 см 3 ; б) 3168 см 2 ; 8640 см 3 . 174. а) 0,26; б) 0,04; в) 472; r) 6908;
4
д) 85; е) 44. 182. а) 3; б) 3; в) 1,5; r) 1. 187. r) 9' 188. а) 0,22; б) 0,16.
198. а) 2; б) 2; в) о; r) 1. 199. r) 1,44; д) o, 7; е) 73,96. 201. а) 9; б) 6;
Ответы
313
В) 49; [') 25. 202. в) 3; r) 110. 205. а) 125; б) 196. 206. а) %; б) 1 ;
В) 1 ; r) 0,2 при t > О или 5 при t < О. 207. В) Ласточка пролетела
на 800а м больше. 209. а) 14; б) 33,75; r) 0,25. 210. а) O,96; б) 54;
B) 175 000.216. д) О,06Ь 2 с 7 ; е) 2,7а 3 Ь 3 . 222. 0,384а 3 см 3 . 223. е) 2п;
1
ж) степень не определена; з) о. 231. а) 5з а 3 Ь 7 с 5 ; б) 64а 8 х 6 у12;
В) 0,004a5b7c9; r) 28а 1О х 7 у5. 234. в) 10 000; [') 1; д) 50 000; е) 4.
т 4х
235. а) 2187; б) 648; в) O,57. 241. а) т 9 ; б) т6; в) 3т 6 . 242. е) п 4у '
(2а 2 ) 5 1
243. б) l b . 244. а) 8; б) 128 ; В) 81; r) 352. 245. а) 16; б) 16;
10 1
В) 0,25; r) 0,6. 246. а) 17; б) 3,1; В) 0,25; r) 0,6; д) 2; е) 23. 247. а) 1;
б) 3; в) 1; r) 1. 257. а) 108а ll ; б) Ь 2О ; в) 90c20; r) 1500а 9 Ь 1О ; д) 3x17y5;
е) 108а 7 Ь 7 . 258. а) 32а 9 Ь 9 ; б) 0,001x14yll; в) 3a7bll; r) 0,008а 7 Ь 7 с 6 ;
д) 0,0001а3ЬЗсll; е) 10т9n8; ж) 36т 6 п 2 ; з) 7x16y2. 259. а) a5b3; б) a7blO;
В) 4y20; r) 81а 26 Ь 12 ; д) 0,lx22y7; е) 2,56т 15 п 5 ; ж) p8q7; з) т 8 п 13 .
275. а) 0,5; б) ; В) %. 276. 80%. 278. а) В) 666. 297. а) 6; б) 16; в) 4;
2 1
[') 9. 299. а) 48; б) 1з; в) 125 ; r) 16. 300. а) 2048; б) 512; в) 4096;
26
[') 128.302. а) 17,88; б) 1 . 303. а) 294; б) 0,75; в) 0,808; r) 521.
27
307. а) 27а 22 Ь 13 ; б) 0,57x 6 y5z5; В) 20с 8 р19; r) 9,3a5b9c13. 319. r) 15х 3 у 14;
д) 7 х 2О у 20; е) 0,04p17q19. 320. а) 10125а 1 ОЬ 4 ; б) 16х 12 у8; В) 3x7y7;
r) 0,25а 12 с 19 ; д) 16p17q14; е) х 1О у8; ж) тlln9; з) 4a6c14. 321. а) 48х т + 8 у5;
б) xт+lyт+1; В) 64а т + 6 с т + з ; r) 0,07х 2n +1 у 3; д) 500x3n+4y7; е) 27a5n+3b6;
ж) a5n+4b5c12n; з) 5а3n+2х3т+4.
rлава 3
328. а) 168; б) 17,5; в) 532; r) 24,84. 329. При х 1. 339. а) 179,5;
б) 820. 341. В стандартном виде мноrочлен записан лишь В пункте В).
352. в) Не более m + 1. 353. б) { 2; 1; о; 1; 2}. 354. Коэффициенты
вычисляются при значении k, равном: а) 2; б) 3; В) 1; r) 1. 355. а 1.
356. 0,265аЬ м 2 . 357. 0,44ху см 2 . 362. в) 1; r) О. 364. 2 ч 40 мин.
365. 1,2 Kr. 368. 10а 25 марок. 370. 5а + 20 км. 371. 4,lа 8 изделий.
372. 3, 7а 40 Kr. 373. а) 2c + 9; б) 4x 1; В) 13y; r) 8,2a2 + 2аЬ.
375. а) 3х 2 х + 1; б) 5х + 4; в) 5ab2 2аЬ + 1. 379. а) 0,09; б) 28,6;
В) 36,84; r) 12,718. 380. а) 8а 2 ; б) 3x2 4х; в) 10ху 1; r) 1,5а.
1
381. а) 17; б) 3' 382. а) 10,9; б) 7. 387. 14, 7, о, 7, 14.392. а) Нет;
б) нет. 396. а) 4,5а1бlJ8; б) 3 хВу 7; В) 0,6х п +7; [') 0,02aп+2. 397. а) 17а + 6;
314
Ответы
б) 36Ь 48; в) 0,1х + 2,3; r) 8р 34; д) 7с 6; е) 1,1y 1,6.
398. а) 57; б) 34; В) 11; r) 11. 400. 1, 75а 2 2,8а м 2 . 401. 66Ь + 48 км.
1 1 1 1
405. в) 18 а 3 Ь 3 "9 а 2 Ь 2 + О,1аЬ; r) О,05а 4 Ь 6 15 а З Ь 6 "6 а 2 Ь 5 .
408. а) 5,4a 2n + 1 + 4а 2n 5,8a2n 1; б) 1, 7Ь 2n + 1,1Ь 2n Н 4,5Ь n + 4 . 409. д) 2а 3
6а; е) 15 р З + 36р2; ж) 4тn2; з) 2 у 3 2х 3 . 410. а) 13т; б) 2а 4 + 49а З ;
в) 5x4 18х 3 ; r) 5y3. 411. а) 4; б) 12; в) 1 и 1; r) нет корней.
412. а) 425; б) 315. 413. а) 0,972; б) 3. 416. в) Степень 2п + k, CTap
ший коэффициент 4; r) степень и старший коэффициент равны
т(т + 3). 417. а) 3; б) 2 и 2. 418. 2. 419. а) 5; б) о; в) 1. 421. а) 5;
1 2
б) 3 или 9; в) 7. 422. а) 7,8; б) 0,28. 423. 91а р. 424. а) 7; б) ; В) 3 3 '
11
425. а) 9a14blO; б) 4x12y21. 431. а) х 2n 9; б) а 2n Ь 2n ; в) an+l an l;
r) xn 2 х n +2. 432. а) х 3 4х 2 3х 10; б) аЗ 3а 2 + 3а 2; B)b3 5Ь 2 +
+ 5Ь 4; е) 2а 3 7а 2 Ь + 002 + ЬЗ. 433. а) а 3 + 1; б) х 3 8; в) а 4 1; r) х 6 1.
434. а) а 4 + а 3 а 2 + 5а 2; б) х 4 4х 3 + 8х 2 11х + 6. 435. а) 3x3
5х 2 + х 2; б) 6a3+ 13а 2 4а + 4; В) 2а 4 10а 3 + 14а 2 4а;
r) b4 64Ь. 436. а) а 3 + 2а 2 5а 6; б) х 3 х 2 14х + 24. 437. а) Ь 2 +
+ 8Ь + 16; б) а 3 + 9а 2 + 27а + 27; в) х 4 4х 3 + 6х 2 4х + 1.
438. а) 10a 4; б) 36х 2 + 40; в) 2а + 2; r) 2b2 8а 2 ; д) х 2 2ху;
е) 3Ь 2 2Ь + 1. 439. а) 8х + 38; б) 25a + 1; в) 4а 2 + 31а 3; r) 3у2 +
+ 15. 440. а) 4; б) 137 ; в) 1; r) 111 ' 441. а) 3,4х 1,4; б) 0,34a + 1;
1 2
В) 6a+3; r) Зу 5з, 442. а) 2x 23; б) 4Ь 6а 4; В) 3а 2 + 8а + 14;
r) 2a 6Ь 1. 443. а) 3,74; б) 3,5. 444. а) 3 3n 1; б) 1; в) 7 5n ; r) 2 4n .
450. 6. 451. 2. 452. а) 5а 2 Ь 2 ; б) 12p2x2y2. 454. а) 82; б) 13,4.
456. а) 7203; б) 13 122; в) 3020; r) 767. 459. а) 2; б) 0,873. 461. а) 1275;
б) 10050; в) 60 100. 464. а) 44; б) 44. 474. 4х 3 у2 4х 2 у3 + 31.
475. 2,1а 2 5, 7Ь 2 9,4. 481. 91. 484. 73а + 25Ь. 485. 90а р. 486. а) т + 7;
б) 5р; в) 0,2x2 + О,82х; r) 7b 7. 487. а) 5х 4 х 3 ; б) b; В) 0,01х 6 +
1
+ О,1х 2 ; r) 128 а 4 2а. 488. а) 2x; б) 1. 489. Если обозначить двузначное
число через х, то, следуя обратной последовательности, получим тожде
СТВО (х 9)(х + 9) х 2 81. 492. О. 497. 129; 125; 141. 498. а) 8а 2 + 16;
б) 2х2 48; в) 7x 4; r) 6. 499. а) Нет; б) нет; В) нет; r) да.
rлава 4
4 20 12
515. а) 1,lа 90,3; б) ,6b. 519. е) 37; ж) 0,6; з) .. Й.; и) 35 ' 522. а) 2;
1 1
2; б) 14; 14; В) о; r) корней нет. 523. б) 45; В) 225; r) 750.
2 1
529. а) 3,2; б) 60. 530. а) 9; б) 13. 532. а) 7; е) 6; з) 48; и) 12.
Ответы
315
534. а) 0,3; б) :8 ; в) 2,2; r) 2 121 ' 535. а) 4; б) 9; в) 5 t; r) 16 927 ;
д) :2 ; е) 13,5. 536. а) 1 ; б) 130. 537. а) 4; 12; б) 0,1; 2,3; в) 3 ;
r) корней нет; д) 4,5; 8,5; е) 5,5; 3,5; -----0,5; 1,5.538. а) а 0,6; б) а ;
B)a 4 иа 4i; r)привсеха 1.539.r)х= 4a b+6 . 540. а) 1;
б) 2; в) 1,5; r) 0.541. а) 3; б) корней нет; в) 6; r), д) корней нет; е) 15.
542. а) о; б) о; в) 1i; r), д), е) корней нет. 543. а) 3; б) х любое
число; в), r) корней нет. 545. а) а 3; б) а 3. 546. Ь 0,9.
547. а) Корней нет; б) 3,8; в) 2; r) любое число. 548. а) Корней нет;
1 12 2
б) любое число; в) о; r) 1. 549. а 1i2' 550. а) 1; б) 1; В) 29 ; r) 9'
551. а) 1; б) l: ; в) 19 ; r) 4 . 9 ' 552. а) 1; 2; 4; б) 4; 5; 7. 553. а) 2,5;
13 24
5 7 1
б) 56; в) 29; r) 6' 554. а), б) х любое число; в), r) таких х нет.
1 2
555. а) 3,75; б) 0,6. 556. а) 10; б) 1з; в) 1з; r) о; д) 20; е) 1. 557. а) 5;
1 2
б) о; В) 6; r) 1,5. 558. а) 1,1; б) 3; в) 2; r) 1,26. 559. а) 10; б) 1; в) 3;
1
r) 20. 560. а) 8; б) .3; в) 10; r) 37.561. Два случая: либо варианты 6 и 8
имеют частоты 2 и 3, либо 4 и 3. 562. а) Ь 2; б) Ь 13. 563. а) 23;
1
б) 1,7; в) 4; r) 26,5. 564. а) 4; б) 9; в) 1,5; r) 3. 565. а) Таких значе
ний у нет; б) 0,8. 566. а) 0,25; б) 4; в) 1; r) 3. 569. а) 0,8; б) 1,04.
572. 120 м 2 , 138 м 2 . 573. 14 р. 50 к., 16 р. 574. 7, 14, 17 см. 575. Ta
ким способом расставить книrи нельзя. 576. 34, 68, 98 см. 577. 80,
88, 68 компьютеров. 578. 80 км. 579. 27 учащихся. 580. 26. 581. 9.
582.3000 р. 583. 4500 р. 584. 1,5 км/ч. 585. Да. 586. а) 65 и 70 км/ч;
1
б) 75 и 80 км/ч. 587. 13 чили 2 ч. 588. 26, 28, 30, 32. 589. 24 и 20 см.
590. 196 см 2 . 591. 25 рядов, 28 мест. 592.960 страниц. 593. 720
курток. 594. 600 изделий. 595. 80 км. 596. 270 км. 597. 1 ч.
598. 5 или 2,5 ч. 599. 45 км. 600. 20 км. 601. 15 км. 602. 360 тури
стов. 603. 496 тетрадей. 604. 28 учеников. 605. 84 rода. 606. 9 Kr.
607. 4 л. 608. а) 0,11; б) 0,4. 622. а) а '" о; б) таких значений а нет;
в) а О. 623. а) Ь '" 2; б) Ь 2; в) таких значений нет. 624. а) 2,5;
316
Ответы
б) 4,875; в) корней нет; r) 0,5. 625. а) 6,5; б) 2; в) 1; r) 121 ' 626. а) ;
б) 21,5; в) ; r) 5. 629. а) а 2,5; б) а 2; в) таких значений нет.
632. а 3. 633. а) а '* 2; б) не существует; в) а 2. 634. 22 банки.
635. 40 т. 636. 30 км. 637. 7, 7, 15, 15 см. 638. 93. 639. Любое ДBY
значное число, в котором 2 является цифрой десятков. 640. 63 км.
641. 17,5 км. 642. 60 и 70 км/ч. 643. 600 и 120 r. 644.8 л. 645. Любое
натуральное число. 646. 6, 7, 8, 9. 647. 28 и 42 м.
rлава 5
651. а) х n (х 2 1); б) уn(уn 2); в) zn l(Zn l + 1); r) а n Ь 2n (Ь n 1);
д)р3n 1q(р2n+2 1); е) a2xn 1(x4 + an 1). 653. а) 945; б) 14,5; в) 47,3; r) 7,2.
654. ж) 3pq(0,4p 0,6q q2); з) 14тп 2 (0,1т 2 + 0,3т 0,6).
655. а) 5000; б) 137,5. 656. е) (х 1)(х + 6); ж) 5(Ь + 5); з) (а + 4)(4 а).
657. а) (х а)(у х); б) (с b)(b + d); в) (3х 5)(2х 17); r) (а Ь)2(1 а);
д) (х у)(х у Ь); е) (х 5)(ах 5а + Ь). 658. а) х(2х 1)(у 1);
б) а(Ь + 2)(а + 1); в) у(х 7)(3 у); r) а(а Ь)(а + 1); д) 9(2х а)(4ах 1);
е) 3а(х 2)(5х 11). 659. а) 3(а 5Ь)(2а + Ь); б) 2(3х 4у)(х у);
в) а(а + 9х)(а 9х); r) pq(p 10q). 660. а) 4; б) 2. 661. а) 1,1; б) 0,75.
662. 6 ч. 663. а) х 5 243; б) 90. 665. д) (Ь + 1)(1 а); е) (2х у)(с 3);
ж) (3а + 2Ь)(5х 7у); з) (8р 1)(7q + 1). 667. а) (у2 а)(х Ь + 1);
б) (с 2 d)(a Ь с); в) (х 2 а)(х 2 у2 1); r) (у2 с)(Ь 3 + Ь + 1).
668. а) х(х а)(у Ь); б) т(тЧ 1)(п 2); в) а(2Ь 3с)(3а + 7Ь);
r) х(3 у 2 2z)(5x 8у). 669. а) (х n 1)(х + 2); б) (х n 1)(3х 2 1);
в) (х" 1 1)(а + 2х); r) (ах" + 1)(ах 1). 670. в) (х 3)(х + 4); r) (х )(x + 5).
671. а) 9; б) 52. 672. в) а(х 2у)(1 Ь); r) а(а Ь)(х у). 674. 80 км/ч
и 90 км/ч. 675. в) 138; r) 29. 676. а) 52; б) 32. 677. 1. 678. а) 1092;
б) 3905. 682. r) У к а з а н и е. 3амените а + Ь буквой х. Полученный
трехчлен x2 7х + 12 разложите на множители, а затем произведите
обратную замену х на а + Ь. 689. Ошибка в том, что обе части paBeH
ства разделили на нуль, т. к. а Ь с О. 690. а) 7х(х 3)2;
б) (х у)(х у 8); в) (а 2Ь)(3аЬ + 7); r) (а + 2Ь + 3с)(х 2 3).
691. а) 6аЬ + Ьс; б) уЗ х 3 . 692. 44 см. 694. д) о; 0,6; е) о; 8; ж) о; 3;
з) о; 2 . 695. а) {5; 7}; б) {2; 4}; в) { 1,5; 25}; r) Н; . -}; д) {2};
е) { 6; 1; 1}; ж) {8}; з) {3}. 696. а) A( 1,5) и В( 2); б) 0(0) и М(4);
. 2
B)A( 4), В( 3), С(3) и п(4); r) M( 1) и N(1). 697. а) 1 > 3; б) 0,8 < 1.
699. а) 7; 8; б) 3; 7; в) 9; 8; r) 3; 6. 700. а) о; 2; 5; 7; б) о; 3; 1; 4.
701.2 и 4. 702.406.703.247. 709. ж) а(а З 5)(7а 6 2); з) Ь(Ь 5 9)(3Ь 9 2).
710. д) (с + d)(a + Ь + с); е) (а Ь)(а Ь + с); ж) (а Ь)(а Ь а 2 );
з) (а Ь)2 (а Ь с). 711. а) (у + z)(x у)(х + у); б) (а 2 + Ь 2 )(аЬ + cd);
в) а 5 (7а 5 1)(а 1О 1); r) а 2 (а 1О 3)(2а 3 1). 712. а) (х у)(аЬ + ас + Ьс);
318
Ответы
764. а) 2; 1; б) 3; 7; в) 1; ; r) 7; 1. 765. r) (6x + 13у)(18х + 5у);
д) 9(l1а + 4Ь)(29а + 16Ь); е) (l1х 2 + 62)(59х 2 + 50). 766. Равны или
противоположны. 767. а) о; 2; б) 4; ; в) 0,8; о; r) 8; 0,4. 771. 7 см.
772. Делить на выражение (п п), равное нулю, нельзя. 776. а) (т + 3п) х
х (т 2 2п); б) (а 2Ь 2 )(Ь 2а 2 ). 777. а) 3; б) 2; в) 1; r) 31. 778. 50 км/ч
и 70 км/ч. 785. ж) 36т 2 + 60mk + 25k 2 ; з) 9р2 24рс + 16с 2 .
786. д) т2 Jt тл + 9п 2 ; е) 16т2 12тп + 2,25п 2 . 787. а) 16т 4 +
16 2
+ 40т 2 п + 25п 2 ; б) 9с 2 12 ср 3 + 4 р 6; в) 4х 4 + 20х 2 у2 + 25у4;
r) 49 у 6 42у3р2 + 9 р 4; д) 1 х4 2х 2 у 3 + 16у6; е) 2 а 8 + a7 + a6.
788. а) 30х + 25х 2 ; б) 40т 16т 2 ; в) 16 24р; r) 49k 2 + 1; д) 4с 2 + 12с;
е) 4 + 112у. 789. а) 50т2 30т + 0,5; б) 6k2 8k + 10 ; в) 2 р 2 +
+ p +!. r ) c2 + 2с + 1!. 791. а ) 4х2n + 4xn y k + Y 2k. б ) .!а4n + 2
4 8 ' 16 3 ' 4
2а 2n + lb 2n 1 + 4Ь 4n 2. 792. а) 4т2 5; в) 14k 14k 2 4; е) 116 8с;
ж) 10x 34. 794. а) 1; б) 1250. 795. а) 5; б) 1; в) о; r) 1; д) 1;
е) 0,4; ж) 3; з) 1,5. 798. 9 и 11 см. 802. а) х 3 х 2 у ху2 + у3;
б) х 3 + х 2 у ху2 у3; в) 80т2n + 16т 2 120тп + 24т 45п + 9;
r) 8а 3 + 16а 2 32а 64; д) с 4 18с 2 т 2 + 81т 4 ; е) 4а 4 + 12а 3 Ь + а 2 Ь 2
12аЬ 3 + 4Ь 4 . 808. 15 страниц в час. 809. 11 и 12 деталей в час.
811. д) (4х 9у)2; е) (l1Ь + 2с)2. 812. r) 49; 100; 4. 815. 4х 2 6х + 2,25;
4х 2 12х + 9; х 2 6х + 9. 816. а) 0,5; б) ; в) 4; r) 3; д) 0,4;
е) 3. 817. а) { ; 4}; б) {0,25; 1.5}; в) {3; 0,2}; r) а.; 1}'
819. е) ( 3х 3 + J; ж) (а 2 Ь + 3)2; з) (х 3ау2)2. 823. Из Toro что а 2 Ь 2 ,
следует либо а Ь, либо а b. 824. 6 см. 826. а) 2,5; б) 0,2. 830. 80 и
60 км/ч. 831. б) 2; 1; 1. 833. в) (х 3,5)2 12,25; r) (х 0,5)2 0,25.
834. а) (х 3)(х + 2); б) (х + 4)(х 1); в) (х 3)(x 5); r) (х + 2)(х + 6).
1
835. д) 0,5(х 6)(х 1); е) з(х + 12)(х 4). 837. При х 5; 7.
838. При х 1; 8. 840. а) Наибольшее 1,75; б) наименьшее 1,91;
в) наименьшее 1; r) наибольшее 4. 841. 16 х 16 м. 842. 15 х 30 м;
450 м 2 . 845. 70 км/ч и 90 км/ч. 846. 75 км/ч и 65 км/ч.
849. а) х 2n + 2 2х2n + 1 + 3х 2n 2х2n 1 + х 2n 2; б) 9а 2n + 6 12а2n + 5 +
+ 10а 2n + 4 4а 2n + 3+ а 2n + 2. 850. а) х 2 + 4у2 + Z2; б) 9т 2 + п 2 + k 2 ;
Ответы
319
7
в) 32аЬ 48а; r) 24с + 10.856. а) (2х 3)2; б) (7а 1)2. 857. а) 1; б) 60 '
860. а) т3 + 3т 2 п 3тп 2 + п 3 ; б) k 3 6k 2 + 12k 8; в) x3 3х 2 у
3 ху 2 уЗ; r) р3 1,5 р 2 + О, 75р 0,125. 866. а) 8х З + у3; б) 9х 2 у х 3 ;
1 1
в) 9a2b + 6аЬ 2 Ь 3 ; r) a3 6а 2 Ь 9аЬ 2 . 870. а) 6; б) 9' 871. а) 15;
б) 32; в) 1; r) 2,5. 872. 52. 873. а) (о; 2); (о; 4); б) ( 2; о); (2; о); (4; О).
879. д) ! + 8IfЗ; е) 27р3 2...; ж) 64а 3 + 125Ь 3 ; з) !х3 2... у 3 .
8 27 8 27
880. в) (Ь а)(Ь 2 + аЬ + а 2 ); [') (р + 2)(р2 2р + 4). 882. д) (0,2а Ь) х
х (0,04а 2 + 0,2аЬ + Ь 2 ); е) (т + О,4п)(т 2 О,4тп + О,16п 2 ). 883. а) (а" Ь П ) х
х (а 2 " + аПЬ n + Ь 2п ); б) (a k + b k )(a 2k akb k + b 2k ); в) (х" 1 у" 1)(х 2п 2 +
+ х" 1 у" 1 + у2" 2); r) (xk . 1 + yk' 1)(X2k . 2 Xk + 1 yk + 1 + y2k + 2).
885. д) (тп 2 а)(т 2 п 4 + атп 2 + а 2 ); е) (P2q + a)(p4q2 ap2q + а 2 ). 888. а) 2;
б) 0,5. 889. 45, 20 и 10 м. 891. а) (а Ь)(а + Ь)(а 2 аЬ + Ь 2 )(а 2 + аЬ + Ь 2 );
б) (х 1)(х 6 + х 5 + х 4 + х 3 + х 2 + х + 1); е) (2х у)(16х 4 + 8х З у + 4х 2 у2+
1
+ 2 ху З + у4). 896. а) 0,35; б) 9' 897. Три точки: ( 6; 0,5); ( 2; O,5);
(2; O,5). 904. а) 1; о; 1; б) 0,5; о; 0,5; в) 1; о; 1; r) 1,5; о; 1,5.
907. а) 4; б) 1,5. 909. а) т(т п)(1 т); б) р(р q)(P + 1);
в) 3Х(У х)(2х 1); r) 2k(p 1)(р + 2k). 912. а) (х у)(х 1)(х + 1);
б) (а + Ь)(2 Ь)(2 + Ь); в) (Р + 3)(р k)(P + k); r) (Ь 2)(с Ь)(с + Ь).
913. в) (а + 1)(7а 2 6а + 7); [') (Ь 1)(8lJ2 + llЬ + 8). 914. а) (х у)2(х + у) х
х (х 2 + ху + у2); б) (т 2 + п 2 )(т + п)(т 2 тп + п 2 ); в) (а 2)2(а + 2)(а 2 +
+ 2а + 4); r) (1 р)(1 + р)(3 + р)(9 3р + р2). 916. в) а(а + Ь)2(а Ь) х
х (а 2 аЬ + Ь 2 ); r) Ь(а Ь)2(а + Ь)(а 2 + аЬ + Ь 2 ). 920. в) 2(х 1,5)2 + 0,5 > О.
921. Объем, раЗ J!ах, среднее арифметическое, медиана ряда: а) 13;
98; 10 1 ; 3; б) 28; 98; 6 ; 3; в) 64; 98; 4 :: ; 3. Размах ряда остает'
ся постоянным, медиана при n ;;;. 3 постоянна, объем увеличивается,
среднее арифметическое с увеличением n уменьшается, стремясь к
а 64 1
числу 3. 935. . 937. 66 см 2 . 938. 25 х 25 см; 1014 см 3 . 943. а) 160;
2
б) 4,5. 950. е) ( аз + 1Ь2 ) . 953. а) Нет; б) да; в) да; r) нет. 955. в) 6859;
r) 49 :7 ' 957. а) 1; б) 8. 971. б) (3т 2)2; В) 0,5(4а Ь)2. 972. а) 1О(3х 2 4)2.
973. а) 3(2т п)(2т + 3). 974. а) 6; 1; 1; б) 4; 4; 5; в) 0,5; 0,5.
975. д) (4х 3у)(4х + 3У 5). 976. а) (2а Ь 2)(2а Ь + 2);
б) (3 5х + 3у)(3 + 5х 3у); в)(6х + 5у 5)(6х + 5у + 5); [') (4 4а 3Ь)х
х(4 + 4а + 3Ь). 977. а) 5(2х 3у + 1)(2х + 3у 1); б) 3(3с 2а + 5Ь) х
х(3с + 2а 5Ь); в) 2(3а 10т + 2)(3а + 10т + 2); r) 3(4р + 3k 38) Х
х(4р + 3k + 38). 978. а) (х 2 х + 1)(х 2 + х + 1); б) (х 2 2х + 2) х
х(х 2 + 2х + 2).
320
Ответы
rлава 7
979. а) 1; 1; о; 1. 988. а) 2. 990. 3; о. 992. а) Ь > 1; б) Ь < О.
{ 12t, если О < t 1,
993. а) Ь 1; б) Ь о. 999. s = 1000.
15t 3, если 1 < t 2.
{ 1 + 0,3х, если 0< х 5, ( 1 1 ) 2
h = 1004. б) x y . 1006. а) х{х 1) х
0,5 + 0,4х, если 5 < х 10. 3 2
х (х + 1){х 2 + 1); б) (9а 2 3а + 2){9а 2 + 3а 2). 1007. б) 5; 3; 3.
1019. а) Да; б) да; в) нет; а) да. 1020. а) k 1; б) k 5; в) k 0,25;
r) k 1. 1025. а) 6; 29; б) 1; 7. 1028. 36 км. 1029. а) 0,6; о; 0,6;
б) 3; о; 3. 1045. а) Ь 4; б) Ь 0,8. 1046. д) IV четверть; е) при n < О
II четверть, при О < n < 2 III четверть, при n О точка N не лежит ни
в одной из координатных четвертей. 1050. а) Является; б) не является.
1056. а) у 2х, rде х *- 2. 1062. а) 4; о; 4; б) 2; 1; 2.
1068. а) у х 3, rде х *- о. 1069. rрафик функции проходит через
точки: А, В, D и Р. 1070. а) а 1. 1071. а) k 3,5. 1072. а) (5; о)
и (о; 6); б) (8; о) и (о; 2); в) ( li; о) и (о; 3); r) (100; о) и
(о; 1); д) (1f3; О ) и (о; ); е) ( :5 ; о ) и (о; 5). 1077. а) 8x2 +
+ 48х 72; б) 12а 2 + 48а 48. 1080. 6 способов. 1086. а) у 3x.
1088. а) (4; 13); б) (1; 1); в) (4; 3,4); r) (0,6; 7,8); д) ( 0,015; 1,47);
е) ( !; 31. 1091. а) у 2x + 3. 1093. а) k 4; б) k 4; в) k о.
1094. ) Ь ; б) Ь 63; в) Ь 25. 1095. а) (а 1){а 2 + а + 1){а 9 + а 6 + 1);
б) (Ь 1){Ь + 1){Ь 2 + 1){Ь 2 + с 2 ). 1096. 810. 1107. в) Принадлежит; r) не
принадлежит. 1113. а) о; б) 1; в) 3. 1115. 11 т, 9 т и 12 т. 1123. а), б),
в) Принадлежит; r) не принадлежит. 1130. а), в) Принадлежит; б) не
принадлежит. 1131. (3; 9) и (4; 16). 1132. 720 км. 1139. r) Множество
всех чисел; д) {х I х *- 1, х *- 1}; е) {xlx;t:2}. 1149. у 100х.
1157. у х + 1 и у x + 7, rде 1 х 5.1159. т{п) 2п + 1, rде
п Е N. rрафиком функции являю'rся точки с целочисленными KOOp
динатами, лежащие на луче т 2п 1. 1162. а) 4; б) 0,1; в) о; r) 4;
д) 3; е) 9; ж) при k > о; з) при любом k *- О. 1163. у !x.
3
1166. У к а з а н и е. Найти коэффициенты k и Ь линейной функции,
используя две данные точки. Затем проверить, принадлежит ли Tpe
тья данная точка rрафику линейной функции. 1167. а) 450; б) 1350.
1170. а 1,5 или а 1,5. 1171. Ь 81. 1172. (о; о) и (1; 1).
1175. а), б) Принадлежит; в) не принадлежит. 1176. а) , в) Принадле
жит; б) не принадлежит. 1183. а) а 5 , а4, аЗ, а 2 , а; б) а, а 2 , аЗ, а4, а 5 ;
в) а, аЗ, а 5 , а 4 , а 2 ; r) а 5 , аЗ, а, а 2 , а 4 .
Ответы
321
rлава 8
1196. а) ( 3; 3); б) ( 1,5; 1,5); в) ( 2,5; 1,5); ( 3,5; 4,5).
1197. а) а 1; б) а ; в) а 1. 1205. а) т 6; б) т 2; в) т 7,5;
r) т о, т 1. 1216. а), r) Да; б), в) нет. 1217. а) х 2 3k, у 2 +
+ 4k, rде k целое число; б) х 2 + 5р, у 1 + 2р, rде р целое
число; в) х 20 + 5п, у 30 7п, rде n целое число; r) х
16 l1п, у 4 3п, rде n целое число. 1223. 8 очков выбил
9 раз, 9 очков 2 раза. 1224. Например, отдать 5 пятирублевых монет
и получить сдачу 3 двухрублевых монеты. 1233. б) Бесконечно MHoro;
r) нет решений. 1238. а) (3х + у z)(3x + у + z); б) (а Ь)(4 а)(4 + а).
1239. а) 4; б) 2,25; в) 4; r) 5.1242. а) (1; 4); б) ( 2; 1); в) (3; 2); r) ( 3; 9);
д) (2,5; 1,5); е) (7; 2). 1243. а) (1; 5); б) ( 6; 7); в) (4; 3); r) ( 5; о);
д) (о; 1); е) (5; 5). 1244. а) т 5, n 2; б) а 1, Ь 1; В) (1; 1);
r)p 3, q 5.1247. а) ( 10; 5); б) а 41, Ь li; в) k 7, р 1;
r) т 5, n 5. 1248. а) (6; 1); б) а 2, Ь 2. 1249. а) (1; 0,5);
б) ( 1; 0,5). 1250. а) т 4, п 6; б) а 3, Ь 1; в) (1; 6); r) р 4,
k 3. 1251. а) ( 1; 2); б) а 4, Ь 1. 1257. а) (2; 3); б) ( 3; 3);
в) (2; 5); r) ( 2; 3). 1258. а) (4; 2); б) ( 2; 1); в) (2; 3); r) а 4, Ь 3;
д) u 5, v 4; е) т 3, п 3. 1259. а) т 5, n 4; б) Р 4,
k 2; в) (4; 10); r) а 5, Ь 20. 1264. а) ( о; 1); б) а 0,5, Ь о;
в) т 2, n 1; r) u 1, v 1. 1265. а) (о; 0,5); б) р 1; k 2.
1266. а) u 2, v 3; б) u 2, v 3; в) (9; 10); r) т 4, n 6.
1267. а) т 8, n 6; б) р 15, k 12; в) u 4, v 12; r) ( 6; 15).
1268. а) ( 4; 9); б) т 10, n 8. 1269. а) Бесконечно MHoro; б) не
имеет решений. 1274. в) 3(5а + 2Ь)2; r) 7(3x2 2у)2. 1276. 12 и 8.
1277. 7. 1278. 20 и 15. 1279.40 и 25. 1280. 30 л. 1281. 10. 1282. 6, 6
и 7 см. 1283. 2 см. 1284. 3, 3, 30 и 30 см. 1285. 8,5 r/cM 3 ; 10,5 r/cM 3 .
1286. 5 км/ч и 12 км/ч. 1287. 5 и 7 rл/мин. 1288. 5 км/ч. 1289. 45 и
40 км/ч. 1290. 15 км/ч. 1291. 20 и 15 км/ч. 1292. 20 и 60 км/ч.
1293. 10 и 12 км/ч. 1294. 4 и 6 км/ч. 1295. 12 и 15. 1296. 20 и 30.
1297. 80 и 50 ra. 1298. 60 и 60. 1299. 7. 1300. 16 1; КМ. 1301. 11.
1304. 10 и 15 км/ч. 1310. а) х 8, у о, z 7; б) х 4, у 2, z 5.
1311. а) х 3, у 5, z о; б) х 4, У 5, z 7. 1312. а) х 1,
у 2, z 3; б) х 2, у 2, z 5. 1313. а) х 1, у 1, z 5;
б) х 10, у 5, z 10. 1314. х 1, У 2, z 3, v 4, u 5.
1319. а) (х 2у)3; б) (2х 2 + у)3. 1324. 3. 1325. 25 рыб. 1350. а) (о; 2);
б) ( O,5; 3); в) (2; 3); r) (1; 2). 1354. 25 см. 1355. 60 r. 1356. 20 и
15 ra. 1357. 2 тыс. 1358. 12 л. 1359. 30 и 20 см. 1361.33 и 21 ц/rа.
1363. 8.
322
Ответы
Задачи повышенной трудности
1365. 91. 1366. 5674. 1368. 89. 1373. 1331. 1374. а) 38; б) 88.
1375. {164, 364}. 1376. {216, 327, 438, 549}. 1377. {183, 189, 361, 367,
541, 547, 723, 729}. 1380. , , . 1381. На 20%, на зз %.
1382. Уменьшится на 6,25%. 1383. 50 Kr. 1384. 4, 3, 1, О, 5, 15.
1385. а) (х 2)(х 2 + 2х 1); б) (у2 + у + 1)(у2 у + 1)(у4 у2 + 1).
1386. При n 1. 1387. 4. 1388. а) (у 1)(у2 3у + 1); б) (у2 + 3) х
х(у2 2у 1). 1389. (х 2 Х + 1)2. 1392.24 и 11; 36 и 29; 48 и 43; 228
и 227. 1395. х у 1 О. 1401. ( 1; 2), (1; 1), (7; 4), (5; 5), (2; 1), (4; 7).
1403. а) 7 и 4; б) 2 и 6. 1404. (314; 565). 1405. (3; 2), ( 5; 2).
1406. а) (6; 5; 4); б) (10; 6; 4). 1407. 10 км/ч, 5 км/ч, 15 КМ.
1408. В 3 раза. 1409. 1700 м. 1410. 2,5 ч.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
А
Аликвотные дроби 15
Аппроксимирующая прямая 238
AprYMeHT функции 196
Б
Бесконечное множество 5
Бином 65
в
Варианта 18
Возведение в степень 40
одночлена 51 52
Выборка 18
Вынесение за скобки общеrо
множителя 127
Выражение с переменной 25
r
rрафик линейноrо уравнения
с двумя переменными 267
линейной функции 230
прямой пропорциональности
222
функции 205
rрафический способ решения
систем уравнений с двумя пе
ременными 277
д
Двойное неравенство 14
Двучлен 65
з
Зависимая переменная 196
Задание функции аналитически
(формулой) 196
rрафиком 205
описанием 196
таблицей 199
Значение функции 196
числовоrо выражения 13
к
Квадрат разности 157
суммы 156
Квадратный трехчлен 165
Конечное множество 5
Координатная четверть 223
Корень уравнения 99
Коэффициент одночлена 48
пропорциональности 220
Круrи Эйлера 10
Круrовая диаrрамма 213
Куб разности 174
суммы 173
Кубическая парабола 249
Л
Линейное уравнение с двумя пе
ременными 266
одной переменной
103
тремя переменными
297
Линейная функция 228
М
Медиана ряда данных 21, 22
Мноrочлен 65
от одной переменной 69
Множество 5
допустимых значений пере
менной 26
Мода ряда данных 21
Н
Независимая переменная 196
HecTporoe неравенство 27
о
Область допустимых значений
переменной 26
в уравнении 99
значений функции 197
определения уравнения 99
324
функции 197
Объем выборки 18
Одночлен 48
Основание степени 39
n
Парабола 244
Переменная 25
Подмножество 9
Подобные члены мноrочлена 68
Показатель степени 39
Полиrон 214
Полином 65
Приведение подобных слаrаемых
68
Произведение мноrочленов 85
одночлена и мноrочлена 78
одночленов 48
степеней с одинаковым oc
нованием 45
Прямая пропорциональность 220
Пустое множество 5
р
Равносильные уравнения 100
Разложение мноrочлена на MHO
жители 127
на множители способом rpyn
пировки 131
Размах ряда данных 20
Разность квадратов 151
кубов 178
мноrочленов 73
Раскрытие скобок 74
Решение системы уравнений с
двумя переменными 277
способом подстановки
280
способом сложения 286
уравнения разложением на
множители 139
уравнения с двумя пере
менными 262
уравнения в целых числах
271
уравнения с тремя пере
менными 297
Предметный указатель
Ряд данных 19
с
Свободный член квадратноrо
трехчлена 165
мноrочлена 69
Система уравнений с двумя пе
ременными 276
Собственное подмножество дaH
Horo множества 11
Среднее арифметическое выборки
19
Стандартный вид мноrочлена
68
одночлена 48
Старший коэффициент KBaдpaT
Horo трехчлена 165
мноrочлена 69
Степенная функция с натураль
ным показателем 242, 247
Степень мноrочлена 68
одночлена 48
произведения 51
с натуральным показателем
39
с нулевым показателем 45
степени 52
частноrо 52
Столбчатая диаrрамма 214
CTporoe неравенство 27
Сумма кубов 178
мноrочленов 73
т
Тождественное равенство 57
Тождество 57
Трехчлен 65
у
Уrловой коэффициент 235
Уравнение с одной пере мен ной
98
ф
Фиrурные числа 37
Функция 196
Предметный указатель
х
Характеристическое
множества 6
свойство
ц
Целочисленное решение ypaBHe
ния с двумя переменными
271
325
ч
Частное степеней с одинаковым
основанием 45
Частота варианты ряда данных
19
Числовая функция 198
Числовое выражение 13
э
Элемент множества 5
ПРИЛОЖЕНИЕ
МЕТОДИЧЕСКИЕ КОММЕНТАРИИ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
Данный учебник и соответствующие учебники для 8 ro и
9 ro классов образуют линию учебных изданий для уrлуб
ленноrо изучения алrебры. Содержание учебников полностью
соответствует современным образовательным стандартам,
а также включает в себя широкий Kpyr дополнительных
вопросов. Подробные объяснительные тексты позволяют уча
щимся успешно изучать материал учебника даже самостоя
тельно, а обилие практическоrо материала прочно отраба
тывать приемы решения различных задач, среди которых
немало задач повышенной сложности.
Методической особенностью курса является расширение
традиционных учебных тем за счет теоретико множествен
ной, вероятностно статистической и историко культурной
линий. Обращение к теоретико множественному подходу в
изложении некоторых вопросов связано не только с требова
нием проrраммы, но и с удобством TaKoro подхода при BBeдe
нии, например, функции как соответствия между множе
ствами, равносильности уравнений и т. п. Новые стандарты
математическоrо образования заставляют иначе взrлянуть на
статистику, комбинаторику и теорию вероятностей. Этот Ma
териал, достаточно подробно изложенный в учебниках для
7 9 ro классов, не должен вызвать затруднений у учащихся.
Специфической особенностью учебников данной линии
является введение в объяснительные тексты исторических
сведений, а в практическую часть задач из далекоrо про
шлоrо. Такое изложение материала характерно для учебни
ков физики, тоrда как в алrебре (и rеометрии) принято
включать подобный материал в качестве дополнительноrо к
учебному. Авторы уверены, что наличие элементов историз
ма в учебнике сделает ero более привлекательным для уча
щихся, даст возможность учителю чаще обращать внимание
школьников на обще культурное значение математики.
Учебник «Алrебра 7 » содержит самые разнообразные по
степени сложности упражнения. Зная возможности учащих
ся, учитель может какие то задачи пропустить, а какие то
предложить только сильным ученикам. Е этим задачам
Примерное поурочное планирование
327
можно будет вернуться позже, во время итоrовоrо повторе
ния. Добавим, что количество заданий учебника избыточ
ное, и для формирования у школьников стойких умений и
навыков решение всех задач не обязательно.
В издательстве «Мнемозина,) планируется выпуск MeTO
дических рекомендаций для учителя и дидактических MaTe
риалов к данному учебнику. Тем не менее, мы приводим
примерное поурочное планирование для работы в 7 M классе,
рассчитанное на 5 уроков алrебры в неделю. Следует обра
тить внимание на то, что в планировании не предусмотрено
резерва времени: учебный материал равномерно распределен
по rлавам. После изучения каждой rлавы предлаrается один
урок отводить на решение дополнительных заданий и еще
один на подrотовку к контрольной работе.
ПРИМЕРНОЕ ПОУРОЧНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
5 часов в неделю, Bcero 170 часов
м Изучаемый материал Кол во
уроков часов
Повторение материала 5 6 класса (6 ч)
1 Десятичные дроби, действия с десятичными дробями 1ч
2 Обыкновенные дроби, действия с обыкновенными
дробями 1ч
3 Проценты. Решение задач на проценты 1ч
4 Числовая прямая и координатная плоскость 1 ч
5 Модуль числа. rеометрический смысл модуля 1ч
6 Самостоятельная работа М 1 (повторение) 1ч
rлава 1. Выражение и множество ero значений (15 ч)
1. Множества (5 ч)
7,8 Множество. Элемент множества (п. 1) 2ч
9, 10 Подмножество (п. 2) 2ч
11 Самостоятельная работа М 2 ( 1) 1ч
2. Числовые выражения и выражения с переменнымИ (10 ч)
12,13 Числовые выражения (п. 3) 2ч
14,15 Статистические характеристики (п. 4) 2ч
16,17 Выражения с переменными (п. 5) 2ч
18 Самостоятельная работа М 3 ( 2) 1ч
19,20 Решение дополнительных упражнений к I'лаве 1 2ч
21 Контрольная работа М 1 (I'лава 1) 1ч
328
Приложение
Продолжение таблицы
NQ Изучаемый материал Кол во
уроков часов
r л а в а 2. Одночлены (17 ч)
3. Степень с натуральным показателем (7 ч)
22 24 Определение степени с натуральным показателем (п. 6) 3ч
25,26 Умножение и деление степеней (п. 7) 2ч
27 Самостоятельная работа М 4 ( 3) 1 ч
4. Одночлен и ero стандартный внд (10 ч)
28 30 Одночлен. Умножение одночленов (п. 8) 3ч
31 33 Возведение одночлена в степень (п. 9) 3ч
34 Тождества (п. 10) 1ч
35 Самостоятельная работа М 5 ( 4) 1ч
36,37 Решение дополнительных упражнений к rлаве 2 2ч
38 Контрольная работа М 2 (rлава 2) 1ч
r лава 3. Мноrочлены (19 ч)
5. Мноrочлен и ero стандартный вид (5 ч)
39,40 Мноrочлен. Вычисление значений мноrочленов (п. 11) 2ч
41,42 Стандартный вид МНОl'очлена (п. 12) 2ч
43 Самостоятельная работа М 6 ( 5) lч
6. Сумма, разность и произведение мноrочленов (14 ч)
44 46 Сложение и вычитание мноrочленов (п. 13) 3ч
47,48 Умножение одночлена на мноrочлен (п. 14) 2ч
49 Самостоятельная работа М 7 ( 6) 1ч
50 53 Умножение мноrочлена на мноrочлен (п. 15) 4ч
54 Самостоятельная работа М 8 ( 6) 1ч
55,56 Решение дополнительных упражнений к I'лаве 3 2ч
57 Контрольная работа М 3 (rлава 3) 1ч
r л а в а 4. Ураинения (18 ч)
7. Уравнение с одной переменной (5 ч)
58,59 Уравнение и ero корни (п. 16) 2ч
60,61 Линейное уравнение с одной переменной (п. 17) 2ч
62 Самостоятельная работа М 9 ( 7) 1ч
8. Решение уравнений и задач (13 ч)
63 66 Решение уравнений, сводящихся к линейным (п. 18) 4ч
67 Самостоятельная работа М 1 О ( 8) 1ч
68 71 Решение задач с помощью уравнений (п. 19) 4ч
72 Самостоятельная работа М 11 ( 8) 1ч
73,74 Решение дополнительных упражнений к rлаве 4 2ч
75 Контрольная работа М 4 (rлава 4) 1ч
Примерное поурочное планирование
329
м
уроков
Продолжение таблицы
Изучаемый материал
r л а в а 5. Разложение мноrочленов на множители (13 ч)
Кол во
часов
9. Способы разложения мноrочлена на множители (5 ч)
76, 77 Вынесение общеrо множителя за скобки (п. 20) 2 ч
78, 79 Способ rруппировки (п. 21) 2 ч
80 Самостоятельная работа М 12 ( 9) 1 ч
10. Применение разложения мноrочлена на множители (8 ч)
81,82 Вычисления. Доказательство тождеств (п. 22) 2 ч
83, 84 Решение уравнений с помощью разложения на
множители (п. 23)
Самостоятельная работа М 13 ( 10)
Решение дополнительных упражнений к rлаве 5
Контрольная работа М 5 (rлава 5)
13. Куб суммы и куб разности. Сумма и разность кубов. (13 ч)
104,105 Возведение в куб суммы и разности (п. 30) 2 ч
106,107 Разложение на множители суммы и разности кубов
(п. 31)
Самостоятельная работа М 17 ( 12, 13)
Разложение на множители разности n x степеней
(п. 32)
110 112 Различные способы разложения мноrочленов
на множители (п. 33)
Самостоятельная работа М 18 ( 13)
Решение дополнительных упражнений к rлаве 6
Контрольная работа М 6 (rлава 6)
85
86,87
88
89 91
92 94
95
96,97
98,99
100
101
102
103
108
109
113
114, 115
116
r л а в а 6. Формулы сокращенноrо умножения (28 ч)
11. Разность Itвадратов (7 ч)
Умножение разности двух выражений на их сумму
(п. 24)
Разложение на множители разности квадратов (п. 25)
Самостоятельная работа М 14 ( 11)
12. Квадрат суммы и квадрат разности (8 ч)
Возведение в квадрат суммы и разности (п. 26)
Разложение на множители с помощью формул
квадрата суммы и квадрата разности (п. 27)
Самостоятельная работа М 15 ( 12)
Квадратный трехчлен (п. 28)
Самостоятельная работа М 16 ( 12)
Квадрат суммы нескольких слаrаемых (п. 29)
2ч
1ч
2ч
1 ч
3ч
3ч
1 ч
2ч
2ч
1ч
1ч
1ч
lч
2ч
1ч
1ч
3ч
1 q
2ч
1 q
330
При ложе ни е
м
уроков
117,118
119, 120
121
122
123, 124
125, 126
127
128, 129
130
133
134
135, 136
137
Продолжение таблицы
Изучаемый материал
r лав а 7. Функции (21 ч)
14. Функции и их rрафики (6 ч)
Что такое функция (п. 34)
rрафик функции (п. 35)
rрафическое представление статистических данных
(п. 36)
Самостоятельная работа М 19 ( 14)
15. Лииейиая функция (8 ч)
Прямая пропорциональность (п. 37)
Линейная функция и ее I'рафик (п. 38)
Самостоятельuая работа М 20 ( 15)
Взаимное расположение I'рафиков линейных функций
(п. 39)
Самостоятельная работа М 21 ( 15)
rлава 8. Системы линейных уравнений (25 ч)
Кол во
часов
2ч
2ч
1 ч
1 ч
2ч
2 ч
1 ч
2ч
1 ч
2ч
1ч
1 '1
2ч
1ч
17. Линейные уравнения с двумя переменными (7 ч)
138, 139 Уравнения с двумя переменными (п. 42) 2 ч
140,141 Линейное уравнение с двумя переменными
и ero rрафик (п. 43) 2 ч
142,143 Решение линейных уравнений в целых числах (п. 44) 2 ч
144 Самостоятельная работа М 23 ( 17) 1 ч
16. Степенная функция с натуральным показателем (7 ч)
131,132. Функция.IJ х 2 . Степенная функция с четным
показателем (п. 40)
Функция .IJ х 3 . Степенная функция снечетным
показателем (п. 41)
Самостоятельная работа М 22 ( 16)
Решение дополнительных упражнений к I'лаве 7
Контрольная работа М 7 (I'лава 7)
18. Системы линейных уравнений и способы их решения (18 ч)
145,146 Система линейных уравнений. rрафическое решение
системы (п. 45)
Способ подстановки (п. 46)
Способ сложения (п. 47)
Самостоятельная работа М 24 ( 18)
Решение задач с помощью систем уравнений (п. 48)
Системы линейных уравнений с тремя переменными
(п. 49)
Самостоятельная работа М 25 ( 18)
147,148
149 151
152
153 156
157, 158
159
2ч
2ч
3ч
1 ч
4ч
2ч
1ч
Примерное поурочное планирование
331
Окончание таблицы
м Изучаемый материал Кол во
уроков часов
160,161 Решение дополнительных упражнений к rлаве 8 2ч
162 Контрольная работа М 8 (rлава 8) 1ч
Итоrовое повторение (8 ч)
163 Выражение и множество ero значений (rлава 1) 1ч
164 Одночлены (rлава 2) 1ч
165 МНОl'очлены (I'лава 3) 1ч
166 Уравнения (rлава 4) 1ч
167,168 Формулы сокращенноrо умножения (rлава 6) 2ч
169,170 Итоzовая контрольная работа (зачет) 2ч
Авторы с блаrодарностью воспримут все замечания и
предложения по усовершенствованию содержания учебника,
которые можно отправить или в издательство «Мнемозина» ,
или непосредственно авторам по электронной почте:
feoktistov ie@rambler .ru
оrЛАВЛЕНИЕ
Предисловие для учащихся .......................................... 3
rлава 1
ВЫРАЖЕНИЕ И МНОЖЕСТВО Ero ЗНАЧЕНИЙ
1. Множества . .................................................................. 5
1. Множество. Элемент множества ............................... 5
2. Подмножество ......................................................... 9
2. Числовые выражения и выражения с переменными .... 13
3. Числовые выражения ............................ ................... 13
4. Статистические характеристики ............................... 18
5. Выражения с переменными ...................................... 25
Дополнительные упражнения к rлаве 1 .............................. 32
rлава 2
ОДНОЧЛЕНЫ
3. Степень с натуральным показателем ........................... 39
6. Определение степени с натуральным показателем ..... 39
7. Умножение и деление степеней ................................ 44
4. Одночлен и ero стандартный вид ................................. 48
8. Одночлен. Умножение одночленов ............................ 48
9. Возведение одночлена в степень ............................... 51
10. Тождества ... ........... ....... ..................... ... .............. ... 56
Дополнительные упражнения к rлаве 2 .............................. 59
rлава з
мноrОЧЛЕНЫ
5. Мноrочлен и ero стандартиый вид ............................... 65
11. Мноrочлен. Вычисление значений мноrочленов ...... 65
12. Стандартный вид мноrочлена ................................. 68
Оrлавление 333
6. Сумма, разность и произведение мноrочленов ............ 73
13. Сложение и вычитание мноrочленов ..................... 73
14. Умножение одночлена на мноrочлен ..................... 78
15. Умножение мноrочлена на мноrочлен ................... 84
Дополнительные упражнения к rлаве 3 .............................. 91
rлава 4
УРАВНЕНИЯ
7. Уравнение с одной переменной .................................. 98
16. Уравнение и ero корни ......................................... 98
17. Линейное уравнение с одной переменной ............... 1 03
8. Решение уравнений и задач .......................................106
18. Решение уравнений, сводящихся к линейным ...... 106
19. Решение задач с помощью уравнений ...................114
Дополнительные упражнения к rлаве 4 .............................. 121
rлава 5
РАЗЛОЖЕНИЕ мноrОЧЛЕНОВ НА МНОЖИТЕЛИ
9. Способы разложения мноrочлена на множители ........127
20. Вынесение общеrо множителя за скобки ...............127
21. Способ rруппировки ............................................. 131
10. Применение разложения мноrочлена на множители..... 135
22. Вычисления. Доказательство тождеств ................. 135
23. Решение уравнений с помощью разложения
на множители ......................................................139
Дополнительные упражнения к rлаве 5 ..............................143
rлава 6
ФОРМУЛЫ СОКРАЩЕнноrо УМНОЖЕНИЯ
11. Разность квадратов .................................................... 147
24. Умножение разности двух выражений
на их сумму ......................................................... 147
25. Разложение на множители разности квадратов..... 151
12. Квадрат суммы и квадрат разности ............................ 156
26. Возведение в квадрат суммы и разности ...............156
27. Разложение на множители с помощью формул
квадрата суммы и квадрата разности .................... 161
28. Квадратный трехчлен ...........................................165
29. Квадрат суммы нескольких слаrаемых .................169
334 Оrлавление
13. Куб суммы и куб разности. Сумма и разность кубов 173
30. Возведение в куб суммы и разности ...................... 173
31. Разложение на множители суммы и разности
кубов ...... ................... ............. ........ ....... ...... ........ 176
32. Разложение на множители разности
n x степеней ......................................................... 180
33. Применение различных способов разложения
мноrочленов на множители ..................................182
Дополнительные упражнения к rлаве 6 .............................. 187
rлава 7
функции
14. Функции и их rрафики ..............................................196
34. Что такое функция ..............................................196
35. rрафик функции ..................................................204
36. rрафическое представление статистических
данных................................................................. 213
15. Линейная функция .................................................... 219
37. Прямая пропорциональность ................................ 219
38. Линейная функция и ее rрафик ............................ 228
39. Взаимное расположение rрафиков линейных
функций ............ ...... ... ............... ... ....... ..... ............ 235
16. Степенная функция с натуральным показателем .......242
40. Функция У х 2 . Степенная функция с четным
показателем ......... ....... ....... ...... ............ ........... ..... 242
41. Функция у ха. Степенная функция снечетным
показателем ... .... ....... ..... ...... .......... .... ....... .... ....... 247
Дополнительные упражнения к rлаве 7 ..............................253
rлава 8
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
17. Линейные уравнения с двумя переменными . ........ ..... 262
42. Уравнения с двумя переменными ..........................262
43. Линейное уравнение с двумя переменными
и ero rрафик .......... ......... ... .................... ......... ...... 265
44. Решение линейных уравнений с двумя
переменными в целых числах ...............................271
18. Системы линейных уравнений и способы
их решения .. .... ....... .... ..... ........... ...... ...... ......... .... ..... 276
45. Система линейных уравнений. rрафическое
решение системы ..................................................276
46. Способ подстановки .............................................280
Оrлавление
335
47. Способ сложения ..................................................286
48. Решение задач с помощью систем уравнений ........292
49. Системы линейных уравнений с тремя
переменными ........................................................ 297
Дополнительные упражнения к rлаве 8 ..............................300
Задачи повышенной трудности ............................................ 306
Ответы ......................................................... ..............311
Предметный указатель ...............................................323
При л ож е н и е . ...................................................:........ 326
Уче6ное издание
Макарычев Юрий Николаевич,
Миндюк Нора rриrорьевна,
Пешков Константин Иванович,
Феоктистов Илья Евrеньевич
АлrЕБР А
7 :класс
УЧЕБНИК
для учащихся общеобразовательных учреждений
rенеральный директор издательства М. и. Безвuконная
rлавный редактор К. и. Куровскuй
Редактор с. В. Бахтuна
Оформление и художественное редактирование: И. В. Цыцарева
Технический редактор И. Л. Ткаченко
Корректоры Л. А. Ключнuкова, И. Б. Копылова
Компьютерная верстка: Т. В. Батракова, А. А. rOpKUH
Санитарно эпидеМИОЛОl'ическое заключение
М 77.99.60.953.Д.001625.02.08 от 29.02.2008.
Формат 60х90 1/'6' Бумаl'а офсетная М 1. I'арнитура «Школьная».
Печать офсетная. Усл. печ. л. 21,0. Доп. тираж 30000 экз. Заказ М 26899.
Издательство «Мнемозина». 105043, Москва, ул. 6 я Парковая, 296.
Тел.: (495) 367 54 18, 367 56 27, 367 67 81; факс: (495) 165 92 18.
E mail: ioc@mnemozina.ru
www.mnemozina.ru
Маrазин «Мнемозина» (розничная и мелкооптовая продажа книr).
105043, Москва, ул. 6 я Парковая, 296.
'l'ел.: (495) 783-82-84, 783.82 85, 783 82 86.
Торrовый дом «Мнемозииа» (оптовая продажа кииr).
Тел./факс: (495) 657 98 98.
E mail: td@mnemozina.ru
Отпечатано в соответствии с качеством предоставленных издательством
электронных носителей в ОАО «Саратовский ПОЛИl'рафком6инат».
410004, {'. Саратов, ул. Чернышевскоrо, 59. www.sarpk.ru
ТАБЛИЦА КВАДРАТОВ
натуральных чисел
от 10до 99
Единицы
Десятки О 1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361
2 400 441 484 529 576 625 676 729 784 841
3 900 961 1024 1089 1156 1225 1296 1369 1444 1521
4 1600 1681 1764 1849 1936 2025 2116 2209 2304 2401
5 2500 2601 2704 2809 2916 3025 3136 3249 3364 3481
6 3600 3721 3844 3969 4096 4225 4356 4489 4624 4761
7 4900 5041 5184 5329 5476 5625 5776 5929 6084 6241
8 6400 6561 6724 6889 7056 7225 7396 7569 7744 7921
9 8100 8281 8464 8649 8836 9025 9216 9409 9604 9801
rРАФИК
СТЕПЕННОЙ
функции
у
X O
1 ---------
о
1
х
у
3
2
у == х 4
у == х 5
3 2 1 О 1 2 3 х 3
1
2
3
2
3